УНИВЕРСИТЕТСКАЯ СЕРИЯ Том 3
Основана в 1998 г. издательством "Научная книга" (НИИ МИОО НГУ)
Представления
группы вращений
и сферические функции
Рекомендовано к изданию
Российским центром математического образования
Министерства общего и профессионального образования РФ
в качестве учебного пособия для студентов
физических и математических специальностей
высших учебных заведений
С. К. Годунов
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Новосибирск, Россия
Т. Ю. Михайлова
Новосибирский государственный университет
Новосибирск, Россия
Новосибирск • Научная книга • 1998

Г59
Годунов С. К., Михайлова Т. Ю.
Г59 Представления группы вращений и орфические функции. —Новосибирск:
Научная книга, 1998. — 208 с, ил. — (Университетская серия. Т. 3).
ISBN 5-88119-008-4
Настоящая книга написана на основе двух учебных пособий С. К.
Годунова "Теория спиноров и представлений группы вращений" и "Коэффициенты
Клебша—Гордана и специальные функции для решения инвариантных
уравнений", изданных в Новосибирском университете в 1978-1979 гг. по конспектам
лекций по теории представлений группы вращений, читаемых автором в те
годы на физическом факультете Новосибирского государственного
университета. При подготовке настоящего издания разработана новая схема изложения
сферических вектор-функций, которая, как и нетрадиционный подход к
изложению систем уравнений, инвариантных относительно вращений,
представляет интерес для специалистов.
Изложение начинается с простейших сведений, требующих от читателя
лишь начальных знаний из линейной алгебры. Инфинитезимальный метод,
связь с группой унитарных матриц второго порядка, основные факты теории
представлений, коэффициенты Клебша — Гордана излагаются не абстрактно, а
непосредственно для конкретных групп с подробными объяснениями,
доступными для читателей без специальной теоретической подготовки и
нацеленными на обучение навыкам конкретных вычислений. Изложение сопровождается
большим количеством задач и упражнений, часть из которых используется в
основном тексте, а часть — знакомит с тематикой смежных вопросов,
имеющих прикладное значение.
Для научных сотрудников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов
физических и математических факультетов университетов и вузов с
углубленной физико-математической подготовкой.
Ответственный редактор:
профессор А. В. Кажихов (Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск)
Научные редакторы:
доцент Е. В. Мамонтов (Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск)
к.ф.-м.н. Т. Я. Рожковская (Институт математики СО РАН, Новосибирск)
Рецензенты:
профессор Б. В. Пальцев (Вычислительный центр РАН, Москва)
доцент И. А. Чубаров (Московский физико-технический институт, Москва)
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Научной книги (НИИ МИОО НГУ)
@ Издательство "Научная книга"
_ 1602010000-002 ^ (НИИ МИОО НГУ), 1998
1 —-— Без объявления ^ „
14Б@3)-98 (?) Художественное оформление.
Н. А. Рожковская, 1998
ISBN 5-88119-008-4

Предисловие
Настоящая книга возникла из моих лекций, которые по просьбе С. Т.
Беляева (в то время ректора Новосибирского государственного университета)
я включил в читавшийся на физическом факультете НГУ курс уравнений
математической физики. По материалу этих лекций в 1978-79 гг. в
Новосибирском университете были изданы два учебных пособия. Впоследствии,
в конце 80-х годов из этих пособий была составлена и передана в
издательство Новосибирского университета книга, издание которой не удалось
осуществить из-за начавшейся "перестройки". Тем не менее рукописный
вариант настоящей книги использовался в учебном процессе, например, в
Московском физико-техническом институте.
При составлении текста настоящего учебного пособия было решено
включить в него дополнительный не излагавшийся на лекциях
материал, посвященный обобщенным сферическим функциям и их использованию
в процедуре разделения переменных. Предварительный вариант
соответствующей главы был написан Т. Ю. Михайловой и был основан на
специально построенных бесселевых сферических функциях. При редактировании
текста стало ясно, что материал этой главы в предложенном изложении не
может быть включен в учебное пособие из-за незавершенности
положенных в основу разработок и из-за характера изложения, отличающегося от
принятого в книге стиля лекционных конспектов.
Это обстоятельство потребовало выработки приемлемой концепции,
продлившейся более года в дискуссиях обоих авторов. Разработанная во
время этих обсуждений точка зрения несколько отлична от принятой в
известных авторам публикациях и приводит к другой системе сферических
вектор-функций. Излагая эту точку зрения, я написал § 16-20, в которых
дается обоснование этой системе, и § 22, 23 о применении таких
сферических функций в процедуре разделения переменных. Формулы и задачи к
этим параграфам подготовлены Т. Ю. Михайловой. Аналогично § 16-20 и
22, 23 на основе предварительного варианта Т. Ю. Михайловой мною был
написан также окончательный текст § 21. К сожалению, из-за ограничений
на объем и сроки, а также ввиду необходимости существенной коррекции
V

VI
Предисловие
теория бесселевых сферических функций не включена в настоящее
издание, хотя изложение этой теории естественно должно было бы следовать
непосредственно за § 23. Надеюсь, что Т. Ю. Михайлова найдет
возможность завершить и опубликовать начатые ею построения шаровых
бесселевых функций, специально приспособленных для решения инвариантных
систем уравнений с постоянными коэффициентами.
Отбор лекционного материала первоначально основывался на хорошо
известных монографиях [1-3] и на моем личном опыте, связанным с
применением метода сферических гармоник в теории ядерных реакторов.
Использование символов Редже при изложении коэффициентов Клебша — Гор-
дана возникло после знакомства с работой Шелепина [4].
При подготовке этой книги и предшествовавших первой главе
препринтов мне очень помогли преподаватели, проводившие по моему курсу
семинарские занятия. Особенно я должен отметить роль Е. В. Золотаревой,
проявившей инициативу в подборе и коллекционировании задач для
вводной части лекционного материала. В дальнейшем к ней присоединилась
Т. Ю. Михайлова. Записанные ею лекции были мною переработаны для
уже упоминавшихся препринтов. Она также подобрала и сформулировала
многочисленные задачи, в основном в гл. 2 и 3.
Подготовленные для издательства машинописные варианты книги
получили самостоятельное хождение. Использование этих лекций и интерес
к ним (высказанный в частности, Б. В. Пальцевым и И. А. Чубаровым)
поддержали меня в решении спустя многие годы вернуться к рукописи и
довести ее до завершения. Как и с другими моими книгами последних
лет, Т. Н. Рожковская проводила большую работу по редактированию и
обработке рукописных текстов и многочисленных правок. А. В. Кажихов
и Е. В. Мамонтов, а также В. И. Костин и и Д. Г. Бакшеев сделали ряд
замечаний по заключительному тексту рукописи; многие из этих замечаний
были учтены.
И в заключение считаю необходимым отметить положительное
значение для развития математики активной деятельности издательства
Научная книга (НИИ МИОО НГУ), с которым меня связывает тесное и
плодотворное сотрудничество.
С. К. Годунов
Академогородок
Новосибирск
12 марта, 1998

Содержание
Глава I. Представления группы вращений 1
§ 1. Вращения трехмерного пространства 1
Ортогональные преобразования трехмерного евклидова пространства.
Вращения. Примеры ортогональных преобразований, не являющихся
вращениями. Понятие группы. Запись произвольного вращения в виде произведения
вращений вокруг координатных осей. Углы Эйлера. Вид матрицы вращения
вокруг некоторой оси.
§ 2. Представления группы вращений 5
Понятие представления группы в линейном пространстве. Конечномерное
представление. Размерность представления. Эквивалентные представления.
Неприводимые и приводимые представления. Вид матриц Тд, д Е G, в
случае приводимого представления То группы G. Унитарное представление.
Вполне приводимое представление. Унитарное приводимое представление
является вполне приводимым. Пример приводимого но не вполне
приводимого представления.
§ 3. Однопараметрические подгруппы и их представления.
Коммутационные соотношения 12
Понятие однопараметрической подгруппы. Однопараметрические
подгруппы группы SOC) как вращения вокруг координатных осей. Непрерывная
зависимость от параметра. Инфинитезимальный оператор
однопараметрической подгруппы. Восстановление однопараметрической подгруппы по ее
инфинитезимальному оператору. Инфинитезимальный оператор
представления. Лемма о коммутаторе. Коммутационные соотношения в группе
вращений.
§ 4. Инфинитезимальные операторы А, В, С 20
Построение специальной цепочки векторов /n,/_n+i,... ,/п, на которые
просто действуют операторы гА ± В, гС. Доказательство инвариантности
vii

Vlll
Содержание
и неприводимости подпространства Ln, натянутого на векторы {Л}.
Понятие канонического базиса неприводимого представления и понятие веса
представления.
§ 5. Группа SUB) 27
Представление произвольной матрицы из SUB) в виде _%• — , cia + Pf} =
1. Параметры Кэли — Клейна и углы Эйлера. Однопараметрические
подгруппы группы SUB). Инфинитезимальные операторы и коммутационные
соотношения.
§ 6. Представление SUB) матрицами из SOC) 31
Представление вращения трехмерного пространства с помощью матриц из
SUB) как преобразование матрицы x_f iy x**zy . Соответствие между од-
нопараметрическими подгруппами. Геометрическая интерпретация
соответствия между группами SOC) и SUB). Двузначность описываемого
представления.
§ 7. Спинорная реализация неприводимых представлений групп
SUB) и SOC) 38
Восстановление оператора Tg^(w). Однозначные неприводимые
представления группы SOC) существуют только в пространствах нечетных
размерностей. Представление группы SUB) в пространстве спинорных полиномов.
§ 8. Матричные элементы неприводимых представлений группы
SUB) 44
Явные формулы матричных элементов спинорного представления.
Выражение матричных элементов через параметры Кэли — Клейна. Матричные
элементы представления в пространстве гармонических полиномов.
Реализация неприводимого представления матрицами Нп(д) и матрицами Нп(~д).
§ 9. Спинорные поля. Сферические и шаровые функции 52
Понятие сферической функции. Замечание о разложении представления
группы вращений на неприводимые представления. Пример
представления группы вращений в пространстве вектор-функций, компоненты которых
суть однородные полиномы. Базисы инвариантных подпространств.
Полиномиальные сферические вектор-функции. Формальный и реальный спины.
10. Интегрирование по группе SUB) и инвариантное
скалярное произведение 62
Понятие инвариантного интеграла по группе. Инвариантное интегрирование
по группе SUB). Существование скалярного произведения, относительно
которого представление группы SUB) унитарно. Теорема о разложении
пространства унитарного представления в прямую сумму инвариантных
подпространств. Теорема о разложении унитарного представления на
неприводимые.
11. Полное описание конечномерных представлений групп SOC)
MSUB) 71

Содержание
IX
Теорема о разложении произвольного представления в прямую сумму
представлений, кратных неприводимым.
§ 12. Лемма Шура и свойства ортогональности. Элементы теории
характеров 75
Лемма Шура. Теорема об ортогональности матричных элементов.
Понятие характера. Характеры эквивалентных представлений. Характер прямой
суммы представлений. Явное выражение характера неприводимого
представления веса п. Ортогональность характеров.
Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB).
Сферические вектор-функции 83
§ 13. Представление группы SUB) в пространстве биспинорных
полиномов 83
Определение биспинорных полиномов. Пространство биспинорных
полиномов. Важный пример представления группы SUB) и унитарность этого
представления в пространстве биспинорных полиномов. Инфинитезималь-
ные операторы. Канонический базис пространства биспинорных полиномов.
Коэффициенты Клебша — Гордана. Формула для произведения матричных
элементов.
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана и символы Редже 92
Производящая функция для коэффициентов Клебша — Гордана. Символы
Редже. Производящая функция для символов Редже. Связь между
коэффициентами Клебша — Гордана и символами Редже. Вторая производящая
функция для символов Редже.
§ 15. Кронекеровы произведения линейных преобразований (матриц)
и представлений 102
Кронекеровы произведения преобразований и матриц. Основные свойства
кронекерова произведения. Кронекерово произведение представлений и его
основные свойства. Представление A3.3) группы SUB) в пространстве
биспинорных полиномов как кронекерово произведение. Характер кронекерова
произведения неприводимых представлений весов П\ и П2 и разложение его
в сумму характеров.
§ 16. Полилинейные многочлены и конструкции неприводимых
представлений 108
Полилинейные многочлены. Естественное представление группы SUB).
Правило построения базисов неприводимых представлений. Спинорные
полиномы, коэффициенты которого суть полилинейные многочлены.
Операторы d|_, do, cL. Цепочки, определяющие неприводимые представления.
Число эквивалентных неприводимых полилинейных представлений.
Примеры.
§ 17. Тензоры, тензорные представления и разложение на
неприводимые представления 117
Полилинейные функции и тензорные поля. Формальное определение
ортогонального тензора. Разложение тензорных полей на неприводимые по схеме
из § 16. Пример — разложение тензоров второго ранга.

X
Содержание
§ 18. Сферические вектор-функции с произвольными спинами L и J 123
Предварительное описание и формулировки. Производящая функция.
Доказательство некоторых свойств сферических вектор-функций. Запись
сферических вектор-функций через коэффициенты Клебша — Гордана и базисные
гармонические полиномы. Обоснование ортонормированности сферических
вектор-функций. "Подвижные" базисы, связанные с точками сферы, и
выражение сферических вектор-функций через матричные элементы и
коэффициенты Клебша — Гордана.
§ 19. Рекуррентные соотношения между сферическими
вектор-функциями 135
i j
Производные сферических функций Y . Дифференциальные операторы
А_, До, Д+ как аналоги полиномиальных операторов gL, c?o, d+-
Формулы, описывающие действие этих операторов на компоненты сферических
вектор-функций У
LJ(n)
§ 20. Обоснование соотношений между производящими функциями 145
Действие операторов Д+, с?+, До, do, A_, cL на производящую функцию
/ (?, 77; со, г; х, у, z) (доказательство формул из табл. 19.1).
§ 21. Произведение трех неприводимых представлений и
коэффициенты Рака 153
Трехспинорные полиномы. Представление в пространстве трехспинорных
полиномов. Разложение представления в кронекерово произведение,
коэффициенты Рака.
Глава III. Инвариантные уравнения 163
§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 163
Система уравнений акустики как пример системы уравнений, инвариантной
относительно вращений. Определение инвариантности системы уравнений.
Запись инвариантных систем с помощью спинорных полиномов. Спинорные
операторы Д+, Д_ и До как аналоги операторов grad, div и rot. Условие
инвариантности в виде соотношений между инфинитезимальными
операторами и матричными коэффициентами.
§ 23. Разделение переменных в уравнениях акустики 181
Операторная запись уравнений. Задача отыскания решений в виде
произведения функций от времени, угловых переменных и радиуса. Обыкновенные
дифференциальные уравнения для функций от радиуса. Полное решение в
стационарном случае. Решение обыкновенных дифференциальных
уравнений в нестационарном случае при помощи функций Бесселя.
Список литературы
197

Глава I
Представления группы вращений
§ 1. Вращения трехмерного пространства
Ортогональные преобразования трехмерного евклидова пространства.
Вращения. Примеры ортогональных преобразований, не являющихся
вращениями. Понятие группы. Запись произвольного вращения в виде
произведения вращений вокруг координатных осей. Углы Эйлера. Вид матрицы
вращения вокруг некоторой оси.
Напомним основные свойства вращений трехмерного евклидова
пространства, известные из линейной алгебры и аналитической геометрии.
Линейное отображение трехмерного евклидова пространства в себя
называется ортогональным, если оно сохраняет длины векторов и углы между
векторами.
Каждое ортогональное преобразование д задается ортогональной
вещественной матрицей, которую будем обозначать той же буквой д, по правилу
9и 912 913
921 922 923
931 932 9зз
или, в краткой записи, г1 = дг, где г = (х,у, z)T, г' = (x'yy',z')T. Матрица,
описывающая преобразование, зависит от выбора базиса пространства.
Однако, допуская некоторую вольность, будем часто отождествлять ортогональное
преобразование # с описывающей его матрицей д, подразумевая что базис
пространства фиксирован.
Ортогональность преобразования д можно выразить формулой дТд — ддт
— е, где дт — транспонированная к д матрица и е — единичная матрица.
Поэтому det (ддт) = det е = 1. Поскольку det (ggT) = detgdetgT — detgdetg =
(detgJ, имеем det ^ = ±1.
Вращением (трехмерного евклидова пространства) называется
ортогональное преобразование, описываемое матрицей д с положительным
определителем, т. е. detg = +1.
Приведем примеры ортогональных преобразований д, которые не
являются вращениями (det# = — 1).
1

2
Глава I. Представления группы вращений
Пример 1.1. Отражение г' — —г относительно начала координат не
является вращением.
(тр т)
Пример 1.2. Отражение г' = г — 2, ' [г относительно плоскости (р, г) =
(р,Р)
pixi + P2X2 + Рз#з = 0 не является вращением.
Множество G называется группой, если для каждых двух его элементов
0ъ 02 определен элемент, который называется произведением элементов д\}
д2 и обозначается д\ -02, так, что выполнены следующие условия:
(а) ?i • </2 € G для любых дид2 Е G,
(б) ($1 • 02) * 0з = 01 • @2 • 0з) для любых 01,02,03 € G (ассоциативность),
(в) существует единственный элемент е ? G (единица) такой, что е • g =
g • е = g для каждого 0 Е G,
(г) для каждого 0 Е G существует единственный элемент д~г € G
(обратный элемент) такой, что д • д'1 — д~1 • д = е.
Множество ортогональных матриц 0 таких, что det0 = -|-1, образует
группу. Эта группа называется группой вращений (пространства) и
обозначается ЗО(З).1 Матрицы 0 Е SOC) будем называть матрицами вращения или
просто вращениями.
Каждое вращение можно представить как результат трех
последовательных вращений: вокруг оси Oz на угол <р2, вокруг оси Ох на угол 0, вокруг
оси Oz на угол <pi. Обозначим через g[z](<p) матрицу вращения вокруг оси Oz
на угол у>, т. е.
9[л](<р) =
cos <р — sin (p О
sin <p cos (p О
О 0 1
а через д[х]@) — матрицу вращения вокруг оси Ох на угол в, т. е.
9[*)@)
1 О О
О cos в — sin в
О sin в cos в
В принятых обозначениях любое вращение д Е SOC) можно записать в
виде
9=9(<Р1,0,<Р2) = 9[z](<Pi)9[x]@)g[z](<p2)> A.1)
Обычное правило перемножения матриц означает, что к вектору применяется
сначала g[z](<p2), затем д[х](&), а после этого д[2](<р\). Таким образом, вращения
Расшифруем введенное обозначение: SO — аббревиатура английских слов Special
специальный и Orthogonal ортогональный. Специальная матрица понимается здесь как
матрица, определитель которой равен единице. Число в скобках указывает порядок
матрицы. Все ортогональные матрицы третьего порядка как с положительным (равным
+1), так и с отрицательным (равным -l) определителем образуют ортогональную
группу, которая обозначается О(З). Обозначения других часто используемых групп указаны
в задачах к данному параграфу.

§ 1. Вращения трехмерного пространства
3
9[х](в) и g[z](<Pi) выполняются вокруг осей, играющих роль осей Ох и Oz в
предыдущих преобразования ^](v?2) или g[x]@)9[z](<P2) (см. задачу 1.8).
Перемножив матрицы вращений вокруг осей #[z], д^, д^ в правой части
A.1), найдем элементы gij матрицы вращения д:
дп = cos (pi cos (f2 — cos в sin ipi sin <p2%
gi2 — — cos cpi sin <f2 — cos в sin (pi cos <p2,
дгз = sin y>i sin 0,
g2i = sin <pi cos ^?2 + cos в cos y>! sin y>2j
922 = — sin^2siny?i -fcos0cos<p2cos<pi, A.2)
#23 = — cos y>! sin 0,
дзх = sin<p2sin0,
#32 = cos^>2sin0,
#33 = COS 0,
где 0 ^ tpi < 27Г, 0 ^ (p2 < 27Г, 0 ^ 0 ^ 7г. Параметры y?i,0, ^>2> определяющие
вращение д, называются углами Эйлера.
Если д — ортогональная матрица, обратная матрица д~1 будет
транспонированной к ду т. е. д~1 — дт. Легко видеть, что матрица дт получается из
матрицы д после замены в A.2) cosy?i на — cos<?>2 и sin^i на sin ^2 и наоборот.
Таким образом, если вращение д задается углами Эйлера <pi, 0, <р2, то обратное
вращение д~1 задается формулой #"(^ь 0, (р2) = д{тт — (р2,0, ж — <pi).
Так как каждое вращение есть вращение вокруг некоторой оси (см.
задачи 1.2-1.7), можно полностью определить вращение, указав ось и угол
вращения. Выбрав направление оси вращения, условимся считать угол вращения
положительным, если он соответствует вращению правого винта,
вворачиваемого по направлению оси вращения.
Фиксируем ось вращения. Пусть р = (?,г/Х)Т — единичный вектор,
направленный вдоль оси вращения. Найдем явный вид матрицы вращения
д(ш) ? SOC) вокруг этой оси на угол и. Проекция вектора г на ось
вращения есть (т}р)р. Векторы р, г — (г, р)р и р х г взаимно ортогональны.
Вектор г', полученный вращением вектора г на угол ш вокруг оси вращения,
определяется формулой
г' — (г, р)р + [г — (г, р)р] cos и + [р х г] sin о;,
которую можно переписать в виде
г' — A — cos u>) (r, p)p + coswr — sina>[r x p]
или
'Л (t\ M /уС-*п\
г/ = A - совы) (х? + ущ + zQ) V + cosw I у I - sinw I z?. - xQ J .

4
Глава I. Представления группы вращений
Теперь легко видеть, что матрица вращений д(ш) вокруг вектора р — (?, т], С)Т
на угол ш имеет вид
[~?2 A — coscj) + coso; ?77A — cos о;) — С sin и? ??A — cos и;) + r\ sin иЛ
??7A — cos-w)+Csina; rj2 A — cos и) -f cos a; 77^A — cos cj) — ? sin a;
kCA ~~ cos a;) — rf sinu t)C(l — cos a;) + ?sina; ?2A — cos a;) -f- cos a; J
A.3)
Задачи и упражнения
1.1. Показать, что для каждого линейного преобразования трехмерного
евклидова пространства существует одномерное инвариантное
(вещественное) подпространство. (Инвариантность означает, что подпространство
преобразуется данным преобразованием в себя.)
1.2. Если д — ортогональное преобразование, а вектор р определяет его
одномерное инвариантное подпространство (т. е. векторы этого
подпространства имеют вид Ар, где Л Е М), то др = ±р. Доказать, что
подпространство векторов, ортогональных р, двухмерно (плоскость) и инвариантно
относительно д.
1.3. Показать, что любое ортогональное преобразование плоскости является
либо вращением
cos <p — sin (p\
sin (p cos (p J '
либо отражением
cos a; sin а; 1
sin cj — cos u\
1.4. Проверьте, что вращения плоскости (см. задачу 1.3) образуют группу.
Эта группа обозначается SOB).
1.5. Доказать, что матрица вращения д Е SOC) имеет собственные значения
Ai = 1, А2 = А^, |А2| = |А3| =
1.6. Как по матрице, описывающей вращение д Е SOC), найти ось и угол
вращения? Докажите, что любое вращение д Е SOC) представимо в
виде вращения вокруг некоторой неподвижной оси.
1.7. По элементам дц< матрицы вращения д Е SOC) восстановить углы
Эйлера (pi, 0, (р2- Всегда ли они определяются однозначно?
1.8. Пусть вращение д Е SOC) переводит оси координат Ox, Оу, Oz в оси
координат Ох', Оу1', Oz1. Показать, что
9[*'](<Р) = 99[х](<р)9~1, 9[уф) =^[y](^M"S 9[z>](<p) = 99[z](<p)9~1,
9{<p\,Q,<P2) = 9[z>](p2)g[x>]@)g[z]{v>i) = ^w(^i)^](%m(v?2),
9{<P) =
9{u) =

§ 2. Представление группы вращений
5
где д[х1](в) = flfw^i^wW^/^i),
9lz'](<P2) = (^ir'l^W^l))^]^)^']^)^]^!)).
1-9- Движениями (евклидовой плоскости) называются преобразования
плоскости в себя, сохраняющие расстояния между точками и не меняющие
ориентации плоскости. Показать, что движения плоскости образуют
группу. Эта группа обозначается МB). Из аналитической геометрии
известно, что каждое движение плоскости задается в декартовой системе
координат формулами х' = х cos <р — у sin (р-\- а, у' = х sin <p -f у cos у? + 6.
1.10. Показать, что комплексные матрицы # = " $ такие, что detg — 1,
образуют группу. Эта группа называется специальной линейной группой
второго порядка и обозначается SLB).
1.11. Показать, что комплексные матрицы g = _j-^\ такие, что detg = 1,
образуют группу. Эта группа называется специальной унитарной
группой второго порядка и обозначается SUB). Проверьте, что все матрицы
группы SUB) унитарны. Покажите, что любая унитарная матрица g
такая, что detg = 1, является элементом группы SUB), т. е. представима
в указанном выше виде (см. § 5, далее).
1.12. Пусть 5з обозначает множество перестановок чисел 1, 2, 3.
Последовательное выполнение двух перестановок называется произведением
перестановок. Например, под произведением A,3,2) • B,1,3) понимается
выполнение сначала правой перестановки B,1,3), при которой 1 -> 2,
2 —> 1, 3 -> 3, а затем левой, при которой 1 -> 1, 2 —> 3, 3 —> 2.
Произведением A,3,2) • B,1,3) оказывается перестановка C,1,2), при которой
1 —> 2 -> 3, 2—>1—»1,3—>3—>2. Показать, что множество 5з образует
группу.
§ 2. Представление группы вращений
Понятие представления группы в линейном пространстве. Конечномерное
представление. Размерность представления. Эквивалентные
представления. Неприводимые и приводимые представления. Вид матриц Tg, g Е G,
в случае приводимого представления Tq группы G. Унитарное
представление. Вполне приводимое представление. Унитарное приводимое
представление является вполне приводимым. Пример приводимого но не вполне
приводимого представления.
Множество невырожденных линейных преобразований линейного
пространства R образует группу относительно произведения А ¦ Вх = А(Вх))
х Е R. Тождественное преобразование 1х = х пространства R является
единицей группы.
Будем говорить, что определено представление Тс группы G в
пространстве R, если каждому элементу g E G поставлено в соответствие
линейное преобразование Т9 пространства R, причем Т91 -Т92 = Т91.д2 для

6
Глава I. Представления группы вращений
любых дх,д2 ? G и Те = I, где е — единица группы G. Представление
То называется конечномерным, если пространство R конечномерно и под
размерностью представления понимается размерность пространства R.
Пространство R будем называть также пространством представления То
и далее всегда считаем R конечномерным, а размерность пространства R
обозначаем через N. В этом случае преобразования Т9, g eG, описываются
N х ЛГ-матрицами.
Два представления То и TG группы G в пространствах R и R!
одинаковой размерности называются эквивалентными, если существуют базисы
пространств R и R' такие, что T'g = V~lT9V, g ? G, где преобразование V
переводит базис пространства R* в базис пространства Я.
Представление То группы G в пространстве R называется
неприводимым, если в R нет нетривиальных подпространств, инвариантных
относительно всех преобразований Т9, g ? G, и приводимым в противном случае.
Если подпространство Z пространства i? инвариантно относительно всех
преобразований Т9, g ? G, то будем говорить, что I — инвариантное
подпространство (пространства R) для представления TG-
Предложение 2.1. &ш То — приводимое представление группы G в
пространстве R, то существует базис пространства R, в котором каждая
матрица Т9, g GG; имеет вид
q столбцов
q строк
B.1)
Доказательство. Поскольку представление То приводимо,
существует подпространство Q пространства R, которое инвариантно относительно
всех преобразований Т9, g ? G. Пусть Q имеет размерность q. Выберем
базис пространства R так, что первые q векторов образуют базис
подпространства Q. Тогда векторы подпространства Q в этом базисе имеют
координаты а1у а2,... , aq, О,... , 0.„Любая N х JV-матрица Т9 переводит векторы,
лежащие в подпространстве Q, в векторы, у которых последние N-q
координат равны нулю, т. е. в векторы этого же подпространства Q. Поэтому
матрица Т9 должна иметь вид B.1). ¦
Для приводимого представления То в произвольном базисе
пространства R матрицы Т9 имеют вид
V
V,
B.2)

§ 2. Представление группы вращений
7
где V — матрица перехода к описанному в доказательства предложения 2.1
специальному базису. Размер (N — q)xq выделенного в B.2) нулевого
прямоугольника определяется размерностью q инвариантного
подпространства и будет одним и тем же для всех преобразований TQ) g EG.
Представление То группы G называется унитарным, если все
матрицы Tgj д Е G. унитарны, т. е. (Тд)'1 = Тд* для всех д EG.
Пусть в пространстве R выбран ортонормированный базис. По
определению для каждой матрицы Тд существует обратная матрица Т, т. е.
Тя-Тг
~ *9 Я'1 —Те — I — Тд-1.д — Тд-
•т„
(ТдГХ=Тд-,.
Пусть представление То унитарно и приводимо. Ввиду унитарности
Тд-1, а ввиду приводимости
Tg = V*
V,
Тд-г = V
V.
Мы здесь воспользовались тем, что преобразование V,
осуществляющее переход к специальному базису в R, можно выбрать унитарным, так
что V~x = V*. При этом
Следовательно, у каждой из матриц
О
в правом верхнем углу стоит нулевая клетка. Таким образом, если
представление То унитарно и приводимо, то все матрицы Тд, д Е G, с помощью
одного и того же преобразования V могут быть приведены к клеточно-
диагональному виду
v*\
V.
B.3)

8
Глава I. Представления группы вращений
Иными словами, пространство R является прямой суммой подпространств
Ri и R2, которые можно рассматривать как пространства двух различных
представлений группы G. Если такое разбиение R возможно, то говорят,
что представление вполне приводимо. Таким образом, мы доказали
следующее предложение.
Предложение 2.2. Приводимое унитарное представление вполне
приводимо.
Замечание 2.1 (важное). Если Ri или R2, в свою очередь,
приводимы, то отвечающие им диагональные клетки в B.3) при соответствующем
выборе V опять-таки могут быть сделаны клеточно-диагональными.
В § 9 мы покажем, что для группы вращений SOC) любое
конечномерное представление эквивалентно унитарному представлению.
Поэтому приводимые представления группы вращений вполне приводимы. Это
означает, что в случае группы SOC) можно ограничиться рассмотрением
неприводимых представлений.
Однако следует заметить, что существуют группы, приводимое
представление которых не обязательно будет вполне приводимым. Приведем
соответствующий пример.
Пример 2.1 (приводимое, но не вполне приводимое представление).
Рассмотрим группу Z целых чисел, в которой определена групповая
операция — сложение. В качестве R возьмем пространство функций,
аргументами которых являются целые числа. Определим представление Т% группы
Z в пространстве R так, что Тк(р(п) = <р(п + &), к е Ъ. Чтобы убедиться,
что Те действительно является представлением группы целых чисел,
достаточно показать, что Тк — линейное преобразование и Tkl • Тк2 — Tkl+k2)
а*у..; То = /. Мы предлагаем читателю сделать это самостоятельно.
Рассмотрим в R двухмерное подпространство функций вида <р(п) =
а + Ьп. В качестве базиса этого подпространства можно взять функции
е2(п) = 1 и е2(п) = п. Тогда
Ткег(п). = ei(n), Тке2(п) = е2{п + к) = п + к = е2(п) + fcei(n).
Следовательно, в выбранном базисе преобразованию Тк соответствует
матрица второго порядка Тк = [J {].
Представление Те приводимо, так как функция ei(n) и все
пропорциональные ей функции образуют одномерное инвариантное подпространство
относительно всех Тк) к е Z.
Если бы представление Т% было вполне приводимым, то
существовало бы другое инвариантное подпространство дополнительной размерности
2 — 1 = 1. Попытаемся его найти. Функция <р(п) = а + Ьп принадлежит
одномерному инвариантному подпространству, если Тк<р(п) = \<р(п), при
этом
Г1 к~\ /сЛ _ . fa\
[О 1J \bj ~ X\b) '
т. е. а 4- кЬ — Ха и Ъ = Л6. Последние равенства возможны лишь при А = 1,
6 = 0. Таким образом, искомое одномерное инвариантное подпространст-

§ 2. Задачи и упражнения
9
во есть подпространство функций, пропорциональных ei(n). Тем самым
показано, что представление Т% не является вполне приводимым.
2.1. Пусть R -
3-матриц
Задачи и упражнения
девятимерное пространство, образованное элементами 3 х
и —
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
Сопоставим матрице вращения д е SOC) преобразование Тд
пространства R по одному из следующих правил:
Tgv! - ди, (а)
Тди' = ид\ (б)
Тдп' = ид, (в)
Тди'=д*и. (г)
Напомним, что д* = дт = д~1. Какие из преобразований (а)-(г)
определяют представления группы вращений SOC), а какие — нет?
Используя матричную запись
/«'п\
*21
^31
П2
^22
= та
\«зз/
/«ll\
«21
«31
«12
«22
\«зз/
'hi
*21
*31
*12 •
^22 •
^32 •
¦ • *19
¦ • ^29
• • ^39
^91
*92
t99j
/«ll\
«21
«31
«12
«22
\«зз/
выписать матричные элементы tik матриц Тд. Приводимы ли
полученные представления? Разложить их на неприводимые.
2.2. Пусть преобразование Тд пространства R из задачи 2.1 определено по
правилу Тяч — дид*. Показать, что такие преобразования
определяют представление группы вращений SOC) и выписать их матричные
элементы.
2.3. Пусть 5з — группа перестановок трех чисел (см. задачу 1.12).
Каждой перестановке ставится в соответствие матрица по следующему
правилу:
A,2,3)
[1 0
0 1
|о о
°1
0
lj
A,3,2)
Г1
0
0
0
0
1
0]
1
oj

10
Глава I. Представления группы вращений
B,1,3)->
C,1,2)
0
1
0

1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
г
0
0
C,2,1)
B,3,1)
0
0
1
'о
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
о'
1
0
Будет ли такое соответствие представлением?
2.4. Будет ли представлением соответствие, при котором каждой
перестановке сопоставляется матрица, транспонированная матрице,
указанной в задаче 2.3?
2.5. Каждому движению плоскости д ? МB) (см. задачу 1.9) поставим в
соответствие две матрицы
cos (p — sin (f a
sin <p cos <p b
0 0 1
Qg =
J4>
a -f ib
Показать, что в обоих случаях определено представление группы МB).
2.6. Пусть R — пространство полиномов V(x,y,z) степени не большей N.
Каждому вращению д Е SOC) сопоставим преобразование Тд
пространства полиномов R по правилу TgV(x) у, z) — Q(x, у, z), где
Q{x,y)z) = V(x')y')z'))
Показать, что такие Тд определяют представление группы SOC) в
пространстве R. Доказать, что оно приводимо. Будет ли
представлением группы SOC) соответствие
2.7. Найти размерность пространства однородных полиномов степени N.
2.8. Найти размерность пространства полиномов степени не
превышающей N.
2.9. Полином V(x, у, z) называется гармоническим, если
д2Р д2Р д2Р
+
+
0.
дх2 ду2 dz2
Найти размерность пространства однородных гармонических
полиномов степени N.

§ 2. Задачи и упражнения
11
2.10. Показать, что. однородные гармонические полиномы степени N
образуют инвариантное подпространство пространства R для
представления группы SOC) из задачи 2.6.
2.11. Показать, что если Vn{x,y,z) — однородный гармонический полином
степени га, то полином
Qn+l(x,y,z) = (aX + by + cz)Tn- 2n+1 [а— + 6— + с—j
также будет гармоническим. Равенство, связывающее полиномы
Vn{x,y,z) и Qn+i(z,y,z), называется тождеством Максвелла.
2.12. Доказать, что любой однородный полином Tn{x,y,z) степени га может
быть записан в виде
Тп{х, у, z) = 7>п(*, 2/, z) + (x2 + у2 + z2)Pn_2(z, у, *)
+ (х2 +1/2 + z2J7>n_4(x, у, *) + ... ,
где Vn,'Pn-2,'Pn-4, • • • — однородные гармонические полиномы
степеней п, га — 2, га - 4, Используя этот результат, показать
приводимость представления группы вращений в пространстве однородных
полиномов степени га ^ 2.
2.13. Указать в пространстве полиномов T{x,y,z) (см. задачу 2.12) степени
не выше 5 подпространства, инвариантные относительно
представления группы SOC).
Указание. Воспользоваться задачей 2.12.
2.14. Пусть R — линейное пространство полиномов двух переменных х,у.
(a) Найти размерность подпространства однородных полиномов
степени т.
(b) Найти размерность подпространства однородных гармонических
полиномов Vm{x,y) степени т, т. е. таких, что
( д2 д2 \ , Л Л
(c) Показать, что функции {x+iy)m и (x — iy)m гармонические и образуют
базис пространства гармонических полиномов двух переменных.
(d) Показать, что любой однородный полином Тт(х]у) степени га может
быть записан в виде
Тт{х, у) = Vm(x, у) + (х2 + y2)Vm-2(x, у) + . . . ,
где Vm(x1y),Vm-2(x,y),... — однородные гармонические полиномы
степеней m, га — 2,

12
Глава I. Представления группы вращений
2.15. Каждому вращению плоскости д е SOB) сопоставляется
преобразование Тд пространства полиномов двух переменных по правилу
TgV(x, у) = ^(cos <р х -f sin(p t/, — sin (p x + cos (p y).
Доказать, что такое сопоставление определяет представление
группы SOB), считая, что оно действует в пространстве однородных
полиномов степени п. Разложить это представление на неприводимые
представления группы SOB) в пространстве однородных полиномов
степени т.
§ 3. Однопараметрические подгруппы и их представления.
Коммутационные соотношения
Понятие однопараметрической подгруппы. Однопараметрические
подгруппы группы SOC) как вращения вокруг координатных осей. Непрерывная
зависимость от параметра. Инфинитезимальный оператор
однопараметрической подгруппы. Восстановление однопараметрической подгруппы по ее
инфинитезимальному оператору. Инфинитезимальный оператор
представления. Лемма о коммутаторе. Коммутационные соотношения в группе
вращений.
Каждому вещественному числу t ?Ш поставим в соответствие элемент
g(t) группы G. Если для любых s,t ?Ш
g(t) • g(s) = g(t + s) = g(s) • g(t), g@) = e, C.1)
то элементы g(t), t ?Ш, образуют подгруппу группы G, которую
называют однопараметрической подгруппой (группы G). Очевидно, что [#(?)]_1 =
яН)-
Пример 3.1. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу группы
SOC), которая часто будет использоваться в дальнейшем. Вращения
вокруг фиксированной оси зависят от параметра — угла вращения в — и
могут быть описаны матрицами
9@) = U
cos в — sin в О
sin 0 cos в О
О 0 1
/7*
где U — вещественная матрица (U* — UT — U *), переводящая ось Oz в
ось вращения. Очевидно, что равенства C.1) выполняются.
<4 Покажем, что вращения вокруг оси непрерывно зависят от параметра
6. Введем евклидову норму вектора х
\\х\\ = у/(х,х) = \jx\ + х\ + ;
и евклидову норму матрицы Л
или \\Лх\\
||^|| = siip> 11——11.

§ 3. Однопараметрические подгруппы
13
Справедливы равенства
\\Ах\\ _
||A|| = 8UPJ
Ml
'su (Ax>Ax) =su (Л*Ах>х) = %/$
S"P (x,x) xV (Х,Х)
где Л — максимальный корень характеристического уравнения det |ЛМ-
А/| = 0. Вычислим норму матрицы
9@) -e = U
cos 9 — 1 — sin 9 0
sin 9 cos 9—1 0
0 0 0
U*.
Для этого найдем максимальное собственное значение матрицы
[cos 9-1 -sin 9 0]
= U\ sin9 cos 9-1 0
[о о о I
r(cos0-lJ+sin20 0 01
(cos0'-lJ+sin26> 0
cos 9-1 - sin 0 0
sin 9 cos 9—1 0
0 0 0
U*
= и
= и
о
о
4 sin2 0/2 0 0"
0 4 sin2 0/2 0
0 0 0
0
0
и*
и*.
Ясно, что максимальное собственное значение матрицы (д(9) — е)* (д(9) — е)
равно 4sin2@/2). Следовательно, \\д(9) — е|| = 2|sin@/2)| ^ \9\. Кроме того,
1И*1) - ^2)|| = ШЬ - ШЬ) - 9@2)
^\\д(91-в2)-е\\\\д@2)\\.
\\(gFi - 02) - д@))д@2)
Норма ортогональной матрицы равна единице, поэтому ||#@2)|| = 1.
Следовательно,
\\g@i)-g(e2)\\^\91-92\, C.2)
что и требовалось доказать. >
Если элементы матриц д@) ? G, 9 el, суть дифференцируемые
функции параметра 0, то будем говорить, что д(в) — дифференцируемая подгруп-
па (группы G).
Рассмотрим однопараметрическую подгруппу д(ш) ? SOC), ш ? М,
группы SOC). Можно считать, что она дифференцируема (см. задачу 3.1,
ниже). Составим разность
g(" + A)-g(") = >(АН@)дИ = ^(АН^
Переходя к пределу при А -» 0, получим
</(Л) " е
ЖЛ* ; с/А
#(u>) = lim
$И-
д=о

14
Глава I. Представления группы вращений
Оператор (матрица), получаемый в пределе при А ->> 0:
а — Km
д-ю
*(Д)
dg(A)
с/А
д=о
называется инфинитезимальным оператором однопараметрической
подгруппы g (и) €SOC), wGl.
Равенства
duj
ag{u), 9{0) = e}
C.3)
образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений с
начальными данными Коши при ш = 0. В силу теоремы единственности д(ш)
определяется из C.3) однозначно.
Таким образом, однопараметрическая подгруппа д(ш), wGl,
однозначно восстанавливается из задачи Коши C.3) при заданной матрице
коэффициентов а, т. е. при заданном инфинитезимальном операторе.
Пример 3.2. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу вращений
д(и) на угол и вокруг оси, направленной вдоль единичного вектора р =
(CiVXO- Напомним, что матрицы д(и) в данном случае имеют вид A.3).
Вычислим инфинитезимальный оператор. Имеем
9'(») =
f^sinu; — ? cos о; ?г] sin ш + т? cos и
гJ sin и) + sin и rjC, sin uj — ? cos w
?2sinu> — sin a/
?r} sin ш -f-CC0SW
?rj sin cj — 7} cos lj ?r) sin w + ? cos и ?2 sin и + sin и
поэтому
9'@) =
-С i?'
о -<е
Z о
C.4)
Таким образом, д(ш) должна удовлетворять системе девяти линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений
d
duj
9u(v) gi2(w) дгз(и)
92i(w) g22{u) д2з(и)
93i(w) дз2{и) 9зз{и)
0
с
-п
-С
0
«
ч~
-Z
0_
9п 9п 912
921 922 923
931 932 9зз
с начальными данными
<7п@) 512@) Лз@)
521 @) <722@) <?23@)
93i@) 932@) <?зз@)
=
 0 0|
0 1 0
0 0 lj
Вернемся к вопросам теории представлений групп.

§ 3. Однопараметрические подгруппы
15
Определение 3.1. Представление TSoC) группы вращений SOC)
называется непрерывным? если для любых ^,^6 SOC)
\\T9l -T92\\^ const \\9l -g2\\,
где нормы матриц д € SOC) и Тд понимаются как нормы соответствующих
операторов в евклидовых пространствах, а постоянная const от выбора gi
и #2 не зависит. Конечно, для каждого конкретного представления эта
константа своя.
Замечание 3.1. В конечномерном пространстве все нормы
эквивалентны. Поэтому представление, непрерывное в одной норме, будет
непрерывным в любой другой норме.
Пусть Та — представление группы G к g{s), «El, — однопараметри-
ческая подгруппа группы G. Рассмотрим однопараметрическое семейство
Tgis)l s Е М. Так как Tg{s+t) = Tg{s).g{t) = Tg{s)-Tg{t)j Tg{Q) = Te = I, семейство
Tg(8)} sEi, образует однопараметрическую подгруппу группы матриц Тд,
д eG. Более того, сопоставив каждому элементу g(s) однопараметрической
подгруппы преобразование Tg(s)i получаем представление
однопараметрической подгруппы g(s)j sEt, которое будем обозначать T{g(s)y
Далее предполагаем, что все рассматриваемые здесь представления
групп непрерывны, а представления однопараметрических подгрупп
дифференцируемы (см. задачу 3.3, ниже). Иными словами, мы предполагаем,
что для любой однопараметрической подгруппы д(ш), wEM, существует
инфинитезимальный оператор А подгруппы T{g(w)y, wEl,T. е. существует
предел
Оператор А будем называть инфинитпезимальным оператором
представления однопараметрической подгруппы g{u>), wEM.
Легко показать, что представление Т{д^у однопараметрической
подгруппы #(и>), ш е М, т. е. все преобразования Тд^, wEl,
восстанавливаются по инфинитезимальному оператору А из следующей системы
дифференциальных уравнений и начальных данных:
—Тд{ш) = АТд(ш), Тд{0) = I. C.5)
Порядок этой системы равен га2, где п — размерность представления.
В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается,
что решения g(uj) и Тд(ш) систем C.3) и C.5) можно записать в виде
матричных рядов
д(и) = е+иа + %-а2 + ... + ^-ап + ... = еша, C.6)
Тд(ш) = 1 + шА + |р42 + ...+ ^Ап + ... = еиА. C.7)
2 Далее мы проводим рассуждения для непрерывных представлений в смысле этого
определения (по сути, непрерывных по Липшицу), что существенно упрощает изложение, хотя
вывод останется верным и при условии просто непрерывности.

16
Глава I. Представления группы вращений
Ряды C.6) и C.7) сходятся при любом значении параметра w, причем
равномерно на любом ограниченном промежутке.
Формулами C.6), C.7) мы воспользуемся при доказательстве важной
леммы о коммутаторе (см. ниже). Напомним, что выражение АВ — В А
называется коммутатором матриц А, В и обычно обозначается [А, В].
Лемма о коммутаторе. Пусть g(v), h(w), 1(oj), wGl, — однопарамет-
рические подгруппы группы G и а, Ь; с — их инфинитезимальные операторы
такие, что ab — ba — с. Пусть Tq — непрерывное представление группы G
и А, В, С — инфинитезимальные операторы однопараметрических групп
Т9{ш), Th{u))) Тцш), wEl. Тогда АВ-ВА = С.
Доказательство. Положим
k(t) = g(Vt) • h(y/t) • g-l(Vt) • Л-1^). C.8)
Подчеркнем, что однопараметрическое семейство k(t)} < € 1, элементов
группы G не является подгруппой. Каждому элементу k(t) отвечает
матрица
K{t) = Tk{t) = Tg{^t)Th{^t)Tg{_^t)Th(_^ty C.9)
Подставив в C.8) и C.9) ряды
д{±уД) = е ± Via + -a2 + 0(tVt),
h(±Vt) = е ± уДЬ + ~b2 + 0(tVi),
Tg{±vt) =1 ± ^л + f-A2 + o(tVi),
Th(±vt) = / ± vfo + |в2 + 0(tVi),
получим
*(*) = (с + л/*а -f ^a2 + 0(tv?))(e + V?6 + ^62
+ 0(*V*))(e - л/*а + ^а2 + 0(*v5))(e - Vib + ~62 + O(M))
= e + (ab-ba)t + 0(tVi).
Аналогично K(t) = J + (AS - ?A)* + 0(t\/i).
Определим однопараметрические семейства m(f) = k(t) • l(—t)) t 6 M, и
rm(t) = 7*(t) • T/(_t), * E M. Имеем
m(J) = [e + (ab - ba)t + 0(*\Z*)][e - tfc + 0(t2)] = e + (ab - ba - c)t + 0(tV*),
M(t) = I+(AB-BA- C)t + 0(tVi).
Поскольку представление Tg непрерывно, т. е. ||М(*)-/|| <С const ||m(tf) —e||,
приходим к неравенству
t\\AB - В А- С\\ + 0(tVi) <$ const ||a6 - ba - c\\t + 0{tVt)t

§ 3. Задачи и упражнения
17
которое может быть выполнено лишь при условии
\\АВ -ВА- С\\ ^ const \\ab -Ъа- с\\.
В частности, из равенства аЬ — Ьа — с = 0 получаем АВ — В А — С = 0. ¦
Обозначим через а, 6, с инфинитезимальные операторы однопарамет-
рических подгрупп 9[х](ш), %](w), 9[z](v), и G R, группы вращений SOC).
Инфинитезимальный оператор однопараметрической подгруппы вращений
#(u;), o/Gl, вокруг единичного вектора р = (?,г)Х)т определяется
матрицей (см. пример 3.2)
ГО -С я 1
С 0 Ч-
L-*? t о J
Поэтому
Го о
0 0
0 1
0]
-1
0
, ь =
 0 1]
0 0 0
-10 0
, с =

1
0
-1 0]
0 0
о oj
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
инфинитезимальные операторы а, 6, с связаны следующими коммутационными
соотношениями: [а, Ь] — с, [6, с] — а, [с, а] = 6. (Обязательно проверьте эти равенства!
На них основана вся дальнейшая теория.)
Для инфинитезимальных операторов Д В} С однопараметрических
подгрупп Тд[х](ш), Т9[у](ш), Г5[г](ы), и; е М, из леммы о коммутаторе вытекают
коммутационные соотношения
[А, В] = С, [В, С] = Л, [С, А] = 5. (ЗЛО)
Таким образом, если мы найдем все тройки матриц {А, В, С},
удовлетворяющие (ЗЛО), то сможем по ним восстановить однопараметрические
подгруппы T^[x](w), Tff[y](w), Гд[ж](ы), о; G М, т. е. представления
однопараметрических подгрупп g[x](w), %](<*>)> 9[z](w), wEl, вращений вокруг
координатных осей. Так как любое вращение может быть составлено из вращений
вокруг координатных осей, по представлениям Т{д[х]М}, T{^y](w)}, T{g[z](u,)},
и Е Ш, представление Т8о(з) группы вращений SOC) восстанавливается
однозначно. Однако при реализации указанной схемы возникают трудности.
Это связано с тем, что не по каждой тройке матриц {А, В, С}, связанных
коммутационными соотношениями (ЗЛО), можно восстановить
представление. Но если такое восстановление возможно, то оно однозначно.
Подробно это обстоятельство будет разобрано в дальнейшем.
Задачи и упражнения
ЗЛ. Показать, что однопараметрическая подгруппа g(s), s E M,
дифференцируема, если \\g(s) — е|| <С const \s\ = *y(s).
Указание. Воспользовавшись тождеством

18
Глава I. Представления группы вращений
тп—Х
g{mt) - е = m[g{t) - е] + ^ \g{jt) - e][g(t) - e],
вывести неравенства
-[g(mt) - е] - [g(t) - e]
га
ms
ms
п
ks
2 / m-i \
¦y2(m + k)
72(m-l)|/|2i
Iks
9\ —
?
2n
* .
Si S2
<y(l*l| + l*2|).
3.2. Пусть а — инфинитезимальныи оператор однопараметрическои
подгруппы g(w), wGi, группы G. Доказать равенство а • д(ш) - д(ш) ¦ а.
3.3. Показать, что если представление Т^*)} дифференцируемой
однопараметрическои группы д{9), Й €1 группы G непрерывно, так что
\\Тд{е,)-Тд{в2)\\ < const \\g{0i)-g{e2)\\ < const |0i-02|, то матрицы Г^),
в € М, образуют дифференцируемую подгруппу группы Тд, д е G.
3.4. Суммируя матричный ряд
$r(w) = е + wa + у a2 + ... + — an + ... ,
восстановить однопараметрическую подгруппу д(и), w G М, по инфи-
нитезимальному оператору
О -С tj
С 0 -?
-г) ? О
3.5. Выписать матрицы представлений однопараметрических подгрупп
вращений вокруг координатных осей из задач 2.1 и 2.2. Вычислить
инфинитезимальные операторы этих представлений и проверить
коммутационные соотношения между ними.
3.6. В задаче 2.6 определено представление группы вращений SOC) в
пространстве полиномов V(x,yyz). Показать, что инфинитезимальные
операторы Л, В, С однопараметрических подгрупп Тд[х](ш), Тд[у]^))
Тд,«(ш), wGi- опоепеляются dюпмvлями
-j —1 ~ —<—• 1—•—-г-« -ww.*.
I, определяются формулами
дР дР DD дР
дР п_ дР дР
* —, СР = у- я? — .
ох оу
дх
Проверить для этих операторов коммутационные соотношения C.10).

