Е. В. ГОБСОН
ТЕОРИЯ
СФЕРИЧЕСКИХ
и
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
Перевод с английского
С. В. ФОМИНА
ИхЛ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1952

THE THEORY OF SPHERICAL
and
ELLIPSOIDAL HARMONICS
by
E. W. HOBSON
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1931

ОТ РЕДАКЦИИ
Обширная книга Гобсона по теории сферических функций содержит
полное изложение общей теории этих функций и заключает в себе много
пенного материала по сферическим функциям общего вида. Эта часть книги,
заключенная в пятой и шестой главах, будет особенно полезна читателям,
занимающимся задачами математической физики и заинтересованным в воз-
возможно полном и точном собрании формул, относящихся к сферическим
функциям общего вида.
Большая часть книги посвящена теории сферических функций; эллип-
эллипсоидальным гармоническим функциям и функциям Ламе уделяется неболь-
небольшое число страниц, на которых излагаются лишь первоначальные сведения
об этих функциях.
В десятой главе дается интересное изложение малоизвестной теории
тороидальных функций, связанных с функциями Лежандра и имеющих раз-
разнообразные приложения в гидродинамике и математической физике.
Многие вопросы, излагаемые в книге, не были еще освещены в русской
научной литературе, и знакомство с ними представит несомненный интерес.
В заключение следует отметить, что книга Гобсона, несмотря -на свой
большой объем, ле дает все же исчерпывающего изложения теории сфериче-
сферических функций. Не говоря уже о результатах, полученных за последнее
время, многие важные положения и формулы этой теории, хорошо известные
к моменту выхода в свет английского издания этой книги, здесь не
изложены. В частности, в ней пе нашло своего отражения то обогащение
теории сферических функций новыми теоремами и формулами, которым мы
обязаны трудам академика А. М. Ляпунова по фигурам равновесия.

ОПЕЧАТКИ
Страшща
20
24
49
152
188
204
228
246
248
304
330
333
343
405
405
433
Стропа
8 сп.
6 СП.
1 СИ.
4 сп.
2 сп.
0 сп.
1 сн.
2 сн.
1 СП.
12 сп.
и 17 сп.
12 сн.
15—16 сн.
11 СП.
7 сп.
7 сп.
9 сп.
Напечатано
л!
1 • 3 • л(л —1)
+ 1 • 2 Bл- 1)Bл- 1)
f«* + (rt — IJ]
+ л—
«00
Ln B.л)
Л"-»1
Av.
—00
/ 4* \|
\_л sin ч J
произведе-
/д(9, 0)+/2(f. 0)
Bp
п
OcosO)
COS ')
бесконечно
# p ch G)
Следует читать
(-l)"r—
nl
1 • 3 • n(n — f)
+ 1 • 2 Bл- 1)Bл- З)
[a2- (n —1JJ
+ n
II (к)
ln B;л)
OS
s
1
\Л7. SIU1) /
ПОПСДО-
/i('J.?L-/2(".1f)
1 Г ' и (COS TJ
d cos и n v
бесконечной
ЛГ0 (ch |)
Зак. 474 Г обе о и «Теория оферипеских и эллипсоидальных функций»

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Уже давно у меня возникло намерение написать трактат о сферических
и эллипсоидальных функциях, который, наряду с общей теорией вопроса,
включал бы и результаты моих собственных исследований, полученных много
лет тому назад. Обилие других дел препятствовало, вплоть до последнего
времени, осуществлению этого намерения, однако эта задержка имела то
преимущество, что теперь я могу принять во внимание появившиеся в нрслед-
нее время многочисленные сочинения, посвященные различным специальным
вопросам излагаемой теории.
С того времени, когда Лежандр и Лаплас создали в связи с некоторыми
задачами теории потенциала теорию сферических функций, значение функ-
функций Лежандра и Лапласа для краевых задач и других вопросов возросло
во много раз благодаря обнаружившимся связям их с различными задачами
математической физики. Обобщения, принадлежащие Гейне, и, в частности,
указанные им приложения функций второго - рода, были изложены в его
классическом трактате по этому вопросу, бывшем до сих пор единственным
сколько-нибудь полным сочинением, в котором рассматривались эти функ-
функции, в то время как многочисленные другие руководства включали обычно
лишь те части теории, которые более непосредственно связаны с прило-
приложениями.
Настоящее руководство посвящено главным образом изучению вида
и аналитических свойств "функций, возникших в связи с теми решениями
уравнения Лапласа, которые соответствуют некоторым специальным крае-
краевым задачам. При этом мы, в отличие от первоначального этапа развития
теории, не ограничиваемся рассмотрением функций, соответствующих одним
только целым значениям степени и порядка. Наша книга не претендует на то,
чтобы охватить общую теорию потенциала или теоремы существования,
однако она содержит некоторые приложения к теории потенциальных функ-
функций, связанных с пространственными областями некоторых специальных
типов; сведения из общей теории потенциала, используемые по ходу изло-
изложения, предполагаются известными, Я надеюсь, что данное руководство,
несмотря на его чисто математический характер, будет полезным и для спе-
специалистов по математической физике, интересующихся в первую очередь
приложениями.
В первых четырех главах изучаются свойства обыкновенных сфериче-
сферических функций. Мы старались изложить некоторые из относящихся сюда
исследований в форме более строгой, чем это было сделано в соответствую-
соответствующих оригинальных работах. Максвеллова теория полюсов сферических функ-
функций изложена в связи с общей теоремой о дифференцировании, что придало
теории большую стройность.
В главе V вводится и изучается общее понятие присоединенной
функции Лежандра, соответствующей произвольным значениям степени,
порядка и аргумента. С принятой в этой главе точки зрения все ее содержа-
содержание представляет собой не что иное, как теорию некоторого специального
класса гипергеометрических функций. Основное внимание уделяется пред-
представлениям соответствующих функций с помощью интегралов и рядов. Установ-
Установленные здесь результаты используются в главе X для получения в качестве

6 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
частных случаев представлений для сфероидальных, конических, тороидаль-
тороидальных и других специальных функций, свойства которых в большинстве слу-
случаев исследовались вводившими их впервые математиками независимо для
каждого отдельного типа.
В главе VI исследуется асимптотическое поведение зональных и присое-
присоединенных функций, заданных с помощью полусходящихся разложений или
иным способом.
Глава VII содержит общую теорию сходимости и суммирования рядов
Лежандра и Лапласа; здесь излагаются результаты, аналогичные хорошо
известной теории рядов Фурье.
Глава VIII посвящена исследованию теорем сложения для функций
Лежандра первого и второго рода, произвольной степепи.
В главе IX исследуется распределение нулей присоединенных функ-
функций первого рода и, менее полно, присоединенных функций второго рода.
Здесь даны также числепные методы вычисления этих нулей.
Глава XI посвящена теории введенных Ламе эллипсоидальных функций,
однако связей их с эллиптическими функциями мы не касаемся.
Во избежание увеличения объема книги я счел целесообразным не углуб-
углубляться в детальное изложение теории гиперсферических функций, где при-
применимы те же самые методы, что и в случае сферических функций, но
получающиеся формулы более сложны.

Глава I
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
§1_ВВЕДЕНИЕ
1. В различных областях математической физики возникает задача
нахождения некоторой функции V, непрерывной вместе со своими частными
производными в заданной области и удовлетворяющей в этой области
уравнению
которое мы будем записывать в виде VW — 0; это дифференциальное урав-
уравнение известно под названием уравнения Лапласа. От функции V требуется,
кроме того, чтобы она удовлетворяла определенным условиям па границе
рассматриваемой области. Попятпо, что граница, на которой даны эти
условия, может состоять из двух или большего числа отдельных частей,
тем пе менее мы можем рассматривать их все вместе как едипую границу.
Вид такой функции V, удовлетворяющей уравнению A) и поставленным
граничным ^условиям, зависит от формы границы и от типа ^этих краевые
условий.
Часто встречаются следующие типы краевых условий:
а) V имеет заданное зпачение в каждой точке границы;
б) -к- имеет заданное значение в каждой точке границы; -г- означает
дифференцирование но нормали к границе, направленной внутрь той области,
в которой функция V должна быть определена;
в) А-г—\-JcV имеет заданпое значение в каждой точке границы;
h и к — постоянные числа.
Встречаются также задачи, в которых внутри заданного объема имеются
одна или несколько поверхностей разрыва функции V, причем по обеим
сторонам такой поверхности V удовлетворяет уравнепию A); вид функции V
может быть различен по обеим сторонам поверхности разрыва, однако она
должпа удовлетворять на самой этой поверхности некоторым определенным
условиям. Обозпач&я через V1 и F2 значения функции V на двух сторонах
поверхности, мы можем наложить, например, условия следующих типов:
а) V-y — Vz, хотя значения -^ и -—- различны;
б) Aj —— — h2 -—¦ и Fj = F2; hx и Л2 — два постоянных числа, как пра-
правило, имеющих один и тот же знак.
Основной темой данпой книги является нахождение вида функций,
удовлетворяющих уравнению A) и определенным краевым условиям,
в первую очередь заданным на сферической или эллипсоидальной поверх-
поверхности, и исследование свойств получающихся таким образом функций. Мы
покажем, что для этих и некоторых других типов границ можно получить
соответствующие решепнн уравнения A), а также покажем на некоторых

8 ГЛАВА I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА J2
примерах, как, комбинируя эти решения, добиться точного выполнения
граничных условий.
Мы не будем останавливаться на общих вопросах существования функ-
функций V, удовлетворяющих определенным условиям, а также на вопросах
единственности решения рассматриваемых задач; нашей целью является
нахождение в явном виде функций, удовлетворяющих поставленным усло-
условиям, в тех случаях, когда современное состояние анализа позволяет это
сделать.
Оказывается, что функции, появляющиеся в связи с уравнением Ла-
Лапласа, полезны и для решения многих других уравнений в частных произ^
водных., встречающихся в физике; к числу важнейших из них принадле-
принадлежат уравнения
решения которых в широком классе случаев можно связать с решениями
уравнения V2V -{-W — О, где X — параметр.
2. Чтобы получить решения уравнения A), соответствующие различ-
различным формам границы, удобно преобразовать это уравнение, вводя криво-
криволинейные ортогональные координаты. После этого в каждом отдельном
случае эта система координат выбирается в соответствии с формой границы.
Пусть
/j (ж, у, z) = hlt /2 (х, у, z) = h%, /3 (х, у, z) — ks
уравнения трех семейств поверхностей, таких, что любая поверхность
из одного семейства ортогональна любой поверхности из другого семейства;
hx, A2, h3 называются параметрами этих трех семейств поверхностей, и их
значения в каждой точке (х, у, z) можно рассматривать как криволиней-
криволинейные координаты этой точки.
Предполагается, что в каждой точке значения координат klt Л2, h3 опре-
определяются единственным образом.
Обозначим через Н\, Н\, HI выражение (-— ) +(-j3-) +( ~}f~) и соот-
соответствующие выражения для Л2 и h3. Мы имеем
ду
„ 1 dh, I <?Ai 1 dhx
Так как -jj- —, -jj- ^— , ¦=- ~ являются направляющими косинусами
нормали к поверхности hx в точке (х, у, z), мы видим из написанных
равенств, принимая во внимание ортогональность трех нормалей в точке
(х, у, z), что
Следовательно, элемент длины дуги, соединяющий точки (х, у, z) и
(x + dx, yA-dy, z+4z), выражается формулой
' dhl.
= ± dh\ + ^dh\ + -щ dh\

2\ ВВЕДЕНИЕ 9
Приведение выражения V2F к виду, в котором независимыми переменны-
переменными будут hlt h2 и h3, проще всего выполнить, воспользовавшись обозначени-
обозначениями1) и методами тензорного анализа.
Мы имеем: ds2 = g^dh^dky, где |л, v принимают значения 1, 2, 3,
111 п
ёп=--шг> ём — тгг > ?зз = -щ~ и Sv-y — 0 при ц ф v; таким образом, g^ —
ковариантный тензор; g= . }..8„г , и, в соответствии с обычными прави-
лами, выражение для ds2 понимается как сумма слагаемых, отвечающих
всем значениям 1, 2, 3 индексов (* и v.
Соответствующим контравариантным тензором будет g*v, где gn =
= H\,g» = H\tga = H\ иГ-0 при jx^v.
Выражение VW в координатах (х, у, z) может быть представлено как
gv-ч или как g'iVFllv, где gn — gM = g33 = 1 и ^v = 0 при и. Ф v; тен-
зор V^ есть ковариантная производная от V^. Выражение g^W^y является
инвариантом и, следовательно, совпадает с выражением
в новых координатах. Это последнее равно
Здесь
следовательно,
{11, Ц=-2^\-дГГущ> {И,2}= — у#2^#|> {Н.3}= — у^з^я*-
Таким образом, выражение для V2F принимает вид
Wl L 5Л| dhx ' 2 a^dhx Н\Л'дНг ' 2 "td^Hl^dhs ' 2 a*dh3H\\ '
+ два аналогичных слагаемых.
Оно может быть приведено к виду
н н п \ JLCJL-?L\ ^.Lf JL^^C\ . J
1 °2 3 I dh\HtH,dhJ ' dht^HiBidhtJ n~df
Итак,
v к — л1лгЯз[Й1^Я!!Яз dhj^dh^HtHi dhj ' dhAHiHi dhjJ '
следовательно, в криволинейных координатах Л1( Л2, Лз уравнение Дапласа
имеет вид
Если рассматриваются не три координаты, а /? координат а^
то в точности тем же способом можно показать, что VpV, т> е.
дх\ 'дх\ ¦ •••+5^
J) А. С. Эддингтон, Теория относительности, М. —Л., 1934, гл. II. [См. также
Н. Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М., 1951,
гл. IV. (Прим. ред.)]

10 ГЛАВА I ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА [3
приводится к виду
где hlt /г2, ...,hv — ортогопальные криволинейные координаты, и
3. Формула B) для преобразования уравпения Лапласа к ортогопаль-
пым криволинейным координатам была впервые получена Ламе1), который
использовал трудоемкий метод непосредственной замены переменных.
Позже другие способы, основанпые на сходных соображениях, были дапы
Дирихле2) и Томсоном3) (Кельвин). Другой метод преобразования, осно-
ваштый на иных принципах, был дан Якоби4) и для случая полярных
коордяпат — Грином 8).
Укажем, не вдаваясь в детали, методы Дирихле — Кельвина и Якоби —
Грина.
а) Длины ребер элементарного цараллелепипеда, образованного поверх-
поверхностями hv hx -+- dhlt /г2, h2 -j- dh2, h3, h3 -\- dh3, равны -—-, я- , -—-. Восполь-
Воспользуемся следующей формулой Грипа:
Здесь интеграл в левой части равенства берется по любому объему, вну-
внутри которого функция V вместе со своими частными производными непре-
непрерывна и ограничена, а поверхностный интеграл справа берется по границе
этого объема; -— означает дифференцирование по внешней нормали. Если
внутри рассматриваемого объема VW равняется нулю, то
Примепим эту формулу к элементарному объему, ограниченному шестью
поверхностями hlt ..., hs-\-dh3. Рассматриваемый поверхностный интеграл
представляет собой сумму шести слагаемых, соответствующих отдельным
граням. Слагаемое, соответствующее грани на поверхности ht, равно
dV Я, ,, ,,
~dh к н~ * *'
Слагаемое, соответствующее противоположпои грани, получается из дан-
данного выражения заменой hv на hlJrdh1, и, так как направление внешней
пормали при этом меняется на противоположное, оно равно
я, ду д / нл sv\d}
Слагаемые, соответствующие остальным четырем граням, получаются
аналогично; таким образом мы находим, что рассматриваемый поверхност-
1) Journ. Polytechnique (тетр. 23), A834); этот вывод был воспроизведен в его
работе «Legons sur les coordonnees curvilignes», 1859, § 14.
2) Впервые опубликовано в хаттендорфовском издании «Vorlesungen uber partielle
Differentialgleichungen» Римана, 1869.
3) Camb. Math. Jonrn., 4 A845), 36.
*) Journ. f. reine n. angevv. Math., 36 A848), 117
6) Mathematical Papers, стр. 200, 216

3] ВВКДКНИЕ
ный интеграл равен
„ „ „ Г д ( Я, dV\ д ( Н2 dV\ , д ( Ня дУ
аП1Шчап*1дК~\н2н3 dhj rdkXu3H1 Wj-rwXHiHzdh
и это выражение должно быть равно нулю. Мы получаем уравнение
JL ( gi dIS\ > ±. (' JLl. ?L~\ uJLfJl*- ?L\ - о
ЗЛ, Кн2Н3 dhj т dh2 \llsHj dhj ' dh3 V.ff,ff2 dh3) u>
совпадающее с уравнением B). Этот метод был использован Дирихле
и Томсоном.
б) Рассмотрим интеграл
взятый по некоторому произвольному объему; если мы разобьем этот
объем на элементарные параллелепипеды, которые мы рассматривали в пер-
первом методе, то мы получим, что написанный выше тройной интеграл равен
\\\
причем интеграл берется по тому же объему, что и первоначальный. Пред-
Предположим теперь, что значение функции V получает в каждой точке неко-
некоторое произвольное приращение W, придем bV имеет непрерывные частные
производные по х, у, z. Если соответствующее изменение рассматриваемого
интеграла / обозначить В/, то
где поверхностный интеграл берется по границе соответствующего объема,
а (I, т, п) — направляющие косинусы нормали к элементу поверхности dS.
Аналогично можно показать, что
1 *г Г С si/ f Я, дУ п п , «I Н2 dV ,, ,, , Н3 ,
— Ы = \ \ 6V f -тг^щ- -у- "«2 ""з + я г, ^т- о«3 а«! + V, а
з / я, 3F \ , д г н2 dv \ , э ( н3 dV
первый интеграл берется, как и рапыпе, по границе рассматриваемого
объема. Эти два выражения для Ы должны быть равны, и если приращег
ние W выбрать так, чтобы оно обращалось в нуль во всех точках границы,
то оба объемных интеграла должны быть равны друг другу. Так как
1. h2, Л3)\2 „г г/г г/2
то мы получаем
\ \ \ W \ V2F \ — ( 1 4- — ( I i
J J J L \ ЗЛ, V Я2 Я3 ЗЛгу ^ ЗЛ2 ЧЯ3 Я! dh2) '
Так как это равенство имеет место для все? bV, удовлетворяющих указан-
указанным выше условиям, то из основной леммы вариационного исчисления
следует
— Л1П2Д3 \ д}ц \^H2HS dhj^dh \.Н3НХ dh2j ^ dh
dh

12 ГЛАВА I. ПРКОВГАЗОВАНИЕ УРАВНКНИЯ ЛАПЛАСА [4,5
мы получили преобразованное уравнение B). Этот метод был использован
Якоби и Грином.
4. Возможность получения решения уравнения Лапласа, записанного
в виде B), зависит от вида функций А1( А2> ^3; можно различными способами
выбрать эти параметры так, чтобы уравнение B) имело решения вида
где <р зависит только от А1( ф — только от h2 и х— только от h3. Если это
возможно, то такое решение называется нормальным решением или нор-
нормальной формой решения. Функции, входящие в нормальное решение,
содержат некоторые произвольные постоянные, так что, придавая этим по-
постоянным различные значения, можно получить бесконечное множество
нормальных решений. Так как уравнение Лапласа линейно, то сумма
любого числа частных решений также удовлетворяет этому уравнению;
следовательно, можно получить более общие решения, беря линейные
комбинации, с произвольными постоянными коэффициентами, нормальных
решений; мы получаем таким образом .решения вида
Такие решения полезны при рассмотрении задач теории потенциала типа'
указанных в п. 1 в том случае, когда граница состоит из поверхностей,
принадлежащих тому или иному из трех семейств координатных поверх-
поверхностей.
Для любой ортогональной криволинейной системы координат, для
которой существуют нормальные решения, три функции ср (Ах), ф (h2) и х (^з)
могут быть получены k/ik решения трех обыкновенных дифференциальных
уравнений. Метод сведения уравнения VW = 0 к обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнениям был указан Хепцшелем1), а также Вангерином2).
Различные случаи, в которых такое сведение возможно, будут рассмотрены
в настоящей работе.
В некоторых случаях, когда нормальное решение указанного выше
типа не существует, можно ^айти решение вида <? (^i> ^г)х(^з)> в котором
один множитель содержит одну криволинейную координату, а другой —
две таких координаты.
При рассмотрении уравнения Лапласа мы можем воспользоваться тем,
что для него известно решение весьма общего вида, а именно:
где а, Ь, с — произвольные постоянные; это выражение удовлетворяет урав-
уравнению в каждой точке пространства, за исключением точки (а, Ь, с). Эта
функция может быть записана в любой системе криволинейных координат,
и полученное таким образом выражение часто оказывается полезным для
нахождения простой и удобной формы решения.
5. Простейшим случаем, в котором может быть получена нормальная
форма решения, является случай hx = х, hz = у, h3 = z, т. е. уравнение Лапласа
в первоначальном виде; ортогональной системой поверхностей щт этом
являются три семейства плоскостей, параллельных координатным плоскостям.
Попытаемся удовлетворить рассматриваемому уравнению с помощью
функции V — XYZ, где X зависит только от х, Y — только от у и Z—
J) Studien uber die Reduction der Potentialgleichung auf gewohnliche Differen-
tialgleichungen, Berlin, 1893.
2) Berliner Manatsber. A898), 152.

5] ВВЕДЕНИЕ 13
только от z; подставив это выражение в уравнение и деля на XYZ, по-
получим
1 d*X 1 cPY . 1 rf22 _ 0
В этом равенстве первое слагаемое зависит только от х, второе —
только от у и третье — только от z; ясно, следовательно, что равенство
может иметь место только в том случае, когда каждое из трех слагаемых
есть постоянная величина и судима этих постоянных равна кулю. Таким
образом, для определения X, Y и Z мы получаем три обыкновенных диф-
дифференциальных уравнения
-а*Х
— ал.,
постоянные а2, Ъ2 и с2 должны удовлетворять условию а2 + Ь2 + с2 = О
Следовательно, нормальной формой решения будет е±ах • e±bv ¦ e±cz, где
aF-f- J* -^ е* а=> 0; в полученном выражении показательные функции с мни-
мнимыми показателями можно выразить через тригонометрические функции.
Частными случаями вышеуказанной нормальной формы являются
е cos тх cos пу e*<w±Pv cos i/a2 + P2z,
sin sin ^ sin K i r >
m, n, a., p — произвольные постоянные; из этих форм мы получаем выра-
выражения
У.
f(m, n)e±V™*+»tz Cos тх cos ny,
' v ' ' sin sin э
то, п
а, E
используемые в тех задачах теории потенциала, в которых граница состоит
из кусков плоскостей, параллельных координатным плоскостям. Краевые
условия приводят к задаче разложения произвольной функции в двойной
или одинарный ряд Фурье.
Таким образом, обнаруживается, что функции, получающиеся при ре-
решении уравнения Лапласа в его первоначальной форме, суть тригономе-
тригонометрические и показательные функции; в следующей главе мы рассмотрим
функции, которые получаются нри h^ — r, A2 = 0, /&з = <?> гДе г> &> ?~"
сферические координаты точки. Это приведет нас к изучению некоторого
нового весьма важного класса функций.

Глава II
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
§ 1 ВВЕДЕНИЕ
6. Если система поверхностей, соответствующих параметрам hu h2, h3,
состоит из концентрических сфер (/• = const), круговых конусов, имеющих
общую ось @ = const), и плоскостей, проходящих через эту ось (<р = const), то
(dsJ = (drJ+ (rdf)J + (r sin 6 d<?J.
i i
Следовательно, в этом случае Н1 — \, Нг = —, #8 = г<,-п0 . и из уравнения
B) гл. I получаем
V2V =- -Т—Г—7Г { тг- ( Г2 Sin 0 -- ) -\- -„ ( Sin 0 зтг ) + 3- ( . с-г ) У ¦
г* sin 6 I дт \ дг J ' дО \ дй J ' 5tp V_sin 6 d<f J J
Уравнение Лапласа в этом случае принимает вид
д
В соответствии с методом, описанным в п. 4, мы будем искать реше-
решение этого уравнения в виде 7 = 7?вФ, где 7?, 0, Ф — функции от г, 9 и ср
соответственно; подставляя это выражение в уравнение и деля на 7?вФ,
получаем
1 d ( tdR
R d\r
R dr\r dr J^Q sin 0 dO V5 db J "^ sin2 6 • Ф
Так как /• входит только в первое слагаемое, то для того, чтобы равен-
равенство B) выполнялось, необходимо, чтобы выражение
R dr V dr J
было равно некоторой постоянной к.
Решение уравнения
. „ dR
+ 2
2 R
г2 -г-r + 2r =
dr1 dr
находится но общим правилам и имеет вид
R-^Ar1 k -\- Br 2 ,
где Л и 5 — произвольные постоянные. Это выражение для R можно не-
несколько упростить, если положить к= п{п-\-\); тогда в качестве самого
общего выражения для R мы получим
Теперь уравнение B) можно переписать в виде

7] § 2. УРАВНКНИЕ ЛКЖАНДРА 15
1 «РФ - „ „ „
отсюда видно, что ф--^-2- должно быть равно некоторой постоянной, обозна-
обозначим ее —тг. Следовательно, самым общим видом функции Ф будет
С cos m<?-\-D sin mcp, где С и D — произвольные постоянные. Теперь урав-
уравнение B) принимает вид
Если здесь положить cosO = [ji, 0 = u, то получим
и определяется как функция от ja из этого уравнения второго порядка.
Основной задачей этой главы и следующей является исследование природы
и свойств некоторых из тех .функций, которые получаются при решении
дифференциального уравнения B). Предположим, что вид функции и найден
из уравнения C); тем самым будет получена и нормальная форма решения
уравнения Лапласа, которая может быть записана в виде
гп ¦ и cos mcp, /•-"-I . и cos »ю.
sin T sm T
Мы увидим в дальнейшем, что постоянные т и п соверщенно произ-
произвольны, они могут принимать все действительные значения. В наиболее
важных приложениях получаемых здесь решений к задачам теории потен-
потенциала используются такие нормальные решения, в которых и ит — целые;
поэтому в данной главе и в следующей мы сосредоточим свое внимание на
этом специальном случае. Самый общий случай, когда п vim — совершенно
произиольпыо, действительные или комплексные, будет полностью рассмо-
рассмотрен в гл. V. В иышеуказанпой нормальной форме п, или —п—1, назы-
называется степенью, а т — порядком данной формы. Мы рассмотрим сейчас
нормальные формы с целыми (положительными или отрицательными) степе-
степенями и целыми порядками.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЛЕЖАНДРА
7. В этой главе мы рассмотрим частный случай уравнения C), соот-
соответствующий т -— 0; при этом получается уравнение
Это дифференциальное уравнение известно под названием уравнения
Лежандра; мы перейдем сейчас к нахождению всех его решений. Хотя
величина [л была введена как косинус некоторого действительного угла и,
следовательно, может принимать только значения, заключенные между
— 1 и +1, мы рассмотрим решения уравнения D) также и в общем случае,
когда на [л не налагается указанных ограничений.
Перепишем уравнение D) в виде
и предположим, что оно имеет решение вида
где а0, аъ а2, ... — постояпные. Подстанляя этот ряд в уравнение и при-
приравнивая нулю коэффициенты при нсох степенях (х, получаем
+ l)ar+2-r(r-l)ar

16 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ КООРДИНАТАХ [7
откуда
таким образом, мы получаем решение уравнения D) в виде
n(n-2)(n+l)(n + 3) .
! — г
n(n-2)(n+l)(n + 3) .
Н 1 . 2 • 3 • 4 !
г
i I л^п(п-2) ... (в~2у + 2)(в+1)(вЧ-3) ... (b+2s— 1) 2 1 ,
-(-1) — 1 . 2 . 3 ... 2* •* -Г---|-г
, (»—1> (»—3) (д + 2) (» + 4) д
1.2-3 ^ Н 1 • 2 • 3 • 4 • 5 I*
Здесь предполагается, что [л принимает такие значения, при которых
эти ряды сходятся.
Это решение можно записать в следующем виде:
п п+1 1 ,~\ , „/ п—\ п + 2
2-, -Г"' 2>
где F (a, {3; f; x) означает сумму гипергеометрического ряда
I • 2 • i
a a0 и аг — произвольные постоянные; мы видим, таким образом, что E)
представляет собой общее решение дифференциального уравнения D), если
только [л таково, что указанные два ряда сходятся.
В том важном случае, когда п — целое положительное, один из двух
этих рядов содержит лишь конечное число членов при любом [л. Если п
четно, то этим решением будет
± n+J.. _1_
2 ' 2 ' 2
т. е.
Г,
• 2-3-4
(+)D) ()
1-2-3...« 1*
при любом, комплексном или действительном, значении [л.
Это — алгебраический многочлен степени п, удовлетворяющий уравне-
//v ¦ т-, / л—1 « + 2 3 ,\ - „
ншо D); другое решение a&F ( g~~, —^—; -j ' I* J пРеДставлявт собой
бесконечный ряд, сходящийся при | [л | < 1 и расходящийся, когда [л=^ 1
или f*2 > 1.
Если п нечетно, то решение ui\>.F(
—"~ , -4—; -j ; ^J, т. е.
1-2-3 ...л
есть алгебраический многочлен степени п, удовлетворяющий уравнению D).
В этом случав
п п+1 1 .
"""У» ~~2~ ' 2 ' I

8] § 2. УРАВНЕНИЕ ЛБЖАНДРА 17
представляет собой бесконечный ряд, сходящийся при |[л|<1, и является
вторым решением уравнения D).
Попробуем теперь получить решение уравнения D) в виде ряда по убы-
убывающим степеням [л. Положим
в = (а
подставляя это выражение в дифференциальное уравнение, получим
<цг(т — 2г) (т — 2г — 1) =
где г — произвольное целое положительное число. Так как а_2 = 0, то
(/га — п)(т + п + 1) = 0,
или m=n, или т— —п — 1; мы получаем, таким образом, два решения:
2Bга —1)^ + 2-4Bп — 1) Bп — 3) ^
I I
п+б "т ' • • J •
"*1" 2Bn-(-3) fA"*3" 2 • 4(
Если п — целое положительное число, то решение (8) представляет
собой многочлен стеиени п, совпадающий, как легко видеть, с F) или G),
п зависимости от того, будет п четно или нечетно. Решение (9) представ-
представляет собой бесконечный ряд по степеням — а может быть записано в виде
J_ /п-И п+_2.
fA"*1 r V 2 ' 2 '
2
этот ряд сходится при )-[л|>1 и расходится при |(а|<1; следовательно,
ряд (.9) представляет второе решение там, где ряд по возрастающим сте-
степеням, будучи расходящимся, не может быть использован для получения
решения.
Если в выражении (8) значение постоянной а принять равным
' *. ' 9 "о —~~^' т0 мы полу4™* решение, которое обозначается Рп ([л)
и называется многочленом Лежандра или функцией Лежандра степени п.
Если [л = cos 9, то Рп ([л) называется также коэффициентом Лежандра сте-
степени п; основания для такой терминологии будут указаны в п. 9.
Второе решение, в котором постоянному множителю мы также пред-
предпишем пекоторое определенное значение, будем обозначать (?п([л).
8. Окончательный результат мы можем сформулировать следующим
образом:
Общее решение уравнения Лежандра
где п — целое положительное, имеет вид
А и В — произвольные постоянные. Выражение Рп(р) представляет собой
многочлен от [л степени п и определяется формулой
B(g-l)(B-2)(ii-3) , 1 . B»)! npf » Ы- L-n- ±Л
+ 2.4B«-1)B«-3) I* ' * * J ~ 2»«Ы •* г V. 2' 2 ' г "• у?) >
2 Б. В. Гобсон

18 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [9
которую, изменяя порядок слагаемых на обратный, можно переписать для
четного п в виде
^
2 2 '
а для нечетного п в виде
71-1
3-5 ...в Ь (в-1)(в + 2) ,
2-4... (в— II* I 1-2-3 ^
(я—1) (д—3) (»
4
1.2.3-4-5
Выражение Рп(р) представляет собой решение уравнения D) »/га Jji|, боль-
< или л<екьг«ел< единицы, и при всех комплексных значениях р.
Второе решение Qn(p) имеет вид
a f 1 ¦ (в+1)(д + 2) 1 , (b+1)(b+2)(ii+3)(ii + 4) 1 , 1
If*"*1 2Bn+3) (Д."*3" 2 • 4Bn+3)Bn + 5) fin+6""" ' ' " J
т. е.
при {i2 > 1 илв, если {* — комплексное, при | j» | > 1.
Если же 5*2 < 1 или, допуская комплексные значения р, е$ш | j* | < 1.
то второе решение представляется в виде бесконечного ряда
,
w четно, и
1.2-3 р Н 1-2. 3-4-5
Г, в(в+1) t . в(в-2)(в+1)(в+3) 4 >
\а ГТ^5* "" 1 - 2 • 3 • 4 ^ — ••• J »
ког5а w нечетно.
Аналитическое цродолжение эуого решения на всю плоскость {* будет
рассмотрено ниже.
§ 3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛЕЖАНДРА
9. Из двух полученных нами линейно независимых решений уравне-
уравнения Лежандра более важным является решение Рп(р), которое мы назвали
(в случае целого п) многочленом Лежандра. Поэтому мы сперва рассмо-
рассмотрим эту функцию отдельно. Мы получили две нормальные формы, гпРп (р)
и r-n-ipn^} удовлетворяющие уравнению Лапласа и симметричные отно
сительно прямой {* = 1. Уже в п. 4 мы указывали на преимущества дли
изучения уравнения Лапласа, которые получаются из того, что обратная
величина расстояния до некоторой фиксированной точки удовлетворяет
этому уравнению; сейчас мы вновь воспользуемся этими соображениями
для того, чтобы получить указанные выше нормальные формы и таким
образом подойти к функциям Рц ({*), с другой точки зрения, не, связанной
непосредственно с решением уравнения Лапласа.

Ю] 8 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛЕЖАНДРА 19
Обратная величина расстояния от точки (г, jx, 9) до точки на прямой
(г=1, находящейся на расстоянии г' от начала, равна
Таким образом, это выражение удовлетворяет уравнению Лапласа и не
зависит от угла ср- Оно может быть записано в виде
_ 1_
>i 1 2
или в виде
откуда видно, что его можно разложить в сходящийся ряд по степеням
-^- при г <г' и в сходящийся ряд по степеням — при г > г'. Коэф-
г г'
фициенты при степенях -у или — являются функциями от ja. Обозначим
г г'
через h ту из двух величин —г и —, которая меньше единицы; тогда
имеем
1
. 1 • 3- 5 ... Bл—1)/о ,,„,„ ,
¦¦•+ 2-4... 2л ;B(х-А)"А"+...
Этот ряд сходится при |AB(i — h) | < 1; далее, порядок следования членов
можно изменить, если двойной ряд абсолютно сходится, т. е. если
h B1 A1 + К) < 1; при этих условиях мы получаем для коэффициента при hn
следующее выражение:
1-3-5...Bл-1) г п(п-1) 2 »(*-1)(л-2)(л-3) 4_ \
1-2.3 ... л \^ 2 Bл— 1)^ "•" 2-4Bл— 1) Bл—3) ^ ¦¦•}•
Это выражение мы обозначаем Рп (р.); мы видим, что оно совпадает е много-
многочленом Лежандра, определенным в п. 7.
Следовательно, при указанных выше условиях и при действительном (х,
лежащем в промежутке (—1,1),
(,х)Л«+... A0)
10. До сих пор мы предполагали, что ja и А—действительные величины,
удовлетворяющие некоторым определенным условиям; однако равенство A0)
остается справедливым и тогда, когда на (* и А наложены меньшие огра-
ничения. Ясно, что приведенное нами доказательство равенства A0) при-
применимо в в случае комплексных (* и А, если только |2(iA| + |A2| < 1; мы
сейчас увидим, что эти условия могут быть значительно расширены. Пред-
Представив выражение A — 2(аА+А2) ^ в виде
-1-А) 2,
мы видим, что особые точки этой функции, рассматриваемой как функция
от h, суть А = (х ± у (а2 — 1 ; в соответствии с хорошо известными теоремами
2*

20
ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ ГЦ
теории функций, эта функция может быть разложена по степеням h,
когда | h | меньше, чем наименьшее из чисел | [л -f- ]/[л2— 1 j . функция
A—2[лА-|-/г2) 2 может быть продолжена на весь круг с центром в тоике
h = 0 и радиусом, равным наименьшему из чисел
Степенной ряд изображает ту ветвь функции A —2[лА +А2) , которая
принимает значепие +1 в точке h = 0.
Покажем теперь, что равенство A0) остается в силе и для комплексных
значепий h и [л, если только | h | не превосходит меньшего из чисел
В частности, если \х действительно и заключено между — 1 и 1, то равен-
равенство A0) верно при |/г|<1.
Заменив h на -г-, получаем, что разложение
справедливо тогда, когда | h | больше, чем наибольшее из двух чисел
\У1=\\
Разложение для (?-2 — Irr'p -f r'z) * принимает вид
или
|^оЫ + ^-^(|*)+---+^^»Ы+-.- (г>г'). A2)
Так как каждое из выражений A1) и A2) при тех значениях /•', при
которых выполняются условия сходимости, удовлетворяет уравнению Ла-
Лапласа, то обычно отсюда делают вывод, что каждое слагаемое в отдельности
удовлетворяет этому уравнению, и таким образом получают нормальные
формы гпРп ([л) и г~п~*Рп ([л). Однако этот вывод требует обоснования закон-
законности двукратного почленного дифференцирования по г и 0.
Выражение {ж2 -\-y*-\-{z — ЛJ} ^ может быть представлено в виде
\ 1) п п\ dzn г '
I
где /•= («2 + 2/2*f z2Jj отсюда вытекает следующая важная формула для
11. функция Рп ([л), где п — натуральное число, определяемая как коэф-
коэффициент при hn в разложении A — 2А[л + ^2) ^ п0 степеням А, (| А | < 1), назы-
называется коэффициентом Лежандра степени п. Таким образом, коэффициенты
Лежандра тождественны с многочленами Лежандра, вид которых был най-
деп в п. 7.
Коэффициенты, или функции, Лежандра, определяемые как коэф-
коэффициенты при степенях hn в разложении A0), были введены Лежандром

12] § 4. ТАБЛИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛЕЖАНДРА 21
в его мемуаре «Sur l'attraction des Spheroides», опубликованном в Memoires
de Mathematique et de Physique, presentes h, l'Academie royale des sciences
par divers savants, X, Paris, 1785. Эти функции встречаются в пред-
представленном Академии в 1782 г. мемуаре Лапласа «Theorie des attractions
des spheroides et de la figure des planetes», тем не менее, повидимому, они
были введены Лежандром, работа которого оставалась неопубликованной
в течение нескольких лет после ее написания; его работа упоминается как
одобренная к печати в отчете о заседании Академии в 1783 г. Сам Лежандр
заявлял, что Лаплас ввел потенциальную функцию, но само разложение
было получено им. По вопросам приоритета см. Якоби1), Дирихле2)
и Гейне3).
§ 4. ТАБЛИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛЕЖАНДРА
12. Коэффициент Лежандра степени га представляет собой алгебраиче-
алгебраический многочлен, который можно записать в виде
1.3-5..,Bn-l) f „(»-
ип№)— l-2-З...п \r 2Bn—l)' +
| »(»-!) (»-2)(»-3) 4
^ 2.4Bп— 1) Bп—3) Р ••
первые несколько из этих коэффициентов таковы:
I**—
- 315 (х
Из A4) видно, что
РпA) = 1,
= 0 ипи ^
в зависимости от того, нечетно или четно п.
Эти результаты можно получить проще, группируя коэффициенты при
hn в разложениях для
Нетрудно заметить, что знаменатели коэффициентов в многочленах
Лежандра после возможных сокращений содержат только степени числа 2;
действительно, коэффициенты в многочлене 4пРп(;х) будут обязательно
целыми *).
Таблицы Рп(р) для га от 1 до 7 были составлены под руководством
Глешера6); в них даны значения Рп([>-) с четырьмя десятичными знаками,
от (х = 0 до I* = 1 через интервалы 0,01.
г) Journ. f. reine u. angew. Math., 2 A827), 223.
2) Там же, 17 A837), 35.
*) Kugelfunktionen, I, 1878, стр. 2.
*) См. Bauer, I Journ. f. reine u. angew. Math., 56 A859), 101.
Report of British Association A879).
)
*)
s)

22 ГЛАВ II. РЕШЕНИЕ УРАВЯВНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [13,44
Четырехзначные таблицы г) Рп (cos 6) для га от 1 до 7 составлены под
руководством Перри, для значений в, выраженных в градусах, от 0 до 90?,
с интервалом в один градус.
Подробные таблицы были опубликованы2) также Мальмквистом.
§ 5. ФОРМУЛА РОДРИГА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
13. Выражение A4) для Рп (р) может быть записано в таком виде:
Р Л.\— * **" f,,2n „,,2п-2 I "(" — !) 2п-4 \( *\п\
откуда получается следующая формула:
р U)=
известная под названием формулы Родрига. Она может быть получена
непосредственно из определяющего Рп (р) равенства A0) следующим образом.
Пусть -j—= —- — ; тогда за v можно принять следующее выра-
Щх у \ — 2А(л + hs
жение:
откуда получаем
Применив теорему Лагранжа, разложим о по степеням h; получим
п-0
откуда получаем, что Рп(р) как коэффициент при hn в разложении -т-
по степеням А равняется о" I Тй"^2 — 1)п. Чтобы закончить доказательство,
нужно еще проверить сходимость и возможность почленного дифференци-
дифференцирования разложения Лагранжа.
Эта весьма важная формула A6) была найдена Родригом; она содер-
содержится в его работе «Memoire sur l'attraction des spheroides», опубликован-
опубликованной в 1816 г. в Cofrespondance de l'Ecole Roy ale Poly technique, т. HI.
Ранее приоретет в открытии этой формулы приписывался Ивори и Якоби;
последнему принадлежит второе из приведенных выше доказательств.
§ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА НА МНОЖИТЕЛИ
14. Уравнение ((х2—1)п = 0 имеет га корней, равных. 1, и га корней,
равных — 1; отсюда следует, что все корни уравнения
т. е.
*„(!») = 0,
*) Phil. Mag. E), 32 A891), 512.
!) Хельсинки, 1908.

14] § 6. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА НА МНОЖИТЕЛИ 23
действительны и лежат между —1 и 1. Мы покажем сейчас, что все эти
корни попарно различны. Дифференцируя равенство
s раз по [х, получаем
Допустим теперь, что уравнение Рп ((х) = 0 имеет два совпадающих
корня [х = а; тогда при этом значении ;х и Рп и —~ обращаются в нуль.
Из уравнения Лежандра следует, что тогда при том же самом значении
(х = а и , 2П обращается в нуль; далее, полагая s = l, 2, 3, ... , ге— 2,
получим, что
dp.3 ' dp.4 > * * * ' dpn
должны все обращаться в нуль при ;х = а. Но п" есть постоянная, от-
отличная от нуля. Таким образом, уравнение Рп([х) = О не может иметь
кратных корней. Так как Рп ((х) при четном ге представляет собой функ-
функцию от (х2, а при нечетном ге — функцию от (х2, умноженную на fi, то,
следовательнр, Рп ((х) имеет вид
1-3-5... BП—1) , , 2W 2 2\ f 2 2 ¦
при четном ге и вид
1 • 3 • 5 ... Bn— 1) , 2
1 • 2 • 3 ... n r vr
при нечетном га. Числа а1} а2, ... , рх, р2, ... все действительны и заклю-
заключены между нулем и единицей.
Рассмотрим поверхность вращения, определяемую в сферических коор-
координатах уравнением
г = о + Ы>„ (cos в);
эта поверхность пересекается со сферой г = а в тех точках, в которых
Рп (cos 6) обращается в нуль. Эти точки лежат на ге окружностях, пло-
плоскости которых перпендикулярны к оси. Сами эти окружности расположены
симметрично относительно диаметральной плоскости 6 = -^ . Если га не-
нечетно, то большой круг, по которому диаметральная плоскость пересекает
сферу, является одной из этих окружностей и с каждой стороны от этого
большого круга расположено -~ (п—1) малых кругов. Если га четно, то
с каждой стороны от этого большого круга расположено -^ малых кругов.
Эти ге окружностей, лежащие на сфере, называются узловыми линиями
функции Рп((х) .
Так как узловые линии делят сферическую поверхность на зоны, то
функции Лежандра Рп(р) называются зональными гармоническими функ-
функциями. Функции гпРп ((х) и r~n~iPn(l>i) часто называются телесными
(шаровыми) зональными функциями степени геи —ге — 1 соответственно.
В отличие от них функция Рп ((х) называется поверхностной збнйлъной
функцией степени ге.

24 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [15
§ 7. ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
15. Для функции Pn(cos6) могут быть даны различные выражения.
1. Выражая Pn(cos6) через косинусы углов, кратных б, можно пока-
показать, что
Pn(cos6) = 2 1-23;45;6-^-1
Для значений га от 1 до 7 это представление дает
P0(cos6) = l, Р2 (cos 6) = cos б, P2 (cos 6) = -^C cos 26 + 1),
p3 (cos 9) = -i E cos 36 + 3 cos 6), P4 (cos 6) = -^ C5 cos 46 + 20 cos 26 + 9),
p5 (cos 6) = -j|g- F3 cos 5 6 + 35 cos 36 + 30 cos 6),
pe (cos 6) = ~ B31 cos 6 б +126 cos 40 + 105 cos 26 + 50),
P7 (cos 6) = гщ? D29 cos 76 + 231 cos 56 +189 cos 36 + 175 cos 6).
Это разложение, найденное и Лапласом и Лежандром, можно получить,
i_
записывая A — 2h cos 0 + h2) 2 в виде
1^ i^
2 (l_/je-te) 2 =
X {1 +| he- e +
х
группируя члены, содержащие hn, получим формулу A7). Законность этой
операции вытекает из того, что каждый из написанных двух рядов абсо-
абсолютно сходится, и, следовательно, их произведение сходится к нроизведе-
нию их сумм.
Если положить z = eie = cos6 + isin6, то A7) можно, очевидно, запи-
записать в виде
Pn(cos6) =
1 • п _, , 1 • 3 - п (п— 1) _. ,
~ 2 ¦ 4 • 6 ... 2п "
или
, , _1.3-5...Bя-1) п,
^nW- 2 • 4 • 6 ... 2п Z l
1 _„• 1 „¦ ZA-
т, га, 2 -га, z J-
Z P ^2 '
~ 2 • 4 • 6 ... In Z P ^2 ' "' T "' Z /' # A' I
Так как в действительности формула A7') представляет собой просто
алгебраическое преобразование выражения Рп ((х) как многочлена от (х,
которое получается, если положить z = j* + ]/*j*2—1, то ясно, что формула
A7') остается справедливой и при (х > 1, т. е. для мнимых значений 6.
Ясно также, что эта формула верна для всех комплексных значений р,.
если га — целое положительное.
Из формулы A7) вытекает, что если 6 действительно, то Pn(cos6)
достигает своего максимума, равного 1, при 6 = 0; таким образомт Р^(CSs'

15] § 7. ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА 25
нигде не превосходит 1. Ясно также, что Pn(cbs0) всюду не меньше,
чем — 1; таким образом, если ;х заключено между — 1 и 1, то Рп (;х) также
заключено между — 1 к 1.
2. Представим теперь Рп (cos 8) в виде рядов по степеням sin у или
в
по степеням cos у; мы покажем, что
Pn(C0s9) = 1_ i^Lsin4 + (n + 2)(;3+^(n-1)sin4-- • - -
+ l, -re; 1; sin2-!) A8)
= (-l)nF(n+l, -re; 1; cos2|) . A9)
Выражения A8) и A9) можно записать как F(n-\-l, —re; 1; —%
и (— l)n.f(re-f 1, —re; 1; —^p-) ; они представляют Рп(р) при всех дей-
действительных и комплексных значениях (х; ге предполагается целым.
Чтобы получить формулу A8), запишем A —2Acos8 + A2) 2 в виде вы-
выражения
2
которое может быть разложено в сходящийся ряд, если только h таково,
что
тогда мы получим
Если в этом ряду каждую степень 1 — h заменить ее разложением
в степенной ряд, то получится ряд абсолютно сходящийся, следовательно,
его члены можно расположить любым образом, не меняя его суммы.
Группируя вместе члены с одинаковыми степенями hn мы получим
выражение A8). Это выражение можно получить также и из формулы
Родрига, а именно:
_ n 1—(л. , {n + 2){n+i)n(n — 1)({—(
— ^ 12 • 2 -1" I2 • 22 V г
что эквивалентно формуле A8). Выражение A9) может быть получено из
A8) заменой ;х на — (х, если, кроме того, учесть, что Рп (— (х) = (— 1)п Рп ((х).
Следует отметить, что каждый из этих рядов на самом деле содержит
лишь конечное число членов, будучи просто записью Рп ((х) как функции
от1 — (хиот1+(х соответственно.

26 ГЛАВА II. РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЙРЙЧ. КООРДИНАТАХ [15
3. Докажем формулу
»2t 2 9 | П*(П— 1)* .в n?(h— 1)*(П— 2)* . в ,
= cos2^(-ra, -в; 1; -tg2|). B0)
Воспользовавшись формулой Родрига, можно написать
ft ft
подставляя 2cos2-5- вместо 1 + р и 2sin2Tj- вместо 1 — ;х, получим фор-
формулу B0).
Формулы A8), A9) и B0) были даны Мэрфи1). Они имеются также
у Дирихле 2).
4. Докажем формулу
(| ) . . B1)
Имеем
если h таково, что ._ ? < 1, то можно воспользоваться разложением
Тейлора. Общий член будет иметь впд
1 • 3-5 ... B1—1) .„ A-|*У
2-4-6...2г ' A —fe(xJr+1 '
и коэффициент при Ап в этом члене равен
2г!(тг—2гI ^ »* ; ^
•откуда и следует B1). Этот вывод законен, так как ряд сходится абсолют-
абсолютно и, следовательно, его члены можно переставлять любым образом, не ме-
меняя его суммы.
Заметим, что те выражения, которые мы получили для Рп (fi) в этом
пункте, равно как и представление Рп (р) в виде многочлена от ;х, можно
рассматривать как частные случай гйпергеометрического ряда. Это связано
•с тем, что уравнение Лежандра с помощью весьма простого преобразова-
преобразования может быть сведено к частному случаю гйпергеометрического уравне-
уравнения; указанные1 различные формы можно получить как частные случаи
общих преобразований, применимых к гипергеометрическому ряду. Эту
точку зрения мы разовьем в гл. V, где мы рассмотрим общий случай,
когда п может быть любым действительным или комплексный
г) Treatise on Electricity, Cambridge, 1833.
*) Journ. f. reine u. angew. Math., 17 A837), &5
и 39.

16] 8 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАВДРА 27
§ 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА С ПОМОЩЬЮ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
16. Чтобы найти представление Рп (р) в виде определенного интегра-
я
ла, нам нужно вычислить интеграл \ д т -—, где а, о —заданные чис-
числа, действительные или комплексные. Так как в дальнейшем нам понадо-
бится значение более общего интеграла \ ?°V№<^ df, где га — целое не-
о
отрицательное число, то нам удобнее сразу вычислить этот последний.
Имеем
1 _ 2е* _ 2ei<f
a + bcos <е~Ъе2* + 2ае* + Ь Ь(а—е*)(е*—$)'
где а, [3 —корни квадратного уравнения bz2 + 2az + b = O; танам образом,
м — a — Va4 — b* „ — A + Va*—Ь* „ -
оф=1, а = -г , р = -г . В общем случае модуль одно-
одного из этих чисел больше единицы, модуль другого —меньше. Выберем
знак выражения \/а? — Ь2 так, чтобы
Тогда
-«-^-*'1>1.
Мы можем записать ——=¦ в виде выражения
a + b cos <р
которое может быть разложено в сходящийся ряд
_!__ (
и, следовательно, равняется
^ cos ? + 2р2 cos 2ср + 2Р3 cos Зср + • • •) •
к
Так как \ cos mcp cos гаер <&р == 0 при тпфп, то
в
т j р—о т т р—о »
о
о
следовательно,
Знак корня |/ a2 — Ь2 выбирается так, что
< 1. Это невозмож-
невозможЬ
но только тогда, когда действительное число, по модулю большее еди-
единицы; в этом случае | а | = | р | = 1, и написанное выше разложение стано-

28 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [17
вится расходящимся. Рассматриваемый интеграл в этом случае не имеет
смысла.
В случае т = 0 мы имеем
[ d(f = * B3}
J a + bcosy г/'а^—Ь3 '
о
знак корня \^а2 — № определяется так же, как и выше.
17. Если в формуле B3) положить а — 1 — А(х, b=^hyrp2 — 1, то по-
получим
Разложим обе части этого равенства в ряд по степеням h (h < 1); так как
ряд, получающийся в левой части, сходится равномерно по ср, то возмож-
возможно почленное интегрирование. Приравнивая затем коэффициенты при hn,
получаем равенство
=Tcos cp)« dcp, B4)
о
известное *) под названием лапласовского представления Рп (;х) в виде опре-
определенного интеграла.
Пусть теперь a = h\). — 1, 6= + А]/(х2—1, тогда
J Аи. — 1 + А у и.! — 1 cos ф —
О М oi... I J.2\2
Предположим, что h > 1, тогда обе части этого равенства можно раз-
разложить в сходящийся ряд по степеням -г и поступить так же, как и вы-
выше; приравняв коэффициенты при rjj^;, получим следующую формулу:
Формулы B4) и B5) эквивалентны друг другу; действительно, сделав
замену переменных по формуле (t* dh V^t*2 — 1 cos f) (t* "F \f^ — 1 cos ?') = 1 >
получим
^l cos cp)"dcp =
Важная формула B4) была получена Лапласом в V томе его «Небес-
«Небесной механики» A825, книга XI, гл. II). Указанный метод доказательства
принадлежит Якоби2). В мемуаре3) «О значениях, принимаемых опреде-
ленным интегралом \ ._ —_к • ПРИ произвольных мнимых значе-
г) См. Лаплас, Небесная механика, книга Х\, гл. II.
2) Journ. f. reine u. angew. Math., 26.
s) Там же, 32.

18] S 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА 29
ниях А и В", Якоби рассматривает этот более общий интеграл. Там пока-
показано, что если знак корня выбирается так, что
~У'А*-В*-С*\<\В-?С\,
то
2*
J А—
Ар
J ifcoscp— С sin<p ~ у л? Д2 Q2
исключение составляет случай
когда этот интеграл не имеет смысла, и случай
в котором этот определенный интеграл равен нулю. Мы исследуем этот
интеграл в гл. VII.
18. Другое важное представление Рп (;j.) в виде определенного интег-
интеграла может быть получено из B3). Полагая
а - Ь = 2 A - 2А(х + А2), а + Ь = 2 A - 2 V + /г2),
21 = (х + р' — ((л — [*') cos <p,
получаем
0 A —2A(a + A2JA—2Л[а'+А2J
Мы находим, что
((х' - (.) sin ср = 2
причем можно полагать, что ;х' > (j.; принимая в интеграле ? за независи-
независимое переменное, получаем
и'
4S *
Г
J A—
A
Пусть (л'~1, тогда
A —h) di
Г
J A—
A—2й? + Л2)/(! — ?)(? —
ц
Положив ? = cos ф, получаем
ecosn <i—h)cos—di>
\ и.
0 — [a)
Легко показать, что
A-А)сов-| °°
Д2
п=о
поэтому, интегрируя почленно и приравнивая коэффициепты при hn в обеих
частях получающегося при этом равенства, имеем

30 ГЛАВА II. РЕПЩВДЕ. УРАВНВДШД ЛАПЛАСА. В СфВДИЧ- КООРДИНАТАХ [18
т, е.
_ =Ц. B6)
Пусть теперь р' = — 1, тогда
Положив ?=cos<|» и воспользовавшись разложением
п-а
йолучим
« sin ( !»+-?¦ ) ф
arccos ц
Т. е.
—созф)
B7)
Формулы B6) и B7), известные под названием формул Мелера, пока-
показывают, что
соз(п+±Л<\, втСя+^ф
11 J Y2(cosф— cos6) T я J V2(cos6— созф)
заменяя в этом равенстве п на га—1, получаем
cos (п—т
V 2
у 2(cosф—cos в) Т
Прибавив половину выражения, стоящего в левой части этого равенства,
к полусумме выражений B6) и B7), получим
Ф Ф
совпфсов-^- JJ cos геф sin-i-
Лrfdi + iV Ил], (А)
rfdi + V ,
/2 (cosф—cos в) те i /2 (cos в—созф)
О 6
Аналогично получается формула
Ф Ф
в sin гаф sin-^- JJ sin лф cos-5"
/2(совф—совв) ™ J 1^2(cosв—cosф)
В
. (В)
Формулы (А) и (В) представляют собой интегральные выражения Ди-
Дирихле1) для .Pn(cos6); они были приведены к эквивалентным им ферму-
лам B6) и B7) Мелером2). Заметим, что 6 должно быть действительно
г) Journ. f. reine u. angew. Matb., 17 A837), 41.
Math. Ann., 5 A872), 141.

19] S 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГОЧЦЩНОВ ДЕЖА9ДРА 31
и заключено между 0 и тт. Приведенное доказательство этих формул при-
принадлежит Эрмитух).
Формулы (А) и (В) Дирихле получил, полагая А-=е** в разложении
выражения A — 2Лр + W) *, которое при этом имеет вид
1 + 2Рг (р.) (cos ф + i sin ф) + ... + 2Рп (у.) (cos иф + i sin п ф) + ... =
_ —. или —
4 4
e* 1^2 (cosф—COS?) e 2 1^2 (cos 6—cos ф)
в зависимости от того, будет ф меньше или больше, чем 6. Приравнивая
отдельно действительные и мнимые части выражений, стоящих справа
и слева, получаем
1 2Р()..+2Рп fa) сое я <!>+...=
ф • Ф
cos y sin y
=i ИЛИ
1^2 (cos ф—cos в) j/2(cos6— с
при 9 > ф и 6 < ф соответственно и
sin
или
Ф
cos ~
¦(/2 (cos ф—cos в) l/ 2 (cos 6—
также при 9 > ф и 9 < ф соответственно. Вычисляя коэффициенты при
cos n ф и sin и ф в разложениях этих разрывных функций по формулам
Эйлера — Фурье, получим формулы (А) и (В), принадлежащие Дирихле. Этот
способ нельзя рассматривать как доказательство; действительно, при h,
равном по модулю единице, равенство может и не иметь места, так как на
границе круга сходимости ряд не обязан сходиться; однако результат мож-
можно, проверить, найдя сумму конечного числа членов ряда и исследовав за-
затем предел этой суммы при неограниченном возрастании числа слагаемых
(см. п. 19, примеры 1 и 2).
19. Другой поучительный метод получения интегральных представле-
представлений для многочленов Лежандра основан на рассмотрении значений выра-
1
жения A —2A(a + A2) 2 для комплексных h. Предположим, что ц — произ-
произвольное фиксированное комплексное число; обозначим через а в Р Числа
р,_|_ ]/ц2_ 1 и (а — ]/(а2 — 1, где значение корня \/^—i выбирается так,
чтобвд его действительная часть имела тот же знак, что и. Re((i.). В том
исключительном случае, когда число р — чисто мнимое, дредполагаехся,
что ]/р2 —1 имеет тот же знак, что и р. Так как A —
= (h — а)~2(й_р)~2> т0 h = a и ft = p являются для этой функции точками
ветвления; следовательно, эта функция может быть представлена как одноч.
значная функция на двулистной римановой поверхности, для которой
прямолинейный отрезок, соединяющий точки аир, является линией вет-
ветвления. Предположим, что верхним листом является тот, на котором
A — 2рА + А2)~2 при h= 0 принимает значение 1 и рассмотрим на этом
листе фигуру, изображенную на черт. 1. Пусть -\—угол между линией,
ветвления и действительной осью. Так как а[5= 1, то линии Оа. и(?[5обра-.
») Journ f. reine u. angew. Math., 57 A891), 80.

32 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [19
зуют с действительной осью одинаковые углы 8. Значения величины
{(h — a) (A — p)} 2 в точках, лежащих около линии ветвления по разные
, , .-4 к*-2*) , ,ч-з о(те+21г) . , ,
стороны от нее, равны (рр ) ^ е * и (рр ) z е * , где р = | п — а | и
<s' = \h — р|. Если теперь рассмотреть точку Л, движущуюся вдоль действи-
действительной оси из начала координат к точке ветвления, то при этом, очевид-
по, Re[(l—
2] нигде не обратится в нуль. Следовательно,
Re [A — 2ph-\-hz) 2] имеет в точке О тот же знак, что и в точке действи-
действительной оси, лежащей на линии ветвления с левой стороны. Отсюда вид-
4
. ,.-4 U
но, что выражение (рр ) *ег
действительная часть которого положи-
положительна, представляет собой значе-
значение A — 2A./г + А2) на левой сто-
стороне линии ветвления.
Из разложения
которое справедливо при
применяя формулу Коши, полу-
получаем
dh
fi
2J
причем интеграл может быть
взят по любому замкнутому кон-
контуру, лежащему на верхнем листе
Черт. 1. и окружающему начало координат.
На черт. 1 такой контур изоб-
изображен в виде большой почти смыкающейся окружности радиуса R,
двух прямых, идущих от разрыва на этой окружности почти до а, двух
дуг, охватывающих точку а, двух прямых, идущих вдоль линии ветвления,
и, наконец, почти замыкающейся окружности, охватывающей точку р.
Если радиус R внешней окружности возрастает до бесконечности, то инте-
интеграл по этой окружности обращается в нуль, интегралы по лучам,
идущим от этой окружности к точке а, равны по величине и противопо-
противоположны по знаку, а интегралы по малым окружностям, охватывающим а
и р, также сколь угодно малы, так как
\ (А-о) 2dh, \ (А-Р) 2dh
стремятся к нулю, когда h — a. и у — р стремятся к нулю. Таким образом,
остаются только интегралы, взятые по обеим сторонам линии ветвления;
следовательно, имеем
dh
1 '
где интеграл берется по левой стороне линии ветвления.

19]
§ 8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
33
Пусть А = |а— |/(а2—lcos<p, где <р меняется от 0 до it, тогда
так как в случае, соответствующем черт. 1, действительная часть
Re((/|*a — 1) > 0 и, как мы показали выше, arg (I — 2h\x + А2) 2=|- —-j,
так что и Im(|/(A2 — l) > 0. Так как е?А = |/ jj.2 — 1 sin 9 е?<р, то
р /„ ч = 1
Заменив А на -г, получим
B4)
-—l/f*2— 1 cos <
№dh
откуда при А = (г
— 1 имеем
=Г1 cos<p)n
B5)
Этот метод может быть применен также для вывода формул Дирихле
и Мелера. Предположим, что jj. действительно и лежит между—1 и 1,
линия ар параллельна мнимой оси и точки а,
Р лежат на единичной окружности. Мы пока-
показали, что
р /,.ч _ J_
где интеграл берется вдоль линии ветвления,
по ее правой стоцоне. Мы можем заменить
этот путь дугой окружности, проходящей че-
через точки аир, центр которой находится в на-
начале координат (черт. 2). Полагая при этом
A = e"f и вспоминая, что действительная часть
выражения У~1 — 2А|*-+А2 должна быть отри-
отрицательной, приводим полученный интеграл к виду
е е ,
Черт. 2.
— 2 cos О
d<s. B6)
Взяв этот интеграл по дополнительной дуге единичного круга, соеди-
соединяющий точки аир, мы получили бы формулу
/>n(cos9)=-^ —
* sin n+4-
—2cos<p
Другое интегральное представление для
с помощью формулы Родрига
B7)
может быть получено
Е. В. Гобсои

34 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРЙЧ. КООРДИНАТАХ [19
Именно, применяя формулу Коши, получаем
где интеграл берется вдоль замкнутого контура, охватывающего точку (а;
интегрируя по частям п раз, получаем формулу
^^ B8)
в качестве пути интегрирования можно взять любой контур, обходящий
точку [J. в положительном направлении. Эти интегралы были изучены мето-
методами теории функций Лораном х) и Шлефли2).
ПРИМЕРЫ
1. Получить ряды B0) и B1) для Pn(cosb) из интеграла Лапласа. Имеем
те
1 Г
Рп (cos в) = — \ (cos 0 + i sin в cos <p)n d<p —
0
¦к
~ т \ [cos2n т 0+fai* * т)" С1+*"* *» т)"]d<?=
так как интегралы от косинусов углов, кратных <р> в пределах от 0 до тс равны 0.
Таким образом мы получаем формулу
Рп (cos 6) = cos«"-°. j l-n« tg'i- + П'1(Г.1«1)* tg*i- - ... | . B0>
а также
Pn (cos В) = — ^ -[cos" В + in cos" в sin в cosy— ,7" costl 9 sin2 fl cos2?+•••} df =
-...). B1)
2. Показать, что ряд
Po (cos fl) + Л (cos в) + ... + Л» (cos в) + • • •
является сходящимся при 0 < 0 < л, колеблющимся при 0 = к и расходящимся при
6 = 0.
Из формулы B4) получаем, что
2п , пч if ! — (cos 0 + J sin 6 cos <p)n ,
pr(coso)=-^ tj;; ^
r=0 0
1) Cm. Journ. de Liouville C), 1 A875), 373—398.
2) См. его брошюру «Ober die beiden Heineschen Kugelfunktionen», Bern, 1881.

20] § 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОГОЧЛЕНАМИ ЛЕЖАНДРА 35
откуда, вычисляя этот интеграл с помощью формулы B3V получаем, что n-я частич-
частичная сумма данного ряда равна
1 1 Г (cos 6 + i sin 6 cos tp)"
i~? J 1— (cos6-M sinB cos tp) т"
{A- cos6J + sin26}2 °
Чтобы вычислить второй интеграл, разделим интервал @, я) на три части @, е)
(s, я—е) и (п — е, я) и рассмотрим каждую из них отдельно. Так как
| cos в + t sin в cos <p I = (cos2 в + sin2 в cos2 tpJ < 1
и
1
11— cos в- г sin в cos tp | = {A— cos вJ + sin2 в cos2 tp}2 > 1 — cos в
для всех значений tp, то
е
(cos 8 + i sin 8 cos tp)"
У I — cos 0 — i sin в cos tp
0
,
0
<
1—cos 8 '
аналогичный результат получается и для интеграла по (л—е, я).
Для интеграла по отрезку [е, я—е] имеем
п п
|(cos6 + i8in9coptp)n|<(l — sin2 в sin2 еJ < А2,
где к имеет определеппое зпачепие < 1 для каждого данного в, если только О Ф О
и в Ф тс. Отсюда следует, что модуль этого интеграла стремится к нулю при п—> с».
Таким образом,
jt^- ? (cos 8 +1 ain fl cos tp)"
n-»oo| J 1— <?os8 — i sine cos tp
dtp
J
0
2e
1—созв '
Так как е может быть взято произвольно малым, то этот интеграл стремится к вулю
при л—*-оо.
со ^
Следовательно, при 0 < О1 < я ряд 5] /"„(созв) сходится к §-; если 6 = 0,
п=о гет-
гетто ряд расходится, а при 0 = я —колеблется.
3. Показать, что ряд
Ро (cos 0) + Л (cos в) е{* + ... + Рп (cos в) ein* + ...
сходится при всех значениях <р, если 0 < 6 < тс. Это может быть доказано незначи-
незначительным измепепием метода, использованного в примере 2.
§ 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ
ЛЕЖАНДРА И ИХ ПРОИЗВОДНЫМИ
20. Три следующих друг за другом многочлена Лежандра связаны
соотношением
¦x + (»-l)P»-i = 0. B9)
Это равенство может быть доказано различными способами.
а) Если и = A — 2Л(а + А2) 2, то
подставляя сюда вместо и его значение 2 hnPn и приравнивая нулю коэф-
коэффициент при Л"-1, получаем
пРп - 2р (л -1) Рп-1 + (л - 2) Рп_2 + Р„_, - рРп_х = 0
3*

36 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [20
ИЛИ
nPn-Bn-l)V.Pn.1 + (n-i)PnJz = 0. B9)
б) Из формулы Лапласа находим
следовательно,
или
С другой стороны,
следовательно,
¦о
или
Из формул C0) и C1) получаем
(л +1) (Ли* - цЛд) - я (р^„ - Лд-0 = 0.
— 1)-г-^= \ d<p,
-Pn+i). C1)
Если в этой формуле заменить п на п—1, то получим B9).
Формула B9) может быть использована для вычисления многочле-
многочленов Рп; начиная с /H = 1, Pi — p и последовательно полагая я = 2, 3, 4, ...,
можно найти все эти многочлены. Установленное соотношение показывает,
что функции Рп, Л»-и Рп-2> • ¦ • обладают теми же самыми свойствами,
что и функции Штурма. Никакие две следующие друг за другом из этих
функций не обращаются в нуль при одном и том же значении (а, и если
¦одна из них обращается в нуль, то предшествующая и последующая функ-
функции имеют в этой точке различные знаки. С помощью тех же самых сооб-
соображений, что и в теореме Штурма, мы получаем, что между двумя сосед
ними корнями уравнения /)„_1 = 0 лежит один, и только один, корень
уравнения Рп = 0-
Из равенства C0) в силу уравнения Лежандра имеем
«ледовательдо,

20] § 9V СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОГОЧЛЕНАМИ ЛВЖАНДРА 37
Аналогично, из C1) находим
(Я + 1)Ря--^+^8. C3)
Складывая C2) и C3), получаем
= *Зр1_^. C4)
Таким образом, исключая Рп из C2) и C3), мы получаем соотноше-
соотношение
/^ d^ d^. C5)
Аналогично, исключая Рп из C0) и C1), получаем
^ Pn_1). C6)
Эти соотношения могут быть также получены с помощью дифферен-
дифференцирования по [х равенства
и =A-2/^+ /**)"*=* ?/*»/>„;
при этом мы получаем
Продифференцировав это же равенство по А, получаем
((, _ h) A _ 2/^ + A*f 2 = ^
откуда
Сравнивая здесь коэффициенты при /г"-1, получаем соотношение C2).
Отсюда же находим
A - Ар) 2 А»-1 ^? - А 2 «А"-^п= A - 2Ар + *•)-*= 2 АПр»«
Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при А", получим фор-
формулу C3).
ПРИМЕРЫ
1. Доказать, что если л четно, то
а если л нечетно, то
2. Доказать, что если л четно, то
ёР„
-дЛ = Bп-1) iV, + Bп- 5) Рп_, + Bп- 9) Рп_5 + ... + 1Ра + ЗР,,

38 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ {20
а если л нечетно» то
^» = Bп — 1) Р„_, + Bп— 5) Р„_& + О— 9)
3. Доказать, что если ге четно, то
dPn Г2ге—1 dPn-i n 2ге—5 dPn_s n(n—2) 2ге—9
ф •*-^ ге_1 ф. ге_1 ге_3 ф ^(ге_1)(ге_3) ге—5
„ №
(ге—1)(ге—3) ... 3
2n-9 rfPn.6
(ге_1) rf[x +(ге_2)(ге_з) ф +(„_4)(ге_5) ф +"-^2.1 ф/ '
а если ге нечетно, то
dPn_ f2n-l (fPn.in 2n-5 rfPn.» , , .J1^ n(n-2)...5 5
n(n-2)...5 5 rfP2 }
—l)(re—3)...4 2 ф j "*"
n— 1 ф n—1 re—3 ф ~^---~^ ^ (л
i / л\"Т~ 3 • 5 ... re
+ (-1} 2.4...(re-
в-1 dPn-, 2re-5
(ге_2)(л_3) ф +
2д-9
+ (n—4)(re—5) ф. +"-
4. Доказать, что
~5> Bre~7>- • -Bn~ ^-Ц] Bre-2m-7) Pn-m-«+ ¦¦•.
ряд обрывается на Ро или на Plf в зависимости от того, будет re—m четно или нечетно.
5. Доказать, что если ге четно, то
а если ге нечетно, то
+ 11(ге-5)(ге+6)Р6+...+Bге-3)Dге-2)Я„.а}.
6. Доказать, что
и вывести отсюда, что
Bге + 3) ^
0
71). Доказать, что
5
е ту ту ту ту ту ту л
¦ о I "п-1 "п ¦ "n-2 "n-S i i. "l "о I
+ \Bn—l)Bn—3)"f'Bre— 3) Bft— б)"'"" 3 ¦ 1 J '
J) Примеры 1—5 заимствованы из книги: Ф. Нейман, Beitrage zur Theorie der
Kugelfunktionen, Leipzig, 1878. Примеры 7—9 принадлежат Харгревсу [Hargreaves,
Proc. Lond Math. Soc. B), 24 A897), 115].

21] § 10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
и найти значение интеграла
8. Доказать, что
^ { A -(.*) РпРп} + П (П + 1) Pi = A -(.*) (Р>п? .
9. Доказать, что если в качестве пределов интегрирования взяты любые из чисел
О, 1, —1 или любые из нулей многочленов Рп (ц.)|, Р'п{\>-), то
§ 10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
21. Весьма важным свойством функций Рп (р) является то, что если ее
умножить на одну из степеней 1, (а, (а2, ... , |*n-1 и проинтегрировать это
произведение в пределах от —1 до 1, то результат будет равен нулю:
1
к О, й = 0,1,2, ...,„_!. C7)
Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся формулой Родрига для
/*„((!.); мы получим
интегрируя к раз по частям и.замечая, что все производные от (ца — 1)"
порядков, меньших, чем п, обращаются в нуль лри |*=±1, находим, что,
последний интеграл равен
1
2пп\
-1
а{^это выражение равно нулю.
Обратно можно показать, что всякий многочлен / (ц) степени и, удо-
удовлетворяющий условиям
при к —0, 1, 2, ..., п — 1, имеет вид АРп(\>.), где А—постоянное число.
Действительно, интегрируя по частям, получим
1
-i
где
i
По условию \ |*ft/((*) d|* = 0 при fc = 0, 1, 2, ..., и — 1, поэтому отсюда

40^ ГЛАВА II, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАРА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [22, 2»
видно, что Д A) = /г A) = • • • = /п A) = 0> следовательно, функция
и все ее производные до (га — 1)-го порядка включительно обращаются
в нуль при р=1 и при р=—1. Так как /п(р)—многочлен степени 2га
от р, то отсюда следует, что /„(р) имеет вид Ji(p + l)n(p—1)", т. е. /(р)
имеет вид Л-т-^(р2— 1)". Наше утверждение доказано. Это доказательство
принадлежит Мэрфи1).
22. Если га' < га, т. е', РП' (р) представляет собой сумму степеней р
с Показателями, меньшими га, то из формулы C.7) следует, что
1
-1
Эта формула, справедливая для любых неравных значений га ига',
играет фундаментальную роль во всей теории многочленов Лежандра,
аналогичную той, которую соотношение
те
Г sin /o sin о 7« г\
\ га 6 ra6d9 = O
J cos cos
—те
играет в теории рядов Фурье.
Вычислим теперь интеграл от {/*п(р)}2. Мы имеем
-1 -1
интегрируя выражение, стоящее справа, га раз по частям, получим
1 1
-1 -1
т. е.
1
\ {/)n(p)}adp = 5~—• C9)
-1
23. Соотношения, полученные в п. 22, представляют собой частные
случаи общей теоремы, вытекающие из тех дифференциальных уравнений,
которым удовлетворяют рассматриваемые функции. Пусть ип и к„—две
произвольные функции, удовлетворяющие уравнению Лежандра и имеющие
порядки га и га' соответственно; тогда
J) Electricity, 1883.

33] § 10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА 41
умножая первое уравнение на пп<, второе—на и„ и вычитая, получаем
Проинтегрировав обе части полученного равенства, в пределах от
до |А2, имеем
и-а и-а
Ц2
следовательно, значение интеграла \.ипи„-й(* выражается формулой
С„а_1
\ч
Заметим, что . эта формула носит совершенно общий характер: п
и п' могут быть дробными, или даже любыми комплексными числами,
а ип и Ип1—любыми решениями соответствующих дифференциальных урав-
уравнений, конечными на отрезке [ji,, [i2]-
В частности1), пусть (*i = (*, (*2 = 1» ип =/»„((*), ип. = />„.((*), тогда полу-
полученная нами формула D0) дает
Cl—**«>
~~ (n — n'
причем последнее выражение получается с помощью формулы C0).
Если мы положим (*= —1 и будем считать, что п и и'—целые дей-
действительные числа, то мы снова получим формулу
= 0 при пФп'. C8)
-1
Положим теперь ц = 0; тогда, так как Рп@) равно нулю при нечет-
нечетном п и равно
(-1)
2Чт)'(т>
при четном и, а Г —-^^ ) п равно нулю при четном п и равно
(-1)
Уи-0
п!
2n-l^^i И (=__!!,
1) См. "W i U о n. Messenger ot Math., 46 A916V 96.

42 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ B4
при нечетном и, то
1
Рп (ja) />„- (р.) d\x = 0 при и =? и,
«огда числа и и и' оба четны или нечетны, и
1
2»
;огда п четно, а п нечетно.
Иным методом этот результат был получен Релеемх).
Другой способ доказательства главнейших формул в его основных
•чертах принадлежит Ложандру2).
Нетрудно показать, что при h < 1, h' < 1
{
J /1—2
Разлагая правую и левую части этого равенства по степеням А и А'
я сравнивая коэффициенты при hnh'n', получаем формулу C8), а сравнивая
коэффициенты при hnh'n, — формулу C9). Законность этого спороба легко
•обосновать.
1
24. Интеграл \ pkPn (p) dp нетрудно вычислить при любом значении к,
о
при котором интеграл сходится, а именно, когда к > — 1, если п четно,
и к > — 2, если и нечетно.
Записав Рп (р) в виде
•получаем
1
о
правая часть этого равенства может быть приведена к виду
(k+n + l) (k + n-i) (к.+ п—Щ ... '
где / (к) — многочлен от к степени у или —^—, в зависимости от того,
•будет п четным или нечетным. Мы знаем, что / (к) обращается в нуль при
к — п~2, и —4, и —6, ...,
поэтому, так как коэффициент при высшей степени к равен а + Р + Т+ =
= />пA) = 1, то
. *(*-2)(*-4) ¦¦¦(*-«+ 2)
1) Phil. Trans., 160 A870), 569. ,
2) См. также: Sylvester, Note on Spherical Harmonics. Phil. Mag. A876).

35] § 11. РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА 43
если п четно, и
ftp /,.w,L... (*-l)(*-3)...(*-n+2)
если п нечетно. Обе эти формулы можно объединить в следующем виде:
§ 11. РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА
25. Формула
1
^/>„ ((О Рп-((О Ф = 0 при и^и'
-I
выражает тот факт, что многочлены Р0(р), Pi(\>-), ••• Рп(р)> ••• пред-
представляют собой последовательность функций, ортогональных в интервале
Таким образом, эти функции подпадают под общее определение, глася-
гласящее, что функции
h{x), /,(*), ..., fn{x), ...
образуют ортогональную пбследовательность в интервале- (а, Ь), если
\ /п (ж) /n' (x) dx = 0 для любых двух неравных значений п и и'. Отсюда
а
следует, что ни одна из этих функций но может быть представлена как линей-
линейная комбинация, с постоянными коэффициентами, остальных функций данной
ь
последовательности. Если эти 'функции выбраны так, что \ /n (x) dx = 1
а
для всех п, то данная ортогональная система называется нормированной.
Эта система называется полной ортогональной системой, если не суще-
существует никакой ненулевой суммируемой функции ср (х), такой, что
ь
для всех п.
Мы покажем, что многочлены Ро(\>-), Pi(p), ¦¦-, ^„G0> •¦• образуют
на интервале (— 1, 1) полную ортогональную систему функций.
Если 9 GO ~ некоторая суммируемая на интервале (— 1, 1) функция,
ортогональная всем Рп(\>.), то из равенства B9), умножая его на f([J.)
и интегрируя, получаем
1 1 1
л \ Рп (ji.) cp (ja) rfjj,—Bи—1) \ [i./'n-i ((*) ? (@ ф + (в — 1) \ /'п-г G1)
Л А А
Отсюда следует, что
1
5

44 ГЛАВА II. РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СфЕрИЧ. КООРДИНАТАХ [2&
т. е.
1
= 0 при и = 0, 1, 2, ...
Если вместо ср (ja) взять |лЛр(|А), где к > 0, то получим
1 1
-1 -1
1
+ (п - 1) \ |ЛРП_2 (р)9(р) ф = О.
1
Если теперь ^ ркРп (?) 9 (?) <fy = О для некоторого фиксированного А и для
-1
всех значений п, то отсюда вытекает, что
„! (I) р (i) | == 0
-I
и, следовательно,
1
$
для всех и при фиксированном к. Мы доказали, что это равенство справед-
справедливо для всех целых положительных к. Отсюда получаем, что
-1 -1
так как здесь ряд сходится равномерно в интервале (— 1, 1) и, следовательно,
его можно, умножив на суммируемую функцию ср (;а) Рп (;а), проинтегрировать
почленно. Аналогично доказывается, что
1 (р) Р-п (V1) s^n № dp — 0.
Следовательно, все коэффициенты Фурье функции 9 ( — ) Рп(~) > опРе"
деленной на интервале (— и, чс), равны нулю. В силу известного свойства
полноты системы тригонометрических функцийг) отсюда следует, что функ-
функция тГ — J Pn( — j равна нулю почти всюду на интервале (— тс, тс). Отсюда
вытекает, что функция ср (;а) равна нулю на интервале ( — 1, 1) почти всюду,
т. е. последовательность {Рп (ja)} полна. Из формулы C9) видно, что полную
систему нормированных ортогональных функций образуют функции
г) См. Hobs on, Theory ojf functions of a real variable, т. II, 1926, стр. 55S.
[См. также В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, М.—Л., 1952, гл. VI, § 2
{Прим. ред.)]

30, 27] §11. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА 45
26. Пусть <pi(a;), ч?г{х) 9п(х)> •••—последовательность линейно
независимых функций, определенных и суммируемых в квадрате на интервале
(а, Ь). Тогда можно построить такую последовательность функций {/„(ж)},
что каждая fn (х) представляет собой линейную комбинацию функций
<Pi(i), ?2W. •¦•> ?п(ж) из Данной системы {срп (х)} и система {/„(ж)} —
нормирована и ортогональна на интервале (а, Ъ).
Такая последовательность определяется формулами
/г \х) —
Ь
(*) —/l(«) $
ь«^т
{ J [ft (*)-/i (*) J «Pa (x) /x (x) dxf dx) 2
я вообще
ь ь
/2 (х) dx—...
а а
) J «?»(*)/n-l
а а а
Обратно функции срп (ж) могут быть представлены как линейные ком-
комбинации функций
h(x), /2(ж), ..., fn(x).
Положив, в частности, ж = |а, а= —1, 6=1и взяв за исходную систему
линейно независимых функций {<р„ (ja)} последовательность i, ;а, ;а2, ..., ja", ...
мы получим
L ±
Таким образом, многочлены Лезкандра могут быть получены с помощью
указанной конструкции, если ее применить к последовательности 1, р, ji2, ...
§ 12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА
27. Если предположить, что ряд
а0Р0 (f.) + о,Л fa) + ... + апРп (р) + • • •
на интервале (— 1, 1) равномерно сходится к некоторой функции /(j)
то мы можем умножить этот ряд на Рп(р) и почленно проинтегрировать
В результате получим \ f(p.) Рп(р) dp. Воспользовавшись фундаментал>-
-1
ными равенствами C8) и C9), мы получим
1 1
-I -1

46 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [2S
Таким образом, ряд
1 1
Л (р
-1
на интервале (— 1, 1) равномерно сходится к функции /(ja).
Если / (ja) — некоторая функция от ja, суммируемая на интервале ( — 1, 1),
то ряд
оо 1
2 1 B» +1) Рп (V)
называется рядом Лежандра, соответствующим функции /(ja). Нельзя ука-
указать каких-либо общих условий, обеспечивающих .сходимость рассматривае-
рассматриваемого ряда; выше было предположено, что этот ряд равномерно сходится
к /(ja). Это, однако, влечет за собой довольно жесткие ограничения на-
функцию / (ja) ; при этом условие непрерывности является необходимым,
но не достаточным. Тем не менее, коэффициенты соответствующего ряда
имеют вполне определенные значения, независимо от того, как функция / (ja)
определена, лишь бы она была суммируема на интервале (—1, 1). Как
и в случае обычного ряда Фурье, можно показать, что ряд Лежапдра
обладает определенными свойствами, независимо от того, сходится он или
нет. Далее, достаточные условия могут быть получены как для сходимости
ряда в заданной точке интервала (—1, 1), так и для его сходимости
во всех точках заданного меньшего интервала. Таким образом, теория этих
рядов близка к теории рядов Фурье по тригонометрическим функциям.
Общая теория сходимости и суммируемости рядов Лежандра будет дана
в гл. VII; эта теория играет важную роль в применениях многочленов-
Лежандра к задачам теории потенциала.
28. В случае / (;а) = |Aft, где к — целое положительное число, легко
видеть, что / (ja) может быть представлена как конечная линейная комби-
комбинация многочленов Лежандра. Действительно, из приведенного в п. 8
выражения для Pk (;а) видно, что |Aft можно записать как линейную комби-
комбинацию функций
¦*Jt \г)' г > г » • • «i
следовательно ;j.ft-2 можно записать как линейную комбинацию Pk-2, V-h~ir
|Aft-6, ... И Т. Д.
Поступая-' аналогично дальше и замечая, что ja2 можно представить
как линейную комбинацию функций Р2 Ы и- .Ро(|а) и что {* == .f x (ja), мы
видим, что
jAft = akPk (ja) -f aft_2^ft-2 (|a) + • • -,
где последпее слагаемое кратно Рг (ja) или Ро(\>-), в зависимости от того,
является к нечетным или четным.
Для нахождения ат воспользуемся равенством
1
из которого следует, что аг = 0, г > & или если к —г печетно.

§12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД HQ. МНОГОЧЛЕНАМ ЛВЖАНДРА 4TS
Если к— г четно, то, согласно D1),
о
Таким образом, мы доказали, что
B* - 7) <2*+21>Р*-1) J>fc_,fr)+ ...}. D3>
Это выражение было получено Лежандром г) сперва для к четных, а затем
для всех целых значений к.
л о
Формула D3) была получена иным путем Кели2). Если h + -j-=— t
" h
то ——-— j- = j-, где предполагается, что h < 1, h < 1.
Так как
1 ? 1.3-5 ..BА-1) u-rh
2 • 4 ... 2
(l--2,u
где
то формула D3) может быть получена разложением коэффициентов при Ph (ja)
в ряды по степеням h и сравиением коэффициентов при hh в двух получен-
полученных рядах.
Если к равно четному числу 2и, то формула D3), написанная в об-
обратном порядке, имеет вид
B1. + 1) ^ - 1.Р.Ы + 5 ^ Р W + 9 2;BV
а в случае нечетного ft, равного 2и + 1, получаем
Для первых нескольких степеней ja получаются следующие формулы:
J) Memoires des savants ctrangers A785).
2) Cambridge and Dublin Joum., 3 A848), 120.

48 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [29
Если / (ja) — с0 + Cjjj. + с2[А2 -f- ... + cn jj.n + ... и если вместо каждой
степени ja мы подставим ее выражение через многочлены Лежандра, то мы
получим для / (ja) выражение
«где
и 1-2-3.. .ft
3-5...Bft—1) 1С" + 2B/c + 3) Cft+3i"
(ft+l)(ft + 2)(ft + 3)(ft + 4)
Если ряд с0 + Cj [a + c2 [A2 + • .. бесконечен, то полученный результат пока
является чисто формальным и должен быть дополнен теми или иными
условиями сходимости.
29. Докажем следующее утверждениег). Если тип целые, то при
тга > п и т + п нечетном
Рп (cos0) sinm6 db = 2("-»+*) ("-» + 3).. .(m + »-l) 4
nV ' (m—ra) (m—n-f2).. .(m +ra) v '
В других случаях этот интеграл равен нулю.
Так как sinт 8 равен sin8f умноженному на многочлен степени т — 1
¦от cos 8, то этот интеграл может быть представлен как сумма некоторого
-числа слагаемых вида \ /*„ (p.) p.rcfp., где г<ти—1. Из C7) следует, что
такой интеграл равен нулю в случае ти<и; таким образом, остается рас-
рассмотреть случай т > п.
Подставляя вместо /^(cosS) его выражение A7), представляющее
«обой линейную комбинацию косинусов дуг, кратных 8, получаем
: я
Рп (cos 0) sin тв dd = 2 К \ cos (п — 2г) ° sin тд de-
6 о
где
__1 • 3- 5... Bга —1) 1-3- 5...Bг— 1)л(л— 1)... (л—r-i-i)
г~ 2-4-6...2га ' 1 • 2...гBл—1)...Bл —2г,+ 1)
п п л—1
и г принимает значения от U до тр или , в зависимости от того, четно
и или нечетно. Таким образом, рассматриваемый интеграл равен
1—cos(m + n)rc . 1 — cos (m—л)
m + л—2r ' m—n+2r
это выражение равно нулю, когда т ± и четно. Поэтому предположим,
г) Hei?e, Kugelfunktionen, т. I, 1878, стр. 89.

30] § 12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА 49
что т-\-п нечетно. Суммируя по г, получим
<.-\-n -<2r m — n-\-2r
Эта сумма может быть преобразована в дробь, представляющую собой
рациональную функцию от яг, знаменатель которой равен
(яг + /г) (яг — п) (т + п — 2) (яг — п -j- 2). ..
Если п нечетно, то числитель обращается в нуль при яг = ± 2, ± 4, ...
¦ ¦¦>-"t (п — 1), а если п четно, то он обращается в нуль также при яг = 0.
Так как степень числителя меньше степени знаменателя,' то ни при каких
других значениях яг числитель в нуль не обращается. Следовательно, зна-
чепие интересующего нас определенного интеграла может быть записано
в виде
, (т — га + 1) (т — п + 3).. .(т + п- 1)
(т — п) (т — п -\- 2)... (т -\- п) '
где X не зависит от яг.
Так как
яг sin ягб Рп (cos б) dO = [ — cos ягб Рп (cos б)]" + ^ Рп (cos б) cos ягб dS
о в
и, в силу хорошо известной теоремы, принадлежащей Лебегу,
lim [ Рп (cos б) cos ягб dO = О,
то
lini \ m sin ягб Рп (cos б) dO = 2,
следовательно, Х = 2. Наше утверждение доказано.
Из этой теоремы с помощью разложения в ряд Фурье по синусам
получаем следующее разложение, принадлежащее Гейне:
где 0< 0 < тт.
Сходимость этого ряда следует из того факта, что производная
-jsPn(c,os0) существует и конечна.
30. Можно получить следующие разложения по многочленам Лагран-
жа для sin /гб и cos nO:
4 • l.t''p"-?)sin »» = Bя-1) Р,-г («о» 8) + B» + 3) %§%
где 0 < 9 < тг;
2- ^г5:'
4 Е. В. Гобсон

50 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [30
Чтобы получить первую из этих формул, воспользуемся равенствами
¦п.
sin ив = ^ Рт (cos 6) *m±± С рт (cos в) sin ив sin в db
Рт (cos в) sin nO sin в dd =
•К 1С
= Т \ Лп (cos 6) cos (n — !) Qdd-j \ Pm(cosd)cos(n + l)ddd.
о о
Теперь из A7), принимая во внимание формулы для коэффициентов Фурье
функция Pn(cos6), получаем, что интеграл
•к
\ Pn (cos 6) cos иб dd
равен нулю, за исключением тех случаев, когда г = n — 2s, где
, 1, 2, 3 -j или -2~;
в этих случаях рассматриваемый интеграл равенг)
как это видно после упрощения коэффициентов ряда.
Заменив инатии г на и — 1 или и +1, получаем значения двух
интересующих нас интегралов
¦К "К
\ Рт (cos в) cos (и — 1) в dd, ^ Рт (cos в) cos (и + 1) в dd,
о о
а следовательно, и интеграла
Рт (cos в) sin иб sin 0 dd.
о
Таким образом мы получаем ряд для sin пб.
Чтобы получить соответствующее выражение вида
а0Р0 (cos 6) + fli Pi (cos 0) + ... + ar Pr (cos 6) 4 ...
для cos nO, находим коэффициенты аг из равенства
•к
PT (cos 0) со гаО sin в dd = ^ аг;
о
x) Здесь функция П (т) есть эйлеров интеграл второго рода от т +1 и связана
с функцией 1" соотношением
=С er*xmdx
(Прим. ред.)

30] § 12 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЛЕЖАНДРА 51
получаем
те и
ar = -^ti Г ^ Pr (cos0) sin (и+ 1H d0— \ Pn(cos 0) sin (n — 1) 6 del .
"о о
Вычисляя значения входящих сюда интегралов, получаем указанное
выше представление для cos/i9.
ПРИМЕРЫ
1. Доказать *), что
С РгпМ л...... 2 (-*)"
A + *) "
где —1 < Л < 1.
Разлагая A+fyi2) 2 в степенной ряд и замечая, что этот ряд равномерно
сходится в интервале (—ц, у.), в силу чего его можно почленно интегрировать, по-
получаем, что интеграл, стоящий слева, равен
г-0 -1
Те слагаемые, для которых г < п, равны нулю, следовательно, это выражение можно
переписать в виде
s-0 —1
Но, согласно D1),
1'
1
-1
поэтому рассматриваемое выражение приводится к виду
2 ( fr\n L i С „ I. * Л / ч I. V 2 J у 2 у
т. е.
2 (-*)»
2. Проверить следующие разложения, установленные Бауэром2):
;~
') Legendre, Memoires presentees par les savans etrangers, X, 1785.
z) Journ. f. reine u. angew. Math., 56 A859), 113.

52 ГЛАВА 1Г. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ fHI
где п—целое положительное число;
Условия сходимости этих бесконечных рядов к соответствующим функциям, ука-
указанные в гл. VII, можно считать выполненными.
§ 13. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА
31. Перейдем теперь к детальному изучению второго частного реше-
решения уравнения Лежандра. Если считать, что частное решение Рп(р)
известно, то можно воспользоваться общими правилами нахождения общего
решения линейного уравнения второго порядка.
В уравнении D) положим и = Рп ([*) • w; тогда для определения го
получим следующее уравнение:
которое может быть записано в виде
<?w dPn fti)
dw +*?пМ 1-(*2 ~
Из этого уравнения получаем
dw A
где А — произвольная постоянная; таким образом,
^W1
нижний предел в этом интеграле —любое постоянное число. Итак, общее
решение уравнения Лапласа имеет вид
^J D9)
где А, А'—произвольные постоянные, а нижний предел интеграла — любое
фиксированное число.
Выражение
1
будучи рациональной дробью, может быть записано в виде
п
«о |_ Ьр г у
r=i

32] & 1 3. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА 53
где alt ait ..., <хп— корни уравнения Рп ((а) = 0.
Умножая это выражение на A — (а2) Р^ ([а) и полагая сперва (а = 1,
а потом (а=—1, мы получаем, что ао = у, Ьо = -^-', покажем, что сг = 0.
Непосредственно видно, что
с^= d Г (ц-.г)«
т. е.
где Рп ((а) = ((а — <xr) L ((а) . Выполняя дифференцирование и подставляя
jA = <xr, получаем
_2{arL(ar)-(l-a;)?'(gr)}
A-а»)?»(а,.)
Подставляя в уравнение Лежандра ((а — ar)L(u.) вместо Рп ((а) и пола-
полагая затем (а = аг, сразу получаем, что A — a;!) L' (аг) — ат L (аг) = 0, следова-
следовательно, сг = 0.
Выражение
J (l_^)i»«0i)
имеет вид
1 , 1+(А V ^Г ,
-,-ш-:—-— >, —-—\- постоянная;
следовательно, общее решение уравнения Лежандра имеет вид
Если (а действительно и заключено между —1 и 1, то это выражение
содержит только действительные величины; если (а действительно и боль-
больше единицы, то решение удобнее записать в форме
которая получается из указанной выше просто прибавлением величины
— A In (— 1) Рп ([а) .
Выражение
предстваляет собой рациональную функцию степени п — 1, мы обозначим
ее Wn_1(\>.); таким образом,
или
И^ ((а)] E0)
есть общее решение уравнения Лежандра.
32. Если (а произвольное комплексное число или действительное, но
не лежащее между — 1 и 1, то функции Лежандра второго ряда и целой
положительной степени п определяются формулой

54 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [33
причем
где
A + 1 = ре4?, A — 1 = pV?1;
здесь р и р' действительны, а ср и ср' заключены между —тс и х. Если
исключить действительную полуось от — оо до 1, то в оставшейся области
Quip) представляет собой однозначную функцию от (i. Мы можем пред-
предполагать, что разрез сделан вдоль действительной оси от точки — 1 до
точки 1.
Если (i лежит па верхнем берегу этого разреза, то ср = О, ср' = тс;
положим (i = cos 8 + i ¦ О, тогда
|^_^| _W^ (cosG).
Аналогично,
Qn(cosB-i .0) = ^
Здесь Qn (cos 0 + i • 0) означает lim^n(cos0-(-ie), a (?n(cos0 — i ¦ 0)
e->0
означает lim Qn (cos 0 — ie).
e->0
Значения (?„((!) при
fi + 1 =ei
и при
—1 =ei7t |(i —
одинаковы.
Если (i — действительное число, заключенное между — 1 и 1, тан что
(i = cosO, где 0 — действительный угол, то (?n((i) определяется формулой
Qn (V) = \К Ы In ?j - W^ (Р) E2)
и, следовательно, принимает действительные значения.
Функция Qn (p.) непрерывна во всей плоскости (i, из которой исключен
отрезок [ — 1, 1] действительной оси. Вдоль пути, пересекающего этот
отрезок, Qn (fi) при переходе из верхней полуплоскости в нижнюю претер-
претерпевает скачок, равный ii:Pn(cos6). В точках 1 и —1 функция Qn ((i) имеет
логарифмические особенности.
Мы показали, таким образом, что при (i = cos0, согласно формулам E1)
и E2),
Q(±i0) Q(L:
Следовательно,
Qn (cos 0) = \ {Qn (cos 0 + i ¦ 0) + Qn (cos 0 - i ¦ 0)}. E3)
Ясно, что определенная таким образом функция Qn (cos 0) удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению A) при всех действительных значе-
значениях 0.
Мы показали также, что
Qn (cos 0 + i ¦ 0) - Qn (cos 0 - i ¦ 0) = - mPn (cos 0). E4)
33. Мы показали [п. 7, формула (9)], что при |(i|>l второе решение
уравнения Лежандра, отличное от Рп (fi) и стремящееся к нулю при
| |х j —>-оо, имеет вид

33] § 13. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА 55
Г 1 , (п + 1)(л + 2) 1 _^ V
j^nti-T 2Bn + 3) p.rn-3-T ••• / •
Так как выражение E1) не содержит |хп, то оно должно совпадать
с (9), а следовательно, в E1) должны пропадать все члены, содержащие |х
в положительных степенях, т. е. должно быть
1-3-5...Bл-1) f t , n-sfl n(n
- 1.2-3...га К ^Г ^3 2Bл
л(л-1) ¦ га,(л-1)(л-2)(л-З
2Bл-1,)~ 2-4Bл-1)Bл-3)
Проверим теперь, что при соответствующем выборе значения J3 оба
выражения для Qn(p) согласуются друг с другом.
В выражении E1) для (?„((*) коэффициент при п+2Вг1 равен
1-3- 5... Bга—1) f 1 ra(ra-l) I ,
l-2-З...п \2rt + 2s-+l 2 • Bл —1) ' 2/j + 2s—I"
1)(в-2)(л
Bл—1) • Bл —3)
и(л-1)(в-2)(л-3) 1 1
' 2s-3 •••/'
что в свою очередь равно
1
\
т. е.
о
Интегрируя п раз по частям, получим отсюда, считая s положитель-
положительным, выражение
1
здесь
Если s отрицательно, так что 0</i + 2s</i, то, проинтегрировав по
2 й
частям /i + 2s раз, получаем, что рассматриваемый интеграл равен нулю.
Следовательно, коэффициент при nt3atl равен
(ra + 2s)l Bs — l)Bs—3) ... 1
Bs)l Bra + 2s + l)Bra + 2s—1) ... 1 '
т. е.
i-2-Ъ...п (ra + l)(ra-4-2) ... (n + 2s)
3 • 5 ... Bл + 1) ' 2 • 4 ... 2s • Bл + 3) Bл + 5) ... Bл + 2s + 1) "
Таким образом,
1-2-3-.¦» Г * | (n+l)(n + 2) I 1

56 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [34
Для того чтобы полученные! в п. 8 ряды приводили к тому же результату,
что и данное в этом пункте определение функции Qn(p), постоянную р(п.8)
следует положить равной
1 ¦ 2 ¦ 3 ... п
3 • 5 ... Bп +1) '
34. Найденное Кристоффелем г) выражение для VFn_x в виде ряда по
многочленам Лежандра может быть получено следующим образом. Под-
Подставив выражение
в уравпепие Лежапдра, заметим, что Wn_t удовлетворяет следующему диф-
дифференциальному уравнению:
В п. 20 (пример 2) мы получили как следствие из C4), что
поэтому, если предположить, что VFn_x записывается в виде выражения
Wft_i = а1Р„_1 (рь) + а3Рп..3 (p.) +
представляющего собой многочлен степени п — 1 от fj. и, следовательно,
имеющего требуемую форму, то, подставляя его в написанное выше диф-
дифференциальное уравнение, получаем
= 2 [Bn-l)Pft-i (p.)+ Bn-5) Pn-з (!*) + ¦••]•
Отсюда, приравнивая коэффициенты при каждом из Pk (fi) в обеих частях
равенства, получаем, что
_2л—1 _ 2я~5 _ 2я — 9
и, таким образом, приходим к формуле Кристоффеля
В п. 43 будет показано, что VFn_j (fi) может быть записано также в виде
-г ^Г
Каждое из этих выражений эквивалентно, разумеется, выражению
pn (t*) 2 jdrs; > ДаныомУ в п- 31-
Другое выражение для VFn_! ((а), которое может быть использовано для
представления функции Бесселя Уо (р) второго рода в виде предела
Qn(cos— j при п—»оо, получается следующим образом.
Journ. f. reine и. angew. Math., 55 A858), 61—82.

34] § 13. ФУНКЦИИ ЛЕЗВАНДРА ВТОРОГО РОДА 57
Сделаем в дифференциальном уравнении, которому удовлетворяет W^, ((a),
замену переменного, положив v = y(^~ ^)» т0ГДа> воспользовавшись для
Рп (fi) выражением A8), мы можем привести это дифференциальное урав-
уравнение к виду
n (я + 2)(я+1)я(я-1)
(я + 3)(я+2)(я+1)я(я —1)(я-2) о 2 , 1
i - 12 . 22 . З2 ' "Г • • • J •
Положим
тогда, подставляя это выражение в полученное дифференциальное уравнение
и приравнивая нулю коэффициенты при каждой из степеней v, получаем
п (ге -\-1) Ло Лх =¦ -р ,
Отсюда
т. е.
Далее получаем
оч, (
— л) л2 — 12. 22. 32
т. е.
^з 12 . 22 . 3
и т. д. Так как Ап = 0, то
таким образом, мы приходим к следующему выражению:
1FT22
12Т22Т32

58 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ, ^ОСРДИНАТАХ [35
где
§ 14. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ <?„ (ц)
35. Формулы для Qn ((а), аналогичные формуле Родрига для Рп ([а) (п. 13),
могут быть найдены при fj. > 1.
Если проинтегрировать выражение
-п-1_ 1 | га+1 1 , (»+!)(«+2) 1
„2ГИ-2 "Г ^| „2П*4 Г 21 „2п+в~Г ¦ ¦ •
„2ГИ-2 Г ^| „2П*4 Г 21 „2
п ¦+• 1 раз в пределах от fi до оо, то получим
ОО 00 СО
"i ' 2Bn+3)
следовательно,
1 , (n+l)(n+2)(n + 3)j,n + i) I 1
.п + з "Г 2 • 4Bn+3)Bn + 5) ц"*"8 "*" " ' " J '
ОО ОО 00
00 00 ОО
где \ \ ... \ означает (п -|- 1)-кратпый интеграл; р. предполагается
ц v- v-
больше 1.
Другое выражение для Qn (fi) может быть получено следующим образом:
выражение ш = (р.2 — 1)" удовлетворяет дифференциальному уравнению
продифферепцировав это уравнение п раз и положив и = -г^-, получим
т. е. уравнение Лежандра. Первый интеграл уравнения для w имеет вид
где 7? —постоянная, или
1 dw 2n,u В
¦ W-
(|1!-1)»ф ((Л.2— I) (UL2— 1)»+1 ¦
Следовательно, общим решением будет
W-.
где (а может принимать любые значения, за исключением действительных,
лежащих между — 1 и 1. Таким образом, мы получили представление
(?п((а) как и-й производной выражения
А2 J\n

35] § 14. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Qn (|x) 59
где К — постоянная, значение которой должно быть найдено; мы полагаем
А = О, так как полиномиальная часть выражения Qn (fi) имеет степень
л тт „1 К
п — 1. Член с наинизшеи степенью — в этом выражении равен „ . ,
причем |(i| >1; продифференцировав этот член п pas, получим „ ^?1.
Сравнивая с формулой E5), отсюда получаем К = -—jj-^—'-. Таким обра-
образом мы приходим к следующей формуле:
^^} <59>
Эта формула справедлива при всех значениях (i, за исключением лежа-
лежащих на отрезке [ —1,1] действительной оси.
Чтобы приспособить эту формулу к случаю fi=cosO, мы полагаем
где интеграл берется от точки cos 8 до бесконечности вдоль пути, лежащего
в верхней полуплоскости для cos 0 + i • 0 и в нижней полуплоскости для
cos 0 — i • 0. Этот интеграл можно брать от cos 0 до 0 вдоль действительной
оси и затем от 0 до -j- i' • оо или до — i • оо вдоль мнимой оси. Мы полу-
получим тогда
&(cos6± *"•()) =
Но
о
где ш = tg ф, следовательно,
Г dw _ _ Bп)\ к
I (ш2 + 1)п+1~ BР-п\)* ~2 -
о
Воспользовавшись формулой Родрига для ¦?„((*¦), получаем
о
. Теперь из формулы E3) следует, что
<т=^} <60)
о
где |x = cos0. Это — аналог формулы Родрига.

