/
Автор: Гостев В.И.
Теги: регулирование и управление машинами, процессами автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика механика монография теория автоматического управления
ISBN: 978-966-96178-2-0
Год: 2008
Текст
В.И. Гостев
НЕЧЕТКИЕ
РЕГУЛЯТОРЫ
В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Киев
Издательство “Радюа матор”
2008
ББК 32.965.6
Г 72
УДК 62-55:681.515
Рецензенты: Зайцев Г.Ф., доктор техн, наук, профессор,
Богаенко И.Н., доктор техн, наук, профессор
Гостев В.И. Нечеткие регуляторы в системах автоматического
управления. - К.: ’’Радюаматор”, 2008.-972 с.
ISBN 978-966-96178-2-0
Монография посвящена синтезу и расчету нечетких (работающих на базе нечет-
кой логики) цифровых регуляторов в системах автоматического управления. Изложен
новый метод проектирования нечетких регуляторов, основанный на полученных ана-
литических выражениях для управляющих воздействий на выходе нечеткого регуля-
тора при различных функциях принадлежности. Особое внимание уделено синтезу
нечетких цифровых регуляторов для нестационарных объектов управления, объектов
с чистым запаздыванием, объектов, имеющих различные нелинейности. Специальные
разделы посвящены синтезу и расчету оптимальных по быстродействию и нечетких
цифровых регуляторов в системах автоматического управления параметрами двухро-
торного двухконтурного газотурбинного двигателя, параметрами паровых котлов
большой мощности, температурой электрических и газовых печей, а также в различ-
ных радиотехнических системах. Дана сравнительная оценка показателей качества, в
том числе робастности, систем автоматического управления с цифровыми нечеткими,
оптимальными по быстродействию регуляторами и традиционными ПИД-регулято-
рами при различных воздействиях на системы управления.
Рассчитана на инженерно-технических и научных работников, занимающихся
разработкой и эксплуатацией систем автоматического управления, а также может
быть полезна студентам вузов соответствующих специальностей.
ББК 32.965.6
ISBN 978-966-96178-2-0
© Гостев В.И., 2008
Предисловие
ПРЕДИСЛОВИЕ
Система управления состоит из управляющего объекта (регулято-
ра), предназначенного для осуществления управления, и объекта
управления, подвергаемого управляющим воздействиям. Данная рабо-
та посвящена синтезу нечетких регуляторов, которые осуществляют
процесс выработки управляющих воздействий на базе нечеткой логи-
ки. Понятие “нечеткая логика41 введено математиком Л.А. Заде
(1965г.), который предложил теорию "нечетких множеств11, на осно-
ве которой можно строить нечеткие аналоги всех математических по-
нятий и создать необходимый формальный аппарат для моделирова-
ния человеческих рассуждений и человеческого способа решения за-
дач [151,232-234]. Нечеткое множество - это совокупность элементов,
относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать
- принадлежит ли тот или иной элемент данной совокупности или нет.
Теория "нечетких множеств11 имеет дело с "человеческими зна-
ниями11, которые принято называть "экспертной информацией11. Ха-
рактерным для нечеткого управления является непосредственное при-
менение качественно формулируемых экспертных знаний для генери-
рования управляющих воздействий на объект управления. Знания о
взаимодействии нечеткого регулятора с объектом (процессом) управ-
ления представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуа-
ция), ТО (ответная реакция). Такие правила соответствуют простей-
шей форме человеческих взаимодействий.
В теории нечетких множеств центральную роль играют понятия
"лингвистическая переменная11 (переменная, которая принимает свои
значения из множества лингвистических термов), "лингвистический
терм (название) 11 (нечеткое подмножество с соответствующей функ-
цией принадлежности) и "функция принадлежности11 р(х) . Функция
//(х) определяет степень принадлежности элемента (лингвистической
переменной) х к нечеткому множеству (терму) X в форме числен-
ного значения в диапазоне [0, 1] (это численное значение называют
"степенью истинности11 лингвистической переменной). Нечеткое
множество полностью описывается его функцией принадлежности.
Например, представляя лингвистические термы (нечеткие подмноже-
ства) "отрицательная11, "положительная11, "большая11, "малая11 лин-
3
11редисловие
генетической переменной “ошибка" при помощи их функций принад-
лежности, очерчивают диапазоны изменения качественно описанной
физической величины - ошибки рассогласования системы автоматиче-
ского управления. Функции принадлежности лингвистических термов,
как правило, перекрывают друг друга, поэтому для одной и той же
лингвистической переменной эти функции могут сообщать различные
“степени истинности" лингвистических термов, отличающиеся от
нуля.
Введенное Заде понятие “fuzzy-logic" в переводе означает нечет-
кая логика, поэтому нечеткие регуляторы называют также фаззи-
ре гулят орами (фаззи-контроллерами), а системы управления с нечет-
кими регуляторами - фаззи-системами. Перевод текущих значений
входных переменных нечеткого регулятора в лингвистические вели-
чины истинности называют процедурой фаззификации.
В нечетком регуляторе на основе сформулированных правил (ба-
зы правил) типа ЕСЛИ-TO осуществляется формирование логическо-
го решения - получение нечеткого множества в форме результирую-
щей функции принадлежности. Определение для этой функции при-
надлежности количественного значения выходной лингвистической
переменной - управляющего воздействия на объект управления - на-
зывают дефаззификацией.
В данной монографии рассматриваются объекты управления, ко-
торые можно описать передаточной функцией с постоянными или пе-
ременными параметрами. В качестве входных лингвистических пере-
менных используются ошибка системы, скорость изменения (первая
производная) ошибки, ускорение (вторая производная) ошибки, кото-
рые качественно характеризуются непрерывными на универсальном
множестве и симметричными функциями принадлежности терм-
множеств. Используются простейшие правила вида ЕСЛИ-TO, кото-
рые являются нечеткими лингвистическими высказываниями в форме
лингвистических переменных с противоположными термами. Лин-
гвистическое правило управления нечеткого регулятора записывается
для каждого терма.
Синтез нечеткого регулятора, в общих чертах, заключается в вы-
боре функций принадлежности терм-множеств лингвистических пе-
ременных, алгоритма нечеткого вывода (логического вывода на осно-
ве нечеткой логики), оптимизации основных параметров регулятора
(диапазонов изменения лингвистических переменных, формы и пара-
4
Предисловие
метров функций принадлежности) путем минимизации выбранного
критерия качества в замкнутой системе автоматического управления.
В первом разделе кратко рассмотрены особенности управления на
базе нечеткой логики, описаны функциональная схема нечеткого ре-
гулятора и алгоритмы нечеткого вывода. Во втором разделе изложен
процесс принятия решений на базе нечеткой логики, который является
основой работы нечеткого регулятора. Материал этих разделов бази-
руется на работах [5-7, 9, 149, 169, 188, 189, 199].
В третьем разделе изложен новый метод проектирования нечетких
регуляторов [21], основанный на полученных аналитических выраже-
ниях для управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора
при различных функциях принадлежности и представлены общие
функциональная и структурная схемы нечетких регуляторов, на базе
которых возможна реализация нечетких регуляторов программным
или аппаратным способом. Представлены принципиальные схемы не-
четких регуляторов с различными функциями принадлежности. При
проектировании нечетких регуляторов предложенным методом нет
необходимости в использовании пакета нечеткой логики Fuzzy Logic
Toolbox интерактивной системы MATLAB и процедура проектирова-
ния нечетких регуляторов упрощается. Изложены вопросы оптимиза-
ции основных параметров регуляторов путем минимизации выбранно-
го критерия качества с целью получения оптимальных процессов в
системах автоматического управления.
Материалы третьего - одиннадцатого разделов, в которых пред-
ставлен синтез нечетких регуляторов в системах автоматического
управления с нестационарными объектами управления, с объектами,
имеющими звенья чистого запаздывания, нелинейными и многомер-
ными объектами, является оригинальным.
Значительное внимание уделено синтезу нечетких регуляторов
автономных систем теплоснабжения и различных радиотехнических
систем. Рассмотрен синтез оптимальных по быстродействию и нечет-
ких цифровых регуляторов локальных систем автоматического управ-
ления параметрами двухроторного двухконтурного газотурбинного
двигателя, систем управления параметрами паровых котлов большой
мощности, систем управления температурой электрических и газовых
печей.
Дана сравнительная оценка показателей качества, в том числе ро-
бастности, систем автоматического управления с цифровыми нечет-
5
Предисловие
кими и оптимальными по быстродействию ре^ляторами, а также тра-
диционными ПИД-регуляторами при различных воздействиях на сис-
темы управления.
Исследование систем автоматического управления проведено пу-
тем математического моделирования с использованием интерактивной
среды для научных и инженерных вычислений MATLAB и мощным
средством моделирования и исследования систем управления с обрат-
ной связью Simuiink.
Книга рассчитана на инженерно-технических работников, зани-
мающихся вопросами проектирования и эксплуатации систем автома-
тического управления, а также на студентов, аспирантов, научных ра-
ботников и широкий круг специалистов в области автоматики, техни-
ческой кибернетики и смежных областей науки и техники.
6
Предисловие
FOREWORD
A control system consists of a controller, intended for the realization of
control, and a control object, subjected to the control actions. The present
book is devoted to fuzzy controllers, which generate control actions on the
basis of fuzzy logic. The concept of "fuzzy logic" was introduced by Zadeh
(1965). He proposed the theory of "fuzzy sets," which can be used to con-
struct fuzzy analogs of all mathematical concepts and to create the neces-
sary formal techniques for simulation of human reasoning and the human
way of solving problems [151,232-234]. The fuzzy set is the collection of
units, concerning which it is impossible with a complete determinancy to
state - whether this or that unit to the given collection whether or not be-
longs.
The theory of "fuzzy sets" deals with "human knowledge,” which is
called "expert information" A fuzzy control is characterized by immediate
application of qualitatively formulated expert knowledge for the generation
of control actions on the controlled object. The knowledge about the inter-
action of a fuzzy controller with a controlled object (process) is represented
by the rules of the form: if (initial situation), then (response). Such rules
correspond to the elementary form of human interactions.
The concepts of "a linguistic variable" (variable, which accepts the
values from the set of linguistic terms), “a linguistic term (title)” (indistinct
subset with the appropriate membership function) and "membership func-
tion" p(x) play the central role in the theory of fuzzy sets. The function p(x)
determines the degree of membership of an element (linguistic variable) x
to a fuzzy set (to a term) X in the form of a numerical value within the
range [0, 1] (this numerical value is called "the degree of truth" of a lin-
guistic variable). A fuzzy set is described completely by its membership
function. For example, representing the linguistic terms (fuzzy subsets)
"negative," "positive," "large," and "small" by the linguistic variable "an
error" through their membership functions, the ranges of variation in the
qualitatively described physical quantity - mismatch errors of the auto-
matic-control system - are outlined. The membership functions of linguistic
terms, as a rule, overlap each other; therefore, these functions can inform of
different nonzero values of "degree of truth"
In Russian, the concept of "fuzzy-logic" introduced by Zadeh means
the illegible logic; therefore, illegible controllers are named also fuzzy-
controllers, and control systems with fuzzy-controllers the fuzzy-sy stems.
7
Предисловие
The conversion of current values of the input variables of a fuzzy-controller
into linguistic values of the degree of truth is called fuzzyficat ion.
In a fuzzy-controller on the basis of the formulated rules (base of rules)
such as IF-THEN rules, the creation of logical solution - obtaining of fuzzy
set is carried out as the resulting membership function. The definition for
this membership function of quantitative value of an output linguistic vari-
able - the control actions on the controlled object is named defuzzyfication.
In the given book the controlled objects are considered which can be
described by the transfer function with stationary values or variable pa-
rameters. As the linguistic input variables are used an error of the system,
speed of change (first derivative) error, acceleration (flexon) of an error,
which are qualitatively characterized by continuous on universal set and
symmetric membership functions of term-sets. The elementary rules of sort
IF-THEN are used which are the indistinct linguistic expressions as the lin-
guistic variables with opposite terms. The number of rules is equal to the
number of terms.
The synthesis of a fuzzy controller (in general) consists of in choice of
membership functions of term-sets of linguistic variables, algorithm of in-
ference (a logic conclusion on the basis of fuzzy logic), optimization of
main parameters of a fuzzy controller (ranges of variation linguistic vari-
ables, form and parameters of membership functions) by minimization of
selected criterion of quality in the closed-loop automatic-control system.
The features of control on the basis of fuzzy logic are briefly consid-
ered and the functional diagram of a fuzzy controller and algorithms of in-
ference are described in the first part of the book. The decision-making
process based on fuzzy logic, which is the basis of the operation of fuzzy
controllers, is described in the second part. The material of these parts is
based on the books [5-7, 9, 149, 169, 188, 189, 199].
In the third section the new method of designing of the fuzzy control-
lers is stated [21], based on the received analytical expressions for control-
ling actions on an output of an fuzzy controller at various membership
functions and the general functional and block diagrams of fuzzy control-
lers are submitted on the basis of which the realization of fuzzy controllers
by a program or hardware way is possible. The schematic diagrams of
fuzzy controllers with various membership functions are submitted. De-
signing fuzzy controllers by the offered method there is no necessity for
using the package of indistinct logic Fuzzy Logic Toolbox of interactive
system MATLAB and procedure of designing of fuzzy controllers be-
8
Предисловие
comes simpler. The questions of optimization of key parameters of fuzzy
controllers are stated by minimization of the chosen criterion of quality
with the purpose of reception of optimum processes in the systems of
automatic control.
The material of the third - the eleventh sections, where fuzzy control-
lers in automatic-control systems with nonstationary controlled objects,
objects having elements with time lags, nonlinear and multi-dimensional
controlled objects are synthesized, is original.
The significant attention is given to the synthesis of fuzzy controllers
of various radio engineering systems and self-contained systems of heat-
supply. The synthesis of the optimum on speed and of the fuzzy digital
controllers of local automatic-control systems by parameters of the twin-
shaft and double-loop gas-turbine engine, control systems by parameters of
the steam high-power boiler, control systems by temperature of electrical
and gas furnaces is considered.
The comparative estimation of metrics of quality, including robustness,
systems of automatic control with fuzzy controllers, optimum on speed
digital controllers and traditional PID-controllers is given at various dis-
turbing actions on control systems.
Research of systems of automatic control is carried out by mathemati-
cal modelling with use of the interactive environment for scientific and en-
gineering calculations MATLAB and powerful means of modelling and
research of the control systems with feedback Simulink.
The book is intended for engineers and technical workers, who are
concerned with design and operation of automatic-control systems, stu-
dents, post-graduate students, scientists, and a wide range of specialists in
automation, engineering cybernetics, and adjacent areas of science and en-
gineering.
9
Раздел 1
Раздел 1.
УПРАВЛЕНИЕ НА БАЗЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
1.1. Общие особенности управления на базе теории нечетких
множеств
Понятие “fuzzy-logic” (в переводе с английского - нечеткая, раз-
мытая логика) введено американским математиком Л.А. Заде
(L.A.Zadeh), который предложил теорию нечетких множеств [151], на
основе которой можно построить нечеткие аналоги всех математиче-
ских понятий и создать необходимый формальный аппарат для моде-
лирования человеческих рассуждений и человеческого способа реше-
ния задач. Нечеткое множество (fuzzy set) - совокупность элементов
произвольной природы, относительно которых нельзя с полной опре-
деленностью утверждать - принадлежит ли тот или иной элемент дан-
ной совокупности или нет.
Теория нечетких множеств имеет дело с “человеческими знания-
ми”, которые принято называть экспертной информацией. Характер-
ным для нечеткого управления является непосредственное примене-
ние качественно формулируемых экспертных знаний для генерирова-
ния управляющих воздействий на объект управления. Знания о взаи-
модействии нечеткого регулятора с объектом (процессом) управления
представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО
(ответная реакция). Такие правила соответствуют простейшей форме
человеческих взаимодействий. При этом анализируемые параметры
рассматриваются в качестве лингвистических переменных, которые
оцениваются качественными термами.
В теории нечетких множеств центральную роль играют понятия
лингвистическая переменная ЛП, лингвистическая величина и функ-
ция принадлежности ФП (х) . Математически нечеткое множество
определяется как множество упорядоченных пар вида (х,/Л(х)), где
х является элементом универсума X (хеХ), а функция /лг(х)
определяет степень принадлежности элемента х (лингвистической
переменной) к нечеткому множеству (терму) Т в форме численного
значения в диапазоне [0, 1]. Нечеткое множество полностью описыва-
ется его функцией принадлежности. Например, представляя лингвис-
тические величины (нечеткие множества) “отрицательная”, “положи-
10
Раздел 1
тельная”, “большая”, “малая” лингвистической переменной “ошибка”
при помощи их функций принадлежности, очерчивают диапазоны из-
менения качественно описанной физической величины - ошибки рас-
согласования системы автоматического управления. Функции принад-
лежности лингвистических величин, как правило, перекрывают друг
друга, поэтому для одной и той же лингвистической переменной эти
функции могут сообщать различные “степени истинности” лингвис-
тических величин, отличающиеся от нуля.
Перевод текущих значений входных переменных нечеткого регу-
лятора в лингвистические величины истинности называют процедурой
фаззификации. В нечетком регуляторе на основе сформулированных
правил (базы правил) типа ЕСЛИ-TO, осуществляется формирование
логического решения в виде нечеткого множества в форме результи-
рующей функции принадлежности. Получение для заданной резуль-
тирующей функции принадлежности выходной лингвистической пе-
ременной единственного количественного значения - управляющего
воздействия на выходе нечеткого регулятора и процедуру генерирова-
ния выходной величины (управляющего воздействия на объект управ-
ления) называют дефаззификацией.
В настоящее время наблюдается интенсивное развитие и практи-
ческое применение нечетких систем для целей управления и регули-
рования многих технических объектов.
Достоинства нечеткой логики, которые явно проявляются в не-
четком управлении, заключаются прежде всего в том, что нечеткая
логика позволяет удачно представить мышление человека, а именно
способы принятия решений человеком, и способы моделирования
сложных объектов средствами естественного языка.
Естественный язык формировался в течение сотен лет не только
как средство общения людей, но и как структура, отражающая объек-
тивный мир. Познание мира опирается на мышление, а мышление, в
свою очередь, невозможно без определенной знаковой системы. Наи-
более мощной системой такого рода и является естественный язык,
который представляет окончательную, наиболее мощную и главную
реализацию человеческого мышления. Он способен оперировать с
противоречивыми, сложными и многозначными понятиями. Логиче-
ская структура, в частности древнегреческой геометрии, была извле-
чена из естественного языка, во многом определив дальнейшее разви-
тие математики и естествознания.
И
Раздел 1
В ходе принятия решения человек легко овладевает ситуацией,
разделяя ее на события, находит решения в сложных ситуациях путем
применения для отдельных событий соответствующих правил приня-
тия решения, на основании прошлого опыта искусно наделяет объект
отличительными признаками и приходит к общему решению. Решение
принимается не на основе унифицированных стоимостных критериев,
а с использованием большого числа стоимостных критериев, нередко
противоречащих друг другу. В случае неполной информации возмож-
на помощь в принятии решения с использованием выводов. В нечет-
кое управление вводятся подобные методы принятия решений, свой-
ственные человеку, в форме распределенных по отдельным состояни-
ям и целям правил управления и нечетких выводов. Человек в повсе-
дневной деятельности никогда не пользуется формальным моделиро-
ванием на основе математических выражений; он не ищет одного язы-
ка, описывающего все. Язык, который использует человек - это не-
четкий естественный язык. Полученная модель не является унифици-
рованной: она либо описывает свойства фрагментов объекта, либо яв-
ляется набором нескольких локальных моделей, поставленных в опре-
деленные условия. Сами локальные модели не используют числовых
значений. Обладая некоторой общностью, они просты для понимания
на качественном уровне. При нечетком управлении по этому образцу
создают модель действий оператора с помощью высказываний типа
ЕСЛИ-TO, используя обычные слова и слова эти нечеткие. Вместо
того чтобы выстраивать цепочку числовых значений, человек прово-
дит нечеткие границы типа “малый”, “средний”, “большой” и т.п.
Благодаря применению нечетких слов можно легко представить слу-
чаи с неполными данными [174].
Применение теории нечетких множеств при проектировании ре-
гуляторов позволяет повышать их “интеллект”, компетентность, при-
близив к интеллекту человека. “Очеловечивание” нечетких регулято-
ров является одной из центральных проблем в современной теории и
технике автоматического управления [5,6].
Можно выявить три особенности нечеткого управления [174].
Первая заключается в том, что правила нечеткого управления,
будучи условными высказываниями типа ЕСЛИ-TO являются логиче-
скими. Использование правил осуществляется через механизм логиче-
ских выводов. Логическое управление означает, что логику управле-
ния эксперта легко представить, и разнообразным предпосылкам
12
Раздел 1
можно поставить в соответствие некоторое действие. Для реального
оборудования это не только использование при управлении полной
информации в отличие от классической теории управления, но и из-
менение режимов управления в зависимости от условий, например,
времени и значений параметров. Во многих видах реального оборудо-
вания необходимо уделять особое внимание различным режимам ра-
боты, например, процедуре запуска. В этом случае для автоматизации
удобно использовать нечеткое управление, поскольку можно описы-
вать правила в форме ЕСЛИ-TO одинаковым образом и для режима
запуска, и для режима нормальной работы.
Вторая особенность - параллельное управление. Сами нечеткие
методы управления существенно различаются. Традиционные методы
управления - это либо классические, либо современные методы, в ко-
торых обобщенное правило управления представляется с помощью
одной формулы, в то время как при нечетком управлении использует-
ся большое число частных правил. Каждое правило действует в опре-
деленной области информационного пространства, используемого при
управлении. Для каждой локальной области распределенного инфор-
мационного пространства целесообразно создавать отдельные правила
управления. Кроме того, если имеется много регулируемых величин,
для каждой из них можно создать отдельные правила управления.
Аналогично, если имеется много целей управления, для каждой цели
желательно создавать правила управления. Классическое управление
существенно ограничивало теоретически возможные разновидности
целей в связи с необходимостью представлять цель обобщенной
функцией. При нечетком управлении необходимость в целевых функ-
циях и в решении задач оптимального управления отпадает, поэтому
можно успешно справляться со всем многообразием целей и даже со
взаимно противоречащими целями.
Третья особенность нечеткого управления состоит в том, что по-
является возможность организовать управление в форме диалога с
оператором, поскольку правила управления записываются словами в
виде выражений ЕСЛИ-ТО.
Исходной предпосылкой к формированию системы управления на
базе теории нечетких множеств является то, что состояние сложной
системы и управляющие воздействия в САУ рассматриваются как
лингвистические переменные, оцениваемые качественными термами
(средствами естественного языка). Каждый терм рассматривается как
13
Раздел 1
нечеткое множество и формализуется с помощью соответствующей
функции принадлежности. Формирование управляющего воздействие
осуществляется на основании определенного набора правил (лингвис-
тические правила управления), устанавливающих средствами естест-
венного языка связь между состоянием динамической системы и
управляющим воздействием в САУ. Определение конкретного значе-
ния управляющего воздействия осуществляется путем реализации
процедуры перехода от результирующей функции принадлежности,
описывающей лингвистическую переменную управляющее воздейст-
вие, к конкретному числовому значению. В результате неточность
(нечеткость) описания динамического поведения объекта компенсиру-
ется более высоким по уровню алгоритмом управления благодаря уче-
ту, в том числе, и качественных признаков динамического поведения
объекта управления [5].
Очевидно, что для реализации управления на базе теории нечет-
ких множеств и нечеткой логики необходимо устройство, формирую-
щее управляющие воздействия на объект управления - нечеткий регу-
лятор (регулятор, работающий на базе нечеткой логики).
В некоторых источниках управление на базе теории нечетких
множеств и нечеткой логики рассматривают в контексте методологии
искусственного интеллекта. В работе [6] рассматривается структура
интеллектуальной системы управления с нечетким регулятором. От-
мечается, что основу проектирования интеллектуальных нечетких ре-
гуляторов составляет конструирование знаний с использованием ме-
тодов представления и поиска знаний. Поэтому предлагается создание
нечетких промышленных регуляторов осуществлять на принципах
теории искусственного интеллекта.
В работе [194] нечеткие регуляторы рассматриваются как одна из
базовых моделей регуляторов интеллектуальных систем управления
(наряду с нейронными регуляторами и генетическими алгоритмами).
При этом отмечается, что значительным ограничением практического
применения регуляторов интеллектуальных систем управления явля-
ется отсутствие формальных подходов, присущих теории автоматиче-
ского управления, для решения задач анализа и синтеза систем управ-
ления. Тем не менее отмечается, что нечеткие регуляторы обладают
наибольшими ’’способностями” к формализации процессов проекти-
рования.
14
Раздел 1
Существует подход, в рамках которого, управление на базе тео-
рии нечетких множеств и нечеткой логики не рассматривается в кон-
тексте методологии искусственного интеллекта. В работе [172] отме-
чено, что существует некоторая аналогия между правилами ЕСЛИ-ТО
искусственного интеллекта и нечеткой логикой. Но искусственный
интеллект, отмечается далее, есть процесс обработки символов, а не-
четкая логика - нет. В искусственном интеллекте нейронная сеть есть
совокупность данных и выводов в виде специальных структур. Каж-
дой входной величине назначается относительный, дискретный весо-
вой коэффициент. Взвешенные данные точно определенным способом
формируют сеть для принятия решений. В отличие от этого в нечет-
кой логике весовые функции непрерывно определены на множестве
значений принадлежности. Во многих случаях регулятор на базе не-
четкой логики способен вырабатывать решения быстрее, чем эксперт-
ная система на основе правил ЕСЛИ-ТО.
Между тем, все больший интерес представляет возможность раз-
работки так называемых гибридных интеллектуальных систем управ-
ления [169,170]. В этих системах, именуемых еще нейро-фаззи-
системами, объединены свойства искусственных нейронных сетей к
обучению и наглядность нечеткой логики (фаззи-логики). Характер-
ными особенностями этих систем являются: возможность комбиниро-
вания числовых данных и нечетких знаний, способность к обучению,
возможность интерпретации в качестве нечеткой модели, дополни-
тельная оптимизация описания, которая базируется на правилах с ис-
пользованием данных.
1.2. Функциональная и структурная схемы системы управле-
ния на базе нечеткой логики. Принцип работы нечеткого регуля-
тора. Алгоритмы нечеткого вывода.
Функциональная схема системы автоматического управления на
базе нечеткой логики (системы управления с нечетким регулятором
или системы фаззи-управления) приведена на рис. 1.1.
Схема состоит из устройства сравнения, нечеткого регулятора HP,
объекта управления ОУ и цепи обратной связи.
Нечеткий регулятор (фаззи-регулятор, fuzzy-controller) включает
три основных блока - блок фаззификации (fuzzyfication), блок форми-
рования логического решения (inference) и блок дефаззификации (de-
fuzzyfication).
15
Раздел 1
Рис.1.1
В блоке фаззификации входные лингвистические переменные
/ - 1, п, такие как ошибка системы в, скорость изменения (пер-
вая производная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки
О, качественно характеризуются терм-множествами (лингвистиче-
скими величинами) а', такими как отрицательная (О), отрицатель-
ная средняя (ОС), отрицательно малая (ОМ), нулевая (Н), положи-
тельномалая (ПМ), положительно средняя (ПС), положительная (П),
которые описываются на универсальном множестве U функциями
принадлежности ФП /л(и). ФП определяет степень принадлежности
каждого элемента и множеству U числом между 0 и 1, которое на-
зывают степенью истинности рассматриваемой лингвистической пе-
ременной данному терму. Диапазоны изменения входных перемен-
ных, например, [0min, 0max ], [^min > #max J > l^min^maxL и текущие
значения входных переменных пересчитываются (отображаются) на
единое универсальное множество Vi = [0,£z -1], где Lt - число, со-
ответствующее количеству термов каждой лингвистической перемен-
ной xt, i = \,п, либо на универсальное множество U = [0,1]. Как пра-
вило, количество термов j для каждой лингвистической переменной
выбирается одним и тем же. Таким образом, для каждого текущего
значения входной переменой определяется степень принадлежности
(величина истинности) к тем термам (нечетким подмножествам), ко-
торые характеризуют конкретную лингвистическую переменную. По-
скольку ФП обычно перекрывают друг друга, то для одной и той же
входной переменной несколько ФП могут сообщать различные вели-
чины истинности, отличающиеся от нуля.
16
Раздел 1
В блоке формирования логического решения на основе матрицы
знаний (базы правил) записываются лингвистические правила вида
ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО (ответная реакция), которые вместе
обычно называют рабочим правилом. Взаимодействие между вход-
ными и выходными ФП типа ЕСЛИ-TO обозначается как импликация
(логическая связка). Импликация (активизация) - это этап нечеткого
вывода, представляющий собой процедуру нахождения степени ис-
тинности каждого из подзаключений логических правил вида ЕСЛИ-
ТО, которые являются нечеткими лингвистическими высказываниями
в форме лингвистических переменных. Часть ЕСЛИ (предпосылки
или условия) означает сопряжение логических операций, а часть ТО
(решение, вывод, заключение) обычно представляет собой простое
указание лингвистической величины для выходного воздействия
(управляющего воздействия на объект управления) нечеткого регуля-
тора. Соответствующей формулировкой правил достигается результат,
при котором для любой лингвистической величины управляющего
воздействия, как минимум, одно из правил оказывается приемлемым.
Наиболее часто используется “минимаксный” (Max-Min Inference)
метод логического решения, когда вначале ФП части ТО каждого из
правил объединяются с величиной истинности части ЕСЛИ (при этом
ФП части ТО ограничивается величиной истинности части ЕСЛИ -
это “мини”- операция), а затем из ограниченных ФП части ТО путем
взаимного наложения выбирается результирующая ФП с максималь-
ной величиной истинности (“макси”-операция). Эта результирующая
ФП определяет собой текущее воздействие базы правил. Процедура
обработки базы правил с формированием результирующей ФП пред-
ставляет собой логическое решение для расчета выходной величины
HP. Процесс принятия решений на базе нечеткой логики или логиче-
ский нечеткий вывод описан в разделе 2.