§ 3. Задачи и упражнения
19
3.7. Проверить, что группа SUB) (см. задачу 1.11) содержит однопарамет-
рические подгруппы
Л(ы) =
к(и) =
/Н =
cos(lj/2) isin(u;/2)
i sin(o;/2) cos(cj/2)
cos(u;/2) — sin(u;/2)
sinFj/2) cos(o;/2)
Teiw/2 о
0
p-tw/2
Найти инфинитезимальные операторы этих подгрупп и
коммутационные соотношения между ними.
3.8. Проверить, что группа SLB) (см. задачу 1.10) содержит шесть одно-
параметрических подгрупп. Кроме подгрупп A(w), к(ш), 1(и), и> ? М,
указанных в задаче 3.7, в нее входят подгруппы
т(и) =
ch(w/2) tsh(w/2)"
¦ish(w/2) ch(cj/2)
ch(w/2) sh(w/2)"
sh(w/2) ch(w/2)
aw/2
0
0 e-^/2
Найти инфинитезимальные операторы этих подгрупп и вычислить
все коммутационные соотношения.
3.9. Найти инфинитезимальные операторы следующих однопараметричес-
ких подгрупп группы МB) (см. задачу 1.9):
1 0 t
0 1 0
0 0 1
, n(t) =
1 0 0
0 1 t
0 0 1
. 9{t) =
cost
smt
0
— sin<
cost
0
0
0
1
m(t) =
и вычислить коммутационные соотношения между ними.
3.10. В задаче 2.15 определено представление группы SOB) в пространстве
полиномов двух переменных. Найти инфинитезимальный оператор
этого представления. Показать, как по инфинитезимальному
оператору восстановить представление.
3.11. Вычислить инфинитезимальный оператор однопараметрической
подгруппы Тд(8), 0 е М, отвечающей однопараметрической подгруппе
вращений вокруг единичного вектора р = (?,?7>С)Т> если известны
инфинитезимальные операторы А% В, С однопараметрических подгрупп
ТзМ@), в е М, соответствующих подгруппам вращений
T9[x}@)i T9[y]@)>
вокруг координатных осей д[х](9)} %]@), д[2]@), 0 е

20
Глава I. Представления группы вращений
§ 4. Инфинитезимальные операторы А, В, С
Построение специальной цепочки векторов /n, /_n+i,... , /п, на которые
просто действуют операторы iA± В, гС. Доказательство инвариантности
и неприводимости подпространства Ln, натянутого на векторы {/к}-
Понятие канонического базиса неприводимого представления и понятие веса
представления.
Вместо операторов Л, J5, С удобно рассматривать их линейные
комбинации %А- В = F+, iA + В = F~, г С = F. С помощью коммутационных
соотношений [Л, 5] = С, [В, С] = А, [С, А] = В нетрудно вычислить
коммутаторы
[F+,F] = -F+, D.1)
[F-,F] = F~, D.2)
[F~,F+] = -2F. D.3)
Операторы F~, F+, F действуют в конечномерном пространстве R.
Построим специальный базис пространства R и покажем как действуют
операторы F~, F+, F на векторы этого базиса.
Выберем собственное значение оператора F с максимальной
вещественной частью и обозначим его А0. Этому собственному значению
соответствует некоторое конечномерное подпространство собственных
векторов. Выберем произвольно вектор /0 из этого подпространства. Имеем
Ff0 = Ао/о- Начиная с вектора /0, построим специальную цепочку
векторов /о, /ь . • •, из которых будет построен базис.
Рассмотрим сначала вектор / = F+/0. Из D.1) получаем равенство
FF+ = F+F-hF+, применив которое к /0 и воспользовавшись
соотношениями F+7o = /, F7o = Ao7o, находим
FF+7o=F+F7o-f F+7o,
F7 - F+Ao7o + F+7o = (Ao + l)F+7o - (A0 + 1O-
Значит, если вектор f отличен от нуля, то он должен быть собственным
вектором оператора F, отвечающим собственному значению А0 + 1, т. е.
собственному значению, вещественная часть которого на единицу
превышает вещественную часть А0. Но мы предположили, что именно
собственное значение А0 оператора F имеет максимальную вещественную часть.
Полученное противоречие приводит к равенству F+/0 = 0.
Построим цепочку векторов /i = F~%~f2 - F~J1}... ,/j = F'fj-i и
покажем, что все ненулевые векторы 7ъ72,-- Jj в ней являются
собственными векторами оператора F. Отметим, что если какой-либо вектор
цепочки равен нулю, например Д = 0, то все последующие векторы 7*+i,
7fc+2,-.- тоже будут нулевыми. Допустим, что Fft-i = \j-i~fj-\. В силу
D.2)
FF- = F-F - F~, FF-fj-г = F~Fj^ - F^-i,
Fjj = F-Xj.Jj., - F-7,-1 = (Xj-г - l)F-7i-i = (А,-_х - 1)/,-.

§ 4. Инфинитезимальные операторы Д В, С
21
При условии fj ф О вектор fj является собственным вектором оператора
F, отвечающим собственному значению Xj = Aj_i - 1 = А0 — j. Так как
все собственные значения А0, А0 — 1,... , А0 — j различны, соответствующие
собственные векторы линейно независимы. В конечномерном пространстве
можно построить^только конечное число ненулевых линейно независимых
векторов /0j... ,Д, при этом F~fk = О, F~Jj^ = ?, j = 1,2,... , t, jF/, =
(Ao — i)/j, j = 0,1,... , к. Осталось выяснить, как действует оператор F+
на векторы построенной цепочки /ьД, -/j- Из D.3) следует равенство
F+F~ = F~F+ + 2F, применив которое к вектору fj, получим
F+F-Jj = F-F+Jj -f 2F/j. D.4)
При j =^0 в силу равенств F+Д =0и F/b = А0/о имеем F+F~f0 = 2A0/o
или F+/i = 2A0/o. Предположим, что F+fj = (J>jfj-i при некотором j ф 1
(при i = 1 это равенство только что установлено с /xi = 2A0). Тогда из D.4)
следует равенство
F+/i+1 = AijFi-i + 2(А0 - j)/,- = fa + 2(А0 - j)]/,,
справедливое при j < к. Поскольку F" Д = 0, при j = к получаем 0 = fa +
2(А0 — *)]Д. Таким образом, установлено, что коэффициенты jij должны
удовлетворять условиям
/ii = 2A0> D.5)
//i+1 = //,- + 2(А0 - i), j = 1, 2,... , * - 1, D.6)
/ifc + 2(A0 - *) = 0. D.7)
Ясно, что числа /ii,/i2>--- >/^ можно последовательно однозначно
определить из Ао по формулам D.5), D.6). Нетрудно проверить, что этим
формулам удовлетворяют числа /^ = 2j[\0 - (j - 1)/2]. Поэтому D.7)
превращается в уравнение для определения А0
К + 2(А0 - *) = 2к(Х0 - (к - 1)/2) + 2(А0 - *) = 0,
решая которое, находим А0 = к/2, щ — j(k — j + l).
Итак, начиная с вектора /0, мы построили систему к + 1 линейно
независимых векторов /о,/ь • • • , Д и установили, что операторы F, F+, F-
действуют на эти векторы по следующим правилам:
Ffj = (k/2-j)fj, j = 0,l,...,*,
:i(*-i + l)/i-ii i = l,2,...-,*,
^+л- =
*¦-/, =
f/i+i, j = 0,l,2,...,*-l,
0, j = *.
Для дальнейшего удобно сменить нумерацию и нормировку построенной
цепочки векторов. Так как fj — собственный вектор оператора F,
отвечающий собственному значению k/2 — j, удобно использовать для нумера-

22
Глава I. Представления группы вращений
ции векторов цепочки номера собственных значений. Положим к/2 = п,
к/2 — 2 — п — j = т. Число п будет целым при четном к и полу целым при
нечетном к) а га одновременно с п — целым или полу целым.
Введем новые векторы /m = pmfn-m, где рт — пока произвольный
нормирующий множитель. Операторы F+ и F~ действуют на векторы /т
по формулам
F~fm = —I1-fm-i, тф-п,
Рт-1
F+f<n = -^^(n-rn)(n + m + l)fm+i> тфп.
Pm+l
Множитель рт выберем так, что р0 — 1 и pm/Pm-i = -у/(п - т + 1)(п + ш)?
поэтому [/9m/pm+i](n - m)(n + m + 1) = -\/(n - m)(n + m + 1). Формулы,
описывающие действия операторов F+, F~, F на векторы /т, приобретают
теперь изящный вид:
Ffm=rnfm, m = -nt... ,п, D.8)
m ~~ 1 0, m = -n,
F+/™ =
0,
->/(n + m + l)(n - m)/m+i, m = -n,... ,n- 1, D.10)
где числа тип одновременно целые или полуцелые.
Рис. ^J
Теперь понятны обозначения F~ = iA + В и F+ = %А - В: оператор
F~ "понижает" а оператор F+ — "повышает" номер вектора /т.
Резюме
Пусть в конечномерном пространстве R действует представление
2soC) группы SOC). Так как пространство R инвариантно относительно
всех операторов Tg, g e SOC), оно инвариантно также относительно ин-
финитезимальных операторов А, В, С. Выберем собственное значение (их
конечное число) оператора г С с наибольшей вещественной частью. Это
собственное число будет целым или полуцелым вещественным неотрица-

§ 4. Инфинитезимальные операторы А, В, С
23
тельным числом, которое обозначим п. Выберем собственный вектор fn
оператора гС, отвечающий этому собственному значению. Пользуясь
рекуррентной формулой
fm-i = ,t ,w (iA + B)fm, m = n,... ,-n + l,
у/ (n — т -f l)(n + т)
начиная с вектора fn, можно построить 2п+1 линейно независимых
векторов /п,/п-ъ--- ,/-п- Обозначим через Ln линейное подпространство
пространства R, натянутое на векторы /„,... ,/_«- Это подпространство
имеет размерность 2n+L Формулы D.8)-D.10) показывают, что
операторы А, В, С переводят Ln в Ln. Таким же свойством обладают все степени
операторов А, В, С. Следовательно, Ln инвариантно относительно всех
полиномов от А, В, С. В частности, для любого f Е Ln
f(p)
Ш2 о UP '
I + UJA+— Л2 + ... + — А*>
2 р\
/€?„-
Очевидно, что предел /^ при р -> оо также принадлежит Ln, т. е.
T9[x](uj)f ? Ln при любых си. Подпространство Ln инвариантно
относительно представления Т{д[х](ш^ однопараметрической подгруппы д[х](ш)
вращений вокруг оси Ох. Аналогично доказывается инвариантность
подпространства Ln относительно Т^9[у]^)у и T^9[z]^^. Поскольку любое
вращение g Е SOC) представимо в виде g = #[>] (921 )#[*](#)#[*] (^2), любая матрица
Тя, д Е SOC), записывается в виде произведения Tg — r^g[z](<pi)/^9[x](^)r^>9[z]((P2)-
Следовательно, подпространство Ln инвариантно относительно любого
преобразования Т9. Таким образом, если подпространство Ln не совпадает
с R, то представление TsoC) приводимо в R.
<4 Докажем, что представление TsoC) неприводимо в Ln, т. е. Ln не
имеет собственного подпространства, инвариантного относительно всех
преобразований Т9) g Е SOC). Допустим, что такое подпространство
существует и обозначим его V. Оно должно быть инвариантным
относительно представлений однопараметрических подгрупп T{9[x](w)y, ^{д[у](ш)},
г{*ыМ}- 0пеРатоР
д-*0М("+Д) д^[*](")
при любых значениях Д переводит векторы из V в векторы из V\ Поэтому
V инвариантно относительно инфинитезимального оператора
А = 1^о[аТ^("+д) " ATg[x]{uj)
Аналогично, V инвариантно относительно инфинитезимальных
операторов В и С.
Рассмотрим алгебру, порожденную операторами /, А, Б, С, т. е.
совокупность линейных комбинаций с числовыми коэффициентами одночленов,
полученных произведениями J, Л, В, С в различном (конечном) числе и по-

24
Глава I. Представления группы вращений
рядке. Приведенные выше рассуждения показывают, что подпространство
V инвариантно относительно любого оператора К из этой алгебры.
Покажем, что V совпадает с Zn. Для этого достаточно показать, что
для любых ненулевых векторов х,у е Ln можно указать оператор К из
алгебры, который переводит один вектор в другой. Разложим векторы х и
у по базису /-„,... ,/п:
п п
к = — п к——п
Так как вектор х ненулевой, хотя бы один из коэффициентов ?_п,... , ?п
отличен от нуля. Пусть р — наименьший номер для ненулевых &. Очевидно,
что (iA-B)n~px = а/„, а ф О, так как оператор (iA — B)n~p = F+ переводит
векторы /i,/2, • • • ,/n-i в векторы, пропорциональные Д+i, а вектор /„ —
в нулевой вектор. Нетрудно проверить, что (iA+В)к{iA —B)n~px = Сл/п-л,
к ^ 2га, Ck ф 0. Вектор у можно записать в виде
у = ]Г ^„.fc/n-fc = ? ть_ Д (гЛ - 5)*(гЛ - В)п'*х.
к=0 к=0 ^
Следовательно, в качестве К можно взять оператор
2п
К = J2 %^(«Л + Я)*(М - Я)""'.
Неприводимость представления Т8о(з) в ?п доказана. >
Пусть представление Г8о(з) неприводимо в пространстве R. Ввиду
вышеизложенного с каждым неприводимым представлением можно связать
число га (целое или полу целое), которое, с одной стороны, является
наибольшим собственным числом оператора г С, а с другой стороны —
связано с размерностью N пространства R формулой N = 2п + 1. Число га
называют весом неприводимого представления. Построенные выше
векторы /n,/n-i,--. ,/-п образуют базис пространства R) который называется
каноническим. Нетрудно видеть, что канонический базис
неприводимого представления определен однозначно с точностью до общего для всех
векторов числового множителя. В дальнейшем векторы канонического
базиса пространства, в котором действует неприводимое представление веса
га, будем обозначать е™, m = —га,... , п, подчеркивая роль параметра га.
Для удобства ссылок выпишем формулы действия инфинитезималь-
ных операторов на векторы канонического базиса:
iCe™ = me™, m = -n,...,ra, D.11)
(iA + B)em = J ~^П ~ Ш + 1^П + m^6™ *' m = -n+1>---»n>
I 0, m = —ra;
D.12)

§ 4. Задачи и упражнения 25
(гА - В)е.
т _ /О,
т = п,
т)(п + т-\- 1)е™+1, т = —п,... , п — 1.
Задачи и упражнения
D.13)
4.1. Построить канонический базис трехмерного пространства в случае,
когда представление группы вращений определяется
преобразованиями Тд = д. Как изменятся компоненты вектора х, г/, z после перехода
к каноническому базису?
4.2. Рассмотрев пространство однородных гармонических полиномов
второй степени от х, у, z, проверить равенство
г(у- х— )(x + iyJ - 2(x + iyJ.
Используя общую схему, построить в этом пространстве
канонический базис пространства представления группы SOC).
(Представление определено в задаче 2.6, инфинитезимальные операторы Л, В, С
вычислены в задаче 3.6.) Будет ли представление неприводимым?
Найти вес представления.
4.3. Пусть в TV-мерном пространстве R действует представление
группы SOC) с инфинитезимальными операторами Л, В, С,
отвечающими однопараметрическим подгруппам группы SOC) вращений
вокруг координатных осей Ох, Оу) Oz такими, что {А2 + В2 + С2)/ =
— [(N2 — АО/4]/ Для любого вектора / из R. Доказать, что это
представление неприводимо.
4.4. Вычислить собственные значения оператора ?А + rjB + (С (см.
задачу 3.11).
4.5. Пусть 7г[^| = (iy + x)m при шHи К^ = (iy - х)'171 при m < О, где
т = 0,±1,±2,... и
Vm_yVm X2 + y2 + Z2dTZZ_1
Доказать, что Л™ являются однородными гармоническими
полиномами степени п.
4.6. Проверить формулу iC1l™ = if у- x-^-jH™ = mil™ и показать,
что полиномы К™, m = -п,... ,п, образуют базис пространства
однородных гармонических полиномов. Будет ли этот базис
каноническим?
4.7. Доказать, что определенное в задаче 2.6 представление группы SOC)
в пространстве однородных гармонических полиномов степени п
неприводимо.

26
Глава I. Представления группы вращений
4.8. Пусть Il%(xyy,z) определены равенствами
(Е+М^ + ^.ЦМ^'
= п! ? С(*>У.*)
е
n-m^n+m
у/{п — т)\(п + т)!
Доказать, что Щ*(ж, t/, 2) являются однородными гармоническими
полиномами степени п.
4.9. Доказать, что полиномы П™(х, у, *) из задачи 4.8 образуют
канонический базис пространства однородных гармонических полиномов
степени п.
4.10. Для полиномов Т1%(х,у,г) из задачи 4.8 вывести рекуррентные
соотношения
^-lC(x,y,^) = >/(^~m)(n + m)lC-i(^y^),
oz
(^+%)п"{х'у,г) = v(n-™-l)(«-m)c+l (*,».*).
й~4)с(:с,!''г) = ^(п+т~1,(п+т)с:11A,у'г)'
4.11. Дифференцируя равенство из задачи 4.8, с помощью операторов
З2
5?<V
З2 З2
—г-, -тгт вывести следующие рекуррентные соотношения для
полисе2 отJ,
номов П™(х,2/,г):
/ ,2 + y2-f,2A\
VZ 2n + l dz/lnlX,y,Zj
^/(п — m + l)(n + т + 1)
(я? + гг/) -
ж2 + 2/2 +
2п +
1 \дх ду)
2п + 1
1С(*.У,«)
iC+i(*>y.*).
^(n + m + 2)(n + m+l)TTm+1
(х - гу) —— 1 г
2п + 1 \дх ду
2п+1
T^{x,y,z)
K^(x,y,z),
~у/(п — т + 2)(п — m + 1I
2п + 1
ВД(*.У,*).
Сравнить полученные результаты с формулой Максвелла (см.
задачу 2.11).

§ 5. Группа SUB)
27
4.12. Пользуясь равенством из задачи 4.8, найти явный вид полиномов
П™(х,г/,z) для п = 1,2 и сравнить с задачей 4.2. Проверить
соотношения, полученные в задачах 4.10 и 4.11.
4.13. Показать, что канонический базис П™(ж, г/, z) связан с 7?™(х, у, z) (см.
задачи 4.5 и 4.6) формулой
iC(*,g,*)= ,. Bw~1)!' „КП*,»,*)-
^/(п — т)\(п -f т)!
4.14. Показать, что полиномы П™(ж,г/, г) из задачи 4.8 обладают свойством
симметрииС(Ж,у,2:)=П^(а:,-у,2г) = (-1)тП-т(х,у^).
4.15. Для функций
доказать, что
Показать, что Ф™(х,у, z) — однородные гармонические функции.
4.16. Доказать, что представление группы SOB) в пространстве
однородных гармонических полиномов, рассмотренное в задачах 2.14, 2.15,
приводимо. Показать, что неприводимое представление группы
одномерно и определяется преобразованиями Тд^ = e%mip.
§ 5. Группа SUB)
Представление произвольной матрицы из SUB) в виде \ %— L ла+ДО =
1. Параметры Кэли — Клейна и углы Эйлера. Однопараметрические
подгруппы группы SUB). Инфинитезимальные операторы и коммутационные
соотношения.
На некоторое время отвлечемся от группы вращений SOC) и займемся
изучением группы SUB). Полученные выводы окажутся полезными для
анализа формул D.11)—D.13), описывающих всевозможные конечномерные
представления SOC).
Легко проверить, что множество унитарных матриц д второго порядка
с единичным определителем (detg = -j-1) образует группу, которая
обозначается SUB) (см. задачу 1.11).
Предложение 5.1. Любая матрица д е SUB) может быть записана в
виде
9=[-р *]¦ °«+^=l- E1)

2g Глава I. Представления группы вращений
Доказательство. Для матрицы * = [°S] такой> что det# = *' имеем
g-i _ Г Д -/?1 в силу условия дд* = е О* = «Г1) справедливы равенства
7 = _Д и s = а, что и требовалось доказать. ¦
Комплексные параметры а и /?, определяющие матрицу # G SUB) по
формуле E.1), называются параметрами Кэли — Клейна. Для них верно
соотношение
аа + 0=\а\2+\/3\2 = 1. E-2)
Приведем еще одну параметризацию матриц из SUB). Комплексные
числа а и/3, связанные равенством \а\2 + |/?|2 = 1, задаются тремя
вещественными параметрами <ри в, <р2, которые удобно ввести так:
|а| = сое (б»/2), |fl = sin@/2), ?L + ?l = Arga, ^ " ^ + * = Arg/?.
Для однозначного восстановления параметров y?i, б1, у>2 из этих формул
потребуем выполнения условий 0 < в < п, 0 ^ tpi < 2тг, -2тг ^ ^2 < 2*г.
Заметим, что даже при этих условиях ^ь fl, V?2 определяются неоднозначно
при а = 0 или 0 = 0. При необходимости мы будем указывать в таких
случаях конкретные значения <ри в, <р2- Например, будем считать что
матрице [19] отвечают значения параметров @,0,0), а матрице Ц J]
значения @, я-, 0) и т. д. Параметры <р1г в, <р2 называются углами Эйлера
(ср- § 1).
Параметры Кэли — Клейна а, /3 выражаются через углы Эйлера ip1}
в, <р2 следующим образом:
а = cos @/2) е'(* +**>'2, Р = г sin @/2) е^ ~^/2. E.3)
Из предложения 5.1 и условия E.3) делаем следующий вывод.
Резюме
Любую матрицу g € SUB) можно записать в виде
_ Г cos (в/2) е'(^+^)/2 t sin @/2) e«4vi-»»3)/2J
9 ~ [t sin (в/2) e-'"C*'i-^)/2 cos @/2) е-'(^+^2] ' ( У
Легко проверить (см. задачу 3.7), что три однопараметрических
семейства матриц
,, ,_ Tcos(w/2) isin(w/2)l
h{W)~ [»sin(w/2) cos(a;/2)J
,, - _ [cos (w/2) — sin (u2)
к(ш)- [sin(w/2) cos(w/2)]
/(W) =
Ге^/2 0 ]
о e-iw'2

§ 5. Группа SUB)
29
являются однопараметрическими подгруппами группы SUB). Докажем
это утверждение, например, для матриц к (и). Имеем
k(uji + lj2) —
cos (w\ -fu>2)/2 —sin (u>i + ^2)/2
Sin (iJi -|-U>2)/2 COS (Ui + U>2)/2
cos (u\/2) — sin (u;i/2)l ["cos (^2/J — sin (^2/2)
sin(u>i/2) cos(u?i/2)J |sin(u>2/2) cos @^2/2)
*21
*12
&22
*(wl)*(w2).
где
Агц = cos (wi/2) cos (u>2/2) — sin (uj\/2) sin (u72/2),
&12 = — sin (c*;i/2) cos (^/2) — sin (^2/2) cos (cji/2),
Ar2i = cos (o>i/2) sin @^2/2) + sin (u>i/2) cos (u;2/2),
/?22 = cos (^i/2) cos (^2/2) — sin (^i/2) sin (^2/2).
Очевидно, что Ar@) = e.
Подгруппы Ar(a;), /&(w), /(о;) группы SUB) играют в теории ее
представлений ту же роль, что и подгруппы sw(u>), %](w), ^](w) группы SOC).
Нетрудно видеть, что любая матрица д е SUB) может быть записана в
виде
g(<Pi,0,<P2) = l(<Pi)h@)l(<p2)
fc»Vi/2 О
О е-^2\ [isin @/2) cos @/2)
cos @/2) «sin @/2I IV
cos @/2) е^+<^У2 ism @/2) e^-vW
[г sin @/2) c-*4vi-V2)/2 cos (^/2) с-^+^)/2
V2/2
0
0
e-i<p2/2
Вычислим инфинитезимальные операторы a, 6, с однопараметричес-
ких подгрупп h{u), к{и>), /(а;) группы SUB):
а —
Ь =
>>L-[A
J ы=0
г'/2
О
i/2"
О
-1/2'
О
О
-i/2
Инфинитезимальные операторы обозначены здесь через а, 6, с — так же,
как инфинитезимальные операторы, отвечающие однопараметрическим
подгруппам вращений вокруг координатных осей группы SOC). Такой
выбор обозначений не случаен и основан на том факте, что для этих ин-
финитезимальных операторов группы SUB) выполнены коммутационные
соотношения [а, Ь] = с, [6, с] = а, [с, а] — Ь такие же, как в группе SOC)
(см. задачу 3.7).
На этом мы закончим предварительное знакомство с группой SUB).
Простейшие представления этой группы будут рассмотрены в § 6.

30
Глава I. Представления группы вращений
Задачи и упражнения
5.1. Показать, что матрица к{ш) = [^ы/г) ~с™{ш/*) ] из SUB) можетбыть
записана в виде к(и) = l(<pi) h(9) l(ip2).
5.2. Запишем матрицу д е SUB) в виде
[-13 а
аг + га2 /?i + г/32
-/?i + г/?2 «1 - га2
c*ie + a2ei + Р\е2 + /?2ез,
где е = [$ 21. ei = U-U«*=[-°iS]>«s = [?&]¦
(а) Установить правило умножения "единиц" е, е^ (А: = 1,2,3) и гипер-
комплексных чисел (кватернионов) а\е + a2ei + /?ie2 + /?2^з-
(б) Нормой кватерниона д = а\е + а2ех + /?ie2 + /?2е3 называется
неотрицательное число 7V(#) = а\ + а2 + /?i + Р2¦ Показать, что N(g) = 1 для
5 € SUB). Доказать равенство N(gig2) = N(gi)N(g2).
5.3. Кронекеровым произведением g x h матриц # и /г второго порядка
называется матрица, соответствующая линейному преобразованию 4-
мерного комплексного пространства матриц вида [zz\\ zz\22})
определенному по формуле
4i
П2
г22.
^11 *12
*21 ^22
Показать, что для матриц # Е SUB) и/г€ SUB) кронекеровы
произведения g х h образуют группу, которая обозначается SUB) x SUB).
Выписать явный вид матрицы преобразования четырехмерного
пространства через параметры Кэли — Клейна матриц g и h.
5.4. Группа SUB) x SUB) (см. задачу 5.3) содержит шесть однопарамет-
рических подгрупп
п^>- [,"8ш(ы/2) cos(cj/2)
1 0
О 1
cos (ш/2) i sin (lj/2)
г sin (u/2) cos (ш/2)
Ы^-Г008*"/2) -sin(w/2)l x Г1 °1
Kl(W) ~ |sin(«/2) cos(u;/2) J X [0 lj '
ko(u)-\l °1 x ГС08("/2) -sin(w/2)l
-a-;- i0 Я л |sin(w/2) cos (o;/2) J '
/l(w)=[o e-"/»]X[o !]' '»H=[J J]x['
piw/2
0
-iu</2

§ 6. Представление SUB) матрицами из SOC)
31
(а) Показать, что произвольный элемент из SUB) x SUB) можно
записать в виде произведения элементов подгрупп fci(u/), ?2@;), /i(^), Ь(^),
*i(w), h2(u).
(б) Выписать инфинитезимальные операторы аь 61? с\ и а2, Ь2) с2 этих
подгрупп и вычислить коммутационные соотношения.
5.5. Ортогональные преобразования четырехмерного пространства с
единичным определителем образуют группу вращений SOD). Показать,
что "двухмерные координатные вращения" являются однопараметри-
ческими подгруппами. Например,
#02 =
Выписать матрицы остальных однопараметрических подгрупп,
являющихся "двухмерными координатными вращениями". Доказать, что
любую матрицу д Е SOD) можно записать в виде произведения
$@1,02,0зА,05,0б)=Ы*1)Ы*2)Ы^
матриц
'cosw
0
sinw
0
0
1
0
0
— sin о;
0
cosw
0
ff
0
0
1.
9\2(w) =
001 (<*>)
Г1 0
0 cos ш
0 sin uj
LO 0
[cos ш —
sinu;
0
L 0
0
— sinu;
cos a;
0
sin a;
cos a;
0
0
0
0
1
0
(Г
0
0
1.
(Г
0
0
1.
023 (w)
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
cosw
sin a;
0
0
— sinw
cosw
§ 6. Представление SUB) матрицами из SOC)
Представление вращения трехмерного пространства с помощью матриц из
SUB) как преобразование матрицы x^iy Х+*2У . Соответствие между од-
нопараметрическими подгруппами. Геометрическая интерпретация
соответствия между группами SOC) и SUB). Двузначность описываемого
представления.
Рассмотрим эрмитову матрицу Р
второго порядка с ну-
IPll Р12\
[Р21 Р22]
левым следом. Из условия Р* = Р получаем р12 = ргъ Рц = Рп, Р22 — Р22-
След матрицы Р равен нулю при рп +р22 = 0. Положим рп = z, p12 = х + гу
(х и у вещественны). Тогда р2\ = x — iy, р22 = — z и матрица Р может быть
записана в виде
Г z х + гу]
[x-iy -z J
F.1)

32
Глава I. Представления группы вращений
Определим с помощью матрицы д Е SUB) преобразование матрицы Р
следующим образом:
R = дРд* =
а 0
-0 а
z х + гу
х — гу —z
-/?'
F.2)
Легко показать, что матрица R будет эрмитовой, т. е. R* = {дРд*)* =
дР*д* = дРд* = R. Так как д* = д~1, характеристические многочлены
матриц R и Р совпадают (det (Р - XI) = det (R — XI)). Поэтому следы и
определители матриц Rw P тоже совпадают. Таким образом, след матрицы
R равен нулю.
Мы показали, что матрица #, определенная равенством F.2), является
эрмитовой матрицей с нулевым следом. Поэтому
R.
гу
х' + гу
-z'
Итак, каждой матрице д ? SUB) сопоставляется преобразование
трехмерного пространства векторов (a?,t/, z) по формуле
z'
х' — гу1
х* + гу*
а 0
z х + гу
х — гу —z
-0
F.3)
Легко проверить, что преобразование F.3) линейно. Далее, из равенства
det
z
х1 — гу1
х' + гу'
= det
z
х — гу
х + гу
—z
следует равенство (х'2 + у'2' + z'2) = (х2 + у2 + z2), т. е. преобразование F.3)
сохраняет евклидову длину вектора.
Таким образом, каждой матрице д ? SUB) сопоставляется линейное
ортогональное преобразование Тд трехмерного пространства. Это
соответствие является представлением. Действительно, Tgi92 = T9l Тд2 в силу
равенства gi92P{g\92Y = gi{g2Pg2)gl и Те = / в силу равенства еРе* = Р.
Покажем, что при преобразовании F.3) однопараметрические
подгруппы группы SUB) представимы подгруппами вращений вокруг
координатных осей, т. е.
•|"cos(u;/2) isin(w/2)l
[г sin (ш/2) cos(o»/2) J
cos(w/2) - sin(o//2)l
sin (ш/2) cos (a-/2) J
гГ«'"/а о 1
L 0 e-"/2J
cosw
sinw
0
1 0
0 coscj
0 sincj
COS LJ
0
— sine*;
— sinw
cos a;
0
0
1
0
0"
0
1
0 1
-sinu;
COSCJJ
sin a;]
0
cos a; J
F.4)
Мы проверим равенства F.4) ниже, а сейчас воспользуемся ими, чтобы
доказать, что все матрицы Тд) д eSUB), имеют определитель, равный
единице, т. е. принадлежат группе SOC).

§ 6. Представление SUB) матрицами из SOC)
33
Напомним, что любая матрица д е SUB) может быть записана в виде
g(<PuO,<P2) = l(<Pi)h@)l(<p2)
\е^12 О 1 [cos @/2) i sin @/2I Ге»2/2 О
О е-^12\ [i sin @/2) cos @/2) J [ 0 C-*W2
cos @/2) е*'(^1+^)/2 isin ((9/2) eH<Pi-<P2)/2 j
Li sin @/2) e-^1"^)/2 cos @/2) e-«'(v>i+va)/2j •
В силу F.4) имеем
cos (pi — sin <pi 0
sin y>i cos (pi 0
0 0 1
Определитель матрицы, соответствующей вращению трехмерного
пространства вокруг координатной оси, равен единице. Поэтому определитель
любой матрицы Тд равен +1. Действительно, det Тд = det [Тц^ Тн(в) Тц^)]
= det Tifa).det Th(e) det Т^2) = 1.
<4 Докажем одно из равенств F.4) (например, первое). Имеем
1
0
0
0
COS0
sin0
0
— sin0
COS0
COS<y?2
sin<?>2
0
— sin (p2
cos<p2
0
0
0
1
x' — iy'
x' + iy/
__ |"cos(u;/2) i.sin(w/2)l Г
— [isin(o;/2) cos(u>/2)J [;
z x 4* iy
x — iy —z
cos (w/2) —г
—г sin (cj/2) cos
j sin (w/2)l
:os(w/2) J
Поэтому
z = cos — z cos — — i(x + гг/J sin
a;
+ г sin —
a;
22Г Sin — -I- (X - iy) COS —
cos — — sin — I z -j- 2 cos — sin — ?/ = cos lj z + sin cj ?/,
x + г?/ = cos
—г sin — z -f cos — (x + гу)
+ «sin —
— (x -f zy)isin
.cos-
= ( cos — + sin'
w>\ -( 2 ^ •2a;A «• • w ^
— I x + г cos — — sin — ]y — 2% sin — cos —-
2) \ 2 2Jy 2 2
= x + i cos (j у — i sin u> z.
Полученный результат можно записать в виде
Л
А =
z'
1
0
0
0
COSW
sinw
0
— sin a;
cos a;
Аналогично доказываются остальные равенства в F.4).

34
Глава I. Представления группы вращений
Итак, мы построили представление # -> Тд группы SUB) в SOC). Оно
однозначно (но не взаимно однозначно), так как каждой матрице# ? SUB)
оно сопоставляет одну вполне определенную матрицу Тд Е SOC).
Из формулы F.3) видно, что преобразование Тд не изменится при
замене параметров а и /3 матрицы д величинами -а и — /3. При этом двум
матрицам \ %^ L ^ ~^1 , cm+ /?/? = 1, из SUB) в данном представлении
отвечает одна и та же матрица из SOC).
Опишем геометрическую интерпретацию установленного соответствия
между SUB) и SOC). Эта интерпретация принадлежит Кэли и Клейну.
Сложив равенства
Г z' x' + iy'] _ Га_ /3] Г z
[*' - iy' -z' J - [-C а\ [х -
1 0] _ Г а_ /3] [1 0] Га -Щ
[0 1J " [-/? а| [О l\[/3 а \ '
х + гу
iy] [<* -/?]
¦ Jb «J
мы придем к равенству
1 + *' х' + «У
я' - гт/ 1 - *'
-/? а
1 + 2: х + iy] Га — /?
х - гу 1 — *J I/? -а
F.5)
Точкам на единичной сфере ж2 + у2 + z2 = 1 соответствует матрица
[1 + г
U - гу
x + iy
\-z
с нулевым определителем. Однако в рассматриваемом случае Тд есть
вращение трехмерного пространства и точки единичной сфере переходят в
точки на единичной сфере. Каждой точке (#, у, z) на сфере х2 + у2 + z2 = 1
можно поставить в соответствие комплексное число С = ? + гт;
x + iy
\-z
х — гу
Заметим, что последнее равенство вытекает из условия z2+t/2+z2 =
1. Это соответствие можно представить себе как стереографическую
проекцию сферы х2 + у2 + z2 = 1 на плоскость z = 0. Проектирование при
этом совершается лучами, проходящими через "северный полюс" сферы,
т. е. точку @,0,1).
Докажем обратное утверждение: каждому комплексному числу С =
х + iy
Z+irj можно сопоставить точку (ж, ?/, z) единичной сферы такую, что =
1 — z
1 + Z TT w
? + 277 = • Действительно, эти соотношения эквивалентны системе из
х — iy
четырех линейных уравнений для х, у) z\
x + zi = i,
y + ZT)=r},
Х? + УТ)- 2 = 1,
xr}-y? = 0.

§ 6. Представление SUB) матрицами из SOC)
35
Легко видеть, что последнее уравнение является следствием первых двух
(О = 77O — ?0 == rj(x + z? — ?) — ? (г/ + zr) — rj) = xrj — у?) и потому может быть
опущено. Таким образом, мы пришли к системе из трех уравнений с тремя
неизвестными:
х + 0-у + ?*=?
0 • х + у + rjz = 77,
?х + г/у - z — 1.
Детерминант матрицы коэффициентов этой системы равен —A +?2 + г/2).
Следовательно, система разрешима. Ее решение единственно и имеет вид
х —
ч
2т?
e+tf
1+?2 + 7?2
1+<?2 + т?2
1+?2 + *72'
Выясним, как преобразуются при вращении единичной сферы точки
комплексной плоскости С- Напомним, что вращение единичной сферы
может быть задано матричным равенством F.5). Из F.5) находим
'l + z x + it/l Га -/?"
[х — iy 1 — z J \_/3 а
= ГA + г)а+(х + гг/)/? -A + z)/3 + (х + г'</)а
[(ж - гг/)а + A - г)/? -(ж - iy)j3 + A - 2г)а
а из равенств
1 + 2; аA + z) x + iy /3(x + гу)
F.6)
с =
гу а(х — iy)'
с =
1-г
0A - *)
получаем A + z)a = а(х — iy)C и (х + гу)/? = /?A — z)(. Аналогично A + z)/? =
C(x—iy)C и (x-f-2?/)a = аA—z)?. Используя обозначения */ = (х—гг/)аЧ-A—z)/?
и // = — (ж — iy)C + A — z)a, можно записать левую часть F.6) в виде
-0
1 + z х + гу\
\х — гу 1 — z
Тогда соотношение F.5) перепишется следующим образом:
l + z7 х7 + «У
х7 - V 1 - z7
2У //
Следовательно, х7 -f «У = (а( 4- /?)// и 1 - z7 = (—/3( 4- a)/i, и окончательно
х7 + гУ <*С + /?
получаем С — ~~
l-z'
-Pt + a
Резюме
Каждое вращение z/<?SOC),
хл
г/\ =
z>
COS (fi
smcpi
0
— sin <pi
COS<yPi
0
0
0
1
1
0
0
0
COS0
sin#
0
— sin#
cos#

36
Глава I. Представления группы вращений
х cos <f2
siny?2
О
- sin <f2 О
COS ip2 О
О 1
может быть записано в виде
z х + гу
х' — гу' —z1
а_ 0
-0 а
z
х — гу
х + гу
—z
-0
где а = cos (в/2) е'(<^+^)/2 и 0 = г sin @/2) ё^~^У2. Точки единичной
сферы х2 н- у2 + z2 = 1 n/ш вращении передвинутся так, что отвечающие
им комплексные числа С перейдут в комплексные числа С = —= — •
-/3( + а
Дробно-линейное преобразование плоскости ? определяется
вращением трехмерного пространства однозначно. Неоднозначно могут быть
определены только коэффициенты а и 0) соответствующие данному дробно-
линейному преобразованию. Выясним характер этой неоднозначности.
Пусть при всех С
<*lC + Pl <*2С + 02
-0iC + *i -02( + а2'
Из_равенства (агС + /?i)(-/?2C + «2) = (a2C + /?2)(-^iC + ai) получаем ai/?2-
a2/?i - 0, 0{а2 - 02&\ = 0, aia2 + /?х/?2 - ^i<*2 - /?i/?2 = °- Следовательно,
/?. Из равенства 0 = аха2 + /?г/?2 — ai<*2
oi_ __ ^i_ _ ai_ _ Д_
<*2 /?2 ' ^2__ ^2
/?x/?2 = (a2a2 + 0202)(p — p) следует, что число р вещественное, так как
а2а2 + /^2/^2 — 1- Таким образом, мы показали, что
Г «1 А] _ Г <*2 /?2
L-^l «1J " Р [-02 ®2
В силу 1 = ociot\+0\f31 — /?2(а2а2-Ь/?2/^2) — Р2 имеем р = ±1. Следовательно,
одному вращению из SOC) соответствуют ровно две матрицы из SUB)
Г а 0
[-0 а
1
—а
1?
-/?]
—а\
отличающиеся знаком. Обе эти матрицы определяют одно и то же дробно-
линейное преобразование
(,= ^( + 0
(-о)С + Н?)
C( + а _(-/?)С + (-а)"
Резюме
Построенное соответствие между матрицами из SUB) и матрицами
из SOC) двузначное. Каждому вращению из SOC) отвечают две матрицы
из SUB), отличающиеся знаком. Каждой матрице из S\JB) соответствуй

§ 6. Задачи и упражнения
37
ет единственное вращение из S0C), которое полностью характеризуется
вращением единичной сферы.
Задачи и упражнения
6.1. Найти матрицы из S0C), соответствующие следующим матрицам из
SUB):
ei
О
^2
О 1
-1 О
ез
О г
i О
6.2. Найти матрицу из SUB), отвечающую вращению из SOC), которое
определяется вращением на угол и вокруг вектора ? = 0,^=1,С=1-
6.3. Показать, что точке единичной сферы со сферическими координатами
х — sin в cos <p, у = sin в sin <p, z — cos в отвечает точка С = егч? ctg @/2)
комплексной плоскости.
6.4. Пользуясь полученным в этом параграфе соответствием между SOC)
и SUB), найти явный вид матрицы из SOC) через параметры Кэли —
Клейна а и /3.
6.5. Показать, что матрицы вида
*11 *12
-^12 *11
-а?1 + гх2 х0 — ix3
образуют подпространство пространства комплексных 2 х 2-матриц,
которое инвариантно относительно преобразований из задачи 5.3.
6.6. Доказать, что линейное преобразование четырехмерного
вещественного пространства, определенное формулой
х'0 -f ix'3 х[ + ix2
— X-i ~j~ IXn Xq ^*^3
#0 + *#3 #1 + i%2
-xi + ix2 x0 — ix3
g,h eS\JB),
сохраняет квадратичную форму x\ -f x\ + x\ + Ж3.
6.7. По аналогии с рассуждениями в основном тексте параграфа о
соответствии между SUB) и SOC), исследовать связь между группами
SUB) х SUB) и SOD). Выписать матрицы и инфинитезимальные
операторы однопараметрических подгрупп группы вращений
четырехмерного пространства, порожденных однопараметрическими
подгруппами группы SUB) х SUB) (см. задачу 5.4).
6.8. Каждой матрице g E SLB) (см. задачу 1.9) сопоставляется линейное
преобразование четырехмерного вещественного пространства по
формуле

38
Глава I. Представления группы вращений
хо "Ь хз
ix[ + ix'2
X -I 2Ж*]
-9
хо + хз xi- ix2
xi -f ia?2 #о — хз
Показать, что это соответствие является представлением группы SLB)
Доказать равенство х% — х\
' X*) X
2 __
-/2
— 3?о
Линейное
преобразование четырехмерного пространства, сохраняющее
квадратичную форму Xq — х\ — х\ — #!) называется преобразованием Лоренца.
6.9. Выписать матрицы и инфинитезимальные операторы однопараметри-
ческих подгрупп преобразований из задачи 6.8, порожденных однопа-
раметрическими подгруппами группы SLB) (см. также задачу 3.8).
6.10. Доказать, что алгебры, порожденные инфинитезимальными
операторами группы SOB) х SOB) (задача 5.4), группы SOD) (задача 6.7),
группы SLB) (задача 3.8) и группы преобразований Лоренца
(задача 6.8) изоморфны.
Указание: если аь a2, &i, 62, ci, c2 — инфинитезимальные операторы
однопараметрических подгрупп группы SOB) x SOB) (задача 5.4) и
a =
Я =
dh(uj)
du
dg(uj)
du>
^=o
ai=0
P =
С =
dm(uj)
duj
dl{uj)
Jw=0
did
Jw=0
b = \dk(w)
L duj
r= \M")
duj
u>=0
w=0
суть инфинитезимальные операторы однопараметрических подгрупп
группы SLB) (см. задачу 3.8), то операторы F+ = шх - 6Ь F2+ =
ia2 — 62, F-f = ia\ + 6i, F2~ = ia2 4- &2, ^i = *ci, F2 = гс2 и операторы
1. 1 ¦
2 2*
1, 1
^ = 5«
F+ = -:
26-29+2P,F2"
г ~ г 1.1 г'• ~ г 1
2P'Fl = 2a+26^2P'Fl = 2° "Г'
1. 1 гI ~ г 1
2 2
jp,ft
2 2
удовлетворяют одним и тем же коммутационным соотношениям.
§ 7. Спинорная реализация неприводимых представлений
групп SUB) и SOC)
Восстановление оператора Tg[z](w). Однозначные неприводимые
представления группы SOC) существуют только в пространствах нечетных
размерностей. Представление группы SUB) в пространстве спинорных поли-
В § 4 найден общий вид матриц А, В, С, удовлетворяющих
коммутационным соотношениям [А, В] = С, [В, С] = Л, [С, А] = В. Там же
установлено, что пространство, где действуют матрицы Л, В, С имеет
Bп + 1)-мерное (с некоторым целым или полуцелым п) подпространство,
инвариантное относительно операторов Л, В, С. Причем в этом
подпространстве существует специальный (канонический) базис. Операторы Л,

§ 7. Спинорная реализация
39
В, С действуют на векторы канонического базиса по следующему правилу:
Ае™ = %-^(n-rn)(n + m+\)e™+1 + ±у/(п - т + 1)(п + т) е™~\
Be™ = JV(n-m)(n + m + l)e^+1 - ^(n - m + l)(n + m) е™,
2 z G.1)
Напомним, что индекс п в обозначении канонического базиса указывает
вес неприводимого представления или, что то же самое, указывает
размерность 2п + 1.
Как показано в § 4, если в некотором Bп+1)-мерном пространстве
действует неприводимое представление группы SOC), то инфинитезимальные
операторы Л, В, С этого представления определяются в специальном базисе
выписанными выше формулами.
Теперь попробуем по операторам Л, В, С восстановить матрицы Тд[х](ш),
Тд[у](ш), Тд[2](ш) представленийоднопараметрических подгрупп группы SOC),
а по ним — матрицы Тд для произвольных д е SOC). Оказывается, что
такое восстановление не всегда возможно.
Подействуем оператором
твыН = /+17С7+Гс' +~з\с +---'
на вектор е™ канонического базиса:
Гвдн'п =# + пН™)С + ^Н™JС + • • •
е™ = exp(-imLj) е™.
Очевидно, что д[я]Bтг) = е является единицей группы SOC). Ввиду свойств
представления матрица ГадBтг) должна быть единичной т. е. Tg[z]^)^ -
е™. Как установлено выше, Т5ИB7Г)С = ехр(-гт2тг) е™. Следовательно,
ехр(-гш27г) = 1. Если п — вес неприводимого представления группы SOC),
то m — -п, —п +1,... ,.п, т. е. все числа m одновременно с весом п
являются целыми или полуцелыми. Однако равенство ехр(-гт27г) = 1 возможно
лишь при целых т.
Резюме
Неприводимые представления группы SOC) могут существовать
только в пространстве нечетной размерности 2п + 1 (п целое). В пространстве
четной размерности неприводимых представлений группы вращений нет.
В задачах к § 2 было определено представление группы SOC) в
пространстве однородных гармонических полиномов степени п и предложено
установить неприводимость этого представления. В дальнейшем мы по-
—imuj (-imuJ (—imcjK
1 -i h ^ i—h -^ '-—h ...