60 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [36, 37
§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ Qre((x) И Рп (и) 110 СТЕПЕНЯМ р—У^ —
36. Если в дифференциальном уравнении B) мы примем ? = (fi — )/fia— IJ
за независимое переменное, то это дифференциальное урашюпие примет вид
,.,, .. ,., d2v , r f 1 3 r \ dv 1 .
5 ^^ + ^Sjn(»
n+l
Если теперь мы положим а = ? 2 у', то мы получим, что v' удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению:
Сравнивая его с уравнением
которому удовлетворяет v'= F (&, ф; у, Ь), мы видим, что при а=и-|-1,
р = у, -j- = и + у эти уравнения тождественны.
Отсюда следует, что уравнению B). удовлетворяют функции
и
я / 1 1 1
u2 = z /^у, —и; у —«; -^ j,
где
Z = fl-f )/fl2 —1.
Ряд Uj сходится при. всех значениях fi, за исключением принадлежа-
принадлежащих отрезку [ — 1,1] действительной оси. Так как п— целое, то ряд и2
обрывается. При больших значениях | fi | главный член ряда Uj есть
,„ , так как z~2fi. Сравнение с полученной выше для Qn (fi) форму-
формулой E5) показывает, что
где z — fi + |/fi2 — 1 и fi не принадлежит отрезку [ — 1, 1] действительной оси.
Выражение для щ дает формула A7):
п . . 1 • 3 • 5 • • - Bл -1) п „ с 1 1 1
это выражение содержит лишь копечное число членов.
§ 16. Qn (|jl) КАК КОЭФФИЦИЕНТ В НЕКОТОРОМ РАЗЛОЖЕНИИ
37. Пусть fi и и-действительны и (а>1, а |а|<1, тогда
(л — м и.
Подставляя сюда вместо и, и2, .. .,ип,. . . полученные в п. 28 выраже-
выражения их через многочлены Лежандра, а именно

38] § 16. Сп(Ю КАК КОЭФФИЦИЕНТ В НЕКОТОРОМ РАЗЛОЖЕНИИ 61
мы получаем, что _ представляется, как сумма абсолютно сходящегося
ряда, в котором можно, не меняя его суммы, сгруппировать члены, содер-
содержащие
*о(в), PiW *„(в),-..
Таким образом мы получаем, что
сю
^=2 Bn + i)Pn{u)Qn(p), F2)
где
("+ 2) „-«-я |
' 2-Bя + 3)
что совпадает с (?„([*), определяемой формулой E5). Формула F2) впер-
впервые была получена Гейне1), которым и была введена в рассмотрение функ-
функция <?„((*)•
В п. 38 мы покажем, что формула F2) верпа для всех значений ja
и и, действительных или комплексных, удовлетворяющих условию
Легко проверить, что если Qn{\>>) определить как коэффициент при
Bп+1)Рп(в)
в разложении ——, то Qn{p) удовлетворяет уравпепию Лежандра.
Положив w = —— > получим
1_иа = A —1*«) _|- 2|* (|* — н) — ((» — »)«,
так что
откуда
дп
Подставив в это тождество ряд F2) для w и воспользовавшись уравне-
уравнением Лежандра для Рп{и), получим
п=0
Это равенство возможно только в том случае, если коэффициент при каж-
каждом Рп (и) равен нулю, следовательно,
38. Мы сейчас установим справедливость полученного для ([* — и)'1 раз-
разложения при менее ограничительных условиях, чем в п. 37.
Пусть (х = х -j- iy = ch (I -\- it)) ; тогда a; = ch|cosT), 2/ = shisinT) и
^2г ~ 1 • Следовательно, % сохраняет постоянное значение на эллипсе
с фокусами — 1 и 1 и большой полуосью ch %. Этот эллипс проходит через
*) Journ. f. reine u. angew. Math., 17 A851), 70—82.

64 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [39
Если [А фиксировано и и — переменная точка внутри или на границе
некоторого эллипса с фокусами — 1 и 1, лежащего внутри того эллипса,
на котором лежит точка (х, то ясно, что -г—-—г имеет конечный максимум
по всем этим значениям и, и так как
стремится к пулю при п —> оо равномерно по всем указанным значе-
значениям и, то отсюда следует, что ряд
г=0
1
сходится равномерно к .
Таким образом доказано следующее:
Если и —некоторая точка внутри эллипса с фокусами —1 и 1, про-
проходящего через точку (х, то при
I u+/si—i | < /j^c-i
справедливо разложение
со
l=5 = 2
Этот ряд сходится равномерно для всех (х, лежащих на фиксированном
эллипсе с фокусами —1 и 1, и для и, лежащих внутри или на границе
меньшего эллипса с теми же фокусами.
Частным случаем эллипса, на котором может лежать и, является от-
отрезок действительной оси, соединяющей точки —1 и 1.
Первая часть этой теоремы была доказана Гейпе1).
39. Покажем, что если / (р) — функция; аналитическая внутри и на
границе некоторого эллипса с фокусами —1 и 1, то / (и) может быть раз-
разложена в ряд по многочленам Лежандра Р0{и), Рх{и),-.., Рг(и), ... ,
равномерно сходящийся для всех и, лежащих внутри или на границе лю-
любого меньшего эллипса с теми же фокусами.
Пусть [А — некоторая точка на эллипсе; мы показали, что ряд
г=0
сходится к ——-. По теореме Коши
' v ' 2т J (J.—и г'
(с)
где (с) — эллипс, на котором лежат (х. Так как ряд 2 C^r ~f~ 1) Pr (u) Qr М схо"
дится равномерно для всех указанных значений в и ц, то отсюда получаем
оо
г=0 (с)
*) Journ. f. reine u. angew. Math., 42 A851), 72; см. также Kugelfunktionen, т. I,
стр. 198. Приведенное там вычисление предела Рп (х) -Qniy) нуждается, невидимому,
в некоторых исправлениях.

4Ы § 16. Qn GO КАК КОЭФФИЦИЕНТ В НЕКОТОРОМ РАЗЛОЖЕНИИ 65
т. е.
г=0
где
(с)
Это и есть искомое разложение; оно принадлежит К. Нейману *).
ПРИМЕР2)
Доказать, что
1= 2
J п==0
оо
^ y т = 2Рп <и>
0 A—2м
где
)
Отсюда получить, что
где и и и. действительны и больше 1, и < р. и yo = arcsm
(/¦ ~J—
§ 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Qn В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
40. Умножим ряд F2) на Рп (и) и проинтегрируем по и в пределах
от _1 до 1. Предполагая почленное интегрирование законным3), полу-
получаем в силу формулы C8), что
1 1
B« + 1) Qn М [ Р1 (и) du = \ 24g du.
Таким образом мы представили <?„([*) в виде определенного интеграла:
' подставив вместо интеграла, стоящего в левой части равенства, его зна-
значение, окончательно получаем
*) Ober die Entwickelung einer Function nacb den Kugelfunktionen, Hallo, 1862;
см. также Thomae, Journ. f. reine u. angew. Math., 64A866), 337.
2) Cm. Baer, Die Kugelfunktion als Losung einer Differentialgleichung, Kiel,
1898.
\
s) Так как при — 1 < и < 1 выражение представляет собой монотонную
функцию от и, то это вытекает из результатов гл. VII.
5 е. в. Гобсои

E2 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [38
точку (ch ?, 0) на действительной оси, в ней т] =*= 0. В точках, лежащих
между —1 и 1 на действительной оси, ? = 0 и [т)[ заключается между О
и тс. Все точки плоскости (х, за исключением лежащих на отрезке, сое-
соединяющем фокусы, однозначно определяются значениями ? и т), если %
лежит в интервале @, оо), а т) — в интервале (— тс, тс). На эллипсе, на кото-
котором ? = const, •»] представляет собой эксцентрический угол точки (S, ttj) .
При ? = 0, т. е. в точках, лежащих на отрезке действительной оси, соеди-
соединяющем фокусы этих софокусных эллипсов, соответствие является двузнач-
двузначным, так как у\ можно взять как положительным, так и отрицательным.
Так как (см. п. 42)
Bг +1) ц& (fO - (г +1) Qr+t (ц) - r^r_t (ц) = О,
Bг +1) иРг (и) - (*¦ +1) /Vm (и) - rPr_t (и) = О,
то
Br + i)(?-u)Qr(?)Pr(u) = (r + l).{Qr+l^)Pr(u)~Pr^(u)Qr^))-
- г {& GO Pr-i (»)-/», (»)&-i М).
Отсюда, придавая г значения п, п — 1, га— 2,... и суммируя, получаем
п
2 00/»,(») =
г=0
= (га+ 1) {?п+1 ((х) Р„ (и) -Qn (fx) Pn+1 (и)} + 1;
следовательно,
п
-±-=%Bп+1) Рт (и) QT (fx) + ^±1 {Pn+1 (») Qn ((x) - Pn (») ^n+
Эта формула принадлежит Кристоффелюх).
Вычислим значение второго слагаемого в правой части полученной
формулы.
Так как
где z~u-{-\fu2 — 1, то, согласно A7), при ц = 1, z=l, имеем
"
1-р'A)- пш( j
Следовательно, для всех значений и
nwn(-i)
') Joum. f. reine u. angew. Math., 55 A858), 61-т82.

38] § 16. On (Ц) КАК КОЭФФИЦИЕНТ В НЕКОТОРОМ РАЗЛОЖЕНИИ 63
Таким образом мы доказали, что для всех значений' и
где п — целое положительное число.
Это — обобщение неравенства | Рп (и) | <: 1, установленного для всех дей-
действительных значений и, лежащих в интервале (—1, 1) (см. п. 15).
Этот результат может быть получен также и из формулы
^п (В) = ^ \ (В + V«?-i C0S ФГ *Ь
О
в которой и произвольно, а п — целое положительное число. Действительно,
очевидно, что наибольшее значение выражения |» + Vb2 — lcosty| на от-
отрезке 0 < <]» < тс равно | и + У и2 — 1 |.
Из формулы F1) получаем
П(п)п(—
\2
где z = {* + yrj*2 — 1; эта формула справедлива для всех значений р, за
исключением принадлежащих отрезку [ —1,1] действительной оси.
Таким образом, получаем
<
т. е.
0-^)!
|z|>l, ти. е. для всех {«., не принадлежащих отрезку [ — 1,1] дей-
действительной оси (здесь, как и выше, z = (x + |^(j,2—1).
Из этих двух оценок для Рп (и) и Qn ((j,) получаем
Из этого неравенства следует, что
(h+1)|/\.(b
стремится к нулю при п —> оо, если только
I и
Аналогично, можно показать, что при соблюдении этого неравенства
(n + l)\Pn+l(u)Qn(?)\
стремится к нулю, когда л—>оо.

66 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [40
Это представление, найденное Ф. Нейманом 1), справедливо не только
для действительных значений (х, больших единицы, но и вообще для всех [а,
не принадлежащих отрезку [ — 1, 1] действительной оси. Это равенство
может быть принято за определение функции (?„([*).
Пусть z^tx + Vt*2— I. w = cos0; тогда, так как z-fz-1 = 2p, из F3)
следует
-1
для всех действительных (х, больших 1, или для всех z, таких, что
jz|> 1. Разлагая подинтегральное выражение в ряд по степеням z и заме-
замечая, что почленное интегрирование законно, получаем, что
СО 7С
Qn(p) = 2 z'm \ Рп (cos 6) sin m® dQ.
m»=l 0
Отсюда, используя для \ Рп (cos б) sin пгб d6 формулу D5), получаем
Этот ряд можно просуммировать с помощью формулы
таким образом,
-L
v 2 (l-oftl-te-»)-"-1 А».
о
Делая в этом интеграле подстановку v = ^^, находим
или, полагая
Это представление Qn ((x) в виде определенного интеграла справедливо-
для всех значений (х, не принадлежащих отрезку [ —1,1] действительной
оси, если только значение ]/(j,2— 1 выбрано соответствующим образом;
именно: если (х > 1, то J/^j,2— 1 следует брать положительным, для ком-
комплексных (х должно быть
где
х) Journ. of reine u. angew.| Math., 37 A848), 24; см также Beitrage zur Theorie der
Kugelfunktionen, Leipzig, 1878.

41] § 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Qn В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 67
причем р и р' действительны, а ср и ср' заключены между —те и я. Полу-
Полученное интегральное представление соответствует формуле B5) для Рп ((х).
Оно принадлежит Гейне *).
Подстановка
приводит полученную формулу к виду
<?п 00 = \ 0* - Vt^^l ch x)n dZ, F5)
о
где
Zo~ 2 "V—1"
Это отвечает интегралу Лапласа B4) для Рп ((х).
Для комплексных значений (х законность использованной подстановки
требует проверки; мы не будем, однако, останавливаться здесь на этом
вопросе, так как полученные интегралы будут рассмотрены более подробно
в гл. V.
41. Формула F5) дает простой способ вычисления значений Qo ({«.),
@i(fO> (MfO. •••; так> например,
4
Мы имеем
откуда
оо оо
Qn (COS б) = _ | ^ (cos fl + . gin e ch ^п+1) + ^ (cos e_ . s.n e ch ^^ | . F6)
Аналогично,
оо оо
(Г <?ф Г (?ф
J (cos 6 + i sin 6 ch i>)n+l ~ J (cos 6—isinO ch Ф)"** ~ ~ 1%P« (cos 9)- F6')
о о
Эта формула F6') может быть получена также следующим образом.
Имеем
)
dv
где и = Ау ]Л1 — (j,2. Пусть y = shi]j, тогда
= (Ар, — 1 + iA sin 9 ch ф) (Ар — 1—ihsin 0 ch ф),
Joum. of reineu. angew. Math., 47 A851), 73 и 75.

68 ГЛАВА И. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [41
следовательно,
1
У 1 — 2Acosfl + u2
=.-1 f J i * X d<h-
я J \ 1 — A (cos в +1 sin в ch4*) 1 — h (cos 0— i sin в сЬф) J f'
разлагая обе части этого равенства по степеням -г-, где /г > 1, и прирав-
нивая коэффициенты при ^п:> получаем формулу F6').
Воспользовавшись формулой F1) для Qn(\>-) и положив
[л = cos 6-|-? • 0, z— cosG + isinG,
получим две формулы
• 3 • (я
последняя формула была получена иным способом в п. 29.
Сделав в формуле F5) подстановку
h = [х — у [х2 — 1 chy,
получим dA = — ]/1 — 2[хЛ -j- h- dx и,
где z = [i -j- |/"[i2 — 1 .
Это — аналог формулы
z
\ —- r dh, F8)
0 A —2[хЛ+Л2J
г
у rdh>
получеппой в п. 19.
Записав формулу F8) л виде
О
в введя вместо k новую переменную v, /г = z A — v), получим
z"(z2-lJ
1
Разлагая A— v 2) 2 в ряд и почленно интегрируя, получаем при

42] ji 18. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ Qn . 69
|1 — z2| > 1, формулу
II (п) II (—2") ! „/11 ,3 1 Л ,ЙО.
FJ' ^' п+^; т^У' F9)
справедливую при ] z2— 11 > \, т. е., в частности, при [л действительном
и большем —>— .
/8
§ 18. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ Qn
42. Формула Неймана
П
может быть использована для получения соотношений между функциями
Qn(}>-), соответствующими различным значениям п, аналогичных получен-
полученным в п. 20 соотношениям для Рп(р)-
Эта формула может быть записана в виде
1
откуда, согласно формуле E1),
Ясно, что выражение под интегралом представляет собой многочлен сте-
степени тг — 1 от (j, — и, следовательно, W^ является, как уже было показано
в п. 31, многочлепом степени п — 1 от (х.
Мы имеем
«(?п - Bп - 1) [х^.! + (тг - 1) (?п.2 =
2 .) (J.— и
Отсюда, используя B9), получаем:
/г(?п (в) - B/г -1) [х ^ ((х) + (п -1) (?^2 (^ = 0; G0)
таким образом, функции (?„([*), соответствующие трем последовательным
значениям тг, удовлетворяют соотношению такого же вида, что и B9).
С другой стороны,
<u- 2 J (,ч— иJ 2 11 —fj-- 1 + 1* J 2.J (a—« d"
J (, ) 1f + 1 J J
следовательно,
}^\ ))

70 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [43
отсюда в силу C4) имеем
G1)
из этой последней формулы можно получить
-... G2)
ПРИМЕРЫ
1.1) Доказать, что
00 оо
Bл + 1) \ Qzdu.—Bл—1) \ Qz-tdp= у
.) j п
1 1
где (J. > 1, и
1 1
о о
где <х < 1.
Вывести отсюда, что в указанных двух случаях соответственно
о
2. Доказать, что
где (л > 1. Если (л < 1 и интеграл берется в пределах от 0 до у., то в правой части
следует изменить знак.
Вывести отсюда, что при jj. < 1
1 1
PnQndy.-Bn-l) ^/>„_!<?„., rfa =
1
о
3. Доказать, что />„+j (ц) <?„_„ (jj.) — -Р„-1 (^) <?П41 (l^) = nn+l
(Math. Tripos, 1894.)
§ 19. ЕЩЕ ОДНО ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ Qn (ц)
43. Чтобы найти производящую функцию ряда
J) Примеры \ и 2 заимствованы у Харгревса (Ргос. Load. Math. *Soc. j(l), 29
A897), 115)

43) § 19. ЕЩЕ ОДНО ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ On (|i) 71
где 0<A<fi— У ft2 — 1 и |*>1, заметим, воспользовавшись неймановским
представлением F3) для Qn(p), что этот ряд можно записать в виде
со 1
2 ZJ J [а—и
n=0 —1
CO
1
Так как ряд 2 ^" ^n (и) равномерно сходится к , то
п=в
мы видим, что сумма рассматриваемого ряда равна
1
_1_ г _1
2 У (t-^и V-f^
где значение корня }/Ч — 2/гм+Аа берется положительным. Это выражение
может быть представлено в виде
1 г du
где
Если z = у Р__U» то последнее выражение приводится к
Р
2Л 3 yj^/^Ti1
где
При А < [а — [/"р.2 —1, т. е. при р > [а, значение полученного выражения
равно
G3)
Если [а>1 и А<[а — "j/^2 — 11 то коэффициент при hn в разложении
этой функции по степеням h равен ^n (ft). Сходимость соответствующего
ряда вытекает из того, что в силу формулы F4)
Учитывая сказанное в п. 32, где (?n(f*) было определено для дей-
действительных ft, заключенных между — 1 и 1, мы видим, что в этом случае
^п ((J.) представляет собой коэффициент при hn в разложении функции
/1 — 2Л,а +А2 /1 — A«
Используя F6), можно показать, что соответствующий ряд сходится при
0в |А|1

72 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [44
Если h=—, [а = cos 6, (г' <г), то Qn (ja) представляет собой коэф-
коэффициент при -^j- в разложении функции
1 , z + V г2 -2гг'cos в + г'2--г'
У г2—2rr'cosO + r'2 |/"a;2+ у2
ИЛ1!
этот коэффициент равен
(__1)пгпи вР- f 1 . z + г I
га] d?» \ r П Y^Tfyi J "
Таким образом мы получаем формулу
/Щ 1), G4)
аналогичную формуле A3) для Рп(\>.).
Если мы, используя формулу Лейбница, выполним дифференцирова-
дифференцирование в формуле G4), то получим
п I \ ( — l)"rn+1 Г, i/^Tz d" 1 , 1 d" 1 ,
x vr/ n! [ Г г—z dr" г ' r drn l r '
ra(ra- 1) d 1 tP»-2 1 d»-i 1 1 1
+ 2! dr  dr"-2 r + • • • + rfT"^ " " 7" f '
т. e.
Qn (v.) ¦¦= Pn (v.) in |/"J±J- Л, (a) pn_j (,x) -
отсюда получаем выражение для Wn_! (]i);
W^n-i (I») ¦= 4 ^0 (I») Pn-i M + ^f /Jl (I») Pn-2 W + • • • + Р„-1 (I») P0 М-
Vi. Можно получить для Qn (|J.) еще другое выражение; оно аналогично
формуле Родрига для Рп(\>.). Вывод в обоих этих случаях примерно оди-
одинаков.
Пусть
гогда
_ 1 Yi — lhy. +Д2 dy
V
V T~=
Если h достаточно мало, то по формуле Лагранжа
•ткуда

451 § 20. СООТНОШЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1 И 2 РОДОВ 73
Пусть теперь
тогда
1 In
/i-2v+a«
Далее,
но последнее выражение равно
т. е.
П.'Ш
что в свою очередь равно
или
с-
,-.
u —A +
— У 1— 2
[}х — А + V
.v-l
2 (у - (л.) '
У \— 2А(х + А2
'1 —2А(х + А2]2
Таким образом,
1 ,
1 —2А(х+А2 г У—
/l -2A|i+Aa W r p-— 1 2 j/jj.2. 1
Из формул G3) и G5) получаем
n(fA). G6)
Если fj, действительно и заключено между —1 и 1, то эта формула заме-
заменяется формулой
§ 20. СООТНОШЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДОВ
45. Комбинируя формулы G0) и B9)
nQn (|») + (П - 1) <?„-2 (I») = B« - 1) ]!(?„_! (,Х) ,

74 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ
получаем следующие два равенства:
п [Qn (ц) Р„_, (ц) - Qn-i (ц) Р„ ([*)] =
= (и-1) [?„-1 (|х) Рп_2 (ц) -?„-2 (|х) 7>п_,
Л [?„ М Рп_2 М - Qn-2 (?) Рп (V)] =
= Bи-1) [х [?„_, (к.) Р„-2 ([>¦)-Qn-2 M ^„-i
из первого сразу получается, что
и так как
то
Рп (v.) Qn-i (v.) - Pn-t (v.) Qn Ы = 4 ¦ G7)
Второе из полученных нами равенств принимает вид
Рп М Qn-2 M-Pn-2 ^
Из равенства G7) получаем
откуда, заменяя л на л — 1, и —2, ...,1 и суммируя получающиеся ра-
равенства, имеем
п 1„\ f 4 I ! . | 1 1
Vo w I "^n W Pn-i W "*" (»-i) ^n-i W Pn-i W n~ * *' "*" Pi W Л. W i '
Отсюда получаем выражение для Wn-i ([а):
+
пРп w Рм ([i) + (га_ 1} Яп-1 (|4) Рп2 ([i) + • • •
J • G9)
46. Так как и Рп ([а) и ^n (ja) удовлетворяют уравнению Лежандра, то
я, следовательно,
где 4 не зависит от [а. Это равенство справедливо для любых значений и,
но если п будет целым положительным, .то, подставляя в полученное
выражение
1-3.5...Bи--1)„д U , а , р , 1
1-2-3...» »* 11+^+^+---|
вместо Р„ (|а) и
1-2-3...» 1 ^ а' р' , 1
3 • 5 ... Bга + 1) [ап+1 I ^2 ^4 " " ' '
вместо Qn(\>-), получаем

46] § 20. СООТНОШЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1 И 2 РОДОВ 75
т. е. Л = 1; таким образом, если « — целое положительное число, то
i. (so)
ПРИМЕРЫ
1. Доказать, что
(Math. Tripos, 1893.)
2. Уравнение
/• = i + s [Pi (cos 6) + P3 (cos 0) + ... + Pm^ (cos 6)],
где а мало, изображает поверхность вращения, близкую к сферической. Показать, что
если величиной в2 можно пренебречь, то радиус кривизны меридиана равен
п-1
3. Доказать, что если
m=0
(Там же, 1894.)
Bга+1) Bга + 3) ... Bга + 2»-1) ¦
s n(ra2 —1)(га2_22) ... [га2—(s —1J] (ra + s)^ V
TO
у _р 2Bв+1) 2ra + 3
*2 — ^n-2 2n—1 n+2ra— 1 n'a'
3Bra + 3) „ 3Bra + 5) Bra + 3)Bra + 5) .
r3_^n+s 2ra_i ^n+i+ 2n_3 iVi Bra-l)B«-3) ^n-Sl
найти общую формулу.
(Там же, 1896.)
4. Доказать, что если га целое положительное, то
р=<Г " ¦ "
(Там же, 1898.)
5. Доказать, что
равняется нулю при всех значениях т—га, кроме —1 и 1; вычислить указанный инте-
интеграл для этих случаев.
(Там же, 1896.)
6. Доказать по индукции или иным способом, что при целом положительном п
Bга+1)
+ 2[Рг О*) Р2 0*) + Рг (ji) P, W + ... + Р„-х О*) Р„ 0*) j.
(Там же, 1899.)
7. Доказать, что
г-1
га га — 1
где р = y ИЛИ —vp •
(Там же, 1904.)

76 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [46
8. Доказать равенство
п
sin" ЬРп (sin в) = 2 ( — 1)г г! /В"!_ГI С08Г ЬРг <cos 6>-
г=о
(Там же, 1907.
9J) Доказать, что
со
Pn(cos0)=A V
m=0
Qn(cos0)= 2 -
m=0
где . 0 < 0 < ~ .
10 1). С помощью формулы G7) доказать, что
где м- > 1.
11. Доказать равенства
12. Доказать, что
2(га + г)!
1 /Р1
(Wangerin.)
= Bв+1Кд1г),
при т = га
— 1 I 0 при т Ф п.
(Math. Tripos, 1893.)
13. Доказать, что если т четно, а п нечетно, то
п+т— 1
1 - "( —^ 2 1 ¦ 3 ¦ 5 ... (т -1) 1 - 3 • 5 ... (га —2)
т W n W С- , —т^ /га_(.т _(.. ^\ 2 • 4 • 6 ... т 2 • 4 • 6 ... (га — 1) '
0
(Там же, 1901.)
14. Доказать, что
k
(л.2-т-^ = га(га — l)Pn+ 2 Bп —4г + 1)[гBл -2г — 1) — 2] РП-гт,
г=1
га га —-1
где к=—~, если га четно, и а = —к—, если га нечетно.
15. Доказать, что
1 3 те
\ A —(л.2J п^' ф. = — Зга (га + 1) \ sin2 6Pn (cos в) М.
-1 0
г) См. В а е г, Die Kugelfunktion als L6sung einer Differentialgleichung, Kiel, 1898.

4?1 § 21. РАЗЛОЖЕНИЕ -|- In ^^j В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ
16. Если <p(,u) имеет скачки сл, с2, ..., сг в точках \х1г ,и2. ..., [*г соответственно
и если
то
где
-Bга -5) А,_,-Bга -9) AM.
Аналогично,
где
^|) f 21 -^)с»^Ы-2A- rf)c»/>A(N)]-B(n + 1)Лг
S
и c't— скачки фу}п<ции -- в точках [as. Показать, что, отбросив члены, содержащие
с, с', мы получили бы бесконечное значение и разрыв в каждой из точек (*lf ц2, ..., цг.
17. Вычислить интегралы \ Ят (ц) />Г1 (ц) rfp- и \ Р\ (ц) ф и показать, что если т
о о
четпо, а п нечетно, то первый из пих равен
п+т— 1
"(- 1)~^ 1- 3 -5 ... (т-1) 1-3-5 ... (га—2)
(л —т)\п + т + 1) ' 2 • 4 • 6 ... т ' 2 • 4 • 6 ... (га —1) '
(Там же, 1900.)
§ 21. РАЗЛОЖЕНИЕ -i In !—- В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ
47. Рассмотрим непрерывную дробь вида
1
о,
где а1( а2, ... —фиксированные числя. Предположим, что ц действительно
и больше единицы. Если — означает п-ю подходящую дробь данной непре-
рывнои дроби, то
Рп = Wn-i — an-iPn-2
ш
Цп = ^9п-г — а„_1д„_г.
Первые три подходящие дроби имеют вид
Воспользуемся равенствами
п/>„ (а) - Bя -1) !!/>„_! Ы -Ь (« -1) />„_2 (]х) = 0,
1) ,»?„_! fa) + (я-

78 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [47
Умножив первое из них на -jln-—т и вычтя из него1 второе, получим,
согласно E2),
Пусть
тогда
Nn (|а) = (|) (|)
zn (р) = vZn^ (|a) — an_1Zn_2 (|a),
n2
где an= . g_j ; таким образом, -^„(ja) nZn([A) удовлетворяют тем же самым
уравнениям, что числители и знаменатели подходящих дробей непрерывной,
дроби
1
[А
[A—.
га2 тт
в которой an= а_. . Непосредственное вычисление показывает, что
Саедовательно, три дроби
совпадают с тремя первыми подходящими дробями рассматриваемой непре-
непрерывной дроби. Но тогда 7? J"' должно совпадать с ее n-й подходящей
дробью.
Мы имеем
TFn-iW l lni*+1
ln
2 m[i-i
так как lira ^n (ja) = 0, когда ja действительно и больше единицы.
п-юо
Таким образом мы доказали, что непрерывная дробь
1
где ап = g ., сходится к -j In ^-^^r ирн [а > 1

48J § 22. ПРИБЛИЖЕННЫЕ КВАДРАТУРЫ 7&
Тот факт, что данная непрерывная дробь связана с функциями Лежан-
Лежандра, был открыт по существу Гауссом1), который получил этот результат,
преобразуя ряд
представляющий функцию yln^^T- ^ явном виде отождествление знаме-
знаменателей подходящих дробей с многочленами Лежандра было сделано Якоби 2),
§ 22. ПРИБЛИЖЕННЫЕ КВАДРАТУРЫ
48. Пусть / (х)— непрерывная функция от ж в интервале (— 1, 1). Под
приближенной квадратурой мы будем понимать приближенное вычисление
интеграла
1
Различные методы решения этой задачи основаны на замене функции / (х}
другой функцией <р (х), для которой интеграл \ <р (ж) dx может быть легко
1
вычислен и мало отличается от интеграла \ / (х) dx. Мы изложим здесь
один из этих методов, основанный на использовании многочленов Ле-
Лежандра. Этот метод был предложен Гауссом3).
Пусть а1г а2, ..., ап — точки в интервале (—1,1) и пусть
F(x) = (x-a1)(x-a2) ... (х-ап).
Функция
представляет собой многочлен степени п—1, принимающей в точках alt
а2, ..., ап значения /(а^, /(а2), ..., f(an) соответственно. Если мы
положим
л _ 1 { F(x)dx
лг F'(ar)) x-aT '
то получим
1
J <р (х) dx = AJ (в1) 4- AJ (а,) + ... + AJ (а„).
Величины Av А2, . .., Ап не зависят от выбора функции / (х) и могут
быть вычислены раз и навсегда, если только точки alf а2, ..., ап считать
фиксированными. В более ранних способах Ньютона и Котеса в качестве
чисел ах, а2, ..., ап брались члены арифметической прогрессии и затем
\ <р (х) dx принималось за приближенное значение интеграла \ / (х) dx.
-i -1
См. Heine, Kugelfunktioncn, т. I, стр. 270 и след.
) Journ. f. reine u. angew. Math., 2 A827), 226.
3) Methodus nova integralium valores per approx. inveniendi. Gott. Gomm.,
3 A814), или Werke, т. Ill, стр. 163.

,80 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [М
Однако Гаусс показал, что более выгодно брать за ах, а2, . . ., ап не члены
арифметической прогрессии, а нули функции Рп(х), т. е. n-го многочлена
Лежандра.
Замена интеграла \ / (х) dx интегралом \ »(х) dx влечет за собой
-I -1
ошибку, равную
1 п
J\x)ax — ^j Arj(ar).
Если f (x) — многочлен степени -<п — 1, то эта ошибка равна нулю,
п
и, следовательно, формула 2 Д-/ (аг) Дает точное значение рассматри-
ваемого интеграла. Однако Гаусс показал, что если а1г а2, ..., ап — нули
п 1
многочлена Рп(х), то 2 Arf (аг) дает точное значение интеграла \ f(x)dx
г-1 .. „ -1
для всякой /(ж), представляющей собой многочлен степени не выше 2п—1.
Функция f(x) — <?(x) делится на F (х); полагая
/(х)-«р(х) _
получаем, что
/ (ж) = <р (ж) + F (х) (с0 + сгх+... + сп^хп~1).
Для того чтобы разность
1 1
\ / (х) dx — \ <р (х) dx
-1 -1
обращалась в нуль при любых значениях с0, clt . .., с„_1, необходимо
и достаточно, чтобы каждый из интегралов
1
[ xrF(x)dx (г -0,1 я —1)
был равен нулю. В п. 21 было доказано, что для этого в свою очередь
необходимо и достаточно, чтобы F (х) было кратным Рп(х). Так как коэф-
коэффициент при хп в F (х) равен 1, то отсюда следует, что
Если за аъ а2, .. ., ап припяты нули многочлена Рп (х), то аг — — а„_г+1;
в случае нечетного п одно из этих чисел равно нулю. Таким образом
следовательно,
Отсюда получаем

48] i 22. ПРИБЛИЖЕННЫЕ КВАДРАТУРЫ 81
Итак, мы доказали, что если f (х) — многочлен степени <2п —1, то
1 п
-1 г=1
где а17 а2, ..., ап — нули многочлена Рп(х) и
¦"!• ^~ Г» / 'У ""\" \ CL30 .
Положив /(ж)=е1, получаем, что
и это равенство справедливо всегда, так как Аг не зависят от выбора
функции /(х).
49. Предположим, что f(x) можно представить в виде суммы ряда
С0 + С1Х+...+СпХП+...,
сходящегося на отрезке
откуда следует1), что он сходится равномерно в интервале (— 1,1), и пусть
DxT означает величину
1
\ xTdx — A^i* — А2а\ — ... — Апа,п,
-1
представляющую собой ту ошибку, которую мы делаем, заменяя интеграл
1
\ xrdx соответствующим интегралом от интерполирующей функции.
Если г нечетно, то эта ошибка обращается в нуль, так как
1
\ > 1 iv 1 ~*~ и' 2 н 1 2 п—1*
-1
Если г четно, то
1 1
где v равно целому из двух чисел -=¦ и ~ .
ОО
Рассмотрим ряд 2j —г7г~» производящей функцией для которого служит
г=0
п
т. е.
*< 1
_1 V —± 1— С dx V— — { Рп(х)
2 Zl P> (am) z + am 3 *-«
i 1
(m) J (m) + m 3
m=l -1 m=i -1
l) Hobs on, Functions of a real variable т. II, 1926, стр. 174. [См. также
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. I, М.—Л., 1952, гл: IV, § 3.
(Прим. ред.)]
6 Е. В. Гобсон

82 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ
Так как ат = ап_т+1, то это последнее выражение равно
2—1 ZJ P'(am)z—am }
т=1 -1
Положим
-1
тогда в (z) — многочлен степени п — 1. Так как .Pn (am) = 0, то
1
и (О= VsrV"**-
-1
В соответствии с п. 48 имеем
•<¦>-*.<•» 2 тп=?^э
m-l
п, следовательпо,
v
tn-1
со
J)XT
Таким образом, производящая функция ряда jj —гтг~ равна
г=0
Но
X — 2
-1
следовательно, эта производящая функция равна р \ —?±-i—^- ах, т. е.,
согласно F3),
Итак, мы пришли к следующему результату:
со
2 rfi имеет своей производящей функцией 2 ^"^ , т. е
2+1 Wn
2 1 Л
2— 1 Л, B) '
где
Мы знаем, что разложение р \ до степеням — начинается со степени
2^ t ; это находится в соответствии с тем фактом, что Dxr = 0 при
г < 2п, а также при любом нечетном г.
Если / (х) представляет собой сумму сходящегося ряда с0 -f- схх + • • •,
то ошибка, которая получается при вычислении интеграла \ / (х) dx

50] § 22. ПРИБЛИЖЕННЫЕ КВАДРАТУРЫ 83
по методу Гаусса, равна
50. Беря в разложении Qn (z) по степеням — первый член и учитывая
значения коэффициентов при zn и zn~2 в Pn(z), легко получить, что Dх2п
приближенно равняется
_JL_{ ге| \2
2п + 1 \ 1 • 3 ... Bл—1) j '
Для определения значений Аг, А2, ..., Ап можно воспользоваться раз-
разложением In * ¦: в непрерывную дробь.
Z 1
Ниже приводится таблица вычисленных Гауссом для п — 1, 2, 3, ..., 7
значений нулей многочленов Рп (х) и величин Аи А%, ... Сам вид этой
таблицы мы заимствуем у Гейне1); вместо фигурирующего у Гаусса^интер-
вала @,1) рассматривается интервал ( — 1, 1).
l a 0 A1 Dx2
п = 2 а1= - a2 = 0,5773502691896258,
ах= -а3 = 0,7745966692414834, а2 = 0,
1 л i л 5 1 л 4 г»б8
^=-^ = 0,8611363115940492,
а2 = - а3 = 0,3399810435848646,
у ^ = 4 Л = 0,1739274225687284, lg = 9,2403680612,
-i A% = y Л = 0,3260725774312716, lg = 9,5133142764,
11025 "
п = 5 в1 = - а5 = 0,9061798459386640,
а2 = _ а4 = 0,5384693101056830, а3 = 0,
4" А = у 45 = 0,1184634425280945, lg = 9,0735843490,
у .42 = у Л = 0,2393143352496832, lg = 9,3789687142,
4-Л-^ =0,2844444444444444, lg= 9,4539974559,
" 43659 '
w = 6 fll = - а6 = 0,9324695142031520,
аг= -аБ = 0,6612093864662644,
а3= -а4 = 0,2386191860831970,
2 Л = т Л - 0,0856622461895852, lg = 8,9327894580,
Kugelfunktionen, т. II, 1881, стр. 15.

84 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [51
у А2 = у ^5 = 0,1803807865240693, lg = 9,2561902763,
±A3 = -jAi = 0,2339569672863455, lg = 9,3691359831,
693693 "
п = 1 а1=-.—а7 = 0,9491079123427596,
о,= -о4 = 0,7415311855993944,
а3 = - а5 = 0,4058451513773970, а4 = 0,
1Д = А Л7 = 0,0647424830844348, lg = 8,8111893529
^-А2 = ~Ае = 0,1398526957446384, lg= 9,1456708421,
A At = \Ab = 0,1909150252525595, lg = 9,2808401093,
Т Ai = Ш>"* 0,2089795918367347 lg = 9,3201038766,
512
" 2760615 *
51. Рассмотрим выражение
г=0
где / (х) — некоторая заданная функция, представляющая собой сумму сте-
степенного ряда, сходящегося при всех х, таких, что | х | < 1 + "Ч {"Ч — некоторое
положительное число), a F (х) = (х — аг) (х — а2) ... {х — ап) — многочлен,
пропорциональный Рп(х); величины а1} а2, ..., ап, следовательво, зависят
только от п. Мы покажем, что при п~э-со написанная выше разность
стремится к нулю.
По теореме Коши эта разность равна
ci )(z-x)F(z)az>
2ici
где интеграл берется по некоторой окружности с центром в точке z = 0
и радиусом Д>1, так что точки х, аъ а2, ..., ап лежат внутри данного
контура. Эту окружность можно выбрать так, чтобы внутри нее функция
/(z) была голоморфна.
Выражение (81) равно
?п(*){ /ад dz
•Ш 3 (z-x)Pn(z) aZ>
и его модуль не превосходит
\dz\ 9
9
\Pn(z)\- \*">
Так как на рассматриваемой окружности |/(z) | ограничен, a |z — x\
для всех х из интервала ( — 1,1) не меиыле, чем некоторая положитель-
положительная величина, и так как |Рп(а;)|<1, то выражение (82) не превосходит
где z = Re^ и К~ const.

52] § 23. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА 85
Мы имеем
где множитель z входит только при нечетном п ж т = ~ или т = 1^~
соответственно при четном или нечетном п; далее,
| z2 - а21 = (Я* + а* - 2а2Я2 cos 2cpJ ,
и эта величина достигает минимума при cos2cp=l, т. е. при ср = 0.
Таким образом \Pn(z)\>Pn(R), т. е.
и, следовательно, выражение (82) не превосходит некоторой фиксирован-
1
ной постоянной, умноженной на п /р. .
Так как 1 — а2 < 1 — -^ , где R > 1, то
РпA) A-а!)A-а|) ... A-aj.) 1 A —ag)(l —а|) ¦ ¦. A-ag.)
Pn(R) -(JP-aJ)(JP-aJ)-...(JP-ai)[flJ-ijn / ,_«!> Л_«|
^2 W V W
Итак, мы доказали, что рассматриваемое выражение (82) меньше, чем
некоторая постоянная, умноженная на R~n, и, следовательно, при п—*оо
оно стремится к нулю равномерно для всех х из интервала (—1, 1). Таким
образом нами доказана следующая теорема, представляющая собой теоре-
теоретическое обоснование излагаемого приближенного метода квадратур:
Если f (х) может быть разложена в степенной ряд, сходящийся для
всех х, по модулю меньших, чем некоторое число, большее единицы, то
величина
-
где
с — аг
и а]? а%, ..., ап — нули многочлена Рп(х), стремится к значению инте-
интеграла \ / (ж) dx, когда п -—> со.
-1
§ 23. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
52. Метод составления дифференциального уравнения, которому удо-
удовлетворяет произведение Рр (р) Pq (p) двух многочленов Лежандра степеней
р и q соответственно, был дан Ф. Нейманом1).
Пусть и и v — решения дифференциальных уравнений
J) Beitrage zur Theorie der Kugelfunktionen, ч. 2, Leipzig, 1878, стр. 91. Метод
составления дифференциального уравнения, которому удовлетворяет произведение
решений двух данных линейных дифференциальных уравнений, был дан Клаузеном
[Journ. f. reineu. angew. Math., 3 A828), 89J.

86 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [52
где / = 1 —|а2, А = р(р + 1) и B = q(q + 1); таким образом, эти два урав-
уравнения представляют собой уравнения Лежандра порядков р и q соответст-
соответственно. Пусть y = uv; тогда
или
где z- fu'v'. Далее, так как fz=fu' -fv', то
I = — fu'-Bv—fv'-Au,
откуда, дифференцируя еще раз, получаем
Исключая z из уравнений (а) и (Р), имеем
Это последнее уравнение можно переписать следующим образом:
Записав первое слагаемое в (f') в виде
d г. *(/»') -I „dJ/Л p..
мы получим следующее дифференциальное уравнение:
Общее решение этого уравнения четвертого порядка имеет вид
у = сгРр о») />в (^) + С2^р (^ ^« М + С3/>р ([,) ^Q go+с4^р ([,) />e go .
В случае /> = ? уравнение (а) [превращается в — (fy')=—2Ay-f-2z,
а уравнение [(Р) превращается в -j^=—Afy'', таким образом, исключая z,
получаем для этого случая уравнение третьего порядка
общее решение которого имеет вид
у = Сг Р} fa) + C2Ql fa) + CaPp fa) Qp fa).
Легко видеть, что z = fu'v' удовлетворяет дифферепциальному урав-
уравнению

53] § 23. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА 87
Это уравнение получается исключением у из (а) и (Р). Его общее
решение имеет вид
A—I») LЩ1ф ф ^T
r dPp(p) dQq(j>.) r dQpbl) dPq(j>.)
53. При целых положительных р и q уравнение (8) было использовано
Ф. Нейманомг) для того, чтобы представить каждое из произведений
Л»(|»)р«(|0. Qp(?)Qq(?)> pp(?)Qq(?)^Qp(?)Pu(?) в виде суммы функций Р
и (?; он представил эти результаты в виде таблиц.
Мы ограничимся здесь наиболее важным случаем, а именно произве-
произведением Рп (р,) Pq (р); так как оно представляет собой многочлен от р сте-
степени р-\-д, содержащий только степени с показателями р-\-д, p-\-Q — 2,
p-\-q — 4, ... то его можно, очевидно, записать в виде суммы
последний член которой содержит Ро (р) или /*х (р.), в зависимости от того,
является р-\-д четным или нечетным. Если подставить это выражение
в дифференциальное уравнение (8) и вспомнить, что
то получим
где г принимает значенрш р-\-q, p + q — 2 p-\-q — 2s,
Nr = г* (г +1J - 2 (К -1) г (г + 1) + Н
а
Lr = r(r + l)-K.
Так как
ТО
2 (iVrar
г г
а так как
Р;_, = Bг - 3) Рг_2 + Bг - 7) Рг_4 + Bг - И) Рг_6
то отсюда следует, что
- 2s) Lp+q_2s]
2ap+qLp+q [Bp + 2q-3) Pp+a_2 + Bp + 2q-7)
_2 [Bp+ 2q - 7) Pp+q-i + B/7 + 2q - 11) Pp+9-6 + . . . ] 4-
См. предыдущую сноску.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [53
Приравнивая нулю коэффициенты при Рр+Ф Рр+а-.2> • • •, получаем
[iVp+e_2 + 2{p + q- 2) Lp+a_2] ap+e_2 + 2ap+gLp+e Bp + 2q - 3) = 0,
[ЛГр+а-4 + 2 (p + q — 4) ?P+g_4] aP+e-4 +
4- 2 (ap+aLp+a + ap+Q_2Lp+e_2) Bp + 2q - 7) = 0,
[Np+a-2S-\-2ip-\-q-2s) Lp+a_2s] ap+q_2s + 2 (ap+gLp+e + ap+g_2Lp+g_2 + ... +
+ ap+4_2s+2Lp+g_2s+2) Bp-\-2q — 4s+ 1) =0.
Положим
_ Mp*<i-ts + 2LPiq_2s (p + g -2s)
2s~ 2p + 2g— 4s + l
тогда получаем
a2sflp+g-2s + 2 (ap+g?p+g + flp+g-2-^p+a-2 + • • • + flp+g-2s+2-^p+g^2s+2) = 0,
откуда следует, что
a2sflp+g-2s — a2s-2 #p+g-2s+2 4" 2 ap+g_2s+2Lp^.e_2s+2 = 0
ИЛИ
s = ?2s-2 flp+g-2s+2,
где
P2s - «2s - ^p-H-2s = 2p + 2q-is+l
Учитывая написанные выше выражения для Nr и LT, получаем, что
Таким образом,
_ — 2sBp + 2q — 2s + 2)Bq — 2s+l)Bp — 29 + 1)
a2s"~ 2p + 2g — 4« + l
о (-2s-l)Bp + 2q-2s + l)Bq—2s)Bp--2s)
s 2p + 2q — 4s + l
Если мы в равенстве
нриравняем коэффициенты при [i.p+9 справа и слева, то получим
Искомая формула имеет вид
Рр (?) Рд Ы = ар+9 [Л»+в+
а8а4...а28
• • ¦ J ,
где a2s, P2e> ap+9 имеют указанные выше значения. Заметим, что 028 = 0,
когда s равно меньшему из двух чисел р и q. Если р > q, то последнее
слагаемое в формуле (83) содержит Рр-а.

53] § 23. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРЛ 89
Воспользуемся полученной формулой для вычисления интеграла
1
Из формулы C7) п. 21 вытекает, что этот интеграл равен нулю, если
сумма каких-либо двух из чисел р, q, r меньше, чем третье. Предположим,
что р-^q^r, р>д и р-\-д + г четно.
Тогда, применяя формулу C9) п.22, получаем равенство
2_ [(P+g)!3aBP)!Bg)! рора ¦ ¦ ¦ h*9~r-»
i 2 2l[ll]2 '
)
которое может быть приведено к виду
2 1 -3 ... (р + д— г — 1) 1 -3 ...
_ . . г+1' 2-4 ... (p + s-i-) " 2-4 ... (p + r-gr, X
v 1 -3 ...(г + ?--р—1) 2-4 ...(р + д + г)
Х 2-4 ...<г + ?-р) " 1-3...(р + ?+г—1)'
Это равенство было дано без доказательства Феррерсом1); его доказа-
доказательство было опубликовано Адамсом2).
ПРИМЕРЫ
1. Доказать, что если х действительно и заключено между —1 и 1, 710(ж) = 1,
Тп (х) = Tjjj-j cos (л arc cos x), то
1
\ Тп (х) Тт (х) — dr =0 при п Ф т.
Показать также, что
п=0
г1^ 1 (х) - хтп (х) +1 rn_i (а)=о
и что Тп (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Функции Тп (х) называются многочленами Чебышева 8).
2. Показать, что если4)
19 (\\ЧР Л41
то
A—ху-ч A + ж)""р [г—1 + /A — 2tx + гг)9-'] [г +1 — V(l—2tx + гу^
п-0
J) Spherical Harmonics, London, 1877, стр, 156. Множитель 2 там. пропущен.
2) Ргос. Roy. Soc, 27 A878), 63, а также Collected Scientific Papers, т. I,
стр. 487.
s) Изв. Петербургской Академии Наук F), 7 A859), 199. [См. также П. Л. Ч е бы-
шев, Полное собрание сочинений, т. II, стр. 151. Изд. АН СССР, 1947. (Прим. ред.)]
4) Это—многочленыЯкоби. См. Journ. f. reine u. angew. Math., 56A85Э), 149, а также
Werke, т. VI, 1891, стр. 184.

90 ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧ. КООРДИНАТАХ [53
При р = ? = 1
A.(*) = G»,(l, I, !=^=F(n+l, -n; 1; —
при p = 0, ? = y
'где Tn{x)—многочлены Чебышева, a F—гипергеометрическая функция.
Показать также, что
] Gn (х
3. Пусть
ZJ л!
n=0
показать, что
#rn i (я)—2хНп (х) + 2nHn~i (х) = О,
Нп (х) — 2s#n (ж) + 2пНп (х) = 0;
показать также, что
со
8 С (№ ^
Г ^ж^ Н (х\ в х dx=== ( 1^ \ Н (х\ с х d,Xt
—со —со
Для п> т показать также с помощью повторного интегрирования по частям, что
со I
1™ (^Й о
J n dx~~ " ""'
—со
функции Яп называются многочленами Эрмита х).
4. Положим
П2 _ , П2(П- 1
показать, что
п=0
xL"n (х) + A — х)Ц1 (х) + nLn (x) = 0
\
0
Функции Ln (x) называются многочленами Лагерра 2).
= 0 при п Ф т.
0
J) Compt. Rend., 58, 93 и 226, а также GEuvres, т. II, 1908, стр. 293, и Compt.
Rend., 60 A865), 370, 432, 461.
2) См. Bull. Soc. Math, de Prance, 7 A879), 72, и GEuvres, т. I, 1898, стр. 428.

Глава III
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАИДРА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
54. В п. 6 было показано, что уравнению Лапласа удовлетворяют
выражения
где и?— решение дифференциального уравнения
Числа ге и то не подчинены никаким ограничениям, но сейчас мы
будем рассматривать главным образом тот важный случай, когда га и те
целые положительные и ге>то. Однако некоторое внимание мы уделим
и тому случаю, когда то и га целые и то > га, а также случаю целых отри-
отрицательных то.
Пусть м = (A2 — IJ v, тогда, как Мы покажем ниже, v удовлетворяет
уравнению
0 | H=-О. B)
Если уравнение Лежандра
продифференцировать т раз, то мы получим
таким образом, -^ удовлетворяет уравнению B); следовательно, общее
решение этого уравнения имеет вид
где 4 и 5 — произвольные постоянные. Отсюда вытекает, что общим реше-
решением уравнения A) является
Пусть (J. принимает произвольные значения, за исключением принад-
принадлежащих отрезку [—1, 1] действительной оси; функции

92 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [55
где аргументы чисел (х —1 и ^ + 1 равны нулю, когда (х действительно
и больше 1, и заключены между —тс и тс в остальных случаях, называются
присоединенными функциями Лежандра первого и второго рода соответ-
соответственно и обозначаются Р™ (jx) и GJT ((х).
Если точка (х движется из некоторого начального положения на дей^-
ствительной оси, отстоящего больше, чем на 1 от начала координат,
к некоторой точке интервала (— 1, 1), причем ее путь выбран так, что
arg([x — 1) растет от 0 до тс, a arg(fx-j-l) равен нулю в конечной точке
пути, то Pjf ([г) имеет предел
Рп (cos б -Н • 0) = lim Pn (cos б + i: е).
Если путь выбран так, что arg((x—1) меняется от 0 до —тс, то Р™ (jx)
имеет своим пределом Р™ (cos 6 — i • 0).
Мы видим, таким образом, что
—vn-jt t
К(созб + 1.0) = е2 sin^e
Если (J. изменяется вдоль пути, лежащего в верхней полуплоскости,
от некоторого действительного значения, большего 1, до значения —{*,
i
действительного и меньшего —1, то arg([x2 —1J меняется от 0 до т-
и, следовательно, величина ([х2—1)^ переходит в ( — 1) (fx2 —1J ; легко
видеть, что то же самое конечное значение получается и в случае пути,
расположенного в нижней полуплоскости (те предполагается целым). Таким
образом, функцию Р™ ([*) можно рассматривать как однозначно определен-
определенную для всех отрицательных (i < — 1. Точками разрыва для Р™ ((i) явля-
являются только точки интервала ( — 1, 1).
§ 2. ТЕССЕРАЛЬНЫЕ И СЕКТОРИАЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
55. Удобно определить /^(cosfi) формулой
Р% (cos 6) = e^m™P% (cos 6 + i ¦ 0) = е^'р™ (cos S - i ¦ 0)
или
Pm (en-. в)-( № -.in"» 6 dmPn (c08 6) IA\
/^n(coso;-( i) sin ° -5 (cos щт • D)
Если вместо cos 6 писать {*, где (i заключено между — 1 и 1, то Р^1 (cos 6)
определяется соответственно как
где при нечетном те для A—(i2J берется положительное значение.
Это определение удобно тем, что Р™ (jj.) в этом случае принимает дей-
действительные значения, когда (i действительно и лежит в интервале (— 1,1).
Множитель (— 1)т иногда опускают и тогда вместо Р% (cos 6) пишут Т™ (cos 6);
мы, однако, этого делать не будем, так как введенное здесь определение

56] 3. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПЕРВОГО РОДА 93
находится в соответствии с более общим определением, которое будет дано
в гл. V для случая, когда шипне предполагаются непременно ни целыми,
ни даже действительными.
Если (J, действительно и лежит между —1 и 1, то выражение
. тщ ¦ Р™ (у.) называются тпессералъной сферической функцией, если только
/га-я и; при тп = п оно называется сектпориалъной сферической функцией
(первого рода).
ТГ f О V COS
Для физических приложении основную роль играют функции . т<рх
X Рп Ы, где —1< (J, < 1, однако функции ^ /га<р • Q™ (ц), т. е. ™* т<рX
Х((а2—1)^™ /V . где (j, > 1, также встречаются в вопросах теории потен-
потенциала, связанпых с распределением масс в сфероидах.
§ 3. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПЕРВОГО РОДА
56. Так как
то очевидно, что для р, не принадлежащих отрезку [ — 1, 1] действитель-
действительной оси,
или, что то же самое,
-от -1) (я —w-2) (я—т-3) „_т_4
2-4 Bл— 1)<2я—3) ^
эта формула получается дифференцированием выражения
равного ((j,2 —1)". Равенство E) определяет значения Pj? ((x) для всех р, не
принадлежащих интервалу (— 1, 1) действительной оси.
Обозначая выражение, стоящее в E) в фигурных скобках, символом
/(ге, тп, (х), получаем
Выражение / (ге, тп, (х) может быть записано в виде
п-т J. 6x jj.n-m-2 V2
где v2=l—(i2. Чтобы определить коэффициенты b0, blt b2, ..., представим
сперва / (re, m> jx) в виде
или, что то же самое, в виде
где t2 = -j . Приравняв коэффициенты при ?2г в этих двух выражениях для

94 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [56
/ (п, т, (i), получим
r+r+ir + iJ}r + 2) ar+2+ ... =
_ (._ (n—m—2r) (n—m—2r — i) (п—т—2г) ... (га—т— 2г —3) _ 1
~°г [ 2Bга--2г—1) + 2 • 4 Bга— 2г— 1) Bга—2г-3) ~'"|
и, таким образом,
br = arf(n — r, m + r, 1).
Чтобы найти значение /(га, т, 1), заметим, что так как Рп(р) пред-
ставляет собой коэффициент при hn в разложении A — 2 fiA + А2) ^ по сте-
степеням А, то —з-^г- есть коэффициент при А" в разложении в степенной
ряд функции
i- • | ... ^р1 Bh)m (I - f m~
при ц=1 он равен
^ 3 2т— 1 o
2 ' 2 * " - 2 ' ^ (га—
т. е.
)l2mml "
Таким образом,
2"га!(га— и»)!' ^ ' ' ' (га—m)l 2™ml '
т. е.
2"-mral(ra+ni)l
/(»' m' ^= т»BнI '
и, следовательно;
, 2"-"ral(ra+m)l , _, /(га-1, w + 1, 1)
°°- ml Bга) I ' °1-°о / (га, т, 1) '
т. е.
, _ , (га— та) (га—т — 1)
°1- ~~°° 4(и»+1I! '
°*-°0 42(m + l)(m + 2J! ' И Т> Д"
Мы получили для f(n, m, 1) следующее выражение:
2"-™ral(ra + m)l f _ (ra-m)(ra-m—1) _2 2
mlBm)! \р 4(ш + 1I1 ^ ~
(ra-m)(ra-m-l)(ra-m-2)(ra-m-3) m_4 4
^ 42(т+1)(т + 2J| «*
откуда
(га—т).-.(га-т-З) „_m_4 «_
^ Bш + 2)Bтп+4J-4 р
где а не принадлежит отрезку [ — 1, 1] действительной оси.
При то = 0 полученная формула сводится к
fn\W-r 2s ^ 1 22 • 4»
в соответствии с формулой B1) гл. II.

57] § 3. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПЕРВОГО РОДА 95-
В случае (i = cosO, принадлежащего отрезку [ — 1, 1], мы имеем
Рп (COS G) = ( — l)">2"nlfn — m)l Sinm 9 I COsn~m 9 -1"
~ ("""?Bп1Г)~ ^ СО*--29 + ^Tlln-iHln-i) C0STt"m 9 ~ • •
а также
i (cos в)=(-1)* 2J2%trn)\sinm 9
57. Существует значительное несогласие в обозначениях, применяемых
различными авторами, рассматривающими присоединенные функции Ле-
жандра. Феррерс1), который ограничивается только случаем (i = cos8, обо-
обозначает символом Тп ([*) выражение
J."tftJLn-m (»-") (n-m-1) m_2 , 1
I Y1 2Bn—1) ^ i •••/>
равное
B")' /i „J."tftJLn-m (»-") (n-m-1) m_2 ,
Таким образом, T^(cosO) совпадает с функцией, которую мы обозначил»
(-1)жР?(С08в).
Томсон и Тэт2) обозначают выражение
символом О^т), а выражение
символом &nm)- Таким образом,
(- в-, fg (cos 8)=^JgL еУ (,)=2m ^
Гейне использует символы P^ip), $^ ((i), ^((х), О^ ((J.) для случав
произвольных значений р. Они связаны с теми функциями, которые мы
здесь обозначаем Р™ ((i) и Q™ ((i), соотношениями
= ^ (I») = (fx2- l)^mQLn) (I») -
Spherical Harmonics, 1877, стр. 76.
Natural Philosophy, т. Т, 1879, стр. 187, 205.

96 Глава ш. прироединенные функции лежандра [58
§ 4. ТЕССЕРАЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПЕРВОГО РОДА
58. Рассмотрим функцию
Эта функция может быть записана в виде
Dm , ч ( —1)™,, „Лт
Помимо нулей в точках — 1 и 1, эта функция имеет еще п — т нулей,
которые все лежат между — 1 и 1 и могут быть разбиты на пары чисел
с одинаковыми абсолютными величинами и противоположными знаками;
A = 0 входит в число этих нулей, если п — т нечетно.
Рассмотрим на сфере с центром в начале координат геометрическое
место точек, определяемое уравнением
/C(cos6)c?sm<p=0;
п v ' sin т '
оно представляет собой сеть, состоящую из п — т параллелей, симметрич-
симметричных относительно экватора, и т больших кругов, проходящих через полюсы,
каждый из них получается из соседнего поворотом на угол —. Таким об-
образом эта сеть делит всю поверхность сферы на ячейки (tessera); отсюда
и происходит название «тессеральные» сферические функции. В случае т = п
число параллелей равно нулю и поверхность сферы делится на секторы,
а соответствующие сферические функции называются сокториальными функ-
функциями.
Если в написанном выше выражении для Р™ ((х) сперва разложить
(fj.2—1)" по формуле бинома Ньютона, а потом выполнить дифференциро-
дифференцирование, то получится формула
/ frm)(nml) n_m_2 _L
2Bл —1)
, (п— т)(п—т— 1)(п — т— 2) (n— m- 3)-w_m_,|
¦ 2.4Bn-l)Bn-3) •*
эквивалентная формуле E); при ти=п получаем
Если ((J,2 —1)" записать в виде
и затем разложить это выражение по степеням (i — 1, то получится формула
5 ^
( —I)2-"» BпI ., gj"» f /"[х- -l^n-m n(n~m)
1 • 2 • 2nBn-l)

58] § 4. ТЕССЕРАЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПЕРВОГО РОДА
которую можно переписать также в следующем виде:
A (п-т) (я + т +1) |х—
л „2\2m П i ("—т)(п+т + 1) |х—1
2mm!(n— m)l ^ ** ' I1" l(m + l) 2 "т"
. (л—m) (я—m — 4
^ l-2(m
ИЛИ
* (Я — 7?l) (я+Wl + 1) . 2 9
in
2тт|(Л-тI Sln °1 1-(т + 1) Sm 2 +
. 4 6
Sm 2 •••
это последнее равенство представляет собой обобщение формулы Мэрфи A8)
гл. И.
Рассмотрим выражение
^ {(I* - 1)»+* (^ + I)"—1},
которое можно записать в виде
или в виде
Выполнив дифференцирование, получим
-l\n n(n-m) /^-ly1
"ЯГ 1 KJ
¦ n (n—1) (n — m)(n—m —1)/-[x—l\n-2
+ V )
1) V. 2
Сравнивая полученный результат с формулой A0), находим, что
Это—обобщение формулы Родрига, которая получается отсюда при т =
Из формулы D) следует, что Р™ (}).) = (— \)п-т p^(_fl)> поэтому
Эта формула близка к формуле A2).
Аналогично, заменив в формуле A0) р. на —р., получим
'n кг,- 2mm\(n-m)l ^ f '
~" 1 • 2(m + l)(m + 2) V 2 у I'*']"
или
/ ш VI f
sinm 8 1-
^nVP/-V 4 2^m\(n—m)\
^ 1 .2(m+J)(m + 2) C0S T "" ' " * J *
7 в. В. Гобсон

98 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [59
В формулах A2) и A3) [х предполагается действительным и принадле-
принадлежащим интервалу (—1, 1).
Очевидно, что в общем случае, т. е. при [х, не принадлежащем указан-
указанному интервалу, соответствующие формулы имеют вид
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ .Р™ (|i) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
59. К функциям Р„ ([*) можно прийти еще иным путем, если заметить,
что так как (z + ix)n, т. е- rn(\>.-\-\f p2— lcosip)", ость решение уравне-
уравнения Лапласа, то решение вида ^"cosmip • и™ можно получить, представив
]( — Icosip)" в виде суммы косинусов дуг, кратных <р.
При этом нет необходимости ограничиваться только теми значениями \х,
которые принадлежат интервалу (— 1, 1).
Мы имеем
разлагая выражение, стоящее в правой части этого равенства, в ряд
по степеням Ур2 — 1 е4*, получаем
2 ¦
тп=1
(п—т)!
¦-.г}-
Подставляя вместо е*', e-inwP выражения cos mcp -f- j sin m<p и cos mip — i sin m<p
и учитывая, что получающаяся в результате сумма не может содержать
слагаемых, в которые входит sinm<f>, имеем тождество
—й Я»
(п + т)\ Aрп+тКР ' (л—т)! ф""'
и с помощью этого тождества приходим к следующей формуле:
' v '
У» S
которая выражает. (jj, + У (i2— I cos <p)" в виде комбинации сферических
функций; если вместо <р написать u-f-f, то полученный результат можно

60] § 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУЫФЦИЙ Р ™ (ц>
представить в следующем виде:
— 1 cos <р)п =
п
^ ^osm«pi>?(I*), A8)
тп=1
где р. не принадлежит отрезку [ — 1, 1] действительной оси.
Если р. действительно и заключено между — 1 и 1, то
(р. ± у у? — 1 cos<p)n = Pn (p. + i • 0) + 2 2] (± 1)'
m=l
и так как в силу формулы D)
1
Рп (|х + г • 0) = е 2 Р™( |х),
то
" _i
m=l
где
Если мы сравним равенство A9) с разложением выражения
(р± /P^Tcos.p)'1
в ряд Фурье, то получим
B0)
где р. = cosO.
Если (х не принадлежит отрезку [ — 1, 1] действительной оси< то ив
формулы A8) имеем
5 G*± /j?3lcos«p)nco8m«pd«p. B1)
о
Заменяя <р на <р — м, получаем из равенства B0), что
\ (z + *'ж cos и + iy sin и)" с.0^ тм da
представляет собой решение уравнения Лапласа. Это —частные случаи
общей формы решения
\ f(z + ixcosu + iysmu, и) da,
—те
найденной Уиттекеромг).
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ Р~т М
60. Уравнение A) не изменится, если в нем заменить т на —т,
следовательно, ему удовлетворяет функция (р.2 — 1) у, где у — решение
») Math. Ann., 57 A902), 333.

100 ГЛАВА И. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 160
уравнения
получающегося из уравнения B) заменой т на —т.
Если мы продифференцируем это уравнение т раз по {*, то получим,
что у удовлетворяет уравнению
и, следовательно, общим видом для ^j является АРп
Отсюда следует, что
1 р- I*
(интеграл берется то-кратный) и аналогичное выражение с Qn ((i) вместо
Рп ((i) удовлетворяет уравнению A). В случае Qn ((i) в качестве пределов
интегрирования следует брать (i и оо.
Два полученных таким образом частных решения мы обозначим
РптМ и <?п™1(!1)> пРичем предполагается, что (i не принадлежит отрезку
[ — 1, 1 ] действительной оси.
С помощью формулы A7) получается следующее соотношение:
(Ш\Р%Ы> B2)
где предполагается, что ге>то>0; в противном случае эта формула теряет
смысл, так как Р™ (fi) при т > га обращается в нуль, а (га — т) 1 — в беско-
бесконечность.
—-mni
При (а = cos 6 мы определим Pj"(cos6) как е Р~т (cos Q + i • 0)
в соответствии с тем, как в п. 55 мы определили jP^(cos6) равенством
Р™ (cos 6) = е2 т™Р™ (cos 6 + i ¦ 0),
отсюда следует, что
Jp-"l(cose) = (-i)'»g^JP^(cose). B3)
Справедлива также следующая формула:
т. е.
1 1
Р~т(cos6) = sifa- б { ...\Рп
Заметим, что
_im 1 1
и ц

61] § 7. ФОРМУЛЫ ДЛЯ Р™М И
представляет собой конечное решение уравнения A) даже и при т > п,
в то время как выражение (р.2 — IJ —л m в этом случае теряет смысл.
Общему решению
полученному выше, отвечает теперь формула
которая получается заменой т на — т; при этом [j-j / (р-) пони-
v р- и
мается как \ \ ,.. \ / (jj.) (d[i)m. Таким образом, имеется полная симметрия
между выражениями общего решения для положительных и для отрица-
отрицательных т.
§ 7. ФОРМУЛЫ ДЛЯ Р™ (р.) И Р-т (р.)
61. Для [г, не принадлежащих интервалу (— 1, 1) действительной оси,
функция Рт (р.) была определена в п. 54 как
Таким образом,
если (р.2 — 1)" записать в виде 2™ (р. — 1 )п 1 + -_• (р. — 1) и разложить это
выражение по формуле бинома Ньютона по степеням у A — р.), а затем
выполнить дифференцирование, то получится формула
B4)
Так как т < га, то гипергеометрическая функция, входящая в это равен-
равенство, на самом деле представляет собой многочлен степени га — т.
С другой стороны, записывая (р.2 —1)" в виде (р.— 1)п(р. + 1)п и поль-
пользуясь при дифференцировании формулой Лейбница, получаем
1
14 . B5)
В силу известного соотношения
F(*, р,г.^) = A-^-а-р^(т-а» т-Р; т; ж)
эта последняя формула эквивалентна следующей:
Мы показали, что

@2 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [62
поэтому при га > т > 0 из B4) вытекает
m( !?) B7)
Преобразуя гипергеометрическую функцию с помощью только что упомя-
упомянутого соотношения, получаем
т^ ^)B8)
Аналогично, из B6) имеем
/и+1-^iy B9)
Стоящий справа гиперх^еометрический ряд сходится, когда \i или Re (jj.)
больше нуля, кроме, однако, ц., принадлежащих интервалу @, 1) действи-
действительной оси.
Формулы B7), B8) и B9) были получены в предположении, что
пг<га, однако можно показать, что они справедливы и при т > га. Соглас-
Согласно определению, введенному в п. 60, мы можем йолучить выражение для
/>"*" (|х), подставив в выражение
вместо Рп (fj.) его значение
F(-ra, га+1; 1; *=±
и затем интегрируя почленно. Таким путем мы должны прийти к фор-
формуле, эквивалентной при т<га выражению B7) или B8). Но получающая-
получающаяся формула остается неизменной и при т > га, следовательно, формулы
B7) и B8) верны для всех целых положительных значений т. Мы видим,
что формула B8) содержит лишь конечное число членов, в то время как
в формуле B7) при т > га число слагаемых бесконечно. Формула B9)
может быть получепа из B7) с помощью томографического преобразования
гипергеометрической функции, приводящего к гипергеометрической функпии
с ^——т в качестве четвертого аргумента. Это преобразование имеет один и тот
же вид как при т > га, так и при т<га, следовательно, формула B9) спра-
справедлива при т > га.
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ (ц+ /jl2=Tcos ?)-«-i В РЯД ПО ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
62. Так как (z + ix)~n~l, т. е. г~п-1 ((*-{- )/[i.2 —I coscp)"™, представ-
представляет собой решение уравнения Лапласа, то, разлагая (jj. -|- У^р2 — 1 coscp)-"
по косинусам дуг, кратных ср, мы нолучим для уравнения A) решения
тессерального типа. Мы предположим сперва, что р. пе принадлежит
интервалу (—1, 1). Положив г# = ([х2—1) ei(p, мы, как и в п. 59, получим
2-1 cosср)-"-1 = Bw)"+J [(|* + wJ-1]-"-1 ¦
Предположим, что действительная часть [г положительна; тогда
< 1 и | w | лежит между [р. — 1 [ и | ц -\-11.
.

62] § 8. РАЗЛОЖЕНИЕ (n+V^a-l COS?) n ' ВРЯД ЮЗ
Что касается множителей (р. + w — 1)-™-1 и (fj.4-^ + l)~™~1, то первый
из них можно разложить в сходящийся ряд по степеням ^=-, а второй —
W
в ряд по степеням
Мы имеем
tt coscp)
Предположим теперь (га — целое положительное), что биномиальные
С а 1 V-— 1\-п-1 /¦ w \-n-l
разложения для ( 1 + -— J и A + —j ) суть
каждый из этих рядов абсолютно сходится при всех значениях ср.
Пусть а0 4- «1 + «2 + • • • — разложение в биномиальный ряд выражения
(l — ^j^j- j n , тогда |ar| = ar и |6r| = ar для всех г.
Произведение абсолютно сходящегося ряда a0 + «i + a2 + • • • на себя
есть ag + ^ao ai + • • • + (ао ar + ai ar-i + • • • + ar ao) + • • • I этот ряд сходится,
и его сумма равна f 1 — i—r-r )
ao со
Таким образом, двойной ряд 2 2aras а^солютно сходится и, следо-
г=0 8=0
вательно, его члены можно расположить в любом порядке, не изменив его
суммы; отсюда вытекает, что ряд
(a2 + a2 + a2+_) + 2(aoa1 + a1a24-...)+ • . • +2 (a0 ar 4-ax ar+1 + ...)+...
сходится.
oo 00
Так как \arbs \ = ar as, то двойной ряд 2 ^jath абсолютно сходит-
r=Os=O
ся, и поэтому его члены можно переставить в любом порядке, не нарушив
его сходимости и не изменив значения его суммы. Отсюда следует, что ряд
... 4- (a«A + aA+
имеет ту же сумму, что и произведение двух абсолютно сходящихся рядов
ao + a1 + ai+ ... и
которое равно
С помощью признака Вейерштрасса легко проверить, что ряд с общим
членом
(aobr+aA+i+ • • •) + (aA + ar+A+ • • •)
равномерно сходится при всех ср. Действительно, указанный общий член
по абсолютной величине не больше чем 2 (aoar4-ai<M-i+ •••)> чт0 пред-
представляет собой общий член некоторого абсолютно сходящегося ряда.
Следовательно, мы можем перемножить ряды, соответствующие выражениям

104 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [63
( 1+^—-J и м-)——-т\ , и затем сгруппировать члены, содержа-
содержащие одинаковые степени w, не изменив при этом суммы получившегося
ряда.
Если мы выполним это, то получим, что коэффициенты при гит и ги~т
в выражении
равны соответственно
и
Известно [см. формулу B9)], что
Следовательно, члены, содержащие eimtP и e~imtP, равны
(_1Г(^р_т([г)е4т? и (_iriM_pip_m(^)e_im?_
Мы показали, таким образом, что
оо
^m^±^>l C0)
Заменив здесь 9 на о -{- те, получим
00
^^^ C1)
m-1
Мы предполагали, что действительная часть \i положительна; тот слу-
случай, когда действительная часть [г отрицательна, можно рассмотреть,
заменив р на — [J..
Если [j. действительно и заключено между 0 и 1, то мы имеем
(I* ± Vv^^ cos ср)"" = Рп (|* +1 • 0) +
+ 2 2 (-F 1)*" п< ^и™ (f1- + * ' 0) cos тер,
и так как
то
-1 = рп (cos 6) + 2 2 (Т 1)т е1""" Рйт (cos б) cos тер. C2)
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ Р™
63. Из формулы C0) следует (^ — произвольно), что
Т'- () (l)m ^ ?
Я 1 у . ./"Та л \«j.i' ч"" ' \""/
О

63] § 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ Р™М Ю5-
Равенство выражения
•к
\ (р. + Т^2— 1 cos cp)n cos игср c?cp
n!
о
для PJT([j.), даваемого формулой B1), и выражения
ж
га! , .. m P cos m^
(п—т)\ ]
при ге>иг можно проверить с помощью способа, принадлежащего Якоби.
Заметим, что в случае т > п это равенство становится тривиальным, так
как каждое из этих выражений обращается в нуль.
Воспользовавшись формулой
(—l)m2mm! dm(i —
= Bm)l ~
2
где z = cos<», получаем
-i
После m-кратного интегрирования по частям правая часть этого равенства
дает
i_ 1 _ 1
-1
следовательно, в силу B1)
о
Воспользовавшись подстановкой
\ (, + V^-UoS9r-sin^9d,. C4)
[А+ ]/"A2—1 COS?
получаем
1 я
о
Теперь, как и выше, можно показать, что
cos тф йф =
и требуемое равенство доказано. Здесь всюду предполагается, что действи-
действительная часть р. положительна и что ге > /и > 0.

106 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [64
§ 10. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ СТЕПЕННОГО РЯДА
С КОЭФФИЦИЕНТАМИ P™(cos в)
64. Пусть [j. действительно и заключено между —1 и 1. Тогда, егли
< 1, то
Дифференцируя обе части этого равенства т раз по р., получаем
со
1-3-5... Bm—I) A™ _xi ьп^РпМ
A—2uia+A2) 2
Почлепное дифференцирование здесь допустимо, так как в каждом ин-
интервале, лежащем внутри (— 1, 1), ряд, получающийся после иг-кратного
дифференцирования, равномерно сходится.
Отсюда получаем, что коэффициент при hn'm в разложении
1
мо степеням h равен
Bт)! I1 I* I Ип
Полагая h== —, n = cos0, где r'<r, имеем
m 1
(/r2 + r'2_2^'cos6) 2
Так как
1
т+1 ^ Р; vr/
'>'2 — 2tv'cos6)
т+п
(г—г'J] 2
~ Zl V х^ (га —т)! д
-то мы приходим к следующей формуле:
представляющей собой обобщение формулы A3) гл. II для Pn(cos6).
Если выражение проинтегрировать т раз по [j. в преде-
пределах от 1 до [х, то получится
•плюс некоторое рациональное выражение, содержащее только степени h,
причем наивысшая отрицательная из этих степеней есть h~m; это выра-
выражение должно быть равно ^}hnPnm(p) ( — l)m(l — f-2)^". следовательно,
2
коэффициент при /гп+т в разложении /o^Ti (^—2fep. -}-fe2) 2 по степеням/г

€5] § 10. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ СТЕПЕННОГО РЯДА 107
равен sinm 6 P^m(cos 0). Полагая h — —, мы видим, что коэффициент при
г'п+т в разложении выражения
_i
(r2 + /-'2-2rr'cos0)m 2
равен
(-1)"+™
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
-(- 1Г+т sin-™ б 2mml — **+т г*»-*
-(-i; sin О Bm)!(n + m)! i-"-n-i 3z«+>«r •
65. Если в формуле
F cos то-»
о
мы положим a = [i — A, 6= -J-|/^fj.2—1, to получим равенство
f cosmepdep _ я I А — ц+ 1^1— 2A[x+ A2
-> [x—A + ]/[x2—lcOSip "~ /Т^1ЩГ+Т2 I ]/u.2 — 1
справедливое при условии, что ^ не оринадлежит интервалу @, 1)
действительной оси. Предполагая, что й<1, разложим подинтегральное
выражение в левой части по степеням h; из формулы C3) мы видим, что
равняется коэффициенту при hn в разложении выражениия
1 I h— ;х+ /1—2;хА +^2 )m
Vl — 2(iA+A2 1 /jl2^! J
по степеням А. Здесь предполагается, что jj. не принадлежит интервалу
( — 1, 1) действительной оси.
Если [j. действительно и лежит между —1 и 1, то положим /г = — ;
1
в этом случае P^m([j.) следует заменить на е5 P^m([j.), и мы получаем,
что ^ , Pi7m (p.) — коэффициент при C—j в разложении
г f z-r'— l^r2 + г'*—2угг' У"
/72— 2 («•!•' + Г'2 I Г /l^I2" j
— равняется
(_1)п+тп . 1 5" (г —z)m
Sin "
п\ Sin " г»"-п-1 gjri r
Отсюда
Р~т(со~,0) (~1)П sin""fl *" (r
^n ^cosu;- (n_TO)! rm-n-! 5zr;
или, согласно B3),
* (COS 6) - (-i)n Sin 6 ?L (»«) - A) rn.rm+l sin Q _
n ^COSD;_ (n_m), rm-n-i 5zn r — („_m)| Г Sln U3z" (r + z)""
Таким образом,
l . Bg)

tOg ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ Л ЕЖ АНД PA [6ft
если z заменить на — z, то эта формула примет вид
} <з9>
Эти формулы могут быть получены также из A3) с помощью фор-
фору
мулы Лагранжа. Пусть y = p + h у ~ и f (у) = (~^)т- Тогда
I— 1,
или
V -4- 1
Подставляя, как и в п. 44, вместо дроби -—? ее значение и прирав-
приравнивая коэффициенты при hn, мы получим ту же самую производящую
функцию, что и выше.
§ 11. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
С СОСЕДНИМИ НОМЕРАМИ
66. В п. 54 было показано, что —dum удовлетворяет уравнению
Отсюда с помощью равенства
получаем следующее соотношение:
)P™(v.) = O, D0)
представляющее собой рекуррентное соотношение между тремя функциями
Р™+ (р.), Р™+ (р-) и Р™([j.), причем [j. не является действительным числом,
меньшим 1. В случае [г = cos 0 мы имеем
откуда получаем для этого случая
Рп+2 (cos 6) + 2 (те + 1) ctg 0P™+i (cos 6) + (га-т) (п + т +1) Р™(cos6) = 0.
D1)
Чтобы получить рекуррентное соотношение между Рп+2.(р)> P™+i (p-) в
'Рп (р-), мы можем воспользоваться следующими формулами:
Bга + 1) [гРп (ц) - (га + 1) Р„+1 ((г) - raPn_j (ц) = О,
которые были получены в п. 20.

67] § 12. СВЯЗЬ МЕЖДУ Qn m(|x) и fr™(n) 109
Дифференцируя первое из этих равенств т раз по и, получаем
Дифференцируя второе равенство т — 1 раз по [j., получаем
Исключая — m"i из полученных равенств, имеем
ф
т. е.
(гга + ^^^^-^-т+^РГ-и^-^ + т)^^-!^) D2)
или
(„_т + 2)РГ+2([х)-Bп + 3)[г^+1Ы + (« + т+1)РГ(^) = 0. D2')
Это и есть искомое рекуррентное соотношение.
§ 12. СВЯЗЬ рЕЖДУ Q-m(|*) И Qjffo)
67. Воспользовавшись представлением @„ (jj.) в виде ряда по возра-
возрастающим степеням —
2»nUI 1 p/n + 2 n+i. . 3 . 1-N
Bn+l)! [a'1+1 V 2 ' 2 ' + 2 ' (««у '
справедливым при |ц|>1, получаем, дифференцируя т раз по р,
1
1 2 . ,
2Bn+3) jj.n+m+8-г •••] ^ a; Bn + l)l ^ '
n+m + i 3 . 1
——re+y
Эта формула определяет $T([i) при |[i|>l не только т<и, но и
вообще для всех целых положительных значений т; более того, она может
быть принята за определение QT(v-) и Для целых отрицательных т, та-
таких, что п + т > 0.
Воспользовавшись известным соотношением
мы видим, что
Отсюда приходим к следующему соотношению:
4; -1). D3')
D4)

110 ГЛАВА HI. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [68, 6»
§ 13. (ШРЕДЕЛЕПИЕ ФУНКЦИИ Q™(cos6)
68. Если [j.-— cos0, то @™(cos6) удобно определить следующим равен-
равенством:
1 . 1
(— l)m Q™(cos 0) = -гг [е Q™ (cos 6 -j- i ¦ 0) -\- e" 0™(cosO— г - 0I D5)
(см. п. 54), которое при m = 0 согласуется с определением Qn(cosb), дан-
данным в п. 32. Ясно, что так определенная функция @™(cosO) удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению Лежандра для действительных р.
То единственное слагаемое в выражении E9) гл. II для случая про-
произвольных значений [j., которое не является многочленом, входит в каче-
качестве слагаемого в выражение
V" U*) —( —1) ~(Щ № —1) [d^i+^KV- —4 J • \ ((Jl2_1)n-t-i .
м-
содержащее In (p. — 1) и In (p. +1). Это слагаемое равно
A^
dw
ГС ф Т( l)n?
J ^) 3
V- 0
где [j. = cos 0 ± i • 0, так как интеграл от 0 до то следует брать вдоль
мнимой оси в положительном или в отрицательном направлении, в зави-
зависимости от того, берется в выражении cos 6 ± i ¦ 0 знак + или —.
Отсюда следует, что
_1 ¦ I ¦
в 2"""#Г (cos0 о- i ¦ 0) -e2mitt (cos 6 -i . 0) =
0
Таким образом, мы приходим к следующему соотношению:
em7ci #Г ([г + i ¦ 0) - em7ti Q (;x _ j . 0) = - w ( - l)m ^
Из определения D5) и равенства D6) получаем
где [j. = oos 6.
Мы предполагали выше, что тп*Сп, так как иначе рассматриваемое-
выражение обращается d нуль. Однако соотношение D6) остается в силе-
и без этого ограничения, так как Р™ (jj.) — 0 при m > n, и равенство
принимает вид
§ 14. ФУНКЦИИ Q™(|i), С (cos 0)
69. Для \i, не принадлежащих отрезку [—1, 1] действительной оси,
функция Q% (fj.) была определена в п. 54 как ([Vs —1J>"—^"J ; в силу

69] § 14- ФУНКЦИИ Q™<n), Q™(cos8)
формулы E9) гл. II это эквивалентно равенству
где |х не принадлежит действительной полупрямой ( — оо, 1).
Чтобы получить для Q™ (|х) выражение, аналогичное формуле A3) для
Р™ (|х), положим и = (|х — l)n~m (jx + l)n+m. Тогда и удовлетворяет следующему
уравнению:
откуда, дифференцируя по |х, получаем
Чтобы найти общее решение этого уравнения второго порядка, поло-
положим м= (|х — l)"^m (|i,_|- i)n+mw; мы получим тогда для ги дифференциальное-
уравнение
Г/м ^ \П~ТП /м J- 1V4""M
op. су op- i ^ С'*—^' И*—2ти л
~^йГ= ((j.—l)"-m((j. + l)n+m ' Г^"^ = и>
откуда
"¦w /„ ^\2n-2m /м _|_ 1 \2n+2m /„2
т. е.
Таким образом, выражение
представляет собой общее решение дифференциального урарнения
Дифференцируя это уравнение п раз по jx, получаем, что
-г- A — V-¦ ) , „ ,, — 2m , n<.x + и (и +1) -7-^- = 0.
Это последнее урапнение легко сводится к тому уравнению, которому
т-ТП
удовлетворяют Р™ (\х) и Qn(p)- Положив в уравнении A) и = С ^ . j 2 t/»
получим, что t/ удовлетворяет уравнению
Таким образом, общее решение уравнения A) имеет вид
1
г-Я»

112 ГЛАВА III. ПРИСОКДИНКННЫК ФУНКЦИИ ЛКЖАНДРА [70
Первая часть этого решения совпадает с выражением A3) для />"({!,);
вторая часть, обращающаяся в бесконечность при (* = ± 1 и стремящаяся
к нулю при | (х | —гюо , дает
Все это выражение является алгебраическим, за исключением слагаемо-
Ц.+ 1
го, которое содержит член ш . , появляющийся при интегрировании.
Чтобы определить постоянную К, предположим, что |jj,|—»оо, тогда
главная часть рассматриваемого выражения равна
т. е.
К п\(—1)" .
2n+l ' p."*1 '
с другой стороны, из формулы D3) следует, что главная часть есть
отсюда
V I i \т-п2"
Л-^ ^ Bл)!
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
)l (у.— 1Л2*" d" Г, 1\>и
X
аналогично формуле A3) для />™(|а).
70. Полагая (i = cos 0±i • 0, получаем, что
<?Г (cos 8 ± i ¦ 0) =
СО
И-
Интеграл от jx до оо берется вдоль пути, идущего выше или ниже
действительной оси, в соответствии с тем, берется в выражении cos 9 ± t • 0
знак + или —.
Интеграл от jx до оо можно разбить на две части, первая вдоль дей-
действительной оси до 0, а вторая вдоль мнимой оси от 0 до i i со, тогда
этот интеграл примет вид
ОО 00
е
J A —(
Положив |=tg<J», получим
оо я
\ ,. . ичп m,,,,—^55Г — \сов2пф(eos2тф — is:

71] § 15. РАЗЛОЖЕНИЕ Q™ (ц) И i>™ (ц) ПО СТЕПЕНЯМ ц-Ws-l 113
Далее, разлагая cos2n<J» по косинусам кратных дуг, легко показать, что
¦п
V cos2n <J» sin 2/n<J» d$} = 0
о
и
те
2
Bn)I л
\ cos2n Ф cos 2/n ф d<b — „„„ , -
0
j
0
Воспользовавшись формулой D5) для Qn (cos6)j получаем
1
X ^
m+i J »
ix = cos9, и>/п>0. При /п = 0 получаем формулу F0) гл. И.
Равенство D6)
""*^ "^^-, . 0)= _г«(-
легко проверить, воспользовавшись приведенным выше выражением для
Qn([>- ±i-0) и формулой A3) для />? (ix).
Формулу D8) легко распространить на любые целые значения т.
§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ <3^(ц) И />?» ПО СТЕПЕНЯМ р-У$*^1
71. Если в уравнении B) за новое независимое переменное принять
= (ji, — |/ jj,2 — IJ, то получим
>«(п+яЧ-1) , ,
если теперь положить г; = \г v , то для у получается следующее
дифференциальное уравнение:
Сравнивая его с дифференциальным уравнением
которому удовлетворяет v'=F(n, P; f; ?), мы видим, что
1 '
Р = /п + у, ^ = и-)-у эти уравнения совпадают. Таким образом, основному
уравнению A) удовлетворяют функции
8 Е. В. Гобсон

114 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 17!
Заменяя m на —т, мы видим, что уравнению A) удовлетворяют так-
также функции
_t—2"<"+¦")/ 2 л\—г^рЛ . 1
Ряды щ и м2 сходятся для всех значений |х, не принадлежащих от-
отрезку [ — 1, 1]; м3 и м4 сходятся для всех |х, так как действительная часть
|/ {л2 — 1 имеет тот же знак, что и действительная часть \х. Чтобы получить
выражение для (?JT(|x), достаточно, полагая ||х| —э-оо, сравнить полученные
решения с выражепием D3), в котором главный член равеп
(-1)
таким образом, ^n (jx) можно выразить через ряд ult в котором главный
член равен 2„+>п+1 • ^n+m+i (Р2 — !J™' и мы приходим к следующей фор-
формуле:
n+i'>i)> <49>
где z-=( ]
Воспользовавшись соотношением
F(a, p; T; x) = (l-x)^—PF(T-<x, T_P; Т; г),
мы получаем также формулу
» + у;1), E0)
где z = |
Заметим, что ряд D6) сходится при |г| = 1, /га>0, т. е. при ja = cosO,
и в силу теоремы Абеля сумма этого ряда непрерывна, как и его сумма
при 121 > 1. Это следует из известного факта, что гипергеометрический
ряд F (a, P; f; 1) сходится, когда f — <* — Р > 0.
Если (х велико по модулю, то главный член ряда м2 есть Bix)n"m(ii.2 — l) 2 ;
сравнение с формулой E) показывает, что главный член в выражении для
Р'п М равен
Bn)! „_m , о . s-nm
2"n!(n— т)! ^ ^ /
Отсюда получаем следующую формулу:
/I N
E1)
где |=(ji, — ]/ ji,2— 1J = ^2 • 1ак как п>т, то выражение E1) представляет
собой многочлен от ?.

72] § 16. ИНТКГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Q™ <ц)
Формула E1) может быть приведена к следующему виду:
**---». 7—i т—= «)• <52)
С помощью определений, изложенных в п. 55 и 68, из формул D9) и
E1) можно получить разложения Р™ (cos 8), (?™(cos8) по косинусам дуг,
кратных 0.
§ 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Q™ (ц)
72. Выражение D9) можно записать в интегральной форме с помощью
следующего равенства:
1
о
таким образом, получаем при п>/га, что
) ^ 2
V- 1
или, полагая м = ——-г,
Х
Vn \vi-\- Ч („_»)! Bт-1)!
X
Эта формула подстановкой у = ch ф приводится к виду
1... оо
4n + m)l(m)l 2 .^ Г вЬ*"ф # _„
(n_MIBM)! № 4> i (l»+/j?=icli«|,)n+m+11 ( J
где я — лг>0 и (А не принадлежит отрезку [ — 1,1] действительной оси.
В случае (* = cos6 из определения, сформулированного в п. 68, получаем
J
о
а также
J (cos 9—i sin 0 ch d/^+n'H-1 J '
о
«tPT (cos 9) = f (ra + ")' ",' sin"» 8 Г f, „ sh.2mj' ?
nv ' (n—m)\Cim)\ L J (cos6—isinG ch>
h i|;)n rm+1
J (cos в +1 sin в ch (|/)»ч-™+« *

116 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [7 2
Записав выражение
со
1тг.
в виде
(в + т)!
6
и воспользовавшись формулой
2-1) ^ " "т'~^
_ m_, Bm)I sinm6
— I -I; 2mm! m
где » = cos9, мы получим выражение
1 oo
n\ Bm)l , 2_i\~2m Г chm<|/
№ 1) ) )n+1 *'
) (^+ /J3=l c
где 8 = t6. Таким образом мы пришли к следующей формуле:
где я>т и ц не принадлежит отрезку [ — 1, 1] действительной оси.
Сделав в формуле D9) подстановку
получаем
ц—1
X \ ([i
о
где и>/п.
Преобразовав это выражение по формуле Якоби, мы приходим к сле-
следующей формуле:
^ E5)
о
справедливой при всех значениях т; она удобна для фактического нахо-
нахождения значений Q™{p), так как, пользуясь ею, приходится вычислять
только интегралы вида
Г ц-1

73] § 17. ВИД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИИ Ц7
§ 17. ВИД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ
73. В п. 40 было показано, что для всех значений |х, не принадле-
принадлежащих отрезку [—1, 1] действительной оси,
дифференцируя обе чаЪти этого равенства т раз по |х и умножая на
(jj-2 — 1 )z , получаем
-1
Эта формула наводит на мысль, что уравнению B) должен удовлетво-
удовлетворять определенный интеграл вида
ь
\ ——"™^~~~^~^~~~ tit •
а
где интеграл берется вдоль некоторого пути, не проходящего через
ТОЧКу [I.
Положив
имеем
Далее,
d 1 —fg , o\Lz?!2f
I
"Г
Следовательно, рассматриваемый интеграл равен
т. е.

H8 ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [73
Так как Pn(t) удовлетворяет уравнению Лежандра, то последнее выраже-
выражение равно
U 1*2 Р (t)
Р (t)
Мы заведомо можем добиться, чтобы эта величина обращалась в нуль,
положив Ъ = 1, а = — 1. Так как многочлен Рп (t) имеет степень п, то
при т>п мы можем получить тот же результат, положив Ь=оо, а = 1
или 6—оо, а=—1. Далее, если т отрицательно и по абсолютной вели-
величине больше 2, то мы можем положить 6=1, а^=\х или 6=—1, а = \х.
Таким образом, мы получаем решения уравнения A) в следующих видах:
-т' J
а) (р.2—IJ '^ ^_-BM__dM, где (х не принадлежит отрезку [ — 1,1]
действительной оси; этот вид мы уже рассматривали;
^ (H^r+i где
— 1
r) (jv
Д) (Р:
2 —1)
1
~2 т
1
(в - j*)«-» Pn (в) <Ь, где щ > 2;
[и — р)т-*Уп (и) du, где т > 2.
Формы «б» и «в» представляют собой два независимых решения урав-
уравнения A) при т > п, причем путь интегрирования не должен проходить
через точку и = jx .
Формы «в» и «г» при /п<и обе представляют решение P™([i). Эти
решения и их разложения в ряды были подробно изучены Ф. Нейманом1).
Заметим, что указанные выше формы решений уравнения B) остаются
в силе и при произвольных (т. е. не обязательно целых или даже действи-
действительных) значениях пит, хотя Нейман в своих исследованиях ограни-
ограничивался целыми пит.
J) Beitrage zur Theorie der Kugelfunktionen, Leipzig, 1878, стр. 25—40.

Глава IV
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
74. Мы переходим к изучению решений уравнения Лапласа в его
первоначальной форме
дх2 ^ ду2  dz2 ~4' \1>
Эти решения будут получены в виде однородных функций от ж, у, z.
Решения, найденные в гл. II и III, получатся при этом в качестве
частных случаев. Многие результаты, полученные в гл. II и III, будут
здесь изложены с иной точки зрения.
Функции, однородные степени п относительно ж, у и z и удовлетво-
удовлетворяющие уравнению A), пазываются шаровыми функциями. Степень п может
быть целой, положительной или отрицательной, но может быть и дробной
или даже любой комплексной.
В этой главе мы рассмотрим только случай целых степеней (поло-
(положительных и отрицательных), отложив изучение функций дробных и ком-
комплексных степеней до гл. V.
Если ж, у, z заменить их выражениями" в сферических координатах, то
шаровая функция степени и примет вид /•" • /пF, 9); ПРИ этом множитель
/„F,9) называется сферической {поверхностной) функцией степени п.
Удобство пользования шаровыми функциями, записанными в декар-
декартовых координатах, было замечено почти одновременно Томсоном (лорд
Кельвин) в Англии и Клебшем в Германии. Наиболее полное изложение
этого вопроса содержится в хорошо известном Приложении В «Натураль-
«Натуральной философии» Томсона и Тэта.
Термин «сферические функции», введенный Кельвином, связан с тем
обстоятельством, что с помощью этих функций может быть записан потен-
потенциал, удовлетворяющий тем или иным определенным условиям, заданным
на поверхности некоторой сферы.
75. Пусть Vn означает произвольную шаровую функцию степени и,
тогда
= rm <gp _|_ 2/иг«-2ж ^2 + {/пг«-2 + т (т - 2) жV"-4} Fn;
д2 д2
выписав соответствующие выражения для уу (rmVn) и -^y (rmVn) и сло-
сложив все три равенства, получим
V* {гтуп) = 2/П/—2 (ж ^ + у ^ + z -^ь) + т Cm +1) r™-Wn;
так как
то отсюда имеем
)r»»-2Vn. B)

120 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [76
Если в уравнении B) положить т=—Bп-\-2), то получим
V2/-2"-iFn = 0. C)
Таким образом мы приходим к следующему фундаментальному результату:
если Vn — шаровая функция степени п, то шаровая функция степени
— п — 1 получается делением Vn на />2п+1.
Формулы B) и C) остаются справедливыми при любых значениях п.
Каждой шаровой функции целой положительной степени п соответствует,
как мы видели, шаровая функция целой отрицательной степени — п — 1.
Этот результат можно сформулировать следующим образом: каждой (по-
(поверхностной) сферической функции /л Fг <р) отвечают две шаровые функции
/¦"Але,*) нг--у»(е,?)-
Результа т C) представляет собой частный случай следующего более
общего факта: если F (х, у, z)— произвольная функция, удовлетворяющая
уравнению V2F=0, то функция — F f-^-, -^-, — J удовлетворяет тому
же самому дифференциальному уравнению. Это утверждение, которое можно
проверить непосредственным дифференцированием, тесно связано с томсо-
новской теорией инверсии; действительно, пусть (ж', у', z')— точка, которая
получается из точки (ж, у, z) с помощью инверсии относительно сферы
радиуса 1 с центром в начале координат, и F (х, у, z) представляет собой
некоторый потенциал, тогда значение потенциала в точке (ж', у', z') равно
L wF{x, у, z),
т. е.
которая совпадает с B), когда /п — сферическая функция.
В случае т= — Bи + 1) имеем
2n+l J
Эта последняя функция представляет собой потенциальную функцию
независимых переменных жС, у', z'.
Если /п — однородная функция степени и, не обязательно сферическая,
то вместо B) мы получаем более общую формулу
7* (/•"•/„> = т B» + т + 1) т-«-2/п + rmV%, D)
§ 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
76. Наиболее важными шаровыми функциями целой положительной
степени п являются те, которые представляют собой многочлены степени п
относительно ж, у, z. Эти шаровые функции вместе с соответствующими
им шаровыми функциями отрицательной степени — п — 1, получающимися
из первых умножением на г~2п~1, можно назвать обыкновенными (ordinary)
или полными (complete) шаровыми функциями. Эти функции мы здесь
и рассмотрим; другие типы шаровых функций будут изучены ниже. Наи-
Наиболее общий однородный многочлен степени п содержит у(и + 1) (
произвольных коэффициентов; если его подставить в уравнение Лапласа,
то получится выражение степени п — 2, которое следует приравнять нулю.
Так как коэффициент при каждом члене, содержащем жр1 г/ zv*t Где

76] § 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 121
Pi + Ря + Ра — п — 2, должен быть равен нулю, то -j га + 1) (га + 2) коэффи-
циентов исходного многочлена должны удовлетворять у я (га— 1) соотноше-
соотношениям. Если все эти соотношения независимы собой, то -^n{n—i)
коэффициентов могут быть выражены через остальные; таким образом,
совокупность гармонических функций указанного типа зависит от
1 1
у(я+1) (га + 2)—- га (га — 1) — 2п + 1 независимых параметров. Следова-
Следовательно, среди этих функций должно существовать 2га+ 1 линейно незави-
независимых, а вес остальные гармонические функции данного типа представ-
представляются в виде их линейных комбинаций. Например, линейно независимыми
гармоническими многочленами степени 1 являются X, у, Z, выражения
у2 — z2, z2 — х2, yz, zx, xy представляют сооои пять линейно независимых
гармонических многочленов степени 2.
Мыслимо, однако1), что эти -к-га (п—1) соотношений между коэффи-
коэффициентами не будут независимы между собой; в этом случае число тех
коэффициентов, которые можно выразить через остальные, было бы меньше,
1 . .ч
чем у га (га — 1), и, следовательно, число ливеино независимых гармоничес-
гармонических функций степени га оказалось бы больше, чем 2п-\-1. Это было бы
в том случае, если бы существовали гармонические многочлены степени
и —2, которые нельзя получить применением оператора V2 к однородному
многочлену степени га, т. е. если бы произвольный многочлен степени га — 2
нельзя было бы получить применением оператора V2 к многочлену степени га.
В п. 80 будет непосредственно доказано, что это не так. Если это пред-
предположить доказанным, то отсюда непосредственно вытекает, что число
линейно независимых однородных гармонических многочленов степени га
равно в точности 2га -f-1 • Сейчас мы дадим косвенное доказательство этого
факта, основанное на результатах гл. III.
Подставим в произвольный однородный многочлен степени га от х, у, z
вместо х, у и z их выражения в сферических координатах:
a:=rsin8coscp, у — г sin б sin cp, z = rcosO,
запишем выражения вида cosPcpsin'cp через синусы и косинусы кратных
дуг и приведем подобные члены. Воспользовавшись выражением A) гл. II
для V2 в сферических координатах, получаем, что если Рп (х, у, z) — произ-
произвольный однородный многочлен степени га, то Ъ2Рп(х, у, z) записывается
в виде
?^ дг ' г» 36»
ш=1
где и0, ии и2 vlt v2,... — функции только от 0, а Ао, Аи ... Ви В2,- ¦ •
суть 2» + 1 произвольных постоянных.
*) Томсон и Тэт, а также и многие другие авторы, доказывавшие существование
в точности 2п+1 линейно независимых гармонических многочленов, молчаливо допу-
1
екали, что указанные -iyn(n — 1) соотношений действительно независимы.

122 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [77
Полученное выражение можно привести к виду:
m=l
Это выражение будет равно нулю, если все постоянные кроме одной,
скажем Ат, равны нулю и если
Мы видели, что это уравнение имеет единственное решение, не содер-
содержащее логарифмической особенности, а именно ат Р™ (|х). Отсюда следует,
что существует 2га+ 1 гармонических функций гп Р„((J.), гп Р™ (|i) c.os m<p,
SI II
где т = 1, 2, ..., п\ эти функции линейно независимы, так как если
п
ао К М + Е К. cos m<? + pm sin me?) P? (ц) = 0,
m=l
то, умножая это равенство на cos/жр или на sin тер и интегрируя по ср
в пределах от —% до %, мы получили бы ат = 0, Рт = 0 для любого т.
Покажем, что число линейно независимых гармонических функций
рассматриваемого типа не может быть больше чем 2га +1. Если Pn(x,y,z)—
гармонический многочлен, то
ш=1
где
a Vm означает аналогичное выражение с vm вместо ит.
Так как это равенство должно выполняться для всех значений ср> т0
пз него, как и выше, получаем AmUm — 0, BmVm = O. Поэтому, если Ат
или Вт не ну^1Ь, то соответственно ^7т = 0 или Vm = 0 и, следовательно,
ит и г>т равны а'тР™(\ъ) и ф'т Р™ (|i). Таким образом, гармоническая функ-
функция Рп (х, у, z) представляет собой линейную комбинацию уже найденных
2га+ 1 гармонических функций. Итак, доказано следующее предложение:
Число линейно независимых гармонических многочленов степени га
равно 2га -\-1.
77. Другой способ фактического нахождения 2га -f-1 линейно незави-
независимых гармонических многочленов состоит в следующем. Заметим, что
если а, Ъ, с —постоянные, такие, что а2 + й2+с2 = О, то всякая дважды
дифференцируемая функция вида
удовлетворяет уравнению Лапласа. В частности, уравнению Лапласа удов-
удовлетворяет функция
(z + ix cos a + iy sin а)п,
где а — произвольное постоянное; если при некотором а раскрыть отот
многочлен, то как действительная, так и мнимая его части будут гармони-

78] § 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 123
ческими многочленами степени га. Мы имеем
(z + ix cos a + iy sin а)п = rn {cos б -f i sin б cos (cp — a))";
разложение выражения {cos б 4- i sin б cos (cp — a)}" no косинусам дуг, крат-
кратных <p — a, было уже получено в п. 59. Полагая cos6 = |i, получаем
(z + ix -f- iy sin a)n =
Так как правая часть этого равенства при всех а удовлетворяет уравнению
Лапласа, то каждый из коэффициентов при cos/na, sin яга в отдельности
является гармонической функцией; таким образом, мы получаем 2га+ 1
гармонических функций
гп Р% (|х) cos т ср, гп Р% (|х) sin m ср,
где /га~1, 2, ..., га. Эти гармонические функции, очевидно, линейно не-
независимы и, следовательно, образуют искомую систему. Таким образом,
общий вид пдаровой функции степени га дается формулой
ш=1
где а0, ат, Ьт суть 2га+1 произвольных постоянных; если в этой формуле
r,|iif заменить их выражениями через х, у, z, то мы получим общее
выражение гармонического многочлена степени га.
Если Yn (x, у, z) — шаровая функция степени га, то -^ также является
шаровой функцией; это непосредственно следует из последней полученной
формулы. Так как -=—=х—. У^-, то х-^ — у——1 является шаровой
т r J d<p ду " дх ' ду " дх г
функцией. Ясно, что шаровыми функциями будут также у -^ — z~r^
ду
и z-д-5—^-д-5- Тем же свойством обладает и У_„_1.
OX OZ
78. В п. 76 мы показали, что наиболее общим видом гармонического
многочлена степени п от (х, у, z) является линейная комбинация зональ-
зональных, тессеральных и секториальных шаровых функций, соответствующих
системе сферических (поверхностных) функций, рассмотренных в гл. П и Ш.
Мы получим этот же результат иным методом, который был развит
Томсоном и Тэтом, а также Максвеллом; метод этот ценен не только своей
простотой и изяществом, но и тем, что он глубоко вскрывает природу
и свойства рассматриваемых функций. Основа этого метода состоит в том,
что если дано некоторое решение уравнения Лапласа, то другие его реше-
решения могут быть получены из данного с помощью дифференцирования
но х, у и z, или, в более общей форме, если V — решение уравнения
Лапласа, то решением будет и /(-5^. -у > -^) У> где / — любой много-
многочлен. С помощью этого метода можно из простого решения F = —
получить все зональные, тессеральные и секториальные функции любой
целой степени. Чтобы изложить этот метод возможно проще, удобно начать
с изложения одной общей теоремы о дифференцировании.

124 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [79
§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
79. Предположим, что требуется вычислить выражение
где F и ср — произвольные функции, а /п — однородный многочлен степени га
от операторов ^— , ^— , ..., ^— . лсно, что это выражение может быть
0% j 0Х 2 ^*^Р
записано в виде
гДе Xi> Хг> •••» Zn-i — функции /> переменных, зависящие только от вида
функций ср и /п, но не от функции F. Поэтому, для того чтобы определить
функции х» мы можем выбрать функцию F так, как это нам будет наиболее
удобно. Пусть F представляет собой га-ю степень ср, т. е. F (ср) = срп, тогда
С другой стороны,
где в правой части А1; /г^, ..., hp после выполнения дифференцирования
следует положить равными нулю.
Воспользуемся формулой
Ж2?
п
2 АЦп-
и применим к обеим ее частям оператор /„Г^-, -гг- , •••, тт- ). Мы полу-
п у^д^ дп2 дПр/
чим равенство, которое при А1 = 0, А2 = 0, ..., Ар = 0 должно совпадать
с равенством (А). Сравнивая коэффициенты при cph, получаем
1 . / д
— ср (Xi, Х2, • • •, %р)\ »
где hu h2, ..., hp после выполнения всех дифференцирований следует
положить равными нулю.
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
V |_Ср \7j\f Д/2, . . ., 3?p)J =
it ' '' '' dhp
где
- ср (Xl x2, .,

79] § 3. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 125
и hu k2, ..., kp в окончательном результате следует положить равными
нулю.
Частный случай формулы (Б), соответствующий р=1, /п = (-т- J , был
дан Шлёмильхом*).
В случае ср (хг, х2, ..., хр) = х\ + ж|+ • • • +Х1 = г2 формула (Б) значи-
h
dF
тельно упрощается; в этом случае коэффициент при —^--, т. е. при
равен
?
+ 2 (Mi
где после выполнения дифференцирования следует положить h1 = h2= .. .
... = hp = 0. Единственное слагаемое в этом выражении, которое не обра-
обращается в нуль, равно
^(Ж" 17 Щ) П (А1 Г 2"
(я-*)! ^"(Ж"' 1*7' '•¦' Щ) к\(п2к)\ (А1*1 + А2*1+-.-Г X
Легко видеть, что если /п, фп — две функции одпой и той же степени п, то
^{К, К, ..., hp) =
отсюда следует, что коэффициент при ^^ равен
ftl(ii-2*)! 2
+ + +
положим теперь
i, А2, .... Лр),
тогда полученное выражение можно переписать в виде
2" 2
откуда вытекает, что оно равно
2»*—2fe
?j '•n— 2fe (Ж1) Ж2> •••> жр)-
ctn~kp
Таким образом мы нашли, что коэффициент при ^^ равен
' "¦
Compendium der hoheren Analysis, т. II.

