Д. Е. ОХОЦИМСКИЙ
Ю. Г. СИХАРУЛИДЗЕ
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
КОСМИЧЕСКОГО
ПОЛЕТА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1990

ББК 22.213
0-92
УДК 629.19 : 521.1
Рекомендовано Государственным комитетом СССР по народному образова-
образованию для использования в учебном процессе студентами физико-технических и
механико-математических специальностей вузов
0 х о ц и м с к и й Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики косми-
космического полета: Учеб. пособие.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.—•
448 с— ISBN 5-02-014090^2
Излагаются основные положения механики космического полета. Большое
внимание уделяется прикладным задачам. Теоретический материал иллюстри-
иллюстрирован практическими достижениями в области исследования и освоения кос-
космического пространства.
Рассматриваются вопросы, связанные с теорией притяжения, классической
задачей двух тел и ее применением к исследованию проблем прикладной бал-
баллистики и оптимальных перелетов между орбитами различных типов. Обсуж-
Обсуждаются методы расчета траекторий полета к Луне и планетам Солнечной си-
системы. Излагается теория точек либрации. Большое внимание уделяется возму-
возмущенному движению и его применению для оценки времени существования
спутника, эволюции орбиты спутника под действием нецентрального поля при-
притяжения и внешнего возмущающего тела.
Для студентов и аспирантов, а также для специалистов в области космиче-
космической техники.
Табл. 19. Ил. 163. Библиогр. 93 назв.
Рецензенты:
профессор Р. Ф. Аппазов;
кафедра прикладной механики факультета аэромеханики и летательной
техники Московского физико-технического института
1603030000—091
О ' 053'@2)-90 °0-90 (С)физматлит, «Наука». 1990
ISBN 5-02-014090-2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ 9
§ 1.1.1. Закон всемирного тяготения 9
1.1.1. Взаимное притяжение двух материальных точек (9). 1.1.2. Силовое
поле системы материальных точек A2).
§ 1.2. Притяжение сферического тела 13
1.2.1. Потенциал шара со сферическим распределением плотности A4).
1.2 2. Взаимное притяжение двух шаров со сферическим распределением
плотности A5).
§ 1.3. Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям ... 16
1.3.1. Потенциал тела произвольной формы A6). 1.3.2. Вычисление коэф-
коэффициентов разложения A9). 1.3.3. Зональные, тессеральные и секториаль-
ные гармоники B1).
§ 1.4. Геоид. Сила тяжести 23
1.4.1. Нормальный сфероид B4). 1.4.2. Ускорение силы тяжести B7).
Глава 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 30
§ 2.1. Уравнения движения 31
2.1.1. Абсолютное движение и относительное движение C1). 2 1.2. Движе-
Движение непритягивающего спутника C2).
§ 2.2. Интегралы уравнений движения 33
2.2.1. Интеграл энергии C3). 2.2.2. Интеграл площадей C4). 2.2.3. Интег-
Интеграл Лапласа C8). 2.2.4. Уравнение орбиты D0).
§ 2.3. Скорость спутника 41
2.3.1. Составляющие вектора скорости D2). 2.3.2. Связь скорости с ти-
типом орбиты D3). 2 3.3. Примеры круговых скоростей и периодов обраще-
обращения спутников D4).
§ 2.4. Характеристики орбит 46
2.4.1. Эллиптическая орбита D7). 2.4.2. Гиперболическая орбита D9).
2.4.3. Параболическая орбита E5). 2.4.4. Круговая орбита E5).
§ 2.5. Связь времен с положением на орбите 56
2.5.1. Случай эллиптической орбиты E6). 2.5.2. Случай гиперболической ор-
орбиты E9). 2.5.3. Случай параболической орбиты F1). 2.5.4. Решение урав-
уравнения Кеплера F2).
Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ БАЛЛИСТИКИ 66
§ 3.1. Прямая задача баллистики 66
3.1.1. Угловая дальность пассивного участка F6). 3.1.2. Высота апогея
траектории F9). 3.1.3. Координаты конечной точки движения G0).
§ 3.2. Оптимальная траектория 72
3.2.1. Вычисление параметров оптимальной траектории G2). 3.2.2 Эл-
Эллипс безопасности G6).
§ 3.3. Обратная задача баллистики 79
3.3.1. Выбор начальных условий G9). 3.3.2 Траектории с одинаковой на-
начальной скоростью (80). 3.3.3. Исследование семейства траекторий между
двумя фиксированными точками (83).

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.4. Параболическая траектория 88
3.4.1. Параболическая траектория как предельный случай эллиптической
(88). 3.4.2. Парабола безопасности (91).
§ 3.5. Производные конечных параметров движения по начальным
3.5.1. Продольное движение (92). 3.5.2. Боковое движение (96).
Глава 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ .... 98
§ 4.1. Основные элементы орбиты 98
4.1.1. Выбор элементов орбиты (99). 4.1.2. Положение и скорость спутни-
спутника в пространстве A00).
§ 4.2. Определение орбиты по двум положениям и времени .... 103
4.2.1. Эллиптическая орбита A05). 4.2.2. Гиперболическая орбита A14).
4.2.3. Параболическая орбита A19).
§ 4.3. Определение орбиты по измерениям положения и скорости . . . 122
4 3.1. Использование измерений положения и скорости A22). 4.3.2. Исполь-
Использование многих измерений A24).
§ 4.4. Трассы околоземных спутников . • 126
4.4.1. Круговая орбита спутника A26). 4.4.2. Эллиптическая орбита спут-
спутника A29). 4.4 3. Суточный спутник A30).
Глава 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ 134
§ 5.1. Двухимпульсный перелет между компланарными круговыми ор-
орбитами 135
5.1.1. Формула Циолковского A35). 5.1.2. Оптимизация маневра A37).
5.1.3. Сокращение времени перелета A45).
§ 5.2. Трехимпульсный биэллиптический перелет между компланарны-
компланарными круговыми орбитами 148
5.2.1. Выбор оптимальной схемы маневра A48). 5.2.2. Области оптималь-
оптимальности двух- и трехимпульсных маневров A53).
§ 5.3. Перелет с круговой орбиты на компланарную эллиптическую 155
§ 5.4. Перелет между компланарными эллиптическими орбитами 159
§ 5.5. Перелет с круговой орбиты на компланарную гиперболическую 162
§ 5.6. Поворот плоскости круговой орбиты 179
5.6.1. Одноимпульсный поворот A70). 5.6.2. Трехимпульсный поворот A70).
5.6.3. Модифицированный трехимпульсный поворот A74).
§ 5.7. Двухимпульсный перелет между некомпланарными круговыми
орбитами 179
5.7.1. Первый некомпланарный двухимпульсный перелет A79). 5.7.2. Вто-
Второй некомпланарный двухимпульсный перелет A80).
§ 5.8. Трехимпульсный перелет между некомпланарными круговыми
орбитами 182
5.8.1. Первый некомпланарный трехимпульсный перелет A82). 5.8.2. Вто-
Второй некомпланарный трехимпульсный перелет A85). 5.8.3. Области опти-
оптимальности двух- и трехимпульсного перелетов A88).
§ 5.9. Перелет с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую 189
§ 5.10. Оптимальная ориентация импульса скорости для схода с орбиты 197
5.10.1. Получение максимального по величине угла входа в атмосферу
A97). 5.10.2. Спуск с круговой орбиты B04). 5.10.3. Спуск из апоцентра
эллиптической орбиты B07).
Глава 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 208
§ 6.1. Общая постановка задачи трех тел 209
6.1.1. Уравнения движения трех притягивающих тел B09). 6.1.2. Инте-
Интегралы задачи трех тел B10). 6 1.3. Движение трех тел относительно их
барицентра B13). 6.1.4. Движение относительно одного из притягиваю-
притягивающих тел B14).
§ 6.2. Круговая ограниченная задача трех тел 215
6 2.1. Уравнения движения тела пренебрежимо малой массы в гравита-
гравитационном поле двух притягивающих тел B16). 6.2.2. Интеграл Якоби B18).
6.2.3. Плоская задача B20).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 6.3. Точки либрации 221
6.3.1. Поверхности нулевой относительной скорости B21). 6.3.2. Двойные
точки поверхностей нулевой относительной скорости B28). 6.3.3. Вычис-
Вычисление координат точек либрации B30).
§ 6.4. Анализ устойчивости точек либрации 235
6.4.1. Неустойчивость прямолинейных точек либрации B36). 6.4.2. Усло-
Условие устойчивости треугольных точек либрации B39).
§ 6.5. Упрощенная постановка задачи трех тел 242
6.5.1. Сфера действия B42). 6.5.2. Сфера притяжения B46). 6.5.3. Сфера
влияния B48).
.Глава 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ 249
§ 7.1. Условия полета к Луне 249
7.1.1. Параметры орбиты Луны B50). 7.1.2. Поле притяжения Луны B51).
7.1.3. Сферы действия, притяжения и влияния Луны B52). 7.1.4. Точный
расчет траектории полета к Луне B52). 7.1.5. Приближенный расчет тра-
траектории полета к Луне B55).
§ 7.2. Полет в плоскости орбиты Луны 257
7.2.1. Задача попадания в Луну B57). 7.2.2. Облет Луны с пологим воз-
возвращением в атмосферу Земли B61). 7.2 3. Разгон (торможение) с ис-
использованием поля притяжения Луны B67).
§ 7.3. Пространственная траектория к Луне 273
7.3.1. Траектория с непрерывным выведением B74). 7.3.2. Полет к Луне
с околоземной орбиты B80). 7.3.3. Посадка на поверхность Луны B83).
§ 7.4. Полет к планетам 284
7.4.1. Классификация межпланетных траекторий B86). 7.4.2. Точный рас-
расчет траектории к планете B88). 7.4.3. Приближенный расчет гелиоцент-
гелиоцентрического участка B89). 7.4.4. Планетоцентрические участки траектории
B98). 7.4.5. Выбор оптимальной даты старта C05).
§ 7.5. Последовательный облет нескольких небесных тел 310
7.5.1. Использование гравитационного маневра C11). 7.5.2. Активно-грави-
Активно-гравитационный маневр C12). 7.5.3. Примеры последовательного облета не-
небесных тел C21).
§ 7.6. Полет в сторону Солнца 323
7.6.1. Полет по траектории типа Гоманна C24). 7.6.2. Полет по биэллип-
тической траектории C25). 7.6.3. Полет по биэллиптической траектории
с гравитационным маневром в афелии C30). 7.6.4. Расчет геоцентриче-
геоцентрического участка траектории по,лета к Солнцу C31).
Глава 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА 334
§ 8.1. Метод оскулирующих элементов 334
8.1.1. Оскулирующая орбита C35). 8.1.2. Уравнения для элементов воз-
возмущенного движения C37). 8.1.3. К выбору аргумента для системы ос-
оскулирующих элементов C46).
§ 8.2. Действие возмущающих касательной, нормальной и бинормаль-
бинормальной сил 348
8.2.1. Учет возмущающих касательной и нормальной сил в уравнениях
для оскулирующих элементов C49). 8.2.2. Влияние возмущающей каса-
касательной силы C51). 8.2.3. Влияние возмущающей нормальной силы C54).
8.2.4. Возмущения оскулирующих элементов эллиптической орбиты C55).
8.2.5. Задача поворота плоскости орбиты C58).
§ 8.3. Эволюция орбиты ИСЗ под действием атмосферы 360
8.3.1. Изотермическая модель атмосферы C61). 8 3 2. Упрощенная задача
торможения ИСЗ в атмосфере на эллиптической орбите с малым эксцент-
эксцентриситетом C63). 8.3.3. Эволюция эллиптической орбиты при движении
ИСЗ в неподвижной атмосфере C65). 8.3.4. Влияние вращения атмосферы
на эволюцию орбиты C73).
§ 8.4. Движение КА под действием постоянного касательного ускорения 377
8.4.1. Преобразование уравнений движения C78). 8.4.2. Построение реше-
решения C80). 8 4.3. Асимптотика на большом удалении от центра притяже-
притяжения C83). 8.4.4. Определение о и т C91). 8.4.5. Результаты расчета и при-
примеры C93).

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8 5. Движение в нецентральном поле притяжения 403
8 5 1 Составляющие возмущающего ускорения от сжатия Земли D03)
8 5 2 Вековые гравитационные возмущения элементов эллиптической ор-
орбиты D05) 8 53 Возмущения квазикруговой орбиты ИСЗ D09).
§ 8 6. Возмущающее действие небесных тел 410
8 6 1 Составляющие возмущающего ускорения от внешнего небесного те-
тела D11) 8 62 Эволюция орбиты под действием внешнего возмущающе-
возмущающего тела D15)
Приложение. КОРРЕКЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ... 425
Список литературы 436
Основные обозначения 440
Предметный указатель 442

ПРЕДИСЛОВИЕ
За 25 лет интенсивных исследований в области механики космического
полета был опубликован ряд книг советских и зарубежных авторов, содержа-
содержащих результаты теоретических и практических достижений. Можно назвать,
например, книги Е. П. Аксенова [4], Р. Ф. Аппазова, С. С. Лаврова и В П Ми-
Мишина [8], М. Б. Балка [И], В. А. Егорова [22], В. А. Ильина и Г. Е Кузмака
[29], В. И. Левантовского [38], П Е. Эльясберга [62], Д. Ф. Лоудена [41], кол-
коллектива авторов (под редакцией Г. С. Нариманова и М К. Тихонравова) [46]
и др За некоторым исключением, в перечисленных и многих других книгах
авторы, как правило, всесторонне и глубоко освещают отдельные, довольно
узкие вопросы механики космического полета. Для получения достаточно пол-
полной информации, охватывающей фундаментальные и прикладные проблемы в
этой области, необходимо суммировать сведения из различных источников,
что не всегда оправдано, особенно в учебном процессе.
Предлагаемая книга является попыткой в какой-то степени восполнить
имеющийся пробел. В ее основу положен конспект лекций по механике кос-
космического полета [47], которые на протяжении многих лет читал Д Е Охо-
цимский на механико-математическом факультете Московского государствен-
государственного университета При подготовке книги первоначальное содержание конспек-
конспекта лекций было существенно переработано и пополнено результатами, полу-
полученными к настоящему времени. Излагая материал, авторы старались по воз-
возможности избегать бездоказательных утверждений, пусть даже со ссылками
на цитируемую литературу. Лишь в отдельных случаях, когда чрезвычайная
громоздкость выкладок могла явиться причиной неоправданного увеличения
объема книги, приводятся сразу некоторые промежуточные или даже окон-
окончательные результаты в виде математических соотношений, графиков на основе
выполненных расчетов и т. д.
Книга состоит из восьми глав В главе 1 рассматриваются основные поло-
положения взаимодействия гравитирующих тел с усложнением формы центрально-
центрального тела от сферы до геоида. Даны формулы разложения гравитационного по-
потенциала в ряд по сферическим функциям.
В главе 2 изложена классическая задача двух тел. Приводятся интегралы
уравнений движения в центральном поле притяжения и подробно анализи-
анализируются основные типы орбит. Показана связь времени с положением на
орбите.
В главе 3 теория эллиптического движения используется для решения пря-
прямой и обратной задач околоземной баллистики Анализируются оптимальные
условия старта и влияние начальных параметров на получающуюся траекто-

g ПРЕДИСЛОВИЕ
рию. Для малых угловых дальностей осуществляется переход от эллиптиче-
эллиптической траектории к параболической.
Глава 4 содержит сведения об элементах орбиты в пространстве. Показан
способ определения орбит различных типов по двум положениям и времени
перелета между заданными точками. Приведен также способ определения
орбиты по измерениям положения и скорости с использованием многих изме-
измерений. Рассмотрены примеры построения трасс околоземных спутников.
В главе 5 исследуются оптимальные импульсные маневры в центральном
поле притяжения. Рассматриваются компланарные перелеты между круговыми
орбитами, круговой и эллиптической, эллиптическими орбитами, круговой и
гиперболической. Обсуждаются различные способы поворота плоскости дви-
движения, оптимальные двух- и трехимпульсные схемы перелета между неком-
некомпланарными круговыми орбитами. Определены области рационального приме-
применения таких маневров. Даны результаты анализа оптимального импульсного
торможения при сходе с круговой орбиты и апоцентра эллиптической орбиты.
Глава 6 посвящена изложению задачи трех тел. Рассмотрение начинается
с общей постановки и получения интегралов задачи. Далее более подробно
исследуется круговая ограниченная задача трех тел, определяются точки либра-
либрации и проводится анализ их устойчивости. Для упрощенной постановки задачи
трех тел обсуждаются понятия сфер действия, притяжения и влияния.
Глава 7 имеет прикладной характер. Полученные в предыдущих главах
результаты применяются для расчета траекторий к Луне и планетам Солнеч-
Солнечной системы. Обсуждаются способы точного и приближенного построения та-
таких траекторий. Определяются оптимальные даты старта и потребная харак-
характеристическая скорость. Приводятся траектории последовательного облета
группы планет с использованием гравитационного или активно-гравитацион-
активно-гравитационного маневров в поле притяжения промежуточной планеты.
В главе 8 рассматривается возмущенное движение. Система уравнений
движения в оскулирующих элементах используется для анализа эволюции
орбиты под действием атмосферы, нецентральности поля притяжения и возму-
возмущений от внешнего небесного тела. Даны способы решения отдельных задач
и примеры полученных решений.
По замыслам авторов, книга задумана как учебное пособие для студентов
высших учебных заведений и аспирантов соответствующих специальностей.
Вместе с тем она может быть полезной специалистам в области баллистики и
управления движением космических летательных аппаратов.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность Э. Л. Аки-
Акиму и В. А. Степаньянцу за полезные обсуждения отдельных разделов. Авторы
признательны Р. Ф. Аппазову и В. А. Ярошевскому, взявшим на себя труд по
рецензированию рукописи и во многом способствовавшим улучшению пред-
представленного материала.

ГЛАВА 1
МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
При анализе движения естественных и искусственных небесных
'тел приходится строить математическую модель, в той или иной
степени адекватную истинной природе движения. Простейшая мо-
модель состоит в замене небесного тела точкой, в которой сосредоточе-
сосредоточена вся масса тела. Более сложные модели могут учитывать конеч-
конечные размеры тела, однородность или неоднородность его внутренней
структуры. Выбор модели зависит от постановки задачи и подчиня-
подчиняется общему правилу, согласно которому модель должна быть по
возможности проще, но в то же время учитывать основные физиче-
физические особенности, существенные для данной постановки.
В теоретической механике обычно пользуются понятием силовой
функции U(x, у, z), градиент которой определяет вектор силы:
F = grad U. В физике преимущественно пользуются понятием по-
потенциальной функции И(х, у, z), которая отличается от силовой
функции знаком: Т1{х, у, z)=—U(x, у, z). В небесной механике
принято использовать понятие силовой функции поля притяжения,
которую многие авторы [5, 11, 20, 36, 45, 59] называют потенциа-
потенциалом. В таком случае потенциальная энергия в некоторой точке по-
поля притяжения отличается от потенциала только знаком. При
дальнейшем рассмотревши будем, как принято в небесной механи-
механике, пользоваться понятием потенциала (силовой функции).
Если в гравитационном поле находится тело единичной массы,
то действующая на него сила численно равна ускорению силы при-
притяжения. Поэтому можно говорить о потенциале поля гравитацион-
гравитационного ускорения.
Основные вопросы теории притяжения как составной части не-
небесной механики систематически изложены в работах [21, 28].
§ 1.1. Закон всемирного тяготения
Движение естественных небесных тел и свободное движение ис-
искусственных небесных тел (спутников, космических кораблей, меж-
межпланетных автоматических станций и др.) происходит под действи-
действием главным образом сил притяжения, или гравитационных сил. Эти
силы определяются законом всемирного тяготения Ньютона.
1.1.1. Взаимное притяжение двух материальных точек. Во мно-
многих задачах механики космического полета оказывается возможным
пренебречь размерами тела по сравнению с расстояниями, которые

Ю ГЛ 1 МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
характерны для этих задач. В таких случаях обычно тело заменяют
его упрощенной моделью — материальной точкой. Понятно, что до-
допустимость подобной замены определяется условиями задачи. На-
Например, при исследовании орбиты спутника его можно рассматри-
рассматривать в качестве материальной точки, а при исследовании движения
относительно центра масс нельзя отождествлять спутник с матери-
материальной точкой. По существу модель тела в виде материальной точ-
точки допустима в тех задачах, где рассматривается только поступа-
поступательное движение, т. е. не учитывается вращение тела относительно
центра масс. Иногда для краткости опускают слово «материальная»,
когда понятно, что речь идет о материальной точке.
Пусть М и m — массы двух материальных точек, которые усло-
условимся обозначать этими же буквами. Согласно закону всемирного
тяготения всякая материальная точка притягивает другую матери-
материальную точку с силой, пропорциональной произведению масс этих
точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния меж-
между ними.
Обозначим через г радиус-вектор, проведенный от точки М к
точке тп. Тогда сила F, действующая на материальную точку тп со-
согласно закону Ньютона, будет определяться формулой
F = —f—j-r°, A.1.1)
где / — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной
притяжения (или постоянной тяготения), г° = г/г—единичный век-
вектор, г=|г|. Величина постоянной притяжения зависит от выбора
единиц измерения. Так, в системе СИ
/ = 6,670A + 0,0007). 10"
Если ввести произвольно ориентированную декартову систему
прямоугольных координат с началом в точке М, то можно опреде-
определить составляющие силы F в этой системе координат:
V _ г Mm х v _ .Mm у у_ Mm z ,, . Q.
r ' r ' r '
где x, у, z — составляющие радиуса-вектора г.
В дальнейшем, кроме особо оговариваемых случаев, будем пола-
полагать, что масса материальной точки m равна единице массы (тп = 1).
Если в каждой точке пространства определена некоторая сила
F(#, у, z), то говорят, что задано силовое поле. Поле, определяемое
условием A.1.1), называют центральным или ньютоновским.
Сила притяжения консервативна, поэтому она имеет потенциал
U(x,y,z) = f^, A.1.3)
частные производные от которого по координатам х, у, z дают со-

§ 1 1 ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ Ц
ставляющие силы притяжения материальной точки т. Действи-
Действительно,
j*L- fM_±--_flL±-X Ml 4)
дх ; Г2 дх ~ / r2 r - А К*--1--*)
согласно равенству
Аналогично найдем
8U М у v dU M z
Геометрическое место точек пространства, в которых потенциал
принимает постоянное значение, т. е.
U(x, у, z)= const, A-1-7)
называется поверхностью уровня или изопотенциалъной поверх-
поверхностью. Для материальной точки М поверхностями уровня являют-
являются концентрические сферы с центром в этой точке.
Найдем физический смысл потенциала U(z, у, z). С этой
целью вычислим элементарную работу силового поля
dA=F-dr, A.1.8)
или
dA = Fxdx + Fydy + Fzdz.
Для потенциального силового поля
dA=dU, A.1.9)]
откуда
dU = F-dr. A.1.10);
Работа силового поля при перемещении точки m из положения mi
в положение т,2 определяется интегралом по пути
А= j Fdr. A.1.11)
тхт2
Для потенциального поля
A = U{m2)- и{пы), A.1.12);
т. е. работа зависит только от конечного и начального положений
точки, а не от пути движения. Для центрального ньютоновского
поля

12 ГЛ. 1. МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
где Г], Г2 — величины радиусов-векторов, проведенных из М соответ-
соответственно в mi и т,2. Пусть Г2 ->- г, а Г1 ->¦ оо? тогда
^ = /^-=Е/(*,*/,*). A.1.14)
Следовательно, потенциал определяет работу, которая соверша-
совершается при приближении материальной точки с массой m из бесконеч-
бесконечности на расстояние г от М. Потенциальная функция, которая опре-
определяет потенциальную энергию в рассматриваемой точке гравита-
гравитационного поля, для центрального ньютоновского поля имеет вид
U(x,y,z)--fMJr.
1.1.2. Силовое поле системы материальных точек. Рассмотрим
совокупность п притягивающих материальных точек с массами Мх,
имеющих координаты хх, yt, zx (i = 1, 2, ..., п) в некоторой декар-
декартовой системе прямоугольных координат с началом в произвольной
точке О. Пусть m — точка с единичной массой, а х*, у*, z* — ее
координаты. Определим, какая сила притяжения действует на мате-
материальную точку m в силовом поле, порождаемом системой притяги-
притягивающих материальных точек М\, М%, ..., Мп. Обозначим
г, = У (х* — х%J + {у* — yxJ+{z* — zxJ A.1.15)
расстояние между точками Мх и т,
М.% х* - х.%
А| = — /¦
Мг
i
Mi
у*
z*
ri
—
ri
—
Ух
ч
— составляющие силы F,, с которой точка Мх притягивает точку т.
Равнодействующая всех сил притяжения точек Mi, М2, ..., Мп,
приложенная к точке т, будет иметь следующие составляющие в
системе координат Oxyz:
М,{х*-х.)
я 1
Y = 2 Г,--/2^^. A.1.17)

§ 1 2 ПРИТЯЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА 13
С другой стороны, эти составляющие можно представить в виде
частных производных от потенциала системы притягивающих мате-
материальных точек, который получается суммированием потенциалов,
соответствующих каждой из точек:
"' <1ЛЛ8)
i
Рассмотрим систему взаимно притягивающихся по закону Нью-
Ньютона материальных точек Mi, M2, ..., М„, которые могут свободно
перемещаться в пространстве. Пусть
ZjJ A.1.19)
— расстояние между произвольными точками Мх и М}. Тогда со-
составляющие равнодействующей сил притяжения, приложенных к
точке М^ можно вьгаислить по формулам
A.1.20)
j=l
В этом случае имеем потенциал поля
и его частные производные по координатам произвольной точки Mi
равны составляющим равнодействующей сил притяжения, прило-
приложенной к рассматриваемой точке:
dU _ у dU _ V dU _ 7 l\ \ 99\
(j-l, 2, ...,#»).
Потенциал A.1.21) системы ^г материальных точек зависит от
3/г координат этих точек.
§ 1.2. Притяжение сферического тела
Более сложной моделью небесного тела по сравнению с матери-
материальной точкой является шар со сферическим распределением плот-
плотности. Для такого шара во всех точках, равноудаленных от его
центра, плотность одинакова. В частном случае, когда плотность
одинакова во всех точках, имеем однородный шар.

14
ГЛ 1. МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
Покажем, что для многих задач механики космического полета
нет необходимости рассматривать притягивающее тело ri виде шара,
поскольку тело со сферическим распределением плотности притяги-
притягивает внешнюю материальную точку подобно материальной точке,
совпадающей с центром шара и имеющей такую же массу.
1.2.1. Потенциал шара со сферическим распределением плотности.
Предположим, что притягивающее тело с массой М имеет форму
шара радиуса R и сферическое распределение плотности р@- Здесь
I — расстояние рассматриваемой точки от центра шара (рис. 1.1).
Пусть притягиваемая точка т с единичной массой находится на
расстоянии г от центра шара, причем r>R. Для определения по-
положения произвольной точки ./V внутри шара введем сферические
координаты I, X, ф. Угол X отсчиты-
вается в некоторой фиксированной
плоскости тела М, перпендикуляр-
перпендикулярной к прямой Mm и условно назы-
называемой экваториальной плоскостью
(—я<Жя). Угол ф подобно ши-
широте определяет отклонение точки N
от экватора в меридиональной пло-
плол;
скости ( к-
Выделим элементарный объем, за-
заключенный между сферами радиусов
I и 1 + dl, двумя меридиональными
плоскостями, соответствующими уг-
углам X и X + dl, а также двумя пло-
плоскостями, которые проходят через
центр шара (точку М) и пересекают
указанные меридиональные плоско-
Рис 1.1. Притяжение материаль- сти на широтах ф и ф+|йф. С точ-
точной точки сферическим телом *> я-
ностью до бесконечно малых более
высокого порядка, чем dl, dX, dip,
этот объем имеет длину ldq> (в меридиональной плоскости), шири-
ширину I cos ф dX (в плоскости, параллельной экватору) и высоту dl.
Отсюда величина элементарного объема
dv = I2 cos ф dl dip dX A.2.1)
и его масса
dM = p (l)l2 cos ydldydX. A.2.2)
Поскольку шар — физическое тело, будем рассматривать его потен-
потенциал. Потенциал шара со сферическим распределением плотности
на внешнюю материальную точку т можно записать с помощью
интеграла по объему шара vM:
р (Z) Z2 cos ф
U =
-f Z2 — 2rZ sin
dldqi dX.
A.2.3)

1 2 ПРИТЯЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА 15
Вычисляя этот интеграл, получим
\ R Я/2
о -X/.
R Я/2
\ 7Ф др U-
X/. Kr2 + i2-2risin<p _J
f
R
р(/)М. A.2.4)
0
Второй сомножитель в A.2.4) равен массе притягивающего тела:
R
M = 4jt ^ () AI41. A.2.5)
о
С учетом полученного соотношения можно окончательно записать
U=f^r. A.2.6)
Эта формула совпадает с A.1.3). Следовательно, для шара со сфе-
сферическим распределением плотности потенциал на внешнюю мате-
материальную точку совпадает с потенциалом материальной точки, рас-
расположенной в центре шара и имеющей такую же массу. Отсюда
можно сделать вывод, что сила, с которой такой шар притягивает
внешнюю материальную точку, не изменится, если всю массу шара
поместить в его центре.
1.2.2. Взаимное притяжение двух шаров со сферическим распре-
распределением плотности. Рассмотрим взаимное притяжение двух внеш-
внешних по отношению друг к другу шаров, имеющих массы М\ и М^ и
сферическое распределение плотности. Центры шаров обозначим че-
через О\ и #2- Сила притяжения является равнодействующей всех
сил, с которыми частицы одного тела притягивают частицы друго-
другого тела.
Выделим во втором шаре достаточно малый элементарный объем,
считая его материальной точкой N2 с массой dM2. Тогда для шара
М\ со сферическим распределением плотности и материальной точ-
точки N2 задача сводится к рассмотренной в п. 1.2.1. Сила притяжения
шара Mi, с которой он действует на материальную точку iV2, вычис-
вычисляется по формуле
MdMn ONa
где OiN2 — радиус-вектор, проведенный из точки Oi в точку N2.
С такой же силой, но направленной в противоположную сторону,
притягивает материальная точка N2 шар Mi, причем согласно полу-

16
ГЛ 1 МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
ченным ранее результатам всю массу этого шара можно считать со-
сосредоточенной в его центре О\. Отсюда следует, что равнодействую-
равнодействующая сил, с которыми все элементарные массы, образующие шар Мч,
притягивают шар М\, совпадает с равнодействующей сил, с которы-
которыми эти элементарные массы притягивают материальную точку, рас-
расположенную в центре первого шара и имеющую массу М\. Таким
образом, два внешних по отношению друг к другу тела, имеющих
форму шара со сферическим распределением плотности, притягива-
притягиваются взаимно как материальные точки, т. е. с силой, прямо пропор-
пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату расстоя-
расстояния между их центрами.
Гипотеза о сферическом распределении плотности притягиваю-
притягивающих тел, существенно упрощающая постановку, оказывается допу-
допустимой во многих задачах, связанных с поступательным движением
естественных и искусственных небесных тел, в частности, в задаче
о движении далекого искусственного спутника Земли на большом
промежутке времени или движении близкого спутника на коротком
промежутке времени.
§ 1.3. Разложение потенциала
в ряд по сферическим функциям
Если упрощенные модели небесного тела в виде материальной
точки или шара со сферическим распределением плотности оказы-
оказываются неадекватными рассматри-
рассматриваемой задаче, то приходится вво-
вводить более сложные модели. Для
Земли часто используют модели в
виде тела, ограниченного эллип-
2j соидом вращения (сфероид), трех-
трехосным эллипсоидом, и некоторые
другие, более сложные модели.
1.3.1. Потенциал тела произ-
произвольной формы. Пусть тело с мас-
массой М и объемом vM имеет произ-
произУ
вольную форму, причем его плот-
плотность является кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывной функцией координат р(х, у, z).
Поместим декартову прямоуголь-
Рис. 1.2. Притяжение тела произ- ную систему координат Oxyz в
вольной формы центре масс тела М и рассмотрим
вне этого тела материальную точ-
точку ш с единичной массой и координатами х, у, z. Потенциал при-
притяжения тела М на внешнюю точку m вычисляется по формуле
VM

§ 1 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД 17
где г0 = (хо, г/о, zq) — радиус-вектор произвольной текущей точки N
тела М, г ={х, у, z) — радиус-вектор точки т, I — величина вектора
1 = г — го (рис. 1.2). Найдем
I = j/ г2 — 2rr0 cos -ф + г?, A.3.2)
или
A.3.3)
где
XX + УУ + 22
cos ib = — -. A.3.4)
rro K '
Разложим теперь 1/Z в ряд по степеням го/r. Обычно такое раз-
разложение осуществляют по сферическим функциям, что позволяет
представить потенциал с помощью рядов, приемлемых по сложно-
сложности для последующего использования в расчетах или аналитических
исследованиях.
В теории сферических функций используются полиномы (много-
(многочлены) Лежандра [16]. Такой полином п-то порядка можно зада-
задавать формулой Родрига
или формулой вида
Р (*\-У (-. IV Bя~2гI п-2г ,, о as
±п \Z) — /, I— 1) — Z , (l.O.D)
~0 2nr\(n — r)\(n — 2r)\ v '
где
-у, если п — четное число,
—2—, если п — нечетное число.
Для полиномов Лежандра справедливо следующее соотношение:
. 2 w ()
- 2az-j- a n=o
Воспользуемся соотношением A.3.7) для разложения 1/1 в ряд
по полиномам Лежандра:
A.3.8)
о „ п=0 ч '
оатем найдем
A.3.9)

18 ГЛ 1 МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
Выразим правую часть A.3.9) в сферических координатах Я, ф,
г (рис. 1.2). Предварительно подставим в формулу A.3.4) соот-
соотношения
х = г cos ф cos Я, у = г cos ф sin Я, z = r sin ф,
xq = го cos фо cos Яо, Уо = го cos фо sin Яо, zq = r0 sin ф0;
тогда получим
cos -ф = sin ф sin фО + cos ф cos фосов(Я — Яо). A.3.10)
Далее необходимо воспользоваться теоремой сложения для полино-
полиномов Лежандра [16]:
Рп [sin ф sin ф0 + cos ф cos ф0 cos (Я — Яо)] = Рп (sin ф) Рп (sin ф0) +
+2 2 ^тИ р?) (sin ф) р?) (sin Фо) cos k {X ~ К)-
Отсюда с учетом A.3.10) и соотношения
cos к (Я — Яо) = cos кк cos /сЯо + sin кк sin кХз
получим
Рп (cos -ф) = Рп (sin ф) Pn (sin ф0) +
п
&ТШ р»} (sin ф) cos кХР^ (sin ф^ cos кк° +
+ 2 2^1Г-гтТ7Рп (sin Ф) sin ШЪ*' (sin Фо) sin kX0. A.3.12)
шел ^ 7Z —J— Kj J
Здесь fPn — присоединенная функция Лежандра порядка п и ин-
индекса к, которая связана с полиномом Лежандра условием
p(fe) GV (Л , „2\fe/2 п \ ' ,. о /| О\
После подстановки соотношения A.3.12) в A.3.9) получим для
потенциала тела произвольной формы следующую формулу обще-
общего вида:
in ф) J J J r°
и = f 2-4н Рп (sin ф) J J J r°Pn <sin Фо)
п=о Г VM
оо П
2
тяг( ф) cos кХ х
n=o fe=l Г
х Ш -fw r^ft) (sin Фо) cos кК 'p
VM

1 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД 19
n=0fc=l
X f Г f 2}П7ы ^'(апф^ш^-р^. A.3.14)
J J J (^ -)- ft)!
1.3.2. Вычисление коэффициентов разложения. Введем безраз-
безразмерные коэффициенты /„, Cnk, Snk, зависящие от формы притягива-
притягивающего тела и распределения его масс:
= ~Ш^ Ш l^W" r?^}(sin Фо) cos кК0. р ^, A.3.15)
э
Cnk Ш^
э vm
где Яэ — некоторый линейный размер притягивающего тела М
(для Земли в качестве линейного размера обычно используют сред-
средний экваториальный радиус). При расчете коэффициентов Cnh и Snk
должно выполняться условие 1 ^ к < п.
Вычислим некоторые коэффициенты A.3.15). Полином Лежанд-
ра нулевого порядка при любом значении аргумента равен единице,
следовательно, Po(sin(po)= 1. Кроме того,
j J Jpdy = M, A.3.16)
отсюда имеем
/о = -1. A.3.17)
Далее, полином Лежандра первого порядка равен своему аргумен-
аргументу, т. е. Pi (sin фо) = sin фо. Учитывая это, вычислим по формуле
A.3.13) присоединенную функцию Лежандра первого порядка и
первого индекса: Р[г) (sin ф0) = cos ф0. Тогда
VM
VM
A.3.18)
VM

20 гл i модель поля притяжения
где хм, ум, zM — координаты центра масс притягивающего тела М,
dm = p dv — дифференциал массы. Так как начало координат сов-
совпадает с центром масс, то хм = ум = zM = 0. Отсюда
/i-О, Си-0, ?ц = 0. A.3.19)
Теперь вычислим по формуле A.3.6) полином Лежандра второго
порядка
Р2 (sin Фо) = ~ (- 1 + 3 sin2 Фо), A.3.20)
а затем по формуле A.3.13) найдем присоединенную функцию Ле-
Лежандра второго порядка и индексами к = 1, 2:
Pa^sinrpo) = 3coscp0sin(p0, PB2)(sin(p0) = 3cos2 ф0. A.3.21)
Используя полученные результаты, определим коэффициенты
/2 = \ \ \ Го (— 1 + 3 sin2 ф0) р dv =
= г \ \\ г20 (cos2 Фо — 2 sin2 Фо) р dv =
®м
\ \ 1 [2 (г2 cos2 Фо cos2 А,о + rj cos2 Фо sin2 kOj
— (rl cos2 Фо sin2 Xq + rl sin2 ф0) — (r20 cos2 ф0 cos2 Я,о + rl sin2 фо)]р dv=
МЛ2 J J J
--чГи
MR2 J J J
vM
—g- j j j [(rocos^0cos2^0 + rjsin^o) —
VM
— (V2cos2 sin2^ + r2sin2m )]pdv = B~A
A-3-22)

§ 1 3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД 21
Здесь
А = j j J (z/20 + /0) dm, 5 = j^ D + *J) dm,
VM VM
C = J J J W + Й) *»
— осевые моменты инерции,
Z> = J J J yozodm, E = J j j zozodm, ^ = J J J ЗД0^/?г A-3.24)
I'M VM VM
— центробежные моменты инерции притягивающего тела М.
Вычисленные коэффициенты A.3.19) позволяют представить
формулу A.3.14) для потенциала притяжения на внешнюю точку
тела произвольной формы в окончательном виде:
i-2-Чг-
п=2
2 2 (тО"р™(sin ф) (Cnfe cos a + 5nfe sin kK) • A-3>25)
n=2 fe=l ' J
n=2
Ряд A.3.25) сходится абсолютно ж равномерно, если расстояние
г от центра притягивающего тела М до притягиваемой материаль-
материальной точки т больше, чем расстояние гтах от центра тела до его
наиболее удаленной точки. В самом деле, так как |.Pn(sin ф0) I ^ 1,
то ряды A.3.8) и A.3.9) сходятся абсолютно и равномерно при
г > гтах ^ го. Заметим, что в тех случаях, когда одна из осей коор-
координат совпадает с главной центральной осью инерции притягиваю-
притягивающего тела М, обращаются в нуль центробежные моменты инерции,
содержащие соответствующую координату.
Формула A.3.25) рекомендована Международным астрономиче-
астрономическим союзом в качестве стандартной записи потенциала притяже-
притяжения Земли. Для Земли Я — долгота притягиваемой материальной
точки, отсчитываемая от гринвичского меридиана; ф — широта точ-
точки, отсчитываемая от плоскости экватора; М — масса Земли; RB —
средний экваториальный радиус Земли. Поскольку в этом случае
ось Oz является главной центральной осью инерции (как ось вра-
вращения Земли), то С21 = ?21 = 0.
1.3.3. Зональные, тессеральные и секториальные гармоники.
В разложении потенциала A.3.25) обычно различают составляющие
трех типов. Рассмотрим сначала слагаемые вида
(i-3-26)
собранные в первую сумму. Знак A.3.26) зависит от знака
Р„(8Н1ф). Так как полином Лежандра п-то порядка имеет п деист-

22 ГЛ. 1. МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
ви!ельных различных корней (причем каждый по абсолютной вели-
величине меньше 1), функция Pn(sin(p) будет менять знак на п широ-
широтах. Следовательно, сфера разделяется на п + 1 широтную зону,
в которых слагаемые вида A.3.26) принимают попеременно поло-
положительные и отрицательные значения. Поэтому слагаемые вида
A.3.26) называют зональными гармониками п-то порядка.
Рассмотрим теперь из второй суммы A.3.25) слагаемые вида
/ ¦— [~f CnkP(V (sin ф) cos к% A.3.27)
и
f-y-^rfSrbPP (sin ф) sin кК A.3.28)
где 1 ^ к < п. Эти слагаемые обращаются в нуль на п — к паралле-
параллелях, где
и на 2к меридианах, где
cos кк = 0 или sin кк = 0.
Такими параллелями и меридианами сфера делится на п + к + 1
сферическую трапецию, в каждой из которых указанные слагаемые
сохраняют знак. Эти слагаемые называют тессералъными гармони-
гармониками порядка п и индекса к.
Если п = к, то имеем оставшиеся слагаемые второй суммы
A.3.25)
^() sin ц>) cos nl A.3.29)
и
/ -^ [~JsnnP(nn) (sin Ф) sin nl. A.3.30)
Здесь sign P^n) (sin ф) = const, так как
dnPn(sinq>)
= const.
d (sin ф)п
Отсюда видно, что слагаемые A.3.29) и A.3.30) меняют знак толь-
только на меридианах, определяемых условиями
cosnX, = 0, sinnX, = 0. A.3.31)
Эти условия выделяют 2/г меридиональных секторов, в которых сла-
слагаемые A.3.29) и A.3.30) сохраняют знак, поэтому их называют
векториальными гармониками п-го порядка.
Разложение потенциала притяжения Земли на отдельные гар-
гармоники имеет вполне определенный физический смысл. Первое ела-

§ 1.4. ГЕОИД. СИЛА ТЯЖЕСТИ 23
гаемое A.3.25) соответствует шару со сферическим распределением
плотности. Вторая зональная гармоника /г учитывает полярное
сжатие Земли (вдоль оси вращения) и является самой существен-
существенной поправкой при переходе к нецентральному полю притяжения.
Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармони-
гармоники, для которых число п — к нечетно, учитывают асимметрию Зем-
Земли относительно плоскости экватора, а секториальные и тессераль-
тессеральные гармоники — асимметрию Земли относительно оси вращения.
Коэффициент h имеет порядок 10~3, а все остальные коэффициен-
коэффициенты разложения A.3.25) имеют порядок 10~6 и выше. В работе [4]
приведены значения коэффициентов /„ до 21-го порядка включи-
включительно. Поскольку коэффициенты разложения убывают весьма мед-
медленно, ряд A.3.25) также сходится весьма медленно.
Известны другие методы описания нецентрального поля притя-
притяжения Земли. Например, в работе [5] была рассмотрена обобщен-
обобщенная задача двух неподвижных центров с фиксированными массами
и найдена соответствующая силовая функция, совпадающая в глав-
главном с A.3.25). Такой подход позволяет интегрировать в квадрату-
квадратурах дифференциальные уравнения движения материальной точки в
построенном нецентральном поле притяжения. Для высокоточных
численных расчетов траекторий движения вблизи поверхности Зем-
Земли иногда используется модель в виде совокупности большого числа
материальных точек (порядка нескольких сотен), координаты и
масса которых определены на основе экспериментальных данных.
Такая модель поля притяжения Земли является достаточно слож-
сложной даже для реализации с помощью ЭВМ, однако она позволяет
учесть локальные аномалии, связанные с неоднородностью внутрен-
внутренней структуры Земли, которые весьма сложно описать другими
способами.
Для уточнения модели поля притяжения Земли используются
главным образом результаты траекторных измерений движения
околоземных и межпланетных космических аппаратов.
§ 1.4. Геоид. Сила тяжести
Если тело находится на поверхности Земли, то помимо силы
притяжения на него действует также центробежная сила инерции,
порождаемая суточным вращением Земли. Равнодействующую этих
сил называют силой тяжести. Потенциал силы тяжести равен сум-
сумме потенциалов силы притяжения и центробежной силы:
?/т = ?/+?/цб. A.4.1)
Геометрическое место точек, в которых потенциал силы тяжести
имеет одно и то же значение, называют уровенной поверхностью по-
потенциала силы тяжести. В геодезии уровенную поверхность, совпа-
совпадающую со свободной невозмущенной поверхностью океанов и
продолженную под материками, принято называть геоидом. (Иногда

24 гл i модель поля притяжения
в баллистике под геоидом понимают не поверхность, а тело, которое
ограничено поверхностью мирового океана при некотором среднем
уровне воды, свободной от возмущений.) Во всех точках геоида
сила тяжести направлена по нормали к нему. Вместо геоида часто
рассматривают близкие к нему фигуры, допускающие более простое
математическое описание.
1.4.1. Нормальный сфероид. Рассмотрим фигуру Земли при неко-
некоторых упрощающих предположениях. Пусть распределение плотно-
плотности Земли обладает осевой симметрией, тогда часть коэффициентов
формулы A.3.25) обращается в нуль (Cnh = Snh = 0). Это значит,
что в формуле A.3.25), записанной применительно к такой модели
фигуры Земли, останутся только зональные гармоники:
A.4.2)
Учтем суточное вращение Земли с угловой скоростью «з- Цент-
Центробежная сила инерции, которая действует на материальную точку
т с единичной массой, расположенную на широте ф и расстоянии г
от центра Земли, направлена перпендикулярно оси вращения и по
величине равна
^цб = °>зг cos ф. A.4.3)
Потенциал центробежной силы инерции вычисляется по формуле
| A.4.4)
Сложив обе составляющие потенциала силы тяжести, A.4.2) и
A.4.4), получим уравнение уровенной поверхности:
L n=2 J
coscp = Co, A.4.5)
J
где Co — произвольная постоянная.
Для получения уравнения модели геоида в рассматриваемой по-
постановке надо определить постоянную Со таким образом, чтобы эк-
экваториальный радиус уровенной поверхности совпадал с экватори-
экваториальным радиусом Земли, т. е. г = Вэ при ф = 0. Отсюда
С =/ —
э
1- 2/Л@) +|о)
о = /^ 1- 2-^п@)+4<? ,
или
г °° ~\
л/Г 1 тгч л I
A.4.6)
9 L n= J
где

§ 1 4 ГЕОИД СИЛА ТЯЖЕСТИ 25
Тогда уравнение модели геоида
71=2
э L гг=2
A.4.8)
Как уже отмечалось, коэффициент /г на три порядка больше,
чем ближайшие следующие за ним коэффициенты /з и /4. С учетом
этого можно еще более упростить модель геоида, отбросив в A.4.8)
слагаемые с номерами п > 2:
-2-«^) СО82ф] =
i-gj. A.4.9)
При наличии осевой симметрии в распределении плотности Зем-
Земли моменты инерции A.3.23) относительно двух взаимно перпенди-
перпендикулярных осей, расположенных в экваториальной плоскости, будут
совпадать, т. е. А = В. Отсюда согласно A.3.22) найдем
^4 A.4.10)
4
MR\
Учитывая далее формулу A.3.20), можно преобразовать A.4.9)
к виду
Уравнение A.4.11) описывает поверхность, которую называют
нормальным сфероидом (или эллипсоидом Клеро). Заметим, что
иногда под нормальным сфероидом понимают не поверхность, а те-
тело, ограниченное этой поверхностью.
Несколько преобразуем формулу A.4.11):
С-а /лэ\\ 2 ч 1 / г \3 а
) AЗ) + т? я- созф
2MRI
Здесь (С — A)/MR\ ид — величины первого порядка малости,
а отношение 7?э/г отличается от единицы на величину первого по-

26 Г Л 1. МОДЕЛЬ ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
рядка малости. Отбросив в правой части A.4.12) величины выше
первого порядка малости, получим
г = .ДэA —asin2cp), A.4.13)
где
Покажем, что уравнение A.4.13) с точностью до величин перво-
первого порядка малости совпадает с уравнением сжатого эллипсоида
вращения. Действительно, в декартовой прямоугольной системе ко-
координат Oxyz, начало которой совпадает с центром масс эллипсоида,
ось Oz проходит по оси вращения, а оси Ох и Оу расположены
в экваториальной плоскости, уравнение эллипсоида вращения
о о 9
Х ty +-^г=1> A.4.15)
где Дэ и Rn — соответственно экваториальный и полярный радиусы
эллипсоида. Переходя к сферическим координатам
х = R cos ф cos X, у = R cos ф sin X, z = R sin ф
(здесь R — расстояние от начала координат до точки на поверхно-
поверхности эллипсоида, фиЯ — ее широта и долгота), получим
Н2 cos2 ф Л2 sin2 ф _ .
откуда
" 1-1/2
[ ^^] , A.4.16)
где
a = ^-^L A.4.17)
— сжатие эллипсоида. Если сохранить в разложении правой части
A.4.16) в ряд слагаемые только первого порядка относительно
сжатия а, то получим уравнение
Д = .ДЭA —asin2<p), A.4.18)
которое совпадает с A.4.13). Итак, с точностью до малых первого
порядка нормальный сфероид совпадает с эллипсоидом вращения,
у которого а — сжатие, а Ra — экваториальный радиус. Поэтому во
многих задачах в качестве фигуры Земли рассматривают эллипсоид.
В 1964 году Международный астрономический союз в качестве
рекомендуемой модели фигуры Земли принял общий земной эллип-
эллипсоид, параметры которого с учетом более поздних уточнений имеют
следующие значения [31]:
— экваториальный радиус Ra = 6 378 137 м,

§ 1.4. ГЕОИД. СИЛА ТЯЖЕСТИ 27
— сжатие а =
Лэ 298,25 '
— произведение постоянной тяготения на массу Земли fM =
= 398600,4 км3 • с-2.
Эти параметры выбраны из условий, что объем эллипсоида ра-
равен объему Земли, их экваториальные плоскости совпадают, при-
причем малая ось эллипсоида направлена по оси вращения Земли, сум-
сумма квадратов разности по высоте между поверхностями эллипсоида
и геоида минимальна.
Иногда оказывается целесообразным повысить точность локаль-
локального описания фигуры Земли (например, на территории одного го-
государства) за счет использования так называемого референц-эллип-
соида. Указанный эллипсоид ориентируют таким образом, чтобы его
поверхность наилучшим образом совпадала с поверхностью геоида в
рассматриваемом месте. При этом центр масс тела, ограниченного
референц-эллипсоидом, может не совпадать с центром масс Земли,
однако их оси вращения должны быть параллельными. В Советском
Союзе в качестве референц-эллипсоида принят эллипсоид Ф. Н. Кра-
совского A940 г.) с большой полуосью 6 378 245 м и сжатием 1/298,3.
Установлено, что Земля имеет сжатие не только вдоль полярной
оси, но также в экваториальной плоскости, правда, примерно в
100 раз более слабое. Поэтому в некоторых задачах рассматривают
модель фигуры Земли в виде трехосного эллипсоида. Один из таких
трехосных эллипсоидов, отвечающий современным данным астроно-
астрономии, геодезии и гравиметрии, имеет следующие величины полу-
полуосей [25]: а = 6378266,30 м, 6 = 6378053,70 м, с = 6356774,72 м.
1.4.2. Ускорение силы тяжести. Определим ускорение силы тя-
тяжести gT, действующее на тело, которое находится на поверхности
Земли:
gT = grad?/T. A.4.19)
Будем рассматривать модель, соответствующую нормальному сферо-
сфероиду. Для градиента потенциала силы тяжести имеем
T = -^n°, A.4.20)
где п° — единичный вектор внешней нормали к уровенной поверх-
поверхности. Угол е между вектором п° и радиусом-вектором г произволь-
произвольной точки поверхности сфероида равен разности географической фг
и геоцентрической широт, т. е.
е = Фг — ф-
Величина угла е принимает максимальное значение на широте
Ф = 45°, причем бщах ~ а. Проекция ускорения силы тяжести на
радиус-вектор
gTr = —gTcose, A.4.21)

28 гл i модель поля притяжения
но, с другой стороны, на поверхности сфероида
g-rr =
дг
A.4.22)
и с точностью до первой степени сжатия а имеем из A.4.21) и
A.4.22)
АТТ
A.4.23)
дг
Для принятой модели
A.4.24)
поэтому
Подставляя сюда соотношения A.4.13) с заменой r = R и A.4.14),
получим с точностью до слагаемых не выше первого порядка
малости:
f 1VI \ л * *3 if 1 * 2 I /А / О f\\
Обозначим
— ускорение силы тяжести на экваторе, тогда с точностью до вели-
величины первого порядка малости формулу A.4.26) можно привести
к виду
?, = ?»A + Psin2<p), A.4.28)
где
р = |д-а. A.4.29)
Соотношение A.4.28), определяющее с точностью до малых пер-
первого порядка изменение силы тяжести на поверхности неоднород-
неоднородного сфероида, было получено Клеро [33].
Для более сложных моделей геоида можно найти соответствую-
соответствующие зависимости, позволяющие учесть малые величины второго и
более высокого порядка. Так, с точностью до малых второго по-
порядка [18]
g = ?эA + Pi sin2 Ф - р2 sin2 2ф), A.4.30)
где
Р1 = -|?-а-||да, Р2 = |"?а-4'а2- A.4.31)

§ 1 4 ГЕОИД СИЛА ТЯЖЕСТИ 29
В свое время различными авторами были предложены формулы
для вычисления ускорения силы тяжести. Некоторые из этих фор-
формул приведены ниже по данным работ [4, 18, 25]. Численные ко-
коэффициенты соответствуют размерности ускорения силы тяжести
см/с2. Небольшое различие в коэффициентах обусловлено несовпа-
несовпадением исходных значений параметров фигуры Земли.
Формула Гельмерта A901 г., а= 1/298,2):
?т = 978,030A + 0,005302 sin2 <p — 0,000007 sin2 2<p).
Формула для общего земного эллипсоида MAG A964 г.,
а= 1/298,25):
?т = 978,0319A + 0,00530240 sin2 <p — 0,00000585 sin2 2<p).
Формула Аксенова A977 г.):
?т = 978,028A — 0,0000072 sin <p + 0,005364 sin2 <p +
+ 0,000012 sin3 ф — 0,000063 sin4 <p).
Формула Загребина — Резановой для трехосного эллипсоида
A969 г., полярное сжатие 1/298,25, экваториальное сжатие
1/300Q0):
?т = 978,0318 [1 + 0,00530240 sin2 <p + 0,00001651 cos2 <p •
• cos 2 (X — 15°) — 0,00000585 sin2 2<p].
Здесь ф — геоцентрическая широта, X — долгота. Все формулы, кро-
кроме предпоследней, имеют точность второго порядка малости относи-
относительно сжатия. Цредпоследняя формула учитывает величины до
четвертого порядка малости включительно и различие в сжатиях
для северного и южного полушарий.

ГЛАВА 2
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Одной из наиболее простых и одновременно достаточно полно
отражающих истинную природу движения небесных тел является
задача двух тел. При постановке этой модельцой задачи предпола-
предполагается, что существуют только два взаимно притягивающихся небес-
небесных тела Мит, причем первое из них часто имеет большую массу
и является шаром со сферическим распределением плотности. Ма-
Малое тело т можно рассматривать в качестве материальной точки.
Как показано в п. 1.2.1, сила притяжения шара со сферическим
распределением плотности, действующая на внешнюю материаль-
материальную точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его
центре. Таким образом, задача о движении двух тел по существу
сводится к задаче о движении двух материальных точек М и т.
Материальную точку с большей массой (М) обычно называют при-
притягивающим центром. Если же речь идет о теле М, то его называют
центральным телом. Выбор центрального тела зависит от исследуе-
исследуемой задачи. Например, при изучении движения искусственного
спутника в околоземном пространстве за центральное тело прини-
Таблица 2.1
Космические объекты искусственного происхождения
по состоянию на 31 марта 1988 года
(Flight International.— 1988.— V. 134, No. 4124)
Принадлежность
СССР
США
Япония
Франция
Канада
Великобритания
Прочие страны и организа-
организации
Число объектов на около-
околоземных орбитах и в даль-
дальнем космосе
аппараты
1064
530
35
15
14
9
95
фрагменты
2236
2611
47
24
0
1
469
Число объектов, сошедших
аппараты фрагменты
1346
571
5
7
0
6
39
7538
2206
34
46
0
4
96
Итого
1762
5388
1974
9927
мают Землю, а при изучении орбитального движения Земли как
планеты Солнечной системы за центральное тело принимают Солн-
Солнце. Меньшее тело (или материальную точку) m часто для кратко-
краткости называют спутником.

§ 2.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 31
4 октября 1957 года в Советском Союзе был выведен на орбиту
первый искусственный спутник Земли. По состоянию на 31 марта
1988 года в космическом пространстве находились 1762 околозем-
околоземных спутника и автоматических межпланетных аппарата, а общее
число объектов, включая последние ступени ракет-носителей и их
фрагменты, достигло 7150 (табл. 2.1). К указанной дате прекрати-
прекратили существование (сошли с околоземной орбиты и разрушились в
атмосфере) 1974 спутника и 9927 крупных фрагментов ракет-
носителей.
Установим основные закономерности задачи двух тел, которые
являются определяющими для движения небесных тел, как естест-
естественных, так и искусственных.
§ 2.1. Уравнения движения
Для описания движения центра масс тела или материальной
точки необходимо ввести некоторое начало отсчета — систему коор-
координат. При рациональном выборе системы координат часто удается
значительно упростить уравнения движения.
Различают инерциалъную и неинерциалъную системы координат.
Инерциальной называют такую систему координат, которая нахо-
находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного посту-
поступательного движения относительно «абсолютной» системы отсчета,
например, удаленных звезд, условно называемых неподвижными.
Всякая другая система координат является неинерциальной. Заме-
Заметим, что часто при решении задач механики некоторые неинерци-
альные системы координат оказывается возможным рассматривать
в качестве инерциальных. При этом допускается несущественная
для данной задачи погрешность, но зато удается значительно упро-
упростить задачу в целом.
Уравнения движения в инерциальной системе координат имеют
наиболее простой вид и записываются на основе второго закона
Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно дейст-
действующей силе.
2.1.1. Абсолютное движение и относительное движение. Рассмот-
Рассмотрим движение материальных точек М и т в некоторой инерциаль-
инерциальной системе координат. Единственной силой, под действием которой
совершается движение, является сила притяжения. Для материаль-
материальной точки т эта сила определяется формулой A.1.1):
Здесь г° — единичный вектор, направленный от М к т, г—от-
г—относительное расстояние. Сила, действующая на материальную
точку М, равна по величине |F|, но направлена в противополож-
противоположную сторону.

32 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Запишем на основе второго закона Ньютона уравнения абсолют-
абсолютного движения материальных точек с массами т и М:
J 2 dt2 г2
^V B.1.1)
т л,
dt2 J r2 dt
или
dt2 r2 dt*
где pi — радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной систе-
системы координат в точку т, а рг — радиус-вектор, проведенный из на-
начала инерциальной системы координат в точку М. Понятно, что
B.1.2)
где г = гг°.
Вычитая из лервого уравнения B.1.1) второе, получим с учетом
B.1.2) уравнение движения материальной точки т относительно
притягивающего центра М:
B.1.3)
at г
ИЛИ
А- = --^Л B.1.4)
dt2 г2 V '
если обозначить
i B.1.5)
— произведение постоянной притяжения на сумму масс взаимно
притягивающихся материальных точек.
Уравнение B.1.4) является основным в задаче двух тел. В ко-
координатной форме оно эквивалентно трем уравнениям второго
порядка
dt2 - г3 *' dt2 ~~ г3 у> dt2 ~ г3 *' (Z-1<b)
где г = Уд:2 + у2 + z2.
2.1.2. Движение непритягивающего спутника. Во многих задачах
небесной механики т < М и оказывается возможным пренебречь
ускорением, которое спутник т сообщает притягивающему центру
М. В результате придем к ограниченной задаче двух тел (или зада-
задаче о непритягивающем спутнике). Тогда можно совместить начало
инерциальной системы координат с притягивающим центром М
(pi = г, р2 = 0) и записать уравнение относительного движения
спутника в следующем виде:
d\ , Mm n

§ 2 2 ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
33
или
где
dt
- JLro
2 2 * »
B.1.7)
B.1.8)
— произведение постоянной притяжения на массу притягивающего
центра.
Из сравнения уравнений B.1.4) и B.1.7) следует, что притяги-
притягивающий спутник с массой т движется относительно притягивающе-
притягивающего центра с массой М так, как двигался бы непритягивающий
Таблица 2.2
Характеристики тел Солнечной системы [1]
Небесное тело
Солнце
Меркурий
Венера
Земля
Луна
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Гравитационный па-
параметр Ц, КМ3/С2
132,712438-109
22032
324858,8
398600,5
4902,79
42828,29
126712000
37934100
5803160
6871308
44238
Экваториальный
радиус, км
696000
2439
6052
6378,14
1738
3397,2
71398
60000
25400
24300
2500
Ускорение силы притя-
притяжения на экваторе,
отнесенное к g
27,96
0,38
0,91
1,0
0,166
0,38
2,54
1,08
0,92
1,19
0,72
спутник вокруг притягивающего центра с массой М + т. Если, как
предполагалось, m<ZL M, то можно принять [X* ~ \i. Значения \i для
различных тел Солнечной системы приведены в табл. 2.2 [1].
§ 2.2. Интегралы уравнений движения
Движение спутника относительно притягивающего центра опи-
описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка
B.1.6). Общий интеграл этой системы есть совокупность шести не-
независимых между собою первых интегралов. Вычислим первые ин-
интегралы системы B.1.6).
2.2.1. Интеграл энергии. Умножим скалярно векторное уравне-
уравнение движения B.1.7) на 2г, где г = V — скорость движения, точ-
точкой сверху обозначена производная по времени. С учетом равенства
г° = г/г получим
2rr = —
rr.

34 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
ИЛИ
12
d(r2) р d(r2)
dt r3 dt '
Ho r2 = V2 = V2 и г2 = г2; поэтому можно записать
d(v2) fi d(r2)
а затем
d(v2) _1/2ц
d* ^ \ г
Отсюда следует интеграл энергии
V*-*}L = h. B.2.1)
Здесь /i — постоянная интеграла энергии, равная удвоенной величи-
величине полной энергии единицы массы спутника. Первое слагаемое в
B.2.1)—это удвоенная кинетическая энергия единицы массы спут-
спутника, а второе слагаемое — удвоенная потенциальная энергия еди-
единицы массы спутника. Из интеграла энергии следует, что полная
энергия в задаче двух тел есть величина постоянная. Расстояние
спутника от притягивающего центра ограничено, если h < 0, и мо-
может увеличиваться неограниченно, если h ^ 0. Действительно, пред-
предположим, что спутник может неограниченно удаляться от притяги-
притягивающего центра, т. е. г -*¦ °°, V -*¦ Уте. Тогда из интеграла энергии
B.2.1) получим в пределе
Vl = h. B.2.2)
Это условие имеет смысл только при h ^ 0, так как слева стоит
квадрат скорости на бесконечности. В рассматриваемом случае фи-
физический смысл постоянной интеграла энергии определяется услови-
условием B.2.2). Если же h < 0, то исходное предположение о возможно-
возможности неограниченного удаления спутника от притягивающего центра
оказывается неверным.
Из интеграла энергии следует, что при удалении спутника от
притягивающего центра его скорость уменьшается, а в случае при-
приближения^- увеличивается. В этом проявляется гравитационное
действие притягивающего центра.
2.2.2. Интеграл площадей. Умножим теперь уравнение движения
B.1.7) векторно на г = V, полагая сначала, что г X V Ф 0, т. е.
векторы г и V неколлинеарны. Тогда
^ B.2.3)

§ 2.2. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 35
По определению векторного произведения г X г = 0. Вычислим
далее
^ B.2.4)
С учетом этого соотношения можно представить B.2.3) в виде
4(i*Xr) = 0, или JL
Отсюда найдем векторный интеграл площадей
г X V = С, B.2.5У
который эквивалентен трем скалярным интегралам
yVz-zVy = Cx, zVx-xVz = Cy, xVy-yVx = Cz. B.2.6)
Здесь r=(s, у, z), \ =(VX, Vy, Vz), C = (C«, Cy, Cz); проекции век-
векторов рассматриваются в системе координат, начало которой совпа-
совпадает с притягивающим центром, а оси имеют постоянную ориента-
ориентацию в пространстве.
Если умножить уравнение B.2.5) скалярно на г, то получим
г-С = 0. B.2.7)
Отсюда следует, что вектор г всегда находится в плоскости, про-
проходящей через центр притяжения и определяемой нормальным к
ней вектором С. Эта плоскость, т. е. плоскость движения спутника,
называется неизменяемой плоскостью Лапласа. Чтобы получить
уравнение плоскости движения спутника в координатной форме,
умножим уравнения B.2.6) соответственно на х, у, z и сложим.
Тогда получим
С*х + Суу + Czz = 0. B.2.8)
Постоянный вектор С можно определить с помощью векторов г
и V, заданных в любой момент времени. Например, если эти векто-
векторы заданы в начальный момент времени, то
С = г0 X Vo. B.2.9)
Вектор С можно также определить, задав его величину С и три
угла а, [}, y> образуемые этим вектором с координатными осями.
Поскольку
cos2 a + cos2 C + cos2 ^ = 1,
то лишь два угла являются линейно независимыми. Можно вообще
задавать два любых независимых угла, связанных с вектором С.
Обычно в небесной механике рассматривают угол i между плос-
плоскостью Лапласа и основной координатной плоскостью (например,
3*

36
ГЛ 2 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
плоскостью экватора) и угол Q — долготу восходящего узла, отсчи-
отсчитываемую от условного нулевого направления (например, на точку
весеннего равноденствия) до линии пересечения плоскости движе-
движения спутника с плоскостью экватора (рис. 2.1). Эта линия пересе-
пересечения плоскостей является линией узлов. Восходящим узлом назы-
называют точку пересечения траектории спутника с плоскостью эквато-
экватора при переходе из южного полушария в северное. В нисходящем
узле спутник переходит из северного полушария в южное. С по-
помощью углов i и Q запишем составляющие вектора С в экватори-
экваториальной прямоугольной декартовой системе координат, ось Ох кото-
которой направлена в точку весеннего равноденствия, ось Оу лежит
в экваториальной (или основ-
основной координатной) плоскости,
а ось Oz дополняет систему
координат до правой:
СХ = С sin i sin Q,
Cv = —С sin i cos Q,
Cz = Ccosi. B.2.10)
Установим физический смысл
интеграла площадей. По опре-
определению модуля векторного
произведения имеем
Плоскость орбиты
Плоскость
. экватора
Восходящий
узел
Рис. 2.1. Ориентация плоскости орбиты
rV cos 0 = С, B.2.11)
где 0 — угол наклона траектории, т. е. угол между вектором скоро-
/ я
сти и нормалью к радиусу-вектору 0 + -« угол между г и V).
\ ^
Обозначим далее
Vn = Vcos0; B.2.12)
тогда
или в полярных координатах
= С,
B.2.13)
B.2.14)
где Ф — полярный угол, отсчитываемый от некоторого направления.
Последнее соотношение допускает простое истолкование интегра-
интеграла площадей. В самом деле, пусть спутник в момент t занимает по-
положение Mi, а в момент t + kt—положение М2 (рис. 2.2). За вре-
время At радиус-вектор спутника «заметает» площадь, которую с точ-
точностью до малых первого порядка относительно Aft можно вычис-
вычислить по формуле
AS = -j r2
B.2.15)

§ 2 2 ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 37
Разделив обе части этого равенства на Д? и переходя к пределу при
Д? -> 0, получим
— = —r2u. (Z.ZAo)
Здесь dS/dt — секториалъная скорость спутника относительно при-
притягивающего центра. С учетом соотношения B.2.14) можно
записать M9(t+At)
Отсюда следует, что секториальная
скорость спутника постоянна, а вели-
величина интеграла площадей численно
равно удвоенной секториальной ско-
скорости.
Если за время от to ДО t спутник рис. 2.2. «Заметаемая» пло-
проходит путь от точки Мо до точки М щадь
и заметает площадь S, то, интегрируя
уравнение B.2.17) в пределах указанного промежутка времени,
получим соотношение
S=-|(t-g, B.2.18)
которое выражает второй закон Кеплера:
Площадь, заметаемая радиусом-вектором спутника, пропорцио-
пропорциональна времени, в течение которого она заметена, или за равные
промежутки времени радиус-вектор спутника заметает равные
площади.
Из интеграла площадей, записанного с помощью полярных коор-
координат B.2.14), следует, что угловая скорость спутника увеличива-
увеличивается по мере приближения к притягивающему центру и уменьшает-
уменьшается при удалении от него. Эта закономерность использована в систе-
системе телевизионной связи «Орбита», включающей приемо-передающие
станции на территории Советского Союза и спутники связи типа
«Молния». Спутники выводятся на траекторию, у которой самая
близкая к поверхности Земли точка находится в южном полушарии
на высоте около 500 км, а наиболее удаленная точка находится в
северном полушарии на высоте около 40500 км, плоскость орбиты
наклонена к экватору под углом ~63°. Поэтому спутники медленно
перемещаются по небесной сфере в северном полушарии, что уве-
увеличивает располагаемое для связи время и одновременно улучшает
условия работы поворотных антенн наземных станций, отслежива-
отслеживающих движение спутника.
При выводе интеграла площадей B.2.5) предполагалось, что
векторы г и V неколлинеарны. Пусть теперь они будут коллинеар-
ными, т. о. г X V = 0. Легко показать, что в этом случае спутник

38 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
движется прямолинейно вдоль радиуса-вектора и понятие плоско-
плоскости двишенжя теряет смысл.
2.2.3. Интеграл Лапласа. Перемножим векторно уравнение дви-
движения B.1.7) и интеграл площадей B.2.5):
*rXC=-JLrX(rxV). B.2.19)
Преобразуем сначала левую часть равенства B.2.19) с учетом
г = V и С = const:
B.2.20)
а затем правую часть с помощью известного тождества для двойно-
двойного векторного произведения и соотношений г2 = г2, г • г = гг:
Приравняв соотношения B.2.20) и B.2.21), получим
ИЛИ
откуда следует векторный интеграл Лапласа
-^iy = f. B.2.22)
Если спроектировать равенство B.2.22) на оси некоторой систе-
системы координат, то дополнительно к четырем первым интегралам дви-
движения B.2.1) и B.2.6) получим еще три. Установим связь между
некоторыми интегралами движения. Предварительно заметим, что
обе составляющие вектора Лапласа (VxC и —ja —) лежат в
плоскости движения спутника. Следовательно, и сам вектор Лапла-
Лапласа всегда лежит в плоскости движения. Имеем
ЬС = 0, B.2.23)
или
fxCx + fyCv + fzCz = O, B.2.24)
где f =(/*, fy, fz). Условие B.2.24) является первым соотношением
связи между интегралами. Для установления второго условия связи

§ 2 2 ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 39
рассмотрим скалярное произведение
f .f = f =
Здесь
(V X СJ = IV X C|2 ={VCJ = V2C2,
так как V -L С, и
Тогда
или
f = \i2 + C
Отсюда с учетом B.2.1) получим окончательно второе условие
связи
/2 = ^2 + c2h. B.2.25)
Таким образом, из семи первых интегралов уравнений движения
независимыми являются только пять, а следовательно, полученные
семь интегралов не образуют общего интеграла уравнений
движения.
Покажем один из возможных способов вычисления последнего,
шестого интеграла системы B.1.6). Из семи найденных интегралов
B.2.1), B.2.6), B.2.22), а также условий связи B.2.24), B.2.25)
можно выразить любые пять параметров движения через шестой и
постоянные интегрирования h, Сх, Су, Cz, fx, /„, fz. Предположим,
что в качестве такого параметра движения взята координата х,
тогда
а = СЬ, (т h Г Г Г i i f\
У Ч=/Н'*') lL1 ^Х, \sy, W) Уж, Jy, jz)i
z = Ф^ух, h, Сх, Су, Cz, fx, jy, /z),
x = Фъ(х, h, Сх, Су, Cz, fx, fy, /,), B.2.26)
У == ®4(^, П, Сх, Су, Сг, /ж, Jy, /г),
Z 4/5^, "", уух, Ууу, y^zi Jx, Jy, Iz)'
* dx
Здесь х = -Tj-, и легко видеть, что третье уравнение системы B.2.26)
интегрируется в квадратурах методом разделения переменных х и t:
> (х, h, Cx,CX,C,f ,f , fz) = f + K* B-2'27)
где К — шестая произвольная постоянная. Отсюда в принципе мож-
можно определить координату х как функцию времени t. После подста-
подстановки найденного выражения для х в систему B.2.26) получим

40 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
шесть соотношений для параметров движения, определяющих их
зависимость от времени и шести произвольных постоянных:
г — W,(t h Г С С f f f К\
y = W2(t,h,Cx,Cy,Cz,fx,fy,fz,K),
z = ?3(*, Л, C«, Си С„ U fy, /«, K),
X = 14A, ft, Car, Ly, Сг, /зс, /г/, /z5 -Л),
z=We(t,h,Cx,Cy,Cz,fx,fy,fz,K).
Уравнения B.2.28) составляют общий интеграл уравнений дви-
движения B.1.6). Напомним, что из восьми постоянных интегрирова-
интегрирования h, Сх, Су, Cz, fx, fy, fz, К лишь шесть являются независимыми в
силу соотношений B.2.24), B.2.25).
Таким образом, показано существование общего решения в зада-
задаче двух тел. Произвольные постоянные задачи определяются из на-
начальных условий, что, вообще говоря, является довольно сложной
процедурой, которая в буквенном виде не разрешается. Поэтому
обычно общее решение ищется в другой форме, где в качестве неза-
независимой переменной используется не время движения, а полярный
угол "&.
2.2.4. Уравнение орбиты. Согласно условию B.2.8) движение
спутника происходит в неизменяемой плоскости, т. е. траектория
представляет собой плоскую кривую, которую называют орбитой
спутника. Для получения уравнения орбиты используем вектор
Лапласа. Предварительно найдем скалярное произведение f на г:
f -г = (VxC)-r - -Н .г = C-(rXV) — \ir = С2 — рг.
Но по определению скалярного произведения
i • v = fr cos "&,
где ft — угол между векторами f иг, тогда
fr cos О = С2 — \ir
и
откуда
С2
jx -\- f cos Ь
Вводя обозначения
2
р = — B.2.29)
и

§ 2 3. СКОРОСТЬ СПУТНИКА 41
получим окончательно уравнение орбиты спутника в полярных
координатах
г = -т—^—^.. B.2.31)
1 + е cos О
Здесь р — параметр орбиты, определяющий ее линейные размеры,
а е — эксцентриситет орбиты, характеризующий ее форму.
С другой стороны, соотношение B.2.31) представляет собой
уравнение конического сечения в полярных координатах с полюсом
в фокусе. Это коническое сечение симметрично относительно векто-
вектора Лапласа, а полярный угол Ь, который называют истинной ано-
аномалией, определяет поворот текущего радиуса-вектора относительно
оси симметрии. Полученный результат отражает первый закон
Кеплера:
Движение спутника относительно притягивающего центра всегда
совершается по коническому сечению (по эллипсу, окружности, ги-
гиперболе, параболе или прямой), в одном из фокусов которого нахо-
находится притягивающий центр.
Главная, или фокальная, ось орбиты, совпадающая с направле-
направлением вектора Лапласа, называется в астрономии линией апсид.
Точки пересечения этой линии с орбитой называют апсидалъными,
или просто апсидами. Апсиды совпадают с вершинами конического
сечения и имеют специальные названия. В общем случае ближай-
ближайшую к притягивающему центру апсиду называют перицентром,
а наиболее удаленную — апоцентром. Заметим, что перицентр су-
существует для любых орбит, а апоцентр — только для замкнутой.
В зависимости от притягивающего центра апсиды имеют свои соб-
собственные названия. Например, для Земли это перигей и апогей, для
Луны — периселений и апоселений, для Солнца — перигелий и афе-
афелий и т. д.
Преобразуем теперь формулу B.2.30) для эксцентриситета ор-
орбиты с учетом уравнения связи B.2.25):
-/
h^~. B.2.32)
г
Из соотношений B.2.29) и B.2.32) следует, что по заданным
величинам произведения постоянной тяготения на массу централь-
центрального тела ([i), постоянной интеграла энергии (h) и постоянной
интеграла площадей (С) можно вычислить параметр орбиты и ее
эксцентриситет, т. е. задать форму и размеры орбиты в ее плоскости.
§ 2.3. Скорость спутника
В зависимости от формы и размеров орбиты, а также положе-
положения спутника на орбите его скорость может меняться в достаточно
широком диапазоне. Наряду с расстоянием до притягивающего
центра скорость спутника является одним из основных параметров

42
ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
движения. Разложим вектор скорости на две составляющие. Будем
считать, что одна составляющая (Уг) направлена по радиусу-век-
У тору, а вторая (У„)—по нормали к
" г радиусу-вектору в сторону движе-
у/^ х ния (рис. 2.3). Тогда
V = yrr°+yn< B.3.1)
где г°, п° — соответствующие единич-
единичные векторы. Составляющую Уг на-
называют радиальной, а составляющую
У„ — трансверсальнои.
2.3.1. Составляющие вектора ско-
скорости. Установим зависимость со-
Рис. 2.3. Составляющие скорости ставляющих скорости Уг и Vn от
спутника параметра р и эксцентриситета е ор-
орбиты, а также истинной аномалии "д.
Сначала рассмотрим радиальную составляющую скорости
тг dr dr d& /п о п\
Vr = — == —тг . B.3.2)
Lilt Lb\J tiv
Дифференцируя уравнение орбиты B.2.31) по истинной аномалии,
получим
dr _ ре sin О _ г2 е sin О
Далее, из уравнения B.2.14) и соотношения B.2.29) найдем
d® ^ С = V\ip
и окончательно
B.3.3)
B.3.4)
Для трансверсальнои составляющей скорости имеем
п = Г1Г'
Подставляя сюда производную B.3.4), получим
B.3.5)
B.3.6)
B.3.7)
Полная скорость спутника
У =
VI,
или
V = Y~
+ 2ecosd + е2.
B.3.8)
Из этой формулы следует, что полная скорость спутника на за-
заданной орбите изменяется в фиксированных пределах. Максималь-

§ 2 3 СКОРОСТЬ СПУТНИКА 43
ная скорость достигается в перицентре орбиты (-& = 0)
(l + e), B.3.9)
а минимальная скорость — в апоцентре орбиты (ft = Jt, если апо-
апоцентр данной орбиты существует)
Vmin = Va=y^(l-e). B.3.10)
Вычислим с помощью уравнения орбиты B.2.31) расстояния от
притягивающего центра до спутника в перицентре
rm,n = rn = T^7 B.3.11)
и в апоцентре
J- B.3.12)
Как следует из формулы B.3.5), в перицентре и апоцентре ор-
орбиты радиальная составляющая скорости обращается в нуль. С по-
помощью формул B.3.9) — B.3.12) можно установить связь между
величинами скоростей и радиусами апсидальных точек
или
Vn7n = y«ra. B.3.13)
Это соотношение по своей форме напоминает «правило рычага» из
задачи равновесия моментов сил (вместо сил здесь фигурируют
скорости Fn и Fa). По существу B.3.13) отражает равенство секто-
риальной скорости в перицентре и апоцентре.
2.3.2. Связь скорости с типом орбиты. С помощью формулы
B.2.32), определяющей эксцентриситет орбиты через постоянную
интеграла энергии, установим зависимость типа орбиты от скорости
движения. Как было показано в п. 2.2.1, для замкнутых орбит
h < 0. Следовательно, в этом случае по формуле B.2.32) имеем
0=^е<1. Такие орбиты называют эллиптическими. Из интеграла
энергии B.2.1) видно, что в любой точке эллиптической орбиты
выполняется неравенство
ya<ljL. B.3.14)
В частном случае, когда е = О, движение происходит по круго-
круговой орбите. Согласно уравнению орбиты B.2.31) при е = 0 имеем
г = р = гкр, где гкр — радиус круговой орбиты. Для этого случая по
формуле B.3.8) можно установить, что
Г ЧГ, B.3.15)

44 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
т. е. скорость движения равна круговой скорости, соответствующей
данному радиусу орбиты. Скорость B.3.15) на поверхности плане-
планеты (гкр=Д) иногда называют первой космической. В сочетании с
величиной радиуса круговой орбиты скорость B.3.15) характеризу-
характеризует вполне определенный уровень полной энергии спутника, необхо-
необходимой для движения по круговой орбите.
Космический аппарат (КА) может неограниченно удаляться от
притягивающего центра, если h > 0. При выполнении строгого ра-
равенства (h = 0) скорость на бесконечности Утс = 0. Такую орбиту
называют параболической (е = 1), для нее скорость определяется
формулой
/Ж B.3.16)
Параболическая скорость B.3.16) на поверхности планеты (r = R)
иногда называют второй космической. Это — минимальная скорость,
которую необходимо сообщить КА, чтобы он неограниченно удалил-
удалился от притягивающего центра. Из сравнения круговой скорости
движения B.3.15) с параболической B.3.16) видно, что
Fnap = 12VKV. B.3.17)
Если h>0, то е>1, и_орбита является гиперболической. Для
такой орбиты на основе интеграла энергии B.2.1) и соотношения
B.2.2) можно записать
у2 (г\ _ in — у2
или
Уг(г) = ПаР(г) + П, B.3.18)
Следовательно, квадрат местной (на данном расстоянии г) гипер-
гиперболической скорости равен сумме квадратов местной параболиче-
параболической скорости и скорости на бесконечности. Второе слагаемое (У«>)
с учетом B.3.18) иногда называют гиперболическим избытком
скорости.
2.3.3. Примеры круговых скоростей и периодов обращения спут-
спутников. Величина круговой скорости B.3.15) зависит только от па-
параметра \i — произведения постоянной тяготения на массу притя-
притягивающего тела и радиуса орбиты гкр. Для некоторых тел Солнеч-
Солнечной системы в табл. 2.3 приведены величины круговых скоростей
как функции высоты орбиты
Якр = гкр-Л, B.3.19)
где R — радиус небесного тела. Величины \х и R соответствуют
табл. 2.2.

§ 2 3. СКОРОСТЬ СПУТНИКА
45
Зная круговую скорость и радиус орбиты, можно посчитать пе-
период обращения спутника Т, т. е. время между двумя последова-
последовательными прохождениями через одну и ту же точку орбиты.
Действительно, если угловая орбитальная скорость спутника на
круговой орбите
со
кр
то период обращения
— Хш> i /~ P
— т = I/ гз '
yi 2я
2я
¦— ' кр •
B.3.20)
B.3.21)
В табл. 2.3 приведены также периоды обращения спутников на
круговых орбитах. Из этих данных следует, что параметры движе-
Таблица 2.3
Орбитальные скорости (км/с) и периоды обращения (мин) спутников
на круговых экваториальных орбитах
Высота орбиты,
км
100
200
300
500
1000
10000
100000
кр
т
Fkp
т
Кр
Т
^кр
Т
Кр
Т
т
FKP
т
Небесное тело
Земля
7,844
86,5
7,784
88,5
7,726
90,5
7,613
94,6
7,350
105,1
4,933
347,7
1,936
5754,9
Луна
1,633
117,8
1,590
127,6
1,551
137,6
1,480
158,3
1,338
214,3
0,646
1901,9
0,219
48532
Марс
3,499
104,7
3,450
109,2
3,403
113,8
3,315
123,1
3,121
147,5
1,788
784,7
0,644
16824
Венера
7,267
88,7
7,208
90,8
7,151
93,0
7,041
97,4
6,787
108,8
4,499
373,7
1,750
6345,4
Юпитер
42,098
177,9
42,069
178,2
42,039
178,6
41,981
179,3
41,836
181,2
39,455
216,0
27,190
660,1
ния спутников Земли и Венеры близки. Такой результат объясня-
объясняется почти одинаковыми характеристиками гравитационных полей
указанных планет.

46 ГЛ 2 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
§ 2.4. Характеристики орбит
Невозмущенное движение спутника в центральном поле притя-
притяжения часто называют кеплеровским движением. Согласно первому
закону Кеплера орбита представляет собой кривую второго порядка,
в одном из фокусов которой находится притягивающий центр. Фор-
Форма и размеры орбиты, определяющие ее тип, зависят от начальных
условий движения. Пусть в начальный момент заданы скорость Vo
и радиус-вектор спутника го. Найдем единичную нормаль к пло-
плоскости движения, фиксирующую эту плоскость,
Теперь будем рассматривать орбиту, лежащую в зафиксированной
плоскости. Начальный угол наклона траектории (т. е. угол между
вектором скорости и местным горизонтом в начальной точке) оп-
определяется по формуле
f^. B.4.2)
о о
Зная теперь величины У о, го, 0О, можно с помощью B.2.11) и
B.2.29) вычислить параметр орбиты
^!4=roVoCOs20o5 B43)
где
vo = roySAi=y2o/y?p(ro) B.4.4)
— безразмерный параметр, характеризующий уровень кинетической
энергии спутника. Затем с помощью интеграла энергии B.2.1) и
формулы B.2.32) определим эксцентриситет орбиты
е _ y^l + {vl-^)^& _ /1 + (v.-2)v.co,'9..
B.4.5)
При vo = 1 начальная скорость равна местной круговой, т. е. со-
соответствующей величине начального радиуса. В этом случае по
формуле B.4.5) имеем е= I sin Э01. Если одновременно выполняются
условия vo = 1 и Во = 0, то орбита является круговой, если же vo =
= 1, но 0о^О, то орбита оказывается эллиптической. При vo = 2
начальная скорость равна местной параболической, а е = 1. Спут-
Спутник движется по параболической орбите, а величина 0о при этом
не имеет существенного значения. При vo>2 (е>1) скорость
спутника превышает параболическую, и он движется по гипербо-
гиперболической орбите.
Как видно из общего уравнения орбиты произвольного типа
B.2.31), параметр орбиты равен величине радиуса-вектора спутни-

2 4 ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ
47
ка при значении истинной аномалии ft = 90°, т. е.
Г |0=90° = Р-
Самыми распространенными типами орбит являются эллиптиче-
эллиптическая и гиперболическая.
2.4.1. Эллиптическая орбита. Наиболее часто встречаются орби-
орбиты эллиптического типа (h < 0, 0<е<1). Как известно, эллипс
представляет собой геометрическое место точек, для которых сумма
расстояний от двух заданных точек
(фокусов) есть величина постоян-
постоянная. В одном из фокусов эллипса
находится притягивающий центр, а
второй фокус оказывается «пустым».
Основными параметрами эллиптиче-
эллиптической орбиты (рис. 2.4) являются
большая полуось
м
а =
B.4.6) Рис. 2 4. Эллиптическая орбита
определяющая среднее расстояние до притягивающего центра, и ма-
малая полуось Ъ. Фокусное расстояние с называют еще линейным
эксцентриситетом.
Подставим радиусы перицентра B.3.11) и апоцентра B.3.12)
в B.4.6), тогда
а = —^ B.4.7)
р = аA-е2).
Найдем теперь
с = OFX = ОП — FH = a — гп = а — т
или с учетом B.4.8)
B.4.8)
а
= ае.
Отсюда
с
е = —.
а
B.4.9)
'B.4.10)
Из геометрических построений ясно, что сумма расстояний от
любой точки эллипса до его фокусов равна 2а. Поэтому BFi = а
(см. рис. 2.4) и
Ъ = Ya2 — с2 = а У1 — ег = YaP —
B.4.11)

48 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Иногда в качестве исходных параметров орбиты удобнее ис-
использовать радиусы перицентра гп и апоцентра га. Согласно форму-
формулам B.3.11) и B.3.12)
l + e = -f, l-e = -f. B.4.12)
гп 'а
Отсюда
пга /о / л о\
Р = г ¦ г B.4.13)
г
Ч
Далее с учетом B.4.12) преобразуем соотношения B.3.9) и
B.3.10) для скорости спутника в перицентре и апоцентре:
B.4.15)
B.4.16)
Установим связь между большой полуосью а и постоянной ин-
интеграла энергии h. С этой целью запишем интеграл энергии для
спутника, находящегося в перицентре орбиты:
VI - -^ = h.
Здесь
'п
г п /_ 4- г \
гп 1гп ^ 'а;
И
поэтому
^М»Г Oil О it II
fe= гп(гп + га\~7^= Гд + га = ~ V' B-4.17)
а интеграл энергии принимает вид
Воспользуемся уравнением B.4.18) для определения скорости
спутника в точке, соответствующей концу малой полуоси (точка В
на рис. 2.4). В этой точке г = а и V2 = \i!a = Укр(я), т. е. скорость
спутника равна местной круговой скорости.

§ 2 4 ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ
49
2.4.2. Гиперболическая орбита. Среди возможных незамкнутых
орбит наиболее часто встречаются орбиты гиперболического типа
(h>0, е>1). Гипербола — это геометрическое место точек, для
каждой из которых разность расстояний до двух заданных точек
(фокусов) есть величина постоянная. Из геометрических построе-
построений ясно, что эта разность равна 2а,
где а — действительная полуось гипер-
гиперболы. В самом деле, пусть спутник на-
находится в перицентре орбиты (точка П
на рис. 2.5). Тогда разность расстояний
спутника до фокусов есть
- IIF, = 1№ - № = П А = 2а,
так как UFi = AF2 из условия сим-
симметрии.
Движение спутника всегда происхо-
происходит по той веиви гиперболы, в фокусе
которой находится притягивающий
центр. Значение истинной аномалии,
при котором расстояние спутника до Рис 2.5. Гиперболическая ор-
притягивающего центра неограниченно бита
увеличивается (г -*¦ °°) (а знамена-
знаменатель в уравнении орбиты B.2.31) обращается в нуль), называется
предельным (^пред). По определению
^пред = arccos I 1. B.4.19)
\ e) v '
При движении по гиперболической траектории истинная анома-
аномалия может меняться в диапазоне
|-в«1 <эт —-в>0, B.4.20)
где cos Oo = 1/е. Для гиперболической орбиты полный угол разво-
разворота равен углу между асимптотами, т. е.
#полн = 2#пред - П. B.4.21)
Установим некоторые геометрические соотношения для гипербо-
гиперболической орбиты. Радиус перицентра гп определяется уравнением
орбиты B.2.31) приФ=0:
гп = т^_. B.4.22)
Но из построений на рис. 2.5 видно, что
= с — а = а(е— 1).
р
Отсюда
а =
B.4.23)
B.4.24)

50 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Согласно B.4.23) имеем также
е=1 + Х B.4.25)
По построению ОН = а, с другой стороны,
ОП = OD cos (я — #пред) = -^-
(см. рис. 2.5). Отсюда
ae = c B.4.26)
и
OD = OFi.
Найдем теперь
2 2 22
но из прямоугольного треугольника DUO
{ODJ = a2+b2,
следовательно, эксцентриситет
BА27>
и мнимая полуось гиперболической орбиты
-\. B.4.28)
Из соотношений B.4.24) и B.4.27) получим
Р = «(е2-1)=-^-. B.4.29)
Введем теперь понятие прицельной дальности [47]. Когда О «
« ±ОПред, направление движения спутника практически совпадает
с асимптотой гиперболы. Предположим теперь, что спутник дви-
движется к притягивающему центру на достаточно большом расстоя-
расстоянии (О « — Опред). Если бы в этот момент сила притяжения исчез-
исчезла, то спутник, продолжая двигаться по асимптоте гиперболы, про-
пролетел бы на расстоянии F\N от точки F\ (рис. 2.5). Расстояние
F\N называют прицельной дальностью. Вычислим прицельную
дальность. С этой целью рассмотрим прямоугольные треугольники
OUD и ONF\. Согласно B.4.26) у них одинаковые гипотенузы
(OD = OF\ = с), а в силу симметрии асимптот гиперболы равны
острые углы (^-UOD = Z-NOF\ = n — Опред). Следовательно, указан-
указанные треугольники равны и
F{N = DU = b, B.4.30)
т. е. прицельная дальность равна мнимой полуоси гиперболы. По-
Полученный результат позволяет выразить величину интеграла пло-
площадей B.2.11) через параметры движения в бесконечно удаленной

§ 2.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ 51
точке (скорость Ум и перпендикулярное к ней плечо FiN = b):
C = bVoa. B.4.31)
С помощью этого соотношения можно установить физический
смысл действительной полуоси гиперболической орбиты. В самом
деле,
р = — = -. B.4.32)
Приравняв правые части B.4.29) и B.4.32), получим
* = ?-. B-4.33)
' оо
Оценим величину полного угла поворота траектории спутника
при полете мимо притягивающего центра. Из соотношений B.4.19)
и B.4.21) имеем
S1I1 COS Г —.
Далее, по формулам B.4.25) и B.4.33) найдем
— = 1
1+ I*
поэтому
„•^ полн 1 /о / о/\
sin -1—= _—. B.4.34)
п °°
Радиус перицентра орбиты не может быть меньше радиуса цент-
центрального тела, т. е. гп > R. Отсюда
sin^i<:— i
где \i/R = У|р (R) — круговая скорость на поверхности централь-
центрального тела. Окончательно получим следующую оценку для полного
угла поворота при ближнем облете центрального тела
sin ^ < ^-1 W B-4.35)
1 +
По формуле B.3.18) вычислим соответствующую этому предель-
предельному маневру величину скорости в перицентре, отнесенную к мест-
4*

52
ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
пои круговой скорости:
кр
Формула B.4.35) справедлива для любого небесного тела, по-
поскольку полный угол поворота зависит только от отношения скоро-
скорости на бесконечности к круговой скорости на поверхности централь-
центрального тела. Если У» -»-i 0, то
"полн,
град
150
100
Vn(R)
Фполн -»¦ 180°. Предельный слу-
случай (Ум = 0) соответствует об-
облету центрального тела по па-
параболической траектории с из-
изменением направления дви-
движения на противоположное
(Фполн = 180°). При неограни-
неограниченном возрастании скорости на
бесконечности (У» -»¦ °°) пол-
полный угол поворота уменьшает-
уменьшается до нуля, т. е. траектория
остается практически прямоли-
прямолинейной. На рис. 2.6 показано
изменение предельного угла по-
поворота Опред и относительной
скорости в перицентре Уп/УкР (R)
в зависимости от величины
Обсудим также некоторые
другие понятия, связанные с
Рис. 2.6. Характеристики предельного гиперболическими орбитами,
маневра при движении по гиперболиче- Величину 8 = F\QJF\N (см.
ской орбите рИС> 2.5) называют поджатием
орбиты под действием притя-
притяжения центрального тела. Здесь F\N = 6, а из прямоугольного тре-
треугольника OF\N следует, что
где Fx
Отсюда
— yj» так как
0.
b = aecos^!, — = ecos'6'1.
Согласно уравнению орбиты B.2.31) и соотношению B.4.29)
F о ^_ Р — ъ
lV 1 + е cos Ох а A + е cos Ox)

§ 2.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ
53
тогда поджатие орбиты
8 =
a(i -\-e cos О Л
B.4.37)
Будем называть эффективным радиусом (-йЭф) центрального тела
величину прицельной дальности, при которой центральное тело до-
достигается, т. е. гиперболическая орбита либо попадает в него, либо
хотя бы касается. Сначала рассмотрим попадание в переднюю полу-
полусферу, которая выделяется так называемой картинной плоскостью,
проходящей через центр тела перпендикулярно к VM (рис. 2.7, а).
След „
картинной
плоскости
Рис. 2.7. Эффективный и полный эффективный радиусы центрального тела
В этом случае FiN = Ъ — Лэф и F\Q = R, отсюда е == ЯШЭф. Но для
поджатия справедлива общая формула B.4.37), что позволяет за-
записать равенство
Я 1
1-
a
T
b
~ R
затем
и после умножения обеих частей на bJR
Ъ \2 ь
~R) ~ ~R ~ IT = °*
Решая квадратное уравнение относительно -^-, найдем
R

54
ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
но а = ji/V^ и Ь = Дэф, поэтому
<2А38>
Формула B.4.38) позволяет вычислить отношение эффективно-
эффективного радиуса центрального тела к его истинному радиусу при условии
попадания траектории в переднюю полусферу. Если еще увеличи-
увеличивать прицельную дальность, точка попадания будет смещаться в
заднюю полусферу, а в предельном случае орбита только коснется
поверхности центрального тела. Этой орбите соответствует полный
эффективный радиус центрального тела ЩфЛН (рис. 2.7, б). Его
10
Рис. 2.8. Величины эффективного и
полного эффективного радиусов
центрального тела
Рис. 2.9. Соотношение полного эф-
эффективного и истинного радиусов
небесных тел: 1 — Юпитер; 2 — Зем-
Земля; 3— Венера; 4 — Марс; 5 — Луна
величину вычислим с помощью интеграла площадей, записанного
для бесконечно удаленной точки и для перицентра:
Из условия касания поверхности rn = R, поэтому b/R =
формуле B.3.18) вычислим
. Па

§ 2.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ
55
и окончательно найдем
Г?ПОЛН
R
На рис. 2.8 показано изменение эффективного и полного эффек-
эффективного радиусов центрального тела, отнесенных к его радиусу,
в зависимости от величины Укр(Л)/Уо0. Соотношение полного эф-
эффективного и истинного радиусов некоторых небесных тел показано
на рис. 2.9. Условие ДэфЛН># для задачи попадания эквивалент-
эквивалентно замене притягивающего центрального тела на непритягивающее,
но с увеличенным в несколько раз радиусом.
2.4.3. Параболическая орбита. Такая орбита встречается редко,
поскольку она требует выполнения строгого ограничения по скоро-
скорости: V = Vn&p(r)=y2\i/r. При малейшей ошибке по скорости в ту
пли иную сторону орбита становится либо эллиптической, либо ги-
гиперболической. Для параболы эксцентриситет е = 1, а она представ-
представляет собой геометрическое место точек, одинаково удаленных от фо-
фокуса и прямой, называемой директрисой (рис. 2.10). Уравнение
параболической орбиты
г = . , р .. B.4.40)
1 -\- cos О v '
Из геометрических построений ясно, что параметр орбиты р = гв/2.
Для параболической орбиты, граничной между эллиптическими
и гиперболическими орбитами, можно вычислить величину большой
полуоси, устремляя эксцентриситет е к 1
в формулах B.4.7) и B.4.24). Тогда по-
получим, что большая полуось параболиче-
параболической орбиты неограниченно велика.
2.4.4. Круговая орбита. Эта орбита
является частным случаем эллиптической
(е = 0). Чтобы спутник двигался по кру-
круговой орбите, его скорость должна рав-
равняться по величине местной круговой
скорости V = VKp(r)= lyjr и быть на-
направленной перпендикулярно радиусу-
вектору. Нарушение любого из двух ука-
указанных условий приводит к эллиптиче-
эллиптической орбите.
Уравнение круговой орбиты rKp = const,
а понятия перицентра и истинной ано-
аномалии теряют смысл, поскольку все точки круговой орбиты одина-
одинаково удалены от притягивающего центра. Поэтому вместо истинной
аномалии обычно рассматривают полярный угол, отсчет которого
ведут от некоторого фиксированного направления.
Директриса
Рис. 2.10. Параболиче-
Параболическая орбита

56
ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
В отличие от параболической орбиты, круговая орбита часто
используется в модельных задачах механики космического полета.
Это объясняется тем, что для задания круговой орбиты достаточно
одного параметра (радиуса орбиты или ее высоты над поверхностью
центрального тела).
§ 2.5. Связь времени с положением на орбите
Для определения закона орбитального движения спутника необ-
необходимо установить зависимость параметров движения от времени.
Расстояние спутника от притягивающего центра и его скорость
можно достаточно просто вычислить, если известна величина истин-
истинной аномалии. Поэтому необходимо связать истинную аномалию
с временем движения. Из интеграла площадей можно получить
dt = ~d®. ' B.5.1)
Проинтегрируем уравнение B.5.1) от точки орбиты, соответствую-
щей перицентру, где t = tn и
= 0, до некеторой произвольной точ-
точки, где спутник находится в мо-
момент времени t, а величина истин-
истинной аномалии при этом равна О.
Тогда
t — tn- —
B.5.2)
Но С "У lip и г = р/{1 + ecosti)
согласно B.2.29) и уравнению ор-
орбиты B.2.31); поэтому
Рис. 2 11. Связь между эксцентриче-
эксцентрической и истинной аномалиями
пЗ/2 С
f _ ? \
П ~ Л/и J
A + е cos О)
Т- B.5.3)
Интеграл B.5.3) зависит от знака эксцентриситета е, т. е. от типа
орбиты спутника.
2.5.1. Случай эллиптической орбиты. Для эллиптической орбиты
0<е<1. Чтобы вычислить интеграл B.5.3), необходимо перейти
к новой переменной, смысл которой поясним с помощью некоторых
геометрических построений. Пусть дана эллиптическая орбита с
центром О, фокусами F\ и F2, перицентром П и апоцентром А
(рис. 2.11). Точка М соответствует текущему положению спутника
в момент времени t. Построим окружность радиуса а с центром в
точке О и опустим перпендикуляр из точки М на линию апсид.
Продолжим этот перпендикуляр до пересечения с окружностью
(точка М'). Прямая ОМ' образует с направлением на перицентр

§ 2 5 СВЯЗЬ ВРЕМЕНИ С ПОЛОЖЕНИЕМ НА ОРБИТЕ 57
угол Е, который называют эксцентрической аномалией. Из геомет-
геометрических построений видно, что при изменении истинной аномалии
¦О от 0 до 360° эксцентрическая аномалия Е также изменяется от
О до 360°. Оба угла одновременно принимают значения 0, 180°
и 360°.
Установим связь между эксцентрической и истинной аномалия-
аномалиями. Из рис. 2.11 видно, что
ON + NFi = OFl = c = ae,
где
ON = a cos E, NF\ = —r cos О.
Поэтому
ae = a cos E — r cos О
и после подстановки г из уравнения орбиты B.2.31) получим
1 -f
Отсюда
а cos E — е
COS TT =
— -j- e — e cos E
a
но согласно B.4.7) p/a = 1 — e2, поэтому
cos ij = —. ?r • B.5.4^
1 — e cos E v '
Далее найдем
M'N = asinE, MN = r sin*.
На основании свойств эллипса и формулы B.4.11)
M'N a
ИЛИ
г sin О
a sin 2?
откуда
Подставим сюда г из уравнения орбиты, a cos О заменим соотноше-
соотношением B.5.4), тогда
ИЛИ
• а К 1—е Sin 2? /о с с\
sin * =-^—; ?7—. B.5.5)
1 — е cos ? ч '
Теперь вычислим
sin О 1^1 — е2 sin i?
cos О A — e) A + cos E) '

58 ГЛ 2 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
ИЛИ
Полученное уравнение B.5.6) устанавливает связь между экс-
эксцентрической и истинной аномалиями. Произведем теперь замену
переменной О на Е в интеграле B.5.3). Предварительно, дифферен-
дифференцируя соотношение B.5.5), найдем
cosE'~\dE
A-е cos EY
и, используя B.5.4), запишем
-е2
1 — е cos E
С учетом соотношений B.5.4) и B.5.7)
Е
dE. B.5.7)
или
О
Интегрируя, получим
1 / р \3/2
но согласно B.4.7) p/(l — e2) = а, поэтому окончательно
3/2
t —tn = -^(E —e sin E). B.5.8)
Введем теперь понятие средней аномалии
тогда соотношение B.5.8) можно преобразовать в уравнение Кеп-
Кеплера
E-esmE = M. B.5.9)
Пусть требуется вычислить время движения спутника между
двумя точками эллиптической орбиты, истинные аномалии которых
¦fh и Ог известны. Сначала по формуле B.5.6) определим эксцент-
эксцентрические аномалии Е\ и Еч, а затем, используя уравнение B.5.8),
вычислим время движения
о/о
t2 — t1 = ^j=^ [E2 — Ex — e (sin Е2 — sin EJ].

