Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
МАТЕМАТИКА В МОНОГРАФИЯХ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
акад. С. Н. БЕРНШТЕЙНА, акад. И. М. ВИНОГРАДОВА,
проф. А. Н. КОЛМОГОРОВА, проф. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА,
проф. А. И. ПЛЕСНЕРА, проф. В. А. ТАРТАКОВСКОГО,
проф. Н. Г. ЧЕБОТАРЕВА
Часть вторая
ОСНОВНАЯ СЕРИЯ
КНИГА 5
Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
Часть вторая
S-
с
<и
о.
О)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД 1937 МОСКВА
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР

23S4
Тк к № Ш от 19/VDI 1937 г.
Настоящая книга является продолжением]части I .Основы теории
Галуа', изданной ОНТИ в 1935 г., и посвящена исследованию свойств
алгебраических чисел в.связи с теорией Галуа. Она предназначена для
научных работников и аспирантов-специалистов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая вторая часть „Основ теории Галуа" должна была
по замыслу содержать все главнейшие современные результаты,
посвященные приложениям теории Галуа к алгебраическим чис-
числам, и поэтому должна была содержать теорию абелевых полей,
в частности полей классов, а также теорию алгебр (или гипер-
гиперкомплексных чисел) в приложении к полям классов. Однако
оказалось, что методическая обработка имеющегося по этим во-
вопросам журнальното материала потребует много времени и повле-
повлечет за собой дальнейшую задержку выхода в свет этой части
книги, В виду этого я решил опубликовать в виде отдельной
книги эту часть, содержащую элементы теории алтебраических
чисел и идеалов, но пронизанную связью с теорией Галуа, а также
элементы аналитической теории идеалов, доведенные до опреде-
определения плотности простых чисел, принадлежащих к отдельным
классам подстановок (автоморфизмов поля).
Выход в свет теории алгебраических чисел отдельной кни-
книгой может быть оправдан особенно потому, что книг на русском
языке по теории чисел почти нет. Существуют лишь: литогра-
литографированный курс Д. А. Граве, Арифметическая теория алгебраи-
алгебраических величин, ч. I — Квадратичная область, Вельмин, Теория
алгебраических чисел, являющаяся почти библиографической
редкостью, и недавно вышедший на украинском языке перевод
книги Гекке (Е. Hecke, Vorlesungen fiber die Theorie der alge-
braischen Zahlen).
Однако и во всей мировой литературе трудно указать книгу,
которая по материалу была бы близка к этой книге. Почти все
выходящие теперь книги по теории алгебраических чисел
избегают ставить ее в связь с теорией групп и теорией Галуа;
книга Гекке ограничивается случаем абелевых групп. Ближе
всего материал настоящей книги лежит к материалу второго тома
„Учебника алгебры" Вебера (H.Weber), но содержит много упро-
упрощений, выработанных после 1899 г., когда вышла книга Вебера
(например несравненно проще доказана теорема Кронекера-Вебера;
геометрическая теорема Минкоцркого заменена простой алгебраи-
алгебраической теоремой Гурвица), а также более поздние результаты,
например о плотностях простых чисел (Фробениус), каковые
у Вебера изложены только для случая абелевых полей (тео-
(теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

ПРЕДИСЛОВИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга состоит из двух глав. Первая посвящена элемен-
элементарной теории идеалов. Обычно все курсы теории идеалов при-
принимают за основу или Кронекеровскую теорию функционалов
(Вебер) или Дедекиндову теорию модулей (Дирихле-Дедекинд,
Бахман, Ландау, Гекке); я выбрал теорию Золотарева, которая
быстрее вводит читателя в курс дела и отличается большей
наглядностью. В дальнейшем я доказал эквивалентность опреде-
определений Золотарева и Дедекинда.
В § 5-я привожу новое доказательство теоремы Дедекинда о
критических простых числах. Это простое по идее доказатель-
доказательство пользуется аппаратом теории Галуа, в частности теоремой
Силова из теории групп.
В §§ 6—7 доказывается теорема Минковского при помощи
леммы Гурвица, доказательство которой проводится более
подробно, чем у самого Гурвица.
В § 8 вводится понятие группы инерции^ при помощи кото-
которого из теоремы Минковского легко выводится так называемая
теорема монодромин, с помощью которой многие формулировки
и выводы значительно упрощаются.
В § 9 доказана теорема Кронекера-Вебера об абелевых
полях и полях деления круга. В общем доказательство построено
по Гильберту. Для наиболее трудного случая иррегулярных кри-
критических чисел доказательство заменено новым, идея которого
принадлежит Фуэтеру (R. Fueter).
§§ 10—12 посвящены группе разложения с приложением к вы-
выводу теоремы Штикельбергера-Вороного, а также к выводу квад-
квадратичного закона взаимности по Мириманову и Гензелю (К. Hensel).
Глава вторая, посвященная аналитической теории идеалов,
' имеет целью получение результатов аналитической теории, кото-
которые имеют важные приложения в общей теории идеалов. Руко-
Руководствуясь этим принципом выбора, я избегал помещения резуль-
результатов, касающихся тонкостей оценки остаточных членов, и не
поместил весьма важной формулы Гекке, как не имеющей
непосредственного приложения к излагаемым вопросам прило-
приложения теории Галуа к алгебраическим числам. •
В § 1 доказывается конечность числа идеальных классов
и излагается связь эквивалентности идеалов с подобием соот-
соответствующих матриц (см. Шур).
§ 2 посвящен теории единиц алгебраического поля, изло-
изложенной по ван-дер-Вардену (В. L. van der Waerden). Здесь в виде
примера изложена связь единиц вещественного квадратичного
поля с непрерывными дробями.
В § 3 изложена теория Дирихле о простых числах в ариф-
арифметической прогрессии. Вместо доказательства необращения
в нуль выражений h A) я, руководствуясь примером Вебера, отсы-
отсылаю читателей к следующему параграфу, в котором тот же
результат получается при помощи рассмотрения высших полей
деления круга.
§ 4 посвящен рассмотрению Дедекиндовой С-функцин и
содержит доказательство результата Кронекера о существовании
бесчисленного множества простых идеалов первой степени.
В § 5 выводится результат Фробениуса относительно про-
простых чисел, принадлежащих к отделам подстановок группы
Галуа поля.
В § 6 результат Фробениуса обобщается на классы подста-
подстановок. Изложение значительно отличается от изложения перво-
первоначальной журнальной статьи. Внесены упрощения, предложен-
предложенные М. Ф. Кравчуком и Шрейером (О. Schreier).
Характер изложения второй части отличается от такового
в первой большей сжатостью, неизбежно связанной с обилием
материала и с тем, что вторая часть предназначена для более
высокого уровня читателей, главным образом для специалистов
по алгебре и теории чисел и для аспирантов, пишущих дис-
диссертации в этой области.
Н. Чеботарев.

ВВЕДЕНИЕ
Как мы видели в первой части, теория Галуа дает возмож-
возможность привести изучение ряда свойств полей алгебраических
чисел,, в первую очередь перечисление всевозможных делителей
этих полей, к изучению структуры групп этих полей, состоящих
из конечного числа элементов. Но, как известно, структура
группы Галуа не определяет всех его свойств: имеется нема-
немалое число арифметических свойств этих полей, не опреде-
определяемых вполне их группами, но тем не менее стоящих в тесной
связи с последними. Я позволю себе привести в виде примера
такой связи замечательную теорему, впервые высказанную Кро-
некером (Kronecker) и доказанную Вебером (Н. Weber):
Всякое поле, группа Галуа которого абелева (будет гово-
говорить: абелево поле), если область рациональности есть
поле рациональных чисел, является полей деления круга,
т. е. его величины рационально выражаются через неко-
некоторые корни из единиц).
Эта часть „Основ теории Галуа" как раз имеет в виду изло-
изложить эту связь. Для этого необходимо глубокое знакомство
с арифметикой алгебраических полей, каковой и посвящается
главным образом настоящая книга.
Глава I
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
§ 1. Целые алгебраические числа
1. Целым алгебраический числом называется число, удовле-
удовлетворяющее неприводимому уравнению с целыми рациональными
коэфициентами, причем коэфициент при' старшем члене равен
единице.
2. Докажем, что число, являющееся корнем какого бы то
ни было уравнения с целыми рациональными коэфициентами
и единицей при старшем члене, есть целое алгебраическое
число, т. е. что то неприводимое уравнение, корнем которого
является это число, будет того же типа. Для этого достаточно
доказать следующую теорему Гаусса:
Теорема!. Если полином а0-\-ахх-|-. .. -f an_iхп~*-f-
-4- хп с целыми рациональными коэфициентами разлагается
на два множителя с рациональными коэфициентами:ao-j-
l l
эфициенты b(, C
нальные числа.
\- ... -\-Cv_vKV~l -\-Х*)\(и + <О = П), ТОКО-
этих множителей суть тоже целые рацио-
рациоДоказательство. Допустим противное: пусть коэфициенты,
представленные в виде несократимых дробей, содержат в знаме-
знаменателях простой множитель/? самое большее в s-ой степени (s > 0),
и пусть bk будет первый из этих коэфициентов, содержащих
в знаменателях точно /?*. Пусть также коэфициенты Cj содержат
в своих знаменателях р самое большее в ?-ой степени (t>.0)
и пусть с, будет первый из этих коэфициентов,. содержащих
в своих знаменателях точно р'. Рассмотрим коэфициент
В этом выражении слагаемое bkcr будет содержать в знаме-
знаменателе точно />8 + *, в то время как остальные слагаемые должны
содержать в знаменателях меньшие, чем (s-\-t)-an степени.
В самом деле, слагаемые первой строки суть произведения
чисел bk + i, содержащих в знаменателях /? в степенях ss,

10
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. 1
§1)
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
It
и чисел cr_t, содержащих в знаменателях р в степенях <.t
(в случае t= 0 мы должны полагать г^=0, так.что этих слагаемых
вовсе не будет). Слагаемые же второй строки суть произведения
чисел Ьк_# содержащих в знаменателях р в степенях <s,
и чисел сг , <( содержащих в знаменателях р в степенях ^t.
Таким образом, дробная часть слагаемого Ькст не может быть
уничтожена прибавлением остальных слагаемых, и сумма ак , г
должна быть равна дробному числу, что противоречит условию.
Таким образом, коэфициенты bit Cj должны быть целыми числами,
что и требовалось доказать.
Следствие. Рациональное целое алгебраическое число
есть целое рациональное число.
3. Имеет место
Теорема 2. Сумма и произведение двух или нескольких
целых алгебраических чисел есть целое алгебраическое
число.
Доказательство. Докажем более общую теорему: если а,
р — целые алгебраические числа, удовлетворяющие соответ-
соответственно уравнениям
^ = 0 A.1)
= Q A.2)
с целыми рациональными коэфициентами, то «у (а, р), где <?(х, у)
есть произвольный целочисленный полином, есть целое алге-
алгебраическое число. Очевидно, что теорема легко распростра-
распространяется на случай большего числа целых алгебраических чисел.
Пусть аь а2, ..., ат и р,, %, ..., Р„ будут полные системы
корней соответственно уравнений A.1) и A.2). Из свойств этих
уравнений следует, что элементарно-симметрические функции
от этих систем суть целые алгебраические числа. Но <р (а, р)
является корнем уравнения
Д
Вместе с тем в части I, стр. 63,3° мы убедились, что всякий
целочисленный симметрический полином от корней выражается
целочисленным полиномом от их элементарно-симметрических
функций. Поэтому все коэфициенты при различных степенях и
полинома F (и) являются целыми рациональными числами,
а коэфициент при и" равен единице. Из теоремы 1 следует,
что с (а, р) есть целое алгебраическое число, ч. и т. д.
4. Отметим еще одну теорему:
Теорема 3. Если о> есть корень уравнения / (л) =
^У + а, л;"-}- . .. + а„_1А:-(-ая = 0, коэфициенты ко-
которого суть целые алгебраические числа, то о> есть
целое алгебраическое число.
Доказательство. Будем называть сопряженным с / (х) поли-
полиномом такой полином rw (x), в котором хотя бы один коэфициент
полинома f(x) заменен сопряженной с ним величиной, т. е.
другим корнем того неприводимого уравнения с рациональными
коэфициентами, которому удовлетворяет этот полином. Тогда
произведение
является полиномом с рациональными коэфициентамн. Рассуждая
так же, как при доказательстве теоремы 2, мы убедимся, чта
они должны быть целыми числами. Так как старший коэфициент
в Ф(.к) есть единица, то величина а>, являющаяся корнем урав-
уравнения Ф(л) = 0, есть в силу теоремы 1 целое алгебраическое
число, ч. и т. д.
5. Из теоремы 2 следует, что совокупность целых (алгебраи-
(алгебраических) чисел рассматриваемого поля воспроизводится при сло-
сложении, вычитании и умножении, т. е. что сумма, разность
и произведение двух чисел этой совокупности тоже принадлежат
к совокупности. Такого рода совокупности называются кольцами.
В дальнейшем мы познакомимся с другими примерами колец.
6. Пусть величина а удовлетворяет неприводимому урав-
уравнению
n n4 = 0.
Все корни oj, a2. • • •, *n этого* уравнения образуют систему
сопряженных с о. величин. Среди их элементарно-симметрических
функций особо важное значение имеют две, для которых вве-
введены специальные наименования и обозначения. Следом величины
а называется сумма
5(«) = а1 + «2+...+ай. A.4)
Нормой величины а называется произведение
N(a) = a, ¦ a2 ¦ . . . • ап. A.5)
. Рассмотрим поле К(<*), образованное рациональными функци-
функциями с рациональными коэфициентами от а. Изв естно (см. часть 1,
стр. 73, теорема 46, и стр. 74, теорема 48), что полином
где R(a) — произвольная рациональная функция от а—есть
степень неприводимого полинома от t, которая просто равна
неприводимому полиному в том и только в том случае, если
в = /?(а) есть примитивная величина,поля, т. е. если а, а с нею
любая величина поля /С(а), рационально выражается через 0.
Если мы теперь условимся под следом и нормой величины
Q = R (a) внутри К (а) разуметь соответственно величины
R{an)

§2]
БАЗИС И ДИСКРИМИНАНТ ПОЛЯ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ- ИДЕАЛОВ
[гл. 1
(так что, например, для рациональной величины а мы имеем
S(a) = n • а> N(a) = an), то имеют место следующие формулы
A.6)
A.7)
7. В заключение отметим одну полезную для дальнейшего
формулу. Пусть примитивная величина а поля удовлетворяет
неприводимому уравнению /(л;) —0. Имеет место тождество
«,) (t- а2) .. . (t - а„) =N(t-a),
A-8)
где t — произвольная (переменная) величина, которой можно
придавать любые численные значения, если мы только условимся,
что при переходе к сопряженным величинам в выражении t—а.
значение t будет оставаться неизменным.
§ 2. Базис и дискриминант поля
1. В части 1 (стр. 74, теорема 49) мы убедились, что всякую
величину поля можно, и притом однозначно, представить
в форме
са-\- . . . -4~cn_j л , B.1)
где с0, С\, ..., с„_!—рациональные числа. Будем называть
систему чисел [со0, <оь ..., <«n-i] базисом поля, если всякая
величина поля может быть представлена в форме
B.2)
Базис типа
«1
••• + с»-1ш„-1
с рациональными координатами са, си ..
п_л.
[1, а, а2, ..., а*] будем называть степенным базисом поля.
2. Чтобы узнать, является ли заданная система чисел
{а>о, <°ь • • • , а)„_1] базисом нашего поля, будем исходить из
некоторого степенного базиса [1, а, ... , а""], где а — любая
примитивная величина поля. Выразим элементы заданной системы
при помощи степенного базиса:
п —1
с, ,п_
( B.3)
Этот переход мы будем также записывать так:
п-1
0,0,
'я-1.0,
—»}. B.3')
Теорема 4. Система [о>0, °>ь • • •, тп_ J является бази-
базисом поля тогда и только тогда, если определитель |сй|
отличен от нуля.
Доказательство. 1. Условие достаточно. В самом деле, если
\cik\ Ф 0> то систему равенств можно разрешить относительно-
1, а, .... а", и тогда каждая из этих величин будет линейно»
(с рациональными коэфициентами) выражаться через <в0» «"i. •••*
соп_г В таком же виде сможет быть выражена и каждая их
линейная комбинация B.1), т. е. каждая величина нашего поля.
2. Условие необходимо. В самом деле, если |crt| = 0, то из
равенств B.3) следует, что величины а>0, <»,, . ..,»п_г связаны
зависимостью
Ьо<йо+Ь1о>1 + ...+Ьп_1ап_1=;0 B,4)
с рациональными коэфициентами, из которых хотя бы один,,
например bn^v не равен нулю. Предположим, что [а>0, «"ь • • • >
%—i] есть базис. Тогда каждая из величин 1, а, ..., а*
линейно выразится через а>0, соь ..., «п_г В этих выражениях
мы при помощи B.4) можем в силу Ьп_^ф0 освободиться от
величины <»п_г Исключая из этих выражений ь>0, щ, .... <°п_2
мы получим по крайней мере одну линейную зависимость
между 1, а,...; an—1 с рациональными коэфициентами. Этог
однако, противоречит . неприводимости полинома «-ой степени,,
корнем которого является а.
Из приведенного рассуждения вытекает также следующий
критерий для базиса" :
Теорема 5. Для того чтобы система п чисел
[а>0, щ шп_i] была базисом лоля «-ой степени^
необходимо и достаточно, чтобы между а>0, шь •• -,"¦*-1
не имела места зависимость типа B.4).
3. Чтобы получить критерий базиса, независимый от сте-
степенных базисов и эффективный, т. е. могущий быть примененном
к примерам, введем понятие дискриминанта системы чисел
<»о, <!>!, ... , <вп_1. Обозначай числа, сопряженные с а, так:
а, а', ...; dn~•»> [причем, если в = ^(а), то R(?&) мы буде»*
обозначать через 9^], рассмотрим определитель
щ,
„¦»-!)
п-1
B.5>
Его квадрат мы и будем называть диЬкриминантом системы
[а>0, •»,, ... ,u)n_i]. Помножив этот определитель сам на себя
-1, п- 1

14
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. 1
§2]
БАЗИС И ДИСКРИМИНАНТ ПОЛЯ
15
{по колоннам), мы получим для дискриминанта следующее
выражение:
), <S(uHa>,), ... ,
A[«>„,
_ i ш0), 5(<on _ i со,),...,
,B.6)
«оказывающее, что дискриминанты равны рациональным числам.
Нетрудно убедиться, что дискриминант степенного базиса
Jl, a, аа, ... , а"-1] равен дискриминанту уравнения, корнем
которого является а.
4. Даны базис [<»0, «>ь ... ,«)»_i] и система чисел [%, ?и, • • -,
4)n_i], выражаемых через базис так:
ho, щ, • ¦• ,in-i] =
. . , со,п -
К.
u>n_:
Составляя для обеих систем определители B.5), мы на осно-
основании теоремы об умножении определителей будем иметь:
¦',%.
?n— 1,0, • - - ,Cn— 1, n-1
Возводя эту формулу в квадрат, мы приходим к следующей
важной формуле:
Д[(оо,а),,... ,<on-i]. B.7)
Coo» • • • , Со,п—1
- 1,0, ¦ . • , Сп —1,
Беря в качестве [о>о, шь ... ,шп_{\ степенной базнс[1, а,... .а**-1]
и принимая во внимание, что дискриминанты неприводимых
уравнений, как не имеющих кратных корней, отличны от нуля,
я также теорему 4, мы приходим к
Теореме 6. Система [щ, ¦»), %-1] является базисом
тогда и только тогда, если ее дискриминант отличен
от нуля.
5. Если элементы базиса [шв, ш,, ... ,u)»_i] являются целыми
алгебраическими числами, то в силу теоремы 2 все числа вида
Co«»o + Ciu>, + ••• ¦ + fn-i<0f»-i, где со, си ..., cn-i — целые рацио-
рациональные числа, суть целые алгебраические числа. Возникает
вопрос, все ли целые алгебраические числа нашего поля мы
получим, если заставим числа с0, с,, .». ,cn_i пробегать все-
всевозможные целые рациональные значения. Оказывается, что это
имеет место не для всех базисов поля, но что для всякого поля
можно найти базис, который бы обладал этим свойством.
Такого рода базис носит название фундаментального (или мини-
минимального) базиса поля.
Докажем существование фундаментального базиса. Рассмот-
Рассмотрим произвольный базис [<в0, ш,, ... , шп_{\ (например степенной),
составленный из целых чисел поля. Если он не является фунда-
фундаментальным, то найдется целое алгебраическое число ¦/), выра-
выражающееся через этот базис с дробными координатами:
Пусть Cj = -^- есть дробное число, причем г я s суть взаимно
простые целые рациональные числа. Решая неопределенное
уравнение
выразим через базис [ш0, <°ь •••> «>n-i] целое число r{ = t\x-{-
с,_!-«•<¦),_,-(--<¦)< +с/+1д:
¦*+Г
Определитель перехода от базиса [<в0, «i, • ¦ •>
К «i_i> ^'
к системе
0, 0, 1, i
откуда при помощи формулы B,7) мы получаем:
Таким образом, если какой-нибудь целочисленный (т. е.
составленный из целых алгебраических чисел) базис не является
фундаментальным, то от него можно перейти к другому цело-
целочисленному, базису, дискриминант которого будет иметь меньшее
численное значение. Но дискриминант целочисленного базиса
есть целое рациональное число, а потому, применяя этот про-
процесс последовательно к получающимся базисам, мы после конеч-
конечного числа шагов придем к невозможности дальнейшего пони-

l.KJTVl/i VI
[Гл.
жения дискриминанта. Это служит признаком того, что полу-
полученный базис является фундаментальным.
6. Как найти для данного поля фундаментальный базис?
Оказывается, что изложенный только-что прием может служить
также методом для построения фундаментального базиса при
помощи конечного числа действий. Чтобы убедиться в этом,
достаточно показать, что при помощи конечного числа действий
можнб узнать, является ли заданный базис [а>0, <°ь •••> <в„_1]
фундаментальным или нет. Последнее можно показать, . исходя
из того, что в знаменателях координат са, с1( . . . ,сп_х целого
числа а = с0">о + C\<°i ~\~ ¦ • •Jrcn-i<an — \ могут стоять только дели-
делители заранее известного числа (дискриминанта базиса). В самом
деле, выпишем выражения для всех сопряженных с а чисел:
а = Со")о ~{
а' =сосо'о-]
Найдем отсюда выражения для с,-:
ш0
o)n_i j
С. с
п — 1
со0
(и-1
= 0, 1, . . . я—1).
Умножая числитель и знаменатель на j
мы
получим в знаменателе дискриминант А базиса [а>0, <ои ... ,e>n_J,
а в числителе целое алгебраическое число, которое, будучи
рационально, должно быть целым рациональным числом.
Таким образом, чтобы узнать, существуют ли целые числа
+ Ci<oi -f...-+?„_!»„_! с дробными координатами с0, С! ,...
.,cnV достаточно проверить, нет ли целых чисел вида
Выделяя в fi части, кратные Д:
0,1,..., л — 1). мы получим:
= Д #,•-{-/-,. @ з=/-, <Д;
БАЗИС И ДИШ<РИМИНАНТ. ПОЛЯ
Числа
должны быть или одновременно целыми или одновременно
дробными.'Поэтому достаточно проверить, нет ли целых чиселi;
среди чисел вида ;-,> .-^ ¦ '——, гдег{ пробегают значения
ОД,..'. ,Д';— 1. Таким образок чисел всего А1^, т. е. конечное
число. "Мы узадем, язляетс-я *ли каждое из этих %исел ^;елым,
если составим для него уравнений (см., например, часть .1,
стр. 75—76, п. 9). Таким Ьбразо**-мы у^еждаемсй, что нахо-
нахождение , фундаментального базиса достигается путем конечного
числа действий. ¦¦ ,• ,-}.. ¦>','; '. ''< '„'>о :¦- х.., : ,¦
7. Применение описавного приёма на практике весьма гро-
громоздко и требует большого чвдла по существу лишних опе-
операций. В' виду Зтргр д4*лолей низших степеней, квмратичных
и кубических, били даны приемы, основанные на арифметических
свойствах полей и приводящие вахоэ^дение фундаментального
базиса в каждом данном ^луяке к нескольким весьма несложным
операциям, Решение ^этой задачи для кубических полей при-
принадлежит Гь. Ф. Ййро^ому. * 5'
8. Пусть квадратичное дбле К задано производящей величи-
величиной \[3> » где'й можно считать целым рациональным числом, не
имеющим квадратичных множителей. Чтобы найти фундамен-
фундаментальный- базис этого' поля, исследуем, каковы ^должны быть
числа х, у для Toruj'* чтобы x-\-y\fd было целым алгебраиче-
алгебраическим числом. Это числЪ удовлетворяет уравнению '
Таким образом. 2^с к"¦¦$ -*-,уг4 доэЙсны быть целыми рацио-
рациональными числами. Отсюдв^реждё всего х=5+у , где I—
целое рациональное число, *== 0 или e=J.. Второе условие
дает нам: Л- —^d должно, быть целым числом. Из того, что d
не имеет квадратичных множителей! следует, .что у может
иметь в знаменателе только Двойку, притом в первой степени.
Полагая аналогично у^уЦ-^ Ц подставляя во второе условие,
мы убедимся, что -т—rd должно быть целым числом. Отсюда
е'а=ж Кроме того ..«..= 1'* может иметь место только в том слу-
случае, _если d ~ I (mod 4), Таким образом задача расчленяется ла
два одучая в зависимости, отг арифметических свойств числа d:
U й~2 или d~3<tnod4) [Случай^d = 0(mod4)исключается;
так как тогДа d содержало бы квадратичный множитель 22):
Условию еA — d) = 0 (mod 4) можно удовлетворить, только нола-

18
.' ' ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
{гл. I
гая е==0. Всякое целое число поля может быть представлено
в виде l~\-ri\/d с4 целыми Еу ¦») • [1, yjd] есть фундаментальный ба»
зис. Его дискриминант равен
5 К2), S(«o«I)
5() 5(«,«)
5 К2)
5(вл
2, 0 \_4.
0 2rf|4
2. d — 1 (mod 4). Условие еA — d) — O(mod 4) удовлетворяется
при всяком е, а потому всякое ц^лое число поля может быть
представлено в виде ?-J-7jv/d+e • —*у—¦ с целыми I, г[. Число
есть целое число (оно есть корень уравнения
~- = См. Образуя при erq помощи базис [1, ш] и выра-
выражая \[d через ф: y/d=2<»—1, мы видим, что всякое целое число
поля выражается iaK:^-\-f\Bm—l)-f- eco = (g —*-rj)-j-B 7j-j-e)o>,
т. е. с цеушмй координатами при 1 и ю, откуда* следует, что
1, а>] есть фундаментальный базис. Его дискриминант равен
/
2,
1
2
' 9. Два фундаментальных базиса [а>0, <вь ... ,e>»_ij и [Чо» Чь • • •
... 7)n_i] одного и того же поля должны переходить друг
в друга при.помощи целочисленных линейных подстановок:
\Сп-1,0..., tn^-l, n-l
б. /о, п-1 ¦'
:.:¦. . . .
-^i. о» • •./«—л; л—i
0, «1, •• -,°>п-\],
'откуда
/°° ./о. n-l Y •
х. )Х
/п—I/O» •• ч/п —1, п —1/
Х
_ 1, о,..., Сп—1, л — 1
ИЛИ
/00.'• • ••» • >/о» П — 1
/n —bOf-> /»—1, » —1 / \Сп-1,0, ••• Сп—1, п-1
, t'o.n-i \ /1 0 ... 0^
I- ¦¦• j —i 0 1 ... 0.1. ,
V0 0 ... 1-
$ 3} ИДЕАЛЫ 1*
Поэтому произведение двух целочисленных определителей
iclk\ и \ftk\ равно единице, откуда следует, что
Формула B.7) убеждает нас, что дискриминанты обоих базисоб
равны:
Таким образом величина дискриминанта фундаментального
базиса одного и того же поля зависит не от выбора этого
базиса, а исключительно от свойств- подя. В связи € этим
дискриминант фундаментального базиса носит название дискри-
дискриминанта D поля.
Из этой же формулы B.7) вытекает, что дискриминанты
целочисленных (не фундаментальных) базисов [щ, i)i,...,i|n-i]
отличаются на множители, равные квадратам целых рациональ-
рациональных, чисел:
Чь
-i] =& > D.
Такого рода множитель называется индексом базиса
[Чо. 4i>" • >Ч» —i]- Если, в частности, базис степенной: [1, а,...,
...,ап-*], то соответствующее ему число k называется индексом
числа а.
Базис [t[Q, 4i. •••.4»-i] является фундаментальным тогда и
только тогда, если его индекс А = 1. Если поле содержит
фундаментальные степенные базисы, то оно называется простеи-
щим.
Общий наибольший делитель индексов всевозможных сте
пенных базисов поля носит название индекса поля,
§ 3. Идеалы
1. Основываясь на понятии целого алгебраического, числа,
нетрудно развить теорию делимости и разложения на множи-
множители целых алгебраических чисел.
Будем говорить, что а делится на {5, если частное
а: р есть целое алгебраическое число.
Если а делится на р н C делится на а, то будем назы-
. вать аир ассоциированными, аир ассоциированы тогда
и только тогда, если частное а: р = в, равно как и —', есть
целое алгебраическое число. В этом случае е называют
алгебраической единицей.
Теорема 7. Чтобы целое число е было алгебраиче-
алгебраической единицей, необходимо и достаточно, чтобы • его
норма была равна +1.

20
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
{гл. I
Доказательство. 1. Условие необходимо, так как в случае
|Л/(е)| > 1 норма числа —, равная jrrx, является правильной!
1
дробью, в силу чего ~ не может быть целым числом.
г 2. Условие достаточно. В самом деле, если (
в удовлетворяют уравнению вида
to
Тогда ч\ = — будет корнем уравнения4 -
где a»-i,...,ai, 1 целые числа. Отсюда следует, что ч\ есть
целое алгебраическое число, ч. и т. д.
"' 2, Если целое алгебраическое число а может быть пред-
представлено в виде произведения двух множителей,: а = рг, и при.
этом |Л/(Р)|>1. |A/(y)!>1, to такое разложение мы будем назы^
вать существенным. В этом случае можно было бы сказать,
что а не есть npocfoe число. Случай же, когда один из мно-
множителей есть .алгебраическая единица, должен считаться три-
тривиальным, так как любое целое а можно представить как про-
произведение двух целых чисел as и —, где е —[произвольная еди-
единица поля. Разлагая множители Р и ч и продолжая процесс, мы;
замечаем, что получающиеся множители имеют все меньшие
нормы.' Но так как число целых рациональных чисел, меньших
данного числа, ограничено, то после конечного числа шаго&
мы придем к разложению числа а на множители, ие поддаю-
поддающиеся дальнейшему-разложению. Такие множители не играют»
однако, той роли, которую играют простые числа в теории
рациональных, полей, так как разложение алгебраических чисел на
неразложимые, множители не всегда однозначно. V
Пример: Дано поле K{\J—5). 3 нем
Щ
^Если бы число 9 разлагалось однозначно, то каждое #з
чисел 3, 2 4:V—5 должно было бы допускать дальнейшее
разложение. Из того, что внутри К{\1—5) ' ¦ '.",
"
следует, что нормы чисел, на которые разлагались бы 3,2:
должны быть равны 3. Вместе с тем фундаментальный базис
доля ЛГ(у/_5) есть [1, y/IIs] (см. § 2, 8), а потому каждый и?
множителей этих чисел должен иметь вид x-\-y>J—5, где х,
.у —целые рациональные числа. Итак, должно иметь место
= 3.
-5) =
§3]
. .. ИДЕАЛЫ
Но это неопределенное уравнение очевидно не имеет реше -
ний. ,
Другой подобный пример из того же поля:
,21 = 7- З^ + ^М^у/11*). . C.2).
"у
3. С целью восстановить однозначность разложения целых
чисел в иррациональных алгебраических полях и тем самым
приблизить их теорию к теории целых рациональных чисел,
Куммер (G. Kummer) ввёл в рассмотрение фиктивные множители,
названные им идеальными числами. Так, по Куммеру; для чисел
примера C.1) число 3 нужно представить в виде произведения
двух идеальных чисел 3 = а • {J, откуда следует: .
В примере C.2) надо, кроме того, положить 7 = ?8, откуда
Для теории идеальных чисел Дедекинд (R. Dedektad) и Лроне-
кер (L. Кгопескег) подвели логическую базу, введя понятие
идеала. Но еще несколько раньше их Е. И. Золотарев предло-
жил теорию, эквивалентную теории идеалов и основанную на
рассмотрении локальных свойств алгебраических чисел (термин;
введенный совсем недавно). Ввиду особого изящества теории
Золотарева, а также простоты связанных л ней выводов, мы
изложим теорию идеалов по Золотареву. ,
4. Золотарев берет в основу произвольное рациональное
простое число р и вводит понятие делимости по модулю р
(или, как мы для краткости будем выражаться, р-делимости).
следующим образом: \ ¦
Будем говорить, что а р-делится на JJ, если можно
подобрать такое взаимно простое с р целое рациональ-
ное число с, что -t- было бы целым алгебраическим чис-
числом. - ¦- ' v
Нетрудно видеть, что в. качестве с мы можем взять дели-
делитель числа N(P), взаимно простой с р, В самом деле, пусть ^
есть целое алгебраическое ^число и (с, р) = 1. Вместе с тем'
—у-, будучи произведением сопряженных с р чисел, отличных
от р (Р целое), есть тоже целое алгебраическое число. Общий
наибольший делитель d чисел с и iV(P) есть взаимно простой
с р делитель Л/(Р). Решим в целых числах неопределенное
уравнение "

22
Число
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[га, 1
есть целое алгебраическое число, что доказывает наше утвер-
утверждение.
Чтобы проверить, что о /j-делится на р, достаточно соста-
составить неприводимое уравнение, корнем которбго является —¦.
Пусть это будет x*-\-btX*-*-{-.. .-\-bn-\X-\-bH=*Q. Чтобы ар-дели-
лось на р, необходимо и достаточно, чтобы р не входило
в знаменатели коэфицнентов Ьи Ь%,..., bri. Условие достаточно,
так как, если р есть общий знаменатель коэфициентов Ъх, Ьг,...
... ,Ьп, то коэфициенты Ь^с, Ь2с2,...,Ъпсп уравнения, которому
удовлетворяет ^, суть целые числа. Это условие и необходимо,
так как, если в знаменателях blt Ь2,...,Ь„ содержится множи-
множитель р, то, каково бы ни было взаимна'простое ср число с, число/?
не,может быть изгнано из знаменателей чисел'Ьхс, Ь2сг,..., Ьп<Р„
5. Для />-делимости^ имеют место следующие легко доказы-
доказываемые теоремы: ' • "
Если а />-делится на р и р />-делится на у, то а
р-делится на ?'.
Если аир р-делятся на у, то и a-j-p />-делятся на -у.
6. Имея дело Сч понятием >р-делимости, можно установить
понятие общего, наибольшего делителя. Для этого, называя
р-порядком целого алгебраического числа <» наивысшую степень
р, входящую в N (о)), докажем следующую теорему Золотарева,
центральную ддя всей его теории:
. Теорема 7а. Если среди всех чисел типа о» -\-рч. <»',
где о) заданное целое алгебраическое число и «>' про-
пробегает все целые числа поля, число «> имеет наименьший
/>-порядок, то рч />-делится на ю. /
Доказательство. Представим уравнение, которому удовле-
удовлетворяет <о, так:
С»_1<О+/'ХСя = 0, C.3)
Очевидно />-порядок
где с1г сг, ...-, сп—взаимно просты с р
чи'сла ш есть р\ Выберем среди чисел
наибольшее. Пусть это будет |* = у, где (г, s) = 1. Докажем,
что/>•*• />-делится на о>; именно, что
есть целое число. Для
§31
ИДЕАЛЫ
итого сделаем в уравнении C.3) подстановку ш = ^— . Уравне
иие дЛя z можно представить в виде:
c?-1 = 0. C.3'
В силу определения числа (* имеет место неравенстве
^(г^О, откуда, применяя в случае дробных показателе*
теорему 5, мы убедимся, что -?-?». есть целое число.
Для доказательства нашей теоремы достаточно показать
что v>ji. Допустим противное, т. е. что [* = ^>v. Из того
что f-^5) —~lJr есть целое число, следует, что р-порядю
чисел С, = о) — Р"\^г) (' = 1, 2, 3,..-.) не ниже, чем р\ Но
откуда следует, что порядок числа
по меньшей мере />х(*' + 1).
Преобразуем выражение
Для этого применим тождество
где в^'*1"*
—/>"' + '' .
рг1^г" . с*').
paeei
откуда
где в выражениях норм в яуравой части с величинам!
j±2
"+1
надо поступать, как с рациональными числами