126 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 180
Итак, мы получили следующую формулу1):
*F , 2"~* rf"~2F
()»-i "T" 2! d(r2)»-2 I"
on—2fc
которой будем часто пользоваться. Здесь
Нам сейчас понадобится частный случай формулы F), соответствующий
р = 3; в этом случае она имеет вид
где
(
80. Если в формуле G) положить F(r2)=— , то получим
± ± 3N1 ( 1)
дх ' ду ' dzj r v '
)ПBп)\
ду ' dzj r v ' 2nnl r2n+1
В том случае, когда fn(x,y,z) совпадает с некоторой шаровой функ-
функцией Yn(x, у, z), мы получаем следующую важную формулу:
— — д Л 1 —( 1Г B")! 1 Y (x
Формула (8) послужит нам основой для нахождения вида шаровых
функций целых степеней. Выражение, стоящее справа в (9), представляет со-
собой шаровую функцию степени—га—1. Умножив ее на г2п+4, мы получим
соответствующую шаровую функцию положительной степени. Отсюда сле-
следует, что если fn(x, у, z) — однородный многочлен степени га, то выражение
либо представляет собой шаровую функцию степени га, либо равно нулю;
в последнем случае fn(x, у, z) содержит в качестве множителя ж2 -{-у* + г2.
Этот результат был впервые получен Клебшем2); он легко может быть
доказан и непосредственно следующим образом.
х) Эта формула была получена Гобсоном в работе «On a theorem in Differentiation
etc.», Proc. Lond. Math. Зое, A) 24, 55. Приведенное выше доказательство было
опубликовано им в Messenger of Math., 23 A894), 115.
2) Journ. f. reine u. angew. Math., 60,'344.

80] § 3. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ 127
Пусть
/„ + Г2/„_2 + Г*/„-4 + • • • + Г2»/п-2, + ¦ • •
гармоническая функция, /„_ 2, /„_ 4, .. .—однородные функции, которые
могут быть определены, когда /„ задана; индексы га —2, га — 4, ... указы-
указывают их степени. Имеем
У„-2) = r2V2/n_2 + 2 Bга -1) /„-г,
V2 (r*/n-4) = r* V%_4 + 4 Bга - 3) r2/n_4
и вообще
V2 (r2s/n-2.) = г* V2/n_2s + 2s Bга- 2s +1) r2-2/n_2s.
Следовательно, для того чтобы рассматриваемое выражение удовлетворяло
уравнению Лапласа, должны выполняться равенства
V2/n + 2Bra-l)/n_2 = 0,
V2/n-2s+2 + 2s Bга - 2s +1) /„_2s = 0;
таким образом,
U-2=^ — 2Bn—1) V^"' ^n~4 = 2-4Bn—1)Brt—3)
Итак, выражение A0) удовлетворяет уравнению Лапласа.
Только что проведенное доказательство обладает большей общностью
по сравнению с доказательством, основанным на формуле (8). В самом
деле, в формуле (8) число га—целое положительное. Здесь же оно может
быть любым. Конечно, если га не является целым положительным, то со-
соответствующий ряд не будет обрываться, однако если он сходится и если
выполнены некоторые дополнительные условия (см. п. 102), то его сумма
все-таки является шаровой функцией.
Теперь мы докажем, что всякий однородный многочлен fn(x, у, z)
можно представить в виде V2/n+2 (x, у, z), где /п+2 (х, у, z) —некоторый
многочлен степени га + 2, который конечно, определен не однозначно, так
как к нему можно добавить любой гармонический многочлен степени га+ 2,
не изменив результата. Функция /п+2 может быт^ь записана в виде про-
произведения некоторого многочлена на х2-\-у2-\-z2.
Действительно, можно показать, что
/ (Г V 2\— V2/—^ ГУ^" L
l\*yz) — v ^2B + 3) 2-^
^2 .4-6Bn
Если /n—шаровая функция, то это равенство немедленно получается
из только что проведенных рассуждепий. Чтобы доказать эту формулу в
общем случае, мы воспользуемся формулой D), дающей выражения членов
ряда, стоящих в правой части данного равенства. Мы имеем
? 272^3712 B« + 3) /п + г« V/J,
2 -4 • 6Bn + 3)Bn+l)Bn—1)'

128 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [81, 82
Подставляя эти выражения в правую, часть формулы A0'), получаем
в результате функцию /п, стоящую слева. Таким образом fn(x, у, z) сов-
совпадает с V2/n+2- Это доказательство принадлежит Эллиоту1).
§ 4 МАКСВЕЛЛОВА ТЕОРИЯ ПОЛЮСОВ
81. Прежде чем приступить к нахождению с помощью формулы (8)
выражений для зональных, тессеральных и секториальных шаровых функ-
функций, уместно остановиться на некоторых развитых Максвеллом понятиях,
относящихся к полюсам шаровых функций.
Рассмотрим сферу произвольного радиуса с центром в начале коорди-
координат; всякую прямую с направляющими косинусами /, т, га, проходя-
проходящую через начало координат, будем называть осью, а точку пересечения
оси с поверхностью сферы будем называть полюсом данной оси. Разные
оси будут отличаться с помощью индексов, отнесенных к соответствующим
направляющим косинусам; обозначая через X* косинус угла, образованно-
образованного радиусом-вектором г, идущим в точку (х, у, z), с осью {h, т\, щ), имеем
Косинус угла между двумя осями, имеющими индексы i и /, обозна-
обозначим |л{ ; "-аким образом, (j.i/=/i//+ffii»i/ + /ii/iy. Оператор Д^- + Ш{ ^- + щ %-
CrX оу oz
мы будем называть дифференцированием по данной оси и обозначать -гт-.
Можно дифференцировать ту или иную функцию сперва по одной оси, по-
потом по другой и т. д.; если эти оси обозначить hu h2, ...,hn, то соответ-
соответствующий оператор обозначается
или подробнее
д д .
82. Потенциальная функция Vo — — называется потенциалом, созданным
особой точкой порядка нуль в начале координат; е0 называется силой этой
особой точки.
Пусть особая точка порядка нуль и силы е0 лежит на оси klt на рас-
расстоянии а0 от начала координат; предположим, кроме того, что начало
координат также является особой точкой с силой —е0. Пусть теперь е0
неограниченно возрастает и Oq неограниченно убывает, причем произведе-
произведение еоао все время остается равным некоторой постоянной величине ех;
тогда начало координат называется особой точкой первого порядка, силы еъ
с направлением Ах. Таким образом, особая точка порядка 1 состоит из
двух особых точек порядка нуль бесконечной силы, таких, что произве-
произведение их силы на расстояние между ними есть величина конечная. Осо-
Особая точка первого порядка часто называется диполем или дублетом, а соот-
соответствующая ось — осью диполя.
Аналогичным образом, помещая особую точку первого порядка си-
силы — ех в начале координат, а другую — силы ех — на расстоянии ах по
оси А2 от начала и затем неограниченно увеличивая ех и соответственно
Quart. Journ. Math., 48 A917—1918), 373.

83] § 4. МАКСВЕЛЛОВА ТЕОРИЯ ПОЛЮСОВ 129
уменьшая аъ так, чтобы e1ct1==-ei (е2 —конечная величина), мы получаем
особую точку .порядка 2 и силы е2, расположенную в начало координат
и имеющую оси h± и /г2.
Поступая аналогично, мы придем к понятию особой точки порядка п
(или мулътиполя) силы еп, расположенной в начале координат и имею-
имеющей заданные п осей hlt h2 hn.
Если en_itpn-i {x, у, z) — потенциал, созданный особой точкой по-
порядка и —1 в начале коордипат, имеющей силу еп_х и оси hlt h2, ...,hn_lt
то нотевциал особой точки порядка га, для которой новой осью является hn,
равен
е„_1?„-1 (ж — 1по., У — тпа., z — ппа.) - еп_^п_г (x,y,z),
где а неограниченно убывает, а епЛ неограниченно возрастает, так что
еп^з. = еп. В пределе это выражение равно
т. е.
Так как сро= —, то отсюда непосредственно следует, что Vn — потен-
потенциал, созданный особой точкой, имеющей силу еп и оси hlt А2 hn, — выра-
выражается формулой
^=(i)^lg/;,, .dhn
В результате выполнения операций дифференцирования, предписывае-
Y
мых формулой A1), получаются для Vn выражения вида га!еп -^^ , где Yn —
сферическая (поверхностная) функция степени га, которую можно рассмат-
рассматривать как функцию углов, образуемых вектором г с га осями, и углов
между самими осями.
Полюсы этих п осей называются полюсами данной сферической функ-
функции. Их часто называют также полюсами соответствующих шаровых функ-
функций Ynrn и Ynr~n-1.
Выбирая различным образом га осей, мы будем получать различные
сферические функции степени га, каждая из этих функций определяется
своими полюсами однозначно с точностью до постоянного множителя.
83. Чтобы записать Yn через ее полюсы, мы воспользуемся форму-
формулой (8). Положим
п
' Т' ~l)~ dhdhdh ~ 11 V г дх + ^ду^ Пг dz) '
1
' Ту' ~dl)~ dh1dhi...dhn
г=1
тогда
Обозначим 2 (|J^n~2s) сумму произведений s множителей |i ига — 2.9
множителей X, причем соответствующие им индексы все различны. Вспоми-
Вспоминая, что
Хрг = 1рх + тру + гарг,
Е. В. Гобсон

130 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [84
сразу получаем
Д Aх + ту + гаг) = 2 (кп) г",
V* Д Aх + ту + гаг) = 22 • 2
и вообще
у 2т Д (/ж + ту + гаг) = 2тт\ S (|J.mXn-2m) >-п-2т.
Таким образом, мы получаем следующее выражение для сферической функ-
функции Yn, имеющей заданные оси hlt h2, ..., hn:
"~ n! dh^dhi-.-dhn r S p ; 2"-">n!(n—m)! ^ ^ ^ ^ J '
A2)
где S означает суммирование по т от вг-0дога = -г-п или т = -1г{п—1),
в зависимости от того, является га четным или нечетным.
Это — общая формула Максвелла для сферической функции с заданны-
заданными полюсами. Сам Максвелл доказал ее с помощью индукции.
Если А, В, С, —полюсы, лежащие на сфере радиуса г, то сфери-
сферические функции нескольких первых степеней имеют вид
Fx = cos PA, полюс А;
Г2 = у CcosP4cos.P.B — cosAB), полюсы А, В;
Ys = 4- A5 cos PA cos PB cos PC — cos PA cos ВС — cos PB cos С А —
— cos PC cos AB), полюсы А, В, С;
F4 =¦ -|- C5 cos PA cos PB cos PC cos Pi) — 5 2 cos PA cos P5 cos CD +
+ cos AB cos CD + cos AC cos BD +cos AD cos ВС), полюсы А, В, С, D.
84. Идея задания сферической функции с помощью ее полюсов имелась
еще у Гаусса х), однако развита она была впервые Максвеллом2).
Эквивалентная аналитическая теория имеется в мемуаре Клебша3).
Интересно сравнить между собой высказывания Максвелла4) и Сильвесте-
ра5) об этом методе.
Максвелл писал: «При численных исследованиях меня часто смущало
ощущение недостаточной определенности понятия коэффициентов Лапласа,
т. е. сферических функций. Рассматривая их как результат последователь-
последовательного дифференцирования функции — по г осям и описывая их в терми-
терминах расположения их i полюсов на сфере, я пришел к общему понятию
сферической функции любой целой степени, вполне отчетливому для меня
и, я надеюсь, для всякого, кто чувствовал неясность некоторых других
определений».
Сильвестер, высоко ценивший метод полюсов за его изящество, все
же, комментируя это место, писал: «Метод полюсов представления сфери-
!) Collected Works, т. V, стр. 631.
2) Electricity and Magnetism, т. I, гл. IX.
3) Jonrn. f. reine u. angew. Math., 60A862), 343.
4) Phil. Mag. E), 2 A876).
5) Там же, стр. 305.

85] §5. СИСТЕМА ЗОНАЛЬНЫХ, ТЕССЕРАЛЬНЫХ И СЕКТОРИАЛЫШХ ФУНКЦИЙ J31
ческих функций, предложенный или разработанный профессором Максвел-
Максвеллом, по существу представляет собой не что иное, как выбор удобного
канонического вида для тернарной формы, подчиненной условию, что сумма
квадратов ее переменных (здесь — операторов дифференцирования) равна нулю,
и для меня совершенно непостижимо, как это может помочь в том, чтобы
сделать „вполне отчетливым" общее понятие сферической функции, и,
если не прибегать к этому каноническому виду, о какой „недостаточной
определенности" может итти речь».
§ 5, СИСТЕМА ЗОНАЛЬНЫХ, ТЕССЕРАЛЬНЫХ И СЕКТОРИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
85. Пусть все га осей совпадают с осью z, тогда мы получаем следу-
следующую сферическую функцию:
( — 1)"г"+1 дп 1
га! ai»7~ '
применив для вычисления этого выражения формулу (8), имеем
1 BгаI 1
га! дгР г ' 2"га!га!
r" 1 2Bra —l)^2-4Bra—l)Bra-3) ¦¦ jz -
- <2ra>! | un _ M»-l) „n-2 . ra(ra-l)(ra-2)(ra-3) л
2"ra!ra! \^ 2 Bra — 1) ^ T 2 • 4 Bra —1) Bra—3) ^
где (J. = —. Выражение, стоящее во второй строке, равно Рп (ji) — зональной
сферической функции, следовательно,
A3)
Эта формула была доказана в п. 10 с помощью разложения выражения
+ B-2'J] 2
в ряд по степеням г'.
Предположим теперь, что т — п осей совпадают с осью z, а осталь-
остальные т осей распределены симметрично в плоскости ху так, что угол меж-
между соседними осями равен —.
Если cos a, sin а, 0 — направляющие косинусы одной из этих т эква-
экваториальных осей, то мы имеем
т-1
8 = 0
s=»0
Пусть теперь ? — x-\-iy, i\ — x — iy; тогда
п д д . д
Написанное выше произведение равно

132
ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[85
т. е.
При а —0 это последнее выражение сводится к
а при а =- =— •— к
Из формулы (8) получаем
/ а . д_\гл 1 _( — !)" Bга)! 1
Х [ 1—^
± «>)" =
2"га!
г2
2Bга—
2 ¦ 4Bга— 1) Bга— 3)
dz* ' ' ' J ~
2»га!
(ra-m)(ra-m-l) m_2 .
z 2 Bга— 1) Z Г
(п-т) (п-т -1) (га- т- 2) (и-т-3) п_т_и . ] _
2-4Bга-1)Bп -3) • .. J —
Но
2Bга-1)
следовательно,
(-1ГBга)!
2"га!(га-тI
Таким образом, мы получили следующие формулы:
i-m г/дчт /^Чт! 1 ( — 1)п-т (п — т\\
_2 1
«* " • • • J
аО
(л—
A4)
В частности, при т = п получаем
Ё
A5)
Итак, мы видим, ч*го тессеральные функции степени п и порядка т —
это сферические функции, у которых п — т осей совпадают с осью z, a
остальные т осей расположены в экваториальной плоскости так, что угол
между двумя соседними осями равен —. векториальные функции полу-
получаются, когда все оси лежат в экваториальной плоскости. Для зональных
фупкций все оси совпадают с осью z.

86] § 6, ОТЫСКАНИЕ ПОЛЮСОВ ШАРОВОЙ ФУНКЦИИ 133
Далее мы видим, что для функции Р™ (jj.) cos шр при нечетном т ось х
служит одной из ее осей, а при четном т ось х делит пополам угол
между двумя ближайшими к ней осями; для функции Р™ (jj.) sin m<p картина
обратная. Мы можем, конечно, получить выражения для тессеральных
функций непосредственно из общей формулы Максвелла A2) для сферической
функции с заданными полюсами.
Так как из A3) следует, что
ТО
т[ С»"" (?
§ 6. ОТЫСКАНИЕ ПОЛЮСОВ ШАРОВОЙ ФУНКЦИИ
86. Формула (8) показывает, что Yn(x, у, z), т. е. каждая обыкно-
обыкновенная шаровая функция, может быть получена применением к —
С Л Л Л *\
— , ?- , д- ) ; для этого / следует выбрать так, чтобы
ox oy oz у
Yn{x, у, «) = (-l)-gg[ l-2(?gl)-+2
Из этого равенства видно, что если к /„(ж, у, z) прибавить произволь-
произвольную функцию вида
(х2 + 2/2 + 22)/п_2(х, у, z),
то значение /„(ж, у, z) при этом не изменится. Это вытекает из тождества
3
Если мы будем считать, что функция Yn(x, у, z) задана, то fn(x,y, z)
определяется не однозначно; ее различные формы могут отличаться
друг от друга на кратное xa + 2/2 + z2. Чтобы определить полюсы заданной
шаровой функции Yn(x, у, z), мы должны выбрать функцию fn(x, у, z)
так, чтобы Yn можно было разложить на линейные множители. Мы покажем
сейчас, что это можно сделать одним, и только одним, способом, если
потребовать, чтобы все полюсы были действительными.
Мы видим, что если х, у, z удовлетворяют уравнениям
Yn(x, у, z) = 0,
z2 + 2/2 + z2 = 0,
то выполняется также равенство fn(x,y,z) = 0. Следовательно, задача
отыскания полюсов функции Yn(x, у, z) эквивалентна алгебраической задаче
разложения Yn (x, у, z) на линейные множители для значений х, у, z, удов-
удовлетворяющих уел овию ж2 + у2 + z2 — 0.
Положим
п
У„ (х, у, z) = А Д (lsx + msy + nsz) + (s2 + у2 + z2) Yn_2 (x, y,z);
8=1
мы видим, что плоскость lsx-\-msy-{-nsz = 0 проходит через те две из 2и
образующих мнимого конуса д;2 + 2/24-22 = 0, по которым этот конус пере-
пересекается с конусом Yп {х, у, z) = 0.

Ш ГДЛВА IV. СФБРЙЧВСКВО! ФУНКЦИИ [87
Таким образом, полюс оси (ls, ms, ns)—это полюс плоскости, прохо-
проходящей через две образующих конуса
относительно этого конуса. Следовательно, число систем полюсов равно
п Bп— 1), т. е. числу сочетаний из In образующих по две; однако из этих
систем полюсов действительна только одна, именно та, в которой линии,
входящие в каждую пару, отвечают сопряженным комплексным корням
уравнений Уп--0, х2 + ^2 + z2-0.
Пусть
X _ У _ 2
— уравнение одной из образующих, а
^_ У
— уравнение сопряженной образующей; соответствующий этой паре мно-
множитель lx-\-my-j-nz равен
х у z
а, + ipj а2 + i$2 <х3 + *Рз
а, —i'Px а2 —iPa <*з— *Рз
этот множитель —действительный. Очевидно, что если объединить любую
другую пару корней, то соответствующий множитель, а следовательно, и
направляющие косинусы (I, т, п) соответствующего полюса, будут ком-
плекспы. Таким образом, мы видим, что для данной гармонической функции
существует одна, и только одна, система действительных полюсов и что их
нахождение требует решения уравнения степени 2и, к которому приво-
приводится система
Yn(x,y,z) = 0; *2 + 2/2 + z2 = 0.
Этог метод доказательства существования действительной системы полюсов
для гармонической функции был дан Сильвестером х). Аналогичные иссле-
исследования были проведены Кяебшем2), который, однако, не пользовался
геометрическим понятием полюса.
87. Из сказанного вытекает, что задача определения нормальной формы
шаровой функции степени п равносильна алгебраической задаче приведения
формы V степени п от трех переменных к сумме In +1 нормальных форм,
причем переменные х, у и z связаны соотношением ж2-\-у2-fz2 = 0. Мы уже
определили одну из таких систем нормальных форм, а именно систему
2и + 1 зональных, тессеральных и секториальных гармонических функций.
Существование этой системы нормальных форм равносильно алгебраической
теореме о том, что тернарная форма степени п, в которой переменные
связаны соотношением хг -\- уг -\- z2 = 0, может быть приведена к виду
где \ = x-\-iy, r,~x — iy. Чтобы доказать это непосредственно, заметим, что
если вместо х и у подставить их выражения через $ и tj, то рассматри-
рассматриваемая форма примет вид 2 cp,q ?p^9zn-P-«, где р, q принимают целые неот-
неотрицательные значения. Предположим, что jo>g, тогда, используя соот-
J) «A note on Spherical Harmonics», Phil. Mag., 2, серия 5 A876).
2) Journ. f. reine u. angew. Math., 60A862), 346.

88] § 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИВ И ДРВОБРАЗОВАНИЕ ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ 135
ношение %т\ = — z2, приводим рассматриваемую форму к виду
2 ( - *)* СР.« ^-92»-Р+« ИЛИ ^ [(
что и требовалось.
Мы получили, таким образом, непосредственное алгебраическое дока-
доказательство того, что всякая шаровая функция степени п может быть пред-
представлена как линейная комбинация 2га +1 шаровых функций указанного
специального вида.
Ниже при рассмотрении эллипсоидальных функций мы будем иметь
случай получить другую систему 2и-|-1 нормальных форм шаровых
функций.
Клиффорд1) заметил, что всякая гармоническая функция степени п
„ - 5га-10
может быть представлена как линейная комбинация —^— секториальных
* л 5га—9 л
функции, когда п четно, и как линейная комбинация —^— таких функции
при нечетном п.
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШАРОВЫХ ФУНКЦИЙ
88. Из формулы (8) гл. III получается следующее выражение для
шаровых тессеральных функций rn Р™(р) cos mcp, где n
Это выражение можно использовать для нахождения шаровых функций,
получающихся в результате применения к гпР% (ц) cos игср оператора (^-)
где
Применяя оператор Г ^ 1 к выражению, стоящему в правой части
написанной формулы, получаем при к^п — т
Y
( 1) 2«(я_.тIт1 (B_
X
откуда, снова, воспользовавшись формулой (8) гл. III, находим
(ИХ t7""^ ft*) COS mtPl = (n + m-1)! r"~fei>"-ft («*) cos mtP' (! 7)
где fc<« —m. Если Л>и — m, то это выражение равно нулю.
В частности,
^Т^Ж7"""^"-^)- A8)
Аналогично
Cm. British Association Report за 1871 г. или Math. Papers. 234.

136 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [89
1 1
где наибольшее значение s равно -^ (п — т) или -х- (п — пг—1). Выполняя
дифференцирование в правой части этого равенства, получаей следующее
выражение:
! у 1
2m ZJ V х) 22ss! (m + s)\ (га -m— 2s)!
Положим сперва X<m, тогда во втором члене наименьшее значение s
равно X. Таким образом, получаем
^ р, A9)
где второе слагаемое в правой части обращается в нуль при 2Х > п — т.
В случае X >> т наименьшее значение s в первом слагаемом равно X — т,
и рассматриваемая формула принимает вид
+ -L r»-^P™++/ (jx) cos (m + X) 9) B0)
где X > т; в случае 2Х>и — т второй член в правой части обращается
в нуль.
Комбинируя эту формулу с A7), с A8) или с A9), получаем
l'Slff,'-"-«- w «(- - ч
где Х<т, А<и —т; в случае X > т получает€я формула
KtSjI «i-» W «»(>¦ + "•) ? ¦
В частности, если A-fX-<rc, TO
89. Метод дифференцирования может быть использован для преобра-
преобразования шаровых функций при изменении системы координат. Пусть
точка О' с координатами @, 0, с) принята за новое начало, и (г', 6', <р') —
сферические координаты точки (г, 6, <р) в системе координат, которая полу-
получается, когда за начало координат берется точка О, а ось z и направления
осей х и у остаются прежними.

89] § 7 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШАРОВЫХ ФУНКЦИИ 137
Мы имеем
где z=z' -\-c.
Выражение, стоящее справа в скобках, можно записать в виде
где
т. е. в виде
(z'n-m_ ...) + с (и _ /и) (г'"--1 —...) + ^ (п — те) (п — те — 1) (г'"--2 — ...)•
Таким образом, используя G), получаем
rnP™ (|j.) cos /и? = г'п Р™ (ji/) cos mtp + с (и + ти) г'"-1 PJT_i (|а) cos /ntp -f-
+ -^-(п + т)(п + т — 1) г'"-2Р™_2 (p.') cosтеср + ..., B4)
где справа стоит сумма шаровых функций степеней п, п—Л, и —2, ..., т
от новых координат.
В частности, при ти = 0 получаем
гпРп (?) = r'nPn fa') + с • nr'"-i Pn_! (jx') +
+ -|j- и (и — 1) г'"-2Рп_2(р,')+ . .. +с„. B5)
В случае шаровой функции степени — и—1 получаем из формулы A4)
Р„ (cos в) cos my . ,, п-т 2тг~х
и
1 _ 1 _ 1 а 1 с2 а2 1
Т~" 1 т:7~"'"саг7 г' ~|~ 1>Г а!75 Т7"'
где dF = ~dz и с< г- Таким образом,
Р% (cos у) cos my _ , ,,„-,» 2"-i f / д \rn (д\т\ д"'т Г 1 д 1
^n+i - ^ х^ (га —т)! 1 V di J ~*~ \dr\J ] dz'n-™ [ г' ^ °dz' r' "•"
^ 2! Зг'2 !•' ^ "
и, следовательно,
Pff (cos 6) cos my _ P™ (cos 6') cos my , m , n ffi+^cos 6') cos my
(ra—m + 2) Pg+2cos 6') cos my .
] ~ ^
2]

138 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [SO
в частности, при т — О имеем
п (cos 6) __ Рп (cos 6') r(n,, yPn+i(cos8') 2 (га
В случае с > г' получаем
dzn r ~
и, следовательно,
s=0
Законность почленного дифференцирования легко проверить.
Таким образом, из формулы A3) получаем
Применив к обеим частям этого равенства оператор
2
и заменив п на п — т, получим с помощью формулы A6) запись функ-
/С (cos в) cos m<? ,
ции ———5Г+1 через шаровые функции, отнесенные к системе коорди-
нат с началом О'. Аналогичные формулы с sinmtp вместо cosmf полу-
получаются тем же путем.
Некоторые формулы для преобразования шаровых функций были даны
Ад. Шмидтом х).
§ 8. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ
90- Зональной сферической функцией, для которой полюсы имеют
х' v' z'
направляющие косинусы —г , ^-у-, —г, является
т. е.
/'„ (cos 0 cos 6' -+• sin 6 sin 6' cos cp — <p').
Шаровая функция rnr'nPn (——yy, z J как функция от х, у, z симмет-
симметрична относительно радиуса-вектора (ж', у', z'), а как функция от х', у', z'
симметрична относительно радиуса-вектора (ж, у, z), поэтому она назы-
называется биаксиальной гармонической функцией степени га от (ж, у, z)
M(x',y',z').
Пусть 1 — угол между радиусами-векторами (ж, у, z) и (ж'| у', z'),
тогда
1 1
(г2—2rr'cOST + r'2I/2 Цх--х'у + (у—y'J + (z—Z'Jjl/2 '
выражение справа можно разложить в сходящийся ряд Тейлора по х, у, z
или по ж', у', z'\ таким образом мы получаем для биаксиальных гармони-
Schlomilch's Zs., 44 A889), 327.

91] § 8. ТВОРКМА СЛОЖЕНИЯ 139
ческих функций следующие выражения:
a\ b\ с!
n xaybzc да+ь+с
±J a\ Ы el дх>°ду'Ъ dz'c (x,,+y.*+z,tI't '
Суммы берутся по всем целым значениям а, Ь,с, таким, что a-\-b-\-c = n.
Эти выражения симметричны относительно х, у, z и х', у', z'; это можно
проверить и непосредственно, но можно танже получить, представив (гг')п Рп
(cos ~() как сумму 2и + 1 зональных и тессеральных функций, полюсы которых
лежат на оси z и в плоскости ху.
91. Чтобы получить это выражение для биаксиальной гармонической
функции, преобразуем в соответствии со сказанным в н. 87 выражение
(хх' -\-уу' -\-zz')n, где x,y,z связаны соотношением
S
Положим
тогда
(XX' + уу' +ZZ')"= (A.T,'e + !e'
- (Zz'\n L. VV П] h?bi^4Vb?"?b^| (ZZ'\n-a-b
причем сумма берется по всем значениям а и Ъ, таким, что а
н а>6; значениям а = 0, Ь-=0 отвечает член (zz')n. Воспользовавшись
равенством Ъ\= — z2, отсюда получаем
{хх' + уу' + zz')" =
Если положить a — b=m, то коэффициент при %^zn~m в правой части
этой формулы равен
- , ,-. , га- m , га~ га--1
где сумма берется от о = 0 до о=—^— при четном п — т и до о— Т)
при нечетном п — т. Этот коэффициент равен
2'«т! (га-т)! 1Ж ~ г2/ ) |Z 2 Bт+ 2) Z (х -\ У ) <
(п — т)(га — т — 1) (га — т— 2) (га — т — 3) ,п_т_4 /_,2 , ,/2\2 _
"¦ 2-4Bт + 2)Bт + 4) Z (I ty ' *••'
т. е. равен (см. п. 56)
га! г'" (- 1 )т (cos imp' — г sin m<?') P™ (cos О').
Аналогично можно показать, что коэффициент при r^z"— равен
lZl + l S5n m<P') Pn (COS 6').

140 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [92
Следовательно,
± (хх'+ уу' + zz') = Рп (cos 0') 2»+
п
1- /г 1 2 т^~м Р" (cos °') [cos mcf' ^m + T'm) ¦ 'r l sin mcf' (T'm ~ *"*)! 2""т-
m=l
л л л
Заменим в этой формуле х, у, z на =- , ^- , -^- и применим обе час-
части получившегося таким образом операторного равенства к —; в силу
формулы A4) и равенства
' д , у' д . z' д \ , .ч„ , 1 п
+ ^+) A)n"!
мы получим
Рп (CQ6 f) = Рп (COS 6) Рп (COS 6') +
S -g^r^n (cose)P™(cose')cosm(<p-T'). B8)
Это важное выражение1) для Pn(cos 6 cos6' +sin6sin6' costp — <p') через
зональные и тессеральные функции известно под названием теоремы сло-
сложения для зональпой функции Pn(cos^).
Таким образом, функция (rr')nPni ——^7——Л представлена как
сумма выражений, каждое из которых является зональной, тессеральной
или секториальной функцией как относительно х, у, z, так и относи-
относительно х', у', z'.
92. Другая симметричная форма для биаксиальных гармопических
функций может быть получена следующим образом. Так как (ax + by + cz)n
при а2+62 + с2 —0 является гармонической функцией, то выражение
С д , д , д Л" 1
представляет собой гармоническую функцию от х, у, z; из формулы
у (±_ ±_ д\1 , п BвI Yn(x, y,z)
п\дх ' ду ' dzj г — *¦ ' 2™/г! ^2п+1
непосредственно вытекает, что
/ д _д_,_д_ J_j__9_ Л_\п _1_ __
Удх дх'^~ ду ду1 ' dz dz') rr' ~~
- ( 1)п B")! 1 (х д 1 v д I z д У
Далее,
х' + уу' + zz'
таким образом мы получаем следующую формулу:
n V it' У Щ\ V дх дх' ~*~ ду ду' + 5z dz' ) rr' '
которая иным методом, наряду с другими результатами, была получена
Нивеном2).
1) Оно впервые было получено Лежандром в 1782 г.
2) Phil. Trans., 170 A879), 393.

93, 94] § 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИИ 141
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ФУНКЦИИ
93. Основное свойство тригонометрических функций, используемое при
разложении в ряды по пим, состоит в том, что
cos cos
—-к
где п и п' — любые неравные целые числа. Мы установим сейчас анало-
аналогичную формулу для шаровых функций; эта формула играет такую же
фундаментальную роль в приложениях шаровых функций, как и указанная
выше формула в теории рядов Фурье.
Пусть Yn(x, у, z) и Zn. (х, у, z) — две шаровые функции, тогда
B9)
где п Ф п', а интеграл берется по всей поверхности произвольной сферы
с центром в начале координат; так как 72Уп=0, V2Zn. = 0 внутри сферы
радиуса гп, то
^ (YnV*Zn.-Zn.V*Yn) dxdydz^O,
где интеграл берется по всему объему, ограниченному этой сферой. Этот
объемный интеграл можно переписать в следующем виде:
д ^ ^
Согласно формуле Остроградского, этот объемный интеграл можно заме-
заменить интегралом, взятым по поверхности сферы; получаем
dZn< „ dYn\ , у fv dZn, ZnJYn\ +
71* гж &Хг,
С помощью теоремы Эйлера об однородных функциях это равенство
можно переписать в виде
Если пФп', то интеграл должен быть равен нулю, тем самым формула B9),
принадлежащая Лапласу, доказана.
94. Выведем теперь другую формулу, играющую фундаментальную роль
в рассматриваемых вопросах. Если Yn(x, у, z) — шаровая функция степени п,
.Рп — зональная шаровая функция той же самой степени л (х', у', z') —
полюс функции Рп, то
^x',y',z'), C0)
где интеграл берется по сфере радиуса а.
Этот результат можно сформулировать также следующим образом:
если Vn@, ср) — сферическая функция степени п и Рп (cos8 cos0' -f-
+ sinO sin 8' coscp — ср') — зональная сферическая функция с полюсом (б', у'), то
2* i
[ ]Vn (?, <р) Рп (cos 6 cos в' 'г sin б sin 0' cos ipY ^
0 -1

142 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 194
В п. 77 мы показали, что
п
Vn F, <р) = а0Рп (|») + 2 (атcosmcp f bmsinmcp) Pn.(p),
гдо a0, am, bm — постоянные; чтобы определить а0, заметим, что если {* = 1,
то /*п({») = 1, /*^(A) = 0; таким образом, а0 равно значению Fn@) функции
Fn@, ср) в нолюсе 9 — 0 зональной функции Рп. Умножая обе части полу-
полученного равенства на Рп (р) и интегрируя по поверхности сферы радиуса 1,
получаем
2те i 2* 1
6-1 в -1
так как
2я
\ cos гщ df = \ sin mcp dtp = 0.
Если вместо полюса (* = 1 функции Рп ((*) мы возьмем любую другую
точку ((*', ср'), то получим формулу C0).
Эта формула может быть получена и независимо от того, что Vn (8, ср)
представима как линейная комбинация 2п-\-1 зональных, тессеральных и
секториальных функций с заданными осями. Функция Vn @, ср) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
проинтегрируем его левую часть по ср от 0 до 2чт, считая \ь постоянным;
мы получим
2тс 2те
±- {A -,»») -^ \ Vnd?] +п (»+1) \ Vnd? = 0,
в о
2те
следовательно, \ Vndy удовлетворяет уравнению Лежанд^а. Так как этот
о
интеграл представляет собой многочлен от р, то
2-к
где С = const. Чтобы определить С, положим р = 1; получим 2itFn @) = С и,
следовательно,
2 тс
Умножая обе части этого равенства на Рп (р) и интегрируя от р =- — 1
до [* = 1, получаем тот же самый результат, что и выше.

95] § 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ 143
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
95. В гл. VII мы покажем, что при некоторых ограничениях функ-
функция .FF, cp), определенная для всех 6 и ср на поверхности сферы радиуса 1,
может быть разложона в ряд по сферическим функциям и что для широ-
широкого класса функций этот ряд равномерно сходится.
Предполагая сейчас справедливость этих утверждений, мы восполь-
воспользуемся формулами B9) и C0) для фактического вычисления членов соот-
соответствующего ряда. Пусть
где V"n @, ср) — сферическая функция степени п. Допустим, что ряд
оэ
2 ^пС»?) равномерно сходится; заменив 6, ср на 6', ср', умножив обе части
п=0
написанного равенства на
Рп (cos 6 cos 6' -f- sin 6 sin 6' eos cp — cp')
и проинтегрировав почленно, получаем, в силу соотношения
2л 1
Рп (cos 6 cos 6' + sin 6 sin 6' cos cp — cp') Vn- @', ?') dp' d<? = 0
(и Ф п') и формулы C0), следующую формулу:
2те 1
\ \ FF', ср') Рп (cos 0 cos 6' 4- sin 6 sin в' cos cp — cp') dp' dcp' =
0 -1
2* 1
=Л С ^n@',cp')/>n(cos
0 —1
Таким образом,
b -i
Итак, в предположении, что соответствующий ряд равномерно сходится,
мы получаем следующую формулу для разложения функции F (8, ср) по
сферическим функциям:
оо 1 2те
п=0 -1
-}-sin 6 sin S'cos cp — cp')dcp'd(j.'. C1)
Легко видеть, что члены ряда, стоящего в правой части формулы C1),
действительно являются сферическими функциями. В самом деле, так как
Pn(cos6 cos б'-j-sin0 sin 6' coscp —cp')
как функция церемонных 6 и ср является гармонической, то она остается
таковой и после применения люб^гх операций по переменным б' и ср'.
Если в C1) вместо Рп подставить его выражение
Рп G0 Рп (е-') + 2 S -?=^у[ р» ((А) к ^cos т
m=i

144 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [96
[см. B8)], то мы получим следующую формулу:
оо да П
^(в. ?) = 2 V«W+ S 2 (Ап<тcosmf + Bn,m sin тпф)Р%(р), C2)
n=0 n=0m=l
где
1 2ъ
-l о
S i PW)cosmf'F(Q',f')df',d?'
—l о
$/>? ((,') sin mcp' F @', <p') rf?' dp'.
-1 0
Формула C2) дает разложение функции Ffi.v) по зональным, тессераль-
ным и секториальным сферическим функциям с заданными осями.
96. Хотя мы отложили общее доказательство того факта, что широкий
класс функций допускает разложение в ряды по сферическим функциям,
возможность, такого разложения может быть просто доказана для функций,
представляющих собой многочлены относительно sin 6 cos cp, sin б sin cp, cos 6.
Пусть fn (х, у, z) — многочлен степени п от х, у, z; предположим, что
/п(х, у, z)=Yn+ r*Yn_2 + т-*Уп-4 + • • •, C3)
где Fn, Fn_2, Fn_4> .. -—шаровые функции, степени которых указываются
индексами; последняя из них равна Yo при четном п и Yx при нечетном п.
Покажем, как определить эти шаровые функции.
Так как [см. B)]
V* (rmVn} = mBn + m+l) г™~* Vn,
то
n = 2 • 4Bя-3) Bя-5) Fn_4+4 . 6 Bя-5) Bл-7)
Последнее из этих уравнений имеет вид
V7n = »(» + l)(n-2)(R-l)...2.3Fe (и четно), |
или \ C4)
Vn/n=(w — l)(« + 2)(w — 3)w... 2 ¦5Y1 (n нечетно).]
Из последнего уравпения C4) находим Yo или Yt; тогда из предпослед-
предпоследнего определяется F2 или Ya, и так далее, до тех пор, пока из уравне-
уравнений C4) не будет найдено Yn. Разделив в уравнениях C4) /п (ж, у, z) на гп,
мы получим разложение многочлена от sin 6 cos cp, sin 6 sin cp, cos 6 по сфе-
сферическим функциям.
Этот метод, принадлежащий Гауссу1), не только доказывает возмож-
возможность разложения, по и дает практический способ его выполнения в про-
простейших случаях.
Явное выражение для /п было дано Дугаллом2) в следующей форме:
/п = Н (/п) + C2r*H (V2/n) + Ctf'H (V
J) Collected Works, т. V, стр. 630.
2) Proc. Edin. Math. Soc, 32 A913), 30.

97] § 11. СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ ПОТЕНЦИАЛА 145
где
С,-2Bл-1) = 1, С4.2-4Bя-3)Bя-5) = 1,
С2рB- 4 •-• 2/>)Bл —2/> + 1)Bл —2/>—1)Bл-4/> + 3) = 1.
Несколько иное, но эквивалептноо выражение для /„ еще раньше было
дано Прасадом *). С помощью этой формулы значение /п на сфере г = а
представляется в виде суммы сферических функций.
§ 11. СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ ПОТЕНЦИАЛА
97. Применение теоремы сложения, полученной в п. 91, может быть
показано на одной задаче теории потенциала. Предположим, что некоторая
масса распределена по поверхности сферы радиуса г', причем настолько
тонким слоем, что это распределение можно задать с помощью поверхност-
поверхностной плотности о, которую мы в точке (/•', 6', ср') положим равной AYn\b', ср'),
где Fn@', cp') — сферическая функция степени п.
Потенциал этого распределения в точке (г, 0, ср), не лежащей на по-
поверхности сферы (/•'), определяется формулой
те 2п
V = Ar"\ jj 7"F'y)sin9' , d?'d6>,
где
cosf = cos0 cos 9' -|-sin0 sin 6' cos(cp — cp').
_^
Выражение (/*2 -f- /*'2 — 2rr' cos 7) г при г > г' может быть представлено
абсолютно и равномерно сходящимся рядом
5 = 0
а при /•</•' — абсолютно и равномерно сходящимся рядом
5=0
Так как эти ряды можно подставить в интеграл и затем в силу равно-
равномерной сходимости производить интегрирование почленно, то мы получим,
что в точке (г, 9, ср), лежащей вне сферы, потенциал равен
а в точке, лежащей внутри сферы, он равен
т. 2те
2 Г-?Д \
s=0 0 0
*) Math. Ann., 72 A912), 13G.
10 Е. В. Гобсон

146 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [98
Далее, в силу основвой формулы B9)
т. 2п
\\PS (cos 7) Yn F\ ср') sin 6' rfT' d6' = О
6 о
при s Ф га, а в силу формулы C0)
ъ 2т.
о о
Таким образом, значение потовциала определяется формулами
C5)
Из этих формул непосредственно вытекает, что
.. 3Fi dV.
где пределы выражении -^- и -~ понимаются в смысле неограниченного
приближения точки, находящейся соответственно внутри или снаружи
сферы, к поверхности этой сферы. Это — хорошо известное свойство потен-
потенциала, состоящее в том, что значения градиента потенциала по обе стороны
от поверхности отличаются на 4тса.
98. Если /(ж, у, z) есть сумма ряда
^о (х> У> z) + Y1(x,y,z)+ ...+ Yn (x,y,z)+...,
шаровых функций, сходящегося в некоторой определенной области и удо-
удовлетворяющего условиям, при которых его можно почленно дважды диффе-
дифференцировать по каждому из переменных х, у, z, то очевидно,
т. е. f(x, у, z) — решение уравнения Лапласа.
Если ряд
Го@,<р)+Г1F,<р)-Ь...+Гп@,<р) + ...
сходится в каждой точке F, ср), 0<6<г, 0<cp<2it, к некоторой функции
/F, <р), то из известных теорем сходимости1) вытекает, что для любой
фиксированной точки @, ср) ряд ^,finYn(b,<f), где |А|<1, сходится, так
как в этом случае сходится ряд ^] I hn — hn*1\ . Это остается вервым
и тогда, когда ряд 2 Yn F, ср) не сходящийся, а колеблющийся. Таким
образом, степенной ряд 1]АТп@, <р) сходится в интервале ( — 1,1) и,
следовательно, по известному свойству степенных рядов, сходится в этом
иптервале абсолютно.
Итак, ряды
71=0 71=0
х) См , например, Hobs on, Theory of functions of a real variable, изд. 2, т. II,
стр. 35. [В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Том I. (Прим ред.)\

98]
§ 11. СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ ПОТЕНЦИАЛА
147
абсолютно сходятся при г' < г и при /•'>/• соответственно при всех значе-
значениях 9' и ср'-
со
Предположим теперь, что ряд 2 ^п("'» ?') равномерно сходится или
п=0
что для всех п выражение
п
sin 0' ^ У.(°'.?')
8=0
не превосходит некоторой положительной функции ^@', ср'), суммируемой
(по Лебегу) на поверхности сферы; в частности, можно предположить, что
п
sin 6'^ ^.(O'iT')
8=0
пе превосходит некоторой постоянной К, по зависящей от п, 6' и ср'.
Тогда па основании известных теорем *) получаем, что ряд
оо те 2те
Уп(Ь',_9П__. fi, . , .fl,
СХОДИТСЯ К
Далее,
П-0 0 0 (r2+r'2_2rr'COS-{)
т. 2те
0 0
те 2те
ПРИ
Кроме того, в каждой точке, (г, 0, <р) потенциал, соответствующий массе,
распределенной по поверхности сферы (/•') с плотностью о = /(9', <р'), раьен
•те 2те
'2 ^ С /(в'.?') гsin0'd«p'de'.
Следовательно, мы доказали, что при сделанных выше предположениях
потенциал, отвечающий поверхностной плотности о = /(9', ср'), во внешней
точке (г, 0, ср) равен
а во внутренней — равен
п=0
2
п=0
rn
Ho^son, цит. соч., стр. 289 — 291. [В. И. Смирнов. Курс высшей матема-
матемаТ V 1947 Г II § 3 (П д.)\
) Ho^s, ц ., р 28
тики. Том V, 1947. Гл. II, § 3. (Прим. ред.
10*

148 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [99
Полученный результат можно сформулировать в виде следующей
теоремы:
Если о = /F',ср')—поверхностная плотность распределения массы по
сфере радиуса г' с центром в начале координат и если /(О',ср') можно
со
представить в виде суммы ряда 2 Yn@', ср'), сходящегося в каждой точке
71 = 0
(9', ср'), то потенциал, соответствующий этому распределению, в каждой
внешней точке (г, 6, ср) равен
со
2*
71 = 0
а в каждой внутренней точке равен
71 = 0
со
При этом предполагается, что 1) ряд ^]Yn(b', у') сходится равномерно
71 = 0
на поверхности сферы, или 2)
71
2sln6'FsF',cp')
не превосходит некоторой полсотгтелъной функции F(b',f'), интегрируе-
интегрируемой в смысле Лебега по поверхности сферы; в частности, можно предпо-
предположить 3)
71
2 sin 6'Г. (О', <р')
s-0
где К — число, не зависящее от п, 6' к ср'.
§ 12. ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
99. Для изучения общей теории ньютоновского потенциала читателю
следует обратиться к специальным руководствам, например к книгам Пуан-
Пуанкаре или Келлога1). Однако, имея в виду дальнейшие применения, мы
укажем здесь важпейшие свойства ньютоновского потенциала.
Пусть О — начало координат и пусть масса т сосредоточена в точке
(х', у', z'). В точке (х, у, z) потенциал, создаваемый массой т, равен
т хх'+ уу'
j-, где cosf = ,
(га + г'2_2гг' cos-jJ
Если г' > г, т. е.
i i
'2 + z>2J
то потенциал в точке (х, у, z) можно записать в виде
со
2 -p^^p^
где
rr.
г) Poincare, Theorie du potentialNowtonien, Paris, 1899; Kellog, Foundations
of Potential Theory, Berlin, 1929. Следует указать также на трактат Гарнака.

98] § 12. ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА 149
т. е. в виде
где сп, сп_2, ... — положительные постоянные. Сравним выражение, стоящее
в квадратных скобках, с выражением
. f |»||х'|
Сп[
у'| + 1
которое можно переписать в виде
где
cost-
Так как, согласно формуле B4) гл. II,
Рп (i cos т) = — \ (i cos f + iK 1 -f- cos2 т cos <p)n dy,
TO
я, следовательно, ряд
oo
n=0
сходится при -^- < "j/2 — 1.
Таким образом,
n=0
представляет собой степенной ряд от х, у и z, каждый член которого по
модулю не превосходит соответствующего члена абсолютно сходящегося
степенного ряда
оо
т ^i
п=0
с положительными членами. Мы доказали, что во всех точках, находя-
находящихся от О на расстоянии < (]/2 — l)r', выражение
т
1
'*—2гг' costI
oo
может быть представлено как сумма ряда 2^п(ж> У> 2)> гДе Нп (х> У> z) ~~
шаровая функция степени п. Так как этот ряд представляет собой абсо-
абсолютно сходящийся степенной ряд, то его члены можно перегруппировать
в любом порядке, не изменив его суммы.

150 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [99
Таким образом, в каждой точке (х, у, z) в окрестности начала коор-
координат потенциал может быть записан в виде
Р. 9. s
этот ряд абсолютпо сходится.
Пусть масса распределена с объемной плотностью р' внутри некоторого
объема, не содержащего начало координат; рассмотрим потенциал
(г2 + r'2 —2rr' cosfJ
в точке (г, 0, ср); интеграл здесь берется по всему объему, в котором рас-
распределена масса.
со
Так как ряд 2 —<7Гм~ ^п (cos T) равномерно сходится к
1
(г2 + г'2 —2гг' cosfJ
во всем рассматриваемом объеме, если только г меньше минимума расстоя-
расстояния от начала координат до точек этого объема, то
П=0
Заменив, как и выше, ряд, стоящий в квадратных скобках, рядом
„ ЛдЦ*'1 + |У|1У'| + М1г'1У , . nx\)x'\ + \y\\y') + \z\\z'\\n-* ¦
мы видим, что его члены по модулю меньше соответствующих членов
нового ряда, состоящего из положительных слагаемых, если только г
меньше расстояния от начала координат до рассматриваемого объема,
умноженного на \fi— 1 . Таким образом, ряд ^>Нп(х, у, z), составленный
из шаровых функций и представляющий значение в точке (ж, у, z) потен-
потенциала, соответствующего данному распределению массы, абсолютно схо-
сходится, и его члены можно переставлять в любом порядке.
Так как всякая точка (х0, у0, z0), лежащая вне рассматриваемого
объема, может быть принята за начало координат, то таким образом дока-
доказана следующая теорема:
Потенциал, соответствующий некоторому распределению массы
по заданному объему, представляет собой функцию, аналитическую вне дан-
данного объема, и в достаточно малой окрестности каждой точки (х0, у0, z0)
он может быть представлен как сумма абсолютно сходягцегося степенного
ряда
Р, 9, s
В соответствии с леммой, которая будет установлена в п. 102, этот
ряд можно почленно дифференцировать любое число раз по х, у и z; полу-
получающиеся при этом ряды изображают соответствующие производные потен-

100] § 13. ОБЩАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 151
циала в точке (х, у, z). Например, если V — потенциал, соответствующий
данному распределению массы, то V2F=0, так как
Следующее свойство потенциала будет использовано ниже, в приложе-
приложениях; в существенном оно принадлежит Гарнаку.
Пусть R —некоторая замкнутая пространственная область и \Un) —
последовательность функций, гармонических в R. Если эта последователь-
последовательность сходится равномерно на границе S области R, то она равномерно
сходится в R и предел U этой последовательности есть функция, гармо-
гармоническая в R.
Доказательство этой теоремы имеется в указанном выше трактате Кел-
лога (стр. 248) *). Другое доказательство, в котором, однако, накладываются
большие ограничения на функции Un, было дано Пуанкаре (цит. раб.,
стр. 211).
§ 13. ОБЩАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕЙА
100. Мы рассмотрим сейчас одну общую иптегральную теорему, которая
содержит в себе в качестве частных случаев различные интегральные тео-
теоремы, связанные со сферическими функциями. Эта теорема была доказана
Гобсоном2) при несколько менее полном исследовании необходимых огра-
ограничений, чем это сделано здесь.
Вычислим сперва интеграл
Yn(x,y,z)dS,
где А; —целое положительное число, а интеграл берется по поверхности
сферы радиуса R с центром в начале координат.
Мы имеем
^ = A0Pk
где Ао, Аъ ..., Аг, ... имеют тот же смысл, что и в п. 24. Положим
тогда ясно, что рассматриваемый интеграл может быть отличен от нуля
только в том случае, если к — п четное число или нуль.
Так как интеграл
при к — 2г — п равняется
2л + :
а в остальных случаях равен нулю, то
«* + Р2/ + Т*)* Yn (x, y,z)dS = ^ Rn+h+iAr (a» + p» + f f Yn (a, [3, T).
x) См. также В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Том IV, 1941, гл. Ш,
§ 2, или Р. Курапт и Д. Гильберт. Методы математической физики. Том II,
1951, гл. IV, § 2 (там эта теорема пазвапа теоремой Вейерштрасса). (Прим. ред.)
2) Ргос. Lond. Math. Soc. B), 24 A893), 80.

152 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [100
Непосредственно видно, что
7«Gt' k> -4)(«* + &/ + Т*)п = л! Уп(а,р,т),
следовательно,
Таким образом, мы получаем, что
(ах + $у + V? Yn (x, у, z) dS =
An J{n*kn / д q
Согласно п. 24,
*(*-!) ¦¦•(*-»+ 2)
следовательно,
где 2r = й — n.
Если мы приравняем коэффициенты при аР^Ра^3» гДе
в обеих частях равенства, то получим
x, у,
Bп+1I2 • 4 ... 2rBn + 3)Bn+5) ...
где + Л ^2 /з
Результат можно сформулировать следующим образом:
Для целых неотрицательных ръ р,ъ pz
после выполнения всех указанных операций следует положить х = у =
= z = 0. Интеграл берется по поверхности сферы радиуса R с центром
в точке @, 0, 0).
Рассматриваемый интеграл равен нулю, если /?х + р2 + р$ < п или если
нечетно.
Ясно, что в последнем выражении не обращается в нуль только
то слагаемое, в котором порядок оператора равен />i + />2 + р%.

101, 1021 § 13. ОБЩАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ- ТЕОРЕМА 153
Таким образом, полученный результат равносилен следующему:
x^y^z^Y,, (x, у, z) dS =
где тп =
101. Пусть /„ (х, у, z) — многочлен степени т от х, у, г, содержащий,
вообще говоря, члены всех степеней <ти. Так как интеграл
\\fm{x,y,z)Yn{x,y,z)dS
равен сумме интегралов, соответствующих слагаемым степеней 0, 1, 2, ..., т,
входящим в fm(x, у, z), то
' 2-4Bn + 3)Bn + 5)^ *•
где х, у, z после выполнения всех дифференцирований следует положить
равными нулю.
В случае т~п имеем
^fn(x,y,z)Yn(x,y,z)dS =
:> Ту'
Эта формула содержит в качестве частного случая формулу Максвелла,
дающую выражение для поверхностного интеграла от произведения двух
шаровых функций одной и той же степени п. Если hlt h2, ..., kn—оси
функции Yn(x, у, z), то
д д \
> ду' ~д!)
и, следовательно, если /п(аг, у, z)=--Zn(x, у, z) — шаровая функция степе-
степени п, то
В частности,
[Yn(x, у, *)YdS = ^^dhi^^dhYn{x, у, z). C9)
102. Желательно распространить формулу C6) на тот случай, когда
вместо fm(x,y,z) — многочлена степени т — берется бесконечный степенной
ряд.
Чтобы рассмотреть предельный переход, когда степень т многочлена
стремится к бесконечности, полезна следующая
Лемма. Если функций f {х, у, z) аналитична в ограниченной области S
и равна сумме ряда
со со со
р?—0 рз=0

154 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [102
абсолютно сходящегося в каждой точке области S, то функция
J {Ту)
в любой точке замкнутой области S, лежащей внутри S, может быть
представлена как сумма абсолютно сходящегося ряда, полученного почлен-
почленным дифференцированием исходного ряда.
Рассмотрим сперпа тот случай, когда х, у, z принимают в области 5
только положительные значения.
Так как исходный ряд абсолютно сходится в каждой точке, принадле-
принадлежащей такой области, то можно, не меняя суммы этого ряда, сгруппировать
его члены следующим образом:
оо оо оо
2 *» { 2 2
Pl=0
Получоппоо выражение можно рассматривать как степенной ряд от х.
В силу известной теоремы *) о. степенных рядах этот ряд можно почленно
дифференцировать Nx раз по х, причем в результате получится ряд, сумма
которого равна ( -д- ) f(x,y,z).
Таким образом, ряд
Р2=0р3=0
сходится к (-Q-) f{xiV>z) B каждой точке области 5.
Далее, этот ряд абсолютно сходится. Действительно, если положить
оо сю со
l(x,y,z)= 2 2 2
то, как и выше, получаем, что
(А-1)--- (A—tfi + 1) 2 2 I
Pl=Wi р2=0рз=0
так как ряд
оо оо
' i(A-l)...(A-^ + i) 2 2
P2=0ps=0
абсолютно сходится, то, перегруппировав его члены, получаем, что
оо оо оо
, , ч Х"л ХП VI т-»
f (Т 11 7Л > у > г? vVlilVivVZ
I \ J И J ") х I / I / I ¦*-* 1Э11Э21Эй if *г ,
Pi=0 p2=0 Ps=O
где ряд справа абсолютно сходится и 5Р1р2рз=--0, при рх < Nx.
J) См., например, Hobs о п. Theory of functions of a real variable, т. II, изд. 2,
стр. 197. [См. также В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. I, M. — Л., 1952,
гл. IV, § 3. (Прим. ред.)]

103] § 13. ОБЩАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 155
Поступая с этим рядом аналогично предыдущему и группируя его
члены так, чтобы получился ряд по степеням у, видим, что выражение
GO GO f{x'y'z)
может быть представлено как сумма ряда, получающегося почленным диф-
дифференцированием ряда
со со оо
S> ^' A ТР17/Р27Р8
S\ / \ -^PlP2Ps "
N1 раз по х и Nz раз по у, причем получающийся в результате дифферен-
цировапия ряд абсолютно сходится. Продолжая этот процесс, мы видим,
что
\di) \ду)
есть сумма абсолютно сходящегося ряда, получающегося почленным диф-
дифференцированием исходного ряда, сумма которого равна f(x,y,z). Этот
результат верен для любой точки принадлежащей области S.
Пусть теперь S но лежит пеляком в области х > 0, у > 0, z > 0. Тогда
нужно рассмотреть в отдельности части S, лежащие в различпых октантах.
Пусть, например, х <0, у > 0 и г > 0. Тогда мы рассмотрим ряд
со со со
N N ( 1) J± I #PlwP2;2P8
Pl=0 P2—0 Ps==O
и проведем то же самое доказательство, что и выше, с очевидными изме-
изменениями.
Остается рассмотреть те точки области S, в которых одна, две или
все три координаты х, у, z обращаются в нуль. Так например, если х=-0,
а у и z отличны от нуля, то
Р2-=0р8=0
и приведепные выше рассуждения следует применять к этому ряду. Таким
образом лемма доказана для всех точек области S.
103. Пусть / (х, у, z) — сумма абсолютна сходящегося степенного ряда
по х, у, z, который сходится в каждой точке, лежащей внутри сферы
с центром в начале координат и радиусом i?x > R. Пусть, далее, на поверх-
поверхности сферы радиуса В этот ряд схрдится к / (х, у, z) равномерно. Вместо
этого можно было бы ввести и Eолее слабое предположение, а именно, что
lim \[fm (x, y,z)dS=\\f (x, у, z) dS,
где fm(x,y,z) — частичная сумма рассматриваемого ряда, составленная из
тех членов, степень которых не превосходит т; иптеграл здесь берется\
по поверхпости сферы (В).
Согласно лемме, имеем
, у,

156 ГЛАВА XV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [103
где и0, ult ...—однородные выражения порядков 0, 1, 2, ... и
fm(x, у, г) = ио{х, у, z)+u1{x,y, z)+ ... +ит(х,у, z).
Таким образом, в точке @, 0, 0)
и, следовательно, в этой точке
J , ДЧуг | Д4у4 1 f д д д\,. .
{ 2 + 2 Bл + 3) ' 2 • 4 Bп -г 3) Bп + 5) + • • • / Г« \дх ' Щ ' Т*)'\Х'У' Z>~
В силу C6) отсюда вытекает, что в этой же точке
\ ^ «(ж, 2/, г) Fn (ж, г/,
Так как по условию
lim \{fm{z,y,z)dS=tif{x,y,z)dS
в Уп(а?, г/, z) ограничена на поверхности сферы i?, то
lim \\ fm(x, у, z)Yn{x, y,z)dS=\\ f{x, у, z)Yn(x, у, z)dS
и, следовательно, в точке @, 0, 0)
- к-
Таким образом, доказано следующее:
Если / (х, у, z) есть сумма степенного ряда, абсолютно сходящегося
внутри некоторой сферы радиуса Лх(>/?) с центром в начале координат,
и если на сфере радиуса R
lim \\fm{x,y,z)dS=\\f{x,y,z)dS,
где fm (x, y, z) — сумма тех членов степенного ряда, представляющего / (х, у, z),
степени которых не превосходят т, то
*> У, «) Уп (*. У. «) ^
> Ту'
причем справа после выполнения всех дифференцирований следует поло-
положить ж = г/ = г = О.
Важную роль играет тот случай формулы D0), который получается,
когда f(x,y,z) имеет вид F {t — x, -rj — у, С — z), где (S, tj, С) — некоторая
точка, лежащая вне сферы (R). В этом случае
д д

104, 105] § 14. СОПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ 157
и при х — 0, у = 0, z — Q последнее выражение принимает вид
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
n(xty,z)F(i-x, ц-у, С-г)е*5 =
здесь предполагается, что F (? — х, rt — у, С — z) удовлетворяет условиям,
при которых справедлива формула D0). Эта последняя формула будет
использована в дальнейшем в теории эллипсоидальных гармонических
функций.
104. Из формулы C8) можно получить, в частности, выражение двой-
двойного интеграла от квадрата тессералыюй сферической функции. Если
¦" п / п r dzn~m \ \Щ)
то
1 *?7t
Б нуль не обращается только тот член, в котором под знаком оператора
стоит Dm + "ffn) zn~m; следовательно,
1 2то
\ JCni ao
-10
но, согласно A4),
2m~l
поэтому
(л \Т1—Ш. / \ I
— 1) (га — ту. пгп , \
* п 2т-\ ^ ^n (I*) COS ТИС?,
-1 0
если только т ф 0; при т = 0 вместо 2х следует написать 4тс.
ПРИМЕРЫ
1
1. Доказать, что ^ ^^(^)Я™, (у.) ф = 0, если п' — п Ф ± 1.
-1
1
2. Доказать, что \ м-Р"(^)-Р^_1 (^)Ф = Л ^ \п + т)
-1
§ 14. СОПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
105. Интеграл от произведения двух сферических функций одной и тсй
же степени, взятый по поверхности некоторой сферы с центром в начале
координат, вообще говоря, отличен от нуля, однако можно выбрать си-
систему 2/1+1 сферических функций степени п так, чтобы интеграл от про-

158 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [106
изведения любых двух из них был равен нулю. Такая система называется
сопряженной системой. Одной из сопряженных систем является совокуп-
совокупность зональных, тессеральиых и секториалььых функций, соответствую-
соответствующих заданному направлению оси z; действительно, если т =р т', то
2п 1
j ? ((.) ™ m? ¦ Р? ((.) ™ m'9 dy. d9 = 0.
о -'i
Ниже при изучении функций Ламе мы встретимся с другими сопряженными
системами.
Формула C7) показывает, что две шаровые функции Yn(x, у, z) и
Zn (х, у, z) одной и той же степени сопряжены друг другу, если
n(z,2/,z) = 0. D3)
Кельвинх) показал, как сформулировать условие того, чтобы
2я+1 сферических функций, представляющих собой линейные комбина-
комбинации 2п-\-1 функций, образующих симметричную систему, составляли бы
сопряженную систему. Пусть две такие функции имеют вид
m=l
они будут сопряженными2), если 2Bя+1) постоянных, входящих в эти
выражения, удовлетворяют условию
т-1
Для 1п + 1 функций мы будем иметь п Bи 4-1) условий вида D4)
и Bи + 1J постоянных; отсюда видно, что в выборе систем сопряженных
сферических функций существует известная свобода3).
§ 15. ПАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛОЙ СТЕПЕНИ
106. До сих пор мы рассматривали только такие шаровые функции,
которые представляют собой многочлены от х, у и z. Именно для этих
функций термин «шаровые функции» обычно и употребляется. Однако
Томсон и Тэт включили в понятие «шаровые функции» вообще все
решения уравнения Лапласа, однородные относительно х, у и z. Мы
') См. Maxwell, Electricity and Magnetism, т. I, изд. 2, стр. 186, где этот
результат получен с помощью теории потенциала.
2) См. British Association Report 1871.
s) Изложевные здесь рассуждения имеют весьма простой геометрический смысл.
Он состоит в том, что сферические функции, отвечающие данному п, образуют Bга + 1)-
мерное эвклидово пространство, а система зональных, тессеральных и секториальных
функций степени п представляет собой ортогональный базис в нем. Как и во всяком
эвклидовом пространстве, здесь существует бесконечно много других ортогональвых
базисов (сопряженных систем). Равенство D4) представляет собой не что иное, как
условие ортогональности двух сферических функций, записавное через их координаты
в базисе, состоящем из зональных, тессеральных и секториальных функций. (Прим.
мрев.)

106] § 15. НАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛОЙ СТЕПЕНИ 159
рассмотрим сейчас наиболее общие решения уравнения Лапласа, однород-
однородные степени нуль относительно х, у и z, и затем с помощью дифференци-
дифференцирования получим из них решения с положительными или отрицательными
степенями однородности.
Если Fo—функция только от 0 и <р> удовлетворяющая уравнению Лап-
Лапласа, то мы имеем
sin 0 39 V. дО ) sin* 0 д<? ~ и-
Положим dv--esc 0 dO, т. е. х — *п ^ё т = 1П V¦—г~ ; тогда рассматривае-
мое уравнение перейдет в уравнение
a2F0 , с?2Г0
2 i — и>
общее решение которого имеет, как известно, вид
V0 = f(x + h) + P(X-i<?), D5)
где / и F — произвольные функции. Это решение может быть записано
также п следующей форме:
Fo = Ф (& tgу) + ЧГ (е-*» tg I) . D6)
Это решение впервые было получено Донкином1). Этот результат мож-
можно сформулировать следующим образом: все шаровые функции степени
нуль могут быть получепы взятием сопряженных функций от двух функ-
функций: arctg — и In 1/ -—,. Из решения D6) Донкин получил наиболее
общую сферическую функцию степени п в следующем виде:
(sin 6)-« (sin 6 *у sin О)" [ Ф (V* tg~) + W (е-*» tg 1) ] ,
однако этот вид решения мало удобен для исследования различных
типов сферических функций; для этой цели лучше воспользоваться мето-
методом дифференцирования, который Томсон и Тэт, а также и Максвелл при-
применяют к функции — . Если мы в формуле для Fo, полученной Донки-
Донкином, выразим 6 и <р через х, у, z, то получим следующую формулу:
таким образом, выражение для Fo получается с помощью функций от
x + iy х — iy
сопряженных величин ——- и —-— .
Самой общей гармонической функцией степени —1 является — , т. е.
линейная комбинация функций
где /i и /2 — произвольные функции. Мы будем кратно обозначать такую
линейпую комбинацию символом — / ( v- V Дифференцируя функции
D7') но п осям hu h2, . .., hn, получим следующее выражение:
Phil. Trans., 147 A857), 43.

160 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ A06
представляющее собой гармоническую функцию степени — п — 1. Соответ-
Соответствующая гармоническая функция степени п имеет вид
Вместо того чтобы дифференцировать гармоническую функцию степени
— 1, мы могли бы дифференцировать гармоническую функцию степени
нуль; при этом мы получили бы следующее выражение,' эквивалентное1)
D9):
г2„+1 д"*1 [ / (*_±ЛС\ 1 E0)
Покажем теперь, что если в D9) или в E0) все оси взять совпадающи-
совпадающими с осью z, то это не уменьшит общности, и что, следовательно, наиболее
-. ., г •• л &"¦ I 1 , ¦ x^iv\ I
общей гармонической функцией степени — п—1 является-^'!—/ ( Г j f •
Если Vn — гармоническая функция положительной или отрицательной сте-
степени п, то можно выбрать мп+1 как функцию степени п-\-\ от х и у так,
чтобы выражение
о
было сферической функцией. Мы имеем
о о
Полагая % = x-\-iy, rt = х — iy, мы видим, что мп+1 нужно выбрагь так,
чтобы
dzdr \ dz
Правая часть этого равенства представляет собой функцию степени
п— 1 от ?, tj; таким образом, искомое выражение для ип+1 равно
приняв любое значение этого выражения за ип+1, получаем, что
Fn+1=
о
представляет собой гармоническую функцию степени п-\-1, такую, что
Vn = q1- Отсюда следует, что каждой гармонической функции F_(n+j)
степени — (п + 1) соответствуют три гармонические функции Fin, VLn, FLn
степени — п, такие, что
^ Т/1 _ ^ Т/2 ^ Т/8
+» diV-n ~ ду V-n~dk V~n'
х) См. Hobs on, System of Spherical Harmonics, Proc. Lond. Math. Soc, 22
A891), 431. Судя по замечанию Покеля в его трактате об уравнении V2F F0
аналогичное выражение было дано Клейном в его лекциях о функциях Ламе.

107] § 15. НАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛОЙ СТЕПЕНИ
161
например
JLJL
дх г
ху
XZ
Интегрируя п раз по z любую гармоническую функцию степени — (га + ),
мы получим гармоническую функцию степени — 1, следовательно, наибо-
наиболее общей гармонической функцией степени — (?г + 1) является
Так как
д_ , fx±ty\ = _ j_ ,, (x±iy\
dz>\ r + z J ' г ' \ r + z ) '
то выражение E1) эквивалентно
dzn+
r + z
Мы показали таким образом, что всякая гармоническая функция сте-
степени—(га+1) может быть получена путем n-кратного дифференцирования
только по z *) некоторой гармонической функции степени — 1.
107. В нижеследующей таблице указано некоторое количество наиболее
интересных гармонических функций степени нуль вместе с теми функциями,
из которых они получаются.
Гармонические функции
(„«,?)¦_ (in/j=i)'. ,retg|.l»j/^
Функции f(x±i<?)
(X ± i<
x(r—z)
x (r + z) x
x*+y2 ~r — z ' ~Ж-
(r + z)rn cos _
' sm ¦ '
У(г — *)= У
x2 + y2 r + z
У (r + z) у
9m
-y* r—z
(r—z)m cos
2m "
r + z
2zV nrf.tp, У xr ,
2zx у
5-—5 arctg — +
*+y2 6 x
yr
2ry
In
r + z
,ln'
2rx у
= = arctg —
* + y2 S x
(r-
yz
± г
> — z)m Го 4. j/ . i^ + z"!^
ij— Z arctg — cos mcp — sin mcp In ——— |
2m X Г Z I
2 arctg — sin mcp + cos mcp In -—- I
lm L * /•—zj
2 J
(X ± t-t
(y-±i<p)
J
l) Этот результат был опубликован Гобсоном в его работе, указанной в сноске
на стр. 160. Гармонические функции, приведенные в таблице, были даны Тонсопом
и Тэтом без указания соответствующих функций / (х ± if)-
И В. в. Гобсон

162 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [108
(г J- z)m Г V • г + J I ^
—J ^— 2 arctg -j cos mcp + sin m<p ^37 I
t 2 arctg — sm mcp — cos mcp In -—- I
2 j
В каждом случае соответствующая гармоническая функция степени
. 1
— 1 получается путем умножения на — .
§ 16. СИСТЕМЛ ЛИНЕЙНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
108. Мы уже рассмотрели систему гармонических функций, получаю-
получающихся из — дифференцированием по некоторому числу осей; эти гармони-
гармонические функции мы рассматривали как потенциалы, соответствующие
особым точкам, находящимся и начале координат, поэтому их можно
назвать точечными гармоническими функциями. Рассмотрим теиерь гармо-
гармонические функции, получающиеся аналогичным образом из
Если масса распределена с линейной плотностью -^ вдоль положи-
положительной полуоси z, от г = 0 до z = oo, а масса с линейной плотностью
—;j- распределена вдоль отрицательной полуоси z, то потенциал, соответ-
г
С 1
III
ствующии такому распределению, в каждой точке равен \ —az, т. е.
Рассмотрим инверсию указанного выше распределения относительно
единичной сферы; мы видим, что — In I/ r—^- представляет собой потен-
потенциал, соответствующий распределению массы вдоль оси z с линейной
1
плотностью ту-; плотность положительна на положительной полуоси и от-
отрицательна на отрицательной полуоси. Назовем такое линейное распреде-
распределение особой линией нулевого порядгга и силы единица. Эта линия соот-
соответствует максвелловской особой точке пулевого порядка.
Особая линия первого порядка состоит из двух параллельных линий
пулевого порядка бесконечной силы, причем прямые, соединяющие соответ-
соответствующие точки этих двух линий имеют одно и то же направление /гх,
силы этих линий равны по абсолютной величине и противоположны по
знаку, а произведение абсолютных величин этих сил на расстояние между
линиями есть величина конечная; ото —сила данной линии первого поряд-
порядка. Направление hx есть направление оси соответствующей гармонической
функции. Аналогичным образом особая линия второго порядка составляет-
составляется из двух параллельных особых линий первого порядка; поступая таким
те образом дальше, мы определим особую линию любого порядка п с
прои.чвольпо направленными осями.
Потенциал, создаваемый такой особой линией тг-го порядка, рас-
расположенной вдоль оси z, можно принять равным
(-1)"
П.1- dhx
x <?А3.. .dhn \ г У r — z

109) § 17. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТЕССЕРАЛЬНЫХ. ФУНКЦИЙ 1 И 2 РОДОВ 163
Такая гармоническая фуцкция называется линейной гармонической
функцией с осями hx, h%, .. ., hn.
Если все эти направления совпадают, то мы получаем гармоническую
функцию ^пт"-; таким образом,
Так как — и — In I/ суть единственные гармонические функции
степени —1, зависящие только от г и б, то Рп и фп — единственные
зональные, т. е. не зависящие от ср, сферические функции степени п.
Таким образом, Qn (cos б) представляет собой функцию Лежандра второго-
рода и выражается формулой
Это выражение для @n([j.) соответствует формуле A2) для Рп ((j.).
Выполняя в C6) дифференцирование с помощью формулы Лейбница
д , -i/r + 2 1 у
и учитывая, что -г-In I/ = -• , получаем следующую формулу:
эквивалентную формуле E2).
Линейная гармоническая функция, у которой п — т осей совпадают
с осью z, а остальные т осей расположены симметрично в плоскости ху,
равна, с точностью до постоянного множителя,
^ f AY" Г i In l/'_±i
т. е.
или, что то же самое,
rm c.os m<
sin
где j- означает дифференцирование по г при постоянном z.
Умножив это выражение на гп+1, мы получим Q™ (р) . тер, где
§ 17. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО РОДОВ
109. Как было показано в п. 106, тессеральные гармонические функ-
функции обоих родов могут быть получены из определенных гармонических
функций с помощью одного только дифференцирования по z. Гармонические
, . COS /
функции степени —1, содержащие в качестве множителя . тер (и другой
Sill
11*

164 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [109
множитель, не содержащий ср), имеют вид
J_ (г j- z)m cos
г TZ sin
mcp
(см. п. 107).
Отсюда получаем гармонические функции
cos 1 д™ (г ± z)"
sin mtP Г^ ^ г
которые можно записать в следующем виде:
Sn mtf —S^ S^(r ± z)m- E3)
Если п < т, то существуют две различные функции вида
sin „ . ./—„ , 0.
mcp • п„ (z, у х*•+¦ у*).
cos т п\ > у \ а )
Если же n > m, то эти две гармонические функции совпадают, так как
те члены в (г ± z)m, которые содержат четные степени г, обращаются в|нуль
после (и +1 )-кратного дифференцирования по z.
Если п > т, то каждое из выражений
cos 1 д" (г ± z)m
. то ¦ ; —; '
sin ' 3 m ozn г
представляет тессеральную фупкцию первого рода.
Тессеральными функциями второго рода являются
cos
sin
(а?
их можно записать также в следующем виде:
cos
. mcp-
sin т
Опи получаются дифференцированием по z двух гармонических функ-
функций
i i/ ' т" cos t(z + r)m + (z — r)m ) , . У С — sin тсрД f(z-t-r)m — (z—r
In У -?- . mcp p +arctgTf n ¦ |l T '
—z sin T j 1 m ? ' s ж V + cos
1 J
действительно, если п > m (m целое), то коэффициент при arctg — c.osmc
3C S1U
после и-кратпого дифференцирования по z обращается в нуль. Еслии<т,
то получающиеся таким путем гармонические функции содержат множи-
множитель ср; в этом случае обе гармонические функции вида
даются формулой E3).
Формула E3) может быть записана в виде
cos , , , ...t»?1 f 1
g.n mep- (Ж« + ^J |

НО] § 17. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 1 И 2 РОДОВ 165
таким образом,
Воспользовавшись формулой Якоби
sin
где ? = cosi[), получаем, что последнее выражение равно (с точностью до
постоянного множителя)
cos
E4)
Таким образом, E4) представляет собой иное выражение для тессе-
ральных функций первого рода. Заметим, что оно получается из выраже-
выражения
COS
(см. п. 64) заменой m на —т.
Таким образом,
К (cos 0) = Вг^ (а« 4 у
где В—постоянный множитель.
110. Трмсон и Тэт1) утверждают, что
cos
X rf Nm X 1 r + z\ T . „ . 2. к т cos
представляют собой при т > 0 две различные гармонических функции вида
sin '
и степени —п — 1. Это, однако, неверно, так как в действительности вто-
второе выражение всегда совпадает (с точностью до постоянного множителя)
с первым. Действительно, легко заметить, что во втором выражении вели-
величина In^-^ исчезает при дифференцировании.
7* — 2
Легко проверить на простейших случаях (п= 1,2,3), что
д Г PrnJ-l f d \т / I , /4-z\T . „ , „.„"«COS „ г2™'1 COS
ггт+1 i __^ \ i __ jn—!_ \ (хг-\-угI . ту = С ;— . тер
dz L \rdr J \r r—zJjK ' " > sin T imsin т
2
так что две гармонические функции степени нуль, указанные Томсоном
и Тэтом (стр. 173), на самом деле совпадают.
х) Natural Philosophy, т. I, стр. 76. См. также Hobson, Proc. Lond Math
Soc. A), 22 A891), 443, где сделано соответствующее исправление.

186 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ft 11
В качестве второй гармонической функции следует взять
или, что то же самое,
cos 1
sin '
Э*о выражение не совпадает с первой гармонической функцией прит = О.
§ 18. КРУГОВЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
111. Если некоторое количество магнитной массы с постоянной плот-
плотностью распределено в полуплоскости xz, в которой х < 0, то соответ-
соответствующий потенциал равен arctg — . С помощью инверсии относительно
единичной сферы получаем, что выражение —arctg— представляет собой
потенциал, соответствующий распределению магнитной массы с плотностью,
обратно пропорциональной расстоянию от начала координат. Такое рас-
распределение можно назвать особым листом порядка нуль. Тогда особый
лист любого порядка п, соответствующий п произвольным направлениям,
строится посредством особых листов низших порядков подобно тому, как
это делалось в случае оеобых точек и линий. Потенциал, создаваемый
таким особым листом, равен, с точностью до постоянного множителя,
3" Г 1 .
Shi Sh.2 ... dhyi \ т
Эти гармонические функции можно назвать круговыми гармоническими
функциями *) в силу их связи с функцией arctg — .
Если все оси совпадают с осью z, то мы получаем функцию
Рп (cos 6)
— зональную круговую гармоническую функцию.
Система тессералъных гармонических функций
получается, если взять и — т осей совпадающими с осью z, а остальные т
осей распределить симметрично в экваториальной плоскости.
Это выражение получается, если выполнить все дифференцирования
в выражении
{(
я)
Система гармонических функций, которые можно назвать круговыми
гармоническими функциями второго рода, дается формулой
3" Г 1 „ct-v. inC±fl
dktdh^.-.a/in [TarcTS x шr-z\ ¦
Зональная гармоническая фуякция, принадлежащая этой системе.
Оп (cos в)
имеет вид ср ^"^nvl '¦.
*) Hobson, цит. соч., стр. 445.

112] §19 СПЕЦИАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 167
§ 19. СПЕЦИАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА
112. Бромвич1) обратил внимание на решение уравнения Лапласа,
предстапимое в виде
Yn = ?п {r"Pn (cos 6)) = г" {In г • Рп (cos 6) + дРп (;я08 6) } ;
такое решение встречается в некоторых задачах теории потенциала, кото-
которыми он занимался. Ось z служит в этом случае осью симметрии.
Полагая |a = cos0, имеем
К М ~ $ (?+Vv^1 cos
Эта формула верна как при положительном, так и при отрицательном
cos6, если только, как здесь и предполагается, п целое и положительное.
При иных значениях п эта формула верна для положительных cose
(см. гл. V). Имеем также
я
— lcos<]>) =
о
< 1 разложить
причем последний член можно в силу неравенства
по степеням eiv и e~iv>.
Далее, вспоминая, что выражение
те
\ ([А-)-1/[А2 1 COS(b)" . 1
J ' S1TX
О
пропорционально P«(cosO), когда г < п, и равно нулю, когда г > л, мы
видим, что
r=0
Последняя часть стоящего справа выражения представляет собой,
очевидно, многочлен степени п от [а и, следовательно, может быть записана
в виде
АпРп(^+Ап^ /Vi (|»)+ ... + А-
Мы видим, таким образом, что решение Yn можно записать в форме
где Ао, At, ..., ^„—постоянные, которые мы определим ниже.
l) Proc. Lond. Math. Soc. B), 12 A913), 100. См. также заметку Ватсона в Rec.
Proc. Load. Math. Soc, стр. 8 того же тома.

168 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [113
Эта форма решения может быть получена также следующим образом.
Так как -~-{r-\-z), как легко проверить, удовлетворяет уравнению
Лапласа, то посредством инверсии (см. п. 75) получаем решение — In Г ~?т ) •
Отсюда с помощью дифференцирования получаем решение
)ngn г ! r + z\
dz* \ г Ш 2/-М '
которое, применяя формулу Лейбница, можно записать в виде
fiifr) ]nr + z ( fn-i(p.) /I 2z\ 1 Рп-гМ ( z 2 4г*\ 1
rn + i 2г2 "^ \ гп у г т3) ' 2! гп~1 V '-3 ^ r*J~ ' ' ' J '
т. е. в виде'
fiifr) lni- + » , /п(р-)
rn+i lu 2ra ' rn+1 '
где /п—многочлен л-й степени.
Применяя еще раз инверсию, получаем решение вида
/•"/>„ М In
т. е. имеющее указанную выше форму.
113. Так как АгпРп ([«.) представляет собой решение уравнения Лапласа,
то без уменьшения общности можно определить Yn формулой
Чтобы найти Ао, А1г ..., ^п-ь рассмотрим выражение
dZn x , dZn у dZn
дх r{r+z) +-^ +-
_ 2 fnZn dZn\
- [-r г dz ) '
где Zn = rnPn{\s). Легко проверить, что -j^ = nZn_i и, следовательно,
V»
Кроме того,
таким образом, условие V2Yn=0 приводит к уравнению
Легко видеть, что первое слагаемое в этом уравнении представляет
собой многочлен степени п — 1 и равно удвоенному выражению
Bл -1) />„_! (ц) - Bл - 3) />„_2 (ц) + Bл - 5) Р„_3 ([*)-...+(_ 1) "-1.
Если
то имеем
s=0

113] § 19. СПЕЦИАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 169
следовательно,
Полагая Ап = 0± находим, что
/п (V) = ~ 2 { Yfgr ^n-1 Ы - 2 ^,1
таким образом,
Ясно, что если прибавить любое слагаемое вида АгпРп (^), функция Yn
попрежяему будет удовлетворять уравнению Лапласа.
Если в выражении для Yn изменить знак р на противоположный, то
в качестве второго решения получим
Полуразность этих двух решений представляет собой хорошо извест-
известное решение
[см. гл. II, формула E6)].
ПРИМЕРЫ
i. Показать, что потенциал однородной окружности радиуса с и массы М с цент-
центром в начале координат, лежащей в плоскости ху, равен
¦п 1_ 1_
О
2. Если и = /(а;, у, z, t) — решение дифференциального уравнения
то
х у z 1\ /
т-тт'-т)ехрС
является его другим решением.
3. Показать, что если V = f(x, у, z)—решение уравнения Лапласа, то
2(x-iy)'2i(x-ty)
az Л
является его другим решением.
Показать также, что если W = f(x, у, z, г) —решение уравнения

170 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ИЗ
ТО
± У_ "-l г2 + 1 N
— ct ' z—ct ' у (z—ct) ' x (z—ct) J
W f
z— ct
является его другим решением.
[Bateman, Proc. Lond. Math. Soc. B), 7 A909), 77.1
4. Две окружности, имеющие массы М и М' и радиусы а па', расположены
в пространстве так, что их центры находятся от начала координат на расстояниях
Ъ и V соответственно. Прямые, соединяющие начало координат с их центрами,
перпендикулярны к плоскостям этих окружностей и образуют друг с другом угол 6.
Показать, что потенциал одной окружности по отношению к другой равен
п~0
где
Ьп-2а2 + » (га 1) (»-2) (—3)
Bn и Qn—такие же функции от Ь', а' и от cos в, sin в соответственно, а с равно наиболь-
наибольшему из чисел yV + б2 и yV2 + 6'2. (Math. Tripes, 1877.)
5. Показать, что если р. = cos в, р.'= cos в', то
4 Bm+ 2) Bm+ 4)
2Bm + 2) d{
> / l\m +Л I"
4 • 6 Bm + 2) Bm + 4) Bm + 6)
зрмуле, найденной Гав
разложением
Рп \щ>.' — К (а2 — 1 V f*'2— 1 cos <f)
Это равенство эквивалентно формуле, найденной Ганзеном1). Оно может быть
получено из теоремы сложения B0) разложением
в ряд по степеням W2—1 V'p.'2—1 cos<p с последующей заменой каждой степени cos<p
линейной комбинацией косинусов кратных дуг и объединением коэффициентов при
cos ту.
6. Доказать, что если Yn(x, у, z)—шаровая функция целой положительной сте-
степени л, то
где /(«)=^/(«)-
7. Показать, что функция
удовлетворяет уравнению
— = /сГ2и
dt
(Math Tripos, 1893)
8 2). Доказать, что
с(т)
Р<™)(совв) = -^- /т
!) Abh. Sachs. Ges. d. Wiss., 1 A852), 123.
2) Hobson, Proc. Lond. Math. Soc. A), 25 A894), 73.

113J § 19. СПЕЦИАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 171
где с^—постоянные. Показать также, что
со
Р™ (cos в) = ^** (- 1)т \ Х"е-Дг cos *Jm (кг sin 9) dk.
О
9. В символической записи
P.Q.r
означает произвольный однородный многочлен стспепи п от х, у, z. Если (ax+by+cz)n—
шаровая функция, то
(а2 + Ь2 + с2) (ах + Ьу + сг)п =э О
Показать, что если (а'я + Ь'у + с'г)"—другая шаровая функция той же степени,
то интеграл от произведения двух этих функций, взятый по поверхности сферы радиуса
единицы, равен
4ic2"n!n!
Вывести уравнение степени 2га, определяющее положение полюсов.
(Там же, 1890.)
10. Показать, что если
оо
1 1 /п> XI I
A—
то А а^—зональная сферическая функция степени i—тг от -^ (h + h'1). Выразить
а^ через соответствующую присоединенную функцию и доказать, что
11. Доказать, что
Br)l (n±r)l
( ^ 2^(r -m)!(r + m)!(r!J(n-r)!Sm °-
(Там же, 1906 )
12. Доказать, что (при известных условиях, которые следует установить) всякую
функцию n-й степени от х, у, z, удовлетворяющую уравнению Лапласа V2F -— 0, можно
записать в виде
r2V2 r7 1
+ }/(а: V' z) +
r*V* 1 y(x, y, «)
Исследовать решение следующей задачи: найти функцию V от я, у, г, такую,
что 1) F удовлетворяет уравнению Лапласа, 2) V однородна первой степени относитель-
dV dV
но х, у, z, 3) если в V и в -%— положить г=0, х — г cos у, 2/ = rsin<p, то -д— обращается
у
в нуль, а в заданную однозначную функцию от у, с периодом 2л.
[Math. Tripos, 1902, см. также Hob son, Proc. Lond. Math. Soc. A), 26, 492.]

172 ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [US
13 1). Пусть Р (а, Ь, с) означает шаровую функцию
а\ЬЫ Г"+ \dxj \ду) \dzj T'
где п = а + Ъ + с и Р(а, Ъ, с) равно нулю, если одно из чисрл а, Ъ или с является
целым отрицательным. Доказать, что
^г"Р(а, Ь, c) = -rn-1[(a + i)P(a + l, 6-2, с) +(в + 1) Р (а + 1, 6, c-2)i>(e —1, 6, с)].
14. Доказать, что функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению y2V2F = 0.
152). Показать с помощью теоремы сложения или иным путем, что если [/. > 1,
v= j/V2 — 1. то
те
-I с
x)dx.
16. Разложить в ряд по шаровым функциям целых положительных степеней
функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа, непрерывную вместе со своими
хг у2
первыми производными па сфере а;2 + j/2 + z2 = а2 и равную — ' на поверхности
а ух2 + у2
этой сферы. (Math. Tripos, 1912.)
J) Gallop, Proc. Lond. Math. Soc. A), 28 A896), где приведен ряд формул,
относящихся к дифференцированию шаровых функций.
2) Nicholson, Quart. Journ. Math., 41 A9Ю), 257.

Глава V
ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ i. ВВЕДЕПИБ
114. В гл. III было показано, что обычная система шаровых функций
получается из уравнения Лапласа
+=Q
дх ду* ^ д#
при отыскании решений этого уравнения, имеющих вид
Г-^ПКр • СЫ, '-"-1з°>? • »п (И-), A)
где т и п — целые положительные числа, х, у и z связаны с г, ср, jx фор-
формулами
х = г A — (х2J cos ср, г/^= /"(I — (x2Jsincp, z=r|x,
и (x = coscp.
Функция и™ ((а) представляет собой частное решение обыкновенного
линейного дифференциального уравнения второго порядка
-0. B)
известного под названием присоединенного уравнения Лежаидра степени л
и порядка т.
Эти решения уравнения A), в которых (х действительно и лежит в
интервале ( — 1, +1), а т целое и неотрицательное, не превосходящее п,
связаны с тем весьма важным классом задач теории потенциала, в которых
граница рассматриваемой пространственной области состоит из одной сферы
или из двух концентрических сфер, а также с некоторыми другими сход-
сходными задачами.
Мы увидим, однако, что функции . ту • и™ (|х) используются при реше-
решении и других задач теории потенциала, в которых граница имеет иную
форму, отличную от сферической, причем в некоторых из этих случаев
соответствующие значения п, т и (х могут и не быть подчинены тем усло-
условиям, которые были указаны для случая сферической поверхности. В не-
некоторых случаях (они будут рассмотрены ниже) приходится использо-
использовать функции mJT((x), в которых хотя пит являются попрежнему
целыми положительными, (х принимает действительные значения, большие
единицы.
Решения уравнения B), соответствующие дробным или комплексным
значениям п, используются в некоторых задачах, которые мы уточним
ниже. В задачах теории потенциала для тора используются решения урав-
уравнения B), соответствующие полуцелым «и (х > 1. Для пространственной
области, ограниченной двумя кусками сферических поверхностей, имеющих

174 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [114
общий край, используются решения уравнения B), соответствующие комп-
комплексным п вида—о" + ^° и Р>1- Встречаются также случаи, в кото-
которых т принимает нецелые значения.
Выражения A), в которых и™ (|х) суть частные решения уравнения B)
и в которых степень п и порядок т, равно как и аргумент |х, могут при-
принимать любые действительные или комплексные значения, можно назвать
обобщенными шаровыми функциями. Изучение вида этих гармонических
функций сводится к изучению вида двух частных решения Р™(|х), (?™(|х)
уравнения B). В настоящей главе будут даны определения этих функций
Р™ (Iх) и Оп{у-)> применимые при любых значениях п, т и |х. Вид и свой-
свойства функций, используемых для решения различных типов задач теории
потенциала, были исследованы разными авторами, причем для различных
классов задач эти исследования проводились обычно более или менее
независимо. Желательно, конечно, включить эти специальные классы
функций в общую теорию. Изучение вида и свойств функций /^((х),
Q™ (|х) при любых значениях степени, порядка и аргумента необхо-
необходимо для сведения в единое целое частных результатов, полученных
различными авторами в связи с отдельными задачами теории потен-
потенциала.
В классическом трактате Гейне1) исследуются форма и свойства функ-
функций /СО*). ^гГЫ» при этом хо?н степень п и порядок т сперва считаются
целыми, там рассматриваются и различные обобщения, относящиеся к слу-
случаям, в которых п не подчинено указанным ограничениям. Однако из-за
отсутствия общего определения функций /Т((а), ^и*((а) для любых п и т
эти обобщения отрывочны, неполны, а порой и ошибочны. Много рядов,
удовлетворяющих дифференциальному уравнению B) при произвольных зна-
значениях степени и порядка были указаны2) Томсоном и Тэтом. Обшее
изучение рядов, удовлетворяющих дифференциальному уравнению B),
было проведено Ольбрихтом3), который получил 72 гипергеометрических
ряда, удовлетворяющих рассматриваемому уравнению, из которых па
крайней мере половина сходится в любой наперед заданной точке пло-
плоскости (X.
В частном случае т — 0 зональные функции Рп (|х), Qn (jx) могут быть
полностью определены для любых значений п с помощью интегралов
по простому контуру. Этот результат был получен Шлефли4), который
основывался на рассмотрении рядов, представляющих соответствующие
функции.
Определение более общих функций Р™(\>,), Q™ (jx) с помощью интегра-
интегралов, взятых вдоль соответствующих контуров в плоскости (х, пригодное
для любых зпачепий пи т, оказалось возможным благодаря введению
в анализ независимо друг от друга Жорданом5) и Похгаммеромв) инте-
интегралов но двойному контуру. Использование интегралов такого типа имеет
большие преимущества по сравнению с пользованием интегралами, взятыми
между двумя пределами, потому что ори этом нет необходимости выбирать
постоянные тан, чтобы соответствующие интегралы сходились. Поэтому
интересующие нас функции могут быть определены с помощью выражений,
имеющих определенный смысл при всех значениях постоянных. Гобсон7)
J) Kugelfunktionen, т. I и II.
2) Natural Philosophy, т. I, ч. 1, приложение В.
3) Sfudien iiber die Kugel- und Zylinderfunktionen, Halle, 1887.
4) Ober die beiden Hoineschen Kugelfunktionen, Bern, 1881.
5) Cm. Conrs d'Analyee, т. II, 1894, стр. 569—573.
о) Math. Ann., 3& A890). 470 и 495: 36 A890). 84.
') Phil. Trans., 187 A896), 443.

115] § 2. СООТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 175
применил этот метод для получения общих определений функций Р™ (у-)
и (?»Г(|а); он провел также детальное исследование свойств этих функций,
основанное на использовании интегралов по двойному контуру.
Общая теория была развита также Барпсом1), который использовал
для представления гипергеометрических функций контурные интегралы,
содержащие под знаком интеграла Г-функцшо. Его метод дает значитель-
значительную экономию труда при проведении различных преобразований, исполь-
используемых при исследовании разных форм, в которых могут быть записаны
рассматриваемые функции. С точки зрения той теории, которая излагается
ниже, более удобен метод, развитый Гобсоном, однако мы уделим некото-
некоторое внимание и результатам Барнса.
§ 2 СООТНОШЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
115. Если п дифференциальном уравнении B) сделать подстановку
то получим, что v удовлетворяет следующему дифференциальному уравне-
уравнению:
(^-\>-г)^-2(т+1)^+(п-т)(п+ти+\)и = 0. C)
Если теперь за новую независимую переменную мы возьмем н<'=у A — (а),
то это уравнение примет вид
^ ^ )v^0. D)
Сравнивая уравнение D) с дифференциальным уравнением
для гипергеометрической функции Гаусса F (а, C; у, |х'), мы видим, что эти
два дифференциальных уравнения тождественны, если л — т — п, [3 = пг +
+ 71+1,7=иг+1- Отсюда вытекает, что дифференциальному уравнению C)
удовлетворяет функция v - F (т— п, нг + Ti-i- 1; нг + 1; ¦ »¦'* j и, следова-
следовательно, решения уравнения B) могут быть выражены через гипергеометриче-
гипергеометрические функции. Пары индексов, соответствующие трем особым точкам, |х' = О,
{t' = oo, (х' = 1, уравнения D), будут, как легко видеть, следующие: 0, —иг;
т — п, иг +71 + 1; 0, —иг.
1^
Вспоминая, что м = ((х2 —IJ и, мы видим, что уравнению B) удовле-
удовлетворяет /'-функция Римана2):
О, со, 1
у иг, —п, -к иг уA — (х)
1 , л 1
E)
иг
Эта .Р-функция представляет собой тот частный случай общей Р-функ-
ции, который получается, когда две пары разностей индексов равны между
!) Quart. Journ. Math., 39 A908), 97.
2) Б. Риман, Сочинения, М.—Л., 1948, стр. 159—175. Для ознакомления с тео-
теорией Р-функций Римана см. xorsyth, Theory of Differential Equations, т. Ill,
стр. 135—150. [См. также Уиттекер и Ватсон. Курс современного анализа,
т. Л, 1934. (Прим. ред.))

176
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[115
собой. Отсюда вытекает, что теория функций /^(jx), Q™ (jx) совпадает
с теорией Р-функций Р ( , ^ ,' # ),гдоа — а' = т — т', и, следовательно,
\а , Р , 7 > /
эти функции принадлежат к некоторому специалььому классу гипергеомет-
гипергеометрических функций.
Функция E) совпадает с функцией
-1, оо О
1 1
-^т, —п, -^т (j
— -jr-m, re + 1, — -5-1
т. е. с
О,
О,
1 1
оо,
1
F)
это преобразование существенно основывается на том факте, что для
(х == 1 и для (х = — 1 индексы одни и те же.
В свою очередь выражение F) равносильно
О, оо, 1
П 1 1
и> 2 т' ~ г п
с помощью использованного выше преобразования это последнее выраже-
выражение приводится к виду
-1, оо 1
1 1
— -Г-П, т, —-п-п —
что в свою очередь эквивалентно
О,
1
Р
G)
Таким образом, мы видим, что функции, удовлетворяющие уравне-
уравнению C), можно представить с помощью /*-функций Римана трех различных
типов, а именно E), F) и G). Каждую из этих /*-функцим можно подверг-
путь томографическим преобразованиям, в результате которых в преобра-
преобразованных выражениях вместо х в качестве переменных появляются 1/х,
1-х, 1/A — х), х / (х—1) и (х — 1) / х. Каждой данной Р-функции отве-
отвечают 4 гипергеометрические функции, так что если мы учтем томографи-
томографические преобразования, то получим 24 гипергеометрических функции.
Так как дифференциальному уравнению C) удовлетворяют три различные
Р-функции, каждая из которых может быть подвергнута томографическому
преобразованию, то всего получается 72 гипергеометрические функции,

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Р™ (ц)
удовлетворяющие рассматриваемому дифференциальному уравнению. Все
эти функции выписаны в виде рядов в цитированном выше мемуаре
Ольбрихта.
Решения уравнения B) могут быть изучены или в форме рядов, или
в форме интегралов, которые берутся вдоль некоторых путей в пло-
плоскости переменного (х. Оба эти способа будут встречаться в этой главе.
Следующие свойства гипергеометрических функций, соответствующих
действительным значениям а, C, -j-, будут использованы в излагаемой теории:
;ia+^121)InI^. (в)
Соотношения (б) и (в) могут быть получены как частные случаи следующей
теоремы1). Пусть ряд 2 аг расходится, а ряд 2 агхГ сходится при х < 1
и аг, начиная с некоторого г, положительны и таковы, что
...+ar^C(bl + bi+ ... + br)
или ar-~^Cbr. Тогда, если
(J J
то
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Р% ([л)
116. Если в уравнении C) сделать подстановку
то получим
х
Таким образом, дифференциальному уравнению C) удовлетворяет
функция
где п и т могут принимать любые значения, а интеграл берется вдоль
замкнутого пути, такого, что подинтегральная функция после обхода
вдоль всего контура возвращается к исходному значению. В общем случае
*) См. Hardy, Orders of Infinity, Cambridge, 1910, стр. 56, где имеются соот-
соответствующие ссылки:
12 Б. в. Гобсон

178
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[Ив
подинтегральное выражение имеет четыре особые точки: t — l, t=—1,
?«=|х и t = co; если замкнутая кривая охватывает одну или больше из этих
особых точек то после обхода всей такой кривой подинтегральное выра-
выражение принимает, вообще говоря, значение, отличное от исходного. Те
замкнутые пути, для которых это пе так и которые, следовательно, могут
быть использованы для построения решения рассматриваемого дифферен-
дифференциального уравнения, можно охарактеризовать следующим образом: они
остаются замкнутыми и на соответствующей римановой поверхности,
на которой функция (t2 — 1)" (t — |х)
—n—m—l
от t однозначна. Выбирая два
различных контура такого типа, мы получим два независимых решения
рассматриваемого дифференциального уравнения и можем использовать их
для определения присоединенных функций Лежандра.
Если переменная t описывает, начиная с некоторой точки С, которую
можно для простоты считать лежащей на линии, соединяющей 1 и (х,
некоторый путь, обходящий фиксированную точку (х в положительном
направлении (т. о. против часовой стрелки), затем точку 1 в положи-
положительном, потом точку (х в отрицательном и наконец точку 1 в отрица-
отрицательном направлении, возвращаясь в результате в точку С, то подинте-
гральная функция (t2 — I)" (t — р)~п~т~г в конце всего пути принимает
то же самое значение, которое она имела вначале. На черт. За это будет путь
, С$аС, СЦС);
на черт. Ъб это —
{CD, DabD, DC, CfgC, CD, DbaD, DC, CgfC).
Для простоты мы считаем, что путь С$яС совпадает с путем Са$С,
проходимом в обратном направлении, однако это не обязательно. Путь,
по которому совершается обход вокруг одной из особых точек в отрица-
отрицательном направлении, можно выбирать совершенно независимо от того
пути, по которому совершается обход вокруг этой же точки в положи-
положительном направлении. Точку С также не обязательно брать на линии,
соединяющей 1 и (х.
В обозначениях Похгаммера
\—n—m—l
dt,
(С)
и и удовлетворяет дифференциальному уравнению B). Однако, для того
чтобы это значение и было однозначно определено, необходимо точно

117j § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Р„ (ц) j7g
указать значения, принимаемые входящими в подинтегральную функцию
многозначными множителями в различных точках пути интегрирования.
Это можно сделать, указав их значения в одной из точек пути интегри-
интегрирования; тогда их значения во всех остальных точках определяются по непре-
непрерывности. im
Чтобы определить значение выражения (|х2 — IJ в некоторой данной
точке (х, не лежащей на действительной оси между 1 и —оо, предположим,
что arg((x — 1) и arg((x-f-l) равны нулю при всех действительных (х, боль-
больших 1. Тогда можно считать, что аргументы величин (х — 1 и (х +1 заклю-
заключены между —тс и тс. Таким образом, если (х—l = rei8, где —тс < 0 < тс,
и (х + 1 = r'eir7 где —тс < 0' < т., то значение (|х2 —1J в каждой точке
плоскости однозначно определяется формулой
(т-т-'J е2 ,
если только эта точка не лежит на действительной оси слева от точки 1;
поэтому мы предположим, что (х не принимает действительных значений <; 1.
Таким образом, в плоскости (х проведем разрез вдоль действительной оси
от —оо до 1. Мы увидим, что если тп и п целые действительные, то
можно ограничиться разрезом только от —1 до 1.
В выражении (t2—l)n = (t—1)™(?+1)" угол arg(? + l) следует поло-
положить равным нулю в тех точках действительной оси, в которых t +1 дей-
действительно и больше нуля. Пусть начальное значение arg (г — 1) в точке С,
лежащей па отрезке, соединяющем 1 и (х, равно <р, причем —тс < ср < т:;
ср равен, очевидно, углу, который образует прямая, соединяющая точку С
и точку +1, с положительным направлением действительной оси. Так как
arg [(t— 1)"] = n arg (f — 1) и arg [(t + 1)"] — и arg(f-fl), то левые части
этих равенств однозначно определены в каждой точке контура. После
того как мы, обойдя точку +1 в положительном направлении, снова вер-
вернемся в С, arg (t2 — 1)" станет равным пBтс + <р +-<р'), где ср'= arg (? +1)
в точке С.
Будем считать arg (t — (х) равным нулю в тех точках контура, в кото-
которых t — (х действительно и положительно, тем самым он будет определен
во всех точках контура, и тогда arg [(t — (x)~n~m~1]=( — п — m — 1) arg (t — (x).
Начальное значение arg(i — (x) в точке С тогда равно — ф, где ф — угол
@<ф^2я), на который поворачивается в положительном направлении
отрезок, соединяющий точки t и (х, когда t движется вдоль первой петли
от С к А, т. е. к той точке, в которой t — jx действительно и положительно.
117. Рассмотрим теперь значения выражения
(С) ч "
причем аргументы переменных определяются поставленными выше условиями
при |(х — 1 | < 2. Здесь CJJ1 — некоторая достоянная, значение которой будет
установлено позже. Для удобства выберем точку С на отрезке, соединяю-
соединяющем 1 и (х. Сделаем подстановку t — 1 = (jx — 1)м, где м — новая переменная.
Так как t — [х~(|х — 1) (и — 1), то интеграл (8) принимает следующий
вид:
1П+, 0+1 1-, 0-)
)
(С1)
12*

180
ГЛАВА V. ОВОИЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[118
где С (черт. 4) — точка на плоскости и, соответствующая С. В этом инте-
интеграле начальное значение arg U в точке С" равно нулю, arg (и — 1) в этой точке
равен —W, и так как
arg
T0
имеет то значение, которое получается при разложении этого выражения
в биномиальный ряд. Выполнив это разложение, что возможно, так как
при | {л — 11 < 2 путь можно выбрать так, что во всех его точках
< 1, получаем
1
г-0
П(г)П(»-г)
A+, 0 + , 1-, 0-)
)
(С1)
Почленное интегрирование возможно, так как степенной ряд равно-
равномерно сходится для всех'и, принадлежащих пути интегрирования.
118. Выражение
цо-1
ЧеРт-
(С1)
Похгаммер обозначает символом € (а, Ь).
В этом выражении начальное значе-
значение arg A — и) в точке С равно нулю, так что и — 1 ~ A — и) e~ni, и началь-
начальное значение arg и в точке С такдар равно нулю.
Существенными свойствами функции б (о, Ъ) являются следующие:
€(а,6) = €(М), (а)
Д -1) € (а, Ъ), (б)
(в)
€ (о, Ь)= — 4 sin оте sin fritB (о, Ъ),
где Re (о) > 0, Re (b) > 0, а В (о, Ъ) есть В-функция Эйлера
1
С помощью соотношения (б) свойство (в) может быть распространено
на любые значения о и Ь.
6 (а, Ь) = €A-а-Ь,Ь) = €(а, 1-о-Ь). (г)
Воспользовавшись этими свойствами функции ?(а, Ъ), мы получаем
(С)
Так как
A+, 0+, 1-, 0-)
(С)
, 1-, 0-)
f МП+ГA—M)~""r"^M = ^"
С)

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Р™
то отсюда вытекает, что выражение (8) можно записать в следующем виде:
~ A—то) B-то) ... (r—m)
или
1
2 J
где F означает, как обычно, сумму гипергеометрического ряда.
В силу (в) и (г) имеем
б(га+1, -я-1и) = е(я+1, m)^Asinn^s
и выражение (8) при любых га и тга можно записать в виде
ЛтТ1(п\Т1(т —1\
тптс
где ||а-1|<2.
Так как П( — тиI1Gи — lJ^rcsc/nT:, то
и, следовательно, при ти==9 выражение (8) принимает вид
С°п е™1 • 4тс sin птс i? (^ - п,
Будем, как обычно (см. п. 15), считать, что Рп{\ъ) представляется
рядом F ( —га, га-И; 1; —^ ) ,
когда
2
—nrci
< 1; отсюда, полагая
n An sin i
получим
nni см-.»-
5 ^
(C)
Выражение, стоящее в правой части формулы (9), определяет Рп(р)
во всей плоскости [а, за исключением той части действительной оси, где
[а<1; в действительности оно представляет собой аналитическое продол-
продолжение, на плоскость с разрезом, функции, определяемой в окрестности
точки [а — 1 гипергеометрическим рядом. Аргументы множителей t + 1
и t — [а, входящих в подинтегральную функцию, принимаются равными
нулю в тех точках, в которых эти множители действительны и положи-
положительны; arg (t — 1) в начальной точке С следует положить равным
— тс < ср < тс, где <р — угол, образуемый отрезком, соединяющим точки 1 и
с осью t.
Чтобы определить Р™(\к), мы должны сперва рассмотреть случай,
когда т целое положительное, а затем определить Р™(\>-) для произволь-
произвольного т так, чтобы это определение было согласовано с обычным опреде-
определением, относящимся к тому частному случаю, когда т целое положи-
положительное.

