и
В.А. Треногий
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов вузов
обучающихся по специальности «Прикладная математика*
Щ
ш
MOChBA «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
I960

Функциональный анализ. Треногий В. А.—
М Наука. Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы, 1980.
Книга предназначена для студентов вузов, обу-
обучающихся по специальности «Прикладная математи-
математика», для преподавателей и лиц, интересующихся при-
приложениями функционального анализа.
Она содержит изложение первоначальных основ
функционального анализа и тех его направлении,
которые непосредственно примыкают к прикладным
задачам.
В книге излагаются: метод малого параметра,
метод продолжения по параметру, приближенные,
в частности разностные, методы решения уравне-
уравнений, метод Галёркина и метод конечных элементен
(приближение сплайнами), элементы выпуклого ана-
анализа, метод монотонных операторов и другие во-
вопросы.
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Линейные, нормированные и банаховы пространства .... 9
§ 1. Линейные пространства 9
§ 2. Нормированные пространства 19
§ 3. Анализ в нормированных пространствах 29
§ 4. Пространства со скалярным произведением 41
§ 5. Банаховы пространства 48
§ 6. Гильбертовы пространства 57
Глава П. Пространства Лебега и Соболева 69
§ 7. Пополнение нормированных пространств и пространств со ска-
скалярным произведением. Пространства Лебега 69
§ 8. Интеграл Лебега 79
§ 9. Пространства Соболева 100
Глава III. Линейные операторы 114
§ 10. Линейные операторы. Непрерывность и ограниченность . . .114
§ 11. Пространства линейных операторов 123
§ 12. Обратные операторы 132
§ 13. Абстрактные функции числовой переменной. Степенные ряды.
Метод малого параметра 142
§ 14. Метод продолжения по параметру 153
§ 15. График оператора. Замкнутые операторы 162
Глава IV. Сопряженные пространства и операторы 170
§ 16. Теорема Хана — Банаха п се следствия 170
§ 17. Сопряженные пространства 176
§ 18. Сопряженные и самосопряженные операторы 186
Глава V. Компактные множества и вполне непрерывные операторы . . 200
$ 19. Компактные множества в нормированных пространствах . . . 200
§ 20. Линейные вполне непрерывные операторы 212
§ 21. Нормально разрешимые операторы 227
§ 22. Линейные уравнения с точки зрения вычислений . . ... 236
Глава VI. Элементы спектральной теории линейных операторов . . . 245
§ 23. Собственные значения и собственные векторы линейных опера-
операторов 245
§ 24. Резольвентное множество и спектр линейного оператора . . . 254
*} 25. Интегрирование абстрактных функций в банаховом пространстве 262
§ 26. Спектральные разложения самосопряженных операторов . . 273
Глава VII Абстрактные приближенные схемы 289
§ 27. Аппроксимация, устойчивость и сходимость 289
§ 28. Простейшие разностные схемы 300
1* 3

§ 29. Интерполяция сплайнами 318
§ 30. Метод Галёркина .... ... 331
§ 31. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве и ме-
методы их решения 349
Глава VIII. Теоремы о неподвижных точках нелинейных операторов 371
§ 32. Дифференцирование нелинейных операторов. Степенные ряды . 371
§ 33. Принцип сжимающих отображений 389
§ 34. Итерационный процесс Ньютона 401
§ 35. Принцип Шаудера 408
Глава IX. Неявные операторы 419
§ 36. Теоремы о неявных операторах 419
§ 37. Диаграмма Ньютона и ветвление решений нелинейных уравне-
уравнений 432
1 лава X. Нелинейные приближенные схемы и элементы выпуклого ана-
анализа 445
§ 38. Нелинейные приближенные схемы 445
§ 39. Монотонные операторы 458
§ 40. Элементы теории экстремумов и выпуклого анализа 472
Литература 489
Предметный указатель 491
ПРЕДИСЛОВИЕ
Функциональный анализ возник в результате взаимодей-
взаимодействия и последующего обобщения на бесконечномерный случай
идей и методов математического анализа, геометрии и линей-
линейной алгебры. Современная математика немыслима без функцио-
функционального анализа. Сегодня идеи, концепции, методы, термино-
терминология, обозначения и стиль функционального анализа пронизы-
пронизывают чуть ли не все области математики, объединяя ее в единое
целое. Сравнительно недавно функциональный анализ был пре-
преимущественно линейным. Его развитие, вызванное, прежде
всего, потребностями дифференциальных уравнений, численных
методов, математического программирования и других разде-
разделов математики, вызвало к жизни новые нетривиальные ветви
нелинейного функционального анализа. Возрастающая при-
прикладная направленность функционального анализа делает его
необходимым для прикладников и инженеров, использующих в
своей практике современные математические методы.
Основу данной книги составили курсы лекций по функцио-
функциональному анализу, читавшиеся автором в течение ряда лет
сначала студентам факультета управления и прикладной ма-
математики Московского физико-технического института, а за-
затем— студентам Московского института стали и сплавов, спе-
специализирующимся в области кибернетики металлургических
процессов. Это в значительной мере предопределило содержа-
содержание книги и характер изложения.
В последние годы издано немало первоклассных книг по
функциональному анализу и его приложениям. Все они кос-
косвенно подразумевают, что читатель имеет математическое об-
образование по меньшей мере в объеме двух первых курсов уни-
университета; это делает их труднодоступными для более широ-
широкого круга читателей, интересующихся функциональным ана-
анализом с точки зрения его приложений. Нашей целью было по
возможности устранить имеющийся пробел и предложить книгу,
не предполагающую у читателя наличия специальных знаний,
например, в области теории функций действительного перемен-
переменного, и опирающуюся лишь на обычный курс высшей математи-
математики технического вуза объемом около 500 часов.

Приводя наиболее употребительные сегодня понятия и фак-
факты функционального анализа почти всегда с полными доказа-
доказательствами (только так и можно изучать математику), мы ста-
старались при этом сохранить живую связь с математическим ана-
анализом и другими вузовскими разделами математики. Почти
каждое новое понятие иллюстрируется примером, задачей или
упражнением. Упражнения иногда вклиниваются в доказатель-
доказательства, в примеры, в рассуждения. Это сделано, чтобы побудить
читателя задумываться над связью излагаемого материала с
уже известными ему математическими фактами и понятиями,
понять их прикладное значение. Часто параграфы завершаются
перечнем задач, в основном теоретических, иногда повышенной
трудности.
Остановимся теперь на содержании книги. Мы ограничились
изложением функционального анализа в банаховых простран-
пространствах, хотя большая часть понятий и фактов допускает непо-
непосредственное перенесение на метрические или линейные тополо-
топологические пространства. Сделано это для того, чтобы читатель
не был вынужден следить за чересчур большими разветвления-
разветвлениями теории и мог сосредоточить внимание на сущности излагае-
излагаемых идей и методов. В то же время в ряде случаев построения
достигают серьезной степени абстракции. Это делается обычно
в случаях, важных для приложений. Заметим, однако, что при-
приложениям функционального анализа посвящены специальные
книги и приводимые нами примеры обычно носят иллюстратив-
иллюстративный характер. В небольшой по объему книге нельзя было, ра-
разумеется, охватить все направления функционального анализа,
имеющие важные приложения. Мы не затронули, например, тео-
теорию обобщенных функций, хорошо освещенную в литературе,
а также теорию степени отображения Лере — Шаудера, изло-
изложение которой потребовало бы привлечения сведений из топо-
топологии.
Книга состоит из десяти глав, в каждой из которых осве-
освещены как теоретические, так и прикладные вопросы.
Глава I посвящена общим вопросам теории линейных, нор-
нормированных, банаховых и гильбертовых пространств. Здесь
обсуждаются, например, элементы теории приближений, тео-
теорема Бэра — Хаусдорфа о категориях, ряды Фурье в гильбер-
гильбертовых л в банаховых пространствах.
Глава II содержит теорию пространств Лебега и Соболева.
Доказаны теоремы о пополнении нормированных пространств
и пространств со скалярным произведением. В отдельном па-
параграфе (§8), в написании которого принимала участие доцент
Т. Н. Сабурова, на основе теоремы о пополнении дается теория
интеграла Лебега. Рассмотрены пространства Соболева, приве-
приведены простейшие теоремы вложения.
В главе III изложена теория линейных операторов. Понятия
непрерывности и ограниченности рассмотрены с точки зрения
общих нелинейных операторов. Большое внимание уделено важ-
важным понятиям обратного и непрерывно обратимого линейных
операторов. Здесь же рассмотрены абстрактные функции число-
числовой переменной, а также методы малого параметра и продол-
продолжения по параметру для линейных уравнений. Обсуждены по-
понятия линейного неограниченного и замкнутого операторов. До-
Доказана теорема Банаха о замкнутом графике, следствием ко-
которой является теорема Банаха об обратном операторе.
Глава IV посвящена изложению теоремы Хана — Банаха,
понятиям сопряженных пространств и операторов, а также тео-
теории самосопряженных операторов, включая операторы ортого-
ортогонального проектирования. В этой же главе приведена теорема
Рисса об общем виде линейных функционалов в гильбертовом
пространстве. В качестве ее приложения доказаны существо-
существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле
для уравнения Пуассона.
В главе V изложены теории вполне непрерывных и нор-
нормально разрешимых линейных операторов. Приведены простей-
простейшие варианты регуляризации в смысле акад. А. Н. Тихонова
некорректных задач для линейных уравнений.
В главе VI приводятся основы спектральной теории линей-
линейных операторов. Формула спектрального разложения доказана
строго только для случая ограниченного самосопряженного опе-
оператора.
Глава VII содержит изложение общей теории абстрактных
приближенных схем с приложениями к разностным задачам и
к методу Галёркина. Здесь же даны элементы теории диффе-
дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и намечены
методы их решения.
Глава VIII включает в себя элементы нелинейного анализа,
принцип сжимающих отображений, метод касательных Ньюто-
Ньютона и принцип Шаудера.
В главе IX дано введение в теорию неявных операторов,
включая задачи о ветвлении решений.
В заключительной X главе изложены абстрактные нелиней-
нелинейные схемы, теория монотонных операторов и начала выпуклого
анализа.
Отметим, что §§ 35 и 39 написаны при участии А. А. Фо-
нарева. В книге использованы частично, в переработанном
виде материалы учебного пособия М. А. Наймарка и В. В. Мар-
Мартынова [25], лежащего в основе почти всех курсов функцио-
функционального анализа, читавшихся в МФТИ. Отсюда, в частности,
заимствован ряд задач. Вообще, нужно сказать, что работа ав-
автора в МФТИ на протяжении 17 лет, общение с рядом выдаю-
выдающихся математиков, там работавших, а также многолетний кон-
контакт с членом-корреспондентом АН СССР Л. А. Люстерником
¦оказали самое серьезное влияние на математическое мировоз-
мировоззрение автора.

Если данная книга облегчит читателю пользование более
специальными учебниками и монографиями, то мы будем счи-
считать нашу задачу выполненной. Мы надеемся также, что пред-
предлагаемые в книге материалы могут быть использованы не толь-
только в курсах функционального анализа, но и в различного рода
специальных курсах.
Автор сердечно благодарен рецензенту профессору Н. С. Бах-
валову, чьи многочисленные полезные замечания существенно
улучшили книгу. Автор благодарен профессорам А. А. Дезину
и С. И. Похожаеву, доцентам М. Л. Краснову и М. И. Орлову,
а также С. М. Цидилину за сделанные ими ценные замечания.
Наконец, автор искренне благодарен Н. Б. Облаковой, проде-
проделавшей большую работу по подготовке сначала конспекта лек-
лекций, а затем и рукописи книги.
В. А. Треногий
Глава I
ЛИНЕЙНЫЕ, НОРМИРОВАННЫЕ
И БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Линейные пространства
1.1. Определение линейного пространства. Понятие линей-
линейного пространства является одним из важнейших понятий со-
современной математики. Множество всех векторов плоскости
или трехмерного пространства и, что особенно важно, различ-
различные множества функций (функциональные пространства) мож-
можно охарактеризовать одними и теми же общими свойствами
линейности. Следуя принятому в математике аксиоматическому
подходу, выделяют основные из этих свойств в систему аксиом,
определяющих общее понятие линейного пространства.
Определение. Множество Е элементов х, у, г, ... назы-
называется линейным пространством, если в нем определены две
операции:
I. Каждым двум элементам х, у <= Е поставлен в соответ-
соответствие определенный элемент х + у s E, называемый их суммой.
II. Каждому элементу х е Е и каждому числу (скаляру)
X поставлен в соответствие определенный элемент Ue? —
произведение элемента х на скаляр X — так, что выполнены сле-
следующие свойства (аксиомы) для любых элементов х, у, ге?
и любых скаляров X, а:
1) х + у = у + х\
2) х+(у + г) = (х + у)+г-
3) существует элемент 0g? такой, что х -f- 0 = х;
4) Мцх) = (Хц)х;
5) \-х = х, 0-я — 0 (слева 0 — скаляр, а справа элемент
множества Е);
6) Х(х + у)=Хх + Ху;
7) (X -\- \i) x = Хх -\- цлт.
В качестве числовых множителей (скаляров) X, ц, ... в ли-
линейном пространстве берутся вещественные или комплексные
числа. В первом случае Е называется вещественным (действи-
(действительным) линейным пространством, во втором — комплексным
линейным пространством.
Во всяком линейном пространстве Е для всякого элемента
* е ? можно определить противоположный элемент —х, а зна-
значит, и операцию вычитания элементов у — х. Положим по

определению — х =(—\)х. Тогда, согласно аксиомам 5) и 7],
х + (- х) = 1 • х + (- 1) • х = 0 ¦ х = 0.
Далее под разностью х — у будем понимать выражение
х — у = х + (— у).
Приведем некоторые простые следствия, вытекающие из опре-
определения линейного пространства.
Следствие 1. Нулевой элемент единствен.
Доказательство. Допустим, что 0i и 02 —нули в Е;
тогда 0i + 02 = 0i, 02 + 0i = 02 (согласно аксиоме 3)). Отсюда,
ио аксиоме 1), 0i = O2.
Следствие 2. Если Хх = цх, где х Ф 0, то X = ц.
Доказательство. Прибавив к обеим частям равенства
Хх = \ix по —\ix, получим (X — \л)х = 0. Если X ф ц, то отсюда,
по аксиоме 4), (X — \i)~l ((X — \i)x] = х = 0; получено противо-
противоречие. Значит, X = \i.
Следствие 3. Если Хх = Ху и X ф 0, то х = у.
Доказательство. Прибавляя к обеим частям равенства
Хх = Ху по — Ху, получим Х(х — у)=0. Если X ф 0, то отсюда
х — у = Х-1[Х(х — у)) = 0, т. е. х = у.
1.2. Примеры линейных пространств.
Пример 1. Множество всевозможных векторов (в трехмер-
трехмерном пространстве, на плоскости или на прямой) образует линей-
линейное пространство. Напомним, что сумма векторов определяется
по правилу параллелограмма, а произведение вектора х на ве-
вещественное число X определяется как вектор Хх, длина кото-
которого есть произведение X на длину х, а направление совпадает
с направлением х, если X > 0, и противоположно ему, если
X < 0. Аксиомы линейного пространства — это известные свой-
свойства операций над векторами (проверьте!).
Таким образом, элементы линейного пространства естествен-
естественно рассматривать как обобщение векторов. Вместо термина «ли-
«линейное пространство» употребляется также термин «векторное
пространство». В дальнейшем, говоря об элементах линейного
пространства, мы будем называть их также векторами.
Пример 2. Рассмотрим множество Rm всевозможных упо-
упорядоченных наборов (столбцов) из m вещественных чисел
Числа |i, ..., Ът будем называть координатами столбца. Поц
суммой столбцов х + у будем понимать столбец, координаты
которого —суммы соответствующих координат столбцов хну,
т. е. х + y = {li + Л;)-1гп°Д столбцом Хх, где Л. — вещественное
число, будем понимать столбец Щ,)Г=|- Роль НУЛЯ играет стот
бец 0 = @O=1- Поскольку операции над столбцами сводятся к
10
операциям над координатами — вещественными числами, для
которых аксиомы линейного пространства выполняются триви-
тривиально, то эти же аксиомы справедливы и для столбцов. Таким
образом, Rm является линейным пространством.
Аналогично можно рассмотреть и столбцы комплексных чи-
чисел с умножением их на комплексные числа. В результате мы
получим комплексное линейное пространство столбцов.
Рассмотрим теперь примеры линейных пространств функ-
функций. Сделаем сначала некоторые общие замечания. Пусть D —
некоторое множество элементов t произвольной природы, и
пусть каждому t^D поставлен в соответствие элемент x(t)
линейного пространства Е, т. е. задана функция х — хA) с об-
областью определения D и с областью значений в Е. Под суммой
(х + у) (t) двух таких функций x(t) и y(t) будем понимать
функцию (х + у) (t)= x(t)+ y(t). Под произведением (Хх) (t)
функции x(t) на число X будем понимать функцию (Хх)@ —
X(t)
В предлагаемых ниже примерах рассматриваются функции
с вещественными или комплексными значениями, т. е. Е — ве-
вещественная ось или комплексная плоскость. Как и в примере 2,
операции над такими функциями сводятся к операциям над ве-
вещественными или комплексными числами. Фиксируя D и выби-
выбирая тот или иной класс функций, мы автоматически получим
выполнение аксиом линейного пространства, если только х -\- у
и Хх принадлежат выбранному классу функций вместе
с х и у.
Пример 3. Рассмотрим пространство всех многочленов
степени, не превышающей k: x{t) = xq-\- x\t -\- ... -\-xktk
(x0, X{, . . ., xk — произвольные вещественные числа, t^D =
= (—°°i +°°)). Поскольку произведение многочлена на веще-
вещественное число и сумма двух многочленов являются многочле-
многочленами, мы получаем линейное пространство многочленов.
Точно так же можно рассмотреть комплексное линейное про-
пространство многочленов степени не выше k. Его элементы x(t)
имеют вид x(t)= xo + x\t + ... + xktk (xo,xu .... ** —комп-
—комплексные числа, г1 —комплексная переменная, изменяющаяся на
комплексной плоскости D).
Пример 4. Пространство непрерывных функций С[а, Ь\.
Пусть D = [a,b]. Берем всевозможные непрерывные на [а,Ь]
функции x(t), y{t). Так как x{t)+y(t) непрерывна на [а, Ь],
как сумма непрерывных функций, и Xx(t) также непрерывна, то
С[а, Ь] является линейным пространством. Возможны веще-
вещественный и комплексный случаи.
Пример 5. Пространство Ck\a,b] (k — натуральное чис-
число)— пространство k раз непрерывно дифференцируемых функ-
Щй. Поскольку Xx(t)^Ck[a,b\, если x(t)<= Ск[а,Ь] и *(/) +
+ j@eC»[o,t], если x(t) и i/(l)eC*[a,4], то С*[а, Ь] -ли-
-линейное пространство.
и

i 6
Пример 6. Рассмотрим множество Мтп всех прямоуголь-
прямоугольных матриц порядка т X п со скалярными элементами
(aw а\г ... а\п \
а" ап у: п2п • (ь") =
"ml flnt2 ¦ • • О/пи'
Определим в Мтп операции
(ац) + (Ьц) = (at, + Ь„), к (а„) = (Ла,,).
Поскольку операции над матрицами сводятся к операциям
над числами, то справедливость аксиом очевидна. Если эле-
элементы матриц и скаляры X вещественны (комплексны), то мы
приходим к вещественному (комплексному) линейному про-
пространству.
В дальнейшем мы встретимся и с другими примерами линей-
линейных пространств.
1.3. Линейная зависимость и линейная независимость эле-
элементов. Ниже Е — линейное пространство. Пусть даны элемен-
ты X],
Xi е Е. Всякая сумма вида
4=1
где он.—
4
числа, называется линейной комбинацией элементов Х\,Х2,
..., xi.
Элементы х\, х$, ..., xi называются линейно зависимыми,
линейно
если существует их линейная комбинация /_, akxk — Q, где
, д не
/ i \ i
все си равны 0 (т.е. Xlafc|>0). Если равенство ?
\ k-i / k\
возможно только при условии cci = иг = ... = а/ = 0, то эле-
элементы х\, хч, ..., Xi называются линейно независимыми
Упражнение 1. Покажите, что один элемент (вектор)
линейного пространства линейно зависим в том и только в том
случае, когда он равен нулю. Покажите, что п векторов при
п^2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда один m
этих векторов является линейной комбинацией остальных п — 1
векторов.
Как известно, понятие линейной зависимости обобщает по-
понятия коллинеарности и компланарности векторов.
Упражнение 2. Найдите а, при котором векторы A, 2, 3),
A, 1,0) и (а, I, 1) компланарны, т. е. линейно зависимы.
Упражнение 3. Покажите, что в С[0, л] функции l,cos/,
cos2 if линейно независимы, а функции 1, cos 2/, cos2/ линейно
зависимы.
Упражнение 4. Пусть элементы хи х2, ..., хт линейного
пространства Е линейно независимы. Покажите, что любые k
из этих векторов, 1 ^ k ^ т, также линейно независимы.
12
1.4. Конечномерные и бесконечномерные линейные простран-
пространства. Линейное пространство называется т-мерным, если в
нем существует т линейно независимых векторов, а всякие
т + 1 векторов линейно зависимы.
Упражнение 1. Покажите, что в R'" (см. пример 2
п. 1.2) столбцы /а = Fа()','=1, k = 1, 2 т (б*; = 1 при k = I,
§kl = 0 при k Ф I — так называемый символ Кронекера), ли-
линейно независимы.
Упражнение 2. Покажите, что в R'" всякие т -f- 1 век-
векторов линейно зависимы. Для этого составьте матрицу из коор-
координат этих векторов и воспользуйтесь тем, что ее ранг не пре-
превосходит т.
Из упражнений 1 и 2 следует, что R т-мерно.
Определение 1. Набор любых т линейно независимых
векторов в m-мерном линейном пространстве Е называется ба-
базисом в Е.
Фиксируем в m-мерном линейном пространстве Е базис
{е/г}Г=1- Пусть х е Е; вследствие in-мерности Е векторы еь е2, ...
..., ет, х линейно зависимы. Но тогда найдутся скаляры ai,
яг, •¦¦> ot,m, cim+i такие, что aie1+a2e2+ ••• + ctmem + am+i* =
= 0. При этом amfi ф 0, иначе векторы еи е2, ..., ет были бы
линейно зависимы. Следовательно,
X =
A)
где I* = —a.k/am+\, k = 1, 2, ..., т.
Представление A) произвольного вектора ш-мерного про-
пространства Е называется разложением вектора х по базису
{eks
k-v
Числа
называются координатами вектора .v
в базисе {ek}™=[.
Упражнение 3. Покажите, что представление A) век-
вектора единственно, т. е. при фиксированном базисе координаты
всякого вектора х однозначно определяются вектором х.
Упражнение 4. Разложите вектор х ее R по базису
{ekY\> введенному в упражнении 1.
Конечномерные линейные пространства систематически изу-
изучаются в вузовском курсе линейной алгебры. Нас здесь инте-
интересуют главным образом бесконечномерные линейные простран-
пространства.
Определение 2. Линейное пространство Е называется
бесконечномерным, если для каждого натурального п в Е суще-
существует п линейно независимых элементов.
Упражнение 5. Покажите, что С[а,Ь] бесконечномерно.
Рассмотрите последовательность функций 1, t, t2, ..., tn, ... и
покажите, что 1, /,...,/" линейно независимы для любого на-
натурального п. Покажите, что Ck[a,b] также бесконечномерно.
13

1.5. Линейные и аффинные многообразия.
Определение 1. Множество Е в линейном пространстве
Е называется линейным многообразием (линейным множе-
множеством), если для любых х, у е Е и любых скаляров X, ц линей-
линейная комбинация Хх + \iy e E.
Заметим, что поскольку Е является частью линейного про-
пространства Е, то из определения линейного многообразия Е
следует, что Е также само является линейным 'простран-
'пространством.
Приведем примеры линейных многообразий.
Пример 1. Пусть Е[а,Ь] — линейное пространство всех ве-
вещественных функций, определенных на [а, Ь]. Тогда С[а,Ь]—
линейное многообразие в Е[а,Ь). Это вытекает из известного в
математическом анализе факта, что линейная комбинация двух
непрерывных на [а, Ь] функций есть функция, непрерывная на
этом отрезке.
Пример 2. Пространство Ck[a,b\, k^\, является линей-
линейным многообразием в пространстве С[а,Ь], так как всякая k
раз непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция непре-
непрерывна на [a,b\, a линейная комбинация функций из Ск[а,Ь]
снова является функцией из Ск\а,Ь] (почему?).
Упражнение 1. Покажите, что при k > I ^ 0 Ck[a, b] —
линейное многообразие в С'[а,Ь].
Упражнение 2. Покажите, что множество всех много-
многочленов степени не выше т является (т + 1)-мерным линейным
многообразием в С[а, Ь].
Упражнение 3. Покажите, что в С [а, Ь] множество всех
функций, удовлетворяющих граничным условиям х(а)=а,
д:(й) = р, является линейным многообразием тогда и только
тогда, когда а = [} = 0.
Упражнение 4. Докажите, что множество решений ли-
линейной однородной системы т уравнений с п неизвестными
- a22x2 + ... + ci2nxn = 0,
am\X\ + am2x2 + ¦ • • + amnxn = О
при п~> г является (п — г)-мерным линейным многообразием
в R", где г — ранг матрицы системы.
Упражнение 5. Докажите, что множество решений ли-
линейного диф реренциального уравнения гс-го порядка
dnx
jn-l.
(коэффициенты а<{(), i=\, 2 п, непрерывны на [а, Ь])
образует л-мерное линейное многообразие в С[а,Ь\.
14
С понятием линейного многообразия тесно связано понятие
аффинного многообразия. Введем сначала следующее обозна-
обозначение. Пусть М — некоторое множество в линейном простран-
пространстве Е. Множество векторов из Е вида х0 -Ь и, где и пробегает
М, будем обозначать х0 + М. Короче,
х0 + М = {х0 + и; и е М}.
Определение 2. Пусть L — линейное многообразие в ли-
линейном пространстве Е. Фиксируем хо ф L. Множество х0 + L
называется аффинным многообразием в Е. Если Е конечномер-
конечномерно, то размерность L называется размерностью аффинного мно-
многообразия хо + L. В трехмерном пространстве всякая прямая и
всякая плоскость, не проходящие через начало координат, яв-
являются аффинными многообразиями.
Упражнение 6. Докажите, что множество решений сов-
совместной линейной неоднородной системы m уравнений с п не-
неизвестными
Yj
i= 1,2, .... m,
является п — r-мерным аффинным многообразием в R", где г —
ранг матрицы системы.
Упражнение 7. Докажите, что множество решений ли-
линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го по-
порядка
где коэффициенты aL(t), i=\, ..., л, и правая часть </(/) не-
непрерывны на [а,6], образует л-мерное аффинное многообразие
в С[а,Ь).
1.6. Изоморфизм линейных пространств. Рассмотрим линей-
линейные пространства X и X; пусть каждому элементу igJ( постав-
поставлен в соответствие определенный элемент iel, т. е. задана
функция х = J (х), определенная всюду на X, со значениями
в X. Будем говорить, что пространства X и X (линейно) изо-
изоморфны, если найдется функция ? = 7(д), осуществляющая ли-
линейное и взаимно однозначное соответствие между X и X, т. е.
1) J (Xx + \iy) = U (х) + \iJ (у) для любых элементов х, у е X
и любых скаляров X, ц;
2) если J(xi)= J(x2), то х, — х2;
3) для любого х е X найдется х ^ X такой, что х = J(х).
Приведем примеры изоморфных лияоГтых пространств.
Пример 1. Пространство многочленов с вещественными
коэффициентами степени не выше ш изоморфно R". Действи-
15

тельно, пусть дс(О—? xktk'< рассмотрим функцию /, отобра-
жающую каждый такой многочлен в столбец (xk)™=Q e R*1, т. е.
Упражнение. Проверьте, что / — линейная, взаимно од-
однозначная функция.
Пример 2. Всякое m-мерное вещественное линейное про-
пространство Е изоморфно Rm.
Фиксируем в Е базис {ек}™- Тогда всякий х е Е однозначно
т
представим в виде х = ? \k^k (см- формулу A) п. 1.4). Поло-
Положим для всякого х е Е
т
Если y=Y,
fcl
то
+ ["It) «t. т. е. спра-
*1
ведливо свойство линейности координат: координаты линей-
линейной комбинации векторов равны той же линейной комби-
комбинации соответствующих координат этих векторов. Следова-
Следовательно,
J (кх + \iy) =
^ (У)-
Взаимная однозначность / есть следствие единственности
координат вектора (при фиксированном базисе). Итак, Е изо-
изоморфно Rm.
1.7. Выпуклые множества в линейных пространствах. Пусть
Е — линейное пространство. Отрезком, соединяющим точки
Ai, X2 е= Е, называется совокупность всех точек х вида
x = (l-t)xl + tx2, fe=[O, 1].
Определение 1. Множество W в линейном пространстве
Е называется выпуклым, если всякий раз из того, что к\, х2 <=
е U7, следует, что W принадлежит отрезок, соединяющий Xi
и х2.
Упражнение 1. Покажите, что всякое линейное много-
многообразие в Е является выпуклым множеством.
Упражнение 2. Пусть W — выпуклое множество, а
ха <= Е. Покажите, что множество х0 + № — выпуклое. Отсюда,
в частности, вытекает выпуклость аффинных многообразий.
Введем теперь понятие выпуклого функционала, Пусть на
линейном пространстве Е задана функция, ставящая каждому
х е Е в соответствие число р(х) В этом случае говорят, что
16
на Е задан функционал р(х). Если все значения р(х) веще-
вещественны, то функционал р(х) называется вещественным функ-
функционалом.
Определение 2. Вещественный функционал р(х) назы-
называется выпуклым, если для любых х\, х2 е Е и любых t <= [0, 1]
Р (A - 0 *i + tx2) < A - О Р (*i) + ^
С помощью выпуклых функционалов можно строить выпук-
выпуклые множества. Фиксируем элемент х0 е Е и вещественное
число с.
Рассмотрим следующее множество:
Q = {xeE: р (х — х0) < с}.
Покажем, что Q выпукло. Действительно, пусть х\, х2 е Q,
т. е. р(х\ — хо)< с и р(х2 — хо)<с; тогда для всех is [0,1]
p({l-t)xi + tx2 - дго) = P (A - 0 (*i - *o) + / (x2 - x0)) <
<A —t)p(xi -xQ) + tp(x2-xQ)<(l —t)c + tc = c.
Следовательно, вместе с *i и х2 Q содержит соединяющий
их отрезок, т. е. Q выпукло.
Упражнение 3. Пусть р(х)—выпуклый функционал,
х0 — вектор, с — вещественное число. Докажите выпуклость
множества
Q = {x<= X: р (х — *0) < с}.
Упражнение 4. Покажите, что пересечение произволь-
произвольного числа выпуклых множеств является выпуклым множе-
множеством.
1.8. Комплексификация и декомплексификация. Пусть Е —
вещественное линейное пространство. Покажем, что Е можно
включить в некоторое комплексное линейное пространство Е
Рассмотрим всевозможные формальные суммы г = х + iy, где
х,у^Е, a i — мнимая единица. Если, кроме того, Z[ = Х\ -f- й/i.
то определим
2 + 2| = (X + *,) + i {У + У\),
(а + pi) г = (а к - $у) + i (ay + Qx)
(а и р — вещественные скаляры).
Множество формальных сумм г теперь, как нетрудно видеть,
превратилось в комплексное линейное пространство, которое
обычно называют комплексной оболочкой Е и которое мы обо-
обозначим через Е. Наше исходное пространство Е включается в
Е, ибо все элементы из Е вида х + i-Ь с умножением на ска-
скаляры a + i-О составляют Е. Такое включение вещественного
линейного пространства Е в комплексное линейное простран-
пространство Е называется комплексификацией пространства Е.
17

Декомплексификация есть процедура, обратная (в опреде-
определенном смысле) комплексифнкации. Пусть Е— комплексное ли-
линейное пространство. Каждый его вектор z запишем в виде
2 = х -f- iy, где х и у — вещественные элементы Е. Рассмотрим
вещественное линейное пространство Е пар (х, у), в котором
по определению (X — вещественный скаляр)
У\) + (х-2, г/2) = (*i + х2,
к (х, у) = (кх, ку).
у2),
A)
Упражнение 1. Проверьте для Е аксиомы линейного про-
пространства.
Упражнение 2. Пусть Е — m-мерное комплексное линей-
линейное пространство. Тогда Е — 2т-мерное вещественное линейное
пространство.
Переход от Е к Е и называется декомплексификацией комп-
комплексного линейного пространства Е.
Комплексификация и декомплексификация применяются
тогда, когда хотят воспользоваться результатами, полученными
для одного из случаев — комплексного или вещественного,—
в другом случае.
Задачи.
1. Пусть М.„„ — линейное пространство прямоугольных матриц порядка
т X п (см. пример 6 п. 1.2). Докажите, что пространство Мт„ тл-мерпо.
Найдите базис в Мт„. В вещественном случае установите изоморфизм между
Мтп и R".
2. Покажите, что множество всевозможных дифференциальных операто-
операторов порядка не выше п
Р (D) = ? pk (t) D* Q (D) = ? qk (t) D\...
k-*a k=o
(здесь te[a, b], коэффициенты p* (t), <?* (t) непрерывны на \a,b], Dk = dl<jdtkr
?)°=1) с операциями
[Xpk(t)]Dk,
P{D) + Q (D) = ? [p (t) + qk Щ D"
k-Q
образует линейное пространство.
3. Во множестве R+ = @, +°°) положительных чисел (элементов) вве-
введем операции. Под «суммой» элементов х, jeR* будем понимать их произ-
произведение, а под «произведением» элемента х на вещественное число X будем
понимать элемент хк. Покажите, что при таком определении операций R +
превратилось в линейное пространство. Как выглядят в R+ «нуль» и «противо-
«противоположный элемент»?
4. Докажите, что формула J(x)=\nx, jeRt, осуществляет изомор-
изоморфизм R+ на R1.
5. Обозначим через Р(?) множество всех подмножеств линейного про-
пространства Е. Если М, Д/еР(?), то определим:
М + N = [х + у; х е= М, у е= /V}, ХМ = {Хх; х е М},
.; —М = (-1)'М = {—х\ х^М), М— N = M + ( — l)-N.
Какие из аксиом линейного пространства выполнены в
6. Рассмотрим в R"(; столбцов х{ = (|,-у)т_.. ' = 1. 2, ..., k; образуем
из этих столбцов матрицу (|i,), /= 1 k, /= 1 m; пусть /- — ее
ранг. Покажите, что если г = k и k < m, то х, xk линейно независимы.
Если же k > т или г < k, то «i ** линейно зависимы.
7. Докажите, что два конечномерных линейных пространства (оба веще-
вещественные или оба комплексные) изоморфны тогда и только тогда, когда их
размерности совпадают.
8. Пусть Е и Е — изоморфные конечномерные линейные пространства и
формула х = ](х) осуществляет их изоморфизм. Докажите, что {/ (е^)} —
базис в Е, если {eft}i" — базис в Е.
9. Пусть Е\ и ?2 — Два линейных многообразия в линейном пространстве
Е. Докажите формулу Грассмана dim (?, П Е2) + dim (?, -f- E2) = dim ?, +
-+¦ dim ?2. Здесь dim ? — размерность Е, a Et -\- Ег — наименьшее линейное
многообразие, содержащее ?i и Е2.
10. Пусть Xi хп — точки выпуклого множества W в линейном про-
п
странстве X, а Х\, ..., Хп — неотрицательные скаляры такие, что ) X, = 1.
i\
Тогда
Х(х( s W. Докажите,
i
ii
11. Пусть М и N выпуклы. Тогда множества ХМ и М ± N (определение
см. в задаче 5) также выпуклы. Докажите.
12. Пусть ? — я-мерное вещественное пространство, а Е — комплексное
пространство, полученное из Е после комплексификации. Какова размерность
Е, если рассматривать его как вещественное пространство?
§ 2. Нормированные пространства
В предыдущем параграфе мы рассмотрели линейные про-
пространства. Следующим нашим шагом будет введение нормиро-
нормированных пространств. Понятие модуля вещественного числа,
комплексного числа или вектора позволяет ввести расстояние,
или, как принято говорить, метрику, на числовой оси, в комп-
комплексной плоскости или в пространстве векторов соответственно.
Наличие метрики, в свою очередь, позволяет рассмотреть важ-
важнейшие вопросы о сходимости последовательностей и рядов,
о предельном переходе, о непрерывности и дифференцируемосги
функций и т. п.
2.1. Определение нормированного пространства.
Определение 1. Линейное пространство Е называется
нормированным пространством, если каждому *<=? поставлено
в соответствие неотрицательное число ||х|| (норма х) так, что
выполнены следующие три аксиомы:
1) lUII^ 0; ||*||=0 в том и только в том случае, когда х = 0;
19

2) ||MI = |
3) lU + i/I N
Таким образом, норма — это определенная всюду на Е функ-
функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)—3).
Заметим, что аксиома 1) называется условием невырожденно-
невырожденности нормы, аксиома 2)— условием однородности нормы, а ак-
аксиома 3)—неравенством треугольника. В случае векторов ак-
аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не пре-
превышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие
отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или
равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее
неравенство для нормы имеет вид
IU-fMI>IIUI!-llfHII. A)
Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем
\\х\\ = \\(х - у) + у\\^\\х ~ у\\ + \\у\\,
откуда \\х—f/ll^sHUII — II«/II; меняя ролями х и у, получим
\\х-у\\>\\у\\-\\х\\.
Оба последних неравенства в совокупности дают неравен-
неравенство A).
В нормированном пространстве можно ввести расстояние
между любыми двумя его элементами по формуле
р (jf, y) = \\x — y ||.
Упражнение 1. Показать, что расстояние р(*, у) удов-
удовлетворяет следующим трем свойствам:
<*)р(х, у)^0; р(лг, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у\
Р) р (*, у) = р (у, х);
У) Р (х, у) < Р (*, г) + p (г, у).
Определение 2. Множество X называется метрическим
пространством, если каждой паре его элементов х и у постав-
поставлено в соответствие вещественное число р(х,у), удовлетворяю-
удовлетворяющее аксиомам а), р), у). Таким образом, метрические простран-
пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.
Рассмотрим в нормированном пространстве Е множество
Sr(xo) = {x е Е: \\х — -Voll< г}, где х0 е Е — фиксированная
точка, а г > 0. Множество Sr(xo) называется открытым шаром
с центром в х0, радиуса г. Аналогично, множество
называется замкнутым шаром (с центром в х0, радиуса г). Мно-
Множество
<*г (*о) = {х ^ Е: || х — *0 II = г)
называется сферой. Очевидно, Sr(xo)= Sr(x0)[) or(xo).
20
Упражнение 2. Покажите, что IUII является выпуклым
*кШ1Оналом в ? и, следовательно, согласно п. 1.7, шары
S.S" S ^ ВЫПУКЛЫ- БУДОТ ли °г{Хо) ВЫПУКЛЫМ множе"
СТВ°Лалее будет приведено много примеров нормированных про-
тпянств Пока же мы ограничимся простейшими примерами.
Пример 1. В вещественном линейном пространстве т-мер-
ных столбцов Rm введем норму
I x |L =
l/2
Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравен-
Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной
алгебры, будет доказано позже в более общем случае.
Полученное нормированное пространство в линейной алгеб-
алгебре известно как евклидово пространство и обозначается Ет.
Упражнение 3. Как выглядят Sr{x0), 5,{х0), аГ{х0) в Е'п
при т = 1, 2, 3?
Пример 2. Пространство ст. Введем в R норму
max ||; j =
|||1к
К Km
Проверим аксиомы нормы.
1) Иjc||„>0—это очевидно. Пусть |U||=0, т. е.
к
но тогда все ?,- = 0 и х = {0}™=1 = 0.
2) I k%t 1 = I Я | • | |г |, откуда вытекает однородность нормы.
3) |&, + тцКИA + |тцКтах|6,| + П1ах|т1г|,т.е. |t + Ti.i<
i i
^ IUL + IIi/11 к- Переходя в этом неравенстве слева к max no i,
получим неравенство треугольника.
Упражнение 4. Как выглядят в ст Sr{x0), Sr(xo), о, (л0)
при т= 1, 2, 3?
Замечание. Множество ||.\: — л'с!1 к -< г в Rm называют
обычно m-мерным кубом. Это оправдывает наше обозначение
lUlU — «норма кубическая>;. Множество \\х — л'0||с < г в R"! на-
называют m-мерным шаром (||.v||c — «норма сферическая»).
2.2. Предел последовательности. Рассмотрим в нормирован-
нормированном пространстве Е последовательность элементов {х„}.
Определение 1. Элемент х0 е Е называется пределом
последовательности {хп}, если IU,, — лго||—>¦ 0 при п->оо. Если л'о
есть предел {хп}, то будем писать л:0 = lim л-а или хп -*¦ х0 при
п->оо и говорить, что последовательность {л„} сходится к хс
или просто сходится. Назовем окрестностью точки .vo любой от-
открытый шар S, (а'о).
Упражнение 1. Покажите, что если х0— lirn xn, то
П-»°о
21

1) в любой окрестности точки Хо находятся все члены по-
последовательности {хп}, за исключением, быть может, их конеч-
конечного числа;
2) предел хо единствен;
3) любая подпоследовательность последовательности {хп}
сходится к хо\
4) если Хп -*¦ Ко при п-*-оо, то кпхп -*¦ кохо при п-*-оо;
5) если, кроме того, уп-*-уо, п-*~оо (уп е Е, у0^ Е), то
хп + уп -*- Хо + Уо, п -> оо.
6) Пользуясь неравенством A) п. 2.1, доказать, что если
Хп -*- X, П ->- ОО, ТО ||jCn||-»-|U||, П -> ОО.
Определение 2. Множество М cz E назовем ограничен-
ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар. Точнее, М
ограничено, если существует такое число С > О, что для всех
лёМ выполняется неравенство IUH^ С.
Упражнение 2. Докажите, что всякая сходящаяся по-
последовательность ограничена.
Пример 1. Рассмотрим пространство ст (см. пример 2
п. 2.1). Какова будет сходимость в ст?
Пусть дся = (^O-1 и xn-*-xo = (loi)?.l при л-*+°°- Тогда
\\х„ — х0||K = max\?nl — lot |->-0, «-> + °°;
значит, 5п/-»-|о<, п-»-оо, /= I, .... т. Это означает, что каж-
каждая координата вектора хп сходится к соответствующей коор-
координате вектора х0. Можно поэтому сказать, что сходимость в
ст — покоординатная.
Пример 2. Рассмотрим пространство Ет (см. пример 1
п. 2.1). Пусть *л = (У™,1-»л;о = У"_1 при гс->оо. Это озна-
означает, что при п—у оо
[ 11/2
Е<ббJ]
[m -11/2
EF»i-6i*JJ -o.
Поскольку для любого x = (?()^eRm
/л v/2
= 11* He
= max
то из A) следует, что
II xn — x0 [I
xn — x01
¦0,
Согласно предыдущему примеру это означает, что сходи-
сходимость в Ет — также покоординатная.
2.3. Неравенства Гёльдера и Минковского для сумм. В этом
пункте мы доказываем два важных вспомогательных неравен-
неравенства.
Пусть числа р>\ и q > 1 связаны соотношением 1/р
\\jq= 1. Рассмотрим на полуоси [0, + сю) функцию
Упражнение. Докажите с помощью дифференциального
исчисления, что t— 1 — единственная точка минимума функции
<р(/) на [0, + оо) и что, таким образом, справедливо неравен-
неравенство
Положим в A) i = uvp-\ u>0, t)>0, и получим следую-
следующее неравенство:
B)
+
Исходя из неравенства B), мы докажем неравенство Гёль-
Гёльдера для сумм. Для любых комплексных чисел 1\, ..., ?т-,
Гц, ..., ч\т справедливо следующее неравенство Гёльдера:
k-\
Для доказательства введем обозначения
UP
Допустим, что оба эти выражения отличны от нуля (если это
не так, то C) очевидно).
Полагая в B) и =
v =
lk
I У 11G
\Р
получим
\\х\\р-\\у\\<, II* lip
Суммируя по А от 1 до т, имеем
11*11?
N * Ир • II У \\q II л Ир и я n<j
Следовательно, справедливо неравенство Гёльдера
m
ft-1 P Ч
'3)
23

Докажем теперь неравенство Минковского
Прежде всего заметим, что
Z 16* + л* !Р = ? 16* + л* Г116* + л/, I <
ft=l fe-1
(/p
D)
fe-1
К каждой из сумм в правой части неравенства применим не-
неравенство Гёльдера:
m \l/p
l)
/ m
E
\ft = l
[/q / m
(
l/p
ибо (p — 1) <7 = p. Точно так же
m \4q / m
Z 16* + л*П (Z
Складывая два последних неравенства, получим
1/p
1'<7 Г/ m
Г/ m \
(Zi
''D
E)
Будем считать, что /_, \ |j -(- Л* 1Р > 0 (если эта сумма равна
нулю, то неравенство Минковского D) очевидно). Деля нера-
венство E) на I ) | |ь -f- ти 1Р 1 И
4*=i y
вспоминая, что 1 = —,
получаем искомое неравенство D).
2.4. Пространство l[j?\ Пусть ре[1, + оо). Превратим Rm
в нормированное пространство, которое мы будем обозначать
iPm\ вводя а нем норму по следующей формуле:
Л1р
Проверка аксиом 1) и 2) нормы здесь очевидна, и мы предо-
предоставляем ее читателю.
Аксиома треугольника представляет собою доказанное а
п. 2.3 при р > 1 неравенство Минковского.
24
Упражнение 1. Докажите неравенство треугольника
в /',"". Заметим, что при р = 2 /!,"" = ?'" (см. пример 1 п. 2.1),
т е. представляет собою евклидово пространство.
Какова сходимость в ip ? Здесь можно провести рассужде-
рассуждение по образцу примера 2 п. 2.2.
Пусть IUIL= max ||ft I — норма кубическая.
1<*<т
Упражнение 2. Докажите следующее неравенство:
Из правой части этой оценки следует, что если {^„}c
если хп ->¦ х0, п -> оо, в ст, то хя -»- дс0, и -> оо, и в /@т), ибо
Обратно, если хп-^-х0, п-^-оо, в /<т), то вследствие нера-
неравенства ||хп — х0||к< ||хп — х0||р мы имеем хп->х0, п-*оо, в ст.
Таким образом, сходящиеся последовательности в ст и /(рш>
совпадают и сходимость в t™\ как и в с, есть сходимость
покоординатная.
2.5. Пространство ограниченных числовых последователь-
последовательностей т. Рассмотрим множество последовательностей к==
= (|,)°с_1 таких, что sup 11, | <-+-оо. Это множество принято
обозначать буквой т. Если .1 = У°°=|
то по определению полагают
ш и у = (Л|)Г-1
т>
П-У
то
У"П ражнение 1. Доказать, что если х, у е т,
ж + j/ e «i и, значит, /н — линейное пространство.
Превратим т в нормироваш.ое пространство, полагая
II * II = sup 11,|.
т,
Упражнение 2. Проверьте справедливость аксиом нормы
в пространстве т. Какова сходимость в т? Пусть {x,,}cz m,
дсо е т и дсп-^-ло. Это означает, что для любого е > 0 найдется
номер Л/ = Л/(е) такой, что для любых п> N выполняется
Последнее неравенство эквивалентно условию, что \%„,—
*~?о*|< е для любых номеров Л
Таким образом, сходимость в т — покоординатная, равно-
равномерная относительно номера координаты.
26

2.6. Пространство l0, р :> 1. Рассмотрим множество 1„ всех
числовых последовательностей* = (?;)Г=1 таких> что ряд Y^lhf
сходится.
Упражнение 1. Покажите, что если х^1р, то и Хх = 1Р.
Норму в /Р введем по формуле
А1р
Упражнение 2. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы.
Докажем в 1Р неравенство треугольника. В неравенстве Мин-
ковского для конечных сумм D) п. 2.3 увеличим правую часть,
заменив т на любое п > т, и в полученном неравенстве
AlP / п \1/р / п \Чр
<-- / V I 6 iP I _i_ I V i iP I
^lZjIbAl I т I Zj I Ла I I
перейдем к пределу при п—^оо. Получим неравенство (для лю-
любых т)
D2 I 6* + Л* I") " <\\х\\р + \\у\\р.
Отсюда следует, что ряд
+
сходится, как ряд с
неотрицательными членами, частичные суммы которого огра-
ограничены (см. [18]). Следовательно, х -\- у е 1Р, и справедливо
нспавелство
1/Р
16* J
Это и есть неравенство треугольника. Итак, 1Р — нормиро-
нормированное пространство.
2.7. Пространство непрерывных функций С[а,Ь]. Рассмот-
Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на [а, Ь] функ-
функций. Норму введем так:
|| х || = max U (/)|.
la. b\
Аксиомы 1) и 2) нормы проверяются тривиально. Проверим
аксиому 3). По свойству модуля для любого t e [a, b] имеем
\х (/) -i- У @ К i * @1 + I У @ I < max \x (I) | + max | у (() |.
[а,Ь\ la.il
Следовательно, | лг(^) + y(t) \ ^Ikll+ lli/ll- Неравенство сохра-
сохранится, если взять max в левой его части. В результате получаем
[а.Ь]
неравенство треугольника для нормы в С[а, Ь\; для получен-
26
ого нормированного пространства мы сохраним прежнее обо-
обозначение.
Покажем теперь, что сходимость по норме в L\a,b\ есть
вномерная сходимость. Пусть дана последовательность
iXn(t)}c С[а, Ь\, и пусть она сходится к хо(Ое С[а, Ь\, т. с.
11^ -foil—*" 0. п~*¦ °°- Это означает следующее: для любого
е > 0 существует номер N такой, что при любых п > N спра-
справедливо неравенство
тах|хп(/)-х@1<в
[а, Ь\. Итак, сходи-
и тем более \xn(t)— xo(t) \ < е для всех
мость ио норме в С[а, Ь]— равномерная.
Посмотрим, как выглядит в С[а,Ь] (в вещественном случае)
окрестность Se(i0) = {ieC[a,i]: \\x — хо\\< е}. Для этого по-
построим графики функций х =
= xo(t)+e, x = xQ(t)—E. Эти
два графика и отрезки прямых
I = а и t = b ограничивают е-ио-
лоску (полоску ширины 2е вокруг
графика x = xo(t)), которая и
служит е-окрестностью точки ,*0
(рис. 1).
В 56(л:о) лежат те элементы
x^C[a,h], графики которых
лежат строго между графиками
элементов л о — к и *о + е.
2.8. Пространство Ck[a,b].
В линейном пространстве k раз непрерывно дифференцируемых
на [a, b] функций введем норму
Рис. 1.
где x(l)(t)— производная функции x(t).
Упражнение. Проверьте аксиомы нормы в Ск[а,Ь]. По-
Покажите, что сходимость в Ск\а,Ь] — это равномерная сходи-
сходимость на [а, Ь] последовательностей {х'-'Щ)}, i — 0, 1, ..., k.
2.9. Пространство &Р[а, ft]. Вернемся к линейному простран-
пространству непрерывных на [а,Ь] функций. Однако теперь мы вве-
введем норму иначе:
СЬ l
jU(OI"
(интегрирование понимается в смысле Римана).
Упражнение 1. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы. Ак-
Аксиома треугольника представляет собою неравенство Минков-
27

ского для интегралов:
\хA)+у @ |"
\l-rj / Ь \\1р / Ь \
A <\[\x(t)\pdt) +{\\y(t)\pdt)
A)
Доказательство неравенства Минковского при р > 1 основы-
основывается на неравенстве Гёльдера
и
\\x{t)y(t)\dt<\\x\\p-\\y\\q,
B)
где 1/р +¦ \jq = 1. Заметим сначала, что если x(t) = O на
[а, Ь] или у@=0 на [а,Ь], то неравенство B) справедливо.
Пусть lUHp > 0, \\y\\q > 0. Подставим в неравенство (см. B)
п. 2.3) \uv\ ^ up/p -f- v"/q следующие выражения и =
= |х(/) |/|U||p, у = \y(t) \/\\y\\q и, проинтегрировав получив-
получившееся неравенство, получим
ь ь ь
= 1.
lip-II» II,
р\\*К
Это и есть неравенство B).
Далее, имеем, как и в случае сумм (см. п. 2.3),
ь ь
\\x + ytfP=\\x(t)+y @ Г dt < \ \х (/) + у (t) Г1\х @ I di +
| х@ + у @
| у\\р).
После сокращения на ||л- + y\\p!q получаем неравенство Минков-
Минковского A).
Определение 1. Пусть в линейном пространстве Е вве-
введены две нормы: |]-|!i и ||-||2. Если существует постоянная |3 >¦-!
такая, что для любых х е Е выполнено неравенство
то будем говорить, что норма ||-||i подчинена норме II-II2.
Упражнение 2. Покажите, что если в линейном про-
пространстве заданы ||-||i и ||-||2, причем ||-|Ь подчинена ||-||2, то
из сходимости последовательности {хп} cz E в смысле ||-||2 вы-
вытекает ее сходимость в смысле ||-||i, причем к тому же элементу.
Определение 2. Сходимость в 9?Р\а,Ь\ называется схо-
сходимостью в среднем.
Упражнение 3. Покажите, что ||-|10 подчинена норме
II-Иск л] и что, таким образом, из равномерной сходимости по-
последовательности непрерывных на [а, 6] функций следует сходи-
28
¦мость ее в среднем на [а, Ь]. Возникает вопрос — верно ли об-
обратное: будут ли оба введенных вида сходимости эквива-
эквивалентны?
Задачи.
1. Рассмотрим множество С„ [а, Ь], а е @, 1], всех непрерывных на [а,Ь]
.функций, для которых выполняется условие Гёльдера
Ка М - sup
U.U<=\ab\
< + со.
Покажите, что Са[а, Ь] будет нормированным пространством, если в нем
«орму задать так:
11*11са[а,61 = Н*11с[а.й1 + *аМ-
2. Введем в R*1 «норму» для 0 < р < 1:
-U
Будет ли шар Sr(xa) выпуклым множеством? Какие аксиомы нормы вы-
выполняются?
3. Сходятся ли в С[0, 1] последовательности {/„— *"+'}, {tn — t2n}?
4. Сходится ли последовательность
5. Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на
Ja,ft] функций принять за норму функционалы
\
\а,Ь\
о
\х (а) | + max | х' (t) |, [\x(i)\dt + max | х' (t) |?
|а. 6] J 1а, Ь]
а
6. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемых на [а, 6] функций в качестве нормы использовать функционалы
¦ ъ
|
"-1"" ' """' Cla.ftf "- V1*" ' "л "С [a. 61 ' ||Л и^,[а. »|'
7. Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигается
знак равенства в неравенствах Гёльдера (р>1): а) для конечных сумм,
<5) для рядов, в) для интегралов.
8. Найдите необходимые и достаточные условия, при которых достигает-
достигается знак равенства в неравенствах Минковского (р > 1).
§ 3. Анализ в нормированных пространствах
3.1. Открытые и замкнутые множества. Пусть Е — нормиро-
нормированное пространство.
Определение 1. Множество М а Е называется откры-
открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит
29

некоторую ее окрестность. Иначе, М открыто, если для любого
х0 е М найдется г > О такое, что S, (л:0) с: М.
Пустое множество 0 считается открытым множеством в Е
по определению.
Упражнение 1. Д ока жите, что
1) пересечение конечного числа открытых множеств есть от-
открытое множество;
2) объединение любого числа открытых множеств есть от-
открытое множество;
3) все пространство Е — открытое множество.
Упражнение 2. Докажите, что
1) открытый шар S, {хо) является открытым множеством;
2) шаровой слой {jt:ri<||jt — jco|I -< ^2}, где г, ^ 0, г? ¦<
<; -f- оо, является открытым множеством.
Определение 2. Точка а называется предельной точкой
множества М cz E, если любая окрестность точки о содержит
хотя бы одну точку множества М, отличную от а. Иначе, а —
предельная точка М, если в любом шаре S,(a) найдется яе/И,.
х ф а.
Имеет место следующее полезное предложение.
Теорема. Для того чтобы точка а была предельной точ-
точкой множества М с Е, необходимо и достаточно, чтобы суще-
существовала некоторая последовательность {xn}czM, сходя-
сходящаяся к а, хп ф а, п = 1, 2, ...
Доказательство необходимости. Пусть а — пре-
предельная точка множества М\ возьмем г = 1 и найлем х, е
eAffl'Si(a). Затем возьмем г — 1/2 и найдем х2 е М П 5|/2(а).
Продолжая это рассуждение, найдем последовательность {x,,}cz
cz M такую, что ||дсп — а\\ < \/п, т. е. сходящуюся к а.
Доказательство достаточности. Пусть существует
{хп} cz М, сходящаяся к а. Это означает, что для любого г > О
существует номер N = N (г) такой, что хп е Sr(a) для всех п> N.
Определение 3. Множество М cz E называется замкну-
замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Пустое мно-
множество 0 всегда считается замкнутым.
Упражнение 3. Покажите, что
1) объединение конечного числа замкнутых множеств есть
замкнутое множество;
2) пересечение любого числа замкнутых множеств есть зам-
замкнутое множество;
3) все пространство Е — замкнутое множество.
Пример ]. Сфера а,(хо) = {х е Е: \\х — xoll='"} является
замкнутым множеством. Действительно, пусть а — предельная
точка о>(а'о). Значит, найдутся х„е 0,(хо) (т. е. IU,, — хо\\== г,
я = 1, 2, ...) такие, что х„ -> а при п-»-оо. По неравенству
треугольника \\а — хо\\^\\а — х„\\-{-\\хп — хо\\ = \\а — х„\\+г. г =
= \\хп — xQ\\szi\\xn — а|| + ||а — jcoII. В пределе при п->оо полу-
30
||a — Jtoll. Следовательно, а ^аг(х0), т. е.
множество пре-
преназывается замыка-
замыкачаем ||a — *oll < г, г
Ог{хо) замкнуто.
Определение 4. Пусть _М аЕ, а М'
дельных точек М. Множество М = М [} М'
нием множества М.
Пример 2. S,(xQ) есть замыкание
Упражнение 4. Покажите, что
1) М — это наименьшее замкнутое множество, содержа-
содержащее М; _ _
2) M\]N = M\]N;
3) множество М замкнуто тогда и только тогда, когда
М
Определение 5. Пусть М а Е; множество
е?: хфМ) называется дополнением к М.
Упражнение 5. Докажите, что множество М а Е являет-
является открытым тогда и только тогда, когда его дополнение Е\М
замкнуто.
Если М а Е, то все точки из Е можно отнести по отношению
к М к одному из трех типов: внутренние точки М, граничные
точки М и внешние точки М. Точка ха е М называется внут-
внутренней точкой М, если существует ее окрестность Sr{xQ)cz M.
Точка хофМ называется внешней точкой М, если существует
шар Sr(*o) (ее окрестность), не содержащий точек из М (т. е.
М Л Sr(xo)= 0). Точка Хо е Е называется граничной точкой М,
если в любом шаре S,(xQ) есть точки, принадлежащие А/, и
точки, не принадлежащие М.
Таким образом, открытым будет множество, состоящее
только из внутренних точек.
Далее, границей множества М называется множество дМ
его граничных точек. Граничная точка М может принадлежать
М, а может и не принадлежать. Потому возможно, что дМ cr M,
что дМ П М = 0 или что дМ {] М ф дМ.
3.2. Эквивалентность норм в конечномерных пространствах.
Определение. Пусть Е — линейное пространство ив/:
двумя способами введены нормы: IU||A) и ||х||B). Норг.'ы ||х||и» и
IUIIB) называются эквивалентными, если существуют числа
Л >¦ 0, р 7> 0 такие, что для любых х е Е
Упражнение 1. Покажите, что отношение эквивалентно-
эквивалентности норм обладает следующими свойствами:
1) IUII ~ IUH (рефлексивность).
2) Если ЦхЦО ~ |U||<2), то \\x\\w ~ \\x\\M (симметричность).
3) Если \\x\\w ~M\m. a ||x||W~|U||<3), то ||*||<'> ~||*||<3>
(транзитивность).
Здесь значок ~ означает эквивалентность норм. Ламетим,
что в упражнении 2 п. 2.4 устанавливается эквивалентность в
31

Rm норм
\x „= max
Vp
Очевидно, две нормы в линейном пространстве эквивалентны
тогда и только тогда, когда каждая из них подчинена другой
(см. п. 2.9).
Упражнение 2. Пусть в линейном пространстве ? заданы
две эквивалентные нормы, и пусть Е\ и ?2 — соответствующие
нормированные пространства. Докажите, что всякая последова-
последовательность, сходящаяся в одном из этих пространств, сходится
также и в другом, причем к тому же пределу. Воспользуйтесь
схемой п. 2.4.
Теорема. Во всяком конечномерном линейном простран-
пространстве все нормы эквивалентны.
Доказательство. Фиксируем в m-мерном линейномпро-
т
и пусть х= Z 6fce/t ~ разложение
; ? по этому базису. Введем в ?
странстве ? базис
произвольного элемента х<
/ m у/2
норму: IUI|C=( Z IS*M •
\k= i /
ствить с евклидовым пространством ?'".
Пусть mil — еще одна произвольная норма в ?. Прежде
этой нормой ? можно отожде-
всего, имеем оценку
II '"
iuii= X
1/2
1/2
Следовательно, ||.v|| подчинена ||дс||с. Покажем, что ||х||с так-
также подчинена ||л:||. Для этого рассмотрим функцию ||.v|| на сфере
II Ail с = 1.
Из неравенства A) п. 2.1 и полученной оценки IUH^ plUllc
имеем
Отсюда вытекает непрерывность функции lUil в ?'".
Далее, сфера |U||C = 1 является в Е'п замкнутым (пример
п. 3.1) и ограниченным множеством. Воспользуемся теперь сле-
следующей теоремой: функция, непрерывная на замкнутом огра-
ограниченном множестве в ?"', ограничена на нем и достигает на
нем своих точной верхней и нижней граней (см. [18]). Согласно
о X =IUq||= inf||x||. (
этой теореме найдется х0 такое, что
что X > 0, ибо *о Ф 0. Отсюда
Очевидно,
1*11с
откуда
Итак, ||лс|| эквивалентна IUI|C. Все нормы в ? эквивалентны
норме сферической, а значит, согласно упражнению 1 все они
эквивалентны. Теорема доказана.
32
3.3. Подпростанства нормированного пространства. Расстоя-
Расстояние от точки до подпространства.
Определение. Замкнутое линейное многообразие L в
нормированном пространстве ? называется подпространством
в ?.
Упражнение. Показать, что множество многочленов сте-
степени, не превосходящей п, есть подпространство в С[а,Ь]. По-
Показать, что множество всех многочленов не является подпро-
странством в С[а,Ь], ибо оно не замкнуто (рассмотреть после-
Ел*
-j?j- в С [0, 1]).
Определим расстояние р(х, L) от точки х до подпростран-
подпространства L следующим равенством:
р(х, L)= inf ||л:-«||. (I)
не L
Напомним читателю, что если некоторое множество ЗД веще-
вещественных чисел ограничено снизу, то существует число ао та-
такое, что
1) а0 ^ х для любых х е 3I (т. е. ао — нижняя грань 9Л);
2) для любого а' > а0 существует х' е WI такое, что х' <. а'
(т. е. а0 — наибольшая из нижних граней SW).
При этом ао называется точной нижней гранью множества
WI и обозначается
ao = inf3)? или ao= inf x.
Из сказанного следует, что p{x,L) существует, так как мно-
множество Т1 = {\\х — и\\, uel.) ограничено снизу (числом 0).
Выражение р(х, L), таким образом, означает, что
1) \\х — и\\~&? р{х, L) для любых и е L;
2) если г > р(х, L), то существует u,Et такой, что \\х —
— «г||< г.
Лемма. Если x^L, то p{x,L)—0; если же хф1, то
p(x,L)> 0.
Доказательство. Если J(Et, то, приняв и = х, видим,
что IU —«11=0, т. е. inf || х — ы || = 0. Пусть хф1. Допустим
и е L
тем не менее, что р(х, L)=0. Тогда по определению inf для
любого натурального п найдется un^L такой, что ||un — л:||<
¦< 1/п. Отсюда ип-*-х, п-^-оо. Вследствие замкнутости L также
xe^L, по по условию x<?L. Полученное противоречие доказы-
доказывает, что р(х, L) > 0.
3.4. Приближение элементами подпространства. Число
р(х, L) характеризует наилучшее приближение (наилучшую ап-
аппроксимацию) элемента х при помощи элементов подпростран-
подпространства L. Если существует элемент и* <= /. такой, что p(x,L)~
= l|.v — u* II, то и* называется наилучшим элементом приближения
2 В. Л. Треиогин 23

х элементами подпространства L. Наилучший элемент мо-
жег оказаться не единственным, а может и не существовав
вовсе. Оказывается, в одном из наиболее важных практически
случаев, когда L конечномерно, наилучший элемент всегда су-
существует.
Действительно, пусть хфЬ, тогда р(х, L) = d>Q по лемме
п. 3.3. Пусть, далее, {ek}™ — базис на L, a u=
— разло-
разложение
по базису. Введем на L вторую норму: |х|с =
/ т у/2
= I 2 I Ел Р 1 • Вследствие конечномерности L обе нормы экви-
эквивалентны, т. е. найдутся постоянные а > 0, C > 0 такие, что
11с. A)
L как линейное пространство, снабженное ||«||с, обозначим че-
через Lm (Lm — евклидово пространство).
Рассмотрим в Lm функцию ||х— и\\. Она непрерывна на Lm,
ибо для любых и', и" е L'n (см. A))
\'\х-и'\\-\\х-и"\\\^\\и'-и"\\^\\и'-и"\\с.
Покажем, что inf \\x — и\\ может достигаться только в шаре
us L
||u|le<r, где r = a-l(d+l+\\x\\).
Действительно, если ||и||с > г, то (см. A))
\\x-u\\>\\u\\-\\x\\^a\\ul~\\x\\>ar~\\x\\ = d+[
и, значит, вне шара ||ы|1с ^ г точная нижняя грань функций
fix — и|| достигаться не может. Поскольку шар ||«||с ^ г являет-
является в Lm замкнутым ограниченным множеством, а функция
||х— и\\ непрерывна, то найдется и* е L — наилучший элемент
приближения х элементами из L, на котором достигается наи-
наименьшее значение \\х — и\\. Таким образом, доказана
Теорема 1. Пусть L — конечномерное подпространство
нормированного пространства Е. Для любого х е Е существует
(возможно, не единственный) такой элемент и* е L, что
9(х, L)=||*-ul.
Приведем пример, показывающий, что наилучший элемент
может оказаться не единственным даже в конечномерном нор-
нормированном пространстве.
Пример. В пространстве /f двумерных строк х = (|[, \2)
с нормой IUII = \%{\ + ||2'| возьмем точку хо = (\,-—1) и одно-
одномерное подпространство L с базисным вектором е=A, 1), т.е.
L ={ae; a e R1}. Вычислим расстояние
р(х0, L)= inf ||хо-ае||= inf (| 1-
ieK1 as IV
= 2.
Оно достигается при любых a ef—1,4-1]- Следовательно,
меется бесконечное множество наилучших элементов и* = ае,
г j -f-1], приближающих х0 с помощью элементов L.
а упражнение 1. Покажите, что в пространстве с2 (см.
пример 2 п. 2.1) множество наилучших элементов приближения
элемента хо = Ь,0) элементами подпространства L={(O,a)';
а <= R1} имеет вид и* =@, а), где ае[Ч +1].
Возникает вопрос: когда можно гарантировать единствен-
единственность наилучшего элемента? Мы еще не раз вернемся к вопро-
вопросам теории приближения. Пока же отметим следующий резуль-
тэт.
Определение. Нормированное пространство Е будем
называть строго нормированным, если в нем равенство Их -f-
_j. у||=||х|| + ||у\\ возможно только при у = Хх, где X > 0.
Теорема 2. В строго нормированном пространстве Е для
каждого «е? и каждого подпространства L может существо-
существовать не более одного наилучшего элемента приближения х эле-
элементами L.
Доказательство. Допустим, что в некотором строго
нормированном пространстве Е найдутся элемент х, подпро-
подпространство L и элементы и], u^L такие, что
Пусть d > 0 (если d — О, то и\ = и'2 по 1-й аксиоме нормы).
Имеем:
X —
2 II || 2
Следовательно, fix—
— d. Но тогда
По строгой нормированное™ Е существует Я > 0 такое,
что х — а* = Я(х — и]). Если Кф\, то отсюда х = A — ),)"'Х
Х
^ ^и]) е ^. что невозможно, ибо d>0 (см. лемму п. 3.3).
Следовательно, Х=\, но тогда «* = «*, и теорема доказана.
Упражнение 2. Докажите, что С[а,Ь] не является строго
нормированным. Рассмотрите функции x(t) = (t — a) {b — t),
(b — aJ
f — a
3.5. Лемма Рисса. Начнем со следующего геометрического
рассуждения. Пусть в трехмерном евклидовом пространстве
Дана плоскость L, проходящая через начало координат О, и
пусть дан вектор z единичной длины, перпендикулярный L, с
34
35

началом в О. Тогда для любого вектора и, лежащего в L, имеем
\и — г|>|г|=1, ибо длина перпендикуляра г меньше длины
любой наклонной и — z (рис. 2). Такая же ситуация будег
иметь место в так называемых гильбертовых пространствах, где
определено понятие перпендикуляр-
ности (ортогональности). В произ-
произвольном нормированном простран-
пространстве понятия ортогональности пет,
но здесь справедливо все же не-
несколько более слабое утверждение
о существовании «почти перпенди-
перпендикуляра», составляющее следующую
важную в приложениях лемму.
Лемма Р и с с а. Пусть L —
Рис- 2- подпространство в нормированном
пространстве Е, причем L ф Е.Для
любого ёе@,1) существует элемент ге ф L, ||ге||= 1 такой,
что p(ze, L) > 1 — е.
Доказательство. Пусть хфЬ. Такое х существует,так
как L ф Е. Положим infЦдс — u\\ = d. При этом, согласно лем-
us=L
ме п. 3.3, d > 0. Воспользуемся определением inf. Возьмем про-
извольное ее@, 1) и найдем ие e L такой, что
Теперь рассмотрим элемент
И«г-.
1.
Заметим, что ге— искомый элемент. Действительно, ге ф L
(иначе ме — х е L, откуда х е L, а это не так).
Далее, расстояние от ге до L оценивается так:
ие — х
-и =
\к — (ие — и\\не — у ||]
d(l-e)
II «е -
L, a
d для ugL. Лемма дока*
ибо не — и||«е — a
зана.
3.6. Линейные многообразия, плотные в нормированном про-
пространстве. Введем следующее понятие, играющее важную роль
в теории приближений.
Определение. Линейное многообразие L, лежащее в
нормированном пространстве Е {L с?), называется плотным
в Е, если для любого х^Е и любого е >¦ 0 найдется элемент
keL такой, что \\х — и\\< е.
86
Пусть L плотно в Е и х е Е. Выбирая е=1, е = —, ...
е = —, .. ., найдем иЛ es L, u2 e L, .. ., ип eL, ... такие,
чт0 ||i — ип\\ < —, п— 1, 2, . .. Таким образом, если L плотно
в Е, то для любого хе? существует {un}cz L такая, что
1
х,
Вспоминая определение операции замыкания (см. п. j.1),
мы видим, что утверждение «L плотно в ?», L c= E, L ф Е, оз-
означает: L = E — замыкание линейного многообразия L совпа-
совпадает с Е.
Известные теоремы Вейерштрасса (см. [18]) доставляют со-
содержательные примеры линейных многообразий, плотных а
нормированных пространствах. Согласно первой теореме линей-
яое многообразие всех тригонометрических многочленов ~ +
-f- > Ak cos kx + Bk cos /гх плотно в нормированном пространстве
непрерывных на [—л, я] функций, удовлетворяющих гранич-
граничному условию х(—я) = л;(л), с нормой || л: || = max 1 л: (/) |.
[-я, п|
Согласно второй теореме Вейерштрасса линейное многооб-
п
разие всех полиномов /1 &4к плотно в С [а, Ь].
3.7. Средние и срезывающие функции и их некоторые прило-
приложения. На (—оо, +оо) рассмотрим функцию
, !_
С
О при \t\^l,
где с= \ е '-*' ds.
-i
Упражнение 1. Докажите, что со@ бесконечно диффе-
дифференцируема на (—оо, + оо).
Кроме того, очевидно, что со@ четная, неотрицательная и
оо
Введем теперь функцию a>fl(t) = -т-и f-f-J . которую далее бу-
будем называть ядром усреднения (радиуса h > 0); cs)h(t) также
четная, неотрицательная, бесконечно дифференцируемая на
(—оо. + оо), \ со/, (/) dt =- 1. Кроме того, (uft(/) = 0,
если

Определим для каждой непрерывной на [а, Ь] функции x(t)
среднюю функцию хи(() следующим образом (рис. 3):
ь
xh(t)=\j(oh(t —
/€=(—оо,+00).
Упражнение 2. Пользуясь свойствами ядра усреднения
(/) и теоремой о дифференцировании интеграла по парамет-
параметру (см. [18]), докажите, что средние функции Xn(t) обладают
следующими свойствами:
1) *„(*)= 0 вне [a — h,b + h]\
2) xh(t) бесконечно дифференцируемы на (— оо.'+оо).
x-ah (t-s)
0 at-h t t+h b s Ha a+S 6-t b t
Рис. З. Рис. 4.
Введем теперь срезывающую функцию ?4@ (рис. 4):
= \ <u\^
Упражнение 3. Срезывающая функция ?а'@ обладает
следующими свойствами:
1) ?4@ = 0вне [a,b]t/i;
2) Ев (/)=1 на [а,Ь]6;
3) 0<5в<1;
4) t,i(t) бесконечно дифференцируема на (—оо, +оо).
(Мы воспользовались обозначением [а + 6, Ь — б] = [а,Ь]й.)
Определение. Функция x(t), определенная на [a, ft], на-
зывается финитной, если найдется [а', />'], a<a', b'<Cb, вне
которого *@=0. (Функция финитна на (—оо, +оо), если она
равна нулю вне некоторого отрезка).
Срезывающая функция ?а@> где 6<———, дает возмож-
возможность срезать любую функцию x(t), заданную на fa, fe]: функ-
функция ,v@?e(O является финитной.
Аппарат средних и срезывающих функций находит многие
применения в функциональном анализе и в теории дифферен»
38
щиальных уравнений с частными производными (см. [32] и
[23])- Приведем здесь два предложения о плотных линейных
многообразиях.
Теорема 1. Линейное многообразие непрерывных и фи-
финитных на [а, Ь] функций плотно в 3?Р[а, Ь].
Доказательство. Пусть б<—^—• Имеем для любой
непрерывной на [а, Ь] функции x(t)
Но 1— ?в@— 0 на
отрезка, поэтому
+ 6,Ь~ 6\ и 1— !а@<1 вне этого
а+6 Ь
\ \x{t)\"dt+
где М = |
(а &]. Следовательно, \\х — х • ?в||5 la ft| <M л/26 .
* ^ 1 ( е \Р
Если теперь возьмем произвольное е > 0, то при о < -^ \~м')
-финитная функция xt,6 будет отличаться от х по норме меньше
чем на е. Теорема доказана.
Теорема 2. В нормированном пространстве финитных и
непрерывных на [а, Ь] функций с нормой \\х\\с[а, ь] плотно ли-
линейное многообразие финитных, бесконечно дифференцируемых
на [a, b] функций.
Доказательство. Пусть x(t) непрерывна на [a, b\ и
¦финитна, т. е. л:@ = 0 вне некоторого [а',Ь'], где а < а' <
-< Ь' < Ь. Пусть h > 0 и h < min(a' — a, b — b ). Рассмотрим
¦среднюю функцию xn(t) для x{t). Согласно упражнению 2 функ-
функция Xh{t) бесконечно дифференцируема и вне [a, b] Xh{t)^O.
Далее, поскольку шй(|< — s|)=0 при |f — s|^/i, а
ь
\<uh{\t — s|)ds=l, то имеем следующую оценку
\x{t)-xh(t)\ =
a>h(\t
<ah(\t-s\)ds-x(t)
s\)x(s)ds~
< max \x(s) — x{t)\- ^ ®k(\t—s\)ds= max \x(s)—x(t)\.
Вследствие равномерной непрерывности функции x(t) на [a, ft]
(см. [18]) ||*@—*л@Ис[а, »1->0 при Л->0. Таким образом,
теорема 2 доказана.
3.8. Изометричные нормированные пространства.
Определение. Два нормированных пространства Е и Е
называются линейно изометричными, если существует функция
* = Цх), осуществляющая изоморфизм Е п Е как линейных
39

пространств и такая, что
I = 11* II-
С точки зрения своих алгебраических и метрических свойств
изометричные пространства Е и Е ничем не отличаются и по-
поэтому обычно отождествляются. Приведем пример. Пусть Е —
m-мерное нормированное пространство. Фиксируем в Е базис
т
{ek}™, и пусть х= Zj \kek—разложение х по базису. Рассмотрим
Е—нормированное пространство столбцов * = (Ia)'i" с нормой
Zh
. Нетрудно показать, что соответствие /(.*) =
= х есть изометрия Е на Е.
Задачи.
1. Замыкание выпуклого множества есть выпуклое множество. Докажите.
2. Замыкание М множества М является пересечением всех замкнутых
множеств, содержащих М. Докажите.
3. Покажите, что в линейном пространстве функций, непрерывно диффе»
ротируемых на [a, ft], нормы
\а, ь\
эквивалентны.
4. Покажите, что в линейном пространстве функций, дважды непрерывно
дифференцируемых на [a, ft], нормы ||л||СЧа 4), I х (а) | + | х' (а) | + \\х" ||с [а й|
| дс (О |я d* 1 + \\х" ||С [в1 Ь1 эквива-
лентны.
5. Покажите, что в линейном пространстве непрерывных на [а, Ь] функ-
функции норма
, и\
эквивалентна норме \\х
\ v (t) x'(t) dt\ ,
где
d(() ^ а > 0 на [a, ft] и функция и (t) непрерывна на [a, ft].
6. Докажите замкнутость произвольного конечномерного линейного много-
многообразия нормированною пространства (иначе, всякое конечномерное линейное
многообразие является подпространством).
7. Будет ли в С [а, Ь] подпространством линейное многообразие непрерыв-
непрерывно дифференцируемых iu [a, ft] функций?
8. Покажите, что пространства 1^™\ lp n 3?p [a, ft] при р > 1 строго
нормированы (см. задачи 7 и 8 к § 2).
9. Покажите, что пространства /['"', /j и S\ \a, ft] не являются строго
нормированными.
10. Для ядра усреднения <ол(/) справедливы оценки i—
dtk
"
где С
жите.
Л dt
некоторые постоянные, не зависящие от , /г = 0. 1,2, ... Дока-
Дока11. Если x(t) е С* [a, ft], то средние функции xh(l) -*¦ x(t) при Л-»-0 в
С* [а', 6'], где (а', Ь') с (а, 6), a k = 0, 1, 2, ... Докажите.
40
§ 4. Пространства со скалярным произведением
При изучении аналитической геометрии и линейной алгебры
вводятся важные понятия скалярного произведения векторов и.
соответственно, элементов линейного пространства. Эти поня-
понятия позволяют развить многие практически важные вопросы
евклидовой трехмерной и /г-мерной геометрии. Центральное ме-
место занимает здесь понятие ортогональности, отсутствующее,
между прочим, в нормированном пространстве. Это понятие
позволяет ввести в рассмотрение ортогональные' системы эле-
элементов— прямое обобщение понятия ортонормированного ба-
базиса в евклидовом пространстве.
4.1. Евклидовы пространства.
Определение. Вещественное линейное пространство Е
называется евклидовым, если каждой паре его элементов х и у
поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое
(х, у) и называемое скалярный произведением, так что выпол-
выполнены следующие аксиомы:
1) (х,х)^0, (х, х)=0 в том и только в том случае, когда
а = 0;
2) (х,у) = (у,х);
3) (Хх,у) = Цх,у);
4) (х + у,г) = (х,г) + (у,г).
Понятие скалярного произведения естественным образом
обобщает понятие скалярного произведения векторов. Всякое
евклидово пространство можно превратить в нормированное
пространство, определив в нем норму по формуле
A)
Упражнение. Проверить аксиомы 1) и 2) нормы, опре-
определяемой по формуле A).
Для проверки аксиомы треугольника — 3-й аксиомы нормы—¦
мы воспользуемся следующим неравенством:
известным как неравенство Кошп — Буняковского, которое по-
получается из следующих элементарных соображений: согласно
первому свойству скалярного произведения для любого веще-
вещественного X имеем
(х — Ху,х — Ху) > 0.
Раскрывая левую часть последнего неравенства, по свой-
свойствам скалярного произведения 2), 3) и 4) получим
41

Квадратный трехчлен неотрицателен при любых X. Отсюда
следует, что рго дискриминант неположителен:
Это неравенство равносильно B).
Докажем теперь аксиому треугольника. Имеем
2 (*, у) + (у, «/XII х |р
I «/II+ 11 у II2 = A1*11 +II у IIJ.
Извлекая корень, получим неравенство треугольника.
4.2. Унитарные пространства.
Определение. Комплексное линейное пространство U на-
называется унитарным, если каждой паре его элементов х и у
поставлено в соответствие комплексное число (х, у) — скаляр-
скалярное произведение х на у — и если при этом выполняются сле-
следующие условия:
1) (х,х)^0, (х, х) = О при и=0 и только в этом случае;
2) (х, у) = (у, х) (черта означает комплексное сопряжение);
3) (Хх,у)=Х(х,у);
4) (x + y,z) = (x,z) + (y,z).
Приведем два элементарных следствия, опирающиеся па
аксиомы 1)—4) и свойства комплексных чисел.
Следствие \. В унитарном пространстве
(х, Ху) = X (х, у).
Действительно,
(дг, Ху) = (Ху, х) = Х (у, х) = X (у, х) = л (л\ //>.
Следствие 2. (х, у + z) = (x, y) + (x, z).
Действительно,
(х, y-\-z) = (y + z, х) = (у, х) + (z, x)=(y, x)+(z, x)=(x, y)+(x, z).
В унитарном пространстве можно ввести норму, как и в евк-
евклидовом: || х || = л/(х, х). Аксиомы 1) и 2) нормы, очевидно,
выполнены. Аксиома 3) вытекает из неравенства Кошн — Буня-
ковского:
I (*, У)\< II х II || у ||.
Для доказательства этого неравенства снова рассмотрим не-
неравенство с произвольным комплексным параметром X:
(х + Ху,х + Ху)>0.
Раскрывая его левую часть, получим неравенство
(х, х) + Х (х, у) + Х(у,х) + \Х Р (у, у) > 0.
Пусть уфО (при у = 0 неравенство Коши — Буняковского-
выполняется). Положим X — —{х,у)/{у,у)\ тогда ~Х = — (у,
¦42
х)/(у.у)< и мы получим
К* у)\2
[х, х) —
(У. У)
И*.
(У. У)
¦ +
\(х,у)\
(У. У)
¦>0.
т е. доказываемое неравенство.
4.3. Ортогональность элементов. Ортогональные и ортонор-
мированные системы. Пусть Е — пространство со скалярным
произведением. Если (*, у) — 0, то элементы х а у будем нйзы«
вать ортогональными и писать х 1 у. Очевидно, нуль простран-
пространства Е ортогонален любому элементу. Рассмотрим в Е элемен-
элементы Хъ xi, ..., Хщ, все не равные 0. Если (хк, xt)= 0 при любых ft,
I = \t 2 m; k ф I, то система элементов хи х2, ..., хт назы-
называется ортогональной системой.
Теорема. Пусть х\, х2 хт — ортогональная система;
тогда х\, х2 хт линейно независимы.
Доказательство. Пусть существуют скаляры Xi, X% ...
,.., Хт такие, что
Я-1*1 + Х2х2 + . .. + Хтхт = 0.
Умножив это равенство на Хк скалярно, получим Я,%(дс*, Xk) = 0,
яо (хк, xk)=\\Xk\\2 > 0. Значит, Хк — 0. Это верно для любого
k=l, 2, ..., т. Значит, все Xk = 0, т. е. элементы х\, х2, ...
-.. ,хт линейно независимы.
Если дана система элементов хь х2, ..., хт такая, что
{xk, xl) = 6kh k, / = 1,2, .... т,
6kt=l при k = /, fife/ = 0 при
(здесь б*.; — символ Кронекера), то система элементов х\, ..., хт
называется ортонормированной.
4.4. Примеры пространств со скалярным произведением.
Пример 1. Евклидово пространство Е. Введем в веще-
вещественном линейном пространстве Ет скалярное произведение
по формуле
т
(X, У) = Ц tMk-
ft = l
Упражнение 1. Проверьте аксиомы скалярного произве-
дения.
Соответствующая норма имеет вид
/¦?—
|| г || у\ У J2
Неравенство Коши — Буняковского выглядит так:
=5 V ^^>
43

и представляет собою в этом виде частный случай неравенства
Минковского.
Ортогональность элементов дс = (Ы'*-1 п ^===('Па)Г=1 имеет
вид
= 0.
Пример 2. Пространство /2.
В линейном пространстве вещественных последовательно*
стей х = AЛ°°, г/ = (ЛЙ)Т° таких, что Z 1^ < +
введем скалярное произведение по формуле
со
{х, у) = Е ?*Па-
* < +
оо
Упражнение 2. Докажите, что ряд Y, Ik^k сходится и
что выполнены аксиомы скалярного произведения.
Упражнение 3. Напишите в /2 неравенство Коши — Бу-
няковского. Как выглядит в /2 условие ортогональности элемен-
элементов * и у?
Пример 3. Пространство ??2 [а, Ь].
В линейном пространстве комплекснозначных, непрерывных,
на [а,Ь] функций скалярное произведение зададим так:
Упражнение 4. Проверьте аксиомы нормы, запишите не-
неравенство Коши — Буняковского, выпишите условие ортогональ-
ортогональности элементов.
4.5. Пространство кусочно непрерывных функций Q[a,b].
Рассмотрим линейное пространство комплекснозначных функ-
функции, непрерывных на [а, &], за исключением конечного числа
точек разрыва 1-го рода (для каждой функции могут быть свои
точки разрыва). Введем скалярное произведение обычным спо-
способом:
(x,y)=\x(t)J{l)dt.
Упражнение. Проверить аксиомы 2)—4) скалярного про-
произведения.
Трудности возникают с аксиомой 1). Если функция x(t)= 0,
эа исключением конечного числа точек, то (х, х) = 0, хотя x(t)^
Ф 0. Для того чтобы выйти из этого противоречия и удовлет-
удовлетворить аксиоме 1), условимся считать две функции равными,
44
если они отличаются друг от друга не более чем в конечном
числе точек. Полученное пространство со скалярным произведе-
произведением обозначается Q[a,b]. Его элементами являются не от-
отдельные функции, а классы функций. Две функции попадают
в один класс, если они равны на [а, Ь], за исключением конеч-
конечного числа точек.
4.6. Процесс ортогонализации Шмидта. Будем рассматривать
системы, состоящие из бесконечного числа элементов простран-
пространства Е (со скалярным произведением),— {-"jJkLi или, короче,
{л*}. Систему {xi,} будем называть линейно независимой, если
при любом п = 1,2, ... система х\,х?, ..., хп линейно незави-
независима.
Систему {ей} будем называть ортогональной, если все еК -J= 0
и (eft)g() = o, если k ф I. Систему {/*} будем называть ортон-jp-
мированной, если (fk, ft) = fifti; k, 1 = 1,2, ...
Оказывается, по любой линейно независимой системе {xk}
можно построить ортогональную систему {е*}, а также орто-
нормированную систему {fk} с помощью следующего процесса
ортогонализации Шмидта.
Положим в\ = Х\ и заметим, что в\ ф 0, так как система из
одного элемента х\ линейно независима, как часть {хк}. Далее,
в2 ищем в виде ei = х2 — X2i?i, где скаляр %2\ подберем так,
чтобы было в2 А-в\. Отсюда 0 = (л2 — Х2\е\,е\), т. е. Хц =
= (*2, ei)/(e\, ву). Итак, е2 найдено, причем е2 ф 0 (проверьте!).
Далее рассуждаем согласно методу полной математической
индукции. Пусть е\, ... , efc_, уже построены; ек ищем в виде
ek = xk ~
Zi
Скаляры Хн найдем из требования еь JL е,; /=1,2, ..., k—\.
Отсюда Xki=(xk,e{)l(ei,ei). При этом е* ф 0. Итак, ортого-
ортогональная система {ек} построена. Полагая /* = е*/ИЫ|, полу-
получаем ортонормированную систему {/*).
Упражнение 1. Показать, что тригонометрическая си-
система 1, cos;, sin^, ..., cos nt, sin nt, ...ортогональна в
Q[—я,л]. Какой будет соответствующая ортонормнрованная
система?
Рассмотрим теперь процесс ортогонализации в одном кон-
конкретном случае. В пространстве SBi\—\, 1] рассмотрим систему
элементов {xk}^0, где xk(t)= lk, т. е. систему 1, /, t2, ..., tn, ...
В результате процесса ее ортогонализацпи приходим к ортого-
ортогональной системе {Ы0)Г-1"
Упражнение 2. Покажите, что
/о @ = 1,

Многочлены /«¦(/). k = 1, 2, ..., были введены в математи-
математическую практику Лежандром. Обычно используется ортогональ-
ортогональная система из функций
=-гЛ[('2- 1)*].
2kk\ dtk
k=\,2, ....
которые называются многочленами Лежандра. Многочлен
отличается от многочлена /*(/) лишь числовым множителем.
Многочлены Лежандра возникают в ряде задач математической
физики. Подробнее о многочленах Лежандра смотрите в [18] и
[35].
Заметим в заключение, что процесс ортогонализации при его
реализации на ЭВМ обычно оказывается численно неустойчи-
неустойчивым. В частности, так обстоит дело с ортогонализацией системы
{tk) по общему алгоритму. Это обстоятельство существенно ог-
ограничивает возможности практического применения метода ор-
тогоналнзации (см. [1]).
4.7. Два свойства скалярного произведения. 1°. Непре-
Непрерывность скалярного произведения. Пусть хп -*¦ к,
а Уп~*~У пРи п-+оо; тогда (хп, уп)->-(х, у) при п->оо.
Доказательство. (х„, уп) — (х, у) = (хп — х, уп) + (х, iJn —
— у). По неравенству Коши — Буняковского имеем
I (хп, уп) — (х, у) |< I (хп — х,уп)\ + \ (х, уп — у)\<
+ \\x\\\\yn-y\\-*Q при я->сю,
так как {11*/я||} ограничена (почему?).
2°. Равенство параллелограмма. Во всяком про-
странстве со скалярным произведением справедливо следующее
равенство, которое можно трактовать как известное в геометрии
{сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов всех его сторон):
У\
- у\\2 = 2(\\xf + \\у\\2).
Действительно,
II х + у 1? + II х - у II2 = (х + у, х + у) + (х - у, х - у) =
= [х, а) + (х, у) + {у, х) + {у, у) + (х, х) — {х, у) — {у, х) + (у, у) =
Заметим, что в нормированных пространствах равенство па-
параллелограмма, вообще говоря, не имеет места.
Задачи.
1. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два вектор»
х п у .юж.1Г на одной прямой (т. е. линейно зависимы) тогда и только тогда,
когда
2. Доказать, что в пространстве со скалярным произпрденгсм два врк-
тор^ х и у лежат на одном луче (пли х = 0, или у — Хх при некотором
X ^ 0) тогда и только тогда, когда
11*11 +II </11 = 11*+ i/II-
3. Доказать, что в евклидовом пространстве два вектора х и у ортого-
ортогональны тогда н только тогда, когда
4. Доказать, что в унитарном пространстве два вектора х и у ортого-
ортогональны тогда и только тогда, когда
для любых комплексных чисел X и ц.
5. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением имеет ме-
место тождество Аполлония
1
2 |J2 -
у
6. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых
четырех векторов справедливо неравенство Птолемея
|| х - г || || у - t |К || х - у || || г - 11| + || (/ - z || || х - 11|.
Когда реализуется равенство?
7. В линейном пространстве непрерывных на (—оо,-foo) функций x(t)
таких, что интеграл
\x(t)\2e-pdt
сходится, введем скалярное произведение (интеграл понимаем как несобст-
несобственный)
(*. У) =
@ у @ е-'' dt.
Доказать, что выполнены аксиомы скалярного произведения.
8. В пространстве со скалярным произведением задачи 7 рассмотрим
систему 1, i, t2, ... В результате ее ортогонализации по Шмидту получается
ортонормированная система многочленов Чебышева — Эрмита. Вычислить три
ее первых многочлена.
9. В линейном пространстве непрерывных на [0, +°о) функций xlt) та-
таких, что интеграл
[ |*(П|2е-'<И
сходится, скалярное произведение введем так:
(х, у)= jj x(t)y(t)e-'dt.
о
Проверить аксиомы скалярного произведения.
10. В пространстве со скалярным произведением задачи 9 процесс орто-
онализации системы 1, /, Р, ... приводит к системе многочленов Чебышева —
<"ерра. Вычислить три первых многочлена этой системы
46
47

§ 5. Банаховы пространства
Представление о числовой оси как о множестве полном (на
iie.i пет «дыр», она вся заполнена вещественными числами) вы-
выражается в математическом анализе удобнее всего с помощью
известного критерия Коши, дающего необходимое и достаточное
условие существования предела последовательности. Эти же
идея и методика лежат в основе понятия полноты нормирован-
нормированного пространства. В результате глубже удается изучить во-
вопросы анализа в нормированных пространствах. Например,
лишь в полном пространстве могут быть, по существу, решены
вопросы о сходимости рядов (см. п. 5.G).
5.1. Фундаментальные последовательности. Начнем со сле-
следующего важного определения. Пусть X — нормированное про-
пространство.
Определение. Последовательность {х„}аХ называется
фундаментальной, если для любого е > 0 существует номер
A' = jV(e) такой, что для любых номеров п > N и любых на-
натуральных р выполняется неравенство \\х„+р— л'„||<е.
Замечание. Пусть дана {i,)cl, и пусть существует
число k > О, так что для любого е > 0 можно найти номер
Л' = Л'(е), обладающий тем свойством, что для всех номеров
п > Л7 и всех натуральных р выполняется неравенство ||л'я+р —
— л-„||< ke; тогда {ж,,} фундаментальна.
Для доказательства заметим, что для всех п > N(e/lt) и
для всех р (натуральных) ||а"п+р — хя||<е, т. е. {х„} фундамен-
фундаментальна.
Упражнение 1. Всякая фундаментальная последователь-
последовательность ограничена. Докажите.
Упражнение 2. Пусть {хп} фундаментальна, тогда и
{лл'п} фундаментальна.
Упражнение 3. Пусть {л,,} и {уп} фундаментальны в X,
тогда {хп-\-Цп} фундаментальна.
Упражнение 4. Докажите, что если подпоследователь-
подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится к х, то и
сама последовательность сходится к л\
Л е м м а. Всякая сходящаяся в X последовательность яв-
является фундаментальной.
Доказательство. Пусть х„ -> х0 при п-*-оо. Это озна-
означает, что для любого е>0 найдется номер N = N(е) такой,
что для всех номеров п> N выполняется неравенство \\хп —
— а-0|К f. Поскольку n-\-p>N, то при n~>N имеем также
\\хп+р — л'о1!< е. По неравенству треугольника
|< || хп+р — л-0 II + || х0 — хп |
т. е. {л„} фундаментальна. Лемма доказана.
4»
2е,
Верно ли обратное? Всякая ли фундаментальная последова-
последовательность сходится? Ниже мы увидим, что не всегда. Тем не
менее очень важным является случай, когда это так.
5.2. Определение банахова пространства.
Определение. Нормированное пространство называется
полным, если в нем всякая фундаментальная последователь-
последовательность сходится. Полное нормированное пространство называет-
называется банаховым пространством.
Приведем некоторые примеры банаховых пространств.
1°. Пространство Е банахово. Действительно, на веществен-
вещественной числовой оси имеет место критерий Кошн: для того чтобы
последовательность {хп}сЕ была сходящейся, необходимо и
достаточно, чтобы она была фундаментальной (см. [18]). Спра-
Справедливость критерия Коши в Е означает, что вся веществен-
вещественная ось Е заполнена точками —вещественными числами, на ней
нет «дыр», т. е. что она полна.
Если бы мы ограничились только рациональными числами,
это было бы не так. Например, последовательность десятичных
приближений к V2 с недостатком: х\ = 1, х2 = 1,4; х3 =
= 1,41, ... — фундаментальная, очнако в множестве рацио-
рациональных чисел она не является сходящейся (предел у нее есть
и равен л/2 , но это число иррациональное).
2°. Пространство Em (m > 1) также банахово, так как в Ет
тоже справедлив критерий Коши.
3°. Пространство С[а,Ь] является банаховым простран-
пространством. Пусть {xn{t)}cz C[a, b]. Справедлив следующий крите-
критерий Коши равномерной сходимости последовательности функ-
функций: для того чтобы {xn(t)} сходилась в С[а,Ь], т. е. равно-
равномерно на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальна в С[а,Ь\, т. е. чтобы для любого е > 0 суще-
существовал номер N — N(е) такой, что при всех номерах n>N
и любых натуральных р имело место неравенство \\х„+р —
— х„\\с[а, ь]< г, или, иначе, \xn+p{t) — xn(t) I < е для всех / <=
е[а,Ь] (см. [18]).
Полнота С[а,Ь] отчетливо проступает также в следующей
теореме: если последовательность непрерывных на [а,Ь] функ-
функций {xn(t)} сходится равномерно на \а,Ь] к некоторой функ-
функции x(t), то x(t) непрерывна на \а,Ь] (см. [18]).
5.3. Пример неполного нормированного пространства. Пока-
Покажем, что пространство &i\—1,-f-l] не является полным.
Рассмотрим последовательность непрерывных на [—1,-fl]
функций {xn(t)}, которая задается следующим образом:
Г -1 при /е[_1, _!/„],
Хп (О = \ Ш При / €= [— I/ft, 1/и],
1+1 при /е=[1/п, 1].
Полезно изобразить xn(t) графически (рис. 5).
49

Из графика видно, что |.t,,(/)|sS 1 для любых п, но тогда
^A) — х„{1) | ==? 2 и, следовательно,
I •* П 4 Л ^ tl I
l/n
ll лл4 р
dt = — ->0 при n->oo.
-l/n -l/n
Итак, {а"п@} фундаментальна в смысле сходимости в
среднем.
Заметим теперь, что в каждой точке <е[—1,+1]при п -> оо
последовательность л„(г) имеет предел:
{—1 при / 6= [ — 1, 0),
0 при / = 0,
+ 1 при /е@, -И].
При этом |х(t)\*?L\ и \xn(t)— x(t) | ^ 2. Но тогда, как и
выше,
+ 7-
+/
Итак, при n->-oo xn(t)-+x(t) в среднем на [—1,+1], при-
причем x(t) разрывная на [—1,+1] функция, т. е. х(()ф S?i\ — 1,
+ 1], так как это нормированное про-
пространство состоит из функции, непре-
непрерывных на [—1,1]. Может ли все же
{xn(t)} сходиться в среднем к некото-
некоторой непрерывной функции? Ответ
здесь отрицательный. Действительно,
наши рассуждения с {xn(t)} мы могли
проводить в пространстве Q\ — 1,
+ 1] (см. и. 4.5). Очевидно, этому
пространству принадлежат и все
xn(t) и x(t). В силу единственности
предела {*„(/)} сходится в Q[—1.1]
только к классу, содержащему хA).
Изменение x(t) в конечном числе то-
точек не может привести к непрерывной
на [—!,+»] функции, и, таким обра-
образом, {xn(t)} не может сходкгься и в &'%[—1, 1], как части
Q[— 1,-И}, к непрерывной функции. Таким образом, {xn{t)}
не сходится в S?i[—1,+1], и потому это пространство не яв-
является полным. Разумеется, небольшое изменение нашего при-
примера позволит доказать, что все пространства 3?р[а,Ь], р ^ 1,
не являются банаховыми.
Рис. 5.
50
Задача. Покажите, что &в[а, Ь], р~^\, не является пол-
полным.
5.4. Банахово пространство C(G) и нормированное простран-
пространство LP(G). Пусть G — ограниченная область в ?'", т. е. ограни-
ограниченное, открытое, связное множество. Напомним, что множе-
множество G с= Ет называется связиым, если любые две его точки
можно соединить непрерывной кривой I cz G, т. е. если для
любых точек а'о, a'i e G найдется непрерывная на [0,1] функ-
функция x{t) со значениями в G такая, что х@) = х0, х(\)= Xi
(см. [18]).
Рассмотрим замкнутую область G — замыкание области С/.
Ниже будут введены два пространства функций т переменных,
непрерывных _на G.
Пусть C(G) — линейное пространство всех непрерывных на
й функций и(х), х е G, с числовыми значениями и с нормой
1 и L „71 = mai I u M I-
хеО
:(О
C(G) является нормированным пространством, естественным
обобщением пространства С[а,Ь]. Пространство непрерывных
функций C(G) является банаховым пространством вследствие
справедливости на G критерия Кошн равномерной сходимости.
Теперь введем нормированное пространство S?P{G), p^\.
Предположим дополнительно, что область G кубирусма, т. е.
определен m-кратный интеграл Римана по G. В линейном про-
пространстве функций, непрерывных на G, введем норму так:
Упражнение. Проверьте аксиомы нормы. Воспользуй-
Воспользуйтесь обобщением неравенства Минковского для кратных интег-
интегралов.
^ Полученное нормированное пространство обозначается
S'fi(G). Оно не является полным (см._п. 5.3).
5.5. Банаховы пространства С (G),!i^l. Мы рассмотрим
теперь пространства дифференцируемых функций. Пусть х =
(хихь .... х,„)е?. Воспользуемся для краткости следую-
следующими обозначениями. Набор индексов as 5s 0, s = 1, 2, ..., т,
а = (аь а2 ат) называется мультниндексом. Число |ос] =='
== ai + a2 -f ... + am называется длиной мультшшдекса. Для
обозначения частных производных примем
дх.
Da =
Пусть G —ограниченная область в Ет, a G — замкнутая об-
область, полученная замыканием G. Будем говорить, что функция
51

и(х), определенная и непрерывная на G, k раз непрерывно диф-
дифференцируема в G, если для всех а таких, что |«|^ k:
1) Dau существует и непрерывна во всех точках G;
2) Dau имеет предельные значения при стремлении х к гра-
границе dG области G (по точкам G);
3) доопределим Dau на dG, приняв в кг.честве значений Dau
на dG ее предельные значения; мы получим функцию Dau, не-
непрерывную на G.
Рассмотрим теперь Ck(G)—нормированное пространство
функций, имеющих на G все непрерывные частные производные
до порядка k включительно (k ^3= 1). Норму в C*(G) вводим по
формуле
И U*,7r, =
или, подробнее,
max\D'1u(x)
Пример. Пусть SrctiE2 — круг х2 -\- у2 =sC R2. Простран-
Пространство C](Sr) состоит из непрерывно дифференцируемых в S%
функций и(х, у) с нормой
и и i / \ i i \ ди (х, и) , I ди (х, и
||и 11= max \u(x,y)\+ max —к~^- + max —^
Можно показать, что все пространства Ck(G) являются пол-
полными и, значит, банаховыми.
5.6. Ряды в нормированных и банаховых пространствах.
Пусть X — нормированное пространство и iteX, &=1, 2, ...
оо
Формальная сумма X xk называется рядом в X. Введем эле-
4-1
П оо
менты sn = /] xk — частичные суммы ряда X ¦**¦
оо
Определение 1. Ряд ? xk называется сходящимся,если
в X сходится последовательноеть его частичных сумм {s,,}. Если
оо
ряд Y, xk сходится, то sn-+s^.X при п -> оо. Элемент 5 назы^
вается суммой ряда X *А. Запись S-*jt = s означает, что ряд
4-1 A-I
сходится и сумма его равна s.
оо оо
Упражнение 1. Покажите, что если ? ?
ft-i
ft-l
= s, то
62
= S + S.
Приведем критерий Коши сходимости ряда.
Теорема 1. Пусть X — нормированное пространство. Для
того чтобы ряд ? xk сходился, необходимо, а если X банахово,
то и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся номер N та-
таN
кой, что при всех п
лось неравенство
N и при всех натуральных р выполня-
выполня<e.
Доказательство следует из определения сходимости
ряда и связи между понятиями сходящейся и фундаментальной
последовательностей в применении к последовательности час-
частичных сумм.
оо
Упражнение 2. Докажите, что если ряд Е xk сходится,
то -и->0 при k-> оо.
оо
Определение 2. Если сходится числовой ряд ZJI*4l!>
оо
то говорят, что ряд 2j xk сходится абсолютно.
оо
Упражнение 3. Покажите, что ряд 2j (^хк ~Ь ^Уа) схо*
оо
дится абсолютно, если сходятся абсолютно в X ряды ? xk
Теорема 2. Пусть X — банахово пространство. Тогда вся-
всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.
1п+р || п+р
S xk < Z 11*4 11- Отсюда сле-
4 = rc+l il 4 = п+1
дует по теореме 1 сходимость ряда. В дальнейшем теорему 2
будем называть теоремой Вейерштрасса. Оказывается, верно и
обратное утверждение.
Теорема 3. Если в нормированном пространстве каждый
абсолютно сходящийся ряд сходится, то X банахово.
Доказательство. Пусть {хп}<^Х фундаментальна. По-
Покажем, что она сходится к некоторому iel Так как {хп} фун-
фундаментальна, то из нее можно выбрать подпоследовательность
{xnk} так, чтобы \хп II < 1/2 и для всех k > 2 ||.v — хп || < 1/2*.
I! ' II || k k~ '
Составим ряд
53.

Этот ряд сходится абсолютно, ибо мажорируется сходящимся
рядом 7_,~у- Но тогда существует элемент х е X, к кою-
рому сходится последовательность его частичных сумм {s*}.
Легко проверить, что sk = xn . Значит, хп —*¦ х, k -*¦ оо. Получи-
Получилось, что подпоследовательность фундаментальной последова-
последовательности сходится к х. Но тогда, по упражнению 4, п. 5.1, и
сама {*п} сходится к х. Теорема доказана.
5.7. Банаховы пространства со счетным базисом и сепара-
бельные пространства. Пусть X — бесконечномерное банахово
пространство. Последовательность {б*}™ с; X называется бази-
базисом в X, если любой элемент х ^ X может быть однозначно
представлен в виде сходящегося ряда
._ у
(О
При этом скаляры |ь %2, ... называются координатами эле-
элемента х в базисе {е/;}. Из однозначности представления (разло-
(разложения) х по базису вытекает линейная независимость всякого
конечного набора векторов базиса. Таким образом, понятие ба-
базиса в бесконечномерном пространстве является естествен-
естественным обобщением этого же понятия в конечномерном случае.
Банаховыми пространствами со счетным базисом являются
многие пространства. Например (см. [21]), таковым является
пространство С[а,Ь]. Ограничимся здесь одним примером.
В пространстве lp, р^1, рассмотрим элементы ek — )
где bkl — символ Кронекера Fkt = 1 при / = k, 6ft/ = 0 при
Покажем, что {ек} — базис в 1Р. Всякий элемент
?li,i"=i
(=1
можно представить в виде A). Это следует из того, что ряд A)"
In IP +00
х— ? i/eJ = ? \hf
остаток сходящегося ряда ||jc||p.
Единственность представления вытекает из равенства
Q ПРИ п-+оо, как
Переходим к рассмотрению сепарабельных пространств.
Определение. Нормированное пространство X называет-
называется сепарабельным, если в нем существует счетное, плотное в X
множество.
Приведем примеры сепарабельпых пространств.
54
1°. Е сепарабельно, так как совокупность рациональных чи-
чисел образует счетное (рациональные числа можно занумеровать
в последовательность), плотное в Е множество (в любой окре-
окрестности вещественного числа найдется рациональное число).
2°. Любое конечномерное пространство сепарабельно. Доста-
Достаточно фиксировать в нем базис и рассмотреть множество эле-
элементов с рациональными координатами.
3°. С[а, Ь] сепарабельно, так в нем плотно множество мно-
многочленов с рациональными коэффициентами.
Можно показать также, что пространства Ck(G) и &P{G)
сепарабельны, а пространство т ограниченных последователь-
последовательностей несепарабельно (см. [21]).
Предложение 1. Банахово пространство со счетным ба-
базисом сепарабельно.
Для доказательства достаточно заметить, что множество все-
п
возможных линейных комбинаций 2_jrieh ГА& fi — рациональ-
i~\
ное, п — любое натуральное число, a {ei}—базис в X, образует
счетное, плотное в X множество.
Предложение 2. Всякое бесконечное множество М в се-
парабельном пространстве сепарабельно.
Сепарабельность множества М понимается так: в М суще-
существует не более чем счетное множество, замыкание которого в
пространстве X содержит М.
Задача. Докажите предложение 2.
5.8. Принцип вложенных шаров. Множества I и II категории.
В банаховом пространстве справедлив следующий аналог из-
известного принципа вложенных отрезков (см. [18]).
Теорема 1. Пусть в банаховом пространстве X дана по-
последовательность шаров |5Г (хп)\, вложенных друг в друга
(S'n+i (*n+i) ^ Srn (xn))> «=1.2, ..., причем г„ -> 0 при п->-оа.
Тогда в X существует единственная точка х, принадлежащая
всем шарам.
Доказательство. Рассмотрим последовательность {хп}
центров шаров. Так как х„, хп+\, ... лежат в шаре S, (хп), то
\\хп+р — хп\\^. г„-> 0, п->-оо. Поэтому {*„}—фундаментальная.
Так как X полно, то х„ -* х <= X при п -> с». При этом {jen}°° с:
С Srk(xk)a и> значит, * е= S^ (*ft), k = \, 2, ... Если х' — еще
одна точка, принадлежащая всем шарам Sr (xk), то
II * ~ х' ||<|| * - хп || + II хп - х' ||< 2г„-> 0, п-> оо.
Отсюда х = х',п теорема доказана.
Упражнение 1. Докажите, что нормированное простран-
пространство X полно тогда и только тогда, когда любая последователь-
55

ность вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стре-
стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.
Определение 1. Множество М в нормированном про-
пространстве X называется нигде не плотным в X, если в каждом
шаре S с X содержится другой шар 5], не содержащий точек М.
Упражнение 2. Покажите, что в определении 1 можно
взять замкнутые шары S и S].
Определение 2. Множество в нормированном простран-
пространстве называется множеством I категории, если оно есть объеди-
объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если М нель-
нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не
плотных множеств, то М называется множеством II категории.
Упражнение 3. Покажите, что нигде не плотное в X мно-
множество является множеством I категории.
Упражнение 4. Покажите, что в Е3 любая плоскость —
нигде не плотное множество, а множество всех точек ?3 с ра-
рациональными координатами есть множество I категории, плот-
плотное в ?3.
Теорема 2 (Бэр — Хаусдорф). Всякое банахово простран-
пространство является множеством II категории.
Доказательство. Допустим противное, что банахово
пространство X представимо в виде
где каждое Mi нигде не плотно в X. Возьмем какой-либо шар
Sr(x0). Так как М\ нигде не плотно, то существует шар Sr< (x^cz
(—Sr(xfi\ в котором нет точек М\. Можно считать, что Г\ <;
< 1. Тогда М2 нигде не плотно; поэтому в Sr{x^) содержится
шар S (.v2),не содержащий точек из ЛЬ, так что г2< 1/2. Про-
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность
iSr (*„)} вложенных друг в друга шаров с г„ -*¦ 0, н->оо.
В силу теоремы 1 о вложенных шарах существует точка ха,
принадлежащая всем шарам. Но хафМк, ибо ха <= Sk{xk), в ко-
котором нет точек из М*. Это верно при k = 1, 2, ... Значит,
ХофХ, но xQ = lim xk и X полно. Полученное противоречие
k-* оо
доказывает теорему.
Упражнение 5. Докажите, что в банаховом простран-
пространстве
1) всякое непустое открытое множество есть множество II
категории;
2) множество, дополнительное к множеству I категории,
всегда II категории;
3) в С [а, Ь] функции, обладающие конечной производной
хоть в одной точке, составляют множество I категории и, зна-
значит, в С[а,&] существует всюду педифференцируемая функция.
56
ства.
Задачи.
1. Докажите полноту любого конечномерного нормированного простран-
простран2. Докажите полноту пространства т.
3. Докажите полноту пространства сходящихся последовательностей с
нормой IWlh
4. Ряд ^ хк называется безусловно сходящимся, если при любой пере-
к-[
становке его членов он сходится к одному и тому же элементу. Пока-
Покажите, что
а) абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся;
б) в конечномерном пространстве всякий безусловно сходящийся ряд яв-
является абсолютно сходящимся;
в) абсолютная сходимость эквивалентна безусловной сходимости тогда
и только тогда, когда банахово пространство конечномерно.
§ 6. Гильбертовы пространства
6.1. Определение гильбертова пространства. Пространство
со скалярным произведением называется гильбертовым, если
оно полно в норме, порожденной скалярным произведением.
Гильбертовы пространства обычно обозначают буквой Я.
Простейший пример гильбертова пространства дает евкли-
евклидово пространство Е'п.
Покажем, что пространство I2 (пример 2 п. 4.4) является
полным и, значит, гильбертовым. Возьмем в /2 фундаменталь-
фундаментальную последовательность {а,,}, где jcn=={i*1)}~' ^ак как
}=1
I Ы
п+р) _
?<я) |
-Ч 1/2
Цп+р) _ ?<п) \2 К _ II ,.
то при каждом фиксированном k числовая последовательность
{^irii является фундаментальной в Ет и, следовательно, схо-
сходящейся. Пусть ?(А0> = lim gj^. Рассмотрим последовательность
Л->оо
вещественных чисел {lf}^ =xQ и покажем, что х0 е /2 и что
Хп-*ха при п->-оо в I2. Из фундаментальности {xn}cz I2 сле-
следует, что для всякого s > 0 можно найти номер N такой, что
при всех номерах п > N и при любом натуральном р будет
выполняться неравенство
г °°
\\х —х II =< У \Ш+р)
Но тогда для всякого номера m
V I Ып+р) tin) [> \
nU2
1/2
57

Перейдем в последнем неравенстве к пределу при
и получим при всех п> N
) У I 6@) 6<rt) |2 I
Теперь перейдем к пределу при in
оо и найдем
Полученное неравенство означает, что при п > N ха — хп е Р
и что Цдсо — *и|| ^ е. Но тогда х0 = хп + (хо — хп) е I2 вследствие
линейности I2. Кроме того, Хп-^Хц при п-*-оо.
Упражнение. Докажите тем же способом, что простран-
пространство №, р ^ 1 (см. п. 2.6), является полным и, значит, банахо-
банаховым.
6.2. Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множе-
множества. Вернемся к задаче наилучшего приближения, рассматри-
рассматривавшейся нами в пп. 3.3—3.5. В гильбертовом пространстве,
вследствие его полноты и наличия понятия ортогональности
элементов, удается полностью решить
эту задачу. Сначала, в данном пунк-
пункте, рассматривается общий случай,
затем, в следующем пункте, изучает-
изучается важный частный случай линейного
приближения.
ц/ 1х_ц \^__у Пусть в гильбертовом пространстве
Н задано множество М и точка х е
<= Н. Определим расстояние от точки
х до множества М по формуле
Рис б Р (*. м) = inf || х — « ||.
Лемма. Если х<= М, то р(х, М) = 0. Если хф.М и М замк-
замкнуто, то р(х, М) > 0.
Доказательство. Если леМ, то при и = х имеем
||а: —«||=0, откуда р(х, Л1)=0. Пусть теперь М замкнуто, а
хф.М. Допустим, что р(х, М) = 0. По определению точной ниж-
нижней грани для любого п найдется и„ е М такое, что IU —«п||<
< \jn. Отсюда и„->¦ х при п-*-оо. Вследствие замкнутости М
л;еЛ1, но по условию хф.М. Полученное противоречие приво-
приводит к выводу о том, что допущение р(х, М) = 0 неверно. Зна-
Значит, р(х, М)> 0, и лемма доказана.
Теорема. Пусть М—замкнутое выпуклое множества в
гильбертовом пространстве Н и точка х ф. М. Тогда существует
единственный элемент j/gM такой, что (рис. 6)
Доказательство. Согласно лемме d = р'(х, М)> 0.
Снова воспользуемся определением inf: для любого п найдется
ИяеМ такое, что
d^\\x-uj<d + -jr. A)
Покажем, что последовательность {и„}—фундаментальная.
Для этого воспользуемся равенством параллелограмма, приняв
х — ип и х — Um в качестве его сторон. Диагонали параллело-
параллелограмма будут тогда 2х — и„ — ит и ит — ип. Равенство парал-
параллелограмма имеет вид
2|| х - ип |р + 2|| х - ит II2 = || иа - ит |р + |! 2х - ип - ит \f.
2
= 411*
Заметим теперь, что
поэтому
|| 2х — ип — ип
Далее, согласно неравенству A)
Следовательно,
М вследствие выпуклости М;
«я + «т
Ad2.
Un — "m IP
если m,n>N, откуда и вытекает фундаментальность {ип}.
Вследствие полноты Н {ип} сходится к некоторому элементу
у е М, ибо М замкнуто. Переходя к пределу в неравенстве
A) при я-хэо, получим \\х — у\\ = d. Осталось доказать, что
элемент у, на котором достигается точная нижняя грань
||х — «||, единствен.
Пусть для некоторого у* е М также IU — y*\\= d. По равен-
равенству параллелограмма
Следовательно, \\у — у*\\=0 и у* = у. Теорема доказана.
6.3. Расстояние от точки до подпространства. Если в трех-
трехмерном евклидовом пространстве задана плоскость L, прохо-
проходящая через начало координат О, и точка Р, не лежащая на L,
то существует точка Р' е L такая, что \РР'\ реализует расстоя-
расстояние от точки Р до плоскости L. При этом прямая РР' перпен-
перпендикулярна плоскости L.
Эти факты справедливы в произвольном гильбертовом про-
пространстве Н. Пусть L — подпространство в Н, т. е. замкнутое
5J
58

линейное многообразие. Пусть, далее, JteN, но хфЬ. Как и в
п. 6.2, расстояние от точки х до подпространства L определяет-
определяется формулой
р(л;, L) = inf || я — «|L
us L
Далее, заметим, что всякое подпространство гильбертова
(или банахова) пространства является замкнутым выпуклым
множеством. Поэтому имеем следующее следствие из теоремы
п. 6.2.
Следствие 1. Существует единственный элемент у е L,
реализующий расстояние от точки х до подпространства L:
Отсюда вытекает еще один важный вывод.
Теорема. Пусть \\х — у\\= р(х, L); тогда х— у J. L.
Доказательство. Докажем, что для любого Aet
имеет место равенство (л: — y,/t)=O. Пусть X — произвольный
комплексный (вещественный, если Я ве-
вещественно) параметр. Имеем IU — у +,
+ Ш>\\х — у\\, значит,
(х — у + Я/г, х — у + Щ IJs (x — у, х — у).
Производя упрощения, получим
X(h, х- у) + К(х - у, h)
Рис. 7.
т-т i (x-y.h)
Полагая здесь л = рр
получим —
| (х — у, h)
—
0, от-
куда (х — у, Л) = 0.
Следствие 2. Пусть L — подпространство в Я; тогда для
любого х^Н справедливо разложение (рис. 7) .
х — у + г,
(О
где у е L, г A. L, причем это разложение единственное.
Для доказательства достаточно взять у, определяемый ио х
на основе теоремы (если х е L, то у = 0), и положить л: = у +
+ (jc — у), где z = х — у 1 L по теореме.
Элемент у в разложении A) принято называть проекцией
х (ортогональной) на подпространство L.
Упражнение. Пусть имеет место ортогональное разло-
разложение A). Докажите теорему Пифагора: ||х||2 =||(/||2+||z||2.
6.4. Ортогональные дополнения. Определение. Пусть
L — линейное многообразие в Я. Совокупность всех элементов
из Я, ортогональных к L, называется ортогональным дополне-
дополнением к L и обозначается L1.
60
Теорема \. LL — подпространство в Н.
Доказательство. Докажем линейность L1. Пусть zi,
22 е Н, т. е. Bi,y) = 0, B2, у) = 0 для любых j/eL, Тогда для
любых скаляров h и Х2
(Л,,гг, + А222, у) = Ai (г,, у) + К2 (г2, у) = 0
для любых у е L, т. е. \\Z\ + К2г2 е LL.
Докажем замкнутость L1. Пусть дана {г„}с= L1 и г«-*-г,
п-*оо. Для любых y^L имеем (гп, у) = 0. Перейдя в этом
равенстве к пределу при п -+¦ оо по свойству непрерывности
скалярного произведения, получим (г, у) = 0 для любого у е L,
т. е. г? А.1. Теорема доказана.
Замечание. Если, в частности, L — подпространство в Я,
то LL—также подпространство в Я.
Теорема 2. Пусть L — линейное многообразие в гильбер-
гильбертовом пространстве Я. L плотно в Я тогда и только тогда, когда
L1={0).
Доказательство. Достаточность. Пусть Lx =={0},
7. е. если (г,у) = 0 для любого i/eL, то 2 = 0. Допустим, что
L не плотно в Я. Это означает, что существует xo<?L. L — иод-
пространство, и ХофЕ. Тогда справедливо ортогональное раз-
разложение х0 = у0 + 20, где ya^L, a z0e(L)x = (L)-1-. При этом
г0ф0; иначе, х0 e L, (г0, у)=0 для любых i/ s E и, в частно-
частности, для любых у е= L. По условию такой 20 равен 0. Мы полу-
получили противоречие, которое доказывает, что допущение о не-
неплотности L в Я неверно.
Необходимость. Пусть L плотно в Я, т. е. L = Я. До-
Допустим, что существует го^Н, г0 1 ?. Пусть {у«}с= L и у„->-
-*~У^Н, п'-*-оо. Тогда 0 = (у„, 20)->-(у, z0) при п ->- с» вслед-
вследствие непрерывности скалярного произведения. Значит, (у, го) =
= 0 для любого у^Н (плотность L вЯ). Полагая, в частно-
частности, </ = г0, получим B0, 20)=0, откуда 20 = 0. Теорема дока-
доказана.
6.5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Пусть в бес-
бесконечномерном пространстве Е со скалярным произведением
дана ортогональная система {<j>4, т. е. ср* ф 0, k =1,2, ... ;
оо
(ф*. ф/) = 0 при \фк. Ряд вида Z «аФ* называется рядом по
ортогональной системе {ср*}. Пусть х<=Е. Числа ck =
A = l, 2, .... называются коэффициентами Фурье элемента х
оо
по ортогональной системе {ср*}, а ряд X cft<pft называется ря-
дом Фурье (по ортогональной системе {ф*}), составленным для
п
•элемента х (ряд Фурье элемента х). Многочлен Z, сАфА — час-
61

тнчпая сумма ряда Фурье — называется многочленом Фурье
(элемента а).
Мы пока оставляем открытыми вопросы: сходится ли ряд
Фурье элемента х? Если сходится, то к х или к другому эле-
элементу?
Возьмем теперь первые п векторов ортогональной системы
{ф«}: фь ф2, •••, фч- Образуем всевозможные их линейные ком-
бннацнн вида ип— X <**Фь- В результате мы получаем «-мерное
подпространство Ln в Е. Иногда говорят, что Ln натянуто на
Фьфг, . . . , фн или что Ln является линейной оболочкой
Фь Ч>2, ¦••, ф-.- Возьмем теперь элемент х е Е и вычислим квад-
квадрат расстояния между х и ип:
Рассуждения ведутся для случая комплексного Е. В веще-
вещественном случае все выкладки тоже справедливы, но несколько
упрощаются. Пользуясь свойствами скалярного произведения,
получаем
п п
= {х, х) — ? aft (ф4) x)-Zat (л:, (pk)
Заметим теперь, что
(*. Фа) = ск || Фй |р, (фь, х) = (х, фь) = ск |
где k — коэффициенты Фурье элемента х. Следовательно,
A^IUlPZa
Далее,
I «* — ск I2 = (а* —
и мы получаем
аА — ck) = aj.afc — aftcft — скак
i\
Теперь мы можем вычислить
dn = p{x, La)= inf || x — ы„||= inf А„,
• — ' a а„
где А„ зависит от «„= ±а*щ, т. е. от п комплексных перемен-
переменных а„ а,, ..-,«, Явн'я формула, получения для AJ пока-
показывает, что dn достигается при ак = с„, k-\,A ••¦. "•
G2
свойство коэффициентов Фурье с,, с2, ..., с„ называется мини-
минимальным свойством коэффициентов Фурье. Итак, мы имеем сле-
следующее предложение.
Теорема. Пусть {ф*} ортогональна в пространстве со ска-
скалярным произведением Е, пусть Ln — подпространство, натяну-
натянутое на фь .... Фя. Тогда dn = p(x,Ln), x<=E, дается следую-
следующими формулами:
A)
t=i
k=V
B)
где Ck, k = 1, 2, ..., —коэффициенты Фурье элемента х по си-
системе {ф*.}.
Из доказанной теоремы легко выводится
Следствие. Если m > n, то
Действительно, по формуле B)
Осталось воспользоваться формулой A).
Упражнение 1. Доказать формулы A) и B) в случае
вещественного пространства.
Итак, наилучшее приближение элемента х посредством эле-
элементов из Ln есть многочлен Фурье элемента х:
п
Упражнение 2. Найти наилучшее приближение функции
е' в метрике Si\_—1, 1] с помощью многочлена третьей степени.
Воспользоваться многочленами Лежандра.
6.6. Неравенство Бесселя. Полные ортогональные системы.
Так как d2n^Q, то из формулы B) п. 6.5 имеем
Ек„1211Ф*И2<11*||2. A)
Слева стоит частичная сумма числового ряда ? I ck |21| фЬ ||2
k=\
с неотрицательными членами, причем оценка A) верна для лю-
любого п.
Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только
тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена
63