Нечеткий вывод занимает центральное место в нечеткой логике и
системах нечеткого управления. Процесс нечеткого вывода представ-
ляет собой некоторую процедуру или алгоритм получения нечетких
заключений на основе нечетких условий или предпосылок с использо-
ванием понятий нечеткой логики. Этот процесс соединяет в себе все
основные концепции теории нечетких множеств: функции принад-
лежности, лингвистические переменные, нечеткие логические опера-
ции, методы нечеткой импликации и нечеткой композиции.
Следует подчеркнуть, что как операцию импликации (логической
связки), так и операцию композиции (свертки) в алгебре нечетких
17
Раздел 1
множеств можно реализовать по разному (при этом итоговый резуль-
тат тоже будет разным), но в любом случае общий логический вывод
осуществляется за следующие четыре этапа [149].
{.Определение нечеткости (фаззификация). Задаются функции
принадлежности на едином универсальном пространстве для термов
входных лингвистических переменных и для конкретных значений
переменных определяются степени истинности каждой предпосылки
каждого правила.
2. Логический вывод. Вычисленные значения истинности для
предпосылок каждого правила применяются к заключениям (выводам)
каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно ис-
пользуются только операции min (минимум) или prod (умножение). В
логическом выводе min функция принадлежности вывода “отсекает-
ся” по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности
предпосылки правила (нечеткая логика “И”). В логическом выводе
prod функции принадлежности вывода масштабируются вычисленны-
ми величинами произведений степеней истинности предпосылок каж-
дого правила.
3. Композиция. Полученные нечеткие подмножества (“усеченные
по высоте” функции принадлежности) объединяются вместе для фор-
мирования одного нечеткого подмножества (результирующей функ-
ции принадлежности) для переменной вывода (решения). Для объеди-
нения обычно используются операции max (максимум) или sum (сум-
ма). При композиции max результирующее нечеткое подмножество
конструируется как поточечный максимум по всем полученным не-
четким подмножествам (нечеткая логика “ИЛИ”). При композиции
sum результирующее нечеткое подмножество конструируется как по-
точечная сумма по всем полученным нечетким подмножествам.
4. Приведение к четкости (дефаззификация). Нечеткий вывод
преобразуется в четкое число.
В блоке дефаззификации полученная результирующая функция
принадлежности для управляющего воздействия на объект управления
преобразуется в числовую величину, как правило, методом определе-
ния “центра тяжести” (Centre of Gravity) плоскости S результирующей
фигуры, лежащей под графиком результирующей ФП. Общее правило
расчета абсциссы центра тяжести sc = S(ucучастка площади,
охватываемой результирующей функцией //c(w) в пределах измене-
18
Раздел 1
ния переменной и от и ~UX rq и - U2. определяется по формуле
[199] U1 \upc(u)du ис=^2 • (1-1) fac(u)du Ut
Центр тяжести площади называют центроидом площади. Поэтому
описанный выше метод приведения к четкости называется центроид-
ным (centroid of area). Переменная ис - результат дефаззификации.
Переходя к численному интегрированию по методу трапеций (с
шагом дискретизации w0), запишем формулу (1.1) в виде
(1.2)
где (U2 -Ц)/ М =uQ - шаг дискретизации, М - число дискрет на
интервале (72-Ц, /=1,2,3,..., Л/-1.
В частном случае, когда результирующая ФП является кусочно-
линейной, абсцисса “центра тяжести” определяется как [199]
— + (2л* +ак+\)Ьк]
ис = , (1.3)
3^ (ак+\ ~ ак X^t+l + ^к )
*=1
где N - число вершин, ак, Ьк -координаты вершин результирующей
фигуры. Полученное значение ис затем преобразуется в значение
управляющего воздействия на объект управления путем обратного
отображения величины ис с единого универсального множества на
диапазон изменения [wmin,wmax] лингвистической переменной управ-
ляющее воздействие на объект т.
19
Раздел 1
Отметим, что метод центра тяжести для одноточечных множеств
(Centre of Gravity for Singletons) рассчитывается по формуле
«с =—п----------• (1-4)
/=1
где п- число одноточечных (одноэлементных) нечетких множеств,
каждое из которых характеризует единственное значение рассматри-
ваемой выходной лингвистической переменной.
В пакете нечеткой логики (Fuzzy Logic Toolbox) интерактивной
системы MATLAB [149] даны также другие методы приведения к чет-
кости при использовании результирующей функции принадлежности:
наименьший максимум (smallest of max, som), наибольший максимум
(largest of max, lorn), средний максимум (mean of max, mom), бисек-
торный (bisector of area), которые находят, однако, менее широкое
применение. Близкие к центроидному методу результаты дает бисек-
торный метод, в котором четкое значение ис выходной переменной
определяется из уравнения
"с ^2
J//c(w)47w= \juc(u)du (1.5)
С7, ис
(биссектриса площади равна абсциссе, которая делит площадь, огра-
ниченную результирующей функцией принадлежности, на две равные
части).
На практике используется несколько алгоритмов нечетого вывода.
Кратко рассмотрим алгоритм Мамдани (предложен в 1975 г. англий-
ским математиком Ebrahim Mamdani [228, 229]), который использует-
ся в интерактивной системе MATLAB, для простоты полагая, что базу
знаний организуют два нечетких правила (по числу термов) вида
Если (щ = Я] ) U (l/2 - ^2) ’ то (ис - ас)>
Если (wj - а\) и (м2 - ^2)» то (ис = асУ
где Uj - текущие значения входных переменных, пересчитанные на
единое универсальное множество, (/ = 1,2), а{ - лингвистические
20
Раздел 1
оценки (терм-множества, названия) входных переменных, например,
а/ е [отрицательная^] = \\положшпельная(] = 2)}. aJc - лин-
гвистическая оценка текущей выходной переменной ис на едином
универсальном множестве.
w* - четкое значение выходной переменной, которое надо опре-
делить на основе приведенной информации и известных четких зна-
чений входных переменных щ (и) - заданные функции при-
надлежности для переменных (/ = 1,2).
Алгоритм Мамдани математически описывается следующим об-
разом.
1 .Нечеткость (процедура фаззификации - fuzzification)', находятся
степени истинности для предпосылок или условий (входных перемен-
ных) каждого правила:
/Л^Г), А2ОГ), рЧи^), р2(и*2),
где /?(W|), A2(wi) - функции принадлежности для переменной
р* (и2 )> А2 (w2) " Функции принадлежности для переменной •
2 .Нечеткий вывод: находятся уровни “отсечения” (степени ис-
тинности) для предпосылок или условий каждого из правил (процеду-
ра агрегирования - aggregation):
J = //'(«]*) Л/у1 («2 );1
5 = А2(«1‘)л
где через “ л ” обозначена операция логического минимума (min); за-
тем находятся усеченные функции принадлежности для переменной
вывода или заключения - выходной переменной ис (процедура акти-
визации - activation):
Э Э I V 1 • /
/л^(и) = Влр2(ис),
где р\ис), р2(ис) - функции принадлежности для переменной ис.
3 .Композиция (процедура аккумуляции - accumulation): произво-
дится объединение найденных усеченных функций, в результате чего
21
Раздел 1
получаем итоговое нечеткое множество для переменной выхода с ре-
зультирующей функцией принадлежности
/Zc(i/) = ^(«)v/7c2(m), (1.8)
где через “ v ” обозначена операция логического максимума (max).
4 . Приведение к четкости (процедура дефаззификации - defuzzifi-
cation)'. нахождение четкого значения выходной переменной ис , на-
пример, центроидным методом.
Алгоритм Мамдани, использующий формулы (1.6)-(1.8), называ-
ют “минимаксным ” методом нечеткого вывода. Этот алгоритм наибо-
лее широко используется на практике. Имеется много модификаций
этого алгоритма [47]. Так, в процедуре агрегирования вместо операции
логической конъюнкции (And method, min-операция), определяемой
формулой (1.6), может использоваться алгебраическое произведение
(prod-операция)
Я = /Л"1’)х А^г’)-/
В процедуре активизации кроме операции тт-ялтиывмзбп/ым, оп-
ределяемой формулой (1.7), может использоваться операция prod-
активизации
= (|10)
Мс (“) = В*М~(ис)
или average-активизации
^.(u) = 0.5x[A + ^(uc)],\ .. Jn
A2(W) = O.5x[B + //2(«c.)].J
В процедуре композиции кроме операции логической дизъюнкции
(Or method, max-операции), определяемой формулой (1.8), может
использоваться граничная сумма (sum-операция )
Ис(и) = min {//'(и) + //2(м),1} (1.12)
или алгебраическая сумма (ргоЬог-операция)
Рс («) = («) + Ac (w) - А*- (и) х Ас («)• (113)
22
Раздел 1
Рассмотрим другой алгоритм, для простоты полагая, что базу зна-
ний организуют два нечетких правила (по числу термов) вида
Если = а\) или (w2 = ^2) > то (ис = ас)»
Если (их = я2) или (и2 = ^2 )’ то (ис = ас)-
Алгоритм описывается следующим образом.
1. Нечеткость - как в алгоритме Мамдани.
2. Нечеткий вывод', находятся уровни “отсечения” (степени ис-
тинности) для предпосылок или условий каждого из правил (проце-
дура агрегирования}'.
= (114)
В = д2(», )v ц (и2),
где через “v” обозначена операция логического максимума (max);
затем находятся усеченные функции принадлежности для переменной
вывода или заключения - выходной переменной ис (процедура min-
активизации по формуле (1.7) как в алгоритме Мамдани или prod-
активизации по формуле (1.10)).
3. Композиция', результирующая функция принадлежности опре-
деляется как в алгоритме Мамдани по формуле (1.8).
4. Приведение к четкости', находятся границы z/cmaxl и wcmax2
наибольшего из максимумов тах[А,В] результирующей функции
принадлежности и определяется четкое значение выходной перемен-
ной ис методом среднего максимума (mean of max, mom):
M‘ = ^maxl + »<-max2 (1 J5)
Отметим, что в процедуре агрегирования вместо операции логи-
ческой дизъюнкции (Or method, max-операции), определяемой фор-
мулой (1.14), может использоваться алгебраическая сумма (probor-
операция):
Л = //(г/]*)+ а’(»2)-А1(^Г)х^1(«з)Л (1 16)
5=A2(W]*)+ А2(^г)- А2 («Г )х^2(«2)-/
В алгоритме Сугено (Sugeno [231]) 0-го порядка в интерактивной
системе MATLAB используется набор правил в следующей форме
23
Раздел 1
Если (их = а{) и (и2 ~а\),то (ис — Cj);
Если = а^) и (w2 = ^2 ) ’ то (ис ~ с2) ’
где Су и с2 - четкие значения индивидуальных выводов или заклю-
чений правил (некоторые действительные числа).
Алгоритм описывается следующим образом.
1. Нечеткость - как в алгоритме Мамдани.
2. Нечеткий вывод: находятся уровни “отсечения” (степени ис-
тинности) для предпосылок или условий каждого из правил:
А =а'(мГ)а /Ама)! (1 17)
=^2(иГ)л А2(й2)/’
где через “ л ” обозначена операция логического минимума (min); но
далее определяются индивидуальные выводы правил:
"cl = ис2 = с2-
(1.18)
3. Приведение к четкости: четкое значение переменной выхода
определяется по формуле
♦ ^\ис\ + А2ис2
1Л р
я, + а2
2
/=1____
2
Ел
/=1
(М9)
где Cj - четкие значения индивидуальных выводов или заключений
правил (некоторые действительные числа), а - степени истинности
для предпосылок или условий каждого из правил, т.е. используется
модифицированный вариант в форме метода центра тяжести для од-
ноточечных множеств (1.4).
При дефаззификации в алгоритме нечеткого вывода Сугено кроме
метода взвешенного среднего wtaver (weighted average), определяемо-
го формулами (1.4) или (1.19), может использоваться метод взвешен-
ной суммы wtsum (weighted sum).
Отметим, что в процедуре агрегирования вместо операции логи-
ческой конъюнкции (And method, min-операция), определяемой фор-
мулой (1.17), может использоваться алгебраическое произведение
(prod-операция)
24
Раздел 1
(1.20)
А = а'(«‘)х ^’(«2);
Л2 =//2(«i*)x ц2(и*2).
В алгоритме Сугено (Sugeno) 1-го порядка используется набор
правил в следующей форме
Если (щ = а}) и (и2 = ^2)’ то (ис ~ а\и\ +Ь}и2 + q);
Если (wj = fl]2) и (и2 = ^2)’ то (ис “ Д2П1 +Ь2и2 + с2),
а индивидуальные выводы или заключения правил определяются как
ис\ = а\и*\ +Ь\“2 +СИ
1/^7 — + b'>U2 + С'у.
Здесь - некоторые весовые коэффициенты.
В алгоритме нечеткого вывода Мамдани основными этапами яв-
ляются формирование базы правил, фаззификация входных перемен-
ных, агрегирование подусловий в нечетких правилах, активизация
подзаключений и аккумуляция (композиция) заключений нечетких
правил. В алгоритме нечеткого вывода Сугено аккумуляция фактиче-
ски отсутствует, поскольку расчеты осуществляются с обычными дей-
ствительными числами.
К настоящему времени предложено несколько других алгоритмов
нечеткого вывода. Так, в работе [163] описаны алгоритмы нечеткого
вывода Цукамото (Tsukamoto) и Ларсена (Larsen). Однако в большин-
стве практических случаев вполне достаточно использовать только
алгоритмы нечеткого вывода Мамдани или Сугено [230].
Нечеткий регулятор HP практически реализуется на микроЭВМ
(или микропроцессоре) и работает в дискретном режиме, поэтому сис-
тема автоматического управления с нечетким регулятором содержит
устройства сопряжения микроЭВМ с объектом управления - аналого-
цифровой преобразователь АЦП и цифроаналоговый преобразователь
ЦАП (см. рис. 1.2, на котором представлена структурная схема систе-
мы управления с нечетким регулятором).
АЦП квантует непрерывную ошибку 0(t) = u(t) -x(f) с шагом
квантования h. В качестве первой и второй производных от ошибки
обычно вычисляют первую и вторую разность по формулам:
25
Раздел 1
0(к) = [0(к) - 0(к -1)]/h = [0(£) - 20(£ -1) + 0(к - 2)]/h1,
где 0(к) - квантованная ошибка на выходе АЦП. ЦАП представляет
собой, как правило, фиксатор нулевого порядка с передаточной функ-
цией //(s) = (1-e-/w)/s .
Фиксатор Объект
Рис.1.2
Отметим некоторые особенности нечеткого регулятора. HP рабо-
тает в дискретном режиме, поэтому на каждом шаге квантования h он
должен выполнить все необходимые вычисления. HP обрабатывает
все входные переменные, поэтому на него можно подавать дополни-
тельные переменные, характеризующие процессы в объекте управле-
ния, и тем самым обеспечивать более широкое воздействие на дина-
мику управления. Система с HP обычно устойчива в отношении изме-
нений параметров объекта управления, что связано с нечеткой приро-
дой правил функционирования. Традиционные методы описания ре-
гуляторов, например, при помощи передаточных функций, для HP не
подходят и не требуются. HP является нелинейным и его особенно-
стью является отсутствие динамики в самом HP. Отсутствие “памяти”
и процедура проектирования, а также словесное описание процесса
управления, характеризующееся лингвистическими правилами, явля-
ются главными особенностями HP.
Нечеткие регуляторы реализуются на практике, как правило, в
форме программного обеспечения высокого уровня, например
“Pascal”, что обеспечивает большую гибкость при их настройке. При
этом по результатам моделирования и испытаний системы управле-
ния, содержащей нечеткий регулятор в замкнутом контуре, можно из-
менять количественные диапазоны лингвистических переменных,
26
Раздел 1
функции принадлежности и модифицировать базу правил с целью по-
лучения требуемого качества управления.
Нечеткие регуляторы представляют интерес в первую очередь для
управления объектами, которые или не поддаются, или поддаются с
большими трудностями формализованному описанию, но даже при-
менительно к управлению объектами, для которых получены матема-
тические модели, эти регуляторы часто предпочтительнее других, так
как позволяют получить более высокое качество (меньшие ошибки в
переходных и установившихся режимах) систем автоматического
управления.
Поскольку алгоритмы управления на базе нечеткой логики могут
быть реализованы только с использованием ЭВМ, то система автома-
тического управления с нечетким регулятором является цифровой.
Важнейшей характеристикой цифровой системы управления является
шаг квантования мгновенного ключа h (интервал дискретизации ана-
логового сигнала). Значение h во многом определяет значения других
параметров цифровой системы автоматического управления, в частно-
сти, параметров традиционных цифровых регуляторов. Поэтому при
проектировании систем управления с нечеткими регуляторами необ-
ходимо уделять внимание выбору значения шага квантования h .
При формировании структурных схем систем управления с нечет-
кими регуляторами важным представляется выбор входных парамет-
ров нечеткого регулятора. Лингвистические правила управления сами
по себе не могут быть реализованы на современных ЭВМ. Необходи-
ма процедура их формализации. В связи с этим очень важной является
задача выбора метода формализации экспертных знаний. Поскольку
нечеткие множества формализуются посредством функций принад-
лежности важную роль играет выбор их вида и параметров. При реа-
лизации нечеткого управления в современных ЭВМ необходимо зада-
вать конкретные значения параметров функций принадлежности, в
первую очередь пределы их изменения. Поэтому важна методика па-
раметрической настройки нечеткого регулятора.
27
Раздел 2
Раздел 2.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
НА БАЗЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
2.1. Процесс принятия решения в системе с одним выходным
и п входными параметрами
Основным понятием нечеткой логики является нечеткое множест-
во. Пусть X = {х} - универсальное множество, т.е. полное множест-
во, охватывающее всю проблемную область. Нечеткое множество
А cz X , по определению, представляет собой набор пар {(х,//л(х))},
где хеХ и /лА : X [0,1] - функция принадлежности, которая
представляет собой некоторую субъективную меру соответствия эле-
мента х нечеткому множеству А [7, 188].
/лА(х) может принимать значения от нуля, который обозначает
абсолютную непринадлежность, до единицы, которая говорит об аб-
солютной принадлежности элемента х нечеткому множеству А.
Иногда удобно рассматривать значение как степень совмести-
мости элемента х с нечетким понятием, представленным нечетким
множеством А.
Часто нечеткое множество А cz X и его функцию принадлежно-
сти рассматривают как взаимозаменяемые понятия.
Если множество [0,1] заменить {0,1}, то функция принадлежности
представляет собой характеристическую функцию обыкновенного (не
нечеткого) множества.
Если нечеткое множество А определено на конечном универ-
сальном множестве X = {х1,х2,...,хл}, то его удобно обозначать сле-
дующим образом:
п
A = ^A(xl)/xl +jua(x2)/x2 +... + ^(xn)/xn='^ju',(xi)/xi,
/=1
где )ЛА(х/)/х/. - пара «функция принадлежности / элемент», называе-
мая «синглтоном» , а «+» обозначает совокупность пар.
28
Раздел 2
В случае непрерывного множества X используется следующее
обозначение:
А = ^А(х)/х.
X
Знак J обозначает здесь совокупность пар ц А{х)/х .
Отметим основные свойства нечетких множеств:
1. Нечеткое множество А cz X пустое, т.е. А = 0, если
//(x) = 0,Vxg %.
2. Нечеткие множества А и В X эквивалентны, т.е. А = В,
если /?(x) = //(x),Vxg
3. Нечеткое множество A cz X является подмножеством нечетко-
го множества В <z X , т.е. А cz В , если /лА(х) < /Z(x), Vx g X.
Наиболее распространенные операции над нечеткими множества-
ми, которые будут использованы в дальнейшем, следующие.
1. Дополнением нечеткого множества А называется нечеткое
множество —। А, функция принадлежности которого равна:
//^(x) = 1-//\x),Vxg X,
2. Пересечением двух нечетких множеств А и В cz X называет-
ся нечеткое множество А п В , функция принадлежности которого
равна:
//^(x) = /(x)a/(x),Vxg/,
где Л - знак операции минимума.
3. Объединением двух нечетких множеств А и В cz X называет-
ся нечеткое множество A U В , функция принадлежности которого
равна:
= //(х) v /Z(x), Vx G X ,
где v- знак операции максимума.
Рассмотрим процесс принятия решения в системе с одним выход-
ным параметром (решением, выводом или следствием) и п входными
параметрами (причинами или условиями). Введем основные форма-
лизмы для определения матрицы нечетких баз знаний (носителя экс-
пертной информации, на базе которой разрабатываются модели и ал-
горитмы для принятия решения). Идея, лежащая в основе формализа-
29
Раздел 2
ции причинно-следственных связей между параметрами (переменны-
ми входы - выход), состоит в описании этих связей на естественном
языке с применением теории нечетких множеств и лингвистических
переменных [188, 189].
Обозначим: d - выходной параметр, х],х1,...,хп - входные пара-
метры. Очевидно, что
d = fd(xi,x2,...,xn), (2.1)
где fd - некоторая функция, устанавливающая связь между перемен-
ными xi и d , причем выходной и входные параметры (переменные)
могут быть как количественные, так и качественные.
Области изменения количественных параметров определим в виде
диапазонов:
Ц = DwJ, i = 1л ; (2.2)
= НХЬ (2.3)
где xHj (хв/) - нижнее (верхнее) значение входного параметра (пере-
менной) X', dH(de) - нижнее (верхнее) значение выходного параметра
(переменной) d .
Дискретные множества всех возможных значений качественных
параметров (переменных ) определим так:
(7, = {v,',v,2,...,v,(2.4)
W = {w',w2 ,} (2.5)
где v.(v/’)- бальная оценка, соответствующая наименьшему (наи-
большему) значению входного параметра х,; и’|(и'’")- бальная оцен-
ка, соответствующая наименьшему (наибольшему) значению выход-
ного параметра d; qt, i = \,п и qm- так называемые мощности мно-
жеств (2.4) и (2.5).
Допустим, что %* = х',Х1,...х„ - вектор конкретных (фиксиро-
ванных) входных параметров (переменных), где х* G Ц, i = \,п. За-
дача принятия решения состоит в том, чтобы на основе информации о
векторе X* = х^х^.-.х*, определить решение (вывод) d* eW. Необ-
30
Раздел 2
ходимым условием решения такой задачи является наличие зависимо-
сти (2.1). Допустим, что входные и выходной параметры представля-
ют собой лингвистические переменные, заданные на универсальных
множествах (2.2), (2.3) или (2.4), (2.5). Лингвистической переменной
(ЛП) называется переменная, значениями которой являются слова или
предложения естественного языка, т.е. качественные термы (терм - от
англ. Term - называть). Используя понятие функции принадлежности
(ФП), каждый из лингвистических термов можно формализовать в
виде нечеткого множества, заданного на соответствующем универса-
льном множестве.
Для оценки лингвистических переменных будем использовать ка-
чественные термы из следующих терм-множеств:
Д = {<7/1,б7/2,...,б7/А'} - терм-множество переменной xtJ = \,n;
D - {d^d2,...,dm} - терм-множество переменной d ,
где а? - р -ый лингвистический терм параметра x.t = = !,/?;
dj -у-ый лингвистический терм параметра (переменной) d,
совпадающий с названием j -го решения; m - число различных реше-
ний. Мощности терм-множеств Д в общем случае различны. Назва-
ния отдельных термов af1 могут также отличаться друг от
друга для различных лингвистических переменных. Например, лин-
гвистические переменные скорость характеризуется термами {низкая,
средняя, высокая, очень высокая}, частота характеризуется термами
{замедленная, нормальная, ускоренная}.
Лингвистические термы а? е А, и dj p = \,Ljy i = \,n,
j = \,m рассматриваем как нечеткие множества, заданные на уни-
версальных множествах, определяемых соотношениями (2.2)-(2.5).
В случае количественных параметров (переменных) xl9i = \9n и
d нечеткие множества а? е At и dj G D определим соотношения-
ми:
< = (2-6)
31
Раздел 2
<4
J. = ]nJ’(dyd, (2.7)
d„
гд$ p°' (x,) - функция принадлежности значения входного параметра
х, е[хн/,хв/] терму а? Ц, р = \,Lt, i = 1,и, a pJ(dy функ-
ция принадлежности значения выходного параметра d е \dH, de ] тер-
му-решению d. е D, j - 1,/w .
В случае качественных параметров xtJ -\,п и d нечеткие мно-
жества a? G Я, и dj g D определим соотношениями:
я,
(2-8>
*=!
dj = ^j/dd'{wr)lwr, (2.9)
r = l
где ра‘(ук) - степень принадлежности элемента vkieUi терму
a?eAl9 p = \,Li9 i-\9n, к~\,ду //y(wr)-степень принадлеж-
ности элемента wr е W терму-решению dj g D, j = 1, т.
Отметим, что знаки интеграла и суммы в соотношениях (2.6)-(2.9)
обозначают не что иное, как объединение пар вида р(и)/и .
Этап, на котором определяются лингвистические оценки пере-
менных и их функции принадлежности называют фаззификацией
Рассмотрим N = кх + кэ +... + кт ситуаций (условий или экспери-
ментальных данных), где к} - число ситуаций (условий) с решением
dj eD, j = l,?w, m - число решений. Пронумеруем ситуации (ус-
ловия) следующим образом:
11, 12,..., l£j - номера ситуаций (комбинаций входных перемен-
ных) с решением dx;
21, 22,..., 2к2 - номера ситуаций с решением d2;
32
Раздел 2
jl, j‘2,..., jkj - номера ситуаций с решением dj\
ml, m2,..., ткт - номера ситуаций с решением dm .
Сформируем таблицу - матрицу знаний, используя следующие
правила:
1. Размерность матрицы (и -I- 1)х N , где (п -1-1) - число столбцов,
N - число строк.
2. Первые п -столбцов матрицы соответствуют входным парамет-
рам (переменным) xi,i-\,n, а (п +1)-ый столбец - решениям (зна-
чениям выходной переменной) dj , j - l,m.
3. Первые к} строк соответствуют решению d{, вторые к2 строк
- решению d2, ...., последние кт строк - решению dm. Таким обра-
зом, каждая строка матрицы представляет некоторую комбинацию
значений входных переменных, отнесенную экспертом к одному из
возможных решений ( к одному из возможных значений выходной
переменной).
4. Элемент aJP, стоящий на пересечении / -го столбца и jp -й
строки соответствует лингвистической оценке параметра х.,/ = \,п в
ситуации с номером jp , j = l,m, р = 1. При этом лингвистиче-
ские оценки а-р выбираются из терм-множества переменной xt, оп-
ределенного выше, т.е. ajp е .
Полученная матрица знаний определяет систему логических
высказываний типа если-mo, иначе, связывающих значения входных
параметров (переменных) х{, i~ 1, п с одним из решений d. ,
J = l,m, а именно:
Если (Xj = aj1) и (х2 = а2’ )•••« (х„ = ^) «л"
(X] = а,2)«(х2 = а12)...и(хп = а'2)или...
(X] = а'*1) и (х2 = а2*' )... и (х„ = а*'), то d = d}, иначе
Если (х, = а,21) и (х2 = 1)..-U21 )йлй
33
Раздел 2
(х, = а22)и(х2 = а22)...и(хл = а22)или...
(х, = а2*2)«(х2 = а2*2)...«(хп - а2кг ),mod = d2, иначе
Если(х{ = а”')и(х, = а2')...и(хл = ал')или
(х, = а”2)и(х2 =а22)...и(х„ = ал2)или...
(х, = а”к” ) «(х2 = а2к" )...и(хп = алк" ),то d = d„.
С использованием символов операций U (или) и П (и) записанная
система высказываний может быть переписана в компактной форме:
kj п
j = \,m. (2.10)
р=\ /=|
Таким образом, искомое соотношение (2.1) , устанавливающее
связь между входными (ситуациями, условиями) и выходным (реше-
нием) параметрами (переменными) формализовано в виде системы
нечетких логических высказываний (2.10), которая базируется на
матрице знаний. Систему нечетких логических высказываний (2.10)
называют нечеткой базой знаний.
Рассмотрим метод разработки алгоритма принятия решения, по-
зволяющий фиксированному вектору количественных входных пара-
метров (переменных)X* = JxI\x2,...x* , х* e[xw.,xeJ поставить в со-
ответствие решение d е D, когда считаются известными: а) множест-
во решений D - {d{,d2,...dm}; б) множество входных параметров (пе-
ременных) X = {х15х2,...хл} ; в) диапазоны количественного измене-
ния каждого параметра (переменной) [хнРхв/], / = 1,л; г) функции
принадлежностей, позволяющие представить параметры х/5/ = 1,и в
виде нечетких множеств (2.6); д) матрица знаний.
Лингвистические оценки aJP, j = 1, т, параметров (переменных)
X;,i-\,n , входящих в логические высказывания о решениях (2.10)
рассматриваем как нечеткие множества, определенные на универсаль-
ных множествах Ui = [хш,хв/], i = 1,и.
34
Раздел 2
Пусть /ла' (х.) - функция принадлежности параметра
х. G [хш>хв/] нечеткому терму ajp, a (X) -зависящая от п пере-
менных функция принадлежности вектора входных параметров (пе-
ременных) X - Xj ,x2,...xw решению dpj = \ym. Связь между эти-
ми функциями определяется рассмотренной выше нечеткой базой
знаний и может быть представлена в виде нечетких логических урав-
нений:
S' (%) = (X, ) Л (х2 ) Л... Л р°" (хп) V
V //°1'2 (х,) Л S' (х2) Л... Л /Л (х„ ) V ...
... V //'' (х,) Л //' (х2) Л... Л р°"' (х„),
(%) = ' (X, ) Л //”' (х2 ) Л... Л /Л"’ (Х„ ) V
V /Г'”’ (х,) Л /S' (х2) л... л /S (х„ ) V ...
ткт
-V ц 1 (Х1)л/у 2 (х2)л...л// " (х„),
где л - логическое и, v - логическое или.
