МАТЕМАТИКА в МОНОГРАФИЯХ
В. А. ВЕНКОВ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ОНТИ•НКТП• СССР -19 3 7

МАТЕМАТИКА В МОНОГРАФИЯХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
акад. С. Н. БЕРНШТЕЙНА, акад. И. М. ВИНОГРАДОВА,
проф. А. Н. КОЛМОГОРОВА, проф. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА,
проф. А. И. ПЛЕСНЕРА, проф. В. А. ТАРТАКОВСКОГО,
проф. Н. Г. ЧЕБОТАРЕВА
СЕРИЯ ОБЗОРОВ
КНИГА IV
Б. А. ВЕНКОВ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н КТ П СССР
Б. А. ВЕНКОВ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Г Л А'В Н А Я РЕДАКЦИЯ
ОБЩЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ И ТЕХНОТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА	1 9 3 7	ЛЕНИНГРАД
Т 23-5-4
ТКК № 69
Редакция Д. А. Райкова. Оформление Э. М. Бейлиной. Корректура А. И. Крутова,
Сдано в набор 11/1 1936 г.	Подписано в печать 16/XII 1936 г. 13з/4 печ. л.
Уч-ав. л. 17. Тираж 4.000. Формат бумаги 62X94Vie. Колич. бум. листов 6?/з-
Количество печ. знаков в 1 бум. листе 110.000. Заказ № 99. Гл. ред. общетехн. № 115.
Уполн. Главлита № IS 46058
4-я типография ОНТИ НКТП СССР «Красный печатник» Ленинград, Международный, 75а.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Заглавие „Элементарная теория чисел", данное настоящему реферату,
не вполне отражает ту дочку зрения, которая была принята при его со-
ставлении. В нем собрано все то из классической теории чисел и новых
исследований, что осуществляется чисто арифметическим методом (т. е.
без введения понятий анализа, геометрии, иррациональных и комплекс-
ных чисел). Этот материал удовлетворяет большей частью и требованию
„ элементарности “ в обычном смысле этого слова. Иррациональные числа
появляются лишь там, где они необходимы по самому существу дела
(глава II и некоторые параграфы главы IV). Такая точка зрения принята
потому, что алгебраические, геометрические и аналитические методы
в теории чисел служат предметом особых рефератов этой серии.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I
Стр.
Основные понятия теории чисел
§	1.	Разложение чисел на простые множители; алгорифм Евклида . . . .	9
§	2.	Простейшие арифметические функции............................................................. 10
§	3.	Теоремы о делимости факториалов ............................................................... 12
§	4.	Теоремы Эйлера и Ферма; сравнения первой степени............................ —
§	5.	Теоремы Лагранжа и Вильсона. 14
§	6.	Первообразные корни, индексы, двучленные сравнения........................... 15
§	7.	Числа Бернулли ............................................................... 18
§ 8.	Квадратичные вычеты; третье гауссово доказательство закона взаим-
ности ............................................................. 20
§ 9.	Квадратичный характер по составному модулю.................................................................................... 23
§ 10.	Обобщения сравнений........................................................................................................... 25
Примечания к главе I................................................................................................................ 28
Глава II
Непрерывные дроби и диофантовы приближения
§ 1.	Ряды Фарея..................................................................   33
§ 2.	Принцип Дирихле; теоремы Кронекера и Минковского............................................................................... 35
§ 3.	Теорема Эрмита.................................................................................. 37
§ 4.	Непрерывные дроби; перечисление свойств подходящих дробей	39
§ 5.	Критерий Лежандра; теоремы Валена и Бореля...................................................................................  42
§ 6.	Эквивалентные числа............................................................................................................ 44
§ 7.	Относительные минимумы формы х—а>у............................................................................................. 47
§ 8.	Арифметические приложения неравенства Дирихле.................................................................................. 48
§ 9.	Симметрические непрерывные дроби.............................................................................................. 55
§ 10.	Разложение квадратных иррациональностей в непрерывную дробь .	5^
§11.	Союзные числа................................................................................................................. 59
§ 12.	Уравнение Пелля............................................................................................................... 61
§ 13.	Вопрос Ивана Бернулли......................................................................................................... 63
Примечания к главе II...........•................................................................................................... 66
Глава III
Степенные вычеты
§ 1.	Первое гауссово доказательство квадратичного закона взаимности .	69
§ 2.	Распределение степенных вычетов в прогрессии.................................................................................. 72
§ 3.	Биквадратичные вычеты; критерии принадлежности чисел к классам
биквадратнчного распределения...................................... 79
§ 4.	Кубические вычеты; метод Гаусса . . . •....................................................................................... 85
§ 5.	Теорема о вычете числа а в разложении р = а3 4- 4£3........................................................................... 89
Примечания, к главе III............................................................................................................. 90
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV
Стр.
Гауссова теория квадратичных форм
§ 1.	О представлении целого числа бинарной квадратичной формой ...	93
§ 2.	Преобразование бинарной формы в себя........................... 95
§ 3.	Приведение форм отрицательного определителя.................... 97
§ 4.	Формы положительного определителя.............................. 98
§ 5.	Периоды целочисленных форм..............................  .	103
§ б.	Формы с определителем, равным квадрату........................ 106
§ 7.	Решение общего уравнения второй степени с двумя неизвестными .	108
§ 8.	Порядки форм; представление чисел полной системой неэквивалент-
ных форм данного порядка . ....................................... 109
§ 9.	Формы и классы anceps; некоторые специальные исследования о пе-
риодах неопределенных форм........................................ 111
§ 10.	Композиция бинарных форм...................................... 116
| 11. Сравнение чисел классов для определителей, отличающихся на
квадрат..............................•...................... 122
§ 12.	Распределение бинарных форм на	роды........................ 127
§ 13.	Тройничные формы, конечность числа классов, основные задачи
теории......................................................... 132
§ 14.	Представление чисел и бинарных	форм тройничными формами	.	.	.	138
§ 15.	Приложение к бинарным формам,	теорема Редея............... 145
§ 16.	Разложение чисел и бинарных форм на сумму трех	квадратов	.	.	.	147
Примечания к главе IV............................................... 153
Глава V
Разбиение чисел на слагаемые и методы Лиувилля
§	1.	Точечные диаграммы,	теорема	Эйлера-Лежандра. 156
§ 2.	Двойные разбиения, рекуррентные соотношения для аддитивных
функций........................................................... 162
§	3.	Теорема Раманужана........................... 166
§	4.	Методы Лиувилля; вывод	основных	тождеств. 168
§ 5.	О представлении чисел формами с двумя, тремя и четырьмя пере-
менными .......................................................... 176
§ 6.	Количество представлений чисел суммою 2, 4, 6, 8 и 10 квадратов 183
Примечания к главе V................................................ 190
Глава VI
Число классов бинарных квадратичных форм
§ 1.	Табличные сведения о числе классов; регулярные определители . .	192
§ 2.	Соотношения Кронекера между числами классов................... 194
§ 3.	Формулы Дирихле............................................... 203
§ 4.	Доказательство формул Дирихле для чисто коренного случая отри-
цательного определителя........................................... 205
Примечания к главе VI.........................................  .	212
Библиографический указатель......................................... 215
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В этой главе излагаются в конспективном виде основные понятия
классической теории чисел.
§ 1. Разложение чисел на простые множители; алгорифм Ев-
клида. Если даны два целых числа а и b ф 0 и отношение число
целое, то говорят, что а делится на Ь, или а кратно Ь, или что b —
делитель а. Число р > 1 называется простым, если оно не имеет
других делителей, кроме очевидных ± 1, ± р. Как составляются все
целые числа из простых чисел, указывает следующая основная теорема:
Теорема 1. Каждое целое число > 1 представляется и притом
единственным способом в виде произведения равных или неравных
простых множителей.
Будем обозначать через d = (a, b) (d > 0) наибольший общий дели-
тель чисел а и b ф 0. Для нахождения его служит так называемый ал-
горифм Евклида; именно, последовательным делением получаем конечный
ряд равенств
а = ^ + г, & = ^г + Г1,	|
Г = ?2Г1 + ''2. • • • > гп-2 = qnrn-i + Гп, Гп-1 = Цп+^п, /	1 '
в которых q, qb ... , г, rlt ,.. — целые числа, причем
0<г<|&|, 0<г1<г, 0<га <ги.0 <гп <гп-ъ
Равенства (1) представляют не что иное, как разложение ~ в обык-
новенную непрерывную дробь:
Из них выводим: 1) что гп делит а и Ь, 2) что всякий общий дели-
тель а и b делит гп. Следовательно, гп == d\ исключая из (1) гп-ь .,
г и пользуясь свойствами непрерывных дробей, получаем (Z =
= Qa — Pb, где ±Р и суть числитель и знаменатель предпослед-
ней подходящей к дроби ^2). Таким образом приходим к классическому
решению уравнения аХ—bY = d в целых числах X, Y при помощи
непрерывных дробей.
10	ГЛАВА I
При d = 1 числа а, b называются взаимно простыми, В этом слу-
чае из уравнения Qa— Pb= 1 видно, что при делимости ас на Ь целое
число с должно делиться на £>, что и приводит к теореме 1.
Из доказанных свойств (я, Ь) выводятся аналогичные свойства общего
наибольшего делителя (я, с) нескольких чисел я,/?,,.., с, не рав-
ных одновременно нулю. Именно, {а, Ьу .. ., с) равен общему наиболь-
шему делителю а и (&,..., с) и может быть представлен в виде линей-
ной формы от а, Ь, ..., с, с целыми коэфициентами. Аналогично общее
наименьшее кратное чисел а, Ь, ..., с, не равных нулю (т. е. наимень-
шее целое число, большее нуля, делящееся на каждое из чисел а, Ь, ..., с),
равно общему наименьшему кратному а и общего наименьшего крат-
ного &, .. ., с. Для двух чисел а, b общее наименьшее кратное равно ^~~jy
Относительно распределения простых чисел 2, 3, 5, 7, ... в ряду
натуральных чисел не известно никаких точных законов. Отметим лишь
важное предложение, доказанное еще в „Началах" Евклида (кн. IX, 20)
(см. А. А. Васильев 85, стр. 27—44):
Теорема 2. Число простых чисел бесконечно.
Действительно, если имеется некоторое количество простых чисел
Р^ Pky то к ним всегда можно присоединить еще новое про-
стое число; для этого нужно взять любой простой делитель числа
PiPs ... Рй + 1.
§ 2. Простейшие "арифметические функции. Пусть п > 0 це-
лое число; рассматривая все положительные делители п, обозначим
через г (и) их число и через £(п) — их сумму. Полагая на основании
теоремы 1 п = р^ръ2 • • • Рь\ где	Pk — различные простые
числа, а аь а2, * • • > аь — положительные показатели, находим
г (га) = (dj + 1) (а2 4- 1) ... (аь + 1),
р“1+1 — 1	j»22+1 — 1	p^+1 — 1
Pi-1 Р2-1 ‘ ' Pk-1 '
Еще в древности (Евклид 85, кн. VII) был поставлен вопрос о на-
хождении чисел 77, равных сумме своих правильных делителей [т. е.
делителей меньших 77, так что £(/?) = 2/7]. Такие числа называются со-
вершенными. Евклидом же (кн. IX) доказана и единственная до сих пор
известная теорема о совершенных числах, по которой все четные со-
вершенные числа имеют вид З25”1 (2Р—1) при 2Р—1 простом. Для
простоты 2Р—1 необходимо, чтобы показатель р был простым, но это
условие недостаточно. Еще Эйлеру были известны восемь значений пока-
зателя р, при которых 2Р—1 простое число, именно, значения р = 2,
3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 (см. Euler17, т. I, стр. 1 и 584). Соответственно
этому, Эйлер знал восемь четных совершенных чисел; нечетных совер-
шенных чисел неизвестно ни одного, но и не доказано, что их не суще-
ствует (см. примечания к этой главе).
В аналитической теории чисел важное значение имеет функция Мё-
биуса р (ri), определяемая для п = рГр? ... Pkk так: Р (п) = если
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
11
хоть одно из чисел щ > 1 и р, (и) = (— l)ft при ах = а2 = ... = «& = 1;
при этом р(1) = 1. Легко доказывается основное свойство р(п):
2^(d)==0 при п>1,
где сумма берется по всем делителям d числа п. Отсюда получается
важная формула обращения', если функция F(ri) для всякого целого
rz > О выражается через значения другой функции /(п) по формуле
F(n) = 2 /(d)> т0> обратно, для всякого и f (п) == 2 P(d)p (<5),
n=d<3	n—dd
причем обе суммы распространяются на все делители d числа п или,
что то же, на все представления п = dd в виде произведения двух целых
положительных множителей d, <5.
Обозначим через у (л) количество чисел, меньших лис ним взаимно
простых [99 (1) = 1]; эта функция введена Эйлером (см. 17, т. II, стр. 127).
Выражение (р(п) в простых множителях числа п следующее:
V (п) = Р?” (Р1 - 1) рГ1 (р2- 1) . . . pF~' (Pk- 1) =
Классический способ доказательства этой формулы (L.-Dirichletм,
§ 11) И. М. Виноградов предложил заменить следующим, более простым:
пусть = 1, если целое число k делится на простое число р, и £* = О
в противном случае. Тогда
<р (п) = 2 <1 -• • • о -) =
т — 1
п	п	п	п
==«-2 £«- 2 £т-...+ 2 « + ...± 2 «•••*£? =
т = 1 т~1	т = 1	т => 1
= п_2Т_А_...+ ^_ + ...±__Л_ =п П (1-----------------
Pi Pa Р1Р2 PiPa---Pk r==1V Pi'
При помощи (3) (или непосредственно) выводится важное свойство
функции 9?(п) (Gauss20, D. A., art. 39)х:
2;<p(d) = n.	(4)
n — dd
Все четыре введенные нами функции г(п), С (п), р,(п) и гр (и) удо-
влетворяют функциональному уравнению f (mri) — I	при взаимно
простых т и п. Рассмотренные в этом параграфе выражения т(п), С (и),
р(п) и <р(п) представляют простейшие арифметические функции, т. е.
1 Буквами D. А. обозначаются во веем дальнейшем „Disquisitiones Arithme-
ticae* Гаусса. Для удобства читателей ссылки делаются на немецкий перевод
этого и других сочинений Гаусса по теории чисел.
12
ГЛАВА I
величины, определяемые для целочисленного аргумента п. Изменения их
с возрастанием аргумента отличаются чрезвычайной прихотливостью.
Одна из этих функций, именно С (/?), более изучена благодаря связи ее
с представлением чисел суммой четырех квадратов в замечательной фор-
муле Эйлера (гл. V, теоремы 20 и 23); природа же остальных функций:
r М (/г) и (р (п) остается для нас неизвестной. В дальнейших главах
этой статьи читатель встретит много примеров других арифметических
функций.
§ 3. Теоремы о делимости факториалов. В дальнейшем будем обо-
значать через [х] целую часть вещественного числа х (т. е. целое число Л,
определяемое условием /с<х</с+1)и через {х}—дробную часть X,
т. е. разность х—[х]. Для некоторых вопросов нужно знать показатель,
с которым входит данное простое число р в разложение на простые
множители произведения 1-2 • 3 • • • Z? = л! Этот показатель (L.-Dirich-
let u, § 15) находится равным +	+	+ • • • Отсюда по-
лучаем независимое от комбинаторики доказательство целости биномиаль-,
(a J-1) ед.,I
ного коэфициента -—--у-^j------если подсчитаем, сколько раз вхо-
дит какое-нибудь простое число р в числитель и знаменатель этого
выражения, и воспользуемся очевидным свойством знака []: [х-|-у]>
>[*] + [у].
Многочисленные подобные теоремы, утверждающие целость различ-
ных выражений, составленных из факториалов, читатель найдет в книге
Р. Bachmann, Niedere Zahlentheorie 4 (часть I, стр. 57). Из них наиболее
интересна теорема Ландау. Пусть имеются две системы линейных форм
А Oi, ..., Хп) =	+ ... + ainxn	т) н gi (хх, ..., хп) =
= ft^Xj 4~ . •. + binxn (z = 1, 2, ..., р) с неотрицательными целыми коэ-
фициентами Ь[.. Для того чтобы выражение
/1^1’ •**’ Хп)1/2(хр *’•’ Хп) • ’ ' ’ fm	•••> Хп) •
^1’ * ' ' ’	‘ ^2	‘ » Хп) ’ * * * £р (Хр • • • > Хд) 1
было числом целым для любой системы целых неотрицательных значе-
ний хх, х2, .... хп, необходимо и достаточно, чтобы во всей области
0<ух<1, 0<у2<1,	0 < уп < 1 значений переменных ylf
У2, • • •, Уп удовлетворялось неравенство
т	Р
2[/»(У1, ...» Уп)]>2[^(У1, --./Уп)]-
г=1	г—1 § *
§ 4. Теоремы Эйлера и Ферма; сравнения первой степени.
Если разность двух чисел а, b делится на число с ф 0, то говорят,
что а сравнимо с b по модулю с, и пишут: а= b (mod с) или просто
а^Ь (с). Сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вы-
читать, перемножать и сокращать (на множитель, взаимно простой с моду-
лем), благодаря чему операции над сравнениями имеют большую аналогию
с действиями над уравнениями. Знак сравнения был введен Гауссом20
(D. A., art. 2) и оказался чрезвычайно удобным символом для передачи
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
13
арифметических рассуждений. Пусть к — целое число, большее нуля;
объединим в один класс все числа, сравнимые с одним и тем же числом
по модулю к (термин „класс" принадлежит Гауссу, Theoria residuorum
biquadraticorum, II, art. 42, см.20, стр. 551). Так как для каждого
числа а имеем a — qk-^r, где г —одно из чисел 0, 1, 2, ..., к—1,
и эти числа несравнимы по модулю /с, то видим, что существует к раз-
личных классов для модуля к. Выбрав по одному представителю из каж-
дого класса, получим систему к чисел, называемую полной системой
вычетов по модулю к; такую систему составляют, например, числа О,
1, 2,	—1. Если одно число класса взаимно просто с Л, то и все
числа этого класса обладают тем же свойством; таких классов будет,
очевидно, у (&). Взяв по одному представителю от каждого из этих
классов, получим приведенную систему вычетов по модулю к; таковы,
например, при к простом числа 1, 2, ..., к — 1.
Пусть (а, к)—1 и х пробегает приведенную систему вычетов по
модулю А; тогда произведения ах будут несравнимы по модулю к, так как
из ах^ах' вытекает х=х'. Кроме того, числа ах—-взаимно простые
с к; следовательно, эти числа сравнимы по модулю к с числами х, взятыми
только в другом порядке. Сравнивая произведения тех и других чисел
по модулю к, приходим к важной теореме Эйлера (см.17, т. I, стр. 274):
Теорема 3. Для всякого числа а, взаимно простого с данным
числом Л> О, имеет место сравнение a^^^l (modк).
В частности, для простого к = р и для а, не делящегося на р,
имеем
п13”1 = 1 (mod р).
Эта теорема, одна из самых важных в теории чисел, была найдена
Ферма. Эйлер доказал ее несколькими способами и обобщил на слу-
чай составного модуля к.
Из рассуждения, которым мы пользовались при доказательстве тео-
ремы Эйлера, вытекает и другой результат: сравнение первой степени
ax~b (mod к) при а и b взаимно простых с к имеет только одно реше-
ние относительно х (считая все числа одного и того же класса за
одно решение). При обобщении на случай любых а п b (L.-Dirichlet 14,
§ 22) получается теорема: для возможности сравнения ах= b (mod к)
необходимо, чтобы b делилось на (а, к) = д, и в этом случае оно
имеет д несравнимых по модулю к решений относительно х. Что касается
отыскания самих решений х сравнения пх = Ь (mod/с), то эти решения
могут быть получены по правилу § 1 при помощи непрерывных дробей,
ввиду того, что рассматриваемое сравнение эквивалентно неопределенному
Уравнению ах— ку = Ь.
При перенесении различных теорем теории чисел, доказанных для
простых модулей, на составные модули, нужно решение следующей за-
дачи: найти все числа х, удовлетворяющие системе сравнений х =
sa (modя), х = /? (mod &), ..., х = у (mod с), где а, Ь, ..., с — поло-
жительные, а а, /3, ..., у — произвольные целые числа. Особенно важен
частный случай, когда модули а, &, ..., с попарно взаимно простые;
8 этом случае указанная система сравнений всегда имеет решения,
14
ГЛАВА I
и числа х, ей удовлетворяющие, образуют один класс по модулю ab,. .с
(L.-Dirichlet к, § 25).
Если а и а' пробегают все числа классов К и К' по модулю к,
то произведение аа’ остается всегда в одном классе, который обозначим
через КК'. Обозначая через 1 класс, к которому принадлежит число 1,
и пользуясь доказанной выше теоремой о сравнениях первой степени, видим,
что для каждого класса К, состоящего из чисел, взаимно простых с /с,
можно найти один вполне определенный („обратный") класс такой,
что КК' = 1. Таким образом система (р (к) классов, на которые распре-
деляются числа, взаимно простые с к, удовлетворяет всем определениям
конечной группы. Эта группа, очевидно, абелева.
§ 5. Теоремы Лагранжа и Вильсона. Два целочисленных полинома
Р(х) и Pi(x) вида ахт + йх™”1 + ... + с называются сравнимыми по
простому модулю р, если коэфициенты при одинаковых степенях X
в них сравнимы по модулю р; записывается так: Р (х) == Рг (х) (mod р). Если
Р (х) ss Рг (х) Q (х) (mod р), где Q(x)—целочисленный полином, то го-
ворят, что функция Р(х) делится на Рг(х) по модулю р. Если Р(х) не
имеет других делителей по модулю р, кроме аР(х) и а [а — целое число,
$0 (modp)], то полином Р(Х) называется неприводимым или простым
по модулю р. Таким будет, например, всякий полином первой степени х + а.
Простые по модулю р полиномы находятся в полной аналогии с обыкновен-
ными простыми числами; именно, существует теорема: всякая целочислен-
ная функция А (х) вида хт + ах™”1 + ... представляется по модулю р
в виде произведения простых функций:
А (X) s Р, (x)G1 Р2 (хр ... Pk (х)ак (mod р),	(5)
и притом единственным образом (сравнимые по модулю р полиномы не
считаются различными). В сравнении (5) Pj(X), Р2(х), ... суть простые
и различные (т. е. несравнимые) по модулюр функции со старшим коэфи-
циентом 1, а аг, а2, ...—положительные показатели. Теорема эта дока-
зывается так же, как и аналогичная теорема для чисел (§ 1), причем
устанавливаются сначала алгорифм Евклида и свойства общего наиболь-
шего делителя двух целых функций по модулю р (см., например, Bach-
mann4, часть I, гл. VII, § 19).
Пусть А (х) = пох™ + ..., г0 Ф 0 (р) — целочисленная функция и число
х = а удовлетворяет сравнению Д (х) = 0 (mod р). Деля Д(Х) на X — а,
получим А (х) = (х — а) Аг (х) + А (а) = (х — а) Дг (X) (mod р), т. е. А (х)
делится по модулюр на простую функцию х—а. Итак, решение сравне-
ния А (х) = 0 (mod р) равносильно выделению линейных простых делите-
лей функции А (X) по модулю р. Так как количество различных простых
делителей А (х) по модулю р не может превышать степени т этой Функ-
ции, то получаем теорему Лагранжа:
Теорема 4. Сравнение т-й степени а^х™ + axx!n + ... + йт =
= 0 (mod р) Ф 0) не может иметь более т несравнимых решений, 
По теореме Ферма (§ 4) сравнение хр—1 —1=0 (mod р) имеет
р—1 несравнимых решений 1, 2, ..., р — 1, откуда выводим, что раз-
ложение х23""1 — 1 на простые множители по модулю р имеет вид
хв'1-1=(х-1)(х-2)...(х-Н 1) (modp).
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
15
Сравнивая свободные члены в обеих частях, получаем теорему Виль*
сона: 1 • 2 • 3 ... (р — 1) = — 1 (mod р). Теорема эта, справедливая для
всякого простого числа, особенно интересна тем, что она выражает
характеристическое свойство простых чисел; в самом деле, очевидно,
что если для какого-нибудь числа р выражение 1 • 2 • 3 • • • (р— 1)4-1
делится на р, то число р должно быть простым. Соединяя в произведе-
нии 1-2-3 ...(р—1) множители, равноотстоящие от концов, получаем
из теоремы Вильсона сравнение 1 • 2-3 • • •	1 = (— 1) 2 (mod р)
(при р > 2), откуда для простого числа р формы 4п + 3 вытекает срав-
нение 1 • 2 • 3 • • • з 1 = -£ 1 (mod р). Знак стоящий в этом срав-
нении, не находится в простой зависимости с числом р; вопрос об этом
знаке был поставлен Дирихле (см.13, т. I, стр. 107). Так как —1 есть
квадратичный невычет для простого числа р формы 4п + 3 (см. § 8
этой главы), то в сравнении
1.2-3-.. р-^ = ± 1 (mod р)	(6)
будет стоять знак 4* или —, смотря по тому, будет ли количество fl ква-
дратичных невычетов по модулю р среди чисел 1, 2, 3, ..., четным
или нечетным. Обозначая через а количество квадратичных вычетов
среди чисел 1, 2, 3, ...,	, имеем по формуле Дирихле (см. главу VI)
а—=	—р\ где Л(—р) есть число классов чисто коренных поло-
жительных бинарных форм определителя — р. Присоединяя сюда оче-
видное равенство а + (3 ==	, получаем (3 =	— 1	. Таким
образом знак в сравнении (6) находится в зависимости от вычета
по модулю 4 величины h (— р), меняющейся чрезвычайно неправильно с из-
менением р. Кронекер, пользуясь открытыми им рекуррентными соотно-
шениями для числа классов, видоизменил этот критерий (см. далее
главу VI).
§ 6. Первообразные корни, индексы, двучленные сравнения.
Пусть р — простой модуль и а — не делящееся на р число. Уже из
теоремы Ферма (§ 4) видно, что существуют положительные показа-
тели 3 (например <3 = р—1), для которых ад =1 (mod р). Если <5 —наи-
меньший показатель такого рода, то говорят, что а принадлежит к пока-
зателю 3 по модулю р; этот показатель д должен быть делителем числа
Р — 1, так как в противном случае из ад === 1 и яр-1 === 1 вытекало
бы	(mod р), причем (<5, р —1)<<5. Число g, принадлежа-
щее к показателю <5= р—1, называется первообразным корнем. Для
такого числа степени 1, g, g\ ..., очевидно, несравнимы по моду-
лю р и образуют поэтому приведенную систему вычетов по модулю р, гак
что для каждого а Ф 0 (mod р) найдется показатель а, для которого а ===•
s ga (mod р). Понятие о первообразном корне введено Эйлером (см.17,
т- I, стр. 516); однако Эйлеру не удалось строго доказать существо-
16
ГЛАВА I
вание первообразного корня для всякого простого числа р. Это было
сделано впервые Гауссом (см.20, D. A., art. 54). Доказательство Гаусса,
воспроизводимое ниже, является одним из самых блестящих примеров
арифметического рассуждения. Пусть ^(<5) есть количество несравнимых
по модулю р чисел, принадлежащих к заданному делителю <5 числа р— 1
как к показателю. Предположим, что существует хоть одно из таких
чисел, например а; тогда о чисел 1, а, а , ..., а несравнимы по
модулю р. Все эти числа удовлетворяют сравнению xd== 1 (mod р), так что
других решений это сравнение иметь не может (теорема 4). Поэтому
остальные числа (кроме а), принадлежащие к показателю <5, нужно
искать среди степеней 1, а, а2, ..., а*5”1. Рассматривая же степень as,
находим, что показатель d, к которому она принадлежит, есть наимень-
шее число, для которого sd делится на <5. Таким образом d = <5 тогда
и только тогда, когда (s, <5)= 1. Итак, при у (8) > 0 непременно у (8) =
= 9?(<5). Разобьем числа 1,2, ..., р— 1 на группы, отнеся в одну группу
все числа, принадлежащие к одному и тому же показателю <5; в группе,
соответствующей <5, будет у>(8) чисел, так что получаем соотношение
2у(<5) = Р — 1, где сумма берется по всем делителям д числа р — 1.
Сравнивая его с аналогичным соотношением для функции у: 2 V 0) ~
= р — 1 [формула (4)], находим для всякого <5 у) (<5) = <р (8), что для
8 = р — 1 и дает теорему Гаусса:
Теорема 5. Для всякого простого числа р существует (р(р—1)
несравнимых по модулю р первообразных корней.
Разыскание первообразных корней при большом р требует значитель-
ных вычислений и совершается путем проб. Гаусс дал метод, позволяю-
щий уменьшить количество этих проб (см. 20, D. A., art. 73). Лишь для
некоторых специальных форм модуля р П. Л. Чебышеву (см. 82, стр. 198)
удалось a priori указать первообразный корень. Простейшие из теорем
Чебышева следующие: 1) для простого числа р формы 2n + 1 (и > 1)
первообразным корнем является число 3, 2) если в простом числе р =
= 4N-J-1 число 7V>2 и также простое, то первообразным корнем р
будет 2.
Пусть а ф 0 (mod р); показатель а в сравнении a (mod р), опре-
деляемый с точностью до слагаемого, кратного р— 1, называется индек-
сом числа а. Система этих индексов (при фиксированном g) обладает
полной аналогией с системой логарифмов, так как, очевидно,
Ind (ab) = Ind a + Ind ft, Indy = Ind я — Ind& (mod p — 1)
^через у обозначаем корень сравнения bx~a (modp)^ . Если по-
строены таблицы, дающие для каждого числа 1, 2, ..., р— 1 его индекс,
и обратно, то эти таблицы приносят такую же пользу при решении
сравнений, как и таблица логарифмов при обычных действиях; например,
решение сравнений = хп = А (mod р) приводится к вычитанию
и делению по модулю р—1. Таблицы индексов были вычислены
Якоби 30 для всех простых чисел р до 1 000.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
17
Индексы приносят пользу и в теоретических рассуждениях; желая,
например, рассмотреть вопрос о разрешимости двучленного сравнения
Х!Ъ === A (mod р) [п > 0 и А Ф 0 (mod р) суть данные числа], перейдем в нем
к индексам и применим известную нам (§ 4) теорему о сравнениях пер-
вой степени. Тогда получим: пусть д=.(п, р—1); для разрешимости
р—1	•
сравнения хп = A (mod р) необходимо условие A d = 1 (mod р), при
выполнении которого данное сравнение имеет д несравнимых решений.
Эта теорема принадлежит Эйлеру.
Если сравнение хп = А (mod р) разрешимо, то число А называется
вычетом п-й степени^ в противном случае—невычетом п-й степени
для простого числа р. По сказанному выше, для того чтобы А было
у-1
вычетом п-й степени, необходимо и достаточно условие А д = 1 (mod р),
где <5 = (и, р—1). Рассматривая в, последнем сравнении А как неиз-
вестную и прилагая к нему теорему о двучленных сравнениях, находим,
что существует - несравнимых между собою вычетов п-й степени.
Остальные (<5—1) —у• * (при <5> 1) членов приведенной системы вы-
четов будут невычетами п-й степени. Представляется целесообразным
разбить все невычеты на <5—1 групп, каждая из которых содержала
бы членов, т. е. столько, сколько существует вычетов. Это делается
следующим образом. Пусть г—одно из (р(&) чисел, принадлежащих
к показателю б; так как все решения сравнения х5 = 1 (mod р) заклю-
чаются в ряде 1, г, г2,..., г6 \ то из теоремы Ферма А * = 1 (mod р)
вытекает, что всякое число А Ф 0 (mod р) удовлетворяет одному (и только
одному) из сравнений
р—1
Д d = ra (modp), а = О, 1, ... , <5—1.
Объединим в а-ю группу все числа А, для которых показатель а
в этом сравнении один и тот же. Тогда 1) каждая группа состоит
из —- - чисел, 2) 0-я группа состоит из вычетов п-й степени, 3) отно-
шение двух чисел одной группы есть вычет п-й степени,. 4) произведе-
ние числа а-й группы на число /?-й группы принадлежит к (а + /?)-й
[или к (а + /5 — <5)-й] группе. При замене числа г другим числом, при-
надлежащим к показателю <5, меняется только нумерация групп (кроме
нулевой). Указанные б групп можно характеризовать еще и так: индексы
чисел одной и той же группы (по какому-нибудь фиксированному перво-
образному корню) имеют одинаковый вычет по модулю д. При п = 2,
3, 4 вычеты называются квадратичными, кубическими, биквадратичными.
Обращаясь к составному модулю к, возьмем сначала случай к~
= ра, где р — нечетное простое число. В этом случае также существуют
первообразные корни, т. е. числа, принадлежащие к наивысшему воз-
2 Теория чисел.
18
ГЛАВА I
можному показателю что легко выводится из теоремы 5 (L.-Dirich-
let u, § 128). Взяв один из них g, можем представить приведенную
систему вычетов для модуля к = ра в виде 1, g, g2f ..., g^^-1 л
Иначе обстоит дело в случае к = 2а; приведенная система вычетов для
этого модуля представляется в виде цикла только при а = 1 или 2.
При а>3 всякое число 0 (mod2) удовлетворяет сравнению
2е—2	/	«
А = А =1 (mod 2 ), и поэтому первообразного корня не суще-
ствует; взяв одно из чисел g0, принадлежащих к показателю 2а ~2 (на-
пример gQ = 5, L.-Dirichlet 14, § 130), можем написать приведенную
систему вычетов модуля fc=2e в виде (—l)sgo, где S == 0, 1, и, неза-
висимо от него, t = 0, 1, ... , 2а“2— 1. Наконец, для любого составного
числа к = 2apt1plt... (pv р2). . . — различные нечетные простые числа, '
а>0, ах>0, а2>0, ... ), пользуясь теоремой о линейных сравнениях
по нескольким модулям (§ 4), находим следующий состав приведенной
системы вычетов: G^iGqG^G^2 . -где показатели S,	п2, ...
пробегают независимо друг от друга полные системы вычетов по моду-
лям 2, ^9?(2а), ^(pi1), ^(Рг2), Числа G_i, Go, Gn G2, ... опре-
деляются условиями: G-i
G_ie= — 1 (mod 2a), G^ =
отсутствует при a = 0, 1, при a > 2,
/ к \
1 ^mod —j; число Go отсутствует при a =
/ к X
= 0, 1, 2; при a>3, G0 = g0 (mod 2°), Go=l(mod— J; далее
(k \	/	к \
mod-^-\; G2 = £2(mod/?22), G2=l(mod—\
Pl у	\	P2 /
и т. д. Числа gQ9 g19 g2, ... выбраны для отдельных модулей 2a, pl1, pl*, ...
принадлежащими к показателям у(р(2е), ^(рТ1), ^(Рз2), . .• Теорема
эта с точки зрения теории групп д ет основной базис абелевой группы
классов чисел по модулю Л, взаимно простых с к (§ 4).
§ 7. Числа Бернулли. Простой пример на приложение доказанных
теорем представляют бернуллиевы числа В1==-^, В2 = ~ , В3~
=	, ..., встречающиеся при вычислении сумм одинаковых степеней
целых чисел. Обозначая через X любое целое число, большее нуля,
и полагая Sk (х) = lft + 2k + ... + имеем
—— + (-1) Вп =	+2—р
। X?1/	1Чк-1 2п(2п—	— 2к+ 2) D v2n-2k
+ Д 1 >	”1".'2ГТ“7Г2£	Х
К = 1.
(7)
Эта формула при X — 1 превращается в рекуррентное соотношение,
позволяющее при /2=1,2, 3,... последовательно вычислять бернуллиевы
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
19
числа. Главное свойство этих чисел представляет теорема Штаудта-
Клаузена:
Теорема 6. Возьмем все простые числа р>2, для которых
р — 1 делит удвоенный номер 2п бернуллиева числа Вп\ тогда
Вп = (—1)п2	+ целое число,
где сумма берется по всем указанным простым числам.
Из многих доказательств этой теоремы самым простым является дока-
зательство самого Штаудта, основанное на полной индукции и не тре-
бующее никаких вспомогательных средств, кроме формулы (7). Выведем
сначала некоторые свойства сумм <Sft(x). Пусть af b, п — целые числа,
большие нуля; замечая, что все числа 1, 2, ab получаются по одному
разу из формулы х + ау9 в которой х и у пробех'ают независимо друг
от друга значения х = 1, 2, ..., а и у = 0, 1, ..., b— 1, имеем
Sn (ab) = 2 (х + ау)п == 2 (*” + пах”"1 у) =
= bSn (а) + naSn-i (djS^tb — 1) (mod а2).	(8)
Отсюда в частности вытекает, что Sn(ab)— bSn(a)—aSn(b) делится
на а и на Ь. Прилагая это к взаимно простым а и b и распространяя
потом на несколько чисел, можем сказать: если а, Ь, I — попарно
взаимно простые числа, то выражение
Sn{ab-^l) Sn(a)	Sn(b)	Sn(l)
ab---l a b	I
— целое число. При нечетном v
а-1	а—1
2S, («) = 2 2 ХТ = 2 (хг + (а — х)*) о (mod а)
х=1	х=1
и потому, заменяя в (8) п на 2п, имеем S2n(ab) = bS2n(a) (mod я2).
Положим здесь а = pr, b = р, где г > 0 и р — простое число, боль-
S2n(Pr+1)	52п(РГ)
шее или равное 2. Тогда найдем, что  -------—х-----------— есть число
$2п<Рг)	^2п(р)
целое, откуда вытекает, что---------------------также число целое, па-
Рг	р
конец, при 2п, делящемся на р — 1, очевидно, S2n(p) =— 1 (modp);
при 2п же, не делящемся на р — 1, существует число с Ф 0 (mod р), для кото-
рого с'п Ф 1 (mod р) [в противном случае сравнение x(2n’1 (modp)
допускало бы р—1 различных решений, имея степень меньшую р — 1]в
Тогда Л2п(р) = 52п(р) (modp), откуда S2n(p) = ° (modp). Итак, для
52п^г)	1
всякого положительного показателя г будет целым число ---------------1--
J	ПГ	Р
S (рг)	Р	И
или число —, смотря по тому, делится или не делится 2п на
Р — 1. Соединяя это с прежним замечанием о целости выражения (8),
находим, что для всякого целого х
$2п ^)	VI 1	।
—х— = —	+ целое число,
2*
20
ГЛАВА I
где сумма берется по всем простым множителям р числа х, для кото-
рых 2п делится на р— 1. Положим теперь в формуле (7) X =
= 1 • 2 • 3 • • • (2п + 1) (п> 1) и предположим, что теорема Штаудта до-
казана для чисел В2, .Bn—i. Тогда правая часть формулы (7) будет
числом целым и (—1 )пВп = 2 ~~ + целое число, где сумма берется
по всем простым числам р, для которых 2ns О (modp— 1), т. е.
получаем теорему Штаудта для числа Вп.
Дальнейшие свойства чисел Бернулли доказаны в работах Г. Ф. Во-
роного, Куммера и Раманужана (S. Ramanujan) 72.
§ 8. Квадратичные вычеты; третье гауссово доказательство
закона взаимности. Переходя к более подробному изучению квадра-
тичных вычетов, возьмем сначала нечетный простой модуль р. Для
такого модуля, существует квадратичных вычетов (§ 6) и столько же
квадратичных невычетов; первые отличаются от вторых знаком + или —
р-1
в сравнении Эйлера А 2 = ± 1 (mod р). Обозначим для всякого
пФ 0 (modp) знаком положительную или отрицательную единицу,
смотря по тому, будет ли а квадратичным вычетом или невычетом числа р.
Символ был введен Лежандром. На основании сказанного в § 6
видим, что этот символ обладает следующими свойствами:
(у) = (у) при
/	_ / а \ / fr \ .
\ р / \Т/ \ р /’
р-1
a2 s(y)(modp).
(Ю)
Для каких простых модулей р данное число а будет квадратичным
вычетом? Этот вопрос очень интересовал Эйлера, который нашел его
решение для а = — 1, ±2, ±3, ±5 и даже угадал общую форму
решения для любого простого а. Для случаев п== — 1, ±2, —3
решение вопроса наглядно представляется формулами
(И)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
21
или в словесной формулировке: 1) число —1 есть квадратичный вычет
для простых чисел формы 4п + 1 и невычет для простых чисел
формы 4п + 3, 2) 2 есть квадратичный вычет для простых чисел форм
8г/ ± 1 и невычет для простых чисел форм 8п ± 3, 3) — 2 есть квад-
ратичный вычет для простых чисел форм 8п 4- 1, 8тъ4- 3 и невычет
для простых чисел форм 8п 4-5, 8п + 7, 4) — 3 есть квадратич-
ный вычет для простых чисел формы 6п 4- 1 и невычет для простых
чисел формы 6п—1.
Первая из этих теорем вытекает уже из критерия Эйлера [см. (10)],
третья является следствием первой и второй, четвертая вытекает из общей
теоремы, формулируемой ниже. Что касается второй теоремы, то ее
можно доказать или непосредственно принципом полной индукции
(Gauss 20, D. A., art. 112—114, L.-Dirichlet 14, § 41) или вывести из
леммы Гаусса (см. ниже). Пусть а равно нечетному простому числу q.
Замечательно, что ответ на поставленный выше вопрос (т. е. для каких
модулей р число q будет квадратичным вычетом) находится в зависи-
мости от того, какой квадратичный характер имеет р по модулю q.
Теорема, выражающая эту зависимость, есть важнейшая теорема теории чи-
сел; она называется квадратичным законом взаимности и формулируется так:
Теорема 7. Если хоть одно из двух нечетных простых чисел р,
q имеет форму 4п 1, пго = если же оба числа р, q
вида 4п 4- 3, то ("у") ~ ~	• В обоих случаях ("у’)(’у’)==
Р-1 д—1
7	2	*	2
Эта теорема, как сказано, была открыта Эйлером. Лежандр форму-
лировал ее, в современном виде и ему удалось доказать часть этой
теоремы. Первое полное доказательство закона взаимности было дано
Гауссом 20 (D. A., art. 135—144). В продолжение своей деятельности
Гаусс дал восемь доказательств этой теоремы, построенных на различ-
ных принципах; ниже мы приводим самое простое из этих доказательств
(третье). В главе III будет изложено первое доказательство Гаусса, осно-
ванное на принципе полной индукции.
Третье доказательство Гаусса основано на лемме, позволяющей, по-
добно критерию Эйлера, узнать, будет ли данное число а Ф 0 (modp)
квадратичным вычетом или невычетом для нечетного простого числа р.
Эта лемма состоит в следующем. Возьмем абсолютно-наименьшие вы-
четы чисел а, 2а, ..., а по модулю р, т. е. вычеты, лежащие
di
в пределах------5 ни один из них, очевидно, не равен
нулю. Обозначая через р, количество отрицательных чисел среди
этих вычетов, имеем	) = (— 1)д. В самом деле, пусть г19 г2, ..., г л
будут все положительные, ——s2, ..., —все отрицательные среди
этих вычетов; тогда гг и Sj будут числа из ряда 1, 2, ...,	• Все
эти числа Sj между собою различны, так как при х, у = 1, 2, ...,
22
ГЛАВА I
ни сумма ах + ау, ни разность ах—ау (хфу) не могут делиться
на р. Так как количество чисел rf, равно , то ясно, что эти
&
числа в совокупности совпадают с числами 1, 2, 3, .f откуда
р-1
= (-!)"• 1 -2 ...	2 • 1 • 2 S-Zl (modp);
пользуясь критерием Эйлера, получаем	= (— 1)д, ч. и тр. д. Из
леммы Гаусса без труда получается доказательство четырех формулиро-
ванных выше теорем [см. (11)]; первые три из них называются дополни-
тельными теоремами (Erg&izungssatze) к закону взаимности. Ограничи-
ваясь второй теоремой, положим в лемме Гаусса а = 2; среди чисел
2, 4, ..., р — 1 будет	чисел с отрицательным абсолютно-наи-
TI	р— 1 Г р 1
меньшим вычетом по модулю р. И легко видеть, что выражение -------4 I
будет числом четным для р = 8п -J- 1 и 8п + 7 и нечетным для р =
= 8п + 3 и 8п + 5.
Обращаясь к доказательству закона взаимности, положим в лемме
Гаусса а равным нечетному простому числу q, отличному от р. Обоз-
начая через rlt г2, ..., г . остатки от деления чисел q, 2q, ,..,	— q
2
на рт имеем
Обозначим через А сумму всех чисел г, меньших —, через В —
сумму остальных чисел г (j. е. больших j. При доказательстве
леммы Гаусса мы видели, что абсолютные величины вычетов чисел q,
о	р — 1	р . р
2q, ...,	взятых в пределах------совпадают в совокуп-
2	2	2
ности с числами 1, 2, ...»	, так что сумма этих абсолютных вели-
2
Р^ —— 1
чин должна равняться — . Замечая, что вычет числа xqt лежащий
о
р . р
в пределах-----~ , + 4г , равен гх или гк — р, смотря по тому, будет
2	2
р	р
ли гх < ~ или гх > ~ , получаем
2	и
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
23
обозначает, как и раньше, количество чисел г, больших ) • ^ей0“
средственное же сложение равенств (12) дает
=	[<1,р] + а + в,
где
r п r n fc*
+1Л~
Из двух полученных равенств имеем (д— 1) = ([?, р]— р)р +
4-2В, откуда р = [ </, р] (mod 2). Следовательно, по лемме Гаусса,
( -- ) = (— 1)[д’р3 и аналогично (	~	Докажем теперь,
что между двумя суммами [д, р] и [р, существует зависимость
+	=	(13)
Пусть й < р. Тогда соседние члены в сумме [д, р] разнятся не
более как на единицу; так как последний из этих членов равен ~ j =
=	~	~ > т0 в сумме [д, р] будут члены, равные 0, 1,
2, ... ,	. Пусть t — одно из чисел 0, 1, ...,	; t будут равны
&
те члены	суммы [q, р], для которых t <Z ~ < t + 1 или
— < х < -——, так что число таких членов будет -—!—-
Ц	Я	I Я
ГЛ	G -- 1	г 1 X Р --------- 1
Замечая, что членов, равных , в сумме [#, р] будет ——
[Q~P
2 Р
_ Я
находим
что доказывает формулу (13), а вместе с нею и закон взаимности.
§ 9. Квадратичный характер по составному модулю. Обращаясь
к решению сравнения х^=А по составному модулю к, будем предпо-
лагать А числом взаимно простым с к. Если к= рв, где р — нечетное
24
ГЛАВА I
простое число, то, для того чтобы А было квадратичным вычетом по
модулю рв [т. е. для возможности сравнения Х2=А (mod ра)], очевидно,
необходимо, чтобы А было квадратичным вычетом по модулю р. Легко
показать, что это условие и достаточно (L -Dirichlet 14, § 35) и при
выполнении его сравнение х2 = А (mod ра) имеет всегда два несравни-
мых по модулю ра решения. Таким образом в приведенной системе вы-
четов для модуля ра половина членов будет квадратичными вычетами,
остальная половина — квадратичными невычетами (так же, как и для
простого модуля). Иначе обстоит дело для модуля к = 2а. При а = 2
из членов приведенной системы вычетов +1, — 1 число + 1 есть
квадратичный вычет, а —1 невычет. При а = 3 из чисел ± 1, ± 3
только + 1 является вычетом (так как квадрат нечетного числа всегда
имеет форму 8п + 1). Что касается дальнейших степеней 2а (а > 3), то
легко доказать (L.-Dirichlet 14, § 36), что для возможности сравнения
х2 = А (mod2a) необходимо, и достаточно, чтобы А было квадратич-
ным вычетом для модуля 8, т. е. чтобы А = 1 (mod 8); и тогда сравнен
ниех2 = А (mod2a) имеет четыре решения (а>3). Таким образом для
модуля 2a (а>3) четверть всей приведенной системы вычетов состоит
из квадратичных вычетов, остальные три четверти — из невычетов. На-
конец, для любого составного модуля к = 2ар1гр12 .. . (а > 0,	04 > О,
а2>0, ., Р1,р%, ... суть различные нечетные простые числа) теорема
о линейных сравнениях по нескольким модулям (§ 4) сейчас же дает
возможность найти условия возможности и число решений сравнения
х2=Д(тоб/с) (как и вообще всякого сравнения /(х) = 0, если только
оно решено по модулям вида ра). Именно, для возможности сравне-
ния х2 = А (mod к) необходимы и достаточны условия =
—	= . .. = L кроме того, при а= 2, А= 1 (mod 4) и, при а>3,
А = 1 (mod 8). При выполнении этого условия рассматриваемое сравне-
ние имеет в • 2F различных решений, где v— количество простых
чисел р19 р2, ...,£= 1 при a < 1, е = 2 при a — 2 и 8 = 4 при а>3.
Весьма полезным является обобщение символа Лежандра, предложен-
ное Якоби. Пусть Р — нечетное число, большее нуля, и т — целое число,
взаимно простое с Р. Если Р — рр'р" ... есть разложение Р на простые
множители (равные или неравные), то полагаем = ("jf) (“Р")	’
где в правой части стоят символы Лежандра. Очевидно, что определен-
ный таким образом символ обладает свойствами
\Р)=\Р) ПРИ /и =/л'(mod Р),
(тт'\ __ / m \ / \ / /п \ _ { /и \ ( гп_ \
\ Р )~\Р )\Р )’ \PQJ~\P Д Q /
(14)
Кроме того, легко показать (L.-Dirichlet м, § 46), что для символа
Якоби имеет место совершенно такой же (по форме) закон взаимности
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
25*
с дополнительными теоремами, как
для нечетного Р > О
и для символа Лежандра; именно,
Р-1	Р2-1
Р2-1	р-1
(15)
и для нечетных и взаимно простых между собою Р, Q > О
Q-i
2
(16>
Для удобства вычислений символ Якоби распространяют и на случай
отрицательного знаменателя, принимая	—I, причем, как
всегда, (т, Р) = 1. При этом нужно заметить, что свойства символа 05“
выражаемые равенствами (14), остаются в силе; из равенств (15) вто-
рое верно для отрицательного Р, остальные неверны; наконец, закон
взаимности (16) верен тогда и только тогда, когда хоть одно из двух
чисел Р, Q положительно. Что касается практического вычисления зна-
чения то ег0 удобно вести последовательным делением, уменьшая
числитель и. знаменатель символа при помощи свойств (14), (15), (16)
(см. примечания к этой главе).
Остается упомянуть еще о той форме, которую принимает решение
поставленного в § 8 вопроса (т. е. для каких простых модулей р данное
число а будет квадратичным вычетом), после того, как доказан закон
взаимности. При tz, не делящемся на квадрат, получается, что все про-
стые числа р, для которых ^-2-^ = 1, лежат в нескольких арифметиче-
ских прогрессиях с разностью 2 ] о, | или 4 [ а [. Количество этих прогрессий
равно y9?(2|£z[) или -^99(4|я|) (L.-Dirichlet 14, § 52).
§ 10. Обобщения сравнений. Переходя к обобщениям понятия о
сравнении, остановимся прежде всего на так называемых сравнениях па
двойному модулю, весьма важных для теории алгебраических чисел.
Пусть р — простое число и Р (х) = хп + ахп^ + ... есть целочислен-
ная функция,простая по модулю р (§ 5). Две целочисленные функции А (х\
В (х) называются сравнимыми по двойному модулю (р, Р(х)). если
разность Д(х)— В(х) делится на Р(х) по модулю р (§ 5), т. е. если
А (х) — В (х) == Р (х) Q (х) + pR (х), где Q (х), R (х) — целочисленные
полиномы. Записывается так: А (х) = В (х) (mod р, Р(х)). Эти сравнения,
подобно обыкновенным, можно складывать, вычитать и перемножать.
Далее, двойной модуль (р, Р(х)) обладает характером простого, т. е.
из A(x)B(x) = 0 (modp, Р(х)) вытекает делимость одной из функций
А(х), В(х) на модуль (р, Р (х)); это следует из простоты функции Р (х)
по модулю р (§ 5). Поэтому сравнения по двойному модулю можно и
сокращать на полином, не делящийся на модуль. Полиномы, сравнимые по
модулю (р, Р (х)), будем причислять к одному классу; аналогия с обыкно-
26
ГЛАВА I
венным модулем простирается здесь до того, что и число этих классов
будет конечным. Именно, деля любой полином алгебраически на Р(х)
и в полученном остатке беря вычеты коэфициентов по модулю р, приходим
к выводу, что каждый полином будет сравним по модулю (р, Р (х)) с од-
ним и только одним полиномом вида ах71"1 + Ьх!1"'2 + .. • + с, где а,
Ь, ..., с пробегают независимо друг от друга полную систему вычетов
по модулю р. Итак, число различных классов полиномов по модулю (р, Р (х))
равно рп. Отсюда обычным путем получаем теорему Ферма для рас-
сматриваемого модуля: для всякого целочисленного полинома А (х)
имеет место сравнение А (х)рП = А (х) (mod р, Р (х)). Отметим еще обоб-
щенную теорему Лагранжа: сравнение zm + A(x)zm~~l + B(x)zm^2 +
+ ... = 0 (mod р, Р (х)), коэфициенты которого суть целочисленные поли-
номы, имеет не более т несравнимых по модулю (р, Р (х)) решений z=Q (х).
Сравнения по двойному модулю позволяют подробнее изучить про-
стые по модулю р функции данной степени. Полагая в написанном выше
сравнении Ферма А(х) = Х, имеем у?п =е= х (mod р, Р (х)), т. е. каждая
простая функция Р(х) n-й степени делит по модулю р выражение Хр —X.
Возвышая сравнение хрП = х (mod р, Р (х)) несколько раз в степень рп,
находим, что при всяком /п, делящемся на n, x(modp, Р(х)).
Легко доказать и обратное предложение, т. е. что всякий показатель т,
для которого хрТП = х (modp, Р(х)), делится на п.
Пусть для какого-нибудь т имеем т = qn + г, 0 < г < и; тогда из
сравнений хрШн=х, хрП = х выводим хрГ = х (mod р, Р(х)). Замечая,
что при простом р биномиальный коэфициент (а + Ь + ... == р,
а < р, b < р, ...) делится на р, имеем для всякого целочисленного по-
линома /(х): /(№)==/(х)р, / (хр2) = / (х)р2,	/(х₽г) = / (х)рГ (modр),
что вместе с хрГ == х (mod р, Р (х)) дает / (х)рГ = / (х) (mod р, Р (х)).
Итак, сравнение 2рГ = 2 (mod р, Р (х)) удовлетворяется всяким целочис-
ленным полиномом, т. е. это сравнение имеет рп различных реше-
ний; но степень его рг < рп. Таким образом предположение о неде-
лимости т на п противоречит теореме Лагранжа и потому т = 0 (modn).
Итак, полином хрТП — X делится по модулю р на всякую простую функцию,
степень которой есть делитель т и другие простых делителей х —х
не имеет. Наконец, легко видеть, что ни одна из указанных простых
функций не входит в разложение хрТП — X с показателем, большим еди-
ницы, так как иначе его производная ртхрт~^1 — 1 = — 1 (mod р) дели-
лась бы на эту функцию, что невозможно. Все эти замечания позво-
г)т
ляют установить в окончательном виде разложение х — X на простые
функции по модулю р? Именно, обозначая через Фт(х) произведение
всех различных простых по модулю р функций /л-й степени, имеем
хрт— Х^ПФлИ (modp),	(17)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
27
где произведение берется по всем делителям d числа т. Обозначим,
следуя Гауссу, через (и) количество различных простых по модулю/? функ-
ций (со старшим коэфициентом 1) степени п. Уравнивая в сравнении (17)
степени по х в левой и правой части, получаем рт =2 (Ф> откУДа по
принципу обращения^ 3) находим для арифметической функции (л)
п
выражение (и) =-^>2 гДе сумма берется по всем делителям
числа п. Из полученной формулы, между прочим, вытекает, что для
п
всякого целого п>0 выражение (п) > О (так как ^p(d)pd как сум-
ма или разность нескольких различных степеней простого числа р не
может быть равно нулю), т. е. существуют простые по модулю р функции
любой заданной степени. Наконец, из сравнения (17) путем того же
принципа обращения получаем и произведение всех простых по модулю р
функций данной степени и:
I Ъ V(d)
Фп (х) = П	— х) (mod р),
причем легко убедиться, что выражение в правой части есть целочис-
ленный полином от X.
Переходя к другому обобщению понятия о сравнениях, возьмем си-
стему целочисленных линейных форм от п переменных хъ х2, .. ., хп:
А = ацх± + ацХ2 + ... + ainxn, i = 1, 2, ..., п
с определителем d ф 0. Две целочисленные линейные формы gf от тех же
переменных назовем сравнимыми по системе линейных форм f2,. .fny
если разность g — g' представляется в виде m1j1 + п?2/2 + . .. ф mnfn
с целыми рациональными т19	..., тп. Будем записывать это так:
(modА). Для нас важно доказательство следующей теоремы об
этих сравнениях: если разбить все целочисленные линейные формы пере-
менных хг, .. ., хп на классы, соединяя в один класс все формы, сравни-
мые друг с другом по системе /ъ /2, .. . , fn, то количество этих классов
будет конечным; именно, оно равно |d|, т. е. абсолютной величине опре-
делителя форм А, /а, • ••, fn(&. Hurwitz 29). Пусть к — одно из чисел
1,2, ..., и. Рассмотрим все целочисленные формы вида axk + bXk+i + ...
«. . + сХп (fl ф 0), сравнимые с нулем по модулю А (такие формы суще-
ствуют, например dXk), и выберем из них ту (или одну из тех) gh —
== ^kxk + . .. + ехп, для которой dk имеет наименьшее положительное
значение. Тогда у всякой другой формы g = aXk + bXk+i + . .. рассмат-
риваемого вида коэфициент а при Xk делится на dk, так как иначе
можно подобрать линейную комбинацию g — hgk (h — целое число), срав-
нимую с нулем по модулю А, У которой коэфициент при х& будет больше
нуля и меньше dk-
Построенная таким образом система форм gu g2, ..., gn обладает
следующим свойством: всякая целочисленная форма F, сравнимая с нулем
по модулю fi, представляется в виде m1gl ф m2g2 ф ... ф mngn с целыми
рациональными mlf т2, ..., тп. Действительно, коэфициент при хх в фор-
ме F должен делиться на d^ обозначая частное от этого деления через т1У
28
ГЛАВА I
находим, что форма F — ^Si не содержит х2 и = 0 (mod/i). Следова-
тельно, коэфициент при х2 в форме F — должен делиться
на d2; обозначая частное от деления через т2, составляем форму F — m1g1—
— и т- д- Из доказанного свойства форм glf g2i ..., gn вытекает,
что все формы /ь /2, . .. , fn выражаются целочисленными линейными
комбинациями форм gv g2, ..., gn; но, и, обратно, так как gi = 0 (mod ft),
то формы gv g2t ..., gn суть целочисленные комбинации форм
/2» • • • > fn- Следовательно, определители форм /р /2, ..., fn и g1$
g2, • • • > gn могут отличаться только знаком, т. е. d-^d2 • • • dn = |d(.y Рас-
смотрим систему форм qrxr + q2x2 + - • • + #nxn, где q2, . .., qn
пробегают независимо друг от друга полные системы вычетов по моду-
лям dj, d2, ..., dn. На основании свойства форм gu g2, ..., gn легко
видеть, что написанные формы все несравнимы по модулю Д* С дру-
гой стороны, если дана любая форма F, то при надлежащем выборе
целых чисел тъ т2, ..., тп разность F — mig1 — m2g2— ... — mngn
будет совпадать с одной из форм qxxx + q2x2 + . .. + qnXm т. е.
F(x) = qxx± + q2x2 + ... + qnxn (mod Д). Итак, формы q^ + ... + qnxn
составляют полную систему вычетов по модулю Д; число их равно
didj • • • dk = |d|, ч. и тр. д.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I
К § 1—2. Подробное и систематическое изложение общей части теории
чисел имеется в следующих учебниках: L.-L) i г i с h I е t 14> 1б, Bachmann2,4,
Kronecker 36, Landau 38, Legendre 39> 40, Lucas 53, Cahen 9, Borel
et D г a h 6, St. - S m i t h и др.; на русском языке имеются книги Чебышева 82
и Граве 22. Некоторые главы из элементарной теории чисел изложены в книге
Вебера-Велльштейна 94.
Исторический очерк развития теории чисел с древнейших времен дан в
книжке А. В. Васильева „Целое число* 85. Справки по всем вопросам обык-
новенной теории чисел с обширными литературными указаниями можно найти
в Encykiopadie der Mathematische Wissenschaften (I Band, II Theil 16) и в трех-
томной History of the theory of numbers Диксона 12.
Другие сочинения энциклопедического характера, относящиеся к отдельным
областям теории чисел, будут указаны в своем месте.
Относительно длинноты алгорифма Евклида (1) (т. е. количества п 4- 1 деле-
ний, необходимых для нахождения общего наибольшего делителя двух данных
чисел а, Ь)_ имеет место легко доказываемая теорема Чебышева-Ламе, по которой
п 4- 1 > 5Ь, где Ь есть количество цифр числа Ь, написанного обычным образом
по десятичной системе счисления. Эту и другие подобные теоремы читатель най-
дет в книге Бахмана 4 (стр. 114 и сл.).
Ближайшим обобщением указанной в тексте теоремы Евклида о неогра-
ниченности ряда простых чисел является знаменитая теорема Дирихле, по которой
в каждой арифметической прогрессии ах 4- b (х = 0, 1, 2,...) с взаимно простыми b
и а > О существует бесчисленное множество простых чисел. Доказательство этой
теоремы в общем виде требует применения анализа бесконечно малых (см., на-
пример, L.-Dirichlet 14, Suppl. VI), в некоторых же частных случаях, например
для прогрессий пх±1> может быть проведено элементарно (см. Landau 3\
стр. 436 и сл., I. Schur 78).
Разложение больших чисел на простые множители есть задача, очень инте-
ресовавшая старых математиков (Ферма, Эйлер, Гаусс). Так как в каждом раз-
ложении N на два множителя один из них меньше или равен yTv, то для испы-
тания простоты или сложности данного числа N нужно делить его на все про-
стые числа, меньшие или равные УN. При большом N это сопряжено со значительной
вычислительной работой. Если N имеет какую-нибудь специальную форму (напри-
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
29
мер ak Zfz bk, х2 4- у2, х2-Ь2у2 и т. п.), то из теории степенных вычетов (§ 4, 6,
гл. I) и теории квадратичных форм (§ 8 гл. II и гл. IV) можно получить a priori
форму простых делителей числа N и тем значительно уменьшить число испы-
таний. Например из теоремы Ферма (§ 4) вытекает, что при р простом простые
делители числа 2Р— 1 должны иметь форму 2рх 4- 1; таким путем Эйлер убедился
в простоте чисел вида 2Р — 1, указанных в тексте. В последнее время в связи с
великой теоремой Ферма (см. примеч. к § 4) и другими вопросами снова возник
интерес к рассматриваемой задаче. Следует в особенности отметить работы
американского математика Лемера 41, 42> 44> 45, вычислившего обширные таблицы
простых чисел и сконструировавшего несколько машин, облегчающих фактори-
зацию чисел (т. е. разложение на простые множители); один из таких приборов
Лемера хранится в Физико-математическом институте Академии наук СССР.
В частности относительно чисел вида 2Р — 1 при р простом, от которых зависит
нахождение четных совершенных чисел и которые при p<i257 называются члс-
лами Мерсена (Lukas бз, стр. 376), современное состояние вопроса таково (см.
Lehmer 41> 44, Western 97): 1) установлена ^простота чисел 2Р—1 при показателях
р =» 2. 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107/127, 2) известна полная факторизация
этих чисел для показателей р —11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73;
3) известны один или несколько простых множителей 2Р— 1 для показателей
79, 83, 97, 113, 131, 151,163, 173, 179, 181, 191, 197, 211, 223,233, 239, 251;
4) установлена не-простота для р = 101, ЮЗ, 109, 137, 139, 149, 257; 5) ничего
не известно для показателей р = 157, 167, 193, 199, 227, 2.29, 241. В теории де-
ления круга имеют большое значение простые числа формы 2k + 1; именно,
Гаусс доказал (см 20, D. А., VII Abschn.), что круг может быть разделен циркулем
и линейкой на простое число р равных часiей в том и только в том случае,
когда р имеет форму 2^+ L Очевидно, что 2fe+ 1 может быть простым лишь в
случае к = 2П. При значениях п — О, 1, 2, 3, 4 числа р = 22П4~1 действительно про-
стые, что дало повод Ферма предположить, что и при дальнейших значениях п
выражение 22П + 1 будет давать простые числа, однако при п = 5 Эйлер (см. 17,т. I,
стр. 1) обнаружил делимость 22П 4- 1 на 641. Различными авторами позднее было
найдено, что 22П 4~ 1 будет составным и при п = 6, 9, И, 12, 18, 25, 36, 38
(Lehmer 44). О других методах факторизации чисел см. примечания к § 8 гл. II.
С совершенными числами имеют сходство дружественные числа, которыми
много занимался Эйлер. Два числа /л, п называю!ся дружественными, если каж-
дое из них равно сумме правильных делителей другого, так что £(/п)4-£ (л) =
— т 4- л; таковы, например, числа т = 22 • 71 ип = 23'5*11. В мемуаре „De
numeris amicabilibus* (см.17, т. I, стр. 102) Эйлер дал таблицу из 61 пары дружест-
венных чисел.
Доказательство формулы (3) для функции <р(п) и теоремы § 8 гл. II о не-
вычете е-й степени простого числа любезно сообщены мне акад. И. М. Вино-
градовым и взяты из недавно вышедшего курса лекций И. М. Виноградова по
теории чисел.
Известно множество формул, содержащих различные преобразования эле-
ментарного характера для числовых функций <р(п), т(п), р{п) и легко выводя-
щихся из основных свойств этих функций, перечисленных в § 2; наиболее инте-
ресной из них является формула С. Смита
(1, 1) (1,2)... (1,л)
(2, 1) (2, 2)... (2, л)
= 9>(1)ф(2)---<р(л),
(л, 1) (и, 2).. .(л, л)
где (а, ь) обозначает, как всегда, общий наибольший делитель а и Ь. О таких
формулах см. книгу Бахмана 4, из новейшей литературы статьи Лемера 48 и
Шредера 77.
30
ГЛАВА I
К § 4. Указанная в этом параграфе теорема Ферма называется малой
теоремой в отличие от большой или последней теоремы Ферма, по которой
уравнение zn — хп 4- уп не может быть решено в целых положительных числах
х, у, z, если только показатель п > 2. Эта теорема высказана Ферма без до-
казательства и полностью (т. е. для всякого п >2) не доказана и поныне; она
особенно замечательна по количеству усилий, которые тратятся на ее доказа-
тельство со стороны как специалистов, так и любителей теории чисел. Для п — 3
и 4 эта теорема доказана Эйлером, для п — 5—Дирихле, для всех п < 100—
Куммером, поставившим ее в связь с бернуллиевыми числами (см. примеч. к §7).
В настоящее время она доказана для всех п < 307.
а?"1 — 1
Число q(a) —---------, которое при р простом и а не делящемся на р
будет целым (по теореме Ферма), носит название частного Ферма. Исследо-
вание вычета этого числа по модулю р является важным для большой теоремы Фер-
ма, так как попытки доказать эту теорему приводят к сравнениям вида
2Р~1 ЕЕ 1, З19-"1 ЕЕ 1 и т. д. (modp2), т. е. к сравнениям 7(2) ЕЕ 7 (3) А О (modp).
Из имеющихся выражений для частного Ферма отметим формулу Штерна
4 (2) == 1 + у 4“	• • • 4" pEZEE Р), пРичем обозначает корень сравнения
xk~l (modp) (см. Bachmann 4, ч. I, стр. 164). Таблица значений выражения q (2)
для простых чисел р < 1 000 имеется в учебнике Граве 22.
К § 5. В неизданных рукописях А. Н. Коркина, хранящихся в Физико-мате-
матическом институте Академии наук СССР, излагается способ для определения
знака -Ь 1 в сравнении (6) для простого числа p =^3(mod4). Этот способ основан
на легко доказываемом замечании, что в сравнении (6) имеет место знак 4- или —
смотря по тому, будет ли число	Р ] +[/2р] + ••• 4-	чет-
ным или нечетным. Коркин дает прием дтя последовательного составления чисел
PEL [Г"2р]>... путем одних сложений, аналогичный правилу Ивана Бернулли
(см. § 13 гл. II); для приложения этого приема нужно предварительно вычислить
несколько первых чченов ряда [}/р], [j/^p],..., в количестве	Одна-
ко на практике способ Коркина приводит, повидимому, к более сложным вы-
числениям, чем критерий Кронекера (см. § 2 гл. VI).
К § 6. В мемуа ^ах „Sur la distribution des residus et des non-residus des puis-
sances* 86 (1918), „О распределении индексов* 88 (1926) и „Некоторые теоремы
о распределении индексов и первообразных корней* 89 (1933) акад. И. М. Виногра-
дов дал приблч ке шые теоремы о распределении пере юбразных корней и индексов
в прогрессии, аналогичные его теореме о распределении степенных вычетов (§ 2
гл. III). Метод его исследования элементарный и состоит в оценке модуля неко-
торых тригонометрических сумм. В мемуапе 1918 г. доказывается,теорема, излагае-
мая Н1ми в гл. III (см. конец § 2 гл. Ill); из этой теоремы, между прочим, вы-
текает, что наименьший положительный первообразный корень простого числа р
«V р — 1
не превышает 2 — -----
9Р(Р—1)
Ур 1п р. Отсюда
выводится, что количество элемен-
тарных операций, необходимых для нахождения первообразного корня числа р,
8_
есть величина порядка р2 ininp g мемуаре 1926 г. доказывается теорема:
пусть р > 3 - прост е Число, с — hf > 2—делитель числа р — 1, а, а—целые, числа,
взаимно простые соответственно с р, ft затем Ъ, Р— любые целые числа, нако-
нец, pit h—целые числа, для которых о < рх < р, 0 < /х < /. Тогда количество пар
Чисел х, у (х == О, 1, . .., р± — 1, у = о, 1,...,/х — 1), удовлетворяющих сравнению
lnd(#v 4- b)~ hay 4- р (mod с), равно	+ бУ Р In р In с, причем 10 1 < 1. В
мемуаре 1933 г. доказывается теорема: пусть р>19, 0<(J<p, 0<V ^р,
г и о (modp), х пробегает приводе тую систему вычетов по модулю р. Тогда
число тех значений х, для которых х и гх 4- $ являются одновременно перво-
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
31
образными корнями числа р и, сверх того, О < Ind х < U, 0 < Ind (rx + $)< V
[индексы берутся по фиксированному первообразному корню и исключается значе-
ние х, длякоторого + s^O (mod p)J, равно	+ 0-2v+1J^pUnp)2,
где v — количество различных простых делителей р — 1 и |0 I < 1. В новейших
работах И. М. Виноградова90,92 (1934) рассматривается количество случаев,
когда три числа х, х + q, х + s (х = 1, 2, ..., р — 1) являются одновременно
первообразными корнями, и другие подобные вопросы.
Для практического решения двучленных сравнений А. Н. Коркин 33 дал ме-
тод, основанный на введении некоторых вспомогательных чисел, которые он
называет характерами и которые вычисляются раз навсегда для данного простого
модуля. Коркин вычислил 'эти характеры для простых чисел до 4 000. Метод
Коркина особенно полезен ввиду того, что К. А. Носсе 70»71 продолжил вычис-
ление таблицы -характеров до 10000. Подробное изложение метода Коркина
имеется в его мемуаре/ указанном выше 3’, а также в учебнике Граве 22, где
дано, кроме того, извлечение из таблицы характеров, идущее до 2 000.
К § 7. Бернуллиевы числа получили особенное значение для великой тео-
ремы Ферма (см. примечания к § 4) после того, как Куммер в 1850 г. доказал
теорему: уравнение -F + 2^ = О не решается в целых числах х, у, z, отлич-
ных от нуля, если простое число р>2 не делит.числителей бернуллиевых чисел
В19 В2,...,	_ з. Изложение исследований Куммера читатель найдет в III томе
"~2 ”
учебника Ландау 88.