(см. [18]). Следовательно, из A) вытекает сходимость
оо
ряда X! I ck ?IIФлII2 и неравенство для его суммы
оо
Z^flkftlP^il-vf. B)
Это неравенство называется неравенством Бесселя. Его спра-
справедливость доказана нами для любой ортогональной системы
в любом бесконечном пространстве со скалярным произведе-
произведением.
Из неравенства Бесселя вытекает следующее важное след-
следствие.
Следствие. Если || ф* || ^ а > О, k = 1,2, ..., то коэффи-
коэффициенты Фурье си любого элемента к <= // стремятся к нулю при
k -*¦ оо.
—д
Для доказательства заметим, что теперь У J ck
|с*|2—>-0, fe->oo, как члены сходящегося ряда.
Переходим к вопросу о сходимости ряда Фурье.
Определение 1. Ортогональная система {ф*} из гиль-
гильбертова пространства // называется полной, если для любого
Х€ЕН
ОО
Е Ck<tk = X
(ряд Фурье, составленный для х, сходится к х).
Полная ортогональная система называется ортогональным
базисом гильбертова пространства Н.
Из формул A), B) п. 6.5 имеем
C)
Отсюда приходим к следующему заключению:
Для того чтобы {ф&} была полной, необходимо и достаточно,
чтобы
Ё k* PII ф* IP = IU IP-
D)
Таким образом, в случае полной системы и только в этом
случае неравенство Бесселя превращается в равенство. Равен-
Равенство это называется равенством Парсеваля — Стеклова.
Заметим, что полнота ортогональной системы означает, что
ее нельзя дополнить до более широкой ортогональной системы
путем присоединения новых элементов.
61
Приведем еще один критерий полноты ортогональной си-
системы. Для этой цели нам будет полезно следующее определе-
определение.
Определение 2. Пусть в линейном пространстве Ь за-
задана конечная или бесконечная система элементов {**}• Мно-
Множество L всевозможных конечных линейных комбинаций
л
Е ckxk при различных п будем называть линейной оболочкой
t-i
системы {xk}.
Упражнение. Покажите, что L — линейное многообра-
многообразие в Е.
Теорема. Ортогональная система {ф*} из гильбертова
пространства Н полна в том и только в том случае, когда ее
линейная оболочка L плотна в Н (т. е. L = Н).
Доказательство. Пусть {ф*} полна. Если ?фН, то
найдется *0^(?)х, *о Ф 0. Но тогда (х0, ф*)=0, k = 1,2, ...
Значит, С/с — ° ,.д = 0. Вследствие полноты системы х0 =
II ч>* 1г
оо
= V ch<f>k = 0. Полученное противоречие доказывает, что L = Н.
Пусть теперь L = Н. По определению плотности L в Н для
любого е > 0 существует ^е(. такое, что ||дг — лсе||<е. Так
как хг е L, то хв — конечная линейная комбинация по {ф*}.
Значит, существует N = N(e) такое, что хя= X
По минимальному свойству коэффициентов Фурье
Е
— дсе
Далее, по следствию п. 6.5 для любых п > N
с ростом п. Следовательно, для любых п > N
х-
\х-
Итак, для любого е>0 нашлось N = N(e.) такое, что для
любых п > N имеем
" " II
: — Е ckq>k < г.
к-\
Это означает, что Е скщ = х. Так как х е Н произволен, пол-
полнота {ф*} доказана.
6.7. Ряды Фурье в оснащенном банаховом пространстве.
Пусть X — банахово пространство, а ||д:|| — норма элемента
3 В. А. Треногий g5

x e X. Иногда наряду с нормой ||-Ц в X (как в линейном про-
пространстве) можно еще ввести скалярное произведение (оснас-
(оснастить банахово пространство скалярным произведением) {х,у).
Скалярное произведение порождает в X еще одну норму:
II х ||с = V(*. х) > не совпадающую, вообще говоря, с Ц-Ц- Если
при этом существует постоянная y>0 такая, что IUI|C ^ vIMI
для любых х е X (т. е. ||-||с подчинена норме ||-||, см. п. 2.9),
то говорят, что X—-оснащенное банахово пространство.
Если [| ¦ ||с не эквивалентна норме [| • || (см. п. 3.2), то в X
возникает два вида сходимости: сходимость по норме Ц-ll, кото-
которую мы будем называть равномерной сходимостью, и сходи-
сходимость по ||-11с, которую мы будем называть сходимостью в сред-
среднем. Из сходимости хп-*-х, п—>-оо, равномерной следует схо-
сходимость Хп -*~ х, п -»¦ оо, в среднем (проверьте!).
Пример 1. В С[а, Ь] введем, кроме нормы
\\x\\ = тах| х (t) |, еще и скалярное произведение
la.il
ь
{x,y) = \x{t)y{t)dt.
x\\e = [\x?(t)dt
)"¦
Тогда
и, значит, С[а,Ь] превращено в оснащенное банахово простран-
пространство. Иначе можно сказать, что оснащенное банахово простран-
пространство X погружено в некоторое гильбертово пространство.
Целью наших рассмотрений является следующее предложе-
предложение.
Теорема. Пусть X — оснащенное банахово пространство,
и пусть Я — линейное многообразие в X, плотное в X в метрике
II -||с. Пусть, далее, ряд Фурье всякого элемента ie^ no орто-
ортогональной системе {ф*} сходится к х в метрике \\-\\- Тогда {ф*}
полна в X в метрике || • ||с.
Доказательство. Зададим произвольные ie! и е > 0.
Вследствие плотности Я в X найдется f е^ такой, что
х ||с < е.
A)
Далее, по условию теоремы ряд Фурье по {ф&} для х схо-
сходится к нему. Значит, по е > 0 можно найти N = /V(e) такой,
что для всех п> N
X —
B)
Здесь 6k — коэффициенты Фурье элемента х. Используя нера-
66
венства A) и B), получаем при любых п> N
|
По минимальному свойству коэффициентов Фурье получаем
при любых п> N
II
1х —
k=\
Здесь ck — коэффициенты Фурье элемента х. Это и означает
сходимость ряда Фурье ? с*Ф* к х. Теорема доказана.
Пример 2. Пусть X = С[—л, я]. В качестве линейного
многообразия Я возьмем класс функций x(t), непрерывных на
г—^я], кусочно непрерывно дифференцируемых на этом от-
отрезке и таких, что х(—л) = х(я). В математическом анализе
(см. [18]) доказывается тео-
теорема о том, что ряд Фурье,
составленный для iel, по
тригонометрической системе
сходится к Jc равномерно. Кро-
Кроме, того, нетрудно проверить,
что Я плотно в X в сред-
среднем, аппроксимируя непрерыв-
непрерывную на [—л, л] функцию ло-
ломаной x(t)^.X и разбив
[—л, я] достаточно мелко ис- "
(рис.8).
Из доказанной теоремы следует сходимость ряда Фурье, со-
составленного для непрерывной функции, в среднем к ней же.
6.8. Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве.
Теорема 1. Во всяком сепарабельном гильбертовом про-
пространстве существует ортогональный базис из конечного или
счетного числа элементов.
Доказательство. Пусть Н — сепарабельное гильбер-
гильбертово пространство. Тогда в Н найдется счетное, всюду плотное
множество {хп} (см. определение п. 5.7).
Пусть хк — первый не равный нулю элемент в {хп}\ обозна-
обозначим его через е\. Рассмотрим последовательность xk+\, Xk+2, ¦¦¦,
и пусть Xi — первый ее элемент, линейно независимый с в\. Обо-
Обозначим xi = e<1. Рассмотрим последовательность xi+\, xt+2, ... и
обозначим через е3 первый ее элемент, не являющийся линей-
линейной комбинацией ех и е2. Продолжая эти рассуждения, получим
конечную или бесконечную систему элементов \еп). По-
Поскольку линейная оболочка (сч. определение 2 п. 6.6) L систе-
системы {еп} содержит систему {хп}, то L плотна в Н. Ортогонализи-
руя систему {еп} (см. п. 4.6), придем к ортогональной системе
3* 67

{fn}. Так как линейные оболочки систем {/„} и {е„} совпадают,
a L плотна в Н, то система {fn} и образует искомый базис.
Теорема 2. Если в гильбертовом пространстве Н суще-
существует конечный или счетный ортогональный базис {fn}, то И
сепарабельно.
Доказательство. Множество всех конечных линейных
комбинаций векторов системы {/<.} с коэффициентами вида с* =
= аи + фк, где аи и C*. рациональны, образует счетное мно-
множество, плотное в Н.
Приведем теперь используемое в дальнейшем определение
ортогональной суммы подпространств гильбертова простран-
пространства. Пусть в гильбертовом пространстве Н заданы подпро-
подпространства L\, L2, ..., Lm, причем ЦфО, Ь{фЫ, ?= 1, ..., гп.
Будем говорить, что подпространства L\, ..., Lm попарно
ортогональны, если (*,, *,-) = 0 при 1Ф\, i, /=1 гп, для
любых элементов xi e Li, xi e ?/.
Определение. Будем говорить, что подпространство U
гильбертова пространства Н разлагается в ортогональную сум-
сумму подпространств L\, ..., Lm, и писать L = Li®L2® ...
... Ф Lm, если
1) L\, ..., Lm попарно ортогональны;
m
2) каждый элемент xei представим в виде х = Y, xt> гДе
Х{ s Li, i = l, ..., гп.
Упражнение 1. Покажите, что указанное разложение х
единственно и докажите теорему Пифагора:
и * IP =Z и** IP.
(-1
Задачи.
1. Доказать, что если в нормированном пространстве Е справедливо для
любых х, у е Е равенство параллелограмма
то
в ? можно ввести скалярное произведение по формуле (х, у) =
ll2 IU—vll2 , v II+ MI* ||||2
2-1- в вещественном случае, (х, у) =
II х + iy ||2 — \\х — iy II2
в комплексном случае.
2. Пусть в нормированном пространстве Е справедливо равенство ром-
ромба: при любых х,у<=Е таких, что IUII = \\y\\ = 1 справедливо равенство
\\х + у\\2 + ||ж — у\\2 = 4; тогда в Е можно ввести скалярное произведение.
3. Пусть L — линейное многообразие в пространстве со скалярным про-
произведением Е, а х — точка, отстоящая от L на расстоянии d, т е.
d — p(x,L)= inf || x —u||.
Тогда для любых двух векторов yl}y2eL справедливо неравенство Леви;
Глава II
ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА И СОБОЛЕВА
§ 7. Пополнение нормированных пространств
и пространств со скалярным произведением.
Пространства Лебега
7.1. Теорема о пополнении нормированного пространства.
Ниже приводится важнейшая конструкция замыкания произ-
произвольного нормированного пространства, в результате чего по-
получается банахово пространство. Идея этой конструкции восхо-
восходит к Коши, осуществившему ее в своей теории вещественных
чисел, рассматривавшихся им как классы эквивалентных фун-
фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Теорема. Всякое нормированное пространство Е можно
рассматривать как линейное многообразие, плотное в некотором
банаховом пространстве ё.
Пространство ё при этом называется пополнением простран-
пространства Е.
Доказательство. Рассмотрим всевозможные фунда-
фундаментальные последовательности {хп} пространства Е. Две та-
такие последовательности {хп} и {л;^} будем называть эквивалент-
эквивалентными, если
|| х„ — х'„ II ~* 0. и -> оо.
Если {хп} и {j*Q эквивалентны, то будем писать
Множество всех фундаментальных последовательностей ра-
разобьем на непересекающиеся классы: две такие последователь-
последовательности {хп} и {л;^} включаем в один класс в том и только в том
случае, когда {хп} ~ {л?}. Множество всех классов обозначим
через ё, а сами классы —через х, Q, ... Если {хп} относится
к классу х, то будем писать {хп}^ х и называть {*„} представи-
представителем класса ?.
Превратим ё в нормированное пространство. Операцию сло-
сложения классов х и # определим так: если {^„}е1 и {у„}^$,
то суммой x-\-Q будем называть класс, содержащий {хп + у„}.
Упражнение 1. Покажите, что (хп -\- уп} фундаменталь-
фундаментальна, если фундаментальны {*„} и {уп}-
69

Наше определение * + # не зависит от выбора представите-
лей классов х и у. Если {х'п} е!и {у'п} е у, то [х'п + у'п) ~ {хп +
+ уп) и, значит, {*; + <}ei + f
Упражнение 2. Покажите, что если {х'п}~{хп}, a {#,'} ~
~Ш> то К + <}~{** + ^}-
Введем теперь в Ё операцию умножения класса на число:
классом кх будем называть класс, содержащий {Ххп}, если
Wei.
Упражнение 3. Покажите, что если {хп} фундаменталь-
фундаментальна, то {Кхп} фундаментальна.
Упражнение 4. Покажите, что если [х'Л ~ {*„}, то {Ъх'\ ~
~ {кхп}.
Упражнение 5. Покажите, что определение класса Хх не
зависит от выбора представителя класса х.
Поскольку наше определение операций в ё сводится к one-
рациям над элементами из линейного пространства Е, то ё так-
также является линейным пространством. Роль нуля в ё играет
класс 0 с представителем {0}.
Введем теперь в Ё норму. Пусть {х„}^х. Полагаем
Заметим, что предел этот существует, ибо {lUn 11} фундамент
тальная (так как |||л:„||—lUmll | ^\\хп — хт\\), а значит, и сходя-
сходящаяся в силу критерия Коши для числовых последовательно-
последовательностей.
Кроме того, предел не зависит от выбора представителя
класса х. Если также {л^} е х, то
Отсюда
limKl=
Упражнение 6. Проверьте аксиомы нормы в ё. Итак,
ё— нормированное пространство.
Покажем теперь, что
а) Е можно отождествить с некоторым линейным много-
многообразием в Ё;
Р) Е плотно в ? (в смысле отождествления, указанного в а);
у) ё — банахово пространство.
Этим теорема о пополнении будет доказана.
Доказательство предложения а. Элемент х^Е
отождествим с классом, содержащим стационарную последова-
последовательность {х}, т. е. х, х, х, ... Такой класс будем обозначать
через х. Ясно, что Хх — это класс, содержащий {Хх}, а х + у —
класс, содержащий {.t + y}. Таким образом, множество всех
классов, содержащих стационарные последовательности, я-вляет-
70
ся линейным многообразием в Е. Для этого линейного многооб-
многообразия мы сохраняем обозначение ?.
Доказательство предложения р. Пусть класс х е=
¦€=?, тогда || * llg = II * II (как предел постоянной).
Пусть *(=?. Покажем, что существует {*„}<=? такая, что
Лх — х II >О, п-»-оо. Этим будет доказана плотность Е в Е
(см. п. 3.6). ,
Пусть {хп}^х. Из фундаментальности \хп) имеем: для лю-
любого е > 0 найдется номер N такой, что для любых п, т> N
справедливо неравенство
" (О
II Хп Хт ||? <~ 2 '
Фиксируем п> N к заметим, что
lim || хп — хт \\Е —1| хп
"Ё'
B)
д{хл}^,ел;я, как стационарная последовательность. Пере-
Переходя в A) к пределу при т-*-оо, используя B), получим
Это и означает, что хп -*¦ х, п -*¦ оо.
Доказательство предложения у. Пусть дана {in},
фундаментальная в Е. Вследствие справедливости условия р)
найдем {xn}cz E такую, что
v lu <¦ _L
Докажем, что {хп} сама фундаментальна: это вытекает нз
неравенства
Лхп - хт \\g <\\хп - хп||g +1| хп - хт\\s + \\хт- хт\\Ё <
<-^ + \\xn-xm\\s + ±—>0 при т, п-+оо.
Так как {хп} фундаментальна в Е, то она фундаментальна
яв?, ибо
Н*я —*mllB = ll*« —*mll?.
Но тогда существует класс х, содержащий {лтп}. Докажем, что
хп-+х, м->оо. Действительно, \\хп - x\\s <|Un — xn\\g+ \\x -
—хп\\е <—+\\х — дс„||?. Тогда при я-»-оо || * — х„||--»-0 вслед-
вследствие Р). Теорема полностью доказана.
7.2. Пополнение пространств со скалярным произведением.
Пусть теперь исходное пространство Е является пространством
со скалярным произведением {х, у). Пополняя Е как нормиро-
нормированное пространство с нормой
| = У(*. х),
71

мы приходим к банахову пространству Е, элементами которого
служат классы х эквивалентных фундаментальных последова-
последовательностей {хп}. Покажем, что ё является само пространством
со скалярным произведением, а значит, вследствие своей пол-
полноты, и гильбертовым пространством. Пусть х, г/е ?, а {х„} и
{у„}—представители этих классов. Определим в Ё скалярное
произведение
(*, у) = litn (*„, уп).
П->оо
При этом оказывается, что
(*, х) = lim (хя, xn) = litn || хп |р = || х ||2.
Упражнение. Проверьте аксиомы скалярного произведе-
произведения в ё.
Итак, пополнение пространства со скалярным произведением
является гильбертовым пространством.
7.3. Пространство Лебега &[а, Ь]. Определим банахово про-
пространство 2!\а,Ь\ как пополнение нормированного простран-
пространства 9?\\а,Ъ\ (см. п. 2.9). Напомним, что элементы 3?\[а, Ъ] —
это непрерывные на [а,Ь] функции x(t) с нормой
ь
\\x(t)\\=\\x(t)\dt.
а
Пусть {хпЩ и {х'аЩ — две последовательности непрерыв-
непрерывных на [а,Ь] функций. Если последовательность {хп (() — х\ (/)}
является бесконечно малой в Э>\ [а, Ь], т. е. при п->оо
то последовательности {хп} и {х'п} будем называть эквивалент-
эквивалентными в S?\\a, b] или эквивалентными в среднем.
Далее, последовательность {xn(t)} непрерывных на [а,Ь]
функций будем называть фундаментальной в &\ [а, Ь] или, ко-
короче, фундаментальной в среднем, если для любого е > 0 най-
найдется номер N такой, что для всех номеров n > N и всех нату-
натуральных р выполняется неравенство
ь
@ - хп (О IЛ < е.
Согласно теореме о пополнении пространство Лебега S?\a,
b] состоит из элементов x(t), являющихся классами эквива-
эквивалентных в среднем и фундаментальных в среднем последова-
последовательностей непрерывных функций. Две фундаментальные в
среднем последовательности {хп (/)} и {<(/)} являются предста-
72
вителями одного класса x(t) тогда и только тогда, когда они
эквивалентны в среднем. Если {xn{t)}^x(t), то, по определе-
определению,
И * И* fa, 61 = lim \ I Хп (О
¦-HmlU.il,,*
A)
Подобно тому, как иррациональные числа можно трактовать
как некоторые идеальные элементы, сколь угодно хорошие при-
приближения к которым получаются с помощью рациональных чи-
чисел, так и элементы пространства j?[a,ft] мы можем рассмат-
рассматривать как некоторые идеальные функции, приблизиться к ко-
которым практически всегда возможно с помощью непрерывных
функций. Более того, будем называть интегралом Лебега от
функции |х(t) |, где х{t)е 3? [а, Ь\, выражение A), т. е., по оп-
определению,
ь ь
\\x(t)\dt= lim \\xn{t)\dt
a a
{слева — интеграл Лебега, а справа — интегралы Римана).
Оказывается, что некоторые идеальные элементы (классы)
пространства 3?[а,Ь] можно отождествить с некоторыми конк-
конкретными, вообще говоря, разрывными функциями.
Прежде всего отметим, что согласно теореме о пополнении
(п. 7.1) пространство 3?[а, Ь] содержит все непрерывные на
[а, 6] функции. Понимать это нужно в следующем смысле. Рас-
Рассмотрим класс, содержащий своим представителем стационар-
стационарную последовательность {x(t)}, где x(t) непрерывна на [a, ft].
Этот класс мы отождествляем с функцией x(t) и обозначаем
также x(t). Помимо функции x(t) класс x(t) содержит и раз-
разрывные функции, например, отличающиеся от функции л:(/) в
конечном числе точек.
Эту идею можно развить дальше в следующем направлении:
некоторые разрывные функции можно трактовать как пределы
в метрике i?'[a,ft] фундаментальных последовательностей не-
непрерывных функций. Каждую такую разрывную функцию мож-
можно отождествить с некоторым классом из 2?[а,Ь]. В § 8 этот
путь будет реализован полностью. Будет показано, что всякий
элемент пространства SB [a, ft] можно отождествить с некоторой
обычной, вообще говоря, разрывной функцией (точнее, с некото-
некоторым классом таких функций). В основе этих рассуждений ле-
лежит основанная на теореме о пополнении конструкция интег-
интеграла Лебега.
Пока же мы ограничимся следующими двумя примерами.
Пример 1. Пусть функция x(t) непрерывна на [a, ft], за
исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода. Пока-
Покажем, что тогда существует фундаментальная в среднем после-
73

довательность непрерывных на [а, Ь] функций {xn'(t)}, сходя-
сходящаяся к x(t) в среднем.
Идея построения такой фундаментальной последовательно-
последовательности может быть позаимствована в п. 5.3, где был приведен при-
пример фундаментальной в 3?2[—1, 1] последовательности непре-
непрерывных функций, сходящейся в среднем к разрывной функции
(см. [18]). Пусть x(t) имеет точки разрыва а < t\ < U < •••
x,(t.\ + x ал
...<//< ft, причем х(tk) = + Ук) 2 -Кк> , где x+(h) и
x-(tk)—пределы x(t) в точке tk соответственно справа и слева.
X
| 1 !
a t,-S- tt t?B
0 tL
I
I
i
-Л" t2 t
i
i
i
i Л
Рис. 9.
Окружим каждую точку разрыва tk окрестностью (tk — б, /* Ч-
+ б), где б выбираем настолько малым, чтобы а < U — б, 6 4-
+ б < b и сами окрестности не пересекались. Определим теперь
последовательность непрерывных функций так (рис. 9):
x(t)
-('.¦bf)V('.-^)(f.<> + 4) + x(>>_4),
2 —
если / <
!=1, .... /.
: - ЯМ,
¦ 6/fl),
Докажем, что (х„(/)} фундаментальна в 2"| [а, Ь]. Пусть
М = sup | * (/) | (почему sup существует?). Тогда sup | xn(t) |^ -И,
|а. Ь] la, Ь\
Хп+р ~ *п II =
@ - Лп (/) I rf/ ==
при
74
Итак, {х«@} фундаментальна. Аналогично можно показать,
что в той же норме xn(t)-*-x(t), n^-oo. Поэтому класс, содер-
содержащий своим представителем {xn(t)}, можно отождествить с
разрывной функцией x(t).
Пример 2. До сих пор речь шла о функциях, имеющих
разрывы 1-го рода. Покажем теперь, что —-=¦ е 3! [О, 2]. Для
этого рассмотрим следующую последовательность функций:
*»(» =
л/t
ПрИ
при
Предоставляем читателю рассмотреть поведение xn'(t) на
графике.
Имеем
2
1/A+Р)
1/rt
l/rt
^
P
(n + p) (V" + P + V"
1
Итак, |jc
Кроме того,
rt + p
л/п + p +
2
—j=r, т. е. {л:„@} фундаментальна.
2
—r=dt, n-^-oo.
где интеграл справа нужно понимать как несобственный.
Объединяя рассуждения примеров 1 и 2, можно доказать
следующее предложение.
Теорема. Пусть x(t) определена на [а,Ь] и имеет на
[а, Ь] конечное число точек разрыва, причем сходится интеграл
\\x(t)\dt.
75

Тогда существует фундаментальная на [а,Ь] в среднем по-
последовательность непрерывных функций {xn(t)} такая, что
оо
(интегралы понимаются как несобственные), и, следовательно,
x(t)e=Z[a,b).
7.4. Пространства Лебега S>p(G),p ^ 1. Рассмотрения предьь
дущего пункта переносятся на более общие случаи. Пусть G —
ограниченная область в Em, a G— ее замыкание. Пространство
Лебега 2?P(G), по определению, является пополнением про-
пространства S'p(G), рассмотренного в п. 5.4.
Элементами 9?P(G) являются, как и в случае пространства
^[а.й], некоторые «функции», приблизиться к которым с лю-
любой степенью точности (в среднем) можно с помощью непре-
непрерывных на G функций, так как 3?P{G) плотно в 2?P(G). Более
подробно это означает следующее.
Последовательность непрерывных функций {ип(х)}, хе5,
является фундаментальной в 9?P(G), или, как говорят, фунда-
ментальной в среднем на С с показателем р, если
II«г —«mill ,o)=
— um(x)\pdx-*O, л,
Две последовательности непрерывных функций {«„(*)}, {и'п{х)}у
леС, являются эквивалентными в метрике SP(G), или, как
говорят, эквивалентными в среднем на С с показателем р, если
(в обеих формулах имеются ввиду /и-кратные интегралы Ри-
мана по области G).
В соответствии с теоремой о пополнении элементы 3?P(G) —
это классы й(х) фундаментальных в среднем последовательно-
последовательностей. Две такие последовательности включаются в один класс
в том и только в том случае, когда они эквивалентны в сред-
среднем.
Как и в п. 7.3, все непрерывные и некоторые разрывные на G
функции можно отождествить с некоторыми классами в 9?P(G).
Заметим, далее, что все пространства 3?P(G) являются сепара-
бельными (см. п. 5.7). В самом деле, всякую функцию из
3?P(G) можно приблизить в метрике C(G) и тем более в мет-
метрике 2?P(G) множеством многочленов с рациональными коэф-
коэффициентами. Вследствие плотности 3?P(G) это же множество
многочленов будет плотно в 3?P(G).
76
Отметим особо пространство &i{G)—пополнение простран-
пространства со скалярным произведением 2?i(G). Согласно п. 1.2 Si(G)
является гильбертовым пространством. Скалярное произведе-
произведение в 27г(<5) определяется как предел
(и, v) = lim (ц„, о„) = lim ( ип (х) vn (x) dx,
где и(х) и и(х) — классы, а {ип(х)} и {vn{x)}—их представи-
представители, т. е. фундаментальные в среднем последовательности не-
непрерывных функций. Примем по определению: для и, ое
e^j(G) назовем (и, и) m-кратным интегралом Лебега от про-
произведения uv по области G, т. е.
\ и (х) v(x) dx = lim \ «„ (*) vn (x) dx.
J rt-»oo J_
О г.
Выбирая, в частности, v(x)—\ — класс, представителем ко-
которого является последовательность {1}, хей, получим для
\ и (х) dx = lim \ «„ (д;) dx.
J Л->ОО J
Мы определили для всех классов и(х)^. 3?2{G) интеграл
Лебега как предел римановских интегралов от представителей.
Нетрудно убедиться, что введенный интеграл Лебега обладает
рядом известных свойств интеграла Римана. Теория интеграла
Лебега по области G может быть построена аналогично тому,
как это делается в следующем параграфе для случая отрезка.
7.5. Изоморфизм, изометрия и вложение нормированных и
банаховых пространств.
Определение 1. Нормированные пространства X и ^на-
^называются изоморфными, если всюду на X определена линейная
функция х = J(х) со значениями в Я, осуществляющая изомор-
изоморфизм X и Я как линейных пространств и такая, что существуют
постоянные а > 0 и Р > 0 такие, что неравенство
справедливо для всех ле! Если I|/(*)|| = IUII, to X и Я будем
называть (линейно) изометричными.
Пример. Любое лг-мерное вещественное нормированное
пространство изоморфно Ет, и, значит, все такие пространства
изоморфны друг другу.
Если в определении 1 пространства X и Я получены введе-
введением в одном и том же линейном пространстве Е различных
норм, то иногда в качестве / можно выбрать соответствие, отож-
отождествляющее элементы X и Я, являющиеся одним и тем же эле-
элементом Е. При этом говорят, что J — естественный изоморфизм.
77

Более общим понятием по сравнению с понятием изомор-
изоморфизма является понятие вложения нормированных пространств,
из которых одно или оба могут быть банаховыми.
Определение 2. Говорят, что нормированное простран-
пространство X вложено в нормированное пространство Я, если всюду
на X задана линейная функция J(x), причем существует по-
постоянная р > 0 такая, что
для всех jg! Если, в частности, Я и X получены введением
различных норм соответственно в линейном пространстве Е и
в его линейном многообразии Сив качестве / выбирают соот-
соответствие, отождествляющее элементы Я и X как элементы Е,
то говорят о естественном вложении X в Я. Если ||/(х) ||=||лс||,
то говорят, что вложение Л' в Я изометрично.
Приведем несколько примеров.
1°. Ек вложено в Ет при k <. т.
2°. /а™1 вложено в k. Действительно, можно приник,
¦-с
ixi при i= 1 m;
где у, = |Q при . > m
3d. Согласно теореме о пополнении всякое (неполное) нор-
нормированное пространство может быть изометрично и плотно
вложено в банахово пространство —свое пополнение.
В § 9 мы познакомимся с важными в приложениях теоре-
теоремами вложения акад. С. Л. Соболева.
Упражнение. Покажите, что С [а, Ь] вложено в Sp\a, b\
при всяком р ^= 1.
Задачи.
1. Пусть a Ss 0. Рассмотрим на [0, +<х>) множество всевозможных не-
непрерывных функций x(t), для которых конечна норма
||х||= sup \x(t)eat\.
[0, + оо)
Докажите, что данное множество является банаховым пространством.
2. Докажите, что множество комплекснозначных функций f(z) комплекс-
комплексного переменного г, непрерывных в замкнутом круге |z| ^ 1 и аналитиче-
аналитических в открытом круге |z| < I с нормой llfll = sup \f{z) |, образует баш-
| г |< 1
хово пространство.
3. Докажите теорему о пополнении метрического пространства.
4. Пусть X—нормированное пространство, а М — подпространство в X.
Фактор-пространством XJM называется множество классов х При этом
XiEx и хге.х тогда и только тогда, когда xt—х;еЛ Определим классы
¦ах и х + у как классы, содержащие элементы ах и х -(- у, где х е х, а
у е у. Докажите, что Х/М— нормированное пространство с IUII = inf||x|U
Докажите, что Х/М полно, если полно X
5. Докажите, что пространство LP(G) вложено в пространство Ls.(G),
если 1 ^ s < р.
78
§ 8. Интеграл Лебега
В § 7 было введено банахово пространство 5?\а, Ь]—попол-
Ь]—пополнение нормированного пространства 9?х\а, Ь]. При этом непре-
непрерывные и некоторые разрывные функции х(/) на [а, Ь] оказа-
оказалось возможным отождествить с определенными классами из
3?\а,Ъ\. Здесь будет установлено, что каждый класс *@е
^3?[а,Ь] можно отождествить с некоторым классом обычных,
вообще говоря, разрывных на [а, Ь] функций, причем это соот-
соответствие классов окажется взаимно однозначным.
8.1. Множества меры нуль. Эквивалентные функции.
Определение 1. Множество Mcz[a,b] называется мно-
множеством меры нуль, если для каждого е > 0 существует конеч-
конечная или счетная система отрезков {[ап, р\]} такая, что
1) множество М покрывается отрезками этой системы, т.е.
М с и К, (JJ;
п
2) сумма длин отрезков [а„, р„] меньше е, т. е.
Z (Р„ - а„) < е.
п
Упражнение 1. Докажите, что конечное число точек
fi, .., tk^[a, b] — множество меры нуль.
Другой пример множества меры нуль — множество рацио-
рациональных чисел. В самом деле, вспомним, что рациональные чис-
числа отрезка [а, Ь] образуют счетное множество, т. е. их можно
занумеровать: Г\, г2, ..., гп, ... ={/"„}"_,. Тогда для данного
г > 0 и каждого рационального числа тп построим отрезок
'»-
= К, Р«]-
1) Очевидно, что гпе1ая>ря], и, следовательно,
{'„):=¦<= Ок. и,
2)
п=\
= -|<е, т. е., согласно опреде-
лению, {гп}™^{ — множество меры нуль.
Заметим, что наше рассуждение применимо к любому счет-
счетному множеству точек, и, значит, любое счетное множество есть
множество меры нуль. Обратное неверно, т. е. существуют мно-
множества меры нуль, которые не являются счетными.
Упражнение 2. Докажите, что объединение конечного
Или счетного числа множеств меры нуль и пересечение любого
числа множеств меры нуль есть множества меры нуль.
Если какое-то утверждение справедливо для всех точек t от-
отрезка [п, 6], за исключением, быть может, множества точек
79

меры нуль, то будем далее говорить, что это утверждение верно
почти всюду.
Определение 2. Если функции *i(/) и x2(t) равны почти
всюду, то они называются эквивалентными. Записывают:
Xi(t)~x2(t).
Пример. Рассмотрим на [0,1] функцию Дирихле:
, если / рационально,
D{t) =
0, если t иррационально.
Она эквивалентна функции, тождественно равной нулю на
[0, 1], так как О{1)Ф0 на множестве рациональных чисел, ко-
которое, как мы убедились, имеет меру нуль.
Упражнение 3. Докажите, что если xi(t) ~x2{t) и
~ x2{t)yl{t)'.
8.2. Сходимость почти всюду и сходимость в среднем. Пусть
теперь для последовательности {xn(t)} почти всюду существует
предел, равный x(t). Этот факт мы будем записывать так
lim xa (t) "= х (t),
и говорить, что {xn(t)} сходится к x(t) почти всюду. Совер-
Совершенно ясно, что если {xn{t)} сходится к x(t) в каждой точке
fa, b], то она сходится к x{t) почти всюду; обратное неверно.
Упражнение 1. Докажите, что последовательность
{xn(t)}, сходящаяся в среднем, является фундаментальной в
среднем.
Обратное неверно, т. е. для фундаментальной в среднем по-
последовательности непрерывных функций {xn(t)} может не су-
существовать интегрируемой функции хA), к которой {xn(t)} схо-
сходилась бы в среднем.
Следующая теорема устанавливает связь между сходи-
сходимостью почти всюду и сходимостью в среднем. Воспользуемся
следующими обозначениями:
1Щ = [I Iog2F — a) I] + 2 (здесь [а] —целая часть).
Далее, если Л — конечная или счетная система отрезков, то
\А\ будет обозначать сумму длин этих отрезков; если же мно-
множество В покрыто системой отрезков А, т. е. В а А, причем
| А | < а, то будем писать | В \ < а.
Теорема. Если {xn(t)}"_t с: 2'] [а, Ь\ и lim *„(/) = 0, то
П ->оо
существует подпоследовательность (*лй@}Г-1 т^кая>
1) lim ^@ = 0;
30
2) ряд Yj\x"kU)\ сходится почти всюду на \а, Ь\;
3) для любого натурального m > /п0 существует Bmcz\a, b\,
на котором \xnk(t)\<—при всех k^sm, причем | [a, b] \ В„ |< -^
и Вп
В
m+l-
Доказательство. Так как по условию lim \\xn{t)\dt = 0,
то найдется подпоследовательность {хПк (/)J°° , для членов ко-
которой справедливы неравенства
ь
Чтобы в дальнейшем избежать двойных индексов, положим
Xnk (t) = yk (t) и покажем, что для полученной последовательно-
последовательности будут выполнены 1), 2) и 3). Для этого воспользуемся тео-
теоремой Вейерштрасса (см. [18]) о равномерном приближении
многочленами функции, непрерывной на отрезке, и найдем для
каждой yk(t)^2'i[a,b] многочлен Pk{t) такой, что
B)
для всех t e [a, 6].
Тогда из A) и B) получаем
Рк {t) | dt < J | yk (/) | dt + J | pk (t) - yk (t) I dt
Рассмотрим теперь множество
Ak, очевидно, представляет собой либо конечную систему непе-
неперекрывающихся отрезков и точек, либо пустое множество. По-
Поэтому в любом случае имеет смысл рассматривать интеграл
Римана по множеству Ak от \pk{t)\ и, учитывая C), получим
1-^Г < \
\dt < ^s-
D)
81

Из D) следует, что \ Ak\<—^r, а потому для множества
2 R
Am= U Ak справедлива оценка
fc=m
U
Пусть теперь Вт —[а, Ь) \Ат; тогда, если т ^г то, то мно-
множества Вт не пусты,
\[а,Ь]\В„\ = \Ат\<-фг, ВтсВт+и
и для любого t<=Bm = [a, b]\Am = [a, b]\ [] Ak= [] {{a, b]\ Ak}
k=m k=m
при k^ni справедливо неравенство
E)
Из B) и E) вытекает, во-первых, что
(Ь.!
для всех (ей™ и fe^
рых, сходимость на Вт ряда
причем равномерная.
Пусть теперь
(тем самым 3) доказано), а во-вто-
... mi F)
е[а, Ь\. Z
/»=
тогда для любого натурального т ^ т0 справедливо вложение
и ^{[а, Ь] \Вт); поэтому для данного е > 0, выбирая т так,
чтобы -gnT < е. получим
т. е. ряд F) сходится почти всюду, и, следовательно,
п. в.
lim yk(t) = O. Теорема доказана.
Упражнение 2. Приведите пример {х„ (t)} a 9?\ [a, b], для
в ср.
которой lim хп (/) = 0, но {хп {I)} расходится в каждой точке
га-»оо
отрезка [а, Ь].
82
8.3. Интеграл Лебега и функции, интегрируемые по Лебегу.
Теперь докажем ряд теорем, помогающих установить соответ-
соответствие между некоторыми классами эквивалентных функций и
элементами x{t) пространства Лебега &\а,Ь\.
Теорема 1. Если {хп @С=1 <= ?у [а, Ь\ и {хп (t)} s x (t) s
е S? [a, b], то найдется подпоследовательность {jcra. (l))°°
такая, что
1) {xnk (/)} сходится почти всюду к некоторой .функции f(t),
определенной на отрезке [а, Ь];
2) для любого натурального m ^ шй существует Bm cz
cz [a, b], на котором
| / @ — х„к (t) | < -^=r при всех k
га,
причем \[а, b]\Bm\<-^- и Bmcz Bm+1.
Доказательство. Так как по условию {xn(t)} фунда-
фундаментальна в среднем ({х„(?)}е x(t)^ S\a, b]), то найдется
подпоследовательность {хПк (/)} такая, что
тогда, как следует из процесса доказательства теоремы п. 8.2,
для последовательности {(xnk+l (/) — Xnk @)} справедливы 2) и
3) теоремы п. 8.2, т. е., во-первых, для любого т ~^ га0 суще-
существует Bmcz[a,b], на котором
l^+,@-*-fc@|<-^r @
при всех k ;> m, причем
\[а, Ь]\Вт\<фг и BmcBmti
во-вторых, ряд
сходится почти всюду. Но тогда почти всюду сходится и ряд
оо
Пусть теперь ф@ = X (Jcnfe+1 @ — *«й @) в точках сходи-
сходимости ряда B) и равна нулю в остальных точках отрезка [а,
83

Следовательно,
Ф @ =" lim Z (xnk+l (/) - xnk @) = Hm (*„/+1 @ - *„, (/)),
a lim xn. (/) = ф (/) + JCn. @ = /(')• Тем самым доказано 1).
Для того чтобы убедиться в справедливости 2), примем во
внимание A) и заметим, что
\f(t)-Xnk(t)\ =
ф @ + *», @ - Г*», @
k-\
1 @
-*-,«))
/-* /-А
для всех t^Bm и k^m. Таким образом, теорема 1 доказана.
Теорема 2. ?сли {*„ (/)}"_, <= ^" [а, 6] и уп (/) с= 5, [а, Ь],
п. в. п. в.
.xn(t)}~{yn(t)} u I'm *п@ = /@» а 1'тУп@ = ф@. го
. ф@-
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
lim
1га [\xn(i)-yn(()\dt = 0;
-»оо J
тогда, в силу теоремы п. 8.2, существует подпоследователь*
п. в.
ность {(xnk(!) — уПк@)} такая, что \\m^(xnk(t) — ynk(t)) = O. Со-
Со^
поставляя это равенство с условиями теоремы, приходим к вы*
воду, что
"нш yn(t)='\\m yn (/)=' lim xn A)"= lim xa(/)"
Теорема 2 доказана.
Из этой теоремы следует важный результат: каждому клас*
су эквивалентных в среднем фундаментальных в среднем по-
последовательностей i(/)e^[o,i] можно поставить в соответ-
соответствие класс эквивалентных функций f(t) таких, что для любой
функции f(t)^f(t) существует {jc(/)}ei(/), для которой
п. в. п. в.
/(/)= lim *„(/), причем если {yn(t)}ex(t) и lim «/„ @ = ф @»
то ф(/) тоже принадлежит f (t).
Теперь покажем, что если Х\(г)ф x-i(t), то и соответствую-
соответствующие им классы эквивалентных функций fi(t) и /2@. не равны.
84
Теорема 3. Ее Аи {рп (/)}"_, — фундаментальная в среднем
п. в.
последовательность многочленов и lim pn (i) = 0, то
lim Pn(i) = Q.
Доказательство. Заметим, что существование
ь
lim \\PnW)\dt следует из фундаментальности в среднем по-
следовательности {pn{t)}. Поэтому достаточно доказать C) для
некоторой подпоследовательности.
Применяя к {pn(t)} теорему 1 этого пункта, найдем подпо-
подпоследовательность
для которой выполняются 1) и 2).
Зададимся теперь е > 0. Так как D)—тоже фундаменталь-
фундаментальная в среднем последовательность, то существует натуральное
ko такое, что для любых натуральных k ^ k0 и m ^ k0 справед-
справедливо
ь
\pnk(t)-pnm(t)\dt<^. E)
а
Положим
Q= max \Pnh(t)\\
1<А!<А!о
тогда для конечной системы отрезков А с размерами
и
Si.
справедлива оценка
(б)
при \ ^ k sg:; 0.
Если же я > Ао, то, принимая во внимание E) и F), полу-
получим
л а л
Таким образом (см. F) и G)),
(8)
85

для любого J^l и конечной системы отрезков А с |Л|<6 =
= min(-4r, з(б —а) }' ПосколькУ Для D) справедливо 1), то
п. в. п. в.
lim pn. (t)= lim р„(/) = 0, а, в силу 2), для любого т^та
существует Sm с [а, Ъ\, на котором | рПк (t) | < -к_{ при всех
1
j, причем \[а, Ь]\Вт\<-^п.
Пусть теперь i—натуральное число, i\
<
3FLa) ' Т0ГДа ПрИ /sBi и
справедливо неравенство
Обозначим, далее,
(Ю)
A1)
Как мы уже отмечали ранее, каждое из множеств /Ц и Dk либо
пусто, либо является конечной системой неперекрывающихся
отрезков и точек. Кроме того, Ak U Dk =[а, 6], а Л^П^* со-
состоит из конечного числа точек или пусто. Из сказанного сле-
следует, что в любом случае можно рассматривать интеграл (Ри-
мана) по этим множествам, причем (см. (9)) Л* с: [a, b] \Bl
при k ^ i и, значит,
Наконец, учитывая (8), A0), A1) и A2), получим
ъ
\\Pnk{t)\dl=\\pnk{t)\dt+ \\Pnk(t)\dt
3 F — а)
ь
¦+\ 3F8-а) =е
для любого k ^ I, что и доказывает теорему 3.
Упражнение 1. Воспользовавшись теоремой Вейерштрас-
са, доказать, что любой класс x(t)^9?[a,b) содержит фунда-
фундаментальную в среднем последовательность многочленов.
Т е о р е м а 4. Если {хп (/)}"_, с 93, \а, Ъ] и {уп (/)}"_, с 5», [а, Ь],
причем обе эти последовательности фундаментальны в среднем
Доказательство. Пусть {xn(i)}e i(f)e S'fa, fo], а
'{(/„([)}e jl^eS'ltt,!)]; тогда существуют фундаментальные в
среднем последовательности многочленов {р„(г!)}е x(t) и
{^„(/)}еу(/), которые, в силу теоремы 1, можно считать схо-
сходящимися почти всюду. Применяя к этим последовательностям
теорему 2, получим
П. В. П. 1
lim р„ @ = lim xn (t) = f(t)= lim yn (t) == lim qn (t).
п. в.
Отсюда следует, что lim (р„ (/) — qn (t)) = 0 и (см. теорему 3)
^litrij | р„ @ ~ <7Л @ № == 0, т. е. {ря(/)}~{<7п@}, и, значит,
а
jt(() =p(t), a {xn @} ~ {уп (t)}¦ Теорема доказана.
Упражнение 2. Доказать, что если последовательности
{хпЦ)} и {yn(t)} удовлетворяют требованиям теоремы 4, то су-
существуют и равны пределы
ь ь
lim ^xn(t)dt и lim \jyn{i)dt.
оо а л->оо а
Теперь можно дать корректное определение интеграла и
описать класс функций, интегрируемых по Лебегу.
Определение. Функция f{t) называется интегрируемой
по Лебегу на отрезке [а,Ь], если существует фундаментальная
в среднем последовательность непрерывных функций {xn{t)\
п. в.
такая, что lim xn{t) = f(t); тогда интегралом Леб°га на [а, Ь] от
Л->оо
п. в.
функции f(t) называется lim xn (/) = /(/). Будем обозначать его
ь °°
(S)\f{t)dt.
а
Итак, по определению
Ь h
(#)$/(/)#= lim \xn(t)d(.
а п-Уоо а
Заметим, во-первых, что данное определение интеграла не
зависит от последовательности {xn(t)}, а зависит только от
класса x(t), которому эта последовательность принадлежит.
' 87

Во-вторых, как следует непосредственно из определения,
если f(t) интегрируема по Лебегу, то и <р@~/@ интегри-
г» *
руема, причем {&) J f(t)dt = {?) J Ф(/)Л.
а а
В-третьих, из теоремы 4 вытекает, что установленное ранее
соответствие между элементами i@^ i?[a, 6] и классами /(/)'
эквивалентных (интегрируемых по Лебегу) функций является
взаимно однозначным.
Упражнение 3. Докажите, что если fi(t) соответствует
¦МО. а f2@ соответствует x2(t), то M0+f2@ соответствует
*i@+^2@, а Xfi(f) соответствует Х-МО, где к — произволь-
произвольное число.
Таким образом, f(t)—классы эквивалентных функций, ин-
интегрируемых по Лебегу, — можно рассматривать как элементы
банахова пространства 2?[а,Ь\, причем каждому f(t) можно
ь ь
поставить в соответствие число \ / (О dt = (Я?) \ f {t) dt, где f (/) э
)—функция, интегрируемая по Лебегу.
Однако в дальнейшем мы для простоты будем пользоваться
не классами f(t), а обычными функциями f(t), являющимися
«представителями» соответствующих классов, т. е. f{t)^f(t).
Запись f(()e2'[fl,6] будет означать, что функция f(t) принад-
принадлежит f(t)—классу эквивалентных интегрируемых функций, со-
соответствующему некоторому x(t) — классу фундаментальных в
среднем эквивалентных в среднем последовательностей непре-
непрерывных функций, причем существует {xn(t)}^ x(t) такая, что
ь ь
f @"= lim хп @ и {2) \ f @ dt = lim \ xn (/) dt.
8.4. Основные свойства интеграла Лебега и функций, интег-
интегрируемых по Лебегу.
1. Если функция x(t) непрерывна на [а,Ь], то x(t)^
2. Если МО и f2@e2>[a,6], го aU(t)+Mi(t)f= &[а,Ь\ и
ь ь ь
(of, (/) + Pf2 @) dt = a {2) \ U @ dt + р (&) \ h @ dt,
где a « Р — произвольные числа.
88
Упражнение 1. Докажите свойства 1 и 2
3. EcAuf{t)es&[a,b],To \f{t)\€= &[а,Ь] и
Ь Ь
\\f(t)\dt.
а
Доказательство. Из \Ц)<= g[a, b] следует, что суще-
существует фундаментальная в среднем последовательность не-
непрерывных функций {xn(t)} такая, что lim *„(/)==f (/), но тог-
4->оо
да последовательность {|хл(*)|} тоже фундаментальна в сред-
среднем, так как
Ь
5 Ил*@1 — I
limUn(/)f=l
»->оо
U« @ — jc«(/)
\, т. е.
Далее, \\xn{t)dt
dt
= lim
rt->oo
и
$1*„@1<«,
xn(t)dt
следовательно,
\ lim
П-*оо
If @1 А-
а а
Свойство 3 доказано.
ь
4. Если fit)€=2[а, Ь) и /(fl>0, го E^J/@A>0.
Доказательство. Так как / (/) ^0, то / (/) = | / (/) | и
f @
/(о |d/ =
(если функции /,(/) и f2{t) интегрируемы по Лебегу и МО ~
~ hit), то их интегралы равны, тем более они равны если
равны функции). '
Упражнение 2. Докажите, что если f(t)eSP\a b\ и
0 почти всюду, то 2 \ f (t) dt > 0.
, то
почти
89

6. Если Ы0<= Я?[а,Ь\ и почти всюду m
М — некоторые числа, то
, где m,
пъ {Ь - а) < {&) \ f @ dt < М (Ь - а).
а
Упражнение 3. Докажите свойства 5 и 6.
ь
7. Если f(t)e=2[a, Ь], f{t)>0 и {SB)\f(t)dt = Q, то
Доказательство. Пусть {xn{t)}—фундаментальная в"
п. а
среднем последовательность непрерывных функций и f{t) =
= lim xn{t). Тогда, рассуждая, как и при доказательстве
свойства 3, получим
b Ь
t = C?)\\f (t)\dt = Urn \\xn(t)\dt.
п. а. п. в.
но / (t) = lim | xn (t) |, поэтому, по теореме п. 8.2, lim | xn (t) I = 0,
т. e. f@~0, и свойство G) доказано.
Если дана функция f{t), определенная на отрезке [а,Ь], то
обозначим
+ _( f(t), если f(t)>0,
f {t)~{ 0, если /@<0,
и
О, если / @ > О,
-f(t), если f(/)<0.
Упражнение 4. Докажите, что
/ @ = /+ (О - г @. I f (О I = /+ @ + Г (О,
f+(O^. MQ + if(oi /-(f)= iMoi-f«)
Упражнение 5. Докажите, что
max {f (t); g (t)} = (f (t) - g (t))+ + g (t),
min {f (/); g № = - max {- / @; - g (Ob
8. Если f{t)<=?{a,b], то f+(t) и f~(t)<= 2"[a,b].
9. EcAufi(t)<=&[a,b] uf2(t)f=&[a,b], ro max{/,(*);/a(/)}
Упражнение 6. Докажите свойства 8 и 9.
90
10. Если | f(t) |e S?\a, b] и существует последовательность
п п.
непрерывных функций {xn(t)} такая, что / @ — ''т хпA)> та
П-»оо
S'lfl, Ь].
Мы обратимся к доказательству свойства 10 в следующем
пункте, когда предварительно докажем ряд важных теорем.
8.5. Свойства интеграла Лебега, связанные с предельным пе-
переходом. Напомним, что 2? [а, Ь] —нормированное пространство,
причем если x(t)<^ 2?\а, Ь], то
,в.6,= lim \\xn(t)\dt,
п —* оо **
где {xn{t)}—фундаментальная в среднем последовательность
непрерывных функций и {xn(t)}<= x{t). Тогда естественно счи-
считать, что если f (t) — класс эквивалентных функций, интегрируе-
интегрируемых по Лебегу, соответствующий x(t), то
HO
6
a bl=lim \\*n(t)\dt.
Упражнение 1. Докажите, что
ь ь
lim \\xn{t)\dt = &)\
a a
где f(t)^f{t). Таким образом,
где f(l)^f{t). Будем также писать, что в этом случае
Определение. Последовательность интегрируемых по
Лебегу функций {fn(/)}™=1 будем называть фундаментальной в
среднем, если она фундаментальна по норме пространства
^"[a.fe], т. е. если для любого е > 0 найдется натуральное /V
такое, что для любых m > jV и п> N справедливо неравенство
ь
II /„ @ - /„ @ II* la, b] = (SB) \ | /„ (/) - /„ @ I dt < e.
91

Однако пространство 9?[a,b\ является полным; поэтому для
любой фундаментальной последовательности {fn{t)} найдется
функция Д0<= 2 [а, Ь\ такая, что
h
lit* || /„ (/) - / (/) Ъх (а b] = lirn B) \ | /„ (/) - / (/) I dt = 0.
оо сю ^
В таком случае мы будем говорить, что последовательность
(МО) сходится к f(t) в среднем или по норме, и писать
\\mjn(t) = f(t).
Теперь мы докажем теорему, аналогичную теореме 1 п. 8.3.
в ср.
Теорема 1. Если lim /„(/) = МО. т0 существует подпоае-
л-»оо
п. в.
довательность {/njJ такая, что lim /nft(/) = МО-
Доказательств о. Каждой функции /л@ соответствует
класс *л(?) фундаментальных в среднем последовательностей
непрерывных функций, в который обязательно входит последо-
последовательность многочленов, из которой можно выбрать такой мно-
многочлен рл@ (см. теорему 1 п. 8.3), что
ь
2) 1М0 — Рп @1 ^т на множестве Вп, для которого
\[а, Ь]\Вп\<±.
Так как {fn(t)} фундаментальна в среднем, то для данного
« >¦ 0 существует натуральное Л^ такое, что для любых m> N
и п > N справедливо неравенство
ь
B)\\fn(t)-fm(t)\dt<j;
1 . е
если, кроме того, n2N+l <—, то
fn(t) - pn(t)\dt
\ fm(t) - Pn{t)\dt
I
_
22n+i 22m+1
92
т.е. {Pn(t)}—фундаментальная в среднем последовательность
непрерывных функций.
Упражнение 2. Докажите, что {pn(t)} входит в класс
фундаментальных последовательностей х({)\ для которого
lim || х (t) — xn{t)\\y[a ftl = 0, и, следовательно, /(/) — интегрируе-
интегрируемая функция, входящая в класс f(t), соответствующий x(t). От-
Отсюда вытекает, что существует подпоследовательность {pni(t))t
которая почти всюду сходится к /(/). Покажем, что и
lim fni{t)'=f(t).
В самом деле, обозначим В= [] f| Вп.; тогда {[а, Ь] \В} =
-XJ CXI
= П U {[a.
П U
и. следовательно,
Так как это неравенство верно для любого k, то [а,6]\В—•
множество меры нуль. Пусть теперь / е В и задано е > 0; тог-
тогда существует целое N такое, что
onw-'
2) /е П В„(.
Следовательно, при i ^ N получим
Тем самым показано, что
}^(fnt(f)-pnt(f)) = O
/(/)= lim pB(@B= lim/„,(/)•
Теорема 1 доказана.
ь
Следствие. Если {/„ @} с 9? [а, Ь] и lim {2) J | /„ (/) |Л =
=== ''т II/n(Olivia ftl =0, го существует подпоследовательность
1 ~^ оо '
{fnft @} га/сая, чго lim /„ft (t) = 0 (аналог теоремы п. 8.2).
93

Доказательство. Начнем со следующего упражнения.
Упражнение 3. Докажите, что если lim || /„ (/) || ь = О,
П->оо
то {|/„(/)!} фундаментальна в среднем.
По доказанной теореме существует подпоследовательность
{|Lfe@|}> которая почти всюду сходится к некоторой f@
е 9? [а, Ь], причем
ь ъ
Упражнение 4. Докажите, что в этом случае
ь ь
\ f (() dt = lim
Таким образом, с одной стороны, очевидно,
b
почти
b
всюду, с другой стороны, {%) \jf(t)dt = O; поэтому, в силу свой-
а
п. в.
ства интеграла Лебега 7 п. 8.4, /(/) = 0.
Теорема 2 (Беппо — Леви). Если {fn{t)}cz 9?[a, b\, по-
Ь
следовательность {МО} не убывает и интегралы C?) \ /„ (О
d< ^ К, где К — некоторое число, не зависящее от п, то
lim fn(t)~f(t) e^ [a, b] и (&)\f(t)dt=\\m(&)\fn(t)dt.
Доказательство. Из свойства 5 п. 8.4 интеграла
Лебега и условий теоремы следует, что последовательность
fn(t)dt l монотонна и ограничена, а потому имеет предел.
Упражнение 5.Докажите, что последовательность {МО}
фундаментальна в среднем.
По теореме 1 существует подпоследовательность {fnk(t)}
такая, что
lim ,
fe-> oo
[а, ь\.
Упражнение 6. Докажите, что
в
) = lim fn (/) и (i?) \ f (t) dt = lim
a
\ fn (/) dt.
94
Упражнение 7. Докажите, что теорема 2 справедлива
h в том случае, когда последовательность {/„ (t)} не возра-
возрастает и
ь
Теорема 3. Если {fa{()}cz2[a, b\ и \ fn(t)\<F (t)^&[a, b],
то sup fn(t) = f](t)e=&[a, b] и inf/„(/) = /;(/)ei?[a, ft].
Доказательство. ф„(/) = max {/, (t), /2 @, ..., fn (I)} e
e^[a, 6] в силу свойства 9 п. 8.4. Осталось заметить, что
для последовательности {<р„ (/)} выполнены требования теоремы 2-
ь ь
(Ф„(/)} не убывает и (S) ^a(t)dt^B)^F{t)dt, поэтому
a a
sup /„ (/)П= lim Фге @ = /; @ e 2 [a, b].
Упражнение 8. Докажите, что inf f n (t) = f * (t) <= SE [a, b].
П
Теорема 4 (Лебега). Если {fa(t)}<=&[a, b], lim f„(f)°= f(/)
n-*oa
b
и \fn{t)\<F(t)<=Z[a.b], то f{t)<=2[a, b] и {2)\f{t)dt =
b
= \im(g)\fn({)dt.
Доказательство. Пусть Ф„ (t) = inf {fa (t), fn+l(t), ...};
тогда
О {фя@} не убывает;
2) (fJOe^k &] вследствие теоремы 3;
3) Ф»@</@
)l9,@KfWf[fl.»].
Аналогичными свойствами будет обладать и последователь-
последовательность \|)n@=sup {/n@./n+i@. •••}, а именно:
1) {*рп@} Не возрастает;
2) ¦„(Oe
3) /л@<
Пусть теперь lim fn(t0) = f(tQ); тогда для данного е > 0 су-
ществует натуральное N такое, что при п > N справедливо не-
неравенство
95

а вместе с ним и соответствующие неравенства для фп@ и
4I.@ =
sup ЫО</(') +
Отсюда следует, что
lim /я@=>@='Нт ф„@ = lim
rt»oo Я-»оо
но тогда по теореме 2
» г Г
С / (/) Л = lim B) \ Ф„ (/) dt = lim B>) \ +„ (/) dt.
Наконец, заметим, что
ь
a a a
Ь Ь
а значит, lim B)\ fa (t) dt = B) \f (t) dt.
a a
Таким образом, теорема 4 доказана.
Теперь займемся доказательством свойства 10 интеграла Ле-
Лебега (см. п. 8.4).
Рассмотрим функцию
( *„(/), если |*„@К1/@1,
Ф»@ = { 1/@1. если хд@> 1/@1,
[ -|/@1, если *.@< -1/@1-
Очевидно, что |ф„@| ^ 1/@ I ^ 2[a, b].
Упражнение 9. Доказать, что
Ф„ @ = max {-1 хп @ |, min | {хп @. | / @ I}}
Так как {фл@}с= 2[а, Ь], то, применяя к этой последо-
последовательности теорему 4, получим, что / (t) е 9? [а, Ь].
В заключение этого пункта докажем теорему, часто встре-
встречающуюся в приложениях.
90
Теорема 5 (Фату). Ест {fn(t)) <z2\a, b), fn@>0,
= lim /„ @ и (i?) \ /„ @ dl <: k, где k — некоторое число, то
„-ЮО J
a, b\ и
Доказательство. Положим снова
Ф„@ = тЧ/п@. /»+i@, •¦¦};
тогда fn@e5f[o, Ь] и, как мы установили в процессе дока-
[I. в. П. В.
зательства теоремы 4, lim ф„@= I'm /л@ = /@-
П->оо П-> ос
Поскольку ф„@<М0, то
и осталось применить к неубывающей последовательности {ф„@}
теорему 2:
ь ь
fit) ^2 [а, Ь), B) \ / @ dt = lim B) \ Фп (/) Л < k.
a a
8.6. Интеграл Римана и интеграл Лебега. Ранее мы отмети-
отметили (см. свойство 1 п. 8.4), что если *(/) непрерывна на [а,й],
тохЦ)е2[а,Ь] и
и
= B)\x{t)dt.
Теперь мы докажем более общее утверждение.
Теорема. Если f(t) интегрируема по Риману на отрезке
[а, Ь], то она интегрируема и по Лебегу на этом отрезке и
Доказательство. В п. 7.3 рассматривался пример функ-
функции, имеющей конечное число точек разрыва 1-го рода. Для
этой функции была построена фундаментальная в среднем по-
последовательность непрерывных функций {*„(/)}.
4 В. А. Тре
97

Упражнение. Доказать, что
х (/)'= lim хп @, x(t)e=2\a,b]
B)\x(t)dt= lim \xn(t)dt.
a a
Но в п. 7.3 доказано, что
lim J \x{t)-xn(t)\di = O,
и, следовательно,
Ь Ь
\x(t)dt = lim \xn{t\
J П-froo J
так как
Таким образом, если jc(/) имеет конечное число точек раз-
разрыва 1-го рода, то она интегрируема по Риману и по Лебегу,
причем
Пусть теперь f(t)—произвольная функция, интегрируемая
по Риману на [а, Ь]. Разобьем отрезок [а, Ь] на п равных час-
частей и построим ступенчатые функции, соответствующие верхним
и нижним суммам Дарбу:
на интервалах Га +
— a)(k—\)
. (b — a)k\ . a .
Mn(t)= sup f{t),
[4- Ы
(на концах интервалов определим значение функции Mn(t) как
максимум из двух односторонних пределов). Аналогично опре-
определим mn{t):
mn{t)= inf f(t), если /e(ot; p»), 1<^<п
[4- h\
(на концах интервалов значение mn(t) положим равным мини-
минимуму из двух односторонних пределов).
98
Тогда верхняя сумма Дарбу функции /(/), соответствующая
о
данному разбиению, S|f' (/) = \ Mn(t) dt, а нижняя сумма Дарбу
а
b
sjf1 (/) = \ wn (t) dt. Так как по условию функция /(/) интегри-
а
руема по Риману, то
ь
lim {S(nDl (f) - s(nD) (ft) = lim \ (Mn (t) - mn (/)) dt = 0. A)
a
Поскольку Mn(t) и mn(t) имеют конечное число точек раз-
разрыва 1-го рода, то по доказанному выше Mn(t), т„(/)е 3?[а, Ь]
и
ь ь
\ (М„ @ - щя @) dt = {2) \ (Мп (t) - тп (/)) dt. B)
Далее, заметим, что, очевидно,
mn
C)
и, принимая во внимание A) — C), получим
' Ь
\\m2\\ Мп (/) - тп (/) \dt=l\m2\ (Mn (t) - тп (/)) = 0.
а а
В силу следствия теоремы 1 п. 8.5 существует подпоследова-
подпоследовательность {(МПк (/) — тПк (/))}, которая почти всюду сходится
к нулю, но из C) вытекает, что МПк (/) — тПк (/) ^ / (/) —
п в
— т„.(/)^0, а потому lim mn. (t) = f (t).
По условию функция f(t) интегрируема по Риману и, зна-
значит, ограничена, т. е. |/@|«?^, где /( — некоторое число,
но тогда и | innk (/) | ^ К- Применяя теорему 4 п. 8.5 к {тп. (t)\.
получим, что f\l)<s&[a, b] и
Ъ Ъ h
{2)\f{t)dl= lim B)\mnkA)dt= lim \mnk(t)dl =
= \f @ rf/.
= lim S{n°
Теорема доказана.
В заключение отметим, что класс функций, интегрируемых
По Лебегу, не совпадает с классом функций, интегрируемых по
Риману, а шире его. Например, функция Дирихле не интегри-
интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, так как D(t) ~ 0.
4* 99

§ 9. Пространства Соболева
9.1. Общее определение. Пусть в Rm задана замкнутая огра--
ничейная область G. Рассмотрим линейное пространство (для
простоты вещественное) функций и(х). и: (j-*-R', / раз непре-
непрерывно дифференцируемых на G. Дифференцируемость на замк-
замкнутой области G можно понимать в различных смыслах. Мы бу-
будем предполагать, что в G функции и(х) I раз непрерывно диф-
дифференцируемы, причем каждая частная производная функции и
имеет предел при стремлении х к любой граничной точке обла-
области G, так что в результате ее продолжения на G она становит-
становится непрерывной в G. Граница Г области G предполагается
достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать об-
область G односвязной и удовлетворяющей таким дополнитель-
дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных
рассуждениях.
Введем в рассмотренном выше линейном пространстве нор-
норму (р> 1)
J
A)
Упражнение 1. Проверьте аксиомы нормы. Полученное
нормированное пространство обозначается WP(G). Его попалне-
ние в норме A) обозначается WP\G) и называется простран-
пространством Соболева.
В прикладных задачах довольно часто встречается случай-
р = 2. Общепринято следующее обозначение: 11^2 (G) =//'(G).
Пространство Соболева Hl{G) является гильбертовым про-
пространством— пополнением пространства Wz{G) в норме, по-
порожденной скалярным произведением
(и, v) = ^ и (х) v (х) dx + Yj \ °а" М D°v M dx-
О 1<|а|<! -q
Упражнение 2. Проверьте аксиомы скалярного произве-
произведения.
Пространства Соболева WP(G) и тесно связанное с ними
понятие обобщенной производной в смысле Соболева были вве-
введены в математическую практику академиком С. Л. Соболевым
и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных воп-
вопросах математической физики и функционального анализа. По-
Пополнение пространства гладких функций WP(G) некоторыми
идеальными элементами, которые можно с любой степенью точ-
точности вычислить с помощью элементов из Wp (G), приводит, с
одной стороны, вследствие полноты WP{G) к точности и завер-
завершенности многих математических утверждений, а с другой сто-
100
роны сохраняет все вычислительные возможности (см. [32],
B3]).
Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях т = 1
и т = 3, т. е. рассмотрим соболевские пространства на веще-
вещественной оси и в трехмерном пространстве.
9.2. Пространство it1 (а, Ь). Рассмотрим на [а, Ь] простран-
пространство Hl[a,b], состоящее из всевозможных функций и(х), не-
непрерывно дифференцируемых на [а,&], со скалярным произве-
произведением
ь <>
(и, v) = ^ и Ос) v {x) dx+^u' (х) г/ (х) dx A)
а а
и соответствующей этому скалярному произведению нормой
,b b v 1/2
B)
. и о ,. I/a
\u\\ = (\u4x)dx+\u'2(x)dx\ .
Hl(a,b) является пополнением Н[[а,Ь] в этой норме. Из каких
же функций состоит Hl(a,b)? Элементами Нх{а,Ь), согласно
теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последо-
последовательностей {ип(х)}<= Hl[a,b], фундаментальных в W\a,b\\
в среднем,точнее, таких, что
ь ь
\\un(x)-um(x)\*dx+\\u'n(x)-u'n(x)fdx->0
а а
при п, т-^оа. Две такие последовательности {ип{х)\ и {йп(х)}
принадлежат одному классу, если {йп{х)—ип(х)} является бес-
бесконечно малой в метрике Я1 [а, Ь], т. е. если
ь ь
\\ип(х)-йп(х)\Чх+\\и'п(х)-й'п(х)\Чх^О
а а
при п->-оо. Из условия фундаментальности в среднем {ип{х)}
в Я" [а, Ь] следует, что отдельно при п, т -> оо
ь ь
^КМ-^М^-О, \\и'п{х)-и'т{х)\Ых-+Ъ.
а а
Аналогично, из условия эквивалентности {ип(х)} и {йп(х)}
в метрике Я1 [а, Ь] следует, что при п -*- оо
ь ь
\\un(x)-UJx)fdx->0, \\и'п{х)-й'я{х)\Чх-*О.
а а
Согласно определению пространства 2{а,Ь) существуют
функции «(х)е 3?г{а,Ь) и ш(лс)е 2?2(а. Ь) такие, что при
л-*оо ип(х)-*- и(х), а и'п (х)-*¦ w {х) в среднем.
101

Мы приходим к следующему важнейшему определению.
Пусть {«„(jt)}e fl] (а, Ь). Тогда в SSi(a,b) определены эле-
элемент и(х) с представителем {ип(х)} и элемент w(x) с предста-
представителем \и'п (л:)}. w(x) называется обобщенной производной
(в смысле Соболева) от и(х). При этом пишут: w(x)— и'(х).
Упражнение. Докажите, что если и\ (х), ti2(x)^ Н1 (а, Ь)>
то k\Ui(x)+ X2u2(^)e W{a,b) и
(Ли, + U2)f (х) = кхи\ (х) + Х.У2 (х).
Докажите, что обобщенная производная постоянной равна
нулю.
Из определения обобщенной производной и'(х) видно, что
она определяется не локально, в отдельных точках, а глобаль-
глобально— сразу на всем [а, Ь]. Пусть ип(х), vn(x)e Я1 [а, Ь), п = 1»
2, ... так что {и„(х)} еи(л)е Н] (а, Ь),
{vn(x)}t=v(x)e=Hl(a, b).
Перей-дем к пределу при я->-оо в равенствах
К. »») = \ «» (х) vn (x) dx+\u'n (х) v'n (х) dx,
C)
1/2
и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Ле-
Лебега, придем к формулам A), B), где теперь производные по-
понимаются в обобщенном смысле, а интеграл — в смысле Лебега.
Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно поль-
пользоваться формулами C), D), взяв достаточно большое л, т.е.
вместо идеальных элементов и, v, uf, v' пользоваться их глад-
гладкими приближениями «„, vn, u'n, v'n.
9.3. Другое определение обобщенной производной. Пусть
О\а,Ь\—множество всех непрерывно дифференцируемых на
\а,Ь] финитных функций v(x) (см. п. 3.7). Если теперь и(х)
непрерывно дифференцируема на [а,Ь], то для производной
функции u(i)g C'[a,ftl справедливо следующее интегральное
тождество:
ь ь
и (х) v' (x) dx = — \ и' (х) v (x) dx, A)
проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством про-
производная и' (х) полностью определяется. Допустим, что, кроме
о
того, для любых и(х)е С1 [а, Ь] и некоторой непрерывной на
102
[а, Ь] функции w(x)'
и (лс) и' {x)dx =
(x) v (x) dx.
B)
Вычитая эти тождества, получим, что для любых v(x)&
еЬ[а,Ь]
h
W (x) — w (x)] v {x) dx = 0. .
Отсюда, вследствие плотности С [а, Ь\ в 2" [а, Ь\ (см. п. 3.7),
w(x)=u'(x) иа [а, 6]. Оказывается, интегральное тождество
B) можно принять за определение обобщенной производной.
Прежде всего, справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Если и <= Н1(а, Ь), то для любых v ^ С[[а,Ь\
справедливо тождество A).
Доказательство. Пусть {и„(х)}^ и(х), тогда для всех
иеС1 [а, Ь\ имеем A):
ь ь
\ ип (х) v' (x) dx = - \ и'п (х) v (х) dx.
а а
Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения
(см. п. 4.7) в последнем равенстве можно перейти к пределу
при n-voo. В результате мы получим тождество A) для лю-
любой функции ней' (а, Ь). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть даны и(х)е Я1 (а, Ь), ш е 3^г{а,Ь) та-
такие, что для всех v(x) e С1 [а, Ь] справедливо тождество B).
Тогда и и'(х)= w(x) (обобщенная производная).
Доказательство. Пусть {«п(х)}е и{х), а ш„(*)е w(x).
Тогда
ь ь ь
ип (х) vr (x) dx + \wn (x) v (x) dx = \ [и'п (х) - wn (*)] v (x) dx^d
а
При п->оо для любого »ёС1[й, Ь\.
Пусть z(x)e 3!<i\a, b] — класс, представителем которого
является (и'п(х) — wn(x)}. Тогда
ь
\>z{x)v (jc) dx = 0
а
для любых v ^ Cl[a, b]. Отсюда г(л:)= 0. Лемма доказана.
9.4. Простейшая теорема вложения. Абсолютная непрерыв-
непрерывность функций из //'(а, Ь).
Теорема 1. Hl(a, b) вложено в С[а,Ь].
103

Доказательство. Пусть и'(х)' непрерывно дифференци-
дифференцируема на [а,Ь]. Согласно теореме о среднем (см. [18]), вслед-
вследствие непрерывности и(х), найдется точка ^e[a,fc]
такая, что
и (?) = "frlTJ \ и (s) ^Si Поэтому на [а,Ь] справедливо следую-
следующее тождество:
ds
С помощью неравенства Коши — Буняковского имеем
| и (х)
ь
| и' (s) I ds + j^ \ I и (s) | ds <
где k = max(-\/b — a,—, \. Следовательно, для любой не-
V л/Ъ — a J
прерывно дифференцируемой на [а, b] функции и(х) справед-
справедливо неравенство
И««с1в.»1<*11«Ц,в.ь,- 0)
Пусть теперь последовательность {u,t(x)} e wl[а, Ь\—фунда-
Ь\—фундаментальная в метрике W-i[a, b]. Тогда
"»—
при п, т-^оо. Следовательно, {ип(х)} фундаментальна в смыс-
'ле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной
сходимости, сходится к м(*)е С[а, Ъ\. Тем более ип(л)->- и(х)у
л—>оо, в среднем. Таким образом, в классе из 3?i\a,b\, содер-
'Жащем {ип(х)} в качестве представителя, содержится непре-
непрерывная функция и(х), и, значит, этот класс можно отожде-
отождествить с и(х). Отождествим элементы Hl{a,b) с непрерывными
функциями. Пусть {«,. U)}e u(x). Переходя в неравенстве
II "я Не [а, ь) ^ k II un Hf [а. ь] к пределу при м->оо, придем к нера-
неравенству A).
Итак, вложение Н](а,Ь) в С[а,Ь] доказано. Доказательство
теоремы закончено.
Теорема 2. Функции из Н (а,Ь) абсолютно непрерывны^
т. е. справедлива формула A).
; 104
Доказательство. Пусть {«„'(*) }е и(х)'& Hl(a, b)\ Рас-
Рассмотрим тождество
Поскольку ип(х)->и(х), ип(а)-*-и{а) при п-*оо,
X X
a a
где u'(x)ei?2(ii, b) — обобщенная производная функции и(х), то
х
u(x) = \u'(s)ds + u(a). A)
a
Теорема доказана.
9.5. Пространства Соболева Я'(б) и Я1 (С). Пусть Gc/?J —
односвязная область с достаточно гладкой границей BG. В зам-
замкнутой области G = G + <Э6 рассмотрим линейное пространство
всевозможных непрерывно дифференцируемых функций и(х, у, г)
со скалярным произведением
до
ди dv . ди до
. A)
При этом
Полученное пространство со скалярным произведением обо-
обозначается Я1 (С), а его пополнение — это, по определению, со-
болевское пространство Я!(О).
Пусть {ип(х, у, z)} — фундаментальная последовательность
в Я1 (G), т. е. || ип — ит ||#, @) -> 0 при n, fft-*oo. Отсюда следует,
что в i?2(G) будут фундаментальными последовательности
<".»¦ Щ-
Щ
Вследствие полноты 2>2(G) в
которые мы обозначим
' имеются элементы,
и{х, у,
ди (х, у, z) ди (х, у. г) ди (х, у, г)
дх ду дг
гак что при п->-оо в среднем
дип ди дип
ил
и,
ди дип
дх
дх ' ду ду ' дг
ди
дг '
106

Элементы —г—, -г-, -т— называются обобщенными чагт-
дх оу dz
ными производными элемента и.
Скалярное произведение и норма задаются в fI''(G) теми
же формулами, что в Я'(С), в которых теперь производные
обобщенные, а интегрирование понимается в смысле Лебега.
Введем в рассмотрение пространство H[(G). Это пространство
является пополнением в метрике
G
линейного пространства функций, непрерывно дифференцируе-
о
мых на G и таких, что u|ao = 0. Hl {G) является гильберто
ьым пространством со скалярным произведением
[ [{ и до . ди (In , ди dv
Лемма. Если !ieW'(G), a ve=Hl{G), то
dv \ ( ди
—
dz ' XAQ)
Доказательство. Достаточно доказать первую из этих
о —
формул. Она, очевидно, справедлива, если wg_C'(C), a ueC'(G).
Пусть {ип} е /У1 (G) — фундаментальная в H[(G) последователь-
последовательность, предел которой — элемент нёЯ' (G). Переходя в то-
тождестве (ип, ^Л = — (-^j-. v),vf^Cl (G), к пределу при п—> со,
получим ("> 7Г") ~ ~ ("dF' v) для Л1°б°й t»eC'(G). Действи-
Действительно, из сходимости в 2>2(G), ип-^*и, п—>• оо, следует, что
\(vn, w) — (u, w)\= {un — u, w)\^\\w\\\\uH — ы||->0, я-^оо, т. е.
непрерывность скалярного произведения.
Пусть теперь {vn} — фундаментальная последовательность
в Я1 (G). Перейдем к пределу в тождестве [и, -j^-J = — {-^ , vnj
и получим искомое тождество.
Следствие. Hl(G) содержится строго внутри Hl(G).
Действительно, функция le№(G). Но \&Hl(G), иначе мы
имели бы (и, 0)==~"("й7> 1)- т- е-
для любой и
106
ди , , , п
-^dxdydz = O
Hl(G). Возьмем и = х и получим противоречие.
Теорема (Фридрихе). Существует постоянная с>0 такая,
что для любых кеЯ'((/)
О
Доказательство. По самому определению //'(G) всякий
о а
элемент из Я1 (G) принадлежит S?2(G). Пусть {«„}e//'(G) и
сходится в Hl(G) к «Eff'(G).
Построим куб Qa = {х, у, z: \x\^a, \y\^L a, \z\ ^ а}, содер-
содержащий область G. Функции и„ доопределим нулем в Qa\G.
Частная производная —^- существует всюду в Qa, за исключе-
нием, быть может, тех точек, в которых прямая, параллельная
оси абсцисс, пересекает границу dG области G. Для любой точ-
точки (х, у, z) e G имеем
По неравенству Коши — Буняковского
] ип (х, у, z) |
ч-а
дип ($, у, г)
Интегрируя полученное неравенство по Qa, находим
Так как м„ = 0 вне G, то
<4а2||ня
"if. (О)
приходим к доказываемому
Переходя к пределу при я-^
неравенству Фридрихса.
Следствие 1. Пространство Hl(G) вложено в S>2(G).
Это предложение непосредственно вытекает из определения
вложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.
о
Следствие 2. В Hl(G) нормы A) и B) эквивалентны.
Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем
I«llftl
(С)
9.6. Пространства H'(G). Рассмотрим сначала нормирован-
нормированное пространство Я'(С), состоящее из / раз непрерывно

дифференцируемых на О функций и(х, у, г), с нормой
Пополнение #' (G) по_этой норме обозначается Н1 (G). Пусть
дана {«„ (х, у, г)} е Яг (G), фундаментальная в Н1 (G), т. е.
оо. Поскольку
I «я — "я. Н#'(О)
¦О при л, т-
то каждая последовательность {Daun} фундаментальна в
3?i(С) для всякого мультииндекса а. такого, что |а|=0, 1, ...
..., /.В силу полноты пространства 9?%{G) в этом пространстве
существуют элементы, которые мы обозначим Dau, 0^|а|^/,
так что Daun-+ Dau, п->оо, з среднем. Если а ф 0, то Ьаи на-
называется обобщенной частной производной. Пусть cc=(cci,a2,
а3). Тогда
D™" = д а, a а? 1 а • I а | = а, + а2 + «з-
дха' дуа' дг '
Пространство H'(G) является гильбертовым пространством со
скалярным произведением
(и, v)~ I (Da«, Dav)y .
Справедлива следующая теорема вложения С. Л. Соболева.
Теорема. Пусть CcR3 — односвязная ограниченная об-
область с I раз непрерывно дифференцируемой границей I ^ 2.
Тогда имеет место вложение H'(G) в C'~2{G).
Доказательство основывается на следующих леммах.
Лемма 1. Если и I раз непрерывно дифференцируема на
G и Dau | до = 0 для всех а таких, что 0 ^ | а | ^ / — 1, го спра-
справедлива оценка
0<|al<f-2
или, короче,
0<|a|<!
Л n
(Daufdxdydz
'\
Доказательство. Воспользуемся формулой Остроград-
ского—Гаусса (см. [18]):
\\\ (U + |f- + 4|
Q
108
м
Положим здесь
и получим следующую формулу Грина:
Eo
= U-^ t)
- о
!?--»!?-) do
Нам будет удобнее переменные интегрирования обозначить те-
теперь через |, г\, ? и применить формулу Грина к области (дву-
связной) Йе = G\se(a:, у, г). Здесь (л, у, z)e G — некоторая
фиксированная точка, а seU, у, г)— шар радиуса е > 0 с цент-
центром в точке {х,у,г), где е настолько мало, что se(x,y,z)cz G.
Теперь имеем (ае(х,у,г) — сфера (х — |J + (У — мJ +
2
. Пусть теперь в этой формуле функция и удовлетворяет ус-
условию леммы, а функция v равна
о=4^. где г = У(*-1J + (У
Тогда на dG ц = 0 и -т—= 0, и, значит,
Далее, так как А —= 0, то
Наконец, на ое(х, у, z) —-=--—= -—5- =
дп
4ле '
ди
дг '
и, следовательно,
К . dv ди . 1
uda —
4ле
О (Я, У, 2)
109-

при е-v 0. (Площадь ае(х,у, z) как раз равна 4яе2, поэтому
можно воспользоваться теоремой о среднем значении.) Таким
образом, равенство A) принимает вид
и(х,у,г) + О(в)=--±
При е ->¦ 0 получаем следующее интегральное представление
функции и:
u(x,y,z)=-±;\^dldi\dZ. B)
а
Интеграл справа несобственный, так как в точке (х, у, z) функ-
функция 1/г неограничена, а равенство
представляет собою определение этого несобственного интег-
интеграла.
Упражнение. Покажите, что \ \ \ w J1' d\ dr\ dt,
cxo-
o
дится, если а < 3. Воспользуйтесь переходом к сферической
системе координат.
Из интегрального представления B) уже нетрудно получить
утверждение леммы при / = 2. Прежде всего, имеем оценку
где скалярное произведение берется в 9?i(G).
По неравенству Коши — Буняковского (нормы в
|/|i!fi 4-1-^-
1 дх2 ^ \\ дц2
^const
или, короче,
0<|а|<2
Пусть теперь и е #3(G) и на dG обращаются в нуль вторые
производные и. Дифференцируя формулу B) по .г, получим
ди
дх
4п \ дх \ г J )
4л
±, д
г
L
дх
Дифференцирование интеграла в правой части B) законно, так
как сам он сходится равномерно, как и интеграл, полученный
формальным дифференцированием по х. Оценивая ди/дх, полу-
полу110
чаем (нормы в
ди
дх
д3и
дхдг2
IOf'u|<const
^const
Аналогично оцениваются ди/ду и ди/дг. В результате мы
приходим к оценке
I |Dau[r^< const ? |Da4
|a| = l ( 0<|a|<3
Складывая это неравенство с неравенством C), получим
Ци|1с,(о,<С|1«11й (ОГ
Этим же приемом последовательно оценивается норма и в
С2E) через ее норму в #4(С), затем норма и в O(G) через ее
норму в ПЪ(О) и так далее, пока мы не получим искомую оцен-
оценку нормы и в C'-2(G) через ее норму в Rl{G). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть G cz R3 — односеязная ограниченная об-
область с / + 1 раз непрерывно дифференцируемой границей.
Всякую функцию и(х,у, z)e fl'(G) можно продолжить в неко-
некоторую область G' гз G так, что и(х, (/, г) е fl'(G'), u{x,y,z)
финитна в G' и существует такая постоянная С\ > 0, завися-
зависящая только от области G и числа I, что для любых продолже-
продолжений и (х, у, г) выполняется оценка
Доказательство. Введем на 2 криволинейные коорди-
координаты (|, х\) и запишем уравнение поверхности в параметриче-
параметрической форме: г = Го(Е. ц)— или в координатах:
х = хоA, ц), у = уоA, ц), z = zo(l, т\),
причем будем считать, что (?, r|)e Oi@), т. е. 2 является обра-
образом единичной сферы, и что функции х, у, z — / + 1 раз непре-
непрерывно дифференцируемы на Oi@). Пусть п—единичный вектор
внешней нормали к 2.
Пусть 6>0 настолько мало, что при (|, r|)i= О| @) векторы
Го(?. л)+"? не пересекаются и их концы лежат в G, так что в
замкнутой области
2* = {(I Л. ?). (I, Л) е а, @), -КК0)
задано взаимно однозначное /+ 1, раз непрерывно дифферен-
дифференцируемое отображение г = го(|, ц)-\- я?, которое в координатах
имеет вид
* = *(!, т], ?), у = у(?,ть?). z = z(l, т]Д). D)
ill

Запишем в 24 функцию и(х, у, г) в переменных (%, г\, ?;).
Продолжим ы(?,т), ?) в область
ь={A, Л. С), (I,
полагая при
" (I, Л. С) =
E)
причем за постоянные ai, .... a<+i возьмем решение следующей
линейной системы уравнений:
F)
Определитель этой системы, так называемый определитель
Ван-дер-Монда, отличен от нуля, так что система F) имеет
единственное решение.
Теперь функция и определена в области 2e"U2e". Оказы-
Оказывается, и непрерывна в этой области вместе с частными
производными до порядка / включительно. Достаточно
проверить непрерывность и и ее производных на 2, т. е. при
% — 0. Из формулы E) мы видим, что вследствие первого из
уравнений F) пределы и при ?-»- ±0 равны
и F, п, + 0) = ?
аки
- 0) = и
- 0).
Аналогично обстоит дело с ди/д% и ди/дц. Далее, в силу
второго из уравнений F)
диA,х\. +0) _
_ у / I \ ди (|. л. - 0) _ <?" (S, г\, - 0)
А аЧ fe У dt, ~ di
Точно так же проверяется непрерывность остальных частнык
производных.
Сделаем теперь продолженную функцию и финитной. Для
этого умножим ее на срезывающую функцию (п. 3.7) se(?) так,
чтобы и = 0 при 6/2 < % < б, (I, ц) <= ai @). Сохраним для сре-
срезанной функции обозначение и. Из формулы E) теперь нетруд*
но получить оценку
i
t
112
Действительно, из E) имеем неравенство
t+i f+i
*-0
Интегрируя по 2<f, получим
г-н
Аналогично, дифференцируя E), получаем такие же оценки
для производных. Складывая полученные оценки, приходим к
неравенству G).
Наконец, вследствие невырожденности отображения D)
оценка G) останется верной в переменных (х,у,г).
Таким образом, доказано неравенство
Но поскольку 2а" cz G, то
Следовательно, имеем оценку (G'=
Доказательство леммы закончено.
Теперь уже легко установить вложение Hl(G) в CJ-2(G), т.е.
справедливость теоремы Соболева. Всякую функцию и е Hl(G),
/ ^ 2, по лемме 2 можно продолжить в более широкую область
О', где она будет финитна. По лемме 1 имеем тогда
II«IIC'-2(O)<*I'MII/>'(OI-
Поскольку это неравенство справедливо для любой фунда-
фундаментальной в fl'(G) последовательности {ип} е и е Hl(G), то
предельным переходом получаем неравенство
и теорема вложения Соболева доказана.
О более общих теоремах вложения смотрите в [32], [21].
.[26], [И].

Г л а в а III
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 10. Линейные операторы. Непрерывность и ограниченность
10.1. Общее определение оператора. Пусть X и Y— множе-
множества произвольной природы. Пусть, далее, D <=: X, т. е. в X вы-
выделено подмножество D. Если каждому элементу х е D ста-
ставится в соответствие определенный элемент у е У, то говорят,
что задан оператор у = F(x). При этом множество D называет-
называется областью определения оператора F и обозначается обычно
D(F). Множество
R = R(F) = {yf=Y; y = F(x), лее/)}
называется областью значений оператора F. Схематически дей-
действие оператора F можно изобразить следующим образом:
что кратко будем записывать так:
F: X-+Y.
В последней записи не подразумевается, что D(F) = X или что
R{F)=Y.
Вместо термина «оператор» можно пользоваться идентич-
идентичными терминами «функция», «отображение». Термин «функция»
употребляется чаще в случае, когда X и Y — конечномерные
линейные пространства. Термин «отображение» употребляется
обычно в вопросах геометрического характера. При этом поль-
пользуются также еще следующей геометрической терминологией.
Если
y = F{x), xezD(F), y^R(F),
то говорят, что элемент у является образом элемента х, а эле-
элемент х — прообразом элемента у. Множество всех образов у,
когда х пробегает D = D(F), есть R(F), так что R(F)=F(D):
область значений оператора есть образ его области определе-
определения.
Остановимся еще на понятиях равенства операторов, их су-
сужения и расширения.
114
Два оператора F: X -*- Y и Ф: X -* Y называются равными,
если совпадают их области определения (D(F)= О(Ф)= D) и
/г(х) = ф (х) для всех х е D.
Оператор Ф называется расширением оператора F (а опера-
оператор F — сужением оператора Ф), если ?)(Ф)=з D{F) и Ф(х) =
= F(x) для всех х е D(F).
Мы определили выше однозначные операторы F, для кото-
которых каждому прообразу х отвечает единственный образ у.
В приложениях иногда встречаются многозначные операторы,
когда каждому х ставится в соответствие множество F(x)cz Y.
Всюду ниже рассматриваются только однозначные операторы.
10.2. Взаимно однозначные операторы. Пусть F: X—*Y.
Фиксируем y^R(F) и рассмотрим множество всех прообразов
элемента у, которое далее обозначается F~l(y). Очевидно, это
множество не пусто. Очень важным является случай, когда
F~l(y) состоит ровно из одного элемента, который мы обозна-
обозначим через х.
Определение. Оператор у — F(х) называется взаимно
однозначным, если каждому образу y^R(F) отвечает един-
единственный прообраз х = F~l (у). Если F взаимно однозначен, то
формула x = F~l(y), где у пробегает R, определяет оператор
F~l: Y-у-X, который называется обратным к F. Очевидно,
Оператор F~] осуществляет, таким образом, «обратное» со-
соответствие. Заметим, что если не предполагать, что F взаимно
однозначен, то формула х = F~x (у) может определять «много-
«многозначный обратный оператор».
10.3. Суперпозиция операторов. Пусть даны множества X, Y,Z
произвольной природы и операторы
F с D(F)<=X и R (F) = Y;
Ф с D (Ф) s Y и R (Ф) s Z.
Если R(F)^D(<t>), то имеет смысл оператор Ф от опера-
оператора F, или, как часто говорят, суперпозиция операторов F и Ф,
т.е. оператор Z — O[F(x)\, отображающий D(F) в /?(Ф) (т.е.
®[F(D(F)) ] S /?(Ф)). Этот оператор обозначают иногда через
Ф * F и называют произведением операторов Ф и F.
Мы не касаемся здесь свойств введенного «умножения» опе-
операторов, которые позднее будут рассмотрены для конкретнык
классов операторов. Отметим лишь, что если F взаимно одно-
однозначен на D(F), то
F~[*F = IX на D(F).
F*F~l=Iy на R(F),
115

где через Ix и через h обозначены тождественные операторы
в X и в У соответственно. (Оператор h, например, действует по
формуле h{x)—x для .<el Запись h на D(F) обозначает,
что равенство 1х(х) = х справедливо только для xgD(F),)
Отметим, что если включение J?(F)?fl(®) не имеет места,
то иногда все-таки удается определить суперпозицию Ф * F на
более узком множестве D' czD(F), если только F(D')s О(Ф).
10.4. Операторы в нормированных пространствах. Предел
и непрерывность. Пусть теперь X и У — нормированные простран-
пространства. Пусть дан оператор F: X-> У такой, что его область опре-
определения D(F) содержит окрестность S(x0) точки *0, за исклю-
исключением, быть может, самой точки х0. Напомним, что под окре-
окрестностью точки мы понимаем любой открытый шар с центром
в этой точке.
Определение 1. Элемент уо^У называется пределен
F(x) при х-+хо (записывается уй— Mm F(х) или, короче,
F(x)-+yo при х-+хй), если для любого е > 0 можно указать
6 = 6(б)>0 такое, что для всех xeS(x0), удовлетворяющих
неравенству ||* — *oll< б, имеем \\F(x)—yoll< е.
Данное определение принадлежит Коши. Для F: ?' -*¦ Е1
(т. е. для функции вещественного переменного со значениями
также на вещественной оси) это — известное определение пре-
предела функции. Если F: Rni->Rl, то мы получаем определение
предела функции т переменных.
Определение 2. Пусть дан оператор F: X-+Y, опреде-
определенный в окрестности точки хо. Оператор F называется непре-
непрерывным в точке Хо, если F{x)-+ F(x0) при х -*¦ х0.
Данное определение обобщает определения непрерывности
функций одного или нескольких вещественных переменных, ото-
отображения, функции комплексного переменного и т. д.
Определение 3. Пусть F(x)— оператор с областью оп-
определения D(F)aX и с областью значений R(F)cz Y, где X и
У —нормированные пространства. Оператор F будем называть
ограниченным, если он переводит всякое ограниченное в X мно-
множество из D(F) во множество, ограниченное в У.
Более подробное изучение нелинейных операторов мы про-
проведем позднее. Пока же займемся систематическим исследова-
исследованием линейных операторов — случаем частным, но постоянно
встречающимся в приложениях. К тому же теория линейных
операторов, обладающих целым рядом хороших свойств, разра-
разработана значительно лучше, чем теория нелинейных операторов.
10.5. Определение линейного оператора. Пусть Я и У — ли-
линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Определение. Оператор А: X-+Y с областью опреде-
определения D(A) называется линейным, если
1) D(A)— линейное многообразие;
116
2) A (Mi + Ux2) = UA (*i) + X2A (x2)'
для любых х\, x-i e D и любых скаляров Я.1, Х2.
Понятие линейного оператора обобщает понятие линейной
функции у — ах, где переменные х, уе?, а а — фиксирован-
фиксирование вещественное число. Чуть более сложный пример линейного
оператора дает функция комплексного переменного w = az, где
переменные z, w и множитель а — комплексные. В линейной
алгебре изучаются линейные операторы в конечномерных ли-
линейных пространствах. По аналогии с записью линейной функ-
функции при записи линейного оператора мы всюду в дальнейшем
опускаем скобки и будем писать у = Ах. При этом А выступает
как операторный коэффициент при х.
Теорема. Область значений всякого линейного оператора
является линейным многообразием.
Доказательство. Пусть у\, y2^R{A) и Х\, Х2— ска-
скаляры. Возьмем элемент х\ е D(A)— прообраз у\ и элемент xi e
gD(A)—прообраз элемента у% т. е. Ах\ = у\, Ах2 = У2. Ис-
Используя линейность А (свойство 2) определения 1), получаем
= А
К2х2).
Это означает, что элемент Mi + Х2х2 е D(A) (по свойству 1)
определения) является прообразом элемента Х\у\ + Х2у2, т. е.
последний принадлежит R(A). Теорема доказана.
Практически наиболее важны два случая задания линейных
операторов:
а) D(A) = X, т. е. А задан всюду в X.
б) Пусть .X — нормированное пространство, и пусть О = Х
(замыкание множества D совпадает со всем пространством X).
В этом случае говорят, что оператор А плотно задан в X или
что область определения А плотна в X.
10.6. Непрерывные линейные операторы. Пусть X и У — нор-
нормированные пространства и A: X-*-Y, A — линейный оператор,
всюду заданный в X (т. е. D(A) = X).
Оператор А называется непрерывным в точке х0 е X, если
Ах-+Ахо при x-*-xq. Оказывается, судить о непрерывности ли-
линейного оператора в различных точках х0 е X можно по непре-
непрерывности его в нуле пространства X.
Теорема. Пусть линейный оператор А всюду задан в ба-
банаховом пространстве X и со значениями в банаховом простран-
пространстве У непрерывен в точке OeJf; тогда А непрерывен в любой
точке xq e X.
Доказательство следует из равенства Ах — Ахо =
= А (х — хо). Если х -> х0, то z — х — хо -+ 0. По непрерывности
ь нуле Лг->-0, но тогда Ах — Ахо-+О, что и требовалось дока-
доказать.
Определение. Линейный оператор А называется непре-
непрерывным, если он непрерывен в точке х = 0.
117

10.7. Ограниченные линейные операторы. Если Ах = 0 для
любого х е X, то оператор А называется нулевым оператором
и обозначается 0.
Пусть А всюду задан в банаховом пространстве X и значе-
ния его лежат в банаховом же пространстве Y. Если А ф Q, то
его область значений R{A) представляет собой неограниченное
множество (покажите!).
Поэтому линейный оператор А ф 0 не может быть ограни-
ограниченным на всем пространстве X. Согласно определению 3 п. 10.4
линейный оператор А следовало бы назвать ограниченным, если
он переводит ограниченные множества в ограниченные. При-
Приводимое ниже определение отражает это же содержание. Пусть
5i@) — замкнутый шар IUII=^1 в банаховом пространстве X.
Определение. Будем называть линейный оператор А с
D(A) — X, R(A)czX ограниченным, если он ограничен на еди-
единичном шаре Si@), т. е. если ограничено множество
{II Л* II, IUIK1}.
Согласно определению, если А ограничен, то существует по-
постоянная с > 0 такая, что для любых х с ЦхЦ^ 1 справедливо
неравенство
. A)
Теорема \. А ограничен тогда и только тогда, когда спра-
справедлива оценка
||*|| B)
для любых ieI, где с — постоянная из A).
Доказательство. При х = 0 неравенство B) очевидно.
I л:'||=1, поэтому из A) сле-
Пусть х ф 0. Положим х=
дует, что || Ах' || ^ с, т. (
х \ 1
TiT )~ТТ? ^х> а по свойству однородности нормы
-*• II У II ¦* II
11*11
л
По
линейности Л
ЦгЛл:|!=
:и*п
ми
Мы получаем неравенство
II л* II
<с, т. е. B).
с, т. е. А
_ ||
Обратно, если верно B), то в S, @) имеем
ограничен. Теорема доказана.
В определении ограниченности А мы требовали ограничен-
ограниченность А на единичном шаре. Оказывается, отсюда вытекает
ограниченность А на любом ограниченном множестве.
Теорема 2. Пусть М ? X и М — ограниченное множество;
тогда множество {||Лл;||, х е М) ограничено.
Доказательство. Согласно определению ограничен-
ограниченность М означает, что существует шар 5«@)эМ. Для хе
eSj@), вследствие B), имеем ||Ля||< C||jc||^ CR, т. е. Л ог-
ограничен на Stf@), а тем более на его части М.
118
- Следствие. Если А — ограниченный линейный оператор,
JO он ограничен на любом шаре S/?(x0) (хое X и R > 0 — про-
произвольные) .
10.8. Эквивалентность понятий линейного непрерывного и
линейного ограниченного операторов.
Теорема. Пусть A: X-+Y, А — линейный оператор, X, Y —
банаховы пространства, D(A) = X. Для того чтобы А был не-
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен-
ограниченным. .
Доказательство необходимости. Пусть Л непре-
непрерывен. Допустим, что теорема не верна и Л неограничен. Тогда
множество ЛE[@)) неограничено. Отсюда следует, что для лю-
любого натурального п существует хп е X с ||-.*я||^ 1 такой, что
> п. Возьмем х'я = хп/п:
\\хп\\
;—> о при п—> оо.
По непрерывности
С другой стороны,
оператора А имеем
\\Ах'Л = -\\Ах_\\>1.
Лл;^->0 при п—> оо.
Полученное противо-
противоречие доказывает первую часть теоремы.
Доказательство достаточности,
ничен. Тогда имеем неравенство B) п. 10.7:
Пусть Л огра-
Отсюда, если л-->-0, то и Лл:->0, т. е. А непрерывен в точке 0,
т. е., согласно п. 10.6, Л непрерывен.
10.9. Примеры линейных операторов в конечномерных про-
пространствах. В линейном пространстве R m-мерных столбцов
•* = (ЫГ> У = (Г11)Г- ••• равенство
У = Ах, A)
где A = (all), i, } = 1, ..., m, — квадратная матрица порядка
т, понимаемое как матричное равенство (матрица-столбец у
равна произведению матрицы Л на матрицу-столбец х), задает
некоторый оператор Л.
Упражнение 1. Покажите, что Л — линейный оператор
в R"'.
В координатах равенство A) записывается так:
П,= Z
/=1.2 m.
B)
Одно и то же алгебраическое выражение A) или B) может
определять различные линейные операторы, действующие из
одного конечномерного нормированного пространства в другое,
так как в Rm одну норму мы можем задать в области опреде-
определения оператора и другую — в его области значений.

Призер 1. Будем рассматривать А как оператор, дей-
действующий в пространстве ст. Докажем, что А ограничен. Имеем
оценку
1% К ?|а„ III, |< ZjOf/lsuplS/
следовательно,
llyll*<YmlUllft, где Ym= sup
1 < i <
l*По-
l*ПоТогда IH^IU^ YmlUII*. Согласно теореме 1 п. 10.7 А ограничен.
Пример 2. Будем рассматривать А как оператор, действую»
щий из /Г в С\ где р> 1 и 1 + 1 = 1. Тогда
m
I
1 = 1
m
m
E aut
/-i
m
L
/=|
m
= Е |
(.7=1
согласно неравенству Минковского. Следовательно,
= I |а„Г •
где
Отсюда вытекает ограниченность, а значит, и непрерывность Д.
Пример 3. Будем рассматривать Л как оператор, действую-
действующий в t™\ р> 1. Имеем следующую оценку:
(т)
_ у
1=1
I V I1"
I X h (mi-
Таким образом, || Лдс|| <«) <am||л;|| <m), где
'p 'p
¦--[sCs1"»1') J
Упражнение 2. Покажите, что А можно трактовать как
ограниченный линейный оператор в 1™ ¦
10.10. Примеры линейных ограниченных операторов в про-
пространствах последовательностей. Формальное алгебраическое
выражение у = Ах или, подробнее, п{ =
/. * = 1.2, ...,
где .v и у — столбцы бесконечного порядка, может определять
при тех или иных ограничениях на матрицу (а,/) линейные опе-
операторы в нормированных пространствах последовательностей.
' Пример 1. Если Y = sup E \аа К + °°. то А является
ограниченным линейным оператором в пространстве т ограни-
ограниченных числовых последовательностей. Действительно, пусть
х«=(?<)Гет« а хп имеет первые п координат & \п, а
остальные—нули. Согласно примеру 1 п. 10.9
Значит,
CO
. Z Ъ ill
<У\\х\\т, откуда
(оо \Щ
L \ац\") < + оо, то А — линей-
i,/=i /
ный ограниченный оператор, действующий из 1Р в i, [р > 1,
i+i=i).
[ОО / ОО NP/fl-jl/P
Е(Е la./l') < + оо,тоЛ —
1=1 \/-i / J
линейный ограниченный оператор, действующий в ip, p~> \.
Упражнение. Провести соответствующие оценки в при-
примерах 2 и 3 по образцу примера 1.
В отличие от п. 10.9, только жесткие требования сходимости
рядов a, p и y обеспечивают ограниченность А. Позднее мы
¦увидим, что отказ от этих требований приводит к линейным, но
неограниченным операторам.
10.11. Интегральные операторы в пространствах функций.
Интегральное выражение v = Ки, подробнее:
=^ К (х, s) и (s) ds,
A)
в котором мы предполагаем функцию К(х, s) непрерывной в
квадрате [а,Ь]У.[а,Ь], может определять различные интег-
интегральные операторы.
Рассматривая К как оператор в С[а,Ь], получим оценку
тах
С, 5)|ds||«|lcla,ft]-
120
121

Аналогично, если К действует из 9?р[а, Ь\ в 2*q[a, Ь], то
имеем (р > I, р-[ + q~[ = 1)
6
о (х) i <
. s)u(s)ds
<[\\К(х, s)\qds\ И и || 2, i«, »i.
\v(x)\4<\\ K(x, s)?ds\\u\\%pla b].
откуда
Интегрируя и затем возводя в степень l/q, получим
Ъ Ъ
Отсюда вытекает, что если {«„} фундаментальна в &р[а,Ь\, то
{vn}, где vn = Kun, фундаментальна в 2?q[a,b]. Следовательно,
предельным переходом можно получить неравенство
Ь Ь \Ий
Таким образом, К ограничен и как линейный оператор, дей-
действующий из 3?Р [а, Ь] в 2?q [о, Ь\.
Аналогично определяются интегральные операторы, соот-
соответствующие интегральному выражению
v(x)= ^ K{x, s)u{s)ds,
а
где G — ограниченная, кубируемая область в Ет ([18]).
10.12. Дифференциальные операторы. Рассмотрим линейные
дифференциальные операторы, определяемые дифференциаль-
дифференциальным выражением
Аи= Z л« (•«) Dau,
где для простоты коэффициенты аа{х) непрерывны в ограни-
ограниченной замкнутой области G. Имеем следующую оценку
тах ? \aa(x)\\Dau\<
< max||aaWilC(o,max E \Dau\<K\\u\\c!{5),
la /<( G l"l<»
rAe k= шах ||а„|1СE). Следовательно, Л —линейный ограни-
ограниченный оператор, действующий из C'{G) в С (О).
Упражнение. Повторите рассуждение данного пункта
для случая одной переменной (т = 1) на [а, Ь].
122
в И. Пространства линейных операторов
Л.1. Нормированное пространство <? (X, Y). Норма линейного
оператора. Пусть А, В, С, ... — линейные непрерывные опера-
операторы, определенные всюду в нормированном пространстве X и
со значениями в нормированном пространстве Y. Определим на
множестве всевозможных таких операторов операции сложения
операторов и умножения оператора на число. Положим по оп-
определению
(А + В) х = Ах + Вх,
(Ы) х = КАх.
Упражнение 1. Доказать, что А-\-В и ХА — линейные
непрерывные операторы.
Упражнение 2. Доказать, что выполнены все аксиомы
линейного пространства.
Подчеркнем следующее обстоятельство: во всех наших рас-
рассуждениях пространства X и У оба вещественные либо оба
комплексные (см. п. 10.5). В первом случае скаляры в линей-
линейном пространстве операторов берутся вещественными, а во вто-
втором — комплексными.
В получившемся линейном пространстве операторов норму
можно задавать различными способами. Принято, однако, вво-
вводить ее вполне определенным образом. Положим
|Л||= sup || Ас ||.
II * и < 1
A)
Поясним, почему существует конечное число ||Л||, определяе-
определяемое для любого ограниченного оператора равенством A). Со-
Согласно формуле A) п. 10.7 существует постоянная с> 0 такая,
что множество
ограничено сверху постоянной с. По теореме о верхней грани
(см. [18]) sup 5Ш = | Л | существует (единственная).
Из первого свойства определения sup 9JI ([18]) следует, что
И^*"^;IIЛ|| дЛя всех xeSi(O). Отсюда, согласно теореме 2
п- 10.7, мы имеем неравенство
справедливое для всех х^Х, включая х = 0. Таким образом,
ИЛII является наименьшей из констант в неравенстве B) п. 10.7,
и. значит, оценка B) (п. 11.1) является наилучшей. Если уста-
установлена оценка ||Лд:|К с||,г||, то ЦЛЦ^с. Таким образом, в
п- Ю.9, 10.12 получены оценки для норм различных линейных
ераторов. Можно показать, что, на самом деле, все эти оцен-
точны, т. е. полученные постоянные являются нормами
123

соответствующих линейных операторов. Ограничимся следую-
следующим примером (см. пример 1 п. 10.9).
Пример. Покажем, что норма линейного оператора Л, за-
задаваемого алгебраическим выражением B) п. 10.9 и рассмат-
риваемого как оператор в ст, равна ут= max Х|а;Д
В примере 1 п. 10.9 доказано, что НН^ут- Докажем об-
обратное неравенство HII^Y™. откуда и будет следовать наше
утверждение. Пусть i0 таково, что Х- |a/,,/| = Ym. Возьмем ха —
= (signaie/)™=1. Очевидно, \хй|| = 1. Имеем
Проверим аксиомы нормы.
1) Очевидно, ||А||;з=0, так как ||A*ll^0 для всех х. Пусть
||Л||= 0, тогда по неравенству B) Лх^О, следовательно, А —
нулевой оператор.
2) ||L4||=sup||>.A*|| = |MIHI|.
3) Пусть ||*||<1. Тогда \\Ах + Вдс||«-?||Длс|| + 11В*1К1И1|4-
| Следовательно, при любом xe5i@) || (А + 5)л;||^
||. Переходя к sup слева, получим неравенство тре-
угольника.
Итак, все аксиомы нормы выполнены. Полученное нормиро-
нормированное пространство линейных непрерывных операторов, дей-
действующих из всего X в У, принято обозначать &{Х, У).
11.2. Равномерная сходимость линейных операторов. Пусть
дана последовательность операторов
{Ап)с9?(Х, У).
Будем говорить, что А„-*- А е 3?(X, У), я->-оо, равномерно,
если Ил — ЛИ-»- 0, п-*- оо.
Таким образом, равномерная сходимость последовательно-
последовательности линейных операторов — это сходимость по норме простран-
пространства 9?{Х,У). Добавление прилагательного «равномерный» оп-
оправдано следующими обстоятельствами.
Теорема 1. Для того чтобы Ап-+А, п -*- оо, равномерно
(А„, А е 5?(Х, Y)), необходимо и достаточно, чтобы А„х-^>-Ах,
п->оо, равномерно по х в шаре 11*11^ 1.
Доказательство. Необходимость сразу же сле-
следует из неравенства
справедливого для любых х с ||х||^ 1. Действительно, если
Ил —14||-*-0, я-э-оо, то для любого е > 0 существует номер jV
такой, что при любых номерах п > N будет иметь место нера-
неравенство \\Ап — Л||< е. Но тогда \\Апх — A*||< едля всех« > N
и любого xeSi@)= {х \\x\\ ^ 1}. Это и означает сходимость
{АпА к Ах равномерно в Si@),
Достаточность. Пусть для любого е > 0 существует /V
такой, что, как только п> N, сразу же ||Ляа; — Лаг||< е/2 для
вСех i? S[@). Отсюда
sup ||(ЛЛ-Л)^||<|<е.
Вспоминая определение нормы линейного оператора, полу-
получаем Н„ — Л||< е для всех п> N. Это и означает, что Ап^-А,
/t->-oo, равномерно.
Следствие. Пусть Ап-+А, м->оо, равномерно, и пусть
М — произвольное ограниченное множество в X. Тогда Апх -*¦
~+ Ах, п -> оо, равномерно по л: е М.
Доказательство. Так как М ограничено, то существует
шар Sr@)zd M. Но тогда
„ - Л HIUII < Я|| Л„ - Л ||->0.
Следствие доказано (см. доказательство необходимости в пре-
предыдущей теореме).
В заключение этого пункта приведем следующее предложе-
предложение.
Теорема 2. Если X нормированное, a Y банахово, то
&{Х, Y) банахово.
Доказательство. Пусть {Ап}—фундаментальная в мет-
метрике &{Х, Y) последовательность, т. е. для любого е>0 су-
существует номер N такой, что для любых п > /V и любых нату-
натуральных р выполняется неравенство ||ЛЛ+Р — А„||<е. Пусть
хеХ. Рассмотрим последовательность {Лпл:}. Она также фун-
фундаментальна, что следует из неравенства
Но У полно, следовательно, {Апх} сходится. Положим
У= lim An*. Эта формула ставит в соответствие каждому
л-*оо
леХ определенный элемент у е У и, следовательно, опреде-
определяет оператор у ¦= Ах.
Из линейности операторов Ап и свойства предела следует,
что Л — линейный оператор (докажите!). Покажем, что Л огра-
ограничен. Для этого заметим, что {Ня||} также фундаментальна.
Это следует из неравенства
Но тогда {||А„(|}
Следовательно,
ограничена, т. е. существует
ОО: ||А„|Ю, /1=1,2, .
124
125

Переходя в этом числовом неравенстве к пределу при п -*¦ оо,
получим
|||
Итак, А ограничен, значит, А е 3?(Х, У). Теорема доказана.
П.З. Ряды в 5S (X, У). Пространство^ (А). Согласно общему
определению сходимости рядов (см. п. 5.6) ряд X Ak, Ak s
^l3?(X, У), сходится равномерно, если сходится равномерно
п
последовательность его частичных сумм Sn— 2J ЛА.
ОО
Ряд ? Ak сходится абсолютно, если сходится числовой ряд
ас
?j \\Ak\\. Нетрудно перефразировать на случай, когда про-
А = 1
странство 9? {X, У) банахово, критерии Коши абсолютной и рав-
равномерной сходимости ряда в 3?{Х, У).
оо
Теорема. Пусть 2?{Х, У) банахово. Если ряд ? Ak cxo-
дится абсолютно, то он сходится и равномерно.
Доказательство.
-sn|i = l if aJ< "Z IIЛII-
Осталось воспользоваться сначала критерием Коши абсолютной
сходимости, а затем — равномерной.
Пространство & {X, X) = 3? (X) особенно часто встречается
в приложениях. В 3? (X) можно ввести еще одну операцию —
умножение операторов. Пусть /leS'fX) и Вей1^). Поло~
жим, по определению, {АВ) (х) = А (Вх).
Упражнение 1. Показать, что АВ е S? (X).
Далее, в 2?(X) определена степень Л* {к натурально) опе-
оператора А; полагаем
АА, Л1 =
и т. д.
Упражнение 2. Показать, что
(АН)С = А(ВС), (А + В)С =
С(А + В) = СА + СВ, 1А =
ВС,
для любых Л, S, Се5;(А). Здесь / — тождественный (единич-
(единичный) оператор, определяемый равенством Ix = x для любого
Заметим теперь, что умножение в З'(Х), вообще говоря, не
обладает свойством перестановочности (коммутативности). Ра-
Равенство АВ = ВА выполняется даже в случае конечномерного
176
пространства X очень редко (см. задачу 7 в конце параграфа).
В алгебре множество элементов с операциями их сложения
и умножения, обладающими перечисленными оыше свойствами
пространства З'(Х), называют некоммутативным кольцом с еди-
единицей.
Пусть А, В е & (X). Тогда справедливы оценки
|| i41| || Д ||, ||ВЛ||<||В||||Л||. (I)
| Л !|
Действительно, из определения нормы линейного оператора
следует
|| ЛВ|| || Л (В)||<|| Л !||| fli <|| Л |||| BIIIU ||,
= || Л
значит, |ИД||^|И||||Д||. Аналогично доказывается и второе из
неравенств A).
Докажем теперь следующее предложение.
Лемма. Пусть {Л„}<= ^(Х), {Bn}cz^(X); А,Ве=9>{Х).
Если при п-+оо Ап-+А, а Вп-+В, то АпВ„-+АВ.
Доказательство вытекает из неравенств A):
1| ЛЯВ„ - ДВ || = || (Д, - Л) В„ + А(Вп- В)|К|| Л„ - Л||||В„|| +
+ || Л || || В„- В ||,
и ограниченности {||В„||}.
Наличие умножения в 3?(Х) дает возможность ввести в
рассмотрение функции от операторов, определенные на 3?(Х)
со значениями в З'(Х).
Упражнение 3. Определим функцию оператора еА, Ае
&{Х), по формуле
ед =
ftl
/г=0
Доказать, что еА
114 С
е«и«
11.4. Сильная сходимость в & (X, У). Наряду с равномерной
сходимостью в пространстве 3?(Х, У) линейных ограниченных
операторов, можно ввести еще один вид сходимости, также ча-
часто встречающийся в приложениях.
Определение. Пусть дана последовательность {Л„}сг
d?(X, У). Будем говорить, что эта последовательность сильно
сходится к оператору А^З?(Х, У), если для любого хеХ
>-0, п—у оо. A)
Заметим, что если Ап-*-А, п-+оо, равномерно, т. е. по нор-
норме &{X, У), то Ап-+А, п-*-оо, сильно. Действительно, это
сразу же следует из оценки
Не будут ли в таком случае оба вида сходимости в 9?{Х, Y))
эквивалентны? Следующий пример показывает, что это не так.
127

В пространстве /2 последовательностей л = D<)Г=1 с ? 14* I2 < °°
рассмотрим оператор у — Рпх, где г/ = (ть)П.| определяется так:
Ц{ = h> «=1,2 п, T]i = 0 при i > п. Имеем
со
i-.n + l
(как остаток сходящегося ряда).
Следовательно, Рп-*-1, я-> <х>, сильно, где / — тождествен-
тождественны и оператор в /2.
Покажем, что утверждение Рп~*-1, п-*-оо, равномерно, яв-
является неправильным.
Действительно, для всякого х е h с ||х||= 1 и такого, что
Р„х — 0, имеем \\(Рп — 1)х\\= 1. Следовательно,
||Р„-У||= sup \\(Pn-I)x\\^\
и равномерная сходимость {Р„} к 1 невозможна.
Упражнение. Найти общий вид тех элементов х е /2, для
которых Рпх = 0.
Замечание. Вместо термина «сильная сходимость» иног-
иногда употребляют термин «поточечная сходимость» (или «точеч-
«точечная сходимость»), так как речь здесь идет о сходимости значе-
значения Ап в каждой точке х.
11.5. Принцип равномерной ограниченности. Рассмотрим те-
теперь круг вопросов, связанных с принципом равномерной огра-
ограниченности и теоремой Банаха — Штейнгауза.
Лемма. Пусть {An}cz &{Х, У), и пусть существуют по-
постоянная с>0 и замкнутый шар 5г{хй) такие, что \\Anx\\^ic
для любых x^Sr(x0) (т. е. последовательность {Ап(х)} равно-
равномерно ограничена на Sr(x0)). Тогда {||Л„||} ограничена.
Доказательство. Возьмем любое iel, хфО; тогда
элемент х0 +
\\x\\
Sr{x0) (почему?). Следовательно,
г
IUI
1с
Отсюда ||ЛЛл:|К— IUH, и, следовательно, ||Л„1К2с/г. Лемма
доказана.
Теорема 1 (принцип равномерной ограниченности). Если
{Апх} ограничена при каждом фиксированном igI, то {||Л„||}
ограничена.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тог-
Тогда {||Л„*||} не ограничена ни в каком замкнутом шаре,
иначе по лемме {1И„||} была бы ограничена. Фиксируем
128
шар So. В нем {||Л„*||} не ограничена. Значит, найдется
точка X\^S< —открытому шару (почему?) и номер/?¦ такие, чго
II An,xi II > 1- По непрерывности А„ найдется шар _S; = Sr, Ui)
такой, что ||/4„|Дг|| > 1 в S,. В Si{IH,,a'||} также неограиичена,
и можно найти x2eS, и п2 > пи так что || Л,,^-.." > 2 и т. д.
В результате эти_х рассуждений находим {.y*} и {5д}, причем
Хь е= Sn, a 50rDS,=) ... d5,d ... и на Sk ||Ли^||>/е. По
теореме о вложенных шарах найдется их общая точка: ieSt,
k=\, 2, ... Тогда | АПкх\\^ k, т. е. {Аах} не ограничена, а
это противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Теорема 2 (Банах — Штейнгауз). Пусть {Ап}а 5?(X, Y).
Для того чтобы Л„ -> Л е S{X, У), п—> оо, сильно, ис^чадимо
и достаточно, чтобы
1) {||Л„||} была ограничена;
2) An-*-Л, п->оо, сильно на некотором линейном многооб-
многообразии X', плотном в X.
Доказательство. Необходимость. Из условия
А„х-*- Ах, п -*¦ оо, х е X, следует, что ||Л„лс||->||Лдс||, п -> ос, а по-
потому {||Л„х||} ограничена. Из принципа равномерной ограни-
ограниченности получаем ограниченность {||ЛЛ||}. В качестве X' можно
взять X. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть х е X, но х ф X'. Зададим е > 0
и найдем х' е X' такое, что ||лс — х'\\ <С е (определение плотности
X' в X). Пусть,далее, с= sup ||Л(!||, где Ао = А. Пока-
п=0, 1, 2, ...
жем, что Ап-> А, п-*<х>, сильно:
II Апх -Ах\\ = || Л„(* - х') + (Апхг - Ах') + А(х'- х) ||<
< II Л JI || х - х' || + || Аах'- Ах' || + II Л || || х'-х ||<2се+|| Лпх'~Ах' ||.
Воспользуемся сходимостью {Л„л:'} к Ах'. Найдем номер Л/
такой, что при любых п ~> N будет ||Л„х' — Лх'||< е. Тогда для
всех п > N
\\Arlx-Ax\\<Bc+\)e,
и достаточность доказана.
11.6. Продолжение линейного оператора по непрерывности.
Пусть Л — линейный оператор с областью определения D(A),
плотной в нормированном пространстве X, и с областью значе-
значений в нормированном пространстве У. На такие операторы мож-
можно перенести понятие ограниченности и нормы. Будем говорить,
Что Л ограничен на D(A), если
| Л || = sup
х,з D{A), 1]
оо,
(ЦЛ|| называется нормой оператора Л).
5 В. А. Треногим
129

"Упражнение Доказать, что л ограничен на D(A) тогда
и только тлда когда найде1ся постоянная М ~> О такая, что
для любых а е О(Л)
Справедливо следующее предложение.
Теорема (о продолжении линейного оператора по непре-
непрерывности). Пусть X — нормированное, а У — банахово простран-
пространства и А—линейный оператор с D(A)<=X, R(A)<=Y, причем
D(A)=X и на D(A) оператор А ограничен. Тогда существует
линейный ограниченный оператор А такой, что
]) Ах — Ах для любого х е D (А);
Доказательство. Если хеО(Л), положим Ах — Ах.
Пусть х ~ X, но xc?D(A). Вследствие плотности D(A) в X
найдется {xn}cz D(A), сходящаяся к х. Положим
Ах = lim Axn.
П-> оо
Покажем, чю данное определение корректно: указанный
продел существует и не зависит от выбора последовательности,
стремящейся к л. Для этого заметим, что \\Ахп — Лл;т||^
=?^||Л |!||jc — а „I,, откуда следует, что {Ахп}—фундаментальная,
а вследствие полноты Y — сходящаяся
Итак, lim АЛп существует. Пусть теперь еще и х'п-*х
I!-* »
п-»оо, где \к'п}а D(A). Положим
а= lim Ахп, Ь= lim Ах'„\
тогда
¦О,
поскольку
о,
оо.
Далее, || Лдс„|К'| Л ||||vnl|, откуда при и -> оо получим
Iл;И, т. е. || Л||<пЛ||. Но
\Ах\\>
1= sup
II t li <
sup
- О(Д>. ,1 х || < I
\Ах\\ = \
(sup на более широком множестве может разве лишь увели-
увеличиться). Итак, |]Д|| = ||Л||.
Линейность Л вытекает из линейности А и свойства линей-
линейности предела (покажите!). Теорема доказана.
Построенное продолжение оператора А и называется про-
продолжением А по непрерывности. Принципиально более слож-
сложным является случай, когда D(A) = X, но Л неограничен, па
котором мы остановимся позднее.
130
11.7. Умножение элементов нормированных пространств.
В п. П-3 было показано, чю в 2: (X) определено умножение эле-
элементов. Ранее мы встречались со скалярным произведением. Эта
два случая умножения элементов, как и многие другие, описы-
описываются слет' юншм общим определением.
Определение. Пусть ляпы три нормированных простран-
пространства U, V и W ip.ee три вещественные или все три комплекс-
комплексные). Будем говорить, что для элементов и <= U определен i
умножение справа на элементы net/ (или что для элементои
v e V определено умножение слева на элементы и^ U), eci
каждой упорядоченной паре элементов (u,v) поставлен в с *-
ответствие определенный элемент jj e W, который мы буде\1
обозначать ю = uv и называй^ произведением элементов и и с,
и если при этом выполнены следующие свойства (аксиомы):
3) ||uf||r ^ c||u||(/||y||v, где с — некоторая постоянная, не за-
зависящая от и и v (иногда в 3) полагают с = 1).
Иначе можно сказать так: определение означает, что за-
задана функция двух переменных w = Ф(и. и), где ч е U, v e V,
w^W, линейная по и при каждом фииспровачном v линейная
по v при каждом фиксированном и и огрл!пче].чая в смысле
неравенства 3):
|1Ф(н, v)!! < с '| и ]' 't>:i.
Такая функция (оператор) Ф называется билинейна, ч операто-
оператором (см. также п. 32.3). Приведем теперь примеры.
Пример 1. V=U = M — пространство со скалярным .гч-
изведением, W — вещественная ось или комплексная плоек. ;cpi,
в зависимости от того, вещественно или комплекс!'»1 //. Зг.ссь
(и, v)—скалярное произведение.
Пример 2. U = &{X,Y), V = X, \\ = У. где X, У—нор-
У—нормированные или банаховы пространства. Здесь умножение эле-
элемента А^Я?(Х, У) на элемент jel есть .тнмеиение линей-
линейного Оператора Л к элементу х, в результате чего получается
элемент у <= Y, у — Ах.
В частном случае, когда У = X, имеем V = 3?(Х), W = V =
=__ у
Пример 3. U = 2{Y,Z), V = 2'{X, У), W — &(Х, Z). где
¦X, У, Z — нормированные пространства. Здесь vM4o,i.enne эле-
элемента Л е 91 (У, Z) па элемент 6ei?(X, У) дает элемент С =
= АВ е S(X, Z) п является умножением лнней"ы* (чранпчеи-
ных операторов. Частный случай U = V = W = З'(Х) был под-
подробно изучен нами в п. 11.3.
Задачи.
1. Определение нормы в 2"(Х, Y) зависит, очевидно, от норм в X и v.
Покажите, что при чамене норм в X и У эквивалентными нормами ног.зя
морма в 5Р(Х, У) будет эквивалентна старой.
б* 131

2. Докажите «принцип Бапяка открытости отображения»: если А е
¦e.3?(X,Y) и R(A) = )', ю образ каждого открытого множества и V яв
ляется открытии множеством в У.
3. Пусть B<=S?(X, Y), A ezSfiY.Z), где Y и Z банаховы. Тогда [|Л61! sg
< Mllllflil.
4. Пусть {Вп]с:2>(Х, У), В(=3?(Х, Y), {An} czg(Y.Z), А <=&(Y,Z) До-
Доказать, что если при п^-со А„->-А, а В„-+В, то АаВ,-+ АВ
5. 'Показать, что в 3?(Х) определены следующие функции от операторов]
sin A =
fc-0
ft-0
Bft+1)! '
A'lR
cos Л
Bft) 1
*"-Z^r-
Показать, что
eA = sh A + ch A. || sh A |i < sli || Л ||, || ch A ||< ch || Л ||,
|| sin A || <sh || Л ||, || cos Л || <ch || Л ||.
Если Х комплексно, то справедливы формулы Эйлера
elA = cos A + i sin Л, cos A = ,
eiA — e~iA
sin A = ¦—, sin Л-1 ^ / sli A
2<
cos iA = ch A.
6. Покажите, что формула
2(/)=
<¦ s) * (s) (/ (s) ds,
где K(t,s) — непрерывная функция t, ч в квадрате fa, ft] X [a, 6], определяет
«умножение» в пространстве C[a,b].
7. Пусть Л,йе2'(Х), где А' — конечномерное банахово пространство.
Пусть, далее, дня каждого из операторов Л и S существуют в X базисы из
собственных векторов. Докажите, что операторы Л и В перестановочны тогда
н то.;ько тогда, когда каждый из собственных векторов любого из этих опера-
оператором является также собственным вектором другого оператора (см. п. 23.1).
§ 12. Обратые операторы
Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные
уравнения, а также различные задачи для обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений и уравнений с частными производ-
производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения
Ах = у. Тем самым мы отвлекаемся от специфических п част-
частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче, и можем
сосредоточить внимание па наиболее общих закономерностях.
Если существует обратный оператор А~\ то решение задачи
132
записывается в явном виде: х = А-ху. Важное значение приоб-
приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых об-
обратный оператор существует и обладает темп или иными свой-
свойствами. В этом параграфе мы начинаем систематическое изу-
изучение большого круга вопросов, связанных с разрешимостью
линейных уравнений.
12.1. Обратные операторы в линейных и в нормированных
пространствах. Множество нулей N(A). Теорема Банаха. Пусть
задан линейный оператор А: X —»- У, где X, Y — линейные про-
пространства, причем его область определения D(A)<=X, а область
значений R{A)^ Y.
Введем множество N (А) = {х е D(A): Ах — 0}—множество
нулей оператора А. Заметим, что N(A) не пусто, так как Og
N(A)
()
Упражнение. Покажите, что N {А) — линейное многооб-
многообразие в X.
Вопрос о том, когда А осуществляет взаимно однозначное
соответствие между D(A) и R(A), решается следующей теоре-
теоремой.
Теорема 1. Оператор А переводит 0{А) в R(A) взаимно
однозначно тогда и только тогда, когда N (А) = {0} (т.е. мно-
множество нулей А состоит только из элемента 0).
Доказательство. Пусть /V(/l) = {0}. Допустим тем не
менее, что найдется ij^RiA), имеющий два прообраза: х\,х^^
eDj/l), х\ ф А-2, но Ах\ = у, Ах2 = у. Вычитая из первого ра-
равенства второе, получим
A (xi - хг) = 0.
Но это означает, что ху — Xi e N(A) = {0}. Значит, х\ = х2. По-
Полученное противоречие и доказывает взаимную однознач^
ность А.
Пусть теперь А взаимно однозначен. Допустим, что тем не
менее N(A)=?{0}. Возьмем 2sJVD), 2^=0. Пусть i/ei?(,4),
Уравнение Ах = у имеет тогда решение х* (вспомните опреде-
определение R{A)). Рассмотрим х* + г. Очевидно, А(х* -\- г) = у и
х* + z Ф х*. Получилось, что каждое y^R(A) имеет по мень-
меньшей мере два различных прообраза: х* и х* + z. Получилось
противоречие с условием теоремы. Значит, допущение N (А) ф
?={0} неверно, и теорема доказана.
Пусть линейный оператор А отображает D(A) на R(A)
взаимно однозначно. Тогда существует обратный оператор А~\
отображающий R{A) взаимно однозначно на D(A). Докажем,
что оператор А~х также является линейным оператором. На-
Напомним сначала, что R(A) является линейным многообразием
в У (см. теорему п. 10.5).
Пусть уи у2 е R' 4), х\ = А~[у\, х2 = А~1у2 — их прообразы.
Для любых скаляров ii и Х2 имеем А(Х\Х\ -f- XiX^) — %\yi -f- Х2У2,
133

или \\A~sy\ -f А,2Л~'#2 = Я-i.ri 4- b*:> — Л~' (Х]у) -f Л.2У2У, что и
означает линейность Л~'
Пусть X и У — нормированные пространства. Мы можем те-
теперь исследовать вопрос об ограниченности оператора Л-1,если,
конечно, он существует.
Теорема 2. Оператор Л~' существует и одновременно ог-
ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой
постоянной га > 0 и любого х е D(A) выполняется неравенство
|| Ах || > m 1| х 1|. '1)
Доказательство необходимости. Пусть Л~' суще-
существует н ограничен на О(Л~')=/? (Л). Это означает, что на,!-
дется с > О такое, что для любого у ^ R(A) будет ||Л-'у|! ^
===; с\\у\\. Полагая у = Ах, получим A).
Доказательство достаточности. Нсли выполнено
неравенство A), то если Лх = 0, т. е. ле N{A), то из (]) сле-
следует х = 0. Значит, /У(Л) = {0}. По теореме 1 существует Л-1,
отображающий R(А) взаимно однозначно на D(A). Полагая в
A) х = А~]у. получим ЦЛ-'t/ll^/«~'!1</11 для исех y^RIA), т. е.
Л~' ограничен па R(A), Теорема доказана.
Введем теперь следующее важное понятие.
Определение. Будем говорить, что линейный оператор
Л: X -> У непрерывно Обратим, если R(A)— У, оператор Л об-
обратим и Л-1 е^У, X) (т. е. ограничен).
Обращаясь к теореме 2, мы можем сформулировать следую-
следующее хтверждепие.
Теорема 3. Оператор А непрерывно обратим тогда и
только тогда, когда R(А) = У и для некоторой постоянной
m > 0 и для всех х е D(A) выполняется неравенство A).
В случае всюду определенного и ограниченного оператора
/teS'l/f, У) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Ограничимся здесь формулировкой этой теоремы (см. п. 15.4).
Теорема 4. Если А—ограниченный линейный оператпп,
отображающий взаимно однозначно банахово пространство Y
на банахово пространство У, то обратный оператор А~1 огра-
ограничен.
Иными словами, если А^9?(Х, У), где X и У банаховы,
/?(Л) = У и Л обратим, то Л непрерывно обратим.
Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с
точки зрения разрешимости линейного уравнения
Ах = у. B)
Если Л непрерывно обратим, то уравнение это имеет един-
единственное решение v = Л-'j/ для любой правой части у. Если при
этом х = А~]у (решение того же уравнения с правой частью
#),то ||дс — Jf|!^IH~4lll«/ — pit. Это означает, что малое измене-
изменение правой части у влечет малое изменение репкния, или, как
принято говорить, задача B) корректно разрешима.
184
12.2. Примеры обратных операторов.
Прии4ер 1. В линейном пространстве ш-мерпых столбцов
Rm (см. п. 10.9) рассмотрим линейный оператор у — Ах, запи-
записываемый в матричном виде B) п. 10.9. Пуси, det(a,,) ф 0.
Тогда, согласно правилу Крамера (см. [5]), систему B) мож-
можно разрешить однозначна относительно переменных %\, ¦•¦• Ь*
и найти обратный оператор х — А^у, причем Л задается об-
обратной к (а,/) матрицей.
Упражнение 1. Пусть лпп^жый оператор Л, действую-
действующий в R3, задан матрицей
10 — 1
= Ioi о J
= | 0 I 0
10 1
Найдите Л"'- Дайте оценку !'.Г'!| в пространствах S? {сл) и
2"JV') с помощью постоянных Уз и !'з примеров 1 и 2 п. 10.9.
Пример 2. Рассмотрим в пространстве m (см. п. 2.5) огра-
ограниченных числовых последовательностей линейный оператор Л,
заданный бесконечной треугольной матрицей (а-,):
•а,, 0 0 ... 0 ... \
ад а>2 0 ... 0 . . . \
> а,п ап? ... :(ч1 0 • • ¦ /
Пусть ряды
|a,:il. Е|я<А ¦•¦- Zl "<«!.-•• сходятся. Тог-
Тогда, согласно примеру 1 п. 10.10, оператор Л ограничен.
Упражнение 2. Пусть ^,=--^37, k^l. Вычислите
Л. Покажите, что Л непрерывно обратим.
Пример 3. Рассмотрим в С[0, 1] простейшее интегральное
уравнение (у(/)е С[0, 1J)
i
(Ах) (t) =x(t)—[ tbx {s) ds = у (t).
Заметим, что x(t) = y(t) + ct, где с = J sx (s) ds. Интегрируя равен-
ство tx(t) =
на
3 f
[0, 1], находим с = j \ sy (s) ds. Сле-
довательно, при любой правой части у (() решение исходного
уравнения имеет вид
х(t) = у (/) + 1 ^ sty (s)ds=(A~'//) @ .
Мы доказали непрерывную обратимость Л (см. п. 10.11).