Эти уравнения получены из логических высказываний (нечеткой
базы знаний) путем замены лингвистических термов aJP и dj соот-
ветствующими функциями принадлежности, а операций П (и) и
U (или) на операции л и v. В общем виде систему нечетких логиче-
ских уравнений можно записать как
v[A^(xz)],; = i^. (2.11)
р=\ /=1
Принятие конкретного решения d' е D можно осуществить* та-
ким образом. 1.При фиксированных значениях входных параметров
X* = 'х* ,х2,...х*п задать функции принадлежности нечетких термов и
определить значения этих функций. 2. Пользуясь логическими урав-
35
Раздел 2
нениями (2.11), вычислить значения многомерных функций принад-
лежности /л1 (X*) для всех решений d .,j = \,т. 3. Логические опе-
рации л и v над функциями принадлежностей заменить соответст-
венно на операции min и max согласно следующим выражениям:
/'(а) л p(b) = min[//(a), //(&)];
ц(а) v = max[//(a),//(^)]-
4. Определить решение d" е D, для которого
/''СГ)=тах[/'(*’)]•
j = l, т
Изложенный алгоритм принятия решения использует идентифи-
кацию лингвистического терма по максимуму функции принадлежно-
сти и реализуется на матрице значений функции принадлежности, по-
лученной из матрицы знаний, путем выполнения операций min и max.
Матричная реализация алгоритма принятия решения имеет следую-
щий вид:
//"(х,) //"(х2)
а'2(^) ^|2(*2)
//'(x„)}min
Al2(^)}min
Утах
/A(x„)}min
Утах
A1*1 (x„)}min
Утах.
/А*,) /А(х2)
^(х,) /Г2(х2)
^(х2)
. //w^(xn)|min
Рассмотрим метод разработки алгоритма принятия решения, по-
зволяющий фиксированному множеству качественных оценок вход-
ных параметров (я*,...,я*), а* G A.t = {а\,а^}, поставить в со-
ответствие решение d е D , когда считаются известными: а) множе-
ство решений D = {d^d2,...dm}; б) функции принадлежности, позво-
ляющие представить каждое решение d^j -\,т в виде нечеткого
36
Раздел 2
множества (2.9); в) множество входных параметров X - {Xj,х2,...хп};
г) множества лингвистических термов для качественной оценки пара-
метров х,, , т.е. At - {я,1 }, / = 1,л; д) функции принадлеж-
ности, позволяющие представить качественные термы параметров
х i = 1,п в виде нечетких множеств (2.8); е) матрица знаний.
Рассмотрим на матрице знаний строку с номером j\, которой со-
ответствует нечеткое логическое высказывание
Если (X] = а/1) и (х2 = а2 ).,.и (хп = а„ \то d - , (2.12)
где а'х cU,, i - \,п, d j tW и W - универсальные множества,
определяемые соотношениями (2.4) (2.5)). Высказывание (2.12) можно
представить в виде системы и элементарных высказываний
Если (Xj - а{х), то d = d.
и
Если (х2 = а2 \ то d = d/ (2.13)
и....
Если (хп- а„ ), то d = d},
которой соответствует система нечетких отношений
cz х W,
Rx^=a2xdj9 Rx clU2xW, (2.14)
R =a^dif Rx aUxfV,
n J 7 x n n 7
где декартово произведение обычных множеств Ut п IV определяется
как
U,xlV = {(v*9wr), v* <=L/i9 wreiv},
к = l,q{, г - 1, qm, i - 1, n . (qt и qm - мощности множеств Ut и И7).
Декартово произведение нечетких множеств а/1 и d} определя-
ется как
37
Раздел 2
где степени принадлежностей определяются по формулам (2.8) и (2.9).
В соответствии с композиционным правилом вывода каждое от-
ношение из (2.14) позволяет оценивать нечеткое множество dj a W ,
интерпретируемое в терминах вывода (решения) d. G D, а именно:
dj=x\ °(ai'
dj =x2o(aJ2' xdj),
....................................... (2.15)
dj =x„o(aJ„}xdj\
где ° - операция нечеткой композиции.
Объединяя, согласно (2.13), все соотношения в (2.15) операцией
А (и), получим формулу для одной строки матрицы знаний с номером
/1:
dj=n[-v, °(а/' *dj)]- (2.16)
/=1
Выпишем аналогичные формулы для строк с номерами
dj = °(°/2 *dj )1 ’ • • dj = П(х’ °(а<к’ хdi >1 • (2-17)
1=1 /=1
Поскольку в системе нечетких логических высказываний (2.10)
различные строки, соответствующие решению dе D, объединены
операцией Щяли), то соотношения (2.16), (2.17) также следует объе-
динить этой операцией и записать единое соотношение
di=UO ° (а‘р х dj )]> • <2-18)
pH /~1
Это соотношение позволяет вычислять нечеткое множество
djtzW на основе информации, содержащейся в строках матрицы
знаний с номерами /1,/2,...,Ду.
Поскольку искомое нечетное множество - решение d представ-
ляет собой объединение операцией (J (или) различных решений
38
Раздел 2
d^j = ],т, т.е. d = d, U<^3 то с учетом выражения (2.18)
получим
m к j п
^ = U • (219)
J=\ р=\ /=1
Полученное соотношение (2.19) позволяет оценить нечеткое мно-
жество d, которое должно быть интерпретировано в терминах одного
из решений d., j - 1, т.
Пусть конкретные входные параметры оцениваются лингвистиче-
скими термами (нечеткими множествами) jq = а*,...,хп = а*, задан-
ными на универсумах . Тогда, согласно (2.19), решением бу-
дет нечеткое множество d*, заданное на универсуме И7 и вычисляе-
мое по формуле
d' =0
;=1 ра /-1
Сформируем модифицированную матрицу знаний, в которой
а? - нечеткое множество, соответствующее лингвистической оценке
параметра xt в ситуации с номером р, a dp- нечеткое множество-
решение для р -ой ситуации (ар с: U , dp с W , / = 1,п, р = 1, N ).
Для этого перенумеруем строки матрицы знаний номерами 1,2,...N,
учитывая, что число ситуаций (условий) N = к} + к^ + ... + кт .
Тогда, в соответствии с (2.19), расчет нечеткого множества-
решения на основе модифицированной матрицы знаний можно произ-
вести по формуле:
</=йпх<о(а/'хб/р)ь <2-2°)
р=\ i=l
При этом модифицированная матрица знаний имеет следующий
вид:
39
Раздел 2
Номера ситуаций 1 2 Входные параметры Решение d d' d2
х, = а\ X, = af ... х, = а' ... ... xt - а2 ... ХП=“'п Хп = а2
Р х, = а[‘ ... х, = ар ... Х„ = ап dp
N х, = а? .V ... х{=а{ Х„ = а' d'
Соотношения (2.19) и (2.20) позволяют на основе информации,
содержащейся в матрице знаний или в модифицированной матрице
знаний, выводить нечеткие множества - решения для текущих лин-
гвистических оценок входных параметров.
Нечеткое множество - решение сГ cz W , полученное в результате
логического вывода из матрицы знаний при фиксированных нечет-
ких оценках входных параметров х, -a* cUv....xn = a*naUn, не-
обходимо интерпретировать в терминах одного из решений dj е D,
j = l,?w .В соответствии с (2.9) каждое решение dj g D представля-
ет собой нечеткое множество dj = )/ . Аналогично,
r = l
нечеткое множество d’ cz IV выражается как d’
= p(d* у’)/ wr.
г = 1
Для интерпретации нечеткого множества d* с W необходимо найти
нечеткое множество dj g D = {dx,d2,...dm}, являющееся ближайшим
к нечеткому множеству d* с: IV. Решить эту задачу можно следую-
щим образом. Вычислить расстояние Хемминга между d f nd*, ко-
торое определяется как
\(dj,d*) = ^p(d*,wr)-p(dj,wr) для
40
Раздел 2
всех / = 1,2,...,/и и выбрать такое d} D, для которого
Д(^ ,<7*) = min[A(t/ ,<7*)]. Найденному нечеткому множеству
J j=\.m J
dj e D и будет соответствовать искомое решение.
В тех случаях, когда среди множества входных параметров,
влияющих на решение, имеются как количественные, так и качествен-
ные, можно указать два пути принятия решения: 1. Преобразовать все
количественные входные параметры в качественные и применить ал-
горитм нечеткого логического вывода (см. выражения (2.12)-(2.20)).
При этом качественные термы, соответствующие фиксированным
значениям качественных входных параметров, надо выбирать по
принципу максимума функций принадлежностей. 2. Преобразовать
все качественные входные параметры в количественные и применить
алгоритм нечетких логических уравнений (см. выражение (2.11)). При
этом количественное измерение качественных параметров обеспечи-
вается за счет введения искусственных шкал универсальных множеств
типа (2.4), (2.5). Алгоритм нечетких логических уравнений менее тру-
доемкий с вычислительной точки зрения (не надо выполнять операции
нечеткого декартова произведения и хранить в памяти компьютера
соответствующие матрицы) и не требует интерпретации результатов
нечеткого логического вывода, но для применения этого алгоритма
входные параметры должны быть количественные.
Заканчивая рассмотрение вопроса формализации процесса приня-
тия решений на базе нечеткой логики, отметим следующее. Представ-
ление входных параметров в виде лингвистических переменных с не-
четкими термами позволяет описать причинно-следственные связи
“входные параметры - решение” на естественном языке с помощью не-
четких логических высказываний. Введение матрицы знаний позволя-
ет формализовать ситуационную информацию в виде нечетких логиче-
ских высказываний, связывающих лингвистические временные реше-
ний и входных параметров. Переход от матрицы знаний к нечетким
логическим уравнениям позволяет связать функции принадлежностей
решений и входных параметров, а затем выбрать решение с наиболь-
шим значением функции принадлежности для конкретного набора ко-
личественных входных параметров. Переход от матрицы знаний к
41
Раздел 2
композиционному правилу вывода, обобщенному на случай многих
входных переменных, позволяет получить нечеткое множество-
решение для конкретного набора качественных входных параметров.
Для применения рассмотренных алгоритмов необходимо иметь
функции принадлежностей (ФП), позволяющие представлять входные
параметры в виде нечетких множеств. Рассмотрим задачу построения
ФП при наличии следующих исходных данных: 1. название входного
параметра х,,/ = 1,и; 2. диапазон [хн/.,хв/] изменения параметра х,.;
3. количество термов, используемых для лингвистической оценки па-
раметра х; ; 4. название каждого лингвистического терма. При по-
строении ФП надо учитывать вид входных параметров (количествен-
ные или качественные) и количество термов, используемое для лин-
гвистической оценки входных параметров (одинаковое или различ-
ное).
Рассмотрим построение ФП для количественных входных пара-
метров при одинаковом числе термов, с помощью которых оценива-
ются все лингвистические переменные х,,/ = 1,л. Отметим, что
функция принадлежности ФП /лт(и) характеризует субъективную
меру уверенности эксперта в том, что четкое значение и соответству-
ет нечеткому терму Т. Предположим, что число термов равно 5 и они
имеют названия: низкий (Н), ниже среднего (НС), средний (С), выше
среднего (ВС), высокий (В).
Отобразим диапазоны [хм/,хв/] изменения параметров xi9i = \^n
на единое универсальное множество U = [0,1] (см. рис.2.1).
При этом пересчет фиксированного значения параметра
х* e[xw-,xe/] в соответствующий элемент w* е [0,1] определяется
пропорцией
(Хв1~хН1)/(1-0) = (х*-xHi)/(u* -0),
из которой получаем
w — (Ху — xHj) /(xg/- — xf/j). (2.21)
42
Раздел 2
Рис.2.1
Например, на множестве U = [0,1] зададим пять нечетких под-
множеств, ФП которых показаны на рис.2.2.
Для получения аналитических выражений предложенных ФП
воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точки с коор-
динатами (Wp/y,) и (и2,//2), которое имеет вид:
A(w) = [(^2 - А)“ + Ам2 - ^2М1 ](м2 - М1) • (2.22)
В соответствии с рис.2.2 получим следующие ФП /Л (и),
и е U = [0,1], Т = Н, НС, С, ВС, В:
Л) =
1-2и, и е [0,1 /4];
“ 2(l-w)/3, и е [1/4,1];
43
Раздел 2
MHCW=
' l/2 + 2u, w с [0,1/4];
•3/2-2u, и е [1/4,1/2];//c(u) =
[ 1-u, ue[l/2,l];
2w, we [0,1/2];
2(1-u), и e[1/2,1];
и, ие[0,1/2];
1лвс(и) = \2и-\12, we[l/2,3/4]; //B(u) =
5/2-2w, «€[3/4,1];
2w/3, «€[03/4];
' 2«-l, u& [3/4,1].
Переход от полученных ФП juT(u) к ФП /ДхД используемым в
нечетких логических уравнениях (см. формулу (2.11)), определяется
соотношением (2.21).
Для настройки введенных ФП на экспертные данные можно поль-
зоваться операцией возведения в степень: [/z(w)]c, где показатель
степени определяет изменение формы ФП (см. рис.2.3).
Применение операций сжатия и растяжения можно осуществлять
для каждого отрезка ФП на рис.2.2. Коэффициент с называют коэф-
фициентом относительной важности.
При различном числе термов ФП аппроксимируют обычно тре-
угольниками, которые можно строить по следующим правилам (см.
рис.2.4):
1. Основанием треугольника является универсальное множество
(интервал) Ut = [0, Li -1], где Li - целое число, соответствующее
количеству термов лингвистической переменной , i = 1, л;
44
Раздел 2
2. Термы нумеруются целыми числами от 1 до £;
3. Вершина треугольника соответствует номеру лингвистического
терма (интерпретация номера терма может быть различной в зависи-
мости от специфики лингвистической переменной).
Диапазон [хм/,хв/] изменения параметра xi отображают на мно-
жество (/,. = [0, Д -1] , которое считают универсальным множеством
переменной xt. Пересчет фиксированного значения x*e[xHi,xJ в
соответствующий элемент и* е[0, Lt -1] определяется пропорцией
- xHi)/(£, -1) = (х* - xHi )/и',
из которой получаем
<=(L1-l)(x;-x,,)/(xeI.-xJ. (2.23)
ФП jdJ (и) нечеткого терма с номером j (см. рис.2.4) определя-
ется прямыми линиями, которые проходят через точки с координата-
ми:
[0,1] и [£,.-1,0] при we[0, £,.-1] для у=1;
[0,0] и [у -1,1] при we[0, j-1] и
45
Раздел 2
A7(w) = -
[/ -1,1] и [Д -1,0] при и g [/ -1, Д -1] для J = 2, Д -1;
[0,0] и [Д -1,1] при и е [0, Д -1] для j = L,.
Используя уравнение прямой (2.22), проходящей через две точки
с известными координатами, получим:
1 -м/(Л,-1),м е [0, £, -1],; = 1;
w/(j-l),we[0, ]-1],/ = 2,Д-1;
(Д -1-м)/(Д - j),u е[/-1, Д-1],./ = 2,Д -Г;
w/(A,-l),we[0, Д-1],у = Д.
Например, при числе термов £,=7 по формулам (2.23), (2.24) по-
лучаем следующие аналитические выражения:
и' = 6(х/-х,„.)/(х„ -хшУ,
щ(и) = ] - и/6, we [0,6];
Х/2(м) = '
w, и е [0,1],
(6-w)/5, we [1,6];
и/2, we[0,2],
(6-w)/4, we [2,6];
А4(") =
и /3, we [0,3],
(6-w)/3, we[3,6];
//5(w) = <
w/4, we[0,4],
(6-w)/2, we [4,6];
//3(и) = -
^б(м) = Ъ rc,, //7(w) = w/6, we[0,6].
[6-w, mg [5,6];
Получаемые из соотношения (2.24) аналитические выражения
функций принадлежностей закладываются в оболочку нечеткой экс-
пертной системы для выполнения задач принятия решения.
Наиболее часто используются две треугольные, симметричные
относительно абсциссы и - 0,5 на едином универсальном множестве
U = [0,1] функции принадлежности, математическое описание кото-
рых задается в виде:
^](w) = (1 - w), /72(w) = w> 0<м<1. (2.25)
Кроме треугольных и трапециевидных ФП получили распростра-
нение также колоколообразные и гауссовы ФП. Простая и удобная для
46
Раздел 2
настройки аналитическая модель колоколообразной ФП имеет вид
(см. рис.2.5)
ZW= ь . (2-26)
1+("Л
С
где Ъ - координата максимума функции (наиболее возможное значе-
ние переменной г/, при котором ордината функции равна 1), с - ко-
эффициент растяжения (концентрации) функции.
Простая и удобная для настройки аналитическая модель гауссо-
вой ФП имеет вид (см. рис.2.6)
где Ь - координата максимума функции (наиболее возможное значе-
ние переменной и, при котором ордината функции равна 1), с - ко-
эффициент концентрации функции.
47
Раздел 2
Еще одна форма функций принадлежности удобная для настройки
- экспоненциальная (см. рис.2.7). Математическое описание этой ФП
задается в виде
/лт (и) = е~с{Ь'и} при и <Ь\ /лт (и) = e~c(u~b} прпи>Ь. (2.28)
Характерной особенностью ФП, которые показаны на рис.2.5-2.7,
является то, что при параметре b равном нулю или единице указанные
ФП зависят только от одного параметра с.
Математическое описание на едином универсальном множестве
U = [0,1] симметричных относительно абсциссы и = 0,5 рассмотрен-
ных выше функций принадлежности задается в виде [74]:
возведенных в степень треугольных ФП (см. рис.2.8 )
А1(«) = (1 - Z^2(") = (2-29)
колоколообразных ФП (см. рис.2.9)
Л|М =-----'--- А2<“)=-----—;—; (2 3O)
1 + (")2 1+<—1)2
С с
48
гауссовых ФП (см рис.2.10)
1 («V г (м-1)2,
Я(«) = ехр[-- - ], /У2(м) = ехР[---5—];
2Ы 2с2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.25 0.5 0.75 1
(2.31)
Рис.2.10
экспоненциальных ФП (см. рис.2.11)
Я (и) = exp(-cw), //2(w) = exp[-c(l-w). (2-32)
Приведем совместно используемые, зависящие от двух парамет-
ров, Z - образную и S - образную функции принадлежности (см.
49
Раздел 2
рис.2.12). Параметры а и b определяют диапазон значений аргумен-
та, где Z - функция убывает, a S - функция возрастает. Математиче-
ское описание на едином универсальном множестве U = [0,1] сим-
метричных относительно абсциссы и = 0,5 таких функций принад-
лежности задается в виде (при условии, что 0 < а < 1 и а < b <\):
1, если и <\-Ь\
2(u-l + Z>)2
(Ь-а)2
2(и-\ + а)2
(Ь-а)2
0,
Al(w) = ’
а + b
(2.33)
, а 4- Ь
если 1----< и < 1
2
если и>\-а,
0, если и < а;
2(г/-я)2 а + Ь
------—, если а <и < ;
(6-о)2 2
, 2(и-/>)2 а + Ь
1--------—,если -----<и <Ь\
(b-а)2 2
1, если и >Ь.
На рис.2.12 Z - образная и S - образная функции принадлежности
показаны при параметрах а - 0,3 и Ь = 0,9 .
А2(«) = ’
(2.34)
Рис.2.12(a)
При условии 1 —д = а <0,5 (1-а = Ь) совместно используемые
Z - образная ФП ир 5 - образная ФП задаются в виде:
50
Раздел 2
А2<“) =
1, если и < a;
1 если а < и < 0,5;
О-2а)2
2(w-I + a)2 .. ,
----------—, если 0,5 < и < 1 - а\
(1-2а)2
0, если и>\-а,
О, если и <а;
——, если а <и < 0,5;
О-2а)2
2(и-1 + а)2
1---------—.если 0,5 < и < 1 -а\
(1-2а)2
1, если и>\- а.
(2.35)
(2.36)
При указанном условии совместно используемые Z - образная ФП
и S -образная ФП зависят от одного параметра а (0 < а < 0,5) и
//1(0,5) = //2(0,5) = 0,5 (см. рис.2.12(6))
Функции, изображенные на рис.2.12(б), назовем сжатыми (при
0 < а < 0,5) совместно используемыми, зависящими от одного пара-
метра Z - образной и S - образной функциями принадлежности.
Другими совместно используемыми, зависящими от двух пара-
метров функциями являются сигмоидальные ФП (см. рис.2.13)
51
Раздел 2
Р r z ч, •
14- exp[-a(w - с)]
Математическое описание на едином универсальном множестве
U = [0,1] симметричных относительно абсциссы и = 0,5 таких функ-
ций принадлежности задается в виде (при условии, что а > 1 и
с >0,5):
я(м)=i------гт—;—т; («)= ------------л;—• (2-38)
14- exp[a(w -14- с)] 14- ехр[а(с - w)]
Рис.2.13
На рисунке 2.13 симметричные относительно абсциссы и = 0,5
сигмоидальные функции принадлежности показаны при параметре
с = 0,7 и параметре а, равным 5 и 15 . Параметр а определяет кру-
тизну кривых (чем больше а, тем больше крутизна кривых).
Отметим также, что совместно используемыми, зависящими от
двух параметров функциями являются колоколообразные ФП (см.
рис.2.14), которые определяют формулой
(и) =---------1, (2.39)
1 + ABS(^-——)2a
С
где b - координата максимума функции (наиболее возможное значе-
ние переменной и , при котором ордината функции равна 1). На осно-
вании (2.36) можно записать:
52
Раздел 2
На рисунке 2.14 симметричные относительно абсциссы и = 0,5
данные колоколообразные функции принадлежности показаны при
параметре с = 0,3 и параметре а, равном 1 и 3. Параметр а опреде-
ляет крутизну кривых (чем больше а, тем больше крутизна кривых).
(При а = 1 формулы (2.40) совпадают с формулами (2.30)).
При качественных входных параметрах функции принадлежно-
стей, используемые в алгоритме нечеткого логического вывода (см.
формулы (2.12)-(2.20)), определяются на дискретных универсальных
множествах вида U = (0,1,2,..., L -1), где L -число термов. Нечеткое
множество - j-ый терм - представляют в виде: j-ый терм =
(//о ,///,//2, что является сокращением записи
j-ый терм = О07 /0, //' /1, ц’г /2,..., /(£-!)),
принятой в теории нечетких множеств.
При одинаковом числе термов, с помощью которых оцениваются
входные параметры xz,/ = 1,и, например, при пяти термах с назва-
ниями низкий, ниже среднего, средний, выше среднего, высокий для
универсального множества U = (0,1,2,3,4) из рис.2.2 можно запи-
сать:
низкий =(1, 0,5, 0,3, 0,15, 0);
нижесреднего =(0,5, 1, 0,5, 0,25,0);
53
Раздел 2
средний =(0, 0,5, 1, 0,5, 0);
выше среднего =(0, 0,25, 0,5, 1, 0,5);
высокий =(0, 0,15, 0,3, 0,5, 1).
При различном числе термов получают дискретные аналоги
функций принадлежности треугольного вида по формуле (2.24), ис-
пользуя рис.2.4.
Обычно число термов берут от 2 до 9.
2.2. Статические характеристики “ вход - выход95 цифровых
нечетких регуляторов [73]
Характеристики “ вход - выход” определяют главные свойства
цифровых нечетких регуляторов, а именно способность нечетких ре-
гуляторов изменять динамические свойства системы автоматического
управления. Эти характеристики можно получить на основании алго-
ритмов нечеткого вывода при заданных для используемых лингвисти-
ческих переменных функциях принадлежности.
Рассмотрим простейший случай, когда на вход нечеткого регуля-
тора поступает только ошибка системы и базу знаний организует не-
четкое правило вида
Если (Wj = а/ ), то (ис = а£),
где щ - входная лингвистическая переменная ошибка, пересчитанная
на единое универсальное множество, а^ - лингвистические оценки
(терм-множества, названия) входной переменной, например,
а/ G {отрицательная^] = \\положительная{] = 2)}. aJc - лин-
гвистические оценки выходной переменной для алгоритма Мамдани
или четкие индивидуальные выходы правил aJc - Cj на едином уни-
версальном множестве для алгоритма Сугено. w* - четкое значение
выходной переменной управляющее воздействие на объект управле-
ния на едином универсальном множестве.
Зададим треугольные функции принадлежности (и) для вход-
ной лингвистической переменной ошибка (см. рис.2.15) и рассмотрим
три варианта:
54
Раздел 2
а) Ошибка оценивается двумя терм-множествами (у = 1,2), на-
пример, а( G {отрицательная^] = 1), положительная^] = 2)},
функции принадлежности для которых
р\(и)-\-и, м е [0,1]; Pz(u) = u, mg [0,1].
Аз(“) = ‘
б) Ошибка оценивается тремя терм-множествами (j -1,3),
а/ G {отрицательная (1), положительная (2), нулевая (3)}, фун-
кции принадлежности для которых
//](м) = 1-м, ме[0,1]; /^(м) = м> «е[0,1].
' 2м, и g [0,1/2];
2(1-м), е[1/2,1].
в) Ошибка оценивается семью терм-множествами (/ = 1,7),
а/ е {отрицательная (О), отрицательная средняя (ОС),
отрицательная малая (ОМ), нулевая (Н),
положительная малая (ПМ), положительная средняя (ПС),
положительная (П)}, функции принадлежности для которых
6м, м 6 [0,1/6],
6(1-м)/5, mg[1/6,1];
Зм, mg[0,1/3], [ 2м, mg [0,1/2],
[3(1-м)/2, MG[1/3,1]; 4 [2(1 -и), mg [1/2,1];
//l(w) = l-M, mg [0,1]; //2(“) =
Аз(«) =
55
Раздел 2
>“6(M) =
' би/5, we[0,5/6],
6(1-w), we [5/6,1];
/*7 (“) = «>
we [0,1].
Для определения четкого значения выходной лингвистической
переменной управляющее воздействие на объект управления на еди-
ном универсальном множестве используем:
1 .алгоритм “минимаксного” нечеткого вывода Мамдани, реали-
зуемый по формулам (1.6)-(1.8), при условии, что выходная перемен-
ная описывается теми же функциями принадлежности, что и входная
переменная, а приведение к четкости осуществляется центроидным
методом по формуле (1.3);
2 . алгоритм нечеткого вывода Сугено 0-порядка, реализуемый по
формулам (1.18)-( 1.20), при условии, что четкие индивидуальные вы-
ходы правил равны: С\ = 0 и с2=1.
На рис.2.16 представлены статические характеристики “один вход
- один выход” цифровых нечетких регуляторов для рассмотренных
трех вариантов (слева - расчет по алгоритму Мамдани, справа - по
алгоритму Сугено).
Если для нечетких регуляторов, рассчитанных по алгоритму Мам-
дани, увеличение числа функций принадлежности линеаризует стати-
ческие характеристики, то для нечетких регуляторов, рассчитанных по
алгоритму Сугено, увеличение числа функций принадлежности при-
водит к увеличению нелинейности статических характеристик.
Поскольку нечеткий регулятор со статической характеристикой
“один вход - один выход” представляет собой в общем случае нели-
нейность (см. рис.2.16) и существенного положительного влияния на
динамические свойства системы автоматического управления не ока-
зывает, а даже может их ухудшать, то его использование в системах
автоматического управления нецелесообразно.
Положим теперь, что на вход нечеткого регулятора поступает
ошибка и производная от ошибки системы и базу знаний организуют
два нечетких правила (по числу термов) вида
Если (wj = а() и (м2 = я2 )9 то (ис =асУ (j = h2),
где W] - входная лингвистическая переменная ошибка и w2 - входная
56
Раздел 2
лингвистическая переменная производная от ошибки, пересчитанные
на единое.универсальное множество, а- - лингвистические оценки
(терм-множества, названия) входных переменных, например,
а/ е {отрицательная^ - 1), положительная^]' = 2)}.
в)
Рис.2.16
57
Раздел 2
aJc - лингвистические оценки выходной переменной для алгорит-
ма Мамдани или четкие индивидуальные выходы правил aJc = Cj на
едином универсальном множестве для алгоритма Сугено. ис - четкое
значение выходной переменной на едином универсальном множестве.
Зависимости выходной переменной от входных в этом случае
имеют вид поверхности отклика (Surface). Вид этих поверхностей за-
висит от алгоритма нечеткого вывода (Mamdani или Sygeno), от опе-
раций логического вывода и от вида и параметров функций принад-
лежности (membership functions).
На рис.2.17-2.21 в качестве примеров приведены поверхности от-
клика для треугольных (trimf)
/и\(и)-\~и, //2(W) = M’ we [0,1],
экспоненциальных (expmf)
- exp(-cw), /72(w) = ехр[-с(1 -w)], и е [0,1]
и колоколообразных (gbellmf)
(») =--------, А2 («) =----—1— - и е [0J]
l+(v 1+(^)2
с с
функций принадлежности для указанных на рисунках алгоритмов не-
четкого вывода, операций логического вывода и параметров функций
принадлежности.
Приведенные на рисунках поверхности отклика определены при
помощи пакета прикладных программ нечеткой логики (Fuzzy Logic
Toolbox) в интерактивной системе MATLAB.
В процедуре агрегирования как в алгоритме нечеткого вывода
Мамдани, так и алгоритме нечеткого вывода Сугено использовались
две операции: или операция логической конъюнкции (And method,
min-операция), определяемая формулами (1.6), (1.17), или алгебраиче-
ское произведение (prod-операция), определяемое формулами (1.9) и
(1.20). Приведение к четкости осуществлялось центроидным методом
в алгоритме Мамдани и методом взвешенного среднего в алгоритме
Сугено.
58
Mamdani, trimf, AND method min
•nput2 u 0 input 1
Sugeno, trimf, AND method min
Рис. 2.17
Mamdani, trimf, AND method prod
Sugeno, trimf, AND method prod
nput2 J °
-Utputl „Utpuf!