К § 8. Как сказано в тексте, Гаусс дал восемь различных доказательств
закона взаимности квадратичных вычетов; из них первое и третье изложены
в тексте, второе основано на теории квадратичных форм, четвертое — на изу-
чении так называемых гауссовых сумм, пятое — на лемме Гаусса (см. в тексте),
шестое — на теории деления круга, седьмое и восьмое — на изучении сравнений
высших степеней. Последующими учеными было дано до 50 новых доказательств
этой теоремы; впрочем, в этих доказате яствах нет существенно новых принци-
пов и все они являются более или менее скрытыми переложениям и доказательств
Гаусса. Анализ почти всех существующих доказательств закона взаимности вместе
с подробными историческими и литературными указаниями читатель найдет
в книге Бахмана 4 (ч. I, гл. VI).
Доказанное в тексте тождество (13) (справедливое для всяких двух нечет-
ных взаимно простых чисел р, q} имеет, как заметил Эйзенштейн, простую гео-
метрическую интерпретацию. Отметив на плоскости четыре точки О, А, В, С соот-
ветственно с координатами (0, 0), (у, 0^, ^0,	, легко найдем, что
1я,
Р] =
есть число точек с целыми координа
тами, лежащих внутри треугольника ОАС. и, аналогично, [р, q] есть число таких
точек внутри треугольника ОВС; между тем очевидно, что внутри четырехуголь-
ника ОАСВ лежит всего	о 1 таких точек, откуда и получается форму-
2	2'
ла (13). Существует несколько других интересных тождеств, подобных тождеству (13),
Q— 1
р-1
как,
2	2
Yi Г । 11 Г qx । 1 "1
например, 2 V = 2 у + У
х= 1 L 4 J х= 1 L r J
(см. Bachmann 4, Stieltjes 80, т. II,
стр. 567). Сюда же относится следующая теорема, доказанная Стилтьесом в мему-
аре „Snr la loi de reciprocite ее Legendre" <см. 80, т. И, стр. 5^7). Если обозначим,
через D точку пересечения диагоналей указанного выше четырехуг льника ОАСВ,
то внутри треугольников ADC и BDC лежит одинаковое количество целых точек.
Изящное геометрическое доказательство этой теоремы было доложено студентом
32
ГЛАВА I
ЛГУ М. М. Артюховым на Всесоюзном съезде математиков в Ленинграде
<июнь 1934 г.). Из формул, подобных (13), отметим еще формулу
/1—1 Г. -]	/1—1 Г.	1
L «- I	"	1"
L J V = 1 L J
</2>0, &>0 — взаимно простые), имеющую значение в дедекиндовой теории
модулярных функций.
К § 9. Практически удобные правила для вычисления символа Якоби
путем алгорифма Евклида и других подобных ему алгорифмов даны Гауссом,
Целлером, Эйзенштейном, Кронекером и др. (см. Bachmann 4 ч. 1, гл. VI).
Самое простое из них правило Эйзенштейна: полагаем последовательно Р = qQ +
4“ ei Qi> Q =	+ €2Q2, ...,	= q^Qk + Ол-H’где Qi» • • •» Ф&4-1 “ 1
убывающие нечетные числа, q, q^ ..., qk—четные числа, большие или равные
2,	• • •» равны ± 1, и смотрим, каково число Л случаев, когда Qv и
г,4_Л+1	= 0, 1, ..., к) одновременно === 3 (mod 4). Тогда (-уу I = (— 1) .
К § 10. Подробное изложение теории сравнений по двойному модулю (р, Р(х))
имеется в книге Бахмана 4 (ч. I, гл. VII). Вопрос о решении линейных сравне-
ний со многими неизвестными весьма подробно разобран (при помощи так
называемой теории элементарных делителей) в незаконченном сочинении Стилтьеса
„Sur la theorie des nombresu см. so, т. II, стр. 265—377). См. также книгу
Р. Bachmann, Die Arithmetik der quadratischen Formen3 (II Abschn., Ill Кар.).
ГЛАВА II
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Под диофантовыми приближениями понимают приближения к за-
данным числам при помощи рацио цльных чисел (целых или дробных)
или, более обще, решение разного рода неравенств в целых числах.
Для получения диофантовых приближений служат три элементарных
орудия: ряды Фарея, принцип Дирихле и непрерывные дроби. В этой
главе мы рассмотрим каждое из этих орудий с той степенью подроб-
ности, которая соответствует широте его применения.
§ 1. Ряды Фар£я. Пусть п — целое число, большее нуля. Напишем
все несократимые правильные дроби, числители и знаменатели которых
больше нуля и меньше или равны л, и расположим их в порядке воз-
. О 1
растания величины; присоединив к ним дроби у и у получим так назы-
ваемый р%д Фарея порядка п. Основное свойство этих рядов следующее:
если ~—две рядом стоящие дроби ряда Фареяу то a'b — ab' == 1.
Мы докажем это свойство методом полной индукции, причем одно-
временно получим удобное правило для составления рядов Фарея. Для
,	0	1
ряда Фарея первого порядка у , у теорема справедлива; предполагая по-
этому теорему доказанной для ряда Фарея л-го порядка, выведем ее
справедливость для подобного же ряда (л + 1)-го порядка. Пусть
-р---рядом стоящие дроби ряда Фарея л-го порядка; тогда Ь + Ъ' >п,
так как в противном случае несократимая
а'
и принадлежала бы также к ряду л-го порядка.
. а + а'
дробь
лежащая между
Отсюда легко
вывести следующее правило для составления ряда Фарея (л + 1) го по-
а а'
рядка: возьмем в ряде л-го порядка все те пары — , у рядом стоящих
Дробей, для которых b + Ь' = л + 1, и в каждый из соответствующих
интервалов вставим дробь у— ; тогда и получим ряд Фарея (л+1)-го
порядка. В самом деле, все члены вновь образованного ряда суть несо-
кратимые правильные дроби с знаменателем, меньшим или равным л + 1
Пусть, обратно, у—любая дробь, в которой (s, f)=l, 0 < s < t —
п-Ь 1. Так как у не принадлежит к ряду Фарея л-го порядка, то
3 Теория чисел.
34
ГЛАВА II
этого ряда.
бы в ОД-
этих ин-
а	s	а	а	а
— <	— < ту ,	где	-г	,	Т7 — Две	последовательные	дроби
о	t	о 1	и	b
„	.	. s	а 4- а'
Если	бы	дробь	~	отличалась	от —то	она	лежала
г I	о о 1
ном из интервалов ^у, b или > yj- Каждый из
тервалов имеет вид , у), где у ft— ad — 1, и потому по известному
предложению (см. след, абзац) знаменатель дроби -у должен превы-
шать р и д, т. е. f > й + &' > л + 1, что невозможно, так как t = п + 1.
s а+ я'
Итак, — ==—-; отсюда видим, что составленный выше ряд есть
1 t о + о '	г
действительно ряд Фарея (п4"1)-го порядка. Вместе с тем ясно, что
для этого ряда доказываемая теорема справедлива.
Ввиду важности предложения, которым мы только что воспользова-
s	а
лись, напомним его доказательство: если у — несократимая дробь, <
<7< 7 > 0,	й>°> 7/5 —аЗ= 1, то у— j< , ~>sfi — ta>l,
следовательно t > <5, аналогично t > р.
Обращаясь к вопросу о том, с какой точностью данное вещественное
число может быть представлено рациональной дробью, отметим прежде
всего важную по простоте и многочисленным приложениям теорему
Дирихле (L.-Dirichlet 14 § 141):
Теорема 8. Пусть со и т>1—вещественные числа, существует
несократимая дробь	, удовлетворяющая условиям
1со— — |	,	0<о<т.
I Q I ч’ 7
пусть
и п = [т]; заключим со между двумя последовательными чле-
Фарея п-го порядка: ~ <со • Тогда у = у при у <со <
р а' а 4- а'	а' о
— = -гг при , Г7 < со < -гт . В самом деле,
#	о	г о 4- Zr	b
I Р I 1	1	1
При помощи рядов Фарея эта теорема доказывается так:
0<со< 1
нами ряда
а 4- а'
< ГТ" ГТ И
b 4- &
О < q < т;
Пусть со — иррациональное число, лежащее между О
а
последовательных члена , -г.
Ьп Ь>
ч.
очевидно, что
и тр. д.
и 1; взяв два
ап
—- ряда Фарея п-го порядка, между кото-
Jn
рыми заключается со, получим при п= 1, 2, 3, ... ряды дробей
’ b-^ 1	Z?2 5 Z?2	^3 ? ^8
(1>
дающих все более точные приближения к со слева и справа. Свойства
рядов (1), а также их связь с обыкновенными непрерывными дробями,
были исследованы Гурвицем 26; эти исследования частью воспроиз-
ведены в книге Бахмана 4 (ч. I, стр. 125 и сл.).
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
35
§ 2. Принцип Дирихле; теоремы Кронекера и Минковского.
Если на п мест требуется разместить несколько предметов, причем число
предметов более п, то на одно какое-нибудь место попадет не менее
двух предметов. Это предложение, которое Дирихле с чрезвычайным
остроумием применил к выводу диофантовых неравенств, называется
теперь принципом Дирихле (Н. Minkowski б9, Кар. I). Пользуясь этим
принципом, докажем следующую теорему Кронекера, обобщающую тео-
рему 8: пусть п, !— целые числа, большие нуля, со2, .. •,	— лю-
бые вещественные числа; существуют целые числа Z, х$, .хп,
удовлетворяющие условиям
|а>12— Xil<-|-> |«>2Z — Ха| <-| , ...,|wnZ —Хп|< у, 0<z<P. (2)
Пусть q пробегает числа 0, 1, 2, определим для каждого q сис-
тему целых чисел рг, р2, ..., рп, удовлетворяющих условиям
О<60^ — pi < 1, 0<co2q — р2<1,
.,0<a>nq — рп< 1.	(3)
Эти условия однозначно определяют числа р19 р%,	, рп по данному q.
Рассмотрим в п-мерном пространстве область, состоящую из точек
(У1> Уь • • • > Уп), удовлетворяющих условиям
0<ух< 1, 0<у2< 1, ..., 0<уп <1.	'	(4)
12	t_1
Вставив в каждый промежуток 0, 1 дроби у, у, ..., —— , мы разобь-
ем эту область на tn областей вида
/q = 0, 1,	1; ...; *n==0, 1, ..., /—1.	(5)
Так как точка с координатами corf — рь ..., a>nq—рп принадлежит в силу
неравенств (3) к области (4), то эта точка попадает в одну (и только
одну) из областей (5). Но количество этих точек равно количеству зна-
чений q, т. е. /п+1; число же областей (5) есть tn. Следовательно, по
принципу Дирихле, по крайней мере в одну из областей (5) должна по-
пасть пара различных точек (т. е. соответствующих различным q). Обо-
значая через q', р[, ..., рп и q", р” 9 р'п значения q, pl9 ..., pn,
соответствующие этим точкам, причем 0	tn, и полагая
q"—q'~z, р"—р^^Ху, ..., pn~ Рп==*п> находим для чисел
2,	..., хп неравенства (2).
Если хоть одно из чисел , соп иррационально, то из теоремы
Кронекера вытекает, что можно найти бесчисленное множество систем
Дробей	, удовлетворяющих условиям
....
Минковский 60 нашел важную теорему, содержащую в себе как частные
3*
36
ГЛАВА II
случаи теоремы Дирихле и Кронекера. Теорема Минковского заключается
в следующем:
Теорема 9. Пусть fi == СцХг + ai2x2 + • .. + flinXnU = 1, 2, . .., ri) —
система п линейных форм от п переменных хА, ..., хп с веществен-
ными коэфициентами и определителем d + 0. Если Ях, ... , Лп — произ-
вольные положительные числа, связанные соотношением Я1Я2/ • -Лп = |d|,
то можно указать для переменных xlf ..., хп целые значения, не
равные одновременно нулю, при которых | fr | <	[/21 < Л2 > • • •»
(fn I I Лп |.
Сам Минковский доказал эту теорему из геометрических сообра-
жений. Гильберт и Гурвиц 29 дали доказательства, основанные на прин-
ципе Дирихле. В последнее время Морделль 62 дал доказательство, близ-
кое по идее к доказательству Гурвица. Мы будем следовать доказа-
тельству Гурвица, как самому простому. Заменяя формы fi формами
п___
-/i с тем же определителем d, видим, что наша задача равносильна
А’
следующей: указать такие целые значения для переменных хь ..., хп,
не равные одновременно нулю, при которых каждая из данных форм
. + ainXn будет по абсолютному значению меньше или
п ________
равна 1 d |. Предположим сначала, что коэфициенты данных форм
суть целые числа; тогда и d будет целым числом, не равным нулю.
Возьмем систему форм Д =	+	+ • • • + ОщХп (i — 1, 2, ..., п),
таблица коэфицизнтов которой получается из соответствующей таблицы
'форм fi заменой строк столбцами; /г, ... , fn будут целочисленные формы
с тем же определителем d. По доказанному в § 10 гл. I существует
ровно \d\ целочисленных линейных форм переменных хх, ..., хп, несрав-
__ п
нимых по системе форм f1, ..., fn. Полагая поэтому г = [р|dj],так что
r‘<|d| < (г 4- 1)п, найдем, что среди (г + 1)п форм /qA'j 4-А'2т2.
... + кпхп (/<4=0, 1, г; кп = 0, 1, ..., г), число которых
больше |d|, должны найтись две формы, сравнимые по модулю
п __
Пусть	... + тпхп разность этих форм; тогда
и +... + тпхп = x°1f1 + x°2f2 + , + xn° п, причем xj, ..., An — целые
числа, не равные одновременно нулю. Сравнивая в этом уравнении
коэфициенты при хь ..., хп и принимая во внимание неравенства для
чисел находим при системе значений Xx = xJ, ..., хп = xQn'
1/iKFM	(6)
что и доказывает нашу теорему для целочисленных форм fi. Так как
неравен тва (6) однородны относительно коэфициентов данных форм Д,
то отсюда сейчас же вытекает справедливость теоремы и для форм /<
с рациональными коэфициентами а^.
Для форм fi с произвольными вещественными коэфициентами теорема
доказывается путем предельного перехода. Пусть (£==1. 2, . ..)-—
последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. Возьмем
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ	37
для каждого к систему форм с рациональными коэфициентами
отличающимися от соответствующих коэфициентов ац данных форм менее
чем на 8k- Обозначая через dk определитель форм fik\ имеем, при к -> оо,
dk-^d и потому, для всех достаточно больших /с, dk =f= 0. Так как
для форм /^теорема справедлива, то найдется система целых значений
Хх, ...» хП) где не все Х{ = 0, для которых
гЛ<Ж1,i/nH/W-	<7)
Решая неравенства (7) относительно х19 ..., дп, видим, что значения
%1, .хп, удовлетворяющие этим неравенствам, заключены в пределах,
не расширяющихся бесконечно при & —оо; эти пределы, следовательно,
можно считать независящими вовсе от чисел Точное установление их
для нас излишне. Так как существует лишь конечное число различных си-
стем целых чисел , хп, заключенных в определенных пределах,
то в неравенствах (7) для бесчисленного множества значений к будет
повторяться одна и та же систем# чисел хи ..., хп. Переходя для этой
системы чисел к пределу, находим, что она будет удовлетворять также
неравенствам (6), что и доказывает теорему Минковского.
Дальнейшие исследования о теореме Минковского и ее приложения
читатель найдет в книгах. Минковского „Geometric der Zahlen*60 и
„Diophantische Approximationen“ б9.
§ 3. Теорема Эрмита. В письмах к Якоби Эрмит (Hermite, см. 23,
стр. 103) высказал теорему: во всякой квадратичной форме F = 2 вцХгХ}
= вц, i, /=1, 2, ..., п) с вещественными коэфициентами и
определителем d + О переменным хъ , хп можно придать такие
целые, не равные одновременно нулю, значения, при которых F по
п _________________________________
численной величине будет меньше ]/\ d\. Здесь еп зависит только от и,
п —1
но не от коэфициентов формы. Эрмит дает величину вп =	2 и
предполагает, что ее можно понизить до ---.
« •
Пусть F=2Pi/t> где /1, •••’ fn — линейные формы переменных
г=1
Хи ..., Хп с вещественными коэфициентами и определителем 1 и
Рь Р2» • • •> р,г —положительные или отрицательные числа, связанные соот-
ношением ptp2.. .рп =- d. Обозначая через Я2, ..., Лп произволь-
ные положит льные числа, произведение которых равно единице, можем
найти по теореме Минковского целые значения для хг, ..., хп, не равные
одновременно нулю, для которых |Д|<	..., |/п(< Лп и, следова-
ть
тельно,	Остается подобрать для лг, ..., такие зна-
чения (связанные уравнением	= 1), при которых правая часть
последнего неравенства будет наименьшей; это будет, как легко видеть,
тогда, когда все слагаемые суммы 2 I Pi I между собою равны и, следо-
38
ГЛАВА II
П __;	J И _
вательно, каждое из них равно V|d|. Итак, получаем |F[ < п V\ d\,
т. е. теорему Эрмита с постоянной еп = п.
Что касается определения точного верхнего предела минимума квад-
ратичной формы с П переменными для целых значений переменных, то
эти пределы для положительных форм при п = 2, 3, 4, 5 даны Кор-
киным и Золотаревым (см. 98, вып. I, стр. 7,66, 109, 375), для неопре-
деленных форм при п = 3, 4 даны А. А. Марковым бб»бв. Мы остано-
вимся только на случае п == 2. Если квадратичная форма / = ах2 +
4- 2Ьху -{-су2 = (а, Ь, с) подстановкой х = ax' + fry', у = yxf + ду'
переходит в форму /' = а'х'2 4- 2Ь'х'у' + с'у'2, то коэфициенты а', Ь', с'
имеют значения
а9 = Да2 4- 2Ъау 4- су*,
Ь' » аа/? + Ь {ад 4- fry) +
cf = ар2 4- 2Ь0д+сд2.
Эту подстановку будем обозначать в дальнейшем через . Число d =
= b2 — ас {определитель формы /) связано с соответствующим числом.d'
формы /' соотношением dr — ds2, где 8 = ад— fry. Если / преобразуется
в /' подстановкой S = j и /' преобразуется в /" подстановкой S' =
(у'Й> то / преобразуется в /" подстановкой SS' =
называемой произведением подстановок S и S'.
Если коэфициенты подстановки Q переводящей / в /', суть числа
целые, то по терминологии Гаусса / содержит f'. В этом случае
каждое число, представляемое формой /' при целых значениях пере-
менных х', у', представляется и формой / при целых X, у. Если, наконец,
целые числа a, fr у, (5 связаны соотношением ад — fry = ± 1, то формы /,
/' имеют одинаковые определители и каждая из них содержит другую,
т. е. системы чисел, представляемых этими формами при целых значе-
ниях переменных, совпадают; формы /, /' называются эквивалентными.
Все эти определения, принадлежащие гауссовой теории квадратичных
форм (см. главу IV), переносятся без труда на формы с любым числом
переменных.
Пусть к — целое число. Подстановка	переводит форму
/ == (я, b, С) в форму f — {с, —b + kc, а — 2кЬ + ск2). Эта форма
называется соседней с / справа (contigua a parte ultima по Гауссу). За-
висимость между / и /' при с ф 0 можно охарактеризовать так: f~{a, b, с)
и /' = (с, е) имеют одинаковый определитель и	есть число
целое. Аналогично, форма '/ = {е', а) одного определителя с /.===
= {а, Ь, с), такая что целое, будет соседней с / слева (contigua
a parte prima). Очевидно, что форму /' = (с, Ь'\ е), соседнюю с / =
= {а, Ь, е) справа, можно выбрать так, чтобы средний коэфициент ее Ь'
был по абсолютному значению меньше или равен .
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ	39
Пусть / = (я, &, а')—бинарная форма с произвольными веществен-
ными коэфициентами. Предположим сначала, что / — положительная
форма, т. е. я>0, а'>0, d = b2— аа' <0. Составим ряд форм
(а, Ь, а'),	(а”, Ь", а”'),	(8)
каждая из которых соседняя справа по отношению к предыдущей. Сред-
ние коэфициенты этих форм выбраны по условию |#' | <	, ..., | Ь<п> | <
а(П,
< —, ... Каждая из форм ряда (8), очевидно, эквивалентна первой,
(а, Ь, а') = /; мы утверждаем, что в этом ряде должна найтись форма
(fl(n), &(n), я(п+1)), для которой я(п)<й(п+1). В противном случае мы
имели бы а' > а" > а'” > ..., что невозможно, так как я", а'”, ...
суть значения, принимаемые формой / при некоторых целых аргументах,
а таких значений, меньших а', положительная форма / может иметь лишь
конечное число. Итак, приходим к выводу, что для всякой положитель-
ной формы / можно подобрать эквивалентную форму (с/п), Мп), а(п+1)) =
= (А, В, С), коэфициенты которой удовлетворяют условиям |2В|< А<С.
Это так называемые лагранжевы условия приведения. Из равенства
| d | = АС — В2 находим | d | > ~ А2, откуда А < у | d |. Итак: для
всякой положительной бинарной формы / определителя d можно ука-
зать такие целые, не равные одновременно нулю, значения переменных,
для которых / < у1 d |. Этот предел точный, так как форма
"J/^y |d| (х2 +ху + у2) определителя d не может быть сделана меньше
j/*у [ d | для целых х, у, не равных одновременно нулю.
Если / — неопределенная форма, т. е. d = b2 — аа'>	исклю-
чим из рассмотрения случай, когда / обращается в нуль для какой-
нибудь пары целых значений переменных, не равных одновременно нулю.
Тогда в форме / (и во всякой форме, ей эквивалентной) крайние коэфи-
циенты будут не равны нулю. При таком предположении относительно /
имеет место теорема: можно дать переменным х, у такие целые, не
*1 /"4
равные одновременно нулю, значения, при которых	v-d. Этот
г О
предел опять точный, так как форма j/~yd(x2+xy —у2) определи-
теля d имеет, как легко видеть, минимум (для целых х, у) ^/~у d . Фор-
мулированная теорема (принадлежащая А. Н. Коркину 98, вып. И, стр. 332)
будет доказана ниже (§ 4 гл. IV).
§ 4. Непрерывные дроби; перечисление свойств подходящих
Дробей. Переходим теперь к третьему орудию для получения диофан-
товых приближений — непрерывным дробям. Алгорифм непрерывных
дробей занял видное место в теории чисел после трудов Эйлера и Ла-
гранжа; первый из них открыл, а второй доказал важнейшее свойство
40
ГЛАВА II
этого алгорифма — периодичность непрерывной дроби, получаемой при
разложении квадратной иррациональности. Подробное изложение всех
результатов, достигнутых в теории непрерывных дробей до 1912 г.,
вместе с литературными указаниями читатель найдет в книге О. Perron,
Die Lehre von den Kettenbriichen 69. Мы будем рассматривать только
обыкновенные непрерывные дроби, т. е. выражения вида
+	= [»1, 0а, «з. • • • L	(9)
в которых — произвольное целое, а21	— положительные целые
числа. Эти числа называются неполными частными (Teilnenner) дроби (9).
Выражения
называются подходящими дробями к дроби (9); числители и знаменатели
их вычисляются последовательно из соотношений
Pq — 1» Qo — Qj Pl — П15 Qi — 1 > Pn-f-l — &n+lPn + Pn—ь
Qn-bi = (^n+iQn + Qn—i,	n= i, 2, t3, ...	(10)
Из этих соотношений легко выводятся следующие важные свойства
чисел Рп и Qn:
PnQ^i-Pn-iQn = (— Dn,
п= 1, 2, 3, ...,
Pn-\-lQn—1	Рn—-iQn-hl	(	0 #n4-l
q----= K, Пп_1, • • • i П2],	Л = 2, 3, . . . ;
^n—1
p
p-^- = an-i, ..., nJ, «! + 0, n = 1, 2, ...
* n—1
(11)
(12)
Из (10) выводим, что 0 < Q2 < Q3 < Q4 < ...,
только при a2 == 1. Из (11) вытекает: 1) каждая дробь
причем = Q2
Рп
—- несократима,
^п
2) подходящие дроби нечетного порядка с увеличением номера возра-
стают, а четного — убывают, 3) каждая подходящая дробь четного по-
рядка больше каждой подходящей дроби нечетного порядка. Если не-
прерывная дробь конечна, то значение ее, совпадающее с величиной
последней подходящей дроби, равно рациональному числу; обратно,
каждое рациональное число х может быть представлено конечной непре-
рывной дробью. Для этого может служить, например, алгорифм Евклида
(гл. I, § 1); этот алгорифм дает для х непрерывную дробь [ц1? а2, ..., ап],
в которой ап>1. Так как последнюю дробь можно написать и так:
[Пр а2, .ап—1, 1], то видим, что число X может быть представлено
непрерывной дробью с количеством неполных частных по произволу
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
41
четным или нечетным; и эти два представления, как легко видеть,
суть единственно возможные представления рационального числа х обык-
новенной непрерывной дробью.
Пусть х = («1» а2) ...] — конечная или бесконечная непрерывная дробь;
положим
* = <h+ Hr	= lai> а» • • • > а*> х*]>	* = 1, 2,3, ...
а+ • 1
• + + ~
хк
Число Xfe = [flfe-f-i, ..] называют полным частным. Это число свя-
зано с X соотношением
__ ?kxk + pk—i
из которого с помощью (11) получаем полезные формулы
Pk =	D*-1 v = Qk-ix~ pfe-i
х~0~к Qk^k + Qk-xr к Qk*-Pk
x1xz...xh=£=1,2,3,...
*k ~ 4kx
Последняя из этих формул принадлежит С. Смиту. Формулы (14) дают
x
| Qkx — Pk | < | Qk-iX — Pk—i I,
(15)
Qk—i
1, 2, 3, . . .
В этих неравенствах при рациональном х может стоять знак =; именно,
в первом — при х целом и к= 1; во втором — при х& = 1 и любом к\
в третьем —при х + ~ целом и к = 2.
Каждое иррациональное вещественное число х раскладывается (и
притом одним только способом) в бесконечную непрерывную дробь;
обратно, легко усмотреть, что всякая бесконечная дробь есть число
иррациональное Из (14) и (15) видно, что при иррациональном X каждая
подходящая дробь нечетного порядка меньше, а четного порядка больше х;
р
при этом тА-*Х при /г —оо. Возьмем две соседние подходящие дроби
Рп 1 Р
г)П~~ j лП+~ (п^1) с номерами одинаковой четности; они являются пер-
'ч п—1 ЧП4-1
вой и последней в ряду дробей
___РП-1 + ^п
S£ Qn-i +	’
р == 0, 1, 2, ... , fln-f-i*
(16)
42
ГЛАВА И
Эти дроби (при 0 < д < fln-t-i) называются промежуточными между
р р
и . Из соотношений
х»-1 ^п+1
(~1)Л
1 К >	9
Qn Qns:
увеличением р идут от
к
<?п-Х

причем
Rn
видно, что дроби — несократимы и с
/>
д --- (т. е. возрастают при п четном и убывают при п нечетном).
р
Подходящая дробь ~ со знаменателем Qk > 1 является наилучшим
приближением к числу х в том смысле, что представляет это число
точнее, чем всякая дробь с меньшим знаменателем; именно, если целые
числа а, b таковы, что
b = Qk. В самом деле, при ~ ± дробь ~ лежала бы внутри проме-
Р Р
жутка	и мы имели бы	Но подходящими дробями не
исчерпываются все наилучшие приближения (в смысле данного нами
определения). Можно показать, что этим свойством обладают еще те
промежуточные дроби из ряда (16), для которых 2/л > ап+1,
при 2р = йп+1 дробь — будет наилучшим приближением тогда и только
$п
Qn	г	1
тогда, когда -----<хп + ь или, иначе, когда [ап, ап_\, . ..,я2]<
— 1
< [Яп+2, ^п+з, •. .]• Других наилучших приближений к данному числу х нет.
Это правило (которое было известно еще Гюйгенсу) доказано С. Смитом.
Изложенные свойства подходящих дробей позволяют с легкостью до-
казать вновь теорему 8 § 1 настоящей главы. Более того, как увидим
в следующем параграфе, подходящие дроби позволяют в некоторых слу-
чаях увеличить точность приближения, доставляемого этой теоремой.
§ 5. Критерий Лежандра; теоремы Валена и Бореля. Лежандр
(„Essai sur la theorie des nombres" 39, стр. 20) дал критерий для суж-
дения о том, когда данная несократимая дробь (q > 0) будет одною
из подходящих дробей в разложении заданного числа X. Считая ф X,
р 0	р
положим X----и Разложим в непрерывную дробь с четным или
нечетным числом неполных частных, смотря по тому, будет ли 0 < 0
или 0>О; пусть ~ будет предпоследняя подходящая дробь в этой не-
прерывной дроби. Для того чтобы была подходящей дробью к х,
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
43
необходимо и достаточно. чтобы 0 <—.
1 ’ q 4- q
р Рк
IA, а2> сз» •••] и ~т = 7Г> то> полагая х*
В самом
=
имеем по (14):
£ =	(~1)к~1	_ 6
9	9 (9хк + Qk_j) q* ’
деле, если
ак+ъ
(И)
откуда 0 • (— 1)* 1 > 0, т. е. разложение -у = [д1( ..., ojJ совпадает с
указанным выше разложением ~ в непрерывную дробь. Следовательно,
Qh-i = q't и (17) дает 101 =	. Обратно, при выполнении
неравенства 10| С-обозначим через [й15 «а,	указанное выше
Ч *Т" Ч
р	*
разложение в непрерывную дробь, так
pq'— p'q = (— l)ft. Определяя величину xft из уравнения х =
(-1?"1	, л| q
ЧТО = [av	И
рхк + Р'
9xk + q' •
имеем	 -д	101 =---—г , 9Хк + а’ > 0, и из неравенства
9*	9 (9Хк +9 )	1 1	9хк + 9 ’ 4	4	’
101 < получим хк 1; в связи с равенством х = [<zx, fl2, ..., ак, Хл]
это показывает, что х& есть полное частное, а у—подходящая дробь в
разложении X, ч. и тр. д. Так как q'^q, то неравенство Лежандра
будет во всяком случае выполнено, если , т. е. если
х — — < А . Итак, если х — — <	, то есть подходящая
I q I £q	I q \ zq q
дробь к числу х. Эго замечание наводит на следующий вопрос: как
часто в данной непрерывной дроби х встречаются подходящие дроби ,
отличающиеся от х менее чем на ? Ответ на этот вопрос дает тео-
^q
р
рема Валена 84: из двух последовательных подходящих дробей ~
Pk+l
Сл’ Qfe+i
(k > 1) одна по крайней мере удовлетворяет неравенству | х — £ | <	.
Р Р
Так как подходящие дроби	лежат по разные стороны от числа х,
Чк Чж
то при
1
‘h

х —
m+i
мы имели бы
pk+i __
Qh-1 = Qk> что при к > 1
= пгг- >~^г + -г- или (Q*+1 — Qk?<О,
2Ql 2QU1
невозможно. Теорема доказана.
44
ГЛАВА II
Еще большую степень приближения подходящей дроби указывает
р
теорема Бореля: из трех последовательных подходящих дробей г
4k
р	р
(к > 0) одна по крайней мере удовлетворяет неравенству
lx—-£|<*-.	(18}
I Q I ]/5tf2	V
В противном случае из
чаем на основании (14)
х-^
Qi
1
/5Q*
(i = к, к 4-1, к + 2) полу-
Xft + ^-<K5, Xft+1 + ^_</5, xft + 24-^±i</5. (19}
4k	+ l	4k+2
Первые два из этих неравенств по замене xh через Ok+iA--— дают
xk + i
для величин и =xfe + i > 1 и и = —1 > 1 такие следствия: v +
4k	и
С /б, U + —- < /б. Отсюда
у</5 — и, v
1 1
/5 — и' У~5 — и
-</5,
и г ’
и2 — /5 и + 1 < О,
и<
/5 + 1
2
, 1/5 4-1
и, по симметрии, v < ——. Итак,
. К5 + 1
Xft + 1<---5 
Qft+1 V54-1
Qk "	2
(20)
Последние два из неравенств (19) аналогично дают
у 54-1 Qft , 2	У5+ 1
Xft + 2"	2	’ Qfe + Л 2	'
Из неравенств (20) и (21) последовательно выводим: ^4.2= 1,
(21>
Qk +1
Qk / 5 + 1 Qfe , т /5 + 1
= 1 +/г- - < ~—£------, —77T" > -------5--, что вместе с (20) дает невоз-
4^4-1	2	*
Qb I 1	"/ 5 + 1
можный результат: - п - =----------. Теорема Бореля доказана.
4k	2
§ 6. Эквивалентные числа. Два вещественных числа х, х' назы-
t ах + Р
ваются эквивалентными, если они связаны зависимостью х =	,
’	ух + <5 ’
где а, /?, у, д—целые числа и ад — Ру = + 1. Легко видеть, что два
числа, эквивалентные третьему, эквивалентны между собою и что два
рациональных числа х, х' всегда эквивалентны.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
45
Для иррациональных чисел существует следующая теорема Серре
(см. 79, стр. 34—37):
Для эквивалентности двух чисел X, х' необходимо и достаточно,
чтобы их непрерывные дроби, начиная с некоторых мест, давали
одну и ту же последовательность неполных частных. Достаточность
условия следует сразу из того замечания, что число X эквивалентно
каждому из полных частных, получаемых при разложении х в непре-
рывную дробь. Желая доказать необходимость, положим, что х и х'
эквивалентны, т. е.
<22)
и обозначим через Хп одно из полных
г 1 ____________________ — 1
х == [ах, • ••, ап, xnj — -Q -	 &
n f — 1
частных числа x, так что
Подставляя это значение х
в (22), находим х' =	” - . , где
"г* а
а = аРп + b = аРп _ i + (}Qn __i, с = уРп + dQn, |
d^Pn^ + dQn-ъ ad—bc=±l.	J (23)
Докажем, что при достаточно большом номере п целые числа с, d
будут удовлетворять условию 0 < d < С. В самом деле, число ух-}- д
(которое не р^вно нулю) можно предполагать положительным, так как
в противном случае мы могли бы изменить знаки у всех чисел а, Ду, <5,
d	Р
что не изменяет соотношения (22); так как х-= у	—|-(5—>ух+
-1	4l - 1
+ 5 при п —•> оо, то при всех n~>v число d > 0. Замечая, что
с = and + (yPn~2 + $Qn 2), находим, что, при п>^+1, c>d>0.
Дробь как видно из (23), несократима; раскладывая ее в непрерыв-
ную дробь = [^1, ^2» •••> akl с таким числом к неполных частных,
чтобы ad—bc = (—1)\ будем иметь для предпоследней подходящей
дроби — этого разложения формулы
ас' — са' = (— 1 )fe == ad — be, a(d — c') = c(b — a'),
d — c' = 0 (mode)
и так как 0 < d < С, 0 < с' < с. то с' = rf, а* = Ь. Итак,
х = сх = Pi» с» • • • > Gkt Хп] = К, .. ., ak, an+i, «л+2> .. .],
Ч. и тр. д.
Теорема Серре позволяет сделать еще новые добавления к вопросу
0 приближении подходящих дробей к разлагаемому в непрерывную
Дробь числу х. Из теоремы Бореля вытекает, что для всякого иррацио-
46
ГЛАВА П
нального числа х существует бесчисленное множество дробей удо-
влетворяющих неравенству (18). Прежде всего заметим, что величина
стоящая в этом неравенстве, является точным пределом в том
смысле, что можно указать иррациональные числа х0, для которых нера-
венству |х0—	удовлетворяет ограниченное число дробей ~ для
любого «>1^5. Положим, например, х0==	= [1, 1, 1, .
Сл
тогда каждое полное частное будет также равно
Лежандра (§ 5) все дроби -у, удовлетворяющие
.’-.Х- . По критерию
неравенству
(24)
Р Pj
следует искать среди подходящих к х0. Если — = -й-
4 Уа
ходим
то из (24) на-
Qk
(25)
= [1, 1,	1] (&-—1 единиц) и, следова-
1
хо
х--- при к —> оо. Поэтому при
Г 4-
ft+ «А
Но на основании (12) ..—
Qk	Qk__i
тельно’_оГЛ-"х°’ ~QT
8 > /б неравенству (25) может удовлетворять лишь ограниченное число
значков к. Очевидно, что те же
любого числа х0, эквивалентного
заключения остаются в силе и для
/5+1 u
-—. по для чисел, не эквивалент-
ных - 5-il..1 , предел в неравенстве (18) можно повысить; именно,
существует теорема: для всякого иррационального числа х9 не эквива-
лентного , существует бесчисленное множество дробей ,
удовлетворяющих неравенству
2
q I 2/2? ’
Если теорема неверна, то, разлагая х в непрерывную дробь, имеем для
всех k>v
pk\ 1
х_____— >_____—__
I 2 У 2 Qa
или xft 4
Qa
(26)
Отсюда аналогично тому, как было сделано
Бореля, получаем, при xfe_|_i<‘|/2 + l,
при доказательстве
^-</2+1,
теоремы
так что
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
47
с теоремой Бореля представ-
подобных же теорем, данных
О бинарных квадратичных
ряд неполных частных 0ы-2, вь + з, ... состоит только из двоек и еди-
ниц. Так как X не эквивалентно ^-4:—1 , то в этом ряде должна ветре*
титься двойка. Пусть = 2 (/ > /с + 2); из Xi _ 1 = 2 + Ц- < Ц2 + 1 и
_	_	*1
Xi<]/2 + 1 получаем Xj= Ц2 + 1 = Х14-1 = Xj^-2 — ..  Из (26) при
Q,	Qk -I-1	—
к > I находим -----< у 2 — 1, - а—- > У 2 + 1, что вместе с получен-
ий +1	4k
ним прежде неравенством —< ]/~2 + 1 приводит к невозможному
4k
результату —= ]/2 + 1. Теорема доказана. Аналогично предыдущему
можно доказать, что для всякого числа х0, эквивалентного J/2 4-1, не-
равенству | х0---~ удовлетворяет лишь конечное число дробей
-у при всяком е > 2 }/2.
Только что доказанная теорема вместе
ляют первые звенья бесконечной цепи
А. А. Марковым в замечательной работе
формах положительного определителя" 54 (см. § 4 гл. IV й примечания*
к гл. IV).
§ 7. Относительные минимумы формы х — оу. Пусть о— вещест-
венное иррациональное число. Будем говорить, что пара целых чисел р и.
q>0 дает относительный минимум линейной формы х — оу9 если
неравенства |х — оу | < |р — oq\, O^V^q удовлетворяются только
целыми числами х = р, у = q (если не считать х = 0, у = 0). Задача
отыскания всех относительных минимумов данной линейной формы привела
Лагранжа к открытию весьма важного свойства подходящих дробей;
это свойство выражается следующей теоремой.
Теорема 10. Пусть о =р1, а2, .. ] — иррациональное число и
р	р	р
гГу ~гГ> — его подходящие дроби. Тогда пара чисел (PbQi)
Vo	41	Ч2
при а2> 1 и все пары (Р2, Q2), (Р3, Q3), ... дают относительные
минимумы формы х — оу, и других относительных минимумов эта
форма не имеет.
Пусть (Р/г,3?й) — одна из указанных пар, т. е. £>2 или к~\
пРи а2> 1. Рассмотрим пару целых чисел х, у, удовлетворяющих нера-
венствам
Определяя
имеем
|х—оу | < | Pk — coQk\>	0<у <Qk + i.
целые числа т, п^из условий
х = тРь + nPk+i, y=mQk+nQk + i,
(27)
(28)
(29)
Pk — o>Qk
х — оу = m(Pk — oQk) + n(Pk±i — oQk + l).
При т и п, не равных нулю, должно быть тли > 0, так как
и Pk-{-i — oQk + i разных знаков и при тп < 0 равенство (29) противо-
речило бы первому неравенству (27); но при тп > 0 (28) противоречит
48
ГЛАВА II
второму неравенству (27). При т = 0 из (27) и (28) вытекает п = О,
т. е. х = 0, у = 0; при т ф 0, и = О из (27) и (29) вытекает т = ± 1
и х=/\, у = Qk- Итак, неравенства (27) удовлетворяются только парой
чисел х = Pk, У = Qk, откуда и вытекает, что все указанные в теореме
пары (Pk, Qk) дают относительные минимумы формы х — соу. Пусть, обратно,
X = р, у = q > 0 есть пара чисел, дающая относительный минимум формы
х—соу. Выберем номер к по условию Qk^q<Qk + i\ тогда, при
я2>1, k>l и при я2=1, к >2. Если пара p,q не совпадает
< Р/>, Qk. то, по доказанному только что свойс1ву подходящих дробей
{неравенство (27)] мы имели бы \р — coq | > | Pk—соQk |, что противо-
речит предположению, что р, q дают относительный минимум формы
X — соу. Итак, р = Рк, q — Qk. и теорема Лагранжа доказана.
Теорема 10 особенно важна потому, что указываемое ею свойство
подходящих дробей легче поддается обобщению, нежели другие их свой-
ства. Многочисленные работы Минковского, Эрмита, Вороного и Золо-
тарева, обобщающие в разных направлениях алгорифм непрерывных дро-
бей, основаны на свойстве подходящих дробей давать относительные
минимумы формы х — соу.
§ 8. Арифметические приложения неравенства Дирихле. Тео-
рема 8 (§ 1) ведет к важным арифметическим следствиям. Пусть р —
простое число формы 4п + 1 и N — целое число, удовлетворяющее
сравнению TV2 + 1 == 0 (mod р) (§ 8 гл. I). По теореме 8 для числа со = -у-
можно подобрать дробь -у- такую, что 0<&<{/р, ~
где |0|<1; для целого числа C — Nb— ра имеем )с1<Ур. Далее
с2 + b2 = b2(N2 + 1) = 0 (mod р) и так как 0 < с2 + Ь2 < 2р, то
р = с2 + Ь2. Итак, каждое простое число формы 4п + 1 есть сумма
двух квадратов. Дальше мы увидим, чго такое представление числа р воз-
можно лишь одним способом (если не обращать внимания на порядок
чисел f, ft и на их знаки). Теорема эта высказана Ферма и доказана
впервые Эйлером. В дальнейших главах этой статьи мы встретим много
различных доказательств этого предложения; приведенное сейчас'дока-
зательство принадлежит Эрмиту (см.23, „Note sur un th£oreme relative
aux nombres entiers", стр. 264).
Пусть p >2 есть простое число и е— делитель числа р—1 (е>2).
Как известно (§ 6 гл. I), приведенная система вычетов по модулю р разби-
р— 1	л	(е — 1) (р — 1)
вается на —-— вычетов степени е по модулю р и ------невыче-
тов. Пусть N — какой-нибудь невычет степени е. Найдя дробь -у, удо-
влетворяющую условиям 0 < Ь < У р,
N	а I 1	X
	< ——, будем иметь
р	b I	ьУУ
одно из двух: 1) либо b (которое больше нуля и меньше ]/р) будет
невычетом е-й С1епени по р, 2) либо b вычет и тогда c = Nb— ра
(которое по абсолютному значению меньше Ур) будет невычетом.
Так как отношение невычета к вычету есть всегда невычет, то отсюда
получаем: 1) среди чисел —1, 1, 2, ..., [Ур] имеется всегда невычет
. е-й степени по модулюр. Отсюда можно вывести далее, что 2) между
НЕ РЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
49
Ур— 1 и 2 Ур всегда имеется невычет е-й степени по модулю р. В са-
мом деле, предположим, что все числа [Ур], [Ур] + 1, . .., [2]/р] суть
вычеты €-й степени; тогда 2 = 2 будет также вычетом. Если
[/р]
существует невычет г между нулем н[Ур], то все числа г, 2г, 22г, ...
будут невычетами; но из этих чисел одно лежит в пределах)/р, 2)/р, что
противоречит сделанному предположению. Если все числа между 0 и
Ур — вычеты, то по замечанию 1 число — 1 есть невычет е-й степени.
Возьмем окружность С длины р и будем изображать все целые числа
..., — 1, 0, 1, 2, ... последовательными равноотстоящими точками на этой
окружности так, чтобы числа, сравнимые по модулюр, попадали в одну и
ту же точку. При р = 3 доказываемое предложение 2 очевидно; пред-
полагая поэтому р > 3, имеем неравенства
Полагая s==[]/p], рассмотрим произведения s, 2s, ..., [2 У р] S, кото-
рые будут, по нашему предположению, вычетами e-й степени; так как
разность [2 Ур] s — S>p, то точки, соответствующие этим произведе-
ниям, заполняют всю окружность С и, следовательно, одна из них попа-
дет в промежуток р — S, р. Иными словами, существует число /, для
которого 0 < I < s == [ Ур] и р — I есть вычет; само I будет тогда невы-
четом е-й степени. Итак, предположение неверности предложения 2 при-
водит во всех случаях к противоречию. 3) Среди чисел т + 1,
т +2, ..., т + [2 У р] при всяком т найдется невычет степени е
по модулю р. Действительно, предполагая, что между этими числами нет
делящегося на р и что все они суть вычеты степени е, возьмем по за-
мечанию 2 невычет г > [Ур] и < [2 Ур] и рассмотрим произведения
(т + l)r,(ffl -Ь 2)г, ..., (щ 4- [2 Ур]) г, котор ме будут невычетами. Из
написанных выше неравенств вытекает, что точки, соответствующие этим
произведениям, заполняют всю окружность С, и так как эти точки сле-
дуют на расстоянии г друг от друга, то одна из них попадет в про-
межуток (т+1, т + [2 У pl), что противоречит предположению. Из
замечаний 1,.2 легко вывести, что замечание 3 справедливо и в том
случае, когда одно из чисел т+1, m + 2, ..., т + [2Ур] делится
на р.
Изложенные замечания о невычетах е-й степени принадлежат И. М. Ви-
ноградову.
Желая обобщить метод Эрмита, рассмотрим представления любого
Целого числа т>0 формой х2 + ау2, где а ф 0 — целое число, при-
чем — а не равно полному квадрату. Два представления X, у и х', уг
будем считать одинаковыми только тогда, когда х •= х', у = у'. Если
(х, у) — то представление будем называть собственным', из уравнения
*2 + ау2 — т видно, что для собственного представления (у, т}~1.
Пусть х, у — какое-нибудь собственное представление т; определяя N
из сравнения х + Ny = 0 (modzn) (которое имеет только одно реше-
ние, § 4 гл. I), имеем N2y2=x2 =— ау2, откуда N2+tf==0 (modm).
4 Теория чисел.
50
ГЛАВА II
Итак, каждое собственное представление х, у числа т формой х2 + ау2
принадлежит к одному определенному корню N сравнения N2 + а = 0
(mod/ni. Если два представления х, у и х', у' принадлежат к одному
и тому же корню, то из сравнений х + Ny == О, х' + /V/ == 0 находим
ху' — х'у = ти (и — целое) и тождество
(х2 + ау2) (х'2 + ау,2) = (хх' + ауу')2 + а (ху‘ — х'у)2
показывает, что и хх' + ауу' ~ mt, t—целое. Числа и удовлетворяют
уравнению Пелля
t*+au2=l.	(30)
Из найденных формул получаем
x'=tx — auy, y’ = ux + ty
или	__ ____________ __________ (31)
х'+у'К—Д=(х+у/—с)(/ + «К—а).
Легко видеть, что и обратно, когда /, и пробегают все решения урав-
нения (30), формула (31) дает все представления х', у' (и каждое по
одному разу), принадлежащие к тому же корню, что и х, у. При а = 1
уравнение (30) имеет четыре решения: f == ± 1, П = 0; t =0, и = ± 1,
и группа представлений, принадлежащих к одному корню, состоит из
четырех пар (ех, еу) (—еу, ех), где е = ± 1. При а > 1 уравнение (30)
имеет два решения /» ± 1, и = 0, так что (ех, еу) (?= i 1) будет
пара представлений, принадлежащих к одному корню. Наконец, при
— а > 0 и не равном квадрату уравнение (30) имеет бесчисленное мно-
жество решений (как увидим ниже), и в этом случае группа представ-
лений, принадлежащих к одному корню (если такие представления
вообще имеются), состоит из бесконечного множества представлений.
Пусть а — одно из чисел 1, ±2, J-3, а т — целое число, боль-
шее, чем 1, и взаимно простое с 2а. Возьмем один из корней срав-
нения N2 + а = 0 (mod т) и положим в теореме 8
СО =
т
-нт найдем дробь для которой
л Ут I N
й—
/|«|
Полагая Х = —Nq + mp, Y — q, можем написать
X2 + ауа == (дг2 _|_ а) = о (mod т),
|Х|
Следовательно, при а > 0 имеем 0 < X2 + a Y2 < 2т У а, при а < 0 имеем
0 < | X2 + аУ2| < тУ[ а |. Далее X + NY = Q (mod т). Положим
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
51
I и
Х+ аУ2 = Лт; тогда из равенства ~~~ Q2— 2Npq + тр2 = Я и из вы-
ражений для X, Y видим, что общий наибольший делитель X, Y
делит как Я, так и т. Итак, можем сказать: для всякого корня N
сравнения JV24-a===0 (mod т) можно найти целые числа X, /, для
которых
X2 4- яГ2 = Я/n, X + NY = 0 (mod tn),	|
О < Я < 2]/а при а > 0, 0 < | Я | < V | а | при а<0. J
При этом общий наибольший делитель X, Y делит как Я, так и /л.
Этот результат вместе с указанным в § 9 гл. I числом решений срав-
нения А/24-я==О (modm) позволит нам полностью решить вопрос
о представлении чисел формою х2 4- ау2 при указанных выше значениях а.
Заметим прежде всего, что для существования собственных представле-
ний т формой х2 + ау2 необходимо, чтобы сравнение А/2 4- а = О
(mod/n) разрешалось, т. е. чтобы —а было квадратичным вычетом т.
1)	а — 1. В формулах (32) для всякого N множитель Я=1, и,
следовательно, числа X и Y взаимно простые. Если т — нечетное число,
то для существования собственных представлений т формой х2 4- у2
нужно, чтобы каждый простой делитель т имел форму 4п + 1, и в этом
случае существует 4 • 2Г собственных представлений (v—число различ-
ных простых делителей т, § 9 гл. I). Что касается числа всех предста-
влений любого нечетного т формой х2 -J- у2, то это число, очевидно,
изображается суммой 4 2 2Г, взятой по всем разбиениям т = d2k, где
d > 0 — целое число, выбранное так, что к состоит исключительно из
простых чисел вида 4п 4“ 1; ^>0 изображает количество различных
простых делителей к. Полагая т = рар'а ..., где р, р', ... — различные
нечетные простые числа, видим, что сумма 2 2* равна произведению та-
ких же сумм, построенных для отдельных степеней ра, р,а, ... Легко
видеть, что значение суммы 22* для числа ра = (12к во всех случаях

совпадает с суммой
отсюда получаем,
что количество всех представлений т формой х24~У2 равно 4
где сумма берется по всем делителям числа т.
Легко распространить этот результат и на случай четного т. Пусть
п — произвольное целое число; так как в уравнении 2п = х2 4- у2 числа
х, у одной четности, то, положив х==х'4-у\ У = х'— у', найдем
целые числа х', у', для которых п = х'2 4“ УТаким образом каждому
представлению 2п формой х2 4- У2 соответствует некоторое представле-
ние п той же формой, и обратно; обозначая через N (п = х2 + у2)
число всех решений уравнения п = х2 4” У2 в целых х, у (считая два
решения х, у; х', у' одинаковыми только при х = х', у = у), можем
полученный результат изобразить так:
N (2п == х2 + y2) = N(n~ х2 4- У2)-
4*
52
ГЛАВА II
Вводя, с другой стороны, числовую функцию
d —I
q (п) = 2	2 (— 1) 2 , п =dd, д — нечетное, (33)
можем полученный результат высказать так: количество представлений
всякого целого числа п формой х2 + у2 равно учетверенной разности
между числом нечетных делителей п формы 4k + 1 и числом нечет-
ных делителей п формы 4k +3; символически*.
N(tl = х2 + У2) = 4о (и).	(34)
Если условимся считать @(0) = -^-, то формула (34) будет справедлива
даже при п = 0. Этот результат показывает в частности, что простое
число формы 4k + 1 может быть представлено в виде суммы двух квад-
ратов х2 4- у2 единственным образом, если отвлечься от знаков и по-
рядка следования чисел х и у.
2)	а — 2. В формулах (32) 2=1 или 2 и, так как (X, V) делит
как 2, так и т, а т, по предположению, нечетное, то X, У всегда
взаимно простые. Если 2=1, то X, У есть собственное представле-
ние т формою х2 + 2у2, принадлежащее к корню N; если 2 = 2, то
такое представление дадут, как легко видеть, числа —У, —. Итак, в слу-
чае возможности сравнения TV2-}-2 = 0 (tnodzn) (т. е. когда т состоит
исключительно из простых чисел формы 8k + 1 или 8k + 3), суще-
ствуют опять собственные представления т, принадлежащие к любому
корню N. Количество всех' собственных представлений т будет 2 • 2*
(§ 9 гл. I), где v — число различных простых множителей т. Отсюда,
аналогично предыдущему, получаем, что количество всех представлений
нечетного т формой х2 + 2у2 равно 2 2	где сУмма берется по
всем делителям числа т. Замечая, что N (2п = х2 + 2у2) = N (п = х2 + 2у2),
и вводя числовую функцию
у(л) = 2('т)==5(—О 8	2 , n==rf<5, <5неч.;у(0)=-i , (35)
получаем: количество представлений целого числа п формой х2 + 2у2
равно удвоенной разности между числом делителей п формы 8k 4- 1
или 8k + 3 и числом делителей п формы 8k + 5 или 8k + 7, т. е.
N (п = х2 + 2у2) = 2гр (п), п > 0.	(36)
Отсюда в частности получаем теорему Ферма-Эйлера: всякое простое
число формы 8п 4- 1 или 8п + 3 представляется одним способом
в виде квадрата плюс удвоенный квадрат.
3)	а = 3. В формулах (32) 2=1, 2 или 3 и так как (zn, 6)=1,
то всегда (X, У)=1. Значение 2 = 2 невозможно, так как при этом
значении X и У будут одинаковой четности и 2т = Х2+ ЗУ2^0 (mod 4).
При 2=1 числа X, У, при 2 = 3 числа — У, - X дают собственное
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ	§3
представление, принадлежащее к корню N[b случае возможности срав-
нения N2 + 3 = 0 (mod/и)]. Отсюда получаем, что количество всех
представлений нечетного, не делящегося на 3 числа т формой х2 + Зу2
равно	где сумма берется по всем делителям d числа гп.
Пусть п — любое число, не делящееся на 3. Рассмотрим уравнение
4/7 == х2 + Зу2; при п четном х, у, очевидно, четные и
Таким образом при п четном N (4п = х2 + Зу2) = N (п == х2 4- Зу2).
Согласимся обозначать число решений уравнения п = х2 + Зу2 с неко-
торыми добавочными условиями относительно неизвестных х, у тем же
знаком N (п = х2 4- Зу2), причем писать эти добавочные условия й скоб-
ках сразу после уравнения; таким образом при п нечетном
N (4п = х2 + Зу2) = N (п = х2 + Зу2) + N(4n = x2 + Зу2, х, у неч.). (37)
Для определения второго члена правой части воспользуемся то-
ждеством 4 (х'2 + Зу'2) = (х' — Зу')2 4~ 3 (х'+ у')2; на основании этого
тождества каждому решению уравнения п = х'2 + Зу'2 соответствует по
формулам х = х'—Зу , у = х'+у' решение х, у уравнения 4п = х2 +
4- Зу2, в котором х, у нечетные и х = у (mod 4) (так как п нечетное).
Обратно, каждому решению уравнения 4п=х24-3у2, удовлетворя-
ющему условиям: х, у нечетные, х = у (mod 4), соответствует по фор-
мулам х =—у = —— решение уравнения п~х + Зу . Сле-
довательно,
N (4п = х2 4- Зу2, х, у неч.) = 2N (4п = х2 4- Зу2, х, у неч., х s у (4)) «
= 27V(n = х2 4-Зу2),
и формула (37) дает для нечетного п
N (4п = х2 4- Зу2) = 32V (п = х2 4- Зу2).
Все изложенное позволяет сказать, что число представлений целого
числа /7, не делящегося на 3, формой х2 4- Зу2 равно нулю, если наи-
высшая входящая в п степень простого числа 2 нечетная; если же
п = с2ат (а — четное > 0, т — нечетное), то число представлений равно
6 2 где сумма берется по всем делителям т. Замечая, наконец,
что N (Зп — х2 + Зу2) = N (п == х2 4- Зу2), можем высказать результат:
количество представлений целого числа п — ^т (а>0, т— нечет-
ное) формой х2 4“ Зу2 определяется формулами
N (2ат = х2 4- Зу2) = 0 при а неч.;
= 6#(/тг) при а четн. > 0; = 2%(т) при а = 0,
где
/ (ти) =	т ~ dd (т — нечетное). (39)
(38)
54
ГЛАВА II
При этом символ Якоби считается равным нулю при d, делящемся
на 3. В частности получаем теорему Ферма-Эйлера: всякое простое
число формы 6£ + 1 представляется одним способом в виде суммы
квадрата и утроенного квадрата.
Доказанные теоремы о формах х2 4- у2, X2 + 2у2, х2 + Зу2 [см. равен-
ства (34), (36), (38)] найдут важные применения в гл. V при изучении
представлений чисел квадратичными формами с большим числом пере-
менных.
4)	а = — 2. Считая т > 0 и нечетным, имеем в равенстве (32)
2 = 4- 1 и (X, Y) = I. Если 2 = + 1, то X, Y дают решение урав-
нения т == X2— 2/2, принадлежащее к корню N сравнения /V2—2 = 0
(mod/и); если же Л = — 1, то такое решение дадут, как легко видеть,
числа X + 2 У, X + Y. Итак, в случае возможности сравнения N2 — 2 = 0
(mod т) существуют опять собственные представления х, у, принадле-
жащие к каждому корню этого сравнения. Все представления х', у',
принадлежащие к одному корню, получаются из одного из них х, у
по формуле (31), где /, и пробегают все решения уравнения t2 — 2и2 = 1.
Дальше (§ 12) мы увидим, что все решения этого уравнения получаются
отделением рациональной и иррациональной части в формуле
± (3 4-2/2)*,
где к независимо от знака ± пробегает все значения 0, ± 1, ±2, ...
Соотношение (31) принимает теперь вид
x' + y'/2 = ±(x + y/2)(3 + 2/2)ft, к = 0, ±1, ±2, ... (40)
Рассматривая теперь все (как собственные, так и несобственные) пред-
ставления числа т формой х2— 2у2, условимся соединять в одну группу
представления, связанные формулой (40). Тогда аналогично Предыдущему
найдем, что количество различных групп представлений равно
2 ("j)* где сУмма берется по всем делителям d числа т. Чтобы
выбрать из каждой группы представлений по одному, заметим, что при
m ==х2 —2у2> 0, ]х| > |у )/2|, и потому, взяв знак ± в правой
части (40) по условию ±х = |х|, будем иметь ± (х + У К^) > 0^и
х' > 0. Замечая далее, что логарифмы чисел ± (х + у [^2)(3 + 2	2)*
составляют арифметическую прогрессию, выберем к (единственным обра-
зом) по условию
—< х' + у' /2 < V т (1 + /2);
1 -|- У 2
так как х' 4- У' 1^2 > 0, то эти неравенства равносильны следующим:
;У8~^-<х,г + 2у'2 + 2/2 х'у' <(х'2-2у'*)(3 + 2 /2),
3 -f- 2 у 2
что после упрощений дает
(х' + у' /7) (х' — 2у') >0, (х' + у’ у2) (х' + 2у') > 0,
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ	55
ИЛИ
х' + 2у' > О, х' — 2у' > О
(так как х' нечетное). Итак, в каждой группе представлений имеется
одно и только одно представление, удовлетворяющее двум неравенствам
х± 2у > 0, и мы получаем теорему: количество представлений нечетного
числа ш > О формой х2 — 2у2, где х и у удовлетворяют условиям
х + 2у > 0, х — 2у> О, равно 2 (7) , г$е сумма берется по всем
делителям числа т, или
N(m = x2 — 2у2, х±2у >0)= 2 (4)’ т неч* > °-
m=d<5
В частности простое число формы 8&+ 1 или 8k+7 представляется
в виде разности квадрата и удвоенного квадрата х2—2у2 {единствен-
ным образом, если присоединить условия х > 2у > 0).
Можно распространить доказанную теорему на случай четного и
отрицательного т, а также формулировать аналогичные теоремы для
я = —3.
§ 9. Симметрические непрерывные дроби. Непрерывная дробь
[яг, я2, ..ял] называется симметрической, если ряд чисел ап, an_it ..., аг
р
совпадает с рядом а19 а2, ..., ап. Полагая	..., яп], нахо-
Р
дим по (12) -р----= [an, ..., tfj, так что для симметрической
— 1
дроби Qn~ обратно, при выполнении этого условия дробь будет,
очевидно, симметрической. Пользуясь равенством PnQn~i — Pn-iQn =
= (—1)п, легко преобразовать условие Qn = Pn~i в такое: для того
р
чтобы число -Q- [P>Q>1, (Р, Q) == 1] представлялось в виде сим-
метрической непрерывной дроби, необходимо и достаточно, чтобы
О2± 1 = 0 (modP).
Рассмотрим какую-нибудь симметрическую непрерывную дробь
Р
-я—= [а13 я2, .. J(fli>2) с п неполными частными. Если п нечетное,
большее единицы, то ряд неполных частных этой дроби имеет вид
а2, ak, ok +i,	аг. Полагая xh +1 = [oft) ..., oj =
Ph
= -p---, имеем
Pn __ Pfe + lxfe 4.1 +	_ Ph + lPh + PkPk - 1
Qn Qk+ixk +1 + Qfe Qfe 4- Л + ®kpk -1
откуда
Pn = Pfe + iPfe+ PfePfc-i, Qn — Qk + iPk + QkPk-i
(так как числа Pft + iPft + PftPft_i, Qk + iPk + QkPk_i, очевидно, вза-
имно простые). Из формулы Рп = Pk(Pk + i + Рк __]) ввиду того, что
Pfe4-i> Pfe>fl1> 1, вытекает, что Рп есть число составное. Итак, если
симметрическая непрерывная дробь с нечетным, большим чем 1 числом
56
ГЛАВА II
элементов и первым элементом, большим
в виде обыкновенной дроби, то числитель
числом. Пусть теперь и, число элементов
или равным 2, представлена
ее не может быть простым
дроби , есть
число чет-
ное; тогда ряд этих элементов имеет вид alf а2, ..., я*,	...,
р
Полагая Xk == [#&, ...,	== ~~, находим
pk-i
pkxk + pk-i П + П-1
Qn Qkxk + Qk -1 Qhpk + Qk - ipk -1
Pn = K + K-i, Qn = PhQk + Pk-iQk-i.
Итак, числитель симметрической дроби с четным числом неполных
частных есть сумма двух квадратов. На этих замечаниях о симметри-
ческих непрерывных дробях основано весьма простое и изящное дока-
зательство теоремы Ферма о простых числах вида 4п + 1 (§ 8), при-
надлежащее С. Смиту. Пусть р = 4п+1 есть простое число. Разло-
жим числа
ai = T’ а2=	=	(41>
в непрерывные дроби так, чтобы последние элементы в этих дробях были
больше или равны 2. Так как все а^>2, то и первые элементы во всех
дробях будут больше или равны 2, и так как р — простое, то число
элементов в каждой не< рерывной дроби будет больше или равно 2.
Пусть = [#ь а2, ..., tf/J — одна из указанных непрерывных дробей.
Легко видеть, что дробь [аку Qk-i> .также равна одному из чи-
сел а/, в самом деле, числитель ее равен числителю дроби [яъя2» • • • ,
т. е. р. Знаменатель же дроби [а&, . .равен числителю Pk-i пред-
последней подходящей к дроби рх, ..., с*]; из ^>2, г^>2, к >2
вытекает 1 < Pk-i < и так как р == 4п + 1, то Ръ _ i равно одному
из чисел 2, 3, ... , 2п. Итак, вместе с дробью [т71} ,.., gJ к ряду чисел а,
принадлежит и обратная дробь [67*, . . ., flj- Но так как число этих дро-
бей нечетное, 2п—1, то среди них должна встретиться симметрическая
непрерывная дробь	, bi] = а$ =
Р
/+1’
Число I не может быть
нечетным, так как числитель р есть число простое; следовательно,
I четное и р есть сумма двух ю адратов. Это доказательство не предпо-
лагает даже возможности сравнения х2 + 1 = 0 (modp).
§ 10. Разложение квадратных иррациональностей в непрерыв-
ную дробь. При разложении в непрерывную дробь квадратных ирраци-
ональностей, т. е. корней квадратных у )авнений с целыми коэфициен-
тами, Эйлер заметил, что непрерывная дробь оказывается всегда, начи-
ная с некоторого места, периодической. Этот факт был доказан Лаг-
ранжем и составляет одно из самых замечательных открытий этого
ученого в теории чисел. Желая доказать теорему Лагранжа, приведем
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
57'
сначала формулы, по которым удобно производить на практике разло-
жение корня квадратного уравнения в непрерывную дробь. Пусть
ах2 + 2Ьх + с = О
(42>
— квадратное уравнение с целыми, без общего делителя, коэфициентами
a, b, с и дискриминантом d = Ь2—ас> 0, не равным полному квадрату.
Корни этого уравнения будем называть иррациональностями определи-
теля d\ каждый из них имеет вид	причем d = а* +i
Ро
и «о» А), Р-1 — целые числа (равные — Ь, а, — с для одного и b — а, с
х т-.	ал 4-1/* d
— для другого корня). Возьмем один из этих корней х ~ ——ь — и раз-
но
ложим его в непрерывную гробь. Для перехода к первому полному
частному нужно найти целое число аг = [х], для чего удобно пользо-
ваться формулами
Г а0 4“ 1 Г “Ь ^1 п Л	Г «0 ~Ь Я 4“ 1 1	л л
L '] = ПРИ Р°>0 И = 1^ТЙ---------------J п₽и &<0,
где Л = 11^(1].
Эти формулы легко доказать. Положим х = [яъ а2, . . ., ant хп]; так
как каждое полное частное хп будет, очевидно, иррациональностью опреде-
лителя d, то можно положить хп =	-----9 ап, рп—целые числа. Под-
Рп
. 1
ставляя выражения xn_i и хп в соотношение xn_i = <7П Ч----и отде-
ли.
ляя рациональные и иррациональные части, находим рекуррентные соот-
ношения для последовательного вычисления чисел ап, рп:
&п == Рп — i^n — 1, и = 1, 2, 3, ...; |
d-4+^n-!,	л=0, 1, 2, ...	/	(	}
Последнее соотношение можно заменить таким:
Рп ~ Рп — 2 (an an i) (п = 1, 2, . . .).
Р
Пусть есть л-я подходящая дробь к числу х (л>1); возьмем фор-
(— 1)п
мулу С. Смита [см. (14)] ххх2 • • • хп = -----рг и, перейдя в ней
“п х"п	z
к сопряженным иррациональным числам Х|, перемножим полученные фор-
мулы; тогда найдем
ХЛ ' ХЛ ' ’ ‘ XnXn = (P„-3(Qn)(Pn-x'Qn) •
н , а. + У? а{ — УТ	г
Но XiXi = —---------------= — —-— [на основании (43)],
Pi	Pi	Pi
(Рп — xQn) (Рп — х'Qn) = -i- (aP2n + 2bPnQn + cQ2n),
58
ГЛАВА П
откуда после сокращений получаем весьма важную формулу
aP^ + 26PnQn + cQSn =(— 1)пе-рп, и = 0, 1,2,	(44)
где г =4-1, если корень х= °0 уравнения (42), разлагаемый
Ро _
в непрерывную дробь, совпадает с	и £ —— 1, если х =
— Ь—Уй
а	_
а + У&	,
Назовем иррациональное число -----> определителя d приведен-
а + УсГ	,	а — y~d
ным, если — -----> 1 и сопряженное число ----~— отрицательно и
по абсолютному значению меньше единицы. Для приведенного числа
|« + /d|> .1 — a + ]zd|, а > 0, 0>О, а < ]/d,
]/ d— а< /?<	+ а
d ~^а ,то У d — а<у <]/rd + а.
м если обозначим
через у целое число
Обратно, при выполнении условий 0 <	d + a число
бУдет приведенным. Неравенства 0 <а<]Л(/, 0 < < 2 d
показывают, что существует лишь кЬнечное число приведенных чисел
для данного определителя d.
Если X — приведенное число, аг = [х] и
х == ах + то хг будет
X j.
ax> 1, ах>1 и, переходя
также приведенным числом; в самом деле,
к сопряженным числам, имеем х' == ах +
+ откуда — 1 < х' < 0.
Это показывает, что при разложении
в непрерывную дробь приведенного числа х все полные частные хх, х2, • • •
будут также приведенными числами. Такая же правильность наблюдается
и в обратную сторону: для данного приведенного числа х существует
одно и только одно целое число я/для которого х_ i = а + будет приве-
*	Г 1 1 п
денным числом; именно, это будет при а = —	. Пусть приведенное
число х разложено в непрерывную дробь х = [ях, п2, я3, . . .]; так как
все полные частные хх, х2, ... суть приведенные числа определителя d,
а число таких чисел конечно, то при некоторых номерах п>0 и
/!+&>/? имеем xn = Xn4-fe, откуда по замеченному выше вытекает
Xn-i = Xn + fe-i, хп-2 = Xn + fe-2, . • •, X = xfe, т. е. в ряду полных
частных должно встретиться число X. Обозначая через к наименьшее число,
большее нуля, при котором х& = X, видим, что ряд полных частных
представляет бесконечно повторяющуюся группу х, Хх, . . ., х& -i и соот-
ветственно ряд неполных частных а19 а2, ... состоит из бесконечно пов-
торяющейся группы чисел аъ а* * .. ., йъ, т. е- непрерывная дробь для X
есть дробь чисто периодическая с периодом tz2, . . ., а^. Такую
дробь обозначим символом [ax, a2l ..., Да].
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
59
Пусть х = [а1э я2, а3, . . ,]—неприведенная иррациональность; легко
видеть что полное частное хп при достаточно большом п будет приве-
денным числом. В самом деле, при п>1, хп>1; выражая хп через X,
получаем
___^n-ix ^п-1 Y, __ Qn — i Qn-i
Qn*~Pn 9 n Qn
4+1
лг I Qn—Qn -1 +
I
p	p
При достаточно большом n разности x'— к*— и x'---------—•	будут
Qn-i
сколь угодно близки к х' — х ф 0 и поэтому будут одного знака, вели-
чина же Qn\X'------тА) будет сколько угодно большой по абсолютному
значению; поэтому написанные выше формулы дадут х'п< О, Хц + 1>0,
т. е. хп — приведенное число. Полагая хп= [гп +1, #п + 2> - . .,	+ ,
получаем для х смешанную периодическую дробь
X — [dj, . . . 9 Gn9 #п + Ь •••>#»+&]•
Таким образом приходим к теореме Лагранжа:
Теорема И. Всякая вещественная квадратная иррациональность
разлагается в периодическую непрерывную дробь.
Обратно, легко показать, что периодическая непрерывная дробь пред-
ставляет квадратную иррациональность; при этом значение чисто перио-
дической дроби всегда равно приведенному числу (Perron69, стр. 80).
Среди имеющихся в настоящее время многочисленных доказательств
теоремы Лагранжа выделяется простотой доказательство Шарва (Charves)
(Perron69, стр. 77).	~
§ 11. Союзные числа. Пусть х =	---квадратная иррацио-
нальность определителя d = а2 + Ру. Назовем число $ = а =
== —~ (того же определителя) союзным с х; если х — приведенное
число, то таковым же будет, очевидна, и £. В этом случае периоды
непрерывных дробей для х и £ находятся в простой зависимости, ука-
занной Галуа; именно, период дроби для $ состоит из чисел периодах,
расположенных в обратном порядке. Пусть хх есть первое полное
частное для х, так что х = аг + —; тогда между союзными числами £, £х
xi
имеем зависимость £х — аг +	, так что £ будет первым полным
60
ГЛАВА II
частным для £г. Если х = [аи fl2, ..., ап], то соответственно зависимо-
стям между полными частными х, х}, ..., хп — i
. 1	.1	.1
х = а1+ —, хх = а2 + — хп-1 = ап+ —
Aj	Ao	А
получаем следующие зависимости между союзными с ними числами
^1, fn-Г.
£ = Qn 4“ 7	> 5n — 1	— 1 + >	•> • • • 5 £ i =	4“ ~T” i
Ъг-l	*n —2	*
i.	e. f=[(7n, tfn-i, •••, fliL в чем и состоит теорема Галуа.
