Автор: Сиберт У.М.
Теги: электротехника общая радиотехника электроника электричество
ISBN: 5-03-000977-9
Год: 1988
Текст
Circuits,
Signals,
and Systems
William McC. Siebert
The MIT Press
Cambridge, Massachusetts London, England
McGraw-Hill Book Company
New York St. Louis San Francisco Montreal Toronto
У. М. Сиберт
цепи
сигналы
системы
В двух частях
Перевод с английского
Э. Я. ПАСТРОНА,
канд, техн, наук Л, А, ШПИРТА
под редакцией
д-ра техн, наук
И. С, РЫЖАКА
Москва «Мир» 1988
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА............................. 5
ПРЕДИСЛОВИЕ...................................................... 8
1. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
ДЛЯ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ............................................ 13
1.0. Введение................................................ 13
1.1. Основные соотношения для элементов .................... 13
1.2. Соединения элементов. Законы Кирхгофа................... 17
1.3. Динамические уравнения. Метод узловых напряжений и уравне-
ний состояния ............................................... 18
1.4. Структурные схемы....................................... 25
1.5. Решения динамических уравнений...................... 28
1.6. Решения динамических уравнений при нулевых входных воз-
действиях ................................................... 29
1.7. Решения динамических уравнений при экспоненциальных вход-
ных воздействиях............................................. 33
1.8. Выводы.................................................. 38
Упражнения к главе 1 40
Задачи к главе 1 ............................................ 44
2. ОДНОСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ....................... 56
2.0. Введение................................................ 56
2.1. Одностороннее преобразование Лапласа ................... 57
2.2. Примеры ^-преобразований и теоремы...................... 58
2.3. Обратное преобразование Лапласа......................... 62
2.4. Кратные полюсы ......................................... 66
2.5. Применение преобразования Лапласа для анализа цепей .... 68
2.6. Выводы.................................................. 76
Приложение к главе 2......................................... 76
Упражнения к главе 2 Т1
Задачи к главе 2............................................. 79
3. СИСТЕМНЫЕ ФУНКЦИИ............................................ 87
3.0. Введение................................................ 87
3.1. Формула суперпозиции для ЛИВ-цепей ..................... 87
3.2. Системные функции...................................... 89
3.3. Системная функция как реакция на экспоненциальное входное
воздействие ................................................ 93
3.4. Системные функции и дифференциальные уравнения «вход-
выход» ...................................................... 95
Содержание
3.5. Выводы................................................. 98
Приложение к главе 3 .................................... 99
Упражнения к главе 3 101
Задачи к главе 3............................................ ЮЗ
4. ПОЛЮСЫ И НУЛИ............................................. 118
4.0. Введение.............................................. 118
4.1. Диаграммы полюсов-нулей............................... 118
4.2. Векторная интерпретация И (/а)........................ 123
4.3 Потенциальные модели системной функции................ 127
4.4. Диаграммы Боде........................................ 130
4.5. Выводы................................................ 134
Упражнения к главе 4 134
Задачи к главе 4 .......................................... 138
б. СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ........................ 151
5.0. Введение.................................................. 151
5.1. Простые соединения систем. Влияние нагрузки............... 153
5.2. Простые системы с обратной связью......................... 156
5.3. Примеры действия отрицательной обратной связи............. 159
5.4. Выводы.................................................... 172
Упражнения к главе 5 ...................................... 172
Задачи к главе 5................................................ 173
6. ДИНАМИКА СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ...................... 176
6.0. Введение................................................ 176
6.1. Инверсные системы....................................... 176
6.2. Влияние обратной связи на полосу частот и время реакции 180
6.3. Устойчивость ........................................... 187
6.4. Применение обратной связи для стабилизации неустойчивых си-
стем ........................................................ 193
6.5. Выводы.................................................. 199
Приложение к главе 6....................................... 199
Упражнения к главе 6 206
Задачи к главе 6............................................ 209
7. СИГНАЛЫ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ И ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТ-
НЫЕ УРАВНЕНИЯ .................................................. 220
7.0. Введение.............................................. 220
7.1. Линейные разностные уравнения.......................... 223
7.2. Структурные схемы и уравнения состояния для ДВ-систем. . . 226
7.3. Прямое решение линейных разностных уравнений........... 233
7.4. Реакция при нулевом входном воздействии................ 236
7.5. Выводы................................................. 239
Упражнения к главе 7 240
Задачи к главе 7............................................ 240
8. ОДНОСТОРОННЕЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 245
8.0 Введение.............................................. 245
8.1. Z-преобразование...................................... 245
8.2. Применение Z-преобразования к ЛИВ-системам дискретного
времени .................................................... 253
8.3. Представление систем дискретного времени в частотной области 256
8.4. Выводы................................................ 264
Приложение к главе 8....................................... 265
Содержание
Упражнения к главе 8 .................................... 266
Задачи к главе 8 ............................................ 267
9. РЕАКЦИЯ НА ЕДИНИЧНЫЙ ОТСЧЕТ И СВЕРТКА В ДИСКРЕТ-
НОМ ВРЕМЕНИ.................................................... 275
9.0. Введение................................................ 275
9.1. Теорема свертки и Z-преобразование ..................... 276
9.2. Свертка и линейные инвариантные во времени системы...... 283
9.3. Алгебраические свойства общей операции свертки.......... 288
9.4. Пример обращения свертки................................ 290
9.5. Выводы.................................................. 294
Упражнения к главе 9 295
Задачи к главе 9 ............................................ 296
10. ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРТКИ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ
НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ .......................................... 302
10.0. Введение.............................................. 302
10.1. Теорема об ^-преобразовании свертки................... 303
10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы .......................... 307
10.3. Каузальность н устойчивость .......................... 315
10.4. Выводы................................................ 321
Упражнения к главе 10 322
Задачи к главе 10 .......................................... 322
Предметный указатель ....................................... 331
ББК 32.841
С34
УДК 621.372 (075)
Сиберт У. М.
С34 Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Ч. 1: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1988.— 336 с., ил.
ISBN 5-03-000977-9
Современный курс теории сигналов и их обработки, подготовленный
известным американским специалистом и входящий в серию книг по элек-
тротехнике и информатике, которую выпускает Массачусетский техноло-
гический институт (США).
В 1-й части глубоко и всесторонне изучаются одностороннее преоб-
разование Лапласа и Z-преобразование, системные функции, свойства
линейных инвариантных во времени (ЛИВ) систем дискретного и непрерыв-
ного времени и методы их исследования во временной и частотной областях.
Изучение тем ведется на многочисленных примерах и задачах.
Книга может послужить базой для годичного вводного курса для
преподавателей и студентов вузов по специальностям «Радиоэлектроника»,
«Связь», «Радиолокация» и «Вычислительная техника». Она представляет
также интерес для высококвалифицированных специалистов в указанных
областях.
„ 2402040000—404
С 041 (01)—88 172~88> ч- 1
ББК 32.841
Редакция литературы по электронике
ISBN 5-03-000977-9 (русск).© 1986 by The Massachusetts Institute
ISBN 5-03-000976-0
of Technology
ISBN 0-262-19229-2 (англ.) ® PyCCK™ ЯЗЫК’ <M”P*’
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Современный этап научно-технического прогресса характери-
зуется революционными изменениями в передаче, обработке и
использовании информации, которые оказывают влияние на все
стороны жизни общества. Под их влиянием происходят коренные
преобразования целого ряда научных направлений (биология,
экономика, социология и др ), обусловленные переходом от опи-
сательных методов исследования к точным количественным мето-
дам на основе весьма сложных моделей, с той или иной степенью
полноты и достоверности представляющих соответствующие про-
цессы и явления. Все это стало возможным благодаря успехам
в создании новых методов и средств формирования и обработки
информации, выдвигающих в свою очередь новые научные и тех-
нические проблемы, решение которых приводит к следующему
качественно новому этапу научно-технического прогресса.
В настоящее время доминируют цифровые методы обработки
информации, реализуемые цифровыми процессорами, к которым
предъявляются всевозрастающие требования по быстродействию,
объемам памяти, надежности, энергопотреблению и т. п. Наряду
с непрерывным совершенствованием технологии все более значи-
тельную роль играют согласование и оптимизация архитектуры
вычислительных устройств и систем с реализуемыми в них алго-
ритмами. В этих условиях от исследователей и инженеров, ра-
ботающих в области создания систем формирования и обработки
информации различного назначения и использования их в раз-
ных областях науки и техники, требуется широта представлений,
глубокое понимание и знание основных закономерностей, прису-
щих процессам и системам формирования и обработки информа-
ции, одним из краеугольных камней в фундаменте которых яв-
ляется теория преобразования сигналов и систем их обработки.
Предлагаемая советскому читателю книга профессора Масса-
чусетского технологического института (МТИ — одно из веду-
щих научных и учебных учреждений в США) У. Сиберта «Цепи
сигналы, системы» относится к указанному направлению и яв-
6
Предисловие редактора перевода
ляется одной из первых в серии по электротехнике и информа-
тике, выпускаемой МТИ.
Книга представляет собой фундаментальный вводный курс
по линейным системам и сигналам и их преобразованиям. При
этом, по мнению автора, одной из главных его целей является
стремление вооружить читателя навыками для изучения и обсуж-
дения поведения систем в противоположность богатым деталями
формальным методам анализа. Автор значительное внимание
уделяет свойствам используемого математического аппарата, по-
казывает как присущие ему возможности, так и ограничения.
Говоря о сингулярных функциях, автор все время подчеркивает
бессмысленность выяснения того, чем они «являются», указывая,
что смысл имеет лишь то, что они «делают». Изучение тем ве-
дется на многочисленных примерах, сложность которых нарастает
по мере освоения материала.
Каждый раздел завершается набором задач, предназначен-
ных как для усвоения материала, так и более глубокого его ос-
мысления и обобщения. Всего в книге содержится 300 задач.
Книга может послужить базой для годичного вводного курса
повышенной сложности для многих специальностей, опирающе-
гося на предшествующие курсы по элементам электрических и
электронных цепей и теории дифференциальных и разностных
уравнений.
Несмотря на то что в отечественной литературе имеются пре-
красные монографии и учебники, содержащие изложение теории
цепей, сигналов и систем, книга У. Сиберта, представляющая
собой, как уже отмечалось, фундаментальный вводный курс,
явится их естественным дополнением, полезным студентам и
преподавателям вузов, готовящих специалистов по электронике
и информатике. Она также найдет заинтересованный отклик среди
высококвалифицированных специалистов в соответствующих об-
ластях.
При работе над переводом мы стремились с возможно большей
точностью донести до читателя мысли и стиль автора. Особенно
непросто это было выполнить в многочисленных его «отступле-
ниях», носящих характер глубоких и интересных научно-техни-
ческих обобщений. В процессе перевода были исправлены обна-
руженные опечатки, а в отдельных местах даны примечания либо
с целью пояснения, либо указания соответствующей литературы
на русском языке.
Главы 1—6 и предисловие автора перевел Л. А. Шпирт, главы
7—13 — Э. Я- Настрой и главы 14—20 — В. А. Усик.
И. С. Рыжак
Мы должны быть благодарны Господу за то, что
Он создал мир таким, что все простое в нем истинно,
а все сложное — ложно.
Григорий Сковорода
(украинский философ XVIII века)
Нашу жизнь растрачивают подробности ... проще,
проще!
Генри Дэвид Торо
(американский писатель и мыслитель XIX века)
Простота — величайшая мудрость.
Неизвестный французский автор
Одна из основных целей теоретического исследова-
ния в любой области знаний состоит в том, чтобы найти
такую точку зрения, с которой объект представ-
ляется в своей предельной простоте.
Джосайя Уиллард Гиббс
(американский физик-теоретик конца XIX века)
Ищите простоту и сомневайтесь в ней.
Альфред Норт Уайтхед
(американский математик, логик и философ)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основу учебного плана, предназначенного для всех студентов
факультета электротехники и вычислительной техники Массачу-
сетского технологического института (МТИ), составляют четыре
курса. До недавнего времени два из них представляли собой
традиционные вводные курсы по электротехнике, посвященные
теории электрических цепей и линейным системам, а два других —
вводные курсы по вычислительной технике. В них изучались
языки программирования и архитектура ЭВМ. Однако к 1978 г.
стало ясно, что потребности и интересы студентов факультета
весьма разнообразны. Для одних основные курсы электротех-
ники — это первый шаг на пути к профессиональной деятельности
в области разработки электронных схем и приборов, систем связи
и управления или применения теории электромагнитных полей
и волн к решению инженерных задач. Для других студентов эти
курсы — заключительные предметы с технической или физиче-
ской направленностью. Поэтому в 1979 г. на факультете были
видоизменены основные электротехнические дисциплины как по
форме, так и по содержанию. Были добавлены такие темы, как
простейшие электронные приборы и цепи, особое внимание было
уделено математическим методам с целью расширения приложе-
ний, введены лабораторные работы умеренной сложности, обес-
печивающие практическое освоение современной техники. Соот-
ветствующие изменения были введены и в основные курсы по
вычислительной технике, однако подробно это обсуждается
в других книгах серии по электротехнике и информатике, изда-
ваемой MIT Press.
В основе этой книги лежат лекции по второму курсу электро-
технического цикла. Для его усвоения необходимы предваритель-
ное знакомство с основополагающими соотношениями для эле-
ментов электрических цепей (включая простые полупроводнико-
вые приборы и операционные усилители), некоторый опыт при-
менения законов Кирхгофа при составлении динамических урав-
нений для простых цепей как в узловой форме, так и в форме
Предисловие
9
уравнений состояния, а также навыки решения динамических
уравнений либо при нулевом воздействии, либо при воздействии
в виде экспоненты (возможно, комплексной). В главе 1 даны об-
зор и некоторое развитие этого исходного материала. Учебник
по такому предварительному курсу находится в стадии подго-
товки.
Главы 2—4 знакомят с методами операционного исчисления
(односторонним преобразованием Лапласа), системными функ-
циями и методом комплексной частоты в теории цепей, описываю-
щими линейные инвариантные во времени (ЛИВ) цепи через со-
отношения вход-выход (функциональные или типа «черного ящи-
ка»), Взаимные связи ЛИВ-систем исследуются в главах 5 и 6
с акцентом на практическое и концептуальное значение обратной
связи. В следующих двух главах через определенные аналогии
между сосредоточенными системами непрерывного времени (опи-
сываемыми дифференциальными уравнениями и преобразованием
Лапласа) и системами дискретного времени (описываемыми раз-
ностными уравнениями и Z-преобразованием) рассматривается
математическая структура ЛИВ-цепей, представленных в преды-
дущих главах, и читатель знакомится с важными применениями
этих структур и более широкой их интерпретацией.
Системы дискретного времени обеспечивают возможность опи-
сания ЛИВ-систем посредством соотношения вход-выход во вре-
менной области с помощью импульсной характеристики и свертки.
Этому посвящена глава 9. В главе 10 эти идеи распространяются
на системы непрерывного времени. В главе 11 на основе методов
операционного исчисления или обобщенных функций подробно
исследуются математические тонкости, связанные с применением
импульсов в непрерывном времени.
Исследование операции свертки как метода описания функцио-
нального поведения ЛИВ-систем позволяет выделить две частично
перекрывающиеся категории систем — каузальные (не обязательно
устойчивые) с входными воздействиями, заданными для t > t0
в которых влияние эффектов от предшествующих воздействий,
обусловливается состоянием системы в момент времени t =
= t0; устойчивые системы (не обязательно каузальные), с входными
воздействиями, которые обычно задаются на всей временной оси
—ос < t < оо. Первую категорию — каузальные системы —
можно не слишком строго рассматривать в качестве управляемых
систем; соответствующие аналитические средства описаны в пер-
вой половине книги. Вторую же категорию систем можно нестрого
трактовать как системы связи; средства для их анализа бази-
руются на двусторонних преобразованиях, в частности на пре-
образовании Фурье, описанном во второй половине книги (в на-
чальном курсе для этого не требуется предварительного знания
теории функций комплексного переменного).
10
Предисловие
Комплексные экспоненты являются собственными функциями
ЛИВ-систем. В главах 12 и 13 изучается, как на основе этого свой-
ства можно представлять сигналы в виде сумм или интегралов от
экспонент. При этом выясняются основные закономерности рядов
и преобразований Фурье, значение которых для таких важных
приложений, как дискретизация, фильтрация и перенос частоты
(модуляция), обсуждается в следующих четырех главах. Во всех
этих разделах (а особенно в главе 16, где устанавливаются соот-
ношение длительность — полоса и принцип неопределенности)
акцент делается на характеристики, которые могут быть получены
путем изучения поведения системы одновременно во временной
и частотной областях. Для облегчения этого процесса время-
частотные (дуальные) соотношения выводятся по возможности
в симметричной форме. Преимущества такого подхода особенно
проявляются при детальном изучении в главе 17 принципов по-
строения систем связи.
Глава 18 посвящена приложениям другого рода — цифровой
обработке сигналов. Преобразование Фурье в дискретном вре-
мени (полученное в главе 14 как дуальная интерпретация формул
рядов Фурье) используется для проверки различных подходов
к применению цифровой аппаратуры для выполнения таких опе-
раций, как низкочастотная фильтрация аналоговых сигналов.
В предпоследней главе показано, что знания корреляционных
функций и спектральной плотности мощности, получаемых ус-
реднением входных процессов, достаточно для определения соот-
ветствующих характеристик процессов на выходе ЛИВ-систем.
Обсуждается связь между описанием сигналов с помощью харак-
теристик и функционалов, получаемых усреднением, и концеп-
цией случайности процесса. В главе 20 на основе этого анализа
объясняются преимущества широкополосных систем, использую-
щих ИКМ и ЧМ.
На протяжении всей книги я пытался сбалансировать два
в определенной степени противоречивых требования. С одной
стороны, как и положено во вводном курсе, предназначенном
для студентов с различной подготовкой, я старался свести мате-
матический уровень к минимально необходимому для объясне-
ния основных обсуждаемых вопросов. С другой стороны, учиты-
вая зрелость и широту студенческих интересов, я выбирал для
обсуждения темы (вне зависимости от их сложности и тонкости),
которые казались наиболее увлекательными с точки зрения их
математического, философского или прикладного интереса. Так,
например, первое требование удержало меня от соблазна предста-
вить динамические уравнения цепи в матричной форме. Второе же
требование заставило ввести некоторые положения теории обоб-
щенных функций и случайных процессов, несмотря на опасность
чрезмерного упрощения рассматриваемых вопросов Обеспече-
Предисловие
И
ние этого баланса оказалось особо сложным при доказательстве
математических теорем; как правило, я старался избегать стро-
гого формализма, пытаясь следовать совету Хевисайда: «Лучшее
доказательство — такое описание факта, при котором он может
восприниматься как факт». Я также руководствовался афоризмом
Бертрана Рассела: «Книга должна быть либо ясной, либо строгой;
совместить два этих требования невозможно». И хотя это высказы-
вание, на мой взгляд, несколько резковато, там, где у меня был
выбор, я отдавал предпочтение ясности.
Задачи в конце каждой главы (за исключением последней)’
являются ее неотъемлемой частью. Некоторые из них предназна-
чены для практики по темам данной главы; простейшие объеди-
нены в раздел «Упражнения» и обычно снабжены ответами. Од-
нако многие задачи предназначены для расширения или углуб-
ления материала. На мой взгляд, одно лишь чтение этих задач
(хотя бы для того, чтобы узнать, какие темы обсуждаются) должно
рассматриваться как необходимый компонент процесса обу-
чения.
В МТИ материал этой книги является основой курса, который
читается в течение 14 недель (по 5 часов в неделю). Часы распре-
деляются следующим образом: 2 часа — лекции, 2 часа — семи-
нары и 1 час — консультации; при этом размеры групп опреде-
ляются видом занятий. Лекции и сопутствующие демонстрации
предназначены для того, чтобы студенты проникли в самую суть
материала и увидели перспективы, чего трудно добиться другими
методами обучения; кроме того, лекции используются для раз-
вития таких тем, как вычислительные методы и двустороннее
преобразование Лапласа, которые в книге практически не об-
суждаются. Составной частью курса являются четыре лаборатор-
ные работы; в настоящее время они охватывают проектирование
активных фильтров, сравнение методов численного интегрирова-
ния дифференциальных уравнений, изучение систем на основе
линий задержки с отводами, а также исследование свойств ЧМ-
модуляторов и цепей фазовой синхронизации.
Не все темы каждой главы книги изучаются каждый семестр,
и не все темы книги изучаются каждым студентом. Тем не менее
опыт пяти лет работы в рамках этого курса в его нынешней форме
позволяет утверждать, что большинство студентов, завершая
курс, в общем представляют себе поведение сложных систем и
имеют элементарные навыки, которые служат достаточной осно-
вой для изучения более сложных и специализированных дисцип-
лин. Хотя эта книга мыслилась скорее как вводный курс, нежели
монография или справочник полезных формул и алгоритмов для
решения задач, она, как я полагаю, может использоваться и для
других целей. В частности, снабженная дополнительными замет-
ками и практическим материалом по выбору руководителя она
12
Предисловие
могла бы оказаться хорошей основой годового спецкурса для
многих специальностей.
Какова бы ни была надпись на титульном листе, можно смело
утверждать, что ни одна книга такого типа не может быть творе-
нием одного человека. Как на ее форму, так и на содержание ог-
ромное влияние оказало мое общение в прошлом с большим педа-
гогом Эрнстом Адольфом Гиллемином. Велика также роль бес-
численного количества сотрудников и студентов, с которыми я
общался в течение своей более чем тридцатилетней преподаватель-
ской деятельности. С особым удовольствием мне хотелось бы от-
метить значительный вклад в эту работу Хела Эйбелсона, Роба
Бакли, Майка Досона, Боба Гэллагера, Ленни Гулда, Барта
Джонсона, Боба Кеннеди, Марвина Кешнера, Джей Лим, Пи-
тера Мэтиса, Билла Шрайбера, Кэма Сирла, Стива Сентурии,
Джерри Сассмана, Арта Смита, Дика Торнтона, Джорджа Вер-
гезе, Стюарта Вагнера, Алана Уиллски, Джона Уайятта, Марка
Зана и Виктора Зу. За многие часы, отданные этой книге и обра-
ботке предшествующих ей записей, я глубоко благодарен редак-
тору издательства MIT Press Ларри Коэну, секретарям, прорабо-
тавшим все эти годы, в особенности Барбаре Рикер и Сильвии
Нельсон, Пат Макдауэлл, которая подготовила рисунки, и Эми
Хендриксон, которая помогла мне выполнить окончательный набор
на компьютеризированной системе ТЕХ, любезно предоставлен-
ной мне Лу Брейда. Самой сердечной благодарности заслуживают
моя жена Сэнди и дети, которые отказались от многих удоволь-
ствий, для того чтобы папа мог работать над книгой. И наконец,
я благодарен руководству и деканам факультета (а теперь еще
и Фонду развития инженерно-технических учебных программ
им. Бернарда М. Гордона) за ту финансовую поддержку, которая
сделала возможной написание этой книги, а также за веру — при
отсутствии какой-либо явной гарантии, — что она когда-нибудь
будет завершена.
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И
МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЫХ
ЦЕПЕЙ
1.0. Введение
В этой главе преследуется двоякая цель: напомнить читателю
основные принципы анализа электрических цепей и сформулиро-
вать эти принципы таким образом, чтобы обеспечить возможность
их более глубокого исследования в последующих главах. Цепи
(или схемы) являются совокупностью взаимно соединенных эле-
ментов. Однако слово «цепь» может характеризовать как реаль-
ную структуру, которую мы создаем в лаборатории из резисторов,
конденсаторов и транзисторов, соединенных с помощью проводов
или печатных шин, так и идеализированную модель, создаваемую
на основе абстракций. В данной книге мы в основном будем об-
суждать цепи в этом последнем смысле (хотя никогда не следует
забывать, что нам как инженерам модели цепей интересны в ос-
новном лишь как средство для понимания и разработки реальных
систем). Таким образом, наша первая задача состоит в том, чтобы
определить, что будут означать применительно к идеальным це-
пям слова «взаимосвязанные» и «элементы». Модель цепи пред-
ставляет собой графическое изображение системы динамических
уравнений, описывающих поведение этой цепи. Однако при таком
описании характеристики цепи выражены, как правило, в неяв-
ной форме; в конце настоящей главы мы выясним, как можно
решать простые динамические уравнения, получая точные харак-
теристики реакции цепи на простые стимулирующие воздействия.
Цель последующих глав состоит в том, чтобы путем обобщения
и совершенствования превратить идеи данной главы в совокуп-
ность мощных средств для анализа и проектирования сложных
систем, характерных для современной инженерной
практики.
1.1. Основные соотношения для элементов
В моделях электрических цепей элементы или ветви характери-
зуются уравнениями (называемыми основными соотношениями),
14
1. Динамические уравнения для простых цепей
связывающими напряжения и токи в ветвяхх). Простейшими
идеализациями элементов электрических цепей являются линей-
ные сопротивления, емкости, индуктивности и идеальные источ-
ники, основные свойства которых иллюстрируются на рис. 1.1.
Емкость
Сопротивление
о
+ 11
б
Индуктивность
Идеальный
независимый
источник
напряжения
Идеальный
независимый
источник
тока
к( П
б
в
Рис. 1.1. Простые линейные двухполюсные электрические элементы с сосредо-
точенными параметрами и основные соотношения для них. Обратите внимание
на отличие источников тока от источников напряжения; ориентация стрелки
или знаков «+* и «—* внутри символа определяет положительное направление
для данного источника, a: v (0 = Ri (f) нлн i (t) — Gv (t); единицы измере-
ния R — омы (Ом). 6: i(f)= С или v (0 — v (0) = С i (т) dx, единицы
а
t
измерения С — фарады (Ф). в: v (f) = L или i (f) — i (0) = -j- J о(т)Л;
о
единицы измерения L — генри (Гн), г: v (t) = t>0 (0 не зависит от I (0. д: I (0 =
= i0 (t) не зависит от v (t).
Заметим, что базовые направления для тока i (t) и напряжения п (0
в основных соотношениях всегда выбираются такими, как пока-
х) Вероятно полезно указать, что большинство идей, рассматриваемых
в этой книге, применимы также к другим случаям, когда основными динамиче-
скими переменными являются напряжения и потоки (например, механические
силы и скорости, температуры и потоки тепла, химические потенциалы и ско-
рости реакций). Кроме того, многие модели, рассматриваемые в общественных
и биологических науках, описываются уравнениями аналогичными тем, которые
мы будем рассматривать. В некоторых работах затрачивается много сил для фор-
мализации этих аналогий. Мы не убеждены в целесообразности этих усилий,
поскольку для большинства студентов соответствующий переход не представ-
ляется сложным. Примеры неэлектрических приложений можно найти в много-
численных задачах, помещенных в различных разделах настоящей книги.
1.1. Основные соотношения для элементов
15
зано на рисунке; т. е. для тока i (/) положительным считается
направление от положительного полюса через элемент, а для
напряжения v (0 — от положительного полюса к отрицатель-
ному. Единицами измерения i (<) и v (t) являются соответственно
амперы и вольты.
Элементы цепей могут иметь более двух полюсов (терминалов).
Из идеальных многополюсных элементов к наиболее важным от-
носится, пожалуй, идеальный управляемый (или зависимый)
источник. На рис. 1.2 показаны четыре основных типа таких источ-
Рис. 1.2. Идеальные управляемые (зависимые) источники и основные соотноше-
ния для них. Отметим, что для обозначения управляемых источников исполь-
зуются ромбы, а независимых — кружки, а — источник напряжения, управляе-
мый напряжением, v2 (t) — ai\ (t) не зависит от i2 ((); б — источник тока, управ-
ляемый напряжением, i2 (/) = gvt (t) и не зависит от v2 (I); в — источник напря-
жения, управляемый током, vs (/) = (/) и не зависит от i2 (/); г — источник
тока, управляемый током, i2 (?) = Рц (0 и не зависит от v2 (О-
ников. Идеальные управляемые источники — это, как правило,
результат идеализации активных элементов, таких как транзи-
сторы и операционные усилители в их линейной области. В част-
ности, идеальный операционный усилитель является важным осо-
бым случаем идеального, управляемого напряжением источника
напряжения, который получается в пределе, когда коэффициент
усиления а становится очень большим. Он имеет свое собственное
специальное обозначение, показанное на рис. 1.3. Идеальный опе-
рационный усилитель всегда используется в цепи обратной связи,
которая устанавливает конечное значение выходного напряже-
ния путем сведения практически к нулю разности напряже-
ний До (t) на входе. Другие примеры многополюсных элементов,
таких как связанные контуры и трансформаторы, преобразова-
тели и гираторы, обсуждаются в задачах в конце гл. 3.
Идеальные двухполюсные элементы (исключая независимые
источники), показанные на рис. 11—1.3, являются линейными.
16
Динамические уравнения для простых цепей
т. е. их динамические переменные удовлетворяют ПРИНЦИПУ
СУПЕРПОЗИЦИИ (ЛИНЕЙНОСТИ) х):
Если i' (t) и и' (t) — произвольная пара функций, удовлетворяю-
щих основным соотношениям элемента, а Г' (t) и v" (i) — любая
другая пара, удовлетворяющая тем же основным соотношениям,
то говорят, что элемент подчиняется принципу суперпозиции
(или, что эквивалентно, является линейным), если пара функций
i (t) = at' (t) + bi” (t) и v (t) = av' (t) + bv” (t) также удовлетво-
ряет основным соотношениям для любых значений констант а и b.
Двухполюсные элементы, представленные на рис. 1.1 —1.3
(исключая независимые источники), удовлетворяют также ПРИН-
ЦИПУ ИНВАРИАНТНОСТИ ВО ВРЕМЕНИ1):
Вход
Неинвертирующий
э вход
Выход
Идеаль-
ный х-
v2(f)
Инвертирующий
вход
Рис. 1.3. Идеальный операционный усилитель.
Если i (t) и v (t) — произвольная пара функций, удовлетворяю-
щих основным соотношениям элемента, то элемент является
инвариантным во времени, если i (t — Т) и v (t — Т) также удов-
летворяют основным соотношениям при любом значении Т. Цепи,
составленные целиком (исключая независимые источники) из
линейных инвариантных во времени элементов, являются при-
мерами линейных инвариантных во времени (ЛИВ) систем2).
Как мы увидим в последующих главах, понятие ЛИВ-систем
отличается, однако, большей общностью.
Наиболее распространенным нелинейным элементом является,
вероятно, диод, идеализированные основные соотношения для
которого приведены на рис. 1.4. На том же рисунке представлены
основные соотношения для ключа, который, несомненно, является
наиболее важным из элементов с изменяющимися во времени пара-
метрами. Цепи, содержащие нелинейные элементы, а также эле-
менты с изменяющимися во времени параметрами, являются чрез-
вычайно полезными. Некоторые примеры приведены в задачах
х) Эти определения распространяются непосредственно и на многополюсные
элементы. Другие примеры двухполюсных элементов как линейных, так и не-
линейных и/нли инвариантных во времени приведены в упражнении 1.1.
а) В ряде работ такие системы называются стационарными, см., например:
Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. «Очерки по математической теории систем». —
М.: Мир, 1971; Л. Заде, Ч. Дезоер «Теория линейных систем. Метод пространства
состояний». — М.: Наука, 1970. — Прим. ред.
1.2. Соединения элементов. Законы Кирхгофа
17
1.13—1.15. Однако анализ таких цепей зачастую весьма труден.
Существует относительно немного общих принципов или мето-
дов для исследования поведения нелинейных цепей; каждая из
них порождает свои аналитические проблемы. Теория же ЛИВ-
систем, напротив, содержит богатый набор теорем, принципов
и методов, которые дают мощные средства для исследования и раз-
работки. В результате нелинейности, присущие реальным элек-
тронным цепям, часто локализуют в виде отдельных ячеек, соеди-
ни Идеальный
о—*—>]— -----о
* -
Управление
НО
-----►и(Н
а
Рис. 1.4. а — идеальный диод, i (t) = 0 для v (/) О, v (i) = 0 для i (t) > 0.
б — идеальный ключ; управление — независимая функция времени, имеющая
два состояния: «разомкнуто» t (t) = 0 и «замкнуто» v (f) = 0.
няемых с помощью ЛИВ-систем. Такой подход значительно упро-
щает анализ, обеспечивая при этом свободу в проектировании,
достаточную для получения требуемых динамических характе-
ристик. В тех случаях, когда такая изоляция или локализация
невозможна, как, например, в случае некоторых быстродействую-
щих интегральных схем, процесс проектирования может привести
к использованию численных методов для исследования поведения
прибора при систематическом изменении различных его пара-
метров. Для этой цели были разработаны машинные программы
моделирования цепей; однако большое распространение подобных
моделирующих программ не устранило необходимости в понима-
нии математических основ ЛИВ-систем, поскольку эта матема-
тика является мощным языком, в терминах которого может об-
суждаться поведение сложных систем.
1.2. Соединения элементов. Законы Кирхгофа
Помимо ограничений, обусловленных основными соотношениями
для элементов, напряжения и токи в ветвях электрических це-
пей подчиняются дополнительным ограничениям, обусловленным
двумя фундаментальными законами, которые иллюстрируются
на рис. 1.5.
18 1. Динамические уравнения для простых цепей
ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ ТОКОВ (ЗКТ): алгебраиче-
ская сумма токов, притекающих к любому узлу цепи, равна
нулю. (В более общей форме: алгебраическая сумма токов, про-
текающих сквозь любое сечение цепи, должна быть равна нулю.
При этом сечение — произвольная совокупность ветвей, при отсе-
чении которых цепь распадается на две части.) ')
ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ (ЗКН):
алгебраическая сумма направленных падений напряжений вдоль
любого замкнутого контура цепи равна нулю. (В более общей
форме: сумма падений напряжений вдоль любого замкнутого кон-
тура должна равняться нулю.)
Рис. 1.5. Законы Кирхгофа: а — для токов (£ токов в сечении равна нулю); б —
для напряжений (£ падений напряжений при обходе контура равна нулю).
Оба закона вытекают из уравнений Максвелла 2) при условии,
что цепь такова, а переменные изменяются настолько медленно,
что практически вся электромагнитная энергия сосредоточивается
внутри «элементов», а не в пространстве между ними; такое ак-
кумулирование энергии можно описывать как сосредоточенное.
Для цепей обычных настольных размеров, собранных из элемен-
тов с сосредоточенными параметрами, законы Кирхгофа являются
хорошей аппроксимацией при частотах, не превышающих несколь-
ких десятков мегагерц.
1.3. Динамические уравнения.
Метод узловых напряжений и уравнений состояния
Законы Кирхгофа и основные соотношения дают в совокуп-
ности 2N независимых уравнений для N напряжений и N токов,
соответствующих N ветвям цепи. Однако запись и решение этих
*) Первый закон Кирхгофа является следствием принципа сохранения
количества электричества, см., например, И. Е. Тамм. «Основы теории элек-
тричества». — М.: Наука, 1966. — Прим. ред.
а) Полный анализ условий, при которых справедливы законы Кирхгофа,
содержится, например, в работе: R. М. Fano, L. J. Chu, R. В. Adler. Electro-
magnetic Fields, Energy, and Forces (New York, NY: John Wiley, 1960).
1.3. Метод узловых напряжений и уравнений состояния 10
динамических уравнений х) обычно значительно упрощаются при
использовании одной из нескольких специальных процедур (ме-
тодов), которые позволяют значительно уменьшить количество
неизвестных. Особенно важными на практике являются два таких
метода, приводящие к так называемым уравнениям в узлах или
уравнениям состояния.
Первый метод называется МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ НАПРЯ-
ЖЕНИЙ * 2):
1. Выбирается опорный узел. Уравнения, как правило, полу-
чаются проще, если выбранный узел является общим для наи-
большего количества источников напряжения и/или наибольшего
числа ветвей.
2. Определяются узловые напряжения между каждым из про-
чих узлов и опорным узлом, при этом из двух узлов, к которым
присоединяется идеальный (зависимый или независимый) источник
напряжения, обозначать следует лишь один узел. (В частности,
не следует обозначать ни один узел, соединенный с опорным це-
пью из одного или нескольких идеальных источников напряже-
ния.) Таким образом, число переменных оказывается на единицу
меньше, чем количество узлов минус количество идеальных источ-
ников напряжения 3). Каждая переменная соответствует напряже-
нию данного узла относительно опорного.
3. По узловым напряжениям для всех означенных узлов со-
ставляются уравнения Кирхгофа для токов. (Если к узлу подклю-
чен один или несколько идеальных источников напряжения, то,
как показано в примере 1.3.1, уравнение Кирхгофа следует со-
ставлять для сечения, включающего как требуемый узел, так и
указанные источники напряжения.)
Таким образом, метод узловых напряжений дает столько же
уравнений и неизвестных, сколько в цепи выделено узловых пере-
менных. В общем случае эта величина значительно меньше удвоен-
*) Во многих работах по электротехнике они называются уравнениями
равновесия, но это название вряд ли можно считать подходящим, поскольку
цепь весьма редко находится в состоянии равновесия как в механическом, так
и в термодинамическом смысле. В физике аналогичные уравнения называются
динамическими или уравнениями движения, именно динамическими мы их и
будем называть.
2) Принитое название метода в отечественной и переводной литературе,
см.: П. Л. Калантаров и Л. Р. Нейман. «Теоретические основы электротех-
ники».— М.—Л.: ГЭИ, 1951, 78; Г. Боде. «Теория цепей и проектирование
усилителей с обратной связью». — М.: ИП, 1948, гл. 1. — Прим. ред.
3)Если цепь содержит контур источников напряжения (нлн узел источни-
ков тока), то законы Кирхгофа предполагают, что величины этих источников
не являются независимыми; таким образом, один источник может быть исключен
без изменения поведения цепи. Применительно к числу независимых узловых
переменных это правило предполагает, что подобное исключение выполнено.
20
1. Динамические уравнения для простых цепей
ного числа ветвей. При известных узловых напряжениях значе-
ния всех напряжений и токов в ветвях вычисляются обычно чрез-
вычайно просто.
Пример 1.3.1
Следуя указанной выше процедуре, запишем узловые уравнения
для цепи, изображенной на рис. 1.6.
1. За опорный примем узел, помеченный как заземленный.
Выбор этого узла обусловлен тем, что в нем соединяются четыре
ветви, включая один источник напряжения.
2. Обозначим три узловых переменных напряжения, как
показано на рисунке. Цепь имеет шесть узлов; заметим, что 6 уз-
лов минус 2 источника напряжения минус 1 равно 3 независимым
узловым напряжениям.
Рис. 1.6. Схема для иллюстрации метода узловых напряжений.
3. Запишем уравнения Кирхгофа для трех означенных узлов:
а) для токов, вытекающих из узла, помеченного (t):
t
^(0-Va(0 + 1 f (T) - v2 ft)] dr К h (0) = 0; (1.3.1)
Ki J
0
б) для токов, вытекающих из узла, помеченного v2 (t):
t
J [V8 ft) - V! ft)] dr - (0) + С +
о
t
+ -Ц- J ft8 ft) - Vs ft) + vb ft)] dr - i2 (0) = 0; (1.3.2)
о
в) для токов, вытекающих из сечения, помеченного пунктир-
ной линией на рис. 1.6 и включающего узел v3 (t) и источник на-
пряжения vb ft):
t
-ц- It’s ft) — vb ft) — v2 ft)] dx + i8 (0) + = ic ft)- (1-3.3)
b
13- Метод узловых напряжений и уравнений состояния 21
В результате получается система из трех интегродифференциаль-
ных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряжениями
fi (0. fs (0 и v3 (/)
Пример 1.3.2
В качестве второго примера составления узловых уравнений
рассмотрим схему, представленную на рис. 1.7. Если операцион-
ные усилители идеальны, то каждый из изображенных на рис. 1.7
повторителей напряжения можно заменить, как показано на
рис. 1.8, управляемым источником с единичным коэффициентом
передачи.
Рис. 1.7. Еще одна схема дли иллюстрации метода узловых напряжений.
В результате получается эквивалентная схема, представлен-
ная на рис. 1.9, содержащая три зависимых источника напряже-
ния. (Заметим, что входной ток идеального повторителя напря-
жения равен нулю. Таким образом, повторитель напряжения дей-
ствует как буфер или изолятор. Несмотря на равенство выход-
ного напряжения входному, повторитель напряжения в общем
случае нельзя заменить проводником, соединяющим вход с выхо-
дом, не нарушив при этом поведения цепи.)
Цепь, изображенная на рис. 1.9, содержит 8 узлов и 4 источ-
ника напряжения; следовательно, для ее описания необходимо
8 —4 —1=3 узловых напряжения (/), v2 (/) и ц3 (/). Наилуч-
шим опорным узлом является опять-таки реальная точка зазем-
ления схемы, поскольку в ней сходятся 6 ветвей и она является
общей для всех источников напряжения. Составив уравнения Кирх-
22
1. Динамические уравнения для простых цепей
гофа для каждого означенного узла, получим три уравнения с тремя
неизвестными:
C^- + -L[v1(/)-vo(O] = (); (1.3.4)
Рис. 1.8. Эквивалентная схема повторителя напряжении — управляемый ис-
точник.
Рис. 1.9. Эквивалентная схема цепи, изображенной на рис. 1.7.
* * *
Второй метод составления динамических уравнений — МЕ-
ТОД УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЙ:
1. Временно заменяется каждая индуктивность Lj идеальным
источником тока величиной (/), а каждая емкость Ck — идеаль-
ным источником напряжения vh (t).
2. В полученной цепи, состоящей лишь из сопротивлений
и источников, определяются напряжения V; (/) (на источниках
тока, заменяющих индуктивности) и токи ih (t) (через источники
напряжения, заменяющие емкости). В результате для ЛИВ-цепи
имеем систему уравнений для Vj (t) (или ik (/)), представляющую
взвешенные суммы токов в индуктивностях, напряжений
на емкостях, vh(t), и параметров независимых источников.
1.3. Метод узловых напряжений и уравнений состояния
23
3. В левой части этих уравнений производится замена
Vj (t) = Lj и ih (t) = Ch ""'p , в результате чего получается
система дифференциальных уравнений первого порядка, выражен-
ных через переменные состояния — токи через индуктивности и
напряжения на емкостях.
Пример 1.3.3.
Для конкретизации формальных этапов вышеприведенной про-
цедуры рассмотрим еще раз цепь, приведенную в примере 1.3.1.
Приписав индуктивностям' и емкостям токи и напряжения в вет-
вях, получим картину, изображенную на рис. 1.10.
Рис. 1.10. Схема, иллюстрирующая метод уравнений состояния.
+ Х|Ю- -v2(0 +
Рис. 1.11. Схема рис. 1.10 после замены источниками элементов, иакоплиющих
энергию.
Заменяя индуктивности и емкости идеальными источниками
соответственно тока и напряжения, получим схему, показанную
на рис. 1.11. Тогда на основании элементарного анализа рези-
стивной цепи имеем
(/) - -Rih (0 - v3 (t) + va (t), (1.3.7)
v2 (0 = —Rii2 (t) — v3 (t) — vb (0 +
+ R2ic(t), (1.3.8)
h(t) = hit) + it(t). (1.3.9)
24 1. Динамические уравнения для простых цепей
Поскольку рх (t) = Lx^l^-, V2(t) = L.2~f и i3 (t) = C-^,
мы получаем динамические уравнения в форме состояний:
^ = ~^h(/)-^3(0 + -^a (0- (1-3-Ю)
~-^v3(t)-^-vb(t) + -^- ie(t), (1-3.11)
Ct I L»2 *->2 L'2 L-'t
+ (1.3.12)
Заметим, что левая часть каждого из этих уравнений представ-
ляет собой первую производную переменной состояния (tx (/),
i2 (t) или и3 (t)), а правая часть — функция лишь переменных со-
стояния и независимых источников (уа (/), vb (t) и tc (t)).
* * *
Токи в индуктивностях и напряжения на емкостях названы
переменными состояния, поскольку их значения в конкретный
момент времени являются суммарным итогом всей предыстории
в той части, в какой она может воздействовать на будущее пове-
дение цепи. Это следует из того, что токи в индуктивностях и на-
пряжения на емкостях определяют существующее в данный мо-
мент в цепи распределение запасенной энергии ').
В качестве переменных состояния могут быть выбраны не только
токи через индуктивности и напряжения на емкостях. Такое же
количество их независимых линейных комбинаций с равным успе-
хом может использоваться как система переменных состояния,
поскольку из них однозначно получаются как напряжения на
емкостях, так и токи в индуктивностях. (См. задачу 1.1.)
Число независимых переменных состояния называется по-
рядком цепи. Описанная выше процедура подсказывает, что по-
рядок равен числу емкостей и индуктивностей в цепи. Однако
если цепь содержит контуры из емкостей и источников напряже-
ния или сечения из индуктивностей и источников тока, то каждый
такой контур или сечение уменьшает на единицу количество не-
х) Вспомним, что произведение напряжения ветви на соответствующий ток
является мгновенной мощностью, подводимой к элементу этой ветви. Для ЛИВ-ем-
кости С интеграл мгновенной мощности, соответствующий запасенной энергии
в момент времени t, равен
j «с (Ч 1с (Ч dT = J* VC (т) С dT = Cv2c (О-
— <30 —-OQ
Аналогично для ЛИВ-индуктивности L энергия, запасенная в момент времени t,
равна Li[ (f). В обеих этих формулах мы молчаливо предположили, что при
t = —оо элемент находится в нулевом состоянии, т. е. ос (—<») = й. (—°°) = 0.
1.4. Структурные схемы
25
зависимых переменных состояния (и число уравнений состояния).
Это происходит из-за того, что уравнения Кирхгофа ограничивают
значимость идеальных источников на первом этапе процедуры
составления уравнений состояния. (См. задачу 1.2.)
Уравнения состояния описывают локальные изменения состоя-
ния. При этом важна их форма, учитывающая то, что скорость из-
менения состояния является функцией текущего состояния и те-
кущих входов. В силу такой структуры динамические уравнения
в форме уравнений состояния имеют определенные преимущества
в сравнении с узловой формой, в особенности в части доказатель-
ства теорем, а также при описании общих свойств цепей. Однако
другие процедуры составления динамических уравнений (анало-
гичные узловому методу или методу переменных состояния)
потребуют в общем случае другого числа переменных и уравне-
ний, давая в результате уравнения иной сложности. Выбор «луч-
шей» процедуры не наука, а искусство, и зависит от особенностей
конкретной цепи и целей проводимого анализа. Как узловой ме-
тод, так и метод уравнений состояния можно распространить
на цепи произвольной сложности, включающие нелинейные и
изменяющиеся во времени элементы. Для каждого из методов су-
ществуют формальные алгоритмы анализа цепей, которые по за-
данной топологии цепи и основным соотношениям для элементов
автоматически реализуют динамические уравнения. Более того,
по крайней мере для ЛИВ-цепей сложность получения точных ана-
литических решений динамических уравнений в первом прибли-
жении не зависит от метода составления уравнений — как мы
увидим впоследствии, она определяется в основном порядком
системы.
1.4. Структурные схемы
После того как для какой-либо системы — не обязательно элек-
трической цепи — записаны динамические уравнения в форме
уравнений состояния, нетрудно составить структурную схему,
а из нее получить аналогичную по поведению электронную схему.
Под «аналогичной» мы понимаем, что если на входы электронной
схемы поданы такие же по форме сигналы, что и на входы иссле-
дуемой системы, то переменные состояния (или любые комбина-
ции переменных состояния и входных сигналов, для которых
могут быть выбраны выходы) в исследуемой системе будут
иметь такую же форму, что и в электронном аналоге. Естественно,
в процессе перехода от реальной системы к электронному аналогу
мы вправе выбирать любые, удобные для нас единицы переменных
электронной схемы, соответствующие единицам переменных реаль-
ной системы. Мы вправе также выбирать масштаб времени для
аналога с тем, чтобы ускорить представление некоторых медлен-
26 I. Динамические уравнения для простых цепей
ных явлений (таких, как геологический процесс) или замедлить
быстрые (как, например, процессы взрыва). В течение многих лет
подобные электронные аналоговые компьютеры широко использо-
вались для разработки сложных, дорогостоящих и трудных в мо-
дификации систем, таких, например, как системы управления
самолетами или ракетами. Сегодня динамический анализ подобных
систем делается обычно цифровым способом, однако, несомненно,
структурные схемы все еще остаются полезными, а электронные
схемы, полученные на их основе, все еще имеют множество при-
Интегратор
у (t) = / х (т) dr + у(О)
*0
Усилитель
Сумматор
Перемножитель
Рис. 1.12. Простые элементы структурных схем.
у(О = Х,(О-Хг(/)
уО) = х|(/)ж2(у)
у (/) = Дх(П
менений в ситуациях, возникающих в реальном масштабе вре-
мени, например при обработке звуковых сигналов.
Некоторые наиболее распространенные элементы, встречаю-
щиеся в простых структурных схемах, показаны на рис. 1.12.
Каждый элемент (блок) определяет соотношение между одним или
несколькими выходами (помечены выходящими стрелками) и од-
ним или несколькими входами (помечены входящими стрелками).
Когда блоки соединяются друг с другом, выход одного из них
становится входом другого. Следующий пример показывает, как
соединение таких блоков может описывать заданную систему
уравнений состояния.
Пример 1.4.1
Цепь, изображенная на рис. 1.10, привела к трем уравнениям
состояния
= —£ и т - -ц- ^т+л- «„у,, (ил)
--ц---ц- mo - -ц-*.«)+£ т,
1.4. Структурные схемы
27
^3 (0 _ 1 : ,Л I 1 ; ,Л
dt ~ С С
(1.4.3)
Моделью этих уравнений может быть структурная схема, приве-
денная на рис. 1.13, состоящая из интеграторов, сумматоров и
усилителей. Поскольку это система 3-го порядка, необходимы три
интегратора, выходы которых соответствуют переменным состоя-
ния ix (/), t2 (t) и 1»3 (t). Ключом к построению или анализу подоб-
ных схем являются входы интеграторов, т. е. производные пере-
Рис. 1.13. Структурная схема, моделирующая уравнения (1.4.1, 1.4.2, 1.4.3).
менных состояния. Каждая производная в соответствии со своим
уравнением состояния представляет собой сумму взвешенных вход-
ных сигналов и переменных состояния. Схема, изображенная
на рис. 1.13, выполнена таким образом, чтобы облегчить понима-
ние этой структуры. Если, скажем, в качестве интересующей нас
выходной величины применительно к схеме рис. 1.10 мы выберем
напряжение vc (t) на сопротивлении /?2, т0 Для реализации урав-
нения vc (!) = R2 (ic (t) — i2 (t)) к структурной схеме требуется
добавить лишь несколько блоков.
* * *
Пример 1.4.2
Для синтеза электронной схемы, аналогичной структурной, при-
веденной на рис. 1.13, можно соединить между собой схемы опе-
рационных усилителей, изображенных на рис. 1.14, установив
28
1. Динамические уравнения для простых цепей
в них элементы с соответствующими значениями 1). Каждая из
схем на рис. 1.14 объединяет фактически несколько функций,
соответствующих основным блокам рис. 1.12. Соответствующее
соединение усилителей показано на рис. 1.15. Заметим, что все
переменные вне зависимости от обозначений являются по суще-
ству напряжениями. Обозначения, стоящие рядом с резисто-
Рие 1.14. Выполнение интеграторов и сумматоров на операционных усилителях
Рис. 1.15. Реализация уравнений (1.4.1—1.4.3) с помощью электронной схемы.
рами, — сопротивления, однако, поскольку на поведение схемы
влияет лишь отношение сопротивлений, их можно одинаково
отмасштабировать до любого удобного диапазона величин. Зна-
чение емкостей интеграторов Со определяет временной масштаб
электронного аналога и выбирается в соответствии с потребно-
стями.
* * *
1.5. Решения динамических уравнений
Как бы ни были получены динамические уравнения для сосредо-
точенных цепей — методами узловых напряжений или уравнений
состояния, описанными в разд. 1.3, либо с помощью какой-то дру-
*) Эти устройства названы «.операционный усилитель» потому, что вначале
они использовались в аналоговых компьютерах для реализации таких операций,
как интегрирование и суммирование.
1.6. Решения при нулевых входных воздействиях
29
гой процедуры, — они, как правило, представляют собой систему
дифференциальных уравнений нескольких переменных х). Та-
кие уравнения описывают неизвестные реакции на известные сти-
мулирующие воздействия лишь неявным образом и имеют форму:
(операции над реакциями) = (операции над стимулами).
С другой стороны, часто требуется описание в явном виде (или
операционное):
реакция = (операции над стимулами).
Для получения операционного описания динамические уравнения
должны быть решены (проинтегрированы), а не просто оценены.
Более того, может оказаться, что решение не является единствен-
ным (поскольку результаты обработки двух различных реакций
могут совпасть таким образом, что оба удовлетворят динамиче-
ским уравнениям). Для получения единственного решения необ-
ходимо дополнительно иметь вспомогательную информацию, та-
кую как начальные условия или начальное состояние.
Если цепь линейна и инвариантна во времени, то явное реше-
ние динамического уравнения в замкнутой форме практически
всегда можно получить (по крайней мере принципиально и для
широкого класса входных функций). Простейшие такие решения
получаются комбинацией решений для двух специальных случаев:
а) задающие или входные воздействия равны нулю;
б) задающие или входные воздействия экспоненциальны во
времени.
Рассмотрению решений для этих двух специальных случаев
для ЛИВ-цепей посвящена остальная часть настоящей главы.
Одна же из задач последующих глав состоит фактически в том,
чтобы показать, что эти случаи не так «специальны», как кажутся.
1.6. Решения динамических уравнений
при нулевых входных воздействиях
Если все независимые источники равны нулю на некотором ко-
нечном (t0 <Z t <Z ti) или полубесконечном (/ > Q интервале вре-
мени, то в течение этого интервала напряжения и токи в ветвях
могут быть равными нулю, однако это не обязательно, так как
может оказаться не равной нулю энергия, запасенная в цепи от
входных воздействий в течение времени t < t0. В этом случае от-
клик цепи называется реакцией при нулевом воздействии (РНВ),
а также собственной или гомогенной реакцией. Легко показать,
х) Узловые уравнения для цепей, содержащих индуктивности, будут также
включать интегралы узловых напряжений (см. пример 1.3.1). Но такие инте-
гралы легко «устраняются» путем дифференцирования уравнений.
30 I. Динамические уравнения для простых цепей
что токи и напряжения в сосредоточенных ЛИВ-цепях в течение
интервала времени с нулевым входным воздействием могут иметь
ненулевые значения тогда и только тогда, когда они являются
суммой определенных экспоненциальных функций времени (на-
зываемых «собственные моды») с характерными постоянными вре-
мени (в общем случае, комплексными), обратными значениями
которых являются собственные частоты цепи. Эти основные поло-
жения лучше всего поясняются на примере.
Пример 1.6.1
Схема с повторителями напряжения из примера 1.3.2 привела
к эквивалентной схеме, изображенной на рис. 1.16. Для этой
Рис. 1.16. Эквивалентная схема цепи, изображенной на рнс. 1.9.
схемы с помощью метода узловых напряжений мы получили сле-
дующие динамические уравнения:
с +4-=4 v° о -б-п
al i\ л\
с ~ [ца (/) - V, (/)] + 4- [va (/) - V! (0] = 0, (1.6.2)
at i\
с^-+4-1^(О~^(О] = о. (1.6.3)
Предположим, что u0 (1) = 0 в течение интервала t0 < t < /х.
В качестве решения для этого интервала выберем выражения вида
^(0 = ^", = vt(t) = V^‘ (1.6.4)
и, подставляя их, получим
(Cs + -4)vieS< =0’ <L6-5)
_ ’ yies/ 4. (cs + 4-) V8e’< - CsVsesi = 0, (1.6.6)
-4-^es/+(Cs+4) уз^=°. (1.6.7)
Общий множитель es/ можно сократить, поскольку он не равен
нулю при любых конечных s и t. Результирующая система из
1.6. Решения при нулевых входных воздействиях 31
трех линейных алгебраических уравнений с неизвестными Vlt
У2 и У3 имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда опре-
делитель из коэффициентов обращается в нуль, т. е. если
0 0
1 R C.s ф -1- —Cs
0 1 R Cs + JT
(RCs)3 + 2 + 2RCs + 1 = Q
R3
(1.6.8)
Корни этого характеристического уравнения являются характе-
ристическими (или собственными) частотами ') цепи:
1 -1 ±/Кз
RC ’ 2RC
(1.6.9)
Таким образом Vj (/), и2 (t) и v3 (t) могут иметь вид (1.6.4) при не-
нулевых значениях (по крайней мере некоторых) амплитуд И1(
У2 и У3 при условии, что s имеет одно из значений (1.6.9). Для
каждого допустимого значения s, однако, выражения (1.6.5—
1.6.7) налагают ограничения на У1г У2 и У3. Таким образом, если
s — —1/RC, то из (1.6.7) сразу же следует, что У2 должно рав-
няться нулю, а из (1.6.6) — что У2 — У3. Следовательно, одно
ненулевое решение нашей задачи с нулевым входным воздейст-
вием таково:
(/) — v3(t) — Ае-^^с, п2 (?) = 0, (1.6.10)
где А — произвольная константа. При заданных значениях этих
узловых напряжений легко вычислить все напряжения и токи
в ветвях. В них в качестве сомножителя войдет также произволь-
ная константа А.
Аналогичный результат справедлив для каждой собственной
частоты. Для каждой из них узловые напряжения (а следовательно,
все напряжения и токи в ветвях) представляют собой произведе-
ние констант на экспоненциальные множители с соответствующей
собственной частотой. Константы определяются выражениями
(1.6.5—1.6.7) независимо для каждой собственной частоты с точ-
ностью до одного общего произвольного (в общем случае комплекс-
ного) множителя. Таким образом, для s = (—1 ± j -/Ity/ZRC
из (1.6.5) следует, что Kj = 0, а из (1.6.7) — что У2 = Т3е±/Л/3.
*) Их называют также сингулярностями цепи, поскольку для этих зиаче-
ний s узловые уравнения являются вырожденными и имеют неединственные ре-
шения.
32
1. Динамические уравнения для простых цепей
Тогда два других решения нашей задачи с нулевым входным воз-
действием имеют вид
^(0 = 0, (1.6.11)
(0 = В^1№Се> ‘t2RC, (1.6.12)
о8 (/) = В1е~“/л/3е“//адсе/ "2*с (1.6.13)
и
о1(И = 0, (1.6.14)
оа (0 = Вге-'/2Лсе-/ /з t/2nc, (1 6 15)
v8 (0 = "2RC. (1.6.16)
Если несколько наборов узловых напряжений (и соответствую-
щие напряжения и токи в ветвях) независимо удовлетворяют за-
конам Кирхгофа и основным соотношениям в ветвях для цепи из
линейных элементов в условиях нулевого входного воздействия,
то легко показать, что переменные для узлов и ветвей, получен-
ные путем наложения (суммирования) соответствующих перемен-
ных из каждого набора, также удовлетворяют законам Кирх-
гофа и основным соотношениям в ветвях, т. е. эта комбинация
подчиняется динамическим уравнениям для цепи в условиях нуле-
вого входного воздействия. Более того, если действующие в цепи
токи и напряжения имеют действительные значения, то коэффи-
циенты в членах, соответствующих комплексно-сопряженным
собственным частотам, должны быть комплексно-сопряженными.
Следовательно, для цепи на рис. 1.16 в условиях нулевого вход-
ного воздействия узловые напряжения в наиболее общей форме
имеют вид
^(0 = Ае-иы, (1.6.17)
va(i) = Ве-‘!2*се! tf2RC ф- В,е~'/адсе_/ u2RC =
= 2|B|e-^ccos(-y^-+ arg в), (1.6.18)
(t) = Ae~‘/RC + Be-~i:!tl2e~tl2RCei//2ЛС +
£»e/n/3g— ЦЖе~! /3 </2ДС __
= Ae~^RC + 2\ В\e~^2RC cos (-&-+ arg В -, (1.6.19)
где звездочка (*) означает комплексное сопряжение. Для нахож-
дения значений действительной константы А и комплексной кон-
станты В = | В|е/ argB необходимо задание дополнительной ин-
формации, касающейся состояния системы в некоторый момент,
обычно в начале интервала нулевого воздействия (т. е. началь-
ных условий).
1.7. Решения при экспоненциальных входных воздействиях
33
Заметим, что количество произвольных (действительных) кон-
стант, которые определяются из дополнительных данных, равно
степени характеристического уравнения, которая также равна
числу собственных мод, собственных частот, числу переменных
состояния или в общем порядку системы. Если корни характери-
стического уравнения не являются простыми (различными),
т. е. если характеристическое уравнение содержит член (s — sft)n,
то собственные моды включают не только член es^, но также и teSht,
/2eSft/.tn~yeSkt; sk называют собственной частотой порядка
или кратности п. Количество произвольных констант должно
при этом соответственно возрасти.
* * *
1.7. Решения динамических уравнений
при экспоненциальных входных воздействиях
Если в течение некоторого конечного или полубесконечного ин-
тервала времени сигналы на всех независимых входах ЛИВ-
цепи пропорциональны некоторой экспоненциальной функции
времени es< (где $ может быть комплексным), то все напряжения
и токи в цепи в течение этого интервала могут иметь ту же форму
(пропорциональны той же функции времени es/) и коэффициенты
пропорциональности могут быть легко определены. Под выраже-
нием «могут иметь ту же форму» мы понимаем, что такие функции
удовлетворяют динамическим дифференциальным уравнениям.
Однако мы уже говорили, что эти уравнения описывают поведе-
ние цепи лцшь неявным образом. Следовательно, при экспонен-
циальных входных сигналах решения могут быть не только экспо-
ненциальными. Полное решение в течение интервала, на котором
входные воздействия экспоненциальны, слагается из частного
решения вида est и собственной реакции цепи на нулевое входное
воздействие. При этом константы выбираются таким образом,
чтобы полное решение соответствовало заданному начальному
состоянию или эквивалентной информации. Все это иллюстри-
руется в следующих примерах.
Пример 1.7.1
Входные воздействия постоянной величины можно рассматривать
как особый случай экспоненциальных при s = 0. Тогда частным
решением для цепи с постоянными входными воздействиями бу-
дет решение, в котором все переменные в ветвях имеют соответ-
ствующие постоянные значения. Это так называемое «постоянное»
решение, или решение для установившегося состояния, которое
асимптотически установится в цепи, если постоянные входные
воздействия будут поддерживаться неопределенно долго.
2 Сиберт У. М.
34 1. Динамические уравнения для простых цепей
Для систем первого порядка полное решение при постоянном
входном воздействии можно записать без труда. Таким образом,
узловое уравнение (или уравнение состояния — они по существу
одинаковы) для цепи рис. 1.17 имеет вид
i(0 = c4P-+4-u(0. (1.7.1)
Если i (/) = I = const, t > 0, то частным решением является
v (t) = V = const. Тогда член dv (l)/dt в выражении (1.7.1) равен
нулю. В результате получим
Рис. 1.18. Реакция на постоянное
входное воздействие.
Рис. 1.17. Схема к примеру 1.7.1.
Легко показать путем подстановки в (1.7.1), что реакция при ну-
левом входном воздействии имеет вид Ae~tlRC, так что полное
решение записывается как
v (0 = RI + Ае~{/*с. (1.7.3)
Если известно, что значение v (/) при i = 0 равно v (0), то из
(1.7.3) сразу же следует, что
A = v(0) — RI. (1.7.4)
После подстановки получим
V (Z) = я/ + (V (0) - R/) е-^с, t > 0. (1.7.5)
График зависимости v (/) представлен на рис. 1.18 для нескольких
значений v (0). Заметим, что i = RC соответствует моменту вре-
мени, когда реакция, изменяясь, проделала примерно 2/3 пути от
начального до конечного значения. (Точная величина состав-
ляет 1------та 0,632.) Заметим также, что прямая, имеющая
наклон, равный скорости изменения реакции цепи в начальный
момент, пересекает установившееся значение в точке t = RC.
Способностью записать выражение полной реакции (1.7.5)
для системы первого порядка с постоянным входным воздейст-
вием и прямо из формулировки задачи без всяких предваритель-
ных этапов точно ее нарисовать (как на рис. 1.18) должны обла-
1.7. Решения при экспоненциальных входных воздействиях 35
дать все инженеры и ученые. Примеры того, как это полезно при
практическом анализе электронных цепей, даны в задачах 1.13
и 1.14.
* * •
Пример 1.7.2
Для иллюстрации воздействия экспоненциальных входных сиг-
налов в более сложном случае продолжим анализ цепи из приме-
ров 1.3.2 и 1.6.1. Пусть входным воздействием будет (0 = Voes/,
а узловые напряжения имеют вид vt (t) = Vtest. Тогда динамиче-
ские узловые уравнения запишутся как
CsV^e’* + Vi.es/ = -±- Voes/, (1.7.6)
Cs (V2es' - V8e’0 + - V^) = 0, (1.7.7)
*\
CsV^ + (V8es/ - V2es/) = 0. (1.7.8)
Сокращая общий множитель esi и решая эту систему уравнений,
получим
''=ййт- <L7-9>
Г» = (RCs)» + 2 (RCs)2 + 2 (RCs) 4 1 ’ (1.7.10)
v. =____________К?___________ (1 7 11)
» (AGs)’+ 2 (flCs)2 + 2 (flCs) + 1 • v 7
Рассмотрим два специальных случая:
а) Реакция цепи на ступенчатое воздействие, когда входной
сигнал представляет собой единичную ступенчатую функцию и (0,
I 1>
(0 = w (0 = 101
при
при
f>0,
/<0.
(1.7.12)
В соответствии с соглашением *) при вычислении реакции цепи
на ступенчатое воздействие предполагается, что для / < 0 цепь
находится в состоянии покоя, т. е.
(0 = (0 = u8 (0 = 0, i < 0.
(1.7.13)
*) К сожалению, этим соглашением пользуются не все специалисты в данной
области. Если цепь не находится в состоянии покоя при t = 0, то речь пойдет
уже о реакции цепи не на ступенчатое, а постоянное воздействие типа v0 (/) = 1,
t> 0.
2*
36
1. Динамические уравнения для простых цепей
Поскольку напряжения на емкостях не могут изменяться мгно-
венно, состояние в момент времени t — 0+ описывается равен-
ством
V1 (0+) -- (О*) = vs (0+) = 0. (1.7.14)
Для (> 0 с0 (() имеет вид
(1.7.15)
при Vo = l,s = 0. Таким образом, окончательно из (1.7.9—1.7.11)
получим частные решения
t»i (/) — Vie,z |v0=i, J==o — 1,
Уг(0 = V2est | v0=i, »=o = h
v3 (0 — VaesZ j y0=l, s=o — 1-
(1.7.16)
(1.7.17)
(1.7.18)
Используя результаты примера 161, запишем полные решения
(1.7.19)
(1.7.20)
Ц (0 = 1 г Ae~t,RC,
Vg (/)=14- Be~"2RCei /3 H2RC B*e-tl2RCe-i ГЗ t/2RCf
vs(t) = 1 4- Ae~t/RC 4- Ве1п13е^1^се1^ </2RC +
4 B*ein/3et/2RCe~~l lliKC-
Учитывая значение переменных при t ~ 0+. получим
—/я/6 _ /л/6
В = -~е- - - В* = -4=—,
Уз Кз
Vi(0 = H -~e-‘/^]u(t),
= 1 -
(1.7.21)
= -1,
(1.7.22)
А
_2 e tf2RC cos /
/з V
Кз t п
2RC 6
(1.7.23)
/з t
»8 (0 =
(1.7.24)
Графики этих напряжений изображены на рис. 1.19.
б) Установившаяся синусоидальная реакция цепи, когда вход-
ное воздействие имеет вид
v0 (0 = Vo cos <o(, —00 < t <Z 00. (1.7.25)
Этот входной сигнал не похож на Voest, однако он тесно связан
с сигналами такой формы, поскольку функция косинуса может
быть записана одним из следующих способов:
eiwt 4- e~iat
1. cos ш/ = -—4^---------’ (1.7.26)
2. cos <о/= Re [е'“Ч (1.7.27)
(где символ «Re» означает «действительная часть от»). Поскольку
цепь линейна, инвариантна во времени и состоит из реальных
1.7. Решения при экспоненциальных входных воздействиях 37
элементов, мы можем определить ее реакцию, найдя сначала ее
реакцию на
v0 (0 = - оо < t < оо (1.7.28)
и затем проделав одно из следующих действий:
1) сложить реакцию для положительной <о с реакцией для
отрицательной w и поделить на 2 или
2) выделить действительную часть реакции. Обычно вторая
процедура проще. Поскольку нас интересует установившееся
состояние при синусоидальном воздействии, требуемыми полными
реакциями являются как раз компоненты, пропорциональные
экспоненциальному множителю входного воздействия e>at. Лю-
Рис. 1.19. Примеры реакции на ступенчатое воздействие ФНЧ Баттерворта
третьего порядка.
бые конечные члены собственной реакции цепи, которые могли бы
возникнуть при подаче синусоидального возбуждающего сигнала
в «момент» времени t = —оо, предположительно давно уже упали
до нуля. Считая va (i) типичной, запишем установившуюся реак-
цию на воздействие оо (0 = V^ei®*
Va = (/<о7?С)з + 2 (/<о«С)« ’+ 2 (/<о/?С) -4-1 Н V»6'™' О 7-29)
где
Н (ja>) = J Н (» | el н (/<» =
1
(juRCY 4- 2 (ju>RC)2 4- 2 (juRC) 4~ 1
(1.7.30)
называется частотной характеристикой цепи. Следовательно,
установившейся реакцией на и0 (0 — Vo cos col — Re [Уое/“г1 яв-
ляется
Vs (О = Re (Я (/w) V0^“z] = Vo | H (J a) | cos (w/ + arg H (/co)],
— oo<t<oo (1.7.31)
38 1. Динамические уравнении для простых цепей
Таким образом, установившуюся реакцию на синусоидальное воз-
действие произвольной частоты можно описать с помощью изо-
бражения на оси частот амплитудной и фазовой компонент ча-
стотной характеристики, как показано на рис. 1.20. Из выраже-
ния (1.7.30) легко получить, что
IН (fa) р = Н (fa)н(-fa) = • о-7-32)
Для со < 1/RC значение частотной характеристики «1, а для
1/RC значительно меньше I. Таким образом, данная цепь
Рис. J.20. Частотная характеристика ФНЧ Баттерворта третьего порядка.
при входном воздействии v0 (t) и выходном сигнале v3 (/) пропус-
кает низкие частоты и (до какой-то степени) задерживает или
подавляет высокие частоты. Поэтому она называется фильтром
нижних частот. Поскольку граница между полосами пропуска-
ния и подавления проходит вблизи и = 1/7?С, эта точка назы-
вается граничной частотой или частотой среза фильтра. Как мы
увидим далее, существует много различных видов фильтров ниж-
них частот (Ф'НЧ); фильтры, для которых
| Н (/®) |2 =---!---5-, (1.7.33)
1 и 1 + И'«о)
называются фильтрами Баттерворта п-го порядка с частотой
среза (о0.
1.8. Выводы
Используя метод уравнений состояния или метод узловых на-
пряжений, можно непосредственно получить систему динамиче-
ских дифференциальных уравнений для любой цепи с сосредото-
1.8. Выводы
39
ченными параметрами. Если цепь линейна и инвариантна во вре-
мени, то решение этих уравнений, состоящее в нахождении либо
реакции на нулевое входное воздействие, либо частной реакции
на экспоненциальный сигнал, начинается предположением о на-
личии экспоненциальных решений вида Aest. В результате диф-
ференциальные уравнения преобразуются в систему алгебраиче-
ских уравнений относительно амплитуд экспонент. В случае отыс-
кания реакции на нулевое входное воздействие эти уравнения одно-
родны, что обусловливает возможность ненулевых амплитуд только
для определенных характеристических частот. Таким образом,
в общем виде реакция на нулевое входное воздействие представ-
ляет собой сумму экспоненциальных членов на характеристиче-
ских частотах, причем амплитуды этих членов получаются из
данных о состоянии цепи в начале интервала нулевого воздействия
(или эквивалентной информации). В случае экспоненциального
входного сигнала, пропорционального esi, алгебраические урав-
нения, получаемые из предположений о наличии решений вида Aest
не являются однородными, что в общем случае обусловливает
свое значение амплитуд для каждого частного решения задачи.