40
Глава I. Представления группы вращений
строим другие реализации конечномерных неприводимых представлений
группы SOC).
Резюме
Существуют неприводимые представления группы SOC) любой
нечетной размерности 2п -f 1 = 1,3,5,
В § 5 рассматривались три однопараметрические подгруппы h(u), к(ш),
1(и) группы SUB). Было установлено, что инфинитезимальные операторы
Ь =
с =
'А.
du
А
du)
d_
du)
h{u>)
l(u)
ш=0
о
i_
L2
0
1/2
г/2
0
г/2
0
-1/2
0
О
-i/2
G.2)
удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям [а, Ь] = с, [6, с] = а,
[с, а] = 6, что и инфинитезимальные операторы группы SOC), построенные
по однопараметрическим подгруппам вращений вокруг координатных осей.
Представления группы SUB) определяются инфинитезимальными
операторами А, В, С с коммутационными соотношениями [А, В] = С, [В, С] = А,
[С, А] = В (см. § 4), как это следует из леммы о коммутаторе.
Мы установили общий вид операторов, инфинитезимальных в
каноническом базисе неприводимого представления, и выяснили, что не все такие
операторы соответствуют представлениям группы SOC). Как показано
ниже, ситуация с группой SUB) проще.
Анонс
Для инфинитезимальных операторов А, В, С, описанных в начале
этого параграфа (см. G.1)), мы построим индуцируемое ими представление
группы SUB). Для этого сначала мы построим некоторые специальные
(спинорные) представления группы SUB). Затем изучим действие
инфинитезимальных операторов в пространстве каждого такого представления
и укажем канонический базис. Это позволит отождествить построенные
представления с представлениями, описанными выше. С помощью спи-
норных представлений мы сможем получить также общий вид матриц Т9)
избежав суммирования матричных рядов.
Рассмотрим пространство однородных полиномов Р(?, rj) степени N от
двух комплексных переменных ? и rj. Каждой матрице g e SUB)
сопоставим линейное преобразование этого пространства по формуле TgV(?,r)) =
V(a^—/3rj, 0?-\-аг)). Иными словами, Т9 переводит полином 7>(?, rj) в полином

§ 7. Спинорная реализация
41
Q(tv)=ne,r)'),me
\г/) - [-/3 а
\а 0\-
[-/3 а\
7<V
W"
Га 0\
- [-/3 а\
7V
W-
а
[/*
-/?]
а
(«
U
Напомним, что # = [ Jj^j G SUB), если аа + рр = 1. (Проверьте, что
указанное соответствие действительно является представлением группы
SUB).)
Вычислим инфинитезимальные операторы этого представления,
отвечающие однопараметрическим подгруппам группы SUB). Рассмотрим
подгруппу, образованную матрицами
лн =
cos (o;/2) i sin (и/2)
г sin (w/2) cos (cj/2)
и ее представление, определяемое преобразованиями
Th(u)V{t, г)) = ^(cos (w/2) ? - isin (и/2) , -isin (w/2) ? + cos (w/2) га).
Нетрудно проверить следующее соотношение:
Л7>(?,га) =
~К
ТТГ*(«-)^«.Ч)
с?и>
^Ч^'^-^^
*?+*?)*>(*. »»)•
'аётч0*,
Инфинитезимальный оператор Л является дифференциальным оператором:
Л = — -G?— + ?— ). Аналогичное рассуждение приводит к формулам
2\ д? От))
2\Г,~д?~^!Г ) И 2\^~д?~'П!Г)' ЛегковиДеть>чтоопРеДеленные
этими формулами операторы Л, В) С переводят однородные полиномы от
переменных ?, га степени N в однородные полиномы той же степени N.
Положим N = 2п. Параметр га будет целым, если N четное, и полуцелым,
если N нечетное. Размерность пространства однородных полиномов V(?, га)
степени N = 2п равна N + 1 = 2га + 1. Базис этого пространства можно
выбрать, например, в виде одночленов
ej? = e™(*, !?) = (-!)
п+т
Bга+1)!
(га + т)!(га — т)!
лп+т „м- т
G.3)
где т — -га, — га + 1,... , га - 1, га. Вычислим, как действуют на
одночлены G.3) инфинитезимальные операторы А, В, С. Удобно вместо А, В, С

42
Глава I. Представления группы вращений
рассмотреть их линейные комбинации
., „ If д ,д\ 1/5 ,д\ fd
¦л о 1f д ,д\ If д ,д\ д
iA+B=Ar,di+%)+Ar)di~%)=r]w
Имеем
drj
(-l)n+m ^/Bn + l)!/[(n + m)!(n-m)!] ?"+™rf "
= (-l)n+mx/Bn + l)!/[(n + m)\(n - m)!] (n - m) ^+"»+i|?«-
= -^(п-ш)(п + ш+1) (-l)»+m+1
x >/Bn + l)!/[(n + m + l)!(n - m - 1)!] ^n+m+i^n-m-i
= -V(n-m)(n + m + l)e™+1.
Аналогично (г'Л + B)e™ - -у/(п-т + 1)(п + т) е™~х и г Се™ = raej. Из
приведенных формул следует, что одночлены е™(?, 77) образуют
канонический базис пространства однородных полиномов V(?,r}) степени 2п (п целое
или полуцелое), а операторы А, Б, С действуют на векторы этого базиса
точно так же, как указано в § 4 в случае неприводимого представления
веса п. Следовательно, построенное представление группы SUB) является
неприводимым представлением веса п.
Мы будем называть однородные полиномы V(?,r)) спинорными поли-
номами, а построенное представление — спинорным представлением.
Замечание о терминологии
Введенные термины спинорный полином и спинорное
представление связаны с историческими причинами. Четномерные представления
{полуцелого веса) начали использоваться в физике после того, как Дирак
предложил свои уравнения в теории электрона, у которого был обнаружен
внутренний момент количества движения — спин. Теория спина
основана на представлениях группы SUB), которые проще всего реализуются в
пространстве полиномов от двух комплексных переменных. Это
обстоятельство явилось причиной такого названия полиномов — спинорные.
Относительно пространства однородных полиномов четной степени (п
целое), мы отметим, что матрицам ±д отвечает одно и то же
преобразование Т9) тогда как в пространстве однородных полиномов нечетной степени
(п полуцелое) матрицам ±д соответствуют преобразования Т9) отличаю-

§ 7. Спинорная реализация
43
щиеся знаком. В § 6 отмечалось, что каждой матрице из SOC) отвечают
в точности две матрицы + J^-l. и — 1%"^ из SUB). Поэтому
представление группы SUB) в пространстве однородных полиномов V(€,rj) четной
степени N — 2п можно считать представлением группы SOC). Иногда
представления группы SUB) в пространстве однородных полиномов
нечетной степени рассматривают как "представления" группы SOC), полагая,
что каждой матрице h ? SOC) соответствуют две матрицы ±д Е SUB) и
два преобразования Т±д = ±Тд пространства однородных полиномов.
Резюме
Вышесказанное приводит к выводу, что предпочтительней изучить
сначала представления группы SUB), так как они более удобны для
исследования, чем представления группы SOC), а затем выяснить, какие
результаты переносятся на случай SOC).
Вернемся к спинорным представлениям группы SUB). Любой поли-
п
ном V(?, г}) степени 2п можно записать в виде V(?, v) = Yl P*en(?> v)- Де^'
ствуя инфинитезимальным оператором С на полином Т^^г}), мы получим
п
полином CV(?,rj) = -г Yl **Р*е?((?>*7)- Действие оператора С на вектор с
k=—n
компонентами р*, п ^ к ^ п, описывается в матричном виде с помощью
диагональной матрицы
/ Рп \
Рп-1
Р-п+1
V Р-п )
г(п - 1)
i(n - 1)
/ Рп \
Рп-1
Р-п + 1
\ Р-п I
с чисто мнимыми диагональными элементами. Следовательно, С* = -С,
т. е. эта матрица косоэрмитова. В свою очередь, получаем, что при любом
вещественном t матричные экспоненты
Р
Р
е'с = '+?тт^. ^' = '+?>т =
-tc
i=i
Г-
i=i
ЛС . ЛС* _
связаны равенством etG • etG = /, т. е. матрица etc = Ткщ всегда
унитарна. Представление однопараметрической подгруппы k(t) осуществляется
унитарными матрицами.
Мы рекомендуем читателю на основе аналогичного, хотя и несколько
более трудоемкого рассуждения, выписать матрицы, описывающие
действие интфинитезимальных операторов А и В на вектор с компонентами pk
и убедиться, что эти матрицы также косоэрмитовы (Л* = —Л, В* = —В),

44
Глава I. Представления группы вращений
и, следовательно, представления соответствующих однопараметрических
подгрупп 7i(t) = etA, Th(t) = efcjB унитарны.
Пользуясь тем, что любой элемент д Е SUB) можно записать как
произведение матриц из однопараметрических подгрупп д = /(^i)A@)/(y?2),
выводим, что Тд = Тця>1уГН[в)Тцч>2)} и матрица Тд так же, как
сомножители Т/(^х), Гл(^), Г/(^а), унитарна. Поэтому унитарной должна быть также
матрица Яп, описывающая преобразование коэффициентов р* спинорного
полинома в представлении
п
\д-п )
Нп
( Рп \
Рп-1
Р-п + 1
V Р-п /
Яш = ? HZkPk-
к——п
Напомним, что ?', 77' связаны с ?, 77 соотношением
?') = ** (ч
, аа+ /?/? = !.
Итак, мы доказали, что
п
НП(НПУ = /, 2J ^тгк^т2к = &тхт2,
к = -
( Tjn\* Tjn г \ ^ Tin ттп с
(Н ) h —1, 2^ Hkm1tlkm2—°mim2i
kzz-
т. е. матрицы Нп унитарны. Очевидно, что матрица Н^к(д) описывает
преобразование Тд в каноническом базисе.
§ 8. Матричные элементы
неприводимых представлений группы SUB)
Явные формулы матричных элементов спинорного представления.
Выражение матричных элементов через параметры Кэли — Клейна. Матричные
элементы представления в пространстве гармонических полиномов.
Реализация неприводимого представления матрицами Нп(д) и матрицами
В § 7 мы реализовали неприводимые представления группы SUB) в
пространствах любой размерности. В качестве таких пространств были
использованы пространства спинорных полиномов. Было показано, что
построенные представления описываются унитарными матрицами Яп, если
базис спинорного полинома канонический.

§ 8. Матричные элементы неприводимых представлений
45
Мы продолжим изучение спинорных представлений и, пользуясь ими,
найдем явные выражения элементов H^lk(a,/3) матриц Нп через вес
представления п и параметры а и /?, определяющие матрицу д — \ %ъ\ ^ SUB).
В качестве V{?, rj) возьмем базисный полином
V(t,n) = <?(*,*}) = (-l)n+VB» + 1)!/[(п + *)!(п -.*)!] Г+V-*-
Тогда в представлении
Q(Z,T)) = ekn(at-pT,,fc + ar1)
= (-1)п+ку/Bп+1)\/[(п + к)\(п-ку] (Щ - /???)"+*(ft + arj)n-k
П
= ? qm(-l)n+mч/Bп + l)!/[(n + m)!(n - m)!] {»+•»,,»-»•
m= —n
коэффициент gm равен Н^к(а}C).
Таким образом, справедливо равенство
(-l)n+VBn + !)!/[(^ + *Ж* " *)Ч К " /fy)n+*(# + с^Г"*
п
= 51 #?,(«,/?)(-ir+IVBn + 1)!/[(" + «ОН» - m)!] ^"V»,
которое является тождеством относительно ? и ??. Положив ? = 1 в (8.1),
получим
{а-/3г,)п+к(р + аг,)п-к
- ТГ fjn (п дч/ тхт-fc /(П + *)!(П-*)! ^„_m
В новых обозначениях аа — /?/? = ^, —2а/??? = t имеем
__ _ 2аа-2а/??? _ (аа + /?/?) + (аа -/?/?- 2а/???) _ 1 + (/* +1)
ъ 2/3p + 2a/3V (аа + 0) - (аа -00- 2а/???) _ 1 - (ц + i)
Р V 20 2/? 2/?
= ? Я?,(а,/?)(-!)*
_fc /(n + fc)?(n-*)!. *
n—m
U (n + m)!(n - m)! (-2)"-man-m/?n-
Из последнего соотношения, получаем, что
(l + /i + i)n+*(l-ji-<)"-*
„t^„ у (n + m)!(n-m)!

46
Глава I. Представления группы вращений
а по формуле Тейлора находим
1 ^[A^ГA-/^МГ,
?-** (п-т)\ dun-m
= У —
Сравнивая коэффициенты в правых частях двух приведенных разложений
A + ц + t)n+k(l — ц — t)n~k по степеням t, мы можем выразить Н^к через
а и /?:
rrn / Я\_/_1\*-» I {п + т)\(п - т)\ 1
mk|,Pj_l ' у (п + *)!(п-*)! 2п+тат+к/Зт-к(п-т)\
dn-mUl + u)n+k(l-u)n-k] - /оЛЧ
Х" ^n-m J. H = «a-pp. (8.2)
Как показано в § 5, два любых комплексных числа а и J3 таких, что
аа + /3/3 = 1, можно выразить через углы Эйлера <?>i, б, р2 следующим
образом: а = cos @/2) е*^1+^)/2 и /? = i sin @/2) e1^1"^2)/2. Выведем формулу
для матричных элементов неприводимого представления веса п, заданного
в каноническом базисе, если д ? SUB) определяется углами Эйлера <pi} 0,
<Р2- Имеем
aa-0p = cos2 @/2) - sin2 @/2) = cos 0 = ji,
cos @/2) = >/(l + /i)/2, sin @/2) = v/(l-/i)/2, (K 0 <C тг,
2n+™am+k лт-к _ (^-^"e^^^lfl -f /i)(m+/e)/2(l — n)(m~k)/2
что приводит нас к следующей формуле для матричного элемента,
выраженного через углы Эйлера (pi, 0^ ср2} 0 ^ (pi ^.ж, 0 ^ (р2 ^тг} fi = cosO < 0:
(^к-п^-т^^+т^) / (n + m)!
2n У (n + *)!(n-m)!(n-*)!
X A + /i)-(™+*)/2(l - ^-(m-^^^K1^^)^1-^""] (8 3)
Напомним, что если компоненты p_n,p_n+1, ... ,pn-i,Pn Bп+1)-мерного
вектора р суть коэффициенты р* спинорного полинома
то для вычисления компонент qk вектора q = Тдр можно воспользоваться
матрицей Нп с элементами Н^к, положив q = Нпр. При этом
предполагается, что Нп вычислены по параметрам Кэли — Клейна а, /3 (аа+ДО = 1, а =
cos@/2)e'^1+^2)/2, /3 = 2sin@/2)ei^1-^2)/2), задающим элемент д <Е SUB), a
представление Тд определено как преобразование
Q(t г,) = Tgv{i, •?) = пе, •/), (%) = д-1 (I

§ 8. Матричные элементы неприводимых представлений
47
Такое определение представления Тд может быть истолковано следующим
образом. Каждому преобразованию д ? SUB) сопоставляется в
пространстве спинорных полиномов преобразование базиса ^(?,77) -> ^т (?'>*?')>
индуцированное преобразованием Is] = д ( s, J спинорных переменных. Один
и тот же полином V(?'\rf) = Ql^rj) задается в этих базисах с помощью
координат, образующих векторы р, д, связанные матрицей Нп:
к=~п
Как известно, векторы базисов при этом должны быть связаны
транспонированной матрицей (Нп)Т:
п
'№,*)= ? Я*тМ^)-
к=-п
Как мы видели, любое неприводимое представление веса п
осуществляется в каноническом базисе с помощью одних и тех же линейных
преобразований. Нам оказалось удобным использовать реализацию такого
представления в пространстве спинорных полиномов, так как эта реализация
позволила сравнительно просто получить явные формулы, выражающие
зависимость матричных элементов Н^к от параметров а, /? или у>1} 0, у>2,
определяющих элемент д ? SUB). Напомним, что матрицы Нп унитарны
и базис е?(?,?7) пространства спинорных полиномов канонический.
Полученными формулами мы можем пользоваться и тогда, когда
неприводимое веса п представление Тд реализовано каким-либо другим
образом. Важно лишь, что векторы е™ образуют канонический базис
этого пространства. Например, как показано в задаче 4.9, специальные
однородные гармонические полиномы U™(x,y,z) степени п, га = —п,—п +
1,... , 0,... , п—1, п, образуют канонический базис неприводимого
представления целого веса п. Это представление было определено так, что каждому
д ? SUB) ставился в соответствие элемент h ? SOC) с теми же
параметрами y>i, 0, (p2j И
TgV(x,y,z)=V{x',t/,z'),
Поэтому
п п
V(x',y',z')= ?Wl?(*',yV) = ? qmK(x,y,z),
к=-п тп=-п
п п
q = Hnp, qm = ? HZnPk, ПЖ. lA *') = ? С^(*, У, г).
&=—n kzz—n
Далее мы неоднократно будем использовать матрицы #?fc в различных
реализациях представлений группы SOC) и SUB).

48
Глава I. Представления группы вращений
Напомним, что в § 4 мы определили канонический базис е™
неприводимого представления веса п и указали следующие соотношения, в которые
входят инфинитезимальные операторы Л, В) С однопараметрических
подгрупп:
iCe™ = me™} т = —п,... , п, (8.4)
~у/(п - т + l)(n + rn)e% \ m = -п + 1,... , +п,
О m = —п,
О, т = п,
— у/(п — т)(п -f m -f l)e™+1, m = — rc,... , n — 1.
В каждом неприводимом инвариантном подпространстве, в котором
действует представление Т3Щ2) (или ^soC)) веса п, векторы канонического
базиса определены однозначно с точностью до выбора общего скалярного
множителя. Действительно, если мы выберем какой-либо фиксированный
вектор е~п, то векторы e~n+1, е~п+2,... строятся однозначно по
рекуррентным соотношениям
С+1 = / 1 («'Л - В)е%. (8-5)
у(п — т)(п + т + 1)
Вектор е~п должен быть собственным вектором оператора г'С,
отвечающим собственному значению — п: гСе~п = —пе~п. Вследствие
неприводимости представления это собственное значение однократно, а отвечающий
ему собственный вектор определен однозначно с точностью до общего
множителя. После выбора нормирующего множителя все остальные векторы
е~п+1,е~п+2,... , е" канонического базиса определяются по правилу (8.5)
единственным образом.
Для дальнейшего важно отметить, что нормы всех базисных
векторов е-^е-'Н-2,.... ,е? совпадают: ||е™|| = у/(е™,е™) = у/(ейп, <?п). Это
следует из (8.4), которое приводит к рекуррентному соотношению для
векторов канонического базиса
С = , 1 (гЛ + В)е™+1
у/{п — т)(п + га 4- 1)
и равенству (iA -В)* — г А + 5, справедливому ввиду косоэрмитовости А
и В. Действительно,
(еГ^е?*1) = - ,. * ^ ^.((«Л - В)е™ ,<%*)
у/(п — т)(п -f- m + 1)
у(п — т)(п + m -j- l)
Из вышесказанного следует, что в инвариантном подпространстве, где
действует неприводимое представление TSuB) (или Г8о(з)), различные
скалярные произведения совпадают с точностью до вещественного множителя,

§ 8. Матричные элементы неприводимых представлений 49
если в этих скалярных произведениях канонический базис ортонормиро-
ван.
Как мы видели выше, в каноническом базисе неприводимое
представление осуществляется унитарными матрицами.
С другой стороны, если нам известно, что неприводимое в
некотором комплексном евклидовом пространстве представление группы SUB)
(или SOC)) реализуется унитарными матрицами, то из всего
сказанного следует, что в этом пространстве канонический базис ортонормирован
и, следовательно, скалярное произведение не может быть произвольным.
Именно, два различных скалярных произведения {и, v) и [и, v] должны быть
пропорциональны: (uyv) — р2[и, v].
В дальнейшем нам иногда придется одновременно с
представлением TSuB) или TSoC) с инфинитезимальными операторами Л, В, С,
соответствующим представлениям однопараметрических подгруппам
вращений вокруг координатных осей Ож, Оу, Oz, рассматривать представление
Tsv{2) или TSoC), в котором тем же подгруппам отвечают другие инфини-
тезимальные операторы Л, В, С, причем Л = Л, В — —В, С = —С. Легко
видеть, что Л, J5, С удовлетворяют тем же коммутационным
соотношениям [Л, В] = С, [В, С] = Л, [С, А] = В} что и Л, В} С ([А, В] = С, [В, С\ = А],
[С, А] — В). Этим новым операторам естественно сопоставляется
канонический базис е?* = (—l)m+ne""m. При построении представления группы
SUB), параметризованной так, что
= l(<Pi)h(e)l(-<p2),
\iM
ш=0
"i/2 0 1
_ 0 -i/2\
мы можем заметить, что замена Л-»Л, В -> В, С —у С приводит к замене
однопараметрической подгруппы 1{ш) на L(—u>), что, в свою очередь,
влечет замену матрицы д матрицей #, каждый элемент которой комплексно
сопряжен соответствующему элементу д. Таким образом, замена А —* Л,
В —^ В, С -± С эквивалентна переходу от Тд к Тд. Легко видеть, что
матричные элементы Н^к полученного представления получаются из
матричных элементов Н^к преобразования Тд в результате комплексного
сопряжения Н^к = ~Н^к{д) = HZJJ).
Проверьте, что матрицы ТГ одновременно с Нп осуществляют
представление группы SUB).
Еще раз подчеркнем, что представление^определяемое матрицами Нп
и представление, определяемое матрицами Яп, действуют в одном и том
же пространстве. Эти представления эквивалентны, но канонические
базисы этих представлений различны. Если второе представление задавать
cos@/2) i sin/2@/2)"
isin@/2) cos /2@/2)
rc-»V3/2 о 1
0 е'*1'2

50
Глава I. Представления группы вращений
матрицами преобразования координат в базисе е?>, то эти матрицы будут
совпадать с Нп.
Естественно говорить, что представление, определяемое матрицами
Нп(д), и представление, определяемое матрицами Hn(g) = #п(#),
сопряжены друг другу.
Если векторы е^ образуют канонический базис представления Т9) т. е.
если они связаны с А, В, С соотношениями (8.4), то, как нетрудно
проверить, векторы е^1 = (—l)n+me~m образуют канонический базис
представления TsuB)- Это утверждение вытекает из равенств
iCe% = mejj1, га = —га, -n + 1,... , га,
(«A + S)^ = < "\/(n " w + !)(n + ™)e%~1) m = -n + 1,... , +n,
I 0 m = —n,
(8.6)
(8.7)
(M-B)e? = J0'
m = n,
—y/(n — ra)(ra + m + l)e™+1, m — —n,... ,n — 1.
(8.8)
Равенства (8.6)-(8.8) непосредственно следуют из (8.4) и определений Л =
А, В = —5, С = —С, е?\ Очевидно, что представление TSuB) действует
в том же линейном пространстве, что и TSUB), и что TSuB) так же, как
^suB)j неприводимо.
Задачи и упражнения
8.1. Найти явный вид матриц Н*(д) и Н1(д) неприводимого спинорного
представления веса 1/2 и 1. Показать, что они унитарны.
8.2. Вычислить Н^к(д) для всех га и д е SUB) вида
Го .»"
[* 0
3
г
0
0"
—i
)
Го
1
-1]
0 J
8.3. С помощью формулы G.1) выписать матричные элементы (в
каноническом базисе) инфинитезимальных операторов А) Б, С для
неприводимого представления группы SUB) веса га.
8.4. Найти матричные элементы инфинитезимальных операторов А, В, С,
учитывая, что по определению
Аптк=— Я^(ЛИ)
did
С^к=—Н?кA("))
ш—0
, Вптк=-Н^к{к{ш))
и>=0
ш=0
Сравнить результат с ответом задачи 8.3.

§ 8. Задачи и упражнения
51
8.5. Сделав подстановку а = ^/rei(fi/2 cos @/2), /3 = у/ге^^Б\п(в/2) в
производящей функции (8.1) и считая, что х±гу = re±itp sin 0, z = г cos 0,
fc = О, сравнить ее с производящей функцией для гармонических
полиномов H™(x,y,z) из задачи 4.8.
8.6. На основании задачи 8.5 доказать, что
(^?+7+^)п/2я;0(^) о, зтг/2 + <р) = (-1Гп-™(*, у> *)
8.7. Каждому элементу д х h из SUB) x SUB) сопоставляется
преобразование Т^хл пространства полиномов ^(?1,771; ?2,^72) по формуле
?ixAP«i,»7i;6,%) = ^i,i/i;^»7/2)i
Проверить, что д х h -> TgXh — представление и выписать инфини-
тезимальные операторы однопараметрических подгрупп этого
представления (см. задачу 5.4).
8.8. Рассмотреть действие операторов представления, определенных в
задаче 8.5, соответствующих операторам Fb F^, Ff, F2, F2+, F2~ (см.
задачу 6.10) на полиномы
Доказать, что полиномы ep^(^i, »7i;^2j ^2) образуют базис пространства
полиномов P(?i,»7i; ?2,172), степени однородности 2р по ?1,771 и 2д по
?2,92 (р и g целые или полуцелые). Доказать, что представление из
задачи 8.5 неприводимо в этом пространстве.
8.9. Представление группы SLB) в пространстве полиномов Т(?,г)]?,т})
определяется преобразованиями ТдР(€,г);€,г1) = Q(?,9;?,9)> гДе Q(?,9;
lr}) = ne,v';t,rf),
©¦(?)=-'(D = [4 -/]©•
# G SLB). Показать, что это действительно представление и
выписать инфинитезимальные операторы его однопараметрических
подгрупп (см. задачу 3.8).
8.10. Рассмотреть действие операторов представления, определенного в
задаче 8.9, соответствующих операторам Fi, Fj*, F^, F2, F2+, F2",
введенных в задаче 6.10, на базисные полиномы
6 -р
—7 а

52
Глава I. Представления группы вращений
еШп,^) = (-l)p+VBp+l)!/[(p+i)!(p-W+V-'
iftf-J
х (-1)^^B? + l)!/[(<? + j)!fa - j)!] f+J1J
Показать, что^это представление неприводимо в пространстве
полиномов V(i,rj)?),rj)) степени 2р по ?}г) и степени 2q по ?,?7, гДе Р к Я
целые или полуцелые.
8.11. В пространстве полиномов Vpq(x,y,z;^,ri) степени однородности р по
x,y,z и 2д по ?,77 представление группы SUB) определяется
следующим образом: TgV(x,y}z;$}Ti)='P(x',t/iz,;Z'iTi')J
(Я-
Г *'
ж' — iyf
'а 0
х' + г?
/"
G
=
)•
" а 0
-1
2: х -\- гу
х — гу — z
' а_ 0
-0. а
Выписать инфинитезимальные операторы А, В, С соответствующих
однопараметрических подгрупп этого представления. На какие
неприводимые представления оно раскладывается в следующих
частных случаях: а) р — 1 и q — 1/2, b) р = 1 и g = 1, с) р = 2 и g = 1,
d) p = 1 и g = 2? Указать канонические базисы подпространств, в
которых действуют неприводимые представления.
8.12. Представление группы SUB) в четырехмерном пространстве
полиномов :PF,f?i;6,*72) = ai?i6 + <»26»72 + ci36»?i + «46*?2 определяется
преобразованиями TgV(Zi,r)i',b,rJ) = Q(^um;b,m), где QF^i;6,*?2) =
i-
©¦ —
Определить инфинитезимальные операторы А, В) С этого
представления и выяснить, на какие неприводимые представления оно
раскладывается.
§ 9. Спинорные поля.
Сферические и шаровые функции
Понятие сферической функции. Замечание о разложении представления
группы вращений на неприводимые представления. Пример
представления группы вращений в пространстве вектор-функций, компоненты
которых суть однородные полиномы. Базисы инвариантных подпространств.
Полиномиальные сферические вектор-функции. Формальный и реальный
В математической физике широко используются скалярные и
векторные поля, т. е. скалярные и векторные функции^ зависящие от простран-

§ 9. Спинорные поля
53
ственных координат и, может быть, от времени. Естественно, что при
переходе от одной ортогональной системы координат к другой такие
функции также преобразуются. Каждому вращению отвечает некоторое
преобразование, и такие преобразования естественным образом определяют
представления группы вращений. Важное значение имеют поля, которые
преобразуются по неприводимым представлениям группы вращений.
Поле B/+1)-мерных векторов, каждый из которых приписан к
некоторой точке трехмерного пространства, называется спинорным полем (целого
или полуцелого) веса /, если при вращениях системы координат это поле
преобразуется по неприводимому представлению веса /. Вектор-функция,
заданная в шаровом слое и соответствующая спинорному полю веса /,
называется шаровой функцией со спином I. Иногда удобно рассматривать
вектор-функции, заданные на единичной сфере х2 -f у2 + z2 = 1. Такие
вектор-функции, определенные на единичной сфере и соответствующие
спинорным полям веса /, принято называть сферическими функциями со
спином I.
В этом параграфе мы приведем несколько примеров шаровых и
сферических функций. Эти примеры и их обобщения будут в дальнейшем
подробно изучены и использованы при исследовании решений
дифференциальных уравнений, инвариантных относительно вращений.
Важным объектом математической физики являются N-мерные поля,
т. е. линейные пространства TV-мерных вектор-функций и, зависящих от
точек (х,у,z) трехмерного пространства или от точек (ж,у,z,t) с
пространственными координатами х, у, z и времени t. Мы будем рассматривать
поля в трехмерном евклидовом пространстве. При вращении д
координатного базиса точка с координатами х) у) z перейдет в точку с координатами
х', У'', z1:
У' 1=9 г \У\ =9 1г-
При вращении д каждая компонента TV-мерного вектора и(г) может
преобразовываться независимо от других компонент согласно естественно
определенному правилу и'(г) = гх^Г1?-), u'j(x, у, z) = uj(x/', yf', z'), а затем
дополнительно преобразовываться по некоторому преобразованию К = К(д):
Тди(г) = К(д) • и(д~1г). При этом естественно потребовать выполнения
условия К(д1д2) = К(д1)-К(д2). Иначе говоря, преобразования К(д)
должны определять некоторое представление Т50(з) группы вращений SOC).
Например, если N — 3 и К(д) = д, то Тди(г) = ди(д"гг). При N = 2
можно задать представление TSoC), выбрав в качестве К(д) матрицы ft,
которые осуществляют (двузначное) представление группы SOC)
элементами ft eSUB).
Понятно, что в трехмерном пространстве можно ввести следующий
закон преобразования векторов:
h 0
0
0 0 1
и,
uesuB),
и' =
0 0
0 1 0
0 0 1

54
Глава I. Представления группы вращений
Таким образом, в iV-мерном пространстве может действовать
неприводимое представление (и тогда N = 2L + 1, где L — вес представления), но
возможна также ситуация, что N-мерное пространство раскладывается в
прямую сумму инвариантных подпространств, в которых действуют
неприводимые представления. Проблему разложения на неприводимые
представления мы рассмотрим в § 10, а сейчас наша цель — подвести читателя
к важному понятию сферической функции с произвольным спином.
Представление группы SOC). Рассмотрим трехмерную вектор-функцию,
каждая компонента P(rO Q(r), R(r) которой является однородным
полиномом от координат ж, t/, z вектора г. В пространстве таких вектор-функций
определим представление группы SOC) при помощи преобразований
'P(rf
Q(r)\ =9
rP(g-lr)^
,я(<гЧ,
(9.1)
(Проверьте, что это действительно представление!) Будем далее говорить
о представлении (9.1), имея в виду представление группы вращений SOC),
определенное преобразованиями (9.1). Несложно показать, что инфините-
зимальным операторам
~0 -1 0"
1 0 0
0 0 0
вращений вокруг осей Ox, Oy, Oz отвечают следующие инфинитезималь-
ные операторы представления (9.1):
'0 0
0 0
0 1
0'
-1
0
' 6 =
0 0 1"
0 0 0
-10 0
, с-
А =
В-
С =
0
0
0
'0
0
-1
0
0
1
0
0
0
о]
-1
0 J
ll
0
°J
+ (zir. - У
д_
' ду
dz
0-10
1 0 0
0 0 0
\x--z—
dz дх
( д д\
+ № " хд-у)
[1
0
_0
\\
0
[0
0
1
0
0
1
0
о]
0
1J
0]
0
lj
(9.2)
[
0
[о
0
1
0
0]
0
lj
Перейдем в пространстве вектор-функций к базису
Этот базис канонический для представления, определяемого
тождественными преобразованиями Tg = g (см. задачу 4.1). Координаты uf1, «J, u{
вектор-функции (P,Q,R)T в этом базисе выражаются через Р, <2, R
следующим образом:
-1, v P + iQ о/ ч р 1/ л P-iQ
ч/2
V2 *

§ 9. Спинорные поля
55
Действие инфинитезимальных операторов г'С, iA + В = F~, iA — В = F+
на вектор-функцию С/ = (г*^1, г*?, tii)^ описывается формулами
-1
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 1
-V2
0
0
+<
0
-л/2
0
[1
0
о
0
1
0
0]
0
1J
V дх ду)
+ [{x-iy)^-Z(t-%)]
0
V2
0
0
0
-V2
-{x+iy)i+2(i+%)}
-i\
а представление (9.1) описывается преобразованиями TgU(r) = H1(g)U(g~1r),
tf = («r1.«?.«i)T-
Теперь перейдем к примерам, которые будут важны для дальнейшего.
При этом предполагаем, что инфинитезимальные операторы определены
формулами (9.2).
Вектор-функции Y^}, Y°@), Y*@)
Пусть все компоненты ujf1, «J, u\ — константы. Любой вектор с
постоянными компонентами может быть записан в виде линейной
комбинации базисных векторов
у-1 _
Г1@) ~
V0 —
^@) ~
(9.3)
Легко видеть, что
iCY%0) = mY%0), F-Y-^0,
т. е. выбранные базисные векторы З^тЛ, Уцоъ ^цо) образуют канонический
базис неприводимого представления веса 1 в пространстве (трехмерных)
вектор-функций с постоянными компонентами (компоненты суть
однородные полиномы нулевой степени от координат). Нижний индекс указывает
на вес представления и степень однородности (число в круглых скобках).
Верхний индекс отмечает номер вектора канонического базиса.

56
Глава I. Представления группы вращений
Вектор-функция Yq/^
Рассмотрим вектор-функцию
o(i) - '
Уо°A) - I z
<(x^iy)/V2j
все компоненты которой суть однородные полиномы первой степени. Ин-
финитезимальные операторы iC, iA + Z?, iA — В переводят вектор У^\ в
нулевой вектор (проверьте!). Следовательно, этот вектор инвариантен
относительно рассматриваемого представления (9.1) группы 50C), т. е. в
одномерном пространстве, натянутом на вектор У0°т, действует
представление веса нуль. Этот факт поясняет принятое нами обозначение.
Вектор-функции У^Д, Yi°A), YfA)
Рассмотрим действие инфинитезимальных операторов iC, iA + B> iA —
В на векторы
/ z/y/2 \
({х + гу)/у/2\
Y?A) = 0 , (9.5)
\(х - iy)/y/2j
Y1\l)= \{х + гу)/уД\.
V -z/y/2 J
Из равенств iCY(A) = jY*{1), j = -1,0,1, F-Y^ = 0, F+Y^ = -V2Y°A),
•^+У1°A) = -v^i^i) следует, что векторы У/A), j = -1,0,1, образуют
канонический базис некоторого подпространства, которое преобразуется по
неприводимому представлению веса 1. В силу результатов из § 8
TgY^)(x,y,z) = H1(g)Y1j{l)(x',y',z') = ? Я/уЫ*^ (*,»,*)•
j'zz-l
Удобно написать полученные соотношения в матричном виде
H\g)Y1(l)(x', у', z') = Ym(x, у, z){Hl{g)f',
где Yi(i)(x,y,z) — матрица со столбцами Y~^, Y~^°y УД^, т. е.
z/y/2 (x + iy)/V2 О
Yni)(x,y,z)= \-{х-1у)/уД 0 (x + iy)/у/2
О (х-гу)/уД -z/y/2 J

§ 9. Спинорные поля
57
Вектор-функции Y2{ly Y2{ly Y°(iy Y*A), Y22A)
Аналогично можно показать (читателю рекомендуется провести
подробные рассуждения), что пять вектор-функций
/ z/V2 \
1*1) = \-(x-iy)/V2 ,
уО _
У2A) -
V0 —
У1A) -
f(x + гу)/BуД)^
(V2/3)*
v(x - »y)/B>/3)>
S )
о
о
У2A)= (^ Ч- ^)/л/2 ,
-г/л/5
(9.6)
образуют базис инвариантного подпространства трехмерных векторов,
компоненты которых суть однородные полиномы первой степени, в котором
действует неприводимое представление веса 2. Таким образом,
TgY^l)(xiyJz) = H1(9)Yi{1)(xiif/1zf)= ? HfaWY'^izMz)
j>=-2
или в матричном виде
H2(g)Y2A)(x', у', z') = УаA)(х, у, z)(H2(g)f,
где
х — гу z х + iy
Y2(i)(z,y,z) =
л/2 л/2 2л/3
О -^-=Д (^/3I
О 0 ^
2V2
О
x + iy
~7Г
о
о
x + iy
л/2 л/2
Резюме
Мы указали девять базисных вектор-функций (см. (9.4)-(9.б))
Г0A)> Г1A)> Г1A)> Г1A)' Г2A)' Г2A)> Г2A)> Г2A)> r2(l)>
компоненты каждой из которых являются однородными полиномами
первой степени от х, у; z. Легко убедиться, что линейное пространство
трехмерных вектор-функций вида
(ацх + ai2y 4- a13z\
а2\х + а22У + a2$z I
а31Ж + а32У + азз^/
девятимерно и может быть записано как прямая сумма следующих
подпространств:

58
Глава I. Представления группы вращений
l-мерное подпространство с базисом У^
{преобразуется по неприводимому представлению веса 0);
Ъ-мерное подпространство с базисом Уй\, Уц\\> Уии
(преобразуется по неприводимому представлению веса 1);
Ъ-мерное подпространство с базисом Y^ly ^Tiv ^Tiv ^(iv ^22(i)
(преобразуется по неприводимому представлению веса 2).
Очевидно, что любая линейная функция является гармонической. То
же верно для базисных функций Yj^Jx^y.z).
Замечание 9.1 (об обозначении сферических функций). Еще раз
остановимся на обозначении YtAx.y.z) базисных полиномиальных
сферических вектор-функций. В нижнем индексе J означает вес неприводимого
представления, an — степень однородности полинома. В верхнем индексе
j — номер базисного вектора в представлении веса J. В дальнейшем у
нас не будет необходимости ограничивать вес представления или степени
рассматриваемых полиномов.
Замечание 9.2. Рассмотрим полиномиальные сферические функции
/ If9*2 _ _2 _ 2ч
Г1B) "
Bz2 -х2 - у2)
(х - iy)z
\т}(х2 ~ У2 - Мху),
z(x + гу)
П°B)=|-|Bг2-х3-»2)|) (9.7)
z(x - iy)
Г1B) -
-(x + iy)z
и заметим, что все компоненты этих функций являются гармоническими
полиномами. Подчеркнем, что компоненты шаровых функций УЛ2) = (х2 +
у2 + 22)У/B)? j = -1,0,1, также преобразуются по представлению веса 1,
но они не будут гармоническими. Однако на единичной сфере х2 + у2 +
z2 - 1 значения У/B) совпадают с соответствующими значениями УЛ2),
и поэтому мы можем ограничиться рассмотрением только гармонических
сферических функций.
Представление группы SUB). Рассмотрим двухмерную вектор-функцию
w(xy у, z) = Iqu] 1\1))> компоненты которой Р(х, г/, z) и Q(xy у, z) являются
однородными полиномами. В пространстве таких вектор-функций опре-

§ 9. Спинорные поля
59
делим представление группы SUB), сопоставив каждому элементу h =
по формуле
€ SUB), аа + /3/3 = 1, преобразование из SOC) координат ж, у) z
Z X
х1 — ij/
'+iy/] = Га- ^1Г z x+i2/l [а-
-z' \ [-13 а\ [х - гу -z J [-/?
и преобразование пространства вектор-функций к; по формуле
Thw — hw(g xr)
\а_ /3] (P(x',y',zf
[-/3 а\\<2(х'уу'^'
(9.8)
Для этого представления инфинитезимальные операторы имеют вид
гА-В=^0 о1]+ [(*-«»)
1 О
О 1
H-z(—-i—
dz \ дх ду
гА + В =
О О
-1 О
и-
(x + iy)fc+z
)]
\дх ду)\
1 О
О 1
1 О
О 1
(9.9)
Вектор-функции Ух,1{1), ^i/^i)
Легко показать, что вектор-функции
V/2 - ( ~z \ V1'2 - {-(Х + *У)\
ri/2(D ~\х- гу) ' 1/2A) ~ у -z J
(9.10)
образуют канонический базис инвариантного подпространства, в котором
действует неприводимое представление группы SUB) веса 1/2.
Вектор-функции Y~^y Y~^y Г3%2A), У3%2A)
Вектор-функции
L^-3/2
Г3/2A)
ЭДх - iy)\ y-1/2 _( V2Z \
0 J> r3/2(i)- \-(x-iy)/y/2j'
l.i/2 _ f{x + iy)/y/5\
гз/2A) - ^ ^/22 J, ' 3/2A) - \y/z/2(x + iy)
,-3/2 _
(9.11)
образуют канонический базис инвариантного подпространства, где
действует неприводимое представление веса 3/2.
Двухмерные вектор-функции w(x,y,z) = ( п а12У 13 \
компоненты которых суть однородные полиномы от ж, у, z первой степени,
образуют шестимерное линейное пространство. Так как любая такая вектор-
функция w{x,y,z) может быть записана как линейная комбинация
базисных вектор-функций (9.10), (9.11), это пространство раскладывается в пря-

60
Глава I. Представления группы вращений
мую сумму инвариантных подпространств двух неприводимых
представлений группы SUB) веса 1/2 и 3/2 соответственно.
Замечание 9.3 (об обозначениях сферических функций). При
изучении определенных выше базисных полиномиальных вектор-функций (9.2)-
(9.6), (9.10), (9.11) удобно указывать не только вес представления J, номер
j базисной функции и степень однородности п, но также размерность 2?+1
пространства вектор-функций, т. е. "спины", где L может принимать
неотрицательные целые и полу целые значения. Поэтому для базисных вектор-
функций мы введем обозначение У^(п\{^,У^)-
Так, для трехмерных вектор-функций базисные функции
записываются в виде
2,-1,0,1,2, Y[[ =Y{B), i = -1,0,1,
а двухмерные полиномиальные базисные вектор-функции будут
записываться в виде
Y\/2i,4l)=YWY > =-1/2,+1/2,
Уз/Л/2A) =Уз/2A)> J = "ЗА -1/2, +1/2, +3/2.
Конечно, в выкладках удобно иметь специальные обозначения не
только для базисных сферических вектор-функций, но и для их компонент.
/ ?¦
Пусть У обозначает компоненту B?+1)-мерной сферической вектор-
функции, преобразующейся по представлению веса J, и / = -Z,,... ,L —
номер этой компоненты. Напомним, что j — -J, — J + 1,... , J - 1, J — это
номер базисной вектор-функции Y' 3 (таких вектор-функций 2J-f l),
a n означает, что все компоненты У (x,y,z) являются однородными
? J (п)
гармоническими полиномами степени п.
Мы уже видели, что в пространстве вектор-функций, компоненты
которых суть однородные полиномы фиксированной степени, иногда можно
указать несколько различных канонических базисов, отвечающих
неприводимым представлениям одного и того же веса. Например, базисы УЛ2) и
Уц2)' Наличие двух базисов в пространстве трехмерных вектор-функций,
компоненты которых суть однородные полиномами второй степени,
означает, что в этом пространстве кратность представления веса 1 больше 1.
В заключение нашего первого обсуждения шаровых и сферических
вектор-функций приведем пример представления группы SUB) в
пространстве B? + 1)-мерных вектор-функций w(x, г/, z). Это представление опреде-
A)'
oiA) -y°U
Y
22т
= Yl
2A)'
J = -

§ 9. Спинорные поля
61
ляется преобразованиями
Tgw(x,y,z) = HL(g)w(x',y',z'))
zf x1 -f iy'
X1 — itf —Zf
a 0\ Г z x -f iy
-/3 a\ [x — iy —z
-C a
(9.12)
9 =
a_ 0
-0 a
, ora+ /?/?=!,
где HL(g) — соответствующая элементу д G SUB) матрица неприводимого
представления веса L . Инфинитезимальные операторы А, В, С однопара-
метрических подгрупп имеют вид
д-я(о)+D-4)^
(9.13)
где А(°\ ?@), С@) обозначают BL+1) х B?+1)-матрицы соответствующих
инфинитезимальных операторов представления, определяемого матрицами
HL{9)-
Замечание 9.4. В квантовой механике с операторами А, В, С вида
ih
(9.13) связывают операторы полного момента количества движения х—Д
ih ih „ л ih /n\ ih ^/п\ ih ~(П\
—В, —С. Операторы —Д°\ —Bw. —Ст называются операторами
2тг ' 2тг ^ F 2тг 2тг 2тг ч , л ч
ih f д д\ ih ( д д\ ih ( д д\
спина, а операторы - [у^ - z- j, - \z- - х-), - ^- - </^ J -
операторами орбитального момента. В качестве коэффициента /i
принимается постоянная Планка.
Замечание о терминологии
В физической литературе сферическими функциями со спином L
порядка J степени п обычно называют B?+1)-мерные вектор-функции, которые
преобразуются по неприводимому представлению веса J, определяемому
преобразованиями (9.12). По мнению авторов общепринятая
терминология не совсем удобна, так как термин "порядок" не адекватно отражает
назначение параметра J. Поэтому в дальнейшем мы называем параметр
L, связанный с размерностью BL + 1) рассматриваемых вектор-функций,
формальным спином, а параметр J, связанный с весом неприводимого
представления, по которому они преобразуются, — реальным спином.

62
Глава I. Представления группы вращений
Всюду в дальнейшем Y 3 обозначает однородный гармонический
степени п полином от ж, у, г, который стоит на пересечении 1-й строки
и j-ro столбца прямоугольной матрицы Y(x,y,z) = Y (x,y,z) (/ =
L •* (n)
-L,L+ 1,...,L- l,L;j = -J,-J + 1,... ,J- 1,7). Элементы д € SUB)
индуцируют неприводимое представление веса J по следующему правилу
(Y' = TgY):
Г = HL(g)Y(x',y',z') = HL(g)Y(x,y,z)(HJ(g)I
где HL(g) и HJ(g) — матрицы неприводимых представлений веса L и J
соответственно.
I j
Полиномиальные сферические функции У будут подробно опи-
L J (n)
саны и исследованы в § 18-20. Предупредим читателя, что там мы будем
пользоваться другой нормировкой функций. У нас нет возможности сейчас
останавливаться на объяснении, так как мы еще не владеем всеми
нужными для этого понятиями.
§ 10, Интегрирование по группе SUB)
и инвариантное скалярное произведение
Понятие инвариантного интеграла по группе. Инвариантное
интегрирование по группе SUB). Существование скалярного произведения,
относительно которого представление группы SUB) унитарно. Теорема о разложении
пространства унитарного представления в прямую сумму инвариантных
подпространств. Теорема о разложении унитарного представления на
неприводимые.
Будем говорить, что на группе G задана функция f, если каждому
элементу g группы G сопоставлено некоторое число /(#).
Функцию / на группе SOC) можно понимать как функцию трех
переменных <pi, в) ср2 (углы Эйлера) с областью определения 0 ^ <р\ < 2л-,
0 ^ в ^ 7г, 0 ^ <р2 < 27г. Функцию на группе SUB) можно понимать как
функцию двух комплексных переменных а = c*i 4- га2 и /3 = /?i + «7?2 или
четырех вещественных переменных ai, а2) /?i, f32) областью определения
которой является четырехмерная сфера а\ + а2 + /?? + /32 = 1.
Функция / называется непрерывной на группе G, если она
непрерывно зависит от параметров группы. Например, матричные элементы из § 8
являются функциями на группе, причем непрерывными ввиду
непрерывности рассматриваемых представлений.
Заметим, что области изменения параметров <рх, 0, (р2 или а, /3
замкнуты (в группе SOC) элементы g при <pi = 0,2п} так же, как при ip2 = 0,2ir
совпадают, если остальные углы Эйлера совпадают) и компактны. Каждая
непрерывная функция на группе SOC) (или SUB)) ограничена.

§ 10. Интегрирование по группе SUB)
63
При дальнейшем исследовании конечномерных неприводимых
представлений групп SUB) и SOC) нам потребуются интегралы от
непрерывных функций по группе (по всем допустимым значениям параметров
параметризованной группы), которые символически будем записывать в виде
(поясним эту запись ниже)
/
f(9)dg.
Нас будут интересовать интегралы по группе, обладающие
специальными свойствами:
Jf(9)dg = Jf(hg)dg = Jf(gh)dg, Jldg = l, A0.1)
G G G G
где h — произвольный элемент группы G.
Мы говорим, что имеет место левая инвариантность, если
Jf(g)dg = jf(hg)dg A0.2)
G G
и правая инвариантность, если
Jf(g)dg = Jf(gh)dg. A0.3)
G G
Заметим, что правая инвариантность вытекает из левой
инвариантности и следующего свойства инвариантного интеграла по группе:
Уf(9-l)dg = Jf(g)dg, A0.4)
G
поскольку
ff(9h)dg = Jfih-'g-^dg = j f{g-l)dg = J f{g)dg.
G G G G
В дальнейшем, конкретизируя правило вычисления интеграла, мы
обеспечим выполнение свойства A0.4). Понятие интеграла можно ввести для
любой компактной группы, однако для наших целей мы будем
рассматривать ниже случай конкретной группы SUB).
Пусть функция /(а,/?) определена для комплексных переменных а,
/?, связанных равенством аа + CC = 1. Иначе говоря, мы рассматриваем
функцию f(g) на группе SUB). Параметризуем группу SUB) следующим
образом:
Л + ai/ j*
VI + A2+ i/2' Vl + A2+i/2'
где -оо < А < оо, —оо < v < оо, 0 ^ ф < 2тг. Тогда функция f(a,C) может
рассматриваться как функция от А, v, ф.

64
Глава I. Представления группы вращений
Определим формально
2тг оо оо
Jf{9)d9=2^J J rWl + AS + ^Vl + A'+W A + A2 +1/2J-
SUB) 0 -оо -оо
A0.5)
Л + гг/ е** \ dXdvdty
1 Г1~Р'
<4 Покажем, что выражение A0.5) удовлетворяет условию A0.4). Так
как g е SUB), верно равенство g~l = g*. Однако g~l - _°д ^ |
т. е. f{g~l) = /(а, -13). Поэтому
j f(9-l)dg
SUB)
2тг оо оо
VI + А2 + г/2
2тт2 У У У ' V VI + А2 + г/2 Vl + А2 + W A + Л2 + г/2J
О —ОО —ОО
27Г ОО ОО
~2^J J J /VVl + A2 + I/2Vl + A2 + I/2y A + А2 + */2J'
0 —OO —OO
Сделав замену переменных Л = Л, ? = -г/, Ф = тг + ip, находим
/ /от1)^
SUB)
Зтт —оо со ^ ~ ~ ~
dXdvdip
= -—// ff( x + i* - 1
2ж2 J J J VVl + A2 + P'V"l + A2 + P/
7Г OO —OO
27Г OO OO
i///
/
A2 + p/(l + A2+?2J
A + i? e*'* \ dXdud^
2it2JJ J V\/l + A2+P'\/l + A2 + P/ A + A2 + PJ
0 —OO —OO i i v i i \ /
= / №dg.
SUB)
Справедливость равенства A0.4) установлена. »>
А Покажем, что выражение A0.5) удовлетворяет A0.2), т. е. условию
левой инвариантности. Для этого применим следующий искусственный
прием. Функцию /(а,/?), заданную при aa + /3/3 = 1, продолжим на все а,
/?, исключая a = /? = 0, положив

§ 10. Интегрирование по группе SUB)
65
Тогда f(a,/3) является однородной функцией порядка нуль, т. е. /(а,/?) =
/(ра.р/З) при р > 0. Вместо того, чтобы доказывать инвариантность
трехмерного интеграла, стоящего в правой части A0.5), мы установим
инвариантность равного ему четырехмерного интеграла
2 2 яг оо оо
_i_ J_ I I f [ f( *>(A + 'V) <*'* )
In 2 2**J J J J J\VP2 + W2 + (H2' Vp2 + (MJ + (HV
1 0 —oo —oo
d\ dv dip dp
(ц-л2 + ^2JУ
2 27Г со оо
-Si-^IIIIK^"^)
1 0 —oo —oo
dA di/ d^ dp
(l + A2 + i/2)V
От переменных A, */, ^> Р перейдем к переменным аь а2, А, /?2 согласно
формулам
p\ + ipi/
ai + га2 = -=======, /?i + г/?2 =
ре
г'0
VI + А2 + v2' "х ' ""* л/1 + А2 + v2 '
Якобиан J этого преобразования равен
A + Л2 + ^2):
г. Кроме того,
„2 j. „2 j. я2 4- /92 - />2(А2 + г/2)+р2 __ 2
Следовательно,
2 2тг оо со
/«»>* = 1П-5?////'
SUB)
1 0 —оо —оо
р(А -f «/) />е
г^
VI + А2 +1/2 Vl + А2 + г/2
с?А A/ oty>
A + А2 + i/2J р4
= Ы2Ъ? УУУУ /(а1+Ш2'А + г/?2)И + а2 + /?2
? + #J'
Покажем, что последний интеграл не меняется при преобразовании
- = Aflf,
эквивалентном преобразованию координат аь а2, /?i, /?2> описываемому
4 х 4-матрицей:
'а'
-/?'
/?']
а'
ао
[-/?о
А]
ао.
" а /?"
-/? а
= Л
" а /? 1
_-/? aj
а —Ь —с —сП /агД
6 а —б? с J с*2
с с? а — ЬII /?i
d —с Ь а \ \/?г/

66
Глава I. Представления группы вращений
где а0 = а + й, /?о = с + го?. Эта матрица вещественная и ортогональная.
Действительно, {Шт = /:
"а —Ь —с — dt\
Ъ a —d с
с d а —Ь
d —с Ь а
а Ь с d~\
—b a d —с
—с —с/ а Ь
—d с —Ь а.
'аоао + РоРо О _ ° °
О <*0а0+А)/?о ° °
О 0 а0а0+А)/?о О
0 0 0 a0a0+A)A)J
= /,
так как a0ao-f/?о/?о = 1- При ортогональных преобразованиях не меняются
длина вектора а\ + a| + /?J + fi\, элемент объема dai da2 d/?i d/?2 и область
интегрирования. Поэтому
/
f(hg) dg
SUB)
2 2тг оо oo
Ч/?22J
1 0 —oo —oo
2 27Г oo oo
1 1 f f f hlr.'л.^' <? i i*\ <К<К «*#<*/%
-Ы2'ъё] J J УЛа1 + Ш2'/?1 + гД2,((а'1J + КJ + (ДО2 + (/?02J
1 0 —oo —oo
= f(g>)dg' = J f(g)dg.
SUB)
Равенство A0.2), т. е. левая инвариантность интеграла A0.5) доказана. >
Вычислим интеграл A0.5) по группе SUB) от функции f(g) = 1:
27Г ОО ОО
л*-*///
d\ di/ dip
(l + A2 + i/2J'
SUB) 0 -oo -oo
Перейдя от А, и к полярным координатам <р, г, получим
27Г ОО . 27Г
SUB) 0 0 0
Резюме
Интеграл по группе SUB); определенный формулой A0.5); инвариантен
и обладает свойствами A0.1)—A0.4).