Пусть А = ~ > 1 — рациональное число, не равное квадрату.
Полагая Л = []ЛД] > 1, видим, что число х — Л + Уа будет приведен-
ным. Очевидно, что первый э 1емент непрерывной дроби для х будет 22;
положим х = [22, 2Р 22, . . . , 2fe] (к> 0) и докажем, что ряд чисел
^2> • • • > будет симметрический, т. е. совпадает с рядом 2А, 2fe_i, .. •
..., ЛР В самом деле, [4З2, •• •, 4, 2Я] = —Ц- =	; по тео-
X — йл у А — л
реме Галуа для союзного с х числа имеем
== Рь,	, А, 22].
Сравнивая два разложения числа	получаем требуемый резуль-
тат. Итак, непрерывная дробь для корня из рационального числа
А = имеет вид
/Д= [Л, Яп Я2..............4, 2Л], 4 = Ap 4-1 = Яа, ...	(45)
Симметрическая часть периода 2Ь 22, . . . , 2& может и отсутствовать
(при А = 22 4- 1). Найденная форма (45) непрерывной дроби характерна
для корня из рационального числа; другими словами, при произвольном
2>1 и произвольном симметрическом ряде чисел 2Р 22, . . ., 2^ квадрат
дроби [2,	, Ль, 22] равен рациональному числу. В самом деле,
обозначая через х значение этой дроби, находим, что х + 2 есть чисто
периодическая дробь и потому (§10) х + 2— число приведенное; отсюда
по теореме Галуа	=[-4, 2*-i,	, 2Р 22]. Сравнивая это
с формулой = [2j , • • • > Ak, 22], получаем х' = —X, т. е. х2 равно
рациональному числу.
Остановимся еще на одном свойстве непрерывной дроби для корня
из целого числа А = d. Пусть 2= [j/d] и j/d = [2, 2Р . .., 2fe, 22].
Ряд полных частных х = ]/^, Хр х2, ... будет периодическим, начиная
со второго члена, с периодом
Y _as + Vd	. ttfe + i+V'd
Л ’	2“ К	+ i	+ i
(46)
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
61
Последнее числа в этом ряде есть + 1 = [2Л, Л15 . .. , 4]	+
следовательно, /?fe + 1 = l. Легко видегь, что	есть единственное
полное частное в ряду (46) со знаменателем 1. В самом деле, если при
1 С i < к + 1, Pi = 1, то в силу приведенности числа Xi = ai 4- d
имеем а* <	< «г + 1, сц = А, Х\ = Xk + i, откуда хх = х&_ i + 2, что
при кратчайшем периоде (46) невозможно.
Дальнейшие иссле дования о вопросах, затронутых в этом параграфе,
читатель найдет в книге Перрона69 (гл. III).
§ 12. Уравнение Пелля. Основываясь на непрерывных дробях,
Лагранж дал метод для решения в целых числах х, у общего уравне-
ния второй степени
ах2 + 2Ьху + су2 + 2dx + 2еу + / = О
с целыми коэфициентами. Мы не будем излагать подробно метода Лаг-
ранжа ввиду того, что ,подобный же метод вытекает из гауссовой теории
квадратичных форм (гл. IV); поясним только рассуждения Лагранжа на
примере весьма важного уравнения Пелля
x* — dy*=± 1,	(47)
в котором d есть данное положительное целое число, не равное квадрату.
Если уравнение (47) имеет решение х> 0, у>0, то
I х _ т/J I —_J__<	1	< L
I У I” +	2Vd^ly^ 2у2
и, следовательно, несократимая дробь должна быть подходящей к не-
прерывной дроби для ]А/ (§ 5). Итак, решения уравнения (47) в поло-
жительных х, у следует искать между числителями и знаменателями под-
ходящих дробей к У d. Пусть (§ 11)	= аъ а2, ..., сД, где
l=[j/d], ял=з2Я; возьмем ряд полных частных этой дроби: х = jAf,

Xi =
'подходящей
Qi
= 1, 2, 3, . . .). Припоминая формулу (44), имеем для 1-й
дроби Yd = [Я, яр я2, . ..] формулу
Pl-dQl^^-Ypi (1 = 1, 2, 3, ...).
Эта формула показывает, что те и только те подходящие дадут ре-
Qi
тонне уравнения (47), для которых знаменатель Pi в соответствующем
полном частном Xi равен единице. Но ряд полных частных хь Х2, . . •
^сть ряд периодический с периодом х1? х2, .. . , Х&, и мы видели (§ 11),
что в этом периоде имеется лишь одно полное частное со знаменателем 1,
именно Xft. Таким образом приходим к заключению, что все решения
Уравнения (47) в положительных х, у исчерпываются числами х =
„У = Qib (/=1,2,3,...); при этом ясно, что уравнение х2— dy2 =4-1
«всегда имеет решения, уравнение же х2 — dy2 = — 1 имеет решения
62
ГЛАВА II
только при к нечетном. Все найденные решений уравнений (47) находятся
между собою в простой зависимости. Положим 7^ = Г, Qk = U; оче-
видно, что это есть решение уравнения (47) в наименьших положитель-
ных числах. По формуле С. Смита (14) имеем
_ e (—
*1*2 • • • Хк —	т-иуй’
х,х2 • • • xife =----—т=-,	i = 1, 2, 3, ...
1	РгК-^Vd
Но в силу периодичности ряда полных частных ххх2 • • • х& =
= (XjXg-. • xft)’, откуда
Pife+Qift/d = (T+ UVd)\ /=1,2,3,...
Замечая, наконец, что для решения х, у уравнения (47)v х —	=
= ± (х 4- у ]/ d)~ \ можем высказать теорему, резюмирующую полное
решение уравнения Пелля:
Теорема 12. Пусть d>0 и не равно квадрату. Разложимей
в непрерывную дробь и найдем первый (кратчайшей) период, пусты
он оканчивается членом ak\ отбросив все неполные частные непре-
рывной дроби, начиная с ak, получим подходящую дробь, числитель и
знаменатель которой дадут наименьшее решение х = 7, у == U урав-
нения х2 — dy2 = ± 1. Все остальные решения уравнения х2 — dy2 =» ± 1
найдутся из формулы
x + yVd^±(T+ UVd)n, п = 0, ±1, ±2, ...	(48)
При этом уравнение х2 — dy2 = — 1 разрешимо только тогда*
когда период непрерывной дроби для ]/d состоит из нечетного числа
членов, и в этом случае все его решения получаются из (48) при
нечетных значениях показателя п = ± 1, ±3, ... Уравнение же'
X2 — dy2 =4-1 всегда имеет бесчисленное множество решений; все
они получаются из (48) при любом целом л, если к (число членое
периода дроби четное, и при любом четном п, если к нечетное..
В немецком переводе книги Лежандра „Essai sur la th£orie des nom-
bres“ (см.40) имеется таблица наименьших решений 7, U уравнения
х2 — dy2 = ± 1 для всех чисел d до 10 J0. Числа 7, U меняются с воз-
растанием d весьма неправильно, переходя от малых значений к очень
большим. Например, при d = 60 имеем 7=31, U = 4, при d = 61 имеем
7 = 29 718, U = 3805.
Что касается уравнения х2 — dy2 = — 1, то другого простого крите-
рия его разрешимости, кроме разложения d в непрерывную дробь, до
сих пор не известно. Дирихле (см. 33, т. I, стр. 221) указал частные
виды чисел d, для которых уравнение х2 — dy2 = — 1 разрешимо. Из
теорем Дирихле особенно важна следующая: для простого числа р
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
формы 4п + 1 уравнение х2 — ру2 = — 1 всегда разрешимо. В самом
деле, пусть Т > О, U > 0 есть наименьшее решение уравнения
х2 — ру2 = 4- 1.
Из равенства Г2 — p[J2==l видно, что U — число четное; написав это
Т4-1 Т—1	/ U\2	Т4-1 Т—1
равенство в виде —• —-— =	—I и замечая, что —-—, ——
суть положительные взаимно простые числа, получаем, при некотором
знаке £=±1: -^-i-?-=t2,	= ри\ где t, и — целые числа, боль-
шие нуля, связанные соотношением 2tu = U. Если е = 4-1, то
I2 —ри2=4-1,
что невозможно, так как 0 < и < —; следовательно, в = — 1 и
р-ри2 = — 1.
Легко видеть, кроме того, что /, и есть наименьшее решение этого ура-
внения. Применив то же рассуждение к уравнению I2— ри2 = 1 с про-
стым числом р = 4п 4- 3, получаем еще такую теорему: для простога
числа р формы 4п 4~ 3 всегда разрешимо уравнение х2 — ру2 = 4z 2
при одном (и только одном) знаке ±. Знак стоящий в уравнении
х2 — ру2 = ± 2, очевидно, совпадает с (“)•
§ 13. Вопрос Ивана Бернулли. Иван Бернулли (астроном, внук мате-
матика Ивана Бернулли) в изданном им сборнике астрономических ста-
тей „Recueil pour les astronomes" (1772) указывает интересные правила
для составления таблицы пропорциональных частей. Вопрос состоит
в определении ближайших целых чисел к последовательным кратным
данного числа Ближайшее целое число кх (т. е. число а, опреде-
ляемое неравенствами —^-<х— а <+-?“) равно х 4- 4-|; поэтому
вопрос приводится к составлению ряда чисел £г7?£4"	(/л == 1,2,3,...).
Очевидно, что при увеличении т на единицу 4“ j увеличивается
либо на [£], либо на [£] 4- 1. Если будем иметь правила, указывающие»
когда нужно прибавлять [£] и когда [£] 4- 1, то величины
[^4-4] </п = 1» 2> •••)
составятся путем одних сложений. И. Бернулли и дает эти правила»
основанные на разложении числа £ в непрерывную дробь, но без дока-
зательств. Доказательства правил И. Бернулли вместе с дальнейшими
развитиями даны в статье А. А. Маркова, содержание которой мы
и воспроизводим, ограничиваясь случаем иррационального $.
Предложим себе сначала составить для данного иррационального
числа | ряд чисел [ш£](гп=1, 2, 3, ...). Без ограничения общности
можно считать 0<£<1; тогда [(т 4- 1) £] —- [mg] = gm равно или
64
ГЛАВА II
нулю или единице. Ряд g^gzgz . . ., состоящий из нулей и единиц, Кри-
стофель предложил называть характеристикой числа Если характе-
ристика £ известна, то составление чисел [т^] приводится к одним
сложениям. Очевидно, что характеристика числа £ вполне определяет
это число. Для дальнейших цепей характеристику g}g2g3 •. • будет удобно
писать также в другом виде, ставя вместо цифр 0 и 1 буквы с и d, так
что ряд gig2?3 .. . представится в виде некоторой последовательности
букв с и d, Если в некотором месте этой последовательности стоит к
раз подряд буква с, за нею I раз буква d. за нею п раз буква с
и т. д., то это будем писать сокращенно так: ckdlcn .. .
$ — целое >0 и 0 < £j < 1. Для всякого целого к
пус™ г =
1 имеем
(ks + [ед) f = к- £ • {к^}, (ks + [ед 4-1) £ = к + £(1 - {к^}),
где {х} обозначает дробную часть числа х, т. е. разность х — [х].
Полагая ks + [й£]] = (А = 1, 2, 3, . ..) и замечая, что 0 < £ < 1,
0 < {ZtSi} < 1, находим [<Zfe£] = й— 1, [(а& 1)£] = к. Отсюда
[а& +	-- [(«fe + 1) £]	+gak + 2 + • • - + gak+ j. -1 = 0,
g°k +1 gak + 2	• ’ *	-f-1 —1
и
[(afe + 1 4“ 1) £]	4- 1 £] ” gafr г “ 1 j
таким образом из характеристики числа £ выделяется группа членов
gah + igak + 2 • • • gak+v которую можно представить так: cak^1~ak~1d .
Замечая, что при к = 1, «&==$, получаем начиная с члена gs + i, сле-
дующий состав характеристики: са2 ~ ai ~1 dca* ~ а* ~1 dca*~a3 1 d ...
Что касается группы членов g{g2 . . . gs, то на основании равенств
[$£] =0, [(•$+ 1)£] = 1, видим, что эта группа имеет вид csd. Пусть
Л1Й2Й3 . . . —характеристика числа £ъ написанная в виде нулей и единиц^
так что hi = [(/ + 1) £i] —[^iL Тогда a^ + i—	= S + йь, и характе-
ристика £ представится так: cs ~1 dcs~1 + hl dcs ~ 1 + h2 d ... Отсюда по-
лучаем такую связь между характеристиками чисел £ и £р характери-
стика £ получается из характеристики числа £г, если заменить в послед-
ней каждую букву с группой f1==cs~1d, каждую букву d — группой
dl = csd и приписать слева группу Обозначая знаками /(с, d),
(с, d) характеристики £ и £1? можем это правило наглядно записать
так: %(cf d) == с1%1(с1, dj. Пусть, далее, £! = о	— целое > 0,
0<£2<1. Обозначая через %2(с, d) характеристику £2, найдем по
предыдущему %1(cf d) = c^2(q, <0, где c[ = cS1'“1d9 d^c^d. Эти
группы d' при подстановке вместо end групп L\ = ts-1d и d1 — csd
перейдут в группы с2 =	~1 d1 и d2 = С]8^ и мы получаем % (с, d) =
== С1С2%ЛС2>. ^2). Продолжая так дальше, получаем следующее правило
лля составления характеристики числа £: пусть $ — иррациональное
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
65
пиело, лежащее между нулем и единицей, и £ = [О, s, 52, . . .] —
разложение его в непрерывную дробь, составим последовательно
группы
Ci== с |d, с2e	~ ^2	^2» • • • > I f49)
dt = cs d, d2 = crSl dv d3 = c22 d2, ... J k
Тогда характеристика числа % изобразится рядом сгс2с3с4 . . -
Например, для числа ^ = ]/'2—1 = [0, 2, 2, 2, .. .] группы (49)
имеют вид
q = cd, с2 == edc2d, с3 = cdc2dcdcdc2d, .. . ,
d, = c2d, d2 = cdcdc2d, d3 = cdc2dcdc2dcdcdc2d, ...,
так что характеристика £ будет cdcdccdcdccdcdcdccd..., что дает такую
таблицу:
т: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
[т$]: 0, 0, 1, 1,2, 2, 2, 3,3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, .. .
Переходя к вопросу И. Бернулли, положим для иррационального £,
лежащего между 0 и 1,	+ 1) £ +	~	J ==£,„ и назовем
ряд gtg2§3 • • •, составленный из нулей и единиц (аналогичный характери-
стике), рядом И. Бернулли, Ряд Бернулли, подобно предыдущему, будем
также писать в виде последовательности букв cud. Из тождества
+ —j +	(1 — £) +	= tn (т = 1, 2, 3, ...) видно, что ряды
Бернулли для чисел f и 1 — £ находятся в очень простой связи; именно,
каждой букве С или d в первом ряду соответствует буква d или с во
«тором. Поэтому можно предполагать 0 < £ < —. Пусть 2£ = —т—F ,
*	s-f- fx
s — целое > 0, 0 < £х < 1 и a2m-i = (2rn—l)s-f-[(2m
— 1,2,3,...). Тогда из равенства a2m-i £ +-|-=/п— ^[(2т— 1)£х}
аналогично предыдущему находим
[a2m -11 + -~гj = т — 1 и |(a2m -1 + 1)1+ -|-J = т,
«откуда видно, что часть ряда Бернулли ga2m^1 + iga2m +2 . . *ga2m + 1
имеет состав са2тп +1 ~ а2гп ~1 ~1 d. Обозначая через hfi2h3 . .. характе-
ристику числа £х, написанную в виде нулей и единиц, и замечая,
что «! = s, [sf + -у]=& + £2+...+&-1 = 0, [(s+l)^ + -i-] =
8л + • . • + gs = L получаем такой вид ряда Бернулли для числа £:
c ac	a... ото приводит к следующему
правилу для составления ряда Бернулли. Пусть £ — иррациональное
число, лежащее между 0 и ~ . Составим характеристику числа
£—/11
/ по УказанномУ выше правилу и члены этой характеристики
Теория чисел.
66
ГЛАВА 11
Л1й2й8 ... разобьем на группы по два:	h3h^ . Каждую такую
группу заменим через c2s d, если она вида сс\ через c2sd, если она вида
cd или dc\ через c2$ + 1d, если она вида dd (s обозначает целое число
), и к полученному ряду припишем слева группу cs~yd. Последо-
вательность букв cud, полученная таким образом, и будет рядом
Бернулли для числа Например, для £ = -удг имеем f1 = j/2—1,
У 8
S = 1 и на основании предыдущего примера находим для $ ряд Бер-
нулли dccdcedcdccdccdccdccdccdcd..., что дает такую таблицу:
тл:1, 2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10,	11,	12,	13,	14,	15,	16,	17, 18,	*
19,	20,	21,	22,	23,	24,	25, . ..	:
+	1,	1,	1,	2,	2,	2,	3,	3,	4,	4,	4,	5,	5,	5,	6,	6, 6,
7,	7,	7,	8,	8,	8,	9, ...
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ II
К § 1. Доказанная в этом параграфе теорема о рядах Фарея принадлежит
Коши (см, К- Th. Vahlen 84). Ряды Фарея применены Гурвицем 27 к приведению •
бинарных квадратичных форм как положительного, так и отрицательного опре-
делителя (см. § 3 гл. II и главу IV).
К § 4. Числители и знаменатели подходящих дробей представляют собою
примеры рекуррентных рядов, т. е. таких рядов чисел, общий член которых ]
удовлетворяет линейному уравнению в конечных разностях. Для случая, когда
это — уравнение второго порядка с постоянными коэфицйентами, свойства таких
рядов подробно разобраны у Люка (Lucas)53. Простейшим из таких рядов явля-
ется знаменитый ряд Фиббоначи:
и9 = 0, ^ = 1, 122=1, п3 = 2, «4 = 3, n5 = 5, «6 = 8, «7 = 13,...,
каждый член которого равен сумме двух предыдущих. Этот ряд (члены которого
суть не что иное, как знаменатели подходящих дробей к непрерывной дроби >
У5 = [1, д, 1,...]) обладает многими интересными свойствами (см. Lucas 53,
2	।
гл. XVIII), из которых отметим следующие: 1) произведение к последователь-
ных членов этого ряда делится на • • • «fe, 2) при т, делящемся на «, ит •
делится на «п.	<
Подобные свойства рекуррентных рядов облегчают в некоторых случаях <
разложение больших чисел на простые множители (см. Bachmann 4, ч, II,,
Lehmer 45). Многие математики интересовались вопросом о том, существует ли :
в ряде Фиббоначи бесчисленное множество простых чисел или нет; но этот во- ;
прос остается до сих пор не решенным.
Обыкновенные непрерывные дроби, рассматриваемые в тексте, соответствует
(для рациональных чисел) обыкновенному алгорифму Евклида, в котором остатки j
от деления берутся всегда со знаком + (§ 1 гл. !)♦ Если же производить после- <
довательные деления, беря остатки со знаком то получим непрерывную дробь;
вида	-—-—-— ; разложение рациональных чисел в такие непрерывные
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
67
дроби подробно исследовал Вален Ч Разложение иррациональных чисел в дроби
вида#!—-------г— исследовано Гурвицем 2Б. Наконец, в мемуаре „Uber die
Entwicklung complexer Grdssen in Kettenbruche* 24 Гурвиц дает весьма интерес-
ные исследования о разложении чисел в непрерывные дроби ах -| -—• с ком-
плексными alt a?f а3, ... вида т 4- пе (т, п — целые рациональные числа, е —
корень 3-й или 4-й степени из единицы).
К § 7. В мемуаре „Об одном арифметическом вопросе* П. Л. Чебышев
(см. 81, стр. 639—684) решил более общую задачу, об определении относитель-
ных минимумов линейной функции х — coy — С (причем cd, С — данные вещественные
числа). При этом Чебышев получил такой результат: существует бесчисленное
множество пар целых чисел х, у, удовлетворяющих неравенству | х — coy—СI <
g	1
<— , где в = Результат Чебышева был улучшен Минковским б9, который
I У I	&
о 1
показал, что постоянную в можно взять равной — и дальше уменьшить уже
нельзя.
К § 8. Сам Дирихле (см. L.-Dirichlet 14, § 142) применил теорему 8 к реше-
нию уравнения Пелля х2—dy2 = 1 (см. § 12 гл. II).
В VI томе „Gesammelte Werke“ Jacobi 31 даны таблицы представлений про-
стых чисел р 11 321 формою х2 4-у2, простых чисел 12 007 формою х24-3у2
и простых цисел р<С5 953 формою х2 4-2у2. Как было отмечено в тексте, про-
стые числа форм Ап Ч- 1, 6п Ч- 1 и 8п Ч-1 или 8п4~3 представляются единст-
венным образом в виде х2 4- у2, х2 + Зу2, х2 Ч- 2у2. Из формул (34), (36), (38)
легко видеть, что составные числа, если они вообще представляются собственно
формами х24~У2, х2Ч- Зу2, х2 4-2у2, представляются ими не единственным обра-
зом. Этим обстоятельством Эйлер воспользовался для того, чтобы узнать отно-
сительно многих больших чисел, простые они или составные (см. 17, т. I, стр. 379,
т. II. стр. 198, 220, 249, 261, 270). Если, например, для числа N имеется собствен-
ное представление N = а2 Ь2 (а^> то для определения других представ-
лений нужно испытать, при каких х = 1, 2, 3,..., £~ N ] выражение W — х3
будет квадратом. Если таких значений х, кроме х = Ь, нет, то число N простое,
если же найдем другое представление 7V — а'2-]-Ь'2, отличное от 7V=d24-^2,
то число N составное, и по числам а, Ь, а\ Ь' легко составить делитель N (см.
Euler 17, т. I, стр. 379). При этом в каждом отдельном случае число проб может
быть значительно уменьшено. Желая получить еще более удобные правила для
решения этой задачи, Эйлер рассматривает те значения произведения тп (т>®,
п>о — целые взаимно простые числа), при которых форма тх2 Ч- пу2 представ-
ляет каждое простое число не более как одним способом, каждое же составное
число или вовсе не представляет или же представляет несколькими способами.
Очевидно, что при таком условии форма тх2 4- лу2 также может служить для
распознавания простых чисел и количество нужных для этого испытаний будет
тем меньше, чем больше коэфициенты /п, п. Такие произведения тп Эйлер на-
звал удобными числами (numeri idonei) и потратил чрезвычайно много труда
Для их разыскания. Всего ему удалось найти 65 удобных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7’ 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58,
6О> 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120,130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232,
24О, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.
Наибольшее из удобных чисел 1848 позволило Эйлеру установить относительно
многих чисел (например 18 518 809 = 1972 4- 1848-1002), что они суть числа простые.
Других удобных чисел Эйлеру не удалось найти, несмотря на то, что он пере-
пробовал с этой целью все числа до ЮС00; в 1901 году Куннингем и Куллен
продолжили вычисление Эйлера до 101 200 и все же не нашли ни одного удобного
числа (см. Frobenius 1S); Гаусс указал на тесную связь этих чисел с теорией родов
5*
68
ГЛАВА И
квадратичных форм (D. А. 2 °, art. 303, см. § 1 гл. VI), однако и эта теория не
позволяет открыть каких-нибудь существенных свойств удобных чисел, и вопрос
о том, существуют ли еще удобные числа кроме найденных Эйлером, остается
до сих пор открытым.
К § 10. Попытку обобщить периодические непрерывные дроби представляет
интересный мемуар Гурвица „Ober die Kettenbriiche, deren Teilnenner arithmetischen
Reihen bilden* 28 (содержание которого воспроизведено также в книге Перрона69,
гл. IV). Гурвиц рассматривает обыкновенные непрерывные дроби вида
СО = [а„а3, .... а,., %(ш), <р2(и), ..., <pk (m)],	(50)
где т?!	, <pk[m) суть целочисленные полиномы от т (или, в частности, посто-
янные), д 9^2•••> 9^0”) обозначает ряд чисел
94 ОШО). •••. <PkW,' 94 (2), 94 (2),	<pk(2), ^(3), <p3 (3), ..., <pfe(3), ...
Периодическая дробь является, очевидно, частным случаем дроби (50); такую
S------------------------------------------------------------
форму, как (50), имеют, например, непрерывные дроби для е и ]/е (е—основание
натуральных логарифмов, s—целое >1):
е = [2, 1, 2, 1, I, 4, 1, 1, 6, 1, ...],
]/« = [1, s — 1, 1, 1, 3s— 1, 1, 1, 5s— 1, 1, 1, 7s —1, 1, ...].
Гурвиц доказывает, что если иррациональное число w разлагается в непрерыв-
ную дробь вида (50), то такой же формы будет непрерывная дробь и для числа
аа) 4- b	,	.	, . л
----где а, Ь, с. d — целые числа с определителем ad — ос 4= 0.
со) 4- d
ГЛАВА III
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
§ 1. Первое гауссово доказательство квадратичного закона вза-
имности. В этой главе будут изложены элементарные (т. е. не требующие
введения алгебраических чисел) факты о степенных вычетах по простому
модулю (§ 6 гл. I). Прежде всего, однако, остановимся на простейшем
случае — квадратичных вычетах, чтобы рассмотреть первое доказатель-
ство Гаусса квадратичного закона взаимности (D. А. 20, art. 135—144,
L.-Dirichlet 14, § 48—51), представляющее замечательное применение
принципа полной индукции.
Идея доказательства состоит в том, что, предполагая закон взаимно-
сти (теорема 7) доказанным для любой пары нечетных простых чисел,
меньших данного простого числа доказывают ту же теорему для q и
любого меньшего его простого числа р. Так как для простых чисел 3 и 5
теорема справедлива, то отсюда будет следовать ее справедливость
вообще. Мы предполагаем доказанной первую дополнительную теорему
к закону взаимности, т. е. = (—1) 2 и соответствующее равен-
ство для символа Якоби. Заметим, что из предположенной справедли-
вости теоремы 7 для простых чисел, меньших q, вытекает и аналогичная
Р-1Q-1
теорема для символа Якоби^-^-j (-£-) = (—1) 2	2 , если только не-
четные взаимно простые числа Р, Q (из которых хоть одно положительно)
состоят исключительно из простых чисел, меньших q.
Итак, пусть теорема 7 справедлива для каждой пары простых чисел,
меньших q; возьмем любое простое число р > 2 и < q и докажем ра-
р —i g —i
ренство	= (—1) 2 2 • Оставляя пока в стороне случай
q=l (mod 4),	= — h положим в остальных случаях г — р "при
q s ± 1 (mod 4),	) = 1; г = — р при q = 3 (mod 4), (у) = — 1. Тогда
г == -J- р будет квадратичным вычетом q, и доказываемое равенство рав-
носильно следующему:
q-1 г — 1
2	2
(1)
70
ГЛАВА III
Так как = 1, то найдется такое четное число е> 0 и < q, что
с2— г = qf, где / — целое. Число f 1) нечетно, 2) положительно (так
как при /< О, г > 0, r=p = e2 + q- \f\>q, что противоречит усло-
вию), 3) f<q [так как qf<e2 + p<(q—1)2 + G?—l) = q(<I—!)]•
Если / не делится на р, то из равенства е2— r = qf (принимая во вни-
мание, что / > 0 и г числа нечетные, взаимно простые и состоят из про-
f-lr-l
стых множителей, меньших q) получаем ^у) = 0-) = (—1) 2 2
/-1г-1
= (—1) 2	2 ; но так как е четное, то —r = qf, f = —qr (mod 4),
следовательно, 0^ = (— 1) 2	2 = (— 1) 2	2 , т. e.равенство(1)
в настоящем случае доказано. Если / = 0 (modp), то полагаем / == rf',
е = ге'; тогда ге'2—1 = qf', откуда видно, что /' не делится на р.
Числа —/'иг нечетные, взаимно простые, по абсолютному значению
меньше q и разного знака (так что одно из них больше нуля); поэтому
№ г-1
из формулы ге'2—l=qf' получаем (у) =	= (—1) 2	2 (jt) =
f+l.r-i
= (—1) 2	2 . Далее, так каке'четное, то—l=qj',f' =— q (mod4)
q - 1 г — 1
и (у) — (— 1) 2 i • Таким образом формула (1) в рассматриваемых
случаях доказана.
Обращаемся к исключенному выше случаю q===l (mod 4),	= — 1.
В этом случае, чтобы провести рассуждение, подобное предыдущему,
нужно доказать, что существует простое число р', меньше д, для кото-
рого q есть квадратичный невычет. Если q = 5 (mod 8), то есть
положительное число формы 4п + 3, меньшее q, и среди простых мно-
жителей этого числа должен быть по крайней мере один множитель р' той
же формы. Так как q = — 1 (mod р') и р' = — 1 (mod 4), то =— 1.
Если же #=l(mod8), то доказать существование простого числа р'
значительно труднее, и Гаусс достигает этого следующим исключитель-
ным по своему остроумию рассуждением. Пусть 2т + 1 есть положитель-
ное нечетное число, меньше q и обладающее свойством, что q есть квад-
ратичный вычет для всякого нечетного простого числа, меньшего или
равного 2т + 1. Так как q=l (mod 8), то q есть квадратичный вычет
для любой степени числа 2 (§ 9» гл. I) и можно найти целое число к>
удовлетворяющее сравнению q == A:2(mod М), где М — 1 - 2-3 ... (2т + 1).
Так как q простое и 2т + 1 < q, то (/с, М) = 1. Далее,
k(q — 12)(? — 22). . .(q — т2) = к(к2 — l2)(fc2 — 22)Л .(/с2 — т2) =
= (к — т) (к — т + 1). . .(к— 1)к(к+ 1). . .(к + т) (mod М). (2)
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
71
Так как произведение 2т + 1 последовательных целых чисел делится
на произведение такого же количества первых целых чисел (§ 3 гл. I),
то правая часть сравнения (2) делится на М\ принимая во внимание,
что (&, М) — 1, убеждаемся в целости числа
(Z/-12) (^ — 22)...	—т2)
М
1 д— I2 д— 22	д — т2
т 4- 1 * (т Н-1)2 — I2’ (пг 4- 1)2 — 22 * “ (ти4- 1)2—га2’
(3)
Если взять т = [W]» т-е- tn q< т(так как </>17, то
2 V~q + 1 < q), то число (3) не может быть целым, так как представляет
собою произведение нескольких положительных правильных дробей; при
таком выборе т наше первоначальное предположение не может иметь
места, и получаем теорему: всякое простое число q формы 8п + 1 я#-
ляется квадратичным невычетом для одного по крайней мере нечет-
ного простого числа, не превосходящего 2 К q + 1.
Возвращаясь к последнему случаю q=l (mod4),	= —1 (2 <
< р <q, р — простое) в доказательстве закона взаимности, найдем (на ос-
новании леммы) простое число р'< q, для которого (“г) = — 1. Если
бы = 1, то пара чисел р', q подходила бы под исследованные уже
случаи закона взаимности и мы имели бы (-£.)== 1, что противоречит
выбору р'; следовательно, = — 1, и для пары чисел р', q закон
взаимности установлен. Это дает возможность предполагать данное выше
простое число р отличным от ркроме того, равенство (у)~ —ко"
торое мы желаем доказать (и которое выражает закон взаимности для
пары р, q)9 равносильно такому:	= + 1. Так как рр'— квадратич-
ный вычет q, то найдем четное число е > 0 и < q, для которого
— РР* = <If (/ — целое нечетное число, по абсолютному значению мень-
шее q), Ёсли (/, рр') = 1, то в силу справедливости закона взаимности
для чисел рр', / находим
/—1 рр'—i	/—1 рр'—i
так как е — четное, #=1 (mod 4),
то fs= — pp' (mod 4) и =
__ рр'4-1 . рр' -1
= (—1) 2	2 = + 1, что и требовалось доказать. Если / де-
лится на одно (и только на одно) из простых чисел р, р', то
по симметрии можно положить / = pf\ е = ре', ре'2 — р' = qf', /'—
нечетное, \f\<q, (f', рр') =*= 1, е' — четное. Из равенства ре'2 — p'=qf
72
ГЛАВА Ш
в силу справедливости закона взаимности для пар —р', р и pp',f*
находим


Р~ 1 р'Ч-1 , Г-1 рр'- 1
k 2	’	2	2
Р-1 р' 4-1 . f—1 ppz—1
2 ’	2	2 ‘	2
2
Но /' = — pf (mod 4), следовательно,
/z—l РР'~ 1	р' + 1 /р —1
2*2	2	\ 2 '
Р' —Р-1
2 /— 2	2 (m°d2),
и опять получаем = 1. Наконец, когда / делится на оба числа р, р\
то полагаем / = pp'f, е= рр’е', рр'е'2 *—— нечетное, \f\<q,
(f, РР') = Ъ е' — четное. Прилагая закон взаимности к числам — /'и рр'
и замечая, что —1 = ^/'===/'(mod 4), находим из равенства рр'е'2—1 =
Г+1. РР' — 1
= ?/': (^р-) = (~^7-)== (— !) 2	2	(у-) = !• Итак> закон взаимно-
сти доказан полностью.
§ 2. Распределение степенных вычетов в прогрессии. В этом параг-
рафе мы изложим содержание замечательного мемуара академика И. М. Ви-
ноградова „Элементарное доказательство одной общей теоремы анали-
тической теории чисел" 87. Пусть р — нечетное простое число и е> 1—
делитель числа р— 1. В § 6 гл. I мы указали разделение приведенной
системы вычетов 1, 2,..р— 1 на е классов Ло, Аь..., Де_1 по    
чисел в каждом классе, причем класс До состоит из всех вычетов е-й
степени по модулю р, невычеты же е-й степени распределяются между
классами Дх, Д2, Ae_i. Класс Ai можно определить также как сово-
купность тех чисел приведенной системы вычетов, индексы которых (по
фиксированному первообразному корню) сравнимы с i по модулю е.
В вышеупомянутом мемуаре И. М. Виноградов, основываясь на чрезвы-
чайно остроумных и чисто арифметических рассуждениях, дает прибли-
женную формулу для количества чисел любого класса содержащихся
в арифметической прогрессии ах + b, X = 0, 1,..., h — 1 (0 < й < р),
разность которой а не делится на р, Докажем предварительно несколько
лемм.
Лемма I. Пусть А, В — вещественные числа, к — целое число, боль-
шее нуля, и Д = —	— (см. теорему 8), где 0 < /? < к, (t, q) = 1 и
|в| < 1; если с и т — целые числа и 0 < т<~, то
2 {Ах+В} = ~mq+ }e(m+l),	|e|<L	(4)
Знак {z} обозначает, как всегда, дробную часть числа z, и сумма
в левой части берется по всем целым х в указанных пределах. Подстав-
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
73
ляя вместо А его значение, находим Мх + В =	где / (х) =
= В.7+-^~. Так как /(х)—линейная функция от х, то ее значения при
X = с, с + 1,..., с + mq— 1 заключаются между крайними значениями
у (с) и / (с + mq—1); разность этих чисел, т. е. —- по абсолют-
ному значению меньше единицы. Следовательно, целые числа [/(c)] и
[/(c+znj—1)] либо равны, либо отличаются на единицу. Разобьем
сумму S, стоящую в левой части равенства (4), на т сумм:
C+ig4-Q— 1
S = So + Sx + ... + Sm_1, Si =	2 {Лх-}-В},
c+ig
и рассмотрим одну из них Si. Если [f(c + iq)] = [/ (с + iq + q— 1)] = n,
то, полагая /(x) = n + А (x) [0< Л (x) < 1 при x = c + iq, c + iq + 1,..
C-f-ig+g-l tx n я
c + iq + q — 1], имеем Si =	2 I------„----J так как выражение
c+iq 1 V J
Zx + и в этой сумме пробегает полную систему вычетов по модулю q, то,,
обозначая через г наименьший неотрицательный вычет tx + Л по мо-
л	с х?	( ”Ь1 х?	Q1 , л q I	1
дулю q,	имеем Si	= 2j	- /	=2j	!=ss'+ 6 = ? +
r=o { Я >	Я	&
(0 >0<1, |@i|<l). Еслидля суммы S* [f(c + iq)] и [f(c + iq + q — 1)1
отличаются на единицу, то, обозначая меньшее из этих чисел
через п и полагая опять / (х) = П + Л (х), имеем для х = С + iq, ...
c + iq+q—1, 0<А(х)<2, причем крайние значения Л(с+ iq)
и	+ —1) удовлетворяют следующим неравенствам: одно >0
и < 1, другое >1 и <2. Аналогично предыдущему находим
g	1 (tx+n + Я (х))___5^1 Г г 4- A (х) )
c+ig \	/ r—о'	Я /
П	ГА 1	О	(г + W I г + Я (X)
При г = 0, I,... , q — 2 имеет опять {—!, и только
’ ’	’ 7	I Я ) Я
при г = q—I, если соответствующее значение х удовлетворяет нера-
венству 1<Я(х) <2, имеем {	| г +Л (х) — Поэтому, обо-
значая через s нуль или единицу, получаем
9-1 r । ;	„ i	1 c+io+g-l
51=2ЦЯ(х)е==<?1£+ 1	2	я(х)==
r=0	4	4	c-Hg
= -f- —5- — e + 4 ( (с + Ю + (c + г<7 +Я — !)) >
и на основании указанных выше неравенств для^ крайних значений Л (х^
получаем Sj = у + где |gi|<l. Замечая, что таких значений i, при
74
ГЛАВА III
которых [/(с+ iq)] и [f(c + iq-\-q—1)] отличаются на единицу, может
быть только одно, и складывая найденные выражения для сумм
(l=0, 1,..., т—1), приходим к формуле (4).
Лемма II. Пусть р—простое число^ большее, чем 2, а — одно из
чисел 1, 2,..., р—1, /За— целое число, могущее меняться с измене-
нием a, h — целое число > 0 и < р.
Тогда, полагая
имеем
S«=2|^±£al « La = Sa-±h,
"о I Р J	2
Р~1	h / п	\
2 \La\<T, где	2 (“ + 1 )>
а=1	х=1 у 4 У	1
(5)
причем в сумме Т для каждого х суммирование производится по
всем у из ряда 1, 2,	, взаимно простым с х. Рассматривая одну
L*	t
из сумм Sa, найдем по теореме 8 несократимую дробь удовлетворя-
ло	h 1
ющую условиям — = “ + —т, 0 < х0 < й, |0О|<1. Полагая zrz0 = j — I,
р %0	L*0 J
й1 = й — шохо (zn0> 0, 0<hl<xQ) и разбивая сумму Sa на части
т°^	1 [ ах + Ра 1	_j_	[ ах + Ра ]
Sa =	I  г	। 2j	I------- г > замечаем, что к первой части суммы
зс=О	I Р *	то»о	I	'
Sa можно	приложить	лемму	I (считая q = х0).	Пользуясь	формулой	(4)
и принимая во внимание, что mQx^ = h—hi,	—, находим для
*0
суммы Sa выражение
5„=|(й-й1)+leo(A + i)+s; leoKi,
Аналогично поступаем и с новой суммой Sa. Полагаем по теореме 8
?Ч+&
h2 = h1 —	Q<h2<x1,
L Л1 J
и аналогично предыдущему для S'a получаем выражение
Lt	\ Aj	/
ei-Hte-l r ax + 3 i
S'a'= 2 {	-J> C1 = m0y0 + mixi-
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
75
Будем продолжать тот же алгорифм дальше; неравенства 0<Л1<х0<й,
О < й2 <хг <	. показывают, что числа й, йъ h.2, ... постоянно убы-
вают, и потому на некотором шаге будем иметь йп+1 = 0, где указанный
алгорифм и закончится. Последнее равенство будет иметь вид
2	2	\ Хп /
ы<1,
а
причем, как и раньше, - = ~	— 0 < хп< Йп, (tn, хп) = 1, ]6П| <1,
Лп лпЛп
[йп 1 йп
— I = —, «п+1 ~ hn — тпХп = 0. Складывая найденные выраже-
J хп
ния для Sa, Sa, ..., S{a \ получаем
В последней сумме предполагается, что числа х0, йь Xi, h2, .. а также
число п определены для каждого а, после чего берется сумма по всем
указанным значениям а. Чтобы оценить величину этой суммы, соберем
й£
в ней все слагаемые вида------1- 1, для которых хг- имеет одно и то же
Xi
а
значение. Переписывая равенство — = —+ zttt в форме ахг~ pti + yi
Р xi хг ni
/ рОД
видим, что yi есть целое число, взаимно простое с Xi и
удовлетворяющее условиям aXi = yi(mod /?), О <\yi \ < обратно, за-
дание чисел Xi, yi (при фиксированных а и hi), удовлетворяющих по-
следним условиям, определяет число Желая найти верхний предел
h
суммы тех членов —	1, в которых Xi равны данному числу X (0 < Х<й),
xi
примем во внимание соответствующие этим числам значения а и у^
Так как 0< jyi|	то у^ может принимать лишь значения ± 1,
"i xi
i 2, ... ,	взаимно простые с х. При выбранном у^ соответствую-
щее значение а определяется из сравнения aXi = yi (mod р). Далее
hi р	h{ *	л
< г-г-р и потому сумма указанных членов — + 1 будет не больше
76
ГЛАВА Ш
суммы 2	+ 1), взятой по всем у из ряда 1, 2, ..-^j, взаимно
простым с X. Отсюда, наконец, видим, что правая часть (6) не прево-
сходит суммы Т, что и доказывает лемму II.
Лемма III. Числа р, a, имеют то же значение, что и в преды-
дущей лемме\ кроме того, пусть h и у — целые числа, большие нуля
и меньшие р. Обозначим через Ra количество тех из чисел ах +
(х = О, 1, 2, ..., h — 1), наименьшие вычеты которых по модулю р будут,
больше или равны нулю и меньше у, и положим Н (а, й, у) =
= Ra — ~ . Тогда
2 |Н(а, h, у)\<2Т,
а=1
где Т обозначает то же, что и в предыдущей лемме [см. (5)].
Лемма эта выводится непосредственно из предыдущей. Замечая, что
+	71 (аХ + ёа\ . У	У
।\—-—j=l— ~р или =—"р"’ смотря по тому, будет ли
наименьший вычет ах+по модулю р >0 и < у, или и < р,
получаем
S-S.-2	= Л, ". г)-
х=0 V Р J х=0 [ Р ’	Р
Но на основании предыдущей леммы
р—1 । ь t	р~11	ь ।
2 s;-| <т, 2 <Sa-4 <т,
a—1 1	1	а=1 1	1
откуда
р—1	р~ 1
2 (S°-= 2 1^(«-	У)1<2Т,
а—1	а=1
что и требовалось доказать.
Теперь мы можем формулировать упомянутую выше теорему И. М. Ви-
ноградова в следующем виде:
Пусть р—нечетное простое число, е>1—любой делитель числа р—1
и числа 1, 2, ..., р — 1 разделены на классы Ао, Аь ..., Ае _ i вычетов
и невычетов е-й степени по модулюр (см. выше). Если а — число, неделя—*
щееся на р, b — произвольное целое число и 0< й< р, то количество к
чисел i-го класса At (при любом Г), содержащихся в прогрессии
ах + b (х = 0, 1, 2, ..., h—1), представляется в виде Ci=-^ + /li,
причем A\<z2T и величина Т (та же, что и в леммах II и III) опре-
деляется формулою (5).
Пусть i — одно из чисел 0, 1, 2, ..., е—1; составим h про-'
изведений
а(ах + Ь),	(7)?
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
77
где а пробегает все числа класса Ai и, независимо от а, х = 0, 1, 2, ...,
й— 1. Определим для каждого из этих произведений число и срав-
нением аи + b s а (ах + й) (mod р), причем 0 < и < р, и обозначим
через D количество тех произведений (7), для которых соответствующие
значения и меньше й. На вычислении этого количества D двумя разными
способами и основано доказательство теоремы. Рассмотрим сначала те
произведения (7), которые соответствуют одному и тому же значению а.
Полагая aar = 1 (mod р), можем сравнение для и заменить следующим:
ц=ах+ (}а (modp), где /?а = aba'— ba' не зависит от х. Таким обра-
зом по обозначениям леммы III часть количества D, соответствующую
й2
постоянному а, можно представить в виде — + Н (а, /За, й, Й); сум-
мируя эти величины по всем а, находим
h>
" а
Подсчитаем теперь D другим способом, оставляя в произведениях (7)
постоянным число х. Если для взятого х пх + й === 0 (modр), то все
соответствующих произведений (7) должны быть присчитаны к D.
Если же для взятого х ах + й есть одно из Cj чисел класса содер-
жащихся в данной прогрессии ау 4- й (у = 0, 1, ..., й—1), то в срав-
нении аи + Ь= а (ах + й) (modp) аи + й принадлежит к классу
и легко видеть, что из всех чисел а существует Ci^j таких, для которых
О< и < й [считаем Ck = сп при к^п (modе)]. Отсюда
£> = CqC{ +	. + Ce-1 Ci+e—1 + 27,
где у = если в данной прогрессии ау 4- й (у = 0, 1, . .., й — 1)
содержится 0, и у = 0 в противном случае. Сравнивая найденные выра-
жения для £>, получаем при всяком i
CqCi 4- СхСг+1 + . . . + Ce-lG+e-l 4- Yj =
= ~	h>W
г а
причем в правой части сумма берется по всем числам а класса Ai.
Положим в (8) i = 0 и из полученной формулы вычтем почленно (8);
принимая во внимание, что числа Ci, ..., Ci+e_i лишь порядком
отличаются от с0, с19 ..., ce-i, получим
(с0 —‘ Ci)2 4- (^1 — сг+1)2 4- • • • 4- (£е—1 — G+e-1)2 =
= 22//« Л, /г)-2 2 Н(а, 0а, Й, /г),
а'	а
причем в правой части а и а' пробегают все числа классов Ai и Ло.
На основании леммы III правая часть последнего равенства не превы-
шает 4Т и потому при любом г (сг — cr+i)2 + (сг — cr-i)2<4T; скла-
дывая эти неравенства для всех z = 1, 2, ..., г—1 с очевидным равен-
78
ГЛАВА III
е-Г
ством (сг — сгу + (сг — сгу = О, находим 2 2 (cr — G)2 < 47 (е — 1).
г=0
с0 + ci 4" • • • 4“ се_1	.
Положим -----------------==£,	= (z = 0, 1, ..., е—1); тогда
е—1
2 0г — ^)2<2Т0 — 1) и так как <50 +	. + <5e_i = 0, то
1=0
е—1	_
£$+2<И <— О» откуда $ < 2Т . В случае, если данная
г=0	'
прогрессия ах + Ь (х = 0, 1, ..., h — 1) не содержит нуля, очевидно,
g = -j, <5y = dr и d£ < 27* ~ < 27. Если же эта прогрессия содер-
жит нуль по модулю р, то g = ——•) dr = дг-dy < 271—-j
но из формулы <5i =[Ci—g видим, что l<5J <
Ы	Lt
dy < 27	+	< 27. Итак, теорема доказана.
21^1.
е '
откуда.
Из доказанной теоремы легко выводится другая теорема И. М. Ви-
ноградова относительно распределения первообразных корней в про-
грессии. Вывод этой теоремы основан на следующем простом заме-
чании: пусть М — любая совокупность целых чисел (в конечном
числе); обозначим через Ne количество тех чисел из 7И, кото-
рые делятся на число е. Тогда для любого целого п > 0 сумма
2/*G0Ne, взятая по всем делителям е. числа п, будет изображать ко-
личество тех чисел из Л4, которые взаимно просты с и. Это замечание
легко доказывается на основании свойств функции Мёбиуса р(е) (§ 2 гл. I).
Рассмотрим прогрессию ах + b (х = О, 1, ... , h — 1, 0 < h < р) и, от-
бросив число = 0 (mod р), если оно имеется в этой прогрессии, возь-
мем индексы всех остальных чисел по некоторому первообразному корню.
Примем совокупность этих индексов за М в предыдущем , замечании и
положим п = р—1. Так как всякое число, индекс которого взаимно
прост с р — 1, будет первообразным корнем числа р, то для количе-
ства G первообразных корней в данной прогрессии получаем формулу
G = р(е) где сумма берется по всем делителям е числа р— 1 и Ne
изображает количество чисел в данной прогрессии, индексы которых
делятся на е, т. е. количество вычетов е-й степени по модулю р. При е>1
по доказанной выше теореме Ne = -у + @е ]/27, lge|<l; при е=1,
равно h или h—1, и также можно положить N = h + ^1^27,.
|рх| < 1. Следовательно, G = h 2	2 (е) 2е =	+
+ J/27	где ср (и) есть функция Эйлера (§ 2 гл. I). Замечая,
чтор(е) = 0 при е, делящемся на квадрат, а в остальных случаях
р(^) = ±1, получаем желаемую теорему: Количество первообразных
корней в данной прогрессии ах + b (х = 0, 1, ..., h — 1, 0 < h < р}
может быть представлено в форме	—+£ • 2v]/27, где?
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
79
j £> | < 1 и v обозначает число различных простых делителей р—1.
Аналогичную теорему можно вывести и для чисел, принадлежащих к дан-
ному показателю по модулю р (см. примечание к § 6 гл. I). Относительно
величины Т грубая оценка показывает, что она будет порядка р (In р)%
так что порядки добавочных членов в выведенных приближенных фор-
мулах для количества степенных вычетов и первообразных корней в про-
грессии будут соответственно J^plnp и 2v]/plnp.
§ 3. Биквадратичные вычеты; критерии принадлежности чисел
к классам биквадратичного распределения. Простейшими степенными
вычетами после квадратичных являются биквадратичные и кубические.
Начав в 1805 г. исследование свойств этих вычетов, Гаусс вскоре заме-
тил характерную их черту — недостаточность средств обыкновенной
арифметики для выражения и тем более для доказательства основного
их свойства — закона взаимности. Только расширив область рациональ-
ных чисел (присоединением к ней корня четвертой степени из единицы
i = —1 для биквадратичных и корня третьей степени из единицы
— 1	— 3	х
q __---------- дЛЯ кубических вычетов), удается получить законченное
выражение для биквадратичного и кубического законов взаимности. То,
что может быть сделано с помощью обыкновенной арифметики в теории
биквадратичных вычетов, изложено Гауссом в мемуаре „Theoria residuorum
biquadraticorum“, Comm. I, 1828 (см. 20, стр. 511). Некоторые прибавле-
ния к этому были сделаны позднее Дирихле (см. 13, т. I. стр. 63). В этом
и следующих параграфах мы изложим вкратце указанные исследования
Гаусса и Дирихле.
Пусть р — нечетное простое число. Очевидно, что при р = 3 (mod 4)
каждый квадратичный вычет будет вместе с тем и биквадратичным вы-
четом; поэтому о самостоятельной теории биквадратичных вычетов (если
оставаться в области обыкновенных целых чисел) можно говорить только
для простых модулей формы 4п + 1, каковое предположение для числа р
мы и будем удерживать в этом параграфе. Взяв корень / сравнения
х4 = 1 (mod р), отличный от 1 (для которого, следовательно, /2 + 1 = 0),
можем разделить все числа 1, 2,..., р — 1 поровну на четыре класса
Л, В, С, D (§ 6 гл. I). По сказанному в § 6 гл. I, число а принадле-
жит к классам Д, В, С или £), смотря по тому, будет ли в сравнении
р—1
а 4 = /а (mod р) показатель а = 0, 1, 2, 3. Все биквадратичные вычеты
модуля р находятся в классе Л; очевидно, далее, что классы А и С
охватывают все квадратичные вычеты, классы В и D — все квадратичйые
невычеты модуля р. При переходе от f к другому корню —/ сравнения
/2 + 1 = 0 (modp) классы Д, С остаются неизменными, а классы В, D
меняются местами. Относительно биквадратичных вычетов так же, как и
прежде для квадратичных, пре вставляются два главных вопроса: 1) узнать,
к какому из классов Д, В, С, D принадлежит данное число q по дан-
ному модулю р? Этот вопрос решается указанным выше сравнением
Эйлера q 4 = /а (mod р). Другой, более трудный, вопрос заключается2
в том, для каких простых модулей р == 4п + 1 данное число q принад-
80
ГЛАВА III
лежит к наперед указанному из классов А, В, С, D. Полное решение
этого вопроса достигается только при помощи биквадратичного закона
взаимности.
Так как о принадлежности произведения к классам Д, В, С, D
можно судить по принадлежности множителей, то указанный второй
вопрос теории биквадратичных вычетов достаточно решить для q =— 1,
q — 2 и для случая, когда q есть нечетное простое число. Относительно
числа — 1 из критерия Эйлера сразу вытекает, что это число принад-
лежит к классу А при р==1 (mod 8) и к классу С при р = 5 (mod 8),
Что касается дальнейших значений q, то, определяя на примерах принад-
лежность чисел q = 2, 3, 5, ... к классам Д, В, С, D по модулям
р = 5, 13, 17, 29, ..., мы не замечаем никакой связи между этой принад-
лежностью и самим простым модулем р; эту связь удается подметить только
если, воспользовавшись теоремой Ферма (§ 8 гл. II), представить
число р в виде суммы двух квадратов. Итак, пусть р = а2 * + 4&2, где
я, b — целые числа, определяемые единственным образом по данному р
(если не обращать внимания на их знаки).
Желая узнать связь между принадлежностью числа 2 к классам Д,
В, С, D по модулю р и числами я, Ь, мы должны нормировать определен-
ным образом корень / сравнения /2 4- 1 = 0 (mod р), от которого зависит
распределение на классы Д, В, С, D, Принимая во внимание, что
(^*) +1=0 (mod р) и, следовательно, я=4-2Ь/, выберем корень f
по условию я + 2&/==0 (modр). Из равенства (я + 2Ь)2 = а2 + 4аЬ +
4- 4&2 = р + 4аЬ получаем
р—i	р-i	р—i	р—1	pi
(а + 26)~r = 2”4 * * *’(2a6)V’ и 2^ (2а6)^= (raod Р)-
р—1	р—1 р—1	р—1
Далее из а + 26/ = 0 вытекает 2b?=af, (2ab) 4 = а 2 / 4 =	4 ,
р-1 з
следовательно, 2 4 = /4	(m°d ₽)• уравнения
р = а2 + 4&2 видно, что р — квадратичный вычет нечетного числа а\ сле-
довательно, 0^) = 1, и по закону взаимности 0^ = 1. Аналогично из
2р = (а + 26)2 + (а - 26)2 получаем	= (^) =	Итак,
2 -1 ш=
(а+2^-1 з
= (-1)	8	/4	= /	4	4 ^fab (modp),
 и получаем теорему: пусть а, b — целые числа из уравнения р~а2-\-
+ 4&2, взятые с произвольными знаками, и f — корень сравнения /2+
-г 1 = 0 (mod р), выбранный в зависимости от а, b по условию я +
-|-2&/== 0 (mod p). Тогда число 2 принадлежит к классам Д, В, С, D
^установленным в зависимости от корня f) по модулю р, если ab=^
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
81
esO, 1, 2, 3 (mod 4). Пользуясь представлением р другими квадратичными
формами, можно получить другие, аналогичные критерии принадлежности
числа 2. Пусть р имеет форму 8л + 1; в § 8 гл. II мы видели, что р
представляется как формой х2 + 8у2, так их2 — 8у2. Пусть р = а2 +
+ 8/S2 (а > 0, ft > 0), причем такое представление опять возможно лишь
единственным способом. Корень /сравнения /2 + 1=0 (mod р) в данном
(2 \
-j = 1 и потому 2 при-
надлежит к одному из классов А или С, независимых от выбора /. Из
А(Р-1) р-1	р-1	р-1
уравнения р ~ а2 + 8/?2 находим 24	2 = а 2 , или 2 4 =
(mod р); полагая =	р>0, у— нечетное, имеем ) = 1, откуда
) = 1. Далее из того же уравнения р = а2— 8/?2 имеем
р-i
(у) = (4)’ (р)==(4)’ так что 2 4=(4) (modP)- Получаем теорему:
для простого числа р = а2 + 8/?2 число 2 принадлежит к классу А
или С смотря по тому, будет ли а = ± 1 или а= ± 3(mod8).
Рассматривая уравнение р == а2—8/?2, получим аналогичный резуль-
тат: пусть а>0 и Р — любое решение уравнения р = а2—8/?2 (таких
решений существует бесчисленное множеством из них одно удовлет-
воряет условиям а>4/?>0, см. § 8 гл. II); число 2 принадлежит
к классу А или С по модулю р смотря по тому, будет ли а= 1, 3 или
а = 5, 7 (mod 8). Сравнение этих критериев с доказанным выше приводит
к следующим теоремам:
1) Для простого р формы 8п + 1 числа b и а в уравнениях р =
= а2 + 1662, р = а2 + 8/32 связаны так, что при b четном а = ± 1 (mod 8)
и при b нечетном «=4-3 (mod 8).
2) Для такого же числа р в уравнениях р = а24-16&2, р =
== а2—8/?2(а>0) числа b и а связаны так, что при b четном
а=1 или 3(mod8), при b нечетном а = 5 или! (mod 8). Эти теоремы
интересны потому, что устанавливают зависимость между представлениями
одного и того же числа формами х2 + у2, х2 + 2у2, х2 — 2у2, определи-
тели которых не отличаются на квадрат и которые поэтому не могут
быть преобразованы одна в другую никакими подстановками с рацио-
нальными коэфициентами (§ 3 гл. II). В гл. V мы снова придем к этим
теоремам из совершенно других соображений, причем докажем их для
любого составного числа р формы 8п+ 1.
Обращаясь к исследованию принадлежности нечетного простого числа
4 ф Р к классам А, В, С, D по модулю р, положим опять р = а2 + Ь2
(а нечетно) и выберем корень / сравнения /2 4~ 1 = 0 (mod р), харак-
теризующий распределение на классы А, В, С, D, под условием
а + 6/ = 0 (mod р). Так как класс, к которому принадлежит —1, известен,
то вместо q будем брать число ± q, выбирая знак по условию ± q = 1 (mod 4).
Рассматривая на примерах принадлежность чисел — 3, 4-5, — 7, — 11,...
к классам А, В, С, D, замечаем, что критерии этой принадлежности
выражаются всегда сравнениями формы а = 0 или b= ах (mod q) (эти
6 Теория чисел.
82
ГЛАВА III
сравнения будем называть в дальнейшем условными сравнениями). На-
пример, число —3 принадлежит к классу А для таких простых
о = й2 + 62, для которых Ь == 0 (mod 3), к классу В — для таких р,
у которых Ь = — a (mod 3), к классу С — при а = 0 и к классу D—при
& = a (mod 3). Выписываем еще несколько подобных таблиц критериев:
В
С
D
+ 5
b = Q
b = a
a^Q
Ье=— а
(mod 5)
(mod 7)
— 11
A I b = 0, ± 5«
В b = а, За, 4а
С I а == 0, &	± 2«
D | Ь =— а, —За, —4а
(mod 11)
А
В
С
D
13
Ь = 0, ± 4а
Ь = — а, — 2а, 6а
а = О, b = ± За
b = a, 2а, —6а
(mod 13)
Рассматривая эти таблицы, приходим к следующим выводам:
1) Принадлежность простого числа ±<?=1 (mod 4) к классам А,
В, С, D по простому р = а8 + Ь2 определяется условными сравнениями
вида а = 0 или bs=ax (mod^). 2) Сравнение b = 0 (mod/?) входит
всегда в число критериев класса А. 3) Сравнение а = 0 (mod q) ветре-
чается среда критериев класса Д, когда — + 1, и класса С,
когда (^)== — Ь 4) В условных сравнениях b = ax (mod#) число х
принимает все значения 0, 1, 2, ..., q — 1, кроме двух, удовлетворяю-
щих сравнению х2 + 1 === 0 (mod #), когда это сравнение возможно
[/я. е. когда #=1 (mod4)]. 5) Число условных сравнений для каждого
I ~\
из классов А, В, С, D одно и то же, именно + ( — I)2 р Тео-
ремы эти выражают не что иное, как биквадратичный закон взаимно-
сти в той его части, которая касается обыкновенных чисел.
Дирихле в упомянутом выше мемуаре (см. 13, т. I, стр. 63) показал,
что теоремы 1—5, поскольку они относятся к классам А и С, могут
быть доказаны и средствами обыкновенной арифметики. Дирихле осно-
вывается на следующем предложении из теории квадратичных форм:
если простое число 4^=1 (mod 4) есть квадратичный вычет числа
т>0, взаимно простого с 2q, то найдется нечетная степень mh
этого числа, представляемая формой х2 #у2, с взаимно простыми х, V.
Это предложение является непосредственным следствием композиции
квадратичных форм, что мы покажем в гл. IV [хотя его можно вывести
и совершенно элементарно при помощи формул (32) § 8 гл. II]. Итак,
ограничиваясь классами Ди С в теоремах 1—5, положим, что j ее 1;
тогда на основании указанного предложения будем иметь ph = t2 4= qu\
h — нечетное, (f, и) — 1, t>0, и > 0. Отсюда
(±?)4 s(7)(f) <modP)-
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
83
Заметим, что t — нечетное, а и—четное; притом при р==5 (mod 8)
и не делится на 4. Полагая и = 2ур, у>0, v — нечетное, большее нуля,
<-1
из равенства ph = t2^qu2 находим j = 1, (	= (—1) 2 ,	=
= (-1)2 (?)> (f) = 1’	Таким образом
Р-1	t—1	*•
(± 9) 4 ^(—1) 2 (|-)(-^) (modp).	(9)
Пользуясь представлением р == а2 + Ь2, легко преобразовать равенство
р* = $2 zp qu2 в следующее:
Д-1	Д-1	Д-1
(Z 4- р 2 b) (t — р 2 Ь) = (р 2 а)2 ± qu2.	(10)
Д-1	/
Положим (а, и) == /, р 2	1%, и = h); тогда (£, ту) = 1 и, так как
а — нечетное, то I — нечетное. Из равенства (10), ввиду того, что
Д-1	Д-1
f + р 2 b, t — р2 b и / не имеют общего делителя, получаем
Д-1	Д-1
/ + Р 2 ь =v2g9 (t — p 2 b^v'2g'), (vv'= Z),	(11)
Так как
t-i
так что срав-
Разберем сначала случай, когда # = 0(mod#). В этом случае из (10)
Д—1	Д—1
видно, что одно из чисел t р 2 b, t — р 2 b делится, другое не де-
Д-1
лится на q. Если, например, t + р 2 b Ф 0 (mod#), то из (11) имеем
Д-1
f5d?j -= 1 = / —3J?_А и, так как при 4~ q < 0, t + Р 2 b > О, то по
/ V \ hi , ь
закону взаимности у—-------/“(—1)
Д-1
р 2 b = t (mod#), то отсюда следует ^) =
р-i
нение (9) принимает вид (± #) 4 = (^) (m°d Р)- Итак, при = 1 и 6Z,
делящемся на #, число ± q принадлежит к классу А по модулю р при
= 1 и к классу С при	Но так как равенство = 1
является следствием предположения я = 0 (mod#), то получаем доказа-
тельство теоремы 3 из вышеуказанных теорем 1—5.
Теперь можем предполагать в равенствах (11) а не делящимся на #<.
Д-1	Д-1
Тогда / + р 2 b и / — р 2 b не делятся на #, и из (11), аналогично пре-
6*
84
ГЛАВА 1П
как
t-i
/	А—1 \
/	~ \	_
дыдущему, получаем (для обоих знаков) ----------/== (—1) 2 Так
1, то возьмем любой корень а сравнения х2 = р (mod#). Из
ph /2 zp qu? находим t = ep 2 a (mod q) и далее ( у ) = ~ >
(h-l ч
t + ер 2 b j __ /в(<т4~^)\_/*<?(<т + Ь)
q	q /\ q
=	Подставляя это в сравнение (9), получаем такой резуль-
тат: если	Ф 0 (mod#) и <т — корень сравнения р = a2 (mod#),6
то
р-1
(±<7) * —	(modp).
(12)
Из полученного сравнения при b = 0 (mod#) сразу вытекает, что ± q
принадлежит к классу А по модулю р, т. е. получаем доказательство тео-
ремы 2. Определим числа х и т из сравнений Ь=ах, о = ат (mod#);
тогда сравнение р= <т2 (mod#) можно заменить таким: т2—х2 — 1 (mod#).
Полагая т + х^НО (mod#), получаем 2х = к— 2т = к +
, 1 ,	. ч	/<т(сг+д)\ /т(т + х)\ f2\fk* + l\ _
+у (mod#), откуда -----------) = ^--------) =	Подставляя
это в (12), получаем такое правило для определения класса, к которому
принадлежит ± # по модулю р £в случае (=“^) = 1 и а Ф 0 (mod #)j: опре-
делив х по условию b = ax (mod#), видим, что х2 + 1 = ~ (mod#)
будет не делящийся на # квадратичный вычет по модулю#. При таком
условии сравнение 2х^к------(mod#), как легко видеть, имеет два
К
решения относительно к\ так как эти решения связаны соотношением
кк' = — 1 (mod -#), то к2 4- 1 и к'2 +1 [оба Ф 0 (mod#)] имеют одина-
ковый квадратичный характер по модулю #. При этом ± # принадлежит
л	(kz+1\	/ 2 \	~	М2+ 1\
к классу А по модулю р, если (——j = (—), и к классу С, если =
= — (у)- Отсюда уже видно, какие значений х могут входить в услов-
ные сравнения b^ax (mod#) классов А и С; это те х, для которых
х2 + 1 есть квадратичный вычет # [и Ф 0 (mod#)]. Обратно, пусть для про-
стых чисел р = ^2 + &2и=[=#~1 (mod 4) имеем сравнение b~ax (mod#),
причем х2 + 1 есть квадратичный вычет #; тогда из р == а2 (х2 -f- 1) (mod#)
вытекает, что =	= 1, т. е. ±# принадлежит к А или С по
модулю р; к которому же именно из этих классов — это определяется сим-
/ к2 1 \	j	r»»l/j\rn
волом —-—j, где к — решение сравнения 2x = fc — у (mod#). Таким
образом принадлежность ± # к А или С зависит в конце концов только
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
8S
от значения х в сравнении b = ах (mod q) (теорема 1). Остается опреде-
лить количество условных сравнений в классах А и С, т. е. доказать
теорему 5. Заставим число к пробегать все числа 1, 2, ..., q—1, кроме
корней сравнения к2 4-1 = 0 (mod q), причем из двух значений к и —i-
будем каждый раз брать только одно; тогда формула х =~ (к— (mod q)f
по сказанному выше, даст все значения х, участвующие в условных срав-
нениях Ь~ах классов А и С, и каждое по одному разу. Присоединяя еще
сравнение as—О (mod#), можем сказать, что в обоих классах А и С нахо-
1 (
дится всего ^{q — ( — 1) 2 ^условных сравнений. Для определения числа
этих сравнений в одном из классов А, С нужно в формуле х = ~ (к—
давать к лишь такие значения, при которых к2 + 1 будет квадратичным
вычетом #, т. е. значения вида к =	(mod #). Итак, пусть
л15 и2, .и,— все числа приведенной системы вычетов по модулю #,
отличные от ± 1 и от корней сравнения л2 + 1 = 0 (mod#) и не свя-
занные соотношением ни' = — 1 (mod #). Очевидно, что число их
/	w\
* =	—4 —(—1) 2 Полагая	(mod q) (i=l,
(Л? 4”
— f = 1. Выберем
из чисел ki половину: к19 к2, ..., kv, не связанных между собою сравне-
Г
нием kikjSEEz—1 (mod#), и положим xt^~[ki — (mod #)
(/ = 1,2, ... Тогда сравнения b = axi и будут все условные сравне-
ния класса А при (у) = 1 и класса С при = — 1. Присоединяя
сравнение а = 0 (mod #), видим, что в одном из классов А или С будет
/	g-i\
j ” у \#— (— 1) 2 / условных сравнений, а следовательно, столько
же их будет и в другом классе, что и требовалось доказать. Очевидно,
что все изложенное дает удобный способ и для практического получения
условных сравнений при заданном #.
§ 4. Кубические вычеты; метод Гаусса. При изучении кубиче-
ских вычетов, пока мы остаемся в области обыкновенных целых чисел,
имеет смысл рассматривать лишь простые модули р формы 6л + 1. Для
такого модуля сравнение х3=1 (modp) имеет три корня 1, /, /2, при-
чем /, /2 удовлетворяют сравнению х2 + х + 1 = 0 (mod р). Разобьем
числа 1, 2, ..., р — 1, по сказанному в § 6 гл. I, на три класса Ао,
р—i
Ль А2, отнеся к классу А% все числа с, для которых с 3 == /* (mod р)
= 0, 1, 2). Тогда Ао будет состоять из кубических вычетов, Аг и
А2 — из кубических невычетов модуля р; при переходе от / к другому
86
ГЛАВА HI
корню/2 сравнения х2+х+1=0 (modp) класс Ао остается неизмен-
ным, классы Ах и А2 меняются местами. В § 8 гл. II было доказано,
что для простого р= 1 (mod3) уравнение р = I2 + Зт2 имеет только
одно решение в целых числах I, т (если не обращать внимания на их
знаки). Замечая, что формах2 — ху + у2 переводится в х2 + Зу2 подста-
новкой Q 1) и переводится в себя подстановкой Q ___*j, легко найти,
что уравнение р=х2— ху + у2 имеет 12 решений в целых числах:
x = sl + ipn, у = 2т)т(е = + 1, ^=±1); х = 2ет, у =Т)1 + ет
(е — ±1, ??= + 1); х = в/ + у == el — трп (е = ± 1, г] = + 1). Из
этих решений найдутся два (и только два), удовлетворяющие условию
Xsl, y = 0(mod3). Обозначая через / любой корень сравнения
/2 + / + 1^0 (modр), можем из двух указанных решений х, у уравнения
р = X2 — ху + у2 выделить одно вполне определенное решение х — а,
у = Ь, для которого я=1, b = 0 (mod3)? a + bf^O (modp). Эти числа
a, b играют ту же роль для кубического распределения по модулю
р == 6/п + 1, какую имели числа a, b в уравнении р = 4п + 1 = а2 + Ь2
для биквадратичного распределения.
Определяя на примерах принадлежность данного простого числа q
к классам Ао, А1? А2 для модулей р = а2 — ab + Ь2, видим, что эта
принадлежность определяется условными сравнениями вида а = 0,
b==== ах (mod 5), совершенно аналогичными тем, которые были выписаны
в предыдущем параграфе. Эти сравнения выражают кубический закон
взаимности, и полное их доказательство получается только йосле вве-
дения комплексных чисел вида х + уд (х, у — рациональные числа,
------ 1 +-\	Q	г? Q
д == ---------- । Мы остановимся только на случаях q = 2 и q = о,
в которых вопрос решается средствами обыкновенной арифметики.
В первом мемуаре о биквадратичных вычетах (см. 20, стр. 511) Гаусс дает
для определения принадлежности числа 2 к классам А, В, С, D заме-
чательный метод, который сверх того приводит к интересной теореме
о разложении простого числа р = 4п 4- 1 на сумму двух квадратов (см.