Полное решение получается путем суммирования этого частного
решения с членами, соответствующими реакции на нулевое вход-
ное воздействие. При этом амплитуды выбираются такими, чтобы
полное решение удовлетворяло известному состоянию системы
в некоторый момент времени (или эквивалентной информации).
Эти «классические» методы анализа поведения цепи могут
модифицироваться в различных направлениях. Например, алгеб-
раические уравнения, получаемые в результате подстановки
решений вида Aest в динамические дифференциальные уравне-
ния, могут быть записаны непосредственно из схемы (т. е. без
предварительного составления дифференциальных уравнений)
с помощью импедансных методов. Читатели, по всей вероятности,
уже накопили некоторый опыт использования импедансных ме-
тодов в более ранних курсах. Разработка импедансных методов
с помощью нового средства — преобразования Лапласа — будет
одной из целей следующей главы. Преобразование Лапласа поз-
воляет также получить формальную процедуру для нахождения
реакции линейной инвариантной во времени цепи на произволь-
ный входной сигнал, имеющий форму не только экспоненты или
совокупности экспонент, анализом которых, как может показаться,
ограничиваются «классические» методы данной главы. В конеч-
ном итоге, однако, станет ясно, что значительные возможности
преобразования Лапласа обусловлены тем, что функция практи-
чески любой формы может быть представлена как сумма экспо-
нент. В этом заключается основа метода фурье-анализа. Таким
образом, полезность частотных методов для изучения поведения
ЛИВ-систем, включая импедансные методы и их обобщение до
40
1. Динамические уравнения дли простых цепей
понятия системной функции, не ограничивается экспоненциаль-
ными воздействиями, а простирается значительно шире.
Область применения методов ЛИВ-анализа чрезвычайно разно-
образна и богата. Это делает язык ЛИВ-моделей исключительно
ценным инструментом как для понимания, так и для разработки
сложных динамических структур, подобных тем, которые исполь-
зуются при обработке сигналов, в измерительных системах, а
также в системах связи и управления. Помочь вам научиться
не только «решать» задачи, но и «говорить» на этом языке — вот
истинная цель данной книги.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1
Упражнение 1.1
Предполагается, что все сигналы определены в интервале —оо < i < оо.
а) Покажите, что каждое из нижеприведенных основных соотношений опи-
сывает двухполюсный элемент, который является линейным и инвариантным
во времени.
dv(f) . ... ....
1) —3f-L + t'(0 = ‘(0.
2) v (0 = i (t - 1),
t
3) i (t)= j v (t) cos (t — t) di,
—co
t
4) i (0 = J ti(T)dx + i (0).
0
б) Покажите, что каждое из нижеприведенных основных соотношений опи-
сывает элемент, который не линеен и/нли не инвариантен во времени.
1) =
t
2) i (I) = j v (т) dt,
0
3) v (I) = i (!) cos t,
4) v(t) = 1(0 + 1.
Упражнение 1.2
а) Задайтесь исходным узлом и соответствующими узловыми напряжениями
для каждой из приведенных на рис. 1.21 цепей; запишите соответствующие
динамические уравнения в узловой форме.
б) Задайтесь соответствующими переменными состояния для каждой из ни-
жеприведенных цепей и запишите соответствующие динамические уравнения
в форме уравнений состояния.
Упражнении к главе 1
41
«г
(I) (2) ' (3)
Рис. 1.21.
Ответы:
- vc(,) +
dt R /А с г
rdt,c(0 Оо(0 + »с(0 I I
16) c~dT~ —r----------------- 1----------1-
Рис. 1.22.
Рис. 1.23.
t
2a) ~ j °« (T) + ‘b (°) + W £ V° — gm [»»(/) — ti0 (01 = 0.
Рис. 1.24.
42 1, Динамические уравнения для простых цепей
t
За) ~ [ vt (т) di + iL (0) + = —i0 (О.
ь J Л2
О
36) +
Упражнение 1.3
а) Примем в качестве опорного (рис. 1.25) заземленный узел (такой выбор
не обязательно является лучшим для данной схемы). Покажите, что узловые
уравнения, записанные через переменные vt (О и v2 (t), имеют вид
t
j [^1 (О — (т)1 + lL (0) + [oi (0 — v2 (0 + u0 (01 = »o (0>
0
i
-4- fa (0 + -4- [fa (0 — fo (0 — fl (01 + -r- [ [fa (O — fl (01 dr — iL (0) +
Л2 Л1 J
0
+ c^-[v2 (0-fo (01 = 0.
б) Покажите, что уравнения состояния, выраженные через переменные
состояния t>c (0 и (0, имеют вид .
с ^0 =-------l_vc (/) _ J_Vo (0 +
Ul £\2
L =- RliL (0 ~ v° (0 + Rli° (0-
в) Докажите, что уравнения, полученные в (а) и (б), совместимы.
Упражнение 1.4
а) Покажите, что для приведенной цепи на рис. 1.26 узловые уравнения
через переменные щ (!) и и2 (1) записываются в виде
+ С2 [v2 (0 - Vl (01 = о,
С2 df [fi (0 ®а (01 + [vi (0 4- av2 (0] Н—(0 — v0 (0] == 0.
Упражнения к главе 1
43
б) Покажите, что уравнения состояния, записанные через переменные va (/)
и vb (t), имеют вид
г* dva (О Ri + Rt .. /Л Ri aRa .. ,л । vo (О
Cl ~dt~ - ~ ^7(1 + a) W “ ад,(1 + а) Vb + ~RT ’
r dvbfO 1 ,л 1 /л
2 dt (1 +a)tf2 Va(i) (1 + a) Ri Vb (0'
Рис. 1.26.
в) Изобразите реальную цепь, включающую операционный усилитель и
другие соответствующие элементы, для которой схема, изображенная на рисунке,
является дифференциальной эквивалентной схемой.
Упражнение 1.5
Изобразите эпюру выходного сигнала для приведенного иа рис. 1.27 идеального
интегратора при указанном входном воздействии. Покажите, как влияет изме-
нение у (0).
Упражнение 1.6
а) Принимая выходные сигналы интеграторов (рис. 1.28) за переменные
состояния, запишите динамические уравнения для данной системы в виде урав-
нений состояния.
б) Исключите промежуточные переменные состояния и получите дифферен-
циальное уравнение, связывающее выход системы с входным воздействием.
d3y(t) , „ dy(t)
dt* dt* ' dt
dx{t)
dt '
+ y(t) —
44
I. Динамические уравнения для простых цепей
Рис 1.28.
Упражнение 1.7
в
2 кОм
1Гн
б
20 кОм
1,67 кОм
6 Ае-250‘+ Вс-2™/3
г Ae-300t cos(400t + 0)
Ответы: а Ае lQt
8 Ле-1"’' + Bte~'a3‘
Рис. 1.29.
Определите собственную частоту и реакцию на нулевое входное воздействие
(РНВ) для каждой из схем на рис. 1.29.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1
Задача 1.1
С физической точки зрения напряжения иа емкостях и токи в индуктивностях
являются, очевидно, вполне достаточной совокупностью переменных состояния,
поскольку их текущие значения описывают локализацию запасенной энергии
в цепи и, таким образом, определяют общий эффект, который прошлые стиму-
лирующие воздействия могут оказывать иа будущее поведение. Одиако ие меиее
очевидно, что они в этом отношении ие являются единственными; любая другая
комбинация величии, из которых алгебраическим путем могут быть получены
напряжения иа емкостях и токи в индуктивностях, также является вполне под-
ходящим набором переменных состояния.
Задачи к главе 1
45
а) Преобразуя узловые уравнения из примера 1,3.2 в форму уравнений со-
стояния, докажите, что для этой цепи узловые напряжения образуют соответ-
ствующую совокупность переменных состояния.
б) С помощью каких-либо простых примеров покажите, что узловые напря-
жения ие всегда образуют соответствующую совокупность переменных состояния.
Задача 1.2
Три индуктивности, изображенные иа рис. 1.30, это либо три независимые ка-
тушки, либо эквивалентная схема двух связанных катушек (см. задачу 3.7).
В любом случае в соответствии с ЗКТ в центральном узле лишь два тока через
индуктивности могут быть независимыми. Поэтому цепь имеет только две неза-
висимые переменные состояния, а следовательно, ее порядок не третий, а второй.
Рис. 1.30.
а) Выбрав в качестве независимых переменных состояния (1) и it (t),
запишите выражения для Vj (1) и в2 (1), пользуясь лишь ij (/), i2 (1), va (f) и ib (f).
б) Рассматривая Т-образную схему из индуктявиостей как четырехполюс-
ник (см. приложение к гл. 3), получите характеризующие его уравнения в виде
—) = Гн0! (0 + Гц01 (0.
— Tai^i (0 + Г22г.>2 (t)
и определите через {£fc}.
в) Используя результаты (а) и (б), получите для вышеприведенной цепи
уравнения состояния в обычной форме.
Задача 1.3
При соответствующих значениях параметров схема, приведенная на рис. 1.31,
работает как неинвертирующий интегратор.
Рис. 1.31.
46 I, Динамические уравнения для простых цепей
а) Запишите уравнения состояния для этой цепи через напряжения иа
емкостях Vj (1) и о2 (1).
б) Покажите, что дифференциальное уравнение, связывающее выходной
сигнал va (t) с входным v0 (/), имеет вид
^=№о(О
при условии, что RjCt = Т?2С2. Найдите величину и знак К.
Задача 1.4
С точки зрения поведения многие различные структурные схемы могут оказаться
эквивалентными в том смысле, что для нх описания используется одно и то же
Рис. 1.32.
Рис. 1.33.
дифференциальное уравнение. Покажите, что каждая из структурных схем на
рис. 1.32 и 1.33 эквивалентна в этом смысле схеме, приведенной в упражне-
нии 1.6.
Задача 1.5
В качестве модели поведения любой системы 3-го порядка может использоваться
структурная схема на рнс. 1,34:
Задачи к главе 1
47
а) Запишите динамические уравнения для этой системы в форме уравнений
состояния. Другими словами, выразите dXj (t)/dt, Л2 (t)/dt, d^ (t)ldt и выходной
сигнал у (<) через переменные состояния Xj (t), Х2 (t), Х,3 (!) н входной сигнал х (t).
(Совет. Обратите внимание на соотношения между переменными, обусловленные
блоками суммирования.)
х(()
Рис. 1.34.
б) С помощью преобразований избавьтесь от переменных состояния и их
производных с тем, чтобы получить одно дифференциальное уравнение вида
^3 "Г а2 ^2 + а1 dt I" а°9
о , о d3x W J. й dx (<) J- ft x
Ps" dt*"'+ ~dP~ + P1—dt------г ₽0
связывающее выходной сигнал с входным воздействием.
в) Получите формулы для вычисления коэффициентов усиления а, Ь.g
через коэффициенты {аг} и {(3,} и таким образом покажите, что этим путем может
быть реализовано любое дифференциальное уравнение третьего порядка, описы-
вающее соотношение «вход-выход». Процедура, иллюстрируемая данной зада-
чей, может быть обобщена и распространена на уравнении произвольного по-
рядка.
Задача 1.6
В этой задаче обсуждается структурная схема другого вида, которую можно
использовать в качестве модели поведения любой ЛИВ-системы третьего по-
рядка. Распространение ее на ЛИВ-снстемы произвольного порядка должно
быть очевидным.
а) Покажите, что структурная схема, изображенная на рис. 1.35 слеиа,
описывается дифференциальным уравнением входа-выхода
азП(0 _ft d3x(t) d*x(t) dx(t)
_^3-"Ps-^r- + ₽2-^r- + Pi-d7- +Po*(O-
б) Покажите, что структурная схема, изображенная на рис. 1.35 справа,
описывается дифференциальным уравнением входа-выхода
d/з + 2 dt2 + 1 dt +a<‘9^~ dt* *
48
1. Динамические уравнения для простых цепей
в) Если две приведенные на рисунке схемы соединить последовательно так,
что £ (0 = П (0> т0 общая структура будет описываться выражением
d3y (0 , d*y (t) dy (t) , ...
~dP “2 dt2 “* ~~dt ~
a d3x(t) , a d2x(t) , „ dx(t) , a ....
“ ₽3~^~ + ^~di2' +' ^~~dt~ + (0
Phc. 1.37.
и, как утверждалось, при соответствующем выборе коэффициентов усилении
может моделировать поведение любой системы третьего порядка. Однако если
эти схемы соединить в обратном порядке, как показано на рис. 1.36, то полу-
ченная система окажетси проще. (В последующих главах мы покажем, что общее
поведение последовательно соединенных ЛИВ-систем не зависит от порядка,
в котором они соединены.)
Задачи к главе 1
4»
Поскольку входные воздействия на интеграторы, находящиеси в начале
каждой из цепочек, одинаковы, их выходные сигналы тоже одинаковы н так далее
вдоль всей цепочки. Следовательно, как показано на рнс. 1.37, в действитель-
ности необходимой является лишь одна цепочка интеграторов. А теперь приме-
нительно к этой системе покажите, что ее дифференциальное уравнение входа-
выхода такое же, как и приведенное выше.
Задача 1.7
а) Выберите соответствующий набор переменных н запишите дифферен-
циальные уравнения, описывающие изображенную на рис. 1.38 систему, в форме
обычных уравнений состояния.
б) Из этих уравнений получите одно дифференциальное уравнение входа-
выхода, связывающее t>] (t) и v« (t).
Рис. 1.38.
в) Какой диапазон собственных частот может быть реализован в этой цепи,
если R, С н а могут принимать любые положительные значении?
Задача 1.8
В примере 1.3.1 для изображенной на рнс. 1.39 цепи были записаны узловые
уравнения. При va (1) = vb (1) — ic (i) ~ 0 этн уравнении принимают вид
Рис. 1.39.
+ ~Г~ ( <т> v* (T)l Л + '1 = °'
О
t
— J [о, (Т) - Or (Т)] dr - fl (0) + +
о
50 1. Динамические уравнении для простых цепей
t
+ -д- j [fj (Т) —1>3 (т)1 du — it (0) = 0,
Q
t
4- ([f 3 (T) - Vt (T)] dx + it (0) + = 0.
M J Kt
0
Полагая Ri = Rt = 1 кОм, £f = £a = 0,1 Гн, C — 0,2 мкФ, повторите вычис-
ления из примера 1.6.1 и найдите собственные частоты н собственные моды этой
цепн. (Совет. Анализ упростится, если сначала продифференцировать все три
уравнения с тем, чтобы избавиться от интегралов и констант. В качестве про-
верки полученных результатов заметим, что собственные частоты должны со-
ставлять 10”4s = —1, —1/2 ± /1^3/2.) .
Задача 1.9
Динамические уравнения состояния для ЛИВ-системы в условиях нулевых
входных воздействий могут быть записаны в матричной форме следующим об-
разом:
i] = Mj х X].
В этом выражении 1] — матрица-столбец переменных состояния (1), X] —
матрица-столбец производных A; (t)ldt, [Я ] — квадратная матрица коэффи-
циентов ац. Для нахождения собственных частот, как в примере 1.6.1, положим
h (t) = лгА
Подставляя, получим
8л]е!/ = [Л]хл]А
где Л] — матрица-столбец амплитуд A.t. Сокращая ненулевой множитель esi>
получаем
(1Л] — s I/]) X Л] = о,
где [/] — единичная матрица. Таким образом, собственные частоты являются
s-корнями уравнения
det (1Л1 - s 1/])=0
и называются характеристическими числами матрицы [А].
Для цепи из примеров 1.3.1 н 1.3.3, а также задачи 1.8 матрица 1Л ] имеет
вид (пример 1.3.3)
~-Ri п —1 "
Li Lx
[Л] = 0 —1
Lt Lt
1 1
- С С и
Для значений элементов цепи из задачи 1.8 найдите характеристические числа
матрицы [А ] и покажите, что они равны собственным частотам, полученным
в задаче 1.8. (Обычно характеристические числа матрицы с действительными
элементами вычисляются легче, чем корни полинома равной степени).
Задачи к главе I
61
Задача 1.10
Продолжая анализ цепи из задач 1.8 и 1.9, предположим, что нам требуется
найти реакцию v3(f) на входное воздействие v0 (t) = 2u (t) (рис. 1.40). (Напо-
минаем, что в случае ступенчатого воздействия при i < 0 цепь находится в со-
стоянии покоя.)
а) Считая, что ток в правой индуктивности равен 0 при t = 0, покажите,
что v3 (0 +) = 0.
б) Считая, что напряжение на конденсаторе равно 0 при 1=0, покажите,
что о8 (0+) = I == 0.
di р=о+
1к0м 0,1 Гн 0,1 Гн
------VA----------------------------------о
Vo(MC-y 0,2 мкФ-т- 1 кОм > к3(Н
Рис. 1.40.
в) Считая, что ток в левой индуктивности равен 0 при t = 0, покажите
что б3 (0+) = d I = 0.
4 Л2 k=O-f-
г) Из результатов, полученных в задаче 1.8, а также с учетом значения
(О в установившемся состоянии, покажите, что
v3(0 = 4 + Be~1Qti + Ce-iO‘//2e//3-.iQ.;/2 + c^-iw/2e-l^-W4/2> t>0>
и найдите (действительные) значения А и В, а также (комплексное) значение С
или С*. (Совет. Сравните с примером 1.7.2.)
Задача 1.11
В цепи из упражнения 1.4 положим Cj = 1 мкФ, С2 = 1,5 мкФ, = 1 кОм,
Т?2 = 333 Ом, а = 3.
а) Найдите собственные частоты цепи и реакцию на нулевое входное воз-
действие.
б) Пусть oe (t) = 3e~400t В при t > 0. В реакции v3 (I) найдите составляющую
вида У2е-400/.
в) Найдите полное решение для v2 (/) прн t > 0, если известно, что v2 (0 +)=
= -15 В, б2(0+) = ^Д| = 5-10® В/с.
di |;=о+
г) Какие значения начальных напряжений на конденсаторах va (0 и оь (!)
при t = 0+ соответствуют значениям о2 (0 +) и й2 (0 +), заданным в (в)?
Задача 1.12
Уравнение
^-) + е[у?(0-1]^- + 91 (0 = х(0
52 1. Динамические уравнения для простых цепей
является примером нелинейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка типа уравнения Ван дер Поля. Такие уравнения хорошо изу-
чены, и (для 1) их часто рекомендуют для аппроксимации целого
ряда систем с незначительной нелинейностью при известных входном х (0 и
выходном (t) сигналах.
а) Введем еще одну переменную уг (t) с помощью уравнения
и in dyi{t}
Используя у-! (t) к у? (t) как переменные состояния, запишите в форме урав-
нений состояния пару уравнений первого порядка, эквивалентных уравнению
Ван дер Поля.
б) При е = 0 уравнение Ван дер Поля описывает ЛИВ-систему. Найдите
общую (действительную) форму реакции прн нулевом входном воздействии.
в) Если е < 1 и в начальном состоянии |yt (t) | < 1, то это уравнение при-
ближенно описывает ЛИВ-систему второго порядка с отрицательным затуханием
^У1 (О dyt (/)
е dt +yt(t)-x(t).
В этих условиях найдите общую (действительную) форму реакции при нулевом
входном воздействии. Изобразите ух (/). Результатом (в) должна быть экспонен-
циально нарастающая синусоида с частотой порядка 1 рад/с и постоянной вре-
мени 2/е. Очевидно, что по мере увеличения | ух (t) | пренебрежение членом у‘] (/)
в сравнении с 1 становится все менее оправданным. В первом приближении мы
можем ожидать, что с увеличением | yt (t) | «среднее затухание» становится менее
отрицательным; в итоге колебания устанавливаются в области точки, где среднее
значение y'f (/) за период равно 1, так что «среднее затухание» равно нулю. Для
малых е колебания приблизительно синусоидальны с периодом 2л; при боль-
ших в форма колебаний заметно отличается от синусоидальной с увеличенным
периодом.
Задача 1.13
Таймер типа 555 является классической интегральной схемой широкого при-
менения. Включение ИС 555 по схеме, изображенной на рис. 1.41, позволяет
Исс, и подсоединяя выход к Исс-
получить релаксационный автогенератор
или мультивибратор. В этих условиях
ИС 555 ведет себя как управляемый нап-
ряжением ключ. При разряженном С
включение питания сопровождается про-
теканием тока от источника 7СС через
Ид и Rb и зарядкой конденсатора С. В
течение этого периода выходное напря-
жение близко к Vcc- Когда vc (0 (нап-
ряжение на С) достигает (2/3) Vcc, вы-
воды 7 и 3 схемы ИС 555 замыкаются
на землю. В результате С разряжается
через RB и выходное напряжение падает
почти до нуля. Когда vc (0 достигает
(1/3) Vcc, ИС 555 снова переключается,
отсоединяя вывод 7, так что С через
Ra и Rb снова заряжается от источника
(ак только vc (0 достигнет (2/3) Усс, этот
цикл повторяется.
а) Полагая конденсатор С разряженным в момент включения питания, изо-
бразите эпюры выходного напряжения и напряжения vc (0 на конденсаторе С,
придерживаясь масштаба, соответствующего вышеприведенному описанию.
Задачи к главе 1
S3
б) Покажите, что период колебаний определяется выражением
Т =0,693 (Ra + 2Rb)C.
Задача 1.14
Генератор, частота которого является функцией величины некоторого напряже-
ния (или тока), обычно называется «генератор, управляемый напряжением (или
током)'» (сокращенно ГУН). ГУНы широко используются в модуляторах, изме-
рительных устройствах, в системах ФАПЧ (фазовой автоподстройки частоты)
и других и часто включаются в интегральные схемы в качестве субкомпонентов.
Так, например, ИС типа LM1800 широко используются в качестве ЧМ-стерео-
демодулятора. Эта ИС в качестве компонента ФАПЧ содержит ГУН, схема кото-
рого приведена на рис. 1.42.
7,5 кОм
2 кОм
~ Г Идеальный
-------------о
+
J L Идеальный
1к0м
Рис. 1.42.
Выходное
напряжение
i
а) Пусть управляющий ток /0 = 0. Если прибор включается из состояния
покоя, то в первый момент благодаря конденсатору напряжение на инвертиру-
ющем входе операционного усилителя удерживается равным нулю относительно
земли, тогда как на неинвертирующем входе напряжение выше нуля. Таким
образом, выходное напряжение повышается до уровня источника питания 5,8 В
и оба диода открываются. По мере того как конденсатор начинает заряжаться,
напряжение иа неинвертирующем входе операционного усилителя сохраняется
на уровне У™ах. Что такое У™ах?
б) Выходное напряжение и напряжение на неинвертирующем входе опера-
ционного усилителя будут сохраняться на уровне соответственно 5,8 В и У™ах
до тех пор, пока напряжение на конденсаторе н инвертирующем входе опера-
ционного усилителя ие превышает У™ах. После этого выходное напряжение
резко падает до нуля, оба диода закрываются, напряжение на неинвертирующем
входе операционного усилителя падает до V™in и конденсатор начинает раз-
ряжаться через резистор 25 кОм (который в реальной схеме является перемен-
ным, но в данной задаче мы будем считать его постоянным). Каково значение
ymin?
в) Выходное напряжение и напряжение на неинвертирующем входе опера-
ционного усилителя будут сохраняться на уровне соответственно 0 В и К™:п
до тех пор, пока напряжение на конденсаторе и инвертирующем входе опера-
ционного усилителя ие упадает ниже У™'п, после чего выходное напряжение
54 1. Динамические уравнения для простых цепей
резко возрастает до 5,8 В и цикл повторяется. За какое время напряжение иа
конденсаторе упадет с У™ах до
г) За какое время напряжение иа конденсаторе возрастает от V™in до
ушах?
д) Изобразите в масштабе эпюры выходного напряжения и напряжений
иа инвертирующем и неинвертирующем входах операционного усилителя.
е) Каков период колебаний выходного напряжения?
ж) С помощью простых рисунков опишите качественно влияние на пове-
дение схемы управляющего тока малой величины (—40 мкА < I < 40 мкА).
(Заметим, что в этом диапазоне влиянием 70 в течение интервала заряда можно
пренебречь.)
з) Вычислите период выходного напряжения для 4—5 точек в диапазоне
управляющих токов — 40 мкА < I < 40 мкА и нарисуйте график зависимости
частоты выходного сигнала (равной 1/период) от управляющего тока Zo. Эта за-
висимость является характеристикой управления для ГУНа (хотя в данном слу-
чае считается, что прибор имеет токовое управление, поэтому правильнее было бы
его называть ГУТ).
Задача 1.15
Электрическая модель сердца н системы кровообращения интересна тем, что
эту нелинейную изменяющуюся во времени систему тем не менее можно иссле-
довать исключительно с помощью простых методов, описанных в примере 1.7.1.
На приведенной на рис. 1.43 схеме Са и Cv имитируют свойства эластичности
соответственно артерий и вен (напряжение является аналогом давления, а за-
Идеальный Идеальный
ряд — объема), a R представляет собой
сопротивление периферического крово-
обращения (ток — аналог объемного по-
тока). Сердце моделируется с помощью
изменяемой во времени емкости С, от-
ражающей поведение желудочка, и двух
диодов Dm н Da, соответствующих
митральному и аортальному клапанам.
(В данной задаче рассматривается лишь
левая сторона сердца млекопитающих:
правая сторона н малый круг кровооб-
ращения, которые также должны быть
Рис. 1.43. включены в этот контур, опущены для
простоты.)
а) Во время диастолы сердце наполняется возвратной кровью. Для моде-
лирования этой фазы положим, что Dm находится в проводящем состоянии,
Da открыт и С имеет постоянное значение С^. В начале диастолы (1 = 0) пред-
положим, что заряд на Са равен qa (0), а общий заряд иа Са и Со равен Q — qa (0),
где Q = const — общий заряд (объем крови) в системе. Найдите qa (I) и qv (1).
Для справедливости предположений относительно диодов qa (0) должен удовле-
творять некоторому условию. Какое это условие?
б) В момент t = Tl2 мышцы сердечной стенкн сокращаются. (Электриче-
ские аналоги сигналов, вызывающих сокращение, могут быть приняты на внеш-
ней поверхности груди и обусловливают максимальные пики на электрокардио-
грамме.) В течение последующего интервала, называемого систолой, нараста-
ющее давление в сердце закрывает митральный и открывает аортальный кла-
паны, при этом кровь выбрасывается в артерии. Для моделирования этой фазы
положим, что величина С резко уменьшилась от Са до Cs < Са- (Представьте,
что вы резко раздвигаете пластины конденсатора.) Напряжение на С быстро
возрастет, запирай при этом Dm и отпирая Da. Заряд на Cv в начале периода
Т/2 < t < Т будет таким же, как н ранее найденное значение q0 (Т/2), тогда
Задачи к главе I
55
как общий заряд на С (равной теперь Cs) и Са будет равен Q — qv (Т/2). Найдите
?а (О и (0 для Т/2 ct < Т.
в) В момент t = Т значение С резко увеличивается до С — Cd и цикл по-
вторяется. После нескольких циклов картина перезаряда достигнет периодич-
ности. Как можно рассчитать это установившееся периодическое поведение?
Диастола Систола
Рис. 1.44.
г) Покажите, что представленные на рис. 1.44 эпюры напряжения (давле-
ния) правильно отражают периодическое состояние при Q= 1, Са — Cs = 1,
Cv=Cd= 20, Т = 2RClt qa (0) = 0.1768 и Cr = Са (Со + Cd)/(Ca + Со + Cd).
д) Заметим, что в примере (г), соответствующем непрерывному току крови
из артерии в вены, в любой момент времени va (1) > vv (t). Однако общий заряд
в системе Q в течение всего времени остается постоянным, т. е. заряд не теряется.
Тем не менее энергия в системе постоянно теряется, рассеиваемая в виде тепла
на резисторе R. Откуда поступает эта энергия?
2
ОДНОСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЛАПЛАСА
2.0. Введение
Динамическая система в технике обычно характеризуется своим
функциональным назначением — усилитель, контроллер двига-
теля, радиопеленгатор и т. д. Для физических систем, наблюдае-
мых в природе (например, солнечной), достаточно ответить на
вопрос «Как она действует?» В случае же технической системы
необходимо также выяснить: «Для чего она предназначена?»
Аналогичный интерес к целевому назначению возникает при изу-
чении биологических систем и общественных формаций, которые,
как обычно считается, развивались в условиях ограничений,
породивших видимость целенаправленности.
Таким образом, при изучении технических систем приходится
постоянно обращаться как к их функциональным описаниям (пере-
даточная функция, «черный ящик»), так и структурным (принци-
пиальная или блочная схема, характеристика состояния). Пере-
ход от структурного к функциональному описанию требует ана-
лиза заданной структуры для определения ее передаточной ха-
рактеристики. Обратный переход может потребоваться при син-
тезе структуры с заданной функциональной характеристикой.
Математически функциональное описание системы имеет вид
оператора :)
у (0 -= f lx (t), (0), К (0), ... к (0) 1, (2-0.1)
х) В дальнейшем, при обсуждении общих вопросов, касающихся поведения
систем без конкретизации размерностей (напряжение, ток, смещение, темпера-
тура и т. д.) входных и выходных временных функций, мы будем обозначать
входной сигнал через х (/), выходной — через у (/), а переменные состояния —
через М (/). Системы, естественно, могут иметь более одного входа или выхода;
в этом случае в выражение (2.0.1) потребуется внести соответствующие формаль-
ные изменения. Заметим, что система, характеризующаяся (точечной) функцией
вида у (f) = х2 (/) является более ограниченной, чем система, характеризующаяся
оператором типа у (t) = j х (т) dx -|- у (0); в первом случае текущее значение
о
выходного сигнала зависит лишь от текущего значения сигнала на входе, тогда
кай во втором случае величина выходного сигнала зависит от значений сигнала
на входе в различные моменты времени, например в течение всего интервала
от t = 0 до настоящего момента. Более того, наличие в выражении компонента
у (0) свидетельствует о том, что в выходном сигнале учитываются даже более
отдаленные воздействия.
2.1. Одностороннее преобразование Лапласа
57
который в явном виде устанавливает однозначное соответствие
выходного сигнала у (t), t > 0 каждому входному воздействию
х (t), I > 0 и каждому начальному состоянию, описываемому
(0), Х2 (0), ••• (0)- Конкретная система может иметь несколько
эквивалентных *) функциональных, равно как и структурных
описаний (например, схему цепи, систему уравнений в узлах,
систему уравнений состояния). Наша главная задача в настоящей
главе состоит в том, чтобы, пользуясь методами преобразования
Лапласа, получить так называемое частотное представление функ-
ционального описания ЛИВ-системы. В последующей главе мы
будем изучать эквивалентное временное представление.
2.1. Одностороннее преобразование Лапласа
Одностороннее преобразование Лапласа (сокращенно ^-преобразо-
вание) представляет собой оператор, отображающий функцию вре-
мени в функцию комплексной переменной s = о + jw в соответ-
ствии с формулой
оо
X (s) — S [х (/)] = j х (/) dt.
о
(2-1.1)
Следует подчеркнуть, что данный интеграл отображает х (i)
в функцию переменной s. Нас интересуют значения X ($) не в ка-
кой-то отдельной точке, а в некоторой области комплексной s-
плоскости, поскольку (как будет обсуждаться в дальнейшем)
при задании X (s) в некоторой области s-плоскости мы, вообще
говоря, можем однозначно восстановить х (() для t > 0, т. е.
преобразование Лапласа обеспечивает взаимно однозначное соот-
ветствие.
Именно это свойство взаимной однозначности и обусловливает
полезность преобразования Лапласа* 2). Так, предположим, что
нам требуется описать оператор у (/) = f [х (/), {л; (0)}], характе-
ризующий некоторую систему. Вместо прямого решения этой
задачи часто проще и нагляднее оказывается описывать оператор
х) Два оператора эквивалентны, если для каждого состояния и входного
воздействия они дают один и тот же отклик при одинаковом состоянии и входном
сигнале.
2) Как видно из названия, ^-преобразование является одним из многих
вкладов в математику и физику маркиза Пьера Симона де Лапласа (1749—1827),
который указал на взаимно однозначное соответствие между двумя функциями
и применил свои результаты для решения дифференциальных уравнений в статье
с загадочным названием «О том, что следует», опубликованной в 1779 г. Однако
истинная ценность З’-преобразования для решения прикладных задач оставалась
неизвестной в течение более ста лет, до тех пор, пока его по существу вновь
не открыл и не распространил эксцентричный английский инженер Оливер
Хевисайд (1850—1925), исследования которого оказали серьезное влияние на
многие аспекты современной электротехники.
58 2. Одностороннее преобразование Лапласа
Y (s) — F [X (s), {Хг (0)}], связывающий преобразования Лап-
ласа для входного и выходного сигналов. В силу взаимной одно-
значности это эквивалентно искомому описанию. По причинам,
которые будут описаны ниже, s называется комплексной частотой.
Таким образом, оператор Y (s) = F [X (s), (7; (0)} 1, как говорят,
характеризует систему в частотной области, тогда как у (I) =
— f [х (I), {А.г (0)} ] характеризует ее во временной области,
вход выход
I I
временная область -> х (t) => у (t)=f [х (/), {К, (0)}],
частотная область -> X (s) => Y (s) = F [X (s), {X, (0)}.
Преобразование Лапласа в качестве математического инстру-
мента для вычисления отклика на конкретные простые воздей-
ствия полезно главным образом, для систем, функционально экви-
валентных сосредоточенным ЛИВ-цепям умеренной сложности,
скажем 3-го порядка. В случае нелинейных или изменяемых во
времени систем описание или оценка F [ • ] обычно ничуть не легче,
чем / [ •}. Для простейших ЛИВ-систем (I-го порядка) с простыми
входными воздействиями наиболее эффективны, как правило,
прямые методы (как в примере 1.7.1). Очень большие системы во
всех случаях требуют технических вспомогательных средств;
методы преобразования Лапласа сопряжены с обработкой матриц,
содержащих алгебраические элементы (функции s), и включают
нахождение корней полиномов высокого порядка, причем обе эти
процедуры трудно реализуемы в компьютерах. Однако внутри
своей, хотя и ограниченной, но важной области, преобразование
Лапласа является удивительно эффективным средством для ре-
шения задач теории цепей, и, что еще более важно, оно дает пони-
мание общих свойств и поведения систем.
2.2. Примеры ^-преобразований и теоремы
Пример 2.2.1
х(0=1, />0,
оо
“х('’ X (s) = У х (/) e~si dt =
____J о
оо оо
____________________► t = С le_,/ dt ---------------- e~si = —
* j-s-s
Рис. 2.1. О
при условии, что Re [s] > 0 так, что e~si -> 0 при t -*• оо.
2.2. Примеры ^’-преобразований
59
Пример 2.2.2
х (t) = в-®', t > О,
ОО
X(s) = =
о
оо
~ g— (s+a) t I _ _
s + a Is
а.
Рис. 2,2.
при условии, что Re [s] > —а так, что ->0 при t -> оо.
* * *
Заметим, что значения х (/) для /< 0 не влияют на X (s)
(и поэтому, очевидно, не могут быть восстановлены из X (s)).
Следовательно,
a) 3 [1J = 3\и (/)] = 4-’ Re[s]>0;
б) 3 [е-“П = 3 [е~~а(и (t)l = 2 [и (-1) + е~^и (/)] = .
Re [s] > —а
Двухстороннее преобразование Лапласа, определяемое как
оо
J х (0 erstdt, зависит от х (/) для t < 0 и обладает к тому же ря-
дом других свойств, которые будут кратко рассмотрены в при-
ложении к гл. 14.)
Важно также отметить, что интеграл, определяющий X (s),
часто существует лишь в ограниченной области s-плоскости,
называемой областью (абсолютной) сходимости. Должно быть
очевидным, что если х (t) не имеет особенностей, а скорость ее
роста не превышает еа°( для некоторого конечного значения о0,
то произведение e~six (t) будет абсолютно интегрируемым в пра-
вой полуплоскости, Re [s] > о0. Минимальное (действительное)
число о0, при котором выражение e~aix (t) абсолютно интегрируемо
для всех о > о0, называется абсциссой (абсолютной) сходимости.
Область абсолютной сходимости может занимать целиком всю
s-плоскость, так что о0 = —оо. Это справедливо, например,
если х (t) — импульс, т. е. если х (t) не равно нулю лишь на ко-
нечном интервале времени. С другой стороны, если х (t) растет
быстрее, чем любая экспонента, например х (t) = е(‘, то области
сходимости не существует и методы преобразования Лапласа не
могут быть применены.
Большинство представляющих для нас интерес X (s) — ра-
циональные функции (отношения полиномов относительно s).
60 2. Одностороннее преобразование Лапласа
Корни полинома-знаменателя являются значениями s, при ко-
торых функция X (s) -* ос, они называются полюсами. Корни
полинома-числителя называются нулями. По определению в об-
ласти сходимости не может быть полюсов; для рациональной
функции X (s) = S’ [х (/)! областью сходимости является зона,
лежащая правее самого правого полюса. Однако, как видно из
следующих примеров, в наших исследованиях будут часто появ-
ляться преобразования, не являющиеся рациональными функ-
циями.
Пример 2.2.3
х(0 ~u(t-T), (>0, Т>0,
ос ♦*(')
X(s) = ^x(t}e-s,dt -
о 1 * 3 *
оо оо ___
e-sT Т
Рис, 2.3.
• I Z J-e
J s
т
при условии, что Re fsJ > 0, так что -> 0 при t оо.
* * *
Совместно примеры 2.2.3 и 2.2.1 являются иллюстрацией общей
теоремы:
ТЕОРЕМА ЗАДЕРЖКИ"-.
Пусть S’ [х (1) j •-= X (s). Тогда для Т > 0,
S’ [х (i -• 7) и (t -- Г)] = X (s) e~sT.
(Доказательство теоремы задержки следует непосредственно из
простой замены переменной в (2.1.1). Заметим, что теорема за-
держки в общем случае не справедлива для Т < 0. Это можно
показать с помощью S’-преобразований х (1) = и (/) и х (/ -ф
-ф 1) и (t -ф 1) — и (t + 1). Можете ли вы сформулировать усло-
вия, при которых она справедлива для 7 < 0 ?)
х) В некоторых математических руководствах по преобразованию Лапласа
называется теоремой смещения:
I Т \
3 [х (I -ф Т)} = е'т X (s) — j х (Г) e~st dt
\ о )
(см., например, Г. Дёч. «Руководство к практическому применению преобразо
ваиия Лапласа». — М.: ГИФМЛ, I960, с. 21. — Прим. ред.).
2.2. Примеры ^-преобразований
61
Пример 2.2.4
ОО т т । -------
X(s) = esi di = §le~stdt — ,
0 0 or
= -^-(1 — e~sT), при всех s. Рис- 2-4-
* * * *
Заметим, что импульс х (t) в примере 2.2.4 можно записать
в виде разности двух временных функций
х (t} = 1 — и (t — Т), t > О, Т > 0.
Результирующая X (s) представляет собой разность преобразо-
ваний каждой из указанных функций времени. Это также является
примером общей ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОСТИ'.
Пусть SE [>у (/)] = Хх (s) и S’fxj//)] = X2(s).
Тогда S’ [ахг (t) + bxt (<)] = аХх (s) -ф ЬХг (s).
(И опять доказательство теоремы линейности следует непосред-
ственно из (2.1.1).)
Ясно, что ни одно из преобразований, полученных в примерах
2.2.3 и 2.2.4, не является рациональной функцией из-за присутствия
e~sT. Однако, вблизи точки s = 0 выражение (1/s) e~sT ведет себя
почти также, как 1/s; у него имеется полюс в точке s = 0. По-
скольку e~sT не имеет особенностей для всех конечных s, область
сходимости в примере 2.2.3 соответствует Re Is] >0. Несмотря
на свою структуру, выражение преобразования Лапласа для
импульса из примера 2.2.4 (1/s) (1 — g-’7-)1) не имеет особенностей
для всех s, включая s = 0. В самом деле, для существования S’-
преобразования импульсного сигнала из примера 2.2.4 никаких
ограничений на s налагать не требуется, так что область сходи-
мости в этом случае занимает целиком всю плоскость.
Теоремы линейности и задержки полезны тем, что позволяют
без интегрирования находить S’-преобразования многих интерес-
ных функций. Приведем несколько примеров.
1 - e~sT
*) lira-------- = Т. — Прим. ред.
s—й s
62
2. Одностороннее преобразование Лапласа
Пример 2.2.5
х (t) — e~ai — е-&, t > О,
(s) s + a s 4- в (s + а) (s + Р) •
Рис. 2.5.
Область сходимости
либо Re [s ] > — а,
ограничивается
либо Re [s] >
> — Р в зависимости от того, что
из них находится правее.
* * *
Пример 2.2.6
х (t) = sin (t>ot =
2/ s-/®0 2/ s + /<oo
Re [s] > 0.
Пример 2.2.7
( sincoJ,
x(O = |o
= sin (Oq/ —|—
<Bq
s2 + <0§ ’
для 0 < / < n/co0
для всех других t
X (s) = -е~5Я/и" = 2 2 (1 + для всех
v ' S2 + cog ' S2 + m0 S2 -f- COg 4 1 ’
s. Эта X (s) не имеет полюсов ни в одной точке конечной s-
плоскости. (Очевидные полюса в точках s = ± j®0 компенсируются
в этих точках нулями выражения (1 -f- e-SJt/<0“).)
* * *
В дальнейшем мы, как правило, будем опускать указание обла-
стей сходимости, подразумевая при этом, что существует некото-
рое значение о0, такое, что для Re [s] > о0 все преобразования,
производимые в конкретной задаче, достаточно определены.
2.3. Обратное преобразование Лапласа
Схема, предложенная в разд. 2.1 для анализа систем с помощью
преобразования Лапласа, требует возможности обращения опи-
санного выше процесса и восстановления х (/) по заданной X (s).
2.3. Обратное преобразование Лапласа
63
Можно показать (это совсем не очевидно), что эта задача решается
с помощью обратного преобразования Лапласа
х (() = [X (s)] = -JL- j X (s) est ds, (2.3.1)
с
где интегрирование ведется вдоль соответствующего контура С
в комплексной плоскости. Этот интеграл может оказаться исклю-
чительно удобным во многих случаях, однако возможности и
эффективность его использования зависят от глубины понимания
теории функций комплексного переменного, что выводит эту
задачу за рамки наших исследований. (Тем не менее эти вопросы
мы еще затронем после знакомства с преобразованием Фурье
в гл. 14.)
Для наших целей вполне достаточной будет реализация об-
ратного преобразования путем разложения X (s) на сумму членов,
каждый из которых является прямым преобразованием простой
функции времени. Окончательное выражение для искомого пре-
образования получается с помощью теоремы линейности и теоремы
единственности (одна из формулировок которой представлена
ниже).
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ^
Если Хх (s) = [х, (t) ] и Х2 (s) = £? [х2 (t) ] существуют
и равны в любой малой области s-плоскости, то X, (s) =
= Х2 (s) во всей общей для них области сходимости,
a xt (1) = х2 (() почти всюду для t > 0.
Эта теорема означает, что для практических целей обратное пре-
образование является единственным
Методика нахождения обратного преобразования, которую мы
собираемся изложить, работает всегда, когда X (s) является ра-
циональной функцией, а также в некоторых других случаях.
Идея состоит в том, что любую рациональную функцию можно
разложить на элементарные дроби. В частности, если рациональ-
ная функция является правильной (степень числителя меньше
степени знаменателя—это ограничение мы снимем в гл. И) и
если корни знаменателя (полюса X (s)) являются простыми или
*) Естественно, из X (s) ничего нельзя узнать относительно х (t) для t < 0.
Выражение «почти всюду» означает, что (f) и х2 (t) могут отличаться в изоли-
1, при t=/= I )
рованных точках, например х± (f) = I, х2 (f) = < >; однако в силу
(, 0, при t = 1 J
причин, которые мы рассмотрим в гл. II, на практике эти отличия не играют
роли. Доказательство теоремы единственности приведено, например, в работе
D. V. Widder. The Laplace Transform (Princeton, NJ: Princeton Univ. Press,
1946) p. 63. Единственность тесно связана с тем, что X (s) является аналитиче-
ской функцией во всей ее области сходимости, т. е. X (s) можно разложить в схо-
дящийся ряд Тейлора относительно любой точки в этой области.
64
2. Одностороннее преобразование Лапласа
различными (это ограничение будет вскоре снято), то всегда можно
записать
у / v__ Cns” 4~ Cn-iSn 1 + • + ___cns” + °n- 1 + • • • + °o __
sm + + • • + &0 (s~ sPi) (s ~ SP,) • • (s — sPrn)
где klt k2, ... , km — соответствующий набор констант, называе-
мых вычетами 1). Как только будут найдены kt, сразу же можно
записать выражение для соответствующей х (t) в виде
x(t) — kleSj>*i -+ k2eSp* + Ь.те*р™ , />0. (2.3.3)
Это выражение или его обобщение, включающее случай кратных
полюсов, часто называют теоремой разложения Хевисайда.
Из выражения (2.3.2) должно быть очевидным, что для X (s)
с простыми полюсами вычеты легко находятся по формуле
Az = H(S)(S-S/)f)]^. (2.3.4)
Следующие примеры иллюстрируют использование метода разло-
жения на элементарные дроби при нахождении обратного преоб-
разования Лапласа для X (s) с простыми полюсами.
Пример 2.3.1
у / \ s + 3____s + 3____fep । fei
S2 + s — s(s+l) ~ s s+1 ’
где
^ = [^(s)sU0 = -J±f-|s==0 = 3,
kt = [X (s) (s + l)]s= = -^±11 = -2.
о [S^=-=l
Таким образом,
X(s) = —--------f-j-=>x(/) = 3-2e-^ />0.
v > S s+1
Поскольку операция разложения на элементарные дроби является
алгебраическим тождеством, ее можно и должно всегда проверять
путем обратного преобразования разложения в рациональную
дробь
V z<j\ __ 3 (s + 1) — 2s_s + 3
~ s(s+ 1) — s2 + s •
l) Обратите внимание, что нормировка X (s) в (2.3.2) осуществляется таким
образом, чтобы в знаменателе коэффициент при максимальной степени s был
равен единице. Невыполнение этого условия является распространенным источ-
ником ошибок в оценке вычетов.
2.3. Обратное преобразование Лапласа
65
Пример 2.3.2
у /с\ ~ s 1___________________।
u s2 4-1 ~ (s 4- /) («— /) ~ s 4- / ' s — / ’
где
- Iх <s> <s + = -Йт L-, - = 7Т
=IX «(s - т.„ = 4±L |1=/ = -44 > е-«<.
Таким образом,
х (t) = -р~ -~=г е~1'л^е!( = )/2 cos (t — л/4), t > 0.
Заметим, что поскольку полиномы числителя и знаменателя имеют
действительные коэффициенты, полюсы, равно как и вычеты, по-
лучаются в виде комплексно сопряженных пар.
* * *
Пример 2.3.3
X(s) =
1 _ е~ (s+a) Т
s 4~ а
Это выражение не является рациональной функцией, но оно может
быть записано как сумма произведений рациональных функций
и множителей e~sTi
X(s) = -4------е-—e-s7\
' ' s 4~ « s 4- а
Следовательно, на основании теоремы задержки
х(0 = е-“г—Т)] = е-“«-е-^и(7 - Т), 7>0.
Рис. 2.7.
Это — импульсообразный сигнал, причем мы видим, что факта
чески X (s) не имеет полюсов ни в точке s = — а, ни в какой-
либо другой точке конечной s-плоскости; область сходимости
занимает целиком всю плоскость.
3 Сиберт У. М.
66
2. Одностороннее преобразование Лапласа
2.4. Кратные полюсы
Процедура разложения на элементарные дроби несколько услож-
няется, если полином знаменателя содержит повторяющиеся или
кратные корни. Тогда к результату разложения должны быть
добавлены дополнительные члены, соответствующие степеням
повторяющегося члена вплоть до порядка самого полюса. Это
положение поясняется следующим примером.
Пример 2.4.1
Л ~ (S + 1)8 (S + 2) (S + 1)3 + (S + 1)2 + S 4- 1 “Г S + 2 •
Вычет k2 и коэффициент k'{ можно легко найти с помощью оче-
видной модификации приведенного выше метода разложения;
k2 = [X (s) (s + 2)]..^ = |,__г = -1,
« - [X (s) (s + 1 )’U_, =
Одних лишь этих двух членов недостаточно для представления
X (s) (для доказательства достаточно свернуть разложение в ис-
ходное выражение X (s), положив k[ = kt = 0). Для нахождения
ki и k{ можно применить несколько методов:
а) Обращение разложения в исходную рациональную функ-
цию и сравнение коэффициентов при соответствующих степенях:
1 , К _____1 1 =
(s н-1)3 "г (s+i)2 г S+ 1 S 4- 2 (S 4-l)3(s+ 2)
(s + 2) + fe((s + 1) (s + 2) +fet (s + 1)2 (s + 2) — (s + 1)3
(s + l)3(s + 2)
Сравнивая коэффициенты при максимальных степенях, имеем
kxs3— s3 = 0 или k± = 1. Сравнение коэффициентов при следующей
по величине степени дает k'^s2 4- k\ (2s2 4- 2s2) — 3s2 = 0 или k'i =
= —1.
б) Разложение X (s) (s 4- l)3 в степенной ряд относительно
(s 4- 1):
х (s)(»+ If =7T2- = ~+T) + l =l-(s+D + (s + l)’-
(где мы' воспользовались разложением = 1 — х 4- ха —
— х3 4- ... , которое справедливо при | х | < 1, т. е. при s вблизи
— 1). Тогда
X(s) =
= _!_________^-4- —
(s+l)3 (s + 1)2 -1- 5 +
(s + l)a
2.4. Кратные полюсы
67
Искомыми являются коэффициенты при отрицательных степенях,
т. е. k\ = 1, k\ = — 1 и ki = 1. (Поскольку коэффициенты раз-
ложения функции X (s) (s -ф I)3 в ряд Тейлора связаны с ее
производными, формулы для k\ и k\, приводимые в математиче-
ских книгах, часто записаны через производные, однако это не
самый лучший способ вычисления указанных коэффициентов.)
в) Вычитание члена &i'/(s -ф I)3, при этом функция будет
содержать полюс лишь второго порядка. Повторение указанной
процедуры устраняет кратные полюсы, и такая функция может
быть разложена обычным способом:
X м _ k"________________1____________1 = 1 - (s + 2)
(s+ 1)з (s + 1)з (s _|_ 2) (s-J-1)3 (S + 1)3(S_|_2) =
—1 _____ k\ t 1
— (М-1)2(* + 2) ~ (s + I)2 +7+Т s + 2" •
Тогда
k'l = Г7 щ- (S -4- I)'2] = —1
L (s + I)2 (S+2) v ’ Js=— I
И т. д.
* * *
Для оценки временных функций, соответствующих ^-преоб-
разованиям с кратными полюсами, необходимо знать временную
функцию, преобразованием которой является l/(s -ф а)п. Решить
эту задачу можно путем повторного применения следующей
теоремы.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ НА t:
Пусть [х (()] = X (s). Тогда
^1^(0] = --^-. (2.4.1)
Доказательство следует непосредственно из дифференцирования
основной определяющей формулы
X (s) = j x(t) e~si dt.
о
Таким образом, мы получаем, что
g [te'at] = — 4-----z—г--чя , - (2.4.2)
L J ds s -|- a (s + a)2 ’ v ’
в общем случае
= <2-4'3’
3*
68 2. Одностороннее преобразование Лапласа
В частности, возвращаясь к примеру 2.4.1, если
у/, 1 1 1 । 1 1
л \s> — (s + I)3(s +2) — (S+ I)3 (s-j-l)» г s+1 s + 2 ’
TO
x (/) = -i- t2e~l te~f + e—* — e~2t, t > 0.
В приложении к настоящей главе содержится краткая таблица
изображений по Лапласу некоторых функций, а также перечень
наиболее важных свойств ^’-преобразования. Более полные таб-
лицы приведены в многочисленной литературе по этому вопросу.
2,5, Применение преобразования Лапласа
для анализа цепей
В предыдущей главе мы показали, каким образом динамические
уравнения, характеризующие поведение цепи, получаются на
основе двух видов информации: основных соотношений между
напряжениями и токами в ветвях, описывающих элементы, и
ограничений, определяемых их взаимным соединением и законами
Кирхгофа. Поскольку в общем случае основные соотношения вы-
ражаются через производные и/или интегралы, динамические
уравнения, вообще говоря, являются дифференциальными урав-
нениями. С другой стороны, как указывалось в разд. 2.1, как
элементы цепи, так и ограничения, обусловленные их межсоеди-
нениями, можно было бы описывать через соотношения между
односторонними преобразованиями Лапласа для напряжений и
токов в ветвях. В результате для ЛИВ-цепей получается система
алгебраических уравнений, которые в решении и интерпретации
значительно проще дифференциальных уравнений.
Начнем с замены основных соотношений для простых двух-
полюсных электрических элементов с сосредоточенными парамет-
рами, изображенных на рис. 1.1, эквивалентными соотношениями
в частотной области. Так, линейный резистор адекватно описы-
вается как законом Ома для мгновенных значений v (t) = Ri (/),
так и соотношением
V(s) = RI(s) (2.5.1)
между ^-преобразованиями напряжения и тока, которое вытекает
из теоремы линейности. Математически (2.5.1) имеет тот же вид,
что и закон Ома для «напряжения» V (s) на «резисторе» R, по кото-
рому протекает «ток» / (s). Естественно, V (s) и I (s) не напряже-
ние и ток, а их изображения по Лапласу. Тем не менее иногда очень
удобно рисовать схему в «частотной области», где переменными
являются изображения по Лапласу функций времени, действую-
щих в ветвях, а элементы описываются основными соотношениями
между этими изображениями.
2.5. Применение преобразование Лапласа
69
Для получения аналогичных основных соотношений в частот-
ной области для линейных емкостей и индуктивностей нам по-
требуется ТЕОРЕМА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ'-
Пусть ST lx (/) ] = X (s). Тогда
^[т] =s^(s)-x(°).
(2.5.2)
Эта теорема доказывается следующим образом. По определению 11
Интегрируя по частям, т. е. используя формулу j udv = uv —
— du при и = e~si, du = — se~si dt, dv = dt, v — x (t),
получим
J' e~si dt — x (t) e~st I -|- s J x (t) e~si dt = —x (0) -f- sX (s),
о Ao
где мы положили x (t) e~si Iе0 = 0, как это и должно быть, если s
находится в области сходимости X (s) = S’lx^l. Таково дока-
зательство этой теоремы.
Применение ее для преобразования уравнения i (t) = С dv (t)/dt,
характеризующего емкость С, дает
I (S) = CsV (s) — Cv (0) (2.5.3)
или
V(s) = -^rZ(s) + -^-. (2.5.4)
Математически выражение (2.5.4) имеет ту же форму, что закон
Ома для «напряжения» V (s) на «резисторе» 1/Cs, по которому
протекает «ток» / (s) и последовательно с которым включен
«источник напряжения» v (0)/s. Таким образом, в схеме, соответ-
ствующей частотной области, емкость представляется в виде
импеданса Z (s) = 1/Cs, последовательно с которым включен
источник «напряжения» v (0)/s, отражающий ее начальное состоя-
ние. Аналогично, преобразуя уравнение v (() = Ldi (t)/dt, ха-
рактеризующее индуктивность L, получим
V (s) = Lsl (s) — Li (0) (2.5.5)
x) Мы полагаем, что dx (t)/dt не имеет особенностей. Интересно отметить,
однако, что правая часть выражения (2.5.2), несомненно, имеет смысл даже при
наличии разрывов в х (t). Это говорит о том, что даже в подобных случаях (как
мы убедимся далее в гл. 11) dx (t)/dt может быть придан определенный смысл.
70
2. Одностороннее преобразование Лапласа
ИЛИ
/(3) = -^ 7(S) + In. (2.5.6)
Следовательно, индуктивность в схеме, соответствующей частот-
ной области, представляется импедансом Z (s) = Ls с параллельно
включенным «источником тока» i (0)/s, отражающим ее начальное
состояние.
Полученные выше описания элементов в частотной области
изображены на рис. 2.8. Заметим, что «переменными в ветвях»
Сопротивление f(s) R
V(s) = Л7(«) о ►-—
Емкость V(s) = ^-7(s) + ^ v(o) + V(s)~► Ls
Индуктивность Ls s + ♦-V'(s)-►
Рис. 2.8. Изображение простых ЛИВ-элементов в частотной области,
для этих элементов являются изображения по Лапласу реально
действующих напряжений и токов. «Значениями элементов»
в частотной области являются импедансы, соответствующие физи-
ческим элементам, а «источники» появляются только при пере-
ходе в частотную область. Заметим также, что импеданс аналоги-
чен сопротивлению, т. е. он представляет собой отношение нап-
ряжения (изображения) к току (изображению); величина, обрат-
ная импедансу и аналогичная проводимости, называется полной
проводимостью. В общем случае символ Z (s) используется для
обозначения импеданса произвольного элемента, a Y (s) — для
обозначения его полной проводимости.
В силу теоремы линейности ограничения, наложенные во вре-
менной области законами Кирхгофа на токи и напряжения в вет-
вях, переносятся без всякого изменения в частотную область:
временная область частотная область
Si;(/)=0 E/J(S) = O,
в сечении в сечении
ЕМ0 = О о ШМ- (2.5.7)
по контуру по контуру
2.Б. Применение преобразования Лапласа
71
При изображении цепи в частотной области эти ограничения
представляются схематически путем соединения элементов точно
таким же образом, как это делается при изображении цепи во
временной области. Совместное применение импедансных методов
и ^-преобразования для эффективного решения задач, связан-
ных с ЛИВ-цепями, лучше всего поясняется следующими при-
мерами.
Пример 2.5.1
В примере 1.7.1, пользуясь «классическими» методами, мы вы-
числили отклик простой цепи первого порядка, изображенной
на рис. 2.9, на постоянный входной сигнал. Результирующее
Рис. 2.9. Схема и примеру 2.5.1.
Рис. 2.10. Реакция на постоянное
входное воздействие.
выражение с учетом произвольной начальной величины напряже-
ния и (0) на емкости получилось в виде
и(0 = /?/ + (р(0)~ р/)е-^с, />0. (2.5.8)
График этого выражения приведен на рис. 2.10, а изображение
рассматриваемой цепи в частотной области — на рис. 2.11. Со-
Рис. 2.11. Изображение в частотной области цепи на рис. 2.9.
противление и емкость представлены здесь своими импедансами
соответственно 7? и 1/Cs. Для учета начального состояния после-
довательно с емкостью включен источник v (0)/s. Источник по-
стоянного тока I, присутствующий на схеме, соответствующей
временной области, в частотной области заменен своим изображе-
нием I/s. Нам требуется определить V (s) — изображение по Лап-
ласу напряжения v(t). Рассматривая V (s) как узловое напряжение,
72 2. Одностороннее преобразование Лапласа
можно, пользуясь теорией элементарных резистивных цепей,
получить узловое уравнение
2Ж+(у(5)_ = (2.5.9)
Решая (2.5.9) относительно V (s) и пользуясь разложением на
элементарные дроби, получим выражение
I//м (//С) + и (0) s R1 . v (0) RI /9 5 101
v ~ -T(s+-(\IRC)) - ~Г + 7+W ’ ( }
которое с помощью примеров 2.2.1 и 2.2.2 можно сразу же опо-
знать как изображение выражения
v(t) = Р/ + (п(0) - RI)e~wc, />0, (2.5.11)
тождественного результату, полученному в примере 1.7.1. Есте-
ственно, данная задача настолько проста, что решается без вся-
ких вычислений, а это лучше, чем использование преобразований.
♦ ♦ ♦
Пример 2.5.2
Случай, когда преобразование Лапласа оказывается наиболее
полезным, иллюстрируется задачей, схема которой приведена
на рис. 2.12. Для решения составим уравнения в узлах для час-
МО = з, I > о
z0(t) = 4е~', t >0
МО) = -1
’ ДО) = 2
а
«, = 0,50м, R2=1Om, Ь=1Гн, С = 0,5Ф
Vo(s) = 3/S
ад = 4/(« +1)
vc(0) = -1
i l(0) = 2
6
Рис. 2.12, Изображение цепи к примеру 2.5.2: а— во временной области; б —
в частотной области.
тотного представления этой схемы, как будто это резистивная
цепь с сопротивлениями в ветвях, равными импедансам. Выби-
2.5. Применение преобразования Лапласа
73
рая напряжения Vc (s) и I i (s) в качестве узловых переменных
и учитывая, что сумма токов в узлах равна нулю, получим
Хсйьла.+(Vc (s) Cs+Mj-M).+M.o,
(2.5.12)
,H.W-yCW.+JlgL-^-/o(s) = l). (2.5.13)
I-.O Z\2 d
Решая (2.5,12—2.5.13) относительно Vx (s), после некоторых ал-
гебраических преобразований получим
Для обнаружения алгебраических ошибок анализ цепей при со-
ставлении уравнений целесообразно вести в общем виде, пользуясь
буквенными обозначениями, так чтобы легко можно было прове-
рить на состоятельность размерности суммируемых членов (при
этом надо учитывать, что s имеет размерность Z-1, RC и L/R —•
размерность t, a LC — размерность I2). Однако для дальнейшего
продвижения полезно подставить в эту формулу значения эле-
ментов, заданные на рис. 2.12. Тогда получим
г.(Ч = '«(Ч + > + 5,+v(Ч +
s ^с(О) s (s + 4) Д(0) . г
Т s2 + 5s + 6 s “г s2 + 5s + 6 s •
Заменив изображения источников и начальных условий соответ-
ствующими функциями, заданными на рис. 2.12, и разложив на
74 2. Одностороннее преобразование Лапласа
множители выражение s2 4- 5s -f- 6 = (s -f- 2) (s 4-3), получим
V M - 4(s» + 4s + 2) 12_______________1 ,
(s+l)(s + 2)(s + 3) “rs(s + 2)(s + 3) (s-|-2) (s3)
2 (s 4- 4) _ 6s3 4- 25s2 4- 27s 4- 12 2 __ 2 .
(s -j- 2) (s -j- 3) s (s 4~ 1) (s 4~ 2) (s 4-3) s s 4-1
4----&---1_!— (2.5.16)
s-f-2 s4-3 • k ’
Обратное преобразование дает
t»! (() = 2 - 2e-f 4-5e-2^ 4-e-« (>0, (2.5.17)
что и является окончательным искомым ответом.
* * *
Ясно, что ^-преобразование является мощным и эффективным
средством для решения задач типа рассмотренной в примере 2.5.2.
Однако алгебраические преобразования, которые были опущены,
можно значительно упростить, используя тот или иной метод
упрощения линейных резистивных цепей, рассмотренных в более
ранних курсах, — эквивалентное параллельное и последователь-
ное включение сопротивлений, формулы делителей тока и напря-
жения, метод суперпозиции, теоремы Тевенина и Нортона, методы
преобразования многозвенных цепей и т. д. Как видно из следую-
щего примера, эти методы можно с тем же успехом применить
к импедансам при изображении цепей в частотной области.
Пример 2.5.3
Заменим левую часть схемы, изображенной на рис. 2.12, на экви-
валентную ей по теореме Тевенина, как показано на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Тевениновский эквивалент для части цепи на рис. 2.12.
Если считать цепь разомкнутой (т. е. IL (s) = 0), то используя
метод суперпозиции и формулу делителя напряжения, получим
TZ . ^/S у I______________1/^_____(0) _
Vc [ ) (1/2) 4- (2/s) 0 ( + (1/2) 4- (2/s) s
4V0(s) , (0)
s 4 s 4
= V (s),
2.5. Применение преобразования Лапласа
75
где V (д)-тевениновский источник напряжения. Для нахождения
тевениновского импеданса Z (s) следует закоротить (приравнять
нулю) источники Vo (s) и vc (0)/s и вычислить результат парал-
лельного включения двух импедансов 1/2 и 2/s:
7 м - (V2H2/S) = 2
(1/2) +(2/s) s + 4 •
Теперь эквивалентная схема становится такой, как изображена
на рис. 2.14.
Рис. 2.14. Эквивалентная схема после замены левой части тевениновским экви-
валентом.
Снова пользуясь методом суперпозиции, формулами дели-
телей и т. д., можем сразу же записать выражение для (s)
1 Г "с (°) । 4V0 (s) ] s.l Д(0)
2 [s + 4"t*s + 4j_r,1 , 2 s г
VX(S) =
делитель
напряжения
делитель
тока
2
2
/о (s)>
параллельное
включение
импедансов
или
V\(s)— s2 + 5s + 6 ;o(s) + -2-^5s+-6 V0(s) +
, S vc (°) , S (s + 4) Д (0)
' s2 -j- os - 6 s s2 + 5s + 6 s
что полностью соответствует полученному ранее результату.
76
2. Одностороннее преобразование Лапласа
2.6. Выводы
Наличие взаимно однозначного соответствия между функцией
времени и ее изображением по Лапласу позволяет характеризо-
вать поведение системы как во временной области — путем задания
правила нахождения выходной функции времени по заданному
сигналу на входе и соответствующей информации о начальном
состоянии, — так и в частотной — путем задания правила на-
хождения изображения выходной функции времени по заданному
изображению входной функции и соответствующей информации
о состоянии. Для ЛИВ-цепей временное описание — это система
дифференциальных уравнений, тогда как частотное описание
приводит к линейным алгебраическим уравнениям, работать
с которыми значительно проще. Более того, применение преобра-
зований Лапласа к основным соотношениям для ЛИВ-элементов
и законам Кирхгофа лежит в основе идеи о возможности замены
цепи во временной области ее частотным изображением, в котором
элементы заменяются своими импедансами. При этом решение
полученных уравнений относительно искомых переменных в вет-
вях сводится к элементарной задаче из теории резистивных цепей.
Преобразование Лапласа — это мощный «механизм» для «про-
кручивания» задач на переходные процессы в цепях, что иллюстри-
руется примерами 2.5.1—2.5.3. Однако, как мы начнем понимать
в следующей главе, значение импедансных методов и частотной
области отнюдь не исчерпывается решением задач на переходные
процессы в цепях.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 2
Таблица 2.1. Односторонние •^’-преобразования
некоторых функций
X (s) =*= j х (0 e~st d*
о
х (0 = g~i [X (s)]
6 (О
«(0 = 1
e-“'
t"
ine~at
X (s) = <? [x (QJ
1
1
s
1
s + a
nl
sn+l
nl
(s + a)n+1
x) См. гл. 11.
Упражнения к главе 2
77
Продолжение табл. 2.1
х (0 = g-1 [X (з)] X (s) = g [x (/)]
sin со01 <= ф <0p s2 + co2
COS CD0t <= s s2 + cog
e-af cos a>ot <= s + ex (s + a)2 + cog
Примечание: х (t) определяется выражением [X (s)]
только для t > 0.
Таблица 2.2. Основные теоремы одностороннего ^-преобразования
Линейности aXi (f) + 6х2 (0 <=> aXi (s) + bX2 (s)
Задержки x(t-T)u(t- Г) <=> "X(s)e-sr, 7>0
Умножения иа t tx(t) dX (s) ds
Умножения иа e~ai e~aix(t) <=> X (s + a)
Масштабирования x (at) <=> —xF-q> °>o a L ° J
Дифференцирования dx (t) dt sX (s) — x (0)
t
Интегрирования j x (t) di <=> s
0
О начальном виачеиии x (0) = lim sX (s)
О конечном значении *> X (oo) = lim sX (s)
s-> 0
t
Свертки I Xi (i) x3 (t — t) di <=> ' -^1 (s) -^2 (s)
0
*) При условии, что ’) См. гл. 10. sX (s) не имеет полюсов в области Re [s] > 0.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2
Упражнение 2.1
Покажите справедливость приведенных ^’-преобразований каждой из следующих
функций времени. Изобразите эпюру временной функции и покажите на диа-
грамме расположение всех конечных полюсов и нулей преобразования. Штрн-
78 2. Одностороннее преобразование Лапласа
ховкой отметьте на диаграмме область абсолютной сходимости. Во всех задачах а
и ш0 считаются положительными величинами.
x(t), г>о X(s)
а) 1-е-а‘ < =b- a Pp F<1 >0,
s (s + a) ’ K N
б) e+a/sin < ф. ®o ре г г I a
(s — a)2 + cog ’
в) e~at cos (<d0/ + л/4) <= s os — со0 Re[s]>— a
V 2 [(s + a)2 +
г) ie~ai cos aot <= (s 4- a)2 — cog [(s + a)24- cog]2’ Re M > —“>
д) fl, 1 < / < 2 => — [e s — e-2sL при любом s.
0, в остальных точках p, 0</< 1 s
е) 2 — t, l</<2 < . 0, в остальных точках 1, — 1 </<0 /1 _ e-s \2 => s ) , при любом s,
ж) => 0,
0, в остальных точках
в) ch at <= a,
e~atu (/ — 1) <= e-(s+a)
и) > -—j , Re[s]> s 4- a ’ —a,
к) 1 — (1 4-a/)e~a/ <= / , <2 , Re KJ s (s 4- a)2 ’ >0.
Упражнение 2.2
Покажите справедливость обратных односторонних ^-преобразований для за-
данных функций X (s). Изобразите эпюру каждой из функций времени и пока-
жите на диаграмме расположение всех конечных полюсов и нулей преобразо-
вания. Заштрихуйте на диаграмме область абсолютной сходимости.
а)
б)
в)
г)
Д)
X(s)
1
(s+l)(s + 2)
$4-3
(s + 1) (s + 2)
1
s2 — a2
I
(S + a)2 + t02
x(i), />0
e4 - e~2‘.
<=> 2а-'-е-и,
_ 1 u г
<=> —shat,
a
.. 1 —ni • л
<=> ---e 1 sin WnZ,
<D0
' 1, 0<*<’
<=Ф- —1, 1 </<2
0, в остальных точках,
Задачи к главе 2
79
( sin 0< t <z 2л
I 0, в остальных точках,
(1 + Ое-<>
/ - (1 + о<
У2 е"( cos (i + л/4),
—fi 2 —t/2 / "V31
‘ +75“ ' “Ц-т-
5л \
"б-/
Упражнение 2.3
Уравнение состояния, описывающее систему, имеет вид
-^- = -2Л (0 + ^(0-
Покажите, что отклик этой системы на входное воздействие вида х (/) = и (t — 1)
описывается выражением
M0 = 4"(1_fi"2 (f-I)) «(^ — О-
Упражнение 2.4
Покажите, что в изображенной на рис. 2.15 цепи ток равен
6 кОм /(г)
3 кОм
1Гн
Рис. 2.15.
i (t) = 2е~№' — e-2-1QS/ мА, 2>0,
если известно, что v (f) = 6е-10’гВ, t > 0 и i (0) = 1 мА. Нарисуйте эпюру i (/).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2
Задача 2.1
а) Пользуясь основным определением одностороннего S’-преобразования
и интегрированием по частям, докажите теорему интегрирования из табл, 2.2
приложения:
= | S’[х(/)].
j х (т) dx
-о
80 2. Одностороннее преобразование Лапласа
б) Получите тот же результат, пользуясь теоремой дифференцирования,
рассмотренной в разд, 2,5, положив
t
y(t) = dX^ , х (0 = Jy(T)dT+x(O).
о
в) С помощью теоремы интегрирования получите импедансное представле-
ние емкости, описываемой основным соотношением
VC (0 = J 1с W dx + VC (°)> + '1 -
0 Рис. 2.16.
и докажите, что оно соответствует выражению, приведенному на рис. 2.8.
г) С помощью теорем дифференцирования или интегрирования покажите
справедливость приведенного на рис. 2.17 представления интегратора в частот-
ной области:
dt з s
или
l/(t) = l/(0)+ I x(r)dr
Jo
Рис. 2.17.
Каковы соответствующие частотные представления для сумматоров и усилитель-
ных элементов, используемых в структурных схемах типа приведенной в за-
даче 1.5? Нарисуйте в частотной области представление структурной схемы
из задачи 1.5.