182 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [119
Если т целое положительное, то Р™(\ь) обычно определяют (см. п. 54)
следующей формулой:
таким образом, в этом случае
hm(v-+, 1+, V--, 1—)
так что
Ст =
" 4re sin nit П (n)
Примем теперь, что С™ имеет это значение и при любых пят. Мы при-
приходим к следующему определению:
Присоединенная функция Лежандра Рп(\>-) первого рода определяется
при любых значениях степени п и порядка т формулой
~ ТШ^2-1J"" \ (^-lj-ff-ii)-»-"-1*; (Ю)
(С)
и arg (t — (а) выбираются так, чтобы они были равны нулю во
всех тех точках контура, в которых эти выражения действительны
и положительны. Начальное значение arg (t — 1) в точке С следует поло-
положить равным ср, где о —угол, образованный отрезком, соединяющим 1
и С, с положительным направлением оси t и —тс<ср<тс. Для того чтобы
эта функция Р™ (|а) была однозначна, следует предположить, что arg (ja — 1)
и arg(|A-fl) no. абсолютной величине всегда меньше тс и, следовательно,
что в плоскости сделан разрез от 1 до — оо. Этот разрез ограничивает значе-
значения arg ([а— 1) и arg([A + l), но не arg(t — 1) и arg(? + l); последние при
переходе через разрез меняются непрерывно. Эта функция Р™ ([*¦) остается
неопределенной для действительных значений [а, меньших 1.
Это определение функции ^Т(|а) было дано Гобсоном в цитированной
выше статье (см. п. 114, сноска). Та же самая функция была определена
Барнсом (см. там же) с помощью следующего выражения:
1 ЗШгал /[x + l\2m Г n(s —га —1)П(га —*)Н( —s —1) /и.—1\»
H(s-m)
V 2 J '
где [a — 1 и [a + 1 имеют аргументы, по модулю не превосходящие тс, а инте-
интеграл берется вдоль пути, параллельного мнимой оси, обходящего поло-
положительные полюсы подинтегрального выражения слева, а отрицательные —
справа. Варне показал, что это определение равносильно формуле A0).
119. Если [а таково, что |[а — 11 < 2, то
Из этой формулы вытекает, что P™n-i{y-) = P™{))-)- Ясно, что если т
целое положительное, то эта формула должна быть видоизменена, так как

120] § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Р™ Ы 183
при этом П (— т) обращается в бесконечность и знаменатели коэффициентов
л гипергеометрическом ряде, начиная с (ти+1)-го, обращаются в нуль.
В этом случае гипергеометрическая функция F ( —п, п-}-1; 1 — т; —~ J
может быть записана в следующем виде:
тп-1
1"t" Zj (I —m)B—m) ... (г—m). 1.2. З...Г V 2 > "¦"
•^t 1 П (/г) П(п + г)П(—m
Zj u(-.-m) П (n—г) Ц»
r=tn
откуда вытекает, что в случае целых положительных
Если п целое положительное число > т, то .F представляет собой
многочлен степени п — т.
Можно заметить следующее:
1. Если п целое положительное, а т нет, то ряд в формуле A1) обры-
обрывается, и Рп (|а) представляет собой алгебраическую функцию.
2. Если т целое положительное, а п или не целое, или же целое >ти,
то Рп (|а) определяется формулой A2); в последнем случае эта функция
алгебраическая.
3. Если п и т целые положительные и п < т, то из формулы A2
видно, что Р™(|а)=-0. Чтобы получить решение уравнения B), мы должны
в этом случае взять функцию П (п — т) Р™ (|а) , принимающую конечные
значения.
120. Существенно заметить, что Р™ (|а) при фиксированных т и [а
представляет собой аналитическую функцию от п в окрестности всякой
точки, в которой эта функция конечна. Это проще всего получается из
общего определения A0), однако небезинтересно вывести этот факт и из
указанного выше определения Р™{\>) с помощью ряда, сходящегося
при | [а — 11 < 2.
Мы имеем
— n, ra-
ч
где
— „)( —п + 1) ... (—п + г-1)(п+1)(п + 2) ... (п+r) Л-
~rvv— 1.2-3...i-(l—m)B—m)...(r—m) V 2
Если |ra|<<iV, где iV — фиксированное положительное число, то
поэтому члены ряда
I мо (га) | +1 их (п)\ + ... +1 нг
не превосходят соответствующих членов некоторого сходящегося ряда
с постоянными положительными членами. Следовательно, ряд
B0(raL-Bi(ra) + ... +Mj.(n)+ ...

184 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [121
сходится равномерно для всех п, таких, что |re|<iV., и его сумма пред-
представляет собой непрерывную функцию от п. При этом предполагается,
что т не является целым положительным. Общий член ряда
и'о (п) + и\ (п) 4- ... + и'Т (п) + ...
имеет вид
его абсолютная величина не превосходит
...(N + г)
(г—1)!|1—т\\2—т\... [р—т\
т. е. r-го члена абсолютно сходящегося числового ряда.
Отсюда следует, что ряд ио (га) + и\ (п) 4-. • • + и'г (п) + .., равномерно
сходится при |ra|<^iV и, следовательно, функция
имеет при | п \ < N непрерывную производную по п.
Таким образом, при всяком фиксированном значении [а, удовлетворя-
удовлетворяющем уелдвию 11 — [а | <^ 2, функция Р™ ([*), рассматриваемая как функция
от п, является аналитической. Если т целое положительное, то это же
самое утверждение может быть доказано с помощью рассмотрения функции
F (m — n, п + ти-l-l; m + l; —^ J .
воспользуемся для преобразования
еиием
(П ft* *Y* v\ (\ j.\T~a~P jp /„ n D. . „\
<*> P> I' ¦L) \l J'J Г \\ a> I P> I» X)>
121. Если мы воспользуемся для преобразования выражения A1)
известным соотношением
то получим
в, следовательно,
^( ^). A3)
Если т = 0, а га действительное, но не целое, то в силу известного
соотношения
,. У (а, р; Т; х) _ П(а+р-1)
™In {l/(l-*)}-U(a-l)U(p-l) '
где 7 = а + C, функция ^„((а) при р.—» —1 асимптотически представляется
выражением
sin птс , [л + 1
тс 2
Если ти > 0, то, так как при <х-|-C > 7
i?fa В- - х)~ П(т-1)П(а+р-т-1) 1
^(а р „ яр; ~
П{в_1)П№_1) {)
[см. п. 115, формула (б)], мы видим, что при ja~ — 1
l 2
где вит действительны и ти > 0.

122—124] § 3- ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Р™ (V-) Ig5
122. Если мы обозначим через. Р и Q интегралы, взятые по контурам
СафС и CfSC (см. черт. За) соответственно, то полный интеграл в фор-
формуле A0) будет равен
Р -}- Q — pe2n.Ki _ Qe2(n+m+1 )*i.
если т целое положительное, то это выражение принимает вид
Р -\-Q представляет собой интеграл, взятый по некоторому простому контуру,
обходящему в положительном направлении и точку ja и точку 1 вместе.
Таким образом, при целом т формула A0) принимает вид
)
A4)
начальные значения аргументов в точке С определяются так же, как
и выше.
При тга = 0 мы имеем
(ц+, 1+)
т. е. получаем для/)п([а) выражение, данное Шлефли (цит. соч.). Если п
целое положительное, то этот интеграл достаточно брать по контуру, охва-
охватывающему ТОЛЬКО ТОЧКу [А.
123. Единственным случаем, в котором формула A0) непригодна,
является тот, когда п-\-т целое отрицательное число, Щп + тп) обращается
в бесконечность, а интеграл обращается в нуль. Тогда произведение может быть
вычислено по правилу раскрытия неопределенностей вида 0 X с»; мы имеем
и предел выражения
(ц + , 1+, Ц-, 1-)
(*2-1)" (*-и)-"-"*-'dt
равен
(Ц+, 1+,1Х-, 1-)
/ . v { (t* -1Г It -р,)-"--1 log (t -p.) dt.
тс cos (m+n) тс j ч f \ г/ б v ri
Таким образом, мы получаем, что при целом отрицательном т-\-п
4тс sin птс 2"it cos (т + п) тс П (л) П(—т—п—1) л
. 1-)
(*я — 1)" (Г — pu)-»-"»-* In (t-\i)dt.
124. Если мы в формуле A1) заменим п на — га —1, то гипергеометри-
гипергеометрический ряд при этом не изменится, и, следовательно, внутри круга сходи-
сходимости Р™ (р) совпадает с Pmn~i (ja). Отсюда вытекает, что равенство
P2(p.)~PZn-i(v-) A6)

186
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[125
верно и во всей плоскости с разрезом. Следовательно, заменив в A0) п
на — п— 1, мы получим новое выражение для Р™(\к). Таким образом,
рП/^ рт /\ _ е"*{ оп-ц11(те — п— 1) , , л у 5"
- — Ля;пч" П („!) (I* *) X
X
\-Tl-l
е™ 2n+i П(п) (и.*
4тс sin (n—т)к П (п—т) ^
A7)
Формула A7) может быть принята, наравне с A1), за определение
функции -Р^(|а).
При определении функции Р™ (|а) с помощью интеграла, взятого вдоль
некоторого контура, замкнутого на соответствующей римановой поверхности,
Черт. 5.
необходимо указать расположение этого контура относительно точки —1.
На фигурах а и б черт. 5 изображены два различных контура, обходящих
в положительном направлении одну и ту же точку [а, но значения инте-
интегралов, взятых вдоль этих контуров, вообще говоря, различны, так как
один из них нельзя непрерывно деформировать в другой, не проходя при
этом через точку — 1, являющуюся особой точкой подинтегрального выра-
выражения.
Мы будем поэтому предполагать, что путь, с помощью которого
определяется Р™(\ь) в формуле A1), не пересекает действительную ось
между точками — 1 и — оо или, во всяком случае, что его можно дефор-
деформировать, не проходя при этом через точку —1, в путь, не пересекающий
отрезок [— оо, —1] действительной оси.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
125. Возьмем теперь интеграл от (t2 — 1)п (t — \k)~n~m~i вдоль замкну-
замкнутого пути, в котором за обходом точки — 1 в положительном направлении
следует отрицательный обход точки -)-1.
Рассмотрим выражение
i (-1+, +1-)
/Г(|а2 —IJ \ ^(г2—1)п(г —(а)"""^,
с
где интеграл берется по одному из контуров, изображенных на черт. 6.
При этом arg(? — |а) подчиняется условиям, указанным выше, так что
в точке Е он равен —(те —ср), где ср —угол (заключенный между -\-т; и — -),

i25]
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
(ц)
187
образуемый отрезком Ер с положительным направлением действительной
оси; arg (t—1) и arg(? + l) полагаются равными нулю при t = A, где А
точка пересечения пути интегрирования с действительной осью, в которой
t — 1 и ? + 1 положительны. Следовательно, на черт. 6а начальные зна-
значения arg (t—1) и arg(? + l) в точке С равны тс и —2тс соответствен-
соответственно, a arg (t — (а) = — (тс — ср). Пусть t — [а = (ja — t) e~in, тогда в точке Е,
Черт. 6.
в которой отрезок ( + 1, (а) пересекает путь интегрирования, arg([A — г) = <р,
(— тс < <р < тс). Значения arg ( 1 j для всех t, лежащих на пути инте-
интегрирования, заключены между —тс и +тс. Таким образом, рассматриваемое
выражение можно записать в виде
(-1+, 1-) л
И)« (J2_ l)"(a_ 1Гп~т-Ы1.
Предположим теперь, что | р. | > 1, тогда путь интегрирования можно'
выбрать так, чтобы во всех его точках было j 11 < | [а |; разлагая выражение,
стоящее под знаком интеграла, в ряд, получим
1 (-1+, 1-)
х
1
Почленное интегрирование здесь законно, так как полученный степен-
степенной ряд сходится равномерно на всем контуре, по которому берется
интеграл.
Для вычисления интеграла \ (t2 — i)ntTdt мы можем выбрать
путь интегрирования так, чтобы две его петли были симметричны, а точка С
лежала посредине между точками — 1 и +1. Тогда видно, что при нечет-
нечетном г этот интеграл равен нулю, а при четном r = 2s он равен
(+1+)
о
Делая подстановку t' = ta, мы видим, что arg (t' — 1) вдоль пути ин-
интегрирования возрастает от —тс до тс; таким образом, мы получаем интеграл
(t's-l)nt"~Tdt',
который, как легко видеть, равен
2i sin пт. ¦ ¦

188 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [125
Итак, рассматриваемое выражение можно записать в виде
1 ет
Щ|1 -1J 2л1(
(п+т)ПBв)
0
Х
X
т. е. в виде
8 — 0
„/ra + m ,, п + яг+1 . 3 1
Если п целое положительное, то в соответствии с обычным определе-
определением имеем
следовательно, если мы в данном случае положим
0 e-(n + l)i*
'n~ 4tsinn7c '
то получим
( У }^-1)"(*-.о—^
Определив (?™ ({*) при целом положительном m формулой
1
(см. п. 54), мы. получаем
следовательно, при целых положительных тип мы должны положить
т »-("+') *»П(п+1»)
'" 4isinn7c П(п)
Предположим теперь, что эта же формула определяет значения /?* и при
любых пит; тогда получим следующую формулу:
которую мы примем за определение функции Q™ (р) при любых пит.

125] § 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Q™ (ц) 189
ЕСЛИ | [А | > 1, ТО
1
т еП (-у) 2
({)
//Hhm+2 n + m+1
X ^ ^
Функция, однозначная во всей плоскости с разрезом от +1 до —с»
и получающаяся аналитическим продолжением функции A9), представляется
формулой A8).
Если п таково, что Re (п + 1) > 0, то ~~
определение A8) можно упростить, так как ^L/C D ^—^
интеграл можно свести к интегралу от — 1 ~* +'
до 1 вдоль действительной оси. Действитель- Черт. 7.
но, сперва можно выбрать путь интегри-
интегрирования так, как он изображен на черт. 7; далее, так как интегралы вдоль
петель, обходящих точки —1 и +1, стремятся к нулю, когда эти петли
стягиваются к соответствующим точкам, то мы получаем
(-1+, 1-) 1
\ (t2-l)n(t-p)-n-m-ldt = 2ismmt [ A -t*)n {t-v.yn-m-i dt.
с -i
Следовательно, если Re(n + l)>0, то за определение Q™ (ja) молшо
взять вместо формулы A8) следующее выражение:
A-«Г (i^-O"""-1*- B0)
1
Интеграл здесь можно брать вдоль действительной оси, A — t2)n пони-
понимается как еп 1п (• ~'2), где значение In A — г2) берется действительным,
a arg ([а — t) заключен между — лили равен углу, образованному отрез-
отрезком от [а до t с положительным направлением действительной оси.
Заметим, что если п целое положительное, то выражение A8) стано-
становится неопределенным; однако в этом случае можно воспользоваться фор-
формулой B0).
Если п целое отрицательное, то значение Q™ (|а), даваемое формулой A8),
вообще говоря, конечно, так как
П (п) sin пк —
II (_„_!) •
Однако если п + т также является целым отрицательным или если т = О,
то Q™ (|а) обращается в бесконечность, так что, если мы хотим получить
конечное решение рассматриваемого дифференциального уравнения, множи-
множитель II (п -)- т) следует отбросить.
Варне в упомянутой статье (см. п. 114) заменяет в указанном выше
общем определении функцию Q™ (|а) функцией Q™ (|а) 1 ,„^" , так что его

190 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [12&
определение при | ja | > 1 вместо формулы A9) дает
. . „/'п+т + 2 п+т+1 3.
X У ^ 2 ' 2 " ' П + Т ' 1
Если m — целое положительное, то эти два определения совпадают.
§ 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ©™((t) И Q-m((t)
126. Если мы применим к формуле A9) известное преобразование
*>>Р;т; s) = (i-aOT—р/Чу-*» т-Р; т; *),
то получим при | [а | > 1
n — m + 2 n—m-(-l_
X.P
Выражение для Qnm (ja) получается заменой тина —m в формуле A9).
Таким образом, получаем следующее соотношение:
Если m целое положительное, то формула B1) принимает вид
что согласуется с формулой D2) гл. IV.
Соотношение B1) можно получить также с помощью подстановки
(t — (a) (t' — (а) =-- [а2 — 1, которая означает инверсию относительно точки и..
Выполнив эту подстановку, мы получим
i (-1+.+1-)
([X2 —1J*" J
Значению arg(f2 — 1) =—тс соответствует arg (г'2 — 1) = тс. Аналогично,
arg (г — (а) = —тс при действительном ja > 1. Следовательно, для того чтобы
в интеграле, стоящем в правой части последнего равенства, аргументы
менялись в тех же пределах, что и в левой части, следует ввести мно-
множитель e2ni"~2(n-m+1>ici = e2m'ti. Таким образом, мы получаем равенство
1 (-1+, 1-)

127] § 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ С™ (|i) И Qn m (у.) 191
Это соотношение справедливо во всей разрезанной плоскости, что выте-
вытекает из аналитичности функций $Г(|х) и Qn™(\>-)- Соотношение B1) не
меняется при замене т на —т.
127.. В формуле B0), справедливой при Re(n+l)>0, за путь интегри-
интегрирования можно принять любую кривую, соединяющую точки —\ и 1,
которую можно деформировать в отрезок [—1, 1], не переходя при этом
через точку (х. Таким образом, если Im((x) > 0 и — 1 < Re(jx) < 1, то путь
интегрирования должен проходить ниже точки (х, а если Im (jx) < 0 и
— 1 < Re((x) < 1, то этот путь дол-
должен проходить выше точки (х. Нако-
Наконец, если Im (|х) = 0, |х > 1, то можно
взять любой путь, не пересекающий
действительную ось за точкой |х.
С точки зрения приложений же-
желательно найти значение интеграла
и вдоль такого пути, который нельзя
деформировать в прямолинейный от- Т, '
резок [ — 1, 1], не проходя через Черт. 8
точку (х. Достаточно сделать это для
случая, когда т целое и Im ((х) > 0.
Мы можем взять этот путь состоящим из отрезка (— 1, а) и криво-
криволинейного пути (черт. 8), обходящего в отрицательном направлении точку (хг
и считать, что он оканчивается в точке а, причем а можно взять сколь
угодно близко к точке t = 1. Обозначим через 1г и /2 значения интеграла
С (l_i2)"(lx_i)-«-"'-i^j
взятого вдоль прямолинейного отрезка (— 1, а) и вдоль петли вокруг (х
соответственно. Если а приближается к точке 1, то интеграл, взятый вдоль
контура, выходящего из а и охватывающего точку 1, стремится к нулю.
Таким образом, мы получаем
iv-)
где начальные значения arg A — t) и arg A -М) в -дочке а равны нулю,
и arg (tt — t)--—f (у — угол между отрезком, соединяющим точки (х и t, и поло-
положительным направлением оси t). Из формулы A4) получаем
«и 4 I TT In 4- ?wiV(i2 \\" \ . . п - —п т А -ш
pWl / \ -I . ^ И у1 ^ ''ЬЦУР XJ \ /*2 _i_ 4\ ft мЛ "~m x A+
" 2izi jQ (я) 2й j
о.
где начальные значения arg(? — 1) и arg(^-)-l) в точке а суть тс и 0.
Так как t — jx= (|x — t) e~in, то эта формула может быть записана
в следующем виде:
¦пт
где петля вокруг точки 1 опущена и arg (I — t2) в точке а полагается рав-
равным нулю.

192 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [128
Мы имеем
(и-) (и+)
^ (l_«»)n(Pi_«)-n-f"-1A=_ \ (I—^"(ji-t)-"-1"-1*,
а а
где начальное значение arg (jx — i) в точке а слева превосходит начальное
значение arg(|x — t) справа на 2т.. Отсюда следует, что если это начальное
значение в точке а равно - — ср, то
(и-)
где начальное значение arg((x — t) справа равно ж — ср, так что аргументы
обеих частей в точке а совпадают.
Таким образом,
-gm A1+)
2^
где arg A — t)—- arg A -\-t) = 0 в точке а.
Теперь видно, что если путь интегрирования идет по прямой от точки
— 1 до а, а затем обходит в отрицательном направлении точку (х, возвра-
возвращаясь снова в а, и если а стремится к 1, то значение рассматриваемого
интеграла будет равно
Это, следовательно, и есть значение выражения B0), в котором инте-
интеграл берется вдоль пути, идущего от —1 до +1 выше точки (х, когда
Re(» + l)>0.
Случай, когда Im(|x)<0, рассматривается аналогично.
§ 6. ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Q™ (ц)
i28. Вычислим выражение
i (и+. -«+. V--, -*-)
представляющее собой функцию, удовлетворяющую уравнению B). Чтобы
определить аргументы членов, входящих в подинтегральное выражение,
мы должны отдельно рассмотреть случаи 1т((х) > 0 и 1т(|х) < 0.
Предположим, что точка |х движется от некоторой точки, лежащей
на действительной оси справа от +1, до ее действительного положения,
пересекая путь интегрирования, как это изображено на черт. 9. Заметим,
что если точка |х движется из некоторого положения в верхней полу-
полуплоскости до некоторой точки в нижней полуплоскости, не пересекая
разреза, то путь интегрирования не может быть соответственно дефор-
деформирован из первого положения во второе так, чтобы он при этом не
прошел через особую точку -f-1; именно поэтому нужно различать оба эти
случая.

«. ДРУГИЕ 11Т.Г
На черт. 9о в точке А полагаем arg {t — l)--v, а на черт. 96 по-
полагаем в этой же точке arg (t — 1) = — г.. Начальное значение arg(t + l)
в точке А в обоих случаях равно нулю, arg{t — р) определяется так же
как и выше. '
Пусть t 4-1 = (р +1) и, тогда рассматриваемое выражение принимает вил
Положим теперь
в показателе берется знак, совпадающий со знаком Im'((x). В обоих случаях
arg (j- — ^j- «^ = 0 в точке С и, следовательно, (l —
имеет то
Черт. 9.
значение, которое получается из соответствующего разложения в степен-
степенной ряд. Рассматриваемое выражение можно переписать в виде
(i+,0+,1-,0-)
\—n—m—1
где в е±™» берется знак + или —, в зависимости от того, лежит и, в верх-
верхней или в нижней полуплоскости. Если ||i + l|<'2, то это выражение
можно вычислить так же, как и в п. 125; результат получается заменой
— (х на |х. Отсюда немедленно получаем, что при |1|12
, B2)
где р лежит в верхней полуплоскости. Если р лежит в нижней полупло-
полуплоскости, то показательный множитель должен быть отброшен.
Пусть L, M, N — значения интеграла ^ (*2 —1)" (* —р)-"-™-1 «ft, взя-
взятого вдоль контуров, выходящих из точки" С и охватывающих в положи-
положительном направлении точки —1,1 и р соответственно. Аргументы в точке С
определяются следующим образом: arg (t — 1) = к в случае о (черт 10)
и -те в случае 6; arg(* + l) = 0, arg(*-p) = -(ic-?), где ср-угол (поло-
(положительный или отрицательный) между отрезком, соединяющим точки р
^3 е. В. Гобсон

ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[129
и С, и положительным направлением действительной оси. Непосредственно
получаем
(lib 1+, !!-, 1-)
\ (t2 -l)n(t — p)~n~m~ldt ---. Лг + Me-2*(m+n+i)i _дге2"™ — М,
с
Черт. 10.
причем аргументы подынтегральных выражений подчиняются указанным
выше условиям. Интеграл
где, как и в п. 125, начальные значения arg (t — 1) и arg (t + 1) в точке С
суть тс и — 2тс, равен Le-2nKi — Me~2n™ или L — М, в зависимости от того,
лежит точка (х в верхней или нижней полуплоскости.
Отсюда следует, что
.-2rrai
.-i+.n-.-i-)
если (А лежит в верхней полуплоскости. Если (х лежит в нижней полупло-
полуплоскости, то в качестве множителя перед интегралом следует взять
1
129. Соотношение B2) можно использовать для того,5*чтобы предста-
иить Q™(j*) при 11 +1*| < 2 и-[ 1 —1*| < 2 в виде ряда. Используя фор-
формулы A1), A8), B2), мы сразу получаем
2 sin
Х

130] § 6. ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Q™ (ц) 195
в выражении e^n7ti при Im((x) > 0 берется верхний знак, а при Ьп((х) < 0—
нижний. Эта формула верна в той области, где |1 + (х|<2 и |1 — (х|<2.
• г 1 sin игтс тт / 1 \
Множитель -==-7 г можно заменить выражением II (/га— 1).
П( — т) г тс х '
При /ге = 0 имеем
. B5)
Воспользовавшись соотношением B1) между ^™ (jx) и QZ™ ([>¦), мы
можем записать формулу B4) в следующем виде:
(я—т) 2 sin (га—т) тс
Если п-\-т целое положительное, то, как показывает формула A9),
$^(|а) принимает, вообще говоря, конечные значения; таким образом,
из B4) вытекает, что
-Ь1
этот результат был установлен Гейнех) для того частного случая, когда п
и /га целые. Мы видим-, что при п-\-т целом формула B4) становится
неопределенной, и мы должны в этом случае воспользоваться формулой B6).
Если п — /га целое положительное, то следует пользоваться форму-
формулой B4), так как формула C0) в этом случае становится неопределенной.
Если п + /га — целое отрицательное, то Q™ (р) обращается в бесконечность,
однако мы можем в качестве конечного решения уравнения B) взять
Q™ (|x) sin(«-f /га) тс; согласно B6), эту функцию можно выразить через
Если,/» и /га оба целые, причем т положительно и больше п, то выра-
выражение B6) конечно, а если т*Сп, то обе формулы B4) и B6) становятся
неопределенными; их следует преобразовать по обычным правилам раскры-
0
тия неопределенностей вида -д-.
130. Если в формуле A8) для Q™ (р) считать |(х| достаточно большим,
то путь интегрирования можно выбрать так, чтобы во всех его точках
было \t — l|<|ti — 11> Если t — |х = (|х — t) е~'1*, то выражение для Q™ ((х)
х) Heine, Kugelfunktionen, т. II, стр. 238, 364.
13*

196 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
можно записать в виде
X
$
Легко проверить, что arg ?—-г- заключен между -it и те; следователь-
следовательно, последний интеграл можно записать в виде
Полагая t + l=2t', получаем
+' t'n{t' — l)n+ldt' =
j С
Таким образом, при ||i —1|>2 имеем
т. е.
). B7)
Заменив /и на — т и воспользовавшись соотношением B1), получим
, j4]l), B8)
Формулы B7) и B8) соответствуют формулам, полученным Барнсом
(цит. соч., стр. 107); нужно только учесть разницу в определениях функ-
функции Q™(p).
Если в B7) и B8) заменить \i на — р и воспользоваться соотноше-
соотношением Q™{\>)— — еТяг"<?™(--р), которое будет установлено ниже [п. 133,
формула C6)], то, заметив, что

131] § 7. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ Q™ dO, 0™n_i Ы И Г™ di) 197
причем верхний знак условия брать при Im (jx) > 0, а нижний—при
Im (|x) < 0, формулы B7) и B8) можно записать в следующем виде:
gm7ii
T^), B9)
X
( у
( ;г^) . C0)
§ 7. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ Q™(ii), Q™n_j (|») И Р™(|»)
131. В выражении B4) для ^™(ji.) напишем — п— 1 вместо п\ получим
т _ Жт™ 1
-n-i W-2em(m-«-lOc II ( — mI
Исключая отсюда и из B4) второй гипергеометрический ряд, полу-
получаем, согласно (И),
<?™ (ц) sin (л + ш) те - <?™„_ 1 Ы sin (n - т) к =
cos nr.
В случае п полуцелого
#ГЫ* = <?™п-1Ы;
для остальных значений п получаем
—nwi
)*-<?™_1AлMщ(«-тИ. C1)
Это соотношение верно во всей полуплоскости (х с разрезом. В обо-
обозначениях Барнса формула C1) принимает вид
В случае m = 0 имеем
^ C2)
Если п полуцелое, то Q™ (jx) и Q™n-i (jx) не являются независимыми
решениями рассматриваемого дифференциального уравнения. В этом слу-
"flle P™ (|х) должно определяться с помощью предельного перехода.
Если п-\-ш целое положительное число, то соотношение C1) прини-
принимает вид
Рп (ix) = 4 е-"-1 sin mr. ¦ <?™n_i (jx),

198 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [132
а если п — т целое отрицательное, то
т. е. в этом случае Р™(р) и Q™ (jx) отличаются только постоянным мно-
множителем.
При целом п формула C2) теряот смысл, так как Q-n-i ([>¦) обра-
обращается в бесконечность.
Если в C1) заменить т на —т, то, используя B1), получаем
Отсюда, подставляя вместо функции ^™n_i((x) ее выражение из C1),
получаем
Ш?{ ^ } C3)
Вспоминая, что Р™ (|x) = P™n_i (jx), мы видим, что из восьми решений:
уравнения B) шесть можно выразить через остальные два.
Если т целое положительное число или нуль, то из C3) получаем
п~т л.\ Д(я т) Dm i..\
§ 8. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ Q™ (|») ПРИ ЦЕЛОМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ т
132. Если мы подставим в формулу C3) вместо Р™(|х), Р^т (jx) их
выражения из A1), то получим формулу
1
п + т)
представляющую Q™ (jx) внутри круга с центром в точке (х=1, проходя-
проходящего через точку (х= —1; следует учитывать наличие разреза.
¦Если т целое действительное число, то Р™ (jx) и Рп™ (н-) независимы
между собой и рассматриваемая формула превращаетсй в неопределенность
вида тг, которая раскрывается с помощью обычного правила.
Указанная формула может быть записана в виде
- 2 e si
2 e sinmu
\ 2

132] § 8. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ Q™ (ц) ПРИ ЦЕЛОМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ m I99
r==s
П(—Д + г —1)П(Д + >-) /1-{Лг
П(-я-1)П(н)П(г-ш)П(')Ч 2 )
П (я + т)/>4-
П(-Д + г-1)П(Д + г) Л~«ЛГ1
я)П(-я-1)П(«Ч-т)П(г)^ 2 J J •
где s —целая часть ль Это выражение можно переписать следующим
образом:
<Я W *** sin ш (t±J)T m x
г=0
1 оо
_J_ {^ш_ятс_ f^AT"^ П(- )П( )Л
2е sinmi Kji-\) ZJ П(в + «—т)П(в + О V. 2
<0
nC4)nW V 2
r=0
В первом случае предполагается, что п не является целым действительным
числом.
Если т целое, то s = /re; таким образом, ^™((х) состоит из части 1)
1 m-i
sin < i'm
2* ^-0 ^ nw V 2
r=0
из части 2), получающейся дифференцированием выражений
т 1"
и
во втором члене по т и равной -^-Р™((х) In Г ^—т ) , и 3) из выражения
m U'(t) ( 1-ti
1 oo
^J П С) П («Ч-m) U(r + m) V. 2
r=0
m
r=0
Вспоминая, что
Ю-КЖ+ви\ где 3mI+l+ +1
мы получаем для Q™ (н>) при целом положительном т следующее выра-
выражение:

200 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [133
i m-i
Tm XI П( —« + »•—1)П
^ П0-)
Г=0
" l
(=0
r=0
где
(t)— i-4-— 1-— ( 4-1^ — i-4- —
При /ге = О это выражение переходит в
во
sin «тс V
^ П (О П @ v
В случае, когда « является целым положительным числом, это по-
последнее выражение может быть преобразовано с помощью соотношения
1
и так как ~- гг = 0 ПРИ w<*> ТО
11 (п—I)
(=0
В этой формуле член, содержащий (—— J , равен нулю и полученное
выражение совпадает с формулой, данной в п. 34.
§ 9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р™(—ц) И Q™ (—ц) в ВИДЕ ЛИНЕЙНЫХ
КОМБИНАЦИЙ Р™ (ц) И #™ (ц)
133. Так как дифференциальное уравнение B) не меняется при замене
|х на — |х, то Р™ (— |х) и ()™ (— |х) также представляют собой его частные
решения и, следовательно, могут быть, вообще говоря, выражены через
j_ i_m
Предполагая, что arg((x-}-l) и arg((x —1) в (|x-flJ и (jx—1) 2
заключены между тс и —тс, имеем
где верхний, знак берется при Im (jx) > 0, а нижний —при Im (jx) < 0.
Следовательно, при |1—н-|<2 и |1 + {*[<2 из A1) получаем
•Зта формула верна для всех значений (х, таких, что |1+(х[<2.

134] § Ю- РАЗЛОЖЕНИЕ Р™ (у.) В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ — 201
Подставляя сюда вместо ряда его значение, даваемое формулой B4),
получаем следующее соотношение:
2а1+)е-™*<}?(р). C4)
В частности, если Im (jx) > 0, то
*>п(-Р) = e~nnipn00 -^^<?„((О• C5)
Если п + т целое отрицательное, то второе слагаемое в формуле C4)
следует заменить выражением
П(п—т)П(—п—™—
Так как
/ м,) n+m+1 __ „n+m+1
где знак выбирается по указанному выше правилу, то из A9) получаем
<?"(-!*)=-^""^(Ц). C6)
Для целых положительных значений п имеем
Р~-т(- ц) = (-1)"Р™(ц)-А(-1)"sin тъ ¦ е~™<Ж(р),
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ Р™ (ц) В РЯД ПО СТЕПЕНЯМ —
134. Формула A9) дает для Q™ (р) выражение в виде ряда по сте-
степеням —, справедливое в окрестности jx = сю. Мы воспользуемся сейчас
соотношением C1) для того, чтобы получить аналогичное выражение
для Р™((х). Заменив в A9) п на —га —1, получим
^ - 1) 2 р"-« X
W-
—4)
X
Отсюда находим
, . sin (га + rnfit H(n + m) л2 ц\~2т
\r/ 2n+1cosran ж
— 1 j txn~m X
/п —га 1
для всех п, за исключением полуцелых.

202 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ |1.ч&
В частности, если т = 0, то при | р | > 1 имеем
Заметим, что если га + т целое положительное число, то равенство
C4) сводится к Р™ ( — jj,) = e:Fnmi/>™((x); однако это неверно при целом
отрицательном п-\-т, так как в этом случав произведение sin (га + те) тс х
ХП(в + т) конечно. Формула C7) перестает быть справедливой при
полуцелых га.
Гейне1) дает для Рп(р) для любых га формулу, эквивалентную вто-
второму слагаемому в формуле C7). Из сказанного вытекает, что формула
Гейне справедлива только для целых положительных га.
11. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Р™ (,") ПРИ | ц+ 11 > 2, | ц—11 > 2 И
1
<1
135. Используя соотношение C1) и подставляя в него выражение B7)
для Q™ (jx) и соответствующее выражение для Q™n-i (p), получаем
2 N
2тссозптс
n+1
sin(ra- тп)я П( — га —l)n(m—га —1) f 2 Л~п /^!A + 1N\ 2 v
2л cos ran П(- 2га — 1) Vf* -1/ \> — 1У
X/•(-/!, m-n; -In; -^-^ , C9)
где ||a —1| > 2. Это равенство можно записать также в следующем виде:
sin(n-m)n П(Д)П(Д-Д») /-_2_Л«+1 /'^+1\~TT"W
ПBп—1)
X F(^ra+1, га-т
2псо?гап ( — 2ra~ I4 Vfj. — 1 _
— га, -w — га; — 2га; -^— j . C9')
Формулы C9) и C9') справедливы для значений jx, лежащих вне
окружности с центром в точке 1, проходящей через точку — 1. Если мы
воспользуемся соотношением C1) и подставим в него вместо Q™ (\x), (?!Hn-i (p)
их значения, даваемые формулами B9) и C0), то получим формулу
¦2 V+l^-^-T-x
ПBга + 1)
XF (п + 1,п — тп + 1; 2га+ 2;
Kugelfunktionen, т. I, стр. 38.

136] § 12. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ Р™ (ц) ПРИ ПОЛУЦЕЛОМ п 203
_ sin (/г-от) тс Щ-гс- "'
Щ—2га—1) Ч(А + 1'' V(A + ly
^), D0)
справедливую вне окружности с центром —1, проходящей через точку 1
Известно, что
где | а; | < 1, 11 — а; | < 1 и | arg A — ж) | < г..
Пусть я = ^-т-т> a = re+l, P = n — m-\-l, i=i — m, тогда получаем
и + 1, n-m + U 1-m; ?={) =
"+ '¦ —
ПB»)П(-д») / 2 ч-а»-
Легко видеть, что
Щ— 2т1—2) _П(—го) sin (п+от) тс
П( — от — п — 1)П( — п — 1) 27tcosra7t
П B/1)
П (л) Л (п — от)
Из формулы D0) вытекает, что
1
n(-ro)n(m-ii-l) . , »
тт / 7Т—71 Sill С ЛЬ ТП) Tt •
П(—"—1)-2ясозля v '
Формула D1) для Р™ (р) справедлива при ?—¦¦? < 1. Это условие вы-
выполнено во всей полуплоскости Re (х > 1 (следует учитывать наличие раз-
разреза). Большая область сходимости делает данную формулу удобной для
различных исследований. Эта формула была дана Барнсом (цит. соч.,
стр. 103). Если п целое положительное, то второе выражение обрывается
на (га4-1)-м члене.
§ 12. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ Р™ ([*) ПРИ ПОЛУЦЕЛОМ п
136. Формула A9) может быть записана в следующем виде:
Отсюда
/ 1 Л
ПИП^-п—2" )

204 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [136
Пусть га полуцелое ( > — у j, тогда для s > 0 имеем
X
1
-, П(от —п-1 + 2г-0
_1
При s — 0 конечная сумма 2 обращается в нуль в силу наличия мно-
г=0
тт f !Л
жителя 11 [г — га ^1 в знаменателе; при этом предполагается, что т
не является полуцелым, так что числитель в бесконечность не обращается.
Если s = 0, то ^™(|х) =<?™„_1 (ц). Чтобы найти выражение для Р™(р), вос-
воспользуемся вытекающей из C1) формулой
— <?™n_i-6 (ix) sin (га — т — в) т.) Je=0.
Для простоты предположим, что т целое положительное. Выполняя
дифференцирование, получаем
4 СО
+ 2г) 1
cos
„ f 1 Л , , nfl
П(г)
(^_lJ _
п^2
Х 2j
2j П(г) B р.)
г=0
где га — полуцелое, am— целое положительное и [ jx | > j.

137] § 13. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р™ Ы И Q™ Ы В ВИДЕ РЯДОВ 205
В случае т --- 0 имеем
J_rr ¦ / i
п+г + ±\
где | (х | > 1 и га — полуцслое.
В случае га— —^" последний член исчезает и для главного члена
второго, ряда получается следующее выражение:
( 1 2ln4
_1/тт С ^\у
" «м ч 2 л ] / in п@)
Таким образом,
2 г / 1 \ )
) M8|x) {1+1 V7J/ ' D3)
где 7) I — j —> 0 при s- 0.
§ 13. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ .P™ (|i) И Q™ (|i) В ВИДЕ РЯДОВ ПО СТЕПЕНЯМ (i
В КРУГЕ | (д. | < 1
137. Нам удобно будет сперва получить разложение ^™((х) и из него
затем вывести соответствующий ряд для P™(jx).
Воспользовавшись формулой
(t — y.)~n~m~ dt,
рассмотрим сперва случай Im ((x) > 0; путь интегрирования можно выбрать
так (черт. 11), что во всех его точках |*|>||*j- Выражение (t — |j,)-n—m-i
можно разложить по возрастающим степеням jx, и так как в точке пересе-
пересечения прямой, соединяющей |х и 0 с путем интегрирования, arg [(t — jx) t'1] = 0,
то
' 2ГЧЦп) ~
со
.. XI П (п + т + г) г
х 2j —пи ^

206
ГЛАВА VI ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1137
A+.1)
Рассмотрим теперь интеграл \ (t2 — 1) tv dt.
Предположим сперва, что Re(ra-f 1) > 0, Re(p-f-l)>0; тогда путь
интегрирования можно выбрать так (черт. 12), чтобы радиусы окружностей
вокруг точек - 1 и 1 и радиус полуокружности вокруг точки О стреми-
стремились к нулю. Интегралы по этим окружностям и по полуокружности в
пределе обращаются в нуль, и нам остается рассмотреть только интеграл,
о
Черт. И.
Черт. 12.
взятый вдоль отрезков действительной оси. Этот интеграл состоит из четы-
четырех частей:
1) от 0 до —1, где arg*=— тс, arg (г — 1) = тс и arg(t-+ 1) = — 2тс;
2) от —1 до 0, где arg*= — тс, arg (г— 1) = тс и arg (г+ 1) = 0;
3) от 0 до 1, где arg* — 0, arg (t— 1) = тс, arg(f + l) = O;
4) от 1 до 0, где arg* = 0, arg (г — 1)=— к и arg(* + I) j= 0.
Полагая v= \t\, мы получаем, что вдоль первых двух участков пути
интегрирования t = ve~™, а вдоль двух последних t = v; следовательно, рас^
сматриваемый интеграл равен
1
С (\ —
0
1
= 1i sin n% A + е-"**) ^ A - v*)n vp dv =
о
= 1i sin rait A H- e-P»1) • -|-
Этот результат верен и в тех случаях, когда условия Re (/? +1) > О
и Re (га-)-1) > 0 не выполнены; в этом легко можно убедиться, последова-
последовательно используя соотношения
(-l+.i-i (-1+.1-)
(f«_l)n*p+2<U,
получающиеся интегрированием ио частям.
Полагая р= —п — т — г—-1, получаем
o"i I sin шс
41 In-
г-0

138] § 13. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р™ (у.) И Q™ Ы В ВИДЕ РЯДОВ 207
= 9ЙТ2 (l*2-lJ A-«
2s
П/9Ш/ и-го
П Bs) П (
^ AД.2— 1J
д ^_n + m + 2s+ Лп(л + т + 2в+1)
Воспользовавшись известным соотношением П (а: — 1)П( — ж) = тсescхт,
получаем для Q™ (jx) следующее выражение:
(т—п)тег
-lJ sin-5-ic ТЦТЖ Х
1 m—п 1 2\
D4)
im
J
11 ч 2 ;
"-"-*-1 m + M-2. _3^. .
g ' 2 ' 2 ' Iх
С помощью соотношения
формулу D4) можно переписать в следующем виде:
X
2
га; 4
-; 4
D5)
138. В случае Im (jx) < 0 путь интегрирования следует выбрать таи,
как это указано на черт. 13.

208
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[13S
В этом случае в точке С arg [t — jx) = — Bтс — 0) и arg t = B, так что
arg ( 1 — — j в той же точке С равен — 2тс; следовательно, Г 1 —— J
равняется значению, получающемуся для этого выражения из биноми-
биномиального разложения, умноженному на e2(-n+m)ni. Таким образом, получаем
т _ «("+'>»* 2imci 1 , 2_ J41- х
х
\
Как и выше, можно показать, что
..С (-
e(n+l)ni
4г sin ran
2"П(я)
х
"
2
I 3 1 \
у
2М 1
П («) П
С помощью той же самой редукции, что и выше, получаем
D6)
--^ X
где Re (ц) < 0.

139] § 13. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ *>"((<•) И <2™Ы В ВИДЕ РЯДОВ 209
139. Заменим в формуле D4) п на —гг— 1; иосле некоторого преобра-
преобразования числовых множителей получим
п+т „ /т + п —1\ „С 1\
/m+n\ . COS -—— я П ( —-Ц ) П ( 77 )
x
3
X ^ V. 2 ' 2^' 2 ' I* )
Подставляя это выражение и выражение D4) в соотношение C1), по-
получаем следующее выражение для ?С(р):
cos
2 J
11^ г)
р(гп±п + 2 т-п + 1 . 3 . .
Х ^ ^ 2 ' 2^ ' 2 ' Iх
где 1т (|а) > 0.
Если 1т (|х) < 0, то аналогичным путем получается выражение, отли-
отличающееся от D7) только тем, что множитель e~mni заменяется на emiti.
Если мы воспользуемся соотношением
F(a, р; 7; х) = A -а;)т—Э/?G-а, 7-р; 7; х)
и вспомним, что 1 — jx2 = e*™ (jx2 — 1) при Im((x)^0, то получим, что оба
случая Im (|х) > 0 и Ьп (jx) < 0 охватываются формулой
п + т — i
D8)
.п + т V 2 ; /(Х2_1Г2
2 7:(^^)^1)(^ 4) х
14 в. В. Гобсон

210 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [140
Если га действительное полуцелое, то выражение
x
р /""» —тг+1 то —га .1 1 \
V. 2 ' 2 '2 П' ^J '
получающееся из A9) заменой га на —га—1, требует соответствующих
видоизменений, так как в нем первые п-\--^ членов обращаются в нуль
из-за наличия в знаменателе множителя П ( —-}—га ) .
,, v л У
Мы можем переписать это выражение в следующем виде:
сю
1 Л о-Bг+2) лп П (т— п + 2г+1) 1 .
при полуцелом п члены, соответствующие
г-1, 0,..., га- -J,
обращаются в нуль, и рассматриваемое выражение приводится к
__. со
е__П С -^ * V^ П (т + п + 2 + 2s) 1
что равносильно формуле A9). Таким образом, мы получаем, что при
полуцелом га
Из D7) видно, что если т+п целое, то для представления Р
требуется не два гипергеометрических ряда, а только одип, первый или
второй, в зависимости от того, четно n + т или нечетно.
140. Если мы воспользуемся формулой
f (., Р; т;«) = g grrr^Jpg * («, Р; i + - - Р - т; *-*) +
X F(t-<x; 7-р; 7-а-
которая сираведлива при |ж|<1, |1 — ж|<1, и положим
то получим
, ^—; 1 —/к; 1-jx2J =
, 1 , -
2 ' 2 •
/га-т + 1л /
У 2 ' 2 ' 2

140] § 13. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ i>™ (ц) И Q™ (ц) В ВИДЕ РЯДОВ 211
где |1 — р.2|<1, |р.2|<1 и Re(p.2)>0, так что в выражении (р.2J
действительная часть р. должна быть положительна.
Сравнивая эту формулу с D8), получаем равенство
от -йт
справедливое при | p.2 — 11 < 1 и Re (p.) > 0.
С помощью соотношения C3) можно Q™ (p.) при Re (p.) > 0 выразить
через гипергеометрический ряд с 1 — р.2 в качестве четвертого аргумента.
С помощью гомографического преобразования можно получить и другие
выражения для Р%(р) и Q™(p).
Например, можно показать, что при |1 — р.2|>1
X
J
v(n±±—m га + 1 + то. 3 , 1 Л
Х F (^ 2 ' —2 '  +"; 1=1?,) +
+ -
П(и+»)П (—g"
; n + 4;^). E0)
Следует помнить, что в этих формулах значения множителей
4п -4(+)
(р.2 —1) , (р.2—1) зависят от arg (р.2 — 1) и, следовательно, различны
при Re (р.) > 0 и при Re (p.) < 0.
Формула E0) имеет большое значение, поэтому мы приведем ее дока-
доказательство. Из A9) имеем
Гипергеометрическую функцию i*1 (a, P; 7; S) можно представить в сле-
следующем виде:
1) С
7-Р-1) J
14*

212 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [141
11 3
поэтому, полагая р = ^- (" + т-\-2), а = -у (п-\-т-\-1), -j = n-f^-, имеем
„ /л+т + 2 л + то + 1 3
Правую naci-b этой формулы можно переписать в следующем виде:
П (. + |
.n+m+1 (м,2—
(м,2
х ^
О
-Я-(П+ТПг1)
При -з—^- < 1 входящий сюда интеграл равен
1 —
(п
-I
Если путь интегрирования выбран так, чтобы была обеспечена равно-
равномерная сходимость, то ряд можно интегрировать почленно. Получим, что
рассматриваемый интеграл равен
f
2
Подставляя вместо интеграла это выражение, получаем формулу E0),
справедливую при 11 — ц21 > 1.
§ 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р% (|i) И Qj»(|i) В ОКРЕСТНОСТЯХ ТОЧЕК —1 И 1
141. Чтобы получить выражение для Р%(\>-) в окрестности точки —1,
заметим, что внутри круга радиуса 1 с центром в точке —1 дифференциаль-
дифференциальному уравнению B) удовлетворяют функции
-1*
±*У ^(-„,„+1; 1+,,,;
Предположим, что пит 'действительные, но не целые, так что эти два
решения не совпадают между собой.

141] § 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р™ Ы И Q™ (ц) В ОКРЕСТНОСТЯХ ТОЧЕК -1 И 1 213
Пусть сперва т > 0. Тогда Р% (р.) в окрестности точки — 1 можнб
представить следующим образом:
где величины А и В следует еще определить. Рассмотрим точки {*= — 1 +
+ 2е±г-0, в которых, согласно A1),
г
где
1 1 Л
(е-1J =(l-sJ е 2 .
Тогда, воспользовавшись асимптотическим выражением гипергеометриче-
гипергеометрического ряда (см. п. 115), получим
1 1 1
J
„
или, что то же самое,
отсюда, полагая е--^0, имеем
П("
причем т > 0.
Далее, рассмотрим точки р. = 1 — 2e±i-0; получаем
-т
Pn(i—2s±**0)= ( J F( — n, и + 1; 1 — m; e),
где
l it.
(-eJ =e2 e 2
Подставляя вместо гипергеометрического ряда его асимптотическое
значение, получаем
1 1
т. е.
_ л П(«)П(д*-1) , д .±тя{ П(-«)П(д*-1)
П(»+»)П (»-»-!)"*" П (-»-!)П(»)
Подставляя сюда найденное выше значение В, получаем
. _ П
("*—п—1) sin»Mt Г. _ /sinmt"\2i
) я L vein и»,/ J

214 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [141
После незначительных преобразований приходим к следующей формуле:
при Im (;а) >0 в показателе берется верхний знак, а при 1ш(;а) < 0 — ниж-
нижний. Предполагается, что п и т действительны и т > 0.
В случае т < 0 положим, как и выше,
где т теперь уже положительно.
Рассмотрим точки р= — 1 + 2s +_ г • 0; имеем
К ( — 1 + 2е ± г - 0) = -гт4^) ( ^~^ ) р( — п>
где
1 1 . 1
(в-1J =е 2 A-еJ .
Используя асимптотическое выражение гипергеометрического ряда,
получаем
1... 1 _ 1...
Е
П(»)
откуда
Если мы теперь рассмотрим аналогичным образом точки ja = 1 —
? г • 0, то получим
_ / в
~ 1
откуда
0-4 П(-м)П(«-*) i э .»«,«.
Подставляя сюда значение Ах, находим
В _ -+-»« П(-«
г~ П(я)П(

142] § 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р™ (ц) И Q™ Ы В ОКРЕСТНОСТЯХ ТОЧЕК -1 И 1 215
и, следовательно,
Эта формула приводится к следующей:
Г
E2)
яри Im (р.) >0 в показателе берется верхний знак, а при Im (р.) < 0 —ниж-
—нижний. Воспользовавшись соотношениями, приведенными в п. 140, для -того,
чтобы записать формулу A1) с гипергеометрической функцией, имеющей
своим четвертым аргументом-^ A +р.), можно получить формулы E1), E2)
и для комплексных значений т и п.
Если п целое положительное, а т не целое, то в обеих формулах
второе слагаемое отпадает, так как множитель ¦ тг-обращается
II (п) II (—п—1)
в нуль.
В этом случае
142. Пусть теперь /и = 0, тогда fC — п, п + 1; 1; -y^J удовлетворяет
уравнению Лежандра в окрестности точки р, — — 1. Полагая t t^
мы можем переписать это дифференциальное уравнение в следующем виде:
Одним из его решений является F( — n, n + l; 1; 0; нам нужно найти
его второе решение, линейно независимое с данным.
Подставим
в это дифференциальное уравнение, которое кратко запишем в виде Du = 0;
получим
Du = * A - 0 2 (* + г) (X + г -1) о,
г=0
+ A-20 S (^ + г)аг1*+г-1 + ^
г=0 г=0
таким образом, Z)« = a0X2, если только ах, а2, ... выбраны так, что коэф-
коэффициенты при tx, t +2, ... обращаются в нуль.
Получаем
аг (\ + т-J = ar+i (>. - п + г -1) (а + п + г) = 0.
Если X = 0, то Du = 0, и мы приходим к следующему решению:
a0F(~n, п + 1; 1; 0;

216 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [142
кроме того, мы имеем D—w-=2ao\; таким образом, -=- при Х = 0 также
удовлетворяет рассматриваемому уравнению; это и дает второе решение
уравнения Лежандра. Соответствующий ряд имеет вид
(Х-п)(Х- п
Дифференцируя этот ряд по X и затем полагая X = 0, получаем второе
решение
\ntF( — га, п + 1; 1; 0 +
, ^ (_я)(-п + 1) ... (_п + г-1)(п + 1) ... (п + г) , .
+ 2л Щ* 9 ("' r) l »
где
Полагая
r=l
где С — постоянная Эйлера, мы видим, что
lim ф (п, г) = — <|> (га) — ф ( — га — 1) — 1С.
Пусть
г=0
в окрестности точки — 1.
Пусть, далее, (* = — 1 -+- 2е, тогда имеем
—в,
Сравнивая коэффициенты при lne в обеих частях равенства и полагая
е—>0, получаем
sin nu „
Пусть теперь (* = 1 — 2 е, тогда
/?(-в, п + 1; 1; в) = Р(-п, п + 1; 1; 1 -s) [A + Bln(l -e)] +
2 у(л>
Из сравнения с рядом ^ ^ ~е^ [см. п. 115, формулу (в)] видно, что
второе слагаемое в правой части асимптотически равно

143] § 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р™ (\i) И Q™ (ц) В ОКРЕСТНОСТЯХ ТОЧЕК -1 И 1 217
Таким образом,
откуда при е—>0 находим
Л = В
Итак, мы доказали, что функция Pn(v-) может быть представлена
следующей формулой:
-«, п
БШия ^ (-и) ... ( —я+Г-
—— 2л ' (Я
r=0
где
Выражение E3) однозначно в силу наличия в р-плоскости разреза,
идущего вдоль действительной оси от — 1 до — оо. Оно было получено
Хиллом*). Если п целое положительное, то это выражение сводится к
р( _ „1-1- 1- —
Если т целое положительное, то
— т rfnt
Т\ТП /о л \9 ** п /
Отсюда следует, что в окрестности точки р. = — 1
В это выражение входит слагаемое, содержащее множитель In
2 ¦
143. Чтобы получить выражение функции Q™ (р.) в окрестности точки
— 1, воспользуемся формулой B6):
? X
V« W— 2 sin (n-m) n П(п—т
xF(-n, n+1; 1 + m; i^fi) -Q±ffmF(-n, n
Нам остается только найти выражение в окрестности точки —1 для
Arkiv f5r Math., 13, № 17 A918), 7.

218 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [144
оно имеет вид
I*
Постоянные Alt Вх можно определить так же, как и в п. 141; таким
образом, мы получаем для Qm (p.) выражение в виде линейной комбинации
функций
И
Мы не будем, для краткости, проводить вычисление постоянных А1 и Вх;
не будем также рассматривать случаев целого положительного т и целого
положительного п-\- т.
В окрестности точки р. = 1 функция Рт (р.) определяется формулой A1).
Значение Qm (р.) в этой же окрестности можно получить, найдя использо-
использованным в п. 141 способом выражение для
¦
в этой окрестности.
§ 15. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ JP^([x) И Qm (jx) ПРИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЗНАЧЕНИЯХ [х, ПО МОДУЛЮ МЕНЬШИХ 1
144. Мы определили Рт (р.) и Qm (p.) как функции о»г р., однозначные
во всей плоскости с разрезом, идущим вдоль . действительной оси от 1 до
— оо; в бесконечно близких друг к другу точках, лежащих по разные
«тороны разреза, каждая из функций /^(р.), Qm (p.) имеет, вообще говоря,
различные значения.
Мы рассмотрим сперва значения Рт (p. -f i • 0) и Рт (р. — i • 0) на про-
противоположных сторонах разреза при действительных значениях р., лежащих
между — 1 и 1.
Воспользовавшись формулой (И) и применяя теорему Абеля, согласно
которой, если гипергеометрический ряд сходится в точке р., то его сумма
непрерывно переходит в суммы рядов, соответствующих значениям аргу-
аргумента по обе стороны разреза, получаем:
Отсюда получаем соотн шение

145] § 15. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Р™ (ц) И Q™ (ц) ПРИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ц 219
Для действительных значений ц, лежащих между —1 и 1, функцию
^пЧрО Удобно определить так, чтобы ее значения были действительны при
действительных т и п. Для этого мы при указанных значениях р. положим
; I—i^o-
Так определенная функция Р™ (р.) при действительных значениях р.
удовлетворяет уравнению B).
Из D7) получаем в этом случае
о-2
I* ) X
„ /m + n+2 m —и+1 . 3 .
X /* ^ Т
. 3 . 2\
' Т ' Р ) '
^2
.. „.^ ^mlnCl-n2) ,. .
где A — р/)^ означает е'1 и для 1пA —р.2) берется действитель-
действительное значение.
Из E5) видно, что если m четное число, в частности нуль, то рас-
рассматриваемая функция принимает на противоположных сторонах разреза
одинаковые значения, так что в данном случае, поскольку это относится
к функции Р™ (р.), необходим разрез лишь от — 1 до — со.
145. Рассмотрим теперь при р., лежащих между —1 и 1, значения
функции (?JT(p-) на противоположных сторонах разреза. Из B4) получаем
tfnd*+*'-о)=
C^J F(-n,n + l; i-m;
2 sin (л + m) ти П (- -
и
2 sin (л + /и) ти
/ 1
Из этих равенств лаходим, что
_ rrmi
2sin(n+mOu П(-»

220 ГЛАВА V. ОБОБЩБНЦЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [145
и, следовательно,
е~™ дь ([i + . 0) _ ^«.i qm{p_i.Q)=a_ir. em*i p™ ([i)) E6)
где Р™ (р) определяется формулой E4).
Для действительных значений р., лежащих между —1 и 1, функцию
Q™(\l) удобно определить с помощью следующего соотношения:
в*«*#Г (I») = у {е~*т™ Qn fa + i ¦ 0) + е*""' Q™ fa - i.0)}. E7)
Ясно, что при действительных р. так определенная функция Q™ (р)
удовлетворяет уравнению B).
Отсюда вытекает, что
Qn ([i ±. 0) = pmni | ^ (cos е),^ | г.теРт (cos 6)
и, следовательно,
Таким образом, из D5) и D6) получаем
E9)
В случае т = 0 формула E7) совпадает с тем определением функции
Qnfa), которое для действительных [л, заключенных между —1 и 1, дал
Гейне. Возражения Шлефли против такого определения функции Qn (p.)
основывались на том, что эта функция не удовлетворяет уравнению
Лежандра. Однако это возражение нам кажется несущественным. Это
лишь вопрос удобства — определить функцию Qn (p.) так, чтобы она
принимала действительные значения вдоль действительной оси при дей-
действительных п и чтобы удовлетворяла уравнению Лежандра при действи-
действительных р.. Далее, следует иметь в виду, что хотя мы проводим раз-
разрез вдоль действительной оси, мы могли бы провести его вдоль любой
линии, соединяющей точки —1 и 1, так что функцию (?п(р.) можно рас-
рассматривать как удовлетворяющую уравнению Лежандра для всех р., лежа-
лежащих на (или вблизи) действительной оси. Риманова поверхность такой
функции отлична от той, которую мы постулировали заранее, и сама эта
функция представляет собой линейную комбинацию двух независимых
решений уравнений Лежандра, определенных^ использованных нами выше.

146, 147] § 16. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ Р™ (-cos 6), Q™ (-cos 9), Р™ (cos 6), Q™ (cos 6), 221
146. Для (х, близких к той части действительной оси, которая лежит
между — 1 и — со, из формулы A9) получаем
-IJ e-
4J c-fn+J)TCi * w
/ *•* / „\n+m-t-i 'ч
n + m+2 « + OT+1. 3. 1
X
для Q™ ((x — г • 0) получается аналогичное выражение с множителем
е(п\-\)ъг ВМесто е~("+1)те*. Здесь (jx2 —1J означает е^ * , причем ло-
логарифм считается действительным. Отсюда получаем
е™ Qn {v- + i ¦ 0) - е -™ QZ ((х - i ¦ 0), F0)
и для [а, лежащих между —1 и 1, мы можем принять за $Г((х) любое
из двух выражений, входящих в F0) и отличающихся друг от друга зна-
знаками; таким образом,
„//г + т + 2 п + т + 1 . „ ¦ 3 . 1
Х^ ^ 2 ' 1 ' га~Г 2 ' "il
где (р.2—IJ имеет указанное выше значение.
Если в формуле C3) вместо (х написать (х + г-0 и затем воспользо-
воспользоваться формулами E5) и E7), то получим, что при действительных (х,
лежащих между — 1 и 1,
_2e-m.isinjn«
эта формула может быть приведена к следующему виду:
р-тW-= Шг^) {р« (I*)cos™-isinWTC?«
откуда
где (х действительно и заключено между —1 и 1.
§ 16. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ^(-cosB), Q™(-cos6),
J*?(cosO), G^(cose)
147. Если 0 < 0 < у , то из формулы C4) имеем

222 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [148
откуда
в*™Р% ( - cos 6) = e-:«*i. е'*™1 р% (Cos 9) -
J ^
т. e.
P™ (- cos 6) = P% (cos 6) {c-("+m) «* + i sin (и + m)*} -
таким образом,
/>™ (— cos 6) = />™ (cos 6) cos (ra + те)те — ^ <?" (cos 6) sin (ra + го)те. F2)
При 0 < 8 < у те из формулы C6) имеем также
<?;?(-cosO-i-0) = -е"«*#Т (cos
откуда
mKi
{ Q™ (- cos 8) +1 ^Р^1 (- cos 6)} =
о
__ _ en^i. ег"110» (cos e) _ i. iTCp^ (cos 8)} ;
отсюда с помощью формулы F2) получаем
Q™ (— cos 8) = — <#Г (cos 8) cos (га + те)те + у sin (га + те)те • Р™ (cos 8). F3)
Если га + те целое, то имеем
Из формулы C1) следует, что
Подставим в это равенство вместо р, сперва cos G + г-0, а потом
^ ^
cos в — i ¦ 0, затем умножим полученные равенства на е ^ и е^ со-
соответственно, сложим их и разделим пополам; получим
/ о\ sin(n + m)rc ^т , Оч п COS пк COS тоя пт, п\ /а/\
-n-i (cos 8) = _i_j-.en (cos 8) - sin(n_w)it /»„ (cos 8). F4)
§ 17. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ Р™(ц) И <?™(ц)
148. Из полученного в п. 144 выражения для Р™(\ь), где |x = cos>8,
находим
п(*-±5=1)

149] § 18. РАЗЛОЖЕНИЯ Р™ М И 0™Ы ПО СТЕПЕНЯМ ц-У ц2-1 223
где -г- />™ @) — значение ^-Р™(|х) при |х = 0. Из E9) находим
/п+ш-1\ / 1
;n 2
и
^ 2 У \2
Из этих равенств следует, что значение
при (х = 0 равно
22т-
п
при /ге = 0 это выражение обращается в 1.
Так как функции Р™(\ь) и Q™ (jx) обе удовлетворяют уравнению
то мы имеем
Следовательно,
|J, F5>
v 2
где (x = cos6, а и и /re произвольны.
В случае /ге = 0 формула F5) принимает вид
&-\?){РпШШ-Р'пШ*(\>)) = 1> F6>
где и —любое.
§ 18. РАЗЛОЖЕНИЯ P^(j») И QJ» (j») ПО СТЕПЕНЯМ j»—/j?=I
149. Возвращаясь к Р-функции G), удовлетворяющей дифференциальному
уравнению B), мы видим, что с помощью томографического преобразова-
преобразования ее аргумент приводится к виду (х — ]/ (х2 — 1. Положим ?— (|х — V (х2—lJ.
Получаем, что уравнению B) удовлетворяет гипергеометрическая функция,
в которой четвертым аргументом является ?. Если в уравнении B) при-
принять ? за независимую переменную, то otfo примет вид
— 1(л —m)
| (m+n+l)
Пусть u = | p, тогда для v получаем следующее дифференциаль-
дифференциальное уравнение:

224 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [149
которому удовлетворяет функция F (а, Р; f; $) при а — п-\-т + 1, р = /ге + -^- ,
f = ra+ -г-. Таким образом, уравнению B) удовлетворяют функции
И
где z==
Предположим, что значения \^рг — 1 выбираются так же, как это дела-
делалось выше, так что Е и z имеют определенные значения в каждой точке
комплексной ^-плоскости, не принадлежащей разрезу.
Заметим, что |z|>l во всей плоскости вне разреза, и
й
имеет тот же знак, что и jx; на мнимой оси z принимает чисто мнимые
значения.
Чтобы выразить их, и2 через Р™ (р,), ^"(н-), достаточно сравнить эти
решения при больших значениях | ja | с выражениями (i9) и C7). Эти по-
последние формулы показывают, что для таких значений jj. главные члены
функций Q™ (|х) и РГ ((а) имеют вид
и
sin (п + т)п П(п + т) , 2 _ .Л
п (¦»-»») n(^
Так как ut и м2 должны выражаться через Р™ (\») и ^JT(fi.) линейно,
то отсюда следует, что при | z \ > i
V-* - IJ z-"-m-i X
n + -|; ^-), F7)
- 2т е1п("+те)л Щя + w) /2 _ ^2 „_,„_!
;
П(п-т)п(-у)
-щ±.-щ ±) . F8)

150J § «8. РАЗЛОЖЕНИЯ Р™ (V-) И Q™(n) ПО СТЕПЕНЯМ ц-/ц2-1 225
Ряды по степеням (р. + ^ Н-2—lJ в формулах F7) и F8) сходятся во
всей плоскости, за исключением точек разреза. В частности, при /ге = 0
получаем
П (п) П ( —j) г \ з 1 \
\2^ Z-»-'F(-i, га + 1; га + -|; -?¦) , F9)
Частные случаи формул F7) и F8), соответствующие целым положи-
положительным значениям га, были получены Гейне1); в этом случае из-за нали-
наличия множителя tg гатс первый из рядов, входящих в правую часть формулы
G0), обращается в нуль. При полуцелом га формулы F8) и G0) должны
быть несколько видоизменены.
150. Рассмотрим Q™ (р-) при значениях |x = cosO, принадлежащих раз-
разрезу; числа тип предполагаются действительными, так что ряд
сходится при z = e±ie, если только б не принимает значений 0 и тс.
Мы видим, что (x-j-^jx2 — i = eia при jj. = cos8 + i'¦¦ 0 и jx-\-|/(x2 — 1 = e~'9
при (x = cos6 — i-0.
Таким образом, используя теорему Абеля, мы получаем, что
<?n (cos0 ± i-О) = 2т ¦ ет™ ^ Je sinm6 х
'~, m; га + лг-f-l; e*21*).
Воспользовавшись определением E7) функции. ^™(cosG), находим, что
'(cos6) = 2m \ J1 ^ sinw 8 I cos (m + ra+1) 6 +
+т
... | , G1)
J
где 0<0<тс, а /те и га действительны.
!) Kugelfunktionen, т. I, стр. 129.
15 е. в. Гобсон

226
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[151, 152
В случае пг — 0 получаем для Qn(cos4) следующее выражение, которое
для целых га было найдено Гейне1):
3)8
G2)
151. В указапной в п. 140 формуле, дающей выражение F (а, [3;-у; ж)
с помощью гипергеометрического ряда, в котором четвертым аргументом
служит 1 — х, положим ж=1 — -^-, а = у — т, Р= — га — т, ¦(--= 1 — 2т;
после незначительных преобразований получим
F(j-m, -n-m;l-2m;l-!-)«=
I O-2m П(--да)
L
причем
т. е.
~ , или,что
то же самое, Re (jx) > 0. Если умножить обе части полученного равенства
на
=гт г-((х2— 1) z", то в правой части получится выражение, совпа-
J.X V — Tfbj
11 ( )
дающее с правой частью формулы F8). Отсюда получаем, что
^1) " z
i), G3)
если только Re((x)>0. Так как Р™ (jx) = P™n-i (p-), to одновременно по-
получаем, что
где Re(t*)>0 и
1-1
< 1.
Воспользовавшись формулой C3), выражающей (??Г(|а) через ^((а)
и Р^"т((х), мы можем записать Q™ (jx) с помощью двух гипергеометриче-
гипергеометрических рядов, в каждом из которых четвертым аргументом служит 1 ^ •
§ 19. ДРУГОЙ КЛАСС ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДЛЯ Р% (ц) И Q™ (|л)
152. Используя интегральные выражения, удовлетворяющие гипергео-
гипергеометрическому уравнению, в котором независимым переменным является
~ —г , мы видим, что выражения
п.
du'
(Б)
Kugelfunktionen, т. I, стр. 130,

152] § 19. ДРУГОЙ КЛАСС ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДЛЯ Р™ (ц) И
227
где интехралы берутся по замкнутым контурам, таким, что после обхода
вокруг всего коптура подинтегральное выражение возвращается к своему
начальному значению, удовлетворяют дифференциальному уравнению B).
В выражениях (А) и (Б) можно заменить и на — п — 1 и т на — т;
мы получим таким образом восемь различных выражений, удовлетворя-
удовлетворяющих дифференциальному уравнению B). Так как в каждом случае можпо
взять два независимых пути интегрирования, то окончательно мы полу-
получаем шестнадцать интегральных выражений, каждое из которых удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению B). Выразим эти иптегралы через
функции Р™(|а) и $Г(|а). Если Re (jx) > 0, то и Re (z) > 0, и, следо-
следовательно, — тс < arg(z2) < тс.
Предполагая, что |z|<l, рассмотрим выражение (А), считая, что я а
путь интегрирования взят контур, обходящий сперва в положительном
направлении точку 1, затем в положи-
положительном направлении точку О, йотом точ-
точку 1 в отрицательном направлении и,
наконец, точку О в отрицательном на-
направлении. Если каждая из петель этого
контура расположена так, как это ука-
указано на черт. 14, то мы предположим,
что начальные значения arg и и arg A — и)
в точке А суть нули. Если мы пред-
предположим, что в точке Н arg (и —1)—-О,
то получим, что и — l=e~"TOi(l—и), и начальное значение arg (и — 1)
в точке А равно—тс. Предположим также, что в точке В arg ( 1 — ~Л = О,
тогда вдоль всего контура arg Г 1—-2 J заключен между —тс и г. Если
arg (u— z2) возрастает, то возрастает и arg Г 1—\ J .
Путь интегрирования выбирается так, что всюду
Черт. 14.
< 1, и, следователь-
О-*)'
Г. и \ и
но, разложение A ^~ ) п0 степеням —^- равномерно сходится к соот-
соответствующей функции для всех значений и, принадлежащих пути интегри-
интегрирования. Получаем
\т A-Ь 0-Ь 1-, 0-) 1 -\-т
r=o
Далее, ¦
( 2~;
15*

228 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [453
таким образом, имеем
+
.(!+.«+ 1-.0-)
Сравнивая этот результат с формулой F7), получаем
x u ' 4л sin i
(l-h 0 + .1-, 0-) -l_m -i-m
X [ мп+тA-м), * А_-^Л 2 <fa. G5)
Соотношение C6), связывающее ^JT((a) и ^JT( — ц), можно проверить
с помощью формулы G5). Действительно, если р, заменить на — |х, т. е. на
fie^7", где знак зависит от знака Im((x), то z заменяется на zeTi" и
({J.2—1)^ на (|х2— IJ eTirmi. Соответственно получаем
т. е. формулу C6).
153. Если в G5) положить u = hz, где /г — новая независимая перемен-
переменная, то получим
, G6)
где точка z лежит вне контура интегрирования.
В частности, при т = 0 получаем
dh. G7)
С помощью B1) мы получаем из G6) следующую формулу:
X
X \ -—— -—dh. G8)

154] § 19. ДРУГОЙ КЛАСС ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ДЛЯ Р™ (|i) И Q™ (ц) 229
Заметим, что в формулах G6), G7), G8), в которых
аргументы аодинтегральных выражений выбираются следующим образом.
Построим в плоскости h фигуру (черт. 15), соответстБующую изображенной
на черт. 14 фигуре в плоскости и. Точки z, — отвечают точкам z2, 1 соот-
соответственно. Начальное значение avail в точке А, т. е. п точке, лежащей
1 1
на отрезке, соединяющем — и О, равно начальному значению arg— в этой
же точке, т. е. —6, следовательно, в точке С arg/i = O. В произведении
1 — 2 (х/г -{- /г2 начальное значение arg (I — hz) в точке А равно нулю, а началь-
начальное значение arg Г 1 J равно нулю в
точке В и, следовательно, начальное зна-
значение arg M —— Jn точке А равно углу
zOA. Таким образом, в точке А началь-
лое значение arg A —¦ 2 jx/г + /г2) равно углу
zOA. Полезно отметить, что когда точка
А удаляется в бесконечность, двигаясь
параллельно действительной оси, то
arg A — 2 (х/г + /г2) меняется от zOA до нуля.
Поэтому arg A—2|xfc + /i2) удобно опре-
определить следующим образом: он стре-
, , 1
мится к нулю, когда /г —z и п стре-
Z
мятся к действительным положитель-
пым значениям. Таким образом, следует
, , 1
считать, что в тех точках, где /г— z и п принимают
Z
положительные значения, их аргументы равны нулю.
Черт. 15.
действительные
154. Если T\e(n + m + l) > 0 и Re (у — m j > О, то иптеграл, входя-
входящий в формулу G6), можно привести к следующему виду:
i
(l-e(l"
Таким образом,
hn+m
dh.
- dh, G9)
A—2;i,
QnM
где
hn
>0 и Re(i — w) > 0
dh,
(80)

230
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[155
Заменив в формулах G9), (80) h на ~г , получим
4)
где Re(ra-|-/ra + l) > 0, Re(~ — /га") > 0, и
A-2,1* +Л»)
dh,
(81)
dh,
(82)
где Re(/i +1) > 0; arg A — 2 \ih + /г2) стремится к нулю, когда /г движется
от точки на отрезке, соединяющем О и — , к оо параллельно положитель-
положительному направлению действительной оси h.
155. Рассмотрим теперь выражение
-)
—m—n—\
и"+тп X
*2-!J г
Предположим, что arg и и arg (I — и) обра-
обращаются в нуль в точке Л, в которой путь
Черт. 16. интегрирования пересекает отрезов? [О, -f 1]
действительной оси, и -что arg ( 1 ¦—-^ ) --Л) в
точке В, в которой —j- действительно и меньше 1 (черт. 16).
Полагая в рассматриваемом иптеграле и=г2—(z2— I) v и принимая v
за новое независимое переменное, получаем
!_ 1)-2т х
U+, 0-)
X
———т —~—т
) % V г i
Так как v — 1 — 2_^ и в точке /^ arg A — и) ~ arg (z2 — 1), то arg (v — 1)
обращается в нуль в той точке на плоскости v, которая соответствует
точке F, и и утой точке v — 1 — действительное положительное число. Если
v A «¦ ) < 1> т0 в пл°-
в плоскости v путь интегрирования таков, что
1 _._"...
< 1. Это
скости и в соответствующих точках выполняется условие
возможно только в том случае, если для каждой точки Р плоскости и,
лежащей на том контуре, по которому берется интеграл, расстояние от Р
до z2 меньше, чем расстояние от z2 до начала координат, т. е. путь инте-
интегрирования должен целиком лежать внутри круга с центром z2, проходя-
проходящего через начало координат. Такой путь может существовать только
в том случае, если расстояние от z2 до 1 меньше, чем расстояние от z2
до начала координат, т. е. в случае Re (z2) > -п-. Предположим сейчас, что
это условие выполнено, тогда в плоскости v путь интегрирования можно

155] § 19. ДГУГОЙ КЛАСС ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДЛЯ Р™ (ц) И Q™ (ц) 231
1 г ) v < 1 выполнено. При этом
arg 1 — (i ?) v = ars(~^ ) заключен между —т. я т.. Отсюда сле-
следует в силу допустимости почленного интегрирования степенных рядов,
что указанное выше выражение можно записать в виде
г=0
X
Имеем
+0
поэтому рассматриваемое выражение равно
х
X 2i cos пгъ F С—п — тп, -^ — тп; 1 — 2яг; 1 —з" ;
После пекоторых преобразований это последнее приводится к виду
(у)
2"+m2isinm--—— v J x
()
'(—п — т, — — т; 1 — 2т; 1 j-j
В п. -53 было показано, что если
нос выражение равно
t
< 1, Re (fi) > 0, то получен-
— 2л sm mx-
11 I m~Y
т. e.
_, II
Таким образом, мы получили следующую формулу:
I
~ 1Г" X
X

232
ГЛАВА V ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[156
Мы доказали справедливость этой фомулы п-ри Re (ц) > 0,
1--
Re (z2) > -ту . С помощью аналитического продолжения можно установить
ее справедливость для всех |i и z, таких что Re(fi.)>0 и |argz2l<x.
С*, тттмптттчг» ттпттртаттп"ркit н -— h?. ИОЛУЧавМ
С помощью подстановки u =
Z+'/
dh,
т. е.
П ( m y"
A —2
7+">
<83>
До сих пор мы предполагали, что Re (jj.) > 0; пользуясь аналитическим
продолжением, можно освободиться от этого ограничения. Таким образом,
формула (83) представляет Р™(р) во всей пло-
плоскости [а с разрезом, идущим вдоль действитель-
действительной оси от 1 до — со.
Чтобы определить значения аргументов вы-
выражений 1 — zh, 1 , входящих в качестве со-
сомножителей в 1 — 2 \xh + h2, заметим, что в точке L
arg ( 1 j — arg Tl ^-j=0 и в точке М
arg (I — hz) = O (черт. 17). Мы можем предпола-
предполагать, что h — z в выражении (h— z) ( k ) имеет
аргумент нуль, когда п—z принимает действительные положительные
1 1
значения, и, аналогично, что h имеет аргумент нуль, когда h
2 Z
принимает действительные положительные значения. Это согласуется с при-
принятыми выше условиями, если положить
В частности, если m — 0, то получаем
h^
dh,
(84)
где arg(k—z) = 0 в той точке, в которой k—z действительно и положи-
положительно, и то же самое для h . Начальное значение arg(l — 2\ih + k2)
стремится к нулю, когда точка А удаляется в бесконечность параллельно
положительному направлению действительной оси.
156. Если m целое, то, как легко видеть, та часть интеграла, кото-
{
рая берется вокруг точки —, не изменится, если направление обхода кон-
контура изменить на обратное и начальное значение arg A —— 2 [х/г —(— /г2) в точке А
оставить неизменным, а именно тем, которое получается после обхода

157J § 19. JlVbTOtt КЛЛСС ИJlТЖП'Л-!IЫ1ЫХ JUPKMCTABJlJZlllilt ДЛИ F>™ (tx) Jf Q^* I* 233
в положительном направлении вокруг точки z. Таким образом, рассматри-
рассматриваемый интеграл можно заменить интегралом
(«+..М
hn+n
¦dh.
J i+m
Теперь мы можем два отдельных контура заменить одной замкнутой кри-
кривой, охватывающей обе точки z и —; в результате получается следующая
формула:
/J^(u):=4
П
dh,
(85)
где интеграл берется вдоль замкнутой кривой, проходящей через точку Л
и охватывающей точки z и —, причем точка О лежит слева от этой кри-
Черт. 18.
вой (черт. 18). В точке А, лежащей на действительной оси, начальное
значение arg(l — 2\ik-\-h2) таково, что оно стремится к нулю, когда точка А
удаляется вдоль действительной оси в бесконечность.
В случае т = 0 получается следующая важная формула:
hn
dh;
(86)
здесь интеграл берется вдоль замкнутого контура, охватывающего точки z,
— , а начальное значение arg(l — 2 \ih-\-h2) в точке А стремится к нулю,
когда А уходит вдоль действительной оси в бесконечность. Как и выше,
предполагается, что точка О лежит слева от данного контура. Это послед-
последнее условие можно отбросить при целом положительном п, так как в этом
случае h — О перестает быть точкой ветвления для иодинтегрального выра-
выражения .
157. Если m целое отрицательное или нуль, то выражение (85) можно
видоизменить, взяв за путь интегрирования вместо замкнутого контура
некоторую дугу, соединяющую точки —иг.
Z
Замкнутый контур можно заменить дугой а,3 (черт. 19); в случае
Re (р) > О это может быть прямолинейный отрезок aj3, а если Re (f*) < 0,
то эта дуга должна проходить справа от точки h— 0. Это последнее усло-
условие не обязательно, если п целое число.

234 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 158]
Если т целое отрицательное число или пуль, то интеграл по малому
кругу с центром — стремится к нулю, когда я—> —. То же верно и для
Z Z
точки z. Так как в результате обхода вокруг точки z подинтегральное вы-
выражение меняет знак, то интеграл от р до а равен интегралу от а до р.
Таким образом, получаем
.,-т П ( — ™ К )
где т — целое положительное; путь интегрирования берется так, чтобы
Черт. 19.
точка h оставалась от него слева. В этом условии нет необходимости,
если п целое положительное.
Если т = 0, то получаем
^\ -dh. (88)
1A— 2[
Значение arg (I — 2и/г + &2) в точке Л стремится к нулю, когда А—>оо.
В случае Re(«+l)>0 мы, воспользовавшись формулой (80), полу-
получаем
1
г г
Отсюда вытекает следующий результат:
\ * dh = Qn (ц) + тл Рп (ц). (89)
§ 20. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ F^ (cos в) И Q™ (cos в)
158. Воспользовавшись формулой G9), в которой m заменим на —пг,
и соотношением B1), получим
1
где Re(n-m + l) > 0 и Re (y + ^ > 0.

158] §20. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Р™ (cos в) И Q™ (cos в) 235
Сделаем в найденной формуле замену переменных, положив h = ;
Z
получим
ет«* П (—Г) П
иг—^
х
о
где Re {и — m -f-1) > О и Re(—-{-m)>0.
При т = 0 имеем
Qn (p,) = z-"-1 ^ e-("+f)'c+m'c A — e-') 2 A - z-2e~")
о
или, полагая fi = chC, z — e",
Эта формула была иным путем получена Ватсоном1).
Так как
1 - е—-к = е-' (е- - е-'-') = e-r- {ch С A - е--) + sh С A
то
emni П f-4^ П (» + и) -(n+L) 5
Z (ch С) = .V ' csch С • е 2 X
A — е--) ch С — A + е-'=) sh C| dx. (90)
X
о
Эта формула верна при Re (и — m-f-1) и Ref m-|--пЛ > О; в частности,
она верпа, когда пит действительны, в>0 и —ту <im <1 п-\-\.
Положим fA = chC = cos6 ±г-0; в этом случае в формуле для Q™(р)
будет z=eie; тогда
1\1 . оэ 1
1м т--
2
о
X {A -\- е~') sin О =F г A — е-') cos 0}
Воспользовавшись соотношением
_i
I /„«„ П\ ' Г. 2 ri
1
Camb. Phil. Trans., 22 A918),*.294

236 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [159
получим
#?F) Ц z\ cscm6 х
Ц \
2m+1n(m-у) П (»-*»)
где /х и /2 означают интегралы
°° _I I
\ e-(n+-i)T4mt^i_e- ) 2 [(i +e~'t) sin 6 qp гA — е~"*) cos 6] 2dx.
b
Аналогично, воспользовавшись соотношением
— in ет*{Р™ (cos6) = e 5 (?™ (cos 6-|-г • 0) — e^ (?™ (cos 6 — г • 0),
цолучаем
f l n
4 П( —п-)П('1 + 'п)
¦ cscm bi X
х
Будем теперь предполагать т и п действительными. Пусть arg/j=—<п
и arg/2 = o); тогда I1^^e~ito и /2 —регш, где р — положительное число.
Таким образом, получаем
(91)
где W > 0; здесь предполагается, что тип действительны и
— -у < Н1< И -f- 1.
Эти результаты представляют собой обобщение результатов, получен-
полученных Ватсоном (см. сноску на стр. 235) для случая т =0. Они были полу-
получены Гобсономх) и использованы Ватсоном для изучения распределения
нулей функции Рп (cos б).
§ 21. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ Р™ И #«
159. Соотношение
I _ _i
в-»««#Г (eh а) = (?? Шт + и) р ""г (cth я) f (92)
где Re(chct) > 0, связывающее функции Р и Q, было дано Уипплем 2), ко-
который использовал его для представления в виде интеграла или ряда
одной из функций Q™ или Р™, когда известно соответствующее предста-
представление другой.
») Ргос. Lond. Math. Soc. B), 30 A929), 373.
г) Там же, 16 A917), 301.

159] § 21. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ Р™ H<2« 237
Легко проверить, что если в дифференциальном уравнении B), кото-
которому удовлетворяют Р™(р) и Q™(p), ввести вместо \i новую переменную ц'
с помощью соотношения (ц'2—1)(р2—1) —1, то это дифференциальное
уравнение примет вид
к С лY)
де п' = — ( яг+ -^ J , т' — — (га + —) • Отсюда с
у™
у™ (р/) этого уравнения должно быть в то же время решением и™ (р.)
уравнения B), где га,, m и р. связаны с га', т', р' указанным выше образом.
Чтобы получить соотношение (92), воспользуемся выражением (83)
для Р™(р) и, положив Л = р,— i(fi2—1J, примем i за переменную инте-
интегрирования. Получим
п(-т)
X
Записав — ** —i1', получим
у ;х2 — 1
<-»+.
Аналогично из формулы A8) получаем
(-1
х
Заметим, что аргументы подинтегральных выражений в этих форму-
формулах таковы, что если в выражении для Q™ (fi/) положить t — \i' —
= (fi/ — t) e~'nl, то получим
V»1 ^ ^ - 4i sin п'я ПК) ^ ^ J 2"' (tx'-t)n'+'"'+1 '
где аргумент в подинтегральном выражении выбирается так же, как
в соответствующем выражении для Р™([а).
Так как fi/ = , то мы видим, что, когда р меняется от некото-
некоторого действительного значения > 1 до чисто мнимого, \i' меняется от неко-
некоторого действительного значения до некоторого значения, принадлежащего
разрезу, соединяющему точки fi' = 0 и р/ = 1. Поэтому, так как Q™' (fi/)

238
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[160
при переходе через разрез претерпевает разрыв, то мы должны наложить
условие Re (ц) > 0.
Полагая п' = —(яг + -у ), т'= — ( п +-п-\ мы видим, что интегралы
V z У V z У
в двух рассматриваемых выражениях становятся тождественны. Таким
образом, получаем
или
п(«
(93)
где Re (fj.) > 0. Полагая ц — ctha, иолучаем отсюда формулу (92).
§ 22. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р™М В ВИДЕ ИНТЕГРАЛОВ ПО
ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ ОТРЕЗКАМ
160. Заменив в формуле (83) яг на — т, получим
(
х
_ 2
Предположим теперь, что Re ( т + -^ J >0; тогда, считая, что Re(fj.)>0,
выберем путь интегрирования так же, как и в п. 155. Мы можем за путь
интегрирования принять два прямолинейных от-
отрезка, соединяющих точки z и —, и две беско-
бесконечно малые окружности вокруг этих точек
(черт. 20); в силу условия ReTffi-fyJ > 0, ин-
интегралы вдоль окружностей в пределе обращают-
обращаются в нуль. Пусть Re (fi) < 0, так что отрезок,
„1 -.
соединяющий точки z и —, лежит слева от О;
путь интегрирования в формуле (83) следует
„ „„ выбирать так, чтобы точка О лежала от него
Р ' ' слева; в этом случае интеграл нельзя заменить
иптегралом вдоль прямолинейного отрезка,
соединяющего точки z и — . Следовательно, для того чтобы за путь инте-
Z
грирования можно было выбрать прямолинейный отрезок, существенно,
чтобы действительная часть р. была положительна. Получаем
Г п-
чт4
d/г;

160] § 22. представления р™ ы в виде интегралов 239
здесь в стоящем справа интеграле начальные значения arg (/г — z) и
arg (k — z) в точке А равны X— тс и X соответственно, так что начальное
значение arg A - 2\t.h-\-h2) равно 2Х—т..
Таким образом, получаем
г
X
Эта формула верна в предположении, что точка /г = 0 лежит слева от
пути интегрирования.
Пусть /г —fx + ((i2—1)^собф, где ф меняется от 0 до ic; тогда
/г2 — 2 [А/г-f-1 = — (|а2 —1) 8Ш2ф = е-™ (ц2.—1) зш2ф,
так как arg((i2— 1) = 2Х и dh= — ((J.2 — 1)^81пфйф. Мы приходим к следу-
следующей формуле:
п к
ф, (94)
где Re Г яг + у ) > 0, интеграл берется от ф = 0 до ic вдоль действитель-
действительной оси и Re((i) > 0.
Используя соотношение C3), получаем
- ^ -1«» +Г sin- ф <% (95)
Это соотношение, в котором интеграл берется вдоль прямолинейного
отрезка, верно для всех значений пит, если только Re Г яг4~~) > 0>
Re(|i)>0. Если ф = ух, то argdx+Vl*2— 1 со&ф)
Заменив в формуле (95) и на — и — 1 и воспользовавшись соотноше-
соотношением C1), мы после некоторых преобразований получим
sin
4-) о
-4-) о
где Re( т + -^) > 0, Re(|i)>0; ф принимает действительные значения
от ф = 0 до ф = тс.

240 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [162
161. Из (95) и (96) легко получаются соответствующие формулы для
случая Re(p) < 0. В этом случае имеем
P() ^ <#Г()
,„, _ J
X С е^"-™)™ (р, + |/ р.2 - 1 cos ф)""т sin2
о
Выражение, стоящее в левой части, равно
откуда
^n ((*) - | e~ mni sin nr: * e± (n-m)iti <?^ (p.) =
J о
1) °
где при Im(p)>0 в е±("-т)яг берется верхний знак, а при Im(p)<0 —
нижний.
Формула, аналогичная (96), может быть получена таким же способом
и при Re(p) < 0:
2 . ¦
б 1гп ^р) -р —- G Sin tlTZ * е ' \п \Pv ==1
п
п / 1_Л п / _ _1_Л J
162. Если p = cos6 и 6 лежит между 0 и ~ , то, положив p =
-+-J-.0, получаем, что левая часть формулы (95) приводится к
1 . 3
-тг mm о
—^ тяг о о Тпяг Г 1 И
е 2 PJ (cos 0) - -=¦ e-™«* sin mic е2 [ ^» (р.) - -i таРЯ (cos 0) J ,
1
2 2тяг
а в ее правой части вместо (ря — 1) получается е sinm S; следовательно,
формула (9р) принимает вид
cos тт. Р% (cos б) ^---^ sin тт. Q^ (cos 0) =
С другой стороны, полагая p = cos6 — i-0, получаем аналогичным
образом, что
2
cos тпъ Р" (cos 0) — — sin тт. Q™ (cos б) —
от ( i
- п 1" 2

163, 164] § 22, ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р™(ц) В ВИДЕ ИНТЕГРАЛОВ 241
Таким образом, имеем
cos тк Pt (cos 0) - ~ sin тъ Q™ (cos 6) =
(cos 6 ± ? sin 0 cos ф)"- sin2 <|> Ц, (98)
A \ TZ
m + YJ>0 И ^ заключено между Ой-?.
Если в формуле (98) заменить п на —п — 1 и воспользоваться фор-
формулами п. 147, то после некоторых преобразований получим
2
cos mn Pn (cos в) sin пи: Q™ (cos G) =
Щп + m)
Г
1Л J
°
где Re f n» + -j J > 0 и 0 заключено между 0 и -|.
163. Рассмотрим теперь случай, когда б лежит между — и я. Из фор-
формулы (97), полагая ji = cos6-|-t 0, получаем
Wcose + .-sineo.r-i2^^ A00)
где, как и- раньше, Re ( т-{- — Л > 0.
Диалогичная формула, отличающаяся знаком перед г в подинтеграль-
ном вырагкении, получается, если положить fi--=cos8 — i-0.
Заменив в формуле A00) п на —п—1, получим
— е-("+т) ™ Г Р'п (cos 0) cos пт. — ~ sin rm Q"l (cos 6I =
Легко получить аналогичную формулу с — ? вместо ?.
164.* В том важном случае, когда т целое положительное, из (95) и
(97) следует, что выражение
= Р™ ((х) или Р™ (ц) -4 sin n«e±«- <?^ (p), A02)
в зависимости от того, будет Re (ji.) положительно или отрицательно; при
1т((А)>0 в е±™» берется верхний знак, а при Im (ja) < 0 — нижний.
Е. В. Гобсон

242 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [165
Из (96) получаем
2-l)
при Re ((x) > 0.
Из (98) получаем также, что если т целое положительное, то
п
X \ (cos 0 ±i sin 0 cos ф)п~т sin2tn ф dtp, A04)
о
где 0 < 0 < у ; из формулы A00) видно, что если — < 8 < я, то правая
часть формулы A04) равна
(_ 1 )т еп™ ? cos m: P? (cos 0) - 1- sin n- <?» (cos 8) ] .
Аналогично, из (99) получаем, что если т целое положительное, то
выражение
П(п + т) sinm6 г sin2 6 ,
П (л —»)<>"» rr ( l\n/ 1\ \ (cose + isinecosJ;)"+mfl ^
при 0<8<у равно ( — 1)тРп (cosб). Из A01) вытекает, что при
— < 8 < я это же выражение равно
_ в-««* (- l)m [ P? (cos 8) cos /Mt -^- sin пъ Q» (cos 8) ] . A05)
§ 23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рп (|х), ДАННОЕ ГЕЙНЕ
165. Гейнех) определил функцию Рп (ja) для комплексных п и ja фор-
формулой
=l cos ф)п Ц.
Из результатов, полученных в п. 161, видно, что это определение
непригодно, так как функция, -даваемая этим интегралом при Re (ja) < 0,
пе является аналитическим продолжением функции, определяемой тем же
самым интегралом при Re (ja) > 0. Тот факт, что рассматриваемый интеграл
не имеет определенного значения при чисто мнимых \i, становится ясным,
если мы рассмотрим аргумент подиптегрального выражения
т. е. hn. Если (х чисто мнимое, то между 0 и тс найдется такое значение ф,
при котором h обращается в пуль и при переходе через это значение ф
аргумент подинтегрального выражения меняется па некоторую конечную
величину. Интеграл по h в п. 157 берется вдоль пути, соединяющего точки z
и — и проходящего справа от точки h = 0- Таким образом, для чисто
KugeUunktionen, т. I, 1878, стр. 37.

166] § 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р™ (ii) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 243
мнимых значений jx путь интегрирования должен быть выбран так, как
это указано на черт. 21, и включать в себя полуокружность, обходящую
точку А = 0; мы видим, что в указанном выше определенном интеграле
аргумент подинтегрального выражения уменьшается скачком на mz, когда
costb проходит через значение ~-^ ¦ Если принять это во внимание, то
V (ха—1
рассматриваемый определенный интеграл будет изображать Рп (ja) при
чисто мнимых значениях jx, если только интеграл вдоль полуокружности
стремится к нулю.
Однако в самом интеграле нет ничего, что бы определяло, независимо
от нашего соглашения, как именно должен меняться аргумент подиптег-
рального выражения, когда подинтегральное Быражение проходит через
особую точку.
z
Черт. 21. Черт. 22.
Предположим теперь, что ja переходит через мнимую ось; тогда инте-
интеграл по А от — до z можно взять вдоль петли, охватывающей точку h = О
(черт. 22), и затем вдоль прямолинейного отрезка, однако его нельзя взять
сразу вдоль отрезка от — до z. Таким образом, оказывается, что значение
рассматриваемого определенного интеграла теперь уже не равно Рп (jx);
оно выражается через Рп(р) и Qn(p). Действительно, формула A02) пока-
показывает, что в случае Re (jx) < 0
$ (I + Ур^А cos ф)"сгф = Р„ (ц) - 4 屫«* sin »« Qn (ц),
о
где при Im ([!,)> 0 берется верхний знак, а при Im((i.) <0 —нижний.
Оказывается, что единственный случай, когда определение, данное
Гейне, пригодно, — это случай действительного целочисленного п.
§ 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р% (|х) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПРИ
ЦЕЛОМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМ т
166. В п. 122 было показано, что если п целое действительное, то
¦|тп (ц+\ 1+)
$ (««-lnt-d-4-""-1*. A4)
|
Предположим теперь, что Re (jx) > 0, тогда за путь интегрирования
в A4) можно взять окружпость с центром в точке ja (черт. 23), и радиу-
радиусом, заключенным между |(х —1| и |ji,-J-1|. На этой окружности возьмем
точку С так, чтобы угловое расстояние от г до С было равно ф, и примем
С за начальную точку пути. Пусть <р, 0<<р<2тс, — угловое расстояние от
16*

244
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[166
точки С до произвольной точки на окружности. Если мы положим
где и действительно, то точка t при различных значениях ф будет описы-
описывать окружность с центром [i и радиусом е^и \ у р.2 — 1 |; поэтому в фор-
формуле A4) мы должны значение и выбирать так, чтобы |[i— 1 | < Т
|, т. е.
Мы имеем
t
откуда
(х + 1
(Х-1
— lcos((p — <
где Re ((i) > 0, т. е.
JL
rri cos (<p-
— <J» ± ш)}n (cos ту —} sin икр) d$ =
Заменяя m на — та вспоминая,
что, согласно C3),
Черт. 23. получаем
2~ \ (Р1 + к Р-2 — 1 cos ('f — ф ± iu)}n (cos mcp + i sin
таким образом, мы приходим к следующей формуле:
- * cos (? - Ф ± и»)}" CS2
где те —целое, п —произвольно, Re (ji) > 0 и и< у In
меним п на —п — 1, то получим формулу
К—1
. Если мы за-
_ i cos (<j> -
A07)
справедливую при тех же самых ограничениях, что и A06).

167] § 24. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р™ (ц) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 245
Формулы A06) и A07) были даны Гейне х) для целых положительных зна-
значений п.
При и = 0, ф = 0 имеем
l cos?)ncosm?c*p-= n^(^w)PS(Ц), A08)
cos my , _ . _ ..m U(n—m)
2* J (u. + t/jx2— 1 cos m)n+1 П (n)
о
где n —любое, m — целое действительное и Re (u) > 0.
Формулы A08) и A09) можно преобразовать так, чтобы пределами
интегрирования были 0 и я.
Заменив независимое переменное <р на тс — <р, получим
(u — у p* — i cos (p) cos m
6
Заменив теперь в стоящем справа интеграле <р на <р — я, получим
\ (и -f ]/ и2 — 1 cos ср)" cos /ю<р d(p.
Таким образом, из A08) получаем, что
¦п
tz .1 Д (п + т)
где т —целое действительное и Re (ji) > 0.
167. Если Re (u) < 0, то, заменив и на —ив формуле A06), получим
2it 1
(
где
и при 1т (и) > 0 в еТпте* берется верхний знак, а
при Im(u) < 0 — нижний.
Воспользовавшись формулой C4), выражающей Р%( — и) через Р"
и ^" (и), мы получим следующую формулу:
где ори Im (и) > 0 берется верхний знак, а при Im (и) < 0—нижний.
*) Kugelfunktionen, т. I, стр. 211.

246 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [168
Заменив п на —п — 1 и воспользовавшись формулой C1), мы после
некоторых преобразований получим
COS
sin
2— IJ cos (у— i
где Re (p.) < 0.
§ 25. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Q™ (|x) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
168. Если Re(re — m-\-l) > 0 и Re (m + ^ > 0, то, заменив в
муле (81) m на —т, получим
1 -^f ^"П'\ dk.
Положим h = p + \/'\>.z — 1 сЬго, т.е. 1 — 2(аА+Л2 = (ja2 —1) sh2w, и при-
примем го за переменную интегрирования; вспоминая, что
получаем
2mU(n—m)
OO
*" "^ "" ^ 114
(|Х+У(Х2— lchK))n*m + 1
0
где Re(\ra + -g-) >0, Re(» —лг-И)>0.
При'7И = 0, Ro(«-|-l)>0 получаем
Частный случай формулы A11), соответствующий целым значениям п
и т, был получен Гейне1).
Если а = cos 0 действительно и заключено между —1 и 1, то, восполь-
воспользовавшись E7), получаем
X
и '"-»'n(™-{)
/Г *^m rf r »h~» j
I J (cos 0 + i sin о chinI1™*1 ' j (cos8^j sin 8 chw)n*m*1
о о
x) Kugelfunktionen, т. I, стр. 222.

169] § 25. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Q™ (ц) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 247
Аналогично, из E6) паходим
1™тл П(п-т) д/ __1\
(С sh2ma> , Г sh2ma> , 1
Х { J (cos 8— i sin 6 ch w)n'm+1 J (cos 8 + i sin 6 ch ai)"+m+1 ] '
о о
J ( )
о о
169. В формуле G9), справедливой при
, Re (i - т^ > О,
положим й-=[х — |/[х2 —1 ch го; тогда, принимая за путь интегрирования
прямолинейный отрезок, соединяющий О и — , получим при &=0, что
#>=w>0 = -2-ln^-j . Если га = 0, то & = у, и
1 - 2/гр. + /г2 = (р,2 — 1) sh2 го.
Отсюда
где гг>0 = 41п К"Ь
При т =¦ 0 получаем
X ^ (p. —|/[x2—
о
wi + l) >0 и Re(i--w^) > 0.
A14)
где Re(n-)-l) > 0. Если р, действительно и > 1, то zv0 действительно.
Интересно сравнить (ИЗ) с формулой
cos mir (tx2 - 1) *
Ч—)
X ^ (р. + |/[х2— lch^^^-'sh-2^^^, A15)
о
которая получается из A11) заменой т на —те и которая верна при тех
же условиях, что и A13).
Заменим в (ИЗ) т на —/те; получим
п(Ч)
П(п-т)п/ __1_\
X \ 0х — l^ P^T ch го)п-т sh2m го йго, A16)
о
где предполагается, что Re (n — т + 1) > 0, Re(—

248
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
170. Заменим в A8) п на —п — 1. Получим
s
где
' 4t sin (ra—m) к JJ (ra — m)
— li* — ii it — 11 I fr — I*) ¦
Выберем путь иптегриропания так, как указано па черт. 24. Выходя
из точки А, мы сперва описываем полуокружность с центром (i, затем
проводим прямую от Е до оо, потом полуокружность бесконечного радиуса
и, наконец, прямую от оо до А. Затем берем симметричный контур, обхо-
обходящий в отрицательном направлении точку + 1.
Если Re (п — лг + 1) > 0, то интегралы
вдоль полуокружностей с центром (i в пределе
обращаются в нуль, когда их радиусы стремят-
стремятся к нулю. Если Re (п-\- т-\-1) > 0, то обра-
обращаются в нуль интегралы вдоль полуокруж-
полуокружностей бесконечпо большого радиуса.
Таким образом, мы получаем при Re (n —
— wi + l)>0 и Re(n+wi + l)>0 следующую
формулу:
-"*' Ч(п) „„н v
г и А
4,: sin(n-m)n
X
оо
__е-пя»2 COS »1С
где под знаками интегралов начальное значе-
Ч е р т. 24. ние arg ^- рапп0 его начальному значению в
точке .4; arg (t ¦+ 1) в точке Л равен —Bт: — ?)>
где 7 — угол, образованный прямой, соединяющей —1 ж А, с положитель-
положительным направлением оси (i.
Из равенства A7) получаем
Fn W-4*sin(ii-m)* П(я-я») 3 ( ~' ( W '
где в точке Л arg (Z — 1) —7; следовательно,
-2rrei
откуда
t-, i-)
ХЙ.
4л sin (га — m)iz Ц(п—т) '
Выбирая путь интегрирования так, как показано на черт. 25, ¦ пред-
" ' -т + \)>0, Re (п —те-)-1) > 0, получаем
р у
полагая, что Re
= e2(n-m)«i С X dt - e("-
- \ Xdt.