24
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
ИДЕАЛЫ ¦; -
25
В силу этого к каждой из этих норм применима формула A.8),'
It €.'...¦. -'' '¦ ' ¦ ¦
/
8i
*
+--+Р
Н+1
' Так "как в силу нашего предположения
подобрать i так, чтобы все Показатели *
C.4)
то можно.
степеней р, на которые тоянЬ делятся1 члены выражения C.4),'
были все различны между собой, В самом деле, каждое из
равенств ' ' '
или удовлетворяется тождественно относительно г, что влечет
Sa собой равенства ' " ,.¦',,..'¦.!- '> ;
"откуда
что в силу ифю И |а = —i^by невозможно, или удрвлетво
ряется только одним значением,/.. Исключив такие значения г,
соответствующие всевозможным комбинациям и и "о, выберем *
в остальном произвольно. Из то^о, что все показатели C.5)
, различны, следует, что все члены, выражения C.4f делятся на
различные степени р. Поэтому выражение C.4) делится.на р
, в степени, показатель которой равен наименьшему из чисел C.5).
Щ нашего допущения у. =4 > v «следует r>sv, откуда,
прибавляя к обеим частям неравенства по, rsi, будем иметь:
C.6)
G Другой стороны; в силу определения
значок Д -ф1я которого имеет место
существует такой
X—
. ¦•¦«¦.•( ¦ •, ¦ ¦•. ¦
V откуда в силу C.6)
\ ,
Правая часть этого неравенства райй-а одному из показате-
показателей C,5), и таким образом это неравенство говорит нам, что
выражение C.4) для каждого значения / делится на р в мень-
меньшей, чем Х-ая, стейени. Их произведение поэтому делится на р
в; меньшей, чем X (si -}-1)-ая, степени. Но, с другой стороны, мы
имели, что это произведение, равйое N(a>8<+1—&*+*« сан), де:
й X(i+ 1)й П
лится на р по меньшей мере в X(si-j- 1)-ой степени. Полученное
противоречие доказывает, что {a=Sv, ч. и т. д.
7. Возьмем два произвольных целых алгебраических числа
рассматриваемого поля: а>х и а>2, и подберем такое целое число
поле а/, чтобы порядок числа <B8 = (B1-f-«»' • «2 был возможно
меньшим. Докажем, что «>2 (а потому и о»,) /7-делится на а>8.
-Пусть порядвк числа а>2 есть р"*. Умножим <а3 на целое число
,;*>4=%- (с — взаимно просто с р)г
' Тогда очевидно^, "что "щ • <в3 будет иметь .среди всех чисел
?гипа .\(u4«»i -\~m'cpy наименьший порядок. Вместе с тем из хода,
доказательства теоремы 7 видно, что ничего не изменится,
если мы вместо .произвольных цел,ых чисел «>' будем брать
%йсла типа с ¦ а/, где,с—определенное взаимно простое целое
рациональное число. ^Поэтому мы можем в силу теоремы 7
<? утверждать, что ps /j-делится нат^о^, т. е. что при некотором
взаимно простом с р числе сг '-• •-'.. у
i" ¦ Atfp* c'.-/>v<iJ & ч^г
• ffi.m,. ¦ ,л/ /.nV С (Но
, а 1 ,1,. Ш8 • Lp _ о
есть целое число. Отсюда следует, что <о2 />-делится на о>3, ч.
¦¦•'¦'Н:Т. Д. v '¦..'.. ' ¦ -,. ',. •¦¦¦..*••
Итак, <»8~есть /^-делитель чисел «j и <о2. С другой стороны,
всйкий общий р-делитель чисел о>1 и а>2 есть также />-делитель
- числа <в8 == <в1 :f-о)'<в2. Поэтому число <р8 является общим наиболь-
¦ щам р-делителем чисел ч>г и ш2, и мы приходим к
Теореме 8. Всякие два (или также более) целых числа
!' ^ алгебраического поля И^еют общий наибольший р-де-
р-делитель. "^
• ¦ . • . '¦
,.-Э частности,- если для щ нщ можно подобрать о»' так,
чтобы число <В]-|-о>'<в2 имело нулевой порядок (т.е. чтобы его

26
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
ИДЕАЛЫ
норма не делилась на р), то числа ш1 и <о2 будем называть,
р^взаимно-простыми. . / ¦
8. Из факта существования для любой пары целых чисел
поля общего наибольшего р-делителя вытекает справедливость
следующих теорем: . .
Теорема 9. Если произведение ар р-делится на f> а
а -р-взаимио-просто с f> то р р-делится яа ?.
Доказательство. Из р-взаимной простоты а и т следует, что
существует такое «>', что в = а*-}- -ув»' имеет взаимно простую с р
норму А/(е) = с. Умножая равенство на целое алгебраическое
число е' = —, получим: •.
Умножая на р, мы видим, что правая часть равенства'
= aper-}-Tfa)'8' Р~делится на т- Поэтому и ср р-делится на f, т. е<
существует такое взаимно простое с р число d', что —- есть
целое число. Это показывает, что р р-делится она* 7. ч. и т. д.'
Теорема 10. Если аир р-взаимно-просты с 7» то;Л
и их произведение ар р-взаимно-цросто с 7-
Доказательство. В силу определения мржно найти та^ие «>'
и «»", что е'==а4-7а>' и 8" = Р 4" Т00"» гДе нормы в' и е" взаимно
просты с р. Перемножив, получим:,
где N(«'e") взаимно проста с р. Это равенство доказывает
теорему ^
Теорема 11. Если а ^-делится на два взаимно простых
числа р и 7» то оно р-делится и на" их произведение {Jy.
Доказательство. Из условия вытекает, что при некотором
взаимно простом с р числе с число -^-—целое. Произведение
га==^Др р-делится на f- Но так как Р/>-взаимногпростр с\, то
в силу теоремы 9 -^ /^-делится на -\, откуда ар-делится на |fy,
ч. й т. д!, . . .
9. Дадим два различных определения р-простых кисел
и покажем, что эти определения равносильны.
I. Число « называется р-простым, если всякий раз, когда
произведение ар р-делится на я, должен р-делиться на w один
из множителей. .
II. Число к называется р-простым, если всякое целое число
поля или р-делится на « или р-взаимно-просто с ж.
Пусть для к имеет место свойство I. Докажем, что для
иего имеет место свойство Н? т. е. что всякое число а,
не р-взаимно-простое с ж, р-делится на те. Пусть а не р-взаимно-
просто с к и пусть их общим наибольшим делителем будет 8.
Тогда порядок чисел -| должен быть ниже порядка числа ic^
а потому -| не может р-делиться на к. Но так как |- • ic = a • ~
р-делится на я, то в силу свойства I a должно р-делиться на к,
ч. и т. д.
Предположим теперь, что для ic имеет место свойство. II.
Пусть произведение ар р-делится на ic. Докажем, что или a
или р р-делится на я. Если а не р-делится на ic, то в силу
свойства II оно р-взаимно-просто с я. Тогда в силу теоремы 9 ^
р-делится на w, что доказывает для ic справедливость свойства II.
10. Зададимся целью разложить р на р-простые множители.
Рассмотрим совокупность чисел
С0 т0 -f С, ох 4- . .. -f Сп _г шп_ ь
где [а>0, щ,... ,<»„ _ j] — фундаментальный базис поля, а каждое
из ct пробегает по одному разу представителей классов срав-
" нений по модулю р. Этих представителей мы каждый раз буде^
выбирать так, чтобы число a = с0оH + ci ^i 4- • ••~\~cn-ia>n-4
имело наименьший р-порядок по сравнению со всевозможными
числами вида а4~р • <»'. Обозначим получаемые таким образом
числа через
«1, «г,.-,*.,-!» C.7>
где а=р" (комбинацию c9=cl = ... = cit_l=0 мы исключаем).
Из теоремы 7 следует,. что все числа C • 7) суть р-делители
числа р. Кроме того, все р-простые числа содержатся среди
чисел C.7). В самом деле, всякое це^ое число поля можно пред-
представить в формуле а = %t-\- ^a/, где a,— одно из чисел C.7). Но р,.
а потому и а, р-делится на at. Вместе с тем N(a) = N(*j) (mod p),
в силу чего, если aif то и а имеет нулевой р-порядок^
Если теперь .а есть р-простое число, то ait будучи р-делителем
а и имея отличный от нулевого р-порядок, тоже должно быть
р-простым числом, р-делящимся»на а. Такие р-простые числа
мы не будем считать различными.
Если все нормы чисел C.7) взаимно.- Просты с р, -то само р-
является простым* числом внутри поля. В самом деле, всякое
целое число поля может бытл» представлено в виде a,-j-pe>*
или 0-\~рш'. В первом случае оно р-взаимно-просто с р,.
во' втором делится иа р, так что число р удовлетворяет свой-
свойству II. ч
Если же некоторые из чисел C.7) имеют отличный от нуле-
нулевого р-порядок, то выберем среди них число щ с наименьшим.

fc . ¦' ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ ',,?:?*'1 '•'•
//-порядком/j. Нетрудно видеть, что гсх является //-простым
числом. В самом деле, возьмем произвольное целое число ш
вашего поля и рассмотрим всевозможные числа вида icj-j-aw/.
Каждое из них можно представить или в виде О-\-рт или
в виде а,-)-/"*'» и в обоих случаях .оно в силу определения /t
будет иметь или нулевой, или не меньший, чем fu //-порядок.
В. .последнем случае в силу теоремы 7 ю//-делится на %, так
что для ?ti имеет место свойство Л.
Пусть wi*i будет наибольшая степень, на которую //-делится//.
Целое число -—-, где (с,//) = 1, не //-делится на щ и потому
//-взаимно просто с яь ,
Выберем среди всех чисел C.7), р-взаимно простых с щ,
'число я2, имеющее наименьший отличный от нуля //-порядок /4.
Чтобы доказать, что «2 есть //-простое число, возьмем любое
целое число поля ш и рассмотрим всевозможные числа •к2-\-щ<т'.
Если среди них нет чисел нулевого //-порядка, то в силу опре-
определения. 1гя и /2 их порядок не мож^т быть меньше, чем/2, так
как каждое такое число можно представить в виде' *{-\-р&*,
где а} //-взаимно просто с щ. Отсюда следует, что-*1« //делится
на яг. В с,илу же того, что icx и jt2 //-взаимно просты и тео-
теоремы 9, <» //-делится на я2. Опять для те2 соблюдается свой'
ство II. • •';¦--
• Пусть ic2e2 будет наибольшая степень, на которую //-дет
лится //. В силу теоремы 10 nfi и it2e2 //-взаимно-просты,
и в силу теоремы 11 р //-делится на"«1«1 ще%. Их частное
fp - р-взаимно-просто и с щ.и с я2.
, Далее берем среди чисел C.7), взаимно простых с щ и jt8r.
число я3, имеющее наименьший /?-порядрк/>Л>. Беря произвольное
делое число поля» и рассматривая числа it3-bwi -«а*0 • 'ю/« м^'
¦опять докажем, что я8 есть //-простое число. Продолжаем про^
цесс выбора щ. Он не може* продолжаться неограниченно, так
как число чисел C.7),//гвзаимно-простых с ?г,, к2, тг3... и имеющих
не нулевой //-порядок, все время убывает. В конце концов мы
дойдем до числа «сА такого рода, что все числа C.7), //•взаимно-
йростые с щ,' к2, • > •»те*> %дут иметь нулевой //-порядок,
Тогда, если р //-делится точно на пхе\ яае2 ...*?*, то число
« — _—5?_—_> /»-взаимно-пр6\:т6е с %, щ,. •., «^ должно иметь
яулевЪй //-Иорядок. Таким образом мы получаем следующее
разложение числа // на //-простые множители:
/•Я — Ш1Г С чт С»> чт*к '¦ ' /Ф S4
Докажем, что такое разложение единственно. Пусть имеет
место такое другое разложение: • '
§8J
ИДЕАЛЫ
Т»
Приравнивая оба разложения:
мы из свойства I р-простого числа—щ убеждаемся, что, один
из множителей icx, я2,..., к^ например щ, должен //"делиться
на "гси В силу же свойства II щ тоже^ должно //-делиться на it!,
т. е. числа щ и ях мы не должны считать различными. Сокра-
Сокращая равенство C.9) и продолжая рассуждение, мы убедимся,
что els=e1. Продолжая рассуждение относительно других мно-
множителей, мы убедимся в однозначности разложения.
11. Докажем, что яь гс2,...,яА являются единственными
р-простыми числами, и одновременно докажем однозначность
разложения на их степени любого Целого числа о> нашего
поля. Прибавляя к <в соответственно подобранную кратность р,
мы получим одно- из чисел ряда C.7): <*>.= a,-|-/z<i/. Если at
имеет нулевой р-порядок, то, в силу
это же имеет место для числа о>. Если же //-порядок «.? отличен
от нуля, то в процессе выбора щ, ic2,..., к* и связанного с ним
отбрасывания из системы C.7), не //-взаимно-простых с wu
ica,...,яй чисел, мы должны отбросить и <х4. Это показывает,
что а, (а потому и ®) не р-взаимно-просто с одним "из vu
Я2, ••¦>**> например с яг, ив силу свойства II //-делится на «,..
Рассматривая таким же образом целое число ^, мы видим, что
его //-порядок ниже, чем у «>. Продолжая процесс, мы в конце
концов придем к целому числу
нулевого //-поряд-
//-поряд%т1 т^Н.. .it^ft
ка. Это показывает, что о» разлагается в произведение //-простых
чисел так: '
Однозначность разложения доказывается в точности так же,
как в п. 10 для числа р.
12. Как с помощью конечного числа действий найти среди
чисел a -f-py m' такое, //-порядок которого был бы возможно-
меньший? Это—вопрос, без разрешения которого весь излагав- (
мый метод нельзя считать эффективным.
Для его решения обратим внимание на то, что
V (о+р«') Е N (a)"(mod pm).
Справедливость этого сравнения видна из того, что
N (« +ртшг) = П (a«> -f-/»""
4=0

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
л; 1
а№, <в'<*) — сопряженные с а, а/ числа, которые тоже явля-
являются целыми. Если /»-иорядок числа а равен />\ то числа типа
-a -f-/»x+1 <»>' будут иметь тот же /»-порядок, а потому мы всегда
обнаружим наименьший ,/>-порядок чисел a-{-/>v<i>', если рас-
рассмотрим всевозможные числа <о' = ca<o0-irc1<ol-\-...-\-сп-1Щ1—1,
где каждое из чисел с0, си... ,сп-\ пробегает значения 0, 1,
/+1
13. В частном случае, когда р не входит в индекс поля,
задача разложения р на //-простые множители значительно
упрощается. В этом случае можно выбрать такое целое число
¦поля о), что всякое целое число поля может быть представ-
представлено в виде с0+Ci °> + fy <°2 + • • • + Сп -1 <«>", где с0, си...., с„_ i—
целые рациональные числа" и с взаимно просто с р. При этом,
если полином <?(х) взаимно прост по модулю р с неприводи-
неприводимым полиномом f(x), корнем которого является ю, то <р(«>)
имеет нулевой />-порядок. Действительно, в этом случае можно
найти такие полиномы U(x), V(x), чтобы имело место
J\ae (с,р) = 1. Подставляя х = т, получим:
V(a>) • ?(ш)= си
откуда /
N[V(<*>)]. N[?(<»)] = с",
и N[<f((o)]t будучи делителем сп, не делится на р.
Е (j разлагается по модулю р на множители:
(ш).
Если
то, подставляя а; = о>, мых получим:
<р (ш) = ф (<в) х (о)) + />
Поэтому, если <р (ш) />-делится иа /^-простое число я, то или
ф(«>) или Х(<в) /7-делится на я. Поэтому мы мож(ем взять в каче-
качестве ^-простых чисел /г(ш), где /,(д:)—неприводимые по модулю
р полиномы,' которые в силу предыдущего должны быть дели-
делителями /(дс) по модулю р. Таким образом, если f(x) разлагается
«а неприводимые по модулю р множители так:
№+р
[Л
C-ю)
то единственными /^-простыми числами являются
1С, =/t (Ш), 1С2 =/2 (О)), . . . , Кк z=fk (ш).
Подставляя в тождество C.10)х = «, получим:
§3]
ИДЕАЛЫ
В этом случае /?-порядок ft каждого ^простого числа/,(ш)
равен р\ где л,—степень полинома ft(x). В самом деле, обо^,
значая через аи a2,...,af корни полинома fi(x), а через-
шь <в2, • • •, тп — корни полинома f(x), будем иметь:
Подставляя в C.10) х = a<:
f(«i)+/»"K«i)=F0 (i = 1,2... ..«I,)
и перемножая получаемые равенства, будем иметь:
Так как ,мноиситель
и аналогично
а
есть целое число, то
(i = l,2,...,k). C.11)
Но,1 сравнивая степени обеих частей тождества C.10), имеем:
-екп*^п. . C.12)
С другой стороны, сравнивая р-порядки обеих частей равен-
равенства C.8), получим
ejijreth + .,. + •*/* = я.' ¦ ' C.13)
Сопоставляя C.11), C.12) и C.13), мы приходим к равенствам
Л=я, (; = 1,2,..,,*). C.14)
Вместе с тем получается,, что число <J*(co) имеет нулевой
^-порядок, откуда следует, что полином <\>(х) взаимно-прост
с fix) по модулю р. *
14. В рассматриваемом простейшем случае нетрудно я-акн(е
определить, в какой степени число р входит в дискриминант
уравнения (и в силу наших предположений в дискриминант
поля). Для этого продиференцируем тождество C.10):
f(x) =
и подставим
к
2

¦ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
всех слагаемых правой части член
Л _ е ¦ _"<¦=-! _ Ч—\г f , _\е1А
101. 1
•к.
¦вк
р-делится точно на etjxfi~l, (//(а>) /^взаимно с ^=/,(@), так
как полиномы ft(x) ii'f/pc) в силу неприводимости/,(*) взаимно
просты по модулю р\ Все же другие,слагаемые правой части
р-делятся по крайней мере на эг,8* (последний член в силу-
силур-делимости р на Л|'*); Поэтому в случае ^,р)^=1 число fl&J
/>-делится точно на Ч,**-1, в случае же (eitp)t>i (этот случай
носит название иррегулярного)окр /^-делится по крайней мере.
на ^ . ^. . •.•.'. ,,-.'*,">. Г'--,,/' -¦¦'-„ ; -. ' '-¦'-'
Будем называть критическими (относительно данного поля)
те простые числа /», которые, делятся, хотя бы/ народно "/>• про-
простое число, выше чем в первойяе*вйе#и. Тогда дли рассматри-
рассматриваемого случая имеет; место важная. \
Теорема 12. В дискриминант-поля вводят делителями,
критические и только/критические простые числа.
в дальнейшем мы докажем'эту тёоремув полном объеме-
15. Станем рассмч^ив^ть разложения всех'чисел поля одно-:
временно по всем простым модулям; Возьмем целое число а
поля и найдем erb разложения по простым модулям, входящий
в N(t) (относительно остальных моЖу&?& а будет'играть роль
единицы). :¦'. ^. ¦•.'• ",;- \\ .., ":¦ .'у/- ¦. )'¦ ¦ .:: ¦ Л
Сопоставим^ с каждым /^-простым ^чахло镦¦« символ ^J f/t/ipr
сотой дивизор), говоря, что чйедо ? делится на дивизор %" в том
случае, если ощ />-делится яа '«*, Нормой дивизора % буде»|
называть jp-порядеж числа к. Два ^-¦простых-ниселбудек считат'й-
соответствующими однЬму и^©муч же дивизору тогда ,и только
тогда, если они/»-ассотцяйррваны^т. е;,од»о^делится на.другое
и о.братно. Произведение' ^'ёскЪлькв^фостЫх диэизоров буде^
называть (не прсгстым) дивизором* \ ;! > . '\
Если теперь мы предстабйм «;лсак произведение своих про*
стых дивизоров, то легко видеть, ^то |W(a)|: равна произведению
, норм простых дивизоров числа о.. /г "*
Чтобы вполне обосновать возможность представления чисел
поля в риде произведения простых дщщзоров, докажем сдедуЮ*
щие теоремы: ' •/¦¦'¦[¦"¦ Т
Теорема 13. Если а р-делится иа р «о всем простым
делителям р нормы N (pV,' fo a делится на р алге-
'браически. .'
Доказательство. Пусть
§ 3] ИДЕАЛЫ 33
Тогда существуют целые числа поля
*Ч — Пэ~> ^2 = —л~, ...,** = -л-,
(Э Р Р
где (cit р{) = l(i—l,2,...,k). Кроме того, ¦¦J'-a есть также целое
число. Вместе с тем числа си с2, ...,cK,N($) не имеют общих
делителей, а потому неопределенное уравнение
имеет решение в целых рациональных числах. Поэтому
есть целое число, ч. и т. д.
Теорема 14. Если аир />-взамно просты по всем р,
входящим делителями одновременно в N (а) и Л/(Р), то
они взаимно просты алгебраически, т. е. можно подо-
подобрать такие целые числа поля X и ц, чтобы имело место
Доказательство. Пусть общий наибольший делитель чисел
Л'(а) и Л/(Р) есть d=pimi • pzm».. ./>"*. В силу условия теоремы
существуют такие числа и>{, что
где Л/(еЛ взаимно просты с pt. Умножая эти равенства на целые
числа —— и меняя обозначения, получим:
C.15)
где р,. ио, (/ =
равенства
целые числа поля. Присоединим еще
а' = Л/(а)
р' Л/(р)
C.16)
где а', Р'—тоже целые числа поля. Числа Nfa), N(е2),..., N(е,),
N (а), Л/(Р) не имеют общих делителей, а потому неопределен-
неопределенное уравнение
б1) • Xl
Н. Г. Чеботзрев.

34
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§3]
ИДЕАЛЫ
35
имеет решение в целых рациональных числах. Умножая равен-
равенства C.15) соответственно на хи x2,...,xk, равенства C.16)
на У и У г и складывая, получим:
что доказывает теорему.
Теорема 15. Число а определяется своим дивизором
с точностью до алгебраической единицы.
Доказательство. Если два числа а и а' соответствуют одному
и тому же дивизору, то они должны делиться друг на друга
при всех р, входящих в N(a) — N(a.'), а потому, в силу теоремы
13, они делятся друг на друга алгебраически. Таким образом
и число е и обратное к нему число - суть целые алгебраиче-
алгебраические числа. Такого рода числа е называются алгебраическими
единицами. Их можно охарактеризовать тем, что их норма
(свободный член уравнения, которому они удовлетворяют)
равна +1.
В дальнейшем для нас будет важна следующая теорема,
показывающая, что дивизоры могут входить в числа поля неза-
независимо:
Теорема 16. Если даны дивизор а и целое рацио-
рациональное число М, то существуют также целые числа
поля а, которые делятся на а, а их частные — являются
взаимно простыми с М дивизорами.
Примечание. То обстоятельство, что в качестве М мы взяли целое
рациональное число, нисколько не ограничивает теоремы. В самом деле,
если бы иам вместо М было дано число поля или даже дивизор т, то,
беря в ролн М число N{\>.) и соответственно N(m), мы только усилии эту
теорему.
Доказательство. Сначала докажем эту теорему для входя-
входящего в а простого дивизора % Пусть я есть р-простое число,
соответствующее дивизору ф, и пусть N(93)=/>\ N(k) = c ¦ pk,
(с, р) = 1. Далее, пусть М — М' • р, где АЛ'— взаимно просто
ср. Тогда число к' = М' • *-\-pk + l будет удовлетворять усло-
условию теоремы. Действительно, мы имеем сравнения
(* + 1) M*+1\ = Mn ¦ cpk (mo
тс
так что дивизор уг будет иметь норму
= Р
(mod МО,
которая взаимно проста с АЛ = М • р*.
Чтобы найти такого рода число для составного дивизора а,
достаточно составить такие числа для каждого из его делите-
делителей, а затем перемножить их.
16. Данное нами понятие дивизора в общем совпадает
с понятием идеального кисла, предложенного Куммером
{G. Kummer) и употреблявшегося в изложенном виде Е. И. Золо-
Золотаревым. Слабая сторона этого понятия состоит в том, что
дивизор определяется при помощи абстракции, и потому дей-
действия над дивизорами носят символический характер. Недостает
предмета, которому соответствовал бы дивизор.
Этот недостаток был восполнен Дедекиндом (R. Dedekind),
который ввел понятие идеала, как некоторой совокупности
целых чисел поля, обладающей следующими двумя свойствами:
I. Сумма и разность двух чисел совокупности тоже
лежит в этой совокупности.
II. Произведение числа совокупности на любое целое
число поля опять дает число этой совокупности.
В поле целых рациональных чисел идеалом является сово-
совокупность чисел, делящихся на какое-нибудь число а. В этом
поле не может быть идеалов других типов. В самом деле,
возьмем в каком-нибудь идеале а наименьшее число а, отлич-
отличное от нуля. Тогда всякое другое число Ъ идеала а должно
делиться на а, так как в противном случае остаток г от деле-
деления b на а был бы меньше а и в то же время, имея вид г =
= b — aq, входил бы в силу I и II в идеала. С другой стороны,
всякое делящееся на а число в силу II должно входить в а,
и таким образом идеал а состоит из всех целых рациональных
чисел, делящихся на а.
В поле алгебраических чисел не всякий идеал можно пред-
представить как совокупность чисел, делящихся на одно число.
В самом деле, в § 3, 2 мы видели пример чисел а = 3,
Р = 4 -{- у'— 5, не имеющих общего делителя, но не взаимно
простых (т. е. таких, что уравнение а.% -\~ (Ь) = 1 не может быть
решено в целых числах ?, г\ нашего поля). Совокупность чисел
вида <xjj-f-'p7]> где i, т) пробегают все целые числа поля, очевидно
составляет идеал. Однако все эти числа не могут быть пред-
представлены, как кратности одного числа. Те идеалы, для которых
такое представление возможно, носят название главных идеалов.
Дедекинд определил понятия общего наибольшего делителя
и произведения идеалов. Делителем идеала он называет идеал,
содержащий, как часть, все числа данного идеала. Это поня-
понятие, ? случае главных идеалов, приводит к обыкновенному
понятию делимости чисел. Общим наибольшим же делителем
двух идеалов называется наименьшая совокупность, являющаяся
идеалом и содержащая оба данных идеала. Если оба идеала
заданы базисами [<хь <х2, ..., аг] и $ь %,..., PJ, т. е. являются
•совокупностями а^-\-...-\-аг\г и соответственно Pi^ii-f-...+
3*

36
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
гл.
§3]
ИДЕАЛЫ
S7
fp^, где Si, 52, •• -Л,; Ъ, ^г, ••.,?!, пробегают все целые числа
поля, то общий наибольший делитель этих идеалов имеет бази-
базисом [«1, аг,... ,ar; fr, &....PJ-
Произведением двух идеалов а и b Дедекинд называет сово-
совокупность конечных сумм вида 2а^<( где at пробегают всевоз-
всевозможные числа идеала а, а рг — идеала Ь. Если же оба идеала
заданы базисами [аь о2,..., аг] и [^, Р,-, ••-, PJ, то их произве-
произведение может быть задано базисом
¦[«iPi, aip2, ...,<Ч&; агРь а2р2,---. «2 &;...; <*,Pi, <*,Рг, ••-, «,-PJ-
17. Нетрудно проверить, что совокупность целых чисел поля,
делящихся на заданный дивизор а, является идеалом. Докажем
обратное, т. е. что всякий идеал является совокупностью
целых чисел поля, делящихся на некоторый дивизор. Пусть
задан идеал а и пусть a=pmi,pm2, ртз,...ртк есть дивизор,
на который делятся все числа идеала а, причем пусть этот
дивизор будет наибольший, в том смысле, что нет другого
дивизора, делящегося на а, на который бы делились все числа
идеала а. Докажем, что всякое число, делящееся на дивизор а,
входит в идеал а. Для этого построим для идеала а базис.
Пусть [«>о, ши • • •, <«>«-i] есть фундаментальный базис поля.
Пусть 1*0 —Яоошо будет входящее в а число, имеющее возможно
меньший целый рациональный коэфициент а00. Идеал а всегда
содержит числа такого вида, так как, если в а входит какое-
нибудь число а, то в него в силу II входит\ZV(a) = a • а!, а также
N (а) • <о0. Если число вида b • св0 входит во, то b должно
делиться на aw.
Далее найдем в идеале а число вида i*i —ао1то + а11шь
в котором число ап было бы возможно меньшим. Число alt
меньше N (а), а число а01 — меньше а00. Затем число вида
jx2 = ao2 0>o~f"ai20)i-}-a22<lJ. в котором число добыло бы возможно
меньшим. Числа а02, а12, а22 опять следует выбирать среди
конечного числа. Продолжая процесс, получим систему
0
= а01 ш0 -\- ап
C.17)
[An _ 1, == Oo, n — 1 ш0 "T" ^1>« — X Ш1 ~р • • • "J"^*1"" 1> и ' <°n 1*
Докажем, что числа C.17) образуют базис идеала а, т. е.
что всякое число а = аошо-\-а1ш1-\-... -f-ara-x«n-b входящее
в идеал а, может быть представлено в виде *olio + ^l1i + -..+
-j- bn-iy-n-i, где ?>о, bu ... ,bn-i—целые рациональные числа.
В самом деле, ап-\ должно делиться на aB_i,n_i, так как
в противном случае, деляага-г на ап — \,п—\ с остатком: an-i =
= dn-i.n-i an-i-\-rn-\ где 0^Гп-1 <Сй, мы получим число иде-
идеала a— <7n_i|in_i = (п0 — Оо, га-1^п-1)«>о+ • • •• + /»-Ie>n-I. У КОТО-
рого коэфициент при u>n_i меньше an_i,ra-i, что противоречит
определению !%_ь Положив rn_i=0, мы точно таким же
образом убедимся, что у числа a — qn-\ i%-i коэфициент
при Шп-2 делится на ап--2,п-2. Продолжая процесс, мы
в конце концов получим:
i — qn-iV-n-2 — •-, — #ошо = 0,
где qn-h qn-2 <7о — целые рациональные числа, ч. и т. д.
Пусть в нормы чисел базиса р0, ^ ця_1 входят множи-
множителями следующие простые числа: ри р2,..., pk. Числа базиса
jj-o, (*! p»-i делятся по модулям этих чисел на общий диви-
дивизор а, но не ббльший дивизор, так как в противном случае все
числа идеала а, имея общим делителем дивизор а, не могли бы
выражаться через базис.
Пусть теперь a — произвольное целое число поля, делящееся
на дивизор а. Докажем, что оно входит в идеал а. Рассмотрим
числа a, (i0, i*i,.. .,|if»-x по одному из простых. модулей pt.
Числа |i0, pi,... ,|in—1 имеют общий наибольший pt делитель,
соответствующий тому дивизору делителя дивизора а, простые
множители которого являются делителями числа pt. На этот
дивизор делится и а, и потому имеет место .
с,а = 5о^о + 5нр.1 -+-.. . + 5п —1,-*!*» —1. (' = 1> 2 k) C.18)
где \jt — целые числа поля и {ct, pt) = l. Кроме того, ЛГ(ц0)
и потому N(\h0) • а является числом идеала а, причем ЛГ(р0)
содержит только plt pz,..., pk в качестве простых делителей.
Поэтому
N(Vi))a=:aQH+aiPi + ...-\-an-Wn-i, C.19)
где а0, аи ..., ап-\ — целые рациональные числа. Вместе с тем
си сг,. •. ,ck, iV((i0) имеют общим множителем единицу, а поэтому
неопределенное уравнение
имеет решение в целых рациональных числах. Умножая C.18)
на xt, суммируя и складывая с C.19), умноженным на у, полу-
получим:
где к)о, tji, . . .,¦*!» —1 — некоторые .числа поля. Это равенство
показывает, что а входит в идеал а, ч. и т. д.
Таким образом мы видим, что понятие идеала по существу
не отличается от понятия дивизора, так что, говоря об идеа-
идеалах, мы можем применять к иим все результаты, полученные
нами относительно дивизоров. Докажем еще одну теорему:
Теорема 17..Всякий идеал можно представить в дву-
двучленной форме [X, [а]^ т. е. можно найти числа X и \ь

38
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. Г
§ 4]
СРАВНЕНИЯ ПО ИДЕАЛЬНЫМ МОДУЛЯМ
39
такого рода, что всякое число идеала может быть
представлено в форме А$4-р], где ?, т) — целые числа
поля.
Доказательство основано на теореме 16. В качестве А можно
взять произвольное число идеала, а в качестве [а—такое число,
делящееся на дивизор а, соответствующий заданному идеалу,
чтобы частное jj. : а было взаимно просто с X. [или дажесЛГ(А)].
Тогда общим наибольшим делителем чисел А, ц, будет точно-
дивизор а, откуда, повторяя предыдущие рассуждения, нетрудно
доказать, что всякое целое число поля, делящееся на дивизор а,
может быть представлено в форме Mi-{-|«], где ?, у\ — целые
числа поля.
§ 4. Сравнения по идеальным модулям
1. Два, целых числа а, р поля называются сравнимыми по
модулю идеала а:
а = р (mod а), D.1)
если их разность а—р есть число идеала а (или, что то же,
делится на дивизор, соответствующий идеалу а).
2. Докажем, что над сравнениями можно производить те же
операции, что и над обыкновенными равенствами (см. часть I,
Прибавление).
1. Из
<*Е Р, т.Е'8 (mod a) '
следует
а±Т==Р —8 (moda)
<*Т Е Р8 (mod a).
Первое из этих сравнений вытекает из. того, что a — р
и 7 —8 принадлежат к идеалу а, и в силу указанного свойства
I идеала к нему принадлежат и их сумма и разность (a+р)—
-(Р=Ь8).
Второе сравнение вытекает из тождества
Его правая часть принадлежит к а в силу свойств I и II.
Применяя эти два равенства любое число раз, мы придем
к следующему свойству сравнений:
И. Из
вытекает
a — р (mod a ),
/Ч«)Е/(Э) (mod a),
где f(*) — произвольный полиноме целыми числами поля в каче-
качестве коэфициентов.
В случае, если a = ? есть простой идеал, имеют место
также следующие свойства:
III. Если
a- pEO (mod?),
то или а = 0 (mod ?) или р Е 0 (mod ?).
IV. Сравнение
/(?) Е 0 (mod ?)
D.2)
л-ой степени может иметь внутри поля не более п корней,
если корни, сравнимые между собой по модулю ?, не считать
различными.
В самом деле, если а есть корень сравнения D.2), то оста-
остаток ф от деления /(?) на i — а делится на ? (т. е. есть число
идеала ?). Это следует из того, что /(Е) — Q(Z)(i — a)-\~R
и /(«) Е 0 (mod ф). Подставляя $ = a, получим:
Я=/МЕ0 (mod?).
Предположив, что сравнение D.2) имеет л-j-l корней а0,
аь ..., ara_i, и последовательно применяя упомянутое соображе-
соображение, мы представим полином /(?) в виде
/^Eao($-a1)($-a2)...(S_aJ (mod?).
Но так как сс0 является корнем сравнения D.2), то один из
множителей а0—1x^ = 1, 2,..., я) должен делиться на ?, что
противоречит нашему предположению.
3. Объединяя числа, сравнимые друг с другом по модулю а,
в классы сравнений, поставим задачу нахождения числа клас-
классов сравнений по модулю а. Здесь имеет место
Теорема 18. Число классов сравнений по идеальному
модулю а равно абсолютной величине нормы идеала а.
Доказательство мы расчленим на несколько частей.
1. Если [цо, |1,,.«ч l*»-i] есть базис идеала а, то число
классов по модулю а равно определителю подстановки
?о = а00 ш0 ~\- а01 ш, -{- • ¦ • + а о,»--1 «о м- г,
[д., =
К» юи ¦ • •. шп_ J есть фундаментальный базис поля.