Пример 4. Задача Коши для линейного дифферепциа пь-
ного уравнения п-го порядка. Пусть функции y(t) и at(t), ; —
= 1, ..., ti, непрерывны на [0,7]. Рассмотрим дифференциаль-
дифференциальное уравнение
Ax^xm{t) + ai(t)xla~l)(t) + ... + an(t)x(t) = y(t). <l)
Будем решать для него задачу Коши, т. е. найдем его решение,
удовлетворяющее начальным условиям
х @) = х' @) = ... =х'п~1)@) = 0. B)
С операторной точки зрения это означает следующее: область
определения D(A) пусть состоит из п раз непрерывно диффе-
дифференцируемых на [0, Г] функций x(t), удовлетворяющих усло-
условиям B).
Пусть x\(t), ..., xn(t)—система из п линейно независимых
решений соответствующего A) однородного уравнения (т. е. A)
при (/(/)= 0). Составим определитель Вронского
xn{t)
х', (/)
in "@ •¦• *„ о
Известно (см. [28]), что W(t)?=0 на [0,7']. Согласно ме-
то,.у Лаграпжа вариации произвольных постоянных решение
задачи A) — B) ищется в виде
*@ = с,@*,@+ ••• +cn(t)xn(t),
причем для произвольных неизвестных функций с, (/) возникает
следующая система уравнении:
сНО л@+ ••• + <•„ @ *„ @ = о,
с\ @ *i @ + ... + с'п (I) x'n @ = 0,
Решая се по правилу Крамера, находим
c'k{t)= WJ(j) у {I), k=\, 2 п,
где Wk{t)—алгебраическое дополнение fe-го элемента n-й стро^
hii определителя W(t).
Учитывая начальные условия B), находим решение задачи
A) — B) в явном виде:
C)
136
Это решение единственно, что следует из общей теоремы суще-
существования и единственности решения задачи Коши (см. [28]).
Из формулы C) вытекает непрерывная обратимость опера-
оператора А. Действительно (см. A)),
где
с = шах У
п т ¦ I—1
'°-Г|
ft-l
w(s)
ds.
Пример 5. Для дифференциального уравнения A) рас-
рассмотрим более общую задачу Коши: найти решение A), удов-
удовлетворяющее начальным условиям (л'о, х\ кп-\ заданы)
¦»@) = *„_,. D)
*@) = *о, x'@)=xh .... je<"-"@) = *„_,.
Решение задачи A), D) также дается явной формулой:
J W
ds
¦I
E)
где постоянные а^ определяются из системы уравнений
= 0,1 «-I,
с определителем w @)^=0.
С операторной точки зрения этот результат следует тракто-
трактовать так. оператор В определен на D(B), состоящий из п раз
непрерывно дифференцируемых на [0, Т] функций D(fi)cz
с: С[0, Т], и действует в пространство У, элементы которого —
набор функции i/(/)eC[0J] и вектора (х("@) )Г=о^ Е". Ко-
Короче, В действует по формуле (см. A))
Вх={Ах; х@) х<"-'М0)}.
Как и в примере 4, из формулы E) вытекает непрерывная
обратимость оператора В.
12.3. Левый и правый обратные операторы.
Определение I. Пусть /leS'fJf, У). Оператор U <=
ё^(У, X) будем называть правым обратным к Д, если AU—
= 1у.
Определение 2. Пусть A^9?{X,Y). Оператор V е
е 2? (у, X) будем называть левым обратным к Л, если VA = /г.
Здесь через h обозначен тождественный оператор в про-
пространстве У, а через /*—тождественный оператор в простран-
пространстве X. Ниже для правого обратного к А используем обозначе-
обозначение Л71, а для левого — АТ[-
137

Интересно взглянуть на эти определения с точки прения су-
существования и единственноегн решения уравнения
Ах = у. A)
Лемма 1. Ег ;п существует правый обратный Аг к А, то
уравнение {!) имеет решение
х = А7' у.
Если существует левый обрспный к А, то уравнение A) мо-
OKei иметь не более одного решения.
Замечание I. В первом случае говорят, что для уравне-
уравнения A) справедлива теорема существования, а во втором—тео-
втором—теорема единственности.
Доказательство леммы.
т. е. ,г = /17'/у обращает A) в тождество и, значит, является
решением. Далее, пусть существует AT ¦ Рассмотрим N(A).
Пусть xeiN(A), тогда Ах — 0. Применим к этому равенству
оператор Aj\ тогда ATxAx — Q, откуда х = 0. Итак, всякое
x^N(A) оказывается равным 0. Значит, jV(Л) = {0} и, по тео-
теореме 1 п. 12.1, А взаимно однозначен, т. е. для уравнения (!)
справедлива теорема единственности.
Замечание 2. Если существует А~ , то R(A) = Y. Если с '-
шествует А~\, то N{A)= {0}. Это замечание является пере-
перефразировкой леммы.
Приведем примеры, иллюстрирующие понятия правого и ле-
левого обратного операторов. Пусть Н — гильбертово простран-
пространство с ортонормироваиным базисом {^}Г#
Пример 1. Зададим линейный оператор А в И следую-
следующие образом:
А?, = 0, А?, = <?!_,, 1 = 2, 3, ...
Элемент .v = X %kek принадлежит Н тогда и только тогда,
* Г
когда || х
f =
I Ik I2 < + °° (см. п. 6.5).
Упражнение 1. Показать, что R (A) = И, a N(A)— одно-
одномерное пространство, натянутое на вектор в\ (см. п. 12.1).
Зададим линейный оператор ЛГ' формулами
Ar e^ = i
1,2, ...,
где
138
Y2.
— некоторые постоянные такие, что сходится
ряд ? I Y* I2- Если # = ?
А7'у=Ъ
• оо \
[ S I 4k I2 < °° ). то
(по неравенству Коши — Буняковского ряд
сходится).
Упражнение 2. Показать, что ArlA — I.
Таким образом, оператор А имеет семейство правых обрат-
обратных операторов, зависящее от произвольного вектора
= Z
н.
Пример 2. В том же гильбертовом пространстве Я рас-
рассмотрим линейный оператор В, заданный формулами
Веь = ек+\< k=l, 2, ...
Упражнение 3. Показать, что N(B)= {0}, a R(A) со-
состоит из векторов, ортогональных е{.
Зададим в Я линейный оператор ВТ следующем образом:
где z— произвольный вектор из Я.
Упражнение 4. Показать, что ВВГ1 = 1-
Таким образом, оператор В имеет семейство левых обрат-
обратных операторов, зависящее от произвольного элемента z e Я.
Приведенные примеры показывают, что, в общем случае, нельзя
говорить о единственности правого и левого обратных опера-
операторов.
Тем не менее справедлива
Лемма 2. Пусть для оператора Ле2"(Х, Y) существуют
Аг ' и АТ\ Тогда существует оператор А~[, обратный к А, и
3) правый обратный к А и левый обратный к А единственны.
Доказательство. Из существования ЛГ' и AT1' со-
согласно теореме Банаха п замечанию 1, имеем: А отображает X
на У взаимно однозначно, т. е. А всюду обратим. Пусть Л~' —
оператор, обратный к А. Утверждение 2) леммы очевидно. До-
Докажем единственность правого и левого обратных к Л. Пусть
U— еще один левый обратный к Л, а V — еще один правый об-
обратный к А. Имеем равенства
= IX, ATlA
<х»
139

откуда (V — At ')Л = 0. Применяя справа оператор А ', полу-
получим V = AT • Аналогично доказывается, что U — Аг • Поскольку
за 1/ и за О можно принять А, отсюда получаем и первое ут-
утверждение леммы. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть А е. 3? (X, Y), и пусть существует опера-
оператор U е 3? (У, X) такой, что
тогда А непрерывно обратим «/!-' = U.
Доказательство. Поскольку U является и левым обрат-
обратным и правым обратным к А, то по лемме 2
A~l = U(=2(Y, X).
12.4. Существование (/ — С). В этом и в следующем пун-
пунктах будут доказаны две теоремы об обратных операторах, ча-
часто используемые в последующем изложении. Очень важны
также доказываемые при этом оценки обратных операторов.
Среди применений отметим, в частности, метод малого параметр
ра (см. пп. 13.5—13.7), метод продолжения по параметру (см.
§ 14), а также приложения к оценкам погрешностей прибли-
приближенных решений линейных уравнений (см. § 22).
Пусть X—банахово пространство. Рассмотрим банахово
пространство 3:' (X) — пространство линейных, ограниченных,
всюду заданных операторов. Пусть / — тождественный оператор
в З'(Х). Очевидно, / непрерывно обратим. В этом пункте до-
доказывается, что вместе с / непрерывно обратимы все операторы
Ле5)(/)—единичного шара в 3f(X), т. е. все такие А, для
которых справедливо неравенство \\А — /||<1. Для краткости
положим С = I — А.
Теорема. Пусть С е 3/ (X) и ||С||<1; тогда оператор
1 — С непрерывно обратим. При этом справедливы оценки
(/-сгЧ|<
1 - II С |
II' V w II ^г | _ и q II ¦
Доказательство. Рассмотрим в 3?(X) ряд
A)
B)
Так как ||Cfc|| ^ ||С||*, то ряд C) оценивается сходящимся
числовым рядом — геометрической прогрессией
- ... C)
По признаку Вейерштрасса (см. теорему 2 п. 5.6) ряд C)
сходится равномерно, т. е.
140
где 5 — сумма ряда C). Далее простой проверкой убеждаемся,
что
Но при н-+оо С"+'-+0 (ибо ||С"+'||^11С||'1+1 и ||С||<1), а
S,,->S. Поэтому в пределе имеем равенства (/ — C)S = 1 и
SU — С) =/. По лемме 1 п. 12.3 отсюда заключаем, что / — С
непрерывно обратим и 5 =(/ —С)-'. Далее,
II)! +1
1-11 С |
II' "-"л II ~^= II ^ М I • • • Т II ^ II I И Г II
1 II ь II
Переходя в этих неравенствах к пределу при п -»¦ оо, получаем
оценки A) и B).
12.5. Существование (Л — С)~'. Рассуждение п. 12.4 мы пере-
перенесем теперь на более общий случай пространства S(X,Y).
Пусть A^3J(X, У) непрерывно обратим. Будет показано, что
существует шар S,(A)cz3?(X, У), все операторы из которого бу-
будут непрерывно обратимы. Предварительно докажем следую-
следующую лемму.
Лемма. Пусть AX<=S?{X, Y) и A2^3"{Y,Z) непрерывно
обратимы. Тогда Л2А\ е 3?(X,Z) непрерывно обрати и
Доказательство. Достаточно заметить, что оператор
V = А\~1А^1 е 3" (Z, X) является обратным к Л?А\, и восполь-
воспользоваться леммой 3 п. 12.3.
Теорема. Пусть Л, В^З?{Х, У), Л непрерывно обратим
и выполнено неравенство
\\(В — Л) Л~'||< 1.
Тогда В непрерывно обратим и справедливы оценки
II п -Ч| < _ _[MlM!___
" " 1 - II (Я — А) А-'\\ '
ц__, ,-ni^lM-1 II 1KB— -Л)А~< ||
-|| (Л-Л)
A)
B)
C)
Доказательство. Представим оператор В в виде й =
= А—(Л — В) — [1—(Л — В)А~]]А. Воспользуемся леммой
при Л1=Л, А2 = I —{А — В)Л-'. Оператор А\ непрерывно об-
обратим по условию, и АТ1 = А~[-
Далее, так как || (Л — В)Л-'||< 1, то по теореме предыду-
предыдущего пункта оператор А2 также непрерывно обратим, и,
141

следовательно,
„-п-'
Оценки B) и C) теперь очевидным образом следуют из
оценок A), B) п. 12.4.
Следствие. Пусть А непрерывно обратим и справедлива
оценка
\\B-A\\<\A-KV- D)
Тогда В непрерывно обратим, причем
„,— I ,| ., ||Л-'|,
В'
в-1-л~1
1-ц я-л ИМ-1,,
-IIй-
E)
F)
Доказательство. Заметим, что \\{В — /4 )/4
11!ЦЛ'|1
\{ I1^11
— /11!ЦЛ~'|1 и если имеет место неравенство D), то тем более
имеет iwcro неравенство A). Оценки E), F) вьпекаю1 из оце-
оценок B), C), так как дробь может только увеличился, если
числитель се заменить большим числом, а знаменатель—мень-
знаменатель—меньшим.
§ 13. Абстрактные функции числовой переменной.
Степенные ряды. Метод малого параметра
13.1. Предел и непрерывность. Пусть А — некоторое множе-
множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X— нор-
нормированное пространство.
Рассмотрим функцию х(Х) с областью определения Лис
областью значений в X. Такие функции принято называть аб-
абстрактными функциями числовой переменной или векторными
функциями числовой переменной, поскольку элеы.нты линей-
линейного (иначе — векторного) пространства мы назыпаем также
векторами. На абстрактные функции числовой переменной без
особого труда переносятся многие понятия и факты математи-
математического анализа, из которых мы ограничимся пока сведениями
о пределах и непрерывности, о разложении в степенные ряды, а
также о понятии аналитичности абстрактной функции. Эти све-
сведения понадобятся нам в связи с предлагаемыми ниже прило-
приложениями теорем об обратных операторах.
Пусть х(Х) определена в окрестности точки %0, за исключе-
исключением, быть может, самой точки Хо. Элемент а е X будем назы-
называть пределом функции х(Х) при А, -у Хо и записывать
а = lim jc (А,) или х(Х)->а при А,->Я0,
если IU(X)— а||-> 0 при X -> Kg.
142
Упражнение 1. Пусть при Х->Хп х(Х)-*-а, а <р(\)-*-я.
(<р(Х)—скалярная функция); тогда ц> (X) х (X)-*¦ аа при Х-+Ха.
Если при Х-+Хо х(Х)-*а, у{Х)^Ь, то х(Х) + у(К)-> a -f- b,
%-*¦ Xq.
Упражнение 2. Если v(A,)->a, Х-+Хг, то IU(X.)||-41a||,
^ _> А-о. Отсюда: v(X) ограничена в некоторой окрестности точки
Ко с выброшенной точкой Хо.
Замечание. В случае вещественного переменного X ана-
аналогично определяются односторонние пределы абстрактной
функции.
Пусть х(Х) определена в окрестности точки Кг. Назовем
х(Х) непрерывной в точке An, если х(Х)-^- х(Х0) при Х-*-Хо-
Упражнение 3. Пусть абстрактные функции х(Х) и у(Х)
и скалярная функция ц>{\) непрерывны в точке ^0; тогд!
<р(Х)х(Х) и х{Х)-\- ii(X) непрерывны в Хо (воспользоваться уп-
упражнением 1).
Упражнение 4. П\сть х(Х) непрерывна в точч^ >.о, тогдт
||лг(А.)|| непрерывна в Хо. Найдется окрестность теки /\0, в кото-
которой х{Х) ограничена.
Важный мастный случаи абстрактных функций представ-
представляют собою оператор-функции. Пусть X, У—банаховы про-
пространства. В пространстве ?°(Х,У) будем рассматривать опе-
операторные функции А(Х) числового переменного X (при каждом
^е А Л(Х)е &{Х, Y)). Все изложенное выше справедливо, ра-
разумеется, и для оператор-функций.
Упражнение 5. Дамте определение предела оператор-
функции А(Х) в точке >^о и ее непрерывности в этой точке.
Упражнение 6. Пусть даны абстрактная функция х(Х\
со значениями в банаховом пространстве X и оператор-функция
А(Х) со значениями в S{X, У), где У банахово. Если х{Х)-*-а,
а А(х)-у-А при А,-> Я.п, то А{Х)х{Х)^- Аа при X -> А,. Если х(Х)
и А (X) непрерыпны в точке Хо, то А{х)х(Х) непрерывна в этой
точке.
Пусть теперь абстрактная функция х(?.1 определена па
!а, р{. Ъ) дем говорить, что х{Х) непрерывна на |а, р"), если она
непрерывна в каждой точке (a, f>), непрерывна еппава и точке
и (т. е. х(Х)-+ х(а) при X -> a + 0) и непрерывна слепя в точке
р (т. е. x(X)^x(f\) при А->р — 0).
Справедливо следующее утверждение: если v(A,) непрерывна
на [a, pj, то она ограничена на нем. Доказательство проводится
по известной схеме (см. [18]).
13.2. Дифференцирование абстрактных фуниций. Пусть
функция х(X) числового переменного X со значениями в бана-
банаховом пространстве X определена в окрестности точки Хо.
По определению производной х'(Хо) функции х(Х) в точке Ха
называется предел
Х{К1
143

если этот предел существует (и конечен). Если х(Х) имеет про-
производную в точке /.¦,. то она называется дифференцируемой в
этой точке.
Предлагаем читателю доказать ряд свойств производной по
схеме, известной из курса математического атлпза.
Упражнение 1. Если х(Х) дифференцируема а точке Xq,
то она непрерывна в этой точке.
Упражнение 2. Если х(Х) и у(Х) дифференцируемы 8
точке Xq, то х(Х)-\- у(Х) дифференцируема в точке Xq и
(х + у)'(ка) = хг (к:]) + у'(к0).
Упражнение 3. Если абстрактная функция х(Х) и ска-
скалярная функция ср(Х) дифференцируемы в точке Xq, to q>(k)x(k)'
также дифференцируема в kt) и
)' (Ко) = ф' (h) х (к) + ф (X) х' (Я,,).
Упражнение 4. Если абстрактная функция х(к)^Х и
оператор-функция Л (А,)е ?Р(Х, Y) дифференцируемы в Xq, to
А(Х)х(Х) тожо дифференцируема в Xq, причем
(Ах)' (I,) = А' (л0) * (Я-о) + А (ка) х' (Х(,).
Упражнение 5. Пусть оператор-функция А (к) дифферен-
дифференцируема в точке кп и непрерывно обратима в окрестности точки
ко; тогда Л~'(.••*) дифференцируема в точке ко, причем
(/Г1)' (Я.,) = - /Г1 (U) А (кд) А~1 (kQ).
Производные х(к) высших порядков определяются последо-
последовательно. Пусть л'(Я) существует в точках некоторого откры-
открытого множества SDJ. Если эта абстрактная функция снова диф-
дифференцируема в точках 5Ш, то полагают х"(к) — [х']г(Х). По
индукции, если х{к)(к) \же определена и дифференцируема, то
полагают х(*+''(Я.)= [х<^>]{Х). Используя для обозначения про-
производной символ tl/dk, можно написать х{к)(Х)= dkx/dXk.
Если абстрактная функция х(Х) имеет в точке ко производ-
производные любых порядков, то в этом случае говорят, что х(к) бес-
бесконечно дифференцируема в точке Xq.
13.3. Степенные ряды. Рассмотрим в нормированном про-
странстве X ряд вида
где
а к — веще-
сгвенное пли комплексное переменное. Поскольку можно вве-
ввести новую переменную к ~- кг, = ц, го в дальнейшем мы пола-
полагаем Xq = 0 и рассматриваем степенные ряды вида
хкк .
П)
Степенные ряды — это специальный случай рядов в норми-
нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от парамет-
144
ра к. Конечная сумма Sn (к) = 2 хккк называется частичной
суммой степенного ряда A).
Пусть Q —множество всех точек к, для которых ряд A)
сходится. Q называется областью сходимости ряда (I).
Сумму ряда A) при leQ обозначим через S(k) (это .аб-
.абстрактная функция, определенная на Q со значениями в X),
при этом будем писать
fe=0
*S(k) при n-*oo для
Последнее равенство означает, что
всех к <= Q.
Очевидно, область сходимости любого степенного ряда A)
не пуста, так как OeQ. Как и в случае скалярных функций,
справедлива следующая теорема.
Теорема 1 (Абель). Пусть к0 ф О и ^еЙ; тогда круг
S х @) содержится в Q. Во всяком круге Sr @), где г < | Х^ |, ряд
A) сходится абсолютно и равномерно относительно X.
Доказательство. Так как Хо е Й, то xnXQ-+0, n -*¦ оо
(общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю!).
Следовательно, последовательность {хпкп0} ограничена, т. е. су-
существует постоянная М > 0 такая, что ||*„*-!}||<ЛГ Для п =
= 1,2, ... Пусть |Х,|<|Я,0|. Имеем оценку
Поскольку | Х/к01 < 1 и ряд Yj I Я,/А,о Г сходится (как геомет-
геометрическая прогрессия), то сходится и ряд A) (при данном к).
Итак, круг |А.|<|Я,о| лежит в Q. Если же |Я,| </¦ < |^о|, то
имеем более сильную оценку
и, по признаку Вейерштрасса, сходимость абсолютная и равно-
равномерная по X.
Введем теперь радиус сходимости степенного ряда по фор-
формуле
«= sup|H
lei!
Из определения R и теоремы Абеля вытекает следующее:
1) Если Я = 0, то й={0} и ряд сходится в единственной
точке к = 0.
145

2) Если 0 < R < + оо, то круг в вещественном случае —
интервал SR@)aQ. Граница S/?@) может содержать точки из
Q и.ти не содержать их.
3) Если /? = + °°, то ряд сходится ири любых значениях X
(Q — вся комплексная плоскость или вся вещественная ось).
Sr@) называется кругом (интервалом) сходимости рядаA).
Отметим без доказательства, что справедлива формула
Коши — Адамара:
Vll xn
Здесь lim an — верхний предел ап, т. е. самая прапап иредель-
Л-»оо
ная точка {ап}. Если существует (конечный илч бесконечный)
п
lim Vll xn II = U то R=\/l.
Иногда полезно иметь оценку для R снизу.
Следующая элементарная лемма может служить этой цели.
Лемма. Пусть существуют постоянные М>0 и fc>0
такие, что |U",,!|sc: Mkn, начинач с некоторого номера; тогда для
радиуса сходимости ряда A) справедлива оценка R ^ 1/fe.
Доказательство. Достаточно доказать, что в круге
\Х\ <С k~] ряд A) сходится. Пусть \X\k — q<Cl. Тогда, начи-
начиная с некоторого номера,
Ряд A) оценивается сходящимся рядом и, значит, сам схо-
сходится. Лемма доказана.
В приложениях степенных рядов важную роль играет сле-
следующая теорема единственности.
Теорема 2. Пусть два степенных ряда равны в круге
L, xkh —
*«=<>
B)
тогда равны все их коэффициенты: xk = .u, ft = 1,2, ...
Доказательство. Так как X = Ое S/?@), то, полагая
в B) X = 0, получим х0 = х0. Следовательно,
оо оо
V4 fe —I \~* — k —
L-i XfrX = ?_i Xfrk ,
откуда x\ = X\. По индукции получаем равенство всех коэффи-
коэффициентов.
13.4. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора.
Определение 1. Абстрактную функцию х(Х) будем на-
называть аналитической при X = 0, если она представима в неко-
146
торой окрестности точки X = 0 сходящимся степенным рядом
х (Ъ = /' х X'' A)
с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 1. Если х(Х)—аналитическая абстрактная функ-
функция при I = 0, то х(Х) непрерывна в круге S«@), где R —
радиус сходимости степенного разложения A).
Доказательство. Заметим сначала, что если ре (О, Я),
оо
то числовой ряд X k || xk ||pfe~' сходится. Действительно, пусть
ре(р,Л). Тогда IUfc||p*^Al, k = 1, 2, ... (см. доказательство
теоремы Абеля). Далее,
* и W-=и w
где q = р/р < 1. Осталось заметить, что ряд X kqk~[ сходится
(почему.¦•). Положим
Z
Пусть теперь X, Хо е Sp @). Тогда
откуда \\х (X) — х (А,о) IK С\ (р) | X — Хо |, и непрерывность х(Х) в
любой точке Яо s 5R @) доказана.
DO
Следствие 1. Ряд X kxkXk~l сходится в 5,^@).
Для доказательства достаточно взять р ^ (| Л, |, /?) и восиоль-
оо
зоваться сходимостью мажорантного ряда ? Н*й11р*~Л иолу-
/г= 1
ченной в ходе доказательства теоремы 1.
Теорема 2. Если х(Х)—абстрактная аналитическая функ-
функция при Х = 0, то х(Х) дифференцируема в круге SR@) сходи-
сходимости своего степенного разложения.
Доказательство. Заметим сначала, что ири р g @, /J)
оо
сходится числовой ряд Z) k(k — l)IUfc||pfe~2 (доказательство
4 = 2
этого факта мы предоставляем читателю). Пусть сг(р)—сумма
этого ряда. Далее воспользуемся элементарным тождеством
147

= * (A - 1) J (l - в) 1A - 8)Л + 6ц]*-2 d6 (p. - Л).
Отсюда при n,AeS.@) имеем
ц-Х
Пусть X
к= 1
щую оценку:
* ' ==
== и (А.) (см. следствие 1). Имеем следую-
¦-«(*) =
Отсюда видно, что функция х(Х) дифференцируема в S«@) и
х'(к)=и{к).
Следствие 2. Аналитическая абстрактная функция бес-
бесконечно дифференцируема в круге сходимости своего степенного
ряда, причем
+ оо
x{l)(l)= Z k(k- I) ...(fc-/ + *'
Доказательство получается многократным применением тео-
теоремы 2.
Определение 2. Пусть х(Х) бесконечно дифференцируе-
дифференцируема в точке 0. Ряд вида
'@)
k\
называется рядом Тейлора функции х(К).
Из изложенного выше следует, что если *(^) аналитична при
X = 0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы единственности п. 13.3,
является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней
в S«@).
В заключение заметим, что если абстрактная функция х(Х)
комплексного переменного X со значениями в комплексном ба-
банаховом пространстве X непрерывно дифференцируема, то она
аналитична. Этот факт доказывается как и в теории функций
комплексного переменного (см. [19]) на основе интегральной
формулы Коши для абстрактной функции (см. [8]).
И8
Понятие абстрактной аналитической функции используется
в широко применяемом на практике мы оде малого параметра
(см. пп. 13.5—13.7, а также п. 36.5).
13.5. Метод малого параметра в простейшем случае. Рассмот-
Рассмотрим сначала следующее уравнение:
Ах — кСх = у. A)
Здесь A, CeS'lX, Y) и у е= У заданы, X — скалярный пара-
параметр, |М<Р. а неизвестное х разыскивается в X. Если
\\КСА-Х\\< 1,т. е.
Ш<||СД-ЧГ'. <2>
то, согласно п. 12.5, оператор А —"КС непрерывно обратим, и
тогда решение уравнения A) существует, единственно и задает-
задается явной формулой
'у. C)
Отсюда видно, что в круге B) решение является аналитической
функцией параметра X и, следовательно, может быть найдено
в виде
На этой идее основывается метод малого параметра для
уравнения A). Подставим ряд D) в уравнение A) и, согласно
теореме единственности разложения в степенной ряд, прирав-
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях X в правой и ле-
левой частях получившегося тождества:
k=0 *=0
Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной си-
системе уравнений для определения х0, х\, ... :
AxQ = у, Ахх = Сх0 Axk = Схь ...
Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно
находим
Следовательно,
E)
Читатель легко убедится, что мы получили решение C),
разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать
149

степенной ряд и ограничиться приближенным решением
')* yXk, F)
то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда E) его частичную
сумму F) и оценивая разность по норме, получим
k=n+l
U (X) - хп (X) ||
< f U-'IKM-riisriHM* —
л-Ч
C/l"
чП+1
1-|Л|||СЛ-'Ц
13.6. Метод малого параметра в общем случае. Приведенные
выше рассуждения являются наводящими при изучении следую-
следующего общего случая. Пусть дано уравнение
Здесь А (А,)<= 3?{Х, Y) задана при каждом X, |Х,|<р, или, как
говорят, А (X) — оператор-функция. Пусть А(Х) аналитична при
X = 0, а оператор Л @) непрерывно обратим, у(Х) — заданная
аналитическая функция X при X = 0 со значениями в Y. Неиз-
Неизвестное х разыскивается в X.
Аналитичность А (X) и у(Х) в точке 0 означает, что они раз-
разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиуса-
радиусами сходимости, которые равны р' и р соответственно:
A{k)=Z Akk", y(k)=t
B)
Из аналитичности А(Х) следует непрерывность А(Х) при
X = 0. Следовательно, найдется число г > 0 такое, что в круге
\\[А{Х)- Л@)]Л~1@)|< 1.
Отсюда вытекает, что в круге |Х|<л оператор-функция А(Х)
непрерывно обратима (см. п. 12.1) и, следовательно, уравнение
A) имеет единственное решение
х{Х) = А~1(Х)у(Х);
при этом х(Х) аналитична в точке X = 0 и радиус сходимости
соответствующего степенного ряда равен min(p,r). Для факти-
фактического построения л:(^) удобно воспользоваться методом ма-
малого параметра. Будем разыскивать х(Х) в виде
C)
Подставляя ряд C) в уравнение A) и учитывая разложения
B), приходим к следующей системе для неопределенных коэф-
коэффициентов хо, х\, х2, ... :
.4ltv'0 = t/o. AaXi + Л\Хй = y]t
A2xn = y2, ¦., D)
Здесь Aq = A @) непрерывно обратим. Решая последовательно
уравнения получившейся системы, находим
Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим
путем можно найти решение уравнения с любой степенью точ-
точности.
Как уже было отмечено выше, радиус сходимости ряда, по-
полученного методом малого параметра, равен R = min (p, г), при-
причем R не зависит от р' — радиуса сходимости степенного разло-
разложения оператора А(Х). Дело в том, что метод малого пара-
параметра применим, как мы увидим ниже, и в случае неограничен-
неограниченной оператор-функции А(Х).
Для оценки радиуса сходимости R ряда C) снизу можно
воспользоваться леммой из п. 13.3. Пусть нам удалось получи 1Ь
оценки
Тогда, согласно лемме, р>а~'. Кроме того, ||[Л (X) — А @)] X
п=\
если I А, |<
+ р
В результате мы получаем оценку R снизу:
Я > min (сТ1, (Af+ ЭГ1).
F)
150
Упражнение. Показать, что если А (Х)= Ай -f ХА\ и
11Уп11^^1а". МИо'Ч^М, то оценку F) можно заменить бо-
более точной:
#>min(a""', ЛГ1)-
Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях,
когда обращение оператора А@)—задача более простая, чем
задача обращения оператора А (X).
13.7. Пример к методу малого параметра. В качестве примера
на применение метода малого параметра рассмотрим следую-
151

щее интегральное уравнение с малым вещественным парамет-
параметром X:
* @ — air J cos (/ - s + kts) х (s) ds = у (!),
A)
которое мы можем интерпретировать как линейное операторное
уравнение в С\—я, it] вида A) п. 13.6.
Заметим сначала, что
,ь
Следовательно,
cos (/ — s + Ms) = (tsf cos (t — s + kts + k— ).
V 2 '
cos (t — s + k y) *-"¦
cos (t — s + kts) =
Таким образом, операторные коэффициенты Л* имеют здесь
вид
Аох = х {П--^\ cos (t-s)x (s) ds,
-Л
B)
Начнем с уравнения Aoxq = у системы D) п. 13.6, где у нас
теперь уо = у, «/*¦ = (), k^\. Это уравнение представляет со-
собою интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожден-
вырожденным ядром
л
Xo{t) — 1г~ \ cos(/ — s)xo(s) ds = y (t). C)
-я
Действительно, cos(t — s) = cos / cos s + sin t sin s, поэтому
D)
где
n П
Л =-s— \ Xq (s) cos, s ds. 6 = ^5— \ jcj (s) sin sds. E)
— n —n
Умножим равенство D) на cos t и, интегрируя по t от —п
до л, пользуясь E) найдем
Л
= — \ f/(s) cossds.
—л
Аналогично,
В = — \ y(s)sin sds.
Следовательно, D) принимает вид
л
*о @ = 1/ @ + ^- 5 cos С - s) У (s)ds-
F)
Приведенные выше рассуждения показывают, что уравнение
Аоо = У имеет в С[—л, л] единственное решение и это реше-
решение дается формулой F). Следовательно, существует оператор
Ал1, определенный всюду на С[—л, я]. Далее (все нормы —
вС[-я,я]),
11*011=
-^ max
Следовательно, | А{] ||*S 1 + 4/я.
Второе уравнение системы D) п. 13.6 имеет вид AqX\ =
=—А\Хо, или, подробней,
л л
xi (/) — -^- ^ cos (/ — 5) х, (s) ds = — ^- \ ^s sin (/ — s) x0 (s) ds,
где xo(s) уже определено формулой F).
Это снова уравнение вида C), и его решение также можно
найти явной формулой. Так, последовательно, определяются
все коэффициенты ряда C) п. 13.6. Дадим грубую оценку его
радиуса сходимости R.
Нетрудно убедиться, что
и, значит,
Bл + 8) (л2)
2)*-
152
Согласно формуле F) п. 13.6 R ^5 2 —т~8"'
§ 14. Метод продолжения по параметру
14.1. Формулировка основной теоремы. В качестве еще одною
приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один
из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть A, Be
f=S?(X,Y) и А непрерывно обратим. Если ||В — Л||<||Л-|||-1,
то, согласно теореме п. 12.5, В также непрерывно обратим. Ока-
Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В
будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень
153

далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непре-
непрерывною на отрезке [0,1] оператор-функцию А('/.) такую, чго
А@)=Л, А{\)= В, Иначе говоря, в i?(X, У) рассматривается
непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предпо-
ла!ать, что для оператор-функции Л (л) выполняется следую-
следующее условие:
I. Существует постоянная y>0 такая, чго при всех ),е
е[0, 1] и при любых х е X справедливо неравенство
\\А(Х)х\\^у\\х\\. A)
Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть А(Х)—непрерывная на [О, ij (чюратор-
функция (при каждом ag[0, 1] А (Х)е S(X, У)), причем опе-
оператор .4@) непрерывно обратим Если для А(Х) выполняется
ус-езие I, то А([) непрерывно обратим, причем \\А~1 A)||^ у[.
Доказательство этой теоремы мы проведем в двух слу-
случаях, в частном случае, когда Л(Х) = A—>.)Л + A.S, т.е. Л (А,) —
отрезок, соединяющий А и В, и в общем случае. Будут прнве-
дены также некоторые приложения метода к дифференциа ть-
пым уравнениям. Заме! им сначалч чш из условия I вытекает
1_иед^, ющпЛ факт.
Замечание. Сели выполнено условие I при X = Хо е
е [0, 1] и оператор А (>.„) непрерывно обратим, то
Действительно, п^сть rel, а у = А (Х0)х, т, е. х = А~[ (Х{1)у.
Тьгда^ условие I дает \\у\; ^ у\\А~1 (Хп)у\\ пли \\А~1 (Х0)у\\^
^У~1\\у\\, что означает справедливость неравенства B).
14.2. Простейший случай продолжения по параметру. Приве-
Приведем здесь доказательство теоремы п. 14.1 для случая, когда
А(Х) = (\—Х)А-\-ХВ Согласно условию этой теоремы /1~'е
е2?(У, X). По замечанию п. 14.1 ||A-'H^Y~l- Имеем следую-
следующую оценку:
||[Л (X) — А (Ojj А @; ]| = ||А, (В — А) А~[ || < A,y"' I! В — А |1.
Пусть X е [0, б], где 6 — 9цй ^. ,t~rp- Па [0,6] имеем
|| [Л (Х)~ А@)]Л-1 @)|| ^ 1/2, и, следовательно, по теореме
и 12.5 А(Х) при всяком X е [0, б] непрерывно обратим. Если
окажется, что 6 ^ 1, то теорема доказана.
Пусть б < 1. Возьмем Л(б). Согласно замечанию п. 14.1
1И~'F~)И ^ Y- Повторяем наши рассуждения при X > 6 Имеем
оценку
[А(Х) — AF)j/r'F)l<Y~' MW — ^FI =
154
если Я. е [б, 26], откуда А(Х) непрерывно обратим при каждом
\ е [б, 26]. Если 26 ^ 1, то георема доказана Если же 26 < 1,
то ||Л~1B6)||^ Y~' и рассуждение можно повторить. После ко-
конечного числа шагов мы достигаем точки X = 1, и, следователь-
следовательно, ЛA) непрерывно обратим.
14.3. Доказательство теоремы в общем случае. Рассмопен-
ный выше частный случай отрезьг в 3"\X,Y) v: всегда учобен
в приложениях. Общий случай основывается на следующем эле-
элементарном предложении.
Лемма. Пусть ЗД — некоторое непцетое множество на
Г0 1] одновременно открытое и чомкчигое на [0,1]. Тогда
й=Г0,П.
Замечание 1. Условие открытости s1W и? [0, 1] понпмргтея
так- для любого vn е 9Л существует 6 >0 так^е, что S4(.«o)D
new[[]
Доказательство леммы. Пусть 91 = [0. 1 ] \ 2Р. (дп> 'Л-
нение к !Ш на [0, 1]). Нужно доказать, что 9? = 0 — п\стое у, 'о-
жество. Допустим противм'^е, что 9? =#= 0. Поскольку WI =^= Я! и
ограничено сверху, то существует ft = sup?4, ппн"ем ^е^
вследствие замкч\тости Покажем, чтг1 ft= 1 Если ft < !. то
вследствие открытости WI на [0. 1] найдется г > b д eSP! ?м
противоречит определению <щрЗЛ. Следовательно, Ь < 1 гепоз-
можно. Итак, 1 е Ш
Теперь рассмотрим множество ?? Как допол]!ет]не к 9Я, гпо
также открыто п замкнуто па [0,11, и. si'p'Mn, к iicmv пр : *.е-
нпмо рассуждение с чф9Я Мы получаем, по I <= рх Это нев^^
можно, ибо 9} — дополнение к ЗЛ. Полученное противоречие до-
доказывает, что допущение 91=^=0 неверно Итак, 91=0, т. е.
Ш = [0, 1]. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. П\сп> 9Л -множество
тех точек /.?[0,1], для которых оператоп А (X) че^рерь'Р1'о
обратим. Согласно замечанию 1 H4-'(?i)|l ^—' тля всех X е ^
9Jf не пусто, поскольку 0 ^ 9Л
Докажем, что ВД открыто на [0, 1]. Пусть л,> е 1, тогда для
всех X е[0, 1]
\[А(Х)-А
М
Л
Воспользуемся непрерывностью оператор-функции А (X) в
метрике Я? (X, У). Для любого е > 0 найдется 6 = 6 (е) > 0 та-
такое, что при всех Я,е[0, 1] таких, что \Х — Хо\<_ б, выполняет-
выполняется неравенство \\А (X) ~ А (Хо) || < е
Возьмем е = y, тогда при \Х — Xo|<6(y), ^^[0,1]
По теореме п. 12.5 А{Х) непрерывно обратим для всех та-
таких X. Итак, вместе с Х0У1 содержит 5filv)(?^о)П[0, 1], т. е. 5Ш
открыто на [0, 1].
156

Докажем, что 5Ш замкнуто на [0, 1]. Пусть {Х,,}с:ЭД и >,.,--*-
Х при п-*-оо. Надо доказать, что Хо е 9Л. Воспользуемся не-
неИД1 (А)||^ {
р
равенством ИД
у~{ и получим
Вследствие непрерывности Л (X) по Я, для любого е>0 нахо-
находим номер /V = УУ(е) такой, что при п > N будет ||Л(Я,П) —
— ,4(Х0)||<е. Возьмем е = -у. тогда для n — N(y)+l
По теореме п. 12.5 Л (Хо) непрерывно обратим, т. е. Хо s SO?,
и, значит, 9Л замкнуто на [0, 1]. По лемме 2Й = [0, 1]. В част-
частности, 1 е 2R и ||Д-' A) ||^ у-[. Теорема полностью доказана.
Замечание 2. Рассмотрим уравнение с параметром:
А(\)х =
[(), 1].
A)
Пусть для всех возможных решений этого уравнения при вся-
всяком А,е[0, 11 справедлива оценка
11*||<с||«/||. B)
где с — некоторая постоянная, не зависящая от х, у и X. Оцен-
Оценка такого рода называется априорной оценкой для решений
уравнения (П. Очевидно, априорная оценка B) представляет
собой лишь иначе записанное условие I п. 14.1.
|| А (X) х || > с1|.v ||.
Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априор-
априорных оценок для доказательства теорем существования и един-
единственности решении.
14.4. Примеры применения метода продолжения по параме-
параметру. Изложенный выше метод продолжения по параметру являет-
является упрощенным вариантом известного метода Шаулера, нашед-
нашедшего широкие применения в теории краевых задач для уравне-
уравнений с частными производными эллиптического типа. Мы огра-
ограничимся здесь примерами чисто иллюстративного характера.
Пример 1. Рассмотрим следующую краевую задачу для
дифференциального уравнения второго порядка:
— x" + b(t)x' + c(t)x = !i(t). 0</<l, A)
я@)=?A) = 0. B)
Злесь г(/) непрерывна на [0, 11, bit) непрерывно диффе-
дифференцируема па [0,11- Предположим еще, что на [0,11
Ниже будет показано методом продолжения по параметру,
что в этих условиях при всякой правой части у е У = С [0, 1]
156
существует единственное решение задачи х <= X = С2[0, 11 —
пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемых на [0, 11 функций лг(^), удовлетворяющих граничным
условиям B), и с нормой IU||=|klU -t-IU'IU +IU"IU, где ||*||t =
= max | x{t) |.
10, 1]
Запишем задачу A) —B) в операторном виде:
Вх = у.
d2 d
Здесь В = jpf -f- b (t) ~^j + с (f) определен всюду на X со зна-
значениями в У. В качестве оператора А примем А = —
~jtt
Упражнение 1. Покажите, что при каждом у <= У крае-
краевая задача —х" — у, х@) = х(\) = 0 имеет единственное реше-
решение Jielii что А непрерывно обратим.
Соединим операторы А и В отрезком
df
dt
Хс
[0,1].
Упражнение 2. Покажите, что А {Х)~ непрерывная опе-
оператор-функция на [0, 1].
Наша цель — установить априорную оценку для решений
краевой задачи
- х" + ХЬ (I) х' + Хс @ х = у @, 0 < / < 1, C)
Как только такая оценка будет получена, из теоремы п. 14.1
сразу же будет следовать однозначная разрешимость краевой
задачи C) —D).
Умножим уравнение C) на x(t) и проинтегрируем получен-
полученное равенство по t от 0 до 1. Замечая, что с учетом граничных
условий D)
— ^ х"х dt = ^ х'2 (t) dt,
о о
получим
1
\d.
\ х'2 (t) dt + X 5 [с @ - j Ь' (/)] х* (/) dl = \y(t)x @ dt. E)
0 0 о
157

Произведем опенку всех трех слагаемых в этом равенстгс.
Докажем, что
i i
41) 'V. '7)
для любого е > р
о ¦ о
Д 1я доказательства неравенства F) заметим, что x(s) =
= \x'(t)dt, и, значит, по неравенству Коши — Буняковского
у j
S
Точно так же
\x'(t)dt <лЛ-И J
'2
Перемножая эти пер.nйенегеэ, получим
(9)
I
Отсюда, замечая, что \ -у/1{Г=Т)ds = я/8, получим
A0)
Неравенство G) есть следствие предположения с — b'/2 ^
у; г>. Наконец, неравенство (8) доказывается из рассмотрения
скалярного квадрата
\ @ dt.
2 V8
^ъ х
1
Т~7-~~ А ^ 0> где ("' ") = \ " @ и
158
Подобные неравенства принято называть е-неравенствами. Та-
Такие неравенства част бывают полезны при получение агфнор-
ных оценок а задачах математической физики.
Упражнение 3. Докажите справедливость е-неравенства
(8).
Используя неравенства (б), G) и (8) и равенство E), по-
получим
\dt
о и
или, считая е > 0 достаточно малым, имеем
i
\ х2 (/) dt < —у-1
° 4(+а~
' ii) dt.
Выберем е = ео = —|-у и получим
y2{t)dt, где fl=
Воззращаясь теперь к равенству E), получим из него сле-
следующую 1/;енку:
i 1
br
1/2
где с2 = | с @ — jbr(() — с '.,_, а с3=1/4е0.
! х'2 @ d/) и,
/С1 \il2
значит, учитывая, что I \y2(t)dt\ ^\\у\\ь, получим
f^-Wyk. A1)
Теперь уже легко получить оценки для IU"|U и \\x'\\k. Из
уравнения C) имеем
\х" \\k<;\\b\\k\\x' \\k + \\c\\k\\x\\k
A2)
Но |U'|U оценивается через ||a"|U. Действительно, х@) = хA) =
= 0. По теореме Ролля на @,1) найдется ^ — точка, в
159

которой х'Ш —0. Тогда, записывая уравнение C) в виде
[х'ехр[-А. ^b(s)
интегрируя его от 1 до s, получим
' @ = ^ ехр ( - X \b (s) ds ) [Хс (В) х F) - у F)] Л.
Отсюда имеем оценку
IU'II* <m (Ik II*!!* II*+ 11У У.
A3)
где т = max
х, s, е <= |о.
ехр(-
Я
Теперь A1), A2) и A3) дают
(постоянную сА нетрудно подсчитать). Искомая априорная
оценка получена.
Замечание. Оценку F) методами вариационного исчис-
исчисления можно уточнить и показать, что
(М)
Упражнение 4. Опираясь на оценку A4), докажите, чго
задача A) —B) однозначно разрешима при условии
c{t)-jb'(t)>-n2 на [0, 1].
Упражнение 5. Покажите, что если c(t) s= — л2, b(t)=O,
то оператор В не является непрерывно обратимым.
Пример 2. Рассмотрим снова краевую задачу A) —B) в
тех же пространствах X и У, однако предположим, что c(t)^
^ 7 > 0 на [0, 1].
Рассмотрим теперь следующую краевую задачу с парамет-
параметром }. е[0, 1]:
= * A) = 0.
(Предлагаемый прием иногда называют методом заморажива-
замораживания киэффициепюв.) При К = 1 получаем нашу задачу A) —
B). При X = 0 получаем задачу с постоянными коэффициен-
коэффициентами:
-x" + b(O)x' + c(Q)x = y{t),
*@) = *@ = 0. { '
Пусть X и У — банаховы пространства, введенные в при-
примере I. Запишем задачу A5) в операторном виде А{К)х = у,
где
оператор — функция со значениями в 3?{Х, У).
Упражнение 6. Методом вариации произвольных по-
постоянных покажите, что краевая задача A6) имеет единственное
решение п, таким образом, оператор Л@) непрерывно обратим.
Чтобы воспользоваться теоремой о продолжении по пара-
параметру и доказать однозначную разрешимость задачи A)—B)
нужно еще получить априорную оценку решений задачи A5).
Для этого воспользуемся принципом максимума. Так как
х{0) = л'A) = 0, то в точке /° положительного максимума x{t)'
на [в, 1], если она существует, x'(t°)=Q, x" (t°) <. Q, и потому
(см. A5)) справедлива оценка
Аналогично, в точке /о отрицательного минимума хA) на [0, I],
если она существует, имеем
Объединяя эти оценки, получим
Дальнейшие рассуждения такие же, как в примере 1.
Задачи.
Докажите следующие утверждения.
1. Пусть An-* А при п->оо равномерно. Для того чтобы А был непре-
непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы
1) Л„ были непрерывно обратимы, начиная с некоторою номера;
2) |л~'J была ограничена.
2. Пусть оператор-функция определена при 0 < \t — /01 < б0 и Л @ -> Ла
при t -*¦ t0. Для того чтобы Ло был непрерывно обратим, необходимо и доста-
достаточно, чтобы при 0 < \l — ta\ < Si sg; б
1) A(t) были непрерывно обратимы;
2) 1|А->(/I1 г? с
3. Пусть c(t) непрерывна и положительна на [0, 1]; тогда краепэя за-
задача —х" + c(t) =у@. х@) = аA), д-'(О) = х'(\) имеет еднпсгвешюе ре-
решение.
160
6 3. А, Треногий
101

§ 15. График оператора. Замкнутые операторы
15.1. Прямая сумма банаховых пространств.
Определение. Прямой суммой Z = X-\-Y двух линей-
линейных пространств X и У называется совокупность пар г={.к,у),
х е X, у^У, для которых операции сложения пар и умноже-
умножения пары на число определяются следующим образом: еслч
?\ = (а'ь Ц\), а 22 = (л'2, iji) п «1, а2 — скаляры, то
4- a2y2).
i2[ -f a2z2 =
X
a2.v.;,
пространства, то норма
"ib
Если X п У — нормированные
- У вводится по формуле ||2J| = i!a'1|* -{-"fib-.
Упражнение 1. Проверить ахепемы нормы. При этем,
и X я У банаховы, то и X 4- У банахово (почему?).
У п р а ж н с н и е 2. Показать, что с Л' -;- У мож::о сьесгп к< р-
vy также следующими способами:
I = VIх 'I 1-1! у:
Показать, что все эти нормы эквивалентны.
15.2. График оператора. Пусть у = F(х)—оператор (во' о-
ще i своря, нот и пенный) с областью определения D(F) в бана-
банаховом пространстве X и с областью значений в банаховом ирч-
стра метке У. Графиком оператора F называется совокупное ь
пар {.v, F(x)}, где x^D(F). График onepaiopa является под-
подмножеством пространства X 4- У. Определение графика опера-
оператора хорошо согласуется с обычным определением графика
фчпкцпн. Пусть ниже Г = А —линейным оператор.
Определение. Линейный оператор Л: X-*¦ Y называется
замкну]ым, если его график является замкнутым множеством
в X 4- У.
Замкнутость графика оператора Л означает, что если х,, е?
esb{A) п {.v.7> Ахп}-+{х, у), то х <= D(A) п у = Ах.
Так как ||.c|| = ||x||-f-|li/ll, то определение замкнутости опера-
оператора /1 можно записать так: если хп tB О(Л), хп-+х, а Ахп~>-у,
то л sh D (л) и у = Ах.
Теорема 1. Если D(A) — X и А ограничен (т. е. А е
е= ii (X, Y)), то А замкнут.
Доказательство. Пусть хп-> х и Ах,,-*-у при п-*-ос.
Вследствие нспрерырностп /1 Ахп->Ах, п-уоо. Но предел еднм-
стьсп п, значит, у = Ах.
Теорема 2. Если А замкнут и Л~' существует, то А~[
таю.се замкнут.
Доказательство. Рассмотрим графики операторов А
н . I -':
{х, Ах}, х е D (Л),
{у, A
y<=R(A).
Но график оператора Л можно записать в виде {Ах, х), хе
еО(Л), т.е. он получается из графика оператора Л переста-
перестановкой 'х н Ах н, значит, также является замкнутым множе-
множеством в У 4- X. Это и означает замкнутость Л~'.
Следствие. Если Ле.5?(Х, У) и Л-1 существует, то Л
замкнут.
Действительно, по теореме 1 Л замкнут, тогда по теореме 2
Л замкнут.
15.3. Примеры замкнутых неограниченных операторов.
Пример 1. В гильбертовом пространстве Н с ортонормп-
ровапным базисом {ek}™ зададим линейный оператор Л следую-
следующими формулами:
Ае^ = /./;е/г, /г = 1, 2
где ?•.;.. — некоторые скаляры.
Если .v s li, то л- = S bfiio где ряд || х\\2 = Е i Ik ? сходится.
Тогда Лх= Е Ikl^k- Этот ряд сходится (Ave/i) тогда и
только тогда, когда
Возможны следующие два случал: _ ,,^
'0{|^|} ограничена. Пусть сА = ^up j lk \. югда , /l.v :,- ^
<с;!!|л-Ц2, откуда — А ограничь, а значит, и замкнут.
б) {|/.а|} псограннчепа. Оператор /1 неограничен, и его об-
область определения D (А) состоит из элементов х, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству A). Неограниченность Л усматривается пз
р р
того, что ||Ле,..
Е f
у (
= |?.; | при к-у
1
иченнос ур
пеогранпчепы, хотя ||еД= 1.
Если inf | Xk \ = сл > U (г. е. Ь отделены от пуля положитель-
положительным числом), то сущеспзуег А~1, определяемый па элемент:^
у == Е ii^ft (,Е,! ч* I- < °°
фор Пуло"!
Поскольку sup | Я

-сТ1 < оо, то /Г1 ограничен (и (Л) = //'¦
Таким образом, условие inf \ ).,, \ > 0, согласно юореме 2, п. 15.2
обеспечивает замкнутоеib Л.
6* юз

Пример 2. Пусть X = Y = С[0,'+ оо) — банахово про-
пространство функций л'(/), непрерывных на полуоси [0, + оо) с
нормой || л: || = sup | х @ |.
|0, -I-O0)
Зададим в X оператор А по формуле Ах = tx(t). Оператор
А линеен, и его область определения D(А) состоит из функций,
удовлетворяющих неравенству
где постоянная с — своя для каждой функции из D(A).
Оператор А неограничен. Действительно, рассмотрим после-
последовательность функций xn{i)= п " , «=1,2 Заметим,
что
xn(t)^D{A), так как | хп (t) | = -^ту < у^—.
Кроме того, ясно, что ||хп|| = 1. Теперь имеем
nt
следовательно,
sup
х ^ D (Л). || х |
¦ = п,
1 = + оо.
Покажем, что А замкнут. Пусть в X xn(t)-*- x(t)\ txn(i)->-
-*-y(t) при п ->¦ оо. Тогда A + t)xn(t)-> x(t)+ y(t) прия->оо.
Следовательно, для любого е > 0 найдется номер N такой, что
если п > Л', то
или
' хп @ — [х (/) + у (/)] |< 8 для всех
Хп V) U(
[0, + ее),
Следовательно, xn(t)-
л @ + г/ (/)
при п—>оо, но xn{i)-*x(t),
=x(t), откуда y(l) = tx{t), т. е. у^
ПОЭТОМУ Ч"| 4-f
(xt=D{A)), пбо |.«(/);<-ij!L.
Упражнение. Показать, что обратный оператор А~:у =
= y{1)/t также неограничен и замкнут.
Пример 3. В пространстве С[а, Ь] рассмотрим оператор
дифференцирования Dx = dx(l)/dt с областью определения
O(D), состоящей из непрерывно дифференцируемых на [а,Ь]
функции. Оператор D неограничен.
Для док:, vi гельеша его неограниченности возьмем последо-
A,,@ = sinn/, л = 1,2, ... ; jc,,«=G(?>) и ||.v,,||= 1,
однако ||Dx,|'= n, если п достаточно велико, и потому
sup || Оде || = +«>
«ей (D), || х || < 1
и D неограничен.
Покажем, чго D замкнут. Сходимость в С[а, Ь\ равномер-
равномерная. Пусть xn(t) s G(D), и пусть при п -> оо
xn{t)—>x(t) равномерно на [а, Ь],
x'n(t)~>y(t) равномерно на [а, Ь\.
Согласно известной теореме о дифференцировании функцио-
функциональной последовательности (см. [18]) функция x(t) непре-
непрерывно дифференцируема (т.е. ,v(/)e G(D)) и х' {t) = у (t). Итак,
D замкнут.
Пример 4. Снова рассмотрим в С[а,Ь] оператор диффе-
дифференцирования D, но па этот раз в качестве его области опреде-
определения G(D) возьмем множество всех непрерывно дифференци-
дифференцируемых на (а,Ь] функций, удовлетворяющих граничному усло-
условию х(а)= 0. Теперь оператор D имеет обратный
определенный всюду в С[а,Ь] и ограниченный (?
^ (Ь — о)Ц;/||). По теореме 2 п. 13.2 оператор D замкнут.
15.4. Теорема Банаха о замкнутом графике и ее следствия.
С. Банаху принадлежит следующая важная в приложениях тео-
теорема.
Теорема 1 (Банаха о замкнутом графике). Пусть А—¦
замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банахо-
банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве
Y. Тогда оператор А ограничен.
Доказательству этой теоремы предпошлем следующую
лемму.
Лемма. Пусть А — замкнутый линейный оператор, опреде-
определенный всюду в банаховой пространстве X и со значениями >\
банаховом пространстве У. Пусть, далее, существует плотное в
X множество М и постоянная с > 0, так что \\Лх\\ <С с\\х\\ для
всех х е М. Тогда оператор А ограничен.
Доказательство леммы. Выберем элемент хй<= X.
Покажем, что найдется элемент х\ <= М такой, что
IUi-*oll<7lUoll. (О
Действительно, вследствие плотности М п X для хг = A—е)
е^@, 1), найдется элемент х\ е Л1 такой, что ||*е—xill
Ull
165

Оказывается, е можно подобрать так, чтобы элемент х\
удовлетворял условиям A). Имеем
||*е ||<е|[х(]|| + A - е) [|*о!! = II *оII,
II*i ||< IIхх - х?|| + ||*е ||<е|[х(]||
II -vi - х01| < || хх - Хе || + || хе - х01| < е || *«, || + е || х0 || = 2е || х01
Возьмем е = 1/4 и получим неравенства A).
Точно так же можно показать (проверьте!), что для элемен-
элемента л'о — х\ найдется элемент х2 е М такой, что
I .г0 — xi — х2 ||< j II Л'о — л-, || < -уг |! х0 \\,
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого
натурального п найдутся х\, х2, . . . , хп е /VI такие, что
Отсюда вытекает, что
.v,,= lim sn, s,,=
П -> оо
Далее, так как
||Ла-а|Кс||ль||<-^
A = 1
то ряд 2u /\xk сходится абсолютно. Пусть у — его сумма. Па-
4 = 1
скольку при п -> оо
Asn->y, sn->x0,
то, вследствие замкнутости оператора Л,
/l.vo=
Но тогда имеем опенку
Ахк ||<с Z ||хк ;| <2с ||л01|.
1
Вследствие произвольности л'о доказана ограниченность опе-
оператора А, а значит, и лемма доказана.
Доказательство т е о р е м и о замкнутом г р :) -
ф и к е. Для каждого натурального числа п рассмотрим мно-
множен во
Хп={хе=Х: || Л* Ж л || х ||}. B)
1G6
Далее, очевидно,
х=[] хп.
C)
По теореме Бэра — Хаусдорфа (см. п. 5.8) пространство X,
вследствие его полноты, является множеством II категории. Но
тогда по C) существует Хп, плотное в некотором шаре Scl
(В противном случае X оказалось бы объединением счетного
числа нигде не плотных множеств Хп, п—\, 2, ..., т. е. мно-
множеством I категории.) Следовательно, имеем
S П Хп = S.
Пусть, далее, лч е S П X:l, a Sq—шар с центром в a'j, ра-
радиуса г0 настолько малого, что Su cr S. Тогда
5TfU,I=S). D)
Выберем теперь элемент uQ^X с |iu0!l=ro и рассмотрим эле-
элемент 1/о = л-0 + г/и- Так как ||у0 — агоi. = 11 «Voi! = г», ю i/j s Sa.
Вследствие соотношения A) иапдоюя последоиа:ельность
такая, что при п -*- оо
yn->yj = x0 + uJ.
Рассмотрим теперь последовательность
{Чп} = {Уц — Л,}-
Заметим, что вследствие E)
(=5)
•3)
•J)
Вспоминая определение Хп (см. B;) п иотьз;, ись тем, чго
уп^Хп, хо^Хп, получаем следующею оценку (см. G) п ($)):
II Лип || = || Л (уп - л-,) II < || Луп || + || Ах, |! < nQ (|| уп \\ + || .v0 II) =
= «о (|| «„ + л-о il + II л-з I,) < и, (|| н„ || + 2 [| .го II) < п, (г, Ч- 2',! v, |'). (.9)
Далее, так как при п -*- оо
то найдется тмер Л' такой, что при всех п > Л' выполняется
неравенство
1!»Л>т^ «-Hi 1<-^-||"и11-
Продолжая оценку (9) пин п > Лг, приходим к оценке
„ А.. II ^- '2П3 ,1 ., I! /,. I О II г, ||\ ( [•))

Отсюда получаем следующий вывод: при всех « > N (см. оп-
определение Хп B)) н„ е= Х,и, где я, = 2«а + 4"ol!*J .
'о
При п -> оо из неравенства A0) получаем ип-+ие, где «о —
любой элемент А с ||мо!1 = /"о- Но из B) следует, что Хп, содер-
содержит вместе с каждым х и 1.x при любом /.. Таким образом,
ХП] плотно в X, и так как па Хп, ||Л*||^ nilUII, то по лемме
оператор ограничен, п теорема полностью доказана.
Теорема Банаха о замкнутом графике имеет интересные
следствия. Приведем некоторые из них. Это прежде всего более
сильный вариант теоремы Банаха об обратном операторе (см.
п. 12.1).
Теорема 2. Если А—замкнутый оператор, отображающий
банахово пространство X на банахово пространство У взаимно
однозначно, т. е. R(A)= У, то оператор А~[ ограничен.
Доказательство. По условию теоремы D (А) = X н Л
замкнут. По теореме о замкнутом графике А ограничен. По
теореме Банаха Л-1 е &(Y,X). Теорема доказана.
Приведем теперь еще одно следс!впе теоремы о замкнутом
графике.
Теорема 3 (об эквивалентных нормах). Пусть на некото-
некотором линейном пространстве Е заданы две нормы \':х\\\ и \\х'\>,
по отношению к каждой из которых Е — банахово пространство.
Если одна из норм подчинена другой (см. п. 2.9), то эти нормы
эквивалентны.
Доказательство. Обозначим через A"i пространство Е
с нормой lUih, а через Х2 — пространство Е с нормой IIяII2.
Пусть, например, [| - ff! подчинена ||-|1г. Это означает, что су-
существует постоянная с > 0 такая, что для всех х
II х!', < с;[ х ц2. (П)
Определим оператор А, отображающий А^ на X?, по формуле
Ах = х (слева ie,\' как элемент из А';, а справа он же к;1,:
:¦ тсмепт из Х^). Очевидно, flM) = A'i, А линеен и огображниг
Х\ взаимно однозначно па R(A) = Х-,. Неравенство A1) г >;!.:-
ча^г,
что
(А'2) A
|| Л
т. с. Л
т. е.
ограничен. По теореме 2
Л"
Это п озпа-
Итак, С1||л-||2< IUII, sc dliA'lb, где с, = ЦЛ-1!
чаег эквивалентность норм. Теорема доказана.
15.5. Норма графика и эквивалентные ем нормы. Замкнут и с
."ипеппые операторы, как мы видел;, по ряду сыпх свойств
fi'iiijiui к непрерывным (т. е. ограниченным) лпиопш/м опера-
т^гам.
Орпдрпхсу п. и ia;!.Te>-Aiir идея, пол'зочяюшая в ряде случаев
свести п ^'¦¦jiiiit- замкнуiL!.\ линейных операторов к изучению
ограничепных линейных операторов. Пусть А — замкнутый ли-
линейный оператор с плотной в банаховом пространстве X об-
областью определения D(A) и с областью значений в банаховом
пространстве У.
Введем на D(A) новую норму, которая называется нормой
графика:
IU-|i = № + |]A*[!y
(вспомните определения графика оператора А п нормы в X 4- У).
Линейное многообразие О (Л) в новой норме превращается в
нормированное пространство, которое обозначается Хл. Если
{х,,} фундаментальна в Хл, т. е. при п, m -> оо
II ха — х„, \\х + II Ахп ~ АхП1 :|у -> 0,
то тем более при п, m —> со
!; >~п — хт \\х -> 0, || Ахп — Ах,п ||у -> 0.
Вследствие полноты А' и У найдутся х ?= X и у е= У такие,
что при п —>- со хп —>- х,, а Ахп —у у.
Вследствие замкнутости А имеем ,igO{/1) и у = Ах. Это
означает, что {х„} сходится в ХД, и, значит, Ха — банахово
пространство. Будем теперь рассматривать А как оператор, дей-
действующий из Xi в У. Очевидно, ЦЛл'Цу ^ ||л;||. Следовательно, А
ограничен. Иногда вместо нормы графика в D(A) удобнее вве-
ввести другую, эквивалентную ей норму.
Пусть А — замкнутый линейный оператор с D(A), плотной
в X, и со значениями в У.
Теорема. Пусть в D(А) введена норма ||-|li такая, что
\\x\\x ^ Ci\\x\\-t, \\Ax\\y ^ c2|klli. Тогда \\-\\i эквивалентна норме
графика.
Доказательство. Пусть || • ||—норма графика. Тогда
для любого х е D(A)
x
Следовательно, норма графика подчинена ||-||. Но тогда, по тео-
теореме об эквивалентных нормах, эти две нормы эквивалентны.
Теорема доказана.

Глава IV
СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
§ 16. Теорема Хана — Банаха и ее следствия
16.!. Теорема Хана — Банаха. Пусть X — вещественное нор-
нормированное пространство, а Е — вещественная ось. Всякий опе-
оператор /: Х-+Е называется функционалом. Здесь мы ограничим-
ограничимся изучением линейных функционалов. Значение линей.пго
функционала f на элементе ,r e .'( будем означать <х, f). На-
Напомним, что линейность функционала / означает, что его об-
область определения D<j) является линейным многообразием,
причем дтя любых х, у s= D(j) и любых a, ps ?
(ал -4- |з(/, f) = а (х, /} -|- Р (у, /).
Кроме того, мы б\'тсм рассматривать зд?сь только ограни-
ограниченные линейные функционалы, т. е. такие, для которых конеч-
конечна величина
Сформулируем теперь следующее предложение — одно из
центральных в фупкщ: .пально^ анализ.1.
Теорема (Хан, iJanr,\). Пусть о вещественней нормиро-
нормированном ппог7ранетов X задан линейный ограниченный ф!,".к-
пионал j с D(j)czX. Тогда суч.ссюует всюду опрейгленный вХ
лчнепний ограниченный фунпщонал { такой, что !!/|| = |i,lll и
(Иначе: всякий лшикпып ограниченны;"! функционал, опре-
определенный на некотором линейном ьпк пчюраенш, можно продол-
продолжать па все пространство с сохранением нормы.)
Замечание. Если D(A)-—X, то утверждение теоремы
Хана — Банаха г-ь'текпег из lenpeMu о продолжении линейного
оператора но непрерч^вностп (см. п. 11.G), в которой надо нри-
п-мь Y=R.
Доказательство теоремы Хана — Банаха мы да т.пм ниже в
части -м случае cenapaoe.ii.Horo пространства. Но сначала дока-
докажем следующую лемму.
Лемма (об элементарном продолжении). Пусть X — в^'цс-
ст генное нормированное пространство, a L — ли не1) чае много-
17J
образие в X, и пусть на L задан линейный ограниченный функ-
функционал f. Пусть х0 ф. L и L\ — линейное многообразие всевоз-
всевозможных элементов вида у + txQ, где у е L, t e E. Тогда суще-
существует линейный ограниченный функционал f\, определенный на
Li, совпадающий с f на L и такой, что ||fil! = ll/||.
Доказательство леммы. Заметим сначала, что каж-
каждый JieLi представим в виде х = у + ^о, У ^ ^. t e. E, един-
единственным образом. Действительно, если у + tx0 = у' -4- /'\'о. то
у — у' =(/' — t)x0. Если t' = t, то у' = у и представление х
единственно. Пусть f ф t; тогда получаем, что л'о es L, что не-
невозможно.
Рассмотрим теперь ij\, i/2<=L, тогда, вследствие ограничен-
ограниченности / на /.. имеем
{УU f) ~ (У<>, /) = <!/! - У2, I) < \\ / II !1 У1 - IJ2 II <
<\\fl\yi +-Voll + l|/IMi'i + -v !'.
Полученное перавеистсо можно записать в виде
{Уи f)-Wf II il Ух + х0 II < (у2, f)+\\f III! Уг + хо I
Если зафнкспрспать уг, а у\ менять, то мы видим, что леват
часть ограничена сверху. Если же зафиксировать у\, а менять
i/2, то мы видим, чю правая часть ограничена снизу. Положим
a= sup {<//,,/>- i| / I! || у ,-b-Vol!},
У, ^ L
Имеем следующую цепочку неравенств:
{Уи 1) ~ I! /1! II Ух + х, II < a < р < (у2, f)+\\f || || у, + .t0 II.
Возьмем число у такое, что а ^ у ^ р. Теперь для любых
Ух, у2^ L имеем
(i'u /)-||/"llllf/i + ^IKY<<«/2, /> + il/lllli/2 + .Vol!. (П
Определим линейный функционал/i по формуле (для i e Ii)
(х, h) = (У + tx0, fx) = {у, /} - Y/.
Линейность fi проверяется просто (проверьте!).
Если х е L, то / = 0 и <.v, /1>=<.v, />, т. е. на L fx = {¦ Пока-
Покажем теперь, что |i/iil = li/ll- Заметим сначала, что
p
\{x,n)\> sup
1 Х'= L, Ч х '|
так как на более широком множестве sup может разве лишь
увеличиться. Таким образом, нам достаточно доказать пераьеп-
ство
К*,/i>Kll/llll*ii C)
171

для х = у'+ /ло, i/eL, t е Е, причем при t = 0 это неравен-
неравенство справедливо.
Из неравенства A) для любого yi e L имеем
Полагая здесь yi = y/t, приходим к
(f f)-v
С помощью этой оценки получаем
Рассмотрим теперь два случая: t > 0 и / < 0.
Если t > 0, то \t\= t и, следовательно,
Если / <0, то \t\= — t н
К*, h) I<llfll|f/4L + |
= !lfllll -У -
что вместе с B)
Итак, доказано неравенство C): II/i II г^
дает ||fill = il/"||. Лемма полностью доказана.
Доказательство теоремы Хана — Банаха в
се и арабе ль ном случае. Так как X сепарабельно, то су-
существует X'— счетное, плотное в X множество. Занумеруем в
последовательность х0, х\, х2, ... те элементы X', которые не
попали в D(f). Затем, согласно лемме об элементарном про-
продолжении, последовательно продолжаем f на Х\ = Хо + {а'о},
затем на Х2 = Х\ + {-v'i} " так далее. В результате мы получим
линейный ограниченный функционал J, определенный на Я =
= [}Xi; — плотном в X линейном многообразии. Доказательство
завершается использованием замечания к теореме Хана — Ба-
Банаха.
В общем случае теорема Хана — Банаха доказывается с ис-
использованием известной леммы Цорпа (см. [21], стр. 176).
16.2. Теорема Сухомлинова — комплексный вариант теоре-
теоремы Хана—Банаха. Пусть теперь X — комплексное нормиро"
ванное пространство, а С — комплексная плоскость. Линейные
операторы f: X -> С называются линейными функционалами.
Речь пойдет здесь, как и в п. 16.1, о продолжении линейного
функционала /, заданного и ограниченного на линейном много-
многообразии X, на все пространство X с сохранением нормы.
В комплексном случае следует различать линейные много-
многообразия L комплексно-линейные и вещественно-линейные в за-
зависимости от того, принадлежат ли L любые линейные комби-
комбинации ах + Ру элементов х,у <= L (с любыми комплексными
172
коэффициентами а и Р) или только линейные комбинации с
вещественными коэффициентами a, f>.
Теорема (Сухомлинов). Пусть X — комплексное нормиро-
нормированное пространство, L — комплексно-линейное многообразие в
% и f — заданный на L линейный ограниченный функционал.
Тогда существует всюду определенный на X линейный ограни-
ограниченный функшюнал f такой, что (х, f)=<x, f) для всех igL и
11/11 = 11/11-
Доказательство. Положим
где (х, fi>= Re<A',f>, a <x,/2>= Im <.v,/">. Введенные таким пу-
путем функционалы f\ и \ч являются вещественными линейными
функционалами на L, рассматриваемом как вещественное ли-
линейное многообразие. Действительно, для любых х, у ен L спра-
справедливы, как нетрудно вывести из A), равенства
Далее, (ix, }} = i{x, /), а с другой стороны (см. A)),
(ix, f) = (ix, f,> + I (ix, f2),
i(x, f) = i(x, f,>-<*. h)-
Сравнивая действительные и мнимые части, получим
{ix, ft) = - (х, f2), B)
(ix,h) = {x,fx). C)
Соотношения B) и C) эквивалентны комплексной линейности
функционала. '
Упражнение. Покажите, что B) и C) являются след-
следствиями друг друга.
Из A), B), C) следует ограниченность fi и /г и равенство
11/||| 11Ы1 7г
Булем рассматривать f\ как вещественный линейный функ-
функционал па L. По теореме Хана —Банаха его можно продолжить
на X с сохранением нормы. Пусть f\ — такое продолжение. Оп-
Определим /2 в соответствии с формулой B):
(.v, h) = - {ix, f,}, х е= X. D)
Наконец, f определим следующим образом (см. A)):
По построению f вещественно линеен. Далее,
<«, /> = {ix, fi> + i(ix, f2) = - (x, f2) + i (x, f,> = i(x, f).
173

Итак, f комплексно линеен. Далее, если xeL, to (х, fi> =
"=<*, /i>- Кроме того,
<*. /2) = - (ix, /1) = - (ix, /1) = (*, U)
(см. формулы D) и B)). Значит, на L f — f. Наконец, учиты-
~ 1
вая, что | (х, fk) К—^г||/|1!Ц-||, k=\, 2, получим
||f|| = sup \(x,f)\= sup
II x IK 1 II x |K I
Теорема доказана.
Замечание. Теорема неверна, если L — вещественно-ли-
вещественно-линейное многообразие: в любом бесконечномерном комплексном
банаховом пространстве существует вещественно-линейное мно-
многообразие, на котором можно определить комплексно-линейный
функционал, не имеющий ограниченного продолжения на X
(Бонеиблуст и Собчпк).
16.3. Следствия из теоремы Хана—Бангха. Теорема Ха-
Хана— Банаха — Сухомлинова представляет собою один из фун-
фундаментальных результатов функционального анализа и имеет
гелый ряд глубоких следствий. Приведем некоторые из них.
Следствие 1. Пусть X — нормированное пространство и
х^Х, х ф 0. Тогда существует всюду заданный в X линейный
ограниченный функционал f такой, что ||/il= I, (х, f> = !UI|.
Доказательство. Рассмотрим линейное многообразие
L ={/л}, где / пробегает R. На L определим / так:
Имеем <А', f> = |UII. Далее, для у = tx
\(и, />M!N,l-vl! = il^!l = lli/ll. т. с.
!/!;=!.
Осталось применить теорему Хана — Банаха и продолжить с
с -хранением нормы / па все .Y.
Следствие 2. Пусть в нормированной пространстве X за-
задано линейное многообразие L и элемент хо ф. L на расстоян ui
d > 0 от L (d — inf || А'о — *||). Тогда существует всюду о.чреде-
ленный в X линейный функционал f такой, что
1) (,х, />= 0 для любых ieL;
2) <до,/>=1;
3) li/,,= l/t/.
Доказательство. Возьмем L\ = L-{-{va}. Любой эле-
гент у е L\ однозначно представляется в виде у = х + txOl где
x<=L, t <= Е (см. лемму об элементарном продолжении). Опре-
/ L ф
;юлнм
р
/ на L: следующей формулой;
171
Если у е= L, то t = 0 и <у, /> = 0, т. е. выполняется условие 1).
Далее, если у = а0, то г1 = 1 и, значит, О0,/>=1, т. е. выпол-
выполняется условие 2). Наконец,
(У, f)\ = \
\У\\
так как
„бо —г-eL. Отсюда
следует, что || /!!<. 1/Vi.
Для доказательстЕа неравенства
определением in Г н найдем {a';,}s L такую, ¦-:
Имеем
1 ={хй — хп, /)<||а-0 —
\ld воспользуемся
= iiiii||x0 — хп У
Итак, li/L,i =
Переходя к пределу при п—>-оо, получим 1 г?
= l/d. Осталось продолжить / с L.x па все X.
Следствие 3. Линейное многообразие L не является плот-
плотным в банаховом пространстве X тогда и только тогда, когда
найдется | Е А'(, f Ф 0, такой, что (х, />= 0 для любых х е L,
Доказательство необходимости. Пусть L ф X.
Тогда найдется х0 <= А' такой, что р(х^, L) — d > 0. По след-
следствию 2 найдется / такой, что <х0, /> = 1 (т. е. / ф 0) и <х, f) = 0
для bclx ieL
Доказательство достаточности. Пуст ь L = X.
Тогда для любого х s /Y, вследствие плотности L в X, найдется
{а',,} е L, \п—*х, п —> оо. По условию с>щесгвует f ф 0 и обра-
обращающийся в 0 на L. Но тогда <х, /> =-lim <*„, /> = 0. Вслсд-
ствие произвольности а- отсюда / = 0. По / ф 0 по \слоппю. По-
Полученное противоречие показыьает, что L Ф X.
Следствие 4. Пусть {кк}'{—л иней по не.зависимая систе-
система элементов в ипрмирананном пространстве X. Тогда иайдетсч
система линейных, ьио-jy на X определенных, ограниченных
функционалов {/;}'/ такая, что {xk, fi) = &kh k> l=\ lL
Доказательство. Возьмем a'i и через L\ обозначим ли-
линейную оболочку векторов х2, х3, ..., хп. р{х\, L\)> 0 вслед-
вследствие линейной независимости векторов системы {xi,}"- По след-
следствию 2 найдем всюду на X заданный линейный ограниченный
функционал /i такой, что <*i, fi>= I, (x, /i>= 0 на Ц и, в 4aci-
ности, (хц, /i>= 0, k = 2 п. Точно гак :\с возьмем ,v2 и нап-
дем /2: <а-2, /2>= 1, <xk, Ь>= 0 и т. д.
Определение. Система элементов {хк}1 и система функ-
Циоьалсв {//}',' называются биортогонильны.ии, если
(.v,,. f,) = 6ы\ k, 1=1, . . ., п.
175

Докажем в заключении данного пункта лемму, примыкающую
к следствию 4.
Лемма. Пусть дана линейно независимая система линей-
линейных всюду на нормированном пространстве X определенных и
ограниченных функционалов {/;}". Тогда в X найдется система
элементов {xk}"k=v биортогональная с системой {f;}*.
Доказательство. При п = 1 утверждение леммы спра-
справедливо. Если fi ф 0, то найдется nj/|el такой, что {tj\, /i)?=0.
Тогда, очевидно, Х[ =—^~г- Согласно методу математической
индукции, пусть утверждение леммы имеет место для всякой
системы из п — 1 линейно независимых функционалов. Возьмем
¦.п-1
линейно независимую систему
и пусть системы
и
{xk}" биоргогоналыш. Для произвольного хеХ рассмотрим
п-1
элемент у = х— Е (*> fi)xi- Заметим, что всегда (у, /,-) = 0,
г = 1, ..., п—1. С другой стороны равенство (у, fп) = 0 не
может выполняться для всех х^Х, иначе оказалось бы, что
п-1 п-1
(х, fn)= Е (х, ti){xi, fn), т. е. fn= E (xi, Шь что противоре-
i=i ;=i
чит линейной независимости системы {/;}". Следовательно, най-
найдется уп такой, что {уп, fn) ?=0. Тогда хп =
Уп
(уи, In)
н системы
'fc}" " {f/}" биортогональны. Лемма доказана.
§ 17. Сопряженные пространства
17.1. Два вида сходимости в сопряженном пространстве.
Пусть X — банахово пространство, а ?' — вещественная ось,
если X вещественно, и комплексная плоскость, если X ком-
комплексно.
Рассмотрим 2{Х,ЕХ)— банахово пространство линейных
ограниченных функционалов, заданных на X. Это пространство
называется сопряженным к X и обозначается X*. Итак, X* =
= S'(X, ?'). Значение линейного функционала |еР на эле-
элементе х е X будем, как и выше, обозначать (х, /> (используется
также обозначение f(x)).
Обозначение <л', f> аналогично обозначению скалярного про*
изведения и очень удобно в вычислениях. В частности, вслед-
вследствие линейности X и А'* справедливы равенства (для любых
скаляров cci, <х2, Рь р2, элементов хи х2, х, функционалов f, fi,b)
/> + a2 (x2, f),
176
а2х2, f) = а, (хь
(X, Bif, + Ш = Pi <*.
(Черта означает комплексное сопряжение, в вещественном слу-
случае она оиускае!ся.)
Если (х, />= 0 для любого х е X, то f = 0. Эго свойство
есть лишь определение нулевого функционала. Менее тривиаль-
тривиальным является следующее свойство: если (х, f>= 0 для любых
[еГ, то х = 0. Оно вытекает из следствия 1 теоремы Хана —
Банаха, если допустить, чго х ф 0, то найдется fel' такой,
что \ Ф 0 и (х,1) — \\х\\Ф0. Это противоречит равенству (x,f) =
= 0 для любых / е А*. Следовательно, х = 0.
Наконец, напомним, что норма линейного функционала f
определяется по формуле
||/ц= sup |<*. /)|
1 1
(это частый случай определения нормы линейного оператора,
см. п. 11.1).
В X*, как н в любом пространстве линейных ограниченных
операторов 3? {X, У), можно ввести дза вида сходимости по-
последовательностей. Это, прежде всего, сходимость по норме X*:
fn-+f, H-+OO (|,,[ёР), если ||/„ — fl|->-0, n-voo. Этот вид
сходимости называется сильной сходимостью.
Далее, в А"* можно ввести следующий вид сходимости:
fn — f, n —* оо, •;:¦ — слабо, если для всех иеХ
(х, M-Hv, />-
И—> со.
(Если элементы А'* рассматривать как линейные операторы из
X в ?', то первый вид сходимости соответствует равномерной
сходимости операторов, а второй — их сильной сходимости, так
что принятая терминология, конечно, условна.)
Принцип равномерной ограниченности (см, п. 11.5) в случае
функционалов принимает следующий вид:
Если {(х, fn)} ограничена при каокдом iel, то {fn} огра-
ограничена.
Теорема Банаха — Штейнгауза перефразируется для линей-
линейных функционалов так:
Для того чтобы /«->-/, п ->- оо, * — слабо, необходимо и до-
достаточно, чтобы
1) {11/п||} была ограничена;
2) <t,/„>-> <.v,/> —» на плотном в X линейном многообразии.
Упражнение 1. Показать, что если fn-*- f, n -> оо, сильно,
то fn -> f, n -> оо, * — слабо.
Пример. Пусть Со — линейное пространство бесконечно
малых последовательностей x={?n} (in ->- 0, п->оо). Норму р
Со введем по формуле || х \\ = sup [ |„ |.
п
Упражнение 2. Показать, что с0 полно и что с0 <= m —¦
пространстве ограниченных последовательностей,
177

Покажем, что '(со)* = h— пространство последовательно-
стей а ={сс„} таких, что l|a|h =
< +
Действительно, если а = {«„}<= 1и то определим функцпо-
на 1 / по формуле
Эгот ряд сходится, ибо ] a,,|rt |s^ || х \\\ ап |. Очевидно, / — линей-
линейный функционал. Далее, ] и, /)Кн х\\с \\а ||г, откуда / ограни-
ограничь': 11/IKIIaP,,.
Если ек ={6^}е сй (8Пк — символ Кропекера) (система {с.}
сОразует базис ь tc), то <^,/) = аи- Возьмем т^пирь
с,,.
Очевидно, || a j|Cj < 1, тогда ^ | ak | = (х, /) < || f |. Переходя
к пределу при /»->-гсс. получим \\a\\j ^Ц/||. Итак, ||а|| = ||/||.
С 1едователыю, /[ с (со)\
Обратно, пусть /е(со)'. Положим о.к^{ек, /). Пусть х —
т т
= Е (signaA)eA, тогда ||.v||. <1 и X |aj = (x, f)<||/||. Сле;:о-
вательно, ряд Е I ak I сходится, и, значит, функционалу / ог-
К- 1
в^чает a = {aa}e/i, причем ||a||^||f!|.
С ДруГО!! СТорОПЫ,
откуда |!/|К1|я||, т. е. ll/||=-IUi|l. Мы доказали, что (с0)* с: h.
Окончательно: (с0)* = 1\.
Упражнение 3. Показать, что (![)* = т — пространство
ограниченных последовательностей.
17.2. Теорема Ф. Рисса об общем виде линейных функцио-
функционалов в гильбертовом пространстве. Следующая теорема явля-
е;ся одной из основных теорем функционального анализа, по-
поскольку она имеет многочисленные полезные приложения (см.,
например, п. 17.3). Теорема эта принадлежит Ф. Риссу н дает
явное выражение произвольного линейного ограниченного ф\ик-
цнонала в гильбертовом пространстве через скалярное произве-
произведите. Другие теоремы подобного рода, например теорему об
общем виде линейного функционала в пространстве С[а,Ь], чи-
та!ель может наптн в книгах [21J, [11].
178
Теорема (Ф. Рисе). Пусть Н — гильбертово пространство
'(комплексное или вещественное). Для любого линейного огра-
ограниченного функционала f, заданного всюду на Н, существует
единственный элемент у е Н такой, что для всех ^еЯ
(х, f) = (х, у).
При этом
lli/il.
Доказательство. Рассмотрим L — множество всех эле-
элементов г е И таких, что (г, ;')= 0.
У п р а ж н е и и с 1. Показать, что L — подпространство в И.
Если L = //, то / = 0, можно взять у = 0, и теорема дока-
доказана.
Пусть L--j^H. Тогда найдется го -L L, г0ф0, причем можю
считать, что <г0, /> = 1 (взяв, если потребуется, вместо
20 z'0 = zbi!^?6, f)). Пусть теперь х е Я, тогда х — {х, fJ0 s L,
так как
(х- {х, f)z0, f) = (x, f)-(x, f) = 0.
Следовательно, a —<x, />го i. га, откуда
0 = (х - (х, /) Zo, Zu) = (х, z0) - (х, f) || z0 |р.
Отсюда (x, f) =(x, 20/|i2o!l2). Итак, можно принять у = га/\\ги\г.
Покажем, что llfl! = llyll. Действительно,
\(х, /)| = | (х, у) К || х || || у ||
по неравенству Кошн — Буняковского. Из определения нормы f
имеем ll/i!^!!//||. По, кроме того,
{y,f) = (y, у) < II /IIII у II.
откуда IIг/HsSII/II. Итак, ||/|] = ||у||.
Осталось доказать единственность у. Если <х, f) = (x, у) =
= (х,у), то (х,у — у)=0 для любых а е Я. Возьмем х =.
= У — У if получим у = у. Теорема доказана.
Замечание. Теорема Рисса указывает на возможноаь
установления взаимно однозначного соответствия между про-
пространствами Я н Я*, сохраняющего норму. В вещественном слу-
случае это соответствие линейно. В комплексном случае это соот-
соответствие является «полулинейным» в следующем смысле:
если f 1
уи а
у2, то
p\f2
С точностью до этого взаимно однозначного соответствия
можно принять Н* = Н, т. е. пространство, сопряженное к
гильбертову пространству //, «совпадает» с Я. В этом смысле
можно говорить о самосопряженности гильбертова простран-
пространства.
Упражнение 2. В /2 рассмотрим последовательность ли-
линейных функционалов {/„}, определяемую так: если х = {^.},
179

то положим (х, /„) = |„. Доказать, что f,, —*0, л—*оо, *-слабо,
но не сходится в /j = /2.
17.3. Существование и единственность обобщенного реше-
решения эллиптического уравнения. Теорема Рпсса эффективно
применяется в теории разрешимости граничных задач для урав-
уравнении с частными производными. Будем говорить, что гильбер-
гильбертово пространство Я вложено в гильбертово пространство Я,
если in хеН следует, что х^И, причем существует постоян-
постоянная k > 0 такая, что для всех х е П
A)
\х\\и<к\\х\\б.
Имеет место следующее следствие из теоремы Рпсса.
Теорема. Если гильбертово пространство Я влоо.сено в
гильбертово пространство И, то для каждого элемента у е Я
найдется единственный элемент x^fl такой, что для всех
г <= Я имеет место тождество
(х, г)Й = (у, z)H.
Тождество это определяет оператор AeS1 (Я, Я) такой, что
х = Ау; при этом \\А\\^. k.
Доказательство. При каждом фиксированном i/eW
выражение {y,z)H при всевозможных 2ЕЙ определяет линей-
линейный ограниченный функционал на Я. Линейность фуькционала
очевидна. Его ограниченность вытекает из оценки
\(у, 2)й|<!|у||„||2||„<||//||ил,|г|!й.
По теореме Рнсса существует единственным элемент х €= П
такой, что (у, г)н = {х, z)~. Тем самым всюду на Н задан опе-
оператор х = Ау. Проверку линейности А предоставляем чита-
читателю. Далее, из доказанного выше неравенства следует, что
) < It || y\\H\\z || П A
Г-'lv,
\\Лу\\.
<k\
т. е.
Полагая здесь, z = Ay, получим
^/г, и, значит, А ограничен. Теорема
доказана.
В качестве простейшего приложения доказанной теоремы до-
докажем существование и единственность обобщенного решения
задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В замкнутой ограни-
ограниченной одиосвялном области G с R3 с достаточно гладкой гра-
границей S рассмотрим следующую граничную зглачу:
д'ч
. дч . ди .
д'и
= h (л-, у, г),
« U = о.
(к, у, z) e= G,
B)
C)
Предположим, что пряная часть h(x,y,z) непрерывна в G
по совокупности переменных. Функция и(х,у,г) называется
классическим решением задачи B) — C), если и непрерывна
180
как функция трех переменных в G, имеет в G непрерывные про-
производные, входящие в левую часть B), удовлетворяет в G урав-
уравнению B) и расна нулю на S, т. е. удовлетворяет граничному
условию C).
Пусть и — классическое решение задачи B) — C),а v(x,y,z)]
непрерывна в G, равна нулю на 5 и непрерывно дифференци-
дифференцируема в G; тогда для любой такой v справедливо следующее
интегральное тождество:
du dv du dv . du dv
dx dx dy dy dz dz
a
Для доказательства этого тождества воспользуемся форму-
формулой Остроградского — Гаусса (см. [18]):
l7 + If + fr) dxdtJ
du
du
: = © (Р cos с. ¦
&¦
flu
du r, da
= v-r7, R = v-j- и получим
( ди \ , , ,
¦ I v -rj } dx dy dz =
Примем Р = v
дх V dx ) dij \ ду )
Поскольку
v \s = 0, U + ^. + i| = „ д„ 4. (grad v, grad u),
а Аи = h, то получаем D). Пусть теперь fte^ffi)', и, v s
e//'(G), а интегралы в D) понимаются в смысле Лебега.
Определение. Функция и е Я1 (G) называется обобщен-
обобщенным решением краевой задачи B) —C), если для любой функции
v е Я1 (G) выполняется интегральное тождество (I).
Докажем, что для любой правой части h s 3?2(G) обобщен-
обобщенное решение краевой задачи B) — C) существует и единственно.
Для этого заметим, что гнльбертово_ пространство Я1 (G)
вложено в гильбертово пространство S2{G), ибо, по определе-
о — п "
нию Н^ (G), всякая функция v^Hl(G) принадлежит также и
3?2{G) и справедлива оценка: для любой оеЯ'(С) (см. п. 9.5)
181

Следовательно, по теореме для всякой функции h<=2?2(G) су-
существует единственная функция иеЯ'(б') такая, что для всех
вей1 (G)
(и, у) о = — (Л, v) _,
а это и есть интегральное тождество D).
17.4. Рефлексивные пространства. Пусть X — банахово про-*
странство. Сопряженное к нему пространство А* также бана-
банахово. Но тогда можно ввести второе сопряженное к X простран-
пространство А** = (А*)*, затем третье сопряженное X*** = (А**)* и так
далее. В результате мы получаем цепочку банаховых про-
пространств: X, А*, X", Х**\ ... Если Л" гильбертово, то X* = X и
все пространства цепочки совпадают. Пусть А* ^= X. Рассмот-
Рассмотрим подробнее А**. Это прострапс.во состоит из линейных огра-
ограниченных функционалов, определенных на пространстве Л'* =
= S? (Л", Л'1), где А1 — вещественная ось или комплексная пло-
Слисгь. Пусть / s A*, a.te X.
Рассмотрим число <х, />, комплексно сопряженное к чист/
(x,f)—значению функционала / на элементе х. Пусть здесь t
фиксирован, а / меняется. Тогда каждому f <= X* ставится в со-
соответствие определенное число (iJ)eA'1, При этом функцио-
функционалу }.\fi -f- Я2/2 ставится в соответствие число
(а-, Я,/, + Л,/2> = Л, (а-, /,) + Я, (х, />) s= А, (а, /,) + h2 (x, }_\
Далее,
, /> |
|. Это означает, что <л\ /> определит
линейный ограниченный функцпош.л,
заданный всюду на А
который мы обозначим через х**. Согласно неравенству
КЛ OI = lCT>KIUIIIini
имеем IU**il=^|Ui|. По следствию 1 из теоремы Хана — Бага\а
для всякого iel найдется /0 е А* с il/oll= 1 такое, что
<*,/o> = IUII. Тогда
;<f0, a-">i=k^T)>i = iuiiii/o!i.
Следовательно, ||jc**|| = ||jc||. Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Если X — банахово пространство, то X изом< г-
рично вложено в А**. (Определение пзомегрпчного вложения
ем в п. 7.5.)
Итак, установлено, что X с: А**.
Определение 1. Если (А*)* = А, то банахово простран-
пространство А называется рефлексивным.
Рефлексивные банаховы пространства играют важную роль
в приложениях, поскольку они обладают многими хоронгг:п
свойствами гильбертовых пространств. Оказывается, что есчА'
не рефлексивно, то все пространства X, А*, (А*)*, ((А*)*)*, .,.
различны
182
Доказательство этого факта выходит за рамки нашей книги.
Справедливы также следующие теоремы о рефлексивных про-
пространствах.
Теорема 2. Всякое подпространство рефлексивного бана-
банахова пространства само рефлексивно.
Теорема 3. Банахово пространство рефлексивно тогда и
только тогда, когда рефлексивно сопряженное к нему про-
пространство.
Теорема 4. Для того чтобы банахово пространство X
было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы всякая
ограниченная {по норме) последовательность его элементов со-
содержала подпоследовательность, слабо сходящуюся к некото-
некоторой точке пространства X (см. п. 17.5).
Доказательства теорем 2 и 3 приведены в [8], стр. 79—80.
Доказательство необходимости условия теоремы 4 см. в flOj,
стр. 203—204. Доказательство практически сажной части гео-
георемы 4 — достаточности се условия будет приведено в п. 1С.7.
Приведем некоторые примеры. Помимо гильбертовых про-
пространств рефлексивными являются пространства Е', /р, а также
1Р п SP (G) при р > 1.
Рефлексивность банаховых пространств встречается не так
уж часто. В примере п. 17.1 было показано, что (co)* = /i, a n
следующем за
~„,~^ .„„.„... „„ ним упражнении предлагалось показать, что
(/i)* = in. Напомним, что с0 — пространство бесконечно малык
последовательностей, а гп — пространство ограниченных после-
последовательностей. Таким образом, с0 не является рефлексивным
(со с т).
Определение 2. Банахово пространство X называется
равномерно выпуклым, если для любых {х„}сгА, {(/„}сг А та-
таких, что ||а-„||=1, |1у„|;= 1, ||а-„ + у„!1-> 2, п-гоз, имеем IK—
— уп\\-+0, п ->- оо.
Упражнение. Пользуясь равенством параллелограмм!
показать, что гильбертово пространство равномерно выпукла.
Теорема 5. Всякое равномерно выпуклое банахово vr >¦
странство рефлексивно.
Доказательство мчжпо найти в [10], стр. 182.
17.5. Слабая сходимость в нормированных пространсгзах.
Пусть дана {л,;}с1 Последовательность {х.,} называется
слабо сходящейся к элементу х>=Х, если (х„, {) —>¦ (х, /> для лю-
любого f e А*.
Если Хп-^х слабо, то х называется слабым пределом {х\.
Докажем единственность слабого предела. Если существ;, г
последовательность {х„}, сходящаяся слабо к х и к х, то длл
любого /"еХ* имеем <а-,/> = <х,/>, откуда <х — Jf,/>= 0. От-
Отсюда, по следствию 1 из теоремы Хана — Банаха, имеем ,v — х.
183

В отличие от слабо сходящихся последовательностей, последо-
последовательности, сходящиеся в А" (т. е. сходящиеся но норме А),
иногда называют сильно сходящимися.
Теорема 1. Если последовательность *„-> х, п->оо,
сильно, то Хп-* х, п -> оо, слабо.
Доказательство вытекает из оценки
I /у f\ /у Л | | /у V- f \ I <Г II у rllllfll
Обратное утверждение неверно. Приведем пример последо-
последовательности, сходящейся слабо и не сходящейся сильно. В гиль-
гильбертовом пространстве Н с ортонормированным базисом {ек}
рассмотрим последовательность {е^} векторов базиса.
Для любого х е И (е*,А)-»-0, /е—>оо, как коэффициенты
Фурье вектора х. В силу самосопряженности Н это означает,
что вк -*¦ 0, /г -*¦ оо, слабо.
С другой стороны, при п Ф m
II еп - ет |р = (сп - ет, сп — ет) = 2.
Следовательно, {еп} не является фундаментальной, а значит,
и сходящейся в И.
Теорема 2. Если {х,,} слабо сходится, то она ограничена.
Доказательство. {(х.г, [>} ограничена на каждом /е
<= А*. Но г,, 6 I можно рассматривать как элемент простран-
пространства А**, т. е. линейный функционал. Согласно принципу рав-
равномерной ограниченности {||а',,||} ограничена, что и требовалось
доказать.
Упражнение 1. Пусть {x,,}cz H, {/у.,} с//, xh -> x сильно,
а У" —> У слабо при п —>- со. Тогда (хп, у,,)^-(х, у).
Теорема 3. Если А конечномерно и х,-*-хо, п~*-оо, слабо,
ТО А',, ->¦ А'о, П —> оо.
Доказательство. Пусть {е,}" — базис в А'. Тогда хп =
= 2jE,"e,i a 'ro== Zj I,>t:,- Возьмем в А линейный функционал
fi TaKuii, что <(?,, f/>= б.г, 1,/=--=1, ..., «г (б.г — символ Кропе-
Ktpa). Тогда по условию теоремы
/хп, /Л -— j|''' —> /xijt /Л = ?,!', д —>• оо.
Это верно при /= 1, 2, ..., /;/. По сходимость в А покоордн-
nai пая, следовательно, хп —>¦ а'о, « —>• суэ.
Теорема 4. Пусть А е i? (A, Y). Если хп-> хй, «-><х>.
слабо, го Ла'я —> Л а'о, п —> оо, сл/юо.
Доказательство. Для любого / <= У* имеем
{АХП - АХ3, /) = (Л (Хп - А'о), /> = (Хп - А-о, Л7> ^ О
при п->оо, ибо /I'j g А'' (опре мление А* см. в п. 18.1).
184
Теорема 5. Для того чтобы последовательность {хп} схо-
сходилась слабо к Хс, необходимо и достаточно, чтобы
1) {lUnll} была ограничена;
2) <*«,/>—»•<-».'!,/">, га-»-сю, для любого f из плотного в X*
множества.
Доказательство сразу же следует из теоремы Банаха —
Штейнгауза, если х„ рассматривать как линейные функционалы
над Х\
Определение. Множество М с: X называется слабо ог-
ограниченным, если для каждого / <= X* числовое множество
{{х, f), х е М} ограничено.
Упражнение 2. Покажите, что ограниченное множество
слабо ограничено.
Верно и обратное утверждение.
Теорема 6. В банаховом пространстве всякое слабо огра-
ограниченное множество является ограниченным.
Доказательство. Допустим, что М слабо ограничено,
но не ограничено. Тогда найдется {x,,}czM такая, что ||а'„||> и2.
Рассмотрим {.Хп/п}. Для любого / е А'*
Это означает, что хп/п-*0, л->оо, слабо. Из теоремы 5 тогда
следует, что {х„/п} ограничена, а это противоречит неравен-
неравенству |U,,/n||> п. Теорема доказана.
Теорема 7 (Мазур). Если x-t~*-x0, и->оо, слабо в бана-
банаховом пространстве X, то существует такая последовательность
выпуклых линейных комбинаций точек xk
П / П N
Хп = Z ап1гх,. I Z anfe = 1, а„А > 0 ),
чго x,i -> а'о, п -*¦ ос, сильно.
Доказательство этой теоремы читатель может найти, напри-
например, в [10]. Более слабый вариант теоремы, без трсбоиаппч
выпуклости линейных комбинаций, доказывается так. Пусть
L — линейная оболочка еьсте.аы {л*} (определение 2 п. 6.6).
Если утверждение теоремы неверно, то х^&Е. Тогда, но след-
следствию 2 из теоремы Хана — Банаха (см. п. 16.3), пг.пдется
/ е А'* такой, чю <а"о, />= 1, <А"л,/>= 0. Следовательно, (х^])-/*
7^(xq,]) п|)н гг-^оо, [I, значит, хп~/* х^ слабо при п-+<х\ Полу-
Полученное противоречие доказывр.с, что л'о е С, т. е. наше утвер.'ч-
денпе.
Справедл1!в также следующий фчкт, тпказательстьэ кото-
которого мо;кно \И] .гн в [8].
Теорема 8. Пусть X — равномерно выпуклое банахово
пространство и {л-„}сгА. Если при и ->- оо х-, ->-л-0 слабо и
|, 20 Хп -> А'о При П -> ОО СИЛЬНО.
185

§ 18. Сопряженные и самосопряженные операторы
В линейной алгебре изучаются сопряженные т> р
женные линейные операторы в евклидовых и в унитарных про-
пространствах. В бесконечномерном случае эти понятия обога-
щаются новым содержанием. Самосопряженными оказываются,
например, многие операторы математической физики, а кванто-
квантовая механика описывается па языке теории самосопряженных
операторов в комплексном ппьбертовом пространстве.
18.1. Определение сопряженного оператора. Пусть
А = 3? (X, У). Составим выражение
{Ах, /), где х е А', / е= Г.
Определим теперь функционал ф формулой
T)
Отметим некоторые свойства ф:
1) Z)(cp)=X;'
2) ф линеен, ибо
ф («1* + а2х2) = (А (а, Х[ + a2v2), /) —
= «1 {Л*1, /} + а, (Ах2, f) = а,ф f vO + а,ф (v, ;
3) ф ограничен, так как
1 Ф(дг) ! = 1 <Лл-, /}|<!|Av||i|/!K!,lj,||/i:!i.v|!.
Следовательно, ф е А'*. Итак, каждому f el У* поставлен в
соответствие ио формуле A) элемент феА'. Таким образом,
задан линейный непрерывный оператор ф = A*f. Оператор
А* <= 2 (У\ А'*) и называется сопряженным к оператору А.
Лемма. Если Af=&(X, У), то !'.l'il = ii,1||.
Доказательство. Из свойства 3) имеем, согласно опре-
определению нормы линейного функционала,
Н<г1КН!,Ш, т.е. ыкцлц.
Далее, согласно первому следствию из теоремы Хана — Ба-
Банаха, д'1Я каждого а'о такого, что Ах? =^= 0, существует функцио-
функционал /о е У* такой, что ||/о!'= 1 и <Лхт,/о> = И.-1-)о!1. Отсюда имеем
II Ах01| =! (Лх,, /0) | = | (л-о, А7о> 1 < II А" I!'! /,, !1,! х011 - ,| Л' |! N ,v0 \\,
откуда 1И||^||Л*||. Значит, 1М'|| = |1.1|!.
Приведем примеры сопряженных операторов.
Пример 1. Пусть X--= У = Е" — пмерпое евклидово про-
пространство. Рассмотрим линейный операi^p
186
Пусть z = (Zk)* ~ (E"Y — En. Тогда, поскольку в гильбертовом
пространстве действие функционала z на элемент Ах выра-
выражается их скалярным произведением, имеем
{Ах
п п / п \
, z) = {Ax, z) = Z Л,?* = Z I Z аИ%, ?, =
1=1 1 = 1 \/-=1 /
= S ( Е ацЛ%, = (х, A*z) = (x, А'г),
1 = \ \ i = I /
где оператор w = A*z определяется равенствами
^7 = X a-nKi, 1= 1 «.
1=1
т.е. Л* задается матрицей, транспонированной к матрице А.
Пример 2. Пусть X = У =- U'1 — /i-мерное унитарное про-
пространство комплексных столбцов и А — линейный оператор, за-
заданный формулами B), где теперь а,, — комплексные чиста.
Как и в примере 1, имеем (черта — комплексное сопряже-
сопряжение)
(Ах, z) = ? п.ё, = t(t «w!/l li=tht u^i = (х, А'г).
1 = 1 1 = 1 \у = 1 / /=1 1=1
Теперь оператор со = A*z определяется так:
п
0-7= X пц^, /=1,2, ..., п,
i = i
и, следовательно, Л* задается матрицей, эрмитово-сопряженпой
к матрице А (элементы матрицы заменяются сопряженными
числами, и матрица транспонируется).
Пример 3. Пусть X = У = 3?2[а, ft]. Рассмотрим интег-
интегральный оператор у = /От:
y(t)=\jK((, s)x(s)ds,
с непрерывным в квадрате \а, b]~X\a,b\ ядром /<(/, s). Огра-
Ограничимся вещественным случаем. Имеем равенство
> г ь
(Кх, г) =
(/, s) х (s) ds > z (t) di =
I
\
:«}
, s)z(t)\x(s)ds = (x, ICz).
187

Следовательно, сопряженный оператор со = К*г также яв-
является интегральным оператором:
ь
®(t)=\K(s,t)z(s)ds,
и его ядро транспонировано к ядру оператора K(t,s). Нашей
ближайшей целью является изучение самосопряженных опера-
операторов. Поэтому мы пока ограничимся приведенными примерами.
18.2. Самосопряженные операторы. Пусть Н — гильбертово
комплексное пространство. Вещественный случай сводится к
рассматриваемому посредством комплексифнкации.
Определение. Оператор А(^2'(Н) называется самосо-
самосопряженным (или эрмитовым), если А* = А, т. е. если А совпа-
совпадает со своим сопряженным.
Согласно этому определенно А — самосопряженный, если
для любых х, у е Н
(Ах, у) = (х, Лу).
A)
Возможность «перебрасывать» А с очного множителя на
другой множитель позволяет детально изучить ктасс самосо-
самосопряженных операторов. Это тем более важно, так как само-
самосопряженные операторы находят самые широкие приложения,
например, в квантовой механике. Примеры 1—3 п. 18.1 позво-
позволяют дагь простейшие образцы самосопряженных операторов.
Пример 1 (см. пример 1 п. 18.1). В Еп рассмотрим линей-
линейный оператор А, заданный равенствами B). Оператор А будет
самосопряженным тогда и только тогда, когда а,, = ац, т. е.
когда матрица (а,,) симметрична.
Пример 2 (см. пример 2 п. 18.1). Оператор А, определяе-
определяемый равенствами B), в унитарном пространстве Un будет са-
самосопряжен (эрмитов) тогда и только тогда, когда а,, — а,,-.
Пример 3 (см. пример 3 п. 18.1). Интегральный оператор
К будет самосопряжен в 2?i[o, b] в том и только в том слу-
случае, когда его ядро симметрично, т. е. K(t, s)= K(s, t).
Докажем теперь ряд теорем о свойствах самосопряженных
опепаторов.
Теорема 1. Пусть А и В— самосопряженные операторы
в Н, а а и р — вещественные числа; тогда ссА 4-$В — самосо-
самосопряженный оператор в Н.
Доказательство. Пользуясь определением оператора
аЛ -f- РВ, линейностью скалярного произведения и самосопря-
самосопряженностью А и В, получаем
(аЛ + рВ) *, у) = (аАх + $Вх, у) = а (Ах, у) + 3 (Вх, у) =
= а (х, Ау) + Р (х, By) = (х, аАу + рВу) = (*, (аЛ + PS) у).
183
Теорема 2. Пусть операторы А и В —самосопряженные.
Оператор АВ является самосопряокениым в том и только в том
случае, когда А и В перестановочны.
Доказательство вытекает из равенства
(АВх, у) = (Вх, Ау) = (х, ВАу).
Теорема 3. Если А самосопряжен, то число (Ах, х) ве-
вещественно для любых х е Н.
Доказательство. (Ах, х) = (х, Лх) = (Ах, х). Комплекс-
Комплексное число (Ах,х) совпадает со своим комплексно сопряжении
и, значит, вещественно.
Теорема 4. Если оператор А — самосопряженный, то
II Л || = sup \(Ax, х)\.
ii * и < 1
Доказательство. Пусть сА = SUP I (Лх< х) I- По иера"
j \; || =^. 1
венству Кошп — Бупяковского и по свойству нормы линейного
оператора имеем сл = \ (Ах, х) | <||/U'|| II ^ IK 1ИЦ. Итак,
^ < II Л II- B)
Докажем теперь противоположное неравенство ||Л||<Си, от-
откуда и будет следовать утверждение теоремы.
Замешм сначала, что для любого х^Н, х ф О
\(Ах,х)\<сА'Лх\\2. C)
Действительно, если ||л:|!^ 1, то
\(Ах, х)\<сА.
Если х=?0, то (А~, -~)^са, откуда, по линейности А
и свойству 3 скалярного произведения, получаем C).
Теперь рассмотрим следующие тождества:
(А (х -г у), х + у) = (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) + (Ау, у) =
= (Ах, х) + 2 Re (Ax, у) + (Ау, у),
(А (х — у), х — у) = (Ах, х) - 2 Re (Ax, у) + (Лу, у).
Мы воспользовались тем, что
(Ах, у) + (Ау, х) = (Ах, у) + (у, Ах) =
= (Ах, у) + (Ах, у) = 2 Re (Ax, у),
где Re X — действительная часть комплексного числа Я; Я—
число, комплексно сопряженное с Я. Вычитая из первого тол.-
Дества второе, получим
4 Re (Ах, у) = (А (х + у), х + у) - (А (х ~ У)> х ~ г^~
189

Оценивая по модулю и используя неравенство C) и равенство
параллелограмма, находим
4\Re(Ax, у)\<\(А(х + у), х + у)\ + \(А(х-у), х-у)^
< С А (II X + У |Р + || X - у |р) = 2СА (|| А |Р + || у IP).
Пусть теперь |[х!| = ||г/|;= 1, тогда
\Re(Ax, у) |< с,. D)
Пусть а, ||а'||^ 1, таково, что АхФО. Положим в D) у =
«= Ла7ЦЛа'|| и получим
\1Лх, Лх)\ ^ „
Это тем более верно, если Ах = 0. Переходя в неравенстве
\lAx\\ ^ сА к sup и пользуясь определением нормы линейного
оператора, получим ЦЛЦ^с,. Вместе с неравенством B) это
дает |i.4||= са, что и требовалось доказать.
18.3. Неотрицательные операторы. Неравенства. Покажем,
что во множестве самосопряженных операторов из ¦?'(//)
можно ввести частичную упорядоченность: для некоторых пар
самосопряженных операторов будет установлено отношение
«больше пли равно».
Определение 1. Будем говорить, что самосопряжен!!1,!"!
оператор Л неотрицателен, и писать А ^ 0, если (Ах, х) 5з Одлл
любых а (= Н.
Упражнение 1. Показать, что если даны операторы
А\ ^ 0, Л2 ^ 0 и скаляры U ^ 0, Х2 ^ 0, то Mi + Мг 5? 0.
Лемма 1. Всякий многочлен от неотрицательного опера-
оператора с неотрицательными числовыми коэффициентами является
неотрицательным оператором.
Доказательство. Пусть Л^0. Рассмотрим оператор
п
вида Fn (A) = Yj akA'\ где все ал ^ 0. Л3 = / по определению,
так что Л° Г2г 0. Далее, А2 ^ 0 даже для любого самосопря-
самосопряженного оператора
(A2m+Kx,x) = (Ay,y)l
Итак, все Ak I> 0.
Применяя упражнение 1, получим утверждение леммы.
Л е м м а 2. Пусть А 5г 0; тогда справедливо обобщенкое не-
неравенство Коши — Буняковского:
,
А,
0
так как {А2-пх, х) = (А'"х, Апх) ^ 0,
(здесь у = Лтх), значит, Л2ш+1 > 0.
| (Ах, у) | < У'(Лл-,
, г/).
Доказательство. Пусть [х, у] = (Ах, у); тогда имеют
место следующие свойства [я, у].
1)
3)
4)
; 2)
[
= [у, а] ;
>] ) [, у] [у ]
Кх, у] = К[х, у] (для любого комплексного числа а);
i + Х2,у] = [xi,y] + [х2,у\.
190
Это обычные свойства скалярного произведения, за одним
исключением: [0, 0] = 0, но из [х,х] = 0 может не следовать,
чт0 х = 0. Предоставляем читателю проверить, что доказатель-
доказательство неравенства Кошн — Буняковского (см. п. 5.2) пепольз^ог
только свойства 1)—4).
Таким образом, утверждение леммы, записанное в виде
\[х, у]\<Л/[х, л] м\у, у], доказано.
Определим теперь неравенство А ^ В для некоторых пар
самосопряженных операторов А и В, пользуясь определением
неотрицательных операторов.
Определение 2. Пусть Л и В — самосопряженные опера-
операторы из 3?(Н). Будем писать Л Гз= В или В s^ Л, если Л — В ^
Г3= 0 (т. е. (Ах, х) 2э (Вх, х) для ьсех х е //).
Элементарные свопстг.а неравенств мы предлагаем прове-
проверить читателю.
Упражнение 2. Пусть А, В, С — самосопряженные спс-
раторы ьз i? [IV). Покажите, что
1) А:
В и В ^ С, то Л ^ С;
В, а В ^ Л, то Л = В;
В; тогда, если а ^ 0, то аЛ
2) если Л
3) если Л > , ^ , о ;
4) пусп, А^В; тогда, если а ^ 0, то аЛ ^ аВ; если
^ 0, то a A z^. иВ.
18.4. Общее определение сопряженного оператора. В этом
и в следующем пунктах показано, каким образом понятия со-
сопряженного и самосопряженного операторов обобщаются па
случаи неограниченных операторов. Неограниченные самосо-
самосопряженные операторы встречаются, например, в квантовой ме-
механике. Подробнее с этим кругом вопросов читатель может по-
познакомиться в монографии [211-
Пусть А' и У — нормированные пространства (оба веществен-
вещественные или оба комплексные). Рассмотрим линейный оператор Л
(возможно, неограниченный) с областью определения D(A)aX
и со значениями в У.
Фиксируем / <= ) * и при всевозможных х е D(A) получим вы-
выражение (Ах, />. Вследствие его линейности по х па D(A) воз-
возникает вопрос, при какчх условиях оно определяет единствен-
единственный функционал ср е А'*.
Начнем с вопроса о единственности.
Лемма. Для того чтобы представление
{Ах,!) = {х,Ч) (i)
при всех x^D(A) было единственным (греА"*), необходимо
и достаточно, чтобы D(A) — X.
Доказательство необходимости. Допустим, что
А) X. По следствию 3 из теоремы Хана —Банаха HaiVer-
фо е ;Y*, ср0 Ф 0 и такой, что (а-, сро)=О для всех D(A)
1)
Но
фо е ;Y, ср0 Ф 0 и такой, что (а, сро)О для всех x().
тогда, наряду с представлением A), имеет место представ-
191