§25 СВЯЗЬ ВРЕМЕНИ С ПОЛОЖЕНИЕМ НА ОРБИТЕ
59
Если спутник совершает полный оборот по орбите (i?2 = i?i +
2л;), то полученная формула будет определять период обращения
аЗ/2
Т=2л^. B.5.10)
Отсюда видно, что период обращения на эллиптической орбите за-
зависит только от параметра \i — произведения постоянной тяготения
на массу притягивающего центра и величины большой полуоси а,
т. е. среднего расстояния спутника в орбитальном движении. Заме-
Заметим, что полученная ранее формула B.3.21) для периода обраще-
обращения на круговой орбите является частным случаем B.5.10) при
а = гкр.
Предположим, что Т\ и Гг — периоды обращения двух спутни-
спутников относительно одного и того же притягивающего центра и а\,
«2 — большие полуоси их эллиптических орбит. Тогда с помощью
формулы B.5.10) легко установить, что
B.5.11)
Это соотношение определяет третий закон Кеплера:
Квадраты периодов обращения двух спутников (с пренебрежимо
малыми массами) вокруг одного и того же притягивающего центра
относятся как кубы больших полуосей
их орбит.
2.5.2. Случай гиперболической орби-
орбиты. Для гиперболической орбиты е"> 1.
Как и в предыдущем случае, произве-
произведем замену переменной в подынте-
подынтегральном выражении B.5.3). Предва-
Предварительно заметим, что для гиперболы,
"у которой а = Ъ = 1, справедливы соот-
соотношения (рис. 2.12):
тт
~2 = Soiim, х = + ch И, y = shH
B.5.12)
(здесь знак абсциссы зависит от вы-
выбранной ветви гиперболы). Для левой
Рис. 2.12. К выводу уравнения
связи времени с положением
на гиперболической орбите
ветви произвольной гиперболы можно по аналогии с B.5.12) за-
записать
x = -achH, y = bshH = aT/e2-lshH. B.5.13)
Введем вспомогательную систему координат F^r] с началом в
притягивающем центре (рис. 2.12). Тогда

60 ГЛ 2 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
но, с другой стороны,
| = Г COS О,
-ц = г sin О,
отсюда
а (е — ch Я) = г cos О,
а У е2 — 1 sh Я = г sin О.
B.5.14)
Возводя обе части B.5.14) в квадрат и складывая почленно,
получим
г2 = а2(е - спЯJ + аЦе2 - l)sh2Я =
откуда
r = a(echH-l). B.5.15)
Найдем
4
, B.5.16)
• а *) К в2 — lsh#
Sin U1 = — = r-тт j ,
г e ch H — 1 '
а затем вычислим
sin О ]/^2— 1 sh Я
6 2 1 + cos 0 (e — 1) A + ch H) '
ИЛИ
Это соотношение устанавливает связь между О и Я. Заметим, что
когда спутник, начав двигаться из перицентра, неограниченно уда-
удаляется от притягивающего центра, истинная аномалия изменяется
от 0 до ^пред, а величина Я изменяется от 0 до °°.
Продифференцируем теперь вторую формулу B.5.16):
cos О db =
,/-2 т <?ch2# — ch# — <?sh2# rr ,/¦— e — chH 1 ,„
и с учетом первой формулы B.5.16) найдем
^1111- B-5Л8>

§ 2 5 СВЯЗЬ ВРЕМЕНИ С ПОЛОЖЕНИЕМ НА ОРБИТЕ 61
Произведем замену переменных в B.5.3) с учетом B.5.16) и
B.5.18):
f
. _ P™ Qchff-ir К * -1 AU
1 ~ Tn ~ ^= I (e2-!J echH-i пП ~
H
3/2 л
После интегрирования получим соотношение для гиперболической
орбиты, аналогичное уравнению B.5.8):
а
3/2
t - tu = ~ {е sh H - Я), B.5.19)
1 М-
где а = р/(е2 — 1) с учетом B.4.24).
Время перелета между двумя заданными точками гиперболиче-
гиперболической орбиты определяется по формуле
3/2
h ~ h = W[е (sh Яа ~sh Fl) ~(Яа ~ Hl)]' B'5-20)
где Н\ и Яг — соответствующие значения переменных, вычисленные
с помощью формулы B.5.17) по заданным величинам fti и $2-
2.5.3. Случай параболической орбиты. Для параболической ор-
орбиты эксцентриситет е = 1, и уравнение орбиты можно представить
в виде
р
4). B-5.21)
1 -(- COS О 2 ^ 2 ^
2 cos -9" cos -9-
так как /?/2 = гп.
Произведя замену переменной
w = tg-y, B.5.22)
откуда
'O' = 2arctgii B.5.2o)
и
вычислим интеграл B.5.3):
J A+cosOJ

62 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
ИЛИ
рЗ/2 / А -I А \
к( ) B-5-24)
Это — аналог уравнения B.5.8) для параболической орбиты.
А
В уравнении B.5.24) можно выразить tg-s-через г—расстояние
спутника до притягивающего центра. Действительно, с учетом
B.5.21)
тогда
или
Полученная формула позволяет вычислить, сколько времени необ-
необходимо затратить при движении по параболической орбите от пери-
перицентра до заданного расстояния г.
Время движения между двумя произвольными точками парабо-
параболической орбиты определяется по формуле
Связь времени движения с расстоянием до притягивающего
центра в случае прямолинейной траектории движения подробно
рассматривается в работе [20].
2.5.4. Решение уравнения Кеплера. Если время перелета спут-
спутника между двумя точками с известными величинами истинной
аномалии вычисляется достаточно просто, то обратная задача, т. е.
определение положения спутника в заданный момент времени, тре-
требует решения трансцендентного уравнения Кеплера или его анало-
аналогов для гиперболической и параболической орбит.
Сначала покажем, что для любого значения е из диапазона 0 <
< е < 1 уравнение Кеплера имеет одно и только одно решение. Бу-
Будем считать, что средняя аномалия М, определяющая угол поворота
радиуса-вектора спутника при движении с постоянной угловой ско-
скоростью Уц/а3/2, может принимать любые значения в соответствии
с изменением времени t. Используя уравнение Кеплера B.5.9), рас-

§ 2 5 СВЯЗЬ ВРЕМЕНИ С ПОЛОЖЕНИЕМ НА ОРБИТЕ
63
смотрим вспомогательную функцию
Ф (Е) = Е - е sinЕ - М
и ее производную
Ф' (Е) = 1 - е cos E > 0,
B.5.27)
B.5.28)
строго положительную, поскольку е<1. Функция у(Е) монотонно
возрастает и на неограниченном интервале изменения аргумента Е
имеет единственный корень Е*, т. е. ф(?'*)=0. Отсюда Е* — един-
единственное решение уравнения Кеплера.
Обсудим алгоритм решения уравнения Кеплера. Если потреб-
потребная точность невелика, то можно воспользоваться графическим
способом. В этом случае корень уравнения B.5.27) находят как абс-
абсциссу точки пересечения прямой х(Е) = {Е — М)/е с синусоидой
(E E
)
Известно большое число алгоритмов, позволяющих найти при-
приближенное решение уравнения Кеплера с любой степенью точно-
точности. Как правило, при построении таких алгоритмов стараются
учесть особенности решаемой задачи, например, величину эксцент-
эксцентриситета орбиты, для упрощения вычислений. Так, если эксцентри-
эксцентриситет орбиты мал, то можно ограничиться тремя первыми членами
разложения Е в ряд по е [45]:
? = M + esinM + 4-e2sin2M. B.5.29)
В качестве примера использования итерационных методов для
решения уравнения Кеплера обсудим метод неподвижной точки
[11]. Запишем уравнение Кеплера в виде
E = esinE + M. B.5.30)
За нулевое приближение Eq искомого корня Е* можно принять лю-
любое число, например 0, Ж и др. Последовательность приближения
Еп к Е* определяется следующим алгоритмом:
En+i=*esmEn + M. B.5.31)
Можно показать, что последовательность {Еп) сходится при лю-
любом выборе начального приближения. С этой целью рассмотрим ряд
l-En)..., B.5.32)
частные суммы которого совпадают с членами последовательности
{Еп). Используя B.5.31), получим
| Еп+1 — Еп | = е | sin En — sin En~x | =
Е„ — Ег
sin
'"-1 coa5i±I»=L
B.5.33)
так как
sin
Jn—l
п—\
COS

64 ГЛ. 2. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Согласно B.5.33)
Отсюда видно, что члены ряда B.5.32), начиная со второго, межо-
рируются соответствующими членами сходящейся геометрической
прогрессии
\ЕХ - EQ\ + е\Ех - Ео\ + е2\Е{ -Ео\ + ... + еп\Ех - Ео\ + ...
(сходимость обеспечивается, так как 0<е<1). Отсюда следует
сходимость ряда B.5.32) и последовательности {Еп}. Пусть Е* —
предел этой последовательности, т. е.
lim En= E*.
71-»оо
Переходя в B.5.31) к пределу при п-*-°°, получим
E* = esinE* + M,
откуда Е* — решение уравнения Кеплера (и «неподвижная точка»
E*=*f(E*) преобразования y = f(E), где f(E) = e sin E + M).
Определим точность п-то приближения:
\Е*-Еп\ = \ (Еп+1 - Еп) + (Еп+2 - Еп+1) + (Еп+3 - Еп+2) + ... | <
^ I Еп+1 — Еп | + \Еп+2 — Еп+11 + I Еп+3 — Еп+21 + •.. ^
1 — e '
Следовательно,
| E* — En | < S—e | Ex — ?01, B.5.34)
или
I E* - En\ <j^| En - Еп-j. |. B.5.35)
Отсюда видно, что даже при неудачном выборе начального при-
приближения можно определить с приемлемой точностью корень урав-
уравнения Кеплера за конечное число итерационных шагов.
Обсудим теперь один из возможных способов решения аналога
уравнения Кеплера для параболической орбиты [45]. С этой целью
перепишем B.5.24) в виде
^^ —tn) = 0. B.5.36)

§ 2.5. СВЯЗЬ ВРЕМЕНИ С ПОЛОЖЕНИЕМ НА ОРБИТЕ 65
Это кубическое уравнение относительно tgy имеет один положи-
положительный корень, если t — tu > 0, или один отрицательный корень,
если t — tu < 0. Действительно, пусть t — ta > 0, тогда при ft = 0
левая часть B.5.36) отрицательна, а по мере увеличения Ф до 180°
она непрерывно увеличивается до + °°. Поэтому существует один
положительный действительный корень уравнения B.5.36). Анало-
Аналогично можно доказать и вторую часть утверждения.
Для решения уравнения B.5.36) предварительно обозначим
tg у = 2 ctg 2w = ctg w — tg w,
тогда
tg3 ^ = — 3 (ctg w — tg w) ctg w tg w + ctg3 w — tg3 w,
или
tg3y = - 3 tgy + ctg3 w - tg3 w.
Отсюда
| tg3^- + tg|- = 1 (Ctg3 W - tg3 И7)
и вместо B.5.36) получим уравнение
ctg3 w - tg3 w = ^2(* - tn). B.5.37)
Произведем новую замену
ctg3 w = ctg ~, tg3 w = tg у,
после чего получим
ИЛИ
^-*n). B-5.38)
Итак, для решения аналога уравнения Кеплера в случае пара-
параболической орбиты возможен следующий алгоритм. Сначала по за-
заданному моменту времеди t вычисляется правая часть B.5.38),
а затем величина s. Далее по формуле
ctgw =
определяется величина w; наконец, из условия
tgy = 2ctg2w
находится истинная аномалия Ф, соответствующая заданному мо-
моменту времени t.

ГЛАВА 3
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ БАЛЛИСТИКИ
Основные соотношения, полученные для эллиптической орбиты
при рассмотрении задачи двух тел, можно применять при анализе
движения летательного аппарата вблизи поверхности Земли. Если
в модельной задаче пренебречь влиянием атмосферы, то траектория
движения аппарата будет совпадать с частью эллиптической орби-
орбиты, которая расположена над поверхностью сферической Земли.
Указанная постановка существенно упрощает решение задач внеш-
внешней баллистики, связанных с изучением свободного движения аппа-
аппарата после сообщения ему некоторой начальной скорости. Конечные
формулы, посредством которых описывается модельное движение,
легко проанализировать в общем виде. Вместе с тем такая модель
позволяет выявить основные качественные и количественные соот-
соотношения истинного движения аппарата с учетом воздействия ат-
атмосферы.
Движение на безатмосферном участке исследуется в работах
[8, 36, 50, 53].
§ 3.1. Прямая задача баллистики
Рассмотрим сначала прямую задачу баллистики в упрощенной
постановке, когда по заданным начальным величинам скорости Vo,
высоты Но и угла наклона траектории к местному горизонту 0»
(угла бросания) требуется определить дальность по поверхности
Земли от начального радиуса-вектора го до радиуса-вектора гР точ-
точки падения Р аппарата на поверхность Земли. Эту дальность, т. е.
дальность пассивного участка Lp, будем вычислять без учета вра.-
щения Земли по формуле
?р = ЯФр, C.1.1)
где Фр — угол между начальным и конечным радиусами-векторами.
Затем рассмотрим более сложную постановку задачи, когда па
заданным начальным параметрам движения и координатам началь-
начальной точки требуется определить координаты точки падения.
3.1.1. Угловая дальность пассивного участка. Найдем уравнение,
связывающее начальные параметры движения с угловой дальностью
пассивного участка. Предварительно получим уравнение орбиты в
обратных радиусах. С этой целью в формулу для полной скорости

§3 1. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ
67
спутника
V2 = V2r + Vl
подставим величины радиальной составляющей скорости
V -dr - dr йф - dr c - Г
и трансверсальной составляющей скорости
C.1.3)
и после подстановки в интеграл энергии B.2.1) получим
С2 -
Здесь Ф — полярный угол, который отсчитывается от начального
радиуса-вектора. Тогда
C.1.4)
C.1.5)
C.1.6)
Если движение происходит не по прямой, то й(\1гIйФФ0 и на
этот множитель можно сократить. В результате получим неодно-
неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно об-
обратного радиуса 1/г:
Продифференцируем C.1.5) по Ф:
йФ2
Решение этого уравнения
— = -^5- + A cos Ф + В sin Ф,
г С2
а произвольные постоянные А и В определяются из условий
C.1.7)
Ф-о г
= --tg0o.
Ф==о о
C.1.8)

68 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
Второе начальное условие C.1.8) получено из соотношений C.1.2)
и C.1.3):
<*Ф "" С г Vn
где tg6 = Vr/yn.
Вычислим произвольные постоянные
^=--4, 5 = -±tg0o C.1.9)
го С 'о
и подставим их в C.1.7), тогда
1 = Ji _ (JL _ ±) Cos Ф - - tg 00 sin Ф. C.1.10)
\С о
С учетом соотношений
Ф ,Ф
2tg-^- 1 —tg 9
—V- с08ф = —те- (ЗЛЛ1>
(cosФ/2^0, т. е. Ф^я) получим
о / о
Используя B.2.11) и B.4.4), найдем
откуда
,g% +1-1 = 0. C.1.12)
^j cos2 е0 Wos2e0
и
[2г - (г0 + г) v0 cos2 0O] tg2 у - 2vor sin 90 cos 0O tg f- -
¦ -(ro-r)vocos20o = O. C.1.13)
Поскольку движение происходит не по прямолинейной вертикаль-
вертикальной траектории (бо^Т' cos0o =?()], то можно сократить обе части
\ л I
C.1.13) cos2 0О. В итоге получим уравнение, связывающее угловую
дальность движения Ф с начальными условиями Уо, г0, 0о и ра-
радиусом г в конечной точке движения:
[2г A + tga 0О) - (г0 + г) v0] tga fr - 2vor tg 0O tg у - (r0- r) v0 = 0.
C.1.14)

S 3.1. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ
09
Обозначим
a(r) = 2r(l+tg2eo)-(ro + r)vo,
b(r) = Vortg0o, c(r) = (ro— r)vo,
тогда уравнение C.1.14) принимает вид
a(r)tg2|--26(r)tg|-C(r) = C
Два корня квадратного уравнения C.1.16)
, Ф Ъ (г) + У[Ъ (г)]2 + а (г) с~?)
Щ2 ~ а(г)
C.1.15)
C.1.16)
C.1.17)
соответствуют двум точкам пересечения эллиптической траектории
с окружностью радиуса г < го, причем знак
«+» отвечает нисходящей ветви траектории,
а знак «—» относится к восходящей ветви
(рис. 3.1). Второй корень не имеет практи-
практического смысла при решении прямой задачи
баллистики.
Для определения полной угловой дально-
дальности, когда аппарат достигает поверхности
Земли (т. е. r= R), имеем формулу
<t>p=2arctg
Ь(Я)-\-У[Ъ(Я)]2+а(Я)с(Я)
а (Я)
.C.1.18)
Предположим, что начальный радиус сов- v
падает по величине с конечным (г0 = г). Это Рис> 3.1. Дальность пас-
может быть в том случае, когда начальная сивного участка
и конечная точки траектории находятся на
одной и той же высоте относительно поверхности Земли. Тогда
Ъ (г0) = voro tg 0O, c(ro)-=
Фр = 2 arctg
C.1.19)
C.1.20)
3.1.2. Высота апогея траектории. Определим наибольшую высоту
траектории относительно поверхности Земли, т. е. высоту апогея
траектории, в зависимости от начальных условий. С учетом форму-
формулы B.3.12) имеем
JJ г /? Р R /Q л 94\
Далее, используя соотношения B.2.1), B.2.11), B.2.29) и B.2.32),
выразим параметр и эксцентриситет орбиты через начальные уело-

70
ГЛ 3 ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
вия движения:
cos2 9
f1
- = rovo cos2 0O,
C.1.22)
e =
где v0 = V%ro/\i. Отсюда
rovocos290
_]/l_ B _v0)v0
— Л.
C.1.23)
C.1.24)
Угловое расстояние Фа от начальной точки движения до апогея
траектории легко вычислить, используя формулу C.1.20), которая
определяет угловое расстояние от начальной точки до конечной
при условии, что обе точки находятся на одинаковой высоте. В этом
случае траектория симметрична относи-
относительно апогея и
?!
2
т. е.
Фа = arctg
C.1.25)
3.1.3. Координаты конечной точки
движения. Пусть в начальной точке
движения О, помимо скорости, высоты
и угла наклона траектории, изовестны
также широта фо, долгота Яо и азимут
п п п Л An, т. е. угол направления движения,
5? к?и2е,°ноГКПвиТеРнДиИ; отчитываемый с севера на восток По-
прежнему будем считать, что земля
не вращается, поэтому заданные параметры описывают движение в
некоторой инерциальной системе координат. Требуется вычислить
долготу Хр и широту фР конечной точки. Рис. 3.2 иллюстрирует рас-
рассматриваемую задачу с использованием построений на сфере еди-
единичного радиуса.
Сначала по заданным величинам Fo, го, 0о вычислим с помощью
формулы C.1.18) угловую дальность Фр. Из сферического треуголь-
треугольника ONP (см. рис. 3.2) найдем разность долгот ХР — Яо и широту фр:
sin фр = cos Фр sin ф0 + cos Ao sin Фр cos ф0, C.1.26)
sin Л„ sm Ф„
sin (А,р — Хо) =
cos
cos фр
cos Фр — sm ф/sin фр
' °' cosФ cos фр
C.1.27)

§ 3 1 ПРЯМАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ 71
Уточним теперь координаты конечной точки с учетом вращения
Земли. Если tp — время полета на пассивном участке, то за это
время точка с координатами (Яр, срр) сместится по параллели на
угол (d3tp в результате вращения Земли с угловой скоростью (о3.
Поэтому в тот момент, когда аппарат достигнет поверхности Зем-
Земли, он окажется в точке с координатами (А.р, фр), где
C.1<28)
ФР = фр.
Здесь рассматривается долгота, изменяющаяся в диапазоне от О
до 2я.
Для определения времени движения на пассивном участке мож-
можно воспользоваться, например, соотношением B.5.9):
о/о
tp = а— [Ер - Ео - е(sin Ер - sin Eo)]. C.1.29)
Используя формулы B.2.1) и B.4.17), вычислим большую по-
полуось через начальные параметры движения:
a = -^=irV = ^4- (ЗЛ-30)
Эксцентрические аномалии Ер и i?o можно найти с помощью B.5.6)
по соответствующим значениям истинных аномалий
<2n), C.1.31)
<я). C.1.32)
Параметр р и эксцентриситет е определяются через начальные ус-
условия движения по формулам C.1.22) и C.1.23).
Обычно начальная скорость, угол наклона траектории и азимут
бывают заданы не в инерциальной системе координат, а в системе
координат, связанной с вращающейся Землей. Тем самым опреде-
определяется не абсолютное движение, а движение относительно поверх-
поверхности Земли. Будем выделять штрихами параметры относительного
движения: Vo, Q'o, Ao. Установим связь между параметрами абсо-
абсолютного и относительного движения. С учетом переносной скорости
от вращения Земли абсолютная скорость есть
Vo = V; + (о3 X г0, C.1.33)
где составляющие вектора Vo определяются с использованием уг-
углов 0О и Ао. Далее по формуле B.4.2) найдем угол наклона траек-

72 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
тории в абсолютном движении:
90 = -у — arccos ° °. C.1.34)
о о
Определим теперь азимут Aq в абсолютном движении. Единич-
Единичный вектор нормали к плоскости начального меридиана
C.1.35)
n
cosq>0
где GK иг0 — единичные векторы, направленные по угловой скоро-
скорости вращения Земли и начальному радиусу-вектору. Единичный
вектор нормали к плоскости абсолютного движения
^, C.1.36)
где V0—единичный вектор абсолютной начальной скорости. Тогда
азимут в абсолютном движении
Ао = arccos (n°.n?B)- C.1.37)
§ 3.2. Оптимальная траектория
Если зафиксировать координаты начальной точки пассивного
участка и скорость Fo (или параметр v0 = r0Vl/\x), а изменять угол
бросания во, то дальность пассивного участка будет меняться. Ве-
Величину угла бросания, при котором обеспечивается максимальная
дальность пассивного участка, называют оптимальным углом броса-
бросания. Будем обозначать этот угол ЭоПТ. В силу обратимости рассмат-
рассматриваемой задачи оптимальный угол бросания обеспечивает задан-
заданную дальность пассивного участка при минимальной начальной
скорости. Траекторию, которая реализуется при угле бросания ЭоПТ>
обычно называют оптимальной.
3.2.1. Вычисление параметров оптимальной траектории. Величи-
Величину 9оПТ найдем из необходимого условия оптимальности dOjdQo =
= 0, считая угловую дальность пассивного участка Фр неявной
функцией угла бросания ^(Фр, 0о)=О, где функция F определяет-
определяется соотношением C.1.14). Найдем
дР
<*Ф . _ то . _ о
что эквивалентно равенству dF/dQo = 0, или
Ur tg 60 tg2 -5е - 2V tg%) -4т- = О,
^ ^ / cos 9
4
cos

§ 3 2. ОПТИМАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ 73
где 0О Ф -гг, Фр Ф 0. Отсюда установим связь максимальной угловой
дальности Фтах с оптимальным углом бросания б?пт:
фшах
C-2Л>
фтах
Затем, подставляя tg—|— в уравнение C.1.14), определим опти-
оптимальный угол бросания
0ООПТ = arctg I A 2"^Zi)V\ C-2.2)
у 2 v _j_ 2 (г 1)
где го = roJR — отношение начального радиуса к конечному.
Считая теперь угловую дальность фиксированной, определим
минимальное значение начального параметра, обеспечивающее до-
достижение заданной угловой дальности с оптимальным углом броса-
бросания. Для этого выразим tgOonT из C.2.1) и подставим в C.1.14).
Вт in
итоге получим квадратное уравнение относительно v0 :
(vfnJ + 2 [(l + r0) tg2 ^ + r0 - l] vmin - 4 tg» 5b- - 0.
Отсюда
-f. C.2.3)
Второй корень квадратного уравнения, а именно v0 <; U, не име-
имеет смысла.
В частном случае, когда го = 1, т. е. начальная и конечная точ-
точки оптимальной траектории находятся на одинаковой высоте отно-
относительно поверхности Земли, формула для vmin упрощается:
Ф 1 — sin -#
„min о +~ Р &
v0 = 2 tg -к ж ,
или
sin
Рис. 3.3 иллюстрирует связь оптимальных параметров движения
mm и QonT c максимальной дальностью пассивного участка Lmax.

74
ГЛ 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
Видно, что при v™m<l (т. е. при малых начальных скоростях)
и fo = l оптимальный угол бросания близок к 45°. Если го>1, то
угол оказывается существенно меньше. При v™m-^l GoIir-^0,
следовательно, траектория становится более пологой.
Оптимальный угол бросания допускает простое геометрическое
толкование. Чтобы показать это, предварительно определим из
15000
10000
5000
Рис. 3.3. Параметры оптимальных тра- Рис. 3.4. Геометрическое определение
екторий оптимального угла бросания
C.1.14) величину начального параметра vo для заданной угловой
дальности Фр и угла бросания 0о:
ф.
C.2.5)
Далее, используя соотношения
Ф sin Ф
tff —~ = ¦: —, 1 + tff 0n
ь 2 1 -\- cos Фр °

§ 3 2 ОПТИМАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ 75
преобразуем C.2.5) к виду
2 sin2 фр
VnOp(H-cosOp)-(l+cosOpJ] =
^(з.2.6)
- ___ iZ^ .
cos 90 (rQ — cos Фр) -f- sin 90 cos 90 sin фр
С другой стороны, согласно C.2.1) при оптимальном угле бросания
имеем
2sin9gnTsin<iy*
' { ' ' '
Приравняем правые частой C.2.6) и C.2.7); учитывая, что
Фр = Фраах и 0О = 0оПТ, после несложных преобразований получим
sin фтах
2 sin В0ПТ =р
0
cos 9°пт (?Q - cos Ф™*) + sin 9°nTsin Ф
откуда
[sin 2G0onT (г0 ^^Ф™*) = cos 20°nT sin O?
и окончательно
г~ — созФ111^
ctg260OIIT= о .С^ . C.2.8)
sm ф„ dX
Соотношение C.2.8) связывает оптимальный угол бросания с
угловой дальностью при фиксированной величине относительного
начального радиуса. Дадим C.2.8) геометрическую интерпретацию.
Пусть треугольник F\OP соединяет центр масс Земли F\, начальную
точку О и конечную точку Р (рис. 3.4). Опустим из точки Р пер-
перпендикуляр PD на сторону OF\, тогда
0D г.-
Из сравнения C.2.8) и C.2.9) следует, что е?пт = ZPOD/2,
т. е. оптимальный угол бросания равен половине угла, образован-
образованного начальным радиусом го и направлением из начальной точки О
в конечную точку Р траектории.
Затем можно установить также, что
z вое = \ - е0опт, z рос = \ - z тол + ео°пт=| - е0о
поскольку zTO? = 2GonT. Отсюда
C.2.10)

76 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
Следовательно, при оптимальном угле бросания вектор начальной
скорости Vo делит пополам угол между местной вертикалью и на-
направлением на конечную точку траектории.
Как известно, нормаль к любой точке эллипса делит пополам
угол между фокальными радиусами-векторами этой точки. Поэтому
касательная к эллипсу делит пополам угол между радиусом-век-
радиусом-вектором, проведенным из одного фокуса, и продолжением радиуса-
вектора из другого фокуса. Для любой эллиптической траектории
один из фокусов совпадает с центром масс Земли, а для оптималь-
оптимальной траектории согласно условию C.2.10) второй фокус лежит на
прямой ОР, соединяющей начальную и конечную точки траекто-
траектории. Из основного свойства эллипса
FiO + F2O = FiP + F2P = 2a,
откуда
F2P-F2O = FXO -FiP = rQ-R = Ho.
Таким образом, для определения положения второго фокуса эллип-
эллипса надо от точки Р отрезка ОР отложить высоту Но, а оставшийся
отрезок поделить пополам.
Рассмотрим теперь частный случай, когда начальная и конечная
точки оптимальной траектории находятся на одинаковой высоте
(го=1). В этом случае согласно C.2.8) имеем
фтах
T ^
т. е. оптимальный угол бросания равен я/4 за вычетом четверти
угловой дальности пассивного участка.
3.2.2. Эллипс безопасности. Зафиксируем величину скорости Vo
в начальной точке и рассмотрим огибающую семейства траекторий,
которые получаются при изменении угла бросания Go — параметра
семейства. Уравнение семейства траекторий будем рассматривать
в виде C.1.14):
[2г A + tg2 0О) - (г0 + г) v0] tg* f - 2vor tg 0O tgy - (r0 - r) v0 = 0.
Тогда огибающая семейства траекторий будет задаваться системой
двух уравнений, включающей уравнение C.1.14) и его производную
по параметру 0О, т. е.
Отсюда
0=-^ctg-^- (d.z.12)

§ 3.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
77
и после подстановки C.2.12) в уравнение семейства C.1.14) исклю-
исключим параметр семейства 0о:
ИЛИ
2 *•* - v0 tg*f + v0 - ^ -
tg'f).
Далее найдем
2 —
2v
2—v(
^Г
v
~2~
\ 4 — v2 — B — v
l-cosO U4 vo ^ vo
cos
cos
или
4-vJ
C.2.13)
При заданной величине vo уравнение C.2.13) устанавливает
связь между г и Ф, т. е. описывает огибающую семейства траекто-
траекторий с vo == const. Обозначим
Р ' =
тогда
4 —
г =
2~vo
2 + v,
1 — e' cos Ф '
C.2.14)
C.2.15)
т. е. огибающая является эллипсом
(рис. 3.5). Этот эллипс принято называть
эллипсом безопасности, поскольку любая
траектория семейства vo = const не выхо-
выходит за его пределы. Линия апсид эллипса
безопасности совпадает с начальным ра-
радиусом-вектором. Действительно, при Ф =
= 0 имеем гШдХ = р'A — е'). Один из фо-
фокусов находится в центре масс Земли.
Найдем положение второго фокуса. Со-
гласно B.4.7) и C.2.14) величина большой полуоси определяется
формулой
Рис- ^* Эллипс безопасно-
сти
а' =
4Vo
1-е"