Задача 2.2
Обратное преобразование частотного представления емкости, показанное па
рис. 2.8, предполагает, что для любой цепи емкость, первоначально заряженная
до напряжения v (0) к моменту t = 0, при t > 0 должна быть тождественна
незаряженной емкости, включенной последовательно с батареей v (0). Так ли
это? Проанализируйте несколько простых цепей с тем, чтобы убедиться в спра-
ведливости этого утверждения.
Задача 2.3
а) Покажите, что частотные описания емкостей и индуктивностей соответ-
ствуют изображенным на рис. 2.18 эквивалентным схемам.
Задачи к главе 2
81
/(s) = CsV(s)- С«(0)
/о(«)
J0(s) = СИО)
+ V'(s) -
V(s) = Lsl(s)
Li(O)
Vo[s)--Li(O)
lsQ
V(s)
Рис. 2.18.
Обратите внимание, что элемент Io (s) = Cv (0) (= const) в этих схемах
не должен рассматриваться как источник постоянного тока — он соответствует
источнику тока, преобразование которого является константой, а это совсем
не то же самое. (Временная функция, преобразование которой является кон-
стантой, называется импульсом; к подробному обсуждению этого вопроса мы
вернемся в гл. И.)
б) Покажите, что схемы, приведенные в (а), являются импедансным вариан-
том тевениновских или нортоновских эквивалентов схем, изображенных на
рис. 2.8,
Задача 2.4
В теории ^-преобразований существуют две интересные теоремы— это теоремы
о начальном и конечном значениях.
ТЕОРЕМА О НАЧАЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ;
Если для х (0 и dx (f)/dt существуют S’-преобразования и если су-
ществует lim sZ [х (i)l, то
lim sZ [х (0] = х (0).
$->со
ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ЗНАЧЕНИИ;
Если для х (t) и dx (f)/dt существуют S’-преобразования и если выра-
жение sS’[x(0] не имеет полюсов на оси /а или в правой полупло-
скости, то
lim sS[x(0] = lim/:(t)-
S-*-0 /-*со
Эти теоремы легко доказываются из теоремы дифференцирования:
sS’[x(0] = S’ [-^-] +х(0).
Итак, когда sоо при Re [s ] > 0 (в области абсолютной сходимости),
СО со
„ [ dx(t) ) Г dx (0 —st ,, f dxtf) —st л n
lim Z —-±-t- = lim —e ‘ dt = \ —ту2- lime S£ dt = 0,
S-*-oo L J S“*-GO J J dt S-*CO
о 0
82
2. Одностороннее преобразование Лапласа
что дает первую теорему. С другой стороны, когда s -> 0 при Re Js] 0 (в об-
ласти абсолютной сходимости),
СО со
,. „ Г dx (?) "I ,. (* dx(f) —st f dx (?) ,. —st ,,
hm Z \ ’ = lim 1 —e sl dt = \ lim e dt =
s-»-o L dt J s-^o J at J at s-^o
О о
= У dt = x(oo) — x (0),
о
что доказывает вторую теорему. (Более глубоко теорема о начальном значении
обсуждается в задаче 11.15.)
а) Применяя эти теоремы к следующим функциям X (s), найдите (где воз-
можно) х (0) и lim х (?):
/-►СО
1 e~sT 1
1 -- — 4 _______1---
s ’ sa (s 4- 1) '
« 1 6 (s+ D3 — 1
*3- s(s4-l)a’ °' [(s + 1)3 + ip *
б) В каждом примере найдите х (?) и покажите правильность результатов,
полученных с помощью указанных теорем.
Задача 2.5
а) Найдите изображение по Лапласу для каждой из приведенных на рис. 2.19
функций времени. (Совет. Иногда оказывается легче найти изображение произ-
Рис. 2.19.
водной заданной функции и затем воспользоваться теоремой интегрирования для
получения окончательного результата.)
б) Покажите, что полученные результаты согласуются с теоремами о на-
чальном и конечном значениях из задачи 2.4.
Задача 2.6
а) Используя импедансные методы (см. рис. 2.20), найдите выражение для
Ра (s) = Z [ц2 (?)] через Vo (s) = Z [и0 (?)], Vi (0) и ца (0).
б) С помощью теоремы дифференцирования и теоремы о начальном значении
вычислите величину па (0) = . из результата, полученного в пункте (а).
Задачи к главе 2
83
Запишите ответ через vt (0) и (0). Покажите, что этот результат не зависит
от у0 (1) до тех пор, пока у0 (0) конечно.
10м 40м
Рис. 2.20.
в) Проверьте ответ на пункт (б) непосредственно по схеме, (Совет. Как ток
через резистор 4 Ом связан с v2 (t)?)
г) Пользуясь любым методом, запишите дифференциальное уравнение
входа-выхода, связывающее ц2 (0 и v0 (t). Найдите изображение этого уравнения
для проверки результата, полученного в (а). (Совет. Для преобразования урав-
нения второго порядка может оказаться полезным сначала получить общее
соотношение
["т] = S2X (S) “ SX (0) “ * (0)-}
д) Найдите оа (/), t > 0, если v0 (t) = e“2zB, (0) = I В, v2 (0) = —2 B/c.
Задача 2.7
Приведенная на рис. 2.21 схема описывает структуру аналогового компьютера
для решения некоторой частной задачи.
а) Запишите динамические уравнения для этой системы в форме уравнения
состояния.
б) Найдите изображения этих уравнений и решите их, получив выражения
для У (s) через X (s), (0) и А,а (0).
в) Найдите у (i), t > 0 для х (f) ~ 2, t > 0, ?.j (0) = 4 и Ла (0) = —0,5.
г) Выполните пункт (в) для того же начального состояния, но при входном
воздействии х (t) = 7e~2t, / > 0.
84
2. Одиостороииее преобразование Лапласа
Задача 2.8
Определите, как изображение Y (s) функции у (t) связано с изображением X (s)
функции х (1), если изображенная на рис. 2.22 система при t = 0 находится
в нулевом состоянии.
Рис. 2.22.
Задача 2.9
Принцип максимума Понтрягина в нестрогой интерпретации утверждает, что
для перевода системы из одного состояния в другое в максимально короткое
время при ограничениях на величину некоторых переменных необходимо, по-
стоянно находясь в экстремальных условиях, по определенным правилам, зави-
сящим от начального и конечного состояний, переходить из одного экстремаль-
ного состояния в другое. Например, для того чтобы переместить машину из со-
стояния покоя в одном месте в состояние покоя в другом в максимально короткое
время, вам (очевидно) следует давать максимальное ускорение до самого последнего
момента, когда максимальное торможение остановит машину в нужной точке.
Системы управления такого типа часто довольно образно называют «скачкооб-
разными»1). В качестве примера рассмотрим систему второго порядка, характери-
зующуюся переменными состояния Xj (t) и Х2 (t), которые удовлетворяют урав-
нениям состояния
= -^^- = -ЗХ2(/)-2Х1(/) + ^«.
(П.
где х (f) и у (f) — соответственно входной и выходной сигналы.
а) Пользуясь S’-преобразованиями, найдите У (s) = Aj (s) = S’[Xj (/)] и
Л2 (s) = S’[X2 (f)] через X (s) = S’ [x (0], X^ (0) и X, (0).
б) Рассмотрим некоторое начальное состояние Xj (0) = 1, Х2 (0) = 2. Най-
дите y(t), если х (t) = 0, t > 0. При этих условиях сколько времени понадо-
бится системе, чтобы практически достичь состояния покоя? В частности, какое
потребуется время, чтобы величина обеих переменных состояния составила
менее 10 % их начального значения?
в) Покажите, что при правильном выборе значений Tj и Т2 система к мо-
менту Т2 может быть приведена в состояние покоя (т. е. у (f) = 0 при любом
х) Эти задачи являются задачами о линейном оптимальном быстродействии
(см. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский и др. «Математическая теория оп-
тимальных процессов».—М., ГИФМЛ, 1961, гл. 3. — Прим, ред.)
Задачи к главе 2
85
t > Т2) изображенным на рис. 2.23 входным сигналом. Найдите Ti и Т2 и срав-
ните результирующее значение Т2 с временем, необходимым, чтобы система
практически пришла в состояние покоя, когда х (/) = 0, t > 0.
Рис. 2.23.
Задача 2.10
Обычно считается, что область применения .^-преобразований ограничена ЛИВ-си-
стемами. Однако решение некоторых нестационарных дифференциальных урав-
нений также оказывается более простым в частотной области. Примером яв-
ляется уравнение Бесселя
а) С помощью теорем дифференцирования и умножения на t преобразуйте
это уравнение в дифференциальное уравнение первого порядка относительно
X (s) = &[х (f)].
б) Это уравнение относительно X (s) может быть проинтегрировано методом
разделения переменных. Покажите (с помощью подстановки), что решением
является
где С — произвольная постоянная.
в) Решением исходного уравнения является функция Бесселя нулевого
порядка х (f) = Jo (t). В самом деле, иррациональная функция, полученная
в (б) при соответствующем выборе С, это S’IJq (t)]. По определению Jo (0) обычно
считается равной 1; какой должна быть выбрана величина С?
Задача 2.11
В этой задаче исследуются характеристики модели магистрального движения.
Эксперименты показывают, что в условиях загруженной магистрали ускорение
автомобиля зависит в основном от его скорости относительно предшествующей
машины. В частности, положим, что
dvi (0 _
dt
k\v0(t)-V1(t)-],
где ц0 (t) — скорость ведущей машины, Uj (t) — скорость следующей машины,
k — константа, характеризующая реакцию водителя следующей машины. (Обычно
а) Вычислите отношение .^-преобразований у1 полагая Vi (0) = 0.
б) Положим, что в начальный момент обе машины находятся в состоянии
покоя. Пусть (i) = t, t > 0. Найдите (/). Изобразите (f) для k = 1.
в) Рассмотрим теперь цепочку одинаковых машин, следующих друг за дру-
гом в едином строю со скоростями ц0 (I), vx (f), v2 (f) и т. д. Положим также, что
86
2. Одностороннее преобразование Лапласа
между скоростями n-го и (л — 1)-го автомобилей существует более реальная
зависимость
^77^ = k [ОП_! (t - Т) - ОП (t - Г)],
где время реакции Т составляет на практике обычно I—2 с. Пусть скорость
ведущего автомобиля равна
о0 (/) = cos 2л/ot + V,
где V — величина средней скорости, с которой движется вся цепочка. Найдите
выражение для синусоидальной компоненты установившейся скорости n-го авто-
мобиля.
г) Для условий пункта (в) покажите, что ваш результат сводится к
I Vn (t) - V I С-
Н
1________
/2я/о J2nf0T
~~k~
Исходя из этого, покажите, что амплитуда вариаций скорости л-го автомобиля
уменьшается при увеличении п для всех /0 в том и только в том случае, если
kT < 0,5 (условие, требующее, чтобы водитель обладал хорошей реакцией, но
не был чрезмерно чувствительным). Каковы были бы последствия при kT > 0,5?
3
СИСТЕМНЫЕ ФУНКЦИИ
3.0« Введение
Примеры, рассмотренные в предыдущей главе, показывают, что
в частотной области описание реакции любой ЛИВ-цепи с сосредо-
точенными параметрами имеет определенную простую структуру.
В настоящей и последующих главах мы займемся более подроб-
ным изучением этой структуры. Следует заметить, что наши ис-
следования не обязательно облегчат нам задачу вычисления токов
и напряжений в какой-либо конкретной электрической цепи.
Цель данной книги отнюдь не ограничивается простым разбором
эффективных методов решения задач. В первую очередь ее назна-
чение — развить у читателей понимание процессов, что совершенно
необходимо при проектировании сложных систем. С учетом этого
глубокое изучение общих принципов поведения цепей значительно
важнее, чем искусство их анализа.
3.1. Формула суперпозиции для ЛИВ-цепей
Решение примера 2.5.2 привело к формуле вида
Vi (s) = (s) Zo'(s) + Н2 (s) Vo (s) + Н3 (s) + Н, (s) ,
(3.1.1)
в которой изображение напряжения Vi (s) на некоторой паре
выводов выражается через изображения Io (s) и Vo (s) для двух
внешних источников и изображения vc (ty/s и iL (Q)/s для источ-
ников, замещающих начальное напряжение на емкости и началь-
ный ток в индуктивности. Четыре функции Hr (s), Н2 (s), Н3 (s)
и Hi (s), связывающие эти источники с 1Ц (s), были получены
с помощью импедансных методов.
Из теоремы суперпозиции теории линейных резистивных цепей
следует, что форма полученного результата является общей, т. е.
для любой ЛИВ-цепи с сосредоточенными параметрами всегда
можно записать обобщенную формулу суперпозиции
М N
Y(s) = ^ tfem(S)Xm(s) + 2 Hin(s)^L, (3.1.2)
m=I n=l
где У (s) — ^-преобразование искомого тока или напряжения,
являющегося объектом нашего анализа и обозначаемою как
88
3. Системные функции
выход или реакция цепи; Хт (s) — ^-преобразование т-го неза-
висимого внешнего источника напряжения или тока, рассматри-
ваемого в качестве входного или стимулирующего для данной цепи;
М — число внешних источников; —^-преобразование источ-
ника, описывающего начальное условие для n-й переменной со-
стояния (0) в момент t = 0 (обычно это напряжение на емкости
или ток в индуктивности); N — порядок системы; Нет (s), Hin (s) —
функции s, связывающие соответственно каждый внешний источ-
ник или источник, характеризующий начальное состояние, с вы-
ходом. Уравнение (3.1.2) представляет собой общую форму функ-
ционального или операторного описания ЛИВ-систем в частотной
области, о которой упоминалось в разд. 2.1.
Каждая из двух сумм в правой части выражения (3.1.2) имеет
свое название:
N
—реакция при нулевом входе (РНВ); (3.1.3)
п=1
М
У Hem(s) Xm(s) — реакция при нулевом начальном
m=I состоянии (РНС). (3.1.4)
Член РНВ («свободная» или «собственная» реакция) не является
функцией входных воздействий в интервале t 0; он определяется
начальным состоянием при t — 0, которое в свою очередь зависит
от входных воздействий при t < 0. Если все внешние источники
входных сигналов равны нулю для t 0, т. е. если Хт (s) — 0
для всех т, то РНВ — полная реакция для i 0. С другой сто-
роны член РНС («вынужденная» реакция) не является функцией
начального состояния. В частности, если начальным является
нулевое состояние Х), т. е. если Хп (0) = 0 для всех п, то РНС —
полная реакция для всех t 0. Таким образом, обобщенная фор-
мула суперпозиции утверждает, что полный выходной сигнал
в любой момент t0 0 представляет собой сумму РНВ, учитываю-
щей в момент t0 остаточные эффекты от входных воздействий при
t < 0, и РНС, учитывающей в момент t0 эффекты от входных воз-
действий в интервале 0 t <; t0.
Заметим, что под словами «вход» и «выход» мы будем понимать
как временные функции х (t) и у (Q, так и их изображения X (s)
и Y ($). В соответствии с теоремой единственности это разные
способы описания одних и тех же процессов — входа или задаю-
щего воздействия, и выхода или реакции. Заметим также, что
члены РНВ и РНС совсем не то же самое, что «переходная реак-
я) Вероятно, нелишне заметить, что нулевое состояние является уникаль-
ным для ЛИВ-снстем в том смысле, что оно не зависит от выбора переменных
состояния, причем выбор не является единственным.
3.2. Системные функции
89
ция» и «установившееся состояние». Даже если входным является
постоянный сигнал или непрерывная синусоида, так что термины
«переходной» и «установившийся» лишены двусмысленности, член
РНС, вообще говоря, содержит как «переходные», так и «устано-
вившиеся» компоненты. Более подробно на соотношениях между
этими различными компонентами реакции мы остановимся в
в разд. 3.3.
3.2. Системные функции
Все элементы, входящие в состав сумм в правой части выражения
(3.1.2), имеют одну и ту же структуру — произведение изображе-
ния источника (Xm (s) или Xn (0)/s) на функцию от $, полученную
из схемы цепи (Нет (s) или Hin ($))• Таким образом, множители
Нрт (s) или Hin (s) можно интерпретировать как отношение ^-пре-
образования компонента реакции к ^-преобразованию породив-
шего его источника. Такое отношение изображения реакции
к изображению источника называется системной функцией.
Системные функции в электрических системах классифицируются
как входные и как передаточные в зависимости от того, на одном
и том же или на разных портах 11 измеряются связываемые ими
напряжения и токи. Они могут быть безразмерными отношениями
(напряжение/напряжение или ток/ток) или иметь размерность
сопротивления (напряжение/ток) или проводимости (ток/напря-
жение). Поскольку системные функции могут использоваться
для связи самых разнообразных воздействий и реакций (не только
напряжений и токов и вообще не обязательно электрических ве-
личин), диапазон их возможных размерностей, естественно, без-
граничен.
Заметим однако, что системные функции всегда определяются
как отношение выхода к входу. Важность этого положения иллю-
стрируется следующим примером.
Пример 3.2.1
Схема, представленная на рис. 3.1, является частью цепи, рас-
Рис. 3.1. Схема к примеру 3.2.1.
*) Понятие порта (пестрого, пара клемм, полюсов) подробно рассматри-
вается в приложении к данной главе.
90
3. Системные функции
смотренной в примере 2.5.2. Мы получили, что РНС-член, свя-
зывающий выход Vr (s) и вход Vo (s), имеет вид
*2
Тогда системная функция записывается как
R2
„ , . выход Рх (s) _ РЛЬС
(3.2.2)
Ну (s) является (безразмерной) передаточной функцией, поскольку
Ух (s) и Vo (s) относятся к различным портам.
Предположим, однако, что нам потребовалось бы подать
питание на эту схему от источника напряжения, подключенного
к правому порту, а измерять реакцию на левом порте, как пока-
зано на рис. 3.2. Легко показать, что в этом случае (который не
рассматривался в примере 2.5.2) РНС представляет собой Vo (s)
LC
1
LC
Рис. 3.2. Та же схема к примеру 3.2.1 с источником в правой части.
(теперь соответствует выходу) и зависит от Vi (s) (теперь соответ-
ствует входу) следующим образом:
1 1
V0(s) = ГС~ ~ Vi(s) = —Vi (s), (3.2.3)
-cr + Ls
чему соответствует системная функция
И /М _ ВЫХ°Д __ (S) I 1 Z 41
LC
Заметим, что Я3 (s) является отношением напряжения на левых
полюсах схемы к напряжению на правых полюсах. Такова же,
как показано выше, и функция 1/Нг (s), Однако 1///х (s) и Н2 (s)
совершенно различны!
» » &
3.2. Системные функции
91
Цель этого примера — показать, что обычно необходимо задаваться
не только конкретными переменными, которые связывает систем-
ная функция, но и указывать, какая из них является источником,
а какая — реакцией. Простейший путь — принять соглашение,
что системные функции всегда определяются как отношение
выхода к входу. Следовательно, величина, обратная системной
функции, необязательно является системной функцией. Сущест-
вует, правда, один весьма важный случай, когда системная функ-
ция правильно описывает соотношение между двумя перемен-
ными вне зависимости от того, какая из них является задающей,
а какая — реакцией. Этот случай иллюстрируется следующим
примером.
Пример 3.2.2
Схема, показанная на рис. 3.3, также является частью цепи
Рис. 3.3. Схема к примеру 3.2.2.
рассмотренной в примере 2.5.2. Там было получено, что РНС-член,
связывающий выход (s) с входом /0 (s), имеет вид
Тогда системная функция определяется как
H3(s) =
(3.2.6)
Н3 (s) характеризует входной импеданс, поскольку (s) и /0 (s) —
напряжение и ток одного и того же порта.
Предположим, однако, что нам потребовалось бы запитать
эту схему не от источника тока, а от источника напряжения, а из-
92
3. Системные функции
мерять не напряжение, а токовую реакцию, как показано на
рис. 3.4.
Рис. 3.4. Та же схема к примеру 3.2.2 с возбуждением от источника напряжения.
При этом легко получить
/o(s) = -^
Vi (S)
Ri/Cs
Rr + 1/Cs
Тогда системная функция определяется выражением
выход Z0(s) s2 + s (~R^ + ~7L)+~LC (1+^г)
вход - p1(s) - ^/2+ s + 1 А
\ ЛдО ЬС /
(3.2.8)
и соответствует входной проводимости.
* * *
Заметим, что в этом примере (в отличие от ситуации с переда-
точной системной функцией) перестановка входной и выходной
переменных просто инвертирует системную функцию. Это, оче-
видно, общее свойство системных функций, соответствующих
входным проводимостям и импедансам. Можете ли вы объяснить,
почему передаточная системная функция и системная функция,
характеризующая входные параметры, различны в этом отноше-
нии? Входной импеданс или входная проводимость характери-
зуют поведение однопортовой ЛИВ-цепи вне зависимости от воз-
буждающих воздействий и внешних соединений. Аналогичные
полные описания возможны для многополюсных ЛИВ-цепей,
предназначенных для реализации функции передачи, однако
в этом случае задание одной лишь передаточной функции недоста-
точно (см. приложение к настоящей главе).
3.3. Реакция иа акспонеициальное входное воздействие 93
3.3. Системная функция как реакция
на экспоненциальное входное воздействие
Как указывалось в гл. 2, системные функции легко вычисляются
с помощью импедансных методов путем замены L и С импедансами
Ls и 1/Cs; после этого решение находится так же, как для рези-
стивной цепи. Та же процедура — замена s на /со — используется
(как вы знаете из предыдущих курсов) для нахождения частотной
характеристики цепи в установившемся состоянии при синусои-
дальном входном воздействии. Таким образом, для s = /со систем-
ная функция Н (s) имеет следующую интерпретацию. Если вход-
ным воздействием ЛИВ-цепи является комплексная экспонента
Xe<at, а установившийся выходной сигнал является комплексной
экспонентой Yeiai, то
Y/X = Н (Ju),
где Н (jw) — системная функция, связывающая выход с входом.
Другими словами, входное воздействие e'ai дает после затуха-
ния переходных процессов установившуюся реакцию в виде
Н (ja) elat. На основании этого результата проводятся экспе-
риментальные измерения Н (/со) ЛИВ-системы, внутренняя струк-
тура которой неизвестна, т. е. скрыта внутри «черного ящика».
Покажем теперь на примере, что Н (s) имеет подобную же интер-
претацию даже при s =/= /со, т. е. когда к выражению est = eateiat
понятие установившегося состояния непосредственно неприме-
нимо, поскольку eai при о у= О либо возрастает, либо умень-
шается со временем.
Пример 3.3.1
В задаче 3.1 вам будет предложено показать, что Н (s) для цепи,
изображенной на рис. 3.5, записывается как
Н _________________(1 ~Ь а) RYX_____________
{ ) ~ S2+_L_/_^ + _!_+_LU_______________!______,
т 1 + а \ RiC1 т R2C2 т J (1 + а) RJ\R2C2
(3.3.1)
2 1 1
= /?2 — 1 Ом, Ci = - Ф, Ci = - Ф, а = -
Рис. 3,5. Схема к примеру 3.3.1.
94
3. Системные функции
а при подстановке заданных значений приобретает вид
Н (s) = — -Г7 Vv = -г , n • (3.3.2)
v ’ s2H-4s + 3 (s -|-1) (s -|- 3) v '
Теперь пусть v0 (t) = es^, t > 0, где s0 — произвольное комплекс-
ное число. Тогда 2? \v0 (t)} = Vo (s) = l/(s— s0), и в случае
РНС
= = (3.3.3)
Если s0 у= — 1, — 3, то это выражение можно разложить
—1 3 —s0/2
tr S„\ 4(1+So) ! 4(3 +so) ! (s0+l)(S0 + 3)
V3 (S) - I ^+3 I »
(3.3.4)
где в вычете (s — s0) узнаем H (s0). При этом РНС имеет вид
(>°- <3-3-5)
Если s0 является чисто мнимым (s0 = /<о0), то этот результат
характеризует обычную ситуацию при синусоидальном воздей-
ствии — первые два члена описывают переходные процессы,
возникающие вследствие скачкообразного воздействия в мо-
мент времени t = 0 на цепь, находящуюся в состоянии покоя:
С течением времени они затухают и остается лишь установившаяся
реакция Н (/<в0) <?/“<< Однако, даже если s0 += /со0, последний
член — «вынужденный» — в выражении для vs (Z) через какое-то
время станет доминирующим при условии, что Re [s01 > — 1.
Если Re [s0] < — 1, «вынужденный» член исчезает быстрее
переходных; таким образом, в итоге переходные члены будут
играть сравнительно более важную роль, хотя все они могут
оказаться затухающими. Заметим также, что в данном случае
слово «вынужденный», поставленное в кавычки, означает лишь,
что этот член имеет ту же форму, что и входное, возбуждающее
воздействие, т. е. Н (s0) eSot. Результирующая полная реакция
(при нулевом состоянии) содержит как «вынужденный», так и
«переходный» члены.
* * *
Результат, полученный в примере 3.3.1, является общим:
Если входной сигнал ЛЙВ-системы имеет форму es°(, то
с течением времени основным компонентом выходного
сигнала станет Н (s0) eSot, при условии что s0 распола-
гается в s-плоскости правее самого правого полюса функ-
ции Н (s). Эта часть s-плоскости называется областью
сходимости Н (s).
3.4. Системные функции
95
Это важное замечание полностью характеризует условия, при
которых Н (s) является обобщением Н (j&), и подтверждает спра-
ведливость того, что s называют комплексной частотой.
Полюса w(s)
/"
S-плоскость
_____Область сходимости
W(s)
—► а
Рис. 3.6. Область сходимости.
3.4, Системные функции
и дифференциальные уравнения ,,вход-выход“
Существует тесная связь между системной функцией Н (s) и диф-
ференциальным уравнением «вход-выход», полученным из узло-
вых уравнений или уравнений состояния путем исключения всех
неизвестных переменных, за исключением выходной. В общем
виде эта связь поясняется на нескольких примерах.
Пример 3.4.1
Запишем дифференциальные уравнения состояния для цепи, изо-
браженной в левой части рис. 3.7, через напряжение на емкости
v (0 и ток в индуктивности iL (0:
di, (t)
£-^==-яо.ю+^), <3-4Л)
= (3.4.2)
Решая уравнение (3.4.2) относительно lL (i) и подставляя резуль-
тат в (3.4.1), получим отображение «в ход-вых од» в форме диффе-
ренциального уравнения, выраженное через входное воздействие
i (/) и реакцию и (/):
96
3. Системные функции
Собственные частоты этой цепи (т. е. частоты, присутствующие
в» (f), когда i (7) = 0 и вход цепи разомкнут, как показано в пра-
вой части рис. 3.7.) являются корнями характеристического урав-
нения
s2 + 4s + Тс =0’ (3-4-4)
полученного из левой части уравнения «вход-выход».
Системная функция, связывающая входное воздействие с реак-
цией, является входным импедансом
Z(s)== (3.4.5)
v ’ 1 (s) вход ’ v ’
который легко получить как результат последовательного и
параллельного соединения импедансов ветвей
Далее перекрестное умножение дает следующее выражение!
+ 4 s + 4) V (s) = 4 (* + 4) 7 (S). (3.4.7)
Сравнение выражения (3.4.7) с дифференциальным уравнением
(3.4.3) показывает, что как в данном, так и в общем случае для
получения дифференциального уравнения «вход-выход» из систем-
ной функции необходимо лишь выполнить перекрестное умноже-
ние и замену d/dt «-> s. В самом деле, часто простейший способ
получения дифференциального уравнения «вход-выход» состоит
в том, чтобы сначала с помощью импедансных методов найти си-
стемную функцию. Таким образом, существенно облегчается слож-
ная процедура исключения промежуточных переменных и их
производных, а операции с алгебраическими уравнениями зна-
чительно проще, чем с дифференциальными.
Связь между системной функцией и дифференциальным урав-
нением «вход-выход» может быть установлена также путем исполь-
зования результата, полученного в разд. 3.3. А именно, для s,
лежащих в области сходимости, входное воздействие esi порож-
дает выходной сигнал Н (s) esi. Таким образом, если подставить
i (/) = est и v (/) = Н (s) est в вышеприведенное дифференциаль-
ное уравнение «вход-выход», то получится
Н (s) s2esZ + Н (s) 4 sesi + Н (s) 4 est = 4 (seSt + 4 eSt) • (3.4.8)
3.4. Системные функции
97
Решение этого уравнения относительно Н (s) дает тот же самый
результат Н (s) = 1 (s), что был получен с помощью импедансных
методов О.
Из соотношения между системной функцией и дифференциаль-
ным уравнением «вход-выход» можно сделать важный вывод о том,
что собственные частоты цепи являются корнями полинома зна-
менателя, т. е. полюсами Н (s) 1 2) * 4. Попросту говоря, выходной
сигнал Y (s) = Н (s) X (s) может быть конечным при нулевом
значении входного сигнала X (s), только если Н (s) бесконечна,
а это имеет место лишь при значениях s, являющихся полюсами
H(s).
Пример 3.4.2
Заметим, что полюсы Н (s) являются собственными частотами
при условии, что входной сигнал равен нулю. Если ко входу
подключен источник тока, как в примере 3.4.1, то нулевой вход
означает, что входные зажимы разомкнуты. Если же ко входу
подключен источник напряжения, то нулевой вход означает, что
входные зажимы закорочены. Итак, рассмотрим (как показано
на рис. 3.8) ту же цепь, что и раньше, но возбуждаемую источни-
Рис. 3.8. Схема к примеру 3.4.2.
ком напряжения v (f); теперь в качестве реакции примем ток I (t).
При этом v (t) и i (t) меняются ролями в смысле входа-выхода.
1) Попытки получить выражение для РИС и Н (s) из дифференциального
уравнения «вход-выход» путем прямого применения теоремы дифференцирова-
ния нз теории S’-преобразования могут затруднить решение (см. задачу 3.3).
г) Если полиномы числителя и знаменателя Н (s) содержат общий множи-
тель, т. е. если полюс Н (s) компенсируется нулем, то связь между Н (s) и РНВ
становится не столь определенной. В частности, РНВ может содержать член,
комплексная частота которого не является полюсом Н (s). Однако не существует
сигнала х (t), Z < О, который при подаче на вход, соответствующий Н (s), да-
вал бы такой РНВ-член для t > 0. С другой стороны, если подобный РНВ-член
возбужден, например при подаче сигнала через какой-либо другой вход, то
не существует сигнала, который при подаче на вход Н (s) компенсировал бы
за конечное время действие этого РНВ-члена; такая система называется не-
управляемой. Пример подобной системы приведен в упражнении 4.5,
4 Сиберт У. М
98
3. Системные функции
Следовательно, характеристическое уравнение запишется в виде
^(; + £)=0. (3.4.9)
Корень характеристического уравнения s = ---------д- определяет
функциональную форму тока i (/) = Ie~Ri,L, который может
протекать в условиях короткого замыкания, т. е. при v (t) = О,
как показано справа на рис. 3.8. Системной функцией в этом
случае является входной адмиттанс 11
r<s> = T®-- (3.4.10)
Естественно,
С fs2 + -J— S + }
Y <S) = zk = —--------- R — (3-4’1
c _L_ ___
s+t
Таким образом, собственная частота — это полюс Y (s) или нуль
Z (s) в условиях короткого замыкания.
* * *
Вывод о том, что полюсы системной функции Н (s) являются
собственными частотами цепи, соответствует, конечно, тому, что
Y (s) = Н (s) X (s) (3.4.12)
является .^-преобразованием РНС выхода у (t) при входном воз-
действии х (/). Если Y (s) = разложить на элементар-
ные дроби, то полюсы Н (s) дают члены, описывающие ту часть
реакции, форма которой определяется самой цепью, а не воздей-
ствием.
З.б. Выводы
Реакцию линейной инвариантной во времени цепи всегда можно
представить как сумму реакции при нулевом начальном состоянии
и реакции при нулевом входном воздействии. Каждая из этих
составляющих является в свою очередь суммой членов, описы-
вающих раздельно влияние каждого из внешних источников и
каждого из внутренних источников, отражающих начальное со-
стояние. В частотной области каждый из членов имеет форму
произведения .^-преобразования п-го источника на функцию s,
т. е. Нп (s), называемую системной функцией, которая связы-
*) Термин «адмиттанс» (полная проводимость) был предложен Хевисайдом
для описания отношения тока к напряжению. Обозначение полной проводи-
мости через Y (s) давно устоялось. В этой связи при чтении данной книги поста-
райтесь не перепутать проводимость Y (s) из примера, в котором получено выра-
жение (3.4.11), и Y (s), обозначающее .^-преобразование у (t) в общей формуле
типа (3.4.12).
Приложение к главе 3
99
вает реакцию с конкретным источником или входным воздействием.
Обычно системные функции легко определяются из структурной
схемы цепи с помощью импедансных методов. Если конкретный
входной сигнал имеет вид eSai, то через некоторое время этот ком-
понент реакции достигнет величины Нп (s0) es°z, если s0 находится
в области сходимости Нп (s), т. е. в области, находящейся справа
от самого правого полюса Нп (s). Поскольку полюсы Нп (s) яв-
ляются собственными частотами системы, член в этих усло-
виях убывает медленнее (или растет быстрее), чем компоненты
собственной реакции, что объясняет факт его результирующего
преобладания. И наконец, Нп (s) и дифференциальное уравнение
«вход-выход», связывающие реакцию цепи с конкретным источ-
ником, содержат по существу одинаковую информацию. Таким
образом, в общем плане системная функция содержит всю суще-
ственную информацию о поведении ЛИВ-системы.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 3
Системные функции ЛИВ-четырехполюсников
Как показано в примере 3.2.1, системная функция описывает поведение цепи
только в условиях, когда заданы источники и нагрузки. Возможно существова-
ние полного описания многополюсной ЛИВ-цепи в виде «черного ящика»,
адекватно характеризующего поведение цепи при любых возможных усло-
виях возбуждения и нагрузки. Причем, часто такие описания являются
чрезвычайно полезными. В настоящем приложении рассматривается важный
особый случай.
Рассмотрим цепь, состоящую из линейных инвариантных во времени R,
L, С, идеальных трансформаторов, управляемых источников и т. д., заключенных
в «ящик» таким образом, что доступ к схеме возможен только через четыре тер-
минала (зажима). Предположим также, что внешние соединения этой четырех-
полюсной схемы организованы так, чтобы токи через зажимы были парными,
т. е. токи через каждую пару зажимов равны по величине и противоположны
по направлению. Такая четырехполюсная схема называется двухпортовой1).
Один из вариантов включения, гарантирующий двухпортовое поведение
схемы, показан иа рис. 3.9. Очевидно, существует много различных возможно-
J2(s)
I2(s)
Рис. 3.9.
ЛИВ- 2
четырехполюсник
х) Развивая эту терминологию, можно сказать, что цепь, связанная с внеш-
ним миром с помощью п парных выводов, называется n-портовой. Двухполюсная
схема всегда является однопортовой, поскольку вне зависимости от ее подсоеди-
нения, согласно ЗКТ, токи двух полюсов являются парными. Трехполюсную
схему, как показано на рис. 3.10, без потери общности всегда можно предста-
вить в виде двухпортовой.
4*
100 3. Системные функции
стей включения. Однако, для того чтобы цепь была двухпортовой, достаточно,
чтобы связь между внешними цепями, подключенными к портам 1 и 2, осуще-
Z.(s) . L гг Z2(s) —7"7 1 - I|(s) Z2(s)
+ V 2/ + 0 + -0 0- < 0 +
\ 0/ Vgls) V'i(s) 1 2 141s)
fl|(s)+Z2(s)
Т г
Т, (s) Z2(s) Z|(s) — I2(s)
Рис 3.10.
ствлялась исключительно через четырехполюсник. Описание 4-полюсной цепи
в виде двухпортовой не характеризует, естественно, поведения цепи при всех
внешних условиях, ио его достаточно для многих целей.
Даже если мы не знаем детальной структуры двухпортовой ЛИВ-цепи (т. е.
если мы вынуждены рассматривать двухпортовую схему как «черный ящик»,
доступный лишь при помощи измерений электрических параметров на его полю-
сах), тем не менее, пользуясь суперпозицией и импедансными характеристиками,
подобными тем, что рассмотрены в данной главе, можно заключить, что РНС-токи
/1 (х) и /2 (s) должны задаваться уравнениями вида
Л (s) ' >'\1 (s) V'l («) т Ун (s) (s),
/2 (s) - ^21 (s) O’) + ^22 (s) I'2 I4')
через внешние источники напряжения V'j (s) и V., (s) Различные системные функ-
ции У ij (s) называются входной и передаточной проводимостями четырехполюс-
ника в режиме воротного га мыкания, поскольку они. по крайней мере в принципе,
ад]
Рис. 3,11.
могут быть получены из измерений с закорачиванием, как показано на рис. 3.11
той или другой пары полюсов.
Проводимости в режиме короткого замыкания характеризуют поведение
четырехполюсника при нулевом начальном состоянии при любых внешних воз-
действиях. удовлетворяющих условию парных токов. Так, например, если четы-
рехполюсник со стороны порта 2 нагружен на индуктивность, а возбуждается,
как показано на рис, 3.12, от схемы с тевениновскими параметрами, то источник
и нагрузка накладывают следующие условия-
Рис. 3.12.
Упражнения к главе 3
101
Vi (S) = Vo (s) ~ Л (s) Ro,
Va (s) = — LsI.2 (s).
Учитывая два вышеприведенных уравнения, характеризующих проводимости
в режиме короткого замыкания, мы можем исключить V* (s), (sj и /2 (s) и полу-
чить в этих условиях обобщенное передаточное отношение
У2 (*) =~7?7Гг1 (s).
Ко (s) Сй;+ Гп (s)) (17 + (s)) -Г1а (s) Y 21 (s)
Иной способ получения этой функции приведен в задаче 3.6. Если четырехполюс-
ник взаимный, то вычисления упрощаются (см. задачу 3.5). Существует много
различных методов описания четырехполюсника, причем, выбор того или иного
из ннх определяется простотой использования в конкретной ситуации. См.,
например, задачи 3.7 и 3.8.
Если существуют ограничения на типы элементов, из которых состоит четы-
рехполюсник, то Ytj (s) в общем случае должны удовлетворять определенным
условиям, некоторые из которых будут обсуждаться в гл. 4. Одним из наиболее
интересных является условие взаимности
У12 (s) = Уи (s)>
которое обеспечивается, если четырехполюсник состоит из линейных инвариант-
ных во времени R, L, С и трансформаторов, но не содержит управляемых источ-
ников. Дальнейшее обсуждение принципа взаимности приведено в задаче 3.5
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
Упражнение 3.1
Рассмотрим изображенную на рис. 3.13 схему, к входу которой подключен источ-
ник тока, а выходом является напряжение на резисторе.
а) Покажите, что системная функция, связывающая вход и выход, описы-
вается выражением
H(s) =
R
LC
Каковы размерности отдельных членов в знаменателе н числителе? Какова раз-
мерность Н (s)?
б) Запишите дифференциальное уравнение «вход-выход».
S» +A-s +TL.
102 3. Системные функции
в) Покажите, что при 7? = 1 Ом, L — 1 Гн, С = 1 Ф РНВ имеет вид
v(t) — Ае~</2cos + 9^)-
Упражнение 3.2
Пользуясь импедансными методами, получите дифференциальное уравнение
«вход-выход» для показанной на рис. 3.14 схемы и таким образом покажите, что
поведение этой схемы соответствует двойному интегратору, т. е. (t) ~
~ d2v2 (f)/dt2.
Упражнение 3.3
т. е.
а) Покажите, что для всех s входные импедансы цепей, изображенных в ле-
вой и правой частях рис. 3.15, совпадают,
Z(SJ~ I (s)
= 1.
ЦП
Рис. 3.15.
б) Много лет назад в статье, помещенной в журнале Transactions бывшего
Американского института инженеров по электротехнике1), Джозеф Слепян пред-
ложил в качестве загадки описание теста, с помощью которого, воздействуя
лишь со стороны внешних зажимов, можно было бы идентифицировать приве-
денные на рисунке «черные ящики». За этой публикацией последовал поток
писем, и споры продолжались несколько месяцев. Некоторые корреспонденты
пытались доказать, что такой тест невозможен, другие утверждали, что при
определенных условиях возбуждения эти схемы будут вести себя по-разному.
Какова ваша точка зрения?
*) В настоящее время Институт инженеров по электротехнике и радиоэлек-
тронике. — Прим, перев.
Задачи к главе 3
103
Упражнение 3.4
Эксперименты с ЛИВ-системой привели к следующим выводам:
а) независимо от состояния системы при t = 0 входной сигнал x(f) = e~2t,
t > 0, дает на выходе у (/) = Зе-2Z + (k0 ф- kjt) е~*, t > 0;
б) независимо от состояния системы при t = 0 входной сигнал х (/) = е~3t,
t > 0, дает на выходе у (/) = (k2 + k3t) е~*, t > 0. Покажите, что, если систем-
ная функция Н (s) является правильной дробью (Н (s) -> 0 при s-»- оо), то она
должна иметь вид
н (S) = 2I1+2L
ЗАДАЧИ .К ГЛАВЕ 3
Задача 3.1
а) Покажите, что часть изображенной иа рис. 3.16 левой схемы, обведенная
пунктирной линией, эквивалентна правой схеме, так что общая эквивалентная
схема цепи имеет вид, как на рис. 3.17.
Рис. 3.16.
б) Пользуясь импедансными методами, запишите узловые уравнения при
нулевом начальном состоянии для узлов, напряжения в которых обозначены
°1 (0 и и2 (0- Покажите, что полученные результаты соответствуют узловым
уравнениям в дифференциальной форме, приведенным в упражнении 1.4.
104 3. Системные функции
в) Из этих узловых уравнений получите системную функцвю Н (s) =
= V?j (s)/V0 (s) и сравните полученный результат с формулой, приведенной в при-
мере 3.3.1.
г) Запишите ^-преобразование дифференциальных уравнений состояния,
приведенных в упражнении 1.4 при нулевом начальном состоянии. Из этих
уравнений найдите Н (s) = V3 (s)/V0 (s), где V3 (s) = —aVa (s), и результат срав-
ните с выражением, полученным в (в).
Задача 3.2
а) При переключателе в положении а (рис. 3.18) найдите системную функцию
Н (s) = V (s)/I (s), где a (t) — реакция при нулевом начальном состоянии иа
входное воздействие i (t), V (s) = S [о (/)] и т. д.
Рис. 3.18. С = 0,01 мкФ; R = 3 кОм; L = 20 мГн.
б) Пусть задолго до t = 0 ток i (t) поддерживался на постоянном уровне
i (t) = 1 мА, а переключатель находился в положении а. В момент t — 0 пере-
ключатель переведен в положение Ь. Найдите значения v (t) и dv (t)/dt сразу же
после коммутации.
в) Найдите собственные частоты цепи.
г) Найдите v (t) для любого момента времени после коммутации переключа-
теля в положение о.
Задача 3.3
Студентка Линн Яр, имеющая склонность к математике, осталась неудовлетво-
ренной недостаточной строгостью, с которой в разд. 3.4 описана связь диффе-
ренциального уравнения «вход-выход» с системной функцией для ЛИВ-цепи.
Почему бы, подумала она, не воспользоваться теоремой дифференцирования
из теории преобразования Лапласа и не получить требуемое соотношение не-
посредственно? Итак, показанной на рис. 3.19 /?С-цепочке соответствует следу-
ющее дифференциальное уравнение:
(1)
Рис. 3.19.
Применяя теорему дифференцирования
['Т'] = ^О(0]-*(0).
(2)
Задачи к главе 3
105
получим
CsV (s) - Cv (0) + 1- V (s) = I (s).
(3)
Поскольку системная функция описывает реакцию при нулевом начальном со-
стоянии, то, как утверждала Линн, мы должны положить v (0) = 0 и найти
S + RC
что совпадает с результатом, полученным импедансными методами.
Далее Линн попыталась применить этот метод к более сложным ситуациям.
Она быстро получила формулу
Г d2x(/)~l Г dx(t) ] dx(t) I _
L dt2 J [ dt J dt |/=о
= з2^[х(О]-^(О)-^Ц=о, (5)
которую легко можно распространить на производные любого порядка. Однако,
когда она попыталась воспользоваться выражениями (2) и (5) для преобразова-
ния уравнения второго порядка из примера 3.4.1, связывающего выходной сиг-
нал v (t) для цепи, показанной на рис. 3.20, с входным воздействием I (/),
пгт
/(f) (p f CZ- V{1}
Рис. 3.20.
то 'получила
P2 + £s+^)v(s)_p+^)„(0)_^|
= 7r(s +~r) -7^’(0)- (7)
Теперь подстановка и (0) = dv (t)/dt |<=0 = 0, по-видимому, не даст тот же ре-
зультат, что импедансные методы для РНС-системной функции Н (s) = V (s)/1 (s),
если не приравнять I (0) = 0.
Это смутило Линн, и она обратилась за помощью к своей соседке Анне Логг.
Анна, подход которой к задачам был скорее физическим, чем математическим,
лишь взглянула на схемы и сказала: «Дело в том, что приравнивание нулю v (i)
и dv (t)ldt во второй цепи не обязательно означает, что цепь находится в нулевом
состоянии». Покажите, что Анна права, и объясните, как это связано с трудно-
стями Лннн в интерпретации уравнения (7). Покажите в общем виде, что необ-
ходимым и достаточным условием того, чтобы система А-го порядка при нулевом
выходе и нулевых значениях первых (А — 1) производных выходного сигнала
приводилась в нулевое состояние, является отсутствие нулей у системной функ-
ции «вход-выход» при конечных значениях s.
106 3. Системные функции
Задача 3.4
Большинство систем как линейных, так и нелинейных при внезапной подаче
на вход периодического воздействия дают в конечном счете периодический от-
клик. За редким исключением, когда в момент приложения входного воздействия
система оказывается точно в нужном состоянии, практически всегда в начале
будет некоторый ненулевой интервал, в течение которого затухают переходные
процессы. В таких случаях при классическом методе расчета результирующей
периодической реакции состояние системы в некоторый момент после установле-
ния периодической реакции обозначается как алгебраическая неизвестная. Через
это неизвестное начальное состояние записывается реакция системы на сле-
дующий полный период входного воздействия, состояние в конце этого периода
приравнивается начальному состоянию, а результирующие уравнения решаются
относительно искомого начального состояния. Как иллюстрируется ниже, аль-
тернативный подход для ЛИВ-систем использует преобразование Лапласа и
оценку структуры реакции системы.
а) Пусть сигнал х (/) является, как показано иа рис. 3.21, результатом пе-
т t т гт зт t
Рис. 3.21.
Рис. 3.22.
риодического (с периодом Т) повторения импульса хр (t) длительностью ^Т.
Покажите, что
Хр (s)
S’ [х (/)] = X (s) = где Хр (s> = S 1>Р </)]-
(Совет. Докажите, что при Re [s] > 0
= 1 + + + + . . . .)
б) Как частный пример найдите .^-преобразование показанного на рис. 3.22
сигнала х0 (/).
в) Предположим, что х0 (t) из (б) является входным воздействием ЛИВ-
системы с системной функцией Н (s) = l/(s-f-а), а > 0. Изобразите раз-
мещение полюсов Has-плоскости для РНС Y (s) = Н (s) X (s). (Особое внимание
обратите на возможность расположения полюсов вдоль s = /со.)
г) Полюса в (в) можно разделить на два класса — конечное число по-
люсов, размещенных внутри полуплоскости Re[s] <0, и бесконечное число
полюсов, размещенных вдоль оси /со. Первые соответствуют убывающим во вре-
мени переходным членам у (/), последние — неубывающим синусоидам, совокуп-
Задачи к главе 3
107
ность которых образует периодическую часть реакции. Найдите изображение
периодической части РНС в (в) путем вычитания из У (s) тех членов разложе-
ния Y (s), которые соответствуют полюсам левой полуплоскости.
д) Реорганизуйте результат в (г) так, чтобы он имел форму, полученную
в (а), и таким образом найдите изображение Yp (s) для одного периода у (/).
Выполните обратное преобразование и, вычислив ур (t), изобразите полученный
результат.
Задача 3.5
С физической точки зрения ЛИВ-четырехполюсник считается взаимным * 1), если
РНС-ток при коротком замыкании одной пары полюсов и произвольном напря-
жении на другой паре ие зависит от того, какие из полюсов закорачиваются,
а иа какие подается входное воздействие. Это положение иллюстрируется на
рис. 3.23. Четырехполюсник является взаимным, если при нулевом начальном
состоянии (РНС) 1а (/) = 1ъ (0 для всех о (/).
Рис. 3.23.
а) Если четырехполюсник описывается уравнениями проводимости в режиме
короткого замыкания, приведенными в приложении к данной главе, покажите,
что необходимым и достаточным условием для его взаимности является
^12 (S) = ^21 (s)-
б) Покажите, что эквивалентным тестом на взаимность является равенство
напряжений va (/) и иь (/) в двух случаях, показанных на рис. 3.24 при произ-
вольном значении тока i (t).
лив- °~
четырех- 2
полюсник о.
Рис. 3.24.
v'b(')
-о Холостой
ход
0 ЛИВ-
I четырех-
полюсник
*) Можно показать, что достаточным условием для взаимности четырехпо-
люсника является наличие в нем лишь линейных инвариантных во времени R,
L, С и связанных катушек (например, идеальных трансформаторов). Это иногда
называется теоремой взаимности для цепей. Нетрудно показать, что теорема
взаимности является следствием симметрии узловых уравнений в том виде, как
они обычно записываются для таких цепей, т. е. в уравнении Кирхгофа для
токов (ЗКТ) в узле i член, пропорциональный напряжению в узле /, совпадает
с членом в уравнении Кирхгофа для токов в узле /, пропорциональным напря-
жению в узле i (см., например, Е. A. Guillemin, Introductory Circuit Theory
(New York, NY: John Wiley, 1953), p. 148ff). Более элегантное, но значительно
менее прозрачное доказательство следует из теоремы Теллегена — см. задачу 4.4
и, например, С. A. Desoer, Е. S. Kuh, Basic Circuit Theory (New York, NY:
McGraw-Hill, 1969), p. 68111. Принцип взаимности легко распространяется
на n-портовые и даже на нелинейные цепи. Ключевая теорема, предложенная
Брейтоном, утверждает, что цепь, состоящая из взаимных элементов, является
взаимной (см., например, G. F. Oster, A. S. Perelson, A. Katchalsky, Quart. Rev.
Biophysics, 6 (1973): 1—138).
108
3. Системные функции
в) Покажите, что еще один эквивалентный тест иа взаимность — выполне-
ние равенства
Vb (s) /ь (s)
Va (s) la (s) ’
Короткое
ЛИВ- °-
четырех- 2
ПОЛЮСНИК q.
Рис. 3.25.
q замыкание
—-—-о холостой
лив-
четырех-
полюсник
где напряжения и токи определяются в соответствии с приведенными на рис. 3.25
схемами.
Задача 3.6
а) Покажите, что любой взаимный ЛИВ-четырехполюсник может быть пред-
ставлен эквивалентной П-обраэной схемой1), показанной на рис. 3.26, в которой
Рис. 3.26.
проводимости двухполюсников Ya (s), Уъ (s) и Yc (s) определяются через про-
водимости четырехполюсника в режиме короткого замыкания следующим об-
разом:
Va (s) = Vfi (s) -p Y12 (s),
Vb (s) = -Г12 (s) = -Г31 (s),
Vc (s) = V22 (s) + K21 (s).
б) С помощью приведенной в (а) эквивалентной схемы и простых методов
из теории резистивных цепей (например, равенств Тевенина—Нортона, формул
делителя напряжения и т. д.) получите передаточное отношение V2 (s)/V0 (s)
х) Понятно, что речь идет лишь о математической эквивалентности; нет
никакой гарантии, что из положительных R, L, С и т. д. можно в самом деле
изготовить три двухполюсника с проводимостями Ya (s), Vb (s), Yc (s). Более
того, эта эквивалентность выдерживается лишь с точностью до порта (четырех-
полюсника); так, например, нижние полюсы каждой пары на эквивалентной
схеме закорочены (т. е. они находятся под одним потенциалом), однако в реаль-
ном четырехполюснике соединение может быть и иным.
Задачи к. главе 3
109
для показанной на рис. 3 27 схемы и покажите, что результат согласуется с фор-
мулой, полученной в приложении к настоящей главе
Рис. 3.27.
1/г (s)
Задача 3.7
Если в качестве независимых переменных выбраны не напряжения, а токи в пор-
тах, то показанный на рнс. 3.28 ЛИВ-четырехполюсник можно описать урав-
нениями
7|(s) _________________________ b(s)
-
+ пив- 1 +
И (S) 1 четырех- 2 Vg (S)
полюсник
Рис. 3.28.
I7] (s) - Z„ (,s) ?! (s) У Z12 (s) /2 (s),
(s) - - Z2l (s) Zx (s) p Z24 (s) /2 (s),
где Zij называются входным и передаточным импедансами четырехполюсника
в режиме холостого хода.
а) Придумайте эксперименты для измерения импедансов в режиме холостого
хода, аналогичные тем, которые были описаны в приложении к данной главе
для измерения проводимостей в режиме короткого замыкания
б) Получите следующие выражения для импедансов в режиме холостого
хода через проводимости в режиме короткого замыкания и наоборот:
7 /„ч __ ___________^22 (S)___________, у (Л ________________ ________________
Yи (s) (S) — /j2 (s) Yal (s) 11 Zu(s) Z22 (s) — Z12 (s)Z2l (s) ’
7 lei =_____________~~ ^2i (s)________. у , > _ _____________" Z-tt C5)_______
^11 (S) ^22 (s) ^12 (s) ^21 (s) 12 Zn(S)Z2a(s) — Zj2(S)Z2i(s)
7 /s\ __ _________ ^12 (s)__________. у , v________________^12 (s)__________
2117 Гц (s) K22 («)- Yl2(s)Y21(sy 21 ZX1 (s) Z2a (s) — Z12 (s) Z21 (s)’
7 ic) —_____________^11 ___________- У ot ._______________^11 (s)__________
Yu (s) E22 (s) — E12 (.;) У 2l(s) 22 Zu (s) Z22 (s) — Zla (s) Z2l (s)
в) Покажите, что тесты на взаимность, описанные в задаче 3.5, определяются
выражением
^12 ^21 (S)
110
3. Системные функции
г) Покажите, что любой взаимный ЛИВ-четырехполюсник может быть пред-
ставлен показанной на рис. 3.29 эквивалентной Т-образной схемой, для которой
Рис. 3.29.
импедансы двухполюсников Za (s), Zb (s) и Zc (s) определяются через импедансы
четырехполюсника в режиме холостого хода следующим образом:
•Za (s) = Zji (s) Z12 (s),
(s) = Z12 (s) — ^21 (s)>
Zc (s) = Z22 (s) - Z21 (s).
д) Импедансы четырехполюсника в режиме холостого хода весьма полезны
для описания свойств пары связанных индуктивностей — системы из двух кату-
шек или индуктивностей, физически размещенных (например, намотанных на
общем сердечника) так, что изменяющийся поток, обусловленный изменяющимся
током в одной из катушек, связывает обе катушки и, таким образом, вызывает
появление в них напряжения. Обозначение пары связанных катушек показано
на рис. 3.30. Соответствующие уравнения имеют вид
Рис. 3.30.
+ L|-M
и, (О
«i(0 =
n tt\ - м dil (/) I di* &
п2 (0 - м dt + l2
Взаимная индуктивность М. может иметь любой знак (в зависимости от выбора
направления токов) и ограничена по величине тем, что физически коэффициент
связи k = | М 1/}^LiL2 должен быть меньше единицы. Докажите, что Т-образное
соединение трех индуктивностей, показанное на рис. 3.30 справа, математически
является четырехполюсным эквивалентом пары связанных индуктивностей,
показанных в левой части рисунка. Следует ли отсюда, что любая пара связан-
ных индуктивностей может быть физически заменена тремя несвязанными индук-
тивностями соответствующей величины без изменения поведения цепи? Объясните.
е) Для пары связанных индуктивностей изобразите иную эквивалентную
схему, используя для этой цели П-образное соединение катушек и основываясь
Задачи к главе 3
111
на эквивалентной схеме с проводимостями в режиме короткого замыкания, при-
веденной в задаче 3.6. Оцените значения элементов вашей схемы через Llt
L2 и М.
Задача 3.8
Идеальный
Рис. 3.31.
Помимо рассмотренных в задаче 3.7 и в приложении к настоящей главе пред-
ставлений ЛИВ-четырехполюсников через импедансы в режиме холостого хода
и проводимости в режиме короткого замыкания существуют еще четыре способа
описания поведения ЛИВ-четырехполюсников, соответствующие четырем остав-
шимся вариантам выбора двух независимых переменных из четырех величин,
характеризующих четырехполюсник со стороны полюсов: V, (s), V2 (s), Л (s)
и /2 (s). В конкретном практическом случае предпочтительный выбор из этих
6 вариантов обычно сопряжен с оценкой двух факторов:
1. При каком представлении описание данного че-
тырехполюсника является простейшим?
2. При каком представлении ограничения, обус-
ловленные внешними цепями, выражаются легче
всего?
В данной задаче эти факторы исследуются на несколь-
ких примерах.
а) Идеальный трансформатор, показанный иа
рис. 3.31, характеризуется следующими уравнениями:
»а (/) = nvx (О,
(0 = —1’х (О-
Для пары связанных индуктивностей (см. задачу 3.7) ситуацию, когДа
Li-*- оо, оо, a L2/Lx = п2, можно рассматривать как предельную- (п при-
близительно равен отношению числа витков вторичной обмотки L2 к числу вит-
ков первичной обмотки Lt.) Покажите, что как импедансы в режиме холостого
хода, так и проводимости в режиме короткого замыкания из задачи 3.7 и при-
ложения к настоящей главе бесконечны для идеального трансформатора, однако
так называемое ABCD -представление четырехполюсника
^2 (s) ~ (s) Vi (s) + В (s) /х (s),
/2 (s) = C (s) Vi (s) D (s) 7X (s)
Рис. 3.32.
существует. Определите A (,s), В (s), C (s) и D (s) для идеального трансформатора.
б) На рис. 3.32 приведена упрощенная
дифференциальная эквивалентная схема
транзистора. Найдите значения паРаметР0В>
соответствующие этой схеме, при гибридном
представлении четырехполюсника
(s) = 77ц ($) Л (s) + Н12 (s) Va (s)>
^2 (s) = (s) 7j (s) H22 (s) Va (s)-
в) Определите условия, которым должны соответствовать параметры (s)
из (б), если четырехполюсник, описываемый данным представлением, является
взаимным? Является ли взаимной указанная дифференциальная эквивалентная
схема транзистора?
112
3. Системные функции
г) Предположим, что в результате параллельного соединения двух четырех-
полюсников получился единый четырехполюсник, обозначенный на рис. 3.33
-О
2
-о
Рис. 3.33.
пунктирной линией. (Идеальный трансформатор с отношением 1 : 1 установлен
для того, чтобы гарантировать неизменность каждого четырехполюсника при
их параллельном включении. В трансформаторе нет необходимости, если, на-
пример, оба четырехполюсных элемента имеют общие земли, соединяющие, как
показано на рисунке пунктирной линией, их нижние полюса.) Найдите прово-
димости в режиме короткого замыкания, характеризующие это параллельное
соединение, через проводимости в режиме короткого замыкания для каждого
из входящих в схему четырехполюсников.
д) Изобразите схему, показывающую, как следует соединить два четырех-
полюсника, с тем чтобы получить новый четырехполюсник, входной и передаточ-
ный импедансы которого в режиме холостого хода равнялись бы сумме соответ-
ствующих входных и передаточных импедансов в режиме холостого хода для
входящих в систему четырехполюсников.
Задача 3.9
а) Для изображенной на рис. 3.34 схемы найдите входную и передаточную
I|(s) I2(s)
о—»—уд-----------------VA—<—о
+ R R +
v,(s) u?(s)
Рис. 3.34.
проводимости в режиме короткого замыкания, если
(s) (s) Ki (s) + Ум (s) Vs (s),
^2 (s) = ^21 (s) Vl (s) + ^22 (s) У2 (s)-
б) Докажите, что приведенная на рис. 3.35 схема эквивалентна схеме
Рис. 3.35.
Задачи к главе 3
113
пункта (а) в том смысле, что они имеют одинаковое четырехполюсное пред-
ставление.
в) Докажите, что изображенная на рис. 3.36 схема в смысле четырехполюс-
иого представления также эквивалентна схемам пунктов (а) и (б).
Рис. 3.36.
г) Существует ли какой-либо набор измерений на портах трех вышеприве-
денных схем, с помощью которого можно было бы отличить одну от других?
д) Существует ли какой-либо набор измерений на зажимах трех вышепри-
веденных схем, с помощью которого можно было бы отличить одну от других?
Задача 3.10
а) Преобразователь отрицательного импеданса представляет собой четырех-
полюсник, который, как показано на рис. 3.37, пересчитывает импеданс на своем
Zin (s) — ,11? — — Z (s)
‘i
Рис. 3.37.
Zfn (s)
Ki(s) R3
h. (s) Z (s)
Рис. 3.38.
выходе в его отрицательное значение на входе. Гиратор (рис. 3.38) представ-
ляет собой четырехполюсник, который пересчитывает импеданс на своем выходе
в его обратную величину на входе.
Опишите, в чем сходство и отличие входных импедансов этих двух устройств,
если Z (s) — чистая емкость, Z (s) = 1/Cs. (В особенности обратите внимание
на их поведение при s = /со.) Какой из входных импедансов (если существует)
неотличим от импеданса индуктивности?
б) Как преобразователь отрицательного импеданса, так и гиратор могут
путем соответствующего выбора параметров характеризоваться с помощью
ЛВСО-представления четырехполюсника, описанного в задаче 3.8:
V3 (s) = A (s) Уг (s) + В (s) (s),
7 2 (S) ~ С (S) Ki (S) + О (s) (s)-
114
3. Системные функции
Определите значения параметров, характеризующие каждое устройство (ответы
могут быть не однозначными). Взаимны ли эти устройства (см. задачу 3.5)?
в) Докажите, что приведенная на рис. 3.39 схема ведет себя как преобразо-
ватель отрицательного импеданса (сокращенно ПОИ).
l/| (s)
l/2( S)
Рис. 3.39.
г) Докажите, что изображенная на рис. 3.40 схема ведет себя как гиратор.
Задача 3.11
а) На рис. 3.41 представлена еще одна схема для реализации гиратора
(см. задачу 3.10). Докажите, что
V (s) Z, (s) Zs (s) Z5 (з)
I (s) Z2 (s) Z4 (s)
Задачи к главе 3
115
б) Если Zi (s)—емкость, а остальные импедансы — сопротивления, то
представленная в пункте (а) схема ведет себя со стороны зажимов как индук-
R R R С J
тивность L = —1 —- 5 Таким образом, эта цепь может использоваться для
О
замены индуктивностей в схемах фильтров при условии, что один зажим этой
индуктивности заземлен. К сожалению, у фильтров нижних частот типа пока-
занного на рис. 3.42 фильтра Баттерворта, оба зажима индуктивностей нахо-
Рис. 3.42. ФНЧ Баттерворта. Частота отсечки со0, рад/с.;
L = 3R • Л = R • С =
1 2<о0 ’ 2 2<о0 ’ 3/?<о0’
дятся под некоторым потенциалом. Один из путей использования схемы из (а)
для реализации такого фильтра основывается на том, что если все импедансы
в какой-либо цепи поделить на ks, то все соотношения напряжений в этой цепи
останутся неизменными. (Убедитесь, что это утверждение справедливо.) Однако,
индуктивности преобразуются в сопротивления величиной Uk, резисторы —
в емкости величиной k/R, а емкости — в «двойные емкости» с импедансом 1/kCs2.
«Двойная емкость» может быть реализована с помощью схемы из (а), если
Zj (s) и Z3 (s)—емкости. Учитывая эти соображения, найдите величины эле-
ментов в представленной на рис. 3.43 схеме, которая позволяет реализовать
Рис. 3.43.
фильтр нижних частот Баттерворта с частотой отсечки, равной 1000 Гц. Старай-
тесь, чтобы значения резисторов находились в диапазоне от 10 до 100 кОм.
116
3. Системные функции
Задача 3.12
Преобразователь — это система для преобразования энергии из одной формы
в другую. Часто одна из форм электрическая; в качестве примеров можно при-
вести бесчисленное разнообразие электромеханических устройств, таких как
моторы, генераторы, громкоговорители, звукосниматели проигрывателей, аксе-
лерометры, а также различные термоэлектрические, электрохимические, электро-
оптические и другие устройства. При анализе динамики поведения преобразова-
теля важным случаем являются ситуации, при которых отклонения переменных
относительно некоторого установившегося состояния настолько малы, что в ка-
честве дифференциального описания системы может быть принят линейный
четырехполюсник. Кроме того, для многих преобразователей эффективность
преобразования энергии настолько высока, что при их описании потерями прак-
тически можно пренебречь. В подобных случаях, как иллюстрируется данной
задачей, линейный четырехполюсник должен удовлетворять интересному усло-
вию взаимности.
/(f)
+ Площадь; Д
НП £
--x(f)
Пружина! Пластина 1Пружина
Рис. 3.44.
а) На рис. 3.44 показан простой электромеханический преобразователь.
Он состоит из безынерционной пластины площадью А, которая с помощью элек-
трически изолированных пружин поддерживается на переменном расстоянии
х (t) от фиксированного заземленного основания. К пластине может быть прило-
жена механическая сила f (/). Кроме того, с помощью гибкого провода пластине
может быть сообщен электрический заряд, в результате пластина и основание
образуют емкость. Такая схема обрисовывает главные особенности разнообраз-
ных полезных устройств типа конденсаторных микрофонов и датчиков механиче-
ских усилий. Энергия, накопленная в этой системе, равна
Zcq/1 Z
где q (t) — электрический заряд на подвижной пластине; 80 — диэлектрическая
проницаемость вакуума; х0 — длина пружин в состоянии покоя; К — эффектив-
ная общая жесткость пружин.
В силу отсутствия потерь выполняемая в системе электрическая нли меха-
ническая работа дает прирост накопленной энергии. В разностном виде это
записывается так:
[q (t) х (i)] = v (i) kq (f) + f (f) kx (f).
Следовательно,
„ rn - *(01 . dE [q(t), x(/)],
U dq(t) ’ dx(t)
Получите зависимости v (t) и f (/) через q (t) их (t) x).
’) Внутренняя энергия, записанная через обобщенные «смещения», такие
как х (/) и q (if) называется в физике гамильтонианом системы. Частная производ-
ная гамильтониана по конкретному «смещению» дает соответствующую обобщен-
ную «силу». Если система содержит накопленную магнитную и кинетическую
энергию, то соответствующими «смещениями» являются магнитный поток и меха-
нический момент, а «силами» — соответственно электрический ток и механиче-
ская скорость.
Задачи к главе 3
117
б) Пусть каждая из нижеприведенных переменных может быть представ
лена в виде суммы большой постоянной
шого возмущения:
f (0 = foo + fi (0,
v (0 = foo + vt (t),
X (0 — «оо Xi (0,
q (0 = 9oo + qt (0,
величины (состояние покоя) и неболь-
I Zoo I » I fl (01.
Pool > l»i (01.
I «00 I » I (01.
I<7ool > \qt (0|.
a Fi (s). Vt (s). ^i (s) и O' (0 обозначают ^’-преобразования соответственно ft (t),
V{ (0, dx{ (t)/dt и dxji (t)/dt. Покажите, что эти величины связаны следующими
уравнениями четырехполюсника:
/r.(S)==At/.(s) + _£^_/.(s)i
Vi (s) = Ui (s) + Il (s).
' ’ e04s 1 1 ’ e04s 1 k '
в) Заметим, что перекрестные члены илн члены связи в уравнениях четырех-
полюсника из (б) (т. е. член в уравнении силы, пропорциональный току, и член
в уравнении напряжения, пропорциональный скорости) имеют одинаковые
коэффициенты. Это такое же условие взаимности, как и рассмотренное в за-
даче 3.5 для чисто электрических схем. Покажите, что подобное условие взаим-
ности справедливо для любой системы, в которой накопленная энергия может
быть записана как функция смещения х (f) на механическом входе и заряда q (t)
на электрическом входе1). Совет. Воспользуйтесь математическим. фактом:
___д ( dE[q(t), х(0] \ д / дЕ [q (t), х (0] \
dq (0 \ dx (/) / дх (/) \ dq (0 / ’
*) Условие взаимности такого типа в термодинамике называется соотноше-
нием Максвелла.
ПОЛЮСЫ И НУЛИ
4.0. Введение
Для любой ЛИВ-цепи с сосредоточенными параметрами систем-
ная функция Н (s) всегда имеет форму отношения полиномов
аргумента s, т. е. является рациональной функцией. В соответ-
ствии с основной теоремой алгебры любой полином может быть
разложен на множители, соответствующие его корням
ansn + an_1sn~l -j- an_2sn~2 + ... + atf + а0 =
= ап (s — sx) (s — s2) ... (s — sn).
Таким образом, рациональная системная функция Н (s) всегда
может быть записана как
н м _ к (s~szi)(s~sz2) ••• (s~szn)
( } л е-»р1)(5-м - (»-®Рм)
и полностью определена (с точностью до действительной постоян-
ной) корнями полиномов числителя и знаменателя — нулями szi
и полюсами spi функции /У (s). Расположение нулей и полюсов
обусловливается как типом системной функции (например, вход-
ной импеданс или передаточное отношение), так и элементами,
входящими в состав цепи, и топологией схемы. Положение нулей
и полюсов содержит значительную информацию — как каче-
ственного, так и количественного характера — относительно
свойств системы, включая, в частности, основные особенности ее
частотной характеристики /У (/со). Такова тематика данной главы.
Этим мы по существу завершим изучение цепей, состоящих из
простейших электрических элементов. В следующей главе мы
приступим к анализу систем, элементы которых сами являются
системами или сложными цепями.
4.1. Диаграммы полюсов-нулей
Часто наиболее наглядным и удобным способом охарактеризовать
системную функцию является графическое изображение распо-
4.1. Диаграммы полюсов-нулей
119
ложения ее полюсов и нулей на комплексной s-плоскости, назы-
ваемое диаграммой полюсов-нулей. Пример приведен на рис. 4.1.
Тип используемых элементов, а также структура цепи огра-
ничивают области s-плоскости, в которых могут располагаться
нули и полюсы. Прежде всего важно отметить (как показано в гл. 2)
что, поскольку величины элементов являются действительными
числами, полюсы и нули располагаются либо на действительной
ст-оси (например, нуль на рис. 4.1), либо в виде комплексно-сопря-
женных пар симметрично относительно оси ст (например, полюсы
на рис. 4.1). Более того, если цепь составлена только из положи-
тельных R, L и С (допустимы трансформаторы и связанные ка-
тушки, но не управляемые источники), то полюсы системной функ-
ции должны лежать в левой s-полуплоскости или на оси /со (т. е.
ст 0); доказательство приведено в задаче 4.4. Цепи, состоящие
исключительно из положительных R, L и С, являются пассивными.
Системные функции, полюсы которых не лежат в правой s-полу-
плоскости, называются устойчивыми-, пассивная ЛИВ-цепь яв-
ляется устойчивой г>.
*) Обратное утверждение неверно: устойчивая цепь не обязательно пас-
сивна — в этом мы уже не раз убеждались на примерах с использованием опе-
рационных усилителей; подробно этот вопрос будет обсуждаться в гл. 6. В более
общем виде пассивность означает, что энергия, которую можно получить от эле-
мента или цепи, не может превосходить конечной величины, определяемой на-
чальным состоянием; см., например, J. L. Wyatt, Jr., et al. IEEE Trans. Cir. &
Sys., CAS— 28 (1981): 48—61. Устойчивость означает, что эффекты от малых
возмущений также малы; ЛИВ-система явно неустойчива, если ее РНВ содержит
экспоненциально нарастающие компоненты. Этому соответствуют полюсы си-
стемной функции в правой s-полуплоскости, указывающие на то, что в этом
случае результат любого возмущения, сколь малым бы оно ни было, в конечном
счете будет велик. Более глубокое обсуждение вопросов устойчивости, включая
более строгие определения, содержится в гл. 6.