40 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [г*. I
Мы видели в § 3.17, что этот базис можно выбрать в виде
-an«>i D.3)
§4]
СРАВНЕНИЯ ПО ИДЕАЛЬНЫМ МОДУЛЯМ
41
Нетрудно убедиться, что представителями классов по
модулю а могут служить следующие числа:
1, D.4)
где с{ пробегает значения 0,1,2,..., \аи\ — 1 (i —0,1,...,л — 1).
Действительно, с одной стороны, всякое число поля может
быть последовательным прибавлением кратностей Цп-ъ
Рп-2, -..,1*1, 1*о приведено к виду D.4). С другой стороны, два
числа вида D.4) не могут иметь разность, входящую в идеал а,
т. е. представляемую через базис D.3), так как, если эта раз-
разность равна /о«о+/1«1 + ...+//а)г> где /^.0, то [/г!< \ан\>
а потому она не может входить в а, так как, согласно данному
в § 3.17 определению, \ап\ есть наименьшее из чисел \ft\ такого
рода, что /оa>o-|-/ia)i + •••+//mi входит в а. Число представи-
представителей D.4) равно \auoan...an-i,n-i\, т. е. определителю под-
подстановки D.3).
Утверждение справедливо также для случая произвольного ,
базиса, так два различных базиса одного и того же идеала
переходят друг в друга при помощи целочисленных подстано-
подстановок, произведение которых равно тождественной подстановке,
в силу чего определители этих подстановок должны быть
равны =?1.
2. Теорема 18 справедлива для случая главного идеала.
Действительно, если а есть совокупность чисел, делящихся на
числа а, то его базисом служит [aa>0, ашъ. ..acon_i]. Поэтому
число классов по модулю а равно определителю подстановки
аш0 = с00 оH +
ащ = с19 св0 4"
+ • • • + с о, п -1 о> п - г
+ • • • 4"с 1.» -1ш »-1
Но из этих соотношений можно получить для <* следующее
уравнение:
i—«¦ Cei>.... Со, п— 1
=0,
откуда следует, что |ЛГ(а)| равно этому самому определителю.
3. Теорема 18 справедлива для случая простого идеала.
В самом деле, пусть простой идеал $ есть делитель простого
числа р, и пусть соответствующее ему/^-простое число естыг"
Идеал $ состоит из чисел, р-делящихся на я. Если [[а0, Рь ...,
jx „ _ftl] есть базис идеала $, то для каждого }*г=ам ^о + ah wt -f-...
{a число \ан\ есть степень/». Действительно, если бы
( ) 1 >1 \
, то, решая уравнение сх-\-ру=1
б \
ац = срк, где (с, р) = 1 и > р ур \
в целых рациональных числах, мы бы пришли к числу pt\
+pk + l v>ty = aiuxm0-\- а^ * coj-|-...+/>* <°« идеала ф (так как р
тоже входит в Щ, у которого координата при ш. будет меньше,
чем ан, а это противоречит данному в § 3.17 определению
числа у,-. Таким образом здесь определитель подстановки D.3)
равен степени числа р.
Вместе с тем этот определитель отличается от ЛГ(тс) мно-
множителем, взаимно простым с р. Действительно, существуют
такие взаимно простые с р числа с0, cu...,cn'—i, что числа
A>ft>> с1\11,...уСп-\Ц'п-1 делятся на я, а потому каждое из них
выражается через [я«>о> п ши- .•,«">я-i]- Таким образом опреде-
определитель подстановки, переводящей в [сО[Ао. ciV-i>- ¦ -,cn-i v-n-i]
базис [<»o><ui,.-.,«>ra-i], делится на TV (я). С другой стороны,
N(it) в силу той же причины делится на определитель подста-
подстановки, переводящей [сво»ш1 ...,<">»»—i] в[p.Of 1*1.-••»!*•»» — i]. на число
классов по модулю ф, которое отличается взаимно простым
с р множителем сйсх...сп-\ от определителя подстановки,
переводящей [ш0, шь..., шп_х] в [с0 jxj.d jj.,,. .., cn-t |* „ _J. Поэтому
число классов по модулю ф равно наибольшей степени р, вхо-
входящей в Л/(я), т. е., согласно определению нормы простого
идеала, jV(^).
4.Чтобы распространить теорему 18 на произвольные идеалы,
достаточно доказать:
Число классов по модулю a $ равно произведению
чисел классов по модулю а и по модулю %
Пусть аиаг,. ,,,аг будут представители классов по модулю
а и plf Р21 •••'?*—по модулю ф. Докажем, что числа
a< + «-fy (i = l, 2,...,r,/ = l, 2,...,s) D.5
могут служить представителями классов по модулю а^Р, если
выбрать число а так, чтобы оно делилось на а и чтобы част-
частное - было взаимно просто с N(a, ф) (см. теорему 16). Дей-
Действительно, с одной стороны, всякое целое число поля со срав-
сравнимо по модулю a $ с одним из чисел D.5).
В самом деле, пусть о> сравнимо с представителем а. по
модулю а. Число с ю~а' есть целое, где с — некоторое взаимно
простое с N(a, *P) число. Если

42 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [гл. Г
то, решая неопределенное уравнение
мы получаем
с. ^П^ = р (пи^ф),
ос '
причем fy сравнимо с некоторым с • рв. Отсюда следует, что
с(<в — at — арв) входит в идеал аф. Но так как с взаимно просто
с М(аф), то
~ ' " (modаф).
§4]
СРАВНЕНИЯ ПО ИДЕАЛЬНЫМ МОДУЛЯМ
С другой стороны, числа D.5) несравнимы друг с другом по-
модулю аф. В самом деле, если бы, например, имело место
(mod а$)'
то отсюда бы следовало
*i E ав (mod ф),
т. е. u = i. Далее, из
следует ру-— pv E 0 (mod ф), т. е. j = v. Таким образом число
классов по модулю аф равно числу чисел D.5),. т. е. rs, ч. и т. Д.
Это позволяет считать теорему 18 вполне доказанной.
4. Распространим^ на случай простого идеала теорему Ферма:
Теорема 19. Если для простого идеала $
=pf ,1)то для всякого целого числа поля S имеет место
W=l\ (mod^S). D.6)
Доказательство. Пусть 0, аи а2,..., <xg__j (s=pf) будут пред-
представители всех классов по модулю <$. Так как ^ есть простой
идеал, то все представители, кроме 0, взаимно просты с ^3. По-
Поэтому, если i произвольное взаимно простое с ?Р число, то числа
&аь ?в2, • ¦ • ,?«g_i сравнимы по модулю $ с числами аи а2,...,
ag_,, взятыми может быть в другом порядке:
fei E afc , &*г Е «й, fo8_j E % (mod ф).
*—1
Перемножая эти сравнения, получим
Но так как
, ag_1 взаимно просто с %, то имеет место
Умножая на ?, получим сравнение D.5), которое имеет место
также для делящихся на 4$.
5. Теорема 20. Если N(<$)=p (идеалу первой сте-
степени), то всякое целое число поля сравнимо по модулю ^3
с рациональным числом.
Действительно, в этом случае в качестве представителей,
классов можно выбрать числа 0,1, ..., р — 1, так как разности
этих чисел, будучи меньше р, взаимно просты с р, а число этих
чисел в силу теоремы 18 равно числу классов по модулю %
6. Рассмотрим случай нормального поля. Пусть <р есть про-
простой идеал в нормальном поле К и пусть ND$)—pf, Будем
обозначать через as величину поля К, получаемую из величины a
путем применения к ней автоморфизма S группы Галуа поля К.
В силу нормальности поля К, наряду с а в поле К входят
все величины as. Подобным же образом определяется и идеал as
из идеала а: если а есть совокупность чисел а, р, у, ..., то
*1 * 1 р51 s1
а*
 ys~1
идеал а* есть совокупность чисел а* — р, y,
Если <$ есть простой идеал, то и <^s~1 есть простой идеал,,
так как в противном случае, применяя подстановку 5 к ра-
равенству <$Ь = а • Ь, мы придем к равенству <$ = as—1 • bs—1, про-
противоречащему простоте идеала 4$.
При применении автоморфизмов группы Галуа нормы идеалов
остаются неизменными, так как системы представителей клас-
классов а,, а2 а,-по.модулю а для модуля а5 превращаются
в систему ot!*-1, a2s-x, ..., и/—1, обладающую теми же свойствами
для своего модуля.
В нормальных полях норма идеала может быть определена
иначе. Чтобы показать это, докажем
Теорему 21. Норма идеала в нормальном поле равна
произведению идеалов, сопряженных с данным.
Доказательство. Достаточно доказать теорему для про-
простого идеала ^ Выберем делящееся на ф число it такого рода,,
чтобы идеал я/<$ был взаимно прост с N(<$)=pf. Если
-1
— 1 (mod <$).
D-6)
есть группа Галуа поля, то тс • я*».. .««„ = #.(*)• Выделим из обе-
обеих частей все идеальные множители, являющиеся делителями
числа р. В левой части это очевидно будет ^J • <$"»... ф8П;в пра-
правой же, в силу определения нормы простого идеала и того,
что it есть ^-простое число, мы получим NE|3). Поэтому
') pf называется степенью простого идеала.
D.7)

44
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл.
§5]
КРИТИЧЕСКИЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
4S
§ 5. Критические простые числа и дискриминант поля
1. Теперь мы можем доказать в общем виде
Теорему 12. Чтобы простое число р было критиче-
критическим для поля К, необходимо и достаточно, чтобы оно
было делителем дискриминанта поля К.
Доказательство. 1. Условие необходимо. В самом деле, пусть
для поля К простое число р есть критическое, т. е. пусть про-
простой идеал *$ входит в р делителем выше, чем в первой степени.
Тогда квадрат числа а, делящегося на щ, но не на р, делится
на р.
Если выразить а через фундаментальный базис:
E.1)
то не все х{ делятся на р, -так как в противном случае а дели-
делилось бы на р. Пусть xs ЕЕ 0 (тойр). С другой стороны, -- и по-
потому и -"-- суть целые алгебраические числа, а потому —Щ-
VP VP
есть целое алгебраическое число. Но так как 5 (а) рационально,
то оно должно делиться на р. Сказанное имеет место также
для чисел
шоа, u)i<x,. .. ,ш„_1а,
в силу чего
E.2)
+ A)
-i = 0(mod/>),
) = 5 (u>lUH) x0 -f S^,2) х, 4-. •.
j- 5 (o)!O)»_i ) Xn-i — 0 (mod p),
)ra_j а) = 5 (u)n_i ш0) Х
-J- 5 («>V-i )
— 0 (modp).
Определитель этой системы сравнений есть дискриминант Д
поля К. Обозначим его миноры так: Еу. Умножая сравнения E.2)
соответственно на Sso, Sgl,... , Eg, ra_i и складывая, получим
Д • jc, E 0 (mod p),
E.3)
откуда в силу х3ф0 (modp) имеем_Д — 0 (mod/>), ч. и т. д.
2. Теперь предположим, что Д — 0 (mod/?), и докажем, что р
есть критическое простое число поля К. Д есть квадрат опре-
определителя
щ, ">ь • • •, №n-i
8 =
V,
E.4)
который в силу предположения делится на \[р. Элементы опре-
определителя 8 являются сопряженными с и>г и потому лежат в нор-
нормальном поле К, составленном из всех сопряженных с К полей
(норма поля К). Пусть % есть простой идеальный множитель
числа р, и пусть tys*, tySt,... ,^s* все различные между собой
идеалы, сопряженные с 5$. Произведение © = ф • ^2... ?ps*
является идеалом, инвариантным относительно всех автомор-
автоморфизмов группы Галуа © поля К. 8 делится на ©. С другой сто-
стороны, из теоремы 21 вытекает, что iV0P), а потому и р, является
делителем некоторой степени ©.
Рассмотрим систему сравнений
з= 0 (mod ©)
E 0 (mod ©)
,^iEO (mod©).
E.5)
Ее можно решить в целых числах' &о> &ь •••. ^n-i поля К,
не делящихся на ©.
В самом деле, пусть все миноры (s + l)-ro порядка опреде-
определителя 8 этой системы делятся на (б, в то время как по крайней
один из миноров s-ro порядка, например
щ,
(SV1) (S—1) (8-1)
пусть не делится на ©. Тогда, вводя обозначение
E.6)
ю(, ш,
">'«_!, О)
Ио,
И8_1, И.
где i4,^0 (mod©), мы увидим, что при ив = о><>(<), K]=
us = u)s*' (i = 0,1, ..., /г — 1) эта форма получает значения, деля-
делящиеся на (б.
Поэтому в качестве решения системы E.5) достаточно взять
10 = А0, %1 = Аи ... , S = AS, Ss + i = 0 S«-i = 0. E.7)
Из решения [10,1и ..., ?ra-i] можно получить другое, в кото-
котором Sj есть целое рациональное число, взаимно простое с р.
Для этого мы обратим внимание на то, что, применяя к системе
E.5) любую подстановку группы Галуа, мы не изменим системы,
так как левые части сравнений поменяются между собой,

46
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§5]
КРИТИЧЕСКИЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
47
а модуль © останется инвариантным. Поэтому наряду с [$0. Si,
..., S»_i] решения [$р, Sf Sf-J> гДе *5 — любой, автомор-
автоморфизм группы Галуа, тоже удовлетворяют сравнениям E,5).
Пусть 1. не делится на простой идеальный делитель <$ идеала ©.
Тогда (?*, .... Sf* не будет делиться соответственно на 5$s*, ty8*,
..., ^г* , а потому мы можем подобрать такие множители X, Х2,
..., ХА, чтобы ^X^sSk было взаимно простым с ©, т. е. с р.
Таким образом решение [tj«, тц "»1» -1] = 2 ^°'»
*ч*» —1 имеет \, взаимно простое с р. Умножая реше-
решение на ———, мы придем к решению [Со, Ct, ..., Cn-i], в кото-
котором Со есть взаимно простое с р целое рациональное число,
Решения этого типа единственны с точностью до взаимно
простого с р рационального множителя. В самом деле, если
[Ро, Pi» •••» Pn-i] есть другое решение этого типа системы E.5),
то, подбирая рациональные множители Xjjj. так, чтобы имело
место XC/-J- pps = 0, где X и f* взаимно просты с р, и вводя обо-
обозначение ог = ХСг -f v-Pt, мы получим решение [а0, аи ..., ora_i],
в котором as =os + i =... = an_i =0. Это решение является также
решением системы
WX + <Л + ••¦'+ ">f_ А _V Е 0 (mod ©) (г = 0,1,...«-1), E.8)
определитель которой E.6) не делится ©. Эта система тоже
инвариантна относительно автоморфизмов группы Галуа. Поэтому,
если предположить, что в решении [оо, olf ..., os-i] одно из
чисел не делится на ©, то мы сможем найти такое же решение,
в котором одно из чисел взаимно просто с р. Но, беря из
системы E.8) первые s сравнений и рассуждая как в п° 1, мы
докажем, что ни одно из чисел о0, оь ..., on-i не может быть
взаимно просто с ©. Следовательно система E.5) допускает
•единственное решение [Со, Сь ..., C»-i] (с точностью до взаимно
простого с р рационального множителя), в котором С равно
взаимно простому с р целому рациональному числу, a C« + i =
Возьмем произвольный автоморфизм 5 группы Галуа поля К.
[С((, Cf, ..., Cf_J является тоже, как мы видели, решением
системы E.5). В нем тоже Cf+1= ...
_ г
/чего
СоЕСо, С?ЕСХ, ..., Cf.i
.., (mod©),
где 5— любой автоморфизм группы Галуа © поля К.
0, a Cf=CS, в силу
E.9)
Докажем, что каждое из чисел Со, Сь ..., C8-i сравнимо
по модулю (б с целым рациональным числом. Для (этого вос-
воспользуемся первой теоремой Силова (Sylow), которую мы дока-
докажем в этом же параграфе:
Всякая конечная группа порядка рт • и, где р — про-
простое число и (и, р) = 1, содержит подгруппу порядка рт.
Пусть порядок группы © равен рт • и. Обозначим через
ее подгруппу порядка рт. Если С — одно из чисел, удовлетво-
удовлетворяющих сравнениям E.9), то имеет место
т)=:С.СГ\...,СТРтЕС*'п (mod©), E.10)
причем 7) инвариантно относите'льно автоморфизмов группы ij>.
Но в силу обобщенной теоремы Ферма (§ 4.4) мы имеем:
СрГ Е С (mod Щ,
а в силу инвариантности С, по модулю © также
СрГ Е С (mod ©).
Разделим то на / с отрицательным остатком:
m=fq — г, @^
Тогда в силу E.11) имеем:
С Е ^ Е Ср2гЕ . • • Е СР**Е C*"V (mod©)
и в силу E.10)
C = Vr (mod©). E.12)
Чтобы доказать, что i\ сравнимо по модулю © с рациональ-
рациональным числом, разложим ® по ?:
E.11)
Число
V =
инвариантно относительно всей группы © и потому равно рацио-
рациональному числу. Таким образом щ, в силу E.12) и С, сравнимы
с рациональными числами по модулю ©.
Пусть [jc0, JCi, ..., ^»-i] есть решение системы E.5), состоя-
состоящее из рациональных чисел, из которых xs E 0 (mod/»). Первое
сравнение E.5) дает нам:
»-i0)»-iE0 (mod©).

48
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§6] ¦
ЛЕММА ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
4»
Поэтому достаточно высокая степень а делится на р, в то
время как само л (величина поля К) не делится на р в силу
xs^0 (modp) Это доказывает, что р есть критическое простое
число для поля К.
2. Докажем теперь первую теорему Силова:
Теорема 22. Всякая конечная группа © порядка рт • и,
где р — простое число и (и, р) = 1, содержит подгруппу
порядка рт.
Доказательство проводится методом полной индукции. Пред-
Предположим, что теорема доказана для групп, порядки которых
меньше рт • и. Разобьем все элементы группы © на классы,
объединяя в один класс все различные элементы типа S~lAS,
где 5 пробегает все элементы группы ©. Если класс элемента А
состоит только из одного элемента, то А перестановочен со
всеми элементами группы @. Такого рода элементы группы ©
составляют группу 3. являющуюся абелевым нормальным дели-
делителем группы © и называемую ее центром. Пусть порядок 3
равен v.
Чтобы найти число элементов класса любого элемента В,
рассмотрим группу Шв, состоящую из всех элементов, пере-
перестановочных с В (нормализатор элемента В). Разлагая © по Ш
© =•
мы убедимся, что все различные элементы класса В могут быть
представлены так:
В,
BS2, ..., S^ BS j
(см. часть I), и что потому число р элементов в классе В равно
индексу нормализатора $1в.
Порядок группы © равен сумме чисел элементов, входящих
в каждый класс:
/*».n = v + ,i-|V + ,»»-f... E.13)
1. v взаимно просто с р. Тогда из равенства E.12) вытекает,
что какое-нибудь из чисел fi должно быть взаимно простым ср.
Пусть это будет щ число элементов класса В. Тогда нормали-
нормализатор 91в имеет порядок, делящийся на р ~и меньший рт • и
(в противном случае В принадлежала бы к центру 3)- В силу
предположения о группах низших порядков теорема доказана.
2. v делится на р. Все элементы 3» порядки которых суть
степени р, пусть образуют подгруппу ф порядка ps (см. часть I,
стр. 21), тоже являющуюся нормальным делителем группы ©.
Дополнительная группа ®/ф порядка рт~8 • и в силу предполо-
предположения имеет подгруппу порядка рт~а. Тогда, если эта под-
подгруппа образуется композицией сопряженных систем ?, ? Т2,
..., $Tpm-s то элементы, содержащиеся в этих сопряженных
системах, образуют искомую подгруппу порядка рт группы ©.
Таким образом в обоих случаях теорема доказана.
§ 6. Лемма из теории линейных форм
1. Докажем следующую лемму из теории линейных форм,
которая в дальнейшем будет иметь важные применения:
Теорема 23. Дана система п линейных форм
F.1)
• • • + а1пх„
4-а22х2-\-... -f а2ях„
атх„
от л переменных хи х2, ..., х^с определителем D. Суще-
Существуют целые рациональные значения хи х2, ..., х„, соот-
соответствующие которым значения уи у2, ..., уп удовле-
удовлетворяют неравенствам
/ = 1,2 п)
F.2)
Доказательство. Сначала предположим, что коэфициенты at
суть целые рациональные числа. Решая систему F.1) относи-
относительно jc1( xi, ..., хп, получим линейные выражения от уи у2,
..., уп с дробными коэфициентами, в знаменателях которых
стоит D. Придавая ylt у2, ..., уп целочисленные значения, мы
будем получать, вообще говоря, дробные значения переменных
хи хъ ..., х„. Если значениям (j/Д уг', ..., у„') и (у/, у2", ••-,
уп") соответствуют значения {х{) и (х/'), имеющие одинаковые
дробные части (т. е. такие, что х( — х/ суть целые числа), то
будем говорить, что системы (_у/) и (_у/') лежат в одном и том
же классе.
Определим число различных классов такого рода. Для этого
обратим внимание на то, что целым значениям форм уи уг,...,уп
соответствуют целые значения форм z1=yu Z2=ya^zk2yu ...
..., zn=yn + knylt где k2, k3, ..., kn—любые целые числа,
и обратно, а потому формы (уъ у2, ..., yj и (zu z2, ..., zn)
будут иметь одно и то же число классов.
Воспользуемся этим преобразованием следующим образом.
Найдем среди чисел ап, а2и .... ап\ первой колонны системы
F.1) наименьшее отличное от нуля и, меняя нумерацию строк,
поставим его на первом месте, так что это будет ап. Заменим
формы (уи-у„ ...,yj формами (у„ y2 — ktyi уя — fcnVi), где
k2, k3,..., kn подберем так, чтобы имело место О^а,— kfl.k<^an
(i = 2, 3, ..., п). Полученные формы имеют то же число классов
и ту же величину определителя, так как последний получается
из D вычитанием первой строки из остальных строк. В полу-
полученной системе форм производим тот же процесс. Каждый из
производимых процессов уменьшает абсолютную величину наи-
наименьшего элемента первой колонны. Поэтому после конечного
Н. Г. Чеботарев. 4

50
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§6]
ЛЕММА ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
51
числа действий мы придем к системе форм, у которой в первой
колонне только один элемент не равен нулю, т. е. к системе вида
Z\ = bnXi -J- bn x2 -j-... -4- km xn
b + + Ь
-f-... -\-bnnxn .
Продолжая подобное преобразование для второй колонны
форм z2, гь, ..., г„, затем для третьей и т. д., наконец для
(л—1)-ой, мы придем к следующим формам:
Щ — Ru xl -\- R12 x2 -f- Rn x3 -j-... -j- R\
i?22 хг ~\~ R23 хз \ \ R
R\\R F.3)
Все проделанные преобразования не меняют ни числа классов
системы форм, ни абсолютной величины ее определителя, так
что мы имеем:
\Ru ' R22 • Язз • • • Rm I = \D\. F.4)
Определим теперь число классов системы форм F.3). Для этого,
придавая каждой из форм одно из значений 0, 1, 2, \D\ — 1, опре-
определим, сколько из полученных |D|" комбинаций значений
(ии и2, ..., и„) соответствует целым значениям переменных
хи х2, ... ,хп или, как мы будем говорить, лежит в нулевом
классе. Чтобы хп было целым, необходимо и достаточно,
чтобы un = Rrmxn делилось на Rnm т. е. мы Rnjl имеем право
придать ип
значений: 0, \Rnn\, 2 \Rnn\
-i)|s.
Каждому такому значению и„ соответствует столько раз-
различных ПО МОДУЛЮ D Значений 1ln-\ = Rn — \,n-\xn-\JrRn-\,nxn,
дающих для хп-\ целые значения, сколько существует раз-
различных по модулю D классов значений un-i — Rn-\,nXn, деля-
D
щихся на Rn-i,n-i, т. е.
Подобным же образом
i — 1,»—1
докажем, что каждой такой системе значений un-i,un соответ-
D
ствует я
«»—2, п —2
целые значения для х,
что из \D\n различных
целые значения для xlt x2, ...,хп дают
D D
различных по модулю D значений и»_2, дающих
„_2. Продолжая рассуждение, мы убедимся,
ix по модулю D значений мь и2, ...; ип
Rn
•
D
R22
...
Rn—l,n-
Rn<n
D
D
F.5)
значений. (Отметим, что не важно, какой из представителей
класса по модулю D будет взят в роли щ, так как если в двух
системах, значений соответственные числа щ отличаются на
кратность D, то получаемые значения хг отличаются на целые
значения.)
Прибавляя к какой-нибудь системе целых значений (ии м2,...
..., и„) все по очереди^!"-1 систем значений нулевого класса,
мы будем получать |ZDj"-—х систем значений одного и того же
класса. Других систем значений входить в 3TqT класс не может,
так как если системы (щ\ п%, ..., и„') и (и/, и2", ..., и„") лежат
в одном и том же классе, то системе (iii—iii', и/ — и2", ...
..., и„' — и„") соответствуют целые значения xit т. е. она лежит
в нулевом классе. Таким образом всего будет
различных классов. Столько же классов имеет система форм F.1).
Определим теперь целое положительное число k, удовле-
удовлетворяющее неравенствам
' F.6)
и станем придавать каждой переменной значения 0, 1, 2, ... ,~k.
В результате мы получим {k-\-Vf различных систем Значений
j^i, j/2» ¦••, Уп- Так как в силу F.6) число различных систем
меньше чем (k-\-l)n, то среди этих систем найдутся по крайней
мере две лежащие в одном классе. Пусть это будут (у\, уя',...
...,уп')п (у/', уг,. •. ,у„"). Тогда их разность (V — yf, v{—y2",...
..., уп' —уп") лежит в нулевом классе, т. е. соответствует целым
значениям хи хг,..., х„. Вместе с тем в силу 0 Шу/ ^ k, 0 ^ у" ^ k
имеет место
^-уЛ^ь^/щ F.7)
т. е. система значений (у/ — yj', у2 —у3", ..., уя' —уп") удовле-
удовлетворяет условиям теоремы.
2. Теперь предположим, что коэфициенты alk системы F.1)
являются дробными рациональными числами, и пусть а будет
их общий знаменатель. Рассмотрим систему следующих форм:
Z\ ==flj/i = fluu^i + aaijX2-J-. ..-\-aa.\nxn .
z2 = ауг — аа21 х± -j- аа22 х2 -J-.. • -4- аа.2П хп 1е. оч
@.8)
аУп =
аа„„ х„.
Определитель этой системы равен a"D. Ее коэфициенты явля-
являются целыми рациональными числами, а потому к формам
(:i> Zt, •••, zn) можно применить теорему 23, т. е. найти такие
целые значения хи х2, ..., хп, чтобы каждое из значений
zu z2, ..., zn было по абсолютной величине
= а

52 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [гл. I
Тогда в силу yt = Zj- для уи у2, ..., уп, будет иметь место
что доказывает теорему для случая дробных рациональных alf:.
3. Чтобы доказать теорему для случая иррациональных
вещественных аш, укажем верхний предел для • значений
хи х2,"..., хп, удовлетворяющих условию теоремы. Решая
систему F.1) относительно xlt хъ хъ, ..., х„:
F.9)
где D;j— миноры определителя D, и обозначая через Di наи-
наибольшее абсолютное значение этих миноров, мы в силу неравенств
Xl D
х2- D
V —
-л +
A)
-Л + -
1 A»
•+ D
••+ r,
"У.,
будем иметь
= 1,2,:..,»).
F.10)
Если поэтому мы будем менять значения ау, не позволяя им
выходить из известных пределов, a \D\ — спускаться ниже
известного предела, то величины \х{\, удовлетворяющие условию
теоремы, не смогут беспредельно возрастать.
Пусть элементы а1} иррациональны и вещественны. Пред-
Представим каждый из них как предел последовательности рацио-
рациональных чисел af), af), a^l, ... Тогда определители D^\ соста-
вленные из а\' а также миноры D\j, стремятся при неограни-
неограниченном возрастании значка X соответственно к пределам
D и Djj. При этом для каждого ^ можно найти систему
значений (х1гхг, ..., х„), удовлетворяющую неравенствам
(« =1,2, ...,«), F.11)
откуда в силу F.10) (т. е. в силу ограниченности |xf|) мы получим
«=1, 2,
), F.12)
где все е/х стремятся при возрастании X к нулю. В силу F.10)
существует лишь конечное число значений хи х2 ха, удовле-
§6]
ЛЕММА ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
53
творяющих неравенствам F.12) при каких бы то ни было зна-
значениях К Докажем, что хоть одно из этих значений удо-
удовлетворяет неравенствам
I [ ) I „ 1 -=_-- i /| ГЧ| /J ^ Q *Л
Допустим противное, т. е. пусть для каждого из этих значений
существует такая форма atl xt -j- ai2 х2 -\-... -\- ain xn, что
\ап х, + а,2 х2
ain х„\ ^ \/\D\ -f
F.13)
где «>0. Возьмем А настолько болыцим, чтобы все соответ-
соответствующие |ejjj были меньше наименьшего из а. Тогда формулы
F.12) и F.13) находятся в противоречии. Это доказывает
теорему.
4. Рассмотрим случай, когда элементы ау могут быть ком-
комплексными, но так, что каждой г-ой строке соответствует
другая у-ая строка, в которой ajk = ajf(k = l,2, ..., ri). Тогда
значения yt и yj должны быть сопряженно-комплексными.
Строки же с вещественными элементами не требуют соответ-
соответствующих строк.
Заменим в системе форм все сопряженно-комплексные формы
yt и yj следующими их комбинациями:
которые являются вещественным формами. Из F.14) вытекает:
= ife-Mz) v=~(z—iz)
Уг у/2 1 У У у/2
F.15)
откуда следует, что неравенство
дующему:
2
равносильно сле-
F.16)
которое во всяком случае будет удовлетворено, если
\. F.17)
После замены форм yt формами zt определитель системы
сохранит свою величину, так как эта замена соответствует сле-
следующей последовательности операций над определителем D:
1) прибавлению к у-ой строке /-ой, 2) умножению i-ой строки
на 2, 3) отнятию от /-ой строки >ой, 4) перемене местами /ой
и /-ой строк, 5) делению г-ой строки на \J% а у-ой на / у/2.
Первая и третья операции не изменяют величины определителя,
четвертая меняет его знак, вторая увеличивает его в 2 раза,
а пятая делит его на 2/. Таким образом в результате абсо-
абсолютная величина определителя остается той же.