7g ГЛ, 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
т. е.
я'= 2?-. C.2.16)
С другой стороны, для всякого эллипса
2с == 2ае,
поэтому для эллипса безопасности
2c'=2aV=^?- = r0. C.2.17)
Отсюда следует, что второй фокус эллипса безопасности совпадает
с точкой бросания О. Полярный угол Ф отсчитывается от направле-
направления на апогей.
Если изменять величину vo, то получим семейство софокусных
эллипсов безопасности, полуоси которых возрастают с увеличением
vo. При vo -*¦ 2, когда начальная скорость стремится к местной па-
параболической, размеры эллипса безопасности неограниченно воз-
возрастают, и любая точка пространства оказывается внутри него.
Точки пересечения эллипса безопасности с окружностью радиу-
радиусом ггр определяют границы досягаемости на этой окружности для
семейства траекторий с vo= const. Указанные точки отвечают мак-
макетах
симальнои угловой дальности Фгр , достижимой на окружности ггр.
при заданной величине vo. Чтобы найти Ф?рах, положим г=гтр в
C.2.15). Тогда
cos
или с учетом C.2.14)
^.„„ 2 4- v Г 4v г 1
созФ" =2^Г°1-77—if— =
^ — v. I (л v 1 г I
0 L V* уо) ггр J
9.v2 / 2Лг \
, C.2.18)
где Аггр = го — ггр. Далее вычислим
^т ах Г~ ^Tiinai.
~~~™4 " " Z/Vr C.2.19)
Границы зоны досягаемости могут быть достигнуты только при
движений по оптимальной траектории. В частном случае, когда
ггр = го (Дггр = 0), т. е. рассматриваются границы зоны досягаемо-
досягаемости на окружности радиуса го, имеем
фтах
Ч1-п ZI2 1о_

§ 3 3 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ 79
Эта формула согласуется с полученной ранее формулой C.2.4) для
начального параметра оптимальной траектории.
Пусть ггр = г0 и vo = 1, что соответствует круговой начальной
скорости. Тогда
С*1 Т\ ... - Ч ТТ
01 XL ,, ¦ ' - J XL
В этом случае границы зоны досягаемости находятся на угловом
расстоянии ±л, т. е. вся окружность радиуса ггр = го располагается
внутри эллипса безопасности, который касается указанной окруж-
окружности в точке с наименьшим радиусом.
§ 3.3. Обратная задача баллистики
Если в прямой задаче баллистики требовалось определить ко-
конечную точку траектории при заданных начальных условиях, то в
обратной задаче необходимо выбрать начальные условия для траек-
траектории, которая должна пройти через заданную конечную точку. Из
общих соображений понятно, что обратная задача имеет неодно-
неоднозначное решение, поскольку существует бесконечное множество тра-
траекторий, проходящих через две фиксированные точки. Отсюда по-
появляется возможность учета некоторых дополнительных ограниче-
ограничений при выборе траектории.
3.3.1. Выбор начальных условий. Будем полагать, что началь-
начальная точка фиксирована своими координатами (ко, фо) и радиусом
Го, а конечная точка находится на поверхности Земли (rP = R) и
имеет координаты (Vp, фр). Предположим также, что в первом при-
приближении известно время движения на пассивном участке tP, тог-
тогда можно построить первый шаг итерационной процедуры решения
обратной задачи.
Сначала определим координаты точки, в которую должна быть
направлена траектория, т. е. координаты точки прицеливания в аб-
абсолютном движении:
C ЗЛ)
фр = фр-
Затем из сферического треугольника ONP (см. рис. 3.2) найдем
угловую дальность пассивного участка
Фр = arccos [sin фо sin фР + cos (KP — ко) cos фо cos фР] C.3.2)
(ФР < я)
и азимут в абсолютном движении
sin (Xр—ХЛ cos (рр
sin Ап = v . _0/ —,
0 sin Фр
_ cos ф0 tg фР — cos (Хр — Хо) sin ф0 C.3.3)
Ctg ° ~ sm(XP-X0) *

80 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
Подставляя величину конечного радиуса г = R и угловой даль-
дальности Фр в уравнение C.1.14), найдем из него начальный пара-
параметр [см. C.2.5) ]:
гжфр -
A + го) tg*-f+ 2 tge0 tg-f + г0 -1
где го = tq/R.
Согласно C.3.4) каждому углу бросания 0о соответствует своя
величина параметра vo (или начальной скорости Vq = У\юо/го).
Угол бросания 0о может выбираться из различных соображений.
Например, из условий получения траектории с заданной крутизной
на нисходящей ветви, с минимальной начальной скоростью, с огра-
ограничением на высоту апогея и др.
После вычисления начальных параметров движения Go, vo в пер-
первом приближении необходимо уточнить время пассивного участка tp.
Если окажется, что уточненная величина tp существенно отличает-
отличается от выбранной в первом приближении, то расчеты повторяются
с этим новым значением tp и т. д., пока не будет обеспечена требу-
требуемая точность. В качестве начального приближения tp можно выб-
выбрать, например, время движения по оптимальной траектории, вы-
вычисленной без учета вращения Земли.
В частном случае, когда начальная и конечная точки траекто-
траектории расположены на одной высоте, формула C.3.4) упрощается:
Ф
vo = " ф-^ -• C-3.5)
tg-f + tge0
3.3.2. Траектории с одинаковой начальной скоростью. Пусть на-
начальная точка и начальная скорость (или vo) фиксированы. Опре-
Определим все возможные траектории, проходящие через заданную ко-
конечную точку, которая находится на поверхности Земли (г = R) на
расстоянии Фр от начальной. С этой целью найдем углы бросания,
которые обеспечивают угловую дальность Фр при заданной вели-
величине vo.
Подставляя г = R и Ф = Фр в уравнение C.1.14), приведем
его к виду
2Л tg2 ^ tg2 0О - 2v0R tg ^ tg 0O -
-(г- До) v0 + [2R - (г0 + R) у0] tg2% = О,
или

§ 3.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ 84
Отсюда
± у
или
C.3.6)
Если
v2 + 2v0 [A + r0) tg2 ^ + 70 - l] - 4 tg2-^ > 0, C.3.7)
то существуют два угла бросания б^ и 0(о2), обеспечивающие до-
достижение требуемой угловой дальности Фр с заданной величиной
параметра vo- При этом 0ОХ) вычисляется по формуле
C.3.8)
а 0(о2) — по формуле
tg0<2> = Actg^{v0- j/v2. + 2vo[(l +7o)tg2^+7o-]
C.3.9)
Понятно, что ©о > ®o • Более крутую траекторию, соответствую-
соответствующую углу бросания 0(о1), принято называть навесной, а более по-
пологую — настильной. Установим взаимную связь 0(о\ 602) и 9оПТ«
С этой целью рассмотрим tg @(о1) + 0(о2)), принимая во внимание-
соотношения C.3.8) и C.3.9):
C.3.10)
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках в зна-
знаменателе C.3.10), с учетом соотношения C.2.8) для оптимального

$2 ГЛ 3 ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
угла бросания:
2° °\ 2/\
Ф„
%г'о~
2Фр "-2 sin<Dp
= 2tg^ctg20°r
Тогда
/
или
tg(e@1) + e@2)) = tg2er. (З.З.И)
Отсюда
GjD + 0^2> = 29on* C.3.12)
ej,1) _ е°пт = е°пт _ 0(o2>. C.3.13)
Следовательно, векторы начальной скорости навесной и настильной
траекторий симметрично отклонены в точке бросания соответствен-
соответственно вверх и вниз относительно вектора начальной скорости опти-
оптимальной траектории на ту же дальность. Начальная скорость на-
навесной и настильной траекторий одинакова, причем она превышает
минимальную потребную скорость для достижения заданной даль-
дальности по оптимальной траектории.
Если выполняется строгое равенство
v? + 2vo[(l + ro)tg2^ + ro_l]_4tg2?f = 0, C.3.14)
то возможна только одна траектория с углом бросания
0o = arctg-\-. C.3.15)
Сравнивая полученное условие C.3.15) с C.2.1), убедимся, что эта
единственная траектория является оптимальной, т. е. располагаемая
величина vo равна минимальной необходимой для достижения за-
заданной дальности.
Если подкоренное выражение в C.3.6) отрицательно, то реше-
решение обратной задачи баллистики не существует: ни при каком уг-
угле бросания заданная угловая дальность не может быть достигнута.

§ 3.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ 83
Итак, в зависимости от располагаемой величины начального па-
параметра vo (или начальной скорости Vq) обратная задача баллисти-
баллистики может иметь два решения (навесная и настильная траектории),
одно решение (оптимальная траектория) или ни одного решения.
3.3.3. Исследование семейства траекторий между двумя фикси-
фиксированными точками. Определим некоторые свойства траекторий
между двумя фиксированными точками. Эти траектории различа-
различаются величинами начального параметра vo и угла бросания 0о.
Установим связь vo и 9о с vmin и 0оПТ для этого семейства траек-
траекторий.
Для произвольной траектории между двумя фиксированными
точками найдем с помощью C.2.6):
~ 1 — соя'Ф., — V. sin 0. cos 0. sin Ф
r0 =
? + cos Фр. C.3.16)
Для оптимальной траектории по аналогии с C.3.16) можно записать
e^ft. + co.av (З.ЗЛ7)
Вычитая C.3.17) из C.3.16), получим
1 — cos Фр — vo'sin 0O cos 0ofsin Фр 1 — соэФр у8т0?соз0?8тФр
^m2°nT =
vocos20o
или
C.3.18)
С учетом C.2.1) имеем
min ф min sin ф
tff «опт _ vo . ^p _ VQ Sm^P
^go0 - 2 cxg 2 - 2 1_С08фр
sin фр = -Е5Г *8 0оПТ A - cosOp). C.3.19)
vo
После подстановки C.3.19) в C.3.18) и сокращения на множитель
A — cos Op)/vmin ф 0 найдем
po_tger). Oi
vocost0ocos 0т
отсюда
vmin cos2 0ООПТ = v0 cos 90 [2 sin 0ООПТ sin @O - 0°пт) + cos 0O]. C.3.20>
Обозначим
Л0О = 0О-0ООПТ, C.3.21>

$4 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
тогда
vfncos2e;m = v0cose0 [2 sin0°птsinле0 + cos(е0опт + ле0)]. (з.з.22)
Преобразуем теперь правую часть C.3.22):
у0 cos 0О [2 sin 0°пт sin Л0О + cos @?пт + ДЭ0)] ='
= v0 cos 0О (sin 0°пт sin Л0О + cos 0°nT cos Л0О) =
= v0 cos (еоопт + Л0О) cos (90ОПТ - Л0О) = Ц (cos 20°пт + cos 2Л0О) =
= ^ B cos2 0°пт - l-2sin2A0o + 1) = vo(cos20°nT-sin2A0o).
С учетом втого
vfn cos2 0°пт = v0 (cos2 0°пт - sin2 Л0О),
откуда
vmin
v0 Jhrrr
sin A0O
1~coS2e°nT
и
/min\2
C.3.23)
(vm
v ° ' C.3.24)
ъш1 де0
Формула C.3.24) позволяет легко построить геометрическое ме-
место концов векторов начальной скорости для семейства траекторпй,
проходящих через две заданные точки. Действительно, введем си-
систему координат Ouw, причем ось Ои направим по вектору V^m»
а ось Ow — по нормали вверх (рис 3.6). Тогда
v2 —
v о —
Далее, получим отсюда
, V20 = u2 + w2 C.3.25)
V у о )
1= ilT^l
и2 + iv2 -
cos2 е0оп

§ 3.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ
85
и окончательно
= 1
C.3.26)
Это — уравнение гиперболы. Таким образом, показано, что кон-
концы векторов начальной скорости, обеспечивающих прохождение
траекторий через две заданные точки, расположены на гиперболе,
симметричной относительно вектора V™in. Для
определения положения асимптот, отвечающих
условию Vq ->¦ °о, потребуем обращения в нуль
знаменателя C.3.24):
Cos2 е°пт - sin2 де™ах = о,
ИЛИ
(cos е°пт + sin де™ах) (cos e™T - sin дегх) = о.
Отсюда
и
лОПТ
'О
C.3.27)
Следовательно, одна из асимптот гиперболы на-
направлена из начальной точки в конечную, а вто- Рис. 3.6. Система ко-
рая — по продолжению начального радиуса- ординат Ouw
вектора (рис. 3.7).
Из двух ветвей гиперболы необходимо выбрать ту, которая поз-
позволяет учесть ограничение на траекторию из условия ее пересече-
пересечения с поверхностью Земли только в конечной точке.
Заметим, что в том случае, когда рассматривается задача пере-
перелета по эллиптической траектории между двумя точками космиче-
космического пространства и радиус притягивающего тела бесконечно мал,
могут быть использованы обе ветви гиперболы. Одна из них будет
отвечать восходящим траекториям, а вторая — нисходящим. Выбрав
величину начальной скорости, обеспечивающую перелет между за-
заданными точками, можно реализовать две траектории перелета,
направленные в противоположные стороны и геометрически обра-
образующие один и тот же эллипс.
Предположим, что аппарат имеет некоторую переносную ско-
скорость Vnep, например, из-за вращения Земли. Тогда для обеспече-
обеспечения движения аппарата по одной из траекторий между двумя фик-
фиксированными точками ему следует сообщить дополнительную ско-
скорость AV, которую л^гко определить, соединив конец вектора Vnep
с соответствующей точкой гиперболы скоростей (рис. 3.8). Величи-
Величина дополнительной скорости имеет наименьшее значение, если век-
вектор ДУ направлен по нормали к гиперболе.

86
ГЛ 3 ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
На рис. 3.9 и 3.10 построены зависимости, позволяющие для
заданной дальности пассивного участка Lp определить требуемое
сочетание начального параметра vo и угла бросания Go. Случай го =
= 1 отвечает совпадению высот начальной и конечной точек траек-
траектории, а го = 1,06 отвечает пре-
превышению начальной точки над
конечной на ~350 км. Построен-
Построенные зависимости относительного
радиуса апогея га = га/го позволя-
позволяют оценить максимальную высо-
высоту траектории над поверхностью
Земли.
Для определения скорости и
утла наклона траектории в любой
точке можно воспользоваться ин-
интегралами энергии B.2.1) и пло-
площадей B.2.11). Например, в ко-
конечной точке траектории
т/2 2|Х у2 2|Х
7* л\
откуда
V,
= 2 —
2 — v.
(г0 =
C 3.28)
Рис 3 7 Векторы начальной ско-
скорости семейства траекторий меж-
между двумя фиксированными точ-
точками
я
пер
C.3.29)
v
Согласно интегралу площадей
rQVo cos Go = RVp cos 9P
И
= — arccos
C.3.30)
Здесь знак «—» взят с учетом ни-
нисходящей ветви траектории.
При го = 1 получим
vP = vo, Эр = —Эо, C.3.31)
Рис 3 8 Учет переносной скорости что Достаточно очевидно из усло-
условия симметрии.
Оценим характер изменения времени движения на пассивном
участке tp при увеличении крутизны траектории. Время движения
найдем через площадь S, заметаемую радиусом-вектором при переме-
перемещении из начальной точки в конечную, и величину С = гсУо cos Go

§ 3 3 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БАЛЛИСТИКИ
87
5000 10000 15000 Lp,KM
Рис 3 9 Параметры траектории движения при г0 = 1
во=40° 30° 20е
70'
5000 10000 15000 Lp,™
Рис 3 10 Параметры траектории движения при ?о = 1,06
удвоенной секториальной скорости, которая постоянна по траек-
траектории:
tp = ~ = r v2ScqsQ . C.3.32)
Видно, что с увеличением угла бросания 6о заметаемая площадь S
увеличивается, а секториальная скорость уменьшается. Следователь-
Следовательно, время движения на пассивном участке с фиксированной угло-

88
ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
Парадола
безопасности
вой дальностью Фр будет монотонно возрастать по мере увеличения
угла бросания 9о. Поэтому время движения по навесной траектории:
всегда больше, чем время движения по настильной траектории.
§ 3.4. Параболическая траектория
Траекторию движения на небольшую дальность E0—500 км
[36]) в предположении отсутствия атмосферы можно в первом
приближении считать параболой, ось симметрии которой параллель-
параллельна начальному радиусу-вектору.
Принятое ограничение на даль-
дальность позволяет существенно упро-
упростить расчетные формулы.
3.4.1. Параболическая траек-
траектория как предельный случай эл-
эллиптической. Можно рассматри-
рассматривать параболическую траекторию
как предельный случай эллип-
эллиптической, если угловая даль-
дальность пассивного участка мала.
Построим прямоугольную декар-
тову систему координат Оху с на-
началом в точке бросания, осью
Ох, направленной горизонтально
в сторону движения, и осью-
Оу, направленной по продолже-
продолжению начального радиуса^вектора
(рис. 3.11).
Рассмотрим уравнение эллиптической траектории в виде C.3.16)
этФ
\- соэФ. C.4.1)
Рис. 3.11. Параболическая
рия
траекто-
1 — cos Ф — v sin
cos i
Для малых угловых дальностей можно принять
отсюда
и
1 — cos Ф = 2 sin2 -к- « "о"« оГ"
г =
собФ
го + у, -°-
1--Ч
C.4.2)
C.4.3>
C.4.4)
Вычислим
v =^ =
V2
v о
C.4.5)

§ 3.4. ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ 89
где
*--|г C.4.6);
— ускорение силы тяжести в точке бросания, и затем преобразуем
уравнение C.4.1) с учетом C.4.2) — C.4.6):
или
у = х tg 0O - ф A + tg2 0O) х2. C.4.7)
Уравнение C.4.7) описывает в системе координат Оху парабо-
параболическую траекторию, которая получается при начальной скоро-
скорости Vo и угле бросания 0о. Для определения полной дальности хр
следует положить ур = 0. Тогда первый корень этого уравнения бу-
будет определять полную дальность как точку пересечения параболи-
параболической траектории с горизонтальной линией (осью абсцисс):
F2 2 tg ft F2
xv = — if- = — sin 20n. C.4.8)
p e l+tg2e0 g ° v ;
Второй корень {хо = 0) соответствует пересечению параболической
траектории с осью абсцисс в начале координат, т. е. в точке бро-
бросания.
Из уравнения C.4.8) следует, что при постоянной начальной
скорости Vq максимальная дальность достигается с углом бросания
6оПТ = 45° и составляет
^ах = 1°. C.4.9)
Определим максимальную высоту подъема траектории из усло-
условия dy/dx = 0. Дифференцируя C.4.7), найдем
Отсюда абсцисса точки, в которой достигается максимальная высо-
высота, есть
Ха = II tg9o . C.4.10)
* i + tg2e0 v '
Подставим хл в C.4.7) и вычислим максимальную высоту подъема:

90 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
ИЛИ
ya = Zjlsln*QQ. C.4.11)
Предельная высота подъема достигается при 9о = 90* и состав-
составляет
= 2p C.4.12)
или
,max
ax_~p_5 C.4.13)
x
1ЙД.
la ~
т. е. равна половине от полной дальности.
Д- лопт / го
ля оптимального угла бросания Wo = 4о
yf = I0-, C.4.14)
или
max
,4 5° р /о /. л cv
Г/а = —^—, [оЛЛо)
т. е. wa оптимальной параболической траектории максимальная вы-
высота подъема составляет 1/4 от полной дальности.
Основные формулы для параболической траектории можно вы-
вывести также непосредственным интегрированием дифференциальных
уравнений движения в плоскопараллельном однородном поле силы
тяжести, без учета кривизны Земли и плотности атмосферы
^0, §=-? C-4.16)
с начальными условиями
х{0)= у@) =0,
(IX Т7 А &У Т7 ^ • А /О / Л ^V
¦37 =>пСО8вп> :sf =ynsin0n. C.4.17)
аг t=0 u u dt t=o и и \ /
Учитывая это замечание, можно достаточно просто получить
формулу для времени движения по параболической траектории.
Действительно, согласно C.4.16) и C.4.17)
dx
Ж
dx
dT
т. е. горизонтальная скорость постоянна. С другой стороны, даль-
дальность до конечной точки
V2
™ о

§ 3.4. ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ 91
Отсюда время движения по параболической траектории
* - Хр - = ?Zo_sin0o. C.4.18)
dx
Ж
t=o
Заметим, что соотношения C.4.13) и C.4.15) можно использо-
использовать в качестве оценок и при расчете эллиптических траекторий на
небольшую угловую дальность.
3.4.2. Парабола безопасности. Для семейства параболических
траекторий с постоянной начальной скоростью Vq и различными
углами бросания 0о можно построить огибающую — параболу безо-
безопасности. Уравнение параболы безопасности выведем из уравнения
эллипса безопасности C.2.13)
с учетом принятых допущений для малых угловых дальностей. До-
Дополнительно учтем, что для малых дальностей можно также принять
V'O /~*s U, ^O-^t.iy^
поскольку vo мало (напомним, что vo — квадрат отношения началь-
начальной скорости к местной круговой). Тогда для параболы безопасно-
безопасности получим
или
_ *\ t t o,
откуда
и окончательно
C.4.20)
Уравнение параболы безопасности C.4.20) можно записать в
более простом виде, если учесть соотношения C.4.9) и C.4.12):
Парабола безопасности касается траектории максимальной дальне
ети в точке Р с координатами х™йХ = Vl/g, yp = 0.

92 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
Заметим, что уравнение параболы безопасности C.4.20) можно
было бы получить непосредственно как уравнение огибающей се-
семейства параболических траекторий C.4.7), зависящих от парамет-
параметра 0о и проходящих через две фиксированные точки, начальную и
конечную.
§ 3.5. Производные конечных параметров движения
по начальным
Во многих задачах баллистики возникает необходимость оценки
отклонений конечных параметров движения при небольших откло-
отклонениях начальных параметров движения. В линейном приближепии
такие оценки можно получить с помощью соответствующих произ-
производных.
Будем рассматривать эллиптические траектории движения, т. е.
пользоваться зависимостями, полученными в предположении цент-
центрального поля притяжения и отсутствия атмосферы.
3.5.1. Продольное движение. Наиболее часто возникает необхо-
необходимость оценки изменения дальности пассивного участка при малых
отклонениях начальных параметров движения: скорости Уо, угла
бросания 0о, радиуса го.
Предварительно рассмотрим производные угловой дальности ФР
по начальным параметрам. Для этого воспользуемся уравнением
C.1.14) при r = R и Ф = Фр, которое определяет угловую даль-
дальность как неявную функцию указанных параметров F(OP, Уо, Эо, го) =
= 0. Тогда можно записать
О Р О
откуда
dF dF
ЭФр _ dVQ _ dvQ dVQ
dV ~ dF dF
дФр дФр
Сначала вычислим
9F Г ~ . Ф. Ф„
но согласно C.1.14)
A + г0) tg2-^ + 2tg0otg 2?_ + го _ 1 = J_(i + tg2B0) tg2 ^-,
о ^
поэтому
^. C.5.3)

§ 3 5 ПРОИЗВОДНЫЕ КОНЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ 95
Теперь найдем
dVo I* Vo '
= дф {[2A + tg2e0) - (i + г0) v0] tg ^ - votge§]
C.5.4)
cos
и, учитывая уравнение движения C.1.14),
tg -g- cos -y
(з-5-5)
Подставим производные C.5.3) —C.5.5) в C.5.2), тогда
Ф Ф
дф 4(H-tg2e)sin2^tg^-
v г Z . C.5.6)
Теперь определим производную угловой дальности по углу бро-
бросания
OF
т Ъ C.5.7)
Используя C.1.
i
и затем найдем
р
14),
dF
"о
2
5Фр
вычислим
2#
cos29
(l -f- tg
/ Ф
- I z tg u0 tg „
0
4)k-2tgeo
фр
tg ¦ 2 "¦
) sin2 -jp
C.5.8)
Вычислим теперь производную угловой дальности по начальному
радиусу
dF 8F д\
Ф7
где
—\- C.5.11)
cos2—н~

Э4 ГЛ. 3. ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
Тогда
д\ V2 v
f*-г- <3-5лз>
Дальность пассивного участка, измеряемая по поверхности Зем-
Земли, связана с угловой дальностью условием
LP = ROP, C.5.14)
поэтому производные дальности по начальным параметрам легко
зюлучить из найденных выше производных угловой дальности:
Ф Ф
0 *
15
7 = JZ %\ • C-5Л6)
Если высоты начальной и конечной точек траектории совпадают
= 1), то полученные формулы упрощаются:
Ф
. 2 р
S1T1 ~9~
2
vosm20o
C.5.19)
dLp o + ( + go)^
"^Г= v^ ' ( 0)
dL dL 3L
Значения производных-^-, -^-j -^г~ для различных дальностей
иассявного участка Lp и углов бросания 0о построены на рис. 3.12
и Г.13 в предположении, что fo = 1.

§ 3 5. ПРОИЗВОДНЫЕ КОНЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ
нм/град
-200
5000
10000
15000 L0,xy
Рис. 3.12. Производные дальности по начальной скорости и углу бросания при
го=1
о
км/км
to
30*
5000
10000
15000 ip,*M
Рис. 3.13. Производные дальности по начальному радиусу при ?о = 1

ГЛ, 3, ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИКИ
3.5.2. Боковое движение. Для оценки в линейном приближении
величины смещения конечной точки траектории от номинальной
плоскости движения используют производные бокового смещения В
по азимуту А о, боковой скорости Vbo и боковому смещению Во в
точке бросания.
Предположим, что в точке бросания имеет место ошибка по ази-
азимуту AAq, т. е. плоскость траектории пассивного участка оказыва-
оказывается повернутой вокруг начального радиуса-вектора го на величи-
величину АЛ0 относительно номинальной плоскости движения (рис. 3.14).
В результате возникает боковое смещение ко-
конечной точки от номинальной плоскости дви-
движения, причем в линейном приближении это
смещение можно вычислить по формуле
В = R sin ФрААо, C.5.21)
откуда
= RsinOp. C.5.22)
дВ
Появление боковой скорости АУьо, т. е. со-
составляющей скорости по нормали к номиналь-
номинальной плоскости движения, можно в линейном
приближении интерпретировать как ошибку по
начальному азимуту AAq. Из уравнения связи
=То 'Oos QqAAq C.5.23)
Рис. 3.14. Определе-
Определение бокового прома-
ха: 1 — номинальная
траектория; 2 — воз-
возмущенная траекто-
траектория
выразим АЛо и после подстановки в C.5.21)
найдем, переходя к пределу,
дВ Л sin Ф_
ьо
F0cosee
C.5.24)
Пусть теперь в начальной точке имеет ме-
место боковое смещение Во относительно номи-
номинальной плоскости движения. Требуется
определить боковое смещение В в конечной точке на поверхности
Земли. Для наглядности номинальную плоскость движения можно
представить на сфере радиуса R в виде некоторой «меридиональной»
плоскости, начальное боковое смещение задавать в плоскости «эква-
«экватора», а возмущенную плоскость движения — в виде другой «ме-
«меридиональной» плоскости, повернутой вокруг «полярной» оси на
угол Во/го относительно номинальной плоскости (го — радиус на-
начальной точки). Тогда угловую дальность Фр конечной точки мож-
можно рассматривать как ее «широту», а ее боковое смещение В — как
расстояние по «параллели» от номинальной плоскости. Отсюда
В
—°Лсо8Фр

§ 3.5. ПРОИЗВОДНЫЕ КОНЕЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ 97
И
дВ
дВ
(г0 = rjR). C.5.25)
Рассмотрим производные C.5.22) и C.5.24). Обе производные
достигают наибольшей величины при Фр = я/2, что соответствует
дальности пассивного участка Ьр = 10 000 км. При ФР = я
(LP = 20 000 км) эти производные обращаются в нуль, поскольку
радиусы-векторы начальной и конечной точек оказываются располо-
расположенными на одной прямой, а любые ошибки по азимуту или боко-
боковой скорости приводят только к повороту плоскости движения отно-
относительно указанной прямой.
Производная C.5.25) положительна при 0 < ФР < я/2, равна
нулю при Фр = я/2 и отрицательна при я/2 < Фр < Зя/2.

ГЛАВА 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Продолжим рассмотрение движения спутника в центральном по-
поле притяжения. В главе 2 основное внимание было уделено анализу
плоского движения спутника, для чего система координат выбира-
выбиралась так, чтобы ее оси располагались в плоскости орбиты спутника.
Подобный выбор системы координат упрощает исследования мо-
модельных задач и получаемые соотношения для описания движения
спутника. Если же учесть требования, которые предъявляются при
решении практических задач проектирования околоземных орбит
спутников или выбора межпланетных траекторий космических ап-
аппаратов, то система координат, связанная с плоскостью движения,
не всегда оказывается удобной для описания траектории. Например,
движение околоземного спутника обычно описывают в экваториаль-
экваториальной геоцентрической системе координат, декартовой прямоугольной
или полярной. Для описания межпланетных траекторий часто ис-
используют эклиптическую декартову систему координат, две оси ко-
которой располагаются в плоскости гелиоцентрической орбиты Земли,
а третья направлена к северному полюсу мира.
При анализе пространственной траектории спутника обычно рас-
рассматриваются следующие основные задачи. Во-первых, выбор сово-
совокупности параметров, позволяющих полностью описать простран-
пространственное движение. Во-вторых, определение пространственной тра-
траектории по результатам измерений некоторых величин, как правило,
не являющихся параметрами, которые используются для описания
движения. В-третьих, определение трассы спутника, т. е. совокуп-
совокупности точек пересечения текущих радиусов-векторов спутника с по-
поверхностью Земли (или другого небесного тела). Перейдем к по-
последовательному рассмотрению перечисленных задач.
§ 4.1. Основные элементы орбиты
Движение спутника относительно притягивающего центра опи-
описывается тремя уравнениями второго порядка B.1.6). Следователь-
Следовательно, чтобы полностью определить движение спутника, надо задать
шесть производных постоянных. Например, можно задать три коор-
координаты к три составляющие скорости в некоторой точке траектории.
Обычно в астрономии используются специальным образом подобран-
подобранные постоянные, с помощью которых удается наиболее просто и на-
наглядно определить движение спутника.

§ 4.1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
99
4.1.1. Выбор элементов орбиты. Шесть произвольных постоян-
постоянных, которые позволяют полностью определить положение спутни-
спутника в любой момент времени, называют элементами орбиты спутни-
спутника. Частично элементы орбиты были рассмотрены в п. 2.2.2, в том
числе и Q — долгота восходящего узла (или просто долгота узла).
Этот угол фиксирует положение вос-
восходящего узла относительно некото-
некоторого начала отсчета (рис. 4.1) и мо-
может изменяться в диапазоне
О < Q < 2я. D.1.1)
Был введен также угол ? между
плоскостью орбиты спутника и ос-
основной координатной плоскостью,
причем
О < ? < я. D.1,2)
Этот угол часто называют наклоне-
нием орбиты. Если 0<с &<-jp то дви-
движение спутника называют прямым, Рис.
а орбиту восточной, если же-^-*< /<я,
4.1. Параметры орбиты в
пространстве
то — обратным, а орбиту — западной. В случае ? = О и i = я плос-
плоскость орбиты спутника совпадает с основной координатной плоско-
плоскостью; тогда понятие долготы восходящего узла теряет смысл. Такую
орбиту называют экваториальной. При ? = я/2 плоскость орбиты
совпадает с меридиональной плоскостью. Это — полярная орбита.
Заметим, что для гиперболической и параболической орбит воз-
возможны случаи, когда существует только один узел, восходящий или
нисходящий, т. е. траектория пересекает линию узлов только в од-
одной точке. В подобных случаях полагают, что второй узел располо-
расположен на линии узлов в бесконечно удаленной точке.
С помощью углов Q и ? однозначно фиксируется положение плос-
плоскости орбиты в выбранной системе координат (экваториальной или
эклиптической). Чтобы определить положение линии апсид орбиты
в ее плоскости, следует задать угол со между восходящим узлом и
радиусом-вектором перицентра орбиты. Этот угол часто называют
аргументом перицентра, он может изменяться в пределах
0<со<2я. D.1.3)
Орбита в своей плоскости характеризуется эксцентриситетом е
и параметром р. Для привязки движения спутника по времени зада-
задают момент времени ta, когда спутник находится в перицентре.
Таким образом, для задания пространственного движения спут-
спутника в астрономии обычно используют следующие элементы орбиты:
Q, г, о, е, р, tB. D.1.4)
7*

100 ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Знание этих (или некоторых других) элементов орбиты позволяет
определить положение спутника и его скорость в любой момент вре-
времени t.
4.1.2. Положение и скорость спутника в пространстве. Пусть за-
заданы элементы орбиты D.1.4), а требуется определить координаты
и составляющие скорости спутника в экваториальной (эклиптиче-
(эклиптической) системе координат Fxyz (рис. 4.1) в произвольный момент
времени t. При этом будем полагать, что орбита спутника эллипти-
эллиптическая (для гиперболической и параболической орбит последователь-
последовательность вычислений остается такой же, но должны использоваться
соотношения, полученные ранее для этих орбит). Ось Fx направ-
направлена в точку весеннего равноденствия Т, которая на небесной сфере
соответствует линии пересечения плоскостей экватора и эклиптики
при переходе Солнца из Южного полушария в Северное.
Чтобы перейти от момента времени t к соответствующей ему ве-
величине истинной аномалии О, следует предварительно вычислить пс
формуле B.4.7) величину большой полуоси орбиты а = р/A — е2).
Далее, решая уравнение B.5.8), найдем эксцентрическую анома-
аномалию Е по значению At = t — ta, а затем с помощью форму*
лы B.5.6)—истинную аномалию О. ,
Зная истинную аномалию, можно из уравнения орбиты B.2.31)
определить г — расстояние спутника до притягивающего центра.
Радиальная Vr и трансверсальная Vn составляющие скорости вы-
вычисляются по формулам B.3.5) и B.3.7). Пусть г° и п° — единич-
единичные векторы, направленные соответственно по радиусу-"вектору и по
нормали к нему в плоскости движения. Тогда радиус-вектор
спутника
г = гг° D.1.5)
и вектор его скорости
у = 7гГо + 7„п°. D.1.6)
Чтобы определить векторы г и V в экваториальной (эклипти-
(эклиптической) системе координат Fxyz, надо определить в этой системе
координат единичные векторы г° и п°, т. е. найти их направляющие
косинусы.
Введем дополнительно орбитальную систему координат FXYZ,
ось FX которой направлена по радиусу-вектору спутника, ось FY
параллельна трансверсальной составляющей скорости Vn, а ось FZ
направлена по вектору С = гХ V (интегралу площадей). Переход
от системы координат Fxyz к системе координат FXYZ совершается
путем последовательных поворотов на углы Q, i и и = со + О.
Угол и называют аргументом широты. Матрицы, соответствующие
этим поворотам, имеют вид
Г cos й sin й 0 ]
D.1.7)

§ 4 1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ
101
1 0
О cos i
О — sin i
cos и
- sin и
О
0 1
os i J
inu 0"]
os и 0 I.
0 lj
D.1.8)
D.1.9)
3ini sin u~\
sin icos u. L
cos i J
Поэтому матрица М, отвечающая переходу от системы коордипат
Fxyz к системе координат FXYZ путем последовательных поворотов
на углы Q -*¦ i -*¦ и, будет вычисляться по формуле
[cos и cos Q — cos i sin и sin Q cos и sin Q+cos i sin и cos fi sin i
—sin и cos Q—cos i cos и sin fi —sin и sin Q-j-cos i cos и cos fi sin i cos
sin ? sin fi — sin i cos Q
D.1.10)
С помощью матрицы М любой вектор а, заданный в экваториаль-
экваториальной (эклиптической) системе координат Fxyz своими составляющи-
составляющими х, у, z, можно перевести в орбитальную систему координат
FXYZ, т. е. найти его проекции X, Y, Z:
аОр<5 = Д/аэ, D.1.11)]
или
D.1.12)
Обратный переход осуществляется с помощью обратной матрицы
М~\ которая получается транспонированием матрицы М (так как
матрица М — ортогональная):
аа =
D.1.13)
Вектор г° имеет в орбитальной системе координат составляю-
составляющие 1, 0, 0. Обозначим его составляющие в системе координат Fcryz
через г°х,
r°z, тогда
-га-
или
r% = cos и cos Q — cos i sin u sin Q,
у = cos и sin Q + cos i sin и cos Q,
l = sin i sin u.
D.1.14)
D.1.15)
Аналогично для вектора п°, который имеет в орбитальной
системе координат составляющие 0, 1, 0, найдем составляющие в

102
ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
системе координат Fxyz:
или
пх = —sin и cos Q — cos i cos и sin
щ = —sin м sin Q + cos i cos и cos
«z = sin i cos ц.
D.1.16)
D.1.17)
Итак, составляющие векторов г и V в экваториальной (эклипти-
(эклиптической) системе координат Fxyz имеют вид
x = rr°x, y = rr°y, z = rrl D.1.18)
Vx = Vrr°x + Vnnx, Vy = Vrrov + Vnnv, Vz = Vrr°z + Vnnz, D.1.19)
где
r= Irl
D.1.20)
— величина текущего радиуса-вектора спутника.
Рис. 4.2. Определение склонения
б и прямого восхождения а
Для описания положения спут-
спутника в экваториальной геоцентриче-
геоцентрической системе координат можно ис-
использовать сферические координаты
г, б, а. Радиус г определяет расстоя-
расстояние FM от центра масс Земли до
спутника (рис. 4.2). Склонение б —
это угол между радиусом-язектором
FM и плоскостью экватора. К северу
от экватора б > 0, а к югу б < 0. Из
прямоугольного сферического тре-
треугольника BNM (рис. 4.2) видно,
что
б = arcsin (sin i sin u).
Склонение может изменятыся в диапазоне
— i ^ б <! i при 0 <! i < -у,
— (тс — /)^б^я — I при -к- ^Li^n.
D.1.21)
D.1.22)
Прямое восхождение а — это угол между направлением на точ-
точку весеннего равноденствия Т (т. е. осью Fx экваториальной сис-
системы координат) и проекцией радиуса-вектора FM на экваториаль-
экваториальную плоскость. С помощью треугольника BNM найдем
а = Q + arctg(cos itg и). D.1.23)

§ 4 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ
Прямое восхождение изменяется в диапазоне
103
D.1.24)
г° в си-
гх = cos a cos б, ry = sinacos6, r\ = sin б. D.1.25)
Используя углы а и б, запишем составляющие вектора г° в си-
системе координат Fxyz:
§ 4.2. Определение орбиты по двум положениям и времени
Рассмотрим задачу определения орбиты спутника по двум его
положениям относительно притягивающего центра, которые задают-
задаются радиусами-векторами ri и гг соответственно в моменты времени t\
и h {t\<t2). Тип орбиты (эллипти-
(эллиптическая, параболическая, гиперболи-
гиперболическая) и направление движения
спутника будем считать известными,
что справедливо для большинства
такого рода задач небесной механи-
механики. Требуется вычислить основные
элементы орбиты D.1.4), т. е. найти
Й, г, со, е, р, tn.
Пусть векторы ri и гг не лежат
на одной прямой. Тогда еадание
двух векторов эквивалентно заданию
шести составляющих этих векторов,
зависящих от шести элементов орби-
орбиты. Установим связь векторов Г| и
г2 с элементами орбиты. Предполо-
жим, что составляющие векторов
Г1=(яь Уи zi) и Т2=(х2, г/2, z2) за-
заданы в геоцентрической системе координат (рис. 4.3). Найдем еди-
единичный вектор т°, перпендикулярный плоскости орбиты,
ниям спутника
т° =
Г1ХГ2
I Г1 X Г2 Г
Его составляющие в экваториальной системе координат:
Щ = — {x2zx — Xlz2),
D.2.1)
D.2.2)
где
D.2.3)
Пусть c° — единичный вектор внешней нормали к плоскости дви-
движения (при наблюдении с конца вектора с0 движение спутника

104 ГЛ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
направлено против часовой стрелки), тогда можно записать
с0 = ± m° sign mx. D.2.4)
Знак «+» выбирается в том случае, когда при наблюдении с конца
оси координат Fz движение спутника направлено против часовой
стрелки, а знак «¦—» отвечает движению по часовой стрелке.
Если плоскость орбиты совпадает с плоскостью меридиана
(mz = 0), то
с° = ±т0, D.2.5)
причем знак выбирается так, чтобы при наблюдении с конца векто-
вектора с0, расположенного в плоскости экватора, движение спутника
было направлено против часовой стрелки.
Найдем теперь наклонение i и долготу восходящего узла Q.
Соотношения D.2.4) и D.2.5) задают составляющие вектора с0 =
= (сх, су, cz) в экваториальной системе координат Fxyz. С другой
стороны, в орбитальной системе координат FXYZ с°=@, 0, 1).
Учитывая преобразование D.1.14) и матрицу D.1.10), получим
сх= sin i sin Q, cy = — sin i cos Q, cz = cosi. D.2.6)
Последнее равенство D.2.6) позволяет однозначно определить на-
наклонение орбиты
i = arccos cz, D.2.7)
так как 0 < i < я. Чтобы вычислить долготу восходящего узла, вос-
воспользуемся двумя первыми равенствами D.2.6):
^ X D.2.8)
-^r, cosQ = —-X.
sin i ' sin i
Углы Qni полностью определяют плоскость движения спутника.
Перейдем теперь к вычислению элементов орбиты е, р, ш, кото-
которые задают ее геометрию и положение в плоскости движения. Пред-
Предварительно найдем разность истинных аномалий двух заданных по-
положений спутника:
cosAft~y' + i^ + *'\ D.2.9)
sin АО = co-m°-i^i^i. D.2.10)
i a
Действительная разность истинных аномалий может отличаться от
вычисленной по формулам D.2.9), D.2.10) на 2пк, где к =
¦= 0,1, 2, ...— число полных оборотов спутника за время движения
от первого положения до второго (к > 0 возможно только для эл-
эллиптической орбиты).
При расчете элементов орбиты вместо эксцентриситета е удоб-
удобнее вычислять большую полуось а, которая связана с эксцентриси-

§ 4 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ
105
тетом условием B.4.7)
а =
1 - е*
в случае эллиптической орбиты и условием B.4.23)
Р
а =
в случае гиперболической орбиты. Отсюда для эллиптической ор-
орбиты
а для гиперболической
D.2.12)
Покажем, как по двум фиксированным положениям спутника
в известные моменты времени определить элементы орбиты в пло-
плоскости движения [58, 59, 62]. При этом отдельно рассмотрим случаи
эллиптической, гиперболиче-
гиперболической и параболической орбит.
4.2.1. Эллиптическая орбита.
Если величина большой полу-
полуоси а известна, то эллиптичес-
эллиптическая орбита полностью опреде-
определяется положениями своих фо-
фокусов. Один из фокусов (F\)
всегда совпадает с притягиваю-
притягивающим центром. С помощью про-
простых геометрических построе-
построений найдем положение второго
фокуса.
Вычислим расстояния точек
М\ и Л/г до второго фокуса F2
г1 = 2а — rt, г2 = 2а — г2
D.2.13)
и построим окружности радиу- Рис- 4.4. Построение эллиптических ор-
f f бит, проходящих через две точки
сов г1? г2 с центрами соответ-
соответственно в точках М\ и М.2 (рис. 4.4). Точки пересечения окружно-
окружностей определяют возможные положения второго фокуса F2 и Ft,
Условие существования точек пересечения
или с учетом D.2.13)
D.2.14)

106 ГЛ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
где
* = V Л + r\ - 2rxr% cos АО D.2.15)
длина отрезка, соединяющего точки М\ и
Если
D.2.16)
то существует одна общая точка F'2 = F (окружности касаются).
При
a<-j(r1 + r2 + s) D.2.17)
решение не существует в рассматриваемом классе эллиптических
орбит с фиксированной величиной большой полуоси.
Пусть выполнено условие D.2.14); тогда переход из точки М\
в точку Mi возможен по двум эллиптическим траекториям при дви-
движении по часовой стрелке (показаны пунктиром на рис. 4.4) и по
двум эллиптическим траекториям при движении против часовой
стрелки (показаны сплошными линиями на рис. 4.4). Если второй
фокус оказывается вне эллиптического сегмента, ограниченного
прямой М\Мч и траекторией перелета, то такую траекторию будем
называть эллиптической орбитой первого рода. Это траектории
M\SYM<i и M\NMi. Если второй фокус оказывается внутри указан-
указанного сегмента, то такую траекторию будем называть эллиптической
орбитой второго рода. Условию D.2.16) отвечает граничная, эллип-
эллиптическая орбита, когда второй фокус оказывается на прямой М\Мч.
Покажем способ вычисления большой полуоси в рассматривае-
рассматриваемой постановке задачи. Связь большой полуоси а с заданными ве-
величинами радиусов и, гг, угла между ними АО и временем перелета
At = ?2 — ti устанавливается уравнением Ламберта. Для получения
этого уравнения предварительно вычислим площадь эллиптического
сектора, ограниченного радиусами п, гг и стягивающей их дугой
эллипса. Удвоенная площадь такого сектора определяется инте-
интегралом
ф= f
D.2.18)
где Oi и Ог — истинные аномалии точек М\ и Л/г-
Запишем уравнение орбиты через эксцентрическую аномалию Е.
С этой целью подставим соотношение B.5.4) для cos О в уравнение
орбиты B.2.31). Тогда получим
р р A — е cos E)
cosF
е
1 — е cos E

§ 4 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ 107
или с учетом B.4.7)
r = a(l-ecos?). D.2.19)
Производные истинной и эксцентрической аномалий связаны соот-
соотношением B.5.7)
— ecos E
dE.
Переходя теперь в D.2.18) к эксцентрической аномалии, вычис-
вычислим интеграл
Ч
Ф = а2 /Г^~ё \ A — е cos E) dE =
Положим
тогдй
= а2 /l — e2 [Е2 — Ex — e (sin Е2 — sin Et)] =
2 _ ^ _ 2е sin ^2~^ cos
С7 I Е7
e cos 2 "^ г = cosZ @<Z<n), D.2.20)
Ф = 2а2Г1-е2(^ - sin d cos Z). D.2.21)
С помощью уравнения орбиты D.2.19) установим связь d, I
и г\, г2:
Г\ = аA — е cosEi), ri = а{\ — е cos ?2);
отсюда
rt + г2 = 2а — ае (cos ^j + cos E2) =
= 2A— 2ае cos -^—^—^cos * 2 2 = 2а — 2а cos Z cos d. D.2.22)
Для определения длины хорды s, соединяющей точки Mi и Л/г,
рассмотрим декартову прямоугольную систему координат F^t]
(см. рис. 2.11). В этой системе координаты произвольной точки
эллиптической орбиты задаются соотношениями
I = a cos Е - ае, г\ = Ъ sin Е = аУ 1 - е2 sin ?; D.2.23)
следовательно, длина хорды
= a /(cos ?2 — cos Etf + A — е2) (sin E2 — sin EjJ =
= 2а |/"si
sin2 ^±^ sin2 5LZ?l + A - О cos2
1 —
1 — e2 cos2 2 2 * = 2a sin d sin I D.2.24)

108 ГЛ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Найдем далее с учетом D.2.22) и D.2.24)
П + r2 + s = 2а [1 - cos (d + Z) ],
П + Г2 — s = 2a [1 — cos(d — I)}.
Обозначим
8 = d + Z, б = Z — d;
тогда формулы D.2.25) можно привести к виду
~ 2 4a ' ~~ 2 4«
Согласно D.2.26) имеем
d=e-8 7 e + S
2f ' 2
и после подстановки в D.2.21) найдем
= 2а у 1 — е2 —ту sin —^— cos
D.2.
D.2.
D.2
D.2
25)
26)
.27)
.28)
=
)
= a /l — е2 [е — sin е — (б — sin б)], D.2.29)
где углы е и б определяются с помощью соотношений D.2.27).
Для однозначного вычисления углов е и б необходимо иметь допол-
дополнительную информацию относительно эллиптического сектора
M1F1M2. Чтобы упростить дальнейший анализ, ограничимся слу-
случаем
2-Oi), D.2.30)
который имеет наибольшую практическую значимость в задачах ме-
механики космического полета. В указанном случае 2d = Е2 — Е\ <
<2яи
0<^<я. D.2.31)
Согласно D.2.20) 0 < I < я; отсюда с учетом D.2.26)
0<8<2я D.2.32)
и
О 1 П
sin-l>0 D.2.33)
для всех взаимных расположений точек Mi и Mi.
Определим теперь знак sinF/2). С этой целью проведем неко-
некоторые предварительные преобразования. Умножив формулу B.5.4)
на D.2.19), получим
rcosO = a(cos?-e). D.2.34)
В результате вычитания этого соотношения из D.2.19) и сложение
его с D.2.19) имеем
r(l -cosO)=a(l + e)(l -cosЯ),
cos#),

§ 4 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ 109
ИЛИ
У г sin у = Ya (I + е) sin —,
* _^ я D.2.35)
У т cosу = У а A — е) cos-y.
Используя D.2.35), вычислим
]^r^"cos^-= "/г^ ( cos у cos -у + sin-^-sin-j-J =
E1 E9 E. E9
= a A — e) cos ~ cos -y + a A + <?) sin -y sin -j- =
Г E E E Ег I E E . E E Y\
= a cosycosy + sin -j-sin-^ — el cos -^cos-y — sin-±sin-y I ==
= a ! cos -=—к—- — e cos
или, принимая во внимание D.2.20),
Yr{r% cos-y = a(cosd—cos I)- D.2.36)
Подставим сюда d ж I согласно D.2.28) и окончательно получим
Уг\Гъ cos-^- = a [cos ^-^ cos ^-4— |,
i \ i г )
жли
Vrtr2 cos -к- = 2а sin 4 sin —. D.2.37)
Согласно D.2.33) siny>0, поэтому
sign sin у = sign cos-у. D.2.38)
В зависимости от величины угла АО = Ог — Ъ\ между векторами
3*1 и гг возможны следующие случаи:
с
siny]>0, если 0
б
sin у < 0, если я
D.2.39)
Определим теперь знаки cos(e/2) и cosF/2). Предположим, что
расстояние М\Мъ бесконечно мало; тогда
Еа — Ел
d = 2 1 ^0, е = б = I.
Но 0 < I < п; отсюда ^"Т^У и
cos~>0, сое у > 0,

110 ГЛ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Заметим, что cos(e/2) = 0, если sin2(e/2)=l. В последнем случае
согласно D.2.27)
П + гч + s = 4а,
откуда
s=Ba-rl) + {2a-r2),
или
s = гг + г2,
т. е. второй фокус эллипса Fi находится па хорде, соединяющей
точки М\ и Mi.
Рассмотрим изменение знака cos(e/2) в зависимости от угло-
углового расстояния между М\ и Mi. При малом угловом расстоянии
cos(e/2)>0. По мере увеличения углового расстояния наступает
момент, когда хорда проходит через второй фокус эллипса. Для та-
такого положения точек М\ и Mi имеем cos(e/2)=0. При дальней-
дальнейшем увеличении углового расстояния cos(e/2)<0. Если в процессе
увеличения углового расстояния хорда не проходит через вто-
второй фокус эллипса Fi, то cos(е/2) >0 при любом взаимном поло-
положении точек М\ и Mi.
Теперь определим условия, при которых cosF/2) =0. Если это
равенство выполнено, то sin2(8/2) = l, и согласно D.2.27)
т\ + п — s = 4а,
или
_ s = г'х ¦+ г'2,
что невозможно в силу положительности s, rlf r2. Следовательно,
cos-j>0 D.2.40)
при любом взаимном расположении точек М\ и Mi.
Теперь можно клаосифициравать все случаи определения удвоен-
удвоенной площади эллиптического сектора Ф в зависимости от располо-
расположения точек М\ ж Mi. С этой целью введем углы
0<80<л, 0<б0<л, D.2.41)
определяемые равенствами
sinf=
и рассмотрим три возможных случая.
Эллиптический сектор первого рода. Пусть эллиптический сег-
сегмент, ограниченный хордой М\М2 и траекторией движения спутни-
спутника от М\ к Mi, не содержит фокусов F\ и F2. Этот сегмент выделен
на рис. 4.5, а штриховкой. В указанном случае 0 < ЛФ < л и удво-
удвоенная площадь эллиптического сектора будет вычисляться по фор-
формуле вида D.2.29):
Ф = аЧТ^72 [€0 - sin е0 - F0 - sin б0) ]. D.2.43)

$4 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ
111
Пусть теперь сегмент содержит фокус F\, но не содержит фоку-
фокуса F2 (рис. 4.5, б). Тогда jx < АО < 2я и с учетом условий
D.2.33), D.2.39) —D.2.41) получим
sX)
Следовательно,
и
cos-|->0, siify<0,
е = 8о, б = —<
Ф = а?У 1 - е2 [е0 - sin 80 + (б0 - sin б0) ]. D.2.44)
Эллиптический сектор второго рода. Предположим, что сегмент
м.
м,
г д
Рис 4 5 Классификация возможных случаев в задаче Ламберта
содержит фокус F2, но не содержит фокуса F\ (рис. 4.5, в). В этом
случае
со
sin-|->0, cos-|-<0, sin-j>0, cos-j>0
= я
2' 2
2 '
откуда
ф = Л2У1 - e2 [2jx - 80 + sin 80 - F0 - sin 60) ]. D.2.45)
Бели сегмент содержит оба фокуса (рис. 4.5, г), то п < ДО < 2%
и справедливы соотношения
sm~;>Ul cos-~-
)in-7r-<C0, cos-s->0.

112 ГЛ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Таким образом,
у = Я — -j, —=— —
Ф = а2У 1 - е2 [2л - 80 + sin 80 + (б0 - sin б0) ]. D.2.46)
Формулы D.2.43) — D.2.46) можно объединить в две, для эллип-
эллиптических секторов первого рода
Ф, = а2У1-е2[80 - sin 80 =F (бо - sin бо) ] D.2.47)
и для эллиптических секторов второго рода
Ф2 = а2П — е2 [2я — (8о — sin е0) =F (б0 — sin б0) ]. D.2.48)
Знак «—» здесь соответствует условию 0 < АО < 2я, а знак «+»
берется при я < АО < 2я.
Граничный эллиптический сектор. Пусть выполнено условие
г\ + Г2 + s = 4а (рис. 4.5, д), тогда
.8 е б (>° ПРИ 0<АО<я, б
I II <" () ппи jr <? АО <? In. 2
и
б0 при 0< АО<я,
е - я, б = |
В этом случае
Фгр = а2У1 - е2[я +(б0 - sin 60)J, D.2.49)
а знак выбирается по величине угла АО, как и прежде.
Используем формулы D.2.47) —D.2.49), определяющие удвоен-
удвоенную площадь эллиптического сектора, для получения уравнения
Ламберта. Согласно B.2.29) удвоенная секториальная скорость
С = Ум^ D.2.50)
и на основании второго закона Кеплера можно записать ура1внение
Ламберта
А* = -^, D.2.51)
У lip
где Д? = ?г — t\. Это уравнение устанавливает связь между величи-
величинами п + Г2, s, А? и а, так как сомножитель УаA—е^)= У/?, входя-
входящий в формулу для Ф, сокращается с величиной Ур в знаменате-
знаменателе D.2.51). Величину хорды s можно вычислить по формуле
s = y(x2-xly+(y2-ylJ + (z2-zlJ D.2.52)
через известные составляющие векторов Г] и гг в экваториальной
системе координат.

§ 4 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ИЗ
По существу D.2.51) является трансцендентным уравнением от-
относительно большой полуоси а, которое при 0 < АЬ < 2я имеет
единственное решение. Можно показать, что при ДФ > 2я в зависи-
зависимости от величины At существуют одно или два решения. В случае
одного решения имеем эллиптическую орбиту первого рода. При
наличии двух решений одно из них всегда определяет эллиптичес-
эллиптическую орбиту первого рода, а второе — эллиптическую орбиту первого
или второго рода, либо же граничную эллиптическую орбиту [62].
Будем полагать теперь, что величина большой полуоси а най-
найдена из решения уравнения Ламберта. Вместе с ней определяются
углы е и б. Обсудим последовательность вычислений параметра ор-
орбиты р, эксцентриситета е и аргумента перицентра со. Аргумент ши-
широты щ = со + 1&1, используемый при вычислении со, можно найти
из скалярного произведения единичного вектора г" = (г°х, г\у, г°г)
и единичного вектора rg = (cos ?2, sin ?2, 0), направленного из на-
начала экваториальной системы координат в восходящий узел орбиты:
их = arccos (r°xcos?2 + rlysin?2). D.2.53)
Чтобы однозначно определить угол щ, воспользуемся условием
sign sin ux = sign r°z, D.2.54)
которое следует из последнего соотношения D.1.15). Для вычис-
вычисления аргумента перицентра со необходимо предварительно найти
истинную аномалию Фь С этой целью вычислим с учетом уравнения
орбиты D.2.19)
/ Ел-\-Е„ Е9 — ЕА
ri + Г2 = 2а I 1 — е cos ——~—- cos —^-»—- .
\ i i )
Отсюда
& О (Jo с\ —" i X ¦¦'" _ I э"О • (Q, ^j »OO /
Аналогично найдем
. Е +Е Е -Е
г2 — rx = lae sin —1—~—- sin —^-=—-
и
esin-Цг—1=-2——1 csec —2——1. D.2.56)
Далее, используя формулы D.2.20) и D.2.28), запишем
E\El =d = ^. D.2.57)
Следовательно, правые части D.2.55) и D.2.56) выражены через
известные величины, и эти соотношения можно рассматривать в ка-

114 ГЛ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
честве уравнений относительно е и {Е\-\- Ei)l2. Разделив D.2.56)
на D.2.55), получим уравнение для определения {Е\+ Ei)/2:
t * + * Г~Г efi
g
2 ~ 2а — г — г Clg 2
1 2
При вычислении угла (Е\ + Е%)/2 следует учитывать знаки
sin ——2—? и cos
согласно D.2.55) и D.2.56). Зная теперь величину (Е\ + Е2)/2,
можно по формуле D.2.55) или D.2.56) вычислить эксцентриситет
•орбиты е. Затем из системы уравнений
определяются эксцентрические аномалии Е\, ?"г, а по форму-
формуле B.5.6)— истинные аномалии Oi, Ог. По величине Oi можно най-
найти аргумент перицентра:
а = щ-&1. D.2.60)
Для вычисления параметра орбиты р по известным величинам
большой полуоси а и эксцентриситета е орбиты имеем простую
формулу
р = аA-е2). D.2.61)
Наконец, определим время пролета перицентра с помощью уравне-
уравнения Кеплера:
^ — esin ЕЛ. D.2.62)
tn = t1 ^lE
Ум-
Этим завершается вычисление элементов эллиптической орбиты Q,
г, со, р, е, in по двум заданным положениям спутника в известные
моменты времени.
4.2.2. Гиперболическая орбита. Предположим, что заданы два
положения спутника М\ и Мч на гиперболической орбите с величи-
величиной действительной полуоси а. Найдем величины расстояния этих
точек до второго фокуса F2, т. е. гг и га, по известным величинам
Г\ и гг расстояния до притягивающего центра F\i
г[ = 2а + г1? г'г = 2а + г2. D.2.63)
Построим в центрах М\ и Afj окружности раджусом rt и га

§ 4 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ
115
(рис. 4.6). Эти окружности всегда пересекаются в двух точках, по-
поскольку
ri + Г2 = 4а + гх + г2 > ,9.
Действительно, из треугольника MiFiM2 следует, что п + гг > s;
тем более, 4а + п + гг > s, так как а > 0. Точки пересечения окруж-
ностеи v^2 и г 2) определяют возможные положения второго фоку-
фокуса. Выбор F2 или F2 подчинен требованию расположения F\ и вто-
второго фокуса по разные стороны от траектории движения: при
ДО < я фокусы F\ и F2 расположены по разные стороны от пря-
прямой MiM2, а при ДО > я фокусы Fi
и F2 расположены по одну сторону
от прямой M\Mz. Следовательно, для
гиперболической орбиты рассматри-
рассматриваемая задача имеет единственное
решение в случае задания угловой
дальности ДО или направления дви-
движения.
Из-за незамкнутости орбиты угол
ДО между точками Mi и Мч удов-
удовлетворяет условию
0 < ДО < 2я.
Рис 4 6 Построение гиперболи-
гиперболических орбит, проходящих череа
две точки
Кроме того, ни при каких положе-
положениях точек Mi и Мч гиперболи-
гиперболический сектор, выделяемый радиусами п, гч и дугой траектории
Л/1Л/2, не будет содержать второго (непритягивающего) фокуса F4.
Поэтому в случае гиперболической орбиты можег иметь место толь-
только сектор первого рода, когда гиперболический сегмент, ограничен-
ограниченный дугой траектории между точками Mi и Л/г, а также хор-
хордой Л/1Л/2, не содержит второго фокуса.
Пусть Hi и Яг — значения аргумента Н в точках Mi и Мч ги-
гиперболической орбиты. Найдем площадь гиперболического сектора
M1F1M4. Согласно уравнениям B.5.20), D.2.50) и D.2.51) удвоен-
удвоенная площадь гиперболического сектора
фг = а у ар [е {sh.H2 — shi/^) — (Н2 — Нх)] =
= a Yap [2gsh^~^ch^±^ - {II2 - ЯхI.
Введем обозначения
Н—Н
d =
2 1
2 , „- . 2 (Z>0) D.2.64)
B = d+l, 8 = l-d, D.2.65)

116 ГЛ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
откуда
D.2.66)
Преобразуем теперь с учетом введенных обозначений формулу для
удвоенной площади гиперболического сектора:
Фг = 1а Уар (sh d ch Z — d) =
= 2а Vap (у [sh (d + I) — sh (d — I)) — d\=a Ya~p [sh 8—8—(sh б—б)].
D.2.67)
Выразим входящие в D.2.67) величины е и б через п, гг и АО.
Предварительно из уравнения гиперболической орбиты B.5.15)
найдем
ri = а(е ch #i - 1), г2 = а(е ch Я2 - 1), D.2.68)
тогда
Г1 + га = 2а (.ch^tbchMi - l),
жли с учетом D.2.64)
п + г2 = 2a(chcZch I - 1). D.2.69)
Затем установим связь между радиусами п, г2, величиной угла
АО = Ог — Oi и хордой 5. Но сначала получим некоторые вспомога-
вспомогательные соотношения. Согласно первому уравнению B.5.14)
г cos О = а (е — ch H),
отсюда -с учетом уравнения орбигы B.5.15) найдем
r(l-casO)=a(ech#-l-e+ch#) = a(e + l)(ch#-l),
D.2.70)
Учитывая соотношения
1 + cosO = 2cos2y> I —cosO = 2sin2-|-,
ch Я -f 1 = 2 ch2 ~, ch - 1 = 2 sh2 ^,
преобразуем формулы D.2.70) к виду
г cos -я- — У a (с — 1) ch -s-,

§ 4 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ 117
а затем вычислим
/r^fcos-fcos-f
-^ch-^- + а (е + l)sh-^-sh^-.
ила
Я. 4- Я„ Я — Я,
2
ж окончательно, используя D.2.64),
/ry^cos ^- = a(chl — chd). D.2.71)
Из треугольника M\F\M2 имеем
$ъ = г\-\-г\ — 2г1гг cos АО = (гх + г3J— 4^^ cosa -^-f
ж после подстановки соотношений D.2.69), D.2.71) вычислим
s* = 4a2{chdchl- IJ - 4a2(chl- chdJ =
откуда
s = 2ashdshl D.2.72)
Теперь, используя D.2.69) и D.2.72), найдем
rl + r2 + s = 2a[ch(d + l)-l]1
D 2 7Я^
r, + r2-s = 2a[ch(d-Z)-l], l^./^;
а затем с учетом D.2.65) получим
sh2— = Г1 + Г2 + * sh2 — - Г1 + Г2~^ Г4 2 74Ъ
sn 2 4а ' S 2 ~~ 4а ' \Ь.&.1Ь)
Для однозначного определения величин 8 и б из соотношений
D.2.74) следует установить их знаки. Так как Яг > #ь то d =
= (#2 — H\)j2 > 0. Кроме того, по определению Z>0, поэтому всегда
выполняется условие
е>0. D.2.75)
Преобразуем правую часть формулы D.2.71) с учетом D.2.65)
a (ch I — ch d) = 2а sh—t— sh —к— = 2ash -|-sh -y,
тогда
rxr% cos ~y = 2a sh -y sh —.
Отсюда
signjsh -1 - sign cos ^, D.2.76)

118 ГЛ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
так как sh(e/2)>0. Следовательно,
О<я; б<0приА#>я. D.2.77>
Вводя обозначения вида D.2.42) теперь уже для гиперболиче-
гиперболических функций
получим с учетом D.2.67) общую формулу для удвоенной площади
гиперболического сектора:
Фг = аУар [sh ei - ei =F (sh 6i - 6i) ]. D.2.79)
Здесь знак «—» отвечают случаю ЛФ < я, а знак «+» соответствует
случаю ЛФ > я.
Подставляя удвоенную площадь гиперболического сектора в
D.2.51), получим уравнение для определения действительной по-
полуоси а в случае гиперболической орбиты:
о /о
М = -^-j=- fsh ex — 6l =F (sh \ — 6^], D.2.80)
где Ai = t2 — ti.
Теперь остается определить эксцентриситет е, параметр р и ар-
аргумент перицентра о). Предварительно найдем, используя D.2.68),
2a
г. 4- i
2a
а затем —
e sh 9. "" я2 — Я1
D'2-81)
j
2
Отсюда получим формулу для вычисления эксцентриситета
где согласно D.2.64), D.2.66), D.2.77) и D.2.78)
?^5._,1_«^«_Ц^ D.2.83)
(знак «—» берется в случае ЛФ<л;, а знак «+» отвечает случаю

§ 4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ
119
Далее, по формуле
р = а(е2 —
D.2.84)
вычислим параметр гиперболической орбиты. Расчет элементов ги-
гиперболической орбиты завершается вычислением величины
(#1 + #г)/2 с использованием D.2.81), которая в совокупности в
D.2.83) позволяет найти #i и #2, затем истинную аномалию Oi
(или Ог) из условия
#..
— 1 6 2
D.2.85)
и аргумент перицентра
со = их -Ъх D.2.86)
Угол Oi/2 может находиться только в первой
Рис. 4.7. Построение параболиче-
параболических орбит, проходящих через две
точки
(или со = кг — ^
или четвертой четверти, посколь-
поскольку для гиперболической орбиты
—я <$ <л.
Для вычисления времени про-
пролета перицентра имеем формулу
о/о
tn = t1-~=-(eshH1-H1).
D.2.87)
4.2.3. Параболическая орбита.
Построим вокруг точек М\ и М2
окружности радиусов п и г2. Об-
Общая касательная к этим окружно-
окружностям является директрисой иско-
искомой параболы. Если направление
движения не задано, то двум касательным АВ и А'В\ расположен-
расположенным по разные стороны от притягивающего центра, отвечают две
возможные параболические орбиты с угловыми дальностями ЛФ < п
и АО>я (рис. 4.7). Если направление движения задано или из-
известна угловая дальность АО, то возможна одна параболическая
орбита.
Вычислим удвоенную площадь, которую заметает радиус-вектор
при движении по параболической орбите
или
Здесь
D.2.88)
2 — начальное и конечное значения истинной аномалжи.

120 ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Из треугольника FM\M2 (рис. 4.7) имеем:
ДА
ой —— I *• , *• 1* ..,_ /|,у у Г*1ЧЛ __—
о 1/ -1 ^ '2/ 12 ""^ л *
Отсюда
2 Vrxr2 cos-2- = db Wi 4- r2 + 5) (гх + r2 — 5).
Верхний знак перед корнем соответствует случаю АО < я, а ниж-
нижний — случаю АО > я. После подстановки в левую часть величин
П и 7*2 из уравнения параболической орбиты получим первое вспо-
вспомогательное соотношение
1 + tgi- tg-^- = ± 4" V>i + ^2 + *) (^ + гя - *). D.2.89>
Далее вычислим
р ( 2 Ах 2 <
и с учетом D.2.89) найдем второе вспомогательное соотношение
tg -f - tg -f = -i=r
Подставляя оба вспомогательных соотношения в D.2.88), опреде-
определим удвоенную площадь параболического сектора через параметр
орбиты р, начальный и конечный радиусы г\, гг, а также стягиваю-
стягивающую их хорду s:
Фпар = ^ [(гх + г2 + б)з/2 й= (Г1 + г2 - 5)з/2]. D.2.90)
Здесь знак «—» берется при угловой дальности АО < я, а знак
«+» отвечает условию АО > я.
Используя заданное время движения по параболической орбите
А?Пар = ?2 — ii и уравнение D.2.51), запишем формулу Эйлера, свя-
связывающую время с геометрическими характеристиками движения
(п, Гг, s):
А^пар = ^= [(Г, + Г2 + 5K/2 Н= (ГХ + Г2 - 5K/2]. D.2.91)
При выполнении условия А? = А?пар орбита является параболи-
параболической (а = °°). Вычислим параметр параболической орбиты. Пред-
Предварительно из уравнения орбиты
1 + cos А
найдем
i=]/^, cos^=co

§ 4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ 121
Преобразуем второе равенство D.2.92) с учетом первого:
/~Р~ Д* мГ~л ~
2^cost--^ i
Отсюда
2F;-
U D2-93)
2 sin
2
Зная величину /?, можно из первого равенства D.2.92) вычислить
истинную аномалию di, а затем аргумент перицентра
ю = И1-01. D.2.94)
Наконец, по формуле B.5.24) определим время пролета перицентра:
Случаем параболической орбиты закончим рассмотрение задачи
¦определения основных элементов орбиты по двум заданным поло-
положениям КА и времени перелета между ними.
Если тип орбиты заранее не известен, то предварительно сле-
следует вычислить величины Л?пар по формуле D.2.91) и
(Т) Ч /2
Л*ГР = ^ = ау= [я + (б0 - sin б0)]. D.2.96)
Сравнивая заданную величину Л? с Лгпар и А^гр, можно установить
тип орбиты. Действительно, при
имеем эллиптическую орбиту второго рода, при
А* = А?гр
орбита является граничной эллиптической, а при
получим эллиптическую орбиту первого рода. Понятно, что в
случае
А? = А^цар
реализуется параболическая орбита, а при
А?'< А^Пар
орбита должна быть гиперболической.

122 ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Кратко обсудим особые случаи определения орбиты, когда за-
заданные точки Mi, M.2 и притягивающий центр F расположены на
одной прямой. Если точки М\ и М2 находятся по разные стороны
от притягивающего центра (А€> = л), то для построенжя траектории
необходимо задаться плоскостью движения и установить направле-
направление движения, поскольку в каждой плоскости возможны две подоб-
подобные траектории, различающиеся направлением обхода притягиваю-
притягивающего центра. Решение задачи проводится при условии
П + г2 = s,
и в зависимости от заданного времени перелета Л? может реализо-
реализоваться любая из рассмотренных выше траекторий.
Если точки Ii и 12 находятся по одну сторону от притяги-
притягивающего центра, то траектория оказывается прямолинейной (эл-
(эллиптической любого рода, гиперболической, параболической). За-
Заметим, что этот случай сравнительно редко встречается в задачах,
механики космического полета.
В тех случаях, когда угловая дальность ЛФ > 2я, задача не-
несколько усложняется, но орбита может быть только эллиптической.
Решение задачи для случаев прямолинейной орбиты и случаев.
ЛФ > 2зх подробно рассматривается в работе [62].
§ 4.3. Определение орбиты по измерениям положения
и скорости
Для определения элементов орбиты спутника могут использо-
использоваться измерения его положения и скорости, что позволяет упро-
упростить вычисления. При определении орбиты спутника с помощью»
наземного измерительного комплекса обычно проводятся несколько
сеансов с большим числом измерений в течение каждого сеанса.
Как правило, результаты измерений содержат методические и слу-
случайные ошибки. В этой ситуации возникает задача рационального
использования избыточной информации для более точного опреде-
определения элементов орбиты спутника.
Ниже обсуждаются способы решения перечисленных задач.
4.3.1. Использование измерений положения и скорости. Пред-
Предположим, что в результате проведенных измерений определен ра-
радиус-вектор го и вектор скорости Vo в момент времени /о, причем
эти векторы не коллинеарны. Определим элементы орбиты
спутника.
Плоскость орбиты фиксируется с помощью единичного вектора
нормали, направленного по векторному интегралу площадей
X У„
С° =
KXVo
D.3.1)
Если сх, су, сг — составляющие вектора с0 в экваториальной си-
системе координат Fxyz, то наклонение орбиты и долготу восходя-

§ 4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ
123
тцего узла можно вычислить с использованием формул D.2.7) и
D.2.8):
i = arccos cz
sin ?2 = -r1—., cosQ =
Модуль векторного интеграла площадей C=|roXVol позволяет
определить по формуле B.2.29) параметр орбиты
= С2
-а с помощью интеграла энергии B.2.1)
п — = ГЬ
но формуле B.2.32) можно найти эксцентриситет орбиты
По величине эксцентриситета однозначно определяется тип орби-
орбиты. При е < 1 орбита эллиптическая, при е > 1 — гиперболическая,
а в случае е = 1 — параболическая.
Чтобы вычислить истинную аномалию fto в момент времени ?о,
воспользуемся формулами для радиальной B.3.5) и трансверсаль-
ной B.3.7) составляющих вектора скорости. Тогда
где
Vro-
D.3.2)
D.3.3)
Аргумент широты мо определяется из следующих соотношений:
cos и0 =
sin ип =
sign roz
D.3.4)
где tq = (cos Q, sin Q, 0) — единичный вектор, направленный из
притягивающего центра в восходящий узел, rOz — проекция г0 на
ось Fz. Далее найдем аргумент перицентра
(йо = щ — "&Q. D.3.5)
Для определения времени пролета перицентра tn следует вос-
воспользоваться знанием типа орбиты. Если орбита эллиптическая, то
предварительно вычисляется эксцентрическая аномалия с исполь-

124 ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
зованием формулы B.5.6)
а затем из уравнения B.5.8) — <время пролета перицентра
о/о
Здесь величина большой полуоси
о/о
a= p
1-е*'
Если орбита гиперболическая, то сначала определяется величи-
величина Но по формуле B.5.17)
а затем время пролета перицентра
3/2
tn = h - ^ (е sh Яо - Яо), D.3.9)
где
p
а =
В случае параболической орбиты время пролета перицентра вы-
вычисляется по формуле
^ ^ <4-зло>
4.3.2. Использование многих измерений. В реальных ситуациях
измерительная информация обычно содержит ошибки, скак методи-
методические (систематические), так и случайные. Пусть в результате
измерений определяется некоторая величина /,, которая связана с-
элементами орбиты заданным соотношением
h = Fx{i, Q, со, р, е, tn), i=l, 2, ..., п. D.3.11>
Если п = 6, то в принципе возможно определить все шесть элемен-
элементов орбиты, независимо от сложности функций F%. Вычисленные
таким способом элементы орбиты будут неточными из-за ошибок
измерений. Предположим теперь, что п > 6. Число уравнений пре-
превышает число искомых параметров, т. е. система является переоп-
переопределенной. Покажем, как избыточная измерительная информация
может быть использована для уточнения элементов орбиты.
Обозначим элементы орбиты через Х\, ..., х$ и t% — момент вре-
времени проведения г-го измерения. Общее число измерений п > 6.
В этом случае имеем систему п > 6 уравнений
Fi(xu ..., a*, U) = f{, i = l, 2, ..., щ 14.3.12)

§ 4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ 12S
с шестью неизвестными х\, ..., х§. Предположим, что известны
величины элементов орбиты в первом приближении хх, , v = 1, ...
..., 6. Обычно бывают известны номинальные или некоторые другме-
априорные величины. Вычислим значения функций F% при хх =
= xv , v = 1, ..., 6. Тогда получим
^D1}, ...,x(e1\ti) = Ji, i=l,2, ...,п. D.3.13>
Обозначая разности между точными значениями элементов ор-
орбиты и их первыми приближениями через
kxv = xv — 41}, v = l, ...,6, D.3.14)
и считая функции F% непрерывными и дифференцируемыми, запи-
запишем приближенные равенства
F(r т t\ F-(rA) rA) t Л ~
dF, dF- dF.
«аГАя:1 + лГАл:2+-" + вГ-Ал:в' S=l,2, ...,n. D.3.15)
1 2 6
Частные производные вычисляются при значениях xv = x$ , т. е.
в точке х{1) = (x(i\ . .., х^). Обозначим для краткости
= aiv, i = 1, 2, . . ., п; v = 1, . .., 6, D.3.16)
дх.
*(D
тогда систему уравнений для поправок можно записать в следую-
следующем виде:
a^Asx + ai2Ax2 + .. . + aie/±xe = Л/ь i = 1, 2, ..., п, D.3.17)
где
A/. = /t-ft, i = l, 2, ..., п. D.3.18)
Система D.3.18) содержит шесть неизвестных
а число уравнений п > 6. Поскольку число уравнений больше числа
неизвестных, то такая система в общем случае несовместна. С по-
помощью метода наименьших квадратов производится вычисление
таких поправок A#i, ..., &xq, чтобы получить наилучшее возможно»
согласование правых и левых частей уравнений D.3.17). Рассмот-
Рассмотрим соотношение
п
Q = 2 («iiA*i + «*2^2 + • • • + «ie^e — MiY D.3.19)
и будем определять числа A#i, ..., k.xQ из условия минимальности
Q. Для этого необходимо равенство нулю первых производных Q
по A#v:
^-0, v-l,...,e. D.3.20)

126 ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Дифференцируя Q и собирая коэффициенты при поправках
получим систему шести уравнений относительно A#i, ..., S.xq.
D.3.21)
Здесь коэффициенты bJV и U (j, v = 1, ..., 6) вычисляются по
-формулам
U = fllvA/l + «2vA/2 + . . . + «„vA/v.
Решение системы D.3.21) позволяет определить поправки пер-
первого приближения A#i, ..., А^б, которые «в среднем» наилучшим
образом удовлетворяют системе D.3.17). Затем вычисляются зна-
значения элементов орбиты во втором приближении
42) = 41} + A*v, v = 1, .. ., 6. D.3.23)
Используя их, можно найти по указанному алгоритму значения
элементов орбиты в третьем приближении и т. д. до тех пор, пока
процесс последовательного уточнения элементов орбиты не сойдет-
сойдется с требуемой точностью.
Полученные результаты зависят от точности измерений. При по-
повышении точности измерений повышается точность определения
элементов орбиты. При одной и той же точности измерений точ-
точность определения элементов орбиты можно увеличить за счет уве-
увеличения числа независимых измерений [3, 12, 63].
§ 4.4. Трассы околоземных спутников
Проекцию орбиты спутника на поверхность центрального тела
называют трассой спутника. Другими словами, трасса — это сово-
совокупность точек пересечения перемещающегося радиуса-вектора
спутника с поверхностью центрального тела. В последующем рас-
рассмотрении ограничимся трассами околоземных спутников.
Обычно при построении трассы поверхность Земли принимается
сферической, что значительно упрощает задачу.
4.4.1. Круговая орбита спутника. Если эксцентриситет орбиты
мал (е~0), то ее можно рассматривать в качестве круговой. Это
упрощает построение трассы спутника.
Пусть в момент времени tQ заданы наклонение орбиты ?, период
обращения Т и географические координаты точки О трассы: долго-
долгота Xq и широта фо (рис. 4.8). Требуется определить координаты
точки М трассы в момент времени t > t0.
Вычислим сначала координаты X, ф точки М в предположении,
что Земля не вращается. Из сферического прямоугольного треуголь-

§ 4.4. ТРАССЫ ОКОЛОЗЕМНЫХ СПУТНИКОВ
127
ника ВСО, построенного на рис. 4.8, следуют соотношения
sin Фо
—
Sin Un =
0
smi
D.4.1)
D.4.2)
Отсюда можно определить углы ц0 — аргумент широты начальной
точки и ДЯо — разность долгот начальной точки и восходящего уз-
узла. При этом необходимо использовать дополнительную информа-
информацию о направлении движения спутника.
Угловая скорость перемещения спут-
спутника по круговой орбите постоянна
«кр^^. D.4.3)
поэтому за время t — t0 спутник проходит
угловое расстояние
Дц=сокр(*-д = ^(г-0. D.4.4)
Для сферического прямоугольного тре-
треугольника BDM справедливы соотношения
tg(AX0+AA.)=COSitg(»0+A»), D.4.5)
sin ф = sin i sin (u0 + Аи). D.4.6)
Рис 4.8. К построению-
трассы круговой орбиты
спутника
Отсюда можно вычислить ДА, — разность долгот точек М и О, а так-
также ф—широту точки М. Согласно D.4.6) наибольшая и наимень-
наименьшая широты точек трассы спутника определяются условием sin ф =-
= ±sin i, поэтому диапазон изменения широт
(я — i)
при
при -j.
Долгота точки М для невращающейся Земли
Я = Яп -Ь АЯ.
D.4.7)
D.4.8)
Как будет показано в § 8.5, под влиянием сжатия Земли плоскость
круговой орбиты спутника прецессирует, т. е. непрерывно враща-
вращается с постоянной угловой скоростью Q. При наклонениях О <С i <Z
<С~2- плоскость орбиты прецессирует с востока на запад (Q<0)r
а при наклонениях —г- <С i <C я плоскость орбиты прецессирует с
запада на восток (Q>0).

128 ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
С учетом прецессии орбиты формула D.4.8) принимает вид
tQ). D.4.9)
Определим теперь координаты (X', ер') точки М трассы с учетом
вращения Земли, т. е. ее географические координаты, считая, что
долгота возрастает от Гринвичского меридиана на восток от 0° до
360°. Если со3 — угловая скорость вращения Земли, то за время
t — to Земля повернется на угол
с запада на восток. Следовательно, в момент времени t под спутни-
спутником окажется точка, долгота которой на угол АЯ3 меньше, чем дол-
долгота, определенная по формуле D.4.9) без учета суточного вра-
вращения Земли:
X' =Я0+ AA,-(<D3-Q)(*-*o). D.4.10)
Прецессия орбиты, как и вращение Земли, не сказывается на
широте точек трассы, т. е.
Ф' = ф. D.4.11)
Задаваясь последовательными моментами времени, можно по-
построить трассу первого витка. Витком принято называть часть тра-
траектории, соответствующей одному обороту спутника вокруг Земли.
Началом каждого витка считается момент прохождения спутника
над экватором (в восходящем узле).
Определим смещение спутника по долготе за один виток:
АЯв = -(со3-Й)Г, D.4.12)
тде Т — период обращения спутника. Если на карту, выполненную
в меркаторской проекции (с прямолинейностью меридианов и от-
отсутствием искажения углов), нанести трассу первого витка, то
трассы всех последующих витков можно построить путем последо-
последовательного смещения трассы первого витка по долготе на величи-
лу АЯВ.
В задачах механики космического полета часто используется
понятие суточного числа витков спутника (N), т. е. ближайшего
целого числа витков (с округлением), которое совершает спутник
за одни сутки. Поскольку Земля за сутки поворачивается на угол
2я, а смещение спутника по долготе за один виток есть АЯВ, суточ-
суточное число витков — это ближайшее целое число, определяемое от-
отношением 2я/АЯв:
"*>Щ- D-413)
Угол
АЛсу, = 2я-#АЛв D.4.14)
называют суточным смещением орбиты. Если АЯсут > 0, спутник
за сутки смещается на восток относительно начального положения

§ 4 4. ТРАССЫ ОКОЛОЗЕМНЫХ СПУТНИКОВ
129
восходящего узла, а в случае ДЯсут < 0 — на запад. Понятно, что
/
у
Пусть 2л/АЯв есть целое число, тогда через сутки спутник воз-
возвратится в начальное положение относительно поверхности Земли,
а трасса его движения в течение вторых суток совпадет с трассой
движения в течение первых суток. В общем случае, когда ККсутФ
ФО, трасса витков с N+i no 2N получается путем сдвига по дол-
долготе на угол ДЯсут трассы витков с 1 по N.
Предположим теперь, что
<4415'
где к и I — целые числа; тогда
и спутник возвратится в начальное положение относительно по-
поверхности Земли через I суток, сделав к витков по орбите.
На рис. 4.9 в качестве примера построена трасса вторых суток
полета (с 17-го по 33-й виток) космического корабля «Союз-22»,
-60
-120
- 60 Х,град
Рис. 4.9. Трасса вторых суток полета (с 17-го по 33-й виток) космического
корабля «Союз-22»
выведенного на почти круговую орбиту с высотой ~265 км и на-
наклонением 64°,8. Период обращения 89,6 мин.
4.4.2. Эллиптическая орбита спутника. Рассмотрим теперь более
сложную задачу построения трассы при движении спутника по
эллиптической орбите. Пусть начальный момент времени ?о соот-
соответствует нахождению спутника, координаты которого А,о, Фо, в пе-
перигее орбиты (точка О на рис. 4.8). Задано наклонение орбиты if

130 ГЛ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
ее эксцентриситет е, параметр р. Требуется определить координаты
точки М(Я', ф'), соответствующей моменту времени t>to.
Предварительно вычислим величину большой полуоси а =
= р/A — е2), а затем с помощью уравнения B.5.8)
3/2
? — ? = ^-т=(Е — еsinE)
найдем эксцентрическую аномалию спутника в момент времени t.
Наконец, по формуле B.5.6)
 2 Г 1-е ь 2
определим истинную аномалию Ф. Согласно обозначениям рис. 4.8
Ли = "&. Поэтому для вычисления координат точки М можно ис-
использовать формулы, аналогичные D.4.5) и D.4.6):
tg (ЛЯ0 + ЛЯ) = cos i tg (ко + 0), D.4.16)
этф = sin isin(^o +€'). D.4.17)
Здесь щ + Ф = и — аргумент широты точки М. Далее найдем долго-
долготу точки М для невращающейся Земли
% = Яо ~г ЛЯ.
В § 8.5 будет показано, что прецессию эллиптической орбиты
можно приближенно описать с помощью средней скорости смеще-
смещения долготы восходящего узла Qcp. Тогда долгота точки М, найден-
найденная в первом приближении с учетом вращения Земли и прецессии
орбиты, будет вычисляться по формуле, аналогичной D.4.10):
Я' = Яо + ЛЯ - (соз - QCp) (t - к). D.4.18)
Широта точки Мф'=ф, где угол ф определяется формулой D.4.17).
Задаваясь последовательными моментами времени, можно опре-
определить координаты соответствующих точек трассы спутника. В за-
зависимости от основных элементов эллиптической орбиты трасса
спутника может иметь различную конфигурацию [30]. На рис. 4.10
показана трасса типа спутника «Молния», имеющего сильно вы-
вытянутую эллиптическую орбиту с периодом обращения 12 ч и апо-
апогеем в северном полушарии.
4.4.3. Суточный спутник. Если сидерический (звездный) период
обращения спутника равен звездным суткам (Г = 23 час 56,07 мин),
то спутник называют суточным, или синхронным. Трасса невозму-
невозмущенного движения суточного спутника является замкнутой кри-
кривой, т. е. трассы всех последующих витков совпадают с трассой
первого витка. В этом случае можно получить простое соотношение,
связывающее текущие координаты трассы.

§ 4.4. ТРАССЫ ОКОЛОЗЕМНЫХ СПУТНИКОВ
131
Пусть в начальный момент времени tQ спутник находится в вос-
восходящем узле круговой суточной орбиты (точка В на рис. 4.8).
В момент времени t трасса пройдет через точку О, для которой
град
60
0
-50
-60
у
t=0 ч
6ч
Л
10ч .
11ч
0,5ч
>2ч
1ч
11,5 ч
\
/ \
ч
12
у
ч
18 ч
Я
22ч<
23 ч
12,5 ч
\i4 ч
1\25,5
А
/ \
ч
24 ч
О 60 120 ±180 -120 -60 А, град
Рис. 4.10. Трасса типа спутника «Молния» (без привязки начальной точки)
AXq — долгота, отсчитываемая от восходящего узла В, и фо — ши-
широта. Из сферического прямоугольного треугольника ВСО согласно
D.4.1) и D.4.2) имеем
D.4.19)
D.4.20)
arcsm
sin г
tgJPo
tg* )'
Орбитальная угловая скорость суточного спутника равна угло-
угловой скорости вращения Земли со3. Отсюда можно найти время пере-
перемещения по трассе из точки В в точку О:
Д( = t—t0 = -Х
0 ©
За это время Земля в свою очередь повернется на угол
AQ3 = (?>3At=u0. D.4.21)
Теперь можно с учетом вращения Земли определить долготу точ-
точки О как функцию ее широты:
К - К + arcsin
arcsm
D.4.22)

132
ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
±180° ,-_
1 = 180
-90
Из формулы D.4.22) следует, что при каждом пересечении трас-
трассой спутника экватора (ф0 = 0) долгота точки одна и та же: Xq =
~ХВ. Поэтому трасса спутника имеет вид «восьмерки», т. е. пред-
представляет собой замкнутую двойную петлю, причем одна петля рас-
расположена в северном полушарии,
а вторая в южном. На рис. 4.11 по-
построены трассы суточных спутников
в северном полушарии при различ-
различных наклонениях орбиты [7].
В южном полушарии картина ана-
аналогична.
Особо следует выделить два пре-
предельных случая: i = 0 и i = n. При
i = 0 плоскость орбиты спутника
совпадает с плоскостью экватора,
и спутник вращается с запада на
восток с такой же угловой ско-
Рис. 4.11. Трассы в северном по- Ростью, что и Земля. Поэтому для
лушарии суточных круговых наблюдателя, который находится на
спутников Земли поверхности Земли, спутник кажет-
кажется неподвижным. Следовательно,
трасса его вырождается в точку. Такой суточный спутник назы-
называют стационарным (неподвижным относительно поверхности
Земли).
При i = n плоскость орбиты спутника также совпадает с плос-
плоскостью экватора, но спутник движется на запад, против вращения
1
1
\
\
У
/
270°
го
A
<p,apad
60
\
\
X
s
n
6
у
л_
1
' 4
0
121
\эо°
/град
f
П
-60
Рис. 4.12. Трассы суточных эллиптических спутников Земли (наклонение
i = 60°, эксцентриситет е = 0,6)
Земли. Такой спутник в течение суток дважды проходит над каж-
каждой точкой экватора.
Стационарный спутник представляет наибольший интерес для
целей космической связи и наблюдения за поверхностью Земли.
Выведение стационарного спутника из точек старта, расположенных
вне плоскости экватора, требует больших энергетических затрат.

§ 4.4. ТРАССЫ ОКОЛОЗЕМНЫХ СПУТНИКОВ 133
Поэтому для решения многих задач могут использоваться суточ-
суточные (синхронные) спутники на круговых и эллиптических орби-
орбитах, плоскость движения которых наклонена под большим углом
к плоскости экватора. За счет выбора элементов орбиты суточного
спутника можно добиться наибольшего эффекта в его использова-
использовании для целей связи или наблюдения. На рис. 4.12 построены трас-
трассы суточных спутников Земли с наклонением i = 60°, эксцентриси-
эксцентриситетом е = 0,6 и различными положениями перигея, обозначенного
буквой П [66].
В Советском Союзе на геостационарную орбиту выводятся связ-
связные спутники типа «Горизонт», «Радуга», «Экран». Всего в раз-
различных точках геостационарной орбиты в 1987 году находились
около ста спутников, принадлежащих различным государствам.

ГЛАВА 5
МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Одной из основных задач механики космического полета явля-
является расчет маневров космического аппарата (КА). Маневром на-
называют целенаправленное изменение параметров движения КА,
в результате которого первоначальная траектория свободного поле-
полета {начальная орбита) меняется на некоторую другую {конечная
орбита или траектория полета). Обычно маневр осуществляется с
помощью двигательной установки. Длительность работы, направле-
направление вектора тяги и число включений двигателя зависят от началь-
начальной и конечной орбит. При расчете маневра необходимо его опти-
оптимизировать, т. е. определить такие условия проведения маневра,
при которых расход топлива оказывается минимальным. Это — наи-
наиболее часто встречающийся критерий оптимальности, хотя в не-
некоторых задачах рассматриваются и другие критерии, например
время перелета с одной орбиты на другую, обеспечение высокой
точности конечных (терминальных) параметров движения п др.
Для некоторых маневров оказывается возможным использовать
вместо двигательной установки (или для частичного уменьшения
расхода топлива) аэродинамические силы, возникающие при дви-
движении КА в атмосфере планеты. Например, торможение КА в ат-
атмосфере при совершении посадки, частичное торможение КА при
переводе его с подлетной гиперболической траектории на орбиту
спутника планеты, поворот плоскости движения в процессе непро-
непродолжительного погружения в атмосферу и т. п.
Как уже отмечалось, в большинстве задач механики космиче-
космического полета маневры осуществляются с помощью двигательной
установки. К их числу относятся компланарные маневры, связан-
связанные с межорбитальными перелетами в одной плоскости, простран-
пространственные маневры, требующие изменения плоскости движения, сход
с орбиты для спуска и посадки и др.
Для уменьшения расхода топлива ча маневр необходимо опре-
определить оптимальные условия проведения маневра, т. е. выбрать
моменты времени включения и выключения двигателя, число вклю-
включений (или активных участков), величину и ориентацию вектора
тяги при каждом включении. Орбиту, связывающую начальную и
конечную орбиты, называют орбитой (или траекторией) перелета.
Точный расчет маневра, включая активные участки и орбиту пере-
перелета, обычно выполняется с использованием ЭВМ. В приближен-
приближенной постановке учитывают тот факт, что в большинстве случаев
длительность активных участков пренебрежимо мала по сравнению

§ 5 1 ДВУХИМПУЛЬСПЫЙ ПЕРЕЛЕТ 135
с длительностью пассивного полета, т. е. протяженностью орбиты
перелета. Тогда удается существенно упростить задачу, аппрокси-
аппроксимируя активные участки импульсным (скачкообразным) измене-
изменением скорости. При этом предполагают, что в момент мгновенного
изменения скорости координаты КА остаются без изменения. Рас-
Расчет такого маневра сводится к определению числа импульсов ско-
скорости ДТ7,, i=l, 2, ..., п, их ориентации и точек приложения. По-
Полученное решение может использоваться для оценки потребных за-
затрат топлива, а также в качестве хорошего начального приближения
при решении задачи в точной постановке с учетом ограниченной
величины тяги двигателя.
Опубликованы достаточно подробные обзоры работ, посвящен-
посвященных импульсным маневрам, например [76].
§ 5.1. Двухимпульсный перелет
между компланарными друговыми орбитами
Маневр КА без изменения плоскости движения лежит в основе
многих задач механики космического полета. Эти задачи исследова-
исследованы достаточно глубоко, а полученные решения и рекомендации
используются при реализации космических полетов.
5.1.1. Формула Циолковского. Расчет импульсных маневров
(и даже маневров с учетом ограниченной величины тяги двигате-
двигателя) часто проводят в терминах потребного приращения скорости.
Суммарное приращение скорости на маневр можно пересчитать в
потребный запас топлива, если известны характеристики двига-
двигательной установки. Для таких пересчетов обычно пользуются фор-
формулой Циолковского, которая устанавливает связь между запасом
топлива и максимальным возможным приращением скорости КА.
Получим формулу Циолковского, т. е. определим приращение
скорости КА под действием тяги двигателя в идеальном случае,
когда полет совершается в безвоздушном пространстве и вне поля
притяжения. Если тяга двигателя все время направлена по век-
вектору скорости, то траектория КА будет прямолинейной. Уравнение
движения КА в проекции на направление скорости
т%-Р, E.1.1)
где т — масса КА, V — скорость,
— тяга двигателя в вакууме, W — скорость истечения газов из
сопла двигателя, —dm/dt — секундный расход топлива. Сама про-
производная dm/dt отрицательна, так как масса КА убывает, по-
поэтому перед ней поставлен знак минус. Отсюда получим
dV TTr dm
W

136 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
dV = — W —. E.1.3)
Интегрируя E.1.3) в предположении W = const, найдем
Для определения произвольной постоянной интегрирования С вос-
воспользуемся начальным условием: при т = то (начальная масса)
имеем V=VQ (начальная скорость). Тогда приращение скорости
КА в момент времени t
V0 = W\n^fy E.1.4)
Полное приращение скорости после выгорания всего топлива,
когда тп = тпк (конечная масса),
ДУвд=ИчА E.1.5)
Формула E.1.5) определяет идеальную скорость, т. е. прира-
приращение скорости КА под действием тяги в «идеальном» случае (от-
(отсутствуют атмосфера и притяжение). В реальных условиях величи-
величина импульса скорости AV, потребная для проведения маневра,
должна быть увеличена на величину потерь ДТЦ0Т, возникающих
из-за действия притяжения центрального тела, а также некомпла-
некомпланарности векторов тяги и скорости. Сумма указанных величин со-
составляет характеристическую скорость маневра
= AV+AVn0T. E.1.6)
Знание характеристической скорости позволяет однозначно свя-
связать величину потребного для маневра импульса с необходимым
запасом топлива пгт. Подставляя AVX в формулу E.1.5) вместо
ДУид и обращая ее, получим
шк = пг0 ехр у ц±), E.1.7)
отсюда
/тгт = пг0 — /тг„ = m0 [l — ехр ( ^jj. E.1.8)
В качестве первого приближения можно принять ДУдот^О, тогда
тТ = т011 — ехр (— ^jj. E.1.9)
Установленная связь между величиной импульса скорости, по-
потребного для маневра, и необходимым запасом топлива позволяет
ограничиться анализом потребных импульсов скорости и не рас-
рассматривать характеристики самого КА при решении многих задач
механики космического полета.

§ 5 1. ДВУХИМПУЛЬСНЫЙ ПЕРЕЛЕТ
137
5.1.2. Оптимизация маневра. Задача перелета КА между комп-
компланарными круговыми орбитами является одной из наиболее изу-
изученных задач механики космического полета. Две круговые орбиты
с несовпадающими радиусами не имеют точек пересечения, поэтому
для перелета между ними требуется приложить не менее двух
импульсов скорости. С помощью первого импульса скорости КА
переводится с начальной круговой орбиты на орбиту перелета, ко-
которая пересекает конечную круговую орбиту или касается ее. В мо-
момент достижения конечной орбиты КА сообщается второй импульс
скорости для перевода его на эту орбиту. Оптимальную схему двух-
импульсного перелета между компланарными круговыми орбитами
впервые предложил Гоманн [79]. Траектория перелета типа Го-
Гоманна располагается в плоскости начальной и конечной круговых
орбит и касается их. Следовательно, импульсы скорости приклады-
прикладываются в апсидальных точках траектории перелета, которая пред-
представляет собой полуэллипс, касающийся меньшей круговой орбиты
AV,
Л к
Рис. 5.1. Компланарный двухимпульсный перелет типа Гоманна: а — с мень-
меньшей орбиты на большую; б — с большей орбиты на меньшую
в перицентре, а большей круговой орбиты в апоцентре. Такую тра-
траекторию перелета часто называют полуэллипсом Гоманна (рис. 5.1).
Позднее Лоуден доказал оптимальность подобного маневра [41].
Рассмотрим другой способ доказательства, основанный на пря-
прямом исследовании минимума зависимости суммарных затрат харак-
характеристической скорости на двухимпульсный маневр от параметров,
которые определяют этот маневр. Без ущерба для общности будем
полагать, что радиус начальной круговой орбиты п меньше радиуса
конечной круговой орбиты гг, т. е. п < гг. Маневр полностью опре-
определяется начальным импульсом скорости AVi. Действительно, пусть
заданы величина первого импульса AFi и угол ф между направ-
направлением этого импульса и вектором круговой скорости VKpi в точке
Mi начала маневра (рис. 5.2). С помощью векторного треугольника,
построенного в точке Mi, вычислим величину скорости КА после

138 гл 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
приложения первого импульса
! + А7г + 2FKplAF1cos9 E.1.10)
и косинус начального угла наклона траектории
cos Q1 = —^—^—-—. E.1.11)
Предполагая, что траектория перелета пересекает круговую
орбиту радиуса гг в точке Мч (рис. 5.2), с помощью интеграла
Рис. 5.2. Схема компланарного перелета между круговыми орбитами
энергии B.2.1) вычислим величину скорости КА в этой точке
E.1.12)
1 2
а затем из интеграла площадей B.2.11) найдем
cos92 =Г1^°89г. E.1.13)
Тогда величина второго импульса скорости для перевода КА с тра-
траектории перелета на круговую орбиту радиуса гг равна
„p2F2 cos 92. E.1.14)

§ 5.1. ДВУХИМПУЛЬСНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 139
Отнесем скорости к FKpi и введем понятие относительного ра-
радиуса r = r2/ri; тогда формулы E.1.10) —E.1.14) можно записать
в виде
V1 = ^-= V \ + AFj + 2AFlCoscp, E.1.15)
1 + AF, cos Ф
cos Qx= J -, E.1.16)
vi
KKP1
E.1.17)
V. COS0,
cos92 = !^ \ E.1.18)
у r
где AFAJVF
EЛ.19)
p
Суммарное приращение относительной скорости для выполнения
маневров
AF2 = AFi + AF2 E.1.20)
зависит от двух переменных, а именно — относительной величины
первого импульса скорости AFi и угла ф, определяющего направ-
направление этого импульса. Будем выбирать AFi и ф из условия
min AF2. При этом на траекторию перелета накладывается допол-
ф,дух
нительное ограничение, связанное с требованием пересечения (или
по крайней мере касания) заданной круговой орбиты радиуса гг.
Указанное ограничение проще всего записать так:
COS92 ^ 1,
или с учетом E.1.15) — E.1.18)
1 -f- AV"i cos Ф
9\ <1. E.1.21)
Здесь знак равенства соответствует касанию круговой орбиты
радиуса гг, а знак неравенства — пересечению этой орбиты траек-
траекторией перелета.
Возведем обе части E.1.21) в квадрат и приведем к следующему
виду с учетом E.1.15);
/ (Ф. AFX) = A + AFj cos фJ - г2 /AF2 + 2AFX cos Ф - 1 + i] < 0.
E.1.21a)

140 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Предварительно проанализируем необходимые условия минимума
функции двух переменных
5AF
0 E.1.22)
V
6AV1
без учета ограничения E.1.21а). Тогда AFi не зависит от ср,
и имеем
(ол.м)
Дифференцируя E.1.20), получим с учетом E.1.19):
Затем, используя формулы E.1.15) — E.1.18), вычислим необходи-
необходимые производные
SF, AF sin ф
^г = —fe-A E-1-25)
д cos 0, AF? sin ф ~
1 х 'л^ + совф), E.1.26)
5ф уЗ
^, E.1.27)
<9ф у
д cos 0„ AF, sin го / F, cos 0, Fo cos 0, ~ Fo + AF.. Fo cos ф
2 1 'II 1 A 1 T/ i & I &
E.1.28)
Подставим теперь производные E.1.27), E.1.28) в уравнение
E.1.24) и упростим полученное соотношение:
sin ф
/F^os^_ 7,008 8, ~
\ sin ф f~ cos б, F. cos 6,
i I У ==- -1 x —i- -j-
V V \ у 7 г Kr V
L_ 2
F2 / cos 0Х
_j_ _—— I _ 2 -f-

§51. ДВУХИМПУЛЬСНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 141
) =
2 f>
г V\ — Vx ~
s Qi _ ^2 + 1 + д^ cog ф)
AF
г V г AFa
ИЛИ ^
W ятго /^ 1 E.1.29)
Здесь г?=1, поэтому условие 5А^2/5ф = 0 может выполняться толь-
только при
AFi = 0 или sin ф = 0. E.1.30)
В случае AFi == 0 невозможен перелет между круговыми орби-
орбитами разных радиусов. Уравнение sin ф = 0 имеет два корня
ф! == 0 и ф2 == я. E.1.31)
Первый корень (ф! = 0) соответствует разгонному импульсу
скорости, который совпадает по направлению с вектором круговой
скорости на исходной орбите радиуса п в точке начала маневра.
Такая ориентация первого импульса скорости может оказаться оп-
оптимальной при перелете с круговой орбиты меньшего радиуса на
круговую орбиту большего радиуса. Второй корень (фг == я) опре-
определяет тормозной импульс скорости, который направлен против
вектора круговой скорости в точке начала маневра. В рассматри-
рассматриваемых условиях перелета с меньшей орбиты на большую подобная
ориентация первого импульса скорости не может обеспечить
перелет.
Исследуем теперь производную
E,1.32)
Здесь
dAF л Г/~ r.nsfi \ ,9F. F. в спя fi П
E.1.33)
Как и ранее, дифференцируя формулы E.1.15)—E.1.18), вы-
вычислим все необходимые частные производные
EЛ.34)
д cos 6 1
V*
l cos ф — A + AFX cos ф) (А7Х + cos ф)], E.1.35)

142. ГЛ 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
dV2 AF + cos ф
V2
E.1.36)
д cos 62
dAFj
= ^[^соэф —A + AVt cos ф) (AFX + соэф)]. E.1.37)
Подставим производные E.1.33), E.1.36), E.1.37) в E.1.32)
и упростим полученное соотношение с учетом формул E.1.15) —
E.1.18):
~ cos 6O \ AF, + cos
го *-
cos ф — A + AF*! cos ф) (AFX + cos ф)] 1 =
J
= 1 + -4- Г ^F, + cos ф Д= (AF, + cos ф) Vx cos 0! —
AF [ 71/T ^
7/7 v\
1
cos Ф) (At?i + cos ФI =
1 +
-I- E.1.38)
Отсюда следует, что при cos ф > 0, когда происходит увеличение
трансверсальной составляющей скорости, имеет место неравенства
>0. E.1.39)
Таким образом, производные d&.VJdq>, 5AF2/5AFi не могут об-
обращаться в нуль одновременно, и функция АГ2(ф, AFi) не имеет
стационарных точек ни при каких значениях ф и APY Поэтому
наименьшее значение AF2 при двухимпульсном перелете между
круговыми орбитами должно достигаться на границе области
E.1.21а), т. е. при cos 82=1.
При выполнении условий ф = 0 и cos 92 = 1 (или 92 = 0) реали-
реализуется траектория перелета типа полуэллипса Гоманна, касающая-
касающаяся начальной и конечной круговых орбит. Соответствующие импуль-
импульсы скорости вычисляются по формулам
EX40)
Eл-41)
Заметим, что между первым и вторым импульсами скорости при
таком маневре может располагаться любое нечетное число полу-

§ 5 1 ДВУХИМПУЛЬСНЫЙ ПЕРЕЛЕТ 143
vjitkob орбиты перелета, имеющей радиус перицентра га==г\ и ра-
радиус апоцентра гА — Г2. В рассматриваемой постановке протяжен-
протяженность орбиты (траектории) перелета, содержащей нечетное число
полуэллипсов Гоманна, не влияет на величину суммарного прира-
приращения скорости при маневре.
Приведенное доказательство оптимальности траектории типа
иолуэллипса Гоманна соответствует перелету с круговой орбиты
меньшего радиуса на круговую орбиту большего радиуса. В силу
обратимости задачи такая траектория является оптимальной и в
случае перелета с круговой орбиты большего радиуса на круговую
орбиту меньшего радиуса.
Исследуем зависимость от г суммарного приращения скорости
при перелете по полуэллипсу Гоманна между круговыми орбита-
орбитами радиусов Г{ < Г2 (т. е. при г > 1):
E.1.42)
Согласно E.1.40) зависимость АР\(г) монотонно возрастает,
причем
lim AFlS=/2— I,
Г-»оо
что соответствует параболической скорости отлета с начальной кру-
круговой орбиты. Зависимость А^г(г) сначала возрастает, а затем
убывает, так как
lim AF2 = 0.
Поэтому зависимость AFz(r) может иметь максимум при некотором
значении г = гэкс. Дифференцируя соотношение E.1.42) по г, по-
получим после некоторых преобразований
J 21/27- (i+^/r+T-V^ E.1.43)
d~ 27A+7)/7(i + ?)
Полагая теперь dAVz/dr = 0, найдем условие обращения в нуль
числителя E.1.43)
г3-15г2-9г-1=0. E.1.44)
Это уравнение имеет единственный положительный корень
гэкс = 15,58, E.1.45)
при котором зависимость AFz(r) достигает максимума:
max AF2 = 0,536. E.1.46)
Поскольку
/" 1« 0,414,

144
ГЛ 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
то зависимость AVz(r) должна еще иметь точку перегиба при
г>гдкс и горизонтальную асимптоту.
На рис. 5.3 приведены зависимости АГ2 и составляющих AFi,
AF2 от величины г. Если г > 3,4, перелет требует большего при-
приращения скорости, чем уход от притягивающего центра по
10
1000 r
Рис. 5 3 Характеристики перелета между круговыми орбитами по полуэллип-
полуэллипсу Гоманна
параболической траектории. Если располагаемое приращение AF2 ^
5г 0,536, что позволяет перелететь на орбиту радиуса гг = 15,58гь
то перелет может быть выполнен также на любую круговую орбиту
(произвольного радиуса).
Время движения по траектории перелета типа полуэллипса Го-
манна вычислим с использованием формулы B.5.10):
. _ Т _ я (г± + г2 у/*
*пер - Т - ~у= [—2— I •
E.1.47)
Если отнести время перелета к периоду обращения на меньшей
орбите
г?/2,
получим
niep у) —
пер
41/2
A + гK/2.
E.1.48)
С увеличением г относительное время перелета монотонно воз-
возрастает (рис. 5.3).

§ 5 1 ДВУХИМПУЛЬСНЫЙ ПЕРЕЛЕТ
145
5.1.3.v Сокращение времени перелета. В некоторых задачах пе-
перелета между круговыми орбитами существенное значение имеет
ограничение времени маневра. Вместе с тем потребное приращение
скорости AFz на маневр не должно
быть слишком большим. Если тре-
требуемое время перелета меньше вре-
времени перелета по полуэллипсу Го-
манна, в качестве компромиссного
решения можно принять такую
траекторию, которая касается внут-
внутренней круговой орбиты и пересе-
пересекает внешнюю (рис. 5.4). В этом
случае исключается участок движе-
движения вблизи апоцентра траектории,
который существенно увеличивает
время перелета по полуэллипсу Го-
манна.
Для расчета таких траекторий
перелета в качестве независимого
переменного удобно рассматривать
радиус апоцентра га (радиус пери-
перицентра задается условием rn = ri).
Время перелета ?пер и потребное
приращение скорости на маневр AFz
вычисляются в зависимости от вели-
величины га. Обсудим последователь-
последовательность вычислений. Пусть гп = п и зафиксировано некоторое значе-
значение га > гг. По формулам B.4.13) и B.4.14) вычислим параметр
р= 2rfa , E.1.49)
эксцентриситет
e = -^L=JJLl± (гй = Л) E.1.50)
Рис 5 4 Схема перелета с пере-
пересечением внешней круговой ор-
орбиты
1 а 1 т 'а
и величину большой полуоси
а= Г1^Г& E.1.51)
перелетной эллиптической орбиты. Затем из уравнения этой орбиты
найдем для точки ее пересечения с заданной круговой орбитой ра-
радиуса г2
= r&Z~ Г— @<#2<я) E.1.52)
и вычислим
1 -h cos G
га(г-1)

146 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Здесь г = га/п. С помощью формулы B.5.6) получим дйлее для
эксцентрической аномалии
и
EЛ.54)
Используя теперь уравнение B.5.8), определим время перелета, от-
отнесенное к периоду обращения на исходной орбите:
(^ — е Sln ^2) =
3/2
21/2Я
arctg l/S--/'y1)g'^I E.1.55)
Зная истинную аномалию #2, можно по формуле B.3.8) опре-
определить скорость КА в момент пересечения круговой орбиты ра-
радиуса г2
или с учетом уравнения орбиты —
E.1.56)
Для угла наклона траектории имеем соотношение
V
п П
где согласно B.3.7) и уравнению орбиты
Тогда
г г(Н-га)
cos 60 =
1/ ——^--1-L а ^
— Й ~. E.1.57)

§ 5.1. ДВУХИМПУЛЬСНЫЙ ПЕРЕЛЕТ
147
Определим теперь потребное приращение скорости на маневр.
Величина первого импульса скорости вычисляется по формуле ви-
вида E.1.40), где вместо гг стоит га. Следовательно,
2г„
\
Величину второго импульса скорости можно определить из тре-
треугольника скоростей в точке пересечения перелетной орбиты с
AV
3 -1,5
-0,5
10
20
Рис. 5.5. Характеристики ускоренного перелета между круговыми орбитами:
(~= 6,36)
заданной круговой орбитой радиуса гг:
Отнеся AF2 к FKpi и учитывая соотношения E.1.49), E.1.50),
E.1.57), E.1.58), получим
где
гA+га)
-1 +

148
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
поэтому
2A
Vrt
2гл
E.1.59)
На рис. 5.5 построены относительные величины первого AFi и
второго AF2 импульсов скорости, суммарного приращения скорости
AFz = AFi + AF2 и относительное время маневра при ускоренном
перелете между круговыми орбитами о, г — 6,36. Видно, что за счет
увеличения AF2 в 1,3 раза можно добиться сокращения времени
маневра в 3 раза.
§ 5.2. Трехимпульсный биэллиптический перелет
между компланарными круговыми орбитами
Рассмотрим в несколько более общей постановке трехимпульс-
трехимпульсный перелет между круговыми орбитами, подобный предложенному
Штернфельдом [61]. Для определенности будем полагать, что пере-
перелет совершается с круговой орбиты меньшего радиуса п на круго-
круговую орбиту большего радиуса г%. С помощью первого, разгонного
импульса скорости AVi KA переводится на эллиптическую орбиту,
радиус перицентра которой равен радиусу начальной круговой ор-
орбиты (rni = ri). В целях общности анализа примем, что величина
радиуса апоцентра траектории перелета может быть как больше
радиуса конечной орбиты (га>Г2), так и меньше нее (га<гг).
В апоцентре траектории перелета прикладывается второй, тоже раз-
разгонный импульс скорости АУг для увеличения радиуса перицентра
(или нового апоцентра, если га < гг) до величины, равной радиусу
конечной орбиты гП2 = г2 (или га2 = Г2). При достижении пери-
перицентра (апоцентра) прикладывается третий импульс, тормозной
(если га>г2) или разгонный (если га<г2), для выравнивания
скорости до круговой, соответствующей орбите радиуса гг. Обе воз-
возможные схемы трехимпульсного маневра приведены на рис. 5.6, а
и б. Такой маневр часто называют двойным эллиптическим или
биэллиптическим.
5.2.1. Выбор оптимальной схемы маневра. Суммарное прираще-
приращение скорости на биэллиптический маневр, отнесенное к круговой
скорости начальной орбиты FKpi, вычисляется по формуле
КР1
E.2.1)

§ 5.2. ТРЕХИМПУЛЬСНЫЙ БИЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПЕРЕЛЕТ
149
где ra = rjr\ — относительный радиус апоцентра, г = гг/г1. Знак «+»
отвечает случаю га>Г2, а знак «—» используется в случае га<Г2.
[Три заданной величине г, т. е. при фиксированных радиусах на-
начальной и конечной орбит, суммарное приращение скорости на
AV,
Рис. 5.6. Схема трехимпульсного перелета между круговыми орбитами: а — с
пересечением заданной орбиты; б — без пересечения заданной орбиты
трехимпульсный биэллиптический маневр будет зависеть от вели-
величины относительного радиуса апоцентра га. Естественно возникают
следующие вопросы:
1. При какой величине га потребное приращение скорости на
биэллиптический маневр оказывается минимальным?
2. Когда трехимпульсный биэллиптический маневр оказывается
экономичнее по AF2, чем двухимпульсный маневр Гоманна?
Как показано в работе [78], при г> 15,58 трехимпульсный би-
биэллиптический маневр с fa > f экономичнее двухимпульсного, а при
г > 11,94 можно выбрать такую величину га>г, при которой трех-
трехимпульсный маневр будет экономичнее двухимпульсного. Однако
общее исследование обуждаемой задачи не опубликовано в доступ-
доступной литературе, поэтому ниже приводится одно из возможных ее
решений.
Будем расматривать весь диапазон изменения относительного
радиуса апоцентра
1 ^ Га < оо,
который разделим на две части. Первая часть отвечает траектории
перелета без пересечения конечной орбиты (рис. 5.6, б)
l^r.^f, E.2.2)
а вторая — траектории перелета с пересечением конечной орбиты
(рис. 5.6, а)
f^ra< оо. E.2.3)

150 ГЛ 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Продифференцируем по га формулу E.2.1):
G4- 7&)
E.2.4)
Чтобы избавиться от квадратных корней в числителе, умножим
правую часть E.2.4) на
A + Зга) (Г + Га) Уг + Га + A + Га) (? + 2га =F Га) УF(TTK) > 0,
тогда
а A + 7а) G+ 7а)
X 7 , E.2.5)
A + З7а) G4 га) V7+7a + A +7а) (г + 27а + ~а) У 7A +7а)
Знаменатель соотношения E.2.5) положителен, поэтому знак про-
производной dkV-zldr& определяется знаком функции
Ф(Га) = A + ЗГаJ(г + ГаK-гA + ГаK(Г+2Га + ГаJ, E.2.6)
коэффициенты которой, а следовательно, и корни зависят, как от
параметра, от соотношения радиусов г конечной и начальной ор-
орбит. Исследуем все возможные случаи.
Предположим, что траектория перелета не пересекает конечной
орбиты, т. е. параметр га принадлежит диапазону E.2.2). Тогда в
последней скобке E.2.6) следует взять знак «+», и функция Ф(га)
приведется к виду
= га(г - 1) [97а4 + б (г + 1) г| + G2 - 87 + \O\ - 67G + 1Oа - з72]^
Для вычисления корней положим ФG5Га) = О. Поскольку гаФ0
и г > 1, то должно выполняться условие
97а4 + 6 G + 1O1 + (гя - 8г + 1O1 - &(г + 1) га - Зг2 = 0. E.2.7)
Число перемен знаков в последовательности коэффициентов этого
многочлена равно 1. Отсюда по правилу знаков Декарта уравнение
E.2.7) будет иметь только один положительный корень га.
Покажем, что при га = га достигается максимум зависимости
Л?%(^а) для значений га, принадлежащих диапазону E 2.2). На
левом конце этого диапазона га=1, и потребное приращение ско-
скорости согласно E.2.1) вычисляется по формуле
A7SA)=1/ _^c-_l + -^=-[l_
"г r V r

§ 5 2 ТРЕХИМПУЛЬСНЫЙ БИЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПЕРЕЛЕТ 151
Следовательно, трехимпульсный бпэллиптическпй перелет транс-
трансформируется в двухимпульсный перелет Гоманна из-за обращения
в нуль первого импульса ckopoctpi. На правом конце отрезка
E 2.2) га = г, и имеет место такая же трансформация из-за обра-
обращения в нуль третьего импульса скорости. Таким образом, в гра-
граничных точках отрезка E.2.2) потребное приращение скорости
одно и то же.
Определим теперь знак производной dAFz/dra на левом конце
диапазона E.2.2). С этой целью подставим значение га = 1 в
E.2.4), тогда получим
sl" 1 ~ V2 V T
3г 1 + Зг
E.2.8)
Здесь вычитаемое меньше 1, так как представляет собой произве-
произведение трех правильных дробей. Поскольку функция AFz(ra) при-
принимает на концах диапазона E.2.2) одинаковые значения, а ее
производная на левом конце положительна и имеется единственный
корень га внутри указанного диапазона, то в точке га = га дей-
действительно реализуется максимум функции AFz(fa).
Итак, если траектория трехимпулъсного биэллиптического пере-
перелета не пересекает конечной орбиты (l^fa^f), суммарное при-