§ 10. Интегрирование по группе SUB)
67
Интеграл по группе SOC) можно определить следующим образом.
Каждому элементу группы SOC) соответствует пара матриц из SUB),
отличающихся знаком. Условимся считать, что элементам группы SOC)
сопоставляются параметры Л ^ 0, —оо < v < оо, 0 ^ ф < 2я\ Функцию,
определенную при этих значениях параметров, распространим на все
элементы д eSUB) по правилу f(—a, —/3) = /(а, /?). Тогда функция /
принимает одинаковые значения на элементах группы SUB), отвечающих одному
и тому же элементу группы SOC), поэтому ее можно рассматривать как
функцию на группе SOC). Согласно A0.5) интеграл по группе SUB) от
четной функции f(a,/3) имеет вид
J f(9)dg
SUB)
2л- оо оо
1 f f f J Л + zV е** \ dXdvdijj
I f ff( x+™ tt ^
J J J 4>/l + A2 + i/2Vl + A2 + i/V
2ж2 J J J VV1 + A2 + f2Vl + A4 i/2/ A + A2 + v2J
0 —oo —oo
2f oo oo
= ±f f ff( A+'v tL ^i-
*2 J J J \л/1 + Л2 + ^2' Vl + A2 + W A
d\ dv dtp
+ A2 + */2J*
0 -oo 0
Примем это выражение как интеграл по группе SOC):
2тг оо оо
X + iv e** \ dXdvdip
J Mdg- ^J J //(Vl + A2 + j/2Vl + A2 + j,2)A+A2 + l/2J-
SOC) 0 -oo 0
A0.6)
Инвариантность интеграла A0.6) по группе SOC) следует из уже
доказанной инвариантности интеграла A0.5) по группе SUB). Сравнивая A0.5) и
A0.6), получаем
/
ldg = l.
SOC)
Поэтому можно написать
/ f{9)dg J f{g)dg
SOC) S0C) SUB) SUB)
и понимать интегрирование по формуле A0.5) или A0.6) как усреднение
по группе SUB) или SOC).
Интегрирование по группе SUB) или SOC) мы используем для
доказательства того, что любое представление группы SUB) или SOC)
эквивалентно некоторому унитарному представлению.

68
Глава I. Представления группы вращений
<4 Более точно, в пространстве R любого представления TsuB) BsoC>)
группы SUB) (группы SOC)) можно ввести скалярное произведение {it, v}
векторов u,v ? R так, что для всех преобразований Tg, g ? SUB) (или
g € SOC)), определяющих представление TS\jB) №о(з)) выполняется
равенство {Tgu, Tgv} = {u, v}. В пространстве R введем эрмитово
скалярное произведение [ti,i/]. Наряду с этим скалярным произведением [u,v]
рассмотрим семейство скалярных произведений [u,v]g — [Tgu,Tgv],
каждое из которых определяется элементом g e SUB) (или g е SOC)).
Проверьте, что [г/, v]g удовлетворяет всем аксиомам эрмитова скалярного
произведения. Мы рассматриваем представления, образованные элементами,
которые являются непрерывными (и даже дифференцируемыми)
функциями элементов группы, т. е. непрерывными функциями параметров а, C
(аа + /?/? = 1). Поэтому для фиксированной пары векторов и, v скалярное
произведение [и, v]g является непрерывной функцией на компактном
множестве (четырехмерная сфера aa+/3/3 — 1 или полусфера в случае SOC)) и,
следовательно, ограниченной и интегрируемой. Иначе говоря, существует
конечный интеграл
f[u,v]gdg= f[Tgu,Tgv]dg = {utv}, G = SUB) илиС = 80C).
G G
Легко доказать, что функция {и, v} также удовлетворяет всем аксиомам
скалярного произведения.
Покажем, что {Th,u,Thv} = {u,v} для любого элемента h e G) где G =
SUB) или G = SOC). Действительно,
{и, г;} = j[Tgu, Tgv] dg = J f(g) dg = j f(gh) dg = J[Tghu, Tghv] dg
G G G G
= f[TgThu, TgThv] dg = {Thu, Thv).
G
Тем самым доказана унитарность представления Tq группы G, где G =
SUB) или? = 80C). >
Теорема 10.1. Пусть в пространстве R действует унитарное
представление Tq группы G и подпространство R1 пространства R инвариант-
но относительно представления Tq- Тогда подпространство R2 векторов,
ортогональных к Ri, тоже инвариантно относительно представления Tq-
Доказательство. Покажем сначала, что R2 — подпространство. Если
у ? #2, z G R2) то (у,х) = (z,x) — 0 для любого х ? R±. Очевидно, что (ау +
/3z, х) = а(у, x)+/3(z, x) = 0, а это доказывает утверждение. Докажем теперь
инвариантность R2 относительно всех преобразований Тд, определяющих
представление Тс группы G.
Пусть у е Д2. Тогда (Тду,х) = (у,Т^яг) = {y,Tglx) = (y,Tg-ix) = 0 для
любого х G Ri, так как Tg-ix € R\ в силу инвариантности R\. Итак,
пространство R представимо в виде прямой суммы R = R\ ф R2 двух взаимно
ортогональных инвариантных подпространств Ri и R2. Ш

§ 10. Интегрирование по группе SUB)
69
Теорема 10.2. Пространство R унитарного представления группы SUB)
(или SOC)) допускает разложение в прямую сумму взаимно ортогональных
инвариантных подпространств, в каждом из которых действует
неприводимое представление.
Доказательство. В пространстве Д всегда можно выделить
неприводимое инвариантное подпространство описанным в § 4 способом: построить
цепочку векторов, образующих канонический базис, и рассмотреть
подпространство, натянутое на этот базис. Поэтому мы можем разложить
пространство Д в прямую сумму R = Дх ф R[ неприводимого
подпространства Ri и его ортогонального дополнения Д'ь которое тоже инвариантно. В
свою очередь, выделяя в R[ неприводимое инвариантное подпространство
Д2 и его ортогональное дополнение Д2 (R[ — Д2 0 Д2), мы получаем
разложение в сумму Д = Ri ф Д2 0 Д2, в которой все слагаемые инвариантны,
а подпространства Дх и Д2 неприводимы. Затем разложим Д'2 на
ортогональные инвариантные подпространства Д2 = Д3ФД3, где подпространство
Дз неприводимо и т. д. Разложение можно продолжать до тех пор, пока не
окажется, что подпространство Rfk^x неприводимо. Положив Д^_х = Д*,
получим требуемое разложение Д = R1 ф Д2 ф Д3 Ф • • • 0 Д&. ¦
Мы будем говорить, что представление То группы G в пространстве
Д = R1 ф Д2 является прямой суммой представлений Tq и Tq группы G,
действующих в пространствах Дх и Д2 соответственно, если Tg(xi + х2) =
Т*хг + Т^ж2 для каждого элемента g е G, где xi G Д1 и z2 € Д2.
Если в качестве базиса пространства Д взять совокупность базисных
векторов инвариантных подпространств Дх, Д2 и т. д., то матрицы,
соответствующие преобразованиям Т9) g е G, будут иметь клеточно-диагональ-
ный вид. (Вспомните иное доказательство этого факта, приведенное в § 2.)
Резюме
Любое приводимое представление группы SOC) или SUB) вполне при-
водимо и определяется (в некотором базисе) унитарными матрицами. Эти
матрицы клеточно-диагоналъные, а их диагональные клетки определяют
неприводимые представления в различных инвариантных
подпространствах.
С помощью элементарных выкладок читатель может убедиться, что
если g — \\~\ задавать углами Эйлера так, что а = е{^1+<р2^2cos@/2),
/3 = е*^1'*2)/2 sm@/2), и считать, что f(g) = F@, ^1,^2), то определение
интеграла по группе A0.5) эквивалентно равенству
27Г 27Г 7Г
/ f(g)dg = Jfa5 F{e,<p1}(p2)sin0ded(p1cp2,
SUB) -2тг 0 0

70
Глава I. Представления группы вращений
наиболее употребительному в литературе. Мы воспользовались несколько
тяжеловесным определением A0.5) для того, чтобы сделать проведенное
выше исследование на наш взгляд более естественным.
В следующих параграфах мы продолжим изучение унитарных
представлений. В частности, мы покажем как конкретно разложить
пространство представления на неприводимые инвариантные подпространства.
Задачи и упражнения
10.1. Если SUB) параметризуется углами Эйлера а = cos@/2)ei(<pi+<Pi)/2)
C = isin^Je'^1-*3)/2, 0 ^ в <? тг, 0 ^ (рг < 2тг, -2тг ^ (р2 < 2тг, то
ж 2тг 2л-
/ ^ ^ = 16^ / / / Т^1 ^^^ 81П 9 ^ ^ d6)
SUB) 0 -2тг О
гце Г&ие,^) = f(g) = f(aj).
10.2. Доказать равенство
тг 2тг 2л-
/ f^ d§ = ^J J J Т^Х ' в> ^ Sln в ^ ^ d0)
SOC) 0 0 0
где cpi} 0, <p2 — углы Эйлера для группы SOC) @ ^ <pi < 27г, 0 ^ 9 ^ тг,
0 ^ <р2 < 2тг).
10.3. Показать, что инвариантный интеграл по группе SOB) может быть
определен следующим образом:
2тг
SOB)
/ f(9)dg = ^j H<P)d<f,
)B) 0
где д = Г?? "^оГЛ G S0^2^ а ^^ = ^ — пеРи°Дическая ФУНК"
ция переменной <р.
10.4. Показать, что на конечной группе G порядка N функционал
обладает всеми свойствами инвариантного интеграла по группе:
(a) если f(g) > 0 для всех д е G, то M(f) > 0,
(b) если f(g) = 1 для всех # Е G, то М(/) = 1,

§11. Описание конечномерных представлений групп SOC) и SUB) 71
(с) если /i(#) = f(hg), f2{g) = f{gh), где h — любой элемент группы G,
ToM(/i) = M(/2) = Af(/).
10.5. Показать, что все конечномерные представления конечной группы
вполне приводимы.
10.6. Показать, что группа SLB) (см. задачи 1.10 и 3.8) некомпактна.
10.7. В пространстве полиномов определено скалярное произведение
0Р> Q) = III V(x> 2Л *)С(*, 2/, z) dx dydz.
Проверить, что оно удовлетворяет всем аксиомам скалярного
произведения. Доказать, что в этом скалярном произведении
представление TSOC) группы SOC) унитарно; здесь TgV(x,yyz) = B(*,у,*),
/х'\ /х\
Q(x,yiz) = V(x',f/,z'), (г/Ч = д* I у I . Показать, что два однород-
W W
ных гармонических полинома различных степеней однородности
ортогональны друг к другу.
§ 11. Полное описание конечномерных представлений
групп SOC) и SUB)
Теорема о разложении произвольного представления в прямую сумму
представлений, кратных неприводимым.
В § 10 мы доказали, что любое конечномерное представление групп
SOC) и SUB) эквивалентно унитарному и раскладывается в прямую
сумму неприводимых унитарных представлений.
Пусть пространство R унитарного представления группы SUB) или
группы SOC) разложено в прямую сумму ортогональных между собой
неприводимых инвариантных подпространств: R = R1 ф R2 Ф Яз Ф • • • Ф Rn-
В каждом неприводимом подпространстве Rly R2,.. .,Rn действует одно
из неприводимых представлений веса rtj (размерность соответствующего
подпространства равна 2rtj + 1). Пусть представление веса щ встречается
кг раз, веса п2 — к2 раз и т. д. Тогда 2га + 1 = кг{2пг -f 1) + к2Bп2 + 1) +
1- км{2пм + 1). В этом случае будем говорить, что в представлении,
действующем в пространстве Я, участвуют
представление веса пг с кратностью кг,
представление веса п2 с кратностью Аг2,
представление веса га3 с кратностью к$
и т. д. Разложение пространства представления на инвариантные
неприводимые подпространства неоднозначно, однако веса rtj и их кратности A?j,
участвующие в этом разложении, определяются единственным образом.
Более того, разложение представления в прямую сумму так, что каждое

72
Глава I. Представления группы вращений
слагаемое является неприводимым представлением или кратным
неприводимому представлению, будет единственным.
Теорема 11.1. Все векторы f пространства R, преобразующиеся по
неприводимому представлению веса п, удовлетворяют уравнению (А2 + В2 +
С2)/ = — п(п + l)f} причем, если при разложении пространства R в прямую
сумму инвариантных подпространств представление веса п встречает-
ся к раз, то пространство решений этого уравнения имеет размерность
*Bп + 1).
Доказательство. Пусть вектор / принадлежит подпространству Rn с
Л, в котором действует неприводимое представление веса п. Тогда в
подпространстве Rn существует канонический базис е™. Поскольку
Л2 + В2 + С2 = ~{%А + В)(гА - В) - ЪцА - В)(гА + В) - (iCJ,
векторы е™ канонического базиса удовлетворяют равенствам
(гСJе-= т2С,
{iA + В){гА - В)е™ = {п + т + 1)(п - т)е™,
(iA - B){iA + В)е™ = (п - т+l)(n +m)e™,
которые получаются согласно правилам применения операторов iA±B, iC
к базису. Поэтому
{А2 + В2 + С2)С = ~\{п + т + l)(n - m)C
-1(п-т+ 1)(п + т)е™ + т2е™ = (-п - п2)е™ = -п(п + 1)е™.
П
Ввиду равенства / = ]|П fm?™ имеем
т— — п
п
(A2 + B2+C2)f = J2 fm(A2 + B2 + C2)e™
т— — п
п
= J2 -^+1)/-с = -^+1)/-
Таким образом, мы доказали утверждение теоремы для
неприводимого подпространства Rn. Если Rn кратно неприводимому, т. е. Rn =
Rn Ф Rn 0 • • • ф Rn\ то все базисные векторы всех подпространств R^
удовлетворяют уравнениям (A2+B2 + C2)e™{j) = _п(п + 1)е™у), из которых
следует утверждение теоремы о размерности пространства решений.
В случае унитарного представления оператор А2 + В2 + С2
самосопряженный: (А2 + В2 + С2)* = -((iAJ + (iBJ + (iCJY = А2 + В2 + С2.
Инвариантные подпространства этого оператора, отвечающие различным
собственным значениям п(п + 1), ортогональны в силу ортогональности
собственных векторов самосопряженного оператора, соответствующих раз-

§11. Описание конечномерных представлений групп SOC) и SUB) 73
личным собственным значениям. Так как п(п + 1) — монотонная функция
от п при п > —1/2, то различным собственным значениям п(п+1) отвечают
различные п = О,1/2,1,3/2,2, —
Таким образом, разложить пространство R на подпространства,
кратные неприводимым, можно с помощью инвариантных подпространств
самосопряженного оператора А2 + В2 + С2, отвечающих различным точкам
его спектра.
Если подпространство кратно неприводимому веса п, то разложение
его на неприводимые уже неоднозначно.
Предположим, что при каком-то разложении Rn = R^' ф r!?' ф • • • 0
r!?' для каждого подпространства J% мы построили канонический базис
en(jy enU)^ • • •' en(})' en(jy Рассмотрим векторы z e Яп, для которых (iA +
B)z — 0. Легко видеть, что эти векторы имеют вид z — 7ienm+720")H V
7* О*) и кратность к равна числу линейно независимых решений z € Rn
уравнений (iA+B)z = 0, или, что то же самое, числу линейно независимых
решений системы
{А2 + В2 + C2)z = -п{п + l)z,
(iA + B)z = 0. A1.1)
Для любого такого решения z имеет место равенство
к к
iCz = ХO;(«СК5) = ^2ъ(~пКи) = ~nz-
j=l j=l
В качестве ?~п можно выбрать любой из векторов ||z||_12: или —||z||_12:.
Для выбранного ?~п, пользуясь формулами из § 4, мы можем построить
канонический базис eJJ* и выразить его векторы ?™ через векторы старого
канонического базиса:
С = 7iC(i) + 72е™B) + • • - + 7*e™(fc).
Обратим особое внимание, что 7ь72, • • • , 7л не зависят от m и при замене
знака у вектора е>~п все коэффициенты л также меняют знак.
Теперь уже нетрудно понять, что произвол при разложении Rn =
Rn Ф#п2 Ф- • Ф^п обусловлен произволом при выборе базиса пространства
решений системы A1.1). Каждый вектор этого базиса может быть включен
в канонический базис неприводимого представления веса пив натянутое
на канонический базис пространство, являющееся инвариантным
неприводимым пространством веса п. Каждому из к векторов базиса пространства
решений системы отвечает свое неприводимое подпространство. Прямая
сумма этих подпространств образует подпространство Rni содержащее все
собственные векторы оператора А2 + В2 +С2: (А2 +В2 +C2)f = —n(n + l)f.
Резюме
Пусть в N-мерном пространстве Rn действует к-кратное
неприводимое представление веса п группы SUB) или группы SOC). Пусть в Rn

74
Глава I. Представления группы вращений
выбраны два базиса е™^; j = 1,2,... , к, и ejj*,,x / = 1,2,... , к. каждый из
которых составлен из канонических базисов неприводимого представления
(N = Bга + l)k). Тогда справедлива следующая важная теорема.
Теорема 11.2. Переход от базиса е™,.у j = 1,2,... ,k, к базису е™,1);
/ = 1,2,...,*, осуществляется по формулам
*
?(|)=Е^ / = 1,2,...,*;
i=i
и/ш этол* матрица
Г =
7и 712 • • • 7i*
721 722 • . . 72*
L7*i 7*2 • • • 7**J
унитарна (Г*Г = ГГ* = Д), если представление унитарно.
Описанные в этом параграфе факты показывают возможную
структуру произвольного унитарного представления группы SUB) или SOC).
В § 10 мы показали, что любое конечномерное представление этих групп
эквивалентно унитарному. Тем самым мы фактически изучили все
произвольные конечномерные непрерывные представления групп SUB) и SOC).
Задачи и упражнения
11.1. Показать, что разложение на неприводимые представления
неоднозначно, изучив для этой цели представление группы SOC) в
пространстве полиномов от х, у, z степени не выше 5 из задачи 2.13.
11.2. Выписать канонический базис представления группы SOC) в
пространстве однородных гармонических полиномов степени 3.
Нормировать его в скалярном произведении
(Vy Q) = Iff V(x, у, z)Q(x, у, z) dx dydz.
Однозначно ли он будет определен после такой нормировки?
11.3. Для представления группы SOC) в пространстве полиномов от z, у, z)
выписать явное выражение оператора A2+J92-fC2. Использовать этот
оператор для разложения на представления, кратные неприводимым.
11.4. Рассмотреть представление группы SOC) в девятимерном
пространстве ЗхЗ-матриц и, определенное преобразованиями Tgu = gug* (см.
задачу 2.2). Выписать инфинитезимальные операторы А, В, С. Найти
собственные значения оператора гС и с их помощью построить
канонический базис и инвариантные подпространства представления.

§12. Лемма Шура. Элементы теории характеров
75
Показать, что существуют три инвариантных неприводимых
подпространства, именно:
5-мерное пространство симметрических матриц с нулевым следом,
3-мерное пространство кососимметрических матриц,
1-мерное пространство "скалярных" матриц.
11.5. Описать все скалярные произведения, в которых представление
группы SOC) из задачи 11.4 унитарно (точнее, ортогонально, так как оно
вещественно).
11.6. Найти явный вид оператора А2 -ь В2 + С2 для спинорного
представления группы SUB). Показать, что оно неприводимо в пространстве
однородных полиномов от ?, г) степени 2п.
§ 12. Лемма Шура и свойства ортогональности.
Элементы теории характеров
Лемма Шура. Теорема об ортогональности матричных элементов. Понятие
характера. Характеры эквивалентных представлений. Характер прямой
суммы представлений. Явное выражение характера неприводимого
представления веса п. Ортогональность характеров.
Напомним, что неприводимое унитарное представление веса п,
действующее в Bп Ч- 1)-мерном пространстве, определяется в каноническом
базисе этого пространства матрицами Нп(д)) где где п — целое или
полуцелое число. Для элементов Н^к матриц Нп(д) были получены явные
выражения через параметры группы. В этом параграфе мы установим ряд
важных соотношений для интегралов по группе от произведений
матричных элементов. Начнем с формулировки и доказательства леммы Шура.
Лемма 12.1 (лемма Шура). Предположим, что существует постоянная
[т. е. не зависящая от д) Bп + 1) х B/+ 1)-матрица D такая, что
Hn(g)D = DHl(g) для всех g <E SUB), A2.1)
где Нп{д) и Н1(д) — матрицы неприводимых представлений группы SUB)
веса п и I соответственно. Тогда матрица D равна нулю при п ф I и
пропорциональна единичной матрице при п — 1.
Доказательство. Подставив в A2.1) g = к(и), продифференцируем
полученное равенство Hn(h(uj))D = DHl(h(uj)) по о; и положим ш = 0. Для
инфинитезимальных операторов представлений однопараметрической
подгруппы h(uj):
А(п)=-LHn{h{w))
w=0
получим матричное равенство A^D = DA&. Аналогично выводятся
равенства B^D = DBW и C^D = DC& для инфинитезимальных
операторов В^п\ С^ и В®, С® представлений однопараметрических подгрупп

76
Глава I. Представления группы вращений
к(и>) и 1(uj). Как установлено в § 10, для инфинитезимальных операторов
Л, Я, С справедливы равенства (А<п)J + (В^J + (C<n)J = -n(n+ l)J2„+i,
(^@J + E@J + (с@J = _/(/ + i)/2Z+1, где /2n+i — единичная
квадратная матрица порядка 2п + 1. Легко проверить, что если A^D — DA^l\ то
(A^JD = D(^)J. Действительно, (A^JD = А^А^Я = A(n)ZM« =
?>(А^J. Аналогично выводятся матричные равенства (B^JD — D(B^J
и (C(n>JD = ?>(С^J, складывая которые, получаем равенство
Р(»)J + (?(п)J + (С(п)Jр = Д(Л@J + E@J + (С@J])
из которого следует п(п + 1)?> = /(/ + 1I>. Очевидно, что D = 0 при n ^ /.
Первая часть леммы Шура доказана.
Перейдем к доказательству второй части. Пусть
Hn{g)D = DHn{g), g G SUB). A2.2)
Покажем, что JD кратна единичной матрице, т. е. D — \I2n+i-
Если матрица D вырожденная и удовлетворяет A2.2), то она
тождественно равна нулю. Действительно, пусть D ^ 0, но det?> = 0. Тогда
множество векторов / таких, что Df — 0, образует нетривиальное
инвариантное подпространство пространства, где действует неприводимое
представление веса га, поскольку DHn(g)f = Hn(g)Df = Hn(g) • 0 = 0 для всех
д Е SUB). Однако существование инвариантного подпространства
противоречит определению неприводимого представления.
Пусть матрица D невырожденная. Тогда D имеет по крайней
мере одно собственное число Л (det \\D — A/2n+i|| = 0). Из равенств Hn(g)D =
DHn{g) и Нп{д)\12п+1 = \I2n+iHn(g) следует равенство Hn{g)[D-\I2n+i] =
[D — A/2n+i]#n(#), которое означает, что все матрицы Нп(д)
перестановочны с вырожденной матрицей D - A/2n+i, но это возможно лишь если
D - A/2n+i = 0. Итак, D = А/2п+1. ¦
Лемма 12.2 (вариант леммы Шура). Если
п I
? H^r{g)Drk = J2 DmsHlsk(g) для всех g e SUB),
r=—n s = — l
то либо Dmk = 0 при всех тик, либо п = I и Dmk — A<$m*.
Лемма Шура используется при доказательстве теоремы об
ортогональности матричных элементов (см. теорему 12.1, ниже). Перед
формулировкой теоремы приведем определение.
Инвариантным скалярным произведением двух функций <р(д) и ф(д) на
группе SUB) называется выражение
(<Р>Ф)= I <р{9)Ф{д)<1д-
SUB)
Теорема 12.1. Система функций Н^к(д)} п = 0,1/2,1,3/2,2...; m =
—гг,... , гс; к = —п,... , п, определенных на группе SUB); ортонормальна от-

§ 12. Лемма Шура. Элементы теории характеров 77
носителъно инвариантного скалярного произведения, т. е.
J H'k(g)ir;m(9)dg = M^i, g € SUB).
SUB)
Доказательство. Рассмотрим произвольную числовую Bn + l) x B/+1)-
матрицу К с элементами Krs. Пронумеруем строки индексом г от — п до
п и столбцы — индексом s от —/ до /. Построим матрицы
F(h) = [Hn(h)]-lKHl{h) = ЯП(А-1)ДГЯ/(А), L> = / F(A)c/A.
SUB)
В силу (правой) инвариантности интеграла по группе
D= f F(h)dh= f F(hg)dh= f Яя(^-1Л-1)А'Я|(Ад[)йЛ
SUB) SUB) SUB)
^^(g-1) f Hn{h-l)KHl{h)dh-Hl{g)=Hn{g-1) J F(h)dhHl(g)
SUB) SUB)
= [H»(g)]-iDHl(g).
Поэтому Hn(g)D = DHl(g) для всех g e SUB). Таким образом, построенная
матрица D удовлетворяет условиям леммы Шура. Следовательно, D = О
при п ф /, т. е.
/ Яп(А-1)^Я/(А)с/Л = 0,
SUB)
и D — Xhn+i при п = /, т. е.
/ Hn{h-1)KHn(h)dh = \I2n+1.
SUB)
Эти равенства справедливы для любой числовой матрицы К. Определим
из последнего равенства Л. Покажем, что
trK = ti f Hn(h-l)KHn{h)dh,
SUB)

78
Глава I. Представления группы вращений
где tr A — след матрицы А, т. е. tr A = ]Ра„. Действительно,
i
tr f нп{к-г)кнп{к)ак= f tiHn(h-l)KHn{h)dh
SUB) SUB)
= f tiKdh = tvK f dh = tiK.
SUB) SUB)
Кроме того, trA/2n+i = ABn -f 1). Следовательно, XBn + 1) = txK и Л =
trK/Bn + 1). Выберем теперь матрицу К следующим Образом: фиксируем
г, j и полагаем Krs = 6ir6jS. Распишем поэлементно интеграл от матрицы:
? у H?m(h)KrsHiak(h)dh=Yl / XmmrSj.Hbwdh
r>s SUB)
= j Hnim{h)H]k(.h)dh=\
SUB)
О, пф1,
ЬтК/Bп + 1)у n = l, m = Ar,
0, n = /, тф k,
где суммирование проводится по г от -п до п и по s от —/ до /.
Утверждение теоремы эквивалентно этому равенству, так как правая часть этого
равенства совпадает с ^ mfe "l в силу равенств tr К = X^<Wj* = ^?- ¦
2п + 1 ,
Далее мы познакомим читателя с некоторыми сведениями из теории
характеров.
Характером представления TSuB) группы SUB) называется функция
X, определенная для преобразований Tg, g ? SUB), определяющих
представление TSuB) по формуле х{Тд) = tiTg, g E SUB).
Приведем некоторые свойства характера представления TSuB) группы
SUB).
Лемма 12.3. Два эквивалентных представления имеют одинаковые
характеры.
Доказательство. Если представления TSuB) и Т^щ2^ эквивалентны, то
Т9 = Q^TjjQ. Следовательно, х{Тд) = tiTg = tiT% = х(Т°) для каждого
элемента д € SUB). ¦
Лемма 12.4. Если представление TsuB) группы SUB) раскладывается
в прямую сумму неприводимых представлений, эквивалентных
представлениям ^SUB)'^SUB)' • * • >^SUB)> m0
x(Tg) = х(тЫ) + х(т^) + ¦¦¦ + Х(ф), gеSUB).

§12. Лемма Шура. Элементы теории характеров
79
Доказательство. Утверждение очевидно, если условие леммы записать
в виде
Тд = Q-1
пA)
пB)
н(«)
Q-
Замечание 12.1. Пусть Т^\т^2\ ... ,Т^ — неприводимые
представления и среди них представление веса ni содержится ki раз, представление
веса п2 — &2 раз и представление веса пт — кт раз, где Агх + &2 4-.. -А:т =
s. Обозначив характер неприводимого представления веса га, задаваемого
m
матрицей Яп(^), через х(#пЫ), для х(Гу) получим х(Гу) = ? Ьх(Нп*(д)).
Вычислим хЫ и х{Нп{д)) для # Е SUB). Легко выразить х(я) через
углы. Эйлера <pi, 0, <р2. Достаточно заметить, что х{я) = tig = а + а =
2Rea и вспомнить формулу а = cos F>/2)е'^1+^)/2. Получаем хЫ =
2 cos @/2) cos (^>i + у>2)/2. Однако для приложений более удобной
является другая формула для хЫ- Любую матрицу д ? SUB) можно привести
к виду д = A-1 J- . Л, где Ai и Ai — собственные значения
унитарной матрицы д) a А — некоторая унитарная матрица. Можно считать, что
Л принадлежит SUB). Действительно, для унитарной матрицы А имеем
Л • A* = е, det Л • А* = 1. Поэтому det Л = g, где q q = \q\2 = 1. Положим
А = A/^/g. Ясно, что
det A =
det А = - - q = 1,
ш
т. е. А ? SUB). Очевидно также, что
'-*-'[о aJ^^o
о
л2
]>--[Ао &
Поэтому всюду в дальнейшем будем считать, что А Е SUB).
Как известно, собственные значения унитарной матрицы равны по
модулю единице (|Ai| = |А2| = 1), а их произведение Ai • А2 равно
определителю матрицы д: \г • А2 = detg = 1. Поэтому можно записать Ai =
е™'2, А2 = е-^/2, д = А~х ['"'? е_°,/2] А. При этом хЫ = tr<? = е*"/2 +
h^h-tgOh, to Tg = Th-igoh =
Тд) = trTg = trTgo = х(Тдо).
Воспользуемся последней формулой в доказательстве следующей леммы.
sin (n + 1/2)о;
е-*ш'2 = 2cos(w/2). Если д = А [е^7
Th-iTgoTh = {T-l)TgoTh. Следовательно, х(
о
-iu»/2
Лемма 12.5. Если х(д) = 2cos(u//2); m<? х{Нп(д)) =
sin (w/2)

80
Глава I. Представления группы вращений
Доказательство. Как было указано выше, х{Нп{д)) = х(Яп *12 _Р,/2 )
В § 8 были найдены формулы для матричных элементов Н^к(д) при
условиях д = [_e??], a = cos(fl/2)c(^+^)/2, /? = 2sin(^/2)e(^-^)/2, /i = аа-/?/?.
Матрице д = e*"/2 _P,/2 отвечают значения параметров ^ = 1, <pi = u>,
V?2 = 0. Подставив их в общие формулы для Н^к(д), можно определить
матричные элементы. Однако проще воспользоваться рассуждением,
приведенным в начале § 7 при вычислении Тд[я](и) с помощью инфинитези-
мального оператора С. Напомним, что матрица 1(и) = е*"/2 __°,/2
соответствует вращению вокруг оси Oz на угол и при представлении
группы SUB) матрицами из группы SOC) и Tg[t](u) действует по следующему
правилу: T9[z](uj) = e~imuje™. Согласно этому правилу матрица Тд[я](ш) =
Нп e*w 2 _?,/3 в каноническом базисе является диагональной с
элементами е-*пш^е-Цп-1)ш^ ^еЦп-1)ш^е%пш на главНой диагонали. Следовательно,
п 2п
fc=-n fc=0
piBn + l)w _ '1 p*(n+l)u/ _ p — inuj
— »'n/.i c X . С С
eiw - 1 eiuj - 1
_ Л.[еЦп+1/2)ш _ е-Цп + 1/2)ш] ^ 8ш (n+1/2)^
~ i[e«V2 - e-^/2] ~ sin(u;/2)
Для упрощения записи характер представления веса п будем обозна-
„, ч sin (п 4-1/2)cj , ч л / /лч 1/о/ ч . / . / ,~ч
чать хпИ = sin^A) » еСЛИ х^ = 2cos (w/2) = * И = sinw/sin(w/2).
Лемма 12.6 (об ортогональности характеров).
27Г х
Доказательство. Выпишем интеграл
2тг
^/xnHx'Msin2(o,/2)du»
о
2тг
1 /* sin(n+ l/2)usin(/+l/2b . 2/
= ~ / . 7 ,1,; . 7 J sin2 (и/2Wo;
тг У sin(cj/2) sin(w/2) v ' ;
о
2тг
= - / sin (n + 1/2)cj sin (/ + 1/2)lj<Lj

§ 12. Задачи и упражнения
81
2тг
= —- / [cos (п — 1)ш — cos (п + / + l)u/|du
2тг
J_
12тг
sin (n — 1)oj sin (n + / + \)lj
(n-l)
(n + l + 1)
2тг-
sinBn + l)u
2тгBп + 1) J
2тГ
2тг
, П^/,
n = L
¦i
0, n^/,
1, n = L
Из леммы 12.6 вытекает еще одно правило вычисления кратности Лг, с
которой входит представление веса п в разложение представления TsuB) на
S
неприводимые представления. Ввиду замечания 12.1 х(Тд) = ]С&»ХП*(^),
а в силу леммы 12.6
2тг
*.- = ?/х(г,)
sin (щ + l/2)w . 2
^—т—f^4 sin (uj/2)duj.
sin(w/2) v ' ;
Задачи и упражнения
12.1. Используя теорему об ортогональности матричных элементов и
задачу 8.6, доказать теорему об ортогональности гармонических
полиномов.
12.2. Рассмотрим базисные спинорные одночлены
U (n + m)!(n — га)!
как функции на группе SUB). Доказать, что эти функции ортонор-
мированы ((е™1,^2) = 6т1т2$п1п2) относительно инвариантного
скалярного произведения.
12.3. Проверить непосредственным вычислением интеграла ортогональность
матричных элементов Н^0(д). Явные формулы для Н^0(д) были
получены в § 8.
12.4. Вычислить след матрицы д Е SOC), соответствующей вращению на
угол lj вокруг некоторой оси. (Вспомните задачи из § 1 о таких
матрицах).
12.5. Пусть Тд — матрица неприводимого представления TSUB) веса п
группы SOC), а матрица д такая же, как в задаче 12.4. Вычислить trTg.
Является ли условие унитарности представления TSuB) необходимым
для получения определенного ответа?

82
Глава I. Представления группы вращений
12.6. Пользуясь матричными элементами представления группы SOC) из
задачи 2.2, вычислить характеры этого представления. Используя
характеры, выяснить, на какие неприводимые оно раскладывается.
Сравнить полученный результат с задачей 10.4.
12.7. Рассмотрим функцию f(g) = /(tr#) на группе SUB). Имеем
€SUB),
1
9 =
A + u/ e^
е~*+ А - ii/
л/1 + А2 + v2
со со
/ /w* = i / / Ктг+§тр) (Ш?т^-
SUB) ~оо-оо
Выше показано, что х{д) = ^9 = 2cos(u;/2). Доказать, что
2тг
J f(g)dg = ^ У /(cos (u/2)) sin2 (ц;/2)Ж/.
SUB) 0
12.8. Доказать теорему об ортогональности характеров
f ХпШ1Шд = 6п1.
SUB)
Указание. Следует воспользоваться теоремой об ортогональности
матричных элементов (теорема 12.1). Согласно задаче 12.7 последнюю
формулу можно переписать в виде (ср. лемму 12.6)
2тг
i j xn(cos (w/2))V(coe (ш/2)) sin2 (w/2)dw = 6nl.
0
12.9. Установить равенство
m
/
SUB) '-1
где ki — кратность, с которой неприводимое представление веса щ
содержится в разложении представления TSuB) на неприводимые. Как
следствие, вывести критерий неприводимости: представление TsuB)
группы SUB) неприводимо тогда и только тогда, когда
J x{Tg)x{Tg)dg=l.
SUB)

Глава II
Произведения представлений
групп SOC) и SUB).
Сферические вектор-функции
§ 13. Представление группы SUB)
в пространстве биспинорных полиномов
Определение биспинорных полиномов. Пространство биспинорных
полиномов. Важный пример представления группы SUB) и унитарность этого
представления в пространстве биспинорных полиномов. Инфинитезималь-
ные операторы. Канонический базис пространства биспинорных полиномов.
Коэффициенты Клебша — Гордана. Формула для произведения матричных
элементов.
Рассмотрим полиномы V(€i> r?i;?2,772) степени однородности 2ni по
переменным ?i, 771 и 2п2 по переменным ?2, Щ-> где каждое ni, n2 целое либо
полуцелое. Такие полиномы будем называть биспинорными. Далее п\ и
п2 считаются фиксированными. В пространстве биспинорных полиномов
выберем базис из одночленов
_l\ni+mi / Bni -f 1). ЛП1+ГП1 ni-mi
( ' \l(n2 + m2)\(n2-m2)\b * {^л)
Любой биспинорный полином может быть представлен в виде линейной
комбинации базисных одночленов A3.1). В пространстве биспинорных
полиномов введем скалярное произведение
A3.2)
mi,m,2
83

84 Глава П. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
где рт1т2 и qmim2 — коэффициенты разложения полиномов V и Q по
базисным одночленам A3.1):
ГП\,ГП2
ГП\,ГП2
Относительно скалярного произведения A3.2) базисные одночлены A3.1)
ортонормированы: (CnT^niU = SlimiShm2.
В этом параграфе мы изучим важный пример представления TSuB)
группы SUB) в пространстве биспинорных полиномов. Это представление
определяется преобразованиями Тд вида
TgV(ti,m;t2,m) = v(*ti -Pmrfti + ^ь^б -Pm^b + «%),
A3.3)
где^ :
"j!L , aa+/3/3 = 1. Мы покажем, что это представление разложимо
на неприводимые представления.
Прежде всего отметим, что Тд = Т^A) Т^B) = Т%2) ТдA), где Тд —
преобразование A3.3), а преобразования Тд и Тд пространства биспинорных
полиномов определяются по формулам
Г^б^ьб^^^^б-Ль^ + ^ьб,^, A3.4)
^F^i;6,^) = ^^i;«6-fej6 + ^2). A3.5)
Допуская некоторую вольность, будем иногда ссылаться на
формулы A3.3), A3.4), A3.5), имея в виду представления TSUB), ^s(uB)> TsuB)
группы SUB), определяемые преобразованиями A3.3), A3.4), A3.5)
соответственно.
Лемма 13.1. Представление A3.3) группы SUB) унитарно
относительно скалярного произведения A3.2).
Доказательство. Достаточно убедиться в унитарности каждого
представления A3.4), A3.5). Мы ограничимся рассмотрением A3.4). В случае
A3.5) проверка унитарности аналогична. Запишем
ГП2 ГГЦ '
fiF,4i;6.»7a) = 53teff'ni™aenICKb>?i;6,42)).
т2 mi '
(V, Q) = ]Г \У2Рт1т2дт1т2 )
т2 туь\

§ 13. Представление SUB) в пространстве биспинорных полиномов 85
и заметим, что Тд действует на коэффициенты при ^2+m2^n2-m2 так же^
как рассмотренные в § 7 преобразования. Поэтому
^1)eF,»/i;6,%) = i;fe9m1m3c»x1nTF,'?i;6,i»)),
m2 vn»i
ГДе P'mim2 = Y.H^\k(g)Pkm2, q'mim2 = Е^т,*Ы«*т3 И Hj^fo) - ЭЛв-
к к
менты матрицы, соответствующей преобразованию коэффициентов (явные
формулы для Я1^ к(д) получены в § 7). Из результатов § 10 вытекает
унитарность этой матрицы как матрицы неприводимого представления
в каноническом базисе. Поэтому при любом фиксированном га2 имеем
HPm1mJm1m2 = J2Pm1m2qmim2- СлеДОВаТеЛЬНО,
fi)-
Таким образом, представление Tg^L) группы SUB), определяемое
преобразованиями A3.4), унитарно. ¦
Замечание 13.1. Ввиду леммы 13.1 для представления TSuB) группы
SUB), определяемого преобразованиями A3.3), справедливы все
утверждения из § 8, 10, 11, установленные для произвольного унитарного
представления группы SUB).
Лемма 13.2. Инфинигпезимальные операторы А, В, С представления
A3.3) в пространстве биспинорных полиномов задаются формулами
ал+В)=т-+т-,
Доказательство. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу g(w), и ?
R, и заметим, что Тд{ш) = Т^ш) -Т^. Для инфинитезимальных операторов
?)(i) и DW представлений Т^ш) и Т^ однопараметрической подгруппы
д(ы), и € М, имеем Г^ = I + а,^1) + 0(w2) и rjg) = / + "?>B) + 0(а;2).
Следовательно, Т^} = [/ + wD^ + 0{uj2)][I + а;?>B) + 0(u;2)] = / + u(D^ +
Z)B)) + 0(u/2). Таким образом, инфинитезимальный оператор D
представления Тд(ш) однопараметрической подгруппы д(и>), и е М, есть сумма
инфинитезимальных операторов D^ и D^ представлений Т^\ и Т^\ этой
же подгруппы. Поэтому А = А^ + ЛB), В = Я^1) + 2?B), С = С*1) + СB).

86 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Используя формулы из § 7, находим
Замечание 13.2. Базис, образованный биспинорными одночленами
^^(ZiiVu&ify) вида A3.1), не канонический, в чем легко убедиться,
подействовав на е™1,^2 операторами %А ± В и гС (см. A3.6)). Поэтому
далее мы введем специальные биспинорные полиномы, которые формируют
базисы некоторых подпространств пространства биспинорных полиномов.
Но при этом инфинитезимальные операторы А, В, С действуют на них так
же, как на векторы канонических базисов неприводимых представлений.
С помощью этих специальных полиномов мы построим разложение
представления A3.3) на неприводимые представления. Предварительно введем
некоторые вспомогательные полиномы и выясним их свойства.
4 Вычислим скалярный квадрат биспинорного полинома
71(?l,»Ji;?2,»!2) = (?lTJ2 - 62»7l)a*?i*72-
Разложив (€irj2 — ?2*71)° по биному Ньютона, найдем
^ р'(а-р)!
где
*р = (-1)
р_а_а!_ (а-р)\(Ь + ру.р\(а + с-Ру.
р\(а-р)\\ (а + 6+1)!(а + с+1)! '
Так как хр являются коэффициентами разложения полинома #(&, «ji;&i Ч2),
имеем
(ЯД)_^= И2 f^ (* + !>)!(« +с-рI
Й Р (а + 6+1)!(а + с+1)!^ р!(а-р)!

§ 13. Представление SUB) в пространстве биспинорных полиномов 87
Чтобы найти G?,#), осталось только вычислить сумму
AF + p)!(q + c-p)i
f^ рК«-рУ-
Мы применим искусственный прием, основанный на правиле
интегрирования биномов. Проинтегрируем полином
хьA - х)< = х*A - хПх + A - *)]• = ? P,J'V^PA - *)
с+а-р
по х от нуля до единицы:
1 1
о р-° о
Воспользовавшись соотношением
1
fxm(l-x)ndx=, m!n! 1X|,
У v ; (m + n + 1)!'
о
получим равенство
6!с! _А а! (Ь+р)\(с+а-р)\
(b + c+l)\~ ^0pl(a-p)\ (b + c+a+l)\ '
из которого найдем
^(Ь + р)\(с+а-рI __ 6!с!(а + 6 + с+1)!
р\(а-р)\ ~ а!F+с + 1)!
р=0
Следовательно,
(Л'Я) - (e + i+l)!(e + c+1IF +с+!)!• A3J)
Рассмотрим биспинорный полином
>
с/. * ч /(Q + fr+i)!(fl + c+1IF +с+1)!
Очевидно, что 5(?ь 171 ;&, 772) совпадает с 7S(^i, 91; ?2, 92) с точностью до
постоянного множителя и E,5) = 1 ввиду A3.7).

88 Глава П. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Введем теперь биспинорные полиномы, которые и будут играть роль
канонического базиса:
= (-1)
т+П2-П1 / Bп + 1)Bш + 1)!Bп2 + 1)!
(п1-\-п2-\-п + I)!(ni+Ti2- n)\(n+n2-ni)\(n+n1-n2)\
(b„-6„)-«-»\/S(«l|?+6^)"'^"-,;-"
1+П2
A3.8)
где допустимые пределы изменений тип будут установлены ниже.
Очевидно, что все коэффициенты полиномов A3.8) вещественны. Легко также
проверить, что полином С~?1|Лз] с точностью до знака совпадает с
нормированным полиномом «S, если а = щ + п2 — п, Ь — п-\-п\—п2) с = п-\-п2 — п\\
ni+n2—n п+п\—п2 п+п2—п\
^Knjfc. 4i;6,т) = const (Ът - ШП1+П2-ПЧ1+П1-П2П2
Изучим действие инфинитезимальных операторов гА + В, гА - В, гС
на полиномы A3.8). Прежде всего отметим, что (см. A3.6))
(«л + вщт - Ьт)" =уI-щ; + тщ-^) {Zim - Ьт)" = о,
{гА - В)FЧ2 ~ ЬтУ = (б^- + &^) (&«й - Шч = 0.
Поэтому
{iA + B)CJnitna](b,4i;b,m)
= const (щ^ + т-щ-^J(бча -бЧ1)П1+Пз-п»??+П1-Па'й+Яз"П1 = о,
(М-?)qni>na]F,in;6,»»2) = F^- + 6^)q„1i„3]«i,»?i;6,'?2)
= -^(n + m + l)(n - т)С^+1П2](^,т;Ь,т)-
Используя A3.6) и тождество
Я Х]«1»»-6'71Г+Па-П
„а д \ {, д д
1
2
х ^п+щ-п^п+па-щ _ _„(^lf?a _64l)n»+B>-»4»+B»-n'1?+»»-ni>
получим iCCn[^iina]F,»?i;6,»7a) = ~«с„к,„„](&, «П;6>»й)- Проверка
тождества сводится к простому упражнению на правила дифференцирования
(подробный вывод оставляется читателю).
Ввиду установленных соотношений
(гА - В)С[пиП2] = ~у/(п + т + l)(n - m)C[?,n2]

§ 13. Представление SUB) в пространстве биспинорных полиномов 89
полиномы Q"lina],Q^a],... ,Qniina] образуют канонический базис
неприводимого представления веса п, действующего в линейном
пространстве, натянутом на этот базис. Это пространство является Bп + 1)-мерным
подпространством пространства биспинорных полиномов.
Условие на п
Приведенные выше формулы имеют смысл лишь тогда, когда все числа
ni+n2-\-n-\-l, п\+п2—п, ni—n2+n, П2—П1+П целые и неотрицательные. Для
выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
неравенства \ni — п2\ ^ n ^ ni + П2 и число п принимало любое значение
из промежутка [\ni — n2\,ni + п2] (целое или полуцелое, в зависимости от
того, является ли rci + п2 целым или полуцелым).
Все векторы канонического базиса неприводимого унитарного
представления имеют одинаковую норму. В нашем случае нормы равны
единице, так как ||С^1|Па]|| = 1.
Как показано в § 10, различные векторы такого базиса ортогональны.
Ввиду равенства [АЧВЧС2]С%П1 |Яа] = -*(п + 1)<Е[„1|Па] полиномы С?{пипЛ
и С™,г л ортогональны, если пфп'.
Резюме
При фиксированных п\ и п2 биспинорные полиномы C?fn п ,,
определенные формулой A3.8) при т = —п,—п + 1,... ,п — 1,п, \rti — п2\ ^ п ^ ni + п2,
образуют ортонормированный базис r-мерного подпространства
пространства биспинорных полиномов размерности Bni + l)Bn2 + 1).
Вычислим размерность г этого подпространства:
г = {2|ni - п2\ + 1} + {2[|ni - п2\ + 1] + 1}
+ {2[|ni - п2\ + 2] + 1] + ... + {2(ni + п2) + 1}
= {2|ni - п2\ + 1} + {2|щ - п2\ + 3} + ... + {2|ni - п2\
+ 2(ni + n2 - |ni - п2|) + 1} = 2|ni - n2\(ni + п2 - |ni - гг2| 4- 1)
ni+n2-|ni-n2|
+ 53 [(* + IJ - k2] = 2|тц - 7г2|(щ + п2 - |щ - п21 + 1)
А:=0
+ (щ + гг2 - |щ - п2| + IJ
= (ni + п2 - \щ - п2\ + l)(ni + п2 + |щ - п2\ + 1) = Bni + 1)Bп2 + 1).
Таким образом, размерность г подпространства совпадает с размерностью
Bni + 1)Bга2 + 1) всего пространства, и мы можем сделать следующий
вывод.