120
4. Полюсы и нуля
Для специальных классов пассивных цепей расположение
полюсов подчиняется еще большим ограничениям (подробнее
см. задачу 4.4.):
1. В ЛИВ-цепях, состоящих только из положительных R и L,
либо только из положительных R и С (без управляемых источ-
ников), все полюсы должны лежать в отрицательной части дей-
ствительной оси. RC- или ^A-цепи иногда называют цепями с за-
туханием, поскольку их РНВ является взвешенной суммой моно-
тонно убывающих экспонент.
2. В ЛИВ-цепях, содержащих только положительные L и С
(без управляемых источников) все полюсы должны лежать на
оси /со. Идеальные LC-цепи называются цепями без потерь и
находятся на границе устойчивости; их РНВ является взвешенной
суммой незатухающих синусоид, которые не нарастают и не умень-
шаются.
Для пассивной цепи нули системной функции — в отличие от
полюсов — могут, вообще говоря, располагаться в любой точке
комплексной плоскости, хотя опять-таки, для некоторых систем
существуют определенные ограничения:
1. Если Н (з) является входным импедансом, т. е. если
у (S) = н (s) I (з),
где V (з) являются ^-преобразованием РНС-напряжения на им-
педансе Н (з), обусловленного источником тока / (s), то (как
указано в разд. 3.2) 1//А (s) также системная функция, а именно
входная проводимость, удовлетворяющая уравнению
где / (s) — ^-преобразование РНС-тока, протекающего через
импеданс Н (з) в результате воздействия источника напряжения
V (з). В этом случае нули функции Н (s), являющиеся полюсами
функции l/Н (з), должны подчиняться тем же ограничениям,
что и полюса: в общем случае для пассивных RLC-цепей они
должны лежать в левой полуплоскости, для пассивных RC- и
₽А-цепей — в отрицательной части оси ст, а для пассивных АС-
цепей 1) — на оси /со.
Эти ограничения на расположения нулей необходимы, но недостаточны
для того, чтобы Н (з) была входным импедансом. Так, для RC-, RL- и LC-цепей,
имеющих системные функции, соответствующие входным импедансам, полюсы
и нули должны фактически перемежаться, что можно показать с помощью раз-
вития методов, изложенных в задачах 4.5 и 4.6. Для общего случая ^LC-цепи,
имеющей системную функцию в виде входного импеданса, ограничения на рас-
положение нулей могут быть получены из того, что в соответствии с задачей 4.5
импеданс должен быть «положительной действительной функцией» 2).
2) Относительно «положительных действительных функций» см., например,
Г. Боде. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. — М.:
ГИИЛ, 1948, гл. IX, с. 206; И. С. Гоноровский. Радиосигналы и переходные
явления в радиоцепях. — М.: ГИЛСР, 1954, § 3.4, с. 90. — Прим. ред.
4.1. Диаграммы полюсов-нулей
121
2. Цепь лестничного типа структурно выглядит как «лестница»
с перемежающимися последовательными и параллельными вет-
вями. Можно показать, что нули любой передаточной функции
лестничной цепи должны находиться в левой полуплоскости.
Для RC- или ^L-лестничной цепи нули должны лежать в отри-
цательной части оси а, для LC-цепи лестничного типа они должны
располагаться на оси /и.
Пример 4.1.1
Двойная Т-образная схема (рис. 4.2) это широко применяемая
Рис. 4.2. Двойная Т-образная цепь.
ДС-цепь, которая состоит из двух параллельно соединенных
простых цепей лестничного типа (рис. 4.3). Полные входную и
передаточную проводимости в режиме короткого замыкания двой-
ной Т-образной схемы (см. приложение к гл. 3) можно легко
найти, суммируя полные проводимости в режиме короткого за-
мыкания составляющих ее элементарных цепей (в силу своей
структуры названных Т-образными):
Рнс. 4.3. Элементарные Т-образные цепи, из которых составлена двойная Т-об-
разная цепь иа рнс. 4.2.
УЬ(5) = У22(5) =
Cs (s -j- 2/RC)
~ 2(s+l/7?C)
yj2(s) = Y21 (S) =
_ -Cs3
2(s-|-l/^C) ’
У11 (S) = /22(5) =
s + 1/2RC
~ /?(s-H/£C) ’
Иг(з) = П1(з) =
—1
- 2R2C (s1 /RC) •
122
4. Полюсы и нули
Следовательно,
у /„\ у ________ С'з (у Т~ 2/RC) । s Т~ 1/2RC_
г ll(S) — ~ 2(s+1/RC) “Г R (s + 1/RC) ~~
С (s2 + 4s/RC + l/R2C2)
2 (s-)-1/RC)
у 12 (s) ^21 (s) 2 (s + 1 /RC) 2R2C (s + 1/7?C)
—C (s2 +1/7?2C2)
~ 2 (s + 1/RC)
Отметим, что Уп (s) является полной входной проводимостью
7?С-цепи, полюса и нули которой, как показано на рис. 4.4,
3,732 -0,268
RC ЯС
—е------------х—&
।
" ЯС
S-ПЛОСКОСТЬ
Рнс. 4.4. Диаграммы полюсов-нулей для Уп (з) (слева) и У12 (з) (справа).
находятся в отрицательной части действительной оси (и переме-
жаются в соответствии с предыдущим примечанием). Теми же
свойствами характеризуются Уц (s) и У'п (s). С другой стороны,
У12 (s) является полной передаточной проводимостью 7?С-цепи,
у которой полюс, как и требуется, располагается в отрицательной
части действительной оси, а нули лежат на оси /со. (Двойная Т-
образная схема не является цепью лестничного типа, в силу чего
нули полной передаточной проводимости не обязательно должны
лежать в отрицательной части действительной оси. Заметим
однако, что У)2 (s) и Y'{2 (s), которые соответствуют полным пере-
даточным проводимостям ЛС-цепи лестничного типа, имеют нули
в точках s = 0 или s = оо, которые, по крайней мере в предель-
ном смысле, находятся в отрицательной части действительной
оси.) Благодаря наличию нулей на оси /со, двойная Т-образная
схема может использоваться для режекции или подавления вход-
ных синусоид с частотами вблизи <в = 1/RC, что препятствует
появлению на выходе цепи этих составляющих входного сигнала.
(О применении см. задачу 4.13.)
* * *
4.2. Векторная интерпретация Н (J<o)
123
4.2. Векторная интерпретация Я (/со)
Многие важные характерные черты Н (Ja) как функции /со можно
получить непосредственно из диаграммы полюсов-нулей для Н (s).
Такое применение диаграммы основано на том, что комплексное
число s — s0 может быть представлено в виде вектора на комплекс-
ной плоскости, соединяющего концы векторов s и s0. Длина этого
вектора | s — s01; его угол равен arg (s — s0) (см. рис. 4.5).
Рис. 4.5. Векторное представление комплексных чисел s, s0 н s — s0.
Предположим теперь, что мы записали
H(s) = K
(s ~ szi) (s ~ sza) ••• (S~W>
(s~sPi) (s -M (s~spm) ‘
(4-2.1)
Тогда, выразив каждый член в форме величина — угол и положив
s = /со, получим
N
П I ~ Szi ।
Д I /«£» Spi I
i=l
(4.2.2)
N М
arg Н (/со) = S arg (/со — szi) — £ arg (/со — spi), (4.2.3)
i=l i=l
т. e. | H (ja) ] равен К, умноженному на отношение произведения
длин векторов, соединяющих каждый из нулей с точкой /со на
оси /со, к произведению длин векторов, соединяющих каждый
из полюсов с точкой /со. Аналогично угол вектора Н (/со) равен
разности сумм углов отдельных членов. Ценность такого вектор-
ного представления Н (/со) лучше всего иллюстрируется примером.
124
4. Полюсы и нули
Пример 4.2.1
Попытаемся найти системную функцию схемы на операционном
усилителе, представленной на рис. 4.6. Пользуясь обычной экви-
Рис. 4.6. Схема и примеру 4.2.1.
валентной схемой идеального операционного усилителя, а также
правилами суперпозиции и делителя напряжения, мы легко можем
найти соотношение между (s) и V2 (s'), приравняв напряжения
на инвертирующем и неинвертирующем входах:
\ Vb / | i\
, :g(vcT z? । 1 I ^(.vCs>
r Cs R + \/Cs Cs^ R + \)Cs
(4.2.4)
Преобразовав (4.2.4), получим
1 г s i
v (4.2.5)
L too J + Q L too j +
где
w0 - (4.2.6)
q ~ (так что 1/2<Q<oo, если 0<Я0<2А!)) (4.2.7)
/<о
(4.2.8)
4.2. Векторная интерпретация И
125
Диаграмма полюсов-нулей для
Н (s) показана на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Полюсы и нули выражения
(4.2.5).
Рис. 4.8. Параллельный резонансный
контур.
При изменении 7?0 полюсы перемещаются по окружности радиуса
£й0. При Q = 1/2 (Ro = 0) полюсы совмещаются на отрицательной
части оси о в точке о = — соо — — I'RC. При Q ж (Но -* 2R),
полюсы приближаются к точкам + /соо (если же Ro > 2R, то
полюсы перемещаются в правую полуплоскость, что означает
неустойчивость системы).
При изменении Ro диаграмма полюсов-нулей для этой цепи
ведет себя точно так же, как диаграмма полюсов-нулей для импе-
данса Z (s) параллельного резонансного контура, показанного
на рис. 4.8, при изменении параллельного сопротивления R
Z<S)"IT±
R + U
>о
где
Таким образом, результаты, которые мы получили при исследо-
вании соотношения между положением полюсов-нулей и частот-
ной характеристикой для схемы с операционным усилителем,
могут широко использоваться для большого класса резонансных
систем.
Резонанс заслуживает внимания главным образом, когда Q
велико, скажем 10 или больше. При этом полюсы находятся
126
4. Полюсы и нули
достаточно близко от оси /со и диаграмма полюсов-нулей стано-
вится похожей на картинку, изображенную слева на рис. 4.9.
(/<*'~5ргУ
Рис. 4.9. Диаграмма полюсов-нулей для резонансной системы с большим Q.
В этом случае частотная характеристика Н (/со) имеет вид
4г (/© — 0)
_____ч____________
(/ш—Spi) (/и —Spa) ’
где ______________
. — С0„..-1/' 2/, 1 \ _ —соо . .
Spi — Sp2 — -gQ- + 1 у ®0 1 4Q2 J ~ 2Q +
Для аппроксимации Н (/со) вблизи со = соо мы можем считать,
что векторы (/со — 0) и (/со — sp2) являются по существу постоян-
ными, не зависящими от со, и равными соответственно /соо и 2/соо.
Тогда поведение Н (/со) определяется быстрым изменением век-
тора (/со — $р1) при со вблизи соо’
Дсо0 .
____________0. 1 °
(1® + ~ /ш») 2/соо 1 + /2Q (
\ *4 / \ шо
При (со — соо)/соо = ± 1_/2Q или со = соо ± coo/2Q мы имеем
Н (/со) = 2. Эти значения частоты, при которых
| Н (/со) |2 = | Н (/соо) |2/2, являются точками уровня половинной
мощности. Пользуясь вышеприведенной приближенной форму-
лой, мы можем изобразить обобщенную резонансную кривую для со
в окрестности со0 (или для f = со/2л в окрестности /0 = соо/2л),
как показано на рис. 4.10. Заметим, что Q примерно равна отно-
шению центральной частоты /0 к ширине полосы Д/ по уровню
половинной мощности.
* * *
Векторная интерпретация Н (s) показывает, что для любой
Н (s), имеющей полюс вблизи оси /со, обобщенная резонансная
4.3. Потенциальные модели системной функции
127
кривая описывает Н (j<а) для значений to, расположенных доста-
точно близко к полюсу, так что изменения векторов, связываю-
Рис. 4.10. Обобщенная резонансная кривая. Полоса по уровню половинной
мощности Л/ — .
щих /со со всеми другими полюсами и нулями, малы в сравнении
с изменениями вектора до ближайшего полюса. Некоторые при-
менения этого вывода обсуждаются в разделе задач.
4.3. Потенциальные модели системной функции
Векторное представление полюсов и нулей функции Н (s) позво-
ляет проследить за увеличением | Н (s) | при приближении s
к полюсу и за ее уменьшением при приближении s к нулю. Иногда
полезно также иметь представление в виде физической модели.
Представьте себе лист резины с нарисованными на нем осями а
и /ш. Установим «шесты» так, чтобы поддерживать этот лист
в точках полюсов, а с помощью «колышков» или «кнопок» притя-
нем его к земле в точках нулей. Получившаяся поверхность при-
мерно соответствует | Н (s) |. Подобное представление позволяет
наглядно показать влияние па | II (/<•>) | заданного расположения
полюсов и нулей.
128
4. Полюсы н нули
Аналогичный эксперимент можно поставить и на самом деле
с тем, чтобы получить точные количественные результаты. Пред-
ставим себе двумерную проводящую поверхность типа, например,
бумаги со специальным покрытием или мелкого резервуара с элек-
тролитом. Изобразим на этой поверхности комплексную плоскость,
нарисовав на ней пару взаимно перпендикулярных осей, поме-
ченных о и и. Элементарных знаний из теории поля достаточно,
чтобы показать, что потенциал в точке (ст, и), возникающий в ре-
зультате касания поверхности токовым зондом в точке (ст0, и0),
пропорционален Iп | s — s01, где s = ст + /и, a s0 = ст0 + j®0.
Если одновременно несколько зондов с втекающим током касаются
точек (стгг, иг;) и одновременно несколько зондов с вытекающим
током касаются точек (стрЪ ирЭ, причем все токи равны по вели-
чине, то потенциал в точках (ст, и) будет равен
ф (ст, со) ~ In I /s ~Szl) (s ~Л*г) " ...(s I _
I (s spi) (s spa) • • • (s sp.v) I
t. e. пропорционален логарифму модуля системной функции H(s),
имеющей соответствующее расположение нулей и полюсов.
Сегодня цифровой компьютер в основном вытеснил подобные
аналоговые методы для количественной оценки соотношения между
расположением полюсов-нулей и модулем и фазой функции
Н (s). Тем не менее потенциальные модели ценны для качествен-
ной оценки Н (s). Иногда с помощью известных потенциальных
полей без всяких экспериментов можно правильно выбрать струк-
туру цепей. Предположим, например, что нам требуется спроек-
тировать цепь, частотная характеристика которой была бы при-
ближенно постоянной по величине в полосе | со | < 2л W и быстро
спадала бы до нуля вне этой полосы. Такая характеристика соот-
зетствует идеальному фильтру нижних частот, который мы будем
подробно изучать в последующих главах. Для начала заме-
тим, что нашей задаче соответствует потенциальное поле, созда-
ваемое проводящим кольцом с коллектором в бесконечности
(см. рис. 4.11, а). Теория потенциалов говорит, что потенциал
будет одинаковым внутри кольца, а вне его упадет до некоторого
небольшого значения. Мы можем аппроксимировать подобное
распределение потенциального поля при помощи равномерно
расположенных дискретных зондов, как показано на рис. 4.11, б.
Соответствующее распределение полюсов не обеспечивает удов-
летворительного построения системы, поскольку половина из
них находится в правой полуплоскости. Однако из соображений
симметрии (либо путем последовательного соединения цепи, имею-
щей распределение полюсов, показанное на рис. 4.11, б, с фазо-
корректирующей структурой, соответствующей рис. 4.11, в) мы
можем заключить, что равномерное распределение полюсов, как
показано на рис. 4.11, а, должно обеспечить устойчивую схему,
4.3. Потенциальные модели системиой функции
129
для которой величина характеристики вдоль оси /<в равна квад-
ратному корню от значения, полученного для модели рис. 4.11, б.
Рис. 4.11. Распределение полюсов ФНЧ.
(Фазокорректирующие цепи обсуждаются в задаче 4.2.) Есте-
ственно, при большей плотности распределения полюсов аппро-
ксимация получается лучше.
Полученный фильтр относится к классу фильтров нижних
частот Баттерворта, которые обсуждались ранее. Легко можно
показать, что его частотная характеристика имеет вид
Рнс. 4.12. Характеристики | Я (ja>) j2 для различных фильтров Баттерворта.
где п — число полюсов. Функция | Н (ja) | изображена на рис. 4.12
для нескольких значений п. Дальнейшее обсуждение этого вопроса
см. в задаче 4.12.
5 Сиберт У. М.
130
4. Полюсы н нули
4.4, Диаграммы Боде
Для случаев, когда все полюсы и нули Н (s) располагаются на
действительной оси, существует удобный технический прием —
метод Боде 11, позволяющий с помощью асимптот и прямолиней-
ной аппроксимации быстро изобразить амплитудную | Н (/го) | и
фазовую arg Н (/со) характеристики. По существу диаграмма
Боде представляет собой графики 20 log10 | Н (/го) | (называемый
амплитудной характеристикой Н (/го) в децибелах 2) (дБ)) и
arg Н (ju>) в зависимости от log10 го. Выбор логарифмической
амплитудной шкалы обусловлен не только возможностью изобра-
жения характеристик типа частотной, изменяющихся в широких
пределах, но и (по крайней мере для аналоговых систем связи)
определенными психологическими факторами, поскольку восприя-
тие яркости и громкости возрастает (примерно) как логарифм
интенсивности. Полезно запомнить, что
1 дБ = изменению | Н (/го) | примерно на 12 %,
6 дБ = изменению | Н (/го) | почти в 2 раза,
20 дБ = изменению | Н (/го) | ровно в 10 раз.
Естественно, выбор уровня отсчета (0 дБ) не требуется, когда
|/7(/ю)|= 1. Чаще всего на график наносится 20 logI0 (| Н (/го) ]//70),
где Но — некоторый выбранный опорный уровень, как, на-
пример, Н (0) — максимальное значение | Н (/го) | либо какая-
нибудь другая представляющая интерес величина. Так,
например, звуковое давление обычно измеряют в децибелах
при уровне выше 2-10~5Н/м* 2. Это примерно равно давлению,
соответствующему среднему нормальному порогу слышимости
на частоте 1000 Гц.
Метод Боде основан на том, что если все полюсы и нули на-
ходятся на оси о, то можно записать
H(s) = K
(s 4- g) (s 4- b)
(s 4- c) (s 4- d)
где К, a, b, c, d, ... —действительные константы. Положим на
время, что при s = 0 нет ни полюсов, ни нулей. Тогда это выра-
жение удобно записать в виде
H(s) = ft(0) +
*) Г. Боде. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. —
М.: ГИИЛ, 1948, гл. XV: Графические методы расчета связи между вещественной
и мнимой составляющими функции цепи.
2) Единица «бел» (названная в честь изобретателя телефона) была перво-
начально введена как логарифм отношения мощностей; децибел (дБ) равен одной
десятой этого значения. Поскольку для большинства применений мощность
пропорциональна | Н (/со) |2, то получается 10 log10 I Н (ja>) ]2 = 20 log10 | Н (/со) |.
4.4. Диаграммы Боде
131
где Т; — постоянная времени, соответствующая полюсу или нулю.
Прологарифмировав это выражение, получим
201og10|H(»| =
=- 20 logio Н (0) + 20 log101 1 +’ I h 20 log101 1 P /41 + • •
4- • • • - • 20 log | 1 + 1 20 logi011 i /®т<1 - ‘ •
и
arg H (/co) -= arg (1 + /сот,) 4 arg (1 4 /сот2) t ..
4- ... — arg (1 + /сот3) — arg (1 4- /сот4) — . .
Так что, если мы знаем амплитудные и фазовые характеристики
отдельных членов (1 + /сот), то с. помощью простого суммирования
можно получить амплитудную и фазовую характеристики любой
Н (/со), имеющей полюса и нули на оси ст.
Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики
(ЛАЧХ и ЛФЧХ) 1 I /сот изображены на рис. 4.13. Для запо-
Рнс. 4 13. ЛАЧХ и ЛФЧХ для 1 + /сот.
минания и изображения таких характеристик полезны следующие
соображения:
1. Амплитудная характеристика (дБ в зависимости от logic со)
имеет две прямолинейные асимптоты — горизонтальную на уровне
0 дБ для нижних частот и наклонную с наклоном 6 дБ на октаву 15
15 Использование слова «октава» для обозначения изменения частоты в 2 раза
произошло, естественно, от соответствующего музыкального интервала — восемь
нот европейской диатонической шкалы.
5*
132
4. Полюсы и нули
(коэффициент 2) или 20 дБ на декаду (коэффициент 10) для верх-
них частот. Эти две асимптоты пересекаются в точке со = 1/т,
называемой точкой излома.
2. Отклонение кривой от асимптот составляет примерно 3 дБ
(« 20 log10 V 2) на частоте со ---• 1/т и около 1 дБ (аз 20 log10 у 5/4)
при изменении частоты на октаву в каждую из сторон от точки
излома (со = 2/т и со = 1/2т).
3. Фазовая характеристика изменяется плавно от О'" при со = 0
до 90° при со — со, принимая значение 453 при со — 1/т. При этом
она хорошо аппроксимируется (с точностью не хуже примерно
6°) прямой линией, обеспечивающей, как показано на рисунке,
полное изменение фазовой характеристики за две декады. Как
показывает следующий пример, этот метод легко распространяет-
ся на особые случаи, когда Н ($) имеет полюсы или нули при
s = О
Пример 4.4.1
В качестве иллюстрации применения метода Боде для построения
амплитудной \Н (/со) | и фазовой arg Н (/со) характеристик пред-
положим, что
Н (s) = 10---------------.
4 ' / с \
<'+>(,+ -П-)
Тогда
20 log101/7 (/со) | = 20 logio (Ю) 4 201og10|co| -
- 20 log10| 1 4 /со | - 201og10|l 4-^-|.
Асимптоты для каждого члена показаны в верхней части рис. 4.14.
Рис. 4.14. ЛАЧХ к примеру 4.4.1
В нижней его части сплошной линией дана близкая аппроксима-
ция действительной частотной характеристики этого полосового
4.4. Диаграммы Боде
133
фильтра, а пунктирной линией — наложенные на нее асимптоты.
Соответствующая приближенная фазовая характеристика и ее
асимптоты изображены на рис 4.15.
Рис. 4.16. ЛФЧХ к примеру 4.4.1.
Заметим, что при стремлении о к 0 или со любая рациональ-
ная функция становится пропорциональной некоторой целой сте-
пени частоты (/и)". Следовательно, логарифмические амплитуд-
но-частотные характеристики (ЛАЧХ) для большой или малой
частоты являются асимптотически прямыми линиями с накло-
ном 6п дБ/октава (или 20 п дБ/декада). Одновременно логариф-
мические фазочастотные характеристики (ЛФЧХ) достигают 90п
градусов (по модулю 360°). Наоборот, если ЛАЧХ эксперименталь-
но определенной | Н (fa) | падает, скажем, со скоростью 18 дБ/ок-
таву при ш —>- оо, то на высоких частотах | Н (/со) | ~ 1/со3. Эти
асимптотические свойства применимы, естественно, к логариф-
мическим амплитудно-частотным характеристикам любой ра-
циональной системной функции Н (s), хотя описанные выше про-
стые методы для получения таких характеристик ограничены функ-
циями Н (s), все полюсы и нули которых находятся на оси ст.
Пример 4.4.2
В качестве второго примера рассмотрим
//(s) =
/ 5 \ 3
зо)
(1 - А’
Диаграмма Боде для (1 + тх)” представляет собой просто харак-
134
4. Полюсы и нули
теристику для (1 + xs), помноженную на п. Окончательный
результат показан на рис. 4.16.
4.5. Выводы
Рациональная системная функция полностью определяется (с точ-
ностью до действительного постоянного множителя) положением
своих полюсов и нулей. Типы элементов, составляющих цепь,
равно как и топология их межсоединений, накладывают ограниче-
ния на возможные положения полюсов-нулей. Представление по-
люсно-нулевых компонентов функции Н (s) в виде векторов на
комплексной плоскости дает понимание связи между положением
полюсов-нулей и амплитудной и фазовой компонентами систем-
ной функции. Существуют специальные методы для представления
частотной характеристики, когда один из полюсов находится
вблизи оси /и (резонанс) и когда все полюсы и нули располагаются
на действительной оси (метод Боде).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4
Упражнение 4.1
Для каждой из трех показанны.х на рис. 4.17 цепей найдите соответствующие
(О
Рис. 4.17.
(2)
( 3)
диаграмму полюсов-нулей (рис. 4.18), дифференциальное уравнение «вход-
выход», частотную характеристику (рис. 4.19) н реакцию на ступенчатое воз-
Упражнения к главе 4
135
действие (рис. 4.20). Один из приведенных ответов правильный, причем каждый
из них соответствует не более чем одной цепи.
Рис. 4.18. Диаграммы полюсов-нулей системной функции «вход-выход».
Дифференциальные уравнения «вход-выход»:
, dvt(t)
dt2
G
Н
J
________, „ dv0 (t)
dt + 1 {t’ dt ’
(0 , .. _ dv<i (0
~dT + V1
d2vi(t) , dv0(t)
1 (t}----dT’
dvi (t)
—^ + «1 (t) = v0 (i),
+ MO.
K d2vr (/)
K dt2
dt
Рис. 4.19. Частотные характеристики «вход-выход», | Я (/2л/) | =
(/2 л/)
Ро (/2л/) •
138
4. Полюсы и нули
Рис. 4.20. Реакции иа единичное ступенчатое воздействие, »0 (t) = и (f).
Правильные ответы: (1) A, J, Р, Т; (2) В, F, М, W; (3) Е, G, L, U.
Упражнение 4.2
а) Покажите, что для приведенной иа рис. 4.21 схемы системная функция
приближенно равна
Н (s) - - Юз * + 2я-2°00 (РНС}
/(s) s-|-2л-100 (
0,076 мкФ^т-^
1,05 кОм
Рис. 4.21.
б) Изобразите на s-плоскости полюсы и нули Н (s).
в) Пользуясь методом Боде, покажите что изображенные на рнс. 4.22 лога-
Рис. 4.22.
Упражнения к главе 4
137
рифмические амплитудио- и фазочастотная характеристики системной функции
Н (/2л/) в зависимости от log10 /, где f = <в/2л, соответствуют схеме, изображен-
ной на рис. 4.21.
Упражнение 4.3
а) Исходя из типов элементов и структуры представленной на рис. 4.23
ff, = 1 кОм, ff2 = 1 МОм, С,=100мкФ, С2=1 мкФ
Рис. 4.23.
цепи, докажите, что как полюсы, так и нули передаточной системной функции
И (s) = V2 (s)fVi (s) (РНС) должны лежать на оси а, хотя и не должны пере-
межаться.
б) Покажите, что фактически
1 I 1 I 1 у , 1 * (S +1) (S + Ю) '
/?sC2 Ri.Ci RaCi / RiCiRaCa
в) Пользуясь методом Боде, изобразите ЛАЧХ и ЛФЧХ функции Н (/<в),
сравните результат с приведенными на рис. 4.24 кривыми. С помощью значений
аргументов на очень большой и очень малой частотах докажите прямо по схеме,
почему ей соответствует именно полосовая характеристика.
138
4а Полюсы и нули
Упражнение 4.4
Изображение по Лапласу реакции системы Н (s) на единичное ступенчатое воз-
действие описывается выражением
у (S) — s + 1
u s3-|-2s2-|-101s '
С помощью диаграммы полюсов-нулей докажите, что частотная характеристика
этой системы |,Я (/со) | аналогична частотной характеристике простой резонанс-
ной системы из примера 4.2.1 при <2=5.
Упражнение 4.5
Система называется управляемой, если для каждого возможного начального
состояния существует входное воздействие, которое за конечное время приведет
систему в состояние покоя. В качестве примера неуправляемой ЛИВ-системы
рассмотрим схему, изображенную на рис. 4.25. До момента 1= 0 переключатель
находился в положении Ъ, так что при t = 0 правый блок будет, как правило,
иметь ненулевое значение запасенной энергии, тогда как левый блок системы
будет находиться в состоянии покоя. При t= 0 ключ перебрасывается в поло-
жение а. Учитывая, что реакция ЛИВ-системы для z Js О может рассматриваться
как сумма двух компонентов — РНВ плюс РНС, — докажите, что не существует
такого входного воздействия х (Z) конечной длительности (т. е. х (/) = 0 при
всех Т), при котором у (Z) = 0 при всех t> Т.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4
Задача 4.1
В примере 3.3.1 и задаче 3.1 было получено выражение для системной функции
Н (s) = У3 (з)/Уо (s) в виде
—as
Н is\___________________(1 + к) #lCj___________________________
5 Г-1 । 1 । 1 Ь 1
1 + к \ Ri^i R2C2 R& / (1 +«) RjCxRzCz
а) Покажите, что всегда могут быть выбраны такие неотрицательные значе-
ния Rit R2, Clf С2 и а, чтобы полюсы функции Н (s) попадали в любые требуемые
точки на отрицательной части действительной оси либо образовывали сопряжен-
ные пары в любом месте левой s-полуплоскости.
б) Покажите, в частности, что полюсы s= —103 и —2-Ю3 с-1 можно полу-
чить при Rr = 1000 Ом, Д2 = 10 кОм, а = 1 и соответствующих значениях
Q и С2.
Задачи к главе 4
139
в) Пользуясь методом Боде, изобразите | Н | с полюсами, соответству-
ющими пункту (б).
г) Полагая Rt и R2 равными соответствующим значениям из пункта (б),
найдите минимальное значение а и соответствующие значения Сг и С2, при ко-
торых полюсы равны s= —102 ± /Ю3 с-1.
д) Изобразите \Н (/ы) j с расположением полюсов, полученным в пункте (г)
Задача 4.2
а) Приведенная на рис. 4.26 пепь является примером фазокорректирующей
цепи. Вычислите и изобразите [ Н (fa>) |. Почему эта цепь называется фазо-
корректирующей?
б) С помощью векторного представления Н (s), рассмотренного в разд. 4.2,
докажите, что любая системная функция, имеющая симметричное расположение
полюсов и нулей, как показано справа иа рис. 4.26, обладает следующими свой-
ствами:
1) | 7/ (/со) | = const;
2) arg Н является иевозрастающей функцией со.
Подобная структура диаграммы полюсов-нулей является характерной для
всех фазокорректирующих цепей.
Задача 4.3
Фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка с частотой среза 6000 рад/с
А/со
х----/ЗУ2- IO3
3-/2НО3
х----/3/2- IO3
будет иметь системную функцию Н (s), описываемую представленной иа рис. 4.27
диаграммой полюсов-иулей.
140
4. Полюсы и нули
а) Определите аналитически и изобразите графически зависимость
| Н (j2nf) \1Н (0) от f. (Совет. Легче начать с определения | Н (/<о) |2.)
б) Найдите значения L и С для реализации
11g-~ Я (s), (РНС)
для показанной на рисунке цепи.
Задача 4 4
Ненулевые токи и напряжения вида
<1 - vi - VteSP‘
(где sp — собственная частота) могут существовать в ветвях цепи, когда все
внешние нсточннкн равны нулю (поскольку это характеристическое свойство
собственной частоты). Из этой задачи следуют ограничения на комплексные
числа sp, которые могут быть собственными частотами для линейных цепей,
целиком состоящих из положительных R. L и С.
а) С помощью теоремы Теллегена ’) покажите, что если все напряжения
и токи в ветвях имеют указанную выше форму и если все нсточннкн и взаимные
индуктивности2) равны нулю, то
s m-m2+s; е ci k/р х ^pj2=o.
по всем по всем по всем
индуктивностям емкостям сопротивлениям
б) Поскольку каждая нз приведенных в пункте (а) сумм должна быть дей-
ствительной и положительной, докажите, что
1) все собственные частоты для цепей из положительных R, L н С должны
иметь неположительные действительные части
Re [sp] < 0;
2) собственные частоты цепей, составленных исключительно из положи-
тельных L и С (цепи без потерь), должны лежать на оси /©:
Re [sp] — 0;
3) собственные частоты цепей, состоящих исключительно нз положитель-
ных R и L или исключительно из положительных R и С (цепи с затуханием),
должны лежать в отрицательной части действительной оси.
Im [spj -= 0, Re [spJ sp sg 0.
11 Теорема Теллегена утверждает, что если {vmj — полная совокупность
напряжений в ветвях цепи, удовлетворяющих ЗКН, a — полная совокуп-
ность токов в ветвях той же цепи, удовлетворяющих ЗКТ (совокупности {vm}
и {lmj не должны одновременно удовлетворять динамическим уравнениям для
этой цепи), то 0> где суммирование ведется по всем ветвям цепи.
(См., например, С. A. Desoer, Е. S. Kuh, Basic Circuit Theory (New York, NY:
Me Grow—Hill. 1969) p. 393ff.)
2) Справедливость результата сохранится, если взаимные индуктивности
ие равны нулю, однако доказательство при этом будет несколько сложнее.
Задачи к главе 4
141
Задача 4,5
Рассмотрим схему рис. 4.28, ко входу которой подключен источник тока le5t.
Если Re Is] больше наибольшего значения действительной части любой нз соб-
ственных частот, то в пределе все напряжения н токи в ветвях будут иметь вид
<( - 1 ies‘, vi -- V ief t
(См. гл. 3.) Более того, напряжение на зажимах цепи будет равно
Vest = IZ (s) es>.
где Z (s) — входной импеданс цепи
Рис. 4 28.
а) Используя теорему Теллегена1) в форме = 0 (где суммирование
ведется по всем ветвям цепи), покажите, что если все напряжения и токи в вет-
вях имеют приведенную выше форму и если цепь составлена из положитель-
ных R, L и С (положим, как и в предыдущей задаче, что взаимные индуктив-
ности равны нулю), то
s £ Lt I It р +S* 2 QI Vt |/k |a = Z (s) | / |a.
по всем по всем по всем
индуктивностям емкостям сопротивлениям
б) Основываясь на пункте (а), покажите, что для любого входного импеданса
Re [Z (s) J 0 при Re [s] 0.
Такая функция называется положительной действительной функцией.
в) Дайте интерпретацию условия положительной действительной части,
показав, что в установившемся режиме на любой частоте при синусоидальном
входном воздействии цепь, состоящая из положительных R, L н С должна по-
глощать среднюю мощность. Это еще один способ для определения пассивности
цепи. (См. примечание к разд 4.1.)
Задача 4.6
Из предыдущей задачи следует, что для цепей, состоящих исключительно из по-
ложительных R н С, входной импеданс должен удовлетворять условию
о* Ц Q|Q|2+ х I 412 = Z (S) 11 Г
по всем по всем
емкостям сопротивлениям
Исследование показывает, что этот результат должен быть справедлив во всей
s-плоскостн, а не только в той ее части, которая правее самой правой собствен-
ной частоты.
*) См, примечание к задаче 4.4.
142
4. Полюсы и нули
а) Докажите, что входной импеданс 7?С-цепи должен удовлетворять условию
Im [Z (s) ] О
во всей верхней s-полуплоскости.
б) Разложите Z (s) на простейшие дроби, полагая, что все полюсы являются
простыми (можно показать, что это необходимо):
Z (s) ... А. 4-- -Л— ;. ---. 4
s ' S •; 01 S 4- аг S 4- ст,. ’
где, как показано ранее, все k; и а,- действительные, а все о; положительные
Покажите, что условие пункта (а) требует, чтобы все А; были положительными,
(Совет. Если некоторые kt отрицательны, рассмотрите Im [Z (s) ], когда s лежит
в верхней полуплоскости вблизи s -<т;
/?i ff2 Rn
Z(s}
Рис. 4.29
в) Покажите, что любой входной импеданс, имеющий форму, приведенную
в пункте (б), может быть реализован с помощью схемы на рис. 4.29 (называемой
формой Фостера) х).
Задача 4.7
В производстве грампластинок при получении оригинала записи сигнал пред-
Рис. 4.30,
ненты (во избежание перегрузки) и усиливает высокочастотные составлиющие
(дли борьбы с шумами канавки). Таким образом, в воспроизводящую аппаратуру
1) О свойствах цепей Фостера см., например, Б. В. Булгаков. Колебании. —
М.: ГИТТЛ, 1954, гл. 9, § 9.21, с. 625 и далее. — Прим. ре.д.
Задачи к главе 4
143
необходимо включать компенсирующую цепь. Характеристика стандартного
корректора RIAA1) приведена на рис. 4.30.
а) Изобразите простую диаграмму полюсов-нулей и рациональную функцию
Н (s), соответствующие представленной амплитудно-частотной характеристике.
Считайте, что Н (s) содержит один нуль и два полюса, все расположенные на
отрицательной действительной оси.
Рис. 4.31.
б) Покажите, что импеданс приведенной на рис. 4.31 схемы может быть
сделан пропорциональным Н (s) из пункта (а). Выберите коэффициент пропор-
циональности таким, чтобы сопротивление максимального резистора было бы
1,1 мОм и вычислите значения всех четырех параметров.
Рис. 4.32.
в) На рис. 4.32 изображена схема распространенного предусилителя для
электромагнитной головки электропроигрывателя. ИС 739 представляет собой
сдвоенный малошумящий операционный усилитель для звукозаписи. Установ-
ленный на входе 47-кОм резистор является стандартной нагрузкой для электро-
магнитных головок. Развязывающие емкости С3 и Ci необходимы, потому что
ИС 739 обычно запитывается от несимметричного источника. Предположим (на
момент), что эти емкости так велики, что нх влиянием на интересующих нас
частотах можно пренебречь. Покажите, что характеристика этой схемы примерно
соответствует корректору RIAA. Обратите внимание, что с учетом округления
номиналов элементов до 5 % стандарта импеданс участка, выделенного на схеме
пунктирной линией, равен величине, полученной в пункте (б). Каков коэффи-
циент усиления этой схемы на частоте 1 кГц?
г) В 1978 г. была изменена характеристика RIAA. При этом появилось тре-
бование уменьшить на 3 дБ относительно предшествующего уровня коррекцию
на частоте 20 Гц, а ниже 20 Гц обеспечить спад частотной характеристики со ско-
ростью 6 дБ на октаву. Покажите, что примерно этого можно достичь с помощью
приведенной на рнс. 4.32 схемы, установив С4 = 8,2 мкФ. (Совет. Конденсаторы
820 пФ и 0,0027 мкФ на нижних частотах, где важен С4, рассматривайте как
разрыв цепи, а на высоких частотах, где важны другие конденсаторы, прибли-
женно считайте, что Ci обеспечивает короткое замыкание.)
х) RIAA—Recording Industry Association of America — Американская
ассоциация звукозаписи. — Прим, перев.
144
4. Полюсы и нули
Задача 4.8
Усилитель промежуточной частоты (УПЧ) супергетеродинного радиоприемника
выполняет две важные функции — обеспечивает усиление, необходимое для
приема нужной станции или канала, н ослабляет сигналы всех других каналов.
Для этого обычно используется несколько каскадов резонансных усилителей.
Простую модель УПЧ можно представить в виде, изображенном на рис. 4.33.
I Н (/2лЛ1 — У4 (/2л/)
1 ° 7)1 | Го (/2л/)
а) Пусть все четыре каскада идентичны. Докажите, что
К
для f вблизи f0 = 1/2л)ГLC и для Q = w0RC >1. Найдите К. (Совет. См. при-
мер 4.2.1.)
б) Покажите, что полоса пропускания системы в пункте (а) по уровню поло-
винной мощности определяется выражением
А/= 0,435 А
Определите значение Q, соответствующее полосе 10 кГц и центральной частоте
455 кГц. (Эти цифры — типичные параметры тракта промежуточной частоты
АМ-радноприемных станций, работающих в стандартном диапазоне вещания.)
в) Станции, частоты которых отличны от принимаемой, могут быть пред-
ставлены приблизительно в виде синусоидальных компонентов и0 (/) на частотах,
отстоящих от 455 кГц на величину, кратную 10 кГц. Соседние каналы обычно
не назначаются радиостанциям, находящимся в одном н том же географическом
районе. Определите в децибелах затухание сигнала на частоте 475 кГц относи-
тельно сигнала на частоте 455 кГц в системе пункта
(а) при Q, равной величине нз пункта (б).
г) Обычно считается, что для подавления не-
желательного сигнала необходимо ослабление по-
рядка 50—60 дБ; система, описанная выше, не удов-
летворяет этим требованиям для станции, смещен-
ной на 20 кГц. Лучшие результаты можно получить
путем небольшой расстройки межкаскадных цепей
этой системы. В частности, предположим, что, как
показано на рнс. 4.34, полюсы равномерно рас-
пределены по окружности. Основываясь на вектор-
ном представлении и используя характеристики
фильтра Баттерворта, приведенные в разд. 4.3, по-
кажите, что
|//(/2л/)| __________1__________
I Н (/2лЛ>)| ~ у} + j 2 (/„ — /) J 8 ’
гДе /о == 455 кГц и А/ = 10 кГц.
Задачи к главе 4
145
д) Усилитель, описанный в пункте (г), имеет такую же полосу по уровню
половинной мощности, что и усилитель в пункте (а). Найдите для этой системы
относительное ослабление на частоте 475 кГц. (На практике для реализации двух
пар полюсов в каждом каскаде используются связанные контуры; таким обра-
зом, для реализации подобных характеристик потребуется не четыре, а два
каскада.)
Задача 4.9
Представленная на рис. 4.35 схема называется схемой Саллена—Ки.
а) Покажите, что в условиях РНС
У,(з) . Юо/Р
^i(s) s24-2<zs + cOq ’
где
2 _ 1
б) Особенность схемы Саллена—Ки состоит в том, что оиа обеспечивает
возможность независимой регулировки величин модуля и аргумента, характери-
зующих расположение полюса. Для элементов равной величины (/Д = <RS,
Сх = С2) покажите на диаграмме s-плоскости геометрическое место полюсов,
которые могут быть реализованы при фиксированном значении PjCj и измене-
нии р в диапазоне 0 < 3 < 1. Как изменится это геометрическое место при
изменении значения PiCx?
в) Значения параметров при последовательном включении нескольких схем
Саллена—Ки могут быть выбраны так, чтобы реализовать систему с произволь-
ным расположением полюсов при всех нулях в бесконечности. Проиллюстри-
руйте эту процедуру, найдя значения элементов для последовательно включен-
ной пары схем Саллена—Ки, общая системная функция которой имеет вид
фильтра нижних частот Баттерворта 4-го порядка с частотой среза, равной
1 кГц, т. е.
(s2 4- 11,610• 103s + 39,478-106) (s2 + 4,809- 103s + 39,478-106) ’
Пусть для простоты все конденсаторы равны 0,1 мкФ. Каково результирующее
значение К? Покажите положение полюсов на комплексной плоскости и объяс-
146
4. Полюсы и нули
ните, почему именно такое расположение полюсов и нулей соответствует фильтр
нижних частот с частотой среза 1 кГц. Как изменился бы | Н (jfn) |, если 6i
значения всех конденсаторов увеличились до 0,2 мкФ?
Задача 4.10
а) Типичная схема регулировки тембра ВЧ, обеспечивающая как подчерки
вание, так и подавление высоких частот, приведена на рис. 4.36. Изобразил
Рнс. 4.36.
амплитудно-частотную характеристику этой схемы для трех положений потен-
циометра, помеченных цифрами (1), (2) и (3). Введите разумные упрощения.
б) Определите характеристику потенциометра — зависимость сопротивле-
ния между неподвижным и подвижным отводами от положения или угла пово-
рота ползуна, — которая возможно будет соответствовать этой схеме. (Как по-
Рис. 4.37.
казано на рис. 4.37, при добавлении к ней нескольких элементов можно обеспе-
чить как ВЧ-, так и НЧ-регулировку тембра.)
Задачи к главе 4
147
Задача 4.11
Схема, показанная на рис. 4.38, часто используется как разделительный фильтр
для подачи соответствующих частот на низко- и высокочастотные динамики
Рис. 4.38
(обозначенные в виде сопротивлений R) в высококачественных звуковоспроизво-
дящих системах.
а) Покажите, что со стороны входа разделительного фильтра импеданс Z (s)
фактически равен постоянному сопротивлению R и не зависит от частоты.
б) Запишите системные функции, связывающие каждый из выходов со вхо-
дом. Покажите на s-плоскости их полюсы и нули. (Совет. Заметим, что как след-
ствие (а) напряжение va (() — это просто фиксированная часть v (t), не зави-
сящая от частоты. У вас должно получиться, что полюсы обеих системных функ-
ций располагаются в точках s= <оое±/3л'/4.)
в) Изобразите частотные передаточные характеристики | Vi (/со)/V (/со) | для
двух динамиков. Что характеризует параметр соо?
Задача 4.12
Если Н (s) является рациональной функцией (т. е. отношением полиномов аргу-
мента s с действительными коэффициентами), то легко показать, что | Н (/со) |2
будет рациональной функцией аргумента со2 с действительными коэффициен-
тами. Чтобы выполнить обратный переход от I Н (/со) |2 к Н (s) можно прибегнуть
к следующей процедуре:
1) Воспользуемся тем, что
| Н (/<о)|2 - Н (/со) Н (-/и) - [Н (s) Н (~s)]s=im .
Следовательно, есля подставить со2 ~ -s2 в | Н (/со) |2, то в результате можно
записать Н (s) Н (—s).
2) Изобразите полюсы и нули функции Н (s) Н (—s) на s-плоскости. Обычно
они образуют квадруплеты, за исключением случаев, когда полюсы или нули
попадают на действительную ось; тогда, как показано на рис. 4.39 слева, они
образуют лишь пары.
3) На левой полуплоскости отметьте полюсы, соответствующие Н (s). Тогда
их отображение на правой полуплоскости соответствует Н (—s). Нули Н (s)
могут быть выбраны (сопряженными парами) из любой полуплоскости; если все
148 4. Полюсы и нули
они взяты на левой полуплоскости, то результат называется минимально-фаза
вой И (s).
H(s)
S-плоскость
+ 1
т~
H(-S)
В качестве примера рассмотрим
I я = тУ s-/«> •
Тогда
что дает диаграмму, показанную в правой части рис. 4.39. Таким образом,
"М-ТТТ' Я(
а) Примените эту процедуру для нахождения Н (s), соответствующей филь-
тру нижних частот Баттерворта третьего порядка (см. пример 1.7.2)
б) Покажите, что эта Н (s) может быть реализована (с точностью до мас-
штабного коэффициента) с помощью схемы на рис. 4.40. которая подробно раз-
биралась в предыдущих главах. Найдите значения L и С.
в) Основываясь на результате пункта (б), определите значения L и С для
практического фильтра, устанавливаемого между резисторами 1000 Ом (вместо
1 Ом) и имеющего частоту среза 1000 Гц вместо 1 рад/с.
Задачи к главе 4
149
Задача 4.13
Двойная Т-образная цепь (рис. 4.41) из примера 4.1.1 предназначена для ис-
пользования в качестве фильтра-пробки для режекции 60-Гц помехи от пита-
ющей сети из сигнала (/), генерируемого источником напряжения.
Рис. 4 41
а) Основываясь на результатах, полученных в примере 4.1,1. покажите, что
Я (S) - V*
Vx(s)
г2 I___________
(W
4s 1
~~RC+~(RCy
б) На диаграмме s-плоскостн укажите точки расположения нулей и полюсов
функции И (s). _
в) Покажите, что | Н (/со) | — 0,707 | Н (0) | для ш/RC — К5 ± 2. Эти точки
совместно с предельными значениями | Н (/со) | при со 0 и со -> оо и с положе-
нием нуля должны дать вам достаточно информации для адекватного изображе-
ния зависимости | Н (]<>>) | от log10 (<t>/RC).
г) Вычислите значение R, соответствующее положению нуля в точке 60 Гц,
если С = I мкФ.
Задача 4.14
а) Найдите полюсы и нули системной функции Н (s), примерная частотная
характеристика которой показана на рис. 4.42.
б) Запищите дифференциальное уравнение, связывающее входной сигнал
х (t) с выходным сигналом у (/) ЛИВ-системы, описанной в пункте (а)
150
4. Полюсы и нули
Задача 4.15
В справочнике изготовителя операционных усилителей указывается, что приве-
денная на рис. 4.43 схема может использоваться в качестве фильтра для подавле-
ния «шипа» иглы в усилителе электрофона.
Рис. 4.43.
а) Покажите, что системная функция И (s) = V3 (sj/l7! (s) (РНС) опреде-
ляется выражением
н (S) = (/?СХ/?С8/?С3) S3 + 2/?С, (RCt + RC3) s2 + (/?CX + 3RCJ s + 1 ‘
б) Нанесите полюсы H (s) на диаграмму s-плоскости при Сх = 0,0022 мкФ,
Cs — 330 пФ, С3 = 0,0056 мкФ, R = 10 кОм. (Совет. Один из полюсов должен
быть вблизи s — —2л.-104 с-1.)
в) Изобразите | Н (/со) |. (Совет. Считайте И (s) аппроксимацией одного
из фильтров Баттерворта нижних частот, описанных в разд. 4.3.)
г) Изготовитель операционных усилителей указывает, что в этом фильтре
нижних частот частота по уровню половинной мощности (частота, на которой
| Н (/со) р = 0,5) может регулироваться с помощью строенного переключателя
или потенциометра, одновременно изменяющего величину сопротивления R
трех резисторов. Объясните это с помощью анализа структуры Н (s). Опишите
положения полюсов и определите значение частоты на уровне половинной мощ-
ности, если при увеличении R вдвое (до 20 кОм) значения емкостей оставлены
без изменения. Проделайте то же самое для половинного значения R (5 кОм).
(На эти вопросы можно ответить без повторных вычислений и повторного раз-
ложения полинома знаменателя Н (s).)
5
СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ
И ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
5.0. Введение
До сих пор в слова «цепь», «схема» и «система» мы вкладывали
более или менее одинаковый смысл. Однако значения этих слов
довольно различны. Из всех трех «цепь» возможно имеет наиболее
чистый «электрический обертон», характеризующий циркуляцию
носителей зарядов по замкнутым контурам. Слово «схема» под-
черкивает лишь топологические характеристики структуры и
слабо отражает функциональное назначение составных элементов.
И наконец, слово «система», предполагает, что данную структуру
целесообразно рассматривать иерархически — в виде подсистем,
связанных определенным образом, а возможно даже, и как эле-
мент суперсистемы. Изучение достоинств и недостатков иерархи-
ческого «системного подхода» к сложным структурам является
важным направлением данной книги, и именно сейчас наиболее
подходящий момент для начала объяснения почему.
Физическая наука оказалась наиболее эффективной в изуче-
нии явлений, которые поддаются анализу, т. е. могут быть раз-
ложены на составляющие, расчленены или представлены только
через взаимодействие компонентов. В самом деле, возможность
анализа (вместе с возможностью суммирования эффектов прошлых
испытаний в наблюдаемом распределении энергии в системе) по
существу определяет, что мы понимаем под «физической системой».
Процесс же, обратный анализу, — синтез сложной структуры
путем соответствующей связи элементов для реализации некото-
рой поставленной цели — суть технического проектирования.
В отличие от физических систем успехи науки и техники в пони-
мании и управлении общественными, экономическими, политиче-
скими или биологическими системами значительно скромнее.
Характерная особенность этих систем состоит в том, что целое
имеет тенденцию превосходить сумму отдельных частей или,
во всяком случае, выглядеть отличным от нее (причем, часто ка-
жется, что в этих системах прошлое в текущей структуре отра-
жается более значительно, чем в распределении энергии или ее
эквивалента в пределах инвариантной во времени структуры).
152 5. Связанные системы и обратная связь
Другая особенность физических систем состоит в том, что
процедуры анализа и синтеза обычно наиболее эффективны, если
выполняются не сразу для всей системы, а по частям, этапам.
Так, например, телевизионный приемник лучше всего представлять
как высший уровень объединения усилителей, смесиiелей, генера-
торов, фильтров, вентилей, детекторов и т. д., каждый из которых
состоит из интегральных схем, транзисторов, резисторов, конден-
саторов и т. д., которые в свою очередь состоят из различных
базовых материалов, определяющих размеры, форму и взаимное
положение. Попытка анализа такого устройства в один прием
путем решения уравнений Максвелла для определения электро-
динамического состояния всевозможных компонентов, образую-
щих телевизор, была бы и чрезвычайно глупой (человеческое вос-
приятие требует, по всей видимости, промежуточных иерархиче-
ских уровней) и чрезвычайно трудной. Любопытно, что фактиче-
ские вычислительные затраты, необходимые для решения большой
проблемы, обычно выше, если проблема решается сразу целиком,
чем если сначала она «расчленяется» на небольшое число под-
проблем, которые решаются раздельно при произвольных гра-
ничных условиях, а затем уже соединяется в одно целое.
На каждом уровне иерархического процесса анализа/синтеза
мы пытаемся объединить функциональные описания подсистем и
структурную информацию об их взаимосвязи с тем, чтобы полу-
чить функциональное описание более крупной системы, кото-
рое в свою очередь может объединяться с функциональными опи-
саниями других систем и структурной информацией об их взаимо-
связи для получения функционального описания еще более круп-
ной суперсистемы и т. д. Итак, в предшествующих главах мы изу-
чали, как объединить функциональные описания ЛИВ-элементов
электрической цепи (т. е. основные соотношения типа закона Ома)
и структурные выражения, характеризующие топологию цепи
(например, полученные из законов Кирхгофа), для получения
полного функционального описания цепи (например, системной
функции). В данной главе мы будем изучать некоторые свойства
суперсистем, образованных путем соединения ЛИВ-систем, за-
данных своими системными функцямии. Особое внимание будет
уделено простейшему нетривиальному соединению—системе с об-
ратной связью.
По мере продвижения вверх по системной иерархии конкретные
физические принципы, характеризующие поведение элемента на
нижних уровнях, обычно становятся все менее важными. До
сих пор наши обсуждения базировались в основном на элементах
электрической цепи, хотя ясно, что математически аналогичные
описания «вход-выход» равным образом применимы ко многим
другим физическим явлениям, относящимся к механике, химии,
теплоте, акустике, гидродинамике и т. д. В самом деле, как отме-
5.1. Простые соединения систем
153
чалось в гл. 1, подобные аналогии находятся тривиально для
любого из аспектов: либо поток энергии, либо работа термодина-
мических систем. Нефизические модели с той же или сходной мате-
матической структурой широко используются в социальных
и биологических научных исследованиях. Обычным примером яв-
ляется макроэкономическая модель, в которой переменными
«вход-выход» могут быть такие атрибуты, как налог, денежно-
•'.гюдптяая политика, нормы прибыли, показатели безработицы
и инфляции, а также валовый национальный продукт. Учитывая
такой расширенный подход, мы перейдем от электрических ве-
личин типа напряжений и токов к более регулярному использо-
ванию абстрактных символов, таких как х (0 и у (1) для входа и
выхода соответственно.
6.1. Простые соединения систем.
Влияние нагрузки
Простейшие соединения систем делятся на каскадные (или по-
следовательные) и параллельные, показанные в виде структурных
схем на рис. 5.1. Если в качестве подсистем выступают ЛИВ-
системы, характеризующиеся своими системными функциями,
то сочетания, изображенные на рис. 5.1, эквивалентны (по край-
ней мере в части поведения РНС-характеристики «вход-выход»)
одной ЛИВ-системе, системная функция которой определяется,
как показано, произведением или суммой составляющих систем-
ных функций. Заметим, в частности, что поскольку произведение
коммутативно, результирующая системная функция «вход-вы-
ход» не зависит от порядка, в котором соединены ЛИВ-подси-
стемы. По сути, ничего нового здесь нет — фактически мы поль-
зуемся структурными схемами таким же способом с самого на-
чала этой книги, правда, без тщательного обоснования.
154
5. Связанные системы и обратная связь
Однако важно отметить, что хотя формулы, помещенные на
рис. 5.1, несомненно являются правильной интерпретацией смы-
сла приведенных структурных схем, они могут дать недостаточно
корректное описание аналогичных соединений соответствующих
Рис. 5.2. ЛИВ-четырехполюсники, описанные коэффициентами передачи по на-
пряжению в режиме холостого хода.
испей. Итак, рассмотрим два ЛИВ-четырехполюсника (рис. 5.2)
для которых принимаем, что (з) и Я, (s) описывают, как ука-’
зано, коэффициенты передачи по напряжению в режиме холо-
стого хода, т. е. 1Ь (з) = Ц (з) = 0. Соединим эти два четырех-
H(s) = Н| (s) Hgts) в общем случае
Рис. 5.3. Последовательное соединение четырехполюсников, изображенных на
рис. 5.2.
полюсника, как показано на рис. 5.3. Теперь уже в общем слу-
чае нельзя сказать, что результирующая системная функция
Н (з) = Ях (з) Я2 (s), поскольку при таком соединении 1Ь (з)
не обязательно равен нулю и, следовательно, Vb (s)/Va (s) не
обязательно, как раньше, равно Ях (з). Более того, системная
функция при простом последовательном соединении будет в об-
щем случае зависеть от порядка включения четырехполюсников.
Для того чтобы системная функция последовательно соеди-
ненных четырехполюсников равнялась произведению отдельных
системных функций и не зависела от порядка включения, что мо-
жет оказаться весьма удобным при проектировании, существует
несколько приемов. Один из них — установить между этими двумя
5.1. Простые соединения систем
155
четырехполюсниками, как показано на рис. 5.4, повторитель на-
пряжения в качестве буфера или развязывающего усилителя.
Если этот повторитель входит в состав второго четырехполюсника,
то этим гарантируется, что выходной ток первого четырехполюс-
Рнс. 5.4. Использование развязывающего усилителя при последовательном соеди-
нении четырехполюсников.
ника равен нулю даже при его соединении со вторым четырех-
полюсником. Если повторитель напряжения входит в состав
первого четырехполюсника, то этим гарантируется, что выходное
напряжение первого четырехполюсника не зависит от потребляе-
мого тока. В обоих случаях Н (s) = HY (s) Н2 (s). Если между
четырехполюсниками устанавливать подобные развязывающие
усилители либо если повторители напряжения являются входным
или выходным каскадом обоих четырехполюсников, то результат
их последовательного соединения не будет зависеть от порядка
соединения. Примером использования подобной развязки может
служить рассмотренное в задаче 4.9 11 каскадное соединение схем
Саллена—Ки при синтезе систем, имеющих только полюсы.
Еще один способ сделать системную функцию последовательно
соединенного комплекса равной произведению системных функций
компонентов — это замерить или рассчитать системную функцию
Нг (s) первого четырехполюсника при условии, что его нагрузкой
является не разомкнутая цепь, а входной импеданс второго че-
тырехполюсника. Тогда системная функция, как показано на
11 На практике порядок, в котором соединяются системы, часто чрезвы-
чайно важен (даже при использовании развязывающих усилителей). Это зависит
от пределов, в которых выбранные нами идеализации справедливы. Так, если
мы соединим последовательно мощный усилитель и аттенюатор, то установка
усилителя первым может вызвать перегрузку входных каскадов аттенюатора,
тогда как установка первым аттенюатора может привести к такому слабому сиг-
налу на входе усилителя, что начнут проявляться случайные наводки, пульсации
источника питания и тепловой шум. Во избежание этой обоюдоопасной ситуации
в цепях междугородной телефонной связи, например, (см. разд. 5.2) регулярно
через несколько километров устанавливаются усилители, так что уровень сиг-
нала никогда не опускается слишком низко и ие становится слишком высоким.
Естественно, результат последовательного соединения (даже теоретически)
не зависит от порядка только в том случае, если обе системы линейны и инва-
риантны во времени; это особенно важно при проектировании модулирующих
и детектирующих систем.
156 5. Связанные системы н обратная связь
рис. 5.5, будет, как и требуется, равна Н (s) = Нх (s) H2(s) (хотя
изменение порядка компонентов даст тот же результат лишь в слу-
чае, если Нг (s) определена аналогичным образом и соответствую-
щие нагрузочные импедансы учтены). При разработке четырех-
полюсников, предназначенных для соединения друг с другом
в различных комбинациях (в качестве примеров можно привести
такие компоненты тракта звуковоспроизведения, как усилители,
микшеры, аттенюаторы, микрофоны, а также СВЧ-компоненты —
волноводы или коаксиальные кабели), часто удобно так проекти-
ровать каждый четырехполюсник, чтобы его номинальные харак-
теристики реализовывались при запитке от тевениновского источ-
н to-
Рис, 5.5. Переопределение функции Н (s) с учетом влияния нагрузки.
ника и нагрузке в виде резистора определенной стандартной ве-
личины (50 или 300 Ом). Если это условие выполнено, а выходной
каскад всегда нагружен на указанный импеданс, то результат
последовательного включения не зависит от порядка компонентов
для ЛИВ-подсистем.
Последовательное и параллельное соединение подсистем при
создании более крупных систем является чрезвычайно важным
в науке и технике. Тем не менее класс сложных систем значительно
шире совокупности систем, которые можно создать путем приме-
нения лишь двух указанных операций. Простейший пример более
сложной системы — система с обратной связью, изучению ко-
торой посвящен следующий раздел.
5.2. Простые системы с обратной связью
ЛИВ-система, состоящая из двух ЛИВ-подсистем, соединенных,
как показано на рис. 5,6, называется простой системой с обратной
связью. Для нахождения общей системной функции «входа—вы-
хода» Н (s) = Y (s)/X ($) запишем два уравнения
Е (s) = X (s) — р (s) Y (s), Y (s) = К В) Е В).
5,2. Простые системы с обратной связью
157
Исключив промежуточную переменную Е (s), получим
И (s) =_____________ > '--------
п 1 + ₽ (s) К (з)
(5.2.1)
Эта формула настолько важна, что ее стоит выучить наизусть.
Заметим, что знак плюс в знаменателе является результатом вы-
бора знака минус на нижнем входе (входе обратной связи) сум-
мирующего элемента на структурной схеме рис. 5.6; если бы
знак обратной связи на этой схеме был плюс, то в знаменателе
выражения (5.2.1) был бы минус.
Рнс, 5.6. Простая система с обратной связью.
Мало что в этой обманчиво простой формуле (5.2.1) говорит
о ее магических возможностях для конструирования. Сделаем,
однако, еще один важный шаг. Предположим, что мы выбрали
подсистемы К (s) и р (s) такими, чтобы коэффициент усиления
в кольце К (s) Р (s) значительно превышал 1. Тогда1’
Я ~ Жо) = № еСЛИ IPOW)I»1. (5.2.2)
При проектировании важны два аспекта этой приближенной
формулы:
а) Если усиление в петле большое, то общая системная функ-
ция практически не зависит от свойств прямого тракта К (s);
б) Если усиление в петле большое, то общая системная функ-
ция примерно равна обратному значению системной функции
тракта обратной связи Р (s).
Ценность второго положения недооценивалась до конца 30-х
годов, когда оно стало основой так называемой классической теории
управления, изучением которой мы займемся в следующей главе.
Однако важность первого положения — что обратная связь
уменьшает влияние флюктуаций и искажений в прямом тракте —
по крайней мере интуитивно понималась уже в течение длительного
11 За исключением некоторых идеализированных ситуаций, сделать
| 3 (s) К (s) | 2> 1 для всех комплексных s обычно невозможно. Тем не менее
аппроксимация И (s) я* UfJ (s) будет справедлива и полезна, если диапазон s,
в котором | р (s) К (з) | » 1, включает все s, для которых .^-преобразование
входного воздействия X (s) имеет значительную величину.
158 5. Связанные системы и обратная связь
времени. Так, например, Норберт Винер считал, что первое сви-
детельство осознанного понимания ценности системы с обратной
связью содержится в работе о шаровом центробежном регуляторе
скорости паровой машины, опубликованной Джеймсом Клар-
ком Максвеллом в 1868 г.1’ 2). Однако очень похожая идея, относя-
щаяся к регулированию водяных часов, была описана Архимедом
еще в III в. до н. э. Нет сомнения, что первая «осознанная оценка»
значения обратной связи значительно старше. На самом деле
«изобретатель» обратной связи, кто бы он или она ни был, веро-
ятно, не считал это «изобретение» чем-то особенным — просто
проявлением здравого смысла.
Современная теория систем с обратной связью начинается
по существу с работы X. С. Блэка и его соратников (в особенности
X. Найквиста и Г. В. Боде) на фирме Bell Telephone Laboratories
в конце 20-х гг. Блэк работал над созданием усилителей для про-
тяженных телефонных линий связи 3). В первой трансконтинен-
тальной системе (1914 г.) использовался медный провод диаметром
3 мм. масса которого составляла порядка полутонны на милю.
И несмотря на это, общие потери, обусловленные сопротивлением
провода длиной 3000 миль, достигали примерно 60 дБ; для уве-
личения амплитуды сигнала было установлено от трех до шести
ламповых усилителей. Тогда же стало понятно, что если бы можно
было использовать больше усилителей, то стало бы допустимо
и большее затухание за счет применения провода меньшего се-
чения. Потенциально это дало бы значительное снижение рас-
ходов. Однако усилители того времени обладали ограниченной
полосой пропускания и вносили существенные нелинейные иска-
жения; результирующий эффект от последовательного соединения
даже сравнительно небольшого числа таких усилителей был не-
приемлем. Задача Блэка состояла в создании лучшего усилителя
Изобретенный им (1927 г.)4> усилитель с отрицательной обратной
связью был настолько удачен, что к 1941 г. в первой системе с ис-
пользованием коаксиального кабеля могли последовательно вклю-
чаться 600 усилителей, каждый с коэффициентом усиления 50 дБ
(потери в последовательно включенных кабелях могли достигать
фантастической величины 30 000 дБ!) и полосой, настолько ши-
рокой в сравнении с усилителями 1914 г., что допускали передачу
не по одному, а по 480 телефонным каналам.
11 J. С. Maxwell. Proc. Soc., (London), March 5, 1868.
2> См., например,А. А. Андронов, И. H. Вознесенский. «О работах Д. К. Макс-
велла, И. А. Вышнеградского и А. Стодолы в области теории регулирования
машин»; А. А. Андронов. Собрание трудов. — М.—Л.: А. Н. СССР, 1956, с. 490—
521. — Прим. ред.
31 Н. W. Bode. Proc. Symp. Active Networks and Feedback Systems (Poly-
technic Institute of Brooklyn, N. Y: Polytechnic Press, 1960).
41 Первая открытая публикация была в журнале Electrical Engineering, 53
(Jan, 1934), 114—120.
5.3. Действие отрицательной обратной связи 159
В своих исследованиях Блэк выделял два вида обратной
связи — вырождающуюся (или отрицательную) обратную связь,
при которой сигнал обратной связи действительно уменьшает
входное воздействие на блок К. (s) (в наших обозначениях это
Р >0), и регенеративную (или положительную) обратную связь,
при которой сигнал обратной связи увеличивает входное воздей-
ствие (Р < 0 или изменение знака на суммирующем элементе
на +) 11. Преимущества регенеративной обратной связи — уве-
личение коэффициента усиления и (для |р/<| >1) генерация
полезных колебаний — были известны задолго до Блэка. Отри-
цательная же обратная связь всегда считалась вредной, по-
скольку она явно снижала общее усиление 2). Блэк, однако, ука-
зал, что если требуется высокая общая надежность системы и ее
нечувствительность к искажениям и изменениям несовершенных
активных элементов в ветви К, то для этого несомненно, надо
спроектировать сначала усилитель с коэффициентом усиления
большим, чем максимально необходимо, а затем снизить его до
желаемой величины путем охвата усилителя отрицательной (пас-
сивной) обратной связью. В качестве аргументов он приводил
уже отмеченные факторы: если | р (s) К (s) | 1, то общая систем-
ная функция записывается как Н ($) » 1/р (s), не зависит от
К ($) и, следовательно, не зависит от многих искажений и ограни-
чений, присущих К. ($). Чтобы детально разобраться в этом,
лучше всего рассмотреть несколько примеров.
5.3. Примеры действия отрицательной обратной связи
Пример 5.3.1
Предположим, что требуется построить усилитель с коэффициентом
усиления 10, способный отдавать несколько десятков ватт в на-
грузку типа громкоговорителя. Такой усилитель можно было бы
сделать либо в виде однокаскадного устройства на мощном тран-
зисторе без всякой обратной связи, либо в виде многокаскадного
устройства с тем же мощным транзистором в выходном каскаде,
используя отрицательную обратную связь для уменьшения об-
щего коэффициента усиления до 10. Эти две возможности иллю-
Различие между положительной и отрицательной обратной связью оче-
видно, когда Р и Д — действительные, постоянные множители (коэффициенты
усиления или ослабления). Если же р (s) и Д'(s) — комплексные функции s
(как мы обычно будем полагать), это различие становится менее очевидным.
3) Патентная заявка Блэка была задержана более чем на девять лет частично
из-за того, что описанный в ней принцип настолько противоречил устоявшимся
понятиям, что сначала сотрудники патентного бюро не поверили в его работо-
способность. Они отнеслись к ней «так же, как к заявке на вечный двигатель».
См. Н. S. Black. «Inventing the negative feedback amplifier». IEEE Spectrum
(Dec., 1977), 54—60.
160
5. Связанные системы и обратная связь
стрируются структурными схемами на рис. 5.7. где для кон-
кретности мы приняли, что часть многокаскадного усилителя,
предшествующая усилителю мощности, имеет коэффициент уси-
ления 100.
к = юоо
Общий коэффициент усиления s -------------- = | Q
I + 0,099 • 1000
К = 500
Общий коэффициент усиления s -------------- = QQO
I + 0,099 • 500 ’
Рис. 5.7. Влияние обратной связи на коэффициент усиления усилителя мощ-
ности (слева — без обратной связи, справа — с обратной связью).
Теперь предположим, что коэффициент усиления усилителя
мощности уменьшился вдвое относительно своего начального зна-
чения (возможно, в результате старения активных элементов, из-
менения нагрузки, температуры или напряжений источника пи-
тания). Тогда общий коэффициент усиления усилителя без об-
ратной связи также уменьшится на 50 %, а изменение коэффи-
циента усиления в усилителе, охваченном обратной связью, со-
ставит лишь 1 %.
Для формализации эффекта, проиллюстрированного приме-
ром 5.3.1, Боде 11 ввел величину, названную чувствительностью S
усилителя;
ДЯ
« относит, изменение общего усиления системы _ Н (5 3 1)
относит, изменение усиления активного элемента ДЯ ’ ' ’ ’ '
~К
Г. Боде. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. —
М.: ГНИЛ, 1948. Наше определение фактически обратно определению Боде.
5.3. Действие отрицательной обратной связи 161
Для усилителя без обратной связи 5 = 1. С другой стороны, при
небольших изменениях чувствительность усилителя с обратной
связью равна
„ К дН 5 In Я 1
° ~ Н дК ~ д In К - 1 + ?>К ’
а это показывает, что эффект отрицательной обратной связи со-
стоит в уменьшении чувствительности (в сравнении с системой
без обратной связи) в (1 + РК) раз, а при больших усилениях
в кольце — примерно в раз. Соответственно эффект положи-
тельной обратной связи состоит в увеличении чувствительности,
что при больших усилениях часто ведет к неустойчивости и воз-
никновению автоколебаний.
Менее строго, как мы уже показывали, при больших коэффи-
циентах усиления в кольце (| рЛ) | )§> 1) общий коэффициент уси-
ления равен
(5.3.3)
и зависит не от К., а только от коэффициента р, который обычно
определяется пассивными, линейными, дешевыми и надежными
элементами. В том же духе мы можем рассматривать показанный
на схеме сумматор как компаратор, сравнивающий входной сиг-
нал х с ру (операция, обратная требуемой и выполняемая над
выходной величиной). Возникающий сигнал ошибки подвергается
такому значительному усилению, что он должен быть весьма ма-
лым. Это, конечно, подход, которым мы всегда пользовались при
анализе схем с идеальными операционными усилителями. В дан-
ной главе наша задача — выделить основные принципы обратной
связи, которые ранее иллюстрировались только для характерных
случаев.
Пример 5.3.2
Реальные схемы редко в точности соответствуют простой модели
системы с обратной связью; из-за влияния нагрузки задача выбора
Р и К обычно не отличается ни простотой, ни однозначностью.
К счастью, трудности уменьшаются, когда усиление в петле рЛ)
значительное, а именно в этих условиях обратная связь эффек-
тивна.