приращение скорости на ее реализацию при любой величине га ока-
оказывается больше, чем в случае двухимпулъсной траектории пере-
перелета типа Гоманна.
Исследуем теперь второй случай, когда трехимпульсная биэл-
липтическая траектория перелета пересекает конечную орбиту, т. е.
га принадлежит диапазону E.2.3). В этом случае производную
E.2.4) можно привести к виду
E.2.9)
а ее знак определяется знаком квадратичной функции
ф(га) = (9 —г)га+ 6A +7г)га + Зг + 1. E.2.10)
Определим знаки функции E.2.10) в зависимости от значения
параметра г. Если г^9, то Ф(га)>0; отсюда следует, что dAFz/
jdrA > 0, и величина AF2 растет с увеличением относительного ра-
радиуса апоцентра га траектории перелета. Минимальное суммарное
приращение скорости на маневр достигается на левой границе диа-
диапазона E.2.3), когда га = г и трехимпульсный биэллиптический
перелет трансформируется в двухимпульсный перелет типа Го-
Гоманна.

152 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Если г > 9, то первый коэффициент квадратичной функции
E.2.9) отрицателен и она имеет один положительный корень
~* 3A+7Н 2/гC7-2) «9Ш
Га с . E.2.11)
г — У
Величина га должна удовлетворять условию га ^ г, т. е. биэллип-
тическая траектория перелета должна пересекать конечную кру-
круговую орбиту или по крайней мере касаться ее. Запишем это ус-
условие с учетом E.2.11):
2Уг(Зг - 2)> г2 - 12г - 3. E.2.12)
Возводя обе части E.2.12) в квадрат, получим после несложных
преобразований
г4 - 24г3 + 126г2 + 80г + 9 ^ О,
или
(r-9)(r3-15r2-9r-l)^0.
В рассматриваемом случае г > 9, откуда должно выполняться
условие
r3-15r2-9r-1^0. E.2.13)
Кубический многочлен в левой части E.2.13) имеет один положи-
положительный корень г = 15,58 (см. п. 5.1), и условие E.2.13), или, что
то же самое, г*^ г, выполняется при г ^ 15,58. Итак, при
9<f ^ 15,58 E.2.14)
квадратичная функция E.2.10) обращается в нуль в точке ra = rar
определяемой формулой E.2.11) и удовлетворяющей ограничению
Гъ>г. График квадратичной функции Ф(га) при г>9 направлен
выпуклостью вверх. Функция Ф(га) положительна при г ^га<С.га
и отрицательна при га > га.
Для значений параметра г > 15,58 функция Ф(га) не имеет
положительных корней, удовлетворяющих условию га ^ г, т. е. не
изменяет своего знака в диапазоне
f^fa<°o. E.2.15)
Определим этот знак. Когда г->°°, Ф(га)<0. Следовательно, для
всех значений параметра г > 15,58 будет выполняться условие
Ф(Яа)<0.
Поскольку знак функции Ф(га) совпадает со знаком производ-
производной dAVJdra, полученные результаты означают, что в диапазоне
значений параметра г E.2.14) функция AF2(ra) в точке га имеет
максимум. Минимальное значение AF2 будет достигаться в одной
из граничных точек диапазона E.2.15). При га = г реализуется
двухимпульсный перелет типа Гоманна. При га -> °о (когда г -> 9
справа) имеет место трехимпульсный перелет, для которого радиус

§ 5 2 ТРЕХИМПУЛЬСНЫЙ БИЭЛЛРШТИЧЕСКИЙ ПЕРЕЛЕТ
153
точки сопряжения перелетных эллипсов неограниченно возрастает
а величина второго импульса скорости стремится к нулю. Потреб-
Потребное приращение скорости на предельный биэллиптический перелет
вычисляется по формуле
() E.2.16)
г=16
0,55
Если значение параметра г > 15,58, то dhVz/dra < 0 и функция
AFz(ra) уменьшается с увеличе- ^
нием га. Наименьшая величина г
AFz на трехимпульсный биэллип- °-60
тический перелет достигается,
когда га -*¦ °°. На рис. 5.7 построе-
построены примеры зависимостей AF2 (Fd)
для некоторых значений парамет-
параметра г.
5.2.2. Области оптимальности
двух- и трехимпульсных маневров.
Вернемся к анализу случая,
когда параметр г принадлежит
диапазону E.2.14), и определим,
какое из граничных значений ра-
радиуса апоцентра орбиты перелета
(ra = r или Га-*-00) обеспечивает
минимальное значение суммарно-
суммарного приращения скорости. Сравним
потребные приращения скорости
на двухимпульсный перелет по
траектории типа Гоманна (га = г)
и перелет по предельной биэллип-
тической траектории (га-+°°).
Разница между потребными при-
приращениями скорости на маневр в указанных случаях вычисляется
по формуле
0,50
О 0,05 0,10 /У
Рис. 5.7. Зависимость потребного при-
приращения скорости от радиуса апо-
апоцентра биэллиптической траектории
i
У 7A +7)
Эта разнипа обращается в нуль, если
1/2-1
V7
1
E.2.17)
г* —
1 _ у 2 + />
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем полученное
соотношение к виду
1-У2 + C-Г2)г*=(Г2"-1)A + г*)Г7*.
Снова возводя в квадрат, получим кубическое уравнение
C - 2У2)г*3 - E - 2У2)г*2 + FУ2~- 7)г* - C - 2У2) = 0. E.2.18)

154
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Это уравнение имеет три положительных корня. Только один из
них г* =11,94 больше 1. Проверим, что этот корень не является
лишним. Подставив найденное значение в E.2.17), убедимся, что-
6FA1,94) = 0. Легко проверить также, что
бУ(г)
<0, если 9<7-<11,94,
>0, если 11,94 <г< 15,58
(рис. 5.8). Тем самым устанавливается граница значений парамет-
параметра (г* = 11,94), до которой двухимпульсный перелет типа Гоманна
0,1
-0,1
Область onmuJ
мальности
предельного
трех импульс-
импульсного
маневра
Область оптимальности
двухимпульснозо маневра
-0,2*-
Рис. 5.8. Разница суммарного приращения скорости при двухимпульсном ма-
маневре типа Гоманыа и предельном (fa->°o) биэллиптическом маневре
оказывается экономичнее трехимпульсного биэллиптического пере-
перелета с любым радиусом апоцентра га.
Объединяя полученные результаты, сформулируем следующие
рекомендации. При 1<г< 11,94 выгоднее использовать двухим-
пулъсную траекторию перелета типа Гоманна. В диапазоне
11,94 <г< 15,58 E.2.19)
можно выбрать такую величину радиуса апоцентра траектории пе-
перелета
Г <Га<°°,

§ 5.3. ПЕРЕЛЕТ С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ
155
при которой трехимпулъсный биэллиптический перелет оказывается
экономичнее двухимпулъсного перелета типа Гоманна. Для значе-
значений г > 15,58 трехимпулъсный перелет с любым радиусом апоцент-
апоцентра (га > г) экономичнее, чем двухимпулъсный перелет. Отметим,
что выигрыш, получаемый при
использовании трехимпульсно-
го перелета вместо гоманнов-
ского, в наилучшем случае не
превышает величины 0,04FKpi,
т. е. 8 % от суммарного при-
приращения скорости для двухим-
пульсного перелета.
Обозначим через гат1П вели-
величину радиуса апоцентра, при
которой трехимпульсный биэл-
биэллиптический перелет и двухим-
пульсный перелет типа Гоман-
Гоманна требуют одинакового сум-
суммарного приращения скорости
для любого значения парамет-
0,02 0,04 0,06 0,08
Рис. 5.9. Области оптимальности (I)
двух- и (//) трехимпульсных перелетов
между круювыми орбитами
pa г из диапазона E.2.19).
Тогда трехимпульсный биэллиптический перелет экономичнее двух-
импульсного, если fa > fa mm. Соответствующие области оптималь-
оптимальности двух- и трехимпульсных маневров показаны на рис. 5.9 [27].
Необходимо отметить, что время на трехимпульсный маневр в не-
несколько раз больше, чем время на двухимпульсный маневр.
§ 5.3. Перелет с круговой орбиты
на компланарную эллиптическую
Рассмотрим задачу перелета КА с начальной круговой орбиты
радиуса гкр на эллиптическую орбиту, которая задана величинами
радиусов перицентра гп2 и апоцентра га2 (или значениями эксцен-
эксцентриситета ег и параметра pz). Если эти орбиты не пересекаются,
то для выполнения маневра требуется не менее двух импульсов
скорости. В случае пересечения орбит возможен также одноим-
пульсный маневр.
Пусть выбраны положение начальной точки М{ орбиты переле-
перелета, величина AFj и угол cpi относительно местного горизонта пер-
первого импульса скорости (рис. 5.10). Определим суммарное потреб-
потребное приращение скорости для двухимпульсного маневра.
По формулам E.1.10) и E.1.11) вычислим величину скорости
Vi и косинус угла наклона траектории в точке М{ после приложе-
приложения первого импульса. Затем по формулам B.4.3) и B.4.5) опре-
определим параметр
7-2 V\ COS2 61
Р\ = -

156
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
и эксцентриситет
e =
?
траектории перелета. Зная трансверсальную составляющую скорости;
найдем согласно B.3.7) истинную аномалию начальной точки тра-
траектории перелета
0 = arccos-^- ( |/ ~^- Vx cosGi - 1 j,
E.3.1)
причем 0 ^ Oo ^ я. Обозначим через (h и Ог истинные аномалии
точки М2 (или М2) соответственно на траектории перелета и на
конечной эллиптической орбите. Тогда из геометрических построе-
построений рис. 5.10 найдем
Аг г Oi^Oa + O'o-Wo. E.3.2)
1/ г
где Ч? о — угловое расстоя-
расстояние между перицентром
конечной орбиты и началь-
начальной точкой Mi траекто-
траектории перелета. Условие ра-
равенства радиусов траекто-
траектории перелета и конечной
орбиты в точке Мч (или
М2) с учетом E.3.2) дает
уравнение для вычисле-
вычисления $2'-
Pi
Рис. 5.10. Перелет с круговой орбиты на эл-
липтическую
оная теперь "Ui и V2t
можно по формулам
B.3.5) и B.3.7) для ра-
радиальной и трансверсальной составляющих орбитальной скорости
определить величину второго импульса скорости ЛУг, посредством
которого КА переводится в точке Мч на заданную эллиптическую-
орбиту:

§ 5 3 ПЕРЕЛЕТ С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ
157
Здесь
радиальная составляющая и
1 +
cos 02
1 —
— трансверсальная составляющая второго импульса скорости. Угол
второго импульса скорости относительно местного горизонта
AF.
Г2
Ф2= arctg ^
Суммарное приращение скорости AF2 = AFi + AF2 для перелета
с круговой орбиты на эллиптическую зависит от величины первого-
импульса скорости AFi, его угла относительно местного горизонта
ф1 и точки приложения, задаваемой углом Wо. При исследовании
задачи оптимизации двухимпульсного маневра перелета между не-
непересекающимися круговой и эллиптической орбитами было пока-
показано, что минимальное суммарное приращение скорости имеет ме-
AV,
Рис. 5.11. Оптимальный перелет между непересекающимися круговой и эллип-
эллиптической орбитами: а — с внутренней круговой орбиты; б — с внешней круговой
орбиты
сто на траектории типа Гоманна. Перицентр этой траектории нахо-
находится на начальной круговой орбите, а апоцентр совпадает с апо-
апоцентром конечной эллиптической орбиты [80, 86, 88]. Если опти-
оптимальный перелет совершается с внешней круговой орбиты на внут-
внутреннюю эллиптическую, то апоцентр траектории перелета должен
находиться на начальной круговой орбите, а перицентр — совпадать
с перицентром конечной эллиптической орбиты. Обе схемы опти-
оптимального перелета показаны на рис. 5.11, а, б. Суммарное прира-
приращение скорости для выполнения маневра, отнесенное к круговой

158
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
скорости FKP = TV/rKp, вычисляется по формуле
E.3.3)
¦ a V ra \ r rnTr& f i -+- ra /
случае перелета с внутренней круговой орбиты на внешнюю эл-
дуъ липтическую и по формуле
Уэл\
м
AF2 = 1 -
2/v
в случае перелета с внешней круговой
орбиты на внутреннюю эллиптическую.
Здесь га = rJrKp, гп = rjr^p.
Если круговая и эллиптическая ор-
орбиты пересекаются, то наряду с двух-
импульсным возможен также одноим-
пульсный маневр. Сравнение потреб-
потребного приращения скорости для обоих
видов маневра показало, что двухим-
пульсный маневр типа Гоманна эконо-
экономичнее одноимпульсного маневра [80].
При этом перицентр траектории перелета находится на начальной
круговой орбите, а апоцентр совпадает с апоцентром эллиптической
А
А
АУ4
Рис. 5.12. Оптимальный пере-
перелет между пересекающимися
круговой и эллиптической ор-
орбитами
а 5
Рис. 5.13. Оптимальный одноимпульсный перелет с круговой орбиты
на эллиптическую
орбиты (рис. 5.12). С помощью первого (разгонного) импульса
скорость увеличивается от круговой до эллиптической, а с помощью
второго (тормозного) импульса АУг скорость в апоцентре уменыпа-

§ 5 4. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ 159
ется до такой величины, чтобы радиус перицентра уменьшился
с г„р до требуемой величины гп.
Одноимпульсный маневр возможен в точке М или симметрич-
симметричной ей точке М'. За счет единственного импульса AV вектор кру-
гочой скорости VKP изменяется до вектора эллиптической скоро-
скорости Уол, который обеспечивает движение по заданной орбите.
Только в тех случаях, когда круговая орбита касается апсидаль-
тшх точек эллиптической, оптимальный двухимпульсыый маневр
ьырождается в одноимпульсный. Если круговая орбита касается
эллиптической в апоцентре, то импульс должен быть тормозным
(рис. 5.13, а), а если в перицентре — разгонным (рис. 5.13,6).
В силу обратимости рассматриваемых задач оптимальные траек-
траектории перелета с эллиптической орбиты на круговую будут такими
же, как для перелета с круговой орбиты на эллиптическую. При
этом величины импульсов скорости сохраняются, а их направление
меняется на противоположное.
§ 5.4. Перелет между компланарными
эллиптическими орбитами
При решении общей задачи перелета КА между компланарными
уллиптическими орбитами необходимо определить количество им-
импульсов скорости для выполнения маневра, начальную и конечную
точки траектории перелета (если они не заданы), взаимную ориен-
ориентацию орбит (когда направления больших полуосей не фикси-
фиксированы).
Было доказано, что если задано положение точки отлета с ис-
исходной эллиптической орбиты, а точка прилета на конечную эл-
эллиптическую орбиту может быть выбрана из условия наименьшей
величины суммарного приращения скорости при двухимпульсном
маневре, то оптимальная траектория перелета должна заканчивать-
заканчиваться в апоцентре внешней орбиты (или в перицентре внутренней
орбиты, когда перелет осуществляется с большей орбиты на мень-
меньшую) [81]. Если задано положение конечной точки, а точка отле-
отлета может быть выбрана из того же условия, то оптимальная тра-
траектория должна начинаться в перицентре внутренней орбиты (или
апоцентре внешней при перелете с большей орбиты на меньшую).
Величина суммарного приращения скорости на двухимпульсньш
перелет уменьшается, если большие оси орбит располагаются вдоль
одной прямой. Такие орбиты часто называют коаксиальными. Коак-
Коаксиальные орбиты могут быть направлены в одну сторону, когда
разность их аргументов перицентра равна нулю, или в противопо-
противоположные стороны, когда эта разность равна я.
Для перелета между коаксиальными орбитами доказано следую-
следующее общее правило [40]. Если коаксиальные орбиты пересекаются,
либо направлены в одну сторону, то абсолютная оптимальная тра-
траектория перелета должна касаться обеих орбит в апсидальных точ-

160
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
ках и проходить через апоцентр с наибольшей величиной радиуса-
вектора (рис. 5.14, а, б, в). Если оси коаксиальных орбит направ-
направлены в противоположные стороны и эти орбиты не пересекаются,
то оптимальной может оказаться любая из двух траекторий, касаю-
касающихся обеих орбит в апсидальных точках (рис. 5.14, г). Выбор той
Рис. 5.14. Оптимальные двухимпульсные траектории перелета между коак-
коаксиальными эллиптическими орбитами: а — пересекающиеся орбиты, одинаково
направленные; б — пересекающиеся орбиты, противоположно направленные;
в — непересекающиеся орбиты, одинаково направленные; г — непересекающие-
непересекающиеся орбиты, противоположно направленные
или иной траектории перелета определяется относительными раз-
размерами исходной и конечной орбит.
Потребные приращения скорости на оптимальный двухимпульс-
ный маневр легко вычислить для выбранной схемы перелета и за-
заданных величин радиусов-векторов апсидальных точек орбит.

§ 5.4. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
161
Если орбиты пересекаются, возможен также одноимпульсный
маневр. Однако установлено, что модифицированный двухимпульс-
ный перелет типа Гоманна всегда экономичнее одноимпульсного
маневра [65, 92].
Сравнение двухимпульсных траекторий типа Гоманна и трех*
импульсных биэллиптических траекторий (рис. 5.15) применитель-
применительно к задаче перелета между коаксиальными орбитами с одинаково
AV,
Рис. 5.15. Трехимпульс-
ная траектория перелета
между коаксиальными
эллиптическими орбита-
орбитами с одинаковым на-
направлением осей
р/а
Рис. 5.16. Области оптимальности
двухимпульсного перелета типа Го-
Гоманна (/) и трехимпульсного биэл-
липтического перелета (//) между
коаксиальными орбитами с одинако-
одинаковым направлением осей
направленными осями показало следующее [85]. Пусть р =
= max(/?i, р2), po==mm(pi, р2), где pt и р2—параметры рассмат-
рассматриваемых орбит. Тогда при р/ро < 9 оптимальной оказывается двух-
импульсная траектория типа Гоманна, а при р/ро> 11,9^—трех-
импульсная биэллиптическая траектория с неограниченно большим
радиусом апоцентра (га->°°). В диапазоне 9 <р/ро < 11,94 выбор
траектории, двухимпульсной или трехимпульсной, зависит от вели-
величины р/а (рис. 5.16). Здесь a = max(ai, а2), аг и а2—большие по-
полуоси рассматриваемых орбит.
Обсудим теперь траектории перелета с числом импульсов боль-
больше трех. Если на оптимальной траектории перелета один из им-
импульсов скорости приложен в апсидальной точке (перицентре или
апоцентре) по касательной к траектории, то все остальные импуль-
импульсы должны прикладываться аналогичным образом [41]. При даль-
дальнейшем увеличении количества импульсов свыше трех суммарное
приращение скорости на маневр не может быть уменьшено [93],

112 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
По существу приведенные выше результаты являются обобщением
полученных в работе [78] для случая трехимпульсного перелета
между круговыми орбитами.
Вывод относительно количества импульсов, сделанный в работе
[93], позволяет ограничиться рассмотрением одно-, двух- и трех-
импульсных траекторий перелета между компланарными орбитами.
§ 5.5. Перелет с круговой орбиты
на компланарную гиперболическую
Рассмотрим перелет с круговой орбиты на компланарную гипер-
гиперболическую. Такая задача возникает, например, при разгоне с око-
околоземной круговой орбиты на межпланетную траекторию. Найден-
Найденное оптимальное решение можно будет использовать и для обрат-
обратной задачи, т. е. перелета с гиперболической орбиты на круговую.
Предположим, что задана только энергия гиперболической орби-
орбиты (или гиперболический избыток скорости Уте), а перицентриче-
ское расстояние и ориентация осей гиперболической орбиты оста-
остаются произвольными. Необходимо
определить оптимальный маневр, ко-
который удовлетворяет требованиям
задачи с наименьшим суммарным
приращением скорости. Такой ма-
маневр можно выполнить с помощью
одного (рис. 5.17), двух, трех и боль-
большего числа импульсов. Ограничимся
тремя импульсами, чтобы не очень
усложнять задачу.
В случае двухимпульсного ма-
Рис. 5.17. Одноимпульсный пере- невра оптимальная траектория долж-
лет с круговой орбиты на гипер- на касаться ИСХОдной круговой ор-
болическую _, Г ri „
биты и конечной гиперболической
орбиты, г. е. импульсы скорости
прикладываются по касательной. В зависимости от соотношений,
радиуса круговой орбиты, радиуса перицентра и радиального рас-
расстояния до асимптоты гиперболической орбиты (прицельной даль-
дальности) оптимальная точка выхода на гиперболическую орбиту будет
совпадать либо с ее перицентром, либо с бесконечно удаленной точ-
точкой [84]. В первом случае траектория перелета является эллипти-
эллиптической, а во втором — гиперболической с бесконечно большим вре-
временем движения. Наибольший практический интерес представляет
эллиптическая траектория перелета, которая по существу является
модифицированной траекторией Гоманна. В последующем анализе
ограничимся этим классом траекторий.
Величина суммарного приращения скорости для перелета с кру-
круговой орбиты на гиперболическую по модифицированной траектории

§ 5.5. ПЕРЕЛЕТ С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ
163
Гоманна зависит от соотношения радиусов круговой орбиты гкр и
перицентра гиперболической гп, т. е. от величины г = гкр/гп. Дей-
Действительно, если 0 < f ^ 1, перицентр эллиптической траектории
перелета совпадает с круговой орбитой, а ее апоцентр — с пери-
Рис 5.18. Возможные схемы двухимпульсного перелета с круговой орбиты на
гиперболическую по модифицированной траектории Гоманна: а — при гп/гкр >
> 1; б —При 7'пЛкр < 1
центром гиперболической орбиты (рис. 5.18, а). В этом случае
суммарное приращение скорости на маневр
= AV, + AF2 = (Vt - FKp) + (VT -
где
V
кр
V
.AT
'кр
— круговая скорость на исходной орбите,
v -л/±- \/ 2г"
— скорость после приложения первого импульса
2г,
кр
— скорость перед приложением второго импульса
— скорость в перицентре гиперболической орбиты. Подставляя со-
составляющие суммарного приращения скорости и относя их к FKP,

184 тл- 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
получим для случая О < г ^ 1:
•кр
= i/"^^ (!_?) +/2 (п*+?)-!, E.5.1)
где
Г уг
п = Л/ v°°r«v = __!=_ E.5.2)
V Ч ^пар
— параметр, равный отношению гиперболического избытка скоро-
скорости Fro к параболической скорости Fnap на расстоянии гкр от при-
притягивающего центра.
Если г^1, то апоцентр эллиптической траектории перелета
совпадает с круговой орбитой, а ее перицентр — с перицентром ги-
гиперболической орбиты (рис. 5.18,6). Суммарное приращение ско-
скорости на маневр
= AV, + AV2 = (FKp - Vx) + (VT - V2)
или
r) + l. E.5.3)
ккр
Легко проверить, что
^2)b VWTT~ 1, E.5.4)
поэтому для каждого фиксированного значения п функция
при О <С г <! 1,
E.5.5)
при
является непрерывной. Найдем ее наименьшие значения для раз-
разных п в диапазоне изменения аргумента 0<г <°°. С этой целью
исследуем производные
E.5.6)
У2
1 ' * * * E.5.7)
^ У2
Если тг> 1, то по формулам E.5.6) и E.5.7) можно установить, что
#<0 и <0.
dr dr
Следовательно, при п > 1 функция AF2 (r) является убывающей
в рассматриваемом диапазоне изменения аргумента 0 <г <°°. По-
Поэтому суммарное приращение скорости на маневр тем меньше, чем
больше величина г. Отсюда видно, что радиус перицентра гипер-

1.5. ПЕРЕЛЕТ С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ
165
болической орбиты гп должен выбираться предельно малым с уче-
учетом условий безопасности проведения маневра (рис. 5.18,6). На-
Например, величина гп может быть ограничена снизу атмосферой
планеты или ее рельефом, когда атмосфера отсутствует.
Проанализируем теперь случай п<1. Согласно E.5.7) в этом
случае
т. е. функция AFz(f) возрастает при изменении аргумента в диапа-
диапазоне 1 < г < оо. Между тем
dr
1
1
/2<0.
E.5.6a)
Следовательно, непрерывная функция AFz(r), определяемая усло-
условием E.5.5), имеет излом в точке г = 1. В точке излома реализу-
реализуется локальный минимум функции AF2(r), поскольку здесь про-
происходит изменение знака производной с «—» на «+». Осталось
теперь проверить поведение AF2(r) при изменении аргумента в
диапазоне 0 < f < 1, когда п < 1.
Определим условия обращения в нуль производной E.5.6).
Положив
получим
JL+Z
Избавимся от радикалов и после упрощений получим квадратное
уравнение относительно г:
(п2 + 3)г2 + 6(гс2 + 1)г + 9п2 - 1 = 0.
Найдем его корни
п2 + 3
5_
V '
Знак «—» перед радикалом отвечает решению г*<0, которое не
имеет физического смысла. Поэтому надо сохранить только знак
«+» и дополнительно потребовать, чтобы числитель E.5.8) был
положителен. Отсюда найдем ограничение на величину п
которое удовлетворяется при
E-5.9)

166 ГЛ. б. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Видно, что обращение в нуль производной dAVz/dr на участке из-
изменения аргумента 0 < г < 1 возможно лишь в одной точке и лишь
при значении параметра п из диапазона E.5.9). На границах этого
диапазона имеем
*\ 1
|п=о — и,loo.
При промежуточных значениях п величина г* лежит в интервале
О < г* < 0,155.
Согласно формуле E.5.6) производная
E.5.66)
dr
1/2
положительна при п < 1/3 и равна нулю при п = 1/3. При г = 1
согласно E.5.6а) эта производная отрицательна. Следовательно,
при г = г* реализуется максимум функции AFz(r)- Минимальные
значения этой функции на интервале 0 < г < 1 могут достигаться
лишь на границах интервала. _
Для нахождения наименьшего значения функции AFz(r) при
п < 1 следует сравнить ее значения в точках г = 1 и г = 0, т. е.
E.5.4) и
Д^М^о8" /2(п + 1)-1. E.5.10)
Покажем, что
причем знак равенства возможен только в случае п = 0. Подстав-
Подставляя E.5.4) и E.5.10) в E.5.11), получим
П+~п?< 1 + п
и далее, после возведения в квадрат, 0 ^ п, что соответствует опре-
определению параметра п формулой E.5.2).
При значениях параметра п из диапазона -^ <Oi <C 1 производ-
производная d&V^/dr не обращается в нуль ни при каких значениях
аргумента в интервале 0<г<1. Поскольку при г = 0 эта произ-
производная согласно E.5.66) будет отрицательна (при п > 1/3), то она
будет отрицательна на всем интервале. Минимальное значение
функции AVi: (г) достигается на правом конце интервала
при г = 1.
Итак, в случае п < 1 функция AF2 (r) имеет минимум в точ-
точке г = 1. Отсюда следует принять га = гкр, и оптимальным оказы-
оказывается не двухимпульсный перелет, а одноимпульсный, когда пери-
перицентр гиперболической орбиты располагается на исходной круго-
круговой орбите.

§ 5 5. ПЕРЕЛЕТ С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ 167
Для любого значения параметра п величина AFs(r) стремится
к 1, когда г неограниченно возрастает. Дейстпигелыю, с учетом
E.5.3) и E.5.5) имеем
Нш ^ (?) - lim ДП« G) - 1 + /2 «т "'-'^ - 1.
Это означает, что если радиус перицентра может быть выбран сколь
угодно малым, то маневр должен осуществляться следующим обра-
образом. Круговая скорость аппарата на исходной орбите гасится почти
до нуля, и аппарат «падает» на притягивающий центр почти по
вертикальной траектории, которая после прохождения мимо при-
притягивающего центра меняет свое направление движения почти на
противоположное. В точке минимального расстояния от притяги-
притягивающего центра (в перицентре переходной орбиты) скорость дви-
движения Уп весьма велика и даже небольшое приращение скорости
движения ДУ2 позволяет получить значительное приращение энер-
энергии АЕ « УпДУг. Вследствие этого эллиптическая переходная орби-
орбита аппарата может быть превращена в гиперболическую с большой
величиной Voo.
Заметим, что в случае и=1 и г^1 из формулы E.5.3) следует
тождество AFz(r)=l, согласно которому суммарное приращение
скорости на маневр не зависит от соотношения радиусов круговой
орбиты гкр и перицентра гиперболической орбиты гп. Это означает,
что в том случае, когда заданный гиперболический избыток ско-
скорости равен параболической скорости на расстоянии rhp, для переле-
перелета на гиперболическую орбиту может использоваться эллиптиче-
эллиптическая орбита с произвольной величиной перицентра. Выбор величи-
величины перицентра не влияет на величину суммы импульсов скорости,
прикладываемых в начале и в конце переходной орбиты.
Сравнение одноимпульсного и двухимпульсного перелетов с кру-
круговой орбиты на гиперболическую можно закончить следующим об-
общим выводом. Если заданный гиперболический избыток скорости
меньше параболической скорости на расстоянии гкр от притягиваю-
притягивающего центра, т. е. У*, < Упар (или га<1), одноимпульсный маневр
оказывается экономичнее двухимпульсного. Единственный импульс
должен прикладываться по касательной в некоторой точке круго-
круговой орбиты, выбираемой с учетом требуемой ориентации гипербо-
гиперболической орбиты. Этот случай представляет наибольший практиче-
практический интерес, так как гиперболический избыток скорости обычно
существенно меньше параболической скорости на расстоянии ис-
исходной круговой орбиты.
Если У,» > Упар (или п>1), более экономичным оказывается
двухимпульсный маневр. Первый импульс скорости прикладывает-
прикладывается касательно к круговой орбите против направления движения для
перевода КА на эллиптическую орбиту, радиус перицентра которой
равен радиусу перицентра гиперболической орбиты гп. При этом
величина гп должна выбираться минимально допустимой, чтобы

168
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
снизить суммарное приращение скорости на маневр ДУ2. В пери-
перицентре траектории перелета прикладывается второй импульс по ка-
касательной для перевода КА на гиперболическую траекторию.
Аналогичные результаты были впервые получены в работе [83]
на основе анализа графических зависимостей AV(r), построенных
для различных значений параметра п (рис. 5.19).
Подобно биэллиптическому перелету между круговыми орбита-
орбитами возможен трехимпульсный биэллиптический перелет с круговой
Одноимпульсньш
перелет
О
Рис. 5.19. Характеристики одно- и двухим-
пульсных перелетов с круговой орбиты на
гиперболическую
Рис. 5.20. Трехимпульсный пе-
перелет с круговой орбиты на
гиперболическую
орбиты на гиперболическую [72]. С помощью первого импульса
скорости КА переводится на эллиптическую орбиту с радиусом апо-
апоцентра га > гкр. За счет второго импульса скорости, прикладывае-
прикладываемого в апоцентре, происходит уменьшение радиуса перицентра с
т*кр до гп. Наконец, в перицентре прикладывается третий импульс
скорости, чтобы обеспечить переход на гиперболическую орбиту с
заданным гиперболическим избытком скорости Vм (рис. 5.20).
Суммарное приращение скорости на трехимпульсный маневр, от-
отнесенное к FKP, вычисляется по формуле
v
кр
E.5.12)
где fa = га/гкр, гп = rn/rKp, F» = Т^оо/Т^кр. Можно показать, что при ;
заданных величинах относительного радиуса перицентра гп (по со- ¦

5 5. ПЕРЕЛЕТ С КРУГОВОЙ ОРБИТЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКУЮ
169
ображениям безопасности маневра) и относительного гиперболиче-
гиперболического избытка скорости FTO (по постановке задачи) величина AFj
уменьшается с увеличением относительного радиуса апоцентра га,
хотя и не очень существенно. При га -*¦ °° трехимпульсный маневр
экономичнее одноимпульсного для всех значений Vx. Правда, такой
0,7
0,6
0,5
0,4
О
0,5
1,0
Рис. 5.21. Приращение скорости для перелета с круговой орбиты на гипербо-
гиперболическую: сплошная линия — одноимпульсный перелет, штриховая — трехим-
трехимпульсный перелет с гп = 0,9 и 7~а = 5, штрихпунктирная — трехимпульсный
перелет с гп = 0,9 и га ->- оо
маневр требует неограниченно большого времени. В случае конеч-
конечных значений га трехимпульсный маневр экономичнее одноимпульс-
одноимпульсного только в области больших величин FTO, а при малых V'„ вы-
выгоднее одноимпульсный маневр, который к тому же требует беско-
бесконечно малого времени на реализацию. На рис. 5.21 представлен
пример расчета AFs при одноимпульсном и трехимпульсном манев-
маневрах с гп = 0,9 и двумя значениями га: 5 и °°.
Таким образом, для рассматриваемой задачи перелета с круго-
круговой орбиты на гиперболическую при заданной величине V^ наи-
наибольший интерес по экономичности и времени реализации пред-
представляет одноимпульсный маневр.

170 ГЛ 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
§ 5.6. Поворот плоскости круговой орбиты
Если плоскости начальной и конечной орбит не совпадают, to
в процессе перелета между этими орбитами необходимо изменить
плоскость движения. Такого вида маневры называют пространствен-
пространственными. Суммарное прпращение скорости на пространственный ма-
маневр существенно больше, чем на перелет между такими же ком-
компланарными орбитами. Будем рассматривать задачу перелета меж-
между некомпланарными орбитами в импульсной постановке. Даже
при таком упрощении общее решение оптимального перелета между
некомпланарными орбитами пока не получено. Исследованы неко-
некоторые частные случаи общей задачи, например, задача перелета
между круговыми некомпланарными орбитами, одно-, двух- и трех-
импульсные пространственные маневры. Получены также числен-
численные решения задачи перелета для фиксированных параметров ор-
орбит. Все это позволяет установить рациональные способы выпол-
выполнения пространственного маневра, оценить потребное приращение
скорости на маневр и на этой основе находить решения различных
прикладных задач.
5.6.1. Одноимпульсный поворот. Простейшей задачей перелета
между некомпланарными орбитами является поворот плоскости
движения без изменения формы и размеров орбиты. Возможны раз-
различные способы поворота плоскости движения. Самый простой ма-
маневр — одноимпульсный. Единственный импульс прикладывается на
линии пересечения плоскости начальной и конечной орбит. В даль-
дальнейшем для простоты рассмотрения ограничимся круговой орбитой
радиуса г. Тогда величина потребного импульса скорости для пово-
поворота плоскости движения на угол i, отнесенная к круговой скоро-
скорости VKp(r), будет определяться формулой
? . E.6.1)
Найдем угол % между направлением импульса скорости ДУ и на-
начальной плоскостью движения (рис. 5.22):
л 4- г /г- п п\
x j EА2>
Одноимпульсный поворот плоскости движения приемлем, когда
угол i сравнительно мал (рпс. 5.23). При больших углах поворота
потребное приращение скорости на маневр становится слишком
большим. Так, при i = 60° имеем AV = FKp, а при ?=180° AV =
= 2Vip. Поэтому рассматривают другие способы поворота плоско-
плоскости движения, основанные на следующем правиле: поворот плоско-
плоскости движения следует осуществлять по возможности в точке траек-
траектории, где скорость минимальна.
5.6.2. Трехимпульсный поворот. Возможна простая схема трех-
импульсного поворота плоскости круговой орбиты. Первый импульс

5 6 ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
171
скорости прикладывается по касательной к траектории в начальной
плоскости движения при пересечении КА линии узлов. Величина
импульса выбирается из условия получения заданного радиуса апо-
апоцентра га промежуточной орбиты:
2г,
-1.
E,6.3)
где га = га/гкр. С помощью второго импульса скорости, который
AV
Рис. 5.22. Схема одноимпульсного
поворота плоскости круговой ор-
орбиты: 1 — плоскость начальной
орбиты; 2-—плоскость конечной
орбиты
30 60 90 120 1501,град
Рис. 5.23. Приращение скоро-
скорости на одноимпульсный пово-
поворот плоскости круговой ор-
орбиты
прикладывается в апоцентре, производится поворот плоскости дви-
движения на заданный угол i по одноимпульсной схеме. Величина вто-
второго импульса скорости, отнесенная к Укр, вычисляется по формуле:
А7„
кр
= 2
. I
Sin-тт.
2
E.6.4
Вторая половина промежуточной орбиты симметрична первой,
но располагается в конечной плоскости движения. При достижении
перицентра, радиус которого равен радиусу круговой орбиты, при-
прикладывается третий импульс скорости (против направления движе-
движения) для перевода КА на круговую орбиту (рис. 5.24). По вели-
величине третий импульс скорости равен первому. Отсюда суммарное
приращение скорости на трехимпульсный поворот плоскости кру-
круговой орбиты
sin-i-)• E.6.5)

172 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
При г«=1 формула E.6.5) переходит в E.6.1), а трехимпульсный
поворот — в одноимпульсный, так как первый и третий импульсы
скорости становятся равными нулю. При га -»- °° получим в пределе
АГ2(га = «)= 2{П- 1)« 0,82.
Заметим, что в этом случае потребное приращение скорости на ма-
маневр не зависит от угла поворота плоскости орбиты, а время ма-
маневра неограниченно возрастает.
Характеристики трехимпульсного маневра с поворотом плоско-
плоскости в апоцентре траектории построены на рис. 5.25. Они включают
Рис. 5.24. Трехимпульсный маневр с поворотом плоскости круговой орбиты
в апоцентре траектории перелета
суммарное потребное приращение скорости AFz в зависимости от
угла поворота и радиуса апоцентра га, а также время перелета Тъ,
отнесенное к периоду обращения на круговой орбите заданного ра-
радиуса (Г2 = 7УГкр).
Определим, при каких значениях угла поворота плоскости кру-
круговой орбиты i трехимпульсный маневр оказывается экономичнее
одноимпульсного. Сравнивая E.6.1) с E.6.5), получим, что это
имеет место, когда выполнено неравенство
1 —
E.6.6)
При Яж -*¦ 1 левая часть неравенства E.6.6) представляет собой не-
неопределенность вида 0/0. Раскрывая эту неопределенность, найдем:

§ 5 6 ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
173
1000-
-
100-
ю-
1
I
! A
о
1=780"
Amo°
/Z/140°
'/у 120"
/ ,100°
Л0"
^^60°
^40°
20°
^--—10"
" .-I
0
0,5
1,0
Рис. 5.25. Характеристики трвхимпульсного поворота плоскости круговой ор-
орбиты в апоцентре траектории; сплошные линии — AF2, штриховая — 7^
60
30
I
0,5
W
Гис. 5.26. Области оптимальности одноимпульсного манера (/) и трехимпулье-
ного маневра с поворотом плоскости круговой орбиты в апоцентре траекто-
траектории (//)

174 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
sin у > 1/3. Отсюда ?> 38,94°. При г а -*¦ °° имеем sin у > У 2 — 1,
? > 48,94°. На рис. 5.26 построены граничные значения угла пово-
поворота ?гр, для которых одноимпульсныи и трехимпульсыый повороты
плоскости круговой орбиты требуют одинакового приращения ско-
скорости. Если заданный угол поворота ?< 38,94°, то более экономич-
экономичным оказывается одноимпульсныи поворот плоскости орбиты, а при
i > 48,94° экономичнее трехимпульсный с произвольным радиусом
апоцентра (га>1). Если 38,94° < ? < 48,94°, то всегда можно вы-
выбрать такую величину га, удовлетворяющую условию E.6.6), при
которой трехимпульсный поворот оказывается экономичнее одно-
импульсного.
5.6.3. Модифицированный трехимпульсный поворот. Возможна
более сложная модификация трехимпульсного маневра, когда по-
поворот плоскости осуществляется в моменты приложения каждого
импульса скорости, т. е. в три приема. При этом основной поворот
плоскости движения производится с помощью второго импульса ско-
скорости, в апоцентре траектории. Первый и третий импульсы предна-
предназначены в основном для разгона и торможения. Кроме того, они
дополнительно используются для поворота плоскости движения на
небольшие углы.
Пусть i\, ?2, ?3 — углы поворота плоскости движения в моменты
приложения каждого из трех импульсов. Их сумма должна рав-
равняться заданному углу поворота плоскости круговой орбиты:
?i + ?2+i3 = ?. E.6.7)
Суммарное потребное приращение скорости на модифицирован-
модифицированный трехимпульсный поворот плоскости, отнесенное к FKp, задает-
задается соотношением
-1/
V га
1+га * V а( а)
1/tt^CO8^"-^"-^- E-6-8)
1 + г
Предположим сначала, что время маневра задано, тогда радиус
апоцентра га траектории перелета определяется однозначно, и сум-
суммарное приращение скорости на маневр будет зависеть только от
величины углов ?i, ?2, h. С учетом равенства E.6.7) только два
угла из трех оказываются независимыми. При оптимальном манев-
маневре, обеспечивающем минимум AFz, должно выполняться дополни-
дополнительное условие: i\ = ?3. Действительно, второй импульс скорости
прикладывается только для поворота плоскости движения на угол i%
Первый и третий импульсы скорости прикладываются в одинаковых
условиях для разгона (торможения) на траекторию перелета и.

§ 5 6 ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ КРУГОВОЙ 0РБИ1Ы 175
одновременного поворота плоскости движения. В силу обратимости
задачи оптимального маневра траектория перелета должна обла-
обладать симметрией. Отсюда — равенство импульсов скорости AV\ =
— ДГз и углов U — г3.
С учетом симметрии маневра можно записать:
= 2
]
1 Г г,
" V i-,7
Дифференцируя E.6.9) по i] и положив dkVJdii=O, получим не-
необходимое условие оптимальности угла i\\
с», у ел. "л
E.6.10)
Величина угла ii"T, удовлетворяющая условию E.6.10), зависит
от относительного радиуса апоцентра, который может изменяться
в диапазоне
Кга<оо. E.6.11)
Легко проверить, что при га=1 условие E.6.10) принимает вид
sin -j- cos -—¦ — cos Л i-A — 0,
откуда
Если ra-*-°°, имеем г°11Т —>0. При всех остальных значениях га ве-
• опт ^
личина ix оольше нуля.
тл- -ОПТ
Из численных расчетов следует, что угол ix . удовлетворяющий
условию E.6.10), не превышает нескольких градусов, и при г\ = ?°ПТ
зависимость ?±.\\{ц) имеет минимум. Для небольших углов г пово-
поворота плоскости круговой орбиты может оказаться, что не существу-
существует угол г°пт, удовлетворяющий условиям E.6.10) и ii ^ г/2. В та-
таких случаях наименьшее значение AFz достигается в точке i\ = г/2,
в которой производная dAVz/dii терпит разрыв (угловая точка).
Малость угла ii"T можно объяснить из простых физических со-
соображений. Действительно, для малых значений i\ имеем cosii « 1.
Тогда первый и третий пмпульсы скорости близки к величинам,
полученным для случая поворота плоскости в апоцентре траекто-
траектории перелета (за одип прием). Второй импульс скорости оказыва-
оказывается меньше, чем в указанном случае, так как в апоцентре пло-

176
ГЛ 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
скость движения поворачивают на угол i — 2i\, а не на угол L
В итоге суммарное приращение скорости на маневр ДГ2 умень-
уменьшается.
С -ОПТ v
учетом малости угла i\ можно получить формулу для вы-
вычисления корня уравнения E.6.10) в первом приближении:
.опт
h
V/
-2
V 1 + га 2
, /
4- . E-6.12)
1+~
Заметим, что найденное по формуле E.6.12) значение ?хПТ име-
имеет достаточную точность для расчета потребного приращения ско-
скорости AFz в случае оптималь-
оптимального маневра. На рис. 5.27
•опт
построены величины i± в
зависимости от га и i. Видно,,
что наибольшие значения
•ОПТ / гоч
ъх (порядка 5 ) имеют ме-
место при га « 2 и углах пово-
поворота плоскости
меньше 40°.
Потребные величины ДГл
для модифицированного
трехимпульсного маневра в
зависимости от га и i по-
построены на рис. 5.28. Здесь
же построено время маневра
Т2, отнесенное к периоду об-
обращения на заданной круго-
движения
2 -
0
1>°
Рис. 5 27. Оптимальные величины первого
(и третьего) угла поворота плоскости дви-
жения при модифицированном трехим
пульсном маневре
вой орбите. В граничных точ-
^ах интервала изменения г.
(т- е- ПРИ га 1 И га °°)
величины AFz для модифи-
цированного трехимпульсно-
трехимпульсного маневра совпадают с со-
соответствующими величинами АГ2 для трехимпульсного маневра с
поворотом плоскости движения в апоцентре траектории перелета.
Д.» -ОПТ П
еиствительно, в указанных точках ii = U независимо от вели-
величины г, поэтому модифицированный трехимпульсный маневр пере-
переходит в исходный.
_Если сопоставить построенные на рис. 5.25 и 5.28 зависимости
A^z(ra, г), то можно установить, что в классе трехимпульсных ма-
иевров поворот плоскости в три приема вместо одноразового пово-

§ 5 7. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
177
рота в апоцентре позволяет уменьшить потребную величину AF2
не более чем на 0,05 (при га ~ 2 и i ~ 20°). Таким образом, макси-
максимальная экономия не превышает 5 % от величины круговой ско-
скорости заданной орбиты. Аналогичные оценки получены и в рабо-
работах [71, 89].
Сравнивая потребные приращения скорости на модифицирован-
модифицированный трехимпульсный маневр и одноимпульсный маневр, можно по-
построить зависимость граничного угла поворота ?гр(га), для которой;
1=180'
140'
1000- -1,5
120'
100'
О 0,5 1,0 , а
Рис. 5.28. Характеристики модифицированного трехимпульсного поворота пло-
плоскости круговой орбиты (в три приема): сплошные линии — значения AVz',
штриховая — значения Tz
величины AF2 в обоих случаях совпадают. Эта зависимость, а так-
также соответствующие ей величины ii"T \iTV, ra построены на рис. 5.29.
Видно, что 0° ^ ?гр ^ 48,94°. Следовательно, если заданный угол
поворота плоскости орбиты находится в диапазоне 0° < i ^ 48,94°,
то при выборе радиуса апоцентра траектории перелета из диапазона

178
["Л 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
1<га<га(ггр) модифицированный трехимпульсный маневр оказы-
оказывается экономичнее, чем одноимпульсный. Для углов поворота
48,94° < i ^ 180° модифицированный трехимпульсный маневр эко-
экономичнее одноимпульсного при любом выборе радиуса апоцентра
1 < га < °°. Итак, модифицированный трехимпульсный поворот пло-
плоскости круговой орбиты оказывается экономичнее одяоимшульсвого
град
60
30
Ч •
град
-6
'//
¦г /
6 /
ш
I
, опт
?'
О
0.5
40
60
80 i,apad
Рис. 5.29. Области оптимальности
одноимпульсного маневра (/) и
модифицированного трехимпульс-
ною маневра с поворотом круго-
круговой орбиты в три приема (//)
Рис. 5.30. Характеристики оптималь-
hoi о модифицированного трехим-
пульсного поворота плоскости круго-
круговой орбиты
во всем диапазоне углов поворота, от малых до больших, в то вре-
время как трехимпульсный маневр с поворотом плоскости в апоцентре
экономичнее одноимпульсного только для углов i > 38,94°.
Обсудим теперь модифицированный трехимпульсный маневр для
случая, когда время маневра не задано. Тогда потребное прираще-
приращение скорости будет зависеть не только от углов поворота, но также
и от величины радиуса апоцентра га траектории перелета, т. е.
A^z(?, fa). Аналитическое отыскание минимума функции двух пе-
переменных E.6.9) приводит к весьма громоздким выражениям.
Между тем зависимости, построенные на рис. 5.28, позволяют опре-
делить оптимальные значения ra для заданного угла поворота i
с помощью численных методов. Результаты расчетов представлены
на рис. 5.30. Если углы поворота плоскости круговой орбиты i не
превышают 60°, то существуют конечные величины относительного
радиуса апоцентра траектории перелета 1 <С ra <Юи соответ-
соответствующие величины первого (третьего) угла поворота плоскости
движения 0<С^1ПТ<С4°, при которых достигается минимум потреб-
потребного приращения относительной скорости АГ2 для трехимпульсного
модифицированного маневра. Если же углы поворота превышают
60°, то с неограниченным увеличением га потребные величины AFs
уменьшаются, достигая предельного значения AFz = 0,828, которое

§ 5.7. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
179»
не зависит от угла поворота. При этом i?nT = 0, а модифицирован-
модифицированный трехимпульсный поворот плоскости круговой орбиты (за три
приема) переходит в трехимпульсный маневр с поворотом плоско-
плоскости в апоцентре траектории перелета.
§ 5.7. Двухимпульсный перелет
между некомпланарными круговыми орбитами
Если радиусы начальной п и конечной гг круговых орбит раз-
различаются, то минимальное число импульсов для перелета равно-
двум. Для определенности будем полагать, что перелет совершается
с меньшей круговой орбитой на большую (ri<r2), a i — угол меж-
между плоскостями орбит (угол некомпланарности).
5.7.1. Первый некомпланарный двухимпульсный перелет. Есте-
Естественным обобщением двухимпульсного маневра на случай пере-
перелета между некомпланарными круговыми орбитами является пер-
первая некомпланарная траектория типа Гоманна, когда второй им-
импульс скорости прикладывается в апоцентре под некоторым углом ?
Рис. 5.31. Первый некомпланарный двухимпульсный перелет (с поворотом пло-
плоскости движения в апоцентре): 1 — плоскость начальной орбиты; 2 — пло-
плоскость конечной орбиты; 3 — траектория перелета
к начальной плоскости (т. е. плоскости исходной орбиты и траекто-
траектории перелета). Величина второго импульса скорости &V2 и угол %
выбираются из условия доразгона до местной круговой скорости и
одновременного поворота плоскости движения на угол i (рис. 5.31).
Суммарное приращение скорости на такой маневр, отнесенное к
круговой скорости начальной орбиты, определяется формулой
AF. + AFO
кр1
1+г
4
1 + г
1+ г
¦cos i.
E.7.1)

180
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
а угол % между
= arcsin
и начальной плоскостью движения есть
sint"
E.7.2)
+ г
COS I
Здесь г = г2/г\.
На рис. 5.32 построено суммарное приращение скорости для
первой модификации двухимпульсного некомпланарного перелета в
зависимости от угла неком-
,о планарности i и обратной ве-
величины относительного ра-
¦80
0,5
70'
личи осио р
диуса Г [89]. Когда i ^ 30
F1
О
0,5 1,0 г~1
Рис. 5.32. Суммарное приращение скорости
у []
зависимость AFs(r~1) имеет
максимум при больших ве-
величинах относительного ра-
радиуса (г>10). Если i>40°,
то наибольшее значение
AF2 достигается при г = 1.
Это значит, что перелет на
относительно близкую орби-
орбиту в случае значительного
угла некомпланарности тре-
требует большего суммарного
приращения скорости, чем
перелет на более далекую
орбиту с таким же углом не-
некомпланарности.
5.7.2. Второй некомпла-
некомпланарный двухимпульсный пе-
перелет. Второй некомпланар-
некомпланарный двухимпульсный пере-
перелет отличается тем, что по-
попри первом нексыпланарном двухимпульс
ном перелете (с поворотом плоскости в ворот плоскости производит-
апопентре) ся с каждым импульсом ско-
скорости (в два приема). Сум-
Суммарное приращение скорости на такой маневр, отнесенное к FKpi,
вычисляется по формуле
кр1
- 2
1+
l+r
— ix). E.7.3)
Здесь ii — угол поворота плоскости движения в момент приложе-
приложения первого импульса скорости. Для заданных величин относитель-
относительного радиуса г и угла некомпланарности i существует оптималь-

§ 5 7. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
181
.опт
иыи угол н
обеспечивающий минимум AF2(ii). Этот угол опре-
определяется из условия d&Vz/dii = 0:
г sin i
COS l\
sin i cos ij — cos i sin ix
]/ 3 + ~— 2 1^2 (l +7) (cos i cos ix -f- sin i sin ij)
0. E.7.4)
T» -ОПТ
Расчеты показывают, что угол i-± не превышает нескольких
градусов, как и в рассмотренном ранее случае поворота плоскости
круговой орбиты с использованием модифицированного трехим-
пульсного маневра (поворот плоскости в три приема).
Такой способ перелета между некомпланарными круговыми ор-
орбитами экономичнее первого некомпланарного двухимпульсного пе-
перелета во всем диапазоне углов i и относительных радиусов г. Для
каждого значения г существует такая величина угла некомпланар-
некомпланарности i*, при которой достигается наибольшая экономия от исполь-
использования второго некомпланарного двухимпульсного перелета по
сравнению с первым. На рис. 5.33 построена величина наибольшей
0,02
О
0.2 0,4 0,6 0,8 1,0 г'
Рис. 5.33. Максимальная возможная
экономия суммарного приращения
скорости при использовании второго
некомпланарного двухимпульсного
перелета (с поворотом плоскости в
два приема)
0,6 0,8 1ft r'
Рис. 5.34. Условия наибольшей эко-
экономии при использовании второго
некомпланарного двухимпульсного
перелета (с поворотом плоскости в
два приема)
возможной экономии 6F2 для различных значений г. Отмеченные
на графике точки показывают соответствующие величины угла i*
Максимальная экономия FF2 = 0,027) достигается при г « 15,38
и ?«30°.
На рис. 5.34 показаны зависимости от г"*1 угла некомпланар-
некомпланарности i*, при котором достигается наибольшая экономия 6F2,
•опт
и угла ?! поворота плоскости движения в момент приложения
первого импульса скорости [89].

182 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
§ 5.8. Трехимпульсный перелет
между некомпланарными круговыми орбитами
Рассмотрим трехимпульсные перелеты между некомпланарнымиг
круговыми орбитами. Как и при повороте плоскости орбиты, воз-
возможны различные варианты трехимпульсного маневра.
5.8.1. Первый некомпланарный трехимпульсный перелет. Пер-
Первый некомпланарный трехимпульсный перелет по существу пред-
представляет собой биэллиптический перелет с поворотом плоскости
движения в апоцентре траектории (га > г). Суммарное приращение?
скорости на маневр, отнесенное к круговой скорости начальной
(внутренней) орбиты, вычисляется по формуле
Ккр1
A+га)(г+га)
Для заданных значений относительного радиуса г и угла неком-
некомпланарности орбит i величина AFz является функцией относитель-
относительного радиуса апоцентра га. Если га = г, третий импульс скорости
обращается в нуль, формула E.8.1) переходит в E.7.1), а трех-
импульсная траектория становится двухимпульсной. Случай гя<г
не рассматривается, поскольку траектория перелета оказывается
неоптимальной по AFz. При га -> °° обращается в нуль второй им-
импульс, так как поворот плоскости движения на произвольный
угол i и любое изменение радиуса перицентра требуют приложения
бесконечно малого импульса скорости в апоцентре траектории, ра-
радиус которого неограниченно велик. Поэтому
^ E.8.2>
независимо от угла некомпланарности i.
Аналитическое исследование минимума функции AF2(ra), зада-
задаваемой формулой E.8.1), приводит к весьма громоздким соотноше-
соотношениям. Поэтому ниже представлены только результаты численного
анализа трехимпульсных траекторий перелета с поворотом плоско-
плоскости в апоцентре [77, 89].
Радиус апоцентра га однозначно определяется величиной перво-
первого импульса скорости AFi = AFi/FKpi. Именно AFi удобно исполь-
использовать в качестве независимой переменной для графического пред-
представления результатов расчета, в том числе областей оптимальности

§ 5.8. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
183
двух- и трехимпульсных траекторий перелета с одноразовым пово-
поворотом плоскости движения.
Расчеты показали, что для каждого значения относительного
радиуса г существует граничный угол некомпланарности ггр, при
котором трехимпульсная траектория перелета вырождается в двух-
импульсную, так как га = г и третий импульс скорости равен нулю.
В области углов некомпланарности 0 < i ^ ггр более экономичной
оказывается двухпмпульсная траектория перелета по сравнению с
трехимпульсной траекторией, у которой радиус промежуточного
апоцентра имеет конечное значение. Эта область выделена на
Рис. 5 35. Области оптимальности двух-
и трехимиульсных траекторий перелета
с одноразовым поворотом плоскости
движения: кружки — граничные точки
оптимальных двухимпульспых траекто-
траекторий; штриховые линии — неоптималь-
неоптимальные участки кривых; штриховкой обо-
обозначена граница области оптимально-
оптимальности двухимпульсных траекторий
рис. 5.35 штриховкой. Вместе с тем при больших величинах отно-
относительного радиуса (г > 6) и больших углах некомпланарности,
удовлетворяющих условию i < ?гр, может оказаться, что минималь-
минимальное потребное приращение скорости на маневр реализуется в слу-
случае трехимпульсного пространственного перелета с неограниченно
большим радиусом апоцентра (га-*-00). Соответствующие неопти-
неоптимальные участки изолиний г = const показаны на рис. 5.35
пунктиром.
Для углов некомпланарности i > ггр выгоднее использовать трех-
импульсную траекторию, причем в зависимости от i можно выбрать
такую величину AFi (или га), которая обеспечивает перелет с ми-
минимальным потребным приращением скорости AF2.
Чтобы воспользоваться построенными на рис. 5.35 зависимостя-
зависимостями, надо руководствоваться следующим правилом. Пусть заданы
величины относительного радиуса г* и угла некомпланарности i*.
Построим горизонтальную линию i — i* и найдем ее пересечение с
изолинией г = г*. Если точка пересечения находится на сплошной
части изолинии, то в случав i* < ггр (пересечение с вертикальной

184
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
частью изолинии) оптимальной оказывается двухимпульсная не-
некомпланарная траектория, а в случае i* > irp (пересечение с на-
наклонной частью изолинии) оптимальной является трехимпульсная
некомпланарная траектория перелета с ограниченной величиной-
радиуса промежуточного апоцентра. В тех случаях, когда точка
А К
Рис. 5.36. Характеристики двух-
и трехимпульсных траекторий пе-
перелета между некомпланарными:
круговыми орбитами (одноразо-
(одноразовый поворот плоскости движения
в апоцентре): светлые кружки —
граничные точки оптимальных
двухимпульсных траекторий; чер-
черные кружки — оптимальные точ-
точки; штриховые линии — неопти-
неоптимальные участки кривых; штри-
штриховкой обозначена граница обла-
области оптимальности двухимпульс-
двухимпульсных траекторий
пересечения расположена на пунктирной части изолинии г = г*г
оптимальной является трехимпульсная некомпланарная траектория
перелета с бесконечно большим радиусом апоцентра (га->«>). Вид-
Видно, что при ?>60° или г > 11,94 всегда оптимальна трехимпульс-
трехимпульсная некомпланарная траектория перелета с неограниченно большим
радиусом апоцентра. Поскольку такой перелет требует бесконечно
большого времени, его можно заменить траекторией с достаточно
большой, но конечной величиной га без существенного увели-
увеличения AFs.
На рис. 5.36 построены значения AF2, отвечающие указанным
областям оптимальности. Пунктиром показаны неоптимальные ча-
части кривых. Рис. 5.37 иллюстрирует минимальные потребные при-
приращения скорости для перелета между некомпланарными круговы-
круговыми орбитами с одноразовым поворотом плоскости движения. При
i = 32,5° величина AFz почти не зависит от г и составляет пример-
примерно 0,55 (от FKp]). По мере увеличения угла некомпланарности от
32,5° до 90° величина AFz сначала растет, а затем достигает неко-
некоторого предела, который тем больше, чем меньше г. Это означает,
что для углов некомпланарности i > 40° перелет на более удален-
удаленные орбиты требует меньшего суммарного приращения скорости-
AFz, чем перелет на близкие орбиты.

§ 5.8. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
185
На рис. 5.38 построена наибольшая экономия в суммарном при-
приращении скорости 6Fz при использовании трехимпульсных пеком-
планарных траекторий перелета вместо двухимпульсных. Видно,
что экономия достигается для углов некомпланарности ?>40°. При
фиксированном значении i
экономия тем больше, чем AV,
меньше относительный ра-
радиус г.
5.8.2. Второй некомпла-
некомпланарный трехимпульсный пе-
перелет. Обсудим теперь вто-
второй некомпланарный трех-,
импульсный перелет с пово-
поворотом плоскости движения
в три приема, когда одно-
одновременно с приложением
каждого импульса скорости
плоскость движения повора-
поворачивают на некоторый угол.
Установлено, как и в задаче
поворота плоскости круго-
круговой орбиты, что первый и
третий углы поворота не
превышают нескольких гра-
градусов. Поэтому основной по-
поворот плоскости движения
производится с помощью второго импульса скорости. Каждое изме-
изменение плоскости движения выполняется на линии узлов начальной
и конечной орбит, а импульсы скорости прикладываются в пло-
плоскостях, нормальных текущим радиусам-векторам. Суммарное при-
приращение скорости на такой маневр, отнесенное к FKpi, вычисляется
по формуле
0,2 -
О
90 i,8рад
Рис. 5.37. Минимальное приращение
скорости для перелета менаду неком-
некомпланарными круговыми орбитами с по-
поворотом плоскости в апоцентре
AV, =
4-
V
cos
г у 1 4- г г 4-
cos i2
~т , г~
2г
- 2 I/ :^L_ cos (^ _ i _ g. E.8.3)
При ra = r и ii +12= i третий импульс скорости обращается в
пуль. Поэтому второй некомпланарный трехимпульсный перелет
трансформируется во второй некомпланарный двухимпульсный пе-
перелет, а формула E.8.3) преобразуется в E.7.3).

50'
О
0,4
0,8
i—f
Рис. 5.Г18. Наибольший выигрыш в скорости при использовании трехимпульс-
иых некомпланарных траекторий перелета вместо двухимпульсных (поворот
плоскости в апоцентре)
i, град
ю
о
0,2
0,4
Рис. 5.39. Области оптимальности
двух- и трехимпульсных траекторий
перелета (при повороте плоскости
движения с каждым импульсом ско-
скорости): кружки — грани чяые точки
оптимальных двухимпульсных тра-
траекторий; штриховые линии — неоп-
неоптимальные участки кривых; штри-
штриховкой обозначена граница области
оптимальности двухимпульсных тра-
траекторий
Рис. 5.40. Характеристики двух- и
трехимпульсных траекторий переле-
перелета между некомпланарными круго-
круговыми орбитами (при повороте пло-
плоскости движения с каждым импуль-
импульсом скорости); светлые кружки —
граничные точки оптимальных двух-
двухимпульсных траекторий; черные
кружки — оптимальные точки; штри-
штриховые линии — неоптимальные уча-
участки кривых; штриховкой обозначе-
обозначена граница области оптимальности
двухимпульсных траекторий

§ 5.8. ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
187
В общем случае AF2 является функцией трех аргументов: углов
поворота i\, 12 и относительного радиуса апоцентра га. Численное
исследование минимума этой функции позволило выделить области
оптимальности двухимпульсных траекторий перелета с поворотом
плоскости движения в два приема и трехимпульсных траекторий
с поворотом плоскости в три приема (при ограниченной величине
радиуса промежуточного апоцентра га). Эти области построены на
рис. 5.39. Как и прежде, граничный угол некомпланарности ггр от-
отвечает случаю вырождения трехимпульсного маневра в двухим-
шульсный (ra = r, AF3 = 0). В отличие от траектории перелета с
одноразовым поворотом плоскости движения в апоцентре (см.
рис. 5.35), здесь существуют оптимальные трехимпульсные траек-
ri°nT,apad
90
Рис. 5.41. Оптимальные величины
первого угла поворота плоскости дви-
даения для двух- и трехимпульсных
траекторий перелета (при повороте
плоскости движения с каждым им-
импульсом скорости): кружки — гра-
граничные точки оптимальных кривых;
штриховые линии — неоптимальные
части кривых; штриховкой обозначе-
обозначена граница области оптимальности
двухимпульсных траекторий
0,4 Д\?,
Рис. 5.42. Оптимальные величины
второго угла поворота плоскости
движения для двух- и трехимпульс-
трехимпульсных траекторий перелета (при пово-
повороте плоскости движения с каждым
импульсом скорости): кружки —
граничные точки оптимальных кри-
кривых; штриховые линии — неопти-
неоптимальные части кривых; штриховкой
обозначена граница области опти-
оптимальности двухимпульсных траек-
траекторий
тории даже при углах некомпланарности 0 < i < 30° и относитель-
относительных радиусах орбит 1 < г < 1,5. Пунктиром выделены части изо-
изолиний г = const, для которых оптимальным является второй неком-
некомпланарный трехимпульсный перелет с бесконечно большим радиу-
апоцентра (га -»¦ °°).

188
ГЛ. 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
На рис. 5.40 построены потребные приращения скорости, соот-
соответствующие областям оптимальности. Если i < 30° и 1,5 < г < 8Г
то оптимальным оказывается двухимпульсный перелет с поворотом
плоскости в два приема. При г > 6 оптимальными являются либо
вторая двухимпульсная некомпланарная траектория (вырожденный
случай трехимпульсной траектории с га = г и AF3 = 0), либо вто-
вторая трехимпульсная некомпланарная траектория с га ->¦ °°. Опти-
Оптимальная величина радиуса апоцентра не может принимать проме-
промежуточных значений 1<га<°°. Только при г<6 возможны опти-
оптимальные значения га внутри указанного диапазона.
На рис. 5.41 построены оптимальные величины первого угла по-
поворота плоскости движения zi"T. Наибольшая величина iiUT не пре-
превышает 6°, причем максимум достигается вблизи значений i « 40*
иг» 1,5. Концы оптимальных участков выделены кружками. Если
,град
SO 40 50 60 90
Рис. 5.43. Оптимальные величины третьего угла поворота плоскости движения
для трехимпульсных траекторий перелета (при повороте плоскости движения
с каждым импульсом скорости): кружки — граничные точки оптимальных кри-
кривых; штриховые линии — неоптимальные части кривых
угол некомпланарности превышает значения, отвечающие этим
кружкам, то следует принять 1°пт = 0.
На рис. 5.42 показаны оптимальные величины второго угла по-
• ОПТ тт г / о
ворота плоскости движения i2 • На рис. 5.43 представлены опти-
оптимальные величины третьего угла поворота плоскости движения гзПТ'
Наибольшая величина i% T не превышает 5°, а при г>6 имеем
• ОПТ г\ -л
h — 0. Для углов некомпланарности г, при которых нет опти-
« .ОПТ / .\ ОПТ г\
мальных зависимостей г3 (г)> следует принять г3 = U.
5.8.3. Области оптимальности двух- и трехимпульсного переле-
перелетов. На рис. 5.44 построены минимальные потребные скорости для
перелета между некомпланарными круговыми орбитами по двух-
и трехимпульсным траекториям с поворотом плоскости движения
соответственно в два и в три приема. Видно, что при i « 35° вели-
величина AFz почти не зависит от г. При углах некомпланарности
i > 45° величина AF2 уменьшается по мере увеличения г. Следо-

§59 ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
189
вательно, в указанных случаях перелет на более удаленные орби-
орбиты требует меньшего суммарного приращения скорости AF2, чем
перелет на близкие орбиты.
Заканчивая рассмотрение траекторий перелета между некомпла-
некомпланарными круговыми орбитами с числом импульсов не больше трех,
можно сделать некоторые
общие выводы. Для трех-
импульсных траекторий
перелета с тремя поворо-
поворотами плоскости движе-
движения величины первого и
третьего углов поворота
не превышает 5°—6°, т. е.
малы. В значительном
диапазоне углов некомпла-
некомпланарности i и относитель-
относительных радиусов г первый и
третий углы поворота рав-
равны нулю. Основным ока-
оказывается второй поворот
плоскости движения, так
как J2 > 0,73 i. Именно
этим объясняется тот
факт, что траектория пе-
перелета с поворотом пло-
плоскости движения в три
приема обеспечивает не-
несущественную экономию
AF2 по сравнению с тра-
траекторией, на которой поворот плоскости осуществляется только в
апоцентре. Таким образом, во многих задачах можно ограничиться
рассмотрением трехимпульсных траекторий с поворотом плоскости
в апоцентре (первый некомпланарный трехимпульсный перелет),
причем га -*- °о, если i>45° или г> 11,94. Наибольший практиче-
практический интерес представляет область, заданная условиями i < 30°,
г < 8, где оптимальным оказывается первый некомпланарный двух-
импульсный перелет с поворотом плоскости движения в апоцентре,
радиус которого равен радиусу большей круговой орбиты (га = г).
§ 5.9. Перелет с эллиптической орбиты
на некомпланарную круговую
Сложность анализа задачи перелета с эллиптической орбиты
на некомпланарную круговую орбиту существенно зависит от вза-
взаимного положения линии апсид и линии узлов, образованной пло-
плоскостями орбит [68, 70]. В частном случае, когда линия апсид
совпадает с линией узлов, оптимальные траектории перелета ничем
60 90 i,apad
Рис. 5 44. Минимальные приращения скорости
для перелета между некомпланарными кру-
круговыми орбитами (при повороте плоскости
движения с каждым импульсом скорости)

190
Г Л 5 МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
не отличаются от траекторий перелета между некомпланарными
круговыми орбитами: импульсы скорости прикладываются в момен-
моменты пересечения линии узлов и направлены в местной горизонталь-
горизонтальной плоскости. С учетом соотношения геометрических размеров
¦орбит оптимальной может оказаться одна из модифицированных
траекторий Гоманна (с поворотом плоскости в один или два приема)
или одна из трехимпульсных биэллиптических траекторий (с пово-
поворотом плоскости в один или три приема). Численные исследования
показали следующее. Если радиус апоцентра начальной эллипти-
эллиптической орбиты меньше радиуса конечной круговой орбиты, то опти-
оптимальная траектория начинается в перицентре. Если же радиус апо-
апоцентра эллиптической орбиты больше радиуса круговой орбиты,
-оптимальная траектория начинается в апоцентре.
Рассмотрим сначала общий случай двухимпульсного перелета
КА с эллиптической орбиты на некомпланарную круговую. Пред-
Предположим, что линия апсид не совпадает
с линией узлов. Для некоторого упро-
упрощения этой общей сложной задачи,
которую обычно исследуют численно,
вводят дополнительные ограничения на
величины, задающие орбиты и их вза-
взаимное расположение.
Сначала рассмотрим общую поста-
постановку задачи перелета с эллиптической
орбиты на круговую при минималь-
минимальном суммарном приращении скорости
на маневр. Заметим, что полученное
решение рассматриваемой задачи будет
одновременно определять и оптималь-
оптимальную траекторию для обратной задачи
перелета с круговой орбиты на не-
некомпланарную эллиптическую.
На рис. 5.45 показана схема пере-
перелета с эллиптической орбиты на не-
некомпланарную круговую. Здесь со — ар-
аргумент перицентра эллиптической ор-
орбиты, П — перицентр, А — апоцентр, Оо — истинная аномалия точ-
точки отправления Ж\, фк—угловое расстояние от восходящего узла
до точки М2 выхода на круговую орбиту, i — угол некомпланарно-
некомпланарности орбит.
При заданной ориентации начальной эллиптической орбиты
(т. е. заданном угле со), фиксированных точках отправления и при-
прибытия суммарное приращение скорости АУ2 на двухимпульсный
перелет будет зависеть от величины большой полуоси а эллипти-
эллиптической траектории перелета. Для вычисления АУ2 надо знать ра-
радиальную и трансверсальную составляющие скорости в точке от-
отправления с эллиптической орбиты и в начальной точке эллипти-
Рис 5 45. Схема простран
<1твенного перелета с эллипти-
эллиптической орбиты иа круговую:
1 — плоскость начальной эл-
эллиптической орбиты; 2 — пло-
плоскость конечной круговой ор-
орбиты; 3 — плоскость перелета

§ 5 9 ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ 191
ческой траектории перелета, а также в ее конечной точке. Необ-
Необходимо еще знать углы ii и &2, образованные плоскостью перелета
соответственно с плоскостями начальной и конечной орбит.
Отнесем радиальную B.3.5) и трансверсальную B.3.7) состав-
составляющие скорости эллиптической орбиты к круговой скорости FKp =
= >|VrKP, где гкр — радиус конечной круговой орбиты; тогда получим
V 1 /~~r F г
V — — — I/ кр рoin л _ л кр р4in л С5 9 1\
У т __ W С Оi. 11 \J ¦ / , TZ Col 11 *--'• I *-J * tJ * ± f
ккр V i a\\ — e )
Здесь p, e, a — параметр, эксцентриситет и большая полуось рас-
рассматриваемой эллиптической орбиты, 0 — истинная аномалия. По-
Поскольку заданы радиусы точек отправления и прибытия, то фор-
формулы E.9.1) и E.9.2) с учетом уравнения орбиты B.2.31) удоб-
удобнее представить в следующем виде:
в2 [г j J ±? г
г
E.9.1а)
E.9.2а)
Знак «+»—для восходящей, а «—»—для нисходящей ветвей эллип-
эллиптической орбиты. Суммарное приращение скорости на двухимпульс-
ный перелет, отнесенное к FKp, вычисляется через приращения
радиальной и трансверсальной составляющих скорости в точках
отправления и прибытия
AF2 = ]/AF^ + Wlx + \r?&U + Д^я, E-9.3)
где
|| E.9.4)
Д^ш =VV2nl + {ПГУ - 2VnlV%» cos h E.9.5)
— соответственно радиальная и трансверсальная составляющие
приращения скорости в точке отправления, Fri, Vn\ — радиальная
и трансверсальная составляющие скорости начальной эллиптиче-
эллиптической орбиты в точке отправления, Т>ГР, V^9 — радиальная и транс-
трансверсальная составляющие скорости в начальной точке траектории
перелета;
AVr2= F?2ep|, E.9.6)
AVn2 = У (F?e2pJ + 1 - 2F?2P cos i2 E.9.7)

192 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
— радиальная и трансверсальная составляющие приращения ско-
скорости в точке прибытия на круговую орбиту, F"aP, V1^9 — радиаль-
радиальная и трансверсальная составляющие скорости в конечной точке
траектории перелета.
Для определения величин cos ii, cos i2, входящих в E.9.5) и
E.9.7), предварительно рассмотрим единичные векторы ni, Пг, ппер,
нормальные соответственно плоскостям начальной орбиты, конечной
орбиты и траектории перелета. В системе координат Oxyz (рис. 5.45),
начало которой совпадает с притягивающим центром, ось Ох на-
направлена в восходящий узел, ось Оу расположена в плоскости ко-
конечной круговой орбиты, а ось Oz дополняет систему координат
до правой, единичные радиусы-векторы точек отправления г" и
прибытия г" имеют такие составляющие:
г? = [cos (со + ^о)' cos i sin (со + 0О), sin /sin (со + Фо)], E.9.8)
г" = (cos cfK,sincpK, 0). E.9.9)
Будем полагать, что векторы тЧ, г а неколлинеарны, тогда еди-
единичный вектор, нормальный плоскости перелета, определяется со-
соотношением
sin i sin (со
"пер —
«in i sin (со -j- О ) cos ф^ cos (со -f- #0) sin ф^ — cos i sin (со -f- Oo) cos (phl
sin Дф ' sin Дф J' \ • • )
где Аф — угловая дальность перелета от начальной точки М\ до
конечной точки Л/г, вычисляемая по формуле
Аф = arccos (r?«Га) =
= arccos [cos (со -f- Фо) coscpft -f cos i sin (со -f- ^0) sin фЬ]. E.9.11)
Запишем единичные векторы, нормальные плоскостям началь-
начальной и коночной орбит,
ni=@, — sini, cosi), E.9.12)
nS-(O, 0, 1). E.9.13)
Теперь можно вычислить
cos г cos (со + d ) sin ф, — sin (со + d ) cos ф.
cosi1 = ni-nnen = =—i ^ ~ » E.9.14)
cos (со + d ) sin ф^ — cos i sin (со + d ) cos ф^
COS In — По • Пттрп '===z • л • (O.t/.IO)
& a iicjj SVU. Дф
Чтобы определить суммарное приращение скорости на двухим-
пульсный перелет с эллиптической орбиты на круговую, необходи-

§ 5.9. ПЕРЕЛЕТ МЕШДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
193
мо знать элементы траектории перелета, которая является частью
эллиптической орбиты, заключенной между точками отправления
(Mi) и прибытия (М2). Если векторы г° и г^ неколлинеарны, то
существует бесконечное число эллипсов, проходящих через точки
Mi, M2 и лежащих в одной плоскости. В случае коллинеарности
векторов a-j и 7*2 существует беско-
бесконечное число возможных плоскостей
перелета. В дальнейшем ограничим-
ограничимся рассмотрением первого случая,
как представляющего наибольший
интерес.
Пусть даны две точки, М\ и Мг,
расположенные соответственно на
расстоянии г\ и гг от притягивающе-
притягивающего центра О; угловая дальность
между этими точками равна Аф
(рис. 5.46). По определению эллипса
как геометрического места точек,
сумма расстояний которых до фоку-
фокусов есть величина постоянная и рав-
равная удвоенной большой полуоси, т. е. Рис- 5-46- Построение второго фо-
2а мпжттп ттпгтппитт, итппптт rhn- кУса эллиптической траектории
<sanep можно построить второй фо перелета от точки м к точке м
кус (первый совпадает с притягиваю-
притягивающим центром О). Проведем из точ-
точки М\ окружность радиуса 2апер — гь а из точки М.2 окружность ра-
радиуса 2апер — гг. Точки пересечения этих окружностей определят
возможные положения второго фокуса. В общем случае имеют ме-
место две точки пересечения, отсюда — существование двух различ-
различных эллиптических траекторий с одинаковой величиной большой
полуоси. Меняя величину 2апер, можно построить геометрическое
место точек вторых фокусов, которое по построению является ги-
гиперболой с фокусами в точках М\ и Мъ. Предельный случай каса-
касания двух окружностей определяет единственный второй фокус F',
расположенный на отрезке прямой M.\M%. В этом случае величина
большой полуоси оказывается минимальной возможной
где
-V
cos
E.9.16)
E.9.17)
— длина отрезка прямой М1М2.
Если апер> а™^, то возможны две эллиптические траектории
перелета с общим фокусом в точке О и разными вторыми фокуса-
фокусами. Для одной траектории оба фокуса расположены по одну сто-
сторону от прямой М1М2, а для второй — по разные стороны. На
рис. 5.46 построен пример для случая, когда г{ < г2. Если при этом

194 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
величина большой полуоси выбрана так, что второй фокус оказы-
оказывается в точке F'", то начальная точка траектории перелета М\
является ее перицентром. Если бы перелет совершался из точки Мъ
в точку М\ (величина начального радиуса-вектора больше величи-
величины конечного радиуса-вектора), то при нахождении второго фокуса
в точке F" апоцентр траектории перелета совпадал бы с точкой
отправления М.2.
Предположим теперь, что положение второго фокуса на гипер-
гиперболе выбрано. Тем самым однозначно определена величина большой
полуоси апер траектории перелета и ориентация линии апсид. Сле-
Следовательно, графически или аналитически (доказательство приве-
приведено в гл. 4) можно определить все необходимые величины для
^ расчета траектории пере-
х^ ~ лета, затем по формулам
/A ^^*vz E.9.1) —E.9.7), E.9.14),
E.9.15) вычислить AF2.
Изменяя положение вто-
0,8 - 4 уг рого фокуса (или величи-
величину большой полуоси),
. , можно определить опти-
' ' v ~ мальную траекторию пере-
пер лета с минимальным зна-
значением AF2.
0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 ifi ап/гкр На рис> ЪЛ1 приведе_
Рис. 5.47. Характеристики траектории пе- ны типичные результаты
релета («о =j/кр^ е = ОД i:^Го?0°' w = 30°' расчета для случая пере-
о — , фк — 1 ) лета с эллиптической ор-
орбиты на круговую при
следующих условиях [68]: радиус круговой орбиты равен величине
большой полуоси начальной эллиптической орбиты (гкр = а), эксцен-
эксцентриситет которой е = 0,3, аргумент перицентра ш = 30°, точка от-
отправления совпадает с перицентром @о = 0), угловое расстояние
от линии узлов начальной и конечной орбит до точки прибытия,
измеряемой в плоскости круговой орбиты, фк= 170°, угол некомпла-
некомпланарности i = 20°. Как показали расчеты, для таких условий переле-
перелета минимальное значение AF2 реализуется на траекториях, у кото-
которых оба фокуса располагаются по одну сторону от прямой М\Мч.
В рассматриваемом примере minAF2 = 0,61 имеет место при
апер
Япер/Гщэ = 0,86, а время перелета, отнесенное к периоду обращения
на круговой орбите, inep = tnep/TKp = 0,3. Чтобы уменьшить это вре-
время перелета на одну треть, необходимо почти удвоить величину AV^.
Обсуждаемый пример иллюстрирует характер изменения зависи-
зависимостей AVz(anep/rKV) и ?nep(anepM<p) при фиксированных положениях
точек отправления и прибытия.
Для каждой точки отправления с эллиптической орбиты (Оо)
существует своя оптимальная точка прибытия на круговую орбиту

§ 5 9 ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
195
фкПТ)> обеспечивающая минимальное значение AF2 (рис. 5.48, а).
При этом угловая дальность перелета E.9.11) может существенно
отличаться от 180°, хотя при компланарном перелете такая угло-
угловая дальность обычно является оптимальной. В рассматриваемом
примере даже в случае перелета из перицентра эллиптической
0,6
0,5
0,4
\J
560
270
180
90
140 180 220 <рк,град О
а
90 180 270 &о,эрад
5
Рис. 5.48. Выбор оптимальной точки прибытия на круговую орбиту (а) и сово-
совокупность оптимальных точек прибытия для различных начальных точек (б)
(а = гкр, е = 0,3, i = 2&, со = 30°)
орбиты (Оо = 0) оптимальной оказалась угловая дальность Афопт =
= 150°. Численные расчеты показывают, что в большинстве слу-
случаев оптимальные точки прибытия располагаются вблизи линии
узлов (рис. 5.48, а, б). Поскольку здесь угол фк, определяющий
положение точки прибытия на круговой орбите, отсчитывается от
линии узлов начальной и ~ ^
„ _, ОПТ /IV |— •/-
конечной орбит, то фк ^ ^ г
~ 180° или 0° C60°). Лишь
для ограниченной совокупно-
совокупности точек отправления в диа-
диапазоне 110°<0о<160° и
290° < -Оо < 340° имеем со-
соответственно 200° <С фкГ т <С
<340° и 20°<фГт<1б0°,
т. е. оптимальные точки
прибытия располагаются
между узлами.
Ниже обсуждаются неко-
некоторые другие результаты
численного исследования
рассматриваемого примера.
На рис. 5.49 построены зависимости AFz(Oo) и ?пер(Оо). Мини-
Минимальная величина AF2 достигается в точке отправления с истин-
истинной аномалией 00=160°, которая является промежуточной между
точками линии узлов @^ = 150°) и апоцентра @ = 180°). При этом
0,4
0,2
0
90 180 270 &0,град
Рис. 5 49. Характеристики оптимальных
траекторий перелета для разных точек от-
отправления с эллиптической орбиты на кру-
круговую (а = гкр, е = 0,3, i = 20°, со = 30°)

196
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
время перелета оказывается близким к максимальному (?ПеР = 0,54),
что во многих задачах нежелательно. Если в качестве начальной
выбрать точку вблизи перицентра с истинной аномалией от 340°
до 60°,^ то величина Af z оказывается близкой к минимальной воз-
возможной, а время перелета сокращается почти вдвое.
При изменении угла некомпланарности в диапазоне i = 10° -f- 30°
форма кривых Af2(fl0) практически сохраняется, хотя сами вели-
величины суммарного приращения скорости увеличиваются с возраста-
возрастанием i (рис. 5.50, а). Время перелета, величина большой полуоси
180 270 А,,зрад О
Рис. 5.50. Влияние угла некомпланарности орбит (а) и эксцентриситета эллип-
эллиптической орбиты (б) на величину суммарного приращения скорости для пере-
перелета с эллиптической орбиты на круговую (а = гкр, со = 30°)
эллиптической траектории перелета и положение оптимальной
точки прибытия оказываются почти такими же, как при угле не-
некомпланарности i = 20°.
Исследование влияния вариации эксцентриситета начальной эл-
эллиптической орбиты в диапазоне е = 0,1 -ь 0,3 иллюстрирует
рис. 5.50, б. Видно, что положение относительных минимумов за-
зависимостей AFx@0) практически сохраняется при рассмотренных
значениях эксцентриситета, хотя сами минимальные величины AFZ
несколько возрастают с увеличением эксцентриситета.
Анализ рассмотренных примеров двухимпульсных траекторий
перелета с эллиптической орбиты на близкую к ней по размерам
некомпланарную круговую орбиту позволяет сделать следующие
выводы. Для каждой точки отправления с эллиптической орбиты
существует своя оптимальная точка прибытия на круговую орбиту,
обеспечивающая минимальную величину AF2. На эллиптической
орбите имеется некоторая совокупность точек отправления, для
которых величина AF2 оказывается меньше, чем при отправлении
из перицентра или апоцентра. Оптимальные точки прибытия на
круговую орбиту, как правило, располагаются вблизи линии узлов,
образованной плоскостями начальной и конечной орбит. При уве-

§ 5 10 ОРИЕНТАЦИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ СХОДА С ОРБИТЫ 197
личении угла некомпланарности увеличивается минимальное по-
потребное приращение скорости AFz на маневр, а оптимальная вели-
величина большой полуоси траектории перелета, время перелета, опти-
оптимальная точка прибытия на круговую орбиту практически не зависят
от угла некомпланарности в диапазоне 10°<i<30°. С умень-
уменьшением эксцентриситета начальной эллиптической орбиты умень-
уменьшается минимальная величина AFz, а зависимость AF2A9o) стано-
становится более пологой.
Метод численного анализа можно применять и для задачи оп-
оптимального перелета между некомпланарными эллиптическими
орбитами. Вычислительная процедура близка к рассмотренной вы-
выше, но при этом существенно увеличивается объем расчетов, услож-
усложняется наглядное представление результатов и их обобщение из-за
большого числа исходных параметров задачи.
§ 5.10. Оптимальная ориентация импульса скорости
для схода с орбиты
Когда требуется обеспечить спуск КА с произвольной орбиты
на планету, имеющую атмосферу, обычно возникает задача о вы-
выборе ориентации тормозного импульса скорости из условия оптими-
оптимизации некоторых параметров траектории входа в атмосферу. При
этом используют понятие условной границы атмосферы, т. е. сфе-
сферической поверхности, ниже которой необходимо учитывать воздей-
воздействие на КА аэродинамических сил. Понятно, что высота условной
границы атмосферы должна зависеть от свойств самой атмосферы
и аэродинамических характеристик КА. Так, условную границу
атмосферы Земли принимают на высотах 80—120 км, атмосферы
Марса — на высоте —100 км, атмосферы Венеры—на высоте
-120 км.
В качестве критерия оптимальности наиболее часто рассматри-
рассматривают угол входа в атмосферу, т. е. угол наклона траектории на
условной границе атмосферы. Бывает, что требуется минимизиро-
минимизировать разброс угла входа при возможных ошибках в ориентации
тормозного импульса скорости и его величине. Иногда необходимо
уменьшить отклонение точки входа в атмосферу от расчетной и т. п.
5.10.1. Получение максимального по величине угла входа в
атмосферу. Рассмотрим компланарную задачу схода КА с произ-
произвольной орбиты, параметры которой заданы, т. е. в каждый момент
времени известны текущие величины радиуса-вектора г, скорости V
и угла наклона траектории 9. При заданной величине тормозного
импульса скорости AV требуется определить оптимальное направ-
направление импульса из условия получения максимального по величине
угла входа в атмосферу. Условная граница атмосферы задана ра-
радиусом гат. В силу обратимости, найденное решение будет обеспечи-
обеспечивать заданный угол входа с минимальным по величине тормоз-
тормозным импульсом. Угол входа 9ВХ является наиболее существенным

198
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
параметром, от которого зависит траектория спуска в атмосфере, так
как для реальных величин AF скорость входа VBX мало меняется
при изменении ориентации тормозного импульса скорости. Правда,
в приведенном ниже анализе задачи схода с орбиты величина AF
не ограничивается в целях большей общности получаемых ре-
результатов.
Пусть тормозной импульс скорости AV прикладывается в за-
заданной точке начальной орбиты. Эта точка характеризуется вели-
величиной радиуса-вектора го, скоростью Fo и углом наклона траекто-
траектории Во. Вектор AV сообщается под некоторым углом %, который
отсчитывается от направления, противоположного вектору Vo. Век-
Вектор AV может иметь отрицательную или положительную радиаль-
радиальную составляющую. В случае круговой начальной орбиты знак ра-
радиальной составляющей не влияет на величину угла входа в атмо-
атмосферу, хотя угловая дальность до точки входа существенно разли-
различается (рис. 5.51). Действительно, при |AV| = IAV'I и 1x1 = \%'\
в силу симметрии реализуется нисходящая или восходящая ветви
Рис. 5.51. Возможные траектории
спуска с круговой орбиты: 1 — на-
начальная круговая орбита; 2 — услов-
условная граница атмосферы
Рис. 5.52. Схема торможения
при спуске с произвольной ор-
орбиты
переходной эллиптической траектории соответственно для отрица-
отрицательной и положительной радиальной составляющей AV. Отсюда
для начальной круговой орбиты имеем равенство углов 6ВХ = 6вх
и скоростей FBX = VBX на условной границе атмосферы. Однако эти
траектории различаются по угловой дальности от точки приложения
импульса скорости AV до входа в атмосферу: Ф' > Ф. Траектория
с большей угловой дальностью всегда чувствительнее к ошибкам
реализации AV, чем траектория с меньшей дальностью. Поэтому

§ 5,10. ОРИЕНТАЦИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ СХОДА С ОРБИТЫ 199
практический интерес представляет только короткая траектория
спуска, которая реализуется при отрицательной радиальной состав-
составляющей вектора AV.
Возвращаясь к общей постановке задачи, когда начальная ор-
орбита может быть произвольной, заметим, что при одинаковых по
величине, но разных по знаку радиальных составляющих AV пере-
переходные траектории будут иметь разные по величине углы входа в
атмосферу, если траектория с положительной радиальной состав-
составляющей вообще пересекает условную границу атмосферы. Поэтому
целесообразно ограничиться рассмотрением только случая отрица-
отрицательной радиальной составляющей тормозного импульса скоро-
скорости AV.
После приложения AV получим (рис. 5.52):
\г = \0 + AV, E.10.1)
Уi = V Vo + № - 2F0AF cos x- E.10.2)
Изменение угла наклона траектории
V —AFcosx
A6 = arccos^— . E.10.3)
Примем, что трансверсальная составляющая орбитальной ско-
скорости не меняет направления после приложения AV, т. е. всегда
выполняется условие
Fo-AFcosx>0.
Используя интеграл энергии B.2.1) и площадей B.2.11), вычис-
вычислим скорость и угол наклона траектории при входе в атмосферу
7Вх = УТГ+~Л. E.10.4)
v. „ — AF cos x) cos 9. 4- AV sin 9. sin x"|
arccos r^-2 } / ° °- . E.10.5)
№
Здесь
r]=s2\i{r-l)^ E.10.6)
ro
где r = ro/rBX^=l, [i — произведение массы притягивающего тела на
постоянную притяжения. Знак «—» в формуле E.10.5) показы-
показывает, что радиальная составляющая скорости входа отрицательна.
Вычислим производную угла входа 6ВХ по х — углу ориентации
тормозного импульса скорости:
= [(Vo — AF cos x) cos 00 + AF sin 60 sin x]—
AF
(sinxcos00 + cosxsin60) . E.10.7)

200 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯШЕНИЯ
Полагая ddBJd% = 0, найдем необходимое условие оптимальности
угла %:
(Vo - AF cos х) Fo sin x-{Vl + AF2 - 2F0AF cos x + rj) sin x +
+ tg 00 [F0AFsin2 x - (F2 + AF2 - 2F0AF cos x + rj) cos x] = 0,
или
(F0AF cos x - AF2 - rj) sin x + tg 60 [F0AF - (V% + AF2 + r\) cos x +
]- 0. E.10.8)
Для заданных значений r0, Fo, Во, ц и ДУ можно численно ре-
решить уравнение E.10.8) и определить величины угла %, удовлетво-
удовлетворяющие необходимому условию оптимальности. Затем выбрать тот
угол ориентации тормозного импульса скорости, при котором дости-
достигается максимальный (по абсолютной величине) угол входа в ат-
атмосферу.
Исследование задачи в общем виде можно довести до конца,
если ограничиться случаем 6о = 0, который соответствует спуску с
круговой орбиты, а также спуску из апоцентра (перицентра) эл-
эллиптической орбиты или из перицентра параболической и гипербо-
гиперболической орбит. Эти случаи представляют наибольший практиче-
практический интерес. С учетом 6о = О получим из E.10.8)
(FoAFcosx-AF2-ri)sin5C = 0 E.10.9)
Отсюда имеем два значения угла %, удовлетворяющие необходи-
необходимым условиям оптимальности:
Ул = 0, E.10.10)
E.10.11)
Xa ,
А2 AV
где
AF=AF/F0, ц = г\/У1 E.10.12)
В рассматриваемом случае 6о = 0 спуск с орбиты может происхо-
происходить в перицентре произвольной орбиты, где истинная аномалия
<Оо==О, апоцентре эллиптической орбиты (в>о = я) или любой точке
круговой орбиты. Поэтому с учетом B.3.9) и B.3.10) можно за-
записать
V20 = ^(l±e)\ E.10.13)
Здесь знак «+» соответствует сходу с орбиты в перицентре, а знак
«—» отвечает сходу в апоцентре. Далее, с учетом E.10.6) и

§ 5.10. ОРИЕНТАЦИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ СХОДА С ОРБИТЫ
201
E.10.13) получим окончательно
1 + е
E.10.14)
В плоскости параметров (AF, ц) можно построить область Г, в ко-
которой угол %2 > 0. На границе области Г имеем %2 = 0. Полагая в
E.10.11) %2 ^ 0, получим
AF2-AF + ^0. E.10.15)
Следовательно, область Г — это
часть плоскости, ограниченная па-
параболой E.10.15) и осью г]=0, по-
поскольку ц ^ 0 согласно E.10.14).
Окончательно условие %2 ^ 0 можно
записать двумя соотношениями, ко-
которые эквивалентны E.10.15):
т-й EЛ0Л6)
0,1 -
0,5
1,0 AV
Область Г для случая схода с про-
произвольной орбиты в точке, где 0о =
= 0, показана на рис. 5.53.
Рассмотрим теперь вторую про-
производную d2QsJd%2 при условии,
что 0о = О. Дифференцируя E.10.7) по % и полагая 00 = 0, получим
скорости при спуске с произволь-
ной орбиты в точке с 60 = 0
S
cos x —
Aycosx
1Q
Исследуем теперь знак d2QBJd%2 в точках стационарности. После
подстановки % —%i = 0 в уравнение E.10.18) и перехода к обезраз-
меренным параметрам E.10.12) имеем
e"w r Л1/ =(АУ2-АУ+л)- E.10.19)
о=о
х=хх=о
Знак E.10.19) зависит от знака сомножителя (AF2 — AV + tj), ko-

202
ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
торый на границе области Г обращается в нуль. Поэтому
> 0 вне области Г,
= 0 на границе области Г,
;0 внутри области Г.
Нетрудно убедиться, что на границе области Г справедливы соот-
соотношения
= 0,
з7ду2
Эо=о,х=х1=о У{1- ЛУK [1 - 72 A - ЛУ)]
Таким образом, условие ориентации %\ = 0 тормозного импульса
скорости обеспечивает минимальный угол входа в атмосферу (т. е.
максимальный по абсолютной величине угол входа, поскольку
9вх<0), если параметры AF и т) находятся вне области Г или на
ее границе.
Определим знак второй производной E.10.18) при % = %2- После
несложных преобразований получим с учетом E.10.11)
7 (ЛУ2 + ЛУ + г\) (ЛУ2 — ЛУ + ц)
ео=о,х=х2
'¦. E.10.20)
Знак второй производной E.10.20) определяется знаком сомножи-
сомножителя (AV2 — AF+т)), который отрицателен в области Г, обраща-
обращается в нуль на ее границе и положителен вне этой области. Отсю-
Отсюда видно, что
'> 0 внутри области Г,
= 0 на границе области Г,
ео=о,х=х2
<;0 вне области Г.
Итак, если заданная точка (AF, ц) находится внутри области Г,
т. е. величины AF и т) удовлетворяют условиям E.10.16), E.10.17),
для получения максимального (по абсолютной величине) угла вхо-
входа в атмосферу тормозной импульс скорости должен прикладывать-
прикладываться под углом % = %2, который вычисляется по формуле E.10.11).
Если же заданная точка (AF, ц) находится на границе области Г
или вне указанной области, то максимальный (по абсолютпой ве-
величине) угол входа достигается при ориентации тормозного импуль-
са скорости строго против направления движения, т. е. % = %i =
= 0 [54].
В случае пепулевой оптимальной ориентации тормозного импуль-
импульса ркоростп параметры траектории на высоте условной границы

§ 5.10. ОРИЕНТАЦИЯ ИМПУЛЬСА ДОЩ СХОДА С ОРБИТЫ 203
атмосферы вычисляются по формулам
-AV2-^ E.10.21)
6ВХ = - arccos G V \- ДУ2 — ц), E.10.22)
где VBX = VJV0.
Обращая формулу E.10.22), можно определить минимальную
потребную величину тормозпого импульса скорости для заданного
угла входа в атмосферу 9Вх:
AV = |Д _ ц - (^Sy. E.10.23)
Предельный радиус точки торможения, до которой существует
ненулевой угол ориентации тормозного импульса скорости, опреде-
определяется согласно E.10.17) условием т) = 1/4 или с учетом E.10.14)
^пред = 1 + 4 A ± е). E.10.24)
Здесь знак «+» относится к случаю торможения в перицентре
произвольной орбиты, а знак «—» соответствует торможению в
апоцентре эллиптической орбиты.
Если начальные параметры в точке схода с орбиты находятся
на границе области Г или вне ее, а условия оптимального тормо-
торможения требуют ориентации тормозного импульса скорости против
направления движения, при входе в атмосферу получают такие
параметры движения:
E.10.25)
= — arccos -tLJA ~ А^) E.10.26)
У (АУJ + ^Г
Потребная величина тормозного импульса скорости, обеспечиваю-
обеспечивающая заданный угол входа 0Вх при торможении против направле-
направления движения, вычисляется по формуле
\FZ7- E.10.27)
Величина тормозного импульса при сходе с орбиты ограничена
снизу дополнительным условием cos 6ВХ ^ 1. Используя формулы
E.10.14) и E.10.22), получим
V2 2'г ~" *) <-" л

204 ГЛ. 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
Отсюда следует ограничение на минимальную допустимую вели-
величину тормозного импульса в случае 5С = 5С2-
AF2>1--L- Щ=?-. E.10.28)
Это условие может сузить область Г за счет сдвига ее левой гра-
границы. Аналогично найдем с помощью соотношений E.10.14),
E.10.26) в случае % = %\ = 0
7A +а?) <Г1
и далее
2 т E.10.29)
1 + г) A ± е) v '
В формулах E.10.28), E.10.29) знак перед эксцентриситетом вы-
выбирается, как указывалось выше.
5.10.2. Спуск с круговой орбиты. Если начальная орбита кру-
круговая, то полученные формулы для задачи спуска с орбиты, оп-
оптимального по углу входа в атмосферу, существенно упрощаются.
Действительно, для круговой орбиты эксцентриситет е = 0 и со-
согласно E.10.14)
Ti=2(r-1). E.10.30)
Условия E.10.16) и E.10.17), соответствующие ненулевой опти-
оптимальной ориентации тормозного импульса скорости, для круговой
орбиты имеют вид
-i|< j/^2 (-i - ?*), E.10.31)
1<г<|-. E.10.32)
Оптимальный угол ориентации тормозного импульса скорости
ДУ2 — 2(^ — 1) ,г ,п ооч
У = arccos S3 -, E.lO.oo)
АУ
а параметры траектории на высоте условной границы атмосферы
увх = УЗ - 2f - AF2, E.10.34)
6ВХ = -arccos (гУЗ - If - AF2). E.10.35)
Для получения заданного угла входа в атмосферу 6ВХ требуется
тормозной импульс величиной
AV = 1 / 3 - 2г - (^Ц . E.10.36)

§ 5.10. ОРИЕНТАЦИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ СХОДА С ОРБИТЫ 205
Согласно условию E.10.32) предельный относительный радиус
при спуске с круговой орбиты
гпред = "g"» E.10.37)
т. е. при го > 9гат/8 торможение должно осуществляться против
направления движения, независимо от величины тормозного им-
импульса скорости [54, 73, 91].
При нарушении ограничения E.10.31) на величину тормозного
импульса скорости торможение также должно происходить против
направления движения (% = %\ = 0). В этом случае
? + 2(F-1), E.10.38)
6ВХ = arccos *!*rLv) , E.10.39)
V (l-AFJ+2(r -1)
а величина потребного импульса скорости для заданного угла вхо-
входа в атмосферу 6ВХ
AF = 1 _ 1 / 2^0 E.10.40)
V (г secGB*xJ-l V
Для круговой орбиты условие E.10.28) приводится к виду
AF2>3 — L — 2г,
или
AF2 > _ 1 G - IJ B7 + 1). E.10.41)
Соотношение E.10.41) заведомо выполняется. Отсюда видно,
что при спуске с круговой орбиты, когда начальные параметры
(AF, т)) находятся в области Г E.10.31), E.10.32), траектория
всегда пересекает условную границу атмосферы, т. е. ограничение
cos 6ВХ ^ 1 заведомо выполняется.
С помощью ограничения E.10.29) установим минимальную до-
допустимую величину тормозного импульса скорости, обеспечиваю-
обеспечивающую вход в атмосферу в случае, когда торможение производится
против направления движения (х = %i = 0):
На рис. 5.54 построены примеры расчета параметров траекто-
траектории на входе в атмосферу при спуске с круговой орбиты, для ко-
которой относительный радиус г = го/гат = 1,05. Величина относи-
относительного тормозного импульса скорости AV = 0,04 находится вне
области Г и соответствует нулевой оптимальной ориентации (тор-
(торможение против направления движения). Величина AV = 0,2 на-
находится в области Г. Оптимальный угол ориентации тормозного
импульса скорости % = %2 ~ 45,6°. Величина AF = 0,113 попадает
^а грапицу области Г. где следует выбирать % = xi =0.

206
ГЛ 5. МАНЕВРЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ П01Е ПРИТЯЖЕНИЯ
Если рассмотреть также отрицательные значения угла %, когда
реализуются исключенные из анализа траектории с большой угло-
угловой дальностью, получим зависимости 0Bx(jc), ^и(%), которые яв-
являются зеркальным отражением рис. 5.54 относительно оси орди-
ординат [74].
Область Г ненулевой оптимальной ориентации тормозного им-
импульса скорости при спуске с круговой орбиты показана на
=1,05
град
90 Х,град
Рис. 5.54. Параметры траектории на
входе в атмосферу при различной
ориентации тормозного импульса
скорости (спуск с круговой орбиты):
штриховые линии — VBX; сплошные
ЛИНИИ — Овх
1.10
105
1,00
0,5
1,0 AV
Рис. 5.55. Область Г ненулевой ори-
ориентации тормозного импульса скоро-
скорости при спуске с круговой орбиты
рис. 5.55 в плоскости параметров (AF, г). На рис. 5.56 представ-
представлены параметры входа в атмосферу и оптимальный угол ориента-
ориентации тормозного импульса скорости при спуске с круговой орбиты,
отвечающей условиям 1 ^ г ^ 1,125. Видно, что в случае малых
величин AF торможение должно производиться против направле-
направления движения (jc = O). В некотором диапазоне значений AF оп-
оптимальный угол ориентации тормозного импульса скорости не ра-
равен нулю и может достигать больших величин (до 90°). При этом
переход от нулевых углов % к ненулевым очень резкий. С увели-
увеличением AF угол % сначала возрастает, а затем начинает умень-
уменьшаться вплоть до 0. Для достаточно больших величин AV тормо-
торможение должно осуществляться против направления движения (% =
= 0). И в этом случае имеет место резкий переход от ненулевых
углов к нулевому.

§ 5.10. ОРИЕНТАЦИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ СХОДА С ОРБИТЫ
207
5.10.3. Спуск из апоцентра эллиптической орбиты. Спуск из
апоцентра эллиптической орбиты обеспечивает условия, близкие к
оптимальным в смысле получения максимального по абсолютной
V
Их
1,0 ~
0,5
град
90 к
60-
?
^1,09
л
/ /^
\J^
\
Щ \ 1,125 _
^^—
\\V-V
т \ \ \
1,03
1ft6
,09
,125
1
0,5
W AV
Рис. 5.56. Параметры входа в атмосферу и оптимальный угол ориентации тор*
мозного импульса скорости при спуске с круговой орбиты
величине угла входа при заданной величине AF [73]. В этом
случае
и диапазон изменения параметра ц:
2(г- 1)< ц < с».
Область Г ненулевой ориентации тормозного импульса скоро-
скорости при спуске из апоцентра эллиптической орбиты определяется
условиями
-О
1-е
1
E.10.43)
E.10.44)
Предельный радиус точки схода гпред, при превышении которо-
которого тормозной импульс должен прикладываться против направле-
направления движения, вычисляется по формуле E.10.24)
~ 9 е
Когда е -*¦ 1, имеем гпРеД ~^ 1. Это означает, что при спуске из апо-
апоцентра сильно вытянутой эллиптической орбиты тормошение долж-
должно осуществляться против направления движения.

ГЛАВА 6
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Ранее была рассмотрена классическая задача двух тел в пред-
предположении, что масса одного тела существенно меньше массы дру-
другого тела. Эта фундаментальная задача явилась основой для по-
построения решения многих прикладных задач механики космическо-
космического полета. Более сложной, хотя и не имеющей такого широкого
применения в прикладном аспекте, является классическая задача
трех тел, которые совершают движение под действием взаимного
притяжения, определяемого ньютоновским законом. Общая поста-
постановка задачи трех тел предполагает соизмеримость их масс. Это
условие не выполняется в задачах механики космического полета,
так как масса КА на много порядков меньше массы небесных тел.
Ограниченная задача трех тел предполагает, что одно из тел име-
имеет бесконечно малую массу по сравнению с массами двух других
тел, имеющих соизмеримые массы, и не оказывает воздействия на
их движение.
В ограниченной задаче движение двух тел с конечными масса-
массами mi и mi относительно их барицентра считают известным, тре-
требуется определить движение тела с бесконечно малой массой тпз.
Для определенности будем полагать, что тз<^2< тп\. Если тела
тп\ и т2 с конечными массами движутся относительно своего ба-
барицентра по круговым орбитам, то имеет место круговая ограни-
ограниченная задача трех тел. Эта задача может быть плоской, если все
три тела движутся в инерциальном пространстве в одной плоско-
плоскости. Таково, например, движение КА в плоскости эклиптики под
воздействием Солнца и Земли. Пространственная задача возникает
в том случае, когда плоскость движения тела бесконечно малой
массы тпъ не совпадает с плоскостью движения тел nil и тпъ. При-
Примером пространственной круговой ограниченной задачи трех тел
может служить движение КА под воздействием Земли и Луны при
условии, что плоскость его движения не совпадает с плоскостью
орбиты Луны (эта орбита предполагается круговой).
Если тело тч движется относительно т\ по эллиптической ор-
орбите, то возникает эллиптическая ограниченная задача трех тел
(плоская или пространственная). Соответственно можно рассмат-
рассматривать также гиперболическую, параболическую ж прямолинейную
ограниченные задачи трех тел.

§ 6.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 209
§ 6.1. Общая постановка задачи трех тел
Общая постановка задачи трех тел, предполагающая соизмери-
соизмеримость их масс, представляет интерес, в частности, для прогнози-
прогнозирования движения этих тел на заданный момент времени. Напри-
Например, можно рассматривать Солнце, Землю и Луну или Солнце и
две планеты, которые в наибольшей степени влияют на движение
друг друга.
6.1.1. Уравнения движения трех притягивающих тел. Пусть mif
тп2, тпг — массы и одновременно обозначения трех притягивающих
тел. Движение этих тел будем рассматривать в инерциальной си-
системе координат Oxyz с произвольной ориентацией осей. Обозна-
Обозначим через rh радиусы-векторы, а через xh, yh, zh координаты этих
тел (к = 1, 2, 3). Движение тела тп\ происходит под действием
суммарной силы
Fi = F21 + F31,
где
_ fmim2 /_ \
Г21 — з ^ 2 *1/
Г12
— сила притяжения тела mi к тг,
¦р1 1 з /_ _ \
31 ~~ Г3 V 3 !'
13
— сила притяжения тела mi к тз,
— расстояние между соответствующими телами. Уравнение дви-
движения тела тп\ в векторной форме
^ Ц-2(г2-г1)+-Ц-3(г3-г1), F.1.1)
1^
dt
или в скалярной форме
13
F.1.2)
12
где

210 ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
По аналогии можно записать векторные уравнения движепия
тел 7^2 и /из:
d2
at r2i Г23
-^=:Ч^(Г1-Гз) + Ч-^(Г2-Гз)- F-1.5)
- ХЪJ + A/2 - уз) 2 + (^2 - Z3J. F.1.6)
ЗдеСЬ Г21 = Г12, Г31 =
6.1.2. Интегралы задачи трех тел. Складывая почленно урав-
уравнения F.1.1), F.1.4), F.1.5), получим
d\ d\ d\
di2 di2 df2
Отсюда после интегрирования
dr, drn dr_
wi^- + w2-dT+m3^-a. F.1.7)
Проинтегрируем теперь F.1.7)
+ т2гг + тзг3 = at + b. F.1.8)
Здесь а и b — произвольные постоянные интегрирования.
Предположим, что точка В является барицентром (центром
масс) системы трех тел. Радиус-вектор барицентра вычисляется
ло формуле
П = — (^iri + т2Т2 + тзгз)» F.1.9)
где
т = т\-\-т2-\-тг. F.1.10)
Соотношения F.1.9), F.1.10) позволяют записать интегралы
F.1.7) и F.1.8) в более компактном виде
гь = ^-а, гь = ^(а + Ы). F.1.11)
Полученные интегралы F.1.11) показывают, что в инерциальной
системе координат барицентр системы движется равномерно и
прямолинейно.
Умножим теперь уравнения F.1.1), F.1.4), F.1.5) векторно
слева соответственно на ri, Гг, гз и сложим их почленно:
I - - 1 1 I ^Г9 \ / ^ГЧ I
тл | г, X —k I + m, | г9 X —f -L m3 r3 —f | = 0
f m3 3
dt I \ at
/2

§ 6 1 ОБШДЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 211
Это равенство можно представить в виде
d Г / dr\ ( dxA ( дхАЛ
Tt Ь (г> Х -Ж) + т> (Г2 X -^) + т3 (г3 X -^}\ = 0.
Tt Ь ( ) ( ) ( }\
Отсюда следует, что
mi (ri X ^) + т2 (г2 X ^) + т3(г3 X ^) = С, F.1.12)
С = (СХ, Су, Cz)—постоянный вектор. В левой части F.1.12) сто-
стоит кинетический момент системы трех тел, поэтому интеграл
F.1.12) свидетельствует о сохранении кинетического момента.
Векторное равенство F.1.12) эквивалентно трем скалярным ус-
условиям
dz dy A I dz dy\ I dz dy
dx± dzA I dx2 dzA I dx3 dz
~dt~xi~dT} + m2[Z2-dF — x2-&] + тз
dy dxA I dy dx \ I dy dx
yij + m[^yf)+rn[x^y^
F.1.13)
По аналогии с задачей двух тел соотношениям F.1.12) и
F.1.13) можно дать некоторую геометрическую интерпретацию.
Построим плоскость, проходящую через барицентр системы тел и
нормальную вектору С. Положение этой плоскости, которую назы-
называют неизменяемой плоскостью Лапласа, не будет меняться в про-
пространстве со временем, так как вектор С постоянен. Рассмотрим
теперь движение проекций точек mi, m<i, m^ на плоскость Oyz,
тогда можно записать уравнения их секториальных скоростей от-
относительно начала координат
dt 2 \yi dt x <"
dS2Vz
dt 2 V2 dt ~2 dt
dS
zvz _ 1 / ^з _
dt ~ 2 \Уз dt ^ dt
Введем еще понятие средней секториальной скорости проекций
центров масс тел на плоскость Oyz

212 ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
тогда первое уравнение системы F.1.13) можно записать в виде
dSv. Cx
т. е. средняя секториальная скорость проекций центров масс тел
на плоскость Oyz есть величина постоянная. Аналогичные выклад-
выкладки можно выполнить для второго и третьего соотношепий F.1.13)
и показать, что проекции средней секториальной скорости на лю-
любую координатную плоскость являются величинами, постоянными
по времени. Первые интегралы F.1.13) определяют изменение пло-
площадей, которые описывают проекции радиусов-векторов центров
масс тп\, т2, тз на координатные плоскости. Поэтому соотношения
F.1.13) называют интегралами площадей.
Перейдем теперь к вычислению интеграла энергии в задаче
трех тел. Предварительно рассмотрим потенциал
ЩХ,, Vl, Z1? . . ., Z3) = to + ^ + to, F.1.16)
12 13 23
тогда уравнения движения F.1.1), F.1.4), F.1.5) можно предста-
представить в виде
rf2', dU . . dU . dU ,
m2
m3
dt2