54
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО
55
Переходя подобным образом от каждой пары сопряженно-
комплексных форм к вещественным формам и применяя результатЗ
к вещественным формам (г,, z2, ..., zn), мы докажем теорему
и для этого случая.
5. Можно доказать теорему 23 в более сильной формули-
формулировке. Именно можно доказать, что целые значения хи х2, ..., хп
можно выбрать так, чтобы для всех форм, кроме может быть
одной, имело место не только |^i|^^|D|, но и \у{\< i/\D\.
Для доказательства выберем произвольную величину
e(O<s<Cl) и определим по ней другую, е', связанную с е равен-
равенством
A-«)—1A + О = 1. F.18)
Очевидно, что е'>0 и что при стремлении е к нулю и е' стре-
стремится к нулю.
Разделим первую из форм F.1) (будем предполагать ее
вещественной) на 1-j-s', а остальные на 1—е. Применяя тео-
теорему 23 к формам (jzrrj» 1ТГ7> • • •» i —е) (их определитель
в силу F.18) тоже равен D), мы найдем такую систему зна-
значений (хи хг, ..., х„), для которых имеет место
Будем придавать е последовательность значений вь е2,
е3) ... , стремящуюся к нулю. Для каждого из них существует
лишь конечное число систем значений (хи х2, ..., хп), удовле-
удовлетворяющих неравенствам F.19). Докажем, что можно найти
такой значок X, при котором наряду с F.19) выполнялось бы
неравенство I^l^j/IDI . Допустим противное, т. е. что при
всех X имеет место \уг\ = j/|D| (I -f- а), где а > 0. Так как для
всех X таких систем (xlt xa, ..., х„) конечное число, то мы
можем выбрать ту систему, для которой а имеет наименьшее
значение. Тогда для всех систем, удовлетворяющих неравен-
неравенствам F.19) при значениях s = e^, ex-fl- eX + 2> •••> имеет место
неравенство [^^(l-J-e) ]/\D\. Но так как значения е1', s2',...,
определяемые из равенства F.18), тоже стремятся к нулю, то
при некотором X будет иметь место e'W<^a, и тогда первое из
неравенств F.19) не будет удовлетворяться, вопреки теореме 23.
Таким образом для некоторого X мы получим неравенства:
V\d\, ы^0~-
т. е.
В случае комплексных форм yt, yL,
как в п. 4, к вещественным формам zu
уп
z2,
F.20)
мы перейдем,
zn, и в роли j>j
(см. F.19)] возьмем форму ги дающую начало вещественной
Части формы j/i. Тогда мы сможем определить такие системы
значений (хи х2, ..., х„), при которых имеет место
Mssvte] и \zt\<y/\Di (t = 2, 3 n).^
В силу F.16) для всех форм (уи уя, ..., уп) имеет место
b>i\<\/\D\
(г = 1, 2,..., п)
F.21)
Г. Минковский, пользуясь методами геометрии чисел, получил
для случая комплексных форм более низкую оценку, чем F.21).
§7. Теорема Минковского
1. Теорема 24. (Минковского). Дискриминант всякого
поля алгебраических чисел отличен от +1.
Доказательство. Пусть [о>0, №i, • • •> °>n—i]—фундаментальный
базис поля k. Рассмотрим систему форм
G.1)
д.A) = 0H0) JCo + ш/0 JC, + • - . + «?!_ 1 Хп- 1
Допустим, что дискриминант поля k равен +1. Тогда для
системы форм G.1) можно найти такую систему значений
(jc0, Хи ..., х„), из которых не все равны нулю, для которой
будет иметь место
Отсюда следует
\N (уР>)\ = |у(°)
» -
1.
G.2)
Но ут является целым алгебраическим числом, а потому
его норма должна быть равна целому рациональному числу.
При этом она» отлична от нуля, так как в противном случае мы
бы имели по крайней мере для одного значения i:
/О = „>„<«> Хо -J- „,,«*, -f • • - + <°_, хп -1 - 0.
Но это противоречит тому, что [о/*', «/*-* , ..., vf^_ t] является
базисом сопряженного поля kSV. Таким образом W{yO))\^l,
что противоречит неравенству G,2), ч. и т. д.
2. Из теоремы Минковского следует, что дискриминант
поля А, будучи целым рациональным числом, непременно содержит
простые множители. Сопоставляя это с теоремой 12, согласно

56
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. i
§8]
ГРУППА ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА МОНОДРОМИИ
57
которой простые делители дискриминанта поля k, и только
они, являются критическими простыми числами внутри k, мы
можем формулировать теорему Минковского так:
Теорема 24а. Всякое поле алгебраических чисел
непременно обладает критическими простыми числами.
3. Аналогичные соображения позволяют доказать следующую
теорему:
Теорема 25. Существует только конечное число полей,
имеющих заданное значение дискриминанта.
Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением полей
заданной степени л с дискриминантом D. Рассматривая для
каждого такого поля систему форм
2п In In
\f\D\ • У0), \}\D\ • У1),..., \f\Di • у* - Ч G.3)
[см. 7.1)], мы убедимся, что внутри каждого из таких полей
содержится целое алгебраическое число, удовлетворяющее
вместе со своими сопряженными числами следующим нера-
неравенствам:
\з№\^у/Щ, ly^i-OI» •••» \у{п~1Ч<1. G.4)
Это число определяет собой поле. В самом деле, если быУ0)
не было примитивным числом поля, то оно должно было бы
частично совпадать со своими сопряженными числами. Но это
невозможно, так как из неравенства G.4) и
уо ... y»-i)| ;>i
следует \у-'\^>1, в то время как его сопряженные числа подчи-
подчиняются неравенствам \уЩ < 1 (г = 1,2, ..., л — 1).
Далее, из G.4) мы убеждаемся, что элементарно симметри-
симметрические функции от Уо), У1','..., У"-1), т, е. коэфициенты урав-
уравнения, которому удовлетворяет У0), не превышают некоторых
пределов, зависящих только от D. Но так как они являются
целыми рациональными числами, то число значений этих эле-
элементарно-симметрических функций ограничено. Поэтому можно
построить некоторое (конечное) число уравнений л-ой степени
такого рода, что всякое поле л-ой степени с дискриминантами D
может быть порождено корнем одного из этих уравнений.
Отсюда следует конечность такого рода полей, ч. и т. д. '
Этот факт 'дает средство для классификации полей я-ой
степени. Можно построить таблицу полей л-ой степени в порядке
возрастания дискриминантов.
4. Минковский показал, что при заданном дискриминанте
конечно также число возможных степеней л. Именно, он получил
4>°P»№ . . 2r«_vi 2»_JL
G.5)
где v — сумма числа вещественных и числа пар комплексных
полей, сопряженных с k.
§ 8. Группа инерции. Теорема монодромии
' ч
1. С критическими простыми идеалами , в нормальном поле
связаны особые подгруппы группы Галуа поля, называемые
группами инерции. Группа инерции простого идеала ф опреде-
определяется как совокупность автоморфизмов 5 поля К, для которых
имеет место
as E « (mod ф) (8.1
для всякого целого числа поля К. Чтобы обнаружить связь
групп инерции с критическими простыми идеалами, докажем
Теорему 26. Если простой идеал ф нормального
поля К входит в простое число р в m-ой степени, то
порядок группы инерции % идеала ф равен т.
Доказательство. Обозначим через v число различных простых
идеалов, сопряженных с ф. Если теперь 3 есть совокупность
автоморфизмов, оставляющих ф неизменным (называемая груп-
группой разложения идеала *р), то легко убедиться, что v равно
индексу (© : 3)-
Пусть pf — степень идеала ф. Тогда существует pf классов
сравнений по модулю ф, и все его представители удовле-
удовлетворяют сравнению
= a (mod ф).
(8.2)
2(п-у)
Группы этих классов относительно сложения и умножения
изоморфны с конечным полем порядка/»/ (см. часть I), а потому
существуют представители этих классов, удовлетворяющие
неприводимому по модулю р сравнению ^(л;) ЕЕ 0 /-ой степени.
Если a—такой представитель, то все степенна, ар, ар , ...,аР
несравнимы между собой и составляют полную систему корней
cpaBHeHHH/^EEC^modjt?). Поэтому каждый автоморфизм группыЗ
переводит а в величину, сравнимую по модулю ф с одной из
степеней а, ар , ..., ар . С другой стороны, должен существо-
существовать автоморфизм, переводящий а в величину, сравнимую с а.р.
В самом деле, если бы все автоморфизмы группы 3 перево-
переводили а только в некоторые из этих степеней, например
в а, а'1), ..., a(s-1'>(s<^f), то элементарно - симметрические
функции от а, а", ..., a<s-u оставались бы от автоморфизмов
группы 3 неизменными, а потому, рассуждая как при доказа-
доказательстве теоремы 12, мы убедимся, что эти величины сравнимы
по модулю ф с числами, инвариантными относительно группы 3-
Если мы вдобавок выберем а так, чтобы оно делилось на все

58
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§8]
ГРУППА ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА МОНОДРОМИИ
59'
идеалы, сопряженные с ф, то все числа, сопряженные с л, будут
делиться на ф. Если поэтому S — число, инвариантное относи-
относительно 3. и $A), &',. .., ?(*~1}—все различные сопряженные с X числа,
то ?Е 4 + 5A)--|-...-j-S(*~1) (mod ф), то ? сравнимо по модулю ф
с рациональным числом. Таким образом величины а, а", ..., а*1*-1)
будут корнями сравнения s-ой степени с рациональными коэ-
фициентами, что противоречит неприводимости f(x) Е 0 (modp):
Если таким образом автоморфизмы Zit Z2, .... if* переводят
а в величины, сравнимые соответственно с л, ар, . . . , ар ,
то совокупность сопряженных систем Z-\-%Zz-\-.. .-\-%Zf
составляет всю группу 3- Поэтому индекс C :?)=/, откуда
индекс (© :2;) =(©: 3) * C ' 2-) =v •/ и порядок группы %
равен 4- •
Теперь примем во внимание, что в нормальных полях сте-
степени сопряженных простых идеалов равны, а также равны крат-
кратности, с которой они входят в простое число р. Пусть ф
входит в р с кратностью т. Беря норму от обеих частей
равенства
получим:
р» = р*»\
откуда
n—fmv.
Таким образом и кратность т и порядок групп % равны
одному и тому же числу у—, ч. и т. д.
2. Отсюда, как следствие, вытекает, что для простого идеала
группа инерции отлична от единичной группы тогда и только
тогда, если он является критическим. Так как по теореме 12
критические простые идеалы являются делителями дискрими-
дискриминанта поля, т. е. их число конечно, то в каждом поле суще-
существует лишь конечное число отличных от единичной группы
групп инерции. С другой стороны, по теореме Минковского
каждое поле непременно содержит критические простые идеалы,
а потому в каждом нормальном поле всегда имеются группы
инерции, отличные от единичной группы.
3. Группы инерции имеют замечательную структуру. Если т
не делится на/» (мы будем называть регулярным соответствующее
этому случаю простое число), группа инерции циклическая.
Если же т=/»". т', где т' не делится на /», группа инерции
имеет нормальный делитель Ъ (называемый группой развет-
разветвления), и тогда группа $/33 циклическая.
Чтобы доказать это, возьмем /»=простое число я, делящееся
точно на первую степень ф, и применим к нему какую-нибудь
подстановку Т группы инерции. Число тс7 в силу свойства
группы инерции будет делиться на ф, в силу чего существует
такое неделящееся на /» чисАо с, что с-~- будет целым алге-
алгебраическим. Оно взаимно просто с *ф и потому лежит в одном
из взаимно -простых с ф классов сравнений по модулю ф. Но
эти классы образуют циклическую группу относительно умно-
умножения (см. часть I, стр. 162), в силу чего все классы сравнений
по модулю ф сравнимы со степенями одного некоторого предста-
представителя а. Таким образом c^7 = nos (mod ф2), откуда, умножая
на представителя обратного к с класса и вводя новое обозна-
обозначение для s, получим:
кт = а* • я (mod фг).
Составляя подобные сравнения для всех подстановок Т группы
инерции Z, обратим внимание на показатели s. Некоторые из
них могут быть равны нулю, и тогда
я» = я (mod ф1).
Нетрудно убедиться, что совокупность подстановок типа v
составляет группу. Эту группу обозначают (через 93 и назы-
называют группой разветвления. Покажем, что ее порядок равен
степени /». Для этого обратим внимание, что разность itv — я
делится на ф2. Обозначив через ф' степень, на которую эта
разность делится точно, мы, рассуждая подобно прежнему,
получим:
^ Е « + р • я* (mod ф*+1). (8.5)
Отсюда в силу $v = P (mod ф) будет следовать:
я'Е t (mod ф^1).
Таким образом разность п°р—я делится по крайней мере на
ф< + 1. Продолжая рассуждение, получим:
Но' так как дискриминант числа тс, будучи равен произведению
разностей it* — я, делится на конечную степень ф, то при доста-
достаточно высоком s из it0" = тс (то4ф* + 8) следует vp* = 1. Та-
Таким образом порядок всякой подстановки группы 35 есть сте-
степень р. Если бы порядок группы 33 содержал отличный
от р простой множитель, например qf, то по первой теореме

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§8]
ГРУППА ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА МОНОДРОМИИ
61.
Силова 33 содержала бы подгруппу порядка q\ все подстановки
которой суть степени q. Это противоречит нашему результату.
Таким образом порядок 33 есть степень р.
Обратимся теперь к (8.3). Пусть а будет наименьший отлич-
отличный от нуля из показателей s, соответствующих различным
подстановкам Т группы Z. Тогда все остальные показатели
должны делиться на а. В самом деле, если
яг1 = %а ¦ тс (mod ф2), (8.6)
тсг = ее» • тс (mod ф2), (8.7)
то, деля s с остатком на a: s — aq-\-r, где Osr<a, мы по-
получим:
1
Применяя к этому сравнению подстановку 7\ и принимая во
внимание, что аг> = (mod ф), будем иметь:
п Е а* •• ят1 Е аь + ° тс (mod ф),
•откуда аь + ° Е 1 (mod ф), так что можно положить Ь = — а.
Принимая во внимание, что
тсг1-х Е «-а • ж (mod ф2), (8.8)
применим к сравнению (8.7) подстановку 7\~«:
В силу Ogs-a^<o и определения а должно иметь место
s—.aq = 0, т. е.
««¦-« = «(mod ф>),
откуда следует, что TTi~q входит в группу 33. Таким образом
каждая подстановка группы Z входит в одну их сопряженных
систем 33, 937*1, ЗЗГД... Степень Tf входит . в 93 тогда и
только тогда, если аиа ЕЕ 1 (тойф), т. е. если и.а делится на
pf—1 [в силу того, что наименьшая степень s, дающая a* E 1
(mod ф), есть (/>/—1)-ая]. Итак, и есть делитель pf — 1 н потому
взаимно просто с р. Кроме того, имеем:
Остается доказать, что 33 есть нормальный делитель группы <?.
Для этого возьмем произвольную подстановку f из 93 и пре-
преобразуем его произвольной подстановкой Т из <?. Покажем,
что Т~{ vT тоже входит в 33. Для этого из сравнений
тсг Е ** я (mod ty*)vitT~l Е а~8тс (mod ф2), тс" = тс (mod ф3)
получим:
кт-1*т — (а- >«)чт= (a-»iz)T E a"8 • а* к = тс (mod ф2).
что доказывает наше утверждение.
Из разложения (8.9) следует, что дополнительная группа,
?/33 есть циклическая^ группа, порядок которой и есть дели-
делитель pf — 1 и потому взаимно прост zp.
Формулируем полученные результаты:
Теорема 27. Если порядок группы инерции % простого-
идеала ф равен ps ¦ и, где (и, р) = 1, то Z имеет нормаль»
ный делитель Ж порядка р*, представляющий совокуп-
совокупность подстановок, сохраняющих класс сравнений чисел,
поля по модулю ф2. Дополнительная группа 2/33 цикли-
циклическая, и ее порядок и есть делитель числа pf — 1, где
/—степень ф.
3. Для доказательства теоремы монодромии необходима
Теорема 28. Если k есть делитель нормального поля К,
принадлежащий к подгруппе <р его группы Галуа ©, то,
чтобы простое число р поля К, делящееся на простой
идеал ф поля К, не было критическим, необходимо
и достаточно, чтобы группа § содержала, как делитель,
группу инерции идеала ф.
Доказательство. 1. Пусть Z не входит в <р. Тогда существует
подстановка Т из % не входящая в ?, т. е. переводящая
фундаментальный базис [«>„, a>j,.. .,ton_i] поля К в систему
других величин, например в [u>0'f о>/,.. .,u/n_i]. Дискриминант
поля К есть квадрат определителя
«0,
°>о\
(Од »
— 1) (*
J 1
«1,
V,
1
.-1)
..., 0>п-1
1) (н-1)
••••>»-1
•...,<On_j
— «>'n-l
т. е.
Верхняя строка этого определителя в силу свойства группы
инерции делится на ф. Поэтому квадрат этого определителя
должен делиться на р, и простое число/» является критическим.
Применяя этот результат к каждому из простых идеалов,
сопряженных с ф, мы убедимся, что простое число будет
критическим внутри &, если хоть одна из групп инерции,
соответствующих этим простым идеалам, не входит в ip.
, 2. Предположим теперь, что § содержит ?. Чтобы дока-
доказать, что простой идеал ф, делящийся на ф, входит в р в пер-
врй степени, достаточно показать, это для поля kt, принадле-
принадлежащего к группе Z (называемого полем инерции идеала ф)..
В самом деле, простой идеал ф внутри k останется идеалом

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§8]
ГРУППА ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА МОНОДРОМИИ
63
и в более обширном поле kt, и если он входит в р выше, чем
в первой степени, то это будет иметь место и для kt.
Заметим прежде всего, что всякое число поля К сравнимо
по модулю ф с числом из kt. Прием доказательства тот же,
что в доказательстве теоремы 12. Именно, в силу
атЕ «(mod ф)
.для каждой подстановки Т из Z мы покажем,в[что произведение
« • a.v • а?'..., распространенное на подстановки из S3, срав-
сравнимо с ps-o& степенью а, и применим обобщенную теорему
Ферма. Получив число, инвариантное относительно 58, возьмем
среднее арифметическое из сопряженных с ним относительно Z
чисел.
Из этого факта мы заключаем, что внутри kt находится
столько же (pf) различных классов сравнений по модулю ф,
сколько и в К. Эти классы внутри kt несравнимы также по
модулю простого идеала % поля kt. Других классов kt иметь
не может. Поэтому.
где индексы К, kt показывают, внутри какого поля берется
норма.
Пусть а будет р - простое число из К, делящееся на .ф.
Вводя обозначения
получим для нормы
следующее выражение:
_ TJ3JL
X* m •« m...
Вводя для числа из kt « • «'•...я2'»» обозначение itt перепишем
формулу так:
A/(u) = *,. «f....«, - = с/./, (с,р) = 1.
Это показывает, что норма ^ из Л, делится на туже степень/?,
что и норма простого идеала ф,, на который делится -к{. По-
Поэтому izt должно быть /^-простым числом, соответствующим ф^.
Но, рассматривая nt—v • r:Tl...itTm как число из К, мы видим,
что в силу ф i = ф оно делится на ф и больше ни на какие
простые идеалы, сопряжённые с ф. Поэтому
Но так как К входит в р в m-ой степени, то ф, может входить
в р только в первой степени, ч. и т. д.
4. Полученные результаты можно формулировать так:
Чтобы для делителя k нормального поля К простое
число р не было критическим, необходимо и достаточно,
чтобы группа §, к которой принадлежит к, содержала
группы инерции всех простых идеальных множителей
числа р.
Заметим, что если Заесть группа инерции простого идеала ф,
то группой инерции сопряженного простого идеала ф^ является
S~X%S. В самом деле, еслиГвходит в %, то для произвольного
целого числа а поля К имеет место
аг = а (mod ф).
Написав это свойство для as , получим:
а8'1 * = **-* (mod %).
Применяя к этому сравнению подстановку S, будем иметь:
что показывает, что подстановки группы S~XZ S входят в группу
инерции Zi, идеала фя. Обратно, если Тх есть подстановка
из Z\, то ST^S~X должна входить в Z. Поэтому
Так как в р входят только сопряженные с ф простые идеалы,
то р соответствуют только сопряженные с Z группы инерции.
Это замечание важно, например, для случая абелевых полей,
когда группы инерции, соответствующие сопряженным простым
идеалам, должны совпадать.
5. Пусть К—нормальное поле, © — его группа Галуа. По-
Построим группы инерции, соответствующие всем критическим
простым идеалам поля К, и образуем их композит (т. е. наи-
наименьшую содержащую их группу). Из теоремы 28 следует, что
ни одно из критических простых чисел поля К не может быть
критическим для поля, принадлежащего к нашему композиту.
Другие простые числа тоже не могут быть критическими, так
как простой идеал поля К, входящий в соответствующее
простое число в первой степени, не может сделаться состав-
составным идеалом внутри делителя поля К. Таким образом поле,
принадлежащее к нашему композиту, не имеет критических
простых чисел и по теореме Минковского совпадает с полем
рациональных чисел. Поэтому наш композит совпадает с ©,
и мы приходим к арифметической теореме монодромии:
Теорема 29. Наименьшая группа, содержащая все
группы инерции нормального поля, совпадает с группой
Галуа этого поля.

64
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§9}
АБЕЛЕВЫ ПОЛЯ И ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
65
§ 9. Абелевы поля и поля деления круга
1. В деле изучения арифметической структуры полей, имею-
имеющих заданную группу, первым этапом является следующая
теорема, высказанная Кронекером (L. Kronecker) и впервые
доказанная Вебером (Н. Weber):
Теорема 30. Все абелевы поля с полем рациональ-
рациональных чисел в качестве области рациональности суть
поля деления круга.
При доказательстве этой теоремы мы можем ограничиться
рассмотрением циклических полей, так как в части I мы видели,
что всякая абелева группа есть прямое произведение цикли-
циклических групп (стр. 42, теорема 30) и что в связи с этим
абелево поле является композитом циклических полей (стр.
98—99, „Прямое произведение полей"). При этом степень поля
можно считать степенью простого числа.
2. Рассмотрим циклическое уравнение
f(x) =
(9.1)
степени я = /\ где / — простое число. Пусть его корень (или,
что то же, его корни) образует нормальное поле К. Рассмотрим
группы инерции, соответствующие всем критическим простым
числам этого поля (каждому критическому простому числу
абелева поля соответствует только одна группа инерции, так
как в абелевых группах сопряженные подгруппы совпадают).
Тогда одна из этих групп инерции должна совпадать с группой
Галуа © поля К. В самом деле, если бы ни одна из групп
инерции не совпадала с ©, то все они имели бы порядок не
выше th~l, т. е. были бы делителями группы ©ь составленной
из 1-ых степеней элементов группы ©. Тогда композит всех
групп инерции тоже были бы делителями ©ь что противоречит
теореме 29.
Будем называть вполне критическими простые числа,
имеющие группой инерции ©. Мы видели, что они всегда
существуют.
3. Сначала мы разберем случай, когда К имеет вполне
критические простые числа, отличные от / (регулярный случай).
Пусть р — такое простое число. Для него т = 1н~п. Из фор-
формулы й=/иу (§ 8.1) следует /= v = 1, т. е р равно /й-ой сте-
степени простого идеала первой степени. В силу теоремы 27 lh
есть делитель р — 1.
Рассмотрим поле К\, образованное р-ыши. корнями из еди-
единицы. Его группа циклическая порядка р — 1 (часть 1, стр. 113,
§ 2.4). Полагая р — 1 —Zft • s и образуя поле Къ, принадлежащее
к группе порядка s, образованной /й-ыми степенями подстано-
подстановок группы поля Ki, мы убедимся, что группа поля Кг есть
циклическая группа порядка /й. Из того, что дискриминант
уравнения хр —1=0 равен
N[f(x)}=N(p ¦ xP-,1) ==tpp,
мы видим, что единственным критическим простым числом поля
К\ (и тем более Кг) является р. Поэтому для этих полей р
(в силу теоремы 29) р является вполне критическим простым
числом.
Рассмотрим композит ККг полей АГ и АГа- Степень его есть
делитель произведения l2h степеней полей К и Кг- Его группа
есть прямое произведение циклической и абелевой групп поряд-
порядков Р1 и lw (h'lS^h). Действительно, каждую величину ? поля ККг
можно представить в. виде полинома ?(а, C), где а — число из
К и р — из Кг- Применяя к ? любую подстановку 5 группы
поля ККг и обозначая через а = 5i52 автоморфизмы, которые она
производит внутри К и соответственно Кг, мы получим:
Т* = ?(«*,{>*).
Точно так же для другой подстановки S:
Но автоморфизмы полей К и К2 перестановочны, в силу чего
что показывает, что группа поля ККг абелева. Порядки ее
подстановок не могут быть выше m = /ft, так как
откуда 5ОТ=1. С другой стороны, подстановка, производящая
внутри К автоморфизм порядка т, не может иметь порядок
ниже т. Поэтому группа поля ККг распадается на прямое
произведение циклической группы Ш. и другой абелевой группы
порядка lh' (A'SA), структуру которой мы не станем изучать.
Группа инерции Z критического числа р в поле ККг не может
быть порядка ниже lh, так как таков порядок группы инерции
его делителей К и Кг- С другой стороны, она не может быть
и более высокого порядка, так как ^—регулярное простое число,
и в силу теоремы 27 его группа инерции циклическая, а группа
поля не содержит циклических подгрупп выше /л-ой степени.
Принадлежащее к этой группе поле инерции Kt степени lh уже
не будет иметь р критическим простым числом.
Поля Kt и Кг не имеют общего иррационального поля, так
как для делителей Kt p не критическое простое число, в то
время как для всякого делителя Ki p, будучи единственным
критическим простым числом, должно быть вполне критическим.
Поэтому группа их композита есть прямое произведение полей
Н. Г. Чеботарев. 5

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл.1
§9]
АБЕЛЕВЫ ПОЛЯ И ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
67
компонентов; его порядок равен lh+h'r так что этот композит
совпадает с ККг.
Это показывает, что величины поля К рационально выра-
выражаются через корни из единицы и через величины поля Kt,
имеющего меньше вполне критических простых чисел. Применяя
этот процесс к полю Kt и т. д., мы придем к полю, у которого
единственным вполне критическим простым числом будет /.
4. Пусть К— циклическое поле степени n = lh с единствен-
единственным вполне критическим простым числом /. Его делитель k
/-ой степени принадлежит к подгруппе <р группы Галуа ©
поля К lh~1-ro порядка, состоящей из /-ых степеней элементов
группы ©. Так как все числа, кроме /, мы предположим не
вполне критическими, то их группы инерции являются делите-
делителями группы <р, в силу чего по теореме 28 единственным кри-
критическим простым числом поля К является /.
Докажем, что в случае нечетного / существует только одно
циклическое поле /-ой степени с единственным критическим чи-
числом/. Этим полем, как мы докажем, является делитель/-ой степени
поля корней /2-ой степени из единицы. Это поле имеет дискри-
дискриминантом делитель числа
где f{x) = x1'—1, а потому/является единственным критическим
простым числом. Пусть, кроме этого поля (обозначим его
через Ki), существует другое поле А2 степени / с единственным
критическим простым числом /. Образуем его композит K\Kz-
В силу взаимной простоты полей Ki и АГ2 (они различны, и их
степень есть простое число), группа поля ATi/Сг есть прямое
произведение двух циклических групп порядка /. Так как /
есть единственное критическое простое число поля КхКг, то
в силу теоремы 29 оно должно быть вполне критлческим, т. е.
его группа инерции должна совпадать с группой Галуа. Так как
вместе с тем порядок этой группы есть /а, то группа инерции
совпадает с группой разветвления. Число, / должно быть сте-
степенью одного простого идеала первой степени:
Пусть X есть /-простое число, соответствующее простому
идеалу I. Тогда, как мы видели в §8.2, для каждой подстановки S
группы Галуа имеет место:
Xs — X -{- a Xr (mod lr + 1), (9.2)
где в качестве а может быть взято число из поля инерции,
т. е. целое рациональное число, которое можно выбором- г
сделать взаимно простым с /, т. е. числом ряда 1, 2,...,/ — 1.
Каждой подстановке 5 соответствует определенное значение
г vs. а. Так как группа содержит /а — 1 подстановок 1-го порядка,
то, предположив, что всем подстановкам соответствует одно
и то же значение г, мы получим две подстановки с одним
и тем же значением а:
(mod tr
откуда
Это показывает, что подстановке SS^1, тоже 1-го порядка,
соответствует более высокое значение г, что противоречит
нашему предположению.
Докажем, что это при 1ф2 невозможно, откуда будет
следовать невозможность существования двух различных цикли-
циклических полей с указанными выше свойствами. Для этого сначала
рассмотрим произведение Л = Х • Xs. . .X5', где
какая-нибудь подгруппа группы ©. Величина Л принадлежит
к подгруппе а и потому входит в некоторое поле /-ой степени.
Если 2 простой идеал в этом поле, делящийся на 1, то Л точно
делится на первую степень 2, а / = 2г. Пусть Л удовлетворяет
уравнению
Его критическое число / иррегулярно. Если о подстановка его
группы, то
где р^2, а а число из ряда 1, 2,...,/ — 1. Отсюда получим:
A°i = A-\-iaA?(modA9+1) (/=1,2,...,/ —1).
Поэтому произведение
(Л — Л*) • (Л — Л°2)...(Л — Л0')
делится точно на р(/ — 1)-ую степень 2. Диференцируя тожде-
тождество
получим:
(Л —
Обозначив через V1 степень /, на которую точно делится
щ, мы видим, что каждый член правой части делится соответ-
соответственно на 2 в степени / + / — 1, /г»х + / — 2,...,/г»г-1. Так как
все эти числа различны (различны их остатки от деления на/),
5*

68
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§9]
АБЕЛЕВЫ ПОЛЯ И ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
то каждый член правой части должен делиться на ?K*-i) t
который делится левая часть. В частности мы имееж
на
(9.2'),
откуда при />2 следует
9 = 2.
Вернемся к числу X. Оно является корнем полинома
(х—Х)(х — Xs)...(х — ksl-1)=l
+ ... + о,_цс + О|, (9.3)
коэфициенты которого не изменяются от подстановок группы а
и потому лежат в только-что упоминавшемся поле /-ой степени.
В частности, а,'=Л. Диференцируя (9.3) и подставляя Jc = Xr
получим:
(X-Xs)...(X_).^-1) = /XI-1 + (/-l)a1X'-2+... + a2_1. (9.4)
Если X — Xs точно делится на V, то левая часть точно делится
на 1г<г~!>'. Если а1 делится точно на I"» (простой идеал поля
коэфициентов 2 = Р)» т0 члены правой части делятся на I соот-
соответственно в степенях
которые, будучи различны, должны все быть больше чем г (/—Т).
Отсюда мы заключаем, что все члены равенства
кроме первого и последнего, делятся на 1г('-1)+1.
Возьмем теперь внутри поля подстановку о такого рода,
что X — Xs точно делится на Г1, где г, > г.
Заметим, что если а делится на I*, то а — о? делится по
крайней мере на Vc+ri-1. В самом деле, сравнение
можно переписать так:
Х°
j- —1 — 0 (mod I**1),
X °
s- является целым по модулю / числом (т. е. после умноже-
умножения на взаимно простое с / число становится целым). Отсюда
х;-
= 0
а можно представить в виде aAXA-|-aft + 1Xk + 1-|-.. .-}~рхв, где
л —сколько угодно высокий показатель, ак,..., a«_i—целые
рациональные числа, C — целое по модулю / число. Отсюда
— О (mod I
Кроме того,
(Xе)» — Х' =
откуда в силу / = i12 видно, что (Xs)г — Хг делится на I*, где v —
меньшее из чисел /2-|-/-{->"х — 1 и 1гх. Применим к равенству
(9.5) подстановку о:
/ \ О\1 I _ Q / \ (Х\ I — 1 I I О \<3 | ЛО , Л /Л жГ\
\ У—1—**1 \ / *• I— # . « —г* ОС ^ — 1 Л "|— Оь ¦ — V/ I ••О1
и вычтем (9.6) из (9.5) почленно. Последний член даст: а, — а0, =
= Л—A° = Y>ilp» откуда в силу р — 2 следует, что а,—а0!
точно делится на 22 = 12г. Первая разность разделится на !"•
Остальные разности, представляя разность а — а0 для числа а,
делящегося на lr0—V + if разделятся по крайней мере я&1гУ—1>+Г1.
Отсюда следует, что по крайней мере один из показателей /2 -}- /-{-
-|-/"i—1, /Гь г(/—1) + Ti должен не превышать 21, т. е. что
должно иметь место одно из равенств
Первое неравенство дает/(/ — l)-j-(/"i — 1)ё=0 и потому невоз-
невозможно.
Остальные равенства в силу г2г2 приводят к Г)^2, что
в силу /*!>г^2 невозможно. Таким образом существует только
одно, циклическое поле /-ой степени с единственным крити-
критическим числом /.
5. В случае /=2 формула (9.2') дает нам PoS§3, в чем нет
ничего недопустимого. Для этого случая проще всего решить
вопрос элементарным путем. Найдем все квадратичные поля
К(\/d)> У которых только 2 является критическим простым
числом. Можно предположить, что каждый простой множитель
входит в d в первой степени. Если бы в d входил нечетный

70
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§9]
ГРУППЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
71
простой множитель р, то р было бы для K(\fd) критическим
простым числом, так как число yjd не делится на р, а его
квадрат делится. Поэтому в d может входить множителем
только 2, и мы приходим к трем следующим возможным типам
квадратичных полей с единственным критическим числом 2:
Из этих полей только третье вещественно.
6. Пусть К— циклическое поле 2Л-ой степени с единственным
вполне критическим числом /. Построим другое поле АГз того
же типа, взяв делитель поля /ь+'-ых корней из единицы, при-
принадлежащей к её подгруппе порядка / — 1. В случае 1=2 возь-
возьмем поле 2Л+2-ых корней из единицы. Оно имеет степень 2Л+1.
Его группа есть прямое произведение циклических групп поряд-
порядков 2й и 2. К последней принадлежит вещественное цикличе-
циклическое поле 2Л-ой степени (см. часть I, стр. 111—112, § 2.5). Так
как существует только одно (в случае /=2 притом веществен-
вещественное) поле Z-ой степени с единственным критическим простым
числом /, то поля К и Кг содержат общее поле kl-o& сте-
степени (ведь группы инерции, соответствующие другим, не вполне
критическим простым числам поля К, являются делителями
подгруппы порядка lh~x его группы Галуа, в силу чего эти
простые числа не являются критическими для К). Поэтому ком-
композит ККг имеет степень lh+h', где h'^h — 1. Обозначая
через А тот автоморфизм поля ККг, который, будучи применен
к полю Кг, воспроизводит его примитивный (т. е. порядка /й)
автоморфизм, мы убедимся, что порядок А равен lh (так как
/л-ая степень всякого автоморфизма поля ККг воспроизведет
среди величин К и Кг тождественный автоморфизм, а потому
она не будет менять и величин поля ККг). Разлагая группу ©
поля ККг на сопряженные системы по подгруппе
и нормируя элементы Bt так, чтобы они составили группу (см.
часть I, стр. 43—44, теорема 30,2), мы разложим группу © на
прямое произведение:
© = 31X95.
Элемент А группы © воспроизводит также автоморфизм
поля k, в силу чего поле Ks, принадлежащее внутри ККг к 91,
не содержит поля k. Поэтому поля Кг и К3 взаимно просты
(их общее -иррациональное поле содержало бы поле степени /,
а таковым у Кг является только k) и, будучи степеней /й и lh',
воспроизводят все поле ККг. Таким образом величины поля К
рационально выражаются через величины поля Кг, т. е. череа
корни из единицы, и величины ооля К», имеющего более низ-
низкую степень.
Применяя тот же процесс к полю К% и т. д., мы оконча-
окончательно выразим величины поля А" через корни из единицы. Это-
доказывает теорему 30.
§ 10. Группы разложения
1. Группой разложения простого идеала ф в нормальном
поле К называется совокупность автоморфизмов, не меняющих
идеала ф. Группа разложения содержит группу инерции. При
доказательстве теоремы 26 мы видели, что среди автоморфиз-
автоморфизмов группы разложения 3 содержится такой Z, для которого
имеет место при всяком целом числе а из К:
аг = ар (тос!ф). (Ю.1)
Его степени Z8, Z*,..., Zf-x, где /—степень простого идеала ф,
переводят а в величины, сравнимые соответственно с а^2, а^8,...,
aPf~ *. Zf переводит а в а^, и в силу обобщенной теоремы
Ферма
a0 = apt = a (mod Щ, . A0.2).
откуда следует, что Zf лежит в группе инерции %.
Совокупность автоморфизмов
S + SZ+SZ^ + ^.+SZ^-1 A0.3)
дает mf различных автоморфизмов группы 3. а так как мы
видели при доказательстве теоремы 26, что порядок группы 3
равен т • f, то отсюда следует, что автоморфизмы A0.3) исчер-
исчерпывают собой всю группу 3-
Докажем, что группа Z есть нормальный делитель группы 3-
Пусть Т— произвольная подстановка из Z. Тогда
Отсюда
~x E а^ (mod
-1 TZ
' ТУ
= (az~> = оР1~ хр ~aPf =
~aPf = a (mod $),
что доказывает, что Z~x TZ совпадает с Т, т. е, что Z есть
нормальный делитель группы 3- Итак мы имеем:
Теорема 31; Группа разложения 3 простого идеала *$
в нормальном поле К имеет группу инерции Z нормаль-
нормальным делителем. Дополнительная группа 3/S циклическая,
и ее порядок равен степени/ простого идеала $.
2. В том случае, когда идеал ф не критический, т. е. когда
2 = 1, идеалу ф соответствует одна и только одна подстановка
Z, для которой имеет место
). A0.4)

72
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
ГРУППЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
В самом деле, если наряду с A0.4) имеет также место
a.z = яр (mod ф),
A0.5).
то
откуда следует, что ZZ\~X лежит в %, т. е. в силу нашего
предположения ZZX~X = 1. Будем говорить, что простой идеал
%'принадлежит к автоморфизму Z.
Если ф принадлежит к Z, то ф* принадлежит к автомор-
автоморфизму S-1 ZS. В самом деле, применим (9.4) к а.8~л:
as-1»=(as-1)p(mod ф),
и произведем над этим сравнением автоморфизм 5:
as-izsEaP (mod $р)}
что доказывает наше утверждение.
Таким образом, если
то всем различным сопряженным с ф простым идеалам ф,
ЦФ,...ф*""соответствуют все сопряженные с Z автоморфизмы
Z, S2-*
образующие, как мы будем говорить, класс автоморфизма Z.
Будем говорить, что простое число, р которое является про-
произведением простых идеалов, сопряженных с ф, принадлежит
к классу автоморфизма Z.
Гассе (Н. Hasse) ввел для обозначения автоморфизма,
к которому принадлежит простой идеал ф, символ ~ , а для
класса автоморфизмов, к которому принадлежит простое число р,
символ (—\ Таким образом мы имеем:
Г1
(Ю.6)
3. Рассмотрим наряду с нормальным полем К его делитель k,
принадлежащий к подгруппе Ф его группы ©. Исследуем, на.
какие неприводимые по модулю р множители распадается поли-
полином, корнем которого является примитивная величина а поля k.
Чтобы а удовлетворяло неприводимому по модулю ф сравне-
сравнению степени / с рациональными коэфициентами, необходимо
-И достаточно, чтобы ЕЕ оно удовлетворяло сравнению
и не удовлетворяло подобным сравнениям при меньших значе-
значениях /. Но в силу а.р ^ a? (mod ф) сравнение A0.7) равносильно
следующему сравнению:
J = о (mod ф). A0.8)
Если мы предположим, что а выбрано в А так, чтобы его дискри-
дискриминант не делился на р (это всегда можно сделать, если р не
входит ни в дискриминант, ни в индекс поля k), то сравнение
A0.8) возможно только в том случае, если Zf не меняет вели-
величины а т. е. входит в <р. Можно также охарактеризовать
число / как число сопряженных систем ф S, содержащихся
в комплексе $3 (см- часть I, стр. 137—138). Разлагая © на
комплексы по двум подгруппам S и 3:
мы видим, что число сопряженных систем §5 в каждом ком-
комплексе
равно показателю наименьшей степени S^S^1, входящей в §
«(или, что то же, показателю наименьшей степени Z, входящей
в S^^Si, т. е. степени неприводимого сравнения, которому
удовлетворяет а по модулю ф5* (или оф— * по модулю ф).
Если /(а) = 0 и f(x) ЕЛ (х) ¦ f2 (x).. .fk (x) (mod p), то /t (а) X
Х/а(а). •-Л(а) —Р • Ф(а)- Если мы предположим, что р не
входит в индекс поля, то ф(а) взаимно просто с р. С другой
стороны, fi (x) не-взаимно просты с f(x) по модулю р, в силу
чего каждое число/Да) должно делиться на какой-нибудь про-
простой идеальный множитель ^ поля k. Из того, что
/Да)Е0 (mod ф5')
«есть сравнение наименьшей степени, которому удовлетворяет а,
мы заключаем, что все классы сравнений по модулю ф^' (и зна-
значит по модулю простого идеала р из k, делящегося на
внутри k исчерпываются представителями
ia'*-1 fo = 0,l,..., р — 1),
и их число, т. е. Np:, равно pfi. Беря норму от обеих частей:
мы в левой части получим по крайней мере pt'+f'+--- + fki=pn
в виде множителя, а в правой части точно рп. Из этого выте-
вытекает, что/Да) не делится, кроме р{, ни на какой другой идеаль-
зшй множитель числа р, так что N(pj) =pft..
Рассмотрим разложение © по двойному модулю 3 и Ь:
oPf = a (mod ф)
A0.7)