следующий параграф). Мы не излагали метод Гаусса в предыдущем
параграфе, так как вопрос о биквадратичном характере числа 2 был
решен другим способом; поэтому покажем этот метод на примере куби-
ческих вычетов (см. Т. J. Stieltjes 80, т. I, стр. 210—275). Пусть
a'i\ ... — все числа класса + (? =0, 1, 2) для модуля р = 6т + 1;
обозначим через (//) количество тех из этих чисел а'ь - для кото-
рых «г +1,	+ 1, ... принадлежат классу Aj, и предложим себе опре-
делить девять величин (zj) (z, / = О, 1, 2). Замечая, что а и —а при-
надлежат всегда к одному классу, видим, что (z/) есть количество реше-
ний сравнения щ щ + 1 = 0 (mod р) в числах (ц классов Ai, А3-,
причем два решения (а$, а,-) и (а-9 а-) считаются одинаковыми только
при условии щ = а{, щ = aj (mod р). Отсюда непосредственно вытекает,
что (01) = (10), (02) == (20), (12) = (21). Замечая далее, что сравнение
«о + ai + 1 = 0 делением на аг приводится к сравнению а2 + 1 +
где а* = — и а9
«1 2
1
— суть числа
класса Аа,
и, обратно, сравнение
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
87
а2 + 1 +«2 — 0 делением на а2 приводится к первоначальному сравне-
нию а0 + «14-1^0, находим (01) = (22) и аналогично получаем, что
(02) = (11). Эти соотношения показывают, ^то среди величин (^у)
(/4, ? = 0, 1, 2) имеется только четыре различных: (00) = z, (01) =
= (10) =(22) = /, (02) = (20) = (И) = й, (12)= (21) = к. Так как
число — 1 принадлежит к классу Ао, то среди величин а!л 4- 1, «я 4~ 1, • . •
(аи, ... — все числа класса А^), число которых = 2т,
встретится 0 только при /х=0. Следовательно, (00) + (01) 4~ (02) =
= 2/72—1 и (10) 4-(11) 4-(12) = 2m. Эти соотношения позволяют из
четырех величин z, /, й, к две, i, j, выразить через другие две, й, й:
/ = й—1, /=2/72 — h — k.	(13)
Еще одно соотношение между z, /, й, к мы получим, рассматривая срав-
нение а0 4- «1 4- «2 + 1 = 0 (mod р) и определив число N его решений
в числах а0, а1? а2 классов До, Лх, Д2 двояким образом. Желая опре-
делить число решений при заданном а0, положим сначала, что а0+1 = а
принадлежит классу До. Число решений ат 4~ «2 + а — О ПРИ заданном а,
очевидно, совпадает с числом решений сравнения 4“ а2 + 1 — 0 в чи"
слах с^, а' классов Дь А2 и потому равно (12). Если а0 таково, что
4- 1 =Р принадлежит А19 то число решений 4- а2 4~ = 0 при
заданном /? равно (01); если, наконец, а04-1=у принадлежит А2, то
число решений at + «2 + У = 0 при заданном у равно (20). Но так как
среди чисел а0 4~ 1 («0—все числа класса Ад кроме —1) находится
соответственно (00), (01), (02) чисел, принадлежащих классам Ао, А2,
то приходим к заключению, что N = (00) (12) 4- (01) (01) 4~ (02) (20) =
= ik 4- /2 4- Л2.
Если проведем подобное же расс/ждение с числом а19 т. е. опреде-
лим сначала число решений сравнения а0 + ах + а2 4“ 1 = 0 при задан-
ном ах, и потом просуммируем по всем ар то получим для N другое
выражение:
N = jh 4- hk 4- kj.
Сравнивая это выражение с предыдущим и внося вместо z, / их выра-
жения (13), получим после упрощений
ЗЙ2 4" ЗЙЙ 4- ЗЙ2 — 6/77Й — (6/77 4- 1) Й + 4/Т22 = 0.	(14)
Для решения этого неопределенного уравнения с двумя неизвестными
й, й введем вместо й, й целые числа X, У, определяемые формулами
h =	— 1 Н~ __ 6/714-^4- у	(15)
после чего уравнение (14) примет вид X2ХУ 4- У2 = 3(6/72 4“ 1) =
2Х 1 Y
= 3р. Из формул (15) видно, что —= М есть число целое; пола-
гая еще У = L, находим для чисел L, М уравнение L2 4- 27Л12 = 4р.
Кроме этого уравнения числа L и М удовлетворяют еще некоторым
сравнениям; одно из них есть L = 1 (mod 3). Для получения другого
88
ГЛАВА Ш
р—1	р__1
рассмотрим сумму S = 20* + D 3 • Припоминая, что 1* + 2fe +•••
z=l
... + (р — l)fe = — 1 (mod р) при к, делящемся на р — 1, и = 0 (mod р)
при к, не делящемся на р — 1 (§ 7 гл. I), находим
S = — 2 (mod р).
р-i
Замечая, с другой стороны, что S^32(«+ 1) 3 (modp), где сумма
берется по всем числам класса Ао, получаем
5 — 3(00)+ 3/(01) +3/2(02) (modp),
где /— корень сравнения /2 + /+ 1 =0 (mod р), определяющий распре-
деление на классы Ао, Аь Аа. Таким образом получаем сравнение
3z + 3// + 3/2ft + 2 === 0 (mod р). Подставляя сюца выражения чисел z, /, 1г
через L, М [из (13) и (15)]:
. р —8 + L •	2р — 4 — 9Л4 — L h__ 2р —4 + 9М—L
9	’	18	, Л —-	18	’
р___ Р + 1 + £
9	’
находим после упрощений
L + ЗЛ4 (/2 —/) = 0 (mod р).
Полагая, наконец, L = b — 2а, ЗМ = находим, что целые числа а и b
удовлетворяют условиям
р = а2 — ab + b2, а ss 1, b = 0 (mod 3), а + bf = 0 (mod р). (16)
Этими условиями, по сказанному в начале этого параграфа, числа а и b
определяются вполне. Выражая z, /, h, к через эти числа, получим
окончательно
1	4	t
i= ^(p — 8 + b — 2a), j=~(p-2 + a-2b),
if	if
^(р — 2 + a + b),	k=±(p+l+b—2a).
(17)
Переходя к определению принадлежности чисел 2 и 3 к классам Ао,
Л19 Аа по модулюр, заметим, что число (рр) решений сравнения a/z +
+ вд+1=0(mod р) (яд, Яд — числа класса Ад, р = 0, 1, 2) будет не-
четным тогда и только тогда, когда Яд == Яд = — у принадлежит к клас-
су Ад, т. е. когда 2 принадлежит к классу А3_д.
Из формул (17) находим (00) = i = b + 1, (11) = h = а + b + 1,
(22) = /==а + 1 (mod2), что дает теорему: число 2 принадлежит по
модулю р к классу Ао при b четном, к классу Ах при а четном и
к классу А3 при а + b четном; при этом числа а, b определяются
для простого числа р по условиям (16).
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
89
Пусть /?, /}', (}"> ... и у, у',	. суть все числа классов Дх и Л2;.
ак как все эти числа и только они являются корнями сравнений
р—1	р-i
х =f и х /2 (mod р), то по § 5 гл. I имеем
р-1
х8 -/=(х-^)(х-Л(х-Г).--,
р-1
х 3 — /2 = (х — у)(х — у')(х — у")... (modp).
Полагая здесь х = — 1, найдем
1—/2 = (1 + у) (1 + /)... (modp).
~	р —1
Возвысим эти сравнения в степень ——; припоминая определение чисел?
о
р—1	р—1
(рг), получим	+	(mod р). Пе-
ремножая эти сравнения и замечая, что (1—/) (1—/2) = 3, находим
р-1	_	,
3Тэ/(пж(й) (mod р) Ho(i1)+2(22) = ./j + 2/ = ^+^-1-A;
из (16) выводим: р^а2 — ab (mod	== а	= — 2JZ-! _|_
v	О	О	О
+-у- и /г+2/=у (mod 3). Получаем теорему: если а, b определены
условиями (16), то число 3 принадлежит к классам Ло, А2 по
модулю р, смотря по тому, будет ли	1, 2 (mod 3).
§ 5. Теорема о вычете числа а в разложении р = а2 + 4&2.
Метод Гаусса для определения биквадратичного характера числа 2 при-
водит попутно к замечательному свойству разложения простого числа
р = 4п + 1 на сумму двух квадратов. Это свойство можно формулиро-
вать так: если простое число р== 4п+ 1 представлено суммой двух
квадратов р == а2 + 4й2, причем знак а выбран так, что а = 1 (mod 4),
-	v	1 2п(2г/~ !)• •-(7? + 1)
то а есть абсолютно наименьший вычет выражения у • —-----------7
по модулю р (Гаусс 20, стр. 531). Так как мы излагали метод Гаусса
в предыдущем параграфе для случая кубических вычетов, то мы можем
получить аналогичную теорему для разложения 4р = L2 + 27Л42. Заме-
тим прежде всего, что из сказанного в предыдущем параграфе о форме
х2 — ху + у2 легко вывести, что для простого числа р вида 6/п-|-1
уравнение = L2 + 27Л12 имеет единственное решение в целых числах
L, Л4, если не обращать внимания на их знаки. Рассмотрим сумму
р-1	- (р-1)
S== 2(2?+1)3	5 разлагая каждый член по биному Ньютона,
Z=1
получим
с__ о 2m(2m—l)---(m4-1) ,	. ч
DO
ГЛАВА III
где т = С другой стороны, рассуждая аналогично тому, как в пре-
дыдущем параграфе, найдем
5 = 3 (00) + 3 (01) /2 + 3 (02) / (mod р).
Сравнивая оба выражения для 5 и пользуясь выведенными в предыду-
щем параграфе выражениями (00) = z, (01) = /, (02) = Л через числа L
и М, получим
з/+ 3//2 + з/г/+ 2 £=4 L + 4-М(/-/2)
2т (2т— 1)---(т-|- 1)
1-2-3---7П
(mod р).
Но для L и М там же было получено сравнение
+ f Л4(/2-/)^0 (mod р).
£ &
Складывая эти два сравнения и припоминая, что для числа L, опреде-
ленного в предыдущем параграфе, имеем L=1 (mod 3), можем выска-
зать теорему: пусть р = 3m + 1 — простое число и знак числа L
в уравнении 4р = L2 + 27М2 выбран по условию L = 1 (mod 3); тогда
г	'	„	2m (2m —1)-• *(m +1)
L есть абсолютно наименьший вычет числа----------——-— ------!—-
1 • 2 • 3« • -т
по модулю р.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ III
К § 2. Относительно распределения степенных вычетов следует отметить
интересную теорему Девенпорта 10 (1932): если 1^>О— целое число и р — про-
стое число, удовлетворяющее условиям р == 1 (mod I), р>100 /12, то в ряду
чисел 1, 2, ..., р —1 существует три последовательных вычета l-й степени
по модулю р. В другой работе „Он the distribution of quadratic residues (modp)* 11
!'—1
Девенпорт занимается приближенным определением сумм вида ср^~ 2 ( ——\
7	х=о р '
где /(х)—целочисленный полином, старший коэфициент которого не делится на
’Простое число р [так что есть разность между количеством квадратичных вы-
четов и невычетов по модулю р в ряду чисел / (0), / (1), ..., / (р — 1)]. Для случая,
например, когда / (х) есть полином 7-й степени, доказывается, что ест^> вели-
19
чина порядка р20. Метод исследования автора в указанных работах состоит
в оценке конечных тригонометрических сумм.
К § 3—-4. Во втором мемуаре о биквадратичных вычетах (см. 20, стр. 534)
Гаусс впервые ввел в область арифметики комплексные числа, рассматривая
числа вида m + ni, где i = У— 1, а т, п — обыкновенные рациональные числа»
Число т + ni Гаусс называет целый комплексным, если т, п — обыкновенные
целые числа. Целое число N (со) = т2 4- и2 называется нормою целого комплекс-
ного числа со ~ т 4- ni. Если для двух целых комплексных чисел со и С 4 °
отношение -у- есть также целое число, то говорят, что со делится на С. Целые
числа s с нормой 1 (которых существует четыре: s = + 1, ±0 называются еди-
ницами; они являются делителями всякого целого комплексного числа. Два целых
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
91
числа со и сое, отличающиеся друг от друга множителем-единицею, называются
союзными. Целое число со ф £ называется простым, если оно не имеет других
делителей кроме союзных с ним чисел и единиц. Введя эти определения, Гаусс
доказывает, что в области целых комплексных чисел имеет мерто алгорифм для
нахождения,обшего наибольшего делителя, совершенно подобный алгорифму
Евклида, что приводит к основной теореме: всякое целое число со представля-
ется в виде елр л|2..., где в — единица, л2, ... — различные (т. е. несоюз-
ные) простые числа, е19 е2, ...—положительные показатели. При этом такое
разложение единственно, т- е. всякое другое разложение со может быть
написано в виде со == е'л^л/2..., где простые множители л'Л, л2,... союзны
соответственно с л2, ... Что касается простых чисел в области комплекс-
ных чисел, то состав их оказывается следующим: 1) все обыкновенные простые
числа р формы 4я + 3 остаются простыми и в области чисел а + bi, 2) всякое про-
стое число р вида 4п -ф- 1 по теореме Ферма (§8 гл. II) разлагается единственным
образом на сумму двух квадратов а2 + Ь2 и потому р = (а + ib) (а — ib); множи-
тели а + ib и а—ib, как легко видеть, суть несоюзные простые числа. Таким
образом обыкновенное простое число /? = 4п-|7 1 в области комплексных чисел
будет составным, и ему соответствуют два различных простых числа a-{-ib и
а— ib, 3) число 2 = —i(l + i)2 союзно с квадратом простого числа 1 -ф i. После
этого Гаусс устанавливает понятие о сравнениях и теоремы для комплексных
чисел, аналогичные теоремам Фермами Эйлера (§ 4 гл. I). Если со — нечетное
комплексное число (т. е. не делящееся на простое число 1 + i), то среди четырех
союзных с ним чисел есо найдется одно и только одно, сравнимое с единицей по
модулю 2 -J- 21. Такое число называется первичным. Пусть л—нечетное простое ком-
плексное число; все целые комплексные числа распадаются по модулю л на N (л)
различных классов; взяв из каждого класса по одному представителю, получим пол-
ную систему вычетов ао модулю л. Отбросив из этой системы число ^0 (mod л;),
получим приведенную систему вычетов по модулю л, состоящую из N (л)—1 чле-
нов. Для каждого члена а приведенной системы вычетов имеет место сравнение
N(^) — 1
а 4	— ik (mod л),	(18
причем показатель к равен О, 1, 2 или 3. Соответственно значениям этого пока-
зателя все члены приведенной системы вычетов по модулю л распадаются поровну
на четыре класса, причем числа а, для которых к — О (и только они), будут би-
квадратичными вычетами по модулю л. Вводя биквадратичный символ
Гем. сравнение (18)], находим, что он обладает теми же свойствами, что и обык-
новенный символ Лежандра (§ 8 гл. I). Наконец, для двух взаимно простых комп-
лексных чисел а и со (из которых второе нечетное) вводят еще обобщенный
биквадратичный символ (аналогичный символу Якоби), полагая, соответственно
61 е,	/ « \	/ a Y1 / а \вг
разложению со = ел{1 л%2... на простые множители,	\Тг/4 ’ * *
После всех этих предварительных разъяснений можем формулировать биквадра-
тичный закон взаимности: если со и С — два взаимно простых первичных
N(co)~l Ntf) - 1
/ СО \	,	-4*4	’	4	/ С \
комплексных числа, то	— 1)	\~со/4*
Второй мемуар Гаусса о биквадратичных вычетах заканчивается формулиров-
кой этой теоремы (в несколько другой форме) и доказательством теорем о би-
квадратичном характере числа 1 4- i. Доказательство закона взаимности, найден-
ное им после многолетних упорных трудов, Гаусс предполагал изложить в тре-
тьем мемуаре о биквадратичных вычетах, который, однако, не появился. О форме
этого доказательства (которое было основано, повидимому, на геометрическом
изображении леммы о биквадратичных вычетах, аналогичной лемме Гаусса, изло-
женной в § 8 гл. I) можно судить только по отрывкам из бумаг Гаусса, напе-
чатанным после его смерти во II томе его собрания сочинений (см.19, стр. 313—385).
Строгое доказательство биквадратичного закона взаимности в том духе, как
проектировал изложить его сам Гаусс, дано Буше в мемуаре „Arithmetische
92
ГЛАВА Ш
Beweis des Reciprocitatsgesetzes fiir die biquadratischen Reste“ 7 . В позднейшей
работе 8 (1912 г.) Буше значительно упростил это доказательство и представил
его в наглядной геометрической форме.
Для полного овладения теорией кубических вычетов необходимо введение
целых комплексных чисел вида т 4- nQ (т, п — целые рациональные числа,
$ =	3 — кубический корень из 1). Так как эти числа вполне подобны
числам Гаусса т 4- ni, то мы ограничимся самыми краткими пояснениями, необхо-
димыми для формулировки кубического закона взаимности. Число 3 = — q2 (1 — Q)2
в области чисел т 4- nQ союзно с квадратом простого числа 1 — q. Из шести
чисел + to, zt Q(o, ± q2(d, союзных с данным целым числом со, не делящимся на
1 — существует одно и только одно, сравнимое с единицей по модулю 3; такое
число называется опять первичным. Если дан простой, отличный от 1 — р мо-
дуль п, то для всякого целого комплексного числа а, не делящегося на я, имеем
сравнение а 3	= qk (mod л), где А: — О, 1, 2, a N(^)>0 есть целое рацио-
нальное число, равное произведению я на сопряженное с ним комплексное число.
Числа а, для которых в предыдущем сравнении k = 0 (и только они), являются ку-
бическими вычетами по модулю л. Пользуясь предыдущим сравнением, определяем
кубический символ, полагая	• Определяя затем, подобно предыду-
щему, обобщенный кубический символ, можем формулировать кубический закон
взаимности в следующем виде: для двух взаимно простых первичных комплекс-
ных чисел со, С имеем всегда (	Эта теорема была доказана при
помощи теории деления круга Якоби и Эйзенштейном. Арифметическое же (или,
точнее, арифметико-геометрическое) ее доказательство, аналогичное указанному
выше доказательству Буше, было дано А. М. Журавским 82.
Условные сравнения, выписанные в § 3 и определяющие принадлежность
данного числа к классам биквадратичного распределения по некоторому модулю,
стоят, как уже было там указано, в тесной связи с биквадратичным законом
взаимности. Эту связь (также и для кубических вычетов) подробно исследовал
Стилтьес в мемуаре .Contribution a la theorie des r£sidus cubiques et biquadrati-
ques* (cm. 80, т. I, стр. 210—275). Изложение теории гауссовых комплексных
чисел имеется еще в учебнике Дирихле 14, Suppl. XI. Указанные здесь комплекс-
ные числа т 4- ni и т 4- nQ послужили поводом к обширным обобщениям
обыкновенной арифметики, данным в работах Куммера, Кронекера, Дедекинда
и многочисленных последующих ученых и составляющим в настоящее время
огромную теорию целых алгебраических чисел. Наконец, автор настоящего ре-
ферата доказал, что и в области кватернионов Гамильтона а 4- Ы 4- cj 4~ dk
имеет место такая же простая арифметика, как для гауссовых комплексных чисел
(см. Венков 95).
К § 5. Теоремы, аналогичные изложенным в этом параграфе, существуют и
для представлений простых чисел формами х2 4- 2у2, х2 + Зу2, х2 4- 7у2. См.
Jacobi, Ober die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie
(31, стр. 254—274) и Stielt j es, Sur la d6composition quadratique de nombres
premiers de la forme 3л 4-1 (см. 80, т. I). Другое доказательство теорем, изложен-
ных в тексте, было дано Эйзенштейном (с помощью теории эллиптических
функций).
ГЛАВА IV
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 1. О представлении целого числа бинарной квадратичной
формой. В „Disquisitiones Arithmeticaea Гаусс дал теорию квадратичных
форм, сводящую в один фокус все исследования Ферма, Эйлера и Ла-
гранжа об этом предмете и содержащую несколько весьма важных откры-
тий самого Гаусса. Рассмотрению этой теории будет посвящена настоя-
щая глава.
В § 3 гл. II уже были даны главнейшие определения, относя-
щиеся к бинарным квадратичным формам, между прочим, определение
эквивалентности двух таких форм / и Гаусс различает еще собст-
венную и несобственную эквивалентность смотря по тому, будет ли
определитель целочисленной подстановки, переводящей / в равен +1
или —1. Главнейшим вопросом в теории бинарных форм является следующий.
Даны форма / = ах2 + 2Ьху 4- су2 с целыми коэфициентами а, Ь9 с
и целое число т*9 найти все представления числа т формою т. е.
все решения неопределенного уравнения ах24~ 2Ьху + су2~ т в целых
числах х, у. К этому вопросу приводится, как увидим ниже (§ 7),
и решение в целых числах общего неопределенного уравнения второй
степени с двумя неизвестными. Указанный вопрос можно прежде всего
ограничить нахождением собственных представлений, в которых х и у—
числа взаимно простые (ср. § 8 гл. П). Итак, пусть / = ах2 + 2bxy + су2—
целочисленная квадратичная форма (т. е. с целыми а, Ь, с) и т ф 0 —
целое число. Если х = а, у=у есть собственное представление т
формою /, то возьмем пару чисел /?, <5, удовлетворяющих условию
ад — fry = l, и преобразуем / подстановкою (у в собственно экви-
валентную форму Первый коэфициент f будет аа2 + 2Ьау + су2 =
полагая f = тх12 + 2пх'у' +ty'2 = (т, п9 /) и обозначая через d опре-
делитель форм / и будем иметь для остальных коэфициентов п, I
формы /' следующие формулы:
п = aaft + b (ад + fry) 4- суд> п2 — ml = d.	(1)
Вторая формула показывает, что n2 = d (mod /п), т. е. d есть квад-
ратичный вычет числа т. Итак, для существования собственных пред-
ставлений числа т формою / необходимо, чтобы определитель этой
формы был квадратичным вычетом числа т. Взяв вместо fr д другую пару
чисел fr9 д', удовлетворяющих уравнению ад — ру=19 имеем fr =
= fi + at9 д' ~ д + уt (t — целое число); число п'9 составленное для
новых чисел fr9 д' [см. (1)], имеет значение п' = (аа 4- by)/}' +
94
ГЛАВА IV
4~ (ba + Су) д' « п 4- mt, т. е. п =п (хпобт). Итак, при переходе от
Р, д к другому решению уравнения ад — Ру == 1 средний коэфициент п
формы /' = (тп, п, I) остается в том же классе чисел по модулю т; этот
класс чисел п удовлетворяет сравнению n2 = d (mod т) и совершенна
определяется взятым нами собственным представлением а, у числа т
формою /. Говорят, что представление а, у принадлежит к корню п
сравнения и2 = d (mod т), При этом, когда t пробегает все целые зна-
чения от —оо до +оо, формулы Р' = р 4- а/, д' — д 4- yt дают все
решения уравнения ад — Ру = 1 в целых числах /?, <5, и число
п' = п 4- mt пробегает все числа указанного класса по модулю т и каждое
по одному разу. Определяя из первой формулы (1) и из равенства
ад — Ру = 1 числа /?, <5, получаем па — Ьа — су =* тР, пу 4- аа 4- by =
= тд, или па = Ьа 4- Су, — пу = аа 4- by (mod т). Эти сравнения,
ввиду взаимной простоты чисел а, у, также, как и уравнение (1), могут
служить для определения класса чисел по модулю т, к которому принад-
лежит представление а, у. Обратно, если а, Ь, с, п и т ф 0 — данные
целые числа и существует пара чисел а, у, удовлетворяющих условиям
аа2 4-%Ьау 4- су2 = т, аа + (Ь + п)у = О, 1
(& — п) а 4- су = 0 (mod/и), J
то а, у есть собственное представление т формой / =^(а, Ь, с), при-
надлежащее к корню и сравнения //2 = d (mod т). Действительно, напи-
сав сравнения (2) в виде уравнений с правыми частями тд и —тр
(Р, д — целые числа), выводим из полученных уравнений сначала т ==•
= т(ад— Ру), т. е. ад — Ру = 1 [так что (а, у) = 1] и затем формулу (1),
что и требовалось доказать. Этим замечанием мы воспользуемся при
рассмотрении композиции форм (§ 10).
Из изложенного ясно, как следует поступать для определения всех
собстненных представлений числа т данною формой /. Так как сравне-
ние n2 = d (mod т) должно быть разрешимым, то пусть п', п", п'",... —
все его несравнимые по модулю т решения; определив для каждого
целое число по формуле /(г> = ——, составим ряд форм
(т, п', Г), (т, п", I"), ... определителя d. Из этих форм нужно выделить
те, которые собственно эквивалентны данной форме /, и, если /' =
= (т, п', Г) есть одна из таких форм, нужно найти все подста-
новки (а<5 — Ру = 1), переводящие / в /'. Тогда пары чисел а, у
в этих подстановках и дадут все собственные представления т фор-
мой /, принадлежащие к корню и'; аналогично поступаем и со всеми
остальными формами (т, п", Г), (т, п'", Г"), эквивалентными /.
Это приводит нас к постановке следующих двух вопросов об эквива-
лентности форм, решение которых полностью исчерпывает вопрос о на-
хождении всех собственных представлений данного числа данной формой:
1) Узнать, эквивалентны ли собственно две данные целочисленные формы
/ и /' одного и того же определителя или нет? 2) В случае эквивалент-
ности / и f' найти все целочисленные йодстановки определителя 1г
переводящие / в Решение этих вопросов будет дано в ближайших
параграфах.
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
95
Легко видеть, что формулированное в этом параграфе определе-
ние принадлежности собственного представления к корню сравнения
nz^d (mod тп) является обобщением подобного же определения, данного
раньше для частного случая (§ 8 гл. II).
§ 2. Преобразование бинарной формы в себя. Решение, которое
будет дано в § 3, 5, 6 для первого из поставленных выше вопросов
об эквивалентности (узнать, эквиваленты ли данные формы /, /'), таково,
что в случае эквивалентности / и /' одновременно получается и под-
становка, переводящая / в Поэтому второй вопрос об эквивалентности
можно преобразовать так: известна одна подстановка So определителя 1,
переводящая форму / в /'; найти все остальные подстановки S этого
рода. Очевидно, что если Т — любая подстановка, переводящая форму f
в себя, то произведение TS0 подстановки Т на подстановку So (§ 3
гл. II) принадлежит к числу подстановок S. Если So ”	> то под'
становка =	называемая обратной по отношению к$0,
переводит /' в /; при этом произведения SqSo"1 и So^Sq равны еда-
яичной подстановке , которую будем обозначать просто знаком 1.
Если S — любая подстановка, переводящая / в то SSo"1 переводит /
в себя и поэтому принадлежит к подстановкам Т, откуда S = TS0.
Итак, подстановки S совпадают со всеми подстановками вида TS0, и мы
приходим к задаче: определить все целочисленные подстановки Т опре-
делителя 1, переводящие в себя данную форму /. Положим /==ах2 +
-\-2bxy + су2, я, b, с — целые числа, афО (каковое предположение
необходимо лишь для случая, когда определитель d—b2—ас есть точ-
ный квадрат)
определяться
и Т =	. Искомые целые числа Л, /z, v, q должны
из условий
Aq — pv — 1, цЛ2 + %bAv + cv2 = a, I
аАр + b (Aq + pv) + cvq = b, J	(3)
необходимых и достаточных для того, чтобы Т переводила / в себя.
Первая и третья из этих формул дают аАр + 2bpv + cvq = 0, что
вместе со второй формулой (3) дает cv =— ар, 2bv — a(Q—Л). Пусть
о> 0 — общий наибольший делитель чисел a, 2b, с. Так как а ф 0, то
можно положить v = ~ и (и—рационально) и тогда предыдущие фор-
с	~ 2b	а 2Ь с
мулы дают р =--------и, о — А = — и; отсюда, так как ~ , — , —
™	(У	с	(У	’	6 в в
не имеют общего делителя, заключаем прежде всего, что и—целое
число. Подставляя полученные значения v, р в первую формулу (3),
находим Ао = — и2 + 1 и (е + Л)2 = (@ — Л)2 + 4Aq = и2 + 4, от-
куда видно, что а jl/L = t есть целое число, удовлетворяющее урав-
нению Z2— du2 = о2. Итак, для коэфициентов Т находим формулы
A t—bu	си	аи	i-\-bu
А =------ р •=---------- , v — — , о =--------- .	(4)
а 9	а	о 9	и	7
96	ГЛАВА IV
Обратно, легко видеть (L.-Dirichlet 14, § 62), что при целых t, и,
удовлетворяющих уравнению /2 — du2»а2, числа (4) будут целыми
и удовлетворяют условиям (3). Итак, если / == (а, Ь, с) (а ф 0) есть
целочисленная форма определителя d, то все подстановки Т опреде-
лителя ф 1, переводящие f в себя, получаются по одному разу из
формулы
(t — bu ___си \
аи t + bu ) ’
а а /
когда t, и пробегают все решения уравнения Пелля t2—du2 —а2.
При этом <г> 0 есть общий наибольший делитель чисел a, 2b, с.
2b
Заметим, что 4d = 4b2— 4ас~0 (mod а2). При этом, если ~--------чет-
ное число, то а есть общий наибольший делитель а, Ь, с и d = 0 (modа2).
Если же —нечетное, то 4d = a2 = а2 (mod 4а2), т. е. есть
целое число формы 4k + 1. По доказанному выше все подстановки, пере-
водящие / в другую форму /', имеют вид TS0, где S0 = Q — одна
из этих подстановок; соединяя это со сказанным в предыдущем пара-
графе о собственных представлениях числа т формою / = (а, Ь, с), полу-
чаем следующий результат: если существует одно собственное представ-
ление а, у числа т формою /, принадлежащее к некоторому корню
сравнения n2 = d (mod т), то все остальные представления а', у', при-
надлежащие к тому же корню, получаются из формул
/== yt + a^+JrUj (6)
где t, и пробегают все решения уравнения Пелля t2 — du2 = а2. Оче-
видно,, что при d<0 это уравнение имеет конечное число решений;
I4dl A	d .	4d о
именно, при Hg- > 4 два, при --g =— 1 четыре и при = — 3
шесть решений. Столько же будет и собственных представлений данного
числа формою /, принадлежащих к заданному корню сравнения
rt2 = d (mod т), конечно, в предположении, что такие представления
вообще существуют. В случае d отличного от нуля и равного квадрату
целого числа, уравнение Пелля также имеет конечное число решений.
Наконец, при d>0 и не равном квадрату в § 12 гл. II было показано,
что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, и нам из-
вестно, как найти все эти решения, по крайней мере для случая
d = 0 (mod а2), в котором наше уравнение t2 — du2 =а2 приводится
к виду t'2 — d'u2~ 1, рассмотренному в § 12 гл. II ( f = d'
Заметим, что если известна какая-нибудь не тождественная под-
становка Т = j, переводящая форму / в себя, то из формул (4)
тотчас найдем некоторое не тривиальное решение уравнения Пелля
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
97
Z2 — du2 — <т2; можно взять, например, t = ~	+ Я), и =	. Если
поэтому иметь метод для определения подстановок Т, то этот метод
дavT и все решения уравнения Пелля (см. дальше, § 5).
§ 3. Приведение форм отрицательного определителя. Обращаясь
к решению первого из поставленных в § 1 вопросов об эквивалентности,
возьмем сначала случай отрицательного определителя d <0; в этом
случае достаточно рассматривать только положительные формы (т. е.
формы с положительными крайними коэфициентами). В § 3 гл. II уже
было доказано, что всякая положительная форма собственно эквива-
лентна приведенной форме, т. е. такой форме / = (б/, /?, с), коэфициенты
которой удовлетворяют условиям |2fr|<a<r. При этом, 1) если коэ-
фициешы исходной формы были целыми, то таковыми же будут и коэ-
фициенты a, b, с приведенной формы, 2) алгорифм § 3 гл. II дает
одновременно и целочисленную подстановку определителя 1, переводя-
щую данную форму в приведенную. В § 3 гл. II мы уже видели, что
из условий приведения |2й|<а<с вытекает	откуда
| b | < 1/ у 1^1; при данном d этим неравенствам удовлетворяет лишь
ограниченное число систем целых чисел а, Ь, и для каждой пары а, Ь
имеем не более чем одно целое значение с. Итак, количество приведен-
ных форм данного отрицательного определителя конечно; называя
классом совокупность всех форм, собственно эквивалентных одной
и той же форме (Гаусс 20, D. A., art. 223), можем высказать следую-
щую важную теорему:
Теорема 13. Число классов, на которые разбиваются все цело-
численные квадратичные формы данного определителя d ф 0, всегда
конечно.
Изложенными рассуждениями эта теорема доказывается лишь для
случая d < 0; для случая d > 0 она будет доказана ниже (§ 5, 6).
Не исключена возможность, что две не тождественные приведенные
формы определителя d < 0 будут собственно эквиваленты. Чтобы узнать,
когда это имеет место, положим / = (a, b, с), f' = (с/, b', c')f | 2Ь | < а < с,
\2Ь'\<а’ <с',Ь2— ac — b'2— a'c' — d (a,b, c, a',b’,c' — целые числа),
и пусть f переводится в f подстановкою
. Имеем равенства
ад — $у = 1,	а' = са2 + 2Ьау + су2,
Ь' = аа[1 + Ъ (ад + /?у) + суд.
(7)
Можно, очевидно, предполагать, что а'^Са. Второе из равенств (7)
дает аа'= (аа + by)2— dy2 и, так как	то у2<1 и, сле-
довательно, у = 0 или ± 1. Если у = 0, то ад = 1, а — д = ± 1,
а' == а и Ь' — b = аа$, т. е. Ь' — b делится на а; но так как | b I <	,
&
|У|<, то Ь' — b равно либо кулю, либо ± а. Если &' — то
di
= с и формы /, f тождественны; если Ь'— Ь=:£а, то #' =—
? Теория чисел.	*
98
ГЛАВА IV
(так что а четное), с' = с и формы /, /' имеют вид ~
и -------~ , cj. Эти формы действительно эквивалентны; именно, первая
переходит во вторую подстановкой	В случае у = ±1 вторая
из формул (7) даст а' = аа2 + 2Ьау + е, и так как мы предполагаем
а’ <¥и, следовательно, а' < г, то da2 + 2bay < 0; но |2&ay| = \2ba\ < z?a2,
и потому £а2 -\-2bay = 0, ci = с, а~ а’. Первая и третья формулы (7)
дают далее b' + Ь = daft -ф 2Ьад + Суд ~ аа@ — аа2уд + Суд = 0 (mod а).
Отсюда аналогично предыдущему выведем, что либо b' + b = ±
b' = b = Ji , с' = с и формы /, f тождественны; либо Ь’ -\-Ь = 0г
с9 = с = а' = а и /, /' имеют вид (я, Л, а) и (а, — Ь, а). Эти формы
при b ф 0 не тождественны, и первая переводится во вторую подста-
новкой	. Других случаев, когда не тождественные приведенные
формы эквивалентны, нет. Представляется удобным уточнить условия
приведения так, чтобы среди приведенных форм уже не было собственно
эквивалентных между собою; это можно сделать на основании преды-
дущего исследования так: подчиним коэфициенты я, Ь, с формы / од-
ному из следующих условий:
1) \2b\<a<c, 2)0<2Ь<а = с. 3) 0< 2Ь = а<с. (8>
Тогда можно сказать, что всякая положительная форма данного опре-
делителя собственно эквивалентна одной и только одной из форм
указанного вида; в дальнейшем под приведенной положительной формой
буаем понимать только формы, коэфициенты которых удовлетворяют
условиям (8).
Пусть /, f — две целочисленные формы одинакового определителя
d < 0. Пользуясь алгорифмом § 3 гл. II, найдем подстановки S, S' опре-
делителя 1, переводящие /, /' в приведенные формы /0, /о. Если /оф /ог
то формы /, /' не эквивалентны собственно; если /0 = /о, то /, /' экви-
валентны и / переводится в /' подстановкою	Так решается пер-
вый из поставленных в § 1 двух вопросов об эквивалентности форм;
из сказанного же в § 2 вытекает решение и второго вопроса в случае
d < 0. Таким образом для случая отрицательного определителя вопрос
об отыскании собственных (а следовательно, и всех) представлений дан-
ного числа данной формой решен полностью.
§ 4. Формы положительного определителя. Переходя к формам
положительного определителя, будем считать в этом параграфе коэфи-
циенты рассматриваемых форм произвольными вещественными числами.
Кроме того, будем предполагать, что форма f = ах2 + 2Ьху + су2 не
обращается в нуль при целых х, у, не равных одновременно нулю;
тогда а и с отличны от нуля, и корни уравнения а + 2bz + cz2 = О
и	п —ь — V
вещественны, различны и иррациональны. Назовем корень ==-----•
— b 4- У~й	, г
этого уравнения первым, а со = ----—-------вторым корнем формы j
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
99
(L.-Dirichlet 14, § 72), причем d~ Ь2— ас >0 есть определитель формы
Если / переводится в форму /' подстановкой	определителя £ =
-	± 1, то /' (_£ “Jj = / и выражения и
равны, очевидно, корням формы /'. Подставляя в	величину
о ~~ ри
~ —ь — У~а .	, z-—
U =------------- и освобождаясь от у d в знаменателе дроби, найдем,.
а/2 — у
ЧТО	Равно первому корню формы / при в = + 1 и второму
корню при е = — 1. Итак, если форма / подстановкою определи-
теля + 1 переводится в форму /' с корнями со'9 то одноименные
корни этих форм связаны соотношениями
y+J.Q'	у + Ш
a + PQ'’ W a + pa>''
Назовем форму / с корнями Q9 со приведенною, если |£?|> 1, |со| < 1,
Qco < 0. Определение это имеет большое сходство с данным в § 10
гл. II определением приведенных квадратных иррациональностей. Так же,
как и там, найдем, что у приведенной формы / = (а9 Ь, с) 0 <&<]/d,
ас < 0, |я| и |с| заключаются между Уд —b и У d + b,'Ил > 0,
сое > 0; обратно, система неравенств 0 < с/ — Ь < | с ] < ]/ d + b или
0< yd-b<\a\<V~d + b характеризует приведенность формы /.
Каждая форма определителя d> 0 собственно эквивалентна приве-
денной форме. Пусть / — данная форма с корнями Р, со\ разложим Q
в обыкновенную непрерывную дробь: Q = | а19 а29 • • • j £п> (и — 1,
2,3, ...), где Qn> 1 есть полное частное, и определим для каждого п
иррациональное число соп из уравнения со = [z^, а2, ..., сп, °)п не
может быть больше единицы для каждого и, так как тогда мы имели бы
-О = со; следовательно, найдется номер и, для которого соп < 1, и тогда
соп+1 <0, — 1 <соп+2 <0, — 1 < соп+з <0, ... Таким образом видим,
что можно выбрать четное число п так, чтобы в равенствах
/-р  Г	0 1  Рп—1 Рп^п ____ Рп—1	Рп^п
[й1’ Й2’ • • • ’ п’ Qn-i^QA ’	“ Qn-i + Qnwn
/ Р
было £?Л>1,8 —1<сол<0 обозначает подходящую к дро^и
\^п
г	\	±	1®п—1 Qn\
pi, tf2,..] I. Преобразовывая / подстановкой р ) определителя 1,
получаем форму с корнями £2П) соП9 т. е. приведенную форму, что и тре*
бовалось доказать.
Припоминая данное в § 3 гл. II определение соседних форм, дока-
жем теперь, что для приведенной формы / = (tf, Ь9 с) существует одна
и только одна соседняя с нею справа приведенная форма. Пусть / под-
7*
100
ГЛАВА IV
становкой	(к — целое число) переводится в соседнюю форму
f = (с, д', с'). Обозначим через со; £?', со' корни форм /, /'; тогда
Q = — к—, со =1—к—Если / и/' — приведенные формы,
то | Q | > 1, | ХЭ' | > 1; из равенства Q = — к — видно, что к ф О,
и так как — к — име^т знак —к, то к& < 0. Далее aQ> 0, с£>' > О,
следовательно, QQ' <0 и | Q | = | к | + —р , так что | к | = [|£2|]. Усло-
виями |fc| = [(£2|], /с£?<0 целое число к определяется вполне при дан-
ной форме /; обратно, определив к по этим условиям и переведя /
подстановкою	в форму f с корнями со', из соотношений
£? =— к — со = —к — легко найдем, что |£'|>1, |шг] < 1,
QQ’ < 0, Qco' > 0, т. е. форма /' — приведенная. Замечая, что из со-
отношения (я, Ь, с) (°	= (с,	а') вытекает (аг, Ь‘ с) =
= (с, &, а) и что форма (с, Ь, а) будет приведённой одновременно
с (7, Ь, г), находим, что для данной приведенной формы (я, Ь, с) суще-
ствует одна и только одна соседняя с ней слева и также приведенная
форма.
Пусть дана любая приведенная форма / == {а, Ь, а^; найдем сосед-
нюю с / справа приведенную форму Д = (а19 Ьъ затем соседнюю
с /х справа приведенную форму /2 = (с2,	я3) и т. д. Точно так же
найдем соседнюю с / слева приведенную форму /_i = (a_i, &_i, а) и т. д.
Получим ряд форм
...(«-2,	“J )]
(9)
(а, Ь, ах) (° ~ ) (й1(	а2) (° ~ (я2, fta, а3)...
Ввиду иррациональности корней формы / этот ряд приведенных форм
продолжается бесконечно как вправо, так и влево; он называется
периодом формы f (ср. А. А. Марков 54, стр. 4). Обозначая через £2п,
соп корни формы fn = (ап, bn, fln+i), имеем соотношения
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
101
Из этих соотношений, обозначая через Ц абсолютное значение
получаем разложения в непрерывную дробь чисел |42п| и для вся-
кого п = 0 ± 1, ± 2, ...:
I | — [1щ 1п+1> ^п+2, • • •], jjjj-j-------------------------------[In—b In—2,	3,. • J. (12)
Пользуясь свойствами приведенных форм, нетрудно доказать форму-
лированную раньше (конец § 3 гл. II) теорему Коркина о минимуме
формы положительного определителя d. Пусть дана приведенная форма
/ ~(a, b, аг) определителя rf; построим соответствующий ей период (9)
приведенных форм. Так как разность Qn— соп корней формы fn равна
— и эти корни разных знаков, то при помощи (12) получаем
для всякого п
2 d । л . . .	।	» ।	1	।	1
- — |£?п| + |о>п| — ln + ~j —	1	+ т v 1	(13)
“п+1	'и+14- -J--~г	«n-l’T 7---т '	'
zn+2 “Г * .	zn-2 "Г * .
Покажем, что номер п можно выбрать так, что выражение в правой
части равенства (13) будет больше или равно У Действительно, рас-
смотрим ряд целых положительных чисел ..., Li, /0, /п /2, ... Если
в этом ряде есть хоть один элемент, больший или равный 3, например
то мы достигнем цели, положив в (13) tl — i. Если этот ряд составлен
исключительно из двоек и единиц, но содержит хоть одну двойку, на-
пример /{ = 2, то при n—i правая часть (13) будет больше 2 + — +
+	==• 2,66 ... > У 5 = 2,23 ... Наконец, если все числа Z* = 1, то
правая часть (13) при всяком п равна ]/* 5. Таким образом всегда
Л	, г ^2V~d
найдется номер и, при котором | tfn+i |	, а так как равно
г
значению формы / при некоторых целых х, у, то видим, что во всякой
приведенной форме / можно дать переменным х, у такие целые, не рав-
ные одновременно нулю значения, при которых	И эта тео-
рема справедлива не только для приведенной, но для любой формы
определителя rf, так как было доказано, что всякая форма эквивалентна
- /~4
приведенной. Уже было замечено (§ 3 гл. II), что предел I/ —- d не мо-
г и
жет быть понижен, так как форма d (х2 + ху — у2) (и все формы,
эквивалентные ей собственно или несобственно) не может быть сделана
меньше у d целыми значениями х, у, не равными одновременно нулю.
Предположим теперь, что данная форма определителя d не эквивалент-
j(x2 4-ху —- у2). Преобразовав ее в приведенную форму / и
ГЛАВА IV
102
построив период (9), убедимся, что ряд ..., /_ъ /0,	... не может со-
стоять из одних единиц, и тогда аналогично предыдущему покажем, что
номер п в равенстве (13) можно выбрать так, что правая часть его
будет больше или равна 2]Л2; получаем теорему: во всякой форме f
определителя d > О, не эквивалентной "j/*d (х2 + ху — у2), пере-
менным х, у можно дать тайие целые, не равные одновременно нулю
значения, при которых |/|< j/*~ d, причем этот предел опять оказы-
вается точным для формы с/(х2— 2хУ— У2) и форм, ей эквива-
лентных. Развивая дальше эти соображения, А. А. Марков в своей дис-
сертации 54 получил неограниченный ряд таких пределов, причем обна-
ружилась замечательная связь между этими пределами и решениями
в целых числах х, у, Z неопределенного уравнения х2 + у2 + z2 = 3xyz
(см. примечания к этой главе).
Докажем теперь, что если две приведенные формы f и f собственно
эквивалентны, то одна из них встречается в периоде другой. Пусть /
переводится в /' подстановкой	а$ — Ру~1. Так как при пере-
ходе от приведенной формы к соседней с ней справа или слева при-
веденной форме меняется знак первого коэфициента, то можно пред-
полагать, что в формах / == (а, Ь, аг), /' = (д', Ь', а[) числа а и а' >0.
Обозначая тогда через Q, ar, Q’, а/ корни форм / и /', имеем
£>1, £'>1, — 1 < со < 0, —1
/1	y-\-dQ'
(0 = ^W
Предположим сначала, что все числа а, Р, у, д ф 0. Рассмотрим
случай ар > 0. Так как у всех чисел а, р, у, д можно переменить знаки,
то можем считать а > 0, р > 0; из равенства ад — ру == 1 вытекает
а Руд > 0, следовательно, уд >0 и так как Q и £?'> 0, то первое из
равенств (14) дает у > 0, д >0. Если а + Ра/ <0, то -j- <—со'<1
и а < р; если же а + Ра/ > 0, то второе равенство (14) показывает,
что у + да/ < 0, откуда у < 5. Неравенство у < 5 в связи с соотно-
шением ад—Ру == 1 опять позволяет заключить, что а^/Р’, в самом
деле, при а > р имеем ад > (Р + 1) (у + 1) = ру + р + У + 1 > Ру + 1,
что невозможно. Итак, во всех случаях 0<а</?. Разложим -- в "непре-
рывную дробь с четным числом неполных частных: = [/0, 119 ..., /2п-1]
р
= [/0, 4, ...» /271-2]. Тогда из равенств р'д— д'Р = 1,
соединении с неравенствами 0 </?'</?,
-	= у, т. е. Q = \l0,	~
/2п-ь со']. Построим теперь для формы / = (а, Ь, а/) пе-
риод приведенных форм; пусть это будет (9). Обозначая, как и раньше,
через й2п, а)2п корки формы /2п = (д2п, />2п, с/2п+1), ввиду положитель-
(14)
д'
И ПОЛОЖИМ 37
р
ад — Ру = 1 в
выведем /?' =я а,
• , lin—Ъ & ],
СО =
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
103
ности а и а2п получаем из (10) Q = [|fc|, \кг\, ..., \k2n_V, £>2п]. Срав-
нивая это с £ = [/0, /1, ./2п-ь £?']> находим в силу единственности
разложения £2 в непрерывную дробь \к\ = /0 |/q| = 11У ..., \к2п_ J = l2n-i,
£22п = Отсюда, так как к < 0, кг > 0, к2 < 0, ..., вытекает, что
к = — /0, kY == 119. .., k2n^i = /2п-1, и тогда равенства (11) дают со =
= Ро, • • • > /2п-ь й>2П]; сравнивая это с со = ['0,	, l2n±i, со'], полу-
чаем* со2п = со'. Итак, корни £22пу а>2п формы f2n совпадают с корнями
£2', и формы /' и так как эти формы /2п, /' имеют одинаковый опре-
делитель и первые коэфициенты их больше нуля, то имеем тождест-
венно /' = f2n, что и доказывает теорему для случая а/? >0. При ф < 0
можем считать а > 0, /? < 0; из равенства ай — /у = 1 имеем уд < 0. Так
как со < 0, то второе равенство (14) дает у -ф йсо'< 0; но у и йсо' одного
знака, следовательно, у < 0, й>0. Замечая, что форма /' переводится
в / обратной подстановкой	, все коэфициенты которой поло-
жительны, заключаем на основании рассмотренного уже случая, что f
находится в правой части периода формы и, следовательно, /' нахо-
дится в левой части периода /. Остается рассмотреть случай, когда
среди коэфициентов а, /?, у, й могут быть нули. При а = 0 число у =
= ± 1, и первый коэфициент /' равен третьему коэфициенту с формы /,
что невозможно, так как предполагается, что в форме /' = (o', й', с?')
число а’ > 0; аналогично покажем, что й ф О. При /5 = 0 можно счи-
тать а = й = 1, и вторая формула (14) дает со = у + со', откуда, так
как |со| < 1, |со'| <1, coco'> 0, вытекает у=0, т. е. / = /'. Тот же
результат получим и при у = 0. Теорема доказана.
§ 5. Периоды целочисленных форм. Приложим теперь эти сообра-
жения к целочисленным формам. Так как условиям приведения формы
j == (а, Ь, с), т. е. 0 < Y~d — b < | а | и | с | < |/d + й, яс < 0, удов-
летворяет при данном d > 0 лишь юнечное число систем целых чисел
я, й, с, то существует лишь конечное число приведенных форм данного
определителя d; кроме того, было доказано, что всякая целочисленная
форма определителя d эквивалентна приведенной (очевидно, также цело-
численной) форме, так что убеждаемся в справедливости теоремы 13
для случая d > 0 и не равного квадрату. Пусть /	(я, й, о^) — приве-
денная форма; построим соответствующий ей период приведенных
форм (9). Так как все чщны этого периода суть целочисленные приве-
денные формы определителя (/, а число таких форм конечно, то в ряде
форм /, /1? /2, ... какая-нибудь форма должна повториться. Но каж-
дый член этого ряда вполне определяет оба соседние с ним члена;,
следовательно, в ряде Д, /2, • ♦ • должна встретиться форма /. Пусть
2/7—наименьший (очевидно, четный) номер, при котором /2п == /; тогда
/2п+1 = /1» Лп+2 ==	• • • > /-1 ==	? Т. е. ряд форм . . . , /-1, /, /г>
/2, ..., представляет бесконечное повторение одной и той же группы
форм /,	..., /2п-1. Остальные элементы, участвующие в алгорифме (9),
также представляют периодическое повторение 2я первых элементов;
именно (сохраняя обозначения предыдущего параграфа), ks = kt, Qs-Qt,
a)s=:a)t при s = t (mod 2п). На основании последней теоремы преды-
дущего параграфа можем сказать, что /, Д, ...,/2n-i исчерпывает все
приведенные формы определителя d, собственно эквивалентные форме /.
104	ГЛАВА IV
Таким образом все приведенные формы определителя d разбиваются на
конечное число периодов /, ‘/i, • • •, /гп-ь число этих периодов равно
числу различных классов форм.
Переходим к решению вопросов об эквивалентности форм (§ 1) для
случая положительного, неквадратного определителя d. Если /, /'—две
формы определителя d и требуется узнать, эквивалентны они или нет,
то преобразовываем их (§ 4) подстановками S, S' в приведенные формы
/о, fa и находим период формы /0: /0, fv , fzn-ъ Если /о не содер
жится среди этих форм, то / и /' не эквивалентны (собственно); если
/6 == fi и /0 переводится подстановкою Т в Д, то /, f эквивалентны, именно,
/ переводится в /' подстановкой STS'-1. Так решается первый вопрос
эквивалентности. Второй вопрос эквивалентности был приведен в § 2
к решению уравнения Пелля I2— du2 = а2. Сделаем сначала одно заме-
чание о числе а в этом уравнении (это замечание относится ко всякому
целому определителю d ф 0). Число а определялось как общий наиболь-
ший делитель чисел а, 2Ь, с, если / = (а, с) — некоторая форма опре-
делителя d. Уже было замечено (§ 2), что либо у целое, либо
целое формы 4к + 1. Положив d = ds2, где А не делится на квад-
рат, легко указать все значения числа о. Во-первых, о может равняться
любому делителю <5 числа $; действительно, фориа (<5, 0,-— ) имеет
определитель d, и соответствующий ей делитель а равен <5. К этим зна-
чениям о* при J = l(mod4) нужно присоединить еще значения о =2(5,
где 5 пробегает все делители s, для которых у нечетное; действи-
тельно, форма ^2(5, 5, —“2^”) — целочисленная форма определителя d
и для нее а = А так как при переходе от формы / к эквивалентной
форме значение о* не меняется, то можно найти и приведенные формы,
обладающие указанными значениями а.
Пусть d — положительный неквадратный определитель, и о имеет
одно из допустимых ’ для него значений. Возьмем какую-нибудь приве-
денную форму f = Qa9 b, а-А определителя d с указанным значением о
и построим ее период /0,	..., f;n-i [см. (9)]- Обозначая, как в пре-
дыдущем параграфе, через /, Zx, /2> • • • абсолютные значения чисел А,
&i, к2, ... и предполагая я>0, имеем по (10) для первого корня / раз-
ложение Q = [/, lv .. ., /2n-i, £] = n2n~* П2по (так как /2п = /), от-
Ч-гп-i +
куда заключаем, что / переводится в себя подстановкой I ^п~‘1 2nL
/	у2п—1 *2п)
Найденная подстановка дает возможность по формулам (4) § 2
T-bU п	<hUp_aU	T-\-bU
V2n-1 = ----, Ч2п — ----- — ,	< 2n—-1 — ~ , Г2п~ ---
определить решение Т > О, U > 0 уравнения Т2— dU2 = о2. Докажем,
что это решение будет наименьшим. В самом деле, в противном
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
105
случае существовало бы решение t, и, для которого 0 < и < U и,,
следовательно, 0<t<T; тогда подстановка (§ 2)
переводила бы / в себя. Для коэфициентов этой подстановки имеем а > 0,
0</?<(?2п, 0<у<Р2п~ь 0 < <5 < Р2п. Рассуждая так же, как
в последней теореме предыдущего параграфа, найдем, что есть под-
ходящая к непрерывной дроби £2 = [Z, 119 при этом, полагая =
==[/, 119 ..., будем иметь £2={1, 119 ..., /гп'-ь -Qh так чт0 /
совпадает с /2и', т. е. (2я' + 1)-м членом ряда /, /х, /2, ... Но так как
ft<QzTh то п' <п и среди форм ;2, ..., /2п-ь против предположе-
ния, встречается форма /. Что касаеся остальных реш ний уравнения
t2—du2 = а2, то они могут быть легко выведены из наименьшего реше-
ния Г, U. Прежде всего заметим, что для двух решений /, и\ t\ Uf
t + uV"d t'+u'VH	t" + u"V~d
соотношение ---— • -----— = —1~—-определяет целые числа
Г, дающие опять решение того же уравнения. Давая числу п в фор-
iT+UV~d \п L + nnl/7
МуЛе I -----------j —-------—I---- значения 1, 2, 3, получим ряд
решений tn >0, ип > 0, для которых щ < и2 < Щ < ... Легко показать,
что эти пары tn, ип исчер нявают все решения в положительных числах;,
действительно, если бы для некоторого решения /, и было ип < и < Ип^
то числа tzz, определяемые из формулы
Г 4- u'V d ( t + uV d (j-UYd
авали бы решение, для которого f > 0, 0 < uf < U, что невозможно
L.-Dirichlet14, § 85). Итак, все решения /, и уравнения I2— du2 = а*
получаются из наименьшего решения по формуле (ср. § 12 гл. II)
» = 0, ±1, ±2,	(15)
Теперь можем найти в окончательной форме все представления дан-
ного числа тп ф 0 формою f = (7, с) определителя d > 0, принад-
лежащие к одному корню сравнения n2 = d (mod тп) [см. формулу (6)
§ 2]. Полагая
tn + uny d (T+uVd\n
а \ о I '
л = 0, 1, 2, 3,	(16)
106
ГЛАВА IV
можем сказать, что если существует одно собственное представление
а, у0 = у, принадлежащее к данному корню, то все остальные
представления этого рода получаются из формул
ех0 , Ьх0 4- су0	еуо , . ах0 4- Ьу0
X =	a Un’ У = V + *? g" U”’
е= ± 1,	»/= ± 1, Л = 1, 2, 3, ...
(17)
Несобственные представления т формой / можно разбить также на
группы, соединяя в одну группу те представления х, у, для которых
(х, у) = <5 > 0 имеет одно и то же значение п, сверх того, -у , ~
^т. е. собственное представление числа ~ формою /) принадлежит
к одному и тому же корню сравнения n2^d mod . Очевидно,
что тогда представления х, у, принадлежащие к одной группе, выра-
зятся через одно из них посредством тех же формул (17).
В заключение остановимся на одном свойстве решений tn, ип [см. (16)]
уравнения t2— du2 — <т2, которое нам понадобится впоследствии. Пусть
г — произвольный модуль; докажем, что можно выбрать число к так,
что при / = /(mod/c) (Z>/>0) всегда будет	и.{=Щ (mod/с),
т. е. вычеты чисел (/0, t/0), (fn u3),... представляют периодически по-
вторяющуюся последовательность вычетов (/0, п0), (Zl9 П1), ..., (Z*_i, п*_1)
(Гаусс20, D. A., art. 201). Рассмотрим уравнение I2—dr2u2 = о2\ из
замеченного выше о числе о вытекает, что о будет допустимым значе-
нием и для определителя d’ = dr2, так что это уравнение имеет реше-
ние. Обозначив через Tf, U' наименьшее решение уравнения I2 — dr*U2= o’2,
видим, что при некотором п > 0 будет Т' == /п, U'r = ип; не-
трудно показать, что к = 2п удовлетворяет нашим требованиям. В са-
/2 | И/72	0/7
мом деле, uk = -у ип = 0 = u0,	tk = *• ff—- = о + —। и*es a =
= t0 (mod г). Из тождества
tfe+i + uft+iV d ~ / tw+1 + nn+)/d \ (t^-unVd 2nnT< d
6	I	ff	/ \ a ' a
т+иУ d , X(“n+id+*n+i^d)
a '	a2
находим tk+1 = T + ^- unun+i ss Uk+i == U + un s иг (mod r).
-После этого справедливость сравнений	uk+i=Ui (mod г) дл*
любого номера i вытекает из рекуррентных соотношений
=	—	Um+1= ^um — um-i (m= 1, 2, ...), выводимых из
тождества
T—U\/d
*т-Ь1 цт+1 К d =	+ d рт
~ а
а
а
а

ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
107
§ 6. Формы с определителем, равным квадрату. Остается рас-
смотреть случай, когда определитель целочисленной формы f = (я, й, г)
равен квадрату Л2, где h — целое число, большее нуля. Такие формы
не подходят под сказанное в § 4, так как корни их рациональны.
Докажем, что форма / эквивалентна (собственно) одной и только одной
форме вида (Л, — й, 0), где к—целое число >0 и < 2й (Gauss20,
D. A., art. 206—207). Из Ь2— ас = й2 имеем -т-	; полагая
7	h — b а
эти дроби равными , причем (/3, д) = 1 (что возможно, так как
не все числа а, с, h— й, h 4-й нули), определим целые а, у по усло-
вию ад— /Зу =1. Преобразуя / подстановкой (а получаем форму
(а',	с'), в которой й' = аа/3 + Ь(ад + /Зу) 4- (уд = — (Il 4- ty 4~
+ й (ад 4- ру) + (h — b)py = — h, с == а/32 4- 2Ь$д 4- сд* = - (й 4- Ь)рд+
4- 2й/?(5 4- (й — й) рд = 0, т. е. (а', Ь', с') = (а', — h, 0). Далее эта
форма подстановкой переводится в (й,—й, 0), где й =
и очевидно, что при надлежащем выборе
a'—2hm,
целого числа гп будем иметь
Пусть теперь две приведенные формы
Zk<2h, 0<к’
(й, — й, 0) и (й', — h9 0)
2й) собственно эквивалентны, т. е. первая перево-
„ / а в \
дится во вторую подстановкой ( у тогда имеем равенства
Й' =* ка2 — 2hay, — ft — kaft — h (ад 4- /fy),
0 == й/?2 — 2hpd9 ад — /Зу = 1.
(18)
Второе и третье равенства дают /3(ка — 2hy) = 0. Если ф О, то
ка — 2hy =0, й' = 0, кр — 2Ьд = 0; исключая из этих равенств й,
получаем к(ад — fiy) = к = 0 и затем (так кж й ф 0) у = 0, <5 = 0,
что невозможно. Следовательно, /3 = 0, а = й = 4z 1, и первое равен-
ство (18) дает к' = к — 2hay^k (mod 2й), откуда й' = й, у = 0. Итак,
формы (й, —й, 0) и (й\ —Й, 0) только в том случае собственно экви-
валентны, когда они совпадают и переходная подстановка есть
(	1 Таким образом каше утверждение доказано. Из изложенного
рассуждения, между прочим, вытекает, что приведенная форма (й, —й, 0)
(а следовательно, и всякая форма определителя А2) переводится в себя
/±1 О X
\ о ±1/
только двумя подстановками
определителя 1 и никакими дру-
гими (что, впрочем, вытекает и из общих рассуждений § 2). Указанное
приведение форм позволяет, как и в предыдущих случаях, узнать, будут
ли две данные целочисленные формы /, /' определителя й2 собственно
эквивалентны или нет, и в случае эквивалентности найти переходную
подстановку; и это будет единственная подстановка, переводящая / в /',
если не считать одновременной перемены знака у всех ее коэфициентов.
Решение вопросов об эквивалентности форм влечет за собою (по ска-
занному в § 1—2) определение всех представлений данного числа т ф 0
Данной формой определителя й2, которых будет, очевидно, конечное
число. В заключение заметим, что доказанную выше теорему о приве-
108
ГЛАВА IV
дении форм определителя й2 можно формулировать так: данная форма
(я, b, с) определителя й2 вполне определяет число к>0 и < 2й и
четыре числа а, fr у, д (ад — fry = 1), для которых (й, — й, 0) (	) =
= (#> С) (е точностью до перемены знака у всех a, fr у, д). Эта
теорема понадобится нам впоследствии (§ 4 гл. VI).
§ 7. Решение общего уравнения второй степени с двумя неиз-
вестными. В предыдущих параграфах ланы все средства, необходимые
для решения в целых числах z, t общего уравнения второй степени
az2 + 2bzt + ci2 + 2mz + 2nt + p = 0,	(19)»
с целыми коэфициентами a. b, c> m, n, p (Gauss 20, D. A., art. 216).
Рассмотрим сначала случай b2— ас ф 0. Обозначая через —/, —е,—d
алгебраические дополнения элементов третьей строки определителя
Ь т
с п
п р
а
А =
i
введем вместо z, t целые числа х = dz — у = dt—е. Тогда уравне-
ние (19) перейдет в следующее:
/ ах2 + %Ьху + су2 = (Ь2 — ac)A=dA.	(20)
Задача приводится к тому, чтобы найти все решения этого уравнения
и целых числах х, у и из них выбрать те, для которых
х + /	, У + е
d >	d
суть числа целые; эти числа и будут- искомыми решениями уравне-
ния (19). Если Ь'— ас = d <0, то уравнение (20) имеет конечное число
решений; найдя их по правилам § 1 — 3, получим из (21) и все реше-
ния уравнения (19), которых будет также конечное число (что очевидно
и геометрически, так как уравнение (19) представляет эллипс в плоско-
сти zt). Если й2 — АОО и не равно квадрату, то при А = 0 уравне-
ние (20) имеет только одно решение х = 0, у = 0. При А ф 0 в § 5
мы видели, что все решения х, у уравнения (20) заключаются в конечном
числе формул видах=-ф- tn + ~~ ^п, У== -у tn+ ^Un<Jl = 1,2,3,...),
где Д, В, С, D — целые числа, о — общий наибольший делитель чисел
a, 2b, с, а /п, ип—положительные решения уравнения Пелля I2 — du2 = а2,
определяемые из наименьшего решения Т, U по формуле (16) [см.
формулы (17)]. Подставляя эти значения х, у в (21), находим
Z _	„ = 1, 2, 3, ...	(22>
Чтобы выделить все номера п, для которых эти числа будут целыми,
воспользуемся заключительным замечанием § 5. Найдем для модуля
г = ad число к так, чтобы при i = / (mod к) было Ц = tj, щ == (mod г\
Пусть п', п", ... —те значения п > 0 и < к, для которых правые части
формул (22) суть числа целые; очевидно, что все остальные значения И
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
109
этого рода будут сравнимы с числами п', п", ... по модулю к. Таким
образом для взятой группы решений х, у уравнения (20) имеем возмож-
ность конечным числом операций выделить все соответствующие реше-
ния г, t уравнения (19); то же самое проделаем и со всеми остальными
группами решений (20), после чего и найдем все решения (19). Если,
наконец, Ь2— ас> 0 и равно квадрату, то при А ф 0 уравнение (20),
следовательно, и (19), имеет конечное число решений (§ 6). При А — 0
уравнение (20) имеет бесчисленное множество решений, все они заклю-
чается в двух парах формул вида х = аи, у = $и, где а, — данные,
а и = 0, ± 1, ±2, . . . — произвольные целые числа. Подставляя это
в (21), получим z = t =	, и выделение целых значений z, t
приводится к решению сравнения первой степени. Рассмотрим теперь
случай, когда в данном уравнении (19) Ь2— ас = 0 (но не все числа
а, Ь, с нули). Легко видеть, что в этом случае az2 + 2bzt + cl2 =
= 8 (az + fit)2, где 5, a, /?— целые числа. Положим az4-/?/=Tr; при
целых 2, t это число будет целым. Определяя 2, t из уравнений ди2 +
+ 2 (7772 4- 72/) + р == 0, az + pt = и, найдем при ап — fim ф 0
__fidu* 4- 2пи — рп ,_____ — ади2 — 2ти 4- ар
2 (ап — firn) 1___________2 (ап — @т)
Задача сводится к выделению всех тех целых 77 = 0, ±1» i 2, ...,
при которых эти выражения будут целыми числами; это требует только
решения сравнений второй степени. Наконец, при ап — рт = 0 уравне-
ние (19) имеет вид 8и2 + 2еи + р = 0 (е не зависит от 2, /); это квад-
ратное уравнение должно [для разрешимости (19)] иметь хоть один целый
корень, после чего разыскание 2, t приводится к решению неопределен-
ного уравнения первой степени. Итак, изложенный метод позволяет
полностью решить уравнение (19) во всех случаях.
§ 8. Порядки форм; представление чисел полной системой неэк-
вивалентных форм данного порядка. В дальнейшем будем рассматри-
вать исключительно целочисленные формы с определителем не равным
полному квадрату (и, следовательно, не равным нулю). Пусть а > 0 —
общий наибольший делитель чисел а, 2Ь, с для формы (о, Ь, с) опреде-
лителя (I. Совокупность форм с одними и теми же d, а и (при d < 0)
с одним и тем же знаком крайних коэфициентов 77, с называется поряд-
ком форм (ordo по Гауссу 20, D. А , art. 226). Так как d, а и знаки а, с
при d<z 0 не меняются при переходе от формы к эквивалентной ей
форме, то порядок является совокупностью нескольких класс< в. При
а = 1 формы й порядок называются чисто коренными (forniae proprie
primitivae по Гауссу, eigentlich primitive по современной немецкой тер-
минологии), при а = 2 и d=l (mod 4) — нечисто коренными (improprie
primitivae, uneigentlLh primitive). Раньше (§ 2) было замечено, что либо
d	*	л । 1
—целое, либо — целое число вида 4п + 1; в первом случае
форма	будет чисто коренной, во втором — форма
12а 2Ъ 2с\	ж	d \ л л
не чисто коренная. Форма 1<т, 0, —у! при d = O
ПО
ГЛАВА IV
(mod а2) и (<т, у, ° 4<т~^) при 4d = a2 (mod 4а2) называете»
простейшей (forma simplicissima). Наконец, форма (1, 0, —d) называ-
ется главной формой (forma principalis), и ее класс — главным классом
определителя d. Рассмотрим число коренной или не чисто коренной
(по произволу) порядок определителя d, положительный при d < 0, и
возьмем из каждого класса этого порядка по одной форме. Эги формы
Д = (сц, bi. Ci) (z = 1, 2, .. . , h) представляют полную систему неэквива-
лентных форм данного порядка. При d<0 все £7, по предположению,
больше нуля; при d>0 можем также считать > О, заменяя в против-
ном случае Д эквивалентною ей формою. Пусть т > 0 — целое число,
для которого (т, 4d) — а, где а = 1 для чисто и а == 2 для не чисто
коренного порядка. Под количеством представлений т системою форм Д
бу ем понимать сумму количеств представлений т всеми отдельными
формами fi (при d>0 представляющие числа будут подчинены еще
некоторым неравенствам): то же относится и к собственным представле-
ниям. Для существования собственных представлений т формами Д необ-
ходимо, чтобы d было квадратичным вычетом т (§ 1); предполагая
это условие выполненным, возьмем какой-нибудь корень сравнения
^2 __
n2 = d (mod т). Полагая ---------= I, из условия [т, 4d) — о видим, что
общий наибольший делитель т, 2п и I равен а; следовательно, форма
(т, п,
лентна
/) принадлежит к рассматриваемому порядку и потому эквива-
одной из форм Д.
Если
“ пробега
ет все подстановки, пере-
водящие Д в (/и,, и, /), то числа а, у дадут все собственные представ-
ления т формою fif принадлежащие к корню п (§ 1). Количество таких
представлений при d < 0 вообще равно 2, при d = — 1 равно 4 и при
d = — 3, а = 2 равно 6 (§ 2); при d>0 количество собственных пред-
ставлений т формой Д, принадлежащих к одному и тому же корню
сравнения n2=d (modoz), бесконечно, и все они получаются из одного
а, у по формулам (6) § 2, в которых а, Ь, с нужно заменить коэфи-
циентами cif Ь^ Ci формы Д, а /, и обозначают все решения уравне-
ния /2 — du2=o2. Чтобы выбрать из этих представлений одно опреде-
ление, заметим, что
6ZjZn = Gi (сца? + 2&$а'/ + /*)=
= (ща + Ь{у' + у’ К?) (6i«' + Ьуу' — у' ]/7),
и на основании формул (6) § 2 и (15) § 5 (Г, U — наименьшее реше-
ние уравнения f2 — duz = о2) имеем
«»«' + by' + у' УН = (<7<а + b,y + у j/d) ?-+ “	—
— ±(<?ia+ by + у ]A/) ( Г + g±1, ±2, ...
Знак ± и показатель к определяются однозначно из условия
У aim < aia + b{y' + у' Уй<У сцт - ~	(24)
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ	Ц1
из которого на основании (23) вытекает
aid + by' — у'У d<aia' + biy' + у' Уб,
(ьа'-+ biy’ + у'f^d)	< (tzja'+ bty' —у1 /Я) Т +	,
т. е. у'>0, U (aid + biy') > Ту'. Обратно, из этих неравенств, как
легко видеть, вытекают неравенства (24). Итак, полагая х = 4 при
d = — 1, и — 6 при d — — 3, а = 2, и = 2 для остальных d < О,
к = 1 для d > 0, можем сказать, что число т, для которого d есть
квадратичный вычет, обладает и 2(тп) собственными представлениями си-
стемою форм Д, где (т)— число различных нечетных простых делите-
лей ш, причем в случае d > 0 представляющие числа а, у подчинены
указанным выше линейным неравенствам. Пуст теперь дано целое числа
т > 0 с единственным условием (zn, 4d) = а; соединяя в одну группу
все представления т системою форм Д, у которых представляющие
числа имеют один и тот же общий наибольший делитель <5> 0 (оче-
видно, нечетный), находим, что ю личество всех представлений т систе-
мою форм Д выразится так: и 2 2(тп ), где сумма берется по всем квад-
ратным делителям б числа т, для которых d есть квадратичный вычет
числа т' — Рассуждая так же, как в гл. II [§ 8, 1)], получим
«22(т,)=^2(4)> где сумма берется по всем нечетным делителям &
числа т. Итак, получаем теорему: пусть дана полная система неэкви-
валентных форм fi = (fi, bi. Ci) чисто или не чисто коренного порядка
определителя d с положительными первыми коэфициентами и числа
ш > О, для которого (т, 4d) ~ 1 в случае чисто и =2 в случае не чи-
сто коренного порядка. Количество представлений т системою форм fi
равно	г$е сУмма берется по всем нечетным делителям б
числа т, а и указано выше. При этом, в случае d> 0 к каждому
из уравнений т = 6<x2 -F 2b(xy + бу/2 присоединяются добавочные усло-
вия у>0, U {CiX^r Ь(у)> Ту. Аналитическое истолковавие факта, выра-
жаемого этой теоремой, привело Дирихле к выводу его знаменитых фор-
мул для числа классов бинарных форм (L.-Dirichlet14, V Abschn.) (см. § 3
гл. VI). В частных случаях 1) d = — 1, 2) d = — 2, 3) d = — 3,
o'— I, 4) d — — 3, о = 2, 5) d — 2, система форм fi содержит толь-
ко одну форму, за которую можно взять 1) х2 + у2, 2) х2 + 2у2,
3) х2 + Зу2, i) 2х2 + 2ху + 2у2, 5) х2 — 2у2, и получаем снова теоремы,,
доказанные прежде другим методом (§8 гл. И, 1—4 и § 4 гл. III).
Впрочем, неравенства X ± 2у > 0, данные для формы х2—2у2 в § 8
гл. II, не совпадают с неравенствами 2х>Зу>0, получаемыми из тео-
ремы этого параграфа; но связь между теми и другими легко проследить.