Mamdani, expmf, c=2, AND method min Mamdani, expmf, c=2, AND method prod
Sugeno, expmf, c=2, AND method min Sugeno, expmf, c=2, AND method prod
Рис. 2.18
Mamdani, expmf, с=20, AND method min Mamdani, expmf, c=20, AND method prod
«ЧиП и,',и|1
Sugeno, expmf, c=20, AND method min Sugeno, expmf, c=20, AND method prod
Рис. 2.19
Mamdani, gbellmf, c=0,3, AND method min
Sugeno, gbellmf, c=0,3, AND method min
Pn
Mamdani, gbellmf, c=0,3, AND method prod
output 1
Sugeno, gbellmf, c=03, AND method prod
c. 2.20
Mamdani, gbellmf, c=O,l, AND method prod
Ijtputl cutpull
Sugeno, gbellmf, c=0,1, AND method prod
c. 2.21
Раздел 3
Раздел 3.
СИНТЕЗ НЕЧЕТКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ
ОБЪЕКТАМИ
3.1. Синтез цифровых регуляторов систем управления на базе
нечеткой логики
Ниже изложен синтез цифровых регуляторов систем управления
нестационарными объектами на базе нечеткой логики [37,109,142,
143]. Представлены результаты математического моделирования сис-
тем с цифровыми нечеткими регуляторами, формирующими управ-
ляющие воздействия на нестационарный объект управления. Дана
сравнительная оценка управления на основе ПИД-регуляторов, адап-
тивного управления и управления на базе нечеткой логики рассмот-
ренных нестационарных объектов.
Система управления с цифровым нечетким регулятором HP при-
ведена на рис.3.1. Рассмотрим различные варианты синтеза нечетких
регуляторов в такой системе. Вначале используем только треугольные
функции принадлежности ФП.
Фиксатор объект
Рис.3.1
I. Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора
будем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходной параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы 0, скорость изменения (первая
производная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки 0,
управляющее воздействие на объект т, минимально, т.е. равно 2.
Отобразим диапазоны [0min, 0max ], [<9min, 0max ], [0min, <?max ] и
64
Раздел 3
timin’wmax] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество. Пересчет фиксированного значения
х- е [хк/,хв-] каждой лингвистической переменной xz, i = 1,и, п = 4 ,
в соответствующий элемент w’e[0,1] определяется выражением
(2.21):
и’ =(х'-xHi)/(xei
на основании которого находим:
и2 “ “ ^min ) /(^max “ ^min )’ >
=(0* -^minWmax " ^min )i
(3.1)
uc ~ ~ wmin V(wmax “ wmin )• (3.2)
На множестве U = [0,1] зададим два нечетких подмножества,
функции принадлежностей (ФП) которых треугольной формы показа-
ны на рис.3.2.
Для получения аналитических выражений предложенных ФП
воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точки с коор-
динатами (Wp/zJ и (w2,/z2), которое имеет вид:
/4*0 = [(а2 “ A )w + “ ^2ui ] /(w2 " u\) • (3.3)
Тогда, в соответствие с рис.3.2, получим следующие ФП для каж-
дой лингвистической величины:
//1(w) = l-w, we [0,1]; /u2(w) = w, we [0,1]. (3.4)
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных #*, и 0* с шагом квантования h осуществляется
расчет величин w/, w2* и W3* по формулам (3.1) и ФП
/аj(u\ 7 = 1,2, по формулам (3.4).
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = а{) и (0* - ^2 ) и (#* - , то (т* = ас), J = ’
(3.5)
65
Раздел 3
где а/, aJ2 и а/ - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,2 ; aJc - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных 0* , 0* , 0* и до* :
а- е {отрицательная (1), положительная (2)}.
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (7 = 1) или положительные (j = 2).
66
Раздел 3
Пусть функция принадлежности параметра х. е[хЛ/,хЛ.]
нечеткому терму aJt , / = 1,3; J = 1,2 . Тогда (0,0,0) - зависящая
от трех переменных (Xj = 0\ х2 = 0'9 х3 =0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) , j = 1,2, определяется из системы нечетких
логических уравнений:
!лт) (xj, х2 ,х3) = р1 (л,)д р1 (х2)л PJ (*з) • (3-6)
Таким образом, /лт' (хр х2,х3) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
(хр х2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функ-
ция принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с
рабочим правилом HP записывается в виде
x/'”(xl,x2,x3) = //m,(x1,x,,x3) V х/'"2(х1,х2,х3) (3.7)
В выражениях (3.6) и (3.7) а - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (3.6) функ-
ция принадлежности управляющего воздействия fi\c(u) нечеткому
множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
А= minf//) (и*), р, (и2), Ру (и3)], (3.8)
а функция принадлежности управляющего воздействия не"
четкому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (и*1), р2 (и2), р2 («з)]. (3.9)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (3.7) определяется как
Ас(«) = ^1с(») v Х^2с(м)’ (31°)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.3.2)
//с(м)=тах[//|с(м),//2с(и)]. (3.11)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется результирующая фигура , ограниченная ре-
зультирующей ФП.
67
Раздел 3
Производится поиск абсциссы “центра тяжести44 результирующей
фигуры по формуле [199]:
~акУ№ак+1 +ak)bk+\ +(^к +ait+l)^]
<=~--------------й--------------------------------> (312)
ЗТАак+1 ак )(^£+1 + )
к=1
где N - число вершин, ak, bk - координаты вершин результирующей
фигуры.
Полученное значение ис на основании формулы (3.2) преобразу-
ется в значение управляющего воздействия на объект управления
™ ~ wmin + (wmax “ wmin Уис (3-13)
2. Примем число термов, с помощью которых оцениваются лин-
гвистические переменные (входные и выходной параметры нечеткого
регулятора) ошибка системы в, скорость изменения (первая произ-
водная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки в , управ-
ляющее воздействие на объект т , равным 3.
Отобразим диапазоны [0min,0max], [0min>0max], [^„,^тах]и
[wmin,wmax] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество U = [0,1]. На множестве U = [0,1] зададим
три нечетких подмножества, функции принадлежностей (ФП) которых
треугольной формы показаны на рис.3.3.
Используя уравнение прямой, проходящей через точки с коорди-
натами (щ.щ) и (^2’^2)’ получим следующие аналитические вы-
ражения для каждой лингвистической величины:
= не[0,1]; //2(п) = п> we[0,1];
z 2w, we[0,1/2];
^(W) = kzi x Г1/Л (3J4)
2(1-w), e[1/2,1].
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных в*, и и 0* с шагом квантования h осуществляется
68
Раздел 3
расчет величин и\ , и?* и W3* по формулам (3.1) и ФП
HJ (w), j = 1,3, по формулам (3.14).
mmin
ГЛ* mmax щ
Рис.3.3
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = и (0* и (0* = ), то (т* = aJc) ,j = 1,3,
(3.15)
где , aJ2 и - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,3 ; aJc - лингвистические оценки управ-
69
Раздел 3
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных , и , и и т*:
а{ е. {отрицательная (1), положительная (2),
близкая к нулю - нулевая (3)}.
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (7 = 1), положительные (j = 2) или близ-
кие к нулю (7 = 3).
Пусть /7у(х,) функция принадлежности параметра xz е [хш-,хв/]
нечеткому терму а/, i = 1,3; j ~ 1,3. Тогда рт' {в, - зависящая
от трех переменных (X] = #; х2 = #; х3 = 0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) т,j = 1,3 , определяется из системы нечетких
логических уравнений (3.6).
Таким образом, р™1 (Х|, х2,х3) - функция принадлежности
управляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”,
р™2(Х[, х2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”, //??3 (х}, х2,х3) - функ-
ция принадлежности управляющего воздействия нечеткому множест-
ву “близкий к нулю”. Результирующая функция принадлежности для
управляющего воздействия в соответствии с рабочим правилом HP
записывается в виде
/Z”(X1,X2,X3) = //'”'(X1,X2,X3) V /у"'2(Х|,Х2,Х3) V /Z7”3 (Х|, х2,х3).
(3.16)
В выражениях (3.6) и (3.16) л - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (3.6) функ-
ция принадлежности управляющего воздействия Р\с(и) нечеткому
множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
70
Раздел 3
А= mint//! («1* )> Р\ («2 X Ai («з)]. О. ] 7)
функция принадлежности управляющего воздействия //2с (w) нечет-
кому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (и*), //2 (м2), //2 (w3)]. (3.18)
функция принадлежности управляющего воздействия ^.(w) нечет-
кому множеству “близкий к нулю” ограничена сверху значением:
С= min[//3 (щ ), Аз(«2 )> Аз (мз)] • (3.19)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (3.16) определяется как
At.(w) = Ak(«) v А2сОО v Азс(м)’ (3.20)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.3.3)
К- (и) =тах[ //lt. (w), //2г (и), //Зс (и) ]. (3.21)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется “ результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести” результирую-
щей фигуры по формуле (3.12).
Полученное значение ис по формуле (3.13) преобразуется в зна-
чение управляющего воздействия на объект управления.
3. Примем, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходной параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы 0, скорость изменения (первая
производная) ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки в,
управляющее воздействие на объект т , равно 7.
Отобразим диапазоны [0min, 6»max ], [0roin,0mJ >
[w,nin,/»max] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество U =[0,1]. На множестве U = [0,1] зададим
семь нечетких подмножеств, функции принадлежностей (ФП) кото-
рых показаны на рис.3.4.
71
Раздел 3
Рис.3.4
Используя уравнение прямой, проходящей через точки с коорди-
натами (i/pX/j) и (^2’Л/2) ’ получим следующие аналитические вы-
ражения для каждой лингвистической величины:
/7] (а) = 1 - и, и е [0,1];
6м, ме [0,1/6],
4 6(1-м)/5, ме[1/6,1];
//2(«) =
Аз(«) =
Зм, мб [0,1/3],
\з(1-м)/2, мб[1/3,1];
2м, мб[0,1/2],
2(1-м), мб[1/2,1];
^4(«) =
As(«) =
' Зм/2, мб[0,2/3],
3(1-м), мб[2/3,1];
Аб(«) =
'6м/5, мб[0,5/6],
6(1-м), Мб[5/6,1];
//7(м) = м, мб[0,1]. (3.22)
72
Раздел 3
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*,0* и 0* с шагом квантования h осуществляется
расчет величин wj*, и?* и и^* по формулам (3.1) и ФП
Pj (w), j = 1,7, по формулам (3.22).
Сформируем лингвистическое правило управления нечеткого ре-
гулятора в виде:
Если (0* = а{) и (0* = а^)и (0* = ), то (т* = а{), ,j = ,
(3.23)
где aJx , а2 и а^- лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,7 ; а* - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных #*,#*, 0* и т :
а- е {отрицательная (О), отрицательная средняя (ОС),
отрицательная малая (ОМ), близкая к нулю - нулевая (77),
положительная малая (ПМ), положительная средняя (ПС),
положительная (77)}.
Пусть //7(х;) функция принадлежности параметра xt;е [xw.,xe/]
нечеткому терму а/, i = 1,3; j = 1,7. Тогда рт’ (0,0,0)- зависящая
от трех переменных (jq = 0\ х2 = 0\ х3 ^0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) т} ,j = 1,7, определяется из системы нечетких
логических уравнений (3.6).
Таким образом, /лт' - функция принадлежности управляющего
воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, р™1 ~ функция
принадлежности управляющего воздействия нечеткому множеству
“отрицательный средний”, рт^ - функция принадлежности управ-
73
Раздел 3
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный малый”,
/лтА - функция принадлежности управляющего воздействия нечетко-
му множеству “близкий к нулю - нулевой”, - функция принад-
лежности управляющего воздействия нечеткому множеству “положи-
тельный малый”, /лт(з - функция принадлежности управляющего воз-
действия нечеткому множеству “положительный средний”, /лт1 -
функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому мно-
жеству “положительный”,. Результирующая функция принадлежности
для управляющего воздействия в соответствии с рабочим правилом
HP записывается в виде
m т} т-> т-i тл т< гт т-,
/7 =//lV/72V/73V//4V//5V//6V/77. (3.24)
В выражениях (3.6) и (3.24) л - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (3.6) ФП
управляющего воздействия Ц\с(и) нечеткому множеству “отрица-
тельный” ограничена сверху значением:
А= min[//( (и*), //, (и*2), (м3)], (3.25)
ФП управляющего воздействия //2c(w) нечеткому множеству “отри-
цательный средний” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (М)*), /у2 (1/2), р2 (из)] • (3-26)
ФП управляющего воздействия нечеткому множеству “отри-
цательный малый” ограничена сверху значением:
С= min[//3 («!*), //3 (и2), //3 (н3)], (3.27)
ФП управляющего воздействия //4£.(w) нечеткому множеству “близ-
кий к нулю - нулевой” ограничена сверху значением:
D= min[^4 (и*), //4 (w2), //4 (и3 )], (3.28)
ФП управляющего воздействия нечеткому множеству “поло-
жительный малый” ограничена сверху значением:
Е= min[//5(wt*),//5(w2),р5(и3)], (3.29)
74
Раздел 3
ФП управляющего воздействия нечеткому множеству “поло-
жительный средний” ограничена сверху значением:
G= тт[//6(м1*),//6(М2),//6(мз)]. (3.30)
ФП управляющего воздействия нечеткому множеству “поло-
жительный” ограничена сверху значением:
F= ттЫ7(М|*),^7(г/2),^7(мз)]- (3.31)
Результирующая функция принадлежности для управляющей,
воздействия на основании выражения (3.24) определяется как
Нс («) = Н\с V Hlc v Азе v Н4с V Hsc V Нбс v Hlc ’ (3-32)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.3.4)
Нс (и) =тах[ //|С, /л2с, р3с, цАс, ц5с, рвс, /л1с ]. (3.33)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется 44 результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести44 результирую-
щей фигуры по формуле (3.12).
Полученное значение w* по формуле (3.13) преобразуется в зна-
чение управляющего воздействия на объект управления.
Пример 3.1. Рассмотрим синтез цифровых ПИД-регулятора и не-
четкого регулятора для системы управления ракетой по углу атаки
[144]. Методом математического моделирования определим процессы
в системе и дадим сравнительную оценку качества системы при ис-
пользовании синтезированных регуляторов.
Приняв за выходную координату ракеты угол атаки x(t) =
а за входную координату угол поворота руля Wj (/) = 8(f), определим
передаточную функцию ракеты в виде [8]
= = 2^-------
Р S(s) T2s2+2<;Ts + \
(3.34)
где К% - коэффициент преобразования ракеты, Т - постоянная вре-
мени, д- коэффициент демпфирования.
75
Раздел 3
При исследовании системы управления предположим, что зави-
симости параметров ракеты от времени полета определяются так
[138]:
T(t) = 0,9849 - 0,1188/ + 0,0063/2 - 0,00012/3;
^(/) = 0,2970-0,0535/+ 0.0043/2 - 0,000II/3;
K$(t) = 16,5475-4,4469/+ 0,4843/2 -0,02315/3 +0,0004/4.
(3.35)
Для упрощения расчетов рулевой механизм опишем передаточной
функцией интегрирующего звена: GpM{s} - КрМ I s -М s. В этом
случае вход системы п(/)=а1(/) - заданный угол атаки, выход сис-
темы x(Z) = a2(0 ” отработанный ракетой угол атаки, w(/)- управ-
ляющий сигнал на выходе регулятора, а объект управления описыва-
ется общей передаточной функцией:
. (3J6)
m(s) s(s +bs + a)
(В объект управления включены аналоговые рулевой механизм и
ракета). Параметры передаточной функции G(s) определяются:
Ь = 2$/Т;а = 1/Т2; а=КРМК$а = КРМК$±
При этом параметры передаточной функции G(s) также будут функ-
циями, зависящими от времени:
£>(/) = 0,6374 - 0,0987/ + 0,0134/2 - 0,0004/3;
а(/) = 1,3567-0,2257/+ 0,1137/2 +0.0002/3; >
a(t) = 16,981 - 0,8534/ - 0,0019/2 + 0,0071/3,
(3.37)
а математическая модель ракеты как объекта управления описывается
нестационарным колебательным звеном, дифференциальное уравне-
ние которого имеет вид:
2 2
- + + °(0«2 (0 = а(/>| (/) • (3.38)
dr dt
76
Раздел 3
Зависимости параметров передаточной функции G(s) от времени
полета ракеты приведены на рис.3.5.
Составленные в интерактивной системе MATLAB структурные
схемы систем управления ракетой по углу атаки с цифровыми ПИД-
регулятором и нечетким регулятором представлены соответственно на
рис.3.6 и 3.7.
Ошибка рассогласования Егг, поступающая на вход ПИД-
регулятора (PID-controlIer) и нечеткого регулятора (Controller), пред-
ставляет собой разность между заданным напряжением требуемым
углом атаки a\(t) и преобразованным в напряжение отработанным
ракетой углом атаки а2(/): 0(t) = ах (Г) - а2 (t) = u(t) - x(t).
Закон изменения входного воздействия задан полиномом [138]:
"(О =-1,3316х10-3 +0,1653269г-0,478500&2 +
0,1037928г3 -8,8016х 10“3Г4 + 3,404х1оЛ5 -5,О93х1оЛ6.(3.39)
Математическая модель ракеты в интерактивной системе
MATLAB составлена следующим образом. На вход модели поступает
сигнал с выхода блока Integator. Выходной сигнал объекта
управления а2(0 получаем на выходе блока Integator2. На выходе
блока Polinoms (см.рис.3.8) формируются сигналы «(/), a(t), b(t).
77
Раздел 3
которые в соответствующих блоках перемножения Dot Product ум-
ножаются на входной сигнал гщ (t), сигнал бг2 (/), первую и вторую
производные сигнала а2(/) согласно записанному выше дифферен-
циальному уравнению нестационарного колебательного звена.
Рис.3.6
В системе MATLAB передаточная функция цифрового ПИД-
регулятора (PID-controller на рис.3.6) может быть записана различны-
ми способами, поскольку интегрирование и дифференцирование в
цифровой форме может быть выполнено различными методами. Запи-
шем передаточную функцию ПИД-регулятора в виде
W(Z) = K + Ki^Z + \+^-— , (3.40)
2 z -1 й0 z
где Ло - шаг дискретизации (шаг квантования). Такая передаточная
функция получается из передаточной функции аналогового ПИД-
регулятора = К + J s + K^s путем аппроксимации производ-
ной первой разностью и интегрирования по методу трапеции.
78
Раздел 3
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на
рис.3.9 . При малых шагах моделирования цифровой ПИД-регулятор
эквивалентен аналоговому.
Unit Delay 1
Рис.3.7
Настройку регуляторов производим с целью получения минималь-
ной текущей ошибки рассогласования.
Отметим, что при настройке цифровых ПИД-регулятора и нечет-
кого регулятора в интерактивной системе MATLAB целесообразно
использовать блок NCD (Nonlinear Control Design), который реали-
зует метод динамической оптимизации для проектирования систем
управления. Этот инструмент, разработанный для использования с
Simulink, автоматически настраивает системные параметры (в систе-
мах на рис.3.6 и 3.7 настраиваются параметры регуляторов), основы-
ваясь на определенных ограничениях на временные характеристики
79
Раздел 3
(например, время регулирования и перерегулирование для реакции на
ступенчатое воздействие или пределы для текущей ошибки рассогла-
сования).
Sum
Рис.3.8 Рис.3.9
После настройки ПИД-регулятора при шаге дискретизации
- 0,001 с получены следующие оптимальные коэффициенты в пе-
редаточной функции (3.40):
/< = 1,587; /Q= 37,0798; ^=6,791.
Полная структурная схема нечеткого регулятора (см. рис. 3.10,а,) в
системе управления состоит из аналого-цифрового преобразователя
АЦП, представленного фиксатором Zero-Order Hold (работает с ша-
гом квантования Ло), блоков оценки первой и второй производных
ошибки системы, блоков нормировки входных (normin) и выходного
(normout) сигналов, центрального блока нечеткого регулятора Fuzzy
Logic Controller и выходного цифроаналогового преобразователя,
представленного фиксатором Zero-Order Hold 1 (работает с шагом
квантования Ао).
В центральном блоке нечеткого регулятора Fuzzy Logic Controller
(см. рис.3.10,а) выбираются функции принадлежности membership
functions и задается база правил rules.
Блоки оценки первой и второй производных от ошибки реализуют
уравнения
0{t)~{0(khQ)—0\(<k—\'}hQ\}ihQ,0(t}»{0(khQ)—0[(k—\)hQ\}ihQ.
80
Раздел 3
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регу-
лятора) принимаем симметричными:
Тогда формулы (3.1) и (3.2) для нормировки (пересчета) прини-
мают вид
"1’ =-(« -«min) Win);
и2 ~ ~ ^min )/(20mjn ), > (3 41)
«з* = -W*
т* = wmin(l-2wc‘). ,
81
Раздел 3
На основании формул (3.41) построены структурные схемы бло-
ков нормировки (см. рис.З.ЮДбг/ Значения диапазонов
л _ п = _п . о _ п _ _/5 ' С — Р — — f)
L'max ^min > Dni ^тах ^min ’ итах ^min ’
~ ^max “ ~^min •
при настройке нечеткого регулятора подбираются либо вручную, либо
автоматически путем решения оптимизационной задачи.
Часто последовательное соединение блока нормировки входных
(normin) сигналов, центрального блока Fuzzy Logic Controller и блока
нормировки выходного (normout) сигнала рассматривают как нечет-
кий регулятор (Controller), как это изображено на рис.3.7.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором (см. рис.3.7) квантуется аналого-цифровым преобразователем
АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом поступления
данных в нечеткий регулятор) = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП
0(к), ее первая 0(к) = [(?(£) - 0(к -1)]//? и вторая
#(£) = [0W ~ 0(к - 1)]//? разности подаются на вход нечеткого регу-
лятора (Controller). Блок Controller содержит блоки нормировки
входных (normin) и выходного (normout) сигналов и центральный блок
Fuzzy Logic Controller (см. рис.3.10,и) Сигнал с выхода регулятора по-
ступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с пе-
редаточной функцией H(s) = (1 -e~hs)!s) и далее на вход объекта
управления.
Для моделирования нечетких (работающих на базе нечеткой ло-
гики) регуляторов интерактивная система MATLAB имеет специаль-
ный инструментарий.
Построение нечетких регуляторов с использованием пакета не-
четкой логики (Fuzzy Logic Toolbox) интерактивной системы
MATLAB и общей структурной схемы нечеткого регулятора, пред-
ставленной на рис.3.10, осуществляем следующим образом.
В командном окне MATLAB набираем слово fuzzy - открывается
окно FIS Editor:Untitled. На панели окна FIS Editor выбираем вклад-
ку Edit / Add Variable... I Input для добавления второй входной пе-
ременной и повторяем операцию для добавления третьей входной пе-
ременной.
82
Раздел 3
Двойным щелчком на желтом (input) или синем (output) прямо-
угольниках открываем Membership Function Editor. По умолчанию
fuzzy-регулятор имеет по три треугольные функции принадлежности
для каждой переменной на входе и выходе. Выделяем мышкой каж-
дую функцию или удаляем с помощью клавиши Delete. На панели ок-
на Membership Function Editor выбираем Add MFs... Открывается
окно Membership Function, в котором выбираем тип (MF type), коли-
чество (Number of MFs) функций принадлежности ФП и нажимаем
ОК. Таким образом задаем функции принадлежности на входе и вы-
ходе fuzzy-регулятора (соответственно в желтых прямоугольниках
input!, input2, input3 и синем прямоугольнике output!).
Типовые формы ФП в пакете нечеткой логике следующие: тре-
угольная trimf, трапецеидальная trapmf, гауссова gaussmf, двойная
гауссова gausslmf, колоколообразная gbellmf, сигмоидальная sigmf,
двойная сигмоидальная dsigmf и произведение двух сигмоидальных
функций psigmf, Z, S и Pi - функции.
Для нечетких регуляторов, используемых в системах автоматиче-
ского управления, целесообразно использовать две симметричные
друг относительно друга (одна - убывающая, другая - возрастающая)
и пересекающиеся при значении и = 0,5 на универсальной оси
U=[0,l ] треугольные, возведенные в степень треугольные, колоколо-
образные, гауссовы, экспоненциальные, сигмоидальные, объединен-
ные Z- и S-функции.
Для использования конкретных функций принадлежности созда-
ется М-File function пате с именем, например trim_fc3 - для выбора
треугольных функции принадлежности, expmf - для выбора экспо-
ненциальных функции принадлежности или ctrimf - для выбора тре-
угольных функции принадлежности с регулируемой крутизной. Вы-
бираем Edit / Add Custom MFs... и в окне Custom Membership Func-
tion заполняем ячейки MF name (mfl - для первой функции принад-
лежности и mf2 - для второй). В поле Parameter list данного окна
вводим необходимые числовые параметры, например, [20 0] - для
экспоненциальной mfl, [20 1] - для экспоненциальной mf2 при с=20.
Ввод подтверждаем нажатием кнопки ОК.
Задаем рабочие правила для fuzzy-регулятора. Для этого на пане-
ли окна FIS Editor: trim_fc3 (например, для треугольных функций
принадлежности) выбираем вкладку Edit / Rules.... Открывается окно
83
Раздел 3
Rule Editor: trim_fc3. Для задания правил выбираем в окнах input 1 is,
input2 is, input3 is, outputl is значение mfl (mf2) и нажимаем кнопку
Add rule. Если необходимо изменить рабочие правила для fuzzy-
регулятора, выделяем правило мышкой и меняем значения в окнах
inputl is, input! is, inputs is, outputl is и нажимаем кнопку Change
rule.
Для сохранения созданного нечеткого регулятора необходимо в
окне FIS Editor:Untitled нажать кнопку Close. На запрос сохранения
изменений Save changes to Untitled? надо выбрать Yes. Далее в окне
Save FIS задаем имя регулятора (File name), например trim_fc3, и на-
жимаем кнопку Save. Следует отметить, что по умолчанию MATLAB
сохраняет регулятор с этим именем в папку Matlab / Work.
Далее осуществляем загрузку fuzzy-регулятора в память. Для это-
го в командном окне MATLAB набираем слово fuzzy - открывается
окно FIS Editor: Untitled. На панели окна FIS Editor выбираем вклад-
ку File / Import I From disk.... В результате открывается окно в кото-
ром необходимо найти и выбрать желаемый fuzzy-регулятор, напри-
мер trim fc3.fis. В открывшемся окне FIS Editor: trim_fc3 выбираем
вкладку File / Export I То Workspace... и нажимаем ОК. Остается
лишь закрыть окна FIS Editor: trim_fc3 и FIS Editor: Untitled кноп-
кой Close (на запрос сохранения изменений Save changes to...? надо
нажать No).
Проверку работы fuzzy-регулятора можно осуществить следую-
щим образом. Например, для регулятора trim_fc3.fis на панели окна
FIS Editor: trim_fc3 выбираем вкладку View / Rules. Открывается ок-
но Rule Viewer: trim_fc3. Для получения точных значений с выхода
fuzzy-регулятора необходимо задать значения inputl, input!, input3.
Это можно сделать двумя способами: 1) поменять положение тонкой
красной вертикальной черты на каждом входе fuzzy-регулятора (зна-
чение изменяемого параметра показывается над каждым входом fuzzy-
регулятора); 2) задать точное значение каждого из входов inputl, in-
put!, input3 в нижнем левом окне Input в квадратных скобках разде-
ляя значения пробелами (по умолчанию имеем [0.5 0.5 0.5]).
На рис.3.11 представлены процессы в системах управления: слева
- в системе (см. рис.3.6) с настроенным цифровым ПИД-регулятором;
справа - в системе (см. рис.3.7) с настроенным нечетким регулятором,
имеющим две треугольных ФП (см. рис.3.2).
84
Раздел 3
Ирто53,
0мах = 0.0014
10
8
6
4
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Рис.3.11
Синтез нечеткого регулятора выполнен по формулам (3.1)-(3.13)
для двух треугольных функций принадлежности - 2 trimf (см. рис.3.2).
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
(ЗптАах]. [4.пЛахЬ [^пипАахЬ ["'штатах] ПрСле НЭСТрОЙКИ не-
четкого регулятора в этом случае следующие:
[-0,015, 0,015], [-0,05, 0,05], [-0,9, 0,9], [-12, 12].
На рис.3.12 представлены процессы в системе управления (см.
рис.3.7): слева - с настроенным цифровым нечетким регулятором,
имеющим три треугольных ФП - 3 trimf (см. рис.3.3); справа - с
85
Раздел 3
нечетким регулятором, имеющим семь треугольных ФП - 7 trimf
(см. рис.3.4).
Синтез нечеткого регулятора для трех треугольных функций при-
надлежности - 3 trimf (см. рис.3.3) выполнен по формулам (3.1), (3.2),
(3.13)-(3.21).
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[ЗтпЛахГ [ЗтпЛаЛ [^n.nAJ > WmaJ ПОСЛе НЭСТроЙКИ Не-
четкого регулятора в этом случае следующие:
[-0,01, 0,01], [-0,07, 0,07], [-1, 1], [-30, 30].
86
Раздел 3
Синтез нечеткого регулятора для семи треугольных функций при-
надлежности - 7 trimf (см. рис.3.4) выполнен по формулам (3.1), (3.2),
(3.13), (3.22)-(3.33).
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
timin’ ^max ] ’ timin’ ^max ] ’ fumin’Wmax] после настройки не-
четкого регулятора в этом случае следующие:
[-0,008, 0,008], [-0,05, 0,05], [-1, 1], [-23, 23].
Анализируя процессы, приведенные на рис.3.11, можно заклю-
чить, что как ПИД-регулятор, так и нечеткий регулятор в системе
управления ракетой обеспечивают устойчивое слежение по заданному
углу атаки с достаточно малыми ошибками рассогласования. Но в
системе с нечетким (работающим на базе нечеткой логики) регулято-
ром ошибка рассогласования в 6 раз меньше, чем ошибка рассогласо-
вания в системе с ПИД-регулятором. Кроме того, что весьма важно
при практической реализации систем, сигнал управления, поступаю-
щий на рулевой механизм, в системе с нечетким регулятором являет-
ся достаточно плавно изменяющимся, а в системе управления с ПИД-
регулятором этот сигнал периодический, что может привести к резким
колебаниям руля ракеты.