ленне (Ах, f)—(x, ф -f- фо) (для всех х ^ D(A)), что противорз-
чнг единственности представления A). Это означает, что допу-
допущение 0{А)ф X неверно, и Ъ{А) — X.
Доказательство достаточности. Пусть D(A) =
— X. ЕСЛИ (Ах, /> — (X, ф!> — (X, ф2>, ТО (X, ф! — ф2> = О ДЛЯ
всех x^D(A), плотному в X. По тому же следствию 3 из тео-
теоремы Хана — Банаха ф1 — ф2 = О, т. е. представление A) един-
единственно. Лемма доказана.
Ниже предполагается, что D(A) = X. Пусть /е У*. Будет
ли существовать (р е Р? Если, например, / = 0, то ф = 0. Вы-
Выражение <Ллг, /> для каждого f <= У* определяет линейный функ-
функционал ф, однако ф может оказаться неограниченным, т. е. не
принадлежать X". Введем множество D*aY" тех fe Г, дчя
которых имеет место представление A) (при ipeA'*),
Упражнение 1. Покажите, чти D" — линейное многооб-
многообразие в У*.
Теперь каждому f ge D* cr У* поставлен в соответствие опре-
определенный элемент tpeP (в силу представления A)). Тем са-
самым задан оператор ф = Л*/ с областью определения D(A*) =
= D* a У* и со значениями в X*; оператор Л* называется со-
сопряженным к А.
Упражнение 2. Покажите, что Л* — линейный оператор.
Имеет место следующее равенство:
(Ах, /> = (х, Л7>, B)
справедливое для любых х е D(A) и любых f e= D( 1*). Все в"-
шензложенное можно подытожить следующим образом.
Теорема 1. Пусть А — линейный оператор с обласгою оп-
определения D{A)<z:X и с областью значений в Y. Если D(A)
плотна в X и только в этом случае, существует (однозначный)
сопряженный к А линейный оператор А* с областью опреде -2-
ния D(A*)cY*, со значениями в X*. При этом для любых
х е D(A), f <= D (Л*) справедливо равенство B).
Докажем еще две теоремы о сопряженных оператора к.
Теорема 2. Пусть А — линейный оператор с плотной в
нормированном пространстве X областью определения D(A) и
с областью значений в нормированном пространстве У. Тогда
оператор А*, сопряженный к А, замкнут.
Доказательство. Пусть fn e D(A*) и }п -> fo при я-> оо
(в У*). Пусть, далее, А*(п = <рп -*- Фо, п -*¦ °° (в^*)- Имеем
(х, фп> ->- (х, фо>, а (Ах, 1„) -> (Ах, fo> при п ->- оо для всех х <=
<=D(A). Но (Ax,fn) = (х, ф >, и, значит, <Лдг, fo> = (*Ло>- Это
означает, что fo<^D(A*) и A*f0 = ф0, т. е. А* замкнут. Теорема
доказана.
Теорема 3. Пусть D(A) = X. Равенство D(A*) = У*
место тогда и только тогда, когда А ограничен на D(A). В этом
случае А* е= 2(У*, X*) м||А*|| = |И'
192
Доказательство необходимости. Пусть DM*) —
— Y*, т.е. выражение <Лх,/> определяет при любом f e У* ог-
ограниченный в X* функционал. Это означает, что множество
М = А (О(Л)П Si@)} (образ при отображении Л пересечения
D{A) с единичным шаром) слабо ограничено. Но тогда (см.
теорему 6 п. 17.5) оно ограничено, т. е. naiHeica постоянная
с >> 0 такая, что \\Ax\\ ^ с для всех х ge D (Л) П 5i @). Это озна-
означает, что Л ограничен па D(A) (см. п. 10.5).
Доказательство достаточности. Пусть Л ограни-
ограничен на D(A); тогда (Ах, /> огр^ничено по ;.<=Л(Л) па кал<.дом
ограниченном множестве при любом | е У, т. е. О(Л*)= У*.
Кроме того,
\(х, Af)\ = \(Ax, /ЖЦЛММ /!'.
Согласно определению нормы лппеппогэ фупк'дпо;пла
11Л71КМ!1!/ ', т.е. \\А |К!, 41..
Покажем, что верно обратное неравепел о. Согласно спре-
дглению нормы линейного оператора, для каждого е > 0 суще-
существует х? с П'с||= 1 такой, что ||А#С||>|| I1 — е. Далее, по след-
следствию 1 из георемы Хана — Банаха найдемся fL <= \* такон, что
|Sfe||= 1 п (Ах,,, /С>=Н!Л*Ь1|. Следовательно, имеем
II Л* || > | Л )\ || > \ (хе, Л7Г> 1 = \(Л <с, L) I = '! А кь 'I > М || - е.
Отсюда \'А'*\] ^[ ЛI', г, зпал.г, |,Л*!! = !',Л!!. Теорема тл'оегью
дека ;аиа.
13.5. Ог.ределение симметрического и самосопряженного
операторап. В гильбертовом пространстве И рассмотрчм ли-
линейный оператор Л с пло"-д1.У1 в // областью определения D (А).
Пусть Л* — сопряженный к Л оператор.
О г: р еде л е и lie 1 Ее m D(A*) =э D (Л) ннаД(Л) А*х =
— Ах, т. е. Л* является расширением Л, то оператор Л будем
называть симметрически:
Замечание. Так как D{A) = Н и D(/i*)=) О(Л), то и
D(A*) = Н, и, следовательно, существует (см. теорему 1 п. 18.4)
оператор (Л*)* = Л**, который замкнут (см. теорему 2 п. 18.4).
Теория самосопряженных расширений симметрических опе-
операторов здесь не рассматривается. Она находит важное прило-
приложение в теории дифференциальных операторов (см. [24], [11],
[21]).
Определение 2. Если А = А*, то линейный оператор Л
называется самосопряженным.
Согласно вышеизложенному самосопряженный оператор А
всегда замкнут, a D(A)=H и для любых х, y^D(A) имеет
место равенство
(Ах, у) = (х, Ау). A)
7 В. А. Треиогин 193

Свойства ограниченных самосопряженных операторов, отме-
отмеченные в п. 18.2, частично переносятся на рассматриваемый
общий случай.
Упражнение 1. Пусть А и В — симметрические (самосо-
(самосопряженные) операторы в Я с общей областью определения D,
а а и f) — вещественные числа; тогда аА + |ЗВ — симметриче-
симметрический (самосопряженный) оператор (см. теорему 1 п. 18.2].
Упражнение 2. Пусть А — симметрический оператор в Н.
Тогда для любых x^D(A) число (Ах, х) вещественно (см. тео-
теорему 3 п. 18.2).
На симметрические и самосопряженные операторы перено-
переносится также понятие неотрицательного оператора, а также по-
нягие неравенства (для операторов с общей областью опреде-
определения).
18.6. Операторы ортогонального проектирования (см. [25]).
Остановимся подробнее на одном частном случае ограниченных
самосопряженных операторов. Речь идет здесь об операторах
ортогонального проектирования, или ортопроекторах, которые
мы будем называть здесь для краткости проекторами.
Пусть в гильбертовом пространстве Й задано подпростран-
подпространство М. Согласно теореме Рисса (см. п. 6.3) каждому х е И
можно поставить в соответствие единственный элемент у е М —
ортогональную проекцию х на М. Тем самым в И определен
оператор у = Рх.
Упражнение 1. Покажите, что xgAI в том и только в
том случае, когда Рх = х.
Пусть теперь ML ортогональное дополнение к М (М1 =
= {ге Н: zl.M}), а г — ортогональная проекция х на Л11.
Тогда определен проектор Н на М1, равный / — Р, так что
2 =(/ — Р)х (вспомним, что х = у + 2, где у е М, геЛ!1).
Упражнение 2. Покажите, что х е М1 (т. е. х -L М) тог-
тогда и только тогда, когда Рх = 0.
Перечислим основные свойства проекторов.
1°. Каждый проектор Р является всюду определенным в //
линейным оператором со значениями в Н. Действительно, пусть
х = kiXi -f- к2х2, >-i и Х2 —скаляры. Пусть, кроме того,
¦ = y + z,
X2 = У г
где
где
М,
м\
где у2 <= M,
Тогда у + z=(hyi + 12</2) + (>-i2i +
a \\Z\ + ?.2^2 s М1. Следовательно, у =
где
+ ?.2у2
т. е.
М,
Линейность проектора Р доказана,
194
2Э. Рег(Я), причем ||Р||=1, если Af =? {0}.
мся теоремой Пифагора:
Отсюда ||Px||2<|UH2, т. е. ||Px||^IU|l, п, значит, ||Р||< 1. Пусть
теперь Мф {0}. Возьмем х0 <= М с И JCnl! = 1. Тогда 1 =IU'(,||--
= ||Pxo||^l|P|IIU0|| = ||P|i. Неравенства ||Р||^1 и ||Р|1>1 дают
3°. Р2 = Р. Действительно, возьмем любой х^Н; тогда
Рх^М, и, значит, Р(Рх) = Р2х = Рх.
4°. Р самосопряжен. Действительно, пусть х\, х2 е //, xi —
==!/! + zi, x2 = у2 + 22; t/i, i/iS Л1; 2Ь 22 е М; тогда
(РХ(, Х2) = (iju IJ2 + 2,) = (tji, IJ2) + (lju Z,) =
= (Уь У2) = {У\ + ги у2)==(х1, Рх,).
Здесь (г/1,22) = 0, ибо ij\ e M, Zi<= Ml; аналогично Bi,y2) = 0.
5°. Для любого ле// нлеем (Рх, х) = \\Рх\\2, откуда
(Рх, х)~^ 0. Действительно, по свойствам 3° и 4°
(Р v, л:) = (Р'2х, х) = {Рх, Рх) = || Рх У
0.
6°. хеЛ1 тогда и только тогда, когда ||Рх|| = ||х'|. Это свой-
свойство вытекает из теоремы Пифагора (см. 2°).
7°. (Рх, х) ^ IUH2 для любого х^Н. Равенство достигается,
копа Рх = х (л. е. х е Л1), и только в этом случае.
Доказательство. (Рх, л)г^ \\Px\\ \\x\\ -^ |'Р|| \\x\\2 sS i!x,|2.
Если же (Рх, х) = (х, к), то, согласно 5°, |]Рх||2 = JUI,2, л е.
||Рл:|| = ||хГ, откуда (см. 6°) хе^М.
В заключение докажем следующее преаложонче.
Теорема. Писть А — самосопряженный оператор в И, при-
причем А2 = А] тогда А — проектор на некотооое n.oanpoci/ пч^тво
MczH.
Доказательство. Рассмотрим множестпо
М = {х: Ах = х).
Так как А ограничен, то М замкнуто. Покажем, что А — про-
проектор на М. Возьмем любой хёЯ п предс:авнм его в впт,е
х = Ах + (х — Ак).
Докажем, что Ах^М, а х — Ах ^ ML. Первое включение
очевидно, тпк как А(Ак) = А2х = Ак. Далее, для произвольного
и е М имеем
(х — Ах, и) = (х, и) — (Ах, и) = (х, и) — (х, Аи) = (х, и)—(х, ti)=0,
т. е.
х - Ах е= М1-.
Теорема доказана.
18.7. Отношения между подпространствами и ортопроекто-
ры (см. [25]). Сначала посмотрим, как интерпретируется на язы-
языке проекторов отношение включения двух подпространств,
7* 195

Теорема 1. Пусти Р\— проектор на подпространство М\,
а 1А — :гг<,екюр на /. "-'оостранстго ЛЬ Следующие пять ус-
jUhuu эквивалентны:
1) Л^сЛ'!,;
2) 1\1\ = Р2\
3) Pfi = Р2;
*) \\РУ\\<ii.p!A'!i d-i,i любого xfci/;
5) (F2x, a) sg {Р\х, х) для любого х <= //.
Доказательство. Так как (Рх, х) =\\Рх\\1 (ел. ivjuliuj
5е ), то условия 4) и 5) эквивалентны. Поэтому до-
теоремы можно провести по следующей схеме:
)))))
Пусть справедливо 1). Тогда для любого х^Н имеем
Р2к е Л?2 п, значит, Р2л- е Л1Ь по тогда Р\Р2х = Р2х, т. е.
Ptp, = P2.
Oycib справедливо 2), тогда P.P. = PjPi" = (Р\Р>)' = PI = Р2.
Пусть справедливо 3), тогда для любого х^П
II /V II = II /У>,* II < IIР2IIII Pix II < II PlX ||.
Пусть справедливо 4). Если ieM2, то |[а-|| = ||Р2, *||<;
^I^VL^lUI!, откуда llPi.vil = 1|л||. По свойству 6° проектора
тогда х <= М], т. е. 1) доказано. Теорема полностью доказана.
Посмотрим теперь, как на языке проекторов выглядит отно-
отношение ортогональности дв\ч подпространств.
Определение. Проекторы Pi н Рг называются ортого-
ортогональными (краткая запись: /Ji J.P2), если Р\Р2 — 0.
Следствие. Если Р\ -L Р2, то и Р2 -L Рь
Действительно, если 0 = PiP2, то 0 = (PiP2)* = Р[Р\ = P.Pi
т. е. Р2 J-P,.
Теорема 2. Пусть Р\ — проектор на подпространство ЛЬ,
а Р2 — проектор на подпространство М2; Mi _L M2 тогда и толо-
ко тогда, когда Р\ _L P2.
Доказательство. Если PiP2 = 0, то для любых Х\ е My
и л-2 е М2 имеем
(л-„ xJ =
-2) = (.г„ P,P2.t2) =
т. с. Afi I M2.
Обратно, пусть М\ А. М2. Тогда для любого 1еЯ имеем
Р2х е М2 и, значит, Pi/j2a: = 0, т. е. Р|Р2 = 0. Теорема доказана.
Теперь мы переведем на язык проекторов операции пересе-
пересечения подпространств, ортогональной сумлш подпространств и
ортогональной разности подпространств.
Лемма 1. Произведение двух проекторов является проек-
проектором в том и только в том случае, когда они перестановочны.
Доказательство необходимости. Пусть Pi и Р2 —
проекторы, тогда они самосопряжены. PiP2 — проектор и, зна-
значит, тоже самосопряжен. По теореме 2 тогда PiP2 = Р2Рь
106
Доказательство достаточности. Пусть Р ,Р L —='
= Р2Р\- Тогда Р\Р2 самосопряжен (по тон же те^ргмо 2). К^о-
ме того,
(PiP2f = (Pi/3.) (PiPi) = Pi
Pi (P\Pi) P = PIP1- --= PiPi-
По теореме п. 18.6 PiP2 — проектор. Лемма 1 доказана.
Теорема 3. Пусть Pi — проекюр на под прост ренет зо Af,
'(/=1,2). Пусть Р\ и Р2 nepst ган^зочни. Тогда P\Fi — проек-
проектор на All П Ah.
Доказательство. Пусть Р\Р<> -- проектор на Л1, н пусть
жеМ. Тогда х = Р\Р2\ = Pi(P2.*)e М\' т. е. хеА!,. Далге,
х = P2Pi* — Pi(Pix)€B .\U, т. е. х е± М2. Следователь::з, xs
е Af 1 П Л12. До'.а.:атю с.л;очсьнс '¦,' cz М{ П Л12.
Докажем теперь оС--атп о включение. Пусть x^.M\f\Mt.
Рассмотрим PiP л. Так как х е Л12, то Р2х = Л1 поюму PiP2^ =
= Р\Х, но х^М\, откуча Р\х~х, Следовательно, Р\Ргх = х,
т.еле /.'. Значь г, 1Л\ П АЬ с= .'1
Из доказанных вкл|Син:к" !:¦>'.' см AI = All П ^Ь- Теорема до-
доказана.
Лемма 2. Сумма к..>псчноги "v'\;g опсоатороз проектиро-
проектирования Ру -|- Р2-f- ... -j- Рн является ompaTD'TiM проецирования
тогда и толоко тогда, кс:3а itii cnc.KiropA n "с:рно онт^гскшл1)-
ны, т. е. Р Pi = 0 при k Ф I.
Доказательство и с (, б п д и ч ост и. П'_ сть Pi u1
+ Рг + ••• + Рч = Р — ппг^ктср // '.а по :п «ост; ""ство Л1.
Пользуясь сво:"стьачи проекторов, имеем
|| Ра-1,2 = (РХ, РХ) = (Р-А-, X) = (РХ, X) = У (Р4 V, X) =
/ъ1
=1
Следовательно, для любого х
Положим здесь x = PLy, где i/еЯ; тогда
? ii PkPiy i < ii Piy if. "ли ? ii p*p'^l|2 + i p'y S2:
Так как | P^|? = ll Pnj\t, то ||PfcP;?/|| = 0 при кф1 _
Вследствие произвольности у отсюда получаем PkPi — 0,
Ф I, Необходимость доказана.
197

Доказательство достаточности.
, . . , Рп попарно ортогональны. Отсюда имеем
ps = {Pl + p2+ ... + paf = р\ + р\ + ... + /
Пусть Pi
Но, как сумма самосопряженных операторов, Р самосопря-
самосопряжен (см. теорему 1); следовательно, по теореме п. 18.6 Р — про-
проектор. Лемма 2 доказана.
Теорема 4. Пусть Р\, Р2, ..., Рп— попарно ортогональ-
ортогональные проекторы, причем Р, проектирует Н на подпространство
Mi. Тогда Р\ -f- Р2 + ... -\- Рп проектирует Н на ортогональную
сумму подпространств М\ © М2 © ... ©М„.
Доказательство. Пусть Р = Pi + Р2 + ... + Рп про-
проектирует Н на некоторое подпространство М. Возьмем х^М,
тогда х = Рх — Рхх + Р2х + ... + РпХ, где Рkx е М*, & =
= 1,2, ..., п. (Согласно теореме 2 Mk _L УМ/ при k ф I.) По оп-
определению ортогональной суммы подпространств последнее ра-
равенство означает, что xeAl^Alj® ... © Л1„. Доказано вклю-
включение М с Mi ©М2 © ... ©/И„.
Для доказательства обратного включения возьмем Jce/Wi©
©М2© ... ®Мп, т. е. х — х\ + х2+ ... +х„, где л^еЛ!*, и
покажем, что Рл: = х, что равносильно л; е М. В самом деле,
так как Pkxk == ,v* (ведь xk е уИа), a P*.v/ = 0 при k ф I, так как
Х{ L Mk при k ф I. Теорема доказана.
Л е м м а 3. Разность Р\ — Р2 проекторов Р\ и Рг является
проектором тогда и только тогда, когда Р\ ^ Р2.
Доказательство необходимости. Пусть Р = Р^-~
— Р2 — проектор, тогда Pi = Р + Р2 и по лемме 2 РР2 = 0, т. е.
О = (Pi - Р2) Р2 = PlP2 — Pl = PlP-2 - Р2,
или PiP2 = Р%. По теореме 1 это равносильно Pi ^ Р2.
Доказательство достаточности. Пусть P\~^Pi.
Тогда по теореме 1 Р1Р2 = Р2, Р2Р1 = Р2. Оператор Р = Pi —
— Р2 самосопряжен, как разность двух самосопряженных опера-
операторов (см. теорему 1). Далее,
Р' = (Р, - p2f = р\ - р,р2 - р2р{ + р\==рх-р2-р1 + р2 = р.
Но тогда по теореме п. 18.6 Р — проектор.
Теорема 5. Пусть Pi — проектор Й на подпространство М;,
i= 1,2, причем Р\~^-Рг- Тогда оператор Р\ — Р2 — проектор Н
на ортогональную разность M\QM2.
Доказательство. Пусть Pi — Р2 — проектор Н на под-
подпространство М. Так как P2(Pi — Р2) = P2Pi — Рг = Р2Р1 — Pj ==
= Р> — Р<! = 0, то P2lPi — Рг- Но тогда по геореме 4 опера-
198
тОр pl = P2 -f (Pi — Р2) проектирует Н на М{ = М~2 0 М. По оп-
определению ортогональной разности М = AV3 М2.
Замечание. Если Pi ф 1, то, так как / ^ Р2 для любого
проектора Р2, получаем уже известный факт: проектор / —¦ Pi
проектирует Н на Mj~ = Н © М,.
Задачи.
1. В пространстве Соболева Я'@, 1) рассмотрим оператор А = d/dt со
значениями в i?:,@, 1). Найдите оператор А*.
2. Пусть оператор А(х) определен всюду в комплексном гильбертовом
пространстве И, значения А(х) пусть также лежат и Я. Докажите, что если
для любых л-, у е Н
(Ах, у) = (х, Ау),
то 1) А линеен; 2) А ограничен; 3) А самосопряжен.
3. Пусть АеЗ"(Н), причем А'А = АА\ Докажите, что оператор Л —
неотрицательный самосопряженный оператор.
4. Пусть А, В (S.2S (Н) и самосопряженные. Пусть, далее, (Лх,х) =
= (Вх, х) для любого х е Н Докажите, чго тогда А = В.
5. В комплексном гильбертовом пространстве И квадратичная форма
(Ах, х) некоторого линейного, всюду в Я определенного оператора А, ы зна-
значениями в Я вещественна тогда и только тогда, когда А самосопряжен. До-
Докажите.
6. Найдите матрицы всех проекторов в Е1.
7. Если для двух проекторов Р, и Р2 \\Рг — РЛ < 1, то пх области значе-
значений линейно пзометрнчны (см п. 3 8).
8. Если проектор:,! 1\ и Рг перестановочны, но, вообще говоря, не ортого-
ортогональны, то оператор Р\ + Р2 — Р]Рг является проектором на подпространство
Mi + Л/2 — gckto[)h>io сумму, вообще говоря, не ортогональных пот,:пю- ^
стрл'.ств.

Г л а в а V
КОМПАКТНЫЕ МНОЖРХТБА И ВПОЛНЕ
ВНЕЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 19. KoVllil!<iH-10
ьо i
Е НОГЛГ'.рОТ'Л'ННЫХ
19.!. Еиксипактныс киг>:сгст1Я. В m.ulmj, .
с\ щес! bciihj ю роль играет пзиестпуя теорем я Ьо.'ч.;.,,!;^— Lk.-
ipiuipaei'a (см. [1Ь]), в юторой у. г.еркдается. из любо;! d-
рзиг^еппой гммсдоьа:олы1ости гещепионных чисел можно вм-
дслиi') ( v /'¦;.!.} '^-'ч i'0/jпсследива ге лыюст ь.
!' i'.'\ii, чю r.oc'iiOij аСьствЛ: нистыо последовательное г i
{и} к .ллсаеме.' ее годы.^л^сгво {*„}> ееiл >ii + l>nL, &— 1,
2, ..., т.е., oc.iii в |л(< \ сохра:1ие1ся порядок следоза ыя
э lOMoi: юв {v,,}.
Теорема Еольцапо—Г.енерптгргсса легко перенос wen на лю-
любое KOhC4i:oMt piijo CaiidMBo пространство Л. Досигочио i; ni;-
ся',ло.'ать i< А СаЗчс п русом'л pcii) соотве1ствуюш.е^ банахо,,)
ьгестрапстьо ко* ;-лпниf, которое, вследспопс э^внаалептносы
П'фм, ,"'О)\по с Kw-'.v.ecrLiiib с еокл!!ДиГ':м нросгра1;сгвом Е". И)
т*;орь>:ы Сол' Дг.ио — Bentpuiipucca в .С" (см. [lfej) теперь сле-
, )^7 ее справедливость в /^.
В CecKPiie'iiii мерном Санпхоиом пространстве теорема Боль-
IIаи 15 — Ееьер'Л1 рг.сса не имеем мс^га. Действии.;ыю, возьме i
гильбертово пргисгранстпо, п пусть в нем згдрна о;г.онорм.".;о-
LuImmm система ьо.чторов {с,}.
1 К^следсьател! пость векторов этил системы с грапнчеиа, ги)
не сходится пи сна сама, ни какая-либо ее подпоследователь-
подпоследовательность. (Покажите это с помощью критерия Кошп )
И все же свойство, выражаемое теоремой Больнапо — Вейср-
штрасса, настолько важно, чго представляет смысл выделить
случаи, когда эта теорема все же справедлива. Дадим следую-
следующее важнее определение.
Определение. Множество 2Л банахова пространства X
называется бикомпактным, если из каждой последовательности
{a,,}cz2R можно выбрать сходящуюся последовательность, пре-
предел которой принадлежит WI.
Из этого определения вытекает ряд следствий.
200
Следствие 1. Всякое бикомпактное множество ограии-
чено.
Допустим, чю это нс так. Топа найдется {^сгЗЛ така^,
что \\хА > «¦ О'1С-в:.дно, ч:о {.г,,} i<e кюмь^кгча, а это протпвере-
чнт бикомпакпюстп Г?}. Значит, Ш oi раппчено.
Следствие 2. Всякое бикол пакп-ое множестсо зимкную.
Дейс1В11тельно, если {хп} czW. и хп->хо, а —>оо, то, так как
сама {.v.,} является своей подьос;.едовательностыо по бпком-
пактности 9Л, v0 е SJI, т. е. Ш замкнуто.
Возникает естественный вопрос: не является ли всякое огра-
ограниченное п замкнутое множество 331 бикомпактны:,:? Ясно, что
в общем случае это не так. В рассмотрением выше примере
множество {еп} векторов некоторой ортонормпроваипой cncie-
.мы гильбертова пространства огранпч?ко и замкнуто, но не би-
бикомпактно.
Во всяком конечномерном банаховом пространстве всякое
ограниченное замкнутое бесконечное множество бпкомнакпю.
Это утверждение представляет собою чуть усиленный ва-
вариант теоремы Больцаио — Вейерштрассг. Если {.г,}—некото-
{.г,}—некоторая последовательность элсменюв такого множества, то она
ограничена п все ее предельные точки (пределы ее подпосле-
подпоследовательностей) принадлежат этому множеству вследствие ею
замкнутости.
19.2. Бикомпактные множества и задачи вариационного ис-
исчисления. В математическом анализе устанавливаются теоре-
теоремы о том, что всякая непрерывная на отрезке функция ограни-
ограничена на этом отрезке и достигает на нем своего наибольшего и
наименьшего значений. При этом существенно используется бп-
компактность отрезка.
Такие же теоремы справедливы в произвольном банаховом
(и даже в метрическом) пространстве, причем роль отрезка иг-
играет бикомпактное множество.
Теорема 1. Пусть f (х) — веьцественный непрерывный функ-
функционал, определенный на бикомпактном множестве Q; тогда
f(x) ограничен на Q.
Доказательство. Покажем, что f(x) ограничен сверху,
т.е. найдется постоянная с такая, что f(x)^c для любых
Допустим противное. Тогда найдется х\ е Q такое, что
/(*i)>l. Далее, существует /jeQ, для которого /(лг2)>2.
Повторяя это рассуждение, получим {хп} a Q такую, что
f{xn) ~> п. Вследствие бикомпактности Q существует сходящаяся
подпоследовательность (хп \ последовательности {хп}. Пусть
хо ПРИ
вследствие той же бикомпактпости
<х>.
Q. По непрерывности функционала f, f Схп )->/(^0) ПРН
Значит, |/^nJJ ограничена. Но, с другой стороны, f(xnk)>nk,
201

т.е. f(xn\ —> сю при ?—»-оо. Мы пришли к противоречию. Зна-
Значит, предположение о том, что f(x) неограничен сверху, не-
неверно, т. е. fix) ограничен сверху.
Аналогично доказывается ограниченность f(x) снизу. Тео-
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть f(x) — вещественный непрерывный
функционал, определенный на бикомпактном множив., иг Q.
Тогда существуют XoeQu x° e Q такие, что
f{xo)= inf f{x). f(x°)= sup f(x).
(Иначе говоря, f(x) достигает на Q своих наименьшего и наи-
наибольшего значений.)
Доказательство. Обозначим sup/(x) = m. Надо до-
казать, что эта точная верхняя грань достигается. Из опреде-
определения sup имеем: для любого п существует .1,, е Q такое, что
in—— < f (xn)^.m. Отсюда следует, что /(л-„)->т. Вследствие
бнкомпактности Q существует последовательность {хп }, сходя-
сходящаяся к некоторому ха e Q. По непрерывности f (xn )~+ f (x»)
при k->oo. Но, с другой стороны, f(xn ~\—>1п при /г-^оо. Из
единственности предела п = /(л>). Мы показали, что /(.\г) до-
сгпгаег на Q своего наибольшего значения. Аналогично дока-
доказывается, что f(x) достигает па Q своего наименьшего значения.
'Георема доказана.
Пользуясь теоремой 2, приведем пример замкнутого, ограни-
ограниченного, но не являющегося бикомпактным множества.
Пример. Пусть дано вещественное пространство Х =
= С[0, 1]. Рассмотрим множество
Л* = {*(/)«= С [О, 1]: *@) = 0, jc A) = 1, |*(/)|<1}.
Эго множество ограничено и замкнуто (проверьте!). Рас-
Рассмотрим на М функционал / (*) = \ х2 (/) dt. Он непрерывен,
о
ибо если xn(t)->xoit), п->оо, равномерно, то / (хп) -> / (л'о),
п->оо. Но fix) не достигает на М своей точной нижней грани.
Действительно, рассмотрим функции дг„ (/) = /". Тогда / (.v,,) =
и, значит, inf/(.v) = O. Если допустить, что
J 2/i
+1 д,
= 0, то лго(/) = О на [0, 1]. (если х0Ц)фО хоть в одной
точке, то вследствие ее непрерывности \ x\it) ill > 0. 1 Но тогда
jc0A) = 0 т^ 1 и, следовательно, хйA) ф.М. Итак, М не является
бикомпактным.
19.3. Компактные множества в нормированных простран-
пространствах. Критерий компактности Хаусдорфа.
Определение. Множество М нормированного простран-
пространства X называется компактным, если из каждой последователь-
последовательности {хп} а М можно выделить фундаментальную подпосле-
подпоследовательность.
Заметим, что если X банахово, то указанная фундаменталь-
фундаментальная последовательность, вследствие полноты X, сходится к не-
некоторому элементу xq^M, однако не обязательно хо^М. Та-
Таким образом, понятие компактного множества слабее понятия
бикомпактного множества. Имеет место следующий факт.
Теорема 1. Компактное множество в нормированном про-
пространстве бикомпактно тогда и только тогда, когда оно замк-
замкнуто.
Доказательство достаточности. Пусть компакт-
компактное множество М замкнуто. Возьмем {хп} аМ. Пусть {xnk} —
ее фундаментальная подпоследовательность. Ее предел j:o e Л!,
так как М замкнуто. Следовательно, М бикомпактно.
Доказательство необходимости вытекает из замкнутости би-
бикомпактного множества.
Приведем теперь критерий компактности Хаусдорфа. Он ос-
основывается на следующем важним определении.
Определение. Пусть X—нормированное пространство и
множество MczX. Возьмем е > 0. Множество Ме называется
г-сетью множества М, если для любой точки х е= Ме найдется
точка х G9 Ме такая, что \\х — х\\ < е.
Понятие е-сетн множества М допускает следующую геомет-
геометрическую интерпретацию. Пусть Mt — е-сеть М, а х <= М. Возь-
Возьмем шар Se{x). Тогда М cz у 5e(i) (M содержится в объедн-
нении шаров радиуса е с центрами в точках множества Ме.
Иначе говоря, совокупность этих шаров покрывает М).
Будем говорить, что е-сеть конечна, если Ме — конечное мно-
множество (т. е. Mz состоит из конечного числа элементов).
Теорема 2 (Хаусдорф). Множество М в нормированном
пространстве X компактно тогда и только тогда, когда для лю-
любого е > 0 в X существует конечная е-сеть.
Доказательство необходимости. Пусть М ком-
компактно. Возьмем е > 0. Нужно доказать, что существует конеч-
конечная е-сеть.
Возьмем Х[ е М. Если окажется, что \\х — .vi!|<e для ос-
остальных х s M, то Ме — {xij (е-сеть состоит из одного
203

э-счонга л'[). Пусть это не так. Тогда должен существовать эле-
элемент .v2 е М такой, что IUi —-v2|l^ е. Если окажется, что IIjc —
—.V]||<e пли ||А' — А'2||<;е для любых хеМ, то {xi,x2}—
е-сеть.
Повторяя это рассуждение, мп видим, что либо процесс
оборвется на некотором я-м шагу и мы получим конечную
е-ссть {х[, Л, ..., Хп} cz M, либо процесс будет продолжаться
бесконечно. В последнем случае мы получим {х„}аМ такую, что
||л'„ — .v,,J| ^ е для любых п, т, п ф т. Такая последовой ель-
пость не фундаментальна, п никакая ее подпоследовательность
также не фундаментальна, а это противоречит компактности М.
Это означает, что наш процесс не может быть бесконечным.
Значит, конечная е-сеть существует и, более того, она состоит
пз элементов М.
Доказательство достаточности. Пусть теперь из-
известно, что у множества М для каждого е > 0 существует ко-
конечная е-сеть Мс. Возьмем {еп}, стремящуюся к нулю. Для каж-
каждого е„ существует конечная ел-сеть множества М. Положим
(МЕп состоит из kn элементов).
Для доказательства компактности М возьмем любую после-
последовательность {xn}czM. Нужно показать, что пз нее можно вы-
выбрать фундаментальную подпоследовательность. Возьмем AU,-
Тогда Л; с: U «Se, (A'i,)» т- е- покрыто k\ шарами радиуса ei с
центрами в точках ei-ссти М . Так как {.\\.} состоит из беско-
бесконечного числа элементов, то хотя бы в одном пз шароз SEi(.V| )
содержится бесконечное число членов {х.,}. Обозначим одчн in
таких шаров через Si, а через Х[ — содержащуюся в Si беско-
бесконечную часть данной последовательности {.*,.}.
Выберем ,t',,,e4 Возьмем теперь Мг, — ej-сеть множе-
множества М. Теперь М по:;путо совокупностью шаров радиуса е2 с
центрами в точках x2i. i— 1. ..., к2, составляющих р2-сеть. Тем
более эти шары покрыла:~,т множество Х\. Так как A'i бесконеч-
бесконечно, а число шаров конечно, то существует шар S2. содержащий
бесконечную часть A'i, которую мы обозначим Х2. Выберем в
Х2 хп, с условием п2 > ti[, сохраняя порядок следования эле-
элементов {хп}. Продолжая эти рассуждения, мы получим после-
последовательность вложенных шаров {Sk} радиусов р/г и подпосте-
довательность {хПк} последовательности {хп}, причем не только
Хпк ^ Sft, но и j:»(s Sfr, если l>k. Покажем, что {xnk} —
фундаментальная. Пусть сь — центр шара Si,, тогда
204
Из этого неравенства вытекает фундаментальность {Хщ.}. Тео-
Теорема полностью доказана.
Замечание. Пусть X банахово, а М а X замкнуто. Если
для любого е > 0 существует конечная е-сеть множества М, то
М бикомпактно.
19.4. Следствия из теоремы Хаусдогфа. Приведем несколь-
несколько простых результатов, вытекающих из теорем л Хаусдорша.
Следствие 1. Если дая люоего г>() о 'л множества М
существует компактная z-сель в X, то М компактно.
Д о к а з а г е л ь с т в о. Возьмем с >¦ 0, п пусть Ме — ком-
компактная е-сс-гь для М. По теореме Хаусдорфа существует ко-
конечная s-ссть для i\L, которую мм обозначим Л1'е. Покажем,
что М'у — конечная 2г-ееть для М. Действительно, пусть х е М,
тогда существует х' gh М,- такой, что Цх — х'\\ < е. Но М'е —
е-сеть для Mv, и, значит, существует х" g .'u*./, дтя которого
II*' — х"\\ < е. Следовательно,
Итак, М'е— конечная 2е-сеть для М. Поскольку е > 0 про-
произвольно, следствие 1 доказано.
Следствие 2. Компактное множество ограничено.
Доказательство. Пусть М компактно. Пусть е= 1; по-
построим конечную 1-сеть для М: {х\, ..., хк}. Теперь для лю-
любого х е М найдем xs такой, что \\х — xs||-< 1, и получаем
оценку
т. е. Л1 ограничено.
Мы уже встречались с сспарабельнымп пространствами (см.
п. 5.7). Будем говорить, что множество М банахова простран-
пространства X сепарабельно, если существует счетное, плотное в М
множество.
Следствие 3. Всякое компактное множество сепара-
сепарабельно.
Доказательство. Пусть М компактно. Возьмем после-
последовательность {е„}, где е„ > 0 и еп->0 при и->оо, и для каж-
каждого е„ построим конечную е„-сеть множества М, которую обо-
оо
значим через Мп. Положим М = U Мп. Очевидно, множество
п=\
fit счетно. Докажем, что оно плотно в М. Действительно, для
любого е > 0 существует номер п такой, что еп < е, и элемент
хп е Мп с /П такой, что IU — *л!1 ¦< е« < с. Это и означает плот-
плотность М в М.
19.5. Компактность и конечномерность.
Определение 1. Неограниченное множество М элемен-
элементов нормированного пространства X называется локально
205

компактным (локально бикомпактным), если пересечение М с
любым замкнутым шаром в X компактно (бикомпактно).
Наиболее интересным в приложениях является случай, когда
AJ — линейное многообразие или подпространство в А'. Имеет
место следующее важное утверждение.
Теорема (Ф. Рисе). Для того чтобы линейное многообра-
многообразие L нормированного пространства X было локально компакт-
компактным, необходимо и достаточно, чтобы L было конечномерным.
Доказательство достаточности. Пусть L конеч-
конечномерно. Возьмем в X произвольный замкнутый шар 5. Множе-
Множество L П S ограничено в L, поэтому всякая последовательность
{хп}а L C\ S компактна, так как по теореме Больцано — Вейер-
штрасса она содержит сходящуюся в L подпоследовательность.
Этим доказана локальная компактность L.
Доказательство необходимости. Пусть L локаль-
локально компактно, т. е. L П 5 компактно в X. Предположим, что ут-
утверждение теоремы неверно, т. е. L бесконечномерно. Будем
рассматривать L как самостоятельное нормированное простран-
пространство. Тогда L [\ S компактно в L. Пусть S = Sr(a). Возьмем
любой элемент х\ е L с ||\'[||= 1 и положим Z\ = а -\- гх\. Обо-
Обозначим через Mi линейную оболочку ??(a'i), т. е. множество
элементов вща ).х\.
По лемме Рисса о почти перпендикуляре существует i2ei
с |'\п' = 1 такой, чго р(л2, AIi)>> 1/2 и, в частности i'|A'2 — а-,!| >
> 1,2. По"Ол>пм г-2 = а -\- /То. Очевидно, г 2 ?= 5 и
Продолжим эти построения. Если х\, ..., х„ и, соответствен-
г.о, zr = а + rxit, /г = 1, . . . , п, \жс определены, то через Мп
обозначим подпространство, натянутое па Х\, х2, ..., хп\ Мп
замкнуто, так как оно конечномерно. Так как L бесконечномер-
бесконечномерно, то Л!., ф L, п счова молено воспользоваться леммой Рпсса:
найдется вектор xn+i с |',,v.!+il|= I и такой, что р(л\.ч, Л1,,) > 1/2,
п частности, ||x,Hi— .t,;||> 1/2 при любом /г= 1,2, ..., п. По-
Положим г„+1 = а -f- гх.,+\. Очевидно, г,+| е S и ||z.,+i—гЛ>
> г/2, А1 = 1,2, .... п. Продотжая эти рассуждения, получим
{г,,} о 5 П L и не содержащую фундаментальной подпоследова-
подпоследовательности. А это противоречит компактности 5 П L- Теорема до-
доказана.
Следствие 1. Для того чтобы нормированное простран-
пространство было локально компактным, необходимо и достаточно,
чтобы оно было конечномерным.
Для доказательства достаточно взять L = X.
Определение 2 (см. п. 5.8). Множество М в нормиро-
нормированном пространстве X называется нигде не плотным в X, если
в каждом шаре 5 а X содержится шар Si, не содержании то-
точек М,
206
Следствие 2. В бесконечномерном нормированном про-
пространстве любое компактное множество нигОе не плотно.
Доказательство. Пусть М — компактное множество в
бесконечномерном нормированном пространстве X. Допустим,
что утверждение следствия неверно. Тогда в X найдется шар
Sr(a) такой, что любой шар, содержащийся в нем, пересекает-
пересекается с М. Покажем, что в таком случае Mzd S,{a). В самом деле,
пусть xo^Sr{a). Рассмотрим последовательность шаров
^ „ г — [| х0 — а I1
Sr (j
0)
где
п=1,2,
Если IIх — х,\\ < г„, то
Поэтому Sr (*и) с: Sr (а), а тогда, по предположению, каждый
шар Sr (я0) пересекается с М. Пусть хп — их общая точка. Оче-
Очевидно, Хп -> хо при п -*- оо, а поскольку хп<^ М, то Хц е И. Ита^,
каждая точка xQ^Sr(a) принадлежит М. Значит, Sr(a)c=M,
но тогда и Sr(a)cz М. Так как М компактно, то отсюда — ком-
компактны М и Sr(a). Из компактности Sr(a) по следствию 1 полу-
получается конечномерность X. Полученное противоречие завершает
доказательство следствия 2.
19.6. Теорема Арцела. Пусть G — замкнутая ограниченная
область в евклидовом пространстве Е'1. Рассмотрим простран-
пространство непрерывных функций C(G). Пусть М — некоторое множе-
множество функций из C(G). Какие условия обеспечивают компакт-
компактность множества Л4? Каковы необходимые условия компактно-
компактности множества? Эти вопросы решаются теоремой Арцела.
Принято говорить, что функции множества М равномерно
ограничены, если существует постоянная с > 0, общая для все_х
функций из М, такая, что для любых х е М |jc(/)|^c, t e G.
Иначе можно записать: lUll^c, x e M. Таким образом, равно-
равномерная ограниченность функций множества М означает огра-
ограниченность множества М в C(G).
Введем теперь понятие равностепенной непрерывности функ-
функций множества М. Будем говорить, что функции из М равно-
равностепенно непрерывны, если для любого е > 0 существует б =
= 6(е)>0 такое, что для любых t', t"^G, удовлетворяющих
неравенству \\t' — t"\\<.b (здесь норма — в Нп), имеет место
следующее неравенство, выполняющееся сразу для всех х^М:
\х(П-х(П\<г.
Теперь мы можем сформулировать теорему Арцела.
Теорема 1 (Арцел). Для того чтобы множество М а
<^.C{G) было комнатным, необходимо и достаточно, чтобы
функции из М были
1) равномерно ограничены;
2) равностепенно непрерывны.
207

Доказательство необходимости. Равномерная ог-
ограниченность функций из М очевидна, так как всякое компакт-
компактное множество ограничено. Покажем, что функции из М рав-
равностепенно непрерывны. Возьмем е > 0, и пусть Me={xi{t),
д-2@ xk{e)(t)\— е-сеть в М. Функции из Л1е непрерывны
на G, а значит, и равномерно непрерывны (см. [18]). Следова-
Следовательно, для каждого x,,i= 1,2, .... k (e), найдется 6< = 6,(е)>
> 0 такое, что
если только \\t' — t"\\ < б,-.
Возьмем 6= min б,-, тогда для всех t', ("eG, удовлет-
1 < i < k (e)
воряющпх неравенству \\t' — ^"||<Сб, имеем неравенство A)
сразу для всех i=l,2 k(e). Воспользуемся теперь тем,
что Мг — эго е-сеть для М: для любого JteM найдем х„^Мг,
так что \\х — a-s||< e. Если теперь \\У — /"||<б, то сразу дтя
всех х е Л' имеем (см. A))
\х (П - х (/") К|х (/') - xs (С) | + \xs (f) - xs (t") I +
+ | xs (I") - х (/") К 2 |i х - xs || + | .vs (О - х5 (Г) [ < Зе.
Это и означает равностепенную непрерывность функций из М.
Доказательство достаточности. Пусть {xn(t)} —
произвольная последовательность функций из Л?. Покажем, что
из нее можно выбрать фундаментальную подпоследователь-
подпоследовательность. Возьмем е > 0 и по свойству равностепенной непрерыв-
непрерывности функций из М найдем 6 —6(e)J> 0. Поскольку G биком-
бикомпактно, то по теореме Ха\сдорфа в G найдется конечная б(е)-
сеть, т. е. набор точек Gc={/i,f2, •••, ti(e)} таких, что всякая
точка /eG удалена от одной из точек Gs па расстояние, не
превышающее б.
Вернемся к {xn{t)}. Рассмотрим числовую последователь-
последовательность {xn(t\)}. Она ограничена, так как лежит в ограничен-
ограниченном множестве М. По теореме Больцано — Венерштрасса
из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{xn(t[)} («'пробегает подмножество натурального ряда). Возьмем
теперь (xn'(t)} и рассмотрим ее в точке /о. Из {xn'{t-^} снова
выделим сходящуюся подпоследовательность {xn"(t2)}. Рас-
Рассмотрим теперь {xn"(t)}. Продолжая эти рассуждения (всего
надо сделать /(е) шагов), получим подпоследовательность {xnk@}
последовательности {лгя(/)}, сходящуюся во всех точках б-сети Ge.
Покажем, что (хПк (()) фундаментальна в С(О). Этим теоре-
теорема будет доказана.
Возьмем leG и найдем /s e Gfi такое, что IU — ^-||< б. Ис-
Используя равностепенную непрерывность функции множества М,
208
теперь имеем
- Xak @ |
2е
| xll
k+p
- *»4 с.) ]+
(ta) - хпк (is) \.
Но последовательность {xnk{lo)} сходится и тем более фунда-
фундаментальна. Значит, существует такой номер К = К(&), что если
k > К, то \х Aв)~хп (Л) | < е Для любых натуральных р.
Следовательно, при любых /г > /< имеем
откуда
\XnL + p Xnk\
т.е. {хплЩ фундаментальна в C(G). Теорема Арцела пол-
полностью доказана.
Пример. В С[а,Ь] рассмотрим множество М функции
x(t), непрерывно дифференцируемых на [а,Ь] и таких, что
х(а)=х0 и |л-'(/)|г^т на [а,Ь]. (Числа xLI и т один и те же
для всех х es М.) Покажем с помощью теоремы Арцела, что Л1
компактно.
Всякая функция x(t)^ M представима в виде
Отсюда ] х (t)
хд
| -г-
т (Ь — а). Далее,
х(П-х{П\ =
с*
\ х' [s) ds
Эти неравенстьа показывают, что функции из М равномерно
ограничены и равностепенно непрерывны. Следовательно, М
компактно. Согласно следствию 2 п. 19.5 М нигде не плотно в
С[а,Ь].
Заметим теперь следующее. Анализ доказательства теоремы
Арцела показывает, что важно было не то, что функции были
определены па GczEn, а то, чго G было бикомпактно. Справед-
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2 (Асколн — Арцел). Пусть G — бикомпактное
множество в нормированном пространстве Е, и пусть C(G) —
банахово пространство непрерывных функций x(t), (e5 (т.е.
комплексных или вещественных функционалов). Для того чтобы
множество MciC(G) было компактным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы функции из М были равномерно ограничены и рав-
равностепенно непрерывны.
249

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет до-
доказательство теоремы Арцела (см. также [21] и [10], где дока-
доказаны еще более общие предложения).
19.7. Слабая компактность.
Определение 1. Множество М банахова пространства X
называется слабо компактным, если из любой (бесконечной)
последовательности его элементов можно выбрать слабо фунда-
фундаментальную подпоследовательность (фундаментальную в смыс-
смысле слабой сходимости).
Определение 2. Последовательность {xn}<zzX называет-
называется слабо фундаментальной, если для любого / е X* числовая
последовательность {(хп, f)} фундаментальна. Пространство /Y
называется слабо полным, если всякая слабо фундаментальная
в X последовательность является слабо сходящейся. Отсюда
следует, что если X слабо полно, то в определении слабой ком-
компактности множества М cz X условие слабой фундаментальности
подпоследовательности можно заменить условием ее слабой схо-
сходимости (в X). Ниже мы увидим, что всякое рефлексивное ба-
банахово пространство является слабо полным.
Теорема 1. Всякое слабо компактное множество ограни-
ограничено.
Доказательство. Пусть М слабо компактно. Допустим,
что М не ограничено. Тогда существует {xn}<zzM такая, что
IU/i||>m. Из слабой компактности М вытекает, что найдется
подпоследовательность {-кп'}> которая слабо фундаментальна и,
значит (по теореме 6 п. 17.5), ограничена. Но |хп, | > п' -> оо
при п'->оо. Полученное противоречие доказывает ограничен-
ограниченность М.
Докажем теперь следующую основную теорему.
Теорема 2. Всякое ограниченное множество рефлексив-
рефлексивного банахова пространства слабо компактно.
Доказательство. Пусть М ограничено и {xn}czM. По-
Построим в X подпространство N, получаемое замыканием множе-
множества всевозможных конечных линейных комбинаций векторов
последовательности {х,,}. Согласно предложению 1 п. 5.7 N се-
сепарабельно, а как подпространство рефлексивного простран-
пространства X (см. теорему 2 п. 17.4) N рефлексивно. Следовательно,
N =(N*)*, а тогда N* также сепарабельно. Возьмем теперь
(Ы— счетное, всюду плотное в Л'* множество. Рассмотрим чис-
числовую последовательность {(хп, /i>}. Она ограничена, ибо
\(хп, /)| ^IUn||||/ill^ c|]fil| ({xn}dM — ограниченное множе-
множество). По теореме Больцано — Вейерштрасса из {<*»,/i>} можно
выделить сходящуюся подпоследовательность {(*„,, /\)}- Теперь
возьмем |а'н} и рассмотрим числовую последовательность
{<*",,/г>}, которая тоже ограничена и, значит, содержит сходя-
сходящуюся подпоследовательность {(*„,, /2)}. Далее рассмотрим по-
21Q
следовательность {(xni, /3)}, выделим из нее сходящуюся под-
подпоследовательность {(хп, /3)} и возьмем {хп} и т. д. Повторяя
это рассуждение, получим последовательности
причем ixn | такова, что сходится последовательность S/xn , /д|
для / = 1 > • • •> k.
Построим теперь диагональную последовательность {хп,},
k-н член которого равен /г-му члену последовательности fxn I.
Последовательность {{хп„ /,)} сходится, как подпоследователь-
подпоследовательность последовательности {(*„,. f{)}; далее, {(хп,, /2)} сходится,
как подпоследовательность последовательности {(хп, /2^>}, и т. д.;
{(хп" h)} сходится, как подпоследовательность последователь-
последовательности Цхп , fM. Следовательно, {хп,) слабо сходится на плот-
плотном в N* множестве {/п} и, кроме того, {xn,} ограничена.
Поскольку N рефлексивно, то |хп.} можно считать после-
последовательностью линейных функционалов в N'. Тогда по теореме
Банаха — Штейнгауза (см. п. 11.5) {A,хп)} сходится для любого
f^N*. Пусть хп,-+ха, п'->оо, слабо на Л". Так как хп, е N,
то и х0 е N.
Пусть теперь ср (= X*. Его сужение на Л'* обозначим через f.
Теперь при а' -> оо
Таким образом, доказана слабая сходимость {v(l,}, а тем са-
самым и слабая компактность множества М. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы можно вывести ряд следствий.
Следствие 1. Рефлексивное пространство слабо полно.
Доказательство. Пусть {х,,} слабо фундаментальна.
Тогда числовая последовательность {<>„, />} сходится при лю-
любом / е А'*. Как и в доказательстве предыдущей теоремы, най-
найдется подпоследовательность хп,-*х0, п'->оо, слабо. При этом
х0 е X** = X, т. е. X слабо полно.
Следствие 2. Всякое ограниченное множество в гильбер-
гильбертовом пространстве слабо компактно.
Следствие 3. Пусть X сепарабельно. Для того чтобы мно-
множество ЛГ а X* было компактно, достаточно, чтобы М* было
ограничено.
Доказательство этого утверждения составляет часть дока-
доказательства теоремы 2.
Пусть {f,)czM*, a {xm}— счетное, всюду плотное множество
в X. Построим, как в доказательстве теоремы, подпоследова-
211

тельпость {7„), сходящуюся па каждом из хп, т =1,2, ... По
теореме Банаха — Штеппгауза {/„,] сходится слабо на X.
Следствие 4. В пространствах /Р и ?P(G) всякое огра-
ограниченное множество слабо компактно.
Зто следует из рефлексивности /Р и 2?P(G).
Замечание 1. Вместо употребленного нами термина «би-
комнактность» часто применяется термин «компактность», а
вместо термина «компактность» — термины «компактность в
себе», «относительная компактность».
Замечание 2. Обычно теория компактности рассматри-
рассматривается в метрических пространсиззх (см., nui.pnvep, [11], [21]).
В заключение настоящего параграфа предлагаем выполнить
следующие упражнения.
1. Множество всех точек х={%„} гильбертова пространства
/2, для которых |?„|^С1//г, называется гильбертовым паралле-
параллелепипедом (гшъберювь'м кирпичом). Покал".:1те, что гильбер-
гильбертов кирпич является бикомпактным множеством в /2.
2. Найдите необходимое и достаточное условие компактно-
компактности множества в пространстве бесконечно малых последова-
последовательностей.
§ 20. Линейные вполне непрерывные операторы
20.1. Определение, множество а(Х, Y). Изучение важного
понятия вполне непрерывного оператора мы начнем с липеп-
i!ux вполне непрерывных операторов. Пусть X и У— нормиро-
ьанные пространства (оба вещественные или оба комплексные).
Через 3?{X,Y), как обычно, обозначается нормированное про-
пространство линейных ограниченных операторов, действующих из
л в Y.
Определение. Оператор А е 3?(X, Y) называется вполне
непрерывным, если замкнутый единичный тар пространства X
ен переводит в компактное множество пространства У.
Заметим сначала, что далеко не всякий оператор из S [X, У)
будет вполне непрерывным. Например, / е &{Х, А) (/ — тожде-
тождественный оператор) не является вполне непрерывным, если X
не конечномерно, ибо единичный шар в X S = Si(Q) является
компактным множеством в X лишь в случае конечномерности X
(см. п. 19.5). Из определения линейного вполне непрерывного
оператора вытекает его следующее свойство.
Теорема 1. Если А^?(Х, У) вполне непрерывен, то лю-
любое ограниченное в X множество он переводит в множество,
компактное в Y.
Доказательство. Пусть Ш cz X и Т1 ограничено, т. е.
существует R > 0 такое, что ||я||^/? для любых х е Ш. Возь-
Возьмем любую последовательность {у„}е/Ш; тогда у„ — Ахп, где
Хп^ЯЯ. Рассмотрим {xn/R}<^ S — единичный шар в X. Вслед-
212
ствие полной непрерывности A {Ax^/R} содержит фундаме
тальную подпоследовательность {Axn,jR}. Но тогда и {Л*.,,,}
фундаментальная подпоследовательность последовательна!
{иЛ, т. е. АУЯ компактно. Множество всех вполне непрерывны
операторов из % (X, У) будем в дальнейшем обозначать че>
(У V\
Теорема 2. а (А', У) является подпространство:1. вЯ?{Х, У
Доказательство. Теорема будет доказана, ecv.i м
установим, что
1) а{Х,У) — линейное многообразие в 9?(Х,У);
2) а(Х, У) замкнуто.
Докажем 1). Пусть Аи Л2еа(Аг, У), a ?.. п Х2 —ска-/
Покажем, что A ="A,Hi + ЬД2 е а(Х, У). Пусть S — едини '.
шар в X, AS — его образ при отображении А, и пусть {;/i}c
т. е.
рм.
где xn<=S
(т. с.
1).
Так как А\ вполне непрерывен, то из последовательноста
{А\Хп} молено выделить фундаментальную подпоследователь-
подпоследовательность {Л.х.Л, где п' пробегает подмножество N' множества на-
натуральных чисел Л'. Далее, так как Л2 вполне непрерывен, то
из {Л2г Л можно вм^елпть фундаментальную подпоследова-
подпоследовательность {Azxn,,}, n" e N" а Л". Тогда {Ахп„} фундаментальна
и, следовательно, AS компактно, т. е. А вполне непрерывен.
Теперь почажем, что а(Х, У) замкнуто. Пусть {А ,}с о(Х, У)
и Ап-+А, п ->- оо, равномеоно, т. е. по норме S [X, У). Надо до-
доказать, что Аё о(Х, У). Пусть S — единичный шар в X. Тогда
ЛП5 при каждом п компактно. Положим е-, =||Л — Л,,!|; при тю-
тюбом а е^ 5 имеем
\\Апх-Ах\\^\\Ап-А\\\\х\\<\\Ап-А\\ = е,.
Это означает, что множество AnS является компактной
ел-сетыо множества AS. Поскольку е^-^О при д->-оо, то для
любого е > 0 найдется гп < е, и потому компактная е-сеть
существует для любого е > 0.
По следствию 1 из теоремы Хаусдорфа (см. п. 19.4) AS ком-
компактно, а тогда А вполне непрерывен, т. е. А е а (А', У). Итак,
а(Х,У)—подпространство в 3?(Х,У) Теорема доказана.
Теорема 3. Если X или У конечномерно, то а(Х, У) =
g{XY
{,)
Доказательство. Пусть X конечномерно, а 5 —единич-
—единичный шар в X. По теореме Больцано — Вейерштрасса 5 компак-
компактен. Тогда AS компактно для любого Ае S(X, Y) вследствие
непрерывности Л. Пусть У конечномерно, тогда AS ограничено
и по теореме Больцано — Вейерштрасса компактно. Теорема
Доказана.
213

Следствие 1. Всякий линейный функционал
не непрерывен. (Достаточно вспомнить, что / переводит X вод-
номерное пространство.)
Рассмотрим теперь конечномерные линейные опера юры.
Пусть фЬ ф^, ..., ф„ <= У, a /i, f2, .... /» е Г. Линейный опс-
п
ратор вида Рпх= X (*> fk) Фа называется конечномерным.
Всякий конечномерный оператор, очевидно, является огра-
ограниченным, так как
надкЕ К*,/*>1
¦=Iiif*
|Фй
где с= ?_, ||/Л|
Далее, всякий конечномерный оператор вполне непрерывен.
Действительно, область значений Pn Rn = R(Pn) конечномерна.
Рассматривая Рп е 3? {X, Rn), по теореме 3 получаем, что Рп ^
еоA,1)сс(Х,У). Из этого рассуждения и из теоремы 2
теперь можно получить следующее следствие.
Следствие 2. ?сли А= \\т Ап (в метрике &{X, У)),где
Ап вполне непрерывны или конечномерны, то А вполне непре-
непрерывен.
В приложениях часто оказывается полезным также следую-
следующее предложение.
Теорема 4. Пусть А е= 2 {X, У), В е= 2 (У, Z). ?сли хоть
О(Э«« «з aru.v: операторов вполне непрерывен, то вполне непре-
непрерывным оператором будет и их произведение В А.
Доказательство. Пусть S — единичный шар в X. Если
А вполне непрерывен, то AS компактно, но тогда и BAS ком-
компактно, откуда ВА вполне непрерывен. Если В вполне непреры-
непрерывен, то AS ограничено, a BAS компактно и ВА снова вполне
непрерывен. Теорема доказана.
20.2. Вполне непрерывные операторы и слабая сходимость.
Всякий оператор из 3? (X, У) переводит сходящуюся пос-
следовательность в X в последовательность, сходящуюся в У.
Оказывается, операторы из с{Х,У) переводят всякую слабосхо-
дящуюся в X последовательность в сходящуюся в У последова-
последовательность. Для доказательства этого факта нам понадобится
следующая лемма.
Лемма. Если последовательность слабо сходится и ком-
компактна, то она сходится.
Доказательство. Пусть хп—> х0, п~*-оо> слабо. Предпо-
Предположим, что {хп} не сходится к х0. Тогда найдутся е > 0 и подпосле-
подпоследовательность (xJ такие, что для всех п' jxn, — хо|^е. Но по
условию леммы {*„} компактна. Поэтому из {хп,} можно выде-
выделить сходящуюся последовательность {хп„}, и пусть х'^— ее пре-
214
дел. Тем более хп„->ха
слабо. Из единственности
х' = jc_. Получилось, что х
л"—> со, слабо. Но хп
слабого предела мы
->ха, «-> оо,
имеем тогда
воречит условию
— х„
\>г
ка, п —> оо, сильно, а это проти-
". Полученное проти-
¦ х0,
! -*¦ со, слабо,
слабо. Тогда
•п'  1!— " ПРИ Л =- ¦
воречие доказывает лемму.
Теорема. Пусть А е а(Х,У). Если хп
то Ахп -*¦ Ах0, п -> оо.
Доказательство. Пусть хп -»- Хо, п
{хп} ограничена (см. теорему 2 п. 17.5). Так как Л вполне не-
непрерывен, то {Ахп} компактна. Далее, как оператор из 3?(X, У),
А переводит слабо сходящуюся {хп} с пределом ха в слабо схо-
сходящуюся {Ах,,} с пределом Аха (см. теорему 4 п. 17.5). Приме-
Применяя к {Ахп} лемму, получаем: Ахп-+Ахй, п-+оо. Теорема до-
доказана. <
20.3. Теорема Шаудера. Оказывается, Л е 2(Х, У) и сопря-
сопряженный к нему оператор А* ^ 2 (У*, X*) одновременно вполне
непрерывны или нет. Точнее, имеет место следующая теорема
Шаудера.
Теорема. Пусть А<=3?(Х, У), где У — полное. Оператор А
вполне непрерывен тогда и только тогда, когда Л* вполне не-
непрерывен.
Доказательство необходимости. Пусть S и 5* —
замкнутые единичные шары в пространствах X и У* соответ-
соответственно. Рассмотрим А^о(Х,У). Возьмем произвольную
{/n}crS* п рассмотрим функции фп(г/) = (у, /ч>, п = 1, 2, ...
На любом ограниченном в У множестве эти функции равно-
равномерно ограничены (по п), так как
и равностепенно непрерывны:
I Ф„ {У') ~ Фя (У") \ = \(У'~ У", 1а) \<\\У'~ У" II.
Будем рассматривать {<$п(у)} на множестве AS, котопое
компактно (ведь А вполне непрерывен) и замкнуто, а следо-
следовательно бикомпактно. По теореме Асколи — Арцела (см.
п. 19.6) найдется подпоследовательность {фге, (Лх)} = {^л:, Л*/,,)}
сходящаяся на S равномерно. Это означает, что {Л*/„-} сходится
в метрике X*. Следовательно, Л* вполне непрерывен.
Доказательство достаточности. Пусть Л* вполне
непрерывен. Тогда по доказанному выше Л**=(Л*)* также
вполне непрерывен. Пусть S** ¦—замкнутый единичный шар в
Я**. Множество Л**5**с= У** компактно. Так как пространство
Ус У** (см. теорему 1 п. 17.4), то в соответствии с этим вложе-
вложением Л5сЛ**5** и, значит, AS компактно в У. Это и означает,
что Л вполне непрерывен. Теорема доказана.
215

20.4. Приведем примеры вполне непрерывных операгсров.
I'2 Л{^} {}
р
Пример 1. Рассмотрим в I'2 оператор
= {пй}, где
тк =?<%?/. ?=1,2, .... а || ак[ || — матрица, у которой
ос со
X ZlfiwP<co- Оператор Л такого типа называется матрич-
H6Mi оператором Гильберта — Шмидта. Линейность очевидна.
Докажем ограниченность А.
Пусть y={r\k}. Тогда по неравенству Коши — Буняковского
/ , fl/e/Si
/=1
оо • оо
(
Это означает, что || Лх||< c|| *||, где с = ( 2 Z I «w Р ) • Следо-
\А = П = 1 /
вательно, ||ЛЦ<|с. Итак, А ограничен, т. е. Л е i? (/'2).
Докажем теперь, что Л вполне непрерывен. Обозначим че-
через An оператор, переводящий всякий вектор {^} в вектор
A11,112, •••, Чп, 0,0, ...). Область значений каждого из опера-
операторов Ап конечномерна; следовательно, по теореме 3 п. 20.1
операторы Л„ вполне непрерывны. Так как
оо оо
ЛП-Л||2<
к=п+11=1
при п-+оо
(как остаток сходящегося ряда), то по теореме 2 п. 20Л (см.
следствие 2) оператор Л вполне непрерывен.
Пример 2. Пусть X = Y — С[а, Ь]. Рассмотрим линейный
интегральный оператор у = Кх, ставящий в соответствие функ-
функции х функцию у по следующей формуле:
A)
Предположим, что функция K(t,s) (ядро интегрального опе-
оператора К) непрерывна, как функция двух переменных в квад-
квадрате Q =[а,Ь]Х[а, Ь]. Пусть М = max \K (t, s) |. Возьмем в
С[а,Ь] единичный шар 5 —{дге С [а, Ь\: \\х\\^ 1}. Тогда
|= max
K{t,s)x(s)ds
max
и
max \|/C(f, s)||Jt(s)|ds =
e [a, b] ¦>
\ = {b-a)M\\x\\^{b-a)M.
Таким образом, функции множества KS равномерно ограни-
ограничены.
Докажем теперь равностепенную непрерывность функций из
KS, тогда согласно теореме Арцела множество KS будет ком-
компактно и этим будет доказана полная непрерывность оператора
К. Для любой функции y(t)€= KS имеем
b b
\y(ti)-y(Q\ =
\K(!us)x(s)ds-\jK(t2,s)x(s)ds
a
b
K(d, s)- K(t2, s)\\ x(s)\ds.
Но тогда по неравенству Коши — Буняковского получаем
b b
\yVi)- У (/ J f < \ I К (/,, s) - К (Ь, s) P ds\\x (!) P ds <
-K(t2, s)\2ds.
Вследствие равномерной непрерывности функции K(t,s) на
Q (см. [18]) для любого е>0 найдется 8 = 6(е) такое, что
для любых t\,i2^ [a, b] и любого se [a, b], как только |^ —
— ^2|<б, сразу же | K(h, s)— K{t2, s) | < e. Но тогда при
\t\ — t2\<8 имеем \y(i\) — y(t2) |2 < (b — aJe2, откуда полу-
получаем равностепенную непрерывность множества KS.
Пример 3. Пусть X — Y = 3?2\а,Ь\. Рассмотрим интег-
интегральный оператор К примера 2 с непрерывным ядром. Пока-
Покажем, что К вполне непрерывен. Пусть S —единичный шар в
Si [a, 6], т. е. множество всех элементов x(V)<=.9?2\a,b\, удов-
удовлетворяющих неравенству
ь
Пусть {.v^}c:S. Рассмотрим {у„}, где
ъ
уп @ = (Кхп) (I) = \к (/, s) xn (s) ds.
а
Функции {yn(t)} непрерывны на [а, Ь]:
ь
\Уп (*i) - Уп (h) \<\\K(ti,s)-K (t2, s) 11 *„ (s) I ds <
1/2 / 6
1/2
< с -\ b — a,
217

если \t\— ^| < б (б = б(е) берем из примера 2). Таким обра*
зом, доказана не только непрерывность каждой y,,(t) на [а, Ь\,
но и равностепенная непрерывность функций {yn(t)}.
Далее, {yn(t)} равномерно ограничена в С[а, Ь]:
12
(Мы воспользовались неравенством Коши — Буняковского чтем
обстоятельством, что хп е S; постоянная М взята из пример 2.)
По теореме Арцела последовательность {yn(t)} компактна в
С[а,Ь\. Пусть {упЛЩ~ ее подпоследовательность, сходящаяся
на [а, Ь] равномерно к yo(t)^C[a,b]. Тем более уп, (t)-+ г/0(/),
n'-voo, в среднем на [а,6]. Это означает, что {yn(t)} компакт-
компактна в 2[а,Ь\; следовательно, оператор К вполне непрерывен
ъЗ?2[а,Ь\.
Пример 4. Пусть X --= Y = 2>2[а, Ь]. Снова рассмотрим
линейный интегральный оператор Л', определяемый формулой
A). Однако теперь предположим, что ядро K(t, s)e iz?2(Q), т. е.
(двойной интеграл Лебега)
ь ь
5
<оо.
В этом случае оператор К принято называть интегральным опе-
оператором Гильберта — Шмидта. Докажем, что К вполне непре-
непрерывен. Так как ядро K(t, s)<= S2{Q), то, согласно определению
этого лебегова пространства, найдется последовательность
{Kn{t,s)} непрерывных в Q ядер, сходящаяся в метрике .S?2(Q),
т. е. в среднем, к K{t, s):
ь ь
| К (t, s) - Kn (t, s) |2 ds rf/-> 0, n-> oo.
Обозначим через Кп интегральные операторы в 3??(Q) с яд-
ядрами Kn(t,s). По неравенству Коши —Буняковского имеем
ь
| Кх - Кпх |2 = \[К (/, s) - Кп (/, s)] х (s) ds
о
t,s)-Kn(t,s)\2ds\\x{s)\2ds.
Следовательно,
* ft &
x _ KnX 1|2= jl ^ - KnJC P Л < J J '
а о u
- /С„ (?, s) p
| x IP.
218
ь ь
Отсюда
Таким образом, /С является пределом в метрике 2?2[а,Ь]\
последовательности Кп интегральных операторов с непрерыв-
непрерывными ядрами, которые вполне непрерывны в i?2[#,6] согласно
примеру 3. По следствию 2 к теореме 3 п. 20.1 оператор К сам
вполне непрерывен.
20.5. Теория Рисса— Шаудера линейных уравнений 2-го рода.
Пусть А — вполне непрерывный линейный оператор, действую-
действующий в банаховом пространстве X (т. е. А ^а{Х)~ а(Х,Х)).
Линейное уравнение в X вида (у е X)
х — Ах = у A)
будем называть уравнением 1-го рода. Этот термин заимство-
заимствован из теории линейных интегральных уравнений, где интег-
интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода называют уравне-
уравнение
x(t)-\K(i,s)x(s)ds =
(ср. с примерами 2—4 п. 20.4). Линейное уравнение Ах = у с
вполне непрерывным оператором А будем называть уравнением
1-го рода по аналогии с теорией интегральных уравнений, в ко-
которой уравнение
называют интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода. Как
ни странно, теория линейных уравнений 2-го рода A) намного
проще по сравнению с теорией уравнений 1-го рода. Теория эта
принадлежит Ф. Риссу и 10. Шаудеру.
Перейдем к ее изложению. Наряду с уравнением A) будем
рассматривать соответствующее ему однородное уравнение
2 — Az = О,
B)
а также сопряженное уравнение
f-A'f = a> (Г)
и сопряженное однородное уравнение
¦ф _ ЛЧ == 0. B*)
Заметим, что согласно теореме Шаудера п. 20.3 оператор А*
вполне непрерывен, так что все уравнения A), A*), B), B*)
219

являются уравнениями 2-го рода. Докажем сначала следующее
вспомогательное предложение.
Теорема 1. Пусть А — линейный вполне непрерывный опе-
оператор. Тогда множества значений операторов I — А и I — А*
замкнуты и, значит, являются подпространствами в X и в X* со-
соответственно.
Доказательство ([Ю]). Пусть {у„} принадлежит
R(I — Л) — множеству значений оператора / — Л. Тогда най-
найду гея хп^Х такие, что хп — АхЛ = уп. Пусть уп->-(/о при
п->ео. Покажем, что yo^R(I — Л). Рассмотрим ряд случаев.
Если {хп} ограничена, то {Ахп} компактна, откуда следует, что
{хп} также компактна. Достаточно заметить, что хч — уп + Лк-„
где \уп} сходится, а {Ахп} компактна. Вследствие компактно-
компактности из {хп} можно выделить {*„,} — подпоследовательность,
сходящуюся к х0; тогда, переходя к пределу при п' -> оо в ра-
BcuciBe хп, — Ахп' — УП'1 получим вследствие непрерывности Л,
что хп — Ахо = уо, т. е. у0 е R (I — А).
Если {хп} не ограничена, то поступим следующим образом.
Пусть N — подпространство нулей оператора / — Л, т. е. мно-
множество всех решений уравнений B). Введем расстояние
dn = P(*rt, N)= i!lf ii xn — z II-
z e- V
Согласно определению нижней грани в N найдется элемент zn
такой, что
dn<ll-v,l-z,I||<(l+j-)^. C)
Далее, (/ — Л) (хп — гп) = уп. Если {dn} ограничена, то, как
и выше, с заменой хп на хп — <i получаем, что yo<^.R{I — Л).
Оказывается, случай неограниченности {dn} не возможен.
В самом деле, если {dn} не ограничена, то, переходя, если нуж-
нужно, к подпоследовательности, можно считать, что d,,. -> + оо,
п-+оо. Рассмотрим элементы
; хп 2п
" ||Х.Ч-2П||*
Тогда
lluJI-1 и {{-А)иа = ТГ^Т1-*О, п-оо,
так как
И Уп\\
Slip || (/„||
\\xn— zn\\
Как и выше
V ~* "о- причем
V
, отсюда следует, что найдется подпоследовательность
ичем и0 е N. Но х„, - гп, -1 хп, - гя. \\ ы0 = (ип, - и0) X
\\ \\^Ы Следовательно по
n, — za
м и0 „ п 1 п \\
Причем zn, -f \\xn, — гп,\\и^Ы. Следовательно
220
неравенству C) имеем
откуда
ип, — иь
п'/(п' + 1), а это противоречит тому, что
\\
||ып, — «01|~> 0, п'-+ос. Итак, {dn} ограничена и замкнутость
R(l — А) доказана. Замкнутость R(l — А*) является следствием
вышеизложенного, ибо А* также вполне непрерывен. Теорема
доказана.
Следующие теоремы составляют содержание теории Рнсса—<
Шаудера (в упрощенном варианте), являющейся обобщением
фредгольмовской теории интегральных уравнений.
Теорема 2 (первая теорема Фредгольма). Пусть А — ли-
линейный вполне непрерывный оператор в банаховом простран-
пространстве X. Следующие четыре утверждения эквивалентны:
а) уравнение A) имеет решение при любой правой части у;
р) уравнение B) имеет только тривиальное решение;
у) уравнение A*) имеет решение при любой правой части®;
б) уравнение B*) имеет только тривиальное решение.
Если выполнено одно из условий а), C), у), б), то операторы
1 — А и I — А* непрерывно обратимы.
Доказательство проведем по схеме
а)
у) =ф- 6) => а).
I. а)^^). Дано R(I — А) = Х, т. е. множество значений
оператора ) — А совпадает с X. Допустим, что р) не выполнено,
т. е. подпространство нулей оператора / — А нетривиально:
Пусть Jt,eil/| и хх Ф 0. Рассмотрим уравнение (/ — А)х =
= Х\. По условию а) оно имеет решения. Пусть х2 — одно из
них. Имеем (/ — АJх2 = (I — А)хх = 0, т. е. х21= N2 = {а- е X:
(I — ЛJ* = 0}, причем Ni с Л'г и включение строгое, так как
х2 е Л/2, но х2фк\, иначе оказалось бы, что Х\ = 0. Продол-
Продолжая эти рассуждения, получим цепочку подпространств
Ni cz N, cr ... с Л'„ <= Л'„+1 с= ...,
строго включенных друг в друга. По лемме Рнсса о почти пер-
перпендикуляре (см. п. 3.5) в каждом Nn найдется элемент zn та-
такой, что ||zn||= 1 и IU — Zn || > 1/2 для всех х <= Nn-i,n = 2,3, ...
Рассмотрим последовательность {Лгп}. Она компактна, ибо Л
вполне непрерывен, a {z,,} ограничена. С другой стороны, при
m > п
I Azm - Azn || = || [zn -
A) zn
- A) zm] - z
1/2,
221

ибо
так как
— (/ - A) zn + (/ - A) zm
(все слагаемые — нули, ибо (/ — Л)*г/ = 0 при k~^l). Итак, с
одной стороны, {Аг„} компактна, а с другой — (|Лгт — Лг„||>
> 1/2. Полученное противоречие показывает, что допущение
NA — А)ф{0) неверно. I доказано.
II. Р)=7"у)- Дано NA — Л) = {0}. Нужно доказать, что
/?(/— А*) = Х*. Возьмем любой f е Л'* и рассмотрим выраже-
выражение <(/ — А)х, />. Оно определяет линейный ограниченный
функционал ф е А'*. Действительно, это выражение определено
на X, линейно по х и ограничено. Наконец, самое важное, оно
однозначно по х: если <(/ — А)х', f) = <(/ — А)х", />, то
<(/ — А) (х' — х"), f> = 0, откуда, вследствие произвольности
/, (/ — А){х' — х")=0, но iV(/ —Л) = {0}, и, значит, х' = х".
Таким образом, <(/ — А)х, f> = <х, ф>, т. е. всякий f e X* при-
принадлежит также и /?((/ — Л*)), т. е. y) доказано.
III. y)^^). Эта часть доказательства совпадает с I. Нужно
лишь в I Л заменить на Л*.
IV. 6)=^ а). Дано N(A — А)*) = {0}. Надо доказать, что
R(I— А) = Х. Допустим противное, что R(I— А)фХ. По тео-
теореме 1 R(l — Л) — подпространство в X. Пусть уо^Х и уаф.
<?R(I— Л). По следствию 2 из теоремы Хана — Банаха най-
найдется fo^X* такой, что <г/о, fo> = 1 и <У, /о> = 0 для всех
y^R{I — Л). Но тогда <(/ — А)х, fo) = 0 для всех jgX, или
<л, (/ — Л)*/о> = 0 и из произвольности х имеем (/ — A)*fo = O,
т.е. foeAr((/— Л)*) и fo ф 0. Полученное противоречие пока-
показывает, что верно а).
V. Если выполнено одно из условий а), E), у), S), то по
I—IV выполнены и все остальные, но тогда N({1 — Л)) = {0},
т.е. / — Л обратим; /?(/ — А) = Х, и, значит, по теореме Банаха
(см. теорему 4 п. 12.1) / — Л непрерывно обратим. То же для
Л*. Теорема полностью доказана.
Теорема 3 (вторая теорема Фредгольма). Пусть А — ли-
линейный вполне непрерывный оператор в X. Тогда уравнения B)
и B*) имеют одинаковое конечное число линейно независимых
решений.
Доказательство. Мы уже видели, что если NA — Л) =
= {0}, то и N{{1 — А)*) = {0}, и наоборот (см. теорему 2).
Пусть теперь эти подпространства не нулевые. Докажем сна-
сначала их конечномерность. Пусть М — произвольное ограничен-
ограниченное множество, лежащее в N(I — Л); тогда М — AM. Отсюда М
компактно (см. теорему 1 п. 20.1). Получилось, что в NA — А)
222
каждое ограниченное множество компактно. По теореме п. 19.5
^п I конечномеРно. Аналогично дело обстоит с yV( {I — A)').
— г|-тРлтеМ л\ доказательству равенства dim N(I - А)=
г— aimvvu — А) размерностей подпространств нулей операто-
операторов / — л и (/ — Л) . Допустим противное, что, например,
dim JV (/ - Л) = п < m = dim N ((/ - Л)*).
Пусть {<p,};-базис в N(I-A). По следствию 4 из теоремы
Хана - Банаха существует {ytf с Г, биортогональная к Ы?
система: ((Ф,, Yl) = б,7, i, j=l „. Пусть, далее, {*,};-
базис в М(A-АП а {zt}« с: X - биортогональная к нему
система элементов: «*,, ^ = 6^ /, /=1, 2, .... т), существо-
существование которой доказано в п. 16.3. Рассмотрим оператор / -А,
D)
БП0ЛНе непРеРывен- как сумма двух вполне непре-
аТРВОПеРаТОра А
(см
Ле1 док"жем' что ^(/-Л) = {0}. Действительно, уравне-
~ ах = 0 записывается согласно D) так:
x-Ax=la{Xyyi)zi. E)
i=i
Применяя к обеим его частям функционал qk, получим
О = (х, (/ - АУ ^> = (Х _ Ах, $к) = {х, ук). F)
Мы воспользовались тем, что % е Л/ ((/ - А)*), и биортогональ-
биортогональностью систем ШТ и {г,}-. Так как k произвольно, то все
;Va/\7° i\ E) пРинимает вид Л-Л.^ = 0. Это означает, что
п
X=Zh<Pi. (I)
Применим к обеим частям этого равенства функционал yt if,
пользуясь биортогональностью систем {cptf, {Y/}« и тем, что
<*^>=0, нолучим |, = 0. Так как I произвольно, то х=0.
, ^1)= {0}
Нетрудно убедиться (проверьте!), что
223',

n
Тогда (/ - AY ф5 = (I- А*) ф4 - E <z(. 4>s) Y/ = 0 при s > «,
ибо i|)s e Л'((/ — Д)*), и <2;, г}и> — 0, ибо п < s. Оказалось, что
N(A—А)*)Ф{0}, а это противоречит теореме 2. Следователь-
Следовательно, предположение п <. т неверно. Аналогичное доказательство
проводится в случае п > т с заменой Л на Л*. Теорема дока-
доказана.
Теорема 4 (третья теорема Фредгольма). Пусть А — ли-
линейный вполне непрерывный оператор в X. Для того чтобы
уравнение A) имело хоть одно решение, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для любого решения хр уравнения B*) выполня-
выполнялось условие (у, i|)>— 0.
Доказательство. Если N{1 — Д) = {0}, то N({1 —
— Л)*) = {0} и утверждение теоремы тривиально. Пусть
N (I— А}Ф{0]. Если уравнение A) имеет решение х0, то для
всякого г|) е N( (/ — Л)*) имеем
(У, Ф)
- A) xQ, Ч>> = (л-о, (/ - Л)* <ф> = 0.
Обратно, пусть <у, \)з> = 0 для всех ijieA/((/—Л)*). Допу-
Допустим, что A) при данном у решений не имеет, т.е. уф.ИA — Л).
Заметим, что R(A) замкнуто по теореме 1. По следствию 3 мл
теоремы Хана — Банаха существует f е X* такой, что (у, /')=-- 1
и <(/ — Л).г, f) = 0 для любых .teX, но тогда (х,(/ — Л)*'} =
= 0 и, вследствие произвольности х, (/—Л)*/ = 0, т. е. f&\\(/—
— Л)*). Но тогда по условию теоремы <;/,[) = 0ф\. Пол\чин-
Пол\чинное противоречие означает, что уравнение A) разрешимо. Тео-
Теорема доказана.
Замечание. Теорему 4 можно дополнить следующим ут-
утверждением: для того чтобы уравнение A*) имело хоть одно
решение, необходимо и достаточно, чтобы для всех решений <р
уравнения B) выполнялось условие <<р, со) = 0 (доказательство
см. [21], стр. 274).
В заключение кратко резюмируем полученные результаты.
Для уравнения A) с вполне непрерывным оператором Л воз-
возможны только три следующие ситуации:
1) оператор / — Л непрерывно обратим, тогда A) имеет при
любой правой части у единственное решение .* = (/ — Л)~1у;
2) N(I — А)ф{0}\ если <г/, г|)> Ф 0 хоть для одного решения
¦ф сопряженного однородного уравнения B*), то A) решений
не имеет;
3) N{1 — Л) Ф {0}; если (у, ^> = 0 для всех решений т|з урав-
уравнения B*), то общее решение уравнения A) имеет вид
к
х = хо-\- Yj ?<<Pi> где х0 — частное решение A), {ф,}" — базис под-
пространства решений уравнения B), а п — размерность этого
подпространства.
224
20.6. К теории линейных уравнений 1-го рода. Кратко оста-
остановимся на свойствах линейного уравнения
Ах = у. (i)
Здесь неизвестное х разыскивается к банаховом пространстве X,
правая часть у—известный элемент банахова пространства
Y (X,Y оба вещественны или оба комплексны), наконец, Ле
^а(Х, Y), т. е. является линейным вполне непрерывным опе-
оператором, действующим из пространства X в пространство Y. Та-
Такое уравнение A) в начале п. 20.5 мы условились называть
уравнением 1-го рода. Область определения D(A) = X; однако,
оказывается здесь, как правило, область значений оператора
A; R(A) не замкнута, в отличие от изученного в п. 20.5 линей-
линейного уравнения 2-го рода (см. теорему 1 п. 20.5). Выделим сна-
сначала тривиальный случай уравнения A), когда X и У конечно-
конечномерные. В этом случае теряется различие между линейными
уравнениями 1-го п 2-го рода, ибо область значений R(A) ока-
оказывается замкнутой вследствие своей конечномерности. Пусть,
далее, X и Y бесконечномерны и Л не является конечномерным,
т.е. R(A) также бесконечномерна.
Теорема 1. Пусть X и Y — бесконечномерные нормирован-
нормированные пространства, причем Y полно. Если А — вполне непрерыв-
непрерывный линейный оператор, А е a(X,Y), отличный от конечномер-
конечномерного, то его область значений R(A) не является замкнутым
множеством в Y.
Доказательство. Предположим противное, что /?(Л) —
— R(A). Поскольку У банахово, то и R(A) можно рассматри-
оо
вать как банахово пространство. Заметим, чтоХ= \j Sn@), где
л = 1
5„@) —шар в X радиуса п с центром в 0. Но тогда
= AX=\] ASn@).
i
Так как Sn@) ограничены и Л вполне непрерывен, то каждое
множество ASn{0) компактно, а значит, поскольку R{A) бес-
бесконечномерно, по следствию 2 п. 19.5 Л5„@) нигде не плотт
в R(A). Таким образом, R(A) есть объединение счетного 4hc.ii
нигде не плотных в R(A) множеств, т. е. R(A) — множество
I категории, что противоречит его полноте (см. теорему 2 и. 5.8).
Теорема 2. Пусть А — вполне непрерывный оператор из
бесконечномерного нормированного пространства X в нормиро-
нормированное пространство У, причем на R(A) существует обратный
оператор А~К Тогда А~} неограничен на R(A).
Доказательство. Допустим противное, что А~1 ограни-
ограничен на R(A). Тогда тождественный оператор в X / = Л-'Л
' 8 В. А, Треногий 225

вполне непрерывен, как произведение вполне непрерывного (А)
и ограниченного {А~[) операторов. Но тогда X конечномерно.
Противоречие. Значит, Л неограничен. Теорема доказана.
Задачи.
1. Докажите, что для всякого линейного оператора А, определенного всю-
всюду в банаховом пространстве X, со значениями в банаховом пространстве У
равносильны следующие свойства:
а) оператор А переводит каждую сходящуюся в X последовательность
{л'„} в сходящуюся в У последовательность {/1.x;,,};
б) оператор А отображает каждую слабо сходящуюся последователь-
последовательность {х„} с X в слабо сходящуюся последовательность {Ахп} с У;
в) оператор А отображает каждую сходящуюся последовательность
{х„} а X в слабо сходящуюся последовательность {Лх„} с У.
2. Докажите, что условие ап ->¦ 0 необходимо и достаточно для того, что-
чтобы в 12 был вполне непрерывен оператор А {х„} = {а„х,.}.
3. Докажите, что оператор Де^(Н), где Н гильбертово, вполне непре-
непрерывен тогда и только тогда, когда для любых последовательностей {х„} и
{у,,}, слабо сходящихся к ха и у0 соответственно, (Ахп, уп) ->¦ (Аха, у о) при
п -* ос.
4. Пусть X=Y — одно из пространств 1Р, т, с, с,> Для к = (У е )(
положим у = Ах = {r|t}, где г\к = 0, если к нечетное, и г\ь = %k-u если k
четное. Покажите, что оператор А не является вполне непрерывным, хотя,
очевидно, А2 — 0 вполне непрерывен.
5. Пусть А — ограниченный линейный оператор, переводящий нормирован-
нормированное пространство X в сепарабельное банахово пространство У. Покажите, что
А вполне непрерывен в том и только в том случае, когда А' переводит вся-
всякую слабо сходящуюся (в У*) последовательность в сходящуюся (в X") по-
последовательность.
6. Пусть А — вполне непрерывный (слабо вполне непрерывный) линей-
линейный оператор из банахова пространства X в банахово пространство У. Пусть
Be^?(v), причем R{B) cR(A). Докажите, что оператор В также вполне
непрерывен (соответственно слабо вполне непрерывен).
7. Пусть А — линейный оператор, определенный всюду в линейном^ про-
пространстве X, со значениями в X. Докажите, что подпространства нулей сте-
степеней оператора А
О, N (А), Ы(А2) М{Лк), ...
образуют возрастающую последовательность, которая либо строго возрастает,
либо вырождается, т. е. существует такое наименьшее целое а ~^ 0, что при
любом 0 sg г ^ п все N (А') различны, а вес последующие Л'(Л') совпадают
с Л'(Л") (в последнем случае говорят, что А имеет конечный подъем л). До-
Докажите, чго линейные многообразия (области значений степеней опера-
оператора А)
X,R(A), R(A2), ..., R(Ak), ...
образуют убывающую последовательность, которая либо строго убывает, либо
вырождается, т. е. существует наименьшее целое ш ~^ О тгкое, чго все R(A')
различны при 0 ^ г < т, а все последующие R{A') = R(Am) (в последнем
случае говорят, что оператор А имеет конечный спуск ш).
8. Докажите, что если А еЗ?(Х), где Л' банахово, имеет конечный подъем
п и конечный спуск т, то п = т н
,Y = ,V (Лп) 4- R (Ап).
9. Докажите, что если А = I + Т, где ГеоA), то справедливы следую-
следующие утверждения:
а) А имеет конечный подъем п н конечный спуск т, и, значит (см. за-
задачу 8), п — т.
226
б) Каждое подпространство N(A') конечномерно, а каждое R(Ar) замк-
замкнуто.
в) Оператор А отображает R(An) на R(A") взаимно однозначно и взаим-
взаимно непрерывно.
§ 21. Нормально разрешимые операторы
21.1. Некоторые общие свойства линейных операторов. Пусть
X и У — банаховы пространства, оба вещественные или оба
комплексные. Рассмотрим линейный оператор А, действующий
из X в У. Через D(A)czX обозначим, как обычно, область оп-
определения А, а через R(A) = AD {А) — область значений А.
Пусть, далее,
N {А) = {х е= D (А): Ах = 0}
— множество нулей (ядро) оператора А. Аналогичные обозна-
обозначения D(A*), R(A*), N(A*) будут использоваться для сопря-
сопряженного к А оператора А*, если, разумеется, последний су*
ществует.
Введем теперь в банаховых пространствах два типа ортого-
ортогональных дополнений. Пусть М — линейное многообразие в X,
Введем множество ML cz X*\
= {/еГ: (х, f> = 0 для всех х
Л1}.
Таким образом, М1 — это множество элементов из X* (т. е. ли-
линейных ограниченных функционалов, определенных на X), ор-
ортогональных к М.
Пусть, далее, N — линейное многообразие в X*. Введем мно-
множество 1N cz X:
SN = {х €= X: (х, f) = 0 для всех ' f е= Л'},
т.е. XN — множество элементов из X, ортогональных к N.
Если X = Н — гильбертово пространство, то оба типа орто-
ортогональных дополнений совпадают с обычным ортогональным
дополнением. Отметим также некоторую неравноправность на-
наших определений: по аналогии с определением М1 следовало
бы в определении XN брать х е X*".
Докажем теперь два предложения, существенно используе-
используемые в дальнейшем изложении.
Теорема 1. Пусть D{A) = X; тогда
A)
(ортогональное дополнение к области значений А равно множе-
множеству нулей А*).
Доказательство. Заметим сначала, что условие теоре-
теоремы— плотность D(A) в X — обеспечивает существование сопря-
сопряженного оператора А*, действующего из D(A*)cz Y* в простран-
пространство X*. Пусть /^ND*), т.е. Л*/ = 0; тогда для всех
8* . 227

Это означает, что f^R(A)L, т. е. доказано включение
Пусть теперь f ^ R(AI, т. е. для всех хё D(A) (Ах, Г> = 0.
(замыкание множества значений оператора А состоит из тех и
только тех элементов у е? У, коюрые ортогональны к каждому
решению однородного сопряженного уравнения).
Доказательство. Пусть у0^ R(A). Тогда найдется
{x.n}<zz D{A) такая, что Лх„—>-уэ. Возьмем любой элемент
fo<=N(A*), т. е. Л*/0 = 0. Тогда для любого x(B.D{A)
В частности, (Ахп, fa) = 0. Но тогда
Мы доказали включение R (Л) cz J-iV (A ).
Пусть уоф R{A). Покажем, что найдется элемент из N(A*),
не ортогональный к у0.
По следствию 2 из теоремы Хана — Банаха найдется /0 ^ 1 *
такой, что <у0, fo> Ф 0 и [0 ^ R{A)х. Последнее означает, чго
(Ах, /о> = 0 для всех ,v e D{A), но тогда (х, А*{0) = 0 и, вслед-
вследствие плотности D(A) в X, A*fQ = O, хотя <г/0, fo>?= 0, т. е.
г/о ^ 1^V(А*).Таким образом, нет элементов из XN{A*), принад-
принадлежащих R(A), т. е. R(A}= 1.\'(A*). Теорема доказана.
Упражнение. Пусть ЩА\ = X и N{A*) = {Q}. Toi.u
уравнение Лх — у разрешимо длл плопюю в У линейного mi ¦,-
гсобразня правых частей у.
21.2. Нормальная разрешимость линейных операторов. Тео-
Теорема Хаусдорфа.
Определение. Оператор А с плотной в банаховом про-
пространстве X областью определения и со значениями в банахо-
банаховом пространстве У называется нормально разрешимым, если
Более подробно условие нормальной разрешимости онера^
тора А можно записать так:
Заметим, что если /V(Л*) = {0}, то х/V(.4*) = У и условие
нормальной разрешимости А означает, что R(A)= Y.
Рассмотрим теперь уравнение
и сопряженное однородное уравнение
Пусть А нормально разрешим, тогда справедливы следующие
утверждения.
Если уравнение C) имеет лишь тривиальное (т. е. нулевое)
решение, то уравнение B) имеет решение для любой правой
части у е У.
Если уравнение C) имеет нетривиальные решения, то урав-
уравнение B) имеет хоть одно решение в том и только в том слу~
чае, когда (у, г|:> = 0 для любого решения 1|з уравнения C)
(см. определение).
Докажем теперь следующее важное предложение.
' Теорема (Хаусдорф). Пусть D(A)=X. Для нормальной
разрешимости А необходимо и достаточно, чтобы R(A) = R(A)t
т. е. чтобы оператор А имел замкнутую область значений.
Доказательство. Если R(A) — R(A), то согласно фор-
формуле B) п. 21.1 имеем R(A)= ±А'(Л*), а это п есть определе-
определение нормальной разрешимости А (см. A)).
Обратно, если справедливо равенство A), то из него в со-
сочетании с формулой B) п. 21.1 получаем R(A) = R(A), и тео-
теорема доказана.
Таким образом, нормально разрешимые операторы — это
операторы с замкнутой областью значений. Большой класс нор-
нормально разрешимых ограниченных операторов был изучен нами
в п. 20.5. Это операторы вида А = 1 — Т, где Т вполне непреры-
непрерывен в банаховом пространстве X. Теорема 1 п. 20.5 утверждает,
что R(I — Т) н R(i — 7*) замкнуты, что, согласно теореме
Хаусдорфа, означает нормальную разрешимость / — Т и I — Т*.
21.3. Нетеровы и фредгольноьы операторы. В предыдущих
пунктах были рассмотрены нормально разрешимые операторы,
т.е. плотно заданные линейные операторы с замкнутой об-
областью значений. Особое место среди них занимают фредголь-
мовы и нетеровы операторы, названные так по именам И. Фред-
гольма и Ф. Нетера. Первый из этих авторов изучил широкий
класс линейных интегральных уравнений (интегральные урав-
уравнения Фредгольма 2-го рода) и доказал для них ряд основопо-
основополагающих теорем (теоремы Фредгольма, см. п. 20.5). Ф. Нетер
обобщил эти результаты на сингулярные интегральные уравне-
уравнения, для которых ситуация оказалась принципиально более
сложной (см. ниже теоремы Нетера). В настоящее время
ствпе плотности D(A) в А" мы имеем Л*/ = 0. Доказано обрат-
обратное включение R(A) L cz N(A*), а тем самым н теорема 1.
Теорема 2. Пусть D(A) — X; то^да

'установлены нормальная разрешимость, нетеровость или фред-
гольмовость разнообразных классов линейных операторов, по-
порождаемых интегральными, интегродифференциальпымн или
сингулярными интегральными уравнениями, а также различны-
различными задачами теории уравнений с частными производными и тео-
теории псевдодифференцнальпых уравнении.
Определение 1. Нормально разрешимый оператор Л на-
называется нетеровым {N-оператором), если
1) N (А) конечномерно;
2) N (А*) конечномерно.
Заметим теперь, что в случае произвольного линейного опе-
оператора А используется следующая терминология: число п =
= п(А) = dim N(А) называется числом нулей оператора Л,
число m = пг(А)= dim N(А*) называется дефектом оператора
Л, а число х = /(Л)=л(Л)—пг(А) называется индексом опе-
оператора Л.
Таким образом, нетеровы — это нормально разрешимые опе-
операторы с конечным числом нулей @ ^ п < + оо) и конечным
дефектом @ ^ m < -f со).
Определение 2. Нетеровы операторы нулевого индекса
называются фредгольмовыми операторами (F-операторами).
Для /^оператора 0 sj ti = m < -f- оо, т. е. % = 0. Рассмот-
Рассмотрим //-операторы и /•'-операторы с точки зрения уравнений B)
II C) п. 21.2, а также и однородного уравнения.
Для этих уравнений с ЛЛоператором А справедливы выте-
вытекающие из вышеизложенного следующие свойства, иногда на-
называемые теоремами Нетера:
1°. Или уравнение Ах = у имеет решение при любой правой
части у, или уравнение A*ty = 0 имеет нетривиальное ре-
решение.
2°. Уравнения Ах = 0 и Л*ф = 0 имеют по конечному числу
(п и in) линейно независимых решений.
3°. Если уравнение Л*ф = 0 имеет нетривиальное решение,
то уравнение Ах = у имеет (хоть одно) решение для тех и
только для тех правых частей у, которые ортогональны к лю-
любым решениям уравнения А*^ = 0.
Для тех же уравнении с F-оператором А имеют место сле-
следующие свойства, известные под названием теорем Фредгольма
(ср. теоремы 2—4 п. 20.5):
Г (Альтернатива Фредгольма). Или (п = 0) уравнение
Ах = у имеет единственное решение при любой правой части
у, или (а > 0) уравнение Ах = 0 имеет нетривиальные реше-
решения.
2°. Уравнения Ах = 0 и Л*г|з = 0 имеют одинаковое конеч-
конечное число (п) линейно независимых решений.
3°. Если п > 0, то уравнение Ах = у имеет решения для тех
и только для тех правых частей у, которые ортогональны к лю-
любым решениям уравнения Л*ф = 0.
230
Согласно п. 20.5 операторы вида / — Т, где Т вполне непре-
непрерывен, являются ограниченными ^-операторами. Приведем при-
пример простейшего ^-оператора.
Пример. Пусть Ек и Е1 — ^-мерное и /-мерное евклидовы
пространства соответственно А-мерных и /-мерных веществен-
вещественных столбцов х = Й;){' е ?6, y = (x\i)ll^E1. Рассмотрим линей-
линейный оператор Л е % (Ek,El), определенный формулой у = Ах,
т. е.
i=U 2, .... I.
A)
Обозначим через г ранг матрицы (а,,). Ясно, что
Наряду с системой A) рассмотрим соответствующую одно-
однородную систему Ах = 0:
i = l, 2,
а также сопряженную однородную систему Л4
1 = 1
= 0:
k-
C)
Упражнение. Покажите, что сопряженный оператор
Л* — (ач)т — транспонированная матрица к матрице (atl), при-
причем A*^S{B,Ek).
Нормальная разрешимость Л следует из теоремы Хаусдэр-
фа, ибо R(Л) конечномерно, а потому замкнуто. Далее, если
г = k = min (k, I), то система B) имеет только тривиальное ре-
решение (п = 0). Если же г < k, то система B) имеет п — k — г
линейно независимых решений. Наконец, если г = I = min(k, I),
то система C) имеет только тривиальное решение (гп = 0).
Если же г < /, то эта система имеет пг = 1 — г линейно неза-
независимых решений. Итак, оператор Л нетеров. Его индекс х =
= (k — r) — (l — r) = k — l. Если l = k, то %=0 и оператор Л
оказывается фредгольмовым.
Более содержательные примеры нетеровых операторов дают
сингулярные интегральные операторы, а также дифференци-
дифференциальные операторы, порождаемые краевыми задачами для об-
общих эллиптических уравнений и систем (см. [17], где подробно
освещен весь этот круг вопросов).
21.4. Лемма Э. Шмидта. В этом пункте будет доказана лемма,
установленная первоначально Э. Шмидтом для случая интег-
интегральных операторов. Ее обобщение (см. [2]) нашло полезные
приложения, особенно в теории ветвления решений нелинейных
уравнений (см. § 37).
231

Пусть Л— фредгольмоп оператор, причем n-—di\nN(A)'^l.
Пусть {ф,}" — базис в N (А), {уЛ" — бнортогональная к нему
система функционалов из X* (т. е. (ф,-, Y/) = ^i;> '> ^' = !>•••> '*)•
Пусть, далее, {i|i,}" — базис н jV(.4'}, а {г,}',' — бнортоюнальная
к нему система элементов из Y (т. е. (г,, ф7-) = 6t,-, /, j =-- 1,..., /г).
Упражнение. Покажите, что спеючы {y<}" п {г,}" ли-
линейно независимы.
Образуем К'-юшомерный оператор Л":
= Z < • , Y,.) гг.
A)
Лемма h' чидта. Пусть D(A)-=X и А—фред:ольмсв
оператор, действующий из банахова пространства X в банахово
пространство Y. Тогда оператор В — А + К, где К определяется
формулой (I), непрерывно обратим.
Доказательство. Сначала установим, что Л;(В) = {0},
затем, что N(B*) = {0}, и, наконец, что R(B)= У. Этим лемма
С}, дет доказана.
J) Пусть Вх = 0. Это означает, что (см. A))
Ах=— Z (х, \г}г;.
B)
П, имении к 01>пм частям B) функционал \[и и, вследствие
биортогональности систем {.г,}" и {л[".}"> а также вследствие
ортогональности »|\; к R(A) (см. формулу A) п. 21.1), получим
0 = <^, Л >) = - Е (л-, Vi) <Мь г,> - - (х, y*>.
т. i\ 0 —(t, y<). чго вг-гло дтя /г=1, 2, ..., и. Следователь! >,
п
A?! имеет вид /1л- — 0, откуда .v=X?nq:,. По мы установил!;,
; -I
чю (х, Yft)==0. й=^1, 2, ..., /г. Поэтому
О - (:;, Y«> - (t ?
(t ?,
S
вследствие tjanuiiofi биортогональности систем {ф]> и {у,}\-
1!:ак, все ?«-=0 п, значит, х--0. Следовательно, A'(B) = {Q).
2) Теперь покажем, что \'(В*) = {0}. Для этой цели найдем
А . Пусть / е } ¦, тогда
In \ и in \
. \ /V/ \ t'\ ^~" / \/ г\ / V /"—Т\
\ ( • ,' / \ Zj v1^' Yi/ ^li 1 I Z_i v1^) Yi/ \Zii I ) == ^-^> 2-i \Zii I) Yi /'
В комплексном случае здесь принимается во внимание то
обстоятельство, что умножение у е X* на комплексное число X
232
определяется формулой <л\ ХуУ — X <л-, у). Итак,
п
/<*= S B;, •) Yi-
i = l
Но В* = А* ~'Г К*, и, повторяя р"осуждения 1), получим, что
iV(S*) = {0}. При этом нам понадобится включение N(A)cz
c±R(A*). Докажем его. Если <p^N(A), то для любого f е=
е D(A*) имеем
о = /лФ,/) = <Ф, л7),
т. е, ipe 1R(A*), н включение доказано.
3) Докажем, что R(B)=Y. Пусть i/eF, Рассмотрим эле-
элемент
п
y = y—Y,(y, ^i)?i- C)
i = l
Заметим, что г/е/?(Л), ибо р J_ \|d?, i= 1, 2, ..., п, и, значит,
i/e XN(A*) = R(A) в силу нормальной разрешимости Л. Но
тогда найдется элемент x^D(A) такой, что Ах — у. Возьмем
элемент
п
х = х+ Z [(У. i|>i> — <^, Yi)] Ф,--
i=i
Воспользуемся теперь равенством C) и равенствами
п
Ах = Ах, Кх = Z (*> Yi) Zi, Kq>i = zt
i= i
и найдем
п п
Вх = Ах + S С?, Yi> -« + Z [<У, ^i) - {х, Y;)] г, =
= У—Ц(У, *Ф«> ^ + Z (f/. ^«} Zi = г/.
i=i i=i
Итак, доказано, что R(B) = У.
21.5. Теорема С. М. Никольского. Следующая теорема даег
полное описание класса ограниченных фредгольмовых операто-
операторов.
Теорема (С. М. Никольский). Для того чтобы оператор
Лей")!, У) был фредгольмовым, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось одно из следующих условий:
а) А = В + Р, где В е 2?(X,Y)j непрерывно обратим, а
Р е 3? (X, Y) — конечномерный;
Р) А = С + Т, где C<=S?{X, Y) непрерывно обратим, а
Т^З?(Х, Y) вполне непрерывен.
Доказательство проведем по следующей схеме: пока-
покажем, что из фредгольмовостп А вытекает условие а), нз усло-
233

вия а) вытекает условие р), а из условия р) вытекает фредголь-
ыовость А. Если А фредгольмов, то, полагая А — (А + К) — К,
где К определяется формулой A) п. 21.4, по лемме Шмидта
получим, что В = А + К непрерывно обратим, а Р = —К — ко-
гечномерный. Итак, условие а) выполнено. Но конечномерный
оператор вполне непрерывен (см. теорему 3 п. 20.1). Поэтому
условие Р) также имеет место. Осталось показать, что опера-
оператор А вида С-\-Т (сумма непрерывно обратимого С и вполне
непрерывного Т) фредгольмов.
Рассмотрим уравнение Ах = у, т. е.
A)
Сх + Тх = у.
Это уравнение эквивалентно следующему:
г -\- С~{Ту — Г~1п (9\
Оператор С~1Т вполне непрерывен, как произведение ограни-
ограниченного и вполне непрерывного операторов (см. теорему 4
г 20.1). Поэтому мы можем воспользоваться теорией Рпсса —
Шаудера (см. п. 20.5). Если N(I + С~1Т) = {0}, то оператор
/ + С~'Г непрерывно обратим, а вместе с ним непрерывно об-
]>JTiiM и оператор Л, причем А~1 =(/ + С~]Т)-1С~1. Пусть
;'(/ + С~1Т)Ф {0}. Поскольку {1 + С-*Т)* = 1 + Т*(С*)-\ то
\равнения
* + С~'7\* = 0, C)
имеют одинаковое конечное число п > 0 линейно независимых
решений. Но тогда уравнения
Сх + Тх = 0, E)
cf + п = о F)
также имеют по п линейно независимых решений. Действи-
Действительно, если {ф,}" — базис в N (/ 4-С~')Г, то, как легко убе-
убедиться, {С^ф,},—базис в N(C-{-T). Если же {г|з,}^ — базис
в ,V (/ + Т*(С*)~]), то {(С*) i|5t}1 служит базисом в N (С* + 7").
Упражнение. Проверьте, что {С~ 'ф,}" — базис в N (С -f- T),
а {(СУЧ<}" — базис в # (С + Г).
Осталось доказать нормальную разрешимость А ф С -\- Т.
Условия разрешимости уравнения B) имеют вид
(С~1у, г|);) = 0, г=1, 2,..., п.
Эти условия, очевидно, равносильны условиям
{у, (С) i|),-) = 0 или \у
234
и заключаются в ортогональности у ко всем решениям уравне-
уравнения F), что и означает нормальную разрешимость А. Теорема
доказана.
21.6. Априорная оценка и нормальная разрешимость. В эчом
пункте будет сделано небольшое дополнение к теореме 2 п. 12.1
об обратном операторе.
Теорема. Пусть А—замкнутый линейный оператор с
плотной в банаховом пространстве X областью определения
D(A) и с областью значений в нормированном пространстве У.
Если для всех ией(Д) справедливо неравенство
|| л: ||, Y = const>0, A)
то область значений R(A) замкнута.
Доказательство. Возьмем последовательность {уп} а
czR(A), и пусть уп-+Уо при «->-оо. Нужно доказать, что у0 е
<=/?(Л). Так как г/„<=/?(Д), то найдется xn^D(A) такой, что
уп = Ахп. Но тогда А (хп — х,„) = уп — ут и, согласно оценке A),
при п, т->оо имеем \\хп — хт\\ ^ у~х\\уп — ут\\-+0. Это озна-
означает, что последовательность {хп} — фундаментальная, а, вслед-
вследствие полноты пространства X, и сходящаяся: существует
хоеХ такой, что х„-*-х0 при я->оо. Кроме того, Ахп-+Уо при
п->оо по условию. Вследствие замкнутости оператора А (см.
п. 15.2) имеем jogD(/1) и Ах0 = у0, т. е. yQ^R(A). Теорема
доказана. ' •¦
Замечание. Согласно замечанию 2 п. 14.3 оценка A) мо-
может трактоваться как априорная оценка решений уравнения
Ах — у. Обращаясь к теореме 2 п. 12.1, мы видим, что в усло-
условиях теоремы настоящего пункта справедливы следующие фак-
факты: 1) оператор А нормально разрешим; 2) N(A) = {0}; 3) А~Х
ограничен на R{A); 4) IIЛ~ЧК V-
Развитие этого круга вопросов представлено в задачах к
данному параграфу (подробнее см. [17]).
Задачи.
1. Докажите теорему С. М. Никольского: пусть А еЗ?(Х), R(A) замкнута
и существует система элементов {(/|}"сХ такая, что любой элемент jeX
единственным образом представим в виде
где
тогда dim N(A') < п.
2. Докажите, что если оператор Д е S'fX, У) отображает ограниченные
замкнутые множества в замкнутые множества, то R(A) замкнута.
3. Пусть D(A) = X, R(A) = У и существует А~1. Докажите, что тогда
существуют (Л*)-1 и (А~})' и они равны.
4. Докажите, что в условиях задачи 3 оператор А~] ограничен на R(A)
тогда и только тогда, когда (А*)~] ограничен на X*.
5. Докажите, что для любого замкнутого линейного оператора с плотной
областью определения эквивалентны следующие утверждения: a) R(A) замк-
замкнута; б) R(A') замкнута; в) R(A) =-LA/(A'); г) R{A') = N{A)X.
235

6. Докажите, что если А—замкнут, D(A) =X n справедливы оценки
II Ах || ;> пг || х || для всех xsD(A),
\\A*j || > т || /|| для всех / е D (Л*),
то операторы А и А' непрерывно обратимы.
§ 22. Линейные уравнения с точки зрения вычислений
22.1. Абсолютная и относительная погрешности вычисления
элемента и линейного оператора. Для решения любой достато-
но сложной математической задачи обычно выбирается какой-
либо приближенный метод, а сама исходная задача иногда
заменяется приближенной задачей. Кроме того, возможны
ошибки, связанные с измерением исходных данных, ошибки,
возникающие при реализации численного метода, и ошибки
округления.
Пусть iel — приближенное значение элемента хеХ, где
пространство X банахово. Число \\х — х\\ называется абсолют-
абсолютной погрешностью. Обычно нам известна не сама абсолютная
погрешность, а лишь ее оценка
||*-*||<б. A)
Аналогично, пусть Л е 9?(X, У) и пусть А е 2"(Х, У)— прибли-
приближенное значение оператора Л. Число ||Л — Д|| называется аб-
олютной погрешностью при вычислении оператора А. Вместе
с А абсолютная погрешность зависит от вычисления. Поэтому
удобнее пользоваться оценкой вида
ЦЛ-Л||<8. B)
Абсолютные погрешности обладают следующим недостатком:
о:ш связаны с «выбором масштабов». Если в X вместо ||*|| вве-
ввести другую норму ||*|| 1 = А, 11*11, К > 0, то абсолютная погреш-
погрешность умножится на X: \\х — *||i = Л,II* — *||. Точно так же, если
«изменить масштабы» в X и в У путем умножения нормы в X
на число % > 0, а нормы в У на число ц > О, то абсолютная
погрешность ||Л — Л|| уменьшится на [А~[ (предоставляем это
проверить читателю). Поэтому чаще ошибку, получающуюся
при замене х na x (соотв. Л на Л), характеризуют числом
II* — *Н/Н*11 (соотв. числом ||Л — Л]|/||Л||), которое называется
относительной погрешностью вычисления элемента х (опера-
(оператора А).
Вместо относительных погрешностей мы будем пользоваться
их оценками
C)
М-Л
ИИ
D)
23G
Упражнение. Покажите, что относительные погрешности
не меняются при описанных выше «изменениях масштабов».
Заметим все же, что и относительные погрешности суще-
существенно зависят от выбора норм. Впрочем, это замечание носиг
общий характер. При исследовании конкретной задачи выбор
линейных пространств, а затем их нормировка могут оказаться
решающими и с теоретической и с вычислительной точек зрения.
Условимся о следующей терминологии. В случае оценок A)
или B) будем говорить, что х или А является Ь-приблишением
(е-приблишением) элемента х или соответственно оператора А.
В случае оценок C) или D) будем говорить об относительных
б- или е-приблишениях.
22.2. Мера обусловленности линейного оператора. Пусть one*
ратор /4е5"A, У) непрерывно обратим. Число
= \\A-l\\\\A\\
A)
называется мерой обусловленности линейного оператора Л. За-
Заметим, что всегда v(A)"^ 1. Действительно,
i-i
= v(A).
Мы увидим ниже, насколько важную роль играет понятие меры
обусловленности в приближенных вычислениях. Но уже сле-
следующие леммы указывают на это обстоятельство.
Лемма 1. Если А непрерывно обратим и А есть относи-
относительное г-приблишение А, то для всех бе@,г'(У1)) опера-
оператор А также непрерывно обратим и справедливы оценки
\\А
-I
1
л-1
Л-1-А
-1 I
II/»-1 II
1 - ev (Л)
еу(Л)
1 -г\(А)
4 ' ^ 1 — ev (Л)
Доказательство. Пусть выполнено условие
ev^)< 1.
Тогда имеем следующую оценку (см. D) п. 22.1):
B)
C)
D)
E)
(Л-Л)Л-1||<||Л-Л
-I I
< ev (Л)< 1.
Теперь из теоремы об обратном операторе п. 12.5 следует
непрерывная обратимость А и справедливость оценок B) и C)
.(см. оценки A) и B) п. 12.5). Для доказательства оценки D)
237

заметим,что
\A-A\\-\-\\A\\)-
t-U
-'
= A +е)у(Л) ^
Лемма 1 доказана.
Упражнение. Покажите, что неравенство B) и D) яв-
являются следствиями неравенства C).
Следующая лемма позволяет судить о непрерывной обрати-
обратимости оператора Л на основании информации об одном его от-
относительном е-приближении А.
Лемма 2. Пусть существует относительное г-приближение
Я оператора А такое, что оператор А непрерывно обратим и
?v(A)<; 1. Тогда оператор Л непрерывно обратим, причем
1И-Ч1 ^
II л-1 II ^
1
1 -ev(A) '
iu-
ii
5 I -
'-л-1 II ^
л-1 II -
e)vD)
evM)
.- ev(A)
й l-cv(l)
Доказательство проводится так же, как в лемме 1. Нужно
лишь поменять ролями Л и А.
Приведенные леммы указывают на следующее обстоятель-
обстоятельство. Если v^) или v(A) велико (такие операторы называются
плохо обусловленными), то лишь за счет очень малой относи-
относительной погрешности вычислений можно добиться непрерывной
обратимости близких операторов. Поскольку относительные по-
погрешности обычно бывают ограничены снизу возможностями
вычислительной техники, то задачи с плохо обусловленными
операторами оказываются плохо реализуемыми на ЭВМ. Мы
вернемся к этому вопросу в п. 22.4.
22.3. Корректность линейного уравнения с непрерывно обра-
обратимым оператором. Рассмотрим линейное уравнение
Ах = у, (П
которое далее будем называть точным уравнением. Пусть опе-
оператор A<^3?(X,Y) непрерывно обратим (X и У — банаховы
пространства). Решение уравнения A) дается формулой
х = А~1у. B)
Наряду с точным уравнением A) рассмотрим приближенное
уравнение
Ах = у, C)
где А— е-приближение оператора Л, а у — б-приближение эле-
элемента у (см. формулы A), B) п. 22.1), т. е.
11<7-#1К6, 1И-Л|Ке. D)
233
Потребуем, чтобы погрешность вычисления оператора А
была достаточно мала: пусть существует число ^е@, 1) та-
такое, что
0<e|U-1|<(?. E)
Последнее условие обеспечивает следующую оценку:
F)
Поэтому, согласно теореме п. 12.5, любое е-приближение А яв-
является непрерывно обратимым оператором, причем
и-1
\-q •
U-1 [Ре
\-q
G)
(8)
При этом решение уравнения C) дается формулой
х = А~% (9)
Оценим абсолютную погрешность ||Jc — х\\, используя оценки
G) и (8) и D):
х-х =
\А-1\\\У-.
A-1 U , IU-4l2e|MI
Полученная оценка показывает, что x-»-.v, если абсолютные по-
погрешности вычисления Лиг/ стремятся к нулю (е-»-0, 6->0).
Принято называть оператор А корректным, если 7?(Л)= Y
и Л~' ограничен. Эти требования совпадают с определением не-
непрерывно обратимого оператора и приводят, как мы только что
показали для оператора Ле^(Х, У), к устойчивости решения
по отношению к малым возмущениям (по норме) оператора Л
и правой части у.
22.4. Оценка относительной погрешности решения. Рассмот-
Рассмотрим снова точное уравнение A) с непрерывно обратимым опе-
оператором Л и семейство приближенных решений (9) (п. 22.3),
но предположим теперь, что у я А являются относительными
б- и е-приближениями у и А соответственно, т. е.
II У-
WA-АЦ
(О
\\y\\ ¦"* ' НИ
Пусть относительная погрешность вычисления оператора А
достаточно мала, точнее,
evD)<l. B)
Пользуясь понятием меры обусловленности оператора Л, оцен-
оценками B) и C) п. 22.2, а также неравенством \\y\\ < ||Л|| ||х||,
239

получим оценку относительной погрешности
.15-011
-1\
+
|л-'-л-'
11*11
6у(Л)
ву2(Л)
1 - ev (Л)
1 — ev (Л) "¦" 1 — 6V (Л) '
C)
Из полученной оценки видно, что при б -*¦ О, е -*¦ 0 относи-
относительная погрешность вычисления решения также стремится к
нулю. Однако следует заметить, что числа е > 0 и б > 0 ха-
характеризуют гарантированную точность вычислений и практи-
практически не стремятся к нулю. Операторы А, для которых v(A)^
^ е~' или величина 1 — &v(A) мала, следует считать плохо
обусловленными, как и операторы, для которых оценка отно-
относительной погрешности вычисления решения выходит за допу-
допустимые границы. Таким образом, при практическом решении за-
задач следует следить за величиной меры обусловленности опе-
операторов.
22.5. Регуляризация вычисления приближенного решения ли-
линейного уравнения с фредгольмовым оператором. В двух преды-
предыдущих пунктах мы рассмотрели линейное уравнение
Ах = у A)
с непрерывно обратимым оператором А. Теперь изучим вырож-
вырожденный случай. Под этим будем понимать следующее. Пусть
А (=2?{Х, У)— фредгольмов оператор (см. п. 21.3) с числом
нулей п = dim Л'(Л) ^ 1.
Пусть {ф,-}" — базис в Л' (А) — подпространстве нулей опера-
оператора А и {y,}" ci X* — биортогональная к этому базису система
функционалов. Пусть, далее, {tfo}" — базис в N (А*) — подпрост-
подпространстве нулей сопряженного оператора А*, а {г,}" с У — система,
биортогональная к {ф,}".
Для разрешимости уравнения A), т. е. для того, чтобы
y^R(A), необходимо и достаточно выполнения следующих ус-
условий:
(у,$,) = 0, 1 = 1 п. B)
Пусть эти условия выполнены. Тогда уравнение A) имеет се-
семейство решений
п
= *(>+ ?
C)
где хо — какое-либо частное решение уравнения A), а су, ...
..., сп — произвольные постоянные числа.
Рассмотрим приближенное уравнение
Ах = у,
D)
240
где Л и у — относительные б-приближения А и у соответственно,
т. е.
11Л-ЛЦ <s \\y-y\\ ^. ,,,
ИЛИ *** ' Цг/11 ^°- \°>
Для уравнения D) может представиться ряд случаев. Пусть,
например, А = А. Поскольку R(A)=?Y, то для сколь угодно
малого б > 0 существует y^R(A) и удовлетворяющее второму
из неравенств E). В этом случае приближенное уравнение D)
не имеет решений. Может оказаться также, что уравнение D)
имеет единственное решение *->оо при б-»-0. Уравнение D)
может иметь бесконечное число решений, а может иметь и
единственное решение х, стремящееся при 6->-0 к одному из
решений семейства C).
Упражнение. В евклидовом пространстве Е2 зададим
оператор А и элемент у следующим образом:
М!!)- »-(!)•
Найдите N(A), N{A*) и общее решение уравнения A). Изучите
решения уравнения D) и их поведение при б -> 0 в следующих
случаях:
)- » = ('
'V
+ 6
Таким образом, задача A) является неустойчивой относи-
относительно малых по норме возмущений оператора А и правой ча*
сти у, или, как принято говорить, является некорректной. Ме-
Между тем задачи подобного рода довольно часто возникают в
'Приложениях, и их решения необходимо уметь вычислять при-
приближенно со сколь угодно высокой точностью. Кроме того, мы
видели, что уравнения с плохо обусловленным оператором прак-
практически также оказываются некорректными.
Теория регуляризации некорректных задач, разработанная'
в трудах А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева
(см. [34], [9], [20]) и других математиков, позволяет успешно
справиться с различными трудностями, возникающими в некор-
некорректных задачах. Предлагаемый ниже способ регуляризации
приближенного решения уравнения A) основан на применении
леммы Шмидта (п. 21.4).
241

Введем линейный оператор В
1=1
(х,
F)
Согласно лемме Шмидта оператор В непрерывно обратим. Кро-
Кроме того, общее решение уравнения A) дается формулой C),
где можно принять
х = Тц Г = В~\ G)
если только выполнены условия B).
Определение. Решение xQ = Ту будем называть В-нор'
мпльным решением уравнения A).
Покажем, что В-нормальное решение A) —это его един*
ственное решение, удовлетворяющее дополнительным соотноше-
соотношениям
(Xt у,) = 0, i=l,2 п. (8)
Действительно, <Гу, у,У = (у, T*yty = (у, if') = О (СМ<
п. 21.4). Единственность решения х, удовлетворяющего усло-
условиям (8), вытекает из формулы C).
Применяя к C) функционал yk и пользуясь (8), найдем, что
ск = — <дг0, у*;), т.е. в семействе C) только одно решение удов-
удовлетворяет условиям (8).
Рассмотрим теперь вместо уравнения A) следующее урав-
уравнение:
Вх = у. (9)
Это уравнение является уравнением с непрерывно обратимым
оператором, и, согласно п. 22.4, процесс нахождения его реше-
решения устойчив относительно малых возмущений оператора и пра-
правой части. С другой стороны, решение этого уравнения является
В-нормальным решением уравнения A). Таким образом, вме-
вместо приближенного уравнения D) можно рассмотреть «регу-
ляризованное приближенное уравнение»
п
Здесь Any суть б-приближения А и у соответственно (см. E)),
а у, и 2, суть б-приближения y> и 2?:
Цу. _ у,- ||<6||Yill, II %i — Zi ||< 61| Zi ||, i=l,2, ..., n. A0)
Применим к уравнению A0) оценки п. 22.4. При б < v~](B),
где v(В) —мера обусловленности оператора В, это уравнение
имеет единственное решение х. Относительная погрешность вы-
вычисления В-нормального решения х0 уравнения A) оценивает-
оценивается тогда следующим образом:
11*0 II
1 - 6v (В)
242
и стремится к нулю при 6->-0. Мы получили устойчивый отно-
относительно погрешностей способ вычисления В-нормального реше-
решения уравнения A). Отметим частный случай. Пусть X — гиль-
гильбертово пространство, а {<рЛ" — ортонормированный базис в
N(A). Тогда можно принять yL = cp,, i= 1, ..., п. Поскольку
теперь формулы (8) означают ортогональность Ту -L N(A), то
для всякого решения х уравнения A), согласно формуле C),
имеем
и* н2 = 11*0 и2* Ei с, р.
1=1
Таким образом, в этом частном случае В-нормальное реше-
решение уравнения A) — это его решение с наименьшей нормой.
22.6. О регуляризации приближенного решения линейного
уравнения 1-го рода. Рассмотрим уравнение
Ах = у
(I)
с вполне непрерывным оператором AgS'(X), В п. 20.6 мы ус-
условились подобные уравнения называть уравнениями 1-го рода.
Предположим, что N(A) = {0}. Согласно теореме 2 п. 20.6, если
X бесконечномерно, обратный оператор А~: хотя и существует
на R(A), но неограничен. Это обстоятельство приводит, как мы
увидим ниже, к тому, что задача вычисления решения уравне-
уравнения A) оказывается неустойчивой. В настоящее время разра-
разработаны различные методы регуляризации для уравнений типа
A) (см. [9]). Это, например, вариационные методы: метод
А. Н. Тихонова введения стабилизирующего функционала, ме-
метод квазирешений В. К. Иванова, метод невязки и другие ме-
методы. Мы коснемся здесь метода М. М. Лаврентьева сведения
уравнения A) к уравнению 2-го рода. Рассмотренная ниже за-
задача достаточно хорошо, на наш взгляд, иллюстрирует идею
регуляризации.
Пусть Any суть е-приближения А и у соответственно. Рас-
Рассмотрим приближенное уравнение
Ах = у.
B)
Если, например, А = A, a y^R(A), то уравнение B) не имеет
решений. Если даже оно имеет решение х, то мы не имеем га-
гарантии, что х-ух при е->0, где х — решение уравнения A),
Попытаемся регуляризовать уравнение B). Для этой цели вве-
введем следующее вспомогательное уравнение 2-го рода:
{А + а.1) ха = у,
C)
где параметр а (параметр регуляризации) подберем в зависи-
зависимости от е так, чтобы ха->~х при е->0. Это удастся сделать
при некоторых дополнительных ограничениях.
243