§ 9. Формы и классы anceps; некоторые специальные исследо-
вания о периодах неопределенных форм. Формы (а, Ь, с) и
((7, —Ь, с) и их классы называются обратными*, если К — один из этих
классов, то другой будем обозначать знаком К~\ Так как (а, Ь, с) пере-
112
ГЛАВА IV
водится в (а, —Ь, с) подстановкой^* _°i ) определителя —1, то из
правила умножения подстановок (§ 3 гл. II) вытекает, что каждая форма
класса К несобственно эквивалентна каждой форме из и, обратна,
при несобственной эквивалентн »сти двух форм классы их будут обрат-
ными. Класс, совпадающий с об )атным, называется класс м anceps (am-
bige Kiasse no Куммеру, zweiseitige по Дедекинду), каждая форма этого
класса несобств нно эквивалентна сам ,й себе. Форма (#, Ь, с), в кото-
рой 2Ь делится на а [о« ределитель формы, по предположению (§ 8),
не есть полный квадрат и, следовательно, а ф 0], называется формой
А
,	I а )
anceps} такая форма переводится в себя подстановкою J и, сле-
довательно, принадлежит к классу anceps. Докажем обратное предложе-
ние: в каждом классе a .ceps содержится по крайней мере одна форма
anceps. Пусть / = (я, &, с) — форма из данного класса anceps и fS = /', где
S = (а ) — целочисленная подстановка определителя — 1. Из аар +
+ Ь(ад + ру) 4* Суд = b и ру = ад + 1 находим аар + (2 b а + су)д = 0,
что вместе с аа2 + (2ta ф еу) у = а дает — аа = ад. т. е. д == — а*
Если у — 0, то д — — а=±1 и сама форма /, как легко ви-
деть, есть форма anceps. Предполагая у ф 0, возьмем подстановку
= ( £ # ) 0ПРеделителя 1, переводящую / в форму 99; тогда 99 перей-
дет в себя подстановкой T~'1ST =	определителя —1, и если
подберем Т тай, чтобы у' = 0, то форма 99, по сказанному выше, будет
формой anceps. Равенство у' = у£2— 2а££— /?£2 = О равносильно тако-
му: (у£— а£)2 = £2. Эго условие будет выполнено, если возьмем за £
и С числитель и знаменатель несократимой дроби, равной	подоб-
рав после этсго и# по условию	= 1, получим подстановку Т,
переводящую / в эквивалентную ей форму anceps. Доказанная теорема
представляет частный с *учай следующей теоремы Гаусса (D.A.20, art.164):
если форма / содержит форму /' как собственно, так и несобственно,
то существует форма anceps, содержащая /' и содержащаяся в /.
В с учае положительного определителя каждый класс форм характе-
ризуется своим периодом приведенных форм (§4). Чтобы узнать, в какой
связи находятся периоды обратных классов, назовем формы f = (a, b, с)
и / = (с, Ь. а) взаимными} очевидно, что эти формы принадлежат
к обратным классам. Форма / будет приведенною одновременно с / (§ 4);
далее если / подстановкой () переходит в соседнюю с ней справа
форму h (§ 3 гл. II), то та же подстановка переводит Д в /. Из этих
замечаний вытекает, что если /—приведенная форма и /, /ь /2,
/гп-i,/2П = / — ее период, то /2п == /, Ап-ъ • • •, А будет периодом
взаимной формы/. Итак, период обратного класса получается из периода
данного класса переходом к взаимным формам и расположением их
® обратном порядке {ассоциированные периоды)} более подробно на этих
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
113
соображениях останавливаться не будем, так как они по существу сов-
падают с тем, что было изложено в § 11 гл. II (теорема Галуа). Если/
есть приведенная форма класса anceps, то /, как приведенная форма,
эквивалентная /, должна содержаться в периоде формы / (§ 4); обозна-
чая опять период / через /. /х, . .., /гп — i и замечая, что первые коэфи-
циенты / и / имеют противоположные знаки, можем положить / = /214-1-
Но так как приведенная форма имеет только одну соседнюю с ней
справа (и одну слева) приведенную форму (§ 4), то отсюда вытекает:
/1 = /2г, /2 = /г< - ь • • •, h — fi+b следовательно, для формы Д +1 ==
== (а, Ь, с) соседняя слева приведенная форма есть (с, Ь, а), откуда, по
определению соседних форм (§ 3 гл. II) следует: 2^=0 (mod я), т. е.
Д4.1 есть форма anceps. Из того же соотношения /=^/2i + 1 вытекает:
/•2г 4-1 = f%i -}- 2 == /271 -Ь • • •) /п 4- г “ /п + г + ъ т. е. /п + i 1 есть также
форма anceps; формы /i + ] и fn + i + 1 различны, так как номера их
несравнимы по модулю^/?. Если бы в периоде / существовала еще форма
anceps /&4-1, то формы Д, /fe + ] были бы взаимны, равно как формы
М-Ъ Д + 2ит. д., наконец, формы f, /2*4-1; из равенств / = /2*4-1,
/ = /2i + 1 находим /2*4-1 = /214-ь 2k = 2i (mod 2я), k=i или i + n
(mod 2п)\ т. е. форма fk + i совпадает с /»+1 или fn + i + i- Итак, в каж-
дом классе anceps положительного определителя существуют две и только
две приведенные формы anceps (Гаусс, D. А. 20? art. 187).
Мы видели, что периоды обратных классов находятся в некотором
определенном соотношении между собою (т. е. они ассоциированы).
Важно отметить еще другую симметрию, существующую для периодов
(и классов) положи (ельного определителя. Именно, каждой приведенной
форме / = (я, Ь, с) отвечает также приведенная форма /' = (—а, Ь,—с),
корни которой (§ 4) отличаются от соответствующих корней / только
знаком. Легко видеть, что если /(^^} = /i, то	— fy поэто-
му, если /, Д, . . ., /2n_i— период формы /, то /', /', . . . , /2п_1 есть
период формы /*, причем подстановке	переводящей Д в fi + i
в первом периоде, отвечает подстановка^ ~во втором. Итак, каж-
дому классу определителя d > 0 (классу формы /) соответствует симмет-
ричный с ним класс (класс формы /'). Чтобы узнать, когда два симмет-
ричных класса совпадают, нужно решить вопрос об эквивалентности
форм / и /'; рассматривая этот вопрос совершенно так же, как в § 2
вопрос о преобразовании формы в себя, найдем, что все подстановки,
переводящие / = (а, Ь, с) в /', имеют вид
t — bu	си
о	а
аи ____ t + bu
а	а
где а — общий наибольший делитель а, 2Ь, с, a t, и пробегают все
Целочисленные решения уравнения t2— du2 =—а2. Следовательно, для
^владения двух симметричных классов необходимо, чтобы уравнение
3 Теория чисел.
114
ГЛАВА IV
/2—du* =—а* имело решения; при выполнении этого условия каждый
класс порядка, определяемого числами d, о, совпадает со своим симмет-
ричным классом. Можно дать условие совпал ния симметричных классов
и в другой форме (L.-Dirichletj4, § 83). Если / — приведенная форма
и /' эквивалентна /, то /' должна встретиться в периоде /, т. е.
в /, /ь /гп_!. Пусть /' = fi, тогда /,' = /{ + 1, /;=/< + 2, ...»
/i = /2i==/, т. е. 2z = 0 (mod 2/7), откуда i = n и число п нечетное
(так как первые коэфициен!ы в / и /< = /' имеют противоположные
знаки). Принимая обозначения § 4 [формулы (9) и (12)], можем сказать,
что для каждого v fv^.n — ftVt kv^n ——kv, /, + п=/У) и для первого-
корня / имеем непрерывную дробь | £21 = [/, /ь ...], период которой
/,	. .., /п-1 вдвое короче периода формы /. Обратно, легко пока-
зать, что если период непрерывной дроби | £2 | короче периода формы/,
то имеем совпадение симметричных классов. Приложим эти соображе-
ния к случаю, когда d = р есть простое число формы 4п + 1. В этом
случае уравнение х2— ру* = — 1 имеет решения (§ 12 гл. II), и в чиста
коренном порядке имеем совпадение симме1ричных классов. Пусть /==
= (1, Я, Я2— р) (где Л=[]/р]) — приведенная форма главного класса,
и А /о •••» М —1 — период. По только что замеченному, число п
нечетное и для всякого i	С другой стороны, / есть форма
anceps и потому для каждого i fi и /2п —i — i взаимны (см. выше). Поэтому^
полагая /п - i == (ау Ьу — а'), получаем />п  t = (— а', Ь, а) = (— а, Ь, а'),
2
т. е. с! — (/, р = Ь* -|- аа' = Ь* + я2. Таким образом получаем способ
определять разложение простого числа р на сумму двух квадратов из
вычисления периода форм определителя р или (что то же) из разложе-
ния Урв непрерывную дробь (Gauss20, D. A., art. 2» 65). Аналогичные
результаты о представлении простых чисел формами i 2&2 даны
в диссертации Гёппеля (см. Perron69, стр. 109). Для дальнейшего весьма
важно решение вопроса: сколько существует различных классов,anceps
в чисто коренном порядке данного определителя d? По доказанному
выше, в каждом классе anceps имеется форма anceps; поэтому для
нашей цели достаточно узнать, сколько существует неэквивалентных
чисто коренных форм anceps определителя d, положительных при d <
Заметим сначала, что данную форму (?, Ьу с) подстановкой вида
(ot^ можно преобразовать в формула, Ь'у с'), в которой средний
коэфициент b' = b + ак есть любое число, сравнимое с b по модулю а
(такие формы называются параллельными). Пусть / = (а, Ь, с) — форма
anceps; так как 2Z? = 0 (modzz), то либо Ь = 0, либо b= (mod а).
В первом случае / параллельна форме /0 = (я, 0, а1), причем —d = аа\
во втором —форме А = (а, ~ ау	Ь, 6 , причем
-i-a и Ь* — целые числа, связанные соотношением — d = bbf. Обо-
значим через (d) количество различных нечетных простых делителей d;
так как /0 == (ау 0, а') есть чисто коренная форма, то (а, а') = 1 иг
следовательно, количество форм /0 (с а 0) равно 2(d) + J при d нечет-
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
115
ном и 2(d) + 2 при d четном. В форме /х = ^2&, b, ~~7>—числа Ь, Ь'
не имеют общего нечетного делителя и удовлетворяют сравнению
= 2 (mod 4); отсюда легко вывести, что при d нечетном формы
существуют только в случае d = — 1 (mod4), и тогда число их равно
2^d) + \ при d четном — только в случае d=0 (mod 8), и число их
равно 2(d) + 2. Общее число форм /0, /х равно, следовательно, 2(d) + 1
при d = 1 (mod 4); 2(d) + 2 при d = — 1,2 (mod 4) и при d = 4 (mod 8);
2<d) + 3 ПрИ tf==o (mod 8). Мы докажем, что искомое количество клас-
сов anceps будет всегда в четыре раза меньше. Это справедливо при
d =— 1, так как в этом случае существует только один класс (1, 0, 1).
Предполагая поэтому ] d | > 1, можем сказать, чго в разбиениях — d = аа'
(для форм /0) и —d = bbf (для форм /х) абсолютные величины мно-
жителей а, а' (или 6, Ь') различны; но так как (а, 0,	о)^
= (а' 0, а) и (2b, b,	то в фор’
мах /0 можно предполагать |я|<|а'|, в формах Д |Z?| <|&' |, отчего
количество этих форм уменьшится в два раза. Пусть сначала d < 0;
беря крайние коэфициенты в /0, /х положительными (отчего количество
этих форм уменьшится еще в два раза), будем иметь для /0 ==
= (я, 0, a') 0<a<a't так что форма /0 будет приведенною [нера-
венства (8) § 3]. Каждая форма /х == ^2&, Ь, —в которой
0 < ЗЬ < Ь', будет также приведенною; если же b < Ь' < ЗЬ9 то заме-
,	м	« ( b + Ъ'	Ь' — b	b 4- Ь'\
ним /х соседнею с ней справа формой I—~—, —-—, —к которая
будет приведенной. Все полученные таким образом приведенные формы,
как легко видеть, между собою различны и потому принадлежат к раз-
личным классам (§ 3); это и будут все искомые классы anceps, так как
из изложенного выше ясно, что каждая положительная чисто коренная
форма anceps определителя d эквивалентна одной из этих форм. Пусть теперь
d > 0. Все формы /0, /х с указанными выше ограничениями |я|<|#'|
и |&|<|д'| между собой различны. Обозначая любую из них через
(А, В, С), заменим ее параллельною формою (А, В', С'), в которой В'
определяется условиями В'= В (modA), Yd— |А|<В'<]Л/. Все
формы (А, В', С') между собою различны; кроме того, все они при-
веденные (§ 4). В самом деле, при | А | < Yd из неравенств для В'
выводим Yd — В’ < | А | < Yd + В’, В' <Yd, что и выражает по § 4
приведенность (A, В', С'). Случай | А | > ]/d может встретиться только
тогда, когда (А, В, С) совпадает с одной из форм /х = (^2Ь9 Ь, - b и так
как в этой форме [b[<Yd, то А = 2В, В' = |В|, и имеем опять
0 <Yd — В' <| А | < Yd + В'. Наконец, докажем, что всякая приве-
денная чисто коренная форма anceps (а, Ь, с) совпадает с одной из
форм (А, В', С'). Если b = 0 (modа), то из 0 <b< Yd вытекает
|fl|<Kd; форма (а, Ь, с) параллельна форме («, 0, а'), и так как
в этой форме аа1 =—d, I а) < Yd, то она совпадает с одной из
8*
116
ГЛАВА IV
форм /0 = (Д, В, С) и тогда соответствующая форма (А, В', С') сов-
падает с (а. Ь, с), так как b как средний коэфициент приведенной
формы удовлетворяет тем же неравенствам, что и В'. Если b не делится
на а, то из 2&=0 (mod#) вытекает [а| <2|/d; тогда подобно преды-
дущему найдем, что (а, Ь, с) параллельна одной из форм Д и совпадает
с соответствующей формой (Д, В', С'). Таким образом формы (Д, В', С')
исчерпывают все приведенные формы anceps; но выше было доказано,
что в каждом классе anceps положительного определителя существуют
две и только две приведенные формы anceps. Следовательно, количество
классов anceps будет вдвое меньше количества форм (Д, В', С'), т. е.
количества форм /0, /г Итак, получаем теорему: число чисто коренных
классов anceps определителя d (положительных при d < 0) равно
2(d)~1 npU (modi), 2(d> при d=2, 3 (mod 4) или d^4 (mod 8)
и 2<d> + 1 при d = Q (mod8) (Gauss 20, D. A., art. 257—258, L.-Diri-
chlet14, § 153).
§ 10 Композиция бинарных форм. К обнаружению связей, суще-
ствующих между различными классами форм, служит теория компози-
ции, данная Гауссом (D. A.20, art. 234—244). Если формы
F(X, У) = ДХ2 + 2BXY + СУ2, /(х,у) = ах2 + 2Ьху + су*
(25)
f'(x‘, У') = а'*'2 + Zb'x'y' + с'у'2	v
таковы, что при замене X, У билинейными выражениями:
X = рхх' + р'ху' + р"ух' + р'"уу',
У = qxx’ + q'xy' + q"yx' + qf"yy'
(26)
получаем тождественно в переменных х, у, х', у'
F(X, У) = /(х, у) f (х',у'),
то говорят, что форма F преобразуема в произведение (transformabilis in
productum) форм /, /'. Коэфициенты р, р',..., q”' подстановки (26)
предполагаются целыми. Если, кроме того, определители
р=\р„р:I, q=\p р:\, r=\p р:::\
I 9 Я' I ’ Ч \Я Я" Г 19 Я'" I ’
g __ I р р | р I Р Р | и IР Р I
и' я" г I я' я"11 ’ I я" Я'" 1
(27)
суть целые числа без общего делителя, то говорят, что форма F соста-
влена или компонирована (composita) из форм /, Приравнивая в ра-
венстве F = ff1 коэфициенты при х2х'2, х2х'у', ..., находим, что это
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
117
равенство равносильно следующим девяти соотношениям между коэфи-
циентами форм (25) и подстановки (26):
Ар2 + 2Bpq + Cq2 = аа',
Ар'2 + 2Bp'q’ + Cq’2 — ас',
Ар"2 + 2Bp"q" + Cq"2 = са',
Ар"'2 +2Bp'"q'" + Cq"'2 = cc',
Арр’ + B(pq’+ p'q) + Cqq' = ab',
Арр" + В (pq" + p"q) + Cqq" = ЪЭ,
Ap’p'1' + B(p'q'" + p'"q') + Cq'q"1 = be', .
Ap"p’" + B(p”q"' + P"'Q") + Cq"q'" = cb',
A (pp"' + p'p") + В {pq"’ + p'"q + p’q" + p"q’) +
+ C (qq'" + q'q") = 2bb'.
(28)
Из этих соотношений Гаусс последовательно выводит такие заключения
(D. A.20, art 235): 1) Если D—определитель формы F, преобразуемой
в произведение форм /, /' определителей d, d', то d = Dn2, d' = Dn'2,
где n, fl'—рациональные числа, определяемые вместе с их знаками ниже;
2) между определителями (27) и коэфициентами форм /, /' существуют
соотношения Р~ап', R— S = 2bn', U = cn\ Q = a'n, R + S = 2b'n,
T = c'n\ 3) если m > 0 есть делитель формы / (т. е. общий наибольший
делитель a, 2Ь, с), т'— делитель а к—общий наибольший делитель
определителей (27), то Dk2 есть общий наибольший делитель чисел dm’2
и d'/n2. В частности, когда F компонирована из f и /' (&=== 1), то ее
определитель есть общий наибольший делитель чисел d/и'2 и <Р/772, т. е.
совершенно определяется формами /и/'; 4) делитель формы F, в случае,
когда она компонирована из /, равен произведению тт' делителей
этих форм; 5) если F преобразуема в ff't то
с'п = 7,
ап' = Р, 2bn' = R — S, cn' = U,
a'n = Q, 2b'n = R + S,
Ann' = q'q" — qq’", 2Bnn' = pq'" +p'"q — p'q" —p"q',
Cnn' = p’p" — pp"'.
(29)
Обратно, если между коэфициентами форм (25) и коэфициентами
подстановки (26) имеют место девять соотношений (29) с некоторыми
рациональными и, и', не равными нулю, то удовлетворяются все соотно-
шения (28) (т. е. F подстановкой (26) переводится в //') и, сверх того,
/7 =	, п'_,	Из определения композиции легко вывести,
что если F компонирована из /, /' и формы F, f соответственно
эквивалентны формам F, f, f, то F будет компонированной из /,
Эту теорему можно обратить (и в этом заключается основное свойство
композиции) следующим образом (D. А 20, art. 239): если F компониро-
вана из f9 j', F—из /, /' и формы f, /' соответственно эквива-
лентны f, /', то F эквивалентна F. Таким образом композиция есть
свойство не отдельных форм, а классов. Наконец, в art. 240 при помощи
118
ГЛАВА IV
сложного, мастерски проведенного вычисления Гаусс доказывает ассоциа-
тивность композиции, т. е. что компонируя три данных формы /, /',/"
сначала в одном, потом в другом порядке [схематически: (ff')f' и
/ (/,/ ,)]> приходим к эквивалентным формам. Коммутативность же компо-
зиции вытекает непосредственно из определения.
Из приведенного краткого обзора теории композиции Гаусса видно,
что при общности этой композиции (можно компонировать любые две
формы /, /', определители которых отличаются квадратным множителем)
она связана с довольно сложным вычислительным аппаратом. Поэтому
для частого и, так сказать, повседневного употребления полезно иметь
упрощение композиции, хотя бы и не такое общее, но осуществляю-
щееся без сложных вычислений. Такое упрощение было дано Дирихле
в статье „De formarum binariarum secundi gradus compositione“ ( 3, т. II,
стр. 105, см. также L.-Dfrichlet H, § 145 и сл.); на нем ввиду его
важности мы остановимся более подробно.
Лемма I. Если все определители второго порядка матрицы
Pi Ръ* * * Рп
$1 ?2 • • • ?п
делятся на число tn и числа pt, ..., р^ т не имеют общего дели-
теля, то существует единственное по модулю т решение х сравнений
PiX = qlt Р2х ^q2, ...,	(mod т\
|Так как общий наибольший делитель чисел pi9 .рп взаимно
прост суп, то можно найти целые числа	уюваетворяющие
условию hlp1 + ... + 1гпрп = 1 (modzn). Полагая х = 2 М* (mod/л),
находим для всякого к Pk%= ^hbpkqi=^ hiPiqk = Qk(m®dm)> т. е. х
i	i
удовлетворяет данным сравнениям; и это решение будет единственным
по модулю щ, так как р1 ,..., рп, ш не имеют общего делителя.
Лемма II. Если b2^d (mod#), b'2 = d (modcd) и числа a, a', h + V
не имеют общего делителя, то существует один класс чисел В по мо-
дулю аа', удовлетворяющих сравнениям B = b (mod a), B~b' (mod а'),
B; = d (modaa'); при этом числа а, а', 2В также не имеют общего
делителя.
Из тождества (В — Ь) (В — Ь') = В2 — (Ь + Ь') В 4- bb' видно, что
третье сравнение для числа В (при существовании двух первых) можно
заменить таким: (Ь 4- Ь ) В = bb' 4~ d (modaa'); таким образом число В
должно удовлетворять сравнениям аВ = аЬ'у a'B = a'b, (Ь-{-Ь')В =
bb' + d (modaa'), и существование единственного класса таких
чисел В по модулю аа' вытекает из предыдущей леммы, так как матрица
Q*, a'b bb'^+d ) УдовлетвоРяет всем условиям этой леммы. Если бы а, а7
и 2В делились на простое число р, то из первых двух сравнений для В
вытекало бы: B=b = b't 2B = b + b', b + b' = O (modp), что невоз-
можно.
Назовем две формы f = (a, b, с) и = br, с') одного и того же
определителя d согласными (einig), если a, а', b + Ь' не имеют общего
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
119
делителя. Композиция Дирихле и заключается в том, что компонируются
друг с другом только согласные формы. Из леммы II вытекает суще-
ствование ряда параллельных (§ 9) форм (аа', В, С) ( где С =
того же определителя d, каждую из которых будем называть компони-
рованной из / и Заметим, что из сравнений для числа В (лемма II)
вытекает, что формы /, f соответственно параллельны (и, следовательно,
собственно эквивалентны) формам / = (а, В, а'С), /' = (а\ В, аС);
эти формы также согласны, так как а, а', 2В не имеют общего дели-
теля. Легко видеть, что приведенное определение компонированной формы
согласуется с определением Гаусса; именно, подстановка
X == xx'—Cyyr, Y = (ах + By) у' + (а'х' + By') у (30)
переводит форму аа'Х2 + 2BXY 4- СУ2 в произведение f(x,y) Г(х', у').
Основная теорема о композиции в изображении Дирихле формулируется
так: если две согласные формы (?, Ь, с), (а', Ь', с') собственно экви-
валентны двум согласным формам (т, п, I), (т', п', I'). то форма
(аа', В, С), компонированнач из двух первых, форм, собственно экви-
валентна форме (mm', N, L), компонированной из двух вторых.
Из условий теоремы вытекает, что формы (а, В, а'С) и (tn, N, m'L)
собственно эквивалентны, т. е. что существует собственное представле-
ние х, у числа т формою (а, В, а'С), принадлежащее к корню N
сравнения N2 = d (mod т) (§ 1); а это, по замечанию § 1, равносильно
условиям
ах2 -}- 2Вху + а'Су2 = т, ах + (В 4- 7V) у = 0, 1
(В — N)x + a'Cy = Q (mod т). J
Аналогично, существуют целые числа х', у', удовлетворяющие условиям
а'х'2 + 2Вх'у' 4- аСу'2 = т', а'х' 4- (В 4- N) у' = 0, 1 •
(В — N) х' 4- аСу' = 0 (mod т').	J
Определим по числам х, у; х', у' целые числа X, Y из формул (30).
Для этих чисел X, Y имеем
aa'X2 + 2BXY + CY2=	|
= (ах2 4- 2Вху 4- а 'Су2) (а'х'2 4- 2Вх'у' 4- аСу'2) = тт'. /	^33^
Далее на основании сравнений (31) и (32)
аа'Х + (B + N)Y = [ax + (B + N)y] [а'х' + (В + N)y'] +
+ (d — №)уу' = 0 (mod mm'),	(34)
а [(В — N) X + СУ] = [ах 4- (В + N) у] [(В — N)x' + аСу'] +
+ (N2 — d)yy' = 0 (mod mm'),
и аналогично найдем
a' [(B — N) XС¥]~ 0, (В — N) [ (В — N) X + СУ] О,
(B + N)[(B — N)X + CY] = Q (mod mm'),
120	ГЛАВА IV
откуда, так как at а', 2В не имеют общего делителя,
(В — N) X + CY = 0 (mod mtn').	(35)
Равенство (33) вместе со сравнениями (34), (35) и выражает, на основа-
нии замечания § 1, собственную эквивалентность форм (аа\ Ву С) и
(mm', N, L).
Чтобы выяснить, какое ограничение на компонируемые классы
налагает композиция Дирихле, возьмем две согласные формы / = (а, с)
и f — (а\ Ь', с') и обозначим через а, о' их делителей; эти числа
будут делителями и форм / = (а, В, а'С), /' = («', В, аС\ эквивалент-
ных /, Так как а, а', 2В не имеют общего делителя, то из
а = 2В = 0 (mod а) вытекает, что а взаимно просто с а', а следова-
тельно, и с а'. Итак, делители а, а' согласных форм должны быть
взаимно4 простыми. Так как а'С = 0 (mod о) и (а, а')— 1, то
С = 0 (mod а); аналогично докажем, что С делится на а' и, следовательно,
С делится на оо'. - Таким образом числа аа'у 2В и С делятся на ао';
* аа'	2В	С
если бы —z, —;делились на простое число р, то это число де-
gg	сю 1 о а	г
лило бы или ~ или ~7. Если, например, ~ делится на р, то а, 2ВЬ
а'С делятся на ра, что невозможно, так как а есть делитель формы Д
Итак, аа' есть делитель компонированной из /, /' формы (аа'у В, С).
Заметим далее, что если даны два класса, форм К, К' определителя f
с взаимно простыми делителями а, а', то всегда можно выбрать форму d
из класса К и /' из класса К' так, что эти формы будут согласными. Пусть
(а", Ь", с")— любая форма класса К} так как ее делитель а взаимно
прост с а', то можно найти взаимно простые числа X, у, для которых
а"х2 + 2Ь"ху 4- е№у2 = а будет взаимно простым с а', и форму (л", У', с")
можно заменить эквивалентной формой (а, Ь, с) с первым коэфициен-,
том а. После этого таким же образом находим в К' форму (a', Ь'9 с'),
у которой а' взаимно просто с а\ эта форма будет, очевидно, соглас-
ной с (а, Ьу с). Соединяя эти замечания с доказанной выше основной
теоремой, можем сказать: композиция Дирихле позволяет для каждых
двух классов /<, К' определителя d с взаимно простыми делителями а, а'
найти вполне определенный третий класс того же определителя с дели-
телем аа'; этот класс будем называть произведением классов К, К' и
обозначать знаком КК' или К'К. В частности можно компонировять
чисто коренной класс К (а=1) с любым другим классом К'. Легка
показать (L.-Dirichlet14, § 147), что это умножение ассоциативно, т. е.
что для трех классов К, К', К" (делители которых попарно взаимно
просты) произведения К (К'К")9 (КК')К* и	обозначают
один и тот же класс, который и буд^м писать просто в виде КК'К”.
Очевидна, что главная форма (1,0, —d) (§8) будет согласной со всякой
другой формой / определителя d, и, компонируя (1,0, —d) с /, придем
к форме, параллельной /. Таким образом главный класс играет роль
единицы в умножении классов; поэтому гллвный класс везде, где это не
вызовет недоразумений, будем обозначать просто знаком 1. Если
(а, Ь, с) — форма из чисто коренного класса К, то она, очевидно, со-
гласна с формой (с, Ь, а) и композиция этих форм приводит к форме
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
121
(ас, b, 1). Припоминая, что (с, Ь, а) принадлежит обратному классу К 1
(§ 9), можем сказать, что произведение двух обратных классов (чисто
коренных) равно главному классу: КК1 = 1; в частности, для класса
anceps имеем КК = К2 == 1. Отсюда вытекает важное следствие: если
К — чисто коренной/ L и L'— любые классы, то при KL — KL' имеем
L = L'; для доказательства нужно только обе части равенства KL = KL'
умножить на
Так как умножение двух чисто коренных классов приводит’ опять
к чисто коренному классу, то можем сказать, что h классов чисто ко-
ренного порядка данного определителя d образуют конечную абелеву
группу (при d < 0 рассматриваем положительный порядок). Изучение
структуры этой группы сопряжено с большими трудностями и почти не
подвинулось со времен Гаусса. Если К — любой чисто коренной класс,
то существуют положительные показатели для которых Лб= 1; наи-
меньший из этих показателей будет делителем числа классов h. Пусть
элементы К2,	, Ks с показателями <52, • • •, образуют основ-
ной базис рассматриваемой абелевой группы, т. е. = 1 (I = 1,2, ..., s)
и К*1 Kz2 - *' K*s пробегает по одному разу все чисто коренные классы,
когда Xj, .. . , независимо друг от друга пробегают полные системы
вычетов по модулям ..., <5g, так что h =	• • • 5g. Как известно
(Н. Weber 93, стр. 45), элементы Ki основного базиса можно выбрать
так, что все di будут степенями простых чисел, так что ряд чисел di (не-
зависимо от порядка) будет иметь вид ра, р\ ..., р? pf1, ..., где
р, Pi, ... — различные простые числа иО<а<й<..., 0<а1<^1<...
Ряд этих степеней простых чисел (называемых инвариантами группы)
вполне определяется данной группой, и, обратно, задание инвариантов
вполне определяет абелеву группу. Легко показать, что при простом р
количество элементов К группы, удовлетворяющих условию Кр = 1,
равно ре, где е — число инвариантов вида ра, р?9 т. е. равных сте-
пеням числа р. При р = 2 классы, удовлетворяющие условию /<2=1,
суть не что иное, как классы anceps; количество таких классов было
определено в § 9. Принимая во внимание полученный там результат,
можем высказать теорему: количество е инвариантов &р\ппы классов
чисто коренного порядка определителя df равных степеням двойки,
определяется так*, е = (d)— 1 при d = 1 (mod 4), е = (а) при
d = 2, 3 (mod 4) или d = 4 (mod 8) и е = (d) + 1 при d = 0 (mod 8)
(при d < О рассматриваются только классы положительных форм).
Так как произведение всех инвариантов группы равно порядку группы,
т. е. числу классов h, то очевидно, что h будет нечетным тогда и только
тогда, когда группа совсем не имеет инвариантов вида 2а, т. е. когда
число е, определенное в предыдущей теореме, равно нулю. Отсюда по-
лучаем полезное следствие: число классов чисто коренного порядка
определителя d (положительных при d < 0) будет нечетным тогда
и только тогда, ко?да d имеет одно из значений d = — 1, d = ± 2, s
d = — 4, d = ( ± p)\ причем в последней формуле р— нечетное про-
стое число, к—нечетный показатель и знак ± выбирается по уело-
122
ГЛАВА IV
вию ± р = 1 (mod 4). Пусть d—определитель, не равный (как всегда)
полному квадрату, и т > 0 — целое число, взаимно простое с 2d, для
которого d есть квадратичный вычет. Взяв любой корень сравнения
п2 — d
n2 = d (mod т) и положив----= /, получим форму (тп, п, I) = / опре-
делителя d, положительную при d < 0. Так как (тл, 2л) = 1, то форма
/ — чисто коренная и согласна сама особой; компонируя f с /, получим
форму — (/л2, п', I') того же определителя d, в которой л' = л
(mod т), следовательно (т, п + п') = (т, 2л) — 1. Поэтому форма f"
согласна с /; компонируя fc /, получим форму/'" = (/л3, л", Г) и т. д.
Пусть 8 — показатель класса формы / в группе чисто коренных классов
определителя d; тогда <5 есть делитель числа классов Л, и форма =s
( а р \
у d / подстановкУ,
принадлежит главному классу. Обозначая через
переводящую (1,0, — d) в /(<5\ будем иметь
тд == а2 — dy2, Получаем теорему: если число d, не равное квадрату,
есть квадратичный вычет числа т > 0, взаимно простого с 2d, то
найдется показатель <5>0, для которого тд = х2— dy2 с взаимно
простыми х, у; этот показатель д будет делителем числа h чисто
коренных (положительных при d < 0) классов форм определителя d.
Если при этом d имеет одно из значений, указанных в предыдущей
теореме, то показатель <5 будет нечетным, так как для таких d число
классов h нечетное. Доказанной сейчас теоремой мы уже пользовались
при изучении биквадратичных вычетов (§ 3 гл. III).
§ 11. Сравнение чисел классов для определителей, отличаю-
щихся на квадрат. Теория композиции позволяет сравнить число чисто
и нечисто коренных классов для определителя d = 1 (mod 4) (в каковом
случае только и существуют оба вида классов), а также определить
отношение между числами чисто коренных классов определителей d и ds2,
где s — целое число. При d < 0 рассматриваем, как всегда, только
положительные классы.
Пусть d — данный определитель и а — одно из возможных значений
делителя форм этого определителя (§ 5); в любом классе К делителя а
моЖно, очевидно, выбрать форму вида (аа, Ь, с), в которой (а, ст) == 1.
Эта форма представляет результат композиции двух согласных форм
(а, Ь, со) и (ст, Ь, ас), из которых первая, очевидно, чисто коренная, а
вторая параллельна простейшей форме делителя а (§ 8); таким образом
каждый класс К делителя о может быть получен умножением простей-
шего класса того же делителя на некоторый чисто коренной класс.
Примем во внимание совокупность R тех г чисто коренных классов Н,
которые при умножении на Ко дают опять класс Ко; так как из
Ко = КеН, Ко = КцН’ вытекает К^НН' =	= Ко, то совокуп-
ность 7? представляет подгруппу всей группы чисто коренных классов.
Порядок г этой подгруппы, по известной теореме, должен быть дели-
телем порядка h всей группы. Разбивая всю группу чисто корен-
ных классов на сопряженные системы по подгруппе R: R, RLr, RL2, ...»
легко найдем, что простейший класс Ко при умножении на чисто
коренные классы, принадлежащие к разным сопряженным системам,
дает различные классы делителя о. Из изложенного ясно, что если Йх
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
123
обозначает количество различных классов делителя а, то отношение
равно целому числу г, порядка подгруппы R, Чтобы дать признак
того, когда чисто коренной класс принадлежит к подгруппе /?, заметим,
что в любом чисто коренном классе можно выбрать форму вида (a, S, Са),
в которой (я, а)= 1, а 2В и С делятся на сг. В самом деле, взяв
в рассма фиваемом классе форму (a,	с), в которой (а, <т) = 1, будем
компонировать ее с простейшей формой делителя <т: (сг, Ь', с'). Получим
форму вида (аа, В, С), где 2В и С делятся на сг; при этом по преды-
дущему параграфу форма (а, Ь, с) будет эквивалентна форме (а, В, Са)9
которую и можно взять за представительницу рассматриваемого класса.
Пусть теперь рассматриваемый чисто коренной класс Н принадлежит
к /?, т. е. KqH = Ко. Взяв в Н форму указанного вида (а, В, оС), на-
ходим, что форма (аа, В, С) из КЬН должна быть эквивалентна форме
(ст, В, аС) из KQ; следовательно, при целых а, у, ааа2 4- 2Вау + Су2 —а
и при х = аа, у~ у, ах2 + 2Вху + Соу2 = а2, т. е. форма класса Н
представляет а2 (собственно или несобственно). Обратно, если при
целых х, у ах2+ 2Вху + Сау2 = сг2, то докажем прежде всего, что
х = 0 (mod о). Действительно, если (х,а)=8, х=8х', а —8а',
(х',а')—1, то ах'2 +	а'х'у-\- -у а'2у2= а'2, ах'2 делится на с/,
и так как (?, о)= 1, (xz, а')= 1, то а' = 1, 5 = a, х = ах'. Из равен-
ства ах +~ху + -уУ=1 видно, что х , у суть взаимно простые
числа и что форма (аа, В, С) собственно представляет число о. Следо-
вательно, форма (аа, В, С), принадлежащая классу KqH, эквивалентна
форме с первым коэфициентом сг, а эта последняя параллельна про-
стейшей форме делителя а, т. е. KQH == Ко. Итак, для принадлежности
чисто коренного класса Н к подгруппе R необходимо и достаточно,
чтобы формы этого класса представляли, собственно или несобственно,
число а2. Если форма f представляет сг2, то та же форма представляет
собственно 62, где 8—некоторый делитель числа а и потому / экви-
валентна форме с первым коэфициентом д2. Окончательно получаем:
отношение Д равно количеству всех неэквивалентных между собою
чисто коренных форм определителя d, первый коэфициент которых
имеет вид д2, где <5—любой делитель числа а. Заметим, что при под-
счете количества неэквивалентных форм (<52, Ь, с) достаточно при
каждом 8 давать числу b лишь несравнимые по модулю 82 значения,
так как параллельные формы всегда эквиваленты (§ 9).
Полученный результат приложим прежде всего к случаю а = 2,
d~ 1 (mod 4). В этом случае hx = hf есть ко личество не чисто коренных
классов определителя d, а <52 = 1 или 4; в последнем случае средний
коэфициент формы (<52, Ь, с) должен быть чнечетным. Таким образом
h	а.
равно числу неэквивалентных чисто коренных форм между тремя фор-
«ами/0 = (1, 0, — d), /±1 = (4, + 1, л), где л = —. Прий=1 (mod 8)
—четное, и формы /±1 не будут чисто коренными, следовательно,
Л = /г'. При dz=5 (mod 8) все три формы /0, f г будут чисто корен-
124
ГЛАВА IV
1
ними. Для исследования их в смысле эквивалентности служат следующие
замечания:
1) Если уравнение /а — du2 = 4 решается в нечетных числах /, п, то
все три формы /0, /±1 эквивалентны. В самом деле, выбрали знаки не-
четных чисел t, и по условию t + u = Q (mod 4), можем написать цело-
численную подстановку определителя 1
✓	.	. t Л- du \
I 1	± ~~ I
переводящую /0 в /±1.
2) Если любые две из форм /0, / г эквивалентны, то уравнение
t2—dw2 == 4 решается в нечетных числах. Если /0 эквивалентна одной
из форм /±1 — (4, ±1, /7), то число 4 должно собственно представляться
формой /о = (1,0, — d), откуда и получаем 4 = t2 — du2 с нечетными f, il
Если же /+1 эквивалентна / р то существует собственное представле-
ние а, у числа 4 формой /+р принадлежащее к корню х =— 1 сравне-
ния x2 = d (mod 4) (§ 1). Для этого представления по формулам (2) § 1
будем иметь 4а2 4-2ау 4~ пу2 = 4, 2а + пу 0 (mod 4); так как п не-
четное, то у— четное. Полагая у ~ 2и, 2а 4- i/== t, получим t2 — dll2 =* 4,
^4-ц = 0 (mod 4), откуда легко вывести, что числа /, и нечетные.
Итак, формы /0, /±1 принадлежат или к одному, или к трем различным
классам, смотря по , тому, решается или не решается уравнение
t2— du2 = 4 в нечетных числах; в первом случае имеем h=h', во вто-
ром h = ЗЛ'. При d < — 3 единственное решение уравнения t2 — du2= 4
есть / = ± 2, и = 0, следовательно, й = Зй'; при d = — 3 имеем t = ± 1 >
1, h — h'. При d > 0 из формулы (15) § 5 видно, что уравне-
ние t2—dfi2=4 тогда и только тогда решается в нечетных числах,
когда наименьшее решение Т, U этого уравнения состоит из нечетных
чисел. Получаем теорему (Gauss 20, D. A., art. 256):
Теорема 14. Пусть d — число формы 4п4-1, неравное полному ква-
драту, и Й, й' обозначают количества чисто и не чисто коренных
классов форм определителя d, положительных при d < 0; тогда
при d <0
ft = й', если d = 1 (mod 8) или d — — 3;
ft = 3ft' при d = 5 (mod 8) и d < — 3;
при d> 0
ft — ft', если d=l (mod 8) или d==5(mod8), T,U нечетны;
ft = Зй' при d^5 (mod 8), T, U четны,
причем T,U есть наименьшее решение уравнения t2— dll2 = 4.
До сих пор неизвестно прогтого правила, позволяющего узнать,
когда наименьшее решение уравнения /2—du2 = 4 (при d>0 формы
8Й 4* 5) состоит из четных чисел Т, U и когда из нечетных. Имеется,
например, всего 125 чисел d формы 8k 4- 5, больших нуля и меньшие
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
125
1 000; для 31 из них числа Т, U четные, для остальных 94 чисел
числа Т, U нечетные. Таблица этих наименьших решений для всех
d<^997 вычислена Кэли (эта таблица перепечатана в учебнике Граве22).
Чтобы вывести дальнейшие следствия из полученного выше резуль-
тата (об отношении ~ ), положим, что о есть простое число, большее
или равное 2; и = d' есть число целое. Тогда /?3 будет, очевидно,
равно числу чисто коренных классов определителя d’. Для определения
-- нужно, по предыдущему, подсчитать, сколько различных классов
дают формы g = (1, О, —d) и fb = (<r2, Ьо, Ь2— d'). В последней форме b
пробегает полную систему вычеюв по модулю сг, за исключением решений
сравнения #2 = d'(moda) (если оно возможно); при таком условии
все формы будут чисто коренными. Число I форм g, fb равно 2 при
а==2 и о—(4) ПРИ кечетном 67 (принимая символ Лежандра
(-^-^ = 0, когда d' делится на сг). Исследование эквивалентности форм
g, 1Ь основано ка следующих замечаниях.
1) Форма g эквивалентна какой-либо из форм tb тогда и только тогда,
когда уравнение /2—d'u2 = 1 решается в целых числах /, и, удовлетво-
ряющих условию f+ta = 0 (mod а). Действительно, по замечанию § 1
[формулы (2)], эквивалентность g и fb равносильна существованию целых
чисел х, у, для которых х2 — d'cr2y2 = о2, х + boy =0, — box — d'o2y==0
(mod а2). Число х, очевидно, делится на о\ полагая х = сг/, у= П, по-
лучим /2— d'u2=l, /-|-bu===O (mod а).
2) Формы fb и fbr эквивалентны тогда и только тогда, когда уравне-
ние /2— d'u2 = 1 имеет решение, удовлетворяющее условию (Ь — b')t +
+ (bb' — d')U = 0 (mod а). Действительно, эквивалентность fb и fb<
равносильна существованию цетых чисел х, у, для которых о2х2 + 2Ьоху 4-
4- (Ь2 — а')у2 = сг2, о2х + (Ь + Ь')оу = 0, (Ь — b') ох + (b2 — d')y = O
(mod а2). Так как Ь2— d' не делится на сг, то y—oU, и — целое;
полагая еще x—t — bu, придем к вышеуказанным условиям эквивалент-
ности fb и fbr.
Положим, что среди форм g, fb существует всего Я форм, принадле-
жащих главному классу (т. е. эквивалентных g), и докажем, что отно-
шение = г равно общему количеству / форм g, /&, деленному на Я.
Заметим сначала, что среди форм fb имеется, по предположению,
Я—1 форм главного класса; каждой из таких форм fb отвечает, по за-
мечанию 1, число Ь, для которого / + /ш = 0 (mod а) при некотором ре-
шении /, и уравнения t2 — d'u2—l. Очевидно, что в этом решении
Ф 0 (mod а); обратно, каждому решению t, и уравнения i2— d'u2 — 1
с и Ф 0 (moder) отвечает вполне определенный вычет b по модулю о, опре-
деляемый сравнением t + /ш = 0 (mod сг), последовательно, форума /&, при-
надлежащая главному классу. Таким образом Я— I представляет коли-
чество различных вычетов-----~ (moder), происходящих из всевозмож-
ных решений уравнения /2—d'u2 = 1 с иФО (mod сг). Равенство
126
ГЛАВА IV
г = у будет доказано, если мы покажем, что всякой форме /у, не
принадлежащей главному классу (если таковая существует), соответствует
среди форм fb ровно Л—1 отличных от нее и эквивалентных ей форм.
Действительно, если fb ~ fb' и h отлична от /у, т. е. b Ф b' (mod cr)r
то, по замечанию 2, для некоторого решения уравнения /2 — d'u2 = 1
имеем (Ь— b9)t+(bb'— d')u^0 (modо): так как и Ф 0, то, опреде-
лив fi из сравнения fi ~	(mod сг), получим форму /дг
эквивалентную g.
Таким образом каждой форме Д, отличной от /у и эквивалентной
соответствует в ряде форм / форма /д, принадлежащая главному
классу; значок ее fi определяется по значкам ft, Ь9 из сравнения
(b — b')fi = bb9 — d9 (med а).
Обратно, пусть дана форма ffi~g', определяя по fi и Ь9 число ft
сравнением (fi — b')b = fib' —d', в котором, очевидно, fi Ф b9 (mod а),
покажем, что fb~ fbr9 и /ъ ф Д'- Прежде всего (для сущее i вования формы
fb, соответствующей значку Ь) нужно убедиться, что Ь2 Ф d' (mod ст);
действительно, в противном случае мы имели бы (fi— b')b = fib9—b\
(b—b')(fi 4-ft) = 0, т. e. либо /?2 = d', либо b'2 = d' (moder), что>
невозможно. Если бы fb— т. е. b = b' (moder), то из сравнения
для b получили бы b'2 = d' (moder). Так как fp~g, то, по замечанию
существует решение уравнения I2 — d9u2=~l, для которого fi = — ~
(mod сг), что вместе с сравнением для b дает
(b — b')t + (bb'-d)ii^b, т. е. fb~fw,
ч. и тр. д. Если d' < 0, то при d' =f= — 1 уравнение i2 — d'u2 = 1 имеет
только два решения /=±1, и = 0; при d' ==—1 к ним присоединя-
ются еще два: t =0, zz==± 1. Вчпервом случае имеем Л = 1, во втором
Я = 2; таким образом при d9 < 0 отношение ~ вообще равно I и
только при d' =— 1 равно ~ I. Если d9 > 0, то заметим, что два ре-
шения и f,
дают один вычет
«'уравнения f2—d'u'2~l с zz' и ц'фО (moder)
fi=----= (mod сг) тогда и только тогда, когда
отношение
77и&'=('; + ";
может быть пред-
ставлено в форме t 4- uYd, где /, и—решение уравнения t2 — dzz2=K
Распределим все решения уравнения V2 — d'u'2 = 1 на группы, отнеся
в одну и ту же группу два решения zz'; f, zz', для которых
t'i + u'i Vd' = (t9 + и9 ]/d') (t + и |/*d), где t, и — решения уравнения,
t2— dzz2==l; число этих групп и будет, очевидно, равно Л. Обозначая,
с другой стороны, через Г, U; Т9, U9 1|)именьшие положительные ре-
шения уравнений I2 — du2—l, t’2—d9u'2 = 1 и через /z целый по-
казатель в уравнении Т + U d — (Т' 4- U' ]/”d')M (ср. конец § 5), ви-
дим, чго реш ния_у' + u[ |/d' == + (Т' 4- U9 Vd9)a и t9 + и9 V"d' ==
== ± (T* 4- U1 ^d9/ принадлежат к одной группе тогда и только
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
127
тогда, когда a = b (mod р). Итак, Л = р,
д' > 0 можно изобразить так:
и отношение ~ в случае
й = Д e , ln t7" + UfVd'}
lh *
Применяя доказанные результаты последовательно несколько раз*,
получаем окончательно теорему (Gauss 20, D. A., art. 256; L.-Dirichlet
§ 151):
Теорема 15. Если h(d)— число чисто коренных классов опреде-
лителя d, неравного квадрату, положительных при d <0, и s > 0—
целое число, то
h(ds^) = h(d).£sr\(
где произведение берется по всем различным нечетным простым дели-
телям г числа s и символ Лежандра (yj равен нулю при d9 делящемся:
на г9 в~ 1 при d < — 1 и з = при d = — 1, $>1. Наконец^
при d>0,
__ \n(T'±U'Vd)
~~ ln(T + stf}/d~) ’
где Т9 U; Т\ U' — наименьшие положительные решения уравнений
i2 — ds*u2 = 1, р —^'2= 1.
Другой элементарный вывод теорем этого параграфа предложен Лип-
шицем (см. L.-Dirichlet 14, стр. 254).
§ 12. Распределение бинарных форм на роды. По доказанному
в § 10 классы форм чисто коренного порядка данного определителя обра-
зуют абелеву группу. Если каждому классу \К привелено в соответствие-
число %(К), обладающее свойствами ^(1) = 1, % (XX') т= X (^ )z (К')
для всяких двух классов X, К', то %(Х) будет характером:
группы классов (Web r 93, стр. 49); определение этих характеров равно-
сильно определению структуры группы. Значения функции %(Х) будут,,
как легко виде!ь, корнями из единицы, т. е. вообще говоря, будут ком-
плексными. Исследования Гаусса, известные под названием теории родов
(Genera formarum, D. А. 20, art. 228 и сл.), пргдетавляют не что иное,
как определение всех вещественные характеров абелевой группы клас-
сов, т. е. таких характеров %(Х), все значения которых равны f 1.
В более простом виде эта теория изложена Дирихле 14 (Suppl. IV и Х\
Пусть /(х, у) = ах2 + 2Ьху + су2—чисто или не чисто коренная
форма определителя d, р— любой нечетный простой делитель d и п =
= / (а, У), п' == /(/?, <5) суть два числа, представляемых формой / и не
делящихся на р. Подстановка (у определителя ад — fly = е перево-
дит / в форму вида (и, I, п')9 причем /2—пп‘= de2, откуда 12 = ппг
(mod р),	= / —у Итак, символ ( — имеет одно и то же значение
128
ГЛАВА IV
для всех чисел (modp), представляемых формой /; этот символ
= будем называть родовым характером формы /. Зна-
чение x(f) всегда можно определить из рассмотрения крайних коэфици-
ентов я, с формы /, которые принадлежат к числу чисел, представляемых
этой формой, и из которых один по крайней мере не делится на р (так
как /, по предположению, е<ть коренная форма). Далее всякая форма /',
эквивалентная /, представляет те же числа, чго и /, так что ^ (/') = #(/);
итак, величина	зависит только от класса К формы / и
может бы’Ь поэтому обозначена так: /(/<). Если ръ р2, ..., pv — все
различные нечетные простые делители d, то мы определили таким обра-
Xi (/)=(-> =
зом v величин
1, 2, ..., г). В случае d = 1 (mod 4) дру-
гих величин нет; в остальных случаях вводятся еще добавочные характеры
следующим образом. Пусть d = 3 (mod4) (гак что f — чисто коренная
форма) и 77, п'— два нечетных числа, представляемых формой /; из
равенства /2 — nnr = de2 получаем пп' == Z2 + е2 (mod 4), и так как
числа I, е разной четности, то пп'=1, п = п' (mod 4). Таким образом
п—1
единица (/?) = (—1) 22 сохраняет одно и то же значение для всех
нечетных чисел п, представляемых формой /. Аналогично докажем (L.-Di-
richlet и, § 121), что тем же свойством обладают величины х? +1(«) =
712 — 1	П2 -1 п — 1
= (—1) 8 при rf=2(mod8), у„+1(п) = (—1) 8	2 при d= — 2
п -1
(mod 8), Хр+-1(п) = (—1) 2 при d=4 (mod 8), наконец, две величины
п-1	п2-1
Xv+i(ri) = (—1) 2 и ^^.2(п)=(—1) 8 при d=0 (mod 8). Все эти ве-
личины также будут родовыми характерами формы f и ее класса К.
Если К, К'— два класса, из которых один или оба чисто коренные,
то, выбрав в К и К' согласные формы с первыми коэфициентами а и а',
взаимно простыми с d (или 2d), будем иметь первый коэфициент компони-
рованной из них формы равным аа', откуда ^ (/</<') = /ДК) Xi (К')*,
далее для главной формы /0 = (1, 0, — d), очевидно, ^(/0) = 1. Таким
образом все введенные величины ^(/0 Действительно обладают свой-
ствами характеров.
Рассмотрим все классы чисто или не чисто коренного порядка опре-
делителя d, положительные при d < 0. Для каждого из этих классов К
введенные нами характеры #t(K), /2(Ю> • •• [число которых равно v =
= (d) при d = 1 (mod 4), (d) + 1 при d = 2, 3, 4, 6, 7 (mod 8) и (d) + 2
при d = 0 (mod 8)] имеют вполне определенную систему значений.
Сово*упнос1Ь классов (внутри одного и того же порядка), для которых
эта система значений одна и та же, называется родом (Genus, Gescblecht);
род, к которому принадлежит главный класс, называется главным родом
{соответствующая ему система значений характеров будет, очевидно,+ 1,
+ 1, ...). В нечисто коренном порядке главным родом называется род,
ж которому принадлежит простейшая форма (2, 1, соответствую-
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
129
щая система значений характеров будет (	), ... Классы глав-
ного рода G образуют, очевидно, подгруппу внутри всей группы Н
чисто коренных классов; остальные роды Gb G2, • •' • чисто коренного
порядка представляют не что иное, как сопряженные системы в разло-
жении Н по подгруппе G. Отсюда в частности вытекает, что все роды
содержат одинаковое число классов. Последнее заключение справедливо
и для нечисто коренного порядка, так как, по доказанному в предыду-
щем параграфе, умножение простейшего не чисто коренного класса Ко на
все классы группы Н дает все не чисто коренные классы (каждый по
одному или по три раза).
Введенные нами р, характеров Xi(/), ЯгС/), ••• не независимы; между
ними имеется одно соотношение, которое легко выводится при помощи
квадратичного закона взаимности. Пусть /—чисто коренная форма оп-
ределителя d и т— число, собственно представляемое этой формой и
взаимно простое с 2d (при d < 0, т>0). Тогда / эквивалентна форме
вида (т, I, и), так что Z2 — тп = d и 1. Выделив из d наивыс-
шую степень двойки и применив затем закон взаимности для символа
Якоби в обычной форме (что можно сделать по § 9 гл. I; так как из
двух чисел d, т хоть одно больше нуля), найдем, что для всякого чисто
коренного класса К имеет место соотношение
х’(Юх"(К)х"' (К)... = + 1.
(36)
В левую часть этой формулы входят характеры % (К) = соответствую-
щие всем нечетным простым числам р, входящим в d с нечетным пока-
зателем; кроме того, при d = — 2а (mod2a+2) (а>0 и четное) входит
т— 1
характер % == (—1) 2 , при d=2a (mod 2a+2) (a > 0 нечетное) — харак-
m2—1	m2—1 , т-1
тер% = (—1) 8 9 , при d = — 2 (mod 8)—характеру = (—1) 8	2
наконец, при d = — 2a (mod 2a4-2) (л > 3 нечетное) — два характера
m2—1	m—1
/ = (—1) 8 и %" = (—1 2 ). Так как d (как всегда) предполагается
не равным полному квадрату, то легко видеть, что соотношение (36) не
тождественно, т. е. в его левую часть всегда входит по крайней мере
один характер. Аналогично убедимся, что для всякого не чисто коренного
класса К (положительного при d < 0) имеет место соотношение
z'(/or(/orw... = (|).
(37)
В левой части стоят характеры % = соответствующие всем прос-
тым числам р, входящим в определитель d=l (mod 4) с нечетным по-
казателем. Так как каждый характер %; принимает только значения ± 1
и между ними имеется соотношение (36) или (37), то а priori мыслимы
возможных систем значений характеров (К),	•••, Хм (К).
Вопрос о том, каждая ли из этих 2^“х систем значений отвечает дей-
9 Теория чисел.
130
ГЛАВА IV
ствительно существующему роду в чисто или не чисто кЬренном порядке*
решается следующей важнейшей теоремой Гаусса (D. А. 20, art. 287):
Теорема 16. Пусть дан чисто или не чисто коренной порядок
форм определителя d, не равного квадрату, положительный при d < 0*
и &(Ю(* =»1, 2,	р\—родовые характеры этого порядка, причем
при d = l (mod 4), (d) + 1 при d=2, 3, 4, 6, 7 (mod 8) и
(d) + 2 при d =0 (mod 8). Всегда найдется класс форм К в данном
порядке, удовлетворяющий системе уравнений
Z1(K) = 61, %2 (Ю = «2, .. • , ь W = £Д.
где ..., вц—данные единицы ± 1, если только правые части этих
уравнений удовлетворяют соотношению (36) для чисто и (37) для нет
чисто коренного порядка. Иными словами: количество родов в данном
порядке равно 2^~1.
Доказательства этой теоремы даны Гауссом (D. А. 20, art. 287), Ди-
рихле (14, § 158) и Арндтом; все они требуют привлечения в той или иной
форме теории тройничных форм (см. § 15). Прежде всего заметим, чта
достаточно доказать теорему для чисто коренного порядка, так как от-
сюда по композиции будет вытекать ее справедливость и для не чисто
коренного порядка. Обозначая через h число всех чисто коренных клас-
сов, через g— число классов в каждом роде и через е—число родов,,
имеем, по замеченному выше, h = ge. Рассмотрим, с другой стороны, те
классы, которые являются квадратами чисто коренных классов, и
обозначим число различных классов такого вида через g. Из равенства
К2 ~К'2 (К, К'— чисто коренные классы) вытекает (/СК-1)2—1,
т. е. К'К"1 = А есть класс anceps (§ 9, 10) и К' = КА\ отсюда,
принимая во внимание, что количество классов anceps, по доказанному
в § 9, равно 2Аг~1, можем написать /z — 2M-1g. Так как е<2^“1, то из
2 а*-1 g = eg вытекает g^g, т. е. число различных классов вида К2 не
превышает числа классов в главном роде. Замечая, что квадрат класса,
очевидно, всегда принадлежит главному роду, можем сказать, что тео-
рема 16 (выражаемая равенством е = 2^~г) равносильна такому утверж-
дению: каждый класс главного рода является квадратом некоторого
класса. В таком виде эта теорема и будет доказана в § 15. Из теоремы
16 вытекает, что родовые характеры .. ., [за исключением какого-
нибудь одного, входящего в соотношение (36)] дают полную систему
независимых между собою вещественных характеров группы классов
чисто коренного порядка.
Пусть даны форма / = (я, Ь, с) определителя Ь2 — ас — d и число J;
в теории тройничных форм приходится рассматривать систему сравнений
Ла = М2, Ab = MN, Ac = N2 (mod d)	(38)
с неизвестными /И, N. Нам нужны ответы на следующие вопросы об
этой системе: 1) для каких А при данной форме / система (38) допус-
кает решения и каково число этих решений [т. е. число различных по мо-
дулю d систем чисел М, N, удовлетворяющих системе (38)]? 2) каковы
должны быть числа А при данном d для того, чтобы существовали формы f
определителя d, для которых система (38) имеет решения, и каковы.
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
131
эти формы /? Вопросы эти стоят в тесной связи с теорией родов;
числа J, для которых система (38) допускает решения, называются
характеристическими числами формы / (Gauss 20, D. A., art. 233).
Мы ограничимся рассмотрением случая (zl, rf)== 1 и положительной
формы / (при d < 0). Д1я возможности системы (38) в этих предпо-
ложениях прежде всего необходимо, чтобы / была коренной формой;
действительно, полагая Ла = ЛР + Pd, ЛЬ == MN + Qd, Лс = N2 + Rd
(P,Q, R— целые числа) и исключая а, Ь, с на основании уравнения
Ь2 — ас = dt получим
J2 = — PN2 — RM2 + 2QMN + (Q2— PR) d. (39)
Если бы а, &, с делились на простое число р, то из (38), (39)
вытекало бы, что М, N и Л делятся на р, что противоречит предпо-
ложению (Л, d) = 1. Предполагая / коренной формой и разлагая d на
простые множители, d = ± 2ар11л * • р“г (а > 0, ар ..., а„ > 0, ръ ..., pv—
нечетные простые числа), находим по общему правилу (§ 4 гл. I), что
система (38) равносильна ряду таких же систем по модулям 2а, р?\ ..., р“,
и произведение чисел решений этих систем равно искомому числу реше-
ний системы (38). Число рх не может делить оба числа а, с; если,
например, а ФО (modрх), то для возможности сравнения Ла~М2 (mod р?1)
необходимо и достаточно, чтобы = Но естГ~не что
иное, как родовой характер %х (/) формы /; условие (/) » выражают
словами, говоря, что Л согласно с характером формы /. При выпол-
нении этого условия сравнению Ла = М2 (mod pf1) удовлетворяют два раз-
личных по модулю р?1 числа М (§ 9 гл. I); для каждого из них опреде-
хт	хт ЛЬ z , aix	х то Л2Ь2 Л2ас
ляем N по условию 77 = -^ (mod гн) и имеем № =	3~
j	М 4	7	М2 Ла
= Лс (mod pi1), так что система (38) имеет по модулю р?1 два решения.
Рассматривая далее систему (38) по модулю 2а, видим, что при а = 0, 1 эта
система всегда разрешима, при а= 2 должно быть Ла 1 (mod 4) (предпо-
а—1	1
лагая а нечетным), (— 1) 2 =	(/) = (— 1) 2 (т. е. Л согласное ха-
рактером формы /), при а>3 Л согласно с характерами %v+i (/) ==
a—1	1
== (— 1) 2 и %v+2 (/) = (— 1) 8 *, при выполнении этих условий си-
стема (38) имеет по модулю 2а два решения при a = 2 и четыре реше-
ния при а>3 (§ 9 гл. I). Итак, для того чтобы число Л было характе-
ристическим числом коренной формы /, необходимо и достаточно, чтобы
это число было согласно при d Ф 0 (mod 4) с родовыми характерами /,
соответствующими нечетным простым множителям d, а при d = 0 (mod 4)—
со всеми вообще родовыми характерами /; при выполнении этих усло-
вий число решений системы (38) равно 2(d), 2(d)+1 или 2(d)+2, смотря
по тому, будет ли d Ф 0 (mod 4), d = 4 (mod 8) или ds 0 (mod 8).
Чтобы ответить на второй поставленный выше вопрос, примем во
внимание соотношения (36) и (37) между родовыми характерами. Под-
3*
132
ГЛАВА IV
а—1
ставляя в них вместо %' (/), %" (/), ... равные им величины вида j ,
л-1
(— 1) 2 ,	, находим при d = 1 (mod 4) для чисто коренной формы /
= 1, для нечисто коренной формы = 1* Такому условию
должно удовлетворять А для того, чтобы оно было характеристическим
числом некоторой коренной формы определителя d = 1 (mod 4); при выпол-
нении этого условия на основании теоремы (16) заключаем, что суще-
ствует один род чисто или не чисто коренных форм, для которых А
будет характеристическим числом. Аналогично, при d = 0 (mjpd 4) из (36)
выводим ( ) ~ где (Д d) = — 1 при А <0, d < 0 и = 4-1,
если хоть одно из чисел d, А больше нуля. В случаях же d = 2, 3 (mod 4)
соотношение (36) не налагает никакого ограничения на d, т. е. всякое
число d, взаимно простое с d, будет характеристическим числом неко-
торых чисто коренных форм определителя d (содержащихся в одном
определенном роде). В самом деле, в этих случаях в соотношение (36)
1	1 j д—1
входит характер %v+1(/)=(—1) 8 , (—1) 8	2 или (—1) 2 ,
значение которого определяется поэтому по значениям характеров #(/) ==
=	> соответствующих нечетным простым множителям pt числа d.
Полагая для каждого pi %i(f) = ( —) > определим искомый род форм /,
для которых А будет характеристическим числом.
Приложим эти соображения к случаю А = — 1, d = — п < 0.
Очевидно, что условия J = 1 и — (A, d) для d = 1 и 0 (mod 4)
не выполняются, условие же == 1 (для не чисто коренного по-
рядка) выполняется лишь при d = 5(mod8). Таким образом число — 1
будет характеристическим числом положительных форм определи-
теля — п лишь при п=1, 2 (mod 4) или при п = 3 (mod 8); в пер-
вом случае существует один род чисто коренных, во втором — один
род не чисто коренных форм, для которых — 1 есть характеристи-
ческое число, В обоих случаях этот род определяется значениями
характеров	’ г&е Р1— вСе нечегпные простые делители п.
Этим результатом мы,воспользуемся впоследствии (§ 16).
§ 13. Тройничные формы, конечность числа классов,
задачи теории. Ближайшим обобщением бинарных форм
тройничные формы, т. е. выражения вида
ах2 + by2 + cz2 + 2dxy 4~ 2cxz 4- 2gyz
основные
являются
(40)
с тремя переменными х, у, Z. Начало исследований об этих формах
восходит к Лагранжу и Лежандру, исследования которых о неопреде-
ленном уравнении ах2 4- by2 4- cz2 = 0 относятся по существу к теории
тройничных форм (см. Legendre 39, I Part, § 4). Общие основания теории
были положены Гауссом (D. А 20, art. 266—300).
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
133
Тройничную форму (40) будем изображать в виде матрицы
(a d е
d b g
е g с
Определитель этой матрицы будем называть определителем тройничной
формы. Коэфициенты а, Ь, с (называемые диагональными) и d9 е9 g
будем считать целыми числами. Пусть переменные х, у9 Z переводятся
в новые переменные х', у', г' линейной подстановкой S
X = ах' + fty' +yz'9 1
У = а'х'+ 0'y' + y'z',\	(41)
z = aV + /?y + /'z'; J
тогда форма (40) преобразуется в новую тройничную форму
а'х'2 + bfy'2 + c'z'2 + 2d'x'y' + 2e'x'z' + 2^'у'/.	(42)
Если обозначим через At матрицу этой новой формы и подстановку S (41)
изобразим также в виде матрицы;
(ару
а' р' у'
a” Р" у”
то между А и Al9 как известно из алгебры, будет иметься зависимость
= S'AS, причем S' обозначает транспонированную матрицу:
(a a' aff\
Р Р' Р" .
у г' /7
Отсюда получается зависимость между определителями J и 21'форм (40)
и (42): Л' = Дк2, где к есть определитель подстановки S. Полезно
иметь формулы, выражающие в явном виде коэфициенты преобразован-
ной формы (42); обозначая через / (х, у, Z) первоначальную форму (40),
можем написать эти формулы в виде (В. А. Марков 57, стр. 13)
а' = /(а, а', а"), Ь' = / (Д 0', (}"), с’ = f (у, у', /'),'
j, 1	df (а, а',	а") „ , 1 0/ (а, а',	а")	, 1	df (a, a', a")	„„
а = Т--------да------ У---------37-----Р + 2-------М'----Р	=
_ 1	п , 1	,, 1 w./M")
~ 2 др "Р 2 др' а 2 др"
е, _ 1 д/(О,а',а")	1 д/(а,а',а") , , 1 У (а, а', а") „ _
- “ 2 да s * 7 *” 2 да' 7	2 да" 7 ~
1 df(y,y',v")	। 1 df(y,y',y") ,	1 df(y,y',y") „
= У	а+~2 —дг	а + У ду' л ’
s = T--------др-----7 + Т -------др'---7 + 2 ------дГ~ 7 -
_ df(y, у', у") 0,1. df (у, у', у")	£ д1 У") ft"
~ 2 ду Р 2 ду' Р "Г 2 ду"
(43)
134
ГЛАВА IV
Определения эквивалентности форм, содержания одной формы в дру-
гой и класса форм (§ 3 гл. II, § 1, 3 гл. IV) остаются в силе и для
тройничных форм; заметим только, что здесь нет надобности различать
собственную и несобственную эквивалентность, так как если тройничная
форма / переводится в /' целочисленной подстановкой S определи-
теля + 1, то подстановка —S (коэфициенты которой отличаются зна-
ками от коэфициентов S) имеет определитель — 1 и также переводит
/ в
Заменяя в матрице А формы (40) каждый элемент его алгебраичес-
ким дополнением, получим матрицу
_ Ах di «А
А = di bi gt j,
Vi Si <v
называемую союзной по отношению к А\ соответствующая ей трой-
ничная форма также называется союзной по отношению к форме (40).
Коэфициенты союзной формы имеют следующие значения:
a-L — bc—g2, Ьг = ас — е2, c1 = ab — d2,
d^ eg — de, el = dg — be, g^ de — ag.
Определитель союзной формы, очевидно, равен квадрату определителя
первоначальной формы. Обозначая через А определитель матрицы А,
имеем для союзной матрицы A = Z1AZ~1, где ' и “4 суть знаки транс-
понированной и обратной матриц, а множитель А при матрице обозна-
чает, как_обыкновенно, умножение всех элементов матрицы ка число А.
Отсюда А = АА, т. е. союзная от союзной тройничной формы равна
первоначальной форме, умноженной на ее определитель. Пусть трой-
ничная форма с матрицей А подстановкой S определителя к пере-
водится в тройничную форму с матрицей Ах; переходя в равенстве
= S'AS к сопряженным и обратным матрицам, легко получим =
== S'AS. Называя подстановку с матрицей S союзной с подстановкой S,
можем сказать: если тройничная форма / подстановкой S переводится
в /', то союзная с / форма F союзной подстановкой S переводится
в союзную с /' форму F'. Таким образом если две тройничные формы
эквивалентны, то союзные с ними формы также эквивалентны.
Тройничная форма (40) называется коренной, если коэфициенты
а, Ь, с, d, е, g не имеют общего делителя, при этом чисто коренной, если
хоть один из диагональных коэфициентов a, b, с нечетный, и не чисто
коренной, если все они четные; из формул преобразования (43) легко
видеть, что эти свойства не нарушаются при переходе к эквивалентной
форме.
Тройничная форма / [см. (40)] определителя А называется положи-
тельной, если при всех значениях переменных х, у, Z, не равных одно-
временно нулю, / > 0, отрицательной, если, при всех таких значениях
X, У> f < °; во всех других случаях форма / называется неопределен-
ной. Условия положительности суть, как известно,
а > 0, сг = ab — d2>Q, А > 0,
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
135
условия отрицательности суть
я<0, сг = ab — d2>0, Д < 0.
Эти свойства также не нарушаются при переходе к эквивалентной
форме. Для тройничных форм имеет место следующая важная теорема,
аналогичная теореме 13 для бинарных форм (Gauss 20, D. A., art. 276):
Теорема 17. Все целочисленные тройничные формы данного
определителя Д ф 0 разбиваются на конечное число классов.
Для доказательства этой теоремы употребляется обычный метод,
т. е. доказывается: 1) что каждая тройничная форма эквивалентна неко-
торой форме особого вида, которую можно назвать приведенной, 2) что
количество приведенных форм для данного Л конечно. Пусть даны трой-
ничная форма / и союзная с ней форма F, соответственно с матри-
(а d е \	fAD Е\
-d b g и I D В G I . Преобразовывая / подстановкой
е - g с J	\е G С J
(а Р О\	/ д —у 0\
У д О I ад — /?у = ±1, союзная с которой будет I —р а О I,
0 0 1/	\ 0	0 ±1/
и обозначая штрихами коэфициенты преобразованных форм, получим
по формулам (43)
а' = аа2 + 2day + by2, (Г = аоф + d (ад + fry) + Ьуд,
Ь' =	+ 2d^d + Ьд\ С = С.
Таким образом бинарная форма (a, d, b) определителя — С подста-
новкой переводится в форму (a', d', Ь(), и эту подстановку вы-
берем так, чтобы аг было наименьшим по абсолютному значению
числом, представляемым формой (a, d, b) (при переменных, не равных
одновременно нулю). Для этого нужно при — С < 0 и при — С > О,
но не равном квадрату, преобразовать (я, d, b) в приведенную форму,
а при — С, равном квадрату (в частности нулю), преобразовать в форму
(a', d'9 b') с а' = 0. Припоминая неравенства, существующие для коэфи-
циентов приведенных форм (§ 3—5), можем написать во всех случаях
| С |. Итак, данную тройничную форму указанной выше под-
становкой всегда можно преобразовать в такую, первый коэфициент а'
которой связан с третьим диагональным коэфициентом С' союзной
формы неравенством I я'| < j/y | С'|.
Это есть первая редукция Гаусса. Преобразуем затем данную форму/
/ 1 ° ° \
подстановкой вида I 0 а I, ад—= ± U так как союзная с ней
у 0 у д /
13ё
ГЛАВА IV
подстановка будет
найдем
'±1 о о\
0 “У I, т0 Для преобразованных
О —р а I
форм F'
а! = а, В' = В<52 —2G<5£ + С£2, G' = — Вуд + G(ad + 0у)—Са0,
С = By2 — 2Gya+Ca2.