d"T2
dt2
A,
dc*
F-1л7>
_dU_. dU_ . dU ,
Потенциал U численно равен работе, которую надо совершить,
чтобы удалить тела гп\, т^ т^ на бесконечно большие расстояния
друг от друга. Действительно, пусть тела т2 и тг находятся в
фиксированных точках пространства, а тело mi требуется удалить
от них на бесконечно большое расстояние. Для этого необходимо
затратить работу fmim2/ri2 на преодоление притяжения тела т2
и работу fmims/ris на преодоление притяжения тела m$. Чтобы
теперь удалить тело т2 от тз на бесконечно большое расстояние,
необходимо затратить работу }гп2тз/г2з. Таким образом, суммарная
работа будет определяться соотношением F.1.16).
Умножим уравнения F.1.17) скалярно соответственно на
dr, dx dy . dz
dt ~ dt "^ dt J ^ dt *
dt dt "^ dt J ^ dt
dr dx щ dy # dz
~Ж = ~Ж 1 ^ Hi ^li

§ 6 1 ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 213
и сложим их почленно, тогда получим
1 dt dt* +ТП* dt' dt* +m* dt* dt* - dx1 dt + dyx dt
л.^^ м~^2 -i-^-^ 4-—^ -^^-^-^—^ 4-—^
+ дгл dt + dxn dt + dya dt + dzo dt + dx. dt + дуч dt + dzQ dt
X 2 & а о « о
или
Интегрируя это соотношение, найдем
или
1 (mxV\ + m2Vl + m,V23) = U + Л, F.1.18)
где
, ^2 =
dl±
V —
' K 3
dT6
~di
— величины скоростей движения центров масс тел т\, ni2, т^;
7г — произвольная постоянная интегрирования. В левой части
F.1.18) стоит формула кинетической энергии системы трех тел.
Величина — U определяет потенциальную энергию системы трех
тел. Таким образом, соотношение F.1.18) выражает постоянство
полной энергии системы трех тел, и его называют интегралом
энергии.
Можно показать, что полученные векторные первые интегралы
задачи трех тел F.1.7), F.1.8), F.1.12) и скалярный первый ин-
интеграл F.1.18) легко обобщаются на произвольное число притя-
притягивающих тел и в целом определяют десять первых скалярных ин-
интегралов системы.
6.1.3. Движение трех тел относительно их барицентра. Наряду
с инерциальиой системой координат Oxyz, в которой движение
трех притягивающих тел описывается уравнениями F.1.1),
F.1.4), F.1.5), будем рассматривать систему координат Щг\?, с
началом в барицентре, оси которой параллельны осям исходной
системы координат. Новая система координат будет тоже инерци-
альной, так как барицентр движется в инерциалыюм пространстве
прямолинейно и равномерно. Обозначим через pi, p2, рз радиусы-
векторы центров масс mi, m,2, m$ в системе координат B^rfe. Тогда
Уравнения движения трех тел относительно их барицентра будут
иметь вид уравнений F.1.1), F.1.4), F.1.5), в которых радиусы-
Т1^кторы ri, гг, гз заменены соответственно па рь рг, рз. Для полу-

214
ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
/77,
2 5
ченной системы уравнений движения относительно барицентра
можно записать первые интегралы вида F.1.7), F.1.8), F.1.12),
F.1.18). При этом правые части интегралов вида F.1.7) и F.1.8),
или, что то же самое, интегралов F.1.11), обратятся в нуль, так
как в системе координат В?г]? барицентр
тождественно совпадает с началом системы
координат.
6.1.4. Движение относительно одного из
притягивающих тел. Уравнения F.1.1),
F.1.4), F.1.5) описывают движение трех
притягивающих тел mi, m2, тз относитель-
относительно произвольной инерциальной системы ко-
координат Oxyz. Рассмотрим теперь инерци-
альную систему координат, начало которой
совпадает с телом mi, а оси параллельны
исходной системе координат (рис. 6.1). Что-
Чтобы получить уравнения движения тел тг
и т$ относительно mi, предварительно раз-
разделим обе части равенства F.1.1) на mi, затем F.1.4) на т2 и
F.1.5) на тъ. Далее, вычитая первое соотношение из второго и
третьего, получим
Рис. 6.1. К выводу урав-
уравнений движения отно-
относительно одного из при-
притягивающих тел
dt*
d2(r3-Tl)
dt2
¦(*.-
fm3
j:
'12
»! + '
23
г„ — г„
Г3
Г32
12
в исходной си-
сиЗдесь ri, гг, г3 — радиусы-векторы тел ть т2,
стеме координат Oxyz. Обозначим через г2 = г2 — г1? г3 = г3 — гх
радиусы-векторы тел т2 и тг относительно wii. Тогда г12 = г2, г13=
= г3 и, опуская в последующих соотношениях штрихи для упро-
упрощения записи, получим уравнения движения тел т2, тпг относи-
относительно mi:
dt2
dt2
.mi
— У
/1И,
Г3
32
F.1.19)
F.1.20)
Если требуется записать уравнения движения двух тел не отно-
относительно mi, а относительно т2 или тъ, то в уравнениях F.1.19) г
F.1.20) следует поменять соответствующие индексы.
Обсудим теперь физический смысл слагаемых, входящих в пра-
правые части F.1.19) и F.1.20). Первое слагаемое в правой части
уравнения F.1.19) определяет ускорение, которое сообщается те-

§ 6.2. КРУГОВАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 215
лу 7712 при его движении в центральном поле, создаваемом телом
mi, если предположить, что третье тело ттгз отсутствует:
82 = -Г1 + ™2г2. F.1.21)
Г2
Из-за наличия третьего тела ттгз, возмущающего движение тела тч
относительно т\, тело тч получает возмущающее ускорение
т„ — г„ г„
23
Это возмущающее ускорение, в свою очередь, можно разделить на
два слагаемых, первое из которых
Г^~Г2 _ im Г2
= fm3 JL__JL = -fm3-f- F.1.23)
Г23 Г23
есть ускорение, которое получало бы тело тг, если бы оно было не-
притягивающим, а центральное тело пг\ отсутствовало. Второе сла-
слагаемое в F.1.22), взятое с противоположным знаком,
Ag22) = M^ F.1.24)
— это ускорение, которое сообщает возмущающее тело пгз цент-
центральному телу mi как непритягивающему. Таким образом, возму-
возмущающее ускорение, которое получает тело тч при движении отно-
относительно 77ii, можно представить в виде разности
Ag2 = AgB1)-AgB2). F.1.25)
Аналогичный смысл имеют составляющие ускорения тела т3 в его
движении относительно центрального тела ttii при наличии возму-
возмущающего тела 77г2.
§ 6.2. Круговая ограниченная задача трех тел
Предположим, что три тела, массы и обозначения которых ttii,
т2, 77г3, движутся под действием взаимного притяжения, опреде-
определяемого законом Ньютона, причем 77г3 < 77г2 < т\. В этом случае
можно пренебречь влиянием тела ттгз на движение ttii и тч. Тогда
движение тел тп\ и т% будет описываться решением задачи двух
тел, рассмотренной в главе 2. Обсудим круговую ограниченную
задачу трех тел. Тела ttii и то движутся относительно своего бари-
барицентра по круговым орбитам, находясь по противоположные сто-
стороны от пего. Расстояние между ними остается постоянным.

216
ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
6.2.1. Уравнения движения тела пренебрежимо малой массы в
гравитационном поле двух притягивающих тел. Рассмотрим инер-
циальную прямоугольную систему координат B^r\t, с началом в ба-
барицентре В двух притягивающих тел mi и тг. Плоскость В\х\ сов-
совпадает с плоскостью движения тп\ и тг, а ось Bl^ направлена так,
чтобы движение mi и т2 было направлено против часовой стрелки
(рис. 6.2).
По типу F.1.5) запишем векторное уравнение движения точ-
точки гпъ в инерциальной системе координат В?г]?:
dt*
F.2.1)
где p3i = 1рз — Pil, рз2= 1рз —рг1.
На самом деле движение точки тпз удобнее рассматривать не
в инерциальной, а во вращающейся системе координат Bxyz, ось
Вх которой направлена все
время по pi — радиусу-век-
радиусу-вектору точки гп\, а ось Bz сов-
совпадает с Bt,. Угловая ско-
скорость вращения Bxyz отно-
относительно B^rfe равна угло-
угловой скорости со, с которой
тела mi и тг обращаются
относительно их барицент-
барицентра.
Пусть г = (х, у, z)— ра-
радиус-вектор ТОЧКИ ГПз ВО
вращающейся системе коор-
координат. Тогда dr/dt — ско-
скорость, a d2r/dt2 — ускорение точки тпъ в этой системе координат.
По теореме об ускорении точки в сложном движении можно за-
записать
Рис. 6.2. Инерциальная и вращающаяся
барицентрические системы координат
dt
где юХ(о)Хг)—переносное ускорение, 2((aXdr/dt) — ускорение
Кориолиса. Отсюда
с учетом F.2.1)
dr
F.2.2)

§ 6.2. КРУГОВАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 217
Здесь составляющие векторов заданы во вращающейся системе ко-
координат Bxyz
dr _ Idx dy dz\ dh _ /A: d^y dh\
di-[Tt> Tv Ttb ~d72~\dlv IT2'
pi =(x\, 0, 0), f>2 = (^2, 0, 0), (o=@, 0, со),
p3i = I Рз — p 11 = Ir-pil = 1 (x-x{J
рз2= 1рз — pi i = |r —p2l = 1 (x-x2J + y2 + z2.
Векторное уравнение F.2.2) равносильно трем скалярным
уравнениям:
j2.
-,
F.2.3)
Во многих задачах оказывается полезным переход к канони-
канонической системе единиц [19], который связан со следующим пре-
преобразованием уравнений F.2.3). Массы притягивающих тел гп\ и
т,2 относят к их суммарной массе т\Л-т2, все линейные величи-
величины — к расстоянию между точками тп\ и rri2, a = pi + рг, время —
к 1/оо, т. е. промежутку времени, за который отрезок прямой m\m2
поворачивается на угол в один радиан (в инерциальном простран-
пространстве). Проиллюстрируем переход к каноническим единицам на
примере первого уравнения системы F.2.3):
СО2 = — /
\ + т2
Штрихами обозначены производные по «безразмерному» времени
х
т = at. Вводя обозначения 1 — т — ———, т = ———, х = —,
¦^1 = ~, ^2 = ~~% Psi — ~^"» Рзг — ~ и сокращая на со2, получим
(х (х а о,
F.2.4)

218 ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Поскольку координаты х\ и Х2 отсчитываются от барицентра си-
системы двух притягивающих тел, то должны выполняться равенства
х\ = —т, Х2 = 1 — т. F.2.5)
Из задачи двух тел известно (см. п. 2.1.2), что притягивающее
тело с массой mi движется относительно центрального тела с мас-
массой тп\ точно так, как двигалось бы непритягивающее тело с мас-
массой mi относительно центрального тела с массой тп,\ + тпч. Тогда
можно воспользоваться соотношением B.5.10), чтобы записать
_ 4яУ
Но согласно B.1.5)
а период обращения
Отсюда
m 2я
7
«V
и уравнение F.2.4) существенно упрощается.
Итак, при использовании канонических единиц уравнения дви-
движения точки тпъ в пространственной круговой ограниченной задаче
трех тел имеют такой вид:
1 — тп
(х —хг) — ~(х—х2) +х + 2у\
О
Р32
У" = -^У-^У +У-&\ F.2.6)
Р31 Р32
~" 1 — m ~ m
Z = ^— Z — т—
Р31 Рз2
Здесь
~ VY. F.2.7)
Если положить в уравнениях F.2.6) z==0, то получим уравне-
уравнения движения точки тпз в плоской круговой ограниченной задаче
трех тел.
С учетом перехода к канонической системе единиц вместо вра-
вращающейся системы координат Bxyz следует рассматривать враща-
вращающуюся систему координат Bxyz.
6.2.2. Интеграл Якоби. Рассмотрим функцию
= — со2 (х2 + у ) + /—- + /—- • F.2.8)

§ 6 2. КРУГОВАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 219
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что с помощью
функции / запись системы F.2.3) упрощается:
п л О
d х п dy dJ d у о dx dJ d z dJ /с о n\
—к = ZCO -77 + -7Г-, —x- = -— ZCO — -\—T-, 7 = -7Г-. (D.Z.y)
dt dt ox dt dt dy dt oz
Умножим первое уравнение F.2.9) на 2dx/dt, второе на 2dy/dt,
третье на 2dzfdt и сложим полученные произведения. Тогда
~Л ~rTt l& ~rTt ~тЛ I ~7~ "т jl "Г "л 71 ~\~ ~Л 71
t аь dt аь dt I \ ox dt ду dt oz dt
d [idx\% . /dV\2 . /^z\2i n dJ
Если
dt[\dt) ~*~ \dt) ^ [dt) \ dt'
— скорость точки гпз во вращающейся системе координат, то
rl r? T
d^ ' dt
и, интегрируя, получим первый интеграл системы F.2.9), который
называют интегралом Якоби:
V2 = 2J~C. F.2.11)
Здесь С — произвольная постоянная интегрирования.
Подставим теперь F.2.8) и F.2.10) в F.2.11), чтобы получить
интеграл Якоби, записанный через координаты точки Шг и их про-
производные во вращающейся системе Bxyz:
+ ЙГ = «2 № + У2) + 2/f^- + Р) - С. F.2.12)
Интеграл Якоби является единственным интегралом, который уда-
удается получить в круговой ограниченной задаче трех тел.
Произвольную постоянную С можно определить, если в неко-
некоторый момент времени t известны скорость точки т?, и ее положе-
положение во вращающейся системе координат. После того как величина
постоянной С стала известной, интеграл Якоби F.2.12) позволяет
вычислить величину скорости точки то, по заданному ее положе-
положению в любой момент времени.
Если воспользоваться формулами перехода от инерциальной
системы координат В?г]? к вращающейся системе координат Bxyz
х = \ cos со? + х\ sin at, у = - ? sin coi + ц cos coi, z = ?

220 ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
и их производными
dx id\ \ / с. d"X\
~Л ™ \~П ~Г Ю11 I COS (ОС — СОс 77
eft \ dt J \ dt
du
= — K7 + COT] Sill ti)t — G)? — -J7
\or ; \ at J
d* ~~ dV
то можно записать интеграл Якоби через координаты точки
в инерциальной системе отсчета B^rfe:
F.2.13)
6.2.3. Плоская задача. Будем полагать, что движение непритя-
гивающей материальной точки тпз происходит в той же плоскости,
в которой совершают движение два притягивающих тела Ш\ и тг.
Тогда ? = dt,/dt = O, и интеграл Якоби в форме F.2.13) для пло-
плоской круговой ограниченной задачи трех тел принимает вид
Установим физический смысл соотношения F.2.14). С этой
целью поделим обе части F.2.14) на 2. Теперь два первых сла-
слагаемых
(где V — абсолютная скорость точки т$) определяют кинетиче-
кинетическую энергию единицы массы т3. Слагаемое
1 Р32
равно работе, которую надо затратить на единицу массы тз, чтобы
удалить ее в бесконечность, преодолевая притяжение тел т\ и Ш2.
Следовательно, это слагаемое определяет потенциальную энергию
единицы массы тз, а
2 1^31 Р32
•— полная энергия единицы массы т3 (удельная энергия). Нако-
Наконец, сомножитель

§ 6.3. ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ 221
определяет момент количества движения (кинетический момент)
единицы массы яг3 относительно начала координат — точки В. Тог-
Тогда интеграл Якоби F.2.14) можно записать в виде
Е — (х)Мь= —-|. F.2.15)
В отличие от ограниченной задачи двух тел, где постоянны энер-
энергия непритягивающего тела и его момент количества движения,
в круговой ограниченной задаче трех тел оказывается постоянной
некоторая функция этих величин, определяемая соотношением
F.2.15).
§ 6.3. Точки либрации
Предположим, что в некоторый момент времени тело бесконечно
малой массы тз находится в плоскости Вху движения притягива-
притягивающих тел тп\ и тпч и имеет нулевую скорость относительно вра-
вращающейся системы координат. Возникает вопрос: при каких усло-
условиях тпъ будет пребывать в покое относительно вращающейся пло-
плоскости Вху неограниченно долго? Как было установлено, для этого
тпъ должно находиться в одной из специальным образом выбранных
точек вращающейся плоскости Вху. Такие точки вращающейся пло-
плоскости, в которых тело бесконечно малой массы может находиться
в состоянии равновесия по отношению к двум другим, притягива-
притягивающим телам, называют точками либрации или точками относи-
относительного равновесия.
Точки либрации тел Солнечной системы представляют большой
интерес для космологии и прикладных задач механики космическо-
космического полета. В них могут скапливаться так называемые «малые тела»,
исследование которых, как полагают, поможет существенно продви-
продвинуться вперед в решении проблемы эволюции Солнечной Системы.
Имеются технические предложения об использовании точек либра-
либрации для размещения связных спутников, организации межпланет-
межпланетных сообщений и решения ряда других прикладных задач [51].
6.3.1. Поверхности нулевой относительной скорости. Используя
уравнения движения в канонических единицах F.2.6), можно запи-
записать интеграл Якоби в этих единицах:
V2 = 2J-C, F.3.1)
или
(*У + (у'У + (Л2 = *2 + ? + 2Д=^- + ? - С, F.3.1а)
Р Р
где F = F/(aco), 7 = //(acoJ, ? = ()
Для определения поверхности нулевой относительной скорости
положим V = 0, тогда получим

222 ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
ИЛИ
v2 j_ ™2 j_ 2 yl т) 2т ^ /A Q о\
X -\- у -\- ss г ~— = С-« {О.о.6)
При заданной по начальным условиям постоянной С соотношение
F.3.2) определяет границу области, в которой может находиться
точка гпз. Действительно, условие V2 ^ 0 выполняется в области,
где
27 > С.
Соотношение F.3.2) называют уравнением поверхностей Хил-
Хилла по имени американского астронома Дж. В. Хилла, который в
своих исследованиях движения Луны A877 г.) впервые обратил
внимание на существование областей пространства, куда не может
попасть тело бесконечно малой массы, находящееся в 1равитацион-
ном поле двух притягивающих тел. В плоской задаче существуют
соответственно линии Хилла.
Обсудим некоторые свойства поверхностей и линий Хилла [45].
В уравнение F.3.2) входят лишь квадраты координат у и z. Сле-
Следовательно, поверхности, определяемые этими уравнениями, сим-
симметричны относительно координатных плоскостей Вху и Bxz. Если
выполнено дополнительное условие m = 1/2 (т. е. массы притягива-
притягивающих тел одинаковы т\ = Ш2), симметрия существует и по отно-
отношению координатной плоскости Byz. Поверхности, отвечающие об-
общему случаю т Ф 1/2, можно рассматривать в качестве деформиро-
деформированных поверхностей, построенных для частного случая т = 1/2.
Из уравнения F.3.2) видно также, что прямая, параллельная оси
Bz, пересекает поверхности нулевой относительной скорости в двух
действительных точках или ни в одной.
Все поверхности F.3.2) заключены внутри круговых цилинд-
цилиндрических поверхностей, ось которых совпадает с Bz, а радиус ра-
равен УС:
JO I JJ ' (_• i
К этой цилиндрической поверхности асимптотически приближают-
приближаются при z ->- °° поверхности F.3.2). Учитывая перечисленные свой-
свойства поверхностей F.3.2) и рассматривая форму кривых, по ко-
которым поверхности пересекаются с координатными плоскостями,
можно исследовать их пространственную форму в общем случае.
Положим сначала в F.3.2) z = О и рассмотрим возможные ли-
линии пересечения этих поверхностей с координатной плоскостью
Вху. Линия пересечения определяется уравнением
" i " i 2A — т) 2т у. ,п о О\
а + У + ,/• „ + ,/• = С. F.3.3)
V ( г г \1 4- v V I г -г \z A- v
\ 1 / \ ^ /
Исследуем форму кривых F.3.3) при больших значениях С
(т. е. С> 1). Для больших значений х и |/, удовлетворяющих урав-

§ 6.3. ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ 223
нению F.3.3), сумма двух последних слагаемых мала. Обозначим
эту малую величину через ei:
»
"/(*--*,)
Тогда F.3.3) принимает вид
Это уравнение кривой, близкой к окружности большого радиуса
УС и целиком лежащей внутри указанной окружности.
При больших значениях С уравнение F.3.3) может быть так-
также удовлетворено координатами точек, лежащих вблизи притяги-
притягивающих тел тп\ и тп2. Действительно, для таких точек оказываются
малыми либо соотношение У (х — х\J + у2 (для точек в окрестно-
окрестности тп\), либо соотношение У (х — х2J + у2 (для точек в окрестно-
окрестности пг2). При этом первые два слагаемых F.3.3) имеют порядок 1,
т. е. х2 + у2 < С. Отсюда можно записать
1 — m , m С /с о cv
+ г „ =^г — е2, F.3.5)
где 82 = {х2 + у2) 12. Соотношению F.3.5) удовлетворяют замкну-
замкнутые кривые, близкие к окружностям радиусов 2A — т)/С (для то-
точек в окрестности т\) и 2т/С (для точек в окрестности т2) и це-
целиком расположенные вне указанных окружностей.
Если уменьшать величину С, внешняя замкнутая кривая сжи-
сжимается. Кривые, окружающие т\ и т^ расширяются и, как пока-
показали расчеты, доходят до соприкосновения друг с другом (в особой
точке поверхности Хилла), а затем соединяются между собой, об-
образуя профиль несимметричной гантели, тяготеющей к большему
по массе притягивающему телу т,\ (точка 1 — m на рис. 6.3, а, б, в).
Гантель имеет симметричную форму только при m = 1/2, когда
гп\ = rri2. Дальнейшая эволюция формы кривых при уменьшении
величины С показана на рис. 6.3, г, д, е и будет обсуждаться не-
несколько позже. Значения постоянной С, соответствующие построен-
построенным кривым, удовлетворяют неравенствам
Ci > Сг
Исследуем теперь кривые, образованные пересечением поверх-
поверхностей F.3.2) с координатной плоскостью Bxz. Полагая у = 0, по-
получим
р 2Aм) 2т = ^^ 6<3
У ( ^J + ^2
р + _
У (х - х±у + ^2 У (х-
Рассмотрим снова большие значепия С. Видно, что уравнепию
F.3.6) удовлетворяют кривые, близкие к прямым х = ±1/С и рас-

224
ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
доложенные ближе к началу координат, чем указанные прямые.
Уравнению F.3.6) при больших С будут также удовлетворять зам-
замкнутые кривые, расположенные вокруг притягивающих тел и близ-
близкие к окружностям радиусов 2A — т)/С (для точек в окрестности
Направляющая
асимптотичвскозо
цилиндра --"
Рис. 6.3. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относи-
относительной скорости с координатной плоскостью Вху
ш\) и 2т1С (для точек в окрестности игг) и лежащие впе указан-
указанных окружностей. При уменьшении величины С внешние кривые
стягиваются к началу координат, а замкнутые кривые вокруг при-

6 3 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
225
тягивающих тел увеличиваются в размере. После их соприкосно-
соприкосновения образуется кривая типа гантели (рис. 6.4, а, б, в). Дальней-
Дальнейшее изменение формы кривых F.3.6) при уменьшении величины С
Образующая асимптотичес-
Рис. 6.4. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относи-
относительной скорости с координатной плоскостью Вхг
показано на рис. 6.4, г, д, е. Значения С соответствуют
рис. 6.3.
Наконец, рассмотрим кривые пересечения поверхностей нулевой
относительной скорости F.3.2) с координатной плоскостью Byz.
15 д. Е. Охоцимский, Ю Г Сихарулидзе

226 Г Л 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Полагая в F.3.2) х = О, получим
~2 |_ 2A —т) 2т ъ /я о 7\
у -\—., Л—г- = С* (Ь.б.п
При больших значениях С уравнению F.3.7) удовлетворяют кри-
кривые, близкие к прямым у = ±11С и расположенные ближе к началу
координат. Уравнению F.3.7) будет также удовлетворять замкну-
замкнутая кривая в окрестности начала координат, целиком расположен-
расположенная вне окружности радиуса У [2 (l — т)/С]2 — х\ с центром в на-
начале координат. Качественную картину кривых пересечения поверх-
поверхностей нулевой относительной скорости с координатной плоскостью
Byz дает рис. 6.5.
Сопоставляя результаты анализа форм кривых, по которым пе-
пересекаются поверхности нулевой относительной скорости с коорди-
координатными плоскостями, можно установить форму этих поверхностей
в трехмерном пространстве для различных величин постоянной С.
Если постоянная С велика, поверхности нулевой относительной ско-
скорости (поверхности Хилла) состоят из двух замкнутых поверхно-
поверхностей, близких к сферам с центрами в гп\ и гпг (на рисунках точки
1 — т и т соответственно), а также из бесконечного цилиндроида
большого радиуса, который неограниченно приближается к внеш-
внешнему асимптотическому цилиндру. При меньших значениях С сфе-
сфероидальные поверхности расширяются и соприкасаются в точке Ь\
(рис. 6.3,6, 6.4,6, 6.5,6), расположенной на оси Вх, а затем они
сливаются в одну поверхность типа гантели, тяготеющей к боль-
большему телу Ш\. При еще меньших значениях С сначала правая
граница «гантели» касается цилиндроида в точке ?г, а затем и ле-
левая граница касается цилиндроида в точке ?3 (рис. 6.3, в, г,
6.4,6, г, 6.5, в, г). Обе эти точки расположены на оси Вх.
На рис. 6.3, д, 6.4, д, 6.5, д для постоянной Съ < Сб показано про-
промежуточное состояние эволюции поверхностей Хилла, когда верх-
верхняя и нижняя полости соединены узкими перетяжками вокруг то-
точек L\ и L$, лежащих в плоскости Вху и симметричных относи-
относительно оси Вх. При достаточно малых С поверхности Хилла уже
не пересекают плоскость Вху и распадаются на две бесконечные
полости, которые при С -> 0 неограниченно удаляются друг от дру-
друга и в пределе исчезают.
После того как осуществлено разбиение пространства поверх-
поверхностями нулевой относительной скорости, необходимо установить
области, в которых возможно движение тела бесконечно малой мас-
массы тъ. Поскольку тело тпз не может пересечь поверхность нулевой
относительной скорости, оно будет оставаться в той части простран-
пространства, где находилось в начальный момент времени.
Согласно соотношению F.3.1а)
У2 = р + ~2 + 2(i-m) +*m_c. F.3.8)
Р31 Р32

§ 6 3 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
227
Пусть постоянная С настолько велика, что сфероидальные поверх-
поверхности вокруг т\ и wi2, а также цилиыдроидальная поверхность раз-
разделены. Координаты х и у можно выбрать такими большими, что-
чтобы правая часть F.3.8) была положительна при любой величи-
Образующая асимптотичес- У\
д е
Рис. 6.5. Кривые, образованные пересечением поверхностей нулевой относи-
относительной скорости с координатной плоскостью Вуг
не С. Отсюда v2 > 0, следовательно, возможно движение бесконеч-
бесконечно малого по массе тела тпз вне области, ограниченной цилиндрои-
дальной поверхностью. Если же рассматривать точки вблизи при-
притягивающего тела тп\ или игг, то расстояния p3i и р3г могут быть
15*

228 ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
выбраны такими малыми, что правая часть F.3.8) будет поло-
положительна при любом С. Отсюда следует возможность движения те-
тела тпз внутри замкнутых сфероидальных поверхностей, причем оно
не может покинуть эти области, так как не может пересечь по-
поверхности нулевой относительной скорости. На рис. 6.3—6.5 для
различных значений С штриховкой выделены области внутри
асимптотического цилиндра, в которых не может находиться тело
m3 J52].
6.3.2. Двойные точки поверхностей нулевой относительной ско-
скорости. Проведенный анализ поверхностей нулевой относительной
скорости показал, что все двойные точки, т. е. точки касания по-
поверхностей, которые появляются при уменьшении величины по-
постоянной С, располагаются в плоскости Вху. На оси Вх находятся
три двойные точки. Как уже отмечалось, первая точка L\ (рис. 6.3)
отвечает соприкосновению двух внутренних овалов в плоскости
Вху, расположенных вокруг притягивающих тел. Две другие точ-
точки, /у2 и Ьз, появляются при соприкосновении каждого из внутрен-
внутренних овалов с внешним. Еще две двойные точки, L± и Ls, появля-
появляются, когда поверхности нулевой относительной скорости исчезают
с плоскости Вху. Эти две точки, как будет показано в п. 6.3.3,
образуют равносторонние треугольники с притягивающими телами.
Из аналитической геометрии известно, что в двойных точках
поверхности обращаются в нуль частные производные функции,
описывающей эту поверхность. В рассматриваемой задаче поверх-
поверхность описывается функцией
f{x, у, z) = x +yz+ I ==- + _ , ^ — <?>
ИЛИ
/(*, у, z)=2T-C.
Отсюда видно, что должны выполняться условия
^ = ^ = ? = 0. F.3.9)
дх ду dz
Вместе с тем согласно уравнениям движения F.2.6) и F.2.9)
имеем
х — 2у =—, у + 2х = -^, z =—, F.3.10)
дх ду dz
но в точках поверхности нулевой относительной скорости
х =у'=Г = 0, F.3.11)
поэтому в двойных точках должны выполняться равенства
х =у = z =0. F.3.12)
Следовательно, когда тело бесконечно малой массы гпз находится
в одной из пяти двойных точек L\, L2, L3, L4, L5, равнодействую-

§ 6 3 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
229
щая всех приложенных к нему сил равна нулю. Предположим,
что тело бесконечно малой массы поместили в одну из указанных
точек с нулевой относительной скоростью. Тогда оно будет оста-
оставаться там неограниченно долго, если не будет возмущаться си-
силами, внешними по отношению к рассматриваемой системе трех
тел. В соответствии с определением двойные точки поверхностей
нулевой относительной скорости являются точками либрации.
Точки либрации L\, L2, L3, расположенные на оси Вх, называ-
называют прямолинейными, а точки либрации L±, L5, отстоящие от оси
Вх в плоскости Вху, называют треугольными.
Найдем положение прямоугольных точек либрации. Их коор-
координаты определяются условием
ИЛИ
dJ_
дх
~ A — m) ( x -
= 0,
= 0.
Рассмотрим вспомогательную функцию
(l — m) (x — хЛ
= x —
F.3.13)
F.3.14)
которая конечна и непрерывна при всех значениях аргумента х,
кроме точек х\, хч и =Ь°°. В этих точках она имеет разрыв второго
рода (обращается в ±°°). Проследим за изменением знака q>(x)
в диапазоне — °° < х < +оо:
— оо хх — е хг + е
<o
0
<0
х2 — е х2 + ? + оо
>0
<0
>0
Здесь е>0 — малая величина. Функция <р(х) проходит через нуль
в точках Хх,х2,х3 (рис. 6.6). Обсудим корни функции ф(?) в
порядке их возрастания. Согласно [11, 43, 45, 58] символом Ьъ
обозначают точку либрации, расположенную левее большего притяги-
притягивающего тела Ш\. Ее координата х3 удовлетворяет неравенствам
где х\ = — m с учетом F.2.5). Через L\ обозначают точку либра-
либрации, расположенную между притягивающими телами Ш\ и тъ Ее
координата хх удовлетворяет условиям
X
X1
ж<
где Х2 = 1 — т с учетом F.2.5). Точку либрации, расположенную
правее меньшего притягивающего тела W2, обозначают Ьч. Коор-

230
ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
дината этой точки х2 удовлетворяет неравенствам
6.3.3. Вычисление координат точек либрации. Приведем ал-
алгоритм вычисления координат прямолинейных точек либрации, рас-
расположенных на оси Вх вращаю-
вращающейся системы отсчета [45]. С
помощью соотношения F.3.13)
нетрудно показать, что расстояние
от точки либрации Ls до больше-
большего притягивающего тела т\ не
превосходит 1 (т. е. меньше рас-
расстояния между телами Ш\ и тг).
Можно также доказать, что и
Ж расстояние от точки либрации Ьч
до меньшего притягивающего те-
тела тп2 не превышает 1. Расстоя-
Расстояние от точки либрации L\ до лю-
любого из притягивающих тел тп\ и
тп2 меньше 1, так как эта точка
расположена между ними.
Рассмотрим сначала точку
Рис. 6.6. К определению координат либрации L3. Обозначим через
точек либрации, расположенных на 1 —р (где 0<р<1) расстояние
оси s* от притягивающего тела ш\ (точ-
(точка 1-М на рис. 6.6) до корня х3 уравнения F.3.13), т. е.
Тогда
— хг = — 1+р, xl — х2 = — 2 +р.
После подстановки этих соотношений в F.3.13) получим
(^) ) 2 + )
__
или
Отсюда уравнение для р:
Функция
+ A2+14m)p-7m =
F.3.15)

§6 3. ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ 231
имеет разные знаки при р = 0 и р = 1:
/7@) =-7т < 0, F{l)=l-m>0.
Поэтому единственный положительный корень уравнения F.3.15)
расположен в диапазоне 0<р<1. При т = 0 уравнение F.3.15)
принимает вид
р5 - 7р4 + 19р3 - 24р2 + 12р = 0
и имеет единственный вещественный корень р = 0. Если т Ф 0,
то единственный положительный корень уравнения F.3.15) будет
зависеть от параметра in, причем этот корень стремится к нулю
вместе с т. Отсюда видно, что корень уравнения F.3.15) можно
искать в виде ряда, расположенного по целым положительным
степеням малого параметра т:
оо
р = 2 ckmh = cim + с2т2 + с3т3 + .. • F.3.16)
Подставим F.3.16) в F.3.15) и приравняем нулю коэффициенты
при различных степенях т, тогда
7 Л 23-72
Но _
xt = — 1 — т + р,
отсюда после подстановки F.3.17)
*з* = -1-^™ + ^-2™3+ ... F-3.18)
Рассмотрим теперь точку либрации L\, расположенную между
притягивающими телами. Обозначим расстояние от этой точки до
притягивающего тела т через р. Затем найдем
Х-^ — Х% === — р, Х-^ — Х-у == 1 — р, Х-^ === 1 — ТП — р
и после подстановки в F.3.13) получим
11 — р Г 1-рг
или
1 — ТП — р -„ Н 5 = °-
A-РJ Р2
Отсюда следует уравнение для р:
¦т = 0. F.3.19)

232 ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
При т = 0 получим из F.3.19) уравнение
которое имеет тройной корень р = 0 и два комплексных корня.
Для МФО, но достаточно малого, три корня уравнения F.3.19)
можно записать в виде рядов по степеням т1/3, исчезающих вме-
вместе с этим параметром. Один из корней, который получается при
действительном значении т1/3, будет действительным, а два дру-
других — комплексными. Действительный корень представляется рядом
р e ClZ1/3 + сгт2'3 + с3т3'3 + . . . = S ckmk/3. F.3.20)
k=i
Подставляя F.3.20) в F.3.19) и приравнивая нулю коэффициенты
при соответствующих степенях т1/3, вычислим
__3^ _ __
С2 — 9 ¦ сз — 27' " " *
1/з 1 / тэт \2/з 1 (т W3
() ()
( т \1/з 1 / тэт \2/з 1 (
р-(т) -у(т) -т(
Отсюда координата точки либрации
\2/3 2fi/m\3/3
) f(?) +... F.3.22)
Наконец, вычислим координату точки либрации L% располо-
расположенной правее притягивающего тела т. Обозначим через р рас-
расстояние от точки L/2 до притягивающего тела т. В этом случае
х2 — х2 = р, х*2 — хх = 1 + р, х2 = 1 — т + р
и после подстановки в F.3.13) найдем, избавляясь от знаменателей,
р5 + C - т) р4 + C - 2т) р3 - тр2 - 2т9 - т = 0. F.3.23)
При т = 0 получим уравнение
Р3(,р2 + Зр + 3) = 0,
которое имеет тройной корень р = 0 и два комплексных корня.
Поэтому для т Ф 0 уравнение F.3.23) имеет один действительный
корень, стремящийся к нулю при т-*~0. Указанный корень можно
представить рядом
р = Clm1/B + с2т2/3 + с3т3/3 + ... = 2 ckmh/3. F.3.24)
fe=i
Подставим F.3.24) в F.3.23) и, приравнивая нулю коэффициенты
соответствующих степеней туз, вычислим
_ 31/3 ^ ^
С2 g » С3 27' ' ' '

§63 ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
233
1/3
Тогда
и координата точки либрации Z-2
™ М/з
2/3
F.3.25)
2/3
W3
Формулы F.3.18), F.3.22) и F.3.26) определяют координаты
точек либрации, расположенных на оси Вх вращающейся системы
координат. Эти координаты зависят от соотношения масс мень-
меньшего и большего притягивающих тел, т. е. от т = 7П2/(т\ +
1,5
1,0
0,5
0,2
0,4 т
-0,5 -
-1,0
-1,5 L
Рис. 6.7. Зависимость координаты
прямолинейных точек либрации
от величины относительной мас-
массы притягивающих тел
1,5
0,5
О
0,2
0,4 т
Рис. 6.8. Расстояние от большего
притягивающего тела до точек
либрации
Когда т -*• 0, точки либрации L\ и Ьч перемещаются к своему пре-
предельному положению, совпадающему с притягивающим телом мень-
меньшей массы, а точка либрации Z-з приближается к единичному рас-
расстоянию от большего по массе притягивающего тела. На рис. 6.7
показаны результаты численного решения уравнения F.3.13) для
значений 0 ^ т ^ 1/2 [43], а на рис. 6.8 построено расстояние от
большего притягивающего тела до точек либрации в зависимости
от величины т.
В табл. 6.1 приведено расстояние точек либрации от большего
притягивающего тела для некоторых тел Солнечной системы. Это
расстояние отнесено к среднему расстоянию между соответствую-

234
ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
щей парой тп\ и m<i. Заметим, что для всех приведенных пар не-
небесных тел точки либрации L\ и Li расположены на существенно
большем расстоянии от тп% чем естественные спутники этих тел.
Так, для пары Солнце •— Земля расстояние точек либрации L\ и Li
от Земли примерно в четыре раза превосходит расстояние между
Землей и Луной [43].
Чтобы найти координаты треугольных точек либрации, т. е.
двойных точек поверхностей нулевой относительной скорости, не
Таблица 61
Расстояние точек либрации от большего притягивающего тела
для некоторых тел Солнечной системы [43]
Пюитя
ml
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Солнце
Земля
гивающие тела
т2
Меркурий
Венера
Земля
Земля -f- Луна
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Луна
Отношение
массы Солн-
Солнца к массе
тела тп^тпг
6023650
408523,5
332946,0
328900,5
3098710
1047,355
3498,5
22869
19314
3000000
81,30068 2)
Расстояние точки либрации1)
bi
0,996214
0,990684
0,99003
0 989989
0,995246
0,93332
0,955039
0,975773
0,974193
0,990619
0,849065
1,003795
1,009373
1.010037
1,010078
1,004769
1,069784
1,04635
1,024624
1,026258
1,00944
1,167833
0,9999999
0,99999858
0,99999825
0,99999822
0,99999981
0,999444
0.999833
0,999974
0,999969
0,9999986
0,992912
*) Отнесено к среднему расстоянию между mi и т2
2) Отношение массы Земли к массе Луны.
лежащих на оси Вх, вернемся к рассмотрению уравнений, которые
определяют координаты двойных точек в плоскости Вху (где
z = 0) :
A — т)(х—'х1) т(^ — ^2)
\_dj_ _ ~
1 df _ ~
Р]з/2
F.3.27)
ту
= 0.
Здесь у?*0, поэтому можно сократить второе уравнение F.3.27) на
У, тогда
1 L=L? 5 = 0. F.3 28V
Умножим F.3.28) отдельно на х — хч и на х — х\, а затем вычтем,
каждое такое произведение из первого уравнения F.3.27). В

§ 6 4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 235
зультате получим
з/2
З/2
32
где рз1 = У(х — х\J + у2, рз2 = У(х — х2J + у2. Но согласно F.2.5)
х\ = —т, х2 — 1 — т, х2 — х\ = 1, поэтому окончательно имеем си-
систему уравнений
1 — _Д— 0, 1 К- = 0. F.3.29)
¦*¦ ^q/o ' ^ ч/о ^ '
^31 г 32
Единственное действительное решение системы F.3.29)
P3i = рз2 = 1 F.3.30)
показывает, что точки либрации, не лежащие на оси Вх, образуют
равносторонние треугольники с притягивающими телами тп\ и гп2,
независимо от их соотношения, т. е.
от величины m = m2\{m\ + лг2).
Треугольную точку либрации, д
расположенную выше оси Вх, обо-
обозначают через Z-4. Ее абсцисса я4
вычисляется как полусумма коор- А5 m,* i,
динат притягивающих тел, а орди- ^* ^лч о ,-%
ната г/4 является высотой равное го- ч
гтт> ттстлт/^ ст пт i f* г\тжм~\ттс пол ттг\г* т\г\ .
роннего треугольника со стороной,
равной единице:
\
V
^* ^ *т ~* _ |/3 /R q О/(\ Рис. 6.9. Схема расположения то-
2 ^ * 2 v ' чек либрации
Треугольная точка либрации Ьъ расположена симметрично с Li
по другую сторону от оси Вх. Ее координаты
ЛЪ —' о '» УЬ о—• \y.O.O?i)
Схема расположения всех пяти точек либрации круговой огра-
ограниченной задачи трех тел приведена на рис. 6.9.
§ 6.4. Анализ устойчивости точек либрации
Для практического использования точек либрации существен-
существенным является вопрос об их устойчивости: будет ли космический
аппарат, выведенный в близкую окрестность точки либрации с поч-
почти нулевой относительной скоростью, оставаться там неограничен-

236
ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
но долго? Исследование устойчивости точек либрации в рамках
круговой ограниченной задачи трех тел показало, что прямолиней-
прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные точки либрации
устойчивы в первом приближении, если относительная масса мень-
меньше притягивающего тела т = mil(тп\ + тг) достаточно мала (см.,
например, [19, 45]). Ниже приведены доказательства обоих утвер-
утверждений.
6.4.1. Неустойчивость прямолинейных точек либрации. Рассмот-
Рассмотрим уравнения движения тела бесконечно малой массы в форме
F.3.10):
i
dx
ду
i
dz
Обозначим через Ах, Ay, Az и Да;', Ау', Az' соответственно малые
возмущения нормированных координат х, у, z и нормированных
составляющих скорости х', у', г' в окрестности прямолинейной
точки либрации Lk, имеющей координаты (я*, 0, 0), к = 1, 2, 3.
Тогда можно записать линеаризованные уравнения возмущенного
движения в близкой окрестности прямолинейной точки либрации:
Ale
дх ду
Ау" + 2Д? =
Az" =
d'j
дх dz
дх ду
A
Ax
А~ . д J
Ах +-гт
д У2
ду dz
Учитывая, что
1 — m
dx dz
ду dz
Az.
Az,
Az, F.4.1)
вычислим частные производные в прямолинейных точках либрации
= 1 + __ _ + =_d2J
Л I \ / i
\хк xi\ \xk
дх ду
__ л
1 — m
m
| xh~
1 — m
Vk X2
m
|з '
dx dz
= 0,
дг/ dz
(к =1,2,3).
Согласно F.2.5) xi=*—m и ^2 = 1—^; поэтому линеаризованные
уравнения возмущенного движения в близкой окрестности прямо-

§ 6.4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
237
линейной точки либрации имеют вид
Ax" — 2Ay = Ax +
2 A — m)
|**+m|;
+ -r^
2т
Ау" + 2А? = Ag-
xh+m
- Ax,
iAy, F.4.2)
д!" = _ , J~"l _ Ai _
xk+m
xk-{-m —
Az.
Для сокращения записи обычно вводят обозначения
1 — т
^ +
(k= 1,2,3) F.4.3)
и тогда
A? " — 2Az/" — A + 2ah) Ax = 0,
Ay" + 2Ax' - A - ah) Ay = 0,
Az" +ahAz = 0
(k = l, 2,3).
F.4.4)
Видно, что система линеаризованных уравнений возмущенного
движения в окрестности прямолинейной точки либрации распалась
на две подсистемы: первые два уравнения содержат только пере-
переменные А5; и Ау, а третье уравнение содержит переменную Az.
Запишем характеристическое уравнение для первой подсистемы
— A + 2ак)
Знак дискриминанта
B~акУ
— 2%
(к = 1,2,3).
F.4.Г,)
-« - - 4 A — а&) A + 2ah) = -^ (9afe — 8) F.4.6)
(к = 1,2,3)
биквадратного уравнения F.4.5) определяется знаком сомножи-
сомножителя (9ак — 8), поскольку ак> 0. Покажем, что аА>1, откуда бу-
будет следовать, что Afe>0 (к = 1, 2, 3). С этой целью рассмотрим
каждую из прямолинейных точек либрации. Точка L\ расположена
между притягивающими телами Ш\ и гпч, значит, ее относительные
+|<;1 хх + лг—1|<С 1.
Lx выполняется
расстояния до них меньше 1: хг +т|<;1 и
Но тогда по формуле F.4.3) видно, что для точки
неравенство а\ > 1.

238 ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Рассмотрим теперь точку либрации L2- Ее расстояние до при-
притягивающего тела меньшей массы вычисляется по формуле
р= а;* + ^— 1 (Р<1),
откуда
х* + т = р + 1.
Подставляя эти соотношения в F.4.3), получим
1 — mm
п2~1р + г>3 7'
Затем выразим т из уравнения F.3.23)
3)
и вычислим разность
i - 1~^ . ™ а _ * (Зр2 + Зр + 1) - р4(р2 + Зр + 3)
Wo 1 S "Т" о" *¦ о о »
(P+D3 Р3 P3(P+D3
или с учетом F.4.7)
а - 1 = (Р2 + ЗР + 3) (Зр2 + Зр + 1) - Р (р2+ Зр + 3) (Р4+ 2р3+ р2+2р+1)
2 (Р + 1KD 3 2 )
= (Р2+Зр+З)(р5+2Р4+Р3- Р2- 2р -
= _ = р) о
(Р + D3 (р4 + 2р3 + р2 + 2р + 1) (р+1) (p4+2p3-fp2+ 2p+ 1)
так как р < 1. Отсюда следует, что а2 > 1 [58].
Для упрощения доказательства условия аз > 1 обозначим через
h расстояние между точкой либрации Ь$ и большим притягиваю-
притягивающим телом. Тогда расстояние от точки Ь$ до меньшего притяги-
притягивающего тела будет ?з + 1 (см. рис. 6.9) и можно записать
a + "<1) F48)
Теперь величина h будет удовлетворять уравнению, которое полу-
получится из F.3.15) при подстановке 1 — ^3 вместо р:
1\ + B + т) It + A + 2m) Z3 — A — т) l\ — 2 A — т) l3 — 1 + т = 0.
Отсюда
с+'Г^-Ф , (вА9)
Как и в предыдущем случае, вычислим разность
а I...1-" , " 1_(гз + 1KA-^)-
Ч С + 1K ^(^ +

§ 6 4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 239
или с учетом F.4.9)
>0
так как h < 1. Отсюда имеем а3 > 1. Итак, показано, что для пря-
прямолинейных точек либрации выполняется условие afe>l, поэтому
дискриминант Afe>0 (&=1, 2, 3). Если рассматривать F.4.5) как
квадратное уравнение относительно Я2, то окажется, что оно имеет
два действительных корня: положительный и отрицательный. Сле-
Следовательно, характеристическое уравнение F.4.5) для первой под-
подсистемы имеет два действительных корня, равных по величине и
противоположных по знаку, и два чисто мнимых корня.
Перейдем к анализу второй подсистемы F.4.4), содержащей
пространственную переменную Az. Ее характеристическое уравне-
уравнение
Я2 + аА = 0 (к = 1,2,3) F.4.10)
имеет пару чисто мнимых корней
A, = ±iVa^ F.4.11)
поскольку ио доказанному ak > 1 > 0.
Таким образом, установлено, что характеристическое уравнение
F.4.5) линеаризованной системы возмущенного движения в окрест-
окрестности прямолинейных точек либрации имеет один действительный
положительный корень, один действительный отрицательный корень
и два чисто мнимых корня. Поскольку один из действительных
корней положителен, прямолинейные точки либрации Li, L2, L3
круговой ограниченной задачи трех тел неустойчивы по Ляпу-
Ляпунову [42].
Неустойчивость прямолинейных точек либрации означает, что
КА, выведенный в любую из этих точек с небольшими ошибками
по координатам или по составляющим скорости, со временем неиз-
неизбежно удалится от этих точек.
6.4.2. Условие устойчивости треугольных точек либрации. За-
Запишем линеаризованные уравнения возмущенного движения в ма-
малой окрестности треугольных точек либрации Ь\ и Ls, координаты
которых
— 2т ~* уЪ ~* л
~* 1 — 2т ~* у'д
хъ == 2—' Уъ — 2~~'

240
ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
С этой целью вычислим необходимые производные в точках Ь± и L$:
я~ 2
ОХ
3
»
dlL
дх ду
4'
-2т),
= 0.
dz
= 0,
дх'
ду
о,
(9 /
-1.
= 0,
После подстановки их в F.4.1) получим линеаризованные уравне-
уравнения возмущенного движения в окрестности треугольной точки ли-
либрации
(Г-
= 0,
ж = 0, F.4.12)
Ау" Л
-л
Az" + Az = 0 (к — 4, 5).
Видно, что и для треугольных точек либрации система уравнений
возмущенного движения F.4.12) распадается на две подсистемы,
для переменных Ах, Ау и для пространственной переменной Az.
Характеристическое уравнение первой подсистемы
зУз
D(K)
- (- l)
4 ^
_9_
4
2т)
^-тA — т) = 0 F.4.13)
л \ / \ f
является биквадратным. Рассматривая его как квадратное относи-
относительно X2, найдем дискриминант
Л = 1-27тA-т) F.4.14)
и условие его положительности
27m(l-m)<l.
F.4.15)
При выполнении неравенства F.4.15) квадратное уравнение отно-
относительно X2 имеет два действительных отрицательных корня, а ис-
исходное биквадратное уравнение относительно X — четыре чисто
мнимых корня.

§ 6 4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ 241
В случае
2/геA-/ге)>1 F.4.16)
квадратное уравнение относительно X2 имеет два комплексно сопря-
сопряженных корня, а исходное биквадратное уравнение относительно
X — две пары комплексно сопряженных корней. Из них два корня
заведомо будут с положительными вещественными частями. Следо-
Следовательно, неравенство F.4.16) является условием неустойчивости
треугольных точек либрации.
Характеристическое уравнение второй подсистемы для простран-
пространственной переменной Az
X2 + 1 = О
имеет два чисто мнимых корня ±г, которые не могут изменить ус-
условия устойчивости треугольных точек либрации F.4.15).
Итак, если произведение относительных масс притягивающих
тел удовлетворяет условию
тA-т)<±, F.4.17)
то треугольные точки либрации устойчивы в первом приближении
(характеристическое уравнение имеет шесть различных чисто мни-
мнимых корней). Полностью вопрос об устойчивости треугольных то-
точек либрации может быть решен только с привлечением нелиней-
нелинейных слагаемых в уравнениях возмущенного движения, так как при
наличии чисто мнимых корней характеристического уравнения рас-
рассмотрение только линеаризованной системы не позволяет сделать
строгого вывода относительно устойчивости исходной (нелинейной)
системы [42].
При строгом рассмотрении вопроса об устойчивости треугольных
точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел
доказана их устойчивость для всех значений относительной массы
т, удовлетворяющих условию F.4.17), или
О < т < 9 ~~^69 « 0,0385208, F.4.18)
кроме двух значений,
/.с 1 /лооо
0,0242938,
т** = зо ^ 0,0135160,
при которых имеет место неустойчивость. В пространственной зада-
задаче неустойчивость, когда т = т* или т = т**, остается, а при
остальных значениях т из диапазона F.4.18) доказана устойчи-
устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий
[43].

242 ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕ. I
Устойчивость треугольных точек либрации означает, что КА,
выведенный в близкую окрестность точки 7>4 или точки Ls с неболь-
небольшими ошибками по скорости, должен оставаться на малом расстоя-
расстоянии от соответствующей точки достаточно долго. Однако доказа-
доказательство устойчивости получено в рамках модельной задачи трех
тел. В реальных условиях необходимо учитывать наиболее сущест-
существенные возмущения от других небесных тел. Для удержания аппа-
аппарата вблизи треугольной точки либрации необходимо осуществлять
коррекцию его движения.
§ 6.5. Упрощенная постановка задачи трех тел
Задача движения КА в гравитационном поле двух небесных
тел является достаточно сложной и ее обычно исследуют числен-
численными методами. В ряде случаев оказывается допустимым упроще-
упрощение этой задачи путем разделения пространства на две области,
в каждой из которых учитывается притяжение только одного небес-
небесного тела. Тогда внутри каждой области пространства движение
КА будет описываться известными интегралами задачи двух тел.
На границе перехода из одной области в другую необходимо соот-
соответствующим образом пересчитать вектор скорости и радиус-вектор
с учетом замены центрального тела.
Разделение пространства на две области можно осуществлять
на основе различных допущений, которые определяют границу.
В задачах небесной механики, как правило, одно небесное тело
имеет массу существенно большую, чем второе. Например, Земля
и Луна, Солнце и Земля или любая другая планета. Поэтому об-
область, где предполагается движение КА по коническому сечению,
в фокусе которого находится меньшее притягивающее тело, зани-
занимает только небольшую часть пространства вблизи этого тела. Во
всем оставшемся пространстве предполагается движение КА по ко-
коническому сечению, в фокусе которого находится большее притя-
притягивающее тело.
Рассмотрим некоторые принципы разделения пространства на
две области.
6.5.1. Сфера действия. Пусть, как и прежде, т\ — масса и обо-
обозначение большего притягивающего тела, rri2 — масса и обозначение
меньшего притягивающего тела, а тпз — масса и обозначение КА.
Их взаимное расположение определяется радиусами-векторами гг и
гз, которые соединяют Ш\ соответственно с Гог и Из (см. рис. 6.1).
Сначала рассмотрим движение КА относительно большего при-
притягивающего тела тп\. С этой целью воспользуемся уравнением
F.1.20):
d2T m -f- m
—о == — / гз " ^
dt H>
3
32

§ 6 5 УПРОЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 243
или
гз
d
= gi
где
т -f- т„
^ = -!-л-ГЛ^ F.5.2)
— ускорение, которое получает КА при движении в центральном
поле тела тп\,
F.5.3)
— возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия
притягивающего тела ni2.
Теперь рассмотрим движение КА относительно меньшего при-
притягивающего тела 7П2. По аналогии с F.5.1) можно записать
А ёг + Ag2, F-5.4)
df
где
g2 = - / "*2 + Шз г23 F.5.5)
Г233
— ускорение, которое получает КА при движении в центральном
поле тела то.
— возмущающее ускорение, которое получает КА из-за наличия
тела гп\.
Областью действия, или сферой действия, меньшего тела mi от-
относительно большего тела тп\ называют область пространства, в ко-
которой выполняется условие
Л л. I I Л л. I
F.5.7)
Заметим, что при введении этого понятия под словом «сфера»
сначала имеем в виду не геометрическое место точек, одинаково
удаленных от центра, а область преимущественного влияния мень-
меньшего тела на движение КА, хотя ниже будет показано, что грани-
граница этой области действительно близка к сфере.
Внутри сферы действия меньшее тело рассматривают в качестве
центрального, а большее тело как возмущающее. Вне сферы дей-
действия за центральное принимают большее тело, а за возмущаю-
возмущающее — меньшее. В ряде задач небесной механики оказывается воз-
возможным пренебречь в первом приближении влиянием на траекто-
16*

244
ГЛ 6 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
рию КА большего тела внутри сферы действия и меньшего тела
вне этой сферы. Тогда внутри сферы действия движение К А будет
происходить в центральном поле, создаваемом меньшим телом,
а вне сферы действия — в центральном поле, создаваемом большим
телом.
Установим теперь границу области (сферы) действия меньшего
тела относительно большего. На границе области действия должно
выполняться условие
1^11^1 F.5.8)
F.5.9)
F.5.10)
Чтобы избавиться от векторов, возведем обе части F.5.10) в квад-
квадрат, а затем упростим полученное соотношение с учетом очевидных
равенств
Г2 ' Г23 = ^2^23 СО Si ф,
г2 -г3 = г2 -(г2 + г23) = г\ — r2r23 cos ф,
гз = Л + r23 — 2r2r23 cos ф,
(см. рис. 6.1). Тогда получим
или
Отсюда
так как
п
Г2
1
12 +
тз)
тз)
гс
тз
г2
' 3
Г23
гз
23
Г
7711
Г2
to 05
гз
32
-f m
i
3
23
Г2
1
г
2 гз
Г3
3
где <$ =
11 2 cos ф^
~2 + ^ Г2Г2 "~
2 23 2 23
1 1
~Г* I — 4- —
— Г23 ' Г4 ^ Г4
Г2 3
-Г23СО8
Ф)
2 3
Г2 3
F.5.11)
Для сокращения записи обозначим
— отношение расстояния между КА и меньшим притягивающим
телом к расстоянию между меньшим и большим притягивающими
телами. Тогда
/Г \ 2
-3- J = 1 _f- р2 — 2р cos ф.
\ГЧ

§ 6 5 УПРОЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 245
С учетом этих обозначений уравнение F.5.11) можно привести
к виду
2 A - р COS ф)
(l + p2 — 2p cos фJ (l + p2 — 2p cos фK/2 J'
откуда
/ m2 -+¦ тЛ p8[l-j-(l-j-p2—2pcos фJ—2A—p cos ф) у 1+р2—2p cos ф]
\m1+m2) (l + p2 — 2p cos фL (l + p4 — 2p2 cos ф)
F.5.12)
Соотношение F.5.12) в неявной форме задает плоскую кривую с
помощью нормированного полярного радиуса р и полярного угла ф.
Эта кривая образована пересечением плоскости, проходящей через
точки mi, m,2, т$, с границей области действия меньшего притяги-
притягивающего тела. Таким образом, область действия ограничена в про-
пространстве поверхностью, полученной путем вращения плоской кри-
кривой F.5.12) относительно оси, которая соединяет mi и т^.
Точное уравнение F.5.12) можно упростить, если учесть ма-
малость отношения mi\mi и вытекающую отсюда малость величины
р. В результате найдем
-Л\ = p8j2 + 2(р2 —2рсоэф) + (р2 —2рсозфJ —2A —рсоэф) X
X [l + у(Р2 — 2рсозф) — у(р2 — 2рсозфJ .. Л|[1—4(р2—2pcos ф)+
+ 10(р2 — 2pcos фJ — ...] [1 — (р4—2p2cos ф)+ (р4—2р2 cos фJ—...],
или, сохраняя в скобках только слагаемые до р2 включительно,
\ 1
Ч A — 4р2 + 8р cos ф + 40р2 cos2 ф) A + 2р2 cos ф),
2
— р cos ф — р
т \4
^Ч =Р10A+ЗсО82ф).
Отсюда
~2/5 ~2/5
Р = 10 и г23 = г2 . F.5.13)
У 1 + 3 cos ф у 1 + 3 cos^ ф
Соотношение F.5.13) можно рассматривать как приближенное
уравнение границы области действия меньшего небесного тела т%
относительно большего mi (рис. 6.10). Поверхность вращения

246 ГЛ 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
F.5.13) мало отличается от сферы. Действительно, отношение мак-
максимального радиуса rf3ax (при ф = 90°) к минимальному радиусу
mm / п°\
г23 (при ф = 0 ) составляет
max
23
1,15.
Малая ось направлена по прямой т\т2, а большая ей перпенди-
перпендикулярна.
Дальнейшее упрощение состоит в том, что за область действия
принимают часть пространства, ограниченную сферой максимально-
максимального радиуса г™ с центром в
точке тп2. Тогда вместо
F.5.13) имеем приближен-
• ную формулу для вычисле-
т1 ния радиуса сферы действия
меньшего небесного тела от-
относительно большего:
Рис. 6.10. Сфера действия меньшего небес- гд«г™Х = г2т2/5, F.5.14)
ного тела rri2 относительно большего те-
тела т\ Где т = m2lm\ — относитель-
относительная масса меньшего тела.
Как уже отмечалось, внутри сферы действия радиуса гд можно в
первом приближении не учитывать влияния большего небесного
тела на траекторию движения КА.
6.5.2. Сфера притяжения. Продолжим обсуждение движения КА
массой тъ в гравитационном поле двух небесных тел, массы кото-
которых тп\ и т,2 {т2<.тп\). Совокупность точек пространства, в ко-
котором меньшее небесное тело rri2 притягивает КА сильнее, чем боль-
большее тело т\, называют областью притяжения или сферой притяже-
притяжения меньшего тела относительно большего. Здесь по поводу поня-
понятия «сфера» справедливо замечание, сделанное для сферы действия.
Граница области притяжения определяется условием
lgil = lg2l, F.5.15)
где gi — гравитационное ускорение, сообщаемое КА большим не-
небесным телом, a g2 — гравитационное ускорение, сообщаемое КА
меньшим телом. Используя формулы F.5.2) и F.5.5), получим для
произвольной точки границы области притяжения (рис. 6.10)
Г2 Г2
Г3 23
откуда
' "!2 , Iя* F.5.16)

§ 6 5 УПРОЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 247
С учетом исходных предположений m$ < Ш2 < Ш\ можно принять,
предполагая тпз -*¦ О,
r У. F.5.17)
где т = m2/mi. Следовательно, на границе области притяжения от-
отношение расстояний КА до тел т2 и т\ есть величина постоянная.
Рассмотрим плоскость, проходящую через центры масс тел т\,
тп,2, тпз. Для граничных точек области притяжения будет справед-
справедливо соотношение F.5.17). Однако известно, что геометрическое
место точек, отношение расстояний которых до двух заданных то-
точек равно постоянному числу, отличному от единицы, представляет
собой окружность, центр которой лежит на продолжении отрезка
Рис. 6.11. Сфера притяжения меньшего небесного тела тп,2 относительно боль-
большего тела т\
гп\1П2 (рис. 6.11). Поэтому область притяжения меньшего тела от-
относительно большего ограничена сферой, полученной в результате
вращения указанной окружности вокруг линии, соединяющей
Ш\ И ТП2.
Определим положение центра и величину радиуса гпр сферы при-
притяжения. Для точек А и В на границе сферы притяжения (см.
рис. 6.11) можно записать
F.5.18)
пли
г 1ТГ~1Х) = г 1П(РГ+1Х)= V™> F.5.19)
где х = 1П2О — величина смещения центра сферы притяжения отно-
относительно 7П2. Отсюда радиус сферы притяжения
ГпР = г2-^1 F.5.20)
и смещение центра сферы притяжения относительно меньшего не-
небесного тела тп2
х = г2-^. F.5.21)
1 — m

248 ГЛ. 6. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
Внутри сферы притяжения справедливо условие
т. е. меньшее тело притягивает КА сильнее, чем большее, а вне
сферы притяжения выполняется неравенство
6.5.3. Сфера влияния. Наряду с использованием понятий сферы
действия и сферы притяжения для приближенных расчетов тра-
траекторий движения КА в гравитационном поле двух небесных тел,
существуют и другие принципы разделения пространства на обла-
области преимущественного воздействия каждого из двух небесных тел.
Например, введенное в работе [32] понятие сферы влияния мень-
меньшего небесного тела относительно большего основано на использо-
использовании интеграла Якоби в круговой ограниченной задаче трех тел.
Из условия минимизации ошибки приближенного расчета постоян-
постоянной интеграла Якоби получена формула для вычисления радиуса
сферы влияния
Гвл= l,15r2f^. F.5.22)
Использование в приближенных расчетах сферы влияния вместо
сферы действия должно привести в среднем к уменьшению ошибки
расчета постоянной интеграла Якоби и, как следствие, уменьшению
ошибок расчета других параметров орбиты КА.
Радиусы сфер действия, притяжения и влияния для некоторых
пар небесных тел приведены в гл. 7.

ГЛАВА 7
ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Исследование космического пространства, начатое 4 октября
1957 года запуском в Советском Союзе первого искусственного
спутника Земли, в последующие 25 лет ознаменовалось новыми
крупными успехами. Были практически решены важнейшие задачи
механики космического полета, в том числе связанные с достиже-
достижением Луны и планет Солнечной системы. Так, в ночь с 13 на 14 сен-
сентября 1959 года советская космическая ракета достигла поверхно-
поверхности Луны. Впервые летательный аппарат, запущенный с Земли,
оказался на поверхности другого небесного тела. В последующих
полетах к Луне автоматических аппаратов была сфотографирована
ее обратная сторона, получена панорама лунной поверхности, про-
проведен анализ лунного грунта и доставлены образцы пород на Зем-
Землю. Впервые нога человека ступила на поверхность Луны 20 июля
1969 года, когда Армстронг и Олдрин прилетели туда в космиче-
космическом корабле «Аполлон-11».
Автоматические межпланетные станции и аппараты типа
«Марс», «Венера», «Викинг», «Вояджер» и др. позволили получить
уникальную информацию о планетах Солнечной системы и их
естественных спутниках.
Полеты к Луне и планетам потребовали решения ряда сложных
научных и технических проблем. Было необходимо создать не толь-
только новые летательные аппараты, но и совершенные методы расчета
и управления для столь протяженных траекторий перелета. Боль-
Большая работа была выполнена по уточнению теории движения неко-
некоторых небесных тел и их гравитационных полей. Наиболее детально
задача полета к Луне и планетам исследована в работах [22, 23,
29, 35, 38, 55].
§ 7.1. Условия полета к Луне
Луна является естественным спутником Земли, на движение ко-
которого оказывают возмущающее воздействие Солнце и планеты.
Поэтому с течением времени меняются положение плоскости орби-
орбиты Луны и элементы ее орбиты. Барицентр системы Земля — Луна
расположен на расстоянии около 4660 км от центра Земли, т. е.
ниже земной поверхности. Поэтому для задач механики космиче-
космического полета в первом приближении можно не учитывать различие

250 ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛ\НЕТАМ
между движением Луны относительно барицентра и наблюдаемым
ее движением относительно Земли.
7.1.1. Параметры орбиты Луны [1], [9]. Плоскость орбиты Лу-
Луны наклонена к плоскости эклиптики (т. е. плоскости гелиоцентри-
гелиоцентрической орбиты барицентра системы Земля — Луна) на угол гл, ве-
величина которого меняется в диапазоне 4°59'—5° 19' с периодом
173 сут. Линия узлов лунной орбиты вращается в плоскости эклип-
эклиптики навстречу движению Луны (по часовой стрелке, если смотреть
с северного полюса) с периодом 18,61 года. Поскольку средний
угол между плоскостями земного экватора и эклиптики составляет
23°27', то угол между плоскостями земного экватора и лунной ор-
орбиты меняется в диапазоне 18°18'—28°36'. Следовательно, компла-
компланарный перелет в плоскости орбиты Луны возможен всегда, если
широта точки старта, расположенной на поверхности Земли, удов-
удовлетворяет условию |фо1 ^ 18°18'. Если широта точки старта нахо-
находится в диапазоне 18°18'^ 1фо1 ^ 28°36', то компланарный перелет
возможен в ограниченные интервалы времени каждые 18,61 года.
В случае |фо1>28°36' компланарный перелет в плоскости лунной
орбиты невозможен.
Угол наклона плоскости экватора Луны к плоскости ее орбиты
меняется от 6°31' до 6°51'. Геоцентрическая орбита Луны близка
к круговой, ее средний эксцентриситет е = 0,05490. Среднее рас-
расстояние от Земли до Луны 38 4401 ± 1 км, минимальное расстояние
356 400 км, максимальное расстояние 406 700 км. Средняя скорость
геоцентрического движения Луны 1,023 км/с.
Звездным, или сидерическим, лунным месяцем называют проме-
промежуток времени между двумя последовательными прохождениями
Луны через плоскость одного и того же круга широты (большого
круга небесной сферы, проходящего через светило и полюсы эк-
эклиптики). Сидерический месяц составляет 27 сут 7 ч 43 мин 11,47 с,
или 27,321661 средних солнечных суток (длительностью 24 ч). Пе-
Период обращения Луны вокруг собственной оси равен сидерическому
месяцу, поэтому Луна обращена к Земле всегда одной стороной.
Вместе с тем имеют место небольшие «покачивания» (либрация)
Луны относительно среднего положения. Различают оптическую
(геометрическую) и физическую либрации. Оптическая либрация
является зрительным эффектом вследствие относительного переме-
перемещения земного наблюдателя и Луны. Эта либрация обусловлена
неравномерностью обращения Луны вокруг Земли, несовпадением
плоскостей лунной орбиты и ее экватора, а также суточным пере-
перемещением земного наблюдателя. Физическая либрация Луны явля-
является отклонением ее реального вращения вокруг центра масс ог
вращения соответствующего сферического тела. Эта либрация свя-
связана с близостью формы Луны к трехосному эллипсоиду, наиболь-
наибольшая ось которого ориентирована вдоль среднего направления на
Землю. Вследствие притяжения Земли создается пара сил, прило-
приложенная к Луне и качающая ее вокруг центра масс на угол поряд-

§ 7 1 УСЛОВИЯ ПОЛЕТА К ЛУНЕ 251
тса 2'. По своей сути физическая либрация Луны аналогична нута-
нутации Земли. Благодаря оптической и физической либрациям можно
наблюдать до 60 % всей поверхности Луны.
В зависимости от взаимного расположения Земли, Луны и Солн-
Солнца с земной поверхности можно видеть определенную часть осве-
освещенного диска Луны, или различные фазы Луны. Фаза новолуния
имеет место, когда Луна находится между Солнцем и Землей, т. е.
к Земле обращена темная часть Луны. Когда Земля находится
между Солнцем и Луной, имеет место фаза полнолуния, т. е. с Зем-
Земли виден полный освещенный диск Луны. Синодическим месяцем
называют промежуток времени между двумя последовательными
новолуниями. Средний синодический месяц составляет 29 сут 12 ч
44 мин 2,78 с, или 29,530588 средних суток. Он может меняться от
29,25 сут до 29,83 сут, т. е. на 13 ч вследствие эллиптичности лун-
лунной орбиты.
7.1.2. Поле притяжения Луны. В первом приближении фигуру
Луны можно рассматривать как однородный шар радиусом гл =
= 1738 км и плотностью рл = 3,343 г/см3. Произведение постоянной
притяжения на массу Луны (ил = 4902,72 км3/с2. Ускорение силы
тяжести на поверхности Луны #л = 1,622 м/с2.
В результате проведенного анализа движения близких искусст-
искусственных спутников Луны (ИСЛ) было установлено, что в ряде обла-
областей Луны поле притяжения имеет значительные локальные откло-
отклонения от средней величины, причем эти отклонения существенно
превосходят аномалии земного поля притяжения. Локальные откло-
отклонения были объяснены наличием масконов (от английского mass
concentration), т. е. участков со значительно увеличенной плот-
плотностью лунной породы. По некоторым гипотезам, масконы — это
большие скопления железо-никелевых пород в форме диска разме-
размером 50—200 км с глубиной залегания 25—125 км. При пролете
маскона высота орбиты ИСЛ может снижаться на несколько десят-
десятков метров, а скорость при этом возрастает.
Установленные аномалии поля притяжения Луны усложняют
задачу его математического описания, особенно для расчета низких
орбит спутников с высотой порядка нескольких десятков километ-
километров, которые возможны из-за отсутствия атмосферы. В работе [2]
рассматриваются три основные возможности математического описа-
описания гравитационного потенциала Луны:
1) разложение в ряд по сферическим функциям;
2) моделирование фигуры Луны конечным числом точечных
масс, распределенных на эллипсоиде;
3) сочетание разложения в ряд с малым числом членов, кото-
который описывает регулярную составляющую поля притяжения, с со-
совокупностью некоторого числа масконов для учета локальных воз-
возмущений.
Первый способ обладает всеми преимуществами компактного
аналитического представления поля притяжения, однако для полу-

252 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
чения удовлетворительной аппроксимации поля вблизи масконов
необходимо учитывать большое число членов ряда. Это приводит
к увеличению затрат машинного времени на расчет траектории
ИСЛ. Кроме того, всякое уточнение отдельных деталей поля тре-
требует пересмотра всех коэффициентов ряда.
Второй способ позволяет легко корректировать каждую точеч-
точечную массу по мере накопления измерительной информации. При
численном интегрировании уравнений движения такая модель об-
обладает некоторым преимуществом относительно разложения в ряд
ио сферическим функциям. Недостатком модели является сингуляр-
сингулярность потенциала вблизи каждой точечной массы. Кроме того, при
создании аналитической теории движения ИСЛ точечное представ-
представление потенциала не дает преимуществ, а соответствующее разло-
разложение оказывается сложнее общепринятого.
Наиболее эффективным представляется третий способ, который
позволяет учесть регулярную составляющую потенциала небольшим
числом членов ряда, а возмущающие факторы описать ограничен-
ограниченным числом наиболее крупных масконов, представленных в виде
точечных масс.
7.1.3. Сферы действия, притяжения и влияния Луны. Зная соот-
соотношение масс Луны и Земли
т
m = -^ =
m3 81,301
и среднее расстояние между ними
гср = 384 400 км,
можно вычислить по формуле F.5.14) радиус сферы действия Луны
гд = 66 180 км.
Далее по формулам F.5.20), F.5.21) определим радиус сферы при-
притяжения Луны относительно Земли
гпр = 43 160 км,
а также расстояние между центрами Луны и сферы притяжения
х = 4790 км,
которое в 2,75 раз больше радиуса Луны. Центр сферы притяжения
находится на продолжении прямой Земля — Луна, т. е. за Луной.
Наконец, по формуле F.5.22) найдем радиус сферы влияния
Луны
А ГЧ Л /"\ / ГЧ
КМ.
7.1.4. Точный расчет траектории полета к Луне. Будем рассмат-
рассматривать траектории, которые совершают не более одного оборота от-
относительно Земли в невращающейся геоцентрической системе коор-

§ 7 1 УСЛОВИЯ ПОЛЕТА К ЛУНЕ 253
динат. Вдоль такой траектории основными силами, действующими
на КА, являются силы притяжения Земли и Луны как материаль-
материальных точек. Второстепенными факторами оказываются притяжение
Солнца, нецентральность гравитационного поля Земли и притяже-
притяжение планет. Если пренебречь притяжением планет, то получающая-
получающаяся при этом ошибка не превышает 1 км по координатам и 1 с по
времени для траектории протяженностью порядка расстояния Зем-
Земля — Луна [23].
Будем моделировать фигуру Земли эллипсоидом вращения.
С помощью формул A.3.20), A.3.22), A.3.25) можно записать^
учитывая только вторую зональную гармонику, коэффициент кото-
которой на три порядка превосходит остальные коэффициенты разложе-
разложения,
[ i(^J] G.1.1)
Здесь (Из — произведение постоянной притяжения на массу Земли
(гравитационный параметр Земли),
т 2С-(А + В)
2 шя%
— коэффициент второй зональной гармоники, А, В, С, М—осевые
моменты инерции и масса Земли, Яэ — экваториальный радиус Зем-
Земли, г — геоцентрический радиус КА.
Масса Луны на два порядка меньше массы Земли и соответст-
соответствующий коэффициент второй зональной гармоники Луны почти на
два порядка меньше. Поэтому можно пренебречь влиянием нецен-
нецентральности поля притяжения Луны на траекторию КА и описывать
потенциал поля притяжения Луны формулой
?/л=^. G.1.2)
Здесь |ил — произведение постоянной притяжения на массу Луны
(гравитационный параметр Луны), р — селеноцентрический ра-
радиус КА.
Для времен полета КА до 10 сут и приведенных ранее точно-
точностей можно при расчете геоцентрического движения Луны прене-
пренебречь влиянием несферичности Земли, возмущениями от планет,
силами светового давления и электромагнитными силами. Однако
следует учитывать возмущение геоцентрического движения Луны
Солнцем.
Введем инерциальную прямоугольную систему координат O3xyz
с началом в центре масс Земли, осью О3х, направленной в точку
весеннего равноденствия Т, осью O3z, направленной по оси враще-
вращения Земли, и осью О3у, дополняющей систему координат до правой
(рис. 7.1). По аналогии с F.1.20) запишем векторное уравнение

254
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
пассивного движения КА в этой системе координат:
?г
dt2
= grad U3
Гтт — Г
гл-г
'Л
'л
Здесь \хл, цс — гравитационные параметры Луны и Солнца; г, гл,
гс — радиусы-векторы КА, Луны и Солнца. Геоцентрические коор-
координаты Луны и Солнца можно определить с помощью Астрономи-
Астрономического ежегодника или численным интегрированием уравнений
Рис. 7.1. Геоцентрическая, селеноцентрическая и барицентрическая системы
координат
задачи трех тел (Земля, Луна, Солнце) в геоцентрической системе
координат
1Л
+
+
1Л
гс~"гл
гл~гс
гл-гс|
G.1.4)
G.1.5)
Подобно G.1.3) запишем векторное уравнение пассивного дви-
движения КА в селеноцентрической системе координат Олжлг/л^л, оси
которой параллельны осям O3xyz (рис. 7.1):
— Г
1л
Здесь р — селеноцентрический радиус-вектор КА. Геоцентрические
и селеноцентрические радиусы-векторы связаны соотношениями
dp dr
dt.
dt '
G.1.7)
Если рассматривается активный участок полета, т. е. участок
разгона или торможения с помощью ракетного двигателя, то в пра-
правые части уравнений G.1.3) и G.1.6) следует добавить ускорение
от тяги двигателя Р/пг, где Р — вектор тяги, m — масса КА. Обыч-

§ 7.1. УСЛОВИЯ ПОПЕТА К ЛУНЕ 255
но активные участки расположены в начале и в конце траектории
перелета, т. е. вблизи Земли и Луны. При расчете движения на
активном участке вблизи Земли можно пренебречь возмущающим
воздействием Луны и Солнца, а при расчете активного участка
вблизи Луны — возмущающим воздействием Земли и Солнца.
Уравнения G.1.3) и G.1.6), описывающие соответственно гео-
геоцентрические и селеноцентрические пассивные траектории, преобра-
преобразуются в уравнения ограниченной круговой задачи трех тел, если
пренебречь нецентральностью поля Земли и возмущениями от Солн-
Солнца, а орбиту Луны принять круговой. Соответствующие уравнения
имеют вид
А _ ^з
-^г--7гг + ^
гл
В некоторых случаях движение КА удобно рассматривать во
вращающейся барицентрической системе координат $б?г|?, начало-
которой совпадает с барицентром системы Земля — Луна, ось Об?
направлена к центру масс Земли, ось О6г\ противоположна вектору
орбитальной скорости Луны, а ось Об? дополняет систему координат
до правой (рис. 7.1). По аналогии с F.2.9) можно записать урав-
уравнения ограниченной круговой задачи трех тел для Земли, Луны
и КА:
d | п dr\ dJ d r) п d?, ^3 d ? dJ A \ ЛС\\
где
/ = 1(?2 + rf) + -^ + ^л. G.1.11)
— интеграл Якоби; г, р—расстояние КА соответственно от Земли
и от Луны. В качестве единицы длины принято среднее расстояние
между Землей и Луной rcp ~ 384 400 км. За единицу времени при-
принята величина Гл/2я, где Гл = 27,321661 сут — сидерический месяц.
Напомним, что в этих единицах измерения с учетом третьего зако-
закона Кеплера имеем
|х3 + |Ал = 1. G.1.12)
Полученные уравнения движения можно интегрировать числен-
численно при заданных начальных условиях. Для активного участка шаг
интегрирования составляет 1 — 2 с, а на пассивном участке не дол-
должен превышать 60 с, если требуемая точность вычисления коорди-
координат равна 10 см [23].
7.1.5. Приближенный расчет траектории полета к Луне. В ряде
случаев оказывается допустимым существенное упрощение задачи
вычисления траектории полета к Луне. Это упрощение связано е

256 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
заменой истинной траектории коническим сечением, геоцентриче-
геоцентрическим вне сферы действия (или сферы влияния) Луны и селено-
селеноцентрическим внутри сферы действия (влияния) Луны. Тем самым
пренебрегают возмущениями от нецентральности поля притяжения
Земли, а также пренебрегают возмущениями от Луны и Солнца на
участке полета вне сферы действия Луны. Внутри сферы действия
Луны пренебрегают возмущениями от Земли и Солнца. Как пока-
показано в работе [22], такой подход допустим при расчете траекторий
сближения, которые начинаются у Земли и на первом же витке
геоцентрического движения входят в сферу действия Луны с суще-
существенно гиперболической селеноцентрической скоростью. Метод ре-
решения, связанный с представлением траектории перелета в виде
соединенных на границе сферы действия Луны гео- и селеноцентри-
селеноцентрических конических сечений, когда учитывают только основные гра-
гравитационные ускорения на каждом участке и пренебрегают всякими
возмущениями, принято называть методом игнорирования возмуще-
возмущений [23, 29].
На геоцентрическом участке по заданным начальным радиусу-
вектору го и вектору скорости Vo можно полностью определить все
элементы орбиты, а затем параметры движения КА в любой точке
траектории. На входе в сферу действия Луны пересчитывают ра-
радиус-вектор и вектор скорости КА из геоцент-
геоцентрической в селеноцентрическую систему коорди-
координат по формулам G.1.7).
В соответствии со знаком радиальной состав-
составляющей геоцентрической скорости Vrru на входе
в сферу действия Луны различают навесную эл-
эллиптическую траекторию со входом на нисходя-
нисходящей ветви (F";<C0) и настильную эллиптиче-
эллиптическую траекторию со входом на восходящей ветви
(Fr4>0). Обе траектории показаны па рис. 7.2.
-Земля для гиперболической и параболической геоцент-
Рис. 7.2. Навесная рических траекторий вход в сферу действия Лу-
A) и настильная ны возможен только на восходящей ветви.
B) траектории по- Внутри сферы действия Луны орбита также
лета к Луне J * ^ ^ J *
J определяется заданными начальными условиями
в точке входа. Если КА покидает сферу дей-
действия Луны, то в точке выхода следует выполнить об-
обратный переход от селеноцентрического к геоцентрическому движе-
движению. Геоцентрические параметры в точке выхода будут полностью
определять траекторию вне сферы действия Луны. Эта геоцентри-
геоцентрическая траектория в общем случае может быть эллиптической, ги-
гиперболической или параболической.
Дальнейшее упрощение связано с пренебрежением не только
возмущениями, но и размерами сферы действия Луны по сравнению
с расстоянием Земля — Луна. Такой подход называют методом то-

§ 7.2. ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ 257
чечной сферы действия. Суть его состоит в том, что рассматривают
только два геоцентрических конических сечения, которые модели-
моделируют траекторию пролета мимо Луны, имеющую излом в точке сое-
соединения (точке «встречи» с Луной). Излом обусловлен тем, что
по предположению в указанной точке происходит мгновенное изме-
изменение входного в сферу действия Луны вектора геоцентрической
скорости на выходной из сферы действия Луны вектор геоцентри-
геоцентрической скорости.
Метод точечной сферы действия существенно облегчает исследо-
исследование множества траекторий, так как рассматриваются только век-
векторы скорости в точках входа в сферу действия Луны и выхода
из нее. При этом пренебрегают различием радиусов-векторов этих
точек, т. е. совмещают их. Сведение задачи к анализу многообразия
скоростей позволяет довольно просто построить векторы скорости
в некоторых интересных случаях, а затем использовать их, напри-
например, для выбора минимальных потребных скоростей и др.
Метод точечной сферы действия удобен для приближенного рас-
расчета траекторий сближения КА с Луной, которые начинаются и
кончаются вблизи Земли (облетные траектории). Он удобен также
для расчета межпланетных траекторий, проходящих вблизи Луны
с целью использования ее гравитационного поля для изменения век-
вектора скорости КА (так называемый пертурбационный маневр).
§ 7.2. Полет в плоскости орбиты Луны
При рассмотрении плоской задачи перелета предполагается, что
траектория КА совпадает с плоскостью геоцентрической орбиты
Луны. Это упрощает анализ и позволяет выявить некоторые каче-
качественные особенности траектории, которые потом удается распро-
распространить и на пространственный перелет.
7.2.1. Задача попадания в Луну. Оценим минимальную скорость,
которую следует сообщить КА на круговой орбите ИСЗ высотой
200 км, чтобы он достигнул Луны. Рассмотрим сначала возмож-
возможность использования в этих целях точки либрации L\, расположен-
расположенной на расстоянии ~58 000 км от центра масс Луны по отрезку
прямой, который соединяет центры масс Луны и Земли. Для дости-
достижения точки L\ КА должен иметь во вращающейся барицентриче-
барицентрической системе координат начальную скорость FA) = 10,849 км/с, ве-
величина которой определяется с помощью интеграла Якоби. Возни-
Возникает вопрос: можно ли сообщить КА скорость чуть больше FA),
чтобы он достиг на восходящей ветви траектории точки либрации
L\, пролетел с малой скоростью окрестность этой точки, а затем до-
долетел до Луны? Численное интегрирование траекторий движения
в рамках задачи трех тел показало, что в случае, когда вектор ско-
скорости VA) направлен по касательной к круговой орбите ИСЗ (т. е.
геоцентрическая скорость максимальна), КА на первом витке воз-
возвращается к Земле, не долетев до точки либрации L\ около

258
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
30 000 км. За пять витков апогейное расстояние почти не увеличи-
увеличивается. Было установлено также, что при любом другом направле-
направлении вектора начальной скорости VA) траектория не достигает на
первом витке точки либрации L\ [22]. Таким образом, с начальной
барицентрической скоростью FA) К А на первом витке не долетает
до точки либрации L\. Следовательно, эта скорость мала для дости-
достижения на первом витке Луны с пролетом в окрестности точки ли-
либрации L\. Даже при увеличенной начальпой скорости, обеспечива-
обеспечивающей достижение апогея на уровне точки либрации L\, К А не
будет иметь в окрестности этой точки малой скорости относительно
Рис. 7.3. Траектория попадания в Луну без учета ее притяжения
вращающейся барицентрической системы координат. Последнее объ-
объясняется большой разностью геоцентрических секториальных ско-
скоростей КА в апогее траектории и самой точки либрации L\, распо-
расположенной на отрезке прямой Земля — Луна.
Численные расчеты позволили установить, что в невращающей-
ся геоцентрической системе координат траектория перелета Зем-
Земля — Луна очень близка к эллипсу с фокусом в центре Земли. От-
Отсюда следует возможность вычисления приближенной величины
минимальной начальной скорости, обеспечивающей достижение Лу-
Луны, полностью пренебрегая притяжением Луны.
Введем новую невращающуюся геоцентрическую систему коор-
координат О3ху. Ось О3х направлена по продолжению прямой Луна —
Земля в начальный момент времени, ось О3у — против вектора орби-
орбитальной скорости Луны в начальный момент времени (рис. 7.3).
Пусть задан радиус-вектор ri начального положения КА и началь-
начальный угол наклона траектории к местному горизонту 6ь Тогда ми-
минимальная начальная скорость V\ будет определяться из условия

§ 7 2. ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ 259
равенства апогея га траектории перелета величине расстояния до
Луны гл. Воспользовавшись формулой C.1.24), которая позволяет
вычислить высоту апоцентра при заданных начальных условиях,
и учитывая равенство га = гл, получим
гл = ,
1 - у 1 - B - vx) vx cos261
тде
г У2
-LA. G.2.2)
Отсюда
Величина Fi зависит от начального угла наклона траектории 0i.
При 0i = я/2 (вертикальный старт) скорость оказывается наимень-
наименьшей V\ = 10,9200 км/с, а при 0i = 0° (горизонтальный старт)— наи-
наибольшей V\ = 10,9216 км/с. Правда, разница между наибольшей и
наименьшей величинами скорости составляет всего 1,6 м/с. Полу-
Полученная величина минимальной скорости из условия достижений
«непритягивающей» Луны в апогее траектории на ~70 м/с превы-
превышает величину скорости, которая необходима для полета к точке
либрации L\ с учетом притяжения Земли и Луны.
Хотя использованная модель достаточно груба (не учитывается
притяжение Луны), найденная оценка минимальной начальной ско-
скорости практически не отличается от установленной численным ин-
интегрированием величины минимальной начальной скорости для по-
попадания в центр Луны. Это еще раз подтверждает, что начальные
условия для траектории попадания действительно можно вычис-
вычислять, полностью пренебрегая влиянием Луны.
Заметим, что начальные скорости для достижения Луны близки
к параболической скорости Fnap(n)=)/2(Li3/ri. Поэтому часто вместо
начальной скорости V\ рассматривают разницу между этой ско-
скоростью и местной параболической скоростью: AF= V\ — Fnap(n)-
Тогда условие AF<0 означает, что траектория перелета является
эллиптической, в случае AF = 0 — параболической, а при AF>0 —
гиперболической.
Определение траектории достижения Луны в первом приближе-
приближении включает следующую последовательность расчетов. Задавшись
начальным углом наклона траектории 0i, можно по формуле G.2.3)
вычислить начальную скорость V\. Затем по формуле C.1.25) опре-
определяется угловая дальность траектории перелета при сближении
17*

260 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
с Луной на восходящей ветви
ф = arctg-—^4|?L—- @<Ф<я) G.2.4)
и истинная аномалия начальной точки траектории перелета
&1=п-Ф. G.2.5)
Зная 'Оч, вычислим из соотношения B.5.6) эксцентрическую анома-
аномалию начальной точки Е\. Поскольку встреча с Луной происходит
в апогее траектории перелета, истинная аномалия точки встречи
Ьч = я и эксцентрическая аномалия Еч = я.
С помощью соотношений C.1.22), C.1.23) вычислим параметр
p = rivicos26, G.2.6)
и эксцентриситет
e = yi-B-v,)v,cos26,, G.2.7)
а затем большую полуось
а = —Ч G-2.8)
траектории перелета. Время перелета определяется по формуле
B.5.8) с учетом Еч = я:
о /о
Д{ = ^ f= " (я-? +емЮ. G.2.9)
V ^3
Теперь можно найти угловое движение Луны по орбите за время
перелета КА
G.2.10)
где «л — средняя угловая скорость орбитального движения Луны,
а также угол X между осью О3х и начальным радиусом-вектором
Ti (рис. 7.3)
+ ^ G.2.11)
Тем самым завершается построение геометрии траектории переле-
перелета. Заметим, что угол фл по существу определяет положение упреж-
упрежденной точки встречи.
На рис. 7.4 показано время достижения орбиты Луны на восхо-
восходящей ветви траектории в зависимости от разницы между началь-
начальной и местной параболической скоростью AF. При AF>0 величина
начального угла наклона траектории 0i несущественно влияет на
время перелета. Высота начальной орбиты также слабо сказывает-
сказывается на времени перелета. Например, в случае изменения высоты на-
начальной орбиты от 200 км до 1000 км время перелета уменьшает-
уменьшается только на 7 мин.
Если определение начальных параметров траектории попада-
попадания в Луну можно осуществлять, не учитывая ее притяжепия, то

§ 7.2. ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ
261
при анализе допустимых ошибок начальных параметров необходимо
учитывать притяжение. Оценка влияния реального разброса на-
начальных параметров на траекторию перелета показала, что задача
сут
4
-0,1
0,2
0,4 ДУ,км/с
Рис. 7.4. Время полета до орбиты Луны при сближении на восходящей ветви
траектории
попадания в Луну может быть решена без дополнительной коррек-
коррекции траектории [22].
7.2.2. Облет Луны с пологим возвращением в атмосферу Земли.
Предварительно обсудим общую задачу облета Луны в плоскости
ее орбиты с возвращением к Земле. Для упрощения классификации
будем рассматривать в качестве номинальных траекторий возвра-
возвращения, проходящие через центр Земли. Поэтому после выхода из
сферы действия Луны постоянная интеграла площадей в геоцептри-
ческом движении должна равняться нулю.
Для анализа возможных траекторий облета Луны воспользуемся
планом скоростей [22]. Пусть Уг — вектор геоцентрической скорос-
скорости КА на входе в сферу действия Луны и аг — угол вектора Уг с
прямой Земля — Луна (аг > 0 при положительной начальной гео-
геоцентрической секториальной скорости, как показано на рис. 7.5).
Тогда можно перейти к селеноцентрической скорости в точке входа
V2 = V2 — Ул (штрихом условимся обозначать ниже селеноцентри-
селеноцентрические параметры движения). В соответствии с селеноцентрическим
интегралом энергии, на выходе из сферы действия Луны величина
скорости останется неизменной. Отсюда видно, что геометрическое
место концов векторов селеноцентрических скоростей выхода есть
окружность радиуса V2j с центром в точке О'.
Будем пренебрегать малым углом между геоцентрическим ра-
радиусом-вектором в точке выхода из сферы действия Луны и направ-
направлением Земля — Луна, что упрощает рассмотрение задачи, но вмес-
вместе с тем не нарушает ее физической сущности. Тогда возможны две

262
ГЛ 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
траектории, проходящие через центр Земли, векторы геоцентриче-
геоцентрической скорости которых на выходе из сферы действия Луны направ-
направлены параллельно линии ОЛО3, т. е. к центру Земли. Одна из них
отвечает восходящей ветви геоцентрической траектории после выхо-
выхода из сферы действия Луны и имеет геоцентрическую скорость в
точке выхода V3b, а дру-
другая — нисходящей ветви и
имеет скорость Узн. Заме-
Заметим, что восходящая траек-
траектория с возвращением к
Земле возможна только в
том случае, когда V3b <
<Vnap(r3), т.е. геоцентри-
геоцентрическая скорость в точке вы-
выхода меньше местной па-
\Направмение q раболической СКОРОСТИ. По-
на Землю о3 строенные на рис. 7.5 уг-
углы ав и ая определяют со-
соответствующие повороты
векторов выходной селе-
селеноцентрической скорости
V3B и V3H относительно
Рис. 7.5. Векторный план скоростей для траек- входной селеноцентричес-
тории облета Луны с возвращением к центру „ \т' -г,
Земли (при положительной начальной секто- кои скорости V2. Видно, что
риальной скорости)
ав < 0 и ая < 0, т.е. облет
Луны совершается по ча-
часовой стрелке с пересечением продолжения прямой Земля — Луна
за невидимой стороной Луны. Обозначим полученные траектории
облета Св и СИ- Здесь верхний индекс «в» характеризует восходя-
восходящую ветвь геоцентрической траектории при входе в сферу действия
Луны, а нижний индекс «в» или «н» — соответственно восходящую
или нисходящую ветвь геоцентрической траектории после выхода
из сферы действия Луны. Поскольку |ан1 ^ 1ав1, траектория Сч
имеет существенно меньшую величину переселения, чем траектория
С\- Обе траектории показаны на рис. 7.6 в геоцентрической инер-
циальпой системе координат О3ху и во вращающейся системе коор-
координат О^т], начало которой совпадает с серединой отрезка прямой
Земля — Луна, ось Og направлена к Земле, а ось Ох\ — против ор-
орбитальной скорости Луны. Точка Л2 на рис. 7.6 и последующих
аналогичных рисунках определяет положение Луны в инерциаль-
ной системе координат в момент наибольшего сближения с ней КА.
Если начальная геоцентрическая секториальная скорость отри-
отрицательна (рис. 7.7), угол ая<0, как и прежде, т. е. а2<0. Следо-
Следовательно, облет Луны происходит по часовой стрелке, причем реа-
реализуется траектория типа С\ (рис. 7.8, а). Из плана скоростей,
построенного на рис. 7.7, видно, что второй угол поворота вектора

f 7.J. ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ
263
скорости за время полета в ефере действия Луны ав > 0, и движе-
движение вблизи Луны происходит против часовой стрелки. При этом
траектория КА пересекает линию Земля — Луна со стороны видж-
мой частж Луны, т. е. облет по существу не реализуется. Также
Ь н
Рис. 7.6. Схемы областных траекторий с возвращением к центру Земли при по-
положительной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия
Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу действия
Луны на восходящей ветви, выход на восходящей
траектории можно называть долетными: они входят в сферу дейст-
действия Луны, но не пересекают продолжения прямой Земля — Луна
за невидимой стороной Луны. Класс долетных траекторий обозначим
буквой D. В рассматриваемом случае долетная траектория входит
в сферу действия Луны на восходящей ветви и выходит из нее
также на восходящей ветви. Это — траектория класса D\ (рис. 7.8, б).
Рассмотрим теперь сближение с Луной на нисходящей ветви
геоцентрической траектории. Планы скоростей для таких траекто-
траекторий можно получить путем симметричного отображения относитель-
относительно вертикальной прямой ОЛО' рис 7.5 и 7.7. В случае положитель-
положительной начальной секториальной скорости возможны долетные траекто-
траектории классов I)" и Z)" (рис. 7.9). При отрицательной начальной
секториальной скорости возможна долетная траектория класса D%
и облетная траектория класса Сн (рис. 7.10).
Заметим, что при близком пролете Луны ветви геоцентрической
траектории на входе в сферу ее действия и на выходе из сферы
Действия оказываются противоположными. Это — траектории класса
^н» когда вход происходит на восходящей ветви, а после выхода
реализуется нисходящая ветвь, и класса D когда вход происходит
на нисходящей ветви, а после выхода реализуется восходящая
ьетвь. При далеком пролете Луны ветви геоцентрической траекто-

264
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
рии до входа в сферу ее действия и после выхода из сферы дейст-
действия не меняются. Это — траектории классов Cl, Сн, Dl, Z>H. Полу-
Полулученная система номинальных облетных и долетных траекторий
при движении в плоскости Луны является полной [22].
Численное моделирование в рамках ограниченной задачи трех
тел с учетом размеров Земли и Луны подтвердило существование
всех классов траекторий,
установленных с помощью
метода точечных сфер дей-
действия. При достаточно
больших начальных ско-
скоростях существуют только
самые «быстрые» траек-
траектории класса Сн с време-
временем полета 5—10 суток.
По мере уменьшения
о начальной скорости до
о3 параболической появляют-
появляются траектории класса Cl
в случае положительной
начальной секториальной
скорости. Когда началь-
начальная скорость становится
Рис. 7.7. Векторный план скоростей для траек- меньше параболической,
тории облета Луны с возвращением к центру оказываются возможными
Земли (при отрицательной начальной секто- траектории классов Dl
риальнои скорости) г»н ,
и DB (при положитель-
положительной начальной секториаль-
секториальной скорости) и траектории класса Cl (при отрицательной на-
начальной секториальной скорости). Последними появляются траек-
траектории классов DB и Dl при отрицательной начальной секториаль-
секториальной скорости. Заметим, что траектории класса Z>" с временем
полета 15—20 суток являются самыми «медленными».
По мере дальнейшего убывания начальной скорости происходит
попарное сближение, затем слияние и исчезновение траекторий
классов Сн и Св, DB и Da (при положительной начальной секто-
секториальной скорости), Сн и Сн (при отрицательной начальной сек-
секториальной скорости). Последними исчезают траектории классов
DB и DB при отрицательной начальной секториальной скорости.
Численный анализ чувствительности облетных и долетных тра-
траекторий к ошибкам начальных параметров движения показал, что
влияние начальных ошибок тем больше, чем ближе проходит траек-
траектория к поверхности Луны. С увеличением наименьшего расстояния
траектории от поверхности Луны требования по точности быстро
снижаются.

§ 7 2 ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ
265
Чтобы обеспечить пологий вход в атмосферу Земли, геоцентри-
геоцентрическая траектория после выхода из сферы действия Луны должна
иметь радиус перигея га, практически равный высоте условной гра-
границы атмосферы гат.
В этом случае можно также воспользоваться планом скоростей,
чтобы найти все классы реализуемых траекторий. Оказалось, что
Рис. 7.8. Схемы облетной и долетной траекторий с возвращением к центру Земли
при отрицательной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу дей-
действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу
действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящей
Рис. 7.9. Схемы долетных траекторий с возвращением к центру Земли при по-
положительной начальной секториальной скорости: а — вход в сферу действия
Луны на нисходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу действия
Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей
в рамках одного класса облетных (или долетных) траекторий вход
в атмосферу Земли может происходить по направлению ее враще-
вращения (положительная конечная секториальная скорость) или против
вращения (отрицательная конечная секториальная скорость).

266
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛА.НЕТАМ
При положительной конечной секториальнои скорости возможны
облетные траектории классов Cl и C|j, а также долетные траекто-
траектории классов DB и DB, все с пологим входом в атмосферу Земли.
При отрицательной конечной секториальнои скорости возможны
Рис. 7.10. Схемы долетной и облетной траекторий с возвращением к центру
Земли при отрицательной начальной секториальнои скорости: а — вход в сферу
действия Луны на нисходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу
действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящел
Рис. 7.11. Схемы облетных траекторий с пологим входом в атмосферу Земли
при положительной конечной секториальнои скорости: а — вход в сферу дей-
действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей; б — вход в сферу
действия Луны на нисходящей ветви, выход на нисходящей
облетные траектории классов С\ и Сн, а также долетные траекто-
траектории классов D* и D\. На рис. 7.11 в качестве примеров построены
траектории классов Сн и С" с нулевой начальной и положитель-
положительной конечной секториальнои скоростью, а на рис. 7.12 — траектории

§ 7.2. ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ
267
классов Св и Сн также с нулевой начальной, но с отрицательной
конечной секториальной скоростью.
7.2.3. Разгон (торможение) с использованием поля притяжения
Луны. При близком облете Луны можно за счет пертурбационного
(возмущающего) эффекта изменить параметры геоцентрической
траектории КА.
Обсудим подробнее схему гравитационного маневра в поле при-
притяжения Луны, имея в виду, что такой маневр вблизи любой плане-
планеты качественно ничем не отличается от рассматриваемого.
Селеноцентрическая скорость при входе в сферу действия Луны
У2оо=У2-Ул2 G.2.12)
является по существу гиперболическим избытком скорости, посколь-
поскольку любая траектория при перелете КА от Земли к Луне оказывает-
оказывается в сфере действия Луны гиперболической. Здесь V2 — геоцентри-
геоцентрическая скорость КА в точке входа, Ул2 — орбитальная скорость Лу-
Луны в этот момент времени. Вектор V2oo направлен почти по входной
Рис. 7.12. Схемы облетных траекторий с пологим входом в атмосферу Земли
при отрицательной конечной секториальной скорости: а — вход в сферу дей-
действия Луны на восходящей ветви, выход на восходящей; б — вход в сферу
действия Луны на восходящей ветви, выход на нисходящей
асимптоте гиперболической траектории (рис. 7.13). После пролета
вблизи Луны КА на выходе из сферы действия будет иметь селено-
селеноцентрическую скорость F300, направление которой почти совпадает
с выходной асимптотой гиперболической траектории, причем F300 =
=' Vioo = V<*>. Полный угол поворота вектора скорости за время дви-
движения КА в сфере действия Луны вычислим с использованием
формулы B.4.34)
= 2 arcsin
т V2

268
ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
где гп — радиус периселения, \хл. — произведение постоянной притя-
притяжения на массу Луны.
Геоцентрическая скорость КА на выходе из сферы действия Лу-
Луны вычисляется по формуле
Уз=Ул3 + Уз~. G.2.14)
Здесь Удз — скорость Луны в момент выхода КА из ее сферы дей-
действия. С помощью соотношений G.2.12) и G.2.14) можно найти
приращение геоцентрической скорости, которое получает КА за счет
гравитационного разго-
разгона в поле притяжения
Луны
Д V = V3 - V»,
или
Д V = V3~ - V2oc +
+ Улз-Ул2. G.2.15)
Предварительно рас-
рассмотрим модельную за-
задачу, предполагая, что
можно обеспечить лю-
любой требуемый вектор
V200 на входе в сферу
действия Луны, нап-
направление которого поз-
позволяет получить нуж-
нужную величину радиуса
периселения г„. При
этом будем пренебрегать
составляющей Улз —
— Ул2 приращения ско-
скорости КА, порождаемой
орбитальным движением Луны за время полета КА в ее сфере дей-
действия. С учетом соотношения G.2.13) и симметрии гиперболической
траектории вычислим модуль разности векторов гиперболического
избытка скорости КА в точках выхода и входа на сфере действия
Луны:
Рис 7 13 Схема гравитационною маневра при
облете Луны: 1 — граница сферы действия,
2 — точка входа; 3 — точка выхода
ДУГ =
У2
G.2.16)
1 +
Отсюда видно, что для увеличения ДУГ радиус периселения (а в об-
общем случае — перицентра) следует выбирать по возможности мень-
меньшим, учитывая в то же время безопасность выполнения маневра.
С увеличением гравитационного параметра \к величина AVT также

§72 ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ 20 Э
возрастает. Остановимся подробнее на зависимости AFP от Foo. Со-
Согласно G.2.16), при Foo -*¦ 0 и Foo -*¦ °° имеем AFr-> 0. Следователь-
Следовательно, должен существовать максимум зависимости AFr(Foo). Продиф-
Продифференцируем G.2.16) по Foo
'
и, полагая d&Vr/dVM=0, найдем оптимальную величину F^nT, при
которой достигается максимум AFr:
УГ= У-^ = 7кр(гп). G.2.17)
Подставляя теперь G.2.17) в G.2.16), получим
r = FKp(rn). G.2.18)
Таким образом, в рассмотренной модельной задаче максимальное
приращение скорости за счет гравитационного маневра реализуется
в случае, когда гиперболический избыток скорости равен круговой
скорости в периселении (перицентре) траектории. При этом вели-
величина максимального приращения скорости также равна круговой
скорости в периселении [38]. В этом случае векторный треуголь-
треугольник скоростей V200, Уз», AVr является равносторонним, а полный
угол поворота вектора скорости КА в сфере действия Луны
"полн ==1 Я/О.
Предположим в качестве примера, что высота периселения про-
пролетной гиперболической траектории КА от поверхности Луны со-
составляет 100 км. Круговая скорость на этой высоте FKP = 1650 м/с.
Тогда согласно G.2.18) максимальное возможное приращение ско-
скорости КА за счет гравитационного маневра в сфере действия Луны
равно указанной величине.
Оценим теперь погрешность модельной задачи из-за пренебре-
пренебрежения изменением вектора скорости орбитального движения Луны
АУЛ = Удз — УЛ2 за время ?23 = h — h полета КА в сфере ее дейст-
действия. Принимая орбиту Луны круговой, получим
где ©л — угловая скорость орбитального движения Луны. Для пред-
представляющих практический интерес траекторий имеем ?гзж 1 сут,
тогда Юл^2з ^ 13° и АУЛ ^ 0,23 Ул. Величина Vn^ 1 км/с, следова-
следовательно, AFn ^ 230 м/с. Это составляет около 13 % от максимально-
максимального возможного приращения скорости КА. Вариация AFл в зависж-
мости от Y2a> может составить лишь часть от указанной величины.

270
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Если учесть также, что согласно G.2.15) приращения скорости
AVr = V300 — V200 и ДУл = Улз — Ул2 складывается векторно, то ста-
станет очевидным допустимость постановки рассмотренной модель-
модельной задачи.
Отнесем величины скоростей AFr и Vx к VKV(rn), т. е. введем
нормированные скорости
кр
тогда формулы G.2.13) и G.2.16) принимают вид
2 arcsin
2 У,
1 4- F2
G.2.19>
G.2.20)
0.5 -
Полученные зависимости 6ПОЛн(^оо) и AF(Foo) уже не связаны с
конкретными характеристиками поля притяжения (\х) и траекто-
траектории (гп), а поэтому являются уни-
универсальными. Они построены на
рис. 7.14 для представляющего
практический интерес диапазона
изменения VM и позволяют оце-
оценить величину приращения скоро-
скорости, а также полный угол поворо-
поворота вектора V«> при гравитацион-
гравитационном маневре в поле притяжения
любого небесного тела.
При оценке максимального пер-
пертурбационного приращения ско-
скорости предполагалось, что вектор
гиперболического избытка скоро-
скорости V200 и точка входа в сферу дей-
действия Луны могут быть выбраны
надлежащим образом. На самом
деле они определяются временем
старта с орбиты ИСЗ и траекто-
траекторией перелета к Луне. Кроме тогог
во многих задачах важно не максимальное пертурбационное прира-
приращение скорости КА, а получение требуемого вектора геоцентриче-
геоцентрической скорости КА на выходе из сферы действия Луны. Исследуем
связь векторов геоцентрической скорости КА на входе в сферу дей-
действия Луны (V2) и на выходе из нее (Уз).
Как и в предыдущей модельной задаче, будем пренебрегать раз-
разностью Улз — Ул2 векторов орбитальной скорости Луны за время
полета КА в сфере ее действия. Тогда вектор Уг» согласно G.2.12)
о
Рис. 7.14. Приращение скорости и
полный угол поворота вектора ско-
скорости при гравитационном маневре

§ 7.2. ПОЛЕТ В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ ЛУНЫ 271
будет представлять собой разность между вектором Уг геоцентри-
геоцентрической скорости К А в момент входа в сферу действия Луны и век-
вектором Ул орбитальной скорости Луны.
Из векторного треугольника Уг, Ул, Уг«> (рис. 7.13) вычислим
величину нормированного гиперболического избытка скорости для
селеноцентрической траектории:
V2OO = |/ Щ+У22-2УлУ2Сова, G.2.21)
где F2oo=.F2oo/FKP(rn), Гд=7л/7кр(гп), F2 = F2/FKP(rn). Далее
найдем
2 1Л 2°
у у у
р = arccos 2 1Л. 2°° G.2.22)
2F2F2OO
угол между векторами Уг«> и Уг, а также
= arccos (-
— предельный угол гиперболической траектории. Теперь из вектор-
векторного треугольника Vj, Уз, АУГ (рис. 7.13) можно определить ве-
величину нормированной геоцентрической скорости КА при выходе
из сферы действия Луны
F3 = У Vl + AF2 + 2F2AFr cos (^пред - р) G.2.24)
я
у2 х У2 _ AF2
v = arcCos 2^ J^o т- G.2.25)
2V2V23
— угол между векторами Уг и Уз. Наконец, получим угол между
векторами V3 и Ул
6-h-a|. G.2.26)
На рис. 7.15 построены нормированные геоцентрические скоро-
скорости V$ при вылете КА из сферы действия Луны после гравитацион-
гравитационного разгона. Видно, что максимальные величины V$ достигаются
при a = 80°—100°, т. е. когда вектор геоцентрической скорости КА
на входе в сферу действия почти перпендикулярен вектору орби-
орбитальной скорости Луны. Величины максимума зависимости Кз(а)
увеличиваются с увеличением нормированной скорости входа Рг.
Расчеты показали, что при оптимальных значениях угла а величи-
величина нормированного приращения скорости в процессе гравитационно-
гравитационного разгона AFr = 0,95—1,0 в зависимости от F2, а угол б между
векторами геоцентрической скорости КА при вылете из сферы
действия и орбитальной скорости Луны близок к 40°.
Рассмотренные модельные задачи позволяют понять наивыгод-
наивыгоднейшие условия гравитационного маневра и оценить пределы воз-
возможного приращения скорости при таком маневре. Как уже

272
ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
отмечалось, при полете КА от Земли к Луне величины геоцентри-
геоцентрической скорости на входе в сферу действия Уг и угла а определя-
определяются начальными условиями отправления от Земли.
Из результатов численного интегрирования траекторий движе-
движения следует, что при величинах скорости отлета от Земли Vi, близ-
близких к минимальным, можно получить AF«1,5 км/с [23]. Эта ве-
величина хорошо согласуется с оценкой, полученной для модельной
Уг = 1,0
150 а,град
Рис. 7.15. Скорость вылета из сферы действия Луны после гравитационного
разгона
Рис, 7.16. Схемы траекторий максимального гравитационного разгона с по-
помощью Луны: а — облет Луны по часовой стрелке; б — облет Луны против ча-
часовой стрелки
задачи (AF™ax«l). Схема гравитационного маневра с использова-
использованием Луны показана на рис. 7.16.
После оптимального гравитационного разгона в сфере действия
Луны КА имеет гиперболическую геоцентрическую скорость. Поэто-
Поэтому он неограниченно удаляется от Земли. С учетом орбитального
движения Луны в течение месяца можно обеспечить приращение

§ 7 3 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТРАЕКТОРИЯ К ЛУНЕ 275
скорости КА в любом направлении (в плоскости орбиты Луны) за
счет выбора соответствующей даты отправления от Земли. Следова-
Следовательно, гравитационный разгон в поле притяжения Луны можно
использовать, например, для полета к планетам, поскольку плос-
плоскость орбиты Луны составляет небольшие углы с плоскостями ор-
орбит планет.
Вместе с тем необходимо отметить, что использование гравита-
гравитационного поля Луны для дополнительного разгона КА представляет
скорее теоретический, чем практический интерес. Действительно,
максимальное возможное приращение скорости КА составляет око-
около 1,5 км/с. Такую же разницу в скорости КА на расстоянии орби-
орбиты Луны можно получить, если повысить на несколько десятков
метров в секунду его начальную скорость при старте с околоземной
орбиты. По-видимому, такое увеличение скорости более оправдано,,
чем реализация близкого облета Луны [38].
§ 7.3. Пространственная траектория к Луне
Если широта точки старта |фо1>28°36', то нельзя реализовать
компланарный перелет в плоскости орбиты Луны. При запуске с
территории Советского Союза траектория перелета к Луне оказыва-
оказывается существенно пространственной. Возможны две различные схе-
схемы перелета: с непрерывным выведением и с использованием про-