а) Неинвертирующий усилитель, показанный на рис. 5.8,
является редким исключением из этого правила. Если, как пока-
зано, считать, что операционный усилитель обладает бесконечным
входным импедансом, нулевым выходным импедансом и конечным
коэффициентом усиления а, то очевидно, что
Vo (в) = V1 (з) - Т1 + £- 72 (S)> Vi
6 Сиберт У. М.
162 5. Связанные системы н обратная связь
Эти выражения точно соответствуют уравнениям для простой
системы с обратной связью, если считать К. = а и [3 = +
4- R2), так что
V» («) _ К _ а. ~ Ri + Rz 1
Vj (s) - 1 + ₽Я aR, ~ Rx “ ₽ ’
Ri + Rz
т. е, не зависит от а, если коэффициент усиления в кольце
Рис. 5.8. Схема иенивертирукмцего усилители иа операционном усилителе.
б) С другой стороны, для более распространенной схемы ин-
вертирующего усилителя, представленной на рис. 5.9, вырисо-
Рис. 5.9. Схема инвертирующего усилителя иа операциоииом усилителе.
вывается более привычная ситуация. Пользуясь той же моделью
операционного усилителя, что и в пункте (а), можно записать
выражения
V2 (s) = аУ0 ($),
которые не совсем совпадают с уравнениями для простой системы
с обратной связью. Если, как и раньше, выбрать К. = а и р =
5.3. Действие отрицательной обратной связи
163
= RiKRi + Т?2). то описанием данной схемы фактически будет
структура, приведенная на рис. 5.10. Общий коэффициент уси-
ления
Уа (s)_______Ri__________а______~
Vi (s) *1 + % , , „ /?1 ~ ’
1 + a-R1 + R;
т. е. не зависит от а, если усиление в петле olR1/(R1 + R2) 1.
Рис. 5.10. Структурная схема инвертирующего усилителя иа операционном
усилителе.
Заметим, что в данном случае коэффициент усиления при
большом а не равен 1/р. С другой стороны, мы могли бы выбрать
Р = RJRi п R — aj?2/(^i + ^г)> что эквивалентно описанию
Рис. 5.11. Еще одна структурная схема инвертирующего усилителя иа опера-
ционном усилителе.
схемы с помощью структуры, изображенной на рис. 5.11. За ис-
ключением знака, эта схема совпадает со структурной схемой
простой системы с обратной связью и для больших К сводится
к —V2 (s)/Vi (s) — 1/р. Очевидно, существует широкая возмож-
ность выбора других р и R, соответствующих иным структурным
схемам, тогда как какого-либо единственно «правильного» или
«лучшего» выбора не существует. Заметим, однако, что независимо
от выбора коэффициент усиления в кольце полностью опреде-
лен и может быть вычислен при «разрыве» кольца в любой удобной
точке с помощью подключения источника единичного сигнала
с одной стороны разрыва и вычисления его величины на другом
конце разомкнутого кольца. (При этом влияние нагрузки, если
таковое имеется, должно быть соответствующим образом учтено.
6*
164 5. Связанные системы н обратная связь
Наиболее важный вывод, который можно сделать из неодно-
значности в определении р и К, показанной в примере 5.3.2,
состоит, вероятно, в том, что обратная связь, несомненно, является
полезным средством при проектировании или синтезе новой си-
стемы, реализующей некоторые заданные характеристики. По-
лезность этого при анализе и изучении некоторой существующей
системы зависит от конкретной системы. Если исследуемая система
была сознательно спроектирована как система с обратной связью,
то почти наверняка ее анализ в этих терминах будет эффективным.
В этом случае тракт обратной связи окажется полностью (или
почти) структурно выделенным, а упрощающие предположения
появятся сами собой, что уменьшит трудности анализа и улучшит
наше понимание системы. Но если исследуемая система просто
«сложная» (например, биологическая, в которой обычно«все влияет
на все остальное»), то полезность обратной связи для анализа
весьма сомнительна. В самом деле, всегда можно сформулировать
любую задачу системного анализа — даже с делителем напряже-
ния, показанным на рис. 5.12, — в терминах системы с обратной
Рис. 5.12. Изображение делителя напряжения в виде системы с обратной связью,
связью, но, естественно, нет никаких гарантий, что такая по-
становка окажется продуктивной. Следует иметь в виду, что вне
зависимости от структурной схемы полезные свойства обратной
связи, описываемые в настоящей главе, как правило, определяются
по-видимому, тем фактом, что блок К является активным эле-
ментом, способным усиливать мощность.
Пример 5.3.3
Для того чтобы исследовать, каким образом обратная связь
снижает искажающие воздействия нелинейностей, рассмотрим
усилитель, выходной сигнал которого у (t) является нелинейной
безынерционной функцией входного воздействия z (t):
y(t)=f[z (/)].
В частности, предположим, что f [ • ] имеет форму, показанную
на рис. 5.13 сплошной линией. Из этой характеристики видно,
что при больших значениях входного воздействия на выходе на-
блюдается насыщение, тогда как малые сигналы вплоть до неко-
5.3. Действие отрицательной обратной связи 165
торого порогового значения характеризуются мертвой зоной
или искажениями типа «ступеньки». Подобные характеристики
типичны при использовании операционных усилителей в выходных
каскадах.
Предположим, что этот усилитель соединен последовательно
с предусилителем, на вход которого, как показано на рис. 5.14,
подается часть выходного сигнала нелинейного усилителя.
Рис. 5.14. Усилитель с обратной связью, содержащий нелинейный выходной
каскад.
Нетрудно вычислить, что
2(0 = р(х (0-₽у (0) = Г (01
или
х(0 = ^(0 + 4-ПИ%
где [ • ] — характеристика инверсного усилителя, показанная
на рис. 5.15. Для у < 30 и достаточно большого р получаем при-
ближенное линейное соотношение
166
5. Связанные системы н обратная связь
Для исследования природы этого приближения положим 0 = 0,1
и ц = 4. Полученная при этом зависимость выхода от входа, по-
казанная на рис. 5.13 пунктирной линией, несомненно (внутри
Рнс. 5.15. Характеристика инверсного усилителя.
абсолютных пределов, обусловленных насыщением схемы значи-
тельно улучшилась в части линейности по сравнению с усили-
телем без обратной связи.
* * *
Пример 5.3.4
Рассмотрим усилитель мощности, который почти линеен, но при
полном выходном сигнале вносит небольшие искажения. Под
этим мы понимаем, что подобный усилитель можно приближенно
описывать с помощью структурной схемы, приведенной на рис. 5.16,
х( п -------
-----► к
I П(П
Кх(О у(М^КхО) + п(Г)
Рис. 5.16. Структурная схема, моделирующая почти линейный усилитель.
где п (t) — разность между действительным искаженным выходным
сигналом и выходом линейного усилителя с коэффициентом уси-
ления К..
Если п (t) — отдельный сигнал, не зависящий от х (/), то
эта структурная схема описывает линейную систему, и мы будем
ее анализировать, как если бы так в самом деле и было. Однако
поскольку на самом деле искажение в нелинейной системе зависит
от входного сигнала х (/), то необходимо, естественно, подчерк-
нуть, что обсуждаемая схема анализа является приемлемым
приближением только в том случае, если выходной сигнал поддер-
живается на фиксированном уровне и если искажение мало (так
5.3. Действие отрицательной обратной связи
167
что, например, если подать на вход п (/), то «искажением искаже-
ния» можно пренебречь).
Предположим теперь, что мы подаем на вход P-часть вы-
ходного сигнала y(t), а для компенсации, как показано на рис. 5.17,
Рнс. 5.17. Добавление обратной свнаи и модели усилителя на рнс. 5.16.
добавляем к К дополнительный усилитель. Применяя принцип
суперпозиции (аппроксимирующая система линейна), мы легко
находим
У ® = 1 + рк9к Х + 1 + рклк п
Если подобрать Ко и Р так, чтобы ЛГ0/(1 + РЛоЛ} = 1, то коэф-
фициент усиления системы будет тот же, что и раньше; однако
для той же амплитуды желаемого компонента выходного сигнала
искажение уменьшилось в (1 + 0Ло-К) раз, что может оказаться
значительным.
* * *
Естественно, анализ, приведенный в примере 5.3.4, применим
без ограничения во всех случаях, когда п (/) действителино явля-
ется независимым аддитивным возмущением или шумом. Следует,
однако, помнить, что обратная связь может значительно осла-
бить шум, действующий на выходной каскад, но никак не влияет
на уровень шума при шумовом воздействии на входе и лишь ча-
стично подавляет его при шумовом воздействии в промежуточной
точке (например, между Ко и К на рис. 5.17). Иллюстрацией
одного из типичных применений этого эффекта являются много-
каскадные усилители, в которых постоянные питающие напряже-
ния получаются путем выпрямления переменных напряжений.
В таких усилителях, при наличии значительной обратной связи,
для питания выходных каскадов не требуется особой фильтрации.
Пример 5.3.5
Одним из наиболее важных применений обратной связи является
уменьшение влияния на схему К изменений некоторого импеданса.
В качестве примера можно привести исследованный Максвеллом
регулятор скорости Уатта для паровых машин, который пред-
168
5. Связанные системы и обратная связь
назначался для уменьшения влияния на скорость изменений ме-
ханической нагрузки. В электротехнике аналогичный пример —
стабилизатор напряжения (см. задачу 5.1). Еще один пример —
конструирование усилителя для возбуждения громкоговорителя
в системе высококачественного воспроизведения звука. Такой
усилитель должен работать на нагрузку, создаваемую входным
импедансом громкоговорителя, который характеризуется весьма
сложной зависимостью от частоты. Для того чтобы общая частот-
ная характеристика была плоской, обычно считается желательным,
чтобы напряжение на зажимах громкоговорителя при изменении
частоты оставалось постоянным (при постоянном входном напря-
жении усилителя). В громкоговорителях с постоянным подмагни-
чиванием это напряжение в соответствии с законом Фарадея
управляет скоростью движения звуковой катушки. Следовательно,
усилитель в системе с высокой верностью воспроизведения дол-
жен вести себя как идеальный источник напряжения.
Действующий выходной импеданс усилителя может быть
уменьшен путем подачи на его вход сигнала, пропорционального
напряжению на нагрузке усилителя, и сравнения его с входным
сигналом усилителя. Рассмотрим, например, неинвертирующую
схему с операционным усилителем из примера 5.3.2, воспроизве-
Рис. 5.18. Неинвертирующий усилитель на операционном усилителе.
Рнс. 5.19. Тевениновскнй эквивалент неинвертирующего усилителя на опера-
ционном усилителе.
денную на рис. 5.18, в которой fS-часть выходного напряжения
подается на вход. Пусть для простоты Р > Ро- Действующий
выходной импеданс этой схемы со стороны зажимов равен
величине сопротивления Rr в тевениновском эквиваленте усили-
теля с обратной связью, показанном на рис. 5.19. В схемах, со-
5.3. Действие отрицательной обратной связи
169
держащих управляемые источники, наиболее эффективный спо-
соб вычисления тевениновского сопротивления обычно следующий:
Р __V2 (s) при Ri, = оо_ напряжение холостого хода
/3 (s) прн Rl = 0 ток короткого замыкания
Ток короткого замыкания для схемы на рис. 5.18 легко определить,
поскольку при закороченных выходных клеммах обратная связь
отсутствует. Итак,
/2(s) (короткое замыкание) = —.
АО
Так как R > А?о, в режиме холостого хода V2 (s) aV0 ($) и
Vo (s) = Vt (s) — pV2 (s), поэтому V2 (s)/a « Vj (s) — fSV2 (s). Ре-
шая, находим, что
V2 (s) (холостой ход) «
и, следовательно,
_ a 1
1 + ~-₽
Таким образом, окончательно
n У-У1 (s) _____
7'1 1 + ₽a aVx (s) 1+pa’
которое при pa 1 (что обычно выполняется) означает сущест-
венное снижение импеданса в сравнении с усилителем без обратной
связи. Так, например, операционный усилитель ИС 741 в схеме
повторителя напряжения (Р = 1) имеет й0~75Омиа» 2-Ю5.
Тогда
7^
= i + 2-TdS-3)75 • 10~4 Ом-
* * *
Пожалуй, стоит отметить, что общее усиление и выходной им-
педанс теоретически идентичны у усилителя с обратной связью
из примера 5.3.5 и усилителя без обратной связи, выход которого
зашунтирован соответствующим резистором. Однако, большинство
активных элементов, используемых в качестве выходного каскада
усилителя мощности, должны работать на соответствующий нагру-
зочный импеданс, чтобы реализовать требуемый уровень выход-
ной мощности без насыщения и других искажающих эффектов.
Таким образом, на практике именно обратную связь, а не шунти-
рование следует применять для уменьшения эффективного вы-
ходного импеданса усилителя.
170 5. Связанные системы и обратная связь
Пример 5.3.6
Схема, аналогичная предыдущему примеру, может использова-
ться и для увеличения выходного сопротивления, т. е. прибли-
зить поведение усилителя к идеальному источнику тока путем
подачи на вход напряжения, пропорционального выходному
Рис. 5.20. Усилитель с обратной связью, пропорциональной выходному току.
току. Рассмотрим схему, представленную на рис. 5.20. В режиме
холостого хода обратная связь отсутствует. Таким образом,
Va (s) (холостой ход) = CtVj (s).
При коротком замыкании /2 (s) == txV0 (s)/(R0 + R) и Vo (s) =
== (s) — RIt (s). Исключая Vo (s) и решая, получим
/4(s) (короткое замыкание) = •
Следовательно, Rt в тевениновской эквивалентной схеме равно
п_____________V3 (s) (холостой ход) _ __ ау ~Ь (* ~Ь а) R _
7а (s) (короткое замыкание) х'' aVi(s)
= Ro 4“ (1 + ®) R
и может быть достаточно большим. Эта схема иногда используется
для получения почти идеального источника тока, хотя и имеет
недостаток — отсутствие общей земли между входом и выходом.
Пример 5.3.7
Обратная связь может также оказывать заметное влияние на
входной импеданс различных схем. Именно с этой точки зрения
5.3. Действие отрицательной обратной связи
171
полезно рассмотреть стандартную схему интегратора на опера-
ционном усилителе, представленную на рис. 5.21.
R l0(s)
Рис. 5.22. Эквивалентная схема интегратора, изображенного на рис. 5.21, со сто-
роны входа.
Легко получить, что напряжение на конденсаторе равно
Vo (S) (1 4- а), так что /0 (s) = CsV0 (s) (1 4- а). Таким образом,
со стороны задающего источника комбинация операционного
усилителя и конденсатора равнозначна емкости величиной (1 4~
4- а) С, как показано на эквивалентной схеме, представленной
на рис. 5.22. Величина (1 4- а) С может быть очень большой.
Именно поэтому данная схема и является эквивалентом идеаль-
ного интегратора. Однако эта идея имеет и другие применения.
Емкость С может быть просто емкостью монтажа, связывающей
выход усилительного каскада с его входом. В этом случае дейст-
вие усилителя проявляется в возникновении на входе значитель-
ного емкостного шунта, существенно уменьшающего усиление
предыдущего каскада в высокочастотной области. Это явление
называется эффектом Миллера и в свое время явилось основной
причиной ограничения коэффициента усиления ранних ламповых
усилителей в высокочастотной области. Изобретение пентода
привело к существенному уменьшению эффективного значения С.
(Обсуждению аналогичной проблемы в транзисторах посвящена
задача 5.5.) Еще одно применение основывается на том, что коэф-
фициентом усиления электронного усилителя можно управлять
172
5. Связанные системы и обратная связь
электрически путем смещения рабочей точки. Если к такому
усилителю подключена емкость обратной связи так, как показано
на рис. 5.21, то подобная комбинация дает эквивалентную емкость,
величина которой может меняться электрически. Такой элемент
широко используется в фильтрах с электронной настройкой,
ЧМ-модуляторах и т. д.
5.4- Выводы
Анализ систем, составленных из взаимно связанных элементов,
ведет, естественно, к следующему уровню иерархии — объедине-
нию систем в суперсистемы. Объединение двух подсистем с обра-
зованием простой системы с обратной связью оказывается особенно
интересным в качестве инструмента проектирования. В самом деле,
мы согласны с Дж. К. Робержем, что «глубокое понимание об-
ратной связи является одной из важнейших предпосылок для ус-
пешной разработки электронных цепей и систем» 1). В данной
главе мы показали, что обратная связь уменьшает влияние изме-
нений и искажений в прямом тракте, поскольку общая системная
функция при большом коэффициенте усиления в кольце слабо
зависит от характеристик этого тракта. В следующей главе мы
покажем, как можно использовать этот факт, чтобы при большом
усилении в кольце общая системная функция была приблизительно
обратна системной функции, описывающей тракт обратной связи.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5
Упражнение 5.1
Покажите, что системная функция для структурной схемы, представленной
иа рис. 5.23, имеет вид
Н (s) = - S+1
1 ' X (s) ~ s’ + 3s2 + 3s + 2 '
Рис. 5.23.
Упражнение 5.2
Предположим, что в неиивертирующей схеме на операционном усилителе из при-
мера 5.3.2 /?х и /?2 выбраны таким образом, что в идеальном случае (а = оо)
l) J. К- Roberge. Operational Amplifiers: Theory and Practice (New York,
NY: John Wiley, 1975). Это прекрасная книга для более глубокого изучения
материала данной главы.
Задачи к главе 5
173
коэффициент усиления равен 10. Покажите, что, для того чтобы фактический
коэффициент усиления находился в пределах 0,1 % от своего идеального зна-
чения, а должен быть больше 9,99-103.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ б
Задача 5.1
Если на вход неинвертирующего усилителя из примера 5.3.5 подан постоянный
сигнал (например, от батареи или со стабилитрона), то показанная иа рис. 5.24
Рис. 5.24. Рд—нагрузочное сопротивление.
схема превращается в последовательный стабилизатор напряжения для поддер-
жания фиксированного выходного напряжения Vo at Ив/|3 вне зависимости
от сопротивления нагрузки (при условии, что выходной ток /0 меньше некото-
рого максимального значения, определяемого усилителем). Этот принцип часто
используется для построения ИС-стабилизаторов напряжения типа LM317,
все основные элементы которых размещены иа одном кристалле. Изобразите
характеристику стабилизации (зависимость Ео от /0) при изменении Rl и пока-
жите, что требуемые свойства достигаются при а -> оо. Для простоты считайте,
что R > Ro.
Задача 5.2
Рис. 5.25.
Найдите тевениновскую эквивалентную схему со стороны выхода для приве-
денного на рис. 5.25 усилителя с обратной связью. Считайте i0 (!) = 0.
174
5. Связанные системы и обратная связь
Задача 5.3
Найдите входное сопротивление (t)/^ (t) изображенной иа рис. 5.26 схемы по-
вторителя напряжения. Модель операционного усилителя представлена иа
рисунке.
Задача 5.4
Разработка удовлетворительного аналогового умножителя — извечная проблема
Одна из полезных схем, показанная иа рис. 5.27, использует два идентичных,
Рис. 5.27. Ki — усилительный элемент, управляемый напряжением;
К2 — усилитель с коэффициентом усиления К2.
управляемых напряжением усилителя или аттенюатора, мгновенный коэффи-
циент передачи которых (в идеале)'— монотонная (ио ие обязательно линейная)
функция управляющего напряжения v (/).
а) Докажите, что при достаточно большом значении выходной сигнал
примерно равен х (t) у (t)/z (t) независимо от формы Кл [].
б) Пусть г (t) = 1, Ki [о (/)] = 1 Ц- v (/), и предположим, что х (t) а у (/)
ограничены диапазоном 0 < х (t) < 10, 0 < у (/) < 10. Найдите минимальное
значение Кг, при котором выходная ошибка ие превышает 1 % максимального
значения произведения х (t) у (/).
Задача 5.5
В этой задаче исследуется влияние емкости коллектор—база иа частотную ха-
рактеристику изображенного иа рис. 5.28, а усилительного каскада с общим
эмиттером. Полагая, что прп-траизистор в окрестности рабочей точки может
Задачи к главе 5
175
быть представлен в виде гибридной П-образиой модели, общую эквивалентную
схему цепи в области средних и высоких частот приближенно изобразим в виде,
представленном иа рис, 5.28, б.
Рис. 5.28. а — принципиальная схема; на схеме показаны низкочастотные раз-
делительные и блокировочные емкости, б — эквивалентная схема; разделитель-
ные и блокировочные емкости заменены закорачивающими перемычками.
На этой схеме эффекты накопления заряда в области базы описываются
двумя емкостями. В частности, емкость 5 пФ отражает в основном емкость об-
ратиосмещеииого перехода коллектор—база; хотя ее величина небольшая, ее
влияние усиливается, поскольку она находится в тракте обратной связи. Как
отмечено в примере 5.3.7, это называется эффектом Миллера.
а) Вычислите входной импеданс части эквивалентной схемы, расположен-
ной справа от точки, ток в которой помечен i (/), и таким образом покажите,
что для источника Vj (!) входной импеданс может быть представлен в виде экви-
валентной схемы иа рис. 5.29.
Рнс. 5.29.
б) Для этого усилительного каскада найдите примерное значение частоты,
соответствующее уровню половинной мощности, и сравните его с частотой по
уровню половинной мощности при нулевом значении емкости перехода коллек-
тор—база. Таким образом, фактическое увеличение этой емкости в число раз,
равное коэффициенту усиления, может оказаться серьезной проблемой.
6
ДИНАМИКА СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
6.0. Введение
Если существующую систему с коэффициентом передачи К (s)
охватить обратной связью, то получится новая система, которая
может оказаться не только менее чувствительной к изменениям и
искажениям К. (s) (при условии достаточно большого усиления
в кольце, см. гл. 5), но и вообще иметь иное, отличное от К (s)
расположение полюсов-нулей, а следовательно, и иную динамику.
Влияние обратной связи на динамику систем всесторонне изуча-
лось в 40-х и 50-х годах применительно к задачам создания си-
стем управления. Более того, Норберт Винер 11 и его последова-
тели сделали теорию управления с обратной связью (назвав ее
«кибернетика») краеугольным камнем целой философской сис-
темы. Она охватывает всевозможные аспекты от автоматики до
физиологических и психологических процессов, включая эко-
номические и общественные системы, и даже принципы этики.
Время и развитие альтернативных воззрений несколько умень-
шили великолепие этой картины, однако управление с обратной
связью остается в основе как важнейших идей, так и полезных
технических приложений.
6.1. Инверсные системы
Динамический эффект обратной связи зависит от величины усиле-
ния в разомкнутой системе (кольце) f> (s) К (s) в исследуемом диа-
пазоне частот. Если обратная связь «мала» (| р (s) К (s) | < 1), то
д(5)-т+гД-и <6-1л)
и ее влияние на поведение системы также мало; полюсы и нули
Н (s) обычно расположены вблизи полюсов и нулей К (s). С дру-
11 Н. Винер, Кибернетика, или управление и связь в животном и машине,
М., Сов. радио, 19582'.
21 См. также И. Винер, Новые главы кибернетики, М., Сов. радио, 1963. —
Прим. ред.
6.1. Инверсные системы
177
гой стороны, если обратная связь «велика» (| р (s) К (s) | > 1),
то
rw.w (6Л'2)
В этом случае влияние обратной связи на поведение системы может
оказаться огромным, поскольку теперь собственные частоты
Я(х) приближенно соответствуют полюсам 1/р (s),‘ а не полюсам
В случае большого усиления в кольце, системная функция
системы с обратной связью приближенно равна функции, обратной
системной функции тракта обратной связи. Применение обратной
связи с большим усилением в кольце для реализации системной
функции, обратной системной функции заданной системы, т. е.
реализации инверсной системы *), часто оказывается очень по-
лезным приемом. Инверсные системы обычно применяются для
устранения или компенсации динамических погрешностей аппа-
ратуры связи, измерительных или управляющих устройств. Для
примера предположим, что датчик замедленно реагирует на из-
менения некоторой величины х (1). В подобных случаях изобра-
жение выходного сигнала датчика должно быть записано не просто
как изображение X (s) желаемого сигнала х (t), а в виде произ-
ведения X (s) Яо (s). При этом системная функция Но (s) описы-
вает искажающее влияние «вялого» датчика. Предположим, од-
нако, что мы смогли бы последовательно соединить «вялый» дат-
чик с устройством, системная функция которого равна l/H0 (s).
Тогда преобразование полной реакции приняло бы вид X (s) Но (s)-
• U/#o (s)) = X (s), т. е. инверсная система \/Н0 (s) позволила бы
восстановить исходный сигнал х (/) из выходного сигнала, иска-
женного^ «вялым» датчиком2). Особенно эффективно применение
обратной связи для реализации инверсной системы, если харак-
теристики Яо (s) неизвестны или если они меняются со временем
или от окружающих условий. При прочих равных условиях пред-
полагается, что копия исходной системы, установленная в тракте
обратной связи, должна вести себя так же, как и сама исходная
система. Обратная связь может оказаться полезной для синтеза
инверсной системы, если по какой-либо причине системную функ-
цию Но (s) реализовать легче, чем 1/Н0 (s). Следующие примеры
иллюстрируют различные применения этой идеи.
*) Инверсные и обратные цепи, см., например, Г. Боде, Теория цепей и
проектирование усилителей с обратной связью, М., ИЛ, 1948 гл. X, § 2, 236—
240. — Прим. ред. ’
3) Процесс обработки выходного сигнала ЛИВ-системы с целью восстановле-
ния сигнала на ее входе называется также обращением свертки; объяснение этого
будет изложено в гл. 10. Заметим также, что, как указано в гл. 3, инверсную
систему обычно нельзя реализовать просто путем подачи сигнала на выход исход-
ной системы и наблюдения соответствующего сигнала на ее входных зажимах.
178
6. Динамика систем с обратной связью
Пример 6,1.1
Легко показать, манипулируя импедансами, что для мостовой
Т-образной цепи рис. 6.1 коэффициент передачи по напряжению
s-плоскость
С/а
2
(7?Cs)2 + - ftCs + 1
**0(3) ir/\ / 9 \
V1(s) (7?Cs)2 + (- +а]ЛСз + 1
\а 7
j Примерные
положения при
crRC
Рис. 6.1. Мостовая Т-образная цепь.
о
в режиме холостого хода определяется выражением, приведенным
на этом рисунке вместе с частотной характеристикой и диаграм-
мой расположения полюсов-нулей (для больших значений а).
Цепь, инверсную Но (s), приближенно можно реализовать, по-
местив мостовую Т-образную цепь в тракт обратной связи, охва-
тывающей усилитель, как показано на рис. 6.2. Такая схема будет
Рис. 6.2. Приближенная инверсия передаточной функции мостовой Т-образной
цепи.
иметь системную функцию Н2 (s) » 1/Н0 (s), а ее частотная ха-
рактеристика и диаграмма расположения полюсов-нулей будут
такими, как изображено на рис. 6.2. Поскольку полюсы (s)
располагаются на комплексных частотах, пассивная цепь, реали-
зующая Я, (s), должна содержать индуктивности. Примеры дру-
6.1. Инверсные системы
179
гих схем с/?С-элементами, использующих обратную связь для по
лучения комплексных полюсов, уже описывались ранее (см.
примеры 1.3.2, 1.4.2, 4.2.1 и задачи 1.6, 3.11, 4.9, 4.15).
* * *
Заметим, что, поскольку нули пассивной передаточной функ-
ции могут быть в правой полуплоскости, попытки реализовать
инверсию такой системы могут привести к неустойчивой структуре
с полюсами в правой полуплоскости. Неустойчивость в системах
с обратной связью может возникнуть по многим причинам, что,
как мы обсудим в разд. 6.3, устанавливает пределы возможностей,
достигаемых введением обратной связи.
Пример 6.1.2
Использование обратной, связи для построения инверсных систем
не ограничивается только линейными системами. Так, многие
типы транзисторов имеют экспоненциальную зависимость тока
коллектора от напряжения база—эмиттер в области нулевого
напряжения коллектор—база. Экспоненциальный закон справед-
лив в широком динамическом диапазоне (для нескольких декад).
(Аналогичные соотношения справедливы и для диодов, но в мень-
шем динамическом диапазоне.) Таким образом, схема, изображен-
ная на рис. 6.3, реализует точную логарифмическую характери-
стику, применимую для разработки аналоговых умножителей и
многих других устройств.
* * *
180
6. Динамика систем с обратной свизью
6.2. Влияние о братной связи на полосу частот
и время реакции
Если величина усиления в кольце | Р (s) К. (s) | не намного пре-
вышает 1, то общая реакция системы, охваченной обратной свя-
зью, не равна 1/0 (s), не зависящей ot/((s). Тем не менее, как по-
казывают следующие примеры, общая реакция системы и в этом
случае может оказаться существенно отличной от характеристики
одного лишь прямого тракта.
Пример 6.2.1
На рис. 6.4 представлена диаграмма Боде для типичного опера-
ционного усилителя модели 741 с разомкнутой обратной связью.
Рис. 6.4. Амплитудио- и фазо-частотиые характеристики операциоииого усили-
теля 741 при разомкнутой обратной связи. Пунктиром показаны АЧХ для раз-
личных коэффициентов усиления при замкнутой обратной связи.
Он имеет усиление в области нижних частот «2- 106, крутизну
в высокочастотной области 6 дБ/октава и полосу по уровню поло-
винной мощности около 6 Гц, что соответствует угловой частоте
«40 рад/с. Таким образом, вплоть до довольно высоких частот
Рис. 6.5. Неиивертирующий усилитель.
этот операционный усилитель можно представить в виде эквива-
810е -
лентной схемы, показанной на рис. 6.5 с /С (s) = - .
6.2. Влнинне обратной свизн
181
Если теперь этот операционный усилитель включить по схеме
неинвертирующего усилителя, показанного на рис. 6.5, с
о______^1
Р “ + /?, ’
то системная функция для этой схемы примет вид
Н М - Z1W. - __М±_ _ 8-106
y0(S) - 1 +PK(s) “ s + (40 + 8-10«₽) •
Таким образом, полоса по уровню половинной мощности расши-
рилась до (40 8- 106Р) рад/с, что при обычных значениях р
существенно превышает 40 рад/с, характерных для усилителя
с разомкнутой обратной связью.
Любопытно (и, кстати, полезно) отметить, что произведение
коэффициента передачи на нижних частотах
Н /т - 8J°8
40 + 8-10«р
на полосу по уровню половинной мощности есть величина по-
стоянная:
усиление-полоса (Гц) = 8 ^1,2-10® Гц,
независимая от (3. (Величина этой константы часто приводится
в справочниках по операционным усилителям как ширина полосы
пропускания при единичном усилении.) Таким образом, для
усилителей с замкнутой обратной связью АЧХ имеют вид, пока-
занный пунктирными линиями на рис. 6.4 — чем меньше требуемое
усиление, тем шире результирующая полоса пропускания. Так,
например, операционный усилитель типа 741 с усилением 100 в
схеме с обратной связью будет иметь полосу пропускания по уров-
ню половинной мощности 1,2- 10в/Ю0 = 12 кГц. Дальнейшее об-
суждение поведения частотных характеристик операционных уси-
лителей приведено в задаче 6.9.
* * *
Пример 6.2.2
В качестве второго примера рассмотрим влияние обратной связи
на «вялый» контроллер скорости двигателя. Математически эта
система почти идентична усилителю с обратной связью, рассмо-
тренному в предыдущем примере, однако в данном случае ситуа-
ция иная, и нас будет интересовать не частотная характеристика,
а реакция системы на ступенчатое воздействие.
182 6. Динамика систем с обратной связью
Основная структура системы, которой надлежит управлять,
приведена на рис. 6.6. Для простоты будем считать, что электро-
Рис. 6.6. Схема электродвигателя с нагрузкой.
ш (0 — угловая скорость, рад/с; вращающий момент Т (/) = kmi (/); J — мо-
мент ниерции; В— потери.
двигатель идеален и создает вращающий момент Т (0, пропорцио-
нальный току в якоре. Как механическая система двигатель
вместе с нагрузкой характеризуется моментом инерции J и коэф-
фициентом демпфирования В 0. Посмотрим сначала, каким об-
разом изменение тока i (0 влияет на скорость вращения вала со (0.
Приравнивая управляющий вращающий момент и реакцию ме-
ханической системы, получим
Т(0 = М(0 = /^- + Во>(0-
Тогда системная функция, связывающая скорость вала и ток, имеет
вид
и /<д __ Q ($) _ km
- Js + B.
Если на двигатель, находящийся в состоянии покоя, воздействует
ступенчатая функция тока i (0 = 1и (0, то / (s) = I/s и РНС
имеет вид
о /<Л н (е\ I ____ kml/j _______ kmI/В km.1!в
— S(S + B/J) - s s + B/J
ИЛИ
co (0 = coOT (1 — и (0,
где com = km I/B — установившееся предельное значение ско-
рости, а 0 = J/B — постоянная времени. Ступенчатое управляю-
щее воздействие и реакция двигателя изображены на рис. 6.7.
Если момент инерции системы J велик, то реакция на ступенчатое
воздействие будет замедленной. Более того, как постоянная вре-
мени реакции, так и установившаяся скорость прямо зависят
0 Коэффициент В также называют коэффициентом вязкого трения, по-
скольку силы трения, пропорциональные скоростям, называются силами вязкого
трения, см., например, С. П. Тимошенко, Колебания в инженерном деле, М.,
ГИФМЛ, 1959, с. 70. — Прим. ред.
6.2. Влияние обратной связи
183
от коэффициента демпфирования В, который часто является не-
стабильным параметром, зависящим от старения, температуры
и т. д.
А»(0
Рис. 6.7. Реакция скорости двигателя на ступенчатое изменение входного тока.
Более быструю и надежную реакцию можно получить, охва-
тив двигатель обратной связью, как показано в верхней части
рис. 6.8. Тахометр является измерительным прибором (по су-
Рис. 6.8. Контроллер двигателя с обратной связью по скорости.
ществу электрическим генератором), выходное напряжение ко-
торого пропорционально скорости вращения его вала:
ut (0 = р® (f).
Усилитель описывается уравнением
i (t) = Kve (t).
Следовательно, эта система может быть представлена в виде струк-
турной схемы, изображенной в нижней части рис. 6.8. Общая
системная функция Н (s) та же, что и для системы без обратной
связи Нт (s), но с полюсом в точке — (В + $Kkm)/J вместо
—B/J:
и I \ £2 (s)____КНт (s)_____Kkmu
П ~ ~ 1 + $кнт (s) - S + (В + ркад/7 •
184 6. Динамика систем с обратной связью
Следовательно, для РК > 0 полоса частот получается шире и
реакция на ступенчатое воздействие более быстрая, чем раньше,
как показано на рис. 6.9, а именно
Рис 6.9. Реакция системы с обратной связью иа ступенчатое входное воздействие.
(о (0 = (1 — е-Ч{о} и (t),
где
~ KkmV 7 J
“ В + £Kkm ’ ~ В + |Шт ’
Заметим также, что в системе с обратной связью как постоянная
времени реакции, так и установившаяся скорость двигателя прак-
тически не зависят от коэффициента демпфирования В, если РК
достаточно велико.
При [ЗК —< оо время реакции системы с обратной связью на
ступенчатое входное воздействие уменьшается теоретически до
нуля, а установившаяся скорость зависит только от калибровки
тахометра р. Каковы пределы улучшения, достижимые на практи-
ке? Одна из проблем состоит в том, что по мере роста РК растет
и пиковое значение входного тока двигателя. Чтобы в этом убе-
диться, считайте / (s) выходом системы с обратной связью и вы-
числите
[ = KV W = K(S + B/J)V =
W 1 + ркнт (S) s (s + в/J + $Kkm/J)
s rs + В/J + $Kkm/J •
Рис. 6.10. Изменение тока в якоре при ступенчатом входном воздействии на кон-
троллер с обратной связью.
Соответствующая временная функция i (t) = <вт [B/km -|-
рКе~] и (t) изображена на рис. 6.10.
6.2. Влияние обратной связи
185
С физической точки зрения большой начальный ток необходим
для создания вращающего момента, достаточного для быстрого
преодоления инерции двигателя и нагрузки. Однако эффекты на-
сыщения и выгорания ограничивают допустимый диапазон наших
упрощенных представлений о двигателе величиной входного тока,
меньшего некоторого /шах. Полагая, что наихудшие переходные
процессы имеют место при реверсировании, когда с максимальной
скорости вращения сотах в одном направлении происходит резкое
переключение на ту же скорость обратного направления, покажите
в качестве простого упражнения, что усиление в кольце не должно
превышать
о га Лпах_______В
2й>шах km
* * *
Пример 6.2.3
В системах управления типа описанной в примере 6.2.2, где
диапазон некоторых внутренних переменных ограничен, улучше-
ние характеристик часто может быть получено заменой линейной
системы с обратной связью на систему, содержащую нелинейный
контроллер1), как показано на рис. 6.11. Характеристики этого
контроллера описываются следующим уравнением:
^шах>
By (/)
Дпах>
1(0 =
U (0 > Vt (t)
v (t) = Vt (t)
V (t) < Vt (t).
Как только возникает рассогласование фактического и требуемого
значений скорости, подается так быстро, как только возможно,
максимальный ток (вращающий момент) для коррекции этой
ошибки. Когда скорость достигает требуемой величины, устанав-
В отечественной литературе эти вопросы всесторонне разработаны и
изложены, см., например, Проблемы теории нелинейных систем автоматиче-
ского регулирования и управления, М., АН СССР, 1957, гл. IV. — Прим. ред.
186
6. Динамика систем с обратной связью
ливается величина тока, необходимая для поддержания скорости
в установившемся состоянии *). Реакция этой системы на ступен-
чатый переход из состояния покоя легко вычисляется по аналогии
с примером 6.2.2 и показана на рис. 6.12.
km.1 max
В
V
Рис. 6.12. Реакция нелинейного контроллера на ступенчатое воздействие.
На этом рисунке для сравнения показана пунктирной линией
реакция линейной системы с обратной связью, в которой Р и К
выбраны так, чтобы обеспечить те же значения установившейся
скорости и максимального тока. В этих условиях постоянная
времени линейной системы Fo = Таким образом, при
условии Ц < /тах время необходимое нелинейному контрол-
леру для достижения требуемой установившейся скорости, равно
времени ?0, за которое система с линейным контроллером дости-
гнет уровня, равного 1/е требуемой конечной величины. Началь-
ная скорость изменения со (t) одинакова для обеих систем. Однако
система с нелинейным контроллером (почти) сохраняет эту на-
чальную скорость в течение некоторого времени и таким образом
тратит на достижение нужного результата существенно меньшее
время, чем требуется для линейной системы. И наконец, это сравне-
1) На практике такой крайний случай «скачкообразного» контроллера будет,
по-видимому, ие очень удачным. Либо дрейф величины либо малые бы-
стрые флуктуации (шум) на входе или выходе в установившемся состоянии вы-
зовут значительные по величине быстрые «поисковые» колебания i (/). В более
приемлемой с практической стороны схеме должна быть предусмотрена область,
в которой ошибка v (t) — vt (t) мала, ио не равна нулю и где i (t) пропорциона-
лен этой ошибке, как в ранее предложенной линейной системе с обратной связью.
8.3. Устойчивость
187
ние будет еще больше в пользу нелинейного контроллера, если
усиление линейной системы не является оптимально выбранным
именно для этого изменения скорости. Благодаря этим качествам
«контроллерный» подход *) при проектировании систем управле-
ния сегодня в основном вытеснил «обратную связь», популярную
несколько десятилетий назад.
6.3. Устойчивость
Как показано в примере 6.2.2, динамический диапазон некоторых
внутрисистемных переменных часто ограничивает возможность
практического улучшения характеристик, которого можно было
бы достигнуть с помощью линейной обратной связи. Однако су-
ществует и другая трудность, которая является, пожалуй, даже
более распространенной. При увеличении усиления в кольце
полюсы в системе с замкнутой обратной связью могут переме-
ститься в правую s-полуплоскость, приводя к неустойчивости
системы.
В общем случае говорят, что физическая система устойчива,
если любые малые вариации условий, в которых она функциони-
рует (будь то возбуждающие воздействия или начальное состоя-
ние), приводят лишь к малым изменениям в поведении (реакции)
системы. Для линейных систем эквивалентным является утвер-
ждение, что ограниченным входам при нулевом начальном состоя-
нии соответствуют ограниченные выходы (ОВОВ) * 2). Очевидно,
необходимым условием ОВОВ-устойчивости (как отмечено в
гл. 4) является расположение всех собственных частот (полюсов
системной функции) в левой полуплоскости (л. п. п.); в про-
тивном случае ступенчатая функция (ограниченный вход) вызовет
неограниченную по величине реакцию. Для цепей, которыми мы
занимаемся (состоящих из конечного числа элементов и имеющих
системные функции без особенностей при s = оо), условие л. п. п.
является также и достаточным. (Обобщение мы обсудим в гл. 10.)
Как отмечалось в гл. 4, цепи, состоящие из положительных эле-
ментов R, L и С (пассивные цепи), всегда устойчивы. (Цепи
без потерь — содержащие L и С, но не R — находятся на гра-
нице устойчивости, поскольку имеют полюсы на оси /со и могут
х) Например, с регулятором на основе тахометра в цепи обратной связи,
как в рассмотренных примерах. — Прим. ред.
2) Более строго, для устойчивой системы следовало бы показать, что все
внутренние переменные, равно как н обозначенные выходы, остаются конечными.
Достаточно, одиако, показать, что переменные состояния остаются ограничен-
ными; это называется устойчивостью по Ляпунову в отличие от устойчивости
в смысле ОВОВ. Нелинейная система может быть устойчивой для некоторых
входных воздействий и начальных состояний, но ие для других. Важность усло-
вия устойчивости по Ляпунову мы покажем на конкретном примере в следующем
разделе.
188
6. Динамика систем с обратной связью
дать неограниченную по величине реакцию при синусоидальном
возбуждении с конечной амплитудой1) на их собственных частотах;
см., например, 10.3.1.) Однако цепи, содержащие управляемые
источники, могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.
Обычно они устойчивы, если коэффициенты усиления управляе-
мых источников достаточно малы (при нулевых коэффициентах
усиления цепь состоит лишь из положительных R, L и С),
но могут стать неустойчивыми, если коэффициент(ы) усиления
превысит некоторое критическое значение. Таким образом, не-
удивительно, что проблемы устойчивости часто ограничивают
возможности обратной связи, поскольку, как мы видели, их реа-
лизация связана с большими усилениями в кольце.
В простой системе с обратной связью, имеющей системную
функцию
н (s\ _
w 1+P(S) K(s) ’
собственными частотами являются нули выражения 1 -У р (s) X
X К (s) 2). Важной частью процесса разработки системы с об-
ратной связью является исследование зависимости расположения
нулей выражения 1 -У Р (s) /< (s) от различных конструктивных
параметров (таких, как величина коэффициента усиления в пря-
мом тракте или часть выходного сигнала, вводимая в тракт об-
ратной связи) и определение (если возможно) путей изменения
структуры, если требуемые характеристики не реализуются в
устойчивой системе.
Пример 6.3.1
Пусть р (s) /С (s) = p/(rs -|- I)3; такой функцией может описы-
ваться на средних частотах коэффициент передачи в кольце трех-
каскадного усилителя с обратной связью. Величина р соответ-
ствует коэффициенту передачи в кольце на нижних частотах.
Для уменьшения искажений на выходе желательно, чтобы вели-
чина р была как можно больше. Для устойчивости необходимо,
чтобы нули выражения
1 + Р (s) К (s) = I(ts + I)3 + р )/(ts 4- I)3
l) Данное утверждение основывается на том, что синусоидальное воздей-
ствие по определению имеет бесконечную протяженность, а отклик резонатора
без потерь пропорционален времени, и для него не существует установившегося
режима, см., например, А. А. Харкевич, Спектры и анализ, М., ГИТТЛ, 1957,
с. 150. — Прим. ред.
2) Поскольку Д’ (s) входит как в числитель, так и в знаменатель, полюсы
К (s) будут полюсами И (s) только н том случае, если они будут также нулями
₽ (s). Возможно также, что нуль выражения 1 Д- (3 (s) /С (s) не будет собственной
частотой И (s), если Д’(s) н р (s) имеют соответственно нуль н полюс н нуле выра-
жения 1 -|- Р (s) К (s).
8.3. Устойчивость
189
имели отрицательные действительные части. Существуют общие
формулы для нахождения корней кубического многочлена, од-
нако они неудобны. В данном случае очевидно, что числитель
равен нулю, когда
cs + 1 = (—Ц)1/3,
т. е. корнями уравнения (rs I)3 р = О являются
s 1 _!?»), 2_(_ 1 +4 (- 1 +
т • •
Рис. 6.13. Корневой годограф для
(ts -|- I)3 + И-
Цифры указывают значения р, при
которых корни попадают в соответ-
ствующие точки, а стрелки — направ-
ления, в которых смещаются корневые
точки при увеличении р от —8 до 8.
Корневые годографы как функции р показаны на рис. 6.13. При
—1 < р < 8 все корни лежат в л. п. п.; при р < —1 существует
один действительный нуль в п. п. п., а при р > 8 имеются два
сопряженных нуля в п. п. п. Для того чтобы система была устой-
чивой, коэффициент передачи в области нижних частот не дол-
жен превосходить 8. На практике величину р, вероятно, следует
выбрать существенно меньшей 8. Это обеспечивает запас устой-
чивости, а также переходной процесс или реакцию на ступенчатое
воздействие без значительного «звона» или выбросов, что часто
имеет место, когда пара полюсов системы оказывается близкой
к оси /со.
* * *
Изображение корневых годографов уравнения 1 0 (s) X
X К (s) = 0, показанное на рис. 6.13, может оказаться полезным
при проектировании систем с обратной связью. К счастью, для
построения корневого годографа существуют простые прибли-
женные методы, позволяющие фактически обойтись без анали-
тического вычисления корней, см., например, J. К. Roberge,
Operational Amplifiers: Theory and Practice (New York, NY:
Wiley, 1975), Chapter IV, либо практически любую книгу по
линейной теории управления.
190
6. Динамика систем с обратной связью
Критерий, называемый критерием Рауса 1), позволяет опре-
делить, лежат ли все корни многочлена в левой полуплоскости.
Критерий исходит непосредственно из коэффициентов при
различных членах многочлена и не требует аналитического на-
хождения корней. К сожалению, критерий Рауса дает информа-
цию лишь о полуплоскости, в которой находятся корни, без кон-
кретизации их положения; таким образом, он не позволяет оце-
нить ни относительной меры устойчивости, определяемой бли-
зостью полюсов к оси /со, ни соотношения частотной характери-
стики и времени реакции. Тем не менее он часто применяется
в совокупности с другими методами.
Некоторые специальные аспекты критерия Рауса нашли ши-
рокое применение и в обобщенном виде гласят:
1. Необходимые условия расположения всех корней много-
члена в левой полуплоскости таковы:
а) все члены должны иметь одинаковый знак;
б) при всех степенях «многочлена (от старшей до младшей)
не должно быть нулевых коэффициентов; допускается отсутствие
членов со всеми четными либо со всеми нечетными степенями.
2. Для многочленов второй степени эти условия являются
также достаточными.
3. Для многочлена третьей степени з3 as2 0s у необ-
ходимые и достаточные условия (НИДУ): а, 0, у > 0 и 0 >
> у/a. Применение этих правил иллюстрируется следующими
примерами.
Пример 6.3.2
1. В выражении s2 — 3s 4-2 не все корни лежат в л. п. п.,
поскольку два члена имеют знак «-}-», а один — знак «—». В са-
мом деле, s2 — 3s 4- 2 = (s — 2) (s — 1).
2. В выражении s6 4- s3 4- 10s2 не все корни лежат в л. п. п.,
поскольку в нем отсутствует член s4. Действительно, s5 4- s3 4-
4- 10s2 = s2 (s 4-2) (s — 1 4- /2) (s — 1 — /2). Заметим также, что
6 j s3 4- 10s2 = s2 (s3 4- s 4- 10), а кубический множитель не
'удовлетворяет НИДУ для кубических многочленов.
3. Выражение s3 4- s2 4- 4s 4- 30 удовлетворяет необходимым
условиям, приведенным в первом пункте правил, однако факти-
чески s3 4- s2 4- 4s 4- 30 = (s 4- 3) (s — 1 4- /3) (s — 1 — /3), т. e.
эти условия не являются достаточными, поскольку многочлен не
удовлетворяет НИДУ третьего пункта правил.
4. Выражение s4 4- 13s2 4- 36 удовлетворяет всем необходи-
мым условиям, и все его корни располагаются на оси /со: s4 4-
г) См., например, А. П. Мишина к И. В. Проскуряков, Справочная матема-
тическая библиотека, Высшая алгебра, М., ГИФМЛ, 1962, гл. III § 4, с. 231—
234, 238—239. — Прим. ред.
6.3. Устойчивость
191
4- 13s2 36 = (s 4- /2) (s — /2) (s 4- /3) (s — j3). Заметим, что
корни многочлена z2 4- 13z 4- 36 являются действительными и
отрицательными, что, естественно, необходимо, чтобы корни
уравнения относительно аргумента s были чисто мнимыми.
5. Выражение s4 4- 6s2 4- 25 удовлетворяет всем необходимым
условиям, но имеет корни в симметричных точках обеих полу-
плоскостей:
s4 4~ 6s2 4* 25 = (s — 1 4- /2) (s — 1 — /2) X
х (s 4- 1 4- /2) (s 4- 1 — /2).
Заметим, что корни многочлена г2 4- 6г 4- 25 комплексные.
* * *
Пример 6.3.3
Характеристический многочлен в примере 6.3.1 имел вид
(rs + I)3 + р = т3 (s3 + 4"sa + s + .
Из НИДУ для кубических многочленов (третий пункт правил)
следует
3 1 4- р т
т2 '> т3 3
или
р < 8,
где р положительно. Если р отрицательно, то необходимо выпол-
нение неравенства 1 4- р > 0, в противном случае последний член
будет иметь отрицательный коэффициент. Следовательно, устой-
чивая область ограничена интервалом
~1 < Р < 8,
как и было показано ранее с помощью корневого годографа.
* * *
Пример 6.3.4
Рис. 6.14. Простой звуковой RC-генератор.
На рис. 6.14 представлена сильно упрощенная схема одного из
пер вых успешных изделий фирмы Hewlett-Packard Company —
192 б. Динамика систем с обратной связью
звуковой КС-генератор. Для выяснения условия самовозбуждения
разомкнем ключ и вычислим коэффициент передачи в кольце:
К (RCs)
(RCs)2 + 3 (RCs) + 1 •
При замыкании ключа схема окажется неустойчивой, если значе-
ния s, для которых коэффициент передачи в разомкнутой цепи
У о (s)/Vi (s) = 1, лежат в п. п. п. Этому же соответствуют зна-
чения s, для которых
(RCs)2 + (3 - К) (RCs) +1 = 0.
Если К = 3, то собственные частоты окажутся точно на оси /со,
так что, будучи запущенной, схема будет генерировать синусои-
дальные колебания. На практике К выбирается несколько
больше 3, так что полюсы располагаются внутри правой полу-
плоскости, обеспечивая таким образом самовозбуждение генера-
тора. По мере нарастания амплитуды колебаний резистор (не
показанный на схеме) в усилителе слегка меняет значение, снижая
коэффициент передачи; амплитуда колебаний стабилизируется
на уровне, при котором действующее значение К. поддерживается
равным 3. Тогда частота колебаний является корнем уравнения
(RCs)2 +1 = 0
или ® = 1/RC. Частоту этого генератора можно менять в очень
широком диапазоне с помощью спаренных переменных резисторов.
* * *
Для проверки устойчивости систем с обратной связью как
с помощью корневого годографа, так и с помощью критерия Рауса
необходимо, чтобы [3 (s) и К (s) были известными рациональными
функциями s. Однако часто информация о (3 (s) и К (в) задается
иным способом — в виде иррациональных функций либо в виде
экспериментальных амплитудно- и фазочастотных характеристик
разомкнутой системы. В подобных случаях наиболее полезным
оказывается графический метод проверки устойчивости, разрабо-
танный Найквистом. Этот метод обсуждается в приложении к на-
стоящей главе.
Если исследовать поведение системы с замкнутой обратной
связью в установившемся состоянии при синусоидальном воздей-
ствии, то легко объяснить физически (а не только лишь математи-
чески), почему большие значения коэффициента передачи в кольце
могут привести к неустойчивости. Итак, предположим, что суще-
6.4. Применение обратной связи
193
ствует частота s = /ш, на которой коэффициент передачи в кольце
Р (/©) К (/®) имеет фазовый сдвиг, равный 180°. Тогда (включая
знак минус в компараторе) сигнал, возвращаемый с выхода и
суммируемый с входным воздействием, будет (на этой частоте)
точно совпадать по фазе с входным сигналом. Более того, если на
этой частоте коэффициент передачи в кольце равен единице,
то амплитуда возвращаемого сигнала будет равна амплитуде
сигнала на входе. Как только такой обратный сигнал установится,
вход может быть равным нулю, а сигнал на выходе будет поддер-
живать сам себя! При больших значениях коэффициента передачи
в кольце любое случайное возмущение вызовет на этой частоте
нарастающие колебания, т. е. система будет неустойчивой. Таким
образом, во избежание неустойчивости необходимо, чтобы на
всех частотах, где фазовый сдвиг коэффициента передачи в кольце
равен 180°, величина коэффициента передачи была меньше еди-
ницы. (Существует несколько интересных исключений из этого
правила — см. приложение.)
Величину коэффициента передачи на нижних частотах можно
увеличить (повысив, таким образом, эффективность обратной
связи на этих частотах), если в кольцо обратной связи включить
корректирующую цепь. Это уменьшит коэффициент передачи на
высоких частотах, где его фазовый сдвиг достигает 180°. Более
подробно этот подход обсуждается в приложении и в задаче 6.6.
6.4. Применение обратной связи
для стабилизации неустойчивых систем
Введение обратной связи-в устойчивую систему может привести
к неустойчивости из-за смещения полюсов из левой в правую полу-
плоскость. С другой стороны, обратная связь может использо-
ваться для обеспечения устойчивости принципиально неустойчи-
вых систем, как это иллюстрируется в следующем примере.
Пример 6.4.1
Рассмотрим обращенный маятник, прикрепленный с помощью
шарнира к тележке, способной перемещаться вдоль горизонталь-
ных направляющих. Наша задача состоит в создании системы
управления тележкой, которая, используя сигналы, характери-
зующие перемещение тележки и маятника, обеспечит устойчивость
маятника в его обращенном состоянии. Эту систему в целом
можно рассматривать как одномерную модель обычного трюка,
когда на ладони балансируют линейку или палку, перемещая
7 Сиберт У . М.
194
6. Динамика систем с обратной связью
Напряжение,
пропорциональное
Рис. 6.15. Моделирование обращенного маятника, т — масса маятника; 1 — момент инерции относительно шарнира.
6.4. Применение обратной связи
195
руку соответствующим образом. Подробно идея этой задачи
иллюстрируется рис. 6.15.
Из элементарной механики твердого тела непосредственно
следует, что
mgl sin 6 — mix cos 6 = IQ,
где точками обозначена операция дифференцирования по вре-
мени, а смысл переменных и параметров определяется рис. 6.15.
Для малых углов это уравнение может быть линеаризовано
/0 — mglQ = — mix,
а это означает, что 0 (t) и х (/) связаны системной функцией
Н м - e(s) - ~mlsi
П () “ X (s) ~ Is2 - mgl'
которая, разумеется, неустойчива.
Для достижения устойчивости в качестве первой попытки
соединим, как показано на рис. 6.15, ось обращенного маятника
с вращающимся потенциометром, с подвижного контакта которого
может быть получено напряжение, пропорциональное 0 (/). Раз-
ность между 0 (t) и требуемым значением 0О (= 0) через усили-
тель подадим на двигатель таким образом, чтобы при положитель-
ном значении 0 (t) — 0о величина х (t) увеличивалась. Будем
считать, что двигатель и привод могут быть описаны системной
функцией
М (s) = У >
' > V (s) s (s + а)
т. е. в установившемся состоянии двигатель обеспечивает ско-
рость х (t), пропорциональную приложенному напряжению v (t)
(независимому от нагрузки), а реакция этой скорости на измене-
ние v (t) соответствует реакции системы первого порядка с по-
стоянной времени 1/а.
Рис. 6.16. Структурная схема системы при первой попытке обеспечения устой-
чивости.
Структурная схема этой системы с замкнутой обратной связью
приведена на рис. 6.16. Если в качестве входного воздействия
принять 0о, то системная функция имеет вид
Н (s} = Ж = =
196
6. Динамика систем с обратной связью
ml
Kkm ~~j~~ s
Ч I ft I 1 yr , v Uli
s3 + as2 + -J- (Kkm — g)s---— ga
Из-за наличия знака «минус» у постоянного члена знаменателя
система, изображенная на рис. 6.16, остается неустойчивой при
любом значении /(. Физически же недостаток ее состоит в том,
что постоянная угловая ошибка ведет лишь к постоянной ско-
рости тележки. Однако перемещение тележки с постоянной ско-
ростью никак не влияет на угловое движение маятника. Для со-
здания восстанавливающего вращающего момента тележка должна
ускоряться.
Рис. 6,17. Улучшенная система стабилизации положения обращенного маятника,
Это можно реализовать, включив дополнительную цепь обрат-
ной связи, пропорциональной интегралу 0 (1). Теперь результи-
рующая структура будет иметь вид, представленный на рис. 6.17,
а ее системная функция запишется так:
Я ($) = e(s) _______(*)#(*) =
00 (s) 1 - (1
Kkm^-s
s3 + as2 + (Kkm - g) s + (Kkma — ga)
Из специального случая критерия Рауса для кубических много-
членов следует, что эта система будет устойчива, если а < а-
и Kkma > ga. Очевидно, что выполнение этих условий можно
обеспечить путем соответствующего выбора а и К,-
Однако, несмотря на то что изображенная на рис. 6.17 система
с обратной связью теоретически обеспечивает устойчивость обра-
щенного маятника, на практике она хорошо работать не будет.
Это обусловливается двумя трудностями. Во-первых, подстановка
конкретных значений различных параметров покажет, что хотя
6.4. Применение обратной связи
197
полюсы системы могут находиться в левой «-полуплоскости, однако
расположить их достаточно далеко от оси /ш, вероятно, будет
трудно. В результате быстрые возмущения маятника будут кор-
ректироваться очень медленно и к тому же процесс будет носить
колебательный характер. В этом случае последовательность уме-
ренных, но быстрых возмущений приведет к потере устойчивости
из-за выхода системы за пределы ее линейного диапазона. Основ-
ной причиной этого является, вероятно, малое значение а, опи-
сывающего частотную характеристику двигателя. Однако эта
трудность не является принципиальной, поскольку, как следует
из примера 6.2.2, скорость реакции двигателя можно увеличить,
введя обратную связь по скорости с использованием тахометра
Рис. 6.18. Дальнейшие улучшения.
(рис. 6.18). Легко показать, что системная функция этой схемы
равна Н (s) для структуры рис. 6.17 с заменой а на а' = а +
+ Kk^b. В результате «время установления» в новой системе
может быть значительно уменьшено.
Вторая трудность в системе на рис. 6.17 (или рис. 6.15) более
тонкая. Рассмотрим системную функцию, описывающую пере-
мещение тележки х (t), которая имеет вид
x(s) _ н (s) =____________—Kkm (f — e—}________________
So («) Н («) s р 4- a's3 4- (Kkm — g)s + ^ (Kkma — ga') J
Эта система имеет полюс в точке s = 0 и, таким образом, находится
на границе устойчивости — последовательность случайных воз-
мущений вызовет «случайное блуждание» положения тележки,
в результате чего рано или поздно тележка, приблизившись
к какому-нибудь концу, сойдет с направляющих. Этого можно
198 б. Динамика систем с обратной связью
избежать, добавив еще одну цепь обратной связи, как показано
на рис. 6.19. Теперь системная функция «вход-выход» имеет вид
Н(б) =
0(s)
00 (s)
Kkm~ s2
s4 + a's3 + (Kkm — g) + j s2 + {Kkma — ga') s — cgKkm
Рис. b, 19. Окончательный вид споем c i;i6n.циации обращенного маятника
Знак последнего члена знаменателя свидетельствует, что устой
чивость системы нарушается всегда, когда с неотрицателен. Это
означает, что отклонение х (f) от нулевого положения вызовет
такое воздействие на двигатель, которое усугубит ошибку. Однако
после некоторых размышлений по поводу того, какие движения
совершает рука, балансируя указку, станет ясно, что этот проти-
воречащий интуиции результат на самом деле справедлив. Сначала
надо сместить руку резко влево, увеличивая таким образом угол
наклона маятника вправо с тем, чтобы потом, равномерно пере-
мещаясь вправо, рука постоянно находилась бы под маятником.
Полное исследование условий Рауса для этого многочлена 4-го
порядка показывает, что теперь к ранее заданным условиям для
кубического многочлена а < а' и Kkma > ga', для устойчивости
добавляется условие
!с \ a J \ Kkma /
Коэффициент с, таким образом, должен быть отрицательным и не
слишком большим. Анализ системной функции для X (s)/0o (s)
показывает, что полюс в точке s = О теперь фактически устранен,
так что при соответствующем выборе параметров наша оконча-
Приложение к главе 6
199
тельная схема (рис. 6.19) должна обеспечить удовлетворительное
поведение системы как при изменении угла 0 ((), так и при изме-
нении положения тележки х (/).
Этот пример показывает важность анализа устойчивости как
внутренних переменных, так и переменных «вход-выход», что,
как указывалось ранее, называется устойчивостью по Ляпунову.
6.6. Выводы
Обратная связь позволяет уменьшить чувствительность системы к
изменениям различных параметров и к влиянию нагрузки, а также
значительно изменить динамическую характеристику системы,
меняя положение полюсов системы. Последний эффект может ока-
заться полезным, например, для увеличения скорости реакции
(или увеличения полосы пропускания) системы управления или
усилителя либо при стабилизации принципиально неустойчивой
системы типа обращенного маятника. Однако с тем же успе-
хом обратная связь может переместить полюсы системы в пра-
вую s-полуплоскость и таким образом устойчивую систему пре-
вратить в неустойчивую. Часто именно соображения устойчи-
вости ограничивают уменьшение чувствительности системы,
реализуемое с помощью обратной связи.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ б
Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста основывается на анализе геометрического
места точек или полярной диаграммы (называемой годографом Найквиста) ком-
плексной величины ₽ (s) К (s) прн изменении s вдоль контура, идущего по осн /со
и по окружности правой полуплоскости. Таким образом, годограф Найквиста,
как показано на рис. 6.20, представляет собой отображение замкнутого кон-
тура С s-плоскости на РХ-плоскость.
Основой критерия Найквиста является теорема из теории функций, которая
называется принципом аргумента Коши. В общем виде оиа характеризует
контур, образуемый некоторой функцией X (в) в Х-плоскости при измеиеиии s
200
6. Динамика систем с обратной связью
по часовой стрелке вдоль любого простого контура иа s-плоскости. Она утвер-
ждает, что общее число полных оборотов по часовой стрелке вдоль замкнутого
контура в Х-плоскости относительно точки X (s) = 0 х) равно Z — Р, где Z —
количество нулей X (s), а Р — число полюсов X (s), находящихся внутри кон-
тура на s-плоскости. Принцип аргумента Коши легко демонстрируется для ра-
циональной функции
(s — (s — рг)... •
Как уже говорилось в гл. 4, угол (или аргумент) X (s) (в предположении, что
коэффициент А действительный) является суммой углов векторов (s — Zj) за вы-
четом суммы углов векторов (s— pt), как показано на рис. 6.21. В частности,
Рис. 6.21. arg X (s) = 6j + 62 — <t>i — Ф2.
пусть на s-плоскости задан контур С, изображенный в левой части рис. 6.20.
Рассмотрим нуль (или полюс), находящийся вне контура С, как показано в левой
части рис. 6.22. При перемещении точки s по контуру угол вектора (s— 2j) (или
Рис. 6.22, Нули вне контура (слева) и внутри него (справа).
(s— Pi)) изменяется, однако при завершении обхода контура его величина воз-
вращается к своему исходному значению. Если же 2j (или рг) находится внутри
контура, как показано справа иа рис. 6.22, то при завершении обхода контура
получается уменьшение угла иа 2л радиан. Поскольку вклады отдельных членов
суммируются (вычитаются), отсюда непосредственно следует искомый результат * 2).
2) В большинстве руководств по математике и автоматическому регулиро-
ванию в качестве положительного направления принимается обход контура
против часовой стрелки, см., например, Г. Боде, Теория цепей и проектирова-
ние усилителей с обратной связью, М., ИЛ., 1948, с. 182; А. И. Маркушевич,
Теория аналитических функций, М., Наука, 1967, т. 1, с. 228. — Прим. ред.
2) На самом деле эта теорема применима к значительно более широкому
классу функций, нежели только к рациональным. Более глубокий анализ при-
веден в работе Г. Боде, Теория цепей и проектирование усилителей с обратной
связью, М., ИЛ., 1948.
Приложение к главе 6
201
Для получения критерия Найквиста положим X (s) = 1 -|— Р (s) /С (s) и по-
требуем, чтобы радиус полуокружности С был очень велик. Тогда при движении
по часовой стрелке вдоль контура X (s) число оборотов вокруг начала координат
или, что эквивалентно, число оборотов вокруг точки 0 (s) X (s) ~ —1 при дви-
жении по часовой стрелке вдоль контура 0 (s) X (s) равно разности между чис-
лом нулей и полюсов X (s) в правой полуплоскости. Поскольку нули X (s) яв-
ляются полюсами системы с замкнутой обратной связью, а полюса X (s) являются
полюсами передаточной функции кольца р (s) X (s), (т. е. разомкнутой системы),
система с замкнутой обратной связью будет неустойчива, если при движении
по часовой стрелке число оборотов вокруг точки 3 (s) X (s) = —1 окажется
больше, чем число полюсов функции ₽ (s) X (s). Это и есть критерий Найквиста 1).
Для применения этого критерия часто полезно провести следующий умозри-
тельный эксперимент. Представим себе, что в точке 3 (s) X (2 * * s) — —1 на пло-
скости РД вбит гвоздь и к нему привязана бечевка так плотно, чтобы она не про-
скальзывала вокруг гвоздя. К другому концу бечевки привязан карандаш.
Начиная с любой точки, проведите карандашом вдоль всего контура в направле-
нии, определяемом обходом правой s-полуплоскости по часовой стрелке. Общее
число полных колец, которое образуется при намотке бечевки на гвоздь в на-
правлении по часовой стрелке, равно числу раз, которое функция Р (s) X (s)
принимает значение — 1 в правой s-полуплоскости (минус число полюсов Р (s) X (s)
в правой полуплоскости, если таковые имеются). Числа на картинках, изобра-
Рис. 6.23. Числа соответствуют количеству охватов по часовой стрелке
жеиных иа рис. 6.23, показывают число охватов при движении по часовой
стрелке, если точка Р (s) X (s) = —1 лежит в области, помеченной этим числом.
Пример 6.П.1
Возвратимся и примеру 6.3.1. На рнс. 6.24 изображена полярная диаграмма
При р= 1, точка —1 оказывается вие контура и значительно левее его. При
р = 8 масштаб вдоль осей абсцисс и ординат увеличивается в 8 раз и точка —1
совпадает с точкой на контуре, помеченной со = ]/3. При большем р точка — 1
попадает внутрь контура и фактически охватывается дважды, что указывает
иа наличие двух нулей в правой полуплоскости. При отрицательном значении р
контур переворачивается справа налево; точка —1 оказывается внутри контура
2) Для одноконтурных систем функция передачи разомкнутой системы
ие имеет полюсов в правой s-полуплоскости и соответственно устойчивая замкну-
тая система не должна охватывать точку —1, 0 и проходить через нее; в случае
многоконтуриых систем функция передачи разомкнутой системы может иметь
полюсы в правой s-полуплоскости, см., например, Теория следящих систем, М.,
ИЛ., 1953, гл. II, § 26, 27. — Прим. ред.
202 6. Динамика систем с обратной связью
и для р < —1 будет охвачена один раз (что указывает на наличие одного нуля
в п. п. п.). Таким образом, система с замкнутой обратной связью будет устой-
чива при —1 < р < 8, как и было показано ранее с помощью прямого расчета.
Рис. 6.24. Полярная диаграмма функции p/(s I)3.
Заметим, что, хотя мы и пользовались аналитической формулой для Р (s) К (s)
при расчете значений коэффициента передачи в кольце на различных частотах,
измеренные значения синусоидальных величин в установившемся состоянии
дали бы те же самые результаты. Этот момент иллюстрируется в следующем
примере.
* * *
Пример 6.П.2
Рис. 6.25. Измеренные амплитудная и фазовая ларакгериыики кольца обратной
связи.
На рис. 6.25 изображены зависимости | р/С |/р и arg (P/Q/p от ш, которые могли бы
быть получены путем измерения коэффициента передачи в кольце некоторой
Приложение к главе 6
203
системы с обратной связью. (Фактически эти кривые представляют собой диа-
граммы Боде для 2
ft (s) К (s) (1 + Зо)
И ~ (1 + S)3
полученные в примере 4.4.2.) „
При анализе устойчивости интерес представляет поведение годографа Най-
квиста функции вблизи действительной оси, как схематично показано
на рис 6 26 Ясно, что для р < 10 (приблизительно) эта система устойчива,
Рис. 6.26. Вид годографа Найквиста для РЛ'/р на рис. 6.25.
тогда как для 10<ц<104 (опять-таки приблизительно) она неустойчива.
Однако, интересно, что при р > 104 система опять становится устойчивой! Этот
тип условной (или найквистовой) устойчивости х) иногда наблюдается на прак-
тике. До Найквиста никто не понимал, как усилитель может быть устойчив
вопреки тому, что существует частота, на которой поданный с выхода на вход
синусоидальный сигнал совпадает по фазе и больше по амплитуде, чем синусо-
идальный входной сигнал. С помощью условной устойчивости можно объяснить
тот факт, что подача чрезмерно большого сигнала на вход усилителя ведет иногда
к его самовозбуждению, несмотря на то что часто (поскольку доминирующей
нелинейностью является обычно насыщение) влияние перегрузки иа входе в пер-
вом приближении проявляется в эффективном снижении коэффициента уси-
ления.
Пример в.П.З
Возвращаясь к примеру 6.3.1, отметим, что из диаграммы Найквиста н при-
мере 6.П.1 (повторенной иа рис. 6.27) должно быть ясно, что характеристики
системы улучшатся, если в каскад 3 (s) или К (s) будет введена корректирующая
цепь, которая в кольцо обратной связи добавит положительный фазовый сдвиг
для частот вблизи со = 1 без существенного уменьшения усиления для со < 1
(как, например, показано пунктирным контуром иа рис. 6.27).
Установка корректирующей цепи позволяет улучшить следующие харак-
теристики системы:
а) Максимальное значение ц, обеспечивающее устойчивую работу, может
быть увеличено от менее чем 1/0,125 = 8 почти до 1/0,041 = 24,2.
б) Увеличивается запас по усилению. Для усиления меньшего, чем макси-
мально допустимое устойчивое значение, запас по усилению определяется как
х) Из изложенного ясно, что существуют два типа устойчивости: абсолютная
или безусловная и условная по Найквисту. Исследование этих вопросов см.,
например, в ранее указанной книге Г Боде, гл. VIII. § 7—9. — Прим. ред.
204 6. Динамика систем с обратной связью
отношение максимально допустимого устойчивого значения к фактическому
коэффициенту усиления. (Другими словами, при любом заданном значении р
запас по усилению является величиной, обратной фактическому усилению при
фазовом сдвиге —180°.) Таким образом, при выбранном значении усиления,
равном 6, применение корректирующей цепи позволяет поднять запас по усиле-
нию с 8/6= 1,33 до 24,2/6 = 4,03. Практически для электронных усилителей
желательным считается запас порядка 3 и более.
Рис. 6.27. Годограф Найквиста к примеру 6.П.1 с компенсацией (показан пунк-
тиром).