Следовательно, форма (С, G, В) определителя G2— ВС = — аА (А— опре-
делитель /) подстановкой ~~д) переводится в форму (Cf9 G', В');
выбирая опять эту подстановку так, чтобы С' было наименьшим значе-
нием формы (C,G, В), будем иметь для /' неравенство |С'|< j/” 1 а'А |.
Это есть вторая редукция. Применяя теперь к любой данной форме /
сначала первую редукцию, потом вторую, потом опять первую и т. д.,
получим ряд форм /, f'9 f'9 f'"9 ..., и нетрудно видеть, что после конеч-
ного числа действий придем к форме /(п), у которой уже нельзя умень-
шить ни ни |С(П)|, и для которой будем, следовательно, иметь
одновременно | а(п) | < j/" ~ [ С(п) |, | С(п) | < [а(п)А |. Действительно,
в противном случае мы имели бы цепь неравенств |<з| > \а'\ = |fl"| > |я"'| =
= (a1N | > ..., которая, очевидно, не может продолжаться бесконечно.
Итак, всякая тройничная форма эквивалентна форме /0, у которой пер-
вый коэфициент aQ связан с третьим коэфициентом Со союзной формы
неравенствами |я0|<IL |С0|<	> из этих неравенств
2	з ___________ д	з ___
вытекает: |а0|<	—	ИИ],	|С0|<	т	]//12.
О	О
/1 Р у V
Теперь форму /0 будем преобразовывать подстановкой S = I 0 1 у' ,
\0 ° 1 /
не меняющей ни я0, ни Со. Для коэфициентов преобразованных форм
/о, Fo имеем
do = dQ -f- QqP9 Gq = Gq Ctf ,	1
(	(44)
E6-Eo-Go^ + Co(^/-y) = Eo-Co7-C^. J
Заметим, что в форме /0 либо обе величины #0, Со отличны от нуля,
либо обе равны нулю (в противном случае к /0 можно было бы при-
менить еще первую или вторую редукцию). В первом случае из (44)
видно, что при надлежащем выборе целых чисел /?, у', у будем иметь
1$|<	1^1^ т 1С°1- Во вт°р°м случае, т.е. при
#0 = Со == 0, имеем также rfo = O, А = —Ьово (следовательно, bQ и eQ ф 0);
формулы
So = go + boy' + eofi, Co = co + 2goy' + boyri + 2?0у
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
137
показывают, что в этом случае можно сначала выбрать и у' так,
чтобы fgo| не превышало половины общего наибольшего делителя чисел
е0 [таким образом go = О при (&0, е0) = 1 ], и затем у так, чтобы
|сб[<|е0|. Окончательно получаем, что каждая тройничная форма опре-
делителя А эквивалентна либо форме, для которой
л 3 _ А 3„________ )
0<|а|< |/М|, 0<|C|<|/J2,
(45)
|G|<4|C|, |£|<||С|,
либо форме, для которой
a = d = 0, A = — be\ |g|< у (р, е), |с|<|е|.
Относительно форм последнего типа непосредственно очевидно, что
число их при данном А ф 0 конечно. В формах первого типа (45}
.	па	и d*±C
коэфициенты а. С, а, а следовательно, и b = —-— имеют ограничен-
ное число значений; из очевидных соотношений
аЕ + dG + еС = 0, dE + bG + gC = 0, еЕ + gG + сС ~ А
получаем
|с|«^ + М1.
следовательно, и остальные коэфициенты е, g, с имеют лишь ограничен-
ное число значений. Итак, теорема 17 доказана.
Изложенное приведение Гаусса удобно (по крайней мере при неболь-
ших А) и для практических вычислений. Проделывая его, например, для
случаев Л~±1, получаем следующие результаты. При А == + 1
в конце концов остаются только две формы: х2 + у2 + Z2 и —x24-2yz,
которые не эквивалентны, так как одна положительная, а другая неопре-
деленная. Следовательно, каждая положительная тройничная форма
определителя +1 эквивалентна X2 + у2 + Z2, каждая неопределенная —
эквивалентна — х2 + 2yz. Аналогично, каждая определенная (отрицатель-
ная) форма определителя —1 эквивалентна —х2 — у2 — Z2, каждая
неопределенная — эквивалентна х2 — 2yz.
Мы говорим, что целое число т или бинарная форма рх2 + 2qxy +
+ гу2 представляется данной тройничной формой f(X,Y,Z), если
существуют целые числа Хо, Уо, ZQ или целочисленные линейные формы
вида
X = ах + o'y, Y = Ьх + ft'y, Z =сх + с'у,
для которых т = f(XQl Уо, Zo) или рх2 + 2qxy+ry2 = f(X, Y, Z).
Основные задачи арифметической теории тройничных форм поставлены
Гауссом в art. 278 „Disquisitiones Arithmeticae" 20 и заключаются в сле-
дующем: 1) найти все представления данного числа данной тройничной
формой, 2) найти все представления данной бинарной формы данною
138
ГЛАВА IV
тройничною формою, 3) узнать, эквивалентны ли две данные тройничные
формы или нет, и в первом случае найти все подстановки, переводящие
одну форму в другую, 4) узнать, содержит ли данная тройничная форма
другую данную тройничную форму или нет, и в первом случае найти
все подстановки, переводящие первую форму во вторую. В следующем
параграфе будет показано, что решение первых двух вопросов в случае,
когда определитель данной тройничной формы не равен нулю, сводится
к решению третьего вопроса. В. А. Марков (см. 57) показал, что не
только решение первых двух вопросов во всех случаях, но и четвертый
вопрос приводится к третьему. Что касается третьего вопроса, то подобно
тому, как в § 2, убедимся, что решение его слагается из двух частей:
А) узнать, эквивалентны ли две данные тройничные формы /, /' или
нет, и в первом случае найти одну подстановку, переводящую / в
В) найти все целочисленные подстановки определителя ± 1, переводя-
щие данную форму f в себя (так называемые автоморфизмы формы /).
По каждому из этих вопросов имеется обширная литература [работы
Зебера (Seeber), Зелликга, Эрмита и др.], но рассмотрение ее выходит
из пределов настоящего реферата. Отметим лишь важный для нас част-
ный случай вопроса В: форма х2 + у2 4- Z2 переводится в себя 48 це-
лочисленными подстановками определителя ± Ъ которые получаются,
если всеми возможными способами менять порядок переменных х, у, Z
и их знаки.
§ 14. Представление чисел и бинарных форм тройничными
формами. Для определения всех представлений данной бинарной формы
(р = pt2 -f- 2qtu + ги2 данною тройничною формою /(х, у, z) рассмотрим
сначала так называемые собственные представления (Gauss, 20, D. А.,
art. 280). Представление
pt2 + 2qtu + ru2 = /(af + /Sa, at + /З'а,	+ /?"a)	(46)
называется собственным, если определители a'/S"—az//S', a"/S— aft",
aft'—a'ft не имеют общего делителя. Пусть (46) — какое-нибудь соб-
ственное представление ср через /; найдем три целых числа у, у', у"
Р у\
под условием, чтобы определитель подстановки S = I Р' У' I был
\az' ft' у")
равен а = ± 1, и преобразуем / этой подстановкой в эквивалентную
форму g, Из (46) видно, что коэфициенты при х2, ху и у2 будут
Гр q т\
соответственно р, 2q и г, так что матрица g имеет вид I q г п I
ym п s J
(т, n,s — целые числа). Пусть d и Л — определители форм <р и / (оба
не равны кулю). Союзная с S подстановка S переводит союзную с f
форму F в союзную с g форму G; замечая, что элементы третьего
столбца в S суть a'ft'—a”ft, a" ft— aft", aft'—aft и что третий
диагональный элемент в G равен —d, получаем прежде всего на осно-
вании формул (43)
— d = F(a'ftff — a" ft, a"ft — aft", aft—a’ft).	(47)
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
139
Итак, всякому представлению (46) бинарной формы <р тройничною
формою f соответствует представление (47) числа — d (где d— опре-
делитель <р) союзною с f формою F\ это важное замечание справед-
ливо, как легко видеть, и для несобственных представлений. Обозначая
(Р Q М\
Q R N I матрицу формы G, имеем
М N -dj
N2+ Rd^—Ap, MN + Qd = Aq, M2 +Pd = —Ar, (48)
откуда
— Ap~N\ Aq = MN, — dr = Л42 (modd). (49)
Таким образом —А должно быть характеристическим числом (§ 12)
обраткой к ср формы (р, —q, г). Возьмем вместо у, у', у" дру-
гие целые числа (5, S', д", для которых определитель подстановки
fa ft д \
Sj == a' ft' I равен £х = ± 1, и посмотрим, как изменяются от этого
\а" ft" d"J
числа М, N, удовлетворяющие сравнениям (49). Пусть 8Х переводит /
в gi и Gi — форма, союзная с gt. Легко видеть, что подстановка
/1 ° ё \
T==S~1S1 имеет вид I О 1 I где $,iq— целые числа. Так как
\0 0 eelz/
подстановка Т переводит g в g19 то союзная подстановка
о 0
0	Е61 о
—ё —ч 1
переводит G в GP Отсюда находим для новых чисел М19 Nlf соответ-
ствующих подстановке S1? выражения
Мг =	+ дё, Ni = ^N + d?;,
так что	Ni^e^N (modd). Итак, при произвольном измене-
нии третьего столбца в подстановке Sx (лишь бы определитель ее оставался
равным 4 1) числа Мъ Nt остаются сравнимыми либо с М, N, либо
с —М, —N по модулю d. Мы будем говорить, что собственное представ-
ление (46) <р через f принадлежит к решению ± Л4, ± N системы
сравнений (49). Заметим при этом, что, обратно, при данных iq
и ei = ± 1 вполне определяется подстановка S1 = ST, имеющая пер-
вые столбцы а, а , а" и /?, /9', /?"; следовательно, надлежащим измене-
нием третьего столбца S можно перевести М, N в любую пару чисел,
сравнимых с ±Л1, по модулю d. Отсюда выводим следующий метод
Для определения всех собственных представлений бинарной формы (р
через форму /:
I. Определяем все решения системы сравнений (49), не связанные
ДРуг с другом условиями Мг ss ± М19 Ni = dz N (mod d). Для случая
(d,d) = 1 эта задача была решена в § 12, причем мы видели, что для
140
ГЛАВА IV
разрешимости (49) в этом случае необходимо, чтобы (р была коренной
формой.
II. Пусть М, N — одно из решений системы (49); определяем из
формул (48) целые числа Р, Q, /?, и таким образом будет известна
вся союзная форма G. По ее коэфициентам определяем коэфициенты
т, и, S формы g либо из равенств
dm = рМ + qN, dn = qM + rN9 ds = mM + nN — d, (50)
либо из равенств
Am= QN — MR, Ап = QM — PN, As = PR — Q\ (51)
Если полученные числа тп, п, s не все будут целыми, то не сущест-
вует собственных представлений 99, принадлежащих к взятому решению
М9 N сравнений (49). Заметим, что при (d,d) = 1 числа т9 п9 £
всегда будут целыми, как видно из (50) и (51). Равенства (50) по-
казывают, что определитель полученной целочисленной формы g равен А.
III. Узнаем, будет ли составленная нами целочисленная тройничная
форма g определителя А эквивалента данной форме / (вопрос 3 предыду-
щего параграфа). Если^ и / не эквивалентны, то не существует соб-
ственных представлений <р9 принадлежащих к решению М9 N. Если
/« Р У \
же g и / эквивалентны, то, взяв от каждой подстановки S= ( а' /?' у' к
\а"Р"у"/
переводящей / в g9 первые два столбца а, а', а"; /?, fi'9 fi", получим все
собственные представления (46) ср через /, принадлежащие к взятому
решению М9 N системы (49). Проделав то же действие со всеми другими
решениями системы (49), получим вообще все собственные представле-
ния <р через /.
К изложенному методу нужно присоединить несколько замечаний:
1) Число решений системы (49), несвязанных условиями Мг = ± М9
== ± N (mod d), вообще равно половине количества решений в
обычном смысле (т. е. несравнимых по модулю d), за исключением* того
случая, когда существуют решения М9 N, для которых Л4 =— М,
N =— N9 т. е. 2М = 0, 2N===0 (modd). В случае (A, d) = 1, который
для нас наиболее интересен, это может быть лишь при d = ± 1, ± 2;
действительно, из (49), при 2М, 2N, делящихся на d, вытекает, что
2dp, 2Aq9 2Аг, а следовательно, и 2р, 2q, 2г, делятся на d9 а так как
в этом случае р9 q, г не имеют общего делителя (см. I), то 2 = 0
(modd), что и требовалось доказать.
2) При подсчете количества представлений <р через / два представле-
ния (46) и
pt2 + 2qtu + ru2 = f (ajf 4- ^U, aj + fa, fa + /?'' w)
считаются одинаковыми тогда и только тогда, когда а = а19 a' = а',...,
fi = fii. Из изложенного выше ясно, что два представления, принад-
лежащие к различным (т. е. не связанным сравнениями Mt = ± М,
TVj ss ± М оешениям (49), всегда различны. Предположим теперь, что
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
141
две различные подстановки S и Sp переводящие / в одну и ту же
форму g, дают одинаковые представления (р через т. е. отличаются
друг от друга только третьим столбцом. Тогда подстановка Т = S Sx=
/1 0 £ \
= 10 1 т) ] (£, ??— целые числа, — определители S, переводитg
\0 0 ее^
в себя и Т переводит G в себя. Отсюда получаем
гг±М + d£ = М9 ee-jN + dr) = N;
таким образом, если 2М, 2N не делятся одновременно на d, то = е,
£ = О, ту == О, = S. Итак,, при (d,d)=l и |d|>2 различные под-
становки, переводящие / в g, приводят к различным собственным пред-
ставлениям <р через /.
3) Так как формы fag эквивалентны, то они либо обе положитель-
ны, либо обе отрицательны, либо обе неопределенны. Применяя к g
условия положительности и отрицательности формы, описанные в § 13,
можем сказать: если Л > 0 и / положительна, то для существования
представлений гр через / форма <р должна быть положительной (что
очевидно и непосредственно); если А > 0 и / неопределенна, то должно
быть либо d > 0, либо d<0, р<0 (т. е. ср отрицательна). Аналогично,
при d<0 и отрицательной / форма гр отрицательна, при J<0 и не-
определенной / форма ср должна быть либо неопределенной, либо
положительной.
Для определения несобственных представлений бинарной формы <р
через / служит следующий метод Гаусса (D. А. 2о, art. 284). Если
представление (46) несобственное, то числа а'/?" — а — а/?",
aft'— a'ft имеют общий наибольший делитель £>1, и из (47) видно,
что е2 делит d; мы будем говорить, что представление (46) принадлежит
к числу е. Обозначая через-х> 0 общий наибольший делитель чисел
а, а', а и полагая а = на, а'=ха', а"~па", е — кр, (р— целое,
положительное), найдем, что определители а'ft” — a" ft', a” ft — aft",
aft' — a'ft делятся на отсюда (так как а, а', а" не имеют общего
делителя) выводим (§ 10, лемма I), что ft == Ха, ft' = Xa', ft" = Ла"
(mod/<), где Л— целое число, которое можно предполагать большим
или равным нулю и меньшим р. Полагая ft = Ла -j- pb, ft' = Ла' + pb',
ft"l= Ла* + pb”, найдем, что определители матрицы Q °, равны со-
(а а' а('\
ответствующим определителям матрицы L	умноженным ка е, так
что определители последней матрицы суть числа без общего делителя.
Внося в равенство (46) значения
а~иа,	а’=ха',	а" = ха",	1
Д=Яа + ^, /Г = Яа'+/г&', 0" = Ла" + /лЬ" )	(52)
И полагая Т = at + Ли, U = /ли, найдем
р/2 + 2qtu + ru‘i = j(aT + bU, a'T + b'U, a"T + b"U).
142
ГЛАВА IV
В правой части стоит целочисленная бинарная форма переменных Т, U*
I 2	1
Таким образом подстановка /== — Т—переводит ср
в целочисленную форму переменных Т, (7, и выражения аТ + bU,
a'T-j-b'U, a”T + b”U дают собственное представление этой новой
формы через /. Итак, для получения всех представлений ср через /,
принадлежащих к заданному квадратному делителю е числа 7, нужно
поступать следующим образом. Разбиваем число е всевозможными:
способами на два целых положительных множителя и и р и для каждого*
разбиения даем числу Я значения 0, 1, 2, ..., р— 1; преобразовываем
/ £ — А \
данную форму ср подстановками I %	е | определителя А в форму ср''
\ 0	А /	е
и отбрасываем все те подстановки, для которых полученная форма <рг
не будет целочисленной. Для каждой из оставшихся подстановок ищем
все собственные представления а, a', a"; b, b', Ь" формы ср' через f
и по ним определяем искомые представления а, а\ а*; /3, /?', /Г по
формулам (52) Легко видеть, что таким образом получим все представле-
ния 99, принадлежащие к числу £, и каждое по одному разу. Итак,,
определение всех представлений бинарной* формы тройничною приводит-
ся к решению вопроса об эквивалентности тройничных форм (§ 13).
прежде чем переходить к представлению чисел тройничными форма-
ми, докажем следующие леммы (Gauss 20, D. A., art 234, 279):
Лемма I. Для любых трех целых чисел а, а’, а" можно найти
таблицу шести целых чисел	для которых т'п"— т"п'=
= а, т"п — тп" = а', тп' — т'п — а". Очевидно можно предположить,
что а, а', а" не имеют общего делителя. Возьмем два непропорциональ-
ных решения р, р', р" и л, л', л" уравнения ах + а'х' + я"х" = О
(если, например, а ф 0, то можно взять р = а‘, р' = — а, р" = 0 и
п = а", п' — 0, п" —— а); тогда р'л"— р"л' = ра, р"п—рп" = ра\
рп' — р'п — ра”, где рфО— целое число. Если р ф + 1, то (пред-
полагая л, п', п" не имеющими общего делителя) по лемме I § 10
можем написать р===Лп, р' = Хп', р"===Лп" (mod р). Положив
р—Лп + рт, р' = Лп' + рт', р" = Ял" + рт", получим числа
т, т', Л2"; л, п', п”, обладающие требуемым свойством.
/т п \
Лемма II. Если две прямоугольные матрицы о —1т' п' ] и т —
\т" п'' /
fg h \
— \g'hf ] имеют одинаковые определители, т. е.
\g" h" J
т'п”— m"n' = g'h” —g"h' — L, m"n — mn" = g”h —gh" =*L',
mn'-m'n ~ghr—g'h = L,r,
причем числа
целочисленная
L, L', L" не имеют общего делителя, то найдется
квадратная матрица 3=	определителя + 1,
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ	143>
для которой т = cr S {при умножении строки о умножаются на
столбцы S). Из условий леммы вытекает, что можно подобрать целые
(т п I \
т' п' Г I
т" п" I" J
/о h I \
и В = ( g' h' l' j были равны -f-1, откуда ясно, что А В есть цело-
Vg" /z" l"J
/а р 0 \	/а в \
численная матрица формы (удо ); матрица S = (	) имеет опреде-
\о о 1 /	/
литель +1 и обладает требуемым свойством.
Метод Гаусса для определения представлений данного числа данной
тройничной формой (D. А. 20, art. 280) основан на формуле (47) и
тесно связан с рассмотренным уже вопросом о представлении бинарной
формы. Представление числа, как обычно, называется собственным^
если представляющие числа не имеют общего делителя; очевидно, что
достаточно найти все собственные представления данного числа. Пусть.
d ф 0 — определитель бинарных форм, / — данная тройничная, F — союз-
ная с нею форма. Из формулы (47) вытекает, что каждому собствен-
ному представлению (46) любой бинарной формы <р = pt2 + 2qtu + ru2
определителя d через f соответствует собственное представление
— d = F{a, a', a"), а = а'р" — а"р', а'=а"р—ар\
а" = а/3'— а’Р
числа — d союзной формой F; мы будем говорить, что представле-
ние а, а', а” числа —d через F принадлежит к представлению а, а',
а''; & , Р" формы (р через /. Относительно этой принадлежности
имеют место следующие заключения:
1)	Каждое собственное представление а, а', а" числа —d через F
принадлежит к некоторому собственному представлению некоторой формы (р
определителя d через /. Действительно, определим (лемма I) шесть чисел
а, а', а''; /3, /?', р" так, чтобы алгебраические дополнения элементов
/а р О х
третьего столбца матрицы S = ( а' /Г о ) были равны а, а', а", и рас-
\а" Р" о /
смотрим бинарную форму переменных /, и
(р = / {at a’t + P’U, a"t + P"u).
Эта форма есть результат преобразования формы / подстановкой S.
Если рассматривать (р как тройничную форму и составить ее союзную,
то третий диагональный коэфициент в ней будет — d', где d' — опре-
делитель 99; замечая, с другой стороны, что элементы третьего столбца
в S суть а, а', а", и принимая во внимание равенство F {а, а'. а") =—d,
получаем d' = d. Итак, представление а9 а', а" принадлежит к собствен-
ному представлению а, а', а"; Р, Р\ Р" формы (р определителя d
через /.
144
ГЛАВА IV
2)	Пусть бинарная форма <р эквивалентна форме и переводится в
нее подстановкой S = определителя 4-1. Тогда каждому собствен-
ному представлению <р через /
<p = f(mt + nu, m't + n'u, m"t + n"u)	(53)
отвечает собственное представление у>
V = /(£*' + hu', g’t' +hu’, g"t'+h"u’'),	(54)
где положено t — at' 4- и = yt' 4- ди' и
g — та + ny, h = mfi + nd;
g’=m'a+n'y, h' — m'P + n'd;
g" = m"a 4- n"y, h" = m"p + n"d.
(55)
/m n \
Изображая представления (53) и (54) в виде матриц а = ( т' п' \ и
\т" n''J
/g й \
т = ( g' h' ], можем записать зависимость (55) в виде равенства т = aS,
\g" h"l
причем умножение матриц производится как обычно: строки а на
-столбцы S. Из (55) вытекает:
т'.ч" —	' = g'tf'—g"h’,
т"п— тп" = g"h—gh", •
тп'— т'п = gh' —g'h,
(56)
т. е. к представлениям (р и гр через /, изображаемым матрицами сг и т,
принадлежит одно и то же собственное представление — d через F.
Итак, представления всякой формы эквивалентной 99, через / при-
водят к тем же представлениям — d через F, что и представления <р.
Этот результат справедлив и в случае у) = % т. е. когда S есть одна
из подстановок, переводящих <р в себя.
3)	Обратно, если два представления (53)
определителя d через / приводят к одному и
представлению —d через F, т. е. имеют место
лемме II существует целочисленная матрица S == Q j определителя ф1,
для которой т == aS. Другими словами, данные представления свя-
и (54) форм (р и у)
тому же собственному
равенства (56), то по
заны зависимостью (55), откуда при помощи (53) и (54) вытекает,
что 99 переводится в у) подстановкой S. Из изложенного ясно, как
следует поступать для определения всех собственных представлений —d
формой F. Пусть 99ь 9?2, ... — все неэквивалентные бинарные формы
определителя d, допускающие собственные представления через /.
Найдем для каждой формы <рг все ее собственные представления через /,
матрицы которых 07, aif а^ ... не связаны зависимостями вида crjft)= фг)3,
где 3 — подстановка, переводящая ypi в себя. Переходя от полученных
представлений 9?р (p2i ... через / к представлениям — d через F по
формуле (47), получим все собственные представления —d формой F и
каждое по одному разу.
Общий случай, когда требуется представить любое целое число
М ф 0 данною тройничною формою / определителя Zl ф О, легко
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
145
сводится к рассмотренному частному случаю. Если F—форма, союзная
с /, то союзная с F будет А]. Так как наша задача равносильна на-
хождению представлений числа ДМ формою d/, то для ее решения
нужно рассматривать собственные представления бинарных форм опре-
делителя —ДМ тройничною формою F. Итак, задача нахождения пред-
ставлений числа данною тройничною формою также приводится к
третьему вопросу Гаусса (§ 13).
§ 15. Приложение к бинарным формам, теорема Редея. Изложен-
ные методы позволяют прежде всего доказать теорему Гаусса о родах
(§ 12, теорема 16). Пусть F == (Л, В, С) — данная форма главного рода
определителя d (так что F — чисто коренная и при d < 0 положитель-
ная форма). Будем искать собственные представления обратной формы
F' = (А,— В, С) тройничною формою / = х2—2yz; нетрудно видеть,
что все условия, необходимые для существования собственных пред-
ставлений (§ 14), в данном случае выполнены. В самом деле (ср. пункты
I, II, III § 14): I. Так как определитель / есть А = —1 и F принад-
лежит к главному роду, то —А = 1 является для F характеристическим
числом (§ 12), так что система сравнений (49) имеет решение Л4, N.
II. Составляя для взятого решения М, N тройничную форму g [см.
§14, формулы (51)], находим, что g будет целочисленной формой
определителя —1. III. Составленная форма g является неопределенной
формой (так как F при d<0 положительна), и так как, по § 13, всякая
неопределенная форма определителя —1 эквивалентна /, формы g и f
/а fl у \
эквивалентны. Взяв подстановку S = ( a' fl' у' \ определителя ± 1,
\а" fl" y"J
переводящую / в g, найдем искомое собственное представление F'
через /:
Ах2 — 2Вху + Су2 = (ах + ^у)2— 2 (а'х + 0'у)(а"х + £"у).	(57)
Обозначая числа а^ — а'Р, а'Р"— а''Р', а"(5—аР" через af b, С,
получим из формул (57) и (47)
А = а2 — 2а'а\ В = — а£ 4- а'0" + а"£', С « р2 — 2Р'Р",
d=b2—2ac.	(58)
Числа a, Ь, с не имеют общего делителя; легко показать, что одно
по крайней мере из чисел а, с будет нечетным, так что из двух форм
7?= (2а, —Ь, с),	=	—Ь,2с) [определитель которых по (58) равен d]
одна будет чисто коренной. В самом деле, при а и с четных b—нечет-
ное, и равенства ba + Са' + аа" = 0, bp 4- cP' 4- ар" = 0 показывают,
что а и р — четные, откуда по (58) заключаем, что Д С — четные, что
невозможно, так как F — чисто коренная форма. Из (58) выводим, что
подстановка
X = 2р' хх' + рху' + Рух' + р"уу
¥ = 2а'хх' + аху' 4- аух' + а"уу'
Ю Теория чисел
146
ГЛАВА IV
переводит (по терминологии Гаусса, § 10) форму F (X, Y) в произведе-
ние ср (х, у) д?(х', у'); аналогично подстановка
Х= р'хх' +0ху' +?ух' + 2^"уу', 1
Г	(ОУ)
Y = а'хх' + аху' + аух' + 2а уу' J
переводит F в произведение у>у>. Для проверки этих утверждений нужно
только, по сказанному в § 10, проверить систему соотношений (29).
Выше было замечено, что одна из форм у) (например у) чисто корен-
ная; тогда из преобразуемости F в и из того, что F и у) имеют
один и тот же определитель d, по свойствам композиции Гаусса (§ 10,
заключение 3) вытекает, что F composita из у) и у) [что можно доказать
и непосредственно, проверив, что шесть определителей подстановки (59)
не имеют общего делителя]. Итак, класс формы F является квадратом
класса что и доказывает по § 12 теорему о родах. Изложенное
доказательство теоремы 16 основывается на композиции Гаусса; поль-
зуясь формулой (57), легко доказать ту же теорему с более простой
композицией Дирихле (§ 10). По замеченному выше, одно из чисел
а ~ aft'— a'ft или c~a''ft—aft" нечетное; предполагая а нечетным,
докажем, что числа а, а', а"; ft, ft', ft" всегда можно выбрать так,
что а будет взаимно простым с 2d. В самом деле, подстановка
/1 О 2г \
Т = ( 2г 1 2г2 I (г— целое число) переводит / = х2— 2yz в себя; заменяя
\0 О 1 /
на этом основании взятую выше подстановку S, переводящую / в g, подсга-
/«i fti 71 \
новкою TS = I ai Л j, находим, что числа а1? а', а/; ftlf ft„ft" также
\<<</
дают собственное представление формы F' через /. Вычисляя для этих чисел
величину а± = atfti —а/ получаем ак = а + 2сг2— 2Ьг, т. е. квадрат-
ный полином относительно г, коэфициенты которого не имеют общего
делителя и значение которого при надлежащем выборе г будет взаимно
простым с 2d. Итак, в представлении (57) формы F' через / можно
предполагать число a— aft'— a'ft взаимно простым с 2d; полагая в
(57) x = ft', у = —а', получим F(ft', а) = а\ т. е. данная форма F
представляет квадрат, взаимно простой с 2d. Отсюда ясно, что F
эквивалентна форме вида (/п2, Z, л), где тп взаимнб просто с 2d; из
равенства I2— m2n — d видно, что m взаимно просто и с 21, т. е. что
форма (m, l,mri) = <р согласна сама с собой (§ 10). Определитель q>
равен d; компонируя д> с <р по Дирихле (§ 10), получим, очевидно,
форму (/и2, Z, и). Итак, класс F есть квадрат класса (р в смысле ком-
позиции Дирихле, что и требовалось доказать.
В последнее время (1933) Редей73 заметил интересную теорему,
дополняющую классический результат Гаусса о числе инвариантов
группы классов, равных степеням двойки (§ 10). Рассмотрим груп-
пу чисто коренных классов форм определителя d, положительных при
d<0. Теорема Редея позволяет узнать количество инвариантов этой
группы, имеющих вид 2а, а >2, т. е. делящихся на 4 (см. Redei 73).
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ	147
Обозначая через п количество этих инвариантов, через т количество
инвариантов, равных 21 (так что общее количество инвариантов, рав-
ных степеням двойки, есть т + и), легко видеть, что число классов К,
для которых К4= 1, будет 2т = 2w + n2n, Полагая /<2= Д, находим
Д2=1, т е< д есть класс anceps, принадлежащий главному роду;
обратно, если А есть класс anceps, принадлежащий главному роду, то,
полагая на основании доказанной в этом параграфе теоремы 16 Д = /С2,
получаем /<4= 1. Так как классам К и /<', для которых К' ~ KAQ
(Aq — класс anceps), отвечает один и тот же класс А и число классов
anceps есть 29п4-п, то можно сказать, что количество различных классов
anceps, принадлежащих главному роду, есть 2П. Взяв для определенности
случай d =s 1 (mod 4), припомним, что в этом случае все классы anceps
получаются из рассмотрения форм (а, 0, а') (§ 9), где —d=aa' и
числа а, а' взаимно простые (при d < 0, а и а1 > 0). Таким образом
каждому разбиению числа —d на два взаимно простых множителя о, а'
соответствует класс anceps, определяемый формой (а, 0, а'). Разбиение
— d =сс' мы назовем произведением двух разбиений —d = aaf и
—-d = bb\ если класс (с, 0, с’) есть произведение классов (а, 0, а') и
(&, 0, &'). Назовем несколько разбиений — d = аа', — d~ bbf,... неза-
висимыми, если соответствующие им классы anceps А, В, ... не связаны
зависимостью вида Ах Ву... = 1, где хоть один из показателей X, у, ...
нечетный. Заметим теперь, что классы anceps, принадлежащие к главному
роду, образуют группу, базис которой по сказанному выше состоит из п
независимых элементов. С другой стороны, форма (а, 0, а') принад-
лежит к главному роду только тогда, когда = 1 для каждого прос-
того числа р' из а' и = 1 для каждого простого р из а (т. е.
когда каждое из чисел а, а’ есть квадратичный вычет другого). Соеди-
няя эти замечания, можем формулировать теорему Редея: число инвари-
антов группы классов, делящихся на 4, равно числу независимых
разбиений — d на два взаимно простых множителя а, а'9 из которых
каждый есть квадратичный вычет другого. Аналогичный результат
получается и в случае d $ 1 (mod 4). Рейхардт74 обобщил эту теорему
на случай инвариантов, делящихся на любую степень 2.
§ 16. Разложение чисел и бинарных форм на сумму трех квад-
ратов. Приложим общую теорию представления чисел и бинарных форм
тройничною формою / (§ 14) к частному случаю/= х2 + у2 + Z2. Рас-
смотрим сначала собственные представления данной бинарной формы
s (Р, Чу ГУ Для существования их ср должна быть положительной,
коренной и иметь —1 характеристическим числом. Обозначая определи-
тель ср через —пи припоминая результат § 12, можем сказать, что
либо п = 1, 2 (mod 4) (и тогда <р — чисто коренная), либо и = 3 (mod 8)
(и тогда <р — не чисто коренная). В обоих случаях <р должна принадле-
жать к вполне определенному роду Go, для которого значения родовых
характеров имеют вид	(jjr) > • •* ^Ри выполнении этих усло-
вий система (49) § 14 имеет 2^ решений (§ 12); далее тройничная
10*
148
ГЛАВА IV
форма g, составляемая по правилу II § 14, будет всегда целочисленна и
эквивалентна х2 + у2 н-г2 (§ 13). Предполагая п > 2 и принимая во
внимание, что форма х2 + У2 + Z2 имеет 48 преобразований в себя (§ 13),
можем сказать на основании замечаний 1 и 2 § 14, что ср имеет
48’2(п)“1 = 24-2кП) собственных представлений через х2 + У2 + Z2.
Этот результат, как легко видеть (Gauss, 20, D. A., art. 290), справедлив
и для исключенных случаев л=1, 2. Итак: для существования соб-
ственных представлений данной положительной бинарной формы <р
определителя — п суммой трех квадратов необходимо и достаточно,
чтобы или n = 1, 2 (mod 4), и тогда <р должнй принадлежать к роду Go
чисто коренного порядка, либо (mod 8), и тогда (р должна
принадлежать к роду Go не чисто коренного порядка, причем GQ в
обоих случаях определяется значениями характеров ^(99)=
(pt — все нечетные простые делители п). При выполнении этих усло-
вий количество собственных представлений <р суммой трех квадратов
равно 24*2(п). Отсюда по методу § 14 легко вывести количество соб-
ственных представлений данного числа п суммой трех квадратов. Так
как форма x2 + y24“Z2 совпадает со своей союзной, то вопрос приво-
дится к рассмотрению собственных представлений бинарных форм опре-
делителя — п через х2 + у2 + Z2. Следовательно, для существования
собственных представлений должно быть п = 1, 2 (mod 4) или п = 3
(mod 8) (что легко видеть и непосредственно из уравнения л = х2 -Ну2 4~ Z2
при х, у, Z, не имеющих общего делителя). Пусть (ръ (р2, ... — все не-
эквивалентные бинарные формы рода Go определителя — л; предполагая л
отличным от 1 и 3, можем сказать, что каждая из форм q>i перево-
дится в себя только двумя подстановками (1	. Поэтому по пра-
вилу § 14 из 24*2(п) собственных представлений (pt через х2 + у2 + 22
нужно удержать половину; замечая, наконец, что число форм <pi равно
—у при п= 1, 2 (mod4) и при n = 3(mod 8) (й, й' — коли-
чества чисто и не чисто коренных классов), получаем следующую теорему
Гаусса (D. А. 20, art. 291):
Теорема 18. Количество представлений данного числа п>0
суммой трех квадратов, не имеющих общего делителя, равно 12/z при
п=1, 2 (mod 4) и 24й' при n = 3(mod8). При этом huh' суть
числа чисто и не чисто коренных классов положительных форм опре-
делителя — п; число л предполагается отличным от Л и 3.
Для л = 1 и л = 3 количества собственных представлений формой
X2 + у2 + Z2 суть соответственно 6 и 8, так что для этих случаев тео-
рема не верна. Еще Ферма заметил (в другой только форме) возмож-
ность представления числа вида 8m 4-3 суммой трех квадратов (так
называемая теорема Ферма о фигурных числах, см. примечания к этой
главе). Точное количество представлений для случая простого п было
найдено по индукции Лежандром (см. 39, стр. 338); но ни Ферма, ни
Лежандр не дали строгого доказательства своих утверждений, и впервые
оно было дано Гауссом. Другое доказательство теоремы 18, основанное
на методах Лиувилля, будет изложено в главе VI. Нужно отметить, что
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
149
до сих пор не дано короткого и простого (т. е. независимого от теории
квадратичных форм) доказательства хотя бы только возможности пред-
ставления данного числа формы 4п + 1, 4п + 2 или 8п + 3 суммой
трех квадратов (см. примечания к этой главе, стр. 155).
Теорема 18 позволяет найти количество всех представлений 7V3 (п)
данного числа п > 0 суммой трех квадратов (при этом, как обычно,
два представления п = %2 + у2 + 22, я = %'2 + у'2 + Z'2 считаются оди-
наковыми только при х =х', у = у', Z = г'). Чтобы получить закончен-
ное выражение для величины N3 (п), введем две новых числовых функ-
ции F (77) и G (п) следующим образом. Пусть G (/7) есть число всех клас-
сов положительных бинарных форм определителя —п; F (ri) есть число
классов, на которые распадаются формы с н'ечетным делителем (т. е.
формы, у которых хоть один из крайних коэфициентов нечетный). По-
ложим для всякого п > О
F(n)	, G(ri) = ё(л)-{1|-{|} ,	(60)
n=s2, s неч.	n=s2 n=3s2
причем знак l-M изображает ~ при /7, равном нечетному квадрату, и 0
n=>s2, s неч.
в остальных случаях; другие знаки имеют аналогичное значение. С фун-
кциями F(/?), G(ri) нам постоянно придется иметь дело в гл. VI. Обоз-
начая через h (т) число чисто коренных положительных классов форм опре-
делителя — можем написать для всякого п
7й«) = 2л(£),	(61)
где сумма берется по всем нечетным квадратным делителям д числа п.
Отметим теперь несколько важных соотношений, существующих между
функциями 7V3(/?), F (я), G(77) и непосредственно вытекающих из тео-
рем 14, 15 и 18. При т?= 1, 2 (mod 4) у каждой формы определителя —п
по крайней мере один из крайних коэфициентов нечетный, следова-
тельно, G(ri) = F (п); принимая во внимание формулы (60), (61) и
теорему 18, находим
^з	G(n) = F(ri) при /7=1, 2 (bod 4).	(62)
При 77=3 (mod 4) имеем
= 2 л(Д+ 2 Й'(Д).	(63)
причем обе суммы берутся по всем квадратным делителям /2, a hf (т) обоз-
начает число не чисто коренных положительных классов определителя — 777.
Пусть сначала /7 = 7 (mod 8); тогда 77, очевидно, не представля-
ется суммой трех квадратов. Кроме того, .по теореме 14 имеем h'
= h , так что окончательно
N3(/7) = O, G(ri) = 2F(п) при п=7 (mod 8).	(64)
150
ГЛАВА IV
Аналогично из теоремы 14, 18 и формул (60), (61), (63) получаем
N3(n) = 8F(n), G (zz) = ~F(n) при n = 3 (mod 8).	(65)
Пусть, наконец, n делится на 4, т. е. п == 4т. Из уравнения 4т = х2 +
+ y2 + z2 вытекает, что все числа х, у, Z четные, так что N3(4zn) =
= AT3(z7z); применяя далее теорему 15, получаем для всякого т
N3 (4т) == N3 (т), F (4т) = 2F (т), G (4т) = G (т) + 2F (т). (66)
Все рассмотренные случаи можно соединить вместе и высказать следую-
щий результат: количество N3(n) представлений п суммой трех квад-
ратов выражается при всяком п> 0 так:
N3 (п) = 12 [2F (n) — G (п)],	(67)
где функции F(n) и G(n) определяются формулами (60).
Обращаясь к определению количества всех представлений данной
положительной бинарной формы
кх2 + 21ху + к'у2	(68)
суммой трех квадратов, ограничимся случаем, когда первый коэфициент к
не делится на квадрат. При таком предположении общий наиболь-
ший делитель fc, I и к' можно представить в виде PQ, где Р — произ-
ведение тех простых чисел р, которые входят в кк' — /2 с четным по-
казателем a, Q— произведение простых чисел q, входящих в кк'—I2
с нечетным показателем fi. Далее обозначим через N произведение
простых чисел п, делящих к и /, но не делящих к'. В случае, когда
простых чисел какого-либо типа р, п нет вовсе, соответствующее
число Р, Q, N считаем равным единице. Положим
к = PQNR, кк1 — I2 = П р« П NL.	(69)
Числа Р, Q, N, R} L все положительные и, как легко видеть, попарно
взаимно простые. Теперь можем формулировать следующую теорему
(Б. А. Венков 96): для того чтобы форма (68) представлялась в виде
суммы квадратов трех целочисленных линейных форм перемен-
ных х, у
(ах + а'у)2 + (Ьх + Ь’у)2 + (сх + с'у)2,	(70)
необходимы и достаточны следующие условия: 1) числа —QNL и
— PRL должны быть квадратичными вычетами соответственно для Р
и QN, 2) каждый нечетный простой множитель г из А, для которого
----) = —1, должен входить в L с четным показателем. При выпол-
нении этих условий количество S представлений формы (68) в виде
(70) равно
S = 24.2(PQ2V) 2	(71)
где (PQN), как всегда,— число различных нечетных простых делителей
PQN, а сумма берется по всем нечетным делителям д числа L.
Доказательство этой теоремы основано на изложенном в § 14 методе
Гаусса для определения несобственных представлений формы (68) через
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
151
х2 + У2 + Z2. Согласно этому методу, для того чтобы получить все пред-
ставления (68) в виде (70), принадлежащие к заданному квадратному де-
лителю е числа кк'— I2, нужно преобразовывать форму (68) всеми подста-
/± — Д\
новками вида Т— I *	\ ) (к > 0, р > 0, е = я/г, Я — 0, 1,... , р — 1)
\ о	Д /
\	/4/
/2__
в форму 99 = (А, В, С) определителя — D = —— и удержать те под-
становки Т, для которых форма 99 целочисленна и обладает собствен-
ными представлениями через X2 + у2 + Z2. Если число таких подстановок Т
обозначим через g, то число всех представлений формы (68), принад-
лежащих кделителю е, будет на основании теоремы в начале этого параграфа
равно 24*2^g\ искомое же число S всех представлений изобразится
суммой 24 2 2(В) g, взятой по всем квадратным делителям е числа кк' — I2.
Так как число к, по предположению, не имеет квадратных дели-
телей, то для целости первого коэфициента 99 = (А, В, С) необходимо,
чтобы №= 1, р = е, Я = 0,1, с — 1. Тогда коэфициенты 99 имеют
значения:
А = к, В =
’	е
К—21Л + к№
е*
(72)
Если форма 99 целочисленна, то для существования собственных пред-
ставлений ее суммой трех квадратов она должна удовлетворять следую-
щим условиям (теорема в начале этого параграфа): 1) она должна быть ко-
ренкой, 2) число D = АС— В2 = —%— должно быть = 1, 2 (mod 4) или
== 3 (mod 8); в последнем случае 99 должна быть не чисто коренной,
3) для каждого нечетного простого числа г из В должно быть(—~) = 1,
если г делит А, и = 1, если г не делит А. Для упрощения этих
условий заметим, что условие 2 при соблюдении условий 1 и 3 может быть
заменено таким: D $ 0 (mod 4). Действительно, при В, не делящемся на 4,
либо В =1,2 (mod 4), либо В==3 (mod 4); во втором случае форма 9?
не может быть чисто коренной, так как иначе произведение характе-
ров ^(99), соответствующих простым г, входящим в В с нечетным пока-
зателем, было бы равно на основании условия 3 П	~ —1,что
противоречит соотношению между родовыми характерами в чисто корен-
ном порядке [формула (36) § 12]. Таким образом при B = 3(mod4) 99
должна быть не чисто коренной формой; применяя к ней соотношение
между родовыми характерами в не чисто коренном порядке [формула (37)
§ 12], получаем, на основании условия 3, —1 = (	откуда В ==3
(mod 8); итак, условие 2 вытекает из утверждения ВФ 0 (mod 4).
Таким образом мы должны величины е, Я подбирать так, чтобы коэ-
фициенты формы 9?, определяемые равенствами (72), удовлетворяли сле-
дующим условиям: а) числа А, В, С целые, Ь) А, В, С не имеют общего
Делителя, с) В = АС — В2 Ф 0 (mod 4), d) для всякого нечетного прос-
152
ГЛАВА IV
того г из D ^ = 1 или	1, смотря по тому, будет ли А Ф О
или А = 0 (mod г). Из (72) видно, что если ср удовлетворяет условиям
а) и Ь), то каждый простой множитель ц, общий к, I, к'9 делит е и
притом так, что D не делится на и2 (последнее вытекает из равенства
D = АС — В2); обратно, если е содержит каждый простой множитель
fck'________________________/2
и, общий к, I, к1, и D =—не делится на и2, то форма д?, если она
целочисленна, будет коренной. Припоминая определение чисел Р9 Q, ... , L
[см. (69)], можем положить е=Пр2 ГТ/ 2 е1? причем ег есть квадрат-
ный делитель L, так что L == е2 и D = —— ~QNLr Так как QN не
делится на квадрат и взаимно просто с L, то условие с) для формы д>,
т. е. D $ 0 (mod 4), равносильно такому: Ф 0 (mod 4). Далее усло-
вие d) для <р распадается на два: d') —к квадратичный вычет L± (что
равносильно условию 2 в формулировке теоремы) и d") — С квадратич-
ный вычет QN. Переписав равенство D = АС— В2 в видё = PRC —
/ В \2	4
—	’ видим* чт0 Условие dzz) равносильно такому: —PRL квад-
ратичный вычет QN (см. условие 1 в формулировке теоремы). Очевидно,
что все эти условия (выписанные в предположении, что форма <р цело-
численна) не налагают никакого ограничения на величину 2 в формулах (72);
эту величину мы и подберем так, чтобы В п С были целыми. Так как
(к9 е) — PQ и эта величина делит /, то все 2, для которых В целое,
имеют вид: 2 == 20 + г, где 20 — наименьшее из этих значений 2,
-г ч
a v = 0, 1, 2, PQ — 1. Полагая Во =—-—- и замечая, .что е
взаимно просто с NR9 находим, что коэфициент С будет, целым одно-
временно с числом
2/2 +	(B0~NRa)^+ D
е2	PQi
Так как D—QNL^ делится на Q, то Во — NRv = 0 (mod Q), что
определяет вычет v по модулю Q. Далее для целости (73) необходимо, что-
бы —D или — QNL было квадратичным вычетом числа Р (см. условие 1
в формулировке теоремы). При выполнении этого условия существует
g = 2(Р) значений v по модулю Р, для которых (73) будет целым, и столько
же подстановок Т (для данного с), при которых форма ср будет цело-
численна и удовлетворяет всем поставленным выше условиям. Полное
число представлений формы (68) суммой трех квадратов выражается так:
S = 24 2 2(D)g = 24-2(PQJV) 2 2(L]),
(73)
причем последняя сумма берется по всем представлениям L в форме L=
= (ег > 0), для которых не делится на 4 и — к квадратичный
вычет Эту сумму уже легко преобразовать в выражение (71).
Доказанная сейчас теорема получит важное применение в гл. VI при
доказательстве так называемых формул Дирихле.
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
153
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV
К § 1. Систематическое изложение гауссовой теории квадратичных форм,
кроме „Disquisitiones Arithmeticae“ Гаусса 20 и указанных в примечании к § 1 гл. I
больших учебников теории чисел, см. также' в литографированных лекциях4
Bianchi „Lezioni sulla teoria aritmetica delle forme quadratiche binarie e ternarie* *
(1911—1912 гг.). На русском языке эта теория (вместе с относящимися к ней
аналитическими исследованиями Дирихле) изложена в литографированных лекциях
Граве „Арифметическая теория алгебраических величин*21 (1910). Подробные биб-
лиографические указания см. в III томе „History of the theory of numbers* Ник-
сона 13. Числовая функция /(п), выражающая количество представлений данного
числа п бинарной формой (положительного или отрицательного определителя),
изучена в работах Полла (G. Pall)67,68.
К § 4.
Минимумы Ad и
найденные в этом параграфе для
форм "|^/*А d (х2 + ху — у2) и -1 d (х2 + 2ху— у2), представляют только пер-
вые два члена из неограниченного ряда таких минимумов, данных А. А. Марко-
вым в диссертации „О бинарных квадратичных формах положительного опреде-
лителя" 54. Обозначим через
V nxd, У ntd , у n3d, ...	(74)
минимумы и через
/1, Ь, Л, •••	(75)
соответствующие им неопределенные бинарные формы определителя d>0. Пер-
вые члены этих рядов имеют следующие значения:
Пз=§2,...; }1=y±.d(x*+xy-y*),
/2 = 1/v d (%S + 2хУ~ У2)- /з = 1/ 4? ^(5х2+Иху — 5у2), ...
т и	Т Л 2 1
А. А. Марков доказывает, что ряды (74) и (75) обладают следующими свой-
ствами:
4
1) Числа пл, п2, п3, ... постоянно убывают и стремятся к пределу — ; при
9
всяком	есть минимум формы 4 для целых значений переменных, не
равных одновременно нулю.
2) Если неопределенная бинарная форма / определителя d не может быть
сделана по абсолютному значению меньше Vnkd целыми, не равными одновре-
менно нулю значениями переменных, то она эквивалентна одной из форм flt f2, . ..,fk
и, следовательно, минимум ее
3) Каждое число nk имеет
щее тем свойством, что можно
чисел q^> 0, г
каждого решения этого неопределенного
1
2_____1J
4 q2
1
числах р, q, г числа -------р ,
4	р24
есть одно из чисел' yrn1d, Уп2й, ..-,Упкс1.
вид ——-—— , где р > О — целое число, обладаю-
4 р2
подобрать бесчисленное множество пар целых
О, связанных с р уравнением р2 + q2 4- г2 = 3pqr, обратно, для
уравнения в целых положительных
1
------- заключаются в ряду nlf п2,
г2
.. При этом 'А. А. Марков дает простой способ для определения всех
решений уравнения р2q2г2 = 3pqr. Указанные результаты получаются из
гу
154
ГЛАВА IV
рассмотрения некоторых периодических непрерывных дробей, тесно связанных с
вопросом Ивана Бернулли (см. § 13 гл. II).
Другое простое доказательство основной теоремы этого параграфа (если две
приведенные формы положительного определителя эквивалентны, то одна из них
содержится в периоде другой) дал Мертенс 58; он ограничивается случаем цело-
численных форм.
К § 1—12. Мы излагали теорию бинарных форм, следуя классическому обо-
значению Гаусса, при котором бинарная форма пишется в виде (а, Ь, с) = ох24-
4- 2Ьху + (с четным средним коэфициентом). Однако в некоторых отделах со-
временной теории числел (например в теории идеалов) является целесообразным
писать бинарную форму в виде {a, b, с} ~ ах2 + Ьху + су2 с любым (четным
или нечетным) средним коэфициентом Ь. Определителем формы {а, Ь, с} будет
число d = b2 — 4ас; таким образом определитель d будет всегда либо вида 4к9
либо вида 4k 4~ 1, смотря по четности или нечетности числа Ь. Форма {а, Ь, с} будет
моренной, если числа а, Ь, с не имеют общего делителя. Переход от обозначения
Гаусса к обозначению {а, Ь, с} совершается при помощи следующих очевидных
замечаний:!) при& четном коренная форма {а, Ь, с} есть не что иное, как чисто
коренная форма [а9	, с^ определителя i- d в гауссовом обозначении, 2) при
^ нечетном {a, b, с} =i(2a, b, 2с), причем (2я, Ь, 2с) есть нечисто коренная
форма определителя dEEl (mod4) в гауссовом обозначении. Для удобства чита-
телей приводим формулировку главнейших пунктов теории в обозначении
{а, Ь, с}.
/ а 0 \
Преобразование. Если форма {а, Ъ, с} подстановкой f J переводится
форму {а', Ь', с'}, то коэфициенты новой формы выражаются так:
а' = аа2 4“ bay 4~ су2, b' = 2а а0 4- b (ад + 0у) -f- 2суд, с' = aft2 4- Ь0д + сд2.
Условия приведения. При d<0, |&| <^а^с, при d>0 и не равном квадрату
В
Композиция Дирихле. Две формы {а, Ь, с} и {а',Ь',с'} одного и того жеопре-
, b-\-b'	*
делителя будут согласными, если числа а, а , —— не имеют общего делителя
(	ь + ъ>	\
(число —— > очевидно, всегда целоеЬ
Классы anceps. Пусть определитель d = b2— 4ас не равен квадрату; тогда
при d = 1 (mod 4) число классов anceps равно 2^ \ а при d = 0 (mod 4) рав-
но числу классов anceps для гауссова определителя — d (см. конец § 9).
Родовые характеры. Пусть п — число, представляемое коренной формой
{а, Ь, с} и взаимно простое с 2d; тогда родовые характеры {а, Ь9 с} при d~l
(mod 4) будут	у ..., где р, р',... — все различные простые делители d.
При d~0 (mod 4) родовые характеры {а, Ь, с} совпадают с родовыми характе-
рами чисто коренного порядка гауссова определителя ^d (§ 12). Число родов
(при d, не равном квадрату) всегда равно числу классов anceps.
К § 13. Полное изложение арифметической теории тройничных форм см. в
указанной выше книге L. Bianchi5 (примечание к § 1), а также в книге Р. Bach-
mann „Die Arithmetik der quadratischen Formen" 3. На русском языке изложение
теории положительных тройничных форм читатель найдет в диссертации В. А.
Маркова „О положительных тройничных квадратичных формах* 57 (1897).
К § 14. Вопрос о представлении нуля данной неопределенной тройничной
формой приводится к решению в целых числах неопределенного уравнения пх24-
4~ by2 4- cz2 = 0 (Gauss,20, D. A., art. 299). При рассмотрении этого уравнения можно
ограничиться случаем, когда целые числа а, Ь, с попарно взаимно просты и не
ГАУССОВА ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ	155
делятся на квадрат (Gauss 20, D. A., art. 298). В этом предположении условия
разрешимости и самые решения уравнения ах* 2 4- by2 4- cz2 = О можно найти или
из общих теорем о тройничных формах (§ 14) (см. Gauss 20, D. A., art. 294—295)
или другим, более элементарным, способом Дедекинда (см. L.-Dirichlet14, § 156).
При этом получается такая теорема:
Пусть а, Ь, с—целые, не равные нулю, попарно взаимно простые и не деля-
щиеся на квадрат числа. Для существования решений уравнения ах2-\~Ьу2
4- cz2 = О необходимы и достаточны условия: 1) числа а, Ь, с не все одного знака
2) числа — Ьс, — са, — ab должны быть квадратичными вычетами соответст-
венно для модулей а, Ь, с. Пусть эти условия выполнены и a, ft, у—любые
числа, удовлетворяющие сравнениям а2 ~—be (mod a), ft2^ — ca (mod b),
у2 ЕЕ—0&(mod с); тогда уравнение ах2 4- by2 4- cz1 = 0 имеет бесчисленное
множество собственных решений (т. е. таких, для которых ах, by, cz не
имеют общего делителя), удовлетворяющих условиям az ЕЕ by (mod a), ftx^cz
(mod b), yy = ax (mod c).
О представлении чисел полной системой положительных тройничных форм
данного определителя см. работу Albert A. Adrian1 (1933); о представлении не-
определенными тройничными формами см. А. Е. Ross 75 (1933).
К § 15. Другое доказательство теоремы Гаусса о родах, основанное на ре-
шении уравнения ах2 4~ by2 + cz2 = 0 (см. предыдущее примечание), дано Деде-
киндом (L.-Dirichlet 14, § 157).
М К § 16. Теоремы о разложении чисел и бинарных форм на сумму трех
квадратов (§ 16 гл. IV и § 2 гл. VI) могут быть доказаны также и при
помощи арифметики кватернионов (см. Б. А. Венков 9б). Теорема 18 Гаусса
связана с одной теоремой Ферма о так называемых фигурных числах,
т. е. числах вида (<? — 2)-^-^—— + п (q— 3, 4, 5, ..., п = 0, ± 1, ± 2, ...).
£
При q = 3 получаем треугольные числа	при q = 4 получаем квадрат-
ен2 п
ные п2, при q = 5 — пятиугольные (пентагональные) —-— и т. д. Такое
название произошло от простого геометрического построения, употреблявше-
гося старыми математиками, в котором эти числа располагаются по верши-
нам правильных треугольников, четырехугольников и т. д. В частности пен-
тагональные числа играют большую роль в вопросах о разбиении чисел на сла-
гаемые (см. главу V). Ферма высказал без доказательства следующую теорему:
Всякое натуральное число есть сумма не более трех треугольных чисел, не
более четырех квадратных, не более пяти пентагоналъных и т. д. Из тео-
ремы 18 легко вывести доказательство этого утверждения для треугольных и
квадратных чисел- В самом деле, по теореме 18 число 8п -1- 3 (п>0) есть сумма
трех квадратов, которые, очевидно, должны быть нечетными; поэтому можем
написать 8л + 3 = (2х-|- 1)2 + (2у + 1)2 + (2z-f- I)2, что и дает л= *	+
£
у (у 4- 1)	z(z4~ 1) цто касается разложения на сумму четырех квадратов,
2	2
то числа л=1, 2 (mod 4) и п = 3 (mod 8) являются уже суммами трех квадратов
(по теореме 18); в случае же п = 7 (mod 8) число'и -—1 удвоенное нечетное, а
потому п — 1 = х2 + у2 + z2, и = х2 4~ У2 + z2 + I2. Таким образом каждое число,
не делящееся на 4 (а следовательно, и всякое целое число) есть сумма четырех
квадратов. В общем виде теорема Ферма была доказана Коши в 1815 г. (см.
Bachmann3, стр. 154).
ГЛАВА V
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
§ 1. Точечные диаграммы, теоремд Эйлера-Лежандра. Классичес-
кая теория чисел, изложенная в предыдущих главах, основывается в
значительной степени на образовании целых чисел из простых множи-
телей путем умножения и потому может быть названа мультипликатив-
ною. В настоящей главе мы рассмотрим другую, гораздо менее разра-
ботанную часть теории чисел, изучающую составление чисел путем сло-
жения/и которую поэтому можно назвать аддитивной теорией чисел.
Собственно говоря, преждевременно называть эту область исследований
„теорией44, так как в ней отсутствуют еще общие методы и общие точки
зрения, характеризующие всякую теорию; состояние ее во многом напо-
минает состояние классической теории чисел до появления „Disquisitiones
Arithmeticae" Гаусса.
Начало этой части теории чисел положено знаменитыми исследова-
ниями Эйлера, изложенными в мемуаре „De partitione numerorum“ (см.17,
т. I, стр. 73) и известными под названием теорем о разбиениях (partitio
numerorum). Эйлер получил свои теоремы аналитически, выводя различ-
ные соотношения между степенными рядами и приравнивая затем в по-
лученных равенствах коэфициенты при одинаковых степенях переменного.
В этом параграфе будут изложены арифметические доказательства глав-
нейших теорем Эйлера.
Обозначая через х и z переменные величины, модули которых мень-
оо
ше единицы, и развертывая бесконечные произведения (Д (1 + хп) и
п—1
со
(1 + Л) в ряды по степеням х и г, положим
71 = 1
СО	СО
п (1 + хп) =1+ 2Л(п)хп,
”1	! (О
п (1 +'ХП2) = 1+ 2 /. (п, т) xnzm. I
п~1	п. тп—1	J
Очевидно, что A(z?) есть количество представлений п в виде суммы
неравных целых положительных слагаемых, причем число слагаемых мо-
жет быть какое угодно. При счете представлений два представления, от-
личающиеся друг от друга только порядком слагаемых, не считаются
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
157
за различные; например, для числа 6 имеем представления 1 + 2 + 3 =
= 1 -|- 5 = 2 + 4 = 6; Я (6) = 4. Подобно этому знак Л(п, т) есть ко-
личество представлений п в виде суммы т неравных целых положитель-
ных слагаемых. Далее из формул
оо	оо	со	оо
П;~+= 1 +	П1-Лг = 1+2 p(n,ni)xnzm, (2)
i=l	n=l	w==1i~xz	и, m—1
оо	оо
П(1+х2п-1) = 1+ 2^(»)хп,
n=l	n=1
ОО	03
П —2-^г = 1 + 2е(я)хп (3)
п=1 1-Х
получаем следующие числовые функции: /z(n) — количество представле-
ний п в виде суммы равных или неравных целых положительных сла-
гаемых в произвольном числе (например, для числа 6 имеем: 1+1+1+
+ 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 2 + 2 =
= 1 + 1+ 4= 1 +2 + 3 = 2 + 2 + 2= 1+5=2 + 4 = 3 + 3=6;
/z(6) =11. В обозначении этой функции/z (я) ставим черточку наверху
для отличия от функции Мёбиуса /г(я), см. § 2 гл. I); /г(я, т)—
количество представлений п в виде суммы т таких же слагаемых, как и
в предыдущем случае; v (ri)— количество представлений п в виде суммы
неравных положительных нечетных слагаемых и q (и) — количество пред-
ставлений суммою равных или неравных положительных нечетных слага-
емых. Все эти величины (так называемые аддитивные числовые функции)
обладают многими замечательными свойствами, изложенными в этом и сле-
дующих параграфах. Обозначая левую часть второй формулы (2) через / (z),
Эйлер получает для этой функции соотношение /(xz) = (1—xz)/(z),
откуда выводит
Сравнение коэфициентов при xnZm (n > rri) в обеих частях этого ра-
венства дает такую теорему:
1)	Количество представлений числа п>т суммою т равных или
неравных целых положительных слагаемых равно количеству пред-
ставленийп — т суммою равных или неравных слагаемых, взятых
из ряда чисел 1, 2, 3, т.
Символически можно записать эту теорему так:
N(п = хх + х2 + ... +хт, 0 < хх<х2<... <хт, Xi цел.) =
— N (т — п = lfx + 2^2 + .. . + т£т, & цел.>0),
(4)
причем N обозначает количество разбиений, характеризованных в скоб-
ках после буквы N. Аналогично получается теорема (в формулировке
этой и следующих теорем настоящего параграфа под словом „слагаемое"
нужно понимать везде „целое положительное слагаемое"):
158
ГЛАВА V
2)	Число представлений п [большего, чем т^т^~ суммой т нерав-
ных слагаемых равно числу представлений п —	суммой любо-
го числа равных или неравных слагаемых, взятых из ряда 1,2, 3, ..., т.
Далее, доказав тождество	7
со	оо
П(1+*”) = П—4р..
п=»1	П=1
Эйлер получает для всякого п Л (п) =» q (п), или
3)	Всякое число представляется суммою неравных слагаемых
столькими же способами, сколькими оно представляется суммою
равных или неравных нечетных слагаемых.
Еще одна важная теорема хотя не формулирована Эйлером явно, но
вытекает из нижеприведенной его формулы. Желая доказать открытое
им рекуррентное соотношение для суммы делителей (см. ниже, теорема 20),
Эйлер в мемуаре „Demonstrate theorematis circa ordinem in snmmis divis-
orum observati“ доказывает соотношение
oo	+©o	SW—h
Fl(i-xn)= 2 (-i)ftx 2 ,	(5)
n=l	c°
представляющее одну из самых употребительных формул современной
теории эллиптических функций. В показателях правой части формулы (5)
стоят пентагональные числа = —-  (см. примечания к гл. IV);
значения их для первых номеров суть со0=0,	1, co_i = 2, а>2=5г
со_2 = 7, й)3= 12, G)-3= 15 и т. д. Сравнивая коэфициенты при хп в
обеих частях (5), получаем следующую теорему, называемую теоремой
Эйлера-Лежандра:
Теорема 19. Разность между количествами представлений дан-
ного числа п в виде суммы четного и нечетного числа слагаемых
равна нулю, если п непентагональное число, и равна (—1)\ если п есть
пентагональное число cok.
Для арифметического доказательства приведенных теорем служит
простой и наглядный метод точечных диаграмм, употреблявшийся
английскими учеными школы Сильвестра. Пусть дано разбиение числа на
слагаемые п = Хх + х2 + • • • +	°	.. < xt; изобразим*
это разбиение в виде п точек на плоскости, расположенных в т стро-
ках, причем в первую строку поставим х± точек, во вторую х2 точек
ит. д., в т-ю строку Хти точек. Начальные точки строк поставим в одном
вертикальном столбце и расстояния между соседними точками как по»
горизонтальным, так и по вертикальным линиям возьмем одинаковыми.
Систему точек, расположенных таким образом, назовем диаграммой, со-
ответствующей разбиению п « хх + х2 + . -. + хт; например, на фиг. 1
слева изображена диаграмма, соответствующая разбиению числа 13 на
слагаемые 5 4-3 + 3 + 2. Очевидно, что в каждой диаграмме любой?
столбец не длиннее столбцов, стоящих слева от него; кроме того, если
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
159'
диаграмма соответствует разбиению числа на неравные слагаемые, то
количества точек в двух соседних столбцах либо равны, либо отлича-
ются на единицу.
Докажем теперь при помощи диаграмм теорему 1). Взяв диаграмму
любого разбиения п на т равных или неравных слагаемых, заметим,
что в этой диаграмме первый столбец содержит т точек, а каждый
следующий столбец — не более т точек. Отбросим первый столбец и об-
ратим строки оставшейся диаграмм в столбцы
Фиг. 1.
(первую строку в первый столбец, вторую во второй и т. д^/Очевидно^
что получится диаграмма разбиения числа п — m на равные или неравные
слагаемые, причем каждое слагаемое имеет одно из значений 1,2, ..., т.
Обратно, взяв диаграмму любого разбиения п—m на равные или не-
равные слагаемые, не превышающие т, обратим строки ее в столбцы
и, приписав слева столбец, состоящий из т точек, получим диаграмму
некоторого разбиения п на т равных или неравных слагаемых. На фиг. 1
слева изображена диаграмма разбиения числа п = 13 на т = 4 слагае-
мых 5+3 + 3 +2, а справа — соответствующая диаграмма разбиения
п — т = 9 на слагаемые 4 + 3 + 1 + 1, не превышающие 4. Итак,
разбиения, стоящие в левой и правой частях равенства (4), приведены
во взаимно однозначное соответствие, и, следовательно, количества этих
разбиений равны между собою, что и требовалось доказать. Аналогично
доказывается и теорема 2).
Теорему 3) также можно доказать при помощи диаграмм, но еще
проще следующее ее доказательство. Из элементарной арифметики из-
вестно, что каждое целое число представляется единственным способом
по системе счисления с основанием р (р — целое >1), т. е. в виде
tfo + fliP+ а%Р2 + --- + akp\ причем „цифры" alt ..., ак имеют
значения из ряда 0, 1, 2, ..., р—1. При р = 2 получается, что каж-
дое число может быть представлено единственным способом в виде
суммы нескольких различных степеней двойки. Пусть теперь
п =А’+[’’1 + • • • +Л +vi +'.
(6)
есть любое разбиение п на равные или неравные нечетные слагаемые,
причем через г2, ... мы обозначаем неравные нечетные числа и пред-
полагаем, что слагаемое входит в разбиение (6) 1Щ раз, так что
п =/72^ + т^2 + ... Представив по замеченному выше каждое число пц
в виде 2аг1 + 2аг2 + ..., получим
п = 2ailv1 + 2ai2v1 + . .. + 2а2+2 + 2С2+2 + ...,
160
ГЛАВА V
т. е. разбиение п на четные или нечетные слагаемые 2ailvb 2ai2vlf .. .
2а2+2, ..., которые будут, очевидно, различны. Обратно, если дано
разбиение п = кг + kz + ... на различные слагаемые к'г, то представим
каждое из них в виде ki = 2%i (dt > 0, нечетное) и соединим все
слагаемые с одним и тем же положив сумму этих слагаемых 2%; +
+ 2а£гг- + ... равной triiVi (где пц = 2а<‘ + 2ai + ...), получим п = m1v1 +
+ tn2v2 -н ... , т. е. разбиение п на нечетные слагаемые, причем vlt т2, ...
различны и слагаемое vt входит в разбиение mi раз. Итак, число Я (л)
разбиений п на неравные (четные или нечетные) слагаемые равно числу
разбиений п на равные или неравные нечетные слагаемые, что и требо-
валось доказать.
Обращаясь к доказательству теоремы 19 Эйлера-Лежандра методом
диаграмм, возьмем диаграмму какого-нибудь разбиения п на неравные
слагаемые и через последнюю точку первой строки этой диаграммы
проведем прямую под углом 45° к горизонтальному направлению (см.
на фиг. 2 слева); эту линию будем называть kocoi линией диаграммы.
Пусть / — число точек диаграммы, лежащих на косой линии, к—число
точек в последней строке диаграммы. Все диаграммы, соответствующие
разбиениям п на неравные слагаемые, разделим на два класса: к пер-
вому классу отнесем те диаграммы, в которых 1>к, ко второму — те,
в которых I < к. Условимся называть особенными те диаграммы пер-
вого класса, в которых / = к и последняя точка последней строки
лежит на косой линии, и те диаграммы второго класса, в которых I =
= к— 1 и последняя точка последней строки лежит на косой линии.
Особенные диаграммы первого класса соответствуют разбиениям вида
к + (/с 4-1)+... + (2к — 1) —	== co/с (к > 0), особенные диа-
граммы второго класса — разбиениям вида (Z + 1) + (Z + 2) + .. .+2Z =
3/2 I I
=—(Z > 0). Отсюда ясно, что когда разбиваемое число п
непентагональное, то особенных диаграмм вовсе нет. Если же п == о>3,
то это равенство вполне определяет целое число	ив этом слу-
чае существует только одна особенная диаграмма, принадлежащая к пер-
вому классу, когда s == к > 0, и ко второму, когда $ = — Z < 0; число
строк в этой диаграмме равно |$|. Докажем теперь, что неособенные
диаграммы первого и второго классов можно привести во взаимно однознач-
ное соответствие. Возьмем неособенную диаграмму первого класса и,
уничтожив ее последнюю строку, прибавим принадлежащие ей к точек
к к первым строкам. Тогда получим диаграмму, на косой линии кото-
рой будет к точек, а в последней строке больше к точек; эта диаграмма
будет, следовательно, II класса и притом неособенная. В самом деле,
если косая линия полученной диаграммы заканчивается на ее последней
строке, то эта строка содержит не менее к + 2 точек. На фиг. 2 слева
помещена неособенная диаграмма I класса (fc=2, Z = 3), соответствую-
щая разбиению числа 17 = 6 + 5 + 4 + 2, а справа — полученная из
нее указанным путем неособенная диаграмма II класса. Обратно, возьмем
любую неособенную диаграмму II класса и Z точек ее косой линии
поместим снизу диаграммы в виде последней строки. Тогда получим но-
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
161
вую диаграмму, косая линия которой содержит не менее / точек,
а последняя строка I точек и которая будет, следовательно, диаграм-
мой I класса и притом неособенной. В самом деле, если косая линия
новой диаграммы кончается на ее последней строке, то в этой косой
линии будет не менее I +1 точек. Таким образом неособенные диаграммы
I и II классов приведены во взаимно однозначное соответствие; притом
числа строк двух соответствующих диаграмм отличаются всегда на единицу.
Если поэтому рассматривать только те разбиения числа п на слагаемые,
Фиг. 2.
которым соответствуют неособенные диаграммы, то число разбиений
с четным числом слагаемых всегда равно числу разбиений с нечетным
числом слагаемых. Отсюда и вытекает теорема 19, если принять во
внимание, что для непентагонального числа п особенных диаграмм
вовсе нет, для пентагонального же п = со8 имеется только одна особен-
ная диаграмма, число строк которой одинаковой четности с $.
В близком отношении к теореме Эйлера-Лежандра стоит знаменитая
теорема Эйлера о сумме делителей С (п) числа п (§ 2 гл. I) (см. Эйлер 17,
т. I, стр. 234):
Теорема 20. Для всякого п> 0 имеем
2 (- 1)4 (п - о = {(-1)-М,	(7)
П =
причем в левой части сумма берется по всем номерам	для
которых а>ь< п, а символ {(—I)8-1/?} обозначает 0 при и, не рав-
п == ^
ном пентагональному числу, и (— 1)в-1п при п = a)s.
Рассмотрим всевозможные представления п в виде n—J^a-^-dd,
т
причем 2 а есть сумма т неравных слагаемых а и d, д — положительные
m
числа; сумма 2а может и отсутствовать. На все эти представления
т
распространим сумму S==2(—вычисление этой суммы двояким
способом и дает формулу (7).