промежуточной околоземной орбиты. Первая схема применялась на
раннем этапе исследования Луны, поскольку она предъявляет уме-
умеренные требования к конструктивным решениям и системе управ-
управления. Все ракетные ступени работают непрерывно, обеспечивая
управляемый разгон до околопараболической скорости. Однако схе-
схема непрерывного выведения, как правило, приводит к увеличению
потребных энергетических затрат для достижения Луны вследствие
неблагоприятных реализуемых баллистических решений.
Вторая схема позволяет исключить ряд ошибок, которые накап-
накапливаются при выходе на промежуточную околоземную орбиту,
и обеспечить благоприятные баллистические условия перелета, при-
приблизив их к оптимальным. Но эта схема требует применения спе-
специальной орбитальной ступени и возможности управляемого старта
с околоземной орбиты. В настоящее время вторая схема является
общепринятой.
При старте с поверхности Земли возможна северная траектория:
перелета, когда пассивный участок проходит главным образом над
северным полушарием, и южная траектория перелета, когда пас-
пассивный участок проходит над южным полушарием. В случае старта
с территории Советского Союза обычно предпочтительнее оказыва-
оказывается северная траектория перелета, так как она обеспечивает луч-
лучшие условия для слежения.
Заметим, что деление траекторий на облетные и долетные теря-
теряет смысл для пространственных траекторий сближения КА с Луной

274 ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
и последующим возвращением к Земле. Обычно такие пространст-
пространственные траектории называют облетными. Облет Луны может проис-
происходить только в направлении, противоположном ее орбитальному
движению. Действительно, геоцентрическая скорость Луны близка
к местной круговой, а геоцентрическая скорость КА в апогее силь-
сильно вытянутой эллиптической орбиты оказывается существенно мень-
меньше. Поэтому К А не может «догнать» Луну.
7.3.1. Траектория с непрерывным выведением. Обсудим некото-
некоторые особенности построения пространственной траектории перелета
к Луне по схеме непрерывного выведения [23J. Как уже отмеча-
отмечалось, угол ?л между плоскостями экватора и орбиты Луны меняет-
меняется с периодом —18,6 лет от 18° 18' до 28°36'. При расчете траек-
траектории перелета длительностью в несколько суток можно принять
гл постоянным. Если ф1 > 0 — широта точки старта, расположенной
в Северном полушарии, то за счет суточного вращения Земли угол
Ч*" между радиусом-вектором точки старта ri и плоскостью орбиты
Луны может меняться в диапазоне
?т1а < W < Wmax, G.3.1)
где
^min = ф1 — гл, Wmax = ф1 + гЛ. G.3.2)
Предположим, что в начальной точке М\ на высоте Н\ КА имеет
скорость Vi, направленную под углом 6i к местному горизонту
(протяженность активного участка ракеты-носителя пока не учиты-
учитывается). Если 01=0, то начальная точка является перигеем, при-
причем большая полуось траектории пассивного участка будет колли-
неарна начальному радиусу-вектору Гь Минимальный угол между
ri (или большой полуосью в рассматриваемом случае) и плоскостью
орбиты Луны составляет frain. Как показывают расчеты [22], дтя
сильно вытянутых эллиптических траекторий угол между большой
полуосью и радиусом, равным расстоянию до Луны (г — г^), не
превышает 15°. Поскольку в случае старта с территории Советскою
Союза 4rmin>18°, то понятно, что при эллиптических начальных
скоростях и 0i = 0 траектория КА будет пересекать плоскость ор-
орбиты Луны с недолетом, раньше того момента, когда текущий ра-
радиус станет равным расстоянию до Луны (рис. 7.17). Чтобы «под-
«поднять» восходящую ветвь траектории относительно плоскости дви-
движения Луны, необходимо увеличить начальный угол 0i или ско-
скорость V\. Отсюда видно, что потребные энергетические затраты на
пространственную траекторию перелета к Луне больше затрат на
траекторию компланарного перелета в плоскости лунной орбиты.
При начальных параметрах движения Hi, Vi, 0i и положении
точки старта, когда ее геоцентрический угол с плоскостью орбиты
Луны равен минимальному (?mln), можно путем изменения азиму-
азимута запуска построить всю совокупность получающихся траекторий.
Эта совокупность траекторий образует некоторую поверхность, сим-
симметричную относительно начального радиуса-вектора ri и Пересе-

§ 7 3 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТРАЕКТОРИЯ К ЛУНЕ
275
кающуюся с плоскостью орбиты Луны по линии I (рис. 7.17). Если
начальные условия не обеспечивают достижения Луны (без учета
ее притяжения), то линия I целиком оказывается внутри орби-
орбиты Луны.
Предположим теперь, что величины V\ и 0i выбраны так (высо-
(высота Н\ фиксирована), что линия I касается орбиты Луны в точке i?2p
Рис. 7 17 Пространственная траектория перелета с горизонтальной начальной
скоростью: 1 — плоскость орбиты Луны; 2 — орбита Луны; 3 — траектория КА
а угловая дальность перелета при г=г2 есть Ф =Фтах = я — ^Ш1П.
В точке М2 траектория КА пересекает орбиту Луны, и сближение-
с Луной становится возможным, если в момент старта КА из точ-
точки М\ Луна отстоит от М2 на расстоянии, которое она проходит за
время полета КА. Следовательно, М2 должна быть упрежденной
точкой прицеливания.
По мере увеличения V\ и 6i на орбите Луны появляется интер-
интервал достижимости с серединой в точке М2. Когда геоцентрический
угол интервала достижимости станет равным 13,2°, т. е. суточному
угловому перемещению Луны по орбите, появится возможность
достигнуть Луны в любой сидерический месяц. Правда, запуск дол-
должен быть произведен в течение одних, заранее установленных су-
суток. Если продолжать увеличивать V\ и 6i, то появится возможность
уменьшить угловую дальность перелета до величины Ф = я — ЧГтах.*
При этом интервал достижимости станет равным 2л и появится
возможность запуска к Луне в любые сутки месяца.
При запуске с территории Советского Союза допустимые азиму-
азимуты ограничены соображениями безопасного падения отработавших
ускорителей ракеты-носителя. Отсюда — ограничение допустимых
наклонений, и возникает задача построения траекторий перелета
к Луне при заданном угле наклона плоскости движения к плоскос-
плоскости экватора. Обсудим подробнее эту задачу.

276 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Но заданной широте начальной точки qpi и фиксированному на-
наклонению траектории перелета i однозначно определяется азимут
вектора начальной скорости
^ = arcsin-^^-, G.3.3)
cos фх' v '
который отсчитывается от направления на север по часовой стрелке.
Пусть при заданном азимуте А\ начальные условия в конце ак-
активного участка ракеты-носителя Н\, V\, 6i выбраны таким образом,
что траектория пересекает орбиту Луны. Точку пересечения будем
называть точкой прицеливания или упрежденной точкой. За счет
выбора соответствующего времени старта t\ в течение суток можно
обеспечить требуемое положение точки прицеливания на орбите
Луны. Если по каким-то причинам запуск ракеты-носителя произ-
произвести не удалось, то следующий ближайший момент запуска насту-
наступит через ~ 25 час из-за необходимости сместить точку прицелива-
прицеливания па ~ 13° вперед, чтобы учесть суточное перемещение Луны по
орбите. Если бы точка прицеливания осталась неизменной, то при-
пришлось бы так изменить V\ и 6i, чтобы время перелета сократилось
на одни сутки. Это связано с увеличением требований к энергети-
энергетическим возможностям ракеты-носителя.
Высота конца активного участка и дальность активного участка
мало меняются при варьировании управления на активном участке.
Поэтому их влиянием при выборе оптимальной траектории переле-
перелета к Луне можно в первом приближении пренебречь. Наиболее су-
существенными параметрами являются начальная скорость V\ и угол
наклона траектории 8i. Как отмечалось ранее, задача достижения
Луны при большой угловой дальности перелета предъявляет более
низкие требования к энергетическим характеристикам ракеты-носи-
ракеты-носителя, чем при малой угловой дальности. Дело в том, что при угло-
угловой дальности перелета, стремящейся к я, траектория приближает-
приближается к энергетически оптимальной (типа Гоманна). Поэтому запуск
из Северного полушария обычно проводится в то время, когда Луна
находится вблизи своей нижней точки кульминации. Широта точки
старта существенно влияет на потребные энергетические затраты
для достижения Луны. По мере уменьшения широты точки старта
до ф1 ~ ?л затраты приближаются к величине, которая необходима
для реализации компланарного перелета в плоскости орбиты Луны.
Если из геометрических соотношений установлена оптимальная
схема перелета с максимальной возможной угловой дальностью Oi,
то задачу выбора оптимальных параметров V\ и 6i можно рассмат-
рассматривать, например, как обратную задачу баллистики. Тогда, исполь-
используя формулу C.3.4), можно записать
V, =
i
G.3.4)

§ 7.3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТРАЕКТОРИЯ К ЛУНЕ
277
где
V, =
Соотношение G.3.4) устанавливает зависимость Vi(9i) при задан-
заданных угловой дальности Oi и относительном радиусе ?\. Если на ос-
основе численного интегрирования уравнений движения ракеты-носи-
ракеты-носителя на активном участке известны конечные зависимости vi (9i)
при различной массе полезной нагрузки, то можно сопоставить
потребные и располагаемые характеристики перелета. В итоге для
каждой полезной нагрузки следует выбирать сочетание V\ и 6i,
обеспечивающее достижение Луны (если решение существует). Оп-
тимальные значения У1 и 0х соответствуют максимальной по-
полезной нагрузке, выводимой на траекторию перелета к Луне. Зная
начальные условия перелета, можно рассчитать характеристики
траектории перелета, а затем из уравнения Кеплера соответственно
для эллиптической B.5.8), ги-
гиперболической B.5.20) или па-
параболической орбиты B.5.26)
вычислить время перелета Ti2
is. найти упрежденную точку
прицеливания для текущего
положения Луны. Заметим, что
установленные оптимальные ус-
условия перелета не всегда удает-
удается реализовать из-за существо-
существования дополнительных ограни-
ограничений на траекторию.
В практических задачах
механики космического полета
важно обеспечить наблюдае-
наблюдаемость процесса сближения КА
с Луной. Наилучшие условия
наблюдаемости достигаются в
том случае, когда угол линии
Рис. 7.18. Геометрия траектории пере-
визирования КА относительно лета к Лупе в проекции на геоцентри-
ческую сферу: 1 — плоскость экватора
Земли; 2 — плоскость орбиты Луны;
3 — плоскость траектории перелета
местного горизонта пункта сле-
слежения оказывается максималь-
максимально возможным. (Для определен-
определенности будем полагать, что пункт слежения находится на территории
Советского Союза.) Чтобы угол сближения был максимальным воз-
возможным, долгота КА в момент сближения с Луной должна равнять-
равняться долготе пункта слежения. Это накладывает вполне определенное
ограничение на время перелета. Найдем ограничение.
В рассматриваемом приближении разность долгот точки прице-
прицеливания и восходящего узла траектории перелета, измеряемая в
плоскости орбиты Луны, должна равняться я (рис. 7.18). Будем

278 ГЛ. 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЗТАМ
теперь учитывать протяженность активного участка MqM\, т. е. ус-
условимся различать точки старта Mq и начала пассивного полета М\.
Пусть ДА,В — разность географических долгот точки старта MQ и вос-
восходящего узла В траектории перелета, измеренная в момент старта,
АХа — разность географических долгот точки старта и пункта сле-
слежения, ©з^а — угол поворота Земли за время активного участка Тй,
Тогда угол я в сумме с разностью ДА,П — (ДА,В + (и3Та) должен с точ-
точностью до 2лтг, где п — целое число, равняться углу поворота, на
который смещается за счет суточного вращения Земли пункт сле-
слежения, пока КА совершает пассивный перелет к Луне, т. е. за
время Т\2. В результате точка сближения КА с Луной окажется на
меридиане пункта слежения в требуемый момент времени. Это ус-
условие можно записать уравнением
Л + АХП - (АХБ + (йз^а) = ЫзТ\2 - 2ЛП,
ИЛИ
п + ДЬп — ДЛ* = шз (Га + Т12) — 2пп. G.3.5>
Отсюда
Т12 = 77- Гл Bп + !) + АЛп - А^в] - Т&. G.3.6)
шз
Величина ДЯВ зависит от азимута запуска Aq и долготы fiB вос-
восходящего узла траектории перелета, измеряемой в плоскости орби-
орбиты Луны. Если |fiB| ^ л/6, что имеет наибольшее практическое зна-
значение, то при фиксированном азимуте запуска Aq величину угла
ДХ,В можно в первом приближении считать постоянной. Ее числен-
численное значение определяется азимутом запуска [22]:
|0,349 рад B0°) при Ао = 35°,
@,698 рад D0°) при Ао = 65°.
Предположим, что разность долгот точки старта и пункта сле-
слежения ДЯП = Jt/б. Длительность активного участка Т& обычно имеет
порядок 10 мин и ею можно пренебречь по сравнению с длитель-
длительностью пассивного участка Т\2, достигающей несколько суток. Тог-
Тогда получим
^12 = ^ + 0,53 сут,
или
^12 = 23,93гс + 12,63 ч,
при азимуте запуска Ао = 35° и
Г12 = ?г + 0,47 сут,
или
Тп = 23,93^+11,30 ч,
при азимуте запуска ^4О = 650. Видно, что при увеличении азимута
запуска от 35° до 65° время перелета при одинаковом числе п
уменьшается не более чем на 1,5 ч.

§ 7 3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТРАЕКТОРИЯ К ЛУНЕ 279
Число п может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, поскольку вре-
время перелета до орбиты Луны не превышает пяти суток. Энергети-
Энергетически оптимальная траектория обычно близка к параболической,
когда п = 1 или 2. В таких случаях длительность пассивного участ-
участка перелета к Луне составляет соответственно около 1,5 и 2,5 сут.
Оценка влияния неучтенных в приближенной методике второ-
второстепенных факторов показала следующее [23]. Притяжение Луны
незначительно меняет начальные скорости перелета, вычисленные
без учета этого притяжения. Например, минимальные потребные
скорости корректируются на величину около 0,2 м/с. Сама траекто-
траектория, вычисленная без учета притяжения Луны из условия прохож-
прохождения через ее центр, фактически смещается на величину порядка
нескольких сотен километров при малых начальных скоростях и на
величину порядка нескольких километров при околопараболических
начальных скоростях. Хотя притяжение Луны довольно слабо изме-
изменяет форму траектории перелета, вычисленной без учета притяже-
притяжения, однако время перелета уменьшается заметно. В результате
сближение КС с Луной происходит в более ранней точке ее орбиты.
Время перелета уменьшается по двум причинам. Во-первых, сокра-
сокращается время полета в сфере действия Луны из-за учета ее притя-
притяжения. Во-вторых, встреча КА с Луной происходит не в ее центре,
а на поверхности. В целом уменьшение времени перелета может
составлять около 30 мин. Эксцентриситет орбиты Луны (ел ~ 0,0549)
и возмущающее действие Солнца вызывают изменение расстояния
ж орбитальной угловой скорости Луны в зависимости от ее положе-
положения на орбите. Уменьшение расстояния до Луны приводит к умень-
уменьшению потребной начальной скорости и сокращению времени пере-
перелета. Возрастание орбитальной угловой скорости Луны требует уве-
увеличения угла упреждения. Изменение времени перелета достигает
нескольких часов и оказывается довольно стабильным для широко-
широкого диапазона начальных скоростей. Влияние расстояния до Луны
на потребные начальные скорости несущественно. Так, при измене-
изменении расстояния на 20 тыс. км начальная скорость меняется все-
всего на 5 м/с.
Чтобы учесть эллиптичность орбиты Луны даже в приближен-
приближенных расчетах, можно для рассматриваемого пнтервала дат перелета
принять среднее расстояние Земля — Луна в качестве радиуса фик-
фиктивной круговой орбиты Лупы, по которой она перемещается со ско-
скоростью, равной средней величине истинной трансверсальной состав-
составляющей скорости. Неучтенная радиальная составляющая скорости
не превышает величины порядка ея по сравнению с трансверсаль-
трансверсальной составляющей скорости.
Сжатие Земли вызывает отклонение поля притяжения от цент-
центрального. Влияние сжатия быстро убывает с увеличением геоцентри-
геоцентрического радиуса КА. Расчеты показывают, что сжатие может изме-
изменить время перелета на 10—20 мин в зависимости от величины на-
начальной скорости.

280 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Возмущение от Солнца изменяет время перелета менее чем на
3 мин, и им можно пренебречь.
Рассмотренная методика является приближенной и обычно ис-
используется для качественных исследований. Вместе с тем она обеспе-
обеспечивает достаточно аккуратное вычисление количественных величин.
Так, точность расчета углового сближения КА с Луной достигает 1°.
Начальная скорость вычисляется с точностью до 1 м/с, а ее на-
правление относительно местного горизонта — с точностью 0,1°. По-
Полученные траектории часто используют в качестве начального приб-
приближения при численной итерационной процедуре расчета точной
траектории перелета с помощью ЭВМ.
Схема непрерывного выведения на траекторию перелета к Лунег
допускающая относительно простую техническую реализацию, была
использована в 1959 году для запуска первых советских автомати-
автоматических станций. С начальной скоростью, несколько превышающей
параболическую, автоматическая станция «Луна-1» за 1,5 сут сбли-
сблизилась с Луной до минимального расстояния 5—6 тыс. км. Автома-
Автоматическая станция «Луна-2» за такое же время достигла поверхно-
поверхности Луны. Совершив перелет по эллиптической траектории за
2,5 сут, автоматическая станция «Луна-3» облетела Луну и сфото-
сфотографировала ее обратную сторону.
Все последующие запуски космических аппаратов к Луне осу-
осуществлялись с использованием промежуточной околоземной орбиты.
7.3.2. Полет к Луне с околоземной орбиты. Чтобы обеспечить оп-
оптимальные условия перелета к Луне, т. е. близкую к л угловую
дальность в любой день месяца, обычно используют промежуточную
околоземную орбиту высотой около 200 км. КА с последней сту-
ступенью ракеты-носителя предварительно выводится на орбиту ИСЗГ
плоскость которой проходит через заданную точку прицеливания.
Затем с помощью последней ступени КА переводится на траекто-
траекторию перелета к Луне. Разгон начинается в тот момент, когда угло-
угловая дальность от текущей точки на орбите до упрежденной точки
близка к л. Если азимут задан то запуск через Северное полуша-
полушарие возможен только один раз в сутки. При ограниченной протя-
протяженности второго активного участка старт с орбиты должен про-
произойти в то время, когда КА перемещается в северном направлении.
Если момент запуска через Северное полушарие пропущен, то при-
примерно через полсуток появляется возможность запуска по тому же
азимуту, но уже с перелетом через Южное полушарие. В этом слу-
случае старт с орбиты должен производиться в то время, когда КА пе-
перемещается в южном направлении. Таким образом, за счет изме-
изменения стартового полувитка возможно произвести два запуска к Лу-
Луне в течение каждых суток, по северной и южной траекториям.
Расчет траектории попадания в Луну при использовании проме-
промежуточной околоземной орбиты очень близок аналогичной задаче при
непрерывном выведении с поверхности Земли. Поэтому сразу пе-
перейдем к обсуждению задачи перелета с околоземной орбиты на ор-
орбиту искусственного спутника Луны (ИСЛ). Бутем рассматривать

§ 7.3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТРАЕКТОРИЯ К ЛУНЕ
281
двухимпульсный перелет в предположении, что оба маневра выпол-
выполняются в плоскости движения КА.
Если учесть эллиптичность орбиты Луны, то в зависимости от
положения упрежденной точки будет меняться геоцентрический ра-
радиус Луны и ее орбитальная скорость W Соответственно будет
изменяться потребное приращение скорости для перелета к Луне.
На рис. 7.19 показано потребное приращение скорости AFi от кру-
круговой до перигейной при старте с круговой орбиты ИСЗ высотой
200 км и различных длительностях перелета t\2. Эти зависимости
построены на основе материалов работы [23], полученных числен-
численным интегрированием уравнений движения. Заметим, что разница
3,25
3,20
3,15
АУг,км/с
= 1,0 км/с
1,025
1,050
6
t12,cyr
Рис. 7.19. Потребный импульс скорости для перелзта с круговой орбиты ИСЗ
высотой 200 км к Луне
iy, град
О
if-90'
120
150 Я, град
Рис. 7.20. Зависимость наклонения i2 плоскости траектории перелета к плоско-
плоскости орбиты Луны от долготы Q ее узла и наклонения ii к экватору

282
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
КМ/С
Н "™=200 км
100 км
между потребными приращениями скорости для перелета в апогей
и перигей орбиты Луны не превышает нескольких м/с. С погреш-
погрешностью менее 5 м/с можно не учитывать зависимость AV\ от накло-
наклонения i\ траектории перелета к плоскости экватора Земли. Мини-
Минимальные величины AFi имеют место при временах перелета
4,4 сут < tn < 4,9 сут, когда апогей траектории перелета распола-
располагается на орбите Луны, т. е. реализуется маневр типа Гоманна. На-
Наклонение i\ траектории перелета к плоскости экватора Земли су-
существенно влияет на наклонение h полученной орбиты ИСЛ к плос-
плоскости движения Луны. Наклонение h зависит также от величины
Q — долготы ближайшего к перигею узла траектории перелета, от-
отсчитываемой в плоскости орбиты Луны. Отсчет Q ведется от восхо-
восходящего узла орбиты Луны на экваторе Земли. Рис. 7.20 иллюстри-
иллюстрирует зависимость ?г(и, ^), вычисленную с помощью формул сфери-
сферической тригонометрии. В работе [23] показано, что при заданных
высотах круговых орбит ИСЗ и ИСЛ величина AF2 для перевода
КА на орбиту ИСЛ зависит от времени t\2, наклонения траектории
12 к плоскости орбиты
Луны и параметра
Vn sin Фл, где 7Л — ор-
орбитальная скорость Лу-
Луны, Фл — истинная ано-
аномалия Луны в момент
перевода КА на орбиту
ИСЛ.
На рис. 7.21 построе-
построены зависимости сум-
суммарного приращения
скорости AF2 = AFi +
+ AF2 на перелет КА
с круговой орбиты ИСЗ
высотой 200 км на кру-
круговую орбиту ИСЛ вы-
высотой 100 км для двух
положений Луны, в пе-
перигее и апогее, и двух
значений U — угла на-
наклона траектории пере-
перелета к плоскости эква-
экватора Земли [23]. Ми-
Минимальные значения
AF2 = 4—4,2 км/с име-
имеют место при временах
перелета t\2 = 4—5 сут. Если заданное время перелета ?12<3,4сутг
то целесообразнее совершать перелет к Луне в перигее ее орбиты.
Если же заданное время перелета ?12 > 3,7 сут, то следует совершать
перелет к Луне в апогее ее орбиты. Поскольку апогей и перигей
4,0
-40"
Рис. 7.21. Потребное приращение скорости
для двухимпульсного перелета с околоземной
орбиты на окололунную: сплошные линии —
в апогее орбиты Луны; штриховые — в пери-
перигее орбиты Луны

§ 7.3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТРАЕКТОРИЯ К ЛУНЕ 283
определяют предельные положения Луны, построенные зависимости
позволяют установить диапазоны изменения AF2 при произвольном
положении Луны на орбите для фиксированного времени пе-
перелета t\2.
Задача обратного перелета с орбиты ИСЛ к Земле отличается от
задачи прямого перелета тем, что КА, как правило, не выводится
на орбиту ИСЗ, а совершает пологий вход в атмосферу Земли с по-
последующим управляемым движением в атмосфере и рассеиванием
энергии за счет аэродинамического торможения. При возвращении
к Земле важно обеспечить требуемую высоту условного перигея
(которая реализовалась бы при отсутствии атмосферы), его гео-
трафическую привязку по широте и долготе, а также наклонение
геоцентрической траектории возвращения к плоскости экватора.
Широта условного перигея обеспечивается главным образом за счет
выбора склонения Луны в момент старта КА с орбиты ИСЛ. Не-
Необходимую долготу перигея можно обеспечить путем изменения вре-
времени перелета. Высоту условного перигея целесообразнее всего ре-
регулировать коррекцией скорости.
7.3.3. Посадка на поверхность Луны. Отличительный особен-
особенностью задачи посадки на поверхность Луны является отсутствие
атмосферы. Поэтому для уменьшения относительной скорости до
нуля необходимо включать двигательную установку КА. Различа-
Различают прямую посадку с подлетной гиперболической траектории и по-
посадку с орбиты ИСЛ. В свою очередь прямая посадка может
осуществляться при вертикальном снижении и при наклонном сни-
снижении.
Расчеты показали, что независимо от наклонения траектории пе-
перелета к плоскости движения Луны прямая вертикальная посад-
посадка возможна только в районе, ограниченном селеноцентрической
широтой —11° s^ ф' s^ 11,23° и селеноцентрической долготой 230° ?$
?^?и' ?$ 350° для времен перелета 1 сут^^г^Ю сут. Оптималь-
Оптимальный маневр на траектории прямой вертикальной посадки со-
состоит в одноразовом включении двигателя КА. Чтобы в конце не-
непрерывного участка торможения двигателем скорость и высота над по-
поверхностью Луны одновременно обратились в нуль, необходимо распо-
располагать двумя параметрами управления. Например, иметь возмож-
возможность выбирать начальный момент включения двигателя и длитель-
длительность его работы (за счет соответствующего запаса топлива). Такое
сочетание позволяет реализовать посадку с наименьшими энергети-
энергетическими затратами. В частности, для траектории перелета Земля —
Луна длительностью ~ 3,3 сут, когда начальная скорость в момент
включения двигателя близка к 2550 м/с, величина потребной харак-
характеристической скорости КА составляет 2680—2850 м/с для началь-
начальных тяговооруженностей (отношение тяги к начальному весу КА
на Земле) щ = 0,5—2,0. При этом высота включения двигателя
достигает 500—130 км, время его работы 400—100 с (при скорости
истечения газов из сопла двигателя W = 3000—4500 м/с) [23]. На-

284 ГЛ 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
клонная прямая посадка реализуется в тех случаях, когда имеется
остаточная боковая (горизонтальная) скорость.
Посадка с орбиты ИСЛ позволяет достигнуть любой точки по-
поверхности Луны за счет выбора наклонения орбиты и момента на-
начала схода с орбиты. Для простоты О1раничимся случаем круговой
орбиты. Так как атмосфера отсутствует, можно использовать двух-
импульсную схему посадки типа полуэллипса Гоманна. Апоселений
траектории посадки совпадает с начальной круговой орбитой, а пе-
периселений теоретически должен располагаться непосредственно на
поверхности Луны. Однако неровности лунного ландшафта и воз-
возможные ошибки исполнения маневра при первом и вюром включе-
включении двигателя требуют увеличения высоты периселения до 10—
15 км. Если учесть ограниченность величины тяги тормозного дви-
двигателя, то и в этом случае число его включений (активных участ-
участков) не превышает двух [53]. Когда начальная тяговооруженность
мала, длительность каждого из двух активных участков может быть
столь велика, что они сливаются в один.
При посадке с непрерывно работающим двигателем (один ак-
активный участок) наименьшие затраты характеристической скорости
(AFx»2150 м/с) оказываются в случае круговых орбит ИСЛ высо-
высотой 50—60 км, а оптимальная начальная тяговооруженность ЯоОТ =
= 0,25—0,35 при скорости истечения газов из сопла двигателя
W = 3000-4500 м/с.
Как уже отмечалось, схема посадки с двумя активными участка-
участками энергетически выгоднее. Так, для низких окололунных орбит
(высотой до 100 км) потребная величина характеристической ско-
скорости составляет ~ 1750 м/с, если угловая дальность маневра нахо-
находится в диапазоне 50° —180°. Это примерно на 400 м/с меньше, чем
при посадке с непрерывно работающим двигателем [23].
§ 7.4. Полет к планетам
При расчете межпланетных траекторий КА обычно приходится
учитывать притяжение нескольких небесных тел и ряд других эф-
эффектов. Длительность межпланетных перелетов исчисляется меся-
месяцами и даже годами. Часто оказывается, что точность определения
орбиты планеты недостаточна для решения поставленной задачи.
Например, для реализации посадки опускаемого аппарата в задан-
заданной области поверхности планеты. В таких случаях приходится од-
одновременно решать задачи управления траекторией полета КА и
уточнения элементов орбиты планеты на основе измерений, прово-
проводимых с Земли и с КА.
Численные методы из-за своей громоздкости и трудоемкости
часто оказываются неприемлемыми для проведения большого объ-
объема расчетов, связанных с выбором оптимальной схемы перелета,
дат отправления и прибытия, потребных энергетических затрат и др.

§ 7 4 ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ
285
Для решения перечисленных задач обычно пользуются приближен-
приближенными методами расчета, которые основаны на разбиении всей меж-
межпланетной траектории по участкам преимущественного гравитаци-
гравитационного воздействия одного небесного тела. Обычно выделяют три
участка межпланетной траектории. Геоцентрический участок распо-
расположен в пределах сферы действия Земли. Планетоцентрический
участок расположен в сфере действия планеты назначения. Гелио-
Гелиоцентрический участок занимает большую часть межпланетной тра-
траектории, расположенную между сферами действия Земли и плане-
планеты назначения.
В табл. 7.1 приведены характеристики орбит планет Солнечной
системы. Почти все планеты, кроме Меркурия и Плутона, имеют
эллиптические орбиты, близкие к круговым. Плоскости их орбит
Таблица 71
Характеристика орбит планет Солнечной системы [9]
Планета
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Большая по-
полуось,
млн км
57,91
108,21
149,60
227,94
778,34
1427,0
2869,6
4496,7
5912
Эксцентриси-
Эксцентриситет (на
197э 0)
0,20563
0,00676
0,01672
0,09338
0,04846
0,05563
0,04725
0,00859
0,253
Наклонение к
эклиптике,
град
7,0043°
3,3944°
0
1,8498°
1,3045°
2,893°
0,7732°
1,7724°
17,14°
Средняя ор-
орбитальная
скорость,
км/с
47,87
35,02
29,79
24,13
13,06
9,65
6,80
5,43
4,7
Сидерический
период обраще-
обращения, годы а и
сред сут d
S7d, 970
224d, 701
l°0d 006
l°321d, 730
ll°314d, 84
29°166d, 98
84°7d, 45
164a280d, 30
247a255d, 1
наклонены к плоскости эклиптики, в которой движется Земля, всего
на несколько градусов. Поэтому в первом приближении, при рас-
рассмотрении модельных задач, часто принимают, что эти планеты об-
обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам в плоскости эк-
эклиптики.
Меркурий и Плутон, самая ближняя и самая дальняя планеты
Солнечной системы, имеют наиболее вытянутые эллиптические ор-
орбиты с наибольшими наклонениями к плоскости эклиптики. Поэто-
Поэтому их обычно рассматривают особо.
Разбиение межпланетной траектории на три участка позволяет
на каждом из них учитывать притяжение только одного небесного
тела: Земли, Солнца, планеты назначения. Тем самым расчет всей:
траектории сводится к трем задачам двух тел, решениями которых

286
Г Л 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАДЕТАМ
являются определяемые начальными условиями конические сече-
сечения, состыкованные на границах участков.
Следует отметить, что основная ошибка приближенной методи-
методики обычно порождается неточным знанием орбиты планеты, вокруг
которой строится та или иная гравитационная сфера (действия, вли-
влияния и др.), а не выбором той или иной сферы. В табл. 7.2 приве-
приведены радиусы гравитационных сфер для планет Солнечной системы.
Таблица 72
Гравитационные сферы планет Солнечной системы
Планеты
Меркурий
Венера
Земля
Марс
ТОпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Средний радиус
сферы действия,
млн км
0,112
0,616
0,925
0,577
48,21
54,56
51,78
86,81
15.167
Средний радиус
сферы влияния,
млн км
0,366
1,677
2,482
1,798
88,14
108,10
116,27
192,74
47,14
Сфера притяжения
средний радиус,
млн км
0,0236
0,169
0,259
0,130
24,073
24,130
18,977
32,358
3,413
смещение центра
сферы, км
10
265
450
74
743900
407900
125500
232800
1970
Полученная траектория, состоящая из трех состыкованных ко-
конических сечений, является хорошим начальным приближением для
расчета численными методами точной траектории с учетом всей со-
совокупности действующих факторов.
При выборе межпланетной траектории необходимо руководство-
руководствоваться следующими основными требованиями. Энергетические затра-
затраты на выведение КА и на выполнение всех маневров, включая
коррекцию траектории, должны быть минимальными. Время пере-
перелета следует по возможности сокращать. При сближении с плапе-
той назначения надо обеспечить определенные условия для реше-
решения поставленной целевой задачи: фотографирования ее поверхнос-
поверхности, посадки в заданном районе, проведения научных исследований
и т. п. Поскольку перечисленные требования часто оказываются
противоречивыми, то приходится отыскивать компромиссные реше-
решения на основе анализа большого числа траекторий.
7.4.1. Классификация межпланетных траекторий. В зависимости
от решаемой задачи могут использоваться межпланетные траекто-
траектории различных классов. Принято выделять следующие основные
классы:
1. Траектория перелета к планете назначения без возвращения
к Земле.
2. Траектории перелета к планете назначения с возвращением
к Земле.
3. Траектории последовательного облета нескольких планет.

8 7 4 ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ 287
В свою очередь каждый класс траекторий может иметь несколь-
несколько подклассов. Так, траектория полета к планете назначения без
возращения к Земле может проходить на заданном расстоянии от
планеты, заканчиваться выведением КА на орбиту вокруг планеты
или посадкой на ее поверхность. Пролетпая траектория не требует
дополнительных энергетических затрат, поэтому ее довольно просто
реализовать. Вместе с тем пролет на ограниченном расстоянии от
планеты позволяет провести ряд интересных научных исследований.
При выведении КА на орбиту вокруг планеты назначения должен
осуществляться активный маневр с включением двигательной уста-
установки. Обычно маневр выполняется вблизи перицентра пролетной
гиперболической траектории. Если планета имеет атмосферу, мож-
можно реализовать комбинированный маневр аэродинамического тормо-
торможения с последующим включением двигателя для выхода на задан-
заданную орбиту [87]. В некоторых случаях траектория перелета завер-
завершается посадкой всего КА или отделяемого спускаемого аппарата.
Возможна прямая посадка с пролетной гиперболической траектории
и посадка с околопланетной орбиты, на которую предварительно вы-
выводится КА. Скорость КА может быть погашена с помощью двига-
двигателя или за счет аэродинамического торможения, если у планеты
есть атмосфера. В некоторых случаях для уменьшения массы тор-
тормозной системы оказывается целесообразным сочетание активного
торможения (двигателем) с пассивным (аэродинамический экран
или парашют).
Большой практический интерес представляет комбинированная
схема полета, когда на участке сближения с планетой отделяется
спускаемый аппарат, совершающий посадку на поверхность плане-
планеты и передающий полученную информацию через пролетный аппа-
аппарат на Землю. Такая схема позволяет максимально уменьшить мас-
массу передающей радиотехнической аппаратуры на спускаемом аппа-
аппарате и упростить его конструкцию. Пролетный аппарат, который
используется для контроля посадки спускаемого аппарата и в ка-
качестве активного ретранслятора информации, имеет радиотехниче-
радиотехническую аппаратуру требуемой мощности для надежной связи с Землей.
Траектории полета к планете назначения с возвращением к
Земле включают подклассы траекторий с задержкой у планеты (на
ее поверхности или на орбите вокруг планеты) и без задержки у
планеты. Если траектории без возвращения к Земле приемлемы
только для доставки автоматических аппаратов, то траектории
с возвращением к Земле, являясь обязательными для будущих пи-
пилотируемых полетов к планетам, могут использоваться и при запу-
запуске автоматических аппаратов. Например, в тех случаях, когда не-
необходимо доставить на Землю образцы грунта или пробы атмосферы
планеты. Возвращение КА к Земле желательно проводить в два
этапа. Сначала КА выводится на промежуточную орбиту вокруг
планеты, а затем стартует на гиперболическую траекторию воз-
возвращения.

288 ГЛ. 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Траектории последовательного облета нескольких планет можно
разделить на подклассы траекторий с гравитационным маневром,
активным маневром за счет включения двигательной установки и
комбинированным активно-гравитационным маневром. Последний
подкласс представляет наибольший практический интерес.
7.4.2. Точный расчет траектории к планете. Для вычисления
точной межпланетной траектории необходимо воспользоваться чис-
численным интегрированием уравнений движения. Мерой точности
вычисления параметров движения КА может служить точность из-
измерений современных радиотехнических средств, т. е. ошибка чис-
численных расчетов не должна быть больше ошибки измерений. Чтобы
обеспечить такую точность, необходимо правильно выбрать модель
движения и метод численного интегрирования.
При расчете точной межпланетной траектории КА должны учи-
учитываться следующие факторы, которые оказывают воздействие на
его движение:
1. Притяжение Земли, Солнца, Луны и планет Солнечной
¦системы.
2. Излучение Солнца.
3. Эффекты общей теории относительности.
Заметим, что на начальном участке межпланетной траектории,
когда КА находится еще достаточно близко к Земле, необходимо
дополнительно учитывать влияние первой зональной гармоники в
разложении потенциала притяжения Земли по сферическим функ-
функциям (см. п. 1.3). С увеличением расстояния КА от Земли ее поле
лритяжения можно принимать в виде центрального.
Запишем в векторной форме уравнения движения КА:
Здесь г — геоцентрический радиус-вектор КА; \х — произведение по-
постоянной притяжения на массу Земли; г{ — геоцентрический ради-
радиус-вектор ?-го небесного тела, где ? = 0 — Солнце, ? = 1 — Луна,
i = 2 — Меркурий, ? = 3 — Венера, ? = 4 — Марс, ? = 5 — Юпитер,
? = 6 — Сатурн, ? = 7 — Уран, ? = 8 — Нептун, ? = 9 — Плутон, Fi —
возмущающее ускорение движения КА из-за нецентральности поля
притяжения Земли; F2 — возмущающее ускорение движения КА
вследствие солнечного излучения; F3 — возмущающее ускорение, ха-
характеризующее влияние эффектов общей теории относительности на
движение КА в пространстве, искривленном гравитационным влия-
влиянием Солнца.
Согласно G.1.1) поправка от нецентральности поля притяжения
Земли вычисляется по формуле
о
F, _-(,-?./,(?) [A sin* Ф - 1], G.4.2)

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ 289
где /2 — коэффициент при первой зональной гармонике в разложе-
разложении потенциала поля притяжения Земли, Лэ — экваториальный ра-
радиус Земли, ф — геоцентрическая широта, г — радиус-вектор рас-
рассматриваемой точки.
Для учета возмущения от солнечного излучения можно исполь-
использовать формулу вида
где х — коэффициент влияния солнечного излучения, зависящий от
формы и массы КА.
Влияние эффектов общей теории относительности учитывается
формулой [15]
F3 = f(r-ro)-f(-ro), G.4.4)
где
^44 :J, G.4.5)
rs, Ve — гелиоцентрические радиус-вектор и скорость рассматривае-
рассматриваемого тела; с — скорость света; f — параметр, характеризующий вы-
выбор системы координат поля Шварцшильда. Обычно используется
стандартная система координат (^ = 1). До существу релятивист-
релятивистская поправка F3 к геоцентрическому ускорению КА представляет
собой разность релятивистских поправок к гелиоцентрическому ус-
ускорению КА, т. е. f(r — г0), и гелиоцентрическому ускорению Зем-
Земли, т. е. f(—го).
Необходимые для численного интегрирования уравнений движе-
движения КА координаты Луны и планет обычно вычисляются путем
интерполяции с использованием заданных табличных значений. Та-
Такие таблицы строятся заблаговременно на основе одной из теорий
Луны и планет.
Численное интегрирование уравнений движения КА может осу-
осуществляться практически любым методом (Рунге-Кутта, Адамса,
Эйлера и др.). В целях экономии времени счета целесообразно ин-
интегрировать с переменным шагом при контроле заданной точности.
В пределах сферы действия планеты шаг интегрирования обычно
меняется в диапазоне 10 с — 30 мин, а на гелиоцентрическом уча-
участке его можно увеличивать до 1 час — 4 час.
7.4.3. Приближенный расчет гелиоцентрического участка. Как
уже отмечалось, приближенный расчет межпланетной траектории
связан с разбиением ее на геоцентрический, гелиоцентрический и
планетоцентрический участки. Границы этих участков определяют-
определяются сферами действия Земли и планеты назначения, причем сферы
действия, а следовательно и границы, перемещаются в соответствии
с орбитальным движением планет. Часто планетоцентрические уча-

290
ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
стки называют внутренней задачей (движение внутри сферы дейст-
действия), а гелиоцентрический участок — соответственно внешней зада-
задачей (движение вне сферы действия).
Основную часть межпланетной траектории занимает гелиоцен-
гелиоцентрический участок, на котором КА обычно перемещается по эллип-
эллиптической траектории. При расчете гелиоцентрического участка
можно пренебречь размерами сфер действия планет по сравнению
с их расстоянием до Солнца, т. е. принять, что сферы действия
планет стянуты в точки, которые совпадают с центрами масс пла-
планет. Действительно, радиусы сфер действия Марса, Земли и Венеры
составляют меньше 1 % от расстояния до Солнца. Однако, для пла-
планет-гигантов (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун) радиусы сфер дейст-
действия составляют уже несколько процентов от расстояния до Солнца.
Поэтому в некоторых задачах для повышения точности приближен-
приближенных расчетов приходится учитывать размеры сфер действия при
т
Рис. 7.22. Схема гелиоцентрического участка межпланетной траектории:
1 — орбита планеты отправления; 2 — траектория КА; 3 — орбита планеты на-
назначения
рассмотрении гелиоцентрического участка. В таких случаях сты-
стыковка достигается путем совместного рассмотрения геоляоцентриче-
ского и планетоцентрического участков. Понятно, что при расчете
гелиоцентрического участка притяжение планет не учитывается.
Введем гелиоцентрическую систему координат Sxyz, ось Sx
которой направлена в точку весеннего равноденствия Т, ось 5у
расположена в плоскости эклиптики, а ось «S& направлена к север-
северному полюсу эклиптики. Для большей общности получаемых ре-
результатов при рассмотрении гелиоцентрического участка будем по-
полагать, что этот участок начинается не от Земли, а от планеты от-
отправления Pi, и заканчивается у планеты дазначения Рг (рис. 7.22^

§ 7 4 ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ 291
Плоскости движения планет отправления и назначения могут не
совпадать с плоскостью эклиптики. Движение КА будем предпола-
предполагать происходящим в направлении движения планет Солнечной
системы, т. е. против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Sz.
Пусть в некоторый начальный момент времени t\ положение КА
(и планеты отправления) определяются гелиоцентрическим радиу-
сом-<вектором r\={x\, у\, z\). Время перелета t\2 считается задан-
заданным. Тогда можно вычислить момент времени t2 прибытия КА к
планете назначения
и определить гелиоцентрический радиус-вектор планеты т2 =
= (#2, г/2, z2), отвечающий этому моменту времени и заданному
положению планеты назначения Рг^г). По существу ri фиксирует
начальную точку гелиоцентрического участка межпланетной траек-
траектории КА (или в рассматриваемом приближении точку старта),
а Г2 задает конечную точку гелиоцентрического участка (или в рас-
рассматриваемом приближении точку встречи с планетой назначения).
В частном случае, когда планетой отправления является Земля,
имеем z\ = 0.
Плоскость гелиоцентрического участка траектории КА должна
проходить через векторы ri и Г2. Используя результаты, приведен-
приведенные в § 4.2, вычислим единичный вектор внешней нормали к плос-
плоскости перелета
г Хг
п° = (пх, пу, пг) = . ' 2 sign(x1y2 — х2уг).
1Г1ХГ2 1
Здесь
Г! X Г2 =(y\Z2 —
и
|г! X г2! =
При таком задании вектора п° выполняется условие пг > 0, что от-
отвечает перелету КА в направлении движения планет. Наклонение
i плоскости перелета к плоскости эклиптики определяется со-
соотношением
cos i = nz = ¦ I i 2 2 il ^ G.4.6)
где 0 ^ i ^ л/2, так как предполагается полет КА только в направ-
направлении движения планет.
Из геометрических построений на рис. 7.22 видно, что проекция
вектора п° на плоскость эклиптики, т. е. п^ = sin i, образует с от-
отрицательным направлением оси Sy угол Q, который равен долготе
восходящего узла траектории перелета, измеряемой в плоскости

292 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
эклиптики. Тогда
. _ Пх (Улгъ ~" У<?2л) S^n (Ж1^2 Х2
sinfi = = v г г 1 —
Sin j
cosfi = Яу -
sin « ]/(^ - y2zl}2 + (Vl - ,1г2J + {Xly2 - x2ytf
G.4.7)
Долгота восходящего узла Q и наклонение i гелиоцентрического
участка траектории КА полностью определяют положение плоско-
плоскости перелета в эклиптической системе координат.
Угловая дальность гелиоцентрического участка ДФ определяется
из соотношений
-¦»„ лл -
2 ух\+y\+z\ y*\+у\+^22
in АО = i!il!iL sign (Xiy9 - a:2zyi) = G.4.8)
sin
sign (хгу2 — х2уг)
Часто требуется вычислить аргумент широты и некоторой точки
М гелиоцентрического участка траектории, радиус-вектор которой
i = (x, у, z). Цредварительно введем единичный вектор восходяще-
восходящего узла m° =(cos fi, sin Q, 0). Затем вычислим
m° • г = х cos Q + у sin Q,
т°Хг=(г sin Q, —z cos Q, у cos Q — a: sin Q).
Тогда для определения аргумента широты произвольной точки М
имеем
т° • г х cos Q + у sin Q
cos и = = —г ,
7" Т # 2 2 2
Sinw = 1т°гХг1 sign (г/ cosQ — х sinfi) = G.4.9)
sign (у cos fi — x sin fi)

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ 293
Вычисление элементов орбиты в плоскости перелета сводится к
решению задачи Ламберта, так как известны начальный п и конеч-
конечный Г2 радиусы, угловое расстояние между ними ДО и время пере-
перелета ti2- Известно также направление движения КА, которое сов-
совпадает с направлением гелиоцентрического движения планет. Более
того, для представляющих интерес межпланетных траекторий КА
гелиоцентрический участок является частью эллиптической орбиты.
Все это упрощает решение полученной задачи Ламберта.
Наиболее часто для определения орбиты в фиксированной плос-
плоскости движения используются следующие элементы: величина боль-
большой полуоси а, эксцентриситет е, аргумент перицентра ш и время
пролета перицентра ta. Покажем последовательность вычислений
величины а на основе результатов, приведенных в § 4.2. Для рас-
рассматриваемого случая перелета по эллиптической траектории с уг-
угловой дальностью 0 < ДФ < 2л существует единственное решение
уравнения Ламберта [58, 62].
Предварительно вычислим время tTp перелета по граничной эл-
эллиптической орбите, для которой
Длина хорды 5, соединяющей начальную и конечную точки траек-
траектории, вычисляется по формуле D.2.52):
S = У (Х2 _ Xl)* + (у2 _ yi)
Используя соотношения D.2.49) и D.2.51), найдем
(г 4-г +s\3/2 { Г /"г +r —s
= {l+ 2ZJ я+ 2arcsini/ xZrjL.
)]j, G.4.10)
где
Мю — произведение постоянной притяжения на массу Солнца. Здесь
и в последующих формулах верхний знак «—» относится к случаю
0 < Дф < я, а нижний знак «+» относится к случаю л < АФ < 2я.
Далее необходимо сравнить заданное время перелета tw с ?гр.
Если ti2 < tTln то перелет совершается по эллиптической орбите
первого рода, для которой величина большой полуоси

294 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
и вычисляется из трансцендентного уравнения
t12 - ^ B arcsin ^ilVtl - sin B arcsin
[2 arcsin y/'ri+^~'-sinBarcsinj/'ri+^
G.4.11)
^
где
О <С arcsin 1 / ——-^ < "у»
G.4.12)
/ Г. + Г. S тт
О <С arcsin
В случае t\2 > ?ГР перелет совершается по эллиптической орбите
второго рода с большой полуосью
величина которой вычисляется из трансцендентного уравнения
2 arcsin
l/Il+^Zl-sin^ arcsin У ^±^^-)]}. G.4.13)
При этом ограничения G.4.12) сохраняются.
Если гелиоцентрический участок оказывается параболическим
или гиперболическим, то следует воспользоваться соответствующими
формулами § 4.2. Однако из-за ограниченных энергетических воз-
возможностей современных ракет-носителей такие траектории пока не
представляют практического интереса.
Нетрудно показать, что в более общем случае, когда полная уг-
угловая дальность гелиоцентрического участка больше 2л, причем
КА в процессе перелета совершает больше п, но меньше п + 1 вит-
витков, в правые части уравнений G.4.10), G.4.11), G.4.13) следует;
добавить слагаемое 2лпа3/2/У[Ло. Число возможных решений увели-i
чивается до двух [62]. :
Полученные уравнения для большой полуоси а гелиоцентриче-'
ского участка решаются численно с заданной точностью одним из
итерационных способов. '
На рис. 7.23 в качестве примера построены зависимости a {t\2$
гелиоцентрического участка межпланетной траектории Земля —*
Марс для случаев п = 0 @ < АО < 2л) и п = 1 Bл < А§ < 4л)
Эти зависимости получены на основе материалов работы [35].

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ
295
а,
млн. км
250
200
150
<гр
500
1000
1500 %2,сут
Рис. 7.23. Время и большая полуось гелиоцентрического участка траектории
перелета Земля — Марс: сплошные линии 0 < ДФ < я при п = 0 и 2я < ЛФ <
< Зя при п = 1; штриховые линии п < ДФ < 2л при п = 0 и Зя < АО < 4я
при п = 1
Для вычисления эксцентриситета гелиоцентрического участка е
возведем левые и правые части уравнений D.2.55) и D.2.56) в
квадрат и соответственно сложим. Тогда получим с учетом D.2.57)
е =
V \2а cos —5— )
f \ a /
2а sin
е-б
G.4.14)
Здесь углы е и б вычисляются по формулам
. 8
sinT=
4„
' 8Шт= V ~1—й
Одновременно для эллиптической орбиты первого рода должны учи-
учитываться ограничения
О <С ~2 < ~2 при О <С &$ <С 2л
и
п ^ б ^ Я
ТТ при 0
у <С у <С 2л при я
2л.
Для эллиптической орбиты второго рода существуют ограничения
¦у<-|-<л ПРИ

296 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
0<Т<Т при °<Д^О,
~2 < ~2 < 2л при я < А§ < 2л
(см. § 4.2).
Перейдем к вычислению аргумента перигелия а>. Предваритель-
Предварительно по известным величинам а, е и разности эксцентрических анома-
аномалий ^2 — Е\ = г — б определим с помощью соотношений D.2.55),
D.2.56) сумму эксцентрических аномалий из условий
Sill—Ч; - = ±-в-, COS'
2ae sin —«— 2ae cos
а затем величину ?"i (или Еъ). Далее по формуле B.5.6)
найдем углы #,. Поскольку аргумент широты известен из уравне-
уравнений G.4.9), то аргумент перигелия можно вычислить по формуле
ю = и, —G< (i= I, 2). G.4.15)
Наконец, из уравнения B.5.8) определим время пролета перигелия
*„ = ^--^(^i-esin^i) (i =1,2). G.4.16)
Тем самым завершено вычисление шести элементов орбиты Q, i, a,
е, со, ?п, которые полностью определяют в эклиптической системе
координат гелиоцентрический участок межпланетной траектории КА.
Оказывается полезным дополнительно вычислить параметр ге-
гелиоцентрической орбиты
р = аA — е2),
затем по формулам B.3.5), B.3.7) величины радиальной и транс-
версальной составляющих скорости в начальной и конечной точках
гелиоцентрического участка
Vni= Л/ -L±(l-fecos^i), G.4.17)
V Р
наконец, по формуле B.3.8) найти величину скорости в указанных
точках

§ 7 4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ
/97
Соотношения G.4.17), по сущест-
существу, определяют радиальную и транс-
версальную составляющие скорости
КА в квазиорбитальной системе ко-
координат «S^rj^, начало которой совпа-
совпадает с центром масс Солнца, а коор-
координатная плоскость S'gr] совмещена
с плоскостью движения КА. При
этом ось Sk\ направлена по текуще-
текущему радиусу-вектору КА, ось Sb, —
против трансверсальной составляю-
составляющей скорости, а ось St, дополняет
систему до правой. По оси St, на-
направлен единичный вектор внешней
нормали к плоскости движения КА.
Переход от эклиптической к квази-
квазиорбитальной системе координат осу-
осуществляется поворотами на углы Q,
i, и — л/2 (рис. 7.24). Отвечающая этому переходу матрица имеет вид
Рис. 7.24. Переход от эклиптиче-
эклиптической к гелиоцентрической квази-
квазиорбитальной системе координат
I] sin и cos Q -f- cos i cos и sin Q sin u sin Q — cos i cos и cos ?2 — sin i cos u I
ilf = cos и cos ?2 — cos i sin u sin Q cos u sin Q + cos ? sin и cos ?2 sin ? sin и
sin j sin Q — sin i cos Q cos ?
G.4.18)
Если известны радиус-вектор
-И
и вектор скорости
0
в квазиорбитальной гелиоцентрической системе координат, то при
переходе к эклиптической системе координат получим
где
г =
гх
ГУ
Г*
1 у
гх = г (cos и cos Q — cos i sin u sin Q)',
ry = г (cos и sin Q + cos i sin и cos Q),
rz = r sin ? sin u,
G.4.19):

298 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Vx = — Vn (sin и cos Q + cos z cos и sin Q) +
+ Vr (cos к cos Q — cos i sin к sin Q),
Fy = — Vn (sin zz sin Q — cos i cos и cos Q) + G.4.20)
+ Vr (cos и sin Q + cos i sin и cos Q),
F* = Vn sin i cos u+ Vr sin ? sin к.
Как уже отмечалось, гелиоцентрический участок межпланетной
траектории является самым протяженным. Этот участок, по сущест-
существу, определяет основные требования к выбору всей межпланетной
траектории, в том числе к выбору оптимальной даты старта и по-
потребной энергетики для перевода КА с околоземной орбиты на
межпланетную траекторию. Анализ гелиоцентрического участка с
учетом движения планет относительно Солнца позволяет установить
цикличность оптимальных дат старта и т. п.
7.4.4. Планетоцентрические участки траектории. Рассмотрим
внутреннюю задачу, т. е. движение КА в сферах действия планет.
Для краткости условимся называть планету отправления Землей и
соответствующий участок геоцентрическим, а планету назначения —
просто планетой и участок планетоцентрическим.
После расчета гелиоцентрического участка межпланетной траек-
траектории известны векторы скорости КА в моменты времени t\ и ?2,
а именно Vi и V2, заданные своими составляющими G.4.20) в эк-
эклиптической системе координат. В этой же системе будем полагать
заданными векторы скорости Земли VPi(?i) в момент начала гелио-
гелиоцентрического участка КА и планеты Vp2(?2) в момент окончания
указанного участка. Тогда можно вычислить векторы скорости КА
относительно Земли и относительно планеты:
VOTHi = Vi-V,i(ti), VOTH2 = V2-Vp2(*2). G.4.21)
Эти относительные скорости обычно принимают в качестве гипербо-
гиперболического избытка скорости и относят или к бесконечно удаленной
точке, или к сфере действия. При втором допущении возникает не-
небольшая методическая ошибка, поскольку не учитывается притяже-
притяжение планеты на участке полета КА от грапицы ее сферы действия
до бесконечно удаленной точки. Величина ошибки, равная разности
скорости КА на границе сферы действия Va и скорости КА в беско-
бесконечно удаленной точке Foo, зависит от поля притяжения планеты и
величины гиперболического избытка скорости. Примеры расчета
разности Fw — Fa, для некоторых планет Солнечной системы по-
показаны на рис. 7.25 [35]. Понятно, что с увеличением F«, разность
У а — Foo уменьшается вследствие более быстрого удаления (или
приближения) КА от планеты. Цри полете КА от Земли к Марсу
ж Венере обычно Foo = 3 — 4 км/с, поэтому ошибка по скорости
может достигать 130 м/с, а при полете от Земли к Юпитеру
?„ — 6 — 9 км/с, и ошибка по скорости не превышает 75 м/с.

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ
299
Итак, полошим
Vci = V,
ОТН 1}
= V,
отн 2;
где IVooil — гиперболический избыток скорости для геоцентрическо-
геоцентрического участка траектории, a IV^I —гиперболический избыток скоро-
скорости для планетоцентрического участка траектории. Согласно B.2.2)]
, KM /С
Рис. 7.25. Примеры расчета разности Fw — F,» для некоторых планет: 1 — Марс;
2 — Земля, Венера; 3 — Юпитер
гиперболический избыток скорости определяет постоянную интегра-
интеграла энергии для гиперболической орбиты. Отсюда для геоцентри-
геоцентрической и планетоцентрической гиперболических орбит
"¦2 — V о
G.4.22)
Пусть при отлете от Земли известен требуемый вектор скорости
Vooi в эклиптической системе координат. Определим его составляю-
составляющие в геоцентрической экваториальной системе координат O3xyzf
у которой плоскость О3ху совпадает с плоскостью экватора, ось О3х
направлена в точку весеннего равноденствия Т, а ось O3z — по оси
вращения Земли. Если ig — угол наклона плоскости экватора к
плоскости эклиптики, то матрица перехода от гелиоцентрической
эклиптической системы координат Sxyz к геоцентрической эквато-

300 ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
риальной системе координат O3xyz имеет вид
1 0 0
0 cos ?э sin ig
0 — sin ia cos 1
Найдем теперь составляющие вектора V«,i в экваториальной си-
системе координат
V.
VI
G.4.23)
а затем вычислим его склонение (угол между V^i и плоскостью
экватора)
' . " <в1<4-). G.4.24)
Прямое восхождение (угол между проекцией V«>i на плоскость эк-
экватора и осью О3х, направленной в точку весеннего равноденствия)
определяется из соотношений
V
с.пяпг,1 = xl —, sign sin аг = sign Vyl @ <; ах <; 2л;). G.4.25)
1/ у2 4- F2
Перейдем к определению элементов геоцентрического участка
межпланетной траектории. Наклонение i плоскости движения КА
к экватору зависит от широты точки старта и допустимого азимута
запуска. Плоскость движения должна проходить через вектор Vooi,
что возможно только при выполнении условия i ^ бь Заметим, что
в случае точного равенства (i = Ь\) существует одна плоскость дви-
движения. При i> Ь\ имеются две плоскости, отличающиеся долготой
восходящего узла, в которых возможно движение КА.
Если шпрота точки сгарта и азимут запуска заданы, обеспечи-
обеспечивая выполнение условия i > 6i, то в течение каждых суток сущест-
существуют два момента времени для старта с поверхности Земли. Запуск
в указанные моменты времени обеспечивает прохождение плоскости
движения через вектор Va>i. При этом в одном случае доразгон с
круговой орбиты на гиперболическую траекторию происходит в се-
северном полушарии, а в другом случае — в южном. Для станций
слежения, расположенных, например, на территории Советского
Союза, северный вариант позволяет контролировать процесс разгона
и фактически реализовавшуюся траекторию. Ввиду очевидного преи-
преимущества северного варианта для практического решения задачи'
выведения КА на межпланетную траекторию обычно им и ограни-
ограничиваются.

§7 4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ
301
Зная прямое восхождение ai и склонение 6i вектора V^i в эк-
экваториальной системе координат 03xyz, вычислим из сферического
треугольника ABC (см. рис. 7.26) синус аргумента широты
sin иг =
sin6,,
sini
G.4.26)
и и^ = я —
Отсюда найдем два значения аргумента широты,
— и [г) (где — л/2 < и? < л/2)
отвечающие двум положениям
восходящего узла.
Для 1вычисления долготы
восходящего узла предварите л ь-
до установим связь между про-
проекциями вектора V^i в эква-
экваториальной системе координат
O3xyz и в системе координат
O3XYZ, у которой плоскость
O3XY совпадает с плоскостью
движения КА, ось O3Y направ-
направлена по вектору Voci, ось O3Z
•ориентирована так, чтобы с ее
конца движение КА наблюда-
наблюдалось происходящим против хо-
хода часовой стрелки. Ось О3Х до-
дополняет систему координат до
правой (рис. 7.26). Легко заме-
заметить, что матрица перехода от
системы координат O3xyz к O3XYZ имеет вид G.4.18), где и = и{})
(или л — Ui ), Q = QA) (или QB)), а угол i определяет наклонение
плоскости движения. Тогда
Рис 7 26 Выбор плоскости орбиты КА:
1 — плоскость зкватора; 2 — возможные
плоскости орбиты КА; 3 — плоскость
меридиана
F,i
Fn
= iV/-1
 -
0 -
где Fxi, Vy\, Vzi — составляющие вектора V^i в системе координат
OAxyz, а 0, Foci, 0—составляющие этого вектора в системе коорди-
координат O3XYZ. С учетом G.4.18) имеем
Vx\ = 7те1 (cos u\ cos Qi — cos i sin щ sin Qi),
Vvi = F«,i (cos щ sin Qi + cos isiniti cos Qi).
Эти соотношения можно рассматривать в качестве уравнений отно-
относительно sin Qi и cos Qi, так как их левые части известны согласно

302 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
G.4.23). Отсюда
V cos и — 7„ cos i sin и
sin Qx = x L
Voo1 (cos2 u -f- cos2 i sin2 u )'
FT1 cos u -f 7 cos i sin u \ • • /
x i «?± i_
V0Ol (cos ux -{- cos i sin i^J
Подставляя в G.4.27) сначала их = u^, а затем щ = л — и^, вы-
вычислим два возможных значения долготы восходящего узла, Qj1 и
&i . Далее следует выбрать то значение долготы восходящего узла
геоцентрического участка траектории КА, которое обеспечивает наи-
наилучшие условия наблюдаемости при разгоне с круговой орбиты на
гипер бо лич еску ю.
Перейдем к определению элементов орбиты в плоскости движе-
движения. По формуле B.4.33) найдем величину большой полуоси
а =
Здесь \i3 — произведение постоянной притяжения на массу Земли.
Будем полагать, что КА предварительно выводится на круговую
околоземную орбиту радиуса гкр, а затем стартует с нее на гипер-
гиперболическую орбиту перелета. При импульсном маневре должно вы-
выполняться равенство гп = гкр, где гп — радиус перигея гиперболиче-
гиперболической траектории. Тогда линейный эксцентриситет
с = га + а,
эксцентриситет
и параметр
ги V2
п . Кр оо
z н —
Далее вычислим по формуле B.4.19) предельный угол поворота ги-
гиперболической орбиты, или истинную аномалию бесконечно удален-
удаленной точки:
/ i\ (к
/i4i йгррлс I 1 I *?^~ тт _ *?^~ '
ЛреД — L>uuo I — I I о ^^ ГТрвД ^^ ¦
Так как асимптота гиперболической орбиты, в направлении которой
совершается уход КА от Земли, должна быть коллинеарна вектору
Vooi, то аргумент перицентра
СО = U\ — Фпред @ =^ СО =^ 2я) .
Широта перицентра фп определяется по формуле
<рп = arcsin(sin i sin со).

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕГАМ 303
Время пролета перицентра ta соответствует моменту достижения
широты фп при движении в требуемом направлении. В этот момент
прикладывается импульс скорости для перевода КА с круговой ор-
орбиты на гиперболическую. Время ta зависит от момента старта с
поверхности Земли и числа витков на околоземной орбите.
Таким образом, определены все элементы гиперболической орби-
орбиты в сфере действия Земли.
Использование промежуточной околоземной орбиты при запуске
КА к планетам было впервые предложено в 1960 г. Т. М. Энеевым
[31]. Это позволило существенно улучшить условия запуска и тем
самым значительно увеличить массу выводимой полезной нагрузки
на межпланетную траекторию по сравнению с прямым запуском с
территории СССР. Впервые старт с промежуточной околоземной ор-
орбиты был реализован 12 февраля 1961 года при запуске советской
автоматической станции «Венера-1».
Время старта U для выведения КА на промежуточную околозем-
околоземную орбиту выбирается из условия обеспечения требуемой долготы
восходящего узла получаемой плоскости движения. В первом прибли-
приближении величину to с учетом длительности активного участка можно
определить следующим образом. Пусть Хгм — абсолютная долгота
(угловое расстояние от направления на точку весеннего равноденст-
равноденствия) гринвичского меридиана в 0 часов рассматриваемой даты стар-
старта. Обозначим через со3 угловую скорость суточного вращения Зем-
Земли, ?о — гринвичское время старта, ?ак — длительность активного
участка, Хо — долготу точки старта, ДХак — разность долгот точки
выхода на орбиту и точки старта, ДХВ — разность долгот точки вы-
выхода на орбиту и восходящего узла орбиты, Qi — требуемую долго-
долготу восходящего узла орбиты, измеряемую от направления на точку
весеннего равноденствия. Тогда должно выполняться условие
Км + ^0 + 03з(^0 + 4к)
Отсюда гринвичское время старта
х 1 В ГМ О ЭК i /п / QQ\
t0 = taK. (/.4.2»)
(Од
Полученная формула G.4.28) не учитывает прецессии орбиты
(т. е. поворота ее плоскости вследствие нецентральности поля при-
притяжения Земли) за время движения КА по этой орбите. Соответст-
Соответствующая поправка может быть внесена по материалам гл. 8.
Рассмотрим теперь траекторию движения КА в сфере действия
планеты назначения. Планетоцентрическая траектория также явля-
является гиперболической, и расчет планетоцентрического участка во
многом совпадает с расчетом геоцентрического участка.
Вектор гиперболического избытка скорости Vo.2 можно отнести
к сфере действия планеты, допуская при этом ошибку, величина
которой оценивается с помощью зависимостей, построенных на
рис. 7.25.

304 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛ4НЕТАМ
Траектория сближения КА с планетой зависит от цели полета
(попадание в планету или прямая посадка, пролет на заданном рас-
расстоянии или гравитационный маневр для перевода КА на траекто-
траекторию полета к другой планете, получение спутника планеты и др.).
Движение КА вблизи планеты удобно описывать в планетоцент-
рической системе координат Pxnayn}IzniI, у которой так называемая
картинная плоскость РхП11упл перпендикулярна вектору V«,2, а ось
РгПЛ направлена в сторону вектора Voc2 [31]. Ориентация осей Рхал
и Рупл определяется единичными векторами
1. ч/ V О0 v Л/
G.4.29)
e«XVw
Здесь гпл — гелиоцентрический радиус-вектор планеты в момент
времени fe> Пусть в этот момент времени вектор V«,2 проецируется
на картинную плоскость в точку с координатами (xv, yv). Цри от-
отсутствии притяжения планеты траектория КА пересекла бы кар-
картинную плоскость в указанной точке. Следовательно, расстояние от
центра планеты до этой точки определяет прицельную дальность,
которая равна малой полуоси гиперболической орбиты
h — \f -Г2 _1_ 7I2
Со — г Js-n ~~v yv
2
Плоскость планетоцентрической траектории КА проходит через
центр масс планеты и вектор V«,2. В системе координат Pxa5lynsiznn.
наклонение плоскости движения ii = я/2. Если отсчитывать долготу
восходящего узла Q2 в плоскости Рхпяупа от оси Рхпл и принять,
что в восходящем узле происходит изменение знака координаты гая
с «—» на «+», то для вычисления Q2 имеем соотношения
= -^=, cosQa^-^i^. G.4.30)
Определим теперь элементы орбиты в плоскости движения. Ве-
Величина большой полуоси
ос2
где |1пл — произведение постоянной притяжения на массу планеты.
Далее, воспользовавшись формулой B.4.27), вычислим эксцен-
эксцентриситет
е =
Истинная аномалия бесконечно удаленной точки (—Фпред) вычисля-
вычисляется из соотношения
„ _ j I n'^
COS ^пред — "~7"* I о <^

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ 305-
Аргумент широты указанной точки щ = —я/2, отсюда аргумент
перицентра
Зная радиус сферы действия, можно из уравнения орбиты вы-
вычислить истинную аномалию, отвечающую моменту пролета сферы
действия, а затем эксцентрическую аномалию, чтобы из уравнения
Кеплера определить время пролета перицентра. Тем самым завер-
завершается вычисление элементов планетоцентрической орбиты.
7.4.5. Выбор оптимальной даты старта. В упрощенной постанов-
постановке можно принять, что Земля и планета обращаются вокруг Солнца
по круговым компланарным орбитам. Если пренебречь размерами
их сфер действия по сравнению с протяженностью геоцентрического-
участка, т. е. перейти к так называемым «точечным» сферам дейст-
действия, оптимальной окажется траектория типа Гоманна. Поскольку
решается задача сближения, КА и планета должны одновременна
оказаться в точке касания их траекторий. Отсюда можно установить
требуемое начальное положение Земли и планеты для реализации
траектории типа Гоманна.
Пусть Г\ — радиус круговой орбиты Земли, а гг — радиус круго-
круговой орбиты планеты. Тогда время полета КА по гоманновской
траектории
а угловые скорости обращения Земли и планеты соответственна
равны
Пусть Р\\ и Р21 — положения Земли и планеты в момент начала
перелета КА, а Р\2 и Р22 — положения Земли и планеты в момент
окончания перелета КА (рис. 7.27). За время перелета tn КА пе-
перемещается по гоманновской траектории из положения Рц в Р22 на
угловое расстояние я, а планета перемещается из положения Р21 в
Р22 на угловое расстояние я — фо. Дриравняв эти времена, найдем
потребный начальный угол фо:
[/ ~ \ з/2 1
Здесь фо > 0 при г > 1, или гг > г\ (рис. 7.27, а) и фо < 0 при
г < 1, или гг < п (рис. 7.27, б). В табл. 7.3 приведены основные
характеристики гоманновских траекторий перелета с Земли к пла-
планетам Солнечной системы.

306
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Если взаимное положение Земли и планеты не отвечает условию
перелета по траектории типа Гоманна, то необходимо выждать до
того момента времени, когда такое условие наступит. Прежде чем
21
Рис. 7.27. Схемы межпланетного перелета по полуэллипсу Гоманна: 1 — орбита
Земли; 2 — орбита планеты
перейти к обсуждению способа расчета оптимальной даты старта,
введем некоторые необходимые понятия.
Синодическим периодом ТСИЯ планет называют наименьший про-
промежуток времени, через который повторяется взаимное положение
двух планет (в частности, позволяющее осуществить перелет типа
Таблица 7.3
Характеристики гоманновских траекторий перелета Земля — планета
(старт с круговой орбиты высотой 200 км) [38]
Планета на-
назначения
Меркурий
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Начальное
приращение
скорости км/с
5 556
3,506
3.613
6,305
7,285
7,978
8,247
8,364
Гелиоцентри-
Гелиоцентрическая ско-
скорость на сфе-
сфере действия
Семли. км/с
22,252
27 289
32,729
38,577
40,074
41,066
41,439
41,599
Планетоцент-
рическая ско-
скорость на сфе-
сфере действия,
км/с
9,614
2,707
2,650
5,645
5,449
4,660
4,052
3,647
Длительность
перелета,
звездный год
0,29
0,34
0,71
2,73
6,05
16,04
30,62
45,60
Начальный
угол ф0, град
—251,7
—54,1
44,3
97,1
106,0
111,5
112,9
113,4
Гоманна). Сидерическим периодом планеты 3"Сид называют наимень-
наименьший промежуток времени, через который планета занимает в гелио-
гелиоцентрическом движении одно и то же положение относительно
-звезд. Если Гсид i и ТСяЯ 2 — сидерические периоды обращения Зем-

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ
307
ли и планеты,
по формуле
то их синодические периоды можно вычислить
2л;
1
т
1 СИД2
1
1
Т
СИД1
т т
СИД1 СИД2
1 СИД1 J СИД2 |
G.4.32)
Периодом великих противостояний Земли и Марса в астрономии
принято называть промежуток времени между двумя последователь-
последовательными сближениями указанных планет до минимального возможного
расстояния. При этом обе планеты располагаются по прямой в одну
сторону от Солнца. Земля находится вблизи своего афелия, Марс —
перигелия. Такое расположение повторяется через 15 или 17 лет
(например, в 1956 г., 1971 г., 1988 г.). При великих противостояни-
противостояниях положение Земли и Марса практически фиксировано относитель-
относительно звезд.
По аналогии с этим будем называть периодом великих противо-
противостояний двух планет наименьший промежуток времени, через кото-
который повторяется положение планет в гелиоцентрической системе
координат. Период великих противостояний приблизительно равен
общему наименьшему кратному сидерических периодов планет и их
Таблица 7.4
Синодические периоды и периоды великих противостояний
планет Солнечной системы и Земли
Планеты
Меркурий
Венера
Марс
Юпитер
*) Величина
Гсин, лет
0,317
1,599
2,135
1,092
Гвп, лет1)
1
8
17
12
Гвп округлена до года.
Планеты
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
гсин> лет
1,035
1,012
1,006
1,004
Гвп, лет!)
29
84
165
24а
синодического периода. В табл. 7.4 приведены синодические перио-
периоды (Гсин) и периоды великих противостояний (Тва) планет Солнеч-
Солнечной системы и Земли. Ниже будет показано, что эти величины по-
позволяют оценить периодичность оптимальных условий старта при
межпланетных перелетах.
Вернемся теперь к определению оптимальной даты старта.
Пусть фю — гелиоцентрическая долгота Земли, измеряемая от на-
направления на точку весеннего равноденствия, в момент начала от-
отсчета времени, t\ — время (дата) старта, отсчитываемое от этого
момента. Тогда гелиоцентрическая долгота Земли в момент
старта КА
<рП = ф10+

308 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
Обозначим через ф2о гелиоцентрическую долготу планеты в момент
начала отсчета времени, тогда ее долгота в момент t\ + ?12 прибытия
КА к планете
<Р22 = ф20 + 0J(^1 + ^12).
Найдем разность
ф22 — ф11 = ф20 — фЮ + ( G>2 — СО 1) ^1 + 0J^12-
По условиям гоманновского перелета эта разность должна равнять-
равняться ±я с точшюстыо до 2клу где к = О, ±1, ... — количество синоди-
синодических циклов от начала отсчета времени. Следовательно,
фго — Фю + (а>2 — g>i)?i + oJ^i2 — ±я + 2&я (к = О, ±1, ...).
Отсюда найдем время старта
v J
или
U = 1ы + кТсая, G.4.34)
где
_ ±"-Ф,о + Ф1,-У» G.4.35)
— время старта при к — 0.
Вычислив оптимальную дату старта для упрощенной задачи дви-
движения планет (круговые компланарные орбиты), можно затем чис-
численными методами исследовать потребное приращение скорости при
переходе с околоземной круговой орбиты на гиперболическую в не-
некоторой окрестности оптимальной даты старта. В уточненных расче-
расчетах следует учесть эксцентричность орбит планет, их некомпланар-
некомпланарность и другие факторы. Как правило, по результатам уточненных
расчетов оптимальные даты старта несколько корректируются, хотя
качественная картина при этом не меняется. Однако необходимо
отметить, что в случае некомпланарных орбит перелет с угловой
дальностью, равной я, возможен только в том случае, когда точка
сближепия КА с планетой находится вблизи линии узлов, образо-
образованной плоскостями движения планет. Если точка сближения КА с
планетой находится далеко от линии узлов, то не удается реализо-
реализовать траекторию перелета типа Гоманна. В результате значительно
возрастает (по сравнению с оптимальными условиями старта) по-
потребное приращение скорости при переводе КА с круговой около-
околоземной орбиты на гиперболическую.
Из-за эксцентричности орбит планет и их некомпланарности по-
потребное приращение скорости оказывается несколько отличающимся
для различных оптимальных дат старта. Одновременно несколько
меняется оптимальное время перелета ?i2- Например, при полетах
к Марсу и Венере гиперболический избыток скорости (а значит, и
потребное начальное приращение скорости) для оптимальных дат
старта может меняться в диапазоне 3 — 4 км/с. Время перелета

§ 7.4. ПОЛЕТ К ПЛАНЕТАМ
309
,ti2 = 200 — 250 сут при полете к Марсу и t^ = 107 — 113 сут при
полете к Венере [35].
Для проектно-баллистических расчетов удобпо пользоваться изо-
изолиниями гиперболического избытка скорости или потребного на-
начального приращения скорости в плоскости параметров «дата стар-
старта — дата прибытия». Эти изоэнергетические линии (так как
начальная высота фиксирована, то изменение скорости определяет
изменение энергии КА) представляют собой два семейства замкну-
замкнутых линий, одно из которых отвечает сближению КА с планетой на
первом полувитке, а второе — на втором (рис. 7.28). При прочих
Дата старта
Рис. 7.28. Примеры изолиний иотргбных скоростей a-Vi реализации межпла-
межпланетных траектории: а — сближение на первом получ«кз (Vx < F2< F3 <
< F4 < Vb); б — сближение на втором полувиакс (lrx < Fg < V < V' < УЛ
равных условиях траектория сближения на первом полувитке пред-
предпочтительнее, поскольку позволяет сократить время перелета. Чем
меньше размеры замкнутой изоэнергетической линии, тем меньше
потребная скорость. Если провести аналогию с изовысотными ли-
линиями, или линиями уровня в топографии, то окажется, что опти-
оптимальные условия перелета соответствуют «ямам» энергетических
ловерхностей, а два семейства линий разделены «энергетическим
хребтом», который возникает из-за некомпланарности орбит планет.
Только в частном случае, когда сближение с планетой происходит
вблизи линии узлов-, оба семейства линий сливаются в одно [67].
Для каждой оптимальной даты старта в зависимости от распола-
располагаемой энергетики орбитальной ступени ракеты-носителя существу-
существует множество траекторий перелета, которые отличаются потребным

310 ГЛ 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
приращением скорости и временем перелета. Из этих траекторий
можно выбрать такую, которая в большей степени удовлетворяет
всем дополнительным требованиям, связанным с решением постав-
поставленной задачи. Обычно в качестве дополнительных требований рас-
рассматривают условия наблюдаемости КА на начальном участке уда-
удаления от Земли, геометрические условия подлета к планете, ско-
скорость сближения с планетой и др.
§ 7.5. Последовательный облет нескольких небесных тел
На начальном этапе исследования космического пространства,
как известно, запускались КА, предназначенные для полета к од-
одной планете, например, Марсу или Венере. Это советские аппараты
типа «Марс» и «Венера», американские аппараты типа «Маринер»,
«Викинг» и «Пионер». Ограничения по располагаемым энергетиче-
энергетическим возможностям и по времени надежного функционирования
бортовых систем не позволяли решать более сложных задач, свя-
связанных с последовательным облетом нескольких небесных тел. По-
Повышение энергетических возможностей ракет-носителей и совершен-
совершенствование бортовых систем КА позволили уже сейчас перейти
к реализации программы многоцелевых полетов. За счет такого>
«совмещения» нескольких целевых задач в одну многоцелевую эко-
экономятся ресурсы на проведение космических исследований, сокра-
сокращается суммарное время получения научных результатов. При близ-
близком облете небесного тела КА совершает гравитационный, или пер-
пертурбационный маневр, получая некоторое приращение вектора ско-
скорости без включения двигательной установки. Вместе с тем при
последовательном облете нескольких небесных тел повышаются тре-
требования к системе навигации и управления КА.
Впервые гравитационный маневр в межпланетном полете был
осуществлен в 1974 году американским К А «Маринер-10» на марш-
маршруте Земля — Венера — Меркурий. Он пролетал на минимальном
расстоянии 5740 км от Венеры, получив приращение скорости около
4,5 км/с, а затем сблизился с Меркурием до 720 км. Из-за слабого
гравитационного поля Меркурия траектория КА после пролета этой
планеты практически не изменилась.
Для решения некоторых задач приходится сочетать гравита-
гравитационный маневр с активным, т. е. включать двигательную установ-
установку для дополнительного приращения вектора скорости. Обычно
большая величина приращения скорости приходится на гравитаци-
гравитационный маневр и лишь незначительная величина приращения скоро-
скорости обеспечивается двигательной установкой. Однако в целом может
достигаться существенный выигрыш. Например, в ряде случаев при
полете КА к Меркурию с использованием поля притяжения Вене-
Венеры активно-гравитационный маневр позволяет уменьшить вдвое по-
потребные энергетические затраты по сравнению с чистым гравита-
гравитационным маневром [56].

9 7.5. ОБЛЕТ НЕСКОЛЬКИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
311
7.5.1. Использование гравитационного маневра. Траекторией об-
облета нескольких планет называют такую траекторию, которая про-
проходит через их сферы действия. Эта траектория должна проходить
по крайней мере через сферы действия трех планет, включая плане-
планету отправления, промежуточную планету, которая используется для
гравитационного маневра, и планету назначения. Траектория слож-
сложного маршрута может проходить через сферы действия четырех и
большего числа планет.
Как показано в п. 7.2.3, довольно просто оценить максималь-
максимальную возможную величину приращения скорости КА при гравита-
гравитационном маневре, если пренебречь изменением вектора гелиоцент-
гелиоцентрической скорости планеты за время движения КА в ее сфере дей-
действия. Это максимальное возможное приращение равно круговой
•скорости в перицентре гиперболической траектории КА относитель-
относительно планеты, если гиперболической избыток скорости на входе в сфе-
сферу действия также равен указанной круговой скорости. Как из-
известно, круговая скорость в перицентре зависит от параметра \i
планеты и радиуса перицентра, который должен выбираться по воз-
возможности меньшим, гарантируя вместе с тем безопасный пролет
вблизи планеты.
В табл. 7.5 приведены оценки возможного изменения скорости
за счет гравитационного маневра в сферах действия различных пла-
планет. Под оптимальным маневром здесь имеется в виду вход в сферу
Таблица 7.5
Изменение скорости К А при гравитационном маневре [38]
Планета
Меркурий
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
Величина изменения скорости, км/с
при оптимальном
маневре
3,0
7,2
3,5
42,7
25,6
15,1
16,7
1,0
при перелете по
траектории типа
Гоманна
1,7
4,7
3,4
10,0
10,4
8,5
7,6
0,6
при перелете
по параболической
траектории
_
—
1.2
29,7
21,5
14,2
13,6
0.3
действия планеты с гиперболическим избытком скорости, равным
круговой скорости в перицентре гиперболической орбиты. Видно,
что наибольшее приращение скорости (~43 км/с) может быть по-
получено при гравитационном маневре в сфер* действия Юпитера.
При пролете Сатурна КА может получить ~26 км/с, Урана
~ 15 км/с, а Нептуна ~17 км/с. Если межпланетный перелет от
Землж совершается по траектории типа Гоманна, то приращение

312
ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
скорости при облете указанных планет не превысит 7—10 км/с.
В случае параболической межпланетной траектории, касающейся,
орбиты Земли, приращение скорости может достигать 13—30 км/с.
Заметим, что использование далеких планет для получения наи-
наибольшего приращения скорости КА в процессе гравитационного ма-
маневра достаточно проблематично из-за большого времени полета до>-
этих планет. Отсюда наиболее реальным представляется использо-
использование ближайших к земле планет, т. е. Венеры и Марса, а также
Юпитера. В последнем случае можно существенно уменьшить запас
топлива КА для полетов к Сатурну, Урану, Нептуну, Плутону,
Солнцу и вне плоскости эклиптики.
7.5.2. Активно-гравитационный маневр. Возможности гравита-
гравитационного маневра в поле притяжения планеты ограничены. Поэто-
Поэтому в ряде задач возникает необходимость сочетания гравитацион-
гравитационного маневра с активным, когда за счет включения двигательной
установки изменяется траектория движения КА. При этом «вклад»
активной составляющей манев-
маневра должен быть по возможно-
возможности меньше, чгобы уменьшить
потребный запас топлива. Обыч-
Обычно рассматривают 1—2 включе-
включения двигательной установки^
что в импульсной аппроксима-
аппроксимации равносильно приложению
1—2 импульсов скорости.
Одноимпульсный маневр со-
соответствует переводу КА с од-
одной гиперболической траекто-
траектории на другую, так как вход в
сферу действия планеты и вы-
выход из сферы действия проис-
происходит по гиперболическим тра-
траекториям. Двухимпульсное из-
изменение скорости предполагает
перевод КА с начальной гипер-
гиперболической траектории на не-
некоторую промежуточную, а за-
затем с промежуточной — на ко-
конечную гиперболическую тра-
траекторию. В зависимости от цели маневра может меняться величина
и направление вектора скорости на выходе из сферы действия.
Следуя работе [75], рассмотрим задачу одноимпульсного переле-
перелета между гиперболическими орбитами. Такая задача возникает при
оптимизации активно-гравитационного маневра в сфере действия
планеты. Будем считать, что заданы входная F«,i и выходная F^a
величины гиперболического избытка скорости, а также угол у из-
изменения направления движения (рис. 7.29). Требуется определить
Рис 7 29 Схема перелета между гипер-
гиперболическими орбитами

§ 7 5 ОБЛЕТ НЕСКОЛЬКИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 313
величину ДУ импульсного изменения скорости и точку, в которой
•осуществляется маневр.
Возможны 4 типа одноимпульсных переходов между гиперболи-
гиперболическими орбитами. С нисходящей ветви начальной гиперболической
орбиты КА может перейти на нисходящую или восходящую ветвь
конечной гиперболической орбиты. Точно так же с восходящей вет-
ветви начальной гиперболической орбиты КА может перейти на ни-
нисходящую или восходящую ветвь конечной гиперболической орбиты.
В результате активно-гравитационного маневра угол изменения
направления движения f будет складываться из угла а между вход-
входными асимптотами начальной и конечной гиперболических орбит
и полного угла поворота 0ПОлн = 2(Ь для конечной гиперболической
•орбиты, т. е.
Ч=а + 2?2. G.5.1)
Из треугольников ABC и ADF на рис. 7.29 следует, что
Z СВА (? р) z CAB JL р Z DAF
Z СВА = я - (-?- - рх) - z CAB = JL + рх - Z DAF =
или
а = Pi-fa+ 02-01. G.5.2)
Здесь di, Ог — угловые расстояния от перицентров до точки манев-
маневра для начальной и конечной гиперболических орбит @ > 0 при
повороте по ходу часовой стрелки от перицентра до рассматривае-
рассматриваемой точки). Нетрудно проверить, что соотношение G.5.2) справед-
справедливо для любого из четырех перечисленных ранее типов одно-
импульсных перелетов между гиперболическими орбитами. С учетом
G.5.1) и G.5.2) имеем
Т = h + fc + 02 -0ь G.5.3)
Следовательно, угол изменения направления движения зависит от
геометрических характеристик начальной и конечной гиперболиче-
гиперболических орбит и положения точки маневра.
Обычно при рассмотрении активно-гравитационного маневра ми-
минимизируется величина приращения скорости ДУ за счет работы
двигательной установки. Чтобы получить результаты анализа в бо-
более общем виде, отнесем ДУ и V«,2 к Уо.1, т. е. введем величины
АГ-АУ/У.ь V^V^/V^, G.5.4)
а в качестве параметра, характеризующего минимальное расстояние
пролета КА относительно планеты, рассмотрим
TV
vn =
G.5.5)

314 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
где гп — радиус перицентра, \х — произведение постоянной притя-
притяжения на массу планеты.
Вычислим величину AV. Из векторного треугольника в точке?
приложения импульса имеем
AV = Vv\ + V\ - 2V,V2 cos (Э2 - GJ, G.5.6>
где Vi, V2 — скорости в точке маневра на начальной и конечной
гиперболических орбитах, а 0Ь 02 — углы наклона траектории в этой
точке. С помощью интеграла энергии B.2.1) и значения его по-
постоянной для гиперболической орбиты h = Vt> найдем величину
скорости на расстоянии г:
V = Vv(~ + -\). G.5.7)
Здесь
a = -^- G.5.8V
r oo
— величина действительной полуоси гиперболической орбиты. Да-
Далее, используя соотношения B.3.7) и B.3.8), получим
V Ч. 1/^~2
cos 9 == -— == + е cos =
К 1 + 2е cos # -\- е2
ИЛИ
cos 6 = —. 1 , G.5.9>
так как согласно B.4.19)
1 if Г
COS Опред = , Sin Опред =1/1 jf
И
tg Р = tg ^пред г) = ~ Ctg °пРея = /7
Для синуса утла наклона траектории имеем формулу
sin9= ±
Знак минус отвечает нисходящей ветви гиперболической орбиты (до-
пролета перицентра), а знак плюс соответствует восходящей ветви
(после пролета перицентра).

§ 7.5. ОБЛЕТ НЕСКОЛЬКИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
315
С помощью соотношений G.5.7), G.5.9), G.5.11) можно пре-
преобразовать G.5.6) к следующему Виду:
AV = /JL ¦
' а
2 1/J.
± /^B+ ^
откуда
г г" tg Px tg
1±
^-! у _^B + 4.
1/2
, G.5.12)
G.5.13)
Используя теперь уравнение орбиты B.2.31), получим формулы
для вычисления угла Ф:
cosO= (_L_i ")_*_ =
Ц
г 1
а в2_1
МЛИ
COS
cos2 P — — sin2
г
м
sin О
— I cos2 P — — sin2
sinp
G.5.14)
G.5.15)
Знак в G.5.15) выбирается согласно приведенному ранее правилу.
Из соотношения G.5.3) имеем
«отсюда
— Pi — Р2) = cos Oi cos O2 + sin Oi sin

316 Г Л 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
и'с учетом соотношений G.5.13) — G.5.15) получим
(cos2pi-7:'sm2pi) (cos2p2 -4-зш2
cos(Y- Рх- Ря) = ^ - ±
L— sin p sin p
а * 2
cos
-j-
jCosP,, V?* sin2pi - cos2P1 + 27 sin2 p 1 / ^_sin2p -cos2Po f ~ sin2p
V a a
2
r
-^r sin P sin
а затем
~2
-^- sin Pj sin P2 cos (y — Pj — p2) —
a
cos2 P2 ^r sin2 P2 = 4= cos Pj cos p2 X
a /
\/ (r2 sin2 px —
X \/ (r2 sin2 px — cos2 ^ + 27sin2 px) (^ sin2 P2 — cos2 P2 + ^ sin2
Возводя обе части в квадрат и собирая коэффициенты при одинако-
одинаковых степенях г, найдем после несложных преобразований
45 sin2 px sin2 p2 ([cos2 (Y - Рх - Ря) -
— 2 sin Pi sin p0 cos (у — ^ — р9) + sin2 px sin2 p2 — cos2 px cos2 f>2] 72 4-
COS Pi C0S Po
y2
~ л 1 ~ COS Pi C0S Po
(cos*?, + acos2p.)jr + tgyitg|J22 X
Г У,,»» cosp2 _ ^ cosPlt.p, 1| =
^ [ совР^дРз vr ч l2/ ' tgPlCosPa|)
Поскольку г sin Pi sin ^2 ^ 0, то это уравнение равносильно следую-
следующему:
Ar2 + Br + C = 0, G.5.16)
где
А = [cos (у — рх — р2) + sin px sin Р2]2 — cos2 px cos2 p2,
Pi ^
tgpltgp2 c
— (E08^! + acos2p2)Jr
С08Р1С0вРа F^tgP.COsP, COs
[ COSVY-P-P) +

§ 7 5 ОБЛЕТ НЕСКОЛЬКИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 317
Коэффициенты уравнения G.5.16) зависят от углов f, Рь Рг и
параметра а = a<Ja\. Величина угла f задана по условиям маневра.
Углы Рь (Ь определяются заданными величинами гиперболических
избытков скоростей и выбираемыми радиусами перицентров для на-
начальной и конечной и гиперболических орбит. Действительно, со-
согласно B.4.25) и G.5.5) имеем
Определив коэффициенты А, В, С, вычислим затем корни урав-
уравнения G.5.16) и после подстановки г в G.5.12) найдем нормиро-
нормированную величину потребного для маневра импульса скорости.
Предположим теперь возможность выбора vni и vn2, т. е. радиу-
радиусов перицентров начальной и конечной гиперболических орбит.
Тогда подбором vni и vn2 можно обеспечить минимальную величи-
величину AV; будем называть такой маневр оптимальным (при заданных
значениях f и |).
Рассмотрим теперь частный случай маневра, когда переход про-
происходит в совпадающих перицентрах гиперболических орбит с по-
помощью касательного к траектории импульса скорости. Условимся
называть такой переход перщентралъным. В этом случае Oi = О2 =="
= 0. Отсюда
Т = Pi + Р2 G.5.18)
и с учетом G.5.14) получим
cos2^— г sin2 Pj = rsinPj, G.5.14a)-
cos2 p2 — 4- sin2 P2 = 4- sin p2. G.5.146)
а а
Исключив из этих соотношений величину г, найдем уравнение, свя-
связывающее Pi и рг:
sin 6О
sin В. = ^ ё . G.5.19)
11 e + (l— a)sinp v '
2
Далее воспользуемся G.5.18) для исключения угла Pi из G.5.19),.
тогда получим уравнение для определения угла §2
sin (v — В.) = я 8-^Ь . G.5.20)
™ a+A_a)sinp2
Решив это уравнение, вычислим по формуле G.5.19) угол fii и за-
затем из соотношений G.5.14а) или G.5.146) определим величину г,
необходимую для расчета AF.
Для перицентрального перехода с помощью касательного им-
импульса скорости углы наклона траектории 0i = 02 — 0, поэтому

-318 ГЛ. 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
•формула G.5.6) упрощается
и с учетом G.5.7), G.5.13) имеем в этом случае
AV =
у
G.5.21)
Подставляя сюда найденное значение Я, вычислим AV.
Обсудим теперь результаты численных расчетов задачи одноим-
пульсного перелета между гиперболическими орбитами [75]. За-
Заданными характеристиками маневра является отношение гипербо-
гиперболических избытков скоростей конечной и начальной орбит V =
= Foo2/"^ooi, а также угол изменения направления движения "f- Эти
величины отложены соответственно по осям абсцисс и ординат на
рис. 7.30, 7.31. При построении графиков оказалось возможным
ограничиться величинами V > 1, так как в случае 0 < V < 1 имеет
место «зеркальное» решение с равными значениями потребной ве-
величины AV. Выходными величинами являются потребное относи-
относительное приращение скорости AF = AF/Fool и параметр vn =
= ^Li^n/M- = V^i/V^F (гп), который отвечает расстоянию наибольше-
наибольшего сближения с планетой.
На рис. 7.30 показаны характеристики перицентр ал ьных переле-
перелетов между гиперболическими орбитами. Ось ординат (V = 1) отве-
отвечает предельному случаю, когда гиперболические избытки скорости
равны, а перелет осуществляется без приложения импульса скоро-
скорости только за счет надлежащего выбора угла
Ось абсцисс (ч = 0) соответствует прямолинейной траектории,
когда импульс скорости прикладывается за пределами сферы дей-
действия по направлению движения КА (или против направления
движения). Теоретическая верхняя граница угла поворота траекто-
траектории ч = 180°. При приближении к ней имеем vn ->- 0, AV -*- 0. Ре-
Реальная верхняя граница должна определяться с учетом допустимо-
то расстояния пролета, т. е. иметь вид кривых vn = const.
На рис. 7.31 построены аналогичные зависимости для оптималь-
оптимальных переходов. В целом характер кривых AV = const не меняется,
хотя они несколько смещены вправо вниз по сравнению с рис. 7.30.
Это объясняется уменьшением величины AV при тех же значениях
"V и Y- Для оптимального маневра параметр vn отвечает гиперболи-
гиперболической орбите, по которой совершается пролет перицентра.
В качестве примера рассмотрим случай, когда необходимо обес-
обеспечить отношение гиперболических избытков скоростей конечной и
начальной орбит V = 1,9 и угол изменения направления движения
«у = 55°. Тогда в случае перицентрального перехода AV = 0,5 vn =•
= 0,7. При оптимальном переходе имеем AV = 0,2, vn = 0,5.

§ 7.5. ОБЛЕТ НЕСКОЛЬКИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
у.арад »п=о
.0,005
120
60
319
Рис. 7.30. Характеристики одноимпульсных перицентральных перелетов между
гиперболическими орбитами
у,град
180
ЛУ=0
Рис. 7.31. Характеристики оптимальных одноимпульсных перелетов между
гиперболическими орбитами
Оптимальный одноимпульсный переход можно реализовать толь-
только в том случае, когда наибольшее сближение с планетой отвечает
требованиям безопасности полета. Если требования безопасности на-
нарушаются, необходимо искать оптимальное решение с учетом огра-
ограничения на минимальное допустимое расстояние до поверхности
планеты. Б некоторых случаях это расстояние определяется требо-

320
ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
ваниями программы полета. На рис. 7.32 в качестве примера по-
построены характеристики одноимпульсного перелета при угле изме-
изменения направления движения у = 90° в зависимости от минималь-
минимального расстояния сближения (параметра vn). Величина AF достига-
достигает минимума при оптимальных маневрах. Результаты расчетов
AVr
Перицентрамьные
переходы
Рис. 7.32. Одноимпульсные переходы между гиперболическими орбитами при
изменении направления движения на 90°
показывают, что в области, лежащей правее линии перицентраль-
ных переходов, имеет место переход с восходящей ветви начальной
гиперболической орбиты на восходящую ветвь конечной гиперболи-
гиперболической орбиты (переход после перицентра). В области, лежащей
левее линии перицентральных маневров, имеют место переходы с
нисходящей ветви начальной гиперболической орбиты на нисходя-
нисходящую ветвь конечной гиперболической орбиты (переход от пери-
перицентра). В последней области находятся и оптимальные маневры
при V > 1. В случае V <¦ i указанные области меняются местами.
Кривая, отвечающая условию V = 1, содержит точку, для кото-
которой AV = 0 и которая определяет траекторию облета планеты без
приложения импульса скорости. Геометрические места точек, соот-
соответствующие оптимальным и пегрицент.ральньш маневрам, включают
ту же самую точку. При V = 1 необходимый угол поворота можно
получить без приложения импульса скорости, а лишь за счет вы-
выбора перицентрального расстояния.
Если ^ < 90°, то зависимости AF(vn, V) становятся более поло-
пологими, а при Y < 90° — более крутыми.

§ 7.5. ОБЛЕТ НЕСКОЛЬКИХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
321
7.5.3. Примеры последовательного облета небесных тел. Обсудим
наиболее интересные примеры реализации межпланетных траекто-
траекторий с последовательным облетом нескольких небесных тел. 20 ав-
августа 1977 года был запущен американский КА «Вояджер-2» по
маршруту Земля — Юпитер — Сатурн — Уран — Нептун. Такую
траекторию часто называют «Гранд тур» (Grand Tour—«Великое
путешествие»). Основные цели запуска включали исследование ат-
атмосфер Юпитера и Сатурна, Большого красного пятна Юпитера,
колец Сатурна, гравитационных полей Юпитера и Сатурна, некото-
некоторых характеристик их спутников, а также планетной системы Ура-
Урана [82]. Благоприятное расположение планет для реализации по-
подобной траектории повторится только в 2154 году.
В табл. 7.6 представлены основные этапы полета КА «Вояд-
«Вояджер-2» и минимальные расстояния до планет (по уточненным дан-
данным), а на рис. 7.33 показана схема траектории полета. После
Таблица 7.6
Основные этапы и параметры траектории полета КА
«Вояджер-2»
Событие
Запуск с Земли
Пролет на минимальном
Юпитера
Пролет на минимальном
Сатурна
Пролет на минимальном
Урана
Пролет на минимальном
Нептуна
расстоянии
расстоянии
расстоянии
расстоянии
от
от
от
от
Дата
20 августа
1977 года
9 июля
1979 года
25 августа
1981 года
24 января
1986 года
24 августа
1989 года
Расстояние, км
700000
101000
81200
1300
сближения с Нептуном КА «Вояджер-2» должен покинуть Солнеч-
Солнечную систему, двигаясь в направлении созвездия Козерога. В про-
процессе полета КА «Вояджер-2» неоднократно проводилась коррекция
траектории. При сближении с планетами была получена информа-
информация, представляющая большой научный интерес. Предполагается,
что связь с КА «Вояджер-2» будет поддерживаться в течение
30 лет. За это время он удалится на расстояние ~15 млрд. км от
Земли.
15 и 21 декабря 1984 года были запущены советские автомати-
автоматические межпланетные станции (АМС) «Вега-1» и «Вега-2» в рам-
рамках международного проекта «Венера-Галлей» (сокращенно проект
«Вега») [26]. Впервые реализована траектория последовательного
сближения с планетой Венерой и кометой Галлея (рис. 7.34). Ор-
Орбиты этих небесных тел существенно отличаются. Так, планета
Галлея движется по сильно (вытянутой гелиоцентрической орбите

Рис. 7.33. Схема полета КА «Вояджер»
Земля I
Off. 03.8 6$
Комета и К А
6.03.86 /303 млн.км
Земля
11.06.85
Рис. 7.34. Схема полета советских АМС «Вега» после сближения с Венерой:
1 — траектория КА «Вега»; 2 — восходящий узел орбиты кометы; 3 — орбита
кометы Галлея; 4 — нисходящий узел орбиты кометы

§ 7 6 ПОЛЕТ В СТОРОНУ СОЛНЦА 323
с периодом обращения ~7Ь лет. Афелий находится на расстоянии:
~5,28 млрд. км, а перигелий — на расстоянии ~88 млн. км, т. е.
внутри орбиты Венеры.
Уникальная возможность перелета АМС «Вега» по маршруту
Земля — Венера — комета Галлея с небольшими энергетическими
затратами достигнута благодаря использованию гравитационного
маневра при сближении с Венерой и несущественной коррекции
скорости для перевода АМС на траекторию сближения с кометой
Галлея.
В середине июня 1985 года от каждой АМС был отделен спу-
спускаемый аппарат, совершивший посадку на поверхность Венеры.
При прохождении атмосферы планеты от спускаемого аппарата от-
отделялся аэростатный зонд для автономного плавания в облачном
слое на высоте около 50 км. Пролетный аппарат использовался для
ретрансляции на Землю информации, поступавшей от спускаемого
аппарата и аэростатного зонда. После этого оба пролетных аппара-
аппарата с помощью активного маневра были направлены на траекторию
сближения с кометой Галлея. Сближение произошло в первой поло-
половине марта 1986 года. Минимальное расстояние составило
~ 10 тыс. км, а относительная скорость достигала ~80 км/с. В ре-
результате проведенных сеансов исследования кометы Галлея полу-
получена весьма ценная научная информация.
Сложность решения задачи столь тесного сближения АМС с ко-
кометой Галлея была обусловлена тем, что точность априорного зна-
знания траектории движения кометы оказалась на два порядка хуже
требуемой. Поэтому уже в процессе полета АМС «Вега-4» и «Ве-
га-2» совместными усилиями советских и зарубежных ученых, осу-
осуществлявших наземные наблюдения за движением кометы, удалось
обеспечить требуемую точность только к моменту сближения. Вме-
Вместе с тем сами АМС в сеансе высокоточных измерений угловых
координат кометы Галлея при максимальном сближении с ней по-
позволили существенно повысить точность определения положения
кометы. Эти результаты были необходимы для оперативного наве-
наведения в точку наибольшего сближения с кометой Галлея европей-
европейского КА «Джотто», который осуществил сближение через пять
дней после пролета кометы советскими АМС «Вега».
§ 7.6. Полет в сторону Солнца
Обсудим задачу полета КА в сторону Солнца, центрального при-
притягивающего тела нашей планетной системы. Исследование около-
солнечнего космического пространства представляет несомненный
практический интерес, однако выведение КА в эту область требует
больших энергетических затрат.
Возможны следующие основные схемы геоцентрической траекто-
траектории К А в сторону Солнца:
1. Полет по траектории типа Гоманна.

243 ГЛ. 7. ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
2. Полет по биэллиптической траектории с предварительным
удалением от Солнца.
3. Полет по биэллиптической траектории с гравитационным
(активно-гравитационным) маневром в сфере действия внешней
планеты, имеющей сильное гравитационное поле.
При запуске в сторону Солнца не требуется вывести КА на
близкую гелиоцентрическую круговую орбиту. Поэтому первая схе-
схема полета реализуется с помощью одного (тормозного) импульса
скорости, который сообщается КА на орбите Земли. Вторая схема
требует двух импульсов скорости. Первый (разгонный) сообщается
КА на орбите Земли, а второй (тормозной) сообщается КА в афе-
афелии траектории полета. Третья схема отличается тем, что второй
импульс скорости заменяется гравитационным (или активно-гра-
активно-гравитационным) маневром с целью уменьшения потребного запаса
топлива.
Перечисленные схемы полета отличаются от аналогичных манев-
маневров при перелете между круговыми орбитами отсутствием послед-
последнего импульса скорости, который обеспечивает выход на заданную
круговую орбиту. В результате существенно снижаются потребные
энергетические затраты. Вместе с тем области целесообразного при-
применения двух первых схем полета, определенные в гл. 5, могут
существенно трансформироваться.
Оценим потребные энергетические затраты и время движения
для каждой из обсуждаемых схем полета и выявим области их ра-
рационального применения.
С целью упрощения внешней задачи, т. е. расчета гелиоцентри-
гелиоцентрического участка траектории, будем полагать орбиту Земли круго-
круговой радиуса г3.
Решение внутренней задачи, т. е. расчет геоцентрического участ-
участка траектории, не зависит от выбранной схемы полета на гелио-
гелиоцентрическом участке.
7.6.1. Полет по траектории типа Гоманна. Эта схема предпола-
предполагает использование на гелиоцентрическом участке траектории типа
Гоманна, афелий которой расположен на уровне орбиты Земли (г3),
а перигелий — на заданном минимальном расстоянии от Солн-
Солнца (га). Потребный импульс скорости по существу является гипер-
гиперболическим избытком скорости в геоцентрическом движении КА на
выходе из сферы действия Земли и вычисляется по формуле ви-
да E.1.41):
или

§ 7.6. ПОЛЕТ В СТОРОНУ СОЛНЦА
325
Здесь FKp з — круговая скорость орбитального движения Земли, V^ =
= Voo/FKp3, ra = ra/r3. При такой дормирозке все расстояния изме-
измеряются в астрономических единицах (а. е.).
Вектор гиперболического избытка скорости КА на границе сфе-
сферы действия Земли должен быть направлен против вектора орби-
орбитальной скорости Земли. Это требование удовлетворяется путем
соответствующего выбора промежуточной круговой орбиты ИСЗ и
точки перевода КА на гиперболическую орбиту, по которой проис-
происходит полет до сферы действия Земли.
Используя соотношение B.5.10), получим формулу для расчета
времени движения на гелиоцентрическом участке от афелия до пе-
перигелия:
ля/
С== YJ- ~
2 V2 соорб
где а=(гп + 7з)/2 — большая полуось гелиоцентрической орбиты,
[Ас — произведение постоянной притяжения на массу Солнца, a>jPr> —
угловая скорость орбитального гелио-
гелиоцентрического движения Земли.
Пусть
2л;
tc,cud.aod
т =
Jop6
— сидерический год; тогда время доле- 05
та на гелиоцентрическом участке, ис- '
числяемое в годах,
^ = ^-=т4^A + ^K/2. G.6.2)
Зависимости Voo(rn) ж tc(rn) для
гелиоцентрического участка полета к
Солнцу по траектории типа Гомавна Рис- 735- Характеристики ге-
J г п г>г- г, лиоцентрического участка по-
приведены на рис. 7.35. Видно, что при лета к солнцу по траектории
изменении гп в диапазоне 0-^1 а. е. типа Гоманна
время полета находится в пределах
0,177-^0,5 года. Величина V ж при этом уменьшается от 1 до 0.
7.6.2. Полет по биэллиптической траектории. Схема полета по
биэллиптической траектории с предварительным удалением от Солн-
Солнца была предложена А. А. Штернфельдом [61] как более эконо-
экономичная для близкого облета Солнца. Оценим потребные энергети-
энергетические затраты для реализации такой схемы полета на гелиоцент-
гелиоцентрическом участке.
Как уже отмечалось, биэллиптическая траектория может быть
реализована с помощью двух импульсов скорости. Посредством пер-
первого импульса КА переводится с круговой орбиты Земли (радиу-
(радиуса г3) на эллиптическую орбиту с радиусам афелия га > га. Этот

326 ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
импульс скорости по существу является гиперболическим избытком
скорости в геоцентрическом движении КА и вычисляется по фор-
формуле
или
где AFi = AFi/FKP3, ra = rjr3.
В афелии траектории за счет второго импульса скорости, на-
направленного против движения, КА переводится на соосную эллипти-
эллиптическую орбиту с заданным радиусом перигелия гп. Суммарное по-
потребное приращение скорости на маневр вычисляется по формуле
вида E.2.1):
или
1+га ^Уг
G.6.3)
При заданной относительной величине радиуса перигелия га
суммарное нормированное приращение скорости AFS будет зависеть
от величины га > 1. Исследуем поведение функции AFs(ra) при
различных значениях параметра гп. С этой целью вычислим произ-
производную
и определим, при каких условиях эта производная обращается в
нуль. Видно, что
lim -^ = 0.
Кроме того, производная G.6.4) обращается в нуль, если равно
нулю соотношение, стоящее в скобках. Положим
и, возводя в квадрат, получим после несложных преобразований
Dгп -1O1 + GП + 47|) 71 + (г* + ;») 7а = о.

§ 7 6 ПОЛЕТ В СТОРОНУ СОЛНЦА 327
Здесь га Ф 0, поэтому должно выполняться условие
D7П - 1) rl + (гп + 4?2„) га + г" + rj = 0. G.6.5)
Если 4гп — 1 > 0, то уравнение G.6.5) не имеет положительных
корней. Если
гп<^а. в., G.6.6)
то уравнение G.6.5) имеет единственный положительный корень
Установим, при каких значениях гп выполняется требуемое ус-
условие гл> 1. Используя G.6.7), запишем это условпе в виде
гп Vb — 4гп>2 — 9г„ — 4г?. G.6.8)
Для рассматриваемых значений fп ^ 0 левая часть G.6.8) опреде-
определена и неотрицательна в диапазоне 0 =^ гп ^ 1,25 а. е., причем в гра-