Анализируя процессы, приведенные на рис.3.11 и 3.12 при исполь-
зовании в системе управления настроенных на минимум динамической
ошибки рассогласования нечетких регуляторов с двумя, тремя и семью
функциями принадлежности, можно заключить, что с увеличением
числа ФП величина максимальной динамической ошибки рассогласо-
вания (приведена на рисунках) уменьшается с 0,0014 при двух ФП до
0,00064 при трех ФП и до 0,0006 при семи ФП.
Если качество (характеризуемое минимальной величиной макси-
мальной динамической ошибки) системы, использующей нечеткий ре-
гулятор с двумя функциями принадлежности, удовлетворяет разработ-
чика, то можно рекомендовать применение такого нечеткого регулято-
ра как наиболее простого.
Если параметры нестационарного объекта управления изменяют-
ся в очень широких диапазонах, то нечеткий регулятор может не
обеспечивать достаточное качество системы управления. В этом слу-
чае можно использовать нечеткий регулятор с многоканальной на-
стройкой (многоканальный HP), у которого отдельный канал будет
87
Раздел 3
настроен на определенный участок диапазона изменения параметров
объекта.
Пример 3.2. Рассмотрим синтеза нечеткого регулятора с много-
канальной настройкой для системы стабилизации баллистической ра-
кеты по углу тангажа [119].
Баллистическая ракета, в которой используется большое число
локальных систем автоматического управления, является существенно
нестационарным объектом управления. Передаточные функции, кото-
рыми описывают баллистическую ракету как объект управления, от-
личаются от передаточных функций крылатых летательных аппаратов
тем, что имеют неустойчивые звенья, поэтому движение неуправляе-
мой ракеты по программной траектории было бы неустойчивым. Ни-
же рассматривается система стабилизации баллистической ракеты по
углу тангажа (по каналу продольного движения), которая описана в
работе [162]. Система состоит из следующих функционально необхо-
димых элементов: элемента сравнения (свободного гироскопа с по-
тенциометрическим датчиком, характеризуемым коэффициентом
К п), усилителя с коэффициентом усиления Ку , и гидравлического
рулевого механизма.
Приняв за выходную координату ракеты угол тангажа
-x(Z) = i92 (0/за входную координату угол поворота руля
определим передаточную функцию ракеты в виде [138,
162]
Gp{S) “ е/ ч “ 7 Э ’
(T2s2 + 2^7s + 1)(г25 +1)
(3.42)
Q
где - коэффициент преобразования ракеты, “ постоян-
ные времени соответственно колебательного и неминимально-
фазового (т2 - отрицательная величина) форсирующего звеньев, д-
коэффициент демпфирования. Зависимости указанных параметров
ракеты от времени ее полета приведены в работе [162].
Для упрощения расчетов рулевой механизм опишем передаточной
функцией интегрирующего звена: GpM(s) = Крм f s = \ f s . В этом
случае вход системы u(t} - заданный угол тангажа, выход сис-
88
Раздел 3
темы х(7) = <92(О - отработанный ракетой угол тангажа, -
управляющий сигнал на выходе регулятора, а объект управления опи-
сывается общей передаточной функцией:
= = + В----- (343)
w(s) s(s2 +bs + a)(s + с)
(В объект управления включены аналоговые рулевой механизм и
ракета). Параметры передаточной функции G(5) определяются:
Ь = 2д/Т-а = \/Т2; г = \/Т}; с = 1/г2;
а=КпКуКРМ K°aclr = Km К^.
Т~т2
При этом параметры передаточной функции G(s), также будут функ-
циями, зависящими от времени. Математически их можно определить
полиномами - см. формулы (3.44).
b(t) = 1,386-0,2375/ + 2,025-10’212 -6,869-Ю-4/3 +
+ 9,988-Ю-6/4 -5,245-Ю-8/5;
<?(/) =-29,58+ 11,274/-1,484/2 +8,8-Ю’2/3 -
-2,37• Ю-3/4 + 2,91 • Ю-5/5 -1,33• Ю-7/6;
а(/) = 1,132-0,45/+ 3,86-10-2/2 -2,45-10-3/3 +
> (3 44)
+ 7,7-Ю-5/4 -1,08-Ю-6/6 +5,47-Ю-9/6;
/(/) = 0,3688-3,8031-10 2/ + 2,1216- 10-3г2 -
-3,9037-10-5/3 +2,2437-Ю-7/4;
с(/) = -0,317 + 3,22 • 10-2 / -1,455 • 10"3 /2 +
+ 3,318• 10-5/3 -3,693-10-7/4 +1,592-10"9/5.
Зависимости параметров передаточной функции G(.v)ot времени
полета ракеты приведены на рис.3.13. Время полета ракеты составляет
примерно 60 с. Шестая секунда полета ракеты принята за начало от-
счета времени полета.
Математическая модель нестационарного колебательного звена
описывается дифференциальным уравнением
89
Раздел 3
2
d + a(t)x} (/) = a(t)nti (t). (3.45)
dr at
Математическая модель нестационарного форсирующего звена
описывается дифференциальным уравнением
^ + с(/)х(/) = ^^ + г(/)х,(/). (3.46)
dt dt
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления ракетой по углу тангажа с цифровым не-
четким регулятором представлена на рис.3.14.
Ошибка рассогласования Err, поступающая на вход нечеткого ре-
гулятора (Controller), представляет собой разность между заданным
напряжением требуемым углом тангажа i9j(Z) и преобразованным в
напряжение отработанным ракетой углом тангажа (0:
0(г) = ^(/)-&(/) = М(/)-х(О.
Предположим, что закон изменения входного воздействия (про-
граммная траектория) следующий: u(t) = 1 + 0,5sin(flf /30).
90
Раздел 3
Unit Delay?
Рис.3.14
Математическая модель ракеты в интерактивной системе
MATLAB составлена таким образом. На вход модели поступает сиг-
нал m\(t) с выхода блока Integator. На вход блока Polinoms (см.
рис.3.15) поступает текущее врем.; t с выхода блока Ramp.На выходе
блока Polinoms формируются сигналы , а(/), b(t), с(/), r(/),
которые в блоках перемножения Dot Product умножаются на соот-
ветствующие сигналы согласно записанным выше дифференциальным
91
Раздел 3
уравнениям нестационарных колебательного и форсирующего зве-
ньев.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором (см. рис.3.14) квантуется аналого-цифровым преобразовате-
лем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом поступле-
ния данных в нечеткий регулятор) Л = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП
0(к), ее первая в(к) = [#(&)- в(к -1)]/h и вторая
0(&) - [#(£) “ @(к - 1)]/Л разности подаются на вход нечеткого регу-
лятора (Controller). Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП
(фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной функ-
цией H(s) - (1 - e~hs) / 5 ) и далее на вход объекта управления.
Функциональная схема нечеткого регулятора с многоканальной
настройкой приведена на рис.3.16. Блок настройки регулятора (ad-
justment of fuzzy-controller), блоки нормировки входных (normin) и
выходного (normout) сигналов приведены соответственно на рис.3.17,
3.18 и 3.19.
Блок настройки регулятора (adjustment of fuzzy-controller) имеет
фиксатор (Zero-older hold) с шагом квантования 0,01с, квантователь
по уровню (Quantizer) с шагом квантования 20с, усилитель (Gain) с
коэффициентом 0,05 и четыре переключателя каналов. При поступле-
нии текущего времени t с выхода блока Ramp на вход блока настрой-
ки регулятора до десятой секунды времени полета ракеты работает
первый канал, от десятой до тридцатой секунды работает второй ка-
нал, от тридцатой до пятидесятой секунды работает третий канал и
после пятидесятой секунды работает четвертый канал. Сигналы с вы-
ходов 1-4 блока настройки регулятора поступают на соответствующие
входы 4,5,6 блока нормировки входных (normin) и на вход 2 блока
нормировки выходного (normout) сигналов (см. рис.5-7). На 1-3 вхо-
ды блока нормировки входных сигналов поступают дискретные теку-
щие значения fl(k), 0(к), 0(к). С выхода 1 блока нормировки вы-
ходного сигнала (см. рис.3.19) поступают дискретные текущие значе-
ния сигнала управления т(к).
Синтез каждого канала нечеткого регулятора выполняем по фор-
мулам (3.1 )-(3.13) для треугольных функций принадлежности.
92
Раздел 3
Рис.3.16
Рис.3.17
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметр< з каждого канала
нечеткого регулятора) принимаем симметричными:
^max ^тах ~ “^min ’ ^тах “ —^min’ wmax — —wmin.
и производим нормировку (пересчет) по формулам (3.41).
Первый канал настраивается на параметры объекта, соответст-
вующие шестой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения вход-
93
Раздел 3
ных переменных [0min, 0max ], [<9min,0max ], [6»min, 0max ], после настрой-
ки этого канала следующие: [-0,2, 0,2], [-0,3, 0,3], [-0,5, 0,5].
Product
Рис.3.18
Рис.3.19
Второй канал настраивается на параметры объекта, соответст-
вующие двадцатой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения
входных переменных [0min, 6»max ], [0min, 0max ], [0min, 0max ], после на-
стройки этого канала следующие: [-0,15, 0,15], [-0,3, 0,3], [-1, 1].
Третий канал настраивается на параметры объекта, соответствую-
щие сороковой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения входных
переменных [0minAJ> [ЗтпЛачЬ после настройки
этого канала следующие: [-0,07, 0,07], [-0,5, 0,5], [-1, 1].
Четвертый канал настраивается на параметры объекта, соответст-
вующие шестидесятой секунде полета ракеты. Диапазоны изменения
входных переменных [0min,0max], [0min,0mJ, [0minAj« после на’
стройки этого канала следующие: [-0,05, 0,05], [-0,3, 0,3],
[-0,3, 0,3].
Диапазоны изменения выходного параметра [wmin,wmax] выбраны
для всех каналов равными [-70, 70].
94
Раздел 3
Настройка регуляторов произведена с целью получения мини-
мальной динамической ошибки рассогласования и апериодического
переходного процесса.
При настройке нечеткого регулятора в интерактивной системе
MATLAB используем блок NCD (Nonlinear Control Design), который
реализует метод динамической оптимизации для проектирования систем
управления.
На рис.3.20, слева, представлены процессы в системе управления
с настроенным цифровым многоканальным нечетким регулятором.
Процессы в системе управления с Процессы в системе управления с
мно1 оканальным hcmcikhm реплятором одноканальным нечетким регулято-
ром
в)
Рис.3.20
95
Раздел 3
Анализируя процессы в системе управления ракетой можно за-
ключить, что цифровой многоканальный нечеткий регулятор обеспе-
чивает быструю отработку ступенчатого воздействия без перерегули-
рования, с временем регулирования не более 5с и устойчивое слеже-
ние по заданному углу тангажа с достаточно малой ошибкой рассо-
гласования (0тах не более 3% от амплитуды входного воздействия).
Еще большего уменьшения ошибки рассогласования можно до-
биться путем увеличения числа каналов в нечетком регуляторе и пу-
тем выбора временных интервалов для подключения каждого канала.
При этом незначительно усложняется блок настройки регулятора (ad-
justment of fuzzy-controller) -см. рис.3.17.
При использовании только одного канала (обычного нечеткого
регулятора) в системе управления ракетой по углу тангажа в течении
всего полета ракеты не удается получить такого качества системы, как
при использовании многоканального регулятора. В качестве примера
на рис.3.20, справа, представлены процессы в системе управления с
настроенным цифровым одноканальным нечетким регулятором. Хотя
устойчивое слежение по заданному углу тангажа этот регулятор обес-
печивает (0тах составляет 4% от амплитуды входного воздействия),
но переходной процесс - колебательный, с перерегулированием более
50% , временем регулирования более 20с и медленным затуханием.
Таким образом, наличие многоканального нечеткого регулятора
позволяет проектировать систему управления таким существенно не-
стационарным объектом как баллистическая ракета с весьма высоким
качеством управления (характеризуемое апериодическим переходным
процессом с малым временем регулирования и малой ошибкой рассо-
гласования при отработке программной траектории полета ракеты).
Поэтому применение нечеткого регулятора для такого объекта управ-
ления является целесообразным и перспективным.
Принцип работы рассмотренных нечетких регуляторов основан на
использовании алгоритма “минимаксного” нечеткого вывода Мамда-
ни (Max-Min Inference). Кроме того, использованы одни и те же тре-
угольные функции принадлежности как для входных параметров, так
и для выходного параметра нечеткого регулятора.
Анализируя работу нечетких регуляторов на основе алгоритма
“минимаксного” нечеткого вывода Мамдани, отметим следующий
96
Раздел 3
факт. Входные параметры регулятора и, на едином универсальном
множестве U = [0,1] можно определить как активные, изменение ко-
торых влияет на результирующую функцию принадлежности, а зна-
♦
чит, и на выходной параметр ис, и как пассивные, изменение которых
не влияет на результирующую функцию принадлежности, а значит, и
*
на выходной параметр ис. Например, из рассмотрения рис.3.2 и 3.3
*
можно заключить, что изменение параметра при условии
♦ ♦ ♦
Из < z/| < не влияет на результирующую функцию принадлежно-
сти и поэтому этот параметр можно определить как пассивный для
данной ситуации.
При работе нечеткого регулятора в системе автоматического
управления очевидны переходы каждого параметра из активной фазы
в пассивную и наоборот.
4. Ниже изложен синтез нечетких регуляторов, в основу работы
которых заложен алгоритм нечеткого вывода Сугено 0-го порядка.
При решении задачи синтеза нечетких регуляторов будем полагать,
что число термов, с помощью которых оцениваются лингвистические
переменные (входные параметры нечеткого регулятора) ошибка сис-
темы 9, скорость изменения (первая производная) ошибки 9, уско-
рение (вторая производная) ошибки 9, равно: а) 2, б) 3, в) 7. Отобра-
зим диапазоны [6>min,6>max], [0min,0max], [0min,0max] изменения вход-
ных параметров на единое универсальное множество по формулам
(3.1).
На универсальном множестве U = [0,1] зададим нечеткие под-
множества, ФП которых треугольной формы показаны: а) на рис.3.2,
б) на рис.3.3, в) на рис.3.4.
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = ) и (0* -а^) и (0* = ), то (т* = Cj). (ЗА7)
где , aJ2 и aJ3 - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
97
Раздел 3
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, (а - j = 1,2; б - j = 1,3 ; в - j = 1,7).
Лингвистические оценки выбираем из терм-множеств лингвисти-
ческих переменных /?*, О*, в*:
a) а{ G {отрицательная (1), положительная (2)};
б) a- е {отрицательная (1), положительная (2),
близкая к нулю - нулевая (3)}
в) a- g {отрицательная (1), отрицательная средняя (2),
отрицательная малая (3), близкая к нулю - нулевая (4),
положительная малая (5), положительная средняя (6),
положительная (7)}.
Q - индивидуальные выходы правил на универсальном множест-
ве U = [0,1]:
a) Cj = 0, = 1; б) с, = 0, с2 = 1, с3 = 0,5;
q=0, с2 =0,167, с3 = 0,333, с4 - 0,5,
в)
с5 = 0,667, с6 = 0,833, с7 =1.
При нечетком логическом выводе вместо уровней “отсечения”
(операция логического минимума (min) - см. формулу (1.4)) для пред-
посылок каждого из правил найдем масштабирующие коэффициенты
(операция умножения prod):
А= Al (wi*) х Al (м2)х Al (г/з )]i
В= р2 (и* ) X цг (и2) X //2 («з )];
С= Аз («Г)х Аз («2)х Аз (мз)];
D=A40'i*)xA4(w2)xA4(A3)];
е=а5(иГ)ха5(м2)хА5(мз)];
G=A6(w1‘)xA6(m2)xA6("3)];
F= А7 (Mj* ) X А7 («2 ) х А7 (г'з)]•
98
Раздел 3
Четкое значение переменной выхода определяется по формулам:
♦ ACj 4" Вс^ 4" + ^^7
A+B+C+D+E+G+F
(3.50)
Полученное значение zz* на основании формулы (3.2) преобразу-
ется в значение управляющего воздействия на объект управления по
формуле (3.13):
™ ~~ wmin + (wmax — wmin }ис
Пример 3.3. Изложим синтез цифрового нечеткого регулятора
системы управления частотой вращения ротора газотурбинного двига-
теля [109, 143].
Газотурбинные двигатели (ГТД) широко применяются в газовой и
авиационной промышленности, где они являются основой соответст-
венно газоперекачивающих агрегатов [3, 184] и авиационных силовых
установок [157,183,193,195,215,216], в приводах промышленных элек-
трогенераторов пиковых и передвижных электростанций, в судовых
энергетических установках и на других промышленных объектах, где
требуется развитие больших единичных мощностей (от 1 до 25 МВт) в
одном агрегате при его минимальной массе и габаритах.
Типовым ГТД, находящим применение в промышленности, явля-
ется турбовальный двигатель (ТВаД), схема которого представлена на
рис.3.21. Он представляет собой роторную машину, в которой в ком-
прессоре 1 происходит сжатие воздуха, в камере сгорания 2 осуществ-
ляется процесс горения топлива, подводимого к воздуху, в турбине
компрессора 3 часть энергии отбирается от горячих газов, расходуясь
на привод компрессора 1, в турбине 4 газы, расширяясь, создают
мощность, отбираемую от двигателя потребителем.
К газотурбинным двигателям предъявляется комплекс требова-
ний, связанных с их энергетической эффективностью, безопасностью
и экологичностью эксплуатации, надежностью. Наряду с этими требо-
99
Раздел 3
ваниями, актуальными являются требования к качеству переходных
процессов, связанных с запуском агрегата, резким изменением отби-
раемой нагрузки (мощности). Во многом решение задач удовлетворе-
ния всем этим требованиям возлагается на системы автоматического
управления (САУ) ГТД.
В подавляющем большинстве ГТД частота вращения ротора явля-
ется управляемой величиной. В качестве управляющего фактора в
САУ частотой вращения ротора п используется расход топлива GT в
камеру сгорания. На разных режимах работы и при различных внеш-
них условиях параметры двигателя существенно изменяются.
Рис.3.21. Схема типового промышленного ГТД:
1-компрессор; 2-камера сгорания; 3-турбина компрессора;
4-силовая турбина.
Рассмотрим газотурбинный двигатель (ГТД) как нестационарный
объект управления, для которого частота вращения ротора п - управ-
ляемая переменная, а расход топлива GT - управляющее воздействие.
Линеаризуя зависимости момента турбины Мт и момента компрес-
сора Мк от частоты вращения ротора и не учитывая влияние тепло-
вой и массовой емкостей двигателя, для конкретного режима работы
записывают передаточную функцию двигателя следующим образом
[18,146,215-217]:
Gra(s) = ^W
Д Gr(s) T^s + X
где коэффициент усиления и постоянная времени определяются как
(3.51)
100
Раздел 3
дМ^ дМ
_dGT dGr 0 ™ _ 2лУ
ГТД~ ,дМк дМГх ’ ,дМк дМ
“Л "о ~~
дп дп сп дп
(3.52)
причем, входной и выходной сигналы записываются в относительных
безразмерных отклонениях от установившегося режима
(/7 = Ал7//70; Gt-\GtIG1q. где и0, Gro - базовые значения пара-
метров, выбранные для определенного режима работы двигателя, на-
пример, номинального или максимального). На разных режимах рабо-
ты и при различных внешних условиях коэффициент усиления и по-
стоянная времени двигателя существенно изменяются, поэтому для
каждого режима необходимо определять свои значения коэффициен-
тов К ид и .
Заметим, что передаточная функция G/7J(s) для нестационарно-
го объекта управления, каким является газотурбинный двигатель, по-
лучена методом ‘‘замороженных” коэффициентов при условии доста-
точно медленного изменения параметров объекта [205].
Структурная схема аналоговой электромеханической системы ав-
томатического управления частотой вращения ротора двигателя при-
ведена на рис.3.22.
У Дв+Ред ДК ГТД
Рис.3.22
Частота вращения ротора двигателя задается напряжением
и измеряется импульсным датчиком ИД, частота выходного сигнала
которого определяется выражением f — kmn, где п ~ число оборотов
двигателя, гп - число зубьев индуктора, к - коэффициент передачи.
101
Раздел 3
Переменное напряжение, снимаемое с выхода ИД, с помощью элек-
тронного преобразователя частоты ЭПЧ преобразуется в сигнал u2(t),
величина которого пропорциональна числу оборотов двигателя п.
Напряжение w2(/) сравнивается с задающим напряжением и сигнал
ошибки после усилителя У поступает на двухфазный асинхронный
двигатель Дв, который через редуктор Ред регулирует дроссельный
кран ДК, изменяя расход топлива в газотурбинный двигатель. Им-
пульсный датчик вместе с электронным преобразователем частоты
можно описать пропорциональным звеном с передаточной функцией,
равной единице. При этом система (см. рис.3.22) имеет единичную
отрицательную обратную связь.
Рассматривая последовательное соединение усилителя, асинхрон-
ного двигателя, дроссельного крана, газотурбинного двигателя и час-
тотного датчика с электронным преобразователем частоты в качестве
общего объекта управления и применяя цифровой нечеткий регуля-
тор, можно преобразовать структурную схему на рис.3.22 в структур-
ную схему, которая изображена на рис.3.1. Использование цифрового
нечеткого регулятора требует дополнительного применения аналого-
цифровых (АЦП) и цифроаналогового (ЦЛП) преобразователей.
Передаточную функцию объекта управления в структурной схеме
на рис.3.1 можно записать в виде:
Со(^) = KyGдВ(8}КрщКдКСруд(s) - cr[s(5 + a)(s + 6)] ’, (3.53)
где а = аЬКуКдв К РЕД Кдк Ка = 1 / Тдв, 6 = 1/ Т^д,
Допустим, что зависимости параметров передаточной функции
Gq(s) от времени работы ГТД определяются следующим образом:
= 7}^ (/>0,9849-0,1188/+ 0,0063/2 -0,00012/3;
а(/) = 16,5475 -4,4469/ + 0,4843г - 0,02315/3 +0,0004/4;
TnR - 0,35 с.
При исследовании системы управления (см. рис.3.1) предполо-
жим, что заданная функция изменения частоты вращения ротора газо-
турбинного двигателя задается входным напряжением
102
Раздел 3
2/2 п *7 — при 0<t<-^; ТГ
«(0 = ч 1 2t-rr (2t-Tr)2 г.. z„ _ - + при —<t<Tr\ (3.54) 2 2гг2 2 1 при t>Tr,
где тг - время разгона газотурбинного двигателя. За время разгона
двигателя параметры двигателя изменяются и после разгона остаются
постоянными. Зависимости параметров передаточной функции Со(5)
от времени работы газотурбинного двигателя представлены на
рис.3.23.
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления частотой вращения ротора двигателя с
цифровым нечетким регулятором представлена на рис.3.24.
Математическая модель нестационарного апериодического звена
описывается дифференциальным уравнением
+ b(t)x(f) = «(/)*, (Г). (3.55)
at
Это звено собрано на двух умножителях Dot Product 1,2, интеграторе
Integrator 2 и сумматоре, jq (/) - сигнал на выходе блока Integrator!,
= u^t) - выход системы.
На вход блока Polinoms (см. рис.3.24 и 3.25) поступает текущее
время t с выхода блока Ramp. На выходе блока Polinoms формиру-
ются сигналы и b(t), которые в блоках перемножения Dot
Product умножаются на соответствующие сигналы согласно записан-
ному выше дифференциальному уравнению нестационарного аперио-
дического звена. Во время разгона газотурбинного двигателя сигналы
a(t) и b(t) формируются в блоках Fcn и Fcn\, а при достижении
шестой секунды при помощи переключателей Switch 1,2 устанавлива-
ются постоянные значения (см. рис.3.23).
103
Раздел 3
Входной сигнал и{1) = щ (Z) согласно записанному выражению
(3.49) для разгона двигателя формируется в блоке Polinomsl (см
рис.3.24 и 3.26). На вход блока Polinomsl поступает текущее время t
с выхода блока Rampl. Сигнал на интервале 0 < t < тг /2 формиру-
ется блоком Fcn , па интервале тг / 2 < t < тг - блоком FcnX, а при
достижении шестой секунды устанавливается постоянное значение,
равное 1. Соответствующие переключения осуществляются блоками
Switch и Switch 1 (см. рис.3.26).
Ошибка рассогласования ~ ~ в систе-
ме управления с нечетким регулятором (см. рис.3.24) квантуется ана-
лого-цифровым преобразователем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом
квантования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
/7q=0,01 с. Ошибка на выходе АЦП @(к), ее первая
O(k) = [0(k)-0(k-\)]/h и вторая O(k) = [0(k)-0(k-l)]/h разно-
сти подаются на вход нечеткого регулятора (Controller). Блок Con-
troller содержит блоки нормировки входных (normin) и выходного
104
Раздел 3
(normout) сигналов и центральный блок Fuzzy Logic Controller (см.
рис.3.27) Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП (фиксатор
нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной функцией
H(s) = (1 s) и далее на вход объекта управления.
Рис.3.24
Рис.3.26
Рис.3.25
105
Раздел 3
В центральном блоке нечеткого регулятора Fuzzy Logic Controller
выбираются треугольные функции принадлежности (входные member-
ship functions - см. рис.3.2-3.4) для входных лингвистических пере-
менных ошибка системы 0, скорость изменения (первая производ-
ная) ошибки в, ускорение (вторая производная) ошибки 0 , устанав-
ливаются четкие значения Cj выходной переменной управляющее воз-
действие на универсальном множестве (выходные membership func-
tions) и база правил rules (ЗАТ). Настройка регулятора осуществляется
выбором диапазонов изменения входных и выходного параметров не-
четкого регулятора.
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного параметров нечеткого регулятора при-
нимаем симметричными:
^max — ~^min’ ^тах — — ^min’ ^тах — —^min ’ wmax ” —wmin ’
и производим нормировку (пересчет) по формулам (3.41).
Схема блоков нормировки входных и выходного параметров
normin приведена на рис.3.28.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[ЗтпЛзхГ [ЗтпАахГ [ЗтпАах]. Итт^тах] ПРИ °ИенКе ЛИН’
гвистических переменных двумя термами после настройки регулято-
ра следующие:
[-0,0008, 0,0008], [-0,0035, 0,0035], [-0,2, 0,2],[-30, 30].
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
KunAaxL KiinAaxb [ЗтпЛахГ I Wmin > Wmax ] ПРИ °UeHKe ЛИН'
гвистических переменных тремя термами после настройки регулятора
106
г сидел
следующие:
[-0,0005, 0,0005], [-0,002, 0,002], [-0,2, 0,2], [-30, 30].
Рис.3.28
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[ЗтпАахЬ [0m,nAaJ’ [Зп.пЛаЛ’ [Wmin>Wmax] ПРИ О^НКе ЛИН-
генетических переменных семью термами после настройки регулято-
ра следующие:
[-0,0005, 0,0005], [-0,0007, 0,0007], [-0,2, 0,2], [-30, 30].
На рис.3.29-3.31 представлены результаты исследования точности
отработки системой автоматического управления заданного закона
изменения входного воздействия при использовании нечеткого регу-
лятора с оценкой входных параметров соответственно двумя, тремя и
семью термами: а - вход u(t) и выход x(j) системы; б - текущая
ошибка 0(1) = u(t) — x(f)*9 в - управляющее воздействие на объект
управления m(t). Значения максимальных текущих ошибок указаны
на рисунках. Эти значения весьма малы. Практически выход системы
повторяет входное воздействие.
При использовании алгоритма нечеткого вывода Сугено 0-го по-
рядка увеличение числа термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные, с двух до семи не дает никакого суще-
ственного уменьшения динамической ошибки (в отличие от алгоритма
нечеткого вывода Мамдани). Поэтому целесообразно использовать
только два терм-множества (две функции принадлежности
107
Раздел 3
108
Раздел 3
Рис.3.31
В работе [122] исследована система адаптивного управления часто-
той вращения ротора газотурбинного двигателя при рассмотренных вы-
ше параметрах объекта управления и таком же входном воздействии.
Сравнительная оценка качества работы (характеризуемого текущей
ошибкой) системы адаптивного управления и системы, рассчитанной на
базе нечеткой логики, дает возможность заключить, что применение не-
четкого регулятора для управления частотой вращения ротора газотур-
бинного двигателя является весьма целесообразным, поскольку динами-
ческая ошибка в системе с нечетким регулятором более чем на три по-
рядка меньше динамической ошибки в адаптивной системе.
Анализируя работу нечетких регуляторов на основе алгоритма
нечеткого вывода Сугено 0-го порядка, когда при логическом выводе
используется операция умножения prod, следует отметить тот факт,
*
что все входные параметры регулятора на едином универсальном
множестве U = [0,1] являются активными, поскольку изменение лю-
бого параметра влияет на выходной параметр ис.
109
Раздел 3
5. Рассмотрим синтез нечетких регуляторов с переключением на
два режима работы: режим отработки скачков входного воздействия и
режим слежения за медленно изменяющимся входным воздействием.
В первом режиме необходимо обеспечить максимальное быстродейст-
вие (минимальные время установления и время регулирования), во
втором режиме - максимальную точность отработки входного сигнала
(минимальную текущую ошибку).
Вначале проведем синтез нечеткого регулятора, обеспечивающего
максимальное быстродействие. Для простоты решения задачи синтеза
нечеткого регулятора будем полагать, что число термов, с помощью
которых оцениваются лингвистические переменные (входные и вы-
ходной параметры нечеткого регулятора) ошибка системы в, ско-
рость изменения (первая производная) ошибки 0, ускорение (вторая
производная) ошибки в , управляющее воздействие на объект т , ми-
нимально, т.е. равно 2. Отобразим диапазоны [0min,0max], tonin’^тахЬ
timin’^тах] и [Wmin’^тах] изменения входных и выходного парамет-
ров на единое универсальное множество по формулам (3.1).
На множестве U = [0,1] зададим два нечетких подмножества, ФП
которых треугольной формы показаны на рис.3.32.
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = ) или (0*=а2) или (0*=а^), то (т* = aJc)
; = (з.5б)
где а/, а{ и - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве, j = 1,2 ; aJc - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных 0* , и , 0* и т* :
а- е {отрицательная (1), положительная (2)}.