Собирая сначала в сумме S члены, для которых dd = р имеет одно
и тоже значение, находим совокупность этих членов равной С(р)2 (—
причем	берется по всем разбиениям числа п — р на нерав-
И Теория чисел.
162
ГЛАВА V
ные слагаемые. Применяя теорему 19, находим для S выражение S =»
= 2 (— 1)4 (и — <*>*). Чтобы найти другое выражение для S, разобьем
все представления п = 2 а + dd на три категории: 1) представления,
т
в которых d не встречается среди слагаемых суммы 2 а и вместе с тем
т
д>1, 2) представления, в которых d встречается среди слагаемых
суммы 2	3) представления, в которых d не встречается среди сла-
ги
гаемых 2й и Л=1« Возьмем какое-нибудь представление первой,
тп
категории п = 2 а + и, отняв одно d от члена dd, присоединим
тп
его как слагаемое к сумме 2 а> полученное представление, которое
тп
можно изобразить так: л = 2 а + d (<5 — 1), принадлежит, очевидно,
ти-{-1
ко второй категории. Обратно, из каждого представления второй кате-
гории обратным действием можно получить представление первой кате-
гории. Итак, представления первой и второй категорий находятся в про-
стом взаимно однозначном соответствии; замечая, что члены суммы S
для соответствующих представлений, т. е. (—l)md и (—взаимно
уничтожаются, можем сказать, что часть суммы S, распространенная на пред-
ставления первых двух категорий, равна нулю. Рассмотрим какое-нибудь
представление третьей категории п = 2 а + так как d не встречается
m
среди слагаемых а, то это представление можно рассматривать как раз-
биение п на т + 1 неравных слагаемых. Обратно, из каждого разбие-
ния п на т + 1 слагаемых п = а± +	+ ... + получим т + 1
представлений третьей категории, приняв d последовательно равным
л2, ..., tfm-j-i. Эти т + 1 представлений третьей категории дадут
в сумме S члены (— l)w^ + (— l)w#a	l)mam+i = (— 1)™л,
откуда ясно, что вся сумма S равна ——Ь™, где 2(—О™
берется по всем разбиениям и на различные слагаемые, число кото-
рых /л, и по теореме 19 S = {(—l)5”1;/}. Сравнивая два выражения
для S, получим формулу (7).
Сам Эйлер доказал формулу (7) логарифмическим диференцирова-
нием тождества (5). Формула (7) позволяет вычислять последовательно
значения функции С (л), не прибегая к разложению чисел на простые
множители.
§ 2. Двойные разбиения, рекуррентные соотношения для адди-
тивных функций. Разбиения вида п = 2 а + di, примененные в пре-
дыдущем параграфе для доказательства теоремы 20, служат примером
двойных разбиений, в которых данное число разлагается всеми возмож-
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
163
ными способами на два слагаемых п = и + у, после чего оба числа u, v
независимо друг от друга разбиваются каким-нибудь, указанным за-
ранее, способом. В этом параграфе мы приведем дальнейшие примеры
двойных разбиений и приложим их к выводу для аддитивных функций
Л (и), ^(п), v{n) некоторых рекуррентных соотношений, аналогичных
формуле (7). Рассмотрим всевозможные разбиения числа п > 0 вида п =
= 2« + 2 а*, причем 2 а обозначает сумму неравных слагаемых а,
т	т
число которых (не фиксированное) есть /и, а 2 а* обозначает сумму
равных или неравных слагаемых. Каждая из сумм 2 «.2 а* может
т
отсутствовать. Обозначим через N ((— 1 )т; п = 2 й + 2 а*) СУММУ
т
2(—1)т, распространенную ка все указанные разбиения, и докажем,
ЧТО при вСЯКОМ 7? > О
JV((-l)m;	<7+2 а*) = 0.	(8)
m
Для доказательства соединим в одну группу все те разбиения
л == 2 а + 2 а*> в КОТОРЫХ совокупность слагаемых а и а* одна и та
т
же; пусть в этой совокупности содержится к неравных слагаемых. Оче-
видно, что все разбиения рассматриваемой группы получатся, когда из к
упомянутых слагаемых мы выберем какие-нибудь /п (тл=О, 1, 2, ... , kfy
и отнесем их к сумме 2 остальные же отнесем к сумме 2 й** Ta-
rn
ким образом для т — 0, 1,2, ..., к получим соответственно 1, С&,
d, ..., Ck двойных разбиений (С{ обозначает число сочетаний из к
по Z), и составленная для них сумма 2 (—0™ будет 1 — С*+
4- Ck —... ± Ck = 0. Следовательно, часть суммы 2 (— 1)т» состав-
ленная для любой группы разбиений, уже оказывается равной нулю;
поэтому и вся сумма равна нулю, так что равенство (8) доказано.
Из теорем, аналогичных (8), укажем одну, доказываемую тем же
способом:
N((— lm; п =2 а + 2 b) = N((— 1)т; п = 2%а).	(9)
В левой части 2а и 2 СУТЬ суммы неравных слагаемых; каждая
m
из них может отсутствовать. Остальные обозначения уже не нуждаются
в разъяснениях.
Соединяя в сумме, стоящей в левой части (8), члены, для которых
2 = U и 2й* имеют одно и то же значение (и + v = и), нахо-
m
дим по теореме Эйлера-Лежандра эту часть суммы равной нулю, если и
непентагональное число, и равной (—1)кр (р), если ц = при
11*
164
ГЛАВА V
этом считаем р, (0) = 1. Таким образом равенство (8) дает следующее
свойство функции /<(п): при всяком п>0
5 (—1)ЙД(/?—<oft) = о,	(ю)
причем в левой части сумма берется по всем номерам удов-
летворяющим написанному под знаком суммы условию. Формула (10)
совершенно подобна известному свойству функции Мебиуса ^(п), дока-
занному в § 2 гл. I, и приводит к такому же, как и там, результату.
Именно, можно доказать формулу обращения, аналогичную классичес-
кой формуле обращения для (§ 2 гл. I). Пусть даны две числовые
функции /(и) и определенные для всех целых п>0 и для всех
этих значений п связанные соотношением
2 (_1)8/(п-йС(>з) = г(/7),	(и)
« h
где й>0 есть данное целое число. Тогда, обратно, при всяком п>0
/(«) =	2	(12)
Для доказательства внесем в правую часть формулы (12) значение
F(n — hk) из (11)
F(п — hk) = 5 (- I)8/(п~ h (к + со,));
S
тогда получим
2 Kk)F (п - hk) = 2 (- 08Д (к) f (П - h (к + «>,)).
к, 8
Соединив в последней двойной сумме те члены, для которых
/с + св8 = I имеет одно и то же значение, получим для этой суммы
выражение
2 Нп-М) 2 (-l)8^(/-a>s);
о<к£
п
внутренняя сумма на основании формулы (10) приводится к нулю для
всякого I > 0, так что рассматриваемая двойная сумма равна что
и доказывает формулу (12). Применив к левой и правой частям фор-
мулы (9) теорему Эйлера-Лежандра, получим рекуррентное соотношение
для функции Я (л) [считая Я(0) = 1]:
2 (—1)^(п—cofe) = {(—1)8}.	(13)
coA<n	п = 2а>8
Пользуясь формулой обращения (12), получим отсюда выражение Я(л)
через функцию p(ri):
Цп)~ 2 (—1)йД(п-2^).	(14)
2<оа<П
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
165
Чтобы вывести подобное же рекуррентное соотношение для функ-
ции v(ri) (§ 1), воспользуемся теоремой Эйлера-Лежандра, которая в тех
обозначениях, которыми мы теперь пользуемся, может быть написана
так:	z
N((-l)m; п=2«)={(-1)8}.
ТП	п = a>s
Отделив в сумме 2 я четные слагаемые 2Ь от нечетных f, обозна-
m
чая количества первых и вторых соответственно через а и и заметив,
что т = а + /3== а +п (mod2), можем написать
N((-l)°; п = 22& + 2;)= {(-1)п+8|.
'	а	Р	п~ со$
Применив к левой части еще раз теорему Эйлера-Лежандра и при-
поминая определение функции v(n), получаем соотношение (1>(0) » 1)
-2 (_l)S(n-2a>ft) = {(-l)n+s}.	(15)
2<оь < П	П= a>s
Отсюда с помощью (12) можно вывести выражение v(ri) через ^(/7).
Формулы (10), (13) и (15) позволяют с удобством вычислять последова-
тельно значения функций ^(п), Я(п) и v(ri), не прибегая к действи-
тельному разбиению чисел на слагаемые (см. примечания к этой главе,
стр. 190).
Вален в своей диссертации 83 доказал теорему, обобщающую теорему
Эйлера-Лежандра. Рассматривая разбиения числа п на различные слагае-
мые, примем во внимание абсолютно наименьший вычет каждого слагаемого
по модулю 3, т. е. число е = 0, 1 или — 1, для которого #==£ (mod 3).
Тогда теорему Валена можно формулировать так: если рассматривать
только те разбиения п на различные слагаемые п — для кото-
т
рых сумма абсолютно наименьших вычетов всех слагаемых по мо-
дулю 3 равна данному числу h, то сумма 2(—1)т, взятая по всем
этим разбиениям, равна нулю при n^(oh и равна (—1)п при п =
= со^. Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы, отметим
одно из ее следствий:
N ((—	л =	= {(—l)i-1 (2i — 1)}. (16)
him'	г2—г
п= — , »>о
В левой части 2 а> 2 Ь, 2 с обозначают, как обычно, суммы соот-
k I т
ветственно к, I и т различных слагаемых; каждая из этих сумм
может отсутствовать. Применив в левой части (16) теорему Эйлера-
Лежандра, можем представить ее в виде N ((— 1)а+^+у • п __ СОа	.
Замечая, что 24coa -j- 1 =(6а— I)2 и положив 8n + 1 = р, получаем
166	ГЛАВА V
из (16) следующую теорему Якоби*, для всякого числа р==1 (mod 8)
имеем
s—1
2 (-1)“+^+’’	= {(-l)2s),	(17)
Зраз(6а—1)2+(6/3—1)24-(6у—1)2	P=S2, 8>о
причем в левой части сумма берется по всем представлениям 30
в формеь указанной под знаком суммы> в правой же части стоит р
$—1
при р не равном квадрату и (—1) 2 s при р = S2 ($ > 0). Из этой
теоремы, как показал Якоби, можно вывести простое доказательство
теоремы Ферма о том,' что каждое целое число есть сумма четырех
квадратов (см. примечания к гл. IV, стр. 155, а также ниже, § 5).
В § 5 будет изложено доказательство этой теоремы Якоби при по-
мощи методов Лиувилля.
§ 3. Теорема Раманужана. Раманужан (см. 72, стр. 211) заметил
следующее интересное свойство функции р(п):
Теорема 21. Если г — целое число, составленное исключительно
из простых множителей 5, 7 и 11 (т. е. г = 5а7Ь 11е, я>0, Ь >0,
с > 0), то для всякого п > ^удовлетворяющего сравнению 24п = 1 (mod г),
имеем (п) = 0 (mod г).
Заметим прежде всего, что справедливость теоремы Раманужана для
модуля г будет установлена, если доказать ее отдельно для модулей
вида fj = 5а, г2 = 1Ъ и г3= 11е. Полного доказательства этой теоремы
до сих пор не дано; сам Раманужан и последующие ученые доказали
ее лишь для случаев а= 1, 2, 3; &= 1, 2; с=1 (см. Ramanujan 72,
стр. 211). Метод их доказательства аналитический и основан на рас-
смотрении некоторых модулярных уравнений. Изложение этих доказательств
читатель найдет в работе В. А. Кречмара 34.
Для случаев г = 5 и г = 7 теорему Раманужана можно доказать
и арифметическим путем, основываясь на теоремах о разбиениях, изло-
женных в предыдущих параграфах. Пусть г — простое число и п — дан-
ное целое число; ка основании формулы (8) § 2 легко получить сле-
дующее выражение для р(п):
p(n)^N ((— l)mi+m2+	J
+ 2 я* + 2	+ •. • + 2 $-1+ I	' (18)
+ 2 + 2 ^2 + • • .+2&r-i) * I
mi m2	™r—l '
где 2>2^1? • ••—суммы одинаковых или различных слагаемых,
2^,2^, ••• —суммы тъ ... различных слагаемых; каждая из
mi т2
этих сумм может отсутствовать. Действительно, собирая в правой части (18)
те члены, для которых величины 2	+ 2 ^1 —	2 fl2 + 2^2 — ^2» • • •
mi	т2
имеют одну и ту же систему значений, находим, что эта часть суммы (18)
равна произведению сумм N ((— 1)т*; И* == 2 А* + 2 (z = Ь 2, ...,
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
167
г—1) и потому на основании (8) равна нулю во всех случаях, кроме
пх == и2 = ... ==	= о. Поэтому значение суммы (18)есть N(n = 2Й*)=
= Переставл ю ч в представлении
=	+2+ • • • +2 йг-1 + 2	• • • + 2	1 (19)
mi	mr—1
г первых сумм 2Z2 «1,	, 2^**1 циклически, получаем из этого
представления г—1 других представлений. Так как г — простое число,
то среди г представлений (19), отличающихся друг от друга цикличе-
скими перестановками сумм 2^*, •• • » 2 ^г-i» могут встретиться одина-
ковые представления только в том случае, когда все суммы 2^*» • ••>
2 ^г-1 тождественно равны, т. е. каждое слагаемое одной суммы сов-
падает с каждым слагаемым любой другой суммы. Поэтому из (18)
получаем сравнение
(fl) JV((— l)ml+m2+ • ’ • ^-1 ;
п = 2 ъг + 2 + • • • + 2	+ г S a*) (mod 4	(2°)
9«1	ГП2	ТПр^.1
Положим для всякого л>0
V)(n)=N((-l)mi+m2+-'- + m'-i; 71=2^1+2^+•••+ 2	(21)
v	mi т2	тг—1
Тогда сравнение (20) можно написать так:
/j(n)sv(n) + i“(l)y(n~г) + Д(2)у(« — 2r) + ... (mod г), (22)
причем в правой части сумма продолжается до тех пор, пока аргумент
функции у остается неотрицательным; из сравнения (22) при помощи
формулы обращения (12) получаем
V(г?) = 2 (—1 )’/<(« — ra)s) (mod г).	(23)
Г«>в<П
Сравнения (22) и (23) показывают, что если для всякого п > 0,
удовлетворяющего условию Л“Л0 (mod г), имеем ^(л) = 0 (mod г), то
тем же свойством обладает и функция ^и(л), и обратно; поэтому тео-
рема Раманужака для модуля г равносильна утверждению у>(п) ===0 (mod г)
для всякого л>0, при котором 24л =1 (mod г). Применив в (21) тео-
рему Эйлера-Лежандра, получаем для у (л) выражение
V- (п) = N ((— 1 )а1+°а+ • • •+аг-1; П = шв1 + «в2 +... + <4-i) ,
которое можно представить так:
у (л) - N ((- 1)°1+°а+ • • •+“r-1;	1 (24)
24/1 + r—1 = (6аг—I)2 + (6а2—-1)2 + ... + (6^-1— I)2). J
168
ГЛАВА V
Для дальнейшего преобразования полученного выражения восполь-
зуемся теоремой Якоби (17). Так как сравнение 24л =1 (mod г), входя-
щее в теорему Раманужана, исключает возможность г =2 и г = 3. то
можно считать г>3и тогда или г~2 (mod 3). Полагая в пер-
вом случае г —1 = 3/, получаем из (24) на основании теоремы Якоби
Sj — 1	~ 1	Si ~ 1
у (п) = N ((-1)~ 51 • (- 1	$2... (— 1) Sl;
8п + / = $? + s’ + ... + s‘, $« неч. > О).
(25)
Во втором случае, когда г = 2 (mod 3), полагаем г—1 =3/4-1
и получаем из (24)
8i -1	ч-1
y(n) = N((-l)°-1-(-1) 2 ^...(-1) 2 s,;	(2б)
24л + 3/-f- 1 = (6а — l)J4-3Si + 34+... + 3sl, Sih-еч. > О).
Полученные выражения для гр(п) и дают возможность доказать тео-
рему Раманужана для простейших случаев г = 5 и г = 7. Именно, при
г = 5 формула (26) дает
Я—1 | а х
v («) = 5 (— О2	• 5,	\
причем сумма берется по всем представлениям 24п + 4 == (6а—1)2 +
+ 3s2 (s неч.> 0); так как 24/? + 4 = 24/2— 1=0 (mod 5) и —3 есть
квадратичный невычет 5, то в каждом представлении 24л + 4 =
= (6а—I)2 4-3s2 числа 6а—1 и $ делятся на 5, следовательно,
и (/?)=+ 0 (mod 5). Аналогично при г = 7 формула (25) дает _
у(«)= S(—	+
где сумма берется по всем представлениям 8/? + 2 = s2 + t2 (s, /неч.>0);
из данного сравнения 24п == 1 (mod 7) вытекает опять, что 8л 4-
4-2=0 (mod 7) и потому в каждом представлении 8л 4-2== s2 4~/2
числа s, t делятся на 7, следовательно, гр (и) = 0 (mod 7), ч. и тр. д.
Изложенный метод доказательства теоремы Раманужана принадлежит
Успенскому.
§ 4. Методы Л иу вилл я; вывод основных тождеств. В 1858 —
1865 гг. Лиувилль в своем журнале опубликовал 18 кратких заметок
под общим заглавием „Sur quelques formules gёпёгales, qui peuvent etre
utiles dans la 111ёопе des nombres" (Articles I—XVIII), в которых дает
без доказательств целый ряд тождеств арифметического характера,
содержащих произвольные числовые функции. Относительно этих тож-
деств он пишет, что они получены самым элементарным способом (аи
moyen de I'algebre la plus simple). Одновременно в огромном числе
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ	169
заметок Лиувиллем дано также без доказательства множество результа-
тов о количестве представлений чисел различными, формами с 3, 4, б
и 6 переменными, о числе классов бинарных форм и т. п., с одним
только упоминанием, что все эти результаты получены из его числовых
тождеств. Результаты Лиувилля хотя и откосятся к формам частного
вида (например X2 + у2 + z2 + 2/2, х2 + 2у2 + 3z2 + 6/2 и т. п.), однако
далеко выходят за пределы того, что может дать общая теория квадра-
тичных форм со многими переменными в ее современном состоянии,
и потому представляют большой интерес. Методы, которыми пользо-
вался Лиувилль, оставались долгое время неразгаданными; лишь неболь-
шое число его результатов было доказано различными авторами с помощью
теории эллиптических функций.
Заслуга воссоздания арифметических методов Лиувилля во всей их
простоте и полноте принадлежит Успенскому; он не только доказал все
тождества и упомянутые выше результаты Лиувилля, но нашел много
новых подобного рода формул и применил их к доказательству резуль-
татов, найденных разными авторами (Клейном, Гирстером, Гумбертом)
с помощью аналитических методов (см. J. Ouspensky 63»64»65»66). Почти
все тождества Лиувилля являются следствиями одного основного тож-
дества, которое может быть написано следующим образом. Пусть
F(x, у, z)— числовая функция, определенная для всех систем значений
трех целочисленных аргументов х, у, Z и удовлетворяющая только
условиям
F (— х, у, z) = — F (х, У, 2) [след., F (0, у, 2) = 0], |
F{X,—y,—Z') = F{X,y,Z'). J
Тогда имеет место формула
5 F(J+zl'>/z,J-z1') =
= 2 2	F(<5 — 2i, d + i, 2d + 2z — <5)4-7.	(28)
Здесь /77 > 0— данное целое число, сумма в левой части берется
по всем представлениям т в форме ft24-dd' (h = О, Л > О, Л'> 0 —
целые числа), сумма в правой части — по всем представлениям
щ = /2 + dd с теми же условиями для z, d, д, как для Л, J, наконец
Т = 0, если т — не квадрат, и
2s—1
7=2 {F(2s,s-/, 2s - 2/)-2F(/,$,/)},	(29)
если т = s2 (s > 0). Относительно представлений т = й2 -J- ZLd' здесь
(как и во всем дальнейшем) имеется в виду обычное соглашение, что
Два представления т = й2 + АЛ т = hl + d2Zli считаются одинаковыми
170
ГЛАВА V
только при h = hv d = d1? d'=di. Для доказательства формулы (28)
положим
S = 2	— К d + i, 2d+2i — 8)
m=i2-{-dd
и обозначим через S', S", S'" части этой суммы, соответствующие
представлениям т = z2 + d8, для которых 2i + d—<5>0, 2i + d — д<0
и 2i + d—(5 = 0, так что S = S' + S" + S"'. Для каждого представ-
ления m = i2+d8, в котором 2i + d — 8 > 0, положим i' = 8 — i,
d' =2i + d — 8, <5'= <5; тогда m = i'2 + d'8'} d'>0, <5'>0, 2i( +
+ d'— d' = d>(\ т. e. z', d', 8' будет представление того же вида,
что и z, d, 8. Замечая, что
8 — 2i = 2if —8', d + i = d' + i', 2d + 2i — <5 = 2d' + 2i' — 8’,
и принимая во внимание свойства (27) функций F, получим
S' = 2 F(8—2i, d+i> 2d 4- 27 — <5) =
2t-f-d—<5>0
= — 2	F(8' — 2i', d' + i\ 2d'+ 2/' —<5') = —S'= 0.
2f4-d'-d'>0
Для каждого представления m = i2 + d<5, в котором 2i + d — 8 < 0,
положим /z = d+z, d = d, A'= 8 — d — 2z; тогда й, d > 0, d'>0
дадут представление tn в виде /z2 + dd', для . которого d'— d 2/z =
= <5 > 0, и мы получим
S" == 2 F(8 — 2i, d+i9 2d + 2i — 6) =
2i-}-d—<5<0
= 2 F(d+d', Й, d —d').
m=№4-44', 4'—4-]-2h>0
Заметив, что при замене й, d, d' через —й, d', d выражение под
знаком последней суммы на основании (27) не меняется, а величина
d' — d + 2й меняет знак, можем написать
S"=| 2 f(4 + zr,/z, а-d').	(30)
m = h2-}-44% 4'—Л-Н/гфО
Если, наконец, для представления т = z2 + d8 имеем 2z + d — <5 = 0,
то т = (d + z)2; такие представления могут существовать, следовательно,
только при т, равном квадрату. Полагая tn~s2 (s> 0) и замечая, что
из равенства 8 = 2z + d > 0 вытекает d + i > 0, получаем d + i = s,
i<s, 8 = 21 + d < 2s. Таким образом все рассматриваемые представле-
ния z, d, 8 имеют вид 8 — s, 2s — <5, <5, причем целое число 8 прини-
мает значения 1, 2, 3, 2s — 1; итак, S'" = 0 при т, не равном
квадрату, и
2s—1	2з-1
S'"= 2 ^(25 — (5,s,2s — (5) = 2 F(i,s>b
<5=1	)=1
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
171
при т = s2. Чтобы получить из (30) окончательное выражение для
суммы S", остается еще рассмотреть сумму Sj == 2 F № + h> А —А'),
распространенную на представления /и « ft2 + ddдля которых d'—d +
+ 2ft г= 0, Для таких представлений имеем
/ Д 4- Д' \2 л	Д -j- Д'	_ Д — Д' ,
m =	-f-=s>0, —2—=й;
следовательно, все эти представления ft, d, d' имеют вид d — s, d,
2s — d, где d = 1, 2, 3, ..., 2s— 1. Таким образом Sx == 0 при m ф s* и
2s—1
Sx = 2 s —/, 2s —2/) при rn = s2, s>0.
j=i
При этом формула (30) дает
S" = 4 2 ^(Л+Л'.А, Л-Л')—И1-
Подставляя найденные выражения S', S", S,n в формулу S=S' +
+ <S" + S'"? получим искомое тождество (28). Из тождества (28) мы
выведем ряд новых тождеств, накладывая различные ограничения на
функцию F(x, у, г). Положим сначала F(x, у, z) = 0 при х четном
[это ограничение не противоречит условиям (27)]. Тогда (28) дает
2	F(4 4-zl', h, A — Л') =
m=h2-j-44't Л-рК неч.
= 2 5 F(d — 2i, d + i, 2d+ 2i — <5) — 2{ 5 F(l, «,/)}>	(31)
m=i24-dd, <5 неч.	7==1, 3, 5, ...» 2s-1, m—s3, s>0
причем символ {Д} обозначает, как и раньше, величину А при т =
m~s2, s>0
== s2 и 0 при т9 не равном квадрату. Полагая в (28), наоборот,
F (х, yf z) = 0 при х нечетном, мы оставим в формуле (28) только те
члены, для которых первый аргумент функции F четный. Но тогда во
всех этих членах и третий аргумент F оказывается четным; полагая
поэтому F(x, у, Z) = Ф у, где Ф — числовая функция,
удовлетворяющая только условиям
Ф(—х, у, г) = — Ф(х, у, г), Ф(х, —у, —г) = Ф(х, у,г), (32)
получим формулу
2	25 n>(d-i,d + i,S+i-d) +
\ ы	* it I
m=7i24-zld/’, zf-f-j' чети.	yn=ai2-|_2d<3
2s-l	s-1
+ !5 Ф(«,§-j,s—j) — 25	j)}. (зз)
i=l	m=s2, s>0	i=l
172
ГЛАВА V
Полагая здесь Ф (х, у, z) — О при у нечетном и считая данное
число т нечетным, получим
2	^^-) =2 2 ф(й-/,<5 + /,з+/—</) +
m=4h2-|-z1d'	m=i2-|-2d(5, д неч.
+ {2 0(s,s — j,s — /)}.	(34)
j=l, 3, 5, ..., 2s—1, m=s2, 8>0
Взяв в (33), наоборот, Ф (х, у, z) = О при у четном (считая опять т
нечетным), получим
2 Ф(А+А', h, J — Л') = ?2 Ф((/ + /, i — 2d, i + d— 2d)4-
m=M4-4dd'	Tn=i2-j-4d<5
s-1
+ 2 {2 ф(s> j, i) — 2 ф(J, s, /)}.
j=1, 3, 5, . . ., s—2	j—1	m=s2, s>0
Если предположить здесь m = 1 (mod 8) и Ф (x, у, Z) = 0 при х
четном, то получится формула
2 ф h, J — А') = 2 2 ф (2d + i, i - 2d, i+ 2d - 2d) +
m=h24-4dd', d-j-d' неч.	m—iz-t-Sdd
+ 2{S [Ф(8,/,/)-Ф(/,3,/)]}. (35)
2 = 1, 3, 5, . . . , s —2, 771=82, s> 0
Во всех этих формулах функция Ф(х, у, z) [или F(x, у, z)] предпо-
лагалась четной по совокупности двух аргументов у, z [см. (27) и (32)];
это условие будет выполнено, если возьмем Ф(х, у, z) нечетной по
каждому аргументу у, г в отдельности. При таком предположении левая
часть в формулах (28) —(35) обратится в нуль (так как h может быть
как больше, так и меньше нуля). Итак, предполагая
F(— х, у, z) = F(x, — у, 2) = F(x, у,— г) = — F(x,y, 2), (36)
Ф (— X, у, 2) = Ф (X, — у, 2) — Ф (X, у, — 2) = — Ф (х, у, 2), (37)
получим из формул (31) и (35)
2 F(d —2z, d + i, 2d + 2i— d) =» { 2 F(/, s, /)}, (38)
m=i24-d<5, <5 неч.	j=l, 3,5, . . ., 2s-l, m=s2, s>0
5 Ф(г + 2^, i—2d, z+ 2d —2d) =
m=i2+8d<5
.	= {2ч [ф(/, S, /)-Ф(8, /,/)]).	(39)
j®1, 3, 5, ..., s—2, m=s2, s>0
Из полученных формул вытекает ряд важных тождеств более част-
ного вида для функций с одним аргументом. Полагая прежде всего
у.
в (34) Ф (х, у, z) равной сначала /(х), потом (—I)2 /(х), где /(х) —
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
173
нечетная функция, мы удовлетворим условиям (32) и получим две фор-
мулы (zn — нечетное):
2 /(^Н-)=2 2 f(d+i) + {sf(s)} ,	(40)
yn=4Zi24-dd'	m—i24-2d(5, д неч.	т s2’ s>°
2	=
m=47i24-dd*	\	*	/
Izl + —	—
= 25 (-1)2 2 /(d +!)+{(-1) 2 m (41)
m=i2-|-2d<5, <5 неч.	m^s2, s>0
В формуле (38) первый и третий аргументы функции F всегда не-
четные; поэтому мы удовлетворим условиям (36), положив F(x, у, 2) =
^ + 1/
= (— 1)	/(у), гДе /(У) — нечетная функция. Получим для всякого тп
5 НШОЧНГШ (42)
m—i24-d<5, <5неч.	m=s2, s>0
Замечая, что в (39) все три аргумента функции Ф нечетные, поло-
х+У+?—1
жим Ф(х, у, Z) =(—1)	2 Ф(х, у), причем Ф(х, у) —четная
функция:
Ф (— х, у) = Ф (х, — у) = Ф (х, у).	- (43)
Получим для (mod 8)
2 (-1)2 0(z + 2d, f-2<5) =
m= i^Sdd
s-1
= {(-l)2	5 [®(/> S)—0(s, /)]}. (44)
3=1, 3, 5, ..., 8—2, m=s2, s>0
Из основной формулы (28) вытекает еще ряд тождеств другого типа.
Пусть F(x) — четная функция и п > 0 — данное целое число. Применим
формулу (42) к числу т —п — d'd' (d‘, d'— положительные числа, для
которых п —	причем функцию /(х) в этой формуле возьмем
равной F (х — d') — F (х + d'), каковое выражение представляет, оче-
видно, нечетную функцию от х; получим
5 (-1/ {F (d-d' + i) — F(dJfd,+ i)} -
п — d'<5'a= it-J-dd, d неч.
= {(-I)’-1 s [F (s- d')-F(s + d')]).
n —d'<5'==s2, s>0
174
ГЛАВА V
Просуммируем подобные равенства для всех систем целых значений d'9 д',
удовлетворяющих условиям d'> 0, д'> О, д' неч., п — d'8'> 0; сделав
упрощение в правой части, получим
2	(-l)4F(d — d' + i) — F(d + d' + i)] =
n = i*4-cU4-cT<5', д, д'неч.
= 2 (-ly/FO + d). (45)
п== ОЧ-йд, <5 неч.
Для дальнейшего преобразования воспользуемся формулой (31); поло-
жив в ней
F(x, у, z) = (— 1)	(2y — z)F(y)
И
F(x,y,z) = (-1)~+V(y),
получим две формулы:
2 2 (- 1/8F(d +0=2(-l)J+7i(2/z + J’ — d)F(ft) +
+ 2{(-ir1^F(s)},
2 2 (-W + 0F(d + 0=2 (-1/+ллг(й) + I
+ 2{(—l)s~1i2F(s)}.	J
Замечая, что
2 (-i/+ftftF(ft)==o,
11=7124-21/1', 214-d' неч.
2 (-1/+71(4'—J)F(ft) = -2 2 (-!)'•(</ —^)F(Zt)«
n=M4-dd', J4-d' неч.	n=h24-d<5, йчетн., днеч.
= —2 2 (-l)4d-d)F(j),
n—tf+dd, <5 неч.
и вычитая формулы (46) друг из друга, получим
2 (-1)‘ IF (d + 0 = 2 (-1)* (<5 - d)F(d + 0 + 2 (-1/ (<* - <5) F «)•
Подставляя это в (45), найдем окончательно
2 (-l)i[F(d-d'+0-F(d+d' + 0] =
n=M24-d(54-d'<5', <5, <5' неч.
= 2 (- 1)Ч(<5-d)F(d + i) + (d- d)F(i-)]. (47)
п=г2-М<з> <5 неч.
Из этой формулы, как сейчас покажем, вытекает следующее тождество:
для всякого целого т и всякой четной функции /(х)
2 U(d — d') — f(d + </')]= 2 (^-d)[/(d)-/(O)]. (48)
д, д' неч.	?n=»dd, б неч.
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ	175
В самом деле, для т = 1 эта формула очевидна. Предположим, что
справедливость (48) доказана для всех т, меньших некоторого числа п;
чтобы доказать ее для числа п и для любой четной функции, восполь-
зуемся равенством (47), которое напишем так:
2 [F(d-d’)-F(d+d')]+
n^dd+d'd', <5, дТ неч.
+ 2 (-1/ 2 [F(d-<r + o +
i—1, 2, ...	п — i2=dd-bd'<5', <5, д' неч.
+ F (d—d’ — z)—F (d + d' +1) — F (d + d' — i)] =
=	2 (<5-d)[F(d)-F(O)] +
n=d<5, <5 неч.
+ 2 (-1/ 2 {(<5-d)[F(d+0 + F(d-z)]-
i=l, 2, . . .	n—i2=d(5, <5 неч.
-O-d)[F(i) + F(-0]).
При данном i суммы
2 [F (d — d' + i) + F (d — d' — i)—F (d. + d’ + i) — F (d+d’ — i)]
n—-i^=dd-\-d'd', d, df неч.
2 O - d) [F (d + I) + F (d -z) - F (г) - F (-1)]
n—tf — dd, <5 неч.
представляют не что иное, как левую и правую части формулы (48),
написанной для числа т = п— i2 и для четной функции /(х) = F(x+z) +
4- F (х — f); эти суммы равны, так как при /=1, 2, ..., п — I2 < и.
Сделав сокращение в (49), получим формулу (48) для числа m = л.
Аналогичным способом выводятся еще следующие тождества подоб-
ного типа (см. J. Ouspensky 64, Premier Mem., I, § 2):
2 [/(d-d')-/(d+d')l =
2m=dd-f-d'<5r, d, <5, d', д' неч.
= 2 <*l/(0)-/(2d)], /(x) четн., (50V
m—dd, д неч.
d-1
2 (-1)2	+	=
d, <5, d\ дг неч.
a-1
=	2	(-1)4 d/(2d), /(X) неч., (51).
m=dS, д неч.
d-1
2 (-1) " [/(d+d')-/(d-d')] =
m=cW4-d'<5', <5, дг неч.
d-1
=	2 (- 1) 2 df(d) -2	-7W, /(х)неч, (52).
m~dd, д неч.	m=d5, d неч
(49)
176
ГЛАВА V
2 5 [Kd-2d')-f(d + 2d')] =
m=<W+2d,<5', 4' неч.
=	/(<*), /(x) четн., (53)
m=d&
d'-l
22	(-1) 2 [f(d + 2d') + f(d-2d')] =
m—dd+W/d', д' неч.
<5-1
= 5(-l)2 df(d)- 5 /(d), /(x) неч'., (54)
m—dd	m—dd
2 5 [/(d-2d')-/(d + 2d')] =
m=dd+d'd't d неч.
= 2 (4d-d + l)/(d)-22 [/(l)+/(3) + ...+/(d)] -
m=d<5, д неч.	m=d<5, <5 неч,
-2 5 [/(l) + f(3) + ... + /(2d-l)], /(x) четн. (55)
m—dd
В тождествах (53) и (54) число т предполагается нечетным, в осталь-
ных— произвольным; предположения относительно функции /(х) выпи-
саны около каждого тождества отдельно.
§ 5. О представлении чисел формами с двумя, тремя и четырь-
мя переменными. Обращаясь к приложениям выведенных в предыду-
щем параграфе тождеств Лиувилля, докажем сначала теорему § 8 гл. II
о количестве представлений чисел простейшими квадратичными формами
х2 4- у2, х2 + 2у2, х2 + Зу2. Выбирая из них, например, форму х2 + 2у2,
обозначим количество представлений целого числа п этой формой через
7V(n) [причем N(0) = 1]. Считая п нечетным числом, рассмотрим урав-
нение п = I2 4- 4й2 + 2к2. При постоянном й число решений этого
уравнения есть N (п — 4й2), следовательно, полное число решений этого
уравнения выражается суммой ^N(n— 4й2), взятой по всемй = О, ± Ъ
±2, ..., для которых аргумент функции W остается положительным.
Вычисляя число решений того же уравнения п = i2 4“ 4/z2 + 2к2 другим
способом, т. е. при постоянном lt получаем из сравнения результатов
рекуррентное соотношение для функции N (п):
2 N(n — z2) =	2 N(ji — 4h2).	(56)
i==±l, ±3,. . .	h=0, ±1Г±2, . ..
Полагая в формуле (31) F(x, у, г) = sin получим
2	sin^±^=	2 sin^ + 2f)-{ 2 sin4b
п=№+2ДДг, Л неч.	n=i24-d<5, <5 неч.	3, ...» 2s-l,	8>o
или
2/	. nA	nA' .	. nA'	nA \ .	( 1 )
sin — cos-5-+ sin — cos— + —= =
\	4	2 ‘	4	4 / 1	IY 2 I
d неч.	n=s2, s>0
= 5 sin cos Y" •
n=i24~d<5, <5 неч.
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
177
Заметим, что при нечетном х
х-1
о2,
. ЛХ
S1H-
. ЛХ 1	,	8	2
sin—— — (--1)
4	/2		'
лх п
cos — = О,
Х2-1
7ТХ 1 z , ч 8
COS —= -—(—1)
4	/2	’
и положим у(£) = 2	У (0) =	Тогда правую часть (57) можно
fe=d<5, <5 неч.
представить в виде V (— 1)'1 у (л _ 4/j2). Далее в сумме
ч /1=0, il, ±2, . . .
2. nA	л/Г
sin — cos —- в левой части остаются только члены, в которых Л
четное; следовательно, эта сумма имеет отличное от нуля значение только
при п = 1 (mod 4) и тогда
V	.	лД	лД
Z*	Sin	—	COS
4	2
n=h2+2zld', А неч.
n=S2, S/-о П--12-+-4АА', А неч.	71—S2, s >0
n—1
'I — Jt 1 > -*-3. . . .
причем последняя сумма берется по всем нечетным z, для которых аргу-
мент у) остается большим или равным нулю. Точно так же сумма
2. лД * пД	.	\
sin — cos — присутствует только при п = 3 (mod 4) и в этом слу-
п—3
чае имеет значение —1) 4
/2
i- i
мула (57) дает
У yj(n — z2). Таким образом фор-
h ±з,...
е 2 yAn—i2)= у, (— !)'>(« — 4й2),
i=il, i3, . . .	Л—0,	±2, .. .
п-1	п-3
где с = (— 1) 4 при /? = 1 и — (—1) 4 при /7 = 3 (mod 4). Принимая
во внимание, что^(г/) = 0 при /7^=5, 7 (mod 8), легко преобразовать
полученное соотношение в такое:
2	^(п — р)=	2	^8)
г = ±1, ±3, . . .	h ±1, ±2, . . .
Из сравнения соотношений (56) и (58) и получается для всякого к ра-
венство N (к) = 2^ (fc), которое мы желаем доказать. Действительно,
предполагая это равенство справедливым для всех нечетных чисел к,
меньших п, на основании очевидных соотношений ip(2m) =
12 Теория чисел.
178
ГЛАВА V
N(2m) = N(m) заключаем, что оно справедливо и для всех четных к,
меньших п, и тогда (56) и (58) дают N (п) = 2гр (п), ч. и тр. д. Полагая
в (42) / (х) = sin получим
&
хп	/ 1Чг . nd ni (,	1 xs—1 .	1
2j	(—1) SHI — COS — = {(—1) SSin—
m=i2+d<5, д неч.	?n-s2 *, s>0
или, считая m нечетным,
h +	till
2 (-1)	2={(—
m=4h24_d(5	m=s2, s>0
Применяя в левой части теорему о количестве представлений числа
формою х2 + у2 [§ 8 гл. II, формула (34)], получим следующую весьма
полезную теорему Лиувилля:
Теорема 22. Для всякого нечетного т имеем равенство
S-1
2 (-l)h = !(-l)2 $}.	(59)
7n=i2-}-4k2-}-4h2, i>0	m—s2, s>0
Такие „хорошо сокращающиеся" суммы, как та, которая стоит
в левой части (59) [или в теореме Якоби (17) §2], имеют большое зна-
чение при определении количества представлений формами с четырьмя
и более переменными. Полагая в (42) /(x) = sin~p найдем
2,	. nd ni f, 1 i . ns )
(—1) sinT COS - ={(— 1) SSin — |.
<5 неч.	m=sa, s>0
Предположим /п === 3 (mod 8); тогда в правой части будет нуль, левую
же часть разобьем на две суммы соответственно четным и нечетным зна-
чениям i. Получим
12—1
2	2 (->)'(=-*)
16h2_|-d<5	m=»i24-2dd
Применяя теоремы о количестве представлений формами х2 + 2у2 и
х2 + у2, получим
12-1
2 (-nh= 2 (-1)8-	(6°)
ia+2A2+16h2	m=i24-2fc24-812
Замечая, что число к как в представлениях т = i2 + 2к2 + 16/г2, так
и в представлениях т == i2 4? 2к2 4- 8/2 нечетное и, следовательно, п =
= т— 2к2 = 1 (mod 8), получаем из (60) способом совершенной индук-
ции следующую теорему Гаусса-Якоби: для всякого числа п формы
8к 4- 1 представления его формами х2 4* У2 и X2 4- 2у2 связаны между
собою так, что
j2-1
2 <- Р* - 2 (- Р 8 •	<61>
m=12-f-16h2	m = 4-
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
179
Для случая п простого эта теорема уже была получена в гл. III при
сравнении критериев биквадратичного характера числа 2 [§ 3 гл. III,
теорема 1].
Переходя к тройничным формам, следует заметить, что количества
представлений ими (и вообще формами с нечетным числом переменных)
получаются по методам Лиувилля гораздо труднее, чем для форм с чет-
ным числом переменных. Все немногие тройничные формы, количества
представлений которыми могут быть определены по методам Лиувилля,
даны в работе Успенского 66. Один пример такого рода исследований
(для формы х2 + у2 + z2) читатель найдет в § 2 гл. VI; здесь же
ограничимся доказательством теоремы Якоби, формулированной выше
[§ 2, формула (17)]. Полагая в формуле (44) Ф(х, y)==cos^p полу-
чим для т = 1 (mod 8)
?—1	s—1
2/	2	. 2ni . 2nd (/	1 \ 2	)
(—1) sin Ysin — = {(—1)	«};	(62)
m~s2» s>0
где 8 == —	4 ~ 4 или 4 + р смотря по тому, будет ли s === О, 1 или
— 1 (mod 3). Рассмотрим сумму	где к>® — данное це-
о	. 2пх / х \	,
лое число. Замечая, что sin —=д-или (при нечетном х>0) =
ГТ/- 3\
= -*-5—1---1, соединим в сумме а члены, в которых наивысшая входя-
щая в d степень двойки одна и та же; тогда, полагая к = 2а1, (а >0,
I — нечетное), увидим, что при а нечетном о = 0, при а четном о =
=	2 ("т)‘ Припоминая результат § 8 гл. II [формулы (38) и (39)]
о количестве представлений формой х2 + Зу2, можем написать во всех
случаях
<T==lLZjV(4fc = x2+3y2-)<
Подставляя это в формулу (62) и перенося в случае т = S2 нужные
члены из правой части этой формулы в левую, найдем окончательно
г-1	s—1
2 (-1) 2 (|) = {2(-1)2 se'},	(63)
7n=i2-f-2j2-|-6ft2	m=s2, s>0
где s' = 1 при s Ф 0 и 8f = — 2 при $ = 0 (mod 3). Сумму, стоящую
г—1
в левой части этого равенства, можно представить в виде 2^(— 1) 2 >
присоединив к уравнению т = z2 + 2/2 + 6/с2 добавочное условие
i = 1 (mod 3). Замечая, что при т = — 1 (mod 3) представлений
12*
180
ГЛАВА V
с i= 1 (mod 3) вовсе не существует, при m~l, j~0 (mod 3), и при
т = 0, / ФО (mod 3), легко преобразуем равенство (63) в следующее:
4-1	8-1
2	(-1)2 =!(— О 2 «}.	(64)
m=i24-2j24-6/i2t i-j-4-l=0 (mod 3)	m=s2, s>0
Заметим, что кроме условия i — / +1 == 0 (mod 3) числа z, /, к в пред-
ставлении т = i2+2/2 + 6/с2 удовлетворяют еще условию/ -}-к = 0 (mod 2),
вытекающему из предположения т = 1 (mod 8) (см. выше). Отсюда еле'
дует, что числам /, /, к отвечают по формулам i = 2а -j- 2Д + 2 у— 1,
/=2а— /5—у, к = /3— у целые числа а, /3, у, причем из уравнения
т = z2 4- 2/2 + 6/г2 получаем для этих чисел соотношение
3m = (6а — I)2 + (6£— I)2 + (бу - I)2.
Формула (64) переходит тогда в теорему Якоби
s—1
1)а+^= {(-1)2 s).
3m=(6a-l)24-(6/J-l)2f (6y-l)2	s>0
Тождество (44), из которого мы вывели теорему Якоби, позволяет до-
казать и формулу Эйлера для суммы делителей С (и) [формула (7) § 1]. Не
проводя подробно вычисления, заметим только, что, положив в (44) т =
= 24п + 1 и Ф(х, у) = х sin —(2 + cos^J, можно представить левую
часть полученного равенства в виде суммы двух величин:
i-f-i
с хп /	\ 2 ./n 2ni . 2лд\ . 2nd
5 = У (—1) I 2 cos — + cos — sin —
\	О	О /	о
24n4-l^i24-8dd
И
i-H
Т-	2 г . 2лг 2nd f 2nd Д
Т = V	(—1) d sin — cos — (cos —-------------4 .
24n4~l—i24~^d<5
Но нетрудно видеть, что
г-1
О Л	inVz 1\ 2 . 2л/* /24л -j-1 —- i2 \
S = 0, Т=12^(-1) sin — Ц----------------Х_------),
откуда и получается формула Эйлера (7).
Простейшая квадратичная форма с четырьмя переменными есть
х2 + У2 + г2 + /2- Количество представлений этой формой определяется
следующей теоремой Якоби (см. 31, стр. 245):
Теорема 23. Количество представлений всякого целого числа т> О
суммой четырех квадратов равно 8-кратной сумме всех делителей т
при т нечетном и 24-кратной сумме всех нечетных делителей т
при т четном.
Теорему эту можно доказать тем же способом, который был приме-
нен выше для формы х2 + 2у2. Мы на этом, однако, не будем останав-
ливаться ввиду того, что эта теорема будет доказана в следующем па-
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ	181
раграфе. При т = 1 (mod 4) в представлении т = х2 + у2 + z2 + t2
одно из чисел X, у, 2, t нечетное, остальные — четные. Поэтому тео-
рема 23 дает
N (т = х2 + 4у2 4- 4z2 + 4/2) = 2С (тп).
Но на основании теоремы 22 Лиувилля
г-1
2 (-1)' = 2	2 (-1)2
m=x2-H2/2-|-4224-4t2	i2-f-4fe2, j>0
Складывая это с предыдущим равенством, получим при т = 1 (mod 4)
г-1
N(m = x2 + 4y2+ 422+ 16/2)==£(Ш)+	2 (-1)2*.	(65)
х	772=12-1-4^2, 1>0
Тождества другого типа, выведенные в § 4 [см. формулы (50) — (55)]
также позволяют получить количества представлений формами с четырьмя
переменными. Желая определить, например, количество представлений
формою X2 + у2 + z2 + 2f2, положим в равенстве (55) f (х) = cos ;
получим
4 2 sinVsin¥ = TI 2 (4rf-<5 + l)(y)-
n=dd+d'd', d неч.	n=dSi в неч
— 2 5 [cos 4 + cos ^- + ...4-cos
n=dd, д неч.
л Г	t Зя > I	(2(5 —’ 1)^*1
— 2 2 [cosT4-cos—+ • ,. + cos S—J-2-J,
n=dd
или после упрощения
d'-l
8 5 (-i) 2
n—dd^d'd', d, d' неч.
d-1	d-1
= 2 2 (4d-<5+l)(|)-4	2 (-1/-4 2(-l)2-
n—dd, d неч.	n—dd, (5e=e1 (mod 4)	n—dd, d неч.
Применяя теоремы о представлении формами х24-у2, х2 + 2у2, найдем,
что левая часть этого равенства есть не что иное, как
N (п = х2 +у2 + г2 + 2/2, х2 + у2 >0, z2 + 2t2 > 0);
для получения полного количества представлений формой х2 + у2 +
+ z2 + 2t2 нужно поэтому в левую часть добавить члены N(n = х2 + у2)+
+ N(h=Z2 + 2/2) = 4 2 (—1) 2 +2 2
n=d<5, <5 неч.	n—dd, д неч.
182
ГЛАВА V
Тогда правая часть после упрощения примет вид
m~dd, <5 неч.
Полагая п = 2ат (а>0, т — нечетное) и вводя числовую функцию
со(т)= 2 d(|)>
m~dd
получаем окончательно (Lionville 48)
N (п = х2 4- у2 + z2 + 2/2) = 2 ^2°+2 -
п=2ош, а>0, т неч.	(66)
Выписываем еще несколько подобных же результатов (Liouville4'’49’50’51, 52)
N(2am = х2 + у2 4- З?2 4- З/2) =
= 4 • |2“+1— 3| •	2 d> а>0> т неч-> (67)
m=dd, с?фо (mod 3)
N (jn = х2 + 8у2 + 8г2 + 64/2) =
г-1
= 4?И+4 2 (-1)2 i+ 2 (—2)r, m^l(mod 8), (68)
zn=i24"16s2, г>0	m=r2-|-8u2, r>0
N (2°3^/п = x2 4- у2 4- z2 4- З/2) =
, р . m—1	d—1
= |>+1-(- 1)о+д(-у)] [2o+14-(- 1)	2 ]2 (-1)2 (4)d>
m==dd
a> 0, 0>O, (m, 6) = 1,	(69)
N (2am = x2 4- 2y2 4- 2z2 4- 2/2 4- 2u2 4- 2u2) =
=4[4°+‘-(тг)]2Ь4‘,!. <>»	<™>
m~dd
N (2a5fim = x2 4- y2 4- §z2 4- 5f2) =
= 2(5W —З)С(щ), a> 0, /3>0, (m, 10)= 1. (71)
В первой формуле знак | | изображает абсолютную величину. Послед-
няя формула дает количество представлений четного числа формой
х2 + у2 + 5z2 + 5/2; интересно отметить, что ни Лиувиллю, ни последую-
щим ученым так и не удалось определить количество представлений
нечетного числа этой формой.
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
183
§ 6. Количество представлений чисел суммою 2, 4, 6, 8 и 10
квадратов. Прекрасным приложением методов Лиувилля является вопрос
о представлении чисел суммою четного числа квадратов. После того
как Якоби дал выражение для количества представлений суммой четырех
квадратов (теорема 23), соответствующие выражения для 6 и 8 квадратов
были даны Эйзенштейном (см. Bachmann 3, стр. 652), для 10 и 12
квадратов — Лиувиллем. В 1914 г. В. Булыгин дал общий аналитический
метод для нахождения количества представлений четным числом квадратов
и довел вычисление до 24 квадратов, доказав таким образом результаты
Эйзенштейна и Лиувилля. Вычисления В. Булыгина требуют весьма слож-
ного аппарата якобиевских те'й-функций, между тем как решение того
же вопроса по методам Лиувилля, как заметил Успенский 63, не требует
никаких других вспомогательных средств, кроме основной формулы
(28) § 4. Чтобы отметить все особенности метода и получаемых резуль-
татов, достаточно довести вычисление до 10 квадратов.
Обозначим через Np(ni) количество представлений числа т>0
суммой р квадратов, т. е. количество всех решений неопределенного
уравнения т = х[ + х22 + ... + х2р в целых числах х3, х2, ..., хр [так что
Ар(0) = 1]. Легко показать, что числовая функция Np(m) удовлетворяет
при всяком т соотношению
2 [ш — (р + 1) z2] Np (т — /2) = 0,	(72)
г— 0, -|~1, *4~2, ...
причем сумма берется по всем z, для которых т— z2>0. В самом деле,
выпишем Np+1 (т) равенств вида т = х[ + х22 +... + Xp-j-i, соответ-
ствующих всем представлениям т суммой р +1 квадратов, и сложим все
эти равенства; тогда получим
, mNp+i(m) = 2 х21 + 2^ + --- + 2хр4-1==(р+	(73)
Соединив в сумме 2 х[ члены, имеющие одно и то же значение z2, заме-
тим, что таких членов будет Np (т — i2); поэтому 2 ~ 2	—*2Ь
1=0, il, .
где сумма берется по всем z, для которых z2</n. На том же основании
?7р+1(ш)= 2 Np(jn — z2). Подставляя эти значения в (73), получаем
г=0, ±1, ±2, . . .	V
искомое соотношение (72).
Соотношение (72) вместе с условием JVP(O)=1, очевидно, вполне
определяет значение числовой функции Np(m) для всякого т>0;
если поэтому построена функция Ф(т), удовлетворяющая такому же,
как (72), рекуррентному соотношению и условию Ф(0)=1, то для
всякого т имеем
Np (ш) = Ф (zn).
В этом и заключается идея рассматриваемого метода. Для построения
таких функций Ф(т) будем пользоваться некоторыми тождествами Лиу-
вилля, вытекающими из основного тождества (28). Полагая в (38)
184
ГЛАВА V
F(x, У, z) = (—1) 2 F (У> *)> где ?(х» У)— функция, нечетная по
каждому агрументу х, у, получим
д-1
2	(-П 2 F(d+i, <5-2z) =
m=i24-dd, <5 неч.
J-1
= {(-1Г1	2 (-1)2 F(s> /)}• (74)
j=l, 3, 5, . . . , 2s—1; т~s2, s>0
Случай двух квадратов. Полагая в (74) F(x, у) = ху, получим после
упрощений
<5-1
2	(-1) 2 (^-2*2) = <т}.
m=i2±dd, д неч.	m—sZ, s>0
Заменяя в левой части dd величиною т — i2 и вводя числовую функ-
<5—1
цию Ф(т) - 4 V (— 1) 2 , Ф(О)== 1, можем представить предыду-
m=dd, <5 неч.
щее^равенство в виде
2 (т — З/2) -Ф(т~ i2) = 0.
i=0, ± 1, i 2, . . . , J < т
Сравнивая это с соотношением (72), получаем, для всякого ш, TV2(m) =
= ф(т); таким образом мы доказали снова результат § 8 гл. II:
д-1
N (т = х2 + у2) = 4	(—1) 2 *
m—dd, д неч.
Случай шести квадратов. Полагая в (74) сначала F(x, у) = х3у,
затем F (х, у) = ху3, получим
<5-1	д—1
2 (— 1)~ d2 (m—7i2) 4- V (—	— 5z4) = \m2},
<5—1	д—1
2 (—1) 2 <52(m — 7z2) 4- 4 2 (— lp~(3mz2—5i4) = (4m2 — 3/7?j,
причем все суммы в левых частях берутся по представлениям т — i2 +
dd д неч., члены же в правых частях относятся, как обыкновенно,
<5-1
лишь к случаю т = s2. Исключение суммы 2 (—1) 2 (Зпп2 — 5z4) из
двух предыдущих равенств приводит к формуле
д-1
У. (т — 7J2) (4(Г — <52) (—1)~ = {3ffl},
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
185
которую можно представить в виде
2	(/72 — 7/2) Ф (т — z2) = О,
i=o, ±1. ±2, . . .
ПОЛОЖИВ
д-1
Ф (тт?) == 4 2	(4rf2 —д2)(—i) 2 , Ф(р) = 1.
m=dd, д неч.
Сравнивая полученную формулу с (72), найдем, для всякого /и,
ЛГв(т) = Ф(т).
Положив т = 2“ п, а > 0, п нечетное, можем представить полученный
результат в виде
n—1	d—1
Nt(m) = 4[23о+2-(-1)“]	(-1)2
m—dd, д неч.	«г
/Л = 2ап, а>0, п неч.	4	(75)
Случай десяти квадратов. Полагая в (74) последовательно F(x, у) =
==х5у, = XV5 и = х3у3, получим после упрощений три формулы
д-1	д-1
2(— 1) 2 di(tn— lli2) + 10 2(— 1) 2 d2/2 (m — З/2) 4-
д-1
+ 2(-1)2 г4(5/п-7г2) = {/п3}>
д-1	д-1
2(— 1) а &(т — И/2) +402<— 1) 2 <32/2(т — ЗУ2) +
д—1
+16 V (— 1) 2 /4 (5m — 7/2) = 116m3 — 40m2 4- 25m),
д-1
3 2 (— 1) 2 /2 (4d2 4- 62) (m — 3/2) 4-
д-1
4- 2(— 1) 2 [(m — 3z2)»—12/2(m —/2) (m — З/2)] = 14m3 —3m2}.
Исключая из этих уравнений суммы
д-i	д-i
2(—1)* d2/2(m —3/2) и 2(— 1) 2 «J2/2(т —3/2),
получим
д-1	д-1
2(-l)2 (16d44-<54)(m—11/2)4-2(— 1) 2 [з2/4(5m —7/2)4-
4- 160/2 (m _ ;-2) (т _ 3г-2) _ *2 (m _ 3/2)31 = ] _ 64 з + 25m j. (76>
6	j i a	j
186
ГЛАВА V
Обозначим первую и вторую суммы в левой части этого равенства
соответственно через Р и Q, Положив
8—1
%(«)= 2 (-02 (i6rf4+n z(o) = {,
д неч.
получим для первой суммы выражение
Р—{25т} =	2 (т —	— г'2).
771= S2, s>0	i=0, ±1,	...» l2<m
В выражении суммы Q применим теорему о количестве представлений
формой х2 + у2; тогда для Q получим значение
m=s2, s>P
= 2	[sz4 (5/л — 7?) + 40/2 (тт? — p) (m — 3/2) _ H (m — 3/2)3].
m=i2 4-j2-j-fe2
Внося под знаком суммы в правой части вместо т его значение
/2 J2 получим
Q + {-у Т773 } = 2 [в?4 (5/2 + 5^2- 2?2) +
+ 40/2 ()2 + *2) (j2 + *2 __ 2(2) — J2 (/2 _|_ *2 _ 2/2)sj ,
или, после упрощений,
Q + {V т31 = 4	5	О'6 —15г'4/2 + 30/2/2*2).	(77)
m=i2-|-j2-|-A2
Введем числовую функцию у) (л), определяемую для всякого п > 0
равенством
V- (77)= 2 (/4-з/2п
n = j2-|-fe2
Тогда для этой функции находим’;
2 (777— 11/2)^(т — /2)=	2	(777— 11Z2)(/4 —3/С2/2) =
m==i24-j2-|-fe2
=	2 (/в —15/4/2 + 3°72/2^2);
77l=124-j2-{-fe2
сравнивая это с равенством (77), находим окончательно
Qи3} = 4 2 (т — П/^уЧттг — ?'2).
m=s2; s>0 1=0, -±1, ±2, . . . , 12<тп
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
187
Подставим теперь найденные выражения для сумм Р и Q в равенство (76);
тогда, полагая
Ф (т) = ~ % (т) у) (/и), Ф (0) = 1,
э w	о
получим
У, (т — 11 z2) Ф (т — z2) = 0,
г=0, ±1, ±2, . .., i2 < m
откуда вытекает, что, для всякого in, N1() (rri) = Ф (т). Полагая, как
всегда, т = 2ап, можем представить полученное выражение для количе-
ства представлений суммой 10 квадратов в следующем виде:
72.—1	д—1
Мо (т) = 4 (24а+4+ (-1) 2 ) s (- 1) 2 d4 + s О'4 - 3i2/2),
n=dd
т = 2ап, а > 0, п неч.
(78)
Характерно появление в этой формуле наряду с главным членом,
зависящим от делителей числа т, еще добавочного члена в виде суммы
2 (*4— 3z2/2), распространенной на все представления числа т формой
/2 + /2. Такие добавочные члены появляются и во всех дальнейших фор-
мулах, выражающих количество представлений суммой 12, 14, 16,...
квадратов. Форма их все более усложняется по мере увеличения числа
квадратов; например, в формуле для количества представлений суммой
14 квадратов добавочный член представляет сумму, распространенную
на все представления данного числа суммой 6 квадратов.
Случай четырех квадратов. Заменяя в основной формуле (28) F (х, у, z)
на (—l)xF(x, _у, z) и складывая полученную формулу с (28), можем
представить результат в виде
2 2 ((- l)d + 1)F (<5 — 2i, d + z, 2d + 2i — fi) —
— S (1 + (— l)d+d)f (d + fi, i, d—fi) =
= {22(l + (— 1)’)F(2s—j, s, 2s — )) —
— 22^ (2s, s —/, 2s —2/)}.	(79)
Суммы в левой части берутся по всем представлениям т = z2 + dd,
а суммы в правой части присутствуют только в случае т = s2 (s > 0)
и берутся по всем /=1, 2, 3, ..., 2s—1. Вычитание тех же формул
дает
2 2(1 — (— l)d)F(<5 — 2z, d + i, 2d + 2i — fi)~
-2(l-(-l)d+V(d+<3, z, d — <5) =
= {2 2(l-(-l)’)F(2s —/, s, 2s-/)}.	(80)
188
ГЛАВА V
Так как в формуле (79) все члены с нечетными аргументами х и z
у функции F (х, у, z) сокращаются, то в этой формуле можно заменить
X+z
F(x, у, z) на (—1) 2 F (х, у, 2), после чего получим
2 2 ((— l)d + (— l)d+e)F0 — 2i, d + i, 2d+2i — d) —
-2((-l)d + (-l)d)F(d+5, i, d-t>) =
= {22(1 +(— l)’)F(2s — j, s, 2s — /) —
— 2 2(—1)’F(2s, s — j, 2s —2/)}.
Вычитая эту формулу из (80), найдем окончательно
2 £(d, <5)|f(<5 — 2i, d + i, 2rf4-2z —^-yF(d + d,z,d-<5)]==
= {2 2(-1Г^(25-/, s, 2s-j) +
+ 2(-1)’F(2s, s-j, 2s-2/)J, (81)
где положено для краткости e(d, <5)= 1—(—l)d—(—l)d— (—l)d+<5.
Эта формула и служит для определения количества представлений сум-
мою 4, 12, 20,... квадратов, подобно тому как прежняя формула (74)
служила для той же цели в случае 2, 6, 10, 14,... квадратов. Полагая
для простейшего случая 4 квадратов в (81) F (х, у, ?) = ху2, получим
после упрощений
S	—5z2)d= {2т}.
m==i2+dd	m—s2, s>0
Если введем числовую функцию Ф (т) = 4 V s(d, 8)d, Ф(0) = 1, то
последнее соотношение можем представить в виде
2 (т — 5z2) Ф(т — i2) = 0,
г=0, ±1, ±2, . . ., i2 < m
откуда вытекает, что, для всякого т, N^m) — Ф (т). Замечая, что вы-
ражение £ (d, <5) = — 2 при d и д четных и = 2 в остальных случаях,
и соединяя в сумме	члены, в которых наивысшая степень
двойки, входящая в состав d, одна и та же, легко получим окончатель-
ное выражение для TV4 [ту
N4(/n) = 8(2 + (-l)m) 2
m=dd, 8 неч.
Полученный результат есть не что иное, как формулированная в преды-
дущем параграфе теорема Якоби (теорема 23).
Случай восьми квадратов. Для случая, когда число квадратов делится
на 8, исходной формулой для построения функции Ф (т) служит сама
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
189
основная формула (28). Положим в ней F (х, у, z)=(—l)v XV4; тогда
получим
2(—l)i+dd3—	_|_ 2(—l/i4[(— l)d<5 — 14(—l)dd — d] +
+ 6m2(—l)d+i^'2 3= {(— I)”1 (2m3 —2m2 +m)}, (82)
причем в левой части суммы берутся по представлениям m — i2-\-dS.
Положив в (28) F (х, у, Z) — (—1)уху3(2у— z), найдем
3 2(~ 1)Ч4[7(— l)dd — 5(— l)d6—2d] —
— 3/т?2(— 1)Ч2[8(— l)dd — 3(— l)d<5] +
+ 3m22(— i)d+ld = {(— i)m(4/7?8-/7?2);.	(83)
Но легко проверить, что для каждого целого числа п
2 [(— l)d 3 — 14 (— l)d d — dj +
n — dd
+ 3 2 [7( — l)dd —5 (—l)d<5 —2d] = 0;
n~dd
пользуясь этим, из формул (82) и (83) получаем
2 (т — 9/2) (— l)i+d d3 + 9/72 2<—l)'i2l(—l)d^ — 2(—l)dd] +
+ 3m2 У (— l)d+id= {(— l)m(6rn3 — 3m2 + m)). (84)
Полагая еще в (28) F(x, у, z) =(—l)yxy2, найдем
2(~ l)’?2[(—l)d6 — 5(—l)dd — d] +
+ /T?2(-l)i+drf= {(— l)m(2rn2 — m)}.
Это равенство упрощается подобно предыдущему на основании замеча-
ния, что для всякого п >0
2 [(— l)d<5 — 5(—l)dd —d|=3 2 [(—l)d<5 —2(—l)dd],
n=d<5	n=dd
и дает
3 2 (—1)V2L(—l)d^ —2(— l)dd] + m2(— i)i+dd =
= {(— l)’n(2m2 —m)}.
Полученное соотношение позволяет исключить две последние суммы
в левой части равенства (84); сделав это, получим окончательно
2(т — 9Р)(- l)i+d d3= {(— l)m777|.	(85)
Вводя для всякого т числовую функцию
Ф(/т?) = i6(—i)m 2 (—i)drf3. ф(о) = 1,
190
ГЛАВА V
можем представить (85) так:
2 (т — 9z2) Ф (т — i2) — О,
1=0, ±1,	, г2<т
так что N8 (т) == Ф (rri). Отсюда без труда получаем окончательное вы-
ражение для Ns (гл):
N8(m) = 16(— l)m	m = 2an, a>0, nнеч. (86)
n—dd
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V
К § 1. Другое чисто арифметическое доказательство теоремы Эйлера-Лежандра
о пента тональных числах предложил Якоби в мемуаре „Beweis des Satzes, dass
jede nicht funfeckige Zahl ebenso oft in eine gerade als ungerade Anzahl verschiede-
ner Zahlen zerlegt werden kann“ (cm. 31, стр. 303—317).
Асимптотические выражения аддитивных функций 2(n), //(n), v(n) даны
Гарди (Hardy) и Раманужаном и независимо от них Успенским; отметим интерес-
ное соотношение, полученное Успенским:
lim A2?1 = -i/2.
п—>оо V (2п)
К § 2. Раманужан (см. 72, стр. 308) вычислил таблицу значений
функции Д (п) до п = 200.
Пользуясь формулированной в тексте теоремой Валена, можно вывести еще
многие рекуррентные соотношения для функций Л(п), v(n), еще более удобные
для вычисления значений этих функций, чем данные в тексте формулы (13}
и (15):
2	= Pb n —	S>0	(87)
2 (-l)hA(n-A2)	= {(-l)s), П = fOg S2—S	(88)
2 (-l)hA(n —2й«)	= ((-1) 2 ), n = Wg	(89)
2 (-l)h2 (n — 3h2)	= I'l. n=cos	(90)
2 (—l)hv(n-<oh)	= ( 2 (—l)s ), n=2s2, s >0	(91)
2 I-i)hv(n — 4<ол)	= {>). S2 — 8	л ”= -r’s>°	(92)
РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ НА СЛАГАЕМЫЕ И МЕТОДЫ ЛИУВИЛЛЯ
191
Применяя к (91) формулу обращения (12), данную в тексте, получим выражение v (п>
через функцию /z (п):
V (л) = 2 (—l)71 Д (« “ 2Л2).	(93)
К § 5. 6 § 3 гл. III при определении биквадратичного характера числа 2
была получена зависимость между представлениями простого числа р = 1 (mod 8)
формами х2 + 8у2 и х2— 8у2. Для составного числа и = 1 (mod 8) эта зависи-
мость выражается теоремой С. Смита:
5	(-i)a =	2 (-
п~х2+8у2, х>0	8у2, 5c4~4V>0, х—4у>0
которая доказывается аналогично равенству (61) в тексте.
Полагая в формуле (42) / (х) = х, получим
- 2 (-l)ia(n-»2)=
i=0, ± 1, ± 2, ... , г2 < п	n—s2, s>0
причем a(m) обозначает числовую функцию 2 d. Для п, равного простому
m=d<5, д неч.
числу р формы 4fc + 1 получаем отсюда
а{р_^_а{р_2г)+а(Р-&)-... =^.	(94)
Легко убедиться, что о(т) имеет нечетное значение тогда и только тогда, когда
аргумент т равен нечетному квадрату, а так как в правой части равенства (94) стоит
нечетное число, то видим, что найдется число z, для которого р—za есть нечетный
квадрат. Итак, получаем теорему Ферма, что простое число р = 4А:—1 есть
сумма двух квадратов; что такое представление‘единственно, приходится доказы-
вать обычным способом. Это весьма простое доказательство теоремы Ферма
взято из неизданной рукописи покойного преподавателя математики К. М. Семенова.
Арифметика кватернионов (см. Венков 95) позволяет установить, что дока
занные в §5 теорема Лиувилля [равенство (59)], теорема Якоби [равенство (17)]
и другие теоремы подобного рода представляют простые следствия теоремы
Гаусса о родах (§ 12 гл. IV).
К § 6. Относительно представления бинарных форм суммою нескольких
квадратов целочисленных линейных функций см. работу Морделя 61. В этой ра-
боте Мордель выводит условия для представления бинарной формы суммой 2, 3,
4 и 5 квадратов; между прочим, для случая 5 квадратов не^получается никакого
ограничения, так что каждая положительная бинарная форма есть сумма 5 квад-
раюв целочисленных линейных функций.
Как обобщение вопроса о представлении чисел суммами квадратов можно
рассматривать знаменитую теорему Баринга, состоящую в том, что всякое целое
число, большее нуля, может быть представлено в виде суммы не более gp
р-х степеней натуральных чисел, причем р > 0 — целочисленный показатель,
a gp зависит только от р, но не от представляемого числа. Этот факт был выс
казан Барингом в 1782 г. в виде предположения и доказан лишь в 1909 г. Гиль-
бертом. Теорема Баринга служит предметом многочисленных исследований (ана-
литического характера) за последние 20 лет; чисто арифметического ее доказа-
тельства до сих пор не дано. В последнее время (май 1934 г.) появилась
весьма важная работа акад. И. М. Виноградова 91, в которой он дает неравенство
gp <32 (р In р)2 и тем значительно уменьшает имевшийся прежде верхний пре-
дел величины gp.
ГЛАВА VI
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
В настоящей главе будет изложено все то, что может быть доказано
(при современном состоянии науки) чисто арифметическим путем относи-
тельно важнейшей числовой функции — числа классов бинарных квадратич-
ных форм отрицательного определителя.
§ 1. Табличные сведения о числе классов; регулярные опреде-
лители. В настоящем параграфе мы приведем некоторые сведения таб-
личного характера, которые можно извлечь из имеющихся таблиц числа
классов. Такие таблицы вычислены Гауссом 19; в них дано число чисто
коренных (положительных) классов форм для всех отрицательных опре-
делителей от — 1 до — 3 000 и для всех положительных определите-
лей от 1 до 300. Кроме того, Гауссом вычислены числа классов для всех
определителей, лежащих в интервалах х) (—4 300,—4 200), (—5100,
_ 5 000), (— 6 300, — 6 000), (— 10 000, — 9 000), ( — 12 000, — 11 700),
(4- 800, + 1 000). Если н — число родов, Л — число классов в каждом
роде для данного определителя d (рассматриваем всегда чисто коренные,
положительные при d < 0 классы), то полное число классов будет
(§12 гл. IV). Величина и есть степень двойки, легко определяемая по
количеству различных простых делителей d (§ 12 гл. IV, теорема 16);
в таблице Гаусса определители внутри каждой сотни расположены по
возрастанию величины и. Мы будем писать число и римскими, число
Л — арабскими цифрами и называть пару чисел и, Л классификацией
определителя d, например для определителя—16 классификация
есть II, 1.
Первый вопрос, который представляется при рассмотрении таблицы
числа классов, такЪй: каковы определители с одной и той же классифи-
кацией? Кажется весьма вероятным, что ряд таких определителей всегда
обрывается, т. е. что существует лишь конечное число определителей с
данным числом классов; однако доказать это предположение, повидимому,
чрезвычайно трудно. Для примера выписываем все отрицательные опре-
делители таблицы Гаусса с простейшими классификациями I, 1; I, 3;
II, 1 и т. д.:
г) Все эти отдельные таблицы числа классов, напечатанные во II томе пол-
ного собрания сочинений Гаусса, представляют, по всей вероятности, отрывки
одной обширной таблицы, не дошедшей до нас полностью.