граничных точках она обращается в нуль. Правая часть G.6.8) опре-
определена при всех значениях гп ^ 0, но неотрицательна только в диа-
диапазоне 0 ^ гп < 0,2038 а. е. Она обращается в нуль при гп =*
= 0,2038 а. е. и равна 2 при гп — 0. Поэтому знак равенства в соот-
соотношении G.6.8) возможен при единственном значении гп, принад-
принадлежащем диапазону 0 -г 0,2038 а. е. Ограничив таким образом
диапазон существования Гп, возведем обе части соотноше-
соотношения G.6.8) в квадрат и после некоторых преобразований получим
(rS + 57-5 + 5г„- 1) D7П- 1)<0.
С учетом G.6.6) второй сомножитель отрицателен. Отсюда видно,
что условие ra ^ 1 выполняется при
ri + 57? + 57:n-l>0. G.6.9)
Уравнение
?п + 5г^ + 57П — 1 = 0
лмеет единственный положительный корень
7; = 0,1701 а. е.
Таким образом, для значений параметра, принадлежащих диапазону
0,1701 а. е. < гп < 0,25 а. в., G.6.10)
существует такое значение га, вычисляемое по формуле G.6.7) и
удовлетворяющее условию га^1, которое обращает в нуль произ-

328 ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
водную G.6.4). Для всех остальных значений параметра гп, т. е. при
О ^гп< 0,1701 а. е. и 0,25 а. е. < гп < 1 а. е., G.6.11)
производная dAVJdr& не обращается в нуль, и зависимость AFs(ra)
является монотонной.
Покажем, что в точке га достигается максимум зависимости
AVz(ra). Непосредственной подстановкой значения G.6.7) в G.6.4)
можно убедиться, что
2 =0. G.6.12)
Определим знак второй производной
Дифференцируя G.6.4) по га, получим с учетом G.6.12)
dr\
Следовательно, при га = г\ зависимость AFs(ra) имеет максимум,
если параметр гп принадлежит диапазону G.6.10). В таком случае
наименьшая величина AFS будет достигаться либо при га = 1 а. е.,
когда биэллиптическая траектория трансформируется в траекторию
типа Гоманна, либо при га ->¦ °°, когда реализуется предельная би-
биэллиптическая траектория. Точно так же определяется оптимальная
по энергетике схема полета, если параметр гп принадлежит диапа-
диапазонам G.6.11), когда зависимость АГ2(га) имеет монотонный ха-
характер.
Сравним потребное приращение скорости на маневр в случаях
перелетов по траектории типа Гоманна (га = 1 а. е.) и по предель-
предельной биэллиптической траектории (га-»-«>). Согласно G.6.3) имеем
\im AF2(?a)= /2 — 1.
7а-^оо
Условие
или

§ 7 6 ПОЛЕТ В СТОРОНУ СОЛНЦА
329
можно после избавления от квадратного корня привести к виду
3 — 2 У 2
2A/2-1)'
или
гп> 0,2071 а. е.
Итак, показано, что при близком пролете Солнца, когда
0 ^гп^ 0,2071 а. е., G.6.13)
более экономичной оказывается биэллиптическая траектория с до-
достаточно большим радиусом афелия. При дальнем пролете Солнца,
когда
0,2071 а. е. < гп < 1 а. е., G.6.14)
более экономичной оказывается траектория типа Гоманна.
Время полета по биэллиптической траектории к Солнцу склады-
складывается из времен полета по двум полуэллипсам и вычисляется
по формуле, аналогичной
G.6.2):
(г„
или в единицах
ского года
сидериче-
сидериче41/2
G.6.15) о,4 -
На рис. 7.36 показаны о,ъ
характеристики биэллипти-
биэллиптической траектории полета к g,z
Солнцу: Г», AFS и tG. Вид-
Видно, что при га = 0,1 ч- 0,2 а. е.
уменьшение радиуса от бес-
бесконечно большой величины
до Т& = 20 а. е. приводит к
увеличению AF? не более
чем на 0,015. При этом вре-
время полета сокращается до
33 лет.
Отметим, что время по-
полета по биэллиптической траектории слабо зависит от величины гп.
Например, уменьшение га от 0,5 а. е. до 0,1 а. е. приводит к сокра-
0,1
Рис 7 36 Характеристики гелиоцентриче-
ского У^стка полета к Солнцу по биэл-
липтическои траектории

330 ГЛ. 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
щению времени полета на 0,1 -^ 0,5 года соответственно для
г& = 1 — 20 а. е. Построенная на рис. 7.36 зависимость tG ('"а) от~
вечает значению гп = 0,1 а. е., но ею можно пользоваться для лю-
любых значений гп в рассматриваемом диапазоне га = 0,1 -f- 0,5 а. е.
Если время полета не должно превышать 10 лет, то следует
ограничить радиус афелия га величиной порядка 9 а. е. Это вызы-
вызывает увеличение второго импульса скорости на 0,1 в случае гп =
= 0,2 а. е. и на 0,3 в случае га = 0,1 а. е. по сравнению с траекто-
траекторией, имеющей бесконечно большой радиус афелия.
Если же время полета не должно превышать 5 лет, то в слу-
случае гп = 0,2 а. е. второй импульс скорости увеличивается на 0,15,
а в случае га = 0,1 а. е. увеличивается на 0,35.
7.6.3. Полет по биэллиптической траектории с гравитационным
маневром в афелии. Второй (тормозной) импульс скорости, сообща-
сообщаемый КА в афелии, можно частично или полностью заменить гравита-
гравитационным маневром, если согласовать момент достижения афелия с
входом в сферу действия планеты, имеющей сильное гравитационное
поле.
Для получения эффекта уменьшения гелиоцентрической скоро-
скорости КА облет планеты должен совершаться против ее орбитального
движения (аналогично траектории облета Луны с последующим
возвращением к Земле). Задача гравитационного маневра подробно
рассмотрена в п. 7.5.1. Было показано, что при оптимальных усло-
условиях входа в сферу действия планеты максимальное возможное
приращение скорости равно круговой скорости в перицентре. Если
подлет КА к сфере действия планеты происходит по траектории
типа Гоманна, то приращение скорости за счет гравитационного
маневра существенно уменьшается.
Для полета к Солнцу целесообразно использовать гравитацион-
гравитационное иоле Юпитера. Так, при оптимальном маневре максимальное
возможное приращение скорости КА может достигать 42,7 км/с.
При входе в сферу действия Юпитера по параболической
траектории возможное приращение скорости КА за счет гравитаци-
гравитационного маневра уменьшается до 30 км/с. Если же подлет КА к сфере
действия Юпитера происходит по траектории типа Гоманна, воз-
возможное приращение скорости составляет 10 км/с. Между тем, если
рассматривается задача пролета Солнца на расстоянии га = 0,2 а. е ,
а радиус афелия га = 5,2 а. е. достигает орбиты Юпитера, то тор-
тормозной импульс скорости в афелии траектории равен 3,76 км/с (при
этом время полета на гелиоцентрическом участке 4,7 лет). Следо-
Следовательно, возможности коррекции скорости КА за счет гравита-
гравитационного маневра в сфере действия Юпитера оказываются
существенно больше, чем требуется для реализации такой
траектории.
Избыточные возможности гравитационного маневра целесообраз-
целесообразно использовать, например, для сокращения времени полета к Солн-
Солнцу. В этом случае траектория будет несколько отличаться от бп-

§ 7.6. ПОЛЕТ В СТОРОНУ СОЛНЦА 334
эллиптической. Так, в работе [90] показано, что, увеличивая на-
начальную скорость КА при старте с орбиты ИСЗ и используя гра-
гравитационный маневр в сфере действия Юпитера, можно обеспечить
пролет Солнца на расстоянии гп = 0,2 а. е. через 3 года после
старта.
Маневр в гравитационном поле Юпитера можно использовать
также для выведения КА на траекторию пролета вблизи Солнца
с выходом из плоскости эклиптики [60].
Еще большие возможности обеспечивает активно-гравитацион-
активно-гравитационный маневр, рассмотренный в п. 7.5.2.
Использование других планет для гравитационного маневра КА,
в частности Сатурна, едва ли оправдано из-за резкого возрастания
продолжительности полета.
7.6.4. Расчет геоцентрического участка траектории полета к Солн-
Солнцу. Для расчета геоцентрического участка траектории к Солнцу
(внутренняя задача) исходным является заданный вектор гипербо-
гиперболического избытка скорости V«, на границе сферы действия Земли.
Как уже отмечалось, в случае траектории типа Гоманна вектор ско*
рости VM должен быть направлен против вектора V3 орбитальной
скорости Земли, а в случае биэллиптической траектории вектор V»,
должен быть коллинеарен V3. Величина вектора V«, зависит от
требуемого минимального расстояния до Солнца га.
Поскольку в рассматриваемой задаче вектор V», является сво-
свободным, его можно поместить в начало геоцентрической системы
координат и использовать для задания направления асимптоты гео-
геоцентрической гиперболической орбиты. Величина V% определяет
постоянную интеграла энергии гиперболической орбиты.
Будем полагать, что точка старта на поверхности Земли фикси-
фиксирована, а азимут запуска задан по соображениям безопасного вы-
выведения. Тем самым однозначно определяется наклонение получае-
получаемой промежуточной околоземной орбиты, на которую предваритель-
предварительно выводится КА. Момент старта выбирается так, чтобы вектор V»
оказался в плоскости промежуточной орбиты. Это всегда возможно,
если только склонение вектора V«, не больше наклонения получае-
получаемой орбиты. С учетом суточного вращения Земли каждые 24 часа
существуют два благоприятных момента для запуска на промежу-
промежуточную орбиту. Обычно в качестве промежуточной выбирают орби-
орбиту высотой 200—300 км. После выхода на промежуточную орбиту
КА должен достигнуть заданной точки старта для перехода на ги-
гиперболическую орбиту. Такая точка существует на каждом витке.
Она определяется условием получения заданного вектора V,».
Будем рассматривать одноимпульсный переход КА с круговой
орбиты в перицентр гиперболической орбиты.
Величина потребного приращения скорости для перевода КА с
круговой орбиты на гиперболическую определяется по формуле
Д^о = Vr (г0) - FKp (г0) = /2У?р(г0) + П - FKp (г0),

332 ГЛ 7 ПОЛЕТ К ЛУНЕ И ПЛАНЕТАМ
или
.с- ЬУ„
где г0—радиус круговой околоземной орбиты, Уг(г0)—скорость в
перигее гиперболической орбиты, УкР(го)—круговая скорость на
околоземной орбите, Vm = VJV^^q).
Время полета по гиперболической траектории от перигея до
сферы действия Земли определим по формуле B.5.19)
„3/2
h = y^r (e sh Яд - Яд), G.6.17)
где а — продольная полуось гиперболической орбиты, е — ее экс-
эксцентриситет, |л3 — произведение постоянной притяжения на массу
Земли, Яд — вспомогательная величина, вычисляемая из усло-
условия B.5.17)
Здесь Од — истинная аномалия, соответствующая точке пересечения
гиперболической орбиты со сферой действия Земли.
Для расчета геоцентрического участка траектории полета опре-
определяющей является величина V^, поэтому выразим все постоянные,
входящие в соотношения G.6.17) и G.6.18), через V«>. С учетом
B.4.33) преобразуем постоянный множитель в G.6.17)
„3/2 Un
= Ч-' G.6.19)
Для эксцентриситета пшррболической орбиты имеем согласно
B.4.25)
6 = 1+^=1 + 7^. G.6.20)
Используя G.6.19), G.6.20), перепишем соотношение G.6.17)
в виде
или
h = —is" [A + V2J sh Яя - Яд], G.6.21)
где
tn=tR/T0, Го =
— период обращения на промежуточной круговой околоземной ор-
орбите.

§ 7 6 ПОЛЕТ В СТОРОНУ СОЛНЦА
333
Теперь с помощью G.6.20) исключим эксцентриситет из G.6.18):
V
/2
G.6.22)
Величину угла
и далее
найдем из условия
COS Фя =
_±_ I _Л_ \
cos Фд =
l) @<#0<я), G.6.23)
где гя = Гд/Vo, гя — радиус сферы действия Земли.
Формулы G.6.16) и G.6.21)—G.6.23) позволяют вычислить от
иосительные величины потребного приращения скорости AF и вре-
времени полета ?д на геоцентрическом участке траектории в зависимо-
зависимости от требуемой величины относи-
относительного гиперболического избытка ско- AvntA
расти Too.
Значения V'*, для внешней задачи
и Foo для внутренней задачи связаны
условием
V V (г \
Если высота околоземной круговой
орбиты Нкр = 200
= 29,79 км/с, то
V
22
км, a VKp 3 ¦=
— и^о
Рис 7 37. Характеристики тра-
траектории полета с круговой ор-
орбиты ИСЗ до сферы действия
Земли
На рис. 7.37 построены характери-
характеристики гиперболической орбиты внут-
внутри сферы действия Земли. Величина ?д существенно уменьшает-
уменьшается с увеличением V*,. Однако даже для малых значений F*. ~ 0,5
имеем ?д ~ 40. Период обращения на круговой околоземной орбите
высотой 200 км равен 1,5 час. Отсюда время полета КА с круговой
орбиты до сферы действия Земли составляет всего 2,5 сут, что су-
существенно меньше времени полета на гелиоцентрическом участке
траектории. Поэтому во многих задачах можно пренебречь продол-
продолжительностью геоцентрического участка по сравнению с гелиоцент-
гелиоцентрическим.

ГЛАВА 8
ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Рассмотренная модель движения КА в центральном поле при-
притяжения является одной из наиболее простых и хорошо изученных.
в механике космического полета. Эта модель во многих случаях
описывает основные закономерности движения и позволяет уста-
установить ряд качественных характеристик движения. Вместе с тем
в некоторых случаях помимо силы притяжения центрального тела
приходится учитывать и другие силы, действующие на КА. На-
Например, силу притяжения второго небесного тела или нескольких
тел, силы, обусловленные нецентральностью поля притяжения,
аэродинамические силы при движении в атмосфере, силу светового
солнечного давления, наконец, силу, которая порождается магнит-
магнитным полем центрального тела, и др. Все силы, кроме силы при-
притяжения центрального тела, принято называть возмущающими,
а движение под дополнительным воздействием этих сил — возму-
возмущенным движением. Дифференциальные уравнения возмущенного
движения КА можно решать методом численного интегрирования.
Такой метод особенно эффективен для конкретных расчетов, а не
общих исследований. Он требует затрат машинного времени и не
всегда позволяет выявить общие закономерности. Поэтому при ана-
анализе возмущенного движения часто пользуются приближенными
методами, позволяющими найти решение в общем виде и исследо-
исследовать его. Во многих задачах оказывается эффективным комбини-
комбинировать аналитические методы с численными расчетами.
§ 8.1. Метод оскулирующих элементов
Невозмущенное движение в центральном поле притяжения
описывается дифференциальным уравнением вида B.1.7)
f? = _4p°, (8-1.1)
Где р° = р/р — единичный вектор, а для возмущенного движения
можно записать
dt2 г2
Здесь а — ускорение, порождаемое возмущающими силами (возму-
(возмущающее ускорение), r° = r/r.

§ 8.1. МЕТОД ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ 335
8.1.1. Оскулирующая орбита. Если, начиная с некоторого мо-
момента времени t*, возмущающее ускорение а обращается в нуль,
то уравнение (8.1.2) принимает вид (8.1.1). В момент времени t*
возмущенное движение не отличается от невозмущенного, и обе
орбиты (возмущенная и невозмущенная) будут соприкасаться:
T(t*) = p(t*), ~
Полученную невозмущенную орбиту принято называть оскули-
рующей орбитой, соответствующей моменту времени t*. Изменяя
момент времени t*, получим семейство оскулирующих орбит, для
которых фактическая возмущенная орбита является огибающей.
Каждая оскулирующая орбита полностью описывается своими
оскулирующими элементами р, е, i, Q, со, tn, т. е. любой точке
фактической орбиты отвечает определенный набор оскулирующих
элементов. В случае непрерывности изменения оскулирующих ор-
орбит оскулирующие элементы являются непрерывными функциями
времени p(t), e(t), i(t), Q(t), (o(t), tn(t). Согласно условиям
(8.1.3), в каждый момент времени t по текущим значениям оску-
оскулирующих элементов можно определить векторы г(?) и г(?), кото-
которые полностью характеризуют движение по фактической орбите.
Таким образом, определение зависимостей от времени (или любого
другого аргумента) оскулирующих элементов равносильно опреде-
определению возмущенной орбиты при действии любых возмущающих
сил. Тогда система уравнений движения принимает вид
_— = f2 E, p. e, i, Q, со, tn, a),
-г— = /3 (s, р, е, i, Q, со, tu, a),
(8.1.4)
л„ — !\ \Ь1 Р- е' 1' Ь{"> ш' ьъ, «Ь
~ds -/-Д5»Р^,
ds
? h &, ©, tu, а).
Здесь s — выбранная независимая переменная (время, истинная
аномалия, аргумент широты и др.).
Система уравнений движения в оскулирующих элементах
(8.1.4) по сравнению с уравнением возмущенного движения (8.1.2)
имеет определенные преимущества. Так, в случае малых возмущаю-
возмущающих ускорений (|а| < ц/r2) оскулирующие элементы изменяются
медленно по траектории движения, и на этом обычно основываются
различные методы приближенного решения системы (8.1.4). Кро-

336 ГЛ. 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
ме того, определяемые при решении системы (8.1.4) зависимости
оскулирующих элементов часто позволяют наглядно представить
эволюцию орбиты под действием возмущающих сил, т. е. провести
качественный анализ движения.
Пусть х, у, z — координаты, a Vx, Vy, Vz — составляющие векто-
вектора скорости КА в возмущенном движении. Соответственно обозна-
обозначим через #*, у*, z* — координаты и У*, Vy, Vz — составляющие
вектора скорости при движении по оскулирующей орбите. Если
F — некоторая функция координат и составляющих вектора скоро-
скорости, то в любой точке касания возмущенной и невозмущенной ор-
орбит согласно (8.1.3) должно выполняться равенство
С учетом уравнений возмущенного движения запишем производ-
производную от функции F по времени t при движении по возмущенной
орбите
dF dF ir dF ir , dF ir , dF , , ч ,
а затем с учетом уравнении невозмущенного движения — такую же
производную при движении по оскулирующей орбите
{ dF\* __ dF_ у* dF_ у* dF_ у* d?_ dF_ dF_
dt I ~"dTVx + ~dfy+~dTVz+dv^gx+ dvv gy + WZ gz'
Здесь ~nro/r2 = (gx, gy, gz), a = (a^, ay, az).
В момент времени t* согласно (8.1.3) должно выполняться
равенство
dF [ dF\* . dF
dt \ dt } r dt '
где
dF dF . dF dF
В качестве функции F можно взять любой элемент оскулирую-
оскулирующей орбиты или постоянную интегрирования уравнений невозму-
невозмущенного движения (обозначим рассматриваемую величину через
а). Тогда для оскулирующей орбиты
а{х*, у*, z*, К VI У'г) = const, (^g-)* = 0, (8.1.5)
а для возмущенной орбиты
da da, _ da da да
dt -~df^ d~V~ax + 5F" пУ + Ж

§ 8.1. МЕТОД ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
337
Эти зависимости часто используются при выводе уравнений дви-
движения в оскулирующих элементах.
8.1.2. Уравнения для элементов возмущенного движения. Рас-
Рассмотрим один из возможных способов получения дифференциаль-
дифференциальных уравнений для элементов возмущенного движения [47]. С этой
целью воспользуемся векторными интегралами площадей B.2.5)
и Лапласа B.2.22)
C = rxV, f = VxC-n-f.
Вычислим производную
dC
dt
— j* X V
dt
X
dt
Согласно уравнению возмущенного движения (8.1.2) и соотно-
соотношениям
.-^-г° =0
имеем
dC
dt
(8.1.7)
Поскольку уравнение (8.1.7) записано для единицы массы, из него
следует после умножения обеих частей на массу КА, что измене-
изменение кинетического момента по вре-
времени равно моменту возмущающей
силы. Векторное уравнение (8.1.7)
эквивалентно трем скалярным,
для перехода к которым предва-
предварительно введем две геоцентри-
геоцентрические системы координат. Систе-
Система координат O3xyz является эк-
экваториальной. Ось О3х направле-
направлена в точку весеннего равноденст-
равноденствия Y. Ось O3z направлена по оси т
вращения Земли, а ось 03у в эк-
экваториальной плоскости замыкает
правую систему координат. Вто-
Вторая система координат О^цС, свя-
связана с плоскостью орбиты. Ось
#з? направлена в восходящий узел орбиты, ось 03t направлена по-
вектору С, а ось 03ц расположена в плоскости орбиты (рис. 8.1).
Разложим возмущающее ускорение а на три составляющие: ра-
радиальную аг, трансверсальную ап и бинормальную aw. Тогда про-
проекции векторов в системе координат Оз?т]?
г = (г cos и, г sin и, 0),
а = (ar cos и — ап sin и, ar sin и + ап cos и, #„•)
Рис. 8.1. Связь геоцентрических си-
систем координат Ozxyz и O3\vfc,

338 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
ж проекции векторного уравнения (8.1.7)
dCi dC-. dCp
-~ = awr sin и, —~ = — йу? cos и, —~ = anr.
Отсюда приращения вектора С за время dt
dC\ = awr sin и dt, dCr] = —awr cos и dt, dCi = anrdt. (8.1.8)
Понятно, что величина dC^ определяет изменение модуля вектора
С, а величины dCi и dC^ могут быть получены поворотом вектора С
соответственно относительно осей O3z и 03\ (рис. 8.1). Запишем
dCl = CsinidQ, dCn = -Cdi. (8.1.9)
Далее, согласно формуле B.2.29) имеем
С = 1щ), (8.1.10)
¦откуда
dCl=4r}/'j;dp. (8.1.11)
Приравняв правые части соотношений (8.1.8) и (8.1.9), (8.1.11),
получим с учетом (8.1.10)
. (8-1.14)
Для вычисления производных по времени от эксцентриситета и
скорости поворота линии апсид воспользуемся вектором Лапласа f,
постоянным в невозмущенном движении и зависящим от времени
в возмущенном движении. Используя B.2.22), вычислим произ-
производную
df __ d\ r v dC [i A ^r dr
или с учетом (8.1.2) и dV/dt = dhjdt2
di u n >-, n it dC u de . ur dr
|1F + ^. (8.1.15)
flo в невозмущенном движении а = 0, dC/dt = 0, f = const, di/dt =
= 0 и уравнение (8.1.15) принимает вид
Поскольку эта сумма не зависит от ускорения возмущающей силы,
то равенство нулю остается справедливым и в случае возмущенного

§ 8.1. МЕТОД ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
движения. Отсюда
39*
или после подстановок С = г X V, dC/d? = г X а
l = ax(rxV) + Vx(rX a) = 2r(a-V) —V(a-r) —a(V-r).
Раскрывая скалярные произведения, получим
~ = 2г (аг7г + ап7п) — Varr—
аУгг.
(8.1.16)
Спроектируем векторное уравнение (8.1.16) сначала на радиус-
вектор, а затем на нормаль к нему в плоскости движения. Для:
проекции на радиус-вектор имеем
те
= 2r {arVr + anVn) — Vrarr — arVrr = 2anVnr.
= 2an
Ho Vnr = C = V\ip, поэтому
_
dt
Проекция (8.1.16) на нормаль
df_
dt
= — Vnarr — anVrr = — ar у \ip — anVrr.
Согласно B.3.5)
тогда
dt
\ip lar + ane — sin ® .
Пусть i — единичный вектор, направленный из притягивающего
центра О в перицентр П, j — единичный вектор в плоскости орбиты,
нормальный i и направленный по движению, а единичный вектор к
дополняет систему векторов до правой (рис. 8.2). Тогда можно
представить di/dt через составляющие по направлениям i, j, k:
Здесь do/dt — скорость поворота линии апсид в плоскости орбиты,
dv/dt — скорость поворота линии апсид в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к орбите. Следовательно, первое слагаемое в (8.1.17) учи-
учитывает изменение вектора f по модулю, второе — поворот в плоско-
плоскости движения с постоянным модулем /, а третье — поворот
плоскости.

340 ГП 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Вычислим
dt
di
dt
COS
dt
sin iy =
= у \ip {2an cos •& -\- ar sin
sin2 Ф j =
= Yv-P ar sin
ane —
[ 2 — e — cos Ф | cos # .
Согласно уравнению орбиты
е—cos О = 1 ,
Р Р
тогда
(8.1.18)
Далее, используя формулу B.2.30) для модуля вектора Лапласа
/ = [ie, найдем производную эксцентриситета по времени
de _ 1 df
dt ~~ "jT"^"'
откуда с учетом (8.1.18)
~= Y f
Таким образом, изменение эксцентриситета по времени зависит от
обеих составляющих возмущающего ускорения в плоскости орбиты.
)
[arsm® + апе ^ + an(l + у) cos®]. (8.1.19)
Рис 8 2. К вычис-
f лению производ-
производной вектора Лап-
Лапласа в возмущен-
возмущенном движении
Рис 8.3. К вычис-
вычислению производ-
производной аргумента ши-
широты
Рассмотрим теперь второе слагаемое (8.1.17), т. е. проекцию
вектора dl/dt на направление j (см. рис. 8.2):
do
df
, do df
I л/ ~ й+
dt
dt
sin
di_
dt
COS О =
= ]f\ip 2an sin ^ — (ar + ane — sin О j cos О =
= V^M-i? — «r cos О + an A + — I sin ^

§ 8 1. МЕТОД ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ 344
Огсюда с учетом / = \ie имеем
^L_i_i/_L|_a?.CosO + an(l 4- -jsinfl]. (8.1.20)
Скорость поворота линии апсид в плоскости движения также за-
зависит от обеих составляющих возмущающего ускорения в этой
плоскости.
Перейдем теперь от производной do/dt к производной аргумента
перицентра da/dt. Если плоскость орбиты неизменна (Q = const,
г = const), то Дсо = До. Если же угол Q изменяется, то аргумент
перицентра меняется не только за счет перемещения линии апсид
па угол До, но и за счет изменения плоскости орбиты. Из геометри-
геометрических построений на рис. 8.3 имеем
Дсо = До — AQcos ?,
отсюда
dm da dQ
It dt ~ IT cos l
или с учетом соотношений (8.1.12), (8.1.20)
-?- = — 1/ — — ar cosfl1 + ап I 1 4- — sin О —awe-^-ctg isin u\.
at e r ii l \ p I p J
(8.1.21)
Производная по времени аргумента перицентра, т. е. скорость изме-
изменения расстояния перицентра от узла, зависит от всех трех состав-
составляющих возмущающего ускорения.
В тех случаях, когда наклонение i орбиты мало, величина ctg i
становится большой. Соответственно возрастает производная da/dt
ж увеличиваются ошибки при численном интегрировании. Поэтому
целесообразным оказывается переход к новому оскулирующему
элементу
со = со + Q,
который будет медленно меняться по времени. Найдем
Дю = До) + AQ = Да + A — cos i) AQ = Act + tg -?¦ sin i AQ
ж после перехода к производной получим с учетом (8.1.12), (8.1.20)
dti) 1 l/ Р Г л i (л , г \ . л , rxi.1
-тг- = — I/ ~ — ar cos ft + ап 1 -1 sin О + awe — tg -^ sin и .
(8.1.22)
Итак, получены производные по времени для пяти оскулирую-
щих элементов орбиты: /?, е, г, Q, со (или со). Все эти производные
имеют смысл для любой орбиты.
Заметим, что в некоторых задачах вместо производной пара-
параметра орбиты удобнее использовать производную большой полуоси.

342 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Для ее вычисления рассмотрим интеграл энергии в случае эллипти-
эллиптической орбиты B.4.18)
V2 — 2Е = _ JL
г а
и продифференцируем его по времени:
9V ^^ . 2(J. dr (X da
~df + ~^"df = ~a?~dT'
Отсюда с учетом (8.1.2)
(^JV.a + f|:. (8.1.23>
В невозмущенном движении а = 0, большая полуось постоянна
(da/dt = O), а уравнение (8.1.23) принимает вид
О = 2 V { Ро ] I —^—чт ¦
Так как это условие выполняется и в случае возмущенного дви-
движения, то
da 2я2 Ж7. 2я2 /тг , т, ч
d? (X (х v '''»"/'
или с учетом B.3.5), B.3.7)
da 2я
(8.1.24)
Эта формула справедлива для эллиптического движения. В случае-
гиперболического движения можно записать с учетом B.2.1),
B.2.2) и B.4.33) формулу для интеграла энергии
~ я *
где а — продольная полуось гиперболической орбиты. Тогда
da __ 2я2
ЦТ
I are sin •& + an~^j- (8.1.25)
Перейдем к вычислению производной времени прохождения че-
через перицентр (ta). Обозначим
хг
Г Ё* (8.1.26)
J н 4-е cos #J 7
о
и запишем уравнение B.5.2) в виде
3/2
I. (8.1.27)

§ 8.1. МЕТОД ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ 343
Дифференцируя (8.1.27) по времени, найдем
л ^п __ 3 / Т jdp p3/2 dl (R .
где
dl _ 01 de 31 db
'dt-d^li + mW
Производная в возмущенном движении
dft __ ^нв do
dt ~~ dt dt'
(8.1.30)
так как первое слагаемое учитывает производную истинной анома-
аномалии (Онв) в невозмущенном движении, а второе слагаемое — ско-
скорость поворота линии апсид, от которой отсчитывается истинная
аномалия, в возмущенном движении. Вычислим
¦о
Ц. « - 2 f cos#^ , = - /lf (8.1.31)
д^ .' A + ecosftK X V '
о
01 1
(8.1.32)
^ft (Ц ecosft)^ рл
После подстановки соотношений (8.1.29) —(8.1.32) в (8.1.28) имеем
рз/2 I r de , г* /^нв do
5Л/^д РГ rde
dt — 2? (х «' У(Г| xdt^p*\dt dt
но согласно B.3.4)
поэтому
1
2~p~~dt
( + ^Lj sin О
Установим связь между интегралами / и 1\. С этой целью рас-
рассмотрим вспомогательную функцию
и продифференцируем ее по
Здесь
е sin ft

344 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
тогда
-^ = -(l + -)cosft + (l + 2-)(-)%sin2ft.
<& P \ P) \ ) \ p)
)()
p) \ p)
После несложных преобразований с учетом равенства
е — cos ^ = 1 —-
Р Р
получим
Но
1 + 2— = 1 + ill — е — cos ft) = 3 —2е—cosft,
Р \ VI Р
следовательно,
—__ —¦- I -ч _^_. H рлс тт I л I I I , / I . I рлс тт
dft V P I \PI \ P /
= 3e(^Y + 2(l-e>-)
\ P J K '
ИЛИ
Проинтегрировав это соотношение в пределах от 0 до ft, определим
условие, связывающее интегралы / и 1\\
г (. г \ , „ ОГ dft ,o//i 2\Г cosftdft
— 1 4- — I sin ft = Ъе\ 5- + 2 A — ег)\ ^,
P\ Pi J (l+ecosftr J^+ecosO)*
о о
ИЛИ
= 3e/ 4- A — e2) /j. (8.1.34)
Подставим теперь в (8.1.33) производные dp/dt, de/dt, do/dt,
а также / из (8.1.34), тогда
+ ^i 1/ — Ur sin ft + ane — + an[l + — cos ft -f
'M"L P \ P / J
+ y) sinft - arcosft]} =
= — \ar I Le sin ft — % cos ft + an/i — + e A + — I cos ft [.
ef-MV p ) IP \ P ' 'I

§ 8.1. МЕТОД ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ 345
Множитель при ап приведем к виду
(- е 1 -1 I cos ft = I л A + е cos ft) = 7j — = N —,
Р \ Р J J r P
где
(8.1.35)
С учетом обозначения (8.1.35) имеем
I 2 Г 1
-Н = L. ar (eN sin ft — cos ft) + anN — . (8.1.36)
dtt
~di
Определим N через элементы орбиты и текущие параметры КА
на орбите. С этой целью подставим в уравнение связи (8.1.34)
величины
и после несложных преобразований получим
N = —^-2 B + ecos f>) sin ft — Зе^^ (^ _ *п) I (8.1.37)
1 — е [ г
Итак, получены уравнения для всех элементов оскулирующей
орбиты
dp ( da\ de di dQ da> I da>\ dtu
— ИЛИ —¦ , -j:, -jT, -jT-, -jT- ИЛИ -jT- , —rr-
df \ df/' dV dv dt ' dt \ dt Г dt
Если известны начальные условия в момент времени ?о, т. е. ро
(или по), ео, io, Qo, coo (или соо), ?по, эти уравнения можно инте-
интегрировать по времени численно. Истинная аномалия О, входящая в
производные, определяется через эксцентрическую аномалию Е из
соотношения B.5.6) после решения уравнения вида B.5.8). Чтобы
избежать решения этого уравнения, которое зависит от типа орби-
орбиты, можно к шести уравнениям для оскулирующих элементов до-
добавить еще одно уравнение связи (8.1.30)
db __ ^нв da __ ~\/\ip do /я . qQ.
Ж~~Ъ Ж ^ Ж' (ъл.бй)
В ряде случаев возмущающее ускорение не зависит от времени,
а определяется положением КА на орбите. Тогда в качестве неза-
независимой переменной может оказаться целесообразным выбрать, на-
например, истинную аномалию О или аргумент широты и, хотя в не-
некоторых случаях это недопустимо.

346 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Пусть в качестве независимой переменной выбрана истинная
аномалия и пусть А — произвольный элемент орбиты. Тогда
dA
ИДИ
dA
dt
1
Ж
r2
dA
dt
~P da
~~!t
где
P - —Уя (8.1.40)
1
Если положить
то можно принять E — 1, и уравнение dA/d$ упрощается. Такое
упрощение обычно допустимо, когда скорость смещения перицент-
перицентра do/dt мала по сравнению с угловой скоростью радиуса-вектора
l/lip/r2. Практически для многих траекторий это имеет место, кроме
траекторий с малым эксцентриситетом. Каждый раз, полагая (} = 1Г
следует помнить, что уравнения вида dA/d$ являются прибли-
приближенными.
8.1.3. К выбору аргумента для системы оскулирующих элемен-
элементов. При выборе аргумента для системы оскулирующих элементов
необходимо учитывать все особенности рассматриваемой задачи,,
т. е. нельзя этот выбор делать формально. Обсудим некоторые при-
примеры возмущенных орбит, для описания которых нельзя принимать
в качестве независимой переменной истинную аномалию и аргумент
широты.
Предположим, что КА из-за действия возмущающего ускорения
амз движется по круговой орбите радиуса р, плоскость которой не
проходит через центр притяжения О. Пусть г — расстояние КА да
центра притяжения, i — наклонение оскулирующей орбиты, g — ус-
ускорение силы притяжения. Предположим сначала, что возмущаю-
возмущающее ускорение направлено параллельно оси Oz (рис. 8.4). По ус-
условиям движения суммарное ускорение
а2 = g + аВ03
направлено к центру О' возмущенной круговой орбиты. Следова-
Следовательно,
a-z = g cos i, p = ?

§ 8.1. МЕТОД ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
347
Вместе с тем возмущенная орбита является круговой, и для нее
справедливо условие
откуда
Здесь rg = \i/r =
V2 = pa-z = rg cos2 i.
(г), поэтому
V= VKp(r)cosi,
т. е. скорость движения КА по возмущенной круговой орбите мень-
меньше местной круговой скорости.
Найдем параметры оскулирующей орбиты. Ее плоскость прохо-
проходит через радиус г (отрезок ОМ на рис. 8.4) и вектор скорости.
Наклонение оскулирующей орбиты i
постоянно (di/dt = O). Так как скорость
при движении по оскулирующей орби-
орбите нормальна к радиусу г, то угол на-
наклона траектории (к горизонту) 9 = 0.
С учетом V < FKp (r) установим, что
КА находится в апоцентре. Линия ап-
апсид (ОМ) перемещается вместе с дви-
движением самого КА. Отсюда его истин-
истинная аномалия Ф = я, аргумент пери-
перицентра со = —я/2 (или Зя/2), аргумент
широты и — Ф + со = я/2 (du/dt = 0).
Таким образом, в рассматриваемой за-
задаче ни истинная аномалия, ни аргу-
аргумент широты не могут быть использо-
использованы в качестве независимой перемен-
переменной, поскольку они постоянны.
Для вычисления остальных элементов оскулирующей орбиты
предварительно найдем
F2
Рис. 8.4. Схема движения КА
п0 возмущенной орбите:
V ==
= COS'1 I,
кр
а затем по формулам B.4.5) и B.4.3) эксцентриситет
= Y \ + (v — 2)v=l — v = si
sin* i — =
de
и параметр
= r
Отсюда большая полуось
P
a =
1 -\- sin i

348 ГЛ. 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Заметим, что большая полуось оскулирующей орбиты меньше ра-
радиуса г.
Составляющие возмущающего ускорения
ат = «воз sin i = g sin2 i,
aw = «воз cos i = g sin i cos i.
С их помощью найдем
dur sin и
1 l/p I / Г . li/fA
= ar— I/ — = g I/ —cos г = — в/ —
cos?
Отметим, что в рассматриваемой задаче знаменатель формулы
(8.1.40) обращается в нуль. Это согласуется с выводом о невозмож-
невозможности использования истинной аномалии в качестве аргумента.
Обсудим теперь другой пример, предполагая, что КА совершает
такое же движение по круговой орбите, плоскость которой не про-
проходит через центр притяжения, а возмущающее ускорение будем
полагать нормальным к радиусу-вектору г, т. е.
ат = 0, ап = 0, aw = g tg i.
Условие движения по круговой орбите
F
a2, azr
откуда
Таким образом, КА перемещается по возмущенной орбите со ско-
скоростью, равной местной круговой скорости, причем ее эксцентриси-
эксцентриситет е = 0. Поскольку оскулирующая орбита является круговой, то
понятия истинной аномалии и аргумента перицентра для нее теря-
теряют смысл. В рассматриваемой задаче истинная аномалия и аргумент
широты не могут быть выбраны в качестве независимой переменной.
§ 8.2. Действие возмущающих касательной,
нормальной и бинормальной сил
Разложение возмущающей силы на радиальную и трансверсаль-
ную составляющую не всегда оказывается удобным, так как факти-
фактически действуют силы, направленные по касательной к траектории
или по нормали к ней. В качестве примера можно назвать силу

§ 8 2 ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ
34»
аэродинамического сопротивления при движении в верхних слоях
атмосферы или силу малой тяги, направленную по вектору скоро-
скорости при разгоне с орбиты. Поэтому возникает необходимость записи
уравнений для элементов оскулирующей ор-
орбиты в такой форме, где вместо радиального
(аг) и трансверсального (ап) ускорений стоят
касательное (at) и нормальное (as) возмущаю-
возмущающие ускорения, порождаемые соответствующи-
соответствующими возмущающими силами.
8.2.1. Учет возмущающих касательной и нор-
нормальной сил в уравнениях для оскулирующих
элементов. За положительное направление
касательной возмущающей силы принимается
направление вектора скорости, за положитель-
положительное направление нормальной возмущающей
силы — направление к центру кривизны. По-
положительное направление бинормальной воз-
возмущающей силы, как и прежде, совпадает с
направлением вектора кинетического момента.
Для перехода от возмущающих ускорений аг,
ап к возмущающим ускорениям аи as (рис. 8.5) предварительна
найдем с помощью формул B.3.5), B.3.7)
sin G — -Л- = — у -?- е sin ft,
Рис 8 5 Переход к
касательному и нор-
нормальному возмущаю-
щил: ускорениям
cos 0 =
V
v * p
" V V D
а затем вычислим
ar = at sin G — as cos G = —-
«n == O't cos G + as sin Q = — у -
После подстановки ап в (8.1.14) найдем
— as
dp_
dt
2
y(atp + aje sin •&).
(8.2.1)
(8.2.2)
Затем подставим (8.2.1) в (8.1.19), тогда получим
~^f — -y\{atesmib — as~
+ (at-?- + a
X
shift
Г- f-
+
+
cosft

¦350 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Упростим множители при at и as\
л sin2 ft + е + A + -?-] cos ft = е A + sin2 ft) + B + е cos ft) cos ft =
= 2(e + cos ft),
-f + *2 у
+ -?-) cosft] = ^sin ft{- (f
+ e e + f ¦?- + 1) cos ft Л == — sin ft [— A + e cos ftJ +
+ e (e + 2 cos ft + e cos2 ft)] = — (e2 — 1) sin ft.
Следовательно,
~ = y- \2at (e + cosft) + asy (e2 — l)sin ft]. (8.2.3)
Производные di/dt и dQ/dt не зависят от возмущающих ускоре-
ускорений в оскулирующей плоскости движения, поэтому форма их за-
записи не меняется при переходе к а(, as. Преобразуем теперь про-
производную аргумента перицентра
d(i> 1 1 / P 1 1 / М- / -а У 1 a
у ]/— [at -?- + a^sinOlf 1 + —) sin ft — awe~ ctg isinw =
Sil1^ I CL , i (л , P
V I ' e V г
— aw . ctg i sin u,
ИЛИ
dco ' 1 Го • cl . 2e -\- (l -}- e2) cos б11 л _Л__ -to- / «in 7* ^Я Р Z^
^__ __; ^jfl* SIQ vJ -J- Й ' ' 1 CLyj Ctg I bill ?*. ^O.^.'i^
df eF L S 1-}-e cos 6" J "Vr.P
Последнее уравнение системы оскулирующих элементов полу-
получим после подстановки (8.2.1) в (8.1.36) и проведения несложных
преобразований:
1 ft — е sin ft cos ft + Дг N \ + as — cos ft I.
r J J
(8.2.5)
Во многих задачах используются производные для угла поворо-
поворота линии апсид о и большой полуоси эллиптической орбиты а.
Вычислим эти производные с помощью соотношений (8.1.20),
(8.1.24) и (8.2.1). Опуская выкладки, почти совпадающие с выпол-

§ 8.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ 351
ненными ранее, запишем сразу конечный результат
da 1 Го • а , 2e + (l + e2)cosft] /о о йч
-т— = —— \2at sin О + cis—л 1 —s • (8.2.о)
dt eV L 1 +е cos # J v '
Производная большой полуоси эллиптической орбиты
или
da о а I 2 1 \ « о, V /ОО7\
Для продольной полуоси гиперболической орбиты имеем
— — — 2 д2^ (Я 2 8>
8.2.2. Влияние возмущающей касательной силы. Сначала рас-
рассмотрим, как меняются элементы эллиптической орбиты в плос-
плоскости движения под действием возмущающей касательной силы,
порождающей ускорение at. Из уравнения (8.2.7) следует, что под
действием положительного касательного ускорения большая полу-
полуось орбиты увеличивается. В рассматриваемом случае для скорости
поворота линии апсид имеем
(8.2.9)
На восходящей ветви орбиты (от перицентра до апоцентра), где
sin О > 0, под действием касательного ускорения at >0 линия апсид
поворачивается в направлении орбитального движения (da/'dt> 0),
а на нисходящей ветви (от апоцентра до перицентра), где sin'fXO,
линия апсид поворачивается против орбитального движения (da/
/dt<0).
Более сложный характер имеет изменение эксцентриситета, так
как
de n e -\- cos б1
__ = ^ _ .
Если КА находится в конце малой полуоси, где г — а, то
п с ае de n
cosir = = = — е и —тг = 0.
га dt
При г> а, когда КА находится в области от конца малой полуоси
до апоцентра, имеем e + cos$<0 и de/dt<-0, а при г<а, когда
КА находится в области от перицентра до малой полуоси, справед-
справедливы неравенства e + cos'6i>0 и de/dt>0. Видно, что уменьшение
или увеличение эксцентриситета под действием касательного уско-
ускорения зависит от того, на каком расстоянии от притягивающего
центра находится КА.

.352 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
В рассматриваемом случае производная от параметра орбиты
ж под действием касательного ускорения at > 0 параметр орбиты
возрастает, как и большая полуось.
Уже отмечалось, что при малой возмущающей силе в подавляю-
подавляющем большинстве случаев движение КА можно описывать с по-
помощью оскулирующих орбит. Однако в некоторых случаях такое
предположение может привести к неправильным выводам. А имен-
именно, может оказаться, что оскулирующее движение существенно
отличается от действительного. В качестве примера рассмотрим
случаи, когда эксцентриситет имеет такой же порядок малости, что
и отношение возмущающего ускорения к гравитационному ускоре-
ускорению, т. е. е ~ (itlg. При этом будем предполагать, что эксцентриси-
эксцентриситет не меняется (е = ео — const), а возмущающее ускорение направ-
направлено по касательной.
Из условия постоянства эксцентриситета de/dt = 0 следует ео +
+ cos'6i = 0 и cos$ = — ео. Последнее равенство возможно, когда
КА находится в конце малой полуоси. Если так, то d$ldt = 0, г = а,
и из интеграла энергии найдем скорость КА
v — а - — - |/Кр(г).
Рассмотрим полярный угол ф, который отсчитывается от про-
произвольного неподвижного направления. Тогда ф='61 + о и dq>/dt =
— do/dt, т. е. линия апсид вращается вместе с полярным лучом.
Для вычисления произвольной dp/da разделим (8.2.10) на
(8.2.9):
dp V
do sin ¦О
или с учетом sin Ф = у 1 — е\
1 dp %
Р do V \ —
У 1
Интегрируя это соотношение, получим
Здесь ро и о0 — начальные величины параметра и угла поворота
линии апсид. Используя формулу

§ 8.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ 353
получим окончательно
= roexPI yq=~(a-ao)|.
где
1-
Следовательно, возмущенная орбита имеет форму логарифмической
спирали, хотя оскулирующее движение является эллиптическим.
Логарифмическая спираль обладает тем свойством, что пересекает
полярный луч под постоянным углом %. Для вычисления этого угла
воспользуемся формулой, связывающей угол наклона траектории
с элементами орбиты и положением КА на орбите
еп sin # eV I — e\ e
откуда
sin 0O = \ = еп
ЗХ г, ЗХ
х = т_00 = т — arcsin e0.
Определим теперь величину возмущающего касательного уско-
ускорения, необходимую для реализации такого движения. Согласно
(8.2.9)
_ eV do
ut ~ 2 sin Ь ~Ж'
но из интеграла площадей B.3.4)
причем da/dt — dq/dt. Тогда с учетом соотношений F=FKP(r) =
= 1/ц/а и sin О = у 1 — el получим окончательно
так как ц/т2 = g. Отсюда
Действительно, отношение возмущающего касательного ускорения
к гравитационному имеет порядок малости эксцентриситета. С уве-
увеличением расстояния г величина g убывает, соответственно должна
убывать величина at. Заметим, что и в этой задаче "О1 = const. Нель-

354 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
зя пользоваться истинной аномалией Ф в качестве аргумента для
системы оскулирующих элементов.
8.2.3. Влияние возмущающей нормальной силы. Предположим
теперь, что на КА действует возмущающая нормальная сила, кото-
которая создает ускорение as. Обсудим влияние возмущающего нормаль-
нормального ускорения на элементы оскулирующей орбиты. Как уже от-
отмечалось, производная большой полуоси эллиптической орбиты
(8.2.7) не зависит от возмущающего нормального ускорения, по-
поэтому в рассматриваемом случае а = const. Для параметра орбиты
имеем согласно (8.2.2)
dp п re shl ft
— = z«s v .
При наличии возмущающего нормального ускорения as > 0 на вос-
восходящем участке движения (от перицентра до апоцентра) параметр
орбиты возрастает, а на нисходящем участке (от апоцентра до пе-
перицентра) убывает.
Изменение эксцентриситета описывается уравнением
iB
Для эллиптической орбиты е<1, следовательно, при наличии воз-
возмущающего нормального ускорения as > 0 на восходящем участке
эксцентриситет орбиты убывает, а на нисходящем участке воз-
возрастает.
Знак производной угла поворота линии апсид
do _ 2е + A + е2) cos ft
dt ~ п* eV (I -1- е cos ft)
также зависит от положения КА на орбите. При as > 0 условие
da/dt > 0 для эллиптической орбиты выполняется, если
+ 2
откуда
Пусть КА находится на эллиптической орбите в точке, проекция
которой на линию апсид совпадает с непритягивающим фокусом.
Тогда расстояние КА от притягивающего фокуса
а проекция радиуса-вектора г* на ось апсид равна фокусному рас-
расстоянию 2с = 2ае, взятому со знаком минус. Отсюда истинная ано-
аномалия отмеченной точки
тг* = arccos

§ 8.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ
355
Таким образом, условие da/dt>0 выполняется, если г<г*, т. е.
КА находится вне прилегающей к апоцентру части орбиты, кото-
которая отсекается прямой, проходящей через непритягивающий фокус
параллельно малой оси оскулирующего эллипса.
Производная времени пролета перицентра при наличии возму-
возмущающего нормального ускорения согласно (8.2.5) имеет вид
dtn I f P r cos ft
dt s f \i eV
При наличии положительного возмущающего ускорения а8 > 0, ког-
когда КА перемещается по прилегающей к перицентру части орбиты,
где r< p (cosft > 0), время пролета перицентра ta увеличивается.
Наличие возмущающего нормального ускорения на остальной части
орбиты приводит к уменьшению tn.
Результаты анализа воздействия возмущающих ускорений, ка-
касательного и нормального, на элементы оскулирующей орбиты при-
приведены в табл. 8.1.
8.2.4. Возмущения оскулирующих элементов эллиптической ор-
орбиты. Различают вековые и периодические возмущения оскулирую-
оскулирующих элементов эллиптической орбиты. Вековыми называют возму-
возмущения, которые монотонно возрастают по числовой величине вместе
Таблица 8.1
Воздействие касательного и нормального ускорений
на элементы оскулирующей орбиты
Производные
da
~dt
dp
dt
de
dt
da
It
Касательное at > 0
>o
>o
> 0 при г < a,
< 0 при г > я
> 0 на восходящей ветви,
< 0 на нисходящей ветви
Ускорение
Нормальное as > 0
= 0
> 0 на восходящей ветви,
< 0 на нисходящей ветви
> 0 на нисходящей ветви,
< 0 на восходящей ветви
> 0 при r<a(l + e2)
< 0 при г > я A -j- е)
со временем или полярным углом. Понятно, что при наличии веко-
вековых возмущений оскулирующие элементы орбиты могут претерпе-
претерпевать значительные изменения за достаточно большой промежуток
времени.
Периодическими называют возмущения, которые являются пе-
периодическими функциями от средней аномалии М, а следовательно,
и периодическими функциями времени.

356 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
В качестве примера обсудим эволюцию оскулиругощих элементов
эллиптической орбиты КА за один виток при наличии постоянного
возмущающего касательного ускорения или возмущающего касатель-
касательного ускорения, которое является четной функцией от истинной
аномалии. Вместо производных оскулирующих элементов по време-
времени будем рассматривать производные по истинной аномалии, так
как зависимости элементов эллиптической орбиты от времени весь-
весьма громоздки, а от истинной аномалии — достаточно просты. При
этом учтем, что
da ~[/\ip da
ИГ ~ di df ~ ^ dT'
Если at/g < e, то можно ограничиться только первым слагаемым
rfft ^ У\\р
dt ^ г2 *
Тогда
dp о р de о е -\- cos & da 0 sin d
= *at = ia = = Щ
Используем формулу B.3.8) для вычисления множителя, входя-
входящего во все производные:
F-
1
г2
2
p 1
(г'
V P
j'
где
V = VI + 2e cos'O + e2. (8.2.11)
В результате система уравнений для оскулирующих элементов при-
принимает вид
г
Р
de о р I г \ , а> /о ел а(л\
—я- = Zuf ^ | — I \е + COS tJJ, ^o.Z.lZj
d0
По предположению at — const или at($) — at(—$); тогда
2Я
__ d® = 0.
eV A + e cos
так как в правой части под интегралом стоит произведение четной
и нечетной функций. Следовательно, постоянное или являющееся

§ 8.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ 357
четной функцией от угла О возмущающее касательное ускорение
не приводит к вековому уходу линии апсид.
Рассмотрим теперь изменение эксцентриситета за один виток,
предполагая, что at/g < е < 1. В этом случае с точностью до е*
имеем
1 / г \2 1 / г 2
— «1 — ecosd, (— ж 1 — 2ecos'fr, —(— I « 1 —
V \Р I V \ Р !
A — Зе cos О) (е + cos О) = е + cos # — Зе cos2 О
и
de p2
~-^ « 2й; — (е + cos # — Зе cos2 0).
Проинтегрируем полученное уравнение от 0 до 2я, осредняя at за
один оборот, и получим приращение эксцентриситета
Видно, что при at > 0 эксцентриситет орбиты уменьшается, а при
at < 0 он увеличивается (вековое возмущение).
Необходимо сделать три замечания.
1. Полученный результат является следствием принятых предпо-
предположений, что at = const или «*(#)= at(—ft) и at/g < е < 1. В даль-
дальнейшем при анализе эволюции орбиты под действием торможения
в атмосфере (п. 8.3.3) будет показано, что в процессе эволюции
эксцентриситет орбиты убывает, а не возрастает, хотя at < 0. Это
связано с тем, что плотность атмосферы р убывает с высотой и нель-
нельзя считать at = const. Поскольку торможение в атмосфере зависит
от скоростного напора g=pF2/2, нельзя считать, что й((#) =
= в,(-0).
2. В п. 8.2.2 было рассмотрено движение КА по логарифмиче-
логарифмической спирали при разгоне с помощью касательного ускорения (at >
>0). Было показано, что величина эксцентриситета оскулирующей
орбиты не меняется {е — const). В рассмотренном движении at/g ~
~ е и нарушено условие at/g < 1. Величина ах убывает с увеличе-
увеличением расстояния до притягивающего центра.
3. В § 8.4 будет исследована в точной постановке задача о раз-
разгоне КА под действием постоянного по величине касательного ус-
ускорения (at >0). Будет показано, что при таком движении эксцент-
эксцентриситет оскулирующей орбиты возрастает, так как условие ajg < e
не выполняется.
Уравнение для параметра орбиты при сделанных допущениях
записывается в виде
и после интегрирования получим

358 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Следовательно, при наличии возмущающего касательного ускоре-
ускорения возникает вековое возмущение параметра орбиты одинакового
знака с at.
8.2.5. Задача поворота плоскости орбиты. Пусть действует только
возмущающее бинормальное ускорение аш, т. е. ускорение, нормаль-
нормальное к плоскости оскулирующей орбиты. Тогда система уравнений
для оскулирующих элементов принимает вид
dP _ п de_ _ n dta (da
d*~u' <tt~u' ~dT~u
a
dQ r sin и
Отсюда p = const, e = const, ta — const (o == const). Следовательно,
возмущающее бинормальное ускорение не изменяет геометрической
формы оскулирующей орбиты и ее ориентации в оскулирующей
плоскости.
Рассмотрим задачу поворота плоскости орбиты с помощью би-
бинормальной силы, создающей ускорение aw.t Если величина а^ не
зависит от положения КА на орбите, наибольший эффект в смысле
максимальной скорости поворота di/dt достигается в точках орбиты,
где максимально произведение г cos и.
Для более детального анализа ограничимся случаем круговой
орбиты, который исследован в работах [14, 34]. При круговой ор-
орбите г = р и
di cos и
где FKp — круговая скорость. Будем считать, что бинормальное ус-
ускорение aw создается двигателем КА, а минимизируемый функцио-
функционал — это характеристическая скорость
т
Vx = j | aw | dt.
Здесь Т — нефиксированное время поворота плоскости круговой ор-
орбиты на заданный угол Дг. Видно, что наибольший эффект дости-
достигается от включения двигателя вблизи линии узлов, где Icoswl « 1
и скорость поворота \di/dt\ максимальна. Вычислим, используя из-
известные соотношения,
т т
| Д? | = -TF— \ aw COS udt ^ ^— | \aw\ dt,
'кр " кр "

§ 8.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ 359
ИЛИ
Отсюда оценка функционала снизу
Покажем, что эта оценка дает точную нижнюю грань [14]. Бу-
Будем выбирать знак бинормального ускорения из условия
sign aw — sign cos и.
При этом будем предполагать включение двигателя, создающего
ускорение aw, в малой окрестности линии узлов, где выполняется
неравенство
1 — IcOS u\ < 8.
Здесь е — малая величина. В такой постановке закон изменения
\aw(t) | может быть произвольным, если только обеспечивается нуж-
нужный знак ускорения aw.
*> С учетом принятого управления можно записать
т т
if 1 — 8 С
L\L ^rz 1 I W^ UUo U \ Lit ^ZZ~ TT- i **"w ^ 9
о о
или
Д 7* 5» X7
Отсюда имеем оценку сверху
о
С/
При 8 -*- 0 получим
V < V Л/
где Дг > 0. Последнее обеспечивается выбранным управлением.
Таким образом, точная нижняя грань искомого функционала
V = V Л/
Итак, для оптимального в смысле минимизации характеристи-
характеристической скорости поворота плоскости круговой орбиты за неограни-
неограниченное время двигатель должен включаться вблизи линии узлов
на одно и то же время ж иметь максимальную по величине тягу.
Направление вектора тяги при двух последовательных включениях
(в восходящем и нисходящем узлах) меняется на противоположное.
На каждом из активных участков за счет работы двигателя плос-
плоскость круговой орбиты поворачивается на одинаковый угол. Актив-
Активные участки разделены пассивными участками одинаковой длитель-
длительности. Поскольку время поворота плоскости орбиты не задано, то
в пределе длительность активных участков должна стремиться к

360 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
нулю, число их неограниченно возрастает, как и время маневра,
а длительность пассивных участков должна стремиться к половине
периода обращения.
Заметим, что поворот плоскости орбиты с помощью последова-
последовательности бинормальных импульсов скорости не является энергети-
энергетически оптимальным. Действительно, при одноимпульсном повороте
плоскости круговой орбиты на угол Дг, выполняемом на линии уз-
узлов, требуется приращение скорости
Понятно, что AF<AFX, так как 2sin(Ai/2)< Дг. Лишь при малых
углах поворота Дг оба маневра становятся энергетически эквива-
эквивалентными.
В пп. 5.6.2 и 5.6.3 было показано, что дальнейшее уменьшение
суммарного приращения скорости для поворота плоскости движения
обеспечивается за счет использования трехимпульсного биэллипти-
ческого маневра.
§ 8.3. Эволюция орбиты ИСЗ под действием атмосферы
В период подготовки первых запусков искусственных спутников
Земли (ИСЗ) возникли задачи прогнозирования их движения и оп-
определения времени существования на орбите с учетом тормозящего
действия верхней атмосферы. Последняя задача наиболее важна
для ИСЗ, имеющих относительно низкие орбиты с перигеем около
200 км, где влияние атмосферы наиболее ощутимо.
В точной постановке задачи прогнозирования движения и опре-
определения времени существования ИСЗ решаются численным интег-
интегрированием уравнений возмущенного движения на быстродействую-
быстродействующей ЭВМ. Однако качественная картина эволюции и многие коли-
количественные оценки могут быть получены на основе приближенного
подхода, когда рассматриваются упрощенные уравнения возмущен-
возмущенного движения.
Для прогнозирования движения ИСЗ необходимо знать характер
изменения плотности верхней атмосферы и коэффициент аэродина-
аэродинамического сопротивления ИСЗ.
Распределение плотности верхней атмосферы по высоте зависит
от многих причин и может изменяться достаточно быстро по време-
времени. Одним из главных факторов, влияющих на распределение плот-
плотности верхней атмосферы, является солнечный нагрев. Наряду с
систематическими циклическими вариациями плотности могут иметь
место случайные вариации, порождаемые случайными (непредска-
(непредсказуемыми) изменениями солнечной активности [4, 64]. В целом кар-
картина вариаций плотности верхней атмосферы оказывается весьма
сложной и трудно прогнозируемой.
На основе наблюдения за движением многих ИСЗ в период с
1964 года по 1982 год и обобщения опыта проведения баллисти-

§ 8 3 ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ ИСЗ В АТМОСФЕРЕ 361
ческих расчетов по прогнозу движения ИСЗ создан для высот 120—
1500 км ГОСТ 25645.115-84 «Атмосфера Земли верхняя. Модель
плотности для баллистического обеспечения полетов искусствен-
искусственных спутников Земли» [10]. Для расчета движения ниже 120 км
(вход аппарата в атмосферу) используют модель плотности согласно
ГОСТ 4401-81 [57], а также различные модели динамической ат-
атмосферы.
Существуют специальные методики определения безразмерного
коэффициента аэродинамического сопротивления Сх в зависимости
от формы ИСЗ и углов его ориентации относительно вектора ско-
скорости набегающего потока. В некоторых случаях для проведения
оценочных расчетов можно принять Сх = 2—2,5 независимо от фор-
формы ИСЗ [62].
8.3.1. Изотермическая модель атмосферы. Для приближенных
расчетов пользуются упрощенной моделью атмосферы, которая стро-
строится на некоторых допущениях. Из условия вертикального равно-
равновесия атмосферы имеем
d dh (8.3.1)
где dp — изменение давления воздуха при изменении высоты h на
величину dh, g — ускорение силы тяжести. Согласно уравнению со-
состояния идеального газа
Р--^. (8-3.2)
Здесь М = 28,964420 кг/кмоль — молярная масса воздуха, R =»
= 8314,32 Дж/(К • кмоль)—универсальная газовая постоянная, Т —
термодинамическая температура (К). После подстановки (8.3.2) в
(8.3.1) получим
dp __ gM „
р - Rf an.
Интегрируя это уравнение от начальной высоты ho до текущей вы-
высоты h, найдем
\^\ (8.3.3)
где ро = p(ho), а затем с учетом (8.3.2)
\$\ (8.3.4)
Здесь ро, Mq, To соответствуют высоте ho. Будем пренебрегать в
уравнении (8.3.4) изменением g, M, T по высоте (так называемая
изотермическая модель атмосферы, поскольку Т = const). Тогда, вво-
вводя обозначение
# = -§-. (8.3.5)

362
ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
получим
(8.3.6)
Чтобы установить физический смысл величины Я, запишем уравне-
уравнение состояния (8.3.2) для высоты ho, т. е.
_ Р»М
Ро RT .
а затем с помощью соотношения (8.3.5) приведем его к виду
ро = pogH.
Следовательно, величина Я равна высоте столба однородной ат-
атмосферы, имеющей плотность ро, который при h — ho имеет такое
же давление, что и рассматриваемая изотермическая атмосфера.
Величину Я называют высотой однородной атмосферы. Согласно
Н.км
4 ч
Чбч
Рис. 8 6. Высота одиородпой атмосферы для различных уровней солнечной ра-
радиации и времен с^ток [69]
формуле (8.3.6), при изменении высоты h на величину Я плотность
уменьшается в е « 2,7 раз. Эта формула может быть использована
для аппроксимации плотности в некотором диапазоне высот. Высота
однородной атмосферы Я существенно зависит от расстояния до
поверхности Земли (рис. 8.6). С увеличением высоты величина Я

§ 8 3 ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ ИСЗ В АТМОСФЕРЕ 363
увеличивается, достигая значений Н = 100 — 200 км для высот h ==»
= 600 — 800 км. С ростом Н скорость убывания плотности атмосфе-
атмосферы уменьшается.
Величина Н зависит также от уровня солнечной активности Fq
и местного времени (рис. 8.6). Величина Fq показывает уровень
плотности потока радиоизлучения Солнца на частоте 2800 МГц
(длина волны 10,7 см).
Если известны высоты, на которых движется ИСЗ, то за счет
выбора соответствующей величины Н можно даже на основе изотер-
изотермической модели получить зависимость плотности от высоты, до-
достаточно близкую к истинной.
8.3.2. Упрощенная задача торможения ИСЗ в атмосфере на эл-
эллиптической орбите с малым эксцентриситетом. Сила аэродинамиче-
аэродинамического ускорения, направленная против вектора скорости ИСЗ отно-
относительно атмосферы, создает возмущающее касательное ускорение
at = -cx9V\ (8.3.7)
или с учетом B.3.8) и (8.2.11)
at = -Gx9V-V\ (8.3.7а)
где
— коэффициент аэродинамического ускорения, т — масса ИСЗ.
Если ограничиться моделью центрального поля притяжения Зем-
Земли, то ИСЗ в верхних слоях атмосферы будет иметь только возму-
возмущающее касательное ускорение (a8 = aw = 0). Отсюда dQjdt = Of
di/dt = 0. Следовательно, сопротивление атмосферы не приводит
к изменению положения плоскости орбиты ИСЗ.
Покажем, что сопротивление атмосферы приводит к уменьшению
эксцентриситета, т. е. эллиптическая орбита в процессе эволюции
под действием сопротивления атмосферы стремится к круговой.
С этой целью подставим ускорение (8.3.7 а) в уравнение (8.2.12)
для производной эксцентриситета оскулирующеи орбиты:
Предполагая начальную орбиту ИСЗ квазикруговой, получим с уче-
учетом малости эксцентриситета
7«1 — е cos ft
\ р I
de
—- = — 2рохр (cos ft + e sin2 тР.

3C4 ГЛ 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Проинтегрируем это уравнение, осредняя параметр орбиты р за
один оборот
BЛ 2Л \
( р cos ft rift + f pesin2ftdft .
о о /
Очевидно, второй интеграл всегда больше нуля. Определим знак
первого интеграла. Будем полагать, что плотность атмосферы зави-
зависит только от радиуса г. Отсюда имеем одинаковую плотность ат-
атмосферы в точках орбиты, симметричных относительно линии апсид.
Обозначим через р+ плотность атмосферы в точке ft = ft* и через
р" — в точке ft = я — ft*. Тогда
2Я Я Л/2
р cos ft dft = 2 j p cos ft dft = 2 j (p+ — p-) cos ft dft.
Но плотность атмосферы убывает с высотой, поэтому р+ — р~ > 0,
и первый интеграл также положителен. Следовательно, Де < 0, т. е.
под действием сопротивления атмосферы эксцентриситет орбиты
ИСЗ убывает и эллиптическая орбита стремится к круговой.
Рассмотрим интеграл энергии в виде
где К = V2/2 — кинетическая энергия единицы массы, П = —fi/r —
потенциальная энергия единицы массы, Е = h/2 — полная энергия
единицы массы. Изменение энергии в процессе торможения
(8.3.9)
причем АЕ < 0, так как под воздействием атмосферы полная энер-
энергия убывает. В случае квазикруговой орбиты ИСЗ
отсюда
ИЛИ
ll -?--0
2 2г '
Поэтому для квазикруговой орбиты
АК = -±АП. (8.3.10)
После подстановки (8.3.10) в (8.3.9) найдем величину уменьшения
полной энергии

g 8 з аволюция орбиты исз в атмосфере
365
Таким образом, при Торможении в атмосфере ИСЗ, движущегося
по квазикруговой орбите, половина потенциальной энергии перехо-
переходит в кинетическую, а вторая половина тратится на преодоление со-
сопротивления атмосферы. Отсюда следует, что при торможении в
атмосфере ИСЗ на квазикруговой орбите его скорость возрастает.
При разгоне с помощью касательной силы
ИСЗ на квазикруговой орбите происходит
обратное: разгоняющая сила увеличивает
потенциальную энергию, а кинетическая
энергия убывает. Общая энергия ИСЗ при
этом возрастает.
8.3.3. Эволюция эллиптической орбиты
при движении ИСЗ в неподвижной ат-
атмосфере. Рассмотрим задачу эволюции
произвольной эллиптической орбиты ИСЗ
под действием сопротивления атмосферы
в предположении, что поле притяжения
Земли является центральным, атмосфера
сферически-симметричная и неподвижная,
-а сила сопротивления атмосферы направ-
направлена против вектора скорости ИСЗ. Как
показано в работе [49], сжатие Земли
не влияет на время существования ИСЗ, поскольку не вызывает
вековых возмущений параметра р и эксцентриситета е орбиты.
Воспользуемся уравнениями движения в оскулирующих элемен-
элементах вида (8.1.12)—(8.1.14), (8.1.19), (8.1.21):
Рис. 8.7. К определению
связи между изменениями
аргумента широты и вре-
времени
--
-% = Vf [^sini& + a-e7 + «n(l + j) cos о],
~ = — V — | — ar cos ft + ajl + — ) sinft — awe-^-ctgismu ,
dt e r \i \ p / P J
-./" p r sin и
= UWV У"р~ Ж7'
<8-ЗЛ1>
dQ
~dt
4 ««»»•
Уравнение для времени пролета перицентра опущено, так как в
дальнейшем оно не используется. Правые части системы (8.3Л1)
не зависят явно от времени, поэтому целесообразно перейти к ново-
новому независимому переменному — аргументу широты и. Для этого
найдем соотношение, связывающее и и t. В каждый момент време-
времени справедливо условие
== ~]/цр dt,
(8.3.12)

366 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
где dq> — полное угловое перемещение радиуса-вектора за время dt.
Из построений на рис. 8.7 имеем
dy = ВС' - ВС = ВС' - АС = В1' + АХ' - АС. (8.3.13)
Здесь АС и ВС — проекции дуг оскули^ующих эллипсов на сферу
единичного радиуса, соответствующих моментам времени t и
t-b dt. Но
АА' = dQ, ВА' « dQ cos i,
w w (8.3.14)
AC=u, AX' = u + du
и после подстановки (8.3.14) в (8.3.12) получим
г2 (dQ cos i + du) = Y цр dt,
или
„( dQ . du\
С учетом производной dQ/dt найдем
du
Тогда можно записать [49]:
du п (X '
Да 7* v I 7* / 7* \ I
-J7, = —г- \аг sin О + апе — + ап 1 + — cos О ,
dd) r2y Г а, /- г\.а г.--1
-j- = —- — ar cos О + ап 1 -\ sin О — awe — ctg i sin и ,
CtW ^Ц, [^ \ p J p J
dQ r3y sin и
du w up sin j '
di r3y /o „ _
^ = a-7FC0SW' (8-зл5>
где
O = u— со, y= i . (8.3.16)
Как уже отмечалось, сопротивление неподвижной атмосферы,
когда aw = 0, не вызывает вековых возмущений долготы восходяще-
восходящего узла и наклонения орбиты, т. е. Q = const и i = const. Поэтому
в системе (8.3.15) останутся только три первых уравнения. Кроме
того, при aw = 0 имеем f = 1.

\
§ 8.3ДЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ ИСЗ В АТМОСФЕРЕ 367
\
Найдем теперь радиальную и трансверсальную составляющие
ускорения от силы аэродинамического сопротивления при движении
в атмосфере: х
\ /—
аг= — oxfiVVr = — oxpV у — е sin О,
Р (8.3.17)
ап = — oxpVVn = — axpV J/ — A + е cos ft).
Для описания зависимости плотности от высоты можно восполь-
воспользоваться любой моделью, например,
р = роА, (8.3.18)
где ро — плотность атмосферы на начальной фиксированной высоте,
А — относительная плотность атмосферы, задаваемая конечной фор-
формулой в виде функции от высоты.
После подстановки (8.3.17) и (8.3.18) в (8.3.15) получим с
учетом уравнения орбиты
г =
j- e cos О
и соотношения для скорости ИСЗ
V =
систему трех уравнений, описывающих эволюцию орбиты ИСЗ в
неподвижной атмосфере (^ = 1):
-? = — 2стхр0Ф (р, е, со, и),
~ = — 2oxp0W{p, e, со, и), (8.3.19)
~ап=— 2°хр0Х{р, е. со, и),
где
Ф(р, е, со, и) =
Y (р, е, со, и) = — 7ГТ ^Т2~^— (е + cos ^)» (8.3.20)
Х(р, е, со, и) =
е A -f- e cos и)
(ft = U — со).
Непосредственное интегрирование системы (8.3.19) требует боль-
большого времени счета, так как шаг по аргументу широты должен
быть ограниченным, а число оборотов ИСЗ на орбите может ока-
р3лУ1
(Н
рА /И
A +
/?Д sin a*}
¦f 2e cos 0 4- е2
h в cos ftJ
- 2 в cos Ф 4- е2 .
е cos 0)
К 1 f 2e cos г*> 4- е2

368 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
заться достаточно большим. Чтобы избежать/ув'еличения времени
счета, целесообразно ввести два уровня интегрирования: в преде-
пределах одного оборота ИСЗ на орбите и по числу оборотов. Интегри-
Интегрируя уравнения (8.3.19) в пределах одного /шорота, получим
2Я
Ар = — 2ахр0 j Ф (р, е/со, и) du,
о
2Я
Ae = — 2стхр0 j W(p, e, со, и) du, (8.3.21)
о
Aco = — 2стхр0 j X (p, e, со, гг) du.
о
В пределах одного оборота величины р, е, со меняются мало,
поэтому при вычислении интегралов (8.3.21) их можно принять
постоянными. В таком случае X оказывается нечетной функцией
истинной аномалии, т. е.
ХBл — ft)= —
поскольку относительная плотность сферически-симметричной моде-
модели атмосферы зависит только от высоты:
Здесь R3 — средний радиус Земли. Тогда можно записать
2Я 2Л—СО 2Я
[X{u)du= f X(ft)dft= fx(ft)dft=O.
и и •}
О —со О
Следовательно,
Асо = 0, (8.3.22)
и в рассматриваемой постановке задачи действие атмосферы не вы-
завает векового ухода линии апсид.
С учетом малости изменения параметра и эксцентриситета за
один оборот можно принять, что изменения этих величин за один
оборот равны производным от указанных элементов орбиты по числу
N оборотов ИСЗ на орбите, где N == в/2я. Тогда, учитывая (8.3.22)
и полагая со = const, получим
2Я
¦%= — 2стхр0 j Ф (р, е, и) du,
(8.3.23)
2
¦jx = — 2стхр0 J ? (р, е, и) du.

§ 8.3. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ ИСЗ В АТМОСФЕРЕ 36$
Обозначим п = 2Nox -*- приведенное число оборотов, и от уравнений
(8.3.23) перейдем к следующим:
2Я
(' W (р, е, и) du
de _ j> jln 1 .„ о 9/\
\ Ф (р, е, и) du po j Ф (р, е, и) du
о о
Задача об эволюции орбиты в атмосфере сведена к интегрирова-
интегрированию двух уравнений (8.3.24), правые части которых выражены че-
через определенные интегралы от функций Ч? (р, е, и) и Ф(р, е, и).
Важно подчеркнуть, что правые части (8.3.24) не зависят от ха-
характеристик ИСЗ. Поэтому достаточно один раз проинтегрировать
систему (8.3.24) с учетом принятой модели изменения относи-
относительной плотности Д по высоте. Затем легко совершить переход от
п к N по формуле N= n/Box), т. е. вычислить количество оборотов
любого ИСЗ с учетом его коэффициента аэродинамического сопро-
сопротивления Сх, массы т и площади миделева сечения S.
При заданных значениях рже интегралы, входящие в правые
части (8.3.24), можно согласно [49] вычислять с шагом Дгг = 6°г
а саму систему (8.3.24) интегрировать с шагом Д/? = 5 км для вы-
высот апогея ha =^ 700 км и с шагом Ар = 10 км для высот ha > 700 км.
В этом случае методическая ошибка в определении времени движе-
движения ИСЗ из-за приближенного интегрирования не превышает 2—
5 %, что значительно меньше точности знания фактического со-
состояния плотности атмосферы и коэффициента аэродинамического
сопротивления ИСЗ.
Начальные данные для системы уравнений (8.3.24) удобно зада-
задавать через начальные высоты апогея &ао и перигея /гпо, с которыми
начальные значения параметра орбиты ро ж эксцентриситета ео свя-
связаны формулами !
h —h
где i?3 — средний радиус Земли.
Зафиксируем максимальную начальную высоту апогея К ж бу-
будем варьировать начальной высотой перигея ha. Получим однопара-
метрическое семейство интегральных кривых. Каждая точка этих
кривых может рассматриваться в качестве начальной.
Для примера в работе [49] приведена зависимость тг(/га, ^п)
для модели атмосферы с относительной плотностью
л *
h — K
Коэффициенты модели и, ^о, Н, к, выбранные согласно работе [44] т
представлены в табл. 8.2. Для высот h > 900 км принят такой же

370
ГЛ 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
закон изменения относительной плотности, к#к в диапазоне высот
250—900 км. Вычисленная для этой модели атмосферы зависи-
зависимость п(к&, hn) построена на рис. 8.8 пунктиром. Сплошные линии
определяют изменение высоты перигея ha в зависимости от высоты
Таблица 82
Коэффициенты модели относительной плотности атмосферы [49]
Высота, км
100—150
150—250
250—900
Коэффициенты
1
5 667 Ю-3
4,428 Ю-5
Н, км
55
100
215
h0 км
100
150
250
k
8
7
6
апогея h& при торможении ИСЗ в атмосфере. Зная начальные высо-
высоты апогея и перигея, можно с помощью построенных зависимостей
определить приведенное число оборотов ИСЗ п, а затем по формуле
N = n~ (8.3 25)
установить ожидаемое число оборотов ИСЗ с учетом его характери-
характеристик т, Сх, v? и т"ем самым определить время существования.
hn= 500 км
300 ~
200 -
100
200
300
400
5OO
600
ha,км
Рис 8 8 Характеристики эволюции эллиптических орбит под действием атмо
сферы
Принято считать, что ИСЗ прекратил свое существование, когда
элементы его орбиты в процессе эволюции под влиянием атмосфе-
атмосферы принимают некоторые значения, которые отвечают так называе-
называемой критической орбите. Под критической орбитой понимают такую
орбиту, на которой ИСЗ может сделать только один полный оборот

§ 8 3 ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ ИСЗ В АТМОСФЕРЕ 37f
вокруг Земли. Обычно критическую орбиту задают минимальной
возможной высотой hmin или минимальным периодом обращения
^min- Для заданной модели плотности атмосферы характеристики
критической орбиты зависят от коэффициента ох = CxS/Bm). Рас-
Расчетами установлено, что при изменении величины ож в широком
диапазоне
0,0001 м2/кг < ах < 0,1 м2/кг
величины ^min и Гт1п меняются сравнительно мало [62]:
108 км < femm < 188 км,
86,5 мин < Гт1п < 88,1 мин.
При этом большей величине ох отвечают большие значения hmln и
^min- Ниже высот 110—120 км плотность атмосферы начинает рез-
резко увеличиваться, а сила аэродинамического сопротивления резко
возрастает. Отсюда для любой модели атмосферы можно в первом
приближении принять, что снижение ИСЗ до высот 110—120 км
(или уменьшение периода обращения до 86,5—86,7 мин) означает
окончание его времени существования.
Совместное рассмотрение построенных на рис. 8.8 зависимостей:
п(к&, ha) и ^п(^а) позволяет оценить время, в течение которого вы-
высоты апогея и перигея изменяются в заданных пределах. Из анали-
анализа построенных зависимостей видно, что высоты апогея и перигея
монотонно убывают, причем апогей убывает быстрее. Наиболее
значительна эта разница для сильно вытянутых эллиптических ор-
орбит. Следовательно, при большом отличии высот апогея и перигея
эволюция орбиты в атмосфере в течение длительного промежутка
времени сводится практически к уменьшению высоты апогея при
почти постоянной высоте перигея. Это отвечает постепенной транс-
трансформации эллиптической орбиты в круговую (е->0). Отмеченный
факт проявляется на рис. 8.8 в том, что кривые семейства ha {h&)
приближаются к прямой ha = foa, которая соответствует круговой
орбите. По мере уменьшения эксцентриситета уменьшается также
разница скорости убывания высот апогея и перигея.
Построенные зависимости позволяют определить наиболее целе-
целесообразную орбиту, обеспечивающую требуемое время существова-
существования ИСЗ. Видно, что время существования ИСЗ быстро возрастает
с увеличением высоты перигея. Однако для некоторых ракет-но-
ракет-носителей увеличение высоты конца активного участка, практически
совпадающей с высотой перигея, часто нецелесообразно из-за резко-
резкого падения массы выводимой полезной нагрузки, т. е. массы ИСЗ.
В таких случаях выгоднее увеличивать высоту апогея при допусти-
допустимой высоте перигея, что также приводит к уменьшению массы вы-
выводимой полезной нагрузки, но уже не в такой степени, как при
увеличении высоты перигеч. Использование вытянутых эллипти-
эллиптических орбит позволяет добиться значительного увеличения времени
существования ИСЗ сравнительно простым путем.

372 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Качественная картина эволюции эллиптической орбиты ИСЗ про-
протекает следующим образом. Сначала высоты апогея и перигея орби-
орбиты меняются медленно, так как ИСЗ движется в очень разрежен-
разреженных слоях атмосферы. По мере уменьшения высот апогея и перигея
темп эволюции орбиты возрастает. В конце эволюции высота орби-
орбиты резко уменьшается, и ИСЗ прекращает свое существование, кру-
круто снижаясь в плотных слоях атмосферы. Таким образом, основное
время существования ИСЗ приходится на высокие слои атмосферы
с наиболее разреженной плотностью.
Отметим также, что наибольшее значение для времени существо-
существования ИСЗ имеет плотность атмосферы в районе начального пери-
перигея, так как плотность атмосферы быстро падает с увеличением вы-
высоты, а начальный перигей эволюционирует медленно. Отсюда воз-
возникает возможность уточнения оценки времени существования ИСЗ
при изменении данных о плотности атмосферы вблизи перигея: вре-
время существования примерно обратно пропорционально плотности
атмосферы в области начального перигея. Для пересчета числа обо-
оборотов ИСЗ за время его существования можно воспользоваться
формулой
где звездочкой отмечены уточненные плотность и высота однород-
однородной атмосферы, а остальные параметры отвечают исходной модели,
по которой определены зависимости n(ha, h&) и hn{h&). Так, модель-
модельная атмосфера [44] оказалась в 1,5—2 раза более разреженной, чем
фактическая атмосфера на этих высотах по наблюдениям за дви-
движением ИСЗ.
Изменения высот перигея и апогея в процессе эволюции орбиты
протекают с существенно различающимися скоростями. Покажем,
что изменения обеих величин оказывают практически одинаковое
влияние на время существования ИСЗ. С этой целью рассмотрим
полное приращение п вдоль интегральной кривой n(hn, ha):
¦j дП 17 9П ту
ИЛИ
dn = dn\ + dn<i.
Можно записать
где
дп
^~0h^ dh
дп dh&

& 8.3. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ ИСЗ В АТМОСФЕРЕ 373
Оценим величину D. При смещении вдоль изолинии п = const име-
имеем dn = 0, тогда
дп R, дп с у п
откуда
дп
8Н„ ~dh~
дп
Ж
dh
Обозначим
8ha
a*a-
Расчетным путем было установлено, что
Это видно также на рис. 8.8 по наклону кривых ha(ha) jin(ha,ha)
в точках их пересечения. Тогда
dn « 2dni.
Таким образом, время существования ИСЗ практически одинаково
зависит от тех изменений высот апогея и перигея, которые проис-
происходят в процессе эволюции эллиптической орбиты при торможении
в атмосфере.
8.3.4. Влияние вращения атмосферы на эволюцию орбиты. Бу-
Будем считать, что атмосфера полностью захвачена суточным враще-
вращением Земли. Тогда скорость движения атмосферы определяется фор-
формулой
VBV = co3r cos ф, (8.3.26)
где соз — угловая скорость вращения Земли, г = R3 + h, Л3 — ра-
радиус Земли, h — высота рассматриваемой точки, ф — ее широта.
Ускорение, порождаемое силой сопротивления при движении
ИСЗ во вращающейся атмосфере, вычисляется по формуле
a = -<JKpF0THV0TH, (8.3.27)
где
V0TH = V - VBP (8.3.28)
— скорость ИСЗ относительно воздуха, V — абсолютная скорость
ИСЗ, FCTH = i Voth I. Величину скорости движения атмосферы будем

374
ГЛ. 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
вычислять по формуле (8.3.26). Вектор VBp направлен с запада на
восток вдоль параллели.
Найдем радиальную, трансверсальную и бинормальную проек-
проекции вектора V0TH (рис. 8.9):
' ОТН Г 'Г)
Т^отнп = Vn — GKrcosq>sin;4, (8.3.29)
V0TB w = ы3г cos ф cos A.
Здесь Vr, Vn — радиальная и трансверсальная составляющие абсо-
абсолютной скорости ИСЗ, А — азимут движения в рассматриваемой
Рис. 8.9. Учет вращения
атмосферы
Рис. 8.10. Геометрия орби-
орбитального движения
точке (отсчитывается от направления на север ./V по ходу часовой
стрелки). Согласно B.3.5) и B.3.7)
Из сферического треугольника DBC на рис. 8.10 имеем
cos ф sin A = cos ?,
cos < ВВС = 0 = —cos i cos A + sin i sin A cos u.
Отсюда
sin i sin A cos и
cos A =
и далее
или
cos ф cos A =
sin i cos Ф sin A cos и
cos ф cos A = sin i cos u.

§ 8.3. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ ИСЗ В АТМОСФЕРЕ 375
С учетом полученных соотношений составляющие относительной
скорости (8.3.29) можно представить в виде
' ОТН Г ' П
V0TU n = Vn — ызГ cos i, (8.3.30)
Foth ш = co3r sin i cos n.
Тогда величина относительной скорости будет вычисляться по фор-
формуле
^отн =VVr + {Vn — co3r cos if + @§r2 sin2 icos12 u,
или
V0TH = Yv* — 2Fnco3r cos i + coir2 A — sin2 i sin2 u). (8.3.31)
Отношение co3r/F является малой величиной по сравнению с 1, от-
отсюда можно пренебречь квадратом этой величины
и затем
Уотн « v(l - -^-^-cos ij. (8.3.32)
Проектируя теперь ускорение (8.3.27) на радиус-вектор, транс-
версаль и бинормаль, получим с учетом (8.3.30), (8.3.32) и приня-
принятой точности до первого порядка малой величины cor/F:
«г = — ffxpFoTH^OTHr = — OxpVVr 11 ~ —~ COS
an = - oxpVomVOTiin - - o4>VVn A - Vn^Y V ^f~ cos ij, (8.3.33)
sin i cos гг.
Оценим эволюцию параметра и эксцентриситета орбиты ИСЗ с
учетом вращения атмосферы. Используя первое уравнение системы
(8.3.15) и трансверсальное возмущающее ускорение согласно (8.3.33),
найдем производную параметра орбиты по аргументу широты:
со3г
Здесь апо — возмущающее трансверсальное ускорение от невращаю-
щейся атмосферы, вычисляемое по формуле (8.3.17). Упростим по-
полученную производную с учетом того, что торможение ИСЗ проис-
происходит в основном вблизи перигея, где Vn « V (F, » 0). Тогда
-^ =2ano-^(l-26cosi), (8.3.34)
(tit IX '

376
ГЛ. 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
где
6 =
V
— малая величина F ~ 0,05). Для производной параметра орбиты
по числу оборотов имеем
dp dp
In = In
A — 26 cos z)-
(8.3.35)
Здесь dp/dN\o — осредненная производная при невращающейся ат-
атмосфере. Если 0 < i < 90°, то
а при 90° < i < 180°
В наибольшей степени влияние вращения атмосферы сказывается
при движении ИСЗ в плоскости экватора на восток (i = 0) или на
запад (i = 180°). Для полярной орбиты (i =90°) вращение атмос-
атмосферы не вносит дополнительных изменений в характер эволюции
параметра орбиты.
Рассмотрим производную эксцентриситета по аргументу широ-
широты, определяемую вторым уравнением системы (8.3.15). Слагаемое
arsinO имеет второй порядок малости, так как вблизи перигея, где
происходит основное торможение ИСЗ, величина радиальной ско-
скорости, а следовательно и возмущающее радиальное ускорение, име-
имеет первый порядок малости. Вблизи перигея sin О также является
величиной первого порядка малости. Отсюда
de r3y Г г , ( . , г \ Л
= ап —L \е Ь 1 Л cos Ь ,
du
и по аналогии с производной параметра орбиты можно записать
de de
In = In
A — 26 cos ?),
(8.3.36)
где de/dN\o — осредненная производная для невращающейся ат-
атмосферы. Из оценок следует также, что отличие возмущений пара-
параметра орбиты и экцентриситета за счет вращения атмосферы не
превышают 10—12 % от аналогичных возмущений, вычисленных
для неподвижной атмосферы. Примерно на такую величину изме-
изменяется скоростной напор при переходе от абсолютного движения к
относительному.
Далее можно найти
de de
dp dp
(8.3.37)

§ 8.4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 377
т. е. эволюция формы орбиты с учетом вращения атмосферы подоб-
подобна эволюции в предположении невращающейся атмосферы.
Из-за влияния вращения атмосферы при движении ИСЗ в вос-
восточном направлении время существования больше, чем при движе-
движении в западном направлении. В наибольшей степени этот эффект
проявляется, если плоскость орбиты близка к экваториальной. Раз-
Различие времен существования, вычисленных с учетом вращения ат-
атмосферы (Гсущ) и без учета вращения атмосферы (Гсущо), не пре-
превышает тех же 10—12 %.
Для орбит, плоскости которых не совпадают с экваториальной,
учет вращения атмосферы приводит к меньшей коррекции времени
существования, а в случае полярной орбиты указанный эффект
практически не влияет на время существования.
Вращение атмосферы порождает бинормальную составляющую
возмущающего ускорения aw. Отсюда возникают вековые возмуще-
возмущения долготы восходящего узла Q, наклонения г, а также дополни-
дополнительное возмущение аргумента перигея со. Можно провести оценку
изменения этих элементов орбиты за все время существования
ИСЗ, поскольку они, как и вековые возмущения орбиты, непосред-
непосредственно влияющие на время существования, пропорциональны
плотности атмосферы р и коэффициенту а*. Полученные на основа-
основании расчетов оценки имеют следующие величины [49]:
IAQI < 0,2°, |Ai| < 0,1°, IAcol < 0,2°.
Видно, что изменения угловых величин малы, причем они верны для
1IG3 с различными значениями ох и при различных начальных
условиях движения. Таким образом, учет вращения атмосферы чрез-
чрезвычайно мало сказывается на вековых уходах долготы восходящего
узла, наклонения и аргумента перигея.
§ 8.4. Движение КА под действием постоянного
касательного ускорения [48]
В связи с перспективой использования электрореактивных дви-
двигателей для космических перелетов рассмотрим движения косми-
космических аппаратов под действием малой тяги. Более простыми ока-
оказываются схемы двигательных установок, развивающих постоянную
по величине тягу. Если исследуемый участок движения связан с
относительно небольшой потерей массы рабочего тела, то можно
принять, что ускорение, сообщаемое аппарату электрореактивным
двигателем, является постоянным. Ввиду этого исследование дви-
движения космических аппаратов с постоянным реактивным ускоре-
ускорением представляет несомненный интерес.
Электрореактивные двигатели способны сообщать космическим
аппаратам весьма малые ускорения, порядка нескольких мм/с2. По-
Поэтому использование малой тяги для разгона возможно лишь после
выведения аппарата на орбиту спутника, что должно производить-

378 ГЛ 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
ся при помощи двигателей «большой тяги». Дальнейший разгон за
счет тяги электрореактивного двигателя приведет к движению КА
по спиралевидной траектории.
Проведенные оценки и решение модельных задач показывают,,
что при разгоне по спиралевидным траекториям вектор тяги не
должен сильно отклоняться от касательной к траектории. Поэтому
расчет движения с касательной силой дает возможность составить
достаточно правильное представление об энергетических затратах,,
необходимых для разгона КА.
Часто разгон КА по спиралевидной орбите считают закончив-
закончившимся при достижении местной параболической скорости, и реко-
рекомендуется рассматривать последующий участок межпланетного по-
полета как гелиоцентрический с нулевой планетоцептрической ско-
скоростью в начале движения. Такая схема может приводить к ошибке
в величине потребного суммарного импульса в сторону завышения,,
причем величина ошибки может превышать половину местной па-
параболической скорости в точке стыковки [13].
Более целесообразным представляется рассмотрение разгона с
орбиты спутника не до параболической, а до гиперболических ско-
скоростей в рамках единой схемы движения в поле притягивающего
центра. Такая схема позволяет производить более аккуратную сты-
стыковку с гелиоцентрическим участком движения за счет выбора
рационального места стыковки. Кроме того, указанная схема позво-
позволяет произвести достаточно полный расчет энергетических затрат
для межпланетного перелета в случае, когда тяга не очень мала ж
набор скорости относительно планеты, необходимой для перелета,,
происходит полностью вблизи планеты, в области, размеры кото-
которой малы по сравнению с расстоянием между планетами. Движе-
Движение предполагаем плоским.
8.4.1. Преобразование уравнений движения. Систему уравнений
для оскулирующих элементов можно с учетом (8.1.38), (8.2.9),
(8.2.10) привести к виду
+ со8О
= -^-**. (8.4.1)
2
at у
*Ь = Щ=2ШЬ^ (8АЗ>
где радиус г и скорость V определяются формулами невозмущен-
невозмущенного движения
г = —г-^ 5", V=V ?- /l + e2 + 2ecos#. (8.4.4)
1 + е cos ¦& г Р
Система (8.4.1) —(8.4.3) является замкнутой системой уравне-
уравнений для переменных р, е, тЭ. Так как правые части не зависят явно
от времени, то можно исключить t. Параметр р меняется в про-

§ 8 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 379
цессе разгона монотонно, как это видно из уравнения (8.4.1). По-
Поэтому можно принять р в качестве нового независимого перемен-
лого, и получим систему двух уравнений
de e -f- cos г*)
dp p '
dft _ V У lip sin ft
2r pat
eP
(8.4.5)
(8.4.6)
Получив решение системы (8.4.5), (8.4.6), т. е. определив е и д-
ъ зависимости от р, найдем время t и угол о при помощи квадратур
из уравнений
dt V
dp 2pat '
da sin ft
dp ep
(8-4.7)
(8.4.8)
Для уменьшения числа параметров перейдем к безразмерным
переменным. Пусть L — постоянная, имеющая размерность длины.
Введем безразмерный фокальный параметр z и величину v соотно-
соотношениями
p = Lz, V=y^-u. (8.4.9)
Тогда уравнение (8.4.6) можно привести к виду
dft v A4- е cos ftJ |Л sin ft /rQ/iO\
Выберем величину L так, чтобы имело место равенство
откуда следует
Видим, что, при выборе L согласно (8.4.11), на расстоянии L от
центра притяжения касательное ускорение равно половине грави-
гравитационного ускорения.
Уравнение (8.4.10) примет вид
dft v A -\- е cos ftJ sin ft (SK A \"\\
dz z3 ez \ • • J
Для дальнейшего удобно вместо переменной ф рассматривать
переменную cos'О. Имеем
d cos ft . a dft
; = — sin хт -r-.
dz dz

380 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Запишем
где
уравнения
de
dz
dcos ft
dz
ДЛЯ
e
1
e и cos 0j:
+ cos ft
z
— cos2 ft v
ez
A -f- e cos г*}J sin ft
z3
(8.4.14)
sine = yi-cos2e\ (8.4.15)
Уравнения для t и о также приведем к безразмерной форме.
Введем безразмерное время т при помощи соотношения
гЗ/2
t-ф^т, (8.4.16)
тогда вместо уравнений (8.4.7), (8.4.8) получим
^ ,_ sin ft _dr »_ /Я/4 7\
dz ez ' dz z3/2' io.^.ii/
Уравнения (8.4.14) и (8.4.17) являются безразмерными урав-
уравнениями задачи.
В соответствии с постановкой задачи ищется движение, начи-
начинающееся с круговой орбиты. Однако на круговой орбите, т. е. при
е = О, уравнения задачи имеют особенность. Если строить решение,,
начинающееся с круговой орбиты, то возникнут трудности. Но в по-
построении такого решения нет необходимости. Более того, целесооб-
целесообразно избежать этого, так как решение, начинающееся с круго-
кругового, ввело бы через граничные условия параметр — радиус началь-
начальной орбиты, и решение зависело бы от этого параметра.
Представляется более целесообразным не требовать строгого вы-
выполнения начального условия е = 0 и постараться построить такое
решение уравнений, которое было бы универсальным в том смысле,
что было бы близким к решению, начинающемуся с круговой ор-
орбиты любого не слишком большого радиуса. Такое решение, сво-
свободное от несущественного влияния начальных условий, позволила
бы производить достаточно аккуратную оценку энергетических за-
затрат на разгон КА.
8.4.2. Построение решения. Будем искать такое решение систе-
системы (8.4.14), что е -*- 0 и costI-*-0 при z -*- 0. При выполнении
этого условия оскулирующая орбита будет тем ближе к круговой,,
чем меньше z.
Чтобы правая часть второго из уравнений (8.4.14) была огра-
ограниченной, должно иметь место соотношение
(8.4.18)
где U(z)—функция, равная единице при z = 0. Из первого урав-
уравнения (8.4.14) находим
z-^--e. (8.4.19)

§ 8.4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 381
Положив
cos $ = z2W{z) (8.4.20)
и используя (8.4.18), получим связь между функциями U и W
W = U + z^-. (8.4.21)
Будем искать U и W в виде рядов по степеням ъ. Пусть
U(z) = 1 + aiz + a2z2 + ... (8.4.22)
Тогда согласно (8.4.21)
W (z) = 1 + frz + fcz2... (8.4.23)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в формуле
(8.4.21), найдем
fo = (l+ /)<*,. (8.4.24)
Соотношение (8.4.24) дает локальную связь между коэффициента-
коэффициентами функций U и W.
Формула (8.4.21) дает одну связь между U и W. Для получе-
получения другой связи подставим выражения (8.4.18) и (8.4.20) во вто-
второе уравнение (8.4.14). Получим, умножая обе части равенства
на z3U,
z* [ж + z ~ | U = A - zW2) - ifT^W* v{l + z*UWf U.
dz
(8.4.25)
В формуле (8.4.25) множитель при U во втором слагаемом в
правой части равенства остается конечным при z -*- 0. Множитель
при U в левой части обращается в нуль при z = 0. Разрешая
(8.4.25) относительно С/, множитель при котором остается конеч-
конечным, получим
U = . V '—, (8.4.26)
Vi-zWvil + 'WJ
где обозначено
Соотношение (8.4.26) помогает понять структуру рядов для U
и W. Видим, что в разложении правой части (8.4.26) в ряд по z
отсутствуют члены с первой, второй и третьей степенью z. Значит,
в ряде (8.4.22) после свободного члена сразу идет член с z4. В силу
(8.4.24) то же верно и для ряда (8.4.23). Используя теперь фор-
формулу (8.4.26), получим, что следующими ненулевыми членами раз-
разложения в рядах (8.4.22) и (8.4.23) будут члены, содержащие z8y

382 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
и т. д. Будем поэтому сразу искать асимптотические ряды для U
ж W в виде
U (z) = 2 ukz*\ W (z) = S whzik. (8.4.27)
ft=0 ft=0
В силу соотношения (8.4.24) имеем
к. (8.4.28)
Определение коэффициентов uh и wh удобно выполнить итератив-
итеративным путем, используя формулу (8.4.26). Структура этой формулы
такова, что, подставив в правую часть ряды U и W с I верными
коэффициентами, получим ряд U с I + 1 верными коэффициентами,
а по формуле (8.4.28) или непосредственно по формуле (8.4.21)
определим W с I + 1 верными коэффициентами.
Так, подставив вначале произвольные ряды вида (8.4.27), най-
найдем значение uq — 1 и, согласно (8.4.28) или (8.4.21), найдем
wo = 1, что уже было получено ранее. Подставив U и W с верными
значениями щ и w0, вычислим аналогично верные значения щ и wu
и т. д.
Описанный процесс удобен для вычислений на ЭВМ. Задавшись
вначале любыми uh и wk (например, равными нулю) и производя
цикл вычислений по формулам (8.4.26) и (8.4.21) необходимое
число раз, получим любое желаемое число членов в рядах для
U и W.
Для вычислений с рядами целесообразно иметь подпрограммы
операций над рядами, такие как сложение рядов, умножение, деле-
деление, извлечение корня, дифференцирование с домножением на z.
Ряды должны размещаться в памяти в виде последовательности
коэффициентов. Выражение z4 или константу также можно считать
рядом, в котором только один коэффициент отличен от нуля. Од-
Однако для экономии памяти и числа операций целесообразно ввести
операции умножения ряда на степень величины z4 и на константу.
Процедура определения коэффициентов по рекуррентным фор-
формулам более регулярна, чем применяемый обычно при «ручных»
вычислениях метод сравнения коэффициентов при одинаковых сте-
степенях. Поэтому использование рекуррентных соотношений может
оказаться весьма удобным при использовании ЭВМ для построения
асимптотических разложений. На долю ЭВМ выпадает при этом
основная часть работы. Для составления задания на программиро-
программирование нужно лишь привести уравнения задачи к рекуррентному
виду, допускающему применение итеративного процесса.
Вычисленные значения коэффициентов даны в табл. 8.3 п. 8.4.5.
Все коэффициенты — целые числа, величина их быстро возрастает
по мере роста индекса. Тем не менее для малых значений z отре-
отрезок ряда может представлять функции U и W, а значит, и функ-
функции е и cos в достаточно точно.
Асимптотические ряды для е и cos'О1 строятся однозначно. Это
указывает на то, что существует только одно решение уравнений

§ 8 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 383
(8.4.14), удовлетворяющее условию е -*¦ 0 и cos б* -*¦ О, т. е. при
подходе к притягивающему центру.
Построив ряды, можно вычислить значение е и costf при неко-
некотором конечном значении z и дальше вести интегрирование систе-
системы (8.4.14) численно, использовав значения, вычисленные при
помощи рядов, в качестве начальных условий.
Второе из уравнений (8.4.14) содержит в правой части разность
двух величин, каждая из которых неограниченно растет при z-*-0r
по разность их вдоль искомого решения ограничена. Это означает,
что при вычислении правой части уравнения (8.4.14) для малых z
имеет место потеря точности и численное интегрирование может
дать большую погрешность. Поэтому интегрирование следует начи-
начинать при возможно больших значениях z. С другой стороны, вычис-
вычисления по рядам дают тем более надежный результат, чем меньше zt
и с этой точки зрения начальное значение z следует брать помень-
поменьше. Расчеты показали, что стыковка рядов с численным интегри-
интегрированием при 2 = 0,1 является достаточно удачной, обеспечивая
необходимую точность и в начальных данных, и при интегри-
интегрировании.
Численный расчет позволяет построить искомое решение урав-
уравнений (8.4.14) для любых значений z. Вместе с тем целесообразно
получить асимптотические формулы, представляющие решение при
достаточно больших z. Следует отметить, что асимптотика решения
уравнений (8.4.14) при больших z не может строиться однозначно,
так как при ее построении нельзя использовать условия поведения
решения вблизи центра при малых z. Поэтому асимптотика при
больших z должна являться асимптотикой не частного, а общего
решения уравнений (8.4.14) и должна содержать необходимое чис-
число свободных параметров. Ниже будет показано, что построенные
разложения действительно содержат две произвольные константы,
распорядившись которыми можно построить асимптотическое пред-
представление любого частного решения. Фактическое определение ко-
коэффициентов произведено для построенного ранее частного решения.
8.4.3. Асимптотика на большом удалении от центра притяже-
сия. Исследуем асимптотику величин е и cos 0 по z при больших z.
Будем искать разложения в виде рядов по целым степеням z.
По мере удаления от центра в процессе разгона эксцентриситет
спекулирующей орбиты неограниченно растет. Поэтому примем, что
ряд для е может содержать как отрицательные, так и положитель-
положительные степени z. Величина cos 0 ограничена, и ряд не может содер-
содержать положительных степеней z. Итак, примем
е =
n=l k=0 Z
Первое из уравнений (8.4.14) дает
A-e-cos0 = 0. (8.4.29)
dz v

384 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Подставляя разложения, получим
V (П l)czn V<* + 1)gfc + bfc -Q
Видим, что при п > 1 все коэффициенты с„ должны быть равны
нулю. Коэффициент Cj может быть произвольным. Обозначим
с\ = а. Имеем также соотношение
ak(k+l)+bk = O (A:-0, 1, ...), (8.4.30)
дающее связь между коэффициентами ак и Ьк. Ряды для е и cos $¦
запишем в виде
cos Ф = Ъп + 2d
ft=l
1-Х, (8-4-31)
Оценим коэффициент Ьо. Для этого рассмотрим второе из урав-
уравнений (8.4.14). Выражение в левой части и первое слагаемое в пра-
правой части имеют порядок по z не ниже чем 1/z2, что следует из
формул (8.4.31) и (8.4.32). Значит, порядок второго слагаемого
правой части не ниже 1/z2. Но выражение
v sin О 1
поэтому выражение 1 + е cos 0 должно быть ограничено с ростом z.
Величина е возрастает, значит, cos -6 должен убывать. Отсюда сле-
следует, что Ьо = 0. Из (8.4.30) получаем, что по = 0.
Итак, разложения для е и cos 0 имеют вид
, (8.4.33)
где А и В — ряды по отрицательным степеням z
? > (8-4-34)
ft=l Z ft=l Z
Коэффициенты а, ак и Ък подлежат определению. Для каждого
частного решения уравнений (8.4.14) они должны определяться
однозначно. Асимптотика общего решения уравнений (8.4.14)
должна содержать две произвольные константы. Ниже будет пока-
показано, какие из коэффициентов удобно принять за произвольные
постоянные, и будет дан метод вычисления всех других параметров
разложений, как только два произвольных параметра выбраны.
Постараемся привести уравнения (8.4.14) к рекуррентному ви-
виду, допускающему применение итеративного процесса для вычис-
вычисления коэффициентов.

§ 8 4 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 385
Преобразуем первое из уравнений (8.4.14). Записав его в виде
(8.4.29) и подставляя е и cos 0 из (8.4.33), получим
z (a + 4j) - («* + А) - в = 0.
откуда следует соотношение между А и В:
z^-A = B. (8.4.35)
Позднее будет установлено, что в процессе итераций соотноше-
соотношение (8.4.35) нужно будет использовать для вычисления А через В.
Поэтому разрешим его относительно А,
Введем операцию почленного умножения ряда на последователь-
последовательность чисел. Операция дифференцирования с домножением на z
для ряда по отрицательным степеням z является операцией умно-
умножения на последовательность отрицательных натуральных чисел.
Запишем
2-^= ДО Л, (8.4.36)
где А означает последовательность
Д = {-1, -2, ...) = {-к) (fc = l, 2, ...). (8.4.37)
Тождественное преобразование есть почленное умножение на
последовательность
E = {i, 1, ...}, (8.4.38)
все члены которой равны единице. Уравнение (8.4.35) примет вид
АО А-ЕОА=В,
или
(&-Е)ОА = В, (8.4.39)
где А — Е есть последовательность, члены которой получаются вы-
вычитанием членов последовательностей А и Е. Рассмотрим теперь
последовательность (А — Е)*, члены которой суть числа, обратные
членам, составляющим (А— Е). Тогда
(А-Е)О(А-Е)*=Е,
и можно записать
А=(А-Е)*ОВ. (8.4.40)
Уравнение (8.4.40) дает выражение А через В. Последователь-
Последовательность (А —Е)* имеет вид
±] (ft-0, 1,2,...). (8.4.41)
Видим, Tito для вычисления ряда А нужно выполнить почлен-
почленное умножение ряда В на последовательность, закон формирования
которой дается формулой (8.4.41).

386 ГЛ 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Обратимся ко второму уравнению (8.4.14). Преобразуя его и
используя (8.4.33), получим
ТГд5_Е1A + еВу + ez^_ _ 1 + 52 = 0 (8.4.42)
z ®z
Уравнение (8.4.42) используем для вычисления В. Первые два
коэффициента определим особо. Вычисления с целью определения
последующих коэффициентов сведем к регулярной процедуре.
Преобразуем первое слагаемое уравнения (8.4.42). Имеем со-
согласно (8.4.15) и (8.4.33)
v=
Формулу (8.4.33) для е запишем в форме
Тогда получим
/ГТГ5~21L = а2 A + УД (8.4.43)
где V\ — выражение, начинающееся с членов ~l/z2.
Второе слагаемое уравнения (8.4.42) перепишем в виде
dB о йВ , dB л
ez-r- = <zz2——\- z-j- A.
az az az
Перенесем в правую часть уравнения (8.4.42) члены, порядок ко-
которых заведомо не ниже 1/z2. Получим
а2 A + еВу + az2 J* _ i = _ В2 _ а2A + еВу Vl-z^A. (8.4.44)
Выделим в ряде В коэффициент bi
S = A±^i, (8.4.45)
где В\ — ряд, начинающийся с члена Ьг/z. Имеем
1 + еВ = 1 + abi + afli + АВ.
В уравнении (8.4.44) первое слагаемое в левой части приведем
к виду
2. (8.4.46)
Второе слагаемое будет равно
az2 Щ = _ abi _ aBi + az i^.. (8.4.47)

§ 8 4 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 387
Подставим (8.4.46) и (8.4.47) в уравнение (8.4.44). Приравни-
Приравнивая свободные члены, получим соотношение
(l + abl)[a2{l + abl)-l] = 0,
которое будет удовлетворено, если положить
a2(l + a&i)=l. (8.4.48)
Разрешая относительно Ъ\, находим
Ьх = Ц^. (8.4.49)
Соотношение (8.4.48) или (8.4.49) дает связь между коэффи-
коэффициентами а и Ъ\. Задав один из них, можно вычислить другой.
Упростим уравнение (8.4.44), используя соотношение (8.4.48)
и перенося в правую часть члены, имеющие порядок заведомо не
ниже 1/z2. Получим
где
V = — — [в {В + 2А) + z Щ- А + а2 {аВх + ABf + а2 A + eBf vX
ОС ^ CtZ J
(8.4.51)
Величину V\ надлежит вычислять по формуле
TB5-l, (8.4.52)
которая следует из (8.4.43).
Правая часть уравнения (8.4.50) имеет порядок 1/z2. Легко
проверить, что левая часть имеет тот же порядок, так как члены,
содержащие коэффициент &2, взаимно уничтожаются. Это означает,
что коэффициент Ъч можно задать произвольно.
Введем ряд Bi соотношением
В1=У^, (8.4.53)
где 52 начинается с члена Ьъ\ъ. Уравнение (8.4.50) примет вид
dz
Домножим обе части на z и используем операцию
A d
dz
получим
Д О В2 = zV. X8.4.54)

388 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Отсюда, разрешая относительно #2, найдем
B2 = A*OZV. (8.4.55)
Так как Bi есть ряд по отрицательным степеням z, начинаю-
начинающийся с члена порядка 1/z, операция А в формуле (8.4.54) сводит-
сводится к почленному умножению на такую же последовательность
(8.4.37), какая использовалась для ряда А в формулах (8.4.36) —
(8.4.39) в процессе преобразования первого уравнения (8.4.14).
В силу этого последовательность Д* имеет вид
Д* =
Формула (8.4.55) является рекуррентной, так как позволяет вы-
вычислять старшие коэффициенты через младшие. Так, например,
коэффициент Ь3, входящий в первое слагаемое ряда #2, равное
Ьз/z, вычисляется через коэффициенты а1? Ь1? Ь2, как это видно из
формул (8.4.51) и (8.4.52).
Как было выяснено, коэффициенты bi и Ьг можно задавать
произвольно. Все остальные коэффициенты ah, bh и а могут быть
вычислены. Поэтому коэффициенты bi и Ь2 можно выбрать в ка-
качестве параметров асимптотических разложений. Более удобно,
однако, выбрать вместо bi параметр а, так как bi просто вычисля-
вычисляется через а по (8.4.49).
Укажем последовательность вычислений по полученным выше
формулам. Зададимся значениями а и Ь2. Затем по (8.4.49) опре-
определим Ъ\. Тем самым ряд В будет известен с двумя верными коэф-
коэффициентами. Вычислим также ряд В\ по формуле
полученной на основании (8.4.45).
Далее будем проводить стандартный итерационный цикл. Опре-
Определим А по формуле (8.4.40), вычислим V\ и V по формулам
(8.4.52) и (8.4.51), определим Въ по формуле (8.4.55), a В\ и В
соответственно по формулам (8.4.53) и (8.4.45). Затем снова опре-
определим А по (8.4.40) и т. д. Повторяем цикл столько раз, сколько
надо, чтобы вычислить необходимое число верных коэффициентов
разложения. Каждая итерация продвигает расчет на один индекс,
добавляя в каждом ряду один верный коэффициент.
Так же как и при построении асимптотики у центра притяже-
притяжения, вычисления рационально вести, используя набор подпрограмм
операций с рядами. Целесообразно не создавать такие подпрограм-
подпрограммы заново для каждого частного вида разложений, а построить их
для разложений некоторого более общего вида, включающих как
частные случаи разложения данной задачи вблизи центра и вдали
от него.
Будем считать, что операции производятся с рядами по степе-
степеням элемента \% где \ = zr, a r — действительное число, в частности

§ 8.4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 389
целое. Для разложений вблизи центра по степеням zA имеем г = 4.
При больших z разложение идет по степеням z~x и г = —1.
По аналогии с числами ряды можно записывать как в норма-
нормализованном, так и в ненормализованном виде. При нормализован-
нормализованной записи каждый ряд X по степеням элемента | считаем пред-
представленным в форме
= S 2л %il •
i=0
Число т назовем порядком ряда. Ряд, оставшийся после выде-
выделения нормализующего множителя \т, начинается с константы.
Коэффициенты Хх аналогичны разрядам в многоразрядном числе.
Совокупность коэффициентов х{ назовем мантиссой ряда.
Операции с нормализованными рядами аналогичны операциям
с нормализованными числами. Некоторые из них удобно выполнять
примерно по той же логической схеме, как операции в арифмети-
арифметическом устройстве вычислительной машины с параллельным сум-
сумматором. Так, при операции сложения рядов вначале производится
выравнивание порядков, т. е. сдвиг мантиссы ряда с большим по-
порядком в сторону более высоких степеней | на величину разности
порядков. Затем производится почленное сложение мантисс. При
умножении рядов порядки их складываются, а мантиссы перемно-
перемножаются по простому правилу. При умножении ряда на выражение
?* к порядку ряда прибавляется число s.
Операция деления может быть сведена к операции умножения
на ряд, возведенный в степень —1. Возведение в степень, целую
или дробную, удобно вести по формуле бинома, возводя в степень
выражение A + (?), где Q — ряд, имеющий порядок не меньше
единицы.
Операция дифференцирования по | с домножением на | сводит-
сводится к почленному умножению мантиссы ряда на последователь-
последовательность чисел
Ы + п (? = 0, 1, 2, ...),
где m — порядок ряда. Операции дифференцирования по z с домно-
домножением на z отвечает последовательность
A = {r(m + i)) (? = 0, 1, 2, ...). (8.4.56)
В частности, для рядов типа U и W, даваемых формулами (8.4.27),
имеем г — 4, m = 0; получим
Д = {4?} (? = 0, 1, 2, ...). (8.4.57)',
Для рядов типа А и 5, даваемых формулами (8.4.34), имеем г=*
= —1, пг = 1 и последовательность
Д = {-(! + «)> (? = 0, 1,2,...),
что совпадает с последовательностью (8.4.37).

390 ГЛ 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Перейдем к определению констант асимптотических разложений
а и Ъ2. Для достаточно большого z величины е и cos ft представимы
разложениями (8.4.33), (8.4.34), которые перепишем в виде
е = а2+4г_+!чА С08# = -^+^Ц_^, (8.4.58)
где через А2 по аналогии с В2 обозначен ряд, начинающийся с чле-
члена аз/г. Описанный выше итерационный алгоритм позволяет вычис-
вычислить все коэффициенты в правых частях (8.4.58), если задать а
и Ъ2. Следовательно, значения правых частей при некотором z бу-
будут функциями величин а и Ъ2. Пусть значения е и cos б* известны
из численного интегрирования. Тогда соотношения (8.4.58) можно
рассматривать как систему уравнений для определения а и Ь2.
Разрешим систему (8.4.58) относительно главной части зависи-
зависимости разложений от параметров а и Ъ2. Умножая второе уравне-
уравнение (8.4.58) на 1/3 и складывая с первым, получим
, 1 тЛ 1 . f * I. ^ 4 i ( Л i 1 7? ^ 1
В2) г
(8.4.59)
В силу соотношений (8.4.30) и (8.4.49) имеем
% + -ГЬ1 = -1Т^'  + -Н = 0. (8.4.60)
осе
Используя (8.4.60) и разрешая (8.4.59) относительно а в старшем
члене разложения, находим
a =
<8-4-81>
Первое слагаемое в правой части — основное, второе и третье —
поправки.
В качестве первого этапа положим третье слагаемое равным
нулю. Производя итерации, определим а.
Разрешив второе уравнение (8.4.58) относительно Ь2, получим
b2 = z2 cos Q — ^з^- z — В2. (8.4.62)
На первом этапе определим Ьг, полагая В% = 0.
Взяв полученные значения а и Ъ% при помощи рекуррентных
формул, рассмотренных ранее, определим ряды А и 5, а также ря-
ряды Ач и В2. Значения рядов А2 и В2 при выбранном значении ъ
подставим в формулы (8.4.61) и (8.4.62) и определим уточненные
значения а и Ъ2. После этого снова определим А2 и В2 и т. д. до