110
Раздел 3
Пусть //y(xJ функция принадлежности параметра х,. e[xw-,xe/]
нечеткому терму а/, i - 1,3; j = 1,2 . Тогда fl”1 (0, в^в) - зависящая
от трех переменных (х1 = 0\ х2 = 0\ х3 = 0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) ,j -1,2, определяется из системы нечетких
логических уравнений:
(X], х2, х3) = /? (х,) v ц1 (х2) v (х3). (3.57)
Таким образом, /лт' (хр х2,х3) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
(хрх2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функ-
ция принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с
111
Раздел 3
рабочим правилом HP записывается в виде
/(xl,.r;,x,)=/l(xl,x2,Xj)v/;(.rl,x,jj) (3.58)
В выражениях (3.57) и (3.58) v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений функция
принадлежности управляющего воздействия нечеткому мно-
жеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
А= maxLu, (wf),(и2 (и3)], (3.59)
а функция принадлежности управляющего воздействия /л^ (и) нечет-
кому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= тах[//2 («1), Аг (м2 )- Аг («з )] О-60)
Находим границы wcmaxl и wcmax2 наибольшего из максимумов
тах[А,В] и определяем четкое значение выходной переменной w*
методом среднего максимума (mean of max, mom):
+^cmax2 (3 61)
(на рис.3.30 wt.maxl = u2 и wctnax2 =1).
Синтез нечеткого регулятора, обеспечивающего максимальную
точность отработки входного сигнала (минимальную динамическую
ошибку) можно проводить, используя формулы (3.1 )-(3.13).
При синтезе рассматриваемых регуляторов (обеспечивающих
максимальное быстродействие или максимальную точность отработки
входного сигнала) использование вместо треугольных функций при-
надлежности экспоненциальных, гауссовых, Z- и S-функций часто да-
ет лучшие результаты.
Пример 3.4. Изложим синтез цифровых нечетких регуляторов с
переключением на два режима работы в системе управления темпера-
турой газа двухроторного газотурбинного двигателя. Линейную мо-
дель двухроторного ГТД, работающего на базовом режиме малого га-
за, вместе с исполнительным механизмом (Object MG) можно пред-
ставить структурной схемой, изображенной на рис.3.33 (параметры
ГТД в структурной схеме указаны на рисунке).
112
Раздел 3
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления температурой газа двухроторного газотур-
бинного двигателя с цифровыми нечеткими регуляторами представле-
на на рис.3.34. Предположим, что система, находившаяся в устойчи-
вом (нулевом) состоянии, подвергается возмущению, которое скачком
изменяет выходную величину объекта управления. Задача системы -
быстро компенсировать возмущение и привести систему в первона-
чальное устойчивое состояние.
Рис.3.33
При подаче ступенчатого возмущения от блока Step вначале ра-
ботает нечеткий регулятор FC1, который быстро уменьшает ошибку
рассогласования. При достижении ошибкой значения 0,009 по модулю
переключатель Switch подключает выход нечеткого регулятора FC2 и
этот регулятор работает в режиме слежения, обеспечивая малую те-
кущую ошибку рассогласования.
Структурные схемы нечетких регуляторов FC1 и FC2 представ-
лены соответственно на рис.3.35 и 3.36. В регуляторе FC1 использо-
ваны симметричные Z- и S-функции принадлежности, в регуляторе
FC2 - симметричные гауссовы функции принадлежности, приведен-
ные на рис.3.37. Параметры функций принадлежности, указанные на
рисунках, выбраны при настройке нечетких регуляторов.
Блоки оценки первой (1-st drv) и второй (2-nd drv) производных от
ошибки реализуют уравнения
« {0(к^) - 0((к - 1)Ао]} / Ao, 0(t) * {0(кко) - 0[(А -1)Ао]} / Ао •
ИЗ
Раздел 3
Рис.3.34
normin normout
Рис.3.35
normin
Рис.3.36
114
Раздел 3
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных параметров нечеткого регулятора приняты симмет-
ричными: 0max=-0min; 0max 0max=-0min и нормировка
(пересчет) произведен по формулам (3.41).
FC 1 FC 2
Блоки нормировки входных (normin) и выходного (normout) па-
раметров в нечетких регуляторах FC1 и FC2 собраны по схемам,
приведенным на рис.3.10, но с другими значениями диапазонов.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
Ain - Ах ] > Ain > Ах ] > [Wm,n > '"max ] "ОСЛе НЭСТрОЙКИ НСЧеТКОГО реГу-
лятора FC1 следующие:
[-0,498, 0,498], [-2,359 2,359], [-1,02 1,02].
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
AinAaxL AinAaxL AinAaxL ['"minimax] П0СЛе НаСТрОЙКИ Не-
четкого регулятора FC2 следующие:
[-0,469, 0,469], [-2,227 2,227], [-32,913 32,913],
[-2,346 2,346].
При настройке цифровых нечетких регуляторов в интерактивной
системе MATLAB использован блок NCD (Nonlinear Control Design),
который реализует метод динамической оптимизации для проектиро-
вания систем управления.
На рис.3.38 представлены процессы в системе автоматического
управления температурой газа двухроторного газотурбинного двига-
теля с двумя нечеткими регуляторами FC1 и FC2 (см. рис.3.34) при
115
Раздел 3
отработке системой единичного ступенчатого возмущения на выходе:
а - возмущение u(t) и выход системы x(t); б - динамическая ошибка
0(t) = u(t) - х(7) и управляющее воздействие на объект управления
; в - сигнал на выходе исполнительного механизма G(t). Время
регулирования составляет примерно 0,9с. Перерегулирование около
нуля. Максимальная динамическая ошибка практически нулевая.
На рис.3.39 представлены процессы в системе автоматического
управления температурой газа двухроторного газотурбинного двига-
теля с одним нечетким регулятором FC2 при отработке системой еди-
ничного ступенчатого возмущения на выходе.
116
Раздел 3
При использовании в системе управления только одного нечетко-
го регулятора FC2 при условии его настройки можно получить пере-
ходный процесс с перерегулированием сг = 8,2% и временем регули-
рования 1,5с.
Таким образом, применение двух нечетких регуляторов является
целесообразным, поскольку позволяет получить более высокое каче-
ство системы управления.
В заключение сформулируем методику параметрического синтеза
цифровых нечетких регуляторов HP в замкнутых системах автомати-
ческого управления. Эта методика, использующая интерактивную
систему MATLAB, заключается в следующих шагах.
1. В качестве входных переменных HP используем ошибку О,
первую производную в и вторую производную 0 ошибки. Выходная
переменная - управляющее воздействие на объект управления т.
2. Производим выбор вида функций принадлежности ФП нечет-
ких термов, оценивающих входные и выходую переменные HP на
универсальном множестве [0,1]. Число термов для каждой перемен-
ной выбираем равным двум, например, ошибка - отрицательная, по-
ложительная. При этом ФП - непрерывные на универсальном мно-
жестве, симметричные (одна убывающая, другая возрастающая), пе-
ресекающиеся при значении абсциссы 0,5.
3. Формируем два (по числу термов) лингвистических правила
управления и осуществляем формализацию лингвистических правил
управления системой логических уравнений.
4. Задаем начальные значения оптимизируемых параметров HP -
диапазонов изменения входных и выходной переменных HP и пара-
метров ФП.
5. Задаем шаг квантования h в системе, временной интервал на-
блюдения, выбираем критерий качества и метод параметрической оп-
тимизации.
6. Рассчитываем с шагом моделирования Ао (< h) критерий
качества замкнутой системы при заданных задающем и помеховом
воздействиях для выбранного интервала наблюдения. При этом вы-
полняем следующие шаги: а) производим переход от значений вход-
ных переменных HP, выраженных в физических величинах, к соответ-
ствующим значениям универсального множества, на котором заданы
117
Раздел 3
ФП нечетких термов (по формулам (3.1) или (3.41) в блоке нормиров-
ки normin); б) осуществляем выбор метода дефаззификации и произ-
водим расчет выхода HP ис на универсальном множестве; в) произ-
водим переход от полученного значения выхода HP на универсальном
множестве к значению управляющего воздействия т (по формулам
(3.2) или (3.13) в блоке нормировки normout); г) осуществляем расчет
выхода объекта управления при данном т ; е) определяем значение
текущей ошибки в замкнутой системе автоматического управления
для каждого ; ж) для выбранного временного интервала наблюде-
ния рассчитываем значение критерия качества.
7. Процедуру повторяем (с другими значениями диапазонов изме-
нения входных и выходной переменных и параметров ФП) до тех пор,
пока не будет получено либо минимальное значение критерия качест-
ва либо удовлетворяющее разработчика качество системы управления
с HP. Соответствующие этой ситуации значения параметров HP (диа-
пазонов изменения входных и выходной переменных и параметров
ФП) выбираем в качестве оптимальных.
Изложенная методика параметрического синтеза цифровых не-
четких регуляторов отличается от известных следующим. Синтез вы-
полняется путем оптимизации диапазонов изменения входных и вы-
ходной переменных регулятора и параметров функций принадлежно-
сти нечетких термов. В качестве входных переменных нечеткого ре-
гулятора используются ошибка, первая и вторая производные ошибки,
а выходной переменной регулятора является управляющее воздейст-
вие на объект управления. Для упрощения расчетов используются
только две лингвистические оценки (два терм-множества) для вход-
ных и выходной переменных регулятора: «отрицательная», «положи-
тельная». Причем функции принадлежности указанных терм-
множеств на универсальном множестве являются непрерывными,
симметричными и пересекающимися в центре универсального множе-
ства. Различные функции принадлежности и алгоритмы Мамдани и
Сугено нечеткого вывода (определения выхода HP ис на универсаль-
ном множестве) заложены в пакете нечеткой логики (Fuzzy Logic
Toolbox) интерактивной системы MATLAB.
118
Раздел 3
В теории управления на базе нечеткой логики рассматриваются
также вопросы о полноте и непротиворечивости совокупности правил
управления [88].
Для лингвистических правил управления (рабочих правил) нечет-
кого регулятора
Если (0* =<?/) и (0* =а^) и (0* =а^), то (т* = а{.) ,J = 1,2,
(3.62)
где а/, ^2 и aJ3- лингвистические оценки ошибки 0(7), скорости из-
менения (первой производной) ошибки 0(f) и второй производной
ошибки 0(f), рассматриваемые как нечеткие множества, определен-
ные на универсальном множестве, требование полноты правил управ-
ления сводится к выражению
3
U = (jSupp(a/), (3.63)
!
где Supp(a- ) - носитель нечеткого множества а/. Содержательно
это означает, что для каждого текущего пересчитанного на универ-
сальное множество значения ошибки W](7), первой производной
ошибки u^(t) и второй производной ошибки u^(t), т.е. для каждого
текущего состояния процесса wz, i - 1,3, на универсальном множест-
ве существует ходя бы одно управляющее правило, посылка которого
имеет ненулевую степень принадлежности для wz, i = 1,3.
При использовании функций принадлежности ФП, приведенных
на рис.2.8 - 2.14, требование полноты правил управления удовлетво-
ряется для каждого текущего состояния процесса wz, i = 1,3.
Непротиворечивость совокупности правил управления чаще всего
трактуется как отсутствие управляющих правил, имеющих сходные
посылки и различные или взаимоисключающие следствия. Очевидно,
что при использовании ФП, приведенных на рис.2.8 - 2.14, требование
непротиворечивости совокупности правил управления также выпол-
няется для каждого текущего состояния процесса wz, i = 1,3.
119
Раздел 3
3.2. Аналитические выражения для управляющих воздейст-
вий на выходе нечеткого регулятора. Проектирование нечетких
регуляторов. Оптимизация параметров нечетких регуляторов
Ниже получены аналитические выражения для управляющих воз-
действий на выходе нечеткого регулятора, приведена основная функ-
циональная схема и изложен новый метод проектирования нечетких
регуляторов, рассмотрены вопросы оптимизации их основных пара-
метров путем минимизации выбранного критерия качества для полу-
чения оптимальных переходных и установившихся процессов в сис-
темах управления с нечеткими регуляторами [21,23,24,28,35,74-76,83].
Применение нечетких регуляторов (регуляторов, работающих на
базе нечеткой логики) для управления различными (в частности, не-
стационарными и нелинейными) объектами показывает их высокую
эффективность и в ряде случаев существенные преимущества перед
линейными цифровыми регуляторами [5-7,9,28,169,174]. Основными
параметрами цифровых нечетких регуляторов, при которых произво-
дится их синтез и расчет, являются, во-первых, количество и форма
функций принадлежности fAT(и) лингвистических терм-множеств и,
во-вторых, диапазоны изменения входных и выходной лингвистиче-
ских переменных ошибка, первая производная ошибки, вторая произ-
водная ошибки, управляющее воздействие на объект, т. е. [^min, 0тях ],
’ ^max ]. О™ 1 ’ t^min ’ ^max 3 *
Выбор функций принадлежности при синтезе нечетких регулято-
ров для систем автоматического управления имеет специфические
особенности. Эти особенности обусловлены тем, что на вход нечетко-
го регулятора, как правило, поступают три лингвистических перемен-
ных - ошибка системы 0, скорость изменения (первая производная)
ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки 0, которые каче-
ственно можно охарактеризовать (с целью упрощения расчетов) толь-
ко двумя терм-множествами (лингвистическими величинами), напри-
мер, отрицательная - 1, положительная - 2. Эти терм-множества
описываются на универсальном множестве U соответственно двумя
функциями принадлежности ФП: //](«) и ФП определяет
степень принадлежности каждого элемента и множеству U числом
120
Раздел 3
между 0 и 1, которое называют степенью истинности рассматривае-
мой лингвистической переменной данному терму. Поэтому функции
и //2(п) Должны быть симметричными друг относительно
друга и пересекаться при значении и - 0,5. Кроме того, функция
(и) должна быть убывающей, a //2(w) " возрастающей.
Аналитические выражения часто используемых на практике
функций принадлежности заданы формулами: (2.25) - для треуголь-
ных ФП, (2.29) - для возведенных в степень треугольных ФП, (2.30) и
(2.40) - для колоколообразных ФП, (2.31) - для гауссовых ФП, (2.32) -
для экспоненциальных ФП, (2.33), (2.35) и (2.34), (2.36) - соответст-
венно для Z-функций и S-функций, (2.38) - для сигмоидальных ФП.
Симметричные друг относительно друга функции принадлежно-
сти, аналитически определяемые формулами (2.26)-(2.32), имеют
только один параметр - коэффициент с, которым можно варьировать
при настройке нечеткого регулятора, что удобно с практической точки
зрения. Функции принадлежности, аналитически определяемые фор-
мулами (2.33), (2.34), (2.38) и (2.40) кроме коэффициента с, который
определяет значение абсцисс функций при значении ординат равном
0,5, имеют второй параметр - коэффициент а, который определяет
крутизну кривых.
Для выходной лингвистической переменной - управляющего воз-
действия на объект управления т можно использовать такие же ФП,
как и для входных лингвистических переменных.
Диапазоны изменения входных переменных
timin’^maxL l^mm’^max] и текущие значения входных переменных
9,0,0 пересчитываются (отображаются) на единое универсальное
множество U = [0,1] по формулам (3.1). Полученное в результате ре-
шения значение выхода ис нечеткого регулятора на едином универ-
сальном множестве U = [0,1] пересчитывается в значение управляю-
щего воздействия на объект управления т по формуле (3.2).
При симметричных диапазонах входных и выходной переменных
пересчет осуществляют по формулам (3.41).
В качестве примера на рис.3.40 показаны экспоненциальные
функции принадлежности на универсальном множестве и диапазоны
121
Раздел 3
изменения переменных, а также результирующая ФП (жирная линия)
для конкретных переменных, при условии, что для каждой лингвисти-
ческой переменной функции принадлежности заданы одной и той же
формы с одним и тем же параметром настройки с.
। । ।
-----------------------------------л---->
mmin m mmax щ
Рис.3.40
Результирующую ФП получают обычно “минимаксным” мето-
дом, а расчет абсциссы центра тяжести sc = S(uc,juc) участка площа-
ди, охватываемой результирующей ФП //(и) в пределах изменения
переменной и от и - U} др и = U2, удобно выполнять, используя
численное интегрирование по методу трапеций (с шагом дискретиза-
ции uQ), по формуле (1.2).
При определении результирующей ФП необходимо определять
абсциссы точек пересечения ФП нечетких подмножеств (например,
термов положительная-1. отрицательная -2) с горизонтальными
прямыми на расстоянии А и В от оси абсцисс. Наиболее просто это
выполнить для треугольных ФП.
122
Раздел 3
Для возведенных в степень треугольных ФП (см. формулы (2.29))
абсциссы точек пересечения определяются как
w* = 1 - (А или 5)1/с и и* = (А или 5)1/с . (3.64)
Для ФП колоколообразного вида (см. формулы (2.30)) абсциссы
точек пересечения определяются как
м* = 1 ы ’2 и «* = 1 - gC.1 -1)172 • (3.65)
(Л или В) (А или В)
Для гауссовых ФП (см. формулы (2.31)) абсциссы точек пересече
ния определяются как
и* = с(-21п(Аили В))^2 и и* = 1 -с(-21п(Л или В))^2. (3.66)
Для экспоненциальных ФП (см. формулы (2.32)) абсциссы точек
пересечения определяются как
и* = 1п(Л или В) и w* = 1 + — 1п(Л или В). (3.67)
с с
Для Z-функции и S-функции (см. формулы (2.33) и (2.34)) абсцис-
сы точек пересечения определяются как
* < , /> х 1~(А или В) , ,
и -i-b + (b-a)J-------, если 1 -Ь < и < 1 -
♦ . /14 /(Я или В) а + b
и = \-а + (Ь-а)у---, если 1-----< и < 1
V 2 2
* . (А или В) а + Ь
и = а + (Ь-а).----, еслиа<и<----;
V 2 2
* , . 11-(А или В) а + Ь
и =b + (b-a).l------, если --<и<1
12 2
>(3.68)
Для сигмоидальных ФП (см.формулы (2.36)) абсциссы точек пе-
ресечения определяются как
* 11 * 1 1
и = 1 - с + — 1п[--1] и и =с — 1п[------1] .
а (А или В) а (А или В)
(3.69)
Окончательный выбор функций принадлежности для нечеткого
регулятора в системе автоматического управления возможен только
при оптимизации основных параметров регулятора (диапазонов изме-
123
Раздел 3
нения лингвистических переменных, формы и параметров функций
принадлежности лингвистических величин) [106].
Можно получить аналитические выражения для управляющих
воздействий на выходе нечеткого регулятора, в блоке формирования
логического решения которого используются определенные функции
принадлежности.
1. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных возведенных в степень
треугольных функциях принадлежности [23].
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.41): //j(w) = (1-м)с, и е[0,1]; A2(w)”wC’ we [0,1].
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных и v с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
U\ , и^ , и$* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.41). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для этого момента времени
* * *
значения переменных и\ , U2 , ^3 •
а) б)
Рис.3.41
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
124
Раздел 3
менения входных сигналов (параметров нечеткого регулятора) при-
нимаем симметричными:
^max ^max ^max “ ~^min-
Тогда формулы для нормировки (пересчета) принимают вид (см. фор-
мулы (3.41)):
Щ* = -(**-0min)/(20min);
и2 “ > (3.70)
w3 “ ” ^min V(2^min )•
Лингвистическое правило управления нечеткого регулятора фор-
мулируется виде (см. формулу (3.5)):
Если (0* = а{) и (0* -а^} и (0* = aJ^ ), то (т = ,j = 1,2,
(3.71)
где а/, и а$- лингвистические оценки ошибки, первой производ-
ной ошибки и второй производной ошибки, рассматриваемые как не-
четкие терм-множества, определенные на универсальном множест-
ве, у = 1,2 ; aJc - лингвистические оценки управляющего воздействия
на объект, выбираемые из терм-множества переменной т . Лингвис-
тические оценки выбираются из терм-множеств лингвистических пе-
ременных 0* , и , 0* и т* :
а- е {отрицательная (1), положительная (2)}.
В соответствии с лингвистическими правилами управления функ-
ция принадлежности управляющего воздействия Ц\с(и) нечеткому
терм-множеству “отрицательная” ограничена сверху значением:
А= (щ ),щ (и*2),(«з)], (3.72)
функция принадлежности управляющего воздействия Р2с(и) нечет"
кому терм-множеству “положительная” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (W|*), /j2 (и2), V2 («з)] • (3.73)
Результирующая функция принадлежности для управляющего во-
здействия определяется как
125
Раздел 3
At (w) = Alc(M) v ^2c(«)’ (3-74)
т.е. получается формированием максимума
цс(и) =max[//k.(и), ц2с(и) ]. (3.75)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т* формируется “результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП, и производится поиск абсциссы “центра тяжести
результирующей фигуры“ ис. Общая формула для определения абс-
циссы “центра тяжести результирующей фигуры “ записывается в ви-
де (см. формулу (1.1)):
1
ис = О-----------• (3.76)
О
Отметим весьма существенный факт. Какие бы значения не при-
♦ * *
нимали переменные и\ , uz , на универсальном множестве
(7 = [0,1], в зависимости от соотношений величин А и В “результи-
рующая фигура” может принимать только две конфигурации: при
А < В первая конфигурация показана на рис.3.41,а; при А > В вто-
рая конфигурация показана на рис.3.41,6.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < В определяется по формуле
су/а cJb 1
A ^udu 4- j uc^du 4- В ^udu
ис - ——^~=----------------—— при А < В. (3.77)
с cJa cJb 1
A feu+ j ucdu + B ^du
0 cJa c4b
После несложных вычислений находим:
126
Раздел 3
ис = 2 2(с + 2) ------------- при А < В. (3.78)
с -+1 -+1
В +-----(Ас -Вс )
С + 1
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
1-V7 \--Jb 1
A fudu + j (l-u)cudu + B ^udu
ис =-----при А > В. (3.79)
с \-с/а \-с4в 1
A fdu + j ()-u)cdu + B fdu
o i-Va i-Vs
После несложных вычислений находим:
1.1, 2 ,
А с —И —И с* —И
----— (Ас -Вс ) +—- (Ае
_ 2 с + 1 2(с + 2)
2+1
-Вс )
------- при А > В.
с -+1 -+i
А-------(Ас -Вс )
(3.80)
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления. При симметричных диа-
пазонах изменения выходных сигналов ()
v II Id А 111111 /
т* =wmin(1-2wc)- (3-81)
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.77) и
(3.79) использованы следующие неопределенные интегралы:
Г с . 1 с+1 Гп .С. (l-w)C+1
\и du =-----и ; 1(1—w) du = -~--------—
J C+l J с+1
f(l - и) udu =--— [w(l - м)<?+| + ———-].
J c+l c+2
127
Раздел 3
Наиболее часто в нечетких регуляторах используются треуголь-
ные функции принадлежности, для которых с - 1 (см. рис.3.42).
Рис.3.42
Подставляя значение с = 1 в формулы (3.78) и (3.80), для управ-
ляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных
треугольных функциях принадлежности получаем следующие резуль-
таты.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при
А < В определяется по формуле
£/2 + (Л3-53)/6 , „ „
и С =------1----S---- ПРИ Л < В. (3.82)
В + (А2-В2)/2
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
(Я-Л2+Я2)/2 + (Л3-53)/6 , „
ис = ±при А > В. (3.83)
А-(А2-В2)/2
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,01, В=0,3, с=3 получаем ие = 0,7272.
При А=0,3, В=0,01, с=3 получаем ис = 0,2728.
128
Раздел 3
При А=0,2, В=0,4, с=1 получаем ис - 0,5608.
При А=0,4, В=0,2, с=1 получаем ис - 0,4392 .
2.Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных экспоненциальных
функциях принадлежности [24]
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, экспоненциальные функции принадлежности (ФП)
которых для каждой лингвистической величины определяются по
формулам (см. рис.3.43):
^{и) = е~си, we [0,1]; ^2(М) = е"с(|-и), we[0,1].
Отметим, что при синтезе нечетких регуляторов в системах авто-
матического управления наиболее часто используются треугольные и
экспоненциальные функции принадлежности для лингвистических
величин, причем при использовании экспоненциальных ФП часто
можно получать значительно меньшие ошибки рассогласования в
замкнутых системах автоматического управления [28]. При экспонен-
циальных ФП абсциссу “центра тяжести результирующей фигуры”
определяют обычно приближенным методом численного интегриро-
вания. Ниже получены аналитические выражения для управляющих
воздействий при экспоненциальных ФП.
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, и с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
и*, ^2* , w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет значе-
ний ФП для этих переменных (см. рис.3.43). Точками на универсаль-
ном множестве отмечены возможные для этого момента времени зна-
* * ♦
чения переменных и\ , .
Какие бы значения не принимали переменные «]*, , W3* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.43,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.43,б.
129
Раздел 3
Рис.3.43
Абсцисса “центра тяжести результирующей
А < В определяется по формуле
1+-In А 1+-InB 1
A ^udu + j e~c^~“^udu + В ^udu
° 1+- In Я 1+-1пВ
С с
ис=-------i-------j------------------------
1+-1пЯ 1+-In В (
A ^du + j e~c^~u^du + B fdu
0 1+-1пЯ l+-lnB
c c
После несложных вычислений находим:
фигуры" при
при А< В.
(3.84)
ис =
- + (А - В - А In А + В In В) + --[Л(1п А)2 - В(1п В)2 ]
2 с2 2с2
А--(А-А\пА-В +В\пВ)
с
при А < В.
(3.85)
130
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
~-1пЛ --InB
с с 1
A judu + j e~cuudu + B ^udu
0 --In Л --InB
uc =------j----------------------------- при A> В. (3.86)
--In J --InB ]
A jdu + j e~cudu + В jdu
0 - - In A --InB
c c
После несложных вычислений находим:
В \ 1 ? ?
- + --(Л-5-Л1пЛ + 51пВ) + —— [Л(1пА)* 2 -В(1п5)2]
2 с2 2с2
В + -(А-А1пА-В + В1пВ)
С
при А > В. (3.87)
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.84) и
(3.86) использованы следующие неопределенные интегралы:
2
\udu = —; \ecudu = —ecu', fuecudu =
J 2 J c J с с2
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,02, В=0,04, с=5 получаем ис = 0,5605 .
При А=0,04, В=0,02, с=5 получаем ис = 0,4395.
3. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных колоколообразных
функциях принадлежности.
Пусть на универсальном множестве U =[0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
131
Раздел 3
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.44):
«(“) =-----ке[0,1];//г(«) =----------1 . ае[0,|].
1 + (“)2 | + (—)2
С с
При поступлении на нечеткий регулятор значений входных пере-
менных 0*, 0* и 0* с шагом квантования h осуществляется пере-
счет входных переменных в переменные на универсальном множестве
U = [0,1] W|*, , ^з* и расчет ФП (см. рис.3.44). Точками на уни-
версальном множестве отмечены возможные для какого-то момента
♦ * *
времени значения переменных и\ , , ^з .
Какие бы значения не принимали переменные и/, на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.44,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.44,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры11 при А < В
определяется по формуле
132
Раздел 3
После несложных вычислений находим:
при А < В.
(3.88)
с2 с2 с2
А -с[у1а-А2 -у/в-В2 + arctgj— -
при А < В.
(3.89)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры'* при
А > В определяется по формуле
при А > В.
После несложных вычислений находим:
(3.90)
133
Раздел 3
В с1 с2 с2
2 2 В А
.
В + с[^А-А2 -Jb-b2 + arctg J------1 - arctg J-1 ]
при Л > В. (3.91)
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.88) и
(3.90) использованы следующие неопределенные интегралы:
г с1 du . и-\
I------5--у = с * arctg---;
J(i/-I)2+c2 с
г c2udu с2 г 2 2м * . м-1
------:---7 = — 1п[(м —1) +с )] + c*arctg----;
J(w--l)2+c2 2 с
г с2du . иг c2udu с2 , . ? 2х
I— - = с* arctg-; I— - = —ln(w +с ).
Ju +с с Ju +с 2
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,6281.
При А=0,4, В=0,1, с=0,3 получаем ис = 0,3719.
4. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных гауссовых функциях
принадлежности.
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам:
2 2
А1(м) = ехр(——у); а2(«) = ехр[-^Ц ], и <= [0,1].
2с2 2с2
При поступлении на нечеткий регулятор значений входных пере-
менных 0*, 0* и 0* с шагом квантования h осуществляется пере-
134
Раздел 3
счет входных переменных в переменные на универсальном множестве
U = [0,1] iq* , , W3* и расчет ФП (см. рис.3.45). Точками на уни-
версальном множестве отмечены возможные для какого-то момента
♦ ♦ ♦
времени значения переменных и\. , , ^3 .
Рис.3.45
Какие бы значения не принимали переменные и*, , и 3* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.45,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.4,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < В
определяется по формуле
l-eV-21n Л l-cV-2lnB (ц~02 1
A ^udu 4- J__________е 2с'2 udu + В ^udu
=------“-----------------------г------при А < в.
1-сл/-21п Л l-cV-2lnB (“"О 1
A ^du + j е 2<?2 du + В ^du
0 1-сл/-21пЛ l-cV-2lnB
(3.92)
После вычислений находим:
135
Раздел 3
- -сА^-21пА + сВу/-2\пВ +
2
+ c^ferf (f- In Л) - erf (f- In В )] -
-с\В - A +A\nA-B\nB} л п __
ис =----- - -----------.- - <------ при А < В. (3.93)
А -сАV-21n Л + cBf-2\nB +
+ c^[erf (V-ln/1) - erf (f- In В)]
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
c-J-2\nA cV-21nB 1
I judu + J e 2°2 udu + В ^udt
___0 сУ-21пЛ cV-21nB
cV-21nJ c7-21nB ц2
A jdu + | e 2c2 du + В
0 с7-21пЛ
А
при А>В.
"с
сл/-21пВ
(3-94)
при А > В. (3.95)
После вычислений находим:
- -с2 (В-А +Ain Л-Bln В)
Uc В + cAf-2\nA -сВу/-2\пВ +
+ c^[erf (V- In В) - erf (f- In Л)].
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления по формуле (3.81).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,02, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,695 .