171]
§ 25.. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Q™ (li) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
249
После несложных преобразований находим:
-nut _ , ., ,
4it П (п—т)
Xdt
Подставляя вместо функции Q™n-i ((*¦) ее выражение через
Р™(р), даваемое формулой C1), имеем
Qn ((a) sin (п 4- те) я — i: cos n« em7ti Pjf (jx) =
* Ш*Ц2«+'
2i П (га —m)
Xdt
\ .
Подставляя в это равенство значение
(р), получим формулу
х ^ {t^-
справедливую при Re (n+ т-{-1) > 0, Re (n —
— те4-1) > 0. В силу первого из этих уело- Черт. 25.
вий верхний предел интегрирования в по-
полученной формуле можно считать стремящимся к бесконечности в направле-
направлении действительной оси или в направлении прямой, соединяющей точки циг.
Если t принимает значение, изображаемое точкой Е (см. черт. 24), то
в полученной формуле arg(/ — 1) = arg (jx — 1), a arg(Z + l) на 2« меньше, чем
arg ([J. 4-1). Поэтому, если мы хотим, чтобы arg (?2—1) равнялся arg (ji,2—1), ре-
результат следует умножить на e2n7ti. С другой стороны, t — p удовлетворяет
тем же условиям в точке А, и если мы хотим брать ийтеграл вдоль прямой,
соединяющей точки рир+ J/^2— 1, то arg (t — ja) будет на - меньше, чем
arg]/(x2—1; следовательно, для того чтобы в интеграле можно было счи-
считать, что arg(/ — [а) =_• arg "|/ jx2 — 1, мы должны умножить все выражение
на e-("-mOti учтя все сказанное и положив t = p-\-f
действительное число, получим следующую формулу:
— I eu, где и —
ch mu
Г1(я_т)
-du;.
A17)
здесь Re (n 4-те 4-1) > 0 и Re (n — те-)-1) > 0.
Если и = 0, то в формуле A17) arg (ji, -)-1/ (х2 — 1 сЬм) =
Эта формула представляет собой обобщение формулы, полученной Гейне *)
для целых те и п и п — те4-1>0.
171. В формуле B0)
Л
Kugelfunktionen, т. I, стр. 223.

250 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [172
справедливой при Re(« + l)>0, положим
тогда
1 -«»= 2 j/7^1 е" {(х -1/~ [ТТЛ ch и],
и мы получим формулу
A18)
где Re (n -f- 1) > 0.
В случае т = 0 формула A17) принимает вид
*1 " 2
1— 1 ch uf1
где Re(n + l)>0 и — тс <
Если [х =: cos 0-|-г; • 0 или [i = cosQ — i- 0, то
со
du
(cos 8 ± «sin 8 ch m)»+1 '
о
и, следовательно, в силу E7)
со со
0 , „, _ 1 Г С du С du 
4MCOS0)—  I } (cos 6 + i sin 6 ch m)«+1 + } (cos 0—i sin 6 chw)"*1 J "
] ( ) ^
0 о
Аналогично, пользуясь E6), получаем
00 OO
С du
*i \ (cos6 — isine ch«)ntl~ "=Pn(cos0).
) (cos 8 + i sin 0 ch u)n
о b
172. Рассмотрим прямоугольник с вершинами в точках и=—к,
м=+А, и=—& + Д, u = k + ik, где X—положительное действительное
число, не превосходящее г., а Л неограниченно возрастает. Предполагая,
что этот прямоугольник не содержит пулей функции (х+к [*2 — lchu,
мы можем, очевидно, заменить интеграл вдоль (— к, к) интегралом вдоль
( —fc + Л, к + ik). Так как интегралы вдоль двух других сторон прямо-
прямоугольника стремятся к пулю ири к—*¦<», то из A19) получаем
dU ^> A20)
где Re(n + 1) > 0.
Чтобы найти те точки (м0, Хо), для которых
положим
где х лежит в интервале (— тс, тс); имеем: pcosx= cliMoCosX,,, p sin^^
= shM0sinX0. Легко видеть, что если р и х заданы, то эти равенства опре-

172] § 25. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ <Э™Ы В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 251
деляют положительное и отрицательное значения и0; тогда
Если 1 принадлежит интервалу @, тс), то и Хо принадлежит тому же
интервалу, а если ^ принадлежит интервалу (— я, 0), то и Хо принадлежит
этому же интервалу. Мы можем рассматривать точки (и0, Хо), и (— и0, Хо),
где и0 положительно, а Хо лежит в интервале @, тс).
В случае 0 <; X < Хо формула A20) справедлива. Если X > Хо, то
du С du
так как внутри полосы, ограниченной горизонтальными прямыми, соответ-
соответствующими X = тс и X, равному некоторому значению > Хо, нет ни одного
1
пуля функции ji -f- ([i2 — 1 J ch (и -f- ik).
Чтобы вычислить интеграл, стоящий справа, заметим, что если и0 > 0,
то
9 0
С du С du
—1)" ch и}"*1 -°° {A+(|а2—I)8 ch
действительно, сумма интегралов, взятых вдоль трех прямолинейных oi-
резков —оо<и<0, Х = 0; и —О, 0<ХО; 0>и > — оо, X = ir, равна нулю,-
так как в полуполосе с этими сторонами подинтегральное выражение не
обращается в нуль.
Если Re (ц.)> О, то стоящий справа интеграл равен —i*Pn (н-)> а пРи
Re ([).) < 0 он равен
где верхний знак берется при Im (|i) > 0 и нижний — при Im {\х) < 0.
Аналогично, если и0 < 0, то
оо оо
Г du С du
}П+1
¦к
dk
правая часть этого выражения равна гкРп (р.) при Re ([i) > 0, а при
Re (р.) < 0 она равна
sin
где верхний знак берется при Im (\х) > 0, а нижний — при Im (\х) < 0.
Так как оба интеграла, от 0 до оо и от — оо до 0, равны между
собой, мы получаем, что если X > Хо, то при Re ([).)> О выражение
Оо ОО
du \ С du
2 J I
{ja —fca —lKchi*}n+1

252 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [173
равно — inPn (н-); когда и0 > 0, и равно inPn (р), когда и0 < 0; при Re (p) < О
оно равно
когда и0 > 0 и равно
*« { ^п М - ~ eT7l7ti Sin И* <?п (V) }
когда и0 < 0.
Таким образом, если X > Хо, то при Re(ji)>0
!— IJ ch (м + Л)}"*1
где верхний знак берется при и0 > 0, а нижний — при и0 < 0. Если Re ((г) < О,
то рассматриваемый интеграл равен
<?„ О*) ± *« | Рп (н.) - -^ e±"TCi sin итс (?„ (t
где перед скобкой верхний знак берется при и0 > 0 и нижний — при и0 < О,
а в показателе верхний знак соответствует 1т(ц.) > 0, а нижний — Im-(fj>) < 0.
Если [). действительно и заключено между 0 и 1,
и и0 > 0.
5С = 7Г
Таким образом, при X < ~ имеем
ОО
—со
1С
где Re(ra + l)>0; при X > — полу
получаем
t73. Воспользовавшись для преобразования формулы A17) найденным
Уипплом соотношением (92) между функциями Р и Q, получим
1 «У П (То + Л) (sh а)~1Р~П~\ (cth a) = -Ш^Ц С
2 о
где Re(« + m+l) > 0, Re (и — m + l)>0.
Заменив -m--^- нал, -в-у на m и sha на cschijj, получим
+ -о )<f
0 (ch

174]
§ 26. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОГО ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
253
или, заменив т па — т,
1
где Re(m —и) > 0, Ве(т
В случае т = 0 получаем
t-n-1)'
>0.
»
' .1
?. A21)
где Re (я) заключено между 0 и — 1.
A22)
§ 26. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОГО ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
174. Пусть пит таковы, что п — тп целое действительное число, по-
положительное или отрицательное, а в остальном произвольны. В этом слу-
случае входящий в выражение
А
интеграл, взятый по замкпутому кон-
контуру, охватывающему три особых точ-
точки 1, — 1 и (а, удовлетворяет уравнению
B), так как после обхода по замкнутому Черт. 26.
пути подиптегральное выражение воз-
возвращается к своему начальному значению. Примем за путь интегрирова-
интегрирования окружность с центром в точке (а; если мы положим, как в п. 166,
t — ]x-\- l^p2— I • е'^-'1')™, то получим, что для того, чтобы точки 1 и —1
лежали внутри данного круга, должно быть и >-» In
ваемый интеграл примет вид
2я
I* — *
а рассматри-
^ \
— 1 cos(® — (
Этот интеграл был вычислен в п. 166 при и<-2-
-1
для целых
действительных m и произвольных и; мы вычислим сейчас этот интеграл
для рассматриваемого здесь случая.
Выражение (*) обозначим —.1(п, ш). Обозначим, далее, L, М, N
1 i *"
интегралы от ^-(t*—i)n (t — (j.)-"--1 (jj.2—1) , взятые вдоль замкнутых
контуров, выходящих из точки А и охватывающих точки —1, 1 и|» соот-
соответственно (черт. 26). При этом полагаем, что в точке A arg(t — 1) = <р
и arg(t-\-1) --<р', где <р и <р'— углы (между —тс и тс), образованные с поло-
положительным направлением оси t отрезками А, 1 и А, — 1 соответственно.
Тогда, вспоминая, что п — m целое, получаем
1^ (ц+, 1+, ц-, 1-)
(I -f- e2fl7ti)}
= N + ifе-4эт71{ — /Ve2" — Ж = A — е2этто{) {УУ -f- ife

254 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [174
и, вспоминая, что в выражении, определяющем Q™ ([).), начальное значение
arg (t + 1) в точке А на 2тс меньше, чем в данном случае, находим
1 (-1+.1-)
Мы имеем
откуда
1 (-1+, 1-)
-т л
или
g-rmi. 2i sin пк I (n, m) =
Таким образом,
— ! cos (? — Ф ± «0Г e-^
|l} , A23)
1 ,
где n — m — целое действительное число и и > -к ш
U. 1
Если числа т и п оба целые, то
о
. A24)
Выражение, стоящее справа, обращается в нуль, когда п и т оба целые
положительные и п < т, так как в этом случае PJT (н-) = 0.
Заменим теперь в формуле A23) т на — т, тогда справа получим
_пм_
если сюда вместо Р~т (р.) и Qn™ (н-) подставить их выражения через
P™([i.) и (?JT(h-)> даваемые формулами C3) и, B1), и учесть что п-\-т
целое положительное, то получим
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
2л
S \ ^ + ^2-1со5(ср-ф±ш)}«еН<Р-Ф)^«с/ср = 1Т|Ш_Р11([.), A25)
о
справедливую при всех п и т, таких, что п-\-т — целое. Если т и и целые
положительные и т > и, то PJ? ([*.) = О и интеграл A25) обращается в нуль.
При этом предполагается, что и > -к- In

175, 176| § 27. ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛ ДИРИХЛЕ И МЕЛЕРА ДЛЯ Р™ (cos 9) 255
271 Л
175. Заменив в формуле A23) п на —п—1, получим
g-tni (<р-ф)±яш
2^1 cos (<p— <
}»+1 *~
где тп + и — целое действительное число.
Подставив вместо функции Q™n-i (н-) <?е выражение через Р™ (р
^™ ([).), получим после подстановки, что коэффициент при РТ (\>.) равен
2 „„,• •
е
, 1
j '
-4гТ Т\ { 1 ~е ЙШ И7Г -=7 ;
П (w — п—1) I 7t sin (n—т)я
легко видеть, что он равен нулю, если тп-\-п целое число. Коэффициент
при $T([J.) равен
?у\ - « sin ш ;!.
П (»»—п— 1) те sin (n — m) 7t
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
~ \ 7J=-. (ftp = Ц(" т) i. e«i«i Sin (и + w) тг gy (а);
ее правая часть обращается в нуль при всех целых значениях п + ш,
за исключением того случая, когда п — m целое отрицательное число, так
как в этом последнем случае П (п — тп) обращается в бесконечность.
Если m и п целые и п < тп, то заменим П (п — тп) равным ему выра-
7CCSC (ТП — It) 7C
жением ¦-—-; произведение
11 ("* " — 1)
esc (тп — ге)тс sin (re + m)%
стремится к единице, когда тп стремится к целому значению. Мы получаем
следующую формулу:
HIV
i- J
0
где и > тг In
2(
П(я»-»-
, а тп и и целые и тп > и; при тп<и полученное выра-
выраI*—1
жение обращается в нуль.
Формулы A24), A26) и A36) совпадают с результатами, полученными
Гейне1); более общие формулы A23) и A25) у Гейне отсутствуют.
§ 27. ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛ ДИРИХЛЕ И МЕЛЕРА ДЛЯ Р™ (cos 0)
176. В формуле (83) п. 155
s in
положим [1, = cos 6 -f- i-0; тогда отрезок, соединяющий точки z и — на
плоскости h, перпендикулярен действительной оси, и путь интегрирования
х) Kugelfunktionen, т. I, стр. 211.

256
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[176
можно считать состоящим из следующих частей: дуги А А' едипичного
круга, окружности с центром Р' и радиусом Р'А', дуги А'А и, наконец,
окружности с центром Р, т. е. —, проходящей через А и обходящей Р
в отрицательном направлении. Независимо от того, будет ли 0 заключено
между 0 и| (черт. 27,а) или между -^ и я (черт. 27,6), точка О лежит
слева от пути интегрирования.
Если мы предположим, что Re ( —.— mj > 0, то интегралы по окруж-
окружностям будут стремиться к нулю при А —» Р и А' —> Р'. Так как
P™(cos6)=e2 ^"(cosG + i-O),
то оставшаяся часть интеграла равна
т\(т к\ 1
= ГП7Ч о 11 V "* ~п ) — П№Л
5-
1—2 cos в)
-и
В случае 27, а начальное зпачепие arg [A — hz) Г 1 j] в точке
равно /_ АР'О —/_ АРО, т. е. —6; следовательно, значение
а
Черт. 27.
g( kr1 — 2cosO) в точке А стремится к пулю при А—>Р. То же самое
верно и в случае 27,6.
Так как
1 _е-
то в пределе получаем
'¦ cos тъ и
cos
(Л+т)'
B cos tp—2 cos 6)
где Re Г-|- — m^) > 0 и h

177] § 27. ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛ ДИРИХЛЕ И МИЛКРА ДЛЯ Р™ (cos 9) 257
Заменив т на —т, получим
О ill
2^—i df, A28)
где Refm+-2j>0, а и произвольно.
Так как
p-m(cos0) = -§fe^j- f cosmirP™(cos 0)~sinлис?™(cos6) 1 ,
то мы имеем
j cos mic P™ (cos 6) — — sin m~ Q™ (cos 6) 1 =
2—И . _„ I cos("+4)
sm-m6 ^ Ь ?Z_—d?| A29)
0 B cos 9—2 cos 0J m
где Re(m+-2"J>0, a n произвольно.
В том частном случае, когда т — 0, получается мелеровская форма
интегрального представления Дирихле для Pn(cos6):
COSi П+-7Г
A30)
0 B cos <f—2 cos 8J
п здесь может быть любым.
Если т целое действительное число, то для любых значений п
П ( —)П
Л / TYsin-m°\ ^ i d?. A31)
177. Заменив в формулах A27) и A29) 6 на is — 6, <р на ъ — <р и вос-
воспользовавшись формулами F2) и F3), получим
n (cos 6) cos (n + т) я — A Q™ (cos 6) sin (n + т) is
1Л ,
nm+1 ^„то ." COS ( П + -»- J (<p — 1С)
¦ —? T^ 7 г>-\ rdb \16A'
V 2 J \ 2 У e B cos 6—2 cos cp) 2
где ReT-2— mj >0 и п — любое;
i Pn (cos б) cos л« - — QZ (cos 6) siu nn } =
coa
где Rerm + -2 J >0 и и —любое.
17 E. В. Гобсон

258
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[178
При т = 0 получаем
2
Pn (cos 6) cos л* — -=-(?„ (cos 6) sin пж = ^ \
— d<?. A34)
6 BcosO—2cos(pJ
При целых п эта формула сводится к
sin ( » + -
A35)
9 B cos 8—2 cos <pJ
т. е. ко второй формуле Мелера для Pn(cos0).
178. Пусть теперь Re (n-\-m-\-i) > 0 и Re(y~ m J > 0. Путь инте-
интегрирования, соединяющий точки z и — , можно считать состоящим из дуги
А'
B'L
By
А
i
Черт. 28.
1
1 .
единичной окружности, соединяющей точки — и — 1, прямолинейного
отрезка, идущего от —1 и оканчивающегося в окрестности начала коорди-
координат, малой окружности вокруг начала, отрезка, идущего в точку —1, и,
наконец, дуги окружности, идущей в точку z (черт. 28). Интеграл по малой
окружности с центром в О в пределе обращается в нуль.
1 1
В точке А, близкой к — и лежащей па отрезке, соединяющем — ъ. z,
arg(l — 2\>.h-\-№) равен нулю; в точке Е, близкой к — и лежащей на дуге
единичной окружности, он равен it—0; в точке В он равен нулю. Если
на дуге ЕВ положить /г-=е~*<?, то ат-g A — 2(л/г + к2) = т. — <р, где у меняется
от 0 в точке .4 до тс в точке В. Вдоль второго участка пути интегриро-
интегрирования положим h = е~ы е~и, где и возрастает от 0 до оо, aarg (I — 2h\>.+h2) = 0.
Для третьей части пути полагаем h = ei'Ke-u, где и меняется от с» до 0;
при этом arg A — 2/г(А + ^г) = 0- Вдоль последней части пути интегрирования
полагаем h— е*% где <р меняется от « до б.
Таким образом, получаем
IJ™ (cos 6) = <
% (cos в + ? • 0) =

178] § 28. ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛ ДИРИХЛЕ И МЕЛЕРА ДЛЯ Р™ (cos 9) 259
2*n+l sinmfl {
sinm0
z B cos 8— 2 cos?)
__ е2я (и+m) t\ V J (— l)e '___
0 e 2
e
Г ie(«+m+l)<pi
+ \
Г ie(«+m+l)<pi -.
\ 7—n rd(? ¦
n V 2У Bв+2Ь) 2
e V 2У Bсозв+2сЬм) 2
Эта формула приводится к следующему виду:
Г _ Г
) *
П С-Т) П (-"-I"
00 —(«+2)u
rdu], A36)
) 2
где
+ m + l)>0, ReD-m)>0.
При m = 0 получаем
sin
B cos6—2coscpJ
A37)
где Re(ra + l)>0; это—вторая формула Мелера для Pn(cosS).
Если п — т целое положительное и Re ( т + у J > 0, то
o:—mAl. LV ?^ rJ-d«p. A38)
Г B cos 0-2 cos ?Г+2
Все эти формулы можно рассматривать как обобщения формул Мелера
и Дирихле.
Если условие Re (п + т-\-1) > 0 не предполагается, но
Re (т — п) > 0,
то соответствующие формулы можно получить, выбрав путь интегрирова-
интегрирования так, чтобы он не приближался к точке /г = 0, а включал бы в себя
как часть окружность бесконечно большого радиуса.
17*

260 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ A79
§ 28. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р™ (ch <|i) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
179. Если Re (•»—»г ] > 0, a jx действительно и > 1, то в выражении
л П ( »» о") -J-m 2 П+т
РЛ,\ а от V z у /„2 <\2
путь интегрирования можно считать состоящим из отрезка А А', окружности
с центром z, прямолинейного отрезка А'А и, наконец, окружности с цент-
центром —, проходящей через А (черт. 29). Если радиусы указанных окруж-
окружностей стремятся к нулю, то интегралы по этим окружностям также стре-
стремятся к нулю. Интегралы по прямолинейным отрезкам равны
rdh.
Л A —2,и.Л + Л2) 2
Пусть теперь jx действительно и больше 1, скажем, ;х = сЬф, тогда z = e*,
1
— z=e~^', соединяющий эти точки отрезок лежит на действительной оси.
А г
Черт. 29.
Начальное значение arg(l — 2pk-\-k2) в точке А в этом случае равно—те;
таким образом, полагая h = eu, получаем, что при А —> е~Ь рассматриваемый
интеграл в пределе равен
.
~ф Bch ф—
Итак,
2m+lshm<b Г ch
Д Sh *\
/»? (ch ф) = - , Д S.h * рг \ Ь ^__ du, A39)
где Re (-$ — т\ > 0 и arg B ch ф — 2 ch и) = 0. Аналогично,
, A40)
где Re(m + -yj>0 и п произвольно.
В частности,
¦ cbfn +
5 —^ ^Ч*», A41)

180] § 28. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р™(сЬф) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 261
где п произвольно. В этих формулах аргумент действительной величины
2 ch i{) — 2 ch и принимается равным нулю.
180. В предыдущем иптеграле, взятом в пределах от А до А', можно
путь интегрирования изменить так, чтобы он шел вдоль действительной
оси от А до —оо,-обходя точку О по маленькой полуокружности, потом
вдоль полуокружности, радиус которой стремится к бесконечности, и,
наконец, снова вдоль действительной оси от + оо до А', с обходом точки z
по маленькой полуокружности (черт. 30).
Если мы, наряду с условием Re (-^ — mj > 0, допустим, что
то при вычислении Р™ (ch fy) лишь интегрирование вдоль прямолинейпого
участка пути дает отличный от нуля результат. Считая, что эти условия
выполнены, напишем еи вместо \h\ и предположим, что [* > 1.
?±
-• ¦ Ц—»
0 L A A' z
z
Черт. 30.
Замечая, что arg(l — 2^h-\-h2) в точке А — начале пути интегрирова-
интегрирования — равен — -к, обращается в нуль на полупрямой от 0 до — оо и равен
— 2тс на полупрямой от оо до z, получаем
—оо
г
X
fS-r-ir^
I •» lm+r]«
Bch«—2
i
Эта формула может быть приведена к следующему виду:
2т shm ф
-т)п(—4)
Заменив /г на —и-т1, отчего значение P™(chty) не изменится, мы
получим для Р™ (ch ф) похожее выражение, которое можно иначе получить,
беря полуокружности, входящие в состав пути интегрирования, не в верх-
верхней, а в нижней полуплоскости. Сложив эти два выражения для Pn

262
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[18
мы получим формулу
р- у— р-
5
.* BсЬм—2ch^) 2
2 sin nit ch
du—
- )
IN
0 B ch м + 2 ch fy)
где Re(y-m) > 0, Re(m — и) > 0, Re(m + n + l) > 0.
При m = 0 и — 1 < Re (и) < 0 получаем формулу A22)
A42)
2 »
n (ch ф) = — — sin «it \
0
которая уже была выведена в п. 173.
Если мы умножим полученные два выражения для Р™
-(n+i) m (n+i) «i
е г и е 2
на
и ех 2' соответственно и вычтем одно из другого, то получим
-f-4Vx
 2 sin nit cos mit sh ( n + -^ ) м + 2 cos rait sin wit ch
X \
(•+t>
В случае т = 0 эта формула принимает вид
2 /- IN
„ (ch ф) = 4 ctg(»+ 4)«
A43)
BсЬм—
В том важном частном случае, когда п= —-^-{-pi, где р — действи-
действительное число, имеем
,
OO
соз рм ch pit
2
где ЯеГ^—тп\> 0.
При m =: 0 получаем
00 COS J5M
A44)

181] § 29. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р™ (ц) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 263
§ 29. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Р™ (ц) В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ПРИ НЕКОТОРЫХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
181. В п. 156 было доказано, что если т целое действительное число,
то
г
dh.
За путь интегрирования можно принять замкнутую кривую, охватываю-
охватывающую точки z и — и оставляющую точку А = 0 слева (черт. 31); при
этом предполагается, что
Re(|*)>0.
Если мы предположим,
что Re (m —¦ п) > 0, Re (п -f
+ те + 1) > 0, то путь интег-
интегрирования можно считать со-
состоящим из полуокружности
бесконечно большого радиу-
радиуса, выходящей из точки h =
= + оо, лежащей на действи-
действительной оси, полупрямой,
идущей из h = — оо к точке ^ и „ ~ ¦?<
s\ ** рТ. «51.
О, малой окружности с цент-
центром О, полупрямой, идущей
от О до — то, и, наконец, полуокружности бесконечно большого радиуса,
выходящей из точки h — — оо. Если выполнены указанные выше условия,
то отличный от нуля результат получается только при интегрировании
вдоль полупрямых. В начальной точке arg A — 2[аА+А2) = 0. Таким обра-
образом, получаем
Ле
X \ г { г du>
(т+ъ)и 2те1 (т+-\ тп+
т. е.
! уЦ^ а«1 B 1 )^ i ( + )« х
П Ы
0 BA + 2 сЬи)т+2
где ReGrc—/г) > 0, Re (и + »г +1) > 0, Re([i) > 0 и arg (р + ch м) = 0, когда
ja действительно и > 1.

264 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [182
В случае в = Ои — 1 < Re (n) < 0 имеем
+ ^Ли
^ du- A45)
§ 30. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Q™ (cos 6)
182. При Re(n + m+\) > 0, Ref~~m^>0 из формулы G9) полу-
получаем
Qn (cos6 + j.0) =
dh,
где 0 < 0 < |-.
Путь интегрирования можно считать идущим вдоль действительной
оси от 0 до 1, а затем от 1 до е~*9 по дуге единичной окружности. Вдоль
прямолинейного участка arg A — 2\>.h + h2) — 0, а вдоль дуги окружности
arg(l — 2[хй + й2) = arg А. Разбив интеграл па две части, в первой из них
положим h = e~u, а во второй h = e~1^; таким образом, получим
2;
0 BсЬм-2со8в)т+2 ° B cos 9-2cos б) 2
Далее, мы можем взять путь интегрирования от 0 до — оо вдоль
действительной оси, затем вдоль окружности бесконечно большого радиуса,
идущей в точку + оо, потом от + оо до 1 опять вдоль действительной
оси, и, наконец, от 1 до e~i9 по дуге единичной окружности. Если мы
предположим, что
Re (m — п) > О,
то интеграл по полуокружности бесконечного радиуса обратится в нуль.
Положим в интегралах по первому, второму и третьему участкам h =
— e~i7Zeu, h = eu и к = е~^ соответственно. Получим
з . Г)
% (cos б + * • 0) = е2 м' 2т —Д—Цг— sinm 6 X
п D)
frt+m+1OCi (+!) еA)
X \ r-du-\-—j- -du-
L J m+i- J (m+4\2«i m+i
Se) 2 ° eV 2/ Bchit—2cos6) 2
—oo
9
г
m+i
B COS 9-2 COS 6) 2

182] § 30. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Q™(cos9> 265
Обе полученные формулы верны, когда —^ < Re (т) < -тг и
Re(« + TO + l)>0, Re(m — и) > 0.
Умножив первое из найденных выражений на е~т™, второе на е"*
и сложив их, получим
* Q% (cos б + i-O) = е2 -2
П(-т-|
chfra + 4WM ? chfn + 4V*« -,
X j ^ ^ ^ j в(«-»)«» \ ^ ^ г}'A46)
0 BсЬм— 2 cos в) 2 в BchM + 2cos6) 2
где Re(/n — и) > 0, Re (т + п + 1) > 0 и — у < Re (m) <-i- •
При »г = 0 получаем
+ 4")м » chfra + 4-4)"
w — е-««* \ ^ ^ rdu, A47)
0 BсЬм—2 cos вJ ° (
где 0<б<-^-; при этом предполагается, что Re (и) заключено между 0
и —1. Следует напомнить, что
В случае п= —^--\-pi, где р действительно, имеем
, ° BсЬм—2 cos вJ
0 BchM + 2cos6J
1 . 1
Заменив п на — n— 1, т. е. —w + pi на —-~- — pi, получим
CO
Q i . (cos 6) — -y P i . (cos 8) = \ p du —
2 й ° B ch u—2 cos ОI
оо
5Р^ц. A48)
0 BchM + 2cos6J
Так как
j
0 B ch и + 2 cos 6J
то
oo
/> (cos6)
! (cos)
—s+P*
0
(cos9),
4>

266 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [183
откуда
оо оо
г\ / о\ С cos Vй du -r- . , Г
Q_i±pi (cos 9) = ) Г Т i sh р* \
С0А?"
2 ° BсЬм—2 cos ОJ ° BchM + 2cosOJ
Таким образом,
BchM-2cos8J
A49)
§ 31. ФОРМУЛА ДЛЯ Q~(ch<!>) ПРИ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
183. Считая, что [i действительно и >1, положим |i = ch<j>. Тогда,,
в предположении, что
(^ 0,
получаем из формулы G9)
?? (ch ф) = e««i 2™ / 2(л sh
™ .1. V
Пусть Л —е~и; тогда, считая, что интеграл берется вдоль действитель-
действительной оси, имеем
г. A50)
Если мы будем считать, что путь интегрирования идет от 0 до — оо
вдоль действительной оси (черт. 32), затем цо полуокружности бесконеч-
Черт. 32.
ного радиуса от — оо до -(- оо и, наконец, по прямой от со до — , обходя
точку z по бесконечно малой полуокружности, то, в предположении
Re (т — и) > 0, получим
-.
"Ч-i-
2
Г <Л 2; dM I

184] § 32. ФОРМУЛА ДЛЯ Q™ (ch ф) ПРИ ПОЛУЦЕЛЫХ п 267
Аналогично, беря соответствующие полуокружности не в нижней,
а в верхней полуплоскости, получим
П ( - у) " (n+m+1) «{/"+§) U
" e(n+m+1) «{/
\ -i '- rdu
I
^
Умножая первое выражение на e<-n+m+l'>'ni, а второе на e~<-n+m+l)'Ki
и складывая их, получаем
^ (ch ф) sin (и + те)« = emiti • 2m-—^—=-f—¦ shm ф х
пD)
X|sm(/i-m)ir\ ^ 2f р + гсозитг^ 1 iZ г , A51)
ф 2 ° Bch<|>-2chM) 2
где Re (m) < -|-, Re (m + п + 1) > 0, Re (m — и) > О.
При лг = О имеем
оо (п+тА** Ф rl
-\ LI J,. р ^^ \ ¦- " О (
— du, A52)
ф BсЬм — 2 ch <|>J ° BсЬф—2c1imJ
где 0<Re(n) < 1.
§ 32. ФОРМУЛА ДЛЯ Q% (ch ф) ПРИ ПОЛУЦЕЛЫХ от
184. Рассмотрим формулу G6) для Q™ (р)', если мы обозначим через
Р и Q интегралы, взятые по замкнутым контурам, охватывающим точки
— и 0 соответственно, а начальные значения аргументов в обоих случаях
выберем так же, как и в формуле G6) для (??*([*), то получим
G+.o+.i-.-) , „
A+.0+)

268 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [184
При действительном полуцелом п получаем
= A _ e2(n+m)i«) С
дп+п»
-4
Таким образом, в этом случае выражение G6) можпо заменить выра-
выражением
П ( тп—^ ) П ( —$ ) *
IJ X
&¦¦<>+)
Х \ _.±dh-
2
Считая, что |i действительно и больше 1, положим |х = спф; предпо-
предполагая, что Re (m — п) ^> 0, Re ( -тг — m J > 0, примем за путь интегрирования
v контур, состоящий из окружно-
окружности бесконечно большого радиуса,
луча, идущего от со до z, малой
окружности вокруг точки z и
луча, идущего от z до со (черт. 33).
е р т. 66. ДрИ указанных выше условиях
интегралы по окружностям равны
нулю. В со начальные значения arg (I — 2ph-\-h2) и arg А равны нулю;
после обхода по окружности бесконечного радиуса arg A — 2[iA + h2) ста-
становится равным 4тс, a arg Л становится равным 2ъ. Таким образом по-
получаем формулу
??* (ch ф) = «*»«* • 2т —Ь -4^—Ь—tL Sh"» ф
m (n+m+l)u 2яг(п-!-тп+1)
? (п+тп+1)и
J 4ni(m+l) (m+I)«
* 2 2'
BсЬм—2сЬф) 2
ф е ч 2V 2/ BchM-2ch<W
которую можно привести к следующему виду:
i
фBсЬи—2сЬф)"
ф B chit— 2 ch^)"
A53)

185] § 33. РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В РЯДЫ 269
0ЛИ
со (
П (-¦»-?) П (-4
где n — действительное полуцелое, Re (m — и) > 0, Re f-n—m j > 0.
Положив лг = 0, получим
! Г
* Bchw—2
где /г < 0. Так как
(см. п. 131), то, заменив п на —и — 1, получим
A54)
-|\ f ^rrf«-
* Bchit — 2chi)"+2
где п — полуцелое положительное число.
§ 33. РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В РЯДЫ
185. Результаты, полученные в п. 166, можно было бы предвидеть
заранее, заметив, что выражение (z-\-ах-{-фу)п удовлетворяет уравнепию
Лапласа ?2F = 0 при любых постоянных s и р, таких, что а2 -(- р2 -(- 1 =•- 0.
Это верно и для комплексных значений п, причем х, у, z также могут
быть комплексными. Пусть а = — i cos (Y '-f iu), |3 — — i sin (ф Ч- гн); так как
z = r[i, x = ir ([i2 — IJcos<p; у = ir ([a2— IJsin 9,
то
где ip, f и я действительны. Поэтому естественно ожидать, что, если
{[а + ([a2 — lJcos(cp — Y ± гм)}" можно разложить по косинусам и синусам
дуг, кратных <р» т- е- представить в виде *]>} (ит cos my-\-vm sin mf), то
коэффициенты ит и vm будут линейными комбинациями функций Р™ ([а)
и ^JT([a). Поскольку мнимую часть «всегда можно включить в ф, уеловие,
что и действительно, не играет существенной роли.
Предположим, что Re ([*) > 0 и пусть w = ([а2 —1J е±(ч>-Ф±»«), тогда
{[а + ([I* -1J Cos(^>—"ф ± ш))п= Bгг»)~п ([а + w— I)"
Если м < In
, то из выражений ([а + и/— 1)", ([а + и>+1)" одно можно
разложить по положительным, а другое по отрицательным степеням го>
1
2
Если же и > In ^Ц
, то указанные выражения можно разложить или

270
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1185
оба по положительным степеням w, или оба по отрицательным степеням,
в зависимости от знака члена ± ш. Все эти ряды абсолютно сходятся.
Случай 1. Пусть и < In
¦JL—1
, Re ([а) > 0. Имеем
взяв в +_ ш верхний знак, т. е. положив w = (^г — iJ e^f-^
получим
w
.1
<1
для всех и, лежащих в интервале @, и0), где м0 фиксировано и меньше
чем In
\ Аналогичцо,
W
1 — 1
11+1
eU(> < 1. Если в +_ гм берется
нижний знак, то это приводит к таким же самым рассмотрениям; поэтому
мы ограничимся тем случаем, когда в +_ ш выбирается верхний знак.
Пусть по-\- ах-\- а2 + ... биномиальное разложение для С 1+- ) ,
а Ьо + 6Х + Ь% + • • • такое же разложение для ( 1 Н—t-J ) ', эти ряды абсо-
абсолютно сходятся при каждом значении <р — ф и при каждом и, принадле-
принадлежащем интервалу @, м0).
Пусть, далее, а0 + ах + а2 + ... разложение для ( 1 —
11+1
и ро ~Ь Pi + Ра + • • • соответствующее разложение для ( 1 — ^—т J
v-N
псе числа <х
г,
г, рг
| 6Г | < j3r для всех г. Произведение
действительны и положительны. Мы имеем | ar | < аг,
П
двух абсолютно сходящихся рядов а0 + ai + а2 + •
представляет собой сходящийся ряд; так как
• и ^о + ^i +
j aobr
... -I-arb0 \
где справа стоит г-й член произведения двух сходящихся рядов с поло-
положительными членами, то он сходится абсолютно и его сумма равна
Ряд a0&o
••• можно записать в виде двойного ряда
где члены сгруппированы по положительным (или отрицательным) сте-
степеням w или по косинусам и синусам дуг, кратных <р —ф + гв.
Мы имеем

185] § 33. РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В РЯДЫ 271
Известно, что члены ряда <хо(Зо + (а,,^ + а^п) + ... можно переставить
любым образом, не нарушая его сходимости и не меняя его суммы. Поэтому
ряд с общим членом
сходится.
Воспользовавшись написанными выше неравенствами и критерием
Вейерштрасса, получаем, что ряд с общим членом
сходится равномерно для всех значений ср — ф и для всех и, принадлежащих
интервалу @, и0), где и0 < In
2
и его сумма равна
i
Таким образом мы доказали, что {{* -j- (\у* — IJ cos (? — ф ± ш)}п можно
со
представить как сумму ряда 2 (^mCosmcp-f-Fmsinmcp), равномерно схо-
дящегося для всех действительных значений ср и ф и для всех и, принадле-
i
жащих интервалу @, и0), где щ < In
В силу A06) имеем
Um = — V (и, _|_ (и,2 — 1J cos (<р — ф ± iu))n
о
_.2П(»)
при m # 0 и С/"о = Рп (j»,). Аналогично,
Таким образом, получаем следующий результат:
{? + (р.* - IJ COS (ср - ф ± »!»)}» =
причем Re (;*) > 0, п произвольно, а ряд справа сходится равномерно для
всех ср и ф и для всех и в промежутке 0<м-<гг0 < In ^—-j .
Если я целое положительное, то ряд сводится к конечной сумме
членов, и условие на и отпадает.
Заменяя п на — п— 1 И вспоминая, что Р" (f*) = ^"n-i (^)
и
П( ге — 1) _/ 4\т Л (ге ~т)

272 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [185
мы видим, что ряд
со
как и выше, равномерно сходится к
Легко получить аналогичный результат и при Re (р) < 0. При этом
i i
— lJcos(<p ± ia)}n = e±nwi { —1». + [( — рJ — l]2cos(cp ± iu)}n,
где в e±niti верхний знак берется при 1ш(^)>0, а нижний — при
1пф)<0.
Так как { — ^ + [(— ^J — I]2 cos (cp ± iu))n представляется рядом
со
- П (и) Dm ^__^ cos m (<р ± ;м)
ZJ П (л+м)
т=1
и так как
где в показателе степени верхний знак берется при Im(^)<0, а нижний
при Im (p) > 0, то ряд, представляющий
где Re (^) < 0, имеет вид
+ 2 ^ [^T(rt—
где знак в показателе степени определяется по указанному выше правилу.
Как и в предыдущем случае, ряд сходится равномерно.
Случай 2. и>1п
> 0.
В этом случае в разложении функции {^ + (^2 — lJcos(cp — ф ± ^)}п
все члены содержат или только положительные, или только отрицательные
степени го. Если мы положим
1
то получим выражение вида
Bм?)-" (^г -1)" [ 1 + п (~ff е4<?-*+™> + ... ] X

185]
33. РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В РЯДЫ
273
каждый из двух входящих сюда рядов сходится абсолютно и равномерно
для всех <р> Ф и Для всех и > щ, где и0 — фиксированное число, большее,
¦ 1 ~2
чем In
A-1
Положив w = ([х2— 1Jе»(Ф-Ф-ш) ( мы получим выражение вида
-h и'2" Г 1 + п Q—jY в-*<»-*-*«> + ¦ • • ] X
х
Таким образом,
{(* +((*»- IJ COS (?-
разлагается в ряд вида 2wmет{^~ф+1и\ где т= —п, — n-f 1, — я + 2, ..., и
{[х + ([J.2 — IJ cos (<р — ф — ш)}п
разлагается в ряд вида 2ггте~""('р~ф~*и)> ГДе т = п, п —1, п—2, ....
Как и в предыдущем случае, можно показать, что соответствующие
ряды равномерно сходятся для всех ср и ф и для всех и, таких, что
и > Щ > In
(Х.-1
Так как
( е±г(т'-т)(?
где т' — т — целое число, то из A23) следует, что
1 г
о
C0S (Т - Ф ± i>K)Г
Таким образом, мы получаем следующую формулу:
-l)Tcos(cp — ф ±-ш))» =
-(tt) "*" ^e~nni sin n" ^
где т= —п, — га*(-1, — п + 2, ... или т — п, п — 1, я — 2, ... в соответ-
соответствии с тем, берется ли в показателе степени верхний или нижний знак.
Этот ряд сходится равномерно при всех значениях у и ф и при всех и,
удовлетворяющих условию
1
, и.4-1 ~2~
и > и0 > In
При этом предполагается, что Re ((*) > 0.
18 Е. В. Гобсон

274 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [184
Если га—целое положительное число, то ряд сводится к конечной сумме,
-и мы получаем тот же результат, что- и в случае 1; это видпо из срав-
сравнения членов, содержащих множители
e±(n-r)i(ip-<t±iu) е±(п-2п+гI(?-ф±ш)
Заменив га на — га —1, получим при Re (;х) > О
х2-1J cos («p — ф ± ?»)}-"-* -=
- \е™sin
где m = /i+l, га + 2, ...
В том частном случае, когда га целое положительное, полученная фор-
формула сводится к формуле
1г— 1)а cos(cp — ф — iu)}-n-l = jLl П(п)П(т-п-\)*п "*>"
где ?и = га + 1, га + 2, ...; этот результат получается с помощью формулы A26).
Случай целых значений га, положительных и отрицательных, был ис-
исследован Гейне.
Случай 3. Если [х = it—чисто мнимая величина, то
случае и > 0; при этом ряды
U.+
I»—1
= 1, И В ЭТОМ
1 -f га ^^—
сходятся для всех положительных значений и. Таким образом, получаем,
ЧТО При И>=([Х2— l)Tei(?-*-iu)
{[х + (fx2 — 1) 2 cos (се - ф 4- iu))n = S »m emi(f-*+iu);
ряд справа равномерно сходится при всех ср и ф и при всех и, таких, что
и>и0, где ио>О.
Отсюда видно, что формула A55) верна при и > 0; ряд сходится равно-
равномерно при всех и > и0 > 0 и всех ср и ф.
При целом положительном га получаем
где т = п+1, га+2, ...; при этом пцйднолагается, что v=Im([x)> 0.
Изменив знак f - ф на противоположный, получим
{[х + ([х2- 1)^cos («р-ф + ш);-«-» - 2 Щп)щГ-п^)^» ^ eif"<'-*+iu>-

188, 1ST]
§34. ДРУГИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ Р™ Ю
275
§ 34. ДРУГИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ Р™ (|i) И Q™ (|i)
186. Подстановка ;х2=[х' приводит уравнение B) к виду
Этому дифференциальному уравнению удовлетворяет гипергеометрическая
функция F(a, Р; ?; р'), где а — -^-(т — п), $ = -$-(те + п+1), Т=-о-- Отсюда
следует, что дифференциальному уравнению B) удовлетворяет каждое из
выражений
1 1 1
и2 A —иJ (\—\>.гиJ du,
([X2 —I)
V и 2 A — и) 2
A —[Х2«)
«to,
где, как и в других случаях, интегралы берутся по некоторым замкнутым
контурам. Нам нет необходимости получать точные выражения для Р™ ([х)
и Q™ ((*) через интегралы указанных типов, так как все подобные результаты
можно получить, исходя из двух случаев, уже рассмотренных нами выше.
Существование трех типов интегралов, удовлетворяющих основному
уравнению B), равносильно доказанному Ольбрихтом утверждению, что
этому уравнению удовлетворяют три разных Р-функции Римана:
О оо 1
1—i
Р
1 1
-п- те —п -п-те
1 . 1
— уте я+ 1 —ут
О
те — -ггЧ
1(п+1) _my(n+l)
О оо 1
_1_
v2-
Мы постараемся сейчас представить Р™ (р) и
степеням
в виде рядов по
187. По формуле G6)
™ ((*) = ie<*-»)«i - 2я
дп+m
IS*

276
ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ-СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
П87
где точка z не лежит внутри того контура, по которому берется интеграл;
введя вместо h новую переменную интегрирования и по формуле
h = — A— и), получим
Am
4л sin (n-\-m) л
Nm+T
х
Предположим, что |z2 —1|>1, тогда путь интегрирования можно
выбрать так, что < 1 для всех и. Множитель
в подинтегральном выражении можно разложить в равномерно сходящийся
ряд по степеням а" и затем выполнить интегрирование почленно. Таким
образом, получим для Q™ (;х) следующее выражение:
4л sin (га + т) л
Т ([*«-!J X
r=-0 ]
@+, 1 + .0-, 1-)
> 5 •"
Вычислив входящие сюда интегралы, получим формулу
тп(-у)п(»+») 2т.п ±т
П ( « + у
X
{, -те + 4"; «+|; тзтО' A5S)
представляющую собой разложение Q™ ([х) по степеням
2(^_i)
ряд сходится для тех значений [х, для которых
i ;
; этот
(Х-(^-
2 (^-1
В случае | z2 — 1 | = 1 полученная формула остается справедливой, если
путь интегрирования можно выбрать так, чтобы вдоль всего этого пути
было выполнено условие
*— 1
< 1. Если (а действительно и заключено
между —1 и 1, то мы имеем
1 — z2 = 1 - cos 26 - i sin 26

188] § 34. ДРУГИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ P™(.v-) И Q™(p.) 277
и б по может принимать значения 0, г.. Формула A58) в этом случае верна
при единственном условии е < 0 <; т — е, где е — произвольное положительное
число.
Полученная формула теряет смысл при целом отрицательном п-\-т. Вос-
Воспользовавшись формулой C1), выражающей Р™ (ja) через Q™ (ц) и Q™n-i (p),
получим из A58), что
•)тгт I L 1
V г) f И (" + "*) sin („ + «)„ _ j»-«_ _ j T
П( „--?
По известной формуле, линейно выражающей гипергеометрическую функ-
функцию с четвертым аргументом 1 — х через гипергеометрическую функцию
с четвертым аргументом х, получаем
,1 , 1 ,3 -Z*'
откуда после некоторых преобразований имеем
' <159»
Эта формула дает для Р" ((^) представление в виде ряда по степеням
¦•-1)TJ 1]
При этом предполагается, что оба входящие в эту формулу ряда схо-
сходятся, а т-\-п не является целым отрицательным числом.
188. Пусть jj, = cos0, тогда, вспоминая, что
% (cos 6) = е*™пгР™ (cos 9 + i ¦ 0),

278 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФВРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
получаем
2тП ( —Г)П (» + т)
Рп (cos 0) = V / < ч emiei sinm б X
V ^ 2
;„ m+ V 2 ni
Be2 sin 8) 2 2e2 sin
4.
r- )\ •
Lni m JL
{2е2 sin 8) 2 2е z sin О
откуда
If / 1 Л о Я тК 1
cos \ { га + тг в - -р + -х- }-
Li 2 ; t 4 21 +
-¦ v -У BSin0)T
3jc mn
Bsin0J
| (t«-4m«)C«-4m«) ""° ) V" Т 2 ^ 4 ' 2 J + (J6Q)
B sin в)" J
Этот ряд представляет PJT (cos 0) при любых Значениях пит, если
только он сходится; для этого достаточно положить -тгтс< 6 < -|rit. Если
о о
1 „
п + у целое отрицательное число, то полученный ряд должен быть несколько
преобразован.
Найдем соответстнующее выражение для Q™(cosb). Из A58) имеем
п( 1Лтга -«^ , -. 4-™
_ -я{ от" Ч " 2;1Д( ^ } ''(m-")"i (e2 Pin 6)"
в* z Bez sin8)
_, / t i 3 — e~iB \
X f и + Т, --m + Tj-; п+-л-; —, ) =
V 2 2 2 l ni J
2e 2 sin в
/¦ in _, J_. i_ .
= emKi —| t— ; X
BSin8)
2
. 1? — 4m2 e v 2> (I2- 4m2) (З2-4тД) e v 2
2Bn + 3) 2 sin 8 " • 4 Bra + 3) Bra + 5) Bsin6J
Ряд для Q™ (cos б — i • 0) получается отсюда заменой е ' '2' * на
2 4 ; далее, воспользовавшись формулой E7), выражающей Q™ (cos 6)
через
#Г (cos 8+I.0), Q

189] § 35. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
получаем
K
3V 3ic nvr.
2 Bга + 3) _1 +
B sin 8) 2
К 5 \ „ 5ic mic
"+2-J6+T + -2-f
А 'Г 1 '
B sin вJ
Этот ряд сходится при тех же самых условиях, что и A60).
Отметим, что ряд A58) сходится, когда [i = ch I — положительное число,
большее 1, такое, что ?>J.ln2, т. е. ch?>—'—. Соответствующий ряд
A59) для Р™(ch?) при этом расходится.
§ 35. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ, ОТВЕЧАЮЩИМИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ п 1/1 m
(* fonun dfo
189. Обозначим интеграл \ —-—-—-г" символом и (п, т);»здесь
J ТП+-5-
2
2
([)
интеграл берется вдоль произвольного замкнутого контура, такого, что
подинтегральное выражение после обхода по этому контуру 1юзвращается
к своему первоначальному значению.
Мы имеем
—
"" m+4-
( 2 A-
Отсюда иолучаем
2mI
2 A- 2|jlA + A2) 2 A2А Л*) ^
, j»)—
, m) - (n + w+1) {^ (га, m) — V(n
или
Возвращаясь к формулам G6), (83) для Q™(p), Р™(\>.),.1Ш. видим, что
m
J
имеет вид cm(jia— 1JС; (га, те), а (?™ (р) имеет вид
1»-1J U(n,rr).
sill (л + m) тс

2Й0 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [190
где ст, с'т зависят только от то. Так как выражение ——; г— не изме-
sin (n-\- m) it
нится, если га •заменить на га + 1, то мы получаем следующие формулы:
A62)
(l*»-l) % = (га-то+ l)(??'+i (|х)-(га + то +
Далее, пусть V (га, то) — U ( — га — 1, то); тогда, заменяя в полученном
выше для U соотношении га на — га—1, имеем
([х2— 1) "¦ т' — — (га-j-то) V (га — 1, т.) -)- (га — то) [х V (га, то).
Частные случаи этой формулы:
то) (хР^ ((х) — (га + ш) Pn-i
A63)
- = (га — то) [х^ (;х) — (га +'
Из A62) и A63) непосредственно получаем
Bn + l)|i/»«(|i)-(n-m+l)P™+1([*)-(n + w)^_1([*) = 0J
A64)
Эти рекуррентные соотношения между функциями, отвечающими раз-
различным значениям га, справедливы при любых комплексных га и то.
В частности, справедливы следующие формулы:
A65)
Для целых действительных значений га соотношения A65) 'были най-
найдены по существу еще Гауссом и затем Бонне1). Общая форма A64)
получена Гобсоном2).
190. Как было показано в п. 115, функция U (га, то) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Так как
fU(n, т) = Bт + i) U (п, то + 1),
-r-jU (га, то) = Bто + 1) Bто + 3) U (га, то + 2),
тс отсюда следует, что
A -1*«) Bто +1) Bт + 3) U (га, то + 2) - 2 (то + 1) Bт + 1) jxtf (га, то + 1) +
) U (га, то) = 0.
Ч Journ. de Liouville, 17 A852), 252.
») Phil. Trans., 187 A896), 522.

190] § 35. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 281
Воспользовавшись формулами A62) и A63), мы имеем в качестве
частного случая полученного результата
- if
A66)
Для случая, когда тип целые, эти формулы были иолучены в п. 66.
Если ja = cos9, to, принимая во внимание равенство
и соответствующее равенство для (?™(cos9), полученные формулы можно
переписать в следующем виде:
Р™+2 (cos 9) + 2 (т +1) ctg 9 />"+* (cos 9) + (га - т) (га + m +1) PI (cos 9) = О,
Q™+2 (cos 9) + 2 (m +1) ctg 9 Q%+i (cos 9) + (n - m) (n + m + 1) (?? (cos 9) = 0.
Для случая, когда тип целые, эти формулы были получены в п. 66.
ПРИМЕРЫ
1. Показать, что
I
где Re т < 1, а л не является полуцелым отрицательным числом.
Показать также, что если л не является полуцелым отрицательным числом,
Rem < 1 и т + п — целое положительное число или нуль, то
" Wl ^ B« + 1)П(я-т) '
о
установить, что этот результат остается верен, когда пят целые положительные
числа, такие, что п > т > 0.
2. Показать, что при любом комплексном п и любом т, таком, что Rem < 1,
сумма выражения
и аналогичного выражения, получающегося отсюда заменой п на ге—1, равна
2л .
—s ?-; в частности, при т=0,
тг— «г
1 1

282 ГЛАВА V. ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ |19в
3. Показать, что при Re » < О
1 Щп + т) 1
=
2тП(я-т) 2П(«—т)Д(— n—m—i)
а если Re m < О и п + т целое положительное число или нуль, то
1— [Is ^ 2т П (п — т)'
о
Если лит оба положительны и га > т > 0, то
"^ 2т
4. Показать, что если Re m < 1, Re л > —— , то
П (— m) П (m)
sin2 rait ra2 — m2
где обозначение QJj1 ((i) имеет тот же смысл, что и у Барнса.
5. Показать, что если га целое положительное число, то
2Bra + l)
n Г B).
6. Пусть
где ф B)=^ In Г B).
l
и™ = П(га—т)П( —n—m —1) Bга+ 1) sin rait \ P™ (p) Q™ (|i) ф;
0
доказать, что при Re m < 1
1
mit cos -^mit rait cos
m2—ra2
7. Доказать, что при любом комплексном га и целом положительном т справед-
справедливо следующее обобщение формулы Родрига:
I (тп-п)
>'*J*1
где [1 не принадлежит разрезу (—со, 1). Доказать также, что при указанных значе-
значениях га и m и при — 1 < [а < 1
(\
ъ (т—п)
Примеры 1—7 были даны Барноом в его цитированной выше работе: пример 5
был указан также Харгревсом.

Глава VI
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
ЛЕЖАНДРА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Чтобы иметь возможность вычислять значения обобщенных функ-
функций Лежандра, а также присоединенных функций, в частности, при боль-
больших значениях степени или порядка, мы выведем асимптотические выра-
выражения этих функций. Кроме того, мы установим ряд теорем, в известном
смысле применимых более широко, нежели асимптотические выражения.
Они оказываются полезными при рассмотрении вопросов сходимости или
суммируемости рядов но функциям Лежандра.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Гп (cos 6) И Qn (cos в)
ПРИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМ п
191. Мы покажем, что ряды, полученные в п. 188, могут иногда
применяться для приближенного вычисления значений Рп (cos 6) и Qn (cos 6)
и в тех случаях, когда эти ряды расходятся.
Положив т = 0 в формуле G6) гл-.V, получим
dh
1 '
4 sin nit
где z = [i, +([i2 —IJ лежит вне контура интегрирования. Введем новое пе-
переменное в, положив h — — A — и):
(O + .l+.O-.l-) _1 -1
du.
В этом выражении начальные значения аргументов переменных и ¦
1—и предполагаются равными нулю в некоторой точке действительной
оси, лежащей между 0 и 1.
Если предположить, что Re(n + l)>0, то интегрирование можно про-
производить по окружностям с центрами в точках 0 и 1 и по отрезкам дей-
действительной оси в плоскости и. Заставив радиусы этих окружностей стре-
стремиться к нулю, получим
-п-- 1 1 -1
СпЫ—^—^«^A-^A + ^) 2du.
(s- z'lf О

284 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [191
Пусть [i = cos9-f- 0-z; тогда
B sin 8J
Теперь предположим, что п — действительное число, большее —1,
не обязательно целое. Пользуясь приемом, предложенным Стильтьесом1),
запишем
2-Л - Ч dv
О ! + Гг—з Sln ».
О ! + Ггз
2 1
1 +
Таким образом,
_| ЧЛ U _ sin2r о \ dо.
l + -^-rsin2u J
I з
.2 „2
B sin 8J ir u u
Выражение в правой части можно представить в виде
B sin
1 2 ¦ 4 Bга + 3) B/г + 5) 5
Bsin8J
I С 1\Г—1 J • J • • • (^ —О)
• • • -Г v >¦) 2 . 4...Bт — 2) Bга
Bг-2) Bга+3)...B/г + 2г —1) г_!
B sin 8) 2
1
-1
1 .^ J Bisin8y~
Bsin8Jir ° °
г) Ann. de Toulouse, 4 A890) 05.

191J
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Pn(c0S 9) И Qn (COS 9)
285
Чтобы оценить модуль последнего слагаемого, заметим, что
. и gin2 V
1 — ~ sin2 v — у и ctg 9 sin2 v
это выражение при всех 9 не больше 1 — у sin2 v, следовательно, не боль-
больше тг, каковы бы ни были и и у. Поэтому модуль интеграла в последней
строке меньше, чем
•п 1 f
B sin 6)
Г2 О О
т. е. меньше, чем
П (п)кг 1 • 3 • 5 ... Bг — 1)
2 • 4 • 6 .. . 2г
Записав это выражение в виде
nw
I2- З2... Bг —1J
B si
2 • 4 ¦ 6 ... 2г Bп + 3) Bл+ 5) ...
мы замечаем, что оно равно удвоенному модулю того члена в разложении
Qn(eosb-\-0-i), который соответствует значению г + 1. А так как
Qn (cos 6+0-0 = Qn (cos в) - I шРп (cos 6),
то, отделяя действительную и мнимую части, придем к следующим формулам:
(cos
B sin 8)
J
^2.4-6...
2 Bп + 3
I2 • З2 ...
B sin 8J
cos
. Bт— 2) B/1 + 3) ... Bл+2г— 1)
Bsin8)
r 2
Рп.г (cos 6) (I \

286 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [191
2 Bл + 3)
B sin 8J
•¦¦+( 1)г 2-4- 6... Bг—2)Bл + 3) ...Bл + 2г—1) г_1_
B sin в) 2
"Ь<7«, г (cosO), B)
где
ПИ 12-3^... Bг-1J 1
^Х1 V, 2 У B si
1
1
Bsin8) ?
Ниже мы покажем, что — , <; —, когда и>1. Таким образом,
п (+) *
при и > 1
|< 2г г, C)
(л sin 8) 2
Рг
(nsin8) 2
где аг и рг — фиксированные числа, не зависящие от и и 0.
Если 6—фиксированное число в промежутке @, «), то
E)
Если же б подчинено неравенствам s<6<u —е, где е — сколь угодно
малое положительное число, то, так как csc0<csce,
П+*рп,г (COS 0), П 2^>r(COS0)
остаются меньше некоторых чисел, зависящих лишь от е, но не зависящих
от и и 6.
Мы вывели, таким образом, асимптотические формулы для функций
/•„(cos©) и 0n(cos6). Формула для .Pn(cos0) при целом положительном п
была получена Стильтьесом.
Формулы A) и B) справедливы для и> — 1.
Для исследования рядов по многочленам Лежандра важно иметь
dpn, т (со? 6) dрп, г (cos в)
оценки для ¦ ' v „—- или 2 •
м d cos в М

191} § 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Pn (COS в) И Qn(CO8 t) 287
Для этого дифференцируем по 9 выражение
-Г(п+г+!)е+-|*к * 1 r-i
получаем сумму
тс B sin 6) 2 -B sin 8) 2
H\+V)ns^7
к ( в)" sin™ в *zdBefc>
я B sm 8) ^ о о
умноженную на в I1 г> i J .
Когда 0 заключено в промежутке (е, ж — е), модуль первого слагаемого
есть
ру (, ) у р
О/ г], модуль второго — 01 Л ; это легко вывести, снова восполь-
V/-S/ v/+2/
зовавшись неравенством
-1
< 2. Таким образом, когда и>1,
a 0 заключено в промежутке (е, тс—s),^ g^n, r(cos0) и ^ й ?«.'
представляют собой величины
В частности, при действительном и>1 и в, заключенном в про-
промежутке (е, тс — е),
G)
Производная остаточного члена в обоих случаях есть О (п 2).
При тех же ограничениях
Л C0S

288 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖЛНДРА [192
2 sin 0
__з
В этих формулах производная остаточного члена есть О (п 2).
192. Чтобы оценить — \ \ > воспользуемся формулой Стерлинга
в такой форме:
где X заключено между 0 и 1, Вг—-^, В2 = ^ (бернуллиевы числа).
Из этой формулы
3 9 , 90' 1
(П+ ; 12U + 4
где 8, 0', л, /.' — все лежат между 0 и 1.
Упрощая, получим
3 , 8 / 1 , 1 \ 98' / 1 , 1
, В,ХВ2 \'В2
Таким образом,
Отсюда ясно, что — . < — ири достаточно большом «. Мы
покажем, однако, что это верно при любом п > 0. В самом деле, если для
некоторого п > 0 это неравенство выполняется, то оно выполняется и для
п —1, т. е.
Щп-J) < 1
П (—у) („_1}2

193] § 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Р™ (соз в) И <J™(cos в) 289
если только и— 1 > 0. Это следует из того, что
П(я) = 1 Щя-1)
откуда
n2
п(-т)
п2 (й-1J
в силу неравенства
Итак, если —у <-у для какого-нибудь и > 0, то это же верно
п(-+т) г?
и для n — к, где /с—любое целое число < и.
Мы установили, что
Точно таким же способом можно доказать, что при т < п, где m > О
фиксировано,
ПИ 1_ {л
П (я) . J_
П (я+'m) ^ n»> -
193. Из F) и G), воспользовавшись оценкой для —* , мы по-
лучим
где «— действительное число >1, 0 заключено в промежутке (е, ж — е)
и выражения О (п 2) зависят от s. Производная остаточного члена в обеих
_i_
формулах есть О (п 2).
19 Е. В, Гобсон

290 ГЛАВА VI ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [194
Первый член формулы (И)
пк sin
в качестве приближенного ныражения Рп (cos 6) при целых положительных
п был получен еще Лапласом, но оба предложенных им доказательства
не удовлетворяют современным требованиям строгости. Приближенное
выражение
для (?n(cos0) впервые дал Гейне1).
Введя A0) в (8) и (9), мы лридсм к формулам
Остаточные члены здесь зависят только от е и 0. Их производные, когда Ь
заключено в промежутке (е, * —е), представляют собой 0(п *).
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Р™ (cos 6) И Q™ (cos 6) ПРИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ п И т
194. Возьмем формулу G6) гл. V
X \ Г ЙЛ.
A-2[хЛ + Л2) 2
Точка z лежит здесь вне контура интегрирования. Положив h—— (I — u),
получим
7V(m-nOtt О ^ 2 s ^ 2 ^
-*el -z /if + )
т-п —
@+ 1+. 0- 1—1 < «п '
X
Kugelfunktionen, т. I, 1878, 175.

194] § 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Р™ (cos 0) И qJJ1 (cos В) 291
Как показал Дарбу, формула Маклорена при комплексном С может
быть записана в виде
/ (С) = / @) +1Г @) + | /" @) + . • • 4-Jx/w (в'С),
где 0' лежит в промежутке @, 1) и | X ] < 1. Взяв С = С1 + -г-Ц ) > мы Уви~
дим, что остаточный член разложения функции Q™ (cos 0 4-0 • i), данного
в п. 188, может быть записан в виде
пи
(z2 — 1) " 1Х V'" ТУ
@+, 1+, 0-, 1-) 1
X
Предположим теперь, что тип действительны и ra-)-»i+l>0, a r
выбрано так, что г — т -\- у > 0. Возьмем в качестве контура интегриро-
интегрирования окружности с центрами в 0, 1 и соединяющие их отрезки действи-
действительной оси и затем заставим стремиться к нулю радиусы этих окружно-
окружностей. При этом интеграл в рассматриваемом выражении примет вид
^ ™ 2 'du,
где интегрирование производится ио отрезку действительной оси.
Если [i = cos6-f 0 • i, где 6 заключено в промежутке @, тс), то, как
в п. 191, будем иметь
. . 6'м 1
откуда
1+:
если только т 4- г + у > 0.
Отсюда следует, что модули действительной и мнимой частей интеграла
1 1 -т---г
\ u~m~z г A — в)"+тХ [1 4- 2 "| ) *^к
о
не превосходят
11 1 .
\ И
Полагая 6'=0иХ = 1 в выражении остаточного члена, мы получим
(г+1)-й член. Следовательно, модуль остаточного члена ряда, получен-
полученного для O™(cosQ) или .Pjr(cos6), не превосходит умноженного на
о 1
^модуля (г + 1)-го члена этого ряда, И это справедливо независимо
от того, сходится такой ряд или нет.
19*

292 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [195
Мы получаем, таким образом, формулы
B sin
.„ . , cos
9 Юг, _l_ Vt 3 "Г • • •
B sin вJ
сов[^я+^-)б 4~«+2-'
2-4...Bг—2)Bп + 3) ... Bп + 2г—
г—-а
B sin в)
. —г- A5>
B sin в)Г+2
7\
ПСЛ+2")
B sine)
2 Bге + 3) з
B sin вJ
cos
X —
^ 2-4... Bг—2)B
К, 2г— 1
_1_
B sin в)Г 2
и\? + ~2; B sin в) 2
где |Л1<1, |fc'|<l. При этом предположено, что тип действительны
1 1
и т-\-п-\-1 > 0, г — m4--n">0, r-j-m-f-o">0- Когда т — 0, эти условия
выполняются при г = 0, 1, 2,..., но для этого случая в п. 191 даны
более точные оценки остаточного члена. В тех случаях, когда полученные
ряды сходятся, наши результаты согласуются с формулами A60) и A61)
гл. V, но сами по себе они справедливы независимо от того, сходятся
эти ряды или нет.
195. Если 9 заключено в промежутке (tj, тс — tj), то, так как
CSC6<CSC7),

195] § 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Р™ (cos 0) И Q™ (cos 0) 293
мы заметим, что при значениях п, больших по сравнению с т,
к(ео.„«rl
; Sill2 6
Отсюда, так как
получаем
,-1). A8)
Эти формулы дают приближенные выражения для
и
при больших сравнительно с т значениях п и при 6, заключенном в про-
промежутке (е, тс — е).
Когда 6 фиксировано, остаточные члены в A7) и A8) следует считать
_i
зависящими от 6. Их производные имеют порядок О (п 2).
Формулы A7) и A8) представляют собой обобщения теорем Лапласа
и Гейне, относящихся к случаю т = 0.
Если воспользоваться оценкой
то мы получим

294 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [195
Взяв два члена ряда и соответствующий остаточный член, мы придем
к более точным формулам:
Я» ЯГ («» в) =
I Bт—1) Bт—3)
+——
A9)
Bт—1
Они, как и прежние оценки, справедливы при фиксированном т; при этом
_5
О (п 2) В'О.беих формулах зависит от т и 6.
_5
Когда 6 заключено в промежутке (е, тс — е), величина О (п 2) зависит
от е. При этом получаются приближенные выражения Р™ (cos 0) и Q™ (cos 6)
для фиксированного т и для п, больших сравнительно ,с т.
Общая формула для P™(cosQ) при п, вообще говоря, комплексном,
но подчиненном условию | arg п \ < тс — е, такова:
B1)
Асимптотические формулы такого рода для Р™ (cos) 0 и Q™ (cos 6) дали
Ватсон и Варне; последний, впрочем, установил B1) лишь для более
узких секторов | arg п \ ¦< -^ — е.
Для Р™ (р.), где [A = chC = ch (S + щ), асимптотическая формула может
быть выведена из

196] § 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ P™(cos9) И Q™ (cos 9) 295
¦с помощью формулы (Б) п. 198. Так полученное для Р™ (ja) выражение
-4-
1 .
П О») е
-t
2j Г
s-0 П (— -J
справедливо при -^-~ш2 + е < argre < -т-ш1 + ^- Отсюда, заметив, что
"*1 ™ [ch @+ it))],
лридем к формуле B1).
196. Пусть [а действительное число, большее 1. Положим [A =
тогда z = e5, и ряд A58) гл. V принимает вид
П ( —-о" ) П (п + т) (п+т+1у.
4% (chS) = emiti • 2m —^—у j-shm$ X
О
Сходится он при е2' > 2, т. е. при ch?>—^= .
2* у Л
ТТ 1. > 3
При сп?<^—— остаточный член ряда зависит от
2у 2
-т—5+г , Я',, N -т-г~
X  jP ~ I (IU,
где 6' лежит в промежутке @, 1).
Так как 1н—^—— > 1, то при r + m + Y^*^ этот интеграл меньше,
чем
'и" *' A-й)
2 (
С
Отсюда сразу видно, что остаточный член по модулю меньше
{/• + 1)-го члена; следовательно, наш ряд —асимптотический. Поэтому
ряд A59) гл. V для Р™ (ch?) также оказывается асимптотическим.
Из формулы A58) гл. V вытекает, что при больших п и фиксирован-
фиксированном т приближенным выражением для
¦служит
gm. J 1 Л 3^e [l
6 " I V1 Sn) 1 I1 in !_e-26
«2 BshSJ

296 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [19»
Иначе можно записать
). B2)
Bsh?J
Асимптотическое выражение правой части есть
Bsh5J
Пользуясь выражением для Р™ (р) на стр. 277, мы получим для Р%
приближенное выражение при больших п:
-(«4M
sin (п 4- т) я е f л 1—4m2 e
Bsh5J
-4-)еЮ* f 1
П(—m) i V
л2 B sh 5J
Если только значение п не слишком близко к какому-нибудь нечетному це-
лому числу, первое слагаемое в правой части благодаря множителю е L
оказывается весьма малым по сравненшо со вторым. Таким образом,
П(и)
приближенно равно
e
fl 1 Х
4п 1_е-25
ИЛИ
(гаяJ
т
Асимптотическим выражением i?. ^ ^^ (с^ ^) служит
ч"^). B4)
(пиJ Bsh5J
197. Формула (И) для Pn(cosQ) с целым положительным п без
остаточного члена дважды рассматривалась Лапласом1). Впрочем, его
исследования, так же как исследования Бонне2), с современной точки

197, 198] § 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ Р™ (cos в) И О™ (cos в) 297
зрения не строги. Формулы для Рп(р), и Qn(p) при целом га и комплекс-
комплексном [а рассматривал Гейне3), но он не дал оценки остаточного члена; тем
самым асимптотический характер его результатов не был точно установлен.
Дарбу 4) исследовал асимптотические выражения Рп (ja) и Qn (ja) при боль-
больших целых положительных га и оценил остаточный член; ja он считал
либо действительным, заключенным между —1 и + 1, либо комплексным.
Асимптотическое выражение Рп (ja) при больших целых положительных гь
и действительном ja, заключенном между — 1 и 1, получил Стильтьес 5)
с помощью контурных интегралов. Более общий случай, когда m и га
действительны, га принимает большие положительные, не обязательно целые
значения, a ja заключено между —1 и 1, рассмотрел Гобсонв); он же
получил асимптотические выражения Р™ (p) и Q™ ([*) при действитель-
действительном [а > 1 и действительных m и га. Еще более общие исследования провел
Барнс 7); он исследовал асимптотические выражения Q™ (ja) при комп-
комплексных тип, когда \п\ велико и | arg тг j <; тс — е, а также Р™ (р),
когда | П | велико и | arg (± га) | < тс — е (е сколь угодно мало и не зави-
зависит от га).
Ватсон 8) получил асимптотические разложения этих функций методом-
перевала. Для Р™ (ja) его разложение оказалось справедливым в более
широкой области, нежели у Барнса: условие | arg (± га) | < тс —е он заменил
условием | arg га | < тс — е.
Другие исследования асимптотических разложений, основывающиеся
прямо па соответствующих дифференциальных уравнениях, принадлежат
Никольсону 9) и, для случая многочленов Лежандра, Блюмепталю 10). Здесь
мы приводим лишь наиболее важные асимптотические разложения. Более-
общие результаты читатель найдет в статьях Барнса и Ватсона.
198. Ватсон получил следующие асимптотические разложения:
a~xF(а+х' « + *
е_(а+л), A _
в ( )
s=0
, ,3 —X; Т; 1^)
8=0 8=0
*) Mecanique Celeste, т. V, кн. XI, и приложение к т. V.
2) Journ. de Liouville, 17 A852), р 265.
3) Kugelfunktionen, т. 1, стр. 175—182.
4) Journ. de Liouville C) 4 A878), 5 и 377.
5) Ann. de Toulouse, 4 A890), 61.
») Phil. Frans., 187 A896), 486.
') Quart. Journ Math., 39 A908), 143.
s) Camb. Phil. Trans, 22 A918), 290.
») Quart. Journ. Math., 41 A910), 291; 43 A912), 53.
10) Archiv d. Math. n. Phys. C), 19 A912), 136.

298 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАПДРА [199
Первое справедливо при больших | X | и | arg Х| < тс — е, где е — сколь угодно
малое положительное число; второе- при больших |Х| и у — и>2-}-е<
< argX < y + «"I —8; в е '^ / верхний или нижний знак берется соот-
соответственно в случаях Im (ja) > 0 и Im (ja) < 0 и при этом 1 — ес =
=- е' A — е~') eT7ti. R этих формулах
оJ = arctg J-, — («! = arctg ^^
"При 7j>0 И
о)а = arctg ^^ , — о)х = arctg-|-
7j<0.
Числа cs таковы, что
¦где
—i,
= _2(o+P-l)(a+p-2T+l),
Число Сд также равно 1, а Cj получается из с1 изменением знака С.
i 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ПРИ т, БОЛЬШИХ ПО СРАВНЕНИЮ С п
199. Чтобы получить приближенное выражение для Р~т (ja) тогда,
когда т велико сравнительно с п, возьмем равенство
тде |[а — 11 < 2. Воспользовавшись формулой
П (от) - BтстJ в-«от
получим
,25)
Приближенное выражение для PJJ1 (ja) при условии
мы получим с помощью соотношения
рт /,, \ _ П

200] § 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ПРИ т>п 299
Так как
Рпт(cos6) = e"^™Р„т (cos 6 + 0 • i) =
in.
2
70
B6)
Вообще, положив в формуле (Б), п. 198,
Х = т, а— — п — т, ф =
получим
Отсюда получаеи для Рпт(р) асимптотическую формулу:
"'rt-nwЕЙ)
Верхний знак в показателе берется при Im (ja) > 0, нижний—при
Im (ja) < 0. Формула B7) справедлива при
— у — оJ4-е <argm<y4-">i — e.
Другие формулы для PJT ([*) и ^ (ja) дали Ватсон и Варне.
Следует заметить, что приближенные выражения функций Р™ (ch E)
и (?m (ch $) в виде рядов по степеням — могут быть получены из соответ-
соответствующих разложений по степеням — посредством преобразования Уиппла
{см. п. 192) с соответствующими изменениями в обозначениях.
§ 5. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМ СТИЛЬТЬЕСА
200. Применение асимптотических формул для Рп (cos б) и (?n(cos6),
приведенных в п. 191, ограничено условием е<6<тс — е, где е —положи-
—положительное число, которое можно выбрать сколь угодно малым. В следующей
теореме этого ограничения нет.

300 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛБЖАНДРА [20О
Для произвольного действительного, не обязательно целого, и>1.
I О. (cos в) |< (j^I, |Pn(cos9)|< 2 ,, B8)
(гел sin вJ
когда 0 < 0 < it.
Если в общей формуле G8) гл. V положить h — — A — и) и принять и
Z
за переменное интегрирования, то получим
Q™ (|x) = _ ie{m-n)*i 2m \ .у Ь LL 1 (м.2 _ 1J
2
l+^O-.l-) , . 1
где начальные значения аргументов величин и и 1 — и оба считаются рав-
равными нулю в некоторой точке действительной оси, лежащей между 0 и 1.
Если предположить, что Re (п + т -\-1) > 0 и Re (-^ — т j > 0, то в каче-
качестве контура интегрирования можно взять окружности с центрами в точ-
точках 0 и 1 и соединяющий их отрезок действительной оси. Заставив радиусы
этих окружностей стремиться к нулю, мы приведем нашу формулу к виду
1
Г A — и)п*т ,
X \ т-± 1 du.
•' YflA—. s
Напоминаем, что здесь Re (п + т-\-1) > 0, Re (-~- — mJ>0.
Положив т = 0, для Re(n-)-l)>0 будем иметь
du.
Пусть теперь [i= cos0-)-O • г. Тогда z = e'e и
1
B sin вJ
Так как
Qn (cos 0 -f- 0 • i) = Qn (cos 0) — 4 itiPn (cos 0),
то при действительном п > — 1
l
1
I^^^'Hj B sin6J 0
1 + -
где 0 < 0 < z.

200]
§ 5. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМ СТИЛЬТЬЕСА
301
Мы имеем
для всех 6, а наименьшее значение 1 — у а при и, заключенном в про-
промежутке @, 1), есть у . Поэтому для всех 6 в промежутке @, те)
-й)"
1 + -
1 1
(l-u)ndu<Bi:J
Итак, мы показали, что при п действительном положительном (не обяза-
обязательно целом)
в п. 192 было показано-, что при и
Наша теорема, таким образом, доказана.
То, что | Рп (cos 6) sin^ 6 | меньше некоторого фиксированного числа,
не зависящего от и и 6, для целого положительного и доказал Стильтьес1).
Зтот результат был сформулирован им в виде неравенства
1 />„ (cos 6) 1 <
B sin вM
где
причем s стремится к нулю вместе с —, а М заключено между 1 и 2.
1
Ограниченность | Рп (cos 0) sin2 9 | была установлена независимо Гобсоном2);
позднее появилось доказательство Джолифа 3), применимое также к Qn (cos 9).
В 1913 г. Гронуолл показал4), что /)n(cos9)< г для целых
Bпп sin bf
положительных п\ это неравенство он вывел из асимптотического ряда,
х) Ann. de Toulouse, 4 A840), 6. .
2) Proe. Lond. Math. Soe. B), 7 A908), 25.
s) Mess, of Math., 43 A913), 85.
4) Math. Ann., 74 A913), 221.

302 ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [20»
полученного для Pn(cos6) Стильтьесом. Позднее Фейёр доказал1) элемен-
элементарно, не прибегая ни к асимптотическим рядам, ни к интегралам, что
для положительных целых п
| />„ (cos 6) | <:—* .
Bкп sin вJ
Приведенное выше обобщение на случай нецелого п, а также для
функции (?n(cos9) принадлежит Гобсону2); данное им доказательство здесь
воспроизведено.
201. Результаты, изложенные в п. 200, Гобсон обобщил (см. цит. соч.)
на функции Рп™ (cos 6) и Qn™ (cos 0) с действительными пит, подчинен-
подчиненными лишь условиям п — m + l>0, m>0.
Если в выражении (?JT(fO> Данном в п. 187, взять —т вместо т, то
при Re (и — т + 1)>0 и Re (m +-»j > 0 получим
. —Ш—ft 7YI
__j? __(jj,2__i)~-2~ x
1
г (\ — нЛ"-
X
Положив |л = cos 9 -(- 0 • i, будем иметь
)-т (cos 9 + 0 ¦ i) = 2-me-mni — р- — j X
х v A-й)"
о 2 - г, , » Л2~т
или
_
sinm6
B sin в) п(
sin8-T
a \ j
x
Модули действительной и мнимой частей выражения
Math. Zs., 24 A925), 290.
Proe. Lond. Math. Soe. B), 30 A929), 239.

201]
§ 5. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМ СТИЛЬТЬЕСА
303
оба меньше, чем
1 ПС~~2,) Г A—ц)"
sin 0—s- iue~
Далее,
sin 0 ——iue~i
При заданном 6, если 2sin2O<l, последнее выражение достигает своего
наибольшего значения, равного -^-, при и = 1. Если же 2sin26>l, его
наибольшее значение есть sin 6, и достигается оно при и = 0. Следовательно,,
при всех а и 6
А так как
sin 0 — y iue~x
1 — -j и — -^- iu ctg
то тем самым доказано, что модули действительной и мнимой частей выра-
выражения sinm 0 Qnm (cos б + 0 ¦ i) оба меньше, чем
1 П(") с (i-»)"-m ,
-y; о ui
т. е. меньше, чем
Известно, что
Qnm (cos 0 + 0 • t) = в a-1^-m (cos S) - -i-«tP- (cos6) J .
Поэтому действительная и мнимая части Qu™ (cos 6 4- 0 ¦ i) суть соответ-
соответственно
cos -J як <?-m (cos 0) - i. ic sin 4 mis />йт (cos 9)
-* {вт-|-
Мы нашли, что
cos
1 sin |
I тт: Q~m (cos 6) -1 ic sin | mt Р"т (cos 6)
sinm 0 <

304
ГЛАВА VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
[202
Так как
3
cos -к- т/к
. 3
-v тп
2 , а при т целом даже < 1, то
П («)
или
(
— (cos 6)) sin- 0 < П <Г7Г) Г 8 «У ™и ni*~m>( 4 „У,
в зависимости от того, произвольно т или оно должно принимать лишь
целые значения. При этом предполагается, что и>1, п — m-|-l>0, m>0.
В силу формулы B1) гл. V
е-пми
Щи—да)
Отсюда, рассуждая так же, как и выше, придем к выводу, что
или
г * у
П (n) \nsiney
„ли
в зависимости от того, произвольно m или принимает лишь целые значе-
значения. Итак, мы доказали теорему:
Если 0< 6 <ic, и>1, и —т + 1 > 0 а т>0, то
1 П0|±т)/, у ]
ьт (сов 0) | sin** 0 < П<п
Г v n IK
\sin
| sin
]
1 I
2 |
'
в зависимости от того, принимает т произвольные неотрицательные или
только целые значения; п может не быть целым.
202. Из формулы для (?n(cos8 + 0 ¦ i), выведенной в п. 200, имеем
Qn (cos 6 + 0 • i) - Qn+2 (cos 0 + 0 • i) =
j • jj "> [ (—J±} du.
BsinOJ Ь М2Л+_Л Л2
Отсюда следует, что для действительных положительных п
| Qn (cos 0) — (>n+2 (cos 9) |
l
1 Г A--ц)"
B sin 8J ° m2
1
l__e-^»(l _mJ
du =
A —м)" {1 —2A —mJcos20 + A —иL}2 ,

202] § 5. ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМ СТИЛЬТЬЕСА 305
Так как
sina8 fl — у MY + -i-Macosa9 = fy и — sina8 Y-f sina0cosa8,
то при 8 = 0 и 8 = те второй множитель под интегралом обращается в
*
Но
з-з2
поэтому интеграл (а)
З2 ° м2
Если 0 фиксировано, притом так, что 2 sin2 8 > 1, то
( 4-м — sina 0 Y + sin8 8 cosa 8
ч * У
1 .
достигает своего наименьшего значения, равного у, при и = 1; следова-
следовательно, для всех и в промежутке @, 1)
A— 2A — mJcos26 + A — и)*}1
у и—sin2 6 Y+ sin2 6 cos2 61 4
1 113
Следовательно, интеграл (а)
l
0 и2
Если 8 фиксировано, но так, что 2sina8<;l, иначе говоря, так, что
cos 28 > 0, то полагаем и = 2 sina 8 -f у. Тогда 1 — и — cos 28 — у, и
1 i_
{1 — 2 A — и)» cos 26 + A — иLJ о^/1~2cos26(co:ii26—PJ + (cos28—p)«|4
К1 42 il I -r + sin2 9 cos2 9 I
ум—sin2 9 J + sin2 6 cos2 6 > 4
так как 1 —2A —a)acos20 + (l—a)*<2, когда cos28>0.
В силу равенства
1 — 2 cos 20 (cos 28 — y)a -f (cos 28 — v)* =
= A —2 cos3 28 +cos* 20)+8y cosa 29 sin2 6 +
+ ya F cos2 29 — 2 cos 29) — 4y3 cos 20 + y*
имеем
1 —2 cos 26 (cos 29 —pJ +(cos 2 0—p)« 1 — 2 cos3 28 +cos* 29 8|p|cos229
1 cos^e sin2 в cos2 9 + cos2 9 +
1
4
+ 4cos28 Fcos26 — 2) + 16]y |cos28 + 4ya
COS
20 e. В. Гобсов

306 ГЛ. VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛВЖАНДРА [203
так как |у|<1 и cos29>0. Таким образом, все выражение меньше 44
1 i
и (а) меньше, чем B2)* С—) •
Итак, мы пришли к следующему результату:
Для всех значений 9 в промежутке 0<9<тс и для всех действитель-
действительных и>1, не обязательно целых,
\Qn(cosb)-Qn+2(cosH)\<C (?)* , |
Л > C0)
где С — фиксированное число, не зависящее от п и 9.
Для функций Рп при целых положительных п эту теорему доказал
Стильтьес1). Ею часто пользуются при рассмотрении вопросов сходимости
рядов.
203. Последняя теорема может быть распространена на функции
(?™(cos9) и /С(cosб). В силу формулы для ^m(cos9 + 0- i) в п. 201
{QZm (cos 9 + 0 ¦ i) -Qn+г (cos 9 + 0 • i)\ sinm 6 =
) M^
X
0 "~
0-4-^
V 2 smS
du.
Обращаясь к п. 202, мы видим, что модули действительной и мнимой
частей выражения
sin™ 9 {Q~m (cos S + 0 • i) - Q~?2 (cos 9 + 0 • »)}
меньше, чем
1 С A-ц)"
т —i
«2 2
2
0 2 f / 1N21 4 11 Я + т
где С — некоторая постоянная. Отсюда, так же как в п. 202, вытекает,
что
1
sin- 9 | Q~m (cos 9) - Q& (cos 9) |< С Ш^> (^f ,
l
Рассуждая так же, как в п. 202, мы придем к следующей теореме:
sin- S | PZm (cos 9) - Р~Тг (cos S) |< С П^> ()
J) Correspondanee d'Hermite et de Stieltjes, Paris, 1905; письма 309, 310,
стр. 174, 177.

204] § 6. ТЕОРЕМЫ ВРУ ИСАИ МЕлЕРА 307
При и>1, п — т + 1>0, т>0,
C1)
| Ptm (cos 9) - Pt+2 (cos S) I sin S < С Шд^т) (
ьтом п и т не предполагаются целыми.
§ 6. ТЕОРЕМЫ БРУНСА И МЕЛЕРА
204. Для любого положительного и в силу B8) имеем
(пмпвJ|/>п(совв)|<*;
при этом 0 < б < тс и к — фиксированное число, не зависящее от и и 6.
Отсюда, если 6<ic — y), где y) — фиксированное положительное число,
то
Pn(cos8)|<
(n sin вJ (пвJ
где &'—некоторая постоянная. Мы видим, что если заставить п расти,
а 9 уменьшаться таким образом, чтобы иб—»оо при и—> <х>, то Pn(cos9)
будет стремиться к нулю. Результат этот получил Брунс1); в нашем дока-
доказательстве п не предполагается пелым.
Пусть, в частности, 9 —-?-, где 0 < X < 1; тогда при положительном <>
п*
Рп ( cos -~ j стремится к нулю, когда п —> оо.
Для случая X = 1 Мелер а) и позднее, независимо от него, Релей 3) показали,
что lim Рп ( cos — J = /0 (р), где /0 (р) — бесселева функция нулевого по-
рядка. Докажем это, воспользовавшись выражением РпСcos—) в виде
Общий член ряда, представляющего F Сп-\-\, —и; 1; sin2^ J , есть
( — Ч I2 . 22 ... г2 Sin2r ~п '
и отношение последующего члена к написанному по абсолютной величине
равно
(" + ^H2"-r>Sin3JL,
что при п > — меньше, чем
г) Journ. f. reine u. angew. Math., 90 A881), 322. В этой связи см. Heine, Kugel-
funktionen, т. II, стр. 361.
2) Journ. f. reine u. angew. Math., 68 A868), 140.
3) Proc. Lond Math. Soc, 9 A878), 61.
20*

308 ГЛ. VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ, ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖЛНДРЛ [204
Для простоты предположим, что число п целое, так что наш ряд
обрывается, и г-{-1<п. Тогда рассматриваемое отношение меньше, чем
0+4)-
Для вбех значений г, больших некоторого фиксированного s, зависящего
от р, это отношение меньше единицы, если только и>1. А так как наш
ряд — знакочередующийся, то при достаточно большом п его можно пред-
представить в виде
где 9 заключено в промежутке @, 1), a s фиксировано и не зависит от п.
При неограниченном возрастании п предел этого выражения есть
1 Ра , Р4 , / ц-ig Ра*
22 . 42 > 22 • 42 • С2 ¦ • ¦ < \ V 22 • 42 ... BsJ '
где 6 лежит в промежутке @, 1). Отсюда вытекает, что
Обобщение этих теорем на функции Р™ (cos 0) и Q™ (cos Q) может быть
осуществлено с помощью результатов и. 119 и 132.

Глава VII
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА
§ 1. РЯД ЛЕЖАНДРА
205. Теперь мы исследуем условия, при которых ряд Лежандра
(см. п. 27)
\
сходится при всех или при некоторых х в промежутке ( —1, 1).
Сумма первых п+1 членов ряда A) выражается так:
-1 fe=0
Сумму
п
-%Bk+l)Ph(x)PH(x')
о
Кристоффель выразил в виде
Этот результат может быть получен из рекуррентных соотношений
Bп + \)х Рп(х) =(n + l)Pn+i(x) +»/>„_!(at),
Bв + 1) х'Рп (х') = (в + 1) Р„+1 (ж') + и^„-1 (*')•
Умножая обе части этих тождеств соответственно на Рп(х') и Рп(х) и
вычитая одно из другого, получим
Bп+1)(х'-х)Рп(х)Рп(х')^
- (п + 1) {/>„ (ж) />п+1 (ж') - Pn+i (х) Рп (х')} -
- п {Рп_± (х') Рп (х) -Рп (х) />„_, (х')}.
Беря в этом соотношении вместо п последовательно и —1, п — 2 1,0
и складывая, придем к
п
(*'-*) 2 Bk + l)Ph(x)Ph(xf) = (в+1) {/>„(*) Pn+i^-Pn+i^i'n(*')}•
О
Таким образом,
Sn{x) »!(!, +1 j
-1
и вопрос сводится к исследованию поведения этого выражения при и —» оо.

310 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [205
Будем предполагать, что функция — t суммируема по i в проме-
жутке (— 1, 1). Это равносильно требованию, чтобы f(x) была суммируема
в промежутке (— 1, 1), а
/(*)
Aх)
в окрестностях точек 1 и — 1.
A+хL
суммируемы соответственно
При х = cos 6 наше предположение означает, что / (cos 6) sin2 9 сумми-
суммируема по 9 в промежутке @, тс). Прежде всего мы покажем, что, каково бы
ни было положительное число С, можно выбрать число е, такое, что для
всех п
-1+е
| (п
-1
при этом х подчинено условию — 1 + е+р<ж<1 — е — р, где р —заранее
выбранное положительное число.
Так как (и+1JA — x'^Pn+i(x') для всех и и ж' меньше по абсо-
абсолютной величине некоторого положительного числа к (см. п. 200), то
для всех п
1 -»+• _-*+«.
(„ + 1J
J
\
A— X'2L
dx'.
Число s можно взять таким, чтобы
-1+.
-1
было сколь угодно мало.
A-х'2L
dx'
_
Далее, так как (п + 1JРп(х) A — ж2L меньше некоторого фиксирован-
фиксированного числа, не зависящего от и и ж, то для всех х в промежутка
( — l + s + p, 1 — s—(I.) выражение
-1+1
4 $ *(У('
по абсолютной величине меньше произвольно выбранного положительного
числа, если только е, которое выбирается после того, как фиксируется щ
взять достаточно малым.
То же справедливо и для
-1
Отсюда следует, что для произвольно выбранного С
-1+1
{x'!rfy{x)Pn{x>)f(x')dx'
J
каково бы ни было х в промежутке ( — l + s + p, 1 — е — р). Число е выби-
выбирается после того, как выбраны Сир. Если же фиксировать С и какое-

205] 1. РЯД ЛЕЖАНДРА 311
нибудь значение а; внутри промежутка (— 1, 1), то после этого можно
выбрать (J. (в зависимости от х) и, наконец, s так, чтобы выполнялось
последнее неравенство.
Точно так же можно показать, что при аналогичных условиях
п (х) *«** {x'j-pr(х) Рп {х>) f <*')d
Когда С и ц фиксированы, s можно выбрать так, что для
— s —(j,
оба неравенства будут выполняться одновременно.
Теперь мы покажем, что при п —*¦ со
4(i. +1) { Y+ У } Р^Р^,-_РГ{Х)Рп{Х>)f V)dx'
-l+t x+v.
стремится к нулю равномерно относительно х в промежутке (— + + j,
1 — s — (j,). Для этого нам нужно показать, что если F(x', x, п) обозначает
функцию от х', равную
в промежутках ( — 1 — s, х — ц), (ж + ц, 1 — е) и равную нулю всюду вне
этих промежутков, то
1
\jf{x')F{x',x,n)dxl
стремится к нулю равномерно относительно х, когда х заключен в про-
промежутке (—1 + е + р, i_s_(j,). Применим для этой цели общую теорему
О сходимости х).
Прежде всего установим, что | F (х', х, п) | ограничено некоторым числом,
не зависящим от п, х и ж'.
Так как \Рп(х')\ < -j- для всех х' в промежутке ( —1 + е, 1 — s), где
г?
X не зависит от и и ж, то
1С/' \ 1
\F(x', х, „J
при х', заключенном в этом промежутке; вне его F (х', х, п) = 0. Огра-
Ограниченность \F(x', х, п)\ доказана.
Второе условие, выполнение которого надлежит проверить, состоит
в том, что для любого промежутка (ах, рх), заключевного в ( — 1 + s, 1-е),
F(x',x, n)dx'
<ч
при п —> оо стремится к нулю равномерно относительно х. Ясно, что
участками, где F (х', х, п) равна нулю, можно пренебрегать и ограничиться
рассмотрением того случая, когда (аи рх) не перекрывается с промежутком,
в котором F(x', х, п) исчезает тождественно.
J) Hobs on, Theory of functions of a real variable, т. II, изд. 2, 1926, стр. 422
и 443.

312 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [205
В этом случае, так как функция — монотонна, можно применить
ОС ~~— ОС
вторую теорему о среднем значении и получить
<Ч
&2 Pi
_^?) J pn {x>) dX'-^^. \ Pn (X')dx' } .
<ч
Если воспользоваться формулой
то будем иметь
\
ёЙ i У - Рп+2 Ы - Рп
Так как |Р„(ж)|<— для всех ж в промежутке (— 1+е, 1-е), то
мы видим, что правая часть по абсолютной величине меньше, чем
X 1 1
—i г- и, следовательно, меньше -j—, потому что ж но попадает
I ai —х I i
n2 nV
внутрь промежутка (ах — [i, px -|- [i). Число —j— не зависит ни от и, ни от ж.
Подобное же рассуждение применимо и к двум другим слагаемым
выражения
F(X',X,n)dX'.
<ч
Следовательно, этот интеграл при п —> оо стремится к нулю равно-
равномерно относительно ж. Таким образом, выполняется и второе условие.
Итак, мы доказали, что при п —> оо
стремится к нулю, притом равномерно относительно ж в промежутке
1 1)
Выражение
|Y J упМГп+А*')-^*)^') f{x>)dx>
-1
по абсолютной величине меньше ЗС для всех ж в промежутке (— l-f-s
1 — s — [i), если только п не меньше некоторого числа, не зависящего от ж.
Поэтому это выражение при п —> оо стремится к нулю равномерно отно-
относительно ж в указанном промежутке.

205] 1. РЯД ЛЕЖЛНДРА
Мы видим, таким образом, что пределы sn(x) при ж, заключенном
в промежутке (—1+ s + [i., 1 —е —ц), зависят только от пределов выражения
Х-{-1Ъ
i(n+i) \Рп{х)р™{Х2~-Г{х)Рп{х>)f (-т>)dr>
зс-ц
и, следовательно, только от поведения функции / (ж') в окрестности
(х — [1, х -\- [а) точки х при дополнительном предположении, что
_i_
f(x') A — ж'2) 4 суммируема в некоторых окрестностях точек —1 и 1.
Займемся же исследованием поведения этого выражения при п—>оо.
В п. 191 мы показали, что
^sinO)^
где
, m » nw I < "[(ч-т)'-т-]|.. „
Рп, 1 (U) = — 7 Т-Г \ .,b,,| з / + />n, 2 W»
причем ж = cos 6, рп> 2 (9) = ^-Ц—^, ^gJPn, 2 (Q) — з - » где а и, 9) и р (и, 9)
ограничены по и и б, когда 0 заключено в каком-нибудь промежутке,,
лежащем внутри (— 1, 1).
Выразим таким образом
подставим их в числитель подинтегральной функции и рассмотрим отдельно
каждый из интегралов, содержащих соответствующие слагаемые.
Возьмем сначала
X
П (») П (п х
-jO-Tjcos^B+_j6>__j-.cos^n+_j6__jcos^n+_-N>__
J т а
"ц (cos в' - cos 0) (sin в sin в'J
X / (cos 0') с?ж\
Числитель стоящей под интегралом дроби может быть приведен к виду
sin [(п +1) (в - 9')] sin !±И - cos [(п + 1) @ + 0')] sin i=51 ,
и само выражение представлено так:
1 П (п) П I
2. (sin в)
в-чП siny(e-°') sin |(в+.в') I
где cos @ -f т)9) = ж — ц, cos F — t)j) = ж -f ц; ije и т)е представляют собой
ФУНКЦИИ ОТ [1 И б.

314 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [205
Для 0, заключенного в промежутке, соответствующем промежутку
^ — l-t-s + i»-, 1 — s — [i) изменения ж, величина ije достигает конечного наи-
наименьшего значения ¦»); подобным же образом т)е' имеет конечное наимень-
наименьшее значение i\'. Покажем, что вместо б — tjJ и 6 + т)е можно в качестве
пределов интегрирования взять соответственно б — -ц' и б + т). Для этого
достаточно обнаружить, что при га—^-оо
sin 1F-0') sinl@ + 6')
стремится к нулю равномерно относительно б в промежутке, соответствую-
соответствующем промежутку (s-f-ji, тс— s — [i) изменения х, и что то же верно для
интеграла, взятого в пределах от б — щ до б — т\'.
Раскрыв скобки в подинтегральном выражении, разбив соответствен-
соответственно интеграл на сумму двух интегралов и заметив, что функции
cscl(9 —б'), csclF + 6')
монотонны, мы сможем первый из получившихся интегралов записать
в виде
^ sin[(ra + l)F-6')]sin297(cos6')d6',
e+s
•где ? заключено между tj и tj9.
Так как функция sin2 б'/ (cos 6') суммируема, то, согласно известной
теореме, оба эти интеграла стремятся к нулю равномерно относительно
в + 9 + 5 9 +
Аналогичное заключение применимо и ко второму из полученных вы-
выше интегралов. Итак, в рассматриваемом нами выражении верхний предел
интеграла 9 + 7je может быть заменен величиной 6 -J- -rj, где tj от б не зави-
зависит. Точно так же вместо б — tjJ можно взять б — -ц .
Итак, рассмотрим
L sin-1F-6') sin 1- F + 6')
Применим к интегралу
С cos[(n + l)
Д- sin-| F
sin-| F+ 6')
общую теорему сходимости.
Положим ^(9', 9, га) равной
сов [(и+ 1) F+ 6')]
sin 1F+ 8')

205] § i. РЯД ЛЕЖАНДРА 315
для 0', заключенного в промежутке @ — -ц', G -|— ttj), и равной нулю вне
этого промежутка. Заметим, что вообще 0' изменяется в промежутке (е, it — e'),
соответствующем промежутку (— l + s> 1 — е') изменения х'.
Переменное б заключено в промежутке, лежащем внутри (е, тс — е');
поэтому -7г (б + 0') всегда лежит в промежутке (s, тс—е'), и esc у (б 4- б') пре-
превосходит некоторое число, зависящее от s и s'. Отсюда следует, что пер-
первое условие теоремы о сходимости, состоящее в том, что |i?F',6, га) |
должно быть ограничено, выполнено. Чтобы доказать выполнение второго
условия, рассмотрим какой-нибудь промежуток (а, [3), заключенный в
Р Pi
(s, тс-s"). Очевидно, что ^ F(V, б, ra)rf6'= ^ FF',6, га) ей', где (ах, рх)-
часть промежутка (а, [3), общая с (б — tj', в —|— -rj), если таковая вообще су-
существует. Далее,
fii О'
', б, га)с№' =¦ csc-y (o-j-aj) \ cos
1
4-CSC-t,- (б +Pi) \ COS
где б" — некоторая точка промежутка (alt px). Таким образом,
Л1
где К от б и га не зависит; следовательно, этот интеграл стремится к ну-
нулю, когда га—>оо.
Итак, согласно общей теореме сходимости
e-1)-
sin 4- (в + в')
яри га —> оо стремится к нулю равномерно относительно 9 в промежутке
{б, it — s'). Что же касается множителя
ГТ (") —5"
то он стремится к единице, так как — . асимптотически равно га ^
()
Рассмотрим тецерь выражение

316 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛВЖАНДРА И ЛАПЛАСА [20&
Мы покажем, что при п—>со
e-v sin 1 @-0')
равномерно стремится к нулю. Преобразуем этот интеграл:
в+1 sin [G1+1) @-0')-sin [Уга+-1Л F —6')] i
Г L \ * У J „:„я пи
8-v sin 1@-6')
_Yc°s[(ra+T)F-B')]=ini9
'f(cosB')dB' =
cos ^F-6')
= sec ^ V ^ cos [ ^n + -| Ve - 6') 1 sin2 6'/ (cos 6') rf0' +
e-v
Г ^n + -|Ve —9'I sin26'/(cos6')rf6'r
cos
где ? —некоторое число, заключенное в промежутке (— -ц', -ц). Применяя
ту же теорему, что и раньше, найдем, что этот интеграл равномррно стре-
стремится к нулю.
Таким образом, доказано, что при выполнении известных условий,
которые в каждом отдельном случае должны быть проверены, поведение
ряда Лежандра в точке 9 зависит только от поведения выражения
5'/(cos6')rfG'.
С таким интегралом мы встречаемся при рассмотрении ряда °Фурье
функции /(cos6) sin2"8. Следовательно, достаточные условия сходимости ряда
Фурье во внутренней точке промежутка (—1, 1) или равномерной сходи-
сходимости в промежутке, лежащем внутри ( —1, 1), будут непосредственно
перенесены на ряды Лежандра, если мы докажем, что не рассмотренные
еще нами части интеграла, выражающего sn(x), равномерно стремятся
к нулю при п—>оо. В точке 9, в которой выполнены любые достаточные
условия сходимости приведенного выше интеграла к -?¦ {/ (cos (9 -f- 0)) -f-
+ /(cos(9 —0))} sin2 0, ]эяд Лежандра сходится к
Далее, при соблюдении некоторых дополнительных условий наш инте-
интеграл равномерно сходится к / (х) во всяком промежутке, лежащем внутри
( — 1, 1), в котором /(ж) непрерывна.
Перейдем теперь к рассмотрению остальных слагаемых выражения,
представляющего частичную сумму sn(x) ряда Лежандра.

205] § 1. РЯД ЛИЖАНДРА 317
Рассмотрим сначала
B Sin6)
B sin6'J
введя в этот интеграл выражение
COS (П + -тг) в'—-^-
I V т 2^ 4 I ,,.1 / (cos 0') , ,
Т Pn+i.i (»)| cos в'-cos О ЙЖ »
Г\2Bп + 5) 3 + Рп+1,2(в)
г; B sin ОJ
и соответствующее выражение />„+!,! @').
Интеграл от слагаемых, содержащих рп+\л{Щ и Рп+1,2 ("'), может быть
взят, как показано выше, в пределах от 0 —tj' до б-}! и поэтому записан
так:
п(»)п(п+1) Т г С08
ПГ 7 ГГ \ I" i
П() V BsineJ
г С08[(п+т)°-т]
I" i
С08[(п+тN'-т]
LJi 4 -
B sin 6'J
Применяя теорему о среднем значении в дифференциальном исчислении,
представим его в виде
1 прошлое X i с°8К"-4>-т1
¦7—р TV J 1 i Рп+1,а(у —
Я2 П^п+Т^ ,_,. B sin ОI
, COS Гп + -9" ) 5 Т л
-|—— Ц ^Р»+1.2(в)} 3-^/@08 в') sin в'Л',
B sin SJ
где I заключено в промежутке @ — г/, 0 -f-tj) .
Так как
то содержимое витых скобок под интегралом представляет собой сумму
_3 _5
произведений ограниченных функций соответственно на п 2 и п 2. Все же
1
выражение целиком оказывается суммой двух слагаемых, в которых — и
1
-j помножены на интегралы от произведений / (cos 0') sin б' dO' на функции,
ограниченные по б и б'; эти интегралы меньше некоторых постоянных,
не зависящих от и, 0 и б'. Следовательно, все выражение при п—* оо
стремится к нулю равномерно относительно 0 в указанном промежутке.