в) Опять-таки для усиления, меньшего максимально допустимого устойчи-
вого значения, фазовый запас определяется как разность между —180° и фазовым
набегом вдоль кольца обратной связи [3 (s) К (s) на частоте <в, на которой уси-
ление в кольце равно 1. Как видно, при выбранном коэффициенте усиления,
равном 6, фазовый запас возрастает от примерно 17° без коррекции до прибли-
зительно 38° при использовании корректирующей цепи. Практически жела-
тельным считается фазовый запас от 30° до 60°.
Как мы увидим в гл. 16, амплитудная и фазовая характеристики каузальной
цепи не могут выбираться независимо. Следовательно, произвольное управление
диаграммой Найквиста невозможно. Коррекция, показанная пунктирной ли-
нией на рис. 6.27, была получена путем последовательного соединения р (s) К (s)
с корректирующей цепью, передаточная функция которой равна
Приложение к главе 6
205
Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики функции G (/со)
приведены на рис. 6.28. Положительный фазовый угол функции G (/со) означает,
Рис. 6.28. Амплитудно- и фазо-частотные характеристики G (/со) фазоопережа-
ющей цепи.
что синусоидальный выходной сигнал «опережает» (достигает своего пикового
значения раньше) входной. Поэтому цепь называется фазоопережающей. Распро-
странение, которое получили фазоопережающие цепи, объясняется тем, что оии
дают значительный фазовый сдвиг (~40° иа частоте со = 1) прежде, чем начнется
существенный рост усиления (| G (/1) | « 1,4).
При введении фазоопережающей цепи в кольцо обратной связи коэффициент
усиления н кольце становится равным
р (s) к (s) G (s) =-------------
(*+02U + i)
И
1 I Н М К I'-} G /’") . s’+ + 21s + 10 (1-{-р.)
1 + ₽ (s) A (s) G (s)----.
Таким образом, устойчивые положительные значения р (по критерию Рауса),
удовлетворяют неравенству
21 > — илн р <24,2,
Для максимального значения р
s3 12s2 4- 21s + 10 (1 4- р) = (s 4- 12) (s2 -4 21).
Эти вычисления определяют амплитуду и частоту точки, в которой годограф
Найквиста пересекает отрицательную часть действительной оси. Дальнейшее
обсуждение этой схемы коррекции содержится в задаче 6.5.
* * »
Пример 6.П.4
Предположим, что
Р («) к (S) =
И (s + 2)
(s+ 1) (s-3)
206
6. Динамика систем с обратной связью
Передаточная функция разомкнутого тракта неустойчива из-за наличия полюса
в точке s= -f-З. Однако диаграмма Найквиста при этом такая, как на рис 6.29.
Диапазон ц. Количество охватов точки РХ = —1 при движении по часовой стрелке Количество полюсов на правой полуплоскости в замкнутой системе
0 < р < 3/2 0 1
3/2 < р < 2 1 2
р > 2 -1 0
Значения в таблице к рис. 6.29 учитывают тот факт, что РК имеет полюс в пра-
вой s-полуплоскостн. Следовательно, для того чтобы 1 -|- fJ/C не имела нулей
в правой полуплоскости, диаграмма Найквиста должна иметь один охват точки —1
против часовой стрелки. Это соответствует р > 2. Для таких значений усиления
усилитель с замкнутой обратной связью устойчив, несмотря на то что при раз-
рыве обратной связи в нем возникнут автоколебания. Это еще один пример того,
как обратная связь может обеспечить устойчивость неустойчивой системы
* * *
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6
Упражнение 6.1
Для приведенной на рнс. 6.30 схемы найдите значения р и а, такие чтобы ее
реакция v2 (t) на единичное ступенчатое воздействие (/) = и (t) имела такое же
Упражнения к главе 6
207
установившееся значение, как при а = 0 и ц - 1, но скорость нарастания в де-
сять раз выше.
Ответы: а = 0,9, р — 10.
Упражнение 6.2
а) Покажите, что усилитель с обратной связью (рис 6.31, а) может быть
представлен в виде структурной схемы (рис 6 31.6) с К (s') (a'R0C)i(S 4-
R
Рис. 6.31.
4- 1/RC) н Р (s) = — Rq/R. (Заметим, что выход суммирующего элемента в схеме б
определен величиной 7?0/ (s).)
б) Покажите, что этот усилитель устойчив при —оо < а < 1.
Упражнение 6.3
а) Для приведенной на рис. 6.32 системы определите а и b таким образом,
чтобы общая системная функция имела вид
Н (S) = (s + 2) (s 4- 3) •
б) При а = 2 каков диапазон значений Ь, для которых система устойчива
по входу-выходу?
в) Определите реакцию этой системы на единичное ступенчатое воздействие,
если ее системная функция такая же, как в (а).
Ответы: а) а = 4, Ь = 2; б) Ь > —2; в) у (() = (е~21 — и (t).
208
6. Динамика систем с обратной связью
Упражнение в.4
а) Как показано на рис. 6.33 (неустойчивая) ЛИВ-система в ответ на еди-
х(Г)
х (t) = u[t)
Рис. 6.33.
yU) - 4г (еа/- I) u(f),a>0
ничное ступенчатое входное воздействие х (t) дает реакцию у (t). Покажите,
что ее системная функция описывается выражением
Н (s) = -т-^— •
' ' 1 — а
б) Для обеспечения устойчивости охватите систему обратной связью вида
Р (S) ~ (1 + “) + s-
Покажите, что теперь реакция системы с замкнутой обратной связью на единич-
ное ступенчатое воздействие имеет вид, изображенный на рис. 6.34 с т = 2 с.
Рис. 6.34.
1 ,y(f)
Упражнение 6.5
Для каких значений К (—оо < К < оо) изображенная на рис. 6.35 система
с замкнутой обратной связью будет устойчивой, если G (s) имеет следующий вид:
е2
б) G(s)
s3
(S+1)2
Задачи к главе 6
209
в) G (s) =
s + 2
s
Ответы: а) К > —1; б) 8 > К > —1; в) К > 0.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 6
Задача 6.1
а) Найдите коэффициент усиления на нулевой частоте для изображенной
на рис. 6.36 схемы, считая, что Ki и К2 выбраны так, чтобы система была устой-
чивой.
б) В каком диапазоне (действительных) значений Ki и К2 эта система будет
устойчивой?
в) Определите и изобразите реакцию системы на единичное ступенчатое
воздействие при К2 = —3, Ki = 2.
Задача 6.2
Схема, изображенная в левой части рнс. 6.37, предназначена для работы в ка-
Я| = 10к0м С|= 0,01 мкФ Р2=5кОм С2 =
Рис. 6.37.
честве интегратора. К сожалению, чертежник забыл пометить, какой из входов
операционного усилителя является инвертирующим, а какой — неинвертиру-
ющим, и к тому же не указал значения одного из конденсаторов.
а) Заменив операционный усилитель эквивалентной схемой, показанной
на рис. 6.37 справа, и соединив проводник а с неинвертирующим входом усили-
теля, найдите системную функцию полученной интегрирующей схемы.
б) К какому входу следует подключить проводник а для обеспечения устой-
чивой работы — к инвертирующему или неинвертирующему? Объясните свой
ответ. Зависит ли ваш ответ от величины а?
в) Считая, что а оо при устойчивом включении операционного усили-
теля, определите значение немаркированного конденсатора, при котором схема
ведет себя как идеальный интегратор.
210
6. Динамика систем с обратной связью
Задача 6.3
а) Для системы, приведенной на рис. 6.38, найдите РНС Y (s) = Z [t/ (0]
через X (s) = S [x (f) ] и Z (s) - S’ [г (t) ].
б) Какие требования к a, f) и у будут гарантировать устойчивость этой
системы?
Задача 6.4
ма Пусть имеется система с отрицательной обратной
связью, заданная в виде обычной структурной
схемы Блэка с параметрами
К (s) = p/(s + 1) и ₽ (s) = s/(s + a).
-----------------------fi
а) На плоскости a—р (указанной на
рис. 6.39) заштрихуйте область, в которой эта
система будет устойчивой.
б) Для a = 4 изобразите на комплексной
s-плоскости геометрическое место нулей I -|-
Рис 6 39 + ₽ (s) К (s) как функции р, —оо < р < оо.
Задача 6.5
Рис. 6.40.
Рассмотрим инвертирующую схему с операционным усилителем, приведенную
на рис. 6.40. Предположим, что этот операционный усилитель идеален в том
смысле, что его входной импеданс бесконечен (i0 (t) — 0), а его выходное напря-
Задачи к главе 6
211
жение ие зависит от нагрузки (выходной импеданс = 0). Неидеальность же его
состоит в том. что его коэффициент усиления К (з) иебесконечеи и непостоянен.
а) На рис. 6.41 изображены асимптоты диаграммы Боде для | К (/<о) |. Счи-
тая, что операционный усилитель устойчив и имеет рациональную системную
функцию с К. (0) > 0, найдите К (s).
б) Найдите общую системную функцию Н (s) -- V2 (s)/V0 (s) для этой схемы.
в) Найдите значение а, при котором Н (s) имеет полюс второго порядка
в отрицательной части действительной оси. Сделайте приемлемые приближени я.
Задача в.6
На схеме, приведенной иа рис. 6.42, иллюстрируется один из способов введения
фазоопережающей корректирующей цепи в неинвертирующий усилитель. R (s) ха-
Рис. 6.42.
рактеризует системную функцию собственно операционного усилителя, отражая
главным образом шунтирующее действие различных внутренних емкостей на
высоких частотах.
а) Покажите, что без коррекции при С = 0, эта система может быть описана
с помощью структурной схемы, изображенной в левой части рис. 6.43
б) Покажите, что при введении корректирующей цепи система может быть
описана с помощью структурной схемы, изображенной в правой части рис. 6.43.
в) Пусть К (s) — 60/(s 4- I)3, RjC =1 с, R2 — 9R2. Покажите, что коэф-
фициенты передачи в кольце при наличии и отсутствии коррекции описываются
именно теми формулами, которые были приняты в примере 6.П.З (К (s). задан-
212
6. Динамика систем с обратной связью
ный в данном пункте, естественно, не самое лучшее представление действитель-
ного поведения операционного усилителя).
R- / (/7| + ff2)
Рис. 6.43.
г) Пользуясь значениями из пункта (в), покажите, что общие системные
функции для усилителя с обратной связью описываются выражениями
60
V!(i) „„ h.. 2.8W + 0.18. + 2.49)
Vo (s) ~ Н (S) ~ _______________60 (s + 10)____________ ,
(s+ 1) (s+ 10,65) (s2 + 1,35s + 6,62) (C к°РРекциеи)-
д) Определите характер реакции на единичное ступенчатое воздействие
(установившееся значение, время нарастания, выброс и т. д.) для каждого случая
в пункте (г). (Если возникнет желание, можете в самом деле вычислить реакции
на ступенчатое воздействие.)
Задача 6.7
Системы, используемые для удержания предметов в магнитном поле, часто прин-
ципиально неустойчивы, поскольку возникающая в зазоре якоря сила магнит-
ного воздействия резко возрастает при уменьшении величины зазора. Пусть
для системы, изображенной на рис. 6.44, Уо соответствует положению, при ко-
тором сила магнитного взаимодействия, обусловленная током /0, точно уравно-
вешивает силу гравитационного притяжения, обусловленную массой тела. Пред-
положим, что при малых отклонениях от этого (неустойчивого) равновесия уве-
личение тока и изменение положения связаны между собой дифференциальным
уравнением
-^Р-41/(0 = -10/(0.
Задачи к главе 6
213
Предположим, что для обеспечения устойчивости этой системы мы измеряем
отклонение от точки равновесия с помощью измерительной катушки, выходное
напряжение которой пропорционально скорости перемещения
v (0 = 2 -М- .
Далее мы предлагаем сравнивать этот сигнал с сигналом х (t), соответствующим
требуемой скорости, и подавать на катушку усиленный разностный сигнал, как
показано на рис. 6.45.
Рис. 6.46.
а) Покажите, что эта система неустойчива при любом значении Д.
б) Представленная на рис. 6.46 схема предлагается в качестве корректора
для этой системы, устанавливаемого в тракте обратной связи между компарато-
ром и измерительной катушкой. Определите передаточную функцию этой цепи
Vc (s)/V (s), используя допущения, соответствующие идеальному операционному
усилителю.
в) Вычислите системную функцию для системы подвески с корректором
в петле обратной связи.
г) Найдите диапазон значений Д, для которого система с коррекцией устой-
чива.
Задача 6.8
Фирма Stonewell International наняла вас в качестве консультанта для иссле-
дования схем стабилизации высоты у (t) их легкого космического корабля^, при-
чем стабилизация осуществляется путем управления вертикальной тягой х (t)
(которая может быть либо положительной, либо отрицательной). Предположим
214
6. Динамика систем с обратной связью
также, что х (t) и у (t) связаны между собой с помощью ЛИВ-модели, приведен-
ной в левой части рис. 6.47: т — масса корабля.
X(s) 1 K(s)
ms2
Ри< h 4/
а) Изобразите временную зависимость тяги, которая необходима для плав-
ного, но быстрого изменения высоты корабля (как показано в правой части
рис. 6.47) путем прямого управления вертикальной тягой.
б) В одной из предложенных схем управления суммируются, как показано
на рис. 6.48, сигнал обратной связи и управляющий сигнал v (/) По мере рас-
хода топлива масса корабля т изменяется. Опишите геометрическое место по-
люсов этой системы с замкнутой обратной связью, считая, что (3 и К — положи-
тельные константы, а т изменяется от 0 до оо.
в) Является ли система в этих условиях устойчивой в смысле ОВОВ?
г) Для улучшения характеристик в схему добавлена обратная связь по
производной. Блок Р заменен схемой, заключенной на рис 6.49 в пунктирный
Рис. 6.49.
квадрат, в которой через d/dt обозначена идеальная дифференцирующая схема.
Опишите устойчивость этой улучшенной системы в зависимости от константы К,
--ОО < К < оо.
д) Используя улучшенную конструкцию с очень большим К Z> 0, опреде-
лите управляющий сигнал v (t), необходимый для изменения высоты, как опи-
сано в пункте (а). Как вы думаете, «улучшенная» конструкция фактически ока-
жется проще или сложнее при ручном управлении, чем прямое управление вер-
тикальной тягой?
Задачи к главе 6
215
Задача 6.9
Как указывалось в примере 6.2.1, поведение частотных характеристик опера-
ционных усилителей можно приближенно описать с помощью эквивалентной
схемы, состоящей из управляемого источника, коэффициент передачи которого
является функцией частоты К (s). Для двух распространенных типов опера-
ционных усилителей К (s) приближенно характеризуются следующими выраже-
ниями:
106
7~1--------Г7-^---------V’ (ТИП741)
20л + 1 / (,2-10вл+ '/
к (s) = 10‘
—1----------------------у - (™п 748’
(гоол + G-ю«л +
а) Изобразите диаграмму Боде для каждого из этих усилителей. Какой из
них, на ваш взгляд, лучше? Каким критерием вы пользуетесь при определении
«лучшего»?
б) Какова устойчивость каждого из этих операционных усилителей при
использовании в схеме повторителя напряжения, изображенного на рис. 6.50
слева3
Рис. 6.50.
в) Какова устойчивость каждого из этих операционных усилителей при
использовании в схеме неинвертирующего усилителя с коэффициентом усиления
на нижних частотах »10, показанного на рисунке справа?
г) Теперь какой из операционных усилителей лучше, по вашему мнению?
Каким критерием вы теперь пользуетесь при определении «лучшего»? Почему
схема повторителя напряжения является более строгим тестом на устойчивость,
чем схема иеинвертирующего усилителя?
ИС 741 и 748 являются одинаковыми приборами. Отличие их состоит в том, что
одна из постоянных времени ИС 741 намеренно увеличена, т. е. ИС 741 имеет
внутреннюю коррекцию, позволяющую избежать тех трудностей, которые мы
обсуждали в данной задаче.
Задача 6.10
Изображенная на рис. 6.51 простая линейная система с обратной связью пред-
назначена для выполнения функций следящей системы. В идеальном случае
х(Н
Рис. 6.51.
сигнал ошибки е (t) должен быть тождественно равен нулю, или, другими сло-
вами, сигнал у (t) должен быть равен х (/).
216
6. Динамика систем с обратной связью
а) Пусть Н (s)=l/s. Определите форму е (?) в установившемся состоянии,
если на вход воздействует единичная пилообразная функция вида
, ( t, ?>0
* (?) = J
(о, ?<0
Будет ли нулевой ошибка слежения в установившемся состоянии?
б) Повторите пункт (а) для Н (s) = 1/s2. Опишите природу ошибки слеже-
ния в установившемся состоянии.
в) Пусть Н (s) = A (s)/s2. Выберите A (s) таким образом, чтобы разреши-
лись проблемы, обнаруженные в (а) и (б), и чтобы е (?) -> 0 при подаче на вход
единичной пилообразной функции. Для выбранной A (s) изобразите на одном
графике е (?), х (?) и у (t).
Задача 6.11
Можно показать, что полная входная проводимость Y (s) любого двухполюсника,
состоящего из положительных R, L и С должна удовлетворять двум условиям:
1. Полюсы Y (s) не могут лежать в правой s-полуплоскости.
2. Re [У (s)] > 0 для всех Re [s] >0. (Эти условия обсуждаются в за-
даче 4.5.)
а) Покажите, что приведенная на рис. 6.52 цепь устойчива при любых Y (s),
удовлетворяющих этим условиям, если gm > 0.
Рис. 6.52. Gx и С2- проводимости.
б) Какова наименьшая величина gm, при которой для некоторых Y (s),
удовлетворяющих этим условиям, может возникнуть неустойчивость, если gm от-
рицательна?
Задача 6.12
Рис. 6.53.
В схеме, показанной на рис. 6.53, большой прямоугольник обозначает двухкас-
кадный усилитель, идеализированный в том смысле, что его входной импеданс
Задачи к главе 6
217
бесконечен, а выход, как видно, эквивалентен источнику тока. Малыми прямо-
угольниками обозначены двухполюсники, характеризующиеся своими импедан-
сами Z (s) и 2Z (s).
а) При разомкнутом ключе и подключенном источнике напряжения v2 (f)
вычислите коэффициент передачи в кольце Vr (s)/V2 (s) и покажите, что он равен
gmZ (s)^’
б) Для Z (/©), имеющего вид, показанный иа рис. 6.53, изобразите диа-
грамму Найквиста (или полярную диаграмму разомкнутой цепи).
в) При Z имеющем вид, показанный на рисунке, какое максимальное
(положительное) значение может иметь gm, чтобы цепь сохранила устойчивость
при замыкании ключа?
Задача 6.13
На рис. 6.55 изображена в виде полярной диаграммы измеренная частотная ха-
рактеристика К для некоего полосового усилителя. Этот усилитель после-
довательно соединен с идеальным усилителем, имеющим коэффициент усиления
ц > 0, а 3-часть выходного сигнала, как показано на врезке рисунка, подана
на вход схемы.
а) Каково максимальное значение рЗ, при котором вся система в целом будет
устойчива?
б) Пусть рЗ равно половине максимального значения, полученного в (а).
Найдите такие значения р и 3, при которых общее усиление на частоте f = 1
равно 50. Каков при этих условиях запас системы по усилению и фазе?
в) Для улучшения характеристик в систему на место пунктирного квадрата
введена схема запаздывания с частотной характеристикой
G (/2Я/) = (1+///Ю)2 •
Прямо на копии полярной диаграммы в приближенном масштабе изобразите
Q К (ftnf). Для этого проще всего вычислить амплитуды и фазы G (/2л/)
при / = 1, 10//3, 10, Ю/З и т. д. Особое внимание обратите на асимптотическое
поведение кривой при / 0 и / оо.
г) Определите приближенно максимальное значение рЗ> при котором новая
система будет устойчива.
д) Для этой системы с коррекцией повторите пункт (б) при p3> равном то-
му же значению, что и раньше (половине величины, полученной в пункте (а)).
Задача 6.14
Изображенную на рис. 6.54 систему обычно называют генератором с фазосдви-
гающей цепью обратной связи. Транзисторный усилитель тока А имеет преиебре-
Рис. 6.54.
жимо малый входной импеданс, высокий выходной импеданс и усиление по току
tj/jj =—А, где А — положительная константа. На практике С2 < С2 < С3,
а > /?2’> /?3, однако для целей данной задачи пусть = С2 = С- = С,
а = /?2 = 7?3 = /?.
218
6. Динамика систем с обратной связью
Рис. 6.55. Годограф Л' (/2л/) к задаче 6.13.
Задачи к главе 6
219
а) Изобразите диаграмму Найквиста для коэффициента передачи разомкну-
той системы.
б) Найдите критическое значение А, при котором схема начинает генери-
ровать колебания.
в) Вычислите частоту колебаний.
Задача 6.15
Если бы не было акустической обратной связи между громкоговорителем и ми-
крофоном, то уличная система громкоговорящей связи имела бы общую частот-
ную характеристику G (/'<£>), изображенную на рис. 6.56, где G (/to) — отношение
G (jw)
arg G() = О
225
2ir\0Z
2тг1О4
Рис. 6.56.
звукового давления, создаваемого громкоговорителем к звуковому давлению,
действующему на микрофон. Установлено, что при фиксированной ориентации
микрофона относительно громкоговорителя и расстоянии г (в метрах) между
ними микрофон воспринимает 1/г2 часть звука от громкоговорителя, задержан-
ную на время, необходимое звуковой волне для прохождения г (скорость звука
считаем равной 330 м/с). Обнаружено также, что эта система неустойчива при
ri f г2. Пользуясь критерием Найквиста, вычислите rj и гг.
7
СИГНАЛЫ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ
И ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
7.0 . Введение
До сих пор в нашем исследовании сигналов и систем основное
внимание уделялось токам и напряжениям в качестве сигналов
и электрическим цепям в расчете систем. Разумеется, мы указы-
вали на различные аналогии с простыми механическими систе-
мами и исследовали (по крайней мере в ознакомительном плане)
системы, построенные из более крупных блоков, чем элементар-
ные резисторы, индуктивности и емкости. Математически же все
наши сигналы задавались как функции непрерывной переменной t
и почти все наши системы описывались системами линейных диф-
ференциальных уравнений конечного порядка с постоянными
коэффициентами (что эквивалентно системным функциям, пред-
ставляющим собой рациональные функции комплексной час-
тоты s).
С этой главы мы приступим к процессу обобщения наших
математических моделей в более широкие классы сигналов и
систем. Такого рода обобщения и расширения представляют инте-
рес отчасти потому, что позволят нам анализировать и создавать
более широкий круг реальных систем и устройств. Но не менее
важно научиться пренебрегать некоторыми не столь сущестен-
ными характеристиками наших системных моделей с тем, чтобы
можно было сконцентрировать внимание на таких исключительно
важных свойствах, как линейность и инвариантность во вре-
мени.
Говоря более конкретно, в следующих нескольких главах
мы будем рассматривать системы, сигналы в которых представ-
ляют собой не функции непрерывного времени, а счетные после-
довательности. Мы будем обозначать такие последовательности
х[п], у\п] ит. д., где квадратные скобки показывают, что
заключенная в них переменная, называемая дискретным време-
нем, принимает только целочисленные значения: ..., —2, —1, О,
1, 2, ... . Сигналы дискретного времени (ДВ-сигналы), так же
как и сигналы непрерывного времени (НВ-сигналы), могут за-
даваться многими различными способами: посредством графиков
7.0. Введение
221
(рис. 7.1), формулами, например х[п] = 2П, в виде таблиц зна-
чений или в виде комбинации этих методов представления.
Рис. 7.1. Сравнение ДВ-сигналов (слева) и НВ-сигиалов (справа).
Дискретный по времени режим работы свойствен многим
системам. Вот лишь некоторые из множества возможных приме-
ров: типичные банковские операции, к которым относятся регу-
лярные ежемесячные платежи; медицинские назначения больному
(«по две таблетки каждые четыре часа»); эконометрические мо-
дели, в которых используются периодически определяемые ин-
дексы и показатели; модели эволюционного процесса, характе-
ризующие изменения в популяциях от поколения к поколению.
Кроме того, к аналогичному математическому описанию приводит
исследование самых разнообразных структур, отличающихся ре-
гулярностью в пространстве, а не во времени. Сюда относятся,
например, каскадно включенные четырехполюсники, линии за-
держки с отводами, дифракционные решетки, фильтры на поверх-
ностных акустических волнах (ПАВ-фильтры) и фазированные
антенные решетки. В других случаях ДВ-сигналы получаются
при периодической выборке из какого-либо НВ-сигнала. Если
выборка осуществляется достаточно часто, а исходный сигнал до-
статочно гладкий то, как будет показано в гл. 14, потери информа-
ций могут быть малыми. Примерами такого рода являются кино-
и телевизионные изображения, которые получаются выборкой
кадров через каждые 30—40 мс.
Иногда причиной перехода от НВ-сигналов к ДВ-сигналам
оказывается желание сделать возможным коллективный доступ
к дорогостоящим средствам связи или системе обработки данных
целому ряду пользователей. Диапазон примеров здесь весьма
широк и простирается от палатной медсестры, последовательно
измеряющей температуру больных, до систем телеметрии, пере-
дающих вперемежку выборки различных данных, поступающих
с разбросанных на значительных расстояниях нефтяных скважин,
метеостанций или космических зондов. Но наиболее часто на
сегодняшний день причина замены НВ-сигнала счетной последо-
вательностью заключается в том, чтобы сделать возможной об-
работку сигнала на цифровых компьютерах или других специа-
лизированных логических устройствах. В качестве иллюстрации
222
7. Сигналы дискретного времени
могут быть названы такие различные области применений, как
анализ и синтез речи; радио-, радиолокационная, инфракрасная
и рентгеновская астрономия; исследования сигналов ультра-
звуковых локаторов и геофизических сигналов; анализ кристал-
лических решеток и структур на молекулярном уровне; интерпре-
тация результатов медицинских обследований, в частности элек-
трокардиограмм, томограмм, полученных методами компьютерной
томографии, а также изображений, полученных с применением
магнитного резонанса; улучшение качества изображений или рас-
познавание образов при обработке фотографий, сделанных со
спутников или космических зондов, рентгеновских снимков,
мазков крови или напечатанных материалов. Обработка на ЭВМ
требует не только применения ДВ-сигнала, но также, чтобы
числа, представляющие каждую выборку, были округленными,
т. е. квантованными, а это является потенциально дополнитель-
ным источником ошибок. Правда, при этом достигается большой
выигрыш в гибкости и возможностях способа обработки. Так,
например, после того как выполнены временные отсчеты и кван-
тование сигналов в сложном радиолокационном приемнике, вся
дальнейшая обработка сводится к логическим операциям, кото-
рые принципиально свободны от проблем, связанных с дрейфом
параметров, чувствительностью, шумами, искажениями сигнала
и точностью настройки, зачастую ограничивающих эффективность
аналоговых приборов и устройств. Так, цифровые фильтры спо-
собны выполнять обработку сигналов предельно низких частот,
которые в аналоговых фильтрах были бы безнадежно искажены
из-за влияния дрейфа и старения. Кроме того, цифровые ЭВМ
способны решать такие задачи, как приближенное решение боль-
ших систем нелинейных дифференциальных уравнений, практи-
чески неразрешимых каким-либо другим путем. При этом для
перехода на другую задачу не требуется менять что-либо в аппара-
туре, надо лишь изменить программы. Такое компьютерное мо-
делирование во все большей степени приходит на смену стадии
«макетирования» при проектировании сложных систем, ибо оно
выполняется быстрее, обходится дешевле и позволяет более гибко
менять параметры в целях оптимизации основных характеристик.
В действительности иногда (как в случае проектирования инте-
гральных схем) смоделированный «макет» может оказаться более
точным, чем выполненный из «реальных» элементов (в данном
случае дискретных транзисторов), безусловно отличающихся от
тех, какие в конечном счете будут использоваться в реальном
приборе.
Для .описания системы, предназначенной для обработки или
видоизменения ДВ-сигналов, т. е. ДВ-системы, естественно вос-
пользоваться системой разностных уравнений, которые в случае
ДВ-систем выполняют такую же роль, какую дифференциальные
7.1. Линейные разностные уравнения
223
уравнения — в случае НВ-систем. И действительно, как мы уви-
дим далее, анализ линейных разностных уравнений в сущности
отражает все детали анализа линейных дифференциальных урав-
нений. Таким образом, следующие несколько глав в некотором
роде будут повторением предшествующего материала. К тому же
ДВ-системы математически в некотором отношении проще, чем
НВ-системы. Следовательно, переход от указанных систем к ЛИВ-
системам общего типа будет проще, если мы выполним его сна-
чала для ДВ-систем, как и будет сделано в гл. 9.
7.1 . Линейные разностные уравнения
Линейное разностное уравнение N-ro порядка с постоянными
коэффициентами, связывающее входной ДВ-сигнал х [п ] с вы-
ходным сигналом у[п], имеет вид1)
N N
% ahy[n +k]= £ btx[n+I]. (7.1.1)
4=0 1=0
Каким образом получаются такие уравнения, можно увидеть из
следующих примеров.
Пример 7.1.1
Ссуда под недвижимость в сумме 50 тыс. долл, должна быть
возвращена через 30 лет равными ежемесячными взносами раз-
мером р долл. Выплачиваемый процент установлен на уровне
15 %/год от невозвращенной суммы. Пусть Р [п] — неоплачен-
ная часть ссуды, оставшаяся после выплаты «-го ежемесячного
взноса. Тогда
P[n + 1] = (1 + г) Р[«] — р, п>0, (7.1.2)
где г = 0,15/12 = 0,0125 — ежемесячная норма процента. Перво-
начально Р [0] = 50 000, и мы ищем значение р, при котором
Р [360] = 0.
Мы вернемся к этой задаче в примере 7.3.1, а пока заметим,
что (7.1.2) принимает вид (7.1.1), если N = 1 (первый порядок) и
у[п] = Р[п1, х[п] = р, 0 < п < 360,
а0 = —(1 + г), Ьо = — 1,
aY = 1, bi = 0 во всех других случаях
ah = 0 во всех других случаях.
*) Без потери общности можно считать число членов слева и справа и (7.1.1)
равным одному и тому же эиачеиию N + 1, поскольку мы всегда можем принять
некоторые из коэффициентов равными нулю.
224
7. Сигналы дискретного иремеин
Пример 7.1.2
Численное интегрирование дифференциальных уравнений обычно
включает в себя разностные уравнения как промежуточный
этап, обусловленный заменой производных выражениями, в кото-
рые входят разности:
; (А — dxW ~ х(< +Др —х(0
х ~ dt ~ ’
где А/ — величина шага, представляющего собой небольшое
приращение времени, которое мы будем считать постоянным.
Рассмотрим теперь рис. 7.2, где показана схема из примера 1.3.3,
Рис. 7.2. Цепь к примеру 7.1.2.
но два источника из нее исключены. Из примера 1.3.3 динамиче-
ские уравнения в форме переменных состояния имеют вид
Л > = Z7 Ч (О — va (t),
~Г = ~ Т7 *>(') — 77 »> (0.
ТГ-т '(')+ тг ‘-О
с выходным уравнением
и2 (0 = —ЯаЧ (О-
Заменяя производные по приведенной выше формуле, получаем
Ч (/ + Д0 ~ (1 - 4^-) й (0 - 44 (0 + ТГ (0>
Ч (t + Д0 « (1 - 4^-) i2 (0 - 44 (0,
и3 (t + Д0 « v3 (0 + ~ h (0 + 44 (0,
и2 (0 = — Я212 (0.
Подставляя t = «Др ц (0 = ц (пА0 = [п] и т. д. и исполь-
зуя численные значения = R2 = 1 кОм, = L2 = 0,1 Гн,
7.1. Линейные разностные уравнения
225
С — 0,2 мкФ, А/ = 10 мкс, получаем систему из трех разностных
уравнений
i'i [п+ 1] = 0,9^ [п] — 10"4 * * * 8u3[n] + 10~4va[n],
i2 In + 1 ] = 0,9i2 [п ] — 10“4и3 [п ],
v3 In + 1J = u3 In ] + 50i! [n 1 + 50i2 [n 1,
v2[n] = —103i2 In ].
К этому примеру мы еще вернемся в примере 7.3.2.
* * *
Существует много различных способов аппроксимации си-
стемы дифференциальных уравнений системой разностных урав-
нений, подобно тому как было сделано выше; каждому из них
соответствуют различные алгоритмы интегрирования. Способ,
выбранный в примере 7.1.2 (известный под названием алгоритма
Эйлера аппроксимации «вперед») х), возможно, является самым
прямым путем, но обычно он не самый лучший по минимизации
ошибки аппроксимации при заданной величине шага. Действи-
тельно, для многих систем (включая и нашу — см. пример 8.3.2)
алгоритм Эйлера аппроксимации «вперед» численно неустойчив,
и это выражается в том, что полная накопленная ошибка при-
ближенного решения растет во времени, если только величина
шага не является достаточно малой. Указанную трудность можно
преодолеть, применив различные алгоритмы неявного интегриро-
вания х), например алгоритм аппроксимации Эйлера «назад»,
который использует подстановку x(t + Аг) « ——1------------------- и
в нашем случае приводит к уравнениям
l,li! [п 4- 11+ 10"4П3 [п + 1 ] = 1’1 [п] + 1СС4па [п + 1 ],
1,1 j2 In -ф 11 -р 10“4u3 In 1 ] = г2 In],
—50i’i [n + 1 ] — 50i2 In + 1 ] 4~ v3 In + 1 ] = v3 In ],
которые нужно решать при каждой итерации, так как новые зна-
чения 1’1 In], 12 [п] и v3 [п] при n + 1 зависят друг от друга
(поэтому алгоритм Эйлера «назад» называется «неявным»). Дру-
гие примеры простых неявных алгоритмов приведены в задаче 7.1.
Исчерпывающее рассмотрение вопросов выбора таких алгоритмов
можно найти, например, в книге L. О. Chua и Р.-М. Lin.
Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits (Englewood Cliffs,
NJ: Prentice-Hall, 1975).
4) Алгоритмы неявного ннтегрнровання, к которым относятся н алгоритмы
Эйлера аппроксимации «вперед» и «назад», основаны на формулах интерполиро-
вания соответственно вперед н назад, см., например, Л. В. Канторович н
В. И. Крылов, «Приближенные методы высшего анализа», М.—Л., ГИТТЛ,
1952, 184—185. — Прим. ред.
8 Сиберт у. м.
226
7. Сигналы дискретного времени
Пример 7.1.3
Чтобы проиллюстрировать случай, в котором переменная п
соответствует пространству, а не времени, рассмотрим однород-
ную многозвенную цепь лестничного типа, часть которой пока-
зана на рис. 7.3.
./[n-l] /[л] '[л+l]
Рнс. 7.3. Однородная многозвенная цепь лестничного типа к примеру 7.1.3.
Напряжения и токи в этой цепи удовлетворяют следующим
уравнениям:
v [п 4~ 11 = и [п 1 — i [п J Rlt
* Г 111 • Г 1 v -I-1]
t[n+ 1] = t[n]------ .
Первое из них можно разрешить относительно i In 1 и подставить
во второе вместо i [п] и i [п + 1 ], что приводит к единственному
однородному разностному уравнению относительно v [п ]
R2v[n + 2] — (2R2 + Rr) vtn + 1 ] + R2uln] = 0, (7.1.3)
Рассмотрение этого примера будет продолжено в примере 7.4.1.
* * *
7.2. Структурные схемы и уравнения состояния
для ДВ-систем
При описании НВ-систем удобной и полезной альтернативой
дифференциальным уравнениям являются принципиальные и
структурные схемы. Аналогичные схемы можно предложить и для
описания ДВ-систем. Одна из таких схем представляет собой
прямой аналог структурных схем класса интеграторов, суммато-
ров и усилителей для НВ-сигналов, которые рассматривались
в разд. 1.4; вместо интегратора в ней используется ДВ-устрой-
ство, получившее название аккумулятора, или накопителя. В ДВ-
структурной схеме другого рода используются задерживающие
элементы, которые в общем более предпочтительны в качестве
элементов памяти. Рассмотрение структурных схем обоих видов
позволяет глубже познакомиться с поведением ДВ-систем, в част-
ности с понятием состояния, и дает возможность еще попрактико-
ваться с разностными уравнениями.
7,2. Структурные схемы ДВ-систем
227
На рис. 7.4 представлены элементы, используемые в ДВ-
структурных схемах накопителей, сумматоров и усилителей.
Рис. 7.4. Некоторые основные дискретные по времени структурные схемы эле-
ментов.
Разностное уравнение в данном случае описывает накопитель г)
тем же самым неявным способом, как описывается интегратор,
когда говорят, что сигнал на его входе — это производная вы-
ходного сигнала. В примере 9.1.1 мы покажем, что накопитель
данного вида можно в явном виде описать выражением
п—1
у[п] = у[0] + Е х[т],
т—0
которое проясняет и само название «накопитель», и его соотно-
шение с НВ-интегратором. Отметим, что для получения един-
ственного решения разностного уравнения накопителя необ-
ходимо задать начальное значение выходной функции у [0]; на
рис. 7.4 оно задается в явном виде через отдельный вход.
Действительно, выходной сигнал у [n01 в момент времени
п = п0 определяет состояние накопителя в этот момент. Это
означает, что если известны у [n01 и входной сигнал х[п] при
п п0, то определен выходной сигнал у\п} при п > и0- Следова-
тельно, если ДВ-система представлена структурной схемой свя-
занных между собой накопителей, сумматоров и усилителей, то
текущее состояние такой системы определяется текущими зна-
чениями выходов накопителей. Чтобы получить динамические
разностные уравнения этой системы в переменных состояния,
достаточно взять в качестве переменных выходы накопителей и
определить из структурной схемы, как эти переменные, комбини-
J) Как предполагалось в разд. 7.1, у НВ-интегратора имеется много воз-
можных ДВ-аналогов. Для выбранного здесь варианта, как и прежде, применим
алгоритм Эйлера «вперед» (см. задачу 8.7).
8*
228
7. Сигналя дискретного времени
руясь, дают входные сигналы на каждом накопителе. Эта про-
цедура в точности аналогична соответствующей процедуре для
НВ-систем, состоящих из интеграторов, сумматоров и усилителей,
и проще всего пояснить ее на примере.
Пример 7.2.1
НВ-цепь, приведенная в примере 7.1.2, дает при значениях пара-
метров, указанных в том примере, следующие дифференциальные
уравнения состояния:
= - 10*4 (0 - Юпз (0 + Юпа (0.
^ = -ю%(0-10пз(0.
= 5.10*4 (0 + 5.10’4(0
с выходным уравнением
п2 (0 = -1 034 (0.
Эта цепь оказывается, таким образом, эквивалентной структурной
схеме на рис. 7.5. Каждое из уравнений состояния непосредственно
соответствует уравнению, описывающему сумматор на входе
Рис. 7.5. Структурная схема цепи, рассматриваемой в примере 7.1.2.
Разностные уравнения для ДВ-сигналов, аппроксимирующие
эту цепь, были получены в примере 7.1.2 заменой производных
на разности:
4(п + И = 0,94 [п] — 10"4п3[п] + 10“4па[п],
i2 In + 1 ] = 0,9z2 [n] — 10“4u3 In ],
v3 In + 1 ] = v3 In ] + 504[n] + 50t2[n]
7.2. Структурные схемы ДВ-систем
229
и2 ] = —10% [п ].
Эти же уравнения описывают структурную схему из накопи-
телей— сумматоров — усилителей, показанную на рис. 7.6. Как
и раньше, здесь каждое разностное уравнение непосредственно
соответствует уравнению, описывающему выход каждого сумма-
тора, умноженный на А/ = 10~5. И это неудивительно, ибо струк-
турные схемы рис. 7.5 и 7.6 отличаются лишь тем, что каждый
интегратор заменен последовательно включенными усилителем А/
и накопителем. Приведенные разностные уравнения называют
уравнениями для переменных состояния, поскольку они дают
явный способ вычисления следующих значений переменных со-
стояния: 1г[п + 11, i2 In + 1 ] и v3 [п + 1 ] по предшествующим
значениям ir [п ], i2 [п ] и v3[n], а также по входному напряже-
нию системы па[п].
Как видно из примера 7.2.1, от структурной схемы из нако-
пителей — сумматоров — усилителей легко перейти к системе
разностных уравнений для переменных состояния, если в каче-
стве переменных состояния взять выходы накопителей. Справед-
ливо и обратное утверждение: в общем случае возможно перейти
от системы разностных уравнений или от разностного уравнения
высшего порядка, связывающего вход с выходом, к структурной
схеме, состоящей из накопителей, сумматоров и усилителей.
Но, как отмечалось выше, альтернативное представление
ДВ-системы в виде структурной схемы, в которой вместо накопи-
телей в качестве запоминающих элементов используются эле-
менты задержки, также получило распространение и часто оказы-
вается гораздо более удобным. Элемент единичной задержки схе-
230 7. Сигналы дискретного времени
матически представлен на рис. 7.7 и обладает тем свойством,
что его выход в данный момент представляет собой копию сигнала,
поступившего на его вход на единицу времени раньше. В струк-
турной схеме, состоящей из элементов задержки, сумматоров
и усилителей, состояние системы характеризуется значениями
сигналов на выходах элементов задержки в данный момент.
В принципе элементы задержки можно включать в схемы с сум-
х[л]
Рис. 7.7. Элемент единичной задержки.
маторами и усилителями многими различными способами, но
наиболее полезным представляется каскадное включение элемен-
тов задержки, при котором выход одного элемента задержки ста-
новится входом следующего и образуется цепь, называемая
иногда ДВ-линией задержки с отводами. В приведенном ниже
примере показано, что можно делать с такими линиями задержки.
Пример 7.2.2
Два специальных случая разностного уравнения общего вида
(7.1.1) реализуются простой трансверсальной структурой
(рис. 7.8, а) и структурой с обратной связью, или рекурсивной
Рнс. 7.8. Трансверсальная (а) и с обратной связью (б) ДВ-системы с линиями
задержки.
(рис. 7.8, б). Это означает, что структура рис. 7.8, а с объедине-
нием сигналов сумматоров описывается разностным уравнением
у\п\ = Ь(1х [п — АГ] -|- • • • Д- bN_2x [п — 2] —|—
+ Ь^х [п — 1 ] -[- bNx [п] (7.2.1)
7.2. Структурные схемы ДВ-систем
231
или эквивалентным ему
У [« + А’] = box W + • • • + bN_2x [п -j- (N — 2)] 4~
4" bN_tx [п 4- (N — 1)] 4- bNx \п 4- TV], (7.2.2)
которое соответствует уравнению (7.1.1) при aN = 1 и at = О,
О i < N. Аналогично структура, приведенная на рис. 7.8, б,
описывается уравнением
у\п\ = — aN_iy[n— 1] — aN_2y [п — 2]-------
--------------------------аоу[п — М] + х[п] (7.2.3)
или эквивалентным ему
у[п + Л7] + а^у[п + (N — 1)] + aN_2y[n + (N — 2)] + • • •
----Н айу [п] = х [п + Л7], (7.2.4)
которое соответствует уравнению (7.1.1) при aN = bN = 1 и
bt = О, О < А’. Заметим, однако, что если выход трансвер-
сальной структуры [рис. 7.8, а] подключить к входу структуры,
изображенной на рис. 7.8, б, т. е. если включить структуры
последовательно, как показано двойной стрелкой на рис. 7.8,
то полученная полная система будет описываться уравнением
У 1п + ^1 + ап-1У 1п + (^ — 1)1 4” • + а»У (п] =
= Ьах [п\ 4- Ь]Х [n 4~ 11 4~ • 4~ Ьнх 1п 4* AJ, (7-2.5)
которое, если не считать (не снижающего общности) выбора
aN = 1, в точности соответствует уравнению (7.1.1). Отсюда
следует, что таким путем можно моделировать поведение вход-
выход любой ДВ-системы.
Рнс. 7.9. Каскадное включение систем, показанных на рнс. 7.8, в обратном
порядке.
Если порядок последовательного (каскадного) включения
структур, принятый на рис. 7.8, изменить на обратный (рис. 7.9),
то получается даже более интересная структурная схема. Такое
232
7. Сигналы дискретного времени
изменение последовательности включения не влияет на РНС 1)
вход-выход всей системы. (Пока мы еще не можем легко дока-
зать данное утверждение и отсылаем интересующегося читателя
к разд. 8.3. Аналогичный результат для НВ-систем был рассмо-
трен в разд. 5.1.) Отметим, однако, что если мы обозначим сигнал
в средней точке как win], то в последующих точках каждой из
линий задержки сигналы будут одними и теми же: win— 1],
оу In — 2], ..., win — N]. Следовательно, реально необходимо
иметь лишь одну из двух линий задержки; соответствующая экви-
валентная структура показана на рис. 7.10, и ее называют кано-
Рис. 7.10. Каноническая форма реализации на линиях задержки зависимости
вход-выход для ДВ линейной инвариантной во времени системы общего вида.
нической, потому что в ней используется минимально возможное
число элементов задержки. Представление разностного уравнения
общего вида, определяющего зависимость между входом и вы-
ходом, в форме рис. 7.10 особенно удобно, поскольку коэффициенты
в разностном уравнении можно идентифицировать непосред-
ственно как соответствующие коэффициенты усиления в струк-
турной схеме. Аналогичная структурная схема для НВ-систем
была получена в задаче 1.6.
Разностные уравнения для переменных состояния в случае
системы, показанной на рис. 7.10, сразу же получаются, если
в качестве переменных состояния взять сигналы на выходах
элементов задержки:
Хо In -р 1 ] = Xj In ],
Xj In -p 1 ] = X2 In ],
См. в разд. 3.1 формулу (3.1.4), что соответствует нулевым начальным
условиям. — Прим. ред.
7.3. Прямое решение разностных уравнений
233
^дг_2 1я 4“ 1 ] — ХдГ-Дп 1,
1П 4“ 1 ] = -aN-l^N-l — aN-2^N-2 1П] — • • •
• — айКй [л] + х [п].
Тогда уравнение выходного сигнала имеет вид
у [л] = 1п + И г [я] + Ьх~2^х~2 [я] г • • •
-)- ЬД0 [я] = (bN_± — bNajf_i) ^n-i ln] г
+ (Ьк_г — bNaN_2) Хдг-а [л] + • • +
+ (b0 — bNaQ) Хо [л] bNx [л].
Каноническая форма системы, изображенной на рис. 7.10,
хорошо подходит для реализации возможностей класса недоро-
гих интегральных МОП-приборов, называемых приборами с пере-
носом заряда (ППЗ). Имеется несколько разновидностей ППЗ,
например приборы типа «пожарная цепочка» или приборы с за-
рядовой связью (ПЗС), очень похожие друг на друга, но разли-
чающиеся в деталях структуры и основных характеристик. Эти
приборы возбуждаются периодической последовательностью так-
товых импульсов, частота следования которых может лежать
в пределах от 102 до 107 импульс/с и более. При каждом тактовом
импульсе аналоговое напряжение на входной емкости каждого
из МОП-каскадов цепочки переносится на входную емкость
следующего каскада. Перенос заряда занимает часть межимпульс-
ного интервала; на протяжении остальной части этого интервала
напряжение остается почти постоянным. Можно осуществлять
выборку напряжения на каждом каскаде (через буферные цепи),
взвешивать и суммировать его с взвешенными выходными на-
пряжениями других каскадов, как в системе канонической формы
(фиксированные весовые коэффициенты можно реализовать непо-
средственно на кристалле ИС; для реализации регулируемых
весовых коэффициентов требуются внешние потенциометры).
Можно также подать эти напряжения по цепи обратной связи
и суммировать с напряжениями предшествующих каскадов (ре-
курсивные устройства общего вида). На одном кристалле могут
размещаться сотни и даже тысячи каскадов. Применение прибо-
ров с переносом заряда в качестве фильтров, линий задержки,
приборов памяти, корреляторов, преобразователей частоты, фурье-
преобразователей и т. п. будет рассмотрено в последующих гла-
вах и задачах.
7.3. Прямое решение линейных разностных уравнений
Так же как и линейные дифференциальные уравнения, линейные
разностные уравнения описывают соотношение вход-выход ДВ-
системы лишь в неявной форме, и, чтобы найти ее реакцию на
234 7. Сигналы дискретного времени
некоторый конкретный входной сигнал, их надо «решить». Здесь
снова, как и в НВ-случае, разностное уравнение и входное воз-
действие, заданное на полубесконечном интервале О « <°°,
позволяют получить лишь частичное описание выходного сигнала
при п > 0. Для системы порядка W необходимо иметь N допол-
нительных данных, соответствующих начальным условиям или
начальному состоянию в непрерывном случае. Но в отличие от
ситуации с дифференциальными уравнениями решение задачи
с разностными уравнениями оказывается простым, если известны
первые N значений выходного сигнала, поскольку всегда можно
переписать уравнение (7.1.1) в виде1)
N АГ—I
У [п -ф А/] = £ btx [п -ф I] — £ [n + k]. (7.3.1)
1=0 A=0
Таким образом, зная входной сигнал и значения у [01, у [11, ...
..., y[N— 1], мы можем сразу же найти y{N ]. При помощи ите-
раций находим теперь у [IV + 1], зная входной сигнал и значе-
ния z/[l ], у 12], ..., у IN] и т. д. Этот подход иллюстрируется
следующими примерами.
Пример 7.3.1
Возвращаясь снова к примеру 7.1.1, заметим, что выражение
(7.1.2) по форме совпадает с (7.3.1), т. е.
Р\п + И = (1 +r) Р [nl — р (7.3.2)
при Р [01 = 50 000 долл. Поскольку уравнение имеет первый
порядок, этой информации достаточно, и мы легко подсчитываем
Р[1 ] = (1 + г)Р[01 — р,
Р [21 = (1 + г)Р [1 ] — р = (1 + г)2Р[0] —(1 + (1 + г))д,
Р [31 = (1 + г)3РЮ1 — (1 + (1 + г) + (1 + г2))р,
откуда выводим формулу общего члена
Р In] = (1 -j- r)n Р (0) - Г)~~ р, (7.3.3)
Чтобы записать Р [п] в этом виде, мы воспользовались важной
формулой для частичной суммы геометрической прогрессии
1 + а +а2= (7.3.4)
Дальнейшее обсуждение (7.3.4) будет продолжено в примере
8.1.4.
х) Без потери общности мы снова считаем ан — 1.
7.3. Прямое решение разностных уравнений
235
По формуле (7.3.3) мы можем сразу найти величину взноса р
который требуется выплачивать за полученную ссуду в
30 лет. Полагая
Р [3601 = о,
получаем
г(1+Н360 р KQT
При г = 0,0125 (15 %/год) и РЮ1 = 50 000 долл, находим
р = 632,22 долл.
Полная сумма возврата в банк за ссуду в 50 000 долл, составляет
360 р = 227 599,2 долл., которая убедительно иллюстрирует,
почему банки охотно дают займы.
Пример 7.3.2
Система разностных уравнений, заменяющая дифференциальные
уравнения состояний для схемы в примере 7.1.2,уже имеет вид
7 .3.1), и ее можно легко решить методом итераций, если известны
Рис. 7.11. Решение уравнений из примера 7.1.2 при нескольких значениях At
Сплошная кривая — точное решение.
значения iJOl, i2[0] и v3l0], характеризующие начальное
состояние. На рис. 7.11 представлены результаты расчетов, по-
лученные для нескольких значений А/ при условии, что [0] =
= [0 ] = v3[01 = 0 и ua[rtl = 1, «>0. Другие подроб-
ности, связанные с этим примером, рассматриваются в примере
При использовании разностных уравнений для получения при-
ближенных решений дифференциальных уравнений важное зна-
чение имеет выбор величины интервала выборки, или размера
236 7. Сигналы дискретного времени
шага А/. Если А/ слишком велико, точность дискретной аппрокси-
мации оказывается низкой; если же А/ слишком мало, то стано-
вится слишком большим число итераций, требующееся для описа-
ния интересующего диапазона значений выходной величины.
В общем случае А/ должно быть значительно меньше интервала,
в котором аналоговая величина претерпевает существенные изме-
нения. Иногда бывает полезно изменить А/ в эволюционном про-
цессе нахождения решения, чтобы лучше согласовать его со
скоростью изменения состояния системы.
* * *
К сожалению, граничные условия не всегда бывают заданы
в форме, удобной для получения решения способом, рассмотрен-
ным в этом разделе. И даже в тех случаях, когда граничные
условия заданы в нужной форме, не всегда легко получить выра-
жение для у [п ] в замкнутой форме (правда, последнее не обяза-
тельно влечет за собой существенные трудности, если уравнение
решается на ЭВМ).
Имеются, однако, другие подходы, в которых параллельно
осуществляются процедуры определения РНС (реакции при ну-
левом состоянии) и РНВ (реакции при нулевом входном воздей-
ствии) для линейных дифференциальных уравнений, описывающих
НВ-систему. Такие подходы позволяют глубже понять многие
задачи, а также найти полезные в практическом отношении реше-
ния. В следующем разделе мы начнем знакомиться с такими
подходами.
7.4. Реакция при нулевом входном воздействии
Многозвенная цепь лестничного типа (пример 7.1.3) —типичный
случай, для которого прямой подход к решению уравнений,
рассмотренный в разд. 7.3, не годится, так как граничные условия
описывают скорее общую, чем локальную характеристику ре-
шения.
Пример 7.4.1
Продолжая рассмотрение примера 7.1.3, допустим, что требуется
найти входное сопротивление и распределение напряжений вдоль
'[О] /[I] /[2] /[п]
Рис. 7.12. Резистивная многозвенная цепь лестничного типа,
полубесконечной многозвенной цепи лестничного типа, состав-
ленной из сопротивлений 1 Ом (рис. 7.12).
7.4. Реакции при нулевом входном воздействии 237
В примере 7.1.3 мы пришли к выводу, что v In] удовлетворяет
однородному разностному уравнению
v[n + 2] — 3vln +11 + v[n] = 0 (7.4.1)
с граничными условиями и[0] = V и и[п]->0 при п->-оо.
Поскольку это уравнение второго порядка имеет лишь одно
граничное условие при п, близком к нулю, прямой путь получения
решения для него не годится.
Линейные однородные разностные уравнения с постоянными
коэффициентами, как (7.4.1), имеют решения в форме
v [п] = Агп, (7.4.2)
где z — некоторое подходящее (в общем случае комплексное)
число; это означает, что такие однородные решения представляют
собой в общем случае ДВ-экспоненты. Чтобы показать справед-
ливость этого в нашем случае, подставим (7.4.2) в (7.4.1) и полу-
чим
Дгп+2 - 3Azn+l + Azn = Azn (z2 - 3z + 1) = 0.
Если v [n] == Azn =# 0, to z должны быть корнями квадратного
уравнения
(Z2 _3z+ 1) = (z--3 + /5.) (z-.3~/5 ) = 0
или
3 + /5" 3-/5
Z 2 ’ 2 ‘
Поскольку уравнение (7.4.1) линейное, самое общее решение
представляет собой сумму двух членов вида (7.4.2):
„И = л(^)" + в++^)“.
А так как (3 — >+б)/2 = 0,38 < 1 и (3 + у^5)/2 = 2,62 > 1,
второй член с увеличением п растет, а первый стремится к 0.
Для полубесконечной многозвенной цепи лестничного типа, за-
даваемой при п = 0, мы должны, следовательно, иметь В = 0
и А = V’, таким образом, искомое решение задачи записывается
в виде
v(_Lz_EZ)'’, „>о.
Для нахождения тока ПО] и затем входного сопротивления
V/i [01 запишем
V = i[0].l+u[l] = i[0] + v(-^^)>
238
7. Сигналы дискретного времени
откуда х)
^ = -^2— =Ц-—= 1,62 Ом.
«[0] Кб —1 2
* * *
Из примера 7.4.1 можно сделать следующий обобщенный вы-
вод. Реакция при нулевом входном воздействии (РНВ) у системы,
описываемой линейным разностным уравнением с постоянными
коэффициентами:
N N
%ahy[n + k]=%blX[n + l], (7.4.3)
4=0 1=0
является решением однородного уравнения
N
%ahy[n + k] = 0. (7.4.4)
4=0
Это решение имеет вид
N
у[п]=^ AkZk* (1А5)
4=1
() Входное сопротивление (если это единственный параметр, который тре-
буется определить) можно получить более прямым путем. Если R — входное
сопротивление рассматриваемой бесконечной цепи, то добавление к ней еще
одного звена не должно изменить величины R. Значит, R должно быть равно
входному сопротивлению одного звена, нагруженного на R.
R
1 • R
Отсюда R = 1 + -—j—=г или R2 — R — 1 = 0. Корни этого уравнения R =
1 + К
1 ± Кб
=---------, причем отрицательный корень чужд физическому смыслу анали-
зируемой задачи. Интересно отметить, что величина R совпадает с «золотым
сечением», которое делит отрезок на две части так, что отношение всей его длины
к большей части равно отношению большей части к меньшей:
а
о _ Ь _ 1 +>/5~
b ~а-Ь ~ 2
То же самое отношение встречается при изучении чисел Фибоначчи (см. за-
дачу 7.2). r v
7.5. Выводы
239
где {zk} — совокупность N корней характеристического урав-
нения х)
N
U akzk = 0 (7.4.6)
А=0
и {Ак} — совокупность N постоянных, выбранных в соответствии
с начальными условиями. В последующих главах будут при-
ведены дополнительные примеры.
7.5s Выводы
Линейные разностные уравнения играют по отношению к ДВ-
сигналам и системам во многом такую же роль, как линейные
дифференциальные уравнения по отношению к НВ-сигналам и
системам. В частности, они могут быть описаны структурными
схемами, в которых накопители становятся ДВ-эквивалентами
интеграторов, чьи выходные сигналы описывают состояние си-
стемы. В более удобной структурной схеме, отображающей за-
висимости между входом и выходом любой линейной инвариант-
ной во времени ДВ-системы, вместо накопителей используются
элементы задержки. Разностные уравнения решаются в основном
теми же способами, что и дифференциальные уравнения. В ре-
зультате решения однородных разностных уравнений (реакции
при нулевом входном воздействии) представляют собой суммы
ДВ-экспонент
N
у [и] = Akzk^
k=i
где {zk} — совокупность корней характеристического уравнения,
а совокупность {Ак} выбирается в соответствии с граничными
условиями. Отклик на экспоненциальные возбуждающие сигналы
также можно найти подобно тому, как это делается в НВ-системе,
т. е. путем подстановки некоторого предполагаемого решения,
имеющего ту же форму, что и возбуждающий сигнал, и путем
согласования коэффициентов. Но, как и в случае НВ-систем,
более удобно решать задачи такого рода методами преобразова-
ний. ДВ-аналогом ^-преобразования является z-преобразование,
которое и будет предметом рассмотрения в следующей главе.
1) Если характеристическое уравнение (7.4.6) имеет кратные корни, то
к (7.4.5) должны быть добавлены члены вида пргк, что является точной анало-
гией с НВ-системой.
240 7. Сигналы дискретного времени
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 7
Упражнение 7.1
В одной из реклам сберегательного банка говорится: «Вносите по 100 долл, каж-
дый месяц на протяжении 12 лет, и после этого мы будем вечно выплачивать вам
по 100 долл, ежемесячно!» Рассмотрите банк как ДВ-систему, входом которой
х[п] являются ваши ежемесячные взносы (положительный знак) или снятие
денег со счета (отрицательный знак), а у[п]— основная сумма, имеющаяся на
вашем счете после выполнения n-го ежемесячного взноса или снятия денег. Допу-
стим, что первые 12 лет деньги со счета не снимались, а после этого снимались
суммы только по 100 долл./мес.
а) Представьте х[п] в соответствии с условиями рекламного объявления.
б) Запишите р[п] в общей форме, при условии что 100 долл./мес — самая
крупная ежемесячная выплата, которую можно гарантировать на вечные вре-
мена при заданной месячной процентной ставке г.
в) Запишите разностное уравнение, связывающее р[п] и х[п].
г) Определите первые несколько членов t/ln]. Выведите общую формулу
Ип] = Ю0
иа первые 12 лет (0 п < 144) и покажите, что она удовлетворяет разностному
уравнению.
д) Покажите, что годовая процентная ставка, заданная в неявной форме
условиями рекламы, составляет приблизительно 5,8 %.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 7
Задача 7.1
Два простых и широко известных алгоритма численного интегрирования — это
метод трапеций
^+_A0--^^±[i(0 + M^ + A0]
и правило Симпсона
~ 4т + 4% (f + ДО + X (/ + 2 ДО].
а) Покажите, что метод трапеций эквивалентен аппроксимации
<о+Д/
j i(t)dt = X(t0 + ДО— Л (/0)
t о
площадью трапеции, изображенной слева на рис. 7.13.
Рис. 7.13. а — аппроксимация по методу трапеций; б — аппроксимация по фор"
муле Симпсона.
Задачи к главе 7
241
б) Покажите, что правило Симпсона эквивалентно аппроксимации
/0+2 д/
J %(<)Л = Х(<о + 2 ДО — X(f0)
t о
площадью под параболой, проходящей через точки Л (/0), Л (/0 -f- Л/) и Л (/0 +
+ 2 Л/) и показанной на рисунке справа.
в) Используйте метод трапеций для преобразования дифференциальных
уравнений из примера 7.1.2 в систему разностных уравнений. (Правило Симп-
сона — превосходный алгоритм для вычисления площади, ограниченной сверху
некоторой кривой, но оно приводит к неустойчивой системе разностных уравне-
ний, если применять его для приближенного решения дифференциальных урав-
нений — см. задачу 8.7.)
Задача 7.2
а) Первые несколько членов последовательности, называемой числами Фи-
боначчи, записываются как
{«/[«]} = {О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}, п>0.
Эта последовательность генерируется разностным уравнением
= 1 ] у [я ]
при начальных условиях у[п] = 0 и у [ 1 ] = 1. Рассматривая эту последова-
тельность как РНВ некоторой линейной инвариантной во времени системы,
найдите явную формулу для у[п].
б) Предположим, что новорожденные кролики становятся половозрелыми
в месячном возрасте. Допустим также, что период беременности у них составляет
также один месяц и что каждый приплод состоит точно из двух кроликов — самца
и самки. Предположим далее, что когда та или иная пара становится половозре-
лой, она начинает каждый месяц приносить приплод и будет делать это сколь
угодно долго. Если взять одну такую пару кроликов, то сколько кроликов будет
через год (считая, что все выживут)?
Задача 7.3
Земля
Рис. 7.14.
Предположим, что гирлянду из шести изоляторов, посредством которой на опоре
подвешен провод высоковольтной линии передачи, можно представить эквива-
лентной цепью емкостей. Эту цепь, показанную на рис. 7.14, используем для
242 7. Сигналы дискретного времени
расчета распределения напряжения вдоль гирлянды. Ради простоты допустим,
что Cj = С2. Найдите выражение для напряжения на k-м изоляторе. Покажите,
как в явном виде оценить произвольные постоянные, если напряжение фазы
Рф = 76 кВ.
Задача 7.4
а) Если на вход показанной на рнс. 7.15 НВ-цепи подана ступенчато изме-
Рис. 7.15.
Т 27 37 47 57 67
няющаяся функция (f), кусочно-постоянная на интервалах длиной Tt
vl(0 = у1(л^) == fl [«1» пТ t (п. + 1) Т,
то покажите, что выходную функцию ц2 (0 можно описать в момент времени
t=nT разностным уравнением
Ц2Ь + И = ap2I«] + ftofbi],
где
»2 I = V2(nT).
Найдите постоянные коэффициенты а и 0.
Рис. 7.16.
б) Показанная на рис. 7.16 НВ-цепь включается в систему с обратной связью.
Блок фиксации нулевого порядка обладает следующим свойством:
vi(0 — Vi(nT) = t>i[n] = е(лТ'), пТ t < (л + 1) Т.
Покажите, что для любого аналогового колебания v0 (t)
v2 [л + 11 = Т»2 J 4- 6о0 1,
где о0[л]= о2(пТ). Найдите выражения для у и 6 через а и 0.
Задача 7.5
В этой задаче рассматривается простая модель процесса регулирования цены
на один из видов массовых товаров, который выпускается в продажу в дискрет-
ные моменты времени. Пусть поставка s [А] в момент k определяется ценой
р [k — 11 в момент времени k — 1 (что отражает задержку на время производ-
ства). Тогда по закону предложения
sU] = s0 + bp[k — 11.
Задачи к главе 7
243
Пусть также спрос d[k] в момент k определяется законом спроса
d[k] = d0 — ap[k]
(где а и Ъ — константы, характеризующие чувствительность соответственно
покупателей и изготовителей к изменениям цен).
а) В каждый из моментов выпуска товара в продажу рыночные факторы
заставляют регулировать цену р [А] так, чтобы спрос был равен предложению.
Опираясь на это положение, запишите разностное уравнение первого порядка,
управляющее эволюцией цены от момента k — 1 до момента k.
б) Покажите, что это разностное уравнение имеет частное решение
р [£] = •^° I' L- = const.
1 а + Ь
в) Предположим, что начальная цена имеет некоторое произвольное значе-
ние р [0]. Выведите выражение для р [A], k > 0, если d^ = 4, s0 = 1, а = 2,
b = 1. Поясните результат графически.
г) Повторите задание пункта (в) при d^ = 4, s0 = 1, а = 1» Ь = 2.
д) Обратите внимание, что в одном случае цена изменяется в направлении
к некоторому равновесному значению, а в другом случае этого не происходит.
Определите, каким условиям должны удовлетворять а и Ь для сходимости к не-
которому равновесному значению.
Задача 7.6
Рассмотрим фильтр на переключаемых конденсаторах. На практике ключами
служат МОП-вентили, управляемые тактовыми сигналами с периодом Т так,
что они поочередно замыкаются н размыкаются, как показано на диаграмме
рис. 7.17. Допустим, что сопротивления цепи и ключей настолько малы, что
Рис. 7.17.
временем заряда емкостей по сравнению с периодом тактовых сигналов можно
пренебречь. Следовательно, когда Sj замкнут, fj (t) = v0 (f), а когда S2 замкнут,
va (0 = fi (0 = const. Кроме того, когда Sa разомкнут, заряд на емкости Са
не меняется.
а) Считайте р0[л] = v0(nT), v2ln] = v2((n -f- 0,5) Т). Покажите, что ца1л]
и v0 [л] удовлетворяют разностному уравнению вида
Ца[л]= av0 [л]+ bv2 [л— 1],
и найдите значения постоянных а и Ъ, выразив их через Cj и Са.
244 7. Сигналы дискретного времени
б) Предположим, что Са = 4Cj и что обе емкости в момент t = 0 не заря-
жены. Пусть также о0 (t) = Vo и (t) (считая, что ступенька возникает сразу,
как только открывается). Покажите, что
va[n] = V0 “[ЛЬ
в) Пусть Т = 1 мс. Постройте график v2 (t). На том же графике постройте
v2 (t) при Т = 0,25 мс.
г) Пусть Vj (0 — РНС на некоторый входной сигнал v'o (/). Пусть также
v2 (0 — РНС на некоторый другой входной сигнал v'o (t). Правильно ли утвер-
ждать, что а2 (/) = v2 (t) + v2 (/) будет РНС на входной сигнал а0 (0 = v'0(f) +
+ v'o (()? Другими словами, выполняется ли в этой цепи принцип суперпозиции?
ОДНОСТОРОННЕЕ
Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
8.0* Введение
^-преобразование и системные функции дают наиболее удобный
метод нахождения реакции при нулевом начальном состоянии
(РНС) систем непрерывного времени (НВ-систем). Аналогичный
аппарат можно применить и для систем дискретного времени.
Экспонента дискретного времени гп играет в этом случае роль
ядра est, а /-преобразование заменяет .^-преобразование. Наше
изложение этих вопросов будет кратким и ограниченным по
охвату, но оно даст читателю регулярный метод решения линей-
ных инвариантных во времени разностных уравнений и позна-
комит с такими полезными понятиями, как системная функция
дискретного времени и характеризация систем дискретного вре-
мени расположением полюсов и нулей на комплексной 2-плоскости.
8.1. Z-преобразование
Одностороннее Z-преобразование последовательности х In 1 опре-
деляется формулой
Х(2) = S x[n]z~n. (8.1.1)
п=0
Если |х [п 1| возрастает не быстрее, чем экспонента, этот ряд бу-
дет сходящимся для всех 2, находящихся вне некоторого круга
на комплексной 2-плоскости, радиус
которого г0 называется радиусом схо-
димости (рис. 8.1). Как и в случае
./'-преобразования, полезность /-пре-
образования базируется на взаимно одно-
Рис. 8.1. Типичная область сходимости.
значном соответствии между Х(г) и последовательностью xlnl.
Это означает, что каждому х[га], определенному для п О,
соответствует одно и только одно X[z], определенное для | 2 | >
> г0, и обратно. Для /-преобразований эта теорема единствен-
246 8. Одностороннее Z-преобразован не
ности по существу является интерпретацией центральной тео-
ремы, касающейся единственности и сходимости степенных рядов
аналитических функций комплексного переменного г) * 2).
Пример 8.1.1
Пусть х[п]— ДВ-экспонента
х[п] — Аап, п^-0, (8.1.2)
х[п] 4 z-плоскость
Рнс. 8.2. ДВ экспоненциальная функция и ее область сходимости
показанная на рис. 8.2. Тогда
X (z) = А Ё а"2“п
п=0
сходится к
(8.1.3)
если | аг 11 < 1 или | г | > | а |. Эти формулы справедливы и в том
случае, когда а комплексное. Заметим, что Х(г) имеет нуль при
з = 0 и полюс при г = а на окружности, ограничивающей об-
ласть сходимости.
Рнс. 8.3. Z-преобразование х [п] = А, п > 0.
Один важный частный случай имеет место при а = 1, что
дает х [п 1 = А = const при п 0. Полюс X [п 1 в этом случае
оказывается при г — 1 (рис. 8.3).
*) См., например, Е. В. Saff и A. D. Snider, Fundamentals of Complex Ana-
lysis for Mathematics, Science, and Engineering (New York, NY: Prentice Hall.
1976).
2) В отечественной литературе см., например, А. И. Маркушевич Теория
аналитических функций, М., Наука, т. I, 1967, т. II, 1968. — Прим. ред.
8.1. Z-преобразование
247
Другая интересная ситуация возникает при отрицательных
значениях а, так как тогда последовательность х [п ] имеет знако-
ДхИ -- Д(-0,8)л, п>0
Рис. 8.4. Z-преобразованне х In J = А (—0,8)”, п > 0.
переменные члены. В этом случае полюс лежит на отрицательной
части действительной оси (рис. 8.4).
Пример 8.1.2
Рассмотрим при | г | > х/2 выражение
V (z\ _ 30z1 2 ________5
л w ~ 6г2 —г— 1 — , 1,1
1---К- z-i к
По теореме единственности ему должна соответствовать един-
ственная х[п], п>0. Как можно выполнить обратное /-преоб-
разование? Один путь нахождения х [п], гг^О состоит в том,
чтобы разложить X(z) в степенной ряд по степеням z-1. Нужный
результат можно получить, например, длинным делением числа 5
на многочлен х) 1------ z-1--г~-} в результате которого по-
5 35
лучим частное 5 Н—x-z-1 Н----—z ? + ... (отметим, что и чис-
О оо
литель, и знаменатель X (z) записываются в виде рядов по убы-
вающим степеням z). Следовательно, при достаточно больших | z |
(практически при | z | > 0,5) можно записать
X(Z) = 5 + 4Z-* + f-2-+....
Поскольку в общем виде Х(г) = J] х[п\ z~ni мы получаем
п=0
дг[0] = 5; х[1] = 4-; -^[2] = -|г и т. д.
О оо
1) См., например, А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций,
мч Наука, т. 1, 1967, 339—342. — Прим. ред.
248
8. Одностороннее Z-преобразоваиие
Хотя тот или иной вариант такой процедуры всегда позволит
найти х [nl по известному X (z), очевидно, что он далек от со=
вершенства. Более эффективный способ
аналогичен методу разложения на прос-
тейшие дроби в .^-преобразованиях.
Рис. 8.5. Диаграмма полюсов и нулей.
Итак, мы можем записать
1______L z-i
1 6 2
30z2
6z2 — z — 1
где коэффициенты каждой дроби определяются так же, как и
раньше, т. е.