При А=0,4, В=0,02, с=0,3 получаем ис - 0,305 .
При вычислении интегралов в формулах (3.92) и (3.94) использо-
ваны следующие замены переменных:
136
Раздел 3
~^i= = t, du = -jlcdt. Тогда
cV2
cV-21nB ц2
Г f
-InB
f e~' dt =
cV-21n Л V-ln Л
= c^^[erf (V- In В - erf (f-ln/1)].
2. = t, du = -J2cdt. Тогда
cy/2
l-cV-21nB <M~‘)2
J e 2e?2 du =
l-c\l-2\nA
= c^^[erf (J- In A - erf (7- In В)].
-InB
[ e~‘ dt -
V-lnB
j e4 tdt =
7-In A
-InB 9
= -c2(B-A)
-In A
2 -x
—c e
2
3. -——r- = t2=x, u = ^2ct, du = 41cdt, dx = 2tdt .Тогда
2c2
c-J-2inB “2
J e 2c2 udu = 2c2
cV-2ln Л
-InB
= c2 je
-In J
4. ——= t2 =x, u = j2ct + \, du = ^2cdt, dx = 2tdt.
2c2
l-cV-2lnB -V-lnB 2
Тогда J__________e 2°2 udu = J_________e~‘ (^2ct + \)y[2cdt
l-c-J-2\nA -J-in A
137
Раздел 3
-V-ln£ 2 -V-ln£ 2
= 2с2 e~f idt + Jlc f e~l dt =
= -с2(В-А) + с
-1пЛ-ег/(>/-1п5)].
erf(z} = je r dt - интеграл вероятности.
о
Полученные формулы позволяют использовать точный метод вы-
числения абсциссы “центра тяжести результирующей фигуры” при
идентичных треугольных, возведенных в степень треугольных, экспо-
ненциальных, колоколообразных и гауссовых функциях принадлеж-
ности и дают возможность упростить алгоритм расчета управляющих
воздействий на выходе нечеткого регулятора.
При этом функциональную схему нечеткого регулятора можно
представить в виде, показанном на рис. 3.46.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором квантуется аналого-цифровым преобразователем АЦП (Zero-
Order Hold) с шагом квантования (шагом поступления данных в не-
четкий регулятор) h. Ошибка на выходе АЦП 0(к), ее первая
0(k) = [0(k)-0(k-\)]/h и вторая 0(k) = [0(k)-0(k-\)]/h разно-
сти подаются на вход блока нормировки входных переменных.
Вычисления в блоках нормировки входных и выходной перемен-
ных выполняются соответственно по формулам (3.70) и (3.81).
Сигналы с выхода блока нормировки входных переменных
uiyi = 1,2,3, поступают на элемент ограничения, который описывает
универсальное множество U = [0,1].
После задания функций принадлежности и параметра с величины
А и В вычисляются по формулам (3.72) и (3.73).
Если одна или две из переменных uhi = 1,2,3, больше единицы, а
две или одна из остальных расположены на универсальном множест-
ве, то А = 0. Если одна или две из переменных меньше нуля, а две
или одна из остальных расположены на универсальном множестве, то
В = 0.
138
Раздел 3
Если одна из переменных ui9i = 1,2,3, больше единицы, а другая
переменная меньше нуля, то А = В = 0 и на выходе нечеткого регу-
лятора сигнал равен нулю.
Рис. 3.46
В логическом блоке сравнения величин А и В осуществляется
расчет абсциссы “центра тяжести результирующей фигуры” ис по
соответствующим формулам для треугольных, возведенных в степень
треугольных, экспоненциальных, колоколообразных и гауссовых
функций принадлежности.
139
Раздел 3
Сигнал с блока нормировки выходной переменной поступает на
ЦАП (фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной
функцией Н(s) = (1 - e~hs) / s) и далее на вход объекта управления.
На основе представленной функциональной схемы нечеткого ре-
гулятора возможна реализация рассматриваемого класса нечетких ре-
гуляторов программным или аппаратным способом.
Изложенную методику можно также использовать для расчета
управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при функ-
циях принадлежности другого вида.
Поскольку треугольные функции принадлежности употребляются
наиболее часто приведем еще примеры использования треугольных
функций.
5. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с увеличенным наклоном
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.47):
= \ \-а ’
0, I - а < и < I
0, 0 < и < а
; V2(u) = \u~a
Г < 1/ <
J-а ’
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
Wj*, на универсальном множестве U = [ОД] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.47). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
♦ ♦ ♦
мени значения переменных и\ , ^2 > и3 •
Какие бы значения не принимали переменные , и2 на
универсальном множестве U = [ОД], в зависимости от соотношений
140
Раздел 3
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.47,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.47,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < В
определяется по формуле
a+(l~a)A а+(}-а)В 1
A judu + | -——udu + B judu
О а+(1-а)Л1-а a+(l-a)B . . D ...
ис =----7,—г;----Hr---------------, -.. при А< В. (3.96)
с а+(\-а)А В 1 г
A jdu + | -—-du + B jdu
О а+(1-а)А 1 & а+(\-а)В
После несложных вычислений находим:
В / 2 + а2 (А-В)! 2 + а(1-а)(А2-В2)/2 +
и + (1-а)2(Я3-В3)/6_____________ (3 97)
С В + а(А-В) + (1-а)(А2 -В2)/2
при А<В.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > В
определяется по формуле
141
Раздел 3
(1-а)(1-Л) (1-аХ1-в),_ _ 1
A ^udu + J —° - udu + В ^udu
О (i-aXi-Л) 1~а_______________(1-д)(1-Д)
(1-О)(1-Л) (1-аХ1-В), _ 1
A fdu + j —-° - -- Jh + В jdu
О (1-а)(1-Л) 1-0 (1-aXl-S)
при A > В.
(3.98)
После несложных вычислений находим:
В 12 + (\-а)2 (А-В - А2 + В2)/2 +
ис = . приАгв (3 99)
А-а(А-В)-(\-а)(А2 -В2)/2
При а = О формулы (3.97) и (3.99) совпадают соответственно с
формулами (3.82) и (3.83).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия: /и* = mmin (1 - 2wc).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,3, а=0,25 получаем ис = 0,6082.
При А=0,3, 13=0,1, а=0,25 получаем ис - 0,3918 .
При использовании рассмотренных выше функций принадлежно-
сти в нечетком регуляторе, функциональная схема которого приведена
на рис.3.46, следует иметь в виду следующее.
Если одна или две из переменных и,,/ = 1,2,3, больше 1-а, а
две или одна из остальных расположены на универсальном множестве
в диапазоне а < w < 1 - а, то А = 0. Если одна или две из перемен-
ных меньше а, а две или одна из остальных расположены на универ-
сальном множестве в диапазоне а < w < 1 - а, то В = 0.
Если одна из переменных Uj,i = 1,2,3, больше 1 - а, а другая пе-
ременная меньше а, то А = В = 0 и на выходе нечеткого регулятора
сигнал равен нулю. В этом случае нечеткий регулятор ведет себя как
нелинейное корректирующее устройство со случайным прерыванием
управляющего воздействия на объект управления.
142
Раздел 3
6. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с ограничением
Пусть на универсальном множестве U - [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам:
и
И\(и) = У~и
> ^2(«) = 11-а
\-а
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W]*, , а3* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.48). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
а) б)
Рис.3.48
Какие бы значения не принимали переменные , и?*, и$* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
143
Раздел 3
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.48,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.48,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < В
определяется по формуле
(1-а)Л (1-а)В 1
A ^udu ч- j ------и du ч- В ^udu
0 (1-а)А^а (1~а)В л п
Uc ~ (\-а)А Q-a)B 1 При Л _ 5. (3.100)
A ^du + J - - du + В jdu
0 (1-а)А^~а (1-а)В
После несложных вычислений находим:
В/2 + (1-а)2(А3-В3)/6 „ п
ис =----------------------при А<В. (3.101)
В + (1-а)(А2-В2)/2
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при А > В
определяется по формуле
1-(1-а)И 1-(1-а)В _ 1
A judu+ J —^~udu + В ^udu
0 1-(1-а)д1-а 1-(1-а)В . п
Uc ~ 1-(1-а)Л 1-(1-а)В 1 При А _ В. (3.102)
A jdu + j — U-du + B ^du
0 l-(l-a)А 1 ~ ° 1-(1-а)В
После несложных вычислений находим:
_ Л/2-(1-а)(Л2 -В2)/2 + (1-а)2(Л3 -В3)/6
Uc~ ...........7 " (3.103)
А-(\-а)(А2-В2)/2
при А > В.
При а = 0 формулы (3.101) и (3.103) совпадают соответственно с
формулами (3.82) и (3.83).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления: т = 0 “ 2wc)
144
Раздел 3
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,3 , а=0,25 получаем ис = 0,5465 .
При А=0,3, В=0,1, а=0,25 получаем ис - 0,4535.
7. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных сжатых треугольных
функциях принадлежности [83]
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по
рис.3.49):
формулам (см.
И\(и) = '
1,
1 -а-и
, а < и < 1-а ’ Р2(и) ~
1-2а
0, 1 - а < и < 1
0,
и-а
1-2а’
1,
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*, #* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W] , и2*, ^з* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
145
Раздел 3
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.49). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
мени значения переменных и* , и 2 , и3 •
_ * * ♦
Какие бы значения не принимали переменные и\ , U2 , U3 на
А
(3.104)
универсальном множестве U — [0,1], в зависимости от соотношений
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.49,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.49,б.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < В определяется по формуле
а+(\-2а)А а+(\-2а)В 1
judu + j ——— udu + В judu
0 u+(l-2u)/l ' ~^а a+(l-2u)B
а+(1-2а)А а+(\-2а)В
j Ci С и-а
A \du + I -------------du + B
0 а+(1-2а)А ’
при А < В.
После несложных вычислений находим:
В/2 +а2(А-В)/2 +а(\-2а)(А2-В2)/2 +
+ (1-2а)2(Л3-^3)/6______________
В + а(А-В) + (\-2а)(А2-В2)/2
и+(1-2я)Я
(3.105)
ис
при А < В.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А > В определяется по формуле
1-а-(1-2а)Л 1-а-(1-2а)В 1
A fi/du + j ———-udu + B ^udu
________0_______\-а-(\-2а)А _________1-а-(1-2а)В
Мс “ 1-а-(1 2а)А 1-а-(1-2а)В 1 (3,Ю6)
A jdu + J -du + B jdu
0 1-а-(1-2а)А 1-а-(1-2а)5
при А > В.
146
Раздел 3
После несложных вычислений находим:
В12 + (\-а)2(А-В)12-(\-а)(\-2а)(А2-В2)!2 +
и =_____________+ (1-2а)2(Л3-В3)/6_________________
А - а(А - В)-(1-2а)(А2 - В2)/2
при А > В.
(3.107)
При а = 0 формулы (3.105) и (3.107) совпадают соответственно с
формулами (3.82) и (3.83).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления: м* - wmin (1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов
значений ис , которые сведем в таблицу.
а А = 0,2; В = 0,4 А = 0,4; В = 0,2
0 0,5608 0,4392
0,2 0,5723 0,4277
о,з 0,5769 0,4231
0,4 0,5806 0,4194
При использовании рассмотренных выше функций принадлежно-
сти в нечетком регуляторе, функциональная схема которого приведена
на рис.3.46, следует иметь в виду следующее.
Если одна или две из переменных u-,i = 1,2,3, больше 1-я, а
две или одна из остальных расположены на универсальном множестве
в диапазоне я < w < 1 - а, то А = 0. Если одна или две из перемен-
ных меньше а, а две или одна из остальных расположены на универ-
сальном множестве в диапазоне а < и < 1 - а, то 5 = 0.
Если одна из переменных , i = 1,2,3, больше 1 - а, а другая пе-
ременная меньше я, то /1 = 5 = 0 и на выходе нечеткого регулятора
сигнал равен нулю. В этом случае нечеткий регулятор ведет себя как
нелинейное корректирующее устройство со случайным прерыванием
управляющего воздействия на объект управления.
147
Раздел 3
8. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с тремя термами [134]
Пусть универсальном множестве U = [0,1] заданы три нечетких
подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каждой
лингвистической величины определяются по формулам (см. рис.3.50):
= 1-w, не[0,1]; ^2(п)“п’ пе[0,1];
г 2н, ие [0,1/2];
4 2(1-и), е[1/2,1].
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*,/?* и с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
Н]*, w2*> и3 на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.50). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
♦ * ♦
мени значения переменных и\ , н2 , .
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регу-
лятора) принимаем симметричными.
Лингвистическое правило управления нечеткого регулятора фор-
мулируется виде:
Если (0* = ) и (0* = ^2 ) и (#* = )’ то ~ ас) d = U >
где а/, aJ2 и aj - лингвистические оценки ошибки, первой производ-
ной ошибки и второй производной ошибки, рассматриваемые как не-
четкие терм-множества, определенные на универсальном множест-
ве, j = 1,3 ; aJc - лингвистические оценки управляющего воздействия
на объект, выбираемые из терм-множества переменной т . Лингвис-
тические оценки выбираются из терм-множеств лингвистических пе-
ременных 0*, 0* , 0* и т* :
148
Раздел 3
а/ 6 {отрицательная (1), положительная (2),
близкая к нулю - нулевая (3).
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) характеризуются как отрицательные (j = 1), поло-
жительные (j = 2) или близкие к нулю (j = 3).
Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому
множеству “отрицательная” определяется из системы нечетких логи-
ческих уравнений:
149
Раздел 3
AicGO = Ai («1) A Ai(«2) Л Ai ("з) • О-l08)
Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому
множеству “положительная” определяется из системы нечетких логи-
ческих уравнений:
А2с (и) = А2 (М1) А Аг (м2 ) А Аг (мз) • (3-109)
Функция принадлежности управляющего воздействия нечеткому
множеству “близкая к нулю” определяется из системы нечетких логи-
ческих уравнений:
Азе 00 = Аз (М1) А Из (м2) А Из (“з) • (3.110)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия в соответствии с рабочим правилом нечеткого регулятора
записывается в виде
Нс (“) = Р1с 00 v И1с 00 v Азе 00 (3111)
В выражениях (3.108)-(3.111) а - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления функ-
ция принадлежности управляющего воздействия /У|с(н) нечеткому
множеству “отрицательная” ограничена сверху значением:
А= minf/zj («]*), //, («j), А1 («з*)], (3.112)
функция принадлежности управляющего воздействия нечет-
кому множеству “положительная” ограничена сверху значением:
В= min[/z2 (W|*), Иг («2 X Аг (мз)] • (3*. 113)
функция принадлежности управляющего воздействия fac(u) нечет-
кому множеству “близкая к нулю” ограничена сверху значением:
С= min[/z3 (и*), Из (и 2), Из (из)] (3.114)
Результирующая функция принадлежности для управляющего во-
здействия на основании выражения (3.111) получается путем форми-
рованием максимума
Ас (и) =тах[ //]с (и), и2с (и), Азс 00 ]• (3.115)
Отметим весьма существенный факт. Какие бы значения не при-
♦ ♦ *
нимали переменные U\ , , W3 на универсальном множестве
U = [0,1] в зависимости от соотношений величин А, В и С “резуль-
тирующая фигура” может принимать только три конфигурации.
150
Раздел 3
При А < С < В первая конфигурация показана на рис.3.50,а; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А < С < В оп-
ределяется по формуле
А/2 C/2 С В 1
A Judu + 2 Ju2 du + С Judu ± Ju2du + В Judu
_ 0______А/2________C/2 С________В
Uc Л/2 С/2 СВ 1 (3.1 J6)
A jdu + 2 judu + С jdu + judu + В jdu
О А/2 C/2 С В
при А <С < В.
После несложных вычислений находим:
Я/2 + (Л3-4£?3 + ЗС3)/24 , „
ис =------Ц----------------- при А < С < В. (3.117)
В + (А2-2В2 +С2)/4
При А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.50,б; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > С > В оп-
ределяется по формуле
\-А l-C l-C/2 1-5/2 I
A Judu + J(\-u)udu + C Judu+ 2 J(\-u)udu + B Judu
_ 0_____]-A_____________l-C____l-C/2__________1-5/2
c 1-A l-C l-C/2 1-5/2 1
A Jdu + J(l-u)du + C Jdu + 2 J(\-u)du + B Jdu
0 l-A l-C l-C/2 1-5/2
при A >C>B. (3.118)
После несложных вычислений находим:
_ А/2-(2А2-В2 -С2)/4 +(4А3 -В3 -ЗС3)/24
А-(2А2 -В2 -С2)/4 (З.Н9)
Третья конфигурация при <
показана на рис.3.50,в,г. В
этом случае абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 оп-
ределяется по формуле
151
Раздел 3
J/2 C/2 l-C/2 \-B/2 J
A ^udu + 2 ^u2du + C ^udu + 2 j (l-u)udu + B ^udu
= 0 Л/2 C/2 l-C/2 1-1/2
М2 C/2 \-C/2 \-B/2 1
A ^du + 2 fudu + C jdu+ j (l-u)du + B jdu
О М2 C/2 \-C/2 ]-B/2
(3.120)
После несложных вычислений находим:
С/2 + (В2-C2)/4 + (J3-В3)/24 [А<В<С
иг =---------------------------- при <
С + (А2 +В2-2С2)/4 |В<А<С
(3.121)
Отметим, что при фиксированных А и В величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
цх=\-и=А\ и*=1-А; //3 =С = 2(1-/) = 2Л.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений: /Л2=и*=В', //3 = С = 2w = 25.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,4, 00,2 получаем ис = 0,5726.
При А=0,4, В=0,1, 00,2 получаем ис = 0,4274.
При А=0,2, В=0,3, 00,4 получаем ис = 0,5155 .
При А=0,3, В=0,2, 00,4 получаем ис = 0,4845.
Полученные значения ис затем преобразуется в значения управ-
ляющего воздействия: т* = wmm (1 - 2ис).
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для
каждой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.51):
152
Раздел 3
Ц}(и) = \\-и
1, 0 < и < а
, а <и <\ ’
.1 - а
; //2(tt) = il-a
U , О < и < 1 - а .
1-а <и < 1
2и, не [0,1/2];
2(1-и), е[1/2,1].
153
Раздел 3
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
Н]*, н2* , ^з* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.51). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
* ♦ ♦
мени значения переменных и\ , U2 , W3 .
Какие бы значения не принимали переменные и/, и-^ , «з* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только
три конфигурации. При А < С < В первая конфигурация показана на
рис.3.51,а (точки пересечения результирующей ФП находятся на пря-
мых щ = 2и и Hi~u W ~ а) )> абсцисса “центра тяжести результи-
рующей фигуры“ при А < С < В определяется по формуле
А/2 СИ (1-а)С (1-а)В 1
A jwJi/ + 2 |и2(/м + С judu + J-------udu + B judu
0 А/2 С/2 (\-а)С^~а ' (\-а)В
Uc ~ А/2 С/2 (1-а)С (1-а)В 1
A jdu А-2 judu + С jdu + J du + B jdu
0 А/2 С/2 (1-а)С1-а (1-а)В
приА<С<В. (3.122)
После несложных вычислений находим:
_ В/2 + (Л3-С3)/24-(1-а)2(В3-С3)/6
С В + (А2 -С2)/4-(1-а)(В2-С2)/2 (3.123)
при А < С < В.
Вторая конфигурация при А > С > В показана на рис.3.51,6 (точ-
ки пересечения результирующей ФП находятся на прямых
= (1 - и) /(1 - а) и /Лу = 2(1-и)); абсцисса “центра тяжести ре-
зультирующей фигуры“ при А > С > В определяется по формуле
154
Раздел 3
1-(1-а)Л 1-(1-^)C j _ l-C/2
A ^udu+ j ---------------udu + C ^udu +
0 1-(1-д)Л1- a l-(l-o)C
1-5/2 1
1-5/2
=_____________l-C/2
1-(1-а)Л Hl-a)C l-C/2
A jdu + j —-du + C jdu +
0 l-(l-a)A 1 “a l-(l-a)C
1-5/2 1
l-C/2
1-5/2
(3.124)
После несложных вычислений находим:
Л/2 + (В2 -С2)/4-(1-а)(//2 ~С2)/2-
_ -(В3 ~C3)/24 + (l-g)2(/f3 -С3)/6
С А + (В2 - С2 )/4 - (1 - 67)(Л2 -С2)/2
(3.125)
Третья конфигурация при <
показана на рис.3.51,в
(точки пересечения результирующей ФП находятся на прямых
7^3 = 2и и //3 = 2(1 - и)). Абсцисса “центра тяжести результирующей
фигуры" в этом случае определяется по формуле
А/2 С/2 \-С/2 \-В/2 1
A ^udu + 2 ^u2du + C ^udu + 2 j (l-u)udu + B ^udu
u = 0 A/2 C/2 l-C/2 1-5/2
c A/2 C/2 1-C/2 1-5/2
A ^du + 2 ^udu + C ^du -I- J
0 A/2 C/2 l-C/2
1-5/2
при*
(3.126)
После несложных вычислений находим:
155
Раздел 3
(3.127)
С/2 + (В2 -С2)/4 +(А3 -В3)/24
и с =--------г---5-----z------- при (
С + (А2+В2-2С2)/4
Полученные значения ис затем преобразуются в значения управ-
= 0,5804.
= 0,4196.
= 0,5169.
= 0,4831.
ис
ис
ис
ляющего воздействия на объект управления: т = (1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,2, В=0,6, С=0,32, а=0,2 получаем
При А=0,6, В=0,2, С=0,32, а=0,2 получаем
При А=0,3, В=0,4, С=0,48, а=0,2 получаем
При А=0,4, В=0,3, С=0,48, а=0,2 получаем
При а = 0 формулы (3.123), (3.125) совпадают соответственно с
формулами (3.117), (3.119), а формула (3.127) с формулой (3.121).
Отметим, что при фиксированных А, В и а величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
//! =-—— = А; и = 1 -(1 -а)А;
1 -а
^3 = С = 2(1-w*) = 2(1-а)Л.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
и ♦ *
ношений: ц2 =-------= В; и =(\-а)В', /j2=C = 2u = 2(1-а)В.
1-а
Рассмотрим на универсальном множестве U — [0,1] три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для ка-
ждой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.52):
В\(”) =
1-а-и
1-а
; ^2(и) = ]и-а
Аз(м) = <
- 1 11-а’
' 2м, и 6 [0,1 /2];
2(1-м), е [1/2,1].
156
Раздел 3
Нз=2и ц3=2(1-и)
Рис. 3.52
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент време-
ни значений входных переменных 0*, 0* и 6?* с шагом квантования
h осуществляется пересчет входных переменных в переменные и/,
и2 » w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет значений
ФП для этих переменных (см. рис.3.52). Точками на универсальном
множестве отмечены возможные для какого-то момента времени зна-
♦ ♦ ♦
чения переменных и\ , .
При использовании рассмотренных выше функций принадлежности
следует иметь в виду следующее.
157
Раздел 3
Если одна или две из переменных и1У i = 1,2,3, больше 1 - а, а две
или одна из остальных расположены на универсальном множестве в диа-
пазоне б/ < w < 1 - а, то А = 0. Если одна или две из переменных мень-
ше а, а две или одна из остальных расположены на универсальном мно-
жестве в диапазоне я < w < 1 - я, то В = 0. Если одна из переменных
ui, i = 1,2,3, больше 1 - а, а другая переменная меньше а, то
А = В - 0. Кроме того, при А = 0 или В = 0 величина С < 2а.
Если все переменные расположены на универсальном множестве в
диапазоне а < и < 1 - а, то при фиксированных А , В и а величина С
имеет строго определенное значение. Если А < В, то величина С
определяется из следующих соотношений:
Ai = ~ ~и =(1-а)(1- А);
1-а
= С = 2(1-и*) = 2[а + (1-а)А].
Если А>В, то величина С определяется из соотношений:
♦
/ь = - = В; и* =а + (\-а)В\ = 2и* = 2[а + П-а)В].
1 -а
Какие бы значения не принимали переменные и/, м2*, и3 на уни-
версальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений вели-
чин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только три
конфигурации: при А < С < В первая конфигурация показана на
рис.3.52,а (при А = 0); при А > С > В вторая конфигурация показана
на рис.3.52,б (при В = 0); при <
третья конфигурация пока-
зана на рис.3.52,в,г.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < С < В определяется по формуле
А/2 С/2 а+(1-л)С
*^udu+2 ju2du + C judu +
0________A/2__________С/2
А/2 С/2 а+(1-д)С а+(1-я)Я _ 1
A ^du + 2 judu+C jdu + j -—— du + B ^du
0 A/2 С/2 аЦ\-а)С^~а a+(\-a)B
а+(\-а)В 1
j -—- udu + В j и du
а+(1~я)С 1 а+(\-а)В
и
при A < С < B.
(3.128)
158
Раздел 3
Отметим, что при малой величине а на участках универсального
множества 0 < и < С / 2 при А < С < В и \ - С / 2 < и <\ при
А > С > В конфигурации “результирующей фигуры” будут такими,
как приведены на рис.3.51,а.б.)
После несложных вычислений находим:
В/2-а2(В-С)/2-а(\-а)(В2 -С2)/2 +
и +(^3-С3)/24-(1-а)2(В3-С3)/6 (3129)
С В-а(В-С) + (А2 -С2)/4-(1-а)(В2 -С2)/2
при А < С < В.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А > С > В определяется по формуле
(l-oXl-Я) (l-a)d-(') . _ _ 1-С/2
A ^udu + j —а~—- udu + С jw du +
О (l-oXl-Л) (|-а)(1-С)
1-Я/2 1
+ 2 j(l-u)udu + B ^udu
и =_____________L_£/2_________________________
o-axi-^) i-c/2 (3130)
A jdu + j--------------du + C ^du +
0 (i-aXI-Л) П-аХК)
+ 2 j(l-w)Jw + 5 ^du
l-C/2 l-fi/2
при A > С > B.
После несложных вычислений находим:
C/2 + (1-а)2(Л - С -/I2 + С2)/2 + (В2 -С2)/4-
Uc _-(В3-С3)/24 + (1-а)2(Л3-С3)/6 (3131)
Л-а(А-С) + (В2-С2)/4-(1-а)(Л2-С2)/2
при А > С > В.
Формулы (3.129) и (3.131) при а = 0 совпадают соответственно с
формулами (3.117) и (3.119).
159
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А < В < С
В < А < С 0ПРеделяется по Ф°РмУлам (3.126) и (3.127).
Полученные значения ис затем преобразуются в значения управляю-
щего воздействия на объект управления: w* = (1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0, В=0,4, С=0,2, а=0,2 получаем ис = 0,5963 .
При А=0,4, В=0, С=0,2 а=0,2 получаем ис - 0,4037.
При А=0,1, В=0,2, С=0,56, а=0,2 получаем ис = 0,5083 .
При А=0,2, В=0,1, С=0,56, а=0,2 получаем ис - 0,4917.
9. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных треугольных функциях
принадлежности с увеличенным наклоном и тремя термами
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.53):
1 -а-и
\-а
0 < и < 1 - а;
О, 0 < w < а;
0, 1-а<м<1;
а < и < 1 / 2;
1/2<«<1-а;
u 1 -а < и < 1.
160
Раздел 3
Нз=
2(u-a)
1-2а
_2(l-a-u)
Цз1^2а'
а)
б)
Нз=
2(и-а)
2(1-а-и)
1-2а
В)
Рис.3.53
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных #*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
г/j*, г/2*» w3* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.53). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для какого-то момента вре-
♦ ♦ ♦
мени значения переменных и\ , .
161
Раздел 3
Какие бы значения не принимали переменные и/, w2*, w3 на уни-
версальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений вели-
чин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только три
конфигурации: при А < С < В первая конфигурация показана на
рис.3.53,а; при А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.53,б;
[А<В<С
при | в < а < с тРетья К0НФигУРаЦия показана на рис.3.53,в.
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А < С < В определяется по формуле
а^-а)С _ аЦ[_а)С
A juJu + 2 j ——— udu А-С ^udu +
о j 1 - 2л ।
а+(—а)А а+(—а)С
2 2
а+(\-а)В 1
г и - а Л г ,
+ I ----------udu + B \udu
а+(\-а)С 1 ° а+(\-а)В D
ис =-------j----------j-------------------------при А < С < В.
аЦ--а)А а+(--а)С а+{}_а}С
A ^du +2 j ——— du А-С ^du
0 а+(--а)Л а+(--а)С
2 2
а+(\-а)В 1
f и~а J г» f J
+ I ---------du + B \du
а+(\~а)С \ ~а а+(\-а)В
(3.132)
После несложных вычислений находим:
2 2 2
- + — (А-В) + (-~— )А2-(--—)В2 + -С2 +
2 2 4 2 2 2 4
+1[(| - а)2 А3 - (1 - а)2 В3 + - а)С3 ]
, _____6 2_______________4_______
В + а(/1-В) + (1-|М2+(|-^)В2+1с2
при А <С < В.
162
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при
А С > В определяется по формуле
(1-аХ1-^) (1-а)(1-С),
. г г 1-а-и
A |waw + I --------— udu +
0 (1-а)(1-Л) 1-ЙГ
1-о-(—-о)С 1-а-(--а)В
2f , ~ 2f 1-а-и ,
+ С I udu + 2 I ---------------udu + В
J J 1 - 2а
(i-o)(i-c) i-a_(La)c i-
, г , г 1 — a — и ,
1
(udu
2 2 i
+ C jdu +2 J —-—- du + В jdu
(1-aXl-C) |_a_(l_a)5
при A > С > B.
(3.134)
После несложных вычислений находим:
Л п 1 z, ,2,2 /1 За а2 ?
—+ (а---)(В- Л)- —(1-а) Л +(----+ —)BZ +
2 2 2 4 4 2
+1 (1 - а)С2 +1[(1 - а)2 А3 - (1 - а)2 В3 - (^ - а)С3 ]
Л + а(В-Л) + (1-|)В2+(|-|м2+1с2
при Л > С > В. (3.135)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А<В<С
В< А <С
определяется по формуле
163
Раздел 3
а+(—-а)А а+(-—а)С 1-о-(-—а)С
2 2 _ 2
A judu+ 2 j ——— udu + C judu
о 1 1-2а !