90 Глава И. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Резюме
При фиксированных ni и п2 полиномы С^[П1)Пзь определенные формулой
A3.8) при т = —n,—n-f-1,... , п — 1,п, \щ — п2\ ^. п ^. п\+п2, образуют базис
пространства биспинорных полиномов, состоящего из частичных базисов
при п = \щ — п2\:
СЫ-п2\[пип2]> ™> = -Ы - Ы • • . I 1*1 - Л2|,
при п = \щ — п2\ + 1:
С(?п1-п2|+1)[пьп2]> Ш = 4*1 - П2| - 1, . . . , |ni - П2\ + 1,
n/ш п = щ +п2:
^i+n2)[nbn2]> Ш = ~(П1 + П2)' • • • >  + -
Эти базисы являются каноническими базисами подпространств, которые
преобразуются по неприводимым представлениям весов \ щ — п2 |, | ni — п2 \
+1,... , ni + п2 соответственно.
Возвращаясь к представлению TSuB) группы SUB), которое
определено преобразованиями A3.3) и действует в пространстве биспинорных
полиномов, мы приходим к следующему выводу.
Резюме
Представление A3.3) группы SUB) в пространстве биспинорных
полиномов приводимо, и пространство биспинорных полиномов раскладывается
в прямую сумму подпространств, каждое из которых преобразуется по
однократному представлению веса п =| п± — п2 |, | п\ — п2 | +1,... , п\ 4- п2.
Полиномы C™r n 1 вида A3.8) образуют канонические базисы этих
подпространств. Запись этих полиномов через базисные одночлены
c^[niin^um;b,m)= ? с^^^(^щ-,ь,т) A3.п)
7711*712
дает правило перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Коэффициенты C^^^2j (они, очевидно, вещественны) в A3.11)
называются коэффициентами Клебша — Гордана.
При фиксированных пг и п2 коэффициенты Клебша — Гордана можно
расположить в квадратной матрице, строки которой объединены в
полоски, отвечающие тому или иному допустимому значению п. Внутри
каждой полоски строки нумеруются значениями т (-га ^ т ^ п), целыми или

§ 13. Представление SUB) в пространстве биспинорных полиномов 91
полуцелыми одновременно с п. Каждому столбцу матрицы соответствует
номер, определяемый двумя числами mi и т2 из обозначения базисных
биспинорных одночленов е™1^2. Эта матрица коэффициентов Клебша —
Гордана описывает переход от одного ортонормированного базиса к
другому; она унитарна, а ее элементы вещественны. Поэтому она ортогональна,
и обратная к ней совпадает с транспонированной матрицей. Это
обстоятельство позволяет выразить базисные одночлены е™1,^2 (?1,771; ?2,^2) через
биспинорные полиномы С?[П1 )П2]Кь^;6^2) следующим образом:
CTKbWfc,"») = E^n^Qnx,»,]^,»?!;^,*). A3.12)
m,n
Ниже мы получим выражение коэффициентов Клебша — Гордана
через производящие функции и установим некоторые их свойства.
Покажем, как с помощью коэффициентов Клебша — Гордана можно
записать произведение матричных элементов. В рассматриваемом случае
каждому элементу g = _%-^ € SUB) сопоставляется преобразование
пространства биспинорных полиномов, где
еF,Ч1;6,Ч2)=Л(Й,|/1;Й,1/2),
При этом базисы С™гп^п, и е™1^2 преобразуются по правилам
/с
Учитывая эти правила и формулы A3.11), A3.12), легко получить, что
? я^тд^)я^тд^)в^22(б^1;6^2)
*1,*2
m,n.,fc
*1*2
Сравнивая коэффициенты при e*i*23(?b^ьб,^) в левой и правой частях,
получим выражение произведения двух матричных элементов через
другие матричные элементы:
яй»»яй»,(*) = ? cgr^^iiiS^w- A313)
m,n,fc
Ряд в правой части A3.13) называется рядом Клебша — Гордана.
Умножая A3.13) на H^m(g) и интегрируя по группе SUB), с помощью
теоремы об ортогональности матричных элементов приходим к равенству

92 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
SUB)
-"Ti A3.14)
Задачи и упражнения
13.1. При всевозможных значениях пит выписать явные формулы для
полиномов Клебша - Гордана C[i/2,i/2]> C[i,i/2]> C[i,i] и С[10].
13.2. Проиллюстрировать на полиномах из задачи 13.1 действие операторов
iA±B, iCyA2 + B2 + C2.
13.3. Вычислить ненулевые коэффициенты C™fy>™$], C™^/™2\ C^["Jj,mal
полиномов Клебша — Гордана.
13.4. Выписать матрицы коэффициентов Клебша — Гордана из задачи 13.3
и проверить ортогональность этих матриц.
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана
и символы Редже
Производящая функция для коэффициентов Клебша — Гордана. Символы
Редже. Производящая функция для символов Редже. Связь между
коэффициентами Клебша — Гордана и символами Редже. Вторая производящая
функция для символов Редже.
Простейшие свойства коэффициентов Клебша — Гордана вытекают
из ортогональности матрицы перехода от одного ортогонального базиса к
другому. Мы отметим здесь два из них:
E^m[m1,m2]j^m [mi,m2] гт' сп'
°n[ni,n2] Un'[n1(n2] — °т °п 1
mi,m2
Е^т[гп1,т2]г-чт[гп'1}гп'2] fmi Xm2
^п{пХ}п2] Un[mtn2] ~ mi °т2 '
т,п
Дальнейшие свойства мы установим с помощью производящей
функции коэффициентов Клебша — Гордана.
4 Выведем производящую функцию для коэффициентов Клебша —
Гордана. Пользуясь формулой Тейлора, запишем1
(tim-Bm)a(m-tit)b(bi-rJ)c
- 2J*1* -Ш и Жк
*=0
t=0
1С целью сохранения красоты формул дальнейшая часть § 14 набрана в формате
альбома. — Прим. ред.

Легко проверить соотношение
dh(m-Zit)b(bi-m)
dtk
(=0 \ 2^2 1дщ)
¦^-'¦srj {-*)Ч
и вывести из него равенство
Ь+с
Умножим обе части этого равенства на ?з+с и положим t = щЦз'.
fc=0
Ь с
"l'
Положим а = П1 Н- П2 — п, Ь = n + «i — «2, с = п — rai + ^2, fc = га + m. Тогда
(б»» - Ьт)П1+П2'п(Ьт - 6^з)п+П1-П2F^з - 6^2)П-П1+П2
/я л \m+n
" (__l\2n+m-ni+n3
(т -f га)!
Согласно A3.8) имеем
(б* - ШП1+П2-п(Ьт - tim)n+ni-n*(brK - Шп~П1+П2
п
\2п
'(п1+П2+п+1)! (ni+ri2 - га)! (ra-fni-n2)! (n-ni-f гаг)! га?
I rln+m
S3
Bп+1)Bщ + 1)!Bп2 + 1)!
¦^/(n + m)! y/{n-m)\ n[ni'nal"

Для полинома C?|niin2]Di,i?i;&>»fc) (см. A3.8)) имеем
ТП\ТГ%2
_ \ ^ ^т[т1,т2]/ -, \ni+mi+n2+m2 /
- 2^ °п[пг,п2] I-1; у
(ni + mi)! (ni - mi)! (n2 + ^2)! (^2 - m2)!
SI */1 S2 Ъ
— /(п1+П2 + У> + 1)! у^ Y^/ i\2n+ni+mi+n2+m2 ^[mi,m2]
" V 2n+l ^ ^ l~ ^ ^[m,^]
y/{ni+mi)\ (ni-mi)! (n24-m2)! (п2-т2)! (n+rn)! (n-m)\
Э
Bni + 1)! Bn2 + 1)! ^1+miflni-muna+m3An3-m3 K
о
Поделив последнее выражение на >/(ni + n2 - n)! (n + ni — n2)! (n — ni + n2)! и подставив результат в A4.4), получим g
1
(^1^2-6^1)П1+П2-П F>?1-6»Уэ)Я+У>1"Яа (Ыз-6ЫП-П1+П2 1
\/(»1 +п2 -n)! >/(n + ni - n2)! \/(n-ni + пг)! |
о
н
со
О
sa
<«i+mi П1-тип2+т2 п2~тг<*п-т n+m Я
S1 71 S2 72 S3 73 Q4 к\ *
а
я
Левая часть A4.5) может рассматриваться как производящая функция для коэффициентов Клебша — Гордана) кото- Я.
рые в правой части играют роль коэффициентов (с точностью до знака и общего множителя, вынесенного за знак w'
?ni+mi П1-т1?П2+т2^п2-т2?П-т n+m *
суммы) при одночленах * х 2 2 3 3 > с!
V (™i + rni)! (ni - mi)! (n2 + m2)! (n2 - m2)! (n + m)! (n - m)! 2
Разложение полинома
(ftm - bm)R™(bm - 6у?з)Д23 Fgs - 6%)д"
V-^зз! \/й2з! ^^1з'

по степеням fi, щ) ?2, т/2, ?з> Vz удобно записать в виде
R\\ R\2 R13
ГлО Г7тО ГТтО = 2J*21 *22 *23
л/Дзз!
fiRll n-^12 ?-R2l „#22 ?#31 w#32
SI ll <2 72 S3 73
\/Й2з! л/Й1з!" ^ д31 д32 д33 л/-Кп' л/Ri? V-R21! \/i?22! л/йзз! ч/Дз?'
A4.6)
где суммирование проводится по всем неотрицательным Дц, Дх2, Д21, Д22, Дзь #32 таким, что
Дц + Д12 + Дгз = Д21 + Д22 + Дгз = Дз1 + Дз2 + Дзз = Дц + Д21 + Дз1 = Д12 + Д22 + Дзг = Д13 + Дгз + Дзз-
A4.7)
Проверьте это утверждение!
Коэффициент вида
Дц Д12
Д21 Д22
Дз1 Д32
Д13Г
Дгз
Дзз|
называется символом Редже по имени итальянского физика, который ввел это понятие. Символ Редже считается
равным нулю, если среди Д^ есть отрицательные либо нарушается хотя бы одно из равенств A4.7).
Символы Редже связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующим равенством:
|ni+mi п\ - mi П + П2 — П1
1^2 "fm2 И2 — Wl2 П + П\— 712
п — га n + m ni + П2 — n
= (-1J
¦/
2n+ni+n2+mi+m2. /(nl + n2 + П + 1)! rm[mitm2]
2n + l
-"n[ni,n2]
A4.8)
о
V
•e
я
я
Ф
и
н
Ф
Б
3=1
00
о
to
E
s
3
Во многих случаях удобно сначала изучить свойства символов Редже, а уже из них получать соответствующие
свойства коэффициентов Клебша — Гордана.

Найдем для символов Редже еще одну производящую функцию. Для этого рассмотрим и преобразуем сумму
?
(«13 + Al3 + Дзз)! ,д„ ,к„ ,л„ КШ - fell)"" (fali-fti»)"'1 (йзд-бш)""
^=jRi3+^23 + ^33
\лНзз' Й2з'- Лхз!
/¦Лзз /-Л23 /-г
"S3 S2 Si
л/йзз!
л/^2з'
ад
?
Я!
Язз'-йгз'-Лгз1
[СзF»?2 -Ш}я*3ЫЬт - iiri3)]R"[Ci(Bm -6>«?2)]Й13
Я=Я1з+Л2з+Лзз
[СзF»?2 - Ьт) + C2F»;i - &*?з) + CiF^3 - Ыг)]к =
6 »/i Ci
6 т B
6 *?з Сз
R
С другой стороны, рассматриваемая сумма равна величине
*Е
#11
#21
#31
#12 #13 Г
#22 #23
#32 #33 |
/¦-Кзз /"R23 /-Rl$ <^Ди <*^12 ?#21
S3 S2 Si Si ^l S2
Я22 <Г#3
V2 S3
г)з3
уЯзз' \/#2з' л/#1з! л/Rii- v#i2' v#2i! л/^22! v#3iX л/#з2!
Сравнение этих двух записей приводит к следующей производящей функции для символов Редже:
?#11 /«#12 /-#13 ?-R:
S1 ^1 SI S2
_1_
#!
it
6
&
Vi
т
т
Ci
С2
Сз
я 1
=>;
iiij J
#11
#21
#31
Rl2
R22
R32
#13
#23
#зз|
ъ
#22 /-#23 ?"#31 Т1^32 /*#»¦
уЛц! v-^12! л/#1з' v#2i- л/#22'- \/#2з! v#3i' л/Лзг! \/#зз!
A4.9)
Вывод важных и красивых свойств символов Редже и коэффициентов Клебша — Гордана предлагается в задачах.
Задачи и упражнения
14.1. Пользуясь A4.9), доказать следующие утверждения:
to
Я
•о
о
S
ы
03
я
Я
S
»
я
я
о
Я

Д:
(а) сумма целых неотрицательных Rik в каждом столбце (строке) ненулевого символа Редже одна и та же и равна
Дц -+- Д12 + R13 = R, Rn + Д21 + R31 — Д> Д21 + Д22 + Д23 = R)
R12 + Д22 4- Д32 = Д, Д31 + Д32 + Дзз = Д, R13 + Д23 + Д33 = Д;
(b) при перестановке строк (столбцов) символ Редже умножается на (-1)я;
(c) при транспонировании символ Редже не меняется.
14.2. Пользуясь формулой A4.7) и задачей 14.1, найти различные возможные соотношения симметрии коэффициентов
Клебша — Гордана. Например,
Г1т[т1}т2] _ п „..„,/„ rtm[mlim2] _ / i^+ni+^^K.mi] _ / 1 \n-fni+n2^-m[-^i,-m2]
n"i|mi,m2] _ / 2п + 1 , -.чтц-ггц^-УПг^ь-т] ^,m[mi,m2] _ / 2fl + 1 vn2_m _mi[_
Un[m,na] '~Y2n2 + l 0пз[п1,п] ' ^п[щ,п3] ' ~ у 2пг + 1 U«iK"a
¦«—rr*i[—m,m2]
2]
О ?J Q
14.3. Проверить, что оператор щ—- + ^2^;- + ^з-^т~ обращает левую часть равенства A4.6) в нуль. Группируя
o?i о& о?з
слагаемые в правой части, доказать равенство
+ >/(Д21 + 1)^22
>/(Д11 + 1)Л12
Дп 4-1 Д12 — 1 Д13
Д21 Д22 Дгз
Дз1 Дзг Дзз
Дц Д12 Д13
Д21 +1 Д22~~ 1 Дгз
Дз1 Дзг Дзз
Дц Д12 Д13
+ v (Д31 + 1)Дз2 | Л21 -R22 Дгз
Дзг + 1 Дзг -~ 1 Дзз
= 0
и вытекающие из него рекуррентные соотношения между коэффициентами Клебша — Гордана:
V(ni + m1 + l)(n1-m1)Cg^+1'TOal + v/(n2 + m2 + l)(n2-m2)C^:42+11 = ^(n - ш + l)(n + m) C^j^1.
03
со
CO
S
Я
(S3
$
Я
ф
a
я
a
CD

14.4. Пользуясь равенством
F42-6%) (бЧЗ-б*!)*"
СО
00
Цзт-Ш^Итз-Ш*1*
V#ii ^(#зз-1)!#2з!#1з!
установить рекуррентное соотношение
#и — 1 Ru
#21 #22 - 1
#31 #32
(&% - 6ц)ЛааF»|У1 - 6^з)Д23F^з - бЫ*13
\/#зз' #гз' #1з'
#11 #12
#21 #22
#31 #32
#13
#23
#зз|
___ /#11#22
""V #зз
#13
#23
#33 — 1
V #33
#11
#21-1
#31
и вытекающую из него формулу
п[п1)п2] ~~
-1m[mi-l/2,m2+l/2]
' (ni +mi)(fi2 - m2)
(ni + n2 - n)(ni + n2 + n + l)^"[m-i/2,na-i/2]
_^tm[mi+l/2,m2-l/2]
(щ - mi)(n2 + m2)
~ Y (l»i + 7i2 - n)(ni + П2 + П + 1) n[«i-l/2,na-l/2]
14.5. Проверить равенство
(-6qi)*a8F»ift -6г?з)Д2ЭF^з)Д1Э = y^
\/#зз! #23! #1з' ^^
и с помощью бинома Ньютона вывести формулу
#11 #12 #13
#11
#21
#31
#12 #13
0 #23
#32 #331
?#11 „#12 ?#21 ?#31 м#32
S1 71 S2 S3 УЗ
\/#ц! #i2?#2i! #31! #32!
/гц Л12 Л13 /Б
Д21 О Л23 =(-!)*»+*» J^ii
#31 #32 #33 V П
!#23!#32'#2l!
#1з!#з1'#зз'
#12-1
#22
#32
#13
#23
#33 — 1
S3
о
я
w
ю
§
»
s
a
я
Ф
ft
3
CD
CD
fa
fl>
Я
IS
»
n
a
ел
О
s

14.6. Пользуясь задачей 14.5, найти коэффициенты Клебша — Гордана ирц т2 = п2. Пользуясь задачей 14.2, найти
коэффициенты Клебша — Гордана при mi = ±ni, m2 = ±n2, m = ±n, n = n\ + n2, n = n2 -ni, n = ni -n2. Например,
^(mi+maJImbma] _ /_-,42ni /(wl + n2 + mi + m2)!(ril + П2 ~ ffli - m2)! - 2nj\ • 2n2!
(ni+na)[nbfi3] - v J у (ni - mi)!(n2 - m2)!(ni + mi)!(n2 + т2)!Bгц + 2n2)!"
14.7. Вычислить коэффициент Клебша — Гордана
ro[o,o] , w+ni_n2 [1 /Bn -I- l)(n + m - n2)! (ni + n2 - n)! (n - щ + n2)!
^niribnj ^ Ч (/ — rii)! (/ — гг2)! (/ — n)! У (»4+*2 + n + l)!
если
ч0[0,0] _
ni + n2 + n = 2/ четное, и CnL' Jn j = 0, если ni + n2 + n нечетное. g3
14.8. Используя формулу A3.14) и задачу 14.7, доказать при г%\ + «2 + п = 21 равенство |
ck[kltk2] = / Bn+l)(n + ni+n2 + l)! я
"[«i."d У (п + П1 _ П2I (П1 + п2 - n)! (n - ni + n2)! ?
x(.1),+Wl-n,«-n1)l(f-»a)!(/-n)! | едедад^.
SUB)
14.9. Используя интегральное представление С^[**'* j из задачи 14.8, вычислить С^р}'*] и С^'З.
14.10. Вычислить Cq^'^J, предварительно установив равенство
я
SUB) SUB)

1 dn(ti2 — l)n
14.11. Пусть Vn(v) — полиномы Лежандра: Vn(\x) - -—г——. —. Показать, что
2nn\ dfin
l
1/2
Указание. Воспользоваться равенством Щ0(д) =Рп(/л)-
14.12. Показать, что
V,m[-l/2,m+l/2] „т [1/2,т-1/2]
n-l/2[l/2,n] °n-l/2[l/2,n]
^т[-1/2,т+1/2] ^,т[1/2,т-1/2]
°п + 1/2 [1/2,п] °п+1/2 [1/2,п]
п + т +1/2
2n-f 1
:-Ь 1/2
2га+1
V
V
га - т + 1/2
2п + 1
п + т+ 1/2
2п + 1
14.13. Показать, что
s^m[— l,m+l] ^m[0,m] ^m [l,m —1]
4-l[l,n] bn-l[l,n] °n-l[l,n]
-r,m[-l,m+l] ^m [0,m] ^,m[l,m —1]
°n[l,n] °n[l,n] °n[l,n]
^m[—l,m-|-l] ^m[0,m] ^^^[ljm —1]
Уп + 1[1,п] °n + l[l,n] °n + l[l,n]

'(n — m)(n + га)
nBn+l)
f(n — ra + l)(n — m)
2nBn + l)
f(n + m + l)(n + m)
2nBn+l)
/(n + m + l)(n — m)
J 2nBn + l)
/(n — m + l)(n — m) /(n + 1 — m)(n + l + m) j(n + m + l)(n + m)
j(n + m)(n — ra + 1)
+ i)
2n(n + 1)
Bn + 2)Bn + l)
(n + l)Bn+l)
Bn + 2)Bn+l)
14.14. С помощью ряда Клебша — Гордана A3.13) и задачи 8.7 вывести формулу умножения
KXwWSiw) = "if ^KU^nr1^2 + у2 + г2)(П1+П2-")/2п;Г(*,у)г).
n=|ni-n2|
п
14.15. Доказать равенство ^ П™(ж,у,.;г:)П™(а;',?/,;г:') = Vn(xxf + уу' + zz') и вывести из него формулу сложения
т= —га
для многочленов Лежандра:
Vn(cosj) = Vn(cos01)Vn{cose2) + 2 V " Ш tPnm(cos^) Р™{со*в2) cos т(^ - у>2);
здесь 01,у>1 и ^2,^2 — сферические координаты точек Р и Q) лежащих на единичной сфере, а 7 — угол
между радиус-векторами ОР и OQ, так что cos 7 = cos#i cos02 + sin в\ sin02cos(y?i - (p2).
09
4
a
CO
a
(X>
я
s

102 Глава П. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
§ 15. Кронекеровы произведения линейных
преобразований (матриц) и представлений
Кронекеровы произведения преобразований и матриц. Основные свойства
кронекерова произведения. Кронекерово произведение представлений и его
основные свойства. Представление A3.3) группы SUB) в пространстве би-
спинорных полиномов как кронекерово произведение. Характер
кронекерова произведения неприводимых представлений весов п\ и п2 и разложение
его в сумму характеров.
Рассмотрим п х тг-матрицу Ли тх m-матрицу В и соответствующие
им линейные преобразования n-мерного пространства и m-мерного
пространства. Элементы прямоугольных п х т-матриц
Х =
образуют линейное пространство размерности пт. Определим в этом
пространстве линейное преобразование X1 = АХВТ и выберем базис
«11
«21
.«nl
«12 •
«22 ¦
«п2 •
«lm
«2m
%nm
Е^ —

0
0
0
0
J-й столбец
0
...1...
0
0
0
0]
0
OJ
г-я строка
Тогда любые п х ш-матрицы X и X' можно записать в виде X = Y^xijEij
и!' = H2xijE*ji а преобразование X1 = АХВТ описывается следующим
преобразованием элементов хц\ Xij = J2a*kbjiXki, *\* — 1>2,... ,n, jj =
к,1
1,2,... , m. Это преобразование nm-мерного пространства называется кро-
некеровым произведением преобразований Л и В и обозначается А х В.
(тп) х (тга)-Матрица С с элементами Cijki = aikbji, задающая
преобразование Ах В в базисе Е^, называется кронекеровым произведением матриц А
и В. Кронекерово произведение матриц принято также обозначать Ах В.
Установим некоторые свойства кронекерова произведения.
Лемма 15.1. Если А = АгА2 и В = ВгВ2, то Ах В = (AixBi)(A2xB2).
Доказательство. Утверждение следует из цепочки равенств АХВТ =
AiA2X(BiB2)T = А1(А2ХВ^)В'[, в которой левая и правая части
описывают преобразования А х В и (А± х Вг)(А2 х В2). Ш
Лемма 15.2. Справедливо равенство det (Ах В) = (det A)m(det B)n.
Доказательство. Обозначим через 1п и 1т единичные квадратные
матрицы порядка пит соответственно. Заметим, что А х В = (AIn) x AтВ) =

§15. Кронекеровы произведения
103
(А х 1т)Aп х В). Следовательно, det (А х В) = det (A x Im) det (In x J5).
Поэтому достаточно доказать равенства det (A x Im) = (det Л)т и det Gn х ?) =
(det В)п. Преобразование Ах 1т определяет линейное преобразование X1 =
АХ п га-мерного пространства п х га-матриц Х, при котором m-й столбец
матрицы X преобразуется матрицей А. Если Xij представить как вектор,
первые п компонент которого есть первый столбец матрицы Х}
следующие п компонент — второй столбец матрицы X и т. д., то преобразование
X1 = АХ можно отождествить с клеточно-диагональной матрицей
\Л л 0 1
Lo "' а\
на "главной диагонали" которой расположены га матриц А. Очевидно, что
детерминант такой клеточно-диагональной матрицы равен (det^)m.
Хорошо известно, что детерминант матрицы не зависит от выбора базиса,
поэтому det (A x Im) = (detA)m. Равенство det (/„ х В) = (detB)n
доказывается совершенно аналогично. Надо только при записи преобразования
X' = ХВТ расположить элементы матрицы X в виде вектор-столбца,
состоящего из элементов первой, второй, третьей и т. д. строк матрицы X, и
заметить, что рассматриваемое линейное преобразование отождествляется
с матрицей
\В в О I
L0 ' в\
на "главной диагонали" которой расположены п матриц В. Ш
Лемма 15.3. След кронекерова произведения матриц А и В равен
произведению их следов: tr (A x В) = tr A trB.
Доказательство. Кронекерово произведение Ах В матриц А и В
определяется (пт) х (гсга)-матрицей С с элементами Cijki = aikbji.
Утверждение леммы вытекает из следующей выкладки: trC = X)c*i*i = Z)a«fyj =
YiaiiJ2bjj = tTAtiB. ' ' ¦
* о
Лемма 15.4. Преобразования А х В и В х А описываются подобными
матрицами.
Доказательство. Заметим, что преобразования X' = АХВТ и У =
BYAT подобны, поскольку второе преобразование можно переписать через
транспонированные матрицы в виде (Y')T = AYTBT, который отличается
от X1 = АХВТ лишь иной записью преобразуемых и преобразованных
векторов: Ут вместо X и (У)т вместо X'. Переход от матрицы X к
транспонированной матрице Х^ можно рассматривать как переход в пространстве
матриц к новому базису. ¦

104 Глава И. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Лемма 15.5. Если матрица А подобна матрице А0 (А = TAqT) и
матрица В подобна матрице Во (В = R~1B0R), то кронекеровы
произведения Ах В и А0 х Во подобны: Ах В = (Т х R)~1(A0 x B0)(T x R).
Доказательство. Достаточно заметить, что верно равенство (TxR)'1 =
Т-1 х R~\ так как (Г х Ц-г)(Т х R) = (Т^Т) х (R^R) = In x Im = /nm,
и проверить справедливость равенств А х В = (T~lAoT) x (R~1B0R) =
(Г х Я-г)(Л0 х В0)(Т х Д) = (Г х R)~l{Ao х B0)(T х Л). ¦
Теперь перейдем к изучению кронекерова произведения
представлений. Пусть Tg и Rg — два представления группы G) определенные
преобразованиями Тд, д € G, и Rg) g ? G. Для фиксированного д рассмотрим
матрицы Tgi Rg, соответствующие преобразованиям Т9) Rg и определим
Л~ матрицу Fg = Тд х Rg. Можно показать (покажите!), что соответствие
^ д -> Fg определяет представление группы G, которое обозначим через
Fg = Tg х Rg- Представление Fg = Tg x Rg называется кронекеровым
произведением представлений Tg и Rg-
Для данных представлений Tg и Rg группы G рассмотрим
кронекеровы произведения Fg = Тс х Re и Hg = Rg х Tg. В силу леммы 15.4
представления Fg и Hg эквивалентны. Поэтому мы можем рассматривать
с точностью до эквивалентности кронекерово произведение представлений
Tg и Rg, не фиксируя порядок сомножителей.
Непосредственно из леммы 15.5 вытекает следующее утверждение.
Лемма 15.6. Если представления Tg, Tq и Rg, Rg группы G попарно
эквивалентны (Tg = Q~lT%Q, g eG, uRg~ S~1R°gS, g €G) то кронекеровы
произведения TG x RG uT^x R% эквивалентны (Tg x Rg = (Q x S)^ x
R?g)(QxS))9eG).
Как показано выше, в пространстве унитарного представления (или в
пространстве представления, эквивалентного унитарному) можно выбрать
базис так, что в этом базисе преобразование TQ) g e G, отождествляется
с клеточно-диагональной матрицей, на диагонали которой стоят матрицы
(к)
Тд ' соответствующие неприводимым представлениям. Если
T(i) тB)
J-g ,-Lg >
переход к новому базису осуществляется с помощью преобразования Q, то
Тд можно записать в виде
Tg = Q-
-t(l)
-B)
п(к)
0.
Аналогично преобразование Rg, д ? G, с помощью матрицы перехода S
к новому базису может быть записано через матрицы Rg,Rl
A) рB)
яE)

§15. Кронекеровы произведения
105
соответствующие неприводимым представлениям, в виде
Rg — S
Rl
(i)
dB)
tig
о
я
с»)
s.
Поэтому кронекерово произведение Та х Rg эквивалентно кронекерову
произведению представлений группы G, определяемых матрицами вида
-A)
-B)
l9 J
R"
R,
B)
R\
(«)
9 J
A5.1)
Пространство этого представления, как мы покажем ниже, распадается
в прямую сумму пространств па х тр-матриц Хар, а = 1,... , Аг, /3 =
1,... ,5, где па х па и тр х тр — размеры матриц Т^*' и Rg
соответственно. Каждое из этих пространств преобразуется в соответствии
с кронекеровым произведением неприводимых представлений Т?*> х щ':
Х'а/3 = T^Xap(R^)T. Чтобы убедиться в этом, достаточно задать A5.1)
как преобразование матриц X:
Х' =
пA)
пB)
г(*0
l9 J
X
41}
я
B)
r:
и разбить матрицу X на клетки Хар,
Х =
ГХц Х\2
Хъ\ Х22
l-Xkl Xk2
%2s
Xks
так, чтобы клетка Хар имела па столбцов и тр строк. Легко проверить, что
если Х'ар — соответствующие клетки матриц X*', то Х'ар = TgXap(R^)T.
Резюме
Чтобы найти неприводимые представления, на которые
раскладывается кронекерово произведение То х Rg представлений То и Rg группы G,
надо разложить каждое из представлений То и Rg на неприводимые пред-
ставления Т^ и R? , a затем выяснить, на какие неприводимые
представления можно разложить кронекерово произведение Т^ х Rq '.

106 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Покажем, что представление rSUB) группы SUB), определенное
преобразованиями A3.3) пространства биспинорных полиномов V{?i,r]i;?2,112)
степени однородности 2п\ по ?ь щ и степени однородности 2п2 по ?2,
гJ может рассматриваться как кронекерово произведение неприводимых
представлений весов п\ и п2. Напомним (см. § 13), что
преобразования Тд (см. A3.3)) рассматривались как произведения (см. A3.4), A3.5))
Тд = Т^Т^ = rj2)TgA), где преобразования Т5A) и ТдB), определенные в
A3.4) и A3.5) соответственно, преобразуют коэффициенты полиномов
m2 mi '
<3F,»?i;6,%) = ^ E3«"»im»CnTKb4i;6,42))
по формулам
к
Эти формулы показывают, что представления 7? и Т?2^ можно
рассматривать как кронекеровы произведения представлений, определенных
преобразованиями Г<7A) = НП1 х 1П2 и Т5B) = 1П1 х ЯП2. В силу леммы 15.1
Т^ х Т<2) = (ЯП1 х /П2)(/П1 х ЯП2) = ЯП1 х Я.
Итак, построенное в § 13 разложение пространства биспинорных
полиномов дает разложение кронекерова произведения представлений весов ni
и 7i2 на неприводимые представления. Коэффициенты Клебша — Гордана
являются координатами канонических базисов кронекерова произведения.
Именно по этой причине мы уделили им столько внимания, выделив для
их изучения специальный параграф (см. § 14).
Используя теорию характеров, выясним, на какие именно
неприводимые представления раскладывается кронекерово произведение
неприводимых представлений Т^1 и Т?2 весов п\ и п2. Характер xi^Q1 x ?с?2) Равен
произведению характеров хП1(о;)хП2(^) представлений Tq1 и Tg2 (см.
лемму 15.3). Поэтому
_ sin (ni 4- 1/2)а; sin (n2 + l/2)o;
sin2 (w/2)
x{Tni x iya) = — V"l т ^t%—^ T A/^f ^GG.
Если в разложение представления Tqx x Tg2 неприводимое представление
веса п входит с кратностью к = fe(ni, п2, га), то
^7Г
2?г
sin (ni + 1/2)о; sin (n2 + 1/2)о; sin (n -f l/2)o;
. ; 7— did.
sin (o;/2)

§15. Задачи и упражнения
107
Вместо вычисления интеграла мы запишем характер х{Т?* х Т?2) в виде
суммы при помощи несколько искусственной, но элементарной выкладки:
sin (ni + 1/2)uj sin (n2 -f 1/2)lj _ 1/2 cos \n\ — n2 \u — 1/2 cos (щ + n2 + l)w
sin2 (w/2) ~ sin2 (<j/2)
_ 1/2cos |ni — n2|u/ — l/2cos(|ni — n2| + 1)<V
" sin2 (w/2)
l/2cos(|ni -n2| + l)w- l/2cos(|ni -n2| + 2)cj
+ sin2 (lj/2)
1/2 cos (ni + n2)u; — 1/2 cos (n\ — n2 -f \)lj
+ '" + sin2 (lj/2)
_ sin(|ni — n2| -h l/2)cjsin(o;/2)
" sin2 (lj/2)
sin (|ni — n2| + l/3)w sin (w/2) sin (ni + n2 + l/2)u> sin (u>/2)
+ sin2 (cj/2) +'"+ sin2 (lj/2)
__ sin(|ni-w2l + l/2)a; sin(|ni -n2| + l + l/2)w
sin (u/2) sin (u>/2)
sin (ni + n2 + l/2)w
sin (lj/2)
= х,П1~П2,Н + х,П1"П2|+1Н + - -. + хП1+П2И-
Ввиду ортогональности характера Аг(пь n2) n) = 1, если п содержится среди
чисел |ni — n2|, |ni — n2| + 1,... , rti + n2, и к = 0 в ином случае.
Резюме
Кронекерово произведение Т?х х Т^2 раскладывается на неприводимые
представления весов \щ - п2[, \щ - п2\ 4-1,.. ¦ , пх + п2; причем кратность
каждого неприводимого представления равна единице.
К такому же выводу мы пришли в § 13, но существенно более сложным
путем: мы указывали базисы неприводимых представлений при некоторой
конкретной реализации кронекерова произведения Т?х хТ?2 в пространстве
биспинорных полиномов.
Задачи и упражнения
15.1. Показать, что если det А ф 0, det В ф 0, то (А х В)'1 — А'1 х В'1.
15.2. Доказать, что совокупность собственных значений матрицы А х В
состоит из произведений \jp,k собственных значений \j(A) матрицы
А и собственных значений Цк(В) матрицы В.
15.3. Вычислить собственные значения матрицы А х IN + IN x В, где А)
В — квадратные матрицы и IN — единичная матрица порядка N.

108 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
15.4. Найдите все возможные значения параметра у, при котором
матричное уравнение АХ — ХА = уХ имеет нетривиальное решение X.
15.5. Что можно сказать о собственных числах квадратных матриц Aw В
порядка Nj если матричное уравнение АХ + ХВ = С разрешимо при
любой квадратной матрице С порядка N1
15.6. Если матрицы А и В унитарны {А*А = Ikj В*В = /,), то их кронеке-
рово произведение тоже унитарно в М-мерном пространстве
относительно некоторого скалярного произведения. Указать такое скалярное
произведение.
15.7. Доказать, что если А и В — матрицы унитарных преобразований в
канонических базисах пространств спинорных полиномов
размерностей 2пх +1 и 2п2 +1, то их кронекерово произведение Ах В в базисе из
биспинорных мономов е™1^2 также задает унитарное преобразование.
§ 16. Полилинейные многочлены
и конструкции неприводимых представлений
Полилинейные многочлены. Естественное представление группы SUB).
Правило построения базисов неприводимых представлений. Спинорные
полиномы, коэффициенты которого суть полилинейные многочлены.
Операторы d+, do, cL. Цепочки, определяющие неприводимые представления.
Число эквивалентных неприводимых полилинейных представлений.
Примеры.
Рассмотрим систему п векторов
«(i) = (t,i1>>t4l),t41)),-,«w = («i"),t4n),t4w))-
Многочлены
^.««..„llWjr: ? Р^лЛУ^-М?, A6-1)
линейные по компонентам каждого из векторов u^l\u^2\ ... ,u(n),
называются полилинейными. Совокупность полилинейных многочленов с
числовыми коэффициентами Р%х^..лп образуют линейное Зп-мерное
пространство. Каждому линейному преобразованию
(Ib-'OHI '']{')• «+я=*.'**ч
A6.2)

§ 16. Полилинейные многочлены
109
естественно сопоставляется представление TsuB) группы SUB),
действующее в этом Зп-мерном пространстве и определяемое преобразованиями
TgV(vP\vP\ ... Мп)) = V(u^\u^\ ... ,u<n>) = 7>(йA),йB),... ,й(п)),
т@
;@
~@
а -/?
/? а
~@
~@ —@
«1у — г«2
40 . -@ "
-@
а
. -0
OL
A6.3)
Мы знаем, что это представление может рассматриваться также как
реализация представления группы SOC) вращений трехмерного пространства,
в котором лежат векторы и^. Однако чтобы использовать технику спи-
норных полиномов, будем проводить в основном рассуждения для группы
SUB). Допуская определенную неточность, мы будем ссылаться на
представление A6.3), имея в виду представление группы SUB), определенное
преобразованиями A6.3) пространства полилинейных полиномов.
При п > 1 представление A6.3) приводимо. Выясним, как его
разложить на неприводимые представления.
Анонс
Мы укажем правило построения набора полиномов, которые
формируют базисы неприводимых представлений. Для этого мы построим
инвариантные относительно преобразований A6.2), A6.3) спинорные многочлены
:г»(?, т и^2),..., «("))= ^eL+V~^r(«A)i«B),..-,«(n))
l=-L
A6.4)
коэффициенты которого 7>/*, — L ^ / ^ L, являются полилинейными
многочленами. Следуя этому правилу, можно построить полную линейно
независимую систему VP для любого веса L, допустимого при данном п.
Оказывается, что даже если фиксировать Z, а не только п, то и в этом
случае линейно независимых наборов V? будет несколько. Иными словами,
мы получим представления, кратные представлению веса L.
Рассмотрим инвариантные операторы
d+(xy у, z) = — r)z - z?ri + —-—С,
x + iy д z f д д\
_ , x + iy д2 д2
d~{x^z)=-r-w-zm
х — гу
х - iy д
+ 2 %'
д2
дг)
2'
A6.5)

ПО Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Если в какой-либо из операторов d+(x, г/, z), d0(x, t/, z)} cL(z, г/, z) подставить
вместо я, у, z компоненты и^+1\ t4n+1\ г/^п+1^ вектора ад(п+1) и
подействовать этим оператором на полином Т^п\^г);и^\и^2\... ,и^) вида A6.4),
полученный полином ^7(n+1) будет также инвариантен относительно
преобразований A6.2), A6.3). Но теперь коэффициенты при степенях
произведений спинорных переменных ?, ц зависят от компонент п -}-1 вектора.
Кроме того, после действия оператора d+ (соответственно, d_) степень по ?,
rj полученного спинорного полинома J*(n+1) станет равной 2(Х + 1)
(соответственно, 2(? — 1)), тогда как после действия оператора d0 степень полинома
jr(n+i) не изменится и останется равной 2L.
Инвариантность полиномов d±Tn и d^Tn проверяется несложной, но
требующей аккуратности выкладкой. Мы настоятельно рекомендуем
читателю провести это обоснование прежде, чем углубляться в изучение
дальнейших конструкций. В частности, мы советуем выразить полиномы
ТдР? через Н^п{аур) и 7>^A)У2), • • • Мп))*
Прежде, чем начать построение, сделаем следующее замечание.
Допустим, что нам удалось построить инвариантный ненулевой полином вида
A6.4) степени 2L по спинорным переменным с полилинейными
коэффициентами Vp(u^\ и^2\ ... ,«(")). Коэффициенты ненулевого полинома A6.4)
образуют базис неприводимого представления веса L и, следовательно,
линейно независимы.
• Если L = 0, т. е. Тп не зависит от ? и ц, то Тп имеет только один
ненулевой коэффициент Vq(uA\uB\ ... ,t*^n^), который должен быть
инвариантен относительно преобразований A6.3). Так как операторы d0 и d_
включают в себя дифференцирования по ? и гу, имеем
A6.6)
d0(uf+1\ 4n+1), 4П+1))^П = doVS = О,
тогда как
<пп+1 _ Щ. ги2 г>п
где
>+Х) _ jJn+l)
т
^0n+i = -4п+1)^о» A6-8)
„("+1) 4- tti(n+1)
У-1 - 2 °*
Очевидно, что коэффициенты V"+1, V%+1, P"+1 полинома d+Tn в
рассматриваемом случае линейно независимы, и их число равно 3 (в три раза
больше числа коэффициентов полинома Тп.)
• Если L ^ 1, т. е. степень 2L полинома Тп по переменным ?,77 отлич-
» / (п + 1) (п+1) (п + 1)ч , / (п+1) (п + 1) (л+1)\
на от нуля, то операторы d+(wi >Ц >w3 )> «ofa! , Ц >из )>
flL(i4n+1\t4n , «з ) преобразуют полином Тп в некоторые ненулевые

§ 16. Полилинейные многочлены
111
инвариантные полиномы
L+1
<*+*¦» = j2 sr(:^+i+v+i-',
L
d^n = Y, ЦоI tL+lVL-', A6.9)
l=-L
с полилинейными по компонентам и^ коэффициентами #"/+)> ФГгоI' ФГ(^)-
Для ненулевых полиномов A6.9) эти коэффициенты линейно независимы,
поскольку они образуют базис неприводимого представления. В тоже
время коэффициенты различных полиномов также не являются линейно
зависимыми, поскольку они преобразуются по представлениям различных
весов (?+1, L, L—1). Общее число всех коэффициентов Q^], Q?(t\> ФГ(-) равно
[2(L+l) + l]+[2?+l]+[2(L-l) + l] = 3B?+1) (в m/ш раза больше числа поли-
линейных коэффициентов V™ полинома fn).
Построение полиномов Тп
Полином Т° нулевой степени по ?, rj должен иметь только один
ненулевой коэффициент. Выберем этот коэффициент постоянным и не зависящим
ни от одного из векторов и^: полагаем
^° = 1. A6.10о)
При этом d-{u^\u^\u(?))F* = 0 и do{u^\u{?\u<?))F° = 0.
Определим
^ 2 A6.10i)
Коэффициенты полинома Т\ линейно независимы, линейны по
компонентам и\ ', «2 , «з вектора и^ и преобразуются по представлению веса
1 = 1.
Определим
^ = <м«1а).4аиа))П,
?Хо = rf0(«i2), 42)- «iVi, (i6.io2)
^_ = d_(MB))U22),42))n-
Коэффициенты полиномов J*|+,
^+о j *^+- при степенях ?, 77 являются
полилинейными многочленами от компонент двух векторов и^ и и^. Как
уже отмечалось, они линейно независимы, а число их совпадает с 9 = 3-3 —
числом произведений иу'иу, т. е. числом линейно независимых билиней-

112 Глава П. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
ных мономов. Следовательно, коэффициенты полиномов Т%+, F\Q) T\_
при степенях f, rj образуют базис пространства билинейных форм.
По представлению веса L = О преобразуются только коэффициенты
полинома Т\_, тогда как коэффициенты полиномов Т\+ и Т\^
преобразуются по представлениям весов L = 2 и L = 1. Поэтому cL.?+_ = О,
d^T\_ = 0, а следующие полиномы ненулевые:
^++ = <m43).43),4V|+1
^+0 = <*оD3),43),43)И+,
П+- = <м43),43),4М+,
^|о+ = <м43\ 43), 4V+0, Aб.юз)
^+00 — "(H«i ,«2 ' Z^+O»
F%o- = rf-(ui3)> u23)> из3))-^+о (не зависят от ? и 77),
П-+ = <м43),43), 4V|-
Мы рекомендуем читателю проверить, что коэффициенты всех
полиномов A6.Юз) при различных степенях ? и т\ образуют 33-мерный базис
линейного пространства, натянутого на все мономы вида и^и^иу. В
тоже время линейная оболочка коэффициентов каждого полинома из A6.Юз)
является подпространством пространства полилинейных многочленов от
компонент векторов \№ — подпространством, в котором рассматриваемое
представление группы SUB) неприводимо. При этом вес L представления
в пространстве, натянутом на коэффициенты того или иного полинома,
следующий:
L = 3 для ^|++> L = 2 для 5|+0,^0+,
? = 1 для ^+_,^_+,^00, ? = 0 для Т\0_ A6.11)
Таким образом, 27-мерное пространство полилинейных форм от
компонент трех 3-мерных векторов можно разложить на следующие
подпространства
1-мерное (неприводимое представление веса 0)
7-мерное (неприводимое представление веса 3)
2 • 5-мерное (представление, кратное неприводимому веса 2)
3 • 3-мерное (представление, кратное неприводимому веса 1)
Действуя как выше, можно продолжить построение базисов
неприводимых представлений группы SUB) в пространствах полилинейных
многочленов от компонент произвольного числа п 3-мерных векторов и^\ i =
1,2,... , п. Мы опишем соответствующую конструкцию, не
останавливаясь на доказательствах. Читатель без особого труда сможет восстановить
пробелы.
Фиксируем п и выберем последовательность из п символов "+", "-",
", начинающуюся с "+". Дальнейшее изложение мы сопровождаем ил-

§ 16. Полилинейные многочлены
113
люстрацией случая п = 5. В этом случае таких последовательностей З4 =
81. Выпишем некоторые из них:
+ + + + +
A6.12)
+
+
+
+
+
- +
+ -
+ +
0 -
0 -
+
+
-
+
—
+
+
+
+
+
Однако, как мы увидим ниже, не все эти последовательности нам
подходят. Каждой последовательности символов сопоставим последовательность
из операторов dSn\ d^),... , rfW с нижними индексами +, - или 0, причем
последовательность нижних индексов повторяет последовательность
символов в обратном порядке. В нашем примере последовательности символов
+,+,—,0,—, ставится в соответствие последовательность операторов d_,
<4 , <*- » <Ч > <ч • Мы будем использовать также обозначения
d$ = dAD\u%\u?), Д = +,0,-. A6.13)
Последовательности операторов, в свою очередь, сопоставляется полином
Тп, который может рассматриваться как последний элемент рекуррентной
последовательности полиномов Т1 = d^ • 1, Т2 = d^T1,... , Тп = d^F",
степени которых по ?, т\ определяются с помощью следующих правил:
• Т1 имеет степень 2 по ?, г).
• Если Тк имеет степень 2?* no f, 77, то степень полинома Тк+Х равна
— 2(?* + 1), если Tk+l = d?+1)J*,
— 2Lk, если^+^4^1^,
— 2(?* - 1), если J*+x = d<_*+1>j*.
В нашем примере ^ = а рекуррентная
последовательность полиномов следующая: Т1 = dy • 1, ^2 = d+T1, Тъ = d_ T2,
тА = 44)^3, ^5 = <?5)^4,
Может случиться, что один из полиномов Тъ, ТА,... , Ти окажется
нулевым. Тогда все последующие полиномы тоже нулевые. Будем запрещать
последовательности, для которых имеет место такая ситуация. Чтобы
выделить такие полиномы, надо, двигаясь по какой-либо последовательности
символов слева направо, каждый раз из числа "пройденных плюсов"
вычитать число "пройденных минусов", записывая результаты в виде числовой
последовательности ?1, ?2, ?3,— (Например, если мы двигаемся по
последовательности символов +, +, —, +, 0,0, —,—,..., то получим
последовательность Li = 1, ?2 = 2, ?3 = 1, ?4 = 2, ?5 = 2, Lq = 2, ?7 = 1, Ls = 0, —)
Числам Lk в этой последовательности соответствуют степени 2?*
полинома Тк по ?, г]. Если на некотором месте окажется нуль (в нашем примере
Lj = 0 при j = 8), то операторы d^ , d_ ^ не могут использоваться, в

114 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
противном случае J^'+1 = 0. Чтобы обеспечить равенство Xj+i = 1, мы
должны продолжить последовательность символом +. (Согласно
указанному ограничению последняя последовательность символов в списке A6.12)
является запрещенной).
По каждой разрешенной последовательности из к символов однозначно
строится полином Тк (?, ц\ uW, uW}... ? tt(*)) по правилу, указанному выше.
Этот полином однородный степени 2Lk{Lk ^ 0) по спинорным переменным
и его коэффициенты являются полилинейными многочленами от
компонент векторов иA\иB\ ... ,и(*). Эти полилинейные многочлены образуют
базис некоторого подпространства, инвариантного относительно
преобразований A6.3), причем в этом подпространстве действует неприводимое
представление веса Lk (размерности 2?* + 1). Совокупность всех
полилинейных коэффициентов всех полиномов Тк с заданным к, построенных по
допустимым последовательностям символов +, 0, — состоит из 3*
элементов, которые образуют базис пространства всех полилинейных однородных
многочленов от компонент векторов и^\и^2\ ... ,t*(*) с максимально
возможной степенью к.
Если существует несколько различных последовательностей из
символов +, 0, —, приводящих к одному и тому же значению Lk) то
представление веса Lk входит с кратностью, равной числу таких последовательностей
символов.
Замечание 16.1. В пространстве полилинейных многочленов
естественно определить представление группы вращений SOC) преобразования-
B)
,«
(п)
ми rg7>(tt<1>,ttB),..-,w(n)) = Р(«A),«B),-..,*(п)) =V(u{1\u
и^ = Q*u(l\ где Q e SOC). Напомним, что каждому элементу Q группы
SOC). соответствуют две матрицы д и -д, где д е SUB) вида д— Mf? L
аа + /3/3 — 1, такие, что с их помощью преобразование и^ — Q*u^ можно
записать в виде
из
U\ — iU2
щ -f ги2
-5з
= (±*Г
из
U\ — Ш2
их + ги2
-из
(±9)-
Сравнивая с A6.3), мы видим, что построенные базисы неприводимых
представлений группы SUB) могут рассматриваться как базисы
неприводимых представлений группы SOC) в пространствах полилинейных
многочленов. Однако мы используем спинорные переменные и образованные с
их помощью инвариантные многочлены Тк с целью упрощения изложения.
Поясним сказанное выше на графической схеме Тк. Рассмотрим
таблицу значений к и Lk и между разрешенными клетками отметим
стрелками возможные переходы.
к\
хг
о
1
¦тЩг

§ 16. Полилинейные многочлены
115
Стрелкам с наклоном вправо мы сопоставляем символ +, стрелкам с
наклоном влево , а вертикальным стрелкам — 0. Выходя из верхней
левой клетки (к = 0,Lk = 0) и выбирая путь спуска по таблице по той
или иной последовательности стрелок, мы тем самым выбираем
допустимую последовательность символов +, 0, — и указываем соответствующую
последовательность полиномов Тк{?,г}\и^\и^2\ ... ,«(*)).
Например, путь
/* = 0 \ ( k = l \ f к = 2 \ ( k = 3 \
соответствует последовательности -f, 0, —. Если в клетку (к = Z,Lk = 1)
из клетки (к = 0,1* = 0) имеются три допустимых пути,
соответствующих последовательностям (+,0,0), (+,—,+), (+,+,-), то существуют три
различных полинома Т3 степени 2?3 + 1 = 2-1 + 1=3, а именно,
полиномы J^ooj ^+-+j ^++-- Напомним, что число этих полиномов (т. е. число
допустимых путей, соединяющих клетки (к = 0, Lk = 0) и (к = 3, Lk = 1))
совпадает с кратностью представления веса 1 группы SOC) в
пространстве полилинейных многочленов степени однородности к. Кратности для
различных к и Lk указаны в следующей таблице.
| к \ Lk
1 ° 1
1
2
3
4 1
5 1
1 о
п~
1
1
3
6
1
1
1
3
6
15
2
1
2
6
15
3
1
3
10
4
1
4
5
1.1
Правило построения таблицы. Число, стоящее в клетке (к, Lk) при Lk ^
1 равно сумме чисел в клетках (k -1,1*- 1), (к - 1, Lk), (к - 1, Lk + 1), а
при Lk = 0 — числу в клетке (к - 1, Lk + 1) = (к - 1,1).
Используя это правило, нетрудно продолжить таблицу.
Пример 16.1. Пусть к = 2. Покажем, какие билинейные полиномы
можно использовать в качестве базисов неприводимых представлений
группы SOC). Допустимые последовательности символов следующие: (+,-),
(+>0), (+,+). Им соответствуют полиномы Т\_, Т\^, Т\+, которые
нетрудно выписать явно:
П- = «РЧ4
+ и
(-2)^(,1) + 42L1)
A6.14а)
Т2 — <
'и B) A)
,BUD
) ~ г"(ч
+^[4241)-42L1)]
BUD
•l4l))]
Wo «4
+ ^[D241)-424V*D2U1)
u\ ' — и
<2)„A)
)],
A6.14b)

116
Глава И. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
П+ =?и«М1) - 42L1)) - <(i4aMl) + «I'M4)]
+
2
[2«3 и3
B)„A) , ,.B)„A)
+ и)
о+»•(«;
PU1) л. „BU1)
+ «я
})]
«^ - «РЧ1* - 42LХ)]
+ ^[D2)^х) + ^4г)) + ^D2L1}+42Ч1})]
A6.14с)
Полином J\?_ инвариантен относительно преобразований, определяющих
представление группы SOC).
Коэффициентами полинома J^_0 при спинорных переменных являются
три полинома, линейная оболочка которых преобразуется по
представлению веса 1. Вещественный базис этой оболочки обычно составляется из
следующих многочленов:
.BЦ1)
&4\
BU1) ,.BUD
Wo 'Щ ' — U
*3 >
и?ч1)-47ч1).
A6.15)
Пространство билинейных полиномов, в котором действует 5-мерное
представление веса 2, состоит из линейных комбинаций коэффициентов
полинома Т%+ при ivrf. Вещественный базис этого пространства можно
сформировать из многочленов
W.M) j. JV.M)
Uo 'U
+ tii 'U
2 >
WJ1) _L „B)#f(l)
+ Щ
л3 у
X2)il)^B)(l)
Л-Щ
*3 »
.W.M)
АA)
АA)
 
WJV
A6.16)
«1 'U
Пример 16.2. Трилинейные полиномы
7 j •r«3*2*lU*3 *2 »1 >
»1,*2,»3
преобразующиеся по неприводимым представлениям, можно выбрать из
коэффициентов спинорных полиномов
По- С = 0)
•7>++ (* — 3) j *M-+0 j *-
++-
+0+
а = 2).
A6.17)
Наиболее просто выглядит полином Т+0
Т3
,C) «Р) A)
,B)
C) B)
и-
?) ,i2> «<8>
A6.18)
Мы рекомендуем читателю рассчитать еще один или два полинома из
A6.17) и затем указать какие-нибудь вещественные базисы отвечающих
им инвариантных подпространств.