Теорема. Пусть оператор А удовлетворяет следующему
условию для всех а > 0:
|| (Л + а/) || < ф. D)
Пусть, далее, y^D(A~2). Если параметр регуляризации а > 0
согласован с е так, что при е -> 0 также а -> 0 г/ еа~2 -> 0, го
Е \
л: при е->0.
('А)
р
а = О(е1/-') при 8->0, го \\ха — х\\ =
Доказательство. Воспользуемся теоремой об обратном
операторе п. 12.5. Предположим, что
еа/с < 1/2. E)
Тогда имеем следующую оценку:
|[(ЛЧ al) - (Л + а/)] (Л + а/)1| < -f- < |.
Следовательно, А + а/ непрерывно обратим и
F)
G)
Теперь можно оценить абсолютную погрешность решения:
2ес2
\-1 л-1
Для оценки А3 заметим, что
(Л + а/) у - A~\j = - (Л + а/) аЛ-г/.
Поскольку yeD(/l), это тождество сохраняется при замене у
на Л~1у, т. е.
(Л + а/) Л~'г/ - А~2у = - (Л + а/)
-1
\-1 л-2
Следовательно, получаем
(Л + а/) у - Л"'г/ = а2 (Л + а/) Л^у - -
Теперь с помощью оценки D) имеем
у.
Объединяя полученные оценки, находим
||jce - jc||< 2ea-V|| y\\ + сга~1 + (с + 1)а|| А~2у\,
откуда и следует утверждение теоремы.
Глава VI
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 23. Собственные значения и собственные векторы линейных
операторов
23.1. Определение и основные свойства. Пусть X — линейное
пространство и А — линейный оператор, действующий в X, с
областью определения D(A).
Определение. Число X называется собственным эначв'
нием оператора Л, если существует вектор х ф 0, хе D(A), та-
такой, что
Ах = Хх. A)
При этом вектор х называется собственным вектором опера-
оператора Л, соответствующим собственному значению %.
Собственные значения и собственные векторы линейных опе-
операторов играют важную роль во многих областях математики и
ее приложений, особенно в математической физике. Ниже будут
приведены различного рода примеры. Отметим пока, что не вся-
всякий линейный оператор имеет собственные значения.
Пример. В линейном пространстве R2 двумерных веще-
вещественных столбцов (т. е. на плоскости) рассмотрим линейный
оператор Л, задаваемый матрицей
( 1/V2 1/У2Л
V-1/V2" \ШУ
Оператор Л осуществляет поворот плоскости на 45° вокруг на-
начала координат, и геометрически ясно, что он не имеет соб-
собственных векторов. (Проверьте это утверждение аналитически )
Пусть х — собственный вектор Л, отвечающий собственному
значению X. Тогда из A) следует, что ах, где а ф 0, также яв-
является собственным вектором Л, отвечающим X. В развитие
идеи предлагаем следующее упражнение.
Упражнение 1. Покажите, что множество всех собствен-
собственных векторов, соответствующих одному и тому же собственному
значению Я,, дополненное нулевым вектором 0, образует в X ли-
линейное многообразие — собственное линейное многообразие, от-
отвечающее собственному значению X.
Упражнение 2. Найдите собственные значения и отве-
отвечающие им собственные линейные многообразия линейного
245

оператора А в R3, заданного матрицей
о 1
/101N
010.
\0 0 2/
Докажем теперь следующее предложение.
Теорема. Собственные векторы линейного оператора, от-
вечающие различным его собственным значениям, линейно не-
независимы.
Доказательство. Один собственный вектор линейного
оператора х\, отвечающий собственному значению A,i, линейно
независим, так как х\ ф 0. Проведем доказательство по индук-
индукции. Пусть известно, что любые k собственных векторов опера-
оператора А, соответствующие различным собственным значениям,
линейно независимы. Допустим, что тем не менее существует
линейно зависимая система из k + 1 собственных векторов
Х\, х2, ..., Xk, Xk+i, отвечающих соответственно собственным
значениям А.ь Хь ..., A,*, hk+\, где А,,- ф А,/, если 1ф], i, j = U
2 k-\-\. Тогда найдутся скаляры си с2, ..., Ck, с*+ь не все
равные нулю одновременно и такие, что
ад + с2х2 + ... + ckxk + ck+lxk+] = 0. B)
Применяя к этому равенству оператор А — hk+J, получим
fe+i t+i ft+i
i=l ' г=1 ' i»l
fe+i ft
;=i ' <»i
Ho X], ..., xk линейно независимы по предположению индук-
индукции, и, следовательно,
Отсюда ci = 0, i=l,2, ..., k, так как А,,- ф У.и+\ при i ^ к.
Обращаясь к B), видим, что син = 0. Оказалось, что все с* = 0,
/=1, ..., fe+1. Это противоречит тому, что не все с,- равны
нулю одновременно. Следовательно, сделанное допущение о ли-
линейной зависимости х\, ..., Xk+i неверно. Теорема доказана.
Предлагаем несколько упражнений на определение собствен-
собственных значений и собственных векторов линейных операторов.
Упражнение 3. Найдите собственные значения и соб-
собственные векторы нулевого оператора 0 и тождественного one*
ратора 1.
Упражнение 4. В линейном пространстве трехмерных
комплексных столбцов найдите собственные значения и соб-
собственные векторы линейного оператора А, заданного матрицей
1 1 0'
А-
/ 1 юч
[ = 1-1 Ю .
V 0 0 1/
246
Упражнение 5. В вещественном линейном пространстве
С[—я, я] найдите собственные значения и собственные векторы
(собственные функции) интегрального оператора A (D{A) =
= С [—я, л]):
л
(Ах) (() = J cos {l-s)x (s) ds.
—л
Упражнение 6. В вещественном линейном пространстве
С[0, я] найдите собственные значения и собственные векторы
(собственные функции) дифференциального оператора Ах =
= х" (t) в следующих случаях:
1) D {А) = {л-: х" (/) е С [0, л], х @) = х (я) = 0};
2) D(A) = {x: *"(/)«= С [0, л], х' @) = х'(я) = 0};
3) D(A) = {x: *"@еС[0,я], х@) = х(п), х' @) = л-'(я)}.
23.2. Собственные значения и собственные векторы линейных
операторов в конечномерных пространствах. Исследование за-
задачи о собственных значениях и собственных векторах линей-
линейных операторов, действующих в конечномерных линейных про-
пространствах, составляет одну из глав линейной алгебры (см. [5]).
Здесь мы ограничимся лишь беглым изложением основных ре-
результатов.
Пусть X — m-мерное линейное пространство и А — линейный
оператор (D(A) = X; R(A)^X). Фиксируем в X базис {ek}'".
Пусть
AeJ='Zaijeh j= I
in
A)
(разложения образов базисных векторов по базису). Матрица
IIа//1| называется матрицей А (в базисе {ек}). Теперь для лю-
бого х— 2 \-fii s X имеем
m / m \
B)
Следовательно, уравнение Ах = Кх в координатах имеет вид
,Fi/ — символ Кронекера)
L, aijti = ^li, или 1j (оц— Kbij)h = O, /=l,...,m. C)
/-i /=i
Для того чтобы система C) имела нетривиальное решение
(ведь разыскиваются векторы хфО), необходимо и достаточно,
чтобы
det [аи - К6и) = 0. D)
247

Уравнение D) называется характеристическим уравнением
и представляет собою уравнение n-й степени относительно X
(коэффициент при К" равен 1). Все собственные значения Л и
только они являются корнями характеристического уравнения,
В случае комплексного X характеристическое уравнение имеет
ровно m корней с учетом их кратности. Перейдем к определению
собственных векторов. Пусть Хо — одно из собственных значе-
значений Л. Тогда система C) определяет собственное линейное мно-
многообразие, отвечающее Ко (система C) при Х = Хо имеет нетри-
нетривиальные решения, так как ее детерминант при К = Ко обра-
обращается в нуль). Согласно теореме п. 23.1 собственные векторы,
отвечающие различным собственным значениям, линейно неза-
независимы.
Пусть X — линейное многообразие в X, натянутое на всевоз-
всевозможные собственные векторы А. В комплексном случае X ф {0}.
Важен случай, когда X = X, т. е. из собственных векторов
оператора А можно набрать базис в X. В этом случае в базисе
{fk}T из собственных векторов Л/а = taf*, k=l, ..., m, Xk мо-
могут частично или все совпадать, матрица оператора А (см. [5])
диагональна и
m
Ах= YiKhei.
i-l
Так, в частности, обстоит дело, когда пространство X уни-
унитарно и Л самосопряжен, т. е. для всех х, у <= X имеет место
равенство
(Ах, у) = (х, Ау).
Кроме того, собственные значения самосопряженного оператора
все вещественны, а базис {Ы"' из собственных векторов опера-
оператора Л1 можно выбрать ортогональным (или ортонормирован-
ным). Для читателя, не изучавшего курс линейной алгебры, за-
заметим, что эти факты будут доказаны независимо в более об-
общем случае в пп. 23.3, 23.4.
В общем случае собственных векторов оператора Л может
оказаться недостаточно для составления из них базиса в X.
Упражнение. Найдите собственные значения и собствен-
собственные векторы линейного оператора Л, заданного в линейном
пространстве двумерных комплексных столбцов формулой
Матрица Л является простейшей жордановой клеткой. Из-
Известная теорема о приведении произвольной матрицы к жорда-
жордановой нормальной форме позволяет до конца разобраться в про-
проблеме построения наиболее удобного базиса.
248
Определение 1. Пусть К — собственное значение опера-
оператора Л. Будем говорить, что собственный вектор f = /A), отве-
отвечающий X, имеет жорданову цепочку длины р, если существуют
векторы /B), • ¦ ¦, /(р) (присоединенные к /О) такие, что
но уравнение Ах = Хх + /">> не имеет решений.
Определение 2. Пусть ^ — собственное значение Л. Ли-
Линейное многообразие, порождаемое векторами собственного под-
подпространства, отвечающего Л, и всевозможными присоединен-
присоединенными к ним векторами, называется корневым линейным много-
многообразием оператора Л, отвечающим X.
Теорема (Жордан). Во всяком комплексном конечномер-
конечномерном линейном пространстве X можно набрать базис, состоящий
из собственных и присоединенных векторов любого линейного
оператора А.
Доказательство см. в [5].
23.3. Собственные значения и собственные векторы вполне
непрерывных операторов. Пусть X — банахово пространство и
Лео(Х), т. е. Л — вполне непрерывный линейный оператор,
действующий в X. Пусть, кроме того, X — собственное значенме
оператора Л, а Х\— собственное подпространство, отвечающее ,1.
Теорема 1. Если А вполне непрерывен, то его собствен-
собственное подпространство Х\, отвечающее собственному значению
К Ф О, конечномерно.
Доказательство. Пусть Si @) —замкнутый единичный
шар в Хх. Возьмем {xn}cz S\@). Вследствие полной непрерыв-
непрерывности Л последовательность {Ах,,} компактна, но *и=х Ахп>
откуда и {хп} компактна. Таким образом, единичный шар в Ху,
компактен. Согласно п. 19.5 отсюда следует конечномерность
подпространства Х^.
Теорема 2. Пусть А — вполне непрерывный оператор в
X. Тогда для любого е > 0 вне круга \Х\^ г комплексной пло-
плоскости (вещественной оси) может содержаться лишь конечное
число собственных значений А.
1 Доказательство. Допустим противное, что А^а(Х),
но найдется е0 > 0 такое, что Л имеет последовательность раз-
различных собственных значений {Хп} с \Хп\^г0. Пусть {*„} —
последовательность соответствующих собственных векторов. Со-
Согласно теореме п. 23.1 {хп} линейно независима.
• Введем Хп — подпространство в X, натянутое на х\, х2, ...
*'•> х„. Очевидно,
йричем Хп+\ ф Хп ни при каком п. Все Хп конечномерны и по-
^му замкнуты. По теореме Рисса о почти перпендикуляре (см,
249

п. 3.5) найдется последовательность векторов {уп} такая, что
ук <= Хк, ||у*\\ = 1 и \\yk — x\\^s 1/2 для всехх<= X*_i, ft = 2, 3, ...
Рассмотрим {Л(/и}- Так как {(/«} ограничена и Л вполне не-
непрерывен, то {Ау„} компактна. Следующее ниже рассуждение
покажет, что {Ауг) не может быть компактной и, значит, наше
допущение о наличии бесконечной последовательности соб-
ственных значений было неверным, откуда будет следовать
справедливость теоремы 2.
Итак, осталось доказать, что {Ауп} не компактна. Введем
обозначение А\ = А—К!. Для любых натуральных т, п, т~>
> п, имеем
II АУ,п ~ A'Jn f = I \тУ,п + >-тУт - А1пУп ~ \
где
Ут-l-TZ
== I ^т 1II Ут Х
Действительно, если yk e Xft> то i/A = ? а'/0*,. так как {а;} i —
базис в Xk. Поэтому
m-1
1 = 1
X
'"n"
т-\-
Итак, *mne=Xm_b но тогда || г/т — л:т„ || > 1/2 и, следова-
следовательно,
II Аут - Лг/„ || = | Я,т 11| #„ - хт„ || > еа/2.
Отсюда вытекает некомпактность {Л(/„}, на чем доказательство
теоремы 2 заканчивается.
Пример. Рассмотрим интегральный оператор Фредгольма
ь
Kjc=$/C(/,s)jt(s)ds A)
а
с непрерывным в квадрате Q = {а ^С i, s ^ 6} комплекснознач-
ным ядром K{t, s). Рассуждения будем вести в комплексном
пространстве С[а,Ь\. Поскольку К вполне непрерывен (п. 20.4),
то можно воспользоваться теоремами 1 и 2. Рассмотрим за-
дачу на собственные значения
ъ
\K(t,s)x(s)ds=Kx(t). B)
250
Согласно теореме 2 могут представиться лишь следующие три
возможности.
1°. Задача B) имеет лишь нулевое решение:
x(t) = 0 при А, =5^=0.
2°. Существует конечное число собственных значений опе-
оператора К, отличных от нуля.
3е. Существует последовательность {К„} собственных значе-
значений оператора К, причем %„ -> 0 при п -*¦ со.
При этом в случаях 2° и 3° по теореме 1 собственные под-
подпространства, отвечающие ненулевым собственным значениям,
конечномерны. Эти три возможности представлены в следую-
следующем упражнении.
Упражнение. Найдите собственные значения, отличные
от нуля, а также соответствующие им собственные подпростран-
подпространства для следующих интегральных операторов:
i
1) Kx=\(t-s)x{s)ds в С[0, /];
2) Кх=
-ts)x(s)ds в С[0, 1];
3) Кх=^К (t, s) x (s) ds в С [0, л], где К (/, s)
/ sin
23.4. Собственные значения и собственные векторы линейных
вполне непрерывных самосопряженных операторов. Пусть Я —<
гильбертово пространство и Л — вполне непрерывный самосо-
самосопряженный оператор в Я. О собственных значениях и собствен-
собственных векторах такого оператора Л можно сказать уже довольно
много. В частности, имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Если А Ф 0, то А имеет по крайней мере одно
собственное значение, отличное от нуля.
Доказательство. Так как Л — самосопряженный, то
IA ||= sup \(Ax, х)\ (см. теорему 4 п. 18.2). Но тогда найдется
последовательность {хп}, IUJ|=1, такая, что | (Ах,и хп) |->|| Л ||,
«->оо. Так как АфО, то числа (Ахп, хп)ф0 для всех достаточно
больших п, причем существует подпоследовательность {jtn,} та-
.кая, что (Ахп„ хп.)->Х, я'->оо, где Я = |[Л|| или Я = — ||ЛЦ.
.Имеем следующую оценку:
. - К хп, f = (Ахп, - Ххп„ Ахп, - Кхп) =
= || Ахп, f - 2К (Ахп„ хп)
¦.(Мы учли здесь, что \хп,\=\ и | Ллсп,
- (Ахп„ хп,)\
<|| Л ||2 =
251

При п' -*¦ оо имеем уп, = Ахп, — ?.л:л, -* 0. Но {хп,} ограничена,
а тогда, вследствие полной непрерывности А, последователь-
последовательность {Ахп,} компактна. Значит, существует ее сходящаяся под-
подпоследовательность {А>сп*}. Отсюда xn,, = -j^Axn,,— j-yn,, также
сходится, ибо уп.~>-0, п"-+оо. Пусть х= lim хп„; тогда
с = Хх, хфО, ибо IU||= lim
1=1.
Теорема доказана.
Теорема 2. Все собственные значения линейного самосо-
самосопряженного вполне непрерывного оператора А вещественны и
расположены на [m,М], где
m= inf (Ах, х), М= sup (Ax, х).
IUII-1 1|х||-1
Если М ф О, то М является наибольшим собственным значе-
значением А. Если m ФО, то пг является наименьшим собственным
значением А.
Доказательство. Согласно теореме 3 п. 18.2 квадратич-
квадратичная форма (Ах, х) вещественна. Если % — собственное значение
А и х — отвечающий X собственный вектор, то (Ах, х) = Х||л;||2.
Отсюда (х ф 0) К вещественно. Далее, так как пг ^ (Ах, х) ^ М
при ||х||=: 1, то для всякого собственного значения \ имеем не-
неравенство га ^ X ^ М. Осталось показать, что га и М, если они
не нули, являются собственными значениями А. В теореме 1
было доказано, что наибольшее по модулю из этих чисел яв-
является собственным значением А. Этот результат можно уточ-
уточнить следующим образом. Пусть МФО. Оператор В = Ml— Л
также самосопряженный и, кроме того, неотрицательный ¦ (про-
(проверьте!). По обобщенному неравенству Кош и — Буняковского
(см. лемму 2 п. 18.3) имеем
(Вх, уJ<(Вх, х)(Ву, у). A)
Так как М = sup (Ax, х), то найдется {хп} с ||*„Ц= 1 такая,
IUII-1
что (Ахп, хп)—*¦ М при п-+оо. Положим в A) х — хп, у = Вхп
и получим
|| Вхп ||'<(Вхп, хп) (В*хп, Вхп)<|| В |р (Вхп, хп)= || В ||3 [М-[(Ах., хп)).
Следовательно, Вхп = Мхп — Ахп -*¦ 0 при п -*¦ оо.
Далее, как и в теореме 1, устанавливается существование
пектора с ||дг||= 1 такого, что Ах = Мх. Аналогично доказы-
доказывается, что m (если m ф 0) является собственным значением А.
Теорема доказана.
Следствие 1. Если А —линейный вполне непрерывный
самосопряженный оператор, то \\А\\=\Х\\, где Х\ — наибольшее
по модулю собственное значение А. В частности, это верно для
252
всякого самосопряженного оператора в евклидовом (конечно-
(конечномерном гильбертовом) пространстве.
Теорема 3 (Гильберт — Шмидт). Если А — вполне непре-
непрерывный самосопряженный оператор в Н, то при всяком я е //
элемент Ах разлагается в сходящийся ряд Фурье по ортонор-
мированной системе собственных векторов оператора А.
Доказательство. Пусть (pi—¦нормированный собствен-
собственный вектор, отвечающий наибольшему по модулю собственному
значению Х\ оператора А (см. теорему 1). Рассмотрим Hi =
={«еЯ: (x,(f[) = Q\. Так как (Ах, (р1) = (х, Aqn)= h(x,<pi) =
*вО для ^еЯ], то А переводит элементы из Н\ снова в элемен-
элементы из Н\. Поэтому можно рассматривать А как оператор, дей-
действующий в Н\. Далее, А в Я1 по-прежнему вполне непрерывен
й самосопряжен. По теореме 1 в Hi А имеет собственное значе-
значение А,2 и отвечающий ему собственный вектор ф2 (если только
А ф 0 в #i), причем |Х2| ^ \Х\\.
Рассмотрим теперь Н2 = {х^.Н\\ (х, фг)=О} и снова при-
применим теорему 1. Продолжая эти рассуждения, придем к одной
из двух возможностей. Или процесс оборвется, т. е. найдется
номер такой, что на #„, определяемом условиями (х, ф*) = 0,
k = 1, 2 п, будет А = 0. В этом случае для любого х е Н
п
рассмотрим элемент у = х
(х, yk) фй. Очевидно,
1
п и,
п
значит, Ау = О, т. е. Ах = Y, (х, Ф*) Xkqsk, и теорема доказана.
k-i
Другая возможность: процесс продолжается неограниченно,
В результате мы получаем последовательность {X*} собствен-
собственных значений А и последовательность {ф/;} собственных векто-
векторов А, отвечающих этим собственным значениям. Воспользуем-
Воспользуемся теперь тем, что согласно теореме 1
Поэтому
k=\
Поскольку Я„->0 при «->оо (см. теорему 2 п. 23.3), то
—>(), п—> оо, т. е.
Ах = Z (x, <Pfc) ЯаФа,
1
•В теорема доказана.
B)
253

Приведем два следствия из теоремы 3.
Следствие 2. Если вполне непрерывный самосопряжен'
ный оператор А обратим, то из его собственных векторов можно
набрать базис в Н.
Доказательство. Применяя к обеим частям равенства
B) оператор А~\ получим
оо
*=?(*. Фа)
Ф*.
т.е. всякий х^Н разлагается в сходящийся к нему ряд Фурье
по ортонормированной системе из собственных векторов Л.
Следствие 3. Если А — вполне непрерывный самосопря-
самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве
Н, то в Н существует ортонормированный базис из собственных
векторов оператора А.
Доказательство. Равенство B) можно записать в виде
Л I х — Yj С*". Фа) Фа I — О- Отсюда видно, что элемент ха = х —
L fc = i J
оо
— X (х> Фа) Фа принадлежит N (А)— собственному подпро-
подпространству оператора Л, отвечающему нулевому собственному
значению. Так как N(A) тоже сепарабельно, то в N(A) можно
построить ортонормированный базис {е?}~. Разлагая ^eJV (Л)
по этому базису, получим
оо оо оо
х = х0 + Е (*, %) Фй = X (*, е'к) е'к + S (х, ек) ек,
,1
Z
где одна или обе суммы могут быть и конечными.
§ 24. Резольвентное множество и спектр
линейного оператора
24.1. Основные определения. Примеры. Пусть X — комплекс-
комплексное банахово пространство. Рассмотрим линейный оператор Л:
Х^>-Х с областью определения D(A), плотной в X. Рассмотрим,
далее, оператор Л — XI, где X — комплексное число (точка комп-
комплексной плоскости), / — единица в 3?{Х).
Определение 1. Точка X называется регулярной точкой
оператора Л, если оператор Л — XI непрерывно обратим. Сово-
Совокупность регулярных точек оператора Л называется резольвент-
резольвентным множеством оператора Л и обозначается р(Л). Если X е
<=р(Л), то линейный оператор R%(A) = (Л — Х1)~1 <= З'(Х) на-
называется резольвентой оператора Л.
Выясним некоторые свойства резольвентного множества
Р(А).
254
Теорема 1. Резольвентное множество р (А) всегда открыто.
Доказательство. Пусть Хоер(Л). Это означает, что
оператор А — XqI непрерывно обратим. Рассмотрим оператор
А — X/ и заметим, что справедливо следующее тождество:
(О
Поскольку оператор А — K0J непрерывно обратим, то Л — hi
будет непрерывно обратим, если непрерывно обратим оператор
/ — (К — Ао) RXa (Л). Воспользуемся теоремой об обратном опе-
операторе п. 12.4. Согласно этой теореме оператор / — (X—Яо) R^ (A)
будет непрерывно обратим, если
Следовательно, если ^о^р(Л), то круг Sr(k$), где г ¦=
= \\Я\„ (А)\\~\ тоже лежит в р(Л), т. е. р(Л) открыто.
Теорема 2. Пусть А е= 2{Х). Тогда
{X: т>||Л||}ср(Л).
Доказательство. Заметим,что Л — Х1 = —ХA — А, Л).
Поэтому, если ||A-M||< 1, т. е. |А1>||ЛЦ, то Л — XI непрерывно
обратим. Теорема доказана.
Следствие. Если А ограничен, то р(Л) неограничено.
Определение 2. Дополнение к р (Л) (в комплексной пло-
плоскости) называется спектром оператора Л и обозначается о (А),
Из теоремы 1 следует, что спектр любого линейного опера-
оператора Л является замкнутым множеством (как дополнение к от-
открытому множеству, см. п. 3.1).
Из теоремы 2 следует, что спектр ограниченного линейного
оператора А о (A) a Sm @) (спектр Л лежит в круге |Я,|^||Л||)
и, следовательно, является ограниченным множеством. Если
точка Х^а(А), то возможны следующие три случая:
1) оператор Л — XI не обратим;
2) оператор Л — XI обратим, но его область значений R(A —
-Х1)ФХ;
3) оператор Л — XI обратим, R(A — XI) = X, но оператор
(Л — XI)-1 неограничен.
Замечание. Из теоремы Банаха об обратном операторе
следует, что случай 3) невозможен, если D(A) = X и Л ограни-
ограничен.
Среди точек спектра о (А) важную роль играют собственные
значения оператора Л (см. § 21). Если X — собственное значе-
значение Л, то имеет место первый случай: оператор Л — XI не
Обратим. Действительно, (Л—XI)х = 0, где х — собственный
вектор, отвечающий X. Но тогда подпространство нулей
255

N(A — kl) Ф {0} и, согласно теореме 1 п. 12.1, оператор (A—kl)~l
не существует. Основываясь на §§ 20 и 21, приведем несколько
примеров.
Пример 1. Если пространство X конечномерно, то спектр
любого линейного оператора состоит только из его собственных
значений. В m-мерном евклидовом или унитарном пространстве
X всякий самосопряженный оператор имеет ровно т собствен-
собственных значений с учетом их кратности. Все собственные значения
вещественны, а из отвечающих им собственных векторов в X
можно набрать ортонормированный базис (п. 23.2).
Пример 2. Спектр а(А) всякого вполне непрерывного опе-
оператора в бесконечномерном банаховом пространстве X состоит
из не более чем счетного множества собственных значений,
единой предельной точкой которых может служить лишь точка
к = 0 (см. теорему 1 п. 23.3). Если к ф 0 не является собствен-
собственным значением А, то к принадлежит резольвентному множеству
р(А). Действительно, А—Я/= —кA — к~1А), но оператор %~{Л
вполне непрерывен (теорема 2 п. 20.1), и поскольку NA —
— k~lA) = N (А— AJ) = {0}, то по первой теореме Фредгольма
(теорема 2 п. 20.5) оператор (/— к-1 А), а с ним и А — kI не-
непрерывно обратимы. Обратимся теперь к точке к = 0. Так как
область значений R(A) не замкнута (см. теорему 1 п. 20.6), то
0ея(Л). Если даже к = 0 не является собственным значением
А, т. е. А обратим, то Л-1 неограничен (см. теорему 2 п. 20.6).
Пример 3. Все сказанное в примере 2 справедливо для
всякого вполне непрерывного самосопряженного линейного опе-
оператора в гильбертовом пространстве Я. Дополнительно к этому
А имеет хоть одно собственное значение к ф 0 (теорема 1
п. 23.4), все собственные значения А вещественны (теорема 2),
и справедлива теорема 3 Гильберта — Шмидта о разложении по
собственным векторам, а также следствия 1 и 2 (см. п. 23.4).
Предлагаем выполнить несколько упражнений, позволяющих
получить представление о различных возможных ситуациях.
Упражнение 1. Пусть Х = С[0,\] и Ax = x'(t) (Л —
оператор дифференцирования). Показать, что
а) а(А) пусто, если D{A) = {x: x'(t)(= C[0, 1], х@)=0};
б) а (А) состоит из одних собственных значений, заполняю-
заполняющих всю комплексную плоскость, если D(A) = {x: x'(t)^
С[01]}
[]}
в) а(А) состоит из собственных значений 2nin, п = 0, ±1,
±2, ... (i — мнимая единица), если
D(A) =
С[0,1], х{0) =
Упражнение 2. Пусть X = С[0, I] и Ax=tx(t)' (A —
оператор умножения на независимую переменную). Показать,
что а(Л) = [0, 1], причем ни одна из точек спектра не является
собственным значением.
256
- Упражнение 3. Пусть Х==С[0,1] и Ax = j x((), D(A) =
«{*: /(/)еС[0, 1], *@) = 0}. Показать, что а{А) = [1, + оо].
Упражнение 4. Пусть X = С[0,2п] и Ах = eltx(t). По-
Показать, что а(А) = {к: \к\= 1}, т. е. о(А) заполняет единичную
окружность.
2412. Спектральный радиус линейного оператора. В этом пунк-
пункте будет усилена теорема об обратном операторе из п. 12.4 и
затем на этой основе будет уточнена теорема 2 предыдущего
пункта о резольвентном множестве линейного ограниченного
оператора.
Теорема 1. Пусть AeS'(X), где X — комплексное бана-
банахово пространство. Тогда существует конечный предел
ro(A)= \\m\[An\
0)
Имеет место соотношение
inf ||ЛП||1/П = ro(A)^. || A ||. B)
Предел A) называется спектральным радиусом оператора А.
Доказательство. Положим inf || Ап ||1'" = г. Согласно
определению нижней грани для всякого е > 0 можно найти но-
номер пг такой, что
Далее, всякое натуральное п представимо однозначно в виде
п = pnm + qn,
где рп — натуральное, а 0 ^ qn ^ tn — 1.
¦ Заметим теперь, что
| Ап | "= \\Арп
При п -+ оо
| А \\""'
(г
/"! А Ц V1.
= 1 - 4± -> 1, -^ -> 0. Следовательно,
,Но тогда можно найти номер JV такой, что для любых номеров
(г + е)тРл/П II Л \\"«1п < (г + е) + е = г + 2е.
Таким образом, мы имеем неравенство
справедливое для всех и > N. Это и означает существование
едела A) и равенство го{А) — г (см. формулу B)), Осталось
9 В. А. Треногий 257,

заметить, что \\Ап\\^п ^\\А^п =\\А\\. Значит, го(ЛХ1|Л||. Тео-
рема доказана.
Теорема 2. Пусть Ле^(X), где X — комплексное бана-
банахово пространство. Если го(Л)<1, то оператор I — А непре-
+ СО
рывно обратим и ряд ? Ak сходится абсолютно. Если го(А)>^
> 1, то ряд Z Ак расходится.
fc=0
Доказательство. Воспользуемся следствием из при-
признака Коши сходимости числового ряда с неотрицательными
оо h
членами ]? ик (см. [18]): пусть существует lim sjuk =1; если
/ < 1, то ряд
ходится.
uk сходится; если же /> 1, то этот ряд рас-
оо
Рассмотрим числовой ряд ?||Л*||. Согласно теореме 1 су-
к = 1
я оо
ществует lim V|| Л*|| =го(Л). Если го(Л)<1, то ряд ? || Л* ||
оо
сходится и, значит, ряд X Ак сходится абсолютно. Пусть 5 —
его сумма. Как и в доказательстве теоремы п. 12.4, убеждаемся,
что S служит правым и левым обратным к / — Л. Следователь-
Следовательно, / — Л непрерывно обратим и S = (/ — Л)-1. Пустыо(Л) > 1.
Тогда, начиная с некоторого номера, ЦЛ*!!1/* > 1, т. е. ||Л*||> 1.
Но тогда ряд X Ак расходится, так как его общий член не
*о
стремится к нулю. Теорема доказана.
Следствие. Если для некоторого m ||Лт||<С 1, то ряд
оо
X Ак сходится.
Действительно, г0 (Л) = inf || Л" \\Un ^ || Am |]1/m < 1.
Применим теперь понятие спектрального радиуса го(А) для
уточнения теоремы 2 п. 24.1 о резольвентном множестве р<т(Л).
Теорема 3. Пусть А^З?{X), X — комплексное банахово
пространство. Если \Х\> го(А), то ie р(Л).
оо
Доказательство. Рассмотрим в 3?{X) ряд — ? Х~к~[Ак.
Если \Х\>га(А), то
По упомянутому выше следствию из признака Кошн число
оо оо
вой ряд 51tb~k~lAkl сходится и, значит, ряд — ? X~k~lAle
ft=0 fe=J
сходится абсолютно. Обозначим через S(X) его сумму (при
|Я| > Га(А)), а через Sn(X)—его л-ю частичную сумму."Легко
проверить, что
Sn (К) (А - hi) = (Л - XI) Sn (l) = I- K~n'lAn+l.
Переходя к пределу при n-voo в предположении, что |>.| >
> га(А), получаем
S (Я,) (Л - U) = (Л - XI) S (Л) = /.
Следовательно, А — XI непрерывно обратим, т. е. ).ер(Л).
Кроме того, S(X) = (A — }J)-i =RX(A). Теорема доказана.
Пример. Пусть K(t,s) — непрерывная функция двух пере-
переменных в треугольнике &—{t, s: a^s^t, as^.ts^b}. Рас-
Рассмотрим в С[а, b] интегральный оператор Вольтерра
Найдем спектральный радиус га(К). Положим k= max \K(t,s)\
и рассмотрим последовательность {хп(()} а С [а, Ь]:
t t
xl{l)=\K(t,s)x(s)ds,x2(t)=\K(t,s)xl(s)ds *„(') =
= \ K(t,s)x,,_l(s'ds, ...,
а
где x(t)e C[a, b]. Последовательно получаем оценки
t
Ui (О I < \ I К V, s) 11 x (s) I ds < k {( - a) max | x (/), = ?(/- a) || x ||,
\а Ь\
k(s-a)ds\\x\\ = k2^-1^-\\xl
ft-»oo
258
Замечая, что xn(t) = (Knx)(t), получаем неравенство
|| К"х || ^ ; II X II, Т. в. || К" || ^ ; .
Hi ^ П\
^ 259

Следовательно,
га(А)=Пт\\Кп\\ш =
прип->оо
Итак, все точки К ф 0 комплексной плоскости являются точ-
точками резольвентного множества интегрального оператора Воль-
терра. Что касается точки К = О, то это единственная точка
спектра оператора К. Описание его области значений R(K) мы
здесь проводить не будем, но ясно, что R(K)?=X, ибо если
у (=R(K), то у(а)=0.
24.3. Резольвента как аналитическая оператор-функция.
Напомним, что оператор-функция А (К) называется аналитиче-
аналитической в точке Ко, если она разлагается в некоторой окрестности
течки Ко в степенной ряд:
6-0
сходящийся (по норме 3?(Х)) в этой окрестности.
Пусть А—линейный оператор, действующий в X, с плотной
в X областью определения D(A). Рассмотрим при К^р{А) ре-
резольвенту А:
\
Согласно формуле A) (см. доказательство теоремы 1 п, 24.1),
если Ко е р(А), то
YlQ(*'-bo)kRi+l(A). A)
сходится в круге \Х —ho\<\\Rh,(A)\\ • Следовательно, R\(A)~
аналитическая функция К в любой точке Ко е р(А).
Пусть теперь A^S'(X). Тогда, в соответствии с теоремой
3 п. 24.2, при |А,|> Го{А) имеет место равенство
оо
R (А) = ~~ / %~ А (^)
которое представляет собою разложение Rx(A) в окрестности
бесконечно удаленной точки К = оо. Отсюда, в частности, сле-
следует, что бесконечно удаленная точка также является регуляр-
регулярной точкой, т. е. точкой р(А) (см. [19]").
Из теоремы 2 п. 24.1 в сочетании с теоремой п. 12.5 вытекает
более слабый результат о справедливости разложения B) при
всех?., |М>1ИИ.
Формула B) приводит к следующему интересному выводу.
/ Теорема. Если Де2"D то о {А\—непустое множество.
260
Доказательство. Допустим, что спектр ст (А) пуст. Для
всяких х ^ X и |ё^' можно рассмотреть числовую функцию'
комплексного переменного К:
Заметим, что
k=0
,-k-i «и
Следовательно, из B) вытекает, что
Функция <$(Х) аналитична на всей комплексной плоскости и
ф(оо) = 0. По теореме Лиувилля (см. [19]) ф(Х)=0. Вслед-
Вследствие произвольности f R\(A)x = 0, а вследствие произвольно-
произвольности х R\(x) = (А — Я,/)-1 = 0. Это невозможно. Полученное про-
противоречие доказывает теорему.
Задачи.
1. Пусть {?(}" — базис в га-мерном линейном пространстве. Определим ли-
линейный оператор А равенствами Aet = 0, Ае^+х = ek, k = I п. — I. По-
Покажите, что X = 0 является единственным собственным знешепием Л
2. Пусть {ej}?° — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве
И. Определим линейный оператор As3?(H) равенствами Ле, =0, Аек+\ =
= ek, k= I, 2, ... Покажите, что спектр оператора А заполняет замкнутый
единичный круг, причем внутренность этого круга состоит из собственных зна-
значений оператора А.
3. Найдите сопряженный оператор А' к оператору А, введенному в за-
задаче 2. Покажите, что спектр Л* заполняет замкнутый единичный круг, при-
причем Л* не имеет собственных значений.
4. Пусть Л e2"(X, У). Покажите, что а{А*) = а(А).
5. Докажите тождество Гильберта: если X, ц е р(Л), то R\(A) — Ru.{A) =
(Х)/?(Л)Д(Л) (X)R(A)R(A)
()()ц() (t)tl()x()
6. Пусть Н — сепарабельное комплексное гильбертово пространство и
{е,}^1—ортонормированный базис в Н. Пусть а — произвольное бесконечное
компактное множество комплексных чисел, а [Кп} — счетное множество точек
из а, плотное в а. Тогда существует единственный оператор Л e^jH) такой,
что Aei = Х,?|, i = 1, 2, ..., причем его спектр совпадает с а.
7. Покажите, что если в банаховом пространстве X перейти к эквивалент-
эквивалентной норме, то для любого Л еЗ?(Х) его спектральный радиус гд(А) не изме-
изменится.
8. Пусть А,В^2'(Х), X банахово. Если Л и В перестановочны, то
9. Оператор А^З'(Н) (Н гильбертово) называется нормальным, если
он перестановочен со своим сопряженным Л*. Покажите, что если А нормаль-
нормальный и га(А) = 0, то А = 0.
10. Докажите, что для каждого, конечномерного линейного оператора в
бесконечномерном нормированном пространстве точка X = 0 является собст-
собственным значением бесконечной кратности (соответствующее собственное под-
подпространство бесконечномерно).
261

§ 25. Интегрирование абстрактных функций
в банаховом пространстве
25.1.Существование интеграла Римана абстрактной непрерыв-
непрерывной функции. Перенесем известное из курса математического
анализа понятие интеграла Римана на случай абстрактных не*
прерывных функций. Пусть x(t)—функция, определенная и не*
прерывная на [а,Ь], со значениями в банаховом простран-
пространстве X.
Определение 1. Функция х((У называется равномерно
непрерывной на [а, Ь], если для любого е > 0 найдется б>0
такое, что для всех t', t"^[a,b] и таких, что \t' — t"\<C б, вы-
выполняется неравенство \\х(?)— *(<")||< е.
Упражнение. Покажите, что функция, равномерно не-
непрерывная на отрезке, непрерывна на этом отрезке.
Лемма 1. Если абстрактная функция непрерывна на от-
отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Рассмотрим числовую функцию двух
переменных cp(t, s)=\\x(t)—x(s)||. Она определена и непре-
непрерывна в квадрате Q = [а, Ь]У.[а, Ь]. На плоскости Е2 все нор-
нормы эквивалентны. Воспользуемся нормой кубической:
¦" =max(|/|, }s\).
101
Непрерывность функции q>(t,s), действующей из Q cz E2 в ?',
поскольку Q — замкнутое ограниченное множество в Е2, влечет,
согласно теореме Кантора (см. [18]), равномерную непрерыв-
непрерывность ф(/, s) на Q. Это означает, что для всякого е > 0 можно
определить б>0 так, что если \f — /"|<б, \s' — s"|<6,
(/',s')eQ, (f',s")e=Q, то |«p(f, s')-~q>(f", s") | < e. В частно-
частности, можно принять s' = s" = t". Тогда (p(t", s")= 0 и мы по-
получаем, что по 8 > 0 нашлось S > 0 такое, что, как только
\Г — Г|<б, сразу же jq>(/', t") | = \\x(t') — x(t")\\ < e. Дока-
Доказана равномерная непрерывность x(t) на [a, b], a с ней и
лемма 1.
Переходим к определению интеграла Римана. Пусть
т=={^}о —разбиение [а, Ь], т. е. набор точек а = t0 < t\ <
;,< h < ... < tu = b. Отрезки [t,-\,t,] будем называть отрез-
отрезками разбиения т. Пусть A/t = U — tt-\ — их длины, а
Я(т)= max А/г —мелкость разбиения т. На каждом отрезке
1 <г< n
разбиения [t,-i,tt], i= I, 2, ..., N, выберем по точке б,. Эти
точки 8i, ..., 6w в дальнейшем для краткости будем называть
промежуточными точками. Составим интегральную сумму Ри-
Римана абстрактной функции *(/), заданной на [а,Ь]:
Е/,. (О
Определение 2. Функция x(t) называется интегрируемой
по Риману на [а, Ь], если существует элемент г^Х такой, что
для любой последовательности разбиений отрезка [а, Ь]
для которой Я(т„)—>• О, M-XXI, и для любого выбора проме-
промежуточных точек e^epw,, /<">], i=\, 2 jVn, n = 1, 2, ...,
выполняется равенство
Hma (*;6W 6-') = г.
При выполнении этих условий элемент г называется интегра-
лом Римана функции x{t) на [а, Ь] и обозначается г = \ x(j)dt.
а
Таким образом,
ь "п
\x(()dt= lim У х (9'»>) А^1,
где lim Я,(т„) = О (ср. [18]).
Ниже будет установлена интегрируемость по Ричану на от-
отрезке [а,Ь] любой непрерывной на [а, Ь] абстрактной функции
x(t). Докажем предварительно две вспомогательные леммы.
Всюду ниже в этом пункте число б = б(е) берется из определе-
определения 1 равномерной непрерывности x(t) (см. лемму 1) на [a, b].
Это гарантирует нам, что если Х(х) < б, то \\х (t[) — x(t'l) ||<e для
любых/;, t", принадлежащих [Л-ьЛ] — i-Щ отрезку разбиения т.
Пусть дано разбиение т отрезка [a, b]. Составим разбиение т/
того же отрезка, которое называется измельчением разбиения т.
Пусть [/,_ь tt] — отрезок разбиения т. Рассмотрим его разбие-
ниет, = {/;?„/,_, = t]<t\< ... <t»< = tt:
E
1=1
B)
На каждом отрезке [i[~l, t[] разбиения т, фиксируем проме-
промежуточную точку 6j. Составим интегральную сумму Римана
Лемма 2. Пусть т — разбиение [а,Ь] с Х(/)<б, ах-—
сумма Римана x(t) на [а,Ь]. Пусть т' — измельчение т, а
оу — соответствующая ему сумма Римана. Тогда
II ах - ах !|< е (Ь - а).
263

" Доказательство. Заметим спачата, что ишегральную
сумму Римана о(т) (см. A)) с учетом формул B) можно запи-
записать в виде
I
Рычигая отсюда равенство C) и учитывая, что 8,е[/(_1, /,] и
д тя всех 0 ^ / ^ Nt 8( е [/,_,, tf,], а значит, 10^ — Q't | < 6, вслед-
равномерной непрерывности x(t) на [а, 6] получаем
\\xx\\^Zi\\(t)
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть Ti « хг — произвольные разбиения [а, Ь],
i Оовлетворяющие условиям A.(xi) < б, Х(тг) < б, а а и а — со-
гветствующие им суммы Римана с произвольно выбранными
/промежуточными точками. Тогда ||ctTi — ст1|<2е(& — а).
Доказательство. Составим т = ц U тг. При этом х
т гэ т2, и, следовательно, т является измельчением и ti и т2.
пользуя лемму 2, получаем утверждение леммы 3.
II
эт,,
Ис-
ат,-°,/
< е (Ь — а) + е (Ь — а) = 2е (Ь — а).
Теорема Если абстрактная функция непрерывна на от-
отрезке, то она интегрируема по Риману на этом отрезке.
Доказательство. Пусть {т„}—произвольная последова-
последовательность разбиений [а, Ь] с мелкостью разбиения Х(тп)-+- 0 при
п -*¦ оо. Фиксируя при каждом п промежуточные точки, соста-
составим последовательность {v%n} интегральных сумм Римана функ-
функции x{t). Так как А(т„)->-0, и->-оо, то можно найги номер
N = N(8) такой, что для всех номеров п> N будет вьшолнять-
ся неравенство А.(т„)<Сб. (Напоминаем, что 5 = 6(е) берем из
определения 1 равномерной непрерывности x(t).)
Согласно лемме 2 для всех п> N п при любом натуральном
р мы будем иметь \\оп+Р — о„||< 2еF — а). Это означает, что
{о„} фундаментальна в X. Вследствие полноты X существует
элемент rel, к которому {а„} сходится при п->оо. Покажем,
чго г не зависит от выбора последовательности разбиений и
выбора промежуточных точек. Пусть {t'n} — другая последова-
последовательность разбиений и $ох'\ — отвечающая ей последователь-
последовательность сумм Римана с некоторым выбором промежуточных то-
точек. Как и выше, получаем ах> ->/¦', п->оо. Образуем смешан-
264
ную последовательность
Tl' Tl' X2 г2 ' Хп Хп'
Она тоже сходится. Ее предел равен, с одной стороны, г, как
предел ее подпоследовательности с нечетными номерами, а с
другой стороны, он равен г', как предел ее подпоследовательно-
подпоследовательности с четными номерами. Значит, г = г'. Теорема доказана.
25.2. Свойства интеграла Римана. Перечислим основные свой-
свойства интеграла Римана для абстрактных, непрерывных функций
на [а, Ь].
1. Если ф(/)—скалярная, непрерывная на [а,Ь] функция,
а Хо е X — постоянный элемент, то
N W
%оф (Qk) Mk=X(j 2j
= *оат(ф). При Х(т)—>0 получаем доказываемое равенстве.
ь ь
2. [ %х (t)dt = x[x (t) dt (X — скаляр).
а а
Действительно, crt (Xx) = Ка% (х), откуда и следует свойство 2.
ь ь ь
3.
а а а
Для доказательства достаточно заметить, что от{х + у) =
= ах(х)+ ох (у).
4. Для всякого с^(а,Ь)
ь с ь
\x(t)dt=\x(t)dt+\x(i)dt.
Доказательство. Пусть Ti — разбиение [а, с],Т2—раз-
с],Т2—разбиение [с,Ь], а т = Ti U т2 — разбиение [а, Ь]. Тогда ах(х) =
= а (v) + orT(.t). Если A,(ti)—>0 и Я(т2)->-0, то и Цт)—>0 и в пре-
пределе получаем свойство 4.
5.
И
di
(О II
Для доказательства достаточно заметить, что ||ог(л;)||^
«S<MIU||).
6 Пусть для элементов jgX определено умножение справа
(см. п. 117) на элементы, у еУ также банахова пространства.
265

Тогда
ь ь
\x(t)dty=\x{f)ydt.
a a
Доказательство следует из равенства
N ,V
°%(х)у=Ц * FА) Ыку =2* (Вк) у Ык = ах {ху).
Из определения умножения следует, что функция x{t)y непре-
рывна на [а,Ь] (проверьте!).
7. Пусть для элементов х <= X определено умножение слева
на элементы z e Z также банахова пространства. Тогда
ь ь
z\jx{t)dt=\izx it) dt.
а а
Доказательство аналогично доказательству свойства 6.
8. Функция u(t)=\ix(s)ds непрерывно дифференцируема
на [а,Ь], и u'{t)=x(t), t<=[a,b].
Доказательство.
t+h
\ \\x(s)-x(()\\ds
если |/i|<6, где б = б(е) взято из определения непрерывно-
непрерывности x(t) в точке /; и'(() непрерывна, ибо такова x(t).
9. Пусть x(t) непрерывно дифференцируема на [а, Ь]\ тогда
справедлива формула Ньютона — Лейбница
ь
\x'{t)dt = x{b)-x{a).
Доказательство. Для элементов пространства X опре-
определено умножение справа на элементы сопряженного простран-
пространства X*. Для любого [el* имеем по свойству 6
ь . ь ь
' @ dt, Л =] {х' @, f)dt = \jL(x (t), f) dt =
' a a
= (x (/), /) \l = (x (b), f) - (x (a), /> = (x (b) ~ x (a), f>,
ибо 9 имеет место для скалярных функций. Следовательно,
ъ
;<2, />= 0 для любого f е X*, где z = ^ x'{t)dt — x(b) + x{a). Это
I j °
возможно только при 2 = 0, что и требовалось доказать.
266
Отметим в заключение частные случаи формул 6, 7;
ь ъ
\jA(t)dtx=^A(t)xdt, где A(t)e=&(X,Y), x^X,
а а
Ь Ь
\A{t)dtB=\A{t)Bdt, где A(t)e=S>(X,Y), Be=2(
а
Ь
t, где А (/) е & (X, У), ' С е 2* (У, Z).
Еще два свойства интеграла Римана предлагаются в виде за-
задач.
Задача 1. Пусть x{t) непрерывно на [а, Ь], а числовая
функция / = <р(а) непрерывно дифференцируема на [а, р], при-
причем а = <р(а) ^ ф(а) ^ ф(Р)= Ь. Докажите формулу замены
переменной
Задача 2. Пусть для элементов х <= X определено умноже-
умножение справа на элементы i/еУ (X, Y — банаховы пространства).
Пусть, кроме того, абстрактные функции x(t) со значениями в
X и у @ со значениями в У непрерывно дифференцируемы на
[а,Ь]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям
ь ь
\x{t)y'{t)dt=x{t)y{t)\ba-\x'{t)y(t)dt.
а а
25.3. Абстрактные функции ограниченной вариации и инте-
интеграл Стилтьеса. В этом пункте понятие интеграла Римана будет
расширено. Возникающее при этом понятие интеграла Стилтье-
Стилтьеса (точнее, интеграла Римана — Стилтьеса) также находит по-
полезные применения. Оно будет, в частности, использовано нами
в следующем параграфе для построения спектральных разложе-
разложений самосопряженных операторов.
Введем сначала понятие абстрактной функции ограниченной
вариации. Пусть на [а, Ь] задана абстрактная функция y(t)}
со значениями в банаховом пространстве У. Пусть t = (^)I-=0 —
разбиение [а, Ь]. Составим следующую сумму:
ь
Определение 1. V (у) = sup Vx(у) называется полной
а х
вариацией функции y(t) на [а, Ь].
267

Определение 2. Если V («/)< +°°, то будем называть'
а
функцию y[t) абстрактной функцией ограниченной вариации.
Упражнение 1. Пусть абстрактная функция y(t) удов-
удовлетворяет на [а, Ь] условию Липшица, т. е. для любых t', t" e
€Е[а,6] \\y(t') — y(t")\\^M\t' — t"\, где М = const. Докажите,
ъ
что V (у)^М(Ь — а) и, значит, y(t) есть функция ограниченной
а
вариации.
Упражнение 2. Докажите, что если абстрактная функция
y(t) имеет на [а,Ь] ограниченную производную, то она являет-
является функцией ограниченной вариации.
Теперь мы сможем дать определение интеграла Стилтьеса от
абстрактной непрерывной функции x{t) по функции y(t).
Пусть Л', У и Z — банаховы пространства, причем для эле-
элементов х^Х определено умножение справа на элементы (/еУ
(см. п. 11.7) со значениями в Z (x-y^Z). Пусть, далее, на
[а, Ь] заданы две абстрактные ограниченные функции x(i) со
значениями в X и y(t) со значениями в У.
Пусть T = (/f)f_0— разбиение [a,b], a Qi^[tt-\,ti], i =
= 1, ..., N,— промежуточные точки (см. п. 25.1). Составим
интегральную сумму Стилтьеса
ах = огт (*; у; 9,, ;.., BN) = ? x (8,) [у (tt) - у (/,_,)]. A)
Определение 3. Функция x(t) называется интегрируе-
интегрируемой по Стилтьесу на [а, Ь] относительно функции y(t), если су-
существует элемент sgZ такой, что для любой последователь-
последовательности разбиений [а, Ь]
тп = {/<">} " f п = 1, 2
для которой мелкость разбиения Я,(тгг)-»-0 при п-»-оо, и для
любого набора промежуточных точек б'/", i= 1, ..., Л^, выпол-
выполняется соотношение
lim <т =s.
При выполнении этих условий элемент s называется интегра-
интегралом Стилтьеса функции x(t) на [а,Ь] относительно функции
уA) и обозначается
ь
s=\x(t)dy(t).
Заметим, что рассмотренный в пп. 25.1, 25.2 интеграл Ри-
Рима на представляет собою частный случай интеграла Стилтьеса
2СЗ
при Y = Е\ Z = X и y(t)'= t. Справедлива следующая теорема
о существовании интеграла Стилтьеса.
Теорема. Если абстрактная функция x(t) непрерывна на
[а,Ь], а абстрактная функция y(t) является функцией ограни-
ограниченной вариации на [а, Ь], то x{t) интегрируема на [а,Ь\ по
Стилтьесу относительно y(t).
Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме,
что и доказательство теоремы п. 25.1 о существовании интег-
интеграла Римана. При этом вместо А^ в интегральных суммах по-
появляются у(tt)—y(tL-\). Предлагаем читателю' провести эти
рассуждения самостоятельно. Отметим некоторые свойства ин-
интеграла Стилтьеса:
1) \ х0 dy @ = хоу (/) С = *о [у (Ь) - у (а)};
а
2) если x(t)=xO(p(t), где х0 е X, a <p(/)eC[a,ii], то
ъ
а а
3) если у(()= fM>@, где уо е У, а ^ @ — скалярная функ-
функция ограниченной вариации, то
4) \ [*, (/) + х2 (/)] dy @ = J х, (/) dy (/) Н- \ х2 (/) dy (/);
Ь
5) \x{t)d [у,
= \x @ dy,
(t) dy2 (/);
6) справедлива формула интегрирования по частям
ь ь
\jx(l)dy(t)+\y(t)dx(t) = x(t)y(t)\ba
а а
(здесь предполагается, что обе абстрактные функции х[1) и
y(t) непрерывны на [а, Ь) и являются на [а, Ь] функциями
ограниченной вариации);
ь с ь
7) если а<с<Ь, то \x(t)dy(t)=\x (/) dy @ + $ * @ dy (/);
269

Упражнение 3. Докажите свойства 1)—8) в предполо-
предположении, что непрерывны функции x(t), Xi(t), x2(t), a y(t), yi(t),
у2а) суть функции ограниченной вариации.
Упражнение 4. Пусть x(t) непрерывна на [а, Ь], функ-
функция y(t) есть функция ограниченной вариации на [а, &]. Пусть,
далее, t = a(x) — строго возрастающая, непрерывная на [а, р]|
функция, причем м(а)=а, со(|3)=й. Докажите, что функция
г/(ю(т)) есть функция ограниченной вариации на [а, р], и полу-
получите формулу замены переменной в интеграле Стилтьеса
Заметим, что абстрактная функция y(t) в интеграле Стилтьеса
может быть разрывной.
Упражнение 5. Пусть y{t) кусочно постоянна: на i-м
промежутке разбиения T={^}f=0, т. е. на [ti-\, ti), пусть
У@ = У1^У, /=1 N. Докажите, что y(t) есть функция
ограниченной вариации и для любой непрерывной на [а, Ь]
функции x(t)^ Y
Ь N-\
= 2 x(tt)(yt+l-yi).
Таким образом-, в рассматриваемом случае интеграл Стил-
тьеса сводится к конечной сумме.
25.4. Несобственные и криволинейные интегралы. Введенные
выше понятия интегралов Римана и Стилтьеса, как и в матема-
математическом анализе, допускают различные обобщения.
Так, интеграл от кусочно непрерывной функции x(t) (т. е.
функции, имеющей конечное число точек разрыва 1-го рода)
определяется как сумма интегралов по промежуткам непрерыв-
ности x(t). Обсудим несколько подробнее понятие несобствен-
несобственного интеграла Римана от абстрактной функции х(t) со значе-
значениями в банаховом пространстве X. Пусть она определена на
полуоси [с, -f- oo) и интегрируема (по Риману) на каждом
[с, Ь]. Несобственным интегралом Римана функции x(t) на
[с, + оо) называется, по определению, следующий предел, если
он существует (по норме пространства X):
+ оо Ь
\ x(t)dt = lim [x{t)dt. A)
Аналогично, если x(t) определена на полуоси (—оо, с] и ин-
интегрируема на любом [а, с], то полагают
\ x{t)dt= lim \x(t)dt
B)
t270
Наконец, если абстрактная функция x'(t) определена на всей
оси (—оо, + оо) и интегрируема на любом [а,Ь], то, согласно
определению,
\ x(t)dt= J x{t)dt+ \ x(t)dt,
C)
если оба интеграла справа существуют.
Легко показать, что определение C) не зависит от выбора
точки с.
Если несобственный интеграл существует, то говорят, что
он сходится (в противном случае расходится). Если сходится
числовой несобственный интеграл от IU(/)||, T0 говорят, что не-
несобственный интеграл сходится абсолютно.
Упражнение 1. Покажите, что если несобственный ин-
интеграл (любой из A), B), C)) сходится абсолютно, то он схо-
сходится.
Несобственные интегралы Римана обладают теми же свой-
свойствами (см. п. 25.2, где, возможно, а = — оо или Ь = -\-оо),
что и интегралы по [а,Ь], однако следует сделать несколько
замечаний. Свойства 1—7 (п. 25.2) имеют место, если сходятся
интегралы, стоящие в правых частях равенств (неравенства в
5). В свойстве 8 нужно требовать сходимости \ x(s)ds (при
а = — оо). В формуле Ньютона—Лейбница нужно требовать
существования пределов х(-{-оо), если b = + оо, и х(—оо),
если а = — оо. Аналогино обстоит дело с формулой интегри-
интегрирования по частям (задача 2 п. 25.2) и с формулой замены пе-
переменной (задача 1).
Перейдем к определению криволинейных интегралов A-го
рода). Пусть теперь X — комплексное банахово пространство, и
пусть в комплексной плоскости переменной z задана кусочно
гладкая кривая Г (см. [18]). В параметрической форме кривую
Г зададим уравнением 2 = г@. где вещественная переменная
t пробегает отрезок [а,Ь], если кривая Г конечна, или полуоси
(—оо,с), (с,-j-оо) или ось (—оо, +оо), если Г бесконечна.
Все эти типы промежутков будем записывать в виде [а, Ь\.
Функция z'(t) непрерывна, за исключением, может быть, конеч-
конечного числа точек разрыва 1-го рода, что следует из кусочной
гладкости Г. Пусть на Г задана абстрактная функция x(z). Под
криволинейным интегралом A-го рода) от функщш x(z) по
кривой Г понимают следующий интеграл Римана;
и
\x{z)dz=\x(z{t))z'(t)dt.
D)
271

(Интеграл справа будет несобственным, если хоть один из пре-
пределов а или Ь будет бесконечным.)
Криволинейный интеграл по кривой Г от абстрактной функ-
функции обладает обычными свойствами криволинейного интеграла
1-го рода (см. [18]). В частности, при изменении на Г направ-
направления интеграл меняет знак.
Можно показать, что значение интеграла D) не зависит от
способа параметрического задания кривой Г, при котором со-
сохраняется направление на Г. Это следует из формулы замены
переменной.
В последующем изложении (п. 26.6) нам понадобится не-
несобственный интеграл Стилтьеса в следующем частном случае.
Пусть X = Y = Z — Е1 (см. п. 25.3)—одномерное евкли-
евклидово пространство, т. е. ось (—оо, +оо). Пусть, далее, на Е1
задана, возможно, неограниченная функция x(t) со значениями
в Е\ равномерно непрерывная на ?'. Введем еще функцию
y(t)—неубывающую, непрерывную справа и ограниченную
на Е1.
Упражнение 2. Покажите, что y(t) есть функция огра-
ограниченной вариации на всяком [а, Ь] и, значит, существует
ь
интеграл Стилтьеса \ х (I) dy (/) по любому отрезку [а, Ь].
а
Под несобственным интегралом Стилтьеса функции x(t) по
функции y(t) на (—оо, + оо) будем понимать интеграл
+ оо О Ь
\ x{t)dy{t)= lim \x(t)dy(t)+ lim \x(t)dy(t). E)
-оо а О
Если несобственный интеграл E) существует, то он назы-
называется сходящимся (в противном случае — расходящимся).
Если же сходится \ \x(t)\dy(t), то интеграл Стилтьеса E)
называется абсолютно сходящимся.
Упражнение 3. Покажите, что из абсолютной сходимо-
сходимости интеграла Стилтьеса вытекает его сходимость.
Оказывается, что при сделанных выше относительно функ-
функций x(t) и y(t) предположениях абсолютная сходимость несоб-
несобственного интеграла Стилтьеса равносильна абсолютной сходи-
сходимости некоторого ряда. Разобьем ось (—оо, -f- оо) на частич-
частичные полуинтервалы [tk-\,tk], k = О, ±1,±2, .*.., так, чтобы
sup (Mk — mA)<
оо,
F)
где Мк
sup x(t), mk= Ш x(t).
Упражнение 4. Покажите, что из равномерной непрерып-
ности x(t) на (— оо, +°°) следует, что такое разбиение оси
/— оо, + °°) существует для любого о > 0.
Введем теперь промежуточные точки Qk^\tk-\Jk\ и соста-
составим ряд
? x(Qk)[y(tk)-y(tk-i)]-
G)
Имеет место следующая теорема (доказательство см. в [311).
Теорема. Ряд G) и несобственный интеграл E) сходят( я
абсолютно одновременно. При этом, если сходится абсолютно
ряд для всех со > 0, то
+ 00
\ x(t)dy(t)=\im ?
ft=--oo
§ 26. Спектральные разложения самосопряженных
операторов
В этом параграфе для самосопряженного ограниченного опе-
оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Я, будот
получено интегральное представление в виде абстрактного ин-
интеграла Стилтьеса. Такое представление называется спектраль-
спектральным разложением самосопряженного оператора. Важную роль
при этом будет играть некоторая оператор-функция Р(к), кото-
которая называется спектральной функцией оператора А. Значения
Р(Х) суть ортопроекторы в Н, они тесно связаны со спектром
А. Формула спектрального разложения представляет собою
гибкий аналитический аппарат для изучения самосопряженных
операторов и широко используется во всех задачах, связанных
с самосопряженными операторами.
26.1. Спектральная функция самосопряженного оператора.
Пусть Л— самосопряженный оператор из &{Н), и пусть для
каждого числа ке=(— оо, + оо) задан в Я ортопроектор Р{к).
Определение 1. Оператор-функция Р{1) называется
спектральной функцией оператора А, если она удовлетворяет
следующим условиям:
1) р(А,) = 0 при всех A,<m= inf {Ax, х),
Р(К) = 1 при всех А,
Af = sup (Ax, x)\
II х 11 = 1
2) Р{1) — неубывающая функция К, т. е. если X, < ft, то
Р(Я.)<Р(И);
3) Р(К) непрерывна справа в смысле сильной сходимости
в Н, т. е. для всех хеЛ
lim
?7»

4) при каждом Я, оператор Р(Ъ) перестановочен с каждым
оператором из 3?(Н), перестановочным с Л;
5) при всяком е > 0 справедлива формула спектрального
разложения в виде интеграла Стилтьеса:
м
А= J UP (к).
A)
Замечание. Число е в формуле A) введено для того,
чтобы учесть возможный скачок функции Р(к) в точке т.
Упражнение 1. Покажите, что Р(К) — функция ограни-
ограниченной вариации.
Приведем два простейших примера спектральной функции
самосопряженного оператора.
Пример 1. Пусть А — самосопряженный оператор в конеч-
конечномерном комплексном гильбертовом пространстве Я размерно-
размерности п. Оператор А имеет собственные значения (см. п. 23.2), и
все они вещественны. Расположим собственные значения А в
порядке их возрастания:
Пусть Hi — собственное пространство оператора Л, отвечаю-
отвечающее собственному значению fa (i = 1 р). Справедливо сле-
следующее ортогональное разложение:
*¦' 1 \D И 2 VU • * * \?У ** р'
Пусть, далее, Pi — ортопроектор Я на Я,. Покажем, что
спектральная функция оператора Л определяется так:
О при Я<ЯЬ
г[ При Aj ^^ Л ^, Л2»
Л + Я2 при Я2 < Я< Я3, B)
Р1 + Р2+ ••• +РР-1 при Ар_,<А<Ар,
/ при АР<А.
Упражнение 2. Проверьте для Р{к) свойства 1) — 3) оп-
определения 1.
Убедимся, что в данном случае справедливо свойство 5),
р
т. е. представление A). Умножив равенства l=YiPi сле-
р
ва на оператор А, получим А = ? АРС. Но для любого
*еЯ PiX<=Hit значит, APiX = UPiX, т. е. APt = KPi, i =
= 1, ..., р. Следовательно, имеет место равенство
л =
C)
Это и есть искомое спектральное разложение оператора Л, ибо,
в соответствии с упражнением 5 п. 25.3, формулу C) можно
записать в виде A), где Р(Х) определяется формулой B).
Перейдем к проверке свойства 4). Пусть (Ф/а}/=1 — орто-
нормированный базис в Hi. Тогда
Для любого х е Я имеем
Р;Л^= Е (^.
, = Е (¦«. Лф.й) ф;й =
t,
— *t L, \X> tyik) Фгй — ^i"iX
Следовательно, Pi перестановочен с А, откуда и РЩ переста-
перестановочна с Л.
Пусть теперь С^&(Н) — произвольный оператор, переста-
перестановочный с Л. Покажем, что Pi также перестановочен с С. Для
этой цели докажем следующую лемму.
Лемма. Если С перестановочен с А, то CHiCzHi, C*Hi<zz
с= Hi, причем
ф. , С ф-ь ^= ^j Y/ь ф* » \ )
матрица |Y*fcs| эрмитово-сопряженна к матрице |YftiSJ> T- e
5=1
y]ks Visk
Доказательство. Так как АС = СА, то, значит, и
(АС)* = (СА)*, откуда вследствие самосопряженности имеем
АС* = С* А. Но тогда ACPix = CAPtx = %iCPiX, AC*PiX =
= C*APtx = KC*PiX. Это означает, что CHt cz Ht и С*Hi a Ht.
Далее, из формул D) имеем
¦Уш = (Сф/й, Фа),
Лемма доказана.
Теперь прямым вычислением с помощью D), E) проверяем
перестановочность операторов Pi и С:
h
Pfix = Е (х, C*
ftl
Е
, Е
l
Е
s=l
':
= Е Е Y/ь (*. Ф*.) Ф;а = Е (^. Фл) Ё,
A=l s=l S=l fc=l
274
275

Итак, Pi перестановочны с С, откуда следует, что Р(Х$ также
перестановочна с С.
На этом завершается доказательство того факта, что фор-
формула B) действительно определяет спектральную функцию
Р{Х) оператора А. В рассмотренном случае Р(Х) является ку-
кусочно постоянной оператор-функцией, причем она имеет скачки
в собственных значениях оператора А.
Для рассмотрения еще одного примера спектральной функ-
функции введем следующее определение, обобщающее определение
собственного подпространства линейного оператора.
Определение 2. Пусть А—линейный (возможно — неог-
неограниченный) оператор с областью определения D(A) в бана-
банаховом пространстве X и со значениями также в X. Линейное
многообразие (подпространство) М в X называется инвариант-
инвариантным линейным многообразие и (инвариантным подпростран-
подпространством) оператора А, если AM cz M.
Упражнение 3. Покажите, что всякое собственное под-
подпространство линейного оператора является его инвариантным
подпространством.
Упражнение 4. Покажите, что подпространства
7/ю) = 0, //<«> = Ни ЯB)
Я, © Я2, Я°> = Я, ф Я2 © Я3, ....
... ©//„_„ Я<"> = //,
где Я, — собственные подпространства оператора А (см. при-
пример ]), образуют возрастающую цепочку инвариантных подпро-
подпространств оператора А.
Пример 2. Рассмотрим в гильбертовом пространстве
i?2@, 1) функций x(t) оператор А, задаваемый формулой
Ах = tx (/).
Упражнение 5. Покажите, что А — самосопряженный ог-
ограниченный оператор в ^(О, 1).
Упражнение 6. Покажите, что спектр А заполняет весь
отрезок [0, 1], причем собственных значении А не имеет.
Хотя А не имеет собственных подпространств, он имеет ин-
инвариантные подпространства. Действительно, пусть при X <| 0
Ях = 0, при X $s 1 Ях = Я и при 0 < X < 1 Ях = {х е= 3?2@,
1):х@ = 0, если X<t^ 1}.
Упражнение 7. Проверьте, что Ях, Я,е(—оо, +оо), об-
образуют возрастающую цепочку инвариантных подпространств
оператора А.
Зададим теперь оператор-функцию Р(Х): при каждом >,е
е(—оо, + оо) Р(к) определим как ортопроектор 232@, 1)
на Ях.
Упражнение 8. Проверьте для Р(Х) свойства 1) —3)
спектральней функции.
276
/Упражнение 9. Докажите перестановочность А с
Проверку свойства 4) мы опустим. Это, впрочем, может быть
сделано позднее из общих соображений. Докажем формулу A).
,Пусть т = {Л/}"_0—разбиение отрезка [0,1] и 6,<= [Х„ К+\] —
Промежуточные точки. Составим интегральную сумму Стилтьеса:
Проектор Р(ккУ—Р(Л,а—iV действует на функцию *(/)<=
е 2*2@, 1) следующим образом: у*(/) = [P(Xk) — P(Xk-i)]x({) =
= x(t) на [Xk-\,Xk] и yn{t)= 0 вне [кк-иХи]. Оценим по норме
<?2@, 1) разность Ах — охх = tx(t)—axx(t):
= ? J \tx(t)-Qkx(t)?dt
max
."\*ь-
i* Я
max U-ejJ] J
где ^,(т) — мелкость разбиения т. Но тогда ||Л—ах\\ ^ Х(х). Если
Я,(т)-*-0, то ат -> Л в смысле равномерной сходимости операто-
операторов. Итак, формула спектрального разложения A) доказана и
в примере 2. Здесь спектральная функция Р(Х) непрерывна на
(_оо, + оо).
В следующих пунктах этого параграфа будут доказаны су-
существование и единственность спектральной функции для про-
произвольного ограниченного самосопряженного оператора в гиль-
гильбертовом пространстве. В п. 26.2 будет доказано существование
квадратного корня из неотрицательного оператора. На этой ос-
основе в п. 26.3 будет изучен некоторый специальный ортопроек-
ортопроектор. Наконец, в пп. 26.4, 26.5 будет доказана общая теорема о
спектральной функции.
26.2. Существование квадратного корня из неотрицательного
оператора. Пусть U — самосопряженный оператор. Согласно
п. 18.3 оператор U2 является неотрицательным: U2 Г5= 0.
Поставим задачу о решении простейшего квадратного урав*
нения
1Р = А, A)
где А — заданный неотрицательный оператор. Ниже будет по-
казано, что это уравнение имеет неотрицательное решение, ко-
которое мы обозначим через -у/А. При этом других ^неотрицатель-
^неотрицательных решений уравнение A) не имеет, т. е. в классе неотрица'
тельных операторов задача определения квадратного корня из
277

неотрицательного оператора А всегда имеет единственное ре-
решение.
Для доказательства существования л/А мы воспользуемся
методом последовательных приближений. При этом важную
роль будет играть обобщение на случай самосопряженных опе-
операторов известного в математическом анализе свойства Вейер-
штрасса вещественных последовательностей: всякая неубываю-
неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел.
Прежде всего перенесем на самосопряженные операторы поня-
понятия неубывающей последовательности и последовательности, ог-
ограниченной сверху. Для этого воспользуемся определением не-
неравенств между самосопряженными операторами (п. 18.3).
Определение 1. Будем говорить, что последовательность
{Ап} самосопряженных операторов не убывает, если для любого
натурального п справедливо неравенство Ап <: Ап+\.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность
самосопряженных операторов {А„} ограничена сверху самосо-
самосопряженным оператором С, если для любого номера п Ап ^ С.
Сделаем теперь два элементарных замечания.
Замечание 1. Для того чтобы последовательность само-
самосопряженных операторов {Л,,} была ограничена сверху, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы нашлась постоянная с такая, что
Ап ^ с/, где / — тождественный оператор.
Действительно, если Лл ^ С, то для любого х е Н
(Апх, х)<(Сх,
, х),
т. е. Ап ^||С||/. Обратное утверждение очевидно, так как доста-
достаточно взять С = с/.
Замечание 2. Если {||Л„||} ограничена (Ап — самосопря-
самосопряженные), то {Ап} ограничена сверху.
Действительно,
(А*, х) < || Ап || (х, х) < с (х, х) = (clx, х).
Лемма 1 (свойство Вейерштрасса). Всякая неубывающая,
ограниченная сверху последовательность неотрицательных опе-
операторов сходится сильно к некоторому неотрицательному опе-
оператору.
Доказательство. Пусть последовательность неотрица-
неотрицательных операторов {А„} не убывает, т. е. О ^ Ап ^ Ап+и п —
= 1, 2, ..., и ограничена сверху, т. е. Ап ^ с/, п = \, 2, ...
Рассмотрим последовательность вещественных чисел {(Апх, х)},
где «ей фиксировано. Эта последовательность не убывает и
ограничена сверху. Поэтому существует lim (Aax, х). Покажем,
что тогда сходится последовательность {А„х}. Так как Ап+Р —
'^- Ап^О для любых натуральных пир, то, применяя обобщен-
обобщенное неравенство Коши¦= Буняковского (см. п. 18.3), получим
^278
¦для любого у е Н
| (Ап+Рх - Апх, у) р < ((Лл+Р - Ая) х, х) ((Лп+Р - А„) у, у) <
<с\\у |р {(Ап+Рх, х) — (Апх, х)}.
Мы воспользовались здесь следующими неравенствами:
((Ап+Р-Ап)х, х)>0,
О<((Ап+Р — Аа)у, у) = {Ап+Ру, у) — (Апу, у) < (Ап+ру, у)<,с\\у |р,
(Апу,у)>0.
Положим теперь в доказанном неравенстве
— Апх, у)\2<с\\у ||2 {(Ап+Рх, х) — (Аях,х)},у = Ап+Рх — Апх
и после сокращения получим
|| Ап+Рх — Апх |р < с {{Ап+Рх, х) — (Апх, х)}.
Так как'последовательность {(А„х,х)} фундаментальна, то от-
отсюда следует, что и {Апх} фундаментальна. Вследствие полноты
Н существует предел {Л„х}. Положим
Ах= lim Anx.
п->оо
Линейность оператора Л очевидна. Далее, (Апх, у) = (х, А„у),
откуда при п -*¦ оо получим (Ах, у) = (л;, Ау), т. е. А самосопря-
самосопряжен. Переходя к пределу в неравенстве 0 ^ (Апх, х) ^ с(х, х),
получим 0 ^ (Ах, х) ^ с(х, х), откуда 0 ^ Л ^ с/. Лемма 1 до-
доказана.
Перейдем теперь к задаче извлечения неотрицательного квад-
квадратного корня из неотрицательного оператора Л. Заметим сна-
сначала, что достаточно ограничиться случаем, когда ||Л||^ 1 и
А
А ф 0. Общий случай сводится к этому, ибо Л = Ц Л |j 7Г4Т и если
неотрицательный квадратный корень л/А/\\ А || уже определен,
то, очевидрю, л/~А = -\/\\А\\ д/Л/|| Л ||. Итак, рассмотрим уравне-
уравнение U2 = Л, где 0 ^ Л ^ /. Перейдем в этом уравнении к новой
переменной U = / — V и положим Л = / — В. Для определения
V получаем уравнение / — 2l/+V72 = / — В, которое запишем
в виде
V = j{A + W), B)
где 0 ^ В ^ /. Уравнение это будем решать методом последо-
последовательных приближений: <
л = 1, 2
C)
с начальным приближением V0 — 0. Найдем несколько первых
приближений. Из C) последовательно получаем Vi = -^B,
279

= jB + jV\, откуда К2 = уВ + |
= ±B + \V2, от
В + В2 f
куда V3 = j В + -g- В2 -f -jg- В3 + -^ S4- Из этих формул видно,
что 0 ^ Vi ^ V2 ^ Уз. Кроме того, V\, V2, V3 являются много-
многочленами относительно В с неотрицательными коэффициентами.
Покажем по индукции, что последовательность {Vn} неубываю-
неубывающая, ограничена сверху оператором / и состоит из неотрица-
неотрицательных операторов. Действительно, 0 ^ Vi ^ В sg: /. Пусть
уже доказано, что V\ Vn-i неотрицательны и ограничены
сверху /. Тогда
0<У„ = 1(й + У„_1)<у(/ + /) = /.
Покажем теперь, что для любых номеров п V п ^ Vn+\. Для
этого покажем, что Vn+\ — Vn является многочленом от В с не-
неотрицательными коэффициентами. Отметим сначала, что если
Vn — многочлен от В с неотрицательными коэффициентами, то
таковым будет и Vn+\ = у В + у V2n, так как V2n есть многочлен
от В с неотрицательными коэффициентами. Далее, V%—Vi —
многочлен от В с неотрицательными коэффициентами. Согласно
методу математической индукции пусть Vn—Vn-\— многочлен
от В с неотрицательными коэффициентами. Тогда
Упражнение. Докажите, что V,» и Vn перестановочны,
пользуясь их перестановочностью с В.
Из полученного равенства вытекает, что Vn+\ — V п есть мно-
многочлен от В с неотрицательными коэффициентами, как произ-
произведение двух таких многочленов.
Итак, {Vn}—неубывающая последовательность, причем
О ^ Vn ^ /. По лемме она имеет сильный предел Vo, причем
О < Ко < /.
Покажем теперь, что найденный предел Vq является реше-
решением уравнения B). Для этого установим сначала, что Vn пере-
перестановочны с Vq. Так как (см. упражнение) Vn и V'т перестано-
перестановочны, то для любого х <= Н имеем
V V k=V V х
Перейдем в этом равенстве к пределу при т->оо (слева —
пользуясь непрерывностью Vn, а справа — сильной сходи-
сходимостью Vт на элементе Vnx) и получим 'VnVox = V0Vnx, т. е. Vn
и Vo перестановочны. Отсюда
Vlx - V\x = {Vn
o) (Vnx - Vox)
?80
и, значит,
II Vlx - Vlx 1 <|| Vn + Vo|||| Vnx - Vo||< 21| Vnx - Vox||.
Следовательно, при п-> оо V'i-^-Vl сильно. Переходя теперь
в C) к пределу при п-> со (поточечно), получим Vo = -^(B + Vo).
Возвращаясь к старым обзначениям, получаем корень квая-
рят1'ыч из Л @ ^ А ^ /) в виде
= l-V0.
Покажем, чю найденный неотрицательный корень квадратный
единствен. Для этого нам понадобится следующая лемма.
Лемма 2. Пусть А ^ 0; тогда, если {Ах, х) = 0, то Ах — 0.
Доказательство. Имеем цепочку равенств
0 = {Ах, х) = ((У!J*, х) = {^Ах, л/Jx),
откуда -у/~Ах = 0. Применяя -у/А, получим Ах — 0. Лемма 2 до-
доказана.
Допустим теперь, что квадратное уравнение U2 = А имеет
два неотрицательных решения U\ = <\JА и U2. Заметим, что
U2A = UiUt = U]U = AU2, т. е. U2 перестановочен с Л, а тогда U2
перестановочен и с U\. Следовательно,
0 = {{U] - Ul) х, {U, - U2) x) = ((t/, + U2) у, у) = (Uty, у) + {U2y,y),
где y={U\ — U2)x. Отсюда и из неотрицательности U\ и Ui
имеем, что и {И\У, у) = 0 и (U2y,y)=0. По лемме 2 Uiy=0
и U2y = 0, или, вспоминая, что у ={U\ — U2)x, получим вслед-
вследствие произвольности х, что
ul{ul-u2) = o, t;2(t/,-(;2) = o.
Теперь нетрудно завершить доказательство:
| (t/, - U2) х |р = ((t/, - U2) х, (?/, - U2) х) = ((У, - U2J х, х) =
= (f/, {Ui - U2) х, х) + {U2 {Uy - U2) x, x) = 0.
Следовательно, U\ = U2. Доказана следующая теорема.
Теорема. Каждый неотрицательный оператор А_имсет
единственный неотрицательный квадратный корень у А. При
этом VА перестановочен с оператором Се??(#) в том и
только в том случае, когда С перестановочен с А.
26.3. Об одном специальном ортопроекторе. Пусть А — само-
самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом простран-
пространстве Н. Введем следу№щие обозначения:
281
где -у/А2— неотрицательный квадратный корень из Л2.

Упражнение 1. Покажите, что: 1) А = А+ — Л~;
тогда и только тогда, когда А = 0; 5) IА I2 = Л2; 6) если А~=0,
2) \А\ =
-, 3)
= А-А+ = 0; 4)
0, \А\ =0
то Л = Л+ = |Л |; 7) если Л+= 0, то Л = — \А\ — — А~.
Упражнение 2. Пусть в пространстве 2?2(—1,1) опера-
оператор Л определяется равенством Ах = tx(t), t^ [—1, 1]. Дока-
Докажите, что |Л|*=|*|лс(*), А+х = t+x(t), A~x = t-x(t)\ где
t+ = yd 11 -f /), /~ — -j(l 11 — t). Постройте графики функций
x{t) = t+ и x(t) = t~.
Докажем еще два свойства введенных операторов. Прежде
всего отметим справедливость для всех х е Я равенства
A)
Действительно, A) следует из того, что \А\ и Л самосопря-
женны:
А\х\\2 = (\А\х,\А\х) =
= (А2х, х)=(Ах, Ах)=\\Ах\\2.
Второе из доказываемых свойств заключается в том, что
|Л|, Л+ и Л~ перестановочны с Л, друг с другом и со всеми
операторами из 3?(Н), перестановочными с Л. Достаточно за-
заметить, что |Л| является пределом в смысле сильной сходи-
сходимости некоторой последовательности многочленов от Л (см.
п. 26.2), а значит, таковыми же будут Л+ и А~.
После этих предварительных замечаний перейдем к главной
цели настоящего пункта. Рассмотрим подпространство N(A+) —
подпространство нулей оператора А+ (см. п. 12.1). Введем Р—
ортопроектор на N(A+). Свойства проектора Р перечислены в
следующей лемме.
Лемма. Справедливы следующие утверждения:
1) оператор Р перестановочен с любым оператором Се
e5"(//), перестановочным с А, в частности с А, \А\, А+ и А~;
2) если Ах = 0, то Рх = х, т. е. N (Л) с N (Л+);
3) А~ = РА~ = — РА = Р\ Л|>0, B)
А~ = 0 тогда и только тогда, когда А ^ 0;
4) Л+ = (/-Р)Л+ = (/-Р)Л = (/-Р)|Л|>0, C)
Л+ = 0 тогда и только тогда, когда А ^ 0;
5) Л = (/ —2Р)|Л|.
Доказательство. 1) Пусть С перестановочен с Л, тогда,
согласно определению \А\ и п. 26.2, он перестановочен с \А\,
А~ и Л+. Далее, для любого хеЯ, так как Px^.N(A+), то
А+СРх = СА+Рх = 0. Следовательно, CPx^N(A+) и потому
РСРх = СРх для всех х е Я, т. е.
РСР = СР.
D)
2 82
Заметим теперь, что сопряженный оператор С также пере-
перестановочен с Л (см. доказательство леммы п. 26.1). Но тогда,
наряду с D), справедливо равенство РС*Р = С*Р. Применяя
к обеим его частям операцию сопряжения, получим РСР = PC.
Отсюда и из D) следует, что СР = PC.
2) Пусть Ах = 0. Тогда, вследствие формулы A), |Л|* = 0.
Следовательно, А+х = -^
= 0, т. е.
N(A
и,
вспоминая определение ортопроектора Р, получим Рх = х.
3) Так как А+А~х = 0 для всех i;efl (см. упражнение 1),
то A'x^N(A+), откуда по 2) РА~х = А~х. Значит, РАх =
= .Р(А+ —А-)х=—РА~х = А~х, Наконец, Р\А\х = Р(А+ +]
[+ А~)х = А~х. Из произвольности х следует формула B);
А- ^ 0, так как и Р ^ 0 и | Л | > 0.
Упражнение 3. По аналогии с доказательством утверж-
утверждения 3) проведите доказательство утверждения 4).
5) A — 2Р)\А\ = {1 — 2Р)(А+ + А-)= А+ + А- —2РА+ —
— 2РЛ-= Л+— Л-+ 0 — 2Л-= Л+— Л-= Л.
Лемма доказана.
26.4. Существование спектральной функции у любого самосо-
самосопряженного оператора. Используя конструкцию п. 26.3, пока-
покажем, что для всякого самосопряженного оператора ЛеЗ'(Я)
существует спектральная функция. Введем обозначения (см.
п. 26.3):
Пусть, далее, Р(^) — ортопроектор в Я на подпространство
N(Ax) = N\. Докажем, что Р(Х.) является спектральной функ-
функцией оператора Л. Для этого проверим условия 1) — 5) опреде-
определения спектральной функции (см. определение 1 п. 26.1). Нач-
Начнем с проверки условия 4). По лемме п. 26.3 Р(%) перестаново-
перестановочен с каждым оператором С, перестановочным с Л. В частности,
P(X)P(ii)= P(|x)P(X). Докажем теперь свойство монотон-
монотонности 2). Пусть Qr=P(X,)[/ — P(\i)]. Если мы установим, что
при к < ц Q = 0, то тогда Р(к)= P(k)P(\i), а согласно тео-
теореме 1 п. 18.7 P(l)<P(|i).
Заметим сначала, что Q — проектор, ибо Р(к)' и / — Р(р)]
перестановочны (лемма 1 п. 18.7). Покажем, что при А, < ц из
равенства Qx = х будет следовать, что х = 0, т. е. подпростран-
подпространство, на которое проектирует Q, состоит лишь из нуля.
Упражнение 1. Проверьте, что Q = P{i)Q, [/ —
P()] Q
, х) =
]
Если теперь Qx = x, то
, х) = (А&х, х) = (АхР (Я) Qx, x) = -
ибо А}.Р(к) = — А1 <0 (см. формулу B) п. 26.3).
283

Аналогично,
х, х) = {A^Qx, х) =
* A-Р (ц)) Qx, x) =
, x) =
ибо A»([-P(\i)) = AZ>0 (см. C) п. 26.3).
Итак, доказаны неравенства
{(А — XI) х, х) < О, {(А — ц1) х, х) > 0.
Вычитая из первого второе, получим неравенство (\i — X) {к,
х) ^ 0. Но ц — X > 0, а (х, х) > 0, откуда х = 0. Значит, Q = 0
при X <С ц, и свойство 2) доказано.
Проверим свойство 3) непрерывности Р(Х) справа. Пусть
Д=[Я,,ц], а Рд = Р(ц) — Р(Х)^0. Докажем следующее ,нера-
,неравенство:
ЛРд<ЛРд<цРд. A)
Упражнение 2. Докажите, что Р(н.)Рд = Рд, (/ —
-Р(Я))Рд = Рд.
Теперь имеем следующие соотношения:
(А - ц/) Рд = Л^Рд = А»Р (ц) Рд = - ЛпРд
(Л - XI) Рд = Л^Рд = AUI~P (X)) Рд = Л^
которые представляют собой соответственно правую и левую
части неравенства A).
Рассмотрим теперь оператор-функцию Р(ц) при ц > X, где
X фиксировано. Р(ц) не возрастает с убыванием ц и ограничена
снизу: P(\i)^P{X).
Упражнение 3. Пользуясь свойством Вейерштрасса
(п. 26.2), докажите, что существует (в смысле сильной сходи-
сходимости)
lira
Покажем, что Р{Х + 0)= Р(Х). Положим Рп =
— Р(Х). Тогда Рд = Р(ц)— Р(Я,)-^-Р0 при ц->-Х + 0. Переходя
к пределу при ц —*Х + 0 в неравенстве A), получим АР0 = ХР0,
т.е. ЛхР0 = 0. Отсюда, по свойству 2) оператора Р (см. лемму
п. 26.3), Л?Ро = 0. Это означает, что вектор Pox e N\ для
всех х<=Н, откуда Р(Я,)Ро = Ро. Переходя к пределу при
ц-+Х-\~0 также в равенстве [/ — Р(М]Рд = Рд, получим
[/ —Р(Я,)]Ро = Ро. Но тогда Ро = 2Р0, т. е. Ро = 0. Вспоминая
определение Ро, мы видим, что Р(Х + 0)= Р(Х), что заканчи-
заканчивает доказательство непрерывности Р(Х) справа.
Перейдем к проверке справедливости формулы спектраль-
спектрального разложения. Пусть т = {A.,-}JL0— разбиение [т — е, М] с
частичными отрезками разбиения Aft длины Хц — Xk-i {k = 1, ...
284
. Согласно формуле (\f
Суммируя эти неравенства по k от 1 до N, учитывая, что
N
У Рдй = /, получим
N
Ы
ft=l
Выберем на [Xk-i, Xk\ произвольно промежуточную точку
[{k = 1 N). Тогда
N N Н
Е( (я*-1 - е*) Рд, < л - ftE e*pA]k< ? (я,* - в*) pv
Если v (т) — мелкость разбиения т, то тем более
N
k=i
Следовательно,
Л- Е б*Рд |<v(t)-»0 при v(t)->0.
Это означает справедливость формулы A), п. 26.1. Доказана
следующая теорема.
Теорема. Для всякого ограниченного самосопряженного
оператора существует спектральная функция.
26.5. Функции от самосопряженного оператора. Единствен-
Единственность спектральной функции. Мы уже встречались в п. 11.3
с функциями от операторов из 2?(Х). Доказанная выше формула
спектрального разложения позвеляет ввести определение, не
требующее исследовать сходимость операторных рядов.
Определение. Пусть f(X) — непрерывная функция на
[а, й]. Под функцией самосопряженного оператора А понимают
следующее выражение:
м
= [ f(X)dP(X).
(Разумеется, необходимо, чтобы [а, Ь] =э [ш — е, М\ при неко*
тором е > 0.)'
В частности,
м м
/= J dP{X),
m-e |
285

Первая формула очевидна, во второй необходимо т ^ 0. Мож-
Можно показать, что это новое определение V'А- совпадает с опре-
«целением п. 26.2. Отметим еще, что
м
А2= J X2dP(K).
tn—z
Отсюда имеем
м
| Ах |р = (Ах, Ах) = (А% х) = \ КЧ (Р (I) х, х).
A)
Теперь мы сможем доказать единственность спектральной
функции, существование которой доказано в предыдущем пунк-
пункте. Пусть существует, кроме Р(Х), еще одна спектральная функ-
функция самосопряженного оператора А, которую мы обозначим
м
Q(\i). Тогда А= \ \idQ(n). Кроме того,
М
— Я.)dQ(ц), ЛЛ+= \ (n-X)
т-е
1Л
Следовательно,
m—e
— к, если
если ц <l.
м
. = ЛГ(Л^). Если х
м
1+.
Nx, то (см. A))
Пусть
Это равенство возможно, лишь если (Q(\i)x, x) ^ (х, х) при всех
ц^= I. В частности, отсюда следует (Q(X)x,x) = (x,x). Но тогда
||Q(X)* — дс||2 = (Q(l)x - х, Q{K)x — x) = (Q(%)x, x) — 2(Q(K)x,
х) + (х,х)~ 0, т. е. Q(k)x = x. Значит, Q(k) проектирует Н
также на Nj,- Вследствие равноправности Я(Х) и Q(k) они
равны. Таким образом, доказана единственность спектральной
функции для любого самосопряженного ограниченного опера-
оператора в комплексном гильбертовом пространстве.
26.6. О спектральном разложении неограниченных самосо-
самосопряженных операторов. Пусть А — неограниченный самосопря-
самосопряженный оператор, действующий из плотной в комплексном гиль-
гильбертовом пространстве Н области определения D(А) в Н.
Определение. Оператор-функция Я (А,), ставящая в соот-
соответствие каждому ie(- оо. + оо) ортопроектор РA), назы-
286
вается спектральной функцией оператора А, если (ср. с опреде-
определением 1 п. 26.1)
1)
Р {к)-* О при А-> — оо,
Р(К)->1 при А-> + °°
'(пределы в смысле сильной сходимости);
2) Р{К)—неубывающая функция X;
3) Р(Х) непрерывна справа (в смысле сильной сходимости);
4) для любого оператора Ве i?(Я) такого-, что BD(A)cz
aD(A), для всех х е D (А)
ВР {К)х = Р (X) Вх\
5) для всех х е D(A) и всех у е Н
(О
(Ах, у)= \ Ы(Р(К)х,у),
где справа стоит несобственный интеграл Стилтьеса (см. п. 25.4).
Доказательство существования и единственности спектраль-
спектральной функции для любого неограниченного самосопряженного
оператора технически довольно сложно, его можно найти, на-
например, в [21].
Ограничимся несколькими замечаниями.
Замечание 1. Вектор x^D(A) тогда и только тогда,
когда сходится интеграл
%Ч(Р(К)х, х).
Замечание 2. Если х е D(A), то
+ 00
Ах= J KdP(\)x,
J B)
— со
причем интеграл справа следует понимать как предел (в смысле
ь
сходимости по норме в Я) \ XdP(X)x при а-> — оо, Ь-> + оо.
а
Замечание 3. Если х ^ D(A), то (см. замечание 1)
+ оо
II Ах ||2 = J %Ч(Р(Х)х, х).
Перейдем к определению функций от оператора А. Они вво-
вводятся с помощью спектральной функции оператора А. Пусть
комплекснозначная функция f(k) определена на (—оо, +00),
Иногда удается определить неограниченный оператор f(A\ по
287.

формуле (у е Н)
(f(A)x,y) = \ f(X)d(P(k)x,y).
C)
Полагая в ней г/ = /(Л)лс, можно убедиться, что область опре-
определения D(f(A)) состоит из всех тех элементов х, для которых
сходится интеграл
" \f(X)\2d(P(X)x,x).
Упражнение 1. Покажите, что если f(X)' ограничена, то
ограничен и оператор f(A).
Упражнение 2. Покажите, что если f(X) принимает толь-
только вещественные значения, то оператор /(Л) — самосопряжен-
самосопряженный.
В качестве примера функции от самосопряженного опера-
оператора Л рассмотрим его резольвенту #х(Л) (см. п. 24.1).
Упражнение 3. Покажите, что если Xq не принадлежит
а(А) — спектру оператора А (п. 24.1), то
Покажите, что если 1тА,0=5^0, то Хофа(А) и
I
II Ял.
<-
I m
В заключение отметим, что в случае самосопряженного ог-
ограниченного оператора Л формула B) принимает вид
м
Ах= $ XdP{X)x,
D)
где т и М определены в свойстве 1) определения 1 п. 26.1, т.е.
эта формула превращается в формулу A) п. 26.1.
В приложениях встречаются также полуограниченные снизу
самосопряженные операторы. Так называется оператор Л, для
которого существует вещественная постоянная т такая, что для
всех х е D{A) выполняется неравенство
(Ах, х) > m(х, х). E)
Спектр такого оператора расположен на полуоси [т, + °°).
формула спектрального разложения принимает вид
= \ XdP(X)x.
F)
Аналогичные определение и формула имеют место для полу-
полуограниченного сверху самосопряженного оператора*.
Глава VII
АБСТРАКТНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ СХЕМЫ
В этой главе рассмотрен один общий подход к приближен*
ным методам решения линейных уравнений, активно развиваю-
развивающийся в последние годы. При этом подходе, в частности, теория
разностных схем и метод Галёркина рассматриваются с единой
точки зрения. Типичным примером здесь является разностная
схема решения какой-либо задачи для дифференциального
уравнения. В то время как задача для дифференциального урав-
уравнения рассматривается в функциональных пространствах, ап-
аппроксимирующая ее разностная задача рассматривается в ко-
конечномерном пространстве. Таким образом, исходное и прибли-
приближенное уравнения рассматриваются в разных пространствах.
В научной литературе широко употребляется термин «дискре-
«дискретизация»— замена непрерывного объекта дискретным. Ниже
этот термин не используется. Дело в том, что замена дифферен-
дифференциальных операторов разностными операторами (п. 28.2, метод
прямых) может осуществляться лишь по части переменных.
'Кроме того, в общем методе Галёркина проекторы могут быть
бесконечномерными. Центральное место в рассматриваемой тео-
теории занимают понятия аппроксимации, устойчивости, сходимо-
сходимости и интерполяции. Для линейных эллиптических уравнений
здесь получены наиболее завершенные результаты (см. [27]).
Ниже излагается упрощенный вариант теории. Тем не менее
нельзя было не коснуться таких важных в приложениях вопро-
вопросов, как интерполяция, приближение сплайнами и метод конеч-
конечных элементов.
В последней главе (§§ 38, 39) мы вернемся к этому кругу
вопросов в применении к нелинейным уравнениям.
§ 27. Аппроксимация, устойчивость и сходимость
27.1 Приближение банахова пространства с помощью после-
последовательности банаховых пространств. Пусть дано банахово
пространство X. Для приближения его элементов мы восполь-
воспользуемся следующей конструкцией Рассмотрим последователь-
последовательность банаховых пространств {Хп}™, с помощью которой мы и
собираемся аппроксимировать пространство X. Связь между
пространствами Хп и пространством А' зададим посредством
10 В. А. Треногий 289

последовательности линейных операторов Тп ^ &{Х, Хп), п =
= 1,2, ..., причем предположим, что ТпХ = Хп, т.е. области
значений Тп Я(Т„) = Х„. Операторы Тп будем называть опера-
операторами сужения, поскольку в описываемых ситуациях типичным
является случай, когда Ы(Т„) ?={й} (подпространство нулей Тп
нетривиально).
В приложениях наиболее важен случай конечномерных Х„,
когда dim^ra->oo при п->оо, возрастая вместе с п. Элементы
пространств Хп мы будем использовать для аппроксимации
элементов пространства X. Близость элемента хп е Хп и эле-
элемента х е X будем оценивать с помощью числа ||icn — Тпх ||^
Пусть в каждом просяраисиве Zn ваяет элоиеит х„. Знпигьт&я
эти элементы в порядке возрастания номеров, образую после-
последовательность {Лц}.
О-П.р?,д е ле:Н-иее 1. Будем говорить, что последов arse ль -
наст* {ciyi} Т-сосодится-к элементу ieK, итгевть Т — lim ж„ = я
г
или хп —*¦ х, п-^-яс, .если Циг-—T^ocWy -*-в при п-*~ во.
Разумеется, если 7Сп = X, и = 1, 2, ..., то Т-сходимость сов-
совпадает с обычной сходимостью в X, т. е. со сходимостью по
норме.
г
У п р-а ж н-ельи-че 1.. Покажите, чло если хп —> ос, и-»-во, то
т
ахп —* ах, п-^-оо, для любого скаляра а. 1Егли, кроме того,
т т -
\Jn~~* У> п-> со, то хл +.ц„ -> х + у (х^, уп е Хп, х,, у <= X).
Уже простейшие примеры покалывают, что Г-предел может
быть не единственным.
Пр,им?,р. Пусть X = k, a Xn = lJl)- Операторы сушения Тп
определим так: дтгя любого х=((^)Г=1е h тюнвшпт Тпх =
= (hi • il • Рассмотрим теперь элe^reнт хи = (?®Л eL где
_ 7"
I'j01 = 0. Тотдя *n=:(§ft0+i)n "*" ^о ПР" '«—»¦ то. Но точно так же
хп —'у х'й, п—>оо, где я = (б<й0))°° , причем |!j0) — произвольное
число. Таким образом, последовательность {хп} имеет бесконеч-
бесконечное число Г-пределов.
Б рассмотренном примере факт неединственности 7-предела
свидетельствует о том, что пространства Т,1Х ттп&т аппрокси-
аппроксимируют пространство X.
Определение 2. Будем говорить, что нормы в Х„ невы-
роокдены, если из равенства
lim HT^jxHjr =0
следует, что х = 0.
В терминах условия невырожденности норм легко получить
необходимое и достаточное условие единстаеннвоти Г-предела,
290
Теорема 1. Для единственности Т-предела необходимо й
достаточно., чтобы нормы в Хп были невырождвны.
Доказательство достаточности. Допустим, что
некоторая последовательность {хп} Г-сходится к двум элемен-
элементам х' и х" из X. Тогда
I Тп(х'- х") \\1п < |[ Тах' - хп ||^ + || хп - Тпх" \\1п
0
при п-»-оо. Из условия невырожденности получаем х' = х".
Доказательство необходимости. Пусть Г-предел
г
¦единствен. Тогда условие lim ||Г„л|| = 0 означает, что Тпх —* 0,
т
«-> оо, но, кроме того, Тпх -> х, и->оо. Следовательно, х = 0.
Определение 3. Будем говорить, что нормы в Хп соглп'
сованы с нормой в X, если для любого iel
lim \\Taxb = 11*11-
Выбирая подходящим образом операторы сужения Тп и ап-
аппроксимирующие пространства Хп, часто удается добиться вы-
выполнения условия согласования норм. Сделаем следующее важ-
важное замечание: из условия согласования норм вытекает невы-
невырожденность норм в Хп, а значит, и единственность Г-предела<
Приведем еще одао определение и относящееся к нему утверж-
денне, которые, впрочем, не играют существенной роли в на-
нашем изложении. _ ¦'
Определение 4. Будем говорить, что нормы в Х-п равно-
равномерно ограничены, если найдется^ постоянная М >> 0 така-я, ч-то
» Ц*.
«=1,2, ...
Условие равномерной ограниченности норм вытекает, напри-
например, из условия согласования норм. Это. следует и-а приведен1-
ного ниже обобщения принципа равномерной ограниченности.
Теорема 2. Если И\Тпх|^ V о&ранинвна при каждом *el,
то ограничена и {И Т'Л* (х. х„)} ¦
Доказательство этой теоремы проводится аналохилно дока-
доказательству теоремы 1 п. 11.5.
Проиллюстрируем теперь введенные нами понятия. Рассмот-
Рассмотрим Х=С[0,1\ — пространство непрерывных на [0,/] функций
*<*)'. Возьмем на [0,/] систему узлов 0</?* < tf < ... <f«°<
^/. Введем в рассмотрение оператор сужения Т„, ставящий
в соответствие каждой непрерывной функции x(t) столбец ее
значений в узлах:
10*
291

Таким образом, Тп отображает X на п мерное линейное про-
пространство столбцов Хп = R". Элементы Хп суть хп = (xk)"!=v
Норму в Хп можно ввести самыми различными способами.
Мы ограничимся здесь рассмотрением двух наиболее употре-
употребительных норм. Введем сначала норму кубическую
I ^ k ^ П
\Xk
A)
Тем самым мы принимаем Кп = сп (см. пример 1 п. 2.2). Г-сходи-
мость последовательности {х;1} = (xji"'j"_i е с", п = 1, 2, ..., А\
к непрерывной функции л(/) па [0,1] означает, что при п->о<
— Тх
1!ьуб
max
1 sj к ^? n
"-
Задача. Покажите, что для любой х
С[0, /]
lim
П-foo
если только
A,, =
max \\(t " )\ = m?x\x(t)\,
¦ 0 при и—> oo
max i', j-i — /,
^1 ^ П— I
D)
(т. е. мелкость разбиения {/дЯ'}"=1 отрезка [О, I] стремится к пулю).
Заметим, что равенство B) представляет собою условие со-
согласования норм в с'1 с нормой С[0, /] и обеспечивает е.; iи-
ственность Г-предела. Условие л„ ->¦ 0 поп п —*¦ оо обеспечи'-Ti г
«хорошее приближение» [О,/J системой узлов, или, как принято
говорить, сеткой {/;"'}"¦ Если условие А,,,-*-0, «-*-ce, нарушено,
то Г-предел не будет единственным.
Упражнение 2. Пусть /(in) = 0, t'f = h, h < t, и пусть
max |/(,+i — t\n\->0, n->oo. Покажите, что если хп~* хо(;),
T
n-*oo, на [0, /], то также xn—> x(t), п-юо, где х (t) — непре-
непрерывная на [0, /] функция, произвольным образом заданная
на [0, Л].
Перейдем теперь ко второму способу задания нормы в л-,.
Введем норму сферическую, превращающую Хп в ?":
Л/ п
V
E)
Множитель 1/п введен из следующих соображений: если .t(/)^
на [0, /], то и Tnx = (\)k^, а значит, согласно E) \\Тп • 1 |'Сф= V^
2f/2
("
Упражнение 3. Покажите, что если /("+i
1,2, ..., п~ 1, то
— tT = Un,
F)
Поскольку для непрерывной на [0, /] функции x(t) из равеа-
i
ства \ | х @ |2 dt = 0 следует, что х(t) = О на [О, I], то формула
о _
F) приводит к невырожденности норм в Хп — 1% и, значит, к
единственности Г-предела; Г-сходимость {хп} к i(/)eC[0,l]
здесь означает, что при п->- оо
п
I? —Т v II2 — — V I л; (t'm\ — х'га I2 -> 0 G)
fc-i
27.2. Порядок аппроксимации элемента последовательностью.
Сравнение двух ендов Г-сходимости. При численных расче-
расчетах важен не только сам факт Г-сходимости {хп} к х, но к по-
порядок скорости сходимости. Пусть дана неотрицательная бес-
бесконечно малая числовая последовательность {фп}.
Определение 1. Будем говорить, что последовательность
{хп} Т-сходится к элементу х со скоростью ф-i, если
1и-л-7',г*|1- <сг„, л = 1,2, ... A)
Пусть, далее, {-фч} — произвольная положительная последо-
последовательность.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность
{!'„} Т-сходится к элементу х со скоростью о(г()„), если
•>пМ\7К-7>!- =0. B)
П -* оо "Л п
В частности, утверждение, что хп—*х со скоростью оA),
означает просто, что хп—*х.
В случае определения 1 (определения 2) будем также гово-
говорить, что порядок аппроксимации элемента х последователь-
последовательностью хп равен фп (есть о(^„)). Поясним эту терминологию
на уже известных примерах. Пусть А' = С[0, /], a xn = {x?')kal e
gR". Будем рассматривать в R" две нормы: кубическую и
сферическую.
Упражнение 1. Докажите следующее неравенство:
Vi/n" II х„ ||куб < II хп ||сф < || хп ||куб. (!)
Неравенство C) означает, конечно, эквивалентность куби-
кубической и сферической норм в R". Сходимость в Rn иоследова-
293

тельности {х,г} к непрерыврюй функции x(t) в смысле нормы
кубической (см. формулу B) и. 27.1) назовем равномерной Т-
сходимостью, а Г-сходнмость {хп} к хв смысле нормы сфери-
сферической (см. G) п. 27.1) назовем Т-сходимостью в среднем. Из
C) и B) п. 27.1 получаем следующее предложение.
Предложение 1. Из равномерной Т-сходимости {хп} к
х вытекает ее Т-сходимость к х в среднем.
Обратное неверно. Пусть (х\ такова, что x<fl = na, где
0<а< 1/2, a xf = О, k = 2, ..., п. Тогда \\x\\ = -\/Тпа~1!2->0
при п->оо, т.е. ха -> 0 в среднем, В то же время ||*„|1кУб =
= иа->-г-оо при п-> оо.
Тем не менее справедливо следующее утверждение.
т
Предложение 2. Если хп -> х в среднем со скоростью
о{1/л/п ), то хп -*¦ х равномерно.
Действительно, согласно левой части неравенства C), в со-
соответствии с определением 2
\ха-Тпх\
оо.
Упражнение 2. Покажите, что из равномерной Г-сходи-
Г-сходимости {х,,} к х со скоростью <р„ следует Г-сходимость {хп} к х
с той же скоростью, а из Т-сходимости {хп} к х в среднем со
скоростью ф„ = o(l/ Vй) следует ее сходимость к л со скоро-
скоростью л/п ф„.
27.3. Аппроксимация линейных операторов. Пусть теперь
X и У—банаховы пространства (оба вещественные или оба
комплексные) аппроксимируются посредством последователь-
последовательностей операторов сужения {Тп}, и {Тп} и последовательностей
{X,,} и {?„} аппроксимирующих банаховых пространств, так что
ТпХ = Хп,
= Yn, /1=1,2, ...
Рассмотрим линейный (вообще говоря, неограниченный)
оператор А с областью определения D(A)cX и с областью зна-
значений R(A)cz Y. Оператор А мы будем аппроксимировать с по-
помощью последовательности линейных операторов Лп, имеющих
области определения D(An)<^X,t и области значений /?(Лл)с=
сг ?п. Пусть всюду ниже выполнено следующее условие: для
я=1,2, ...
Tn(D(A))czD(Aa).
A)
Определение (условие аппроксимации). Будем говорить,
что на элементе x^D(A) выполнено условие аппроксимации
(или что {Л„} аппроксимирует А на х), если при пг>оо.
\\АпТпХ-ПАх\\?_->0. B)
Заметим, что условие A) обеспечивает смысл выражения'
ГпхеУ„. Условие аппроксимации B) означает, что при
п
АпТпх -> Ах.
C)
Отсюда видна связь условия аппроксимации с ранее введен-
введенным понятием сильной, или поточечной, сходимости последова-
последовательности линейных операторов (см. п. 11.4).
Пусть Х„ == X, ?п= Y для всех п, тогда можно принять
Tn = h (тождественный оператор в X), Т'п = 1у (тождествен-
(тождественный оператор в У). Опустим, кроме того, в C) черту в Ап. Те-
Теперь условие аппроксимации на некотором множестве М эле-
элементов х е D(A) имеет вид:
при п -*¦ оо
\\Апх-Ах\\у->0,
и означает сильную сходимость {Л,,} к А па М. Таким образом,
условие аппроксимации есть обобщение условия сильной схо-
сходимости.
Кратко условие аппроксимации B) будем запнсызать так:
Ая-+А на х.
Часто оказывается, что услозне аппроксимации выполняет-
выполняется в усиленном виде: существуют постоянная а(х), зависящая
лишь от элемента х, и последовательность {ф,:}, фп ^ 0, фга—>-0,
п -*¦ оо, такие, что
D)
Если ф„ = \/nk, где k > 0, то будем говорить, что порядок
аппроксимации (оператора А последовательностью {An}) на
элементе х равен k.
Пример. Пусть X = У = С[0, 1], а Хп = У„ = сп. Опера-
Операторы сужения Тп зададим так: для любой 4/)еС[0, 1] по-
положим
Аппроксимируем оператор дифференцирования Л = d/dt.
В качестве его области определения D(A) возьмем множество
всех непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций х{() та-
таких, что х@) = 0. Положим
п 0 о ... о
— п п 0 ... 0 .
0 —п п ... 0 I E)
Ап =
294
0 0 0
[(матрица из п строк и п столбцов).
295

Нетрудно подсчитать, что
max
= max
к/п
П
kin
п max [ x'(—)-x'(s) ds.
Мы использовали здесь равенство
'-)]= Г
(ft-l /п
Так как я'G) непрерывна на [0,1]. то она равномерно не-
непрерывна на [0, 1] (см. [18]). Поэтому для любого е > 0 мож-
можно найти б > 0, обладающее тем свойством, что, какие бы
f»/",el0> ']>, I*' — '"|<б ни взять, будет верно неравенство
\х (t )—*'(/") |<е. Возьмем V так, чтобы 1/Л/<б; тогда для
всех л > Л/ | *'(*/")—*'(s)|<e, если* e[±=J-, ±j. Но тог-
тогда при всех п > Л/
ft'л
Л„<лтах
(к-\)/п
Мы показали, что условие аппроксимации выполнено для
рсех x^D(A). Покажем теперь, что если *(/) дважды диффе-
дифференцируема на @, 1) и
sup! *"(/) К а
@, II
(а зависит от л), то имеет место первый порядок аппроксима-
аппроксимации. Действительно, по формуле Лагранжа
• ф-х-м-у (U (?-•)¦
где In заключено между k/n и s. Mo тогда
kin.
\ ( s)rfs = -^-.
max
< ft< я
(ft-l)/n
Аналогично можно рассмотреть вопросы аппроксимации диф-
дифференциальных операторов высших порядков. Это будет сде-
сделано ниже при рассмотрении конкретных примеров.
2Qfi
27.4. Условие устойчивости. Рассмотрим последовательность
линейных операторов {Ап} (D (Ап) с= X„, R (Ап) <=¦ Yn, ТпХ = Хп,
T'nY = Yn), не связывая ее с каким-либо оператором А.
Определение (условие устойчивости). Пусть существует
постоянная yj> 0 такая, что, начиная с некоторого номера, дли
всех хп е D(An) выполняется неравенство
Тогда будем говорить, что для {Ап} выполнено условие устой-
устойчивости.
Согласно теореме п. 21.6 из условия устойчивости (П сле-
следует, что, начиная с некоторого номера (см. определение),
1) Rn = R(An)—подпространства в Yn (т. е. замкнутые ли-
линейные многообразия); _
2) на Rn определены Ап ;
3) HAT'll,^, jfn)<V'-
Сделаем теперь замечания, позволяющие иногда облегчить
проверку условия устойчивости.
Замечание 1. Если, начиная с некоторого номера, опера-
операторы Л, непрерывно обратимы и \Лп ||^с, я=1,2, ... (т. е.
{,Ип"'!|} ограничена), то выполнено условна устойчивости с у =
Проверку справедливости замечания 1 мы предоставляем
читателю.
Замечание 2. Пусть Yn = X'n. Если, начиная с некото-
некоторого номера, для всех xn ^ D(An) выполнено неравенство
то выполнено условие устойчивости.
Данное замечание следует из неравенства
В частности, если 7 = Хп — гильбертово пространство, то левая
часть в B) превращается в скаля_рное произведение.
Пример. Пусть Хп = с" и А„ задаются формулой E)
п. 27.3.
Упражнение. Покажите, что
С1/я 0 0 ... О
— 1/л 1/я 0 ... О
О 0 0 ... — 1/л 1/я-
причем Ji4J1| = 2//x < 2. Тогда, согласно замечанию 1, выпол-
выполнено условие устойчивости для {А„},
297

27J>. Теорема о сходимости приближенной схемы. Переходим
к изучению вопроса о Г-сходимости последовательности при-
приближенных решений к точному решению.
Рассмотрим следующее уравнение:
Ах =9, t,t=R(A). (L)
Здесь, как и выше, А — линейный оператор, действующий из
D(/4)czAr в R(А)с У; X и У — банаховы пространства. Ограни-
Ограниченность А не предполагается.
Уравнение A) будем в дальнейшем называть точным урав-
уравнением, а его решения, существующие вследствие предположе-
предположения у е R(A), будем называть точными решениями.
Пусть, далее, пространство X аппроксимируется посредством
последовательности банаховых пространств {.?„}, связанных с X
с помощью операторов сужения {Т„}: ТпХ = Х,и а пространство
. У — посредством пространств {?„} и
-*- У операторов сужения [Тп\: T'nY —Yn-
Наконец, рассмотрим последова-
последовательность приближенных уравнений
(n=l,2,..^
Рис 10
= Уп,
¦R{An).
B)
Здесь А,—линейный оператор, отображающий D(An)czXn в
R(An)aYn (рис. 10). Решения х„ уравнения B), а они суще-
ствуют, так как yn^R(An), будем называть приближенными
решениями.
Последовательность приближенных задач для краткости бу-
будем называть приближенной схемой решения задачи A). Бу-
Будем говорить, что приближенная схема B) сходится, если каж-
каждая последовательность приближенных решений Г-сходнтся к
некоторому точному решению.
Сформулируем теперь, а затем докажем следующее основ-
основное предложение о сходимости приближенной схемы B).
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) нормы в Х-п невырождены;
2) {Л",,} аппроксимирует А на каждом точном решении;
3) выполнено условие устойчивости для {Ап} с постоянной у,
4) Уп ~* У-
Тогда
1') точное решение единственно;
2') для всех достаточно больших п приближенные решения
единственны;
3') приближенная схема сходится и справедлива оценка
~ V hn
yn - Тиу\\?п +1| Т'пАх - AJnx |f
C)
298
Доказательство. Пусть х\ и х2 — точные решения, т.е.
Ах\ = у, Ax,i = y. Тогда, используя неравенство треугольника,
а затем условие устойчивости, получим при достаточно боль-
больших п
> II AJnCvi -х2)\\9п>Ч\\Тп(х: - х2)\\g^
Но левая часть этого неравенства стремится к нулю при п-+оо
во условию агшроксимащии 2^; следовательно, ЦГ«^ — *2)lfjfn~*"
->0, п->оо. По условию 1) невырожденности норм в Хп по-
получаем Xi — Х2 = 0. Утверждение 1') доказано.
Утверждение 2') сразу вытекает из условия устойчивости
(см. формулу A)п. 25.4 и замечание 1 ниже). Осталось дока-
доказать утверждение 3').
Пусть х и хп — соответственно точное и приближенное реше-
решения. С помощью условия устойчивости и неравенства треуголь-
треугольника, используя уравнения B) и A), получим для достаточно
больших п
\\\УП - ЗД„
КАх - AJnx
С помощью условий аппроксимации 2) и 4) получаем, что при
п -»- оо правая часть неравенства стремится к нулю, а тогда
стремится к нулю и левая часть, т. е. хп -* х. Теорема доказана.
Замечание 1. Условие 2) теоремы можно заменить более
сильным, но проще проверяемым: пусть {Лп} аппроксимируют Л
на некотором множестве, содержащем все точные решения, на-
например на D(A).
Замечание 2. Из условия устойчивости следует, что при
достаточно больших п области значений R(An) замкнуты, т. е.
операторы Ап нормально разрешимы (см. § 21).
Замечание 3._Еслн Хп и Yn конечномерны л их размер-
размерности равны (dim Xn —- dim У„), то из условия устойчивости
сразу вытекает, что, начиная с некоторого номера N, прибли-
приближенные решения хп существуют и единственны, поскольку
А/A) {}
те 4, Если условия аппроксимации 2) и 4) вы-
выполнены в усиленном смысле:
0,
\\Уп-Ку\\?
299

То из C) получаем оценку
|| хп — Тпх |[?и
уп-
т. е. порядок аппроксимации х приближенным решением есть
паинизший из порядков аппроксимации оператора А последо-
последовательностью {Ап} и элемента у последовательностью {уп}.
§ 28. Простейшие разностные схемы.
Разностные схемы решения начальных, краевых и смешан-
смешанных задач для дифференциальных уравнений являются одним
из эффективных математических средств, применяемых в совре-
современной практике применения электронных вычислительных ма-
машин. В настоящее время теория разностных схем достаточно
хорошо разработана (см., например, [30]). В этом параграфе
на основе общей концепции, рассмотренной в § 27, обсуждают-
обсуждаются простейшие разностные схемы. При этом мы не затраги-
затрагиваем вопросов конкретной их реализации, делая упор на во-
вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости.
28.1. Сходимость разностной схемы в случае краевой задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
@ =
A)
B)
Предположим, что сA) и у{1) непрерывны на [0, /], при-
причем с(/)^0 на [0,1]. Согласно п. 14.4 эти условия гаранти-
гарантируют существование н единственность классического решения
задачи A) —B). Запишем задачу A) —B) в операторной
форме:
Ах = у, C)
где А—линейный оператор, действующий в пространстве X —
— С[а,Ь] и определяемый дифференциальным выражением,
стоящим в левой части уравнения A), т. е.
Ах ¦- х" (/) + с @ *(/).
Область определения D(A) оператора А пусть состоит ил
функций пространства X, дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых на @,1) и удовлетворяющих граничным условиям B).
Разобьем [0,1] на п равных частей узлами 7* =/ет,
k — 0, 1, ..., п, где т = п~Ч. Введем операторы сужения
Тпх(() = (*(/ft))ft=| (столбец высоты п — 1). Таким образом, воз-
возникло сеточное пространство Яп столбцов высоты п—1. В нем
, 300
я-1
зададим норму сферическую: если icn = {xk)"kJ[t то положим
Заменяя в дифференциальном операторе А вторую произ-
производную разностным отношением
г„,л x(t-x)-1x (t) + x (t + т) ¦
мы можем записать в Хп следующую последовательность при-
приближенных задач, или разностную схему:
¦**+¦ ~ 2xk + xk-\
= yk, A=l,2, .... я-1, D)
XQ = xa = 0. E)
Здесь Ujk)n~_\ = Тпу, (ck)nKZ\ = Тпс.
Разностную схему D)—E) нам будет удобнее записать в
матричном виде:
Апхп = уп, 1е)
где использованы следующие обозначения:
Уп ¦" «У> "п
12 _1_
~ I3* xi+C2 т2
0
0
1 2
Перейдем к проверке условия аппроксимации. Имеем
п-\
ckx ((k)+x" [tk)-ckx (tk)
П-1
У
x Vk)
Предположим теперь, что решение x(t) задачи A) — B) че-
четырежды дифференцируемо на @, /), причем
p
@, I)
301

По формуле Тейлора
1 = 0
3
j = 0
где 1ft s (/ft, /ft+1), r\k<={tk_u /-ft).
Следовательно, имеем оценку
. n-i
24
или
„Г/гл: - ТпАх ||сф = Д„
G)
Итак, порядок аппроксимации равен 2.
Займемся теперь проверкой условия устойчивости. Введем в
-V,, скалярное произведение. Если "n = («ft)".,i> й„ = (ий)?=1, то
положим
п-1
Л'„ превращено в евклидово пространство, причем (пп, »„) =
= !|йп||^ф. Используя формулы D), E) и неотрицательность Си,
имеем
п-1 п-1
ft-i
Далее, замечая, что
Е
й_,-х^. (9)
по неравенству Кош и получим
-l
1/2
Используя неравенства (9) и A0), приходим к следующей
302
цепочке неравенств:
n-l
El V 1
I *J I
S=l
/(/l-l)
n-l n-l
Li 5 L, I *A — ¦
.-j^_,p<? (!„*„*„).
Тажим -образом, устаяовяЕБв оценка
{AnxmxJ^2r2\\
^амечаетиго 2 и. 27.4 отсюда следует, что
(И)
!l|j? II ./10)
Условие устойчивости доказано, что вместе с условием апшрок-
ситеации G) приводит к оценке
Таким образом, точяость разностной сяемтя в иорм« сфери-
сферической есть Oi —2-) ¦ Из оценки A3) и из неравенства C) п. 27.2
вытекает, что
И у Т V II <" ^4
II лп 1 пл Нкуб ^
т. е. имеет место равном-е^иая Г-сводажюсть хп к х со скоростью
O(lln'i').
Наши рассуждения можно уточнить и показать, что на са-
самом деле эта скорость будет ©(l/n2). Из неравенства (.10) на-
находим, как и выше,
п. _
II Х* |?уб < « Z I ** — **-1 Р < * (АпХл, Хп) < / |1 Л„Х„ ||сф || Х„ ||сф.
Заменяй в этом неравенстве х„ яа хп — Тпх и, вычислив пред-
предварительно (см.. (.7))
II \(хп - Тпх) ||сф = \\у- АпТпхЩ = || ТпАх - АаТпх[\^ = Л^
нааюдим do «eipaseecTsy >C) ы. 27^
II ^ ~ Т„^ t« < 1\ II ^ - Г.вх |Ц < /Д„ || хя - Тах ||куб.
Окончательно имеем оцеику
куб
^=5
~F
A4)
28.2. Сходимость разностной схемы метода прямых в случае
смешанной задачи для уравнения теплопроводности. В прямоу-
прямоугольнике Q — {x, 4\ O^x^l, 0)^/^6} рассмотрим следую-
303

щую задачу для уравнения теплопрозодности:
, да о д2и ? , . ,, >
Lu=^f~a ^r = /(*>0, A)
и|х=о = и1*о« = 0, B)
« [f=o = Ф (а:). C)
Предположим, что параметры задачи f(x, t) и (f{x) доста-
достаточно гладки, а начальное и граничные условия согласованы
так, что задача A)—C) имеет единственное классическое ре-
решение и(х, t) (функция u(x,t) называется классическим реше-
решением задачи A) — C), если она непрерывна на Q и удовлетво-
удовлетворяет условиям B) и C), а на Q ={x, t: 0 < х < /, 0 < t < 8}
имеет непрерывные частные производные, входящие в A), и
обращает A) на Q в тождество).
Задачу A)—C) запишем в виде операторного уравнения.
Аи = v, D)
где неизвестное и разыскивается в банаховом пространстве U =
= C(Q),_a правая часть v лежит в банаховом пространстве пар
V = C(Q)+C[0,l]: v={[(x,t); (p(x)}, где / непрерывна на Q,
а ф непрерывна на [0, /], причем
О-^ратор Л определим равенством
Au = (Lu; u(x, 0)),
где L — дифференциальное выражение, определенное в A). Об-
Область определения D(A) определим как линейное многообра-
многообразие в U, состоящее пз функций и(х, t), равных нулю при х = 0
и при х = I, непрерывно дифференци-
дифференцируемых на Q один раз по t н два раза
по х.
Теперь дадим описание операто-
операторов сужения Тп и Тп и аппроксими-
аппроксимирующих пространств Un и Vn. Разо-
Разобьем [0, /] точками х, = il/n, i =
= 0, 1 п, на_я равных частей и
аппроксимируем Q «сеточным множе-
множеством» (рис. 11), состоящим из отрез-
отрезков прямых x = il/n, i = 0, 1, ..., п;
0 < / < 0.
(/ положим
О
а
п
Рис II.
/
Для каждой и{х, /)
т.е. каждой функции двух переменных и(х, t) мы поставим в
соответствие вектор-функцию (столбец), координаты которой
304
суть значения u(x,t) на отрезках «сеточного множества», за
исключением граничных отрезков, лежащих на прямых х = 0
и х = I, где u{x,t) задавать и не нужно, ибо, согласно B), там
и = 0. Пространство Un, аппроксимирующее U, будет, следова-
следовательно, состоять из всевозможных столбцов вида п„ = («; @)"~[.
координаты которых и, (t) суть непрерывные на [0,6] функции.
Норму в Un введем следующим образом. Сначала определим
норму пп при фиксированном t e [0, 0]:
1/2
Затем полагаем (это и есть норма в Un)
i"«В = max 1| ып Исф.
ю, в]
Теперь определим операторы Т'п и пространства Vn. Положим
Tnv = Тп {f; ф} = {Tnf, Г^ф},
где оператор TJ = (} (Hjn, t))nl=l определен выше, а Гп'ф =
= (ф(///га))''=1 — аналогичный оператор сужения для функций
одной переменной. Таким образом, пространство Vn будет со-
состоять из упорядоченных пар vn двух объектов: функциональ-
функционального столбца (вектор-функции) fn = (МО)"!/, t ^ [0, 6], и число-
числового столбца ф„ = (фХ>1> т- е- Vn = {fn, Ф«)- Норму в Vn зада-
зададим так:
где |fл| определяется так же, как и /п,,|. Нормы в Un (и в Vn)
не согласованы с нормой в U (в V), однако в обоих случаях
можно показать, что нормы неЕырождены и, следовательно,
имеет место единственность 7-пределов.
Запишем теперь дифференциально-разностные уравнения ме-
метода прямых. Аппроксимируя, как и в п. 28.1 оператор д2/дхг
разностным отношением, приходим к следующей задаче Коши
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
ft = l,2, .... п-1, E)
но (/) = «„
= 1,2, .... п-\,
F)
G)
где
Задачу E) — G) запишем в матрпчно-операторном виде:
Лппп = vn, (8)
305

где Anua =
jf-Ba]uu; un@)},
P
J2
о :
О '
о о
I2 I2
(9)
Нам удобно также ,(8/) записать в форме задачи Коши для си-
системы дифференциальных уравнения;
=*,. СЮ)
Займемся проверкой условия аппроксимации. Предположим
сначала» что параметры зада-чд A.)— C) ф(*) uf(x,t) таковы,
что ее решение u(x,t) имеет в Q непрерывную д2и/дх2. Пока-
Покажем, что в этом предтюлож«*иш вря л-*- оо
то
Действительно, х«а.к как -оле^агоры Тп м 4JM перестановочны,
пТпи - ПЛн = { Тп 0 - ?а7„«; 0 } ,
8
й = а2 max
к е го, в]
и доказателй/сгао стремл«1тия Ал к .нулю получается, как и в
п. 28 1, из равномерной «епрерщгаиоот ^и/^л2 в Q.
Если ж« иредтголожить, что решение u{%,t) ям««т в Q про-
производную д^и/дх4, причем
Y4 =
то, как и в п. 26.1, доказывается, что
(И)
A2)
Условие устойчивости проверим, используя стандартное ска-
скалярное произведение при фиксированном /е[О,0]л (см, фор-
306
мулу (8) п. 28.1). Умножив уравнение (9> скалярно- т ъйп, по-
получим
-(Вмя,пп) = {1а,йХ AЭ)
Нее согласно неравенству (II) п. 2&.1
— 2а2
(—Вппп, ы„)> —Цып112.
Заметим, далее, что
A4)
\ПГ' u
d || ип \\
Следовательно, равенство (L2b) после применения этих оценок и
сокращения на ||п„|| приводит к дифференциальному неравен-
неравенству
—Л Н —[Г \\ Un II ^ II In II,
A5)
к которому, в соответствии с (9)г следует добавить начальное
условие
1|йЛ НЛ U6)
Умножив A5) на интегрирующий множитель ехр Г р~)
и интегрируя затем полученное неравенство е учетом A6),
получим
t
II пп |
t
| ф„||ехр (- -г-) + [ехр.(-^г- V - s)) II h (s) II ds.
о
Переходя к max на [0,0], в этом неравенстве и оценивая, нахо-
находим
ехр
- ^~ (t - s)) ds
| ф„|
Полученное неравенство можно переписать так:
A7)
Этим доказано условие устойчивости. В сочетании с усло-
условием аппроксимации A2) и с фактом невырожденности норм в
Uп, согласно основной теореме о Г-сходнмости, получаем
1/2
I2
307

Полученная оценка не зависит от 9._ Если предположить, что
f(x,t) непрерывна в полуполосе Qx — {0 ^ х sc; /, t ^ 0} и
sup| f (х, /)|< 4- °°, то, проведя все рассуждения в пространсг-
вах U = C(QX), V = C(Q-oL- C[0, /] и в соответствующих им
аппроксимирующих пространствах, мы получили бы Г-сходи-
мость и„ ко QM.
28.3. Сходимость разностной схемы в случае задачи Ди-
Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате. Пусть Q = {х, у:
0<*<<я, 0 < У < а}— квадрат, Г —его граница, Q = Q +
+ Г —замкнутый квадрат. Пусть, далее, у(х, у)— функция, оп-
определенная и непрерывная па Г. В квадрате Q рассмотрим за-
задачу Дирихле для уравнения Лапласа
и |г = Ф.
Задачу A) —B) запишем в операторной форме:
Аи = ф.
B)
С)
Область определения D(A)<= U = C{Q) состоит из гармониче-
гармонических функций в Q (Ди = 0), непрерывных на Q. Каждой такой
функции оператор Л ставит в соответ-
соответствие ее значение на границе Г, т. е. зна-
значения Л лежатв пространствеФ = С(Г).
Ниже предполагается, что функция ф
такова, что классическое решение задачи
A) — B) существует и единственно (см.
[23], стр. 243).
Переходим к описанию разностной
схемы метода сеток. Разобьем квадрат
Q равномерной сеткол с узлами (x,,y,),
i, j — 0, 1, ..., п, где х, = ih, у, = jk и
h = а/п (к,, у, зависят от п).
Введем теперь сеточную область и сеточную границу (рис. 12)
Q« = {(x1,y,)\ /, /=1, .... л-!} = {(*„ !/,)eQ},
0п-точкио;
Гп-тяти х
Рис. 12.
а х
где Г состоит из всех точек Г, за вычетом четырех угловых то-
точек @,0), @, а), (а, 0), (а, а).
Операторы сужения Тп и Т'п введем так:
Тпи = и (х, у), где (х, у) <= Qn,
Т'пУ = ф (х, у), где (х, у) <= Г„.
Теперь возникает два пространства: Un — (п — 1J-мерное про-
пространство сеточных функций v(x,y) и Цп — 1)-мерное iido-
308
странство Ф„ сеточных функций ц>(х,у). Нормы определим так:
||у|!у = max \v{x,y)\, || ср ]|^ = max \у(х,у)\. D)
Аппроксимируя вторые производные функции и, как обычно:
д2а и (х — /г, у) — 1и (х, у) + и (х + /г, у)
дх2 ~ h2
д2и и (х, у — к) — 1и (х, у) + и (х, у + /г)
Ну2 h2 Г>
мы приходим к следующей разностной схеме для определения
сеточной функции v (х, у): . ,..,
- {у {х — h, у) + v (х + /г, у) + v (х, у — h) + v (x, у + h)} = v {x, у),
(X, Ij) €= Qa,
v(x, у) = ч>(х, у), (х, у)
Г„
E)
F)
У ii
а
Для сеточной функции введено другое обозначение (и, а не «),
чтобы подчеркнуть, что она не является, вообще говоря, реше-
решением задачи A)—B). Задача E)—F) представляет собой си-
систему п2-\-2п — 3 уравнений с п2-\-2п — 3 неизвестными. Ре-
Решение всякой такой системы (при всевозможных ф(х, у)) бу-
будем называть сеточной гармонической функцией. Ниже будет
установлен принцип максимума для сеточных гармонических
функций, аналогичный известному
принципу максимума гармонических
функции (см. [35]). Множество точек
сетки, участвующих в разностной ап-
аппроксимации значения дифферен-
дифференциального оператора в данной точке,
принято называть шаблоном. В рас-
рассматриваемом случае шаблон состоит
из пяти точек: (рис. 13) центра шаб-
шаблона (х,у) и точек (х — h, у), (к +
+ h,y), (x,y — h), (x, i/-f h)~ гра-
граничных точек шаблона (вершины Q
нив один шаблон не попадают). Урав-
Уравнение E) означает, что значение се-
сеточной гармонической функции в цент-
центре шаблона есть среднее арифметическое ее значений в гранич-
граничных точках шаблона. Этот факт является следствием известной
теоремы о среднем для гармонических функций (см. [35]). От-
Отсюда вытекает следующее рассуждение.
Предположим, что наибольшее значение М сеточной гар-
гармонической функции v (х, у) в Qn достигается в точке {х, у)<= Qn
(т. е. во «внутренней точке»). Рассмотрим шаблон с центром в
309
0
о -центр u/aff/юна,
X-ffc
Рис. 13.