318 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА ЛАПЛАСА [20-&
Интеграл от остальной группы слагаемых есть
X
2я,
е+т,
X
И-
8
B sin UJ B sin О')
4 J LV 2 / ^ J 1 / (COS 6 ) .2 g,
з i J cose'-cosOSm °
B sin 6J B sin 6'J
Записав выражение, стоящее под интегралом в витых скобках, в виде
1 X
1 -
B sin 8JB sin О'J
X {cos [(« + !) F +0')] [sin-! F-G') sin 1F+6')-
sin-|- F -j- 6') sini- @ - 0') - sin-i- @ - 6') cos-|-(9 + 6') +
+ sin-|F-9') cos {(9+ 9')]+sin [(«+!)(8+ 9')] X
X [-sinlF-G')cos-!F + 6
+ sinlF-G')sinl(e + G')-sin 1(8-9') sin|-(9 + 6'
мы замечаем, что оно содержит множитель sin у F — 6'), общий с разностью
cos 6 — cos 6' = 2 sin 1 F — 6') sin 1 F + 6'),
стоящей в знаменателе. Сокращая на него, получим под интегралом произ-
ведение / (cos 6') sin2 G' на функцию, ограниченную по 6 и 9'; поэтому сам
интеграл по абсолютной величине будет меньше некоторой постоянной,,
не зависящей от 6 и О'. А так как
1
асимптотически равно ^- , то все выражение целиком при п —> оо стремится?
к нулю равномерно относительно 9 в любом промежутке, лежащем вну-
внутри ( — 1, 1).
Точно таким же способом доказывается аналогичное утверждение-
относительно
—
~г Tl\n + -2j x-v. B я1
B sin в)
1
.1 (в ) /
/(cos 6')

205] 1. РЯД ЛКЖАНДРА 319
Остается еще рассмотреть
Пользуясь теоремой о среднем из дифференциального исчисления, мы зани-
шем это выражение в виде
_ 2п/
^ b«.i(9)K+i,i@)-^+i,i(9)K,i(9)]^f /(cosO')<№,
6-У
где 6 заключено между б и 6'. Выражение в витых скобках под интегра-
1
лом меньше, чем -j с некоторым постоянным множителем; поэтому все-
выражение равномерно стремится к нулю, когда и—>оо.
Мы доказали, что частичная сумма sn(x) ряда Лежандра сходится
во внутренней точке х промежутка (—1, 1), если ряд Фурье функции
/(cos 6) sin2 6 сходится в точке 0, где cos б = х. Кроме того, мы доказали,,
что если указанный ряд Фурье сходится равномерно во всяком лежащем
внутри (— 1, 1) промежутке, в которой /(cos6)sin2 9 непрерывна, то так же
ведет себя соответствующий ряд Лежапдра.
Далее, так как
i t_
/ (cos OJ sin2 Q1 — f (cos 02) sin2 62 =
1 4 >
= sin2 0x [/ (cos ex) — / (cos 62) + / (cos 62) (sin2X - sin2 62)] =
= A - xtf [f (xt) - f (x2)] + f (x2) [A - xtf - A - *|)I]r
то, как легко видеть, если / (ж) имеет ограниченное изменение в каком-
нибудь промежутке, лежащем внутри (—1, 1), то / (cos 0) sin2 0 имеет огра-
ограниченное изменение в соответствующем промежутке, попадающем внутрь
(О, тс). Так же если при каком-нибудь бх функция / (х) удовлетворяет усло-
условию Липшица | / (Xj) — f (х2) | < | xt — х2 Г с некоторым положительным а для
всех х2, достаточно близких к х1г то / (cos 6) sin2 б удовлетворяет условию
Липшица в точке 6Х.
Итак, установлена следующая теорема:
Если —S^l— суммируема по х в промежутке (—1, 1), то ряд Лежан-
A-**)*
оо 1
дра 2 (п + ^)рп(*)] f(x')Pn(x')dx' сходится к 1 {/(* + ()) + / (х-0)}
71 = 0 -1
в любой точке внутри ( —1, 1) при условии, что f (x) имеет ограниченное
изменение в некоторой окрестности этой точки, или f (x) имеет в точке х
ограниченные производные, или f (x) удовлетворяет в точке х условию
Липшица, или, наконец, выполняется любое другое достаточное условие
i
сходимости ряда Фурье функции f (cosO) sin2 0.
Далее, ряд Лежандра сходится равномерно во всяком промежутке,,
в котором f (х) непрерывна, причем в его концах. / (ж) непрерывна как слеваТ

320 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [206
так и справа, если только этот промежуток лежит внутри какого-
нибудь промежутка, где / (х) имеет ограниченное изменение. Любое другое
i_
достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье функции / (cos 0) sin2 6
порождает соответствующее достаточное условие равномерной сходимости
ряда Лежандра в промежутке, лежащем внутри ( —1, 1)-
206. Чтобы функция * ^х' i была суммируема в промежутке ( — 1, 1),
A—Z2)*
достаточно, чтобы / (х) была суммируема в этом промежутке и в окрестно-
окрестностях точек — 1 и 1 удовлетворяла неравенствам
з з
где А и А' — положительные числа, к < -г , к' < -т- .
Достаточны также известные логарифмические условия сходимости
интегралов в таких окрестностях. Частный случай этого результата полу-
т А А'
чил Дарбу: он'показал, что если /(ж) равна . .fc и .._ .fe, соответственно
3 3
в окрестпостях точек — 1 и 1, причем к < -т- и к' < -г, то ряд Лежандра
сходится по крайней мере во всех внутренних точках промежутка ( — 1, 1).
Покажем теперь, что если в некоторой окрестности точки — 1
где к~>-г, а Д (х) ограничена, то ряд Лежандра не сходится нигде внутри
( — 1,1). То же верно при соответствующем предположении относительно
характера функции / (х) вблизи 1. Пусть х — какая-нибудь фиксированная
точка внутри промежутка ( — 1, 1); тогда, очевидно, вблизи точки х' = — 1
где U{x') ограничена. Нам достаточно будет доказать, что при &>х инте-
1 i
С г?Рп(х'\ , ,
грал \ ;t ',)ft-«ж не имеет определенного предела, когда п—>оо^ заме-
заметим, что для самого существования интеграла необходимо условие &<1.
В самом деле, отсюда будет следовать, что i n Амя dx' не имеет при га-»оо
определенного предела и то же будет справедливо для
1
n+_i
2
-1
Мы имеем

207] § 1. РЯД ЛЕЖАНДРА 321
где Ао + Ах + ... + Ап — 1. Отсюда
iol-»/ 4\" *(* + !) ... (к + п-1)
-k) '
дак как интеграл слева обращается в нуль при к = 0, — 1, — 2, ...
..., -(«-1).
Выражение в правой части можно записать в виде
J -l) П(-*)
что асимптотически равно
1-» U (-
3
При /с > -т- это выражение неограниченно возрастает, когда га—»оо; при
о 3
к —-г- оно не имеет определенного значения; при Л < v- оно стремится
к нулю.
Итак, доказана следующая теорема:
Если вблизи точки —1 функция f (х) имеет вид ., >ft + /i(^)> где
k;^_r_} a fx{x) ограничена, то ряд Лежандра не сходится ни в одной
внутренней точке промежутка (— 1, 1). Аналогично, если вблизи 1 функ-
ция f(x) имеет вид .. \ki-\-fz(x)t г&е ^'>-j, a fz(x) ограничена, то ряд
не сходится ни в одной внутренней точке промежутка (— 1, 1).
Возможность нарушения сходимости ряда Лежандра всюду внутри
промежутка (— 1, 1) из-за неудачного строения функции вблизи его кон-
концов объясняется тем, что — 1 и 1 представляют собой особые точки диф-
дифференциального уравнения, которому удовлетворяют функции Рп(х). В тео-
теории рядов Фурье подобное явление не имеет места, так как —кик
не являются особыми точками дифференциального уравнения, решениями
которого служат cosraa; и sinraa;.
207. Нам остается рассмотреть вопрос сходимости ряда в концах про-
промежутка (—1,1). Оказывается, что тогда, когда f(x) интегрируема по
Лебегу в промежутке (— 1, 1), условие, что f(x) имеет ограниченное изме-
изменение в некоторых окрестностях точек —1 и 1, недостаточно для сходи-
сходимости ряда
?5 f(x')Pn(x')dx*
п=0
в этих точках. Для этого достаточно, хотя и не необходимо, чтобы f(x)
имела ограниченное изменение на всем промежутке (— 1, 1).
Будем рассматривать наш ряд в точке х = 1; его частичная сумма
равна
-1
21 Е. В. Гобсон

322 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [207
Сначала мы оценим предел при га —> со выражения
п+ 1 Г Pn(x')—Pn*i(*') лг'
где -1<а<^<1.
Подставив сюда выражения Рп(%') и Рп+1(х') из п. 193, заметим, что
интересующий нас предел зависит от предела выражения
Что же касается вообще выражения вида
L i
v
где O<jo<g<K, то, так как /(#') суммируема в промежутке (а,
i? F') суммируема в промежутке (jo, g), поэтому
lim
n->oo
р
но отсюда еще не следует, что
1 9
limra2" [
[p
Если же /(ж') имеет в промежутке (а, |3) ограниченное изменение,
то ^F') имеет ограниченное изменение в промежутке (р, q), и последнее
соотношение выполняется. Чтобы это показать, представим ^F') в виде
разности функций ^F') и F2(Q'), ограниченных и монотонных в про-
промежутке (р, q). Тогда
р
р в
= Fl(p) ^an[(n+l)V-%]db' + Fl(q) ^пп[(п
р р
где р — некоторое число, заключенное между р и q, откуда
Применив ту же оценку к интегралу, содержащему F2(b'), придем
к выводу, что
lim » + i С pn^)-P^')Hx.)dx,=

208] § 1. РЯД ЛЕЖАНДРА 323
Теперь предположим, что в окрестности (? — tj, ? + ¦»)) внутренней точки ?
промежутка (a, J3)
где 0 < к < 1, а ср(ж) — функция с ограниченным изменением. Мы вправе
допустить, что f(x) имеет ограниченное изменение в промежутках (a, S — т\)
и (S + K), Р), так что в точке S — единственный бесконечный разрыв функ-
функции f(x) между а и р. В промежутке (S —т), ? + )
где у = arc cos?, a jf^ F')—функция с ограниченным изменением.
Чтобы выяснить, какое влияние на поведение ряда в точке 1 оказывает
наличие бесконечного разрыва, вычислим
Tf-41
1 I a
= limra^\ -^sin (n+l)a + (n + l)f —-^- da.
Положив (n + l)u = v, мы увидим, что существование этого предела
зависит от существования
1 («+1IJ 1 (П+1IK
,. ft-9 f sin» , ,. h—r r cos» ,
hmra 2 \ —г^у> bm» l \ —rT"-0'
n-*oo J " n-*oo J "
-(n+lLi -(«+1I1
При /с < у оба последних предела существуют и равны нулю. При
1 1
к = -тг определенного предела нет. При к>-~- исследуемое выражений
с увеличением п неограниченно возрастает.
Итак, доказано, что если f(x') — функция с ограниченным изменением
в промежутках вида (— 1, S — е) и (S + e, 1), а в точке S она имеет беско-
бесконечный разрыв порядка >-тг> то соотношение
lim ^ ( Р"(УГ1(Х)/(*')dx> = О
не может иметь места. В этом случае, хотя / (х) может быть суммируема
на ( — 1,1) и иметь ограниченное изменение вблизи точек —1-й 1, ее ряд
Лежандра в этих точках сходиться не может. Может случиться также, что
такой предел не существует и, следовательно, ряд расходится в точке 1
для функции/(ж), ограниченной в (а, Р), но с неограниченным изменением.
Таким образом, ряд Лежандра для функции, ограниченной в (—1,1)
и интегрируемой по Лебегу в этом промежугк&, может расходиться
в точке 1.
208. Чтобы исследовать те части интеграла, изображающего частичную
сумму ряда в точке х = 1, которые приходятся на окребтйсгсти точек 4
и — 1, можпо заменить
n+iPn(x')—Pntl(x')
2 1-х'
21*

324 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [208
выражением
1 <dPn(x') dP^fr'u
2 \ dx' "т" dx' J '
Мы должны рассмотреть интегралы
Ww- т \ {4^
Допустим, что / (х') монотонна в промежутках (— 1, — 1 + s) и A — е, 1).
Тогда
-1+1
т \
где (а — некоторая точка промежутка @, е). Правая часть по абсолютной
величине меньше, чем
если s выбрано так, что |/(—1+0) —/ (—1-j-s) | < С- Фиксируем произ-
произвольное положительное С и выберем в так, чтобы выполнялось это неравен-
неравенство и одновременно с ним неравенство |/A — 0) — /A — е) | < С, тогда
можно будет подобрать такое целое щ, что при
-1
Подобным же образом
где (а' —некоторая точка промежутка @, е). Можно выбрать целое щ,
такое, что при п>п%
1-s
<2С.
Наконец, если / (ж) удовлетворяет какому-нибудь условию, достаточ-
достаточному для того чтобы

209] | 2. ПУАССОНОВА СУММА РЯДА ЛЕЖАНДРА 325
то можно указать такое Изг что при п 1> п3 интеграл в левой части послед-
последнего соотношения будет по абсолютной величине меньше С. Если п' —
наибольшее из целых чисел nlt и2, п3, то для и>и'
1
-1
Так как С сколь угодно мало, то
1
lim \
п-»со «
Точно так же может быть исследован вопрос о сходимости в точке — 1.
В нашем выводе мы предполагали / (х) монотонной в промежутках
(—1, —1 + е) и A — s, 1). Ясно, что наш вывод охватывает и тот случай,
когда / (х) — функция с ограниченным изменением в этих промежутках,
так как при этом ее можно представить в виде разности двух монотонных
функций.
Итак, мы доказали следующую теорему:
Пусть f (x)—функция, имеющая ограниченное изменение в некоторых
окрестностях точек —1 и 1. Для того чтобы ее ряд Лежандра сходился
в точках -1 » 1 соответственно к /(—1 + 0) и /A — 0) недостаточно,
чтобы f (х) была интегрируема по Лебегу в промежутке (— 1, 1). Для это-
этого достаточно, однако, чтобы f(x) имела в этом промежутке ограниченное
изменение. Достаточно также, чтобы f (x) имела ограниченное изменение
в области, получаемой изъятием из промежутка (—1, 1) конечного числа
внутренних точек ? вместе с некоторыми их окрестностями, причем в этих
А. 1
последних f (х) представляется в виде |а!_е7ь + Т (х)> где 0 < к < у , а ср (х)
имеет ограниченное изменение. Если же хотя бы для одной из этих то-
точек ? функция f (х) имеет указанный вид, но с А; > -у, то ряд Лежандра
не- сходится к /(—1 + 0) и /A — 0) в точках — 1 и 1.
§ 2. ПУАССОНОВА СУММА РЯДА ЛЕЖАНДРА
209. Пуассон применил к ряду A) метод исследования, который, хота
в своем первоначальном виде и не приводит к определенным результатам,
но с привлечением более поздних результатов может быть, использован
для получения точных выводов относительно сходимости ряда.
Возьмем две точки F, 0) и F', ср') на поверхности сферы единичного
радиуса и положим cos -у = cos б cos 6' + sin б sin б' cos ср', так что if оказы-
оказывается длиной дуги, соединяющей эти точки. Координаты б, б' и ср можно
подчинить неравенствам 0<б<тс, 0<6'<тси —тс<ср<тс.
Мы имеем
(cos Т)+ ... + hnPn (cos
A —2Acosf + fe2J
где 0 < h < 1; этот ряд сходится равномерно для всех -у, так как | Рп (cos -j) | < 1,
а ряд 2 hn сходится при любом h в промежутке 0 < h < 1. Этот ряд можно
дифференцировать по h почленно, при этом ряд из производных будет схо-
сходиться равномерно относительно -у; поэтому
COS7~fe j. = Рх (cos T) + 2hP2 (cos T) + ... + и/г"-1 Pn (cos T) + ...

326 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [209
Умножая обе части последнего равенства на 2h и складывая с предыдущим,
придем к соотношению
00
Ь^ з- = S Bп + 4) hnpn (cos Т) •
2 7J-0
A—2ACOS7 + A2)
Полученный ряд сходится при фиксированном h равномерно относительно -j-
и, следовательно, относительно ф'. Интегрируя по <р' почленно и имея
в виду, что
J Рп (cosT) Лр' = 2т. Рп (cos 6) Pn (cos О'),
—к
получим ряд
A-2 Л cos 7 +А2J
"~°
сходящийся при фиксировапном &(< 1) равномерно относительно 6 и 6'.
Пусть f(x') = /(cos6') суммируема по ж' в промежутке (— 1, 1) и,
следовательно, по б' в промежутке @, тс). Тогда
= 2 ^~- hnPn (cos 0) ^ / (cos в') Рп (cos 0') sin 0' «М\
п-0 О
При &=1 ряд в правой части представляет собой ряд Лежандра.
Его сумма в смысле Пуассона1) определяется как предел, в тех случаях,
когда он существует, левой части при h—>l. Согласно теореме Абеля,
если ряд Лежандра сходится, то он сходится к своей пуассоновой сумме,
но из существования последней сходимость ряда, вообще говоря, не выте-
вытекает. Сумма Пуассона, тогда, когда она существует, выражается в виде
lim г- \ — о- / (cos О'
h->i 4л J 4
A-
где dS—элемент поверхности сферы единичного радиуса, и интегрирование
распространено на всю поверхность сферы. Применим к этому интегралу
общую теорему сходимости. Для этого положим F@', cp', 0, h) равной
1—Л2
нулю или д-, в зависимости от того, попадает или нет точка
A—7 + )
F', <р') в область 0 —е<6'<0 + е, — е<ф' <е; пусть, кроме того, 1 — h = — ,
где п—параметр, фигурирующий в теореме сходимости. При | б' — 6 | > е
имеем
Этот метод суммирования связывают также с именем Абеля. (Прим. перев.)

209] 2. ПУЛССОНОВЛ СУММА РЯДА ЛЕЖАНДРА 327
а последнее выражение в свою очередь при h > h0 меньше некоторой по-
постоянной, так как sin-у-у имеет положительное наименьшее значение, когда
(б', ср') лежит вне области | 6' — б|<е, |ср' |<е. Таким образом, первое усло-
условие общей теоремы сходимости выполнено. Далее, если S — сфера с выре-
вырезанным участком
|В'-в|<е, |?'|<е,
то
где hx < h < 1, a f0 — наименьшее значение if для всех тех точек (б', ср'),
для которых F ФО. Таким образом, \ ^@', ср', 6, h)dS—>0 при h—>l
s
стремится к нулю равномерно относительно б.
Мы показали, что интеграл
\ \ *~^ з / (cos 6')sin 0' db'd(?''
A —2ACOS7 + A2I
распространенный по поверхности сферы, из которой удален участок
| б' — б|<е, |cp'|<s, стремится к нулю равномерно по 6 в промежутке
б
Поэтому нам остается рассмотреть только
I '— 3-/(cos6')sin6'tfe'd<p\
Предположим, что / (х') имеет определенные пределы / (х — 0)и/(ж + )
в точке х. Так как множитель /(cos0') под интегралом положителен, то
т. в + е
где
~я e (I—
и "»li, "Гц стремятся к нулю вместе с е.
Рассмотрим интеграл Д. Возьмем сферические координаты if и ср, взяв
точку Р@, ср) в качестве начала и положив ср равным нулю в направлении
касательной в точке Р к малому кругу, вдоль которого 0 постоянно.
Координата « будет изменяться в пределах от 0 до тс. В новых коорди-
координатах последнее выражение примет вид
it Г
A—

328 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [20»
Проинтегрировав по -f, получим
1 е 1—
A —2/icosf + A2J
где значения f соответствуют граничным точкам области, по которой берется
интеграл.
Предел последнего выражения при h —»1 равен
} *—г*
«-с (t_2Acosf+A2J
где С — сколь угодно малое положительное число.
Но при h0 < h < 1
«г?<л(к2С)
5
' A—2
где ^4 — положительное число. Отсюда
я-С
Кроме того,
A-2
следовательно,
lim A - /г2) Г ^ < 2С
"* A— 2ft cos f +А8J
и подобным же образом
пТA-й2) \
я
— A—2
Так как С сколь угодно мало, то
lim/x = 0.
Так же можно показать, что интеграл /2 имеет такой же предел.
Мы видим, что при h —» 1
'A —
Так как Th и iJ сколь угодно малы, то отсюда следует, что сумма
Пуассона в точке F,0) равна у [/(я — O) + f{x + O)}. В том случае, когда &
заключено в промежутке (е, тс—е) и f(x) непрерывна в точке х = cos S,
сумма Пуассона равна / (х).

209] § 2. ПУЛССОНОВЛ СУММА РЯДА ЛЕЖАНДРА 329
При 6 = 0 нам придется рассмотреть интеграл
¦к е
It С Lz*! r/(cos6')sin9'd8'<V.
-* °
It С Lz! r
A—2hcost + h2f
Произведя такую же замену переменных, как и выше, и интегрируя
по 1 от 0 до s и по <р' (=<р) от —«до тс, мы убедимся в том, что этот
интеграл при h —> 1 стремится к 1. Случай б = тс рассматривается анало-
аналогично. Таким образом, пуассонова сумма в точках 6=0 и б = тс равна
соответственно /A — 0) и /( — 1 + 0) в предположении, что эти пределы
существуют.
Итак, мы доказали следующую теорему:
Пуассонова сумма ряда Лежандра в любой внутренней точке х про-
промежутка ( — 1, 1) равна f(z), если х — точка непрерывности функции / (х),
и равна ¦Y[f(x — Q) + f(x-\-Q)\, если х — точка разрыва первого рода. В лю-
любом промежутке, лежагцем внутри (—1, 1), в котором, f(x) непрерывна,
причем в концах промежутка — непрерывна слева и справа, сходимость
в смысле Пуассона равномерна. В точках —1 и 1 сумма Пуассона равна
соответственно /(— 1 + 0) и /A — 0) тогда, когда эти пределы сугцествуют..
Если
% + aipi (cos б) + • • • + апРп (cos &) + •••
заданный ряд Лежандра, то соответствующий ряд Пуассона имеет вид
а0 + axhPx (cos б) + ... -f an hnPn (cos б) + ...
Если при | апРп (cos 0) | = О f—j в какой-нибудь точке б существует
сумма Пуассона, то, согласно теореме Литтльвуда, в этой точке ряд Ле-
Лежандра сходится и его сумма совпадает с пуассоновой.
Так как для б, заключенного в промежутке (е, тс — е), | Pn(cos 6) | < — Т
где к постоянно, когда е фиксировано, то условие | апРп (cos б) | = О С—
будет выполнено, если ^ — Of—j, т. е. если ап = О 1—\.
г?
Коэффициент ап выражается в виде
f(x')Pn(x')dx',
-1
поэтому, когда f{x') имеет в промежутке (— 1, 1) ограниченное изменение,,
1 1
«п=^ S А (*')рп (*') dx' - ^±i $ U (*') ^п («') ^'.
-1 -1
где А (ж) и /г (ж') монотонны.
Так как
1 б 1
^ А(я')Рп(*')<Ь'-А(-1)$ Рп(ж')^'+АA)^п(^)^' =
=/i_Lzi) гр_ . . m — Р_ - m!4-A(lL;p_ . m_P_ .„«Н

330 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [210
A \
— \ . Таким обра-
„2
(
зом, если f{x')— функция с ограниченным изменением, то ее ряд Лежандра
сходится во всем промежутке. По-иному это было установлено в п. 208.
Итак, доказана теорема:
Если ап = О(—г\,то ряд ас + а^ (cos в)+а2Р2 (cos 0) + ... +anPn (cos 8) +
-f- . .. сходится всюду, где существует его пуассонова сумма; последнее
имеет место во всех точках непрерывности и во всех точках разрыва
/ 1 \
первого рода функции f(x). Условие ап = О / —| выполняется, в частности,
w)
тогда, когда f(x) имеет ограниченное изменение в промежутке (—1,1);
-в этом случае ряд сходится в (—1,1) всюду.
210. Вопросы сходимости ряда Лежандра впервые рассмотрел Пуассон1).
Ошибки в его исследовании отметил Дирихле2); сам Дирихле ограничился
рассмотрением случая, когда f (x) конечное число раз достигает максимума
и минимума в промежутке (— 1, 1). Другая работа принадлежит Бонне3).
Дини *) подошел к вопросу более строго, чем все его предшественники.
В исследованиях Гобсона5) было предположено, что функция — i сум-
A-**)*
мируема в промежутке (—1,1), и показано, что ряд сходится во всякой
впутренней точке, вблизи которой f(x) имеет ограниченное изменение;
были также установлены изложенные выше условия сходимости в концах
промежутка. Вопрос сходимости ряда во внутренних точках в случае функ-
функции с ограниченным изменением во всем промежутке рассматривал Бурк-
хардт6). Упомянем еще статью Уилсона7), где показано, что ряды
где ап — коэффициенты Фурье некоторой функции по многочленам Лежандра,
сходятся почти всюду внутри промежутка (—1,1).
С другой точки зрения рассмотрел вопрос Юнг8). В своей статье он
предположил относительно ряда
что ап = о(га2), и в этом предположении его результаты применимы к про-
произвольным рядам по многочленам Рп(х), а не только к таким, в которых
коэффициенты определяются формулой ап = \ f (x) Pn(x) dx. Рассмат-
-1
ривая ряды, получаемые из данного формальным интегрированием, подобно
тому как это делал Риман с тригонометрическими рядами, и применяя
«вою теорию рядов Фурье9) в слабом смысле, он показал, что произведе-
*) Journ. de Г Ecole Polytecljnique, тетр. 19; см. также Additions a la connaissance
4es temps A829, 1831) и Thoorie de la chaleur, стр. 212.
2) Journ. f. reine angew. Math., 17 A837).
3) Journ. de Liouville, 17 A852), 265.
*) Ann. di Math., II, 6 A874).
6) Proc. Lond. Math. Soc. B), 6 A908), 388; 7 A909), 24.
e) Sitzungsber. Akad. Mfinchen A909).
') Proc. Lond. Math. Soc. B), 21 A923), 389.
8) Proc. Lond. Math. Soc. B), 18 A919), 141.
') См. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, М. —Л., 1939, 284. Оттуда же
яами заимствован неудачпый перевод термина restricted Fourier's series. (Прим. перев).

210] § 2. ПУАССОНОВА СУММА РЯДА ЛЕЖАНДРА 331
яие ряда в точке в отношении сходимости или колебания таково же, как
поведение в соответствующей точке ряда Фурье функции /(cost/).
Что касается условия ап = о(п?), то, если взять асимптотическую фор-
формулу
в которой | а (и, 6) | ограничена при всех и и б, когда б заключено в про-
промежутке (е, тс — е), мы увидим, что для сходимости ряда в точке б необхо-
необходимо условие
га2
так как при ограниченном \ап\ ряд 2 ап" 3 непременно сходится. Таким
образом, условие ап = о (и2) оказывается, вообще говоря, необходимым для
«ходимости ряда. Однако общий член ряда может стремиться к нулю при
отдельных значениях 8 и тогда, когда условие ап = о(п2) не выполняется.
Так, например, ряд 2 B»& + 1) ¦Рвт-и (cos 6) сходится при 0=-g-» хотя ап
тп=0
1_
не есть о (и2).
Следует заметить, что из суммируемости t следует ап=О (и2).
Б самом деле, согласно п. 200,
5
A-*»)*я2
где к постоянно; отсюда уже вытекает, что ап
Феррерс ошибочно утверждал1), что ряд
сходится к нулю всюду, кроме точки х = х', в которой он расходится.
Общий член этого ряда имеет вид
где б и 0' не равны ни 0, ни тс. Это выражение не стремится к нулю,
поэтому ряд не может сходиться. Подобное же ошибочное утверждение
для частного случая высказал ТодхентерJ; он считал, что ряд
l + ZP1(x) + 5Pt(x)+...+Bn+l)Pn(x)+...
всюду, кроме точки x = i, сходится к нулю.
J) Spherical Harmonics, Cambridge, 1877, стр. 66.
1) Functions of Laplace, Lame and Bessel, Cambridge, 1875, стр. 174.

332 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛВЖАНДРА И ЛАПЛАСА [21 Г
§ 3. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА
211. В п. 95 мы показали, что функция /(б, ср), определенная на
поверхности сферы, при некоторых весьма жестких ограничениях может
быть представлена рядом Лапласа
^2 $ $
п=0 0 —я
где
cos f = cos б cos б' -(-sin 6 sin 8' cos (cp— cp').
Теперь мы займемся установлением достаточных условий сходимости
этого ряда к /(9, ср).
Если принять точку (б, ср) за начальную и ввести новые сферические
координаты (f, cp), то ряд запишется в виде
оо тете
1 2 B« + 4) [ \F (Т. ?) Л> (cos T) sin T dcp~ dY,
n=0 0 —я
где F(f, ср) = /(б', ср'). Пусть cp(f) означает среднее функции F (f, <р) или
/(б'.ср') вдоль окружности радиуса f с центром в точке (в, ср), т. е.
те
()
Если теперь переписать ряд в виде
2 1 Bл +1) ^ ср (Т) Pn (cos T) sin T dT,
п=0 О
то мы заметим, что получили ряд Лежандра
со те
2 1 Bл + 1) Pn (cose) U cp (T) Pn (cos T) sin
п=0 "О
при 6 = 0.
В п. 208 мы показали, что если функция ср (f) имеет ограниченное
изменение в окрестности f = 0, то при некоторых дополнительных ограниче-
ограничениях, касающихся поведения функции <p(f) во всем промежутке @, п)т
полученный ряд сходится к <р( + 0).
В том случае, когда функция /(9,9) непрерывна по совокупности
своих переменных в точке (Ь, ср), мы имеем
для всех ср, если только у не превосходит некоторого числа •»)„ зависящего»
от е. Таким образом, при
отсюда, так как е произвольно мало,
Рассмотрим более общий случай, когда точка (б, ср) лежит на линии
разрыва функции /(б, ср). Предположим, что ата линия обладает непрерывно

211] § 3. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА. 333
вращающейся касательной, направлению которой в рассматриваемой точке
отвечает значение <р, равное ср0. Кроме того, мы предположим, что для вся-
всякого положительного е существуют функции /i(9, ср) и /2(9, ср), такие, что
?)-Ыв.?)|<* при
и
|^(Т.?)-/.(в.?)|<в При
для (9,ср), лежащих соответственно по одну и по другую сторону от линии
разрыва. Функции Д (9, ср) и /2(9, ср) служат, таким образом, пределами
функции F (f, ср) при Т ""* ^ с одной и с другой стороны рассматриваемой
линии.
те
Тогда интеграл \ F (у, ср) dcp можно будет разбить на пять слагаемых,
соответствующих участкам (— тс, —тс + сро-~'»)> (— тс + ?о — С» —TC
( —ic + <po + C, <po —Q> (фо^-?> срп + С), (с?0 +С, тс) промежутка интегрирований;
С предполагается стремящимся к нулю вместе с е, т^1' и y\i \ Второе
и четвертое слагаемые по абсолютной величине не превосходят 2&С, где
А —некоторое постоянное. Сумма первого и пятого слагаемых при т<^[1)
разнится от (тс — 2C)/i(9, <р) меньше, чем на е(тс — 2С); точно так же при
7<7I2) третье слагаемое разнится от (тс — 2?)/2@, ср) меньше, чем на
е(тс-2С).
Следовательно, при 7<niinG)A), tjB>)
—те
Отсюда
limi.
—ТС
Соответственно ряд Лапласа при условии, что ср (-^) имеет конечное изме-
изменение в промежутке (— тс, тс) будет сходиться в точке (9, ср) к -^-{/i (?• ^) "Ь
-)-/2(ср, 9)}, т. е. к среднему арифметическому пределов функции /(9, ср)
с той и с другой стороны линии разрыва.
Итак, доказана следующая теорема:
Ряд Лапласа
2 ^П / (б''?')^„ (cosT) sin 9'
n=0 0 —те
функции /(б', ср'), абсолютно интегрируемой (в смысле Лебега) на поверх-
поверхности сферы, сходится к f (б, ср) в точках непрерывности функции
и к -n-f/i (б, <р) + /г(в, ср)} в точках, принадлежащих линии разрыва функции
/(9, ср), вдоль которой / F, ср) имеет пределы /i6(,cp) и /2 (б) ср) с тмой
и с другой стороны. Последнее утверждение верно при дополнительном
условии, что ср (т) — среднее функции f F, ср) вдоль малого круга, соответ-
соответствующего заданному значению ~(,—имеет ограниченное изменение в проме-
промежутке @, тс).
Требование, чтобы ср (¦{) была с ограниченным изменением во всем
промежутке @, тс), не необходимо для сходимости ряда. В соответствии

334 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [21»
с п. 207 и 208 его можно заменить некоторыми ограничениями, налагаемыми
на поведение функции у противоположного конца диаметра, проходя-
проходящего через точку (8, ср), и во внутренних точках промежутка @, тс).
Эта теорема остается в силе и тогда, когда вместо непрерывности
в точке F, ер) функция / (9, ср) удовлетворяет следующему условию: суще-
существует такая постоянная А, что
когда -]f не превышает некоторого т)е, зависящего от е. Условия, относя-
относящиеся к функции ср ("к), остаются при этом прежними.
Докажем теперь следующее предложение:
Условие, фигурирующее в предыдущей теореме и состоящее в том, что-
ср (~[) есть функция с ограниченным изменением в промежутке @, тс), будет
выполнено, если функция / (8, о) такова, что F (~[, ср) при любом <р имеет
ограниченное изменение по f в промежутке @, тс) и ее полное изменение:
в этом промежутке равномерно ограничено при всех значениях ср.
В самом деле, если при любом ср функция F (~[, <р) имеет в
ограниченное изменение, то
где р (~[, ср) и —«(т»?) — соответственно полное положительное и полное
/отрицательное изменения функции F (f, ср) в промежутке @, ¦{). Если е&
полное изменение в промежутке @, тс), т. е. выражение
р{%, 9) + » (тс, ср),
ограничено по ср, то ограничены и р (г, ср), п(тс, ср), а также, следовательно^
РA><?) и »(т»?)-_
Так как р (^, ср) и п (к, ф) при любом ср монотонно возрастающие функции*
те те
от 7> то — \ р (f, ср) dy и т- \ п (f, ср) с?ср также монотонно возрастают-
-те —те
те
и ограничены. Следовательно, функция ср(-^) = -- \ F (^, ср) d<p представ-
—те
ляется в виде разности двух ограниченных монотонных функций от f^
т. е. оказывается функцией с ограниченным изменением.
Теперь мы докажем теорему о равномерной сходимости ряда Лапласа.
Если функция /(9,9) непрерывна в каждой точке некоторого множе--
ства G (в частности, некоторой замкнутой области) на поверхности:
сферы, то ряд Лапласа будет сходиться к /@, 9) равномерно на G, когда
выполняется следующее условие: какова бы ни была точка Р множества G,.
функция f имеет ограниченное изменение вдоль любой полуокружности,,
соединяющей точку Р с противоположной ей точкой Р' сферической поверх-
поверхности, и ее полное изменение на такой полуокружности ограничено сверху
некоторой постоянной, не зависящей ни от полуокруокности, ни от
точки Р, принадлежащей множеству G.
Так как /(О,ср) равномерно непрерывна на множестве G, то, каково-
бы ни было s, число т)Е, при котором \F G, ср) — F @, ср) | < s для всех <р>»
коль скоро 7< %, может быть выбрано одинаковым для всех точек @, <р)*
множества G.

212] § 3. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА ЧТУ
Из результатов п. 207 и 208 вытекает, что
те —г
,. п-\-1 Г /'«(cosy)—РП4.1 (cos y) / \ • j
hm -~- \ — ii Siii tJ m (y) sm y c?y
n-oo 2 J 1—COSY TU; ' '
Б
2
не превзойдет умноженной ——-. суммы полных изменений функции ер (y)-
в промежутках @, е) и @, г — е) плюс |<р@)|. В силу условия теоремы
такое выражение при п —> оо стремится к нулю равномерно относительно-
F, ер) на множестве G. Поэтому остается только рассмотреть те части
интеграла, выражающего частичную сумму ряда, которые распространяются
на промежутки @, е) и (тс — е, тс). Обращаясь же к п. 208, мы увидим,
что они равномерно стремятся соответственно к /F,<р) и к нулю.
212. Совершенно так же, как в п. 209, можно показать, что пуассо-
нова сумма ряда Лапласа равна пределу при h —»1 выражения
¦п те
_L J sin о' rfs' $ Ь*! ^ / @', ср') <*р'
0 ° A-2Acosy + A2J
всегда, когда такой предел существует; в этом выражении cosy —
= cos 6 cos 6' -(-sin 6 sin 0' sin (cp' — cp).
Как и в п. 209, доказывается, что интеграл
—kz^!—i ^(9''?/) sin 9'й9'd(?r'
A—2
распространенный на всю поверхность сферы, за вычетом участка
| 6' — 6 | < е, | ср' — ср | < s, при h —> 1 стремится к нулю равномерно относи-
относительно @, ср).
Остается рассмотреть
—- з / (9'> ?')sin S' dc?' d(t'-
6Гг,р1в A_2Acosy + A2J"
Перейдя к переменным y, cp, получим
1--A2 p
3
A-2
(y, cp) sin
где интеграл берется по той же области.
Когда функция /(9, ср) непрерывна в точке (9, ср), для всех точек
(y, cp) области интегрирования выполняется неравенство
где 7jE стремится к нулю вместе с е. Поэтому, записав рассматриваемый,
интеграл в виде
A—
A—2Acosy + A*J

336 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [213
мы сможем в силу того, что sin f > 0, представить его так:
/(в.
где | 8, | < 7je. Произведя интегрирование по f, получим
/(в.
4jc J A [1-A
1 > 4tiA
-* A — 2A
При этом
/(»,?)+».
/(в,
те
4jc
A-А2)
Г-iA sin2 -j
при всех <р значения f под интегралом превосходят некоторое фиксиро-
фиксированное число.
Следовательно, при h—>1 все выражение сколь угодно мало отли-
отличается от / (&, <р)-(-8е, а так как 8в произвольно мало, то
^
В том случае, когда F, <р) лежит на линии разрыва, по обеим сто-
сторонам которой /F, <р) непрерывна и имеет пределы /х F, <р) и /2 ('J, <р), мы
обнаружим, повторив с некоторыми изменениями рассуждения п. 211, что
пуассонова сумма равна -^{/i (б, <р) + /2(9> ?)}•
Итак, мы приходим к следующей теореме:
Пуассонова сумма ряда Лапласа в точке непрерывности функции
/(9, <р) равна значению /(9,<р) в замом точке; на любом замкнутом множе-
множестве точек непрерывности сходимость к пуассоновой сумме равномерна.
В любой точке (б, <р), принадлежащей линий, разрыва, на которой функ-
функция f(b, <p) имеет с той и с другой стороны пределы Д (9, <р) и /2(б>?).
пуассоно,ва сумма ряда Лапласа равна -^ {/2 (9, <р) + /2 (9, <р)}.
§ 4. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА ПО ЧЕЗАРО
213. Так же как в случае тригонометрических и некоторых других
рядов, жесткость условий, обеспечивающих сходимость ряда Лапласа,
вызвала необходимость рассмотреть его чезаровские суммы с целью полу-
получить представление функции также в тех точках, где ряд Лапласа расхо-
расходится.
Так как ряд Лежандра представляет собой частный случай ряда
Лапласа, когда функция / (9, ср) не зависит от <р, то вопросы сумми-
суммируемости в смысле Чезаро того и другого ряда оказываются тесно свя-
связанными между собой.

214] § 4. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА ПО ЧЕЗАРО 337
Первые результаты в этом направлении принадлежат Фейеру1). Он
доказал, что ряд Лапласа суммируем (С, 2) в каждой точке непрерывности
функции /F, <р). Позднее Гронуолл2) показал, что в точках непрерыв-
непрерывности имеет место даже суммируемость (С, 1). Общей теорией сумми-
суммируемости (С, к) занимался Чэпмен8) а также Хаар4). Позднее сум-
суммируемость (С, к) рассматривали Лукач5), Хилл8), Фольк7), Когбет-
лянц8). Другими методами суммирования занимался Планшерель9).
Фейер10) упростил доказательства ряда теорем, принадлежащих Гронуоллу
и другим.
Вопросы суммируемости рядов по ультрасферическим функциям рас-
рассматривал Когбетлянц ").
214. Имея в лиду рассмотрение средних арифметических порядка к
со
для ряда Лапласа, начнем со средних для ряда 2 *t2ra + l)P
n=0
Так как
*A>(cosT) h+ ...+Bn + l)Pn (cosT) hn
то среднее арифметическое 21&) первых п +1 членов ряда
равно
где
совпадает с коэффициентом при hn в разложении .. _..fe<il, a Sn есть коэф-
1 1Л2
фициент при пп в произведении ,.
ожении ..
Если—— обозначает среднее арифметическое порядка к ряда
1 -+- 2 cos 7 + 2 cos 2 7 -f ... -f 2 cos и 7 + ...,
то, так как
A— 2А cos f+!A2) 2 A
\ f I 1
_L 1A—A)ft+1 I—2A
2
1) Compt. Rend., 146 A908), 224; см. также Math. Ann., 67 A909), 76; Rend. Circ.
Mat. Palermo, 38 A914), 79.
2) Math. Ann., 74 A913); 213; 75 A914), 321.
3) Quart. Journ., 43 A911), 1; Math. Ann., 75 A912).
4) Rend. Circ. Mat. Palermo, 32 A911), 132; см. также Math. Ann., 69 A919).
Math. Zs., 14 A922), 250.
) Math. Zs., 5 A919). 17; 8 A920), 79.
») Sitzungsber Akad. Miinchen A921), 267.
8) Math. Zs., 14 A922), 99.
») Rend. Circ. Mat. Palermo, 33 A912), 41.
") Math. Zs., 24 A925), 267.
w) Journ. de Liouville (IX), 3 A924), 107.
22 e. в. Гобсон

338 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛВЖАНДРА И ЛАПЛАСА [214
получим соотношение
JW = Ро (cos т) ©<*> + Л (cos т) ©W, + ...+ Рп (cos Т) @(о">.
Для к — 1 будем иметь
5«> = Л, (cosT) ©<?> + Л (cosT) ©?2, + ... +Р„ (cosT) €#>.
Но известно, что для ряда 1 + 2 cos'6 + 2 cos2 б + ... +2 cos и 6+ ...
поэтому
sinyTf
. 1 1a { . 1 12
sin -;r reif 1 sin -^ ¦
Так как | Pn (cos7) | < ^—j- для 0 < G < тс, где *! —постоянная,
(n sin f) 2
не зависящая от 6 и n (n > 0), то
°-2J sin2lTsin2T
где /е2 —постоянная, не зависящая от п и у-
Далее, при у<т<тс и п>0, так как |Pn(cos-]f) |< 1, имеем
1 , .. Ч2
sin у
<(п+1J, поэтому при 0<6<i:
Кроме того,
Так как Cn1) = n + 1, то мы видим, что ^п5 (т)> частичная сумма (С,1)
ряда 1 + 2 B» + 1) ^n (cos 7), для п = 1, 2, 3,... удовлетворяет неравен-
неравенствам
к2 при
Z—f—I
n 2sin2-j-[sin2
2 при y

214] $ 4. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА ПО ЧВЗАРО 339
Чезаровская частичная сумма первого порядка ряда Лапласа равна
где cos f = cos 0 cos 6' -f- sin б sin6' cos (<p — ср') и интеграл берется по поверх-
поверхности сферы. Введем, как и раньше, координаты т» ср, взяв в качестве
начала точку (б', ср')- Интегрирование по -j распространим отдельно на про-
промежутки @, е), (е, iz — е), и i(iz — e, тс); по ср интеграл всюду берется в пре-
пределах от — т. до it. Записав
мы сможем сказать, что второй интеграл по абсолютной величине будет
меньше, чем
те —s те
4яп2
что в свою очередь меньше, чем
¦к те
Таким образом, когда е фиксировано, второй интеграл при п—>¦ оо
стремится к нулю, притом равномерно относительно (б, ср) на всей сфере.
Третий интеграл по абсолютной величине меньше, чем
а это выражение при достаточно малом е будет меньше сколь угодно
малого Се. При этом, когда е—>0, Св стремится к нулю равномерно отно-
относительно (б, ср) в силу известного свойства интеграла Лебега, взятого
по множеству е, стремиться к нулю равномерно относительно этих мно-
множеств, когда тп(е)~>0.
Нам остается рассмотреть интеграл
О -те
О -те
где ^ — постоянная, которую мы можем приравнять значению/(б, <р) в том
случае, когда /F*,ср') непрерывна в точке (8, ср).
W
Подставив значение Sn в выражение - _"v и воспользовавшись равен-
- _v
те те
ством \ \ /*„ (cos "г) <&р с?? — 0, справедливым для и > 0, получим
О -те
те те
22*

340 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛВЖАНДРА И ЛАПЛАСА [214
Выше мы показали, что для всех п
те —« те
где Се —>0 при е->0, и
i i 2» (т)
—75
75 75
стремится к нулю (последнее утверждение получим, положив F {-\, <?) = 1).
Поэтому
lim
п-*оо
2»° (Т) sin T do dt-ir.
где С стремится к нулю вместе с г. Итак,
О —те
отличается от Л на величину, стремящуюся к нулю вместе с г.
Если /F', ср') непрерывна в точке (О,ср), то \F (i, <pj—А\ <ош при
7<г, где 8» при г—*0 стремится к нулю.
При этом
О -те
следовательно,
О -те
5"
О -те
сколь угодно мало при достаточно малом г.
Итак, доказано, что
lim
п~*-<х>
при достаточно малом е сколь угодно мало, т. е.
/F', cp')
о i
Кроме того, на всяком замкнутом множестве точек непрерывности
функция / равномерно непрерывна, следовательно, это предельное соот-
соотношение выполняется на таком множестве равномерно.
Таким образом, доказана следующая принадлежащая Гронуоллу тео-
теорема:
Если функция f (Ъ, ср) на сфере абсолютно интегрируема (в смысле Лебега),
то ее ряд Лапласа суммируем (С, 1) к /(9, ср) в любой точке непрерывности
функции /F, ср).
Далее получен следующий результат:
Если функция f @, <р). на сфере абсолютно интегрируема (в смысле
Лебега), то ее ряд Лапласа равномерно суммируем (С,\) к /(9, ср) на
любом замкнутом множестве точек непрерывности функции /F, ср).

215]
§ 4. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА ПО ЧЕЗАРО
341
215. Рассмотрим теперь случай, когда функция /@',<р') разрывна
в точке (9, <р). Выше мы показали, что ряд Лапласа в точке @, <р) сум-
суммируем (С, 1) к числу А, если, когда га—>оо,
5 Я
И
О —я
становится сколь угодно малым при достаточно малом s. Возьмем — < s
и разобьем этот интеграл на два слагаемых, интегрируя по ? отдельно
от 0 до — и от — до s.
При этом рассматриваемый интеграл можно записать в виде
где
Для интеграла, распространенного по первому промежутку, имеем
п
|J^(t)-
1
п
1 с
где i=—. Таким образом, если \ | Ft G) — -4|о?Т имеет в точке t = 0 про-
производную, равную нулю, то
1
п
стремится к нулю при и —» со.
Далее имеем
»
I
sin'Т

342 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛВЖАНДРА И ЛАПЛАСА [216
И
T2 T2 0
« i 72
7 т
Если <р(т/) = — \ | ^*х (т) — A\d-ju \ \F1(-()—„4 |d? имеет в точке -j-=Onpo-
о о
изводную, равную нулю, то функцня <р (-ц-) оказывается непрерывной в про-
промежутке @, s) и <р @) = 0. При этом
I
п
72 72 « i 72
если <р G) < 5i когда 0<if<s- Отсюда, так как гае>1,
1^
п
при достаточно большом п.
Таким образом, когда п достаточно велико,
Так как s и S были выбраны произвольно, то
сколь угодно мало, т. е.
5 5
0 -я
стремится к нулю.
Таким образом, мы доказали теорему:
Если функция /F,<р) абсолютно интегрируема на сфере, то ее ряд
Лапласа суммируем (С, 1) к числу А, если
где
216. Для рассмотрения методов суммирования (С, к) с 0 < к < 1 нам
понадобится следующая лемма, впервые явно сформулированная Фейером:
Если 0</?<1 и {_ ~=со + с^+ ... +cnzn+ ... ,
{_
то
... +cnzn\< A5г|р ,
где га>0, |z| < 1, z Ф\, а постоянная Н не зависит от п и z, не зави-
зависит от р.

2161 § 4. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА ПО ЧВЗАРО Я43
Так как сп=-- -^ р{р +1) ... (/> + « — 1)» то со>е1>с2, > ... : кроме
того, сп<-рр, где А не зависит от п.
Имеем
|(l-z)(cn+,z«+1+cn+2z"+2+ ..
= | Cn+1 2"+« + (cn+2 - Cn + l ) Zn+2 H- (cn+3 - Cn+2) Z«
< Cn + l ¦+• (cn+2 — Cn+2) 4" (Cn+3 — Сп+з) "Г ... + Cm + 1 < 2cn+1,
откуда
Сначала Положим |1 —z|< —, тогда
... -)-cnz"|
< BP <
где Л и В не зависят от и.
Если же 11 — z I > —, то
.., +CwZn|< u^z|p
2Л
^ A —2|Р Г|1— Z\ Пг-Р ^ | 1 — 2|Р ' | 1 — z|P '
Таким образом, для | z | < 1
ICo + CiZ-b ... +gnZ"l< \i-t\P •
Воспользуемся этой леммой для определения верхнего предела частич-
частичной чезаровской суммы ряда
1+2cos6+*2cos26+ ... +2cosra6-i- ...
Докажем следующую теорему:
Для 0 < к < 1 частичная чезаровская сумма ©„' порядка к ряда
1+2 cos 6 + 2 cos 26 + ... +2 cos габ + ... и/гм 0 < 6 < т. удовлетворяет
неравенству
где С не зависит от 6 м га.
Результат этот, впервые полученный Чэпменом 1), М. Рисе применил
к вопросам суммирования рядов Фурье; ему же принадлежит приведенное
здесь доказательство2).
Значение ©lfe) F) равно деленному на С„ коэффициенту при hn в про-
произведении на
A—Л)Ь«
2) Quart. Journ. Math., 43 A912), 27; см. также Math. Ann., 72 A912), 211.
а) Acta Litt. ас Sci. Univ. Hungaricae Francisco-Josephinae, 1 A923), 104.

344 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [217
(см. п. 214), иначе говоря, деленному на Сп коэффициенту при № в
1 "¦-'¦... +snhn+ ...},
где sn = g обычная га-я частичная сумма.
2sin^r-
it
Коэффициент при hn может быть представлен как
1 „ 2 V r.(ft-l).-ri«
Im I g-e ^j -r
2 sin у r= >
H
Следовательно, согласно предыдущей лемме, его модуль
2sini-e |l-«-ieife"
Ho | 1 — e~ifl |fe = ( 2 sin у ) , поэтому рассматриваемый модуль < -. г—г,
V ' Bsin-le)
Н' "
т. е. <-г—> где Н'—постоянная, не зависящая от 6 и п приО<6<тс.
Так как
где еп стремится к нулю вместе с —, то | @^fe) F) | < , где С — по-
стоянная, не зависящая от и и б при 0<
Обращаясь к п. 2.14, мы видим, что
5*> = PQ (cos 6) ©^fc) + Л (cos 6) ©kfc2i + ... +Рп (cos 6) @{,Ч
где | @^2r| < —i; ffi не зависит от 6 и г.
Поэтому
(SineJ I* 22 „2
Следовательно, для 2jnfc) — »-й частичной суммы к-то порядка ряда
Bw +1) ¦?„ (cos 6) имеем
71=0
I Eiffel I ^ В, 1
л 2
где 0! не зависит от и и в при 0<6<z. При 0<9<тс имеем также
217. Рассмотрим га-ю частичную сумму Л-го порядка ряда Лапласа
для у<Л<1. Как в п. 214, вместо
О —я

217] § 4. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА НО ЧЕЗАРО 345
можно рассмотреть отдельно три интеграла 1г, /2 и 13 в которых инте-
интегрирование по 7 производится соответственно в промежутках @, е),
(е, тс — е) и (г. — s, тс). Так же, как в п. 214, показывается, что /2 при
и—»оо стремится к нулю равномерно для всех (9,ср).
Далее мы имеем
2 я~в -
в предположении, что интеграл в правой части существует. А это пред-
предположение равносильно требованию, чтобы был конечен интеграл
распространенный на область
которая окружает точку i = t., противоположную точке @, ср). Когда это
требование выполнено, интеграл 13 при и—» оо стремится к нулю, и пре-
предел га-й частичной суммы порядка к зависит только от /а.
Далее
о
я
где, как и раньше, ^'i(T)==2it \ /С» ?')<*?• Таким образом, предел s^ йа-
—1С
висит лишь от свойств Fx G) в окрестности точки (б, ip), в которой 7 = 0.
Запишем /а в виде
5 ^ ^ ^
0 —я 0 —и
где, так же как и в п. 215, А — постоянная, равная /@,<р) в том случае,
когда / непрерывна в точке (9,?). Так как S"ft) (т) выражается линейно
через функции Лежандра ^(cost). to
^5
0 -
Кроме того,
где Cs —» 0 при s —» 0, и
при и—»оо стремится к нулю. Последнее можно обнаружить, положив
F (f, <р) = 1; при этом сформулированное выше условие в точке т = тс»
очевидно, выполняется. Таким образом,
lim —
"~*°° о -я

346 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [217
Если /(9\<р') непрерывна в точке (б, <р)> то \F (t> <?) — А\ <Ье при
0<?<е, где 8в—>0 при е—*-0. При этом
е тс
1
_ ... <
0 -it
"й И S»fe
О -тс
Отсюда следует, что
n-»oo ,
О —тс
меньше некоторого числа, сколь угодно малого при достаточно малом s.
Итак,
lim { [ {F (Т, ср) - A} 2ife) (т) sin T dfd^ - 0.
0
П->ОО J J
0 —к
Если же /F',<р') в точке F, <р) разрывна, то, представив
о
в виде суммы двух слагаемых, соответствующих промежуткам интегриро-
11 1
вания от 0 до — и от — до s, где — < е, получим, что абсолютная ве-
п п п
личина первого слагаемого меньше
о
последнее выражение при и—» со стремится к нулю, если
t
о
Второе слагаемое по абсолютной величине
л 2
или
г {
п
где L — некоторое фиксированное число, не зависящее от п и е.

2171 § 4. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ЛАПЛАСА ПО ЧЕРАЗО 347
Далее имеем
т
1 г
Функция <р (т) = — \ | Ft G) — А | df? непрерывна в промежутке @, s),
7 о
т
причем ср(О) = О, если \ (^(т) — A\df имеет в точке т = 0 производную,
о
равную нулю. Тогда при к >-^-
если <p G) < 6 при 0 < ?
Отсюда, когда и достаточно велико,
Л(т)—^}2n Cr)sii
Таким образом,
сколь угодно мало и
1С Я
lim
im [ [ [Ft (Т, ?) - A} 2lft) (t) sin T d? dT = О-
tMOO
6 -1С
Мы доказали теорему:
Если /F,ср) абсолютно интегрируема (в смысле Лебега) на поверхно-
поверхности сферы, то для значений к в промежутке -=- < ft < 1 ее ряд Лапласа
в точке F, <р) суммируем (С, ft) к числу А, в предположении, что

348 ГЛАВА VII. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ЛЕЖАНДРА И ЛАПЛАСА [217
Г Г I /ffl' ф'I f Г-
и существует интеграл \ \ -^-^— Tt ' sm-[d-[d<p, взятый по малой окрест-
окрестности точки у —т., противоположной точке F, ф).
y
Условие \ | Fj (у)— А \ dy — о (у) выполняется, в частности тогда,
о
когда .А = /F,ср), а (б, ср) — точка непрерывности функции /(О'.ср'). Одно
это условие, впрочем, для суммируемости (С, к) Г-у-<&<1 ) недоста-
недостаточно, нужно еще сформулированное выше условие вблизи точки, проти-
противоположной F, ср) на поверхности сферы. Последнее заведомо выполняется
в том случае, когда функция/F', ср') ограничена в окрестности точки у=-т.
К 1
или хотя бы удовлетворяет неравенству |/(8', ср' |< _ с «<у> Дру-
гие достаточные условия указал Когбетлянц.
Примеры
1. Если функция (тс—f)s/(9', <?') при некотором s > — регулярна в окрестности
точки 7 = я> противоположной (9, <р), а /(9', <р') непрерывна в точке (9, <р), то ряд
Лапласа суммируем (С, к) лишь при к > s — 1 (предполагается, что к < 1).
2. Если функция A + хJ f(x), где-^-<&< 1, абсолютно интегрируема в про-
промежутке (— 1, 1), то ряд Лежандра функции f (х) в точке 1 суммируем (С, к)
к / A — 0), если только такой предел существует.
3. Если / (х) абсолютно интегрируема в промежутке (— 1, 1) и вблизи точки
А. 3
х = — 1 / (ж) = . , где s ^ — , то ее ряд Лежандра в точке х = 1 .суммируем
1 3
(С, к) при любом к > — . Если же s > -j-, то суммируемость (С, *) имеет место лишь
при 2s —1 < к < 1.
4. Каково бы ни было &<-»-, существует функция, непрерывная на всей сфере,
ряд Лапласа которой не суммируем (С, к) в заданной наперед точке.
Пусть
1
> = 2 ^Г-{Ргг!(С08в)-Рп1 + 2(с03в)};
п=2
этот ряд сходится при 0^9^тс абсолютно и равномерно, поэтому /(в) непрерывна;
кроме того, /@)=/(тс)=О. Ряд Лежандра функции /(в) есть
При 9 = 0 и 9 = т: он не сходится и не суммируем (С, к) ни при каком к <-»¦• Ван-
Zi
нерджи установил, что он суммируем (С, 1).
5. Если ao>fli >Д2> • - .^Яп>0, то для — 1<я<1 и ге = 0, I, 2, ..
а0Р0 (я) + агРг (*) + ... + яЛ (*) > 0;
в частности,
[Fejer. Acta Litt. Univ. Hungariae Francisco-Josephinae, 2 A924 —1926), 82].

Глава VIII
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
218. В п. 89 мы установили следующее свойство функций Рп ((х) для
целых положительных п:
Рп (cos 0 cos 6' -\- sin G sin 0' cos <p) =
п
= Рп (cos 0) Рп (cos 0') + 2 2 ^S] K (C°S 0) P" (C°S °'} C°S mCf>-
и назвали его теоремой сложения для функции Рп ((х). В настоящей главе
эта теорема будет обобщена на функции Рп (|х) с любым действительным
или комплексным п от аргумента [а, могущего также принимать комплекс-
комплексные значения. Мы рассмотрим также теоремы сложения для функций
Лежандра второго рода при любых значениях степени и аргумента. Пред-
Предварительно мы изложим результаты Якоби1), касающиеся интеграла
с комплексными А, В, С. Положив и = е**, запишем уравнение
+ В sin ф = 0 в виде
(В - Ю) и2 + 2Аи + (В + iC) = 0.
Корни этого последнего уравнения
_— А— (А2-В2—С2J _ -- А+(А2 — ?2_С2J
удовлетворяют соотношениям
' (В ~ tC) (М2 - «h) =» 2 D2 - В2 - С2)
В том случае, когда |их| или |м2| равно 1, выражение А-\- В cos <b-\-Csm<b
обращается в нуль при некотором действительном значении О и рассмат-
рассматриваемый интеграл не существует.
Запишем подинтегральное выражение в виде
1 чмг~м и2—и J
(А2—В2-С2J
Если |и2| > 1, то разложим —^— в равномерно сходящийся ряд
х) Journ. Math., 32 A846), 8—13. Результаты эти изложены у Гейне (Kugelfunk-
tionen, т. I, 1878, стр. 27—31).

350 ГЛАВА VIII. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА [219
если же | и21 < 1, то в ряд
также равномерно сходящийся; случай |м2| = 1 был уже отмечен. С дробью
——— поступаем точно так же.
Если одновременно | мх | > 1 и | и21 > 1 или | мх | < 1 и | м21 < 1» то
подинтегральное выражение представляется в виде ряда по косинусам
и синусам целых кратных ф. Постоянного члена в этом ряду нет, и ряд
сходится равномерно, поэтому сам интеграл равен нулю. При |мх|>1,
| м21 < 1 интеграл равен j-, где знак корня выбирается так,
(А*—В*—С*I
чтобы выполнялось неравенство | А — (А2 — В2 — С2J | < | В — iC | .
Когда |их| или |м2| равно 1, интеграл не существует.
Мы пришли к следующему результату:
Интеграл
2*
j A + Bcosty+C sint|>
не имеет смысла в том случае, когда
\A + (A2-B2-C2f\ = \B-iC\ ,
или
i_
| А- (А2 — В2 — С2)г\ = \B — iC\.
Он равен нулю, если \ А + (А2 — В2-^С2)'г\ и \ А — (А2 — В2 — С2J\ оба больше
или оба меньше \B — iC\. Если же один из этих модулей больше, а дру-
другой меньше \ В — iC \, то интеграл равен ^ , где знак "корня
выбирается так, чтобы выполнялось неравенство
\A-(A2-B2-C2j2~\<\B-iC\.
219. Якоби выразил условия этой теоремы в более симметричной
форме, пользоваться которой в отдельных случаях бывает проще.
Если положить A = x-\-ix', B = y-\-iy', и C = z-\-iz', то уравнение
А + В cos ф 4- С sin ф = 0 при действительных ф оказывается равносильным
двум следующим
х-\-у cos ф + z sinф = 0, х' -f-y' cos(p + 2' simp = 0.
Последние в свою очередь равносильны уравнениям
cos ф sin ф 1
zx' — z'x xy'—х'у yz'—y'z '
если только yz' — y'z, zx' — z'x и ху' — х'у не обращаются одновременно
в нуль, что происходит тогда, когда А, В и С пропорциональны действи-
действительным числам х, у и z. Таким образом, в том случае, когда подинтегральное
выражение становится бесконечным при некотором действительном значе-
значении ф, выполняется условие
(yz' - y'zY = (zx' - a's)» 4- (xy' - х'у)».

219] § 1 . ВВЕДЕНИЕ 351
Если же оно выполняется и, кроме того, -^=-^ = 4-, то рассматривае-
рассматриваемый интеграл существует и значение его пропорционально интегралу
2п
х + у cos ф + z sin ф '
Последний, согласно п. 16, при xi>y2-\-z2 равен
2 — В*-С2J
Для простоты положим ж = 1, х'=0, у = $, у'=$', z — f, z'=f'; тогда
наш интеграл запишется так:
+ О + г'Р') COS ф + (Tf + г?') Sin ф ¦
Обозначим {1 — (P + ip'J — (f 4-if'J}2 = n_jn', при этом выберем то
значение квадратного корня, при котором п > 0. Тогда
и
| В2 + С212 = ф2 Н- Р'2 + т2 + Т'2J - 4 (Р7' - Р'ТJ-
Далее, так как (и — т'J = 1 — В2 — С2, мы имеем
|да_).С212 = 11 - и + i/i' ]2114-и- т' |2 = A + и2 f и'2J-4ге2.
Следовательно,
Ф2 + Р'2 + Т2 + Т'2J - 4 (Рт' - Р'ТJ = A +  + п'2J - 4га2,
откуда видно, что Р2 + Р'2 + Т2 + т'2 ^ 1 +  -*- «'2 соответственно при
IPt'-P'tI^»-
Далее
и2 - и'2 = 1 - р2 - f 4- Р'2 + т'2» пп> = РР' + ТГ'»
отсюда вытекает, что
{(РТ' -Р'ТI + и'2) {(РТ' - Р'ТJ - »2) =
= {Фт'-Р'тJ+Р2+т2Н(Рт'-Р'тJ-Р'2-т'2},
следовательно, | Pf' — p'f | ^ и соответственно при
1Рт'-Р'т12^Р'2+т'2-
Таким образом, при (Pf' —Р'тJ —Р'2 —т'2 ^ 0 имеем соответственно
Не ограничивая общности, можно предположить, что Pf' — P'f > 0.
В самом деле, если это выражение окажется отрицательным, мы вместо <]>
возьмем 2«—<!*• Пределы интегрирования при этом останутся такими же,
Р и |J' не изменятся, a f и f' изменят знаки.

352 ГЛАВА VIII. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ ЛБЖАНДРА 1.219
В принятых обозначениях
-н Р'« -I- т* -н т'я -н 2 (рте'—р'Т
причем
Пр
I ui I2 > I U212 в силу того, что n > 0.
in фт' — P'fJ ^ р'2-[-т'2 имеем соответственно
и, следовательно,
Если |мх|2<1, то |м2|2<1 и интеграл равен нулю. Так как
то
.„„ 12 ._
х 2|
и, следовательно, | нхм2 |2 < 1. Отсюда при | мх |2 > 1 имеем | и212 < 1, поэтому
интеграл равен 2тс A — В2 — С2) ^, причем действительная часть этого квад-
квадратного корня положительна.
Мы показали, что при фт' — р'тJ > или < р'2 -|- т'2 рассматриваемый
интеграл равен соответственно нулю или 2тс A — В2 — С2) 2.
В С
Если вместо В я С взять соответственно —г и ~т- , то условия
(Рт' — 3'т)?^Р'2 + т'2 преобразуются в
(yz' - y'zJ ^ (zx' - z'xJ + (xyr - $'yJ,
но теперь A = x-\-ix', B = y-{-iy', C = z-\-,iz'.
Итак, мы приходим к следующему выводу:0
При A = x-\-ix', В = y-\-iy', С = z + iz' интеграл
) А + ? cos i> + С sin tb
о
не существует, если (yz'— у'zJ = (zx' — z'xJ-\- (xy' — x'yJ, за исключением
случая, когда —,= — = —. Если последние равенства выполняются, то при
хг — уг — z2 > 0 рассматриваемый интеграл равен 2/к(А2—*В2 — С2) %.
При (yz' — y'zJ > (zx' — z'xJ-\-(xy' — x'yJ этот интеграл равен нулю.
При (yz' — y'zJ < (zx' — z'xJ+(xy' — x'yJ этот интеграл равен
j-, причем берется то значение квадратного корня, при котором
| А - (А2 -В2 - СУ \<\B-iC\.
Полученный результат может быть использован для вычисления
интегралов
2тс 2тс
Г cos m <l> d<\i С sin т. i/ d<\i
\ А~)
А~+В cos <\> + С sin
)i A + B cos ф + С sin <]>
с целым положительным т.

220] § 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Р„ (ц) 353
В этом направлении мы имеем следующий результат, принадлежащий
Якоби:
Если {yz' — y'zf>{zx' — z'xY-\-{xy' — z'yY, то
cos го фj, • С sin ro 6,, "i
j, _ • С sin ro 6 ,,
in ф f—l J Л + Ясоз^+Свтф ? —
A +В cos <\i+C sin i _
б ' ' (Л2—Я2-С2J
yz' - y'zf < (zx' - z'xf + (xy' - x'yy, mo
С cos го ф м2"т + мГ
sin ii —
(Л2—?2—С2) 2
2те —m m
M2 — 1
- oty = & T •
(A2—Bi—С2) 2
В этих равенствах т целое положительное; знак квадратного корня опре-
определяется так же, как в предыдущей теореме.
§ 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Рп (;л)
220. Пусть [а и ;а' две точки комплексной плоскости [а, не попада-
попадающие на разрез, произведенный вдоль действительной оси от 1 до —оо,
и такие, что Re (ja) > 0, Re (р') > 0. Мы докажем следующую теорему:
При Re (ja) > 0 и Re (ja') > 0
AA ) COS
ц [n -t-m) '• ¦ -- \« /
m=l
сходится к /^(^[а' — /|»2-Ц/р,'2—1 cos ср) равномерно относительно ср,
принимающего всевозможные действительные значения; индекс п при этом
произволен.
Если п целое, то ряд сводится к конечной сумме, в которой т про-
пробегает значения от I до п.
Этот ряд, как вытекает из формулы C3) гл. V, может быть записан
в виде
ОО
рп (V-) Рп (!*') + 22 (— !)тРп (\>-)Рпт (]*') cosm о.
т=1
Разлагая в ряды Фурье выражения
{[а -\- У [а2 — 1 cos (ф — «p}n, ([a'4-J/ja'2— 1 cosij*)-"-1,
мы, согласно п. 185, получим, так как Re (ja) > 0 и Re (ja') > 0,
OS
^пЫ+2 2
m=i
оо
n '!* I ~^ 2л Д(т—re —1) п '^ '
При целом положительном п первый ряд обрывается на конечном числе
членов.
23 Е. В. Гобсон

354
ГЛАВА VIII. ТВОРВМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЛБЖАНДРА
[220
В п. 185 было показано также, что этот ряд сходится равномерно
относительно «риф; при этом значение п произвольно.
Согласно теореме Парсеваля, ряд
Tт)р
СХОДИТСЯ К
J_ Г (ц+УУ — 1С
ша от
i — <p)[
Сходимость этого ряда равномерна относительно <р-
¦к ( mi+r
ТТ 1п\ _~ . . I
—R
самом деле,
X
X
X
22
шх
П(-п-1)
П(да-и-1)
Так как оба ряда в правой части сходятся равномерно, то при достаточно
большом тих вся правая часть < 2тсе2 для всех <р, где в — произвольным
образом фиксированное положительное число. Выражение в левой части
равно
mj+r
следовательно, рассматриваемый ряд сходится равномерно относительно ср.
Если точки [а + ]/[а2 —1 и [а —|/[а2 —1 обозначить Р и Q, а точки
/— lcos(^ — ср)
2-"! и ]х' — |/"jj.'2 — 1 — Р' и (?', то точки j ^ )
и [а'4-|/[*'2 — lcos<|), которые мы обозначим R и Л', попадут соответ-
соответственно на отрезки PQ и P'Q'. Следовательно, если О —нулевая точка, то
2- ¦-! cos
fA'_|/fJl'2_ 1
Выражение в левой части последнего равенства при всех <р и f окажется
заключенным в промежутке, ограниченном наименьшим и наибольшим
из четырех чисел
ОР
ОР
OQ7"
OQ
ОР'
*
OQ
OQ'
Таким образом, множество значений
— i COS(tp—
y.' + Vv-'2->
при всевозможных ср и ф лежит на положительном расстоянии от нудя.
При фиксированном <р все точки ^-^ попадают внутрь некоторого жен-

220J § 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Р„(ц) 355
тура S, такого, что точки пересечения его с действительной осью лежат
правее нуля, а нуль оказывается вне S.
Займемся теперь преобразованием интеграла
Г У+ТУ-1сО8(ф-?)}"
J (n' + VV2 — 1 COS<l/)ntl
в котором cp фиксировано произвольным образом. По теореме Коши имеем
К + Vytt cos
следовательно,
f
S
— IJ COS+}ntl -* S
где
I_ _L _L
Л = &!*'-!*¦ В = й([х'2-1J -(!*2-1J cos<j>, C= -((x2-lJsm'cp.
Так как модуль подинтегральной функции в Оравой части, ограничен,
то можно изменить порядок интегрирования, при этом получим
л'2 — IJ СОвф}"*1 (S) ~"
Мы видим, что
^2_ В2 _ с-2 == 1 _ 2ЛС + /г2,
где
С = |*|*' - ([х2 - 1) 2 О*'2 -1) 2 cos ср.
Интеграл в правой части вычисляем с помощью теоремы Якоби,
изложенной в п. 219.
Пусть |* = сЬ(& + и|), !*' = сЬE' + и|'), где |>0 ,-\ < т) < | , |'>0,
— у < V < -| , в силу того, что Re (ja) > 0, Re ([*') > 0.
Обозначив A = x + ix', B — y + iy', C = z-\-iz', где х, х', у, у', z, z'
действительны, мы увидим, что при h = h1 + ik1 с действительными й1? Ах
а; = /^ch ?' cos т)' — кг sh I' sin т)' — ch \ cos т),
x' = /гх sh I' sin т)' -ffciCh^'cosT)' —shlsimj,
у — hx sh I' cos tj' — Ax ch %' sin т)' — sh \ cos tj cos ф,
у' = hx ch I' sin t)' -j- Aj sh ?' cos т)' — ch ? sin т) cos <p,
z= — sh I cos t) sin cp,
z' = — ch ^sim)sincp.
Отсюда
yz' — г/'z = sin cp [^ (sh S ch i' cos т) sin щ' — ch I sh I' sin т) cos т)') -\-
+ ftj (sh E sh I' cos t) cos tj' -f ch I ch %' sin т) sin т)')},
xz' — a;'z = sincp [Ax ( — chichi' sin 7} cos tj' + shEshE' cos т\ sin т)') +
j (ch 5 sh %' sin tj sin tj' + sh % ch S' cos tj cos tj') -\- sin tj cos tj] r
23*

356 ГЛАВА VIII. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА [220
ху' — х'у = (h\ + ft?) sin V cosщ' +
-f- /it [ — ch & ch 5' sin t) cos tj' cos <p — ch ? ch ?' cos tj sin V +
-\- sh I sh ?' cos t) sin tj' cos 9 -j- sh I sh ?' sin т) cos т)'] -j-
+ Aj [ch I sh ?' sin t) sin 7/ cos 9 — ch ? sh ?' cos tj cos tj' -f
4-ch I'sh I cos t) cos t)'— sh I sh I'sin 7] sin t)'] -(-sini) cost) cos<p.
Если предположить, что sin 9 т^ О, то из первых двух равенств будет
следовать, что существует не более одной точки (hY, kj, в которой обра-
обращаются в нуль все три последних выражения. Это возможно только при
такой комбинации значений hx и к1г которые, будучи найдены из первых
двух равенств, удовлетворяют одновременно и третьему. Если же <р равно
0,« или —«, то первые два выражения обращаются в нуль, а третье
будет равно нулю лишь на некоторой окружности. Этот случай мы можем
опустить, так как интеграл должен быть непрерывной функцией от <р
в каждой из этих точек. При т] = 0, т)' = 0 первые два выражепия при-
приводятся соответственно к /^shfjshl' и ^shlchl', а третье —к Af sh (S — 5');
последнее равно нулю тогда, когда /с1 = 0 или когда ? = ?'. При к1 = 0 все
три выражения равны нулю всюду па действительной оси; при 5 = ?'
числа (х и (х' оба действительны и больше единицы.
Известно (см. п. 219), что
г" dtp 2тс
j A + Bcosfy + Csinfy уа* —В2—С2
—те
при
(г/г' - y'zY - (zx' - z'x)*- (ху' - х'у)* < 0.
Последнее перавенство имеет место во всех точках контура S, за исклю-
исключением, может быть, одной точки, в которой yz' — y'z, zx' — z'x, ху' — х'у
одновременно обращаются в нуль.
В случае tj = 0, V = 0 kY обращается в нуль, поэтому равенства
yz' — y'z = zx' — z'x = ху' — х'у = 0
выполняются всюду и А + В cos ф + С sin ф = X (х + у cos ф -\- z sin ф), где
X —некоторая постоянная. Отсюда
и это выражение положительно в начале координат. При х2 — у2 — z2 > О
J А + В cos ф 4- С sin ф ^ J z+y cos ф + z sin ф
—я —я
_ 1 2тс _ 2я
^ ]/а;2—у2—z2 У А2—В2—С2
Те точки, где х2 — у2 — z2<0, т. е. те, в которых а фф
обращается в нуль при некотором значении ф, лежат внутри S. Если,
выйдя из начала координат, приближаться к контуру S, то в любой
точке q на контуре S, к которой мы придем, будет выполняться неравен-
неравенство х2 — у2 — z2 > 0. Таким образом, во всех точках этого контура
А+В cosfy + C sin ф

221] § 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Р„ (ц) 357
В точках С±]/С2 —1 будем иметь А2 — В2 — С2 = 0, т. е.
l — 2K + h2 = 0,
следовательно,
я2 — у2 — z2 = я'* — у'2 — z'2
и
яя' — уу' — zz' = 0.
Отсюда вытекает, что выражение
(yz' - y'zJ - (ху' - х'уJ - (xz' - x'zJ,
равное (х2— у2—z2) (х'2— у'2 — z'")—{хх' — уу' — zz'J, приводится в этом
случае к (х2—у2 — z2J; последнее же положительно всюду, за исключением
тех точек, где х2—у2 — z2 = 0.
Когда т)' ф 0, при достаточно больших R благодаря присутствию
члена (h\ -|- к\) sin т)' cos т\ в выражении ху' — х'у выполняется неравенство
{yz' - y'zJ - (ху' - х'уJ - (xz' - *'zJ < 0.
При V = 0
yz' — y'z = O, XZ' — X'Z = Sin T) COST), Xy' — z'2/=Sin7]COSTf COS<p,
поэтому в начале координат
(yz' — y'zJ — (ху' — Х'уJ— (XZ' — X'ZJ= — Sin2 7) COS2 7) < 0,
если только tj ф 0.
Итак, мы показали, что, когда т) и щ' не обращаются в нуль одно-
одновременно, то вне контура S найдется точка, в которой
(yz' - y'zJ - (ху' - х'уJ - (xz' - x'zf < 0.
Когда т) = т)' = 0, то [а и ;а' оказываются на действительной оси, причем
[а > 1 и ;а'> 1, yz' — y'z, zx' — z'x и ху' — х'у обращаются в нуль в начале
координат и х=—chl, у=—shi-cosf, z=—shfjsincp. При этом х2 — у2—
— z2 = 1, и условие, обеспечивающее равенство рассматриваемого инте-
интеграла- выражению 2к(А2-? В2 — С2)'2, выполняется в начале координат.
В точке, в которой А + В cos ф + С sin ф = 0 и
yz' — y'z, zx' — z'x, xy'— х'у
вместе не обращаются в нуль, выражение
(yz' - y'zJ - (ху' - х'уJ - (xz' - x'zJ
обращается в нуль при некотором значении ф, так как
a;-j-2/cost!;-j-zsintJ; = 0 и х' + у' cosф + z' sinф = 0,
откуда
1 cos ф sin ф
yz' — y'z zx'—z'x xy' — x'y
Еслу yz' — y'z = xy' — x'y = xz' — x'z = 0, т. e. —,=¦—,=¦—,, то в такой
точке а; + г/cos ф-f-z sin ф = 0 и, следовательно, я2<г/2 + г2. По предполо-
предположению, все такие точки заключены внутри S.
В общем случае, если, выйдя из какой-нибудь точки X, лежащей вне
S, в которой
(yz' - y'zJ - (ху' - х'уJ - (xz' - x'zJ < 0,
двигаться к S по любой кривой, минуя точки, в которых yz' — y'z, zx' — z'x
и ху' — х'у обращаются в нуль одновременно, то в любой точке q на S,

358 ГЛАВА У1И. ТЕОРЖДШ ОЛОЯШНИЯ ДДЯ ФУНКЦИЙ ЛДИКАНДРА [380
к которой мы придем, будет выполняться условие
{yz' — y'zJ — (ху' — x'yf — (xz' — x'zJ < 0.
В самом деле, в противном случае на дуге pq оказалась бы точка,
в которой {yz'— y'zJ — (xz'— x'zJ — {xy'— х'уJ = 0, а все такие точки
лежат внутри S.
Таким образом, во всех точках, лежащих на самом контуре S или
вне его, выполняется условие
{yz' - y'zJ - {ху' - х'уУ - {xz' - x'zJ < 0,
если только х2 — у2 — z2 Ф 0. Таким образом, если
я2 — У2 — z2 фО,
то обе точки С ± ]/"С2 — 1 попадают внутрь S. При х2 — у2 — z2 = 0 мы имеем
ж'2 — ул — z'2 = 0, xx'^yy' + zz', откуда
следовательно, yz' — y'z = 0 и
у _
_
yy'+zz' ~ х'
Точка, в которой выполняются эти условия одновременно с условием
Х2 — у2 — z2 = 0, лежит внутри S.
Итак, мы показали, что в любом случае точки С ± J/Ч2 — 1 лежат
внутри S.
Так как
J A-rBcos
всюду на S за исключением, может быть, единственной точки или конеч-
конечного числа точек, попавших на действительную ось, то
\
1 \ ((x+
—я
1 С h*dh
2ni A /1 —2АС + А2
(S)
В соответствии с п. 218 arg \^l — 2ЛС + Л2 следует выбирать так, чтобы
| hp'— [л — A — 2hl + h2j2\ было меньше, чем наибольшее из чисел
1 i_ 1
| h ([i.'2 —1J — (ji,2 — 1J cos «p ± i ([л2 — l)^sin <? | . При больших действитель-
действительных h эти выражения асимптотически равны соответственно А | (*' ^f 11
и /г11*-'2—112. Ясно что в arg(l — 2№.-{-h2)'A надо взять верхний знак. Поэ-
Поэтому arg A — 2/гС + А2J надо выбирать так, чтобы его предел был равен
нулю, когда h неограниченно возрастает, оставаясь положительным; так же
выбирается аргумент РП(С), согласно формуле (86) гл. V.
Поэтому выражение в правой части последнего равенства равно Рп (С),
так как контур S охватывает точки С ± |/ С2— 1 и пересекает действи-
действительную ось в точках, лежащих вправо от начала координат.
Выше мы исключили случай, когда ср = О. Теперь это ограничение
может быть снято, так как обе части последнего равенства непрерывны
по <р- Тем самым общая форма теоремы сложения доказана.
Не представит затруднений и тот случай, когда ? = 0, ?' = 0 и |*, {*'
попадают на действительную ось между 0 и 1, хотя С может быть дбйетви-

321] § 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Рп (ц) 359
тельно и заключено между —1 и 0. В этом случае ja = cos6-f 0 • г,
< б < -|, 0 < б' < -|. Так
Рп (cos 8 + 0 • г) = Рп (cos б)
i/ = cos б' -f 0 • i, где 0< б < -|, 0 < б' < -|. Так как
и
0-i)PZ (cos6'+ 0-i) = (-l)mP™ (cos0)P™(cos в'),
то, имея в виду, что в рассматриваемом случае формула
(S) '
остается в силе, мы получим
Рп (cos б cos б' + sin б sin б' cos cp) =
оо
тп=1
При целом положительном п этот ряд обрывается на члене с т = п,
так как
" ' ^(cos6) = (-l)mP^m(eos6).
Справедливость теоремы сложения при условиях Re (ц) > 0 и Re (;*') > О
была установлена Гобсоном1). Ранее ее доказали Уиттекер и Ватеон2)
цри более жестких условиях
Е ([*) > О, R (,*') > О, R № - (,*» -1J (,*'» - 1J} > 0.
Значительно менее точные результаты принадлежат Гейне3).
221. Сумма ряда, полученного в п. 220, непрерывна, поэтому, если
кривая, соединяющая точки
|*|*' - ([X2- 1J ([X'2- 1J, №' + (!*2- 1J ft»'»- 1J,
пересекает действительную ось, то она должна пересекать ее между — 1
и -j-oo. Действительно, функция Рп, когда ее аргумент пересекает действи-
действительную ось, остается непрерывной только в том случае, если точка
пересечения лежит в этом промежутке. Соответствующая функция второго
рода Qn, когда ее аргумент пересекает действительную ось между — оо
и -{-1, претерпевает разрыв.
Имея в виду получить теорему сложения для Qn, мы проверим
справедливость утверждения, высказанного относительно Рп, и исследуем
условия, при которых кривая, соединяющая точки jaja' ± (;а2—1)^(;а'2 — 1J,
должна пересекать действительную ось.
Пусть [A = ch(|-(-iT)), [i' = ch(S' + iY)> гДе. в предположении, что
Be (ja) > 0 и Re (;*') > 0, мы полагаем
1) Ргос. Lond. Math. Soc. B), 29 A928), 355.
2) Курс современного анализа, т. II, М. — Л., 1934, стр. 125.
») Kugelfunktionen, т. I, стр. 319.

360 ГЛАВА VIII. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [221
Тогда
X'2-I = ch (I + I') COS(T) + 7)') + ish (? + ?') Sill G) +7)'),
^~{ = ch E - V) cos (t) - 7)') + i sh (| - V) sin (t) - 7)').
Если точки
комплексной плоскости обозначить соответственно Р ж Q, то точка
С = [i[i' — ([А2 — 1J (ja'2 _ 1J cos ?
при любом о лежит на прямолинейном отрезке PQ. Точка R, в которой
отрезок PQ или его продолжение пересекает действительную ось, имеет
абсциссу
}_ sh 2S sin 2т)' + sh2;' sin 2т)
Т
Пусть \ф\', и будем считать, что %>%'. Если tj + tj' и tj — tj' имеют
одинаковые знаки, то Р и (? лежат по одну сторону от действительной
оси; если tj -f- tj' и т] — tj' имеют противоположные знаки, то Р и Q лежат
по разные стороны действительной оси. В первом случае никакая точка С
не попадает на действительную ось, поэтому мы рассмотрим только второй
случай. При этом могут осуществляться следующие возможности:
1) т) > 0, ?j' > 0 и т)<т)'; тогда и числитель и знаменатель дроби,
выражающей OR, положительны, так что OR > 0;
2) tj< 0, V < 0 и tj > tj'; тогда также OR > 0;
3) т) > 0, Tj' < 0 и т) + т)' < 0; тогда знаменатель дроби, выражающей OR,
отрицателен, а "числитель меньше, чем
у sh 2к (sin 2tj + sin 2т)') = sh 2\ sin (tj + tj') cos (tj — tj'X 0,
откуда OR > 0;
4) T) < 0, Tj' > 0 и т) + т)'>0; тогда знаменатель положителен, а чис-
числитель больше, чем
sh 21' sin (т) -f т)') cos (т) — tj')
и поэтому положителен; таким образом OR > 0;
5) т) = т)'; при этом (? лежит на действительной оси на расстоянии
ch (I — ?') от О, следовательно, О/? > 1;
6) т)=—т)'; при этом Р оказывается на действительной оси на рас-
расстоянии ch (? + ?') > 0 от О.
Точка С может совпадать с Р или Q только тогда, когда ср равно нулю
или кратно «. Итак, мы показали, что при \Ф\' точка С либо вовсе не по-
попадает на действительную ось, либо ее действительное значение положи-
положительно. При этом предполагалось, что ср не равно нулю и не кратно те.
При % = %' Ф0 точка Q лежит на действительной оси на расстоянии
соз(т) — т)') > —1 от нуля, а Р на действительной оси не лежит, если
только Tj-j-Tj' ^=0. При этом С на действительную ось не попадает, так как
в силу условия, положенного на ср, С не совпадает с Q. При | = |' = 0 все
значения С действительны и > —1; этот случай мы пока исключаем
из рассмотрения; другими словами, мы предполагаем, что |i и ц' не при-
принимают одновременно действительных значений, заключенных между 0 и 1.

222]
§ 3. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ
361
§ 3. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ QM([i)
222. Переходим к выводу теоремы сложения для функции Лежандра
второго рода.
Мы показали в п. 185 (см. формулу A55)), что при Rc([a')>0,
Re(ra+l)>0
1 _.
{u/ — (ia'2— IJ COS (cp ± fM)}" + 1
CO
= Pn((a') + 22 тт / _ra_<\ (— l)mP™ ((*') cos m (cp j^ iu) =
CO
2 Чтаг^» (|O cos m (<p ± in) =
-- (li') cos m ((p ± &)t
«1=1
1
в предположении, что Re (и) < -j In ,_ ^ . Этот ряд, как было показано,
сходится равномерно относительно ср. а также относительно Re (и) в любом
1 и.' + 1
промежутке @, м0), когда ио<-^-1п *^г~-л . Множитель и в ш может
не быть действительным.
Предположив, что
Jl'-l
н—1
Jl'-l
, умножим крайние части последних
равенств на {[а — ((а2—1JсЬм}п и проинтегрируем по в от 0 до у]
Получим
_
—(H-8-lJchM)"
j
2 ц—1
1
о {и' —(н-'а—1) cos(cp±fw)}n+1
2П}1-1 1
2 ^Г(ЮХ
X ^ {(а — ((а2 — lJcht?}ncosm(cp ±ш)«гк,
"о
Почленное интегрирование ряда здесь законно, так как Re (и + 1) > 0.
В самом деле, если выбрать тпх так, чтобы неравенство
mi+s
выполнялось для всех s=l, 2, ... и для всех и и <р с 0<Re(H) <м„, то
2IniT^T ,

362
ГЛАВА VIII. TEQPEMI* ОЛОЖБНЦЧ ДЛЯ. ФУЦКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
B22
можно представить в виде
S
— 1
ТП=ТП1
где г = [А — ((а2— 1Jе", а это выражение при Re(ra+l)>0 меньше произ-
ведейия s на некоторое постоянное, так как [а не может попасть в про-
промежуток (— 1, 1) действительной оси. Итак, мы показали, что ряд схо-
сходится равномерно относительно ср и его можно интегрировать почленно.
Применяя к (?™([а) формулу A18) гл. V и складывая ряды, соответ-
соответствующие тому и другому знаку при in, найдем, что при Т\е(п+1)>0,
Re ([а') > 0 и
ряд
•сходится к
1 ,
1
т
Л (!*')<?,»+ 2 2 (-1Г^пт(Ю<?п ([A) cos mcp
(а)
X
¦+¦
равномерно относительно ср.
Условие, касающееся In
1) либо Re ((a) > 0 и
it I 4
5
A—1
In ?
"-1 {fi' —(fi'a —lJCOS(<p —Ш)}«*>'
—г 1 удовлетворяется тогда, когда:
fi'4-d
-1
т. е. тогда, когда [а' леншт вне окружности, на которой отношение рас-
' + l
стояний до точек — 1 и +1 равно
'-1
, 2) либо Re ((а) < 0 и [а лежит
вне окружности, являющейся отражением предыдущей относительно мни-
мнимой оси. Последнее условие можно перефразировать, сказав, что точка —(*
с Re (— [а) > 0 лежит вне окружности, на которой отношение расстояний
до — 1 и
равно
I*'—
Преобразуем -сумму полученного ряда, сделав в интеграле
1
«¦u -.in
du
_((l'2_l)^ COS
замену переменного
{(а - ((а2 - I}2 ch и] {(а + ((а2 - IJ ch о) = 1.
Интеграл примет вид

323] § 3. ТЕОРВМА СЛОЖВНИЯ ДЛЯ Qn (ц) 363
где
А = С = С, - |Ч*' - (f*2 -1J О*'2 - IJ cos cp,
5 = (*' ((A2 — 1)* — (A ((*'* — 1J COS cp,
C = i (i*'2-1J sin. cp
и, следовательно, A* — #* -f- C2 = 1.
Пусть
I I
,4 = C; B = (C2-lJchip, C = (C2-lJship.
Тогда сумму ряда можно выразить в виде интеграла
оо
dv
где р, определенное предыдущими равенствами, может не быть действи-
действительным. Если р = po-\-ig, то взяв в качестве переменной интегрирова-
зшя v — q, получим
оо
_1_ Г dv
2
В соответствии с выводами ^п. 172 при Re (С) > 0 этот интеграл равен
<2п (С) или Qn (С) ± №jPn (С), в зависимости от положения точки ip0
тельно нулей функции
(C2-lJchw.
При Re (С) < 0 интеграл принимает соответственно значения
<?п (V), Qn (V) ± *« { К (V) -1- e±»«* sin nic (?n ((х)} ,
где в е±пж{ берется -f- или — > в зависимости от того, положительно или
отрицательно Im (С).
223. Когда прямолинейный отрезок, соединяющий точки
С« = И*' + № ~ IJ (^'а - IJ, Со = (А(А' - ((А2 - 1M^'» - If,
не пересекает разрез от — со до 1 по действительной оси, сумма получен-
ного выше ряда имеет одинаковый вид для. всех значений ср- Это вытекает
из того, что ряд сходится равномерно относительно ср, следовательно, его
сумма непрерывна по ср.
Если же отрезок, соединяющий точки С? и Cq,. пересекает указанный
разрез, то при переходе <р через соответствующее значение аналитическое
выражение суммы должно меняться, так как функции, представляющие
сумму ряда для значений ср, которым отвечает С?, лежащие по разные
стороны от разреза, служат непрерывными продолжениями друг друга.
Следовательно, при заданных [а и [а' достаточно рассмотреть только
значения Сж и Со- Предположим пока, что Re (ja) > 0. При этом можно
доказать, что arg I ^-j I непременно заключен либо в промежутке
Ui-iJJ
\Т' *0 ' ли^° в пР0МежУтке Г — 1Е> ~т) ¦ Пусть а, р, f —углы, которые

364 ГЛАВА VIII. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [223
образуют с положительным направлением действительной оси отрезки,,
соединяющие С? с точками 1, — 1 и 0; значения а, р и f выбираем в пре-
пределах от —я до 71. Тогда f будет служить аргументом числа Ср,
1 9 -
а у (а + р) — аргументом (С|-1J. Если Re(CT)>0 и Im(C?)>0, то
1 Г ? 1
а — ? > f — ри, следовательно, f —- (а + р) = arg 5—^ заключен между
— у и 0; при этом arg ^ заключен между у и я. Если Re (Cp) <0
Г ? ~| Г » 1
и Im(CT) > 0, то arg —^—j заключен между 0 и у , a arg 2-j —между
— я и — у . Если Re (t^,) .> 0 и Im (Ст) < 0, то arg —^—j заключен между О
и у , a arg *-j — между — ~ и — у • Если Re (С,)<0и Im (СТ) < 0,
то arg 2—т заключен между —\ и 0, a arg -5_ _ между ^иг.
I т I
L(^q> — 1) J м?ф—1) J
Итак, мы видим, что
arg
[ -g>f
2 *
Рассмотрим сначала случай, когда ср = я. При этом
= ii = №' + (ц« - I) ([х'2 - IJ =
= ch (S + ?') cos (т) + V) +»sh (? + V) sin (т] + т)'),
=-- sh (? + ?') cos (т) + V) +1 ch (? + ?') sin (тЦ- V),
C = 0.
Отсюда вытекает, что sht/»-=O, т. е. р = 0 или ± г- Так как 1ш(Сте)
i_
и Im [(Ся — lJ] имеют одинаковые знаки, а В = (С~ — 1) ch ip, то р = 0или
± я, в зависимости от того, имеют Im В и ImC* одинаковые или разные-
знаки. Но так как \ и %' оба положительны, то 1т(Сте) и 1т (В) имеют
тот же знак, что и sin (i) + V). Следовательно, р = 0 и, согласно п. 172,
сумма рассматриваемого ряда равна (?n(Ci0-
В том случае, когда т\ + т)' = 0, в частности, когда т) = tj' = 0 и, сле-
следовательно, и, и [а' оба действительны и > 1, А и Б имеют действитель-
действительные значения, при этом (С2 —IJ" также действительно и положительно,
поэтому chip = i. и р — 0. Если т)Ч-т)' = ±я, то Сп — действительное отри-
отрицательное < — 1; при этом Qn (d) не определено.
Пусть теперь <р = 0. Тогда
= ch (?-?') cos (•») - ii') + i sh (? - ?') sin (tj - yj')»

223] § 8. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ 0„Ы 365
= sh (? - ?') cos (tj - tj') + * ch (E - ?') sin (tj - V),
откуда ship—0, следовательно, р = 0 или ± те.
Если Ira (В) и Im(Co) одинакового знака, что имеет место при Е>?',
то р = 0. Если же ?< ?', то Im(J5) и Im (Со) имеют противоиоложные знаки
И /> = ± те.
Отсюда следует, что при 5 > 5' сумма ряда есть (?п(Со)- Если же
5< ?', то при Re (Со) > 0 сумма ряда (а) равна
в зависимости от того, положителен или отрицателен arg^ (см. п. 172).
Б случае Re (Со) < 0 сумма ряда (а) есть
<?„ (Со) ± «* [ Рп (Со) е'2»»» - ^ е±г№1 sin л* <?п (Со) ] ,
где в показателях берется знак -J- или — соответственно при Im (Со) > О
и Im (Со) < 0. Можно, впрочем, показать, что последний случай невоз-
невозможен.
Предположим, что Re([A)>0; при этом, как нетрудно видеть, условие
и+1
равносильно условию
ch $ cos tj' > ch ?' cos tj.
Если !¦ <S'i то' | t| | > | t| ' |. При $ < $', если знаки tj -f V и tj — tj' одинаковы,
точки Со и Ся лежат по разные стороны от действительной оси, и отрезок,
их соединяющий, пересекает действительную ось в точке R с абсциссой
OR<0 (см. п. 221).
Мы имеем
. j-.pi л sb? chS sin Y]'cosr]' + sh?'eh ?'sint] cost]
sh5ch5'cost] sinY]'-)-ch 5sh5'sinY) cost]'
(ch 5 cosy]' — ch?' cosy;) (sh ?' sini\—sh ? sinYj')
shS ch$' cosy] sint/ + ch5sh?' sinY] cos i\'
причем первый множитель в числителе, как мы видели, положителен.
Если tj > 0, tj' > 0, то числитель положителен; кроме того,
sh ?' sin 7j — sh % sin -ц' > sh $ (sin tj — sin -ц) > О,
поэтому 0 < OR < 1, т. е. отрезок, соединяющий точки Со и С*, пересекает
действительную ось в промежутке между 0 и 1. То же верно тогда, когда
tj < 0 и tj' < 0. При tj > О и tj' < 0 числитель положителен, так как
tj >—tj'; что же касается знаменателя, то записав его в виде
ch?cos| tj' |sh?' sin-r) — ch?' cosTjsh?sin| tj' |,
мы заметим, что он положителен, так как
ch ? cos | tj' | sh $' sin tj — ch V cos tj sh % sin | tj' | >
> cosS' cos T) (sh V sin tj — sh $ sin | т\ \) >
>ch$'cosTj[sinTj'|(sh$'-sh?) > 0.
Следовательно, и в этом случае 0 < OR < 1. Если tj < 0, tj' > 0, то ij — tj'
и ¦") + ¦»)' имеют одинаковые знаки, и отрезок, соединяющий точки Со и Сп,
не пересекает действительной оси.

386 ГЛАВА YIII. ТЕОРВМЫ СЛЮЖДНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА 1224
При ? > ?' точки Со и С« лежат йо рязйые стороны от действитель-
действительной оси в том случае, когда sin(i) + T)') л sin^Tj-^V) имеют противопо-
противоположные знаки. Если т) > 0, ij' > 0 и "цк^-ц', то shfc'siinq — sh?sim)'<0
и, следовательно, OR > 1. То же справедливо тогда, Когда т) < 0, if < О
И 7) ^> Т] •
Мы показали таким образом, что в высказанных относитмвшо {* и |х'
предположениях отрезок, соединяющий точки Со и Ся> никогда ве пересекает
разрез левее нуля.
Итак, мы получили следующий результат:
Если Re (га + 1) > 0, Re ((а) > 0, Re ([a') > О,
(Д.' —1
(а, [а' лежат вне разреза, произведенного по действительной оси от
до +1, то ряд
со
сходится равномерно относительно <р. При этом
а) Когда (а к ja' — действительные >1 к, следовательно, условие
1*4-1
1*—1
1*'—1
сводится к (а' < (а, сумма этого ряда есть Qn(Lf), где
С, = №' - (ji« - 1)V - l)f cos ср.
б) Вообще, если прямолинейный отрезок, соединяющий точки Ся в С<>,
не содержит точек деиствителъной оси, лежащих между — 1 и +1, то
сумма ряда равна Оп(^). Это имеет место тогда, когда ?>?', a ij + ij'
и т) — т)' имеют одинаковые знаки, или когда ?<?', a ij + V и ij — ">j' имеют
разные знаки, а также в других перечисленных выше случаях.
в) Если прямолинейный отрезок, соединяющий точки Ся и С,,, содержит
точку, принадлежащую разрезу (—1,1), то сумма ряда равна (?п(Ср)
или Q (?,) .^F irc^n (C?), в зависимости от того, лежат точки С? к ?ж ио
о5иу сторону или по разные стороны от действительной оси. Во втором
случае берется знак — при 1т (С„) > 0 и -\- при 1т (С„) < 0.
224. Теперь мы покажем, что для выполнения этой теоремы условие
Re (n-f-1) > 0 не нужно.
Мы имеем
/С ((а) = р™„_1 GO, ЯГ (rt = ^ tgn^ [<?Г ft*) - <?-n-i GO],
если только п не равно полуцелому числу, когда (?JT((O = ^_n_i (|0-
Поэтому нашу теорему сложения можно записать в виде
QZt-i (Q "f Т. Ctg П1С Р*п_! (С,) =
= />-„_! ([A") [<?_„_! GO+« Ctg
oo
+ 2 S (-ir
m=l
о П (n^m) .
оамечая, что ' —'г не изменяется, если вместо п взять —га —1, и при-
применяя теорему сложения для Pn(ty (см. п. 220), мы придем к выводу, что
2
тп=1

225, 226]
§ 4. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ Р„
зет
Итак, мы доказали следующее:
Теорема сложения для Qn(\>) (см. п. 223) справедлива для всех зна-
значений п, за исключением п=—1, в предположении, что все остальные
условия этой теоремы выполняются.
225. При Re (ц) < 0, Re ([а') > 0 и
1+1*
1*' — 1
условия, при кото-
которых выполняется теорема сложения, могут быть получены так же, как
выше, но проще вывести их из уже полученных результатов. При
Re(-[x)>0
2 <-:
причем сходимость ряда равномерна.
Помня, что
1 — 1J((а' —lJcoscp) = e
? 1
а' — ([а2— IJ ([a'2— lJcos<p),
мы приходим к выводу, что в рассматриваемом случае теорема сложения,
справедлива. Мы доказали, таким образом, следующее:
,1-1
Если Re (ц) < 0, Re ([*') > О,
и ни одни из точек [а, (а'
не попадает на разрез, то в том случае, когда прямолинейный отрезок,
соединающий точки Со и ?*> не содержит точек разреза,
Qn is) К (Ю + 2 2 (- 1)ж <?n (ix) Рпт (ix') cos mcp =
причем ряд сходится равномерно относительно ср.
§ 4. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ Рп
226. Теперь мы можем обобщить теорему п. 220.
Пусть Re ((*) < 0, Re GO > 0. Тогда
тп=1
тп=-1
где в показателе беретсй знак — или -\- соответственно при Im (— (а) > О
и Im( — [a) < 0; это вытекает из формулы C5) гл. V.
Когда
-U.--1
н-'-И
-Р)Р'+((-!*)¦-
и отрезок, соединяющий точки
1 1
(— i*) I*' — ((— i*)» —

368 ГЛАВА VIII. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [227
не содержит точек разреза, этот ряд сходится, равномерно относительно <р> к
*Trmi Рп {(- V-У - (- I*J- IM"(I*'2- *)*cos cp} -
Следовательно, при выполнении перечисленных здесь условий сумма
этого ряда есть Рп{( — (а) (*' — (( — (а2) — lJ"^'2 — lJcoscp}.
Таким образом, доказано следующее обобщение теоремы сложе-
сложения п. 220:
Если Re (ja) < 0, Re (ja') > 0, ^—т < Л , и прямолинейный отре-
II - 1
зок, соединяющий точки (а(а'+((а2—1J((а'2 — IJ, (а(а'— ([а2—IJ ([а'2 — IJ ,
не содержит точек разреза (— 1, 1), то
со
тп=1
1_ I
= Рп ([А(а' — ((а2 — IJ ((а' — IJ cos ср),
причем ряд сходится равномерно относительно ср.
Если последнее из перечисленных условий^ нарушается, то ряд схо-
сходится и имеет указанную сумму лишь для тех значений ср, при которых
Ср лежит по ту же сторону от разреза, что и С*-
227. Остается рассмотреть случай, когда (а и ja' оба лежат на дей-
действительной оси между точками —1 и 1. Сместим временно разрез таким
образом, чтобы он проходил по кривой, соединяющей точки —1 и 1, под
действительной осью. Тогда функции Рп (ja) и Qn (ja) могут быть про-
продолжены непрерывно через отрезок действительной оси от — 1 до 1 и на
самом этом отрезке их значения будут jP™([a + O • i) и (?™([а-}-0 - i).
Применим результаты п. 220 и 221 к случаю [a = cost], (a' = cost)'.
При этом
Рп (У = Рп (COS T + 0-0. Qn<b)=Qn (COS Т + 0 • 0 .
где cosf — cost]cost]' + sint]sint\' cos ср. Учитывая равенства
l
Рп (cos 6 + 0 • i) = e-2mni Рп <cos 6),
-m ' Г 1 1
Q™ (cos 0 + 0 • i) = e2 ™ | (?™ (cos S) — у r.iP™ (cos 0) |
(см гл. V,jH. 133), мы видим, что, согласно теореме п. 220, при
Рп (COS Т)) Рп (COS 7)') + 2 ^2j тг L i m( Pn (C0S ^) ^п (C°S У") C°S mCf = ^n ^C°S ^ '
причем сходимость этого ряда равномерна относительно ср.
Условие
а—1
[!' —
(см. п. 223) при 0 < т)< т , 0 < V < у при-
принимает вид cost] < cost]', т. е. т)>т)'. Отсюда, если это условие выпол-
выполняется, ряд
Рп (COS У]') [<?„ (COS Kj) - у ~г'-Р„ (COS Tj) ] +
СО
+ 2 2 m
m=l

227] § 4 ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ Р„ 369
•равномерно сходится к (?n(cosf)—rj- тЛРп (cos 7) В самом деле, в этом
случае Ся =--A = cos (i) + V)> ? = isin(i)-H')» с = 0 и arg [ ^
0 и arg [ ——^т1 = у'.
отсюда ch t> = ' 8Ш г' ~г',\ = 1 и, следовательно, р—0. Далее, Со ~ cos (т) — т)')
B = isia.(f\ — f\'), С —0 и также р — 0.
Применив предыдущий результат к jPn(cos?), получим теорему:
Если 0<ч)<у, 0 < •»)' < у мт;>т1)', то
00
2 }}|^К (COS V) ?Г (COS T]) COS m?=<?n (COS T),
и ряд сходится равномерно относительно ср.
Чтобы распространить доказанные теоремы на случай, когда ч\ заклю-
заключено в промежутке (у, г*)> положим tj = ie— tj; тогда 0 < ч) <-5-•
Согласно формуле F2) гл. V, будем иметь
i>™ (cos ¦»!) = (- i) ^n (cos^) cos me -(- l)m i- sin и* <?" (cos ^).
Так как при т] > r\', т. е. при т) + т)' < я, ряды
n (cos V) + 2 2 htSJ Р" (cos 1)Р" (cos 1')cos mcP'
<?n(COS7])i>n(COsV) + 2 ^, П (я + m) Qrn (cog i)) prn (cog т>Г) cog my
равномерно сходятся соответственно к
jPn(cos tj' cosTj-j-sinTj' sintjcoscp), Qn(cosri' costj4-sintj' sim] coscp),
2 .
жая эти ряды па cos nr. и
получим
то, умпожая эти ряды па cos пт. и -smrn: и вычитая один из другого,
Рп (cos т]) i>n (cos V) + 2 2 SJb + Й (- !)m Р» (cos 1) ^» (cos V) cos mcp =
m=0
= Pn (— cos t) cos t)' + sin t) sin tj' cos cp) cos ия —
—2" я sin И1г()п (— cos t) cos t)' + sin tj sin i)' cos 9) =
= jPn(cosTjcosTj' — sinTjsinV coscp).
При этом ряд сходится равномерно. Взяв т — ср вместо ср, мы получим
теорему:
Если 0 < V < у , у < 71 < л и т) 4- т)' < к, то
00
i>n (cos г,) Рп (cos V) + 2 2- Щ^гЗ Р" (cos ^ Р" (cos I') cos mc? =
= Pn (cos t) cos t)' -f sin t) sin tj' cos cp),
причем ряд сходится равномерно относительно ср.
Воспользовавшись соотношением
Qn (cos i)) = (— l)m+1 cos nic <?^ (cos ij) - у я (- l)m sin nic Р? (cos ^)
24 E. В. Гобсон

370 ГЛАВА VIII. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА [228
(см. формулу F3) гл. V), мы подобным же образом придем к такой
теореме:
Если 0<т)'<у, y<Ti<it и
m=0
причем ряд сходится равномерно относительно ср.
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ Qn
228. Имея в виду приложения, мы найдем еще формулу для
Qn lvv' + (v2 + IJ (v'2 + IJ c^ w) c действительными положительными v, v'
I I
и целым положительным п. Обозначим C = v/ -f (v2-}- IJ (v'2+ lJchw и рас-
рассмотрим интеграл
со
где
Таким образом, С, 6, с действительны и С2— б2 — с2=1. Поэтому такой
интеграл можно записать в виде
(и—i
I I
где положено 6 = (С2 — IJ cos 8, с = (С2 —IJ sin 8); при этом 8 действительно
и заключено между 0 и — . Согласно п. 172, значение этого Интеграла есть
(?n(chC), так как С + (С2— lJch (и — ib) не имеет нулей при 0<8<и, так
что в интеграле можно положить 8 = 0.
Возьмем теперь среднее арифметическое интегралов
arc ctg v 5
е {[i(n{|iJcos7)w d
где [A = iv, [a' = iV.
Если разложить {[*' + cos(% ± iv) (^'2—lJ}"" так, как это было сде-
сделано в п. 185, то среднее арифметическое этих двух выражений можно
будет представить в виде ряда
S nWlulT—-1)^И
m—n+l
сходящегося равномерно относительно

228] § 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ Qn 371
Среднее арифметическое указанных выше интегралов можно тогда
представить посредством ряда
оо . arc ctg v
m=n+l
который, положив и=—i% и воспользовавшись формулой A18) гл. V,
запишем в виде
m=n+l
С другой стороны, произведем в интегралах
arc ctg v
С {(*
0
0
замену переменного, положив
{v — cos x (v2 + IJ) {v + ch и (v2 + lJj = — 1;
мы получим для их среднего арифметического выражение
оо
Мы приходим таким образом к теореме:
*» ^ = 2 n(m-»-l)
1
1^ 1^
где у — действительное положительное, C = vv'-l-(v2 + lJ(v'24-lJj;h у,
( , |
Эта теорема принадлежит Гейне1). Слегка изменив доказательство,
ее можно обобщить на произвольные п.
Kugelfunktionen, т.- I, стр. 339.
24*

Глава IX
НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
229. В п. 14 было показано, что все нули многочленов Лежандра Рп (р)
лежат в промежутке — 1 < (а < 1.
В этой главе мы займемся рассмотрением количества и расположения
нулей общих функций Лежандра и присоединенных функций. Макдональд
доказал1), что при действительных и положительных т и я + у функ-
функция Рпт ((*) в промежутке (—1, 1) имеет Е (п — т+1) действительных
нулей; Е (z) обозначает наибольшее из целых чисел, меньших z, при z > 1,
и E(z) = Q для всех остальных значений z. Стильтьес доказал, что при п
целом положительном или равном нулю функция Qn(\i) не имеет нулей
в комплексной плоскости (а с разрезом вдоль ( — 1, 1). Общее исследование
нулей функций Рп(р) и Qn(\>-) произвел Хилл в двух своих мемуарах2),
содержащих пространное изложение этого предмета. Хилл нашел также
число нулей функций Р™ ((*) ( = (р2—1) 2 -г-^ Рп ((*) ) при целом положитель-
положительном т. Кроме того, он рассмотрел случай Рп(\>) с комплексным п. Из-
ложенпое ниже исследование числа нулей функций Р™ (|а) с действитель-
действительными пит основано на известной теореме Клейна3), о том, что гипер-
гипергеометрическая функция F (а, р, -у; х) с действительными а, р, f имеет
в промежутке @, 1) действительной оси
Е
1Л + к
7
нулей, где к равно 0 или 1, а при f > 1 всегда к = 0.
Нам понадобится также теорема Штурма, состоящая в том, что если
функции р (х) и q (x) однозначны и непрерывны в замкнутом промежутке
а <; х <; b, a yi(x) и у2 (х) суть линейно независимые решения дифферен-
дифференциального уравнения
то между любыми двумя соседними нулями функции уу (х) в промежутке
(а, Ь) находится один, и только один, нуль функции у2{х).
§ 2. НУЛИ ФУНКЦИЙ P™(v), ji = cos в С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ от И т
230. Так как P™n-i (p) = Рп ((*), то, не нарушая общности, можно
предполагать, что п-\--^^-0. При подсчете числа пулей мы не будем при-
принимать в расчет нули в особых точках (а = 1 и (а= —1. При (a = cos6 для
*) Proc. Lond. Math. Soc. A), 34 A902), 52.
2) Arkiv for Mat., 13, № 17A918—1919); 17, № 22 A922—1923).
3) Math. Ann., 37 A890), 573; см. также Hurwitz, Math. Ann., 38 A891), 452,
HVan Vleck, Trans. Amer. Math. Soc, 3 A902).