сходимости.

§ 8 4 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 391
Описанный двойной итерационный процесс дает решение задачи
об определении параметров асимптотических разложений, отвечаю-
отвечающих искомому частному решению уравнений (8.4.14).
Отметим, что ряд А^ можно просто получить из ряда А по
формуле
A2 = z2{FOA),
где
F = {0, 0, 1, 1, 1,...}.
В последовательности F первый и второй члены равны нулю, по-
последующие равны единице.
Отметим также, что если асимптотическое разложение достаточ-
достаточно точно представляет е и cos б* в некоторой области значений z,
то результат определения параметров а и Ьг не должен зависеть
от выбора точки сопряжения в пределах указанной области. Это
обстоятельство может быть использовано для проверки надежности
определения параметров разложения.
8.4.4. Определение о и т. Для угла о и времени т были полу-
получены уравнения (8.4.17). Определим асимптотические разложения
для о и т вблизи центра и вдали от центра. Вблизи центра имеем
do1
dz 2з и
Положим для выделения особенности
o = ^~S + o0, (8.4.63)
где Оо — произвольная постоянная, и будем искать S в виде ряда
по степеням z4. Величина S будет определяться уравнением
zdT2S =и
или
(Д-2Я)* О S =
откуда для определения S найдем формулу
S = (А - 2Е)* О ^1~Z'W\ (8.4.64)
Ряды U и W по степеням z4 считаем известными.
В уравнении для т вблизи центра произведем замену
после чего получим для Т уравнение
z^T
(8.4.65)
(8.4.66)

392 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Ряд Т определим по формуле
Т = (а - \ eJ О Vl + z*U(U + 2W). (8.4.67)
Для рядов S и Т имеем в формуле (8.4.56) г = 4, т = 0 и по-
последовательность А будет определяться по формуле (8.4.57). По-
Поэтому разрешающие последовательности в формулах (8.4.64) и
(8.4.67) будут
При помощи формул (8.4.64) и (8.4.67) рассчитаем ряды S и Т.
Для любого значения z можем определить о и т по формулам
,(8.4.63) и (8.4.65) с точностью до произвольных пока постоянных
Со И То.
Перейдем к разложениям при больших z. Имеем
da
dz Z2 A
Положим
а5 +
р !. (8.4.68)
Найдем
dS -х Vl B2
z — о =
dz A
+ —
и для определения S получим соотношение
S = (А - Е)* О Т~ (8.4.69)
В уравнении для т замена
т = У7Г + т1 (8.4.70)
приведет к соотношению
(8.4.71)
Если ряды А, В ж е известны, то по формулам (8.4.69) и
•(8.4.71) определим ряды S и Т и по формулам (8.4.68) и (8.4.70)
рассчитаем величины о и т с точностью до констант G\ и ть
Ряды S и Т таковы, что в формуле (8.4.56) для последователь-
последовательности А имеем r=— I, m = 0. Разрешающие последовательности
в формулах для определения S и Т могут быть легко выписаны.

§ 8.4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 393
Формулы (8.4.63), (8.4.65), (8.4.68) и (8.4.70) показывают, что
вблизи центра о и т не ограничены. На больших расстояниях от
щентра о остается конечным, т растет как Mz.
Выделим частное решение уравнений (8.4.17). За начальное
направление для отсчета углов примем направление радиуса-век-
радиуса-вектора для бесконечно большого z. Тогда при z -*¦ °° получим, что
полярный угол ф = 0- 4- о -> 0. Но cos 0 -*- 0 и О -*- я/2. Отсюда сле-
следует, что константа Oi, равная предельному значению о, будет
Oi = —я/2. Зная ее, можно вычислить значения о для достаточно
больших z по асимптотической формуле (8.4.68) и найти началь-
начальные условия для численного интегрирования первого уравнения
(8.4.17). Доведем интегрирование в сторону уменьшения z до зна-
значения z, для которого справедливо асимптотическое разложение
(8.4.63) вблизи центра. Сравнивая расчеты по формуле (8.4.63)
с результатами интегрирования, найдем константу этого разло-
разложения оо.
Для величины т поступим иначе. Зададимся значением т = 0 в
точке, где е = 1, т. е. в точке, где достигается местная параболиче-
параболическая скорость. Проводя численное интегрирование второго уравне-
уравнения (8.4.17) в сторону уменьшения и в сторону увеличения z и
сравнивая результаты интегрирования с расчетом по асимптотиче-
асимптотическим формулам (8.4.65) и (8.4.70), определим константы этих
формул то и ть
Значения коэффициентов асимптотических разложений для о и
т приведены ниже.
8.4.5. Результаты расчета и примеры. При малых z были полу-
получены асимптотические формулы (8.4.18) и (8.4.20) для величин е
и cos 0, где U и W вычисляются по (8.4.27).
Для величин о и т имеем формулы (8.4.63), (8.4.65), где S и Т
ряды того же типа, что и ряды U и W:
s = 2 shz*t т = s ?hz*.
Константы в формулах (8.4.63) и (8.4.65) равны
оо = -3,40942, то = 1,34571.
Коэффициенты рядов приведены в табл. 8.3.
При больших z имеем асимптотические формулы (8.4.33),
(8.4.34) для е и cos 0-, а также формулы (8.4.68), (8.4.70) для
с и т, где
Значения констант равны
а = 0,766490, oi = -1,57080, п = -1,611.
Коэффициенты рядов А, В, S, Т даны в табл. 8.4.

394
ГЛ 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Таблица 8.3 .
Коэффициенты разложений у центра по степеням z*
h
0
1
2
3
4
5
6
7
А
1,0-10°
—6,0-10°
3,53-102
—5,0216-Ю4
1,271935-Ю7
—5,007378-109
2,829338-10г2
—2,173519-Ю15
В
1,0-10°
—3,0-101
3,177-Ю3
—6,528080-105
2,162289-108
—1,051549- Юн
7,073346-10гз
—6,303206 Ю"
s
—0,5.10°
2,75-10°
—4,835417-101
4,292169-103
—8,098106-105
2,555165-108
—1,204903-Юн
7,935154-1013
Г
—2,0-10°
4,285714-10-1
—5,75-10°
3,604946-102
—5,110699-10*
1,281759-Ю7
—5.010652-109
2,819974-10i2
Таблица 8.4
]
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
коэффициенты разложении вдали от
А
_
—4,58000-10-1
6,80189-10-1
—8,45172-Ю-1
8,85247-Ю-1
—4,86283-10-1
—9,64784-10-1
4,43942-10°
—1,10624-101
2,11182-101
—3,13216-101
2,90194-101
1,76253-101
—1,71363-Ю2
5,27883-Ю2
в
_
9,16000-10-1
—2,04057-10°
3,38069-10°
—4,42624-10°
2,91770-10°
6,75349-10°
—3,55154-101
9,95619-101
—2,11182-102
3,44538-Ю2
—3,48233-Ю2
—2,29129-Ю2
2,39908-Ю3
—7,91825-103
центра по степеням —
Z
s
—1,30465-10°
0
—7,74093-Ю-2
—3,20210-10-1
1,05876-10°
—2,39421-10°
4,44336-10°
—6,81926-10°
7,74454-10°
—2.45367-10°
—1,89947-101
7,31602-101
—1,79535-Ю2
3,41319-Ю2
—4,90991-102
Г
1,53298-10°
0
—7,40216-10-1
5.44150-10-1
—3,77374-10-1
—1,23027-Ю-2
8,58759-10-1
—2,41946-10°
4,80913-10°
—7,51642-10°
8,38035-10°
—1,84542-10°
—2,32322-101
8,44939-101
—2,00619-Ю2
В табл. 8.5 представлены полученные численным интегрирова-
интегрированием величины е, cos б", о, т, Тг в зависимости от z в диапазоне
0,1 < z < 20. Графики указанных величин построены на рис. 8.11.
Величина
есть безразмерное значение удвоенной полной энергии.

§ 8.4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ
395
Таблица 8.5
Изменение характеристик движения по г вдоль орбиты/
2
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0.32
0,34
0,36
0,38
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2.0
2.2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
» е
0,009994
0,014382
0,019556
0,025503
0,032207
0,039646
0,047793
0,056615
0.066076
0,076137
0,086757
0,097896
0,109512
0,121566
0,134020
0,146838
0,180027
0,215315
0,251470
0,288902
0,365541
0,443994
0,523513
0,603641
0,764699
0,925942
1,08688
1,24734
1,40726
1,56666
1,72556
1,88401
2,04205
2,19972
2,59250
2,98367
3,37360
3,76253
4,53820
6,08385
7,62514
9,16399
10,7014
12,2377
13,7733
15,3085
cos в
0,009970
0,014313
0,019382
0,025128
0,031475
0,038332
0,045597
0,053158
0,060904
0,068730
0,076539
0,084250
0,091795
0,099118
0.106179
0,112949
0,110190
0,142001
0,153636
0,163344
0,178381
0,188657
0,195430
0,199643
0,202929
0,202030
0,198833
0,194388
0,189299
0,183923
0,178472
0.173075
0,167807
0,162713
0,150857
0,140292
0,130929
0,122627
0,108656
0,088240
0,074166
0,063919
0,056140
0,050040
0,045130
0,041095
о
—53,3820
—38,0922
—28,8661
—22,8710
— 18,7539
—15,8022
— 13,6115
— 11,9390
—10,6313
—9,58789
—8,74073
—8,04234
—7,45886
—6,96556
—6,54409
—6,18056
—5,39184
—4,93070
—4,50292
—4,20657
—3,73868
—3,41258
—3,17267
—2.98886
—2,72567
—2,54612
—2,41563
—2,31640
—2,23832
—2,17524
—2,12318
—2,07947
—2,04223
—2,01012
—1,94631
—1,89878
—1,86198
—1,83263
—1,78875
—1,73408
—1,70136
— 1,67957
— 1,66402
— 1,65236
—1,64329
— 1,63604
т
—4,97871
—4,42574
—3,99908
—3,65360
—3,36729
—3,12493
—2,91623
—2,73398
—2,57297
—2,42927
—2,29994
—2,18264
—2,07556
—1,97723
— 1,88645
— 1,80226
— 1,61006
— 1,45562
—1,31363
—1,19254
—0,98117
—0,80437
—0,65205
—0,51783
—0,28806
—0,09406
0,07546
0,22720
0.36543
0,49306
0,61211
0,72406
0,83004
0,93090
1,16480
1,37817
1,57570
1,76056
2,10061
2,69644
3,21638
3,68410
4,11294
4,51134
4,88505
5,23819
"л
—9,99900
—8,44161
—7,14013
—6,24594
—5,54979
—4,99214
—4,53507
—4,15331
—3,82936
—3,55073
—3,30824
—3,09505
—2,90590
—2.73673
—2,58431
—2,44610
—2,15020
— 1,90728
— 1,70321
— 1,52756
— 1,23769
— 1,00359
—0,80659
—0,63562
—0,34603
—0,10188
0,11332
0,30881
0,49019
0,61110
0,82398
0,98058
1,13213
1,27959
1,63459
1,97558
2,30692
2,63133
3,26588
4,50165
5,71428
6,91490
8,10847
9,29756
10,4836
11,6675

396
ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Безразмерные значения расстояния р и скорости v/1/z согласно
г(8.4.4), (8.4.9) могут быть вычислены по формулам
е cos Ь '
(8.4.72)
На рис^в.^ дано изменение по безразмерному времени т вели-
величин р, v/1/z, Тг и углов — истинной аномалии оскулирующего дви-
движения О7 и полярного угла ф. Угол ф = б* + о отсчитывается от на-
направления радиуса, отвечающего бесконечно большому z, в сторону
cos
-20
-40
d,pad
Рис. 8.11. Изменение характеристик движения вдоль орбиты
движения при раскрутке. Значение т = 0 отвечает параболической
точке Gг = 0). Видим, что скорость движения сначала убывает, при
прохождении района параболической точки достигает минимума,
а затем растет. Характер изменения по времени вне окрестности
параболической точки близок к линейному, причем быстрота убы-
убывания и быстрота возрастания приблизительно одинаковы. Энергия
растет монотонно. Быстрота роста энергии меньше там, где меньше
скорость движения.

§ 8.4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ
397
На рис. 8.13 изображена траектория движения в различных
масштабах. По осям отложено х = р cos q>, у = р sin q>. Отмечены
значения z.
Для определения размерного расстояния и скорости имеем, со-
согласно (8.4.4), (8.4.9) и (8.4.11), формулы
fl- <8-473>
Вычислим значения этих величин в параболической точке.
Из расчетов имеем
Рпар = 1,24259, 1-^-) = 1,26846.
V l/z/пар
Видно, что расстояние до параболической точки и скорость в ней
для данного притягивающего центра (ц) зависят только от вели-
величины ускорения at.
Покажем, как можно пользоваться построенным решением для
оценки характеристик движения при разгоне с круговой орбиты до
Рис. 8.12. Зависимость параметров движения от безразмерного времени
заданной энергии. Радиус начальной круговой орбиты г0 прирав-
приравняем значению большой полуоси а для оскулирующего движения,
т. е. примем в начальной точке
аа = го.

398
ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
10 12 14 16 18 X
i ' i i
-4L
Рис. 8.13. Траектория движения КА под действием малой тяги: П — точка пе-
перехода через параболическую скорость; разметка по траектории — значения
параметра z
Безразмерное значение большой полуоси вычислим по формуле
fln-x' где Ь =
Далее имеем соотношение
Интерполируя по табл. 8.5 или производя вычисления по асимпто-
асимптотическим формулам, определим начальные значения других пара-
параметров: ZB, COS Он, Он И Ти.

§ 8 4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ 399
В конечной точке считаем заданной полную энергию. Так как
разгон происходит до гиперболических скоростей, то в качестве
энергетической характеристики удобно принять величину V„ —
скорость на бесконечности для оскулирующего гиперболического
движения в конечной точке. Имеем формулы
г V2
.у Т/2 7 Т7 ¦*-* ®®
К= оо, К= °°-]Г =
Интерполируя по таблицам или используя асимптотические фор-
формулы, найдем zK и определим величины cos &„, ок, тк. По формулам
(8.4.72) вычислим рк и (v/l/z)K.
Размерное расстояние гк и скорость VK в конечной точке полу-
получим из формулы (8.4.73).
За время разгона угол о изменится на величину
До = ок - Он,
что приближенно соответствует углу поворота радиуса-вектора.
Так как О » 90° при малых и при больших z, то оценка угла пово-
поворота по углу о достаточно точна. Если рассматривать разгон до
энергий, близких к параболической, то погрешность будет несколь-
несколько больше. Однако, как это видно из рис. 8.12, ошибка всегда бу-
будет меньше 12°.
Изменение т за время разгона
ДТ = Тк - Тн.
Согласно (8.4.16) полное время разгона определяется по формуле
Расход рабочего тела связан со значением интеграла
'к
/ = j a\dt.
Имеем в рассматриваемом случае
Если входной величиной для расчета является энергия, подобно
тому, как это было выше, то в области пригодности асимптотиче-
асимптотических формул удобно использовать разложения, которые давали бы
основные безразмерные характеристики движения непосредственно
но значению энергии. Такие разложения могут быть достаточно
просто получены при помощи итерационного процесса с использо-
использованием операций с рядами. Приведем результат.

400
ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Для малых z получим разложения по безразмерной большой по-
полуоси а:
z = aFz, g = o0~4tFo,
2 а
е — а г а, т — тв — г— г t,
где F — ряды вида
Во всех рядах свободные члены равны единице. Величины оо и То
те же, что и в формулах (8.4.63), (8.4.65). Коэффициенты рядов F
приведены в табл. 8.6.
Таблица 8.6
Коэффициенты разложений у центра по степеням а*
1,0-10»
—1,0-10»
l,6-10i
—9.08-102
1,19272 105
2,86203-107
1,09036-101»
6,03846-10i2
1,0-10»
—8,0-10»
4,22-102
-5,626-104
l,37710-107
5,31789-109
2,96929-1012
2,26298-101B
1,0-10»
-3,5-10»
7,87083-101
—7,63309-102
1,49385-106
—4,80915-108
2,29546-lOU
—1,52396-10i4
1,0-10»
2,85714-10-1
—4,0-10°
2,27565-102
—3,01208-104
7,24860-106
—2,76252-109
1,52903-1012
Для больших z имеем
z = \<bz, а = а,
а
— Фо,
h
е =
где a, Oi, Ti имеют приведенные ранее значения, а Ф
обратным степеням Ъ, имеющие вид
ряды по
Свободные члены рядов равны единице. Коэффициенты рядов даны
в табл., 8.7.
В качестве иллюстрации рассмотрим разгон с круговой орбиты,
отстоящей от поверхности Земли на 500 км. Примем ав = 6870 км.
Пусть разгон совершается до энергий, отвечающих скорости на
бесконечности V^ = 3 км/с и 5 км/с, что соответствует примерно
условиям полета к Венере и к Марсу по баллистическим орбитам.

§ 8.4. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КАСАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ
401
I
я
tr
н
(Ч
VO
я
Ь
g
я
41
>е
а
О
И
еа
е
о
со
со
00 00 СО
со со оо
О 00 СО
00 О СО
О- О -*-1
ОО" СО' vf"
ъ
со
со
со
щ.
со"
о
оо
о
С5
ь
со_
со"
о
см
¦гч
О
П5
П5
СО
СО
СМ
00
00
со
ю
оо
см
со
35
со
со.
n#"
I I
со
СО
00
О5
оо"
со
I
со
см"
о
93754-
о
79955-
о
04922-
о
38979-
со
О
56211-
О5
О
94612-
о
44194-
о
37837-
ю
о
27347-
^ч
О
33000-
^ч
о
28783-
^ч
О
76494-
см
о
64634-
1О
1,0-
909-
О5
1 ю
о
980-
О-
оОТ
о
^ч
О-
в
О
580-
ю
Ъ
974-
s
955-
ю
тЧ
О
663-
00
1
о
ш
со
со
со
о
258-
ю
тЧ
О
056-
о
о
О
472-
ю
со
о
653-

402
ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Расчет проведен для серии значений касательного ускорения at в
диапазоне
0,3 мм/с2 ^ at < 1000 мм/с2.
Принято \х = 398 600 км3/с2. Результаты сведены в табл. 8.8.
Радиус сферы действия Земли относительно Солнца гд«
« 900 тыс. км. Данные табл. 8.8 показывают, что почти для всех
принятых значений at, кроме наименьшего at = 0,3 мм/с2, парабо-
параболическая точка лежит внутри сферы действия. Для at = 0,3 мм/с2
параболическая точка лежит вблизи границы сферы действия.
Таблица 8.8
Разгон с орбиты спутника Земли до заданной энергии
при различной величине касательного ускорения at
а^, мм/с2
0,3
1
3
10
30
100
300
1000
rnap,
тыс. км
1012,8
554,7
320,3
175,4
101,3
55,47
32,03
17,54
сут'
275,7
80,80
26,16
7,508
2,365
0,649
0,192
0,048
V0o=3 км/с
гк, тыс.
км
15480
4776
1673
556,8
220,0
88,54
42,48
20,5?
t^., сут
94,12
26.02
7,814
2,000
0,5518
0,1285
0,03292
0,00722
v =f
ГК>
ТЫС. КМ
42120
12754
4319
1339
472,7
159,8
64.45
26,60
) км/с
?.(. , сут
171,2
49,09
15,45
4,242
1,265
0,3204
0,0875
0,0202
Act,
обороты
1120
336,3
112,3
33,87
11,45
3,587
1,314
0,479
*пар — время разгона до параболической скорости,
t^ — время полета после достижения параболической скорости.
Табл. 8.8 показывает также, что для значительной части диапазо-
диапазона at, исключая самые малые значения, весь участок разгона или
расположен внутри сферы действия, или лишь несколько выходит
за ее границы. Так, при разгоне до F*, = 3 км/с с ускорением at =
= 3 мм/с2 расстояние точки конца разгона от Земли гк =
= 1673 тыс. км, а при разгоне до F«, = 5 км/с и at = 10 мм/с2
имеем гк = 1339 тыс. км. При меньших F«, или больших at разгон
будет завершаться на более близких расстояниях к Земле. Более
подробное обсуждение результатов расчета траекторий разгона КА
под действием постоянного касательного ускорения приведено в ра-
работе [48].
Задача оптимального разгона КА с помощью малой тяги в пред-
предположении, что ускорение КА может быть переменным по величине
и может отклоняться от касательной к траектории, исследована в
работе [24]. Показано, что вблизи от притягивающего центра и
вдали от него оптимальный разгон происходит под действием уско-
ускорения, близкого к постоянному касательному и одинаковому по

§ 8.5. ДВИЖЕНИЕ В НЕЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ 403
величине для начального и конечного участков разгона. Оптималь-
Оптимальное движение на среднем участке может существенно отличаться,
от касательного. Установлено, что при разгоне до У,» = 3—5 км/с
с помощью ускорения величиной 0,3—300 мм/с2 получаемый выиг-
выигрыш в расходе рабочего тела в случае оптимального управления
не превышает соответственно 1—7 % по сравнению с разгоном
посредством касательного ускорения. Отсюда видно, что второй
способ дает достаточно точную оценку потребных затрат.
§ 8.5. Движение в нецентральном поле притяжения
Точную траекторию движения ИСЗ можно определить одним из
методов численного интегрирования. Например, методом Адамса»
Рунге — Кутта и др. Шаг интегрирования обычно выбирают в диа-
диапазоне 10—60 с. Поле притяжения Земли описывают зональными,
тессеральными и секториальными гармониками до 8-го порядка
включительно в разложении потенциала поля по сферическим функ-
функциям. Если высота орбиты меньше 1000 км, то возмущения от Лу-
Луны и Солнца можно не учитывать. Для более высоких орбит уже
необходимо учитывать эти возмущения. Плотность атмосферы на
высотах до 1500 км задают в соответствии с динамической модзлью
верхней атмосферы с поправкой на текущий индекс солнечной ак-
активности [10].
Для качественного анализа движения ИСЗ в нецентральном
поле притяжения приходится упрощать модель поля, чтобы иметь
возможность установить основные закономерности, не прибегая
к численному интегрированию.
В главе 1 отмечалось, что наиболее существенный вклад в отли-
отличие поля притяжения Земли от центрального вносит вторая зональ-
зональная гармоника, которая по крайней мере на три порядка больше
остальных гармоник. Вместе с тем сама вторая зональная гармони-
гармоника тоже на три порядка меньше основной составляющей поля при-
притяжения Земли, поэтому ее можно рассматривать как возмущение
центрального поля притяжения.
8.5.1. Составляющие возмущающего ускорения от сжатия Зем-
Земли. Если в разложении потенциала Земли A.3.25) учесть только
вторую зональную гармонику A.3.20), коэффициент которой h вы-
вычисляется по формуле A.4.10), то получим модель потенциала поля
притяжения Земли в виде
3 С — А(ЯЭ\2( • 2 Ml /о С4ч
ЫН')} <8-5Л>
или с учетом A.4.14) и A.4.17)
f)(?)V4)] (8-5-2>

404 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
где \х — произведение постоянной притяжения на массу Земли,
г — расстояние от центра Земли,
а - Дэ~Дп - 1 (S 5 3)
Да ~~ 298,25 ^'°'й)
— полярное сжатие Земли,
,.*Ч„ЙЬ (8.5.4)
Г1 eg
— отношение центростремительного ускорения к ускорению силы
притяжения на экваторе, #э и Ra — экваториальный и полярный ра-
радиусы Земли, ф — геоцентрическая широта рассматриваемой точки.
Используя потенциал (8.5.2), вычислим радиальную составляю-
составляющую ускорения
gr = -Qjr = — -^ + —г[а — -|-J C sm2 ф — 1), (8.5.5)
направленную по радиусу, соединяющему центр Земли и рассматри-
рассматриваемую точку, и меридиональную составляющую
направленную по касательной к меридиану, т. е. лежащую в плос-
плоскости меридиана и нормальную к gr.
Радиальную составляющую часто представляют в виде суммы
двух слагаемых,
gT = g + AgT, (8.5.7)
где
8 = - -рг (8.5.8)
— ускорение силы притяжения для модели сферической невращаю-
щейся Земли.
Обозначим
(?) (8.5.9)
тогда
Agr = -pr C sin2 Ф — 1) (8.5.10)
и
s<p = -f4-sin2<p- (8-5Л1)
г
По существу, поправки Agr и g^ являются возмущающими ускоре-
ускорениями, которые порождаются отклонением поля от центрального.
Возмущающее ускорение Agr в северном полушарии меняет знак
с «-^» на «+» при увеличении геоцентрической широты от значения

§ 8 5 ДВИЖЕНИЕ В НЕЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ 405
Ф = 0 (экватор) до ф = я/2 (Северный полюс). В южном полушарии
имеет место симметричная картина. Отсюда следует, что на эквато-
экваторе Agr<0 и |gP| > \g\. На полюсе соответственно lgPl < \g\. Возму-
Возмущающее ускорение gv согласно (8.5.11) в северном полушарии от-
отрицательно, т. е. направлено к экватору, а в южном полушарии —
положительно и также направлено к экватору.
Меридиональное возмущающее ускорение gv можно разложить
на трансверсальную и бинормальную составляющие, если известен
азимут движения А в рассматриваемой точке траектории:
ап = g<f,cosA, an,*** gySinA. (8.5.12)
Теперь можно записать радиальную, трансверсальную и бинормаль-
бинормальную составляющие возмущающего ускорения, порождаемые отличи-
отличием поля притяжения от центрального:
ar = -rCsinacp — 1),
ап= j- sin 2ф cos A, (8.5.13)
aw = т- sin 2ф sin A.
г
В соотношениях (8.5.13) перейдем от широты ф и азимута А к на-
наклонению орбиты i и аргументу широты и. Из сферического прямо-
прямоугольного треугольника BCD (рис. 8.10) следует, что
sin ф = sin i sin и,
а ранее при выводе составляющих относительной скорости (8.3.30)
были получены равенства
cos i = cos ф sin Л,
cos ф cos A = sin i cos и.
С учетом этих соотношений
аг = — C sin2 i sin2 и — 1),
ап = j- sin2 i sin 2u, (8.5.14)
б
aw — г sin 2? sin и.
8.5.2. Вековые гравитационные возмущения элементов эллипти-
эллиптической орбиты. Для анализа вековых возмущений элементов орби-
орбиты воспользуемся уравнениями движения в оскулирующих элемен-
элементах (8.3.14). При этом вместо времени t в качестве независимой пе-
переменной рассмотрим истинную аномалию О. Предполагая орбиту

406 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
эллиптической, будем считать, что для нее выполняется неравенство
Тогда можно принять
откуда
Для производной параметра орбиты р имеем уравнение
fJL. = 2ап~ = - ^г sin2 i sin 2м. (8.5.15)
Проинтегрируем это уравнение от 0 до 2я, осредняя параметр
орбиты р и наклонение i за один оборот и учитывая, что a = ft + co:
1
g
d$
dt
V
a2. +
Wp
9
r
dt
an + a
da
dt ~
9
Г
Wp
2Я
= — — sin2i f
Отсюда р = const, т. е. параметр орбиты не имеет вековых гравита-
гравитационных возмущений.
Легко проверить также отсутствие векового ухода эксцентриси-
эксцентриситета при действии гравитационных возмущений. Действительно, гра-
гравитационные силы имеют потенциал, следовательно, существует ин-
интеграл энергии, согласно которому величина большой полуоси
а = const. Но
e = у i —,
откуда е = const. Таким образом, гравитационные возмущения не
влияют на форму орбиты.
Рассмотрим теперь производную угла наклона плоскости орбиты
к экватору:
¦т4- = — т\— sin 2i sin 2a,
ИЛИ
di б sin 2г
(i + e cos ft) sin 2 (ft + со). (8.5.16)
Интегрируя за один оборот, найдем
2Я
= — 6sinf f A+ ecosft)sin2(ft + о)dft = 0.
2цр- J

§ 8 5. ДВИЖЕНИЕ В НЕЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ 407
Согласно полученному условию i = const: угол между вектором ки-
кинетического момента С и плоскостью экватора будет постоянным.
С учетом установленного ранее постоянства параметра орбиты
(р = const), имеем ICI = const, и может происходить только поворот
вектора кинетического момента. Покажем, что вектор С описывает
коническую поверхность. Проинтегрируем производную
ты = cosisin-м (8.5.1/)
за один оборот при обычных предположениях. Тогда
i f A + e cos ft) sin2 (ft + со) dft,
i
= _ -Щ- cos i
или
dQ 2яб
Из соотношения (8.5.18) видно, что сжатие Земли вызывает
смещение восходящего узла орбиты в направлении, противополож-
противоположном направлению движения ИСЗ. Так, у орбит с наклонением
0 < i < 90 ° под действием меридиональной составляющей возмущаю-
возмущающего гравитационного ускорения происходит регрессия, т. е. умень-
уменьшение долготы восходящего узла Q (смещение в западном направ-
направлении). В случае полярной орбиты (? = 90°) положение восходящего
узла не меняется. Для орбит с наклонением 90° < i < 180° восхо-
восходящий узел смещается в восточном направлении. Смещение долготы
восходящего узла при i = const приводит к движению вектора кине-
кинетического момента по конической поверхности.
Определим вековой уход линии апсид, которым пренебрегли
в первом приближении при переходе от t к ft в производных. С уче-
учетом (8.1.20)
а после подстановки радиальной и трансверсальной составляющих
возмущающего гравитационного ускорения из (8.5.14) получим
da
= 2 A + ~ I sin2 * sin 2w sin ft + C sin2 i sin2 и — 1) cos ft
или
-jk = о {B 4-3^ cos ft + e2 cos2 ft) sin2 i sin 2 (ft + oo) sin ft +
+ A + 2e cos ft + e2 cos2 ft) [3 sin2 i sin2 (ft + со) — 1] cos ft}. (8.5.19)

408 ГЛ. 8, ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Проинтегрируем эту производную за один оборот. Предварительно
вычислим входящие сюда интегралы, которые отличны от нуля:
sin ft cos ft sin 2 (ft + <o) dft == у cos 2<o,
J
о
cos2 ft sin2 (ft -f (o)dft = -5— 7- cos 2@,
1
cos2 ft dft =
0
Отсюда
2Я
\ -^ dft = 5- Ur-я sin2 i cos 2(o + 6 sin2 if^- — ^-cos2(o ) — 2я
J «и ^P L2 \2 4 / j
и после очевидных упрощений получим осредненную производную
по числу оборотов
^ = -^_(Зсо82;-1). (8.5.20)
Теперь можно определить осредненную производную аргумента пе-
перигея по числу оборотов:
dm do dQ . зтб /г <>• ^\ /осолч
Ш - 7ш ~ Tv cos l = ^7 ( С0^ )# ( }
Будем называть критическим такой угол наклона плоскости ор-
орбиты к экватору ?крит, при котором d(o/dN = 0. Имеем
?крит1 = arccos —= =63°26', iKpiIT2 = я — 1крит1= 116°34'. (8.5.22)
уь
Если i < ?крит 1 или i > iKpHT 2, то dm/dN > 0, и перигей смещается по
направлению движения ИСЗ. В случае ?крит1 < i < ?кРИТ2 имеем
dco/dN < 0, и перигей смещается в направлении, противоположном
направлению движения ИСЗ.
Наибольшая скорость смещения перигея имеет место в случае
экваториальной орбиты ИСЗ (? = 0):
da) \ 4яб
Заметим, что для экваториального ИСЗ понятие восходящего узла
теряет смысл, поэтому эволюцию восходящего узла не следует рас-
рассматривать.
Вековые возмущения долготы восходящего узла и положения
перигея носят долгопериодический характер, так как по истечении
достаточно большого промежутка времени, когда суммарное пере-

§ 8 5. ДВИЖЕНИЕ В НЕЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИТЯЖЕНИЯ
409
мещение достигает угла 2я, долгота восходящего узла и перигей
возвращаются к своим исходным положениям.
Из-за прецессии плоскости движения ИСЗ под действием грави-
гравитационных возмущений эллиптическая орбита перестает быть замк-
замкнутой, т. е. ИСЗ не возвращается в прежнее положение через один
оборот. Поэтому понятие периода обращения требует дополнитель-
дополнительного уточнения. Будем называть периодом обращения промежуток
времени между двумя последовательными прохождениями ИСЗ че-
через некоторую заданную поверхность. В зависимости от выбора по-
поверхности меняется величина периода и его определение. Так, дра-
коническим периодом обращения называют промежуток времени
между двумя последовательными прохождениями плоскости эквато-
экватора в восходящем узле.
Сидерическим периодом обращения называют промежуток вре-
времени движения от некоторой точки Мо до точки Ми Последняя яв-
является точкой пересечения орбиты с плоскостью, содержащей ра-
радиус ОМо и перпендикулярной к плоскости оскулирующей орбиты
(рис. 8.14). Величина сидерического пе-
периода в общем случае зависит от выбора
начальной точки Mq.
Существует период обращения, соответ-
соответствующий некоторой геоцентрической ши-
широте. Это — промежуток времени между
двумя последовательными пересечениями
орбиты с конической поверхностью, вер-
вершина которой совпадает с центром Зем-
Земли, а направляющая — с параллелью, со-
соответствующей заданной широте. Величи-
Величина такого периода обращения в общем слу-
случае зависит от рассматриваемой геоцентри-
геоцентрической широты. В частности, если широта
равна нулю, имеем драконический период.
Аномалистическим периодом обраще- рис з.14. К определению
ния называют промежуток времени меж- периода обращения для
ДУ двумя последовательными лрохожде- возмущенной орбиты
ниями через перигей орбиты.
Наконец, оскулирующим периодом обращения, или невозмущен-
иым периодом обращения, называют период обращения по оскули-
оскулирующей орбите, т. е. по невозмущенной орбите, по которой начал
бы двигаться ИСЗ, если бы в рассматриваемый момент времени все
возмущения исчезли.
8.5.3. Возмущения квазикруговой орбиты ИСЗ. Оценим измене-
изменения долготы восходящего узла и аргумента перицентра в случае
сравнительно низкой квазикруговой орбиты ИСЗ, когда можно при-
принять е « 0 и #э « Р- Тогда согласно (8.5.9), (8.5.18), имеем
JU& — 2я а —

410 ГЛ 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
И
dd> ( Q \ /г о . ,х
— « л (а — -^j Ecos l — !)•
Заметим, что в случае точной круговой орбиты вековое возмущение
аргумента перицентра теряет смысл.
Для Земли
а ~ Т ^ 612'
следовательно,
-тдр « — 0,59 cos i град/об, -^ л; 0,29 E cos2 i — 1) град/об.
Рассмотрим эволюцию квазикруговой орбиты ИСЗ с наклонени-
наклонением i = 65 °:
~ш — — 0,25 град/об, jT? = — 0,03 град/об.
Предположим, что средняя высота орбиты ~300 км, тогда оскули-
рующий период ~1,5 час и за сутки ИСЗ совершает 16 оборотов.
Каждые сутки долгота восходящего узла смещается к западу на
угол AQ = —4°, а перигей смещается к югу на угол Асо = —0,48°.
Эти перемещения происходят относительно абсолютной (звездной)
системы координат.
Если наклонение орбиты ИСЗ i = 51,5 °, то
— = — 0,37 град/об, -^ = 0,27 град/об.
За сутки долгота восходящего узла смещается к западу на угол
AQ = —5,92°, а перигей перемещается к северу на угол Асо = 4,32°.
§ 8.6. Возмущающее действие небесных тел
Движение спутника вокруг центрального притягивающего тела
может возмущаться из-за наличия других небесных тел. Будем по-
полагать, что непритягивающий спутник массой тпъ вращается вокруг
центрального притягивающего тела массой т\, а второе притягиваю-
притягивающее тело массой тг, внешнее по отношению к орбите спутника,
возмущает его движение вокруг центрального тела. Как и прежде,
будем обозначать небесные тела по их массам.
Будем также полагать, что расстояние апоцентра орбиты спутни-
спутника мало по сравнению с расстоянием между центральным телом и
возмущающим. Пусть изменения элементов орбиты спутника за
один его оборот малы. В этом случае оскулирующая орбита спутни-

§ 8 6. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
411
ка в течение одного оборота почти не отличается от эллиптической
орбиты с фиксированными элементами. Эти фиксированные для дан-
данного оборота элементы будем определять в момент пролета пери-
перицентра и называть элементами орбиты спутника. При сделанных
предположениях можно в рамках задачи возмущенного движения
спутника относительно центрального притягивающего тела получить
простые формулы для приближенного анализа эволюции достаточно
широкого класса орбит спутника и установления основных зако-
закономерностей.
8.6.1. Составляющие возмущающего ускорения от внешнего не-
небесного тела. Введем векторы, определяющие взаимное положение
Рис. 8.15. К возмущающему
действию на спутник внешни-
го небесного тела
центрального притягивающего тела mi, возмущающего тела
и спутника тпъ (рис. 8.15):
pi =
ъ, г = mim.3.
Если [Х2 — произведение постоянной притяжения на массу возму-
возмущающего тела, то
а1 = Т7Г
91 pi
— ускорение центрального тела под действием возмущающего тела и
ао = тг —
— ускорение спутника под действием возмущающего тела. Отсюда
возмущающее ускорение спутника в его движении относительно
центрального тела
_
а = а2 — ах - —
i 2 ' 1
(8.6.1)
Построим правую прямоугольную систему координат пцхуг, при-
причем ось miz направим по продолжению вектора pi, соединяющего

412 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
т2 и гп\. В этой системе координат
* = (х,У, z), Pi=@, 0, pi), р2=(я, У, Pi+z)
и составляющие возмущающего ускорения
p\ pI \ p? pjj
Предположим, что r/pi < 1. Тогда, пренебрегая квадратом этого
отношения, можно записать
pl = x* + y* + (Pl + zf = r2 + р? + 2Plz =
Отсюда с принятой точностью
Преобразуем теперь составляющие возмущающего ускорения:
'1
I-Z + -4- 1 — 1 + — ••• \tt-^z.
... ) «-т
Рх / р;
Под действием возмущающего ускорения az спутник стремится уда-
удалиться от центрального притягивающего тела, а под действием воз-
возмущающих ускорений ах, ау — приблизиться к нему.
Дифференциальные уравнения силовых линий поля определя-
определяются из условий
dx _ dy_ _ dz
ах av af

§ 8.6. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
413
или, принимая во внимание (8.6.2),
их
х
dy
У
dz
(8.6.3)
С учетом симметрии можно ограничиться рассмотрением только
плоскости m\xz (или miyz). Интегрируя (8.6.3), получим
x2z = const.
Силовые линии в плоскости m\xz показаны на рис. 8.16.
По составляющим возмущающего
ускорения найдем его потенциал
~2 , ..2
Pi
или
Если принять плоскость т\ху в ка-
качестве опорной, то можно записать
Csm29 — 1), (8.6.4)
JV2
где
sincp = —,
ц>—«широта» спутника Шъ относи- Рис. 8.16. Силовые линии в пло-
тельно плоскости пг\ху. Соотноше- скости mxxz
ние (8.6.4) аналогично формуле для
дополнительной составляющей потенциала поля притяжения тела,
имеющего полярное сжатие, если полюса совпадают с осью m\z.
Найдем радиальную и меридиональную составляющие возму-
возмущающего ускорения
dU
1 аи Зц г .
(8.6.5)
Далее, используя полученные ранее соотношения,
sin ф = sin i sin и,
cos ф cos A = sin i cos w,
cos ф sin A = cos i,

414 ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
вычислим радиальную, трансверсальную и бинормальную составля-
составляющие возмущающего ускорения
аг = —2— C sin2 i sin2 и — 1),
Pi
Зц г
ап = аФ cos Л =—|- sin2 i sin 2u, (8.6.6)
2pJ
aw = аф sin Л = —— sin 2г sin м.
-Pa
Здесь i — «наклонение» орбиты относительно «экваториальной» плос-
плоскости Ш\ху, и—«аргумент широты», отсчитываемый от восходящего
узла орбиты, лежащего в плоскости m,\xy, A — текущий «азимут»,
т. е. угол между плоскостью орбиты и плоскостью, проходящей че-
через ось m\z и текущее положение спутника.
В рассматриваемом случае величина возмущающего ускорения
| а | = \Га\ + а\ + a2w = Ц /38т2Ф + 1 (8.G.7)
pi
зависит от положения спутника относительно плоскости тп\ху. Если
спутник пересекает «полярную» ось m\Z, то sin2 ф=1 и возмущаю-
возмущающее ускорение достигает максимальной возможной величины
max a =
Минимальная величина возмущающего ускорения имеет место в
момент пересечения «экваториальной» плоскости пь\ху, когда ф = 0:
mm а = -*-
При всех других положениях спутника имеем
min |а| < |а[ < max iai,
Или
p*^1 '^ px3
Определим соотношение между величинами минимального воз-
возмущающего ускорения и ускорения от притяжения центрального
тела:
min I а I М*2 г3
В качестве примера сравним возмущения околоземного спутника

§ 8.6. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 415
под действием Луны и Солнца:
Следовательно, влияние Луны на движение околоземного спутника
оказывается в два с лишним раза сильнее, чем влияние Солнца.
8.6.2. Эволюция орбиты под действием внешнего возмущающего
тела. В работе [39] была исследована задача эволюции орбиты под
действием внешнего возмущающего тела. Даже в рамках первого
приближения для приращений элементов оскулирующей орбиты
удалось выявить основные качественные и количественные эффекты.
Воспользуемся полученными в [39] дважды осредненными (за
период обращения спутника и за период обращения внешнего воз-
возмущающего тела) уравнениями для изменения элементов оскули-
оскулирующей орбиты спутника:
da p.
de 1 ,/— . 9 • • о
— = -7J- е у е sin21 sin 2(o,
-^-= -,—^- sin 2i sin 2(o, (8.6.8)
dn 4 т/? v '
dQ cos i Г, м \ • 9 ,1
— = j=r- A — e) sin'2 (o -f -=
da 1 Г/ ч . 9 . 2 ]
3— = —pr (cos" i — e) sm-(o + -=- e .
Здесь n=AN, N—число оборотов спутника;
а, е — большая полуось и эксцентриситет оскулирующей орбиты
спутника; е = 1 — е2; р2, е2—параметр и эксцентриситет орбиты
внешнего возмущающего тела; е2 = 1 — el; \x\, \х2 — произведение
постоянной притяжения на массу соответственно центрального и воз-
возмущающего тел. Наклонение орбиты спутника i, угловое расстоя-
расстояние (о его перицентра от восходящего узла и долгота восходящего
узла Q отсчитываются в системе координат, связанной с централь-
центральным телом, оси которой не вращаются в абсолютном пространстве,
а координатная плоскость, выбранная в качестве опорной, совпада-
совпадает с плоскостью движения внешнего возмущающего тела. В урав-
уравнениях (8.6.8) предполагается, что е ^ 1.
Вместо долготы восходящего узла Q и углового расстояния от
узла со при анализе часто оказывается удобнее перейти к долготе
Я и широте ф вектора Лапласа, направленного от центрального тела
в перицентр орбиты спутника. Широтой ф будем называть угол

416 ГЛ. 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
между вектором Лапласа и опорной плоскостью, совпадающей
с плоскостью орбиты внешнего возмущающего тела. Долгота А, оп-
определяет угловое расстояние между первой координатной осью, ле-
лежащей в плоскости орбиты внешнего возмущающего тела, и проек-
проекцией вектора Лапласа на эту плоскость. Связь А,, ф и со, i, Q легко
установить с помощью формул сферической тригонометрии:
sin ф = sin i sin со, cos (A, — Q) = .
Y ' \ / COs ф
Используя эти формулы совместно с (8.6.8), можно заменить про-
производные dQ/dn, dwfdn на
йф ,/— sin i cos
(8.6.9)
, к r ~ , ч- — 4 sin2 ф).
ап ° COS ф
Кроме того, вместо уравнения для эксцентриситета defdn можно
рассматривать уравнение для е = 1 — е2:
~ = — A — е) /е sin2 i sin 2co. (8.6.10)
Согласно первому уравнению системы (8.6.8) имеем а = const.
Тогда с помощью уравнения связи га = аA — е) получим
^Н=— а—, (8.6.11)
dn dn' v
где defdn определяется вторым уравнением системы (8.6.8). Отсюда
следует вывод об увеличении гп, когда со принадлежит второй или
четвертой четвертям, и об уменьшении гп, когда со принадлежит
первой или третьей четвертям.
Исследуем систему (8.6.8). Кроме интеграла а = const, эта си-
система имеет еще два интеграла [39]
ecos2i = Cb (8.6.12)
A _ е)A — sin2 i sin2 со) = С2, (8.6.13)
в чем нетрудно убедиться, дифференцируя (8.6.12), (8.6.13) с уче-
учетом производных (8.6.8). Постоянные интегрирования определяют-
определяются начальными значениями ео, г'о, соо:
С1! = е0 cos2 ?0, (8.6.12а)
С2 = A — е0) [j — sin2 i0 sin2 соЛ. (8.6.13a)
Заметим, что интеграл (8.6.12) имеет простой физический смысл.
Действительно,
Л 9 Р ?-
8=1 — е2 = — = ,
а ^а'

§86 ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
417
где С — постоянная интеграла площадей. Отсюда условие (8.6.12)
эквивалентно равенству С cos i = const, т. е. проекция вектора орби-
орбитального кинетического момента спутника на нормаль к плоскости
движения внешнего возмущающего тела, осредненная за один обо-
оборот этого тела, не меняется при
эволюции орбиты спутника.
Согласно (8.6.12) постоянная 1
С\ всегда положительна и удов-
удовлетворяет ограничениям
Из соотношения (8.6.13) имеем,
что знак постоянной Сг зависит
от множителя, стоящего во вто-
второй скобке, причем
5 ^t-2^ 5'
Если рассмотреть плоскость пара-
параметров Сг, Ci, то область их воз-
возможных согласованных значений
будет иметь вид, показанный на
рис. 8.17. Следуя работе [39], обсудим граничные значения посто-
постоянных, соответствующих предельным случаям.
Случай 1. Если начальное наклонение ?о = 0 или к = я, то с
учетом (8.6.12а), (8.6.13а) получим
Рис. 8.17. Области возможных значе-
значений постоянных С\ и С2
Этому соотношению на рис. 8.17 отвечает отрезок прямой АВ. При-
Принимая во внимание (8.6.8) и (8.6.9), в рассматриваемом случае
имеем
' Av, ^t К
¦Ч)'
где знак «+» берется при ?0 = 0, а знак «—¦» берется при io = я. Та-
Таким образом, если плоскость орбиты спутника в начальный момент
времени совпадает с плоскостью движения внешнего возмущающего
тела, то все элементы орбиты спутника, кроме долготы линии ап-
апсид Я, остаются в среднем неизменными. При этом линия апсид по-
поворачивается в плоскости движения внешнего возмущающего тела
в среднем с постоянной скоростью.
Случай 2. Если начальные условия удовлетворяют соотношениям
sin2 оH = 1, cos2 i0 = -g-e0,

418 ГЛ 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
то с учетом (8.6.12а), (8.6.13а) получим
— кривую ED на рис. 8.17. При таких начальных условиях
COS COq = О И
= во = У "з" Съ l = 7с « == ю0 = ± Y'
Ф = Фо (гДе sin* Фо = 1 — -у &о)>
Здесь знак «+» при cos ц > 0 и знак «—» при cos ц < 0. В этом
случае вся эволюция в среднем сводится к повороту орбиты спут-
спутника вокруг нормали к плоскости движения возмущающего тела.
Случай 3. Пусть начальные условия удовлетворяют соотно-
соотношениям
2
sin2 ф0 = sin2 i0 sin2 co0 = -g-,
тогда Сг = 0 и имеем линию О А на рис. 8.17. Принимая во внимание
первое уравнение (8.6.9), получим Ф = фо = const. Далее, с учетом
(8.6.12), (8.6.13), (8.6.12а) определим два интеграла:
cos in 2
cos i й
Второй интеграл используем для приведения производной dcafdn
к виду
dm 1 — 6
dn ~ УЪ
Из второго интеграла следует, что sin2 со ^ 2/5, причем знак равен-
равенства возможен только в случае sin2 i = 1, i = ± я/2. Отсюда
Производная da>[dn обращается в нуль только в точках
1 1
со, = -jr-arccos—, со, = — со1?
д 2 5 2 х (8.6.14)
С03 = Я — COj, С04 = Я -j- Ci^.
Эти точки выделяют два интервала, на которых может существовать
решение:
a>i < со < соз, аи < со < 2я + сог.

§86 ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 419
С учетом положительности производной dwfdn > 0 на первом интер-
интервале имеем со -+ соз, а на втором интервале со -+ сог.
С помощью двух найденных интегралов можно качественно оце-
оценить эволюцию орбиты с ростом со. Пока на первом интервале
со < я/2 (или со < Зя/2 на втором интервале), с ростом со пара-
параметр в уменьшается, а эксцентриситет орбиты увеличивается, так
как е = У1 — в. Когда со = я/2 (или Зя/2), эксцентриситет дости-
достигает своей максимальной величины
= у 1 — -|b0cos2?0.
В указанной точке i = arcsinV2/5 (или i = я — arcsinV2/5). При
дальнейшем увеличении со эксцентриситет орбиты уменьшает-
уменьшается, в связи с чем эллиптическая орбита стремится к круговой, а на-
наклонение орбиты i -+ я/2.
Случай 4. Большой практический интерес представляет случай,
когда плоскость начальной орбиты спутника ортогональна плоско-
плоскости движения внешнего возмущающего тела, т. е.
cosz0 = 0, io = у.
В этом случае С\ = 0 (линия BE на рис. (8.17)) и система (8.6.8)
имеет интегралы
i = i0 = у, Q = Qo = const,
а оставшиеся уравнения принимают вид:
? = 4-*/?sin2<o, (8.6.15)
(8.6.16)
(8.6.17)
Разделив первое уравнение на второе, получим
de e sin 2@
dti) I
cos 2<й — -jt-
Производная (8.6.17) определена всюду, кроме особых значений
со,, задаваемых соотношениями (8.6.14). Рассмотрим два возможных
случая в зависимости от знака знаменателя (8.6.17).
а) Пусть cos 2co > 1/5, тогда угол со должен удовлетворять ог-
ограничениям
со2<со<со1, соз<со<со4. (8.6.18)
Интегрируя уравнение (8.6.17) с начальными условиями со@)=соо,
е@)= во, получим
1
-. (8.6.19)
cos 2<а — 1

420
ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Легко видеть, что интеграл (8.6.19) эквивалентен (8.6.13) и
(8.6.13а) при i = n/2.
Введем постоянную, зависящую от начальных условий,
= ?о^5 cos 2о)о —
тогда
е =
~|/5 cos 2@ — 1
(8.6.20)
(8.6.21)
Для рассматриваемой эллиптической орбиты на интервалах
(8.6.18) имеем А\>0. Полученная зависимость е(со) для указан-
указанных интервалов построена на рис. 8.18. Поскольку на этих интер-
интервалах производная dwfdnX) согласно (8.6.16), то с увеличением
числа оборотов спутника угол со возрастает. Направление движения
-19
10 60 90 120 150
Рис. 8.18. Фазовые траектории е(со
180
64
210 (*,spad
вдоль фазовой траектории на рис. 8.18 отмечено стрелками. В про-
процессе эволюции орбиты спутника наступает момент, когда эксцент-
эксцентриситет возрастает, доходя до значения е = 1.
б) Пусть теперь cos 2co < 1/5; тогда угол со должен удовлетво-
удовлетворять условиям
(Oi < (О < СОз ИЛИ 0L < 0) < 0J. (8.6.22)
В этом случае можно записать
de
е sin 2@
_
-г — cos 2@
(8.6.23)
где знаменатель положителен. Интегрируя уравнение (8.6.23) с на-
начальными условиями о)@)=0H, е(О) = ео, получим
е = ес
¦j/Ч — 5 cos 2(o
5 cos 2(o
(8.6.24)

§8 6. ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 421
Обозначим постоянную, зависящую от начальных условий,
5cos2a>0; (8.6.25)
тогда на рассматриваемых интервалах изменения аргумента
е= -_ А% =¦. (8.6.26)
1/1 — 5 cos2o)
Зависимость е(оо), где ooi<co<oo3, построена на рис. 8.18. Анало-
Аналогичный вид имеет зависимость е(оо) при 004 < со < оог.
В этом случае dca/dn < 0, и с увеличением числа оборотов спут-
спутника угол со убывает. Направление движения вдоль фазовой траек-
траектории показано на рис. 8.18 стрелками. В процессе эволюции орби-
орбиты наступает момент, когда эксцентриситет возрастает, доходя до
значения е = 1.
в) При особых значениях угла со = оэг, для которых справедли-
справедливо условие cos 2оог = 1/5, имеем
— 5
^\ (8.6.27)
Знак «+» соответствует особым значениям ооь 004, а знак «—» от-
отвечает особым значениям оог, ооз. Таким образом, при со = ooj, ©4
эксцентриситет орбиты возрастает с увеличением числа оборотов
спутника (е<1). При со = со2, ооз эксцентриситет убывает (е^О).
Проинтегрируем второе уравнение (8.6.27) с начальными ус-
условиями п = 0, е(О) = ео; тогда получим
In I-
В этом соотношении сохраняется приведенное выше правило выбо-
выбора знака с учетом рассматриваемого значения оог. Фазовые траек-
траектории, начальные углы которых совпадают с особыми значениями
cot, показаны на рис. 8.18 вертикальными отрезками прямой, а на-
направления перемещений с ростом числа оборотов спутника отмече-
отмечены стрелками.
Итак, в рассматриваемом случае, когда орбита спутника накло-
наклонена под углом я/2 к плоскости орбиты внешнего возмущающего
тела, при любых начальных условиях (исключая «о = «2 и 000 = 003)
в результате эволюции орбиты ее эксцентриситет достигает значе-
значения е = 1. При этом а = const, следовательно, в итоге орбита ока-
оказывается не параболической, а прямолинейной, у которой фокусное
расстояние равно большой полуоси. На заключительном этапе эво-
эволюции радиус перицентра уменьшается до нуля. Значит, орбита
спутника пересечет поверхность центрального тела или условную
границу его атмосферы, если центральное тело имеет атмосферу.
В результате эволюции орбиты спутник падает на центральное те-
тело. Этот вывод справедлив не только при i — я/2, но и для других
орбит спутника с достаточно большими наклонениями.

422
ГЛ. 8. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
На рис. 8.19 [39] показана качественная картина эволюции ор-
орбиты спутника с углом наклона i = я/2 к плоскости орбиты внеш-
внешнего возмущающего тела. Пунктирные линии отмечают особые зна-
значения аргумента перицентра со,, стрелки между ними показывают
След
плоскости
орбиты
возмущающего
тела
Рис. 8.19. Схема эволюции орбиты с углом наклона я/2 к плоскости возмущаю-
возмущающего тела
направление изменения угла со в зависимости от начального поло-
положения перицентра.
Пусть R — радиус центрального тела или радиус условной гра-
границы его атмосферы. Тогда
гПкрИТ = Д (8.6.29)
— условие падения спутника на центральное тело, где гп крит —
критический радиус перицентра орбиты спутника. Обозначим через
^крит критическую величину эксцентриситета орбиты спутника в мо-
момент выполнения условия (8.6.29). Тогда можно записать
яA-екрит) = Я, (8.6.29а)
откуда
= 1 - -. (8.6.30)
Критической величине эксцентриситета орбиты спутника соот-
соответствует значение аргумента перицентра сокриТ, которое согласно
(8.6.19) и (8.6.24) определяется из уравнения
5cos2coKpHT-l = [;A- I Ecos2co0-l). (8.6.31)
Число оборотов спутника iVcy4 (или время ?сущ) в процессе измене-
изменения аргумента перицентра от соо до сокрит определяет длительность
существования спутника. Найдем Ncym.

§86 ВОЗМУЩАЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 423
Предположим сначала, что постоянная интегрирования
С = 4 E cos 2со0 — 1) (8.6.32)
положительна. Тогда уравнение (8.6.16) с учетом (8.6.19) можно
привести к виду
1 /г о
= Го E cos 2m-
5cos2to. — 1
(8.6.33)
Обозначим через гсо число приведенных оборотов спутника к момен-
моменту, когда (о = 0 (величина щ < 0, если ооо<О). Интегрируя топерь
(8.6.33), получим
п — п0 = 10
E cos 2o)
-1) у l-
5 cos 2oi — 1
,2 2
05 cos 2ы—1
(8.6.34)
Как и в работе [39], введем согласно табл. 8.9 новые обозначения
для постоянных и переменных соотношения (8.6.34).
Таблица 8.9
Замена постоянных и переменных в соотношении (8.6.34)
Новые обоз-
обозначения
6
ап
sin ф
ь2
Исходные обозначения
при сГ> о
i + C
5
[ 4 A + 6) ]-i/2
-[ 5 J
I / 1 + 6 1 — cos 2co
Г 1 — 6 1 + cos 2@
3 1 — 6
2 1 + 6
2
при С^О
1 + г
5
" 6 A — 6) ]-1/2
. 5 J
1 — 6 1 + cos 2o)
1 + 61 — cos 2@
2 1 + 6
3 1 — 6
В результате правая часть (8.6.34) приведется к эллиптическому
интегралу первого рода:
ф
п — щ = sign (sin 2(o) an ^ф -,
^ У 1 — /c2sin29
дг —дг0 = sign (sin 2(о)а„/^(ф, А). (8.6.35)
пли

424 ГЛ 8 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Число оборотов за время существования спутника до падения на
центральное тело вычисляется по формуле
^сущ= ~ [sign (sin 2(o) /Чфкрит, A0-sign(sin2<oo)F(<po, к)], (8.6.36)
где фкрит = ф(оокрит), фо = ф(ооо). Формула (8.6.36) справедлива и в
случае С < 0. При этом необходимо воспользоваться соответствую-
соответствующими обозначениями табл. 8.9.
Если ооо = со; или «о = «4, то зависимость эксцентриситета е от
приведенного числа оборотов п определяется соотношением (8.6.28),
причем в правой части следует выбрать знак «+». Подставив в
(8.6.28) е — екрИт, определим число оборотов спутника до момента
падения на центральное тело
* У
14-1/ 1-е2
А г у L скрит
Итак, за исключением специальных начальных условий
«о = оо2 и «о = ооз, эволюция любой орбиты спутника, плоскость ко-
которой ортогональна плоскости движения внешнего возмущающего
тела, всегда приводит к падению спутника на центральное тело за
ограниченное число оборотов, т. е. за ограниченное время [33],
поскольку
3/2^сущ. (8.6.38)
Качественные и количественные оценки, полученные из рассмот-
рассмотрения модельной задачи, достаточно полно описывают эволюцию
реальных орбит искусственных спутников под действием возмуще-
возмущений от внешних небесных тел.
В работе [17] рассмотрена задача в общем случае, когда плос-
плоскость начальной орбиты спутника не обязательно ортогональна
плоскости движения внешнего возмущающего тела. Получены соот-
соотношения через эллиптические интегралы первого рода для вычисле-
вычисления числа оборотов спутника до момента падения на центральное тело.
Как пример, обсудим траекторию полета советской автоматиче-
автоматической межпланетной станции АМС, запущенной к Луне 4 октября
1959 года. После сближения с Луной и получения фотографий еэ
обратной стороны АМС оказалась на геоцентрической орбитз с на-
начальной высотой перигея ~47 тыс. км, начальной высотой апогея
~480 тыс. км и наклонением орбиты к плоскости экватора ~80°.
Начальный период обращения ~15 суток [6]. Несмотря на боль-
большую начальную высоту перигея, эволюция орбиты под влиянием
возмущающего притяжения Луны и Солнца привела к падени!»
ЛМС на поверхность Земли через 11 оборотов.

ПРИЛОЖЕНИЕ
КОРРЕКЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ
Фактическая траектория КА всегда отличается от номинальной
из-за ошибок исполнения маневров, действия возмущающих факто-
факторов, неадекватности расчетной модели и т. д. Если отклонение фак-
фактической траектории от номинальной находится в пределах допу-
допуска, заданного в соответствии с требованиями решаемой задачи,
то коррекции не требуется. Если же отклонение выходит за этот
допуск, то необходима коррекция траектории движения. Для про-
проведения коррекции КА должен иметь двигательную установку
с необходимым запасом топлива и систему управления, обеспечива-
обеспечивающую нужную ориентацию в пространстве.
П.1. Постановка задачи коррекции. До проведения коррекции
следует решить навигационную задачу, т. е. уточнить текущие ко-
координаты и составляющие скорости. Для решения навигационной
задачи используются результаты внешнетраекторных измерений,
проводимых с помощью наземного измерительного комплекса, или
результаты автономных измерений, проводимых на борту КА. Воз-
Возможно также совместное использование результатов внешнетраек-
внешнетраекторных и автономных измерений.
Далее навигационные параметры движения сравниваются с тре-
требуемыми, и на основе принятой модели движения рассчитывается
коррекция траектории. Расчет коррекции включает определение по-
потребной ориентации вектора тяги, момента включения двигательной
установки и длительность ее работы. Во многих случаях потребное
изменение скорости не превышает нескольких десятков метров в
секунду, а длительность работы двигательной установки при вы-
выполнении корректирующего маневра мала по сравнению с временем
пассивного полета. Поэтому оказывается допустимой импульсная
аппроксимация корректирующего маневра, что существенно упро-
упрощает его расчет.
Будем различать коррекцию околоземной эллиптической (или
квазикруговой) орбиты и траектории полета к планетам Солнечной
системы (или к Луне). В первом случае задача по существу сво-
сводится к переводу КА с одной орбиты на другую. Для выполнения
такого маневра с минимальными затратами топлива можно опи-
опираться на результаты анализа оптимальных межорбитальных пере-
перелетов, компланарных и некомпланарных. В ряде случаев оказыва-
оказывается необходимым учитывать заданные временные ограничения.
Рассмотрим теперь задачу коррекции межпланетной траектории.
В общем случае одноразовая импульсная коррекция позволяет ис-

426 ПРИЛОЖЕНИЕ
править три параметра траектории с помощью трех составляющих
приращения вектора скорости. Поэтому такую коррекцию называют
трехкомпопептной. Для исправления всех шести параметров, опре-
определяющих межпланетную траекторию, необходимо по крайней ме-
мере двухразовое проведение трехкомпонентной коррекции.
Иногда величина корректирующего импульса скорости задана
(в соответствии с располагаемым запасом топлива) и можно выби-
выбирать только его направление в пространстве. Такая коррекция яв-
является двухкомпонентной.
Если линия действия корректирующего импульса скорости фик-
фиксирована (например, коллинеарна направлению на некоторое не-
небесное тело), а его величина и ориентация в одну или другую сто-
сторону вдоль этой линии могут выбираться, то имеет место одноком-
понентная коррекция.
По числу исправляемых параметров траектории коррекция мо-
может быть однопараметрической, двухпараметрической и т. д.
П.2. Двухпараметрическая коррекция. Для межпланетной тра-
траектории наибольший интерес представляет двухпараметрическая
коррекция. Действительно, построим картинную плоскость, прохо-
проходящую через центр планеты назначения перпендикулярно вектору
планетоцентрической скорости КА на номинальной траектории в
точке пересечения картинной плоскости. С картинной плоскостью
свяжем прямоугольную декартову систему координат РЪ,цС,. Начало
системы координат совпадает с центром масс планеты. Ось РЪ, на-
направлена вдоль линии пересечения картинной плоскости и плоско-
плоскости гелиоцентрической траектории вправо, если смотреть с конца
вектора планетоцентрической скорости. Ось Рг| направлена вверх,
в полусферу, определенную направлением вектора кинетического
момента траектории. Ось PZ, направлена вдоль вектора планетоцен-
планетоцентрической скорости V0TH. Орты построенной системы координат оп-
определяются соотношениями
V V
°™ o И) о™
-О = °™ ^ so И) _
I кх vothI I voth| I voth|
где К — кинетический момент в гелиоцентрическом движении КА.
Точка пересечения реализовавшейся траектории с картинной
плоскостью определяет условия движения КА относительно пла-
планеты на этапе наибольшего сближения. Две координаты точки пе-
пересечения являются теми двумя корректируемыми параметрами,
которые стремятся свести к номинальным значениям с заданной
точностью. Оставшийся свободный параметр трехкомпонентной кор-
коррекции может быть использован, например, для минимизации вели-
величины корректирующего импульса скорости или для минимизации
суммарной ошибки коррекции. Иногда свободный параметр исполь-
используют для коррекции времени достижения картинной плоскости,
чтобы обеспечить условия наблюдаемости с наземных измеритель-
измерительных комплексов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 427
Общие принципы оптимизации трехкомпонентнои двухпарамет-
рической коррекции были впервые исследованы в 1960 г. А. К. Пла-
Платоновым и Р. К. Казаковой под руководством М. В. Келдыша. По-
Полученные результаты позднее опубликованы в [31] и некоторых
других работах*). Следуя [31], обсудим задачу оптимизации в об-
общем виде. Предположим, что условия коррекции в момент дости-
достижения картинной плоскости заданы двумя соотношениями: А = О,
В = 0. Пусть на основе решения навигационной задачи и прогноза
траектории с использованием принятой модели движения установ-
установлено, что ожидаемые терминальные условия в момент достижения
картинной плоскости А*Ф0 и В*Ф0. Требуется определить кор-
корректирующий импульс скорости У=(УХ, Vy, Vz), обеспечивающий
нулевые терминальные условия и минимизирующий величину не-
некоторой заданной функции /(V). Здесь составляющие корректиру-
корректирующего импульса скорости Vx, Vv, Vz заданы в некоторой фиксиро-
фиксированной системе координат.
Обозначим A = grad.4, B = grad#, где градиенты рассматри-
рассматриваются в пространстве Vx, Vy, Vz. Тогда в линейном приближении
корректирующий импульс скорости должен удовлетворять соот-
соотношениям
A-V = — A*, В V = — В*.
Чтобы решить задачу Лагранжа о нахождении условного экст-
экстремума функции /(V), рассмотрим вспомогательную функцию
H(V) = J(V)+X(A • V + Л*)+о(В . V + B*),
где X, о — множители Лагранжа. Для нахождения неизвестных
Vx, Vy, Vz, X, о имеем систему уравнений
А • V + А* = 0, В • V + В* = 0,
(П.1)
Сначала рассмотрим случай, когда ищется минимум величины
V2 = Vx + V\ + V\. В этом случае систему уравнений (П.1) при-
принимает вид
axVx + avVy + azVz = -A*, bxVx + byVy + bzVz = -5*,
2Vx + axk + bxo = 0, 2Vy + ayk+byo = Q, (П.2)
Здесь gTRdA=(ax, ay, az), gTadB=(bx, by, bz) рассматриваются в
выбранной системе координат. Решая систему (П.2), найдем со-
*) П л а т о н о в А. К. Исследование свойств корректирующих маневров
в межпланетных полетах / Космические исследования.— 1966.— Т. 4, вып. 5.
Платонов А. К. Оптимальные свойства корректирующих маневров
при использовании двигателя с ограниченной тягой // Космические исследо-
исследования.— 1967.— Т. 5, вып. 2.

428 ПРИЛОЖЕНИЕ
ставляющие минимального по величине корректирующего импульса
скорости, обеспечивающего сведение к нулю ошибок А* и В* [31]:
атВ2 —ЬА-В ЬТА2 —атА-В
Vx =**Л*2Е**
A-
В
В2- В (А
(АХВJ
А2 — А-(А-
(АХВJ
В)
В)
ВХ(АХВ)
(АХВJ
АХ(ВХА)
(АХВJ
(АХ ВJ (АХ ВJ
а„В2 —Ь„А-В Ь„А2—а А-В
7 в 2 !L Л* - -К \ В*, (П.З)
У (АХ ВJ (АХ ВJ V '
а_В2 —Ь_А-В Ь,А2 —о.А-В ^
(АХ ВJ (АХ ВJ
Решение (П.З) можно представить в векторной форме
у = _ А-В2-В (А В) А* _ В-А2-А (А В) ^
(АХ ВJ (АХ ВJ
ИЛИ
V = ]VL1* + N?*, (П.З а)
где
(П.4)
— фиксированные для данного момента времени коррекции векто-
векторы, через линейную комбинацию которых определяется оптималь-
оптимальный корректирующий импульс скорости. При любых величинах
ошибок А* и В* оптимальный вектор V будет находиться в плос-
плоскости векторов М и N, которая согласно (П.4) совпадает с плос-
плоскостью двух градиентов: A = grad-4 и B = grad#. Эту плоскость
называют плоскостью оптимальной коррекции.
По построению плоскости оптимальной коррекции очевидно, что
в рассматриваемой линейной постановке импульс скорости, колли-
неарный нормали к указанной плоскости, не меняет терминальных
параметров А и В. Поэтому направление АХВ называют нуль-на-
нуль-направлением.
В качестве первого случая конкретизации терминальных усло-
условий рассмотрим
А* = Ъ-%Г, B**=i\-i\,, A = grad?, B = grad?, (П.5)
где |т, rjT — заданные терминальные значения координат в картин-
картинной плоскости. Построим систему координат Oxyz, начало которой
находится в текущей точке траектории движения, а плоскость Оху
совпадает с плоскостью оптимальной коррекции. Ось Ох направле-
направлена по линии пересечения плоскости гелиоцентрической траектории
с плоскостью оптимальной коррекции. Ось Oz направлена по нуль-

ПРИЛОЖЕНИЕ 429
направлению в сторону движения КА. Ось Оу дополняет правую
систему координат. Построенная таким образом подвижная система
координат Oxyz в момент достижения картинной плоскости будет
совпадать с Pb,r\t,.
Рассмотрим семейство корректирующих импульсов скорости в
плоскости оптимальной коррекции, имеющих одинаковую величину
VK, но различные направления. Будем задавать направление углом
•ф, который отсчитывается от оси Ох в сторону оси* Оу. Тогда со-
составляющие корректирующего импульса скорости равны Vx —
= VK cos я|), Vy = VK sin i|), Vz = 0. Такому семейству корректирующих
импульсов будет соответствовать семейство отклонений в картинной
плоскости Р|г|?:
I = ук • А = VK\A\ cos-ф, n = VK • В = FJBI сов(ф - б), (П.6)
где б — угол между градиентами А и В, который отсчитывается от
А в ту же сторону, что и угол г|э.
При фиксированной величине VK соотношения (П.6) описывают
эллипс с центром в начале координат Р. Если FK=1 м/с, то соот-
соотношения (П.6) будут описывать эллипс влияния, который характе-
характеризует влияние направления корректирующего импульса скорости
на величину отклонения траектории в картинной плоскости.
Определим ориентацию эллипса влияния в картинной плоско-
плоскости. С этой целью запишем
| = р cos ф, г) = р sin ф, (П.7)
где угол ф отсчитывается в картинной плоскости от оси РЬ, в сто-
сторону оси Рц. Используя соотношения (П.6) и соотношения (П.7),
найдем
ру = У\ А |2 cos2 -ф + | В |2 cos2 (я|) — б),
I В | (П-8)
tg Ф = ТдТ (cos б + *? Ф sin б)'
где pr = p/FK. Затем из условия dpvldty = 0 определим значения
угла я|)о, отвечающие большой и малой полуосям эллипса влияния:
Если теперь подставить значения г|5о в (П.8), то можно вычислить
величины большой полуоси эллипса влияния
малой полуоси
n = Y\ ( | А |2 + | В |2 - /]A|4 + 2|A|2|B|2cos26

430 ПРИЛОЖЕНИЕ
а также углы ориентации его осей в картинной плоскости
tgqp* =
б + sin б 1/ ^А14+2|А|21В|2со32б+|В14х(|А|У|В|2со325)^
/|A|4+21A|2|B|2cos26-[-|B|4±(|A|2+|B|2cos26)'
(П.10)
В формуле (П.10) верхние знаки отвечают pvmax, а нижние — Prmin-
Если градиенты А и В ортогональны (б = я/2), то согласно (П.10)
Ф* = 0 и ф* = я/2. Следовательно, оси эллипса влияния совпадают
с осями координат РЬ, и Рц. В случае равенства градиентов по мо-
модулю (|А| = |В|) и б = я/2 эллипс влияния трансформируется в
окружность. Это имеет место в конце межпланетной траектории,
когда КА находится вблизи картинной плоскости.
Если прогнозируемый промах в картинной плоскости определя-
определяется координатами |, ц (или полярными координатами р, ф), а тре-
требуется попасть в точку с координатами |т, ц? (или рт, фт), то вели-
величина и направление корректирующего импульса скорости определя-
определяются следующим образом.
Представим корректирующий импульс скорости в виде суммы
двух импульсов скорости VK = VKi + VK2, где VKi обеспечивает све-
сведение прогнозируемого промаха к нулю, a VK2 — попадание из на-
начала координат в заданную точку на картинной плоскости. Исполь-
Используя (П.8), найдем для первого импульса скорости
рУ1 = /| А |а cos2 ^ + 1 В |я cos D>i — 6)
и аналогичные соотношения для второго импульса скорости. Далее
из векторного треугольника скоростей можно вычислить величину
корректирующего импульса скорости
^к = VV2K1 + V*Kt - 2FK1FK2 cos (я|J -
и его направление
. FK2 sin (г|з — Цр )
ij)K = л + я|)! — arcsin — j^ -
Предположим теперь, что семейство корректирующих импульсов
скорости расположено в плоскости коррекции, не являющейся
плоскостью оптимальной коррекции. Использование плоскости кор-
коррекции обычно вызвано соображениями упрощения системы ориен-
ориентации для выполнения коррекции, конструктивными ограничения-
ограничениями на утлы разворота КА относительно центра масс и т. д. Им-
Импульс скорости, расположенный в плоскости коррекции, можно раз-
разложить на две составляющие: вдоль нуль-направления и в плоско-
плоскости оптимальной коррекции. Первая составляющая не влияет на

ПРИЛОЖЕНИЕ 431
результаты коррекции А и В, а вторая влияет. Чем меньше угол
между корректирующим импульсом скорости и нуль-направлением,
тем неэффективнее расходуется топливо КА на коррекцию. Эллипс
влияния для произвольной плоскости коррекции расположен внут-
внутри оптимального эллипса влияния и касается его в точках, соответ-
соответствующих линии пересечения плоскостей коррекции и оптимальной
коррекции.
Если вместо произвольно ориентированного корректирующего
импульса скорости рассматривать его проекцию на плоскость опти-
оптимальной коррекции, то можно воспользоваться всеми полученными
соотношениями для расчета маневра с целью устранения промаха.
П.З. Коррекция времени прибытия. Перейдем теперь к обсужде-
обсуждению задачи о коррекции момента времени Т достижения картинной
плоскости (времени прибытия). Это время отсчитывается от момен-
момента коррекции. Обозначим С = grad Т. Если плоскость коррекции не
ортогональна вектору С, то при любом направлении корректирую-
корректирующего импульса скорости в этой плоскости будет меняться время
полета до картинной плоскости.
С учетом (П.З а) —(П.5) можно записать [31]:
/t t, , АХ(ВХА)
ИЛИ
АТ = Ге(|т - 1)+ Т^{цт - Л), (П.11)
где
т Вх(АхВ) г т АХ(ВХА) г
6 (АХВJ Ч (АХВJ
Соотношение (П.11) позволяет оценить величину изменения
времени прибытия при коррекции координат.
Если требуется изменить только время прибытия, не меняя тер-
терминальных координат, то следует приложить корректирующий им-
импульс скорости VT по нуль-направлению. Эффективность этого им-
импульса тем больше, чем меньше угол между градиентом времени С
и нуль-направлением. Мерой эффективности служит производная
дТ АхВ г . „
&V~ = IAXBI ' а Угол lri межДУ вектором С и нуль-направлением
dT/dVT
определяется из условия cos z'T = —. г .
I ^ I
Для коррекции времени прибытия А Г необходимо приложить
по нуль-направлению корректирующий импульс скорости величиной
кАТ- <ПЛ2>
В силу ортогональности плоскости оптимальной коррекции и
нуль-направления суммарный корректирующий импульс скорости

432 ПРИЛОЖЕНИЕ
для устранения промаха и времени прибытия вычисляется по
формуле
По существу (П.13) определяет потребное приращение скорости
на реализацию трехкомпонентной трехпараметрическои коррекции.
П.4. Случаи вырожденных коррекций. В работе [П.1] исследо-
исследованы особые точки межпланетных траекторий, в которых характе-
характеристики вырождаются, т. е. некоторые терминальные параметры
остаются неизменными при любой ориентации корректирующего
импульса скорости. Так, в случае, когда угловая дальность от точ-
точки коррекции до картинной плоскости Ф = я, корректирующий им-
импульс скорости изменяет лишь параметры движения в плоскости
траектории. Импульс скорости, перпендикулярный плоскости тра-
траектории, в линейной постановке не меняет координат в картинной
плоскости. Это объясняется тем, что начальная и конечная точки
траектории находятся на одной прямой по разные стороны от при-
притягивающего центра, и боковой импульс скорости лишь поворачи-
поворачивает плоскость движения относительно указанной прямой. Эллипс
влияния в рассматриваемом случае вырождается в отрезок оси РЪ,
(эффективность коррекции вдоль оси Рц близка к нулю), а плос-
плоскость оптимальной коррекции не определена.
Если по условиям задачи допустима только одноразовая кор-
коррекция, а необходимо исправить три терминальных параметра \, ц
и Т, то нельзя проводить коррекцию в особых точках траектории.
П.5. Оптимальные точки коррекции. Обсудим задачу выбора оп-
оптимальной стратегии многоразовой идеальной коррекции межпла-
межпланетной траектории из условия минимизации суммарного расхода
топлива [П.1]. Идеальной называют коррекцию без ошибок прогно-
прогноза движения и ошибок ее исполнения.
В терминах корректирующих импульсов скорости минимизиру-
минимизируется величина
|I|=S|Vf|. (П.14)
Для совокупности равных по величине суммарных импульсов I
можно построить фигуру влияния в картинной плоскости и с ее
помощью проанализировать влияние различных параметров на эф-
эффективность коррекции.
Сначала рассмотрим двухразовую коррекцию в предположении,
что известны моменты времени и направления приложения импуль-
импульсов Vi(?i), Уг(?г). В этом случае аналогом единичной сферы в про-
пространстве I с метрикой (П.14) будет квадрат в плоскости (Vi, V2),
отвечающий условию IVJ + |V2I = 1. Вершины квадрата располо-
расположены в точках ±1 осей прямоугольной системы координат. По-
Поскольку коррекция рассматривается в линейной постановке, в кар-
картинной плоскости (|, г|) этому квадрату отвечает параллелограмм,

ПРИЛОЖЕНИЕ 433
построенный на векторах ±po(?i) и ±ро(^) эллипсов влияния, со-
соответствующих единичным векторам V°(?i) и \°(t2). Каждую точ-
точку параллелограмма можно скорректировать единичным суммар-
суммарным импульсом при двухразовой коррекции траектории. Варьируя
моменты времени t\, t2 и корректирующие импульсы \\(t\), У2(?г),
построим множество фигур влияния, заполняющих пространство
внутри огибающей касательных к совокупности всех эллипсов вли-
влияния. Если огибающая имеет прямолинейные участки, то существу-
существуют отклонения |, г|, требующие двухразовой коррекции.
Итак, для построения максимальной фигуры влияния при двух-
двухразовой коррекции следует обкатывать спрямляющей прямой сово-
совокупность эллипсов влияния одноразовой коррекции. Если исходная
совокупность эллипсов влияния не всюду выпукла, то имеют место
прямолинейные участки. Точки, принадлежащие прямолинейному
участку, требуют двухразовой коррекции. Точки, принадлежащие
исходной совокупности эллипсов влияния, требуют одноразовой
коррекции. Наличие невыпуклых зон объясняется немонотонным
изменением характеристик эллипсов влияния по времени. Для каж-
каждой траектории существует конечное число фиксированных момен-
моментов времени и направлений корректирующих импульсов скорости,
где оптимальна двухразовая идеальная коррекция координат |, ц
в картинной плоскости. Такие моменты и направления определяют-
определяются точками касания спрямляющей прямой исходной невыпуклой
совокупности эллипсов влияния.
Полученные результаты можно обобщить для случая трехразо-
трехразовой коррекции. При этом роль единичной сферы в трехмерном про-
пространстве (V\, V2, V3) играет октаэдр |Vil + |V2I + |V3I = 1. Мак-
Максимальная фигура влияния в трехмерном пространстве терминаль-
терминальных параметров (?, r|, AT) получается обкаткой спрямляющей
плоскостью фигур влияния одноразовой коррекции. Плоские участ-
участки построенной фигуры соответствуют трехимпульсной коррекции,
линейчатые — двухимпульсной, а остальные точки — одноим-
пульсной.
Таким же образом можно проводить анализ для четырехим-
пульсной коррекции, когда появляется спрямляющая гиперплос-
гиперплоскость и т. д.
Показано, что в задаче о минимизации расхода топлива на уст-
устранение ошибок терминальных параметров движения оптимальная
стратегия включает случаи многоразовой коррекции. Отсюда воз-
возникает вопрос об оптимальном числе импульсов скорости для кор-
коррекции известных ошибок терминальных параметров. Как доказа-
доказано в работе [П.1], оптимальное число импульсов скорости при иде-
идеальной коррекции не превышает числа корректируемых терминаль-
терминальных параметров.
Действительно, пусть т — число корректируемых терминальных
параметров, а п — число импульсов скорости. Рассмотрим отобра-

434 ПРИЛОЖЕНИЕ
жение в пространстве терминальных параметров исходной ^-мерной
фигуры
S| ()
г=1
из пространства импульсов скорости. В силу линейной постановки
задачи коррекции при п^ т максимальные отклонения терминаль-
терминальных параметров (т. е. граница максимальной фигуры влияния)
будут соответствовать ребрам или вершинам исходной фигуры
(П.15). Поэтому каждая точка границы фигуры влияния в т-мер-
ном пространстве терминальных параметров может быть разложе-
разложена по т ближайшим векторам этого пространства, соответствую-
соответствующим некоторым т вершинам исходной фигуры (П.15). Следова-
Следовательно, не требуется больше чем т импульсов для коррекции лю-
любого m-мерного вектора терминальных параметров.
Как уже отмечалось, на межпланетной траектории существуют
особые точки, вблизи которых происходит резкое (немонотонное)
изменение характеристик эллипсов влияния: существенно возраста-
возрастает эффективность коррекции терминальных параметров движения
в одном направлении картинной плоскости и сводится почти к ну-
нулю в ортогональном направлении. При такой ситуации выгодной по
затратам топлива может оказаться многоразовая неоднородная кор-
коррекция. (Неоднородной называют коррекцию, когда для каждого
корректирующего импульса скорости выбирается своя точка прице-
прицеливания в картинной плоскости, т. е. характеристики коррекции
определяются из различных условий). В каждой особой точке сле-
следует корректировать ту совокупность терминальных параметров,
которая требует наименьшего по величине импульса скорости по
сравнению с другими точками траектории. Остальные терминаль-
терминальные параметры корректируются в своих, наиболее эффективных
для них точках траектории.
П.6. Коррекция с ограниченной тягой двигателя. Рассмотренная
импульсная коррекция межпланетной траектории КА отвечает
идеализированному случаю использования двигателя с неограни-
неограниченно большой тягой. Естественно возникает вопрос, как изменят-
изменятся полученные рекомендации для оптимальной по расходу топлива
стратегии проведения коррекции при использовании двигателя
с ограниченной тягой. Такая задача исследована в работе [П.2] в
общей постановке, когда допускается регулирование тяги двигате-
двигателя от нуля до заданной максимальной величины при условии, что
скорость истечения газов из сопла остается неизменной. Определя-
Определяется оптимальный закон изменения вектора тяги по времени (т. е.
величина и направление) из условия минимизации суммарных за-
затрат топлива на коррекцию известных ошибок терминальных пара-
параметров движения.
Из анализа вариационной задачи установлено, что на участке
включения двигателя величина тяги должна быть максимальной

ПРИЛОЖЕНИЕ 435
допустимой. Показано также, что вектор V(?), который в каждый
момент времени t определяет оптимальное направление действия
корректирующего ускорения а(?), задается соотношением
V= 5U.gradpt. (П16)
г=1
Здесь рг — составляющие вектора E корректируемых терминальных
параметров траектории, п — размерность этого вектора, К — по-
постоянные множители, которые не зависят от точки траектории и
выбираются так, чтобы получить заданный вектор корректирующе-
корректирующего смещения.
Согласно (П.16), любому заданному вектору р соответствует
вектор V(t) в пространстве, базисом которого являются векторы
градиентов терминальных параметров движения. Поэтому вектор
корректирующего ускорения а(?), минимизирующий суммарное из-
изменение скорости (или расход топлива), должен принадлежать
пространству оптимальной коррекции, определяемому соотношени-
соотношением (П.16). При однопараметрическои коррекции ускорение a(t)
должно быть направлено по текущему грддиенту корректируемого
параметра, а при двухпараметрическои коррекции — лежать в мгно-
мгновенной плоскости оптимальной коррекции.
В каждой точке траектории эффективность управления харак-
характеризуется эллипсоидом влияния в пространстве терминальных па-
параметров движения, который является линейным отображением
единичной сферы в пространстве оптимальных управлений. На-
Направление корректирующего ускорения а(?) в любой момент време-
времени должно соответствовать точке эллипсоида влияния, имеющей
максимальную проекцию на постоянный вектор к=(Х\, ..., Хп)
в пространстве терминальных параметров p=((ii, ..., [}„). (Вектор
к направлен по нормали к поверхности эллипсоида влияния). Ус-
Установлено, что коррекция должна производиться только в тех точ-
точках траектории, в которых максимальная проекция эллипсоида
влияния на вектор к превышает величину 1/\к\. Показано также,
что наименьшие затраты на коррекцию достигаются в случае, ког-
когда величина корректирующего ускорения неограниченно возраста-
возрастает, т. е. при импульсной коррекции.
Если на любом интервале времени полета совокупность эллип-
эллипсоидов влияния всюду выпукла, то оптимальная коррекция с огра-
ограниченной тягой двигателя не может быть многоразовой. В случае не
всюду выпуклой совокупности эллипсоидов влияния существуют
такие векторы к, для которых оптимальной оказывается многоразо-
многоразовая коррекция.
Составляющие постоянного вектора к определяются из условия
коррекции известного гс-мерного промаха в пространстве терминаль-
терминальных параметров движения. Для их вычисления используются мето-
методы решения краевых задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абалакин В. К. Основы зфемеридной астрономии.— М.: Наука, 1979.
2. Аким Э. Л., Бажинов И. К., Павлов В. П., Почукаев В. Н. Поле тяготения
Луны и движение ее искусственных спутников.— М.: Машиностроение,
1984.
3. Аким Э. Л., Энеев Т. М. Определение параметров движения космического
летательного аппарата по данным траекторных измерений // Космические
исследования.— 1963.— Т. 1, вып. 1.
4. Аксенов Е. П. Теория движения искусственных спутников Земли.— М.: Нау-
Наука, 1977.
5. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г. Применение обобщенной за-
задачи двух неподвижных центров в теории движения искусственных спут-
спутников Земли II Проблемы движения искусственных небесных тел.— М.:
Изд-во АН СССР, 1963.
6. Александров С. Г., Федоров Р. Е. Советские спутники и космические кораб-
корабли.— М.: Изд-во АН СССР, 1961.
7. Алексахин И. В, Компанией Э, П., Красовский А. А. Трассы суточных ис-
искусственных спутников Земли Ц Космические исследования.— 1964.— Т. 2,
вып. 4.
8. Аппазов Р. Ф., Лавров С. С, Мишин В. П. Баллистика управляемых ракет
дальнего действия.— М.: Наука, 1966.
9. Астрономический календарь. Постоянная часть.— М : Наука, 1981.
10. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспе-
обеспечения полетов искусственных спутников Земли. ГОСТ 25646.115—84.— М.:
Изд-во стандартов, 1985.
11. Балк М. Б. Элементы динамики космического полета.— М.: Наука, 1965.
12. Бахшиян Б. П., Назиров Р. Р., Эльясберг П, Е. Определение и коррекция
движения: гарантирующий подход.— М.: Наука, 1980.
13. Белецкий В. В., Егоров В. А. Разгон космического аппарата в сфере дей-
действия планеты Ц Космические исследования.— 1964.— Т. 2, вып. 3.
14. Борщевский М. 3., Иослович М. В. К задаче о повороте плоскости орбиты
спутника при помощи реактивной тяги // Космические исследования.—
1969.— Т. 7, вып. 6.
15. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика.— М.: Наука, 1972.
16. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.— М.: ИЛ,
1952.
17. Гордеева Ю. Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических
колебаниях в ограниченной задаче трех тел / Космические исследования.—
1968.— Т. 6, вып. 4.
18. Грушинский Н. П. Теория фигуры Земли.— М.: Физматгиз, 1963.
19. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные мето-
методы.— М.: Наука, 1964.
20. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.— М.: Физ-
Физматгиз, 1963.
21. Дубошин Г. Н. Теория притяжения.— М.: Физматгиз, 1961.
22. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Луны.— М.: Наука, 1965.
23. Егоров В. А., Гусев Л. И. Динамика перелетов между Землей и Луной.—
М.: Наука, 1980.

еписок литературы 437
24. Ефимов Г. Б., Охоцимский Д. Е. Об оптимальном разгоне космического
аппарата в центральном поле / Космические исследования.— 1965.— Т. 3,
выи, 6.
25. Загребин Д. В. Введение в теоретическую гравиметрию.—Л.: Наука, 1976.
26. Иванов Н. М., Поляков В. С. Наведение автоматических межпланетных
станций.— М.: Машиностроение, 1987.
27. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на
расстояния до планет.— М.: Наука, 1977.
28. Иделъсон Н. И. Теория потенциала и ее приложение к вопросам геофизи-
геофизики.— М.; Л.: Гостехиздат, 1932.
29. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов
с двигателями большой тяги.— М.: Наука, 1976.
30. Калачев В. Л. Исследование геометрии трасс искусственных спутников
Земли II Космические исследования.— 1970.— Т. 8, вып. 3.
31. Келдыш М. В. Избранные труды. Ракетная техника и космонавтика.— М.:
Наука, 1988.
32. Кислик М. Д. Сферы влияния больших планет и Луны / Космические ис-
исследования.— 1964.— Т. 2, вып. 6.
33. Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидродинамики.—
М.: Изд-во АН СССР, 1947.
34. Копнип Ю. М. К задаче поворота плоскости орбиты спутника / Космиче-
Космические исследования.— 1965.— Т. 3, вып. 4.
35. Кубасов В. Н., Дашков А. А. Межпланетные полеты.— М.: Машиностроение,
1979.
36. Лахтин Л. М. Свободное движение в поле земного сфероида.— М.: Физмат-
гиз, 1963.
37. Лебедев А. А., Герасюта Н. Ф. Баллистика ракет.— М.: Машиностроение,
1970.
38. Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изло-
изложении.— М.: Наука, 1980.
39. Лидов М. Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спут-
спутников / Проблемы движения искусственных небесных тел.— М.: Изд-во
АН СССР, 1963.
40. Лоуден Д. Ф. Импульсный переход между эллиптическими орбитами /
Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета.—
М.: Наука, 1963.
41. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации.— М.:
Мир, 1966.
42. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.—Собр. соч. Т. 2.—
М., Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
43. Марке ев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.—
М.: Наука, 1978.
44. Митра С. К. Верхняя атмосфера.— М.: ИЛ, 1955.
45. Мулътон Ф. Введение в небесную механику.— М.; Л.: Объединенное научно-
техническое изд-во НКТП СССР, 1936.
46. Основы теории полета космических аппаратов/Под ред. Г. С. Нариманова и
М. К. Тихонравова.— М.: Машиностроение, 1972.
47. Охоцимский Д. Е. Динамика космических полетов.— М.: Изд-во Московско-
Московского ун-та, 1968.
48. Охоцимский Д. Е. Исследование движения в центральном поле под дей-
действием постоянного касательного ускорения Ц Космические исследова-
исследования.— 1964.— Т. 2, вып. 6.
49. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М., Таратынова Г. П. Определение вре-
времени существования искусственного спутника Земли и исследование
вековых возмущений его орбиты / Успехи физических наук.— 1957.—
Т. 13, вып. 1.
50. Погорелое Д. А. Теория кеплеровых движений летательных аппаратов.—
М.: физматгиз, 1961.

438 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
51. Проблемы дислокации космических аппаратов в окрестностях точек либра-
либрации Земля — Луна/Под ред. Г. С. Титова и А. В. Брыкова.— М.: Машино-
Машиностроение, 1979.
52. Рой А. Движение по орбитам.— М.: Мир, 1981.
53. Сихарулидзе Ю. Г. Баллистика летательных аппаратов.— М.: Наука, 1982.
54. Сихарулидзе Ю. Г. Оптимальное импульсное торможение при входе в атмо-
сферу / Космические исследования.— 1970.— Т. 8, вып. 2.
55. Соловьев Ц. 5., Тарасов Е. В. Прогнозирование межпланетных перелетов.—
М.: Машиностроение, 1973.
56. Соловьев Ц. #., Шмакова Н. Ф. Оптимизация траекторий полета к Мерку-
Меркурию с маневром в гравитационном поле II Космические исследования.—
1974.— Т. 12, вып. 6.
57. Стандартная атмосфера. ГОСТ 4401-81.— М.: Изд-во стандартов, 1982.
58. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию.— М.: Наука, 1968.
59. Субботин М. Ф. Курс небесной механики. Т. 1.—Л.; М.: Гостехиздат, 1933.
60. Хавепсон Н. Г., Элъясберг П. Е. О возможности использования гравитаци-
гравитационного поля Юпитера для пролета на заданном расстоянии от Солнца и
выхода из плоскости эклиптики / Космические исследования.—1972.—
Т. 10, вып. 2.
61. Штернфелъд А. А. Введение в космонавтику.— М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР,
Гл. ред. авиац. лит-ры, 1937.
62. Элъясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Зем-
Земли.— М.: Наука, 1965.
63. Энеев Т. М., Платонов А. К., Казакова Р. К. Определение параметров орбиты
искусственного спутника по данным наземных измерений // Искусственные
спутники Земли.— 1960.— Вып. 4.
64. Яккия Л. Д. Исследование верхней атмосферы с помощью ракет и спутни-
спутников.— М.: Иностранная литература, 1961.
65. Barrar R. В. Two impulse transfer vs one impulse transfer: analytic theory //
AIAA Journal.— 1963.— V. 33, No. 1.
66. Bielkowitcz P. Graund tracks of Earth-period B4 hr) satellites / AIAA Jour-
Journal,— 1966.— V. 4, No. 12.
67. Breakwell G. V., Gillespie R. W., Ross S. E. Researches in interplanetary trans-
transfer / ARS Journal.— 1961.— V. 31, No. 2.
68. Brunk W. E. Transfer between noncoplanar orbits with minimum velocity
requirements / Advances in the Astronautical Sciences.— 1971.— V. 7.
69. CIRA 1965. COSPAR International Reference Atmosphere 1965.— Amsterdam:
North-Holland Publ. Сотр. 1965.
70. Eckel K. J. Numerical solutions of noncoaxil optimum transfer problems /
Journal of the Astronautical Sciences.— 1963.— V. 10, No. 3.
71. Edelbaum T. N. Propulsion requirements for controllable satellites / ARS
Journal.— 1961.—V. 31, No. 8.
72. Edelbaum T. N. Some extensions of the Hohmann transfer maneuver / ARS
Journal.— 1959.— V. 29, No. 11.
73. Galman B. A. Minimum energy deorbit // Journal of spacecraft and Rockets.—
1966.— V. 3, No. 7.
74. Galman B. A. Retro rocket alignment for maximum entry angle // ARS Jour-
Journal,— 1962.— V. 32, No. 6.
75. Gobetz F. W. Optimum transfers between hyperbolic asymptotes / AIAA Jour-
Journal,— 1963.— V. 1, No. 9.
76. Gobetz F. W., Doll J. R. A survey of impulsiv trajectories // AIAA Journal.—
1969.— V. 7, No. 5.
77. Hiller H. Optimum transfers between non-coplanar circular orbits // Planetary
and Space Science.— 1965.— V. 13, No. 2.
78. Hoelker R. F., Silber R. The bi-elliptical transfer between co-planar circular
orbits / Proc. 4th symposium Ballistic Missile and Space Technology.— Los
Angeles, 1959.
79. Hohmann W. Die Erreichbarkeit der Himmelskorper.— Minich: R. Oldenbourg,
1925.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 439
80. Horner J. M. Minimum impulse orbital transfers // AIAA Journal.— 1963.—
V. 1, No. 7.
81. Horner J. M. Optimum impulse transfers between coplanar orbits / ARS Jour-
Journal.—1962.—V. 32, No. 7.
82. Journey to the outer worlds / Spaceflight — 1977.— V. 19, No. 11.
83. Lawden D. F. Escape to infinity from circular orbits / Journal of the British
Interplanetary Society.— 1953.— V. 12, No. 2.
84. Lubard S. Optimum launching to hyperbolic orbit by two-impulses Ц AIAA
Journal.— 1963.— V. 1, No. 12.
85. Marchal С Transferts optimaux entre orbites elliptiques coplanaires (duree
indifferente) // Astronautica Acta.— 1965.— V. 11, No. 6.
86. Munich H., McGdl R., Taylor G. E. Analytic solutions to several optimum orbit
transfer problems / The Journal of the Astronautical Sciences.— I960.— V. 7,
No. 4.
87. Okhotsimsky D. E., Golubiev Yu. F., Sikharulidze Yu. G. Mars orbiter inser-
insertion by use of atmospheric deceleration / Acta Astronautica.— 1978.— V. 5,
No. 9/10.
88. Rider L. Ascent from inner circular to outer co-planar elliptical orbits / ARS
Journal.— I960.— V. 30, No. 3.
89. Rider L. Characteristic velocity requirements for impulsive thrust transfer
between noncoplanar circular orbits // ARS Journal.— 1961.— V. 31, No. 3.
90. Roberts D. L. The requirements of anmanned space missions to Jupiter /
Raumfahrtforschung— 1967.— Bd. 11, No. 1.
91. Tempelman W. H. Velocity and range considerations for the attainment of gi-
given intercept angles / Journal of the Astrospace Sciences.— 1961.— V. 28,
No. 9.
92. Ting Lu. Optimum orbital transfer by impulses / ARS Journal.— I960.—
V. 30, No. 11.
93. Ting Lu. Optimal orbital transfer by several impulses II Astronautica Acta.—
I960.— V. 6, No. 5.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
п
А
а
а
В
ъ
Е
е
F
f
g
Н
h
i
i
/
/n
3
К
к
Л/
m
P
— потенциальная энергия
— азимут; работа
— большая полуось орбиты
— вектор ускорения
— боковое смещение
— малая полуось орбиты, при-
прицельная дальность
= (Сх, Су, С г) — векторный ин-
интеграл площадей
— линейный эксцентриситет
орбиты
— коэффициент тессеральной
гармоники
— коэффициент секториальной
гармоники
— полная энергия; эксцентри-
эксцентрическая аномалия
— эксцентриситет орбиты
— (Fx, Fy, Fz) — вектор силы
— постоянная притяжения
— вектор Лапласа
— ускорение свободного паде-
падения
— высота; высота однородной
атмосферы
— постоянная интеграла энер-
энергии
— наклонение орбиты, угол
некомпланарности
— орт, направленный по оси х
— интеграл Якоби
— коэффициент зональной гар-
гармоники
— орт, направленный по оси у
— кинетическая энергия
— орт, направленный по оси z
, Ьь — точки либрации
—масса; материальная точка;
средняя аномалия
— масса; материальная точка
— величина тяги двигателя
) — полином Лежандра
— присоединенная функция
Лежандра
— параметр орбиты; давление
q
R
г
г
г
S
Snh
т
т
t
и
и
V
V
V
W
а
Г
S
е
V
Р
Р
а
т
•— скоростной напор
— радиус
— расстояние; радиус
— относительный радиус
— радиус-вектор
— площадь
— коэффициент тессеральной
гармоники
— коэффициент секториальной
гармоники
— период обращения
— время, отнесенное к периоду
обращения
— время
— потенциал (силовая функ-
функция)
— аргумент широты
— скорость, отнесенная к кру-
круговой
— вектор скорости
— объем тела
— скорость истечения газов из
сопла двигателя
— прямое восхождение; коэф-
коэффициент сжатия Земли
— область ненулевой опти-
оптимальной ориентации тормоз-
тормозного импульса скорости
— склонение
— угол наклона траектории к
местному горизонту
— истинная аномалия
— долгота
— произведение постоянной
притяжения на массу цент-
центрального тела
— квадрат отношения скоро-
скорости к местной круговой ско-
скорости
— плотность; расстояние
•— радиус-вектор
— угол, определяющий поло-
положение линии апсид в пло-
плоскости орбиты
1— безразмерное время

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
441
%
ф
<р
Q
У
а
ак
ат
б
в
ил
воз
— угол ориентации тормозного
импульса скорости
— угловая дальность
— широта
— долгота восходящего узла
— аргумент перицентра, угло-
угловая скорость
— знак весеннего равноден-
равноденствия
Нижние индексы
— апоцентр
— активный участок
— атмосфера
— барицентр
— восходящий
— влияния (сфера)
— возмущающий
ПОЛИ
пот
пр
пред
С
с ид
сии
ср
сут
С}Щ
т
X
Цб
э
эьс
эф
Ь
max
mm
— полный
¦— потери
— притяжения (сфера)
— предельный
— Солнце
— сидерический
— синодический
— средний
— суточный
— существование
— топливо; тяжесть
— характеристическая i
рость)
— центробежный
— экваториальный
— экстремальное значение
— эффективный
— боковой
— максимальное значение
¦— минимальное значение
вп — великое противостояние
вр — вращение
вх — вход в атмосферу
г .— гиперболический
гм — гринвичский меридиан
гр — граничный
д — действия (сфера)
дв — движение
з ¦— Земля
ид ¦— идеальная (скорость)
1 — конечный
кр —круговой
крит —критический
л — Луна
н ¦— нисходящий, начальный
нв — невозмущенный
орб — орбитальный
отц — относительный
п — перицентр, полярный
пар — параболический
пер — перелет, переносный
пл — планета
(скэ-
t —
трансверсальная составляю-
составляющая
пассивный (участок)
радиальная составляющая
нормальная составляющая
касательная составляющая
бинормальная составляю-
составляющая
начальный
ОС
ГЦ
опт
пер
ПОЛИ
max
mm
0
— суммарный
— в бесконечно удаленной
точке
Верхние индексы
— геоцентрический
— оптимальное значение
— перелетный
— полный
— максимальное значение
— минимальное значение
— единичный вектор

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксенова формула 29
Аномалия истинная 123
Апоцентр 41
Апсиды 41
Аргумент перицентра 99, 119, 121
— широты 100, 123
Атмосфера Земли верхняя 361
Атмосферы модель изотермическая
361, 362
Баллистики задача обратная 79
— — прямая 66
Барицентр 213
Великое путешествие 321
Возмущения вековые 355
— периодические 355
Вращение атмосферы, влияние на
эволюцию орбиты 373
Время пролета перицентра 124
— старта при полетах к планетам
308
— существования ИСЗ 372, 373
Высота апогея траектории 63, 70
— однородной атмосферы 362
Гельмерта формула 29
Геоид 23—25
Гоманна полуэллипс 137
— траектория перелета 137
Градиент потенциала силы тяжесги
27
Границы досягаемости 78
Дальность пассивного участка угло-
угловая 66, 67
Движение боковое 96
— ИСЗ в нецентральном поле при-
притяжения 403—410
— КА под действием постоянного
касательного ускорения 377—402
Движение кеплеровское 16
— продольное 92
— спутника возмущенное 334, 337
Долгота восходящего узла 99
Загребина — Рязанова формула 29
Задача двух тел 30
— — — ограниченная 32, 33
— — —, основное уравнение 32
— трех тел 208
— — — ограниченная 208
круговая 208, 215—220
— — —, упрощенная постановка
242—248
Закон всемирного тяготения 10
Изолинии потребных скоростей для
реализации межпланетных тра-
траекторий 309
Интеграл Лапласа 38
— площадей 34.— 36, 337
— энергии 33, 34
— — в задаче трех тел 210—213
Интегралы площадей в задаче трех
тел 212
Интервал достижимости 275
Истинная аномалия 41, 49, 56, 57,
130
Кеплера закон первый 41, 46
— — третий 59
— уравнение 58, 62
Клеро эллипсоид 25
Коррекция траектории движения 425
— — — двухкомпонентная 426
— — — двухпараметрическая 426
— — — идеальная 432
— — — неоднородная 434
— — — однопараметрическая 42Q
— — — трехкомпонентиая 426
Красовского эллипсоид 27

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
443
Ламберта задача 293
— уравнение 106
Лапласа вектор 338
— интеграл 337
— пеишеияемая плоскость 35, 211
Лежандра полиномы 17
— присоединенная функция 18
Либрация Луны 250
— — оптическая 250
— — физическая 250
Маневр 134
— активно гравитационный 312, 313
— активный 312
— гравитационный 267—273, 310,
311
— двойной эллиптический 148
— оптимальный при перелете меж-
между гиперболическими орбитами
317
— пертурбационный 257
Маневры компланарные 134
— пространственные 134
Масконы 251
Метод игнорирования возмущений
256
— иаичепыпих квадратов 125
— точечной сферы действия 256, 257
Модель относительной плотности ат-
атмосферы 369, 370
— фигуры Земли 26, 27
Молярная масса воздуха 361
Наклонение орбиты 99, 122, 127
Нуль-направление 428
Область действия 242, 243
— притяжения 246
Облет Луны 261
— нескольких небесных тел 310—327
Орбита критическая 370—371
— Луны 250
— оскулирующая 335
— перелета 134
— спутника 40. 41
— — восточная 99
— — гиперболическая 44, 46, 49—54,
59—61, 114
— — западная 99
— — круговая 43, 46, 55, 126—128
— — параболическая 44, 46, 55, 61,
62, 119—122
— — полярная 99
— — экваториальная 99
Орбита Луны эллиптическая 43, 46,
47, 56, 105, 129
— — — второго рода 106
— — — граничная 106
— — — первого рода 106
Орбиты коаксиальные 159, 160
— планет 285
Парабола безопасности 88, 91
Параметр орбиты 41, 123
Перелет между гиперболическими
орбитами 312, 313
— — компланарными эллиптически-
эллиптическими орбитами 159—162
— — пекомнланарными круговыми
орбитами 179—189
— с круговой орбиты на компланар-
компланарную гиперболическую 162—169
— — — — — — эллиптическую
155—158
— — эллиптической орбиты на не-
некомпланарную круговую 189—197
— трехимпульспый биэллипгиче-
ский 148, 149
Переход перицентральный между
гиперболическими орбитами 317
Перигеи условный 282
Период обращения спутника 45, 409
— — аномалистический 409
— — драконический 409
— — оскулирующий 409
— — сидерический 409
Перицентр 41
Плоскость картинная 53
— оптимальной коррекции 428
— орбиты 122
— эклиптики 250
Поверхность изопотенциальная И
— нулевой относительной скорости
221, 228
— уровенная потенциала силы тя-
тяжести 23
— уровня 11
Поворот плоскости круговой орбиты
170—179
— — орбиты под действием бинор-
бинормального ускорения 358—360
Поле силовое 10
— — центральное 10
Полет в плоскости орбиты Луны
257—273
— сторону Солнца по биэллиптиче-
ской траектории 325—329
— — — — — — — с гравитацион-
гравитационным маневром в афелии 329—331
— — — — — траектории типа Го-
манна 324, 325

444
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Полет «Веги-1» и «Веги-2» 321—323
— «Вояджера-2» 321, 322
— к Луне 252—257
— — — с непрерывным выведением
273—280
околоземной орбиты 273,
280—282
планетам 282—309
Полеты многоцелевые 310
Полярное сжатие Земли 404
Посадка на поверхность Луны 283,
284
Постоянная притяжения 10
Потенциал 9, 12
— поля притяжения Земли с уче-
учетом ее сжатия 403, 404
— — системы материальных точек
13
— силы тяжести 27
— тела произвольной формы 16—18,
21
— шара со сферическим распределе-
распределением плотности 14, 15
Прецессия плоскости орбиты спут-
спутника 127, 128
Прицельная дальность 50
Прямое восхождение 102, 103
Работа силового поля 11
Радиус относительный 139
— сферы влияния 248
— центрального тела эффективный
53
Регрессия 407
Референц-эллипсоид 27
Сектор гиперболический 115, 116,
118
— параболический 120
— эллиптический второго рода 111
— граничный 112
— — первого рода 110
Сидерический месяц 250
— период обращения спутника 130
— — планеты 306
Сила тяжести 23
Силы возмущающие 334
Синодический месяц 251
— период планет 306, 307
Система координат инерциальная 31
— — экваториальная геоцентриче-
геоцентрическая 98
— — эклиптическая 98
Склонение 102
Скорость космическая вторая 44
— — первая 44
ни-
Скорость маневра характеристиче-
характеристическая 136
— секториальная 37
— спутника /i2, 43
круговая 43—45
Спуск с орбиты 197—207
Спутник 30. 31
— суючный (синхронный) 130
— — стационарный 132
Суточное смещение орбиты спут
ка 128
— число витков спутника 128
Сфера влияния 248
Лупы 252
планет 286
— действия 242, 243, 286
Лупы 252
— притяжения 246
Луны 252
планет 286
Сфероид нормальный 25
Тело центральное 36
— —, эффективный радиус 53
Точка прицеливания 276
Точки либрации 221, 229
— —, вычисление координат 230--
235
Траектории гоманновские перелета
Земля — планета 306
— движения КА под действием ма-
малой тяги 398
— долетыые 263, 266
— межпланетные 286, 287
, точный расчет 288, 289
— облетные 265, 266, 274
Траектория к Луне пространствен-
пространственная 273
— навесная 81
— настильная 81
— облета нескольких планет 311
— оптимальная 72
— параболическая 88—90
— эллиптическая 256
Трасса первого витка 128
— спутника 126
Угол бросания оптимальный 72—76,
90
Узел восходящий 36
— нисходящий 36
Универсальная газовая постоянная
361
Уравнения движения в оскулирую-
щих элементах 337—341, 365

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
445
Уравнения для элементов возмущен-
возмущенного движения 337
Ускорение, порождаемое силой со-
сопротивления при движении ИСЗ
во вращающейся атмосфере 373
— спутника под действием возму-
возмущающего тела 411
— центрального тела под действи-
действием возмущающего тела 411
Условная граница атмосферы 197
Устойчивость точек либрации 235—
242
Фазы Луны 251
Функция потенциальная 9
— — для центрального поля 12
— силовая 9
Хилла линии 222
— поверхности 222, 226
Центр притягпваюший 30
Циолковского формула 135, 136
Число оборотов ИСЗ за время его су-
существования 372
— — — ожидаемое 370
— — — приведенное 369
Эволюция орбиты ИСЗ в атмосфере
360—377
— — под действием внешнего воз-
возмущающего тела 415
Эйлера формула 120
Эксцентриситет орбиты 41, 105, 118,
123
— — линейный 47
Элементы орбиты спутника 99, 103
— оскулирующей орбиты 335
Эллипс безопасности 76—78
Якобл интеграл 218, 219

Учебное издание
ОХОЦИМСКИЙ Дмитрий Евгеньевич,
СИХАРУЛИДЗЕ Юрий Георгиевич
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
Заведующий редакцией Л. А. Русаков
Редактор В. И. Леваптовспий
Художественный редактор Т. Н. Нольченпо
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректоры О. А. Бутусова, Л. С. Сомова
ИБ № 12108
Сдано в набор 10.08 89. Подписано к печати 19 07 90.
Формат 60x90/16 Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкно-
обыкновенная Печать высокая Уел печ. л. 28. Усл. кр -отт 28
Уч.-изд л. 29,96. Тираж 2300 экз. Заказ № 800. Це-
Цена 6 р. 30 к.
Издательско-производственное и книготорговое
объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск, 77, Станиславсгого, 25

FOUNDATIONS OF SPACEFLIGHT MECHANICS
by D. E. OKHOTSIMSKY and Yu. G. SIKHARULIDZE
1. Information about the authors
Dmitrii OKHOTSIMSKY — corresponding member of the USSR Academy of
Sciences; professor; Doctor of Physical and Mathematical sciences; head of a de-
department of the Keldysh Institute of Applied Mathematics of the USSR Academy
of Sciences; member of the Editorial Board of the Space Research Journal; lau-
laureate of the Lenin and the State prizes. Aleading expert in spaceflight mechanics,
author of fundamental works and monographs.
Yurii SIKHARULIDZE — professor. Doctor of Technical sciences, head of a
sector of the Keldysh Institute of Applied Mathematics of the USSR Academy of
Sciences. One of the leading experts in motion control of air- and spacecraft, and
spaceflight mechanics. Co-author of a monograph on re-entry control and author
of a book on ballistics.
2. Abstract
In the book the basic principles of speceflight mechanics are presented.
Along with the presentation of fundamental problems much attention is given to
applications. The theoretical material is illustrated by practical achievements in
exploration and exploitation of space.
The issues connected with the theory of gravitation, the classical two-body
problem and its application to studying applied ballistics problems and optimal
transfers between orbits of various types are considered. The methods for com-
computing spaceflight trajectories to the Moon and the Solar System planets are
discussed. The theory of libration points is presented. Great attention is given
to the perturbed motion and its! application to estimating the satellite life-time,
the satellite orbit evolution under the influence of the noncentral gravitational
field and of the perturbing body.
The book is written in a clear and intelligible style and is largely applica-
application-oriented. At the same time the proof of the basic statements is sufficiently
regorous. It is intended for students and post graduates of universities as well as
specialists in ballistics and the motion control of spacecraft.
3. Contents
Preface
Chapter 1. Newton's potential
1.1. Law of gravitation.
1.2. Attraction of a spherical body.
1.3. Series expansion of the potential in spherical functions.
1.4. Geoid. Gravity force.
Chapter 2. Two-body problem
2.1. Motion equations.
2.2. Integrals of the motion equations.
2.3. Velocity of a satellite.
2.4. Characteristics of orbits.
2.5. Connection between time and orbital position.
Chapter 3. Elliptical motion in application to the ballistics problem
3.1. Direct problem of ballistics.
3.2. Optimal trajectory
3.3. Inverse problem of ballistics.
3.4. Parabolic trajectory.
3.5. Derivatives of terminal motion parameters with respect to initial para-
parameters.

Chapter 4. Determination of an orbit in space
4.1. Basic orbital elements.
4.2. Determination of an orbit by two positions and time.
4.3. Determination of an orbit by the position and velocity measurements.
4.4. Tracks of the Earth's satellites.
Chapter 5. Maneuvers in the central gravitational field
5.1. Two-impulse transfer between coplanar circular orbits.
5.2. Three-impulse transfer between coplanar circular orbits.
5.3. Transfer from a circular orbit to a coplanar elliptical orbit.
5.4. Transfer between coplanar elliptical orbits.
5.5. Transfer from a circular orbit to a coplanar hyperbolic orbit.
5.6. Turn of the circular orbit plane.
5.7. Two-impulse transfer between noncoplanar circular orbits.
5.8. Three-impulse transfer between noncoplanar circular orbits.
5.9. Transfer from an elliptical orbit to a noncoplanar circular orbit.
5.10. Optimal direction of the velocity impulse for descent from an orbit.
Chapter 6. Three-body problem
6.1. General formulation of the three-body problem.
6.2. Restricted circular three-body problem.
6.3. Points of libration.
6.4. Analysis of stability of libration points.
6.5. Simplified formulation of the three-body problem.
Chapter 7. Flight to the Moon and planets
7.1. Conditions for the flight to the Moon.
7.2. Flight in the Moon orbit plane.
7.3. Three-dimensional trajectory to the Moon.
7.4. Flight to planets.
7.5. Sequential fly-by of several celestial bodies.
7.6. Flight to the Sun.
Chapter 8. Perturbed motion of a satellite
8.1. Method of osculating elements.
8.2. Action of the perturbing tangent, normal and binormal forces.
8.3. Evolution of the Earth satellite orbit under the effect of atmosphere.
8.4. Motion under the effect of constant tangent acceleration.
8.5. Motion in the noncentral gravitational field.
8.6. Perturbing action of external celestial bodies.
Appendix. The correction of trajectory.
References 93 titles including 29 in English and German. 19 tables. 163 figs.