74
Если
где
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. V
§И]
ТЕОРЕМА ШТИКЕЛЬБЕРГЕРА — ВОРОНОГО
15-
h—порядок группы § и f—порядок группы 3. то идеал
«Р*»5рЧ..,5Р*'г' A0.10).
инвариантен относительно k, а потому, не будучи критическим,
он является идеалом поля k. Вместе с тем норма этого идеала
внутри К равна р/п,=р№, а внутри k равна ръ, так как сте-
степень поля k в h раз меньше, чем степень поля К. Поэтому
идеал A0.10) должен совпасть с простым идеалом pit поля к.
Этот факт дает нам рецепт для получения простых идеалов
внутри делителей нормального поля.
;§ 11. Теорема Штикельбергера—Вороного
1. Для формулировки нижеследующей теоремы, открытой
Штикельбергером (Stickelberger) и независимо от него Вороным,
необходимо ввести понятие квадратичного вычета. Целое рацио-
рациональное число а называется квадратичным вычетом относи-
относительно простого числа р, взаимно простого с а, если сравне-
сравнение
z* — оЕО (mod/>)
имеет рациональные корни. В противном случае, т. е. если
полином z8 — а неприводим по модулю р, говорят, что а есть
невычет относительно р.
Для обозначения этого свойства числа а Лежандр
(А. М. Legendre) ввел символ Г—J, полагая Г—j = +1, если
а вычет, и (—) = — 1» если невычет относительно р.
2. Если а есть вычет относительно р, т. е. если существует
целое рациональное число b такого рода, что
а Е Ьг (mod p),
р — \
то, возводя это сравнение в степень —о— и применяя теорему
Ферма, получим:
а — 1 (mod р).
Обратно, если а удовлетворяет сравнению A1.2), то оно
есть вычет.
В самом деле, а всегда сравнимо с некоторой степеныо
первообразного корня g:
а Е gk (mod p).
Подставляя в A1.2), получим:
g * Е1 (mod p). A1.3)
Но в силу того, что g есть первообразный корень, сравнение
A1.3) может иметь место только в том случае, если показа-
показатель к р Т- делится на р — 1, т. е. если k делится на 2 (см,
часть I, стр. 206—208). Пусть « = 2^. Тогда число g4 является
корнем сравнения A1.1).
Теорему Ферма можно формулировать так: все числа 1, 2,..-.,
р — 1 являются корнями сравнения
Е0 (modp). A1.4)
Из них те, которые являются вычетами относительно р, обра-
обрар •
щают в нуль первый множитель, х —1 (их таким образом
всего P-j-\ Остальные ^— должны быть корнями х 2 -{-
-|-1Е0 (mod p) и являются невычетами. Таким образом число
невычетов тоже равно р~ , и все они удовлетворяют условию-
»— 1
2
— — 1 (mod p).
Сопоставляя A1.2) и A1.5) с определением символа
получаем:
—;г"~ / /у \
(mod p).
A1.6)
3. Теорема32(Штикельбергера—Вороного).Если непри-
неприводимое уравнение я-ой степени
= 0 A1.7)
разлагается по модулю р на к неприводимых по модулю р
множителей:
fix) Е Ш ¦ /-,(*).. .Д(х) (mod p) A1.8)
и дискриминант D уравнения A1.7) не делится на р, та
имеет место
(П.9>

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§12]
группы разложения. зХкон взаимности
77
Доказательство Л. Сначала рассмотрим случай, когда k—1,
т. е. когда сравнение
/WEO (mod p)
неприводимо по модулю р. В части I, стр. 165, доказано, что
группа этого сравнения циклическая. Она является делителем
знакопеременной группы в том и только в том случае, если я
есть нечетное число (см. часть I, стр. 22). В силу этого дискри-
дискриминант D сравним по модулю р с точным квадратом в том
и только в том случае, если п нечетно. Это можно записать
так:
(f)=i-iy-K
A1.10)
2. Рассмотрим общий случай, когда неприводимые по
модулю р множители f{ (х) полинома f(x) имеют степень nit
так что
«i-f«a + -. •+«* = п.- A1-11)
Пусть Du D2,..., Dk будут дискриминанты этих множителей.
¦Формула A.15) части I, стр. 65, дает для дискриминанта D поли-
полинома f{x) следующее выражение:
D = A-D2...Dft.#2, A1.12)
где R — некоторое целое рациональное число.
Из формулы A1.6) вытекает:
р—1
Hф ф (modp),
-вткуда
Применяя этот результат к формуле A1.12) и имея в виду,
•что
лолучим:
— = ~ )• \-n =+1'
A1.14)
Применяя к каждому из полиномов ft(x) формулу A1.10),
гполучим:
= (— 1)"' - X (— I)"» . . . (— l)\ - X — (— 1)" - ft, A1.15)
§ 12. Группы разложения в полях деления круга.
Закон взаимности
1. В полях деления круга вопрос, какова группа разложе-
разложения данного простого числа, решается весьма просто. Сначала.
( 2i"\
рассмотрим поле К \е п J я-ых корней из единицы. Пусть kx =
= 1, kg,..., ks будут все взаимно простые с л и не превышаю-
2 ni N
щие я числа [з = ср(я)]. Тогда сопряженными с е п величинами
поля являются
2_rzi 2_kijU 2ksizi
еп , е ." е 2 . A2.1)-
Переход от е п к какой-нибудь из этих, величин соответствует
одному и только одному автоморфизму поля, так как в нор-
нормальном поле переход одной примитивной величины вполне-
определяет автоморфизм. Возьмем некритическое простое число
р и зададимся вопросом, к какому автоморфизму оно принадле-
принадлежит. Наименьшим положительным вычетом числа р (будучи
некритическим, оно взаимно просто с р) по модулю п должно
быть одно из чисел ku k2,..., ks. Пусть
Р Е К (mod я). A2.2>.
Тогда
2-r.ip 2kuizi
е п =е " .
Применяя теорему Шенемана (см. часть I, стр. 110), получим;
/ 2яА
для любой величины <р \е п J нашего поля:
2_п?\"|р
-<?\е
(mod p),
A2.3)^
откуда следует, что р принадлежит к тому автоморфизму поля,
2 тс1 2kuKi
который переводите" ве п , если р лежит в арифметической
прогрессии nx-\-ku.
Чтобы узнать, каков порядок группы разложения простого
числа р, нужно определить наименьший показатель /, который
дает
или, что то же,
'Ч. И Т. Д.
Pf E I (mod я),
kfu E 1 (mod л).

78
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. I
§12]
ГРУППЫ РАЗЛОЖЕНИЯ. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
79
В частности, р принадлежит к единичному автоморфизму в том
и только в том случае, если
р = 1 (mod p). A2.6)
2. Рассмотрим общий случай, когда поле k есть делитель
/ 2kJk I 2tii\
поля К\еп ). Пусть k принадлежит внутри К\е п J к группе
2_я_г
ф, автоморфизмы которой переводят е = е п в
е, е*2; , .. t е*я».
Если <р(е) есть примитивная величина поля k, то
?(•) = ?(•*¦) = •.•=?(•*¦•), A2.7)
в то время как <р (е) ф (р (е*), если Л не входит в систему
1, k2,..., &от. Порядок группы разложения некритического про-
простого числа р равен наименьшему показателю /, дающему
[<p(t)K=«p(e)(modp). A2.8)
Но в силу теоремы Шенемана
1 i**) (mod р),
а потому в силу A2.7) для того, чтобы имело место A2.8),
необходимо и достаточно, чтобы sPf равнялось одному из чисел
е, е*2;.. > е#я»(в силу некритичности р сравнение е/ ЕЕ е и) (mod p)
может иметь место только в случае равенства sPf= e о, а для
этого необходимо и достаточно, чтобы pf было сравнимо по
модулю п с одним из чисел 1, k2,...,km, т.е. чтобы pf лежало
в одной из прогрессий
пх-j- I, nx-\-k2,..., пх -f ?OT-
A2.9)
В частности, р принадлежит внутри Л к единичному авто-
автоморфизму тогда и только тогда, если оно лежит в одной из
прогрессий A2.9).
3. Применим последние соображения, а также теорему 32,
к выводу закона взаимности для квадратичных вычетов,
т. е. формулы
A2.10)
имеющей место для любых двух нечетных простых чисел pnq.
Закон взаимности был впервые строго доказан Гауссом
^С. F. Gauss). Настоящий же вывод принадлежит Мириманову.
Рассмотрим поле ^-ых корней из единицы, т. е. поле рацио-
рациональных функций от корня е неприводимого уравнения .
f(x) = x«-1+xz-2-\-...+x + l = 0. A2.11)
Его дискриминант [будем называть здесь дискриминантом про-
произведение квадратов разностей корней уравнения A2.11)] равен
Но
откуда
A2.12)
/(*) =
х—1 '
f [X) — /•„__. 1\S~T"
(x—ty-r x_i -
9 G - 1)
/A)
;~ е*-1 '
2 -1 . q . е2 (? -1)... q . e(<?-i)'
(—1)«-hi-«)a-«a).-.а—»*-0 е
П 2 . ^0-2—/ 14 2 . /,« —2
Поэтому, принимая во внимание, что q — 2 нечетное число
и что в силу A1.6) имеет место
лолуч им:
A2.14)
(Ш5,
Пусть / есть порядок группы разложения числа р. Это озна-
означает, что / есть наименьший показатель, дающий
/>/Е1 (mod ^). A2.16).
(—) = -f-1 в том и только в том случае, если /> 2 El (mod q) т. е.
4—1 j- а —1
если —j— делится на /, иначе говоря, если ?-у— есть четное
число. Поэтому
A2.17)

80 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
Но / есть степень неприводимых по модулю
полинома f(x), а потому их число равно ^-у—,
теоремы 32
(?)_(_„--^-(-1)«7!.
Сопоставляя A2.17) с A2.18), имеем:
(D\-(P\
\рГ\яГ
а подставляя в A2.15), получим:
[гл. 8 2
р делителей
откуда в силу
A2.18)
A2.19)
ч. и т. д,
4. Чтобы вычислить (-], рассмотрим уравнение A2.20)
A2.20)
Его корень можно выразить так: \/2 =
S+8
-1
ТС*
где e=e~j
Применим результаты § 12.2. Группа &(е) состоит из единицы
и автоморфизма, переводящего е в е-1, а потому корни сравне-
сравнения х2 — 2 = 0 (mod/?) рациональны тогда и только тогда, если
р лежит в одной из прогрессий
8х + 1, 8л; —1.
Замечая, что в этом случае ^ Г" ¦ четное, в то время как
в других случаях, т. е. когда р = 8х-\-3 или р = 8х — 3, оно
нечетно, имеем:
(JH-
p'-i
1) 8 ¦
A2.21)
Формулы A2.14) и A2.21) называются дополнительными фор-
формулами к закону взаимности. Они позволяют приводить символы
(— j к символам с меньшими значениями р, q во всех случаях.
Пример. (г§) в силу A2.19) равен
теля кратность 41, получим
. Вычитая из числи-
числи§ 12]
ГРУППЫ РАЗЛОЖЕНИЯ. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
41*-1
81
Но (й) = (-1) 8"= + 1 в силу формул A2.21), а (д) = +1
в силу того, что 9 есть точный квадрат. Отсюда
На практике символы Лежандра вычисляют при помощи
обобщенного символа Якоби, применимого и к составным числам
и потому избавляющего от необходимости разлагать числители
на простые множители.
Н. Г. Чеботарев. .

Глава II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
§ 1. Идеальные классы. Конечность их числа
1. Будем называть два идеала а и Ь какого-нибудь алгебраи-
алгебраического поля k эквивалентными, если существуют два таких
целых числа а, р поля k, что имеет место
ра = аЬ. A.1)
Вводя понятие дробных идеалов, мы можем также выра-
выразиться об эквивалентных идеалах так: их частное равно числу
ноля. Из этого вытекают следующие очевидные предложения:
I. Идеал эквивалентен самому себе (рефлексивность
понятия).
II. Два идеала, эквивалентные одному и тому же
третьему идеалу, эквивалентны друг другу (транзитив-
(транзитивность понятия).
III. Если идеал а эквивалентен Ь, а с—эквивалентен
4, то и произведения ас и Ы эквивалентны.
IV. Все главные идеалы эквивалентны друг другу.
2. Объединим все эквивалентные друг другу идеалы в один
идеальный класс, говоря, что эквивалентные идеалы лежат
в одном классе. Главные идеалы образуют главный класс. Имеет
место важная
Теорема 33. В каждом поле k существует лишь
конечное число идеальных классов.
Доказательство. Докажем, что в каждом классе можно
выбрать идеал, норма которого не превышает некоторого
конечного числа. Мы видели в § 3.17, что для каждого идеала
можно найти базис [^о, (ч,.. .,|ч»—i], так что все числа идеала
будут выражаться в форме
ИДЕАЛЬНЫЕ КЛАССЫ. КОНЕЧНОСТЬ ИХ ЧИСЛА
85
1*о х0 + Pi *i + • • •
» -1 х„ - и
где х0, хи ..., xn-i пробегают все целые рациональные значе-
значения. Дискриминант этого базиса равен дискриминанту поля к,
умноженному на квадрат определителя линейной подстановки,
переводящей в [р0, ft, ¦. •, р> -i] фундаментальный базис
(а»0, и», «)n_i] поляжем. § 2.4). Вместе с тем при доказа-
доказательстве теоремы J8 мы убедились, что этот определитель
равен норме рассматриваемого идеала.
Рассмотрим идеал ft. Возьмем другой идеал Ь такого рода,
что произведение а • Ь есть главный идеал. Идеалы с, дающие
Ъ главные идеалы, эквивалентны идеалам а,
при умножении на
так как из
следует:
ob = a,
= 7
а с = ? а.
Найдем внутри идеала а число т, норма которого не превы-
превышает конечного числа. Для этого применим теорему 23 к си-
системе форм
У* = 1*0*0 + l*i*i + - ••
yx = n'Xb + v-i'xl-{-...-\-\>-'n-i „ .
A.2)
где [jio,, i*i, ..., ffi-i] — базис идеала аи ц, у./,..., j*,*-1—сопря-
j*,*-1—сопряженные с (а, числа. Определитель 8 системы A.2) по абсолютной
величине равен квадратному корню из дискриминанта базиса,
т. е.
|8| = |N(a)| • )/\D\, A.3)
где D—дискриминант поля к. В силу теоремы 23 можно выбрать
для *0, *!,..., *n-i такие целые рациональные значения, чтобы
имело место
Вводя обозначение уо = ъ мы в силу A.4) будем иметь:
vJ'.-iI^i»!. A.5)
Но т может быть представлено через базис [{t0, v-u ¦ ¦ ¦, Ря-i]. т. е.
делится на идеал а. Полагая ? = afc, будем в силу A.3) иметь
откуда
\N(b)\^y/D. A.6)
Вместе с тем идеал b эквивалентен идеалу а—1. Поэтому внутри,
каждого идеального класса мы можем найти по представителю,
норма которого подчинена неравенству A.6). Но число идеалов,
нормы которых не превышают определенного числа, конечно.
Поэтому и число идеальных классов поля k конечно, ч. и т. д.
6*

84
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[г*. II
§1]
ИДЕАЛЬНЫЕ КЛАССЫ. КОНЕЧНОСТЬ ИХ ЧИСЛА
85
Число идеальных классов является весьма важным числом,
связанным с полем, и его вычислению посвящено много усилий.
Доказательство „великой теоремы Ферма" связано с опре-
определением числа классов для некоторых полей деления круга.
3. Из свойства III следует, что произведения а • Ь, где
идеалы а, Ь пробегают всевозможные идеалы определенных
классов А, В, лежат в одном и том же классе, который мы
будем называть произведением А • В классов А и В. Устано-
Установленный таким образом способ умножения классов определяет
группу классов относительно умножения. Из теоремы 33 сле-
следует, что эта группа конечна. Эта группа абелева, так как
произведение идеалов не зависит от порядка множителей.
4. Число идеальных классов имеет значение в другом вопро-
вопросе — проблеме эквивалентности матриц. Чтобы показать это,
обратим внимание на то, что каждому базису идеала соответ-
соответствует представление целых чисел поля в виде определенных
матриц. В самом деле, пусть [^, ^ь..., ^„-О будет базис
какого-нибудь идеала и в — какое-нибудь целое число поля.
В силу свойств идеалов числа ikA j^ 6,..., jj.n_i6 тоже входят
в идеал, а потому выражаются с целыми координатами через
базис. Пусть
A7)
- ь
Число 6 является корнем уравнения
floo —в, ooi, • • • > do, п—1
Яоо, #п —в,..., ai,e_i
1,0, On —1,1, ¦ ¦ ¦ , CLn— 1, n — 1 —в
= 0.
A.8)
Будем сопоставлять с числом 6 матрицу
5. Определим понятие суммы и произведения матриц. Под
суммой матриц Л = |а,-4|| и fi = ||6ift|| будем разуметь матрицу
A-\-B = \aik-\-bik\\, A.9)
под произведением А • В
А-В= У,аоьЛ. A.10)
Тогда имеет место
Теорема 34. Сумме двух чисел поля соответствует
сумма их матриц, произведению — произведение их
матриц.
Доказательство. Если числу а соответствует матрица
/4 = [ja/ft||, то это означает, что ^,а=^ау^. Точно также пусть
числу р соответствует матрица B
Складывая оба равенства, получаем:
I*»И» т- е. |*/в =
откуда видно, что числу a-f-f! соответствует матрица А-\-В.
Чтобы получить матрицу, соответствующую произведению ар,
умножим первое из наших равенств на р и воспользуемся вторым
равенством:
= 2 аь |i, р =
ais bsj) П
Из полученного равенства видно, что произведению ар соот-
соответствует произведение АВ матриц.
Единице соответствует единичная матрица
10
01
00
...0
...0
...1
Обратной к « величине — соответствует обратная матрица,
которую мы будем обозначать символом А~х. Нулю соответ-
соответствует нулевая матрица
Из того, что умножение чисел поля коммутативно, следует,
что и умножение' соответствующих им матриц коммутативно.
Это имеет место, однако, только для матриц, соответствующих
числам поля при определенном выборе базиса. Для произволь-
произвольных матриц, как мы убедимся ниже, это не имеет места. Для
них имеет место ассоциативный закон
А -(ВС) = (АВ)- С,
A-11)

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
1гл.
§ 1}
ИДЕАЛЬНЫЕ КЛАССЫ. КОНЕЧНОСТЬ ИХ ЧИСЛА
87
в справедливости которого нетрудно убедиться при помощи
правила A.10).
6. Как меняются матрицы, соответствующие одним и тем же
числам, при перемене базиса? Пусть базис [u>o, ">i <*>n-i] пере-
переходит в [|i0» V-u • - • i Р» - г] посредством подстановки
A.12)
-1„ <*>i -f- •.. -f- Cn-l, n-l «n-l.
Обозначая матрицу подстановки A.12) через С, будем символи-
символически записывать связь между нашими базисами так:
ро, Рь..., Pn-1] = С • [о>о,
">n-
, ">n
A.13)
Нетрудно убедиться путем простой подстановки, что преоб-
преобразование базиса С[ш0, ш,,..., u>»_i] при помощи подстановкиD
равносильно преобразованию базиса [о>0, щ ,.. •, ">«—i] при
помощи подстановки DC:
_,1} = DC[ffle,fflb. ..,">»- i],
A.14)
так что в дальнейшем фигурных скобок можно не писать.
Из A.13) в случае обратимости подстановки С (т. е-
когда определитель матрицы С не равен нулю) следует, что
[ро. f*i, • • •, Рп -1] переходит в [о>0, ">i, • • •, ">n -i] посредством обрат-
обратной подстановки С:
К, ">!, • • • . <°» -l] = С [jJ-o, Pi, • • • , Р» -l].
A.15)
Из A.7) видно, что соответствие числу 6 матрицы в может
быть записано так:
» Pi в» • • •. Р»- 19] = в [Ро,
..,*._ i]. A16)
Переходя в обеих частях A.16) к другому базису при помощи
формулы A.13), получим:
С [ш0 в, о>, в, .., тя _ 1 q] = в С[ш0, со,,... , а>„„ i],
или, совершая над обеими частями подстановку С-1:
. [о>ов, о), в,..., ш„_1 в] = С-1 в С К">1 ">»-i]. A.17)
Это равенство показывает, что при нашей перемене базиса числу
Q соответствует матрица С—1 в С.
Будем называть эквивалентными две матрицы в и в„ если
существует такая матрица С, что имеет место
A18)
[ро,
7.
Мы убедились, что одному и тому же числу поля, но при
разных базисах, всегда соответствуют эквивалентные матрицы.
Обратно, если две матрицы вив! эквивалентны и в соответ-
соответствуют числ-у 6 при базисе [ро. Рь • • •, Pn-1], то матрица
в, = С-1 в С соответствует тому ж*е числу при базисе
Pi,..--. Pn-i]. ч
7. Какой бы базис идеала мы ни взяли в основу, всегда
целому числу поля будет соответствовать целочисленная
матрица.
Мы видели, что это вытекает из определения идеала. Мат-
Матрицы же С и С не всегда бывают целочисленны. Обе одно-
одновременно могут быть целочисленными только в том случае,
если они унимодулярны, т. е. если их определители равны +1.
В самом деле, имеет место равенство
С • С-» = Я. A.19)
Из теоремы об умножении определителей следует, что опре-
определитель произведения матриц равен произведению определи-
определителей матриц, в силу чего, вводя для определителя матрицы А
обозначение \А\, мы получим из A.19):
Если обе матрицы целочисленны, то их определители суть
целые числа, что может быть только, если |С| = 4;1,
Будем называть две матрицы в, вх эквивалентными в узком
смысле, если можно найти такую целочисленную унимодулярную
матрицу С, чтобы имело место A.18). Имеет место
Теорема 35. Матрицы вив] эквивалентны в узком
смысле тогда и только тогда, если базисы, при которых
они соответствуют примитивному числу 6 поля, суть
базисы эквивалентных идеалов.
Доказательство. 1. Пусть числу 6 соответствуют при бази-
базисах [ро, |ч,.... Pm-i] и [о>0, ш„ ...,%_ i] матрицы в и в,. Пусть
наши базисы суть базисы эквивалентных идеалов а и fc, между
которыми имеет место соотношение
Ра — аК A.20)
Это означает, что базисы [{Ц>, Pjh, • • -, ?Pn-i] и [<ш0, ей»,,..., ашп _i]
являются базисам« одного и того же идеала A.20). Поэтому эти
базисы переходят друг в друга посредством целочисленных
подстановок, которые, будучи взаимно обратными, должны быть
унимодулярны. Пусть

откуда
88 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [гл. II
Из определения матриц 9 и 8j следует:
Г.. А ¦* А * AI — ^ Г .1
1Н-0 °> H-i °» —) t1» — 1 °] — " LH-o» I^i» ••• , И-п — ij
[ш0 6, 0)! 6, . . . , Ш„_ 1 6] = Qi[(O0, <Ои . . . , Wn _1 J,
[Pf-o в. Рн-i» в,..., P(j.»_, в] = в [Pf».o, Pp.,,..., P(J»-1]
[аш0 в, aa)! О, ..., a<%_ j 6] = 9j [aa>0, аа>ъ.. , ашп_ i].
Пользуясь соотношением A.21), будем иметь:
С в С[аш0, aajj,..., ашп _i] — [аш0 в, аа>1 6,..., аш„ _i 0] =
= 8 [ао>0, ащ,.,., аш„_ ,],
откуда следует
i —с ***" I1-"/
2. Теперь предположим, что матрицы 9 и 9j, соответствующие
числу 6 при базисах идеалов ((j.o. y-i...., y-n —i] и [a>0, щ,. .., «>»-i],
связаны соотношением A.22) при | С \ = +1. Тогда при базисах
К» ">!,•••. «"n-i] и [[А0, hi, ..., iin-i] числу 6 соответствует одна
и та же матрица 9. Тогда элементы обоих базисов, стоящие
на одинаковых местах, дают при делении одно и то же число.
"В самом деле, пусть 9 = ||а/йЦ. По определению имеем:
A.23)
Станем рассматривать эти равенства как систему однород-
однородных линейных уравнений для определения jj.o, pu ..., \>n-i. Ранг
этой системы равен п — 1, так как в противном случае 9 удо-
удовлетворяла бы уравнению степени ниже п, что противоречит ее
примитивности. Поэтому любые два решения системы A.23)
отличаются лишь общим множителем. Таковыми решениями
являются [i*o, fj.lt .... [An-i] и С [«о, <°i,..., cDn_i], которые, отли-
отличаясь лишь множителем, суть базисы эквивалентных идеалов.
Но так как [щ, шь ..., u>n_i] и С [ш„, а>ь ..., con_i] являются
базисами одного и того же идеала, то [^0. н-ь • • •» V-n-i]
и [а>о. ">t, ¦ ..i <°п-i] суть базисы эквивалентных идеалов, ч. и т. д.
8. Если мы в роли числа 6 будем брать систему ш0, шь ....
ш„_1 чисел, образующих фундаментальный базис поля, то соот-
соответствующие им матрицы 20, 2Ь ..., Q7l_i будут целочисленны
тогда и только тогда, если в качестве базиса [р0, v-i, ..., i»n-i]
мы возьмем базис какого-нибудь идеала поля. В самом деле, мы
уже видели, что если этот базис есть базис идеала, то матрицы
Qo, 2» 2n-i целочисленны. Обратно, если эти матрицы цело-
численны, то совокупность чисел
§И
ИДЕАЛЬНЫЕ КЛАССЫ. КОНЕЧНОСТЬ ИХ ЧИСЛА
89
-1 — в)(%_1 = 0.
где Хо, xit ..., хп-г пробегают все целые рациональные значе-
значения, составляет идеал поля k. В самом деле, совершенно оче-
очевидно, что сумма и разность чисел такой совокупности тоже
принадлежат к этой совокупнЪсти. Чтобы доказать, что произ-
произведение числа совокупности на любое целое число поля при-
принадлежит к совокупности, достаточно доказать это для каждого
из чисел <о0, (% u>n_i, составляющих фундаментальный базис
поля к. Но это вытекает из
и из того, что матрицы Q{ целочисленны.
Рассмотрим всевозможные преобразования С, переводящие
совокупность матриц 20> ^ь • • •, 2п—i в целочисленные матрицы
Если совокупность A.24) может быть получена из Qo» ^i»
..., Qn_i путем унимодулярного преобразования С, будем гово-
говорить, что совокупности лежат в одном классе. Так как каждой
целочисленной системе типа A.24) соответствует базис какого-
нибудь идеала поля, и две системы типа A.24) лежат в одном
классе тогда и только тогда, если соответствующие их базисам
идеалы эквивалентны, то число классов матриц A.24) равно
числу идеальных классов поля, и мы приходим к теореме:
Теорема 36. Число различных систем целочисленных
матриц, соответствующих числам фундаментального
базиса, равно числу идеальных классов поля, если мы
системы, эквивалентные в узком смысле, не будем счи-
считать различными.
9. Если мы вместо системы матриц, соответствующих фун-
фундаментальному базису поля, рассмотрим систему матриц, соот-
соответствующих какому-нибудь базису другого типа, то все ска-
сказанное останется справедливым, если мы соответственным обра-
образом изменим понятия идеала и идеального класса. Идеалом мы
в этом случае должны называть совокупность чисел, воспро-
воспроизводящихся при сложении, а также при умножении не на все
целые числа поля, а только на те, которые выражаются через
заданный базис (последние числа воспроизводятся при трех
первых арифметических действиях; такого рода совокупности
называются кольцами). Для выяснения понятия идеального
класса обратим внимание на то, что два идеала а и b могут
считаться эквивалентными в том и только в том случае, если
можно подобрать такие числа аир, чтобы.ра и ab были оди-
одинаковыми идеалами нашего кольца. А для этого необходимо,
чтобы аир входили в это кольцо.

90
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§2]
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
91
10. Пример. Возьмем рассмотренное в § 3.2 поле К (\J—5).
Его фундаментальный базис есть [1, у/—5]. Базис [3, 2 + /—3]
есть базис идеала, что можно проверить, умножая его элементы
на 1 и у/—5:
3_у/-5=-2 • 3 + 3B + /=5),
/ у/:=:5 = — 3-3+2B + ^5).
Беря 6 = у/ — 5, найдем_матрицы в ив,, соответствующие б при
базисах [ш,, ш,]=[1, N/=5] и [щ,, h] = [3,2 + ^5]:
0 ,,
@,6 = 5AH,
откуда
= —2 | + |
=: —3- Po+2|h,
Л О О|
откуда
Покажем, что матрицы в и01 не эквивалентные узком смысле
т. е. что нельзя найти унимодулярной целочисленной матрицы
¦-м-
дающей 8i — С~ХЪ С. Последнее равенство перепишем так: Св, =
— 9 С, или
откуда
— 2х — 3y =
= u,—2z — 3u = —5x, Зг+2и=—Sy.
Два последних уравнения являются следствиями двух первых,
в силу чего матрица С общего вида такова:
х, у
— 2х — 3у, Зх-\-2
J-
Условие ее унимодулярности:
не может быть удовлетворено никакими целыми рациональ-
рациональными значениями х, у, так как это условие можно переписать
так:
Отсюда следует, что матрицы в и 8j эквивалентны, но не
эквивалентны в узком смысле, а потому идеал [3,2 + \/—5] не
эквивалентен [1, \/—5], т. е. не является главным идеалом.
§ 2. Единицы алгебраических полей
1. Задавая главный идеал, мы определяем число, некоторое
делятся все входящие в этот идеал числа, с точностью до еди-
единицы поля. Поэтому имеет большое значение умение опреде-
определять форму всех единиц. Это было проделано в общих чертах
Леженом-Дирихле (С. Lejeune-Dirichlet), который доказал суще-
существование конечного числа основных единиц, т. е. таких единиц,
что все единицы поля выражаются в виде их степеней. До-
Доказательство Дирихле основано на рассмотрении логарифмов
от единиц. Недавно Ван-дер-Варден (В. L. van der Waerden)
нашел доказательство, свободное от применения логарифмов,,
которое мы и воспроизведем.
2. Предварительно докажем следующую теорему Кронекера,.
дополненную Оре (О. Ore):
Теорема 37. Для каждого поля существует такая кон-
константа 8 > О, что всякое число поля а, удовлетворяющее
вместе со всеми своими сопряженными а', ь", . .., а»-1
неравенствам
(* = 0, 1, 2, ..., я-1), B.1)
есть корень из единицы.
Доказательство. Существует лишь конечное число целых
величин поля, абсолютно меньших вместе со своими сопряжен-
сопряженными заданной величины. В самом деле, элементарно-симметри-
элементарно-симметрические функции от величин, сопряженные с такого рода числами,
тоже не превосходят по абсолютному значению определен-
определенных границ. Так как они являются целыми числами, то суще-
существует лишь конечное ч*исло возможных чисел, удовлетворяю-
удовлетворяющих этому условию. Поэтому существует лишь конечное число
уравнений л-ой степени, корнями которых являются числа такого
рода. Среди этих уравнений только часть имеет корни в нашем
поле.
Пусть в нашем поле содержится /? чисел а, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям
|<*(<>|<2 (i — О, 1, ..., п — 1). B.2)
Выберем 8>0 так, чтобы имело место
A + °) <С Д \*-э/
и рассмотрим степени 1, а, а?, ..., ав, где а удовлетворяет
условиям B.1). В силу B.3) все эти степени, числом /?+1, удо-

¦92
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§2]
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
93
влетворяют условиям B.2). Но так как различных чисел, подчи-
подчиненных условиям B.2), всего R, то среди наших степеней должны
попадаться одинаковые числа. Пусть а* —а'. Тогда а4-* = 1,
т. е. а есть корень из единицы, ч. и т. д.
3. Теперь докажем следующую фундаментальную теорему
Дирихле:
Теорема 38. Если среди полей k, к', ..., #п~ц, сопря-
сопряженных с полем k, имеется г вещественных и s пар
сопряженно-комплексных (так что г -\- 2 s = n), то, полагая
v = r-\-s, можно найти в k v—1 единиц, называемых
основными; i\u 7J, ..., *iv__i, такого рода, что любую
единицу поля k можно представить в виде
где е корень из единицы и ти т2, ..., mv_i— положи-
положительные или отрицательные целые показатели.
Доказательство. Рассмотрим систему линейных форм
где [со0) шь Г.., con_i] — фундаментальный базис поля Л. Ее опре-
определители равен \f\D\, где D — дискриминант поля k. Можно
модифицировать теорему 23 так: каковы бы ни были положи-
положительные числа с0, си ..., сп~г, связанные соотношением
Со
...' с„_1= \J\D\,
B.5)
можно придать х0, хи ..., хп-\ такие целые рациональные
значения, не обращающиеся сразу в нуль, чтобы удовлетворя-
удовлетворялись неравенства
\У,\^с, (i=0, 1, .... л-1). B.6)
Для этого достаточно применить теорему 23 к системе форм
2»
\/\Ц
п -1),
B.7)
определитель которой тоже равен \f\D\. Получаемое значение
4>ормы у0 есть целое число поля к, норма которого удовлетво-
удовлетворяет неравенству
Каждое у0, подчиненное условиям B.6) при различных систе-
системах ct, в силу B.8) делится на один из конечного числа идеа-
идеалов. С другой стороны, выбирая различные системы чисел
c0, cu ..., Cn-i (безгранично уменьшая одно или несколько и*
них), мы будем получать бесчисленное множество чисел уъ
(будем только иметь в виду, что для сопряженно-комплексных
форм у{ необходимо выбирать одинаковые значения с,; таким
образом для случая мнимого квадратичного поля эти рассу-
рассуждения неприменимы). Из получаемых значенийу0 каждое ассо-
ассоциировано с одним из конечного числа представителей. Част-
Частные получаемых ассоциированных чисел суть единицы поля,
притом отличные от рациональной единицы. Выбором констант
с0, cit ..., с„-\ мы можем получать единицы, которые по абсо-
абсолютной величине сколь угодно велики, в то время как сопря-
сопряженные с ними числа сколь угодно малы. Для этого нужно
выбрать систему чисел
«ь «2, • • •, «„, B.9)
нормы которых не превышают \/\D\, и в качестве с,, с2, ...,
cn_i взять числа, абсолютно меньшие всех чисел, сопряжен-
сопряженных с числами B.9). Разделяя полученное число типа B.6) на
то из чисел B.9), которое с ним ассоциировано, получим еди-
единицу v), все сопряженные с которой величины абсолютно <1
и которая в силу \N(t\)\ = 1 абсолютно >1 (если к — комплексное
поле, то на сопряженно-комплексную величину, скажем i{, мы
не можем накладывать требования |^'| < 1, так как \т\\ = \г(\.
Тогда мы должны положить Cj = с0, а наши условия наложить
только на константы cs, cs, ..., сп-\).
Выделим v сопряженных полей к, k', k", ..., k(y-l>, среди
которых не было бы ни одной пары сопряженно-комплексных
(т. е. выделяя из каждой пары сопряженно-комплексных полей
по одному полю), и, пользуясь изложенным приемом, найдем
такую систему единиц vj, t\i, ..., t)v_2, чтобы имели место сле-
следующие неравенства:
IV'Kl,
v_2 \<h
B.10)
Докажем, что единицы % 7|ь ..., t)v_2 независимы, т. е.
что между ними не может быть соотношения
B.11)
1 v—2
с целыми рациональными р0, pi, ..., pv_2' Вводя для отрицатель-
отрицательных р, обозначения —о. и в случае нужды перенумеровывая
поля и единицы, перепишем B.11) так:
B.12)
»*-»
V —2