Тогда, поскольку Z-преобразование — это линейная операция,
мы на основании теоремы единственности и примера 8.1.1 полу-
чаем
х\п} = 3 + 2 4-)П- «>°-
Эта формула подтверждает наши предыдущие результаты, най-
денные для п = 0, 1 и 2, но ясно, что она дает результат много
быстрее, чем метод разложения в степенной ряд, если нас интере-
суют значения х\п\ при п, много больших 2. Обратим внимание
на особый вид записи X (z) через отрицательные степени г с по-
стоянным членом в знаменателе, равным единице. Отметим также
8.1. Z-преобразоваиие
249
форму разложения на простейшие дроби, выбранную так, чтобы
члены вида 1/(1 —az"1) можно было поставить в соответствие
членам последовательности ап, п 0.
* * *
Пример 8.1.3
Примененное в предыдущем примере разложение на простейшие
дроби очевидно непригодно, если числитель X(z) содержит z-1
в равной или более высокой степени, чем знаменатель. Рассмо-
трим, например,
Если попытаться, как делалось выше, записать (ниже мы увидим,
что это некорректно)
Xi (г) =----,
1---1 +4-2-1
& О
где
мы получим те же самые коэффициенты, что и в примере 8.1.2,
5
соответствующие разложению на простейшие дроби---1,
6 6
а не выражение, которое мы ищем х).
Одним из признаков указанной трудности является то, что
каждый из членов предложенного разложения при z"1 оо стре-
мится к нулю, тогда как заданное Хг (z) 6 при г-1 оо. Дей-
ствительно,
___=____________5_________
2—2 1____L 7-1____L ,-2
6 2 6 2
г) Та же самая трудность возникает, конечно, если мы попытаемся исполь-
зовать простейшие дроби для выполнения обратного преобразования в случае
некорректного S’-преобразования. Корректное разложение на простейшие дроби
легко получается в этом случае, как было показано выше. Однако интерпрета-
ция результатов требует использования специального аппарата, о чем пойдет
речь в гл. 11.
250
8. Одностороннее Z-преобразоваиие
так что можно записать (корректно)'
Xi (z) = —— + —-t— + 6.
1---i-z-’ l+-i-z-s
Z о
В общем разложение такого рода можно получить, деля сначала
числитель на знаменатель и понижая степень z"1 в остатке,
пока она не станет ниже, чем в знаменателе. Так, если мы ищем
разложение для
то производим деление z-2 + г-1 + г-2 на —г-1 + 1, что дает
частное —г-1 — 2 и в остатке 3, и получаем разложение
X2(z) = -z-1-2 + TZ^i-.
Таким образом, в общем виде результат представляет собой
многочлен по степеням г-1 плюс правильная дробь от г-1, которая
может быть разложена на простейшие дроби обычным путем.
Из основного определения /-преобразования (8.1.1) с оче-
видностью вытекает, что обратное преобразование kiZ~l является
ДВ-функцией /In], которая равна нулю для всех п, за исключе-
нием п = I, когда f[l] = ki. Более удобно, однако, ввести спе-
циальную функцию, называемую функцией единичного отсчета
6 [лг], (рис. 8.6), которая определяется следующим образом1):
Д8[л]
-3 -2 -1 12 3 4 5 -2 -1 12 /-1 / ^+1
Рис. 8.6. Функция единичного отсчета. Рис. 8.7, Задержанная функция еди-
ничного отсчета.
( 1, п = 0,
«иДо, п^.0. <8-L4>
/-преобразование функции 6 [п] очевидно (8.1.5)
6 [п ] <=> 1.
Задержанная функция единичного отсчета 2) 6[п — /] (рис. 8.7)
определяется как
fl, п = I,
б1п”(8л-6)
*) Отметим, что 6 [п ] определена для всех п, —оо < п < оо, а не только
для п 0.
2) Задержанную функцию единичного отсчета часто называют дельта-функ-
цией Кронекера и обозначают 6П/.
8.1. Z-преобразоваиие
251
и имеет /-преобразование
6 [п — I] -о?-'.
(8.1.7)
Обратные преобразования Хг (?) и Х2 (г) можно выразить через
функции единичной выборки. Поскольку
Xi (г) =------Ц --2-1-2"2. =------з---
1___— г-1__— г-2 1___— г-1
1 6 6 2
2
1+4-г-1
о
то при п > О
Х1[«] = 3(4)П + 2(---|-)Чб6 [«] =
(11, п = О,
з(4-У+2(-+У> »>°>
и поскольку
X. W - 1 +,-У = - г-1 - 2 + ,
то при п О
х2 [n 1 = —6 [п — 11 — 26 [гг ] + 3 =
1, п = О,
2, п=1,
3, п > 1.
* * *
Как и в случаев-преобразований, большинство приложений
/-преобразований связано с манипуляцией несколькими базо-
выми парами преобразований, использующих небольшое число
основных свойств и теорем. Приведем некоторые важные теоремы:
СУПЕРПОЗИЦИИ (линейности)
ах[п]-^ Ьу[п]<=^аХ bY (z). (8.1.8)
УМНОЖЕНИИ НА ЭКСПОНЕНТУ
апх[п]^Х(а-'г). (8.1.9)
УМНОЖЕНИИ НА п
nx(n)^~zd-^. (8.1.10)
ЗАДЕРЖКИ НА М>0
х[п~ N]u[n-N]oz~n X(z). (8.1.11)
252
8. Одностороннее Z-преобразование
В теореме задержки
I 2 3 4 5 6
-2 -I
и In] — это функция единичного скачка
дискретного времени (рис. 8.8)
fl, п>-0,
“w=k п<о.
(8.1.12)
Рнс. 8.8. Функция единичного скачка.
Доказательство каждой теоремы почти сразу же вытекает из
основного определения (8.1.1). В приложении к этой главе при-
ведены таблицы простых Z-преобразований и основные теоремы.
умножения на п сле-
Пример 8.1.4
Из примера 8.1.1 и на основании теоремы
* * *
Пример 8.1.5
Из примера 8.1.1 и теоремы задержки имеем Z-преобразование
o^^ufn-N]
-2-1'1 N-l N N+\
В частности, преобразование задер-
жанной единичной ступенчатой
функции
2“Л’
Как приложение данного результата
мы можем записать ДВ-импульсную
функцию
4 u[n-N] (me., о = I)
• T T T '
-2 -I * * " N-l N N+l
Рис. 8.10. ап~ы и In — JVJ.
(1, 0<n<W(
'”|лНо. п>Н.
8.2. Применение Z-преобразования
253
в виде
pw[re] = а [га 1 — и[п — У].
-2 -I 12 N-l N N+I
Рис. 8.11. Функция pN Jn],
Если теперь применить теорему линейности и теорему задержки,
то получим
1__~
Pn[«I <=> !_г-1 = Рк(2),
что в точности совпадает с формулой (7.3.4) для частичной суммы
геометрической прогрессии
JV-I
со Л—I
Р N (2) = Jj Pn [га] 2 п = S 2
п=0 л=0
что, конечно, можно было бы получить путем непосредственного
определения PN (2) из (8.1.1).
8.2. Применение Z-преобразования
к Л ИВ-системам дискретного времени
Чтобы применить метод Z-преобразования для анализа систем
дискретного времени, нужна еще одна теорема, играющая для
/-преобразований ту же самую роль, что теорема дифференци-
рования для ^-преобразований:
ТЕОРЕМА ОПЕРЕЖАЮЩЕГО СДВИГА {УПРЕЖ-
ДЕНИИ)-.
Если Х(г) — (одностороннее) Z-преобразование х[га],
то 2 (Х(2) — х [01) — Z-преобразование х\п + 1 ].
Доказательство этой теоремы сразу же следует из основного опре-
деления X (2) и рис. 8.12. Приведенные ниже примеры служат
иллюстрацией полезности этой теоремы.
254
8. Одностороннее Z-преобразованне
x'[n] = x[n+ l]
x[n]
-I
-*3 -2 T
Рис. 8.12. Иллюстрация теоремы упреждения.
X (2) = j] х In J z~n = x [0] + x [11 г”1 + x (21 z~2 +
o
X' (г) = Ы г~п = * h + 11 г“п = x Ц ] + x [2] +
о о
+ х [3] г“а + • = z (X (г) - х [0]).
Пример 8.2.1
Рассмотренная в примере 7.1.1 задача о ссуде привела к разност-
ному уравнению
Р[п + 1] = (1 + Г)Р[Л] — р, п^О.
Выполняя Z-преобразование левой и правой частей и используя
теорему упреждения, получаем
г(Р (г) - Р [0]) = (1 +r) Р (г) -т^рт.
Разрешая это выражение относительно Р (г) и проводя разложе-
ние на простейшие дроби, имеем
р (,\ _ Р1г I р М — Plf
i-г-» г 1_(1+г)г-х •
Обратное преобразование дает
Р [и ] = p/r + (Р [01 — р/г) (1 + г)п, п 0,
что соответствует результату, полученному методом индукции
в примере 7.2.1.
Пример 8.2.2
Если Х(г) — Z-преобразование х[п], тогда z2X (г)— г2х[0] —
— zx [ 11 есть Z-преобразование х[п + 21. К этому выводу
легко прийти либо непосредственным путем, либо рассматривая
х[п + 2] как упреждающий сдвиг xln + 1] и дважды приме-
няя теорему упреждения, в результате получая z(z[X(z) —
— х [0]] — х [11). Аналогичным образом можно перейти к еще
8.2. Применение Z-преобразования
255
большему числу упреждающих сдвигов. Такие расширения поз-
воляют применять Z-преобразование непосредственно для ре-
шения ЛИВ-разностных уравнений произвольного порядка, опи-
сывающих соотношение вход-выход. Итак, предположим, что
имеется система, описываемая уравнением
у [п + 2] — -i-у In + 1] — 4'4'1"] = 2х[п].
Мы ищем отклик на х [я] = 1, п > О при начальных условиях
у [01 = 0, у [11 = 1. Выполняя Z-преобразование левой и пра-
вой частей и используя теорему опережающего сдвига и ее рас-
ширение, находим
(г2У (г) - 22у [01 - zy [1]) - 4- (гГ (z) - zy [0])-Ь У (г) = 2Х (г).
Подставляя
(г) = 1 _ z-j
и заданные значения для у [0] и у [11, получаем
3 3,6 . 0,6
После обратного преобразования имеем
у [п] = 3 — 3,6 f4“)n + Г---5“)",
Легко проверить и убедиться, что найденное решение удовлетво-
ряет нашему разностному уравнению и принимает требуемые
значения при п = 0 и п = 1.
* * *
Если разностное уравнение, описывающее соотношение вход-
выход, содержит члены, пропорциональные х[п + 11, х[п +
+ 2], ... и соответствующие сдвинутым входным последователь-
ностям, то непосредственное применение Z-преобразований (как
делалось в примере 8.2.2) может вызвать некоторые трудности
интерпретации. В этом случае знание у[01, у[1], y[N— 11,
а также x[nl, п 0 определяет единственный отклик системы,
но величины у [0], у [ 11. y[N— 11 не определяют состояния
системы при п = N— 1. (Необходимо, кроме них, знать х [01,
*[11..... х[М—11.) Этот случай полностью аналогичен об-
суждающемуся в задаче 3.3 для НВ-систем.
256 8. Одностороннее Z-преобразование
8.3« Представление систем дискретного времени
в частотной области
Описание и анализ ЛИВ-цепей непрерывного времени и струк-
турных схем в предшествующих главах были намного упрощены
осуществлением преобразования из временной области, в которой
элементыописываютсядифференциальнымиуравнениями, в частот-
ную область, где элементы описываются импедансами или систем-
ными функциями. Структурные связи между подсистемами (за-
коны Кирхгофа, каскадное включение, обратная связь и т. д.)
приводят в этом случае к алгебраическим уравнениям, легко
решаемым и дающим описание через системные функции соотно-
шения вход-выход в режиме РНС. Различные свойства систем-
ных функций — особенно положение полюсов и нулей — позво-
ляют немало сказать об общих характеристиках системы, не при-
бегая к явному вычислению ее реакции.
Системные функции и методы, применяемые в частотной обла-
сти, дают определенные преимущества в случае систем дискрет-
ного времени, что можно проиллюстрировать, распространяя на
частотную область структурные схемы, содержащие элементы
задержки, сумматоры и усилители (разд. 7.2). Для начала при-
помним, что элемент единичной задержки был определен в разд. 7.2
разностным уравнением
у[п + 11 = х[п]. (8.3.1)
Выполняя Z-преобразование и используя теорему упреждения,
получаем эквивалентное описание
2 (Г(г) - у [01) = X(z)
или
У(г)=^-+у[0]. (8.3.2)
Таким образом, мы можем заменить блок (элемент) задержки
в структурных схемах его трансформированным представлением,
показанным на рис. 8.13. Элементы сумматора и усилителя транс-
формируются в частотную область без изменений.
После замены каждого блока его представлением, показанным
на рис. 8.13, любая структурная схема, состоящая из элементов
задержки, сумматоров и усилителей, становится представлением
ДВ-системы в частотной области, которое обладает теми же са-
мыми свойствами, что и представление НВ-систем в частотной
8.3. Представление систем в частотной области
257
области. Некоторые основные следствия, вытекающие из таких
представлений, иллюстрируются в следующем примере.
X, W
Хг И
Y(z) =
Х|(г)-Хг(г)
у[п] =
Х|[п]-хг[п]
ХИ
=
КХ(г)
Рис. 8.13. Представления элемента задержки, сумматора и усилителя в частот-
ной области.
Пример 8.3.1
Структурная схема, показанная на рис. 8.14, получается из ка-
нонической структурной схемы общего вида (рис. 7.10) в случае,
Рис. 8.14. Система 1-го порядка к примеру 8.3.1.
когда N = 1 (схема 1-го порядка). Она эквивалентна разност-
ному уравнению
Рис. 8.15. Эквивалент системы, представленной на рис. 8.14, для частотной
области.
Заменяя блоки и переменные на их эквиваленты в частотной
области, получаем структурную схему, представленную на
рис. 8.15, Используя принцип суперпозиции и формулу Блэка
9 Сиберт У. М.
258 8. Одностороннее Z-преобразованне
для петли обратной связи, находим, исходя из рассмотрения
цепи,
' ' 1 + aoz 1 1 1 + aoz 1 '
и
Y (z) = Ь0Л (z) + (X (z) - a0A(z)).
Исключив Л (z), получаем соотношение вход-выход
Y (*) = * (*) + ^=^-гМ0].
Ug “J" £, Uq “J" 4
Его можно, конечно, проверить, применив теорему упреждения
непосредственно к разностному уравнению и использовав вы-
ражение
у[0] — [01 = (Ьо — Мо)^ [0 ]>
которое можно вывести из схемы на рис. 8.14. Чтобы найти теперь
полное решение для у [п], требуется лишь подставить соответ-
ствующее выражение для X [z 1 и произвести обратное преобра-
зование. Эти операции удобнее выполнить на числовом примере.
Пусть
а0 = 0,5 Ьо = 2, = 2, Z [0] = 1
и
х\п] =
Тогда
X(z) =----1---
’—Г"1
и
(1 + тг1)(‘-тг‘) '+тг^
— 0,2 ! 3,2
1 1 >
1—
что дает
У[п\ = -0,2 (-Ly + 3,2(4-)% п>°-
* * *
г) Выражение непосредственно следует нз уравнения цепи обратной связи:
(X (г) — Оо Л (г)) г-1 X [0 ] = Л (г). — Прим. ред.
8.3 Представление систем в частотной области 259
Из данного примера с очевидностью вытекают следующие
замечания, относящиеся к ДВ линейным инвариантным во вре-
мени системам вообще. В каждом случае важно обратить внима-
ние на параллелизм между ДВ и НВ ЛИВ-системами.
1. Полное время реакции можно рассматривать как сумму
реакции при нулевом начальном состоянии (РНС) — первый член
в уравнении для Y (г) в примере 8.3.1 и реакции при нулевом
входном воздействии (РНВ) — второй член. РНС зависит только
от входного сигнала х [п ], п 0, а РНВ зависит только от на-
чального состояния, например от выходов элементов задержки при
п = 0.
2. Если число входов больше одного, то РНС представляет
собой суперпозицию членов, описывающих эффекты от каждого
из входов в отдельности. Каждый такой член — произведение
Z-преобразования этого входа и системной функции (г), свя-
зывающей t-й вход с выходом. Таким образом, в примере 8.3.1
системная функция, связывающая выход с внешним входным
сигналом х [п], имеет вид
Ьр + kiz t
ао + 2
Обратное преобразование произведения Н (г) X (г) представляет
собой РНС при входном сигнале х [п ].
3. Системная функция и разностное уравнение, описывающее
соотношение вход-выход, вытекают одно из другого при замене
г <=>- опережающий сдвиг.
В общем случае ДВ ЛИВ-система конечного порядка описывается
разностным уравнением
S акУ 1п + &] = S (8.3.3)
4=0 1=0
а также системной функцией
N
= ---. (8.3.4)
У айг*
~ k==0
Поскольку H(z')— рациональная функция от г, то она характе-
ризуется (с точностью до постоянного множителя) расположе-
нием своих полюсов и нулей.
4. Полюсы функции Н (г) являются также корнями характе-
ристического уравнения, описывающего решения однородного
разностного уравнения
S айгА = 0. (8.3.5)
4=0
9*
260 8. Одностороннее Z-преобразованне
Если N корней этого уравнения, т. е. N полюсов H(z), обозна-
чить zlt z2, zN, то тогда РНВ имеет вид (предполагаем, что
кратных корней нет)
N
&[«]= S Лг£(РНВ), (8.3.6)
k=i
где значения N постоянных Ak определяются начальным состоя-
нием. Если для всех полюсов | zk | < 1, то РНВ стремится к нулю
и система, описываемая H(z), устойчива (в смысле соотношения
вход-выход).
5. Область сходимости H(z)— это вся область, лежащая за
пределами меньшей окружности, охватывающей все полюсы H(z).
Система устойчива, если область сходимости включает в себя
круг единичного радиуса |z|=l.
6. ДВ ЛИВ-системы можно соединять последовательно, па-
раллельно, с обратной связью и т. д., точно так же как НВ ЛИВ-
системы. Для определения сложных системных функций в случае
систем, описываемых /-преобразованиями, действуют те же пра-
вила, что и для систем, описываемых .^-преобразованиями. Так,
например, системная функция каскадно соединенных двух ДВ-
систем есть произведение их индивидуальных системных функций
и, как показано на рис. 8.16, не зависит от порядка их включения.
хсл г-::—
-----► н,(г)
Нг(г)
?(г)
[~з---1 Г—:--(
——H?(z) I--------------Н H/.z) I----►
!_____। 1____।
Рис. 8.16. Каскадное соединение ДВ-систем. Я (г) = -X— (РНС) = Hi (г) X
X Нг (г) = Н2 (г) (г).
Рис. 8.17. ДВ-система с обратной связью.
Н (г) = (Р НС) =------J*1 (Z) ~-.
Х(г) Ц-ЯДг)^ (г)
На рис. 8.17 иллюстрируется применение формулы Блэка в цепи
с обратной связью.
8.3. Представление систем в частотной области
261
Пример 8.3.2
Для дальнейшего рассмотрения некоторых из свойств, которыми
отличается представление ДВ-системы в частотной области, обра-
тимся снова к численному интегрированию уравнений, описываю-
щих цепь, приведенную в примерах 1.3.3 и 7.1.2 и повторенную
здесь на рис. 8.18.
Рис. 8.18. Схема из примера 1.3.3.
В примере 7.2.1 мы получили структурные схемы как для
НВ-уравнений состояния этой цепи, так и для системы ДВ-урав-
нений состояния, которые оказались примерно эквивалентными.
Структурные схемы отличаются лишь тем, что вместо интегра-
тора, имеющегося в НВ-схеме, в ДВ-схеме используется последо-
вательное включение усилительного элемента &t и накопителя.
Соответствующие представления для частотной области даны на
рис. 8.19. При этом представление накопителя вытекает непосред-
x(t) = ^ Y(s) = i(X(s) + y(0))
zinjAt = y[n+ 1] - y[n|
X(z)At + y[0]z
6
Рис. 8.19. Интеграторы и накопители во временной (а) и частотной (б) областях,
ственно из теоремы упреждения, примененной к определяющему
разностному уравнению. Следовательно, в частотной области
структурные схемы для ДВ- и НВ-уравнений состояния идентичны
относительно РНС и отличаются лишь заменой 1/s на A//(z — 1)
в каждой цепи интегратор—накопитель. Таким образом, любая
системная функция для ДВ-схемы будет идентична соответствую-
щей системной функции для НВ-схемы при условии замены s
на (z — 1)/АЛ В частном случае цепи на рис. 8.18 мы из соотно-
262 8. Одностороннее Z-преобразованне
шений импедансов легко получим выражение для системной функ-
ции НВ-цепи
"<s)=-fct<PHC> =
Rz Н- -^2S
(Ri + Lzs) I (R2 -|- L2s) —
------------------------4-+^ + ^
Ri + 1-iS + I /?2 -|- L2s -|-
(8.3.7)
где в последней строке подставлены значения параметров элемен-
тов, приведенные в примере 7.1.2. Положение полюсов показано
на рис. 8.20. Очевидно, что эта НВ-цепь устойчива; ее самые мед-
ленные собственные колебания имеют постоянную времени 2 • 10-4 с.
Теперь, как говорилось выше, достаточно
лишь заменить в (8.3.7) s на (z — 1)/А/, и
мы получим системную функцию, опреде-
ляющую зависимость между входом и
выходом ДВ-цепи:
Рис. 8.20. Расположение полюсов Н (s).
( г — 1 \
(РНС) = н (-&-) =
г — 1
104 Л/
(8.3.8)
Полюсы функции Н (s) находятся в точках
s = —104, —0,5-104 ±/-^--104.
Следовательно, полюсы Н (г) расположены в точках
-^=rL = —104, —0,5-104 d=10*
1л I л
или
z = 1 - 104 М, 1 — 0,5-Ю4 А/±/Х>—-104 М.
8.3. Представление систем в частотной области
263
Таким образом, положение полюсов зависит от А/, как показано
на рис. 8.21.
В примере 7.3.2 мы видели, что ДВ-система точно описывает
поведение НВ-системы при А/ 10“4 с. При очень малых А/
расположение полюсов функции Н (z) по отношению к точке
г = 1 и окружности | z | = 1 такое же, как полюсов Н (s) относи-
тельно точки s = 0 и прямой s = Такое сходство является
фактически необходимым и достаточным условием для сходства
переходных характеристик ДВ- и НВ-систем (более полно этот
вопрос обсуждается в задаче 8.9). При больших значениях А/
сходство уменьшается и при А/ > 10-4 с полюсы Н (г) становятся
больше 1, так что ДВ-«аппроксимация» оказывается неустойчи-
вой. (Переходная характеристика нашей ДВ-системы при А/ =
— 1,11- 10-4 с приведена на рис. 8.22. Сравните ее с характеристи-
Рис. 8.22. Переходная характеристика Н (г) при А1 = 1,11-10 4 с.
кой, полученной для малых А/ в примере 7.3.2.) Как отмечалось
в примере 7.1.2, такая численная неустойчивость является след-
ствием выбора простого алгоритма Эйлера аппроксимации «вперед»
для дискретной аппроксимации интегратора; в задаче 8.7 обсу-
ждаются эффекты, наблюдающиеся при других вариантах выбора
аппроксимации.
264
8. Одностороннее Z-преобразование
8.4. Выводы
Одностороннее /-преобразование
X (z) = S х [и] z~n
/1=0
играет для ДВ-систем ту же самую роль, что одностороннее .^-пре-
образование для НВ-систем:
а) Поскольку соотношение между X(z) и х[п], п^О вза-
имно однозначное, можно воспользоваться степенными рядами
или разложением на простейшие дроби для записи X(z) в виде,
из которого с очевидностью получается х[п].
б) Ряд теорем упрощает использование и получение преоб-
разований и их обращение.
в) Применение теоремы упреждения упрощает анализ ДВ-
систем, которые описываются разностными уравнениями или
структурными схемами, сводя его к алгебраическим процедурам.
г) Полную реакцию ЛИВ ДВ-систем можно рассматривать
как сумму РНС и РНВ. /-преобразование в случае РНС имеет
вид
У(г) = Я(г)Х(г),
где системная функция Я (г) для ЛИВ-систем типа оговоренных
в пункте (в), представляет собой рациональную функцию z,
которая характеризуется своими полюсами и нулями. Полюсы
определяют также форму РНВ. Такая система устойчива по
входу-выходу, если полюсы находятся внутри круга |z| = 1.
д) Разностное уравнение, определяющее зависимость между
входом и выходом, и системная функция взаимно связаны. Для
разностных уравнений или системных функций любой ЛИВ-сис-
темы нетрудно синтезировать соответствующую им структурную
схему, содержащую накопители—сумматоры—усилители или эле-
менты задержки, сумматоры и усилители.
ДВ-системы, которые мы рассматривали в гл. 7 и 8, относятся
к классу линейных и инвариантных во времени, но это не самый
общий тип ЛИВ ДВ-систем. Для таких систем наиболее общего
типа требуется расширение представления системных функций,
не являющихся рациональными функциями г, и использование
для описания во временной области операции свертывания, а не
разностных уравнений. Такое расширение мы рассмотрим в сле-
дующей главе.
Приложение к главе 8
265
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 8
Таблица 8.1. Краткая таблица односторонних /-преобразований
X (г) = х[п]г п
п=0
х [гг], п > О
Х(г)
и [n — N] = ( *’
п = О
п =#= О
п > N > О
n<N
1
п
nd1
ап cos ге0
1 — г-1
1
1 — аг-1
г-1
(1 - г’1)2
аг-1
(1 — аг-1)2
1 — a cos 0 г-1
1 — 2а cos 0 г-1 + а2г~2
ап sin п0
а sin 0 г-1
1 — 2а cos 0г-1 + а2г~2
Примечание: х [n 1 определяется Х(г) только дли п^О.
Таблица 8.2. Наиболее важные теоремы
для одностороннего /-преобразования
Линейности
Опережающего сдвига
Задержки
Умножения на ап
Умножения на п
Свертки х)
ах [nJ + by [nJ <=>
х[п + 1 ] <=>
х[п— X]u[n — NJ <=>
anx [n ] <=>
nx[nj <=>
aX (г) + bY (z)
z (X (z) — x [0])
z~NX(z), X>0
X (а~гг)
( dX (z)
dz J
x [ra]u[n] * /i[ra] u[n] = x [ffi] h [n — mJ <=Ф- X (z) H (z)
m=0
J) См. гл. 9.
266
8. Одностороннее Z-преобразование
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 8
Упражнение 8.1
Выведите следующие пары /-преобразований X (z) =
п=0
х[ге], п^О,
„ . ( 2, п = 1
а) 26 [п — 1] = <
( О, при других п
«> 1+(4-)'
Х(г).
2г-1.
г (4г — 3)
2г2 — Зг + 1 •
4 —г’1
4 — 2г-1 + г~2 •
г(г+ 1)
(г-1)3 •
Г)
Упражнение 8.2
Дополните следующую таблицу односторонних /-преобразований, найдя выра-
ОО
жения для х[/г], п > 0 или X (г) = х [п] г~п в зависимости от того, что
л=0
требуется. Для каждой пары изобразите как х [п], п 0, так и диаграмму
расположения полюсов и нулей, соответствующих X (г):
х [гг], п^О Х(г).
а) 2, прн всех п < ;=> ?
б) ? 6z-i—г"!
в) ch 2п < ?
г) (я+1)3-" ?
д) ? < 1 4г2 — 1
fl, П гС 2
е) Х ~ 1 (1/2)л"2, п>2 4 => ?
Ответы:
>7^Т. «> 0.6.->.0.0........... > 1-27сЙ)У+^
г2 Г 0, п — 0, п нечетное, г2 -|- (1/2) г + (1/2)
Г) (г —(1/3))2 ’ Д) ( (1/2)л, при других п, ® г(г-(1/2))
Задачи к главе 8
267
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 8
Задача 8.1
Обсуждавшиеся в разд. 7.2 способы синтеза схем из элементов задержки, сумма-
торов и усилителей — это всего лишь некоторые из многочисленных возможно-
стей реализации эквивалентных схем ДВ-систем. В данной задаче исследуется
несколько других подходов.
а) Составьте из элементов задержки, сумматоров и усилителей структурную
схему канонического типа (разд. 7.2), реализующую системную функцию
Н (Л - 3 - Зг"’
[ > 1+0,5г-1 —0,5г-2 •
~ б) Разработайте эквивалентную структурную схему, разложив сначала
Н (г) на простейшие дроби, а затем реализуя каждый из членов разложения по
отдельности и соединив, наконец, отдельные части параллельно (с сумматорами).
в) Разработайте еще одну эквивалентную структурную схему, записав
сначала Н (г) в виде произведения
й , , Г * 1 Г 1 — Рг-i 1
г L 1 - аг“’ J L 1 — j ’
реализуя затем каждый из сомножителей по отдельности и соединив, наконец,
отдельные части последовательно.
г) В приведенном здесь примере полюсы являются действительными, а это
означает, что все потребовавшиеся коэффициенты усиления также действитель-
ные. Предложите некоторую модификацию процедур пунктов (б) и (в), такую,
чтобы она позволила реализовать Н (г), имеющую более двух (возможно, ком-
плексных) полюсов, но выполненную по-прежнему только на усилителях с дей-
ствительными коэффициентами усиления.
Задача 8.2
В некотором редком виде насекомых каждая самка откладывает яйца два раза
на протяжении своей жизни с интервалом в одну неделю и сразу после этого
умирает. Тщательными экспериментами удалось установить, что все самки этого
вида откладывают яйца в один н тот же день недели — понедельник, — причем
каждая самка в первый раз откладывает ровно 80 яиц, а во второй раз — 500 яиц.
Было установлено также, что из 50 % яиц примерно через день вылупляются
насекомые (оставшаяся часть яиц поедается черепахами), половина которых,
будучи особями женского пола, достигает зрелого возраста и в первый раз от-
кладывает яйца в понедельник следующей недели.
а) Сколько недель потребуется популяции зрелых самок (безвредных сам-
цов учитывать не будем) для того, чтобы возрасти более чем в 10е раз? (Для кон-
кретности ведите счет на утро каждого понедельника.)
б) Предположим, что раз в неделю (по субботам) применяется инсектицид,
разумеется без остаточного действия, который убивает долю а всех насекомых,
только что вылупившихся нз яиц. Этот инсектицид не действует на взрослых
самок, уже отложивших яйца один раз. Каким должно быть а, чтобы численность
популяции оставалась неизменной?
Задача 8.3
Система дискретного времени описывается разностным уравнением
У [и -j- 2] = у[п 1] -|~ 2г/£гг] ~|~ х[п Ц- 2] -|~ --) 1 ].
268
8. Одностороннее Z-преобразование
а) Найдите системную функцию Н (г), характеризующую эту систему. Пока-
жите положение ее полюсов и нулей на Z-плоскости.
б) Определите отклик (реакцию) этой системы на входной сигнал
х[п] = Зпи [га].
в) Определите отклик этой системы на входной сигнал
х[ге] = 3", п > 0, если у [О ] = 0, у[1] = 0.
Почему ои не совпадает с РНС, найденным в случае б) при том же самом вход-
ном сигнале?
Задача 8.4
а) Найти и представить графически отклик показанной на рис. 8.23 ДВ-си-
стемы на входной сигнал
п = 0,
и =/= 0.
Рис. 8.23.
б) При входном сигнале х[п]= (1/2)п и [п] определите выходной сигнал
у[п] при п = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найдите также у [ге] при п = 100, 101, 102, 103.
(Приемлемы ответы с ошибкой до 1 %.)
в) Показанная выше система модифицируется введением в нее усилителя
с коэффициентом усиления 0,9, как изображено на рис. 8.24. Найдите и изобра-
Рнс. 8.24.
зите графически отклик этой модифициоованной системы на тот же самый вход-
ной сигнал, что и в случае (а).
г) Напишите разностное уравнение, связывающее х[га] и у[п] для системы
пункта (в).
д) Найдите системную функцию Н (г) и преобразуйте выход /(г) системы
пункта (в) при входном сигнале пункта (б).
Задачи к главе 8
269
Задача 8.5
а) Какова системная функция Н (г) этой дискретной по времени системы
(рис. 8.25)?
б) Определите любым способом отклик на единичную ступеньку х[п] =
= и [га].
Задача 8.6
а) Докажите следующие теоремы для одностороннего /-преобразования:
ТЕОРЕМЫ О НАЧАЛЬНОМ И КОНЕЧНОМ ЗНАЧЕНИЯХ.
1) х [0] = lim X (г),
Z-*oo
2) х [оо] = lim (г— 1) X (г) (если предел существует). (Совет. Первое
Z-*l
не должно вызвать каких-либо трудностей. Второе основывается на соображе-
нии, что эта теорема — по существу дискретный аналог теоремы о конечном зна-
чении для 3-преобразования. Докажите сначала, что /-преобразование х [га +
+ 1 ] — х [га ] есть
Л’ ~
lim V [х [га + 1] — х [га]] г~п = гХ (г) —гх [0] — X (г).
Переходя к пределу при г -> 1 в обеих частях равенства и допуская, что порядок
переходов к пределу слева можно поменять, получаем
N
lim (г — 1) X (г) — х [0] = lim J] [* + 1] —х [га]].
Z->1 Л'ч-ОЭ n_Q
Выписав несколько членов суммы справа, убедимся, что предел, если он суще-
ствует, равен х [оо]— х [0], что и дает требуемый результат.)
б) Примените эти теоремы к таблице /-преобразований, вынесенной в при-
ложение к этой главе.
Задача 8.7
а) В разд. 7.1 и задаче 7.1 кроме алгоритма Эйлера «вперед» обсуждаются
также несколько других алгоритмов интегрирования. Покажите, что использо-
вание одного из этих других алгоритмов эквивалентно замене интеграторов
в структурной схеме НВ-системы на один из вариантов ДВ-накопителя, описы-
270
8. Одностороннее Z-преобразованне
ваемого в частотной области по одному из трех способов, изображенных на
рис. 8.26.
Алгоритм
Эйлера
" назад"
Правило
трапеций
г2_, [ + /[l] - ((г + 4) х[0] + x[l])]
Правило
Симпсона
Рис. 8.26.
б) Покажите, что разностные уравнения, полученные таким образом с ис-
пользованием алгоритма Эйлера «назад» или аппроксимации по методу трапеций,
описывают устойчивые ДВ-системы при любом А/ и любой устойчивой НВ-си-
стеме. (Совет. Определите на з-плоскости область, соответствующую области
| z | 1, если s= 1/Hi (z), где Hi (z)— системная функция ДВ-накопителя,
описываемого данным алгоритмом. Это как раз та область, в которой должны
лежать полюсы s-плоскости для выполнения условия устойчивости ДВ-аппрокси-
маппи. Чтобы определить эти области, воспользуйтесь тем, что при отображениях
такого типа окружности (и прямые линии, являющиеся окружностями бесконеч-
ного радиуса) отображаются в окружности и прямые; окружность определяется
тремя точками.)
Рис. 8.27.
в) Докажите, что из полученных в предыдущем пункте задачи результатов
вытекает одно важное свойство аппроксимации по методу трапеций: при любом
значении А/ ДВ-спстема неустойчива тогда и только тогда, когда неустойчива
НВ-система, по аналогии с которой она построена.
Задачи к главе 8
271
г) Если правило Симпсона использовать таким же образом, то каждому
полюсу в s-плоскости будут соответствовать два полюса в z-плоскости. Выведите
формулы для выражения г-полюсов через s-полюс. Покажите, что один из этих
г-полюсов всегда имеет |z| 1, так что ДВ-система всегда неустойчива незави-
симо от величины А^ или свойств НВ-системы. Это означает, что правило Симп-
сона для наших целей неприменимо. (Совет. Левая и правая полуплоскости
s-плоскости дважды отображаются на области г-плоскости, как показано на
рис. 8.27.)
Задача 8.8
Один из полезных способов синтеза ДВ-систем предусматривает выбор такой
Н(г), при которой отклик у(п1 на ДВ единичную ступенчатую функцию иа
входе х[п] = и[п] совпадал бы с выборками из отклика некоторой НВ-си-
стемы H(s) на НВ единичную ступенчатую функцию x(t) = u(t). Иначе говоря,
мы ищем
У [га] = у (пТ),
где Т — некоторый подходящий интервал выборки (рис. 8.28). Действуя таким
образом, можно получить в ДВ-системе известные полезные свойства исходной
НВ-системы. Переход от Н (s) к Н (г) называют преобразованием, инвариантным
по отношению к ступенчатой функции.
Рис. 8.28. у (!)— НВ-отклик на единичную ступенчатую функцию; у [п] =
= у (пТ) — ДВ-отклик на единичную ступенчатую функцию.
а) Выведите инвариантное по отношению к ступенчатой функции Н (г),
соответствующее Н (s) = ——, а > 0. Покажите положение полюсов и нулей
Н (г) в зависимости от а и Т. Сравните с диаграммой полюсов и нулей Н (s).
б) Нарисуйте структурную схему для реализации Н (г) с использованием
усилителей, сумматоров и накопителей аналогично тому, как это делалось
в разд. 7.2 и 8.3. Сравните полученную схему с соответствующей реализацией
Н (s), в которой используются усилители, сумматоры и интеграторы.
в) Нарисуйте структурную схему для реализации Н (г) с использованьем
усилителей, сумматоров и элементов задержки, как это делалось в разд. 7.2
и 8,3.
t) Повторите задание пункта (а) тля случая 'Г -- 0,02 и системы <: острым
резонансом Н (s) •-
"I')! •
272
8. Одностороннее Z-преобразование
Задача 8.9
В системе, управляемой на основе выборки данных и показанной на рис. 8.29,
из выходного сигнала у (/) НВ-системы Н (s) производится выборка, которая
после некоторой обработки приобретает вид последовательности г In] и снова
преобразуется в НВ-сигнал г (0- Этот сигнал вычитается из управляющего вход-
ного сигнала х (f), в результате чего формируется сигнал ошибки е (/), который
и становится входным сигналом, поступающим иа вход Н (s). Обычно цифро-
аналоговый преобразователь (ЦАП) представляет собой фиксатор нулевого
порядка (см. рис. 8.31 и задачу 7.4). Система, показанная на рис. 8.29 и 8.31,
линейная, но из-за воздействия сигналов синхронизации на преобразователи
является изменяемой во времени. Если же, однако, х (t) имеет такой же ступен-
чатый характер, как г (!) на рис. 8.30 (или если мы хотим аппроксимировать
реальную сглаженную форму х (t) такой функцией), то легко показать, что си-
стема рис. 8.29 эквивалентна ЛИВ ДВ-системе, изображенной на рис. 8.31.
п
Рис. 8.30,
г( /) = г[п], пТ< f < (п +1)7
(В этой последней х[п] и е[п] также связаны с х (f) и е (t), как г [п] с г (/).)
Пусть теперь И (г) будет системной функцией эквивалентной ДВ-системы, обве-
денной на рис. 8.31 пунктирной линией.
а) Покажите, что Н(г) связано с H(s) инвариантным по отношению к сту-
пенчатой функции преобразованием, иначе говоря, если ys(t) есть отклик Н (s)
на НВ единичную ступенчатую входную функцию e(f) = u(t) и если ys [п ] есть
отклик Н(г) на ДВ единичную ступенчатую функцию е[га] = и [га], тогда
Уз [га] = Уз (пТ) для всех п. См. также задачу 8.8.
б) Предположим, что Н (s) неустойчива, и пусть конкретно
1
S — 1 ’
Ж«) =
Re [s]> 1.
Задачи к главе 8
273
Покажите, что
Я(г) =
(ег-1)г~>
1-Л’1
и также неустойчива, поскольку Т > 0.
Рис. 8.31.
в) Предположим, что Н (s) то же самое, что в пункте (б), и что G (г) = К-
Определите диапазон значений К, при которых ДВ-система с обратной связью
(рис. 8.31) устойчива.
Задача 8.10
а) Измеренный отклик h [nJ на входной сигнал единичной выборки х [п] =
= 6 [п] некоторой ДВ-системы показан иа рис. 8.32. Постройте отклик у [п]
*[п]
h[n]
h[n]
УМ
1,056
О | 2 4 Т’5266 °-°.88 8 °'?23
' | -0^71 ’-0,043 * ’
-0,602
"-1,667
Рис. 8.32.
данной системы иа подаваемую на ее вход единичную ступенчатую функцию
х[п] = и[п]. Оцените отклик для п 8.
б) Хорошее соответствие полученным экспериментальным результатам дает
формула
*['|’»[(-Я-(-т)']' п>°-
10 Сиберт У. М .
274
8. Одностороннее Z-преобразование
Найдите в замкнутой форме выражение для системной функции И (г), соответ-
ствующей этой формуле,
Н(?)= £ h[n]z~n.
п=а
в) Выброс, имеющийся в отклике данной системы на ступенчатую функцию,
во многих случаях весьма неприятен. Предлагается компенсировать данную
систему, включив последовательно с ней (как показано на рис. 8.33) еще одну
систему, описываемую разностным уравнением
w [га] = ау [га] -|- by [п — 1 ] + су [га — 2].
Рис. 8.33.
Определите значения постоянных а, b и с, при которых суммарный отклик на
выходе последовательно включенных систем был бы просто задержанной единич-
ной ступенчатой функцией и[п—1 ].
г) Предложите вариант реализации компенсирующей системы, описываемой
разностным уравнением в пункте (в), используя в нем линии задержки, усили-
тели и сумматоры.
Задача 8.11
Пусть вы играете с приятелем в игру «совпадающие монеты». У каждого из вас
имеетси столбик медных монет одинакового достоинства. Вы сравниваете верх-
ние монеты столбиков. Если обе верхние монеты лежат вверх орлом или решкой
(т. е. если они «совпадают»), то вы забираете обе монеты и кладете их в самый
низ вашего столбика. В противном случае выигрывает ваш партнер и кладет
обе монеты в основание своего столбика. Затем сравниваются следующие верх-
ние монеты. Игра заканчивается, когда все монеты окажутся в одном столбике —
у вас или у вашего партнера.
Допустим, что в некоторый момент в вашем столбике насчитывается п монет,
а в столбике вашего партнера — tn = N — п монет. Считая, что суммарное число
монет N фиксировано, определим вероятность р[п] того, что вы выиграете иа
данном шаге. Очевидно, что р[0] = 0 (вы проиграли) и р[У] = 1 (вы выиграли).
В общем случае должно выполнятьси разностное уравнение
Р In + 1 ] = -у Р [п + 2] + А- р [га].
(Если начать с ситуации, когда у вас п 1 монета, то с вероятностью 0,5 вы
получаете еще одну монету и у вас становится п + 2 нли с той же вероятностью 0,5
проигрываете одну монету и оказываетесь в положении с п монетами.) Используя
методы /-преобразования для решения этого уравнения в заданных граничных
условиях, найдите р [га] для любого га при 0 га N.
РЕАКЦИЯ НА ЕДИНИЧНЫМ ОТСЧЕТ
И СВЕРТКА В ДИСКРЕТНОМ
ВРЕМЕНИ
9.0. Введение
Функция единичного отсчета
fl, п = О,
О, .*0,
—•—•—•—•—•----•—•—»—•—►л
-5 -4 -3 -2 -I I 2 3 4
Рис. 9.1. Изображение б [га].
введенная в примере 8.1.3 и показанная на рис. 9.1, играет исклю-
чительно важную роль в теории ЛИВ-систем дискретного времени.
Действительно, РНС на 6 [п ], названная реакцией на единичный
отсчет* 2) и обозначаемая символом h[nl, полностью характери-
зует РНС на любой другой входной сигнал. Отсюда сразу же (для
класса изучаемых нами систем) получаем
а) Z-преобразование единичного отсчета имеет вид
У1! 6 [n] Z'n = 1 .
л=0
б) Z-преобразование реакции на единичный отсчет, следо-
вательно, равно Н (z) X 1. Таким образом, реакция на единичный
х) В некоторых работах б [га ] называют единичной импульсной функцией
дискретного времени.
2) Поскольку единичный отсчет по определению равен нулю при всех п О,
включая, в частности, все п < 0, мы будем считать, что h [п] — это безусловно
РНС. Это согласуется с тем, о чем мы договаривались ранее в отношении реак-
ций на единичную ступенчатую функцию как систем непрерывного времени,
так и дискретного времени. И если б [га] называют единичной импульсной функ-
цией дискретного времени, то Л [га] называют реакцией иа единичный импульс.
276 9. Реакция иа единичный отсчет и свертка
отсчет и системная функция представляют собой пару /-преобра-
зования
Л In] о Н(г)
(откуда становится понятным выбор символа h [п ] для обозначе-
ния реакции на единичный отсчет).
в) При заданной h[n] мы можем найти РНС на произвольное
входное воздействие х[п], преобразуя Мп] и х[п] и выполняя
затем обратное преобразование произведения Н (z) X (z).
Но (как мы покажем ниже) при 'заданной h[n] можно рассчи-
тать РНС на произвольное входное воздействие х[п] непосред-
ственно во временной области — без выполнения преобразования,
умножения и обратного преобразования — с помощью процесса,
называемого сверткой
п
y[n]= X x[m]h[n — т].
т=0
Нашей первой задачей в этой главе будет изучение того, ка-
кими особенностями обладает свертка и какую эквивалентность
в смысле описания «вход-выход» можно установить между ней
и поведением системы разностных уравнений или соответствующей
структурной схемой. Такое изучение важно по следующим при-
чинам:
1. Представление о поведении РНС ЛИВ-систем с помощью
свертки часто оказывается более простым или более глубоким,
чем при использовании разностных уравнений, системных функ-
ций или структурных схем.
2. Формула свертки часто допускает эффективную реализа-
цию операций, выполняемых ЛИВ-системами, с помощью машин-
ных алгоритмов или специальных аппаратных средств.
3. Операцию свертки легко обобщить для описания более ши-
рокого класса ЛИВ-систем дискретного времени, чем мы рассма-
тривали до сих пор.
В гл. 10 мы осуществим такое обобщение на схожий, но мате-
матически более тонкий случай ЛИВ-систем непрерывного вре-
мени общего типа.
9.1. Теорема свертки и /-преобразование
Начнем с доказательства следующей теоремы:
Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СВЕРТКИ
Пусть
у[п] = Ё x[m]h[n — т]. (9.1.1)
т=0
9.1. Теорема свертки и Z-преобразование
277
Тогда /-преобразование у[п] имеет вид
?(z) = X(z)H(z),
где X (z) и Н (z) есть /-преобразования х(п) и Л [л]
соответственно.
Эта теорема включена в сводку свойств /-преобразования (при-
ложение к гл. 8). Для доказательства теоремы, оценим Y (г) не-
посредственно;
(г) = S У W £
п=0 п=0
’ п
2J х[т] hln~ т] z~n.
_ m=0
(9.1.2)
Перепишем (9.1.2) в виде
(9.1.3)
Выполняя сначала1) суммирование в (9.1.3) по п, находим
Но, поскольку единичная ступенчатая функция при отрицатель-
ных значениях ее аргумента обращается в нуль, выражение, за-
ключенное в квадратные скобки в (9.1.4), оказывается равным
S h [л] z~n = Н (г) (9.1.5)
п=0
и не зависит от т. Оставшаяся же сумма дает
Y (z) == X (z) Н (г), (9.1.6)
что и требовалось доказать.
Пример 9.1.1
В разд. 8.3 были даны определения накопителей, описываемых
алгоритмом Эйлера «вперед», как во временной, так и в частотной
областях (рис. 9.2). Системная функция такого накопителя имеет
вид
#(г) = “Т = тЙ*- (9л-7)
*) Изменение порядка суммирования требует, чтобы суммируемые члены
достаточно быстро стремились к нулю при п, т-* <х>. Это всегда имеет место,
если г находится внутри общей области сходимости И (г) и X (г).
278
9. Реакция иа единичный отсчет и свертка
Из таблицы Z-преобразований (приложение к гл. 8) следует, что
реакция накопителя на единичный отсчет (рис. 9.3) равна
1, n 1,
_ - п (9.1.8)
О для всех других значении гг).
h[n] = и[п — 1] =
Рис. 9.2. Представление накопителя, описываемого алгоритмом Эйлера
по временной и частотной областях. t/[n -f- 1] — у [л] = x[n]; Y (г) =
, гу 10]
+ ггт-
«вперед»,
% (г)
г- 1 +
Ah И
„'.ВШИВ.
-2-1 т I 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис. 9.3. Реакция на единичный отсчет
накопителя, описываемого алгоритмом
Эйлера «вперед».
Тогда из теоремы о свертке следует, что РНС на произвольное
входное воздействие х[п], равна
п п
y[n] = х [m] h [n — m] = S x [m] и [n — m — 1]. (9.1.9)
0
Как функция от m
{1, m<Z.n,
n \ (9.1.10)
0, m n, ' >
-2 -I
-►m
Рис. 9.4, График и [n — т — 1 ].
что графически показано на рис. 9.4. Отсюда следует
У In] =
• л—1
S х[т],
т=0
I О,
п 1,
/1 = 0.
(9.1.11)
х) Строго говоря, (9.1.7) определяет h[n] только для п 0. Фактически
этого достаточно для того, чтобы оценить сумму, описывающую свертку в та-
ких же пределах, как в (9.1.1). Но в более общем случае ЛИВ-систем дискрет-
ного времени, с которыми мы вскоре познакомимся, накопитель, описываемый
алгоритмом Эйлера «вперед», является каузальной системой, для которой под-
разумевается, что h[n] = 0 при п < 0.
9.1. Теорема свертки и ^-преобразование
279
Уравнение (9.1.11) описывает, разумеется, РНС, соответствую-
щую у [0] = 0. Если же у [0 ] =/= 0, то к РНС нужно добавить
обратное преобразование выражения
гр[0] _ р[0]
г—1 1—г-»’
которое, согласно табл. 8.1 (приложение к гл. 8), есть константа
у [01 при всех п > 0. Таким образом, полная реакция записы-
вается в виде
п-i
0[n] = */[Ol+ S х[т], (9.1.13)
т=0
оправдывающем название «накопитель» и с очевидностью показы-
вающем его связь с интегратором непрерывного времени.
Пример 9.1.2
Пусть мы хотим найти реакцию J/[nl системы, показанной на
рис. 9.5, на входную единичную ступенчатую функцию х [га] =
Рис, 9.5. ДВ-система и входное воздействие для примера 9.1.2.
= и [га]. Из формулы для обратной связи или из выражения,
определяющего выход сумматора при условии РНС
Y (z) = X (z) + az-W (2),
получаем системную функцию в виде
,ih[n] = о", л>О
I" О<о<|
-------И 1 111 I >п
-2 -1 12 3 4 5 6 7
Рнс. 9.6. Реакция системы, показанной на рис. 9.5, на единичный отсчет.
Выполняя обратное преобразование, находим реакцию системы
на единичный отсчет, показанную на рис. 9.6. Тот же самый ре-
280
9. Реакция иа едииичиыб отсчет и свертка
зультат можно получить непосредственно из структурной схемы.
Таким образом, при нулевом состоянии у [0 ] = х[0 ] = б [0 ] =
= 1 = А [0]. В момент п = 1 выход линии задержки равен
у[0] = 1,' и по цепи обратной связи к сумматору поступает
сигнал ау [0 ] = а; поскольку х [ 1 ] = 6[1 ] = 0, мы приходим
к выводу, что у [1 ] = ау [0] = а = й[1 ]. Аналогично h [2] =
= б[2] + ah[\] = а2 и т. д.
Чтобы рассчитать отклик по формуле свертки
п
y[n] = X[m]h[n — т],
т=0
имеет смысл построить графики х [ml и h [п — т] в зависимости
от т для некоторого типичного значения п. На рис. 9.7 такие гра-
фики построены для п = 3.
Рис. 9.7. График х [ml и к [3 — ml.
Обратим внимание на то, как ведет себя график h [3 — ml,
если начертить его в обратном направлении из точки т = 3.
Отчасти это объясняет термин «свертка», который буквально озна-
чает «свертывание вместе». Из приведенных на рис. 9.7 графиков
можно подсчитать
3
у[3] = Е х[т]Л[3-т] = х[0] й [3] + х [1] й [2] + х [2] й [1] +
т=0
+ х[3]й[0] = 1-а3+ 1-аа + Ьа + Ы
(здесь мы воспользовались формулой 7.3.4 для частичных сумм
геометрической прогрессии). В общем случае
1 — лп+1
’ П>°- (9-1.14)
С целью проверки, используя Z-преобразования, находим
Г(г)-Х(г)Й(г) = .|=!ГГ|
1/(1-а) , а/(а—1)
“ 1 — г-i "Г 1 - аг-i ’
9.1. Теорема свертки и Z-преобразование
281
так что
У 1П1 = Т“---1-~ТаП ~ 1 1 й"
» 1 > 1 — а ' а — 1 1 —
1 — ап+1
Рис. 9.8. у [п ] = —1 ——и [л].
согласуется с выражением (9.1.14). График у[п\ построен на
рис. 9.8
* * ♦
Пример 9.1.3
Выполнению свертки дискретного времени часто может помочь
простое устройство. Запишем последовательности чисел xln]
и hl—п] на отдельных полосках бумаги, как показано на
h[n]
-3-2-1 12 3 4 5 6
----------п42------------
X [n’j —•• 5 0 О 0-2 I 2-1 О
о[-п] —> | о о о о 2 I Гф
Произведение —► 0 000 4-1 ОО
Сумма произведений - 3 = у [4]
Рис. 9.9. Механическое приспособление для упрощения вычисления свертки.
рис. 9.9. На обеих полосах пометим маленькими стрелками точки
п = 0. Обратим внимание на то, что hl—п] является обратной
последовательностью относительно h In], так что она строится
в обратном направлении от п = 0. Будем сдвигать одну полосу
относительно другой. Вычисление суммы произведений стоящих
друг против друга чисел при каждом сдвиге дает последователь-
282 9. Реакция на единичный отсчет и свертка
ность у [п ]. На рис. 9.9 показано положение полос при п = 4;
результаты для всех значений п приведены на графике рис. 9.10.
5!'Гл]
12 I 5
О—О—О—--1 - 1 , о—О—О—О~—О—» Л
-3-2-1 . 3 4 | 6 7 8 9 10
-5- 1
Рис. 9.10. Результат свертки, проиллюстрированной на рис. 9.9.
* * *
Способ, проиллюстрированный примером 9.1.3, особенно эф-
фективен, когда h[n] отлично от нуля лишь для конечного числа
значений и; такого рода систему часто называют КИХ-системой
(с конечной импульсной характеристикой). В противоположность
этому h [п] = ап, п'^- 0, имеет ненулевые значения при любых
больших п, и ее называют БИХ (бесконечной импульсной
характеристикой). КИХ-системы можно моделировать нерекур-
сивным или трансверсальным фильтром, который был показан
первоначально на рис. 7.8 и здесь на рис. 9.11 (для рассмотренной
Рис. 9.11. Трансверсальный фильтр, реализующий h [л] из примера 9.1.3.
выше h [и]). Рекурсивные (с обратной связью) системы типа пока-
занной на рис. 7.9 приводят к БИХ, иллюстрацией чему может
служить рис. 9.6 в примере 9.1.2.
В примере 9.1.3 как hln], так и х[п] имеют конечную дли-
тельность. Их /-преобразования являются, таким образом, просто
многочленами по г-1 и, следовательно, допускают простой способ
проверки полученного выше результата. Итак,
X (г) =—2г-12г-2 — г-3 и Н (г) = —1 -ф г-1 2г-2,
значит,
Y (г) = Н (г) X (г) = (—2 + z"1 + 2г"2 - z~s) (—1 + г’1 + 2г’2) =
= 2 - Зг-1 - 5г"2 + 5г'3 + Зг~* - 2z"5,
из которого следует yin], построенная на рис. 9.10.
1) Такие сокращения дублируют название для h[n] (ДВ-реакции иа еди-
ничный импульс), о котором упоминалось в сноске разд, 9.0.
9.2. Свертка и ЛИВ-системы
283
9.2. Свертка и линейные инвариантные
во времени системы общего типа
Формула
у[п] = 2 x[m]h[n — m] (9.2.1)
m=0
представляет собой частный случай более общей формулы свертки
у[п] — Е х[т] h[n — т\. (9.2.2)
т——со
Общая формула описывает линейную и инвариантную во времени
операцию над х [п], удовлетворяя двум условиям:
ЛИНЕЙНОСТИ (СУПЕРПОЗИЦИИ):
Если хДп] и х2[п]— какие-либо два произвольных
входных воздействия в результате некоторой операции
над ними дают на выходе соответственно хорошо опреде-
ленные г/i[п] и у2[п], так что
Xj[n] У! [п],
х2[п] у21п],
то говорят, что операция линейна, если выполняется
условие
х[п] = axx[n] + bx2[n] у[п] = ayx[n] + [лг ]
для всех постоянных а и Ь.
ИНВАРИАНТНОСТИ ВО ВРЕМЕНИ
Если х [и] — какое-либо произвольное входное воздей-
ствие в результате некоторой операции дает на выходе
хорошо определенную у[п], так что
х[п ] -* у [п ],
то говорят, что операция инвариантна во времени, если
выполнено условие
х[п — N]^y[n — N]
для всех —оо < N < оо.
Доказательства в обоих случаях получаются практически сразу,
если под термином «хорошо определенный» понимать, что сходи-
мость бесконечной суммы (9.2.2) не зависит от порядка суммиро-
вания.
Определенные здесь условия линейности и инвариантности во
времени операций те же самые (за исключением перехода от непре-
284 9. Реакция иа единичный отсчет и свертка
рывного времени к дискретному), что и условия, определенные
в гл. 1 для ЛИВ-элементов. Отметим, однако, что система, состоя-
щая из ЛИВ-элементов, описывается ЛИВ-операцией только при
нулевых начальных условиях.
Операция, описываемая выражением (9.2.2), не только ли-
нейна и инвариантна во времени, но является также наиболее
общей операцией дискретного времени, удовлетворяющей усло-
виям и линейности, и инвариантности во времени. Наиболее пря-
мой способ показать это заключается в следующем:
1. Входное воздействие б[и! порождает некоторый выход;
назовем его й[п1.
2. Если система инвариантна во времени, то входное воздей-
ствие 6 [п — т 1 при любом фиксированном целом значении т
должно давать выход h [п — ml, —оо < m < оо.
3. Произвольное входное воздействие х [п 1, —оо < п < оо,
можно записать в виде
Х[П]= ••• +х[—1]6[п+ 1] + х[0]6[П] + х[1]6[Д— 11+ ••• =
= S х [т] б [п. — иг]. (9.2.3)
Л=—СО
4. Следовательно, в силу линейности выход для х [п 1 должен
быть
у[п]= ...+х[-1]й[п+1] + х[0]й[п] + х[1]й[п-1]+-.. =
= S х [ml h [п — т]. (9.2.2)
т=—-со
Таким образом, мы показали, что любой ДВ ЛИВ-оператор можно
записать в виде свертки (9.2.2). Одна пара вход-выход, 6 [и]
—*-й[п1, характеризует реакцию общего ДВ ЛИВ-оператора на
любой другой вход х). Вышеприведенные доводы иллюстрируются
на рис. 9.12.
Общая формула свертки (9.2.2) представляет собой суммиро-
вание бесконечного числа членов. Результат будет конечным
лишь тогда, когда большинство членов исчезающе малы и, сле-
довательно, по меньшей мере одна из двух последовательностей,
х[п] и й[—п] должна достаточно быстро стремиться к нулю
при п->±оо. Существует несколько способов добиться желае-
мого результата. Самый простой из них — наложить два усло-
х) Заметим, что реакция иа одно входное воздействие 6 [п] в общем случае
ие характеризует поведение нелинейной системы, и реакция на единичный отсчет
описывает поведение линейной изменяющейся во времени системы только в том
случае, если такие реакции известны для отсчетов, воздействующих в каждый
момент времени.
9.2. Свертка и ЛИВ-системы
285
вия, приводящие к частному случаю (9.2.1), к которому мы пришли
ранее на основе /-преобразований:
,x[n]
VLb.-.
ix[-l]8[n+l] nx[-l]h[n+l]
I .................... . t J................
,x[0]8[n] *x[O)h[n]
. I | Т. ...
|Х[118[л-Ц 4X[l]h[n-l]
-------»—n =е> ♦ » » -j-t................;
1 . у[л].,
Рис. 9.12. у [л] — х [—1 ] h [л + 1 ] + х [0] h [л] + х [1 ] h [л — 1 ]-{-•• •.
1. Ограничим рассмотрение системами каузального1) типа,
т. е. такими, для которых
hin] = 0, п < 0. (9.2.4)
2. Будем рассматривать только такие входные воздействия,
которые при п < 0 обращаются в нуль, т. е.
х [п] = 0, п <_ 0. (9.2.5)
Слагаемое хIm] hin— т] в выражении (9.2.2) тогда обра-
щается в нуль для т < 0 (так как х[т] равно нулю для т < 0)
и также для т > п (поскольку h In — т] равно нулю при п — m<Z
< 0). Это означает, что при конечном п сумма содержит конечное
число членов и, стало быть, она конечна, если х[п] и Л[п] —
последовательности членов конечной амплитуды. Каузальность —
естественное допущение для того класса систем, который мы до
сих пор изучали; мы не предполагаем возникновения реакции
системы до начала воздействия на нее. Ограничение входных
воздействий нулевыми значениями при п < 0 приводит к нулевому
состоянию при п = 0, и только при таких условиях поведение
каузальных ЛИВ-систем удовлетворяет условиям ЛИВ-операции.
Однако существуют и другие условия, налагаемые на hin]
и х[п], которые могут гарантировать существование у In]
в (9.2.2). Такое операторное описание ЛИВ-систем, сохраняет
х) Выбор и смысл этого термина более полно мы рассмотрим в гл. 10.
286
9. Реакции на единичный отсчет и свертка
многие их аналитические преимущества, изучавшиеся нами до
сих пор, и обладает дополнительными полезными свойствами,
которые будут обсуждаться в следующих главах. Вероятно, са-
мый простой альтернативный набор условий требует, чтобы:
1. h[n] являлась абсолютно суммируемой, т. е.
со
S |= Яо< оо; (9.2.6)
п——со
2. х[п] было ограничено по величине, т. е.
| X [^]| ^тах 00•
Легко видеть, что этих условий достаточно для того,
из (9.2.2) было ограниченно, поскольку
(9.2.7)
чтобы у{п\
|ЯИ]| =
x[m]h[n — т]
т——со
| х [т]| | h [п — ш]|
СО
^гпах I h ~ max Л g оо.
—со
(9.2.8)
Иными словами, условие (9.2.6) гарантирует, что ограниченное
входное воздействие порождает ограниченный выход. Таким об-
разом, условие «ограниченный вход — ограниченный выход»
(ОВОВ) является условием устойчивости. Более того, выражение
(9.2.6) является как необходимым, так и достаточным условием
для ОВОВ-устойчивости, так как если \h [n 11 не ограничена,
П——со
то имеется по крайней мере один ограниченный входной сигнал,
а именно
f 1, h[—п]>0
x[n] = sgn{ft[—и]} = { _ (9-2.9)
что дает
у[0] = 2 x[m]h[—т} = £ |/z[—т]|, (9.2.10)
т=—со т=—со
неограниченное согласно исходному предположению. Отсюда сле-
дует, что поведение ОВОВ-устойчивых ЛИВ-систем, возбуждае-
мых ограниченными входными воздействиями, также описывается
формулой свертки (9.2.2). Заметим, что такие системы не обяза-
тельно должны быть каузальными, а входные воздействия —•
нулевыми при п <Z 0.
Как мы увидели, изучение динамики РНС ЛИВ-систем, удовле-
творяющих условию каузальности
& [га] = 0, п <. 0,
9.2. Свертка и ЛИВ-системы
287
тесно связано с разностными уравнениями, системными функ-
циями, ^-преобразованиями и описанием прошлого состояния
системы через ее настоящее состояние. Такой подход особенно
удобен для тех задач, которые можно назвать задачами управле-
ния в дискретном времени. Игнорируя условия каузальности
контроллера, мы пренебрегаем тем, что часто является наиболее
существенной проблемой при проектировании системы управле-
ния. Дело в том, что некаузальный контроллер может точно пред-
сказывать свое входное воздействие и таким образом позволяет
полностью обойти неизбежную задержку в реальной системе
между началом какого-либо действия и его фактическим заверше-
нием. Кроме того, на практике процесс управления часто можно
разбить на последовательность реакций на дискретные команды,
например «приземлитесь на полосу 21, затормозите, подрулите
на грузовую стоянку № 2 и т. д.» При начале каждого действия
естественно характеризовать ситуацию текущим состоянием си-
стемы, а не как суперпозицию текущих и будущих реакций на все
предшествующие входные воздействия. (Когда самолет заходит
на посадку на полосу 21, детали всего его предшествующего
полета в основном не имеют значения.) Для задачи управления
типично ее действительное начало и малая длительность, сравни-
мая с постоянными времени или памятью системы. Таким образом,
следует ожидать, что при формулировании задач управления
особое внимание будет уделяться понятиям каузальности и со-
стояния и что в методах решения таких задач широкое применение
найдут односторонние преобразования.
Во многих последующих главах этой книги мы будем, однако,
касаться ситуаций несколько иного класса, которые можно
характеризовать как задачи связи или обработки данных. Для
них каузальность исхода имеет меньшее значение. Деление вре-
менной оси на части «до» и «после» некоторого начального момента
(когда итогом прошлого является начальное состояние) часто
оказывается весьма искусственным. В системах связи нас обычно
интересуют протяженные цепочки реакций на протяженные це-
почки входных воздействий. Обычно длительности сигналов зна-
чительно превосходят постоянные времени системы. Часто такие
входные воздействия представляют в виде колебаний с конечной
амплитудой, простирающихся неограниченно во времени в обоих
направлениях —оо < t <_ оо. Важным классом операций с та-
кими колебаниями являются ЛИВ-операции, которые описываются
(в дискретном времени; как мы покажем, аналогичная формула
применима и для непрерывного времени) общей формулой свертки
(9.2.2) с реакцией на единичный отсчет й[п], обладающей устой-
чивостью, но необязательно каузальной.
В последующих главах мы под термином «ЛИВ-система» будем
понимать такое устройство, которое выполняет ЛИВ-операцию,
288
9. Реакция на единичный отсчет и свертка
а не устройство, состоящее из ЛИВ-элементов. При рассмотрении
общей в этом смысле ЛИВ-системы [т. е. системы, которая может
быть некаузальной и иметь входные воздействия, простираю-
щиеся по всей оси —оо < п (или t) < оо ] такие понятия, как
РНС и РНВ, фактически неприменимы. По сути, мы берем на
себя ответственность за полное входное воздействие, а не только
за входное воздействие, начавшееся с настоящего момента, и мы
обычно интересуемся некоторой реакцией на выходе, а не тем, что
происходит внутри «черного ящика». Под устойчивостью таких
систем в широком смысле подразумевается, что события, происхо-
дившие «при» —оо или не происходящие «до» +оо оказывают
пренебрежимо малое влияние на то, что наблюдается за конечное
время. Каузальность — это ограничение, от которого мы, воз-
можно, будем готовы отказаться, если это упростит дело. Отчасти
это связано с тем, что во многих случаях п не является текущим
временем (а скорее возможно пространством), или с тем, что опи-
сываемые операции будут выполняться компьютерами не в режиме
реального времени. Но главным образом это связано с тем, что
основным различием в поведении каузальной и некаузальной, но
устойчивой системы часто является лишь небольшая задержка,
которая для задач связи не имеет значения (в отличие от задач
управления). Более подробно мы остановимся на свойстве каузаль-
ности и его смысле в гл. 15. Удобным инструментом для частотного
анализа устойчивых, но необязательно каузальных систем яв-
ляется преобразование Фурье, с которым мы начнем работать
в гл. 12.
Если система не является ни каузальной, ни устойчивой,
(она, однако, может иметь конечные хорошо определенные от-
клики на соответствующим образом ограниченные входные воз-
действия), то в общем случае возникает необходимость в специаль-
ных способах, эквивалентных методам анализа в частотной об-
ласти J). К счастью, такие системы, по-видимому, находят огра-
ниченное применение.
9.3. Алгебраические свойства общей операции свертки
Общая операция свертки
y[n]= 2j x[m]h[n~m] (9.3.1)
т=—со
генерирует новую последовательность г/[и] из двух заданных
последовательностей х[и] и h[п]. Эту операцию часто обозна-
чают звездочкой
yin] = х(и] * hinl. (9.3.2)
Ч В таких ситуациях иногда оказывается полезным двустороннее преобра-
зование Лапласа. Кратко этот вопрос обсуждается в гл. 13.
9.3. Свойства общей операции свертки
289
Такую запись следует читать: «у[и] равно х[п], свернутому
' • несколь-
с Л [и]». Как алгебраическая операция свертка обладает
кими полезными свойствами:
ЗАКОН КОММУТАТИВНОСТИ:
x[n]*/i[n] = x[m]h[n — m\ =
h{m\x[n — т] —h[n\* х[п].
(9.3.3)
(9.3.4)
(9.3.5)
ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ
х [п] * (hi [п] * h2 [п]) = (xfn]*/!!^])*^^].
ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ
(x-i [n] -j- х2 [п]) *h[n] = хх [и] * h [и] х2 [n] * h [nJ.
Закон дистрибутивности — это просто принцип линейности, сфор-
мулированный ранее. Два других свойства вытекают более или
менее непосредственно из соответствующих выражений сумм —
обе стороны равенства содержат одни и те же члены, суммируемые
в различном порядке г).
Свойство коммутативности можно вывести (по крайней мере
для специального случая каузального hln] и х[п] = 0, п < 0)
из того факта, что обратное Z-преобразование произведения X (г)
и Н (z) не зависит от порядка сомножителей:
X(z)H(z) = Н(2)Х(2).
УаЫ = УДП]
Рис. 9.13. Иллюстрация свойства коммутативности свертки.
Так, если шДп] и w2lnl —это две различные последовательности,
то безразлично, какую из них мы будем считать реакцией на еди-
ничный отсчет и какую — входным воздействием: результат от
этого не изменится, что иллюстрируется на рис. 9.13.
В случае каскадного включения двух ЛИВ-систем закон ассо-
циативности утверждает, что найти полную РНС двух систем
можно либо путем нахождения сначала свертки входного воздей-
x) Если сумма содержит бесконечное число членов, то х[п] и (или) h[n]
должны стремиться к нулю с такой скоростью, которая необходима, чтобы сумма
не зависела от порядка суммирования. При нарушении этого условия можно
построить некоторые искусственные примеры, в которых свертка не обладает
свойством ассоциативности. Пример для случая непрерывного времени дан в за-
даче 10.8.
290
9. Реакция иа единичный отсчет и свертка
ствия с что дает воздействие на входе второй системы,
которое затем подвергается свертке с h2[nl; либо сначала найти
свертку hitn] и h2[n], которая представляет собой эквивалент-
ную совокупную реакцию на единичный отсчет h [п] = h^n] *
* h2[n], и после свертки с входным воздействием получить
Рис. 9.14. Иллюстрация свойства ассоциативности свертки.
выход. Эти соотношения иллюстрируются на рис. 9.14. Разумеется,
поскольку закон коммутативности утверждает, что
ftjln] * /Цп] = /Цп] * /ijln], (9.3.6)
соотношение вход-выход каскадного включения ЛИВ-систем не
зависит от порядка их следования.
9.4. Пример обращения свертки
Следующий пример поясняет одно из практических приложений
идей этой главы.
Пример 9.4.1
Интенсивность
света
Точечный
< источник
Пространство
объектов
Рис. 9.15. Преобразование, формирующее размытое изображение точечного
источника.