§ 17. Тензоры, тензорные представления
117
§ 17. Тензоры, тензорные представления
и разложение на неприводимые представления
Полилинейные функции и тензорные поля. Формальное определение
ортогонального тензора. Разложение тензорных полей на неприводимые по схеме
из § 16. Пример — разложение тензоров второго ранга.
Дифференциальные уравнения математической физики во многих
случаях описывают состояние или эволюцию разнообразных тензорных полей.
Каждое такое поле описывается системой функций (вектор-функций)
зависящих от пространственных координат яь#2,яз и> возможно, от
времени t. При переходе к другой координатной системе значения этих
функций в каждой точке пространства-времени преобразуются по
определенным правилам. Мы опишем эти правила, ограничившись случаем, когда
пространственные переменные подвергаются ортогональным
преобразованиям, а время t, остается неизменным.
При формулировке правил преобразования удобно считать, что кроме
изучаемых вектор-функций в нашем распоряжении имеются также
вспомогательные трехмерные векторы
«w = («MU^W4 = («MU2)), • • • -«(r) = («irUrUr))-
Можно предполагать, что векторы иA\иB\... ,t*(r) одни и те же во всех
точках (xi,Z2>?3,*)'
Если д — матрица ортогонального преобразования
011 9i2 9is
921 922 923
931 932 9зз
9*9 = /,
A7.1)
описывающего переход к новым ортогональным пространственным
координатам х' = дх :
9п
921
931
912
922
932
913
923
9зз
1 хг
%2
\*з
A7.2)
то естественно подвергнуть такому же преобразованию и координаты вспо-
(!) tiB)
могательных векторов и^>,и
,и
t4w
(Г);
(*)
.(') = Л
.(«)
= 9
%
A7.3)
«з
(«)
Тензорное поле можно описывать с помощью полилинейной функции
V(xi,X2,xz,t;uA\v,B\... ,«(r)) от компонент вспомогательных векторов
V(x1,x2,x3,t;u^'>,и^2\ ... ,и^)
A7.4)
1?*1,*2
,»г^3

118 Глава П. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Коэффициенты 7\-lty..,-r могут зависеть от xi, х2, х3, t, что отмечено в
обозначении, но могут быть и постоянными.
Если рассматриваемая полилинейная функция V не меняет своего
значения при замене аргументов xi,x2,x3; и['\ и%\ «^ на аргументы х'ь х'2,
х3, «1 , г*2 , «з , вычисленные по формулам A7.1), A7.2), то говорят
что она является ортогональным инвариантом, а ее коэффициенты Vi1i2...%r
образуют ортогональный тензор ранга (валентности) г.
Понятие тензора обобщает понятие вектора. Вектор — это тензор
ранга 1. В частном случае г = 1 коэффициенты ТгУТ2)Тз полинома
7>(*i,ar2,*3,t;i*A))
= Vl (Xi, Х2, Х3, t)«p + V2(XiiX2i X3i *)*4 + ^з(«1, «2, *3, t)^
могут рассматриваться как компоненты трехмерного вектора, который
мы обозначим через Р, а сам полином V — как скалярное произведение
V{x\yx2)X3,t;uA)) = (V,u^). Значения этого скалярного произведения
зависят от координат xi, x2, x3, t, т. е. они определяют, как говорят физики,
числовое (скалярное) поле.
Скалярное произведение векторов является ортогональным
инвариантом сомножителей — оно не меняется при одновременном ортогональном
преобразовании д(д*д = дд* = I) их координат: (p',uW) = (др,ди^) =
(p,g*guW) = (р}и^). Если при всех и справедливо равенство (q,u) =
(р,и), то векторы р и q совпадают. Действительно, если е^1), е&\ е^
— векторы ортонормированного базиса, то координаты pi = (р, еМ), qi —
(g,eW) векторов р, дв этом базисе совпадают, а, следовательно, эти
векторы одинаковы. Пусть при любом векторе и^ и любых ортогональных
преобразованиях и^ = ди^ для вектора р можно подобрать вектор р'
такой, что (р',и^) = (р,*^1)). Тогда (р}и^) = (р'уди^) = (д*р',и^) и,
следовательно, р = #*р' ир'= #р. Иными словами, из инвариантности
полинома V(xi,X2ixs,t;uA)) =Р(х,1,х'2,х,3,Р,и'A)) при преобразовании
/ ЦA) \ / щ \ з
«2A) \=д\ U2 ' tit.A)=^^-fctlib
V и3{1) ) \ W3 /
вытекает аналогичное правило преобразования его коэффициентов:
з
Vi(x[,x2,x3J) = Y^9ik'Pk(xi1X2,X3,t).
к=1
Если рассматривать 7?(х1,х2,х3,^«A)) как инвариантный полилинейный
(здесь просто линейный) полином от компонент вектора и^г\ то его
инвариантность эквивалентно утверждению, что компоненты вектора и^ и
компоненты Vi(xi,X2,xs,t), ^2(^1,^2,^3,^), ^3(^1,^2,^3,^) преобразуются
по одинаковому правилу.
Аналогичное утверждение справедливо и для полилинейных
полиномов V(xi,X2ixa,t;uA\uB\ ... , it^) от произвольного числа векторов и^\
и&\ ... , и(г\ Если такой полином инвариантен при ортогональных преоб-

§17. Тензоры, тензорные представления
119
разованиях х1 = дх, И*) = ди^8\ то
'A) 'B) '(г) v-^ A) B) W
A7.5)
l^.l1,k2...kr^3
Читателю рекомендуется проверить это утверждение, используя тождест-
з
ва 5^ gik9u = hi, эквивалентные матричному равенству д*д = /.
»=i
Определение 17.1. Вектор-функция (или постоянный вектор) с Зг
компонентами ?>j1,i2,...,ir называется ортогональным тензором ранга
(валентности) г, если при ортогональном преобразовании д(д*д = /) координат
х' — дх она преобразуется по правилу A7.5).
Нетрудно показать, что это правило определяет некоторое
представление группы ортогональных преобразований и, в частности, представление
группы SOC).
Для тензора ранга 2 правило A7.5) можно записать в следующей
матричной форме
Пг
Г'21
Кг
П2
^22
^32
Пз
^23
Пъ .
= 9
Гц
Г21
v31
Vt2
V22
Тг2
Тхь
V23
Vbz
которое означает, что представление, по которому преобразуются
компоненты Vij такого тензора является кронекеровым квадратом группы
ортогональных преобразований. Аналогично представление, согласно которому
преобразуются компоненты Тг1%2..лг тензора ранга г, является кронекеро-
вой r-й степенью той же группы. Все такие представления при г ^ 2
приводимы. Часто удобно записывать вектор-функцию, являющуюся тензором
того или иного ранга г, в виде суммы нескольких вектор-функций, каждая
из которых преобразуется по некоторому неприводимому представлению.
Мы наметим сейчас схему, по которой можно осуществить такое
разложение, опираясь на разобранный в § 16 прием построения неприводимых
представлений в пространстве полилинейных многочленов.
Тензору с компонентами Vixi2...ir сопоставим инвариантный
полилинейный многочлен
v= е ^,.,Д1L2)--1;)-
»1»2--.*г
Напомним, что в пространстве таких многочленов можно выбрать 2L + 1
многочленов ^l^\v^[^\2 .>^7д) 2L+i> преобразующихся по неприводимому
представлению веса L, если L соответствует какой-либо допустимой
цепочке А символов "+", "-", "О" (например, А = (+,+, -,+,+,0)).
В предыдущем параграфе роль таких полиномов играли
коэффициенты при мономах ?L+lrjL~l в инвариантных спинорных полиномах ^7Д\- Там

120 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
же было отмечено, что иногда удобно вместо этих коэффициентов
рассматривать их линейно независимые линейные комбинации. Таким образом,
можно выбрать базис вещественным. Примеры допустимых вещественных
базисов были построены в пространствах билинейных полиномов,
преобразующихся по неприводимым представлениям.
Каждый из многочленов ^7Д)~, 1 ^ j ^ 2Z + 1, может быть записан с
помощью его коэффициентов [^[^]пг2..л^
TU)j - 1l \-Tl
A) B) (г)
(A)iJ*i*2--.*r"»i иг2 " 'ai
Иными словами, набор этих коэффициентов при фиксированных г, A, j
является тензором, причем каждый тензор
\У\(A)lJ»i*a- .-*г) K(AJJ*i*2 .*г) • • • > |у (A),2L+lJ*i«3-..»r
при ортогональных преобразованиях и'^ = ди^ переходит в некоторую
их линейную комбинацию, т. е. эти тензоры преобразуются по некоторому
представлению ортогональной группы. Вспоминая § 16, легко установить,
что это представление неприводимо и имеет вес L. Так как при различных
допустимых А и j полиномы ^Тд\-- составляют базис пространства всех г-
линейных полиномов, найдутся коэффициенты а\^? Лг) такие, что
UWUW Л') _ Va(A)i ( У №Г ч L * , и{1)и{2) и{г)\
A,j Kk1)k2)...,kr '
Мы не указываем пределы суммирований, надеясь, что это не приведет к
недоразумениям. Любой тензор Pj^,,.,;, которому соответствует
инвариантный полилинейный (r-линейный) полином
v= е ^,..*д1ч(яа,-«1:).
*1,»2г-- 1*'г
можно записать в виде
Vixi2..Ar = ^^(A)J^(A)j]*i*2 ...*r> ^(A)j = 2L/ ^kik2-krak1k2...kr-
&,j Ai,/s3,...,fcr
Иными словами, тензор Vi1i2...ir можно записать как сумму тензоров
[•^(A)j]*i*2...*r) преобразующихся по неприводимым представлениям.
В качестве поучительного и важного для дальнейшего примера
рассмотрим разложение произвольного тензора ранга 2.
Пример 17.2. Любой тензор V{j, т. е. любую таблицу
Гц V12 V13
V2i V22 V2s
P31 V32 7>зз
можно записать в виде линейной комбинации девяти таблиц, которые мы
разобьем на три группы.

§ 17. Тензоры, тензорные представления
121
Группа I
1 О О
О 1 О
О 0 1
Группа II
0 0 0
0 0-1
О 1 О
О 0 1
0 0 0
-10 0
0-10
1 О О
0 0 0
Группа III
0 1 О
1 О О
0 0 0
0 0 0
О 0 1
О 1 О
О 0 1
0 0 0
1 О О
0 0 0
О 1 О
0 0-1
-10 0
0 0 0
О 0 1
Линейные комбинации таблиц группы III образуют матрицы вида
/ с
с 9
Ь с
у которых сумма диагональных элементов равна нулю: (/ + д + h) = 0.
Иными словами, линейная оболочка таблиц группы III характеризуется
тем, что соответствующие тензоры Т>ц симметричны и имеют нулевой
след: V\\ + Vii + Vzz = 0. Отвечающие им полиномы
принадлежат линейной оболочке спинорных полиномов Т\+ (см. A6.14с)).
В A6.16) выписан вещественный базис этой линейной оболочки,
составленный из полиномов
B).,A) , „BW1
Hi 'U
+ и\
l2 U3 ~^~ и3 и2
BU1) . „C)..A
U, 'U
+ «
BU1) JVJ1
ы, 'и
BU1) „BU1
Ко «о — U
A7.6)
1 
Коэффициенты этих пяти полиномов как раз и заполняют матрицы из
группы III.
В § 16 показано, что при вращениях пространства, содержащего
векторы ге^1) и t*B), полиномы из A7.6) подвергаются линейным
преобразованиям, которые определяют неприводимое представление группы SOC)
веса L = 2, т. е. неприводимое представление в 5-мерном пространстве

122 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
E = 2L + 1). Следовательно, по такому же представлению преобразуются
симметричные тензоры с нулевым следом.
Группа II содержит три матрицы, линейная оболочка которых состоит
из кососимметрических матриц вида
ГО -с bl
с О а \ .
L —6 —а О J
Матрицы группы II составлены из коэффициентов полиномов
i/V2) - и{2)иA) и{2)и{1) - и{2)и{1) и{2)и{1) - АA)
   и2 »  wl   >  и2 U2 Ul >
которые взяты из A6.15), где было показано, что в их оболочке действует
неприводимое представление SOC) веса 1 (размерности 3). Следовательно,
по такому же представлению преобразуются произвольные кососиммет-
ричные тензоры.
Наконец, группа I содержит только одну (единичную) матрицу,
линейной оболочке которой принадлежат, так называемые скалярные
тензоры Vij такие, что Vij = 0 при i^ j и Vn = V12 = Рзз- При вращениях они
не меняются, и соответствующий билинейный полином
р=Ри[«13М1)+4а)«?) + 42L1)]
пропорционален скалярному произведению векторов u^2\ u^l\ которое
инвариантно относительно вращений д е SOC) этих векторов. Напомним,
что этот полином в § 16 был вычислен как базисный полином
представления веса 0 и обозначался Т\_ = w[2'uf + vf?\^ + uyuy. На этом мы
завершим наше беглое знакомство с тензорными полями, при изучении
которых часто используется аппарат, связанный с теорией представлений
группы вращений.
В заключение параграфа заметим, что компоненты Vij симметричного
тензора Vij = Vji преобразуются по тому же правилу, что и
соответствующие билинейные многочлены Vij = -(tij^uj2* + u^u^). Поэтому ввиду
инвариантности полинома F\+ (см. A6.14с)) будет инвариантен
следующий спинорный полином от f, т) с тензорными коэффициентами:
V(t, ff) = ?[Vn - V22 - 2iVl2] + ^[-2P13 + 2i7>32]
+ ^[2^33-^11-^22]
+ Ц-рЪг + 2iV32] + \[Pu - V22 + 2iV12].
Этим обстоятельством мы воспользуемся в гл. 3 при знакомстве с
уравнениями линейной теории упругости

§ 18. Сферические вектор-функции с произвольными спинами L и J 123
§ 18. Сферические вектор-функции
с произвольными спинами L и J
Предварительное описание и формулировки. Производящая функция.
Доказательство некоторых свойств сферических вектор-функций. Запись
сферических вектор-функций через коэффициенты Клебша — Гордана и базисные
гармонические полиномы. Обоснование ортонормированности сферических
вектор-функций. "Подвижные" базисы, связанные с точками сферы, и
выражение сферических вектор-функций через матричные элементы и
коэффициенты Клебша — Гордана.
Полиномиальные сферические вектор-функции Y'3 {х,у,z), j = —J,
LJ(n)
I j
—J + l,... ,J —1, J, с 2Z+1 компонентами Y , / = — L,— i-fl,... ,L —1,L
(cm. § 9) при фиксированном п образуют канонический базис некоторого
BJ + 1)-мерного пространства BL + 1)-мерных вектор-функций UL{x,y,z).
Это пространство инвариантно и неприводимо относительно
рассматриваемого ниже представления группы SUB) или SOC).
Каждому элементу
д = \ % - 1 , а = e'^1+^)/2cos@/2), /? = te^-^^sin^),
группы SUB) или соответствующему элементу
Q =
A8.1)
cosy>i
siny>i
0
— sin f\
COS^>i
0
0
0
1
1
0
0
0
COS0
sin#
0
— sin#
cos#
cos (f2 — sin <f2 0
Sin <p2 COS (f2 0
0 0 1
группы SOC) сопоставляется преобразование переменных
x
Q
-i
у
z
A8.2)
A8.3)
которое индуцирует преобразование Тд пространства B?+1)-мерных вектор-
функций UL(x,y,z) следующим образом:
TgUL(x, у, z) = HL{g)UL{x\ у\ z') = VL{x, у, z),
A8.4)
где HL(g) — матрица неприводимого представления веса L в каноническом
базисе. Запись A8.4) означает, что компоненты V^(xyyyz) вектор-функции
V^x.y.z) определяются формулами
V*L(x,y,z)= ?нШи1ь{х',г/,Л
A8.5)
1--L
Далее мы будем говорить о представлении A8.4), имея в виду
представление группы SOC), определенное преобразованиями A8.4).

124 Глава И. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
В BЛ-1)-мерном пространстве B? + 1)-мерных вектор-функций,
компонентами которых являются гармонические полиномы, представление
A8.4) неприводимо, а при некотором п сферические вектор-функции У '{
образуют канонический базис. Это означает, что
T'YZUXtVtX) =.? у*^9,у,х)и''м' A86)
Иными словами,
Е нШг1' i*':i/,z')= Е Ki Х*,у>*)иШ A8-7)
или в матричной форме
HL^Yu, У^>2') = Yu< X*>V>'){HJmT- A8-8)
При заданных L и J, которые одновременно должны быть целыми или
полуцелыми, допустима любая конечная степень п такая, что \L — J\ <С п ^
L + J.
Формула A8.7) будет доказана ниже. В этом параграфе мы докажем
еще одно важное свойство сферических вектор-функций Y'3 . Именно,
относительно скалярного произведения
(UL(x,y,z),VL(x,y,z)) = ^ // UlL(x,y)z)Vll(x1y)z)ds
L 2?r v
= 2^ I I UlL(sm9 cos (pysiri9 sirup,cos9)
0 0
x VL (sin 9 cos <p, sin 9 sin <p, cos в) sin 9 d9d<p A8.9)
вектор-функции Y'3 ортогональны; точнее,
LJ(n)
р'Д.,-^-*^1'^- A8Л0)
Для изучения сферических вектор-функций Y'3 (xyy,z) удобно ввес-
ти производящую функциюI (?,т]]и, г; х, у, z), через которую У J (ж,г/, *)
LJ(n) LJ(n)

§ 18. Сферические вектор-функции с произвольными спинами L и J 125
формально определяются из равенств
nl(-l)" l(L+J+n+l)\(L+J-n)\(L+n-J)\
y/2JTTy/BJ + l)ly/{2L + 1)! V (n+J-L)\
L J
x E E ^'^lj, Х*,У,*Ши>т), A8.11)
где (см. § 8)
A8.12)
e' tf n) = (-l)l+LJ B?,+ 1)! fL+lnL-1
e^.^ y(J_i)!(J+i)!w
Производящая функция I (f,т)\и,т\х,у,z) определяется формулой
L+n-J
W Г («sr+'s) «""IW"" (-^°—+^v)",
A8.13)
которая имеет смысл при условии | J - 1| ^ га ^ J + L. Действительно,
операторы ?-—|- г)— и ?т — urj, так как
^ + v^rj (^ - w»7)/K, ч\«, г) = (^ - «ч) U^j + ч^г) /К,»; ", r).
Поэтому можно переписать A8.13) в эквивалентном виде
Если L + п - J > 2п, то /г _ =0. Поэтому всегда L - J ^ п. Ясно также,
•*/«'(п)
что I + J-nnl + n-J — целые неотрицательные числа.
Доказательство формулы A8.7). Мы используем формулы A8.11) и A8.13)
для производящей функции. Поскольку при L = 0 из условия \J — L\ ^ п ^
J + L следует п = J, верно равенство
/ ж-Ну 2 x-iy 2\J
1 = —т — zujt Н —и)
0J{J) V 2 2 -У

126 Глава И. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
сравнив которое с соотношением (см. задачу 4.8)
/ х + iy 2 x-iy 2\n
п ып—ттп+т
= (-l)"n! V H%(x,y,z) .
rn^-n y/(n-my.(n + m)\
I 1 \Л I П
= ~ "' Y n?(*,y,z)e?(w,r),
получим Y 3 (x, y, z) = Щ(х, у, z). Из очевидных равенств
0J(J)
/а2 а2 <92\.
= п(п - 1)(а2 + б2 + с2)(ах + % + с*)",
х + iy , х — iy * и2 — г2 .w2 + г2
^—г _ ZWT + -2—w = 2 Х ~ % 2 У ~ WTZ'
,2_^2\2 / ,.,2 ,^2\2
/ы2-г2У / .ы2 + г2у , ч2 п
(-j-J +(-^-J + (—J = °
получаем
( д2 д2 д2\т lt
{d^+dy^ + d^)IbJ(n^V''U1'T'X'y'Z)
ч?+?+?)и*'"-~+т4»,)'"<>-
В силу A8.11) очевидно, что при всех возможных L, J, /, j, n функции
i j
Y гармонические, т. е.
LJ{n)
(& + W + ^)Y^n)iX'y'Z) = 0-
Резюме
Все компоненты Y \ сферических вектор-функций Y'J , опреде-
ленных с помощью производящей функции I (?,г};и>,т;х,у}г) равенства-
ми A8.11)—A8.13), являются гармоническими однородными полиномами сте-

§ 18. Сферические вектор-функции с произвольными спинами L и J 127
пени п. Производящая функция I (?, 77;u>, т; #, г/, z) является биспинорным
полиномом от переменных ?, г) и и, т, а коэффициенты этого биспинорного
полинома — гармоническими полиномами от переменных х, у, z.
Определим представление группы SUB) в пространстве полиномов от
семи переменных f, 77, о>, т, я, t/, z следующим образом. Каждому
элементу g e SUB) сопоставим ортогональное преобразование координат A8.3),
определенное равенством A8.2), и преобразование TgV{t,,ri,u,T\x,y,z) =
V(?'i7)']Lj',T']x'Jy',z') полиномов Т{?,гг,и,т]х,у^), где
Ниже мы покажем, что производящая функция I инвариантна от-
LJ(n)
носительно этого представления, т. е. Та1 = /
< Считая, что инвариантность производящей функции / доказана,
LJ(n)
докажем правила A8.6)-A8.8) преобразования компонент сферических
вектор-функций Y (ж, у, z) при вращениях сферы, индуцированных
элементами g ? SUB). Пусть
L J
Е Е 'L&I^lj. X*,V,*)?j{4,T)
l'=-Lj'=-J 'W
i=-lj=-j W A8.14)
Мы знаем, что
Ч
L
= ? НШ*ь&чУ A8.15)
/'=-L

128 Глава П. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Сделав замену L -> J, / -* j, /' -> ?, ?' -> -г', т[ -> о;', ? -> -г, г) ^ ш,
а -» а, /? ->> /?, получаем
•i (-V w') = J BХ + Х)! (tV+'VO"'
j'=-J
и, так как е^(—г, u>),= e^(w,r),
^>V)= ? Щ№4(<*,т). A8.16)
Фактически, мы еще раз подтвердили отмеченный в § 8 факт, что базис
е^(а;,т) отличается от базиса e^(^,r) тем, что при представлении веса J
он преобразуется с помощью матрицы Я , а не матрицы Я*7 (элементы
матриц Я*7 и Я комплексно сопряженные).
Подставляя выражения A8.15) и A8.16) для е1ь(?',г)') и е^(и/,т') в
A8.14), находим
Е Е ^.^1 >.».*#'(",-о
l-t^Lj^J (П)
= Е Е Е Hh(gL(t,4)Y^ (х\у\г')Щч{9)^{Ш,т).
\~-Lj--JV--L W
Поскольку произведения мономов е^(?, 7/) е^(и?, г) образуют базис
пространства биспинорных полиномов, получаем
Умножая последнее равенство на Hf,k(g) и суммируя по / от — J до J,
j
ввиду унитарности матрицы HJ(g) ( ? H^k{g)HJjtj(g) = 83к) приходим к
jf=-j
равенству
ь
Е ^ог)у,Дя)(«.1'.*)= Е пшг? &,м,
I — — Lj I — — Li
которое совпадает с A8.7).

§ 18. Сферические вектор-функции с произвольными спинами L и J 129
<4 Докажем инвариантность производящей функции I ¦ Заметим,
что
{т',-и><) = (т,-ш)[:/-]={т,-ш)9.
Поэтому
?V - «V = (Л -"') ( ? ) = (г, -и-)^-1 ( * ) = ?т - ал,.
Иными словами, множитель_?т — lot] инвариантен.
Если ш' = аш — /?т, т' = Cu> -\- ат и f = /(?, 77; и;, г), то
дш ды* рдт'' дт рдш' дт''
edf _,_ df
=к'+/v) (*?+/#)+(-^+**о (-^+«?)
т. е. оператор ?-—\- п— инвариантен.
аш от
_ 1 + ш , а; + гу , _ „
Покажем, что полином —tz — гшт -\ —w инвариантен.
Действительно, мы можем использовать запись
-1-{т,-ш)\ Z. X + iy
2 ' \ х — гу —z
С)
для вывода требуемого равенства
(г',-и/)^
= (г, -u)gg~l
= {т,-ш)
z х + iy
xf — iy* —z'
z x -f гу
x — iy —z
z x -\- iy
3d
i")
x — гу —z
и также использовать запись преобразования координат A8.3) в
символическом виде
z1 x' + iy* , _ _i
х1 — it/ — z1
= 9
х + iy
х — гу
Таким образом, производящая функция / является
Произведения)
X I 27У X 1 277
нием двух инвариантных множителей ! -т2 — zujt -\ -и2
)'¦

130 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
(?r — wrj)L+J n, на которые действует степень инвариантного оператора
?~—\- r/—. Поэтому эта функция также инвариантна. »»
В целом мы завершили исследование и обоснование анонсированных
свойств сферических вектор-функций. Теперь опишем еще один подход к
определению таких функций.
Рассмотрим линейное пространство ?, образованное BL+1)-мерными
вектор-функциями, каждая компонента которых есть гармонический
полином степени п. Размерность пространства С равна BL + 1)Bп + 1), а
каждый вектор U = U(x,yyz) этого пространства записывается в виде
U(xiy,z) = An(x,y,z), A8.17)
где U(x}y,z) — вектор-функция, компоненты которой суть базисные
гармонические полиномы, т. е. H{x,y,z) = (П~п(я,у, 2),... , П?(х,?/, ;z))T, a A
— прямоугольная BL + 1) х Bп + 1)-матрица с элементами а\т.
Равенство A8.17) устанавливает изоморфизм между пространством С и линейным
пространством Л прямоугольных BL + 1) х Bп + 1)-матриц А.
Сопоставим каждому элементу д Е SUB) ортогональное
преобразование A8.3) и унитарную матрицу HL(g) неприводимого представления веса
L (см. § 8). Определим в пространстве С представление TSUB) группы SUB)
преобразованиями
TgU(x, у,z) = HL{g)U{x\ */', *'), д ? SUB), A8.18)
Поскольку в A8.18) участвует матрица HL(g) и размерность
пространства представления равна 2L + 1, естественно говорить о представлениях
формального веса ?, а вектор-функции из С называть вектор-функциями
с формальным спином L. "Формальный" — потому, что рассматриваемые
нами представления, как правило, приводимы (если L ф 0).
Воспользуемся равенством
П-(х', у', z') = ]Г Щт(д)Пкп(х, у, z) A8.19)
km
т. е. n(x',j/,z') = Hn(g)n(x,y,z). Ясно, что представление TSUB) группы
SUB) в пространстве С индуцирует эквивалентное представление T^L,
группы SUB) в пространстве Л, определяемое преобразованиями Т^А =
HL(g)A(Hn(g))T. Напомним, что в § 15 именно по такому правилу было
определено кронекерово произведение неприводимых представлений весов
L и п. В § 15 показано также, что это произведение неприводимых
представлений, как правило, приводимо. Оно раскладывается на неприводимые
представления весов J = \L — п\,... , L + п. Так как п целое, все эти
веса J одновременно с L либо целые, либо полуцелые. Сумма размерностей
инвариантных подпространств, в которых действуют неприводимые
представления, совпадает с размерностью BL + 1)Bп+ 1) всего пространства

§ 18. Сферические вектор-функции с произвольными спинами L и J 131
(Л или С):
L+n
J2 BJ+l) = B? + l)Bn + l).
J=|L-n|
Канонический базис неприводимого веса J представления в
пространстве Л состоит из 2J+1 матриц CJj, j = -J,... , J, размеров B?-H)xBn+l),
и эти матрицы связаны соотношением
HL(g)Ci(Hn(g)f = ? Я/^ЫС^ A8.20)
В § 13 мы ввели в рассмотрение коэффициенты Клебша — Гордана
^ГгпТп^2 ^3 Ф°РМУЛЫ A3.13) (ряд Клебша-Гордана) и свойства
ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана вытекает, что
П1 П2 П
/ , / , Нк1гп1{9>>Сп[п111п2]' Нк1т2(У) ~ Z^ Сп[п\,п2]Нкт(9)-
ГП\— — П\ ГП2 = — П2 ki^Z — П
Обозначим через С™ прямоугольную Bni 4-1) х Bп2 + 1)-матрицу с
элементами C^J^^j . У всех этих элементов индексы m, n,ni,n2 одни и те же,
тогда как тх нумерует строки, а т2 — столбцы этой матрицы. Используя
это обозначение, последнюю формулу можно переписать в матричном виде
Нп*(д)С?(Нп>(9))Т = Ё ^т{д)Скп.
к=—п
Таким образом, матрицы С^, составленные из коэффициентов
Клебша — Гордана
(d)lm = Cjggj, -L ^ / <С I, -n <$ m <J n, A8.21)
удовлетворяют соотношениям A8.20).
Используя формулу A8.17) с матрицами C3j вместо матрицы Л, можно
сконструировать BL + 1)-мерные вектор-функции
Uij(x,yfz) = CijU(x>y,z), A8.22)
все компоненты которых являются гармоническими полиномами.
Преобразование Т9 действует на эти вектор-функции по правилу TgU^{x,y,z) —
Vj(x,y,z), где
Vj(x,y,z) = HL(g)d(Hn(9))Tn(x,y,z)
J J
= ? Hf.j{9)Cij'u(x,y,z)= ? HfoW'jfrv,*),
y=-j j-=-j A8.23)

LS2 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
которое можно сравнить с формулой A8.6), описывающей действие
преобразования Тд на сферические вектор-функции У *3 . Ввиду однозначности
разложения на неприводимые произведения представлений весов L и п и
единственности (с точностью до постоянного множителя) канонического
базиса инвариантного подпространства с неприводимым представлением
получаем, что
U>j{x,y,z)=coBBt.Y'j (x,y,z) A8.24)
bJ(n)
где при фиксированных L, «/, п константа не зависит от j. Коэффициент в
производящей функции выбран так, чтобы эта константа была равна
единице. Не останавливаясь на обосновании этого утверждения, мы им
воспользуемся, чтобы привести вытекающие из A8.21), A8.22), A8.24) формулы,
явно выражающие компоненты сферических вектор-функций Y'3 (х, у, z)
через базисные гармонические полиномы П™(ж, у, z) и коэффициенты Клеб-
ша — Гордана:
ylj,Jx' y'z^= E спйип^ У' *)• A8-25)
^ ' 771 = —П
Используя A8.25), легко доказать ортогональность функций Y 3
(см. A8.9), A8.10)).
Доказательство формулы A8.10). Имеем
(у; (x,v,z),y;s' (x,y,z))
= E E E <$с№??\ ff i%(z,y,z)nz:(xtv,z)d8.
l=-L m=-n m' = -n> ,2+y2+22 = 1
Так как
//
In + 1
получаем
47Г _/ x-^ V^ „i\l.m\ ~i'\l.rri\ 47Г
(v'j v'j' \ - 47Г A"' V^ \T r^"P>m] гЛ'.™] - 47Г A"Vaj/
(rLJ(n)' YLj>{nl)\- 2^TT n ^ ^ c^,»]cJ'[l.»] - 2^TT n j J
Компоненты построенных сферических вектор-функции образованы
компонентами гармонических вектор-функций относительно некоторого
базиса. Важно отметить, что во всех точках сферы х2 + у2 + z2 = г2
этот базис один и тот же. В приложениях часто удобно поступать по-

§ 18. Сферические вектор-функции с произвольными спинами L и J 133
иному. А именно, в каждой точке сферы (точнее, в каждой точке луча
х = г sin в cos <fj у = г sin в cos <p, z = r cos в) удобно использовать свой
(местный) базис, состоящий из 2L + 1 базисных векторов. Вращение
0о=*Нг/2,0,1г/2-?>) =
cos 0 cos y> cos 0 sin <p sin 0
— sin <p cos <p 0
+ sin 0 cos <p sin в sin y> cos в
переводит этот луч в положительную полуось Oz. Предположим, что
используемый ранее BL + 1)-мерный базис теперь используется только на
северном полюсе сферы х2-\-у2 + z2 = г2 и во всех точках луча, выходящего
из начала координат и проходящего через этот полюс. В точках любого
другого луча, направление которого задается сферическими координатами
V?, 0, вместо компонент Y (x,y,z)y I = -L,... ,?, возьмем компоненты
rnX j (<Р>0) той же вектор-функции, но в другом базисе, предполагая что
соответствующее преобразование базисов описывается матрицей HL(go)
неприводимого представления веса X, заданного в каноническом базисе
L
rnXJ {(P,0)= У^Я^(-7г/2,в,7г/2-^)У^(8швС0в^,Г8тв8Ш^,С08в).
LJ(n) xf^_L
А Покажем, что
xLjj(n}f'в) = я<И-*а в>п'2 ~ ^c'M]niy A826)
—, 0, <р\ — матричные элементы неприводимого
представления веса J. Эти функции имеют вид
щ(~^^-^)=^Ч^)^1р^(^в),
где
у/.(и) - * / (J + z)! (i + n)-V+M*(i _ /i)-('-i)
rfJ-'[(l + /i)J+i(l-/i)J-i]
Заметим, что термин "сферические вектор-функции", как правило,
относится именно к "местным" компонентам \ \ (<Р> #) сферических век-
тор-функций У '3 (х, г/, z)

134 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Так как
Ylj <x v z)- V" ГГ[1''т]гпПт(- ^ i\
YLJ,JX'y'Z>- Is LJILM Г lln [r'r'r)'
(см. задачу 8.7), получаем
Осталось воспользоваться формулой умножения матричных элементов
и ортогональностью коэффициентов Клебша — Гордана
п L
EV^ r»i'P'iHr»*P'm] — Я» Як
m=—n l'=—L
18.1. Показать,что
У* * =10
1 1@) \0j
У1 = (Т
Х1(о) \х
Задачи и упражнения
'(Л
У" = 1
Х1(о) \0
Z
х — гу
Проверить, что при целых 7 ^ 1 (полагаем П™ = 0 при \т\ > п)
Y-° = L
1 Hi) л/3
i-V-i)
V 27B7-1) U'-i(x>V>z>\
J(J-J)(J + J)nJ , х)
V 7B7-1) llJ-^x'y'z>
V 27B7-1) n'-i(*'»'^

§ 19. Рекуррентные соотношения между сферическими вектор-функциями 135
(_ тшшш^ч.^
Y
1J(J+i)
2,7G+1)
y/J(J + l)
Щ(*,У>*)
/G + ^)^-^+1)"!
У 27G+1) Uj [X'y'Z]
l{j + j + 2)(J + jTri i+1 '
V 27 + 2)B7 + 3) 'W*'^
/G + 1-Ж7 + 7ПУ ,
У 7+1)B7 + 3) И^1(^2/^)
27 + 2)B7 + 3) lj+lt,y' j
§ 19. Рекуррентные соотношения между
сферическими вектор-функциями
Производные сферических функций Y . Дифференциальные операторы
Д_, Ао, Д+ как аналоги полиномиальных операторов cL, с/о, ^+-
Формулы, описывающие действие этих операторов на компоненты сферических
вектор-функций Y
Сферические функции Y 3 (х, t/, z) (см. § 9 и 18) используются в фор-
мулах для частных решений различных дифференциальных уравнений
математической физики. Чтобы найти частные решения, надо уметь
дифференцировать такие специальные функции, а точнее — выразить
производные через какие-либо другие сферические вектор-функции. Иными
словами, возникает необходимость дать правило вычисления производных
и произведений
Ay" Ay" JLylj xYlj
дх LJ(n)> ду bJ(n)' dz LJ{n)> LJ(n)'
<^
zY
LJ(n)
При конкретных вычислениях более удобно использовать выражения для
линейных комбинаций
-if А. —
2\дх+гду
) LJ(»)
d_YU
dz iJ(„)'
2\дх гду
V" .
) iJ(«)

136 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
hx + iy)Ylj , zYlj , -hx-y)Ylj .
Фактически, формулы, которые мы выведем, справедливы не только
для сферических, но и и для шаровых функций, поскольку не используется
условие х2 + у2 + z2 = 1, т. е. точка с координатами #, г/, z не обязательно
лежит на единичной сфере. Например, мы будем вычислять производные
д i j
—Y , которые являются производными по нормали к этой сфере. Одна-
OZ LJ{n)
ко далее мы будем говорить о сферических вектор-функциях Y'3 (х, у, z),
имея в виду их дальнейшую роль.
При фиксированных n, J, j, L сферические функции Y 3 , -L ^ / ^
L, являются компонентами BL + 1)-мерной вектор-функции Y'3 . Для
этой вектор-функции определен полином
*4.>«. * *> У' *) = ^щщ. ,? Y"JX> у> z)e'L{t v)' A91)
где сферические функции У являются коэффициентами при базисных
а также
одночленах «?«,,) = {-\)^l_^k^L_e+iTJ-i (см. G.3))
A8.12)).
Сферические вектор-функции можно определить через производящую
функцию / (?, ту;о>, г; х} у, z) по формуле A8.11). Производящая функция
I (?,r);u;,T;x,y,z) и полином A9.1) связаны следующей формулой:
h 7,\(t>rl>W>T>X>y>z)
LlJ (n)
(-l)nn! (L + J + n+ !)!(?, + J - n)!(I + n - J)!
x/STTTvWTiyTV (n + j-i)!
j
x E ^LJw«.W.y^)eS(w,r), A9.2)
j=-J
где^Жг) = ^j^jlj)^^ (Ш- A8Л2))-

§ 19. Рекуррентные соотношения между сферическими вектор-функциями 137
В § 16 были введены операторы (см. A6.5))
1, . ч д2 д2
д2
ее 'д^дг, 2(х iyW'
do = -2{* + гу)г,- + -z[t- - ,-J + -(х - гу)$-,
_ х±гуп2
• ^ с , Х~гУс2
2 "ч -^+~2-^
По аналогии с cL, ofo, d+ введем дифференциальные операторы
-if— д\д2 д д* 1( д д\д2
1/3 .д\д 18/J д\ If д .д\,д
Ао=2{^+%Гк + Ш{^-^) + 2{дх--1ду-)%'
\( д .д\2 д , If д . 0 V .
В табл. 19.1 приведены формулы, показывающие действие
дифференциальных операторов А_, А0, А+ и полиномиальных операторов cL, rf0, d+
на производящую функцию / (?,т);и,т;х,у,z). Формулы из табл. 19.1
будут доказаны в § 20.
Далее мы будем говорить об операторах сЦ. и Д+, поскольку для
операторов cL, А_ и do, А0 все рассуждения аналогичны. Соответствующие
формулы сведены в таблицах к этому параграфу для всех операторов.
Из табл. 19.1 и определения операторов d+ и А+ получаем равенства
Г 1/fl .д\ 2 д , 1/(9 .в\,
5г/У J bJ(n)
1т т, ч(?»»?;ы>г;*>У>*)
—I
2 z,+U(n-i)
K,i?;w,r;x,y,z),
A9.3Д+)
--(s + iy)rj2 -z?r)+-(x- iy)i2
J bJ{n)
1
Bn+ l)Bn + 2) iH-iJ(n+i)y
(ж2 + у2 + z2)
(?,ri\u,T\x,y,z)
2Bn + l) bJ(n_iy
(?,77;о;,г;;г,у,2:),
A9.3^)

138 Глава И. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Приравняв коэффициенты при elL(?y r))ejj(u, т) в A9.3), получим
следующие соотношения для сферических вектор-функций:
-^-'^-оКк^К1*,
ь J(„)
_ >/(L+J-w + l)(L+J-n+2)(J+w-L-l)(J+n-JD)y « j
2 L+U(n_i)'
A9.4А+)
- V(X-/ + l)(b-i)i(* + «yjy*1 ^ + v/(L + l-Z)Bi + l + 0zy^(n)
Г1/ • w'-ii
+ >/(i + z + i)(x + 0-(ar.,V)yli.
— \Z(b-HJ+n-f2)(L+J+n+3)(L+n-J+l)(L+n-J+2) J j
2Bn+l) rL+U(n+i)
,/2,2, 2\A/(^+J-n+1)(^+^-^-b2)(n+J-L-l)(n+Jr-L)lz I j.
+ [X +У + Z ] 2Bn+l) yL+lJ(n+1)'
A9.4.J
Заметим, что Д+/_ и d+/ (левые части равенств A9.3)) имеют
LJ(n) LJ(n)
степень однородности 2(L + 1), отличную от степени однородности 2Х
производящей функции I . Коэффициенты при мономах e^+1(^,jy)e^(w,r)
в выражении d+/ (?>*?;ь>,1";я,2/5*) или при мономах в^+1(^,»у)е^(а;,г) в
выражении Д+7 (?, rj; ш, т; ж, г/, z) являются компонентами B(L + 1) + 1)-
мерных векторов. Операторы d+ и Д+ "увеличивают" ?, поэтому им
присвоен индекс "+". Действие операторов d+ и Д+ на полином VL3j (?, т\\ х, у, z)
эквивалентно применению к вектору Y'3 матричных операторов </+ и
LJ(n)
Д+, т. е. операторных BХ + 3) х B1 + 1)-матриц с элементами (dL+)ill2
и (Al+)m2) -2(L+ 1) ^ /i ^ 2(L + 1), -2L <С h ^ 2L. Из A9.4) следует,
что Al+ и с??,+ — трехдиагональные матрицы, и можно выписать их
элементы. Элементы матриц Az,+ , g?l+, а также определяемых по аналогии
матриц dbQj Ах,о и Al_, dj,_ приведены в табл. 19.2. Именно этими
формулами из табл. 19.2 удобно пользоваться в конкретных приложениях при
работе со сферическими вектор-функциями.

§ 19. Задачи и упражнения
139
Al+, dL+
В табл. 19.3 приведены формулы, описывающие действие операторов
—л^-г1 dLjt) dLOj AL0, Ax-, dz,- на сферические вектор-функции Y'3 . Эти
LJ{n)
формулы применяются в гл. 3 при построении частных решений
дифференциальных уравнений, инвариантных, относительно ортогональных
преобразований независимых переменных. Для удобства ссылок мы перепишем
формулы из табл. 19.3, используя следующие обозначения:
<XLJin) = y/(L - J + n)(L - J + n +1)(? + J + n + \)(L + J + n + 2),
/?Lj(n) = y/(L + J- n){L + J - n + 1)(J + n - L)(J + n - L + 1),
A9.5)
7LJ(n) = y/(L + n - J)(L + J + n + l)(n + J- L)(L + J - n + 1).
Итак, операторы Al+, dz,+ , Al0, ^l0) Al-> ^l_ действуют на
сферические вектор-функции У #J согласно следующим правилам:
- Х2^1+1) ""(-^-i^-D' A9'7)
^+У"(„) = ~2Bn + l)aLJ<"+,>Yi+W(n+i)
+wif^-^,;4-1)' A9-9)
• з 1 • 7 ж^ -Ь т/* 4- z^
^°yLJ(n) = 2Bn + lOLJ^)yxj(n+1) + 2Bn+l) 7"^У4п-1)
л
A9.11)
Задачи и упражнения
19.1. Проверить формулы из табл. 19.4, 19.5.