•94
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§21
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
9S
где р,г*0, О|5з*0. Аналогичные равенства получатся при пере-
переходе к сопряженным полям. Составим их для полей к, к", ...,
k<P~*\ а также для сопряженно-комплексных с последними но-
нолями. Тогда, условившись обозначать через <xw величину aw,
если поле &№ вещественно, и величину а(<) • а(<) = |а(<)B, если
доле &(<) мнимое, перемножим полученные равенства:
г„'
.
Здесь в правой части каждый множитель в квадратных
скобках в силу B.10) абсолютно меньше единицы. В левой же
части каждый такой множитель абсолютно больше единицы,
в чем можно убедиться, переписав равенство N (\) = rtl так:
Выберем среди всех этих Я ту, для которой \НР~1)\ имеет
наименьшее значение. Тогда непременно имеет место |Я(<)| > 1
(i = 0,1, .... v~2), так как в противном случае, если бы напри-
например имело место |Я|5?1, то, беря в роли Н единицу Н-ц, мы бы
опять удовлетворили всем требованиям B.16), в то время как
значение \Н^-1)у\^~^\ в силу |if-1>|<l было бы меньше, чем
/¦/С-»|. Итак, единица Н удовлетворяет всем условиям B.15).
Беря в роли е единицу 1, мы получим единицу
удовлетворяющую условиям B.15) и для которой \Н0^'~1) | < 1.
Умножая произвольную единицу е на достаточно высокую отри-
отрицательную степень Но, мы получим единицу е//„-*, для кото-
которой будут выполнены условия B.14), в силу чего к ней можно
применить наш результат. Получим единицу
П ti • П "п == it 1 (s =sO. 1. ... • и—~ 1};
,_Q 'в ¦ '• V ' ' ' Г ''
здесь второе произведение в силу B.10) абсолютно меньше
единицы. Итак B.13), а с ним B.12), возможно только в три-
тривиальном случае р, = о, = 0.
Докажем, что всякую единицу е поля к можно привести
путем умножения на степени единиц ч\, % Ъ-2 к одной
из некоторого конечного числа единиц. Предварительно дока-
докажем следующее:
Всякая единица е, для которой имеет место
= "•'¦'О
i = 0, I v —2),
B.14)
может быть приведена умножением на степени единиц
\ к единице Н, для которой имеет место
^ а„ а{ = h/°| (* = 0, 1, .... v - 2). B,15)
В самом деле, рассмотрим всевозможные единицы типа
где k,~^tO. Выберем из них те, для которых имеет место
|//l<)|^ai# Они существуют, в чем мы убедимся, полагая kt=Q,
так как af>J. С другой стороны, их число конечно, так как
в силу l^-^Kl мы имеем \И<У-1)\<^ ^-'М, и при фиксиро-
фиксированном е все сопряженные абсолютные значения единиц Н
ограничены:
|^а, (г=0, 1, ...,> — 2); IW-'iKI^)!. B.16)
удовлетворяющую условиям B.15), из которых в силу N(H) =
= + 1 вытекает |//(V~1)|<1« В силу ограниченности сопряжен-
сопряженных значений таких единиц — конечное число. Пусть это будут
Hi, H2t ..., Hs. Тогда любая единица е поля k может быть
представлена в виде
• =
V» • • • fc2
= 1, 2 s), B.17)
где ро, Pi, •.., pv_2 — целые рациональные числа.
Все единицы поля образуют бесконечную абелеву группу
относительно умножения. Единицы же вида rf°, т)^1,... ,^_~22 об-
образуют подгруппу конечного индекса s. В теории бесконечных
групп индекс определяется как число сопряженных систем
в разложении группы по подгруппе. Представление B.17) как
раз показывает, что всякая единица поля входит в одну из s
сопряженных систем (если, конечно, мы подобрали Ни Н2, ..-,
Hs так, что между ними нет соотношений типа Hj=H,ii^i\i8'...
... ii^-2; в противном случае число сопряженных систем умень-
уменьшится). Ниже мы увидим, что в каждой бесконечной абелевой
группе, образованной степенями конечного числа некоторых
• элементов (называемых образующими элементами), можно найти
конечное число независимых элементов, частью конечного,
частью бесконечного порядка, через степени которых выра-
выражаются все элементы группы. Число независимых элементов
бесконечного порядка называется рангом группы.
Докажем, что ранг рассматриваемой иами группы точно равен

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. П
§2]
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
97
v— 1. В виду доказанного нами существования v— 1 независи-
независимых элементов он не может быть меньше v — 1. С другой сто-
стороны, если бы ранг группы был больше v — 1, то группа содер-
содержала бы, кроме т), т\и ..., -*3v_j, еще независимую от этих еди-
единиц единицу, например е, и тогда бы ни одна из бесконечного
числа единиц
не совпадала ни с одной другой; иными словами, наша группа
распадалась бы на бесконечное число сопряженных комплексов
по подгруппе [у], у\ь ..., ч\^_2], чт0 противоречило бы добытому
нами результату. Таким образом, опираясь на недоказанную
еще теорему об абелевых группах (теорема 39), мы доказали,
что каждая единица поля к может быть представлена в виде
произведения степеней некоторых v — 1 единиц, не связанных
между собой никакими зависимостями, и некоторого числа еди-
единиц, являющихся в группе элементами конечных порядков, т. е.
корней из единицы. Это составляет содержание теоремы 38.
4. Теорема 39. Если бесконечная абелева группа вос-
воспроизводится композицией некоторого конечного числа
элементов Аъ А2, ..., Ат, связанных несколькими зави-
зависимостями:
.• Л. л П.л т *П
"=1
il /А2
B.18)
то в ней можно найти конечное число независимых эле-
элементов, конечного или бесконечного порядка, через кото-
которые выразятся все элементы группы.
Доказательство. Будем постепенно освобождаться от соот-
соотношений B.18). Если в первом из них показатели аи а2, ...,
ат имеют общий наибольший делитель d:
aj = ai'd, а2 — a2'd, ..., ат = am'd,
то элемент C = ^iA202 Amm является элементом конечного
порядка: Са=1. В соотношении
А1а1'А2аг'...Аатт=С B.19)
выберем наименьший (или один из наименьших) показатель.
Пусть это будет а{. Разделим остальные показатели на а/
с остатком:
ав' = а1/д2-{-г2, .... aJ^aS • qm-\-rm
и введем_на место Ах элемент А1 — At» Aa9t.. .Лт"* (система эле-
элементов А1, А2, ..., Ат тоже является производящей группу,
так как Аи очевидно, выражается через А[, А2, ..., Ат). Соот-
Соотношение B.19) перепишется так:
Опять среди показателей выбираем наименьший и совершаем
аналогичное преобразование. В конце концов в силу взаимной
простоты показателей а/, а2', • • •. а„' мы, перейдя к произво-
производящей группу системе Ви Ва, ..., Вт, приведем соотношение
B.19) к виду
выражая через Ви В2, ..., Вт-\, С элементы Ait A2, ..., Ат
и подставляя в остальные соотношения B.18), мы применим тот
же процесс к какому-нибудь из них. Таким путем мы уничто-
уничтожим все соотношения, кроме таких, которые связывают эле-
элементы конечных порядков. Последние образуют конечную абе-
леву группу.
Примечание. Пользуясь доказанной в части I теоремой для конечных
абелевых групп (часть I, стр. 42, теорема 30), мы сможем формулировать
теорему 39 так:
Всякая абелева группа с конечным числом производящих элементов
разлагается в прямое произведение циклических групп конечных и бесконеч-
бесконечных порядков.
Под циклической группой бесконечного порядка мы разумеем группу,
образуемую всеми положительными и отрицательными степенями элемента
бесконечного порядка.
5. Пример. Пусть производящие элементы абелевой группы
будут Аи А2, Ав, и пусть между ними имеют место соотношения
АММз* = 1, Л1М215Л312 = 1. B.20)
Первое из этих соотношений мы перепишем так:
или так:
Делая замену Л1Л2Л32 = Ви откуда Ах = ВХА2~ гА^~2, получим:
BJA2 = D.
Выразим Л2, Аи Л3 через Ви D, Л3:
и подставим во второе соотношение B.20), которое можно
представить так:
Н. Г. Чеботарев.

98 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
т. е.
откуда '
[гл. II
r2 = С,
Подставим в выражения для Л2 и Ах:
или, принимая во внимание ?>8=1, С3 = 1:
Между А3, D и С соотношений нет. Группа разложена
в прямое произведение циклических групп бесконечного, вто-
второго и третьего порядков.
6. Пользуясь единицами, можно установить такой способ
нормирования чисел поля, чтобы из всех ассоциированных
между собой чисел нормированными оказывались ровно w,
где w есть число корней из единицы, содержащихся в поле.
Для этого с каждым числом а будем сопоставлять логарифмы
абсолютных значений сопряженных с а чисел:
B.21)
ty ,\
где k, k',... ,k попрежнему обозначают сопряженные с k
поля, среди которых нет ни одной пары сопряженно-комплекс-
сопряженно-комплексных, а 8W равно 1, если полеА® вещественное и 8(»)= 2, если kf®
комплексное. Отсюда следует:
X + X' + ... + X(v~° = lg \N(a)\. B.22)
Для системы е, е',.. ,*> ' основных единиц поля введем спе-
специальное обозначение:
/„ //, /,",... ,/,(v-l} (i = 0, I, 2 v—2). B.23)
Определим для логарифмов числа а систему показателей
S, Si,... ,S , определяя их как решение системы линейных
уравнений
X' =
_2 /v_2
B.24)
§2]
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
99
Определитель этой системы не равен нулю. В самом деле,
в противном случае существовали бы отличные от нуля зна-
значения . S, «"i,... ,&v_j, дающие Х = Х' = .. .=x'v~1' = 0.
Тогда, переходя от логарифмов к числам, мы получим:-
.Wig,
v—2
2
= 1 {i = 0, 1, 2.....V-1). B.25)
Подобное соотношение невозможно для системы ч\, Vj, ,..,-ry ~ ,
в чем мы убедимся, рассуждая, как в § 2.3, если принять во
внимание, что для этих рассуждений не играет никакой роли
то, что в B.11) числа р0, pi,... ,pv_2 предположены целыми.
Число же Sv_, равно нулю, в чем мы убедимся, складывая
уравнения B.24) и пользуясь тем, что
Но единицы i\, к),,... ,?)v_2 могут быть выражены через основ-
основные:
r°v_l
1 ...^ -¦ {* = 0, 1.--..V —2),е» = 1, B.27)
откуда, обозначая XX?) = 8W) • lgl^/^j получим:
откуда
К
х'.
_ 2
.(v_2) j (v-2)
X
v_2
/, /l,...,
i , ti,...,
/v_ 2
/'v_2
/V-2)
V—2
X
0,v— 2
~v—2, 0 > '_2, !>••"'  2,V—2
B.29)
Но определитель в левой части не равен нулю, а потому ни
один из множителей правой части не может равняться нулю.
Обозначая первый из них через/, (е, sb...,sv_2) и называя регу-
регулятором системы единиц е, et,..., sv _2, мы убедимся, что опре-
определитель системы B.24) равен п ¦ L(e, ei,...,ev_2). Для этого

100
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл, II
§2]
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
101
сложим с последней строкой определителя системы B.24)
остальные строки и воспользуемся B.26) и тем, что
Абсолютная величинаL(г, еь ...,ev_2) не зависит от выбора
системы основных единиц. В самом деле, если % %,...,t)v_2 ~
другая система основных единиц и обе системы связаны соот-
соотношением B.27), то имеет место B.29), где второй множитель
правой части есть целочисленный определитель, в силу чего
?(¦")> Чь--•»7lv_2) делится на L (е, elf ...,ev_2). Меняя ролями обе
системы единиц, мы убедимся, что
В силу этого эту абсолютную величину называют регулятором
поля и обозначают через L.
7. Показатели S, Ei, ^,...,%1_1 числа а, определяемые систе-
системой уравнений B.24), обладают следующими легко доказуемыми
свойствами:
I. Если числам а и а соответствуют показатели со-
соответственно ?, li,... ,?v _ j и ?,$!,... ,SV __,, то произведе-
нию аа соответствуют показатели
II. Показатель ?v_i =
III. Чтобы имело место (• = $i = ... = |jv_1 = 0, необ-
необходимо и достаточно, чтобы а было корнем из единицы.
IV. Показатели единицы суть целые рациональные
числа.
Последнее следует из того, что для основных единиц е,. в роли а
показатели суть 0, 0,... ,1, 0...0. Показатель ?v_, для единиц
всегда в силу II равен нулю. Из этого также следует, что
можно найти такую единицу, чтобы ее показатели ?, ?1( ...,SV_2
были равны любым заданным целым рациональным числам.
Возьмем теперь в роли а произвольное целое число поля k.
Если его показатели суть %, Е,,... ,&v_2, ?v_j =Ig|Af(a)], то
можно, притом однозначно, подобрать такие целые рациональ-
рациональные q, gt,... ,#v _i, чтобы имело место
.—^ »f — Vi ^ ^' ул.Ои/
Тогда показатели числа as • ё1 '...ev^_2~ будут все (кроме
?-у_,) лежать между 0 и 1. Это число мы и-будем называть
нормированным. Очевидно, что два ассоциированных нормиро-
нормированных числа отличаются множителем, имеющим нулевые
показатели, т. е. единичные абсолютные значения сопряжен-
сопряженных величин. Такие величины суть корни из единицы, и их,
согласно нашему условию, всего w.
8. Для мнимых квадратичных полей r=0, s = l, а потому
число независимых единиц v— l=r-{-s — 1 равно нулю. Еди-
Единицами могут быть только корни из единицы. Но в части I мы
видели, что первообразные яг-ые корни из единицы являются
корнями неприводимого уравнения степени ср (от). Найдем зна-
значения от, для которых <в{т) = 2. Положив
= 2 ¦pl 1
к
получим
откуда следует, что при pt>3 а, = 0. Единственными реше-
решениями этого уравнения являются <х = 2, ai=0; a = 0, a,«=l и
a = l, ai = l, т. е. т — А, от = 3 и от ==6.
Первообразные корни этих степеней удовлетворяют следую-
следующим уравнениям:
Х2 + 1 = 0, x2-f-;c-f 1 = 0, ^2_^^1 = o.
Корни этих уравнений образуют поля K{i) и К (\/~3).
Остальные мнимые квадратичные поля не имеют единиц,
кроме +1.
9. Для вещественных квадратичных полей г = 2, s = 0, и число
независимых единиц равно v — l=r-j-s —1 = 1. Так как поля
вещественны, то, кроме +1, они не могут содержать корней
из единицы. Если поэтому и есть наименьшая из больших еди-
единиц единица поля K(\[D), то все единицы этого поля могут
быть представлены в виде +и", где п может быть положи-
положительным и отрицательным числом. Записывая единицу поля k
в форме х-\-у\/?> в случае ?> ЕЕ 2,3 (mod 4) и в форме * о
[х zzy Е 1 (mod 2)] в случае D Е 1 (mod4), мы должны подчи-
подчинить х и у следующим условиям:
= ±l, ?>E2,3(mod4) B.31)
Х2 _ ?>у2 = ± 4( D Е 1 (mod 4), х = у = 1 (mod 2). B.32)
Эти уравнения носят название уравнений Пелля и решаются
с помощью теории непрерывных дробей, которую мы сейчас
изложим.

102 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
10. Непрерывной дробью называется выражение вида
х= ¦ 1
а, -I i
[гл. II
B.33)
где а — целое рациональное неотрицательное число, ait ait...,
,...,an_i — целые рациональные положительные числа и хп—
вещественное число, не меньшее единицы. Всякое веществен-
вещественное положительное число х можно представить в виде.B.33)
с любым значением п, притом однозначно. Для этого нужно
выделить в х целую часть а, рассмотреть обратную величину
д:1 = -?^ к разности х — аи выделить в ней целую часть аи
с Xi поступить точно так же, и т. д.
Этот процесс дает хорошие приближения к числу х, кото-
которые получаются, если в выражении B.33) отбросить все члены
(звенья) после as _i. Получаемая рациональная дробь назы-
называется /г-ой подходящей дробью к хп обозначается через ~ :
§2] ¦
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ '
ffl+1
103
Но Дробь ->j~ ПОЛуЧИТСЯ ИЗ YT ' еСЛИ МЫ НЭ место От-1
подставим am_i-)--—. Замечая, что Рт— \, Рт-2, Qm—ь Q«-2
не содержат ат—\, получаем:
Qm+1
(QOT_1am_i-f Qm_2
B.37)
Полагая, что в равенстве B.36) равны отдельно числители
и знаменатели (мы имеем право это сделать, так как до сих
пор мы не определяли отдельно Рт и Qm):
Pm = Pm_1aM_i + Pm_2, Qm=Qw_1am_1 + Qm_2 B.38)
и подставляя в B.37), мы придем к формуле B.35).
Докажем, что, определяя числители и знаменатели подхо-
подходящих дробей при помощи формул B.38), мы будем получать
несократимые дроби, и одновременно выведем важную формулу
Яшд—,-P—iQ« = (-l)», ' B.39)
предположив ее известной для и-1 и пользуясь B.38):
Рт Qm_! — Pm-i Qm = (P«_i am_i
B.34)
Таким образом мы имеем:
El
1
QV
-\~ a -f- 0,2
ага2 -f-1
Подходящие дроби вычисляются последовательно при помощи
следующих рекуррентных соотношений: ,
Т^" • B-35)
Qm-n
Чтобы доказать их, предположим, что они справедливы для
т—1 (для низших значений т их нетрудно проверить):
Pm-lOm-l
Pm-2
Qm-2
B.36)
Отметим еще формулу
Из нее мы получим:
v - т
•Л- ~^.— —— ¦
-(-1)"
B-41)
Эта формула показывает, что погрешность, получаемая при
р
замене х подходящей дробью ^г» абсолютно меньше квадрата
.знаменателя последней и что знак этой погрешности есть -f-
или —, судя по тому, нечетно или четно т.
11. Докажем теорему, обратную последнему утверждению:
Если разность х — -^ меньше «7^, то дробь -д- явля-
является подходящей дробью разложения х в непрерывную
дробь.

104
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
Разложим -Q в непрерывную дробь (конечную в силу рацио-
рациональности тг):
Пусть подходящая дробь, непосредственно предшествую-
предшествующая -q, есть q5, так что PQi — AQ = (— l)m.
Определим хт при помощи равенства
B.42)
Из
следует
Р
Q
2Q*
откуда в силу Qi < Q) имеет место хт>-1.
Но равенство B.42 можно переписать так:
B.43)
и в силу хт > 1 мы заключаем, что B.43) есть разложение л
Р
в непрерывную дробь, а -д-— m-ая подходящая, ч. и т. д.
12. Пусть D— целое рациональное число, не_ имеющее
кратных множителей. Докажем, что разложение yjD в непре-
непрерывную дробь периодично.
Начнем разлагать \JD. Пусть a<C\[D<C.a-\-\.
§ 2] ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Тогда y]D = a-\ , откуда
105
— a D
a2
Отметим следующие свойства хх:
1) в числителе при \[D стоит единица;
2) знаменатель есть делитель нормы числителя.
Станем далее составлять х2, х3,.... Предположив свойства
1), 2) справедливыми для хт-\, докажем их для хт. Пусть
B.44)
где с есть делитель D — Ь2. Тогда
откуда
B.45)
Знаменатель D — (b — cfJ = (D — b2) -f- с Bbf— с/2) в силу пред-
предположения 2) делится на с. После деления оба условия 1) и 2)
выполняются.
Таким образом в качестве хт мы будем получать числа
вида ——— , где b<\[D, а с<D—b'^D. Такого рода чисел
конечное число, а потому, начиная с некоторого места, они
начнут повторяться.
Докажем, что величины хт начнут повторяться с такой
величины, для которой в представлении B.44) с = 1. Для этого
обратим внимание на то, что в этом выражении 0 < \fD— b<.c.
Действительно, предположив это выполненным для хт-.\, мы из
равенства ¦ ¦¦ ^ > f получим \JT)-\-b — cf>0 [см. B.45)]. Дру-
Другое же неравенство (\fD-\- b — cf) <С ~^ ~ ' равносильно та-
такому: \]D— b-\-cf^> с, котюрое вытекает из \[D — 6>0 и /^1.
Это обстоятельство позволяет однозначно определить по хп
предыдущую величину хт-\. В самом деле, если хт = ,
то
—/ I l —
— 1—/ " "—
X
\fD-\-b
—* i
—/
— Ь yfD —

106
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл, II
§2]
ЕДИНИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
107
где Ci =s , a / требуется определить. Но из условия
0< \fD — b-\-c}f<C.c величина / определяется однозначно. По-
Поэтому, если, например, хт = хп , то xm-i=xn-i, ^«.-2 = ^-2,
и т. д. Повторение начнется с хх, с которого начинает соблю-
соблюдаться условие 0 < yjD — b < с. Но
, _ 1 - \fD + «
Л< — —j= — .
./П л Г) д2
Если также
то х„ — ап-\ = y/D — a-j-a , и из условия 0 < yfB -J- a —
— а„<1 мь! получим а„ — а = а, откуда а„ = 2а. Поэтому зве-
звенья разложения yD в непрерывную дробь имеют периоды сле-
следующего вида:
13. Пусть I,
Тогда
откуда
a«_i; 2a, a2,..., an-i; 2a, a},.. .an
удовлетворяют уравнению Пелля:
+ 1
B.46)
j-.. ^^N.
откуда в силу § 2.11 следует, что — есть подходящая дробь
разложения \JD в непрерывную дробь. Пусть
Тогда
Предположим, что
хт =
Подставляя в B.47), получим
Л D , Л <
B.47)
Приравнивая рациональные и иррациональные члены, будем
иметь:
Qm c "f" Qm-1 = Рт ~ -
Умножая первое равенство на — Qm) второе на Рт и скла-
складывая, имеем:
откуда в силу B.46)
Это показывает, что xm=\/D-\-b, т. е. что, начиная со сле-
следующего звена, начнет повторяться новый период:
Таким образом наименьшее решение уравнений Пелля
р
дается подходящей дробью «", соответствующей первому пе-
периоду:
1
_ аи_]
Единица и —Pn-\-Qn\jD является наименьшей из ббльших
1 единицей поля k{\fD), так что по доказанному ее степенями
исчерпываются все единицы этого поля.
14. Если D имеет вид 4/г-]-1, то следует также найти
единицы вида ^-^——, т. е. решить уравнение \г — 7]2?> = -f-4.
Будем решать эту задачу, подыскивая наименьшую большую
1 единицу в форме \ —j—»ju>' = % -f- f\ ——тЛ-— . ш' удовлетворяет
уравнению
' — т = 0.
Перепишем условие
Я1-1.
) = «-f ;tj — тJ m = +1

108 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
в таком виде:
[гл. I [
\ /25 — 1
так как \fD^\/5, 5^^. Поэтому — равно подходящей дроби
, у/Ъ — \ ,
разложения ш' = —^— в непрерывную дробь.
В этом разложении величины хт тоже удовлетворяют,
условиям 1), 2), откуда следует, что периоды начнут повто-
ряться с величины хп = -—~— —ю -| ^~ > гДе а ~ нечетное
число. Предположим, что решение имеет вид,
i — Pn, f\ = Qn, B.48)
где хп = о • ш' -{-р, о, р—дробные рациональные числа. Имеем:
О)'
откуда
Умножая предпоследнее уравнение на Рп, последнее на
Qn и складывая, получим:
Таким образом, чтобы B.47) было решением нашей задачи,
необходимо и достаточно, чтобы имело место а=1, т. е.
чтобы ^ было подходящей дробью, завершающей некоторый
полный период. Наименьшее решение мы получим, завершив
первый период.
Если при этом Qn окажется четным, то получится решение,
которое может быть также получено разложением \fD. Это
всегда случится, если D — 1 (mod 8), но( случается иногда при
DEE 5 (mod 8). От этого уравнения простой подстановкой можно
перейти к уравнению х2 — Ду2 = + 4. Для решений последнего
Кэли (Cayley) составил таблицу, приводимую также в книге
Д. А. Граве „Элементарный курс теории чисел", Киев, 1913.
15. Пример. D = v/l3, u/^13 , m = 3,
a/2_|_u/_m — 0.
§ 3J АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РИМАННА И ДИРИХЛЕ 109
Разлагаем ш' в непрерывную дробь:
у/13—1 _
2
—1 3—\/13
Л=1 $_ „,._!_
Qi 1'
Наименьшей большей 1 единицей является сопряженная
единица ^ . Эту единицу можно также получить, разла-
разлагая /1з и находя хт вида -—^-^:
1 ~~
1'
-1
3+v/i3
§ 3. Аналитические функции Риманна и Дирихле
1. Риманн изучил аналитический характер функции
C-1)
рассматриваемой как функция комплексной переменной s. Чтобы
избежать многозначности определения п~8, условимся считать
где lg« — арифметический натуральный лпгарифм числа п. Ряд
сходится, если о>1, где s = o-f-tf. Имеет место следующее
тождество Эйлера (Euler):
\ C.2)
где произведение в правой части распространяется на все
простые числа р.
Для вывода этой формулы возьмем s вещественным (слу-
(случай комплексного s нам не понадобится) и >1, и рассмотрим
конечное произведение
Р<М

110
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
Разлагая каждый множитель
грессию
1
1— p~s
^г в бесконечную про-
Р
Is Л.п-ЗвА
| " I
и перемножая почленно эти прогрессии, мы получим сумму членов
вида (/>ifc'/>2fca • .. Pm)~S = fn~s, где т — произведение всевоз-
всевозможных степеней простых чисел, не превышающих М.В силу одно-
однозначности разложения натуральных чисел на простые множи-
множители каждое т будет встречаться только по одному разу.
Кратный ряд в силу абсолютной сходимости будет сходиться
к одной и той же величине, независимо от порядка членов.
Каждый член положителен, в силу чего имеют место неравен-
неравенства
п=1
C.3)
Заставляя М стремиться к бесконечности, мы увидим, что
левый член этого неравенства стремится к правому члену, а
лотому к нему же стремится и правый член, т. е. справедливо
тождество C.2).
2. При s—> 1 величина^ n~s стремится к бесконечности.
п=\
Для выяснения быстроты этого возрастания просуммируем
последующие легко выводимые неравенства:
п и—1
Xs
dx
.и прибавим к их частям неравенство
2
СО СО
§ 3J АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РИМАННА И ДИРИХЛЕ 111
т. е.
Вводя обозначение P(s — 1) для функции, остающейся при
s = l ограниченной (при этом мы вводим один и тот же символ
для разных функций такого рода), мы можем переписать C.5)
так:
СE)«-
C.6)
Отсюда видно, что при s—>-1 C(s) растет стою же быстро-
быстротой, что и -—т.
3. Логарифмируем тождество C.2), пользуясь C.6):
C.7)
Разлагая в ряд Тэйлора — lg(l—х), получим:
= *
1-х'
где 0<8<1.
Подставляя x=p~s, будем иметь
C.8)
Вторая сумма правой части остается при
ной, так как
A,
C-9)
ограничен-
Поэтому мы имеем право обозначить эту сумму символом
P(s — 1). Из C.8) и C.9) мы получим следующее:
(з.ю)
Из этого равенства следует сразу факт существования
бесчисленного множества простых чисел (расходимость ряда
?)

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. 11
§ 3)
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РИМАННА И ДИРИХЛЕ
113
4. Чтобы доказать существование бесчисленного множества
простых чисел в каждой арифметической прогрессии
ax-\-b,{a, b) = l,
Дирихле (Lejeune-Dirichlet) обобщил тождество C.2), введя
понятие характеров чисел. Введем более общее понятие харак-
характеров конечной абелевой группы. Пусть 91 — конечная абелева
группа, разлагаемая в прямое произведение циклических групп
(см. часть I, стр. 42):
3i — Si X Si X • • • X За»
где каждая из групп 914 пусть будет порядка mt:
(З.И)
* 0 = 1,2,...,*). C.12)
Будем сопоставлять с каждым элементом At какой-нибудь
тгый корень из единицы е{. Выбор для каждого At можно
сделать тк различными способами, по числу различных т{-ых
корней из единицы. Независимо выбирая такой корень для
каждого элемента Ait мы получим всего
т = т1 • щг,.. mk C.13)
различных систем, каждую из которых мы будем называть
характером группы Аг. Число т равно порядку группы 91.
Фиксируя какой-нибудь определенный характер и считая
его функцией от элементов At группы 91, определим значение
этой функции для любого элемента группы 91. Из разложения
C.11) следует, что всякий элемент Л можно, притом однозначно,
представить в виде
л=лл.л2в2,.,л;°*.
Определим характер
ства
В частности,
Из равенства C.15) следует важное соотношение
@gmf < mt) C.14)
элемента А при помощи равен-
равен-е2<°а...9;*. C.15)
C.16)
Если теперь возьмем два различных характера Xi(^) и
Хг(В) (всего мы имеем т различных характеров), то произве-
произведение XiC^) х(А) тоже является характером группы 91. Таким
образом характеры абелевой группы тоже образуют мульти-
мультипликативную абелеву группу порядка т. Производящие эле-
элементы этой группы мы получим, беря в качестве х№д единицы.
за исключением одного хИ»-)» значением которого берется
первообразный /иг-ый корень из единицы:
i) = 1» /< (А) = et> Ъ
Роль единичного элемента здесь играет так называемый
главный характер, т. е. функция jo(A), все значения которого
равны 1. Так как порядок характера Xf{A), как производящего
элемента группы характеров, равен /и,-, то группа характеров
изоморфна с 91.
5. Выведем' два важных соотношения между характерами.
I. Рассмотрим выражение
? = 2хИ). C.17)
л
в котором характер х один и тот же, а сумма распространена
на все элементы группы 91. Если х—главный характер, т. е.
х(А) — 1, то очевидно у = т. Если же х отличен от главного,
то существует элемент В, для которого у(В)ф1. Умножая о
на х(Д) и пользуясь C.16), получим:
то
Но так как АВ пробегает одновременно с Л всю группу 91,
откуда
Таким образом
9 = 0.
X (А) = т>
если х — главный характер, и =0—в противном случае.
II. Рассмотрим выражение
C.18)
C.19)
где элемент Л один и тот же, а сумма распространена на все
характеры группы 91. Если Л — единичный элемент, то очевидно
Ф = т. В противном случае всегда мож,но найти характер xi, для
которого хг(Л)^Ы. Умножая C.19) на XiC<4) и пользуясь тем,
что x(-^).Xi(A) пробегает одновременно с х(^) ВС1° группу
характеров, получим:
откуда
Н. Г. Чеботарев.

114
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
Итак
[гл. II
C.20)
если А — единичный элемент, и = 0 — в противном случае.
6. Дирихле взял в роли группы 31 мультипликативную группу
классов сравнений по модулю а, взаимно простых с а, где а—
разность рассматриваемой арифметической прогрессии ах-\-Ь.
Под характером -/(/г) числа п он понимает характер того класса,
в котором лежиг п. В случае же, если п не взаимно просто
с а, будем полагать у(п) = 0. Тогда в силу C.16)
C.21)
C.22)
Этот ряд абсолютно сходится при 5 > 1. В силу C.21) для
него тоже имеет место тождество, аналогичное тождеству
C.2):
Далее, Дирихле ввел в рассмотрение функцию
М«. х)=
оо 1
.л; ^к\'ч П[1 — х(/>) • Р~8)'
C.23)
где произведение распространяется на все простые числа р.
Простые делители числа а, в нем не фигурируют, так как для
них х(А») = О.
Ряд C.22) может быть также представлен следующим
образом:
2 22'. C-24)
где ср = ср(a), &i = l, k2,...,ky — совокупность взаимно простых
с а вычетов по модулю а и щ — числа, сравнимые с kt по
модулю а.
Рассмотрим каждую из сумм в правой части C.24):
П; т=0
Но
+ axy-dx,
§ 3] ' АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РИМАННА И ДИРИХЛЕ 115
т. е.
f(ki-\-ax)-sdx<\
откуда
G—
< -g-s-\- I (k;-\-ax)-sdx,
о
¦0=1 + -^, C.25)
где
Разлагая -—^ в ряд Тэйлора (из "двух членов), получим:
1 -и
где 0<. 6j-<1. Равенств© C.25) принимает вид:
/\ (s—\)а a r
Подставляя в C.24), мы в силу C.18) получаем:
C.26)
Выражение в правой части остается конечным при 5 = 1.
Для нас важно также установить, что оно не стремится к нулю.
Доказательство этого факта представляло большие трудности
как для самого Дирихле, так и для позднейших авторов. Мы,
следуя Веберу (Н. Weber), убедимся в этом впоследствии (§ 4.5)
косвенным путем, а пока примем этот факт на веру.
7. Из C.26) следует, что логарифм выражения \L(s, /)\
остается ограниченным при стремлении 5 к единице. Принимая
это во внимание и логарифмируя равенство C.23), получим:
- р /о 1 1 (ч 97^
В этой формуле символ 9t обозначает „вещественная часть
выражения в фигурных скобках". Несмотря на многозначность
определения логарифма от комплексной величины, веществен-
вещественная часть логарифма однозначна в силу формулы
eu+iv _ еа (Cos v-\-isinv), lg 1 = 2 тг ik,
откуда
lg {<?" (cos v A-1 sin v)) = и -f- iv -f- 2 я ik.