Из-за ограниченной апертуры, несовершенства линз, ошибок фоку-
сировки и т. п. нет фотокамер, которые были бы в состоянии
создать идеально четкое изображение. Реальная ситуация может
быть проиллюстрирована для одномерного случая (а не двумер-
ного, как в фотографии) при помощи рис. 9.15. Пусть изолиро-
9.4. Пример обращения свертки
291
ванный яркий точечный источник в результате преобразования
освещающего поля линзой ограниченной разрешающей силы
имеет размытое изображение ненулевой ширины1). Если такое
изображение предстоит передать по системе телеметрии из некото-
рого удаленного места пространства, где находится, например,
космический зонд, то до передачи может оказаться желательным
взять отсчеты изображения в равноотстоящих точках, чтобы фак-
тически принятое размытое изображение яркого точечного пятна
имело в дискретном «времени» представление, показанное на
Интенсивность света Изображение
|‘‘х[п] = 8[л] |‘‘ у[л] = Ь[л] = о|п|
........... г Т 1° I Ь ,
-3-2 -1 12 3 4 -4 -3 -2 -I 12 3 4 5
Рис. 9.16. Эквивалентные ДВ-отсчеты для рис. 9.15.
рис. 9.16. Для упрощения допустим, что форма размытия реакции
на единичный отсчет описывается выражением h[n] = alnl2),
как показано на рис. 9.16, хотя реально измеренная реакция
несомненно может оказаться более сложной.
Интенсивность света х[и], описывающая исследуемую сцену,
представляет собой последовательность многих точек различной
интенсивности; изображение у [и] этой сцены тогда является
суперпозицией взвешенных размытых точечных изображений
(предполагается, что выходной сигнал камеры линейно зависит
от экспозиции — упрощение, не всегда оправдывающее себя на
практике). Для одномерного случая
y[n] = Е х[т] h[n — т]. (9.4.1)
т=—со
Если интенсивность света имеет форму единичной ступенчатой
функции
xln] = uln], (9.4.2)
представляющей на исходном объекте резкую границу черного
и белого, то изображение будет описываться выражением
y[n] = Е и[т] h[n — т] = Е h[n — т\. (9.4.3)
т=—со т=0
*) В оптике распределение интенсивности в дифракционном пятне от точеч-
ного источника называется функцией разброса, см., например, Дж. Строук,
Введение в когерентную оптику и голографию, М., Мир, 1967, с. 46. — Прим. ред.
2) Следует иметь в виду, что, как и в примере 9. Г.2, 0 < а < 1, а на графи-
ках рис. 9.16, 9.17 и 9.18 а = 0,5; только при условии 0 < а < 1 справедлива
замена (№, осуществленная в формулах (9.4.5) и (9.4.6).— Прим. ред.
292
9. Реакция на единичный отсчет и свертка
Суммируемые члены (9.4.3) представлены на рис. 9.17. Уравне-
ние (9.4.3) решить нетрудно, но несколько проще (как аналити-
чески, так и графически) работать с измененной формой
У1п]~ Е Л [т] х [п — т] = Е Л [т] и [п — т] = 2 h [т],
п»=—со т=—со т=—оо
(9.4.4)
члены которой представлены на рис. 9.18. (Одно из хороших
правил, которому в общем стоит следовать, состоит в том, чтобы
использовать ту форму выражения свертки, в которой сверты-
Рис. 9.18. Графики h Im] и и J3 — mJ.
вается более простая из двух последовательностей х[п] или
Л[п]. Обычно это приводит к наиболее простым графикам и фор-
мулам.) Для и h [п 1 — alп I выражение (9.4.4) дает
у [п] = Е h [т] = Е а~т = а~п + а-л+1 + а-л+2 + • • • =
т——со т=—со
-п
= а-«[1+а + д2-(-----] = «<0. (9.4.5)
Для п>0
п On
i/[n]= Е h[m]= E =
m=—co m=—co zn=l
= -j--------I- a -j-a2 -j- ••• +an =
1 — n ’ 1 ’ ’
1
1 — a
1 -4- (1 -4- a + a2 H---------------h an) =
9.4. Пример обращения свертки
293
_L_ _ 1 + J
1 —а Г 1—а
1 + a —an+I
1 —а
(9.4.6)
п > 0.
Полученный результат графически представлен на рис. 9.19.
Влияние нерезкости на создание размытого изображения оче-
видно.
Рис. 9.19. Отображение ступенчатого входного воздействия.
Однако еще не все потеряно. • Применив соответствующую
обработку принятых выборок, можно восстановить изображение
с первоначальной резкостью. Рассмотрим конкретный случай
свертки последовательности у{п\ с реакцией на единичный
отсчет
Я [«1 = (-6 [« + И + [п] - в [л - 11), (9.4.7)
Л И
1-ог
Рис. 9.20. Реакция на единичный отсчет фильтра обращения свертки,
показанной на рис. 9.20. Как общее правило стоит отметить,
что свертка с задержанной или опережающей функцией единич-
ного отсчета дает просто задержку или опережение входной
последовательности в соответствии с выражением:
x[n]*6[n — N] = х[т} 6 [п — т — ./V] = х[п — АГ].
т=— со
(9.4.8)
294
9. Реакции на единичный отсчет и свертка
Следовательно, для выхода (9.4.6), соответствующего ступенчатой
входной функции, получим
z[n] = £[П]*Й[П] = — 1] +
+ i]. (9.4.9)
При п — 1 это выражение принимает вид
__ а а- <п+1> 1 + а2 а~п _ а а~ =
г'-п> 1 — а2 1 — a "i- 1 — а2 1 — а 1 — а2 1 — а
= 0, п<— 1. (9.4.10)
При п = 0
г [0] = - У [1] + У w - г^Т2 У t-1 ]=
__ а 1 + а — а2 1 -|- а2 1 а а __________________________ ,
1 — а2 1 — а ' 1 — а2 1 — а 1 — а2 1 — а
(9.4.11)
При п 1
, . —а 1 + а — а(л+2) , 1 -f- а2 1 4- а — а^п+^
1 — а2 1 — а '1 — а2 1 — а
Таким образом, zln} = и[п]. На основе методов, использован-
ных в данной главе, без труда можно показать, что в общем слу-
чае произвольной х[п] результат свертки yin] и h[n] приведет
к z[n] = х[п]. (Совет. Докажите, что h[n] * h[n] = 6[n].)
Это означает, что h[п ] есть инверсная система типа рассмотрен-
ной в разд. 6.1 (исключая, конечно, случаи, когда h[n] и й[п]
некаузальные); восстановить х[п] можно выполнением обраще-
ния свертки х[п] * h[n], В задаче 9.5 поясняется, как найти
hln] для общего случая, когда hln] каузальна. Позднее, изучив
Фурье-преобразования в дискретном времени, мы покажем, как
рассчитывать такие системы для некаузальных й[п].
9.5 Выводы
Необходимым и достаточным условием обладания свойством
ЛИВ для операции дискретного времени является то, что ее выход
у[п] представляет собой свертку входного воздействия х[п]
и реакции hln] на функцию единичного отсчета 6 [п ]
у [n] = x[m]h[n — т] = x[n]*h[n], (9.5.1)
ш»—со
Упражнения к главе 9
295
Операция свертки в общем случае обладает свойствами комму-
тативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Бесконечная сумма в формуле (9.5.1), разумеется, не обяза-
тельно существует для произвольных последовательностей х[и]
и h[n]. Два специальных случая для х [п ] и h[n] охватывают
большинство важных приложений:
a) h[n\ обладает свойством каузальности, т. е.
h [п ] = 0, п <_ 0 (9.5.2)
и х[п) равно нулю для отрицательных п.
в) й[п] обладает устойчивостью типа ОВОВ, так что
£ |ft[n]|<0o (9.5.3)
п=—со
и | х[п ] | ограничено.
Первый случай приводит к частной формуле
у [и] = х [т] h [п — т] (9.5.4)
т—О
и включает в себя РНС для ранее рассмотренных ЛИВ-систем,
которые описывались разностными уравнениями, структурными
схемами на линиях задержки (или накопителях), сумматорах и
усилителях, а также системными функциями на основе /-преобра-
зования. В частности, для каузальной h[n] свертка во временной
области соответствует умножению в частотной области
х [т] h [п — т\ ** X (z) Н (г), (9.5.5)
т=0
и реакция на единичный отсчет и системная функция представ-
ляют собой пару одностороннего /-преобразования:
h[n] — H (г). (9.5.6)
Методы анализа в частотной области для рассмотрения второго
случая (устойчивого, но некаузального) будут развиты в после-
дующих главах.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 9
Упражнение 9.1
а) для каждой из представленных ниже систем найдите Z-преобразование
У (г) РНС-выхода у [л], выразив его через Z-преобразованне X (г) входного
воздействия х [л]:
1) У In + 11 = х & + 11 — х [п ].
2) У[п]= £ х[й].
S=0
296 9. Реакция иа единичный отсчет и свертка
р [п]= пх [п].
4) У [п + 1 ] = 2х [л].
б) Какие из выше приведенных систем линейны? Какие инвариантны
к сдвигу? Для каких систем обеспечивается линейность и инвариантность к сдвигу?
Найдите реакцию h [п ] на единичный отсчет.
Ответы: Все четыре системы линейны, но только первая и последняя являются
инвариантными к сдвигу с реакциями на единичный отсчет соответственно h [п ] =
= 6 [л ] — 6 [л — 1 ] и h. [п ] = 26 [п — 1 ].
Упражнение 9.2
Рассмотрим показанную на рис. 9.21 дискретную рекурсивную (с обратной
связью) систему. В ней имеется накопитель эйлеровского типа «вперед», и по-
этому реакция на единичный отсчет имеет вид и [п — 1] (пример 9.1.1).
Рис. 9.21.
а) Найдите реакцию всей системы й [п ] иа единичный отсчет, приняв х [л ] =
= 6 [л] и рассмотрев непосредственно (во времени), каким образом импульсы
«циркулируют по контуру» и накапливаются.
б) Найдите системную функцию Н (г) всей системы, используя формулу
обратной связи
Н (г) = 3
1 + S (г)
(где S (г) — системная функция накопителя), и сравните полученный резуль-
тат с (а).
в) Опишите альтернативный, но эквивалентный вариант реализации данной
системы через сумматоры, усилители н элементы задержки, как это делалось
в разд. 7.2.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 9
Задача 9.1
Для каждой из следующих пар функций дискретного времени найдите
₽["]=« ["I * h [л] = х [mJ h [л — mJ.
т——со
Постройте х[п], h[n] и г/ [л]
|«[п]
а) ----- 1 ” ? ’ Т ___ h. [л] = (1/2)л [л].
-2 -I
I 2 3 4 5 6 7
Задачи к главе 9
297
б) х [л] = 2 (и [л + 1] — и [л — 3])
Л [л] =
—1,
1,
О,
л = —1,
п = +1,
при других Л.
.. •<
в) Г i , h[л] = (1/2)" и [л].
-2 -I 12 3 4 5 6 7
г 2лп
г) х [л] — опи [л], |а|<1 ft [л] = sin —g—.
д) х[л] = (-Ь)п«[-л-1], |М>1 /1[л] = Л[п + 2], ]а|<1.
Задача 9.2
а) Пусть Л[л] = х [6 — п] (рис. 9.22). Постройте h [л].
х[л]
Рис. 9.22. х [л] = 0, за исключением 0 л 6.
п
б) Найдите р[л] = х[л] *й[л] = ХМ h[n — т] для /г[л], задан-
т=0
ной в (а).
в) Найдите р[л] = х[п] *й[л] для й[л], заданной в (а), используя
соотношение У (г) = X (z) Н (z).
Задача 9.3
а) Используя /-преобразование, найдите каузальную реакцию на единич-
ный отсчет для системы, описываемой разностным уравнением
бу [п + 2] — 5р [л + 1 ] + у [п ] = х [п 4- 2] х [л -|- 11.
б) Покажите прямой подстановкой, что
3 / 1 4 / I \п
УЙ = - -у (-2-) + “Н"-1]
также удовлетворяет этому разностному уравнению, когда х [л] = б [л]. Это
у [л] представлено на рис. 9.23. Разностное уравнение, таким образом, не опре-
298
9. Реакция иа единичный отсчет и свертка
деляет единственной ЛИВ-системы. (Однако существует только одна каузаль-
ная система, соответствующая каждому разностному уравнению.)
Задача 9.4
Рассмотрим последовательное включение двух ЛИВ-систем дискретного вре-
мени, показанное на рис. 9.24.
ЛЯ = (4)пи[п]
/>г[га] = 8[п] + |з[л-1]
Рис. 9.24.
а) Пусть х[п] = и [га]. Найдите последовательно
1) w [га] = ftj [га] *х [га]
2) У [п] = h2 [га] [n] = h2 [га] * (hi [га] *х [га]).
б) Снова при х [п] = и [га] определите последовательно
1) g [га] = h2 [га] *й, [га]
2) У [raj = g [га] [га] = (h2 [га] *ЛХ [га]) *х [га].
Полученные вами результаты для у [га] должны быть одинаковыми в случаях (а)
и (б), иллюстрируя ассоциативное свойство дискретной свертки:
Л2 [га] * (hi [га] *х [га]) = (Л2 [га] [га]) *х [га].
Это свойство допускает определение полной эквивалентной реакции на единич-
ный отсчет (в данном случае g [п]) для последовательного соединения двух
ЛИВ-систем дискретного времени.
Задачи к главе 9
299
Задача 9.5
Во многих приложениях, как было проиллюстрировано примером 9.4.1, может
оказаться желательным восстаиовленне действующей на входе последователь-
ности по имеющейся выходной последовательности системы дискретного вре-
мени с известной реакцией на единичный отсчет h [п]. Один из способов осуще-
ствления этого является построение обратной системы с реакцией на единичный
отсчет h In], которая при каскадном включении с первоначальной системой
дает полную систему. Полученная система имеет реакцию на единичный отсчет,
равную функции единичного отсчета, т. е.
h [n] *й In] = 6 [п].
Если и h Jn], и h [п] каузальные, то данная формула означает, что соответ-
ствующие системные функции являются взаимно обратными.
а) Пусть И (г)— системная функция, соответствующая h [п],
Я(г)=Л^2.
Найдите каузальную реакцию на единичный отсчет й [п] для системы, обратной
по отношению к данной, н покажите, непосредственно применяя свертку, что
й In] * fi [n] = б [п].
Если й [п ] является каузальной и | Н (г) | -> 0 при | zj оо (как часто
бывает на самом деле), то невозможно найти каузальную й [п] при помощи
процедуры с использованием обратной системной функции, так как область
сходимости 1/Н (г) не может выходить за пределы некоторого круга. Однако
если существует такое целое IV, что zN Н (г) конечно и отлично от нуля в беско-
нечности, то функция, обратная zN Н (г), будет описывать каузальную систему,
у которой реакцию на единичный отсчет можно интерпретировать как й (п — N).
б) Используйте эту процедуру для нахождения реакции на единичный
отсчет некаузальной системы, обратной по отношению к простому накопителю
с системной функцией
Вй = 7^т.
и покажите, применяя свертку, что й [п] * й [п] = б [л].
Задача 9.6
В дополнение к эффектам, упоминавшимся в примере 9.4.1, относительное дви-
жение камеры и фотографируемого объекта также создает размытое изображение.
В этой задаче рассматривается простая цифровая схема для восстановления
истинного изображения на основе известного размытого. Пусть функция / (х, у)
представляет яркость двухмерного истинного изображения, где х и у — цело-
численные координаты, характеризующие положение каждого его элемента.
Ради простоты допустим, что яркость изображения, получаемого на пленке,
линейно зависит от экспозиции, так что размытое изображение можно предста-
вить как
СО
£[х, У\ = Е у]й [|],
1=о
где мы предположили, что движение происходит в направлении х. Для опреде-
ленности положим, что
. г , fl. п = 0, 1, 2
й [п] = 1
[ 0, при других значениях п.
300 9. Реакция иа единичный отсчет и свертка
а) Поясните на конкретных примерах, сопровождая нх графиками, как
эти формулы описывают эффекты размытости изображений, обусловленные
движением.
б) Используя Z-преобразованне, определите и изобразите реакцию иа еди-
ничный отсчет Л [п], такую чтобы
СО
fix, у]= S g[x-s, ЙЛКЪ
6=0
Если размытое изображение обрабатывается путем свертки с такой h [и], то
исходное неразмытое изображение может быть восстановлено.
Задача 9.7
Одним нз классических способов «сглаживания» ДВ-снгнала х[п] является
аппроксимация многочленом степени N
Р In] = Ро + Р1П + рап2 + < •+ pNnN
последовательности нз М > N соседних значений х [п] таким образом, чтобы
получить минимальную сумму квадратов ошибок (х [п] — р [п ]) для всех М чле-
нов. Величину «сглаженного» сигнала у [п] в момент времени, соответствующий
середине последовательности длиной М, берем равной значению многочлена
в этой точке. Весь процесс затем повторяем для следующих М значений х [л],
из которых М — 1 значение перекрывается с предыдущей последовательностью.
Предполагается, что сглаженный сигнал у [п] сохраняет «тренды»1), существу-
ющие в х [п], уменьшая одновременно «шум, вызывающий резкие отклонения
х [п ] от тренда. Все сказанное иллюстрируется на рнс. 9.25 для случая N = 2
и М = 5. Сплошными линиями на трех верхних рисунках показаны аппрокси-
мации по методу наименьших квадратов для пяти соседних точек.
а) Рассмотрите многочлен второй степени
Р In] = Ро + Pin + Pan2,
х) Понятие «тренд» находит широкое применение в теории времеинйх ря-
дов, см. например, Д. Бриллинджер, Временные ряды, обработка данных и
теория, М., Мир, 1980, с. 52. — Прим. ред.
Задачи к главе 9
301
подобранный для пяти точек х [—2], х [—1 ], х [0], х [1], х [2]. Покажите,
что значения р0, рг н р2, при которых достигается минимальная квадратическая
ошибка
2
2
записываются в виде
—Зх [—2] + 12х [—1] + 17х [0] + 12х [1] — Зх [2]
р0 =------------------------------------------------,
—2х [—2] — х [—1]-|-х [1]-|-2х[2]
р1 =---------------------------------,
2х [—2] — х [—1] — 2х [0] — х[1] + 2х[2]
р2 =--------------------------------------.
Постройте р[п] для значений х[п] на рис. 9.25 и покажите, что результат согла-
суется со сплошной кривой левого графика.
б) Сглаженное значение у [0 ] — это р [0] = р0. В общем случае, следо-
вательно, должно быть очевидно, что
У И = 4г (—Зх [Я — 2] + 12х [п — 1] + 17х [n] + 12х [п + 1] — Зх [п + 2]).
ои
Покажите, что эта формула дает сглаженные значения на рнс. 9.25 для огово-
ренных там х [п].
в) Что собой представляет реакция ЛИВ-системы h [п] на единичный от-
счет, когда система описывается разностным уравнением из пункта (б)? Являет-
ся ли Л [п. ] каузальной? Является лн она конечной или бесконечной импульсной
характеристикой? Начертите структурную схему с элементами задержки, уси-
лителями н сумматорами, реализующую h [п] с точностью, быть может, до не-
которой общей задержки.
10
ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРТКИ
ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ
НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ
10.0. Введение
Операция ДВ-свертки
СО
#[«]= S x[m]h[n — m]
/П=«со
описывает класс ЛИВ-систем, более широкий, чем определяемый
линейными разностными уравнениями с постоянными коэффици-
ентами, но (как будет показано в последующих главах) для них
характерны многие аналитические упрощения и структуры, кото-
рые делают разностные уравнения столь же полезными. Операция
свертки дает также в явном виде формулу для вычисления реак-
ции ЛИВ-систем во временной области, которая дополняет явную
формулу в частотной области
Г(г) = Х(г)Я(г)
для РНС каузальных систем.
Подобные же утверждения справедливы для систем непрерыв-
ного времени. В данной главе мы покажем, что интеграл свертки
i
y(t) = х (т) h(t — т) du
о
является во временной области эквивалентом обратного ^-пре-
образования формулы
Г (s) == X (s) Н (s)
для ЛИВ-цепей или аналоговых каузальных систем, описываемых
линейными дифференциальными уравнениями с постоянными
коэффициентами. Как и в случае ДВ-систем, h (/) —• это обратное
^-преобразование системной функции Н (s). Мы называем h (t)
реакцией на единичный импульс, но, к сожалению, в НВ-системах
не так просто, как в предыдущей главе, сказать, каким может быть
«единичный импульс», чтобы h (/) было реакцией на него. Поэтому
мы отложим до гл. 11 рассмотрение вопроса о том, что собой пред-
ставляют эти импульсы и подобные им. В данной главе мы сосре-
10.1. Теорема о ^-преобразовании свертки
303
доточим внимание на наиболее важных свойствах интеграла
свертки в форме, которая описывает РНС множества каузальных
систем в более общей форме
у (0 = j х (т) h (t — <v) du,
*— co
характеризующей (как мы покажем в следующей главе) реакцию
любой ЛИВ-системы непрерывного времени, каузальной или нет.
ЮЛ. Теорема об ^-преобразовании свертки
Начнем с доказательства теоремы.
ТЕОРЕМА ОБ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИИ СВЕРТКИ:
Пусть
i
y(t) = j x(x}h(t — x)dx. (10.1.1)
о
Тогда ^-преобразование у (i) имеет вид
Y (s) = X (з) И (з),
где И (sj = 2? [h (/)] и X (з) — S’ [х (/)].
Доказательство проводится аналогично доказательству соответ-
ствующей теоремы о /-преобразовании в разд. 9.1. Таким обра-
зом, прямая оценка Y (s) дает
Y (s) = J у (f) e~st dt
о
х (т) h (t — т) dx
e~si dt =
= У у x (т) h (t — <г) и (t — <r) dx
о Lo
Меняя порядок интегрирования x), получаем
e~si dt.
(10.1.2)
co
Y (s) = J x (т)
о
(t — x) и (t — t) e~si dt
dx.
(10.1.3)
Поскольку во внешний интеграл входит только х > 0, выражение
h (t — т) и (t — т) представляет собой просто задержанное
h (t) и (f) и внутренний интеграл становится И (s) e~sT. Выполне-
ние внешнего интегрирования завершает доказательство.
*) Как н в случае дискретного во времени аргумента, изменение порядка
интегрирования оправдано для значений внутри общей области сходимости
Н (з) и X (s).
304 10. Применение свертки для систем непрерывного времени
Эта теорема о свертке применима к сигналам любой формы
и их преобразованиям. Если, в частности, х (t), у (t) и h (f) яв-
ляются соответственно входом, выходом и импульсной характе-
ристикой какой-либо схемы или системы с сосредоточенными
параметрами, то только что полученный результат
Y (s) = X (s) Н (з)
для РНС означает, что можно также найти РНС во временной об-
ласти, используя формулу свертки (10.1.1). Несколько примеров
помогут уяснить, как это осуществляется.
Пример 10.1.1
В задаче 2.1 было сделано допущение, что интегратор можно
представить во временной и частотной областях так, как пока-
, , <М'1 1у(О)
*(')з~^ГГ *-1
h( t1
Рис. 10.1. Блок интегратора. Рис. 10.2. Импульсная характеристика.
зано на рис. 10.1. Это означает, что системная функция интегра-
тора имеет вид
Я(а) = ± (10.1.4)
и, следовательно,
h (f) = и (t), (10.1.5)
как представлено на рис. 10.2г). Теорема свертки определяет
таким образом, что РНС, являющаяся частью полной реакции,
должна иметь вид
t
у(1) = § х (т) h(t — т) dr =
о
i t
= § х (т) и (t ~ <r) dr = § х (it) dv. (10.1.6)
о о
!) Строго говоря, то обстоятельство, что Л (/) есть обратное ^-преобразова-
ние Н (s) = 1/s, свидетельствует лишь о том, что Л (/) = 1, t > 0. Этого по су-
ществу достаточно для оценки интеграла свертки в пределах интегрирования,
заданных в теореме об -^-преобразовании свертки. Но в более широком контексте
ЛИВ-снстем общего вида интегратор представляет собой каузальную систему,
для которой h (f) = 0 при t < 0.
10.1. Теорема о S’-преобразовании свертки
305
Полная реакция, таким образом, равна
y(t) = + у(0)
о
(10.1.7)
и в точности соответствует тому, что называется «интегратором».
♦ * *
Пример 10.1.2
Системная функция RC-схемы. (рис. 10.3) имеет вид
Рис. 10.3. Цепь и импульсная характеристика к примеру 10,1.2.
Следовательно х),
й(О = -^е-^с,
t>0
(10.1.9)
Воспользуемся теперь формулой свертки для нахождения РНС-
реакции схемы, показанной на рис. 10.3, при входном воздей-
ствии, изображенном на рис. 10.4.
1) Обратим внимание на размерность h Ц) в данном примере, которая, как
очевидно, есть Ф~г = В/(А-с). Если Л (0 рассматривается как реакция на еди-
ничный импульс и если эта реакция представляет собой некоторое напряжение,
то у входного «единичного импульса» тока должна быть размерность А-с (а не А),
чтобы можно было получить
выход
------вход = выход
вход
или
[B/(A-c)J-(Ас) = В.
Этн соображения несомненно необходимы для того, чтобы формула свертки
была сбалансирована по размерности, и будут развиты в гл. И.
11 Сиберт У. М.
зов
10. Применение свертки для систем непрерывного времени
Рнс. 10.4. Вход и выход цепи, приведенной на рис. 10.3.
Исходя из (10.1.1), запишем
t
v(f) = у i (г) h (t — ф) du =
о
t
= J (-i- e~ a-V/Rc') dr. (10.1.10)
о
Вынося за знак интеграла множитель (К/С) е~^кс (не зависящий
от переменной интегрирования) и объединяя оставшиеся экспо-
ненты, получаем
t
о
---p-HRC
~ С е
t
_L)
RC )
о
=---- 0... . [е-//кс _ g-aqt />0. (10.1.11)
с(“~тйг)
Этот результат графически проиллюстрирован на рис. 10.4, и его
легко проверить, выполнив преобразования. В случае когда
а -> 0 получается реакция на ступенчатую функцию
v(t) = KR(i — е-^Лс), Z>0,
проверка которой может быть выполнена элементарными сред-
ствами.
Имеет смысл исследовать нашу задачу графически, представив
подынтегральное выражение формулы (10.1.10) в зависимости от т
для нескольких значений t и интерпретируя интеграл как площадь
(рис. 10.5). Заметим, что график h (t — т), построенный в зави-
симости от т не что иное, как повернутый (построенный в обратном
направлении) график h (f), начало координат которого перенесено
в точку, где t — т = 0, т. е. т = t.
10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы
307
t
о (0 = j i (т) л (f — т) du
П
Ц1) = Ке~а1, t>0;
^l)=-Le4/’ie, i>0
(j
Рис. 10.5. Графическая интерпретация выражения (10.1.10).
10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы
Точно следуя аргументации разд. 9.2, формулу
t
у (/) = J х (т) h (t — т) du (10.2.1)
о
можно рассматривать как частный случай общей формулы свертки
y(t)= ^x(x)h(t— т) dx, (10.2.2)
I— со
получаемый, когда х (f) = 0, t <Z 0 (т. е. система находится в ну-
левом состоянии при t = 0) и когда h (Z) = 0, t < 0 (т. е. система
каузальна). Общая формула (10.2.2) полностью удовлетворяет
в случае непрерывного времени условиям линейности (суперпо-
зиции) и инвариантности во времени, приведенным в разд. 9.2,
и действительно представляет собой наиболее общее функциональ-
ное описание системы, удовлетворяющее этим условиям. Однако
в противоположность случаю дискретного времени показать, что
(10.2.2) является наиболее общим для описания ЛИВ-систем,
совсем не просто; обсуждение этого вопроса мы продолжим
в гл. И.
Примечание, сделанное в сноске разд. 9.3 применительно
к ДВ-свертке, можно распространить на случай описания общей
НВ-свертки
</(() = j x(x)h(t — x)dx = х (10.2.3)
Принимая, что интегралы вида (10.2.2) допускают изменение по-
рядка интегрирования, легко показать, что НВ-свертка удовле-
11*
308
10. Применение свертки для систем непрерывного времени
творяет законам коммутативности, ассоциативности и дистрибу-
тивности.
Пример 10.2.1
Закон коммутативности утверждает, что
х (0 * h (0 = h (0 * х (0 (10.2.4)
или
J х (т) h (t — т) dx = J h (т) x (t — т) dx. (10.2.5)
Это означает, например, что выход системы с импульсной харак-
теристикой h (f) при входном воздействии х (f) будет таким же,
как у системы с импульсной характеристикой х (1) при входном
воздействии h (t).
Коммутативность для РНС каузальных систем вытекает из
соответствующего свойства произведения ^-преобразований
X (s) Н (s) = Н (s) X (s). (10.2.6)
Это легко доказать в общем случае путем прямой замены перемен-
ных. Так, если ввести переменную р, = t — т, d\x = —dx, то
левая часть (10.2.5) становится .
У х (т) h (t — т) dx = — х (t — р) h (p)dp = § h (т) x (t — т) dx,
•— CO CO I— CO
(10.2.7)
где во втором равенстве мы использовали возможность замены р
как переменной интегрирования любым другим символом, на-
пример т.
Часто один порядок интегрирования бывает более удобным,
чем другой, в особенности когда предполагается выполнить ка-
кие-либо дальнейшие манипуляции с интегралом свертки. Так,
для цепи в примере 10.1.2 любое из двух выражений
t t
v(t)= f ~e~x!RC i (t — t) dx = \ i (x)~ e~ (t~x>':RCdx (10.2.8)
J J b
о 0
описывает РНС при произвольном входном воздействии t (Z),
t > 0. Следовательно, любое из них должно дать общую РНС по
отношению к дифференциальному уравнению, описывающему
данную цепь,
+ С-^-= i (/). (10.2.9)
Это утверждение доказывается несколько проще для второго
выражения, так как при дифференцировании первого выражения
10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы
309
могут появиться производные I (t), от которых придется избав-
ляться интегрированием по частям. Для второго же выражения
мы просто имеем х)
t
+ j i(T) (—e-((-^cdx (10.2.10)
о
или
dv (Q __ i (t) __ v (Q
dt ~~C RC ’
(10.2.11)
из которого следует, что формула свертки фактически является
решением дифференциального уравнения. (Решение дифферен-
циальных уравнений в виде свертки обычно получают методом
интегрирующих множителей.)
Пример 10.2.2
Применение свертки особенно эффективно для исследования
систем, импульсные характеристики которых можно представить,
по крайней мере приближенно, в виде суммы задержанных им-
пульсов простой геометрической формы. Так, например, интегра-
тор с конечным временем интегрирования характеризуется им-
/»(/)
Рис. 10.6. Импульсная характеристика интегратора с конечным временем инте-
грирования.
пульсной характеристикой, показанной на рис. 10.6. Такую си-
стему нельзя описать обыкновенным дифференциальным уравне-
нием и, следовательно, нельзя точно реализовать в виде конечной
ДБС-цепи (хотя хорошей аппроксимации можно достичь при до-
статочно большом числе компонентов). Более простым вариантом
*) Напомним правило Лейбница дифференцирования интеграла по пара-
метру:
d
dy
ь (s)
j f(x, У) dx
a ({/)
= f (Ь, У)
db
dy
b(y)
. , . da , Г df (х, у) ,
f (а> У) ~i---И \ dx.
dy j ду
Щу)
310
10. Применение свертки дли систем непрерывного времени
реализации может стать схема рис. 10.7, использующая линию
задержки, которая является элементом с распределенными пара-
метрами (более подробно о линиях задержки пойдет речь в гл. 11).
Рис. 10.7. Реализация интегратора с конечным временем интегрирования с ис-
пользованием идеального элемента задержки.
В данном примере мы можем считать, что импульсная харак-
теристика h (/) (рис. 10.6) — это просто измеренная импульсная
характеристика некоторого «черного ящика» (являющегося по
предположению ЛИВ-системой). Для произвольного значения t
зависимость h (t— т) от т будет иметь вид кривой, показанной
A h(/-r)
t-T О t
Рис. 10.8. h (/— г) и х (т) для интегратора с конечным временем интегрирования
на рис. 10.8. Следовательно, интеграл свертки для этого случая
можно записать в форме
СО
у (t) = J х (т) h (t — т) dx
— со
t
t—T
Иными словами, для любого значения t получаемая на выходе
функция у (!) является интегралом входного воздействия за
предшествующие Т секунд, что и объясняет название «интегратор
с конечным временем интегрирования».
Предположим теперь, что нам нужно оценить у (t), задаваемую
сверткой, если входное воздействие представляет собой длинный
импульс
(A, 0<t<3T
х (t) — 0, при всех иных = A[u(t) — u(t — 37')].
значениях
10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы
311
Входное воздействие х(т) и импульсная характеристика h (t — x'j
изображены на рис. 10.9 при пяти значениях t, соответствующих
пяти разным видам перекрытия, которые могут иметь место между
х (т) и h (t — т).
Рассмотрим каждый из этих случаев и оценим
СО
у (t) = J х (т) h (i — т) dx.
a) t < 0:
При таких значениях t (например, при t — перекрытия между
х (т) и h (t — т) нет, так что
у (t) = 0, t < 0.
б) 0 < t < Т\
При t = t2 перекрытие х (т) и h — <г) дает в результате пере-
множения импульс амплитудой А (вторая эпюра на рис. 10.9);
функция у (t2), представляющая собой интеграл этого произве-
дения, есть площадь импульса, т. е. At2. Таким образом, для
любого значения t в этой области
у (t) = At, 0<t<T.
в) Т < t < 37>
В данной области значений (например, при t = /3) временной
интервал, в котором h (t — т) отлично от нуля, полностью лежит
312
10. Применение свертки для систем непрерывного времени
внутри интервала, в котором х (т) отлично от нуля. Их произведе-
ние (третий график на рис. 10.9) дает импульс высотой А и дли-
тельностью Т, независящей от t, а площадь импульса у (1) по-
стоянна и равна
у (f) = AT, Т <t< ЗТ.
г) ЗТ <t< 4Т'.
При t = ti h — т) лишь частично перекрывается с х (т) и пло-
щадь импульса получается (четвертый график на рис. 10.9) рав-
ной А 13Т — (Z4 — Т) 1 = А (47 —- /4) или в общем виде
у (t) = А (4Т — f), 3T<t< 4Т.
Д) t > 47:
Перекрытия между h — т) и х (т) нет; это означает
У (0 = 0, t > 47.
Объединяя полученные результаты, можно построить у (0
(рис. 10.10).
* * *
На основании данного примера отметим, что свертка двух
импульсов дает импульс, длительность которого равна сумме их
длительностей. Этот результат в общем справедлив даже для
«импульсов», форма которых отличается от простой прямоуголь-
ной, и по меньшей мере приблизительно справедлив для сигна-
лов, строго говоря не являющихся импульсами, т. е. для таких
сигналов, которые не дают точного нуля за границами некоторого
интервала. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 16. Заметим
также, что все интегралы данного примера оценивались площа-
дями простой геометрической формы. Такой подход ограничен
в значительной мере формами сигналов, образованными отрез-
ками прямых линий; но он может быть полезным для получения
приближенных результатов, поскольку сигналы сложной формы
можно часто аппроксимировать последовательностью отрезков
прямых.
10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы
313
Пример 10.2.3
Вычисление интегралов свертки требует повышенного внимания,
если х (0 и (или) h (t) определяются различными формулами на
разных участках их области задания, как, например, показано
( 2е~^+1\ 0—1,
х (/) = I
I е^+О/2, 1<-1,
3,
3е-(/-2)/3>
10.2.3.
t <0,
0</<2,
02.
Рнс. 10.11. X (/) Н Й (0 для
й(0 =
примера
на рис. 10.11. Конечно, формулы, справедливые для всех значе-
ний t, можно записать для графиков х(1) ий (Z), приведенных на
этом рисунке, используя единичные ступенчатые функции. Так,
х (0 = 2е- (*+1) и (t + 1) + е<'+1>/2 и (—f _ 1)
h (0 = 3 [и (0 - и (t - 2)] 4- Зе- ('-2)/з u(t- 2).
Следовательно, у (t) = х (t) * h (t) можно формально записать
в виде
СО
у (t) = J х (т) h (t — т) dx =
“—СО
= J [2е-(т+1>и(т+1) + е(т+1>/2и(—т—1)]-
• [3 [и (t — т) — и (t — т — 2)] + Зе- (?~T-2)/3u (f — х — 2)] dx,
однако это выражение слишком сложно для оценки.
Наиболее простой путь обычно начинается с построения
графиков, подобных тем, какие рассматривались в предыдущем
314
10. Применение свертки для систем непрерывного времени
I) (f) = j e<T+I>/2
формула для
x (т). т < t-2
t
e(T+I)/2
t-2
t
формула для
примере, для типичных значений t. Так, для t < —1 х (и) и
h (1— т) будут такими, как показано на рис. 10.12. Интеграл
свертки при t < —1 имеет вид
t-2
3e-«-T-2)/3
t
формула для
h т < /-2
3 dx —
t
формула для
t h (t-x), i-2 < x <i
t-2
= 3e-f/3e7/6 f et(5/6)dT_|_
i
+ 3eI/2 J e*'2dx =
t-2
= 3e-'/3e7/6_Le(f-2) (5/6) I
5 1
4- 3el'22 [e^2 — e»-2^2] =
= 6e(^+i)/2 _ 2,4e(f_1>/2, t< — 1.
Рис. 10.13. x (т) и h (t— т) при —1 <Z t<i 1.
Для —1 < t < 1 и x (т) и h (t — <г), показанных на рис. 10.13,
интеграл свертки определяется подобным же образом:
t-2 -I
&(t) = § е(Т+1)/23е-((-т-2)/3 j е(Т+1)/23^_{_
—со f—2
t
+ j 2е- <т+1>3 dx =
—i
= 12 - W'"1)/2 - 6e-«+I>, —1</<1.
10.3. Каузальность и устойчивость 315
Наконец, для t > 1 и х (т) и h (t — г), показанных на рис. 10.14,
-I t-2
y(t)= J е(г+1)/2зе-(^-т-2)/з J 2e~(T+1>3e_^_T-2>/3 dx +
—СО 1—1
t
4- j 2е-<т+1)3 fa =
t-2
= 12,6е-</-1)/3 — Зе-<^-1) — 6е_</+1), />1.
Объединяя полученные результаты, можно построить у (f), как
показано на рис. 10.15.
* * *
несколько важных методов, позволяющих это га-
Конкретизируя:
10.3. Каузальность и устойчивость
Чтобы интеграл свертки (10.2.2) существовал в бесконечных
пределах, х (t) или h (—t) (или обе), должны достаточно быстро
стремиться к нулю при стремлении t к +оо и —оо. Как мы уже
отмечали в связи с аналогичной проблемой для дискретного
времени есть
рантировать.
1. Можно ввести ограничение Л (/) = 0 и х(/) = 0 при t
2. Можно принять,
СО
j | h (f) | dt < оо и рассматривать только ограниченные входные
воздействия.
0.
что для h (f) выполняется условие
316 10. Применение свертки для систем непрерывного времени
ЛИВ-систему, у которой h (7) = 0 при t < 0 называют кау-
зальной — отклик не может опережать стимулирующее воз-
действие 1). «Каузальность» 2) — традиционный термин теории си-
стем, используемый для описания свойства отсутствия упрежде-
ния, хотя возможно выбор его по ряду причин неудачен. С одной
стороны, поскольку мы утверждаем, что все наши системы дают
единственную реакцию на каждое полностью определенное воз-
действие, все наши системы «каузальны» независимо от того,
упреждающие они или нет. Подаваемое на них входное воздей-
ствие определяет выходную реакцию. С другой стороны, только то,
что одно событие предшествует другому, разумеется, не означает,
что первое является причиной второго. Это хорошо известное
в логике ошибочное утверждение post hoc ergo propter hoc — «после
этого — следовательно, вследствие этого». И все же мы будем
придерживаться традиции и пользоваться термином «каузаль-
ный» вместо менее привычного «неупреждающий».
В случае каузальных ЛИВ-систем мы можем установить связь
интеграла свертки общего вида
СО
y(t}= § х (т) h (t — т) dx
—со
с нашим предыдущим представлением для РНС некоторой цепи
с сосредоточенными параметрами в виде свертки, одной из форм
которого было
t
y(f) = ^x (т) h(t ~х) dx.
о
Если h (t~j каузально, то h (t — т) = 0 при т > t и мы можем
заменить верхний предел оо в интеграле суперпозиции 3) на t без
каких-либо последствий. Для объяснения нижнего предела за-
пишем
t о t
у (t) = х (x)h(t — х) dx = J х(т)й (7 — т) dx + \x(x')h (/ — т) dx.
—со *—со Q
Второй интеграл является ранее исследованной РНС-реакцией
при I > 0 на входное воздействие х (t) при t > 0, если входное
воздействие (и, следовательно, состояние были нулевыми при
г) Более формальное определение каузальности дано в упражнении 10.3.
2) Каузальный, т. е. причинный. — Прим. ред.
3) Интеграл суперпозиции иногда называется «интегралом наложения»,
так как описывает суммирование мгновенных значений сигнала х (т) с весом
Л (I—т), см., например, И. С. Понаровский, Радиотехнические цепи и сигналы,
М., Радио и связь, 1986, гл. 6, § 6.3, с. 177. — Прим. ред.
10.3. Каузальность и устойчивость
317
t 0). Первый интеграл, таким образом, представляет собой
РНВ-реакцию при t > 0 на состояние, определяемое входными
воздействиями при t < 0. Действительно, если h (t) есть сумма
экспонент
h (f) = У, a;es^ и (t)
(что соответствует случаю конечной RLC-цет, если характери-
стическое уравнение не содержит кратных корней), то сразу имеем,
о
о
f х (т) e~s‘T dx
что представляет собой сумму членов с собственными частотами,
амплитуды которых определяются предшествующими входными
воздействиями, находящими отражение в состоянии в момент
t = 0, точно так же, как при рассмотрении в частотной области
в гл. 3. Для распространения методов анализа в частотной области
на некаузальные системы нужен подход, отличающийся от одно-
стороннего преобразования Лапласа, рассматривавшегося в гл. 2.
Таким подходом мы начнем заниматься в гл. 12.
В некоторых случаях каузальность можно связать с другим
фундаментальным свойством системы. Про систему говорят, что
она пассивна, если при любых возможных условиях возбуждения
поглощенная ею за все предшествующее время энергия положи-
тельна 1). Интересно заметить, что пассивная линейная цепь
должна быть каузальной, что мы сейчас и покажем 2). В случае
двухполюсной электрической цепи энергия, поглощенная до мо-
мента времени t выражается как J v (т)i (т)• dx 3 \ где v (Г) и
i (t) — напряжение и ток на ее зажимах; если система пассивна,
то энергия должна быть положительна при любом v (0 (пред-
ставляющем собой входное воздействие) и при любом t. Пусть
теперь
f (0 = (0 + av2 (0,
где v-l (0 — некоторое произвольное напряжение, р2 (0 — Другое
напряжение, которое также произвольно, за исключением на-
ложенного условия v2 (0 = 0 при t < t0, и а — произвольная
постоянная. Если цепь линейная, то можно записать
i (0 = 0 (0 + ai2 (0,
1) См. разд. 4.1.
2) D. С. Youla, Z. J. Castriota, and Н. J. Carlin, «Bounded Real Scattering
Matrices and the Foundations of Linear Passive Network Theory», IRE Trans. Cir-
cuit Theory, CT—6 (March 1959): 102—124.
3) Запись предполагает v (t) и i (t) действительными функциями. — Прим,
ред.
318 10. Применение свертки для систем непрерывного времени
где ix (t) и i2 (I) — реакции соответственно на ty (/) и и2 (/). При
/С t0 имеем v (t) = v± (t) и интеграл входной энергии
t t
J v (t) i (т) du = J Vt (t) (t) + ai2 (r)] du ~
e»CO e—CO
t I
= J ux (t) ix (т) du -j- a J vx (t) i'2 (?) du 0,
—co •—co
t< ta.
Поскольку а произвольное, это неравенство может выполняться
при ненулевом v± (т) только при условии, что второй интеграл
обращается в нуль при любом их (t) и всех t < t0. Но отсюда вы-
текает требование г2 (/) = 0 при t < 4, что и означает каузаль-
ность (см. упражнение 10.3).
Студенты часто задают вопрос, зачем, если все физические
системы преимущественно должны быть каузальными, нужно
все же заниматься и некаузальными системами. Один ответ (как
было отмечено в гл. 9) состоит в том, что это предположение не-
корректно — независимая переменная может (как в случае линзы
или антенны) быть пространственной координатой, а не временем,
а тогда точки слева от начала координат столь же «реальны»,
как и справа от него. И, конечно, любая система, которая обра-
батывает накопленную информацию (например, цифровой компью-
тер), может легко моделировать работу некаузальной системы,
хотя, разумеется, и не в «реальном времени». Другой ответ за-
ключается в том, что мы не в состоянии оценить смысл и следствия
каузальности, если не воспользоваться более широким контекстом.
Каузальность — весьма сильное допущение, налагающее на по-
ведение системы ряд существенных ограничений, и в этом заклю-
чается причина его важности. С другой стороны, подобные огра-
ничения, создавая лишь эффекты второго порядка в характери-
стиках системы, вносят эффекты первого порядка в аналитиче-
ские трудности и превращают простую и ясную задачу в трудную
и запутанную. Важно поэтому располагать свободой осуществле-
ния аппроксимаций по отношению к каузальности так же, как
мы это делаем по отношению ко многим другим свойствам ради
упрощения анализа и выявления смысла. Многочисленные примеры
таких упрощений мы увидим в последующих главах.
ОВОВ-устойчивость систем была определена в гл. 6 как даю-
щая ограниченный выход при нулевом состоянии на каждый огра-
ниченный вход. Мы показали, что необходимым и достаточным
условием ОВОВ-устойчивости конечных /?ЛС-цепей является рас-
положение всех полюсов Н ($) в левой полуплоскости. Условие
ОВОВ-устойчивости можно распространить на системы, описы-
10.3а Каузальность и устойчивость
319
ваемые выражением (10.2.2), независимо от того каузальны они
или нет:
Необходимым и достаточным условием ОВОВ-УСТОЙЧИ-
ВОСТИ НВ ЛИВ-системы является абсолютная интегри-
руемость импульсной характеристики, т. е.
J \h(t)\dt<co. (10.3.1)
—со
Второе условие существования интеграла свертки с бесконечными
пределами (см. начало данного раздела) является, таким образом,
условием устойчивости. Доказательство необходимости и до-
статочности условия абсолютной интегрируемости полностью ана-
логично соответствующему доказательству, проведенному для
ДВ-систем в разд. 9.2.
Пример 10.3.1.
В случае ЛИВ /?ЛС-цепи h (f) будет содержать конечную сумму
комплексных экспоненциальных членов (умноженных на сте-
пени t, если характеристическое уравнение содержит кратные
корни), h (/) будет, очевидно, абсолютно интегрируемой, если все
экспоненты имеют (ненулевые) отрицательные действительные
части (полюса расположены в левой полуплоскости), и не будет
абсолютно интегрируемой, если любые из экспонент имеют (не-
нулевые) положительные действительные части (один или большее
число полюсов лежат в правой полуплоскости). Полюсы, лежащие
точно на /со-оси соответствуют цепям, содержащим только эле-
менты без потерь (LC) (или аналогичным устройствам, как, на-
пример, идеальные интеграторы); импульсные характеристики
таких цепей имеют постоянные амплитуды при t > 0 (или растут
как степени t, если на оси /со располагаются полюсы высокого
порядка). Некоторые примеры приведены на рис. 10.16.
ОО
Во всех этих примерах j | h (t) | dt оо. В общем случае
цепи, полюсы которых лежат на /со-оси, не обладают ОВОВ-
устойчивостью: они при ограниченных входных воздействиях
в каждом случае создают неограниченные выходы. Так, нетрудно
показать, что ограниченные входные воздействия, представленные
на рис. 10.17 и взятые из трех примеров (а, бив) рис. 10.16,
создают неограниченные реакции, изображенные на рис. 10.17.
* * 4
Физйческие системы, аппроксимирующие идеальные цепи без
потерь, — в общем случае ЛИВ-системы, системные функции ко-
320
10. Применение свертки для систем непрерывного времени
а
t
v{t} =±Ji(T)dT + 1/(0)
Рис. 10.16. Примеры систем с полюсами на
Рис. 10.17. Ограниченные входные воздействия, создающие неограниченные
выходные реакции в системах, представленных на рнс. 10.16.
££s) H(s) V(s
H(s) = ^
A s-плоскость
-)-----►
<(f)(-----
—♦ h(t) ------»
h(f) = -£-u(f)
kh(t)
i_________________
c
-------------------*-t
10.4. Выводы
321
торых имеют полюсы на оси /со и импульсные характеристики
которых растут не быстрее некоторой степени t, обычно ведут
себя лучше, чем системы, у которых системные функции имеют
полюсы в правой полуплоскости и у которых импульсные харак-
теристики растут экспоненциально. Таким образом, иногда по-
лезно выделять системы первой группы как условно устойчивые,
хотя в строгом ОВОВ-смысле обе группы систем являются не-
устойчивыми.
10,4. Выводы
Почти полностью аналогично тому, как это было сделано в преды-
дующей главе, мы показали, что интеграл свертки
у (t) — J х (т) h. (t — т) dx = х (t) * h (t)
—co
описывает в явном виде общую линейную инвариантную во вре-
мени операцию в непрерывном времени. В частном случае, когда
система каузальна, т. е. h (t) = 0, t < 0, и когда входное воздей-
ствие х (f) при t <Z 0 также равно нулю, эта формула принимает вид
t
y(t) = ^x (т) h (t — т) dx
о
и непосредственно соответствует перемножению ^-преобразова-
ний в частотной области!
Y (s) = X (s) Н (s).
Другой частный случай, в котором гарантируется существование
общего интеграла свертки, получается, когда входное воздействие
х [п] ограниченно и система обладает ОВОВ-устойчивостью,
так что
J |й (Z)| dt < оо.
—СО
Поскольку ни h (t), ни х (/) в этом случае не обязательно обра-
щаются в нуль при t < 0, методы, основанные на одностороннем
^-преобразовании, применять нельзя. Но частотная область
все еще остается исключительно полезной для таких ЛИВ-систем,
что мы обсудим в гл. 12.
Хотя мы дали функции h (7) название «реакция на единичный
импульс», мы еще ничего не сказали о том, каким должен быть
«единичный импульс», чтобы давать такого рода «реакцию».
Этот вопрос — тема следующей главы.
322 10. Применение свертки для систем непрерывного времени
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 10
Упражнение 10.1
Имея произвольную систему, о которой ничего не известно, предложите после-
довательность входных воздействий, так чтобы соответствующие реакции позво-
лили вам утверждать, что данная система является линейной (или нет) и (или)
инвариантной во времени (или нет).
Упражнение 10.2
ОО
Если у (t) — выход ЛИВ-системы, докажите, что интеграл J у (t) dt (т. е. пло-
—оо
щадь, под кривой, описывающей выход) равен произведению площадей, ограни-
ченных кривыми входного воздействия и импульсной характеристики.
Упражнение 10.3
В общем случае система (линейная или нелинейная) должна быть каузальной,
если при подаче на нее любых двух входных воздействий, равных при t < /0,
соответствующие выходы также равны при К t0. На основании общей фор-
мулы свертки (10.2.3) покажите, что h (f) = 0 при t < 0 является необходимым
и достаточным условием для того, чтобы ЛИВ-система была каузальной в ука-
занном смысле.
Упражнение 10.4
На основании интеграла свертки покажите, что реакцию каузальной ЛИВ-цепи
на единичную ступенчатую функцию можно записать в виде
i
В (!) = j Л (т) Л.
о
Опираясь на этот результат, покажите непосредственно во временной области,
что импульсная характеристика является производной реакции на ступенчатую
функцию.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 10
Задача 10.1
Выход у0 (t), показанный на рис. 10.18, наблюдается, когда некоторый (неиз-
вестный) вход х0 (0 воздействует на некоторую ЛИВ-систему с (неизвестной)
импульсной характеристикой ha (t). Постройте соответствующие реакции для
Задачи к главе 10
323
каждой из трех других ЛИВ-систем, входные воздействия и импульсные харак-
теристики которых записаны ниже.
a) Xi (0 = 2х0 (0, hi (0 = 0,5Ло (0.
б) х2 (0 = х0 (0 — х0 (t — 2), Ла (0 = й0 (О-
в) х3 (0 = х0 (t - 2), Л3 (0 = Ло (t + 1).
Задача 10.2
Ответьте на следующие вопросы для случая, когда входное воздействие н импульс-
ная характеристика имеют вид, показанный на рис. 10.19.
Рис. 10.19.
а) Каково полное множество значений t, при которых у (0 = h (0 * х (0 =
= 0?
б) При каком значении t реакция у (t) принимает наибольшее положитель-
ное значение?
в) Что собой представляет у (4-1)?
Задача 10.3
Соотношение между сверткой каузальных временных функций и произведением
их преобразований нетрудно представить в виде
S’ [Xi (0 * Х2 (0 * Х3 (03 = -2” [Х1 (03 2 (0] [•*» (03-
а) Используйте это соотношение для того, чтобы найти обратное преобра-
зование
х (S) = s* (s + а) •
б) Проверьте полученный результат определением вычетов.
Задача 10.4
Рассмотрите функции а (0, 0 (0 и ф (0, определенные на бесконечной прямой
—оо < К оо. Пусть
Л(0 =
о,
Ф(0,
о,
t> 1,
0</<1,
/<0,
х(0 =
“(0.
₽ (- 0.
/>о,
t <0.
В каждом из интервалов значений t запишите у (0 = Л (0 ♦ х (0 в виде суммы
определенных интегралов, содержащих а (0, р (t) и ф (0,
324
10. Применение свертки для систем непрерывного времени
Задача 10.5
Рассмотрите, являются ли показанные на рис. 10.20 и 10.21 цепи линейными
и (или) инвариантными во времени по отношению к их входам.
Идеальные
диоды
Рис. 10.20.
Рис. 10.21.
Здесь С (1) и L (1) — меняющиеся во времени элементы, так что
d d
(0 = -аг [°с (0 с <оъ (0 = -аг (0 L «)Ь
а функции L (1) и С (1) численно равны L (1) = С (1).
Задача 10.6
Найдите с помощью свертки форму реакции для каждой пары входного воздей-
ствия х (t) ЛИВ-системы и импульсной характеристики h (t) (рис. 10.22). Полу-
ченные результаты представьте по своему выбору в графической или аналитиче-
ской форме.
Задача 10.7
Пусть температурную реакцию электрической печи на изменение входного тока
можно моделировать, как показано на рис. 10.23, последовательным соединением
прибора с квадратичной характеристикой и некоторой ЛИВ-системы. Реакция
всей системы иа ступенчатое приращение тока показана на графике.
Задачи к главе 10
325
Чтобы ускорить реакцию системы, предложено ввести компенсацию при
помощи устройства, показанного на рис. 10.24.
Рис. 10.22.
Рис. 10.23.
Гр)
а) Выберите Aj и ТС2 (включая их знаки) так, чтобы
1) окончательное значение температуры в печи достигалось в процессе
реакции на ступенчатое приращение тока точно через Д секунд.
2) температура установившегося режима была такой же, как и до прира-
щения.
Изобразите действительное входное воздействие на печь при ступенчатом
изменении тока i (/), как показано на рис. 10.23.
326
10. Применение свертки для систем непрерывного времени
б) Практически что ограничивает скорость реакции, которая может быть
получена таким путем?
Рис. 10.24.
Задача 10.8
ЛИВ-снстему с импульсной характеристикой h (t), показанной на рнс. 10.25
и называемой приподнятым косинусоидальным импульсом 1), часто используют
Рис. 10.25.
в качестве интерполирующего или сглаживающего
фильтра. (Причины такого выбора мы рассмотршм
в одной из последующих глав.) Один нз способов
построения подобного фильтра сводится к после-
довательному включению интегратора с конечным
временем интегрирования, имеющего импульсную
характеристику
1,
0,
при других значениях t,
и высокодобротного резонансного контура с идеализированной импульсной
характеристнкой
. ... 2л . 2л/
(0 = sm ~y~ “ (0
(см. рис. 10.26).
0<t<T,
Рис. 10.26.
а) Покажите, что показанная на рис. 10.25 импульсная характеристика
h (/), задается выражением
й (/) = hi (t) * й2 (t).
Ц Такие временные функции используются в качестве временнйх окон
для снижения спектральных боковых лепестков и называются либо окном Ханна
(фон Ганна), либо окном Хеннинга, см., например, Л. Рабинер, Б. Гоулд, Теория
и применение цифровой обработки сигналов, М., Мир, 1978, гл. 3, § 3.9, с. 107;
Р. В. Хемминг, Цифровые фильтры, М., Сов. Радио, 1980, гл. 5, § 5.9, с. 99;
Ф. Дж. Хэррис, Использование окон при гармоническом анализе методом ди-
скретного преобразования Фурье, ТИИЭР, № 1, 1978, с. 71. — Прим. ред.
Задачи к главе 10
327
б) Выполняя свертку, покажите, что реакция д (/) полной ЛИВ-системы
2л t
(рис. 10.25) на воздействие х (/) = cos —оо < t <_ оо (реакция «устано-
вившегося режима») имеет вид
Т 2nt
д (t) =----g-cos-^-, — oo<t<oo.
в) Покажите, что если рассматривать данную систему как последовательное
соединение двух ее частей с импульсными характеристиками й^ (t) и й2 (/) и если
пытаться рассчитан, реакцию на входное воздействие (случай б) покаскадно,
то мы встретимся с большими трудностями. Покажите, в частности, что если
порядок включ1 ния подсистем такой, при котором за hi (f) следует й2 (/), то реак-
ция одной йх (/) на х (/) будет нулевой (и, следовательно, полная реакция, по-ви-
димому, окажется нулевой). Но если порядок подсистем такой, что йх (t) следует
за й2 (/), то реакция одной й2 (/) на х (/) будет бесконечной (и, значит, общая реак-
ция системы также будет бесконечной).
Аналитически эти трудности являются результатом того, что тройная свертка
х (t) * hi (t) * h2 (t) в данном случае ие обладает свойством ассоциативности.
Конкретно
х (t) * (hl (t) * h2 (t)) = —cos ,
(X (t) * hl (/)) * h2 (t) = 0,
(x (t) * й2 (()) * hi (t) — оо (или неопределенность).
Указанные трудности легко понять при рассмотрении в частотной области:
^’-преобразование функции hi(t) имеет нуль в точности на той частоте, на которой
идеальный (без потерь) настроенный контур й2 (t) имеет полюс. Трудности исче-
зают, если несколько изменить частоту х (t) или длительность й2 (I) или если
к й2 (7) добавить немного «потерь». На практике, если нужно получить импульс-
ную характеристику й (t) при подобном каскадном включении и если возмож-
ными входными воздействиями являются сигналы, приближенно описываемые
2лц
косинусоидой cos -у- иа протяженных интервалах, то лучшие результаты,
вероятно, удастся получить, когда подсистема с й2 (/) будет стоять после под-
системы с hi (f), а не наоборот, поскольку амплитуда сигнала в точке между
ftj (/) и й2 (I) будет в этом случае меньше.
Задача 10.9
Свертку сигнала с самим собой, повернутым во времени, называют автокорре-
ляционной функцией этого сигнала:
СО
Гх(т) = j x(t) x(t — x)dt.
ew-CO
а) Сравнением с интегралом свертки определите импульсную характери-
стику фильтра, зная, что конкретное входное воздействие х (i) дает на его выходе
гх (0- (Такой согласованный фильтр обладает интересными свойствами улучше-
ния отношения сигнал/помеха. См. задачу 10.10.)
б) Нарисуйте импульсную характеристику й (/) согласованного фильтра,
соответствующего показанной на рис. 10.27 форме сигнала х (t).
в) Изобразите выход этого фильтра при входном воздействии х (/), т. е.
найдите автокорреляционную функцию гх (т), соответствующую х (t).
г) Импульсная характеристика, полученная в п. б) является нереализуемой.
Покажите, однако, что й' (t) = й (t— 7) является импульсной характеристикой
реализуемого фильтра и найдите соотношение между г'х (1) (выход й' (1)) н тх (1)
(выход й (?)).
328 10. Применение свертки для систем непрерывного времени
д) Докажите, что h' (t) можно реализовать при помощи показанной на
рис. 10.28 линии задержки с отводами и определите величины коэффициентов
усиления а;.
Задача 10.10
Рассмотрим алфавит, содержащий ради простоты всего три буквы: а, & и с. Пусть
для передачи по телефонной линии некоторого сообщения, записанного этим
алфавитом, со скоростью одна буква за каждые Т секунд мы сопоставим каждой
Рис. 10.30. Совокупный передаваемый сигнал, соответствующий последователь-
ности baccbaa.
букве конкретный электрический сигнал длительностью Т секунд (рис. 10.29).
Тогда последовательность букв, образующая сообщение, будет выглядеть так,
Задачи к главе 10
329
как показано на рис. 10.30. Приемник в этой системе приводит в действие авто-
матический буквопечатающий аппарат. Сигналы, воздействующие на клавиши,
получаются так, как показано на рис. 10.31. Импульсные же характеристики
трех ЛИВ-фпльтров приведены на рис. 10.32. Эти фильтры называют согласо-
ванными, поскольку их импульсные характеристики представляют собой соот-
ветствующие сигналы, обращенные по времени (повернутые на 180°) (см. за-
дачу 10.9). Формы сигналов на рис. 10.31 соответствуют конкретным х (fj на
рис. 10.30. Пороговые цепи являются нелинейными не обладающими памятью
устройствами, которые пропускают лишь сигналы, превышающие уровень
3/4 АТ вольт.
Рис. 10.31.
Рис. 10.32.
Задача проектирования системы этого типа сводится, очевидно, к такому
выбору сигналов (рис. 10.29) и фильтров (рис. 10.32), при котором реакция каж-
дого из фильтров на согласованный с ним сигнал была бы большой и «положи-
тельной», а реакция других фильтров на тот же сигнал была малой или отрица-
тельной. Рассмотрим работу этой конкретной системы, проанализировав канал а
на рис. 10.31.
а) Найдите реакцию цепи с ha (4) отдельно для каждого из сигналов ха tf),
хъ (0 и хс (0-
б) Если п. а) выполнен правильно, то должно быть ясно, что ha (4) дает
более сильную реакцию на ха (4), чем на хь (4) или хс (4). Однако этого еще не-
достаточно для гарантии успешной работы. Поскольку реакция ha (4) на каждый
из буквенных сигналов превышает его длительность вдвое, то реакции на следу-
ющие друг за другом буквенные сигналы будут перекрываться. Такая меж-
символьная интерференция может вызвать ошибки *). Найдите реакцию для по-
1) О влиянии межсимвольной интерференции на эффективность передачи
дискретных сигналов см., например, Помехоустойчивость и эффективность си-
стем передачи информации, под ред. А. Г. Зюко, М., Радио и связь, 1985, гл. 5,
§5.1, 5.2. — Прим. ред.
330
10. Примеиеиие свертки для систем непрерывного времени
следовательности букв, приведенной на рис. 10.30, и покажите, что она совпа-
дает с уа (t) (рис. 10.31), так что по крайней мере для данной последовательности
перекрытие не приводит к ошибкам.
в) Докажите, что в канале а ошибки не возникнут при любой последователь-
ности букв.
Выполнив аналогичный анализ для других каналов, можно показать, что
наибольший паразитный сигнал такого рода, появляющийся в несоответству-
ющем выходном канале или в несоответствующий момент времени, равен АТ/Ч.
Поэтому лишь верные сигналы (которые всегда имеют высоту АГ), пройдя через
пороговые элементы, воздействуют на клавиши печатающего аппарата. Требо-
вание устранения межсимвольной интерференции относится к числу довольно
жестких, что вы сможете показать, попытавшись найти другие одинаково прием-
лемые структуры сигналов.
Задача 10.11
Системная функция резонансной цепи, как было показано в гл. 4, должна в об-
щем случае иметь вид
H(s) Q\4>J
а) Покажите, что при больших Q
й (0 « | Н (/соо)1 4г cos со0;, I > 0.
б) Постройте й (0 при больших Q. Обозначьте важные моменты времени
и амплитуды.
в) Постройте реакцию такой цепи на входное воздействие в виде единичной
ступенчатой функции.
предметный указатель
Аккумулятор (накопитель) 226, 261
Анализ 56, 151
Аналогии 14
Аналоговые компьютеры 28
Умножитель 174, 179
Базовые направления (тока, напряже-
ния) 14
Баттерворта фильтр 38, 115, 129, 139,
144, 145, 150
Бесселя уравнение 85
Боде Г. В. 158, 160, 200
— диаграмма 130—132
Интегратор
— неинвертирующий 26, 28, 80, 304
— с конечным временем интегрирования
309
Интегрирования теорема 79
Искажения 247
Источник
— зависимый 15
идеальный 14
— напряжения 14
I— независимый 15
— тока 14
— управляемый 15
Ван дер Поля уравнение 52
Взаимность 101, 107, 109, 117
Винер Н. 176
Вход инвертирующий 16
— неннвертнрующнй 16
Вычеты 64
Гамильтониан 116
Генри 14
Гнратор 113
Граничная частота 38
Действительная часть 36
Декада 132
Децибел (дБ) 130
Динамические уравнения 13, 18
Диод 17
Дифференцирования теорема 69
Добротность 124 и далее
Единственности теорема 63
Емкость 14, 69
Каузальность 315 и далее
Кибернетика 176
Кирхгофа законы для напряжения н тока
17, 18
Ключ 17
Компаратор 161
Комплексная частота 58, 98
Контроллер 186
Корневой годограф 189
Корректор электромагнитной воспроизво-
дящей головки 143
Коши принцип аргумента 199
Коэффициент усиления в кольце обратной
связи 157
Кронекера дельта-функцня 250
Лапласа преобразование 57
— обратное 62
>— таблицы 76
Лейбница правило 309
Линейность 16, 283
— теорема 61
Линейные инвариантные во временя си-
стемы (ЛИВ) 16
Линия задержки с отводами 230
Зависимый источник 15
Задержка 60, 230, 251, 256
Заземления символ 20
Замкнутый контур 18
Идеальный
— источник 14
— трансформатор 111
Импеданс 69, 91
Инвариантность во временя, принцип 16,
283
Инверсные системы 163 н далее, 294, 299
Индуктивность 14, 69
» взаимная 110
Максвелл Дж. К. 158
— соотношение 117
Модель
— магистрального движения 85
— сердца 51
Мостовая Т-образная цепь 178
Мультивибратор 52
Найквист X. 158
Напряжения источник 14
Начальное состояние 29, 318
Начальные условия 29, 32, 234
Независимый источник 14, 15
332
Предметный указатель
Нортона теорема 74
Нулевое состояние 88
Нули 60, 118 и далее, 260
Обратная связь 156 и далее
— — отрицательная 159
— — положительная 159
Октава 131
Ом 14
Оператор 56
Операционный усилитель 15
— — ширина полосы при единичном коэф-
фициенте усиления 181
Опережающего сдвига теорема 254
Описание в неявной форме 13
Основные соотношения 13 н далее
Пассивная система 317
— цепь 119, 141
Передаточная функция 89
Перемиожитель 26
Повторитель напряжения 21, 155
Положительная действительная функция
141
Полюсов-нулей диаграммы 118
— — комплексно-сопряженная симметрия
119
Полюсы 60, 97, 118 н далее, 260
— кратные 66
Порт 89
Порядок
— системы 33
— цепи 24
Постоянное входное воздействие 33
Потенциальные модели 127
Преобразователь отрицательного импедан-
са 113
Приборы с переносом заряда 233
»— типа «пожарная цепочка»
Проводимость (отношение ток/напряже-
ние) 89
• — входная 92
Разложение на элементарные дроби 63
Разностные уравнения 223
— — для переменных состояния 229
— — порядок
Рациональные функции 59
Реакция на единичный импульс 302, 321
— — — — размерность 305
— при нулевом воздействии (РНВ) 29,
88, 236, 260
— при нулевом начальном состоянии
(РНС) 88, 260
— цепи иа ступенчатое воздействие 35
— на единичный отсчет 275
---------282
Регулировка тембра схемы 146 и далее
Резистор, сопротивление 14, 68
Резонанс 125, 126
Роберж Дж. К. 172
^С-геиератор 192
Саллена — Ки схема 145
Свертка 276 н далее z
— алгебраические свойства 286
— графическая интерпретация 306 и далее
— интеграл 302
— обращение 177, 290
е— теорема о преобразовании Лапласа 303
—- Z-преобразоваиие 276
Сечение цепи 19
Сигналы дискретного времени (ДВ) 220
— ошибки 242
Сингулярности 31
Синтез 56, 151
Системная функция 89, 260
— связь с дифференциальными урав-
нениями 96
Системы 151
* — дискретные по времени 222
> — инвариантные во времени 283
> — инверсные 163, 294, 299
* — каноническая форма 232
— каузальные 315 и далее, 322
> — линейные 283
— — инвариантные во времени 16
।— параллельные 153
— порядок 88, 33
— последовательно соединенные 153
> — с выборкой данных 272
— структурное описание 56
— трансверсальные, нли рекурсивные 230
— управления 176
— устойчивые 119, 319
— функциональное описание 56
Собственная (гомогенная) реакция 29
Собственная частота 30, 31, 140
— — порядок (кратность) 33
— мода 30
Сопротивление (отношение иапряже-
иие/ток) 89
— входное 91
Стабилизатор напряжения 173
Структурные схемы 25
— — общий вид 46, 48
Сумматор 26, 28, 227, 257
Супергетеродинный приемник 144
Суперпозиция 16, 87
— теорема 251
Сходимости абсцисса 59
— область 59, 94, 245, 260
Таймер в интегральном исполнении (ИС
типа 555) 40
Теорема Тевенина 74, 168
— Теллегена 140
— о конечном значении 81, 269
— о начальном значении 81, 269
умножения иа п 251
. i 67
— — — экспоненту 251
Т-образная цепь 121
— — двойная 121
Тока источник 15
Точка излома 132
Точки уровня половинной мощности 126
Транзистор 15
Управления теория 157, 176
Управляемость 97, 138
Уравнения в узлах 19
— состояния 22
Усиление 227, 257
— запас 203
Усилитель 26
— логарифмический 179
— развязывающий 155
Устойчивость 119, 187, и далее, 193 206,
319
— в смысле ОВОВ (ограниченным входам
при нулевом начальном состоянии соот-
Предметный указатель
333
ветствуют ограниченные выходы) 187,
286
— критерий Рауса 190
— — Найквиста 199 и далее
— обращенного маятника 193
— по Ляпунову 187, 199
условная 203
— пассивная 119, 141
— с затуханием 120
— Т-образиая 121
• — фазокорректирующая 139
— фазоопережающая 205
Фостера форма (ЯС-цепь) 142
* — элементы 13
Фазовый запас 204
Фазоопережающая цепь 205
Фарада 14
Фибоначчи числа 238, 241
Фильтр иижиих частот 38
— — — амплитудио- и фазочастотиые ха-
рактеристики 38
— — — идеальный 128
— для подавления «шипа» нглы в про-
игрывателе 150
— иа переключаемых конденсаторах 243
— разделительный 147
Функциональное описание системы 56
Функция единичной выборки 250
Характеристическое уравнение 31, 260
— число 50
Хевисайд О. 57
— теорема разложения 64
Цепь 13, 151
— без потерь 120
— ветви 13
— двойная Т-образиая 121, 149
— корректирующая 193, 203, 204
— лестничного типа 120, 226
— миинмально-фазовая 148
Частное решение 33
Частотная область 58, 256
— характеристика 37
> — — в установившемся состоянии при
синусоидальном входном воздействии
34, 93
«Черный ящик» 56
Четырехполюсник 99
— Л BCD-представление 111
— гнбрндиое представление 111
Численное интегрирование 224, 261
— — алгоритм Эйлера аппроксимации
«вперед» 225, 277
— — — — аппроксимации «назад» 225,
270
— — правило Симпсона 240, 270
— — правило трапеций 240, 270
Чувствительность 160
Эквивалентность 46, 57
Электрокардиограмма 54
Элементы с сосредоточенными параметра-
ми 18
Эффект Миллера 171, 175
Z-преобразование 245 и далее
— область сходимости 245, 260
обратное 247
е— таблица 265