Таблица 19.1. Действие операторов Д+, d+, До> ^о, Д-> d_ на производящую функцию / (см. доказательства в § 20)
bJ(n)
1 д+/
iJ(»)
d+7,, =
До/ . =
LJ(n)
2 ь+и(п
1
Bn+ l)Bn
n(L H- n -
-i) ¦
+ 2) i+u
- J)(L + n
2
'(n+l)
+ J + 1)
п(ж2 + у2
2Bn +
i^(n-l)
1)
!1/
JH-lJ(n-l)
¦ (L + J-n)(n + J-?+l) n(L + n-J)(? +J + n + 1) a 2 a
°iJ(n) Bn + l)Bn + 2) W(n+i) 2Bn + l) l У } LJ(n-i)
A - "(" + L ~ J)(n + L-J- !)(? + J + n + l)(n + L + J)
~ i'(n) _ 2 L-lJ(n_i)
(L + J - n)(I + J - n - l)(n - ? + J - 2)(n - ? + J + 1)
~^(n)~ Bn + l)Bn + 2) L-u(n+i)
n(n + ?-J)(n + ?-J-l)(? + J + n + l)(n + ? + J),_a , „2 , _2w
+ 2B^71) ( +У +2)/b-iJ(„-1)

Таблица 19.2. Элементы матриц Дх,+, cIl+, Alo, dL0, Дь_, dz,-
(AL+)ij = 0, (dL+)ij = О, если |г - j\ > 1
(AL+)I(+1 = -iV(I-/ + l)(I-0(| + i±)
(dL+)u+i = -|V(L-/+l)(L-7)(* + гу)
(**+)« = V(L + l-0(L + l + 0^-
{dL+)u = V(L + l-l)(L + l + l)z
(Аь+I1-г = ^(L+ 0A+ / + !)(A - ,-|.)
(<k+)ii-i = i\/(L + 0(?+ /+!)(* " *'»)•
(Д/,0)у = 0 (dLo)ij = 0, если |t - j\ > 1
(A,o)n+1 = -i^ + ^D(b-0(^ + ^)
(dLo)n+i = ~\/(ii-/ + l)(I-0(* + iv)
¦I Q 1
(Д^м-а = -iV(L-/ + !)(! +0(? - ."?)
(^„)n-i = -\V(L-l+l)(L + l)(x - iy)
(Ai._)«i = 0, (dL_)ij = О, если |i - j\ > 1
(Д,-)п+1 = 1ЧДГ+ТПК1Т0 (A + ,-?)
(<*?_)</+! = |V(I + /+l)(I + 0(* + »»)'
(AL_ )„ = y/{L + l){L-l)-j^ (dL_),, = y/{L + l){L-l)z
(AL_),«-i = -\^L-l + l){L-l)(jL - ,-|.)
(db.)u-i = -\V(L-l + l)(L-l)(x - iy)

Таблица 19.3. Действие операторов Al+> е??+, A^o, g?lo> Al_, ^l_ на сферические вектор-функции Y
Al+Ylj, ^ = -9V(L + J-n + l)(L + J-n + 2)(n + J-L-l)(n + J-L)Y \ '
y/{L + J + n + 2){L + J + n + 3)(i + n-J+ 1)(L + n-J + 2) , j
d, Y = — -^—¦ ' ¦———• ¦ ¦———¦ ¦———¦ ¦—-Y
L+ ^(n) 2Bn+l) L+u(n+1)
2 2 ^y/(L + J-n+l){L+J-n + 2){n+J-L-l)(n + J-?)„ • j
+ [X +У +Z) 2Bn + l) Уь+щп-г)
Al°Ylj, ч = \^L + n ~ JKL + n + J + !)(» + J~ L)(L + J~n + W' „
r,«/(n) л A"/(n —1)
• i _ y/(L + J + n + 2)(L + J - n)(J - L + n + 1)(I + n - J + 1) .)
Lo LJ(n)~ 2Bn + l) LJ(n+i)
л. U* j. «2 , r2V(^ + n-J)(L + n + J+l)(n + J-L)(? + J-n + l) .;
+ l +У + > 2B»+1) "(»+i)
AL.y.'i ^ = -^(I-J + n-lJ^-J + nJCL + J + nJ^ + J + n+ljy/ j
d yj _ y/{L + J-n-l)(L + J- n)(n + J-L+ l)(n + J - ? + 2) . j
L~ LJ(n)~ 2Bn+l) t-iJ(n+i)
_ 2 2 2ч V^ ~ J + " ~ ^ - ^ + W)(L + ^ + n)(L + J + n+l)„ . j
[X +У +Z ' 2Bn+l) yt-i^(n-i)

<J
+
о
<1
ST
s
н
CO
l?
I
г-н 1СМ
I
CO
со
+
5-.
CO
«4§
4^
CO
I CO
CO
col-5»
CO
+
CO
CO H |CN
I
CO
+
CO
!?
^fcg ° ^
•SH
"Sl«
I
<*|?
-PS 4^
co|-^
CO
CO
<8
-PS
I
CO
l?
CO
|co
-HICNCO^ °
I
^|«

I
+
<
a,
н
53"
а
** l«§ *> l«S <u |<Й
CO
l«
(Ml
^^Ico о
cop»
II
+
<

§ 20. Обоснование соотношений между производящими функциями 145
§ 20. Обоснование соотношений
между производящими функциями
Действие операторов А+, d+, Aq, do, A-» &- на производящую функцию
/ (?, Г}) uj, т; х, г/, z) (доказательство формул из табл. 19.1).
Мы приступаем к описанию элементарных, но трудоемких приемов, с
помощью докажем рекуррентные соотношения из табл. 19.1 между
производящими функциями I (i,7}\u),r]x,y,z) для сферических функций
Y (ж,г/, z). При первом чтении этот параграф можно пропустить и пе-
рейти к дальнейшему материалу. Желающим досконально изучить вывод
этих рекуррентных соотношений надо вооружиться терпением, бумагой и
ручкой и тщательно проверить все приводимые ниже тождества между
производными, на которых основано доказательство.
Напомним, что производящая функция I (?, г\\и,т\ х,у, z) — это гар-
LJ(n)
монический полином степени п от переменных ху у, z, коэффициенты
которого являются однородными полиномами спинорных переменных (,?]Иш,
г. Степень однородности каждого коэффициента равна 2L по переменным
?, г) и 2J по переменным а>, г, где L и J — целые или полуцелые
неотрицательные числа. Определение производящей функции / (f, tj; w, г; х, у, z)
дано в § 18 (см. 18.13).
Как отмечено в § 18, функция
^_xJ_iyT2 _ zur + *L^*J}П = (ах + Ъу+ cz)n B0.1)
гармоническая. Согласно определению (см. A8.13)) производящую
функцию I (?,г)\ш,г;x,z/,z) можно получить из (ax + by+cz)n умножением на
множители, не зависящие от х, г/, г, и дифференцированием коэффициентов
now, г. Поэтому производящая функция / является гармоническим
полиномом от х) г/, z при любых значениях L и J.
Рассмотрим функцию
L, jA,rr,UiT]x,y,z) = I (Z,r);u>,T;x,y,z)
полученную из / (?,77;u;,r;?,2/, z) сменой ?, г) и ш, г. Легко видеть, что
I является инвариантом при стандартно определенном представлении
?«/(п)
группы SUB). Эта функция также является гармоническим полиномом

146 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
степени п от х) у, z, коэффициенты которого, как и в случае I , яв-
LJ(n)
ляются однородными полиномами от ?, /?, и, г, но степень однородности
равна 2 J по ?, т) и 2L по переменным w, r.
<4 Функции I и I отличаются только множителем. ДеЙСТВИ-
^п) LJ(n)
тельно, если в пространстве однородных гармонических полиномов от х)
г/, z коэффициенты которых являются биспинорными однородными
полиномами степени 2 J по ?, г\ и 2L по ш, т, определить представление TSuB)
группы SUB), стандартным образом — посредством преобразований
TgV{Z,muj,T]x,y,z) = 'P{Z\r}']u\T,-x')y,,zf),
z1 x' + iyl _ 1
2 х + iy
х — iy —z
то согласно результатам § 15, мы имеем дело с произведением
неприводимых представлений весов J, L и п. Инвариант такого представления
преобразуется по представлению веса 0. В § 15 показано, что
представление веса 0 является сомножителем произведения представлений весов J,
L и п, только если L -f J + п целое и существует треугольник со
сторонами J, L) n. При этом представление веса 0 входит в произведение всегда
однократно. Иными словами, если в пространстве гармонических
полиномов со спинорными коэффициентами существует инвариантный полином,
то он определен однозначно с точностью до постоянного множителя, не
зависящего от ?, ту, lj, г, я, у1 z. Это обстоятельство дает основание сделать
вывод, что / и / могут отличаться только множителем. >
LJ(n) JL(n)
Для вычисления этого множителя подсчитаем коэффициенты при r2J
в этих инвариантных полиномах. Легко убедиться в справедливости
следующих формул:
iLJ(J(, *«. г, ,,у, „ = (_Ц4) V)«- D)'+""J'2"+
Bn)l / t + i»\"rL1.j..L^l.j_u
^«,««,r!.,,..)=(-:±S)"(r^)rt*"I(-^«-^ + ...
— ^W)' f <i\L+J-n( x + iy\ pL+J-n L+n-J 1J ,
~ (n + L- J)!1 ' V 2 У С * г +...
Сравнивая коэффициенты в этих разложениях, получаем равенство
'им=(-1)М*Шч( ,20-2)

§ 20. Обоснование соотношений между производящими функциями 147
Для вывода дальнейших соотношений отметим, что полиномиальный
и операторный множители ? г — шг\ и ?-—Ь ц-тг перестановочны. Иными
OU ОТ
словами,
•)•
Мы рекомендуем читателю аккуратно провести соответствующие
выкладки. Заметим, что последнее равенство естественно записывать в
операторном виде, опуская в записи функцию Р(€,г1;и,т), к которой операторы
применяются, например:
(*г -ШТ)) (*?+'?) = (^+4) (*г -иг,)-
Приведем теперь более сложное, хотя и элементарно проверяемое,
тождество
( х + гу 2 с , х~*Уег\( х + гУ 2 х - iy Л"
1 (сд , д\2( Х + *У 2 x-iy 2\n+1
= Bn+l)Bn + 2)(^ + ??^J {—2-Т -*"-+-5-«J
Поскольку операторные множители (fr — utrj) и (?-—Ь*7-^- ) переста-
\ OUJ ОТ J
новочны друг с другом, а также с I ;r-^2-z?»H 5—^ )' пРивеДенное
тождество можно заменить эквивалентным
( х + *У-2 9e„.*-JVci\(e д j.» d\L+n~Jie-r ,m\L+j-n
("
х + iy о х — z?j ох
yr2-zo;r+ ц2
(L+l)+(n+l)-J
-^n^+1+J-(n+1)
= Bn+l)Bn + 2){^ + r)d^) {^-ШТ])
х^_^_гУт2_гшт+±^уи2у+1
nC-r2 , „2 , r2\ / Я Я \ (i+l)+(»»-l)-Jr
2Bп+1) \Сдш^^дт) {< Ц)
п-1
(-
т2 - zujt + л Уш2

148 Глава П. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
В силу определений производящей функции I (см. A8.13)) и оператора
d+ (см. A6.5)) получаем правило, по которому оператор d+ действует на
производящую функцию /
1 т n(x2 + y2 + z2)I
Bп + 1)Bп + 2) х+1 J(n+i) 2Bn + 1) L+iJ(n-i)
B0.3)
При выводе следующих соотношений мы будем пользоваться
вытекающими из определения производящей функции равенствами
(?т-шпI =1 , , ({Я д\ =
V4 П LJ{n) L+l/2J+l/2(n) удш 'дт) LJ(n) L+l/2J-lfa
Используя B0.2) и меняя обозначения ?, г\ на и>, г и L) J на J, L, из
последнего равенства получаем
(w%r + T^\l = (n + L- J)(rz + J-X + l)/ , , .
V <9? drjj LJ(n) V A ;L-l/2J+l/2(n) ,204,
Из равенства
\д?дт dwdti)* " V 2 2 у
. = (I + J - n)(L + J + n+ l)(?r- w4)i+J-—1
x + iy 2 x-iy
x —r — zut + -
)n
с помощью коммутационного соотношения
кд?дт dudrjj \ дш
находим
L+n~J
/ 3 ? \?-l/2+7»-(J-l/2)
= (X + J - n)(L + J + n + 1) Ц— + +7?— J
X tfr - wf?)(i-l/2)+(^-l/2)-» (_^r2 _ ,wr + ?^*»</

§ 20. Обоснование соотношений между производящими функциями 149
В силу определения производящей функции справедливо равенство
/ д2 д2 \
(лгл-"-я-л-)/г7/ = (L + J-n)(L + J + n+l)I
L-l/2J-l/2(n)
B0.5)
Полученных формул пока не достаточно, и нам потребуется результат
применения к производящей функции I операторов
x + iy z x + iy
x + iyd xz(td „д\ x — iy д
iy д z ( д д\
x-iy
drj'
x + iy д z ( д д\ х — iy д
—Tdt + AwdS-Tdt) + ^-w
Применим оператор и— + г— к левой и правой частям равенства
B0.3). В силу B0.4) левая часть B0.3) примет вид
L-l/2J+l/2(n)
(-(ж + гг/)тт; - 2т(?т + w»?) + (х - гг/)?о;) /
+ [-^rj2^z^+^e)(n+L^J)(n+J-L + l)IL
х f * j _ n(x2 + y2+z2)j \
V Bn + 1)Bга + 2) b+i/2J+i/2 (n+1) 2Bn + 1) L+1/2J+1/2 (n_i}>/'
Опять в силу B0.4) правая часть принимает вид
(Л+т±)( 1 / _»(fl±^±i!)J )
\ д? дг))\{2п + 1)Bп + 2) ь+и{п+х) 2Bп +1) L+u(n_i)/
_ (п + L - J + 2)(п - ? + J + 1)
Bn+l)Bn + 2) L+l/2J+l/2(n+i)
n(n + L - J){n - L + J - l)Qr2 + y2 + *2)
2Bn + l) L+1/2J+1/2 („_!)'
Сравнивая выражения в левой и правой частях, мы можем разрешить
уравнение относительно интересующих нас величин и установить первое из

150 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
трех требуемых вспомогательных соотношений:
/ x + iy z x-iy \
{—2~г7? - 2(*r+шч)+-j-^J W>
_ (n-? + «7+l) 7
~~ Bп+1)Bп + 2) L+i/2J+i/2(n+i)
n(n + Z-J)(*2-f2/2 + *2) /20 6)
2Bn+l) L+l/2J+l/2(„.i) l ''
Вывод следующей формулы аналогичен, но теперь мы действуем на
д2 д2
левую и правую части равенства B0.3) оператором —-— - Выпишем
результат действия этого оператора на левую часть B0.3):
/ д2 д2 \ ( x + iy 2 x-iy Л
= О*+^+*(«а; - *?)+ (х ~f^^) W)
+ (~^V - *? + ^^2) №+J-n)(L+J+n+l)/^i/2J
nfx + iy д z( д д\ x~iy сд\т
+ (! +J-n)(L-h J + n+1)
1/2(„)
)
1 _ n(x2 + ?/2+ z2)
I
Bп+1)Bп+2) L+l/2J-l/2(n + i) 2Bfl+l) L+1/2J-1/2 („_!),
Здесь мы воспользовались B0.5).
Учитывая B0.5), преобразуем правую часть B0.3):
(? +J-w)(L + J + n + 3)
Bn + l)Bn + 2) b+i/2 J-i/2 (n+1)
_ n(L + J-n + 2)(L + J + n + 1)(*2 + t/2 + *2)
2Bfl + l) L+l/2J-l/2(n_i)
Сравнивая левую и правую части, приходим к требуемому равенству
x + iy д z ( д д \ х - iy д \
^ + о U-5T7 - 9-5Т + —ТГ-^БГ К
2 '5а; 2V 5" Зт/ 2 ^дт) м{п)
(L + J-n)
Bn+l)Bn + 2) L+l/2J-l/2(n + i)
n(? + J + n -f 1)(ж2 + у2 + г2)
/
-+l/2J-l/2(n + i)
2 д. „2 _|_ у2^
B0.7)
2Bn+l) L+l/2J-l/2(n_i)
Заменим обозначения ?, ^ на cj, г и ? на J. Используем B0.2) для
замены / на: / , умноженный на соответствующий коэффициент. В

§ 20. Обоснование соотношений между производящими функциями 151
результате получаем последнее требуемое вспомогательное соотношение:
/x + iy д z / д д \ х — iy д \
\2~Тд? + 2 V д? " Г^7/ + ~2~"~fcl) LJ(n)
__ (L + J- п)(п -L + J + 2)(п - L + J + 1)
" Bn + l)Brc + 2) ' L-i/2J+i/2(n+1)
n(Z+7+n+ 1)(п+?-7)(п+?-7-1)(ж2+у2+2:2)
+ 2Bfl + l) L-l/2J+l/2(n_i)
B0.8)
Теперь можно переходить к завершающему этапу вывода формул,
описывающих действие операторов d0 и d_ (см. A6.5)). Вывод формулы
для cL основан на возможности выразить этот оператор в виде
коммутатора с помощью следующего равенства:
^ _ x + iy д д2 х — iy д
2 де д?дг} 2 дтJ
_( д2 д2 \(x + iy д_ z( д__ д_\ x-iy д>_\
(x + iy д_ z( _5__ д_\ x-iy д\( д2 д2 \
а также на формулах B0.5), B0.8) для операторов, входящих в правую
часть этого равенства. Окончательный результат имеет следующий вид:
_ (x + iy д д2 x-iy д \
-LJ{n)-\ 2 д? *д?дт) 2 dr}2jLJ{n)
(L + J- n)(L + J-n- l)(n -L + J + 2)(n -L + J+l)
Bn+l)Bn + 2) "(n+i)
n(n+L-J)(n+L-J-\)(L+J+n+l)(n+L+J)(x2+y2+z2)
+ 2Bn+l) L-U(n-i)
B0.9)
Вывод формулы, описывающей действие на производящую функцию
I оператора
Ж + 21/
«0 = -
*г/ 5 z ( д д\ x-iy д
основан на том, что производящая функция / является однородным
LJ(n)
полиномом степени 2J по переменным а;, г, и поэтому в силу классического
тождества Эйлера
(l+w-H- + r4-)l = A + 27)/
V &J <9г/ LJ{n) V ^ ' LJ(n)

152 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
имеем
х + iy д z / д д\ х — гу ^ д \ (л д д \
^^ + 2{^rvrJ + -T-%){1+^ + Td-r)
x + iydzfd д\1х-*Угд\(д> д\
—^+2 {**; - пТт)+ —%J Ы+тд~ч)
х + iy z ( \ х — гу \ ( д2 д2 \
( х + гу z ( \ х - гу \ (
{ Г-Т7) ~ 2 [*Т + ШУ + ~2~^J V
Применяя правую и левую части этого равенства к производящей функции
/ и используя B0.4)-B0.7), приходим к требуемому равенству
fx + iy д z(+d д\ х — гу.д\т
d^jinr {-г-чщ + 2 (*« ~ чаа)+ -2-^J W)
(L + J-ri){n + J-L+l)
Bn+l)Bn + 2) LJ{n+l)
n(L + n- J)(L + J + n + l)(x2 + 2/2 + *2)
/ B0.10)
2Bn + l) bJ(n-i)
Резюме
Л/ы обосновали формулы из табл. 19.1, /га которым действуют на про-
изводящую функцию I полиномиальные операторы d+, d0, d_.
Перейдем к выводу аналогичных формул из табл. 19.1, описывающих
действие на производящую функцию I инвариантных дифференци-
альных операторов Д+, А0, А_. Мы получим эти формулы, опираясь на
уже установленные формулы для полиномиальных операторов d+, d0, d_.
Здесь мы используем результат задачи 2.11 (формула Максвелла): если
Vn{x,y,z) — однородный гармонический полином степени п} то полином
Qn+1(x, y, z) = (ax + by + cz)Vn - ^ + 1 [a— + b— + c—J
также будет гармоническим. Если коэффициентами полинома Vn(x,y,z)
являются полиномы от спинорных переменных, то коэффициенты а, 6, с
могут также быть полиномами от этих переменных либо операторами,
действующими на спинорные переменные, например, дифференциальными
операторами с полиномиальными (от спинорных переменных)
коэффициентами. Выбирая в качестве ax + by+cz полиномиальные операторы d+, dQ,
cL и пользуясь тем, что производящая функция I является гармони-

§ 21. Коэффициенты Рака
153
ческой по х, у, z, заключаем, что гармоническими будут также полиномы
»2 , „,2 , ^2
d+ILJ(n)- 2n + l A+W)~ g"+1'
do/W(n)" 2n+l AoW)= g"+1'
d-7w(„) 2n+l A-^(„)= g"+1-
Сравнивая эти равенства с B0.3), B0.9), B0.10), заключаем, что
<tf+i = '
n+1 Bn + 1) Bп + 2) х+1 Jfn+i)'
0 (? + J,w)(n + J-?+l)
Vn+1 Bn+l)Bn + 2) "(я+i)'
(?+J-n)(?+J-rc-l)(n-L+J+2)(n-L+J+l)
Уп+1 ~ Bn+l)Bn+2) *-i J(n+i)'
. + LJ(n) 2 L+U(n-1)
A n(L+n- J)(L+n+J+l)
°LJ(n)-" 2 bj(n_i)'
_ n(n+?-c/)(n+?-c/-l)(?+J+w+l)(n+?+J)
~ ^J(n) 2 L-l J(n_i)"
Мы воспользовались тем, что любой однородный полином 7>n+i от
переменных х, г/, z степени п + 1 однозначно записывается в виде суммы
7>n+1 = Qn+i+r2Qn_i + r4Qn^3 + -.-, где г2 = х2 + у2 + z2, а все однородные
полиномы Qk(x,y,z) гармонические (Qk имеет степень однородности к).
Последнее утверждение предлагалось доказать в задаче 2.12.
На этом мы закончили несколько утомительное обоснование правил
по которым инвариантные дифференциальные или полиномиальные
операторы действуют на инвариантные полиномы.
§ 21. Произведение трех неприводимых представлений
и коэффициенты Рака
Трехспинорные полиномы. Представление в пространстве трехспинорных
полиномов. Разложение представления в кронекерово произведение,
коэффициенты Рака.
Изучив в § 13 представление группы SUB) в пространстве биспинор-
ных полиномов, мы затем в § 15 показали, что его можно рассматривать
как кронекерово произведение двух неприводимых представлений. Было
построено разложение такого произведения в прямую сумму неприводи-

154 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
мых представлений, с весами из которых составлен правый столбец
т х п2 =>
/ nx + п2 \
ni + п2 - 1
V \пх -п2\ /
B1.1)
Теперь рассмотрим аналогичный вопрос о разложении в виде кроне-
керова произведения трех неприводимых сомножителей. Для этого
естественно использовать полиномы от трех пар спинорных переменных &, г}\\
Ь, Щ\ ?з, Щ- Будем считать, что каждый такой полином имеет степень
однородности 2п\ по &, rji, 2п2 по ?2, *72 и 2п3 по ?3, *7з- Числа ni, п2, п3 могут
быть целыми или полуцелыми. С такими полиномами мы уже встречались
выше. Будем называть их трехспинорными полиномами. Размерность
линейного пространства трехспинорных полиномов с фиксированными гс1} п2,
пз равна Bni 4- l)Bn2 4- 1)Bп3 + 1),ав качестве базиса этого пространства
могут быть выбраны одночлены
Сп^ГКь 9i;6, ¦»;&« %) = CF^i)e^F^2)enm33F, *?з),
B1.2)
где —n,- ^ m, ^ щ, г = 1, 2, 3,
е-(е,г?) = (-1)
п+т
Bп + 1)!
(п + т)!(п — го)
¦е
^"Ь^71^-771
В пространстве трехспинорных полиномов естественным образом
определяется представление группы SUB). Каждому элементу д е SUB) (или
унитарной матрице второго порядка д = \ %~ , аа + /3/3 = 1, сопоставим
преобразование Т5 пространства полиномов по формуле
?iPKi,»7i;6,»72;&,iy3) = P«i,i7i;^,^;^,^)i
-/?"
B1.3)
Нас интересует разложение представления B1.3) (точнее,
представление, определяемое преобразованиями B1.3)) на неприводимые
представления. Среди последних могут быть представления с совпадающими весами,
а в этом случае разложение неоднозначно. Мы постараемся выяснить, как
связаны между собой различные разложения представления,
определяемого преобразованиями B1.3), на неприводимые представления.
Заметим, что преобразование Тд можно записать в виде произведений
Т _ ГA2)гC) _ ГA)гB3) _ уA)ГB)ГC)
у у у у у у у у

§ 21. Коэффициенты Рака
155
преобразований TffA2), TffB3), ГэA), Тр\ ГэC) пространства спинорных
полиномов V {ii, гц; &, V2; 6, »?з) по формулам
тгA2)Р(б, %; 6, w 6, да) = *>(?, »й; & »й; &»чз).
7f 3^F, »?i;6, w&, я») = РF, «п;& «й;& Чз).
^РF, %; 6, i»; 6, i») = P(ti > 4i; 6, m; 6>, Ы,
Tf ^(^ццб.члй,*) =РF,»п;&>'7а;&.'й).
,*?1;6,^2;?з,*7з) = РF^1;6^2;й^з),
где $ и T7i такие же, как в B1.3). Повторяя почти дословно рассуждения
из § 15, мы придем к следующим выводам.
Резюме
Представление TsvB) группы SUB), определенное преобразованиями
B1.3) и действующее в пространстве трехспинорных полиномов степени
однородности 2п\, 2п2, 2га3 по парам переменных ?i, щ, ?2, Щ ы ?з; Щ,
является кронекеровым произведением неприводимых представлений весов
пь п2, n3: TSUB) = rsuB) x rsuB) x rsuB)- To же самое представление
TsuB) является кронекеровым произведением представлений 7guB) u ^suB)»
при этом Т$щ2) эквивалентно представлению группы SUB) в
пространстве биспинорных полиномов, т. е. кронекерову произведению Т^щ2^ х Tgup)
и, следовательно, TsvB) = Т^2) х TsC)B) = [Г5(#B) x Ts(g{2)] x TsC)B); Л/ожно
считать, что представление TsuB) является кронекеровым произведением
гA) ./ГB3) .
JSUB) " 2SUB) *
Тетт/пч - ГA) х ТB3) - ТA) v ГТ<2) у ТC) 1
^suB) — ^suB) x ^suB) — ^suB) x L^suB) x -'sup).!-
Сопоставим каждой записи преобразования Т^ в виде произведения
[Т^] х TJ2)] х TJ3), TJX) x [TJ2) x TJ3)] схемы весов, по которым
представление TsuB) раскладывается на неприводимые представления. Эти схемы
совершенно аналогичны схеме B1.1) для произведения двух неприводимых
представлений:
[ni х п2] х п3 ¦
( (щ + п2) х п3
(ni + п2 - 1) х п3
V |ni -п2\ х га3

156 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
(rai + га2) + га3 ...
(rai+ra2) + ra3-l (rai + ra2-l) + ra3
|rai - ra2|-f n3
|(rai + ra2)-ra3| |rai + га2 - 1 - га3| + 1
1^1 +га2 - 1 - га3|
1К-га2|-га3|
B1.4)
[rai х [га2 х га3]
( rai х (га2 + га3) \
п\ х (га2 + га3 - 1)
ni + (га2 + га3)
п\ + (га2 -f га3) - 1
\ rai х |га2 - га3| /
^1 + («2 + га3) - 1
К - (га2 + га3)| |rai - |га2 -f га3 - 1| + 1
|rai - |п2 + га3- 1||
ГЦ + |га2 - га3|
\щ - |ra2-ra3||J
B1.5)
Пример 21.1. Рассмотрим схемы B1.4), B1.5) при rai = 1, га2 = 1,
га3 = / ^ 2:
[1 X 1] X / :
7 + 2 ...
/ + 1 / + 1
/ /
/-1 /-1
1-2 ...
B1.4а)
1 х [1 х /]
П х (/ + 1)>
1 х/
Л х (l-l)j
7 + 2
/+1 / + 1 ...
/ / I
... /-1 /-1
1-2
B1.5а)
Заметим, что максимальный вес неприводимых представлений в
произведении Т^ х Tf> х Т$* — Тд равен rai + га2 + га3 и инвариантное
подпространство, отвечающее этому максимальному весу, имеет размерность
2(rai + ra2+ra3) + l (в B1.4а), B1.5а) — rai+ra2 + ra3 = / + 2). В верхней строке
схем B1.4), B1.5), на которой помещается максимальный вес, заполнена
клетка лишь в одном столбце. Точно так же, только одна клетка заполне-

§ 21. Коэффициенты Рака
157
на в нижних строках схем B1.4), B1.5), на которых стоит минимальный
возможный вес. Это означает, что представление, определенное
преобразованиями Тд = [Т^A) х TJ2)] x TJ3) = ТрA) х [ТзB) х TJ3)], в инвариантном
подпространстве этого веса неприводимо. В инвариантных
подпространствах, отвечающих любому другому весу, за исключением максимального
и минимального, это представление будет кратным неприводимому
представлению с кратностью больше единицы. Кратность равна числу
заполненных клеток в той строке правой таблицы в B1.4) или B1.5), в которой
помещается интересующий нас вес. Так, в схемах B1.4а) и B1.5а) вес / + 1
размещается в двух столбцах, поэтому в инвариантном подпространстве
этого веса представление двукратно неприводимому представлению. Тот
факт, что в пространстве, где действует кронекерово произведение трех
неприводимых представлений T^jL) x ^suB) x ^suB)' существуют
инвариантные подпространства, в которых представления кратны неприводимым (с
кратностью, большей единицы), является существенным отличием от
случая произведения двух неприводимых представлений. Чтобы осуществить
разложение произведения трех представлений на неприводимые
представления, следует разложить на неприводимые каждое представление,
кратное неприводимому, т. е. выбрать канонические базисы подпространств,
инвариантных относительно этого представления. Как мы знаем, выбор
канонического базиса неоднозначен. Ниже мы рассмотрим два способа
выбора канонических базисов. Полученные базисы будут связаны некоторым
линейным преобразованием. Элементы матрицы, соответствующей этому
линейному преобразованию, называются коэффициентами Рака.
Определим функцию А(гг1,7г2)п3) от целых или полуцелых
неотрицательных аргументов щ, п2, п3 следующим образом:
1, если пх + п2 + п3 целое и при этом
д. v _ I выполнены все три неравенства треугольника:
«1 ^ п>2 + газ, п2 ^ щ 4- п3, п3 ^ щ + п2;
О иначе.
Из равенства A(ni,n2,n3) = 1 следует, что n3 ^ пх + n2, пх — п2 ^ п3,
«2 — rci ^ п3, т. е. \щ — 7121 ^ пз ^ пх + п2. Очевидно обратное
утверждение: последние неравенства обеспечивают выполнение всех неравенств
треугольника, т.е. если сумма ni-fn2-f-n3 есть целое число, то A(ni,n2,n3).= 1.
В произведение неприводимых представлений весов щ и п2
представление с весом п входит только если \пх — п2| <С п ^ пх + п2 и п является
целым или полуцелым числом одновременно с пх +п2. Очевидно, что эти
условия эквивалентны равенству A(rii,n2,n) = 1.
Рассмотрим таблицу B1.4) весов представлений, входящих в
произведение Tj * хТ<) * х TJ3\ В этой таблице вес п оказывается выписанным в
одной из строк, но не все элементы такой строки должны быть заполнены.
Например, в первом столбце вес п будет отмечен, если (пг + га2) + n3 ^
п ^ \(пх + п2) — п3|, т. е. A(«i + п2,гс3,п) = 1. Вес п отмечается во
втором столбце, если (пх + п2 - 1) + п3 ^ п ^ \(пх + п2 - 1) - п3|, т. е.
А(пх + п2 — 1,п3,п) = 1. Аналогично, в (/ + 1)-м столбце вес п отмечает-

158 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
ся только если A(ni + га2 — /,tz3,7i) = 1. В каждом (/ + 1)-м столбце, где
вес га не отмечается, имеем A(ni + га2 — /,тгз,п) = 0. Во время перебора
всех столбцов щ + га2 — I пробегает все значения из последовательности
711 + 712,711+712 — 1>п1+ п2 — 2, . . . , |fli — П2 | + 1, \п\ — 712|, И ЧИСЛО ОТМвЧвННЫХ
столбцов при этом окажется равным следующей сумме:
Кп - Д(щ + га2, га3, п) + А(пг + га2 -- 1, п3, га) + ... + Д(|п1 - п2|, п3, га).
B1.6)
Аналогичный подсчет, но проведенный по схеме B1.5), для того же
числа Кп приводит к другому выражению:
Кп = Д(гаь га2 + га3) га) + Д(гаь га2 + п3 - 1, га) + ... + Д(гах, |га2 - га3|, тг).
Очевидно, что Кп — это кратность, с которой представление веса га входит
в произведение неприводимых представлений весов rai, га2, га3.
В качестве примера вычислим кратность неприводимых
представлений весов / и / + 1, входящих в произведение представлений весов 1,1,/
(/>2):
Ki = ДB,/,/) + ДA,/,/) + Д@,/,0 = 1 + 1 + 1 = 3,
Х/+1=ДB,/,/+1) + ДA,/,/+1) + Д@,/,/+1) = 1 + 1 + 0 = 2
(рекомендуем читателю сравнить эти значения К^ Ki+i с теми, которые
очевидно вытекают из схем B1.4а), B1.5а)).
Из схемы B1.6) получаем одно полезное следствие.
Следствие 21.1. Представление веса 0 входит в произведение
неприводимых представлений весов rai; ra2; п3 только если Д(га1,га2,га3) = 1. При
этом подпространство, в котором представление кратно представлению
веса 0, одномерно и, следовательно, кратность К0 равна единице.
Для доказательства надо воспользоваться схемой B1.6):
Ко = Д(п1 + га2, га3, 0) + Д(гаг + га2 - 1, га3, 0) + ... + А(|ггг - га2|, га3, 0).
Если |rai - га2| ^ га3 ^ rai + ra2, то в этой сумме лишь одно слагаемое
Д(га3,га3,0) равно единице при условии, что га3 и гах + га2 одновременно
целые или полуцелые, остальные — равны нулю. Если га3 > rai + 712 или
газ < 1^1 — П2|, то все слагаемые нулевые. Поскольку |rai — га2| ^ га2 ^ rai +ra2
эквивалентно неравенству треугольника, мы приходим к формуле К0 =
Д(т*1,712, газ), эквивалентной утверждению следствия. ¦
Перейдем к построению базисов инвариантных подпространств,
преобразующихся по представлениям, которые кратны неприводимым
представлениям. Эти подпространства будут выделены из пространства трех-
спинорных полиномов, в котором мы реализуем кронекерово произведение
неприводимых представлений весов rai, ra2, газ-
Напомним, что если пространство биспинорных полиномов от ?i, 771
и ?2, 772 допускает разложение на подпространства, в которых действуют
неприводимые представления группы SUB), то базис этого пространства
может быть составлен из канонических базисов подпространств.
Канонический базис Brai2 + 1)-мерного подпространства состоит из полиномов

§ 21. Коэффициенты Рака
159
С™™[П1 >П2]F)^1 Л2,т) (см. § 13). В пространстве спинорных полиномов от
переменных &, 771 базис можно выбрать из мономов е?*33(?3,*7з). Теперь
очевидно, что полиномы
СЛ'Кь^б,!») -С^з^з), B1.7)
где |ni - п2\ ^ ni2 ^ пг + n2, -ni2 ^ mi2 ^ rii2, —п3 ^ га3 ^ п3) образуют
базис пространства трехспинорных полиномов.
Напомним, что ^*|niina](?i,»?i;{2,*?2) преобразуются так же, как
C^Kb^i)- Следовательно, базис из полиномов B1.7) преобразуется точно
так же, как базис из полиномов е™1^ (?1,771) • е™3(?3,773), а этот последний
базис можно связать с помощью коэффициентов Клебша — Гордана с
каноническими базисами, преобразующимися по неприводимым
представлениям. Точно такая же связь должна быть между базисом из полиномов B1.7)
и некоторыми каноническими базисами пространства трехспинорных
полиномов от ?i, 771, ?2 j V2, ?з, Щ• Эти аргументы приводят к заключению,
что такие канонические базисы должны быть составлены из полиномов
Qni2(ni,n2),n3] (&> т'> Ьу Ч2\ &, т)
= ? сй,п?1С^1,.л(б.'»;б.'»)С(й.'»). , а.
"*12,TO3 B1.0)
где |ni -n2| ^ ni2 ^ ni + n2, |ni2 — n3| ^ n ^ ni2 + n3, —п^т^п. Полином
B1.8) является каноническим базисным вектором некоторого
инвариантного подпространства, преобразующегося по неприводимому
представлению веса п. Все различные векторы канонического базиса этого
подпространства описываются этой формулой при различных допустимых
значениях т. При фиксированных ni, n2) п3 мы можем строить такие
канонические базисы с тем же весом п для различных возможных ni2, т. е. если
A(n1,n2)ni2) = 1 и A(ni2jn3,n) = 1; число таких допустимых ni2 должно
совпадать с кратностью Rn представления веса п в соответствующем
инвариантном подпространстве трехспинорных полиномов. Это инвариантное
подпространство обязано иметь размерность Кп • Bп + 1).
Канонический базис пространства трехспинорных полиномов можно
получить другим способом, выбирая первоначально канонические
базисы пространства биспинорных полиномов от переменных ?2, *72, ?з, № и
в пространстве спинорных полиномов от fi, 771, а затем связывая базис,
составленный из произведений этих базисных полиномов, с помощью
коэффициентов Клебша —Гордана с каноническими базисами неприводимых
представлений. Иными словами, строится базис по формулам, которые
отличаются от B1.8) лишь обозначениями ?3O73 -> ?i,*7i, ?1,771 ->• ?2,^2,
6^2 ->&,7з:
Qn33(nain3),ni](^l» Vl'>&> *?2;6, *7з)
где |тг2 —тг3| ^ тг23 ^ n2-bn3, |п23 —щ\ ^ п ^ n23—ni, —m ^.m ^.n. Полиномы
вида B1.9) с одним и тем же п распадаются на серии, каждая из которых

160 Глава И. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
отвечает тому или иному допустимому значению п2з- Полиномы каждой
серии образуют канонический базис представления веса п, а число таких
серий равно кратности Кп. Базисы в подпространстве трехспинорных
полиномов, преобразующемся по представлению, кратному неприводимому
веса п, приведенные в B1.8) и B1.9), должны получаться один из
другого с помощью линейного преобразования. Этот вопрос уже обсуждался в
§ 11, где мы установили, что эта связь (в принятых сейчас обозначениях)
описывается формулой
пт \ ^ пт
П[П12(П1,П2)ПЗ] / -J /2«23е'п[П2з(«2,«з)П1]*
«23
В обозначениях коэффициентов (как указывалось в § 11, они не зависят от
т) удобно также указывать параметры п, тц, п2, п3. Введем новое
обозначение 7п12П23 = Гп[пз(пГпа)п1а] И СВЯЗЬ межДУ раЗЛИЧНЫМИ ТрвХСПИНОрНЫМИ
базисными полиномами запишем в виде
пт _ V^ п[п2з(п2,пз)«1]/1т
^П[П12(П1,П2),П3] "" 2-~i ГЬ[П12(П1}П2)П3] П[П23(П2,П3),П1]-
П23 B1.10)
Подчеркнем еще раз, что коэффициенты в этих соотношениях не зависят
от га. Этим коэффициентам при фиксированном п сопоставляется Кп х Кп~
матрица (п1,п2)пз фиксированы).
Если мы введем в пространстве трехспинорных полиномов скалярное
произведение, в котором базисные одночлены B1.2) ортонормированы, то
канонические базисы из полиномов B1.8) и B1.9) также окажутся ортонор-
мированными. Это утверждение следует из свойств коэффициентов
Клебша — Гордана. Ввиду ортонормированности базисов Кп х Хп-матрица
коэффициентов r^[n2(n П2)пз]3 УнитаРна- В этом обозначении параметры rci2,
га2з играют роль переменных индексов, а остальные параметры rii, n2} п3,
п фиксированы. Все элементы этой матрицы вещественны,
следовательно, она является ортогональной. Вещественность следует из выражения
этой матрицы через коэффициенты Клебша — Гордана. Соответствующие
формулы будут обоснованы ниже.
Условие ортогональности матрицы ^[^(n^n^ni^ можно записать в
виде равенств
Еп[п23(п2)п3)п1] n[n23(n2,n3)ni] _ гПзз
Гп[к(п1,п2)п3] п[к{пъп2)пъ] ~ °п23 >
Еп[к(п2,пъ)пх] п[к(п2)пъ)п1] __ гп12
п[п12(п1,п2)пз] n[ni2(ni,n2)n3] П12'
Заметим, что в литературе вместо элементов, составляющих ортонормиро-
ванную матрицу перехода от одного канонического базиса к другому, как
правило, используются пропорциональные им величины:
п[п2ъ(п2)ПЪ)п1]
\АТ(п а* .к ^ • п п \ — ( "П2п п[п12(п1}п2)п3]
W(n1,n2) П, П3; П12, П23) = (-1) ,
VBni2 + l)Bn23 + l)

§ 21. Коэффициенты Рака 161
которые называются коэффициентами Рака.
Теорема 21.1.
п[п23(п2,n3)ni] __ V""^ ^m[rni+m2.m3]^»m14-m2[mi,m2]
П[П12(П1,П2)ЛЗ] ' ' П[П12,П3] «12[П1,П2]
mi+m2-fm3=m
^т2+тз[т2,тз]^т[т2+тз.т1] /^-i -t-t \
^2з[«2,«з] «[W23,«l] ' V * /
Замечание 21.1. Поскольку коэффициенты Клебша — Гордана
вещественны, из B1.11) получаем, что коэффициенты Рака и матричные
элементы Sy%2)t23] также вещественны.
П[Пз(П1,П2)П12
Доказательство теоремы 21.1. Перепишем формулу B1.8) в виде
С[п12(п1,п2),п3](^Ь^1;6^2;^З^з)
= Е сйТ"»?1 Е СЙГ^с.^.^С^.^с^.*)-
B1.12)
Согласно результатам § 13
ТП.23^23 ^Zl.lOj
Подставив B1.13) в правую часть B1.12), получим
n[nia(nlln2),n3]Ub,?i;«,»?2;&,»?3J - 2^ Cn[n12,n3]
771i,77l2)Tl3)'7^12)'7l23)",23
х СГ12?^
B1.14)
Так как матрица коэффициентов Клебша — Гордана ортогональна,
обратная матрица совпадает с транспонированной. Поэтому из B1.9)
получаем равенство
= Е ^[С^пТ CW^.n,),.^^ »?i; 6, *?г; 6, т),
т' ,п'
которое после подстановки в B1.14) приводит к почти окончательному для
нас результату:
C[n12(n1,n2),n3](^i>77i;6J^2;6>^3) = ^2 c™[Zl%™]
mi ,7n2>m3,mi2,m23,^23)"i/,«/
vrmi2[m1,m2]rm23[m2,m3]r,m/[m23,mi]^m' (p .с с \
X L/n12[n1)n2] °п2з[п2,п3) 0n'[n2eini] Сп'[п23(na,n3),ni]Kb *?1i $2, ^2,<3, W•
B1.15)

162 Глава II. Произведения представлений групп SOC) и SUB)
Осталось только указать область изменения индексов, по которым
производится суммирование, и после этого несколько упростить эту формулу.
Заметим, что у всех ненулевых слагаемых в правой части B1.15)
индекс п' должен быть равен п, так как по построению все полиномы
Qn(€i> ^2;б? *?2 ¦ ?з, *?з) лежат в инвариантном подпространстве трехспинор-
ных полиномов, преобразующихся по представлению, кратному
неприводимому с весом п. Кроме того в символе C^J^nil должно быть т = mi + m2,
|ггх — гг21 ^ п <С П1+П2- Поэтому mi2 = mi+m2, m = mi2+m3 = mi+т2+тз,
Ш2з = Ш2+ тз, m' = тгз + mi = тг -f тз + mi = m. Поэтому можно
переписать B1.15) в виде
EV~^ ^m[mi+rri2,гп>г]/~irrii+rri2[rni ,m2]х-чт24-гоз[га2)т3]
Z-J П[П12,П2] П12[П1,П2] П2з[«2,"з]
«23 mi+m2+m3=m
х С*п1^Г,т1]С[п2з(п2,п3),п1]F1'?2;6,'72 :&,%), B1-16)
где суммирование проводится по всем допустимым П2з, т. е. таким, что
одновременно A(n,n23, ^1) = 1, А(п2з, w2,n3) = 1 и по всем т«, целым и
нецелым одновременно с п,-, таким, что — щ ^ т,- ^ п, ит1 + т2 + тз = т.
Сравнивая B1.10) и B1.16), приходим к B1.11). ¦
Заметим, что т в этой формуле произвольно: —п^т^п, оно только
должно быть целым или полуцелым одновременно с т. Таким образом,
для коэффициента Рака ^[^(п^С)!^^ мы П0ЛУЧИЛИ п + 1 различных
выражений. Еще одно выражение можно получить, просуммировав по всем
допустимым т равенство B1.11):
^П -f- ^rn[fli2(nijna)nj _ 2-/ °n[ni2,n3]
?7ii ,77i2 ,тз,т
y ^mi+m2[miJm2]^fm2+m3[m2)m3]^fm[m2+m3,m1]
ni2[ni,n2] п2з[,пз] n[n23)ni]
Другие свойства коэффициентов Рака указаны в задачах.
Задачи и упражнения
21.1. Выписать полиномы Клебша — Гордана C^nia(niine)f„a]Ki, %;6, W&, чз).
По аналогии с B1.10) рассмотреть формулу
С^[п1з(п1>п3),п2]Кь,?2;6,»72;&,7з)
En[ni2(ni,n2)n3] ,^-trn /л ^ >. ч
rn[n13(n1,n3)n23Ca'L/n[n12(n1)n2))n3]Ub^2;<2,42;<3,43J.
«12
ПОЛУЧИТЬ формулы ДЛЯ КОЭффиЦИеНТОВ ^[„"(^'^inj' Д°казатьгчто
n[n23(,n3)ni] __ V^ n[ni2(n1,n2)n3] n[n23(n2)n3)ni]
n[ni3(ni,n3)ni] "" Z^ п[щз(П1П3)п2] п[П12(П1>П2)пз]'
«12
21.2. Построить канонические базисы и аналоги коэффициентов Рака в
пространстве четырехспинорных полиномов.

Глава III
Инвариантные уравнения
§ 22. Системы уравнений,
инвариантные относительно вращений
Система уравнений акустики как пример системы уравнений,
инвариантной относительно вращений. Определение инвариантности системы
уравнений. Запись инвариантных систем с помощью спинорных полиномов. Спи-
норные операторы Д+, Д_ и До как аналоги операторов grad, div и rot.
Условие инвариантности в виде соотношений между инфинитезимальными
операторами и матричными коэффициентами.
Теория представлений группы вращений применяется при изучении
свойств дифференциальных уравнений, инвариантных относительно
выбора ортогональной системы координат. Рассмотрим, например, систему
уравнений акустики
1 др ди dv dw __
PoCq dt дх ду dz
ди dp
Я0-57+ пГ- = О,
2 % <221»
dw dp
При ортогональном преобразовании координат
</eSOC),
'X'
У'
х\
у) =
*)
ди
921
931
912
922
932
913
923
9зз
X
V
V
163

164
Глава III. Инвариантные уравнения
df df df
частные производные -^-j7 —, — оказываются связанными с производ-
df df df
ными -^-, —, — соотношением
ох ду oz
(д1\
I Of I
ду'
ydf_.
0n 9i2 913
921 922 923
931 932 9зз
/*L\
1
\dz1'
В координатах я', у', z' система уравнений акустики B2.1) примет вид
1/(Рос20) 0 0 0
0 р0 0 0
0 0 ро О
О 0 0 ро.
д
at
lv\
Г
L
W
+

9п
912
.013
011
0
0
0
512
0
0
0
9i3~
0
0
0.
д
дх'
IV
[и
V
\w
+
' 0 021 022 02з"
021 О О О
022 О О О
L023 0 0 0.
ГО
031
032
.033
031
0
0
0
032
0
0
0
0зз"
0
0
0
д
dz'
(V
[и
V
\w
Для упрощения записи сделаем замену неизвестных функций
B2.2)

§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 165
после которой система B2.2) запишется
V(po<$) 0 0 0
0 р0 0 0
0 0 ро О
О 0 0 p0J
¦ о
0.11
912
1913
так:
+
9п
0
0
0
912
0
0
0
913
0
0
0
 01
О 9Т\
+
+
г о
921
922
1923
' О
#31
932
L033
921
0
0
0
9з1
0
0
0
922
0
0
0
932
0
0
0
923~
0
0
0.
дзз~
0
0
0 j
![1 01 д
[0 9T\W
Г1 01 5
|0 9Т\ dz>
B2.3)
Умножив систему B2.3) слева на невырожденную клеточную матрицу
[о д], мы придем к уравнениям
1 dp' du' dv'
pocl dt дх' ду'
+
dw'
~д~7
= 0,
Ро
dt
dv'
+ дх' '
dp'
B2.4)
dw' dp'
р°-дТ + д? = 0'
которые отличаются от исходных уравнений B2.1) только
обозначениями независимых переменных и неизвестных функций. При этом мы
воспользовались вытекающими из ортогональности g (ggT = 1) матричными
равенствами, два типичных из которых имеют вид
I/Pocg
Ро
Ро
Ро.
i/po4
Ро
Ро
Ро.
1 0
0 g
го
9п
912
L913
9п 912 913
0 0
0 0
О О
'1 0'
0 9Т.
'0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Чтобы вид системы B2.1) в преобразованных координатах остался
неизменным, мы выполнили не только преобразование g системы
координат, но и некоторое преобразование неизвестных функций. Таким образом,

166
Глава III. Инвариантные уравнения
каждой матрице д е SOC) мы поставили в соответствие не только линейное
преобразование координат я, у, z, но и линейное преобразование Тд
неизвестных функций. При этом произведению #2\0i отвечает последовательное
осуществление преобразований TgiJ Т92, т. е. Тд2 Т9х. Мы видим, что
преобразования Тду д е SOC), определяют некоторое представление группы
SOC). В приведенном примере уравнений акустики это (четырехмерное)
представление приводимо и распадается на одномерное (преобразование р)
и трехмерное (преобразование и) v) w).
Будем говорить, что система
инвариантна относительно вращений пространства, если для любого
преобразования координат
<7GSOC),
существует преобразование Тд вектор-функций U'(x'', у', z'} t) = TgU(x, у, z, t)
такое, что преобразованная вектор-функция V удовлетворяет системе
с теми же матричными коэффициентами Z,i, Ь2, L3) L, что и в исходной
системе B2.5).
Мы ограничимся рассмотрением инвариантных систем первого
порядка, разрешенных (или разрешимых) относительно производных по t от всех
компонент неизвестной вектор-функции U (инвариантные системы типа
Ковалевской).
Существенно, что при этом представление не обязано быть
однозначным. Иногда приходится иметь дело с двузначными представлениями,
которые могут быть истолкованы как представления группы SUB).
Сами вращения д е SOC) также удобно рассматривать как элементы д = Тд
(д е SUB)) некоторого представления группы SUB). Все пространство,
в котором действует такое представление может быть разложено в
прямую сумму двух инвариантных подпространств. Одно из них
представляет собой прямую сумму некоторого числа инвариантных подпространств,
в которых действуют неприводимые представления с целыми весами, а
второе — это прямая сумма подпространств, инвариантных для
неприводимых представлений с полуцелыми весами.
Строго доказано, что каждую инвариантную относительно вращений
систему типа Ковалевской можно невырожденным преобразованием U =
RV привести к виду
dV ~ dV ~ dV ~ dV ~ Л

§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 167
где матрицы Zj = Д-11.,Д, г = 1,2,3, L — R~lLR и вектор-функция V
имеют следующую структуру:
Ь =
IP О
о Z«
L-\~Lil) °
v=($!)•
При поворотах # матрицы X», г = 1,2,3, и X не меняются, тогда как V^1)
преобразуется согласно некоторому, вообще говоря, приводимому
представлению группы вращений, которое разлагается в сумму неприводимых
представлений с полуцелыми весами, a V^ — по представлению, которое есть
сумма неприводимых представлений с целыми весами.
Таким образом, любые инвариантные уравнения распадаются на две
несвязанные между собой системы
в каждую из которых входит только V^ или только VB\ которые
преобразуются по двузначным (или однозначным) представлениям. Конечно,
в конкретной системе компоненты первого или второго вида могут
отсутствовать.
Ввиду изложенного мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением
систем B2.5), у которых искомая вектор-функция U преобразуется либо
по однозначному, либо по строго двузначному представлению. Изложение
будет иллюстрироваться уравнениями акустики
др
-f- aiv и = и,
B2.8)
ро% at
A)^+gradp = 0,
и уравнениями Максвелла
-^ + согЫЯ = 0,
дЕ B29)
-5- - c0TotH = 0.
at
Преобразование неизвестных в этих уравнениях осуществляется по
однозначным представлениям. Двузначные представления используются при
преобразованиях уравнений Дирака (см. пример 22.3, ниже). В записи
уравнений акустики и уравнений Максвелла участвуют следующие
операторы:
div — дивергенция (преобразует вектор в скаляр)
grad — градиент (преобразует скаляр в вектор)
rot ротор (преобразует вектор в вектор)

168
Глава III. Инвариантные уравнения
Оказывается, что если система инвариантна относительно вращений,
то ее можно записать при помощи трех типов операторов, аналогичных
операторам div, grad, rot. Сформулируем это утверждение более точно.
Предложение 22.1. Пусть U — неизвестная вектор-функция,
преобразующаяся по представлению группы SOC) или SUB) и каждая вектор-
компонента Uni, Un2y..., иПк преобразуется по своему неприводимому
представлению веса nj или по представлению, кратному неприводимому пред-
ставлению с таким весом. Тогда существуют линейные по —. —, ~тг
ох ду oz
операторы, которые переводят вектор-функцию Щ в вектор-функцию,
преобразующуюся согласно представлению веса либо / +1, любо I, либо 1 — 1 или
кратному одному из перечисленных.
Обозначим операторы, о которых идет речь в предложении 22.1, через
До, А+, Л_:
A+Un = Vn+i — аналог градиента (увеличивает вес представления)
AoUn = Vn — аналог ротора (сохраняет вес представления)
Д_/7П = Vn-i — аналог дивергенции (уменьшает вес представления)
Мы не будем приводить аккуратного доказательства
сформулированного утверждения, ограничившись указанием ряда типичных примеров.
С помощью введенных операторов запишем систему уравнений,
формально обобщающую систему уравнений акустики и систему Максвелла
^ + BJJ+1 Д-СЪ+i + CZAoUn + DZ^A+Un-i + EnnUn = 0.
01 B2.10)
Размерность векторз Un равна кратности kn неприводимого
представления веса гс, умноженной на 2п -f- 1. Если все представления однократны,
то коэффициенты ?"+1, С", D™~1, Е% суть постоянные числа. Если
кратности кп отличны от единицы, то коэффициенты надо считать числовыми
матрицами, размеры которых определяются кратностями представлений,
которые они связывают: В%+г — кп х &п+1-матрица, С™ — кп х ^„-матрица,
D"-1 — кп х Агп_1-матрица, Е% — кп х Агп-матрица. Например, уравнения
Максвелла B2.9) в нашей символике запишутся в виде
dt
где
?tfi + CjAo^i = 0, B2.11)
cl =
0 с0
-со 0
-©¦
, Ux= " , B2.12)
а уравнения акустики B2.8) — в виде
^Ui + D^A+Uo = 0,