230] §2. НУЛИ ФУНКЦИЙ P™(ii). ii=cos 9 373
значений т, отличных от целых положительных, имеет место формула
L; 1 — т; -^ J,
а для целых положительных т — формула
+ U 1 + »; V)-
Из первой формулы мы заключаем, что для т, не равного никакому
целому положительному числу, число нулей Р™ (fi) как функции от 0 равно
где к = 0, когда m < 0. Таким образом, при m < 0 число нулей есть
Е(п-\-т-{-1) — результат, который другим способом получил Макдоиальд.
При | т | > п это число равно нулю.
Из второй формулы вытекает, что при целом положительном т число
нулей равно
2
причем к = 0, когда т > 0. Таким образом, мы имеем Е (п — т -f-1) нулей
при т^п это число равно нулю.
Если т = 0, то, так как при нецелом п и fi= — 1+2е, е—>0., функ-
функция F ( —п, га + 1", 1; —2^- ) асимптотически равна sin""lns, эта гипер-
гипергеометрическая функция в окрестности ji = — 1 положительна или отри-
отрицательна, в зависимости от того, четно или нечетно Е{п-\-\). Так как
при A=1 эта гипергеометрическая функция положительна, то четность
числа ее нулей в рассматриваемом интервале совпадает с четностью Е(п-{-\)\
отсюда следует, что А = 0. Когда и —целое положительное, то, как известно,
число нулей равно Е{п-\-\). Таким образом, когда m=0, jEJ(n-f-l) выра-
выражает число нулей при любом п > — у .
Теперь нужно найти значение к в тех случаях, когда 1) т— число
положительное, но не целое, 2) т — целое отрицательное.
1. Если м>0 и п> —j, причем оба эти числа не целые, то при
|t"~1 F(~n' n+l; 1 ~m; У)^ пТ-n-lщп)(ткТ•
А так как
П {.тп — 1) П (— т) sinnic
II ( —л —1)П(л) ~~ ~~ sinmn '
то такая гипергеометрическая функция при jj. --v/ — 1 положительна, если
sin me и sin тп имеют разные знаки, и отрицательна, если sin тс и sinmic
одного знака. Но F( — n, n+1; 1 — тп; 0) = 1, поэтому число нулей четно,
если знаки sinmt и sinmit противоположными нечетно, если их знаки
одинаковы.
Пусть n = a+/, m=p + /', где а и [3 — числа целые, а / и /' — поло-
положительные < 1. Тогда
[а — р + 1 при />/',
если а > 3, то Е(п — т+1) = Е(а — 8 + / — /' + l) = i n ^ ^.
1 при />/',
еслн« = р. то*(»
если а < р, то Е (п — т +1) = 0.

374 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ [230
Так как знаки sin (а-|-/)тс и sin (/' 4- Р)тс одинаковы или противоположны,
в зависимости от того, четно или нечетно |а—р|, то в соответствии с этим
оказывается четным или нечетным число нулей. Таким образом, если
<*>Р. />/', то й; = 0; если а > р, /</', то & = 1; если а = ?, />/',
то А = 0; но если /</', то Л=1. Если же а < р, то А; = 0 при четном C — а
и А=1 при нечетном р — а; число нулей при этом равно соответственно
нулю или единице.
В том случае, когда п—целое положительное, а т—положительное,
но не целое, то первый член
— n, n + 1; 1 — m;
равен 1, а последний —
i+n— 1) /"l^j
1 ¦ 2 • 3 ... гаA — то) B— то) ... (п — то) \ 2
знак последнего члена совпадает со знаком выражения
(-1)" ^
A — то) B— то) ... (л —то) *
Когда это последнее положительно, мы имеем четное число нулей, когда
оно отрицательно, — нечетное. При m > n оно положительно, и действитель-
действительных нулей нет вовсе. Когда т заключено между 0 и 1, это выражение
положительно или отрицательно, в зависимости от того, четно или нечетно п,
и число нулей в этом случае равно п. Когда т заключено между г — 1
и г, где г<п, то знак рассматриваемого выражения совпадает со знаком
(—l)n-r+i) следовательно, число нулей четно или нечетно, в зависимости
от того, четно или нечетно п — г + 1; при этом
и А = 0.
2. При целом отрицательном т мы имеем
Рт (,l\ —
функции /С (fj.) и Рпт (fj.) имеют одинаковое число нулей, равное Е (п+т+1).
При целом положительном п функция F( —п, п-{-\; 1 — т, _ ^ j
алгебраическая. Так как
_ П(гс—то)
то нули функций PJJ1 (fj.) и Р^^) совпадают [см. формулу C3) гл. V].
Поэтому число нулей функции Р™ (jj.) при целых положительных п, т и
т^Сп равно Е(п — т-{-1). Если т > п, то РЛ*({х)е=О.
Итак, доказана следующая теорема:
/7/?и т<0, п + у>0 число действительных нулей функции Р% (р) в про-
промежутке (—1, I) равно Е {п — т-{-\). Если т > 0, п>—2", то это число
равно Е(п — т + 1) при а>р, />/', а также при а<р и р —а нечетном;
оно равно Е{п — т+1) + 1 и/?и »> Р, /</'» я также при а<р и р—а
четном. Если п целое положительное, то число нулей равно Е{п — \т\ -\-Т).
В этой теореме п = а 4- /, т = р + /', где аир — целые, и0</<1,0</'<1.

231] § 3. ЧИСЛО НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ I'™^) 375
§ 3. ЧИСЛО НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ Р™ (ц.) С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ п И т
ПРИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМ ji > 1
231. Займемся теперь отысканием числа нулей функций Р™ (у.) при
действительных значениях ;а, больших 1; п и т предполагаются действитель-
действительными. Кроме того, мы предположим, что 2п-\-1>0.
Согласно гл. V [см. формулу D1)],
1 / +1ЛТт -Ц\-п—1 /¦
Р™0*)=^,т\(j-?zjj C^T") F(^n+1> п — т+1; \ — т;
(а)
В случае целого положительного т эта формула принимает вид
(см. п. 131). Из (б) прямо следует, что при целом неотрицательном т
функция Р™ ([*) не имеет нулей, когда [а заключено в промежутке A, со),
иначе говоря, когда ^-j^r заключено в промежутке @, 1).
Применяя к (а) теорему Клейна, мы получим, что число нулей Р™ (р)
г [л—-1 „У \m] — ]2n+i\ — ]m\ + i'\ , , , л
как функции от '-—j равно Ь\ J—!—! ^—!—]——J+ft, где к есть О
или 1, а при т<0 непременно fc = 0. Таким образом, при m<0 функ-
функция Р™ ((а) не имеет нулей, а при т > 0 число нулей равно 1 или 0.
Когда пит оба целые (при этом мы рассматриваем лишь- случай
п > т), в рассматриваемой области нулей пет.
Когда т положительное, но не целое, гипергеометрический ряд (а)
При (А ~ СО СХОДИТСЯ К
П (») П (»--и») V 2
или к
П(я)П(я-т) 2 *
в зависимости от того, положительно или равно нулю 2п + 1. Так как
эта гипергеометрическая функция в точке ;а = 1 положительна, то при
п < т число нулей Р™ (\х) оказывается равным нулю или единице, в зави-
зависимости от того, положительно или отрицательно ~"* \ > чт0 в свою
очередь определяется тем, одинаковы или противоположны знаки sin(m—n) тс
и sinmT:.
Итак, доказана следующая теорема:
Функция -PJT(fJ.) не имеет нулей, в промежутке A, со) тогда, когда
т<0, а также при целых пит. Если т число положительное, но не
целое, и т > п, то функция Р™ (р) в этом промежутке либо не имеет
пулей, либо имеет один нуль, в зависимости от того, одинаковы или про-
противоположны знаки sin (m — п)г. и sin тт.. Если m целое положительное
или нуль, то нулей нет, каково бы ни было п. При т^Сп нулей нет или
есть единственный нуль, в зависимости от того, четно или нечетно ближай-
ближайшее к т целое число, меньшее т.

376 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ [232
§ 4. ЧИСЛО НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ P~(ji) НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ
В ПРОМЕЖУТКЕ ОТ —со ДО —1
232. Займемся теперь определением числа нулей функции P™(ji.)>
когда fi. находится на верхнем краю разреза от —со до —1.
Согласно формуле C4) гл. V, мы имеем
—* Q™ ^) ] + i sin ш Р% (p),
- ft + 0 • О = [cos га* Рг? (|*) - 2sL"(*4mOt e—** Q™
где выражение в прямых скобках действительно при действительных jx.
Сначала предположим, что ни п, ни т не являются целыми числами; тогда лег-
легко видеть, что действительная и мнимая части функции Р™ (— ix 4- 0 • i) не мо-
могут одновременно обращаться в нуль ни при каком значении jx в промежутке
A, оо), так как они обе предстапляют собой решения того дифференциаль-
дифференциального уравнения, которому удовлетворяет P™(fO- Следовательно, в про-
промежутке ( — со, —1) функция Р™([А-гО-г) не имеет нулей.
При целом п и нецелом т имеем
([X).
или, согласно соотношению C3) гл. V,
т
Следовательно, Р™ (— \i 4 0 • i) имеет нуль, если Рп т (р) имеет нуль в про-
промежутке A, со). Таким образом, ири т>0 нулей нет, а когда т<0 и п
нечетно, так что sin(m — п) тс и sinm- имеют противопологкные знаки,
существует единственный пуль.
Если число п-'гпг целое положительное или нуль, а п не целое, то
^«(-МО. о = 8"*^? 00,
и левая часть имеет нуль в том случае, когда Р™ (fO обладает нулем
в промежутке A, со), что имеет место лишь тогда, когда т > 0, а знаки
sin(m —п)тс и sinmu противоположны.
Если число п-\-т целое отрицательное, то (см. н. 133)
При этом функция Р™( — (*• 4-0-t), если только значение п не целое, не
имеет пулей в промежутке ( — со, —1), так как ее действительная
и мнимая части суть решения соответствующего дифференциального
уравнения.
Если пит оба целые, n4-m>0 и п~>т, то нулей в промежутке
( — ос, —1) нет, так как в этом случае дело сводится к рассмотрению
функции Р~т (fj.), не имеющей нулей.
Если п и т оба целые, п 4- т < 0, то непременно п — т > 0. В этом
случае мы имеем один нуль или не имеем ни одного, в зависимости от
того, противоположны или одинаковы знаки значений
в точках 1+т) и со.
Из формулы (а) п. 231 и формулы A9) гл. V вытекает, что при
(j. = 1 4- т] главная часть первого слагаемого, ( — l)n P™ (fi), пропорциональна

233] § 5. КОМПЛЕКСНЫЕ НУЛИ ФУНКЦИЙ Р™(ц) 377
~ 2 т
(—1)п т] с положительным коэффициентом, а главная часть второго
2 т
слагаемого пропорциональна -ц , также с положительпым коэффициентом.
?гm
Поэтому главная часть всего выражения пропорциональна т)" с положи-
положительным коэффициентом, следовательно, сама положительна.
Вблизи (j.= oo главная часть Qn™{}>¦) ет™1 пропорциональна fi."" с по-
положительным коэффициентом, а главная часть cos ntz Р™ (ji.) пропорциональ-
пропорциональна ( —l)n(j.n, также с положительным коэффициентом; поэтому главная
часть всего выражения пропорциональна (— 1)п[хп. Отсюда мы заключаем,
что рассматриваемое выражение меняет знак и имеет нуль, притом един-
единственный, в промежутке A, оо) при нечетном п. Следовательно, когда п
нечетно, Р™ (р-\-0 • i) имеет один нуль в промежутке (— оо, — 1), хотя у
Р™ (fi.) в промежутке A, оо) нулей нет.
Мы доказали следующую теорему:
Функция /J™((J.), вообще говоря, не имеет нулей в промежутке
(—со, —1), вдоль верхнего (нижнего) края разреза. В этом промежутке
есть один нуль в следующих случаях: 1) когда пит оба целые, п-\-т
отрицательно и п нечетно, 2) когда п целое, т — отрицательное, но не
целое, a sin(m — п)~ и sinm- имеют противоположные знаки
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ НУЛИ ФУНКЦИЙ Р™ ([i)
233. Чтобы найти число комплексных нулей функции P™(fi.), мы
определим, какое изменение претерпевает argP™(ji.), когда jx описывает
некоторый замкнутый контур в верхней полуплоскости. Благодаря отсут-
отсутствию особых точек внутри такого контура это изменение, деленное на
2т, дает число нулей этой функции, попавших внутрь контура.
Число нулей в нижней полуплоскости мы учтем, заметив, что число,
сопряженное какому-либо нулю функции Р™(р), само является ее нулем.
Контур в верхней полуплоскости мы задаем следующим, образом: соеди-
соединяем прямолинейным отрезком точки 1 -j— ¦») —}— 0-г и R-\-0-i, обойдя дей-
действительный нуль, если таковой содержится в промежутке A4-tj, Я), по
малой полуокружности; далее проводим большую полуокружность ради-
радиуса R от точки R-\-0-i, до точки — Л + О-г; от —R-\- О- i до — 1 — tq -|— 0-г
движемся по прямолинейному отрезку; соединяем точки — 1 — т) -f- 0 - г и
— 1+т)-г-О-г полуокружностью радиуса т\\ от точки —1 +1]-f-0• г к точке
1 —Tj + O-г движемся по прямолинейному отрезку, обходя заключенные
в промежутке (—1, 1) нули по малым полуокружностям; наконец, точки
1 —Tj + O-г и l-fl + 0-г соединяем полуокружностью радиуса tj. Далее мы
устремляем R к бесконечности, а т\ — к нулю.
Изменение arg Р™ (ц) на пути от 1 + 0 до оо равно 0, если Р™ (jj.)
не имеет нулей в этом промежутке, и равно —тс, если имеется один нуль.
На пути от оо до —оо + 0-г рассматриваемый угол возрастает па птс,
так как, согласно формуле C3) гл. V, при больших по модулю fj.
Сначала мы допустим, что значения п и т не целые. Из формулы
(а) п. 231 мы видим, что начальное значение argP™(ix) в точке 1 + т]
при 7]—>0 равно пулю, за исключением того случая, когда т>0 и
sinmTC<0. При (j,—>оо знак Р™ (р) совпадает со знаком П(п — т), т. е.
Р™ (fj.) положительно, если оставить в стороне тот случай, когда п < т и

378 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ [23S
sin (т — п) it < 0. Таким образом, argP™(\i) в промежутке A, со) равен 0
или тс соответственно при П (— т) > 0 и П (— т) < 0; если в этом проме-
промежутке находится нуль функции Р™ (fx), то, когда fx изменяется от 1 до со,
arg P™ (jx) претерпевает изменение от 0 до —тс или от тс до 0; последнее
имеет место лишь при т > 0 и sin mic < 0.
В прбмежутке от — оо+О-г до — 1 —tj-j-0-i, согласно формуле C4)
гл. V, имеем
Р™ ( — fx + 0-1) = FcOS ПТС Рт (fx) — 2sln(" + OT>" e-m-Ki Qm ^ 1 _{_ ? sin „K pm (^
где выражение в прямых скобках действительно. Обозначив
<о = arg Р™ (— (х + 0-г),
будем иметь
tga»= sin™, , где L(a)^2sin(" + m)ite-^^^.
6 cos гая—i (ц.)' vr/ it Pm^
Из формулы A9) гл. V мы видим, что e~mrAQ™ (fx) сохраняет знак
в промежутке A, со). Покажем, что в любом промежутке, лежащем
внутри A, со) и не содержащем нулей />™(fx), функция т " ' моно-
тонна.
В самом деле, согласно дифференциальным уравнениям, которым
удовлетворяют Р™ (fx) и ^™(fx), имеем
откуда следует, что выражение
остается постоянным в указанном промежутке; поэтому выражение
n vr/ d(x '•n vr' d\x.
не меняет знака. Следовательно, в таком интервале
сохраняет свой знак, т. е. функция
монотонна.
Если в промежутке A, со) есть точка jj., в которой Р™ (р) обращается
_ r^CW
в нуль, то в промежутке A, р) функция монотонно возрастает
от 0 до + со или монотонно убывает от 0 до —оо. В точке jj. эта функция
претерпевает скачок от + со к — со или от — со к + со и далее, в про-
промежутке (fj., со), она снова монотонна.
Так как cos гетс—L(\>.) в промежутке A, со) либо только возрастает,
либо только убывает, то так же ведет себя и tgu>. Это сираведливо даже

233] ?| 8. КОМПЛЕКСНЫЕ НУЛИ ФУНКЦИЙ Р™ (у.) 379
тогда, когда cos пъ — L (jx) обращается в нуль в какой-нибудь точке этого
промежутка, так как в такой точке tg <o, если он возрастает, претерпевает
скачок от + оо к —оо или, если он убывает, —от —оо к +°°-
Отсюда следует, что при изменении jx от 1 до оо угол <о либо только
возрастает, либо только убывает.
Какая из этих двух возможностей осуществляется в каждом конкрет-
конкретном случае, можно установить по поведению <о вблцзи jx= -|-оо.
Воспользовавшись для e~mni Q™ (jx) и Р% (р) формулой A9) гл. V и
формулой (а) п. 231, получим при больших jx асимптотическое равенство
L (fj.) ~ A sin (п + т) % ^-^— wVi » где -^ — положительная постоянная.
Тогда вблизи ji=4-°o будем иметь приближенное равенство tg(u> — птс) =
= L(fj.)sin n-x; следовательно, <о будет возрастать, начиная с птс, или
с (п—1)тс, или с (п-\-1)ъ, если
sin (п + т) тс sin п-к II (п -\- т) П (п — т) > О,
и убывать, если это произведение отрицательно.
Когда Р™ (fj.) не имеет нуля в промежутке A, оо), изменение
arg P™( — fJ.-r-0-t) при изменении jj. от оо до 1 по абсолютной величине
меньше тс, так как в этом случае Im[i>™( — (j.-j-0-г)] нигде не обращается
в нуль. Когда у функции i>™((j.) в промежутке A, оо) есть один нуль,
абсолютная величина изменения arg [Р? ( —jx + 0•?)] — обозначим ее Хтс —
меньше 2тс.
Случай, когда п-\-т целое положительное, тривиален; при этом
Р™ ( — (j. + 0 • i) — enici P™ (fj.) и, если у Р™ (fj.) в рассматриваемом промежут-
промежутке нуля нет, arg Р%( — \i-\-0-i) остается постоянным, т. е. Х = 0; если же
Р™ (р) обладает нулем, то argP™( — jx -J- 0• г) изменяется на тс, т. е. Х = 1.
Если п-\-т целое отрицательное, то произведение sin (п + т) тс e~m%i Q™ (jj.)
теряет смысл и вместо него в выражении Р™ (— fi.-1-О-г) нужно брать
выражение cos nv — L (jj.) может при этом обращаться в нуль в промежутке @,1).
Случай, когда п + т целое, требует особого рассмотрения.
Когда fj. огибает полуокружность радиуса е от точки —1—е до точки
— 1 + е, argi>™( — jx-J-0• г) получает приращение, предел которого при
е—»0 равен у|т|тс. Это видно из формулы E1) гл. V, в которой при
т>0 главным оказывается второй член, а при т<0 — первый. Прира-
Приращение arg Р™ ( — (j. -(- 0 • i) на полуокружности, соединяющей точки 1 — ей
\ -)-е, стремится к -^ mit. Таким образом, сумма обоих приращений в слу-
случае т>0 стремится к тт., в случае т<0 — к нулю.
В предположении, что п>0 и ни одно из чисел п, m и п-{-т не
является целым, мы рассмотрим все возможные случаи.
1. При т<0 в промежутке A, оо) функция Р™(\>) не обращается
в нулг,, поэтому arg.P™( — p-{-0-i) тождественно равен нулю. Изменения
argi>™( — jx -ь 0• г) при переходе через точки —1 и 1 взаимно уничтожа-
уничтожаются. Как видно из формулы E1) гл. V, значение arg Р™ (— X-j-0-i)
в точке —1 — т] 4-0- i при ri—>0 стремится к 2/тс или к B/4-1)^ соот-
соответственно в случаях II (— т — п — 1) > 0 и П (— т — п— 1) < 0, где / —
некоторое целое число.
Итак, пъ 4-Х.к = 2/тс или B/4-1) ~ соответственно при П( — п — т— 1)>0
и П( — п — т— 1) < 0. Так как n = E(n)-\-f, где 0</<1, то, в предпо-

380 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ [233
ложеыии, что п > 0, йри Е (п) четном или равном нулю Е (n)-\-f-\-\ = 21
или 21+1, в зависимости от того, положительно или отрицательна
Г1(— тп — п — 1). Оно положительно при |m|>n, a также при |то|<га и
sin (п — | т |) < 0. Следовательно, если П (| т \ — п — 1) > 0, то при Е (п)
четном /4-Х = 0, так как |Х| < 1, /< 1; при Е (п) нечетном /-f Х=1. Если
П (|т| — п— 1) < 0, то /-f Х = 0 при нечетном Е (п) и / + Х—1 при четном
Е(п). Таким образом,, изменение arg/7™^) на пути до точки — 1 — -ц
в любом случае при п>0 равно Е(п)к или Е(п)т.-\-т:.
Приращение arg Р™ (р) в промежутке ( — 1, 1) равно Е(п— \ m | + 1) тс;
при n<|m| оно равно пулю. Полное приращение arg P™ (\х) вдоль всего
контура равно [Е (п) — Е(п — \ тп |-j- 1)] тс или [Е (п) + 1 — Е (п — \ m \ -ь 1)] тс.
Число комплексных корней во всей плоскости должно быть четным,
поэтому оно равно тому из чисел
Е (п) — Е (п - | m | + 1), Е (п) + 1 — Е (n — | m \ + 1),
которое четно. При \тп\>п это число равно Е(п) или
Когда —^-<п<0, П( — тп— п— 1) положительно, n-f/^O и ком-
плексных корней нет.
2. При т>0 функция Р™ (р) либо не имеет нулей, либо имеет один
пуль в промежутке A, сю). В первом случае sinmTC и П(п — тп) имеют
одинакопые знаки, и, как вытекает из формулы (а) н. 231, arg/>^l((j.)
в рассматриваемом промежутке сохраняет значение 0 или тс, в зависи-
зависимости от того, положительно или отрицательно П (п — тп). Последнее по-
положительно при п>/и; при п<тп :шак его совпадает со зпаиом
sin(m — n) тс. В точке — co-f-0-г arg P^1 (fj.) равен п- или (п-|-1)тс.
Если Р™ (fj.) обладает нулем, то, когда fj. проходит через этот нуль,
arg P™ (fj.) изменяется от тс до 0 при П (п — тп) > 0 или от 0 до — тс при
П(п — т) < 0. В первом случае argf^((j.) в точке — oo-4-O-t равен птс,
во втором (п —1)тс.
Сначала допустим, что в промежутке A, ос) нулей нет. В точках
jx=—1 и fj. — 1, как нидно из формул E1) и A1) гл: V, argP™(i>.) пре-
претерпевает изменение, равное ттс. Первая из этих формул показывает, что
arg Р™ ( — 1 — т] + 0 • i) при т] —> 0 стремится к 2/тс — тт. или к B/ -+-1) тс — ттс,
в зависимости от того, отрицателен или положителен sinn~. Так же, как
и выше, приращение argP^1^) в промежутке ( — со + 0-t, — 1 — т) + О-г)
при 7]—>0 стремится к Хтс, где |Х| < 1.
Когда Р™ (fj.) не имеет нулей в промежутке A, со), знак sin/итс со-
совпадает со знаком П (п—тп), а X имеет тот же знак, что произведение
sin(n-f-m) тсэтптсП (п — тп). Нам придется рассмотреть следующие восемь
случаев:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
П (п — т)
j_
+
+
—
—
—
—
sin tit.
I
—
—
+
+
—
—
sin (n-\-m) тс
—
—
+
+
—
—
X
+
—
—
—
+
—
-|~
arg PZ ({x)
1 < |J. < OO
0
0
0
0
TC
TC
TC
TC
arg Р„ (
|1=в—OO
ПТС
ПТС
ПТС
7MC
(w+ 1)
(n + 1)
(n + ^)
(w+ 1)

233] § 5. КОМПЛЕКСНЫЕ НУЛИ ФУНКЦИЙ Р™ (V-) 381
Значение arg P™ (ja) в точке — 1 — rt + 0 • i есть 21т, — /гая или B/ +1) я—/гая,
где / — целое, соответственно при sin гая < 0 и sin гая >0. Так же как и
выше, | X | < 1. Когда sin (га+ /га) г. > 0, в предположении, что га > О, Z? (га -(- /га)
число четное; если sin (га + т) к < 0, то ?(га + /га) нечетно.
В случае 1) имеем п~ + Хя = B1 +1) i: — mit, га + /га = Е (га + /га) + /',
где 0-^/'< 1 (случай целого га + /га оставляем пока в стороне), следова-
следовательно, /'+Х = 1. Приращение argP™([A) вдоль всего контура равно
гая +Х* -\-тк—{Е (га— /га +1) + [1]} г.,
где [1] — число нулей в промежутке ( — 1, 1); согласно теореме п. 230,
оно равно 1 или 0. Следовательно, число комплексных нулей равно
E(n + m) + i-E(n — m + l) — [i].
Мы приходим к выводу, что количество комплексных пулей равно тому
из двух чисел Е(п-\-т) — Е (га — /га-j-l), Е(п-\-т) -р 1 — Е (га — /га + 1),
которое четпо (в частности, может равняться нулю).
В случае 2) имеем гатс-}-Хтг = B/ + 1) к — тъ; при этом /'-)-Х=:0 и ко-
количество комплексных нулей равно тому из чисел
Е (ra-f т) — Е (га — т +1), ? (га + /га) -Е (га — /га +1) — 1,
которое четно.
В случае 3) имеем гатг + ^к = 2/я — /тал; при этом /' + Х=1 и количество
комплексных нулей равно тому из чисел Е (га -\-т)-\-1 — ?(га — /га + 1) —[1],
которое четно.
В случае 4) гая -f- Хтс = 2/тс — mi, X 4- /' = 0, число нулей равно Е (п-\-тп) —
— Я (»-и» 4-1) —[1].
В случае 5) т: -j- гая -\- Хя == B/ -j-1) к — /гая, X + /' = 0, число нулей равно
Е(п-\-тп)— Е(п — пг+1) — [1].
В случае 6) т. -\- гая -^- Хя = B1 + 1) ^ — тя, Х-|-/' = 1, число нулей равно
Е(п + тп)-\-2 — Е(п~тп + 1) — [1].
В случае 7) г. -- гетс -|- Хтс = 2/т: — /гак, Х-|-/' = 0, число нулей равно
? (га -(- /га) — ? (га — /га + 1) — [1].
В случае 8) я -\- nz. -\- Хт: = 2/я — /гая, X-f-/' = l, число нулей равно
? (га +/и)-|-1 — ?(га — /га + 1)- [1].
Когда Р% (р.) имеет нуль в промежутке A, оо), знаки sin тт., и П (га — /га)
противоположны. При П(га— /га) > 0 argPjT^) в промежутке A, оо) при-
принимает значения я и 0, а в точке —оо значение гая. При П (га—/га) < 0
argP™ (р) в промежутке A, со) принимает значения 0 и —я, а в точке —со
значение (п—1)я. Знак X совпадает со знаком выражения
sin (п -т- тп) я sin пк П (га — /га) и |Х|<2.
Таблица, относящаяся к рассматриваемому случаю, будет отли-
отличаться от приведенной выше двумя последними столбцами.
В первых четырех случаях за счет изменения arg Р™ (р.) в той точке
промежутка A, оо), где Р™ (\>) обращается в пуль, общее число нулей
должно быть уменьшено на единицу. Это число оказывается равным
Е(п + тп) — Е(п—/га+1) — [1] вслучаях 1)иЗ) иЕ (п+т) — 1 — Е (п — тп + \) — [1]
в случаях 2) и 4).
В случае 5) имеем (га—1) я -\- Хя = B1 + 1) я — /гая, /'-f-X = O, и искомое
число есть E(n~m) — E(n — /ra-fl) — [1].
В случае 6) имеем (га —1) я + Ля= B/ + 1) я —/гая,
и так как Е(п-\-т) нечетно, а X > 0, то /' + Х=:2; поэтому число нулей
равно Е(п + т)+1 — Е(п — /га + 1)— [1].

382 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ f234
В случае 7) (п —1) тг-}-Хтг = 2/тг —ntr, X < 0, Е(п-\-т) нечетно и
Х + /' = 0; число нулей при этом равно
Е(п + т)-Е Ы-т +1)-[1].
В случае 8) (п— 1)г + Xir = 27ir — mi, X > 0, Е(п + т) четно и /' + Х=1;
число нулей равно Е (п+ т) — Е(п — т-\-1) — [1]. Случай, когда — Y
не представляет дополнительных затруднений.
Если п-\-т целое положительное или нуль, то Х = 0 и пъ+тп = 27
или 27+1, таким образом, Е(п-{-т)— 1 равно 27 или 27+1. Так же
как и выше, без труда можно рассмотреть различные возможные случаи.
Если п-\-т целое отрицательное, то Р™(р) может иметь нуль в про-
промежутке (—со, —1). Различные возможные случаи могут быть рассмот-
рассмотрены так же, как и выше. Мы рассмотрим подробно только тот случай,
когда пит оба целые.
234. Остается рассмотреть те случаи, когда хотя бы одно из чисел п
и т целое.
1. Пусть т целое, а п не целое. Из формулы C3) гл. V вытекает, что
Р~т (р.) = ( Z\ P™ (р)) следовательно, Рп™ ([*¦) и Р™ (р) имеют одни и те
же нули. Согласно формуле (б) п. 231, Р™ (р.) не имеет нулей в промежутке
A, ос); нет их и в промежутке (— со, —1). Число нулей в промежутке
(— 1, 1) равно Е (п — |т| + 1) (см. п. 230)'. Если предположить, что т > 0,
то из формулы (б) п. 231 мы увидим, что при п>т argP™(\>.) в проме-
промежутке A, со) тождественно равен нулю, а при п < т он равен 0 или т:, в
зависимости от того, положителен или отрицателен sin (т — п) я. При т > О
функция Р™ (fj.) в окрестности р, = — 1 задается формулой, приведенной
на стр. 217, и ее главная часть при малом [^ + 1 есть
1 1 . .
, л^-ггт sin гас 1
Отсюда следует, что на пути от точки — 1 — т) + 0 • i до точки — 1 -j- т) -j- 0 • i
arg.P™(fJL) изменяется на у тъ; arg/-C(— 1 — т) -|- 0 • г) равен 2/г или
B7 + 1) я, где 7 — целое число. Приращение этого аргумента при переходе
через точку ^ = 1 равно -к- тх.
В предположении, что argT-*™^) в промежутке A, со) равен нулю,
имеем п-х -|- Хк = 27ге или B7 + 1) -к.
Так как n = E(n)-\-f, (п > 0), то / + Х = 0 или 1.
Приращение arg7-)™([i) вдоль всего контура равно птс 4- Хтс -j- ттс —
— ?(n — m + l)i:, поэтому общее количество комплексных нулей равно
тому из чисел Е (п) -\-т — Е (п — т г 1), Е (п)-{-т-{-1—Е (п — т-\-\),
которое четно. В том случае, когда argР™ (^) -— -х в промежутке (l^co),
(п-\- 1)я + Х = 27п или B7 + 1)т:, откуда /-f-X = O или 1. Приращение
arg Р™ (р.) вдоль всего контура равно rnz -\- Хя -'Г rrnz — Е (п — т -\-1) тс
и, как и выше, общее количество комплексных нулей равно тому из
чисел Е(п)-\-т — Е (п — т + \), Е (п) -\- т-\- 1—Е (п — т-\-1), которое четно.
Все это верно при т > 0. При произвольном знаке т число ком-
комплексных нулей равно Е{п)-\-\т\ — Е (п — т-\-1) илиЕ(п)+ \m\-\-i —
— Е(п — |т| + 1), в зависимости о того, какое из этих чисел четно. При
т = 0 комплексных нулей нет.

234] § 5. КОМПЛЕКСНЫЕ НУЛИ ФУНКЦИЙ Р™ (ц) 383
2. Пусть п целое, а т не целое. При этом функция Р™ (р) имеет
всего п нулей, так как она представляет собой произведение С ^ . j2
на многочлен степени п от —^. В промежуток (—1, 1) попадает
Е (п — | т | -|- 1) нулей, и один нуль при нечетном п и т < 0 оказывается
в промежутке (—оо, —1).
Таким образом, мы имеем
га — Е(п-\т\ + \)
комплекспых нулей, а когда га печетно и т < 0, число их равно
п — Е(п— | яг| + 1) — 1.
3. Пусть гаи т оба целые. При этом функции Р~™ (р.) и /С (р.) имеют
одни и те же нули. Исключение составляет случай т > га, когда функция
Р™ ((х) пе существует; впрочем, вместо нее можпо рассматривать
П (га — т)Р™(\>.). При 0 < т < п, согласно формуле A2) гл. V, /'"(р.)
представляет собой произведение (р.2—1) 2 на многочлен степени п — т.
Таким образом, при 0 < т < п комплексных нулей нет, так как
Е (га — гаг + 1) — число действительных нулей в промежутке (— 1, 1) — равно
п — т. Если т < 0, то Р™(р,), согласно формуле A1) гл. V, имеет п ну-
нулей; если | т | > п, то нулей в промежутке (— 1, 1) нет (см. п. 230).
В промежутке A, оо) нулей нет (см. п. 231).
В промежутке (—сс+О-г, —1 + 0-г) при т < 0 и | т \ > га имеем
(см. п. 232)
Выражение в правой части может иметь один нуль; мы покажем, что нуль
существует при четном п, а при нечетном п нулей нет. В самом деле,
полиномиальный множитель
входящий в Р™ (— (а), положителен при р. —[— 1 = 0, а при (J. + 1—»¦ оо знак
его определяется знаком (—1)"; значит, при нечетном п он имеет один
корень.
Так, например, легко проверить, что (х=—2 является нулем функ-
функции Pi (р.). Следовательно, число комплекспых нулей функции /С(р.) в том
случае, когда т < 0 и | т \ > п, равно п или п—1, в зависимости от того,
которое из пих четно.
Хилл занималсях) определением числа комплексных нулей функции
Рп ([*¦) в том случае, когда число п действительное, хотя, может быть, не
целое, а т целое положительное. Он пришел к выводу, что число ком-
комплексных нулей равно тому из чисел Е (га) — Е(п — /п + 1), Е(п-\-\) —
— Е (п—т + 1), которое четпо. Как у нас, нули в точках 1 и —1 им
не учитывались.
Этот результат не согласуется с нашими выводами; он, безусловно,
неверен уже тогда, когда тип целые положительные и m<!n. В самом
т
деле, при этом Р™ (ja) представляет собой произведение A — jx2) 2 на мпого-
член степени п — т, все корни которого действительны. Следовательно,
г) Arkiv for Mat., 13, № 17 A918—1919), 23.

ЗЯ4 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИЯ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ [235
комплексных нулей нет вовсе. Такое несоответствие объясняется тем, что
для оценки изменения arg Р™ (jx) при прохождении через точку — 1 Хилл
пользовался разложением (а) (см. п. 231), которое расходится вблизи этой
точки.
Сформулируем теперь окончательный результат:
Если т целое, а п не целое, то число комплексных нулей равно тому
из чисел
Е (п) + \т\ — Е (п — \т\-{-1), Е (п) |-| т\-'г 1 — Е (п — \т\ + 1),
которое четно.
Если п целое, а т не целое, то число комплексных нулей равно тому
из чисел
п — Е(п — | т| + 1), п — Е(п — | т\ + 1) — 1,
которое четно. При \т\^»п оно равно п или п — 1.
Если пит целые, то при 0 < т < п комплексных нулей лет. Если
т < 0 и | т | >• n, то число комплексных нулей равно тому из чисел п
или п— 1, которое четно.
Когда ни п, ни т не целые, число комплексных нулей определяется
согласно результатам п. 233.
§ 6. НУЛИ ФУНКЦИЙ Q™ (ii)
235. Относительно нулей функций Q™ (р.) мы сделаем только некоторые
замечания, не излагая сколько-нибудь общей теории. При действительном
п > — 1 и /и>0, как видно из формулы A9) гл. V, Q™(\>-) не имеет нулей
в промежутке A, оо) действительной оси; то же верно и тогда, когда
3
n+-g-> 0 и n + m>0, так как все коэффициенты соответствующего
гипергеометрического ряда положительны. Из соотношения
вытекает, что при т < 0 функция Q™ (р.) не имеет пулей в промежутке
A, оо). При этом предполагается, что ни n + w uif n — т не равно целому
отрицательному числу. При действительном п < —1 в промежутке A, оо),
может быть лишь один нуль (?™(р.), так как, будь их два, Р™ (\х) имела
бы нуль в этом промежутке, что, вообще говоря, невозможно (см. п. 231).
Функция (?™(cosG) не является аналитическим продолжением функ-
функции $Г(р.). К (^(совв) применима формула E8) гл. V, которая выражает
эту функцию посредством гипергеометрического ряда, сходящегося в про-
промежутке @, т) изменения й. Если т > 0, то из асимптотического выраже-
выражения гинергеометрического ряда после некоторых преобразовапий мы полу-
получаем при 0—э-0, иначе говоря, при jx—> 1
2 \ 2 т
j
<MW~ 2 seem* {i=
Подобным же образом, при б —» я или при р, —»— 1
Следовательно, число нулей функции (?^(cos6) в промежутке @, и) четно
или нечетно, в зависимости от того, противоположны или одинаковы знаки
cosm: и — cos/m:. Кроме того, функция @™(cos6) имеет нуль между

236] % 7. НУЛИ ФУНКЦИЙ Qn (у.) ПРИ ЦЕЛОМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ п 385
любыми двумя соседними нулями функции Р™ (cos G). Число последних
равно Е (n—\m\ + i) или Е (п — \ т 14-1) + 1. Число нулей Q™ (cos 6) может
превосходить это число на 1 или на 2 за счет нулей, не лежащих между
соседними нулями функции Р™ (cosQ).
Итак, число нулей функции Q™ (cos 6) равно
где к может принимать значения — 1,0, 1, 2, но должно быть таким, чтобы
указанное число было четным тогда, когда знаки cosreic и cosmic противо-
противоположны, и нечетным тогда, когда знаки cosn-rc и cos/и* одинаковы.
Если п целое положительное, а т = 0, то, так как cos n-rc = (— 1)п,
число нулей Qn(cosb) равно п— 1, п или /г+1; следовательно, это число
должно быть равно п — 1 или п + 1.
Впрочем, мы покажем, что при целом положительном число нулей
функции Qn(cos$) в промежутке @, к) равно п-\-1.
В самом деле, так как
то при [а, весьма близком к —1, знак Qn(\>-} определяется знаком (—1)«-и и,
следователь
выражение
ОП([Х) п ТТ Л Qntu.)
следовательно, -р ; ; < U. Поэтому производная -.— „' ;" , а вместе с ней и
положительны вблизи (*= —1. Но такое выражение в промежутке (—1,1)
сохраняет свой знак (см. п. 233), т. е. остается в этом промежутке поло-
положительным. Пусть ^—ближайший к точке —1 нуль функции />„((*);
тогда — Qn{H)—" ™ > 0, следовательно, Qn{^0) и —li™ имеют проти-
противоположные знаки. Но знак —" определяется знаком (— 1)"+*, поэтому
знак Qn ([*¦(,) определяется знаком (—1)п, т. е. он оказывается противопо-
противоположен знаку Qn (fi) вблизи точки р= —1. Следовательно, @п(^) имеет один
нуль в промежутке (—1,(*0), и число нулей функции @n(cos6) в проме-
промежутке @, тс) равно п+1..
§ 7. НУЛИ ФУНКЦИЙ Qn A1) ПРИ ЦЕЛОМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ п
236. Стильтьес показал1), что функция Qn{^), заданная на компле-
комплексной плоскости fi с разрезом (—оо, 1) вдоль, действительной оси, не
имеет нулей ни действительных, ни комплексных.
Согласно определению Ф. Неймана [см. формулу F3) гл. II],
Следовательно, если р0 — какой-нибудь нуль функции Qn (p), то
i
С Рп(и) , Л
_f
l) Ann. de Toulouse, 4 A890).
25 e. в. гобсон

386 ГЛАВА IX НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ [23
Отсюда
{ {f»o»'cfa= с ^wftw-^wiu+j,nW г а,мй
где оба интеграла в правой части равны нулю; следовательно,
При ^ действительном, большем 1, это невозможно. Если [хо = а
(Р ?= 0), то
откуда
\ {Р:^2 du = 0,
что невозможно, так как подинтегральная функция положительна. Итак,
мы приходим к теореме:
При целом положительном п функция Qn (jx) не имеет ни действи-
действительных, ни комплексных нулей.
§ 8. НУЛИ ФУНКЦИЙ Р J ([i)
237. Определением числа действительных и комплексных нулей функ-
функций Рп (fj.) с комплексным п занимался Хилл. Мы займемся действитель-
действительными нулями функций Р± (р.) — это единственный случай комплекс-
ного п, важный для теории потенциала.
При n=—Y + Jfi мы получим из формулы A1) гл. V для
^
~ "•
1-1 2 ' 1-2.1-2 V 2
Коэффициенты этого ряда действительны и положительны, следовательно,
Р 1 (р.) не имеет нулей в промежутке (— 1, 1).
Для отыскания числа нулей в бесконечном промежутке A, оо) вос-
воспользуемся формулой A43) гл. V
Р t (ch<|>)=^cthpic \ sinpU . .
* (chit—сЬфJ
Пусть ф = —, где г — целое положительное; тогда
• ' ¦¦ (г+2) тс
Р
sin ом ,
у du =
i
= ^- Cth p 1С ( - II" [/г - /г+1 + /г+2 — . • • 1,

I 8. НУЛИ ФУНКЦИЙ Р i (ц)
237] ~2+pi 387
где обозначено
/, = (-1
-- (chu — ch^J
Ясно, что Ir > Ir+i > Ir+2 > • • •, следовательно, P i ( ch — ) положи-
~2 +Pi \ PS
тельно при четном г и отрицательно при г нечетном. Таким образом,
в каждом промежутке (ch—, ch^-i-— ) функция Р 4 (ц.) имеет нечет-
V Р Р ' 2" +pi
ное число нулей. Мы приходим к такому выводу:
Функция Pi (fi) имеет бесконечное, множество действительных
нулей; все они заключены в промежутке A, ос).
Нетрудно установить, что любая производная от /> t (p,) имеет
в промежутке A, оо) бесконечно много нулей. Следовательно, то же верно
и для функций Рш 4 (fj.) с целым положительным т. В промежутке
(—1, 1) эти функции не имеют нулей, так как они разлагаются в ряды
1
по -?- A — р.) с действительными положительными коэффициентами.
Выведем теперь приближенные выражения нулей Р i (p,). Пусть
~ " +Р*
|>, тогда
±+pi
2 2
5
0 {ch
Отсюда при больших ф
2 V
B^ С Sin^t do]
5 (e'-lJ u (^-1)T
Так как
nw
У-1J ° (ev-lJ
то в нуле функции P_j_ {([*¦) имеем приближенное равенство
?/ sin /л|; + F cos pty — 0,
25*

388 ГЛА.ВА IX. НУЛИ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ [238
откуда большие ф получаются из уравнения tgyp<j>= —-=-. Итак, для боль-
больших нулей функции Pi (\x) мы получаем приближенную формулу
где
U— iV =
— ^.
П (pi)
§ 9. НУЛИ Р?*(|1) КАК ФУНКЦИИ ОТ п
238. Для некоторых краевых задач1) бывает нужно отыскать значе-
значения п, при которых Рп ([*¦) = 0 или выполняется более общее соотношение
где fi имеет заданное значение cos 60, а т — заданное действительное зна-
значение, положительное или отрицательное. Нули Р™ ([*¦) как функции от п
исследовал Макдональд 2).
Мы докажем следующую теорему:
Если т действительное положительное, а р фиксировано в проме-
otcymne (—1, 1) действительной оси, то Р^ ([*¦) как функция от п не имеет
комплексных нулей.
Согласно п. 23, мы имеем
1
(п - п') (п + п' + 1) J Рпт 0») Рп-т ft») dp =
Отсюда, если п и п' — значения п, для которых Р^т (р.) при фикси-
фиксированном положительном т и фиксированном ^ в промежутке (—1,1)
обращается в нуль, то
если только п — п'фО и п+п' + 1 Ф 0.
При отрицательном т этот вывод несправедлив, так как в этом случае
разложение
расходится в точке ja = 1.
Если Рп™(р)—® ПРИ некотором комплексном п, то сопряженное с я
значение п' также будет нулем этой функции; а п-\-п'-\-\ обращается
в нуль только при Re(n) = —у ^тот слУ481^ придется рассмотреть отдельно8).
*) Thomson, T a i t, Natural Philosophy, т. 1,1879, стр. 196. [См. также Г. Да м б,
Гидродинамика, М.—Л., 1947, стр. 201. (Прим. ред.)]
") Ргос. Lond. Math. Soo. A), 31 A900), 264.
s) См. цит. соч. Макдональда, а также Ргос. Lond. Math. Soc. (I), 29 A898), где
рассматриваются соответствующие свойства бесселевых функций.

239] § 1». ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ НУЛЕЙ ФУНКЦИИ Pnm(cos6) 38?
Пусть L -\- Ш и L — i&t — значения PZт ([*) соответственно для сопряжен-
сопряженных значений п и п'; тогда
и это выражение в нуль не обращается. Следовательно, Рпт ([*•) не имеет
комплексных нулей.
При Re (п) = —тт все коэффициенты ряда
—я, яЧ-1; 1 —т;
действительны и положительны, следовательно, .РГ((*) при таких п в нуль
не обращается.
Макдональд показал также1), что при т > 0 функция Рп ([*) имеет
не более 2Е (т) комплексных нулей.
§ 10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ НУЛЕЙ ФУНКЦИИ Г~т (cos б)
»
—т .
239. Большие действительные значения п, при которых Рп т (cos 9) обра-
обращается в нуль, могут быть вычислены при фиксированном G посредством
формулы, данной в гл. VI.
Имеем
;т (cos 9)- ^npt—»)
n + -T 1 в—7 о~ i
C0S
B sin в)'8
3
B sin 6J
1 2-4Bra + 3)Bra+5) 5 + • •
B sin вJ
Для больших n, обращающих Р,1" (cos 0) в нуль, имеем приближенное
равенство
где & —целое число. Иначе запишем это соотношение в виде
Пусть
г) Макдональд утверждает (цит. соч., стр.266), что, когда п комплексное, Рпш(\>-)
разлагается в ряд по степеням 1-цс действительными коэффициентами. На самом деле,
это верно только при Re (га) = =- .

390 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИИ [239
Тогда для больших положительных п, обращающих /)^m(cos8) в нуль,
будем иметь
(я? —яго)в = ф,
где
I2 — 4те2 V2 ) (I2— 4m2)C2—4те2) sin (л— 26)
_ 22(l+x) 2sinb *" 2"(l+x)B + xJ! Bsin6J
2 V
12_4те2 cos^ 2 V (l2—4m2) C2—4m2) cos (тс—26)
+ 22(l+x) 2sin6 • 2*(l+ar)B + arJ1 Bsin6J
Иначе можно записать
Cl I C2 '
где
c1 = blt c2=—fli^, d2 = b2, c3 = aiblt d3=—a2&i —
h = — a A — a3&i> gi = bt, ...
5(т-6) . _ l2
2 sin 6 ' Dl~ 22 Ш
Й2^ 24 B sin 6J 2!
Из этого соотношения получаем
где
a, =
Разлагая по формуле Лагранжа и опуская члены порядка -jj-—^
получим
...)= — у (а! - а2а2) +
где в alt а2, ... вместо х фигурирует х0, а. aj, ач, ... обозначают соответ-
da, da*
ственно -г-*-, -г=-, ...
dx0 dx0
Подставляя вместо alt a2, ... их выражения, будем иметь
а; — ж0 -j-
Ъ\
0) ~Ь Ь A +х0) B+х0) C + х0
, (?!&! — а?&! 2
"Г вA-г*0L
вA-г*0)
64
62A+х0)»B + х0)

2-40] §11. НУЛИ ФУНКЦИИ Р„ m (COS 8) ПРИ в, БЛИЗКИХ К 0 ИЛИ * 391
Отрицательные зпачения ге получим, изменив знаки в правой части, так
как функция Рп™(р) пе изменяется при замене ге на — ге — 1.
Если й заключепо между -|- и -т-тг, то отбрасывание члепов порядка
1
-ут-г—rj- и более высокого может повлиять лишь на пятый десятичный
знак; удерживая большее число членов, можно добиться еще большей
точности. При 8, близких к 0 или к тг, пользоваться указанным рядом
нельзя.
§ 11. НУЛИ ФУНКЦИИ P~m(cosb) ПРИ 9, БЛИЗКИХ К 0 ИЛИ я
240. Макдональд рассмотрел также тот случай, когда 6 мало. Он пред-
представил Р„т (cos б) в виде ряда, содержащего бесселевы функции:
i>-m(cos0) =
\ \m\~Jm (*) - sm4-e/m+1 (х) - sin2 у 0 \\/mt2 (х) -^xJm+s (х) \ -
ncosTe; l
sin4у 0 ^x2Jm+e(x)-^)xJrn+5(x)i-^Jm,i(x)-^;JrntS(x) } — •••]-
где x = 2
При очень малом 0 пули рассматриваемой функции определяются
нулями бесселевой функции Jm(x); если эта последняя имеет нуль х0,
то в качестве первого приближения соответствующего нуля функции
Х esc
нее
Рп™ (cos 0) можно взять я=уХ0 esc у 0 или п = y . С помощью того
ряда можно получить и лучшие приближения.
Для отыскания нулей функции
Jm(x)-sin^Jml(x)+ ...
Макдональд полагает
х = х0 + а1 sin y -(- а2 sin2 у + ...
и, с помощью теоремы Лагранжа, получает для первых четырех коэффи-
коэффициентов такие выражепия:
17 , 592т2+ 4Оп -13 , 48т4 + 6Шт2 + 28400т + 7720
Чтобы получить удобную формулу для i5i7m(cos8) при малых т. — б,
выразим Pnm(cos0) как функцию от — cos0. В силу формулы F2) гл. V,
имеем
Р? (- cos 6) = cos (n + т)т. Р™ (cos 6)
откуда
Рп (- cos 8) = cos (re + ти)т: Р% (cos 0) -

392 ГЛАВА IX. НУЛИ ФУНКЦИЯ ЛЕЖАНДРА И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЯ [241
Таким образом, нули функции Рпт(cos6) при малых it — 6 можно по-
получить из уравнения
sin ткР-т(— cos в)
tg(»m)«
т. е.
sin тк Р^т (— cos 0)
—arctg
D™ ( — cos в) — cosmr.P~m(—cos в)
где А принимает все целые неотрицательные значения.
С помощью ряда Лагранжа, считая <р = тс — б очень малым, получим
или
ГТ Bт + *) ,т ср
tg у
-п (да)П(да_1)П(А)
Отрицательные нули получим, взяв — п — 1 вместо п. При целом яг,
когда этот прием неприменим, можно действовать следующим образом: из
Р1т (- cos 0) = cos (и - т) -Р'т (cos б) 2sin(»-m)* q-<* (cos б)
получаем для значений п, обращающих Рп™ (cos б) в нуль, в предположе-
предположении, что г — 0 мало, соотношение
откуда
arctg j", —( — Т\
к s\rT(n-^)Q-m(-cose) 2/
где к может принимать любые целые неотрицательные значения.
При тфЬ и ср = т: —0, разлагая в ряд, получим прежнее выражение
Н
COS6
Если же яг = 0, то
n = A+4arctgj-T^
Г 1 + cos 0 J
или
1
21п-
§ 12. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НУЛЕЙ Р™ (р.) И ^ Р™ (р.)
ПРИ ЗАДАННОМ р. = cos 9
241. Для отыскания значений п, обращающих JP™(cos0) в нуль при
заданных яг и 0, Боланат Пал предложил1) следующий метод.
Bull. of. Calcutta Math. Soc, 9 A917-1918), 85; 10 A918-1919), 187,

241] § 12. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НУЛЕЙ 393
Из асимптотического выражения гипергеометрического ряда, пред-
предложенного Ватсоном (см. п. 198), он вывел асимптотическую формулу
—
2 1С,
К, 1 N й , ттс it 1 | ТО *
где
С помощью разложения в ряд Лаграпжа Пал получил выражение
т? Т
1
, 1
+• ¦ -J 'Г
где
if (™*-4)Уб 2{(^-l)(^-i-)ctg6-3C^2 1
5 = яB*-» + 4-1)-
Подобное же асимптотическое выражение Пал получил для ^ />™ (cos 6).
Для отыскания значений п, обращающих -=г Р™ (cos 8) в нуль, он воспользо-
воспользовался асимптотической формулой A5) гл. VI; большие значения п опреде-
определяются им из уравнения
COS < СП — -тг) в — -г-"!--? Г — COSQ ^t0
I V. 2 J 4 2 J i
Для первых нескольких нулей функции -т^.Р™([а), отвечающей значе-
значениям 9 = -?-, /и = 0, 8 = ^-, ти = 1, 9 = -^-, ?и = 2, составлены таблицы.
В своей второй статье Пал дает таблицу нулей функции i5™ (ц.) для
6 = -^-, -^ , ^ити = 0, 1, 2. Табулированы также нули производной^^ (р.)
для 8 = |-, ти = О, -1, -2, и 6 = |-, Щ = 0, -1, -2.

Глава X
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ, ОГРАНИЧЕННЫХ
ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
242. В этой главе мы примепим теорию сферических функций к за-
задаче отыскания функций, гармонических в области, внутренней или внеш-
внешней по отношепию к поверхности вращения заданной формы. Мы увидим,
что для этой цели попадобятся присоединенные функции Лежандра, и сте-
степенями и зпачениями аргумента отличные от тех, которые обычно встре-
встречаются в случае сферы.
Если декартовы координаты x,y,z выразить в виде z-{-i^ = f (у\-{-iO),
x-\-iy=pe^, где р — (я2 -J- г/2I~ — расстояние точки (x,y,z) от оси z, то,
как легко видеть^ rt и Ь будут служить параметрами ортогональных
семейств кривых в плоскостях, проходящих через ось z. Таким образом,
фиксируя произвольно любую из переменных т(, 0, ф, мы получим три
взаимно ортогональных семейства поверхностей. Из них I) = const и
т] = const представляют собой семейства поверхностей вращения, осью кото-
которых служит ось z. Мы покажем, что при выполнении некоторых допол-
дополнительных условий, налагаемых на фупкцию /(тН-?0), уравпение Лапласа,
отнесеппое к независимым переменным т], 6, ср, будет иметь нормальные
решения.
Отысканием функции, гармонической внутри некоторого сфероида,
по заданным ее значепиям на границе впервые занимался Ламех) в связи
с задачами теплопроводности. Ту же задачу рассматривал Гейне в своей
диссертации2); он же впервые показал, что функции, фигурирующие
в решении, суть Р™ — присоединенные функции Лежандра. Такой же вид
имеет решение в позднейшей работе Ламе.
Решение внешней задачи дал Гейне; именно в этой связи были им
впервые введены фупкции Лежандра второго рода, а также присоединен-
присоединенные функции. Ф. Нейман получил3) разложение обратной величины рас-
расстояния между двумя точками в ряд по сфероидальным функциям. Гейне
предложил4) другое решение этой задачи; он же подробно рассмотрел
задачу с круглым диском как' предельный случай задачи со сжатым сфе-
сфероидом.
Мы имеем
(izJ + (dpJ = /' (tj + ib) /' (tj - »в
откуда
{dxy + {dyf + (dz)* = p2 (dp)* -|- /' (tj + id) f (tj - ib)
J) Journ. de Liquville, 4 A839), 351.
2) De aequationibus nonnulis differentialibus, 1842; см. также Journ. f. reine angew.
Math., 26 A843). Полное изложение этого вопроса, с многочисленными литературными
указаниями, приведено в Kugelfunktionen, т. II, 1881, стр. 98 —136.
3) Journ. f. reine u. angew. Math., 37 A848), 21.
4) Там же, 42 A851), 70.

242] § 1. ВВЕДЕНИЕ 395
В обозначениях, введенных в п. 2, имеем
1 p2 I 3
и уравнение Лапласа принимает вид
где 2t> = / fa + iB) - / fa - ifl).
Полагая и = Н9Ф, где Н зависит только от т], 9— только от 8,
Ф —только от ср, приведем уравнение Лапласа к виду
Оно может удовлетворяться лишь тогда, когда -ф-"згт принимает постоян-
постоянное значение, которое мы обозначим —т2. При этом Ф= . /иср. Функ-
Функции Н и 9 в этом предположении удовлетворяют дифференциальному
уравнению
Допустим теперь, что функция / такова, что
представляется в виде суммы функции Xiiv) от ~Ч и функции хаF) от 8.
Тогда это уравнение можно будет записать в виде
1 dm 1 ащ , /'(^-ц-е)—/'^—16) 1 <гн ,
Н drf + 0 йв2 ' /fa-He) —/ft—?6) Н rf-r) T
Если, далее, допустить, что
/'ft' + E6)-/'ft-*8)_; „
«"»)-/(т,-«в) l
есть функция только от tj, a
— функция только от 8, то рассматриваемое уравнение может удовлетво-
удовлетворяться лишь тогда, когда
dm , с- / л
и одновременно
где а — некоторая постоянная. Когда / удовлетворяет всем перечисленным
условиям, существуют нормальные решения ФН9, где Ф = с- /жр, Н и 9
суть решения указанных обыкновенных дифференциальных уравнений,
а т и а — произвольные постоянные.

396 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [243
§ 2. ВЫТЯНУТЫЕ СФЕРОИДЫ
243. Сначала мы рассмотрим случай
При этом
z = cc1itjcos9, х = с sh rt sin б cos ср, t/ = cshTjsin6sin<p;
параметр -r\ определяет семейство софокусных вытянутых сфероидов
(эллипсоидов вращения)
а параметр 8 — семейство гиперболоидов вращения
z2
с2 cos2 в с2 sin2 в
Если мы заключим tj, G, ср в промежутки
0<tj<co, 0<9<я, 0<cp<2w,
то всякая точка пространства будет однозначно определяться своими криво-
криволинейными координатами (tj, G, ср).
В рассматриваемом случае будем иметь
f (-Ц + Щ = с ch (т\ + ib), f (Tj-f-i8) = csh(Tj+i9),
откуда
/' (tj + Щ f (tj — ib) = с2 (sh2 tj cos2 G + ch2 tj sin2 8) =
= c2 (ch2 tj - cos2 8) = c2 (sh2 tj + sin2 b),
[f (tj + iQ) -f (tj - J9)]2 =— 4c2 sh2 tj sin2 9.
Таким образом,
так что
, ч 1_ . т 1_
Xi \V 4 sh2 т,' ^2 * ' ~~ 4 sin2 в "
Далее имеем
Итак, нормальное решение уравнения Лапласа имеет вид Н0 .
где Н и 9 удовлетворяют дифференциальным уравнениям
<Р&
в которых п постоянно.
Мы видим, что в качестве 0 можно взять Р™ (cos 9) или Q™ (cos 6),
а в качестве Н функцию Р™ (ch ij) или Q™ (ch tj) . В обычных приложениях
PIT (cos 9) берутся с целыми положительными т и п, причем ти<л. Итак,
мы возьмем нормальные решения
Р™ (cos 9) Р« (ch tj)^ тиср, Р% (cos 8) Q™ (ch tj) ** пщ,
где

244] § 2. ВЫТЯНУТЫЕ СФЕРОИДЫ 397
Из них первое неприменимо в случае области с неограниченной гра-
границей, так как /^(сЬт;) стремится к бесконечности вместе с tj. Что
касается функции <$Г (ch tj) , то она бесконечна в точке tj = O, следовательно,
она неприменима в случае области, содержащей начало координат. Итак,
в случае области, внутренней по отношению к некоторому сфероиду tj = tj0,
мы берем решения
в случае области, внешней по отношению к tj = riQ, — решение
244. Функции
п / z + ix cos t + iy sin t \ n f z + ix cos t + iy sin t
очевидно, удовлетворяют уравн&нию Лапласа, так как они представляют
собой функции от линейной комбинации переменных х, у, z с коэффициен-
коэффициентами, сумма квадратов которых равна нулю. Мы покажем, что эти функции
могут быть представлены как суммы нормальных сфероидальных решений
уравнения Лапласа. В самом деле, согласно теореме сложения п. 220, 'пола-
'полагая р. = сЬт], (i' = cos6 + 0 • i, где 0 < 6 <-^-, и имея в виду равенство
Рп (cos 0)=е~ тТЛ Рп (cos 6 + 0 • t), получим
Рп (ch tj cos 6 — i sh tj sin 6 cos cp) = Pn (ch tj) Pn (cos 8) +
2 (-lrg
Ззяв tp + K — t вместо <р, придем к искомому выражению:
+ 2 2
Отсюда прямо получим формулы
Sint y n (cos
Если в теореме сложения п. 223 положим ji' = cosS + 0 • i, р. = chirj.
t\ a ^ n ch ti +1 . l + cos 0 -.
где 0 < в < - , то при ЗЕф-г < ^^j, будем иметь
„ (ch tj cos S — i sh if) sin S cos cp) =
= <?„ (ch tj) Pn (cos в) + 2 2 <?n (ch 7)) (_ 1)« e 2 m"f P~m (COs в) cos лкр.

398 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [244
г, chin-fl^l + cos в
В случае же ' ' > — „¦
J ch-r)—1 1 — cos в
Qn (ch tj cos 6 — i sh tj sin 6 cos cp) = Pn (ch tj) Qn (cos 6 -j- 0 • i) 4-
+ 2S (- l)m Pnm (ch tj) Q™ (cos 0 + 0 . i) cos mcp.
При этом предполагается, что tj ф 0.
Подобным же образом мы получим
„ f z-\-ix cos г + ?u sin i\ n i i. \ т% i o\i
<?n (^ -^ c — J = <?n (ch tj) Pn (cos 6) +
CO
 ev mitl <?™ (ch tj) P~m (cos 6) cos m (<p - *)
ИЛИ
*)cosm(<p-«).
в зависимости от того, cos6chTj>l или cos6chTj<l.
Далее,
¦к
z +1Х cos l +г^ sin
г^ sin l Л Jt _
J
f <2n (ch tj) />n (cos 6) при cos6chTj>l,
"~ L Pn (ch tj5 Qn (cos 6 + 0 • i) при cos 6 ch tj < 1,
и
те
1 f л ^г + w cos« 4 г'2/ sin г ~^ cos
sin
e2 <?n (ch tj)/>nm (cos 6) c?^ mcp при cos6chTj>l,
•Pn^ch tj) (^JT (cos 6 4- 0 ¦ i) . mcp при cos 6 ch tj < i.
Неравенствам cos6chTj>l и <1 соответствуют неравенства z > с
и z< с.
Особым оказывается случай z = c, когда эти формулы неприменимы.
Удобное для вычислений выражение <$Г (ch tj) можно получить с по-
помощью формулы (S7) гл. V. Пусть z = eT>; тогда
( 4)
Q™ (ch tj) = 2"» (- l)m -. \^ J sh">Tj x
()
П(П)ПС—г") . 4 3 Л
<?n(chTj)= V 2Уе_(п+1), ^^ 1 > и+1. п+ з . е_21)Л
Аналогично, согласно формуле G0) гл. V,
/ 1_~
¦ tg пк ¦

2451 § 2. ВЫТЯНУТЫЕ СФЕРОИДЫ 399
,245. Мы разложим в ряд по нормальным функциям обратную величину
расстояния D ^между двумя точками (т], 6, ср) и (tj', б', <р'), где т\ > т{.
Имеем
— = (cb.Tjcos6 — cb.Tj' cos 9'J + (sh т] sin 0 coscp — sb.Tj'sin6' coscp'J-f
+ (sh t] sin 6 sin cp — sh -/]' sin 6' sin cp'J =
= (ch tj ch tj' — cos 6 cos 0'J —
— {sh tj sh tj' + sinO sin 6' cos (» — cp')}2 — sine 6 sin2 6' sin2 (cp — cp').
Пусть
^4 = chTj chrj' — cos 6 cos 6',
C = sin 0sin6' sin (cp — cp');
тогда
^! = 42-?2-С2
и
^4 — В cos v — С sin v -- ch tj ch tj' — cos 6 cos 6' —
— {sh tj sh tj' + sin 6 sin2 6' cos (<p — cp') cos v} — sin 6 sin 0' sin (cp — cp') sin v —
= ch tj ch tj' — sh tj sh tj' cos v —
— {cos 0 cos 6' -j- sin 6 sin 6' cos [v — (cp — cp')]}.
Отсюда, согласно результату п. 218,
2n
2те Г dv
\
где
f = ch tj ch tj' — sh tj sh tj' cos v
и
8 = cos 6 cos 6' -j-sin 6 sin 0' cos [v — (cp — cp')].
15 силу того что т > 1, 8 < 1,
причем этот ряд сходится равномерно относительно v. Поэтому
2те
±.=12 Bп+4) 5 &(ch ^ch Т|' -sh ^sh 7I'cos у) х
и
X /*„ {cos 0 cos 0' + sin 0 sin 6' cos [о — (cp — cp')]} do.
Применяя к
Qn (ch tj ch tj' — sh tj sh tj' cos v)
и
Pn {cos 6 cos 6' + sin 0 sin 6' cos [v — (cp — cp')]}
теоремы сложения (см. п. 223, 227), мы получим
со
с
? = 2 Bл + 1) Л. (cos 6) Рп (cos 6') <?„ (ch tj) Pn (ch tj') +
п=0
n=l m=l
X <?^ (ch tj) P? (ch 7)') cos m (f - cp")

400 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [246, 247
где 1)>т/. Как и в п. 185, это разложение сходится равномерно относи-
относительно фиф'.
246. Пусть 1гH — значение параметра т\ на заданной сфероидальной
поверхности. Тогда, если краевая функция, заданная на этой поверхности,
имеет вид АР™ (cos 6) . ту, то решением внутренней задачи Дирихле для
сфероида будет служить функция
cos
Рп (cos ч) . тиф,
а решением соответствующей внешней задачи — функция
Щ^± jn (co96)cos
Очевидно, что в случае краевой функции, представляющей собой сумму
конечного числа членов вида АР™ (cosG) . /и<у, решениями внутренней
и внешней задач Дирихле будут соответственно суммы конечного числа
членов вида
W^l) cos
'sin •
^ с
Теперь мы перейдем к рассмотрению общего случая, когда краевая
функция представляется как сумма ряда таких функций. В некоторых
случаях нам удастся получить в явном виде решение задачи Дирихле для
областей рассматриваемого вида. Известно, что решение этой задачи
единственно.
247. Пусть функция U — f(O, ф) абсолютно интегрируема в области
0<6<ic, 0<ф<2тс. Пусть, далее,
со и 2тс
] S P* (cos Т) / (е'> ?') sin 6' Ар' Л'
п=0 0 0
соответствующий ей ряд по сферическим функциям; здесь cosf =
= cos 6 cos 6' +sin 6 sin 6'cos (ф — ф'), а интегралы берутся по поверхности
i) = iH, точкам которой приписаны координаты (кH, 6', ф'). Никаких пред-
предположений относительно сходимости такого ряда мы пока не высказываем.
Запишем этот ряд в виде
со оо п
где
X [cos т ф ^ { /F', ф') Р" (cos 6') cos m<p' sin 6' dy' dV +
о о
ic 2ic
+ sin т<Д W F', ?') Pn (cos 6') sin тФ' sin 6' d<p' df J ;
о о
при т = 0 множитель 2 опускается.

247] § 2. ВЫТЯНУТЫЕ СФЕРОИДЫ 401
Рассмотрим ряды
оо п -у,
^ ~ S S У" @' ?) 7ST—- Л™ "Ч < "Чо» (а )
п=0 m=0 n '"
со п _«, , ,
f^e'^^J ^ ^n (8) ?) -^ ДЛЯ Т) > Т)о- (б)
n=0 m=0 n '"'
Покажем, что они абсолютно сходятся соответственно в областях т; < щ
и ¦") > ''io И1 следовательно, имеют в этих областях определенные суммы
Ub и Ue.
При к) < тH дробь J^ ^— можно представить в виде
Т—<*!) • - - (ch2 т]—ар)
где /? обозначает либо -^-(п — пг), либо -s- (и — m — 1) и множитель ^j——
присутствует только в последнем случае; все числа aj, a|, ..., ap заклю-
{.JjZ у, а2 ch2fl
чены в промежутке @,11. Так как ¦' ^ г < ~ьг > т0 ПРИ ""I < ""lo
' СВ. YIq — ft Cll Tiq
Обращаясь к ряду (б), заметим, что Qn (chi)) пропорционально инте-
оо
гралу J (chT]+Cs^W",1M)»rlc?M [см. формулу A17) гл. V], и так как при tj > тH
о
(ch т) -'- sh tj ch и) ch 7H > (ch tj0 -j- sh 7H ch н) ch 7),
то
ch тем , /ch7](|~\n + l Г сЬтем
<
J (chT, + shrlch«)'"'" ^Vrhr, J 3 (chT.o + shT.ochu)"^""*'
—оо О
следовательно,
Так как
Pn (cos 9 cos 9' -]- sin 8 sin 0' cos cp) =
n
= Pn (cos 6) Pn (cos 0') + 2 2 (n + w)l P" ^C0S 8) P" (cos °)COS т^
TO
cos /recp />n (cos 0 cos 8' + sin G sin 0' cos cp) rfcp = 2r. ^~^l, P™ (cos G) P™ (cos G'),
б
откуда вытекает, что при всех значениях л, т, 6, 0'
26 е. в. Гобоон

402 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [248
Следовательно, так как / F, <р) абсолютно интегрируема на поверхности
единичной сферы, |Y™F, <p)| меньше, чем 2и + 1 с некоторым постоянным
множителем.
Итак, мы видим, что общие члены рядов (а) и (б) по абсолютной вели-
величине меньше некоторых величин, пропорциональных соответственно
Следовательно, ряды (а) и (б) сходятся абсолютно в их областях опреде-
определения, т. е. при т) < г10 и т) > гю соответственно.
248. Теперь мы покажем, что при фиксированных бит; функции ?74
со п
и Ue стремятся к 2 2 У%(в, <?), ко/да tj—»tj0, если только этот ряд
«=0 тп=0
сходится абсолютно в том смысле, что сходится ряд
со п
2 2 |Гп(о,?)|.
Для этого нам понадобится следующая лемма:
Пусть ряд а^у (х) + а2с?2 (я) + • • • + аг% 0*0 -г • • • сходится при а < х < 1
и имеет сумму s (х). Если 0 < | tpr (ж) | < 1 и lim ©г (%) = 1 при всех г и если
ряд ах -{- а2 -|- ... -\-аг-\-. .. абсолютно сходится и имеет сумму s, то
s — lim s(x).
Заметим, что при <pr (s) — хг вместо абсолютной сходимости ряда 2 аг
достаточно, согласно известной теореме Абеля, требовать, чтобы этот ряд
сходился в обычном смысле.
Для доказательства заметим, что можно указать такое р, что
|aP+i| + |aP+2|+..-
меньше наперед заданного положительного числа е > 0. Для любого це-
целого n > p будем тогда иметь
| sn- sn (х) | < | sp - sp (x)\ + \ ap+i | {1 - cpp+i (a:)} + ...
• • • + I «n I Rl - ?„ (s)}| < |*p ~sP (x) | + 2s
Так как
f1(x) — al = 0, limtp2 (x) — az = 0, ..., lim<pr (x) — ar = 0,
r1 l
то можно выбрать число Xs такое, что \sp — sp (x) | < s для всех x>Xs.
Следовательно, при х > X^ и и > /?
откуда при а; >• Xs
| 5 — S(X) |<3s,
т. е., так как s произвольно, s = hms(x).
x->i
Прямым следствием этой леммы является следущее предложение:
со п
Если при фиксированных 6 и <р ряд 2 2 ^n*(^> чО сходится абсо-
n-=0 m=0
«о п
лютно, в том смысле, что сходится ряд 2 2 1^гГ(^> <Р)|' ^о
0 т=0

249J § 3. СЖАТЫЕ СФЕРОИДЫ 403
функции Ui и Ue, заданные соответственно в областях т\ < щ, tj > 7j0r
стремятся к сумме ряда 2 2 Y™(®> ?)•
n=0 тп=0
С помощью этого предложения при некоторых дополнительных усло-
условиях нам удастся доказать, что функция / @, ср), заданная на поверхности
7) = 7Hj служит пределом функций Ui и Ue при -rj —> tj0. Для этого педоста*
точно доказать, как поступает, например, Гейне1) при рассмотрепии Uit
что ряды (а) и (б), предстацдяющие U% и Ue, сходятся равномерно. Чтобы
Ui и Ue стремились к /F, ср), необходимо установить сходимость ряда
22 l^™^» <р) I; Для этого можно воспользоваться только что установлен-
установленным признаком или каким-либо другим, менее стеснительным. Кроме того,
нужно проверить, что Ui и Ue представляют собой гармонические функции
в соответствующих областях. Для этого можно воспользоваться теоремой
Гарнака, упомянутой в п. 97.
При любом пг функдии
гармонические соответственно внутри и вне сфероида tj = тг;0. При п—>ос
последовательности этих функций сходятся, первая к Ui, вторая к Ue.
Если они сходятся равномерно па поверхности сфероида, т. е. при т) = тH,
то, согласно теореме Гарнака, Ui и Ue представляют собой гармонические
функции в соответствующих областях.
Итак, мы приходим к следующей теореме:
Пусть f @, <р) — функция, заданная на поверхности г{ = тH ц пред-
представляемая на ней посредством ряда сферических функций. Если этот ряд
на рассматриваемой поверхности сходится равномерно и абсолютно, то
функцией, гармонической во внутренней области и стремящейся к /F, ср)
на ее границе, является
Во внешней области соответствующая функция представляется в виде
§ 3. СЖАТЫЕ СФЕРОИДЫ
249. Если положить (см. п. 242)
то будем иметь
z = eshT)cos0, х = с ch t\ sin 0 cos ср, г/= с ch т) sin 0 sin ср
и т) будет служить параметром семейства софокусных сжатых сфероидов
(эллипсоидов вращения)
хг + У* ¦ г2 ,,
c2ch2T| ^
Kugclfunktionen, т. II, стр. 120.
26*

4Q4 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [249
•с осью z в качестве оси вращения; б будет служить параметром семейства
гиперболоидов вращения
с2 sin2 в с2 cos2 в
Если ограничить значепия tj, 6 и ср промежутками 0¦<tj < со, О<0<тг
и 0<cp<2ic, то любая точка пространства будет однозначно определяться
криволинейными координатами (т;, 6, ср).
При tj —0 сфероид сплющивается в круг z = 0, x2-\- уг = с2.
Итак, в рассматриваемом случае
/' ("Ч + Щ /' ("Ч — Щ = ch2 tj - sin2 G = sh2 tj + cos2 6
и
[/ ("Ч + Щ ~fin —i'8)]2 = — 4 ch2 tj sin2 0,
откуда
[/h + i-fl) — f(i\ — fO)J2 ~ "~ T V sin2 8 ~ i
так что
1 1
Xi ("Ч) = 4ch«Ti' *2 (9) = ~ 4 sin» в "
Далее,
и мы видим, что нормальные решепия уравнения Лапласа в координатах
(т), 0, ср) имеют вид Ив тер, где Н, 0 —решения дифференциальных
уравнепий
., dll т2 и- , . .. „
thT^ и(и + 1) Н
d2Q , . n йв
do". +Ctg° ЙГ-
где и постояпно. Решепия этих уравнений суть
Н = р% (i sh т,) или Q% (i sh т;),
в = Рп (cos 6) или Q™ (cos 6).
В простейших задачах теории нотепциала в качестве 0 приходится
брать функции ¦Pjr(cosG) с целыми неотрицательными т и п, причем т< п.
Мы покажем, что в некоторой точке фокального круга z = 0, а;2-[-г/2 = с2
производная функции Р™ (cos 0) Q™ (i sh tj) по направлению нормали к по-
поверхности т) = const или к поверхности 6 — const обращается в бесконечность.
Следовательно, ни в какой области, охватывающей фокальный круг, гармо-
гармоническая функция не должна содержать произведения Р™ (cos 0) х
cos
X<?n(i'sh7j) .ту. Функция P^(ishTj) сама стремится к бесконечности
sin
вместе с tj, поэтому ею нельзя пользоваться для построения гармонической
функции в областях, содержащих точки со сколь угодно большой коорди-
координатой tj. Итак, в области, внутренней по отношению к сфероиду tj = tj0>
мы будем пользоваться нормальными функциями вида .Р™(соз0)Х
X Р« (ishi))^ икр, а во внешней области — функциями P^(cos 0) X

250} § 3. СЖАТЫЕ СФЕРОИДЫ 405
Элементы длипы по направлению нормалей к поверхности i) = const
и в — const выражаются, как легко видеть, формулами
е^ = с (cos2 0 + sh2 т)J dn, d*2^c (cos2 0 + sh2 т]J ав,
следовательно, нормальные производные функции Р™ (cos G) Q™ (i sh tj) по этим
направлениям суть
«tfff(cosO) sin8 „
с (cos2 9 + sh2 г]J dir| с (cos2 9 + sh2 y
(cos °)
^n (cos °) x
Если и — m четно, то „— становится бесконечно при 0 —» —; сле-
следовательно, первая из этих производных обращается в бесконечность
в точке т) = 0, б = ~, так как -т-Q™ (isb.t\) в этой точке не равна нулю.
Если п — т нечетно, то ^-^j PJT (cos G) в нуль не обращается; <?" (ishr))
г. sin 9 -. ^
также не равна нулю при г, = U, а множитель j- обращается в бес-
(cos2 9 + sh2 rtf
конечность в точке  = 0, 6 = -^ . Таким образом, обе рассматриваемые про-
производные в точке т) = 0, 9 = -j претерпевают разрыв.
осп /т. п / х cos t + 2/sin г + ггЛ л / a; cos г + у sin ? + ?z Л
250. Функции Рп (^ f ^— J и Qn ^ ^ 3L_ j удовле-
удовлетворяют уравнению Лапласа; мы покажем, что обе они могут быть разло-
разложены в ряд по нормальным решениям, только что полученным нами для
сжатого сфероида.
Положив р. = i sh т), p.' = cos 8 + 0 • i, получим с помощью теоремы сложе-
сложения гл. VIII
Рп (г sh т) cos 6 + ch 7j sin 6 cos <p) = Pn (i sh т,) Рп (cos 6) +
+ 2 2 (-irggS^
Взяв ср — t вместо <р, получим требуемое выражение
= Рп(г8ПТ,)Рп(С08б) +
m=l
Отсюда непосредственно вытекают равенства1)
1 С D ( 'z + ж cos ( + 2/ sin *
TV
1 Г n Z' '"z + x cos г -I- ?/ sin«Л cos . ,.
-к— \ ^-i . /rat at —
_ 1Г p* (l- sh ч) p* (cos G) «»
См. В 1 a d e s, Proc. Ediri. Math Soc, 33 A914- 1915), 68.

406 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ {25»
выражающие нормальные функции одного из двух видов для сжатого сферо-
г. / х cos t + у sin t + iz\
ида через интегралы от Р [ — ¦— ) .
Положив теперь jj. = i sh yj, p' — cos 8 + 0 • i для 0 < 8 < — и заметив,
что
1 =
/ Sh 7] +
i sh-q—1
1 + cos в
1 — cos в
црименим теорему сложения п. 223. В получешюм равенстве
Qn (i sh т; cos 8 -j- ch tj sin 8 cos cp) = Pn (cos 8) Qn (i sh tj) -f
-f 2 2 ( - l)mea"""Pnm (cos 8) (ft (i sh ij) cos m<p
m=l
заменим cp разностью cp — t. Тогда
+ 2 2 (—l)me 2 Pn m (cos 8) Q™ (i sh tj) cos m (<p— f),
m=l
откуда для 0 < 8 < —
2n
1 f /-i /"a?cos ? + j/sin «+гзN cos ,
15r\<?nC ё Jsinwfdf =
о
= (— l)m e2 P^m (cos 0) Q^ (i sh т;) ^ /reo.
Мы получили1) выражение нормальных функций второго вида через
л / х cos г + у sin t + iz \
интегралы от QJ — —— J .
Подобные же выражения можно получить для промежутка — < 0 < г;
при этом функции Р и Q меняются ролями.
251- Теперь мы получим разложение в ряд по пормальным функциям
обратной величины расстояния между точками (т;, 8, ср) и (т;', 8', ср'),
ГДе 7) > 7)'.
Имеем
—j = (sh т) cos 8 — sh т)' cos О'J -j- (cb tj sin 0 cos cp — ch tj' sin 6' cos cp'J -j-
+ (ch 7) sin 8 sin cp — ch tj' sin 6' sin cp'J,
что можно представить в виде
-g— — (sh 7j sh tj' + cos 6 cos S'J -f (ch tj ch tj' — sin 8 sin 8' cos соJ -\-
+ sin2 8 sin2 8' sin2 со = — Л2 + Я2 + С2,
где А, В, С обозначают действительные выражения в скобках, а <о = <р — ср'.
х) См. Jefferj, Proc. Edin. Math. Soc, 33 A914—1915), ч. 2, 118. Теорема сло-
сложения для Q в атой статье формулируется неверно.'

251] § 3. СЖАТЫЕ СФЕРОИДЫ 407
Как легко видеть,
со со
2гсс __ С du Г du ^_
~D ~ j А + В ch и + iC sh и ~~ J А—В ch и + Ю sh и ~~~
—со —со
со
_ (• du
J shf] shf]' + chf] chf]' ch u + cos 0 cosO' — sin 6 sin O'cos(<u + ;u.)
— CO
CO
Г du
j shtj shf]'—chf] chf]' ch u + cos 0 cos 6' + sin (Jsin fl' cos(<u— iu) '
—CO
Последнее равенство можно записать в виде
со
du
—CO —CO
где
a = sh 7) sh 7)' -j- ch tj ch r{ chw,
P —- (sin 8 sin 0' cos со ch и — cos 8 cos 0') — i sin 8 sin 8' sin со sh u;
a' и Р' выражаются аналогично.
Согласно п. 38,
со
ct — [5 "¦
n=0
1 J_
если только |6-j-(P2 — IJ | < | a -f- (a2 — IJ |- Сейчас мы убедимся в том, что
последнее условие выполняется при любом и.
Пусть
sin 8 sin 8' cos со ch и — cos 0 cos 8' = p cos q,. (a)
— sin 8 sin 8' sin со sh м = (/?2 — 1)^sin q, ' /
где p > 1. Тогда
P2 _ 1 = {cos q Q?2 — IJ"-j- ip sin g}2,
откуда
Докажем, что /? < ch и при м ^= 0 и, следовательно,
Исключая q из уравнений (а) и (б), получим для р2 следующее квад-
квадратное уравнение:
pi (pi — 1) — (р2 — 1) (sin 8 sin 8' ch u cos со — cos 8 cos О'J —
— p2 sin2 8 sin2 8' sin2 со sh2 и = 0.

408 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [251-
Его левая часть положительна при /?2=±а> и отрицательна при р* = 1,
следовательно, между 1 и + ос лежит один корень уравнения. Если мы
покажем, что взяв вместо р* величину ch2 и, мы придем к положительному
значению левой ч?сти, то отсюда будет следовать, что /?2 < ch2 и.
Берем ch2 и вместо р2 и отбрасываем положительный множитель sh2 и;
левая часть уравнения примет тогда вид
ch2 и A — sin2 8 sin2 6') — cos2 6 cos2 6' + 2 sin 0 sin 8' cos 0 cos 8' cos <o ch u.
Надо показать, что это выражение положительно. Для этого рассмотрим
квадратный трехчлен
я2 A — sin2 8 sin2 0') — cos2 8 cos2 6' -j- 2x sin 0 sin 8' cos 8 cos 0' cos со.
Он имеет единственный положительный корень; поэтому, если мы покажем,
что этот трехчлен положителен при х = 1, то он будет положителен
и при х = сЪи.
При х = 1 имеем
1 — sin2 8 sin2 0' — cos2 8 cos2 6' + 2 sin 0 sin 8' cos 0 cos 8' cos со.
Сравнивая это выражение с
1 — cos2 (8 — 8') + 2 sin 8 sin 8' cos 8 cos 0' A + cos со)
и
1 — cos2 @ + 0') — 2 sin 6 sin 8' cos 8 cos 8' A — cos со),
мы увидим, что при sin 8 sin 8' cos 8 cos 6' > 0 оно больше sin2 F — 6') и меньше
sin2 @ -j- 0'), а при sin 6 sin 0' cos 8 cos 8' < 0 оно больше sin2 @ -j- 6') и меньше
sin2 (8 — 6'); в том и другом случае опо положительно. Итак, доказано,
что /?<спи при и ¦-/= 0; если же и = 0, то р = 1. Следовательно,
Из неравенств а > спт)СпУ спи, (а2 —1J > sh и вытекает а -|- (а2—1J >
)' —1)сЬи + еК Отсюда |Р + ф2 —1J| < | a-f (а2 — 1)*| при вся-
всяком и Ф 0.
Итак, мы доказали, что при и Ф 0 ряд 2 Bи+1)(?„ (а)-Рп(?) сх0"
дится к j—-. Теперь мы покажем, что этот ряд можпо интегрировать
почленно по и от —со до -(-со.
Для этого достаточно показать, что сумма ряда 2 I Bл +1) Qn («) Рп ф) I
интегрируема в промежутке (— со, ооI).
Имеем
^
(п + ±
х) В самом деле, если fn(u) + i<?n («) — общий член ряда и ряд ^JI/n+'Tnb *• е-
2 {/«(м) + ?п (м)}2. имеет интегрируемую в промежутке (—оо, оо) сумму, то тем же
свойством обладают ряды 2l^"(u)l и Sl1?™^!" Тогда, согласно известному
свойству действительных рядов (см. Hobson, Theory of functions of a real
variable, т. II, стр. 306), ряды 2 /п(м) и 2?п("). а следовательно, и 2 {/п(«) +
+ i<fn(u)} можно интегрировать почленно.

251] § 3. СЖАТЫЕ СФЕРОИДЫ 409
где z = a-|-(a2— 1J; отсюда (см. гл. VI, п. 192)
Кроме того [см. формулу F1) гл. II],
отсюда, так как
0 •
вытекает неравенство
Следовательно,
i B„,
X
— l)chu+elul
Предположим, что i\ и -ц не равны нулю одновременно. Тогда ch -ц ch tj'—1>0
и (chTjcuTj' — 1) спи-j-eM > A + Х)еМ, где X —некоторое положительное
число, не зависящее от и; поэтому
Отсюда следует неравенство
со
2 lBn+l)<?n(a)Pn(
Так как X > 0, то правая часть меньше e~N с некоторым постоянным
множителем; следовательно, она интегрируема поив промежутке (— оо, оо).

410 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ {251
Итйк. мы доказали, что
f
n—0
Почти так же доказывается, что
оо оо
^Т=2 Bп-И)<?„ (*')*„№')
—оо п=0
Поэтому
Подставим вместо Рп (J3) и Рп (f)') их выражения, получающиеся со-
согласно теореме сложения:
Рв(Р) = (_!)» 2 (-1)таГРп (cos 0)i>™(cos 0') cos то(Ш +1в),
Рв(р')=(-1)в 2 а^Р? (cos 6) i>™ (cos 6') сов то (со-IB),
0
Итак, общий член ряда, представляющего -^-, есть
2п+1) (-1)" 2 а№(со8е)РГ(со8е') ^ {(-1)м <?в(а)-<?п (а')} X
ТПс=0 —ОО
X ch mu cos rmadu.
Для вычисления
оо
(-1)" $ {(-l)meB(a)-eB(a'Jc
воспользуемся результатом ц. 228, который состоял в том, что (— 1)" Qn (я)
есть среднее арифметическое интегралов
arcctg(sh-ij)
С (sht) — ChTjCOSy)" ,
J {shV + cos(x±iM)chfi'}n+1 X'
To же верно и для а'; при этом вместо eh?)' берется — eh?)'.
Таким образом,
оо arootg(shii)
(-1)" $ {(-l)ra<?B(
—оо
оо
X
— {sh т)' — ch (и + i'x) ch т)'}~(п+1)]
При kj > 7)' в первом интеграле х < arcctg sh т;, откуда shTj'< shTj < x
Следовательно, при любом i\' значение х заключено в промежутке Г О, -^Л ;
вместе с тем в точке, в которой sh t{ + ch (и + ix) ch т)' обращается в нуль,
значение х превосходит -^. Следовательно, такая точка всегда лежит вне

2511
§ 3. СЖАТЫЕ СФЕРОИДЫ
411
области, ограниченной линией и = О и ей параллельной, отстоящей от нее
на расстоянии %.
Выражение
sh т)' — ch (и + i'z) ch ¦»)'
обращается в нуль в точке, в которой и = 0 и cosx = thT]\ Так как
наибольшее значение х равно arcctg sh т\ == arccos th tj < arccos th V , то такая
точка оказывается вне прямоугольника, ограниченного линией и = 0 и ли-
линией, ей параллельной, отстоящей от нее на расстоянии %.
Как в п. 172, имеем
ОО го
Г chm(u-\-iy) du Г chmudu
J [shт)' + chт/ ch (и + ix)]n + i = J (shr' + chi/ ch u)n+i '
—CO —OO
так как sh^' + chTj'сЬгг не обращается в нуль между линиями и и и + ix.
Мы имеем также
J [sh r/
du.
shmu
1 J (sh-n' + chy сЬм)п+1
—CO
Умножая на ch mix, sh mix и вычитая, получим
го О
Г ch том du Г
\ ¦ — ——г = cos ту \
J fsh-n' + chT,'ch(M + iv)l r J
Подобным же образом находим
OS
chmudu
С chmudu
J^[shV-cbY)'ch(M
Следопательно,
ch mu [(- l)m {sh V -f ch tj' ch (в + i"x)}-(n+i)
chmudu
r/—chT/chu)n+1
Как в п. 172,
ее
Г
J (sh-n'
chmudu
С ch т (
J {shii' + chT,'
ch т (и + in) du
CO
Г cb m (и + in) du 1
J {sh-i)' + chT,'ch(M + iii)}n+1 J
—OO
те
о • ("
~ ~ l J (shTi'
COS mi/ di/
В п. 172 случай, когда критическая точка оказывается на линии и = О,
был исключен. Но когда п и т целые, интегралу в правой части в этом
случае можно приписать определенный смысл, если, интегрируя, обойти
точку arccos th т]' по малой полуокружности. Согласно уравнению A09)
п. 166,
Л
J
(_

412 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ B52
в то же время в силу уравнения A18) п. 171
arcctg sh i)
L
о
Следовательно,
00
(-1)" $ {(-l)m^n(«)-^n(«'))ch^d^2TC-g=^|
—со
Итак, мы доказали, что обратная величина расстояния D между точ-
точками (т), б, ср) и (¦»)', 0', ср'), где т) > ¦»)', выражается в виде
n + i)[Pn(cos0) Pn(cos0') Q^ish-q) Pn(isbfl'
n-0
+ 2 2 (-
m=l
т. е. разлагается в ряд по нормальным решениям. Идея доказательства
принадлежит Гейне, но само его доказательство изложено здесь со значи-
значительными изменениями.
252. Пусть т]0 — значение координаты т) на заданном сжатом сфероиде.
Если краевые значения гармонической фупкции на нем суть
а г>Ш / п\ COS
АРп (cosO)siam<f,
то внутри сфероида гармоническая функция, принимающая эти краевые
значения, выражается в виде
М) . cos
»не сфероида соответствующей гармонической функцией является
os
Если краевая функция представляет собой конечную сумму членов
вида АР% (cos 0) c?sm<p, то соответствующие гармонические функции внутри
и вне сфероида суть соответственно суммы членов вида
Р™ (i sh т|) т cos
А Рп (cos .6) . тгеш
(?™ (i sh т)) cos
А— Рп (cos 6) . тжр.
Теперь мы рассмотрим, так же как в случае вытянутого сфероида, общий
случай, когда краевые значения заданы посредством ряда функций вида
Dili
Пусть U=/ F, <р) — функция, абсолютно интегрируемая (в смысле
Лебега) в области 0<6<тс, 0<<p<2it. Запишем соответствующий ей ряд

252] § 3. СЖАТЫЕ СФЕРОИДЫ 413
сферических функций
4
6 6
где cosт = cos 8 cos 0'-|-sin 8 sin 6'cos (ср —ср'). Никаких предположений отно-
сительпо сходимости этого ряда мы пока не высказываем.
Запишем заданный ряд в виде
со со п
и ~2 Гп(в,<р)=Ц 2 Гп(в,<р),
где
V™ т т\ _ 2га+ 1 о (я—тI рт , л,
¦п 2it
X [cos тгеср С W (8', cp') cos тжр' sin 0' rfcp' db' +
о 6
+ sin тгеср ^ ^ / F', cp') sin тжр' sin 8' dcp' db' 1 ;
о о
о о
там, где тге = О, множитель 2 опускается.
Рассмотрим ряды
Покажем, что они абсолютно сходятся соответственно при т) < тH и т) > тH
и, следовательно, имеют определенные суммы Ui и Ue.
7) < 7H ;
P™ (i sh тю) V, ch % у1 [ sh т,0 J (sh2 т,0 + «!)••• (sh2 т|0 + a^) '
где p обозначает либо -^(и — m)> либо -у (и— т—1) и множитель -^—
присутствует только во втором случае. Нетрудно видеть, что
sh2 r\ + о2 ch2 -г;
и, следовательно,
Что касается ряда (б), то, так как ^"(ishir)) пропорционально
со
С ch том ,
\ п+Т^м
о
[см. формулу A17) п. 170] и при т) > тH
(sh т) + ch т) ch и) ch тH > (sh тH + ch тH ch и) ch т),
то

414 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 126»
т. е.
Так же как в п. 247, мы видим, что
ЯГ (cos б) Р? (cos 0')
< 1.
Таким образом, общие члены рядов (а) и (б) по абсолютной величине
меньше величин, пропорциональных соответственно Bп-\-1) ( с ^ ) и
Ч СП Т)о у
Bп +1)( с *л ) , поэтому эти ряды сходятся равномерно, ряд (а) при
т) < тH, ряд (б) при т) > тH.
Итак, если абсолютно интегрируемой функции /@, ср) соответствует
СО 71
«а поверхности т] = тH ряд по сферическим функциям ^ 2 ^«"С» ?)»
п=0 Ш=0
т/го ряды
сходятся абсолютно соответственно при -ц < т]0 м tj > т;0.
Точно так же, как в п. 248, применяя теорему Гарнака, мы приходим
к следующему результату:
Если ряд, представляющий /(9, ср), сходится равномерно и абсолютно
на поверхности т) = тH, то внутренняя задача Дирихле с краевой функ-
функцией f (Ь, ср) имеет решение
n=0 m=0 n
Решением соответствующей внешней задачи служит
§ 4. КОЛЬЦЕВЫЕ ФУНКЦИИ
253. Теперь мы рассмотрим кольцевые, или тороидальные функции,
появляющиеся тогда, когда уравнение Лапласа записывается в перемен-
переменных, одно из которых служит параметром семейства торов, другое — пара-
параметром семейства сферических сегментов, ортогональных к этим торам,
а третье — параметром семейства полуплоскостей, ортогональных к тем
и другим.
Если А, В — точки па прямой (черт. 34), проходящей через начало
координат перпендикулярно к оси z и образующей угол <р с осью х, то
за координаты точки Р, лежащей в плоскости ср = const, мы примем
АР
т) = In -j^p, угол 0 = /_ АРВ и сам угол ср. Расстояние 2с — АВ предпо-
предполагается фиксированным. Поверхности ц = const представляют собой торы,
образованные вращением вокруг оси z некоторого семейства окружностей;
точки А и В являются предельными для центров сечений этих торов
соответствующей плоскостью <р —const. Поверхности в = const суть сфери-

258]
§ i. КОЛЬЦЕВЫЕ ФУНКЦИИ
415
ческие сегменты с общим основанием; последним служит окружность
в плоскости ху, образованная вращением вокруг оси z точки А (или В).
Ограпичив зпачения т], 0 и <р промежутками 0<т]<оо, —tc<0<ic
и —и < ср^я, мы однозначно отнесем каждой точке координаты (т), 9, ср),
за исключением точек в плоскости ху, отстоящих от оси z на расстоянии
0 Н
с, где О = ^тс. Над плоскостью
ху мы считаем 8 положительным,
под плоскостью ху — отрицательным.
Пусть р — расстояние от точки
Р до оси z; тогда 2cz = АР ¦ ВР sin 9,
АР2 -f ВР2 = 4с2 + 2АР ¦ ВР • cos 8,
откуда
0-2
АРВР =
ch т)—cos в
с sin О
ch t\ - cos fl '
Кроме того,
куда
от-
отЧерт. 34.
csbf\
chr,— cos t) "
Для элемента длины дуги ds имеем выражение
в коордипатах ttj, 6, ср
Согласно общей формуле для лапласиапа [см. формулу B) п. 2],
уравнение Лапласа запишется в виде
д_( shi)
8V
.( EL
vch-i)—
cos 6 36
i]—cos6)shi)
т- = 0-
Преобразуем это уравнение. Пусть V = U (cos т) — cos 8J; упрощая,
получим
Положив, как обычно, С/ = НвФ, где Н, в и Ф зависят каждая лишь
от одной переменной, соответственно т), 9 и ср, разделив на ?/, придем к
1 1
cthT)dH . 1
н
X л
Отсюда для Фив получаем уравнения
+ п2 0 = О,
где т и п постоянные. Функция Н определяется из уравнения
п *¦ t ill
к числу решений которого принадлежат Pm i(chir)) и ^m i(chir)). Итак,
искомые решения уравнения Лапласа суть
1
«-2
sin sin

416 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [254
„__ sin w0 sin »*•
В обычных задачах теории потенциала эти функции должны быть
периодическими по б и ср> следовательно, тип должны быть целыми
положительными числами. Таким образом, мы встречаемся с функциями
Лежандра и с присоединенными функциями целого порядка и полуцелой
степени от действительного аргумента > 1. Гармонические функции ука-
указанного вида носят название тороидальных или кольцевых функций; их
ввел К. Нейманы1) в связи с задачей распределения тепла в твердом
теле, имеющем форму тора. Вкратце их рассмотрел также Римаи2). Под-
Подробному изучению их подвергли Хикс3), Бассет4) и Нивен5); изложены
они и у Гейне 6).
Как внутренняя, так и внешняя по отношению к поверхности тора
области не односвязны. Поэтому тороидальные функции не всегда могут
быть прямо употреблены в тех задачах, в которых фигурирует циркуля-
циркуляция, так как в таких задачах потенциал не всегда определяется одно-
однозначно своими значениями на поверхности тора. Хикс рассмотрел неко-
некоторые случаи, когда такого рода потенциалы могут быть определены.
254. Нам придется рассмотреть поведение функций
i_
П~2 S1D Sl11
И
1
в области 0<т]<т]0, т. е. вне тора, поверхность которого изображается
уравнением т) = тH> и в области tj0<y]<oo внутри этого тора. Область,
впешняя по отношению к тору, содержит плоскость ч\—0; на ней е~2^~1
и, согласно формуле A10) гл. V, функция
i_
(ch-r)-coseJ/>'n , (ch-rj),
" 2
с точностью до постоянного множителя, сводится к
I?
I?
A — cos бJ \ cos
о
и, следовательно, при m ¦¦/= 0 обращается в нуль, а при т==0 — в тсA — cos бJ.
Итак, (chfj — cos бJ pm j (ch т]) конечна всюду в области 0<т]<7H. Что
2
касается функции
_
(ch7)-cos6J<?
i
n 2
х) Theoric der Elektrizitats-und Wiirmevertheilung in einem Ringe, Halle, 1864.
2) Сочинения, М. — JL, 1948, стр. 367 — 372.
3) Phil. Trans., 172 A881).
4) Amer. Journ. Math., 15 A893), 287.
6) Proc. Lond. Math. Soc. B), 24 A892), 372.
•) Kugelfunktionen, т. II, стр. 283—290.

255] § 4. КОЛЬЦЕВЫЕ ФУНКЦИИ 417
то, согласно формуле F7) гл. V, она пропорциональна
_cos9y.
.+mt n + jn + j y
последняя при -ц —=>• 0, с точностью до постоянного множителя, асимпто-
асимптотически выражается в виде
A-в-2т')~я1A.-совв)^,
следовательно, она бесконечна при т) = 0. При т = 0 асимптотическим
выражением служит In ^— ; оно также бесконечно в плоскости т) = 0.
Итак, в области, внешней по отношению к тору т) = тH, мы будем пользо-
пользоваться лишь функциями
/1 «,г r-m / i_ \ COS п COS
(chfi-cosQ)*P™_t_(c}ni) s.n ив s.n икр.
Область, внутренняя по отношению к тору kj = tj0, содержит круг,
в котором т)= + оо. Функция Рт l(chT)), согласно формуле G3) гл. V,
пропорциональна функции
% (е~27>)~п
при т) —> оо эта последняя асимптотически выражается в виде Се % (е~27>)
или Се 2' ( где С постоянно. Такое выражение при т) —> оо становится
бесконечным. Что касается функции Qm i(chTj), то она пропорциональна
(»+5)ч
при т) —> оо последнее выражение асимптотически равно е •« , следова-
следовательно, оно стремится к нулю.
Итак, в области, внутренней по отношению к тору tj = тH, применимыа)
функции
%
255. Из формул (95) и (96) гл. V вытекают следующие соотношения:
"-2
<
X \ (ch7j + sh7]cos^)n т~2\
x) У Гейне (см. Kugelfunktionen, т. II, стр. 290) ошибочно указано, что нормаль-
нормальные функции, содержащие Pm_i , применимы во внутренней области, а содержащие
П 2
Qm j —во внешней.
"-2
27 е. в. Гобсон

418 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [256
при т = 0
тс 1 тс
hri + Sh " C°S W" <*Ф = V ^ — i <*Ф
+
Согласно формулам A08) и A09), имеем
1
П( п + т
1 j n_t
(ch т)) = -к ^-т , \ (ch т) + sh т) cos <p) 2 cos mcp dtp =
2л A) }
cosmf
—
а по формуле A41) гл. V —
л
Согласно формуле A17) гл. V, при п — тп + у>0 имеем
е;%(си)=(-1)т—¦ L j —,,
в частности,
s (ch t\ + sh т) ch м) 2
Согласно формуле A18) гл. V,
упоЦч
^chmudu,
П( n + m—-5- )""V 2< 1
" 2 П
откуда
= \ (ch y] — sh т] ch и)"
256. Согласно формуле F7) гл. V, имеем
1\„/ 1
11 (")
х
у; п+1;
в частности,
Отсюда можно получить приближенные выражения этих функций для
боЛЬШИХ 7].

257] § 4. КОЛЬЦЕВЫЕ ФУНКЦИИ 419
Так, например, для Qn~- (ch"Vj) получаем приближенное выражение
П (»)
Согласно формуле G4) гл. V, имеем
XF f — -\-m, n-rm-\--^; 2т+1; 1 — е~2
и, в частности,
п__
Отсюда можно получить приближенные выражения этих функций при
малом т].
257. Получить приближенное выражение для Pm i (ch т)) при больших
значениях т; значительно труднее, чем для ()m i (ch -ц). Такого рода вы-
ражение—разложение по степеням (ch yj)—1—было получено в гл. V [см. фор-
мулу C7)].
Легко видеть, что формулы F8) гл. V теряют смысл в том случае,
когда п—у целое число, которое мы обозначим р0. Сейчас мы займемся
необходимым для этого случая преобразованием упомянутых формул.
Рассмотрим формулу
Р™ (ch о) = 2т S
shmo .e<-n-™y°xF( m + ~, m — n; -i— n'>
т)п(-|) V
при п + у , равном целому числу /?0. Прежде всего мы имеем конечную
сумму
[
о-1)"
е-2(Ро-
27*

420 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [257
и при р Ф р0 — выражение
- shm а • е ° ^ X
COS( Р--ГГ )п Ц(/>I1( —4
( р—
+ 2-_ n<j»-l) Л«а • >--5) -*»' х
1 Л ( 1 .Л / 1
1г + т )¦¦¦{ -Т + т + р0 — 1 )( р — т—х-
2 ^ ъА ул 2 - з ±_ х
jPo' (i° 1) (/* 2) ... (р р0)
°о пГт + р +«-¦-2Л пГр-т-»0--
s-1 П ( и» + Ро —— ) П( P—m—Po — s о",
Г1/_ 1~\ГТ/_ _ Л\С I T
которое становится неопределенным при р—>р0.
Коэффициент
от П(Р~<) "
П(т-Т
X
равен
2т
П (л) п (-
а
'"•-у)
sin
1
п(-
('-
) I
-4)
1
1(л-Р+т-Г
П(Ро-р)
\ . f
)п sin 1 р0 — р + ,
1
m i Лк
. ° 2 у
зщ(/H—р)л
sin (Л) — р)
cos р—тг* '
при р—>Ро имеет продел —1; далее, при р = р0 показательные множи-
множители совпадают, а с ними вместе и оба ряда в рассматриваемом выражении.
Раскрывая неопределенность по обычному правилу, мы придем к сумме
з, в которой
2
п(Л-»
. /" . 1 Л -(т+4)«+(р-2ро)«
X sm-f р0 — р + т — у Jk • е 2/
X

257] § 4. КОЛЬЦЕВЫЕ ФУНКЦИИ 421
x {l+2 —7 *^', ' 7. x
L s=l П
..}],
х Г(н4) *(т + |, Р + ™ + 4; р + 1; е-»-
)] .
Предположим для упрощения, что т целое положительное или нуль;
при этом cos ( р0 — р — т —<г ) u и cos ( Р — ~Т~^~т )и ПРИ Р ~~> Р° ^УДУТ
стремиться к нулю.
Так как
d Р — Ро и d p — р0
dps'm(p0—р)к dp f 1 Л
при р—>р0 стремятся к нулю, то искомое выражение представится в виде
суммы таких членов:
1) конечная сумма Sx;
2) (-l)
X е ¦ *¦ F[ яг + т,
3) 2т Т-
* П (^ —j ) П (Ро)
П'( »-т
Г1 1
s=i
l 1 , 1 1 1
X
1
•]•
Не составило бы труда найти соответствующие выражения при не це-
целом т.