116
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
Ггл.П
§3]
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РИМАННА И ДИРИХЛЕ
117
[x -f iy) = lg \x + iy 4- i arctg^- -f 2 * ift.
т. е.
He делая предположения относительно необращения в нуль
предела lim L (у, у), мы вместо формулы C.27) получим:
?p(s —1). C.28)
Эту формулу следует понимать в таком смысле, что ее
левая часть при s—+1 или остается конечной, или стремится
к отрицательной бесконечности.
Рассуждая, как в § 3.3, мы получим из формулы C.28):
-1). C.29)
Перепишем эту формулу так:
C.30)
где рг обозначают простые числа, удовлетворяющие сравнению
Pi = kt (mod a). C.31)
Просуммируем формулу C.30) по всем характерам (кроме
главного) и приложим к этой сумме формулу C.10), которую
можно, отбросив в ее левой части слагаемые р~8, соответ-
соответствующие простым делителям числа а, переписать так:
7=/5ггЦ-+рE-1>- C-32>
Pi
Pi
P<t
Тогда в силу C.20) мы получим:
•-1).
C.33)
Если при этом хоть в одной из формул C.30) имеет место
знак < (т. е. если ее левая часть стремится к отрицательной
бесконечности), то и в формуле C.33) не может иметь место
знак =. Поэтому если мы докажем (что мы впоследствии и
сделаем), что в формуле C.33) имеет место знак равенства, то
этим будет доказано, что знак = имеет место также во всех
формулах C.30).
8. Для дальнейшего более удобно иметь дело с однознач-
однозначными функциями, а потому мы не логарифмируем формулы C.23),
а возьмем от нее логарифмическую производную. Но для этого
предварительно надо убедиться, что левая часть формулы C.23)
представляет собой аналитическую функцию. В этом мы убе-
убедимся так. Делая в известной формуле
-Hs-ldt C.34)
и
(величину ts~l = g's'ts-V можно считать однозначной даже для
комплексных значений s, если под lg уразуметь его арифмети-
арифметическую величину) подстановку t — nx, мы получим:
C<35)
Подставляя в выражение L(s, у), будем иметь:
/1=1
C.36)
Правая часть имеет конечный аналитический смысл при
s > 0, так как и числитель и знаменатель подинтегральной
суммы обращаются пр"и х = 0 в нули, и знаменатель — нуль
первого порядка. Это дает нам право диференцировать L(s, yj.
Аналогичную формулу мы получим для C(s):
C.37)
В этом выражении второй интеграл остается конечным
при s > 0. Первый же интеграл равен при s>l
1 1
V(s) s — Г

118
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. If
§ 3]
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РИМАННА И ДИРИХЛЕ
119
9. Беря логарифмическую производную от обеих частей
формулы C.23), получим:
Y-/(/QlgP/>-g /оооч
откуда
Hs, х)
Принимая, что знаменатель L(s, у) левой части не обра-
обращается при 5=1 в нуль, мы убедимся, что правая часть
остается при s < 1 конечной. Переписывая ее следующим
образом:
мы убедимся, что вторая сумма правой части сходится при
Таким образом и первая сумма остается прия —1 конечной,
и мы получаем:
C.41)
Pi
Pa
P<D
Точно так же, находя логарифмическую производную от
обеих частей формулы C.2) и пользуясь C.37), мы получим:
C.42)
+
=^+^ (* -
Чтобы получить оценку какой-нибудь из сумм, входящих
в C.41) и C.42), например 2^РА~*> умножим формулу C.41)
Ри
Ри
на Х~1(Ю> просуммируем по всем неглавным характерам и при-
приложим к сумме формулу C.42). Тогда, принимая во внимание
C.19), мы получим:
2 X (^i) X~'
X
2x(?«)-/-
7.
! (w == 2
4*.)=2
¦/
') = 0
(
C.43)
Эта формула показывает, что сумма левой части, распростра-
распространенная по всем простым числам вида ax-\-ku, стремится к бес-
бесконечности,, когда s стремится к 1. Но так как каждый член
этой суммы остается конечным при всех значениях s, то отсюда
мы должны заключить, что эта сумма содержит бесчисленное
множество членов, и мы приходим к следующему знаменитому
результату Дирихле:
Теорема 40. Всякая арифметическая прогрессия ах -f-
-\-k, где (a,k) — l, содержит бесчисленное множество
простых чисел.
10. Если мы имеем какую-нибудь совокупность простых
чисел р, то сумма 2lg/> • р~", распространенная на эту сово-
¦Р 1
купность, растет при стремлении s к 1 не быстрее, чем —г.
Во многих случаях ее рост характеризуется членом k • —-.- , где
k — правильная дробь. В этих случаях мы будем называть
число к плотностью этой совокупности. Если в совокупность
входят все простые числа, то ее плотность равна единице.
Если совокупность содержит все простые числа прогрессии ах-\-
-\-k, где (a, k) = l, то формула C.43) показывает, что плотность
этой совокупности равна —т- .
Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы:
Плотность совокупности, составленной из двух взаимно
простых совокупностей простых чисел, равна сумме
плотностей этой совокупности.
11. Приведенное доказательство теореме Дирихле оставляет
место некоторой неудовлетворенности. В самом деле, факт
расходимости ряда ? \gpu ¦ р~^ не дает возможности заключить,
Ра
что в каком-нибудь конечном интервале мы непременно встретим
простое число требуемого вида.
Кронекер и Мертенс (F. Mertens) решили задачу в ?том
смысле. Более детально изучив остаточный член формулы C.43),
они указали способы находить величины интервалов, внутри
которых непременно содержатся простые числа, входящие
в заданную прогрессию. Мы не будем останавливаться на их
исследованиях.

120
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§ 4]
ФУНКЦИЯ ДЕДЕКИНДА
121
§ 4. Функция Дедекинда
1. Дедекинд ввел в рассмотрение функцию
D.1)
в которой а пробегает все идеалы заданного алгебраического
поля k. Для тех_значений s, для которых ряд сходится, (если
таковые значения имеются), мы получим, рассуждая, как в § 3,
следующее разложение этой функции в произведение:
1
II j
-si
D-2)
Произведение правой части сходится тогда и только тогда,
когда сходится ряд SIAfO$)|-s. Но |Л^(^)|=р/, и число различ-
ных идеалов, имеющих нормой степень одного итого же числа/»,
не превышает степени поля п. Поэтому имеет место нера-
неравенство
показывающее, что при5>1 этот ряд сходится. Значит, произ-
произведение в правой части формулы D.2) остается при s>l огра-
ограниченным. Отсюда следует, что и ряд в левой части D.2)
ограничен при s>l, а потому в силу положительности своих
членов он сходится.
2, Чтобы изучить поведение функции ^k(s) вблизи точки
s = l, разобьем сумму D.1) на h частичных сумм (А—число иде-
идеальных классов поля k), в каждой из которых суммирование
распространено на все идеалы, входящие в один определенный
идеальный класс поля k. Выберем в каждом из h идеальных
классов по представителю: а1; лг, ... , аА, Тогда, если Ь про-
пробегает все идеалы класса, противоположенного классу идеала а,
то произведение а b пробегает все главные идеалы, делящиеся
на а. Другими словами, это произведение пробегает делящиеся
на ч1 целые числа поля к, и притом из всех ассоциированных
чисел каждое только один раз.
Найдем предел
^^' D.3)
где Tj — число идеалов класса, обратного классу л1г норма
которых не превышает положительного числа t. Для этого
рассмотрим базис [(х0, v-i N-i] идеала а. Если Ь идеал,
удовлетворяющий этим требованиям, то аЬ ассоциирован
с некоторым числом о = [а0д;0-{-Нч xt -f-.. .-\-pn-ixn-\ xo,xu...
...,хп-\ — целые рациональные числа, подчиненные неравенству
IN (|ч х0 +1*, хх -;-... -Ь щ. - х хп -i)\^N (a,) . f D.4)
Из всех чисел этого типа нужно выбрать некоторые таким
образом, чтобы из каждой совокупности ассоциированных друг
с другом чисел было взято по одному и только по одному
представителю. Способ находить представителей из систем
ассоциированных чисел был разобран в § 2.6 (нормированные
числа). Именно, введем при помощи формул
X — 8 lg а|, X' = З1 lg \й', ..., X(v - 1) = 5<v ~ J) lg ]a|(v
•1)
D.5)
числа X, >/, ..., X(v ~ !), где a', ..., a('' — 1^ — сопряженные cv a
числа, а 8W равно 1, если сопряженное поле № вещественно,
и 2, если оно мнимое. Затем из линейных уравнений
X =?
+ у «V —
N-2v-
-1
D.6)
где l(t) — логарифмы чисел, сопряженных с основными едини-
единицами поля, мы пвлучим S, ?i, ..., ?v_2, называемые показателями
числа а. Так при помощи умножения а на целесообразно
подобранную единицу мы можем добиться того, чтобы эти
показатели оказались удовлетворяющими неравенствам
, 0sSi<l,..., O^EV_2<1, D-7)
и таких чисел, ассоциированных с а, будет всего w, где w—
число корней из единицы (включая +1 и —1), входящих в k.
Таким образом число w Tt равно числу точек (х0, хи .... хп -1)
с целыми координатами, заключенных внутри объема, ограни-
ограниченного поверхностями D.4) и D.7) л-мерного пространства.
При этом числа ?, ^ ^v —l определяются из соотношений
D.5) и D.6).
Введем теперь подстановку
xn —
где
.(*)
Если вместо au= ^ х0 -[- »4
рассматривать числа pfi) = $уй
D.8)
-\xn~l МЫ станем
... + *п-1Уп-Х И С0"

122
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
|гл. II
§43
ФУНКЦИЯ ДЕДЕКИНДА
12$
ответственно вместо А<*> — р<*) и вместо ?,- — у\{, определяемые из
формул
«) 8W l|p«>| D.9)
D.10)
то новые переменные связаны со старыми формулами:
-1_
«1 =
Из D.6) видно, что
«-'>)= ^lg Л/ |а|
Поэтому неравенства D.4) и D.7) перепишутся в новых коор-
координатах так:
< D.Ц)
Si),_2<l. D.12)
Получается поверхность, не зависящая от t, и искомое
число даГ; равно числу точек внутри этой поверхности, коор-
координаты которых суть целочисленные кратные числа ——. Со-
гласно теории кратных интегралов, объем тела, ограниченного
этой поверхностью, равен пределу числа такого рода точек,
умноженного на / п—\ = — /т. е. сумма объемов, помещаемых
Таким
внутри поверхности малых кубов с ребрами длины -—
/Г
образом, обозначая объем тела через V, получим:
lim = V,
или
¦00
iim 1А = Ш"
t—+co t W
. у.
D.13)
Более детальное рассмотрение точек с координатами, крат-
кратными —, вблизи поверхностей D.11), D.12), дает более точную.
формулу:
Nl*i)
w
v+i
D.14)
где Sf — величина, остающаяся конечной при возрастании t
[см. Н. We ber, Lehrbuch der Algebra, Bd. 2, 2-е изд., Braunschweig,
1899, стр. 712, формула F)].
3. Обратимся к вычислению объема V тела, ограниченного
поверхностями D.11), D.12). Вспомним формулу преобразования
кратных интегралов:
•
? I... \
xdx2 ... dxn —
где
d(xltx2, ..., х„) _
дх^ дхп
дх„
D.16)
есть якобиан системы функций хи х2, ..., х„ относительна
Уи Уа, • • •. уп- При этом мы полагаем систему функций одно-
однозначно обратимой и не уточняем вопроса о знаке, так что-
равенство D.15) должно обозначать лишь равенство абсолютных
значений обеих частей.
Перейдем в выражении нашего объема V от переменных
Уо, Уи ..., j/n-i к т], Tjb ..., 7)v_lt которые подчинены весьма
простым неравенствам D.11) и D.12). Будем совершать переход
постепенно. Из «сопряженных с А полей у нас s=2v—n веще-
вещественных и га —v пар мнимых.
Сначала перейдем к переменным р, р1, ..., р". Для удобства
выкладок примем во внимание, что формула преобразования
справедлива и тогда, если некоторые из переменных комплексны*
Р^ связаны с yt линейными соотношениями
определитель которых есть квадратный корень из дискрими-
дискриминанта базиса [ро, ць ..., ^„_ i] идеала а,- и потому равен Л/(а,) у/А.
где D — дискриминант поля (см. §1.2).

124
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§4]
ФУНКЦИЯ ДЕДЕКИНДА
125
Поэтому
У = I I ... I dy^dyx... dyn-\
Перейдем к полярным координатам. Пусть k, k',... ,№~1)-
вещественные поля, aks + i, ks+i(i = 0, I,... ,п — v— 1) — пары
сопряженно-комплексных. Пусть
0, D.17)
—v—
D.18)
будет наше преобразование, г, г' г*8-1*, r0, г1;... ,rn_v_j —
положительные переменные. Это преобразование законно
в силу того, что в неравенствах D.11), D.12) входят неявным
образом только абсолютные значения переменных |3(i), но одно
не однозначно, так как каждой системе значений г, у соответ-
соответствует 2s различных значений $®, получаемых при различных
комбинациях знаков в формулах D.17). Поэтому перед преобра-
преобразованием интеграл можно разбить на 2s интегралов (в зави-
зависимости от знаков C, Р',.. ..р-1)), которые все равны между
собой, и в конечном итоге нам просто придется ввести мно-
множитель 2* = 22V-".
Якобиан преобразования здесь равен произведению якобианов
4 3«
(равных единице) и
= -2/г,,
откуда
22n-«
;=г- 2»-v •
Xdr0...
D-19)
Так как ни подинтегральная величина, ни неравенства D.11),
D.12) не зависят от 9o,?i,...,?w_v-.b то мы сейчас можем
произвести интегрирование по этим переменным в пределах от
О до 2тг:
X dr0.. .drn_v_, •
D.20)
Перейдем к переменным p(i), связанным с rit rw формулами
D.9), которые можно переписать так:
Ap(s)
>p(v-.)
D.21)
/а ^/ л(®~0 ^ s(s) s^*+^) a(v_i) оч
Якобиан этого преобразования равен
dr dr' <ir(8-1) drQ drn_^_i
dp dp'"' d p<s-'
-О
Подставляя в D.20) и пользуясь D.21), получим:
V—
2"
TV (a?) |\/Z)| 2
2»-V «/ ^
X
D.22)
Наконец, перейдем к переменным ^,-/)i,.. .,V~2. V~'> поль-
пользуясь преобразованием D.10). Якобиан этого преобразования,
равный определителю линейной подстановки D.10), равен, как
мы это видели в § 2.6, п ¦ L, где /.—регулятор поля k. Кроме
того, складывая формулы D.10), мы убедимся, что
и наш интеграл преобразуется в следующий:
Этот интеграл, в силу независимости пределов интегрирования
D.11), D.12) для каждой переменной от остальных переменных,
а также вида подинтегральной функции, распадается на произ-
произведение простых интегралов:
0 . о

126
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
Все интегралы-множители равны единице, за исключением
последнего, равного —. Поэтому окончательно:
ггП-1
v=-
Подставляя в формулу D.13), получим:
Т, Т • 7i"-v • L
Т.
hm —~ =
t
D.24)
D.25)
Постоянная g =
—т-т=~- не зависит ни от идеального класса,
w\y/D\
ни тем более от выбора в нем представителя а,-. Поэтому пре-
предел отношения , где Т—число всех идеалов поля k, норма
которых не превышает t, равен g - h, где h — число классов
поля k.
Этот факт служит исходным пунктом для определения
числа классов h заданного поля. Для некоторых полей част-
частного вида удалось получить из этого факта сравнительно легко
вычисляемые формулы для числа классов, в общем же случае
задача представляет большие трудности.
4. Вернемся к дедекиндовой С-функции. Будем соединять
в один все члены ряда D.1), соответствующие одному и тому же
значению нормы N (а). Тогда, обозначая через/(те) число идеа-
идеалов, имеющих нормой число тп, мы получим:
D.26)
m—l
Произведем над этим рядом так называемое абелево пре-
преобразование:
=/A) [1- - 2-J +1/A) +/B)] [2- - 3-] + D.27)
+ 1/A).+/B) +/C)] [3- - 4-1 + ...
Замечая, что T(t)=f(\)-\-fB)-{-... +/@ есть как раз число
идеалов поля k, норма которых не превышает числа t, получим:
-2-
<п-\
+ 1)-].
D.28)
Но из D.14) следует, что числу Т(т) можно дать следующую
асимптотическую оценку:
T(m)=g ¦ h • от-|-6 . а • т~"п,
§ 4J ФУНКЦИЯ ДЕДЕКИНДА 127
где а—константа, а |6|;§1. Подставим в D.28):
=g ¦ h
m:=l
D-29).
да—1
Первую из сумм правой части подвергнем обратному преоб-
преобразованию: .» ¦
6о
gk . 2
Таким образом мы пришли к риманновой С-функции, которая
в силу C.6) может быть представлена в виде
g-h
s — 1 ¦ v *'*
Аналогично преобразуем вторую сумму формулы D.29):
оо 1 i
~8] = ei° 2 f7" ? —(« —II""] mrs.
1 —
Для оценки выражения /и п—(/и — 1) п произведем ряд
преобразований:
1
т п — (т — 1)
/и"-1 —(те—1)п-'
1-
(п-1У (
/и " + те
n-l
Уменьшим знаменатель правой части, отбросив все его члены,
кроме первого, а числитель увеличим, подвергнув его следую-
следующему преобразованию:
ж»-1 — (л — 1)»-' = [те — (от—l)][wt"-2-f/я"-3 • (да —1)-|- ...4"
+ (т-1)»-г]<(« —1)те»~2.
Итак:
/я

128 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [гл. II
Поэтому для исследуемого ряда мы получаем оценку:
§4]
ФУНКЦИЯ ДЕДЕКИНДА
129
Объединяя оценку обеих сумм, мы получаем:
D.30)
5. Логарифмируем формулу D.2) и примем во внимание
D.30):
Пользуясь неравенством
где
, получим из этой формулы следующую:
г-Яв !
Вторая из сумм левой части сходится при
эту формулу можно переписать так:
^, в силу чего
D.31)
Разобьем сумму левой части на две, относя к первой члены
содержащие простые идеалы первой степени, а ко второй
сумме остальные простые идеалы. Собирая в один член члены,
содержащие простые идеалы с одной и той же нормой, мы
получим из первой суммы ^vp • p~s, где суммирование распро-
р
странено на все простые числа, a vp — числа простых идеаль-
идеальных множителей первой степени простого числа р. С другой
стороны, во второй сумме N(ty)^?p2, N(ty)-S^p~2s, и число
членов, содержащих одно и то же р, не превышает -j, в силу
чего величина второй суммы^f 2^~28' а этот Ряд сходится
1 ' •
при s>7j и потому может быть включен в P(s — 1). Таким
образом мы приходим к следующему фундаментальному резуль-
результату Кронекера:
D.32)
6. Рассмотрим тот частный случай, когда поле k нормально.
Тогда все простые числа распадаются внутри k на простые
идеалы одной и той же степени. В частности, если р содержит
простые идеальные множители первой степени, то таковыми
будут все его множители, и число их равно п. Группы разло-
разложения этих простых идеалов суть единичные группы, и мы
получаем:
—s—Airr i___|-?>f<f 1\ (А ЧЧ\
где сумма левой части распространена на все простые числа,
принадлежащие к классу единичной подстановки (см. главу I,
§ 10.2).
7. Теперь мы имеем возможность закончить доказательство
теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях (§ 3, теорема
40). Пусть задана прогрессия ax-\-k, (a,k)=l. Рассмотрим
поле а-ых степеней из единицы. Это нормальное поле степени
<р(а). Из главы I, §12.1 мы знаем, что простое число р принад-
принадлежит в поле к единичной подстановке тогда и только тогда,
если оно удовлетворяет сравнению
р Е 1 (mod a),
т. е. лежит в прогрессии ах-\-1. Таким образом формула D.33)
приобретает для этого случая вид:
^/j у ср(а)
D.34)
Теперь, обращаясь (к § 3.7), мы видим, что формула D.34)-
есть не что иное, как формула C.33), доказанная со знаком
равенства. Из рассуждений § 3.7 следует, что этим доказан
факт, достаточный для доказательства теоремы 40 и принятый
на веру в § 3. Действительно, из этого вытекает необращение
в нуль Z.(s, х) при s = l, что было нами принято в § 3.9.
Есл^и простой идеал критический, т. е. если он является
кратным множителем соответствующего простого «числа, то он

130
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§5]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО ОТД. ПОДСТ.
131
«будет входить в формулы D.32), D.33), D.34) иначе. Мы просто
откинем соответствующие им члены в левых частях этих фор-
формул. Этих членов конечное число, а потому их отбрасывание
не повлияет на вид правых частей.
§ 5. Распределение простых чисел по отделам подстановок
1. В главе I, § 10.2 мы определили автоморфизм (подста-
(подстановку) о = = I нормального К, к которому принадлежит некри-
некритический простой идеал, при помощи сравнения
а" Е aP(mod $P), E.1)
имеющего место для всех целых чисел а поля К- Степени этого
автоморфизма составляют группу разложения простого идеала %,
степень которого равна порядку подстановки <з.
Простые идеальные множители простого числа р принадле-
принадлежат к сопряженным автоморфизмам, составляющим класс
автоморфизмов. Мы условились обозначать этот класс символом
(—) и говорить, что простое число р принадлежит к классу
(-). Возникает вопрос о существовании и плотности (см. § 3.10)
простых чисел, принадлежащих к заданному классу автомор-
автоморфизмов группы Галуа © поля /С.
2. В этом параграфе мы докажем существование и опреде-
определим плотность множества простых чисел, принадлежащих
к отделу автоморфизмов группы ©, т. е. к совокупности степе-
степеней автоморфизма а, взаимно простых с ее порядком, а также
сопряженных с ними автоморфизмов. Эта задача была решена
Фробениусом (Frobenius).
Для ее решения мы будем постоянно применять формулу
D.32):
1 ' "' -1) E.2)
к различным делителям поля К. Пусть о—произвольно выбран-
выбранный автоморфизм группы ©,/—его порядок, тогда
образованная им циклическая группа. В главе I, § 10, мы видели,
что степень простого идеального множителя $ числа р, который
содержит -заданный простой идеал % поля К и находится
в делителе k поля К, принадлежащем к какой-нибудь группе §,
равна числу смежных классов ф5, содержащихся в комплексе
|K. где 3 — группа разложения идеала %. Чтобы эта степень
была равна единице, необходимо и достаточно, чтобы 3 вхо-
входила в <р.
Точно так же, для того чтобы степень простого идеала
поля k, соответствующего комплексу §53, была равна единице,
необходимо и достаточно, чтобы S*1$Sвходила в ф. Таким обра-
образом, чтобы определить число простых идеальных множителей
простого числа р внутри к, надо разложить © на комплексы
по делителям § и 3:
и подсчитать, сколько из автоморфизмов
входит в ф.
Возьмем в качестве •?> группу 3» образованную степенями
автоморфизма <з порядка /, а в качестве %— ее делитель поряд-
порядка d, образованный подстановкой t = ad. Если S^Sf1 лежит
в 3. то, имея порядок d, она будет лежать и в %, а потому S{
лежит в нормализаторе ЬЬ группы'% (в который должен входить
в 3)- Поэтому достаточно сосчитать число комплексов 3^?,
«ходящих в 31. Но так как % является нормальным делителем
Ш, то в силу SlZ = ZSi и 3^—3 каждый такой комплекс
превращается в смежный класс &Slt и дело приводится к под-
подсчету смежных классов в разложении 91 = 3 + 3^2 + 3^з + «- •,
т. е. определению индекса (9t: 3) = Ord 9t:/.
Обозначим через пй число автоморфизмов, входящих в класс
•х и через kd—число классов х, входящих в отдел т.
Обозначим через 9li нормализатор автоморфизма т. Тогда
"число различных автоморфизмов в классе т равно индексу
Шь относительно © (см. часть I, стр. 140, конец доказательства
теоремы 75), откуда
Остается определить индекс
на смежные классы по 9lj:
i). Если мы разложим 91
то каждый из этих смежных классов переведет т в степень т,
и все они будут отличны друг от друга. Поэтому, если мы
рассмотрим классы, образованные всеми cp(rf) примитивными
•степенями атоморфизма т (они образуют отдел автоморфизма *),
то по и классов среди этих <?(d) классов окажутся совпадаю-

132
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
?(<*)
{гл. II
щими, и в отдел войдет всего -^^ различных классов, т. е.
= *^, или
Таким образом, если р принадлежит к одному из классов
отдела t, то внутри поля k, принадлежащего к 3» содержится
ровно
Ord 31:/=(Й : %) ¦ Ord^:f=l^d)' " E.4)
dnd
/
различных простых идеальных делителей числа р первой
степени.
Применим к рассматриваемому полю k формулу E.2). Для
того, чтобы простое число р в разложении внутри k содержало
простые идеальные множители первой степени, необходимо,,
чтобы класс автоморфизмов, к которому оно принадлежит
внутри К, содержал автоморфизмы из 3- Другими словами, р
должно принадлежать к одному из классов, образованных
элементами группы 3- Эти классы образуют несколько отделов,,
каждый из которых вполне определяется порядком d автомор-
автоморфизма i^=<sd, который в нем содержится. Поэтому, разбивая
сумму левой части E.2) на частичные суммы, соответственно
названным отделам, мы в силу E.4) перепишем формулу E.2)
так:
где под рй мы разумеем все простые числа, принадлежащие
к отделу автоморфизма <за.
Беря в роли / любой делитель 8 числа / (и соответственно
в роли <з — <з°, мы получим вместо E.5):
Si
djb
E.6)
Pd
Введем в рассмотрение числовую функцию \>.(п) Мёбиуса.
(Mobius), определяя ее значения следующим образом:
\>-(п) = О, если п содержит кратные простые множители;
u(ra) = -f-l (или — 1), если п содержит четное (или нечетное)
число различных простых множителей.
§ 5] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО ОТД. ПОДСТ. . 133
Мы воспользуемся следующими свойствами функции р(я):
= 0 при п > 1.
din y
В самом деле, пусть n = p1pa...pr. Разобьем все делители
числа п на О-ую, 1-ую,..., r-ую категории, в зависимости
от числа простых множителей, которые эти делители содержат.
Сумма Ep(rf), распространенная на делители у-ой категории,
равна (— \у, умноженной на число членов, т. е. Сг (—l/, где
Сг — биномиальный коэфициент. Отсюда
II.
В справедливости этой формулы легко убедиться из фор-
формулы B.4) (часть I, стр. 202).
Умножим E.6) на у. (j\ и просуммируем по всем 8//:
1* Иг
2j
8//
Pd
¦nZj VI s~l
Сумма в правой части в силу II дает <р(/). В левой части
переставим оба внешние знака суммы. При заданном d число -^ в
силу rf/8 должно пробегать все делители числа ^, в силу чего
jj.f-Q=O npn/>d и=1 при f=d. В силу этого наша фор-
формула примет вид
К-
Pi

откуда окончательно:
¦ гтош
135
kf'tlf
J
E-7)
/7
Эта формула выражает „закон плотности" Фробениуса:
Теорема 41. Существует бесчисленное множество
простых чисел, принадлежащих к одному из классов
отдела, образованного произвольно заданным автомор-|
физмом группы Галуа нормального поля. Плотность
этой совокупности простых чисел равна частному отде-
отделения числа kftif автоморфизмов, содержащихся в этом
отделе, на общее число автоморфизмов группы.
Существует такая же теорема 'относительно плотности
простых чисел, принадлежащих к отдельным классам. Мы
докажем ее в следующем параграфе.
3. Простым следствием этого результата является
Теорема 42. Существует бесчисленное множество-
таких простых чисел р,
что заданный полином f(x),
груйпа Галуа которого содержит подстановку из цикло&
порядков пи п2, .... nk, разлагается по модулю р на
неприводимые по модулю р множители степеней пи п2,,..
..., пк.
Доказательство. Пусть К—поле, образованное корнями этого
полинома. Заданной подстановке группы Галуа уравненияД.х) = О
соответствует вполне определенный автоморфизм группы
Галуа поля К, и обратно. Отделу автоморфизма соответствует
совокупность подстановок, состоящих из циклов тех же
порядков ль пг, ..., nk. В силу теоремы 41 существует бес-
бесчисленное множество простых чисел, принадлежащих к одному
из классов этого отдела. Пусть р будет одно из них, притом'
не входящее в дискриминант уравнения /(*) = (). Из главы I,
§ 10.3, мы убеждаемся, что полином/(л:) разлагается по модулю/»
на неприводимые по модулю р полиномы степеней яь Пг, ..., щ,
ч. и т. д.
4. Если два нормальных поля Ki и Кг имеют группы Галуа
@i>®2> то по их поведению относительно всех простых чисел,
как модулей, можно судить об их тождественности, родствен-
родственности или взаимной простоте. Для этого рассмотрим их ком-
композит К- Пусть его группа будет St. Пусть внутри К поля К%
и Ks принадлежат соответственно к группам фх и |>2. Дополни-
Дополнительные группы St/fh, 5fc/§2 изоморфны с ®и ©2. Обе группы %1у
ф2 взаимно просты, так как в силу части I, стр. 91, теоремы 60,
к их пересечению принадлежит композит полей Кх и Кг, т. е. К.
Пересечение К полей К\ и Кг принадлежит к композиту ф
групп фъ ф2. Из того, что Ki и Кг нормальные поля, следует,.
что $i и §2 суть нормальные делители группы К, в силу чего
их элементы перестановочны (см. часть I, стр. 37, теорема 24).
Таким образом _
Разложим St на смежные классы по $:
$ — ?_)-§5а +.'. .-f§Se. E.9)
Сопоставим с элементами этой группы элементы гомоморф-
гомоморфной с ней группы ?- = &!. Принимая во внимание, что в силу;
E8)
изоморфно с ?J, мы будем иметь
Su', E.10}
и аналогично для @8:
ПХ | А 1 Д- О // 1 | Л / О /С 1 "I \
Зададимся следующим вопросом: задано по автоморфизму
j группах ©1 и ©г полей К\ и Кг, Существует ли в поле К
гакой автоморфизм, который, будучи применен к величинам
яз полей К\ и Кг, произведет среди них заданные автомор-
)измы? Для решения этого вопроса выясним, лежат ли заданные
втоморфизмы в смежных классах разложений E.10) и E.11) -
одинаковыми номерами или с разными. Если с разными, то
опрос решается в отрицательном смысле. В самом деле, авто-
Цорфизм поля К, лежащий в смежном классе $oSt, вызывает
среди величин полей Кх и Кг автоморфизмы, лежащие соответ-
соответственно в смежных классах <р/ S2 и |J" 5,".' С другой стороны,
если заданные автоморфизмы лежат в смежных классах
с одинаковыми номерами, например, представляются в виде Т'5/
и Т" $/', где Т, Т'} — автоморфизмы группы ф/ и ф'2, то вопрос
решается в положительном смысле. В самом деле, в силу изо-
изоморфизмов §!~ф/ и ^j~ф2' можно найти в группах ?i и §2
автоморфизмы Ти Та, соответствующие соответственно Т и Т".
^огда автоморфизм Тг оставит величины поля Ki на местах,
а над величинами поля К2 произведет автоморфизм Т"; точно-
также автоморфизм Тх оставит величины поля Кг на местах,
а\над величинами поля произведет автоморфизм 7\. Из этого.
следует, что автоморфизм TxT-iSl удовлетворяет поставлен-
поставленным требованиям. •
5. Пусть в полях К\ и Кг задано по отделу автоморфизмов.
Требуется выснить, существуют ли простые числа р, принад-
принадлежащие к заданным отделам одновременно в обоих полях Кг
и Кг. Для решения этого вопроса узнаем, существует ли внутри

136
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. Ц
§6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО КЛАССАМ ПОДСТ. 137
этих отделов по автоморфизму, лежащему в смежных классах
с одинаковыми номерами в разложениях E.10) и E.11). В этом
случае, как мы видели, можно найти автоморфизм 5 поля К,
производящий над величинами полей К\, Кг эти автоморфизмы./
Всем автоморфизмам отдела, образованного автоморфизмом S\
будут внутри К\ и Кг соответствовать заданные отделы. Тогда^
найдя простое число р, принадлежащее внутри К к отдел}
автоморфизма 5 (в силу теоремы, 41 это всегда возможно),
удовлетворим условиям поставленной задачи.
Разберем могущие здесь встретиться частные случаи.
I. Если Ка есть делитель Къ то К~К\. Здесь для каждого
автоморфизма поля К\ мы получим вполне определенный
автоморфизм поля Кг- В частности, если р принадлежит внутри/A'i
к тождественному автоморфизму, то и внутри Кг оно должно
принадлежать к тождественному автоморфизму. /
II. Если А'гЧне входит делителем в Ki, то Ki является настоя-
настоящим делителем К §i. отлична от единичной группы. Простое
число/», принадлежа внутри К к отделу автоморфизма, лежащего
в §! и отличного от тождественного (и потому в силу взаимной
простоты <рь фз не лежащего в |>2) внутри Ki принадлежит]
к тождественному автоморфизму, а внутри Кг — к автомор-j
физму отличному от тождественного. Это позволяет нам
высказать следующую теорему: /
Теорема 43. Если заданы два нормальных поля К\, Ki,
то для того, чтобы Кг было делителем Къ необходимр
и достаточно, чтобы всякое простое число р, разлага-
разлагающееся внутри Ki на простые идеалы первой степенр,
разлагалось и!,внутри Кг на простые идеалы первой
степени.
В частности, поля К\ и Кг совпадают тогда и только
тогда, если совпадают множества простых чисел, разла-
разлагающихся внутри К\ и соответственно внутри Кг на
простые идеалы первой степени.
Эта теорема была впервые доказана Бауэром (М. Bauer);
Б. Н. Делоне применил ее к доказательству теоремы Кроне-
кера-Вебера об абелевых полях. _
III. Поля К\ и Кг взаимно просты. Тогда ? = ? = |>iX?2»
откуда следует, что существуют простые числа принадлежащие
в каждом из полей Къ Кг к независимо выбранным отделам
автоморфизмов. Этот результат был также получен Бауэром.
§ 6. Распределение простых чисел по классам подстановок
1. Для доказательства того, что простые числа распределяв/
ются равномерно (т. е. с одинаковой плотностью) по всем/
классам каждого отдела в любом алгебраическом поле, суще-j
ствует метод, носящий название расширения при помощи полей
деления круга. Этот метод состоит в рассмотрении полей,
образованных из заданного путем присоединения к нему неко-
некоторых корней из единицы. Распределение простых чисел по
классам такого поля соответствует их распределению по
некоторым прогрессиям. Если мы вдобавок будем уметь находить
плотность простых чисел внутри каждого отдела по прогрес-
прогрессиям, то рассмотрение целесообразно выбранных полей даст
нам возможность решить поставленную задачу.
При проведении доказательства я буду пользоваться упро-
упрощениями, предложенными в работах М. Ф. Кравчука и Шрейера
(О. Schreier).
2. Предварительно докажем несколько вспомогательных
теорем.
Теорема 44. Пусть К—нормальное поле «-ой степени.
Плотность множества простых чисел, принадлежащих
внутри К к тождественной подстановке и одновременно
лежащих в прогрессии /их-f-l. где т — произвольное
целое число, равна
т^
, где/rei—степень пересечения
полей К и k (е m ).
Доказательство. Степень композита обоих полей равна
—. Согласно теореме Кронекера, плотность множества
простых чисел, принадлежащих внутри этого композита к тож-
тождественной подстановке, равна — * _ . Но всякое простое
число, принадлежащее внутри объемлющего поля к тожде-
тождественной подстановке, принадлежит к ней и внутри делителей
лоля. '
С другой стороны, композит двух делителей поля принад-
принадлежит к пересечению подгрупп, к которым принадлежат эти
делители, и вместе с тем к единичной группе, так как основным
полем является тот же композит. Поэтому простое число,
принадлежа к единичной подстановке внутри К и k (e m ), принад-
принадлежит внутри их композита к классу, лежащему внутри обеих
подгрупп (обе они нормальны), и в силу их взаимной простоты
к единичной подстановке. Таким образом равна .\ плот-
плотность множества простых чисел, одновременно принадлежащих
2д/
к единичной подстановке внутри полей К и k (e m ). Но в силу
главы I, §Д2, принадлежность простого числа к единичной под-
подстановке внутри k (e m ) равносильна его вхождению в про-
прогрессию тх-\-1. Этим и доказывается справедливость теоремы.