§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 169
где Bl - р0с1 и Dl = 1/р0.
Операторы div, grad, rot являются привычными и удобными
реализациями операторов Д_, А+, До, предназначенными для работы со скалярами
и физическими векторами, т. е. с величинами, которые преобразуются по
весам 0 и 1. Ниже приводится другая реализация этих операторов, которая
позволяет рассматривать их действие на величины, преобразующиеся по
произвольным весам.
Поясним идею на примере уравнений акустики B2.8). Наряду с вектор-
функцией U = (u)v,w)T, преобразующейся при вращениях д ? SOC) по
правилу U' = gU, введем спинорные переменные ?, т/, преобразующиеся по
правилу
GM0- Ч-НН<*>.
где h — любая из двух матриц, соответствующих в SUB) вращению д.
Напомним, что вращение вектора U1 = gU может быть описано через h
формулой
v! + w'
U + IV
— W
h\
Рассмотрим спинорный полином
Viyu.v.wX.r}) — —77
^-I'Qlu-iv
2
и + iv
—w
. U — IV . 2
B2.13)
Мы уже неоднократно пользовались инвариантностью этого полинома
относительно рассматриваемых преобразований и} vy w, ?, 77.
Мы предлагаем вместо скаляра р и вектора с компонентами и) v, w
рассмотреть два скаляра, а именно два инвариантных выражения
Р0 =p(x,y,zyt),
Л = -
u(x,y,z,t) + iv(x}y,z,t)
rj2 ~w(x,y,zit)ir}
+
u(x,y,z,i)-iv(x,y,z,t)
и использовать их при записи системы уравнений акустики. Рассмотрим
инвариантные операторы
If д .д\2 д , If д . <Э \ 2
Д =I(i
2\dt
.-«Л*
д д2 if a
ду)д& дгд?.дт, 2\дх
ду) дтJ

170
Глава III. Инвариантные уравнения
и заметим, что
^-Нш^)-^+Ш-Ш
Л р _ ди dv dw
дх dy dz'
Это позволяет записать уравнения
dp *(ди dv dw\
дх ду dz
1, . . 1 If dp .др\ Л
2V р0 2 \дх ду)
т
д_1
dt
д 1дР
от ро dz
д 1. . . \ \(др .др\ Л
эквивалентные уравнениям акустики, в следующем виде:
дР0
dt
dPi
+ p0c20A-.P1 = 0,
1
B2.14)
dt po
Уравнения Максвелла B2.9) допускают аналогичную формальную запись.
Используя инвариантные полиномы
¦Hi(x,y,z,t;Z,r))=:-T) ?»?#з+? 
, ч zEi + iEz , „ ,?Ei-iE2
E1(x,y,z,t;trj) = -r,2 \ -?г,Е3+е \
и инвариантный оператор
К d . .д_
dy
нетрудно убедиться, что
Ao=2l^ + ^J^+2^^-%J + 2^"WV
ДоЯ1 = -|
70Яз _ dffi\ ./3ff3 _ 5Яг
)+<:
')
V дх dz ) l *\ ду dz
\дх ду JS4^ 2 [V dz дх J Ч dz dy
_г-№
0Яг\ 1Г/9Я1 5Я3
) Ч 0* Л/ /
*2,
Ao^i =
dEa djh
dz
)+'(?-?)
0x dz ) ' '\ ду
JdE2 dEx\, \\(dEx dE3\ ./
-гЫ-^у-)^+2[(-ЪТ--дх-)-г(
dE2 dE3
dz dy )J
e-

§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 171
С помощью этих равенств уравнения Максвелла B2.9) запишутся в виде
+
О — с0г
Со г О
B2.15)
Читателю рекомендуется сравнить две записи B2.11) и B2.15)
уравнений Максвелла B2.9) и дать объяснение различию матриц коэффициентов
в этих записях.
Напомним, что инвариантные операторы Д+, Д-, До уже нам
встречались ранее. Их использование было чрезвычайно полезно в построении
теории сферических вектор-функций.
После разобранных примеров систем уравнений акустики и уравнений
Максвелла можно теперь перейти к инвариантным системам общего вида.
Рассмотрим систему уравнений в символической записи
^ + В^'А-Гп+г + CZAoVn + ДГх Д+Рп-1 + К?п = О,
B2.16)
где Vn(z, t/,z,t;?, rj) — однородный спинорный полином веса п (степени 2п)
от переменных ?, 7/, коэффициенты которого (их число 2п+1)
преобразуются по неприводимому представлению веса п. Эти коэффициенты зависят
от х) t/, z, t и являются неизвестными функциями в B2.16).
Если представления веса п неоднократны, как это было в
уравнениях Максвелла B2.9), то также можно использовать символическую запись
B2.16), но в этом случае надо считать, что Vn(x,у,z,t;{9 rj) является
вектором с полиномиальными компонентами Pn^(a?,y,z,*;^,iy) — однородными
спинорными полиномами веса п. Размерность, т. е. число значений,
принимаемых индексом р, этого вектора равна кратности кп представления.
Так, в случае уравнений Максвелла в качестве Vi{i,rj) мы брали двухком-
понентный вектор
VAx у z ft H\- МЛ = Шх,У,*АЛ,г,)\
Коэффициенты В?+1, С?, ?>?~\ Е% суть некоторые числа, если
представления весов га, га н-1, га — 1 однократны, или числовые матрицы размеров
кп+1 х knj кп х кп, Arn_! x кП) кп х кп соответственно, если представление
веса га имеет кратность кп. Вес га может принимать любые неотрицательные
целые или полу целые значения.
Чтобы осуществить переход от символической записи B2.16) к
матричной записи B2.9), надо в B2.16) выполнить дифференцирования по ?,
га и умножение на ?, га, привести подобные члены, а затем приравнять
нулю коэффициенты при всех базисных одночленах е™(?,га). Заметим, что
операция дифференцирования по переменным ?, га понимается в
алгебраическом смысле, т. е. при этом дифференцировании значения переменных
?, га считаются не зависящими от координат х)у) z. Для нас существенным
является только закон их преобразования при вращениях пространства.
Остановимся еще на одном подходе к проверке систем уравнений на
инвариантность. Этот подход приведет нас к соотношениям между мат-

172
Глава III. Инвариантные уравнения
рицами коэффициентов и матрицами, которые определяют представление
в пространстве неизвестных функций.
В системе B2.5) сделаем подстановку U — TgUl\
«г. + т-.ад^+та-ед^ + ra-wvf + t;'lt,v = о
fx\ /х'
и перейдем к новым координатам х', у1', z'\ | у ] = д [ у1 J При таком
df df df ^
переходе производные -—-, —, — функции / преобразуются по правилу
ах аг/ oz
/Ё1\ /Ё1\
-9 |
ду
ydf,
\dz'/
(°L\
911 512 013
921 921 923
931 932 9зз
\dz'J
В результате система B2.5) примет вид
dU' ^_! г ^ / dU' dU' dU'
Ж+Т~ LiT^j^+912-^+913^
+ Та
, r m / at/' at/' ac/
2 ' v21 a^7 + 522 ^+ 523
dy1
dz'
+ т-1ад(,31^ + ,32^ + .33^) +T3-iT3t/' = о
или
9U' „_lr
-ST + Tg (9llLl+ 92lL2 +93lL3)Tg
dt
dU'
dx'
dU'
+ Tg 1 (gi2Li + g22L2 + 932La)Tg -j—
+ Tg-^g^L! + 923L2+933L3)Tg— + T'1 LTgU' = 0.
Итак, условие инвариантности системы относительно преобразований ко-
/А ЛЛ
ординат 12/1 = g I у1 I и неизвестных функций U ~ TgU' можно выразить
равенствами
Tgl{gnLi -f g2iL2 + 93iL3)Tg = Lu
Tgl(g\2Li + 922^2 + g32L3)Tg= L2,
^(gisLi -\-g23L2 +9ззЬз)Тд = L3,
T^LTg = L.
B2.17)

§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 173
В B2.17) положим
1 О О
О 1 -и
О ш 1
+ 0(а;2), а
0 0 0
0 0-1
0 1 О
где а — инфинитезимальный оператор вращения вокруг оси Ох (см. § 3).
Согласно общей теории Тд = I + ljA + 0(и>2) и Т~1 = J - и>А + 0(и2), где
А — матрица инфинитезимального оператора представления Тд однопара-
метрической подгруппы д(ш). Из равенств
[1-шА + 0(ш2)][1г + 0{и2)][1 + и; А + 0(о;2)] = Ьг,
[1-шА + 0(ш2)][12 - uL3 + 0(u;2)][/ + и А + 0(и2)] = L2>
[/ - ^Л + 0(и;2)][а;Х2 + ?3 + 0{и2)}[1 + аМ + О(о;2)] = L3
[/ - uM + 0(а/2)] JL[/ + cjA + 0(u;2)] = I
с точностью до членов второго порядка получаем равенства
L\ - lj(ALi - L\A) = Li,
L2 — u>(AL2 — L2A — Ls) = L2,
?3 — u;(A?3 — L3.A + L2) = ?3)
?-w(i4?-Li4) = b,
из которых следуют соотношения
. [A,Li] = 0, [Д?2] = ?з, [ДЬз] = -?2, [Д?] = 0 B2.18)
между матрицами коэффициентов L, Lj, j = 1,2,3, и инфинитезимальным
оператором А. Мы использовали здесь широко принятую запись
коммутаторов [A, Lj] = ЛЬ, — 1^-А. Аналогично, рассмотрев однопараметрические
преобразования
*И = е** =
1 0 cj
0 1
-uj 0 1
+ 0(и;2), д(и,)=еРс =
1 -cj 0
w 1 0
0 0 1
мы придем к коммутационным соотношениям
[В, LJ = -?3, [5,?2] = 0, [5,13] = Lu [В, L] = 0,
[С, LJ = L2, [С, ?2] = -?ь [С, Ls] = 0, [С, L] = 0.
+ 0(),
B2.19)
B2.20)
Итак, из условия инвариантности B2.17) мы получили двенадцать
алгебраических равенств B2.18)-B2.20).
Примечание
Покажем, что из коммутационных соотношений B2.18)-B2.20) вытекают
равенства B.17). Мы ограничимся проверкой инвариантности лишь матричных коэффициентов

174
Глава III. Инвариантные уравнения
Li и предлагаем читателю самостоятельно убедиться в инвариантности матричного
коэффициента L.
Рассмотрим однопараметрическую подгруппу вращений вокруг оси Ох:
0[*]И =
1 О О
О cos lj — sin ш
О sin ш cos и
Напомним равенство (см. § 3) -г-д[х](и) = Щх]{ы) = д[х](ы)а. Для Тд[х](ш) справед-
ливо аналогичное равенство -j—Tg[x]^ = АТд{х^ш) — Тд[х](ш)А. Обозначим д(ш) —
д[х](и) и рассмотрим матричную функцию
3
Mi(u) = Тд(ш)(?д{к{ш)ьЛтд(-ы).
Очевидно, что
О Q
Mi@) = г,(с» ( Х)ад.-*(о)?*)гу(о, = /( Х>*
jtLjfe )/ = L{.
Найдем производную функции М{(ш) по и:
о
dMj\
du)
4=ln=l ' V*=l У
3 г 3 -.
*=1
n = l
1д{-ш))
где а2з = —1> <*32 = 1? остальные а^п равны нулю. Выражение в квадратных скобках
равно нулю в силу B2.18). Поэтому Af,-(u>) = const = Мг@) = X*.
Следовательно, равенства B2.17) выполняются для матриц д[х](и>), что означает инвариантность
системы B2.5) относительно поворота вокруг оси Ох.
Аналогично, используя B2.19) и B2.20), можно показать, что система B2.5)
инвариантна относительно поворотов вокруг координатных осей Оу и Oz. Так как любое
вращение представимо в виде произведения д(<Р1,в, у>г) = 0[*](?>iH[a?] (*%[*] (у>2)> тем
самым доказано, что система B2.5) инвариантна относительно всех д ? SOC).
Поэтому равенства B2.17) справедливы для любой матрицы д ? SOC).
Характеристическим многочленом системы B2.5) называется
многочлен
7>)А, а, /?, 7) = det [XI + aL± + /3L2 + -yL3].
В его определение входят только матричные коэффициенты при
производных неизвестной функции, а элементы матрицы L не участвуют.

§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 175
4 Докажем, что характеристический многочлен системы,
инвариантной относительно вращений, не меняется при вращениях системы
координат. Действительно, если
U' = TgU, g е SOC),
то, пользуясь условиями инвариантности, легко проверить, что
V(X, a, /3,7) = det [XI + <xLx + pL2 + 7L3]
= det [XI + aT-^guLi + g2iL2 + g3iL3)Tg]
+ ^T-^g^Lx + g22L2 + g32L3)Tg
+ lTgl{gx3bi + 523^2 + g33L3)Tg]
= detT-1[XI+(gna+g12l3 + gi3f)L1
+ (gi2<* + 522/? + g2zi)L2 + {g3\a + g320 + g33j)L3]Tg
= det [AJ + a'Lx +0'L2+ 7'' L3].
Каким бы ни был вектор с координатами а, /3, у, всегда можно выбрать
вращение g € SOC), переводящее этот вектор в вектор, направленный в
положительном направлении оси Oz, т. е. вектор с координатами а' =
О, /?' = 0 j = ^/a2 + ^2+72. Поэтому V{X,a,/3,f) = P{X,a',p',i) =
7>(A,0,0L/a2 + /?2 + 72)- >
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 22.1. Характеристический полином системы B2.5),
инвариантной относительно вращений, может быть вычислен с использованием
только матричного коэффициента Ь3 при производных по z :
Т(Х, а, /?, 7) = det [XI + aLi + /3L2 + jL3] = det [XI + ч/a2 +/32 +j2L3]
= det [XI+ PL3], />=\/«2 + /?2 + 72, B2.21)
Пример 22.1. Запишем уравнения акустики B2.1) в матричном виде:
+
О pqc2q О О'
1/ро 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
• 0 0 рос2, 0
0 0 0 0
1//>о 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 р0с20
0 0 0 0
0 0 0 0
1//>о 0 0 0 J

176
Глава III. Инвариантные уравнения
В рассматриваемом примере
L3 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ро<$
0
0
Х/ро 0 0 0 J
а характеристический полином
det [XI + vW/^+f^] = (Л2 - с20(а2 + (З2 + 72))Л2
В заключение параграфа мы приведем еще два примера интересных и
часто встречающихся в практике систем уравнений, инвариантных
относительно вращений.
Пример 22.2. Рассмотрим уравнения теории упругости
ди
Ж
д<тц da
12
дх
dv 1 /<9<Ti2
dt р\дх
dw 1 /<9<т13
Ж~^\дх~
dan
ду
ду
+
+
da
+
да-
23
ду
+
dz
да2з
dz
дазз
ИГ
= 0,
dt
д<Т22
~~дГ
дсг33
~дГ
д<т12
dt
dew
dt
б(Т23
(*+М?
-(*-*")?
-(к
ы
ди
дх
ди
дх
ди
дх
(*-§/<)
(к+щ-(к
dv
ду
dv
ду
dv
ду
Ь)
dz
dw
dw
= 0,
B2.22)
<*+*/«)? = 0,
f dv du\
f dw
du
~dl
= 0,
f dw dv\
где р — плотность среды, u, v, w — компоненты вектора скорости
перемещения, Cik — компоненты тензора напряжений. Постоянные
положительные коэффициенты к и р, называются соответственно модулем
всестороннего сжатия и модулем сдвига. Вывод уравнений теории упругости можно
найти в курсе механики сплошных сред.
Система уравнений B2.22) инвариантна относительно вращений, в
чем мы убедимся, указав для нее символическую запись вида B2.10). Для
этого мы должны в пространстве неизвестных функций рассмотреть
представление группы вращений и разложить его на неприводимые (или
кратные неприводимым). Компоненты и) v, w преобразуются по представлению
веса 1. Соответственно в спинорной записи уравнений упругости возник-

§ 22. Системы уравнений, инвариантные относительно вращений 177
нет полином
и + iv 9 + и — iv ^
= -—«f-<¦*»+-г-*а-
В § 17 мы показали, каким образом можно записать тензоры в
виде суммы величин, преобразующихся по неприводимым представлениям.
В частности, линейное пространство симметрических тензоров (о-,-* = <?к%
записывается в виде суммы одномерного пространства диагональных
тензоров с одинаковым диагональными элементами (сги + сг22 + в"зз)/3 и
пятимерного пространства симметрических тензоров с нулевым следом. В
этом пространстве удобно выбрать базис
u\(x,y,z,t) = -/jyfaii -2г<Т12-сг22),
u\(x,y,z,t) = —(<г13-{<г23)}
U%(x, у, Z, t) = g B<Гзз - 0*11 - АГ22), B2.23)
u22{x,y,z,i) = —^=(^11 + 2i(Ti2 -0-22)
и построить полином
1 2
' т——2
= 4[(G11 " 2г<712 " ^г)^4 - зуС^з ~~ гсГ2з)^3т?
+ 2^"%1"<rMgV + *(*is + -2з)^3 + ±(<щ + 2«г12 - ^W-
61 21 61 4! B224)
Этот полином только множителем и обозначениями craj вместо 7\,
отличается от приведенного в конце § 17 полинома V(gy rj). В § 17 было
показано, что при вращениях пространственных координат и соответствующих
им преобразованиях спинорных переменных f, 77 и компонент 7^ (или <т^)
рассматриваемый полином инвариантен. Сопоставив тензору напряжений
o-ij полином V2{x,y,z,t\^yrj) (см.B2.24)) от спинорных полиномов ?, 77 и
функцию 7>0(#,2/> ^, *) = (^и + ^22 + ^зз)/3, не зависящую от ?, 77, с помощью
дифференциальных операторов Д+ и Л_, систему уравнений линейной те-

178
Глава III. Инвариантные уравнения
ории упругости можно записать в символическом виде
^-tA-Pi((l4)=0,
??l?A _ 1Д+ТУ?, V) ~ -A-V2(Z, r,) = 0, B2.25)
at p p
Пример 22.3 (уравнения Дирака). В этом примере неизвестная вектор-
функция U(xyy,z,t) имеет четыре компоненты C/i, [/, *7з, ^4- Как первую
пару этих компонент C/i, {72, так и вторую — 1/3,1/4 — можно
рассматривать как компоненты двухмерных векторов, преобразующихся при
вращении системы координат по представлениям веса 1/2, т. е. по двухмерным
неприводимым представлениям группы SOC) (такие представления, как
мы знаем, двузначны). Этим парам компонент можно составить спинор-
ные полиномы J7i?+i!72?7, #з?+#4»?, образующие двухмерную инвариантную
вектор-функцию
Уравнения Дирака описывают электрон во внешнем электрическом поле с
потенциалом W(y/x2 + у2 + z2) = W(r). Выпишем уравнения Дирака
покоординатно:
;?*(*-'?Ь$-?™--*=°-
ldU4 (д .д\тт dU2 2«п' , , ,_„ Л
Используя 7>(x,y,z,t;?,r)) и инвариантный оператор
ldU3
с dt
B2.27)
., д .д\ д 1 д (ед д\ 1/5 . <9 V <9
1
2\дх ' ~ду)''д? ' 2дгУд? ''дт)) ' 2\Ьх "dyj^dr,'
можно записать уравнения Дирака в эквивалентной символической форме
\W(r) -mc2 0 1
О W(r) + mcA
?W! !Ь*-?
V = Q.
B2.28)
Читателю предлагается убедиться в этом в качестве несложного
упражнения.
Возможность записать уравнения Дирака в символической форме,
содержащей инвариантный вектор V и инвариантный оператор Д0, служит

§ 22. Задачи и упражнения
179
доказательством того, что эти уравнения образуют систему инвариантную
относительно вращений.
Задачи и упражнения
22.1. Доказать, что операторы Д+, Д., Д0 удовлетворяют следующим
коммутационным соотношениям:
[Д+,До] = 0, [Д_,До] = 0,
= -Bk + l)AVk{z,y,z,t;Z,r,)
где Д — оператор Лапласа по переменным х, г/, z. Показать, что
(Д+Д. + Al)Vk = k2AVk, (Д-Д+ + Al)Vk = (* + lJAVk.
22.2. Используя задачу 22.1, показать, что divgrad^ = А<р, graddivu -
rotrotu = Aw, rotgrad<p = 0, divrotw = 0, где Д — оператор Лапласа.
22.3. Будем называть систему уравнений
dU т 3U т dU ттт п
at ox oy
инвариантной относительно вращений плоскости, если для любого
преобразования g ? SOB) системы координат
х'\ __ [cosv? — sin 9^1 fx\
у!) ~~ \sm<p cos<p J \yj
найдется преобразование неизвестных функций U' = TgU такое, что
система уравнений для новых функций U' в новой системе
координат х\ г/ записывается с помощью тех же матриц ii, L2 и L, что и
исходная:
3U' Т dU' т dU' ттт/ л
of ох ду
Показать, что система уравнений, записанная в виде
Ж + ("Я - 'U)**1-" + (I - '?)*-'--'+ *"" = °'
инвариантна относительно вращений плоскости. Здесь ип —
^„-мерный вектор, состоящий из всех компонент неизвестной функции U)
которые при преобразованиях Т9 умножаются на е%пч>\ /?JJ+1, S?~x —
произвольные прямоугольные числовые матрицы размеров kn х Arn+i
и кп х fcn_i соответственно, 7" — квадратная матрица порядка Агп.

180
Глава III. Инвариантные уравнения
22.4. Запишите в виде, предложенном в задаче 22.3, двухмерные уравнения
акустики
= о,
др о (ди dv\
at ро ох
dv 1 dp
at ро ду
и уравнения упругости
ди 1 (д<гц д<т12 . __
dt р\дх ду
— - I (дсТ21 , ^22^ _ п
dt р\дх ^ ду )~ '
д<т\2 f dv ди\
22.5. Сформулировать условия инвариантности системы
дифференциальных уравнений первого порядка относительно вращений вокруг какой-
нибудь оси. Показать, что система, записанная в виде
дит +1 ( д .д\ т д ! ( д . д\
Л ^m V в« ду)
+ <С«ТО=0
инвариантна относительно вращений вокруг оси Oz; здесь m — целое
число, /?™+1, 7m) ^т-1) ат — числовые матрицы. Записать в таком
виде системы трехмерных уравнений акустики, упругости,
Максвелла.
22.6. Односкоростным однородным кинетическим уравнением называется
уравнение
я я я
—/(я, у, zyt; а, /?, 7) + ^аДх> У> z> *> а> Р> 7) + 3-/?/(*> У, М; <*,/?, 7)
Метод решения этого уравнения, известный как метод сферических
гармоник^ заключается в том, что решение ищется в виде ряда

§ 23. Разделение переменных в уравнениях акустики
181
со п
f(x,y,z,t;a,p,y) = J2 Ц <#(*..*,*,«(<*,/?>7);
n=0 m= —n
Рлг-приближение означает поиск приближенного решения в виде
конечной суммы
N п
? ? ?#(*,»,*,№(<*,/?,7).
П = 0 7П = —П
Подставив эту сумму в левую часть кинетического уравнения и
оставив в правой части только слагаемые, которые содержат Пд(а,/?, 7)
лишь при R ^ N, получить для функций <р% систему
дифференциальных уравнений. Доказать, что она инвариантна относительно
вращений пространства. Используя аппарат спинорных полиномов,
записать систему уравнений метода сферических гармоник в виде
'-Ч^ + 2^Гз Д-^«' ') + ъЬ^Р-^ *> = °>
п = 0,1,...,ЛГ,
1
V/Bn+l)!mt^n
§ 23. Разделение переменных в уравнениях акустики
Операторная запись уравнений. Задача отыскания решений в виде
произведения функций от времени, угловых переменных и радиуса. Обыкновенные
дифференциальные уравнения для функций от радиуса. Полное решение в
стационарном случае. Решение обыкновенных дифференциальных
уравнений в нестационарном случае при помощи функций Бесселя.
Мы продемонстрируем технику разделения переменных при
построении частных решений систем уравнений, инвариантных относительно
вращений, на простейшем примере уравнений акустики
?l + p0c20A-U = 0,
в которыхр = p(x,y,z,t) — скалярная функция (давление), a U = U(x,y,z,t)
вектор скорости. Эти объекты при вращении системы координат
преобразуются по представлениям весов 0 и 1 соответственно. Выпишем
компоненты вектор-функции U в каноническом базисе:
U-i = ^-, U0 = 10, C/i = j- . B3.2)

182
Глава III. Инвариантные уравнения
Операторы А_ и Д+ записываются при помощи операторных матриц:
Д_ — это матрица-строка:
\ у/2\дх гду) 6z уД\дх+гду]]'
А+ — это матрица-столбец:
(-±(± + i±\\
V2\dx ду)
д_
\ Л\дх гду) /
Заметим, что
Д+ =
ди dv dw
дх ду dz'
А+Р =
/ 1 / • ч\
(—-д\Р* + ч>у)\
1
V л/2
(Р* - iPy)
B3.3)
B3.4)
т. е. A-U — это скалярная функция — дивергенция вектора скорости,
тогда как Д+р — это вектор-функция, компоненты которой являются
компонентами градиента давления в каноническом базисе неприводимого
представления веса 1.
Напомним, что матричные элементы операторных матриц Дх,_, Д^о,
Дх+, описывающие действие этих операторов на канонические
координаты векторов, преобразующихся по неприводимому представлению веса L,
были приведены в § 19. В данном контексте Д_ действует на векторы
представления веса 1, а Д+ — на скаляр (вес 0). Поэтому в
обозначениях § 19 следовало бы писать Д1_, Д0+. Однако при рассмотрении нашего
простейшего примера мы не будем указывать вес L в обозначениях
операторов Al-j Дь+ и вместо Дх_, Д0+ используем сокращенные записи Д_,
Д+, чтобы избежать излишне громоздких обозначений.
Приступим к описанию техники разделения переменных. Системы
частных решений, которые мы ищем, можно объединять в конечномерные
линейные пространства, каждое из которых при поворотах системы
координат будет естественным образом преобразовываться по тому или иному
неприводимому представлению. При данном весе J этого представления
естественно предполагать, что неизвестные вектор-функции при каждых
фиксированных t, г = у/х2 + у2 + z2 следует записывать в виде линейной
комбинации сферических вектор-функций
\п)\
У
LJ(n)\y/x2 + y2 + Z2' y/x2 + y2 + Z2' y/x2 + y2 + Z2
соответствующего формального спина L. (в разбираемом примере
уравнений акустики L = 0 для р и L = 1 для U.) Напомним, что степени
п гармонических полиномов, через которые выражаются компоненты этих

§ 23. Разделение переменных в уравнениях акустики
183
сферических функций, могут меняться в пределах \L — J\ ^ п ^ L+J.
Символ j (—J ^ j $: J) нумерует 2J + 1 частных решений, линейная оболочка
которых и образует конечномерное линейное пространство,
преобразующееся по представлению веса J.
Поскольку в нашем примере L = 0 для давления р и L = 1 для скорости
U, в линейной комбинации сферических функций, соответствующей р}
следует считать, что |0 — J\ ^ п ^ 0 + J. Иначе говоря, мы должны положить
п — J, а в записи U при J = 0 разрешается использовать только значение
п = 1 (|1 — 0| ^ п ^ 1 + 0), а при J ^ 1 — три значения п = J — 1, J, J+l
(|1 — J| ^ n ^ 1 + J). Таким образом, давление р предлагается искать в
виде
'-'>¦<„(;¦?¦;)¦ B35)
а скорость {/ — в виде линейной комбинации
U = v* (r,t)-Y'° (-Д-Y при 7 = 0,
0(i)v ' 10AДг'г'г/
B3.6)
•4j-i> ' U(J-i)\r' r' rj
С помощью формул B3.5) и B3.6) разделяются "упкшые переменные"
(х/г} у/г, z/r), зависящие от радиуса г и времени t. Разделение
переменных г, t достигается за счет предположения об экспоненциальной
зависимости разыскиваемого решения от времени *. Для этого вместо п3 (г,*) и
v3 (г,*) в выражения р и U подставим extTcj(r) и exti/ (М). Символ
3 («) J(«)
j' в этих обозначениях опущен. Этот символ нумерует различные
конкретные решения из пространства частных решений, преобразующихся по
представлению веса J. Мы опускаем символ j, поскольку от j
обыкновенные дифференциальные для -к3 (r,t) и v3 (r,t) не зависят (решения,
J J (n)
отвечающие различным j, отличаются выбором постоянных
интегрирования при решении этих уравнений).

184
Глава III. Инвариантные уравнения
Итак, мы ищем решения уравнения B3.1) в следующем виде:
p=eA4/(r)Y^(j)(a,/?,7),
Г
0A) ЮA) B3.7)
U = <
eXt ? * (г)У' (or, /?, 7), J^l,
I n=J-l J(n) l^(n)
где a = x/r, /3 = t//r, 7 = z/r. Подставив выражения B3.7) в B3.1),
получим обыкновенные дифференциальные уравнения, связывающие функции
nj(r) и 1/ (г). Однако не будем спешить.
J(n)
Прежде, чем выполнить подстановку, полезно детально остановиться
на правилах применения оператора Д_ к вектор-функции i/(r)F (a,/?,7)
l(n)
и оператора Д+ к скалярной функции 7r(r)F (a,/?,7), предполагая, что
все компоненты трехмерного вектора F (a, /?, 7) и скаляр F (a, /?, 7)
являются однородными полиномами от а, /?, 7 степеней п и J
соответственно. С помощью известного тождества Эйлера
( д „д д\
нетрудно получить следующие равенства:
A+*(r)F0{j) (в,/?,7) = I&Af^F (a, A7)
+
A
l(n) Г l(n)
+ (^)-^)^%n)W,7),
B3.8)
Дифференциальные и полиномиальные операторы А^^п\ d^'13'1"*
отличаются от Д±, d0-, d1+ (см. B3.3), B3.4), а также A6.5), A9.6), A9.7))
только заменой переменных х, у, г на а, /3, 7- Для удобства ссылок выпи-

§ 23. Разделение переменных в уравнениях акустики
185
шем матрицы этих операторов:
~\ V2\da гд/з) ду V2\da + ldi3jJ'
у/2\да^ др)
. («,/»,1) _
4в,/,,7) =
#7
B3.9)
\ Я'"-*"
/
В § 19 приведены правила действия операторов Д+, Д-, d+, d_ на
сферические вектор-функции, компоненты у которых суть гармонические
полиномы. Мы перепишем эти правила с учетом того, что в нашем
случае а2 + (З2 + 72 = 1 и нам требуются лишь Y'J (<*,/?, 7) при L = О и
0J№
У'' Га,/J,7), я = J-1,J,J+1, при 1 = 1:
l-'(n)
д+ А7)у0у«^=^2Bj- v-2jyu{jj°>^>
rf+ Yoj(j^'^ 2BJTT) У1^+1)(а,/?'7)
2B7+1) 1J(J-i)v
A(«,Pn)yJ {a0,)- v/2BJ + 2)BJ + 3I
0J(J)
(«,/?, 7),
B3.10)
a- iJ(j+1?a'P'V 2B7 + 3) roj(jfa>p'v'
д-А,)у4_1)(в-A 7)=^л)у; Wa'* 7)=°»
Воспользовавшись B3.8)—B3.10) при подстановке B3.7) в B3.1), получим
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными 7rj(r),

186
Глава III. Инвариантные уравнения
v (r), vr М, v (г) в случае J > 1 и неизвестными тг0, v (r)
^(j-i)w' J(V J(J+i) °(D
'(J-i) ' " J(J) * " J(J+i)
в случае J = 0.
При J ^ 1 эту систему можно записать в виде
J (¦/-!)
W+ 2J + 1 (^ + —%) ~
B3.11)
N/G + l)BJ + 3)/' , хЛ
"оЛ%+1) (r) 27Ti VJ ~ JT) = °'
Po\u, (r) = 0.
'(•0
Poc0
3(r)__L(V +-1/ )=0,
v' V3V °(d r oA);
В исключительном случае 7 = 0 обыкновенные дифференциальные
уравнения выглядят следующим образом:
А
Д7Г0(
B3.12)
Ро^Ч1)(г)-лДтг'о(г) = 0,
Начнем изучение возможных решений обыкновенных
дифференциальных уравнений при условии А = 0, т. е. соответствующие им решения
системы B3.1) стационарны (U(x,y,z,t), p(x,y,z,t) от времени не зависят).
При этом уравнения B3.12) распадаются в два независимых соотношения,
которым удовлетворяют ж0(г) ни (г):
ж'о(г) = 0, и' +-I/ =0.
UV ' 0A) Г 0A)
Из этих соотношений получаем
жо(г) = const, и (г) = const/r2, р(х, у, z, t) = р0 = const,
/-
#(*!У>М) = 0о
я+ гу
\
(х2 + у2 + z2K/2
(х2 + г/2 + г2K/2
ж — гу
\ (х2 + у2 + г2K/2 /
#0 = const
B3.13)
При том же предположении А = 0 из уравнений B3.11) следует при J ф 0,
что
7Tj + 7TJ = 0, 7Tj -К J = 0.
Г Г

§ 23. Разделение переменных в уравнениях акустики
187
Поэтому 7rj(r) = 0. Из B3.11) получаем также соотношения
\2J-1\ J(j-i)
r J(J-i)J V2J + 3V J(J+i) r J(J+i)J
0-i/? (r) = 0.
Последнее соотношение показывает, что в качестве v т (г) можно взять
' J (j) v '
произвольную функцию h(r) v — Нг))- Первое соотношение выполня-
ется, если мы положим
wr)=i/5F/(?r,/w*»+'''"'
В этих формулах f(r0) — произвольная функция, обеспечивающая
сходимость интегралов, Ь — произвольные константы. Непосредственно
дифференцированием получаем
\Щ^,+,,м+^%+цм)=/м'
Из этих равенств вытекает справедливость соотношений, которым должны
удовлетворять i/ (r), v (г). Итак, если </ > 1 и А = 0, то
J(J-i) J(^+i)
7Гу(г) = 0,
«> (J)
v-d (r)=V^F/ (?)"' /(ro) rfr°+^ B314)
о
CO
'^~№т№Г>™*+
,7+2'
где h(r) и /(r) — произвольные функции, аиЬ — произвольные константы.
Как при J = 0, так и при «7^1, решения уравнений акустики,
построенные с помощью nj(r) = 0, описывают акустические процессы, происхо-

188
Глава III. Инвариантные уравнения
дящие при нулевом (или, возможно, при постоянном) давлении благодаря
тому или иному стационарному распределению завихренности,
задаваемому вектором Q,(x)yyzI где
П =
( dv dw \
Yz
dw
ду
ои
Xх
уи
\ду dx)
Заметим, что из уравнений
1 dp ди dv dw
рос% dt dx dy dz
du dp
dv dp
dw dp
рож+?=°
при р = const следует, что поле скоростей стационарно:
и = u(x,y}z), v = v(x,y1z), w = w,y,z)
и его дивергенция равна нулю:
du dv dw __
dx dy dz
Полезное упражнение. Для каждого из построенных выше
стационарных решений определить соответствующую вектор-функцию от
переменных ж, у, z. Рассмотреть случаи J = О, J = 1, J = 2.
Перейдем к изучению решений обыкновенных дифференциальных
уравнений B3.11) в случае, когда параметр Л отличен от нуля (Л ф 0).
Последнее равенство в B3.11) показывает, что при этом обязательно
v (г) — 0. Следовательно, при J ^ 1 мы должны искать только функции
J(J)
Kj(r), v (r)> v (г), а при J = 0 — 7г0(г), v (г) — так же, как и
V " J(J-1) J (•/+!) °A)
в рассмотренном выше случае Л = 0.
Для 7г0(г) и v (г) из B3.11) следуют уравнения
Л 1
Рос% V3
2
,1A) Г 1A)
= 0,
^Чт^"^"'0'
B3.15)

§ 23. Разделение переменных в уравнениях акустики
189
а для 7rj(r). v (г), i/ (г) при J > 1 должны выполняться уже не
v 7 J(«/+i) J(^-i)
два, а три уравнения:
J + 2
(j+i) r J(J+i)\
y/(J + l)BJ + Z)\ , J
"*%-!> (Г) 27П Г " r*J
, . y/J{2J - 1)
"°Л%+1)(г)+ 2J+1
= 0,
= 0,
0.
B3.16)
На самом деле этими последними формулами можно пользоваться и в
случае 7 = 0, так как при А ф 0 равенство v (г) = 0 из них следует.
Решения уравнений B3.16) можно зависать явно с помощью
бесселевых функций. Напомним рекуррентные соотношения, связывающие бессе-
левы функции Wv-\{kr), Wv(kr), W„+i(A:r) с индексами v— 1, i/, vЛ-1:
4-WJkr) + -Wv(kr) = kWv-i(kr),
dr r
4-Wu(kr) - -Wv{kr) = -kWv+1{kr),
dr r
B3.17)
и дифференциальное уравнение второго порядка для Wu(kr):
dr2'
B3.18)
Нам придется иметь дело с бесселевыми функциями, у которых
индекс v полуцелый: v = п + 1/2. Это функции являются элементарными и
выражаются через степени г и тригонометрические функции:
Wn+i/2(z) = aiJn+1/2{z) + a2J-n-i/2(z),
W,) = ^(-I|)"^,
B3.19)
cos z
Постоянные аг и а2 произвольны.
Рекуррентные соотношения B3.17) для бесселевых функций Wj+i/2{kr)
полуцелого порядка могут быть записаны в следующей удобной для нас

190
Глава III. Инвариантные уравнения
форме:
Г± _ Л WJ+1/2(kr) = fcWj+3/2(*r)
\dr r J yfr у/т '
(L + :ШЛ W>+i/a(*r) = /с^-1/2(И
\dr г J y/r yfr
(d_ _ J-l\W>-i/a(*r)= ?W>+i/a(*r)
\<fr r J y/r y/r
fd | J + 2\ Wj+3/a(*r) = fcW>+i/a(*r)
Wr r ) л/г yft '
Решения уравнений B3.16) будем искать в виде
B3.20)
nj(r) = Dx -= ,
ч/г
%-i>(r) = ft v^ '
(r) = д,ЕЩ^1.
^(J+l) л/Г
B3.21)
Если подставить эти представления в B3.16) и воспользоваться
следующими соотношениями, очевидно вытекающими из B3.20):
7Tj H -кj — Dik -= ,
г y/r
*J + '"J ~ ~D^ ~^ «
J-I n ,WJ+1/2(kr)
и v = -D2k t= ,
J(J-i) r J(J-i) y/r
^J + 2 n ,WJ+1/2(kr)
v + v = D3k '¦= ,
J(J+l) r J(J-l) y/r
то мы придем к линейным однородным равенствам
Л
-A^i - \1тг-чк1ъ ~ \riSkD*\
р0с? V27-1 V 27 + 3 J
WJ+1/2(kr) _
1 2J+1 kDl + poXD2\ yfr = °'
[vm^^1+^3]E^=0.

§ 23. Задачи и упражнения
191
Ненулевые D\, D2, D3 могут им удовлетворять только если равен
нулю определитель
й4
V2J-1* V 2.7 + 3*
2J+1 к роХ
V(J + 1)BJ + Z),_
2J+1
роА
= Л>а(| + *2)=0.
Так как мы сейчас рассматриваем случай Л ф О, считаем, что А =
±гсоАг.
Для определения D\, D2, ?>з мы можем положить D\ = 1, поскольку в
нашем распоряжении выбор произвольных постоянных при фиксированных
тех или иных функций Бесселя Wl/(kr). При этом мы получаем следующие
значения D2 и D^\
п _ ..y/J&J-l) n = y/(J + l)BJ + 3)
2 B7 + l)/W 3 B J +l)poco '
Используя эти D\ = 1, D2) D3 и формулы B3.21) и B3.7), приходим к
окончательным формулам для частных нестационарных решений
уравнений акустики B3.1):
р = e±ikc0tYoj (* У Л Wj+1/2(kr)
0J(j)\r7r'rJ у/т
ikCntVJBJ-l)^.j fx у z\Wj„1/2(kr)
U = ±1е±гКСо1У :у~\—=^У
-j (*_ У_ ^
i«^(J-i)Vr' г' гj
Bj + 1)роС0 i«J(J-i)\r' r' г/ д/г
BJ+l)/?0co M(J+i)\r' г' г) ф
B3.22)
На этом мы заканчиваем подробное описание процедуры разделения
переменных при получении типичных частных решений уравнений
акустики.
Применение этой процедуры к другим системам, инвариантным
относительно вращений, выполняется совершенно аналогично, но, как правило,
выкладки более трудоемки. Действительно, уравнения акустики — это
один из простейших примеров инвариантных уравнений.
Ниже приводятся задачи с краткими указаниями решений,
посвященные разделению переменных для ряда других инвариантных систем
уравнений.
Задачи и упражнения
23.1. Используя операторные матрицы (см. задачи к § 19)

192
Глава III. Инвариантные уравнения
Дю = До =
_id_
2dz
2 \дх гду)
О
V2f_9_,-d_\
' 2 \дх ду)
_V2(_d__ .д_
2 \6х гду
)
" 2 \дх+гду)
'2dz
Al--A""V <Д\дг *ду)'дг'^2{дх+{ду))
и каноническое представление векторов Н и Е:
( Hj + Ш2 Н,-Ш2\т ( Ег + iE2 El-iE3\
Н
показать, что уравнения Максвелла Ht - icAoE = 0, А-Н = О, Et +
icAoH = О, Д-JE = 0 с помощью подстановки
Н= {
e"Y (a,/?,7)u(r), 7 = 0,
ЮA)
e^[Y'J «7_1(г)+У"{ uj(r) + Y-J (r)], О 1,
U(j-i) U(J) 1J(J+i)
1?= <
еЛ'У°° (а,А7)«(г),
10A)
,Atrv'J
U(J-l)
7 = 0,
eAt[Y"-' vj^(r) + Y'J vj{r) + Y'J vJ+1(r)], J>\
U(j)
i^(j+i)
приводят к следующей системе обыкновенных дифференциальных
уравнений для u(r), Uk(r), v(r), Vk{r):
2 2
Au = 0, Au = 0, «'+-« = 0, v' + -t) = 0,
г г
. лД7+Т)B7^Т) / , 7 + 1 \ л
*«J-i - гс ./I) " ( «j + —^— vj J = 0,
27 + :
Xuj—ic
[vS^(^-l"^l,J-1)+V/^Ti(^+i+:T^VJ+1)
= о,
^-^ 27 + 1 (^ "%) = °-

§ 23. Задачи и упражнения
193
, , y/(J+l)BJ-l)( , , J+l \
Ae'-1 + lC 2J + 1 (^ + ^^MJJ = °
Xvj + гс
/ _^+2
«1X1 Н «J+1
о,
. v/JB J + 3) / , J \ rt
Ai>J+1 + гс—^jq-j— I «j - -uj\ = 0,
V^7?T(^-i" Vм-7-1) "{Шъ{и'^ + ^KJ+1) = °'
V2j?t (^ - V^-1) - {Шъ{^+^^+1) = °-
23.2. Проверить, что система обыкновенных дифференциальных уравнений из
задачи 23.1 имеет решение вида щ(г) = а* М^+1/2(хг), Vk = 6*W*+i/2(*r)
(W^+i/2(^) — бесселева функция), если постоянные а^ и 6*
удовлетворяют следующим линейным однородным уравнениям:
aj-1~2CX 27П 6j = 0'
Aaj — %cj€
-\/ir^bj-1 + V 27T36j+1]
o,
. JJBJ + 3) t n „ . V(Jr + l)B^-l)
AaJ+1 + zc^v2vJ+1 ;6j = 0, A6j_! + tcxvv 2J^ '-aj = 0,
. ^7B.7 + 3) /~Г~ /ТТГ
V 27ГТ*'-1 + V гУЙ6^1 = °-
Показать, что нетривиальные решения этой системы существуют только
если A2 -j-CgX2 = 0 (А = ±гсоА), и что при А = 0 нетривиального решения
с J = 0 не существует.
23.3. Показать, что существуют частные решения уравнений Максвелла:
Е-
U(J-1)
(x/r.y/r.z/r)^-1, H = 0,
Е = У*J (*/r, t//r, z/r)r-(J+2), Я = 0,
1J(J+i)
Е = e±'^yJ7 lz/r,y/rtz/r)Wj+1,3(xr),

194
Глава III. Инвариантные уравнения
Н = е
±ixct
>/{J+2j)+i 1)у»»-1)(,/г'ф' z/r)Wj-^{xr)
^ ^2^3)y;j(j+i)(x/r, у/г, z/r)] ^J+1/2(xr),
а также решения, полученные подстановкой Е ->• U, if -> —jE7.
23.4. Показать, что уравнения Дирака B2.27) имеют частные решения
(X)=е- [^1/;;J_1/2/,-1/2 w+yJiJ+1/2)f^Mr)},
Ymj(j-mgjAl2{r) + yt/«( WJ+1/a(r)
если /j±i/2(r), flfj±i/2W удовлетворяют уравнениям
^-i/»-V7^r"J"'/a|:(^"W,/a^+i/a)-^[Hr)+me»]W.1/a=0>
iA/J+1/2-y^±i^+1/2A(r^-1/25j_1/2)-|^[y(r)-mc2]/J+1/2=0)
^^-yHIr'+^i;^-^/,-!,,)-^^)-.^],.
.7+1/2 :
0.
23.5. Воспользовавшись матричной записью из задач к § 19 для операторов
А+ (Ао+3 Ai+)> A- (Ai-j A2-), выписать в канонических переменных
систему уравнений теории упругости B2.25) (см. также B2.22)). В
качестве канонических переменных использовать
<г = (<щ + <т22 + 0зз)/3, Щ = (-(« + w)/>/2, w, (ti + гу)/уД)т,
/ (^u - 2iVi2 - ^22)/л/4! \
(o-i3 - *(Т2з)/л/з1
tf2
BСГ22 - (Гц - СГ22)/6
-(о-13 + *0-2з)/л/ЗТ
V (<щ + 2tVi2 - cr22)/V5! /
23.6. Вывести систему обыкновенных дифференциальных уравнений для
функций от г = >/х2 + у2 + z2 в следующем представлении частных решений
уравнений теории упругости из задачи 23.5:
'=« "^Л?'•;)'»«(г)-

§ 23. Задачи и упражнения 195
-2|
23.7. Показать, что при А ф О обыкновенные дифференциальные уравнения
из задачи 23.6 выполняются, если / (г) = с И^+1/2(^^)» гДе
^+1/2B) — бесселевы функции, и потребовать, чтобы с удов-
летворяли некоторым линейным однородным уравнениям (см. задачу
23.8).
23.8. Если в однородных линейных уравнениях, полученных в задаче 23.7,
перейти к новым неизвестным
/ J(J+l) ~ / 3J(J-1)
/ 3(J + l)(J + 2)
Y2B-7 + 3)BJ + 5) J2(^+2)
61 " V2J + 3 CJi(j+i) +V2J-1 CJi(j-i) '
6 = 3 c , /2-3(J-l)(J + l)
2 N/BJ-l)BJ + 3) J2(J) V B^-3)BJ-l) J2(J-2)
_./_213(J + 4~e
BJ + 3)BJ + 5 ^2(J+2) '
_ /3G + 2) /3G-1)
Ci-c,1(J)' ^VlJ + T CJHJ+l) +У^ГП- c.»<,_i>'
, /Т+Г /7+2
1 V2J + 3 CJ2(J+1) +V2J-1 C-/2(J_i)'
/ (J + 2)(J-1) _ / G + l)(J + 2)
2 V B7-1) B7 + 3) J 2 (j) V2-ZBJ-3)BJ-1) J*(j-2)
J(J-l)
2-3B7 + 3)B7 + 5) J*(J+2)

196
Глава III. Инвариантные уравнения
то эти уравнения распадутся на несколько независимых систем:
Adi = 0, Ас?2 = 0 (c?i = с?2 = 0 при А ф 0),
A&i Н—х&2 = 0, А&2 — \мЪ\ — 0, Aci + -хс2 = 0, Ас2 — /ixci = 0 (имеют
Р Р
ненулевые решения лишь при А = ±г'у^//9х),
Аа0 + ArAai = 0, \а\ а0 + Bх/р)а2 = 0, Аа2 — B/3)pxai = 0 (имеет
Р
ненулевое решение либо при А = 0, либо при А = ±г^/[D/3)/х + k]/rho).
23.9. Показать, что значению А = 0 отвечают стационарные решения
уравнений теории упругости, которые получаются из представления,
описанного в задаче 23.6, если положить
о
00 j
1 \ — ) Mr°) ^ro + const*7
const
rJ + 1
+ V(J+l)BJ + 3)
'лиО-«.
fJ*(j-2)^ \2-3{J
UK
J-2
g(ro) dro + const • г
J-2
3[/fc)
J-l
/(ro) c/ro + const • r
J-l
/ (»¦) =
J2W
V0/+l)BJ + 3)
[7(Г-
. . const
(r°) dr° + P(j+IT
+
n/JBJ - 1)
oo y
№
h(ro) dr0 + const • rJ
/J5
(•/+i)
(r) =
/27 +
2(J +
/ (»*) =
о
r
J+2
/(r0) rfr0 +
const
rJ+2
2-3(J + 2)
о
- \ J+3
(x у z\. , ч . const
\r
J+3
Функции /(ro), #(ro), </(ro) могут быть произвольными. Они
описывают в упругой среде наследие проходивших ранее пластических
деформаций. Если /, д, h отличны от нуля, то в упругой среде (даже если
она не подвергается каким-либо силовым воздействиям на ее границах)
существуют так называемые остаточные напряжения.

Список литературы
1. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: Гос.
тех.-теор. лит., 1957.
2. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы
вращений и группы Лоренца. М.: Гос. физ.-мат. лит., 1958.
3. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп.
М.: Наука, 1965.
4. Шелепин Л. А. Исчисление коэффициентов Клебша — Гордана и его
физические приложения // Тр. ФИАН. 1973. Т. 70. С. 3-119.
197

Учебное издание
Академик
Годунов Сергей Константинович
Кандидат физико-математических .наук
Михайлова Татьяна Юрьевна
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Издание подготовлено в Л^Б-ШТ^
с использованием кириллических
шрифтов семейства RF6
Лауреат МАЛОЙ ЗОЛОТОЙ МЕДАЛИ
Сибирской ярмарки "КНИГА СИБИРИ - 97"
НАУЧНАЯ КНИГА
(издательское подразделение
НИИ математико-информационных основ обучения
Новосибирского государственного университета)
Заведующий чл.-корр. РАН С. С. Гончаров
Главный редактор к.ф.-м.н. Т. Я. Рожковская
Компьютерная графика и обложка Н. А. Рожковская
Подписано в печать 10.03.98. Формат 70x100/16. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 12. Уч.-изд. л. 14. Тираж 650 экз. Заказ №107.
Лицензия ЛР № 020853 от 31.01.94 г.
Издательство НИИ МИОО НГУ
630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова,2
Отпечатано по заказу НИИ МИОО НГУ
ГП Новосибирский полиграфкомбинат
630007,г. Новосибирск, Красный пр.,22