422 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [257
Чтобы
откуда
П' @) П'
упрос
тить
П
П
1 "
3),
(л)
)
)
1 "
1 Л
заметим
' 14-
" 1 "Г"
то —-у
)
( т +
, что
1 ,
2 + ...-
3 J
то-^
I
1
. 1
, П'@)
1 П@) '
-4)
1 \ '
4)
-ГУ
= 2 -
-,•+...+—' V
A
1
Логарифмируя известное равенство
дифференцируя затем обе части и полагая х — -к-, получим
пу @) п v ~т
Объединяя 2), 3) и 4), получим
Л 1 Л
П( Ро + т =- J _(р.+т_1)а
( _ i)-2m+i -А 2/ In Dc) shm о • е 1Ро+ 2-' X
«П(л)п(-у)
X J MPn+s + US — V
где
i
m+s~2
Т Т

258] § 4. КОЛЬЦЕВЫЕ ФУНКЦИИ 423
Написав п вместо р0, так что п оказывается целым числом, получим
для Рт 1 (ch о) выражение
/ 1 Л ( . 3V 1 Л / 3
(л—1)!(п—1)!
In De«) shmo
2(п -1)» I
П ( п + т у
П С») «5
1 2) (- l)m2m^ X
°°П( m + s —-^- )п( m + n + s—-
v Y У t ' У l
/N ,' I tt
S"l
с котором иг и в 11 определены выше.
При т = 0 получим выражение для .Р i (ch о)
пс-
J.
l-t- ! . л - i ¦• • -т-
L
зл Л з л / 1 л з
(л—1I (л —1I
2П( п у) • 1ч
тс2 П (я)
1 tc^Zj " П(я + «) П
8=1
Этот частный случай другим методом получили Бассет и Нивен
(см. цитированные на стр. 416 статьи).
258. Чтобы выразить с помощью тороидальных функций обратную
величину расстояния D между двумя точками (tj, 6, о) и (щг, б', ср'), заме-
заметим, что
1_ 1 (ch-g— cos6J(ch-q'— cosO'J
[{* — cos @ — b')f
где [i = ch Yj ch Tj' — sh т] sh t\' cos (<p — ?') > 0.

424 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [258
Разложим A — 2/г cos а + /г2) 2 при условии 0< | /г | < 1 по косинусам
дуг, кратных а. Имеем разложение
7 • ч~1 Гл , 1 7 ir. ~'~2 V 2 ) , 1
_hp-i^ *=-_\\+The"+... + ^ _ZA«e«-+...Jx
— А /2п — 1
- 2 " 2 V 2
Ряды справа сходятся абсолютно, поэтому их можно перемножать
почленно и в произведении произвольным образом группировать члены.
Представим же это произведение в виде
оо
(Г!J ^ ZJ
Г=1 И=1
2 2п+2 " "+" 2 • 4
(
п=1
Так же, как в п. 185, легко показать, что этот ряд сходится равно-
равномерно относительно а. С помощью формулы F9) п. 149 мы получим
где г =-- (i -+- |/(i2 — 1 • Положив h — — , будем иметь
_i °°
wB|t — 2cosa) 2 = ? i (j*) + 2 У <? i(|*)cosrao.
~2 t "^
Отсюда
2 и=1 —2
Мы видим, что, так же как Рп (cos а) служит коэффициентом при /г"
в разложении A — 2/г cos а + /г2) 2 п0 степеням /г, ^ 4 ((i) z2 оказывается,
П
с точностью до постоянного множителя, коэффициентом при cos na в раз-
разложении той же функции по косинусам дуг, кратных а.
Подставив полученное разложение функции
f(i— COS F — б')}"
1
в выражение -= , получим
4; = — (ch т; — cos ОJ" (ch V — cos 6'I X
J_J C7C
oo
X {(?_*(li) + 22 Q i (t*) cos 4 F — в')} .

259] § 5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОНУСАХ 425
Применив теорему сложения, приведенную в п. 223,
9)
2 (-1Г ) 1 <-^|j_(ch 71)^(ch71') сое m (,-?'),
m=l П(—2"+»» J 2 2
) 1 <-^|j
П(^—2"+»» J 2
1 ((*) = <? 1 (ch7j)/> j (ch7|')
^fC * (сЬ^Г i (chV)coem(?-«p')f
, 1 „ „ -
получим, в предположении т\ > т\ , разложение — в двойной ряд, общий
член которого пропорционален произведениям
i_
(chTj — cos6) 2Qm , (chTj)cosm(c?—с?')
J_
5'\ 2 Dm
' —cos6'J/>m , (ch V) cos m (tp — c?').
§ 5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ,
ОГРАНИЧЕННЫХ КОНИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
259. Рассмотрим теперь случай ограниченной области, лежащей внутри
одной полости конической поверхности 6 = а, граница которой образована
самой этой поверхностью и сферическими поверхностями г = а и г=6.
Поставим задачу найти функцию V, гармоническую в такой области, при
нимающую наперед заданные значения на сферических участках границы
и равную нулю на конической части границы. Согласно п. 23Q, сущест-
существует последовательность положительных чисел п1г п2, ¦ ¦ ¦ , па, ... , вообще
говоря, не целых, для которых Pns (cos a) = 0. Поэтому, если краевые зна-
значения V на поверхностях г = а и г = Ь можно представить в виде рядов
^AsPns (cos В), У, BtPns (cos В),
то, определив постоянные а, и Ьа из условий
А, ¦-= ааап* + b,b-n*-l, Bs = аеЬп* + bsb~n°-J,
мы получдм для У выражение
оо
V = 2 (asrn-" + V-"'-1) ^«s (cos 6).
s = l
При этом мы предполагаем, что ряды, представляющие значения кра-
краевой функции, сходятся равномерно. В этом предположении коэффициенты
можно получить, воспользовавшись соотношением
^ Pns (cos 9) Pnt (cos 6) sin в db = 0 (n, Ф nt),
0
которое вытекает из общей формулы D0), содержащейся в п. 23. Этот же

426 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [260, 261
метод применим и тогда, когда краевое условие на коническом участке
границы имеет вид f-^-P (cos 9) J =0.
Эта задача служит примером применения функций Лежандра дробной
степени. В этом случае, когда граница области содержит еще участки пло-
плоскостей <р = 0 и ср — ср1, можно воспользоваться сферическими функциями
. Acp-PjJ1 (cos 6) с дробными т и га. На возможность использования этих
¦функций для решения задач теории потенциала в некоторых специальных
областях указали Томсон и Тэт 1).
260. Рассмотрим теперь случай области, описанной в п. 259, по при
краевой функции, равной нулю на сферических участках границы. Пусть
?п обозначает сферическую функцию произвольной степени га; эту степень
Агп-*,—;j7T )«Уп = 0 пРи г = а и /• = &.
Из уравнений Аап + йа-"-* =0, АЬп + ВЬ~п~х = 0 имеем а2"-* = Ь2п+1,
1 . km ¦, .. ¦.-,
откуда п= —-1г-\ г-, где к— любое целое число. г5 связи с этой зада-
1п —
а
чей появляются, таким образом, сферические функции комплексной сте-
степени вида —s" +pi.
Если в уравнении Лежандра и в присоединенном уравнении положить
л=—^ + pi. т0 получим п (и 4-1)=—Р2—т ' и эти уравнения примут
вид
Решения этих уравнений ввел Мелер 2) в связи с некоторыми зада-
задачами электростатики, назвав их коническими функциями (Kegelfunktionen).
Основные свойства этих функций будут выведены здесь из общих резуль-
результатов, полученных в гл. V.
261. Гармонические функции рассматриваемого вида представляются
-—±рг
как произведения г 2 isTp(cos9), где для простоты введено обозначение
Kp(cos6)=P i (cos 6).
--2-н-рг
Согласно формуле A1) гл. V,
cose) = F^-pi, -j+pi; 1; sin*-уб) =
Все коэффициенты этого ряда действительны, и Kp(cosB) при 6 = 0
принимает значение 1. Кроме того, Kp(cos 6)=AT_p(cos6).
Взяв я —б вместо б, получим
откуда мы заключаем, что Kp(cosb) при 6 = ^ бесконечно.
x) Natural Philosophy, т. I, стр. 180, 196—197.
2) Journ. vf. reine u. angew. Math., 68 A868), 134. См. также статью Мелера в Math.
Ann., 18 A881), 161. Следует еще упомянуть статью К. Неймана в том же томе Math.
Ann. Кроме того, см. Hobson, Camb. Phil. Trans, 14 A889), 211, где эти функции
рассматриваются как частный случай сферических.

262] § 5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОНУСАХ 427
В гл. V было показано [см. формулы A30) и -A44)], что
К9 (cos 6) = A J chpu t <*«
0 Bcos it-2cos 8) 2
r, , e. 2 , (" COS pit ,
Kp (cos 6) = — ch piz \ - j- du,
0 Bcos в + 2ch и) 2
а согласно формуле D9) гл. V, имеем для —?- < б < у
1+(тУ)О+D)'
В п. 181 мы вывели соотношение
оо
COS ри
1 \Q*+Pi (cos6) + tf_ii(cos6)}.= ) "
г * L ° Bchit-2cos8)
где
/ лч f COS DU С COS Ptt
<?_4_+pi (cos 8) = \ S—T du - i sh pr. ) Г du.
0 Bch it—2cos 8) 2 ° Bch и + 2cos 8) 2
Таким образом,
^p(-cos6)=— сЪрк \о x .(cos6L-<2 i .(cos6)l.
Мы видим, что функцией Кр (— cos б) можно пользоваться в случае
области, внешней по отношению к конусу; на участках оси конуса, лежа-
лежащих вне и внутри конуса, эта функция равна соответственно 1 и ос.
262. Обратная величина расстояния D между, точками (г, 6, ср) и
(г', б', <р') равна
- = е
{2ch(o — о')— cos 7} 2
где r = e", r'=ea', cos у = cos б cos б' -f- sin б sin б' cos (<p — ср').
С помощью интеграла Фурье запишем это выражение в виде
—
2
1 22 -Т('+О ? . ,ч, С
-=- = -е \ cos v (с — c)dv )
О u
и ° (chit—cos 7) 2
оэ
J сЬтси "
о
Чтобы представить это выражение как функцию от б, б', ср — ср', при-
прибегнем к теореме сложения для функции К. Пользуясь формулой п. 227

428 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [263
и предполагая, что 0 < ~ и в' < —, запишем
Кр (cos i) = Кр (cos 6) Кр (cos 6') +
f 1
П —T + pi—
ЕП —T + pi—m )
—) 4-К%(cos 6) Я™ (cos б') cos m(с?-с?'),
где
(Bm-1I)*Л •
Согласно п. 227, это равенство выполняется также при 0<6'<у
у<6<Я, 6 + 6' <*, И
# -L. „• (cos Т) = -^р (cos б') <?_±^„. (cos б) +
os6')Omi (cos 6) cos т (ср — ср'),
rr^l П( — ^ + Р1 + т ) ~~2~~г*"
причем ряд сходится равномерно относительно «р и ср'.
Взяв теперь —р вместо р, сложив оба выражения и умножив на
— ch pn, получим
Кр (— cos f) = Кр (cos 6') КР (cos 6) +
СО
__ / Л \т.
+ 2 У
Это равенство справедливо при 0<6'<у<6 и 6 + 6' < я.
Выразим теперь в развернутом виде обратную величину расстояния
между точками (г, 6 <р) и (/•', 6', ср'):
оо
1 If COS» (в — в') тт , ь,\ v /
-д = Т \ h ^(cos6/).gp(-co
+ -V 2cos ** (т- ^) ?gm cos сь17у/) ^ (cos е'>к™ (~cos 6> rf»>
(гг') 2 °
где
и 9>0'
263. Предположим, что на конусе 6 = 60 функция V задана в виде
—j—/(о, ев), где /(о, ф) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье
/(о, ?) = Fo(e) + 2^™@)c

264] § 6. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В БИПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 429
а функции F0(o), Fm(a) и Gm (о), любая из которых будет обозначаться /(о),
представляются интегралом Фурье
cos ю(о-о')/(о') rfo'.
—оо
Так как функции К™ (cos б) cos у (о — о') c?s m<f удовлетворяют урав-
уравнению Лапласа и конечны внутри конуса, то V% может быть определена
следующим равенством:
, 2 — оо —оо
оо оо
—CO — OO
cos m9 + Gm(o') sinm<f} do'.
Для решения внешней задачи нужно в этой формуле взять — cos б,
— cos б0 вместо cos б, cos60, так как K™(-^cosb) конечна при 6 = г. То,
что эта функция гармоническая и на границе имеет заданные предельные
значения, требует особой проверки.
Применение этого метода Мелером к задачам электростатики вызы-
вызывает возражения на том основании, что нормальные решения вида
i_
г 2 c?s (p In r) Kp (cos б) обращаются в бесконечность в вершине конуса.
Действительно, Гейне установил, что найденная Мелером функция сама
не гармоническая, а представляет собой лишь предел гармонических функ-
функций. Некоторые замечания по этому поводу высказал Макдональд в статьех),
где он находит распределение зарядов в коническом проводнике вблизи
вершины при наличии точечного заряда, помещенного на оси конуса;
метод Макдональда свободен от указанного дефекта.
§ 6. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В БИПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
264. Пусть точка Р (черт. 35) имеет сферические координаты г, б, ср.
Фиксируем на оси 6=0, тс точку С на расстоянии ОС — к от О и ставим
в соответствие точке Р такую точку Р', лежащую в той же полуплоско-
ОР' ОР
сти <р' = <р, для которой ¦, = -jr=r . Пусть г — ке"; тогда
= А2 + г2 — 2йг cos 9 = ftV Bch о — 2cos 6).
Кроме того,
ОР' _0Р _ г _
UFr:=z'OC ^ *" = ^'
откуда
, ОР'
СР'
Переменные о, 9 и <р часто называют биполярными координатами точки
Р'. Когда Р лежит на какой-нибудь сфере с центром в О, геометри-
геометрическим местом точек Р' служит сфера о = In -г с центром на оси 6 = 0
или 6 = it. Конусу Ь — % отвечает веретенообразная поверхность, образу-
J) Camb. Phil. Trans., 18 A900), 292. Вывод Мелера содержится в упомянутых
выше статьях, см. также Гейне, Kugelfunktionen, т. 11, стр. 249.

430 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [26&
емая вращением дуги, отвечающей углу т. — 6, вокруг своей хорды ОС.
Плоскости ср = const отвечает сама эта плоскость. Семейства этих сфер,
«веретен» и плоскостей взаимно ортогональны.
Согласно теореме п. 75, функции гпУп(б, ср) точки Р соответствует
гармоническая функция точки Р', выражающаяся в виде
ке 2 Bch о - 2cos 8) 2 е™ Yn @, ср),
или, с точностью до постоянного множителя,
Что функции
*Ы)°
в*\ ¦ 2 Г (ch О-COS б) 2 Уп@,
удовлетворяют уравнению Лапласа в координатах а, 6, ср, можно прове-
проверить непосредственным вычислением.
Р
—- i
Черт. 35.
В точках О и С координата о обращается соответственно в — ооТи
-j-oo- Сферы, на которых о принимает отрицательные постоянные значе-
значения, охватывают точку О; сферы, на которых о постоянна и положительна,
охватывают точку С.
Обратная величина расстояния между точками (а, 6, <р) и (о', 6', ср'),
как легко видеть, выражается так:
1 _ (cha — cos 6J (cha' — cos 6') ^ ег
к {ch(o —о')—cosf} 2
хде
cos f -- cos 6 cos 6' + sin 6 sin б' cos (cp — cp'),
а это выражение можно представить в виде рядов
¦J- (ch о - cos 6)" (ch о' - cos 6 V 2 е <в~°')рп (cos Т)>
П=0
¦J- (ch о - cos 8)~ (ch о' - cos 6')^ 2 е ^'""^n
(cos l)
п=0
соответственно при <з < <з' и о>о'. Каждый член этих рядов представляет
собой гармоническую функцию как по о, 6, ср, так и по о', 8', ср'.
265. В системе биполярных координат можно найти гармоническую
функцию V по заданным ее значениям на двух непересекающихся сферах;

266, 267] § 7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВНУТРИ СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА 431
последние могут быть расположены одна вне другой или одна может быть
вложена в другую.
Пусть краевые значения V на поверхности а —- at заданы функцией
/iF> ?)» а на поверхности а — а2 — функцией /2F, <р). Допустим, что функции
А (8, ?) /2F. у)
(cho! — cos вJ (cho2—cos вJ
могут быть разложены соответственно в ряды
Тогда при выполнении известных условий, касающихся характера сходимости
этих рядов, искомую гармоническую функцию можно выразить в виде
_1 °° sh( п + -^- )(о—о,)
+ (cha-cos6J > /У ZJ0, с?).
n=0 sh f n + — ) (a2— a,)
В случае области, внутренней по отношению к сфере a — ax и внешней
по отношению к о = о2, будем иметь
V = (ch a - cos 6)^ 2 e(n+"^ ('°"°Vn F, cp)
для °> o0-
Первое решение задачи о распределении температуры между пеизлучаю-
щими сферическими поверхностями дал Томсон (КельвинI). К. Нейман2)
решил задачу в общем виде. Ее рассматривал также Дирихле в своих
лекциях.
266. Рассмотренная система координат применима и в том случае,
когда краевые значения гармонической функции задаются на «веретено-
образпой» координатной поверхности. При этом надо подвергнуть указанному .
преобразованию те нормальные решения уравнения Лапласа, которыми мы
пользовались в случае области, ограниченной конусом. В результате мы
получим элементарные решения вида
j_ i_ .
(cha-cos6J e 2'sm^a.^(±cose)cosm(?r
v ' cosr p \ -l. / sin т
Ряды по таким функциям могут представить гармоническую функцию
с краевыми значепиями, заданными на поверхности «веретена».
§ 7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВНУТРИ СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА
267. Система координат, которой мы пользовались в п. 253 для по-
построения тороидальных функций, применима и в случае области, ограничен-
ограниченной сферическим сегментом G= const или поверхностью «линзы», т. е. двумя
сферическими сегментами такого рода. Впрочем, сейчас нам надо так пере-
перестроить систему координат, чтобы 8 изменялось непрерывно при пересечении
круга, на котором 6 = я.
1) Journ, de Liouville, 12 A846), 256.
2) Algemeine Losung des Problems uber den statiormren Temperaturzustand eines
homogcnon Korpers, welcher von irgend nichtconzentrischen Kugelflachen begrenzt wird.
Halle, 1862.

432 ГЛАВА X. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [267
Пусть 6 = вх и 6 = в2, где 6Х < в2, — уравнения двух граней линзы. Для
точек, лежащих внутри линзы, мы полагаем 6j < в < в2, а в области,
внешней по отношению к линзе, 62 < 6 < 61-)-2я. Координата 6 изменяется
в промежутке от 0 до ю.
Искомые частные решения уравнения Лапласа суть
(ch т, - cos Ъ)*К™ (ch ti) 2 рО I™ икр,
где Kp(c\i-ri) обозначает Р t . (chtq), а также соответствующие произведе-
произведения, содержащие функции Лежандра второго рода.
В отличие от п. 261, где мы также имели дело с функциями ЛГр(сЬт)),
теперь аргумент этих функций принимает значения, большие 1.
Формулы A44), A43) и A41) гл. V дают нам следующие выражения:
cospu
±du, (a)
B ch и + 2 ch yj) 2
CO
Kp (ch i,) = 4 ch jk J S'mpu ± du, F)
71 Bchw—2cht)J
v i г. \ 2 f COS ри ,
Kv (ch i\) = — ^ ^ г им. (в)
0 Bch-r]—2chwJ
Тессералыше функции К% (ch ^) определяются так:
iC (ch Ti) = sh« i, ^^ if^1 (ch т,),
т. о. (см. п. 180)
оо
2m+i д^тп „j ^ cog pucb pjz
m~-—
B ch m+2 ch ¦
Согласно формуле A50) гл. V, имеем
м -2chr))
откуда
chw — 2chr)J
Следовательно, если, по определению, положить
оо
Кр ( — ch tj) = — ch ръ ^ ^25Z!f _ du,
0 Bchw — 2сЬт))т
мы получаем
Kp (- ch т0 = 4 ch p^ (<?_Л+р. (ch 7,) + <?_± _ р. (ch т,)}.
Нули функции Кр (ch тг)) были исследованы в п. 237.

268] § 7 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВНУТРИ СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА 433
268. Обратная величина расстояния между точками (т), G, <р) и (т/, 9' <р')
выражается в виде
J_ _(cht)-cosQJ (chr/ — cos6'J 1
D ~ • J_ J_ '
*-22 {chf— cos (в — в')}2
где
ch y = ch 7) ch ч\ — sh if] sh t{ cos (<? — <p').
Так как
{сЪ-f — cos (б-9')) 2=_±y j--^—r—m.
11 v >> л j u2 + chf ~-cos (в —в') •
о
где u2 + ch y = ch у, то
J_ _J_ Г 1 shp ,
i? ~ x 3 cho-cos(fl — в') _i_ 6'-
Y (chv-ch-yJ
Чтобы преобразовать это последнее выражение, замети^., что
и воспользуемся равенством
WCtgAffi= ^
о
где Re (Л) заключено между 0 и 1.
Сделав замену переменной z = e~2u!7C, получим
оо
shBX —I) wn ,
;
откуда, цридав \ значения
±.{B-B' + iv), 1<е-о'-,ъ)
и воспользовавшись выражением (б), придем к равенству
2sh» r°chF — 0' — tC)pv ,, ч .
ch t,-cos@-* 8-)=} c?^ ^pchG)rfp.
Следовательно,
1 (chtj-cosQJ (chTj'-cosO'J r°ch(e-U'-r-)/>z , ,
D к j ch 7i/> p> » ^'
0
где 0<6 —9'<2i:.
С помощью теоремы сложения п. 220 можно представить Кр (ch 7)
равномерно сходящимся рядом но косинусам дуг, кратных <р — <р'.
В спязи с материалом этого параграфа см. статьи Мелера, упомянутые
на стр. 426, и мемуар К. Неймана1).
») См. Trans, of the Saxon Soc, 12.
28 E. В. Гобоо;1

Глава XI.
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
269. В связи с задачей об установившемся распределении температуры
в эллицсоиде при заданных значениях температуры на границе, Ламе полу-
получил1) систему нормальных решений уравнения Лапласа, отнесенного к ко-
координатам, которые служат параметрами семейств софокусиых эллипсоидов,
одпополостных и двуполостных гиперболоидов.
Эти решения представляются в виде произведений трех функций, каждая
из которых зависит от параметра лишь одного из этих трех семейств;
каждый из таких множителей, называемый функцией Ламе, задается как
определенное частное решение некоторого дифференциального уравнения
второго порядка, известного под названием уравнения Ламе. Систематическое
изложение результатов Ламе имеется у Гейне2), и этим изложением мы
существенно воспользовались в настоящей главе.
Чтобы получить решения уравнения Лапласа требуемого вида, введем
так называемые эллиптические координаты Ламе; их следует, впрочем, на-
называть эллипсоидальными координатами, во избежание смешения с эллип-
эллиптическими координатами в плоскости.
Эллипсоидальные координаты (р, (х, \) связаны с декартовыми коорди-
координатами (х, у, z) соотношениями
х- . У2 , z2 _ .
р2 +Р2- А2 + р2 —*2 '
х2 У2 z2 _ .
2—А2 ~ *2 — (
¦v2 A2 —N2 Аа_„1—х>
причем &2<р2<оо, /г2< [j.2< к2, 0<м2</г2; положительные постоянные
к > h фиксируются произвольным образом. Эти уравнения изображают
соответственно семейства ссфркусных эллипсоидов, однополостных и двуполо-
двуполостных гиперболоидов. Все три семейства взаимно ортогональны.
Так как р2, ^2 и v2 служат корнями кубического уравнения относи-
относительно X2
Х I У I Z _ 4
X2 "Т^2 — Д2-ГХ2 — ка '
ТО
У — А2 (Л2 —А2)
„2_(Р2-*2)(*2-^)(*
А2 (Л2 —А2)
*) Исследования Ламе были опубликованы в Journ. de Liouville, 2 A837), 147;
4 A899), 126; 8 A843). См. также его монографии «Leqons sur les fonctions inverses des
transcendentes et les surfaces isotHermes», Paris, 1857, и «Leqons sur les coordonnees
curvilignes», Paris, 1859.
2) Kugelfunktionen, т. I, стр. 350 — 381; т. II, стр. 164—173.

270]
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В СФЕРО-НОНИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
435
Чтобы всякая точка определялась, вообще говоря, единственной си-
системой значений р, р и v, мы условимся считать, что р положительно и
заключено между i и -}-оо; |i изменяется от h до А; и далее от к до А,
так что У к2 — (а2 изменяет знак, когда (i достигает значения A;; v изменяется
от —А до /г и далее от /г до —/г, так что )/ /г2 —v2 меняет знак с + на —,
когда v достигает значения h.
При этом декартовы координаты выражаются через эллипсоидальные
по формулам
ж—
~
Ур2 -к* У к* — у2 У к2 -ч2
к У к* —Л2 '
где у к2 — Л2 берется со знаком -\-, а знаки остальных корней определя-
определяются согласно только что принятому соглашению. При р = Л соответству-
соответствующий эллипсоид сплющивается в эллипс
Введем переменные 0 и tp, положив
а и.4 . л У^ -h
cos 0 = ^- , sm б cos ф = -?-J-
hk r h Ук2 —h2
sm 0 sm a> = -
где
Тогда
= p^-r, у = У P2— /г2 sin Gcos cp, z = "^p2—A;2sinG sincp.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В СФЕРО-КОНИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
270. Прежде чем рассмотреть уравнение Лапласа в эллипсоидальных
координатах, введем сферо-конические координаты г, ц, v, связанные с де-
декартовыми координатами соотношениями
_ [хм
hk
_
— Т
-—h2 У>12—
_
Z — Г
где (а и v изменяются так, как описано в п. 269. Соответствующие коор-
координатные поверхности суть сферы
и конусы
2-h» к2—
- о
В этих координатах
- V2} Г2
28*

436 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [270
Отсюда, согласно общей формуле B) гл. I, уравнение Лапласа запи-
запишется в виде
Если положить
V-
Г
71 J Vu.1 — h2 Vk* — M-2 J
0
_ Г dp. ._ Г rfv
h 0
то уравнение Лапласа можно будет записать так:
2 24 д
Пусть V = гпи; тогда и должно удовлетворять дифференциальному
уравнению
которое представляет собой отнесенное к переменным т\, С уравнение
д2и . . о ди , 1 32и . / , .. п
а частным решением этого последнего служит сферическая функция сте-
степени га.
Допустим, что и можно представить как произведение Е (jj.) E (v), где
2?([j.) зависит только от jj., a E (v) — только от v. Подставляя и = Е (jj.) E (v)
в дифференциальное уравнение, получим
Оно удовлетворяется только тогда, когда
где р — некоторая постоянная. Вводя сюда значения tj и С, получим урав-
уравнение
+ {(Л2 + *2) р - « (« + 1) [*2} Я М = 0.
и точно такое же уравнение относительно переменного v. Таким образом,
Е (jj.) и Е (v) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному урав-
уравнению, но в различных промежутках изменения аргументов.
Постоянная р произвольна; поэтому можно выделить бесконечяо много
решений уравнения Лапласа вида rnE (jj.) Е (v) . Прежде чем перейти к под-
подробному исследованию функций #([л) и E(v), выясним их связь с реше-
решениями уравнения Лапласа в эллипсоидальных координатах.

271] § 3. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 437
§ 3. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
271. Выражая х, у, z через эллипсоидальные координаты, мы находим
1 ([X2 — A2) (*2 — [X») ^Г> Г (A2 _ v2) (ft2_ v2) V<*V ,
откуда вытекает такой вид уравнения Лапласа:
где
h h
v
dv
так что т) и С определяются так же, как в п. 270. Мы замечаем, что этому
уравнению удовлетворяет произведение Е (р)Е (р)Е (v), где Е \\х) и Е (v)
определены в п. 270, а функция Е (р) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
*Ш - {п (п + 1) р2 - (А« + ft2) р) Ё (р) = 0
или, если выразить % через р, уравнению
(р_Л)(р*){
+ {(А« + ft2) р - я (Л+ 1) Р2) Е (р) - 0.
Мы видим, что Е (р) удовлетворяет такому же дифференциальному
уравнению по переменному р, что и функции E(\i), E (v) попеременным jj.
и v. Итак, каково бы ни было значение постоянной р, существуют функ-
функции Е(р), Е ((а) и Е (v) такие, что Е (р) Е ([>.) Е (ч) представляет собой
решение уравнения Лапласа в эллипсоидальных координатах, a r2E (jj.) Е (v) —
решение уравнения Лапласа в сферо-конических координатах, введенных
в п. 270. Показателю степени п мы будем, как правило, приписывать
целые положительные значения.
Из уравнения (А) прямц следует, что функции \, т\ и С, а вместе
с ними и А%-\-В, A'f{-\-B', A"t.-\-B" являются решениями уравнения Лап-
Лапласа. Постоянные можно определить, например, так, чтобы А\-\-В прини-
принимала заданные значения на двух каких-нибудь эллипсоидах $ = ^ и ? = $2-
Посредством решений такого рода можно выразить установившуюся тем-
температуру или электростатический потенциал в однородной среде, ограни-
ограниченной двумя эллипсоидами или двумя гиперболоидами, описанными
выше, на которых заданы постоянные значения температуры или потен-
потенциала. В этой связи величины %, т\, ? называют термометрическими пара-
параметрами.
Координаты р, A, v можно выразить через $, ij, С посредством эллипти-
эллиптических функций Якоби. Если обозначить ftj==—р— , fti =p, то, согласно

438 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [272
определению р, р. и v,
p~kdn(ik$, kj, p — kdn(K — k-q, kj, v = A:sn(A:C, A:}),
где K= \ —... =- . Эти выражения получены Якоби.
§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ J5(|i)^(v) И ТЕССЕРАЛЬНЫМИ
СФЕРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
272. Функции Е (р.) и Е (v) зависят от параметра р, входящего в диф-
дифференциальное уравнение, посредством которого эти функции определяются.
Мы покажем, что р можно задать так, чтобы при целых положительных п
функции rnE (p.) E (v) были однозпачны и непрерывны на всех сферах
г = const, и таких значений можно указать 2п + 1. Если решения урав-
уравнения Лапласа rnP™ (cos 6) . /пер, где и —целое положительное, а т —
= 0, 1, 2, ... , п, удастся выразить через р и v, то, так как cos в, sin 6 cos cp,
sin в sin cp выражаются рационально через
JJ.V, ^/р2— A2j/"/l2 _v2> i/&2_ p,2 j/fc2 _v2>
функции /С (cos 8) ^ mep также выразятся через эти произведения рацио-
рационально.
В зависимости от того, четно т или нечетно и от /пер берется косинус
или синус, и мы получим выражения следующих четырех видов:
^(
Plm (cos 8) sin2m<p = У[х2— А2 |/ А:2 — jj.2
i>»mM (cos 8) cos Bm + 1) cp = ]/[х2-
где f/— многочлены относительно jj. и v, а индекс указывает степень соот-
ветствующего многочлена как по [л, так и по v. Мы утверждаем, что при
всяком п для р можно указать 2п +1 различных значений, при которых
Е ((х) 2?(v) выражается как многочлен степени п относительно jj., "J/jj.2 —A2,
У^к2 — [j,2 и относительно v, ]/^A2 — v2, j/A;2 — v2, и такие выражения могут
быть одного из следующих видов:
A (|i) .= /tx2-A2 / ^-ft
При этом в зависимости от того, четно или нечетно п, число функций вида
-ЙГ (р.) равно l-f-п"" или ~2"(и~^)' число функций вида L(jj.) и М (jj.) равно
у или -y-(n-i), вида TV (jj.) равно -j или-^-(/г +1).
Соответственно получаем выражения
i>2m (cos е) cos 2mcp = (
P2m f-1 (cos 6) cos Bm + 1) cp = 2 a
/»2m (c0S 0) sin 2mcp = 2 aiV (p.) ЛГ (v),

273] § 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЛАМЕ И ИХ ПОСТРОЕНИЕ 439
где а — постоянные коэффициенты, а число слагаемых в правых частях
равно числу функций соответствующего класса. Теперь мы покажем, что
такие функции К, L, М, N в самом деле существуют и действительны.
§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЛАМЕ И>ИХ ПОСТГОЕНИЕ
273. Докажем теперь существование всех четырех видов функций
К ((л.), L(a), M ([>.), N ([>.), известных под названием функций Ламе. Мы
покажем, что при заданном и —это число называется степенью функции
Ламе — существуют ровно 2п +1 функций всех четырех видов. Мы покажем
2n+i
также, что совокупность функций вида 2 аг Ег Ы ^v (v) ПРИ всевозмож-
всевозможных а совпадает с совокупностью всех сферических функций вида
п 2п+1
2 P%(p)(bmcosm<? + cmsmm<?), а функции вида Ц а, Ег (р) Ег (\х) Ет (ч)
тп=0 1
исчерпывают все шаровые функции
п
2 гп Р™ ([>.) (bmcos mcp-fcm sin m<p).
m0
1. Для отыскания функций К (jj.) подставим выражение
К (jx) = а0 [х« + ах [х»-2 + а2 [х«-* + ...
в уравнение Ламе
** + {п(п+Цр.*-р(Р + Щ} К = 0.
Отнеся его к независимому переменному [л, получим
откуда, обозначив A2-fA;2 = a, hzk2 — ^ и приравняв нулю коэффициенты
при всех степенях [л, придем к системе уравнений
2 Bи — 1) ai = a {p — и2} а0,
4 Bи - 3) а2--a {/> - (и - 2J} ах + Ми - 1) а0,
Br + 2)Bn-l-2r)ar+1 =
= a{p-(n-2r)*}ar + $(n
Br + 3) Bл - 3 - 2т-) ar+2 = a {p - (n - 2r - 2J) ar+1.
Здесь г—— или -тг(л—1), в зависимости от того, четно п или нечетно.
Заметим, что в последнее уравнение не входит р. Величину р мы найдем
из условия, что ar+1—0, ar+2 = 0, ar+3 = 0..., так что К(\х) окажется
многочленом относительно jj. степени п; в общем случае К (jj.) разлагается
в ряд по убывающим степенями jj.. Если определить р так, чтобы выпол-
выполнялось равенство ar+1 = 0, то ar+2, ar+3, ... непременно обратятся в нуль.
Поэтому р мы будем искать из уравнения, которое получим, приравняв

440 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [273
нулю определитель
0 0 ... 2Bге—1), -а(>-ге2)
4Bге —3) ... -а {p-(re-l)a}, -pre(re-l)
О
О
-а{р-(п-2гГ-}, -$(n-2r+2)(n-2r+i)... ... О
Этот определитель представляет собой многочлен степени г-\-1 относитель-
относительно р, следовательно, мы получим /-+1 значений р, которые мы обозначим
Ръ Ры ¦ ¦ ¦' Pr+i- Ниже мы покажем, что все они действительны и различны.
2. Для отыскания функций L([>.) положим L([>.) = z~\fy? — /г2; тогда
для z будем иметь дифференциальное уравнение
Полагая
z = a0 |j.n-4 + ах [л»-2 4
подставляя это выражение в дифференциальное уравнение и приравнивая
нулю коэффициенты при всех степенях \х, получим систему уравнений
2 Bл - 1) ах = [а [р — (п— IJ} - Bл- 1) А:2] а0,
4 Bл- 3) а2 = [л{р- (п- ЗJ] - Bл- 5) №} ах +
+ Р(п-1)(л-2)а0,
2 (л - г - 1) Bг -f 3) a^j = [a fp - Bг 4- 3 - «J) - Dг 4- 7 - 2л) ft2] an.r_2 4-
4-РBг4-4-л)Bг4-5-л)оп_г^,
2 (и- т- - 2) Bт- 4- 5) ап_г = [а{р- Bг + 1 - иJ} - Dт- + 3- 2л) ft2] a^ +
4- р Bт- + 2 - и) Bт- +- 3 - п) ап_г_2,
В КОТОРОЙ 7-= у ИЛИ -=-(И—1).
Постоянную р будем искать из условия an_r = 0, при выполнении ко-
которого обращаются в нуль и все следующие а. Таким образом, мы получим
для р уравнение степени п — р; его корни дадут нам значения р для
п—г функций вида L(jj.).
3. Функции М находятся подобным же образом.
4. Для отыскания функций N ([>¦) полагаем
N(\x) = z у [J.2 — /г2 у [J.2 — ft2,
тогда для z будем иметь дифференциальное уравнение
4- {6[х2 4- (р - 1) (Л2 + *2) - п (п 4-1) (i.2} z = О.
Полагая
z = а0 jj.n~2 4- «1 [а"~4 4- вг (л-п~6 + • • •
мы, так же как в предыдущих случаях, получим систему уравнений

274] § 6. ФУНКЦИИ ЛАМК В СЛУЧАЕ СФЕРОИДА 441'
2 Bя -1)а1 = {р- (л - IJ а} а0,
Bг - 2) Bя + 3 - 2/-) а^ = (р - (п - 2r + 3Jj аг_2 +
+ р (я + 4 - 2г) (я + 3- 2г) аг_3).
2/- Bя 4-1 -2/-) аг = {р- (п - Ъг +1J} аг_г +
+ Р(я + 2-2|-)(я+1-2|-)аг_„
в которой г = ~2 или —(и —1). Условие аг = 0, влекущее за собой обра-
обращение в нуль аг+1, аг+2, ..., даст нам для р уравнение степени г; для
функций вида N (fj.) мы получим г значений постоянной р.
Итак, при заданной степени п мы будем иметь г + 1 функций вида
К, п — г функций вида L, п — г функций вида Миг функций вида iV,
всего 2п + 1 функций. Прежде чем исследовать эти значения р и доказы-
доказывать, что полученные функции действительны и линейно независимы, мы
рассмотрим некоторые частные случаи.
§ 6. ФУНКЦИИ ЛАМЕ В СЛУЧАЕ СФЕРОИДА
274. При h = 0 переменное р служит параметром семейства софокусных
сжатых сфероидов, [а — параметром семейства гиперболоидов вращения, a v
обращается в нуль, причем так, что при h—s-О отношение ^- остается ко-
конечным. Положим
р2_А;2 = р'2) ,» = *sin<p', v = /icos<p',
тогда
х = "j/p'2 + A2 sin 6' cos <p', y = ]/p'2 + A;2sine'siiitp', z = p'cos
т. е. р', 0', ц>' оказываются теми координатами, которые мы ввели в гл. X
при рассмотрении сфероидальных гармонических функций. Уравнение,
из которого определяется р для функций К, в силу того, что Р = 0, а = к2г
приводится к
[р-«2][р-(«-2J][р-(п-4J]...[р-(п-2/-J]-0.
Уравнения, определяющие р для функций L, М и N, суть соответ-
соответственно
[Р ~ ] [Р ~ (» - 2J] • • • [р - (п - 2г + 2J] = О,
При р — т2 дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет-
Е ([х), имеет вид
[х2 ([х2 - А2) р + И2^2 - А2) Ш + {т2А2 - п (п + 1) fx2} E = 0.
Если в качестве независимого переменного взять fj/ = -г- У^^2 — [*2, то это
уравнение преобразуется в
Следовательно, в рассматриваемом случае Е (fj.) есть i1™ (fj/); соответственно-
? (р) совпадает с P™(ip'). Если положить -^- = cos <p' и заставить v и й стре-

442 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [275
митъся к нулю, то для Е (v) получим уравнение
таким образом, в качестве К (v) и М (v) мы будем иметь cos m<p', а в ка-
качестве L (v) и N (v) будем иметь sinm<p'. Итак, в рассматриваемом част-
частном случае 2п +1 нормальных решений уравнения Лапласа Е (р) Е (fx) E (v)
приводятся к функциям
В случае h — к переменное р служит параметром семейства вытянутых
-софокусных сфероидов. Если положить -^-=cosO', a fx и h заставить-
•стремиться к нулю так, чтобы выполнялись соотношения
то, как нетрудно показать, произведение Е (р) Е (fx) E (v) приведется к
§ 7. ФУНКЦИИ ЛАМЕ СТЕПЕНЕЙ 0, 1, 2, 3
275. Перейдем теперь к рассмотрению функций Ламе и соответству-
соответствующих нормальных решений уравнения Лапласа при п = 0, 1, 2, 3.
При 72 = 0 существует только функция вида К (fx), притом единствен-
единственная: К(\)) = 1. Таким образом,
Ео(Р)Ео(р)Ео(ч) = 1.
При п = 1 мы имеем функции
и им соответствуют нормальные формы
P[xv, "j/p2 — к2 У к2 — [х2 \f к2 — v2, "j/p2 — h2 (/[x2 — h2
последние суть не что иное, как гармонические функции х, у и z.
При п = 2 мы имеем две функции вида К; значения р для них на-
находятся из уравнения а2 — 0, т. е. из квадратного уравнения а2р(р — 4) +
+12 р = 0. Если ръ р2 — его корни, то искомые функции /Г (fx) суть
• ¦ 2 _J / f\ А\ г* 112 \ ( f\ /i\ r*
\ i ix \г\ } у v4 —I a V/^2 /
Далее мы имеем по одной функции вида L, М и N; ими являются соот-
соответственно fxy'fx2 — h2, fx"|/&2— [х2 и |/7 Л2 —[х2 "|/[х2 —/г2. Таким образом,
мы получаем пять произведений
v2-f | (^-
P[xv ]/рг — Л2 "j/A;2 — [х2 |/"А;2 — v2, P!xv"|/p2 — /г2 "|/[х2 —/г2 "|//г2 —v2,
Т/Р2-/г2 1/р2 - Л2 1/Л2 - [х2 Y^F^W l/A;2-v2 >^A«-v».
Из этих гармонических функций первые две в декартовых координа-
координатах имеют вид Л (г/2 — z2) + В (z2 — ж2), остальные три суть zz, жг/ и г/z.

275] § 7. ФУНКЦИИ ЛАМЕ СТЕПЕНЕЙ О, 1, 2, 3 443
При п = 3 мы имеем две функции вида К, две — вида L, две — вида М
и одну —вида N. Значения р, служащие для построения функций К()
представляют собой корни ри р2 квадратного уравнения
сами функции К (jx) суть
V-' + -^(Pi~^^ 7 = 1,2.
Для L (|а) значениями р служат корни ps, pt квадратного уравнения
(ар - А") {а (р — А) — 5А2} + 20р = О,
а сами функции L (р.) суть
^] / = 3,4.
Для М (р.) значениями р служат корни р&, рв квадратного уравнения
(ар - А") {а (р - 4) - 5/г2) + 20^ = О,
а сами М (jx) суть
Г^[ ^] /-5,6.
¦Функция N (р.) есть
Итак, все семь функций, отвечающих значению и = 3, найдены.
То, что все корни р уравнения, соответствующего функциям какого-
нибудь определенного вида — К, L, М или N — действительны, Ламе
доказывает следующим образом. Пусть Ех и Ег — две функции одного
и того же вида, вычисленные для значений рг ш р2 параметра р; тогда
+ {п(п + 1) р.2 — рг (/г2 f А2)} Ег = О,
+ {п (п + 1) (х2 — р2 (h2 + к2)\ Ег = О,
—¦I
откуда
Интегрируя обе части равенства по т) в пределах от 0 до ш, где
it
С ^
получим
Очевидно, что
Покажем, что это выражение обращается в нуль при значениях р = Аи
fi = A;, соответствующих значениям tj = O и т| = (в. Когда Ег и ?2 — функции
вида К, это очевидно, так как при этом Е2—г^- — Е1—^ представляет собой
многочлен относительно (х. Если функции Ех и Е2 — вида L, то обе они
суть многочлены относительно р., умноженные на ]/(л2 —/г2; поэтому

444 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [27&
-j-1 и -т-5 представляют собой многочлены, деленные* на l/f*2 — й2, и
i?2 ~71~~Е1 -т-2 оказывается многочленом. Таким образом, и в атом случав
обращается в нуль при [х = й и [х = А. То же имеет место тогда, когда Ег
и Ег~-функции остальных двух видов. Итак,
(Pl-P»)
ш
При pj =?ь р2 мы имеем \ Е1Е2 d-ц = 0; при рх = р2 интеграл в левой части
о
ю
равенства обращается в V E\dt\.
о
Допустим, что p1 = P^-iQ\ взяв в качестве р2-сопряженный корень
соответствующего уравнения, р2 ~ Р— iQ, получим для \E1E2d-q выраже-
о
ю
ние вида \ (#2 + /2)йт), не могущее равняться нулю. Таким образом, все
о-
р действительны.
Вместе с р оказываются действительными все коэффициенты выраже-
ния Еи следовательно, сама Ег действительна т \E\di\ не может быть
о
равным нулю.
Покажем теперь, что при заданном п функции Es (fj.) одного и того же
вида линейно независимы. В самом деле, если допустить соотношение вида
S с. я. (,О=о,
где cs — постоянные, то, умножив его на Et и проинтегрировав по i\ от О
до id, получим
Ct
откуда С( = 0. Так как t — произвольный номер, то Еъ Ег, ..., Ет линейно
независимы. Если заметить, что, согласпо самому определению функций
К (fj.), L (fj,), M (fj.) и Л7([х), функции одного вида не могут выражаться
линейно через функции другого вида, то мы придем к заключению, что
все 2п + 1 функций Е (fj,) действительны и линейно независимы.
Если функция / (fj,) может быть выражена равномерно сходящимся
рядом функций Ламе какого-нибудь одного вида и фиксированной степени,
то, согласно предыдущему,
¦о
отсюда, в частности, следует, что такое представление f{y$ «линственно.

276] § 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРОГО ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 445
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРОГО ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
276. Пусть Е^(\>.), ?"?, (fx)— какие-либо функции Ламе одинакового
вида; п и п'— их степени. Покажем, что двойной интеграл
Ш О)'
\ [ (jx2 -*)-Е'п (fx) Е°п (v) E'n, (jx) E'n, (v) d-ц dp,
о о
где
IX
равен нулю, за исключением того случая, когда п — п'и s = t.
В силу дифференциальных уравнений, которым удовлетворяет Е^ (fj.) ¦
Щи (Iх) как функции от т), мы имеем
откуда
^^ ^^} = (А» + *») (^ - Р'п>) Е'п
Интегрируя последнее тождество по т\ в пределах от 0 до ш, получим
• ([х) Е'п, (fx) rfi, =
= (я - »') (я + я' +1) J Ц2 Fl (v) El, ([x) d-q.
Подобным же образом из уравнений, которым удовлетворяют 2??(v) и
Eln, (v), вытекает
</г2 + /с2) (р« - pi) J Я» (v) Я*„, (v) dC = (я - и') (я + я' + 1) J v2 ?Д W ^„,
Отсюда
u) to'
о о
X Е% ([х) Е% (v) El (fx) El (v) d(. dr, = 0,
и мы видим, что этот двойной интеграл равен нулю по крайней мере
тогда, когда п =? п' и одновременно р^ ?= р„,-
При w = w' и Рп = р1 этот двойной интеграл обращается в
б о
и не равняется нулю, так как [х2 > v2.

446 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [276-
Если п = и', но рД ф р*п„ то
О) UI
и двойной интеграл, очевидно, равен нулю.
Если Рп = Рп" по пфп', то из дифференциальных уравнений, кото-
которым удовлетворяют Е%(р), Е'п, (р) и E%(v), Е^,(ч), вытекают равенства
J Е*п (fx) ^, (fx) d-n = О, J v2 ?n (^) ^, (^) dC = О,
о о
следовательно, и в этом случае рассматриваемый двойной интеграл равен
нулю.
Вычислим теперь
Интегралы вида
J
могут быть выражены через интегралы
k k
ф. С
С
т. е. через
J
о
Следовательно, интегралы
U)
о о
могут быть представлены соответственно интегралами вида
Подобным же образом
могут быть представлены в виде
где постоянные a, J3, А, В — одинаковые для обеих пар интегралов — вы-
выражаются рационально через коэффициенты функции Е.

277] § 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРОГО ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 447
Отсюда
и) ш'
7* = (М-«5) 5 J(^-v«)dT,dC;
о о
интеграл п правой части, как извество, равен -у . Итак,
Постоянный множитель в Е% условимся выбрать так, чтобы ^ равнялось 1^
277. Если какая-нибудь функция F (ja, v) разложена по произведениям
функций Ламе, то с помощью результатов предыдущего пункта можно
найти коэффициенты такого разложения. Представим F (ja, v) как сумму-
восьми слагаемых вида
А,
—/г2 jA2 — р.2 jA2 —
где Л, .4i /?, Лх, ...—суммы конечного числа членов, четных относитель-
относительно p., v, у р.2 — /г2, ... Этим восьми слагаемым соответствуют четыре класса
произведений функций Ламе, подразделенные каждый на два подкласса
произведений, четных и нечетных относительно р. или v. Каждое из таких
слагаемых разлагается по произведениям функций Ламе, принадлежащим-
одному из восьми подклассов.
Пусть /(p., v) — какое-нибудь одно из таких слагаемых функции!
F ((a, v); запишем его в виде
где суммирование по п распространено на все четные или все нечетные
значения п, а суммирование по s — на номера, соответствующие тому виду-
функции Е, к которому относится слагаемое /(ja, v).
Умножая обе части этою равенства па
и интегрируя по т) и С соответственно от 0 до ш и от 0 до и/, получим
Ы ?* (v)]2 rfCrf-rj =
О О
10 10'
= \ [f (^ V) К ((А) Е*п (V) (|А2 - N2) dC d-Ц,
О О
откуда в силу выбора постоянных множителей в функциях Е (см. п. 276^
(!) U)'
Cn=\\f (?, V) К (V) К (N) ((А2 - ^2) Л dT,.
Отсюда можно вывести следующее заключение, которое понадобится
нам при рассмотрении нулей функций Е (ja); если ср (|а, v) —многочлен отно-

448 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [278
сительно (av, VV2 — h2\fh%— v2 , \^к2— |A2V^A;2 — v2 степени < и, то
С \ ((г2 - v2) ср (jx, v) Я* (fx) ?? (v) <fc dyi = 0.
о о
§ 9. НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛАМЕ
278. Покажем теперь, что все корни уравнения Е (|х) = 0 действитель-
действительны, различны и не превосходят к. Прежде всего установим, что функции
не обраща*отся в нуль при [х=±й и р=±к. Каждая из них удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
где Р и (? не содержат множителей [х2 — /г2 и р.2 —к2. Поэтому если бы ре-
решение и обращалось в нуль при [х = i /г или при [х = ± /с, то в той же
точке обращалась бы в нуль и -г-; дифференцируя уравпение по [х, мы
убедились бы, что в тех же точках обращаются в нуль -т-^ и все высшие
производные, что невозможно.
Подобным же образом можно показать, что уравнение i?(fx) = O не
может иметь кратных корней, так как в противном случае в некоторой
г- а п 1 \ dE d*E
точке обращались бы в нуль Ь (|г), -г- , -т-^-, ...
Так как
о о
и
[x2-v2>0,
то по крайней мере один из множителей Е(\>.), Е {у) под интегралом дол-
жеп менять знак в некоторой точке а соответствующего промежутка изме
пения [х или v. Функция Е (|г) Е {у), если опустить множитель fxv, который
может в ней содержаться, должна быть четной как по переменному (г,
так и no v, поэтому она должна содержать мпожитель (|г2 — <x2)(v2 — a2).
Применяя к функции
замечание, приведенное в конце п. 277, получим равенство
Р-* - ^2) (l^2 - а2) (*2 - а2) Я ((*) ? (v) < rfT) = 0.
6 о
Подинтегральная функция содержит мпожитель (|х2 — a2J(v2 — a2J; отсйда,
повторяя то же рассуждение, мы придем к выводу, что Е (fx) или Е (v)
должна менять знак в некоторой точке C, отличной от а, и в i?((j.)i?(v)
.должен входить множитель (|х2 — р2) (v2 — р2). Полагая
ср (|х, v) = (|х2 - а2) (V2-а2) ((х2 - Р2) (v2 - р2)

279] § 10. ФУНКЦИИ ЛАМЕ ВТОРОГО РОДА. 449
и снова, применяя замечание п. 277, придем к выводу, что в Е (|г) Е (v)
входит еще множитель (fj.2— ¦y2)(v2 — -f). Продолжая рассуждать таким обра-
образом, мы обнаружим, что все нули функций Е (|г) и Е (v) действительны
и лежат в промежутке между —кик.
§ 10. ФУНКЦИИ ЛАМЕ ВТОРОГО РОДА
279. Произведение Е (р) Е (fj,) E (v) представляет собой гармоническую
функцию, непрерывную внутри эллипсоида p = pi5 в теории потенциала
такие функции играют для эллипсоида ту же роль, что rnP™ (cos 6) c.os mcp
SI II
для шара или rnE (p) E (v) для части шарового слоя, вырезанной круглым
конусом. Для области, внешней по отношению к эллипсоиду, потребуются
решения уравнения Ламе, на бесконечности обращающиеся в нуль. Если
обозначить такое решение F(p), то произведение F (p) E (fj.) E (у) будет
соответствовать функциям v-"~1JP^l(cos0) gj^mcp и r~n~iE (fj,) E(y) для только
что упомянутых областей.
Интересующее нас решение Е (р) уравнения Ламе
в предположении, что известно Е (р), отыскивается, как обычно, из урав-
уравнения
dz
Записав это последнее в виде
и интегрируя по р, получим
оо
d?
{Е (р)}* У[>*—№ V?2—
F (р) должно обращаться в нуль при р = со. Выберем С так, чтобы
F (о) 1
при больших р функция щ~ равнялась -^^ ; тогда, полагая коэффициент
при р" в Е (р) равным 1, получим
pUn+2
р
откуда С = 2п + 1. Итак, искомое второе решение уравнения Ламе имеет
вид
= B. +1, в.
Можно показать, что интеграл в правой части этого равенства можно
выразить через эллиптические интегралы первого и второго родов.
Так, например, при п~0
29 е. В. гобсон

450 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [280
При п = 1 функциями Е (р) являются
р
а функциями F (р) —
3W-,
/pX=p (pi__AiJ
Впервые функции Ламе второго рода ввели независимо друг от друга
Лиувилль х) и Гейне 2).
§11. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА В СЛУЧАЕ ЭЛЛИПСОИДА
280. С помощью нормальных решений уравнения Лапласа Е (р) Е (jx) E (v)
и F (р) Е (|а) Е (v) можпо получить гармоническую функцию внутри или
вне эллипсоида p = Pi, принимающую на самом этом эллипсоиде заданное
постоянное значение. Эти функции суть
на поверхности р = рх они обе принимают значение Е(\>.)Е(ч).
Если краевой функцией является конечная сумма вида ^АЕ (р.) Е(ч),
в которой Е (р.) и Е {у) могут быть произвольного вида и иметь различ-
различные степени, то решениями внутренней и внешней задачи служат соответ-
соответственно
Теперь предположим, что краевая функция /(jx, v) --FF, ср) разложена
в равномерно сходящийся ряд Yo + Yx + Уц + • • • + Yn + • • • сферических
функций. Каждая из функций Yn представляется в виде
2п+1
m=l
поэтому самое / (jx, v) можно представить как сумму ряда
оо 2п+1
Можно доказать, что при соблюдении некоторых условий
°° 2n+1
n=0 m=l
2 «^
n-О ш=1
») Journ. de Liouville, 10 A845), 222.
2) Journ. i. reine u. angew. Math., 29 A845), 185, См. также Rugellunktionen, т. I,
c»p. 384.

261] 12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯДЫ ПО ПРОИЗВЕДЕНИЯМ ФУНКЦИИ ЛАМЕ 451
представляют собой функции, гармонические соответственно внутри и вне
эллипсоида p = Pi, стремящиеся к /(ц., v) при р—>рг. Доказательство осно-
основывается на том, что частные суммы этих рядов являются гармоническими
функциями, краевые значения которых выражаются соответствующими
частными суммами ряда, изображающего /((л, v); при этом используется
теорема Гарнака (см. п. 97). Это доказательство было проведено в п. 248
для сжатого сфероида и в п. 252 — для вытянутого.
Коэффициенты а.™ определяются из соотношений
§ 12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ПО 11РОИЗВЕДЕНИЯМ ФУНКЦИЙ ЛАМЕ
281. Мы доказали, что сферические функции степени п выражаются
через 2п -\-1 произведений функций Ламе той же степени от переменных р
и v, определяемых соотношениями
о (М .о Т^М-*- h^Vhi — v2
COS О = , , Sin О COS 9 = J—!- . ,
A/A2A2 T A/A-*-A*
lAA-2 — ^-jAa-2 — v2
. . .
sin 6 sin <f =
Поэтому всякая функция, которую можно разложить в ряд по сфери-
сферическим функциям, выражается через произведения функций Ламе. В ка-
качестве примера выведем такого рода выражение для функции
Pn(C0Sf),
где
cos т = cos 0 cos 8' + sin 9 sin 6' cos (9 — cp') =
-у'2)
~ A2*2 + А2 (А2 —А2)
T/(A-2 — |x2) (A2 —v2) (A2—|x'2) (A2— v'2)
+ A2(A2—A2)
Функция /)n(cosf) симметрична относительно jx, v и fj,', v', поэтому
ее разложение по произведениям функций Ламе должно иметь вид
2n+i
Рп (cos Т) = 2 cs Ean (pt) ?? (v) ?^ (pt') ?^ (v'),
s==l
где cs — подлежащие определению постоянные.
Мы имеем равенство
0 0
Рп (COS f) = ?=±i ^ J ^n (COS f') Pn (COS f") Sin 6» dep"
в котором
cos т' = cos 0 cos 6" -j- sin 6 sin 6" cos (<p — cp"),
cos f" = cos 6' cos 9" -j- sin 6' sin в" cos (cp' — <p") .
Записав его в виде
2 2
/>„ (cos т) = 2B"я+1) ^ J Pn (cos 1') />n (cos-f") sin 6" db" d<?",
о о
29*

452
ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[282
перейдя к эллипсоидальным координатам jx", v" и введя под интеграл выра-
выражения Pn(cost') и Pn(cos-{'') через функции Ламе, получим (см. стр. 445)
рп (cos -г) =
К (р) К (v) К V) К (v') х
X \ \ (fx - v) {En (p") Esn (v")}2 dL2 dri2.
о о
Сравнивая оба полученных выражения /'„(cosS) через произведения
функций Ламе, получим
1 = 2Bп + 1)
к* п
О О
Если постоянные, входящие в функции i?, задать так, как условлено
в п. 276, то для Рп (cos 0) получим формулу
2п+1
s-1
§ 13. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ И СФЕРО-КОНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
282. Феррерс *) и, более подробно, Нивен2) показали, что в целях сим-
симметрии целесообразно выражать Е (р) Е (jx) E (v) в декартовых координатах.
В п. 272 было показано, что корпи уравнения i?(p)~O действительны,
различны и, за исключением тех, которые появляются за счет множителя
—А2, меньше к. Функции Е (р) ?((х) i?(v) сводятся к следующим видам:
Iх' >V-A«,
1, v, y'A2-v, }/A2-v2,
x П (ря - rf) (i*« -
— v2
- p5).
где столбцы схемы в витых скобках соответствуют различным видам функ-
функций Ламе, а произведение JJ распространяется на все ps; число этих по-
последних для различных видов равно -^ , -j(n — 1), -w (га—2) и -у (га — 3).
В силу соотношений
2__ра(л.2\2 2_ (р2—А2) (|л.2 —A2WAa —v2)
2—А2)
выражение
может быть записано в виде дроби, знаменатель которой есть
pt (р! — hz) (p| — А2), а числитель — многочлен третьей степени относительно pi
1) Spherical Harmonics, 1877, гл. VI.
2) Phil. Trans., 182 A891), 231.

282]
§ 13. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ И СФЕРО-КОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
453
с коэффициентами, содержащими р2, |х2 и v2. Так как
¦+-
Pi "^«"-"^¦-г-рГ-*»
обращается в нуль при р| = р2, |х2, v2, то
-1
Поэтому функции Е (р) Е (|х) Е (v) представляются в виде
ж yz
1 у zx xyz
z xy
причем из множителей, указанных в витых скобках, всегда фигурирует
только один; определяется он видом функции Е (р) Е (р) Е(ч).
Уравнение основного эллипсоида запишем в виде
где a2—b2 = h2, а2 —с2 —к2. Пусть о2 + б = р2, o2
ваемые функции примут вид
—р2, тогда рассматри-
рассматригде т принимает значения -~-, —~— , —it— или —-^— , в зависимости от вида
функции.
Обозначим
•+;
ba+0s ' c2+6s X1
Тогда эллипсоидальные функции запишутся в виде
х yz
г/ zx
... вт.
Значения Oj, б2, . .., 8т, ... действительны, так как, согласно п. 278,
нули функции Е (р) действительны.
Все 2» -\-1 эллипсоидальные гармонические функции степени » мы
обозначим
и будем называть их внутренними эллипсоидальными гармоническими
функциями, так как они используются при решении внутренней краевой
задачи теории потенциала в случае эллипсоида.
Согласно п. 279, каждой внутренней эллипсоидальной функции соот-
соответствует внешняя эллипсоидальная функция
где (см. п. 279)
/-.s /s
= l»n n»

454 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [283, 284
нижний предел интеграла е обозначает,положительный корень уравнения
Значение этого интеграла на поверхности основного эллипсоида, т. е.
при е —О, мы обозначим /п(О).
283. В сферо-конических координатах мы имеем выражения
у ~
А2 ' (
_. (?»->») (**-[*«) (*»-*»)
r2^.
Отсюда следует, что —-i—2_,!i -\—а__ь«" может быть выражено в виде
Ps Ps " Ps ft
дроби, у которой знаменатель есть р2 (р| — /г2) (pi — А2), а числитель —квад-
—квадратный трехчлен относительно р| с коэффициентами, зависящими от г2, |х2
и v2. Так как выражение -^--\—а^_,а -\—t" ,2 обращается в нуль при
Ps Ps~~ Ps
р1 = 1л2 и pf = v2, то
Таким образом, в обозначениях, аналогичных принятым выше, рассматри-
рассматриваемые произведения имеют вид
Х yZ \ г х% У% **
1 у ZX XyZ > Д ( —?- + ра1_Д2 h „2 _к'
z ху ) чр» ''•
Иначе их можно записать а виде
где m принимает одно из значений -^ , ^ ^
Мы видим, таким образом, что нормальные решения уравнения
Лапласа в сферо-конических координатах можно получить, отобрав члены
степени п из выражений нормальных решений в эллипсоидальных коор-
координатах.
Соответствующие внешние функции получаются из внутренних функ-
1
пии умножением их на -щ^ ¦
§ 14. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ
И СФЕРО-КОНИЧЕСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
284. Для отыскания значений 8lt 92, ..., GOT мы должны подставить
Gn(x, у, z) в уравнение Лапласа и записать условия, при которых уравне-
уравнение будет удовлетворяться.
Если взять, например, функцию в степени 2, то получим условие

285]
§ 14. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
455
Корни такого квадратного уравнения определят две гармонические
функции такого вида; остальные суть yz, zx и ху.
Подставив в уравнение Лапласа произведение в1 в2 ... вт, придем
к уравнению
ТК +
вз '' •
"'" (т ~
аналогичных членов 4-
, /.
f х2
1 («2 + в1)(а2
Заметив, что
г
+ члены такого же вида = 0.
г2 _ в,-в.
+ в1)(са+в4)~ в,-в„ '
мы придем к заключению, что вх в2 ... вт удовлетворяет уравнению
Лапласа только тогда, когда 6lf 62, . .., 6т удовлетворяют системе урав-
уравнений
1 +1j1j1+ ; 4 -Q
вя "•
0
J
Назовем эти уравнения характеристическими уравнениями для гармо-
гармонических функций ^ва ... вт.
Нетрудно видеть, что для гармонических функций типа хв1 в2 <.. вт
характеристические уравнения имеют тот же вид, лишь в первом столбце
3 1
нужно брать а „ вместо ; для функций типа г/z вг 92 ... вт мно-
множитель 3 должен быть введен во втором и третьем столбцах; для функций
xyz вх в2 ... вте множитель 3 вводится в первых трех столбцах.
Первое из характеристических уравнений имеет относительно 6г сте-
степень яг + 1| а относительно каждого из остальных неизвестных 62, 63 ... Ьт
степень 1; во все остальные уравнения Oj входит в 1-й степени. Поэтому,
исключая 02> ^зi ¦ • • ¦ ^т. мы получим уравнение степени т (т -f-1) отно-
относительно 0х. Но так как система характеристических уравнений такова,
что, коль скоро из т неизвестных Ь заданы т — 1, последнее неизвестное
определяется однозначно из любого уравнения системы, то полученные
т. (т. — 1) корней разбиваются на т + 1 групп, каждая из которых даст
по одному значению каждому 6. Все такие группы определяют m + l
эллипсоидальных функций типа в1 в2 ... 9т. Подобные же рассуждения
применимы и к функциям других типон.
285. Запишем характеристические уравнения в виде
где индекс суммирования q минует значение р, а коэффициенты .ки кг
и А3 равны -г или -ц, в зависимости от класса функции.
Из характеристических уравнений можно извлечь дополнительные
сведения о 6lf 62, . .., 0т. Согласно п. 278, все 6{ действительны, заключены
между —о2 и —с2 и не совпадают ни между собой, ни с одним ив чисел
-о2, -Ь2, -с2.

456 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [38б
Теперь мы выясним, сколько из этих б{ попадает в промежуток (— а2, — Ь2)
и сколько — в промежуток (— Ь2, —с2). Левая часть последнего уравнения
представляет собой логарифмическую производную по Вр функции
m
F = Д (а2 + 6„)М (Ь2 + в,)*, (с2 +
Будем рассматривать 6г, 82, ..., 8т как переменные, из которых пер-
первые г — 1 заключены в промежутке
-а2<вр<-Ь2 (р=1, 2,...,г-1),
а остальные — в промежутке
число г предполагается фиксированным. Функция F непрерывна, ограни-
ограничена и не равна тождественно нулю в указанной области изменения ее
аргументов. А так как F = 0, когда хотя бы одно вр принимает какое-
нибудь из значений —а2, —Ь2, —с2 и существуют точки, в которых F > О,
то существует единственное решение
системы характеристических уравнений, удовлетворяющее при заданном г
условиям
-а2<6р< -Ъ2, р = 1, 2, ...,г-1,
-Ь2<вр<-с2, р = г, г + 1, ...,т.
Итак, мы показали, что из /га-f-l произведений функций Ламе задан-
заданного вида одно, и только одно, обладает тем свойством, что г—1 из
соответствующих б заключены в промежутке (— а2, —Ь2), а остальные —
в промежутке ( — Ь2, —с2).
Этот результат впервые получил Клейн *) из геометрических сообра-
соображений при рассмотрении вопроса о вырождении узловых линий сферо-ко-
нических фупкций па поверхности сферы в узловые линии сферических
функций при Ь2~с2.
Приведенное здесь доказательство основывается на соображениях, исполь-
использованных Стильтьесом при доказательстве одной более общей теоремы 2).|
§ 15. СВЯЗЬ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
286. Внутренняя эллипсоидальная функция степени п содержит члены
степени га, га —2, га — 4,... относительно х, у, z. Ясно, что каждый из
таких членов представляет собой гармоническую функцию, следовательно,
эллипсоидальная функция степени га является суммой сферических функ-
функций степеней га, га — 2, ...
Пусть
2 2 2
-+•
.6 ~ с2+ 6 '
тогда
и произведения
( ж У*
xyz \КхКг...Къ
X
У
Z
yz
ZX
ху
х) Math. Ann., 18 A881), 237.
2) Acta Math., 6 A885), 321.

286]
§ 15. СВЯЗЬ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ СО СФЕРИЧЕСКИМИ
457
будут представлять собой сферические функции с теми же значениями 6,
которые входят в выражения эллипсоидальных функций Gn. Одновременно
они будут сферо-коническими функциями.
Условимся обозначать их
-И
и называть сферическими (или сферо-коническими) функциями, связанными
с соответствующими сфероидальными функциями Gn, Gn,.-., Gnn+l.
Если Gsn и Gn —любые две различные внутренние эллипсоидальные
функции одной и той же степени, то
где интеграл берется но поверхности основного эллипсоида, а р обозначает
длину перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость, касательную
к соответствующему элементу поверхности.
Чтобы это доказать, заметим, что если Gsn и Gn — различных типов, то
элементы такого интеграла в каждой паре смежных октантов равны по
абсолютной величине и противоположны по знаку; сам интеграл, таким
образом, равен нулю. Если же Gsn и Gn — одного типа, то теорема сводится
к теореме, доказанной в п. 276, так как р dS — (|i.2 — v2) d-r\ d(,, и в этом
случае интегралы рассматриваемого вида на участках эллипсоида, заклю-
заключенных в отдельных октантах, обращаются в нуль.
Воспользуемся этой теоремой для доказательства соотношения
где da — элемент поверхности сферы, имеющей общий центр с основным
эллипсоидом, а интеграл берется по всей такой сфере.
На эллипсоиде
функция
выражается в виде
й в f
( a*(a*+ 0) "r 62 (&2 + 8) ~r c2 (c2 + 0) /
|
c2+(J
1
J '
где (xi, yv zx) — точка сферы единичного радиуса, соответствующая
точке (х, у, z) на основном эллипсоиде. Следовательно, на этом эллипсоиде
Gn{x, у, 2) = (-
о 6c
^m M b ca abc
с ab
Gn(x, у, z) = (-
a be
1
ca abc
с ab
p dS ~ abc do.
i v-^i» yi, 4i/>
"n(-^i> У it

458 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [287
Равенство
следует теперь непосредственно из только что установленного интеграль-
интегрального свойства функций Gsn-
Таким образом, 2га -f 1 сферических функций И'„, связанных с эллип-
эллипсоидальными функциями Gsn, образуют сопряженную систему; такие
системы рассматривались в гл. VI. Легко показать, что полюсы функ-
функций Нп непременно лежат в главных плоскостях эллипсоида. Мы имеем,
следовательно, ос2 систем сопряженных гармонических функций заданной
степени, так как мы можем произвольно задавать отношение двух каких-
нибудь полуосей эллипсоида к третьей.
В соответствии с выводами п. 87 полученному результату можно
придать такую чисто алгебраическую формулировку:
Тернарная форма степени п, в которой переменные подчинены усло-
условию х2 -(- у2 + z2 = 0, может быть представлена как линейная комбинация
многочленов вида
х yz
у zx xyz
Z ху ) з-О
так как параметры а, Ъ, с, находятся в нашем распоряжении, то такое
представление можно осуществить дважды бесконечным числом способов.
§ 16. РАЗЛОЖЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
287. Для того чтобы выразить Gn (x, у, z) в виде суммы сферических
функций степени га, п — 2, ... , воспользуемся теоремой п. 79. Участвую-
Участвующую в этом разложении сферическую функцию степени п обозначим
Нп(х, у, z), слагаемые низших степеней мы выразим как значения неко-
некоторых дифференциальных операторов от Нп(х, у, z).
Итак, требуется выразить
через сферическую функцию
х yz
Нп (х, у, z) = \ 1 у zx xyz
z xy
На поверхности эллипсоида
имеем

287] § 16. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ СО СФЕРИЧЕСКИМИ 459
и, следовательно,
где s— число крадратичных множителей, равное
a be
b ca abc) ,
с ab
п п—1 п—4
Так как' Нп(х, у, z) — сферическая функция, то (см. п. 80)
ln\x' У. z)-
д_ д_ д -ч 1 _( —1)"BяI
Эх ' ду' dz ) г ~ 2"л!
Вэяв в этом равенстве — , -|- , — вместо х, у, z, получим
9 ид д\/х* , j/2 , z2 \-4_
2nn!
Отсюда вытекает, что при
Gn=(-iy
a be
1 b ca abc
с ab
X
Далее, так как
ТО
/ 1 д* 1
Vo2 + 8 За^+бг+
dz* J г
= —K~'
г О V дх^ ' Эу^ dz^ ' "
о2 а2 . б2 а2 с2
Щ~П~ Я.! I ^2 _1_ Я Я,Л I Л2 I
откуда
и (д а
• ' ду ' да у г
(-1K
а: у
О"! б С
б с а о Ь'1 с'1
С1 а~1 Ь
Взяв здесь —, -г-, — вместо х, у, z, получим равенство
д h д /. 1
Ь C
JjU2 . . . US
а 1 b 1c~1
Ь~г с'1 о о Ь~г с
с о Ь~х

460
ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[287
^+f +^
Итак, на поверхности -^-+-fr +-^ = 1
_(-1)п2пга! , д Э_ td\(* ,J/f. , *_¦
°п Щ)\ ^«V дх' ° ду' С dz)\a* hFT C2
Боря — , -г-, — вместо х, у, z и обращаясь к терромо п. 79, получим
_i
( а , э э \ / ж2 v2 ,
«Va^' %' C^J V."^" ' &2 +
б2 Г с2
X
.
2B7i-l)
¦+...
f fJL JL ±
ln V a ' ft ' с
где
Пусть
/n
х у
V' Т'
тогда
t С д , д д \ „ С ,
^п\йдх' д~ ' ° Tz ) ~ п V
и полученная формула принимает вид
1 д ,„ д „ д
\д >2 д
ду dz
«V" дх'
и2 z2 Л 2
X
X
д.2 «2 г2
При —г-+ "тт + — = 1 будем иметь
2Bв-1)
Яп(ж, у, z).
Мы видим таким образом, что для всех х, у, z
Gn(x, у, г)=[1-.Д§-Г)+..
где U — сумма членов степени < п — 2.
Возьмем теперь o2-f^. 6- -1- а, с2-{->. вместо a-, b2, с2 и каждое 6 умень-
уменьшим на X. При этом Gn и | 1 — 2/2га—п + • • • | ^п не изменятся, D2 примет
вид
А ,
а -^- -f- -тг + ~t ~ 1 превратится в
1.

288] § 17. ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ СФЕРИЧЕСКИЕ 461
Следовательно, ?7 = 0, и мы получаем искомое выражение Gn через Нп:
Gn(x, У, ^={1-2B„-1)+
где
Впервые его получил Нивен1), но его вывод требовал для каждого
вида функции Gn особого рассмотрения. Приведенный здесь вывод, приме-
применимый сразу ко всем четырем видам, принадлежит Гобсону 2).
§ 17. ВЫРАЖЕНИЕ ВНЕШНИХ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ЧЕРЕЗ СФЕРИЧЕСКИЕ
288. В формуле D0) п. 103
n{x, у, z)f(x, у, z)dS =
1" 2 Bга+ 3) ' 2-4 Bга + 3) Bи + 5) ' *
v f д д
где / (х, у, z) на поверхности сферы радиуса R разлагается в абсолютно
сходящийся степенной ряд, интегрируемый на сфере почленно; в правой части
после выполнения всех операций х, у и z полагаются равными нулю.
Положим Л = 1 и возьмем —, у, — вместо х, у, z; тогда интеграл
в левой части будет распространен на поверхность эллипсоида
Вместо dS придется взять ]~ , где в числителе dS — площадь элемента поверх-
CLOC
CLOC
ности эллипсоида, р — длина перпендикуляра, опущенного из центра эллип-
эллипсоида на плоскость, касательную к элементу поверхности. Мы получим при
этом формулу
h
где
и в правой части после выполнения всех указанных операций х, у, z
полагаются равными нулю. Взяв f(x, у, z) вместо /( —, j-, — )» получим
У'
1) Phil. Trans., 182 A891), 236.
2) Ргос. Lond. Math. Soc. A), 24 A892), 60—64.

462 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [288
Пусть
f{x, у, z) = F(Z — z, т\ — у, С — z),
где %, т], С —координаты произвольной точки, лежащей вне эллипсоида.
Тогда
( т> )
-'vrabct Ц" 2Пп1 \i I Д2 ' Д* \
^ ^ ' B + 1)! 11B+3)'г24B + 3)B + 5) г ' ' ' J
причем в этом случае
Теперь положим
F(z-x, у — у, С —z) = cp(p),
где
при этом будем иметь
3)~г2-4Bга + 3) Bга + 5) ' "'}
В частности, когда ср (р) = — , получим формулу
а ' Ъ ' с J-P р
( д , д д\ 1
nV де' di\' d4JYi2 + ii
Интеграл слева представляет значение в точке (?, т\, С) потенциала, который
создается массой, распределенной на поверхности эллипсоида с плотностью
р Y ( -, -j- , — ). Как показано в п. 287, на этой поверхности
\_ d О Су
a be
х у
(
1 Ъ са айЛ[1(-в>Я»(?. ?> I)"
с аи .1
Множитель, заключенный в витые скобки, обозначим к. Тогда при Уп = Нп,
в силу равенства
52 Ь2 _?^ с2 5^ _
dp~'b2 + Q~d:if ' с2+Ьд?2 ~
— dJ_d* g fl/ 1 ^ 1 д

88] § 17. ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ СФЕРИЧЕСКИЕ 463
получаем
д ,д д~\ 1 _иТТ/ fl\ и f д д д
и рассматриваемая формула приобретает вид
Gn(x, у, z)pdS =
С- - д
дЛ 1
' 5Cy^g* + 71t + ct *
Так выражаются через сферические функции значения потенциала
массы, несомой поверхностью эллипсоида, вне эллипсоида.
Поверхностная плотность о распределения массы, создающей внешний
потенциал ©п (?, т), V), выражается соотношением
5 v v
где -5— дифференцирование по направлению внешней нормали к поверх-
поверхности, и значения /п берутся на самой поверхности. В нашем случае
4™ = Gn (х, у, z) | ~щ i
Легко видеть, что -т- = 2р, следовательно,
I pG(x, у, z) I
2л {П(в)}а
и мы получаем формулу
-I l^ + ^ + C2'
выражающую внешнюю эллипсоидальную функцию ©n (s, i), С) в виде ряда
по сферическим функциям.
Впервые ее получил Нивен. Справедливость ее установлена при из-
известных условиях, касающихся положения точки (?, т), с) относительно
эллипсоида. Действительно, ряд в правой части может сходиться не во
всех точках области, внешней по отношению к эллипсоиду.
Прежде всего, было предположено, что — на поверхности эллипсоида
2 , У2 , z2 л х
—2~гтЬ~г"~1= * представляется абсолютно сходящимся рядом по степеням
х, у, z.
Если г' обозначает расстояние от точки (?, i), Q до точки, отстоящей
от начала координат на расстоянии г, то, как показано в п. 97, — разла-
разлагается на сфере радиуса г в абсолютно сходящийся ряд тогда, когда

464 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [289
Чтобы последнее условие заведомо выполнялось, мы потребуем, что-
чтобы р > а(\^2-\-1), где а —наибольшая из полуосей эллипсоида. Тогда, со-
гласпо п. 97,
оэ
{=2 pSjn^ntf
причем каждый член этого ряда по абсолютной величине меньше соответ-
соответствующего члена некоторого абсолютно сходящегося степенного ряда
с положительными коэффициентами; следовательно, этот ряд можно по-
почленно интегрировать.
Итак, полученное разложение внешней эллипсоидальной функции за-
заведомо справедливо в точках (?, ~i\ Д), расстояние от которых до начала
коордипат превосходит наибольшую из полуосей эллипсоида, умпожепную
на уТ+1.
§ 18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ
НА ЭЛЛИПСОИДЕ
289. Решение внутренней или внешней краевой задачи теории потен-
потенциала в случае эллипсоида основано на разложении краевой функции
f(x,y,z) по внутренним эллипсоидальным функциям Gn. Такое разложе-
разложение, если оно вообще возможно, имеет вид
У> z)dS
В том случае, когда этот ряд сходится равномерно, выражения коэффи-
коэффициентов получаются с помощью соотношения \ \ GG'pdS — Q (см. п. 286).
При соблюдении известных условий сумма ряда в правой части пред-
представляет собой функцию, гармоническую внутри эллипсоида и принимаю-
принимающую на поверхности эллипсоида значения f(x, у, z). Вне эллипсоида со-
соответствующими свойствами будет обладать функция
®%{х.у, z) \\G™pf(x,y,z)dS
^ 00) \\{G™}*pdS
Рассмотрим частный случай, когда / (х, у, z) представляет ообой одно-
однородный многочлен степени р. Согласно п. 101, имеем
1
2"и! Г . Z>2 . П*
1 + +
2 ¦
где в правой части, по выполнении указанных операций, х, у, z полага-
полагаются равными нулю.
При р < п выражение справа равно нулю; то же имеет место и тогда,
когда р — п нечетно. Если же р-~п = 2т, то в правой части исчезают

290] 8 19. СВЕДЙНИЕ К СФЕРОИДАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ 465
все члены, кроме того, в который входит D2m, и формула принимает вид
"" СBп + 1)\2тт\Bп + 3)Bп + 2т + 1) Х
Взяв в качестве / (х, у, z) функцию Нп ( — , -|-, — j , получим
5S {*.(*•*• т)}"?«-
Таким образом мы получаем разложение / (х. у, z) по функциям //»:
JL
Если принять во внимание соотношение
a be
b ca abc
с ab
то одновременно мы получаем разложение / (х, у, z) по функциям Gsn. При
заданном п суммирование по s распространяется на все возможные значе-
значения от 1 до 2и+1, по п суммирование распространяется на все значения
вида п = р — 2т, где т — целое.
§ 19. СВЕДЕНИЕ К СФЕРОИДАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ
290. Интересно рассмотреть, какой вид принимают эллипсоидальные
функции в случае а2 = Ь2. Характеристические уравнения для функций
первого класса запишем в такой форме:
14- 60 + (с2 + SO (а2 + SO + (а8 + 80 (Ь2 + ^0] (ei — ег) • • • (ei — em) +
остальные уравнения будут выглядеть так же. Мы замечаем, что приа = Ь
такому уравпению удовлетворяет бх= —а2. Пусть а из общего числа иско-
искомых б, а именно 8^ б2, ..., 9,, равны —а2, а остальные пг — а принимают
значения, лежащие между —а2 и —с2. Если мы обозначим
ТО
Подставив выражения а2 + б1( й2-гб!, а2 + 62, 62 + б2, ... через д1} <?2, ...
в характеристические уравнения и положив а2 = б2, после упрощений
получим
30 Е. В. Гобсон

466 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [290
Обозначим
/ (?) = (? - Яд (? - ?а) •••(?- ?.).
тогда
Jli?L
—?2 q—?„
и при q = qi будем иметь
Таким образом, первые а характеристических уравнений примут вид
1 + _Ц ^
? г—1 / (г)
Это — уравнение степени а относительно q, так же как уравнение / (а) = 0.
Следовательно,
Положив q = sin2 %, мы приведем это уравнение к виду
в рассматриваемом случае нам понадобится его частное решение cos2a^.
Всякий множитель к пропорционален ж2 ( — ?) + 2/2A — q), а
x2(-q)+y2(i-q) = (x2+y2){1^pp- д) = (а
поэтому произведение k-Jt^ ¦ ¦ • ка пропорционально
(ж2 -J- у2)' (sin2 9 — sin2 Xi) • • • (sin2 <p — sin2 $),
где Xi> X21 •"^X" удовлетворяют уравнению cos2ax = 0.
Пусть остальные корни 60+i, 8a+2, ..., 8m удовлетворяют некоторому
алгебраическому уравнению g F) = 0. Так же как и выше, мон%о показать,
что каждый из этих корней должен удовлетворять уравнению
о2+0 с2+6 ' g' (в)
Положим
тогда функция g должна удовлетворять уравнению
Его левая часть — многочлен той же степени, что и g{p)', поэтому для опре-
определения g мы получаем дифференциальное уравнение

291] § 19. СВЕДЕНИЕ К СФЕРОИДАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ 467
Пусть р = [а2; последнее уравнепие, отнесенное к независимому перемен-
переменному [г, примет вид
Возьмем ого частное решепие
Множитель к оказывается пропорциональным z2 —/?(ж2 + г/2 + 22), и
т — а множителей такого вида дадут в произведении
Эллипсоидальная функция запишется тогда так:
+ Z2)m-* _*L р ( ) .
dp."
Функции, принадлежащие другим классам, могут быть приведены
к сферическим подобным же способом.
Общий вид, который приобретают эллипсоидальные функции в рас-
рассматриваемом случае, таков:
291. Посмотрим теперь, как в случае а = Ь функции Gn выражаются
!з Нп. На гармонические функции оператор
через
д2
воздействует так же, как (с2 — а2)-^-; поэтому
" — /1 с2—а2 д* , 1
В рассматриваемом случае Нп, с точностью до постоянного множителя,
выражается в виде
cosacp — \ (z + iy ж2 + г/2 cos ^)ncos аф d<b.
о
Проделав указанные действия, получим
7С
Gn = cos a? ^ Рп ^^*-_ZL_™^ cog аф #
"о ' с
В случае вытянутого сфероида положим
х = |/с2 —a2]//-2—I sin б cos <f, у = ]/с2 —а2]//-2—1 sin 6 sin <p,
z = cr cos О,
тогда
G^ = cos аф \ /*п (/• cos 6 —|— г ]/г2 — 1 sin 6 cos ф) cos w
Воспользовавшись формулой
Рп Н Рп (cos в) -1- 2 2 -g=^j- ^п (г) К (cos 6) cos иф,
30*

468 ГЛАВА XI. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [292
мы придем к заключению, что Gn пропорционально
cos *<р/>;(/•)/>? (cos 6);
с нормальными формами такого рода мы имели дело в гл. X. Подобное же
приведение возможно в случае сжатого сфероида.
В случае гармонических функций в области, внешней по отношению
к вытянутому сфероиду, мы должны рассмотреть интеграл
во
п J(o-eI)*.../(a*+e)
Из чисел в1} 62, ... первые <з равны — а2; следовательно,
Пусть
с2+О = (с2-а2)Х2, а24-6 = (с2-а2)(Х2-1),
d" a
тогда (X —Xe+i) (X — Хв+г)... пропорционально—^-Рп(ч> а -^п» с точностью до
dk
постоянного множителя, оказывается равным
2 •
Произведение
умноженное на Гп, даст нормальную форму гармонической функции вне
сфероида
§ 20. ВЫРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛАМЕ ЧЕРЕЗ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
292. В вашей книге мы не ставили своей «елью изложить результаты,
касающиеся выражения функций Ламе через эллиптические функции
Якоби и Вейерштрасса. Частично этот материал изложен в «Курсе совре-
современного анализа» Уиттекера и Ватсоиа; там же приведены ссылки на
работы Эрмита, Альфана, Линдеманна и др., посвященные этим вопросам.
Заметим, что Альфанх) проинтегрировал уравнение Ламе в том случае,
когда п есть целое число плюс -^ . Разложению функций в ряды по функ-
функциям Ламе посвящены мемуары Диксона2) и Линдеманна3). Следует заме-
заметить4), что функции Ламе степени —^--\-pi могут служить для решения
краевой задачи теории потенциала в случае области, ограниченной эллип-
эллиптическим конусом, подобно тому, как конические функпии Молера приме-
применяются в случае круглого конуса.
х) Functions elliptiques, т II, 1888.
2) Ргос. Lond. Math. Soc. A), 35 A902), 162.
3) Math. Ann., 19 A882), 332.
4) См. Hobs on, Proc. Lond. Math. Soc, 23 AS92), 231.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адаме (Adams) 89
Альфан (Halphen) 468
Баннерджи (Bannerjea) 348
Варне (Barnes) 175, 189, 196, 282, 294,
297, 299
Бассет (Basset) 416, 423
Бауер (Bauer) 21, 51
Беитмен (Bateman) 170
Блейдс (Blades) 405
Блюменталь (Blumenthal) 297
Бонне (Bonnet) 280, 297, 330
Бромвич (Bromwich) 167
Брунс (Bruns) 307
Буркхардт^ (Burkhardt) 330
Бэр (Ваег) 65, 75
Вангерин (Wangerin) 12
Ватсоп (Watson) 167, 235, 236, 294, 297,
299
Ганзен (Hansen) 170
Гарнак (Нагааск) 148, 151
Гаусс (Gauss) 79, 80, 83, 130, 144, 280
Гейне (Heine) 21, 48, 61, 64, 67, 83, 95,
174, 195, 202, 220, 225, 242, 245, 246,
255, 290, 297, 307, 349, 359, 371, 394,
403, 412, 416, 417, 429, 434, 450
Глэшер (Glaisher) 21
Гобсон (HobsonL4, 81, 126, 146, 147, 151,
154, 160, 161, 165, 166, 171, 172, 175,
182, 236, 280, 297, 301, 311, 330, 359,
408, 426, 461, 468
Грин (Green ЬЮ
Гронуолл (Gronwall) 301, 337
Гурвиц (Hurwitz) 372
Гэллоп (Gallop) 172
Дарбу (Darboux) 297
Джеффри (Jeffery) 406
Джолифф (Jolliffe) 301
Диксон (Dixon) 468
Дини (Dini) 330
Дирихле (Dirichlet) 10, 21, 26, 30, 330,431
Донкин (Donkin) 159
Дуталл (Dougall)il44
Жордап (Jordan) 174
Ивори (Ivory) 22
Келлог (Kellog) 148, 151
Кельвин (Kelvin) см. Томсон (Thomson)
Клаузен (Clausen) 83
Клебш (Clebsch) 119, 126, 130, 134
Клейн (Klein) 372, 375, 456
Клиффорд (Clifford) 135
Когбетлянц (Kogbetlianz) 337, 348
Котес (Cotes) 79
Кристоффель (Christoffel) 56, 62, 309
Кэли (Cayley) 47
Лагерр (Laguerre) 90
Ламе (Lame) 10, 394, 434
Лаплас (Laplace) 21, 24, 28, 297
Лежандр (Legendre) 17, 20, 21, 42, 47, 51,
140
Линдеманн (Lindemann) 468
Лиущлль (Liouville) 450
Лоран (Laurent) 34
Лукач (Lukacs) 337
Макдональд (Macdonald) 372, 388, 389,
391, 429
Максвелл (Maxwell) 128, 130, 131, 158
Мальмквист (Malmqvist) 22
Мелер (Mehler) 30, 257, 258, 259, 307, А2&,
429, 433
Мерфи (Murphy) 26, 40
Нейман К. (Neumann С.) 65, 416, 426, 431,
433
Нейман Ф. (Neumann F.) 38, 66, 85, 118,
394
Нивен (Niven) 140, 416, 423, 452, 461, 463
Никольсон (Nicholson) 172, 297
Ньютон (Newton) 79
Ольбрихт (Olbricht) 174, 275
Пал (PJ» Bolonath) 392, 393
Перри (Perry) 22
Планшерель (Plancherel) 337
Поккель (Pockel) 160
Похгаммер ^Pochhammer) 174
Прасад (Prasad) 145
Пуанкаре (Poincare) 148, 151
Пуассон (Poisson) 325, 330
Релей (Rayleigh) 42, 307
Риман (Riemann) 10, 175, 330, 416
Рисе М. (Riesz M.) 343
Родриг (Rodrigues) 22
Сильвестер (Sylvester) 42, 130, 134
Стильтьес (Stieltjes) 284, 286, 297, 302, 306,
385, 456
Тодхентер (Todhunter) 331
Томе (Thomao) 65
Томсон (Кельвин) [Thomson (Kelvin)] 10,
119, 158, 431
Томсон (Thomson) -и Тэт (Tait) 95, 119,
121, 159, 161, 165, 174, 388, 426

470
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уилсон (Wilson) 330
Уилтон (Wilton) 41
Уиппл (Whipple) 236
Уиттекер (Whittaker) 99
Уиттекер (Whittaker) и Ватсон (Watson)
359, 468
Фейёр (Fejer) 301, 337, 348
Феррерс (Ferrers) 89, 95, 331, 452
(ван) Флейк (Van Vleck) 372
Фольк (Volk) 337
Форсайт (Forsyth) 175
Хаар (Нааг) 337
Хенцшель (Haentzschel) 12
Харгревс (Hargreaves) 38, 70, 282
Харди (Hardy) 177
Хикс (Hicks) 423
Хилл (Hille) 217, 337, 372, 383
Чебышев П. Л. 89
Чэпмен (Chapman) 337, 343
Шлемильх (Schlomilch) 125
Шлефли (Schlafli) 34, 174, 185, 230
Шмидт A. (Schmidt Ad.) 138
Эддингтон (Eddington) 9
Эллиот (Elliot) 128
Эрмит (Hermite) 31, 90, 468
Юнг (Young) 330
Якоби (Jacobi) 10, 21, 22, 28, 79, 89,349

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотические формулы Ватсона 297
для зональных гармонических функций
283 и ел.
— — присоединенных функций 290 и ел.
— — при аргументе [х > 1 295 и ел.
Биполярные координаты 429
Гармонические функции зональные 92
круговые 166
— — линейные 162
— — секториальные 92
— — тессеральные 92
— — целой степени, наиболее общие 158
Гипергеометрическое уравнение 16
Гипергеометрические функции 175
Интегралы Дирихле 30, 255
Интегралы Лапласа 28
Интегралы Мелера 30, 255
Коэффициенты Лежандра 18
Краевые задачи 7, 145 и ел.
Криволинейные координаты 8
Многочлены Лежандра 16 и ел.
Нормальные решения уравнения Лапласа 12
Нули функций Лежандра и присоединен-
присоединенных функций 22, 372 и ел.
Ньютоновы потенциалы 148 и ел.
Обобщенные функции Лежандра и присо-
присоединенные функции, выражения одних
функций через другие 190, 197, 201,
221, 222, 236
— — — — определения 177, 186,
242
— — — — — — представление посред-
посредством рядов и интегралов 192, 201, 205,
211 и ел., 223, 226, 238, 243^246, 260,
269, 275
— — — — — — формулы при специаль-
лых предположениях относительно зна-
значений аргумента, порядка и степени 198,
203, 228, 263, 264, 266, 267
Оси сферической функции 128
Особые точки 128, 129
Полюсы сферической функции 128
Приближенные квадратуры 79 и ел.
Присоединенные функции Лежандра {см.
также Обобщенные функции Лежандра
и присоединенные функции) 91 „и ел.,
110 и ел.
Произведения многочленов Лежандра 85
Производящая функция 64
Рекуррентные формулы 35, 69, 108, 279
Ряды Лапласа 143
— — суммируемость по Чезаро 336 и ел.
сходимость 332 и ел.
Ряды Лежандра 46, 309
суммируемость по Пуассону 325 и ел.
— — сходимость 310 Л.сл.
Соотношение Уиппла 236
Сопряженные системы функций 157
Сферические функции 119 и ел.
С< юрический сегмент 431
С< (ероидальные -функции 396 и ел.
Сфероиды вытянутые 392
— сжатые 403
Сферо-конические функции 435 и ел.
Теорема Брунса 307
Теорема Гарнака 151
Теоремы сложения для функций Лежандра
138, 353, 361, 366, 368, 371
Теория Максвелла сферических функций128
Уравнение Лапласа 7
— — в сферических координатах 14
сферо-конических координатах 436
эллипсоидальных координатах 437
Уравнение Лежандра 15
Формула Родрига 22
Функции Ламе 338, 339 и ел.
Функции Лежандра (см. Обобщенные^функ-
ции Лежандра и присоединенные функ-
функции)
Шаровые функции 119
Эллипсоидальные гармонические функции
434 и ел.
Эллипсоидальные координаты 434

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Отредакции '. 3
Из предисловия автора > 5
Глава I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Введение 7
Глава II ¦ решение уравнения Лапласа в сферических координатах
§ 1. Введение • 14
§ 2. Уравнение Лежандра 15
§ 3. Коэффициенты Лежандра 18
§ 4. Таблица коэффициентов Лежандра 21
§ 5. Формула Родрига для многочленов Лежандра 22
§ 6. Разложение многочленов Лежандра на множители 22
§ 7. Другие выражения для многочленов Лежапдра 24
§ 8. Представление многочленов Лежандра с помощью определенных инте-
интегралов *> , 27
§ 9. Соотношения между последовательными многочленами Лежандра и их
производными 35
§ 10. Интегральные свойства многочленов Лежандра 39
§ 11. Ряды по многочленам Лежандра 43
§ 12. Разложение функции в ряд по многочленам Лежандра 45
§ 13. функции Лежандра второго рода 52
§ 14. Выражения для Qn ([>¦) * ' 58
§ 15. Разложение Qn (;х) и Рп (у-) по степеням jx—Y\>-2—1 60
§ 16. Qn (jx) как коэффициент в некотором разложении 60
§ 17. Представление Qn в виде определенного интеграла 65
§ 18. Рекуррентные соотношения между функциями Qn 69
§ 19. Еще одно выражение для Qn (jx) 70
§ 20. Соотношения, связывающие функции Лежандра первого и второго родов 73
§ 21. Разложение -^-'ln'-^-r в непрерывную дробь 77
§ 22. Приближенные квадратуры 79
§ 23. Произведение двух многочленов Лежандра 85
Глава III. присоединенные функции лежандра
§ ,1. Введение 91
§ 2. Тессеральные и секториальные функции 92
s 3. Присоединенные функции первого рода 93
§ 4. Тессеральные сферические функции первого рода 96
§ 5. Представление Р™ (и,) в виде определенного интеграла 98
§ <?. Определение функции Р~^т (\>) 99
§ 7. Формулы для Р™ (,<л) и Р~пт ([х) 101
§ 8. Разложение (jx+y'V2—I cos tp)~n—1 в ряд по присоединенным функциям . . 102

ОГЛАВЛЕНИЕ 473
§ 9. Интегральные представления для Р™ (р) 104
§ 10. Производящая функция для степенного ряда с коэффициентами /»™(cos в) . 106
§ 11. Рекуррентные соотношения между функциями с соседними номерами . . 108
5 12. Связь между Q~m (f) и (jj И 109
§ 13. Определение функции Q™ (cos в) 110
§ 14. Функции Q™ (ц), Q?(cos6) НО
§ 15. Разложение Q™ (ц) и Р™ (ц) по степеням и—Уу?—1 ИЗ
§ 16. Интегральные представления Q™ (;х) 115
§ 17. Вид решения уравнения для присоединенных фупкций 117
Глава IV. сферические функции
§ 1. Введение 119
§ 2. Обыкновенные шаровые функции 120
§ 3. Общая теорема о дифференциррвапии 124
§ 4. Максвеллова теория полюсов 128
§ 5. Система зональных, тессеральных и секториальных функций 131
§ 6. Отыскание полюсов шаровой функции 133
§ 7. Дифференцирование и преобразование шаровых функций 135
§ 8. Теорема сложения 138
§ 9. Интегральные свойства шаровых фупкций 141
§ 10 Разложение функций в ряд по сферическим функциям 143
§ 11. Связь с теорией потенциала 145
§ 12. Теория ньютоновского потенциала 148
§ 13. Общая интегральная теорема 151
§ 14. Сопряженные системы сферических функций 157
§ 15. Наиболее общие гармонические функции целой степени 158
§ 16. Система линейных гармонических фупкций 162
§ 17. Формулы для тессеральных гармонических функций первого и второго
родов 163
§ 18. Круговые гармонические функции 166
§ 19. Специальное решение уравнения Лапласа 167
Глава V. обобщенные сферические функции
§ 1. Введение • 173
§ 2. Соотношения, содержащие гипергеометрические функции 175
§ 3. Определение функции Р™ (;х) 177
§ 4. Определение функции Q™ (,а) 186
§ 5. Связь между Q™ (|а) и Q~m (|a) 190
§ 6. Другие выражения для Q™ (|а) 192
§ 7. Соотношения между Q™ (|a), Q™n_i (н-) и Р™ ([х) 197
§ 8. Выражение для Q™ ((«.) при целом положительном л 198
§ 9. ПредставлениеР™ (-[х) и Q™ (-[х) в виде линейных комбинаций Р™ (jx) и
QffW • • • 200
§ 10. Разложение Р™ ((«.) в ряд по степеням — 201
§ 11. Выражения для /•„ (jx) в случаях | [х •(-1| > 2 при |jx — 1| > 2 и при
< 1 202
§ 12. Выражение для Р™ (;х) при полуцелом п 203
§ 13. Представления Р™ (;х) и Q™ ([х) в виде рядов по степеням [х в круге ||а|<1 205

474 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 14. Представления Р% (;х) и Q™ (jx) в окрестностях точек 1 и 1 212
§ 15. Выражения для Р™ (;х) и Q™ (u.) при действительных значениях ц, по
модулю меньших 1 218
§ 16. Соотношения между Р™ (-cosQ), Q™ (-cos в), Р™ (cos в), Q™v (cos в) ... 221
§ 17. Соотношение между Р™ (;х) и Q™ (u.) 222
§ 18 Разложения между Р™ (;х) и Q™ (;х) по степеням [х-l^jx2-! 223
§ 19. Другой класс интегральных представлений для Р™ ([*) и Q™ (jx) .... 226
§ 20. Выражения для Р™ (cos в) и Q™ (cos в) 234
§ 21. Соотношение между Р™ и Q™ 236
§ 22. Представления Р™ (;х) в виде интегралов но прямолинейным отрезкам . . 238
§ 23. Определение Р„ ftx), данное Гейне 242
§ 24. Представление Р™ (;х) в виде определенного интеграла при целом дей-
действительном m • 243
§ 25. Представление Q™ (;х) в виде определенного интеграла 246
§ 26. Вычисление одного определенного интеграла 253
§ 27. Обобщеиие формул Дирихле и Мелера для Р™ (cos в) 255
§ 28. Представление Р™ (ch^) в виде определенного интеграла 260
§ 29. Представление Р™ (;х) в виде определенного интеграла при некоторых
дополнительных условиях 263
§ 30. Интегральное представление функции Q™ (cos в) 264
§ 31. Формула для Q™ (ch ty) при некоторых специальных условиях 266
§ 32. Формула для QJJ* (ch^) при цолуцелых п 267
§ 33. Разложение решений уравнения Лапласа в ряды 269
§ 34. Другие разложения для Р™ (}х) и QJJ1 (;х) 275
§ 35. Рекуррентные соотношения между функциями, отвечающими последова-
последовательным значениям лит 279
Глава VI. приближенные выражения обобщенных функций
ЛЕЖАНДРА
§ 1. Введение 283
§ 2. Асимптотические формулы для /*n(cos в) и Qn(cos в) при действитель-
действительном п 283
§ 3. Асимптотические формулы для PJJ1 (cos в) и QJJ* (cos в) при действитель-
действительных лит 290
§ 4. Приближеппые выражения при т, больших но сравнению ел 298
§ 5. Обобщения теорем Стильтьеса 299
§ 6. Теоремы Брунса и Мелера 307
Глава VII. разложение функций в ряды лежандра и лапл vca
§ 1. Ряд Лежапдра • 309
§ 2. Пуассонова сумма ряда Лежандра 325
§ 3. Сходимость рядов Лапласа 332
§ 4. Суммируемость рядов Лапласа по Чезаро 336
Глава VIII. теоремы сложения для обобщенных функции
ЛЕЖАНДРА
§ 1. Введепие 349
§ 2. Теорема сложения для функции Рп (;х) 353

ОГЛАВЛЕНИЕ 475
3. Теорема сложения для Qn ([*) 361
4. .Обобщение теоремы сложения для Рп 367
5. Дополнительная теорема сложения для Qn 370
Глава IX. нули функций лбжанДра и присоединенных
функции
§ 1. Введепие 372
§ 2. Нули функций Р™ ([х), [j. = cos в, с действительными пит 372
§ 3. Число нулей функции Р™ (jji.) с действительными пит при действитель-
действительном (i>l 375
§ 4. Число нулей функции Р™ (jx) на действительной оси п промежутке от — оо
до -1 376
§ 5. Комплексные нули фупкцпи Р™ (у.) 377
§ 6. Нули функций Q™ fa) 384
§ 7. Нули функций Qn (jx) при целом положительном п 385
§ 8. Нули функций Р j ((а) • 386
§ 9. Нули /»™ (,а) как функции of n 388
§ 10. Вычисление действительных нулей функции Р^т (cos 0) 389
§ 11. Нули функции Р^т (cosQ) при в, близких к 0 или я 391
§ 12. Приближенное вычисление нулей .Р™ (ц) и у—Р™ (и-) при заданном р. = cos 6 392
Глава X. гармонические функции в областях, ограниченных
ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ
§ 1. Введение 394
§ 2. Вытянутые сфероиды 396
§ 3. Сжатые сфероиды 403
§ 4. Кольцевые функции 414
§ 5. Гармонические функции в областях, ограниченных коническими поверх-
поверхностями 425
§ 6. Гармонические функции в биполярных координатах 429
§ 7. Гармонические функции внутри сферического сегмента 431
Глава XI. эллипсоидальные гармонические функции
§ 1. Введение 434
§ 2. Уравнение Лапласа в сферо-конических координатах 435
§ 3, Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах 437
§ 4. Связь между произведением Е(у.)Е(\) и тессеральпыми сферическими
функциями 438
§ 5. Существование функций Ламе и их построение 439
§ 6. Функции в случае сфероида 441
§ 7. Функции Ламе степеней 0, 1, 2, 3 442
§ 8. Вычислепие некоторого двойного интеграла 445
§ 9. Нули функций Ламе 448
§ 10. Функции Ламе второго рода 449
§ 11. Краевые задачи теории потенциала в случае эллипсоида 450
§ 12. Разложение функций в ряды по произведениям функций Ламе 451
§ 13. Эллипсоидальные и сферо-конические гармонические функции в декарто-
декартовых координатах 452
§ 14. Характеристические уравнения для эллипсоидальных и сферо-конических
гармонических функций 454

476 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 15. Связь эллипсоидальпых функций со сферическими фупкциями 456
§ 16. Разложение внутренних эллипсоидальных функций по сферическим функ-
функциям 458
§ 17. Выражение внешних эллипсоидальных функций через сферические . . . 461
§ 18. Определение гармонической функции по ее значениям на эллипсоиде . . 464
§ 19. Сведение к сфероидальным функциям ¦ 465
§ 20. Выражение функций Ламе через эллиптические функции 468
Именной указатель 467
Предметный указатель 469
Редактор Д. А. ВАСИЛЬКОВ Технический редактор Б. И. Корнилов
Сдано в производство 15/VIII 1952 г. Подписано к печати 29/Х 1952 г. А 07643.
Бумага 70X108Vi«=l 4,9 Сум. л. 40,8 печ. л. Уч.-иадат. л. 46,3. Изд. № 1/1601
Цена 34 р. 40 к. Заказ 474.
16-я тин. Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9.