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
193
I, 1
I. 3
I, 5
I,
II, 1
II, 2
IV, 1
VIII, 1
XVI, 1
1, 2, 3, 4, 7.
11, 19, 23, 27, 31, 43, 67, 163.
47, 79, 103, 127.
71, 151, 223, 343, 463, 487.
5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 22, 25, 28, 37, 58.
14, 17, 20, 32, 34, 36, 39, 46, 49, 52, 55, 63, 64, 73, 82, 97,
100, 142, 148, 193.
21, 24, 30, 33, 40, 42, 45, 48, 57, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93,
102, 112, 130, 133, 177, 190, 232, 253.
105, 120, 165, 168, 210, 240, 273, 280, 312, 330, 345, 357,
385, 408, 462, 520, 760.
840, 1320, 1365, 1848.
Для каждой классификации справа выписаны абсолютные величины
отрицательных определителей, имеющих эту классификацию. Классифика-
ций I, 2; I, 4, ... вовсе не существует, так как в случае существования
только одного рода число классов в этом роде нечетное (§10 гл. IV).
Далее интересно, что в таблице Гаусса совсем нет для отрицательных
определителей классификаций вида «, 1, где х>32 (каковые классифи-
кации представляются a priori возможными); наименьший из определи-
телей с числом родов, большим или равным 32, есть — 9 240, и ему
соответствует классификация XXXII, 2. Некоторое представление о росте
числа классов дает формула Гаусса
1 £
/г(—1) +й(—2)+ ... +л(—т) = ^/п2 -	(1)
в которой й(—к) есть число классов чисто коренных положительных
форм определителя —к, буква е обозначает сумму ряда 1+	+ ~ + ...,
a I Qm I остается ограниченным при	Гаусс, впрочем, ука
зал только первый (главный) член формулы (1); в том виде, как она
здесь написана, эта формула дана акад. И. М. Виноградовым. Из фор-
мулы (1) вытекает, что среднее арифметическое п последовательных зна-
л /г (—Л:—1) + Л (—/с—2)-И ... 4-А(—А:—п)
чений функции h (—л), т. е. —------------------------!—'-------при
постоянном к и п->оо растет приблизительно как~]/и —
Для положительных неквадратных определителей число классов
имеет сравнительно меньшую величину, чем для отрицательных; малые
классификации, как, например, I, 1; II, 1 и т. д., встречаются тут гораздо
чаще и не прерываются на всем протяжении таблицы. Например из 90
неквадратных определителей, имеющихся в первой сотне, 11, 48 и 27
определителей имеют классификации соответственно I, 1; II, 1 и IV, 1;
только четыре определителя, именно+37, +34, +82, +79, имеют другие
классификации: I, 3; II, 2; II, 2, II, 3. Из 197 неквадратных определи-
телей, лежащих между 801 и 1000 (включая пределы), 145 имеют по
одному классу в каждом роде.
Пусть К - класс главного рода форм определителя d и а>0—наимень-
ший показатель, для которого Ка~ 1 (по композиции); тогда а будет
13 Теория чисел.
194
ГЛАВА VI
делителем числа классов h главного рода (§ 10 гл. IV). Определитель d
называется регулярным (Gauss 20, D. A., art. 306), если существует класс
К, для которого а == И, т. е. если все классы главного рода суть сте-
пени одного из них; в противном случае d называется иррегулярным
определителем. Если а0 есть наибольшее возможное значение показателя
а и а0 < /?, то целое число — >1 называется показателем иррегуляр-
V	°0
ности определителя d. Иррегулярные определители встречаются гораздо
реже регулярных; например в первой тысяче отрицательных определи-
телей имеется всего 13 иррегулярных, абсолютные величины которых суть
243, 307, 339, 459, 576, 580, 675, 755, 820, 884, 891, 900, 974
33332	23322323
Под каждым определителем выписав его показатель иррегулярности.
Аналогично во второй тысяче имеется всего 28 иррегулярных определи-
телей (13 с показателем 2 и 15 с показателем 3); в третьей тысяче
количество иррегулярных определителей есть 37, в десятой 63. Гаусс
(D. А. 20, art. 306) высказал предположение, что плотности распределе-
ния регулярных и иррегулярных отрицательных определителей находятся
М'
в определенном отношении друг к другу, т. е. что отношение (где М’
и М"— количества регулярных и иррегулярных определителей d < 0,
для которых |d[</n) стремится при т-*оок пределу р, не равному
нулю и бесконечности; однако это предположение никем не доказано.
Среди положительных неквадратных определителей иррегулярные встре-
чаются гораздо реже, чем среди отрицательных.
Удобные числа Эйлера (см. примечания к гл. II, стр. 67) тесно связаны
с теорией квадратичных форм; нетрудно видеть, что указанное ранее
свойство удобного числа п имеет место тогда и только тогда, когда в каждом
роде чисто коренного порядка определителя — п имеется по одному
классу форм. В этом случае все классы определителя —п суть классы
anceps. И действительно, в 1-й, 5-й, 7-й, 8-й и 9-й строках приведенной
выше таблицы находим все 65 удобных чисел Эйлера.
§ 2. Соотношения Кронекера между числами классов. В 1857 г.
Кронекер опубликовал восемь замечательных рекуррентных соотношений
для числа классов бинарных форм отрицательного определителя, полу-
ченных им из рассмотрения некоторых модулярных уравнений в теории
эллиптических функций. Другое доказательство этих соотношений, хотя
также основанное на теории эллиптических функций, но более простое,
чем у Кронекера, было предложено Эрмитом. Обобщая методы Кроне-
кера и Эрмита, другие авторы (Гирстер, Клейн, Гурвиц, Гумберт) получили
множество новых формул такого же типа. Позднее были найдены и
чисто арифметические пути для получения соотношений между числами
классов. Прежде всего сам Кронекер в мемуаре „Uber bilinieare Formen
mit vier Variabeln" (см. 35) получил часть своих соотношений, рассматри-
вая эквивалентность билинейных форм и определяя число классов таких
форм двумя разными способами. Далее Лиувилль в письме к Эрмиту ука-
зал, что соотношения, о которых идет речь, могут быть выведены из
его числовых тождеств (§ 4 гл. V), и обрисовал в общих чертах ход
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
195
рассуждения. Наконец, Успенский 64 дал полный вывод всех соотноше-
ний Кронекера, Гирстера, Гурвица и др. при помощи методов Лиувилля;
мы воспользуемся его изложением для вывода наиболее важных из со-
отношений Кронекера.
Пусть и>0 — данное целое число. Обозначим через N число реше-
ний неопределенного уравнения 4/7 + 1 = dd + 2d'<5' в положительных
целых числах d, й, d', д' при условиях ^^^d'+s, е=±1, д'—не-
четное. Таким образом в обозначениях предыдущей главы
N = N (4п + 1 = dd + 2d'd’,	= d' 4 е, d, d, d', d’> 0, й'неч. ). (2)
Полагая при в = -|-.1 нечетные числа d и д равными 2и + 1 и 2v + 1
(и > 0, о > 0) и д' = 2к — 1 (к > 0), получим из уравнений d' + 1 =
= ~4г->	+ 1 = dd + М'д’ следующие:
и
d’ = и 4 у, п = ик 4 vk 4 uv,
так что число решений с е = 4 1 можно представить в виде
N(п = цк + vk4 uv, u>0,v>0, к > 0) =
= N(n— ик -{-vk 4 uv, и, v, к >0) 4 2N (п = dd, d, d> 0).
Точно так же, полагая при е = — 1
d= 2и — If d — 2v — 1, <5' = 2/С41,
найдем, что число решений с 8 = — 1 равно
N(n = uk-{-vk + uv, u,v> 0, k>0) = N(n = uk-{-vk+uv,u,v,k>0)+
+ N(n = dd, d, <5>0),
так что для полного числа N решений получаем выражение
N = 2N(n = ик-\- vk 4 uv, u,v, к > 0) 4 3N(n = dd, d, d > 0). (3)
Так как уравнение n = ик 4 vk 4 uv симметрично относительно и,
V, к, то число решений этого уравнения, в которых и, V, к имеют раз-
личные положительные значения, равно шестикратному числу решений,
в которых 0 < к < и < V, каждому же решению последнего вида соот-
ветствует форма (и 4 к, к, v 4 к) = (а, Ь, с) определителя — и, для ко-
торой 0 < 2Ь < а < с. Далее каждому решению и, V, к, для которого
0 < к < и = v, соответствует форма (н 4 к, к, v 4 к) = (а, Ь, а), для
которой 0 < 2b < а; наконец решению, для которого 0 < и = v < к,
соответствует форма (и 4 V, и, и-]- к) — (2Ь, Ь, с), в которой 2Ь < с.
Следовательно,
N (п = ик 4 vk 4 uv, и, v,k>Q) =
6N (п = ас — Ь2, 0 <2Ь < а < с) 4 3N (п = а2 — Ь2, 0 <2Ь < а) 4
4 3N(n = 2bc — Ь2, 0 < 2Ь < с) 4 N(n = 3s2, s > 0).
13*
196
ГЛАВА VI
Замечая еще, что N(ji~db, d, д > 0)—2N(n = ас, 0<а<г) +
4- М(л = s2, s > 0), получаем из (3)
N — 12N (n~ac — b2, 0<2Ь<а < с) +
+ 6N (и = а2 — Ь2, 0 < 2b< а) + 6N (и - 2Ьс— Ь2, 0<2Ь<с) +
+ 67V(n = ^, О < а < с) + 2N(n = 3s2, s > 0)4-3N(n = s2,s > 0).(4)
Обозначая, с другой стороны, через G(n) число классов положитель-
ных форм определителя — п и припоминая условия приведения таких
форм [неравенства (8) § 3 гл. IV], можем написать
G (п) = 2N (п = ас — Ь2, 0 < 2Ь <а< с) +
+ N(n = a2 — b2, 0^<2b <а) + N (ji = 2bc — b2,Q <2Ь < с) +
+ N (п = ас, 0 < л < с) + N (и = s2, s > 0) + N (и = 3s2, s > 0).
Сличая это с (4), получаем, что N = 6G (и) — 3N (п = s2, S > 0) —
—4N (п = 3s2, S > 0). Введем теперь числовую функцию G (и), отли-
чающуюся от G (п) только в случаях п ~ S2 или п == 3s2 [формулы (60)
§ 16 гл. IV]. Тогда получим окончательный результат
JV=6G(n).	(5)
Обозначим еще через F (и) число тех классов определителя — п, в формах
которых хоть один из крайних коэфициентов нечетный, и введем по
формуле (60) § 16 гл. IV числовую функцию F(ri), отличающуюся от
F (ri) только в случае, когда п есть нечетный квадрат; тогда аналогич-
ным рассуждением получим для всякого и > 0
N (4п + 1 = d<3 + 2d'<5',	= d'dz 1, d, д, d', S’ неч. > 0) = 4F(л). (6)
А
Определения функций F (и), G(n) дополним еще для аргумента и = 0,
положив F (0) — 0, G (0) = —	.
Приступая к выводу соотношений Кронекера, обозначим через п > 0
данное целое число, через Ф(х)— данную четную функцию и через d',
д' — любую пару положительных нечетных чисел, удовлетворяющих усло-
вию 2d д' < 4п + 1. Применив формулу (40) § 4 гл. V к числу т =
= 4n + 1 — 2d'<5' === 3 (mod 4) и к нечетной функции / (х) = Ф (х — d') —
— Ф (х получим
2 [0(4J-d')-0(^+d')l==
4п4-1—2d'<5'=4h2+d<5
= 2 2 [0(d — d' + O-0(d + d' + O].
4n+l-2d'd'=i2+2d6
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
197
Суммируя эти равенства для всех пар положительных нечетных чисел
d', д', удовлетворяющих условию 4n + 1 —2d'd' > 0, получим
2 [ф(т-|,')-ф(гт-'+‘(')]-
4n+l==4h2+d(5+2Ld'<5z, d',d' неч.
= 2 2 p(d-d' + z)^0(d + d' + /)].	(7)
4n+l = i24-2d<54-2d'd\ d, d, d' д' неч.
Так как в разбиении 4п + 1 = /2 + 2dd + 2d'df число i может быть
как больше, так и меньше нуля, то правую часть (7) можно предста-
вить в виде
2 [Ф (d— d' + i) — Ф^ + d' +i) + ^(d — d'—i) —
4n-bl«i22+(d<H-d'<5'),	d', д' неч.
-0(d+d'-l)].
Часть этой суммы, соответствующую некоторому постоянному значению if
можно представить в виде 2	— d')— ip(d+d,y)], где ^(х) =
= Ф (х + z) + Ф (X — I) — четная функция, и сумма берется по всем
представлениям — (4п +1 — z2) == dd + d'd', d, д, d', д' неч. > 0; при-
меняя формулу (50) § 4 гл. V, получим для этой суммы выражение
2 d(y(O) —v>(2d)),
<1 (4n4~l—i^)=dd^d неч.
что позволяет представить правую часть (7) в виде
2 2d (Ф (/) —- Ф (/— 2d)) = 2 d(0(O—0(z-d)).
4n4-l=i2+4d(5, <5 неч.	4n4-l==i2-f-2d<5, <5 неч.
Итак, формула (7) дает
2 И4Н~Ф('4М=
4n4-l»4h2-f-d<5-h2d'<5\ d't д' неч.
= 2 d(0(O-0(i-d)).	(8)
4n+l=i2-j-2d<5, д неч.	__
Положим в этом тождестве Ф(х) = 0 при X2 ф 1 и Ф(± 1) = 1; такой
выбор функции Ф (х) не противоречит условию четности этой функции.
Так как ^^ + df>l, то в левой части (8) при таком выборе Ф (х)
получится число решений неопределенного уравнения 4п + 1 = 4Л2 +
+ dd + 2d'd' относительно h, d, <5, df, д', удовлетворяющих условиям
ft =0,d,5, d', <5'неч.>0,-у^ = d' ± 1. Пользуясь формулой (6),находим,
что это число решений равно сумме 4 2 J7 (и — Л2), взятой по всем
Л = 0, ± 1, ± 2, ... , для которых /z2< п. Правая часть (8) при указан-
198
ГЛАВА VI
ном выборе Ф(х) обращается в 42 <*-22 d. Обозначая мно-
n=d<5, <5 неч. n—d (dil+<5), д иеч.
жители d и d ± 1 + 3 в произведении п =» d (d ± 1 + <5) через А и
можем написать
2 “ -	2	+24	_
n=d (d±l-b<5), d неч. п=ЛЛ', Д<^Д', Д-\-Д* четн. п=ДД',Д<^.Д', Л-bd'четн.
= 2 2 Л + {-$}•
п—ДД', Д <Д', Д-]-Д' чегн. n—s%,s>®
Соединяя вместе все сказанное, получаем из (8) первое рекуррентное со-
отношение для функции F(n):
2 F(n-^)= 2 <* - 2 А~ tW- О)
А—О» гЕХ ±2, ...» А2<л n—ddt <5 неч. п= ДД*, Д <Д', Д-^Д' че<н. n=&t s>0
Для вывода второго соотношения возьмем * опять целое число и > 0 и
четную функцию Ф(х); исходя из формулы (41) § 4 гл. V, получим
аналогично предыдущему
2 (-1)'* [ф (^-<г)-ф (ф+<г)] =
4n+l=4h24-dd+2d'<5\ d', 6' неч/
г-l t 6-1
= 25 (-1)2 2 ^(d-d'+O-0(d+d' + OL
4n+l=i2-|-2d<5+2dz<5', d, 6, d',6' неч.
Правая часть здесь упрощается при помощи формулы (51) § 4 гл. V,
после чего равенство принимает вид
2 (- 1)Л [ф(^-+ =
4n-j-l = 4h2_j-d<34-2d'<5', d', д' неч.
i—1 t 6-1
= 22 (-1) 2	2 d<P(i — 2d).
4n4-l=i24-4d6, d неч.
Полагая здесь опятьФ(х) = 0 при хф±1 и Ф(±1) = 1, получим
после простых преобразований второе рекуррентное соотношение для F (п)
2 ,(-l)h F(n —й2) =
h=0, ±1,±8, ..№<п
+1 1 «-1
= 2 (-1) А +{к-1)	S}-	(10)
п=ДД\ Д<Д', Д-\-Д' четн.	n=s2, з>0
Исходя из формулы (40) § 4 гл. V, получим для данного числа п и
четной функции Ф (х)
2 [ф(^-И-ф(Ф+П] =
4714-1=4^24-^^'6', д' неч.
= 22 [Ф(^—d' + i) — <D(d + d'+i)] + 2 гф(/—d).
4n4-l=i24-2d64-2d'6', 6, д' жеч.	4n4-l=i24-2d<5, д неч.
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
199
Первая сумма в правой части упрощается на основании тождества (48)
§ 4 гл. V, и написанное равенство принимает вид
4п4-1 =4А2+с1д+2сГ(5', д' неч.
= 22 (<3-d) [$(d + 0-Ф(0] +
4n-f-l=i2-]-2dd, д неч.	4п4-1=г2-р.2й<5> <5 неч.
Полагая здесь Ф(х) = 0 при хф ± 1 и Ф (± 1) = 1 и пользуясь фор-
мулой (5), найдем
32 G(n-ft2) =	22(4' — 2Л) + 2С(п) — {$},	(11)
h—0, ±1, ±2, Д . , W^n	п= ДА', Д <Д\	четн.	n=s8, s>0
причем С (п) обозначает, как обыкновенно, сумму делителей п. Таким
же образом выводится соотношение
з2 (-i)hG(п-л2) = _ 
А=0, ±1, ±2, ...» h2<n
Д-|-Д'
= 5 (-1) 2 (4' - 54) + 2 {(-1)’"1 s}.	(12)
н=ДД', Д<Д', Д-|-<4'четя.	n=s2, s>0
Соотношения (9) и (11) вместе с теоремой Якоби о количестве предста-
влений суммой четырех квадратов (теорема 23 § 5 гл. V) позволяют прежде
всего доказать снова теорему Гаусса о количестве представлений числа
суммой трех квадратов [теорема 18 или равенство (67) § 16 гл. IV].
Именно, из (9) и (11) путем простых преобразований выводим
32 [2F(n —й2) —G(n-/i2)] = 2(2 + ( —1)п) 2
A2<n	n=d<5, д неч.
С другой стороны, обозначая через N3(ri) количество представлений п
суммой трех квадратов, так что N3(0)= 1, на основании теоремы Якоби
можем написать	ф
2^з(п-й2) = 8(2 + (~1)п) 2 <5;
h2<n	п=<М,Лаеч.
сравнивая это с предыдущим равенством, получим
2 Ns (n — h2) = 12 2 l2F <п ~G(n — ft2)!.
откуда методом совершенной индукции получаем для всякого п
N3(n) = 12[2F(n)-G(n)],	(13)
т. е. формулу (67) § 16 гл. IV. Складывая формулы (9) и (10), заменяя
в полученной формуле л на 4л и сравнивая результат с (9), найдем
2 F (4Л — 4й2) = 2 2 F (п — ft2),
200
ГЛАВА VI
откуда для всякого п выводим F (4п) = 2F (п). Это свойство функции
F (п) было доказано в § 16 гл. IV [формула (66)] при помощи гаус-
совой теории квадратичных форм. Далее обозначим через т любое не-
четное число; так как в уравнении 4т = х2 + у2 + z2 + I2 все числа
X, у, z, t одновременно или четные или нечетные, то на основании тео-
ремы 23 Якоби можем написать
N(4zn = х2 + у2+ z2 + F, х неч.) =	2 N3(4m — х2) = 16С(ш).
x-±i, ±з, ...
С другой стороны, вычитая из формулы (9) формулу (10) и полагая в
полученном равенстве п == 4/л, найдем
2 F(4m-x2) = 2C(m);
£1, ±3,. ..
сравнение этого с предыдущим равенством дает
2 N3(4/n— X2) = 8 V F(4m — х2),
откуда для всякого л==3 (mod 8) выводим 7V3(n) = 8F(п). Сличая это
с (13), получаем для п = 3 (mod 8)
б(л)=-р(и)Л
Точно так же можно доказать и все остальные соотношения между
функциями F(n) и О(п), перечисленные в § 16 гл. IV [формулы (62),
(64) и (66)].
Из полученного сейчас ^результата выведем еще одну нужную для
нас формулу. Считая т~7 (mod 8), рассмотрим сумму
S== F(m—16/Z2);
7г=0, ±1, ±2, ...
очевидно, что
S = 2 F(/n —4Л2)— 2 F{m — 4i2).
h=0, ±1, ...	г=±1, ±3, ...
Для первой суммы сложением (9) и (10) находим выражение
2F(m —4/i2)= |С(т)— 2	(В)
т=ДДА < Д'
Во второй сумме 2^(ш — все аргументы функции F (и) имеют
форму 8к + 3; поэтому, пользуясь доказанным сейчас результатом
N3 (8к + 3) = 8F (8к + 3), можем написать
2 F (fn — 4/2) = ^N(m = x2 + y2 + z2 + 4z2, i неч,).
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
201
Замечая, что при т= 7 (mod 8) в уравнении т = X2 + у2 + Z2 + t2
среди чисел х, у, 2, I всегда три нечетных, а четвертое — удвоенное
нечетное число, получаем на основании теоремы Якоби
• ^Р(т — 412) = ^^т).
Этот результат вместе с формулой (14) дает окончательно
2 F(m — 16й2) = у 2	—3J), т = 7 (mod 8). (15)
h=o, ±1, ±2, . . .
Исходя из формулы (40) § 4 гл. V, получим для целого п > 0 и чет-
кой функции Ф(х)
2 [$(d + d-d')--0(d4-d + d')] =
2n=4h2-]-dd+d/d<, d, д, d',d' неч.
=	2 2 [Ф(2(Г — d+2i)—ф(2й'+d + 2i)]+ 2 *Ф(2(—d).
2n=i2 -J- d<5 + 2d 'd d, d, д' неч.	dd, г неч.
Упростив первую сумму в правой ; части при помощи тождества (53)
§ 4 гл. V, получим
^[Ф(4 + д — ^)—Ф^+д+&)] = 2 (d — d+№(2i—d).
п— 4h24-d<5+d*d't d, <5, d', д'неч.	2n—i^-]-dd, г неч.
Полагая здесь, как обычно, ф(=|:;1)=1 и ф(х) = 0 для осталь-
ных значений х, получим
2 v»(n-2/z2)=| 2 (Л'-зЛ),
h=0, ±1, ±2, . . .г%№<п 8n-l=zld', Л <zl'
причем ^(п) изображает число решений уравнения 2п = dd + d'd'
в положительных нечетных числах d, й, d', й', удовлетворяющих усло-
вию d + <5 = d'±l. Сравнение полученного равенства с формулой (15)
дает
2 У (л — 2h2) = 2 F(8n — 16й2— 1),
откуда для всякого п y>(ri)=F(8n—1), т. е.
N(2n = dd + d'd', d + <5 = d'±l, d, <5, d', д' неч. > 0) =
= F(8n—1).	(16)
Этот результат можно было бы вывести и непосредственно таким же
рассуждением, каким мы пользовались в начале этого параграфа. Нако-
нец, пользуясь сначала формулой (41), потом формулой (54) § 4 гл. V,
получим обычным способом равенство
2 (— t)h [ф(</ + <5 — d') —Ф(d + <5 + (f)] =
2n=-4h24-dd+d,d', d, <5, d'f д' неч.>0
г-1 f д-1
=	2 (— 1) 2	2 dФ(d—2z).
2n=12-f-dd, г неч.
,202
ГЛАВА VI
Полагая в нем Ф (х) = 0 при хф±1 и Ф(±1)=1 и пользуясь
формулой (16), найдем
2 (—l)hF(/n —16/г2) = —	2 (—1)~®~4
±1, ±2, ...	т=Л^7£<4'	(17)
т == 7 (mod 8).
Выведенные нами соотношения (9), (10), (11) и (17) эквивалентны
семи первым соотношениям Кронекера; восьмое его соотношение имеет
более сложный вид:

=	2	(-1) 8 4+{-у}, m = l(mod8), (18)
т—ДД',	Tn=s2, s>0
причем в левой части сумма берется по всем нечетным i = ± 1, ± 3,
±5, .для которых z2<m и число —целое. Доказательство
этой формулы читатель найдет в уже цитированном мемуаре Успенского 64
(Premier Mem., Ц, § 12).
Кронекер применит свои соотношения к решению вопроса, указан-
ного в § 5 гл. I, т. е. к выводу практически удобного правила для
определения знака ± в сравнении | ! ==s ± 1 (mod р) при р
простом формы 4л 4- 3. В § 5 гл. I уже было показано, что
(^~2~ ) ’ = (— 1/ (mod р), где $ = ?	---и h = F (р) есть коли-
чество чисто коренных классов форм определителя — р. Из соотноше-
ний (9) и (10) находим для величины /3 следующее выражение:
р = F(p — 4 • I2) +F(p — 4 • 22) + F(p — 4 • 32) + ...	(19)
Для определения четности этого числа остается решить вопрос: для
каких аргументов п = 3 (mod 4) значение функции F (л) будет четным
и для каких нечетным? Для этого, пользуясь условиями приведения
положительных форм [неравенства (8) § 3 гл. IV], напишем выра-
жение
F (л) = 2ДГ(л == ас — 62, 0 < 2b < а < с, а или с неч.) +
+ N(n — ac, 0<а<с, а или с неч.),
причем в правой части отброшены приведенные формы вида (л, 6, а)
и (26, 6, £), так как крайние коэфициенты этих форм при л^З (mod 4)
четные; отсюда получаем сравнение Г(л)^~т(л) (mod 2), где т(л)
есть число делителей л. Принимая во внимание известное выражение
для т(л) (§ 2 гл. I), находим, что F(л) при fi^3(mod 4) будет не-
четным тогда и только тогда, когда аргумент л имеет форму q S,
причем д— простое число (очевидно, формы 4/+ 3). Соединяя это
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
203
с формулой (19), получаем окончательно следующий критерий Кроне-
кера: при простом р==^3 (mod 4) в сравнении 1*2..	= ± 1 (mod р)
имеет место знак + или —, смотря по тому, будет ли количество
представлений р в виде 4/z2 + s2 (где h> 0, s > 0, /с >0 — целые
числа, q — простое число) четным или нечетным.
§ 3. Формулы Дирихле. Дирихле в мемуаре „Recherches sur diver-
ses applications de 1’analyse infinitesimale a la th£orie des nombres" (1839)
опубликовал замечательные выражения для числа классов бинарных форм
как положительного, так и отрицательного определителя, называемые
теперь формулами Дирихле; эти выражения получены им из рассмотре-
ния некоторых бесконечных’ рядов. Формулы Дирихле известны были
и Гауссу, как показывают отрывки из посмертных рукописей Гаусса,
напечатанные во II томе его собрания сочинений („De nexu inter mul-
titudinem classium, in quas formae binariae secundi gradus distribuuntur
earumque determinantem", см. также 20, стр. 655—677).
Пусть d = i tn — целое число, не имеющее квадратных делителей,
и Л(±/п) есть число чисто коренных классов форм определителя d,
положительных при ± m < 0.
Выберем из каждого такого класса К по одной форме aiX2 + 2biXy +
+ Ciy2 (ai>0) и возьмем вещественный параметр s> 1. На основании
теоремы, доказанной в конце § 8 гл. IV, можем написать тождество
=	2 (4Ь	<*>
К	т	Л неч.
где
£ (/< $) = V __________1__________
(дг*8 + %ЬгхУ + сгУ2 I* *
В левой части этого тождества сумма берется по всем чисто корен-
ным классам К определителя d, в каждой же сумме С (К, S) числа х, у
пробегают все пары целых значений, не равных одновременно нулю,
для которых UiX2+2biXy + Ciy2 взаимно простое с 2d, и удовлетворяю-
щих при d = m>0 неравенствам у>0, U (aiX + fay) > Ту (T,U —
наименьшее решение уравнения t2— mii2=l). В правой части (*) сумма
берется по всем т > О', взаимно простым с 2d, и, для каждого т, по
всем нечетным делителям А числа т; величина и (§ 8 гл. IV) равна
единице для d > 0 и равна 2 для d < — 1. Умножая тождество (♦) на $ — 1
и переходя к пределу при s -> 1, Дирихле и получает искомые выра-
жения для числа классов. Правая часть (♦) представляет произведение
двух рядов:	и	(в которых сумма берется по
\ ZJ /
всем А > 0, взаимно простым с 2d); нетрудно доказать, что
В левой части (♦) вычисляем сначала предел ($—1)£(К, $) при
s 1 для одного какого-нибудь класса К. На основании остроумных
204
ГЛАВА VI
лемм (см. L.-Dirichlet 14, Suppl. Ill и IX) вычисление этого предела
приводится к вычислению площади эллипса сцх2 + 2biXy + Gy2< 1 при
d < 0 или площади гиперболического сектора агх2 -\-2btXy + С(у2< lr
у>0, U (сцх + biy) > Ту при d>0. Благодаря этому для величины
lim ($ — !)£(/<, s) получается независимое от К значение А, где
и
А = при (/ = — т < О
J/ т
Л = —i^ln (Т+ иУт)
2 Vln	7
при
d = т > 0.
Тождество (*) тогда дает
h(d) =
к v f А \ А
л л / л •
А
Ряд, стоящий в правой части (не абсолютно сходящийся), принад-
лежит к числу рядов, суммируемых при помощи определенных интегра-
лов. Отсылая читателей, интересующихся подробным проведением всего
вывода, к учебнику Дирихле и, укажем здесь лишь окончательный
результат. Именно, для d = — т < — 1 получаем
0 < а < т, (а, 2т) =1, m = l,2 (mod 4);
4 л<-т)=2'Ш.
0 < & < -—, (&,гл) == 1, т^З (mod 4),
(20)
(21)
причем суммы берутся по всем целым а или Ь, удовлетворяющим напи-
санным около знаков сумм условиям. Для положительного определителя
формулы Дирихле имеют вид
й(т)---------^4-2 (-)lnsin —,
. 1п(Т+иУт) \т' т
0<b<rn, (b, т) = 1, /Л s 1 (mod 4);
п (т) —---------—=г >, ( — 1 In sin ,— ,
0<а< 4т, (а,2т) = 1, т = 2,3 (mod 4).
(22)
(23)
Частичное чисто арифметическое доказательство формул Дирихле
для отрицательного определителя [именно доказательство формулы (20)]
будет изложено в следующем параграфе.
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ	205
Отметим один важный частный случай формулы (21): при /и, равном
простому числу р, эта формула показывает, что число классов чисто
коренных положительных бинарных форм определителя — р (р — про-
стое число вида &к + 3) равно разности между количествами квадра-
тичных Ьычетов и невычетов по модулю р среди чисел 1,2, ...,	•
Так как Л(—р) всегда больше нуля, то отсюда вытекает, что среди
чисел 1, 2,	1 имеется больше квадратичных вычетов, чем не-
вычетов; несмотря на простоту этого факта, элементарного его доказа-
тельства до сих пор неизвестно. Формулированное предложение позво-
ляет дать оценку величины й(—р); именно, применяя теорему'И. М. Вино-
градова о количестве квадратичных вычетов в прогрессии (§ 2 гл. Ill)t
находим неравенство вида й(—р)<с]Лр1пр, где с — постоянная.
Такое же неравенство можно получить для й(—т) и при любом гп,
не делящемся на квадрат.
§ 4. Доказательство формул Дирихле для чисто коренного слу-
чая отрицательного определителя. Автор настоящего реферата
в 1927 г. показал (см. Б. А. Венков 96), что, исходя из теорем Гаусса
о представлении чисел и бинарных форм суммой трех квадратов (§ 16
гл. IV), можно дать чисто арифметическое доказательство формул Ди-
рихле для тех отрицательных определителей —т, в которых т есть
сумма трех квадратов, т. е. для т = 1 или 2 (mod 4) и m == 3 (mod 8)
(см. § 16 гл. IV). В настоящем параграфе мы изложим это доказательство,
ограничиваясь более простым случаем ги=1,2 (mod 4). Обратимся
прежде всего к заключительной теореме § 16 гл. IV, дающей коли-
чество представлений положительной бинарной формы кх2 + %1ху + А'у2
(в которой число к не имеет квадратных делителей) суммой трех квад-
ратов. Взяв все разбиения числа кк'—I2 = dd на два множителя d > 0,
д > 0, в которых д — нечетное и fc, d, <5 не имеют общего делителя,
положим для каждого разбиения (к, б) = Л, к~Дк и рассмотрим
d-i d-i	_
сумму Si = 24 2 (—1) 2	2	распространенную на
все эти разбиения. Припоминая определение чисел р, q, Р, Q, N, ...,
введенных при доказательстве теоремы § 16 гл. IV [формулы (69)],
можем сказать, что каждая из степеней ра, q® входит только в один
из множителей d, <5; обозначая поэтому общие наибольшие делители d, <5
с каждым из чисел Р, Q, N, L по схеме
PQNL
d г t v d0
б s и w б0 ,
можем написать
Р = rs, Q = tii, N = vw, L = d0<50, Д = suwf к =	== rtvR.
suw
Обратно, задание чисел r, s, ..., d0, <50 вполне определяет разбиение
кк' — I2 на множители d, <5, удовлетворяющие поставленным для них
206
ГЛАВА VI
условиям. Поэтому суммирование в выражении Si будет выполнено, если за-
ставить числа s, п, W, <50 независимо друг от друга пробегать все нечетные
делители соответственно чисел Р, Q, N, L, попарно взаимно простых
(§16 гл. IV). Так как числа d, <5 отличаются на квадраты от tvdQ
и uw8Q) то выражение под знаком суммы Si можно представить в виде
Д—1	uw<5p—1
2 '	2 i—tvdA f —кА
\ J / ( uw<50 /
или после упрощений в виде
/—QNL\ (—PRL\ /~к\
\ s )\ uw / \ <30 /
Принимая во внимание, что числа Р, Q, N не имеют квадратных дели-
телей, получаем следующее выражение для Sf
5,_24П[1 + (=^)]х
хП[1 + (^)].П[1+(^“)]2(=^),	(24)
причем первое произведение берется по всем нечетным простым числам р,
второе — по всем нечетным простым qf третье — по всем нечетным простым
делителям п числа N, последняя сум^а — по всем нечетным делителям <50
числа L. Формула (24) показывает, что при выполнении условий тео-
ремы § 16 гл. IV рассматриваемая нами сумма Si равна количеству пред-
ставлений кх2 + 21ху + кгу* суммой трех квадратов [формула (71) § 16
гл. IV], при невыполнении же условий теоремы Si — Q. Итак, обозна-
чая обычным образом через N количество представлений, имеем во всех
случаях
N(kx2 + 21ху + к'у2 = (ах + а'У)2 + (bx + b'y)2 + (сх+с'у)2) =
Л-1 <5-1
= 5г = 24 2 (- 1) 2	2 (=р) (-/) • (25)
Полученная формула имеет то преимущество по сравнению с форму-
лой (71) § 16 гл. IV, что не требует предварительного перечисления
условий представимости кх2 + 21ху 4- к'у2 суммой трех квадратов.
Пусть теперь т > 1—целое число формы 4е + 1 или 4г+ 2, не
делящееся на квадрат [то число, для которого мы хотим доказать фор-
мулу Дирихле (20)]. Положим в формуле- (25) к = к' — т и, замечая,
что в этой формуле 11\<т, рассмотрим суммы 2 Si,a'~ 2
l~m (mod 2)	(mod 2)
взятые по всем I = 0, ± 1, ±2, ..., | Z | < т, удовлетворяющим усло-
виям вычетности по модулю 2, поставленным под каждой суммой. Пользуясь
левым выражением для Si в формуле (25), можем сказать, что сумма
есть количество систем целых чисел a, b, с; а', V, с\ удовлетворяющих
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
207
уравнениям т = а2 + &2 + с2 = а'2 + Ь'2 + с'2 и добавочным условиям
I = аа' + bb' + ccr = т (mod 2), 111 < tn. Но из тождества
(а2+ Ь2 + с2) (а'2 + Ь'2 + с'2) « (аа' +	+ сс')2 + (be' — cb')2 +
+ (са' — ас')2 + (ab' — ba')2
вытекает, что для всякой системы чисел а, Ь, с; а', Ь', с', удовлетворяю-
щей уравнениям т = а2 + Ь2 + с2 = а'2 + Ь'2 + с'2, имеем | аа' + bb' +
+ сс'\<т, причем равенство аа' + bb' + сс' = ± т существует тогда,
и только тогда, когда а'=^са, b' — eb, с'= ес, е=±1. Применяя
теперь теорему Гаусса о количестве представлений числа т суммой
трех квадратов (теорема 18 § 16 гл. IV) и замечая, что при
1,2 (mod 4) в уравнении т = а2 + Ь2+с2 оЛно из чисел а, Ь, с
сравнимо всегда с /и, остальные два =т+1 (mod 2), легко найдем
для суммы а выражение
а = 3 (4й)2 — 2 . 12й = 24 (2й2 — й),
причем буква h написана для краткости вместо й(—т). Для второй
суммы в’ таким же способом находим выражение о' = 24 • 4й2. При-
нимая во внимание полученные выражения для сумм о, а' и пользуясь те-
перь правым выражением для Si в формуле (25), находим следующие
равенства:
Л-1 д-1	'_
4/?2 = 2(-1) 2	2	'l = tn+l (mod 2), (26)
Л-1 <5—1	_
2h* — h = 2(— 1) 2	2	(mod 2).' (27)
В правых частях этих равенств суммы распространяются на все ре-
шения уравнения т2 = /2 + dd в целых числах /, d, 8, удовлетворяющих
условиям /§0, d > 0, <5 > О, <5 неч., d, /, 8 не имеют общего дели-
теля; кроме того, /удовлетворяет еще сравнениям по модулю 2, написан-
ным около каждого из равенств (26), (27). Далее для каждой системы
чисел d, /, 8 (tn, 8) = А и tn = Ат. Равенства (26) и (27) будут
служить основой для дальнейших заключений.
Каждому представлению m2 = /2+d5, о которых только что гово-
рилось, соответствует чисто коренная бинарная форма (d, /,—5)
положительного квадратного определителя т2. Пользуясь приведением
таких форм (§ 6 гл. IV), можем сказать, что форма (d, /, —5) экви-
валентна форме вида (а, —т, 0), причем 0 < а < 2т и (а, 2т) = 1.
Обозначая через подстановку, переводящую (а, —т, 0) в (d, /, — 8)
(причем можно предполагать | > 0, так как у £, у, С, # можно изменить
одновременно знаки), будем иметь следующие равенства:
d = a£2—2т&, 8 = 2тт$ — а7]2,	— т£=1.	(28)
При этом из формулированной в конце § 6 гл. IV теоремы вытекает,
что задание чисел d, /, 8 однозначно определяет как число а в форме-
208
ГЛАВА VI
(а, —т, 0), так и числа £, С, Из (28) на основании d > 0, д>0
получаем неравенства у < 2m < ^ • Так как у — -у =	> 0
и, по предположению, £>0, то 7] > 0. Условие <5 неч. равносильно
такому: т] неч. Наконец, из равенства т2 = /2 + dd вытекает
l + m = dd^d~^ (mod 2),
так что сравнения для /, написанные около равенств (26) и (27), равно-
сильны таким: £==1 и £ = 0 (mod 2). Принимая во внимание, что
т = 1, 2 (mod 4), после короткого вычисления получаем
j-i д-i	_
Из сказанного вытекает, что суммирование в правых частях формул
(26) и (27) можно произвести следующим образом: суммируем по всем
числам а>0 и < 2т, взаимно простым с 2т, и для каждого а по
всем парам дробей у , у , удовлетворяющим условиям |>0, ^>0,
у < 2йГ < у »	= 1, у неч. и, сверх того, условию % неч.
для равенства (26) и | четн. для равенства (27); количество таких пар
л #
дробей -у, у при фиксированном а конечно, так как, по извест-
ному предложению (§ 1 гл. II), знаменатели не превышают 2m. Вве-
дем для рационального аргумента г числовые функции v(r), ^'(0,
у>"(г) по формулам
^(0=	V’'(O=S(-1/+1, K(r) = S(-i)f. (29)
£> г] неч.	£ четн.	v четн.
причем суммы берутся по всем парам дробей
С 9
удовлетворяю-
щим условиям
£>0,
—^ = 1,	(30)
ц > 0,
£
5
а также условиям, подписанным
(26) и (27) примут вид
под каждой суммой; тогда равенства
«==2(_Jl)y(A), 2Л!_/,= 2(_Ь)г(^),	(31)
причем суммы берутся по всем а между 0 и 2m, взаимно простым с 2m.
Каждой паре дробей у , у , удовлетворяющей условиям (30), соот-
ветствует пара дробей — = 5..Т2? , А = LzA ? для которой Г>0,
7] > 0, у < 1—г < у ,	— т]'£' = 1; отсюда легко вывести соот-
ношения ^(1—г)==^(г), ^'(1—г) = у" (г). Замечая еще, что для
ЧИСЛО КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ	209
двух положительных чисел а, а', сумма которых равна 2/п, имеем
ПОЛУЧИМ из (31) еще формулу
которая вместе с (31) дает окончательно
(32)
Здесь сумма берется по всем а в пределах 0, гл, взаимно простым
с 2т. Чтобы получить выражение для числовой функции

входящей в формулу (32), докажем одну лемму из теории непрерывных
дробей. Пусть p>q>\—нечетные взаимно простые числа; рассмотрим
суммы
«-(<)= 2 (-1)'. <f)-2
a-f-y, Р+& неч,	& <5 неч.
(-1/.
а, у неч.
(33)
взятые по всем парам дробей
удовлетворяющим условиям
Р
а>0, /?>0,	аЗ-^=1.	(34)
При	указанных дробей не существует (так как должно быть
1 > а, 1 >/?), и, следовательно, все суммы (33) суть нули; если же
£>1, то найдем четное число к>2 и единицу е=±1 так, чтобы
> 1, причем (г, 2q) = 1. Пусть сначала е = 4~ 1;
следовательно, к< ~- (так как иначе дробь
а \	1
и ~ V Если к < — , то дробь — заклю-
р /	«	г
у' в д' а
i =	= К0Т°Рые уд°влетво-
ряют и всем прочим условиям (34); если же к = ~ , то а=1, у = к,
(3 = кр + 1, fi < ~г . Принимая это во внимание, получим для
е = + 1 следующие соотношения:
/ Р	<5
тогда к< — <	,
q	р
лежала бы между ~
чена между дробями
14 Теория чисел.
210
ТЛАВА VI
причем <г> =s 1 при г == 1 и = 0 при г > 1. Для случая е — — Г подоб-
ным же образом находим
(36)
Если р, рг — нечетные взаимно простые числа и р > р± > то
последовательным делением получаем ряд равенств
Pi =	pi4-1 + S14-1P14-2,	1 = 0,1, v — 1, р„4-1=1}	(37)
причем slf е2> -•> равны ± 1, р, рь ..p^i — убывающие нечетные
числа, а къ к2,..., kv—четные числа, большие или равные 2. Равен-
ства (37) дают разложение — в непрерывную дробь вида
Pi
Полагая для краткости —Ч>'	— V\q) == \q)f находим
помощи (35) и (36) для этой функции соответственно алгорифму
ряд соотношений
при
(37)
т г I i \	1. /	। т т / Р г-+-1
I ----- = —	— ^4-1) + ei+l < pi+2 > + F'i+lU ( ——
\Pi4-i /	-	\Pi4-2
i = О, 1, ..v — 1, $„4-1 =5 — 1,
(Pi \	/ pv \
— I, . . . , U [-V— I получим
Рг /	\P^-H /
и( Pt )=4^e2,‘,e,,—ei)-
(39)
Пусть теперь q — четное число, (р, q) = 1 и 0 < р < для
функций гр, гр', гр", определяемых формулами (29), после короткого
вычисления находим

Мисло КЛАССОВ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ’ ФОРМ	211
так что
<)-<)-<) =
=[i+4]-M + «p>+ "(V)-	<40’
Если р = 1, то правая часть последнего равенства также равна
единице. Если же р > 1, то для применения формулы (39) разложим
%—- в непрерывную дробь (38); такому разложению будет соответство-
q	*
вать для непрерывная дробь вида
р ~“1 + к2 + .
у
^4-1
(41)
в которой е19 а2, равны ± 1, кь kv±i— нечетные числа, большие
или равные 3, к^..., kv — четные числа, большие или равные 2. При-
меняя теперь формулу (39), найдем из (40)
^(7) —^'(y) —+^...6,).	(42)
Итак, между рассматриваемыми функциями у, у', существует
такая зависимость: выражение у)— у)'—у)" равно всегда нулю или еди-
нице. Чтобы получить критерий, не содержащий явно элементов непре-
рывной дроби (41) и позволяющий узнать, когда это выражение равно
нулю и когда единице, рассмотрим предпоследнюю подходящую
к дроби (41):
Q
Р
-А
К3 -j-
еу-1
К
Пользуясь известными рекуррентными соотношениями между числите-
лями и знаменателями подходящих к дроби , легко установить сле-
дующие факты: 1) числители подходящих дробей положительны и воз-
растают, откуда (так как > 3) вытекает, что q > 2Q; 2) знамена-
тели двух соседних подходящих дробей имеют разную четность, откуда
Р = v (mod 2). Принимая еще во внимание равенство pQ — qP =»
® (— 1)\е2... можем написать
1	PQ^(— l)>i«2 • • • 6. (mod qy
это сравнение вместе с условием 0<Q<-y вполне определяет
число Q. Соединяя это с (42), можем формулировать следующее пред-
14*
212
ГЛАВА VI
ложение: когда аргумент г функций у), fy/, у", определяемых по фор*
мулам (29), равен несократимой дроби
Р_
Я
лежащей между 0 и Д
с четным знаменателем # > 2, то эти функции связаны между со-
бою так. что выражение гр— ip'—ip" равно либо нулю, либо единице^
именно,

1 + ер
2
рр'-е
причем sp = e(—- 1) q , еде число р' в пределах 0, ~ и единица е =
== ± 1 вполне определяются сравнением рр' = г (mod <?). В частных
случаях q=2 (mod 4) и # = 4 (mod 8) единица ер имеет, как легко
видеть, следующие значения:

Возвращаемся теперь к формуле (32). Применяя только что доказан-
ную лемму, получим из этой формулы й =2'» причем сумма 2'
берется по всем а в пределах 0, /и, взаимно простым с 2/п, для кото-
рых аа=х+1. Единица еа = ± 1 определяется следующим образом:
найдя для каждого а число а' в пределах 0# т. удовлетворяющее срав-
нению аа'==5± 1 (mod 2/л), полагаем еа == ПРИ	(mod 4)
^7-1 при /л = 2 (mod 4). Если для какого-нибудь а ==— 1,
то для соответствующего ему а', о котором только что говорилось,
также имеем еа'= — 1. Из закона взаимности и условия еа = —1
легко вывести, что для такой пары чисел а, а' имеем всегда +
, (— т\ г,	кл"f — т\
+ (-^—1 = 0, так что сумма 2j ( --fl ), взятая по всем а, для ко-
торых еа =г — 1, равна кулю. Соединяя это с написанным выше выра-
жением для й, получаем h = 2 (~V~)» где сУмма берется по всем а
в пределах 0, /и, взаимно простым с 2/и, т0 е. формулу Дирихле (20).
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VI
К § 1. Перечень всех результатов, полученных относительно числа классов
до 1922 г., читатель найдет в III томе книги Диксона 12.
Интересными свойствами обладают так называемые одноклассные определи-
тели, т. е. те числа (mod 4), для которых в не чисто коренном положитель-
ном порядке определителя —J существует только один класс форм; все извест-
ные до сих пор числа такого рода находятся в первых двух строках таблицы,
приведенной в тексте:
d = 3, 7, И, 19, 43, 67, 163.
По вычислениям Гаусса (см. в тексте), проверенным Фробениусом, других
таких чисел нет до 10000; существуют ли они за этим пределом — неизвестно.
Одноклассные определители — d обладают, например, следующим свойством
ЧИСЛО КЛАССОВ ЁИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
213
(см. Frobenius 18): если / — любая положительная нечисто коренная форма
определителя — d = 1 — 4р, то всякое число, представляемое собственно
формой / и меныиее р*, есть простое. Прилагая это к наибольшему из
чисел d (= 163), находим, что квадратный трехчлен х2 4-х 4-41 дает при первых
сорока значениях х = 0, 1, ..., 39 следующие простые числа:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383,
421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 9И, 971, 1033, 1097, 1163, 1231,
1301, 1373, 1447, 1523, 1601.
Этот факт был замечен еще Эйлером (см. 17, т. I, стр. 584). В цитированной
статье Фробениус 18 дает также примеры неопределенных квадратичных форм,
представляющих много простых чисел.
К § 2. Как уже, сказано в тексте, после опубликования Кронекером его
соотношений между числами классов, другими авторами было получено мно-
жество новых соотношений такого же типа. Приводим наиболее интересные из
них (J. Ouspensky 64):
2 У Г(п-2Л2)==2 2	(4К	2 х — 2 {s} (Стилтьес),
'	n=^2s%, s>0
h=0, ±1, ±2, ...	n=dd, <5 неч.	n=x2—2^/2, я±2^>0
,	1 (п-1) (П-2)
22(-l)'1F(n-2tf) = (-l)	2 х +
п=.х2-2у2, x±2j/>0
4- (п-1) (п-2)
4-2 (—1)2	{$} (Стилтьес).
H=2s2, s>0
В этих соотношениях (и в дальнейших) п обозначает данное целое число,
и сумма в левой части берется, как обычно, по всем целым h = О, ±1,±2, ...,
для которых аргумент функции F или G остается большим или равным нулю;
характерно появление в правых частях написанных соотношений особой число-
вой функции 2 где сумма берется по всем представлениям п неопределен-
ной формой х2—2у2 с условиями х + 2у> О, х —2у>0.
12^1	.	S—1	$2—1
4 2 (—8	ч 2	8 s, и == 3 (mod 8) (Гурвиц),
г-1,3, 5, ...	n=s24-2f2, s>0
х+У
22(-l)'!F(n-3h4 =	2 (-4 2 У 4-
2п—х2 —31/2, Х±Зу>0
i-1
4- 2 (—2 1 + (s)> п неч. (Пета),
4п—г24-3р, г, jнеч.> 0	ne=3$2, s>0
2 (— l)hP(in — 5ft2) =	2 y>	n неч. (Венков),
411=5x2—1)2,	(mod 4), 5x>3y >0
/—1	d-H'+l
2 (— 1) 2 iF(8n—/’)=	2 (~ i) 2	(Назимов),
i=l, 3, 5, . . .	2n=dd', d<d't d+d' неч.
8 2 A‘G(n-fts)-
2, 3, . . .
=	s (-i)d'(d'-d)(d'+d)4-(-l)n 5 (-4dd8 (Гумберт).
n^=dd't d<d*	n=»dd
214
ГЛАВА vi
В последнем соотношении N обозначает количество представлений п суммой
четырех квадратов.
К § 3. Огромное число всевозможных преобразований, относящихся к фор-
мулам Дирихле как отрицательного, так и положительного определителя, дано
в обширном мемуаре Лерча: „Essais sur le calcul du nombre des classes de for-
mes quadratiques binaires aux coefficients entiers* 46, премированном Парижской
академией наук.
В цитированном в тексте мемуаре „De nexu inter multitudinem classium etc.“
(cm. ?o, стр. 655) Гаусс дает формулы, показывающие распределение квадратич-
ных вычетов нечетного простого модуля р в восьмых и двенадцатых долях
промежутка (0, р). Обозначая через (г) количество квадратичных вычетов в про.
/г — 1	г \
межутке {—-—р, -—р) (г = 1, 2, ...» 8) и через h (— d) — число классов поло-
\ о	о /
жительных чисто коренных форм определителя — d, имеем
1)р«8л+1, (1) = (8) = 4[4п + й(-р) + М-2р)],	(2) = (4) = (5) =
= (7) = | [4п -Ь й (- р) -h (- 2р)],	(3) = (6) = -1 [4л - Зй (- р) + й (- 2р)],
о	о
2)	р = Зп + 5, (1) = (3) = (6) = (8) = 1 [in —ft (-р) + Й(- 2р)], (2) = (7)
О
= | [4п + ЗЙ (-р) - й (- 2р) + 4], (4) = (5) = у [4л - Й (- р) - й(— 2р) + 4],
3)	р = 8л + 3, (1) = (4) = (7) = 1:[4л + 2Л(-р)-й(-2р)],	(2) = (5) =
О
= (8) = | [4л - 2й (- р) + й (- 2р)],	(3) = X [4л + 2Й (- р) + Й (- 2р) + 4].
О	о
(6) = X [4Л - 2Й (- р) - й (- 2р) ’+ 4],
4)р=8л+7,	(1)=Х[4л + 4Й(-р)-Й(-2р)],	(2) = (3) = (5) = .
О
= А[4л+Й(-2р)4-4],	(4) = (6) = (7) = Х[4л-Й(-2р)+4],	(8) =
О	о
| [4л-4й(-р) + й(2р)].
О
Аналогично количества квадратичных вычетов в двенадцатых долях проме-
жутка (0, р) выражаются через й (— р) и й(—Зр). Формулы Гаусса легко дока-
зываются при помощи формул Дирихле (20) и (21).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
1.	Albert A. Adrian, The integers represented by sets of ternary quadratic
forms, Amer. J. Math., 55, 1933, 274—292.
2.	Bachmann P., Die Elemente der Zahlentheorie, Leipzig 1892, 264 стр. (I часть
сочинения „Zahlentheorie’).
3.	Bachmann P., Die Arithmetik der quadratischen Formen, Leipzig 1898,
668 стр. (IV часть сочинения „Zahlentheorie41).
4.	Bachmann P., Niedere Zahlentheorie, I und II Teil, Leipzig 1902 и 1910,
402 и 480 стр. (библиография).
5.	Bianchi L., Lezioni sulla teoria aritmetica delle forme quadratiche binarie
e ternarie, Pisa, 1911—1912, 701 стр. (литографировано).
6.	Borel Ё. et Drach J., Introduction a 1’etude de la theorie des nombres et de
1’algebre superieure, Paris 1895, 350 стр.
7.	Busche E., Arithmetischer Beweis des Reciprozitatsgesetzes fur die biquad-
ratischen Reste, J. rein, angew. Math., 99:4, 1886, 2?H — 274.
8.	Busche E., Ober die Theorie der biquadratischen Reste, J. rein, angew. Math.,
141:2, 1912, 146—161.
9.	Cahen E., Theorie des nombres, t. I, Paris 1914, 408 стр.
10.	Davenport H., On the distribution of /-th power residues (mod p), J. Lond.
Math. Soc., 7, 1932, 117 —121.
11.	Davenport H., On the distribution of quadratic residues (mod p), II, J. Lond.
Math. Soc., 8, 1933, 46 — 52.
12.	Dickson L. E., History of the theory of numbers, vol. Ill (Quadratic and
higher forms), Washington, March 1923, 313 стр. (библиография).
13.	Dirichlet P. G. Lejeune-, Werke, herausgegeben von L. Kronecker, 1 und II
Bd., Berlin 1889 и 1897, 644 и 422 стр.
14.	Dirichlet, Vorlesungen uber Zahlentheorie, herausgegeben von R. Dedekind,
IV. Aufl., Braunschweig 1894,657 стр. В 1936 г. вышел из печати русский перевод.
15.	Дирихле Лежён, Теория чисел, вып. I, Санктпетербург 1899, 186 стр.
(русский перевод первых трех отделов предыдущего сочинения).
16.	Enzyclopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer
Anwendungen, Band I, Teil 11 (Zahlentheorie), Leipzig 1900 —1904, от 555 до
1197 стр. (библиография).
17.	Euler L., Commentationes arithmeticae collectae, T. I et II, Petropoli 1849,
LXXXVII 584 стр. и 651 стр.
18.	Frobenius G., Ober quadratische Formen, die viele Primzahlen darstellen,
Sitzungsberichte der K. Preussischen Akademie der Wissenschaften, 2 Halbb., 1912,
966 — 980.
19.	Gauss C. F., Werke, herausgegeben von der Kbniglichen Gesellschaft der
Wissenschaften zu Gottingen, В. 11, Gottingen 1863, 504 стр.
20.	Gauss C. F., Untersuchungen uber hohere Arithmetik, deutsch herausgegeben
von H. Maser, Berlin 1889, 695 стр. (немецкий перевод „Disquisitiones arithme-
ticae44 и других сочинений Гаусса по теории чисел).
21.	Граве Д. А., Арифметическая теория алгебраических величин, т. I
(Квадратичная область), Киев 1910, 372 стр. (литографировано).
22.	Граве Д А., Элементарный курс теории чисел, 2-е изд., Киев 1913,
315 + ЮО стр. (к этой книге приложены таблицы для разложения на простые
множители всех чисел до 107 999, таблицы индексов до 200, таблицы разложения
в непрерывную дробь ]/’/? до п = 120, таблица бернуллиевых чисел до В3
и др.).
216
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
23.	Hermite Ch., Oeuvres, publtees sous les auspices de I’Academie des Sciences
par E. Picard, t. I, Paris 1905, 498 стр.
24.	Hurwitz A., Ober die Entwicklung complexer Grossen in Kettenbriiche,
Acta Math., 11:2, 18*8, 187 — 200.
25.	Hurwitz A., Ober eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung reeler
Grbssen, Acta Math., 12:3 и 4, 1889, 367 — 405.
26.	Hurwitz A., Ober die angenMherte Darstellung der Zahlen dutch rationale
Briiche, Math. Ann., 44, 1894, 417—447.
27.	Hurwitz A., Ober die Reduction der binaren quadratischen Formen, Math.
Ann., 45, 1894, 85 — 117.
28.	Hurwitz A., Ober die Kettenbriiche, deren Teilnenner arithmetische Reihen
bilden, Vierteljahrschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zurich, 41:2, 1896,
34 — 64.
29.	Hurwitz A., Ober lineare Formen mit ganzzahlige Variabeln, Nachrichten
der KOnigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, 2, 1897, 1— 7.
30.	Jacobi C. G. J., Canon arithmeticus, Berolini 1839, 248 стр.
31.	Jacobi C. G. J.t Gesammelte Werke, herausgegeben von K. Weierstrass,
В. VI, Berlin 1891, 433 стр.
32.	Журавский A. Закон взаимности кубических вычетов, Журнал
Ленинградского физико-математического общества, 1:2, 1927, 204 — 232.
33.	Коркин А. Н.у О распределении целых чисел по простому модулю и
о двучленных сравнениях, с таблицею первообразных корней и характеров, к ним
относящихся, для простых чисел, меньших 4000, Мат. сб., 27:1, 1909, 28 — 137.
34.	Кречмар В. А., О свойствах делимости одной аддитивной функции, ИАН,
6 : 6, 1933, 763 - 800.,
35.	Kronecker L., Ober bilineare Formen mit vier Variabeln, Berlin 1884, 60 стр.
36.	Kronecker L., Vorlesungen uber Zahlentheorie, herausgegeben von K. Hensel,
В. I, Leipzig 1901, 509 стр.
37.	Landau E., Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, В. I,
Leipzig und Berlin 1909, 564 стр.
38.	Landau E., Vorlesungen uber Zahlentheorie, В. I (Aus elementaren und
additiven Zahlentheorie), Leipzig 1927, 360 стр.
39.	Legendre A. M, Essai sur la theorie des nombres, Paris 1808, 480 4 62 стр.
40.	Legendre A. M., Zahlentheorie, deutsch ubertragen von H. Maser, В. I.
und II, Leipzig 1886, 442 и 453 стр. (немецкий перевод предыдущего сочинения).
41.	Lehmer D. Н., Note on Mersenne numbers, Bull. Amer. Math. Soc., 38,
1932, 383 — 384.
42.	Lehmer D. H., A note on Fermat's last theorem, Bull. Amer. Math. Soc.,
38, 1932, 723 — 724.	\
43.	Lehmer D. H., On Euler’s totient function, Bull. Amer. Math. Soc., 38,
1932, 745 — 751.
44.	Lehmer D, H., Some new factorizations of 2n ± 1, Bull. Amer. Math. Soc.,
39, 1933, 105 — 108.
45.	Lehmer D. H., Factorization of certain cyclotomic functions, Annales of
Mathematics, II ser., 34, 1933, 461 — 479.
46.	Lerch M., Essais sur le calcul du nombre des classes de formes quadratiques
binaires aux coefficients entiers, Memoires, presentes par divers savants a I’Academie
des Sciences de 1’Institut de France, 33:2, 1906, 1 — 244-
47.	Lionville J., Sur la forme x2 4 y2 + 3 (z2 4- f2), J- math. pur. appliq.,
II ser. 5, 1860, 147 — 148.
48.	Lionville J., Sur les deux formes quadratiques x2 + У2 + + 2f2, x24~
+ 2 (y2 + z2-f-t2), J. de math. pur. appliq., II s6r., 6, 1861, 225 — 226.
49.	Lionville J.t Sur la forme x2 4 8y2 4 8z2 4 64t2, J. de math. pur. appliq.,
II ser., 7, 1862, 246 — 247.
50.	Lionville J., Sur la forme x2 4 >’2 4"22 + 3i2, J. de math. pur. appliq.,
II ser., 8, 1863, 105 — 107.
51.	Lionville J., Sur la forme x2 4- 2 (y2 + z2 4 f2 + и2 +	math. pur.
appliq., II ser., 9, 1864, 175— 176.
52.	Lionville J., Sur la forme x2 + У2 + 5z2 4-J. de math. pur. appliq.,
II ser., 10, 1865, 1 — 2.
53.	Lucas E., Theorie des nombres, t. I, Paris 1891, 520 стр.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
217
54.	Майков А. А., О бинарных квадратичных формах положительного опре-
делителя, Санктпетербург 1880, 48 стр.
55.	Марков А. А.. О неопределенных квадратичных формах с четырьмя пе-
ременными, И АН, 16:3, 1902, 97 — 108.
56.	Markoff A., Sur les formes quadratiques ternaires ind6finies, Math. Ann.
56:2, 1903, 2 3—251.
57.	Марков В. А., О положительных тройничных квадратичных формах,
Санктпетербург 1897, 178 стр.
58.	Mertens F., Ober die Aquivalenz der reducirten binaren quadratischen For-
men von positiver Deierminante, Sitzungsberichten der Kaiserlichen Akademie der
Wissenschaften in Wien, 103:2, 1Ь94, 1— 10.
59.	Minkowski Й.. Diophantische Approximationen (eine Einfiihrung in der
Zahlenthvorie), Leipzig 1907, 235 стр.
60.	Minkowski H., Geometrie der Zahlen, Leipzig und Berlin 1910, 256 стр.
61.	Mordell L. J, On binary quadratic forms expressable a sum of three linear
squares with integer coefficients, J. rein angew. Math., 167, 19 2, 12 —19.
62.	Mirdell L. J.. Minkowski’s theorem on homogeneous linear forms, J. Lond.
Math. S< c., 8, 1933, 179 — 182.
6L	Ouspensky J.t Note sur le nombre des representations des nombres par une
somme d’un nombre pair de carr£s, ИАН, VI cep., 19: 15, 1925, 647 — 662.
64.	Ouspensky J.t bur les relations entre les nombres des classes des formes
quadratiques binaires et positives (5 memoires), ИАН, VI cep., Premier Mem., I,
19:12 — 15, Ш5, 599 — 620; Premier Mem, II, 19:16 — 17, 1925, 763—784;
Deuxieme Mem, I, 20:1 —2, 1926, 25 — 38; Deuxieme Mem., II, 20:3 — 4, 1926,
175 —196; Tioisieme Mem., 20:5 — 6, 1926, 327	348; Quatrieme M6m., 20:7 — 8,
1926, 547 — 566; Cinquieme Mem., 20:9, 1926, 619—642.
65.	Ouspensky J, On Gierster’s Classnumber Relations, Amer. J. Math., 50:1,
1928, 93 — 122.
66.	Ouspensky J., On the Number of Representations of Integers by certain
ternary quadratic forms, Amer. J. Math., 51:1, 1929, 51 — 60.
67.	Pall G, The structure of the number of representations function in a posi-
tive binary quadratic form, Math. Z., 36, 1933, 321 — 343.
68.	Pall G., The structure of the number of representations function in a binary
quadratic form, Transactions of the American Mathematical Society, 35, 1933,
491 — 509.
69.	Perron O., Die Lehre von den Kettenbruchen, Leipzig und Berlin 1913,
520 стр. (библиография).
70.	Поссе К. А., Таблица первообразных корней и характеров, к ним отно-
сящихся, для простых чисел между 4 000 и 5 000, Мат. сб., 27:2, 1909, 175—179.
71.	Поссе К. А., Таблица первообразных корней и характеров, к ним отно-
сящихся, для простых чисел, лежащих между 5 000 и 10 000, Мат. сб., 27:2,
1909, 238 — 257.	<
72.	Ramanujan S., Collected Papers, edited dy G. H. Hardy, P. V. Sechu
Aiyar and В. M. Wilson, Cambridge 1927, 355 стр.
73.	Redei L., Arithmetischer Beweis des Satzes uber die Anzahl der durch vier
teilbaren Invarianten der absoluten Klassengruppe im quadratischen ZahlkOrper,
J. rein, angew. Math., 171 :1, 1934, 55 — 60.
74.	Reichardt H.f Zur Struktur der absoluten Idealklassengruppe im quadrati-
schen Zahlkorper, J. rein, angew. Math., 170, 1933, 75 — 82.
75.	Ross, Arnold E., On representation of integers by indefinite ternary quad-
ratic forms of quadratfrei determinant, Amer. J. Math., 55, 1933,293 — 302.
76.	Smith H. J. St.-, Note on continued fractions, Messenger of Mathematics,
II ser., 6, 1876, 1 — 14.
77.	Schr&ier J., Zur Darstellung der Moebiusschen Function durch grosste
Ganze, Mitteilungen der mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 7, 1932, 89—93.
78.	Schur I., Ober die Existenz unendlich vieler Primzahle i in einigen speziel-
len artihmetischen Progressionen, Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen
Gesellschaft, 11 :3, 1912, 40—50.
79.	Serret J-A., Cours d’algebre superieure, t. I, 4 ed., Paris 1877, 647 стр.
80.	Stieltjes T. J., Oeuvres computes publiees par les soins de la Society MathS-
matique d’Amsterdam, t. I et II, Groningen 1914 и 1918, 471 и 603 стр.
еория чисел
218
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
81.	Чебышев Пи Л., Сочинения, изданные под редакцией А. А. Маркова и
Н. Я. Сонина, т. I, Петербург 1899, 714 стр.
82.	Чебышев П. Л., Теория сравнений, 2-е изд., Петербург 1879, 223 стр.
83.	Vahlen К. Th., Beitrage zti einer additiven Zahlentheorie, J. rein, angew.
Math., 112, 1893.
84.	Vahlen K. Th., Ober Niherungswerthe and Kettenbriiche, J. rein, angew.
Math., 115:3, 1895, 221 — 233.
85.	Васильев А. В., Целое число, Петроград 1919, 268 стр.
86.	Vinogradoff I., Sur la distribution des residus et des non-r£sidus des puis-
sances, Журнал физико-математического общества при Пермском государствен-
ном университете, 1:1, 1918, 94 — 98.
87.	Виноградов И. М., Элементарное доказательство одной общей теоремы
аналитической теории чисел, ИАН, VI сер., 19, 1925, 785—796.
88.	Виноградов И. AL, О распределении индексов, ДАН, 2, 1926, 73 — 76.
89.	Виноградов И. М, Некоторые теоремы о распределении индексов и
первообразных корней, Труды Физико-математического института им. В. А. Стек-
лова, 5, 1933, ъ7 — 93.
90.	Виноградов И. М., Новые приложения тригонометрических сумм, ДАН,
2:1, 1934, 1 — 5.
91.	Виноградов И. М, Новое решение проблемы Варинга, ДАН, 2:6, 1934»
337 — 341.
92.	Виноградов. И. М, Новые .теоремы о распределении первообразных
корней, ДАН, 2 : 7, 1934, 1 —4.
93.	Weber Н., Lehrbuch der Algebra, В. II, 2 Aufl., Braunschweig 1899, 855 стр.
94.	Вебер Г. и Велльштейн Ю-, Энциклопедия элементарной математики,
т. I (Алгебра и анализ), 2-е изд., Одесса 1911, 666 стр. (издательство „Mathesis").
95.	Венков Б. А., Об арифметике кватернионов (5 сообщений), ИАН,
VI сер., I сообщ., 16, 1922, 205 — 220; II сообщ., 16, 1922, 221 — 246; III сообщ.
ИАН, VII сер., 2:5, 1929, 489 — 504; IV сообщ, 2:6, 1929, 535 — 562; V сообщ.,
2:7, 1929, 607 — 622.
96.	Wenkov В. A, Uber die Klassenanzahl positiver binairer quadratischer For-
men, Math. Z., 33:3, 1931,350 — 374.
97.	Western A. E., On Lucas’s and Pepin’s tests for the primeness of Mersen-
ne’s numbers, J. Lond. Math. Soc., 7, 1932, 130 —137.
98.	Золотарев E. И., Полное собрание сочинений, изданное под редакцией
Физико-математического института имени В. А. Стеклова Академии наук СССР
вып. I, Ленинград 1931, 434 стр.; вып. II, Ленинград 1932, 364 стр.
СПИСОК СОКРАЩЕНИИ
Acta Math. — Acta Mathematica.
Amer. J. Math. — American Journal of Mathematics.
Bull. Amer. Math. Soc.— Bulletin of the American Mathematical Society.
ДАН — Доклады Российской Академии Наук (до 1925 г.); Доклады Академии
Наук СССР (с 1925 г,).
ИАН — Известия Российской Академии Наук (до 1925 г.); Известия Акаде-
мии Наук СССР (с 1925 г.).
J. rein, angew. Math. — Journal fur die reine und angewandte Mathematlk.
J. Lond. Math. Soc. — The Journal of the London Mathematical Society.
J. de math. pur. appliq. — Journal de mathematiques pures et appliquSes.
Math. Ann. — Mathematische Annalen.
Мат. сб.— Математический сборник.
Math. Z.— Mathematische Zeitschrift.
„МАТЕМАТИКА В МОНОГРАФИЯХ-
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
акад. С. Н. БЕРНШТЕЙНА, акад. И. М. ВИНОГРАДОВА, проф. А. Н. КОЛМО-
ГОРОВА, проф. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА, проф. А. И. ПЛЕСНЕРА, проф. В. А. ТАР-
ТАКОВСКОГО, проф. Н. Г. ЧЕБОТАРЕВА
ОСНОВНАЯ СЕРИЯ
Книга	I.	С, Н. Бернштейн, О наилучшем приближении непре- рывных функций.
Книга	II.	И. И. Привалов, Субгармонические функции.
Книга	III.	Л. С. Понтрягин, Непрерывные группы.
Книга	IV.	Н. Г. Чеботарев, Теория Галуа, ч. I.
Книга	V.	То же, ч. И.
Книга	VI.	А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей.
Книга	VII.	А. Н. Колмогоров и А. Я. Хинчин, Теория веро- ятностей.
Книга VIII.		С. Л. Соболев, Уравнения гиперболического типа. СЕРИЯ ОБЗОРОВ
Книг^	I.	Н. Г. Чеботарев, Теория Галуа.
Книга	II.	А. Н. Колмогоров, Основные понятия теории вероят- ностей.
Книга	III.	А. Я. Хинчин, Асимптотические законы теории вероят- ностей.
Книга	IV.	Б. А. Венков, Элементарная теория чисел.
Книга	V.	М. А. Лаврентьев, О представимости функций комплекс- ного переменного рядами полиномов.
Список опечаток
Стр, Строка
Напечатано
Должно быть
60
60
83
128
144
146
197
« 1 1
8 СН.	/--г-т	-----7——х
;	х + Л	х + /.
4 „	[Л, Лх, ..., zA, 2л]	।	]Л,	, ЛА, 2л]
ф-ла (1) !	скобок не нужно
I	и—1	|	п—1
17 св. ।	(—1) 22	I	(— 1) 2 * 4 * 6
6 „ ;	g'V + hit'	*	g’t' Н- h'llf
21 сн.	ap af ctf,		«р af rtf;
И св. 4л 4- 1 = z22 + (dd + d'(Y) An + 1 = i2 + 2(^5 + d'd')
I
l
Опечатки: 4— по вине редакции, 3 — типографии.
Венков. Элементарная теория чисел.