(х, у). Если хоть одно из значений и в граничных точках этого
шаблона будет строго меньше М, то равенство E) будет не-
невозможно. Следовательно, v(x, y) — M на шаблоне, но тогда
v(x,y)s= М на Qn. Таким образом, либо и{х, у) = Л! на Q«,
либо наибольшее значение и(х,у) достигается на Гя. Анало-
Аналогично обстоит дело с наименьшим значением. Во всяком случае
для всех возможных решений и{х,у) задачи {5)—F) доказана
оценка ((х,у)<= Qn)
max <p(x,y),
min ф(х,
и, следовательно (см. определение норм D)),
G)
Из полученного неравенства уже вытекает существование
единственного решения алгебраической системы E) —F). Дело
в том, что при ф = 0 (на Г„) из G) следует, что v = 0 на Qn,
т. е. соответствующая системе E) — F) однородная система
имеет только тривиальное решение. Но тогда определитель этой
системы отличен от нуля и применимо правило Крамера.
Записывая систему E) — F) в матричном виде;
неравенству G) можно придать такую форму:
ЙлИф >||«„|1У ,
И и п
т. е. форму условия устойчивости.
Перейдем к проверке условия аппроксимации. Пусть сна-
сначала граничная функция <р такова, что решение и(ху) имеет
непрерывные в Q частные производные сРи/дх2 и д2и\дуг. Как
и в предыдущих пунктах, при п ->¦ оо имеем
л _п1 „ т' a.,v ™ | ц (х+й, '/) — 1и (х, у) +и {x—h, у)
Л« = IIAiU — Tn.Au |!ф = шах гг
__ <Э?ц (^, у) ц (^, у + h) — Чи (х, у) + и(х,у — h) Sf-u (x, у)
дх3
I
ду*
О.
Если же решение и(х, у) имеет в Q ограниченные дАи/дх* и
'd\ildy*, то
где
210
и мы приходим к следующей оценке сходимости разностной
схемы:
тах_ \и{х, ») — rU, у) К-|f й2 =-^
28.4. Собственные значения и собственные векторы опера'
тора второго разностного отношения. Одним из основных мето-
методов исследования устойчивости разностных схем является ко-
конечномерный аналог метода Фурье. В этом пункте будут вычис-
вычислены собственные значения и собственные векторы оператора
второго разностного отношения. Полученные результаты будут
использованы в п. 28.5 при изучении устойчивости рассматри-
рассматриваемой там разностной схемы.
В евклидовом пространстве Un — сеточном пространстве
(п — I)-мерных столбцов un = (ui)niZl со скалярным произведе-
произведением (h — t/n)
(пп, yJ = /iZ u^i
— рассмотрим оператор Вп — оператор второго разностного от-
отношения, аппроксимирующий на [0, t] оператор второй произ-
производной (см. формулу (9) п. 28.2). Найдем собственные значе-
значения и собственные векторы оператора — Ьп. Для этого заметим
сначала, что он является самосопряженным положительно оп-
определенным оператором в 11 п. Действительно, нетрудно убе-
убедиться в том, что
_ п-\
(Вппп, vn) = h ? («, — 2ut + «,+,) vt =
л-1
>=0
— vi) = (un, Bnvn),
т.е. Вя — самосопряженный. Положительная определенность
оператора —Вп была доказана в п. 28.2 (см. формулу A3)).
Поскольку dim Un = п—1, то, согласно гг. 23.2, оператор —Вп
имеет п— 1 собственных значений (с учетом их кратности), все
они положительны, а собственные векторы, отвечающие различ-
различным собственным значениям, ортогональны. Запишем задачу на
собственные значения в «сеточной форме»:
" , A)
и @) = и (I) = 0.
Решение задачи A) — B) будем искать в виде
и {х) = sin cu, х е {(А}"=1.
B)
C)
311

Поскольку и(х — h) -fu(x^fh)i= 2 sin a*cos ah, то после под-
подстановки C) в A) и сокращения на sin ax^ 0 (разыскивается
нетривиальное решение и(х)) мы приходим к следующему ра-
равенству:
- 2cos ah = - 2 +
Следовательно,
1 — cos ah
¦sirr
ah
1 '
Поскольку решение C) должно удовлетворять граничным усло-
условиям B), то необходимо чтобы sin а/ =» 0, откуда al =«¦ nk, k =
= 1,2, ..., л—1.
Таким образом, мы нашли п— 1 различных собственных зна-
значений оператора —Вп:
. 4 . 2 knh
= 1,2,3, ..., п— 1,
D)
которым отвечает ортогональная система собственных векторов
uk(х) = sin —j^-, x s {ih}"=a, k=\ n—1. E)
Вычислим норму собственного вектора uk{x):
(n —
и-1
cos
Здесь использовано сои.ношение
n-l
Z co:
Действительно, умножив данную сумму косинусов на 2sin-p/2,
получим
V 2sin -j-h cos—pjc, =
й-1
= L Lsin "г (** + т) -sin "Г- (*< - yJJ =
sin
--f)- sin ^A = -
Л.
откуда и следует наше утверждение. Итак,
312
Ортонормированная система собственных векторов задается
формулами
т-~. x^{ih}niaQ, k= I, 2, .... п— 1. G)
Всякую сеточную функцию и (х) (лс е {//г}?=0)> удовлетворяю-
удовлетворяющую нулевым граничным условиям и @) = и (/) = 0, можно раз-
разложить в (конечный) ряд Фурье
и (х) = Z с&ий (^). (8)
При этом
ck = (и, vk), ||«II2 = Z с\. (9)
i=i
п-1
i-l
28.5. Условная сходимость разностной схемы в случае сме-
смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Вернемся к
задаче A) —C) п. 28.2 в тех же предположениях и запишем ее
в виде операторного уравнения D) п. 28.2. Здесь, однако, раз-
разностная аппроксимация будет осуществлена и по х и по /. Ра-
Разобьем [0, /] на п равных частей точками Xi = iln~x, i = 0,
1 п. Кроме того, разобьем [0,0] на т равных частей точ-
точками tj = jQm~\ / = 0, 1 т. Введем в рассмотрение сеточ-
сеточное множество
{xt,tj); / = 0,1 /1; / = 0,1 т,
аппроксимирующее прямоугольник Q.
Зададим операторы сужения
стапяшие в соответствие каждой непрерывной на Q функции
u(x,t) набор из т{п—1) ч;:сел — ее значений в тех точках се-
сеточного множества, где и неизвестна. В узлах @,^), (/,//), / =
— 0, 1, ..., т, и =н 0 согласно граничным условиям B) п. 28.2,
а в узлах {х,, 0) и = у(х). Пространство О„, т, аппроксими-
аппроксимирующее U (см. п. 28.2), состоит, следовательно, из всевозмож-
всевозможных наборов чисел вида
",-=со::!: :::::.,•
Норму в Un, m зададим так:
Пусть, далее, для всякой функции oef
Т'п, mv = (Гл. mf; 7'лф},
313

т.е. каждой irape {f(x, tf; <f(x)} ставим в соответствие пару
I i-l m J
Таким образом, аппроксимирующее V пространство Vn, m со-
состоит из упорядоченных пар наборов чисел
V «((fV * ; (т) X.
vn. m U'J,-1 m-l' Wl~l „.J*
Норму в Vrt, m зададим следующим образом:
= max
max |q>J.
Kl1 '
Нормы в Un.m (в Vnhm) согласованы с нормой в U (в I').
Аппроксимируя операторы d/dt и д2/дх2 разностными отно-
иенияыи, получим следующую разностную схему:
а
i = \ я; 1=1 tn,
^ = «{ = 0, /=1, ..-, т,
и? = ф4, »= 1 л— 1.
A)
B)
C)
где для сокращения мы положим т = 9m-1—шаг по t, h =
= /д~' — шаг по х. Перепишем эту систему в виде
= С1 -
с граничными условиями B) и начальными условиями C). Та-
Такая форма системы позволяет находить неизвестные последова-
последовательно, по «временным слоям». При / = 1 получим
, + Ф.,Л + т/?_,. E)
а2х
Затем при } = 2 находим выражение и] через известные уже
значения и\ и т. д. Таким образам, задача A) — C) имеет един-
единственное решение. Перейдем к обсуждению условий аппрокси-
аппроксимации и устойчивости.
Что касается условия аппроксимации, то оно сводится к про-
проверке условий аппроксимации отдельно для d/dt и отдельно для
д2!дх2. Пусть решение задачи A) — C) обладает повышенной
гладкостью, что обеспечивается повышенной гладкостью «вход-
«входных данных» f и ф, а именно в Q существуют ограниченные
d2ujdt2 и д4и/дхА. Тогда, как это неоднократно делалось выше,
устанавливается, что
|| П, mLu - U тТп, mu If = О (т + h2). F)
314
Разностный оператор Ln, m <=Я?(Сп, „, Vn, m) определяется в F)
формулами A) — C).
Займемся теперь исследованием устойчивости. Предположим
сначала, что
1--^->0, т.е. -дг-<1. G)
Из формулы E) тогда имеем оценку <i= 1, .... ft— \\
т. е.
НйЧКНфП + тЦ^Ц, где «' = («J)"-J.
Используя формулу D), последовательно находим
H^llK'y + tHflKIM + a-rJI/ll.
Положим, далее, п1 = (ulift~l. Мы показали, что
Методом индукции устанавливаем, что
Но
Окончательно, беря max по /, получим
8, /=1, ..., т; следовательно,
Доказана устойчивость схемы A)—C), а следовательно, и
ее сходимость со скоростью 0{x-\-h2) в предположении, что
выполнено условие G). Оказывается, при нарушении условия
{7) разностная схема A) — C) может потерять устойчивость.
Таким образом, устойчивость имеет место лишь при определен-
определенном ограничении G) на шаги ft и т. Такие разностные схемы
принято называть условно устойчивыми в отличие от безуслов-
безусловно устойчивых разностных схем, для которых устойчивость
имеет место при любых h и т.
Рассмотрим подробнее случай неустойчивости. Пусть ниже
/ = 0. Разложим сеточное_начальное условие у(х) по собствен-
собственным векторам оператора Вп {см. п. 28.4, G));
фМ=ЕалD (8)
Решение задачи A) —C) {f = 0) будем искать в виде
и (х, t) = ? ck (t) vk (x).
(9)
315

Подставляя (9) в A), а (8) в C) и приравнивая коэффициен-
коэффициенты при базисных векторах, получим для определения ci,(t) за-
задачу (Xk — собственное значение Вп)
Упражнение. Покажите, что решение задачи A0) дает-
дается следующей явной формулой:
A1)
,2 m.
В п. 2G 4 было показано (см. D)), что
4 .
Aft — -j-2 Sill
4 . 2 knh
Sill
k = 1, ..., п—\.
Следовательно, 0<Xk ^4.//i2, откуда
. 2
Поэтому, если — 2 <1 |г". т. е. выполнено условие G*. то
из A1) следует
k*(*T)K|at|.
Согласно формулам (8), (9) п. 28.4 и даныло n>ni.id
Мы еще раз доказали (в частном случае) устойчивость в пред-
предположении G).
Покажем теперь, что в случае, когда соотношение G) ме-
между шагами х и h нарушено, рассматриваемая задача может
оказаться неустойчивой. Предположим, что существует постоян-
постоянная е > 0, не зависящая от х и h (а тем самым — от т и п) и
такая, что выполняются следующие неравенства:
1 —а%х^— 1 -е, Л=1 п-\. A2)
1огда \cm(sx) |^A + e)m|as|-> + °° ПРИ т-*оо, т. е. при
т->-0. Это означает, что задача A0), а с ней и разностная схе-
схема A) —C) неустойчивы.
Таким образом, разностная схема A) —C) условно устой-
устойчива: устойчивость имеет место при выполнении соотношения
G) между шагами h и х.
2Й.6. Неявная разностная схема в случае смешанной задачи
для уравнения теплопроводности. Смешанную задачу A) —C)
п. 28.2 для уравнения теплопроводности запишем в виде опера-
операторного уравнения D) п. 28.2. Аппроксимирующие простран-
пространства Un, т н Vn, т и операторы сужения Тп. m и Т'п, m берем, как
316
в п. 28.5. Теперь мы рассмотрим такую разностную схему:
х " Л2 —it-i'
i = 1, ..., п — 1; j=l и,
"и= К = °> / = 1, ..., т,
ий, = ф . i = 1, ..., п — 1.
A)
B)
Эта система есть система т(п—1) линейных-уравнений со
стольким же числом неизвестных. Для подобных систем из кур-
курса линейной алгебры известно следующее: либо система имеет
единственное решение, либо она имеет бесчисленное множество
решений, либо система несовместна, т. е. не имеет решений.
Других возможностей нет.
Покажем, что допущение о существовании решения системы
приводит к выводу о единственности решения. Это будет озна-
означать, чго имеет место первый случай, г. е. система имеет един-
единственное решение. Попутно будет получено условие устойчиво-
устойчивости. Перепишем уравнения A) так:
i 0
/= 1, .... п— 1; /= 1, .. ., т.
Пусть система A) — B) совместна; тогда, полагая в (ЗУ
/= 1, получим
D)
Оценивая обе части равенства по модулю, получим
где
|| к], 11= птах \и[
= max
Беря max по / в левой части D), после уничтожения равных
членов придем к неравенству || п" IK || ФII + х Jf'„" |.
Далее, полагая в C) i = 2, найдем
II »!,2) I < I ^ 1 + 41 f У | < II ф II + * {I f <" | +«I <2) ||}.
Продолжая эти оценки, получим
II «Н. Я1 IK II ф II + 9 !i fn. 1П II- E)
Отсюда следует, что однородная система A) — B) имеет ли-шь
тривиальное решение, а значит, неоднородная система имеет
единственное решение. Неравенство E) и есть условие устой-
устойчивости.
317.

Устоняе аппроксимации доказывается так. же, как в п. 2&5i
Таким образом, неявная разностная схема йходится при любом
соотношении шн-гоа h и т (безусловно устойчива). Недостатком
ее является сложность ее решения «по временным слоям» (по-
(последовательно при / = 1, при / = 2 и т. д.)..
Дальнейшие примеры разностных схем читатель найдет в
книгах [30], [35], [6J, [27]. В современной теории разностных
схем широко используется почти в&аъ арсенал идей и методов
функционального анализа.
§ 29. ИРнтерпшгящпг сшгаянатип
В- д-гнгном- гга-ратрафе в связи с задачей об интерполяции при*
блюкиигах решений линейных уравнений' вводится одно из важ-
важнейших понятий современной вычислительной матем-атики — по-
понятие о сплайна». Татг называ-готся-обычно кусочно полиномиаль-
полиномиальные функции, обладающие определенной' гладкостью. Простей-
Простейший' придаер егогайяов дают ломанные, т. е. непрерывные кусочно
лтгаеиявге функции. Сплайны на-ходат многачисленнвш приложе-
приложения (см. [33], [4], [27], [3J)'. Кроме задачи интерполяции,
сплайны применяются в задачах теории приближения функций.
Особенно важны применения сплайнов (метод конечных эле*
ментов) для численного решения дифференциальных и интег-
интегральных уравнений. В последние годы развивается абстракт-
абстрактный поджэд № теории сплайнов, изложенный в наиболее завер-
завершенной форме в учебном пособии [4], материал которого ис-
использован в пп. 29,2 и 29.3.
29>.1. Операторы продолжения. Пусть X — исходное банахо-
банахово пространство, а X — еще одно банахово пространство, ап-
аппроксимирующее X. Связь между X w Я пусть осуществляется
операторами, сужения (см. п. 27. Г)'
ye^(IJ) с R(Г) = X.
Оператор ЗеЗ^^Д;) будем называть оператором продол-
продолжения или оператором интерполяции, если N(S) = {0}. Эта тер-
терминология оправдывается тем обстоятельством, что оператор
S действует из1 волее «узкого» пространства" Z в бдагев широкое
пространство X. Кроме того, во многих конкретных ситуациях
S оказывается оператором интерполяции в обычном смысле
этого слова.
Остановимся теперь подробнее на некоторый специальных
операторах продолжения, тесно связанных с исходным опера-
оператором сужения Т. Условие R(T) = X означает, что оператор Т
имеет правый обратный 5 = 7Г1 (см. п. 12.3). Предположим,
что подпространство нулей NG") ф {0}. В противном случае Т
имеет также и левый обратный и тогда непрерывно- обратим по
теореме Банаха. Правый обратный 5 не единствен. Естественно
318
поэтому поставить вопрос об оптимальном, в том иди ином
смысле, выборе оператора S.
Пример 1. Пусть X = C[0,l], X = cn+l, Tx(t) = (x(ti)I=0,
где {/j}"— сетка на [0,1]. В -качестве оператора продолжения
S* здесь можно взять оператор кусочно линейной интерполя-
или, ставящий в соответствие .векторухс = (х*)"=0 е cn+l функцию
s(t) = STx, равную »а [•/,-, ti+l], г = 0,1 п— 1,
/-/,,, t — t
б.@ = «,- t _'+ +л
=
t — t.
Это лишь один из -бесчисленнътх 'способов тгосгроени-я отигрнтора
продолжения S. Нятгртдаер, интертголяцйгонна'я ф'ормула Латран-
жа (см. [18]) дает способ построения функции x(t), интерполи-
интерполирующей х, в видам мамжжлона степввн.и:
где
(А-
"Если, например, п кратно т, то 'на каждом '[t/m, ta+i)m] <мажно
применить интерполяционную формулу Лэгранжа, в ревулътате
чего мы получаем интерполяцию кусками парабол степени т.
"Частный случай т = 1 дает уже упомянутую кусочно линей-
линейную интерполяцию. Можно строить и другие конструкции про-
продолжения, втом чггсле с нелинейным оператор™ 5.
Прт! ме'р 2. 'Видоизменяя "дричйер 1, тгричиет за А = Н1@,1)
пространство Соболева функции, имеющих на f'0, /] обобщен-
обобщенную производную, интегрируемую с квадратам. Посколъ-ку имеет
место вложение Hl(b,'t) в Ц[Ъ, I], то все обсужден-ные в при-
примере '1 операторы тгродоллтен1гя действуют из ся+1 в Я'@, /).
Покажем, что оператор кусочно линейной интерполяции S*
является йптлмалвным в следующем смысле: минимум квадра-
квадратичного функционала / (х) = \ х'2 (/) dt при условиях, что
о
)— Xi, i = 0, J, ..., а, достипаеъся на функции s(.t) = S*x и
тольтсо на ней (см. A)). Поскольку s'(ft) = -~±l—p- на [(,,
fi+i], то для любой функции г(/)е IP @, /) такой, что Tz=0,
¦т.*. a(ii(i) = »(i), a = 'fl, J , <п, имеем
n-tl
= ^ХГ -7 \ z'(t)dt = O.
B)
319

Но тогда для любой функции /@= s@ + гA) справедливо не-
неравенство
/ i
](х)=\ х" @ dt = \ W (I) + z' {t)f dt =
= \ s" @ Л + J 2"
Это означает, что точная нижняя грань d2 функционала J {х)
достигается на функции s(t). Допустим теперь, что эта нижняя
грань достигается также на функции s(t), где Ts — 0. Возьмем
z(t)=s (/) — s{t) и, в соответствии с B), получим
C1
(s', s') = \ s' @ S' (/) d/ = \ s" (t) Л = d2 = J ф" (/) Л,
или, короче,
Для завершения доказательства предлагаем выполнить сле-
следующее упражнение.
Упражнение. Покажите, что если в пространстве со ска-
скалярным произведением для некоторых элементов х и у выпол-
выполняется равенство (х,у) =\\х\\2 =\\у\\2, то х = у.
Согласно упражнению из C) следует, что s' = s', и посколь-
поскольку, например, s(to)= s{t0), то s@= s(/) на [0,/]. Таким обра-
образом, кусочно линейная функция s(t)_является единственной в
Я'@, /) функцией, интерполирующей х и минимизирующей 7(х).
В заключение отметим, что кусочно линейные функции s(t)
дают простейший пример сплайнов (общее определение сплай-
сплайнов будет дано ниже). Вводя 0,(/) —характеристические функ-
функции [ti,ti+i), где 6, = 1 на отрезке [/«, /,-н) и нуль вне его, оп-
оптимальный оператор продолжения S* можно записать в сле-
следующем виде:
^
s @ = 5^ =
(хш -
29.2. Абстрактная постановка задачи о сплайнах и ее реше-
решение. Пусть X и X-6_aHaxoBbi пространства, а оператор
j'eS'f^JP) с R(T) = X есть оператор сужения X на X. Пусть,
далее, У —гильбертово пространство и дан оператор Ле
(,Y).
Определение. Назовем s e X интерполяционным сплай-
сплайном ((Т, А)-сплайном), соответствующим «вектору входных
данных» х ^ Я, если
|| Л* If, = inf
320
Здесь через 7"-'(x) обозначено множество прообразов эле-
элемента х при отображении Г (см. п. 10.1), т. е. множество реше-
решений уравнения
Тх = х. B)
Обозначим, как обычно, через N(Т) и N(A) подпространства
нулей соответственно операторов Т и А. Заметим, что и N(T) и
N (А) лежат в X.
Теорема. Если линейное многообразие AN(T) замкнуто
и N(A)f\ N(T) = {0}, то для каждого ieX существует един-
единственный интерполяционный (Г, А) -сплайн s.
Доказательств_о. Так как по условию R{T) = X, то для
всякого элемента хе Я найдется элемент хо такой, что Тха = х.
Но тогда общее решение уравнения B) имеет вид х = х0 -+- г,
где 2 — произвольный элемент N(T). Задача состоит, таким об-
образом, в определении расстояния в гильбертовом пространстве
У от нуля 0 до аффинного многообразия
Это многообразие М = АТ~[ (х) = Ах0 -f- AN(T) по условию тео-
теоремы замкнуто. Но тогда согласно теореме Рисса (см. пи. 6.2,
6.3) найдется единственный вектор у ен У такой, что
Согласно определению (см. A) и B)) сплайн s, если он
существует, является общим решением двух уравнений:
As = y, Ts = x. C)
Существование s следует из того, что у^АТ~1(х), являюще-
являющемуся замкнутым множеством. Докажем единственность сплайна.
Допуская, что некоторому х соответствуют два сплайна S\ и s^,
¦мы получим, согласно C), для разно-
сти Si — s2 систему уравнений
A(Sl-s2) = Q, T(Si-s2) = 0.
Следовательно, s{ — s2 e N(A) и Si —
— s2<eeN(T), но N (A) ft N (T) = {0}, от-
откуда Si = s2. Теорема доказана.
Приведем несколько интересных фор-
формул для сплайна. Заметим прежде всего,
что для любого х е М — АТ~1(х)
f 2 + \\A(x-s)f, D)
/ Ах
Imj-I,-
JAH(T)
\
\
\
1
\
As
ч/
Рис. 14.
поскольку вектор As есть ортогональная проекция вектора Ах
на М1 (рис. 14). Но
|| А (х - s) ||2 = || Ах ||2 - 2 (Ах, As)
и из D) и E) получаем
\\As\\2 = (As,Ax).
11 В. А. Треногий
\\ As !!2,
E)
F)
321

Последнее равенство можно переписать так:
{As, А (х- s)) = 0.
G)
Равенства D), F) и G) справедливы для всех х ^. Т~\(х)
и называются условиями ортогональности для интерполяцион-
интерполяционного сплайна s (см. формулу B) п. 27.1).
В конкретных применениях доказанной выше теоремы ока-
оказывается полезным следующее предложение.
Лемма. Пусть в X единичный шар слабо компактен (на-
(например, X — рефлексивное или гильбертово пространство);
пусть, далее, А нормально разрешим, его подпространство ну-
нулей N(A) конечномерно, a N(A)dN(T) = {0}. Тогда AN(T)
замкнуто.
Доказательство. Пусть {yn}<=AN(T), причем уп^*-уо,
п-+со. Это означает, что существуют элементы xn^N(f),
Ахп = уп, п = 1, 2, ... Разложим пространство X в прямую сум-
сумму (см. п. 15.1):
X = N (А) 4- X.
Тогда сужение А оператора А на X является непрерывно обра-
обратимым оператором. Полагая хп = zn + хп, где гг„ е N (А), хп е X,
и замечая, что Ахп = уп, получаем хп — А~1уп, т. е. {*„} огра-
ограничена.
Далее, Tzn = — Тхп, ибо Тх„ = 0. Обозначая через Т суже-
сужение Т на N {А), найдем zn= — T~lTxn, откуда {zn} также огра-
ограничена. Следовательно, {хп} ограничена. Пусть {хп,} — ее слабо
сходящаяся подпоследовательность и хо — ее предел. Тогда
при п' -*¦ оо
Ахп, = уп, -»¦ Ахй = уй слабо,
0 = Тхп, -> TxQ слабо.
Следовательно, у0 s AN(T). Лемма доказана.
29.3. Построение интерполяционных сплайнов. В этом
пункте дается метод построения интерполяционных сплайнов
(см. [4]).
Предположим, что выполнены следующие условия:
1) $(А)= Y (если А нормально разрешим, то достаточно
заменить У на R(A));
v 2) N (А) конечномерно;
/ 3) X конечномерно;
4) ditnJV(;4) = m<tt = dim.?;
5) Л^(Л)ПЛ^G') = {0};
6) в X единичный шар слабо компактен.
Согласно лемме и теореме п. 29.2 в этих условиях задача
об интерполяционном сплайне имеет единственное решение,
322
Введем {ф^Г — базис в N (А) и линейно независимую систему
функционалов {Yy}" <= X* таких, что
Пусть еще {ё/}" — базис в X, так что
Тх = ? (х, у,) ё,.
B)
Докажем несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Ранг матрицы (<ф<, у;>), ?=1, ..., m, j =
= 1, ..., п, равен т.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему п
линейных уравнений с т неизвестными
j=\ п.
C)
Ранг ее матрицы г ^ т. Допустим, что г <т. Тогда система
C) имеем нетривиальное решение (а° а°ту
Рассмотрим вектор
Кроме того, г#0 и z е N (Т), ибо <г, у(> = 0, / = 1, ..., п, а
(а°{, ..., a°t) — решение системы C). Но по условию 5) N(A)f\
f]/VG) = {0}, и мы приходим к противоречию. Значит, г = пг,
и лемма доказана.
Обозначим через Г линейную оболочку элементов системы
{Y/}/=i. а через N(A)L — ортогональное дополнение подпростран-
подпространства нулей N(A). Г и N(AI- являются подпространствами в X*.
Лемма 2. dim {Г Г) N (Л)-1} =n — m.
— скаляры), где
п
Доказательство. Пусть у = "X
/-=1
y^N(A)L. Это означает, что ^у} = 0, i — 1, .... m. Для оп-
определения Xi Хп получаем следующую однородную систему
m уравнений с п неизвестными:
?
= 0, i=\, ..., m.
D)
Матрица системы D) является транспонированной по отноше-
отношению к матрице системы C), и, следовательно, eg ранг равен m
|(см, лемму i), Но тогда система D) имеет п—гЩ линейно неч
зависимых решений. Лемма 2 доказана
и*
323

Фиксируем, далее, {ф*}" т — базис в Г р,Лг(Л)х. Заметим, что
п
^=S^/Y/. k = \, ..., п —т, E)
где (?wfti, ..., Я,*п), fe = 1, ..., п — in,— фиксированный набор
линейно независимых решений системы D).
Мы видели в п. 29.2, что если .s — сплайн, то As ^{AN(T)}1.
Следующая лемма позволяет связать многообразия {ЛЛ'G)}Х
и Г Л N (АI.
Лемма 3. {AN(T)}i- = (Л*)-'{Г л N(AI}.
Доказательство. Утверждение леммы равносильно сле-
следующему равенству:
Заметим теперь, что N(A)-1 = R(A*) (см. п. 2f.C). Если у ев
е A*{AN{T)}L, то найдется y<={AN{T)}L такой, что у = А'ч-
Значит, у <= N(AI- = R(A*). Покажем, что у <= Г. Пусть ге
€Е Л'(Г), тегда
(г, y> = (г, А'у) = (Аг, у) = О,
так как у c={AN (T)}-1. Мы доказали включение
Обратно, если у <= Г и у е Л'(ЛI, то 7еЛ(Л*), т. е. у =
= Л*//. При этом <г, ¦у>=0 для любого z^N(T), т. е.
0 < Л') (Л)
т.е. у ^.{AN(T)}1, и доказано обратное включение, а вместе
с этим п лемма 3.
Лсмчы 1—3 позволяют дать следующую процедуру вы-
вычисления сплайна s. Пусть {\|ife}"~m — базис в Г Л Л/(ЛI; тогда,
согласно лемме 3, {fk}nkZ"' = {(Л*ГЧ*)*1Т ~ базис а {^^(Т)}1,
т. е. в подпространстве, где лежит вектор As. Но тогда эле-
элемент As = y можно искать в виде разложения по базису {/t}^~7"
F)
Умножив это равенство скалярно на вектор /;, получим, исполь-
используя формулу E),
Р*(/*, //) =
Z
324
Поскольку, согласно формуле B),
ТО <S,
Ts=
= 1, .... П, ЯВЛЯЮТСЯ ИЗВесТНЫМИ
G)
п
вектора входных данных х = X! ?/<?/. Таким образом, для оп-
определения чисел Р/г получается система уравнений.
Р* (/*,//) =ЕЯ.,Д„ /==1, .... «-т,
(8)
с матрицей Грама, имеющая единственное решение, но тогда
найден вектор
As = Cx, (9)
где С — линейный оператор, действующий из X в {AN(T)}1.
Для определения самого сплайна s нужно решить совместно
уравнения G) и (9). Эта задача имеет единственное решение
(см. формулу C) п. 29.2). Тем самым каждому элементу хе!
ставится в соответствие определенный эпемент seJ[, и, зна-
значит, задан оператор
5 = S'X.
Упражнение. Покажите, что оператор S* — линейный ог-
ограниченный оператор.
Построение оптимального оператора продолжения закончено.
29.4. Кубические сплайны. Поставим задачу отыскания
функции л (/)е/V2@,/), реализующей минимум функционала
I2(x)=\[x"(t)\-dt,
при условии, что x(tt) = xt, г = 0, 1 п, где * = (O"_i ~ век"
тор входных данных, а /0, i\, ¦¦¦, tn — система узлов на [0, /].
В абстрактной интерпретации имеем
Х = Н2@, /), Y = 2i(b, I), X = %+\
Проверим условия 1) — 5) п. 29.3. Область значений опера-
оператора d2/dt2 равна ^(О, /); далее, N (Л) — двумерное подпро-
подпространство многочленов co + C[t, т. е. размерности 2, а Я (п+ 1)-
мерно. При п> I выполняется условие 4), а также и условие
5), ибо N(T) состоит из функций, обращающихся в нуль в п
точках, что невозможно для ненулевого многочлена 1-й степени.
Наконец, условие 6) выполнено, так как Н2@, /) — гильбертово
пространство.

Отсюда вытекает, что можно воспользоваться леммой и тео-
теоремой п. 29.2, и, следовательно, наша вариационная задача
имеет единственное решение S2(t), которое называется интер-
интерполяционным кубическим сплайном, отвечающим вектору вход-
входных данных х. Применима также процедура п. 29.3 построения,
сплайн-функции.
Приведем краткую схему вычисления s2(t) в случае равно-
равномерной сетки (t, = ix, nx = /). Функционалы (yJ"_0 над элемен-.
тами x(t) e№@,/) задаются здесь формулами
{х, Yi) = х (tt), i = 0,1, .... п.
Далее, нетрудно проверить, что базис {^fc}?lo в TQiV(A)*"
можно выбрать следующим образом:
1
^« = ^t(Y«+j — 2Ys + Ъ-\Ь s=l, ..., я—1. A)
Оператор A* = {d?/dt2)* является линейным ограниченным
оператором, действующим из 2*2@, /) в Я2 @, /), причем N[A*) =
= {0}t a R{A*) состоит из функций, ор-
ортогональных 1 и t. Поэтому $sgR(A*\
и определены функции
М0 = (Л*ГЧ«» s=l,2, .... я—1,
образующие базис в {AN{T)}L. Оказы-
Оказывается, функции fs{t) задаются следую-
следующими явными формулами (рис. 15):
1 О
Рис. 15.
@ = -!?
- 0+ - 2 (/. ~
1-0+], B)
где а+ = а при а > 0, а+ = 0 при а ^ 0. Поскольку для лю-
любого ^? Я2@, /) имеет место равенство
Gs, Ах)^^ ^^ ц = (Л /4> JCj^2 ^Q^ q = (ips, ЛГ),
то для проверки формулы B), вследствие A), достаточно вы-
выполнить следующее вычисление.
Упражнение 1. Покажите, что любой функции х е
е//2@,1) и функции /«XOi задашои формулами B), имеет
место равенство
Наконец, можж» вычислить скалярные произведения (ffc,
fi)g,fatn, а значит, и матрицу системы G) п. 29.3.
Упражнение 2. Покажите, что (/*, f*)'= 2t/3, (fs,/fc+i).^
='(f*. f*-i)^ т/6« a ^ft' ^'^ Ol^klkk± U
826
Таким образом, система G) п. 29.3 имеет вид
о
з 6 ° •••
6 з 6 "'
о
о
т 2т
6 3 J
р|
т
i — 2х2 •
и решается, например, методом прогонки (см. [1]).
Мы вычислили (см. формулу F) п. 29.3)
л-1
А-1
и поскольку fk(ti) = 6ki, k, l=\ п—1, то мы знаем, что
Упражнение 3. Покажите, что на [tt, t,+\] сплайн s(t)]
задается формулой
6т ^Р'+> бт^ •"
Воспользуйтесь тем, что на [tht,+\], согласно формулам D) и
B),
и граничными условиями E).
Аналогично рассматриваются общие полиномиальные сплай-
сплайны, а также сплайны, порождаемые различными дифференци-
дифференциальными операторами (см. [3], [4], [27]).
29.5. Продолжение приближенных решений. Пусть даны
банаховы пространства X и Х„ и операторы продолжения Sn s
е & (Хп, X). Рассмотрим {х„}, где хп е Хп.
Определение. Будем говорить, что {хп} S-сходится к
элементу х е X, если при п -у- оо
-л^->0. A)
Краткая запись: хп —> х или S— lim xn = x.
Согласно этому определению S-сходимость {хп} к х — это
сходимость к х (по норме X) последовательности Snxn. Отсюда
вытекает единственность S-предела.
Пусть заданы также операторы сужения {Та};
Тп^З?{Х,Хп\

Изучим связь двух видов сходимости: Г-сходимости (п. 29.1) и
•S-сходимостн. Запишем следующее тождеетво и оценим по
норме:
Snxn -x = Sn (xn - Тпх) + (SJnx - х), B)
II Snxn - х |! < || Sn || || ха - Тпх || + || SJnx - х ||. C)
Отсюда вытекают следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) ШКг;
2) SnTnX -»¦ х, п -> оо.
Тогда из 7 сходимости {х„} к х следует ее S-сходимость к х..
Теорема 2. Если SnTnx->x, n -*¦ оо, и \\х„ — Тпх\\ =
— o{\\Sn\\-]) при п -»- оо, то хп -* х, п-* оо.
Заметим, что оценку сьорости S-сходимости {х„) к х даег
неравенство C).
Поскольку A/(Sn) = {0}, то оператор Sn непрерывно обратим
на R(Sn), если R(Sn) замкнута. Но тогда имеем следующую
оценку:
хп - Тпх |! = \SnXSa (хп - Тпх) ||
х—SnTax II}.
и, следовательно, справедливо такое утверждение.
Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия.
1) Sn нормально разрешимы;
2) i|Sn*n —jcll^ods^'r') при я-*оо;
3) ||je-SnrnJt|l = о (| SiT' Г') при п-юо.
Тогда хп —*¦ х, я-> оо.
Рассмотрим теперь точное линейное уравнение
Ах = у, y<=D(A),
и приближенную схему
E)
Известным недостатком приближенных решений хп является
то обстоятельство, что х„ е Х„, в то время как ieA, т. е. при-
приближенные решения лежат в одних пространствах, а точное ре-
решение— в другом. Устранить этот недостаток можно с помощью
оператора продолжения. Выражение
x« = SHxa, F)
где хп — приближенное решение, уже лежит в том же простран-
пространстве X, что и точное решение. Например, решение разностной
схемы с помощью сплайнов или каким-либо другим способом
328 -
можно записать в явном виде, изобразив его приближенно до-
достаточно гладкой функцией.
Объединяя результаты основной теоремы п. 27.5 о Г-сходи-
Г-сходимости и теоремы 1, мы приходим к следующему предложению
(в упрощенном варианте).
Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:
1) N_(A) = {Q};
2) {Ап} аппроксимирует А на D(A)\
3) уп -^ У,
4) выполнено условие устойчивости;
5) ШКс;
6) SnTux^y х, п -*¦ оо, где х — точное решение.
s
Тогда хп —» х, л->оо, и справедлива оценка
!SА -
< ||
\\х + су-1 flУп-Гпу\\?п + \\Т'пАх-АпТпх\\?у
,Приведем два примера иллюстративного характера.
Пример 1. Пусть X = Я1 @, /), Тпх (/) = {х (/*)}?_„, {tk}nk=0-
равномерная сетка на [0, /], tk = kx, nx = t. Аппроксими-
Аппроксимирующие X пространства Хп зададим как пространства столбцов
xn = (xk)l_0 с нормой
xk\. G)
|= max \
0<*<n
max
В качестве оператора Sn выберем оператор кусочно линей-
линейной интерполяции (см. п. 29.1):
п-1
(8)
Оценим сначала норму Sn^9?{Ха, X). На (/А, /ft+1)
*l + |Jf*+il<2 max \xh\,
0<fc<n
—Jf*l<T-L max \xk+l-xk].
Возведя эти неравенства в квадрат, складывая полученные
неравенства и интегрируя затем на [0, /], получим
11 * 1РИ. ,о, « < I B max j xk \f + I (x~l max \xk+l - xk |J <
< 4/ (max | xk \ + x~i max | xk+l — xk |J,
Мы доказали неравенство (см. условие 1) теоремы 1)
II SJ|< 2 VT. (9)
Э2Э

Оценим теперь \\SnTnx — x\\W(q „ в нредположении, что
Я2@, /). На \tk, tk+i) имеем
t
x) @ =
<ft+l
Следовательно, на [rfft, tk+\]
x"(l)\dt,
Возведя эти неравенства в квадрат, складывая полученные не-
неравенства и применяя неравенство Коши — Буняковского, полу-
чаем
\x"{\)?dl.
Интегрируя последнее неравенство на [/*, tk+x], а затем сумми-
суммируя по k от 0 до п— 1, получим (при т < 1)
n-l (
I х - SnTax |рД1 (Of „ < 8т2 ? 9, @ J | х" (|) I2 rf| = 8t2 \ I *" (?) I2 d\.
Таким образом, если «е/Р@, /)', то
A0)
где
330
-*vs-(ji
1/2
Оценки (9) и A0) обеспечивают выполнение условий тео-
^^Я2@,1), то
ремы 1. Таким образом, если при п
s
схз
Пример 2. Рассмотрит разностную схему п. 28.1. Соглас-
Согласно оценке A3) п. 28.1, если точное решение x(f) имеет ограни-
ограниченную четвертую производную, приближенные решения хп схо-
сходятся к точному решению. Пусть Sn — оператор кусочно линей-
линейной интерполяции,тогда
Н SaXri - х Цд, @_ 0 < S Sn || U -
Более высокий порядок сходимости можно получить, исполь-
используя ннтерноляцию приближенных решений сплайнами высших
порядков.
§ 30. Метод Галёркина
Теория разностных схем является лишь одной из возмож-
возможных реализаций общего подхода, изложенного в § 27. Ниже мы
остановимся на другом важном случае. Речь идет о большой
группе приближенных методов решения уравнений (методы
Ритца, Бубнова, Галёркина, Петрова), объединяемых обычно в
современной литературе под общим названием «метод Галёр-
Галёркина». В последние годы идеи метода Галёркина выражаются
чаще всего в форме вариационно-разностного метода конечных
элементов (см. [3], [27], [7]).
30.1. О системе уравнений приближенной схемы Галёркина.
Пусть А — линейный оператор, отображающий взаимно одно-
однозначно плотную в банаховом пространстве X область опреде-
определения D(A) на область значений R(A), лежащую в банаховом
пространстве У. Пусть у ^R(A)—фиксированный элемент.
Для разыскания приближенного решения x^D(A) уравнения
Ах = у A)
проведем следующие построения.
Выберем в D(A) линейно независимую систему элементов
{фй)Г ~ координатную систему. Далее выберем в У* линейно
независимую систему {т^Г ~" проекционную систему. Прибли-
Приближенное решение хп уравнения A) будем искать в виде линей-
линейной комбинации первых п векторов координатной системы:
*.«¦?&*. B)
Потребуем, дал«е, чтобы «невязка» Ахп — у была ортого-
ортогональна к первым п линейным функционалам проекционной
931

системы:
(Ахп —
1=1, .... п.
C)
В результате мы приходим к следующей системе п линейных
уравнений с п неизвестными для определения коэффициентов
li, ..., ^л в выражении B):
?
D)
В общем случае нельзя утверждать, что определитель си-
системы D) отличен от нуля и что она имеет, таким образом,
единственное решение. Даже если это так, нельзя гарантиро-
гарантировать, что последовательность приближенных решений {хп}, оп-
определяемых формулами B) и D), сходится к точному решению
х уравнения A). Для исследования этого круга вопросов по-
построим последовательность операторов сужения {Prt}cz2'(X)
и (Qn}c=2'(y). Выберем сначала в А'* систему элементом {уЛГ
так, чтобы
Yi»ft. ?_, =И= 0, л=1,2 E)
и положим
А--1
F)
Далее выберем в У систему элементов (г,}х так, чтобы
det ((г/, ij>,»7.,_, Ф 0. « = 1,2,..., G)
II ПОЛОЖИМ
п
Qnx=Z (у, *ft>zft. C)
А 1
Если, в частности, условия E) н G) выполнены в следующей
усиленной форме:
<Ф*. Y,> = 6«. Л, / = 1,2 (9)
то операторы Рп и Qn оказываются конечномерными проекто-
проекторами в X и Y соответственно. Действительно, в этих случаях
(проверьте!)
* л — 'п> Qn — Qn-
A1)
В теоретических рассуждениях условия С9), A0) обычно
можно считать выполненными и методы типа Галёркина иногда
называют также проекционными методами. В следующих пунк-
пунктах рассматриваются также операторы сужения Рп и Qn более
общего, по сравнению F) и (8), вида, в частности, они могут
быть и бесконечномерными.
332
30.2. Галёркинская аппроксимация. Зададим в банаховом
пространстве X последовательность операторов {Рп}а S (X) с
замкнутыми областями значений
(т.е. Рп нормально разрешимы). Таким образом, можно счи-
считать, что Рпе. !?(X, Хп). Перефразируем для данного случая
понятие Г-сходнмости (см. п. 27.1). Рассмотрим .{*„}, где х„е
е Х„. Будем говорить, что эта последовательность Р-сходится
к элементу хеХ, если
||jcn — Р„л;||->-0, tt-»oo.
Заметим, что в общем случае понятие Р-сходимости не сов-
совпадает с понятием сходимости в пространстве X. Для того что-
чтобы изучить связь этих понятий, полезно дать следующие опре-
определения.
Определение 1. Будем говорить, что х е X является Р-
предельной точкой (или предельной точкой последовательности
подпространств {Хп}), если Р„х-*- х при п-*- оо.
Определение 2. Если всякий элемент х^Х является
Р-пределыюй точкой, то последовательность подпространств
{Хп} называется предельно плотной в X.
Приведем элементарную лемму о связи сходимости в X (по
норме) с Р-сходимостью.
Лемма 1. Пусть точка х является Р-предельной точкой
последовательности подпространств {Хп}. Для того чтобы после-
последовательность {х„} Р-сходилась к х, необходимо и достаточно,-
чтобы {х„} сходилась к х.
р
Доказательство. Если хп -* х, то
IP v vl
п-
оо
(первое слагаемое справа стремится к нулю вследствие Р-схо-
Р-сходимости, а второе — вследствие Р-предельности х).
Аналогично, если хп~*-х, то
Лемма доказана.
Следствие 1. Если {Хп} предельно плотна в X, то поня-
понятая Р-сходимости и сходимости (по норме) в X совпадают.
Остановимся подробнее на случае, когда операторы Рп за-
задаются формулами F), (9) п. 28.1, т. е. являются конечномер-
конечномерными проекторами в X. i
-Системы {фА}°°, {yJ , удовлетворяющие условию (9), назы-
называются биортогональными. По аналогии с терминологией, при-
применяемой в теории рядов Фурье, числа <л;, у<>* назовем
333

коэффициентами Галёркина, выражение F) п. 30.1—многочле-
30.1—многочленом Галёркина, а формальный ряд
аа
A)
— рядом Галёркина элемента х по биортогональной паре систем
элементов {фЛГ> (Y/}7-
Вопрос о том, для каких х ряд Галёркина A) сходится к к
(иначе —какие х являются Р-предельными точками), решается
по-своему для каждой ортогональной пары систем, порождаю-
порождающих проекторы Рп. Очень важно также уметь оценить скорость
стремления Рпх к х. Обычно нужная скорость обеспечивается
достаточной гладкостью х, если X — конкретное функциональ-
функциональное пространство. Даже в частном случае гильбертова про-
пространства в галёркинской аппроксимации редко пользуются ор-
ортогональной системой {ф.), предпочитая ей биортогональную а
Я пару систем {ф,} и {vJ. Если, однако, {ф,} ортонормирована,
то проекторы
п
Рп = Е (•, Ф;) ф<
оказываются ортопроекторами: Р'п = Рп, т. е. самосопряженны-
самосопряженными операторами в Н. Известно (см. п. 6.6), что если {Ф,} пол-
полная, то РпХ-^х при п->оо. Числа |, =(х,ф,) теперь являются
коэффициентами Фурье элемента х по ортонормированной си-
системе {ф<}, причем (см. формулы C), D) п. 6.6)
-Pnxf= S
B)
и вопрос о скорости сходимости Рпх к х сводится к вопросу о
порядке при п->оо коэффициентов Фурье ?я.
Перейдем к вопросу об аппроксимации линейных операто-
операторов. Пусть А — линейный, вообще говоря, неограниченный
оператор с плотной в банаховом пространстве X областью опре-
определения D(A) и с областью значений R{A) в банаховом про-
пространстве Y. Пусть {Хл}сВ(Д) и {Yn}czY— две последова-
последовательности конечномерных подпространств, причем dim Xn =
= dim Yn. Пусть, далее, {Рп} и {Qn\—две последовательности
конечномерных операторов (например, проекторов): РпХ = Хп,
QnY — Yn. В качестве операторов, аппроксимирующих оператор
Л, возьмем сужение на Хп оператора QnA.
Определение 3. Будем говорить, что на элементе хе
еО(Л) выполнено условие аппроксимации {по Галёркину),
если
o. C)
334
Нетрудно убедиться, что определение 3 является частным
случаем общего определения (см. определение п. 27.3).
Условие аппроксимации C) удобно представить в следую-
следующем виде;
\\QnA(x-Pnx)\]y->0, n-*oo. D)
Отсюда легко выводится следующее предложение.
Лемма 2. Положим
©„= sup IIQJ.
E)
Если оператор Л ограничен, а Р — предельная точка, причем
|лс — Pnxj = o (to) при п-+оо, то на элементе х выполнено ус-
условие аппроксимации.
Доказательство вытекает из оценки
|| QnA (х - Рпх) || < (о„ || Л || || * - Рпх ||.
Следствие 2. Пусть х — предельная точка, а последова-
последовательность {Qn} равномерно ограничена (г. е. найдется постоян-
постоянная с такая, что \\Qn\\ ^с, п = 1,2,...); тогда на х выполнено
условие устойчивости.
Упражнение. Покажите е помощью неравенства тре-
треугольника, что если Л = А\ + Л2, причем для каждого из опе-
операторов А\, Л2 выполнено условие аппроксимации, то оно вы-
выполнено и для оператора Л.
30.3. Условие устойчивости. Определение. Галёркинская
аппроксимация оператора Л называется устойчивой, если суще-
существует не зависящая от п постоянная у > 0 такая, что для всех
хп е Хп, начиная с некоторого номера,
WQnAxJy^yUnh. (О
Разумеется, данное определение является частным случаем
общего определения устойчивости приближенной схемы (см. оп-
определение п. 27.4).
Лемма 1. Пусть для всех x^D(A) выполняется неравен-
неравенство (а > 0 — постоянная)
И Л* II > а ||* ||. B)
Если, кроме того, для любых уп е АХп выполняется неравен-
неравенство
IIQ^JI^PII^II, C)
то выполняется условие устойчивости с у = ар.
Доказательство вытекает из неравенства
335

Остановимся подробнее на случае, когда X и У— гильбер-
гильбертовы пространства, аР«и Qn—ортопроекторы:
1=1
D)
Теперь условию устойчивости A) можно придать чисто ал-
алгебраическую форму. Полагая
п
хп = ?
?
находим, раскрывая скалярный квадрат (QnAXn, QnAXn),
и условие устойчивости галёркинской аппроксимации оператора
А принимает вид
La
6s
/-1
( = 1
b;,
E)
1 где си = 2.
Таким образом, условие устойчивости E) — это условие по-
положительной определенности некоторой, связанной с операто-
оператором А, квадратичной формы. Проверка этого условия может
быть выполнена, например, с помощью известного критерия
Сильвестра (см. [5]).
Существует широкий класс операторов А, действующих в
гильбертовом пространстве Я = X = У, для которых условие
устойчивости проверяется особенно просто. А именно, пусть
для всех х е D(A) выполняется неравенство
(Ах, х)^\(х, х). F)
Пусть Рп = X (•, ф() ф; — ортопроектор в Я, тогда Рп = Р\ и,
следовательно, для всех хп е Хп = РпХ
(РпАхп, ха) = (Аха, Раха) = (Аха, xB)>vll*JP.
С другой стороны, (РпАхп, хп) <^\\РпАх„МхЛ, и мы приходим
к условию устойчивости:
Доказана следующая лемма.
Лемма 2. Если выполнено условие F), то для любого ор-
топроектора Рп галёркинская аппроксимация оператора А ус-
устойчива.
Сделаем теперь следующее полезное замечание.
336
Замечание. Пусть А = А{ -f А2. Если для всех х е D(A)
(A,x,x)^yi\\x\\2, (A2x, x)$zy2\\x\\2, где Yi + Y2 > 0, то для опе-
оператора А выполнено условие F), а с ним и лемма 2.
Доказательство предоставляем читателю.
30.4. Условия сходимости галёркинской схемы. Рассмотрим,
как и в п. 30.1, уравнение
Ах = у A)
с оператором А: Х-*-У, вообщг говоря, неограниченным, с плот-
плотной в X областью определения D(A). Как и в'п. 30.2, введем
операторы сужения KeS'^, Xn), Qn e S(У', У~п) с замкну-
замкнутыми областями значений Хп = РпХ и У„ = QnY.
Рассмотрим, далее, галёркинскую схему решения уравнения
A), т. е. следующую последовательность приближенных' урав-
уравнений:
QaAxa = Qny. B)
При этом решение хп уравнения B) разыскивается в Х„. Бу-
Будем говорить, что галёркинская схема B) сходится, если при
каждом п приближенное решение хп существует и единственно,
начиная с некоторого номера, и при этом
¦ х, п-
оо.
где х — точное решение (решение уравнения A)). Перефрази-
Перефразируя основную теорему о Г-сходимости на рассматриваемый слу-
случай, мы приходим к следующему предложению (см. п. 27.5).
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) уе/?(Л), a Qny e QnAxn (т. е. точные и приближенные
уравнения разрешимы);
2) Рпх-*-х на каждом точном решении х\
3) Qny -*- у на правой части у уравнения A);
4) ||Qn<4jc — QnAPnxWy-*-0, т. е. выполнено условие аппрокси-
аппроксимации;
5) ||Qn/4xn|| к ^ vllxnll*, начиная с некоторого номера, для
всех Хп ^ Хп, т. е. выполнено условие устойчивости.
Тогда точное решение х единственно, начиная с некоторого
номера приближенное решение хп единственно, а галёркинская
схема B) сходится и имеет место оценка
I! ха - х || < || Рпх - х || + Y II QnAx - QnAPnx ||. C)
Доказательство. Из условия устойчивости следует, что,
начиная с некоторого номера, приближенное решение хп един-
единственно. Пусть х — какое-либо точное решение. Воспользуемся
условием устойчивости, а затем уравнениями B) и A) и полу-
получим оценки
-VI! х„ - Рпх || < || QnAxn - QaAPnx || = || Qay - QnAPnx || =
= \\QnAx-QnAPnx\\.
337

Отсюда следует оценка C), а из нее — единственность точного
решения, поскольку {хя} может иметь лишь один предел. Тео-
Теорема доказана.
Замечание 1. Если Хп и У„ конечномерны и dtraX«=.
= dim У„, то из условия устойчивости следует однозначная раз*
решимость приближенных уравнений, начиная с некоторого но-
номера.
Действительно, пусть Аа — сужение оператора QnA на Хп.
Ап е 9?(Хп, Yn) и N(An) = {0}, согласно условию устойчивости,
начиная с того же номера щ, с какого выполняется условие Ъ\
теоремы.
Замечание 2. Если ||Qn|| <c и А ^2?(Х, У), то оценку
C) можно заменить следующей:
lUn-JclKO+Y-'cMIDHP,,*-*!!. D)
30.5. О методе наименьших квадратов. Начнем с рассмот-
рассмотрения простейшего случая. Пусть А — линейный оператор, дей-
действующий из плотной в гильбертовом пространстве Н области
определения D(A) снова в Н. Рассмотрим на D(A) функцио-
функционал у(х)=\\Ах — у\\2. Решение х* уравнения Ах = у, y^D(A),
доставляет минимум функционалу <р(х). Для приближенного
определения решения выберем в D(A) линейно независимую си-
систему {(fi}1. Пусть Нл — подпространство, натянутое на фЬ ...
..., ф„. Приближенное решение *„=
требования, чтобы
]?
разыскивается из
7^
— y\ =min.
Таким образом, вопрос о вычислении С\, ..., сп сводится к
вопросу о наилучшей аппроксимации правой части у линей-
линейными комбинациями векторов системы {Лф,}г Этот метод при-
принято называть методом наименьших квадратов. Ниже вопрос о
сходимости метода наименьших квадратов решается в более об-
общем случае. Пусть А — линейный оператор, действующий из
плотной в банаховом пространстве X области определения D(A)
в банахово пространство У. Пусть нам удалось найти систему
линейно независимых элементов {ф,}" с D (А) и систему линей-
линейно независимых функционалов {^)Г <— & И*)» согласованные
таким образом, что
{/htt,fy) = 6u. A)
Зададим проекторы Ря в X и Qn в У так:
Ф„ Qny = t (У, Ь) Ар,.
ii
B)
,338
П / п N
nAx = ? (Ах, Ч>,> Лф, = А [ Z <*, ЛЧ.) ф, 1.
При таком способе задания проекторов галёркинскую схему бу-
будем называть схемой наименьших квадратов. Для всякого х е
е D(A) теперь имеем
Qn
Таким образом, на D[A) справедливо равенство
QnA-АРп. C)
Справедлива следующая теорема о сходимости схемы наимень-
наименьших квадратов для уравнения A) п. 30 4.
Теорема. Пусть A; X-+Y плотно задан в X а для всех
D(A)
Если правая часть у (= R{A) и Qny-+y, то схема наименьших
квадратов сходится, причем
Доказательство. Из равенства C) и неравенства D)
имеем
И QnAxn || = || АРпха || = || Ахп || > y II хп ||,
и условие устойчивости схемы выполнено. Далее, из того же ра-
равенства C) имеем QnAx = QnAx = QnAPnx, и, следовательно,
условие аппроксимации на D(A)
\\QnAx-QnAPnx\\ = Q
выполняется точно. Но тогда согласно оценке D), снова исполь-
используя D) н C), получаем
II *„ - х' || < || Рпх - х || < Y II АРах - Ах || =
= Y II АРпх -у\\ = Y-1 II ЯпУ ~ УII.
Теорема доказана.
30.6. Примеры к методу Галёркина. Приведем простейшие
примеры, иллюстрирующие применения метода Галёркина.
Пример 1. Рассмотрим в гильбертовом пространстве Н =
= ??2@, 1) следующую краевую задачу (см. § 14):
Ax^-x" + c(()x = y{t), A)
*@) = хA) = 0 B)
с непрерывными на [0, 1] параметрами c(t) и y(t). Пусть, кроме
того, на [0, 1]
с{()>а>-8/п. C)
Задачу A)—B) будем трактовать как операторное уравнение
с неограниченным оператором А, область определения которого
339

D(A) состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на
[О, 1] функций x(t), непрерывных на [0, 1] и удовлетворяющих
граничным условиям B). В качестве координатной системы вы-
выберем ортонормированную в Н, полную в Н систему функций
Фа = V2" sin Ы, k = 1, 2, ...
Упражнение 1. Покажите, что для всех x
ведливо следующее неравенство:
D)
D(A) спра*
х). E)
Воспользуйтесь оценками F), G) п. 14.4.
Заметим теперь, что из оценки E) и ортонормированности
системы D), в соответствии с п. 30.3 (неравенства F), G)),
следует условие устойчивости галеркинскои приближенной схе-
схемы B) с
Упражнение 2. Покажите, что галёрки-нские приближе-
приближения имеют вид
л
*»(/)= X 1*ф*с),
k1
где коэффициенты gi, ..., \п определяются из системы уравне-
уравнений
я
1-1
k = l п.
При этом
1 I
=\c (/) фй (/) ф, (/) dt, i\k=\y (') Фй С) dt.
Эта система однозначно разрешима.
Для проверки условия аппроксимации воспользуемся упраж-
упражнением конца п. 30.2, представив оператор А в виде
А = -~ + сЦ).
Так как ||Р„||= 1 и оператор умножения на c(t) ограничен (про-
(проверьте!), то для него условие аппроксимации выполняется (см.
лемму 2 п. 30.2).
Проверим теперь условие галеркинскои аппроксимации для
оператора — d2jdt2 с областью определения D(A). ВоспользуеМ'
ся его симметричностью и тем обстоятельством, что ф^ является
его собственной функцией, отвечающей собственному значению
310
% = k2n2. Имеем
- ¦&] р*х =
fc-1
k=l
Следовательно, также
Таким образом, для любой функции х е D(A)
Рп [~
~ Рп Y~
0>
т.е. для оператора — d~/dt2 условие аппроксимации выполнено
точно. Согласно теореме п. 30.4 галёркинская схема сходится.
Упражнение 3. Докажите справедливость следующей
оценки гглёркинских приближений:
I ха - х 1
+ (| + «)
"'
@ ||rf] II х - Рпх ||„.
Пример 2. Пусть Q ==[0, 1]Х[0, 1]— единичный квадрат с
-границей Г и Н = S>2{Q)- Рассмотрим задачу Дирихле
Аи = — S.u -f с {х, tj)u = h (x, у),
и |г = 0.
F)
G)
- Предположим, что функции с(х, у) и h(x,y) непрерывны в
Q и таковы, что задача F)—G) имеет единственное клаесиче^
ское решение (см. п. 17 3).
Упражнение 4. Покажите, что
(8)
(Справедливо более сильное неравенство, где вместо 16/я мож-
"Но взять 2л2.)
Предположим, далее, что на Q
с(х,
— 16/я.
(9)
, В качестве координатной системы в 5*2(Q) выберем систему
функций
Уы — 2 sin knx sin kny, k, /=1,2, ... A0)
341

Из неравенств (8) и (9) вытекает, что
(Ах, х) ^ ( 1- а) (х, х).
Поскольку система A0) ортонормирована, то устойчивость га-
лёркинских приближений еледует из последнего неравенства*
Проверка условия аппроксимации проводится так же, как в при-
примере 1, так как система A0) — это система собственных функ-
функций оператора —А, а оператор умножения на с(х,у) в &2(Qj\
ограничен.
30.7. О методе Галёркина для линейных уравнений 2-го ро-
рода. В этом пункте общий метод Галёркина применяется к ли-
линейным уравнениям специального вида. При этом оценку ско-
скорости сходимости галёркинской приближенной схемы, получен-
полученную в общем случае, удается улучшить.
Рассмотрим в банаховом пространстве X уравнение
х-Кх = у A)
с оператором К^-3? (X), yej[, Пусть всюду ниже оператор
/ — К непрерывно обратим. Введем последовательность проек-
проекторов {Рп}^ 3?(Х), и пусть Хп = РпХ — подпространства в X.
Галёркинские приближения хп определим как решения уравне-
уравнений
хп-РпКхп = Рпу. B)
*)тсюда следует, что х„ е Хп. Все изложенное выше снравед-
ливо, конечно, для уравнений A) и B). Условие устойчивости
означает, как обычно, справедливость априорной оценки
для возможных решений последовательности уравнений B).
Оно выполняется, в частности, если все операторы / — РпК не*
прерывно обратимы н
I(/-/VCr!|<Y. я =1.2, ...
C)
Достаточное условие C) дает теорема об обратном операторе
п. 12.5. Если
\\PnK-K\\<q\\(I-Krir\ 9^@,1), D)
то, согласно неравенству E) п. 12.5, справедлива оценка C) с
.. 1К/-КГЧ1
Оценка D) выполняется при всех достаточно больших п, если
при и ->-оо РпК-*-К. Что касается условия устойчивости, то при
il^nll^ с оно следует из ограниченности оператора К. Отметим,
однако, что общая оценка (см. формулу D) п. 3*8.3) в рассмат-
342
риваемом случае может быть улучшена. Действительно, так-как
Кх = х — у, то
хп-х = {1- PnK)~l PnS-x = (I- РпКГ1 (Рпу -х + РпКх) =
-1,
= A-РпКГ{Рпх-х)
и мы приходим к оценке
Если же при п -*¦ оо РпК. -»¦ К, Р»у -*¦ у, то
хп — х = (/ - РпКГ1 (.РпУ — у) + [(/ - РпКГ1 — U —
= (I - РпКГ1 (РпУ — у) + A — РпК)~1 V
и, следовательно,
— дд/—Aj у
Приведенные в этом рассуждении оценки применимы к раз<
личным классам линейных уравнений и, прежде всего, к инте-
интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода
ъ
x(t)-\K(t,s)x(s)ds = y(t) E)
а
в пространствах С[а,Ь] и 3'i[a,b\.
Упражнение. Докажите сходимость приближенной
мы Галёркина для уравнения E) в ^(О, 1) с ядром
*Is
если выбрана координатная система {д/2 sin knt}™=l.
Указание. Докажите сначала, что РпК-+К, п-*-оо, в
2-8@,1).
30.8. Вариационная форма метода Галёркина. Следуя
[27], изложим один достаточно общий вариант метода Галёр-
Галёркина, последовательное развитие которого приводит к так назы-
называемым вариационно-разностным уравнениям (см. п. 30.9).
Пусть А — линейный оператор, действующий из плотной в ве-
вещественном гильбертовом пространстве X области определения
D(А) снова в то же пространство X.
Скалярное произведение в X будем обозначать через (х,у),
а соответствующую ему норму — через |дгЦ. Рассмотрим урав-
уравнение
Ах = у. A)
Обобщая рассуждения п. 17.3, определим обобщенное решение
Уравнения A). Пусть Н — еще одно гильбертово пространство
со скалярным произведением [и, v] и нормой \и\, отвечающей
этому скалярному произведению. Предположим, что выполнены
Следующие условия:

I. H вложено в X, Н гэ D(A), причем в Н 4- Н определен би-
билинейный ограниченный функционал а(и, v), т. е. вещественно-
значная функция, линейная по и при фиксированном v, линей-
линейная по v при фиксированном и и такая, что
П^сть при этом для всех х е D(A) и всех oe/f
а (х, v) = (Ллг, v).
П. Найдется постоянная v
выполняется неравенство
а (и, u)
такая, что для всех «
C)
D)
Определение 1. Оператор Л, удовлетворяющий условиям
1 и II, будем называть И-эллиптическим.
Определение 2. Элемент хе// назовем обобщенным ре-
решением уравнения A) с //-эллиптическим оператором А, есль
для всех чей имеет место тождество
= (у, v).
E)
Заметим, что, согласно C), билинейный функционал а(х, v)
является расширением с D(AL-H на Н 4- Н билинейного функ-
функционала {Ах, v). В соответствии с этим понятие обобщенного
решения оказывается расширением понятия решения уравнения
A). Тождество E) обычно называют при этом вариационной
формой уравнения A). Для доказательства существования и
единственности обобщенного решения уравнения A) мы вос-
воспользуемся методом Галёркина. Это можно сделать и иначе,
усиливая рассуждения п. 17.3. Ниже мы ограничиваемся слу-
случаем сепарабельных пространств X и Н. Выберем в Н коорди-
координатную систему {ф/Л". и пусть Р„ — проектор Н на линейное
подпространство Нп, натянутое на первые п векторов коорди-
координатной системы.
Определение 3. Элемент лле//„ будем называть галёр-
кинским приближением обобщенного решения х уравнения A),
если для любых vn ^ Нп имеет место тождество
а {хп, vn) = (у, vn).
Лемма 1. Решение задачи F) имеет eud
F)
G)
где коэффициенты %и ..., ?„ определяются из следующей си-
системы п линейных уравнений с п неизвестными:
п
844
Доказательство. Элемент хп принадлежит Нп и, зна-
значит, имеет вид G). Подставляя в F) представление G) и пред-
представление
Е (9)
получим, пользуясь билинейностью а(и, v) и линейностью ска-
лярною произведения,
> Ф/) Л/.
(Ю)
Но Ur, е Нп произвольно, т. е. nj, .... г\п в A0) — произвольные
постоянные. Следоаа1ельно, F) и A0) эквивалентны, и лемма
доказана.
Лемма 2. Пусть оператор А Н-эллиптичен; тогда для
всякого п существует единственное галсркинское приближение
хл обобщенного решения уравнения A).
Доказательство. Согласно лемме 1 задача определе-
определения хп из F) эквивалентна линейной системе (8). Поэтому,
если будет установлено, что однородная задача, получающаяся
из F) при у = 0, имеет лишь тривиальное решение, то задача
(8), а с ней и задача F) будут однозначно разрешимы.
Воспользуемся условием II. Если а(хп, vn)=0 для всех
vn e tin, то это верно и при оп = хп. Но тогда по D)
Значит, х„ = 0, и лемма 2 доказана.
Ниже будут установлены существование обобщенного реше-
решения уравнения A) и сходимость к нему галёркинских прибли-
приближений G). Для этой цели нам понадобится еще следующая
лемма.
Л е м м а 3. Если ип -*¦ и0, п-*- оо, слабо в Н, a vn -*¦ Vo,
п -> оо, сильно в Н, то при п -*¦ оо
а («п. vn)-+a(uQ, v0).
Доказательство. Заметим сначала, что вследствие би-
билинейности
а (ип, vn) — а (по, 1H) = а («„, vn — v0) + а (н„ — и0, v0). A1)
Так как {ип} сходится слабо, то, по теореме 2 п. 17.5, она огра-
ограничена. Поэтому из неравенства B) при п-*- оо имеем
I a (un, vn — v0) К с | иа 11 vn — va \ -> 0.
Далее, поскольку v0 фиксировано, для всевозможных и е Н
выражение а (и, vo) определяет в Н линейный ограниченный
функционал. Но тогда, по теореме Рисса п. 17.2, найдется
Щ^Н такой, что для всех «еЯ а («, ио) = [и, wu]. Следова-
345

тельно, при rt-voo, согласно определению слабой сходимости
{«„} к но, имеем
а (ы„ — и0, w0) = [ы„ — Мо.
0.
Итак, в A1) оба слагаемых справа стремятся к нулю, и лем»
ма 3 доказана.
Теорема. Пусть пространство Н сепарабельно и оператор
А Н-эллиптичен. Тогда
1) для всякого п галёркинское приближение хп обобщенного
решения уравнения A) существует и единственно;
2) обобщенное решение уравнения A) существует и един-
единственно; -*
3) хп -*• х0, п-> оо, слабо; при этом справедлива оценка
-1
\Pnx-x\.
A2)
Доказательство. Согласно лемме 2 утверждение 1)
теоремы верно. Для доказательства утверждения 2) восполь-
воспользуемся сепарабельностью пространства Н. Выберем в Н орто-
нормированный базис, сохранив для него обозначение {ф<}°°.
При п —> оо Pnv ->- v для любого чей, т. е. ряд Фурье, состав-
составленный для элемента v, сходится к и.
Рассмотрим последовательность {хп} галёркинских прибли-
приближений. Полагая в F) vn = xn и пользуясь неравенством D),
получаем
Но Н вложено в X, и поскольку хп е Н, то найдется постоянная
k > 0 такая, что при п = 1,2, ...
Следовательно,
откуда
Значит, последовательность галёркинских приближений {хп}
ограничена в Н. Но тогда она слабо компактна (см. следствие 2
из теоремы 2 п. 19.7). Пусть {¦*„/}— ее подпоследовательность,
сходящаяся в Н слабо к некоторому элементу xq е= H. Пока»
жем, что xq и есть обобщенное решение уравнения A). Фикси-
Фиксируем произвольный элемент чей, Тогда, в соответствии с F),
a(xn,,Pn,v) = (y,Pn,v). При этом Pn,i/->-c, п'-*оо, сильно, а
хп,-*-х0, ft'->oo, слабо. По лемме 3 и свойству непрерывности
скалярного произведения имеем я'(*о, t/)^= (у, v). Из произволь-
произвольности ре Я (см. E)) следует, что х0 — обобщенное решение
уравнения A).
346
Для доказательства единственности обобщенного решения
воспользуемся условием II. Если х» и Jte — два обобщенных
решения, то для любых чей
а (*й, v) = (у, v), a {x'o, v) = (уу и).
Вычитая эти тождества, получим а(х0 — Xq,v) = Q. Полагая
здесь v = Хо — х'о и пользуясь D), находим
0 = а {х0 — Хо, xQ — х'о) > y I *o — 4 р.
Значит, Хо = лго-
Докажем теперь оценку A2). Она справедлива без предпо-
предположения о полноте системы {ф,}Г- Полагая в E) v = vn и вы-
вычитая из F), получим, что а(хп — х, ул)=0 для всех и,ей«,
В частности, а (х„ — х, х„)_= а (хп — х, РпХ) = 0. Но тогда по
условию II
= а{хп — х, Рпх —
п — х\\Рпх — х[.
Отсюда следует оценка A2). Теорема доказана.
30.9. Метод конечных элементов в простейшем случае. Рас-
Рассмотрим краевую задачу
-(a(i)xy + c(t)x = y(t), A)
*<0) = *0) = 0 B)
с непрерывно дифференцируемым на [0, 1] коэффициентом a(t)\
и с непрерывными на [0, 1] коэффициентами c{t) и y(t).
Пусть на [0, 1]
а(/)>а>0. с(/)>р>0. (З)'
Согласно определению 2 п. 30.8 обобщенным решением задачи
о
A) — B) будем называть функцию х {() е= И1 {О, 1), удовлетворяю-
удовлетворяющую тождеству E) п. 30.8 для всех v (/) е Н1 @, 1), где в данном
случае
1 1
а(х, v) ^ J a(()х'(/)v'(/)dt + \c(Qx(t) v (/)dt,
о в
1
(У, v)=\y{t)v{l)dt.
и
Таким образом, тождество E) п. 3Ql8 получается в резуль-*
тате скалярного умножения в i?2@, 1) уравнения A) на про-
произвольную функцию и^)еЯ'(в, 1) и интегрирования по час-
частям. Это позволяет «перебросить» часть требований гладкости
с x(ty на я(/),.

Упражнение 1. Покажите, что билинейный функционал
a(x,v) удовлетворяет условию D) п. 30.8 с у = min {cc, P)
(см. C)).
Упражнение 2. Из неравенства Коши — Бунякозского
выведите ограниченность а(х, v), т. е. неравенство B) п. 30.8.
В качестве координатной системы в Нп <= Я1 @, 1) выберем
систему функций {фг@}?„0> Где
\
,и
фо(О =
% И) =
0 на [L, \].
0 на [0, 1-|].
п- 1 +nt на [l — --, l].
ll-l+nt
l-nt на [±-.
л
0 вне
Г'-1 '+ Ч
(Графики cp,-(f) см. на рис. 15.) Галёркннское приближение ра-
разыскивается в виде G) п. 30.8, г. е. в виде кусочно линейной
функции. Коэффициенты go. Si. ••¦. In разыскиваются из систе-
системы уравнений вида (8) п. 30.8:
1-0
)> / = 0,1..., л.
Упражнение 3. Покажите (h = n~l), что
h h
а (Фо, Фо) = п2 \ а (/) dt -1- \ с (I) A - htf dt,
l-h
— k){nt-k- ч di.
kh
kh.
Вычислите также (г/,
348
, k = 0,1, .... п.
Таким образом, коэффициенты |о, gi, ..., ^л определяются
из снуемы с 1рехдиаго.иалыюй матрицей.
В случае задачи (i)—B) нетрудно показать, что ее обоб-
обобщенное решеьпе iia самом деле принадлежит С2[0, 1]. Восполь-
Воспользуемся примером 1 п. 29.5. В этсм примере была установлена
оценка A0), показывающая, что для всякой функция x(t)ei
е tP@, 1) при п-*- ос
где Pn — SnTn — проектор в Я1 @,1) на подпространство ку-
кусочно линейных функций, натянутое на фо, ф1 фп.
Таким образом, из оценки A2) теоремы п. 30.8 следует схо-
сходимость галёркинских аппроксимаций х„ к точному решению х
задачи A) — B). Дальнейшие сведения по применению метода
конечных элементов в теории краевых задач для эллиптических
уравнений можно найти в монографии [27].
§ 31. Дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве н методы их решения
Теория дифференциальных уравнений в банаховом простран-
пространстве является одним из новых и плодотворных направлений
функционального анализа. В этом параграфе рассматриваются
лчшь простейшие линейные дифференциальные уравнения в ба-
банаховом пространстве. В п. 31.1 мы останавливаемся на задаче
Коши для уравнения с постоянным ограниченным оператором.
В следующих двух пунктах для этой же задачи обсуждается
применение метода Галёркина и разностной схемы. Затем в
п. 3-1.4 рассмотрен метод малого параметра, включая случай
сингулярного возмущения.
Только после этого мы переходим к изучению дифференци-
дифференциального уравнения с постоянным неограниченным оператором,
Порождающим аналитическую полугруппу U(t), совпадающую
с ехр(Л/) в случае ограниченного оператора А. Этот случай,
йо-видимому, наиболее часто встречается в приложениях.
31.1. Задача Коши для дифференциального уравнения в
банаховом пространстве. В последние десятилетия сложилось
новое направление в функциональном анализе — теория диффе-
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Функцио-
Функционально-аналитический подход оказался особенно полезным в
уравнениях математической физики, поскольку он позволяет
отвлечься от второстепенных специфических особенностей за-
задачи и технических трудностей и сосредоточить внимание на
существо проблемы. В этом пункте мы остановимся лишь на
простейшем дифференциальном уравнении в банаховом про^
«ранстве и на методах нахождения решений.
349

Пусть X — банахово пространство, оператор Ае^(А), х0 <=
еХ — заданный элемент, y'(t) — заданная абстрактная, непре-
непрерывная на [0,6] функция со 'значениями в X. Рассмотрим на
[0, 6] следующую задачу Коши для дифференциального урав-
уравнения 1-го порядка:
dx л _|_ /а ([)
Ч = *о- B)
Решение x'(t) задачи A) —B) (абстрактная функция, не-
непрерывно дифференцируемая на [0,6], обращающая A) в тож-
тождество и удовлетворяющая начальному условию B)) может
быть найдено в явном виде.
Допустим сначала, что решение x\t) задачи A) — B) суще-
существует. Подставим x(t) в A) и полученное тождество умножим
на интегрирующий множитель е~м. Полученное тождество, если
заменить в нем переменную / на s, можно записать следующим
образом:
-^ [e~Asx (s)] s е-** у (s),
[0, 6].
C)
Проинтегрируем тождество C) по s от 0 до t е [0, 6] и, со-
согласно формуле Ньютона — Лейбница (свойство 9 п. 25.2), ис-
используя начальное условие B), получим
t
о
Поскольку e~At = (eAt)~l, то, применяя к обеим частям тожде-
тождества D) оператор eAt, найдем
х (/) = eAtx0 + J eA «-s)y {s) ds. E)
о
Мы показали, что если задача A) — B) имеет решение, то
это решение обязательно дается формулой E). Это, в частно-
частности, означает единственность решения задачи Коши A) — B).
Для доказательства существования решения этой задачи по-
покажем, что формула E) дает решение A) —B). Дифференци-
Дифференцируя по t функцию x{t), определенную равенством ^5), и поль-
пользуясь тем, что
еА (t-s)y (s) ds | = у (t) + A J eA V-*y (s) ds, F)
.0 J 0
убеждаемся, что x\t) действительно обращает A) в тождество.
Начальное условие B) также удовлетворяется (почему?).
Упражнение. Докажите формулу F), применив формулу
производной произведения (см. п. 13.2) и свойство 8 п. 25.2
350
дифференцирования интеграла с переменным верхним преде-
пределом, заметив предварительно, что
t t
J e-A«-shj (s) ds = eAt J e~Asy (s) ds.
о о
Итак, мы установили, что задача Коши A) — B), при сде-
сделанных выше предположениях об ее параметрах A, y{t), х0,
имеет, и притом единственное, решение x{t), и показали, что
это решение дается явной формулой E).
При всей своей внешней простоте формула E), будучи очень
удобной в теоретических рассуждениях, может оказаться очень
сложной при численных расчетах, поскольку требует вычисле-
вычисления функции оператора eAt и интегрирования. Поэтому ниже
будут приведены приближенные схемы решения задачи A) —
B). Пока же дадим примеры уравнений, которые можно зави-
зависать в виде (I).
Пример 1. Пусть Х = Ет, xo = 7
а-тт'
t е= [0, 6],
yv (t) непрерывны на [0, Т]. Неизвестное х (/) =
столбец непрерывно дифференцируемых функций. Задача A)—¦
B) в данном случае представляет собою задачу Коши для си-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами.
dx,
dt
» @.
.,т.
Пример 2. Пусть Х = С[а,Ь]. Абстрактная функция
g(t, s) зависит здесь от двух переменных s e [a, 6] и t e
е [0,6] и непрерывна отдельно по s и отдельно по t. Пусть
.функции k(s) и xo{s) непрерывны на [a.fc], а функция двух
переменных K(s, а) непрерывна, как функция двух переменных
¦в квадрате a ^ s, о г=: Ь. Рассмотрим следующую задачу Коши
для интегродифференциального уравнения:
ъ
^^-=k(s)x(s,t)+ \K{s,o)x(oJ)do + y(s,t),
а
х (s, 0) = *0 (s).
Это еще одна реализация абстрактной задачи A)—B),
Замечание. В форме A) — B) может быть записана так-
также смешанная задача для уравнения теплопроводности (п. 28.2),
однако это уже будет дифференциальное уравнение с неогра-
351

ничейным оператором А — д2/дх2, с соответствующей областью
определения D(A), для описания которой нужна более серьез-
серьезная теория (см. п. 31.5 и далее до конца параграфа).
31.2. Применение схем Галёркина и Фурье. Для нахожде-
нахождения приближенного решения задачи A) —B) п. 31.1 можно вос-
воспользоваться методом Галёркина. Пусть {ф,}— линейно неза-
независимая система в X, a {v,}—биортогональная к ней система из
X*. Введем проектор
п
Предположим, что абстрактная функция y(t) — правая часть
уравнения A) п. 31.3 — разлагается в сходящийся к ней ряд
Галёркина:
B)
где
У @ = ? Чг (О ф*. % @ = (У ((), Vk)-
То же самое предположим о начальном условии
оо
Иначе требования B) и C) можно записать так:
РпУ @~* у{*)> Рпхз—*ХЪ' п-+оо.
Приближенное решение задачи Коши будем искать в виде
п
Хп @ = Tj Ik @ Ф.е D)
Согласно методу Галёркина (§ 30) для определения xn(t) по-
получаем задачу Коши
d*n п л ., id., i,\
dt
E)
F)
Согласно п. 31.1 решение задачи E) —F) существует, един-
единственно и дается формулой (см. формулу E) п. 31.1)
Хп (/) = еР"А'Рпх0 + $ ер«л «-s)Pny (s) ds. G)
о
Пусть проектор Рп удовлетворяет условию
IIPJKC n=l,2, ... (8)
Тогда из G) оценкой по норме получаем
max || хп @1| < k @) {|| Рпх01| + max || Рпу (/) ||}, (9)
[0,91 [0,61
352
Оценка (9) представляет собою условие устойчивости галёр-
кинской схемы E) —F). Относительно условия аппроксимации
заметим, что
) ( ) - х),
« (Г ~ Лх) - Р« (it ~ А ) *«* =
поскольку операторы Рп и d/dt перестановочны. Так как А ог^
раничен и выполнено условие (8), то условие аппроксимации
также будет выполняться, если для решения x(t),
Pnx(t)->x(l), n^oo. A0)
Таким образом, если выполняются требования B), C) и A0),
то галёркинская схема E) —F) сходится согласно4 общей тео-
теореме п. 30.4.
В частном случае, когда X — гильбертово пространство, а
{ф*} = {у*}—ортонормированная полная система, эти условия
выполняются автоматически. Если А — самосопряженный,
вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве X, то систему {ф,} можно образовать из собствен-
собственных векторов оператора А. В этом случае матрица РпАРп диа-
гональна и коэффициенты ?*(/) в формуле D) находятся из
уравнений (см. также B) и C))
bAk + r\k(t), U@) = lk0, 6=1,2 n,
где кк — собственные значения А. Мы пришли к известному ме-
методу Фурье.
31.3. Разностная схема в банаховом пространстве. Для при*
ближенного решения задачи Коши A) — B) п. 31.1 можно вос-
воспользоваться также следующей разностной схемой. Пусть
{&т}?=0 —равномерная сетка на [0,6], пх = 0. Зададим после-
последовательность операторов {Лт}с= i?(X), аппроксимирующих
оператор А равномерно (в метрике 2?(Х)), т. е.Ах-*-А при
1-»-0. Следовательно, найдется постоянная с > 0 такая, что
для всех т (принимаем Аа = А)
ШКс. A)
Рассмотрим разностную схему
U{t + X)x~U(t)=Axu(t) + y{t + 'c), /e{ftT}2-o» B)
ы(О) = Хо. C)
Замена оператора А приближением Ах оправдана, например,
-В ситуации примера 2 п. 31.2, когда интеграл заменяется его
приближением по какой-либо квадратурной формуле.
12 В. А. Треногна 353

Проверим для разностной схемы B) —C) условия аппрок-
аппроксимации и устойчивости.
Рассуждения ¦будем вести в банаховом пространстве Сх[О, б],
элементы которого x(t), y(t), ... суть абстрактные, непрерыв-
непрерывные на [0, б] функции, со значениями в X и с нормой
||* @ 11 = max ||jc (О II.
№, в]
В С* [0,0] рассмотрим линейный оператор В, область опре-
определения которого D(B) состоит из непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых на [0,в] функций x(t) и который действует по формуле
в* = {*'<*)-л* @,*@)}.
Таким образом, значения В лежат в пространстве Сх[0, 0]4-
+ X. Норму элемента {y{t), *o} зададим, как обычно:
II {у (/), *o}lli = l
Операторы сужения Тх и 7\, согласно B), имеют вид
Т,х (/) = (* (Ат)J_,, Т\ {у {(), хо) = {Т^у @, *о},
с операторы Вх, аппроксимирующие В, задаются так:
{t + Xl-U{t) - Ахи @, *0}, * ее (ИГ1.
Для проверки условия аппроксимации составим погрешность
где x{t) — решение исходной задачи A) — B) п. 31.1, а
е {kx}t^i. Имеем следующую оценку:
-x'(J)l+\\A-Ax\\\\x(t)\\.
Поскольку
то, вследствие равномерной непрерывности х'(t) на [0,0] (см.
п. 25.1),
X it + X) - X It)
T
¦ о.
Так как при т-+0 А х-* А, то доказано, что ||Лт||->0 при
т->0, т. е. выполнено условие аппроксимации.
Перейдем к проверке условия аппроксимации. Воспользуем-
Воспользуемся тем, что разностная схема B) —C) решается в явном виде
354
по временным слоям и решение ее дается формулой
и (kx) = (/ + xAx)kxQ + x Д (/ + xAxf у ((k -s)x). D)
Отсюда, пользуясь неравенством A), нетрудно показать, что
Iи(kx)||<A + xcfW хо Ц + т Z A + rcf max \\y(tx)\\. E)
s=0 0<J<fe
Далее, заметим, что
Следовательно, оценку E) можно продолжить и получить
||ц(О1Кд'е11*о11+ есв71 III/ II- F)
Последнее неравенство представляет собой условие устой-
устойчивости разностной схемы B) —(З).Из основной теоремы п. 27.5
теперь вытекает сходимость разностной схемы A)—B).
Разностная схема B) —C) является частным случаем дву-
двуслойных разностных схем (ограничимся случаем у = 0):
u(t + r)ui<) 0, и@) = *0. G)
Пусть X — гильбертово пространство, U(т) и V(t) всюду за-
заданы, самосопряженны и положительны. Положим ||а-||т =
= ^(^(х)х,х). Для того чтобы имела место априорная оценка
Ци@11т ^ IUoIIti необходимо и достаточно выполнения оператор-
операторного неравенства U(x) ^ 0,5т V(t).
Этот результат акад. А. А. Самарского и его обобщения
играют важную роль в теории устойчивости разностных схем
(см. [30]).
31.4. Метод малого параметра. Регулярное и сингулярное воз-
возмущение. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального
уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве X, содержа-
содержащего малый параметр е, |,е|< р:
A(e)xt + y(t,u), хв\(=,й = а(в). A)
Предположим, что оператор-функция А(г), правая часть
у((,г) и начальное условие а(е) аналитичныпо е в точке е = 0,
т. е. справедливы их следующие разложения в сходящиеся ряды
с общим радиусом сходимости р:
А (г) = f Акг\ у (/, е) = ? ук (t) e\ а (е) = ? акг\ B)
fc-0 Ar=O fc-0
12*
355

Решение задачи A) (см. формулу E) п. 31.1) записывается
так:
xe (t) = eA <•>' a (e) + J ел w <*-«> г/ (s) rfs.
о
Отсюда видно, что xt(t) также является аналитической функ-
функцией е в точке 8 = 0 и представимо при |е|<р сходящимся
рядом
Это решение можно найти методом малого параметра (см.
п. 13.6). Подставим C) в A) с учетом B) и, приравнивая коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим для определения
коэффициентов Xk(t) в C) следующую рекуррентную последо-
последовательность задач Коши:
~ТГ~ == AqXq -\- Уо (/), Яд |(=0 = Яо>
d/
xk\t=a =
s-1
Заметим, что метод эффективен, если задача Коши с опера-
оператором Ао проще, чем та же задача с оператором Л(е). Описан-
Описанный выше случай, как мы видели, укладывается в рамки метода
малого параметра. Этот случай принято называть случаем ре-
регулярного возмущения.
Существенно более сложным является случай, когда малый
параметр е входит в виде множителя при производной. Это один
из примеров задач с сингулярным возмущением, привлекшим к
себе в последние годы пристальное внимание, поскольку подоб-
подобные задачи плохо поддаются решению на ЭВМ. В то же время
здесь хорошо работают так называемые асимптотические ме-
методы. Ознакомимся с образцом задачи с сингулярным возмуще-
возмущением на примере следующей задачи Коши:
e^f- = Axe + y(t), D)
*eU = «- E)
Пусть оператор A^S'(X) непрерывно обратим и обладает
следующим свойством: существуют постоянные с > 0 и а > 0
такие, что
||ел'1Ксе-а', /<=[0,6]. F)
356
Абстрактную функцию y'(t)' будем предполагать достаточно
гладкой на [0,0], т. е. имеющей там столько производных,
сколько может понадобиться в наших рассуждениях.
Попытаемся сначала найти решение задачи D) — E) в еле*
дующем виде:
оо
Подстановка G) в D) и приравнивание коэффициентов при
одинаковых степенях е приводят к следующей системе уравне-
уравнений:
(9)
(Ю)
из которой последовательно находим
@ = -А
~1
хх {t) = - А~-у' @
xk{t) = -A-k-yk)(t), Л = 2,3, ...
Если у{() бесконечно дифференцируема на [0,0] и
на [0, 0], то ряд
сходится при е <||Л~Ч1~1, но в общем случае не удовлетворяет
начальному условию E); х@,в) = а лишь в исключительных
обстоятельствах, когда
у@) = —Аа и все
jf(*)(O)=O, k = \, 2, ...
Таким образом, ряд G)
непригоден в качестве
приближенного решения
по крайней мере вблизи
точки / = 0. Оказывает-
Оказывается — и здесь существен-
существенную роль играет ограни-
ограничение F) на оператор
А, — разложение G) Рис- 16-
можно вблизи точки / = 0
подправить так, чтобы получилось приближенное решение, при-
пригодное на всем [0,6]. Рассмотрим соответствующее D) одно-
однородное уравнение
do я
B4f = Av,
общий вид решений которого следующий (рис. 16):
v {t, е) = e-At/ev0,
где Wo е X — произвольный вектор. Функции v{t,e) обладают
следующим замечательным свойством. Заметим сначала, что
357

согласно неравенству F)
Выделим отрезок [0, -\/е ]> который, применяя терминологию
механики жидкости, назовем «пограничным слоем». При
/е[-\/е, Э], т. е. вне пограничного слоя, для любого натураль-
натурального N
e-«'/«<e-»/VT =o(aN), e^O.
Таким образом, значения v(t, e) сосредоточены в погранич-
пограничном слое, а вне его v(t, e) экспоненциально убывает (быстрее
любой степени е"). Это обстоятельство и позволяет за счет
«функций погранслоя» v(t, e) исправить степенное разложение
G). Сформулируем и докажем соответствующие утверждения.
Теорема 1. Пусть оператор А удовлетворяет условию F),
а правая часть y(t) N + 1 раз непрерывно дифференцируема
на [0,8]; тогда равномерно на [Vе . б] "Р" е->0 для решения
xt(t) задачи A)— B) справедливо представление
ше(/у= O(e^+I), a *а(/) определяются формулами (8)
(9).
Доказательство. Сделаем в A) замену A1) и, учи-
учитывая равенства (8), придем к следующей задаче Коши для
определения ws(t):
е-ж-=
A2)
A3)
we(O) = a-Zxk(O)ek.
Решение этой задачи (см. формулу E) п. 31.3) имеет вид
we(t) = eAllewe@) + T
Оценим &'е(/) по норме и получим
II ^е @II < се-^
Поскольку для
| w
@) || + ^ (
ds (|| Л

\\У{М+Ш
при
' a Us)
ce-a"t\\we{0)\\=O(eN+^), -\e
о
то ||а1е(/)||=О(е^+1), и теорема доказана.
358
= — + O(eN+i),
Интересно отметить, что в формулировке теоремы не уча-*
ствует начальное условие а. Решения всех задач D) — E) со
всевозможными начальными условиями а представимы на
[л/г, 9] в виде A1). Выполнение начального условия реали-
реализуется в пограничном слое [О, -0П за счет быстрого изме-
изменения решения (рис. 17).
Теорема 2. В условиях теоремы 1 для решения хг(tf за-
задачи A) — B) справедливо представление
(H)
еде ze(t)= O(sN+]) при е-> 0 равномерно на [0, 6]'.
Доказательство. Сделаем в A) — B) замену A4) и
придем к следующей задаче Коши для определения ze{t):
dze
ze@) = 0.
Решение этой задачи дается формулой
A(t-s)
о
JV+1
Повторяя оценки доказательства теоремы 1, получим, что при
е->0 равномерно на [0,0] zE(t)= O(ew+1). Теорема доказана.
Следствие. Если оператор А удовлетворяет условию F)
и функция y(t) бесконечно дифференцируема на [0,0], то ут-
утверждения теорем 1 и 2
справедливы для любого це-
целого неотрицательного N.
31.5. Задача Коши с не-
неограниченным оператором;
преобразование Лапласа и
полугруппы. В этом пункте
с помощью преобразования
Лапласа будет дан нестро-
нестрогий вывод формулы для ре-
решения задачи Коши для од-
однородного линейного диф-
дифференциального уравнения
в банаховом пространстве с неограниченным оператором. В по-
последующих пунктах, при дополнительных ограничениях на опе-
оператор, будет дано строгое обоснование полученной формулы,
рассмотрено неоднородное уравнение и будет доказана тео-
теорема единственности. Наше изложение следует схеме, предло-
предложенной в [22], и требует знания основ теории функций комп-
комплексного переменного.
Рис. 17.

Всюду ниже предполагается, что А—замкнутый линейный
неограниченный оператор с плотной в банаховом комплексном
пространстве X областью определения D(A), со значениями вХ
Рассмотрим следующую задачу Коши:
-jT = Ax, 0<*<-г-оо, A)
*Ь=о = *о. B)
Под решением задачи A) — B) будем понимать абстрактную
функцию x(t) со значениями в D(A), непрерывную на [0, + оо),
непрерывно дифференцируемую на @, + оо), удовлетворяющую
уравнению A) и начальному условию B).
Предположим временно, что решение x(t) задачи A) — B)
существует, единственно и существуют постоянные М > 0 и со
такие, что
IU (/) || < Me"'. C)
Каждой непрерывной на [0, -f-oo) функции x(t), удовлет-
удовлетворяющей условию C), поставим в соответствие функцию х(р)
комплексного переменного р, определяемую в виде несобствен-
несобственного интеграла', зависящего от параметра:
+ 00
(/>)= \
D)
Функция х(р) называется изображением (по Лапласу)
функции x(t); сама x(t) при этом называется оригиналом. Та-
Таким образом, задано преобразование Лапласа абстрактных
функций x(t), которое можно записать в виде
*(р) = #[*(/)]. E)
Основные свойства преобразования Лапласа (линейность его
очевидна) мы предлагаем проверить читателю (см. [19],гл. VI).
Упражнение 1. Покажите, что несобственный интеграл
D) сходится абсолютно в полуплоскости Rep>co (см. C)) и,
таким образом, изображение х(р) определено в этой полупло-
полуплоскости.
Упражнение 2. Покажите, что несобственный интеграл,
полученный формальным дифференцированием интеграла D)
по параметру р, сходится абсолютно и равномерно по р в любой
полуплоскости Re p ^ coi > со. Покажите, что отсюда вытекает
дифференцируемость функции х(р) в полуплоскости Rep > со
и, значит, ее аналитичность в этой полуплоскости.
Упражнение 3. Покажите, что если x'(t) непрерывна на
[О, -f- оо) и удовлетворяет оценке вида C), то и x(t) удовлетво-
удовлетворяет оценке вида C), причем справедлива формула
S?[x'(t)] = px(p)-x@). F)
260
Приведем теперь без доказательства формулу обратного
преобразования Лапласа. По изображению х(р) можно одно-
однозначно восстановить оригинал x(t) по следующей формуле:
a+ioa
x(t) = 4a \ e"'x(p)dp, G)
a—I oo
в которой интегрирование ведется по любой прямой Rep = a,
где а > со.
Перейдем к формальному выводу формулы -для решения
x{t) задачи A) — B) при некоторых дополнительных ограниче-
ограничениях. Применим к обеим частям уравнения A) преобразование
Лапласа и, пользуясь формулой F) и начальным условием B),
получим
px(p)-&[Ax(t)]=x0.
Предположив теперь перестановочность & и А, имеем
[A-pI]x(p) = -xQ.
Пусть, наконец, полуплоскость Rep>co принадлежит резоль-
резольвентному множеству оператора А (см. п. 24.1). Тогда
х(р) = -[А- pi]'1 xQ = -Rp (А) х0,
где RP{A)—резольвента оператора Л. Наконец, восстанавли-
восстанавливаем оригинал x(t) по формуле G):
(8)
Мы получили искомое интегральное представление решения
задачи A) — B). Действительно ли формула (8) дает решение
этой задачи? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем
пункте для некоторых классов операторов А. При этом важную
роль будет играть обсуждаемое ниже понятие сильно непрерыв-
непрерывной полугруппы ограниченных операторов.
Пусть на полуоси [0, + оо) задана оператор-функция U(t)
со значениями в 3?(Х), где X — банахово пространство.
Определение. Оператор-функция U(tI называется
сильно непрерывной полугруппой, если выполнены следующие
условия:
1) при каждом jteX абстрактная функция U(t)x непре-
непрерывна на [0, + оо), причем U(Q) = /;
2) существуют постоянные М > 0 и со такие, что на [0, + оо)
||t/(OH<Afe»*;
3) для U(t) выполняется полугрупповое свойство: при всех
*[)
= U{t)U(s).
3G1

Пример. Пусть В —линейный ограниченный оператор,
действующий в X, т. е. B^S'(X). Согласно п. 31.1 (формула
E)) решение задачи Коши dx/dt= Вх, аг |^_о = л:0 имеет вид
x(t) = eBtx0.
Упражнение 4. Проверьте для [/(/)= exp(Btf, /s
е[0, + °°), свойства 1) — 3) определения сильно непрерывной
полугруппы.
Таким образом, оператор-функция ехр(Б/)' является сильно
непрерывной полугруппой, так что понятие сильно непрерывной
полугруппы является обобщением понятия экспоненты
ехрE/).
Оказывается, формула (8) также определяет сильно непре-
непрерывную полугруппу U(t) в виде несобственного интеграла, за-
зависящего от t как от параметра. Решение задачи A) — B) запи-
записывается в виде x(t)= U(t)xo, а полугрупповое свойство 3) оз-
означает, что решение в момент / + 5 может быть получено и как
как решение уравнения A) на
x{s) = U(s)x0 (проверьте!). Поня-
Понятие полугруппы описывает, тем
самым, процессы, носящие эво-
эволюционный характер.
31.6. Обоснование формулы
решения задачи Коши. Пусть
даны вещественные числа к\ и
фе@,я/2) и область Q =
= Q(a, ф), ограниченная двумя
лучами, исходящими из точки
(а, 0) и образующими углы ф и
—Ф с отрицательным направле-
направлением вещественной оси (см. рис.
18, где Q — внешность заштрихо-
заштрихованного угла).
Определение. Оператор А
будем называть абстрактным
если существуют постоянная с > 0
решение задачи A) — B)
[s, -\- оо) с условием x\t-s
Рис 18
эллиптическим оператором,
и область Q (указанного выше вида) такие, что Йср(Л) — ре-
резольвентное множество оператора А, причем для всех X е Q вы-
выполняется неравенство
. -KIT' \\ = \\RX (A) |K-
A)
Рассмотрим ломаную Г, лучи которой параллельны сторо-
сторонам угла, органичивающего Q, и проходящую через точку
(со,0). При этом мы выбираем ю > а (если а < 0, то берем
©<0).
Рассмотрим, далее, следующий криволинейный несобствен-
несобственный интеграл, зависящий от параметра ^е@, rh°°) (полагаем,
362
кроме того, U(Q) = I)
B)
где R\(A) = (А — А,/) — резольвента оператора А.
Теорема 1. Если А — абстрактный эллиптический опера-
оператор, то оператор-функция U(t), определяемая при t^@,-\-oo)
формулой B) и формулой ?У@) = / при t = 0, является сильно
непрерывной полугруппой.
Доказательство. Для определенности пусть а > 0. По-
Покажем сначала, что интеграл B) сходится равномерно по t на
любом отрезке [fa'i]> где t0 > 0. Так как подынтегральная
функция непрерывна по {t,K), то отсюда, как и в математиче-
математическом анализе (см. [18]), следует непрерывность U(t) на
@,+ оо) в метрике 2?{Х). В точке / = 0 оператор-функция
U (t) окажется лишь сильно непрерывной, что будет проверено
отдельно.
Запишем кривую Г в параметрическом виде. Ее нижний луч
имеет уравнение % = ш + pel<t, где ре(—°°,0], а верхний
луч — уравнение X = ш + ре'**-*', где ре[0, + оо). На обоих
лучах Re X = ы — | р| cos ф.
Далее, поскольку в Q (см. A)) ||#ь(Л)||^ с, то на Г имеем
следующую оценку подынтегральной функции в B):
сел'е-1<>1'«»р C)
Если /s[/0, t{\, t0 > 0, то на Г из C) следует оценка
Так как эта оценка на [to, t\] равномерна по t, то интеграл
B) сходится на всяком [7o,*^i] равномерно. Следовательно, 0{t)
непрерывна на @, + оо) в смысле равномерной сходимости опе-
операторов.
Докажем теперь, что U(t)x-+x при ^-> + 0, т. е. сильную
непрерывность U(t) в нуле, так как по определению С@) = /.
Упражнение 1. Покажите, что при X е Q
Упражнение 2. Покажите с помощью теории вычетов
(см. [19]), что
Г
С помощью этих упражнений получаем
U(t)x-x = --^r\eu{R,(A) + k-ll}xdX =
D)
363

Для получения оценки (J(t)x-x при /е@, 1) мы восполь-
воспользуемся следующим приемом. Пусть Г(/) — ломаная, проходящая
через точку (со^-'.О), с лучами, параллельными лучам ломаной
Г (см. рис. 18). Докажем, что если г|з(Я)— абстрактная аналити-
аналитическая функция, ограниченная в Q, со значениями в X, то
^eM^{X)dX = J ext^{X)dX. E)
г по
Действительно, пусть уг— замкнутая кусочно гладкая кри-
кривая, состоящая из отрезков Гг и FV(/) ломаных Г и T(t) соответ-
соответственно и дуг v/ и Y7 окружности Я = © + re'tp (рис. 19). Не-
Нетрудно проверить, что если г Г^ ©(/-' — 1)/costp, то на
Y+ я/2<1|><я — ф, а на у~ — л +
+ ф ^ г|э ^ я/2. Но тогда на у+ имеем
Re Я = <в + т cos t]> и
In—<р
Я/2
при г-> + °°-
Аналогично, при г-> + оо стре-
стремится к нулю интеграл по у~. Но
F)
Рис. 19.
ф е"Ч> (Я) сГЛ = 0.
Это следует из аналитичности в Q подынтегральной функции.
Для этого-достаточно рассмотреть для любых |е1* интеграл
Ф (ewij) (Я), /) dX, который равен Нулю по теореме Коши (см.
[19]), откуда имеем F). Запишем теперь равенство F) в виде
) (Я) dX —
dX =
dX
dX
и при г-*¦-{- оо получим равенство E).
Вернемся к формуле D). С помощью E) запишем ее в сле-
следующем виде:
T(t)
Сделаем в интеграле замену переменной Xt = ц. При этом кри-
кривая Г(/) перейдет в кривую Г, и мы получим
364
Но в Q, согласно оценке A),
ct
G)
Следовательно, при любых х^ D(A) и /е@,1)
Следовательно, на D(A) U(t)x-*-x при t-*- + 0. .
Кроме того, оператор-функция U(t) ограничена. Действи-
Действительно, согласно E)
г 0
\
г @
и оценка с помощью G) дает при t e@, 1)
(8)
По теореме Банаха — Штейнгауза (п. 11.5) U(t)x-+x при
<-*¦-[-0 для любого iel Доказано свойство 1) определения
сильно непрерывной полугруппы.
Для доказательства свойства 2) воспользуемся оценкой C),
откуда при / ^ 1 получаем
+OQ
Вместе с оценкой (8) получаем свойство 2) с М = тах(с2, с3).
Докажем свойство 3) непрерывной полугруппы. Пусть Г' —¦
одна из ломаных Г (it) (рис. 18). Представим U {t) по формуле
B), a U(s)— в виде
Записывая повторный интеграл в виде двойного и пользуясь
тождеством (см. задачу 5 к § 24)
получим
г г'
г г'
365

Законность этого и следующих преобразований вытекает из до-
доказанной выше равномерной сходимости несобственных интег-
интегралов.
Упражнение 3. Докажите с помощью теории вычетов,что
т—
Я — и
— и.
Используя это упражнение, поменяв предварительно в пер-
первом из двойных интегралов порядок интегрирования, находим
UО U ® =
s).
Теорема 1 полностью доказана.
Упражнение 4. Докажите, что в формуле B) кривую Г
можно заменить любой прямой Rek = a, где а > со, и, таким
образом, для полугруппы U(t) справедливо интегральное пред-
представление (8) п. 31.5.
Упражнение 5. Проведите доказательство теоремы 1 в
случае а < 0.
В следующей теореме исследуется вопрос о дифференциру-
дифференцируемое™ полугруппы U(t).
Теорема 2. Пусть А — абстрактный эллиптический опера-
оператор. Тогда при t>0 полугруппа U(t) непрерывно дифференци-
дифференцируема, для любого хй<=Х U(()xo<^D(A) и
U'(t)xo = AU(t)xo = -
При t > О справедлива оценка
K(A)xodX. (9)
^МешГ1. A0)
Если Xo^D(A), то U(t)xo непрерывно дифференцируема на
[О, + 00).
Доказательство. Пусть t > 0, тогда
Дифференцирование законно, ибо полученный интеграл схо-
сходится равномерно по t на любом [to, t\], to~> 0. Далее, вслед-
вследствие равенства XRb(A) = / -{-AR%.(A) (см. упражнение 1) опе-
оператор ARj,(A) ограничен, и так как \extdX = 0, то равенство
г
(9) доказано. Оценку A0) мы предлагаем доказать читателю
переходом к кривой T(t) с последующей заменой переменной.
Если xo^D(A\, то V'{t\xQ=i U(t\Axo->Ax0 при г->+0. При
366
этом, как нетрудно проверить, функция U(t)Axo непрерывна.
Теорема 2 доказана.
Следствие. Если А — абстрактный эллиптический опера-
оператор, то формула x(t)=U(t)x0 дает решение задачи A) — B)
п. 31.5. Если Xq^D(A), to это решение непрерывно дифферен-
дифференцируемо на полуоси [0, + оо). Справедлива оценка
В заключение заметим, что если U(t) — сильно непрерывная-
полугруппа и U'(Q)x = Ах, то оператор А, определенный на тех
элементах х, на которых существует производная, называется
инфинитезимальным порождающим (производящим) операто-
оператором полугруппы U(t).
Можно показать, что полугруппа U(t), порожденная аб-
абстрактным эллиптическим оператором А, на самом деле являет-
является аналитической полугруппой, т. е. может быть продолжена
аналитически в некоторый сектор комплексной плоскости, со-
содержащий полуось t е [0, + оо).
31.7. Существование решения неоднородной задачи Коши.
Теорема единственности. Рассмотрим теперь задачу Коши
^L = Ax + y(t), 0</<Г, A)
x\t=u = xa B)
с абстрактным эллиптическим оператором А.
Теорема 1. Пусть абстрактная функция y(t) со значе-
значениями в X удовлетворяет условию Гёльдера
\\у(П-у(П\\<с\е-гр, ее(о, 1), C)
на [О, Т]. Тогда формула
= U(t)xo+
- s)y(s)ds
D)
дает решение задачи A) — B). -v
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай *o='
= 0, т. е. показать, что функция z (t) = \U(t — s)y (s) ds<^ D (A)
о
непрерывно дифференцируема на [О, Г] и z'(t) = Az(t)-\- y(t)\
Рассмотрим последовательность
t-\fn
*„(/)= $ U{t-s)y(s')ds =
о
t-Mn t-Mn
= \ U(t-s)y(t)ds+ \ U(t-s)[y(s)-y(t)]ds.
о о
367

При n-voo 2n(t)-*z(t) равномерно на [О, Т]. Далее, так как
Au(t)=U'(t) при t > 0, то, используя формулу Ньютона —
Лейбница, получаем
t-l/n
о
Azn{t)= J AU(t-s)y(t)ds+ \ AU(t-s)[y(s)-y(t)]ds =
0 J
t-Va t
= \ U'(t-s)dsy(t) +
о о
t-Mn
U'(t-s)[y(s)-y(t)]ds. E)
0
= [U(t)-u(±)]y{t)
Далее, вследствие оценки A0) п. 31.6 и условия Гёльдера
C) имеем
1-е •
" (t - s)
Следовательно, в E) последний интеграл сходится и при я->-оо:
t
Azn (t) -* [U (/) -/]//(/)+ J U' (t - s) [y (s) - у (/)] ds.
0
Вследствие замкнутости оператора А имеем z{t)^D{A) и
t
Az (() = [U (I) - I] у (t) + [ V (/ - s) [y (s) - у (/)] ds.
Кроме того, так как сходимость Azn(t) к Az{t) равномерна
по t на любом отрезке, то функция Az(t) непрерывна. Наконец,
поскольку, как нетрудно проверить,
то вследствие той же равномерной сходимости z'{t) — Az{t)-\-
-f- y(t). Теорема доказана.
Перейдем к вопросу о единственности решения задачи A) —
B). Если допустить, что она имеет два решения, то для их раз*
ности «(/) имеем следующую задачу Коши:
du
dt
F)
Наша цель показать, что задача F) имеет лишь тривиальное
решение ы(/)=0 на [0,Т]. Воспользуемся для этого аппрокси.
мациями абстрактного эллиптического оператора А ограничен-
ограниченными операторами.
368
Введем при каждом натуральном п > а операторы /„ =
Лемма 1. 1п -*¦ I сильно при п-*- оо.
Доказательство. /„ = —п(А — «/)-'.
Следовательно,
по оценке A) п. 31.6 имеем II/„IK { "t <c Далее, при лю-
любом x^D(A) Inx — x = Inn~lAx. Следовательно., \\1пх — х\\^.
^ сп-'ЦЛ^Ц->-0 при n-*oo. Поскольку D(A) плотно в Х, то из
теоремы Банаха — Штейнгауза и следует утверждение леммы.
Введем теперь при п > ш операторы Ап = А1п. Так как
Ап = —П1 + nIn,70AnZ= S (X) .
Лемма 2. При всех ^ей справедлива оценка
tW + t^tt- G)
Доказательство. Достаточно заметить, что
1 , , пг
(Ап) = -
п+Я.
(А),
и воспользоваться абстрактной эллиптичностью А.
Лемма 3. Справедливо интегральное представление
(8)
Доказательство. Пусть п фиксировано. Пусть, далее,
Гг — замкнутая кривая, состоящая из отрезков ломаной Г и
дуги окружности о>: X = оа + re'* (рис. 20), где г настолько ве-
велико, что спектр оператора А находится внутри Гг. На Гг спра-
справедливо разложение B) п. 29.3:
оо
Умножив это равенство на Хк и интегри-
интегрируя вдоль Гг, получим с использованием
теории вычетов
Рис. 20.
Полученное равенство умножим на tk/k\, просуммировав по k
от нуля до бесконечности, придем к равенству
Переходя к пределу при г->+оо и используя теорему Коши
(предоставляем это читателю), придем к формуле (8). Лемма3
доказана.
369

Лемма 4. Существует не зависящая от п постоянная
М' > О такая, что для * <= [О, + оо)
Доказательство проводится с использованием формулы (8)]
и оценки G) так же, как и доказательство теоремы 1 п. 31.Q.
Вернемся к задаче F). Воспользуемся тем, что задача Коши
с ограниченным оператором (п. 36.1) имеет единственное реше-
решение. Заменим задачу F) эквивалентной задачей
^Р- = Апи (t) + (А - Ап) и 0Г~~и (в) = 0.
Поскольку (А — An)u(t)—непрерывная на [0, Г] абстрактная
функция, то из формулы E) п. 36.1 имеем следующее интег-
интегральное уравнение для u(t):
t
и (t) = \ ехр [(/ - s) Ап] (А - Ап) и (s) ds.
о
Заметим теперь, что
(А - Ап) и (s) = (I - /„) Аи (s) = (/ - /„) и' (s) = и' (s) - lnu' (s)
являются абстрактными непрерывными функциями.
Далее, имеем
\и' (s) - Inu' (s)\\ds.
(9)
Покажем, что при м->-оо интеграл справа стремится к нулю.
Воспользуемся теоремой 4 Лебега (см. п. 8.5). Заметим, что
п->со,
при каждом s ^[0, Т]. Далее,
[о, т\
т.е. последовательность (<Pn(s)} равномерно ограничена на
[0, Г]. По указанной теореме Лебега \(pB(s)^s->-0 прия->оо.
о
Следовательно, переходя к пределу при п->оо в (9), получим,
что «(/) = 0 на [0, Г]. Доказана следующая
Теорема 2. Задана Коши A) — B)с абстрактным эллип-
эллиптическим оператором А может иметь не более одного решения.
В условиях теоремы 1 задача A)—B) имеет единственное ре-
решение, которое дается формулой D).
Глава VIII
ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ
НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 32. Дифференцирование нелинейных операторов.
Степенные ряды
32.1.Производная Фреше нелинейного оператора. Рассмотрим
нелинейный оператор F(x) с областью определения D(F) в ба-
банаховом пространстве X и со значениями в банаховом простран-
пространстве У. Предположим, что оператор ^(л:) определен в некоторой
окрестности S точки х0, т. е, S с D(F).
Определение 1. Оператор F(x) называется дифферен-
дифференцируемым в точке Хо (в смысле Фреше), если существует ли-
линейный ограниченный оператор А (Ле^)!, У)) такой, что для
любых хе 5
F(x)-F(Xo) = A(x-xa) + <u(x-x0), A)
причем \\<л(х — хо)||= о'{\\х — хо\\)~ при х-+х0.
Оператор А в формуле A) называется производной (Фре-
(Фреше) оператора F в точке х0 и обозначается F'(xQ) или
—^±-- Если положить h = x — х0, то (I) можно записать в
виде
F(^ + A)-F(A:o) = iT/W/z + cu(/I), B)
где ||©(А)||=о(||А||) при/г-^0.
Определение 2. Если оператор F(x) дифференцируем
в точке А'о, то выражение
dF{x0; h) = F'{xu)h
называется дифференциалом {Фреше) оператора F в точке лг0
при приращении п.
Таким образом, дифференциал dF(xo\ /i) — это всего-навсего
значение линейного оператора F'(xo) на элементе h. Заметим,
что из дифференцируемое™ оператора в точке следует его не-
непрерывность в этой точке. Действительно, если х-*-х0, то из A)
вытекает, что F(x)-*- F(xo)\
Замечание. Если F(x) = Ax, где А*=&{Х, У), то F(x)]
дифференцируем в любой точке х0 е X и его производная рав-
равна А, т. е. производная линейного оператора равна ему же.
371

Упражнение
цируемы в точке х
Хо, причем
1. Пусть F: X-*-Y и G: X-*-Y дифферен-
дифферен. Докажите, что F -\- G дифференцируем в
Упражнение 2. Пусть F: X-+ Y дифференцируем в точке
х0. Докажите, что aF, где а — скаляр, дифференцируем в этой
точке и
Рассмотрим вопрос о дифференцировании суперпозиции опе-
операторов (п. 10.3). Пусть X, Y, Z — банаховы пространства.
Пусть, далее, оператор y = F(x) дифференцируем в точке
xo(F: Х-*-У),а оператор x = G(z) дифференцируем в точке
z0 (G: Z->X), причем G(zQ) = xo. Так как отсюда вытекает не-
непрерывность F в точке хо и G в точке z0, то определена и не-
непрерывна в точке xq суперпозиция операторов
(см. теорему о непрерывности суперпозиции непрерывных функ-
функций в [18]).
Покажем, что F*G дифференцируем в точке zQ, причем
Действительно, дифференцируемость F в Хо означает справед-
справедливость представления A), причем можно считать, что ю@) =
= 0, так что <о (Л) непрерывна в окрестности нуля. Далее, днф-
ференцируемость G в точке zq означает, что
G (г) = СBь) + В (г - г0) + б (z - z0),
D)
где ||б(г —zo)||=o(||z —2о11)' при \\г — zo||-»-O. Подставляя D)
в A), получим
F (G (г)) -F(G (г„)) = AB(z- z0) + е (z - z0), E)
где е (z — гй) = А б (z — z0) + а [В (z — z0) + 6 B — zQ)]. Но
\\A6(z-zQ)\\ = o(\\z-Zo\\) при ||z-z0||-»0.
И а [В (z - г0) + fi (z - zo)] II = о (|| В (z - г„) + 6 (z - z0) II) =
= o(||z-zoll) при ||z —zdKO.
Следовательно, ||е(г — zo)\\= o(\\z — zo\\) при ||z —zoll-»-0. Та-
Таким образом, представление E) означает, что (F *G)'(zo) =
= АВ, а это и есть формула C).
Приведем теперь несколько примеров.
Пример 1. Производная нелинейного оператора в конеч-
конечномерном случае. Пусть F: ?*->?'. Тогда равенство y — F(x))
372
равносильно системе равенств
... xk),
... Хк),
У1 = f/ (*ь • • • -^ft)t
которые задают отображение из Е" в Е1. Если F определен
в окрестности точки х0, то координатные функции f/ также оп-
определены в окрестности этой точки хо = (х\, х°2, :.., x°k).
Пусть F дифференцируем в окрестности точки х0; тогда при
/=1,2, .... /
л2,..
се,(hh
где || и || = о (|| Л ||) при
В математическом анализе матрица -^=
dh
на-
на1
зывается матрицей Якоби или матрицей-производной оператора
(отображения) F. Оператор А е 2?{Ek -> ?') и является про-
производной Фреше оператора F в точке ха, т. е. А = F'(xQ). Уста-
Устанавливается (см. [18]), что из дифференцируемости F в точке
хо вытекает существование в этой точке частных производных
и равенство
®i (*„)
Ох,
i=\, ...,/; i—l, .... k.
Посмотрим еще, как записывается производная суперпози-
суперпозиции отображений. Если x = G(z) — отображение из Ет в Е",
дифференцируемое в точке z0, то
G/(z0) =
dzs
II/-1 ft
^=1 ..., m,
Формула производной суперпозиции C) приобретает теперь вид
Производя умножение матриц, получим
дх,
ll<-i i
s=l m
373