,_ .„„. ..„ ,«ш»ши 1ГЙ. IV
3. Эту теорему нетрудно распространить на алгебраические
поля общего типа. Пусть К\ — произвольное алгебраическое
поле, имеющее с полем k (eOTl) пересечение Ki степени ти
Тогда композит Ki k имеет над Кг относительную степень
^—?ip. Если примитивные величины <хх и & полей Кх и
удовлетворяют уравнениям соответственно
f(x) = O,
то каждому корню первого уравнения соответствует / корней
второго уравнения, получаемых один из другого при помощи:
подстановок относительной группы поля К\ ^-. Поэтому, если,
простое число р таково, что сравнение
/(*) Е 0 (modp)
F.1>
имеет vp рациональных корней, то могут встретиться два случая:.
1. р есть число вида km-\-l. Тогда сравнение
хт = 0 (modp), F.2).
гдедст — неприводимый полином, корнем которого является ет,
имеет все рациональные корни, а потому сравнение
F(y) E 0 (modp), F.3)
корни которого рационально выражаются через корни срав-
сравнений F.1) и F.2), будет иметь / • vp рациональных корней.
2. р есть число вида km-\-l, 1ф\. Тогда сравнение F.2) не
будет иметь рациональных корней. Но так как корни сравнения
F.2) рационально выражаются через корни сравнения F.3), та
последнее тоже не будет иметь рациональных корней.
С другой стороны, сравнение F.3) имеет рациональные корни
только в том случае, если это имеет место для F.1). Поэтому
формула Кронекера D.32) для уравнения F(y) = 0 будет иметь вид.
S — 1
или
F.4>
где сумма в левой части распространена на простые числа^ р:
1) имеющие в поле Ку простые идеальные делители первой
степени и 2) удовлетворяющие сравнению
р Е 1 (mod m). F.5)
Если же мы отбросим второе условие, то формула Кроне-
кера для поля Ki будет иметь вид
F.6>
В сопоставлении формул F.4) и F.6) и состоит обобщение-
теоремы 44.
3. Чтобы доказать равномерность распределения простых
чисел, разлагающихся на простые идеалы первой степени, по
другим прогрессиям mx-\-s, введем понятие допустимого-
класса сравнений по модулю т.
Допустимым для поля Кг классом а сравнений по модулю т
называется такой класс, что в поле Ai существует идеал о,,
удовлетворяющий сравнению
= a (mod m).
Легко понять, что допустимые классы образуют абелеву
группу относительно умножения. Порядок F этой группы удов-
удовлетворяет неравенству
F.7>
где тх —i^—L — степень пересечения щ поля К\ с k (em). В са-
¦ш
мом деле, внутри поля k (ет ) автоморфизмы поля Галуа соответ-
соответствуют классам сравнений по модулю т. Пусть kx принад-
принадлежит к подгруппе порядка /. Выберем из нее любой авто-
автоморфизм, который пусть соответствует какому-нибудь классу;
сравнений а. Докажем, что этот класс допустим для &,.
•Ш ¦
Пусть внутри Kk (ет) (К—норма К\)
поле К\ принадлежит к группе §
п k(em) . ~ .' . Я
нормальные делители
группы © поля Kk{em).
Й1 > Я. Группа -дг изоморфна с группой допустимых классов-
Я есть композит групп Я и §. Это означает, что любой авто-
автоморфизм 5 группы Я1 может быть получен перемножением^
элементов из § и из Я.
2ти
Выберем простое число р, принадлежащее внутри Kk {em) к
отделу автоморфизма S. Один из автоморфизмов этого отдела, при-
приложенный к величинам поля К, не меняет величин поля Kin,

140
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§ 6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО КЛАССАМ ПОДСТ. 141
в силу чего р содержит внутри Ki простые идеальные
тели первой степени. Пусть ф один из них. Тогда
дели-
С другой стороны, примененный к полю е т автоморфизм 5 про-
производит любой автоморфизм группы -J-.. Отдел же автомор-
2тс/
¦физма 5 производит внутри ет степени выбранного из ~
автоморфизма, взаимно простые с /, в силу чего мы будем
иметь
РЕа' (mod«), (*,/)-1.
Удовлетворяя сравнению
и Е 1 (mod/),
мы будем иметь:
= р" = а* ¦ иа Е a (mod m),
что доказывает, что класс сравнений а допустим. Таким образом
¦существуют по крайней мере / допустимых классов сравнений,
т. е. имеет место неравенство F.7). Впоследствии мы докажем,
что имеет место просто F—f.
4. Выделим из группы % допустимых классов подгруппу 2Ц
классов, которые мы назовем допустимыми в узком смысле.
Будем говорить, что а есть допустимый в узком смысле класс,
«ели внутри поля К\ существует целое число а, для которого
имеет место \N{a)\ E:a(mod/n). Очевидно, что совокупность
допустимых классов сравнений для одного идеального класса
поля К\ есть смежный класс разложения % по 51Х. Ассоцииро-
Ассоциированные числа, т. е. отличающиеся множителем—единицей е поля,
лежат в одном и том же классе. В оамом деле, |М(в)| = 1.
5. Теперь обратимся к § 4 и построим функцию, аналогичную
^функции Cs(s), но с учетом тех классов сравнений, в которых
лежат целые числа поля. Если ш0, шь ..., ш„_1 есть фундамен-
фундаментальный базис поля Ки и с0, Сг, ... , с»_ i (целые рациональные)—
•координаты целого числа
= с0 ш0
сп _ 1 а)„ _ 1
то для двух чисел а, а' сравнение
а = а' (mod m)
имеет место тогда и только тогда, если для их координат
имеет место
с{ — с[ (mod m)
г = 0,1, ..., п — 1).
Обозначим через v число несравнимых по модулю т чисел
поля, удовлетворяющих условию
|W(a)| = l (modm); F.8)
пусть аи <х2, ..., а„ будут представители таких чисел. Если а.
есть любой допустимый в узком смысле класс, то сравнение
|Ea (mod m) F.9)
будет тоже - иметь v несравнимых между собой решений,.,
которые можно получить, умножая одно из решений сравнения
F.9) на все решения сравнения F.8).
Если мы таким образом выделим в каждом допустимом классе
по v фиксированных решений и обозначим через Ft числоч
допустимых (в узком смысле) классов, то всяТсое взаимно про-
простое с т число поля К\ может быть представлено в форме
где Р — один из выбранных нами F& представителей.
6. Выберем какого-нибудь определенного представителя ?:
и рассмотрим сумму
где а пробегают всевозможные числа типа F.10), причем от
ассоциированных друг с другом чисел а мы будем брать по одному
представителю. Для этого будем поступать так же, как мы эта
делали в § 4.2. Только вместо неравенства D.4) мы получим
или
[т
да, 4-
wl 1 • • *
-!• -г!
J
Неравенства же D.7) будут в силу своей однородности
нулевого измерения иметь тот же вид.
Полагая в этих неравенствах
где
п — 1),
F.13)
• т = -
т
-я»
мы приведем неравенства, подобные D.4) и D.7), к виду
"(V
) (),
п-1««-1 j
F.14)

142 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [гл. II
Увеличивая t до бесконечности, мы для оценки искомого
предела lim is получим то же выражение D.25), с тою разни-
разницей, что здесь
в силу чего искомое выражение получается в тп раз меньше.
HmZU.l
lm
t—*co t
mn
w
' mn
F.16)
Кроме того, мы здесь будем иметь член —.выражающий,что
начало отсчета в решетке сдвинуто. Но так как этот член с воз-
возрастанием t стремится к нулю, то на величину объема он не
оказывает влияния.
Суммируя левую часть по всем v решениям сравнения F.9),
мы получим для - '
значение
lim —т- = —-
t mn
F.17)
не зависящее от выбора допустимого класса а.
Точно так же для определения выражения F.17), соответ-
соответствующего любому идеальному классу поля Ки мы выбираем
базис числа а, лежащего в обратном идеальном классе (см. § 4.2),
и получаем то же выражение F.17). В силу этого (см. § 4.4)
каждая сумма SAf(a)~8, распространенная на идеалы опреде-
а
ленного идеального класса и определенного допустимого класса
сравнений, имеет следующее выражение:
V
тп
тП ' в
F.18)
7. \Мы уже видели, что каждому идеальному классу соот-
соответствует определенный смежный класс Aid, в котором лежат
нормы его идеалов. Идеальные классы, у которых нормы идеалов
лежат в Аи составляют группу Ни так как, если нормы идеалов а
и Ь, принадлежащие к идеальным классам А и В, лежат
в группе Ни то это же имеет место и для произведения аЪ.
Пусть порядок этой подгруппы идеальных классов будет ht.
Тогда идеальные классы, у которых нормы идеалов лежат в Ai a,
составляют смежный класс разложения группы идеальных
§ 6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО КЛАССАМ ПОДСТ. 143
классов по Ни а потому число таких идеальных классов тоже
равно hv Если поэтому мы объединим суммы F.18), распро-
распространенные на идеалы всевозможных идеальных классов, но
нормы которых будут лежать в определенном классе сравнений,
то каждая такая сумма будет иметь выражение
-1). F.19)
т/1 о« __
Различных сумм такого рода всего будет F.
8. Рассмотрим для группы А систему характеров (см. § 3.4)
и введем обозначение х(а) Для характера класса сравнения,
в котором лежит норма идеала а. Умножая каждую сумму F.19)
на соответствующий характер и складывая, мы в силу C,18)
получим:
^ ^ ± F.20)
F.21)
где суммы распространены на все взаимно простые с тп идеалы
поля Ки а х(<0 в формуле F.21) обозначает не главный характер.
Рассуждая так же, как при получении формул C.29), мы
получим:
{2 } F.22)
F.23)
где суммы распространяются на все простые идеалы поля Кг,
за исключением конечного числа делителей числа т. Обозначая
через ?, простые идеалы, нормы .которых лежат в классе
сравнений а{, мы сможем переписать формулы F.22) и F.23) так:
2 ад
^P(s—1),
¦2aw4-.'.-+2
F.24)
— 1). F.25)
Принимая же во внимание, что в каждой сумме все члены,
соответствующие простым идеалам выше первой степени, дают
вместе Р (s — 1) и что каждое простое число р представлено
в суммах такое число vp раз, сколько простых идеалов первой

144
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§ 6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО КЛАССАМ ПОДСТ. 145
степени оно содержит (см. 4.4), мы представим формулы F.21),
F.25) в следующем виде:
F.26)
F.27)
Суммируя F.26) и F.27) почленно по всем характерам и при-
принимая во внимание C.20), мы получим после деления на F
F.28)
В этой формуле знак равенства может иметь место только
в том случае, если он имеет место во всех формулах F.26)"
(см. § 3.7). Но, с другой стороны, обращаясь к формуле F.4),
мы убеждаемся, что ее левая часть совпадает с левой частью
формулы F.28); отсюда следует:
1
1
т. е.
Сравнивая с F.7), получаем:
Далее, формула F.4) дает
F.29)
а это есть не что иное, как формула F.28) со знаком равенства.
Поэтому во всех формулах F.26) должен иметь место знак
равенства. Рассуждая так же, как в § 4.6, мы получим
*= 1,2,
F.30)
т, е. получаем, что простые идеалы первой степени любого
алгебраического поля равномерно распределяются по всем допу-
допустимым классам сравнений.
9. Пусть К — нормальное поле, © — его группа Галуа порядка
п, S— ее автоморфизм порядка/. Чтобы определить плотность
множества простых чисел, принадлежащих к классу автомор-
автоморфизма S, выберем простое число р, удовлетворяющее условию
где и —некоторый весьма большой показатель, и рассмотрим
поле kp = к I е р /. Это поле имеет циклическую группу Галуа
порядка р — 1 =/" • v, которую мы обозначим через U.
Группа композита Kkp изоморфна с прямым произ-
произведением
Выберем внутри U произвольный автоморфизм U, ограничив
его лишь условием, что его порядок ш делился на /. Для каж-
каждого о) будет существовать <р (<о) таких автоморфизмов. Рассмо-
Рассмотрим автоморфизм SU группы % образованную им циклическую
группу 3 и принадлежащее к последней внутри КК, поле Ki.
Если класс S состоит из nf автоморфизмов группы ©:
S,
» = 0,1, ..., «/
среди которых могут встречаться и степени автоморфизма S),
а отдел S состоит из kf классов
о о а с а'
то внутри группы R класс SU будет" состоять из nf автомор-
автоморфизмов
SJU, (г = 0, 1 ..., Л/-1), F.31)
а отдел SU—аз ср(ш) классов
Off C^f/P Cr//P 1С QO\
bjU, oi и , Oj и , ..., (o.ozj
где числа р, fJ', ... будут пробегать все взаимно простые с ш
вычеты- по модулю <о. В формуле D.32) для поля Ал
,p-s = \g~-^ + P(s — 1), F.33)
где сумма распространена на простые числа, принадлежащие
к различным степеням класса StU. Стоящий в такой степени
StaUa множитель Ua указывает, в каком классе сравнений лежит
принадлежащее к классу SfU* простое число р. Для поля К\
допустимые классы сравнений соответствуют степеням U, U2,
, Uw , а потому их число равно <о, и если мы распространим

146
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§ 6J РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО КЛАССАМ ПОДСТ. 147
сумму на один из таких классов сравнений, то в силу F.30)
получим:
^\LL 46.34)
Если мы выберем в качестве if такую степень, что (а, а>)=1, т.е.
что if1 тоже имеет порядок ш, то этим выбором мы- указываем,
что р принадлежит к отделу StU. Более того, так как все мно-
множители Lr в выражениях F.32) различны, то мы выбором а
однозначно определяем класс автоморфизмов, к которому могут
принадлежать простые числа, входящие в сумму F.31), так что
сумма F.34) может быть преобразована к следующему виду,
получаемому из формулы E.5), если мы положим в ней
?(<*)
п
? Hi
nf"v,
я/"©
nd—+nf,
F.35)
Pf
так как остальные суммы в левой части E.5) не будут содер-
содержать никаких членов р~*. В левой части F.35) сумма распро-
распространена на pf, принадлежащие к определенному классу S" вну
три К и одновременно лежащие в определенном классе сравне-
сравнений Ц* по модулю р. Формулу F.35) можно также переписать
так: '
-1). F.36)
Pf
В частности, возьмем а = 1.
Если мы фиксируем класс St и заставим U пробегать все
автоморфизмы группы U, порядок которых ш делится на /, то
получим =»/"??—/г> + 1 формул, подобных F.36), в которых
суммы распространены на простые числа, принадлежащие
к одному И тому же классу St автоморфизмов, но лежащие
в различных /*» — fv-\-1 классах- сравнений по модулю р. Сум-
Суммируя эти формулы, мы в силу независимости их правых частей
от ю получим:
—1\ п
= * Ль™ „ 'g
1
ri
F.37)
Pf
где сумма не исчерпывает всех простых чисел, принадлежащих
внутри К к классу St. Выбирая и все больше и больше, мы
будем заставлять выражение в правой части в F.37) стремиться
к единице, в силу чего, обозначая через lim нижний предел,
получим:
2/V
lim
F.38)
s-l
Аналогичные неравенства мы получим для простых чисел, при-
принадлежащих к каждому из kf классов отдела St.
Обозначая через lim верхний предел и через ?ь S2, •••» 2*;
суммы, соответствующие простым числам, принадлежащим
к отдельным классам нашего отдела, мы будем иметь в силу E.7):
Ш
1 —
lim
fc
1- — lim
"S — 1
tit Tit
n
n
откуда окончательно:
Нщ
n
F.39)
's — 1
Эта формула дает искомое выражение для плотности.
10. Можно поставить вопрос также о плотности множе-
множества простых идеалов, принадлежащих уже не к классу,
а к определенному автоморфизму, и выражение для плотности
выиграет в простоте.
Для этого прежде всего заметим, что каждое простое число р,
принадлежащее к классу автоморфизма S, всегда содержит
простые идеальные множители, принадлежащие к каждому
автоморфизму этого класса. Число такого рода простых идеалов,
входящих в норму
N № = $ • $Sa... .?S" = pf F.40)
равно порядку нормализатора автоморфизма S. В самом деле,
если идеал р принадлежит к S, то идеалу * принадлежит к 5г—1
а равенства
S

148
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§ 6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО КЛАССАМ ПОДСТ. 149
требует принадлежности St к этому нормализатору. С другой
стороны, индекс этого нормализатора относительно © равен
числу различных автоморфизмов класса S, т. е. nJt откуда поря-
порядок нормализатора равен ?-. Но так как в выражение F.40)
каждый идеал входит / раз, то число различных простых иде-
идеальных делителей числа, принадлежащих к автоморфизму S,
равно
П F.41)
п =
/
л
Поэтому, если эти простые идеалы суть
и если мы подставим в сумму F.39) вместо р одно из выра-
выражений
то сумма
распространенная на все простые идеалы, принадлежащие к S,
в а раз больше суммы, входящей в F.39). Таким образом мы
получим для этой суммы следующее выражение:
lim ~ 1 "\г" = a-f=l F.42)
и мы приходим к теореме:
Теорема 45. Множество простых идеалов, принадле-
принадлежащих к автоморфизму S, имеет плотность у, где / —
порядок автоморфизма 5 или, что то же, степень этих
простых идеалов.
II. В качестве приложения докажем теорему Гильберта
& существовании бесчисленного множества простых идеалов
с заданной вычетностью. Пусть k — нормальное поле, содержа-
содержащее /-ые корни из единицы, где /—простое число; а —целое
число поля k, р— простой идеал, /— его степень, pf— его норма.
Если а не делится на % то в силу обобщенной теоремы Ферма
/-1Е1 (mod*).
Из того, что к содержит /-ый корень С из единицы, следует,
что pf —1 делится на /. В самом деле, наименьший показатель d,
дающий для отдельных чисел C поля k
p'El (mod«P),
есть всегда делитель pf— 1; но для С таким наименьшим пока-
показателем является /.
Из сравнения F.43) следует:
« l E Cc (mod $).
Корень ^из единицы Сс обозначается символом
образом
(modsp).
и таким
F.44)
Для того, чтобы а было сравнимо по модулю $Р с /-ой сте-
степенью числа из k (было вычетом /-ой степени), необходимо и
достаточно, чтобы имело место
Необходимость этого условия очевидна. Достаточность следует
из того, что мультипликативная группа вычетов по модулю %,
которые образуют конечное поле порядка pf, циклическая
(см. часть I, теорему 86). В самом деле, элемент циклической
f Л
группы порядка pf — 1, имеющий порядок
f Л
, является/-ой
степенью другого элемента.
Рассмотрим поле, полученное присоединением к к величины
Сопряженные с р1 величины можно представить в таком виде:
При возведении р в pf-ую степень она переходит в вели-
величину, сравнимую по модулю ф с сопряженной величиной
'
!)•
В самом деле,
F.43)

150
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
§ 6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ПО КЛАССАМ ПОДСТ. 151
Таким образом значение символа (^] характеризует принадлеж-
принадлежность Ф к определенному автоморфизму относительного поля
Теорема Гильберта может быть формулирована так:
Теорема 46. Дано t целых чисел поля к:
аь а2,..., а,,
притом так, что произведение
ajmi a2m>... txtmt
может только тогда быть /-ой степенью числа из к,
если каждое из чисел ти тг,... ,mt делится на /. Произ-
Произвольно задав t 1-ых корней из единицы:
можно найти в k бесчисленное множество простых
идеалов ф, удовлетворяющих условиям
«1
Доказательство. Будем искать ф среди простых идеалов
первой степени (/=1); иначе говоря, эти идеалы будут внутри
k принадлежать к единичному автоморфизму.
Предварительно докажем, что. поле Л (Pi, р2, ••¦,&) имеет сте-
степень /' относительно k, если
i г _ г _
Pi = \/«ь Рг = \/*ь ¦ ¦ ¦, Р, = v4-
Если бы эта степень была ниже, то одно из уравнений
должно было быть приводимым в поле, образованном из k при-
присоединением корней остальных уравнений. В силу нормальности
этого уравнения, оно должно распасться на множители оди-
одинаковых степеней; но так как / есть простое число, то сте-
степени могут быть только первыми.
Поэтому каждый корень этого уравнения рационально
выражается через корни остальных уравнений.
Пусть каждое из первых v уравнений остается неприводи-
неприводимым после присоединения корней остальных уравнений, в то
время как pv + i рационально выражается через Pi, р2,. ..tPv:
Перепишем формулу F.45) так:
г —1
Тогда относительнаяЗ группа поля к (Pi, Ра, • • •. Pv ) имеет поря-
порядок 2V и является прямым произведением циклических групп
/-го порядка, образованных степенями автоморфизмов
F.46)
Применим кF.46)автоморфизм оь переводящий Pi в CPi и остав-
оставляющий остальные р/ на месте. Тогда pv + i% должно перейти
в другой корень уравнения
пусть это будет CcPv + i. Тогда
г—1
или
г—1
= 0
Полученное равенство опять подвергнем автоморфизму оьи т.д.,
и просуммируем полученные формулы. Получим:
Поступая аналогично с р2 Pv, мы приведем соотношение
F.45) к виду
Возведя его в 1-ую степень, получимг
что противоречит условиям теоремы.
Таким образом группа Галуа поля &(рь р2,..., РО имеет поря-
порядок V и является прямым произведением циклических групп
/-го порядка, образованных степенями автоморфизмов
= (Pi
= (Р2 — Ср2), •. •, а, =
каждый из которых, о{, меняет только одну величину, Pi? остав-
оставляя остальные на месте. Возьмем автоморфизм
— ?(Pn Рг,-- -.Pv)«
F.45)
0=0,01,

152
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
[гл. II
где показатели cv c2,...,ct заданы в условии теоремы. В силу
теоремы 45 в поле кфи...,$() содержите я бесчисленное множе-
множество простых идеалов % принадлежащих к автоморфизму а.
Для них имеет место
Pi'ECft (mod ф) (г = 1, 2,..., f).
Преобразуя эти сравнения при помощи любого автоморфизма
нашей относительной группы Галуа, мы перейдем к таким же
сравнениям по модулю сопряженных с $ простых идеалов. Все
сопряженные с % внутри к (^ р,) простые идеалы принадлежат
к тому же автоморфизму о, так как относительная группа
абелева. Поэтому все выражения
делясь на все сопряженные с Зр внутри k($u...,&) идеалы,
делятся и на простой идеал $i поля к, делящийся на ф, и мы
получим
откуда следует
ч. и т. д.
12. Для выражения сумм
Ер-
распространенных на простые числа, принадлежащие к опре-
определенному классу автоморфизмов, изложенным методом удалось
найти главный член
Теорема 1 9
УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ
Стр.
2
3
4.
5.
6.
7.
7а
8.
9 .
10.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
9
10
10
13
13
14
19
22
25
26
26
26
32,44
32
33
34
34
37
39
42
43
43
48
49
Теорема 24
24а
*
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Стр.
55
56
56
57
61
61
63
64
71
75
82
85
87
89
91
92
96
119
134
134
136
137
148
150
п
—Г
но не удалось оценить остаточного члена. Артин (Е. Artin) полу-
получил более точную формулу
Соображения Артина основаны на результатах теории полей
классов и в частности на артиновском общем законе взаим-
взаимности, а потому не могут быть воспроизведены в настоящей
части книги.
В следующей части я надеюсь изложить теорию относительно-
абелевых полей, в которую входит и теория классов, и связать
ее с результатами, полученными в последнее время по теории
алгебр (или гиперкомплексных чисел).

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
155
По теории алгебраических чисел и идеалов на русском языке имеются
следующие книги:
Д. А. Граве. Арифметическая теория алгебраических величин. Часть L
Квадратичная область. Киев, 1910 (литогр.).
В. П. В е л ь м и н. Теория алгебраических чисел. Варшава.
Е. Г е к к е. Теория алгебраических чисел. Харк1в—Кн1ев, 1934 (укр.).
' Главнейшие книги на иностранных языках:
G. L e j e u п e-D irlchlet (Dedeklnd). Vorlesungen fiber Zahlentheorle..
4. Aufl, Braunschweig, 1894.
В последнем дополнении этой книги изложены основы теории идеалов,
послужившие началом для развития современной теории алгебраических чисел.
Н. Weber. Lehrbuch der Algebra. Bd. 2. 2. Aufl. Braunschweig, 1899.
D. Hllbert. Die Theorle der algebralschen ZahlkOrper. Jahresber. D. M. V. 1
1897). Также Qes. Abh. 1, стр. 63—ЗбЗ („Zahlberlcht").
Обширная монография, содержащая почти все результаты того времени и,
главным образом, исследования самого Гильберта.
В ней содержатся в частности идеи теории полей классов. Написана
¦ конспективно.
P. Bachmann. Zahlentheorie. Bd. 5. Arlthmetik des allgemeinen Zahlkdr-
pers. Lpz., 1905.
Большой курс, содержащий детальную теорию Дедекиндовых моаулей.
К. Н е п s е 1. Theorie der algebraischen Zahlen. Lpz., 1908.
Оригинальный по идее курс, осиоваиный на разложениях алгебраических
чисел в расходящиеся степенные ряды (р-адические числа).
R. Fuet'er. Synthetische Zahlentheorie. Lpz., 1918.
E. Landau. Elnffihrung in die elementare und analytische Theorie der alge-
algebralschen Zahlen und der Ideale. Lpz. u В., 1918.
Небольшая книга, содержащая краткую теорию идеалов, но главным образом
посвященвая деталям аналитической теории идеалов.
Е. Н е с k e. Vorlesungen tiber die Theorie der algebraischen Zahlen. Lpz. u
В., 1923.
Очень изящный курс, построенный на широком употреблении теории
абелевых групп, конечных и бесконечных. Содержит вывод известной формулы
Гекке.
Е. Landau. Vorlesungen iiber Zahlentheorie. Bd. 3. Aus der algebraischen
Zahlentheorie und iiber die Fermache Vermutung. Lpz., 1927.
Книга, написанная характерной для автора особой конспективной манерой.
Содержит исследования А. Туэ о приближении непрерывных дробей к алгебраи-
алгебраическим числам с применением к неопределенным уравнениям. Ее большой отдел
о теореме Ферма содержал бы все самое важное, если бы автор не избегал
теории групп.
Позднейшая теория алгебраических чисел группирует свои интересы вокруг
теории полей классов. В этой области учебников пока нет, но существует
несколько фундаментальных обзоров и журнальных статей:
Т. Т a k a g 1. Ober elne Theorie des relatlv Abel'schen ZahlkOrpers. Joura. ColL
Sc. Tokyo, 41 A920).
T. T а к a g i. Ober das Rezlprozltatsgesetz in einem belleblgen algebraischen
ZahlkOrper. Journ; Coll. Sc. Tokyo, 44 A922).
H, H a s s e. Berlcht tiber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie
der algebraischen ZahlkOrper:
Teil I: Klassenk6rpertheorie. Jahresb. DMV, 35 A926).
Tell la: Bewelse zu Teli I. Jahresb. DMV, 36 A927).
Teil II: Reziprozltatsgesetz. Jahresb. DMV, Erganzungsband 6 A930).
H. Hasse. KlassenkOrpertheorle, 1933 (литогр. курс).
СI. Cheval ley. Sur la theorie du corps de classes dans Ies corps finis et
les corps locaux. These, 1934.
Литература к отдельным параграфам:
Глава I
§ 3. Zolotareff. Sur la theorie des nombres complexes. Journ. de math. C)
6 A880).
H. Чеботарев. Новое обоснование теории идеалов (по Золотареву).
Изв. Каз. Ф.-М. О. C1) 1 A925).
§ 5. N. TschebotarOw. Kurzer Beweis des Dlskriminantensatzes. Acta
Arlthm. 1 A935).
В наиболее общей формулировке, далеко выходящей за пределы теории
алгебраических чисел, доказательство дано у
Е. N о е t h е г. Der Dlskrlminantensatz fur die Ordnungen eines algebraischen.
Zahl-oder FunktionenkOrpers. Journ. fur Math., 157.
§ 7. H. M1 ri k о w s k 1, Geometrle der Zahlen. Lpz., 1899.
§ 8. D. Hllbert. .Zahlberlcht".
H. Чеботарев. Доказательство теоремы Kronecker'a-Weber'a относительно
абелевых областей. Мат. сб. 31 A923).
A. Spelser. Die Zerlegungsgruppe. Journ. fur Math., 149 A920).
R. F u e t e r, Abelsche KOrper in quadratlsch Imaginaren ZahlkOrpera. Math-
Ann., 75 A914).
§ 10. D. Hllbert. „Zahlbericht".
§11. Stlckelberger. Verh. des I Int. Math.-Kongr. Zurich, 1897.
G. Voronof. Verh. des III. Int. Math.-Kongr. Heidelberg, 1904.
§. 12. Mirimanoff. 1
K. H e n s e 1. J
Journ. fur Math. 129-
Глава II
§ 1. I. Schur, Sltzber. Berl. Akadem., 1922.
§ 2. B. L. van der Waerden. Ein Iogarithmenfreier Beweis des Diricb-
letschen Elnheltssatzes. Abh. Hamb., 6 A928).
В применении к квадратичным полям см.
Lejeune-Dirlchlet. Vorlesungen fiber Zahlentheorle. 4 Aufl. Braun-
Braunschweig, 1894.
В применении к кубическим нолям:
Г. Вороной*. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей.
Варшава, 1896.
§ 3. Н. W e b e r. Lehrbuch der Algebra. Bd. 2. 2. Aufl., Braunschweig, 1899.
§ 3. 11. L. К г о п е с k e r. Vorlesungen fiber Zahlentheorle. Lpz., 1901.
F. Mertens. Dirlchlet's Beweis des Satzes, dass... Sitzber. Wiener Akad.,.
106 A897).
N. TschebotarOw. Studien fiber Primzahlendichtigkelten I, II, Изв. Каз.
Ф.-М. О. C) 2 A927), 3 A928).
§ 4. Н. W e b e r. Lehrbuch der Algebra, Bd. 2. 2. Aufl. Braunschweig, 1899.
§ 5. L. Kronecker. Ober Irreducibllltat von Glelchungen. Monatsber. Berl.
Akad., 1880.
Q. Frobenlus. Ober Bezlehungen zwischen den Primldealen eines alge-
algebraischen ZahlkOrpers und den Subsiitutionen seiner Gruppe. Sltzber. Berl. Akad.,.
1896.

156
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Е. Landau. Vertellung der Primzahlen in den Idealklassen. Math. Ann., 63
{1906).
§ 5. 5. M. В a u e r. Arch, der Math, und Physlk. C) 6 A903).
B. Delaunay. Zur Bestlmmung der Zahlkorper durch Kongruenzen; eine
Anwendung auf die Abelschen Gleichungen. Journ. fflr Math. 152.
§ 6. H. Чеботарев. Определение плотности совокупности простых чисел,
принадлежащих к заданному классу подстановок. Изв. Росс. акад. наук, 1923.
N. Tschebotarow. DieBestimmung derDlchtigkelt elner Menge von Prlra-
zahlert, welche zu elner gegebenen Substitutionsklasse gehoren. Math. Ann. 95A925).
M. Кравчук. Розпод1л перв1сних чисел по п1дставленнях групп алгебрич-
ного р1вяяння. ВУАН. 1926.
О. S с h r e i е г. Ober elne Arbeit von Herrn Tschebotarow. Abh. Hamburg,
5 A926).
O. S с h о 1 z. Die Abgrenzungssatze fur Kreisk6rper und KJassenkorper. Sitzber.
Bed. Akad., 1931.
M. Deurlng. Ober den Tschebotareffschen Dichtigkeitssatz. Math. Ann.,
110 A934).
" 6. 11. D. Hllbert. „Zahlberichf.
Tschebotarow. Der Hilbertsche Satz. BY AH, 1922.
6. 12. E. Art in. Ober eine neue Art von L-Reihen. Abh. Hamb., 3 A923)
. Artin. Bewels des allgemeinen Reziprozitatsgesetzes. Abh. Hamb., 5 A927)
Здесь указаны страницы книги, на которых приводимые термины упомянуть)
или разъяснены.
Алгебраическая единица 19, 91
.Алгебры" 152
Арифметическая теорема монодромии
63
Ассоциированные числа 19
Базис идеала 36
Базис поля 12
Базис фундаментальный 15
В
Вполне критическое простое число 64
Вычет квадратичный 74
Вычет степенной 149
Гиперкомплексные числа 152
Главный идеал 35
, класс 82
, характер 113
Группа инерции 57
, разветвления 58
» разложения 57, 71
Д
Двучленный идеал 37
Делимость по модулю 21
Делитель идеала 35
Дивизор простой 32
Дискриминант поля 19
„ системы 13
Допустимый класс сравнений 139
Допустимый (в узком смысле) класс
сравнений 140
Дробь непрерывная 102
Дробь подходящая 102
Единица алгебраическая 19, 91
, основная 92
Закон взаимности квадратичный 78.
. , общий 152
И
Идеал 35
. главный 35
Идеальное число 21
Идеальный класс 82
Индекс поля 19
, числа поля 19
Иррегулярное крит. простое число 32
К
Квадратичный вычет 74
„ закон взаимности 78
Класс идеалов 82
, сравнений 41
, сравнений допустимый 139
, сравнений, допустимый в узкой
смысле 140
Кольцо 89
Координаты алгебраического числа 12
Критическое простое число 32
Л
Локальные свойства 21
Н
Непрерывная дробь 102
Норма дивизора (идеала) 32
числа 11
О
Общий закон взаимности 152
„ наибольший делитель идеалов
35
Основная единица 92
Отдел автоморфизмов 130

158
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
п
Плотность совокупности 119
Подходящая дробь 102
Поле инерции 61
Поле простейшее 19
Принадлежность простого идеала к
автоморфизму 72
Принадлежность простого числа к
классу автоморфизмов 72
Произведение идеалов 36
„ идеальных классов 84
Простейшее поле 19
Простой дивизор (идеал) 32
/;-взаимиопростые числа 26
р-порядок числа 22
р-простое число 26
Регулярное крит. пр. число 58
Регулятор 99, 100
След числа 11
Сравнения по идеальному модулю 38
Степенной базис поля 12
Степенной вычет 149
Степень простого идеала 42
Т
Теорема моиодромии, арифметичес
Тождество Эйлера 109
Ф
Фундаментальный базис 15
Характер абелевой группы 112
Характер главный 113
Ц
Целое алгебраическое число 9
Ч
Число, целое алгебраическое 9
Я
Якобиан 123
Страница
23
31
69 I
. Г
72
3 |
73 J
80
94 .
112
112
112
149
Строка
5 снизу
6 сверху
1 ,
4 .
19 снизу
7 .
6 * •
12 сверху
7 сверху
9 .
ю „
И ,
и „
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
--
/ 1
Чевотарев — Теорм Галуа.
Напечатано
* \
/i («)
рГ-+г+..-нк
¦ • ¦.
¦*> ..
?Щ*^ ¦
=a,xs2^..x3t
я,?'
¦я, .
Следует читать
•«*
X
$*v
/i(a)
рГН-Л+.-.-fc/ft
^^.х&х...
а
a ' ЕШ
3*
1
По чьей
вине
редактор
„
. ТИП.
я
я
в
II
в
я
редакто{
• ТИП.
•
я

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие •>
Введение . . . * 8
Глава I. Элементарная теория идеалов
§ 1. Целые алгебраические числа . . i 9
§ 2. Базис и дискриминант поля 12
§ 3. Идеалы 19
§ 4. Сравнения по идеальным модулям 38
§ 5. Критические простые числа и дискриминант поля . 44
§ 6. Лемма из теории линейных форм 49
§ 7. Теорема Минковского 55
8. Группа инерции. Теорема монодромин 57
9. Абелевы поля и поля деления круга 64
A0. Группы разложения 71
i 11. Теорема Штнкельбергера—Вороного . 74
i 12. Группы разложения в полях деления круга. Закон взаимности ... 77
Глава II. Аналитическая теория идеалов
§ 1. Идеальные классы. Конечность их числа 82
§ 2. Единицы алгебраических полей 91
§ 3. Аналитические функции Риманна и Дирихле 109
§ 4. Функция Дедекинда 120
§ 5. Распределение простых чисел по отделам подстановок 130
§ б. Распределение простых часел по классам подстановок 136
Указатель теорем 153
Указатель литературы 154
Указатель терминов 157
Ответственный редактор Н. С. Смирнов Технический редактор А. М. Усова
Сдано в набор 11/V 1937 г. Подписана к печати 22/IX 1937 г.
Формат 60X92. Изд. № 243. Бум. листов 5, печ. листов 10. Тип. зн. в 1 бум. л.
Леиоблгорлнт № 3439. Тираж 3000. Учет. авт. л. 9,13 Заказ № 1727.
1-я тип. нзд-ва Ленобл исполкома и Ленсовета. 2-я Советская, 7