Это оператор из 9?{Ет, Е1). Мы получили в общем виде пра-
правило вычисления производных при замене переменных (см.
[18]).
Упражнение 3. Вычислите {F * G)' (z0), если
F = (sin (*i + х2 -f х3), cos (х{ + х2 + х3), х{х2х3),
G = (zi + г2, Zi — г2, z{z2), a z0 = (О, я).
Пример 2. Пусть f(x, и)—непрерывная функция двух пе-
переменных, х<=[а,Ь], — оо < и < + с». Зададим нелинейный
оператор F, действующий в С[а, Ь], по формуле
F(u) = f(x,u{x)).
Упражнение 4. Покажите, что если ы(*)е СГа, &], то и
!(MW)eC[a,i].
Рассмотрим теперь вопрос о дифференцируемое™ оператора
F(u) в точке ио(х)^ С[а, Ь]. Предположим, что функция f(x,u)
имеет при любых (х, и) непрерывную частную производную
fu(x,u). Для всех h{x)<= C[a, b\ имеем следующее равенство:
f (х, и0 (х) + h (х)) - f (х, «о (х)) = fu (x, «о (*)) AW + <» (х. h), F)
где
1
«> (х, Л) = J [/«(¦«, «о (х) + 9ft (дг)) - /а (л,
G)
Рассмотрим в Ь1 замкнутое ограниченное множество
ПЛ = {х, и: х<ее [а, Ь], uo(x)-R^u(х)<щ(х) + R), R> 0.
Согласно теореме Кантора (см. [18]) функция fu(x,u), бу-
будучи непрерывна на Щ, равномерно непрерывна на нем. Это
означает, что для любого е > 0 найдется б > 0 такое, что
для всех (x',u')^nR, (/,»")ens, удовлетворяющих нера-
неравенству -у/(хг — х"J + («' — и"J < б, выполняется неравенство
\fu(x',u')-fu(x",u")\<e.
Пусть, далее, в формулах F) и G) ||Л|К R. Тогда для всех
0е[О,1] имеем (х, ио(х)+ 0A(jt))e П«. Возьмем х' = х" =
= х, и'= «о(-*:)+0Л(х), ы" = «о(^) и получим, что для всех
х е [a, fe], как только ||Л|| < б, так
II ш (х, А) Ц< max \\fu (х, и0 (х) + ш (х)) - fu (х, и0 (х)) | dQ | A (*) |<
< в || А ||.
Это означает, что оператор F дифференцируем в точке «о в
смысле Фреше и что
374
Упражнение 5. Найдите производную Фреше следующих
операторов F в точке и0:
1) F{u)= sin u(x) в С[0, я], tio = cos*;
2) F(u) = и(х)— ехр(хи(х)) в С[0, 1], ы0 = 0.
Будет ли оператор F'(uq) непрерывно обратим?
Пример 3. Рассмотрим в пространстве С[а,Ь]- нелиней-
нелинейный интегральный оператор
где функция f{x, |, и) непрерывна по совокупности своих пе-
переменных при а^*, e^^i — оо<С«<С + оо, вместе с част-
частной производной fu(x, |, и).
Упражнение 6. Покажите, что оператор F дифференци-
дифференцируем в любой точке «о ^ С[а, Ь] и что
F' Ы Л = А (а-) - \ fu (х, I,
Упражнение 7. Найдите производную Фреше по и в точ-
точке «о = 0 интегрального оператора с параметром X:
Найдите все решения уравнения
f @) h = cos x.
32.2. Формула конечных приращений Лагранжа и условие
Липшица. Докажем сначала формулу конечных приращении
Лагранжа в интегральной форме. Условимся говорить, что опе-
оператор ^(.v) непрерывно дифференцируем в точке х0, если он
дифференцируем в некоторой окрестности точки х0 и F'(x) не-
непрерывен в ло. Если F(x) непрерывно дифференцируем в каж-
каждой точке некоторого множества, то будем говорить, что он не-
непрерывно дифференцируем на этом множестве.
Теорема. Пусть оператор F непрерывно дифференцируем
в окрестности S точки хй\ тогда в S справедлива формула Лаг-
Лагранжа
F(x)-F (х0) =
- х0)) dQ (х -
A)
Доказательство. Рассмотрим суперпозицию F*G,
где
(G:El-*X).
375

Имеем G'(O) = x— хо. Следовательно, согласно формуле про-
производной суперпозиции (см. п. 32.1),
-jqF(x0 + Q(x - xo)) = F'(xo + Q(x- xo))(x-xo).
Интегрируя это тождество по 6 от 0 до 1, получаем формулу
A). Теорема доказана.
Перейдем теперь к обсуждению условия Липшица и связан-
связанных с ним некоторых утверждений. Пусть оператор F(x) опре-
определен на некотором множестве Q банахова пространства X, а
значения его лежат в'банаховом пространстве Y.
Определение. Будем говорить, что F удовлетворяет на
Я условию Липшица (с постоянной Липшица /), если для лю-
любых х\, ^eQ
1|/7(*1)-/7(*яIКЛ1*|-*я||. B)
Лемма 1. Пусть F(x) непрерывно дифференцируем на вы-
выпуклом множестве Q, причем \\F'{x)\\ <J на Q; тогда F(x) удо-
удовлетворяет на Q условию Липшица с постоянной Липшица I.
Доказательство. По формуле Лагранжа имеем
- F (х2) = J F' (х2 + 0 (*, - х2)) dQ (*, - х2)
Оценка по норме дает следующее неравенство:
~ F(х2) ||<К F'(х2 + Q(х: - х2))dQ ||дс, - х2
\\F'
- х2)) \\dQ\\ *, -
- х2\
Таким образом, лемма доказана.
Лемма 2. Пусть F(x) дифференцируем на выпуклом мно-
окестве Q, причем
^ll на Q
(т.е. F'(x) удовлетворяет на Q условию Липшица с постоян-
постоянной Липшица I); тогда справедлива оценка
IIF (*,) - F (х2) - F' (x2) (Xl - х2) || < \ III *, -
C)
376
Доказательство. Применяя сначала формулу Лагран-
для F, а затем условие Липшица для производной, полу-
жа для
чаем
IF'(х2 + 9(л - Xi)) - F'(х2)||Щ xi -х2\\<
и формула C), а с ней и лемма доказаны.
Пример. Пусть оператор F: Е"->Е' дифференцируем в
точке jco (в обозначениях примера 1 п. 32.1). Формула конеч-
конечных приращений здесь принимает вид (i= 1, .... I)
дх,
S
/-1 О
32.3. Степенные операторы, производные и дифференциалы
Фреше высших порядков. Пусть X и У — банаховы простран-
пространства. Образуем прямую сумму k экземпляров пространства X
Х" = Х + Х+ ... -hX
и рассмотрим нелинейный оператор у = Fb(x\, ..., **), опре-
определенный всюду на X": (хи ..., J»)eP со значениями в про-
пространстве У. Иначе говоря, мы имеем дело с операторной функ-
функцией от k векторных переменных.
Определение 1. Оператор Fk(x\, .... хк) называется
k-линейным оператором, если он линеен по каждому аргументу
xh i=\,2 k.
Определение 2. ft-линейный оператор Fk(x\, ..., xk)\
называется ограниченным, если существует постоянная m та-
такая, что для всех i,?l
II/=¦*(*! **)IKm|U,||...|Uft||. A)
Наименьшая из постоянных m в A) обозначается \\Ft\\ и назы-
называется нормой й-линейного оператора F*. Точнее,
I*1* 11=
,:..Г|Ы1<1 н*1 и-1и*и *
B)
377

Упражнение 1. Покажите, что всякий fe-линейный огра-
ограниченный оператор непрерывен в любой точке xk e Хк.
Определение 3. й-линейный оператор называется сим-
симметричным, если его значения не изменяются при любой пере-
перестановке его аргументов.
Определение 4. Пусть Fk(x\, ..., Xk) — линейный опера-
оператор. Положим х\ = лс2 = ... = хк = х. Оператор Fk{x, ..., х)'
называется k-степенным (степенью) и обозначается FkXk.
Если Fk(xi Xk) — й-линейный ограниченный оператор,
то, в соответствии с {1), B) и определением 4,
II F vk 11<Г II F НИ v llfe (Vl
II ' kx II *** II'й IIII * II • \°)
Отметим еще следующую точку зрения на й-линейные опе-
операторы. Билинейный оператор Ръ(х\,Х2) можно трактовать как
произведение элементов х\, jjeI, значение которого лежит
в У. Если F2 симметричен, то порядок сомножителей несуще-
несуществен (см. также п. 11.7). Можно также рассматривать
F2(x\,X2) как произведение трех сомножителей: «коэффициен-
«коэффициента» F2^2'(X2, Y) и сомножителей х\ и х%. Аналогично,
Fk(x\, ..., хк) можно рассматривать как произведение й (или
k-\-I) сомножителей.
Замечание. Всегда можно считать, что степень FkXk по-
порождена симметричным й-линейным оператором. Действитель-
Действительно, положим
где суммирование ведется по всевозможным перестановкам
(vi, ..., v*). Очевидно, Фк(х\ хк) симметричен и Fkxk =
= Фк(х, ..., х).
В дальнейшем, говоря о степени FkXk, мы будем считать, что
исходный /г-линейный оператор Fk{x\ xk) симметричен.
Тем самым определены операторы /чх5/!* при 0 ^ s ^ к.
Упражнение 1. Докажите формулу «бинома Ньютона»
t
s=0
Упражнение 2. С помощью формулы бинома Ньютона
докажите, что й-степенной ограниченный оператор FkXk диффе-
дифференцируем (в смысле Фретие) в любой точке х и
Перейдем теперь к вопросу о дифференциалах высшего по-
порядка от нелинейного оператора F(x). Пусть G — некоторая об-
область в банаховом пространстве X. Предположим, что оператор
F{x) дифференцируем в G (т. е. во всех точках «еС), Рас-
Рассмотрим его дифференциал dF(x,h)=F'{x)h. Он является
378
скова функцией (оператором) от х, и поэтому можно поставить
задачу о нахождении его дифференциала в точке ха ^ G.
Определение 5. Пусть оператор F'(x)h = dF(x,h) диф-
дифференцируем в точке xq\ тогда выражение
d°-F{x;h) = d[F'{x,)h,g]\g=h D)
называется вторым дифференциалом оператора F(x) в точке xq.
Согласно определению 5, чтобы найти второй дифференциал
оператора F в точке х0 при приращении h, следует сначала
найти дифференциал F'(x)h в точке х0 при приращении g, не-
независимом от h, а затем положить g = h. Согласно этому пра-
правилу составим приращение
F' (xo + g)h- F' (xo) h = (Bg) h + со (g) h, E)
где ||со(g)|| =o(||g||) при g->0.
Таким образом, дело сводится к дифференцированию линей-
линейного оператора F'(х) в точке хо. Его производную, если она
существует, естественно обозначить через F"(xo), причем
F'"{xo)e=2'(X,2'(X,Y)), т. е. выражение F"(xQ)hg является
симметричным билинейным B-линейным) оператором. Фор-
Формулу E) можно теперь записать так:
F' (x0 + h)h-F' (xo) h = F" (x0) hg + <i>(g)h.
Согласно определению 5 имеем
d2F(x0, h)-=F"{xo)h\
Совершенно аналогично, если второй дифференциал суще-
существует в точках области G, то можно поставить вопрос о диф-
дифференцировании его по л; и т. д.
Пусть dnF(x, ft)= Я"'(л;)Л" уже определен. Тогда, если он
является дифференцируемым в точке xq& G оператором, пола-
полагаем
dn+lF(x0> h) = d[F(n) (xo)hn, g]\^h,
откуда вытекает, что
dn+lF(x0, h) = F<n+l)(xv)hn+l.
Таким образом, n-й дифференциал Fw{x0)fin является п-сте-
пенным оператором.
Приведем несколько примеров, в которых выкладки мы
предлагаем сделать читателю.
Пример 1. В пространстве ст ш-мерных столбцов
рассмотрим оператор y — F{x\,X2), определяемый формулами
т
Здесь я,-; — набор тг вещественных чисел.
379

Упражнение 3. Покажите, что F~(xux2J является били-
нейным (т. е. 2-линейным) ограниченным оператором. Найдите
оценку его нормы. Как выглядит соответствующий квадратич-
квадратичный оператор B-степенной оператор)? Когда F(xitx2) симмет-
симметричен?
Пример 2. В пространстве С[0, 1] рассмотрим нелиней-
нелинейный интегральный оператор
с непрерывным в квадрате 0 <; /, s ^ 1 ядром K(t, s).
Соответствующий билинейный симметричный оператор имеет
вид
1 1
(F2xtx2) @ = j xi (I) J К (t, s) x2 (s) ds + у х2 (/) \ К (/, s) x, (s) ds.
о о
Упражнение 4. Покажите, что
d [Разе1, Л] = 2F2xh, d2 [F2x\ h] = 2F2h2,
d"[F2x2, A] = 0 при k^3.
Пример З. Рассмотрим нелинейный оператор
действующий из С2 [0, 1] в С [0, 1].
Упражнение 5. Покажите, что если xQ(t)=t, то
d[F(x0), A] = -
d2[F(x0), h] = - (sin t)h2 (I),
Найдите общий вид dk[F(xo), A].
32.4. Степенные ряды, ряды Тейлора, аналитические опера-
операторы. Пусть задана последовательность степенных операторов
FkXh, A = 1,2, ..., действующих из банахова пространства А'
в банахово пространство У, и пусть задан элемент Fo^ У. Об-
Образуем формальный степенной ряд
А-0
A)
Обозначим через Q cz X область сходимости ряда A). Всег-
Всегда 0ей. Фиксируем хо^Х с ||л:о||= 1 и рассмотрим ряд A)
на одномерном подпространстве (комплексном, если таковы X
330
и У) элементов вида х = Ххо, где к пробегает всевозможные
скалярные значения. Получим ряд
|0 («)**• B)
Обозначим через р(х0) радиус сходимости ряда B). Для
одних *о может оказаться, что р(*о) = О, для других р(л:0)>0
или даже p(*o)= + °°- Таким образом, область сходимости й
ряда A) представляет собою так называемую С-звезду вокруг
точки О, т. е. такое множество в X, что если хей, той keQ
при |Х|^1. В приложениях особенно важен случай, когда Q
содержит некоторый шар So @). Числовой ряд
является мажорантным (оценивающим) для ряда A). Его ра-
радиус сходимости р« называется радиусом равномерной сходимо-
сходимости ряда A). По формуле Коши — Адамара (см. п. 13.3)
Если ри > 0, то в любом шаре Sp@), p е@, ри), степенной ряд
A) сходится абсолютно и равномерно. Если же р > р«, то най-
найдутся точки х с ||*||= р, в которых ряд A) не сходится равно-
равномерно. Таким образом, при ри > 0 и только в этом случае й
содержит шар (радиуса р > 0 с любым р <С ри).
Упражнение 1. Пусть X = Е2, У = Е1. Рассмотрим сте-
оо
пенной ряд ?
k=0
Обозначим через
{х\Х2)к. Найдите Q и ри.
F(x) сумму ряда A), и пусть
(x)=t Fkxk.
D)
В этом случае оператор F(x) будем называть аналитическим
в точке х = 0. Как и в случае абстрактных функций, можно
показать, что в шаре Spu@) оператор F(x) непрерывен и даже
бесконечно дифференцируем.
Для бесконечно дифференцируемых операторов F{x) имеет
смысл рассматривать степенные ряды специального вида —
ряды Тейлора:
Для аналитических операторов справедлива теорема о един-
единственности разложения в степенной ряд. Доказательство ее
381

следует сразу из аналогичной теоремы для абстрактных функ-
функций, если степенной ряд рассмотреть на одномерных подпро-
подпространствах. Таким образом, всякий степенной ряд аналитиче-
аналитического оператора автоматически оказывается его рядом Тейлора.
Упражнение 2. Пусть ядро K{t,s) непрерывно при а =^
^^, s =?С Ъ. Рассмотрим действующий в С[а, Ь] нелинейный
иператор
ъ
{F (*)} (/) =
(/, s)exp [x (s)]ds.
Докажите, что F{x] разлагается в сходящийся всюду ряд Тей-
Тейлора
ь ь
{F{x)}{t)=\K{t,
, s)x(s)ds
32.5. Дифференцирование нелинейных операторов, завися-
зависящих от двух переменных. Пусть X, Л и У — банаховы простран-
пространства. Рассмотрим оператор F(x,X), зависящий от переменных
х ^ X, 1еЛ, со значениями в пространстве У. Воспользуемся
следующим приемом. Введем U = X 4- Л — прямую сумму ба-
банаховых пространств X и Л (см. п. 14.1). Норму элемента
и =(х, Це(/ определим так:
где Ы—норма в X, а Ш— норма в Л. Оператор F(u)\ опре-
определенный, скажем, на множестве Q cr U, является теперь опе-
оператором, зависящим от одной переменной. Это простое сооб-
соображение позволяет перенести на операторы, зависящие от двух
(и более) переменных, практически все понятия и результаты
пп. 32.1—32.4. Начнем с определения непрерывности.
Пусть оператор F(x,X) определен на множестве й с X + Л
и (*оДо)еЯ. Оператор F(x,X) называется непрерывным в
точке (хо,Хо), если F(*Д)-> F(xo,XQ) в У при (х, ^)е й,
(х,Х)-*-(хо,Хо) в % 4- Л.
Перейдем к определению дифференцируемости. Пусть те-
теперь Q содержит некоторый шар S с центром в (х0, Хо). Опе-
Оператор F(x,X) называется дифференцируемым в точке (х0, Х&)]
{в смысле Фреше), если для любых (Л, g) таких, что (хо+Л,
% + )S
i, g),
A)
{h,
382
У),Ве1(Л,У),а &(h, g) = о
Определение это является, конечно, только перефразировкой
определения п. 32.1. Достаточно заметить, что выражение
Ah + Bg, где А е L(X, У), а В е L(A, Y), дает общий вид ли-
линейного оператора из L(X-\-A, Y). Следуя математическому
анализу, операторы А и В будем называть частными производ-
производными оператора F{x,X) соответственно по х и по % и писать
dF (jco, U) о dF (ха,
A =
дх
о =
Упражнение 1. Покажите, что
дифференцируем в точке (х0, Хо), то
F (х0 + h, Ло) = F (х0, Ло) + dF(
если оператор F(r,K)]
(h),
(g),
где сйГ(А)"=о(||/1||) при
Выражение
d {F {x0, Ы, {h,
ПРИ
g)} =
dF
h "т
dF
M,
называется дифференциалом оператора F в точке (xq, Ко) при
приращении (h,g).
На случай двух переменных без труда переносится правило
дифференцирования суперпозиции. Предлагаем в качестве уп-
упражнения проверить частный случай этого правила.
Упражнение 2. Пусть оператор F(*,k) дифференцируем
в точке (хоДо), а оператор х = {{К) дифференцируем в точке
J\,o, причем f(X0) = xQ. Покажите, что оператор Ф = /Г(/(Я,)Д)
дифференцируем в точке Xq и
ф' {h) = dF % Л°> /' (Хо) + Ш^М.. B)
Приведем теперь примеры операторов, зависящих от двух пе-
переменных.
Пример 1. Пусть Х = Е\ У = ?', Л = Ет. Равенство
y = F(x,X) можно записать в координатной форме так:
•> xk>
*.., Хь\ X\, ..., Xm).
Эти равенства задают отображение из Ek+m = ?ft + Ет в ?'.
Если это отображение дифференцируемо в точке
{ха> ^o)==(*ii •••' •*** 1* ••*' т)>
то для каждой координатной функции
383

в окрестности точки (хо, к0) справедливо следующее представ-
представление:
ft m
Е СИМ, + Е blsgs + со, (Л,, .
r=l s=l
где (о, = (^? * + ?
Таким образом, коэффициенты
.., hk\ gx gm),
) при (/г, g)->0.
дхг
дк0
являются частными производными, а операторы А = || air \\l=-l {
г=1.' .'.",' к
и B = \\bis\\l^{ _ г представляют собой матрицы Якоби. Ра-
венство A) является матричной записью свойства дифференци-
руемости оператора F.
Упражнение 3. Запишите в условиях примера 1 правило
дифференцирования суперпозиции B).
Пример 2. Пусть f(x, u,X)— непрерывная функция трех
переменных: х е [а, Ь], — оо < и < + °° и к е [а, р]. Зададим
оператор F(u,l): С[а, Ь] + Е' -> С[а, Ь] формулой
F(u,X) = f(x,u(x),X).
Если предположить, что f(x, и, X) при любых и и А. имеет
непрерывные по (л:, ы, к) частные производные по и, и по к, то,
как в п. 32.1, можно установить дифференцируемость оператора
F. При этом
dF __ df(x,u(x), к) dF _ df (х, и (х), Я)
dF
ди
ди
Пример 3. Рассмотрим следующий нелинейный интеграль-
интегральный оператор:
ь
F(x, X)=\K(t, s)f[x{s), X(s)]ds.
Здесь K(t,s) непрерывна в квадрате а ^ /, s ^ b, a f{x,K) не-
непрерывно дифференцируема как функция х, к при — оо ¦< х,
к< + оо.
Нетрудно убедиться в том, что оператор F(x, к) действует
из C[a,b]-i-C[a,b] в С[а,Ь], а его частные производные опре-
384
деляются следующими формулами:
ь
dF _
дх ~
Перейдем теперь к вопросам определения производных выс-
высших порядков оператора F{x,k). Пусть F(x,k) дифференци-
дифференцируем в области Q с: X 4- Л. Тогда дифференциал
снова может оказаться дифференцируемым по (х, к) операто-
оператором, например, в точке {хо,ка). Следуя определению 5 п. 32.3,
мы можем тогда определить второй дифференциал d2{F{х0, к0);
(Kg)}, являющийся квадратичным оператором приращения
(h>g), И1 следовательно,
d2 {F (хо, к0); (Л, g)} = F*tf + 2Fnhg + F02g*.
Операторные коэффициенты в правой части этого равенства яв-
являются частными производными:
„ d2F Up, к0) р d2F {х0, к0) d2F (х0, ко) р .
дхдк
Ш
(равенство смешанных производных следует из симметричности
второго дифференциала). Заметим, что
+ Л>К, F02: Л + Л->У.
Аналогично определяются производные и дифференциалы
высших порядков. При этом
?aV. C)
i+t-к
охал,- -^
I раз / раз
[ — биномиальные коэффициенты).
Рассмотрим теперь двойные степенные ряды
Е fkihkgl, heX, geA,
D)
I
где Fki — (к + /У-линейный оператор, ft-линейный по ft и /-ли-
/-линейный по g. Вместе с рядом D) рассмотрим следующий чис-
числовой ряд:
I II f« IIIIАII* IIЯII1. E)
13 В. А. Треногин
335

Пусть существуют числа ри > 0 и ги > 0 такие, что при
IIЛII < рц и ||g||< ru ряд E) сходится. В этом случае ры, ги на-
называются совместными радиусами сходимости числового ряда
E), а также и совместными радиусами равномерной сходимо-
сходимости абстрактного ряда D), так как в области \\h\\ < pu, ||g|| < ги
ряд D) сходится абсолютно и равномерно.
Упражнение 4. Покажите, что числа г, 1 — г для лю-
любого re @,1) являются совместными радиусами сходимости
оо п
числового ряда Y* Z ChXkyn~k.
п = 0 ft = 0
Таким образом, ри и ги определяются неоднозначно (напри-
(например, при уменьшении ри может увеличиваться ги). Можно по-
показать, что в области ||/i||<pu, ||g||< ru сумма ряда D) есть
функция непрерывная и ряд этот можно дифференцировать по
hug любое число раз, в результате чего получаются непре-
непрерывные функции, равные соответствующим производным ряда.
Приведем еще следующее определение. Оператор /"(яД)
называется аналитическим в точке (хоДо), если можно указать
окрестность этой точки, в которой F(x, X) представим равно-
равномерно и абсолютно сходящимся рядом Тейлора
F (х, X) = F (х0,
Учитывая выражения C) для дифференциалов и формулу
биномиального коэффициента, ряд Тейлора оператора F(x,X)
можно записать также в следующем виде:
где
F(x, Л) =
г,
o, А.о)
<!/! дх'дк1
Отсюда видно, что ряд Тейлора представляют собою двойной
степенной ряд вида D), где Л = х — х0, g = X — Ко.
В заключение остановимся на нескольких примерах (см.
примеры 1—3 этого пункта).
Пример 4. Пусть в примере 1 k = I = m = 1 и координат-
координатная функция f(x, К) аналитична в точке (хо,Ко). Тогда
/ (х, К) = f (х0, К)
где
386
Пример 5. Пусть в примере 2 функция Д*, ы, ХУ k раз не-
непрерывно дифференцируема по переменным (и, i)e(— оо, + °°)•
Тогда k-ft дифференциал оператора F в точке (ио(*)До)е
еС[й,&| + ?' при приращении (h(x), g)^C[a,b] + Ei равен
Пример 6. Пусть в примере 3 функция f(x,X)' дважды
непрерывно дифференцируема при (x,h)^(—оо, tf-oo), и пусть
xqA)^ C[a,b], io(t)e C[a,b]. Второй дифференциал опера-
оператора F в точке (xQ(s), Ms)) при приращении (h(s),g{s)) имеет
следующий вид (проверьте!):
= { К (/, s)
32.6. Первая вариация и производная Гато нелинейного опе-
оператора. В приложениях иногда оказываются полезными другие
определения дифференцируемости нелинейного оператора.
Рассмотрим нелинейный оператор F(x), определенный в ок-
окрестности S точки Хо банахова пространства X, со значениями
в банаховом пространстве У.
Определение 1. Если для всех ZieJf существует предел
*< + 'у'<>й), A)
то этот предел называется первой вариацией оператора F в
точке х0.
Разумеется, в формуле A) при каждом ЛеХ выражение
F(xo + th) определено при достаточно малых |/|: при х0 +
+ th^S.
Заметим, что при фиксированном х0 первая вариация
8F(xo;h) является, вообще говоря, нелинейным оператором,
отображающим пространство X (h — переменная) в простран-
пространство Y.
Определение 2. Пусть оператор F имеет в точке х0 пер-
первую вариацию следующего вида: 8F(x0; h) == Ah, где А — ли-
линейный ограниченный оператор {A^2?{X,Y)). Тогда говорят,
что оператор F дифференцируем в точке х0 в смысле Гато. При
этом оператор А называется производной Гато оператора F а
точке х0 и обозначается A = F'(xa). Сама первая вариация
B)
называется дифференциалом Гато оператора F в точке х0 по
направлению h.
13*
ЯЯ7

Упражнение 1. Вычислите производную Гато функцио-
функционала q>(x)=(x, />, где / е X", X — банахово пространство.
Упражнение 2. Пусть <p(jc) — функционал, определенный
в окрестности точки х0 банахова пространства X и дифферент
цируемый в точке х0 в смысле Гато. Покажите, что (р'(хо)^Х*,
причем ф'(лго)А = <Л, ф'(*0)>.
Заметим, что из дифференцируемости F в точке х0 в смысле
Фреше следует его дифференцируемость в xq в смысле Гато
Действительно, дифференцируемость F в точке х0 в смысле
Фреше означает, что для всех достаточно малых Л
F(xo + h)-F (xo) = F' (xQ) h + со (А),
где ||co(A)||=o(||A||) при h -*¦ 0, a /•''(яо)—производная Фреше.
Тогда при /е=(—1.+1), /=^0
F (*о + /А) - F (jcq) = Г (*„) /А + в» (/А),
где ||co(//j) ||= о( |/|) при <->0. Деля последнее равенство на/
и переходя к пределу при t -*¦ 0, получаем
t->o
Согласно A), B) это означает дифференцируемость F в Хо в
смысле Гато, а также совпадение производной Гато F в точке
х0 с Т7'(*<))¦
Следующий пример показывает, что из дифференцируемости
оператора по Гато не вытекает его дифференцируемость п >
Фреше.
Пример 1. Рассмотрим функцию /: Е2-+Е1 переменных
(х, у), определенную формулой
/ (х, y)=U если у = х2, хФ 0;
fix, !/) = 0 в остальных точках Я2.
Эта функция разрывна в точке @,0), а потому не дифферента
р^ема в этой точке в смысле Фреше. В то же время
f (**, <g) ~ ! (о, О) _ л
t ~u>
ибо {@, 0) = 0 и f(th,tg) = O при любом (Л, g) и достаточно
малом t (нарисуйте график /). Следовательно, функция / диф-
дифференцируема в точке @, 0) в смысле Гато и ее дифференциал
Гато в этой точке равен нулю.
Следующий пример показывает, что требование существо-
существования первой вариации слабее требования дифференцируемо-
дифференцируемости по Гато.
Пример 2. Рассмотрим функцию
fix, у)=
/@, 0) = 0.
при
388
Упражнение 3. Покажите, что
б/(@,0); (h,g)) = f(h,g),
т. е. f имеет в точке @,0) нелинейную первую вариацию и,
значит, не дифференцируема в этой точке в смысле Гато.
Задачи.
1. Найдите производную Фреше функционала ||дс|| в вещественном гиль-
гильбертовом пространстве.
2. Пусть ifn(x)} — последовательность функций, дифференцируемых на
(—оо, +оо). Пусть, далее, функции fn(x) и их первые производные равно-
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на каждом отрезке [а, Ь] До-
Докажите, что оператор
действует в пространстве ограниченных последовательностей и дифференци-
дифференцируем в смысле Фреше. Найдите F'(u).
3. Найдите производную Фреше функционала
и
<Р (ft = \ Ф [*, / (*). /' (*)] dx,
определенного на С [а, Ь] — банаховом пространстве непрерывно дифференци-
дифференцируемых на [а,Ь] функций f(x), обращающихся в нуль на концах [а, Ь]. Функ-
Функция Ф(дс, у, г) предполагается дважды непрерывно дифференцируемой
4. Пусть оператор F(x) непрерывно дифференцируем по Гато на отрезке
[Х(,, дс0 + Л]. Докажите, что тогда имеет место формула Лагранжа
1
F(xo + h)-F (х0) =
5. Пусть оператор F(x) дифференцируем в смысле Гато в окрестности S
точки Хо, причем его производная Гато F'(x) непрерывна в точке х0 (в мет-
метрике S?{X, Y)). Докажите, что F дифференцируем в точке ха в смысле Фреше
и f'(*o) —его производная Фреше.
6. Пусть оператор F(x,X) отображает окрестность S точки (ха,ко) про-
пространства X 4- Л в пространство У (X, Л, Y банаховы) и имеет в S в смысле
Фреше частные производные Fx и Fy, непрерывные в точке (*оДо)- Докажите,
что F(x, к) дифференцируем по Фреше в точке (xo,h>). Если Fx и Fy непре-
непрерывны в S, то покажите, что F непрерывно дифференцируем.
7. Пусть оператор F(x) n раз непрерывно дифференцируем в смысле
Фреше в окрестности S точки хй Докажите следующую формулу Тейлора с
остаточным членом в интегральной форме (xa + heS).
?F w м h"+i S ° -
fe=0
§ 33. Принцип сжимающих отображений
33.1. Неподвижные точки нелинейного оператора, сжимаю-
сжимающие отображения. Пусть в банаховом пространстве X дей'
ствует оператор Ф(х) с областью определения й(Ф)с:Х и с
областью значений к(Ф\сХ, Предположим, что множество
389

M = О(Ф)П Я(Ф) не пусто. Точка х* называется неподвижной
точкой оператора Ф, если
Ф(х*) = х\ A)
Таким образом, неподвижные точки Ф — это решения уравне-
уравнения
х = Ф(х), B)
а поскольку к такому виду довольно часто удается преобразо-
преобразовать уравнение F(x) = 0, где F действует из банахова простран-
пространства X в банахово пространство Y, то важность определения
неподвижных точек оператора не вызывает сомнения.
Упражнение 1. Найдите неподвижные точки операторов
(Х Е)
( )
а) ф{х)=х3; б) () ^
Упражнение 2. Найдите неподвижные точки оператора
Ф в С[0, 1],если
в предположении, что/ (/) <= С [О, 1] и что \f (t) dt < 1/4, а С [0, 1]
о
вещественно.
Дадим теперь важное определение сжимающего оператора
Ф. Пусть дано некоторое множество Q а ?)(Ф).
Определение. Будем говорить, что оператор Ф является
сжимающим оператором (короче, сжатием) на Q, если суще-
существует <7е@> 1) такое, что для любых х', /eQ выполняется
неравенство
\Щ'{№х"\\. C)
.Число q будем называть коэффициентом, сжатия.
Упражнение 3. Покажите, что оператор F(x) = jc3
(х^Е1) является сжатием на множестве Sr(O) = {;t: |*|<г},
где г < 1/Уз , и не является сжатием вблизи неподвижных то-
чек 1 и —1.
Упражнение 4. Покажите, что оператор Ф(х) = tgх
(*е?') является сжимающим оператором в шаре Зг(х*), где
х* — любая из его неподвижных точек, а г достаточно мало
t(r зависит от х*). .- ' *
33.2. Принцип сжимающих отображений. Теорема L
Пусть оператор Ф отображает замкнутое в банаховом простран-
пространстве X множество Q в себя и является на Q сжимающим опе-
оператором с коэффициентом сжатия q. Тогда в Q оператор Ф
имеет единственную неподвижную точку х*. Пусть ^eQ про-
иэвольно. Образуем последовательность
*л = Ф(*п-1)> n=l,2l._i_. A)
390
1
Тогда '{xn}<^Q и хп~-* х* при п^+оо. Кроме того, справедлива
оценка скорости сходимости
Доказательство. Поскольку Ф<2 с Q, то {х„}cz Q. По-
Положим 6=11*1 — *о11=ЦФ(*о)— Хо\\. Используя сжимаемость Ф
на Q, последовательно находим
IIх2 - xi|| = ||Ф (xi) - Ф(хо)\\<qUi - хо|f= Bq,
II х3 - х21| = || Ф (х2) - Ф (*,) || < q II х2 - х, || < Qq2, C)
Строгое обоснование оценки C) получается методом полной ма-
математической индукции.
Теперь оценим ||*Л+Р — дгя||, пользуясь неравенством треуголь-.
ника и формулой суммы геометрической прогрессии:
II хп+р — хп ||< || хп+р — хп+р_х || +
Итак, мы получили оценку
D)
Отсюда вытекает фундаментальность {х„}, а вследствие пол-
полноты X —сходимость {хп} в X к некоторому элементу fel
Так как Q замкнуто, то х* s Q.
Докажем теперь, что х* является неподвижной точкой опе-
оператора Ф. Из условия сжимаемости Ф на Q вытекает непре-
непрерывность Ф на Q. Действительно, если х" -> х', х', х" е Q, то,
согласно формуле C) п. 33.1, также и Ф{х")-+ Ф{х'). Перей-
Перейдем в равенстве A) к пределу при гг->-оо, и так как х„-*-х*,то
по непрерывности Ф получим равенство х* = Ф(я*). Итак, х* —
неподвижная точка Ф на Q.
Докажем, что ** — единственная неподвижная точка Ф на
Q. Пусть х — еще одна неподвижная точка оператора Ф на мно-
множестве Q. Вычитая равенства х* = Ф(х*), х = Ф(х) и оцени-
оценивая, получим
|| х* - х || = || ф (х*) _ ф (х) || < q || л:* - je||.
Это неравенство возможно только при ||х* —*|| = 0, откуда
х = х*. Итак, в Q неподвижная точка у Ф существует и только
одна. Осталось доказать оценку (?). Для этого достаточно пе-
перейти к пределу при р->г+°° в неравенстве D). Теорема до-
доказана.
291

Отметим теперь, что наиболее часто принцип сжимающих
отображений применяется в двух следующих случаях: Q = X —
все пространство и Q = Sr(a) — замкнутый шар в X. Сформу-
Сформулируем соответствующие утверждения в виде следствий из тео-
теоремы.
Следствие 1. Пусть Ф определен всюду в банаховом
пространстве X и значения Ф также лежат в X. Если Ф яв-
является сжимающим оператором на X с коэффициентом сжатия
<7, то Ф имеет в X единственную неподвижную точку х*, причем
последовательность A), начиная с любого Хо^Х, сходится к
х* со скоростью B).
j След с-т в и- е 2-. Пусть оператор Ф определен на замкну-
замкнутом шаре Sr(a) банахова пространства X и значения Ф лежат
в X. Пусть Ф является на Sr(a) сжатием с коэффициентом
сжатия q, причем
||()||A9)г. E)
Тогда в Sr(a) оператор Ф имеет единственную неподвижную
точку х* и последовательность A) сходится к х*, начиная с
любого хо е Sr(a), со скоростью B).
Следствие 1 является просто частным случаем теоремы 1.
Для доказательства следствия 2 достаточно показать, что опе-
ратор Ф отображает шар Sr(a) в себя. Действительно, если
х g Sr(a), т. е. ||л: — а||^г, то, вследствие сжимаемости Ф на
Sr(а) и неравенства E), получим
|| Ф U) — а ||< || Ф (х) — Ф (а) ]| +1| Ф (а) — а Ц<
Теперь выполнены все условия теоремы 1 при Q = Sr(a), и
следствие 2 доказано.
Заметим, что условия следствия 2 более типичны для нели-
нелинейного оператора, чем условия следствия 1. Единственность
решения нелинейного уравнения является фактом сравнительно
редким (см. упражнения п. 33.1).
' Приведем одно полезное обобщение принципа сжимающих
отображений. Пусть нелинейный оператор Ф отображает мно-
множество Q d X в себя. В этом случае для всякого натурального
п определена п-я степень (п-я итерация) оператора Ф. Пола-
Полагаем для x^Q Ф2(х) = Ф(Ф{х)). Если Ф"-\(х) уже опреде-
определена, то полагаем Ф" (х) = Ф (ф"-1 (х)).
Теорема 2. Пусть оператор Ф отображает замкнутое мно-
множество Q cz X в себя и при некотором натуральном m оператор
Фт является на Q сжатием. Тогда в Q существует единственная
неподвижная точка х* оператора Ф. Последовательные прибли-
приближения A) сходятся к х*, начиная с любого начального прибли-
приближения хо е Q.
392
^ Доказательство. Если m = 1, то мы имеем теорему 1.
Пусть пг > 1. Рассмотрим сжатие Ч*1 = Ф. По теореме 1 V
имеет на Q единственную неподвижную точку х*. Поскольку
ТиФ перестановочны на Q и так как Чг(л;*)= х*, мы имеем
ЦТ (ф (**)) =
== ф (я*).
Это означает, что Ф(я*)е<2 также является неподвижной точ-
точкой оператора V. Но Т имеет на Q единственную неподвижную
точку и, следовательно,
Ф (*•) = *',
т. е. х* является неподвижной точкой на Q также и для опера-
оператора Ф. Докажем, что х*—единственная неподвижная точка
Ф на Q. Если Ф {х) = х, х е Q, то
ЦТ (?) = ф"» (х) = X.
Оказалось, что х — неподвижная точка W и, значит, х = х*. Тео-
Теорема 2 доказана.
В заключение приведем еще одно следствие из теоремы 1
для случая дифференцируемого оператора Ф.
Следствие 3. Пусть оператор Ф отображает замкнутое
выпуклое множество Q cz X в себя, причем на Q он непрерывно
дифференцируем и
ЦФ'(*I1<<?<1. (О
Тогда справедливы все утверждения теоремы 1.
Для доказательства заметим, что по лемме 1 п. 32.2 опера-
оператор Ф удовлетворяет в Q условию Липшица с постоянной q e
е@, 1), т. е. является в Q сжатием.
33.3. Применение к системам линейных алгебраических
уравнений. Метод сжимающих отображений находит многочис-i
ленные практически важные приложения даже в случае линей-
линейной системы пг уравнений с пг неизвестными, особенно когда
m велико и применение правила Крамера нецелесообразно.
Здесь мы остановимся на двух известных методах решения си-
систем линейных уравнений.
Пусть Н — m-мерное унитарное пространство, у — заданный
вектор в Я, а ВеЗ'(Я), Для нахождения решения уравнения
х-Вх =
(\\
часто применяется так называемый метод простой итерации
(см. [1]). При этом решение уравнения A) разыскивается как
предел последовательности
хп+1 = Вхя + у, л = 0,1, .... B)
а начальное приближение хо задано. Если хп-+х при п->оо
(хп — решение B), а х — решение A)), то говорят, что метод
простой итерации сходится.
39S

С точки зрения принципа сжимающих отображений уравне-
уравнение A) следует записать в виде х = Ф(х), где Ф(х) = Вх + у.
При этом
|| Ф (*') - Ф (*") || = || Вх' - Вх" || < || В || || х' - х" ||.
Если ||S||< 1, то оператор Ф является сжимающим и метод
простых итераций сходится. Более общее условие его сходимо-
сходимости дает теорема 2 п. 33.2, когда сжимающим является опера-
оператор Ф* при некотором натуральном k. Предлагаем читателю
проверить, что в данном случае
и, следовательно,
1 = 0
В1 у
Таким образом, если удастся показать, что при каком-либо
k ||Bft||< 1, то, согласно теореме 2 п. 33.2, метод простой ите*
рации сходится. На этом пути удается получить следующее не'
обходимое и достаточное условие (см. [1]).
Теорема. Для сходимости метода простой итерации при
любом начальном приближении необходимо и достаточно, что-
чтобы все собственные значения оператора В по модулю были
меньше 1.
Доказательство достаточности. Пусть %\, ,..
,.., Яот — собственные значения оператора В (среди них могут
быть равные). Согласно условию теоремы существует число
^е@, 1) такое, что
\K\<q, i=l, ..., m.
Фиксируем число б > 0 настолько малое, что q -\- 8 <^ 1, и
рассмотрим оператор б~'В. Его собственные значения равны
б~'Я„ i = l, ».., m. По теореме Жордана (см. п. 23.2) суще'
ствует в Н базис {ei)™, состоящий из собственных и присоедн*
ненных векторов оператора Ь~ХВ. При этом выполняются еле-
дующие соотношения:
где либо ал = 0, либо ш-i = 1. После умножения на б при-
приходим к равенствам
Bet = \tet + bat_iet^i, i = 2, .... m. C)
Возьмем х е Н, и пусть его разложение по базису имеет
вид
х =
394
Пользуясь формулами C), можно показать, согласно мате-
математической индукции, что
m m—\
Вх = Е Xfoei + б ? ailt + M,
1=1 i=l
m m—\ m—2
t + 26 E Kp?i+let + б2 g Д
m—1
Z
in—к
E atli+ket,
E
где Ст _ биномиальные коэффициенты. При этом, если
то полагаем
Е* K^i^i = о-
Вспомним теперь, что |Х, |^д, и. пользуясь неравенством
Коши — Буняковского, получим
где
Ш
C)
F)
Оценка D) с использованием E) приводит к следующему не-
неравенству:
||B*IKfo + 6)*a(*). G)
Заметим теперь, что функционал а(х), определяемый фор-
формулой F), удовлетворяет всем аксиомам нормы. Но Н конеч-
конечномерно, и потому все нормы в Я эквивалентны. Поэтому най-
найдется постоянная с > 0 такая, что для всех хеЯ имеем
а(д;)^ c||jc||. Обращаясь к G), получаем оценку
т. е. ||В*||^ c{q + fi)*. Так как q + 6<\, то при достаточно
большом k будем иметь ||BfeH< 1, и метод простой итерации
сходится.
Доказательство необходимости. Пусть % -*~ соб-
собственное значение В и |Л|^ 1. Пусть <р — собственный вектор
В, отвечающий %. Выберем в B) начальное приближение х0 =
= х + ф, где х — решение уравнения A). Тогда
х2
о + у
= Вхх + у = х + №у, ..., хЛ = х + Я,"ф.
995

При | к |^51 лсд-Алгпри п-*-оо, и, следовательно, метод ите-
итерации расходится. Теорема доказана.
Замечание 1. Если В — самосопряженный оператор в Я,
то ||?||=тах|А,,| г=С q < 1 (см. следствие к теореме п. 23.4) и
оператор Ф (х) = Вх-\- у — сжимающий.
Замечание 2. Теорему можно перефразировать так: для
того чтобы спектральный радиус га(В) оператора В был мень-
меньше 1 (см. п. 24.2), необходимо и достаточно, чтобы все соб-
собственные значения В были по модулю меньше 1.
Рассмотрим теперь метод верхней релаксации (см. [14]).
Для решения линейного уравнения
Ах = у, (8)
где ^еЯ, А^2?(Н), Н — /n-мерное унитарное пространство,
обычно используются различные варианты его записи в форме
(!). Опишем один из них. Пусть в Н фиксирован ортонормиро-
ванный базис, в котором D) является матричной записью си-
системы линейных уравнений:
Предположим, далее, что оператор А вещественный самосо-
самосопряженный, т. е. ац вещественны и а,, = а„, и положительно
определенный, т. е. (Ах, х) > 0 при х Ф 0. Разложим матрицу
А на сумму трех матриц:
A = C + A + D, (9)
где матрица С — нижняя левая треугольная, матрица D —
верхняя правая треугольная, а Л — диагональная матрица.
Точнее, с,/ = а,/ при * > /, с«/ = 0 при / ^ /; Я,,, = а„, %if = 0
при i Ф у, йц = а,/ при i < /, ац = 0 при i &s j.
Запишем уравнение (8) в виде
(А + (оС)х = [{1-(о)А — ®D] х-{-<оу, A0)
где ю > 0. Поскольку матрица Л + соС обратима, то уравнению
A0) можно придать вид
* = Ят* + со(Л + сйСГЧ (И)
где Bw = (Л + ©С)-'[A — ш)Л — ©D].
Покажем, что при 0 < со < 2 все собственные значения мат-
матрицы Вш по модулю меньше 1. Действительно, если А, — ее соб-
собственное значение, а <р — отвечающий К ее собственный вектор,
то
[A— ©)Л — coD] ф = Л (Л + юС) <р. A2)
Учитывая представление (9), уравнения A2) можно записать
в виде
[B-а)Л-юЛ + ©(С -2$)] ф = X (B - ©) Л + (Ovi + со (С - ?>)] ф.
Умножим это равенство скалярно на ф и, пользуясь тем, что
((С — Д)ф,ф) = 0, получим
^ _ B — (о) (Лф, ф) — а (Лф, ф)
B — о) (Лф, ф) + «о (Лф, ф)
Так как (Лф, ф)>0 и (Лф, ф) > 0, то при со е @, 2) имеем
1^1 <; 1. Согласно методу простых итераций, метод верхней ре-
релаксации, т. е. метод последовательных приближений для урав-
уравнения A1), сходится при любом начальном приближении, если
О <С со < 2. Число со называется релаксационным мноокителем.
Его выбор может существенно ускорить сходимость последова-
последовательных приближений (см. [14]).
33.4. Теоремы существования и единственности решения за-
задачи Коши для дифференциального уравнения в банаховом про-
пространстве. Принцип сжимающих отображений позволяет дагь
простое доказательство различных теорем о существовании и
единственности решения задачи Коши для дифференциальных
уравнений.
Мы рассматриваем здесь дифференциальные уравнения в
банаховом пространстве, поскольку доказательства в этом слу-
случае нисколько не усложняются, а абстрактная запись позволяет
охватить более широкий класс прикладных задач. Речь пойдет
о дифференциальном уравнении вида
(О
где F(t,x)—нелинейный оператор от двух переменных: веще-
вещественного переменного / ^ 0 и переменного х из веществен-
вещественного банахова пространства X; значения F также лежат в X.
Для уравнения A) ставится задача Коши, т. е. задается на-
начальное условие (а е X)
x\t-a = a. B)
Теорема 1. Пусть F(t,x) непрерывен по t на [0,8] при
каждом фиксированном х с \\х — дгоН^г « при t e [0, 8] их
таких, что \\х —
ом х с \\х лгоИ^г и при [, ]
; r, удовлетворяет следующим условиям:
\\F(t,xl)-F(t,x2)\\^m\\x2-xl
C)
D)
Тогда на [0, 8i], где
существует единственное решение x(t) задачи Коши A) — B),
При этом на [0, 6i] ||л;@— *<>1К г,
397

Доказательство. Пусть лГ(О"—решение задачи A)—«
B), т. е. непрерывно дифференцируемая на некотором [0, 0i],
Gi ^ Э, абстрактная функция, обращающая A) в тождество
на [0,9]] и удовлетворяющая начальному условию B). Под-
Подставим x{t) в A) и полученное тождество проинтегрируем на
[0,^] с учетом B). Получим, что x(t) удовлетворяет следую-
следующему интегральному уравнению:
s, x(s))ds.
F)
Обратно, пусть x(t)—непрерывное на [0,9i] решение ин-
интегрального уравнения F). Заметим сначала, что при sg[0, 9i]
абстрактная функция F(s,x(s)) непрерывна на [0, 6i]. Это вы-
вытекает из непрерывности x(s), непрерывности F(t,x) no t и
следующей оценки, использующей условие Липшица D):
|| F (s, х (s)) - F (s0) x (so)) II < || F (s, x (s)) -F(s,x (s0)) || +
+ || F (s, x (so)) - F (so, x (s0))II <m \\x (s) - x(s0) |] +
+ \\F(s, x(so))-F(sQ,x(so))»
Если s, s0e[0, 0i] и s->so, то правая часть в последнем
неравенстве стремится к нулю и, значит, F(s,x{s)) непрерывна
в каждой точке [0,0j]. Отсюда вытекает, что согласно F)
х@) = а, а также дифференцируемость x(t) на [0, 0il и равен
ство x'(t) = F(t, x(t)) (см. свойство 8 п. 25.2). Итак, x(t)— ре-
решение задачи A) — B). Таким образом, задача нахождения
решения задачи Коши A)—B) эквивалентна задаче нахожде
ния непрерывного решения интегрального уравнения F). Поль-
Пользуясь этим, введем банахово пространство Сх[0, 0i] абстракт
ных, непрерывных на [0, 0i] функций x(t) со значениями в X
и с нормой
I *(/)| = max ||* (ОН.
[о, е,]
Рассмотрим в Сх[0, 8i] замкнутый шар
Sr(a) = {x(t)eCx[0, в,]; ||*(/)-а||<г}.
Нелинейный оператор
x(s))ds
G)
переводит Sr(a) в себя, ибо
| Ф (х) —а | = max
[0, 8,]
[F(s, x (s)) ds < max [ || F (s, x (s
J in. B.i J
[о, e,i
I о II l"'"" d
вследствие неравенства C) и определения 0[ равенством E).
Кроме того, Ф{х) является на Sria) оператором сжатия, так
398
как согласно D)
| Ф (дсО - Ф (*2) | = max К [F (s, *, (s)) - F (s, x2 (s))] ds <
t
< max \ IIF (s, *, (s)) - F (s, x2 (a)) \\ ds <
[o, ej J
< Gjm | *i (s) — *2 (s) | = q \ xx — x2 \,
где q = 0i, m < 1 (см. E)).
Согласно принципу сжимающих отображений в шаре S,(a)'
существует единственное решение x(t)^ Cx[0,0i] уравнения
F). Таким образом,теорема 1 доказана.
Определенным недостатком полученного результата является
то обстоятельство, что решение x(t) задачи A) — B) опреде-
определено не на всем [0,0], а лишь локально на [0, 8i], где 0] удов-
удовлетворяет равенству E). Пример задачи Коши для обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения dx/dt = х2, х@)=1, точ-
ное решение которой имеет вид х (/) = . _ t , показывает, что
в общем случае нельзя гарантировать существования решения
задачи A) — B) «в целом»—на всем [0,6].
При более жестких предположениях относительно опера-
оператора F(t, x) удается доказать теорему существования и един-
единственности решения задачи Коши A) — B) на [0,0].
Теорема 2. Пусть оператор F(t,x) непрерывен по t на
[0, 0] при каждом фиксированном х е X и удовлетворяет усло-
условию Липшица D) при этих же значениях переменных. Тогда
на [0,6] существует единственное решение задачи Коши A) —
B).
Мы приведем ниже два доказательства теоремы 2, каждое
из которых достаточно просто и поучительно.
Доказательство 1. Как и в доказательстве теоремы 1,
сведем задачу A) — B) к эквивалентному интегральному урав-
уравнению F). Рассмотрим в банаховом пространстве Сх[0, 0] ин-
интегральный оператор Ф(*), определяемый равенством G),
Имеем следующую оценку:
m J || х, (s) — *2 (s)||ds
— *2|,
используя которую находим
t
|| Ф2 (*,) - Ф2 (*а) || < m J || Ф (*, (s)) - Ф (*2 (s)) II ds <
m2 ^ s||xi(s) — x2(s)\\ds
о
— x2[.
399.

Продолжая такие оценки, методом полной математической
индукции устанавливаем оценку
Переходя к максимуму на [0, 9], получим
Поскольку (mQ)n/n\-*~0 при п-»-оо, то, фиксируя настолько
большое п, чтобы (mQ)n/n\ = q < 1, придем к выводу, что
Фя — сжатие в Сх [0, 6]. Утверждение теоремы 2 следует те-
теперь из теоремы 2 п. 33.2.
Доказательство 2. В банаховом пространстве С* [0, 9]
введем эквивалентную норму
| х @1« = max || «-«'*(*) II.
[0.6]
Покажем теперь, что интегральный оператор Ф является
сжатием в смысле этой новой нормы. Действительно,
|| Ф (х,) - Ф (х2) || < m J || х, {s) - х2 (s) I. e~™e™ ds <
ms ds\\xx- x2\\m = (emt - )|(
Умножив полученное неравенство на е~т1, получим
e~mt IIФ (х,) - Ф (ха) IK A - e~mi)|х, - х2[т.
Наконец, перейдем к max на [0,9], что дает неравенство
Итак, Ф — сжимающий оператор. Теорема 2 доказана.
Упражнение. Перефразируйте теоремы 1 и 2:
а) на случай обыкновенного дифференциального уравнения,
б) на случай системы / обыкновенных дифференциальных
уравнений с I неизвестными функциями.
Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциаль-
t ного уравнения в банаховом пространстве:
х@) = а.
(8)
Пусть y\t)\ и A (t)— соответственно абстрактная функция со
значениями в^и оператор-функция из 9?{Х), непрерывные на
т+оо)
•400
Поскольку на каждом [0,9] тах||Л @И< +°°, то из тео-
теоремы 2 вытекает существование и единственность решения за-
задачи (8) на полуоси [0,+ оо). Доказательство этого утвержде-
утверждения мы предлагаем провести читателю.
§ 34. Итерационный процесс Ньютона
34.1. Описание итерационного процесса Ньютона. Ньютон
предложил эффективный метод вычисления решений уравнения
F(x) = Q " A)
для случая функции F(x) с вещественными значениями, зави-
зависящей от вещественной переменной х. Впоследствии метод Нью-
Ньютона был перенесен на системы уравнений (когда F(x)^Em,
х^Ет), а затем обобщен в работах акад. Л. В. Канторовича
на уравнения в банаховых пространствах.
Пусть F(x) — нелинейный оператор, определенный в окре-
окрестности S решения х* уравнения A), непрерывно дифференци-
дифференцируемый в 5 в смысле Фреше. Пусть, далее, в S оператор F'{x)
непрерывно обратим. Итерационный процесс Ньютона состоит
в следующем. Выбирается начальное приближение Хо е S и ле-
лежащее достаточно близко к решению х*. Дальнейшие прибли-
приближения х„, n=l,2, ..., предлагается вычислять по формуле
«=1,2,...
B)
В книге [11] (гл. XVIII) читатель может найти подробней-
подробнейшим образом разработанную теорию метода Ньютона, различ-
различные варианты теорем о сходимости итерационного процесса B)
и близких к нему процессов, а также многочисленные прило-
приложения. Метод Ньютона является в настоящее время одним из
наиболее употребительных вычислительных методов. Главное
его достоинство — это (в определенных предположениях) очень
быстрая сходимость последовательных приближений B) к ре-
решению х*. Метод применим также и в случае, когда уравнение
A) имеет несколько решений.
Дадим описание метода Ньютона в простейших случаях.
Пусть сначала х — вещественная переменная и значения F{x)[
также вещественны. Предположим, что в окрестности решения
х* (рис. 21) функция F(x) строго возрастает и выпукла вверх
(аналогично рассматриваются и другие случаи строго монотон-
монотонной и выпуклой функции). Выберем начальное приближение хц
достаточно близко к х*. Запишем уравнение касательной к кри-
кривой y = F(x) в точке (xa,F(x0)): у = F(xo)+ F'(xa) (х — х0).
Точка х\ пересечения касательной с осью абсцисс получится
при у = 0. Ее абсцисса равна значению, вычисляемому по фор-
формуле B) при п = 1. Далее проводим касательную к кривой
У = F(x) в точке (*i, F(xi)) и получаем х2 (см. B) при п = 2)
401

и т. д. В результате получается последовательность {х„}, очень
быстро сходящаяся к х*, если |*о— jc*] достаточно мало. В рас-
рассматриваемом случае метод Ньютона обычно называют мето-
дом касательных Ньютона.
Пусть теперь х, F(x)^Em. Если f,(xu ..., хт), i = 1, ...
..., п,— координатные функции F(x), то уравнение A) яв-
является краткой записью системы уравнений
ft(х
хт) = 0, i=l т.
Производная F' (х) = (д'' ^ \ — это матрица Якоби,
\ axl Л, /=i
Рис. 21.
И^'М]— обратная матрица. Формулы B) представляют со-
собою, таким образом, матричную запись итерационного процес-
процесса Ньютона в Ет.
34.2. Теорема о сходимости итерационного процесса Ньюто-
Ньютона. Приведем один нз наиболее удобных в приложениях вари-
вариантов теорем о методе Ньютона. Существование решения х*
здесь не предполагается, а доказывается. Вопрос о единствен-
единственности решения в рассматриваемом шаре здесь не обсуждается.
Теорема. Пусть в шаре Sr{xo) оператор F{x) дифферен-
дифференцируем и его производная удовлетворяет в этом шаре условию
Липшица с постоянной I. Пусть, далее, в Sr(x0) оператор F'(x)
непрерывно обратим и существует постоянная m > 0 такая, что
в Sr(xo)
|'l A)
Пусть, далее, ||F(*o)IKi- Тогда, если q = ^m2lr\< 1 и
B)
то уравнение F{x) = 0 имеет решение x* ^Sr'{x0)^ к которому
сходится итерационный процесс Ньютона, начатый с х0. Ско-
Скорость сходимости хп к х* дается неравенством
Доказательство. Введем для краткости следующие
обозначения: ' ' " *
r(x) = [F'(x)]-\ Г„ = ГD Fn = F(xn), F'n = F'{xn).
Итерационный процесс Ньютона в этих обозначениях записы-
записывается так:
xn+i = xn-TnFn, и = 0, 1, 2, ... C)
Покажем сначала, что {хп} с: Sr' (xq), xi — хй = r0F0 и, сле-
довательно, \\хх — xQ\\<tm\. Из B) следует, что x\(=Sr'(xQ).
Далее, Fo + F'o {x{ - х0) = 0, поэтому
Fl = Fl-F0- F'o (х, — xo) = F {xi) - F {x0) - F' (xQ) {x{ - x0).
Пользуясь неравенством (З) п. 32.2, получаем
Дальнейшие рассуждения проведем методом полной математи-
ческой индукции. Пусть уже доказано, что xn^Sr'{xu) и что
справедливы оценки
D)
E)
Покажем, что тогда
J;/ II **-*«-И
откуда xn^Sr'{xo), и что
\\Fn+l\\<±l\\xa+i-xatf.
Действительно, из C), A) и D) имеем
Н*я+1 - *„Н = IIrnFn IKт||Fn |К у mt\\xn - xa.x ||2<
f l = mx\ I у тг1г\ \ q* ~l =
G)
-1 ml
Формула F) доказана.
Далее, из C) имеем
AQ2
403

Это позволяет оценить Fn+i:
Fn+\ = Fn+i — Fn — F'n (xn+i — xn) =
= F (xn+l) - F (xn) - F' (xn) (xn+l - xa).
Следовательно, по неравенству (З) п. 32.2
I!/=¦„+! II <j/II *„+,-*„ IP,
и неравенство G) тоже доказано.
Теперь установим фундаментальность {х„}. Из неравенства
треугольника и оценок F) имеем
хп
-1 — Хп+р_2\\ +
п+р-1
E
(8)
Отсюда \\хп+р — лг„ || —> 0 при п-*оо равномерно по р, так как
со
ряд X! Я2*'1 сходится. Итак, {хп} — фундаментальная, а в силу
полноты X — сходящаяся. Обозначим через х* ее предел. Вслед-
Вследствие замкнутости Srr {х0), так как {х„} cz Sr' (х0), то и х* е Srr (*о).
Докажем, что х* — решение уравнения F(x) = 0. Для этого
достаточно перейти к пределу при я->оо в равенстве C). По-
Получаем х* — х* — r(x*)F(x*), откуда F(x*)=0, так как Т(х*)
обратим. Переходя в оценке (8) к пределу при р -*¦ сю, полу-
получим следующую оценку скорости сходимости {хп} к х*:
(9)
Воспользуемся теперь элементарным неравенством 2I+S >
> 1 + s, справедливым для s = 0,1, ... Полагая в (9) k = п +
+ s, учитывая, что <?е@. 0. и используя формулу суммы гео-
геометрической прогрессии, имеем
Теорема полностью доказана.
34.3. Модифицированный метод Ньютона. Рассмотрим видо-
видоизменение, или, как говорят, модификацию, итерационного ме-
метода Ньютона:
лго)Г1 F (*„),
хп+\ = хп —
п = 0, 1, 2, ...
A)
Преимущество формул A) заключается в том, что упрощаются
вычисления (обратный оператор вычисляется только один раз).
Недостаток формул A), как мы увидим ниже, состоит в том,
4 04
что ухудшается по сравнению с итерационным методом Ньюто-
Ньютона скорость сходимости.
Теорема. Пусть в шаре Sr(xo) оператор F(x) дифферен-
дифференцируем и его производная удовлетворяет в S/(xq) условию Лип-
Липшица с постоянной I. Пусть Ff(xo) непрерывно обратим и
\\[F'(xo)]~l\\ г^. пг. Пусть, кроме того, \\F(xo)\\^r\. Тогда, если
2ш21ц < 1 и
, 1 — Vl — 2m2/fi . /лч
Г = — < Г, \?)
ml
то уравнение F(x) = 0 имеет единственное решение х* e Srr
к которому сходится модифицированный итерационный процесс
Ньютона A), начатый с ха. Скорость сходимости хп к х* дается
неравенством
Доказательство. Покажем сначала, что оператор
<&(x) = x — [F'(xo)]-lF(x) отображает шар Sr'(x0) в себя. Дей-
Действительно, используя оценку для [F'(xo)]~l, неравенство C)
п. 32.2, неравенство треугольника и оценку для F(xq), получаем
II Ф (х) - х01| = | [F' МГ1 [F (х) - F' (аго) (jc - *оI1 <
< m || F (jc) - F (jco) - F' (x0) (x - x0) + F (x0) IK
<m\\F(x)-F(x0)-F'{x0)(x-x0)\\ + m\\F(x0)\\^
< -j ml || x - x01|2 + mi] < | mlr'2 + nvt\ = r\
ибо г' — наименьший корень квадратного уравнения (см. фор-
формулу B))
\ mtr'2 - г' + щц = 0.
Покажем теперь, что в Srr{xQ) оператор является сжатием.
Имеем следующую оценку:
IIФ' (х) II = | / - [F' (хо)Г1 F' (х)\\ = | [F' ЫГ1 [Fr (хо)-^(х)]|<
Итак, в Sr' (хо) выполнены условия принципа сжимающих ото-
отображений, откуда и вытекают.утверждения теоремы о существо-
существовании и единственности решения х* в Sr (jco) и о сходимости
к нему {хп}. Далее, q = 1 — л/l — 2т2/т1, 1 — q = Vl — 2гпЧч\, а
40S

Согласно оценке B) п. 33.2 скорости сходимости метода
последовательных приближений имеем
1U. *II <г
1 — q
и, таким образом, теорема доказана.
34.4. Пример к методу Ньютона. Рассмотрим следующую
краевую задачу
-*" + /(/,*) = О, 0</<l, A)
*@) = ао, *A) = а,. B)
Предположим для простоты, что функция f{t,x) непрерывна
вместе со своей частной производной fx(t,x) в полосе t^[0, 1],
* е (—оо, +°°). Задачу A) — B) представим в операторном
виде. Для этого введем сначала банаховы пространства X =
= С2[а, Ь] и У = С[а, Ь] 4- Е2. Норму в X и в У зададим фор-
формулами
0]и О
Ю. и to, п
||у\\у = max\h(t) I +
где y = {h(t)\ ao, a,}e= У.
Пусть далее ^(я)—нелинейный оператор, действующий из
X в У по формуле
F (х) = {- х" @ + f(t,x @); * @) - ao, * A) - а,}.
C)
Теперь задача A) — B) записывается в виде операторного урав-
уравнения F(x) = 0. Далее нетрудно убедиться, что уравнение
F'(x) -z = у, где F'(х) — производная Фреше оператора F в точ-
точке х, представляет собой следующую линейную краевую за-
задачу:
— z* +W» xif))z = h(t),
D)
Следовательно, выражение F'(x)z задается формулой
F' (х) z = {- z" (t) + fx (t, x @) г (/); z @), 2A)} E)
Но тогда
. F' (u) z-F'(v)z = {[fx (t, и (/)) - /, (/, v (/))] г @; 0, 0}
и, следовательно,
\\F'(u)-F'(v)\\=max\'fx(t, u(t))-fx(t, v(t))\. F)
Перейдем к рассмотрению итерационного процесса Ньютона.
Пусть мы имеем достаточно хорошее начальное приближение
406
*oW решения задачи A) —B), т. е. ||F(*0)IK Л. где т^
точно мало. Согласно формуле C) это означает, что
max | -
[о. И
f(t, xQ(t)) |
G)
Рассмотрим в пространстве X шар Sr(x0)\ т. е. множество
всех тех x(t)^Xt для которых выполняется неравенство
max| x(t)~ x0(t) | + max|
10. И [о, п
-*o @ I < г,
и предположим, что для всех и и v из этого шара, выполняется
неравенство
\fx(t, u(t))-fx{t, v{t))\^l\u{t)-v(t)\.
(8)
Согласно равенству E) тем более в Sr{xa) будет выполняться
условие Липшица: 1|?'(и)—F'(u)|[^/||и — v\\. Потребуем, на-
наконец, чтобы при всех x^Sr{xo) для решений z задачи D) вы-
выполнялась априорная оценка
(9)
Тем самым, в Sr(xQ) гарантирована оценка || [^'(я)]-1!!5^ tn и
выяснен смысл постоянных /, г| и т, входящих в формулировки
теорем п. п. 34.2 и 34.3 о методе Ньютона.
Выпишем теперь формулы последовательных приближений.
Здесь удобнее записать формулы итерационного процесса Нью-
Ньютона в виде
F' (xn) xn+i = F' (xn) xn — F (дс„), п = 1, 2, ...
Используя формулы C) и E), получаем последовательность
линейных краевых задач
xn+i(Q) = 4, *«+i(l) = at. n = 0, 1,2,...
Заметим, что полутемная линеаризация задачи (вместо не-
нелинейной задачи решается последовательность линейных задач)
еще не решает эту задачу практически. Для' решения получив-
получившихся линейных задач обычно приходится прибегать к разно-
разностным методам или к методу Галёркина.
В заключение выпишем формулы модифицированного про-
процесса Ньютона:
*n+i@) = a0l xn+i(l) = a1, и = 0,1,2,...
Упражнение. Для краевой задачи
_ х» 4- tx- = t\ д@) = л:A) = 0
407

примем xo'(t) = 0. Найдите модифицированным итерационным
процессом Ньютона x\{t) и Xi(t).
Пусть в этой же задаче xQ(t) = t. Найдите x{{t)\
§ 35. Принцип Шаудера
В этом параграфе мы остановимся еще на одном принципе
неподвижной точки, принадлежащем Ю. Шаудеру. Наряду с
принципом сжимающих отображений и с итерационным мето-
дом Ньютона принцип Шаудера является одним из основных
методов доказательства теорем существования решений нели-
нейных уравнений.
35.1. Теорема Броуэра о неподвижной точке. Начнем со сле-
следующего элементарного примера. Пусть f(x)—непрерывная на
[0, 1] функция, отображающая [0, 1] в себя, т. е. для всех хе
е[0, 1] О^/(лг)^ 1. Покажем, что в этом случае существует
на [0, 1] неподвижная точка х0 отображения /, т. е. f(xo) = xQ.
Действительно, рассмотрим на [0,1] функцию ср(х) = х — f{x).
Имеем ф@) = — /@)^0, фA) = 1 — f A)^0. Если f@) = 0 или
Д1)= 1, то неподвижной точкой / будет соответственно точка
* = 0 или jc=1. Если же /@)>0и Д1)< 1, то ф@)< 0,
фA)>0, и мы можем воспользоваться теоремой о промежу-
промежуточных значениях (см. [18]), согласно которой найдется точка
?е@, 1), в которой ф(?) = 0, т. е. /(?)=?. Итак, существо-
существование неподвижной точки отображения / в рассмотренном слу-
случае доказано.
Упражнение 1. Покажите, что функция f(x) = 2x(l—х)
отображает [0, 1] в себя. Найдите ее неподвижные точки на
[0,1].
Оказывается, рассмотренный пример можно обобщить на
л-мерный случай.
Л. Броуэр доказал следующую теорему о неподвижной
точке.
Теорема 1 (Броуэр). Пусть оператор А отображает еди-
единичный шар S={x^En: lUll^j 1} п-мерного евклидова про-
пространства Еп в себя. Тогда в S найдется неподвижная точка
оператора А.
Доказательство этой теоремы Броуэра обычно использует
тонкие топологические соображения (см. [21], [12]), однако
в [8] (см. стр. 505—508) приведено ее доказательство, осно-
основанное на методах математического анализа в Еп. Все извест-
известные нам доказательства теоремы Броуэра довольно сложны, и
останавливаться здесь на них мы не будем. Нам понадобится
небольшое усиление теоремы Броуэра. Введем сначала несколь-
несколько понятий выпуклого анализа (см. п. 1.7).
Определение 1. Пусть в банаховом пространстве X за-
задано множество М из конечного числа элементов
: /=!,..., я}.
A)
408
Множество всевозможных линейных комбинаций X Kxt> гДе
«-1
л
Бее ki^O и ]^А,» = 1, называется выпуклой оболочкой мно-
[=1
жества М и обозначается Со(УИ).
Упражнение 2. Докажите, что множество Со(М), где Л1
задается формулой A), выпукло и замкнуто.
Упражнение 3. Докажите, что если в A) *gD, i =
= 1, ... , л, где множество D выпуклое, то Co(Af)c:D.
Определение 2. Выпуклым телом в банаховом простран-
пространстве X называется выпуклое замкнутое множество, имеющее
хоть одну внутреннюю точку.
Упражнение 4. Покажите, что для множества М =
= {0, а, ..., хп}, где элементы х\, ..., хп образуют базис ба-
банахова пространства X, множество Со(М) является выпуклым
телом в X.
п
Указание. Проверьте, что точка x==~^^_txi является
внутренней точкой множества Со(М).
В заключение приведем усиленный вариант теоремы Броуэ-
ра (доказательство см. [11], стр. 573).
Теорема 2 (Броуэр). Пусть Q — выпуклое ограниченное
тело п-мерного банахова пространства X. Тогда всякий непре-
непрерывный оператор А, отображающий множество Q в себя, имеет
в Q неподвижную точку.
35.2. Нелинейные вполне непрерывные операторы и их ап-
аппроксимации. В § 20 мы изучали линейные вполне непрерыв-
непрерывные операторы. В этом пункте будут приведены необходимые
сведения о нелинейных вполне непрерывных операторах.
Определение. Нелинейный оператор А с областью опре-
определения D(A)czX и с областью значений в Y (X и Y — бана-
банаховы пространства) называется вполне непрерывным (на
D(A)), если он непрерывен на D(A) и переводит каждое огра-
ограниченное множество, лежащее в D(A), в компактное в У мно-
множество.
Упражнение 1. Покажите, что любой непрерывный опе-
оператор А: Х->У, где X и У — конечномерные банаховы про-
пространства, является вполне непрерывным.
Упражнение 2. Пусть X, У, Z — банаховы пространства.
Пусть оператор F: Х-*- У ограниченный и непрерывный, а
A: Y-*-Z — линейный вполне непрерывный оператор (Ле
е o(Y,Z)). Докажите, что оператор AF — вполне непрерывный.
Введем операторы Шаудера (нелинейные проекторы), ап-
аппроксимирующие нелинейный вполне непрерывный оператор А.
Пусть оператор А непрерывен на ограниченном множестве
409

Del и множество A(D)czY компактно. По критерию Хаус*
дорфа (см. п. 19.3) для каждого е>0 существует множество
Мл*={у,еАЩ, / = 1, .... п),
являющееся конечной е-сетью множества A(D) — замыкания
множества A(D). Рассмотрим оператор Ае, отображающий D
в У и определяемый следующим правилом: для хей
где (л,(дс) = О, если \\Ах — у,\\ > е, и (!,(*)= в—ЦЛ.к — г/,11, если
ЦЛдс — «л11^е. Оператор Ле часто называют е-проектором Шау-
дера.
Упражнение 3. Докажите, что оператор Ле непрерывен
на D. Воспользуйтесь непрерывностью нормы.
Отметим теперь некоторые свойства оператора Ае.
Свойство 1. \\А(х) — i48(jt)||^ е для всех х е D, т. е. опе-
оператор Ае аппроксимирует оператор А на D с точностью е.
Действительно,
(а-)-ЛМ = ^
,1 (*) Л
tf 2 р.? (*) [Л (*) - у]
i
Z
1. (X)
i-1
Отсюда вытекает, что
где суммирование в числителе и знаменателе ведется только по
тем индексам /, для которых ||Лдс — уЛ<. &, ибо если ||/4* —
— уМ ^ е, то p.! (jc) = 0. Следовательно,
= 8.
i l
Тем самым свойство 1 доказано.
Замечание. При построении е-проектора Аг можно вме
сто конечной е-сети множества A(D) взять конечную Е-сеть лю<
бого компактного множества, содержащего A(D).
4 ю
Упражнение 4. Покажите, что вполне непрерывный опе-
оператор A: D a X->- Y (X и Y — банаховы пространства) можно
аппроксимировать е-проекторами на любом ограниченном мно-
множестве ?>i d D.
В заключение пункта сформулируем еще одно свойство е-
проектора Шаудера Ait доказать которое мы предлагаем чита-
читателю.
Свойство 2. Область значений оператора Ае содержится
в Со(Ме), где Ме — конечная е-сеть множества A(D).
35.3. Принцип неподвижной точки Шаудера. С помощью
теоремы Броуэра можно доказывать различные теоремы о не-
неподвижных точках нелинейных операторов в бесконечномерных
банаховых пространствах. В этом пункте будет доказан прин-
принцип неподвижной точки Шаудера.
Теорема (принцип Шаудера). Пусть оператор А отобра-
отображает замкнутое ограниченное выпуклое множество D банахова
пространства X в себя. Тогда, если А вполне непрерывен на D,
то он имеет на D неподвижную точку.
Доказательство. Будем рассуждать от противного.
Пусть оператор А не имеет на D неподвижных точек. Тогда
найдется е0 > 0 такое, что для всех xeD
\\A(x)-x\\>zQ. A)
Действительно, если это не так, то найдется последователь-
последовательность {xn)ci D такая, что
1М (*„)-*„ II-> 0, п-*оо. B)
По тогда, вследствие компактности A(D) в X, из последова-
последовательности {А(х„)} можно выделить лодпоследовательность
{Ахп1}, сходящуюся к элементу Хц g A (D). Из B) видно, что и
хП'-*ха, п'—>оа. При этом ж0 ^ D, ибо A(D)czD, a D замк-
замкнуто. Полагая в B) п = п', вследствие непрерывности А(х)
получаем A (xq) = Хо, что противоречит нашему предположению
об отсутствии у А неподвижных точек на D. Итак, выполняется
неравенство A).
Будем далее считать, что OeD. Это условие не является
ограничением. В самом деле, пусть уо ^ D. Рассмотрим множе-
множество Do = D — «/о и оператор
Аох =
— г/о.
Упражнение. Докажите, что DQ — замкнутое выпуклое
множество, Аи — вполне непрерывный оператор. Если Хо е D —
неподвижная точка оператора А, то Хо + уо е Do — неподвиж-
неподвижная точка оператора Ао.
Зафиксируем любое ее@, ео) (см. A))\ Пусть Мг = {</, g
^A(D), t'=l, .... л} есть конечная е-сеть множества A(D).
Выделим во множестве Ме максимальную линейно независимую
411

систему элементов. Можно считать, что ее образуют элементы
множества
Ne = {yt. i= 1. ¦••. m), i
Рассмотрим m-мерное банахово пространство Хт, натянутое
на элементы множества Ne и являющееся подпространством
банахова пространства X. Пусть, далее, Ке — Со@ [}Мг)— вы-
выпуклая оболочка (см. п. 35.1) множества, состоящего из объ-
объединения точки 0 и точек конечной е-сети Ms. Очевидно, что
Ке сг Хт. Далее, Кг является выпуклым телом в Хт, ибо
Co(QUJVe)cz Ке (см. упражнение 1 п. 35.1). Кроме того, Ке с: D,
так как по условию теоремы A(D)czD, a D выпукло (см. уп-
упражнение 2 п. 35.1).
Введем оператор Ае — е-проектор Шаудера (см. п. 35.2) —
и рассмотрим его сужение на множество /Cs. По свойству 2
(см. конец п. 35.2) Аг отображает Л% в себя. Далее, Л8 непре-
непрерывен (см. упражнение 1 п. 35.2). Таким образом, к сужению
Ае на Ке можно применить теорему 2 Броуэра, согласно кото-
которой существует неподвижная точка xe^Ks оператора Ае:
Ае(хе) — хе. В силу свойства 1 оператора Аъ (п. 35.2) имеем
IIА (д.) - хе || = || А (хг) - Ае (д.) || < е.
Это противоречит неравенству A), ибо мы взяли еЕ(О,8о).
Значит, допущение о том, что А не имеет на D неподвижных
точек, неверно, и теорема Шаудера доказана.
Следствие. Если непрерывный оператор А отображает
замкнутое выпуклое (не обязательно ограниченное) множество
D банахова пространства X в компактное множество Do с D,
то он имеет на D неподвижную точку.
Действительно, из компактности множества Do следует, что
в X существует шар 5«@)=э DQ (см. следствие 2 п. 19.4). Но
тогда сужение оператора А на D f| Sr @) удовлетворяет усло-
условиям принципа Шаудера.
35.4. Примеры применения принципа Шаудера. Приведем
два примера на доказательство теорем существования решений
нелинейных задач.
Пример 1. Рассмотрим следующую краевую задачу для
нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
третьего порядка, встречающуюся в гидромеханике (модельная
задача теории пограничного слоя):
х"' + хх"=*0, 0</<1, A)
*@) = а, *'@) = &, д:A) = с. B)
Задачу A) — B) мы сведем к эквивалентному интеграль-
интегральному уравнению, к которому затем применим принцип Шау-
дера. Прежде всего, умножив A\ на ехр^ \ x(s)ds } н интегри-
412
руя затем полученное равенство, находим
\ х (s) ds r i где А == -
о '
{-
Дважды интегрируя это равенство с учетом начальных условий
B), получаем
— \ х (s) ds \ da dx.
о о
Подставляя сюда /=1 и используя граничное условие B), оп-
определяем Л';
с — а — i
П ? о \
\[ ехр \ - \^х (s) ds > da dt
0 0 ^ 0 '
Мы приходим, таким образом, к следующему интегральному
уравнению для x(t):
с - а-
о о
da dx
о о
¦• О)
da dx
Упражнение 1. Покажите, что всякое непрерывное на
[0, 1] решение интегрального уравнения C) трижды непре-
непрерывно дифференцируемо на [0, 1] и является решением крае-
краевой задачи A) —B). Обратно: всякое (классическое) решение
задачи A) —B) является решением уравнения C) (покажите).
Обозначим через F(x) интегральный оператор, равный пра-
правой части уравнения C). Докажем, что F(x) отображает шар
s7@jc:C[0, 1] в себя, если г = М + |6| + \с — а — Ь\. Дей-
Действительно, поскольку отношение интегралов в правой части C)
неотрицательно и не превышает единицы, то для любых х е
Тем более это верно для х е S,@).
Докажем теперь, что F(x)~ вполне непрерывный оператор
на Sr@). Для этого воспользуемся теоремой Арцела (см. п 19 6).
Вследствие оценки D) множество функций
= F(x(s)), x<=Sr(Q),
E)
413

равномерно ограничено. Далее,
ti x / a \
jj J exp | - jj * (s) dЛ
х (&) ds f da dx
¦¦ F)
т f a -j
x (s) ds > dadt
0 0 v 0 '
Но если Ikll^r, то —x(s)^—г на [0,1] и, следовательно,
i
xe-xrdx^\e-r.{7)
1 x t
jj jjexpj- \j
00^-0
Кроме того,
It
00
0 ^ 0
Из оценок F) — (8) имеем
I y{h) - У (U) \<\b\\t2
(8)
c-a-b\2er\h-tx\er=
Доказана равностепенная непрерывность множества функ-
функций E). Согласно теореме Арцела F{x) вполне непрерывен
на 5г@). Кроме того, F отображает этот шар в себя. Следова-
Следовательно, согласно принципу Шаудера интегральное уравнение
C), а с ним и краевая задача A) — B) имеют в шаре Sr(Q)
по крайней мере одно решение.
Пример 2. Рассмотрим в пространстве С[а,Ь] интеграль-
интегральное уравнение
ь
(9)
(Предполагается, что у е С[а,Ь], а ядро K(t,s) непрерывно
в квадрате а ^ t, s ^ Ь.)
Рассмотрим в С[а,Ь] линейный интегральный оператор
ь
Ku=\K{t,s)u{s)ds. A0)
Согласно п. 10.11 он ограничен и
о
\К\\= max \\K{t, s)\ds.
(И)
Согласно примеру 2, п. 20.4 оператор К вполне непрерывен.
Поскольку нелинейный оператор х3^) ограничен и непрерывен
414
в С[а,Ь] (проверьте!), то, в силу упражнения 2 п. 35.2,
нейный оператор
ъ
F(x)=\K(t,s)x3(s)ds+y(()
A2)
является вполне непрерывным оператором на каждом ограни-
ограниченном в С[а,Ь] множестве.
В последующих рассуждениях нам понадобится следующее
вспомогательное числовое кубическое уравнение:
= г, A3)
где ||/СИ определяется формулой A1), а
|| г/1| = max | y{t)\— норма в С [а, Ь].
la, 61
Предлагаем читателю выполнить следующие упражнения,
которые мы используем далее.
Упражнение 2. Покажите, что если
(И)
то уравнение A3) имеет два неотрицательных решения г» и >*,
/•.</¦*. При этом г, = 0, а г* = l/Vll К\\ при ||у || = 0. Далее,
A5)
При 1Ы1=
решения г» и г* сливаются:
/зШ
Докажем теперь с помощью принципа Шаудера, что при
каждом у e=SP@)с С[а,Ь], где p = | i_- (см. A4), A5)),
интегральное уравнение (9) имеет в шаре S* = Sr*@) решение
x(t). Поскольку доказано, что F(x) вполне непрерывен, оста-
осталось проверить, что он переводит шар 5* в этот же шар.
Пусть *€=S». Тогда (см. формулы A2), A0), A1))
HfMIKII/CIIIUIP+ \\у\\<\\К\\(гУ + \\у\\ = г\
Это означает, что FS* с S*, и, следовательно, при каждом у
2 1 '
с 1ЫК— ппппг Уравнение (9) имеет по крайней мере одно
a V II л II
решение, причем

Покажем теперь, что если выполнено условие A4), то в
шаре St = Sr. @) уравнение (9) имеет в точности одно решение.
Если х е St, то
и по теореме Шаудера в 5» уравнение (9) имеет хотя бы одно
решение, если jg5p@). Далее, при х\, дгг s S» имеем
\\F(Xi)-F (х2) \\ = ПК (/, s) [x\ (s) - х\ Щ ds
- х2
Если y(t) удовлетворяет условию A4), то выполняется нера-
неравенство A5), откуда ЗЛ>2 < 1. Следовательно, при ограничении
A4) F отображает 5» в себя и является на 5. сжимающим ото-
отображением, а потому уравнение (9) имеет при ограничении
A4) в 5» единственное решение.
Пример уравнения A3) показывает, что в S* уравнение типа
(9) имеет, вообще говоря, более одного решения.
Упражнение 3. Исследуйте этим методом нелинейное
интегральное уравнение
ь
35.5. Теоремы о неподвижных точках, вытекающие из прин-
принципа Шаудера. Приведем несколько следствий из теоремы
Шаудера о неподвижной точке. Всюду далее X — банахово про-
пространство.
Теорема 1. Пусть оператор А действует из шара SR@)cz
с X в X и вполне непрерывен. Если для всех X > 1 и всех х
с \\х\\= R А(х)фХх, то А имеет в S«@) неподвижную точку.
Доказательство. Рассмотрим оператор F, отображаю-
отображающий SR{0) в Stf@) по следующему правилу:
F(x)
-1
А(х),
RA(x)
IMWII
если
если || Л (jc) || > R.
Оператор F вполне непрерывен на SR@). Действительно, не-
непрерывность F на SR@) очевидна. Кроме того, образ SR@) при
отображении F является компактным множеством вследствие
того, что оператор Л вполне непрерывен. Значит, по принципу
Шаудера существует точка ^oeSs@) такая, что F(xo)= xQ.
Рассмотрим два возможных случая.
Если F(xq) = A(xq), то 1ко11=1И(*оIК/?, и теорема дока-
доказана. Пусть F(*0) = JaITa^• где 1И(*о)И>#. Тогда А{хо) =
416
= кйхо и %о =||Л (*о)И/Я > 1. Это невозможно по условию тео-
теоремы, ибо IUoll= •/?. Значит, возможен только первый случай,
т. е. ха = ^(-Vo) = А (хо). Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть оператор А действует из шара SR@)a
cz X в X и вполне непрерывен. Если \\А(х)\\^\\х\\ для всех х
с \\х\\= R, то оператор А имеет в SR@) неподвижную точку.
Доказательство. Рассмотрим два возможных случая.
1) Если xq = A(xq), где IU'o!i=#, то теорема доказана.
2) Если х ф А (х) для всех х с ||х||= R, то \к=?А{х) для
всех X > 1 и всех х с ||.t|| = R. Действительно, если Хохо = А (х0)
для некоторого Хо > 1 и некоторого х0 с ||а'0|| = 1, то XolUoll =
= X0R = || Л (х0) ||. Это невозможно, так как ||Л (х0) || ^ R. Мы
находимся в условиях теоремы 1, согласно которой оператор Л
имеет в SR@) неподвижною точку. Теорема 2 доказана.
Теорема 3 (Лере — Шаудер). Пусть оператор А отобра-
отображает все X в X и вполне непрерывен. Пусть, далее, для всех
возможных решений уравнения с параметром ^. е [0, 1]
х = 1А (х)
A)
справедлива априорная оценка: существует постоянная с > 0
такая, что для всех Я,е[0, 1] и для всех х, удовлетворяющих
A), выполняется неравенство
lUIKc. B)
Тогда уравнение х — А (х) имеет решение.
Доказательство. Зафиксируем любое число R > с.
Рассмотрим сужение оператора Л на SR@). Оператор Л вполне
непрерывен на SR@). Допустим, что найдутся *о с ||jcoII=/? и
Но > 1 такие, что Л (х0) = |ло*о- Тогда х0 — ц~'Л (*0) и ц~{ е @, 1).
Значит, х0 — решение уравнения A) при Д. = цчГ1- Но тогда
справедлива оценка B): ||х||^ с < R. Мы пришли к противо-
противоречию с предположением, что IUol|=./?. Таким образом, для
сужения Л на S«@) выполнены условия теоремы 1. Следова-
Следовательно, теорема 3 доказана.
Теорема Лере — Шаудера дает условия, обеспечивающие
возможность продолжения по параметру X решения нелиней-
нелинейного уравнения A). Напомним, что другой (линейный) вариант
метода продолжения по параметру обсуждался нами в § 14.
Упражнение 1. Покажите, что в условиях теоремы 3
уравнение A) имеет решение для каждого X е[0, 1].
В заключение приведем теорему о разрешимости уравнения
х — Л (х) = у
для любого у е X, где оператор Л: X -*¦ X.
14 В. А. Треногий
C)
417

Теорема 4. Пусть А отображает X в X и вполне непре-
непрерывен. Если
I'm HiTii ==?< 1,
то уравнение C) имеет решение для всякого уеХ.
Доказательство. Зафиксируем любой элемент i/el
и рассмотрим вполне непрерывный оператор F(x) —А{х)-\-у.
Для любого х^ X, х ф Q, имеем
||F(х)||<|| А (х)|| + ||у || =
Отсюда, согласно условию теоремы, существует такое /? > О,
что \\F(x) II^IUH для ||х|| = /?. Значит, для сужения оператора F
на S«@) выполнены условия теоремы 2. Таким образом, тео-
теорема 4 доказана.
Глава IX
НЕЯВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 36. Теоремы о неявных операторах
36.1. Неявные операторы. Пусть X, У и Л — банаховы про-
пространства. Рассмотрим оператор F: X + A-+Y (X 4- Л — пря-
маа тмин банаховых пространств X и Л, см. п. 15.1). Уравне-
мая сумма
ние
где х^Х,Х
F (х, X) = О,
Л, может определять операторы
х = х(Х)
(О
B)
— решения уравнения A). (Оператор х(Х) с областью опреде-
определения 91 с Л называется решением уравнения A), если
F(x{X),X) = 0 для всех X <= К.)
Каждое решение уравнения вида B) называется неявным
оператором (или неявной функцией), определяемым уравне-
уравнением A).
Уравнение вида A) может не иметь решений ни для каких
X, может иметь единственное решение и, наконец, может иметь
более одного решения. Рассмотрим несколько простейших при-
примеров. Ограничимся простейшим случаем X = Y = Л = ЕК
Пример 1. Уравнение х2-\-К2 = — 1 не определяет ни од-
одной неявной функции.
Пример 2. Уравнение х2 + № = 0 определяет единствен-
единственную неявную функцию х — 0, определенную только при X = 0.
Пример 3. Уравнение х — Я,2 = 0 определяет единствен-
единственную неявную функцию х = к2, определенную для всех X е ?'.
Пример 4. Уравнение х2 -\- X2 = 1 определяет две непре-
непрерывные функции х = У1 — X2 и х = — У1 — X2, определенные
на [-1, 1].
Приведенные примеры показывают, что задача о неявных
функциях оказывается достаточно сложной даже в простейшем
случае X = Y = Л = ЕК Поэтому обычно ограничиваются со-
соответствующей локальной задачей. Напомним известную в ма-
математическом анализе теорему о неявной функции (см. [18]).
Теорема. Пусть функция F(x,X) непрерывна в некоторой
окрестности точки (х0, Хо) и имеет в этой окрестности частную
14*
419

производную Fx (х, Х)\ которая непрерывна в точке (х0, Хо)\
Тогда, если
F (дс0, Ко) = 0, Fx (Хо, Ко) Ф О,
то найдутся числа р > 0 и г > О такие, что для каждого К е
е 5Р (Ао) существует, и притом единственное, решение х =
= *(А)е Sr(xo) уравнения F(x,K) = Q, причем х(Х) непрерывно
на 5р(?.о). Если, кроме того, F имеет непрерывную в точке
(л'оДо) частную производную Fy.(x,X), то решение х(Х) диф-
дифференцируемо в точке ?.о, причем
Эта теорема решает локальную задачу о неявной функции,
т.е. задачу разыскания неявной функции х(Х) вблизи точки
(*оДо), значения которой лежат вблизи xq и которая опреде-
определена вблизи Ко.
Упражнение. Пусть F(x, X) = х2 + К2 — 1, X2 + Xl=l,
хи ф 0. Покажите, что г = \хо\, р = min (| 1 -г Ао |, I 1 — Ао I).
Сформулированная нами теорема допускает перенесение в
банаховы пространства. Мы докажем сначала ее варианты, при-
пригодные для педифференцнруемых операторов, затем как след-
следствие получим стандартную теорему о неявных операторах, на-
наконец, при некоторых дополнительных ограничениях будут по-
получены оценки снизу чисел риг. Мы рассмотрим также позд-
позднее и аналитический случай. Будут приведены также примеры
применения теорем о неявных операторах.
3G.2. Теорема о неявных операторах без предположения о
дифференцируемое™ оператора F. Рассмотрим уравнение A)
п. 36.1 и предположим, что оператор F(x, А) определен на мно-
множестве Q(x0,Ko) = {xe=X, Ае=Л: \\х — хо\\< R, ЦЛ, —Л,о||< *}.
Очевидно, Q (л'о, Ко) cX-j-Л.
Теорема. Пусть существует непрерывно обратимый опе-
оператор А<=9?(Х,Ч) такой, что для любых x<=Sr(xQ), А <=
е SpIKo), где г <С R, р < k, выполняется неравенство
\\Г(к, K)-F(y, Х)-А(х-у)\\^с(г, р)\\х-у\\, A)
причем
lim с (г, р)<]А
г, р-»0
-ИГ1
B)
Пусть, далее, F(xo,Ko) = Q и F(xo,K) непрерывен в точке Ко.
'i огда существуют числа г' е @, г), р' е @, р) такие, что для
каждого J, е Sp- (Ао) уравнение F(x,K) = 0 имеет в шаре Sr-(x0)
единственное решение х(Х), причем х(Х0)=х0 и х(Х) непре-
непрерывно в точке Хо.
Доказательство. Уравнение F(x,X)=Q заменим урав-
уравнением
* = Ф(дс, А), C)
420
где Ф(л:Д)=л: — A~xF{x,X), и покажем, что при достаточно
малых г' и р' к нему можно применить принцип сжимающихся
отображений. Имеем оценку (см. A))
||Ф(х, Х)-Ф(у, X)\\ = \\x-y-A-l[F(x, X)-F(y, Л)]||<
<M-4l|f (x, X)-F(y, X)-A(x-y)\\^\\A-x\\c(r, р)\\х-у\\ш
Воспользуемся условием B) и найдем числа ре@,/г) и
г е @, R) такие, что для любых р е @,р] и любых г е @, г]
{q не зависит от г и р, но зависит, конечно, от г и р). Тогда
||Ф(_л;Д) — Ф(г/Д)||< q\\x — y\\ для любых х, y^S()X
(X)
p
Итак, в шаре, Sf(xQ) оператор Ф является сжатием при вся-_
ком X^Sp(X0). Покажем теперь, что за счет уменьшения р
можно добиться, чтобы Ф отображал шар Sf(x0) в себя. Дей-
Действительно,
||Ф(*о, K)-xo\\ = lA
Поскольку F (х0, X) непрерывен при X = XQ и, значит, F (х0, X) ->
-*F(x0, Х0) = 0, когда К-+Ха, то найдется число р' е @, р]
такое, что для любых X е= 5Р'_(А0) || Л1|| F (х0, А)||<A — q)r.
Следовательно, Ф переводит Sr{xo) в себя и является в нем
сжатием при каждом X е Sp> (Хо). Осталось взять г' = г. Далее,
очевидно, что если А = А0, то решением будет х0 и только оно.
Наконец, имеем оценку
), А)-дго|К
), А)-Ф(дсо, А)|| + ||Ф(*о, А)-дсоН<
для всех К е Sp- (Ao). Следовательно,
\-q
откуда х(Х)-*-Хо при А->А0. Теорема доказана.
Следствие. Если в условиях теоремы F(x,X) непрерывен
по X при каждом фиксированном х при (х,А)е й(*оДо) или
F(x,X) непрерывен в ЩхоДо) как функция двух переменных,
то неявный оператор х(Х) непрерывен на Sp> (Ко).
Доказательство вытекает из следующей оценки:
II х (А,) - х (А2) || = || Ф (х (А,), А,) - Ф (х (А2), А2) || <
(А,), А,) - Ф (х (А2), А,) || + || Ф (х (А2), А,) - Ф (х (А2), А2) || <
< ЯII * (*i) - х (А2) || +1| А~' 11| F (х (А,), А,) - F (х (А2), А2) ||.
421

Отсюда, если Яг е 5Р- (Яо) фиксировано, а Я[ -»¦ Яг, то jk(A,i)—>
—>х(Я2), т. е. функция х(Я) непрерывна.
36.3. Стандартная теорема о неявных операторах. Из теоре-
теоремы п. 36.2 как следствие мы можем получить обычную теорему
о неявных операторах — прямое обобщение теоремы п. 36.1.
Теорема. Пусть оператор F(x,X) непрерывен на множе-
множестве П(хо,Хо) = {(х,Х)<=Х + А, \\x — Xo\\<R, ||Я-Я0||<?} и
имеет на Q (х0, Хо) частную производную Fx {x, X), непрерывную
в точке (дсоДо).Пусть, далее, F(xo,\o)—O,a операторFx(*o,Xo)
непрерывно обратим. Тогда найдутся числа р > 0 и г > 0, та-
такие, что для каждого Я<=5Р(ЯО) уравнение F(xД) = 0 имеет
в шаре Sr(x0) единственное решение х = х(Я). При этом х(Х)
непрерывна в SP(XO) и х(Я0) = х0. Если, кроме того, F(x, Я)
имеет на й(хоДо) частную производную F\(x,X), непрерывную
в точке (хоДо), то неявная функция х = х(Я) дифференци-
дифференцируема в точке Яо, причем
х' (Яо) = - F;' (хо, Яо) Fx (jco, Яо). A)
Доказательство. В качестве оператора А, фигурирую-
фигурирующего в теореме п. 36.2 возьмем
A = FxX{xq, Яо).
Согласно формуле A) имеем
\\F{x, Я) - F(y, Я) - Fx(x0, Я0)(х - у)\\= ¦
= ( {Fx (У + 6 (х - у), Я) - Fx (х0, Яо)} rf8 (х-у) <
J
I!
- у), X) - Fx(x0, Х
- у\\<с(г, Р)\\х - у\\,
если только х,у ^ Sr(xo), Яе5р(Я0)' (г </?, р<Л), где
с (г, р) = sup || Fx {z, Я) - Fx (хо, Яо) ||.
5S
При этом с (г, р)->0 при г, р->-0 вследствие непрерывности Fx
в точке (хо, Яо), и, следовательно, выполнены неравенства A)
и B) п. 36.2. Далее, F(x, Я) непрерывен в точке Яо и все усло-
условия теоремы п. 36.2 выполнены. Из этой теоремы и из след»
ствия к ней мы получаем (локальные) существование и един-
единственность неявной функции х(Я), а также ее непрерывность.
Пусть теперь существует F^(x,X), непрерывная в точке
(хо, Яо). Докажем дифференцируемость неявного оператора
х (Я) и формулу A) для его производной. Положим
-.-1
= xi (Я) = xq-Fx (х0, Яо) Fk (х0, Яо) (Я - Ао).
B)
422
Воспользуемся тем, что частные производные Fx и Fx непре-
непрерывны в точке (х0) Яо) и, значит, оператор F дифференцируем
в этой точке. Это означает, в частности, что
F (хь Я) = F (х0, Яо) + Fx (х0, Яэ) (х, — xQ) +
+ F,(xo, Яо)(Я-Яо) + ^(х„ Я),
где ||ЧЧж,Д)|| =о(||х1-Хо1Ц-||Я-Яо||) при x,-vxo, Я^Я0.
Учитывая формулу B) для xi и равенство F(xoДo)=:O, полу-
чпм F(x1(X),X) = W(x1(X),X),
|| F (ж, (Я), Я) || = о (|| F;1 (хо, Яэ) Fx (ж0, Яо) (Я - Яо) j + || Я - Яо II),
\\F(Xl(X), Я)|| = О(||Я-Я0||) при Я-*Я0. C)
Далее, имеем оценку (х = х(Я)—неявная функция)
IU - X! || = 1 ж - х, - FJ1 (хо.Яэ) F (х, X) || <
< I! FJ1 (хо, Яо) (I || F (х, Я) - Fx (хо, Яо) (х - х.) || <
<\\F:l(x0, Xo)\\\\F(xi, Я)|| +
+ | FJ1 (хо, Яо) || || F (х, X)-F (х„ Я) - Fx (ж„ Яо) (х - ж,) ||. D)
По формуле конечных приращений
|| F (х, Я) - F (х„ Я) - Fx (жо, Яо) (х - ж,) Ц =
= | \ [Fx (ж, + 6 (х - х,), Я) - Fx (хо, Яо)] dQ (х - ж,) <
I Fx (ж, + 9 (ж -х,), Я) - F, (жо, Яо) || dQ || ж -X! || < с (г, р) || ж -ж, ||.
Если хе5,(хо), Яе5р(Яо), то с (г, р)=^<<1 (см. доказа-
доказательство теоремы п. 36.2), но тогда из формул C) и D) имеем
||х(Я)-х1(Я)|| = о(||Я-Я0||) при Я-*Я0.
Иначе эта формула записывается так (при Я->Яо):
х (Я) - хо = - FJ1 (х0, Яо) Fx (хо, Яо) (Я - Яо) + о (|| Я - Яо ||),
и означает дифференцируемость х(Я) в точке Яо и справедли-
справедливость формулы A).
Теорема полностью доказана.
36.4. Теорема о неявном операторе в условиях повышенной
гладкости оператора F. Недостатком теорем о неявном опера-
операторе, приведенных выше, является отсутствие оценок снизу чи-
чисел г и р. Первое из_этих чисел, г, характеризует область в про-
пространстве X (шар 5Л(Яо)), в которой неявная функция суще-
существует и единственна. Число р дает важную информацию об
423

области определения D(x) неявной функции /(Я); утверждает-
утверждается, что Sp(X0)cz D(x). При практическом решении уравнения
F(x, Я)=0 с параметром Я важно бывает найти х(Х) на воз-
можно более широкой области определения или хотя бы оце-
оценить ее характеристику р снизу. В следующей теореме дается
один из возможных путей получения таких оценок.
Теорема. Пусть в условиях теоремы п. 36.3 имеют место
следующие оценки:
\\l I
\\x —
— Ko\\ для лю-
лю2) \\Fx(x,X)-Fx(xo,Xo)\\ <
иоьл ^л, AJ cz= ьй^ло, Ло^ ,
3) || f (xq, Я)||^ k\\X — Яо11 для любых Яе5&(Я0)', где т, с
и k — некоторые постоянные, зависящие только от области
Q(xo, Яо) и оператора F.
В этих условиях при каждом Я е 5р(Яо), где
р = min (k, — . \ Л,
V тс (VI + km +\km) )
с шаре S, (*0), где
= min ( R, —
\ тс
¦\fktn
существует единственное решениех = х(Х) уравнения F(x,X) =
= О, непрерывное в SP(XO), и х(ко) = хо. Решение х(Х) можно
получить процессом последовательных приближений
Xn+i (Я) = хп (Я) - F;1 (хо, Яо) F {хп (Я), Я), п = 0, 1, 2, ...
'(т.е. модифицированным итерационным процессом Ньютона).
Справедлива следующая оценка скорости сходимости хп(К) к
(К)
\xn(k)-x(X)\\^-^—mkp,
A)
где можно принять
Доказательство. Пусть сначала числа R и k, харак-
характеризующие й(*0, Яо), достаточно велики. Положим Ф(#, Я) =
= x — Fx (хо, Яо) F (х, Я) и вычислим частную производную Ф
по а-:
Ф,(х, X) = I - Fxx (хо, h)Fx(x, Я) =
= Fxl (ха, Яо) [Fx (хо, Яо) - Fx (x, Я)].
С помощью условий 1) и 2) нашей теоремы при ||лс — *oll^a,
IIЯ — Яо||^ Р имеем
424
Далее,
IIФ (лго, Я) - хо II = IFJ1 (хо, Ло> F (хо, Я) || < mk \\ Я - Яо || < mk$.
Фиксируем ^е@, 1) и покажем, что аир можно подобрать
так, чтобы пгс(а + р)= q, mk$=(\ — q)a. Тогда при каждом
Яе5р(Я0) в шаре 5а(х0) уравнение х = Ф(х), согласно прин-
принципу сжимающих отображений, будет иметь единственное ре-
решение.
Решая полученную систему линейных уравнений относитель-
относительно а и |}, находим
1
qmk
q(\-Q)
тс mk + 1 — q '
тс mk + 1 — q
B)
Таким образом, аир являются функциями параметра ц е
е[0, 1]. При q = 0 и при q= 1 A = 0, а если 0<?<1, то
Р > 0. Следовательно, E достигает максимума в некоторой точ-
точке <7»е@, !)• Это позволяет распорядиться параметром q та-
таким образом, чтобы р было наибольшим. Этим путем мы полу-
получим неявную функцию х(Х), определенную в шаре наибольшего
радиуса р.
Предоставляем читателю показать, что при
имеем
Р. = Р (<?.)=
+ mk +
1
7—г-
V'»*
r. = afo.) =
I
me
Итак, если 1gSp,(U to в шаре Sr. (jc«) существует един-
единственная неявная функция х(Х), если только л, < R, а р» < /г.
При этом справедлива оценка скорости сходимости A).
Пусть теперь одно или оба неравенства г* < R, р. < k
нарушаются. Заметим, что на @, q,) функции a(q) и Р(<?) (см.
формулы B)) строго возрастают. Отсюда следует сущеегнова-
кие единственного числа qQ e @, (?*) такого, что
с (<7о) ^ Л, Р (qo) ^ Л,
и хоть одно из этих неравенств является равенством. Из из-
изложенного выше ясно, что теперь при XeS$iq)(Xu) в шаре
¦Sa(<7.) (*о) существует и единственна неявная функция. Оценка
сходимости последовательных приближений теперь имеет вид
. «7?
425

Эта оценка лучше указанной в теореме, но мажорируется по-
следней, так как
и $(q0) мажорируются соответственно
— Qa
1 _* и Р(<7„). Теорема доказана.
36.5. Теорема о неявном операторе в аналитическом случае.
Приводимая ниже теорема находит самые разнообразные при-
приложения в нелинейных уравнениях с малым параметром. В ходе
ее доказательства будет развит метод малого параметра в не-
нелинейном случае (см. § 13). Дальнейшее развитие этот подход
найдет в § 37, в котором мы рассмотрим явление ветвления
решений нелинейных уравнений.
Теорема. Пусть F(x,k)— аналитический оператор в точке
(-toДо), причем F(xo,ko)=0, а оператор Fx(xo,ko) непрерывно
обратим. Тогда уравнение F(x,k)=0 определяет в некоторой
окрестности точки (х0, Хо) единственную неявную функцию
х = х(к), причем х(ко) = хо и х(к) аполитична в точке >.о.
Доказательство. Воспользуемся аналитичностью опе-
оператора F(x,k) и, пользуясь разложением F) п. 32.5, предста-
представим F(x, k) в следующем виде:
Fix.V^^Fuh'g1, A)
где h = х — х0, g = X — Xn.
Пусть ги и ри— совместные радиусы сходимости двойного
степенного ряда A) (см. п. 32.5). Фиксируем числа ге@/«)
и ре @, р„), тогда сходится следующий числовой ряд:
^ "FtiWr'pi. B)
Воспользуемся теперь непрерывной обратимостью опера-
оператора F\0 = Fx(xo,ko) и заменим уравнение F(x,k)= 0 следую-
следующим эквивалентным ему уравнением:
-I.*./*'*', О)
где #oi = — (Fю) Foi, Rn = — (Fi0) Flt. Из сходимости чис-
числового ряда B) вытекает сходимость числового ряда
D)
II Я„ II гУ,
ибо
!. а следовательно, сходимость при
двойного степенного ряда, стоящего в правой
части уравнения C).
Решение уравнения C) будем искать в виде степенного
ряда
426
Подставим ряд E) в уравнение C). Приравняв степенные
операторы одинаковых порядков по h (мы пользуемся здесь
единственностью разложения оператора в степенной ряд), мы
придем к следующей рекуррентной системе для определения
членов ряда E):
3#
21
R02g2,
g2) g
g
F)
Явный вид операторов Рч мы здесь не выписываем (см. [2],
стр. 352).
Первое уравнение этой системы уже определяет Ф^. Под^
ставляя это значение во второе уравнение, находим Фг?2, за-
затем, подставляя найденные значения <3>ig и Ф2?2 в третье урав-
уравнение, находим Ф3?3 и т. д. Продолжая эти вычисления, нахо-
находим все коэффициенты ряда E). Осталось доказать, что полу-
полученный ряд E) действительно имеет ненулевой радиус сходи-
сходимости, и тогда приведенные выше рассуждения законны. Кроме
того, это будет означать аналитичность найденной неявной
функции, и доказательство теоремы будет, тем самым, завер-
завершено.
Сходимость ряда E) докажем при помощи мажорантного
метода Коши —Гурса. Поскольку числовой ряд D) сходится,
то его общий член стремится к нулю и, значит, ограничен. По-
Поэтому существует число М > 0 такое, что
I **/!!<
м
G)
Но тогда ряд, стоящий в правой части уравнения C), мажори-
мажорируется (оценивается по норме) следующей функцией (крат-
(кратной прогрессией):
-40 ~9" О-*)"-'-Я-
где | = ||АЦ, ti = |
Рассмотрим числовое уравнение
(8)
427

которое яегко преобразуется к виду
^(\-±У =0
Нетрудно показать, что последнее уравнение имеет един-
единственный корень ? = E(ti)> удовлетворяющий условию |@) —0:
где
-0-¦»"(¦-5-П-
(9)
Решение \ = ?(т]) является аналитической в точке ц = 0 функ-
функцией при |ri|<a, так как a < p, и, значит, представимо схо-
сходящимся при этих значениях г\ рядом
I = Z
fc1
ФаЛ*
A0)
где коэффициенты ф|, <р2, ... удовлетворяют рекуррентной си-
системе уравнений, получающейся подстановкой ряда A0) в
уравнение (8) и приравниванием коэффициентов при одинако-
одинаковых степенях г\. Эта система имеет вид
Л/
(П)
Используя оценки G), методом полной математической ин-
индукции можно показать, что правые части системы A1) мажо-
мажорируют правые части системы F), откуда вытекает, что ряд
E) мажорируется рядом A0). Следовательно, ряд E) сходит-
сходится при l!gj|-< а, т. е. представляет собою аналитический опера-
оператор. Теорема доказана.
Заметим, что в ходе доказательства мы получили (см. фор-
формулу (9)) оценку снизу для радиуса сходимости ряда E), пред-
представляющего неявный оператор.
36.6. Примеры к теоремам о неявных операторах. Теоремы
о неявных операторах находят полезные приложения в нели-
нелинейных задачах с параметром. В ряде случаев удается не толь-
только доказать локальные существование и единственность неяв-
неявного оператора, но и дать для него приближенное выражение.
Пример 1. Рассмотрим уравнение (см. п. 36.2)
/(*, *) =
A)
с вещественными переменными х и X. Пусть функция f(x, X)
определена в прямоугольнике
& (jco, h) = {х е= Е\ X е= ?': | х - хй |< R, \ X - К К k),
причем f(xo,ko)= 0, а f(xo,K) непрерывна в точке Хо. Предполо-
Предположим, что существуют числа m и М, 0 <С m <C M, такие, что для
всех (x,X)<=Q(xo,Xo), (уД)<= Q(xo,Xo), хфу, выполняется не-
неравенство
ПхЛ)НуЪ B)
Покажем, что в этих предположениях уравнение A) име^т
в достаточно малой окрестности точки (лго, Хо) единственное ре-
решение х = х(Х), непрерывное в Ко, причем х(Х,о) = ^о-Для этого,
согласно теореме п. 36.2, достаточно доказать существование
чисел a > 0, де@, 1), для которых в Q(xo,Xo) выполняется
неравенство
\f(x, V-f{y, X)-a(x-y)\^q\a\\x-y\, C)
т. е. неравенство A) п. 36.2 с c(r, p) = q\a\. Из неравенства
B) для любого а имеем
п г т + М
Выбрав здесь а = —т
х- у
получим
М-т ^ j(x, ),)-1(уЛ) „^ М-т
428
2 "*= x — у
Следовательно, неравенство C) выполняется при
т + М __ М — т
а~ 2 ' 4 — М + т ¦
Аналогично можно рассмотреть случай, когда в Й(л;оДоУ
-M<llx'k)-fly'k)*Z-m, m>0.
^ х-у ^ ' ^
Впрочем, этот случай сводится к предыдущему заменой \ на
Упражнение 1. Покажите, что уравнение
I * I + 2х + х2 = X
определяет в окрестности точку @, 0) единственную непрерыв-
непрерывную неявную функцию. Проверьте выполнение неравенства B).
Упражнение 2. Покажите, что уравнение
| X \-f- X — Л
определяет при X > 0 две неявные функции, удовлетворяющие
условию л;@)= 0, а при X < 0 не определяет ни одной неявной
4 29

— Ko\) при
функции, удовлетворяющей этому же условию. Покажите, что
в данном случае условие B) не выполняется.
Упражнение 3. Пусть функции г|з(хД) и ф(*Д) опреде-
определены в Q(xq,Kq), причем ф(^оДо) + |^(л'оДо) | = 0, а функция
Ф(л:0Д)+ |\|з (хоД) | непрерывна в точке Ко. Пусть, далее,
цх(х,К) и tyx(x,K) непрерывны в точке (хо,Ко). Докажите, что
если 0<?[т,М], где m = Ф*(*оДо) — ji|>*(*оДо) |, М =
== Ф*(*о, ^о)+ \tyx(xo,Ko) |, то уравнение A) с / = Ф + | -ф | опре-
определяет в окрестности точки (х0, Ко) единственную неявную
функцию х — х(К), непрерывную в точке Ко, причем х(К0)=х0.
= Ф*(*о, Ко)-{- | ip *(*(), ^о) |, то уравнение A) с f = ф + | г)з | опре-
нести и на случай функций нескольких переменных. Ниже мы
проиллюстрируем примерами теоремы о неявных операторах.
Пример 2. Пусть в уравнении A) функция / непрерывна
г, Q(xo,Ko) и непрерывно дифференцируема по х в Q(xo,Ka).
Согласно теореме п. 36.3 уравнение A) определяет локальную
неявную функцию х — х(Х). Если, кроме того, существуют по-
положительные постоянные т, с, k такие, что
1) fxixoKo) I ^ т;
2) Ы*Л) —
<= Q (х0, Ко);
О) j / \Хо, А) | 5
то применима теорема п. 36.4, дающая оценки области опреде-
определения х(К) и области ее значений, а также скорости сходимости
последовательных приближений. Если, наконец, функция / ана-
аналитична в точке (х0, Ко), то по теореме п. 36.5 аналитична в Ко
локальная неявная функция х(К). При этом иногда оценки могут
быть улучшены.
Пример 3. Рассмотрим нелинейное интегральное уравне-
уравнение с вещественным параметром К
ь
F (х, К) = х @ — ( К it, s; x is), К) ds = 0. D)
а
Относительно функции Kit,s;x,K) предположим, что она яв-
является непрерывной функцией относительно совокупности своих
переменных t, s(=[a,b], — оо < х < + °°, \К — К0\<р, при-
причем пусть ее частная производной по х равномерно непрерывна
для этих же значений переменных. Пусть, далее, при К = Ко
уравнение D) имеет непрерывное решение Xoit). Введем линей-
линейный интегральный оператор (см. пример 3 п. 32.1)
ь
fx (хо, Ко) z = z it) - J Кх Ц, s\ х0 is), Ko) z is) ds. E)
а
Считая, что Х= Y = С[а, Ь], можно показать, что условия
теоремы 2 выполнены, если оператор E) непрерывно обратим,
что мы предположим далее. Следовательно, уравнение A)
430
определяет (локально) единственное решение х = хЦ;К), ts
е [а, Ь], причем на [a, b] x(t; Kq) = Хо(О-
Если известно, что функция К аналитична относительно пе-
переменных х и К, то x(t;K) является при К = Ко аналитической
функцией К, т. е. может быть найдена методом малого пара-
параметра в виде ряда
оо
x(t, K)=ZuXkit)iK-K0)k,
сходящегося равномерно на [а, Ь] с ненулевым'радиусом схо-
сходимости.
Упражнение 4. Покажите, что интегральное уравнение
л
x(t)-—[ sin / [(sin s)xis) + x2is)]ds = 0 F)
имеет при К = Ko = 1 решение xoit)=sint. Найдите непрерыв-
непрерывное по it,К) решение уравнения F) х(/Д) такое, что x(f;l) =
= sin t.
Упражнение 5. Из F) следует, что
= ¦?-с sin/, где с=
sin s + х2 (s)] rfs-
Пользуясь этим, найдите все неявные функции, определяемые
уравнением F).
Пример 4. Рассмотрим краевую задачу для нелинейного
дифференциального уравнения 2-го порядка с малым парамет-
параметром е:
x" + f(txx';e) = O 0</</,
Относительно функции f(t,x,y;e) мы предположим, что она не-
непрерывна по совокупности своих переменных при
/е=[0, I], —
|е|<е0
и что существуют ее частные производные fx и fy, равномерно
непрерывные при этих же значениях переменных. Пусть функ-
функции фо(е) и ф;(е) определены и непрерывны при |е]^е0.
Предположим, что при е = 0 задача G), т. е. задача
x"-\{t,x,x', 0) = 0,
*(О) = Фо(О), *(/) = ф,(
имеет решение х = xo(t).
(8)
431

Пусть, далее, линеаризованная задача
z" + fx(t, xo(t), х'0@, O)z + fy(t, xo(t), x'0(t), 0)z' = 0,
z@) = 0, г(/) = 0
имеет только тривиальное решение г = 0. В этих условиях за-
задачу G) можно записать в операторном виде: F(x, e) = 0. При
этом оператор F действует из X i-Е] в Y, где А' = С2[0, /],
У = С[0, /] 4- ?' 4- Е\ по следующему закону: каждой паре,
состоящей из функции и числа (*(/), е), ставится в соответ-
соответствие тройка
{x"(t) + f(l,x,xf; г),х@), хA)}.
Операторы F(x,k) и Fx(x,k) непрерывны, причем оператор
Fx(x0, 0) непрерывно обратим (предоставляем проверить это чи-
читателю). Если, в дополнение к этому, функция / аналитична
по х, у и е, а функции фо и ф/ аналнтичны по е, то и оператор
/^(t, е) оказывается аналитическим.
Применяя к задаче G) теоремы о неявных операторах, мы
приходим к выводу, что эта задача имеет при достаточно ма-
малых е единственное решение хA, г), лежащее в С2[а, Ь], в ок-
окрестности решения задачи (8), причем x(t, e)-+-xo(t) при е->0
по норме пространства С2[а, Ь]. В аналитическом случае x(t, e)
можно найти методом малого параметра (см. теорему п. 36.5).
Упражнение 6. Методом малого параметра найдите с
точностью О(е2) решение краевой задачи с малым парамет-
параметром е:
§ 37. Диаграмма Ньютона и ветвление решений
нелинейных уравнений
В этом параграфе рассмотрены особые случаи задачи о не-
неявных операторах. Пусть нелинейное уравнение F(x,k)—0 с
параметром к имеет при фиксированном значении параметра ко
решение Хо. Если при значениях к, близких к ко, это уравнение
имеет несколько (более одного) решений х(к), близких к хо, то
говорят, что происходит ветвление решения .v<j.
Современная теория ветвления решений нелинейных уравне-
уравнений (см. [2]) основывается на идеях А. М. Ляпунова и
Э. Шмидта и широко использует методы функционального ана-
анализа. В одномерном случае, который здесь рассматривается,
важную роль играет метод диаграммы Ньютона. С помощью
этого метода решаются, впрочем, и некоторые другие матема-
математические проблемы.
37.1. Метод диаграммы Ньютона. Пусть комплекснозначная
функция f(x,k) комплексных переменных х и к представляет со-
432
бою многочлен степени п относительно х:
A)
где, согласно определению многочлена степени п, /л(Х)#0. От-
Относительно коэффициентов fs(k) мы сделаем довольно слабые
предположения. Пусть они представимы в окрестности точки
к = 0 в виде сходящихся рядов:
f.(V = tf'+ffrX"', ¦ B)
s = 0
где ps — рациональные числа, а р — общее для всех fs нату-
натуральное число.
Заметим, что если при некотором s fs(k)^ 0, то можно счи-
считать, что jos ф 0. Будем далее считать, что \ъъФ 0, т. е. f(Q,k) ^
#0. Будем разыскивать решения х = х(к) уравнения
fix, к) = 0, C)
где / определена равенствами A), B), представимые в виде
х = хХ + X, D)
где хе ф 0, а Х = О{№) при к-+-0. Чтобы найти возможные
значения показателя е и коэффициента хе, нужно подставить
D) в A) и приравнять нулю главный член, т. е. коэффициент
при наинизшей степени к. Однако, пока показатель е остается
неизвестным, нельзя сказать, какие из членов (после этой под-
подстановки) будут низшими. Ясно только, что члены наинизшего
порядка содержатся среди следующих:
f k°a f rfeA,Pfe+fte f xn E)
'ОСТ • /оАЛ > hnXe' \°>
где к пробегает те из значений 1, 2, ..., п — 1, для которых
}к(к)Ф 0. Так как /оо Ф 0 и fon ф 0, то отличны от нуля по мень-
меньшей мере два члена в E).
Для уничтожения члгнов наинизшего по к порядка необхо-
необходимо подобрать показатель е так, чтобы по крайней мере два
из показателей ро, р* + кг, рл + пг совпали, а остальные были
не меньше их. Это соображение позволяет отыскивать все воз-
возможные значения е и соответствующие им значения коэффи-
коэффициента хе.
Для нахождения значений е используется диаграмма Нью-
Ньютона. Нанесем в декартовой прямоугольной системе координат
точки (рис. 22) @, ро), (k, pfc), (л, р„), где k пробегает те же
значения, что ив E). Проведем в точке @, р0) прямую так,
чтобы она совпала с осью ординат, и станем ее вращать вокруг
точки @, ро) против часовой стрелки до тех пор, пока на нее
впервые не попадет другая из нанесенных точек, например
XKpt). Тангенс угла между этим положением прямой L и
433

отрицательным направлением оси абсцисс равен одному из воз-
возможных значений е, ибо tg а = (ро — pi)/l — г. Если под таким
углом провести прямые через точки (s,ps), отличные от попав-
попавших на L, то эти прямые будут лежать выше L, а потому
ps + se > pi -f /e.
Отметим, что на прямой, соединяющей точки @, р0) и (/, р/),
могут оказаться и другие точки (k, p*). Будем теперь вращать
прямую L в том же направлении вокруг той оказавшейся на
прямой L точки (/, р;), у которой абсцисса наибольшая, пока
на L не попадет другая из нанесенных точек, например (р, pD).
Тангенс угла между новым направлением прямой L и отрица-
отрицательным направлением оси абсцисс определит другое возмож-
возможное значение е:
tga = (pi —рр)/(/7 —/) = е,
ибо прямые, проходящие через другие точки (s, ps) параллельно
этому новому направлению L, будут лежать выше, а значит,
ps + es > pi -f- e/ = pp + ер. Продолжая этот процесс, получим
всевозможные значения е. Выпуклая ломаная, соединяющая
точки поворота прямой L, называется диаграммой Ньютона.
Перейдем к определению возможных значений коэффициен-
коэффициентов хе. Пусть (i, p,) и (j,pi) — крайние точки одного из звеньев
диаграммы — отрезка, определяющего одно из возможных зна-
значений е. Для того чтобы после подстановки D) в C) уничто-
уничтожились низшие члены, необходимо и достаточно, чтобы
где знак штрих у суммы здесь означает, что суммирование про-
проводится по s, удовлетворяющим соотношению р* + se — р, + is.
Уравнение F) имеет / — i отличных от нуля корней (с учетом
их кратности), т. е. столько корней, какова длина проекции взя-
взятого отрезка диаграммы. Отсюда видно, что этим методом
получаются все п значений главного члена уехе в разложе-
разложении D).
Для нахождения следующего члена разложения у нужно
подставить D) в C) и тем же приемом определить низший
член разложения, полагая
Продолжая этот процесс, можно показать (строгие формули-
формулировки и доказательства см. в [2], § 2), что все п решений урав-
уравнения C) имеют вид (ряды Пюизо)
x —
+ ..., G)
где е < е' < е" < ..., причем числа е, е', е", ... являются
дробями с конечным общим знаменателем. Ряды G) сходятся
434
в некоторой окрестности точки к = 0, за исключением самой
точки к = 0, если к < 0.
Замечание (см. п. 2.4 [2]). Пусть хг — корень уравнения
F). Будем называть его простым, если производная многочлена
Р на этом корне Рх(хг)Ф 0. Можно показать, что если хе —
простой корень, a z = q/p — несократимая дробь, то ряд G)
принимает вид
х (к) = Е **e*"\ (8)
Отметим, далее, что диаграмма, построенная для определе-
определения первого показателя е, имеет общую длину звеньев, рав-
равную п. Она разбивается в общем случае на три участка: убы-
убывающий, постоянный и возрастающий. Убывающий участок
(в наших предположениях он существует) определяет поло-
положительные значения показателей
е и, значит, приводит к опреде-
определению решений уравнения C)
таких, что х@) = 0. Постоянный
участок диаграммы соответствует
значению е = 0 и определяет,
согласно D), неявные функции
х = х(к) вида хЩ = ха + оA)
при >.->0, где хо Ф 0. Наконец,
возрастающий участок диаграм-
диаграммы Ньютона приводит к опреде-
определению так называемых «боль-
«больших решений» уравнения C),
стремящихся к бесконечности при к
чения показателя е отрицательны.
Рис. 22.
- 0, ибо в этом случае зна-
37.2. Примеры на определение неявных функций с помощью
диаграммы Ньютона. Приведем несколько примеров, иллюстри-
иллюстрирующих метод.
Пример 1. Рассмотрим следующее кубическое уравнение
с малым параметром к:
{-к + к2) + х(\ +к-к2) + х2(- 1 -Я2 + Л3) + Л = 0. A)
Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси
абсцисс будем откладывать значения показателей k степеней х
в уравнении A), а по оси ординат будем откладывать значения
показателей р& степеней к в этом же уравнении (рис. 23).
Построим точки Л0 = @, 1), Л] =A,0), Л2 = B, 0), Л3 =
= C,1). Выпуклая ломаная, соединяющая последовательно эти
точки, и является, согласно п. 37.1, диаграммой Ньютона урав-
уравнения A). Ее убывающее звено — отрезок, соединяющий точки
Ао и Ль — соответствует значению е=1 и определяет един-
единственное решение х\(к) уравнения A), аналитическое при
к = 0, такое, что х@)= 0, согласно теореме п. 36.5. При этом
(к)к + (к)
435

Постоянное звено диаграммы — отрезок, соединяющий точки
Ах и А2, — определяет неявную функцию х(Х), удовлетворяю-
удовлетворяющую условию Jt2@)— 1, также аналитическую при X = О, так
что
х2(Х)= 1 +оA) при А->0.
Наконец, возрастающая часть диаграммы также состоит из
одного звена — отрезка, соединяющего точки А2 и Аз. Этому
отрезку отвечает значение е = —1 и «большое» решение Хз(Х)
уравнения A):
ХзA) = Х~1 + оA) при А->0.
Упражнение 1. Покажите, что Хз(Х) разлагается в схо-
сходящийся в окрестности точки л = 0 с выколотой точкой X = О
ряд Лорана
Указание. Воспользуйтесь замечанием п. 37.1 и просто-
простотой соответствующего корня уравнения F) п. 37.1.
О 1 2 ?
Рис. 23.
Упражнение 2. Найдите с точностью О(X) решения х,(X),
i = 1, 2, 3, уравнения A).
Итак, все три решения уравнения (I) можно найти методом
диаграммы Ньютона.
Пример 2. Пусть
/ (лг, Я) = Я2 - А*2 - А*3 + х5 = 0. B)
Построим точки А, = @,2), Ai = B, 1), Л2 = C, 1), А3 = E, 0)
(рис. 24). Диаграмма Ньютона имеет только убывающую часть
и состоит из двух звеньев — отрезка AQA\ и отрезка А\А3. Им
отвечают два значения е: е = 1/2 и е = 1/3. Полагая в B)
х = х1/2Х1/2 + Xi/2(X), получаем для определения Х\/2 уравнение
1 — х\)г = 0,откуда xi/, = ±1, причем оба корня простые. Ана-
Аналогично, полагая в B) х = х изХ1/3 + Х[/з(Х), приходим к урав-
уравнению — х\1Ъ + х]/3 = 0. Это уравнение имеет три ненулевых
простых корня JCi/з = -v^l . Итак, уравнение B) определяет дву-
двузначную неявную функцию
00
C)
436
и трехзначную неявную функцию
, ft/3
D)
Упражнение 3. Покажите, что при Х>0 уравнение B)
имеет два вещественных решения вида C) и одно веществен-
вещественное решение вида D).
Упражнение 4. Найдите вещественные решения уравне-
уравнения B) при X < 0.
Замечание. В случае кратных корней определяющего
уравнения F) п. 37.1 приходится несколько раз (конечное чис-
число) строить диаграммы Ньютона, определяя показатель е, за-
затем е', е", ... в разложении G) п. 37.1, пока некоторый корень
*e'...' не окажется простым (см. п. 2.5 [2]).
Пример 3. Пусть
А2-л;3 = 0. E)
Упражнение 5. Покажите, что уравнение f(x,X)=Q
имеет решение вида х(Х) = X + о(Х), причем 1—двукратный
корень определяющего уравнения.
Для нахождения следующего члена х(Х) полагаем в E)
х = X -\- и. После уничтожения подобных членов получаем для
определения и уравнение
и2 - А3 - ЗЯ2« - ЗЯы2 - и3 = 0.
Упражнение 6. Постройте диаграмму Ньютона для
этого уравнения и покажите, что и = Х3/2, причем 1 — простой
корень определяющего его уравнения. Таким образом, уравне-
уравнение E) имеет двузначное решение вида
1=2
112
F)
Упражнение 7. Покажите, что в вещественном случае
при А>0 уравнение E) определяет два решения вида F), а
при X < 0 не определяет непрерывных решений таких, что
jc @) = 0.
Упражнение 8. Покажите, что уравнение E) определяет
единственную непрерывную неявную функцию х(Х), удовлетво-
удовлетворяющую условию х@)= 1.
37.3. Постановка задачи о ветвлении в простейшем случае.
Пусть некомплекснозначная функция f{x,X) двух комплексных
переменных х и X аналитична в точке @, 0), и пусть /@, 0) = 0.
Разложим f(x, X) в двойной степенной ряд:
= ? f
•+/
ft
(О
437

и пусть числа г > 0 и р > О таковы, что при [jt]^r, |X|^p
сходится, мажорирующий ряд A), числовой ряд
Е 1/„|г'р'. B)
Нашей целью является локальное определение непрерывных
неявных функций х = х(Х)— решений уравнения
/(*, Л) = 0, C)
удовлетворяющих условию х@)= 0. Ниже такие неявные функ-
функции х(Х) мы будем называть малыми решениями уравнения C).
Случай, когда /ю = fx @, 0) ф 0, уже рассмотрен нами в тео-
теореме п. 36.5. Согласно этой теореме уравнение C) имеет един-
единственное малое решение, аналитическое в точке X = 0; значит,
представимое сходящимся рядом
D)
с ненулевым радиусом сходимости.
Ниже мы предполагаем, что /ю = 0. Это означает, что мы
не можем воспользоваться теоремой о неявных операторах
п. 36.5. Уравнение C) принимает теперь следующий вид:
fllX'X> = 0. E)
Естественно предположить, далее, что найдется номер п та-
такой, что
/«, = 0, 1 = 2, .... л-1, /„„?=0. F)
В противном случае уравнение E) можно сократить на X,
и если foi Ф 0, то оно малых решений не имеет. Если же/oi = 0,
то после сокращения на X мы снова получим уравнение типа D).
Оказывается, что в предположении F) уравнение E) имеет
ровно п, с учетом кратности, малых решений и все они предста-
вимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням
параметра X. Доказательство этого утверждения может быть
проведено с помощью так называемой подготовительной тео-
теоремы Вейерштрасса. Согласно этой теореме, в сделанных нами
относительно f(x,X) предположениях, в окрестности точки
@, 0) эта функция может быть представлена в виде
f(x,X) = pn(x,X)q(x,X), G)
где q(x,X)—аналитическая в @,0) функция, причем q@,0)фJ
ф 0, а рп(х, X)—многочлен вида
рп(х, ty =
438
с аналитическими при Х = 0 коэффициентами, удовлетворяю-
удовлетворяющими условиям pft@) = 0, k = 0, 1, ..., п—1. Из G) видно,
что малые решения уравнения E) и малые решения уравнения
Рп(х, Л) =
(8)
совпадают. Но тогда, согласно методу диаграммы Ньютона (см<
п. 37.1), уравнение (8), а с ним и уравнение E), имеет п ма-
малых решений, представимых сходящимися рядами по целым
или дробным степеням X.
Для практического нахождения малых решений уравнения
E) нет необходимости переходить, к представлению G). Можно
применить метод диаграммы Ньютона непосредственно к урав-
уравнению E). В этом случае диаграмма может состоять из счет-
счетного числа отрезков. Однако поскольку нас интересуют лишь
малые решения уравнения E), то мы должны рассмотреть
только убывающий участок диаграммы Ньютона, который всег-
всегда состоит из конечного числа звеньев.
Упражнение. С помощью метода диаграммы Ньютона
найдите все малые решения уравнения
sin х — х + х2 sin Я, — X4 = 0.
Указание. Воспользуйтесь тейлоровским разложением си-
синуса.
37.4. Точки ветвления и точки бифуркации. Продолжим ис-
исследование уравнения A) п. 36.1
F(x, Л) = 0 A)
в предположении, что
B)
Пусть оператор F определен на множестве Q,Q(х0,Х0)а X 4-Л,
а значения F лежат в У (X, Л и У — банаховы пространства).
Если существуют числа г > 0 и р > 0 такие, что при каж-
каждом XeSp(Xo) существует единственное решение х = х(Х)^
^.Sr(xo) уравнения A), то точку (л'оДо) будем называть регу-
регулярной точкой этого уравнения. Теоремы о неявных операторах
дают условия, достаточные для регулярности точки (хо,Хо).
Среди нерегулярных точек важное место занимают точки
ветвления.
Определение 1. Точка [хо,Хо) называется точкой вет-
ветвления уравнения A), если для любых г>0 и р>0 найдется
),GSp(lo), которому отвечают по крайней мере два решения
уравнения A), лежащих в шаре Sr(x0}.
Приведем простейшие примеры точек ветвления.
Пример 1. Для уравнения х2 — ^ = 0 в комплексном слу-
случае точка @, 0) является точкой ветвления, так как уравнение
определяет в ее окрестности двузначную неявную функцию
439

лг— л/Х -_Это верно и в вещественном случае, где два решения
х — ± V^ определены при Я > 0.
Пример 2. Пусть X— У = С[—1, +1], Л = ?' (рассмат-
(рассматривается вещественный случай). Покажем, что для интеграль-
интегрального уравнения
= \ \x{s)ds+
C)
точка х = 0, X = 1/2 является точкой ветвления. В самом деле,
из C) следует, чго л: (/) = Ха -г- Ь, где а — \ х (s) ds, b = V s*2X
-i -i
"X(s)ds. Интегрируя на [—1,1] x(() и /л:2 (/), получим систему
уравнений
а = 21а + 2Ь, Ь = 0.
Если X Ф 1/2, то а = 0, откуда jr(/) = O. Если же X = 1/2,
то а произвольно. Итак, уравнение C) при всех X имеет три-
тривиальное решение, а при X = 1/2 решением C) является также
функция jc(/)=c, где с — произвольная постоянная. Поскольку
при X = 1/2 уравнение C) имеет бесчисленное множество ре-
решений, точка @,1/2) является точкой ветвления этого уравне-
уравнения.
Пример 3. Интегральное уравнение
x2{s)ds
имеет два решения: *(/) = 0 и *(/)= 1 —X. Следовательно, точ-
точка @, 0) является его точкой ветвления.
Вернемся к уравнению A). Пусть теперь F@,X) = 0.
Определение 2. Точка Ха называется точкой бифуркации
уравнения A), если точка (ОДо) является точкой ветвления
этого уравнения.
Примеры 2 и 3 дают, очевидно, примеры точек бифуркации.
37.5. Уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта. Предпо-
Предположим здесь, что оператор F(x, X) непрерывен в О(дгоДо) и что
он имеет в Q(*o, Xq) непрерывную частную производную Fx(x, X).
Пусть, далее, оператор Л = —Fx(xo,Xa) фредгольмов, причем
п = dim N{A)~^ I (N(A)—подпространство нулей А, см.§ 21).
Для изучения уравнения A) с условием B) п. 37.4 запишем
это уравнение в виде
Au = R(u,v), A)
где и = х —
—Fx(xq,Xq)u.
440
= X — Xo, R(u, ц) = F (х0 + и До
Пусть {фЛ? — базис в N (А), {у}" — биортогональная к нему
система из X*; пусть, далее, {^Л? — базис в N (A*), a {z{}" —
биортогональная к нему система элементов из Y. Введем линей-
линейный оператор
где /C=
Согласно лемме Шмидта (п. 21.4) оператор В непрерывно
обратим. Запишем теперь уравнение A) в виде -эквивалентной
ему системы:
Ви = R {и, ц) +
п.
B)
C)
К уравнению B), если рассматривать (\i, |i, ..., |я)
как параметр, можно применить теорему п. 36.3 о неявных опе-
операторах. Однако удобнее сначала немного преобразовать это
уравнение. А именно положим в B)
Поскольку Вф; = г,-, i = 1, 2 п, подстановка D) в B) при-
приводит к уравнению
Это уравнение имеет при всех достаточно малых ц, |i, ,.., |ч
единственное малое решение и = и([д, |i, ..., %п). Следователь-
Следовательно, уравнение B), в соответствии с D), имеет единственное ма-
малое решение
U = V (Ц, li In) + S li<Pi-
F)
Это решение должно также удовлетворять уравнениям C). Учи-
Учитывая условия биортогональности <ф(, y;> = 6i/, мы получаем
для определения |i |я следующую систему уравнений:
(v(n, I,, ..., 1„), Yft> = 0. k=\,...,n. G)
Эта система называется уравнением разветвления Ляпунова —
Шмидта. Нетрудно показать, что формула F) устанавливает
взаимно однозначное соответствие между малыми решениями
уравнения A) и системы G).
Придадим теперь уравнению разветвления G) другую, бо-
более удобную форму.
441

В п. 21.4 мы установили, что
1 = 1
где черта означает комплексное сопряжение. Отсюда, вслед-
вследствие биортогональности <г,, г|)/> = б</, имеем /Сф/=у/ (про-
(проверьте!). Следовательно, так как \р, е N(A*),
B^l = (A* + Kt)ypl = K^l = yl, i=l,...,n. (8)
Применяя к обеим частям уравнения E) функционал 1|э*, полу-
получаем с помощью формул (8)
(о + ? 6,Ф„ ц). ^} = <Яо, i|3ft> = (у, В*ф*> = <о. Y*>-
Обращаясь к системе G), мы видим теперь, что ее можно
записать в такой форме:
il
=1 п.
С учетом формул F) получаем окончательно
<Я(и(ц, ?,, ..., У, ц), Ы = 0, 6 = 1 л. (9)
Напомним, что функция u(|i, gi, ..., |я) определяется как
малое решение уравнения B).
37.6. Исследование задачи о ветвлении в одномерном ана-
аналитическом случае. В этом пункте мы предположим дополни-
дополнительно, что оператор F(x,X) аналитичен в точке (хоДо), т. е.
разлагается вблизи (хоДо) в степенной ряд (/7(хоДо) = 0)
F(x,k)=
i
Далее, предполагается, что п = dim jV(^) = 1. Положим ф1 = ф,
z\==z, Yi=v. ЧI==11'. ?i = ?- Уравнение B) п. 37.5 здесь при-
принимает вид
Bu = Fmii+ I Ftlulv! + &. A)
Положим В'1 = Г и будем искать малое решение уравнения
A) в виде
и= Z ««5V- B)
+>I
Чтобы получить уравнение разветвления, мы должны подста-
подставить этот ряд в уравнение (9) п. 37.5, которое здесь выглядит
так:
442
* + У ^ 2
C)
Подстановка B) в C) приводит к следующему уравнению:
D)
Таким образом, уравнение разветвления Ляпунова — Шмид-
Шмидта в рассматриваемом случае совпадает с уравнением E) п. 37.3
и может быть исследовано с помощью метода диаграммы Нью-
Ньютона. Возможен, впрочем, и вырожденный случай, когда /oi = 0.
fit = 0, i + j ^ 2. В этом случае в качестве | = |(ц) можно
взять любую функцию X. Если же выполнено условие F) п. 37.3,
то уравнение C) имеет ровно п, с учетом их кратности, малых
решений, причем все они разлагаются в сходящиеся ряды по
целым или дробным степеням параметра ц. Но тогда это заклю-
заключение верно и для исходной задачи.
Коэффициенты уравнения разветвления D) можно подсчи-
подсчитать с помощью A), B), C).
Упражнение 1. Покажите, чго «ю = Г2 = ф. Получите
выражения коэффициентов уравнения разветвления D):
/oi =
E)
Различные конкретные приложения теории ветвления чита-
читатель может найти в [2], гл. X. Ограничимся здесь следующим
примером. Рассмотрим краевую задачу для дифференциаль-
дифференциального уравнения с малым параметром ц:
х" + х = ц sin / — х2, F)
х @) = х (л) = 0.
G)
О
Здесь х = С2 [0, я] — вещественное пространство дважды не-
непрерывно дифференцируемых на [0, я] функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих граничным условиям G), Л = Е\ У = С[0, л]. Можно
принять ф = г|з = 2 = 7== s'n '¦
Далее, главные коэффициенты уравнения разветвления C)
имеют вид (см. E))
= - {sin21, $) = -\ sin3tdt = -^-.
Следовательно, убывающая часть диаграммы Ньютона состоит
из одного отрезка, соединяющего точки @, 1) и B,0), так что
в = 1/2 и * = х1/2ц1/2+о(ц1/2).
443

Для определения х1/2 получаем уравнение fm + f *2, = 0
откуда хш = ± V3n/8 . Итак при ц > 0 задача F) - G)' имеет
два малых решения вида
Эти решения аналитичны относительно
переменной
-х" + \х = х>, *@) = *(„)_().
Л
* С) = — J (sin / sin s).v (s) rfs + ц sin3 / + x3 (().
n
Глава X
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ СХЕМЫ
И ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
§ 38. Нелинейные приближенные схемы
В этом параграфе основные понятия теории абстрактных
^Приближенных схем гл. VI обобщаются на нелинейный случай.
38.1. Аппроксимация, устойчивость и Г-сходимость. Пусть,
как и в § 25, X и Y — банаховы пространства {Хп} и {У„} —две
последовательности банаховых пространств, аппроксимирующих
X и Y соответственно, a {Tn}cz ^{Х, Х„} и {7^} с 2* (У, У„) —
[две последовательности операторов сужения. Предполагается
^также, что Хп=ТпХ, Yn = T'nY, п=1, 2, ...
'. Рассмотрим нелинейный оператор у = А(х), действующий
¦из своей области определения D(A)czX в пространство Y.
^Пусть, далее, Л„: Яп->?„, п=\, 2, ...— последовательность
^нелинейных операторов с областями определения D(An)crXn и
с областями значений, лежащими в ?„.
Определение 1. Будем говорить, что на элементе хе
D(^ выполняется условие аппроксимации, если
Тпх<
\D(An), n=\, 2
| An (Tnx) - TnA (x) ||7 -»¦ 0 при n->oo.
(О
B)
Определение 2. Пусть x^D(A) и выполнено условие
A). Пусть, далее, существуют положительные постоянные а =
= а(х) и k такие, что
\An{Ttlx)-T'nA{x)\\Y
C)
Тогда будем говорить, что порядок аппроксимации оператора А
операторами Ап на элементе х равен k. Очевидно, из C) сле-
следует B).
Нашей целью является приближенное определение решений
уравнения
Л(*) = 0. D)
Пусть xq^D(A) является решением уравнения D), т. е.
А(ха) = 0. Условия аппроксимации B) и C) оператора А
445

операторами Л» на решении х0 записываются так G"„х0 е D(An)
для всех п): _
\\Ап(ТпХо)\\7^О, л-юо, E)
\\Лп(Тпх0)\\у
л=1,2, ...
F)
Заметим, что проверка условий аппроксимации E) или F)
на практике обычно не требует знания точного решения х0. До-
Достаточно знать, что хо обладает некоторыми свойствами глад-
гладкости. Ясно также, что условия C) или F) достаточно прове-
проверить, начиная с некоторого номера.
Для приближенного решения уравнения D) мы будем ис-
использовать последовательность
4Л(*„) = О, «=1,2, ....
G)
приближенных уравнений, или, короче, приближенную схему.
Решения G) будем называть приближенными решениями.
Определение 3. Будем говорить, что приближенная схе-
схема G) устойчива или, короче, что выполнено условие устойчи-
устойчивости, если существует непрерывная, строго возрастающая на
[О, + °°] функция со(/) такая, что (о@) = 0, со(+ оо) = -\- оо,
причем для всех х'п, х'„ е D (Ап) и любых п выполняется нера-
неравенство
Наиболее употребительный случай: a>(t) = yt, у > О, кото-
который используется не только в линейном случае (п. 25.4), но
и в нелинейном случае, когда удается получить соответствую-
соответствующую оценку.
Обычно условие устойчивости достаточно бывает проверить,
начиная с некоторого номера. Для практической его проверки
часто удается провести следующие рассуждения. Рассмотрим
последовательность уравнений
Ап (хп + гп) — Ап (хп) = дп.
(9)
Здесь х„ будем считать параметром, а г„ — неизвестным. Если
удастся получить априорную оценку (т. е. оценку возможных
решений гп, равномерную относительно хП) вида
1|гп||<т,(Ш1) (Ю)
с функцией r\(t), удовлетворяющей тем же условиям, что и
со(/), то будет выполнено условие устойчивости (8) с со(/) =
= т)-'(/) (т. е. со — обратная функция к г\). Достаточно в (9)
положить
446
Теперь мы можем перенести на нелинейный случай теорему о
сходимости приближенной схемы п. 27.5.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) нормы в Хп невырождены;
2) существует точное решение;
3) при всяком п существует приближенное решение;
4) на всяком точном решении выполнено условие аппрокси-
аппроксимации;
5) выполнено условие устойчивости приближенной схемы.
Тогда
а) точное решение единственно;
р) приближенное решение единственно для любого п;
у) имеет место Т-сходимость приближенных решение к точ-
точному.
Доказательство. Докажем а). Пусть х\ и Xi — два ре*
шения уравнения D) и на них выполнено условие аппроксима-
аппроксимации E).
Тогда
II Та U, - х2
| Ап
- Ап (Тпх2) ||)
n->oo,
~\
не-
невследствие условия устойчивости, строгого возрастания а>
прерывности со-' в нуле и условий аппроксимации на х\ и х2.
Но тогда и ||7\|(Х| —-ЫИ^О, п->оо, и, вследствие условия не-
невырожденности норм в Хп (см. определение 2 п. 27.1), имеем
х\ = х2. Утверждение а) доказано.
Утверждение Р) сразу же следует из условия устойчивости
(проверьте!). Докажем утверждение у). Воспользовавшись ус-
условием устойчивости, равенствами G) и непрерывностью со-1
в нуле, получаем
II хп - 7>01! < со (II К (хп) - Ап G>0) ||) =
= co-I(IIA.G'«JCo)ll)->0, n-^oo.
Теорема доказана.
Следствие. Если в условиях теоремы порядок аппрокси-
аппроксимации равен k, а о>@ ~ у№ при t—*-\-0 (р > 0), то
Доказательство. По условию (см. F))
-'
= О (п-*
Следовательно, при п -> оо
||ха - Тпх01|<со-' (an~k)~у
Итак, порядок сходимости хп к х0 есть /г/р.
38.2. Сходимость разностной схемы Эйлера. В качестве иллю-
иллюстрации на применение теоремы предыдущего пункта
447

рассмотрим известную схему Эйлера решения задачи Кошидля
нелинейнего дифференциального уравнения первого порядка:
+fix, t) = 0, <)</</,
Предположим, что в полосе
П; = {/, х: О
(О
, — оо < X < + оо}
йепрерывны f(x,t) и fx(x,t), причем найдется постоянная
Р > 0 такая, что в П/
1Ы*,0КР. C)
Можно показать, что в этих условиях задача A) — B) имеет
на [0, /] единственное решение. В самом деле, из условия C)
вытекает, что f(x,t) удовлетворяет в IL условию Липшица D)
п. 33.4, и мы можем поэтому воспользоваться теоремой 2 этого
же пункта. Запишем задачу A) — B) в виде операторного урав-
уравнения D) п. 38.1, где оператор
A(x) = {x + f(x,0i x@)-a)
действует из банахова пространства Х = С[0,1] в банахово про-
пространство У = С[0,1] 4- Е\ где Е1 — вещественная прямая.
Норму элемента y(t) = {h(t), d}eF зададим так:
Пусть область определения D(A) оператора А состоит из не-
непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций x(t).
Зададим на [0, /] равномерную сетку: {^}"_0> U = /т, т =
= 1/п. Как и в п. 27.1, операторы сужения Т„ зададим так: для
всякой функции д;(/)е С[0, /] полагаем
т. е. Хп состоит из столбцов хп = {jcJ"=1. Норму в Хп зададим
кубическую:
|= max \xt
1 < ( < П
Далее, если y{t) = {h{t); a}e Y, то положим
Таким образом, Ул состоит из столбцов уп = {Яп; а} высоты
п ¦+¦ 1. Норму в Yn зададим так:
; + 1. Норму в Уп зададим так:
|== max
448
Выпишем теперь систему разностных уравнений метода
Эйлера:
Эту систему удобнее переписать так:
1,2, ...,«,
A=l,2, .... п,
о = а.
D)
E)
F)
G)
Из формул F) видно, что система имеет рекуррентный ха-
характер и по известному д;0 = а из нее последовательно опреде-
определяются Jti, jc2, ..., х„. Таким образом, система D) —E) имеет,
и притом единственное, решение.
Перейдем к проверке условия аппроксимации. Приближен-
Приближенные операторы Ап(хп) действуют из Яп в Ря и задаются фор-
формулой
Следовательно, имеем для точного решения
Теперь нетрудно проверить условие аппроксимации:
\У = max
и 1
¦-*'('*-!)
¦О
при п->-оо вследствие равномерной непрерывности на [0,1]
производной x'(t). Подробнее это рассуждение проводилось
нами в примере п. 27.3.
Если дополнительно решение x(t) задачи A) — B) имеет
на @,1) вторую производную, ограниченную на {0,1):
"@\< + <х>, (8)
@. I)
то оценка может быть улучшена. В этом случае, как и в при-
примере п. 27.3,
Ап<пГ'тах
15 В. А. Треногий
»_,)-*'(s)
449

Следовательно, если точное решение x(t)' достаточно гладко, то
разностная схема Эйлера имеет 1-й порядок аппроксимации.
Займемся теперь проверкой условия устойчивости. Докажем,
что для любых хп справедлива следующая априорная оценка:
\\zA<c{\\hJ + \a\) (9)
для всех возможных решений следующей разностной задачи:
+ / (tk-L 4-Х + 2*-|) - / (/*-,, ДС*_!> = Л*_,, (Ю)
k=\,2, .... п,
где параметры хо, х\ х„ совершенно произвольны. Для
этой цели запишем A0) в следующем виде:
г* = A-¦#*_,) z^ + tA*.,, k =1,2 п, A1)
zo = a,
где, согласно формуле конечных приращений,
1
P*-i = J fx (tk-и xk-i + ozk_i) da.
0
Хотя fj/i-i зависят и от хь-i, и от z*_i, вследствие ограниче-
ограничения C)
IPKP Л 12п.
Следовательно, для г* справедлива рекуррентная система нера-
неравенств (k = 1, 2, ..., п)
Отсюда последовательно находим
л-1
рт)л|а|4 IA+6t)*t|[A
Так как A + рт)* = (l+ -?-)*< (l + -^-
, а
то имеем следующую оценку для zn:
A2)
450
Отсюда вытекает доказываемая оценка (9), в которой можно
принять
Тем самым доказано условие устойчивости (8) п. 38.1 с «(<) —
= с-Ч.
Из теоремы п. 38.1 вытекает теперь сходимость разностной
схемы Эйлера. Если дополнительно выполнено условие (9), то
из следствия из теоремы п. 38.1 мы получаем такой вывод: раз-
разностная схема Эйлера имеет порядок точности (сходится со
скоростью ОA/«)).
38.3. Улучшенная схема Эйлера. Рассмотрим снова задачу
Коши A) — B) п. 38.2 в тех же предположениях относительно
функции f(x,t). Прежними останутся также пространства X, Y,
Хп, ?п и операторы сужения. Однако теперь мы рассмотрим
следующую разностную схему:
0, A)
хо = а. B)
Схема эта, в отличие от схемы Эйлера, является неявной: Xk
входит в kl-e уравнение, которое нелинейно и не может быть
так просто, как в п. 38.2, разрешено относительно Xk. Преиму-
Преимуществом рассматриваемой схемы является ее более высокий
порядок точности, а значит, и сходимости. Для практического
решения системы A) — B) используются итерационные методы
(см. [1]). Неявные схемы часто применяются в приложениях.
Целью настоящего пункта является изучение не схемы A) —
B), а близкой к ней явной схемы, которая называется улучшен-
улучшенной схемой Эйлера и представляет собой простейшую из схем
Рунге — Кутта (см. [1], стр. 450).
Итак, рассмотрим разностную схему:
*fc-i
/с*. *;)]в
х\ — xk-\ T' v*-l
.., п,
C)
D)
E)
Проверим условие аппроксимации. Предположим, что функ-
функция f(t, x) дважды непрерывно дифференцируема в полосе ГЬ,
причем в этой полосе функция f и все ее частные производные
до второго порядка включительно ограничены. Отсюда выте-
вытекает, что решение x(t) задачи A) — B) п. 38.2 трижды непре-
непрерывно дифференцируемо на [0,/]. Функция x(t) удовлетворяет
на [0, /] тождеству
x(l) + f{l,x{t))s*0. F)
15*
451

Дифференцируя это тождество по / и подставляя затем x(t) из
F), получим еще одно тождество:
x (/) + ft (/, x (/)) - /, (t, x (/)) / (/, * @)« 0.
Введем теперь в рассмотрение функцию
(/>т)=л(/ + Т)-.(/)+^,
G)
(8)
Эта функция зависит от параметра т > 0 и определена по / на
[0,1 — х]. Если через Fn(icn) обозначить нелинейный оператор,
соответствующий схеме C) — D), то нетрудно усмотреть, что
По формуле Тейлора имеем при т -»- 0
f[t + x,x(t)-xf(t,x(<))] =
= f(t,X (/)) + ft (/, X (/)) X-fx (t, X (/)) T/ (/, X (/)) + О (T2) .
Учитывая тождества F), G) и формулу (8), получим, что при
т->0 F(t,x)= О(т2), откуда ||FnGn:t)|| = ОA/я2) при л -* оо.
Итак, улучшенная схема Эйлера имеет второй порядок аппрок-
аппроксимации (точности).
Проверим теперь условие устойчивости. Рассмотрим вспомо-
вспомогательную разностную задачу
=1,2, .... я,
Согласно формуле конечных приращений Лагранжа
где Р*_1 = Ы/*-1,**-1 + в*_,г»_,), a
Аналогично
/С*. Jfft-i + zft_i — т/(/ft_i, хк_,
-
где
Р*-) = /х('*. *ft-i + 6ft_,{zft_,—
и 0 < 6*_, < 1.
452
- Tpft_,Jft_,,
Систему для определения г\ .
в таком виде.
г„ можно теперь записать
4, Л =1,2, ...,л,
Отсюда, полагая max|fx| = p, получим 1Р*КР, 1Р*КР и,
п
следовательно,
Но 1+тр+^-р2<вРх = вр'/п, откуда
Iz^KeW'-lzn.H + TlA»!. ft=1.2 я. |zol = |6|.
Отсюда последовательно находим
n-l
Осталось заметить, что Ve'p"n— есть интегральная сумма
t-o
i
для \e$xdx и, следовательно, не превосходит самого интеграла
•. Итак,
Это — оценка A2) предыдущего пункта. Устойчивость дока-
доказана. Следовательно, улучшенная схема Эйлера сходится со
скоростью О(\/п?) при /г-»-оо.
38.4. О методе Галёркина решения нелинейных уравнений.
Для решения нелинейного уравнения
А(х) = 0 A)
с нелинейным оператором А, действующим из области опреде-
определения D(A)<=X в У, где X и У — банаховы пространства, мож-
можно воспользоваться методом Галёркина (см. § 28). Пусть в X
заданы последовательность подпространств Хпс D(A) и после-
последовательность операторов {Рп}, Рп: Х-*-Х, такие, что D(A)cz
сО(Я„), a PnD(A)= Х„, tt=l, 2, ... Обозначим через АХ„
образ подпространства Х„ при отображении А. Зададим при
453

каждом натуральном п оператор Qn: У->У с областью опреде-
определения D(Qn) такой, что AXncz D(Qn).
Галёркинские приближения х„^Хп решения х уравнения
A) разыскиваются из последовательности уравнений (прибли-
(приближенной схемы Галёркина)
QnA(xn) = 0, n=l,2, ... B)
В соответствии с определениями п. 38.1 введем следующие оп-
определения.
Определение 1. Будем говорить, что на решениих0урав-
решениих0уравнения A) выполнено условие аппроксимации, если
\\QnA(PnxQ)\\^0, «—оо. C)
Определение 2. Галёркинская схема B) называется ус-
устойчивой, если для любых х'п, х"п е Хп при всех п справедливо
неравенство
К-<||). D)
где <о@ строго возрастает на [0, + °о), о>@)=0, <о(+оо) =
= +оо.
Из теоремы п. 38.1 вытекает следующее утверждение, спра-
справедливость которого мы предлагаем проверить читателю.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) решение х0 уравнения A) существует и единственно;
2) х0 является предельной точкой последовательности под-
подпространств {Хп} (см. определение 1 п. 30.2);
3) на хо выполнено условие аппроксимации;
4) галёркинская схема B) устойчива;
5) галёркинская схема B) имеет единственное решение хп.
Тогда хп -*¦ х0 при п -*- оо.
Сделаем теперь замечание общего характера.
На практике операторы РП и Qn обычно выбирают конеч-
конечномерными так что совпадают следующие размерности:
dim Xn = dim QnAXn.
Пусть это условие выполнено. Выберем в Хп базис ф(п| =
= {сР(")}Г-1' где mn ~ РазмеРн°сть Хп. Индекс п вверху озна-
означает, что, вообще говоря, в каждом Хп берется свой базис.
Пусть, далее, система у(п) = {y'/"}™", с: X* биортогональна си-
системе ф(п); тогда можно принять
Z
Аналогично, операторы Qn зададим в виде
E)
F)
404
где линейные функционалы ^"' е У, /=1, ..., mn, должны
быть определены на множестве АХП, элементы z' принадле-
принадлежат У, /==1, .... т„; при этом системы z<n> = {zf}"!^ и ^<п) —
= ШР}" выбираются взаимно биортогональными. Подчеркнем,
что операторы Qn могут быть не определены всюду в У и, значит,
не быть проекторами.
В этих обозначениях схема Галёркина реализуется следую-
следующим образом. Галёркинское приближение хп разыскивается в
виде
xn=Ll?]<PT
G)
причем коэффициенты {¦<">, i=\, ..., m разыскиваются из не-
нелинейной системы п уравнений с п неизвестными
В следующем параграфе будут изложены тонкие резуль-
результаты, связанные с исследованием монотонных операторов с по-
помощью метода Галёркина. Здесь же мы ограничимся одним
элементарным примером.
Рассмотрим снова краевую задачу
x + f(t,x) = O, 0<t<l, (9)
х@)-а = 0 (Ю)
в предположениях п. 38.2. Задачу эту запишем в операторном
виде A), где оператор A: S?{Q, 1)^>-9?{Ъ, 04- ?' задается на
функциях х (/) e D (А) = W\ @, I) формулой
fV,x(t));x(O)-a).
(П)
Напомним (см. п. 9.1), что пространство Соболева w\@,t)
состоит из абсолютно интегрируемых по Лебегу на @, /) функ-
функций, имеющих на @, /) обобщенную производную в смысле Со-
Соболева. Поскольку W\{Q,l) вложено в С[0, /], то элементы
W\ @, /) можно считать обычными непрерывными функциями.
Поэтому в формуле A1) определены все члены:
i(/)eJ? @, I), f (/, * @) е С [0, I] и х @).
Упражнение 1. Докажите вложение Wi@,l) в С[0, /],
следуя п. 9.4.
Для нахождения приближенного решения задачи (9) — A0)
воспользуемся методом Галёркина.

Пусть Хп (я =1,2, ...) — подпространство кусочно линей-
линейных, непрерывных на [0, /] функций, допускающих разрывы
производной только в узлах равномерной сетки
* Jfc-O*
t =
*
] (t)\n
Базисом в Хп+1 является система функций Ф<A) = 1чъ \»// »
введенная в п. 30.9 (см. рис. 15). Нетрудно убедиться в том,
что Хп с: W\ @,1). Для построения проекторов Р„ рассмотрим
систему линейных функционалов у(я) —{У™}" . которые опреде-
определены на функциях x(t) из W[(Q, I) следующим образом:
(x(t),yW)-x(tf>), s = 0,l п.
Упражнение 2. Проверьте биортогональность систем
ф<«> и y(/1)-
Таким образом, операторы Рп задаются формулами
¦,yf)^(t). A2)
Рассмотрим теперь множество АХп. Для этого возьмем га-
лёркинское приближение
*„М=Ео4пЧ(<). A3)
которое, согласно п. 29.1, можно трактовать как кусочно линей-
линейную интерполяцию со входными данными
Следовательно, xn{t) можно записать еще в таком виде (см.
формулу D) п. 29.1):
*п W =
A5)
где 9,@=1 на [frli.fi1*], 6,@ = 0 вне [/'"Л. /I"'], т. е.в,@-ха-
рактеристическая функция полуинтервала [ti-\,ti).
Обобщенная производная х„Ц) равна
„(п)
х
A6)
и представляет собою кусочно постоянную функцию на [0, /], а
f(t,xn(t)) непрерывна на [0,1]. Доопределим теперь линейные
функционалы у{"\ s = 0, 1 п — 1, на функции z(t), допу-
допускающие в узлах сетки разрывы 1-го рода. Положим
(z(t), Y<n)) = 2(<<n) + 0), s = 0,l я-1. A7)
456
Наконец, зададим операторы Q-, формулой (см. A1))
QH К) = go<*n @ + f ('• *п @). Y<n>) ф?" @ + Uo @) - а]. A8)
Согласно формулам A3), A5) — A8) имеем
* т к~1 + f №U, xfU) \ qft, (/) + [*0 @) - a].
A9)
Е
Система B) в данном случае принимает вид (опускаем ин-
индекс п вверху)
*'-/'-' +/(<._!, <«_,) = 0, «=1,2 «, B0)
хо-а = О B1)
и совпадает с разностной схемой Эйлера D) — E) п. 38.2. В том
же пункте доказана сходимость разностной схемы Эйлера
ог„ = шах | *<»> — х (/?>) | -»> 0 при п -¦ + оо, B2)
где {je^1} — решение системы B0) — B1), а x(t) — решение за-
задачи (9) — A0). Отсюда нетрудно получить сходимость нашей
галёркинской схемы в i?@, /).
Заметим, что (см. B2) и A2))
1\ п
\
@ - Рп* @1
о \k~i
fc-l
n (
fc-Ю
Упражнение 3. Покажите, что
а I
fe-IO
Из упражнения и оценок B2) и B3) следует, что
II*» — /Vllj^o. I)** 0> ПРИ t^00-
Осталось заметить, что ЦР„л; — де || —*- 0, п->оо, для функций
x(t)^W[(Q,t) (проверьте!). Нами обоснована сходимость так
называемого метода ломаных Эйлера.
457

§ 39. Монотонные операторы
В функциональном анализе имеется несколько направлений,
связанных с различными обобщениями на бесконечномерный
случай понятия монотонной функции. Одно из таких обобщений
связано, например, с введением в банаховом пространстве по-
понятия частичной упорядоченности. Излагаемая здесь теория мо-
монотонных операторов является одной из новых глав функцио-
функционального анализа, получившей наиболее глубокие и интересные,
на наш взгляд, приложения в теории уравнений с частными
производными.
39.1. Понятия монотонного и коэрцитивного операторов.
Начнем со следующей элементарной леммы.
Лемма 1. Пусть функция f(x) непрерывна на Е1 =
= (—оо, +оо), со значениями в ЕК Если
(x-y)[f(x)-f(y)]>0, A)
xf (x) -> оо при | х | -> оо, B)
то уравнение
f(x) = O C)
имеет решение. Если условие A) выполнено в усиленном)
смысле:
U(х) - f (У)] (х-у)>0 при х^у, D)
то уравнение C) имеет при х > у единственное решение.
Доказательство. Пусть х > у; тогда из A) следует,
что {(x)^f(y), т. е. f(x) не убывает на ?'. Далее, из условий
B) и A) вытекает, что существуют числа а и Ь такие, что
а < Ъ, f(a)<CQ, fF)>0 (проверьте!). Рассмотрим f(x) на
[а, Ь]. По теореме о промежуточных значениях непрерывной
функции (см. [18]) существует |е(а, Ь), в которой /(?) = 0.
Если выполнено условие D), то f(x) строго возрастает на
(—оо, +оо), и тогда нуль ? функции f(x) на (—оо, + оо)
единствен. Лемма ] доказана.
Заметим, что требование непрерывности f(x) в лемме 1 су-
существенно. Например, функция
{х3 — 5 при х < — 1,
х + 2 при -1<*<1, E)
*7 + 4 при /> 1,
не являясь непрерывной на Е1, удовлетворяет остальным усло-
условиям леммы 1, но для этой функции уравнение C) не имеет
решения.
Обобщая ситуацию, рассмотренную в лемме, дадим теперь
следующие общие определения.
Пусть X — вещественное сепарабельное нормированное про-
пространство, а X* — пространство, сопряженное к X. Рассмотрим
458
нелинейный оператор А, действующий из X в X* (D(A) — Xr
R(A)cz X*). Как обычно, через (х, /> мы обозначаем значение
линейного функционала / е X* на элементе х е X. Обобщением
условия A) является следующее определение.
Определение 1. Оператор А: Х-+Х* называется моно-
монотонным, если для любых х, у е X
(х-у,А(х)-А(у))>0. F)
Аналогично обобщается условие D).
Определение 2. Оператор Л: X->X* называется строго
монотонным, если он монотонный и равенство в F) возможно
только при х = у.
Наконец, в приложениях оказывается полезным следующее
определение.
Определение 3. Оператор А: Х-+Х* называется сильно
монотонным, если для всех х, у е X
(х-у, А(х)-А(у))^с(\\х-у\\)\\х-у\\, G)
где c(t)—непрерывная неотрицательная функция, заданная
при /^0 и такая, что с@) = 0, c(t)>0 при t > 0, c(t)^~ оо
при t-*- оо.
Упражнение 1. Пусть функция f: Ех -*- Е1 всюду на Е1
дифференцируема, причем f'(x)^8 для всех *е?', где б —
постоянная. Покажите, что для всех х, у е ?'
(x-y)[f(x)-f(y)]>6\x-y\2
и, значит, / — монотонный оператор, если б = 0, и сильно моно-
монотонный, если б > 0 (с (t) = 60.
Упражнение 2. Покажите, что функция f(х) = х3 + х —
— 1, лее1, является сильно монотонным оператором.
Пример. Пусть задана функция (оператор) из Е2 в Е2:
A(x) = (fi(xi,x2), f2(xi,x2)) для всех * = (.ti, x2)<= E2. Пусть,
далее, координатные функции f\ и f2 имеют всюду в Е2 частные
производные dfi/dxi, i, j = 1, 2, причем для всех (jci, x2)<^ E2
дх,
21l
дх,
1ф'\\ U\=
где аир — постоянные. Докажем, что при р* ^ а оператор А (х)
является монотонным в Е2, а если р ¦< а, то А(х) являете»
сильно монотонным в Е2 оператором, причем c{t) = (a — $)t.
По формуле о конечных приращениях Лагранжа найдутся.
|i, |г такие, что
, х2) — /i {уи у2) = [f, (хи х2) — Л (уи х2)] +
. (Уи х2) - /, (уи у2)] = dU ^ Xi) (Xl - У1) +
(х2 -
459.

Следовательно,
< u x2) — ft (tfu
Итак, доказано неравенство (мы воспользовались элемен-
элементарным неравенством \ab |^ -^\а |2 + у| Ь |2J
<*. - Уу) [/. (*.. х2) - /, (уи У*)] > (а -1) | лг, - yt I2 -| \ х2 - у2 р.
Аналогично имеем
-(«г—У») [/г (*i, ^)-^2(Уи Уг)\> — ¦§¦ I *i - У| I2 + (а -1) I *2-й I2.
•Складывая полученные неравенства, получим
(х-у, А(х)- А(у))>(а-Шх - у\?.
Итак, доказано, что оператор А(х) является сильно моно-
монотонным оператором в Е2 с c{t) = {a — Р)/, если а > р. Если
« = Р, то Л(дс)— монотонный оператор.
Упражнение 3. Докажите, что функция
А (х) = {*? + 3jc, - 2х2 + 1, 24 + аг, + 5х2 - 4},
где ж = (*i, x2)& Е2, является сильно монотонным оператором
в Е2.
Следующее определение обобщает условие B) леммы I.
Определение 4. Оператор А: Х-*-Х* называется коэрци-
коэрцитивным, если для всех х е X
р
X
(х, Л (*)>>Y A1*11I1*11.
(8)
где v@ — функция', заданная при (>0 и такая, что у@
-+- + оо при t -*¦ + оо.
В дальнейшем мы будем использовать функции c(t) и y(t)
из определений 3 и 4, не оговаривая их существование для
сильно монотонного и коэрцитивного операторов соответствен-
соответственно. Впрочем, между этими функциями имеется связь, которая
устанавливается в следующей лемме.
Лемма 2. Если оператор А: Х-*-Х* сильно монотонный,
то А — коэрцитивный, причем можно принять
()||
Доказательство. Из условия G) при у = 0 имеем
<х, А(х)-А@)У^с(\\х\\)\\х\\, откуда
< 4())
460
. А@))>с(||х||)||х||-1|х
ибо |<х,Л@)>|<1М11И@)||, и, значит, <х, Л @)»-IWIIM @)IL
Полученное неравенство доказывает утверждение леммы 2.
Замечание. Если оператор А: X -> X* коэрцитивен, то-
||Л(*)||->оо при HjcII-*- оо.
Действительно, имеем оценку ||Л (дс)||||дс|| ^ <х, А(х))^
>ТA1*0I1*11, т.е. B^(*)ll>T(H*ll)-^oo, когда И*11-*~.
В заключение пункта приведем элементарную лемму о функ-
функции c(t), фигурирующей в определении сильной монотонности.
Лемма 3. Пусть дана непрерывная неотрицательная функ-
функция с: [0, + оо)^*-Е1 такая, что с@)=0, c(t)>0 при />0 и
с(/)-> + °° при t->--\-cx>. Тогда из того, что tm^0, m = 1,
2, ., и c(tm)-*O при m-+oo, вытекает, что tm-^0 при ш—*оо.
Доказательство. Пусть am = c(/m)->0 при m->oo,
а {/т} не сходится к нулю. Тогда найдутся число о > 0 и под-
подпоследовательность {tm1} последовательности {/т} такие, что
<т'^б>0 для всех rri; {tm>} ограничена. В противном случае
нашлась бы ее подпоследовательность {tm-}, tm"—>+ °°, а тогда
и с {tm"}—*¦ + оо, что невозможно, ибо ат»->0. Итак, {/т'} огра-
ограничена. Тогда по теореме Больцано — Вейерштрасса найдется
ее сходящаяся подпоследовательность {tm«}, tm»-+to, m"->oo.
По непрерывности c(/m»)—>c(to) > 0, m"->oo, а это тоже не-
невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму.
39.2. Теоремы о существовании решений в конечномерном слу-
случае. Докажем две теоремы о существовании решений уравнений
с монотонными операторами в евклидовом пространстве Еп. Эти
теоремы послужат базой для рассмотрения в последующих
пунктах бесконечномерного случая.
Следующая теорема является непосредственным обобще-
обобщением леммы 1 предыдущего пункта на случай сильно монотон-
монотонного оператора в Еп.
Теорема 1. Пусть А: Еп->-Еп и непрерывен всюду в Еп.
Если для всех х, у е Еп
{х-у, А(х)-А(у))^с\\х-у\?, A)
где с > 0 — некоторая постоянная, то уравнение
А{х) = 0 B)
имеет единственное решение х* е Еп.
Доказательство. Проведем доказательство теоремы
индукцией по размерности п пространства Еп. При п = 1 дока-
доказываемое утверждение верно. Действительно, условие A) обес-
обеспечивает выполнение условий C) и B) леммы 1 п. 39.1 (усло-
(условие B) этой леммы следует из леммы 2 п. 39.1). Итак, при
п = 1 теорема 1 справедлива. Допустим теперь, что она спра-
справедлива в ?*-', k ^ 2, и покажем, что тогда она будет верна и
в Ek. Пусть А: Ек —»Е" удовлетворяет условиям теоремы 1
(при n = k). Рассмотрим в ?* стандартный базис {е,}?_, (т.е.
ei = (б|/)*_р '= 1. •••> &. б,/— символ Кронекера). Тогда в
461

базисе {<?Л*=| оператор А задается набором своих координатных
функций:
к
Л (х) = {ft (х)}?=„ где х = ? x,et.
Зафиксируем любое tef и рассмотрим оператор At: Ek~l^*-Ek-1,
ft 1
Рассмотрим теперь функцию г|): Е1 -* Ех
ft ~~
определяемый для всех x=Y* xtet следующей формулой:
(=1
Очевидно, оператор At непрерывен на ?*-' и для любых
х, у е Ек~\ согласно условию A), для него выполняется сле-
следующее неравенство:
(х- у, At (х) - At {у)) = (/ - t)[fk(x + tek) -fk(y + (eh)] +
+ Z (xt - уд[ft(x + tek)-f,(y + tek)]>c\\x-y||2.
Это означает, что оператор At также удовлетворяет усло-
условию A). По индуктивному предположению система уравнений
f,(x + teh) = 0, 1=1 k-l, C)
имеет единственное решение х е Ек~1. Это утверждение спра-
справедливо при любом t e f. Следовательно, определена вектор-
функция х: Е1 -> ?¦*-', ставящаяся в соответствие каждому
t <= ?' решение #(/)=Х] Xi(t)et системы уравнений C), или,
i = I
короче, уравнения At(x) = 0.
Покажем теперь, что функция x(t) непрерывна на Ех. Для
всех t, s e E1 имеем
О s (.е (о _ ? (s), At (х @) - As (x (s))) =
= (х (/) - х (s), At (x (/)) - At (x (s))) + / (/, s) >
>c\\x(t)-x(s)\\2 + J(t,s),
где / (t, s) = (* (/) - ^ (s), At (x (s)) - Л, (i (s))) > - |U (/)-Jt (s) IIX
Xl\At(x(s))-As(*(s))\\.
Таким образом, для всех t, se?' справедливо неравенство
|| *(/)-* (s) || < с-11| At (x (s)) - As (x (s)) II
(или x(t) = x(s)). Но при фиксированном s при t-*-s
\\At(x (s)) - As (x (s)) ||2 = t I ft (i (s) + tek) - ft {x (s) + sek) f -> 0
вследствие непрерывности координатных функций. Следова-
Следовательно, x(t) непрерывна на Е1.
462
Покажем, что для ^{t) выполнены условия леммы 1 п. 39.1.
Прежде всего заметим, что ty(t) непрерывна, как суперпозиция
непрерывных функций. Далее, согласно C) Д<(;к(<)) = 0,
/ls (?(«)) = 0, поэтому
(t - s) [г|з (/) - ф (s)] = (t~s) [fk (x {t) + tek) - fh (x (s) + sek)} +
+ (x (t) - x (s), At (x (t)) - As (x (s))) =
= ({[x (t) + tek] - [x (s) + sek]}, A (x (t) + tek) - A (x (t) + sek)) >
>0 при t^s.
Таким образом, функция i[i(/) удовлетворяет условию D)
п. 39.1. Проверим условие B). Применяя ту же оценку, что и в
доказательстве леммы 2 п. 39.1, получим
'Ф (/) = tfa (x @ + tek) = tfn (x (t) + tek) + (x (t), At (x (t))) =
= (x(t) + tek, A{x{t) + tek))>с\\x(t) + tek||2-1|x(t) + tek|||| A@)||.
Ho ||*@+^e*ll ^ U| (покажите это, пользуясь определением
нормы в Ек). Следовательно, при <->-оо имеем Л(> (*)-*-«>. Для
функции ^(t) выполнены, таким образом, все условия леммы 1.
Значит,, существует такое единственное т е Е\ что т1)(т) = 0. Но
тогда уравнение B) имеет единственное решение
х* = ? (Х) + тек <= ?*.
Согласно методу математической индукции утверждение до-
доказываемой теоремы справедливо в пространстве Еп любой раз-
размерности. Итак, теорема 1 доказана.
Докажем в заключение еще следующее предложение.
Теорема 2. Пусть А: ?"->Еп — непрерывный монотон-
монотонный оператор, причем существует постоянная к > 0 такая, что
для всех х с \\х\\> К выполняется неравенство
(х, А(х))>0.
Тогда уравнение B) имеет решение х с ||ж||^Х.
Доказательство. Зададим последовательность поло-
положительных чисел {et}, где ед. —*- 0 при А-»-оо. Рассмотрим те-
теперь последовательность операторов {A*}, Ak\ En->-En, опреде-
определяемых так:
Ak(x) = skx + A(x). D)
Для каждого фиксированного номера k имеем, вследствие мо-
монотонности оператора А,
(х — у, Ak(x)-Ak{y)) = ek(x-y,x-y) +
+ (х-у, A(x)-A(y))>ek\\x-y\\2
463

для всех х, у^Е". Значит, по лемме 3 п. 39.1 уравнение
Ак(х)=0 имеет единственное решение хк е Е". При этом
lUftll^X для k=l, 2, ... В противном случае для некоторого
номера k оказалось бы, что
0*=(xk, Ak(xk))>ek\\xk\?>0.
Итак, {je*}cr?n ограничена. По теореме Больцано—Вейер-
штрасса (см. [18]) из нее можно выделить подпоследователь-
подпоследовательность {хЛ, сходящуюся к JtoeEn. Подставим в D) k = k'',
х = xk, и получим
0 = «»•**•+л (**•)¦
При &'->оо, пользуясь тем, что eft,->0, а оператор А не-
непрерывен, в пределе получим А(хо) = О. Теорема доказана.
39.3. О деминепрерывных операторах. Пусть X и У — норми-
нормированные пространства. Поскольку в каждом из них мы имеем
два вида сходимости: сходимость по норме, которую часто на-
называют сильной сходимостью, и слабую сходимость, то при рас-
рассмотрении оператора А, действующего из X в У, возможны че-
четыре вида его непрерывности. Это:
1) слабая непрерывность, когда А любую слабо сходящую-
сходящуюся в X последовательность {хп}с: D(A) переводит в слабо схо-
сходящуюся в У последовательность {А(хп)};
2) сильная непрерывность (непрерывность по норме), когда
А переводит всякую сильно сходящуюся в X последователь-
последовательность {xn)cz D(A) в сильно сходящуюся в У последовательность
{Л (*„)};
3) ухудшающая непрерывность, когда А любую сильно схо-
сходящуюся в X последовательность {хп}с D(A) переводит в по-
последовательность {Л (*„)}, слабо сходящуюся в У;
4) улучшающая непрерывность, когда А любую слабо схо-
сходящуюся в X последовательность {xn}ci D(A) переводит в силь-
сильно сходящуюся в У последовательность {Л(дсл)}.
В приложениях оказываются полезными все эти виды непре-
непрерывности операторов. До сих пор мы встречались с сильно не-
непрерывными операторами, т. е. с непрерывными операторами
в принятой нами терминологии. Кроме того, отмечалось (см.
теорему п. 20.2), что линейные вполне непрерывные операторы
обладают свойством улучшающей непрерывности.
В теории монотонных операторов нам понадобится ухуд-
ухудшающая непрерывность операторов, которую принято называть
деминепрерывностью.
Определение 1. Оператор А с замкнутой областью оп-
определения D(A) в банаховом пространстве X и со значениями
в сопряженном пространстве X* называется деминепрерывным
в точке Xq^D(A), если он переводит всякую сходящуюся
{xn}cz D{A), Xn-+xq, n-»-oo, в слабо сходящуюся последова-
последовательность {А(Хп)}, А(хп)->А{х0) слабо при п->-оо в X*.
464
Иначе говоря, А деминепрерывен в точке л'о. если из !!*г„ —
— Хо\\-*- 0, п-> оо, следует, что для всякого х е X
(х,
, А(ха)),
Упражнение 1. Докажите, что если оператор А: Х-+Х*
непрерывен в точке х0, то он деминепрерывен в х0.
Упражнение 2. Докажите, что если оператор А: X-уX*
деминепрерывен в точке хо, то он ограничен в некоторой ее ок-
окрестности.
Определение 2. Оператор А с замкнутой'областью оп-
определения D{A)aX и со значениями в X* называется демине-
прерывным, если он деминепрерывен в каждой точке D(A).
Возникает вопрос: не будет ли всякий деминепрерывный
оператор также и непрерывным? Ответ будет положительным
в случае линейного оператора А. Пусть А не является непре-
непрерывным, т. е. неограниченным. Тогда найдется последозатель-
ность {xn}czD(A) такая, что ||xn|| = 1 и ||Лл:л||> п2, п= 1, 2, ...
Так как уп = xjn-*¦ 0, п-*-оо, сильно, то по условию демине-
прерывности Ауп = — Ахп-> 0 слабо при п-^оо. Но ||Лг/||>п.
Полученное противоречие доказывает, что всякий линейный де-
деминепрерывный оператор необходимо непрерывен (см. задачу 1
к §20).
В случае нелинейных операторов требование деминепрерыв-
ности оператора является более слабым и проверяется проще
по сравнению с требованием его непрерывности. Содержатель-
Содержательные примеры деминепрерывных операторов читатель может
найти в монографии [7]. Примеры эти требуют специальных
сведений из теории функций действительного переменного н вы-
выходят за рамки настоящей книги.
39.4. О методе Галёркина для уравнений с монотонными
операторами. Пусть нелинейный оператор Л действует из ве-
вещественного сепарабельного банахова пространства X (D(A) —
= X) в сопряженное ему пространство X*. Для нахождения
приближенного решения уравнения
А(х) = 0 A)
поспользуемся следующим вариантом метода Галёркина. Пусть
{Фа)Г ~ линейно независимая, полная в X система элементов, а
Хп — подпространство, натянутое на q>i, ..., фп. Галёркинское
приближение решения * уравнения A)
B)
C)
465
будем разыскивать из системы уравнений Галёркина
(<?k,A(xn)) = 0, * = 1, ...,«.
16 В. А. Треногий

Упражнение 1. Покажите, что хп^Хп является реше-
решением системы C) тогда и только тогда, когда для любого
ип е Хп выполняется тождество
(иа, Л (*„)> = О, k=\, .... я. D)
Лемма 1. Если оператор А строго монотонный, то
1) уравнение (I) не может иметь более одного решения;
2) при каждом п система C) не может иметь более одного
решения.
Доказательство. Если и и и—решения уравнения A),
то А (и) = О, A (v) = 0 и, значит, (и — и, А (и) — A (v) > = 0, что
возможно в силу строгой монотонности А лишь при v = и. Да-
Далее, если х^ и xf — решения системы C), то, согласно D), /x'j\
Л (*«)) = 0 для i, /=1,2. Следовательно, Q=(xnl)-xf, A(x™) —
— Л (лс®)), что возможно только при х™ — х'^. Лемма доказана.
Теперь дадим условия, обеспечивающие разрешимость си-
системы уравнений Галёркина C). Для этой цели мы восполь-
воспользуемся теоремой 2 п. 39.2.
Лемма 2. Пусть оператор А монотонный и деминепрерыв-
ный, и пусть найдется постоянная X > 0 такая, что для всех
х е X с \\х\\> X выполняется неравенство (х, А(х))> 0. Тогда
для любого п система уравнений C) имеет решение хп е Хп,
причем lUnli^S X.
Доказательство. Запишем сначала систему C) как
одно уравнение в Хп:
<Ф/, Л (*„)) <р, = 0.
E)
Покажем, что уравнение E) можно заменить эквивалентным
ему уравнением в евклидовом пространстве Еа. Для этой цели
введем линейный оператор )„ ^ 3(Еп, Х„). Для любого
сп = (с^ положим
Ксп = хп, F)
где Хп задается формулой B).
Упражнение 2. Покажите, что Jn — линейный ограничен-
ограниченный непрерывно обратимый оператор и, значит, 1п осуществляет
взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие ме-
между Еп и Хп. Покажите, что || /„ || < Д/ Е II <Р/ IP •
Заметим теперь, что уравнение E) эквивалентно следующей
системе уравнений в Еп (записанной в стандартном базисе):
<Фь Л(/„с„)> = 0, 1=1 п. G)
Введем в Е" оператор
АЛ(са)**Ш, А(Ш)}1Г (8)
466
(Теперь система G) примет следующий вид:
Ап(сп) = 0.
(9)
Проверим для оператора Ап условия теоремы 2 п. 39.2. Опе-
Оператор Ап непрерывен, так как непрерывны его координатные
функции <ф(, АAпсп)У. Действительно, если последовательность
cJtm)
при т^юо (в Еп), то при т-> оо
п п
х{пг) — J Mm) — У Am)m _> V с@)т = v<0) В X
4i
А тогда в силу деминепрерывности оператора А при tn-><x>
Далее, для любых ап = (at)", bn = (Ь[)" из ?", согласно (8), F)
и B), имеем
(ап-Ьп, An(an)-An(bn))=t{al-bl)(<ft, A(Jnan)- A(Jnbn)) =
= (Jnan-Jnbn, A(Jan)-A(Jbn))>Q
вследствие монотонности оператора А.
Наконец, если || сп||?п^Я,||//Г11[> то (проверьте!) \\хп\\х ^
\, а тогда
По теореме 2 п. 39.2 уравнение (9) имеет решение с*, а тогда
п
система C) имеет (при любых п) решение х*п= X
доказать, что
с^фг Осталось
доказать, ||^. Допустим противное, что |*),||>^- Тогда
по условию данной леммы (х*п, А(х"п)\ > 0, что невозможно.
Итак, лемма 2 доказана.
Докажем еще одну лемму о галёркинских приближениях.
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, и пусть
{хп}—произвольная последовательность решений систем C).
Тогда последовательность {А(хп)} слабо сходится к нулю.
Доказательство. Докажем сначала, что последова-
последовательность {А(Хп)} ограничена. Из деминепрерывности опера-
оператора А в нуле следует (см. упражнение 2 п. 39.3) существова-
существование постоянных S > 0 и М > 0 таких, что
|| Л (*) || ^ Af как только Ц*11^б.
Тогда в шаре S6 = {х: \\x\\ < 6} имеем
<х, А{ха))=(х-хп. Л(*„)-Л (*)> + <*, Л(х)>-
- (хя, А (х)) + {ха, А (ха)) < (х, А (х)) - (хп, А (*)>.
.6- 467

Мы воспользовались тем, что (хп, А (хп)) = 0 (см. D)J, и мо-
монотонностью оператора Л, согласно которой <* — хп, А(хп)—¦
•—Л(д:)>^ 0. Следовательно, для xeSe
(х, А(хп))<\(х, А(х))\ + \(хя, А(х))\*?МF + к),
ибо ||х„|| ^ К. Меняя х на —х, получим также, что для всех
x^S&
-Af (в+ *)<<*, A(xJ).
Таким образом, для всех Jte5e имеем
Далее, по определению нормы линейного функционала
||Л(лг„I1 = sup |<//,Л(*п)>| = sup 1|<дс, A(xn
11Н<1 11°
Доказана ограниченность последовательности {А(хп)}.
Теперь покажем, что {Л(л:п)} слабо сходится к нулю на
некотором плотном в X линейном многообразии. Воспользуемся
полнотой системы {Фа}| . Из нее следует, что линейное много-
образисА'= LJ Хк плотно в X. Пусть xgI; тогда х&Хт при
некотором т и для всех п^т (х, А (хп)} = 0, где хп — реше-
решение системы C). Следовательно, на плотном в X линейном
многообразии Я <я, А (х„)У-+0 при /г->оо. По теореме Ба-
Банаха— Штейнгауза (см. п. 11.5 и п. 17.1) А(хп)-*-0, л->оо,
слабо. Лемма 3 доказана.
39.5. Теоремы о существовании решений уравнений с моно-
монотонными операторами. В этом пункте будут доказаны основные
теоремы теории монотонных операторов. Более подробное изло-
изложение можно найти в [7].
Теорема I. Пусть А — оператор, действующий из веще-
вещественного сепарабельного рефлексивного банахова простран-
пространства X в сопряженное пространство X*, — является монотон-
монотонным и деминепрерывным. Пусть, далее, существует постоянная
К > 0 такая, что для всех х^Х с \\х\\> X выполняется нера-
неравенство
Тогда уравнение
(х, А (х)) > 0.
А(х) = 0 A)
имеет решение, причем \\х\\^. X.
Доказательство. По лемме 2 п.39.4 для любого п си-
система Галёркина имеет решение хп^Хп с IIjUI^ Я. Вследствие
рефлексивности пространства X из последовательности {хп}
можно выделить подпоследовательность {х„,}, слабо сходя-
сходящуюся к Хо е X при этом ||*о11 < к-
468
Далее, для любого х^. X, вследствие монотонности опера-
оператора А, имеем
In' = (х — хП', А (х) — А (*„')) > 0.
Но /П' = (х — хП', А (х)) — (х, А (хп')), причем при я'->оо
(*, А(хп'))-+0, так как по лемме 3 п. 39.4 А(хП')-+0 слабо при
п'->оо. Следовательно, /„.->(х — х0, А{х)\ при п'-*оо, и,
значит, для всех х ^ X
(х-хо, А(х))>0. ¦ B)
Если А (х0) = 0, то теорема доказана. Пусть А (х0) ф 0. Тогда
по следствию 1 (для X*, Х**=^Х) из теоремы Хана — Банаха
(см. п. 16.3) существует такой элемент z0 e X, что
C)
Подставим в B) х = хо — tzQ, где О 0. Тогда <г0, А(х0 —
— teo)>^0. Отсюда при <-> + 0 с учетом C) имеем
<20, А (хо)) =||Л (jco)II^ 0. Значит, предположение о том, что
А(хо)Ф 0, неверно, и теорема 1 доказана.
Приведем два следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 1, то из
любой последовательности решений системы Галёркина можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому ре-
решению уравнения A).
Следствие 2. Если в условиях теоремы 1 оператор А
строго монотонный, то для любого п система Галёркина C)
имеет единственное решение хп^Х„ и последовательность {хп} 1
этих решений слабо сходится к элементу Хо е X, являющемуся
единственным решением уравнения A).
Для доказательства достаточно сослаться на лемму 1 п. 39.4.
Приведем теперь две теоремы существования решений для
уравнения с правой частью:
А(х) = у, jrer. D)
Теорема 2. Пусть оператор А отобраокает вещественное
сепарабельное банахово пространство X в пространстве X* и
является монотонным, деминепрерывным и коэрцитивным.
Тогда уравнение D) имеет решение для любого у е X*.
Доказательство. Зафиксируем любой элемент j/eX*
и рассмотрим оператор F: Х-*Х*, действующий по формуле
F(x) = A(x)-y. E)
Упражнение 1. Докажите, что F(х) — монотонный и де-
минепрерывный оператор.
Далее, для всех х^Х имеем (см. определение 4 п. 39.1Ц
{х, F{x)) = (x, A(x))-{x, у)>
> Y (II* II) II* II ~ IIУ ИИ* II = (Y (II* II) - IIУII) Их И'
469

Отсюда вытекает, что существует такое число X > 0, что для
всех х е X с IU||> X выполняется неравенство (х, /'(*)>>• 0.
Значит, для оператора F выполнены условия теоремы 1, и, сле-
следовательно, уравнение F(x) = 0, т. е. уравнение E), имеет ре-
решение. Теорема 2 доказана.
Следствие 3. Если в условиях теоремы 2 оператор А
строго монотонный, то для любого у е X* уравнение E) имеет
единственное решение, т. е. в этом случае существует оператор
Л~', обратный оператору А.
Для доказательства следствия 3 достаточно выполнить сле-
следующее упражнение.
Упражнение 2. Покажите, что F(x) = A(x)— у является
строго монотонным оператором, если таковым является опера-
оператор А (х).
Теорема 3. Пусть оператор А действует из вещественного
сепарабельного рефлексивного банахова пространства X в X*
и является деминепрерывным и сильно монотонным. Тогда для
любого i/еГ при каждом п система Галёркина
Л (*„)) = <<ръ у), k=\, ..., п,
F)
имеет единственное решение хп е X. Последовательность {х„}
сходится (по норме) к решению хо^Х уравнения A), также
единственному. Оператор А имеет обратный оператор А'1, ко-
который непрерывен.
Доказательство. Согласно лемме 2 п. 39.1 оператор
А (х) коэрцитивен, а значит, коэрцитивен и оператор F(x) =
= А(х) — у (см. доказательство теоремы 2). Кроме того, Л
строго монотонен. По теореме 2 и следствию 3 система F)
имеет при каждом п единственное решение хп ^ Хп. При этом
хп-+х0 слабо при п->-оо, где хо^Х— единственное решение
уравнения A) (см. следствие 2).
Далее, по лемме 3 п. 39.4 Л(хп)-*-А(хо) = О слабо при
и-> оо. Тогда имеем (см. определение 3, п. 39.1)
h = (хп — х0, А (хп) — А
с (|| хп — хй ||) || хп — хй |
Но 1„ = — <—дго, А (х„) > — (хп — Хо, А (х0) > -> 0 при п -* оо. Зна-
Значит, с(\\х„ — xolljlUn — *oll-*O при я->оо. Воспользуемся лем-
леммой 3 п. 39.1, приняв y(t)= c(t)t. Согласно этой лемме
||дгл — JColl—*- 0 при rt->oo. Первая часть теоремы доказана.
Заметим теперь, что по следствию 3 существует оператор
А~и. Х*~*-Х, обратный к А. Из неравенства (сильная монотон-
монотонность Л)
{u-v, A(u)-A(v))>c(\\u-v\\)\\u-v\\,
справедливого для всех и, v ^ X, вытекает, что
\\A{u)~A(v)\\^c(l\u-v\\),
470
или, полагая z = А (и)', w = A(v), имеем
IIг- w\\>c{\A~' (z)- Л (w) 1).
Если теперь zeJ[ фиксировано, a w = wn-+ z, n->-oo, в X,
то по лемме 3 п. 39.1 Л-'(ш„)-> A~l{z) при п->оо, что и озна-
означает непрерывность оператора Л. Теорема 3 полностью дока-
доказана.
Следствие 4. Если в условиях теоремы 3 оператор А не-
непрерывен, то А осуществляет взаимно однозначное и взаимно
непрерывное соответствие между X и X* (такое соответствие
принято называть гомеоморфизмом).
39.6. Пример к теории монотонных операторов. Рассмотрим
следующую краевую задачу для обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения
2?х (I) -f(t, х (I)) = 0, a<t<b
Dkx (a) = Dkx(b) = 0, 0 < k < m - 1
с дифференциальным выражением (in ^ 1)
@
B)
О)
Здесь D = —r.— оператор дифференцирования.
Задачу A)—B) будем рассматривать в пространстве Собо-
лева Нт(а,Ь) и, таким образом, речь пойдет о теореме суще-
существования и единственности обобщенного решения этой задачи.
Это обстоятельство позволяет наложить довольно слабые огра-
ограничения на параметры задачи A)—B).
Предположим, что коэффициенты Pi(t), / = 0,1, ..., m, не-
непрерывны на [а,Ь]. Пусть, кроме того, существует постоянная
а > 0 такая, что для всех* е Нт(а, Ь) выполняется следующее
неравенство
п I т I
D)
\\fJPi(t)(Dlx(t)J]t
а *¦ 1=0 '
а, ЬУ
а
Рассмотрим теперь в Йт(а, Ь) нелинейный оператор супер-
суперпозиции f(t,x(t)) в предположении, что / непрерывна в полосе
*(=[а,6], *<=(—оо, +оо). Поскольку Нт(а,Ь) вложено в
С[а,Ь], то для всех лсе Ят(а, Ь) функция f(t,x(t)) будет не-
непрерывна. Предположим также, что для всех /, хх и х2
U(f, Xi)-
E)
471

о
Рассмотрим теперь Нт(а,Ь) следующую квазибилинейную фор-
форму (функционал, линейный по г):
Ь т
a (x, z) = J ? (Я, (t) D'x (t) • Dlz (/)) Л + J / (/. x (/));
a t=Q a
F)
(см. пп. 17.3 и 30.7). Согласно теореме Рисса, при каждом
х^Нт(а, Ь) выражение a(x,z) представляет собой линейный
ограниченный функционал в Нт (а, Ь) и, значит, представимо в
виде
о
где А (х) — нелинейный оператор, действующий в Нт{а,Ь). Опе-
Оператор А (х) является сильно монотонными, так как
а(хи z) — a(x2,
— x21
что вытекает из формул D), E) и F).
Предположим еще, что функция f{t,x) в каждом шаре
\х\ ^ г удовлетворяет условию Липшица:
|/(/, *,)-/(/. *2)К С (Г) |*,-*2|.
Можно показать, что теперь оператор А(х) непрерывен. Вос-
Воспользуемся теоремой 1 и следствием 2 п. 39.5, из которых вы-
вытекает, что при наложенных нами ограничениях краевая за-
задача A) — B) имеет единственное обобщенное решение. Даль-
Дальнейшие обобщения читатель может найти в книгах [31, [71 и
if27], где имеются также приложения теории монотонных опе-
операторов к краевым задачам для эллиптических уравнений.
§ 40. Элементы теории экстремумов
и выпуклого анализа
Вариационные методы широко применяются в различных
областях математики и ее приложений. В этом параграфе при-
приведены лишь отдельные фрагменты теории. В п. 40.1 даны не-
необходимые и достаточные условия локального (безусловного)
экстремума, а также часто работающая в приложениях теоре-
теорема 3 о глобальном экстремуме. В п. 40.2 выяснены связи между
экстремальными задачами для дифференцируемых выпуклых
функционалов и задачами для монотонных операторов. Заме-
Заметим, что аналогичные связи имеются между конечными выпук-
выпуклыми функционалами и многозначными монотонными операто-
операторами. Этот круг вопросов, в частности фундаментальное поня-
понятие субдифференциала, не включен из-за ограниченного объема
книги. Довольно подробно освещаются в п. 40.5 теоремы отде-
отделимости ~т база выпуклого ^^дцза. Наконец, в п. 40.6 осве-
472
щается круг вопросов, связанных с известной теоремой выпук-
выпуклого программирования — теоремой Куна — Таккера. Дальней-
Дальнейшие сведения и многочисленные приложения можно найти в
специальной литературе, например в монографии [11].
Всюду в § 40 все пространства вещественные.
40.1. Задачи на экстремумы в нормированных и в банахо-
банаховых пространствах. Пусть у(х)—функционал в нормированном
пространстве X (т. е. оператор со значениями в Е[), определен-
определенный в окрестности S точки дго. Говорят, что ф(х) достигает в
точке дго локального минимума (максимума), если найдется ок-
окрестность Si с; S точки Хо такая, что
ф(*)>ф(*о) (ф(*Хф(*о)) Для всех *eS[. A)
Если ф(я) достигает в .<со локального минимума или локального
максимума, то говорят, что ф(*) достигает в Хо локального
экстремума. Если A) неравенства строги, то говорят о стро-
юм локальном экстремуме (минимуме или максимуме).
Следующая теорема обобщает известную теорему Ферма,
дающую необходимое условие экстремума (см. [18]).
Теорема 1. Пусть функционал ф (х) определен в окрестно-
окрестности точки Хо, достигает в хо локального экстремума и имеет в
точке х0 первую вариацию 6ф(л.'о; п). Тогда бф (лго; 7i)= 0.
Доказательство. Для каждого ЛеХ рассмотрим чис-
числовую функцию a(t)= ф(*о + th). Так как она имеет в точке
l = 0 экстремум, то
0 = а' @) = Нт
= бф (х .
Теорема доказана.
Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 пространство А'
банахово, а функционал у{х) дифференцируем в точке х0 в
смысле Гато (Фреше), то ф'(хо) = О.
Для доказательства заметим, что из дифференцируемое™ ф
по Гато следует, что бф (х0; п) = ф' (*0) Л (см. п. 32.6).
Следующая теорема обобщает известное достаточное уело-
вне строгого локального экстремума (см. [18]).
Теорема 2. Пусть функционал ф(х) дважды непрерывно
дифференцируем в смысле Фреше в окрестности S точки хо ба-
банахова пространства X, причем ф'(хо) = О. Тогда, если квадра-
квадратичный функционал ф"(хо)й2>О при всех пфО {положитель-
{положительно определен), то хо — точка строгого локального минимума;
если же ф"(хо)Л2<СО при пФО {отрицйтельно определен), то
хо — точка строгого локального максимума функционала у{х).
Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора.
Для любых h таких, что Jto + lie S, имеем
ф {Хй + А) = ф,(*0) + Ф'
5A-е)ф"(*о + ел)^ел2. B)
0
473

Доказательство этой формулы получается посредством ин-
интегрирования по частям в формуле Лагранжа (см. формулу A)
п. 32.2):
Ф (дг0 + h) - ф (*„) = J ф7 (*0 + 8Л) dQ h =
о
1 I
+ J A - 9) Ф" (ха + Щ dQ h2= ф' (*0) А + J A -0) ф" (х0 +Щ dQ h\
ft О
Так как ф'(*о) = О, то формула B) примет следующий вид:
Ф (х0 + К) - Ф <лг0) = { Ф" (дго) h2 + г (Л),
где г (А) = J A - 9) W (х0 + ей) - ф" (jcoI rf0 h\
о
Вследствие непрерывности ф"(х) г (Л)-»-0 при я->0 (про-
(проверьте!). Поэтому знак разности ф(хо + Л)—ф(*о) определяет-
определяется для всех достаточно малых по норме Л знаком второго диф-
дифференциала ф"(*о)Л2, что и доказывает наше утверждение.
Приведем теперь несколько более тонких фактов об экстре-
экстремуме функционалов. Они используют следующее важное по-
понятие.
Определение. Функционал ц>(х), определенный на мно-
множестве М банахова пространства X, называется слабо полуне-
полунепрерывным снизу на М, если из того, что хп-*-хо слабо при
п -*¦ оо, х„ е М, ха е М, следует, что
Ф (лг0) < Ит ф (*„).
п->оо
Поясним, что Ит с„—это нижний предел числовой после-
довательности {а,п}, т. е. наименьший из ее частичных преде-
пределов (см. [18]).
Теорема 3. Слабо полунепрерывный снизу функционал
ц>(х), заданный в рефлексивном банаховом пространстве X, ог-
ограничен снизу и достигает наименьшего значения на каждом
ограниченном слабо замкнутом множестве MczX.
Доказательство. Пусть {хп}—минимизирующая после-
последовательность для ф(х) на М, т. е. такая последовательность из
М, что при п -v оо
Ф(хп)-> inf ф (х) = d> — оо.
Х&М
Х&М
Вследствие ограниченности М {х„} ограничена, а вследствие
рефлексивности X существует ее слабо сходящаяся подпосле-
474
474
довательность {*„<}, хп>-+хц слабо при n-voo. Далее, хв е М,
так как М слабо замкнуто. Так как
lim ф (хп) = d = Ит ф (лг0),
то из слабой полунепрерывности у(х) снизу вытекает, что
ф(*о)г?1й, т. е. d > — оо и (f(xQ)=d. Теорема доказана.
В приложениях иногда удобнее применять не саму тео-
теорему 3, а ее частные случаи.
Следствие 2. Слабо полунепрерывный снизу функцио-
функционал в рефлексивном банаховом пространстве достигает своего
наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом вы-
выпуклом множестве.
Доказательство следует из того факта, что всякое выпуклое
замкнутое подмножество банахова пространства является
слабо замкнутым.
Следствие 3. Слабо полунепрерывный снизу функцио-
функционал ф (х), заданный всюду в рефлексивном банаховом простран-
пространстве, такой, что ф(*)-> + оо при ||л:!1-»-оо, достигает наимень-
наименьшего значения на каждом непустом замкнутом выпуклом мно-
множестве Q.
Доказательство. Возьмем i/eQ и выберем R > 0 та-
такое, что ф(х)>ф(г/) при всех х с 1М1^= R. Тогда на
по следствию 2, ф(х) достигает минимума в некоторой точке
дго. Так как вне М или ||х|| > R, или х ф Q, то Ф {х0) = minф (х).
Задача. Покажите, что всякий слабо полунепрерывный
снизу функционал в банаховом пространстве достигает своего
минимума на каждом бикомпактном множестве (см. п. 19.1).
40.2. Выпуклые функционалы и монотонные операторы.
В этом пункте рассмотрена связь выпуклых функционалов (см.
п. 1.7) и монотонных операторов (см. определение 1 п. 39.1).
Рассмотрены также простейшие вопросы экстремальной теории
выпуклых функционалов.
Теорема. Пусть функционал ф(х) дифференцируем в
смысле Гато в каждой точке банахова пространства X. Тогда
эквивалентны следующие утверждения:
1) функционал ф(х) — выпуклый;
2) оператор ф'(л:) монотонен;
3) для любых х, у е X
Доказательство. 1)-
ных фиксированных х, у е
-2). Рассмотрим при произволь-
X и /е(- oo.-foo) числовую
475

функцию ai(()'=(f(x'-f((y — x)). Покажем, что <аУ)" выпукла.
Для любых t\, t2 иае[0, 1] имеем
асо(/,) + A -а)ю(/2)-со(а/1 + A -а)/2) =
«сир (* + /,&-*))+ A-а) q>(* + /2 (?-*))-
- ф(* + [а/, + A - а)/2] (у - х))>0,
ибо
х + [а/, + A - а) t2] (y-x) = a[x + tl (у -*)]+(! -а) [x+t2 {y-x))f
а функционал <р — выпуклый. Далее, со(/) дифференцируема и
ш'(()=ц>'(х + ({у — х))(у — х), причем <o'(t) возрастает, так
() (см. [18]). Но тогда со'A)^ со'@) т е
,
со'@), т. е.
H
(()ц>(х + ({у х))(у — х), причем <o(
как (o(t) выпукла (см. [18]). Но тогда со
<Р'(у)(У — х)><р'(х)(у-х), или [<p'(y)-q>(x)Uy-x)^0.
Так как ф'(л)е 3?{Х, ?') = А"*, то последнее неравенство можно
записать в форме, используемой в теории монотонных операто-
операторов: (у—х, ц)'(у) — ф'(*)>^0. Доказана монотонность опера-
оператора <р'(*)-
2)->-3). Вследствие монотонности ф'(*) имеем
W
Отсюда при /i > t2 получаем неравенство
которое означает, что а>'@ возрастает. Но тогда, пользуясь
формулой конечных приращений Лагранжа, получаем (?, з
е@,1))
Ф (У) ~ Ф (х) = со A) - со @) = со' {%) >а/ @) = Ф' (.v) (у - х).
Тем самым неравенство A) доказано.
3)-Н). Для любого «g[0, 1], пользуясь неравенством (I),
получим
аф (х) + A — а) ф (//) — ф (ах -f A — а) у) =
= а [ф(дс) - Ф(а* + A - а)у)] + A - а) \ц>(у) - Ф(ах + A -а)у)\ >
> аФ' (ал- + A - а) у) A - а) (jc - у) +
+ A-а)<р'(а* + A-аH)сф-*) = О.
Следовательно, функционал ф(*)—выпуклый. Теорема дока-
доказана.
Из доказанной теоремы вытекает ряд важных следствий.
Следствие 1. Пусть ф(л-) — всюду определенный в нор-
нормированном пространстве X выпуклый функционал. Тогда каж-
каждая точка хо его локального минимума является точкой его
глобального минимума.
Воспользуемся справедливостью следствия 1 при X = Е1.
Рассмотрим функцию ty(t)= y(xo + th). Тогда
Ф (*о + Л) = * A) > ¦ @) = Ф (дсо),
476
так как ^ = 0 — точка глобального минимума if@- Из произ-
произвольности h вытекает наше утверждение.
Следствие 2. Всякий заданный всюду в банаховом про-
пространстве, дифференцируемый по Гато выпуклый функционал
Ф (х) слабо полунепрерывен снизу.
Действительно, если *„-»- х0 слабо при п-^-оо, то по нера*
венству A) 
ф (*Хф
Переходя в этом неравенстве к нижнему пределу при я ->- оо и
учитывая, что ц>'(х) (х — д:л)->0, получаем ф (х) ^ lim (j>(xn).
Следствие 3. Точка х0 является точкой минимума функ-
функционала ц>(х)—(х, f>, где f е X*, а ф — выпуклый и дифферен-
дифференцируемый в точке Хо по Гато, когда х0 является решением урав-
уравнения ф'(я) = f.
Действительно, если х0 — точка минимума, то и без требова-
требования выпуклости ф по теореме Ферма (см. теорему 1 п. 40.1)
(f'(xo)=f. Обратно, если ф'(л:о)=/, то согласно формуле A)
Ф (х) — (х, f) — ф (ха) — (xQ, f) = ф (х) — ф (*о) ~(х — х0, ф' (л:)) > 0.
Можно показать также, что из выпуклости и дифференци-
дифференцируемое™ по Гато функционала следует деминепрерывность
(см. п. 39.3) его производной.
Таким образом, имеются глубокие связи между выпуклыми
функционалами н монотонными операторами. Дальнейшие све-
сведения, а также приложения можно найти в [12].
В ближайших пунктах будут изложены вопросы, лежащие
в основе выпуклого анализа: выпуклые конусы и частичная упо-
упорядоченность, продолжение неотрицательных линейных функ-
функционалов и теоремы отделимости. В заключение параграфа мы
остановимся на некоторых важных теоремах выпуклого ана-
анализа.
40.3. Конусы в линейных и в нормированных пространствах,
частичная упорядоченность. Пусть Е — линейное пространство.
Определение 1. Множество Кс? называется конусом,
если для каждого хе/(и для каждого а ^ 0 элемент ах е К.
Определение 2. Конус К называется выпуклым, если
всякий раз из х е К, у е /< следует, что х-\- у <^ К.
Упражнение 1. Покажите, что выпуклый конус пред-
представляет собой выпуклое множество.
Рассмотрим простейшие примеры выпуклых конусов.
П ример 1. В Rm рассмотрим множество /?? (неотрицатель-
(неотрицательный ортант), состоящее из всех векторов х = (Ц)" таких, что
I, >0, /=1 m. R+ — выпуклый конус, так как а
если а>0, р>0, 1<>0, тц>0.
477

Пример 2. В С[а, Ь] рассмотрим множество С+[а, Ь], со*
стоящее из всех неотрицательных и непрерывных на [а, Ь] функ-
функций. Очевидно, С+[а, Ь] — выпуклый конус.
Упражнение 2. В 1Р, р ^ 1, рассмотрим множество К
элементов л=(|й)", удовлетворяющим неравенствам
lk>
= 2,3,
Докажите, что К — выпуклый конус.
Если в линейном пространстве Е задан выпуклый конус К,
то в ? можно ввести частичную упорядоченность: для некото-
некоторых пар элементов х, у е Е можно ввести понятие «больше или
равно».
Определение 3. Пусть К—выпуклый конус в Е. Если
х е К, то будем писать Jt^O и называть элемент х неотрица-
неотрицательным. Если х, у е Е и х — у е К, то будем писать х ^ у и
говорить, что х больше или равен у. При этом будем говорить,
что пространство Е частично упорядочено конусом К.
Упражнение 3. Покажите, что отношение ^ обладает
следующими свойствами:
1) х ^ х (рефлексивность);
2) если х>|/и(/^г, тол^г (транзитивность);
3) если х ^ у и а ^ 0, то ах ^ ау (положительная одно-
однородность) ;
4) если х\ ^ у, и х2 ^ у% то х\ + хг ^ у\ + г/г (аддитив-
(аддитивность).
В дальнейшем будет использоваться также отношение ^
(меньше или разно). Неравенство у ^ х, х, у^Е, будет озна-
означать, что х — je^,i,e.j[^(/.
Определение 4. Конус /Сс?, где Е — нормированное
пространство, называется телесный, если он имеет хоть одну
внутреннюю точку (см. п. 3.1).
Упражнение 4. Покажите, что конусы ?+ и С+[а,Ь\
(см. примеры 1 и 2) телесные. Здесь ?+ — неотрицательный
ортант евклидова пространства Ет.
Пример 3. Покажем, что /+ — множество тех элементов
x = (li)T гильбертова пространства 12, для которых все 5*^0,
является выпуклым конусом в /2, но не является телесным ко-
конусом. Ясно, что если хе/+, то и ах <= /+ при а ^ 0, т. е.
/+ — конус. Далее, если х = (|,)Г е /+, у = (т],)Ге/+, т. е. gf >0,
т1,>0, то и х + #е/+. ибо |(-г-Лг^О Для всех I, причем х +
Покажем, что конус /+ не является телесным. Пусть х0 —
= (?,о)Г-1е/+, т. е. 1ю>0, /=1,2, ... Если хоть одна коор-
координата точки хо Ifto = 0, то ха не является внутренней точкой
478
Г+. Действительно, возьмем точку xk = (iiO-u где 1^ = 1о/ при
i ф k, a lk=— е/2, где е > 0. Имеем ||xk — х0\\ = е/2, т. е.
jcfteSgUo) Для любого е>0 и хкф1%. Пусть теперь точка
*о = A;о)Г=1 такова, что все li0 > 0. Возьмем точку *ь = (!,)П=1»
где li = lio при 1фк, a |ft== — lkQ.
Теперь ||jcfc — xQ|| = 2%k-> 0 при /г-»+с», но л:й^/2+. Таким
образом, ни одна точка /+ не является внутренней, и, значит,
этот конус не является телесным.
Упражнение 5. Выясните, какие из следующих конусов
в Е3 являются выпуклыми и какие телесными: 1) х2 + у2 ^ г2;
2) х2 + у2^22, 2^0; 3) \у\<х, 2 = 0; 4) М<|дс|, г = 0.
40.4. Теоремы о неотрицательных линейных функционалах.
Определение. Пусть К — выпуклый конус в линейном
пространстве Е. Линейный функционал /, определенный на Е,
называется неотрицательным, если (х, />^0 для всех «еК,
т. е. для х ^ 0.
Теорема 1. Пусть линейное пространство Е полуупорядо-
полуупорядочено телесным выпуклым конусом К. Тогда всякий линейный
неотрицательный функционал f, определенный на Е, необхо-
необходимо ограничен.
Доказательство. Вследствие телесности конуса К су-
существует его внутренняя точка Хо. Но тогда найдется шар
Sr(x0)a К. Возьмем в Е произвольный элемент х ф 0 и рас-
рассмотрим элементы
На этих элементах / неотрицателен, т. е.
По линейности f отсюда получаем
- ^г1 (хо, f) < (х, I) < ^li <jco, f).
Следовательно,
Это и означает ограниченность f, а также (см. п. 17.1) нера-
неравенство
Нашей ближайшей целью будет доказательство теоремы, яв-
являющейся аналогом теоремы Хана — Банаха (см. § 16), для
случая неотрицательного функционала. Как и в п. 16.1, рас-
рассмотрим сначала простейший случай продолжения линейного
неотрицательного функционала.
Лемма (об элементарном продолжении). Пусть Е — ве-
щественное нормированное пространство, частично упорядочен-
упорядоченное выпуклым телесным конусом К. Пусть L — линейное много-
479

образие в Е, содержащее хоть одну внутреннюю точку конуса К.
Пусть точка х0 ф L. Тогда любой определенный на L линейный
неотрицательный функционал / можно продолжить с сохране-
сохранением линейности и неотрицательности на линейное многообра-
многообразие L\ элементов вида у -\- tx0, где у е L, a t e Ех.
Доказательство. Покажем сначала, что для любой
точки ^б?, хйф L найдутся в L точки у' и у" такие, что
Действительно, пусть х\ — внутренняя точка К, принадлежащая
L. Тогда существует шар Sr{x{)ci К, а тогда
*' ± Yh\ s S'М и' значнт' Хх ± ГпЛ
Отсюда следует, что
Действительно, xi e L, a L — линейное многообразие. Поэтому
у' е L и у" е L, но тогда из неравенства у' ^ у" следует, что
Заметим теперь, что существует точная верхняя грань
с= sup </,/). A)
Пои этом справедливо следующее неравенство:
<y',f)<c^(y".f).
Продолжим теперь f с L на Li следующим образом: для
х — ij -f- (xq е L\ положим
{x,f) = (y,f) + tc. B)
Докажем, что так определенный функционал будет линей-
линейным и неотрицательным. Если Xi = уг-\- tix0, а х2 = уг + hxQ, то
<а,дг1 + а2х2, !) = (агу1 + а2у2, /} + с (а^, + a2t2) =
= ai (Уи f) + Q-2 (У2, f) + caiti + ca2t2 =
= «l [<yi, f) + cti] + a2 \{y2, I) + rf2] = a, <*,, /> + a2 (x2, /).
Итак, / линеен на L\. Докажем, что f неотрицателен на L\.
Пусть
y + txQ>0. ¦
Тогда
хо> — \ при f>0 и л:0< — -j- при /<0. C)
Из первого неравенства следует, что
480.
с вследствие неравенства A). Значит,
(--f'/)<c ПРН по-
поНо <л:о, \)
следовательно, (-У-, П + с^0, откуда по B) имеем при <>0
<у + ^о, /> ^ 0. Аналогично, при t < 0 второе из неравенств C)
дает с^(—-^-,п, откуда {у + (xq, />^ 0. Таким образом, f
неотрицателен на Z.]. Лемма доказана.
Сформулируем теперь теорему М. Г. Крейка о продолжении
л!шейного неотрицательного функционала.
Теорема 2. Пусть линейное пространство Е частично упо-
упорядочено выпуклым телесным конусом К. Пусть, далее, линей-
линейное многообразие L пространства Е содержит хоть одну внутрен-
внутреннюю точку конуса К. Тогда любой линейный неотрицательный,
заданный на L функционал можно продолжить до линейного
неотрицательного функционала, определенного на всем прост-
пространстве Е.
Доказательство теоремы 2 проводится на основе доказанной
леммы так же, как и доказательство теоремы Хана — Банаха
(см. п. 16.1). Приведем теперь важное следствие.
Теорема 3. Пусть вещественное нормированное простран-
пространство Е упорядочено выпуклым телесным конусом К, не совпа-
совпадающим со всем Е. Тогда существует хотя бы один ненулевой
неотрицательный линейный функционал, определенный на Е.
Доказательство. Пусть ха — внутренняя точка ко-
муса К- Построим одномерное подпространство L = {x; x = lxa,
/*=?'}. Зададим на L функционал / по формуле
Докажем, что f линеен и неотрицателен. Если xl =
= t2x0, то
-f
a2t2) xQ, f) =
a2t2 =
= ai(*i, f) + a2(x2, f).
Линейность / доказана. Для доказательства неотрицатель-
неотрицательности f покажем, что если ixo<=K., то f^sO. Допустим против-
противное, что / < 0, но txQ e К. Тогда \t\xo<^K и по определению
конуса — Хо s К. Покажем, что это невозможно. Так как лго —
внутренняя точка К, то существует шар Sr {x0) с К. Возьмем
произвольный элемент х е Е; тогда xQ + уг—в- е Sr (д:0).
Поскольку мы видели, что — лг0 е К, то, согласно определе-
определению 2 п.40.3 выпуклости конуса К, сумма элементов
481

Но тогда и хеК. Так как х — произвольный элемент из Е,
то отсюда следует, что К = Е, а по условию теоремы К не
совпадает с Е. Значит, предположение о том, что txQ^K и
t < 0, приводит к противоречию.
Таким образом, из txo^K следует, что /^0. Но это озна-
означает, что функционал / неотрицателен на L: если х = (хо^О,
то (я, f) = (tx0, /)=/^0. Итак, / линеен и неотрицателен на L,
причем L содержит внутреннюю точку К. По теореме 2 функ-
функционал / можно продолжить на все пространство Е, в резуль-
результате чего мы получим функционал, о существовании которого
говорилось в условии теоремы. На этом доказательство тео-
теоремы 3 заканчивается.
40.5. Теоремы отделимости. Пусть X — нормированное про-
пространство и в нем заданы множества М и N.
Определение. Будем говорить, что линейный ограни-
ограниченный функционал х* (х* е X* — пространству, сопряженному
к X) разделяет множества М н N, если для всех * е М и у <= N
(х, х*) «У, х*). A)
В этом пункте будет доказано несколько теорем отделимости
о существовании функционала, разделяющего множества,
в различных предположениях об этих множествах. Эти теоремы
широко применяются в задачах оптимального управления
(см. [11]).
Теорема 1 (об отделимости конусов). Пусть в нормиро-
нормированном пространстве X задано два выпуклых конуса К\ и К2,
причем конус К\ телесный, а конус К2 не пересекается с вну-
внутренностью К\. Тогда существует линейный функционал х*^Х*,
разделяющий конусы К\ и К2 в следующем смысле:
<х, **>< 0 < <$,*•> B)
для любых х^Ки у е /С2.
Остановимся сначала на геометрическом смысле условия B)
разделения конусов К\ и /С2. Множество точек xel, удовле-
удовлетворяющих уравнению (х, х*) = 0, где х* ф 0— фиксирован-
фиксированный элемент из X*, образует плоскость в X. Эта плоскость
делит X на два полупространства. Конус К\ лежит в полу-
полупространстве (х, х')<0, а конус Къ — в полупространстве
{х,х)>0.
Доказательство теоремы 1. Построим множество
K = Ki-K2 = {zf=X: г = х-у, хе= Ки У е К2} C)
и докажем, что К является телесным выпуклым конусом в X,
не совпадающим с X. Для доказательства того, что К представ-
представляет собой выпуклый конус, возьмем произвольные элементы
Z\, z2^K. Тогда, согласно C), найдутся элементы Х\, х2^К\
и i/i, у2^К2 такие, что
482
Для любых чисел щ^О и а2^0 имеем
aizl + a2z2 = а, (х{ — у у) + а2 (х2 — у2) = (a,*i + 02*2) —
— (а1у1 + а2у2) <= К,
так как а1х]-\-а2х2^Ки 01^/1+02^2^^2. Итак, доказано, что
К — выпуклый конус.
Далее, поскольку К\ с= К и К\ содержит внутренние точки,
то и К обладает этим свойством, т. е. /( — телесный конус.
Докажем, наконец, что К Ф X. Пусть х0 — внутренняя точка
конуса К\. Докажем методом от противного, что тогда —хйф
ф. К. Допустим, что это не так. Тогда найдутся х е /С, и у е
е К2 такие, что —д;0 = л: — у. Отсюда хй-\-х = у.
Докажем, что xq + х — внутренняя точка конуса К\- Так
как ха—внутренняя точка К\, то найдется шар Sr(xo) cz Ki.
Но тогда, согласно определению выпуклого конуса, шар
x-\-Sr{x0) =
; z = х + х0 + и, uel, и <= X, || и ||< г}
также лежит в Д\. Следовательно, xQ + х — внутренняя точка
К\, но xo + Jt=(/e4 Оказалось, что конус К2 пересекается
с внутренностью Kit что исключалось условием теоремы. Полу-
Полученное противоречие доказывает, что—хо^К, т. е. КфХ.
Таким образом, для К выполнены все условия теоремы 3 пре-
предыдущего пункта и согласно этой теореме существует неотри-
неотрицательный (в смысле конуса К) линейный функционал /еГ,
не равный нулю. Для всех z е К имеем (г, х*)^0, откуда
(х — у, х*)^0 для любых Jce/Ci, у е /<2 (см. C)). Следова-
Следовательно, для всех xe/Ci, у s K2 выполняется неравенство A).
Так как 0 е К\ и 0еК2, то этому неравенству можно придать
вид B). Теорема доказана.
Перейдем к теоремам отделимости для множеств, не явля-
являющихся конусами. Для этого нам понадобится следующая
конструкция. Поставим каждому множеству М а X в соответ-
соответствие следующее множество:
K{M) = {z^X: z = Xx, Л>0, хе=М).
Очевидно, ТС Ш) всегда является конусом.
Лемма 1. Если множество М выпукло, то множество
К(М) есть выпуклый конус.
Доказательство. Пусть z\, z% е К(М); тогда Z\ = Xlxl,
z2 = Л2Х2, где A-i ^ 0, Я2 ^ 0, хи х2 s М. Для любых а^О, а2 ^ 0
имеем
если a^i + а2Х2 > 0 (в противном случае a^i + 0222 = 0 е К (М)).
Поскольку М выпукло (см. п. 1.7), то выражение в квадратных
483

скобках принадлежит М, а тогда, по определению К(М),
«iZi + ol222 е К (М). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть М — выпуклое тело (см. п. 35.1) и ОфМ.
Тогда К(М) не совпадает с X.
Доказательство. Пусть х0 — внутренняя точка М. Пока-
Покажем, что — хофК(М). Если это не так и — хо(=К(М), то най-
найдутся А.>0 и х<=М такие, что — хо = Кх, причем Я, =^0, иначе
бы ОеМ, Но тогда * = — К 1х0<^М.
^Поскольку и х0 е Mt то вследствие выпуклости М
аЯ,-'(— лго) + A — а)лгое/И для всех а е [0, 1]. Возьмем
а= 1 , и получим
1+A ' 1+A —» = '"•
Но по условию О ф М. Полученное противоречие доказывает,
что — хофК(М), и лемма 2, таким образом,.доказана.
Лемма 3. Пусть М — выпуклое тело и ОфМ. Тогда на X
можно определить линейный функционал х* е X* такой, что
х" ф 0, (х, х*) ^ 0 для любых х е М.
Доказательство. Построим выпуклое тело К(М)ФХ
(см. леммы 1 и 2). По теореме 3 п. 40.4 существует линейный
функционал х' ф 0 такой, что (х,х*) > 0 для всех х е К (М).
Но MczK(M) и, значит, х'— искомый функционал. Лемма
3 доказана.
Теперь мы можем перейти к формулировке и доказательству
теорем об отделимости множеств.
Теорема 2. Пусть в нормированном пространстве X задано
два выпуклых непересекающихся множества М и N, причем мно-
окество М имеет внутренние точки. Тогда существует линейный
функционал х* Ф0, х* е X*, разделяющий множества М и N.
Доказательство. Построим множество
L — M — N = {zz=X: z = x — y, ieM, y<=N).
Множество L выпукло (см. задачу 11 к § 1); далее, L имеет
внутренние точки, так как М a L. Кроме того, ОфМ. В про-
тнином случае 0~х — у, где х^М, y^N, откуда х = у, но
М и N не пересекаются. Значит, ОфМ. По лемме 3 сущест-
существует х* ф 0, х'^Х*, неотрицательный на М т.е. (г, х*) ^= 0 для
всех z e M. Но это значит, что
(х, О > (у, х) D)
для всех х^М и y<^N. Теорема 2 доказана.
Обсудим геометрический смысл этой теоремы. Фиксируя
у ен N в D), мы видим, что множество {{х, х*), xs=M} огра-
ограничено снизу, а потому существует 6= inf {x, x"). Аналогично,
существует а = sup (у, х*).
484
Пусть с заключено между а и Ь. Тогда для всех х е М,
хе Лг справедливо неравенство
Множество всех х е X, для которых (*, х') = с, является гипер-
гиперплоскостью в X. Эта гиперплоскость делит пространство
X на два полупространства, в одном из которых (х, х*) < с,
а в другом (х, х*)^с. В первом из них лежит множество N,
а во втором — множество М.
Теорема 3. Пусть М —замкнутое выпуклое множество
в нормированном пространстве X и точка х0 ф М. Тогда точку
Хо можно строго отделить от М, т. е. существует х* е Е* такой,
что
с = sup <*, **) < (хо, х"). E)
Доказательство. Заметим сначала, что неравенство E)
можно записать так: для всех х е М
{х, **> < с < (ль. х").
F)
Заметим теперь, что множество Х\М — дополнение М —
открыто и содержит точку х0. Поэтому найдется шар N = Sr(x0),
не пересекающийся с М. По теореме отделимости 2 множества
М и N можно разделить ненулевым линейным функционалом
х* <= X*. т. е.
для любых х е М, /
Последнее неравенство запишем в виде
(X, Х*><С<(Хо, **> + <2. X'),
где zeSf@). Так как х" фО, то
inf {г, х') < 0.
* е Sr @)
Значит, с < <дг0, х*), и неравенство F), а с ним и теорема 3,
доказаны.
40.6. Принцип седловой точки и теорема Куна — Таккера.
Пусть Q — множество в нормированном пространстве Хина
Q определены функционалы у(х) и ¦$ (х) = (^ (*)}? (п функци-
функционалов). Поставим задачу: найти mincp(x) при условиях xeQ,
г})UX0 (т. е. все ^(л')<0, /=1 п). Кратко задачу мож-
можно записать так:
minfoM; xeQ, Ф(дс)<0}. A)
Таким образом, задача A) есть задача об отыскании мини-
минимума функционала <р(х) на множестве Q при ограничениях
типа неравенств. В случае, когда Q, <р(х), ¦ф (х) выпуклы,
задача A) называется задачей выпуклого программирования.
485.

Определение 1. Функционалом Лагранжа задачи A)
называется следующий функционал:
/(*,A,) = <p(jc) + (iH*).*). B)
п
где Я = (ki)\ е Еп, а (г|> (*), Я) = ? ^Фг (x) — скалярное произведе-
произведение в Еп. Числа Яь .. . ,Я„ называются множителями Лагранжа.
Функционал Лагранжа зависит, таким образом, от двух
переменных: х е Q с: X и Я е?п.
Определение 2. Точка (х°,Х°), где *°<=Q, Яве/?", назы-
называется седловой точкой функции Лагранжа B), если для всех
jeQ и всех Я^О выполняются неравенства
г, Я0)
C)
(или противоположные им неравенства).
Неравенства C) имеют простой геометрический смысл:
1(х°, Я0) есть минимум l(x,k°) по переменной х и максимум
/(*°, Я) по переменной Я. Подобным же образом устроена сед-
ловая точка @, 0) поверхности z = x2 — у2 в Е3.
Теорема 1 (принцип седловой точки). Пусть (х°,А0) — сед-
ловая точка функционала Лагранжа B); тогда х° является
решением экстремальной задачи A).
Доказательство. Запишем условие седловой точки C)
с учетом B) подробнее. Для всех xeQ и ^>0, i= I ,..., п,
имеем
Ф (х9
Левое неравенство дает для всех
i
D)
i= 1 «,
Отсюда следует, что все 1рг(д:0Х!0. Если бы при некотором k
оказалось tyk (х°) > 0, то, выбрав Яг = 0, / Ф k, а Яй > Я*, мы
нарушили бы это неравенство. Итак, \|)(х°)<0, т. е. ограниче-
п
ния типа неравенства выполнены. Далее, У. fJbt. (х°) = 0, так
как если это выражение отрицательно, то E) при Я = 0, а
значит и F), было бы невозможно. Заметим, что отсюда сле-
следуют равенства
F)
486
С учетом F) правую часть неравенства D) можно записать
в виде
<=1
Но тогда для всех *eQ таких, что ^UXO, имеем ф(*0)^
^ф(х), т. е. х° решает задачу A). Теорема доказана.
Приложение данной теоремы в теории регуляризации некор-
некорректных задач см. в [9], стр. 77 — 83.
Перейдем к задачам выпуклого программирования.
Определение 3. Будем говорить, что для задачи A)
выполнено условие Слейтера, если существует элемент х е Q
такой, что \|> (х) < 0.
Теорема 2 (Кун — Таккер). Пусть множество Q и функ-
функционалы ф и i|> выпуклые, и пусть для задачи A) выполнено
условие Слейтера. Элемент х° является решением задачи A)
тогда и только тогда, когда существует вектор Я0 е Еп множи-
множителей Лагранжа такой, что
1(х°Л°)^1(хЛ0), G)
и выполнены условия F).
Доказательство достаточности. Нетрудно заме-
заметить, что из F) и G) Еытекает условие седловой точки C), и
утверждение этой части теоремы следует из принципа седловой
точки.
Доказательство необходимости. Пусть х° — реше-
решение задачи A). Рассмотрим в En+l множество М, состоящее из
векторов ц = (ц,)"=ь для каждого из которых существует век-
вектор a;gQ такой, что
Ф (х) — ф (х°) <
t,
i = 1,
п.
Множество М содержит внутренние точки: если ц.>0, т. е.
\xk > 0, k = 0, 1, ..,,п, тоце/Й, а каждая точка — внутренняя.
Упражнение. Пользуясь выпуклостью функционалов ф и
•ф, докажите выпуклость М.
Наконец, точка 0 ф. М; иначе оказалось бы, что ф(*) <ф(л;°),
1|з(а;)<0> х е Q, т. е. х° не является решением задачи A).
Согласно теореме 2 п. 40.5 множество М можно отделить
от точки 0 функционалом Я е {En+l)*=En+1, Я = (Я,)?=1 Ф 0. Это
означает, что существуют числа Яо, Я] Я„, не все равные
нулю одновременно и такие, что для всех р. е= М (Я, \i) ^ 0,
т. е.
thl4>0. (8)
487

Из (8) следует, что все Xt ^ 0, ибо М содержит все ц > 0.
Полагая в (8) \it = tyt(x), i=l, ..., п, и устремляя затем ц0
к ф (х) — ф (*°), получим
>+EM><W>Vp(*0) (9)
1-1
для всех х е Q.
Докажем теперь равенства F). Очевидно, ipt (дс°) ^ 0, / = 1, ...
..., п. Допустим, что при i = k iMft (x°) = — а < 0. Рассмотрим
точку neeQ, все координаты которой суть е > 0, кроме й-й,
а ц4 = —а. Подставляя \хе в равенство (8), получим
и
(Я, це) = е ? h — <d
При е-» + 0 имеем неравенство —аЛ^^О, откуда A,ft^0,
а это возможно лишь при Яй = 0. Значит, ЛАт)э4 (х°) = 0, и равен-
равенства F) доказаны. Воспользуемся теперь условием Слейтера.
Из него следует, что \0 Ф 0. Иначе, из (9) мы получили бы,
п
что Х ^Ф/(¦*)^0 Ддя всех *GQ, причем не все Л,, /==
= 1, .... п, равны нулю. Положив в этом неравенстве х = х,
получим 0 > X А^яр, (i) ^ 0, что невозможно. Итак, Ло > 0.
Разделив неравенство (9) на Хо, мы получим неравенство
(с учетом F))
Ф(х) + t (Л)Ь(х)>Ф(х°) +
i-l
т. е. неравенство G). Наконец, для всех igQ
Ч> (х) ^ 0, имеем
п
ф (*0) < ф (.Г) + ? (Ло~ %) Ь (X) < ф (.V).
Теорема доказана.
таких, что
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1975.
2. В a fl н б е р г М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нели-
нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.
3. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном
анализе. — М.: Мир, 1974.
4. Василенко В. А. Теория сплайн-функций. — Новосибирск: НГУ, 1978.
5. Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1980.
6. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. — М.: Наука, 1971.
7. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные
уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978.
8. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.—
М.: ИЛ, 1962; Спектральная теория. — М.: Мир, 1966.
9. Иванов В. К., В а с и н В. В., Т а н а н а В. П. Теория линейных некор-
некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978.
10. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
11. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в норми-
нормированных пространствах. — М.: Физматгиз, 1959.
12. Карманов В. Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1975.
13. Кириллов А. А., Гвншианн А. Д. Теоремы и задачи функционала
ного анализа. — М.: Наука, 1979.
14. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.—
М.: Мир, 1969.
15. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
функционального анализа. — М.: Наука, 1968.
16. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
17. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М:
Наука, 1971.
18. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. I, II. — М.: Высшая
школа, 1970.
19. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В Методы теории функций комплекс-
комплексного переменного. — М.: Физматгиз, 1958.
20. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциаль-
дифференциальных уравнений. — Новосибирск: НГУ, 1973.
21. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального ана-
анализа. — М.: Наука, 1965.
22. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. — М.: Мир,
1977.
23. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производ-
производных. — М.: Наука, 1976.
24. Найм арк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М: Гостех-
нздат, 1954.
25. Н а и м а р к М. А., Мартынов В. В. Функциональный анализ. — Долго-
Долгопрудный: МФТИ, 1970.
26. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и тео-
теоремы вложения. — М.: Наука, 1969.
27. Обэн Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.:
Мир, 1977.
489

28. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Физматгиз, 1961.
29. Р и с с Ф., С - Н а д ь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: ИЛ,
1954.
30. С а м а р с к и fi А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука,
1971.
31. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV, V. — М.: Физматгиз,
1959.
32. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в ма-
математической физике. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
33. С т е ч к и н С. Б., Субботин IO. Н. Сплайны в вычислительной мате-
математике.— М.: Наука, 1976.
34. Тихонов А. Н., Арсен ин В. Н. Методы решения некорректных за-
задач. — М.: Наука, 1974.
35. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи-
физики. — М.; Наука, 19G6.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема 145
Абсолютная погрешность 236
— сходимость ряда 53, 57
Абсолютно непрерывная функция 103
Абстрактная функция 142
, аналитичность 146
, дифференцирование 143
— —, интегрирование 262
, непрерывность 143
, предел 142
Абстрактный эллиптический оператор
362
Аналитический оператор 381, 426
Аналитичность резольвенты 260
Априорная оценка 156, 235
Арцела теорема 207
Асколи — Арцела теорема 209
Аффинное многообразие 14
Базис линейного пространства 13,67
— счетный 55, 67
Банаха теорема об обратном опера-
операторе 134
о замкнутом графике 165
— — Штейнгауза теорема 129
Банахово пространство 49
Бесконечномерное линейное простран-
пространство 13
Бикомпактное множество 200
Билинейный оператор 131
Биортогональная система 175
Бифуркации точка 440
Броуэра принцип неподвижной точ-
точки 408
Бэра — Хаусдорфа теорема о катего-
категориях 56
Вариационная форма метода Галёр-
кина 343
Взаимно однозначный оператор 115
Вейерштрасса свойство 278
— теорема 53
Ветвление решений нелинейных
уравнений 439
Ветвления точка 439
Вещественное линейное простран-
пространство 9
Вложение нормированных про-
пространств 78, 103, 107
Вполне непрерывный оператор 212,
216, 249, 409
Выпуклая линейная комбинация 185,
408
Выпуклое множество 16, 40
— тело 409
Выпуклый функционал 16, 475, 485
Вычитание элементов 10
Галёркина метод 331, 339, 342, 453,
465
— аппроксимация 333, 445
— устойчивость 335, 446
Гильберта — Шмидта оператор 216,
218
теорема о разложении по соб-
собственным векторам 253
Гильбертово пространство 57
Граница множества 31
График оператора 152
Двуслойная разностная схема 355
Декомплексификация 17
Деминепрерывный оператор 464
Дефект линейного оператора 230
Диаграмма Ньютона 432
Дискретный метод Фурье 311, 315 -
Дифференциальное уравнение в ба-
банаховом пространстве 349, 359, 397
Дифференциальный оператор 122,
136
Дифференцирование абстрактной
функции 143
— оператора в смысле Гато 387
Фреше 371
Дополнение множества 31
Евклидово пространство 41
Жордана теорема о нормальной фор-
форме 249
Задача выпуклого программирования
485
— Дирихле 180, 308
— Коши 360, 367, 397
491

Замкнутое множество 30
Замкнутый оператор 162
Замыкание множества 31, 40
Изометрия нормированных про-
пространств 39, 77
Изоморфизм 15, 77
Инвариантное линейное многообра-
многообразие 276
Индекс линейного оператора 230
Интеграл Лебега 73, 79
— Римана 99, 262
— Стилтьеса 267
Интегральный оператор 121
Интерполяционный сплайн 318
Итерационный процесс Ньютона 401
Компактная е-сеть 205
Компактное множество 203
Комплексификация 17
Комплексное линейное пространство
9
Конечная е-сеть 203
Конечномерное линейное простран-
пространство 13, 21
Конус 477
— выпуклый 477
— телесный 478
Координаты вектора 13
Корень квадратный из неотрицатель-
неотрицательного оператора 277
'Коши — Адамара формула 381
Коэрцитивный оператор 460
Коэффициенты Фурье 63
Крейна теорема 481
Критерий компактности Хаусд-рфа
203
Кубический сплайн 325
Куна — Таккера теорема 487
Лагранжа множители 486
— формула конечных приращений
375
— функционал 486
Левый обратный оператор 137
Лемма об элементарном продолже-
продолжении 170, 479
— Рисса 35
— Шмидта 231
Лере — Шаудера теорема о непо-
неподвижной точке 417
Линейная зависимость и независи-
независимость элементов 12, 46
— комбинация 12
— оболочка 65
Линейное многообразие 14, 36, 61
— подпространство 33
— пространство 9
— уравнение 1-го рода 225, 243
¦ 2-го рода 219
492
Линейный оператор 116
— функционал 170
Липшица условие 376
Ляпунова — Шмидта уравнение раз-
разветвления 441
Малого параметра метод 149, 355
Малое решение 439
Матрица Якоби 373
Мера обусловленности линейного
оператора 237
Метод верхней релаксации 396
— Галёркина 331, 339, 342, 352, 453,
465
— замораживания коэффициентов
160
— конечных элементов 347
— ломаных Эйлера 457
— малого параметра 149, 355
— наименьших квадратов 338
— продолжения по параметру 153,
417
— простой итерации 393
— прямых 303
— сеток 308
Метрическое пространство 20
Множество 1-й и П-й категории 56
— меры нуль 79
— нулей (ядро) линейного операто-
оператора 133, 227
— слабо ограниченное 185
Модифицированный итерационный
процесс Ньютона 404
Монотонный оператор 458, 468, 475
Наилучший элемент приближения 33
Невырожденность норм в приближен-
приближенной схеме 290
Неограниченный линейный оператор
163
Неотрицательный линейный оператор
190
функционал 479
Неподвижная точка нелинейного опе-
оператора 389
Непрерывно обратимый линейный
оператор 134
Непрерывность абстрактной функции
143
— лилейного оператора 117, 129
— оператора 116
— улучшающая 464
— ухудшающая 464
Неравенство Бесселя 63
Неравенство Гёльдера 22, 27, 29
— Коши — Буняковского 41
— обобщенное 190
— Леви 78
— Минковского 22, 27, 29
— Птолемея 47
Нетера теоремы 230
Нетеров оператор 230
Неявный оператор 419
Нигде не плотное множество 56
Никольского теорема 233
Норма вектора 19
— графика 168
— fe-линейного оператора 377
— линейного оператора 123
—, подчинение 168
—, эквивалентность 31
Нормально разрешимый оператор 227,
235
Нормированное пространство 19, 49
Ньютона диаграмма 432
— итерационный процесс 401
— модифицированный итерационный
процесс 404
Область значений оператора 114
— определения оператора 114
Обобщенная производная (в смысле
Соболева) 102
Обобщенное решение 180, 344
Обратный оператор 133, 140
Ограниченность множества 22
— линейного оператора 118
— оператора 116
Оператор абстрактный эллиптический
362
— взаимно однозначный 115
— в конечномерных пространствах
119
— вполне непрерывный 212, 249, 409
— в пространствах последователь-
последовательностей 120
— деминепрерывный 464
— дифференциальный 122, 136
— дифференцируемый 371, 387
— замкнутый 162
— интегральный 121
— конечномерный 214
— коэрцитивный 460
— кусочно-линейной интерполяции
319
— линейный 116
— многозначный 115
— монотонный 458, 468, 475
— неограниченный 163
— неотрицательный 190
— непрерывно обратимый 134
— непрерывный 116
— неявный 419
— нормально разрешимый 228
— обратный 133, 140
— ограниченный 116
— продолжения (интерполяции) 318
— проектирования (проектор, орто-
проектор) 194
— самосопряженный-. 188, 193
— симметрический 193
Оператор сопряженный 186, 191
— сужения 290
— -функция 143
Операторное неравенство 191, 355
Ортогональная система элементов 43,
47
— сумма 68
Ортогональное дополнение 60, 227
— разложение 67
Ортогональный базис 67
Ортогональная система элементов 43
Ортопроектор 194
Оснащенное банахово пространство
66
Отделимость множеств 482
Открытое множество 29
Относительная погрешность 236
Отношения между подпространствами
и ортопроекторы 195
Отрезок в линейном пространстве 16
Парсеваля—Стеклова равенство 64
Первая вариация нелинейного опе-
оператора 387
Плотное линейное многообразие 36,
61
Пограничный слой 358
Погрешность вычисления 236
Подпространство 33
— собственное 245
Подчиненность нормы 168
Полная ортогональная система 63,
65
Полное линейное пространство 49,
57
Пополнение пространств 69
Правый обратный оператор 137
Предел абстрактной функции 142
— оператора 116
— последовательности 21
— слабый 183
Предельная точка 30
Предельно плотная последователь-
последовательность подпространств 333
Предельный переход в интеграле Ле-
Лебега 91
Приближение банахова пространства
289
— элементами подпространства 33
Принцип вложенных шаров 55
— максимума 161, 309
— равномерной ограниченности 128
— седловой точки 486
— сжимающих отображений 389
— Шаудера 411, 416
Продолжение линейного оператора по
непрерывности 130
— приближенных решений
Проектор 194
Произведение операторов 115, 126
493

Производная (см. дифференцирова-
дифференцирование)
Пространство банахово 48
— вполне непрерывных линейных
операторов 212
— гильбертово 57
— евклидово 41, 43
— конечномерных столбцов 21, 24
— кусочно непрерывных функций 44
— Лебега 72
— линейное 9
— линейных операторов 9? (X, Y),
2(Х) 123, 126
— метрическое 20
— непрерывно дифференцируемых
функций с интегральной метрикой
Wlq[a,b], Hl[a,b), Vlp{G), Hl{G)
100
равномерной
метрикой С* [а, Ь], С (С) 51
— непрерывных функций с интеграль-
интегральной метрикой Lp[a,b], LP(G) 27
— — равномерной метрикой
С [а, Ы C(G) 26, 51
— нормированное 19
— последовательностей lp, m 25, 26
— равномерно выпуклое 183
— рефлексивное 182, 210
— сепарабельное 54, 67
— Соболева Wlp [а, Ь], Hl [a, b]t
Wlp(G), H1 (G) 100
— со скалярным произведением 41
— со счетным базисом 55
— строго нормированное 35
— унитарное 42
Процесс ортогонализации Шмидта 45
Прямая сумма 162
Равенство параллелограмма 46, 78
— Парсеваля — Стеклова 64
Равномерная ограниченность 207
— сходимость линейных операторов
124
— — степенного ряда 145
Равномерно выпуклое пространство
183
Равностепенная непрерывность 207
Радиус сходимости степенного ряда
145, 331
Размерность линейного пространства
13
Разностная схема 300, 353
Разрывная функция 73
Расстояние от точки до множества
33, 58
Расширение оператора 115
Регуляризация приближенного реше-
решения 240
494
Регулярное возмущение 355
Резольвента линейного оператора
254
Резольвентное множество 254
Рефлексивное пространство 182, 210
Рисса теорема 178
Рисса — Шаудера теория 219
Ряд в нормированном пространстве
52, 126
— Тейлора 148
— Фурье 61, 66
Самосопряженный оператор 188, 193
Сепарабельное множество 55
— пространство 54, 67
Сеточная гармоническая функция 309
Сеточное множество 304
Сжатие, сжимающий оператор 390
Сильная сходимость линейных опе-
операторов 127
Сильно непрерывная полугруппа 361
Симметрический оператор 193
Сингулярное возмущение 356
Скалярное произведение 41, 46, 78
Слабая компактность 210
— сходимость 183, 214
"-слабая сходимость 177
Слабо ограниченное множество 185
— полное пространство 211
— полунепрерывный снизу функцио-
функционал 474
— фундаментальная последователь-
последовательность 210
Собственное значение и собственный
вектор 245, 311
— линейное многообразие 245
Согласованность норм 291
Сопряженное пространство 176
Сопряженный оператор 186, 191
Спектр линейного оператора 255
Спектральная функция самосопря-
самосопряженного оператора 273
Спектральный радиус линейного опе-
оператора 257, 286
Сплайн интерполяционный 318
— кубический 325
Средняя функция 38
Срезывающая функция 38
Степенной ряд 144, 377, 380, 385
Строго нормированное пространство
35
Сужение оператора 115
Суперпозиция операторов 115
Сухомлинова теорема 173
Сфера 20
Сходимость в среднем 80
— по норме 21
— почти всюду 80
— приближенной схемы 298, 337,
447
Сходимость слабая 183
— "-слабая
Р-сходимость 333
7"-сходимость 290
Теорема Ариела 20/
— Банаха об обратном операторе
134
¦ о замкнутом графике 165
Ш1ейнгауза 129
— Броуэра 411
— Бэра — Хаусдорфа 56
— вложения 78, 103, 107
— Крейна 481
— Куна — Таккера 487
— Лере —Шаудера 417
— Нетера 230
— Никольского 233
— о неявных операторах 419
пополнении 69, 71
— отделимости 482
— Рисса 178
— Фредгольма 230
— Хана — Банаха 170
— Хаусдорфа 228
— Шаудера 215
Теория Рисса — Шаудера 219
Тождество Аполлония 47
Точка бифуркации 439
— ветвления 439
Умножение элементов 131
Унитарное пространство 42
Уравнение Лапласа 308
— теплопроводности 304, 313
— разветвления Ляпунова — Шмидта
440
Условие аппроксимации 294, 333, 445
— Гёльдера 29
— Липшица 376
— Слейгера 487
— устойчивости 297, 335, 446
Условная устойчивость разностной
схемы 313
Устойчивость приближенной l.xlmlj
297
Фактор — пространство 78
Формула конечных приращений Лаг-
ранжа 375
— Тейлора 386
Фредгольма теоремы 230
Фредгольмов оператор 229
Фундаментальная . последователь-
последовательность 48, 69
Функция от оператора 127, 132, 285
Функционал вещественный 16
— выпуклый 17
— Лагранжа 486
— линейный 170
— слабо полунепрерывный снизу 474
Хана — Банаха теорема 170
Хаусдорфа критерий компактности
203
— теорема о нормальной разреши-
разрешимости 228
Частичная упорядоченность 478
Число нулей линейного оператора 230
Шаблон 309
Шар 29
Шаудера принцип неподвижной точ-
точки 411, 416
— теорема о сопряженном операторе
215
Шмидта лемма 231
— процесс ортогонализации 45
Эквивалентные нормы 31, 131, 168
— функции 79
Экстремум функционала 473
Ядро усреднения 37, 40

Владилен Александрович Треногий
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
М., 1980 г.. 496 стр. с илл.
Редакторы Т. И. Кузнецова, С. М. Цидилин
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, О. М. Кривенко
И Б М» 11553
Сдано в набор 31.10.79. Подписано к печати 08.07.80.
бумага 60Х90'/и, тип. № 1. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 31. Уч.-изд. л. 31,76.
Тираж 25 000 экз. Заказ № 416. Цена книги 1 р. 30 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга> им. Евгении Соколовой Союзполи-
графпрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 1С8052, Ленин-
Ленинград, Л-52, Измайлопскнй проспект, 29