и а+(--а)А а+(--а)С
2 2
llc
1-а-(^-а)5 ]
4- Г 1—-—- ис/и + 5 Iwcfw
1 1-2а J
1-а-(—а)С 1-а-(—а)В
_____2_______________________2___________
а+(^-а)Л а+(~-а)С 1-а-(^-а)С
A jdu +2 J ——-du + C jdu
о 1 1— 1
а+(--а)Л а+(--а)С
\-а-(~а)В (
I* -—-—- du + B {du
1-2а
1-а-(--а)С 1-а-(--а)В
А<В<С
при<
(3.136)
После несложных вычислений находим:
2 2 2
а А , а . Л а а 2
— А + {а - — )В + (- - а)С + (- - —) А +
+ — + — }В2 -(---)С2 +-(--а)2(/43 -В3)
4 4 2 4 2 6 2
С + а(А + В-2С) + (^-|)(Л2 + В2 -2С2)
при
ГА<В<С
В< А <С
(3.137)
164
Раздел 3
Полученные значения ис затем преобразуются в значения управ-
ляющего воздействия на объект управления: т* = wmjn (1 - 2ис).
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов
(контрольные точки).
При А=0,1, В=0,4 , С=0,3, <з=0,25 получаем ис = 0,6158.
При А=0,4, В=0,1, С=0,3, <7=0,25 получаем ис = 0,3842.
При А=0,1, В=0,2 , С=0,3, а=0,25 получаем ис = 0,5491.
При А=0,2, В=0,1, С=0,3, а =0,25 получаем ис = 0,4509.
При а = 0 формулы (3.133), (3.135) и (3.137) совпадают соответ-
ственно с формулами (3.117), (3.119) и (3.121).
Отметим, что при фиксированных А, В и а величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
М\ = А; и* = (1-а)(1-Я);
I - а
„ _г_2(1-а-и*)_2(1-а)А
Цт. — с —-----------—---------.
1-2<т 1-2а
Если А > В, то величина С определяется из следующих соотношений:
и*-а . 2(и*-а) 2(1 ~а)В
-----= В, и =а + (\-а)В-, Мз=С= \ '= .
1 - а 1 ~ 2а 1 - 2а
10. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных сжатых треугольных
функциях принадлежности с тремя термами
Пусть на универсальном множестве U = [0,1] заданы три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.54):
165
Раздел 3
1, 0 < и < а", 0, 0 < и < а',
и-а
Al (и) =' , a<w<l-a; \-2а 0, 1 -а < и < 1; , а < и < 1 67, 1-2а 1, 1 - а < и < 1;
Аз(") =
2(и - а)
< 1-2б7 ’
2(1-а-и)
. 1-2а ’
а < и < 1/2;
О, О < и < а
М2 <и <1-67;
1 -а < и < 1.
и
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, в* и и с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W|*, г/2*’ w3* на универсальном множестве U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.54).
Какие бы значения не принимали переменные tq*, . и?,*
на универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотно-
шений величин А, В и С “результирующая фигура” может прини-
мать только три конфигурации. При А < С < В первая конфигура-
ция показана на рис.3.54,а. При А > С > В вторая конфигурация
[А < В < С
показана на рис.3.54,б. При третья конфигурация пока-
зана на рис.3.54,в.
Отметим, что при фиксированных А, В и а величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
1 — 67 — U . ♦ , х .
=---------= А; и =1- а-(1-2а)А;
1 -2а
2(1 — 67 — 17*)
и? = С = —----------= 2А.
5 \-2а
166
Раздел 3
а)
б)
_2(1-а-и)
----1=2Г"
_2(и-а)
1X3 - 1-2а
u1=i^-u
ж 1-2а
1
1-2а
С
В
О
а+(^-а)А
а+(|-а)С
1-а 1
1-а-(^-а)в
1-а-(|-а)С
и
в)
Рис.3.54
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений:
м -a D • .. . 2(м -а)
=-------= В, и = а + (\-2а)В', /лъ-С~-------------- - 2В.
1 - 2а \-2а
167
Раздел 3
Абсцисса “центра тяжести результирующей
А < С < В определяется по формуле
и -а
-----udu +
1 - 2а
а+(—-а)А а+(--а)С
A judu + 2 |
0 а+(±-а)/1
а+(1-2а)С а+(1-2а)В
+ С [udu + [ ——— udu + В
,J ,.J 1-2а
а+(1_а)С ^d-2a)C
' judu
а+(1-2а)В
а+(--а)А а+(--а)С
A [du +2 Г
и-а .
----du +
1-2а
О
а+(--а)А
а+(1-2а)С а+(1-2а)В
С [du + f —— du + B
а+(1_а)С в+(1-2а)С
при А<С < В.
фигуры44 при
(3.138)
а+(}-2а)В
После несложных вычислений находим:
2 2
у + у(^-В) + (^-у)(^2-2В2+С2) +
м +(l-2a)2(J3-4В3 +ЗС3)/24
В + а(А-В) + (—~—)(А2 -2В2 + С2)
4 2
при Л <С<В. (3.139)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при
А > С > В определяется по формуле
168
Раздел 3
l~a-(l-2a)A l-a-(l-2a)C
A [udu + [ —-—^-udu +
0 l-a-(l-2a)A
l-a-(i-a)C l-a-(~a)B !
+ C fudu +2 J -—-—— udu + В fudu
l-a-{\-2a)C , Л l-2fl I
v 7 l-a-(—a)C l-a-(—a)B
2 2
ц — --------------------------------------------±----
c l-a-(l-2a)A l-a-(l-2a)C.
A fdu + f ^^-du +
0 l-a-(l-2a)A 2°
l-e-(l-e)C l-a-(±-a)B ]
+ C fdu +2 j l-a-Udu + B fdu
l-a-(l-2a)C ]_a_(l_a)c l-o-(|-a)5
при A>C>B. (3.140)
После несложных вычислений находим:
у - (а - у )(А - В) - 2-\2Я2 - В2 - С2) +
____________+(1-2а)2(4Я3-В3-ЗС3)/24_________________
А-а(А-В)-^-^)(2А2 -В2 -С2)
при А>С>В. (3.141)
При а = 0 формулы (3.139), и (3.141) совпадают соответственно с
формулами (3.117) и (3.119).
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при
А<В<С
В < А < С 0ПРеделяется по Ф°РмУлам (3.136), (3.137).
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управ-
ляющего воздействия на объект управления: т* = wmjn (1 - 2ис)
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
169
Раздел 3
При А=0,1, В=0,6 , 67=0,25, С=0,2 получаем ис = 0,651.
При А=0,6, В=0,1, а=0,25, С=0,2 получаем ис = 0,349 .
При А=0,2, В=0,3 , 67=0,25, С=0,4 получаем ис = 0,5357 .
При А=0,3, В=0,2, 67=0,25, С=0,4 получаем ие = 0,4643.
11. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных возведенных в степень
треугольных функциях принадлежности с тремя термами
Для настройки треугольных функций принадлежности ФП на экс-
пертные данные в нечеткой логике пользуются операцией сжатия и
растяжения путем возведения этих функций в степень: [//(м)]с, где
показатель степени определяет изменение формы ФП (см. рис.2.3).
Коэффициент с называют коэффициентом относительной важности.
Выше были получены аналитические выражения для управляющих
воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных возве-
денных в степень треугольных функциях принадлежности с двумя
термами. Ниже рассмотрены возведенные в степень треугольные
функции принадлежности с тремя термами.
Пусть на универсальном множестве U - [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.55): /71(н) = (1-м)с, ме[0,1]; = ые[0,1];
' 2м, и е[0,1/2];
4 2(l-w), 6[1/2,1].
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
MJ*, и2 ’ w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.55). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для этого момента времени
* ♦ ♦
значения переменных W] , ^2 ’ w3 •
170
Раздел 3
Какие бы значения не принимали переменные и\*, , ^з* на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только
три конфигурации.
Рис.3.55
При А < С < В первая конфигурация показана на рис.3.55,а; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А < С < В оп-
ределяется по формуле
171
Раздел 3
А/2 С/2 с4с с4в 1
A judu+ 2 ju* 2du + C judu + juc+,du + B judu
О A/2 C/2 sjc cJb
ur =---------------------==-----==---------------
A/2 C/2 cdC SIB 1 (3.142)
A jdu + 2 judu + C jdu + J ucdu + В jdu
0 A/2 C/2 Cjc cJb
при A<C < B.
После несложных вычислений находим:
2 2
в 1 , С -+1 -+*
- + (Л3-С3)/24---------—(Вс -Сс )
= 2 2(с + 2)
2 2 с ’+1 1+1 (3.143)
В + (Л2-С2)/4—— (Вс -Сс )
с + 1
при А < С < В.
При А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.55,б; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигурьГ при А > С > В оп-
ределяется по формуле
1-cJa 1-Vc l-C/2
A judu+ | (\-й)сudu + C judu +
о i-V7 i-Vc
1-5/2 i
+ 2 |(1 - u)udu + В judu
u =_______________l-C/2__________1-5/2
c \-SJa 1-Vc l-C/2 (3.144)
A jdu+ j (l-u)cdu + C jdu +
0 1-^A \-c4c
l-B/2 1
+ 2 J(l-w)JM + B jdu
\-C/2 l-B/2
при A > С > B.
После несложных вычислений находим:
172
Раздел 3
у+ (В2 -С2)/4-(В3 -С3)/24-
1.1. 2,2,
л —hl —hl ~ —hl —hl
---(Ас -Сс ) +-----(Ас -Сс )
с + 1 2(с + 2) (3.145)
1 . 1 .
7 7 С + 1+1
А + (В2-С2)/4—— (Ас -Сс )
с + 1
при А > С > В.
Третья конфигурация при
А < В < С
В< А<С
показана на рис.3.55,в,г. В
этом случае абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры11 оп-
ределяется по формуле (3.121):
С/2 + (В2-С2)/4 + М3-В3)/24 [А<В<С
ис =----------------------------- ПРИ
С + (А2 +В2-2С2)/4 [В<А<С
Отметим, что при фиксированных А и В величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
Я=(1-М/=Я; и*=1-АУс; = С = 2(1-и*) = 2А,/с.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений: р2-ис= В\ и* = ВХ,С\ Цу-С- 2и = 2В}/с.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,005, В=0,4, с=3, С=0,342 получаем ис = 0,5572.
При А=0,4, В=0,005,с=3, С=0,342 получаем ис = 0,4428
При А=0,01, В=0,3, с=3, С=0,4308 получаем ис = 0,528.
При А=0,3, В=0,01, с=3, С=0,4308 получаем ис = 0,472.
Полученные значения ис затем преобразуется в значения управ-
ляющего воздействия: т* = wmm (1 - 2ис).
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] три нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для ка-
173
Раздел 3
ждой лингвистической величины определяются по формулам (см.
рис.3.56):
/Л\(и) = (1 -и)с. we [0,1]; /и2(и)-ис. ие [0,1];
Аз(м) =
(2w)c, we [0,1/2];
2c(l-w)c, е [1/2,1].
Рис.3.56
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантова-
174
Раздел 3
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
W1*, ^2* ’ w3* на универсальное множество U = [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.56). Точками на универ-
сальном множестве отмечены возможные для этого момента времени
* ♦ ♦
значения переменных iq , «2 » м3 •
♦ * *
Какие бы значения не принимали переменные М] , и% , Ч3 на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
величин А, В и С “результирующая фигура” может принимать только
три конфигурации.
При А < С < В первая конфигурация показана на рис.3.56,а; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры'1 при А < С < В оп-
ределяется по формуле
V7/2 Vc/2 с4с С-Гв 1
A judu + 2е juc+,du + C judu + j ue+ldu + В judu
о____________c/a/2__________Vc/2 Vc____________cJb
cJa/2 cJcu c4c cJb 1
A jdu + 22 jucdu + C jdu+ jucdu + B jdu
о су[а/2 c4c/2 C4c cJb
при A < С < B.
После несложных вычислений находим:
В с
- + —-—(Ас -4ВС +ЗСс )
= 2 8(с + 2)
Uc~ с 1+) 1+1 1+1
В + —-—(А' -2ВС +СС )
2(с + 1Г
(3.146)
(3.147)
при А < С < В.
При с = 1 формула (3.147) совпадает с формулой (3.117).
При А > С > В вторая конфигурация показана на рис.3.56,б; абс-
цисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > С > В оп-
ределяется по формуле
175
Раздел 3
i-VI \-с4с \-с4с/2
A ^udu + J (1 - и)с udu + С fudu +
о i-tfi i-Vc
\-с4ви 1
+ 2е J(1 - u)udu + В fudu
________________\-с4с/2___________\-с-Лт
\-с4а \-с4с l-Vc/2 (3.148)
A fdu + f (\-u)cdu + C fdu +
о i-V7 i-Vc
1-Vb/2 1
+ 2C f(l-u)du + B fdu
\-c4c/2 \-cJbI2
при A>C> B.
После несложных вычислений находим:
1+1
-вс
------—(2АС
2 2(с + 1)
2
С ~4
+ —-—(4АС
8(с + 2)
Uc~ 1,1
С —*!
А-----—(2АС -Вс
2(c + lf
при А > С > В.
При с = 1 формула (3.149) совпадает с формулой (3.119).
-+1
-вс
2
-зсс
(3.149)
Третья конфигурация при
1+1 1+1
А < В < С
В< А<С
показана на рис.3.56,в.
В этом случае абсцисса “центра тяжести результирующей фигу-
ры“ определяется по формуле
176
Раздел 3
cJa с4с \-с4си
A judu + | (1 - u)cudu + С ^udu +
о cJa с4с
\-с/ви 1
+ 2е J(1 - u)udu + В ^udu
______________\-с4С!2____________\-с4в!2
с4а с4с \-с4с/2
A jdu+ j(l-u)cdu + C fdu+ (3.150)
о cJa с4с
\-'4в/2 1
+ 2е |(1 - u)du + В jdu
\-с4С!2 I-SIb/2
После несложных вычислений находим:
2
(Ас -Вс
С С —И —С
- +—-—(5е -Сс ) + —-—
и _ 2 2(с + 1) ____ 8(с + 2)
с 1 , 1 , 1 ,
л» -4-1 —4-1 —4-1
С + —-—(Ас +ВС -2СС )
2(с + 1/
(3.151)
при <
При с = 1 формула (3.151) совпадает с формулой (3.121).
Отметим, что при фиксированных А и В величина С имеет
строго определенное значение. Если А < В, то величина С определя-
ется из следующих соотношений:
A, =(l-w)c = А; и=\-АУс; = С = 2С(1 -и*)с = 2еА.
Если А > В, то величина С определяется из следующих соот-
ношений: =ис = В; и =ВУс‘, = С = (2и)с = 2е В.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
177
Раздел 3
При А=0,02, В=0,3, С=0,16, с=3 получаем ис - 0,6543 .
При А=0,3, В=0,02, С=0,16, с=3 получаем ис = 0,3457.
При А=0,1, В=0,75, С=0,8, с=3 получаем ис = 0,6439.
При А=0,75, В~0,1, С=0,8, с=3 получаем ис = 0,3561.
Полученные значения ис затем преобразуется в значения управ-
ляющего воздействия: = wmin (1 - 2ис).
12. Аналитические выражения для управляющих воздействий на
выходе нечеткого регулятора при идентичных сигмоидальных функ-
циях принадлежности
Рассмотрим определение аналитических выражений для управ-
ляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных
функциях принадлежности, которые зависят от двух параметров.
Примером таких функций являются совместно используемые Z-
образная и S- образная, (см.рис.2.12), сигмоидальные (см. рис.2.13),
колоколообразные (см. рис.2.14) функции принадлежности. Посколь-
ку при определенных параметрах эти функции описывают близкие
кривые, то рассмотрим только одни совместно используемые функции
- сигмоидальные.
Пусть на универсальном множестве U - [0,1] заданы два нечет-
ких подмножества, функции принадлежности (ФП) которых для каж-
дой лингвистической величины определяются по формулам:
я (и) =------------------, /Лу (и) =---------------.
1 + exp[a(w - 1 + с)] 1 + ехр[я(с - w)]
При поступлении на нечеткий регулятор в какой-то момент вре-
мени значений входных переменных 0*,0* и 0* с шагом квантова-
ния h осуществляется пересчет входных переменных в переменные
wj* , иу , на универсальное множество U — [0,1] и расчет зна-
чений ФП для этих переменных (см. рис.3.57).
Какие бы значения не принимали переменные и*, и2*, на
универсальном множестве U = [0,1], в зависимости от соотношений
178
Раздел 3
величин А и В “результирующая фигура” может принимать только
две конфигурации: при А < В первая конфигурация показана на
рис.3.57,а; при А > В вторая конфигурация показана на рис.3.57,б.
Рис.3.57
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при
А < В определяется по формуле
udu
\ + еасе~аи
с-- ln(—-1) с-- 1п(—-1)
а А а В > 1
A \du + [----------------+ В \du
О 11 \ + еасе~аи ! J!
U c--ln(--l) с—1п(--1)
а А а В
при А < В,
(3.152)
После несложных вычислений находим:
179
Раздел 3
^ + £^(Л_В) + £[В1п(1-1)-Лп(-!--1)] +
2 2 а В А
ис =
c--ln(--l)
1 1 1 а В
— {Д1п(- -1)]2 - 5[ln(- -1)]2} + J
2а1 А В J ]
c--ln(--l)
а А
В + с(А-В) + -[\п(А)-(А-\)\п(--1)~
а А
udu
1 + еасе~аи
при А<В.
-1п(В) + (В-1)1п(1-1)]
D
(3.153)
Абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > В
определяется по формуле
1-С+- 1п(--1) 1-с+- 1п(- -1)
а А а В
A judu + j
О 1 1 1 Z 1 IX
1-С + - 1п(—1)
а А
udu
\ + еа{с-ХКаи
1-с+- 1п(--1)
а В
1-С+- 1п(--1) 1-с+-1п(--1)
а А а В
A jdu + j
О 1 . 1 1 /1 м
1-с+— 1п(—1)
а А
du
\ + еа(с~^еаи
1
+ В jdu
1-с+- 1п(--1)
при А > В. (3.154)
После несложных вычислений находим:
с
180
Раздел 3
2
- + —(А - В) + — [А ln(- -1) - В 1п(— -1)] +
«с
1 1 ?
— {Д1п(--1)]2
2а2 А
1-сД ln(--1)
а Г В udu
J 1 . а(с-\)^аи
I 1 1 + е v ’е
1-с+- 1п(—1)
а А
А + с(В - А) + -(1п(В) - (В -1) 1п(— -1) -
а В
-1п(Л) + (Я-1)1п(^--1)]
А
при А > В. (3.155)
При вычислении выражений, записанных в формулах (3.152) и
(3.154) использован следующий табличный интеграл:
[ du = и - - 1п(1 + кеаи).
*\ + кеаи а
Поскольку интегралы в формулах (3.153) и (3.155) не являются
табличными, то целесообразно вычислять эти интегралы численным
методом, например, с использованием формулы трапеций. При этом
нтегралы из формул (3.153) и (3.155) можно записать в виде
Величины и переменные при вычислении интеграла из формулы
(3.153) определяются выражнениями:
шаг квантования Д = — [1п(— -1) - 1п(— -1)] / Л/,
а А В
где М - число дискрет на интервале интегрирования;
^+jLwpL = [c_lln(l_1)]A+[c_lln( 1 _i)]£=
2 2 а А 2 а В 2
= С— -----— [A ln( — -1) + 51n( — -1)];
2 2а А В
181
Раздел 3
1 1 J 14 А 1
и,- =С-------1п(------1) + Д • Г, U: = ------------------
л А г' , ас -аи,
а л 1 + е е '
1 + (-^-1)е-аЛ'
При вычислении интеграла из формулы (3.155) величины и пере-
менные определяются выражнениями:
шаг квантования Л = — [ln(— -1) - ln(L -1)]/ М;
а В А
+ = -с+ -!п(--!)]- + [!-с+ -ln(L-1)]- =
2 2 а А 2 а В 2
= О - с)^- + ±[А ln(L -1) + В 1п(| -1)];
1 1 . /1 14 Л • 1 1
W. = 1 - с + — 1п(-1) + Д • z; //, =-— ----=-----:--------
о А 1+е^)е^ 1 + (1_1)е«А7
А
Число дискрет на интервале интегрирования обычно выбирают
М = 100...200, что достаточно для практических расчетов. Вычис-
ленные значения ис затем преобразуются в значения управляющего
воздействия на объект управления: т = /wmin 0 ” ^ис) •
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,001, В=0,4, с=0,7, а=15 получаем ис =0,7864.
При А=0,4, В=0,001, с=0,7, а=15 получаем ис =0.2136.
Рассмотрим вопросы проектирования цифровых нечетких регуля-
торов, функциональная схема которых приведена на рис.3.46, на осно-
ве интерактивной системы MATLAB [147-149, 159, 163, 213].
Для нечетких регуляторов, функции принадлежности которых
представлены на рис.3.41-3.45, структурная схема последовательного
соединения всех блоков функциональной схемы до блока сравнения
величин А и В и расчета ис (см. рис.3.46) показана на рис.3.58.
Структурную схему, представленную на рис.3.58, назовем формиро-
вателем величин A(t) и B(t).
182
Раздел 3
Ошибка рассогласования квантуется аналого-цифровым преобра-
зователем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом посту-
пления данных в нечеткий регулятор) h. Ошибка 0(к) с выхода
АЦП, ее первая 0(к) = [#(&) - 0(к -1)] / h и вторая
0(к) - \О(к}-О(к - 1)]/Л разности подаются на вход блока норми-
ровки входных переменных (см. рис.3.10,6). Вычисления в блоках
нормировки входных переменных выполняются соответственно по
формулам (3.70).
На выходе блоков Product, Productl, Product! структурной схе-
мы формирователя величин A(t) и B(t) получаем переменные ui
(соответственно Wj, w2» из )• Элементами ограничения (Saturation)
моделируем универсальное множество U = [0,1], на которое посту-
пают переменные Uj,i = 1,2,3. В блоках Fen, Fcnl, Fcn2 записываем
аналитические выражения для функций принадлежности , а в
блоках Fcn3, Fcn4, Fcn5 - аналитические выражения для функций
принадлежности //2(w). На выходе блоков Fen, Fcnl, Fcn2 получаем
переменные /лх (wz) (соответственно //] (wj), //j(w2), //i(w3)), а на
183
Раздел 3
выходе блоков Fcn3, Fcn4, Fcn5 получаем переменные /^2 ) (соот-
ветственно //2(wi)’ ^2(^2)» A2(w3))- Выражения (3.72) и (3.73) вы-
числяются в блоках MinMax и MinMaxl, на выходе которых получа-
ем значения переменных A(t) и B(t).
Значения диапазонов Ат = 0max = -0min; Вт = 0тах = -0min;
Ст ~ ^тах ~ “^min ПРИ настройке нечеткого регулятора подбираются
либо вручную, либо автоматически путем решения оптимизационной
задачи.
При использовании в нечетком регуляторе возведенных в степень
треугольных функций принадлежности, приведенных на рис.3.41,
формирователь величин A(t) и B(t) можно представить структурной
схемой, показанной на рис.3.59. Элементы ограничения (Saturation),
которые описывают универсальное множество имеют линейный уча-
сток в диапазоне 0... 1 (что показано для одного из этих элементов).
Рис.3.59
При использовании в нечетком регуляторе треугольных функций
принадлежности, приведенных на рис.3.42, формирователь величин
A(t) и B(t) можно представить структурной схемой, показанной на
рис.3.60.
184
Раздел 3
Рис.3.60
При использовании в нечетком регуляторе экспоненциальных
функций принадлежности, приведенных на рис.3.43, формирователь
величин A(t) и B(t) можно представить структурной схемой, пока-
занной на рис.3.61.
Рис.3.61
185
Раздел 3
При использовании в нечетком регуляторе колоколообразных и
гауссовых функций принадлежности, приведенных на рис.3.44, 3.45
формирователи величин A(t) и B(t) можно представить структур-
ными схемами, показанными соответственно на рис.3.62 и 3.63.
186
Раздел 3
При использовании в нечетком регуляторе сигмоидальных функ-
ций принадлежности, приведенных на рис.3.57, формирователь ве-
личий A(t) и B(t) можно представить структурной схемой, показан-
ной на рис.3.64.
Следует отметить, что при использовании в нечетком регуляторе
треугольных функций принадлежности, приведенных на рис.3.41-3.45,
переменные и формируются из переменных на ос-
новании структурной схемы, приведенной на рис.3.65,а.
Формирование (вычисление) переменных //j(mz) и для
нечетких регуляторов, использующих функции принадлежности, при-
веденные на рис.3.47, 3.48 и 3.49 осуществляется по структурным
схемам, приведенным соответственно на рис.3.65, б, в, г. При этом
формирователи величин A(t) и B(t) выполняются по подобным схе-
мам.
Формирование (вычисление) переменных и //2(wz) дая
нечетких регуляторов, использующих функции принадлежности с
тремя термами, приведенные на рис.3.50-3.54, осуществляется также
по структурным схемам, показанным соответственно на рис.3.65.
187
Раздел 3
Рис.3.65
На рис.3.66 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.47, в котором формирование переменных и
осуществляется по схеме рис.3.65,6.
На рис.3.67 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.49, в котором формирование переменных //](«,) и
А2 (W/) осуществляется по схеме рис.3.65,г.
Поскольку величина C(t) связана определенными соотношениями
с величинами A(t) и B(t), то формирователи величин C(t) получают-
ся достаточно простыми.
На рис.3.68 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.50, в котором формирование (вычисление) переменных
) и //2 (ui) °существляется по схеме рис.3.61,а для треугольных
188
Раздел 3
функций принадлежности (см. рис.3.42), а формирование (вычисле-
ние) величины C(t) осуществляется таким образом: поскольку при
A(t) < B(t) величина C(t) = 2 A(t), а при A(t) > B(t) величина C(t) = 2
B(t), то достаточно определить меньшую величину и увеличить ее
значение в два раза.
Рис.3.66
Рис.3.67
189
Раздел 3
Рис.3.69
На рис.3.69 приведена схема формирователя величин A(t) и B(t)
для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.51, в котором формирование (вычисление) переменных
190
Раздел 3
//] (wz) и /z2 (w/) осуществляется по схеме рис.3.65,в для треугольных
функций принадлежности с ограничением (см. рис.3.48), а формиро-
вание (вычисление) величины C(t) осуществляется таким образом:
поскольку при A(t) < B(t) величина C(t) = 2(1-a) A(t), а при
A(t) > B(t) величина C(t) = 2(1-a) B(t), то достаточно определить
меньшую величину и увеличить ее значение в 2(1-а) раза.
Формирователи величин C(t) для нечетких регуляторов со сжа-
тыми функциями принадлежности и тремя термами (см. рис.3.53, 3.54)
получаются более сложными, так как функция состоит из двух
функций и на интервалах (О...а) и (1-а... 1) равна нулю.
На рис.3.70 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора со сжатыми функциями при-
надлежности и тремя термами, приведенными на рис.3.54.
191
Раздел 3
В этой схеме формирование (вычисление) переменных щ (Uj) и
/^2 (wz) осУЩествляется по схеме рис.3.65,г для сжатых треугольных
функций принадлежности (см. рис.3.49), а формирование (вычисле-
ние) величины C(t) осуществляется следующим образом.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
min(W|,w25w3) - а (К0ГДа на среднем контакте сигнал положитель-
ный и в блоке Switch параметр Threshold > а). Переключатель
Switch 1 замыкает верхний контакт при условии
max(zZ],^2,^3) > 1 ~я (когда на среднем контакте сигнал положи-
тельный и в блоке Switchl параметр Threshold >1-а).Когда на
средних контактах переключателей Switch и Switchl сигналы отрица-
тельные, переключатели замыкают нижние контакты. Таким образом,
при условии а < (^|,^2^з) < 1-а замкнут верхний контакт пере-
ключателя Switch и нижний контакт переключателя Switchl. Если это
условие не выполняется, то замкнут либо нижний контакт переключа-
теля Switch, либо верхний контакт переключателя Switchl и на выхо-
де переключателя Switchl сигнал равен нулю. Поскольку в диапазоне
а < («|, и2,1/3 ) < 1 - а при A(t) < B(t) величина C(t) = 2 A(t), а при
A(t) > B(t) величина C(t) = 2 B(t), то достаточно определить мень-
шую величину и увеличить ее значение в два раза.
На рис.3.71 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с идентичными треугольны-
ми функциями принадлежности с увеличенным наклоном и тремя
термами, приведенными на рис.3.53, в котором формирование (вы-
числение) переменных jtZ](u/) и /л2 (ui) осуществляется по схеме
рис.3.65,б для треугольных функций принадлежности с увеличенным
наклоном (см. рис.3.47), а формирование (вычисление) величины C(t)
осуществляется аналогично тому, как это выполнено в схеме на
рис.3.70.
Поскольку в диапазоне а < (u\yu2,Uy) < 1 ~а при A(t) < B(t)
величина C(t) = 2(1-a) A(t)/ (1 -2а), а при A(t) > B(t) величина
C(t) = 2(1-a) B(t) / (1-2а), 2 B(t), то достаточно определить меньшую
величину и увеличить ее значение в 2(1-а) / (1 -2а) раза.
192
Раздел 3
Во всех схемах формирователей величин A(t) и B(t) граничные
значения диапазонов
~ ^max ~^min ’ &т = ^тах ~ —^min » “ ^тах “ —^min
являются параметрами, которые перестраиваются при настройке не-
четкого регулятора. Параметр а обычно задается постоянным.
Рис.3.71
На рис.3.72 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с идентичными возведенны-
ми в степень треугольными функциями принадлежности с тремя тер-
мами, приведенными на рис.3.55, в котором формирование (вычисле-
ние) переменных и осуществляется по схеме рис.3.65,а
для возведенных в степень треугольных функций принадлежности
193
Раздел 3
(см. рис.3.41), а формирование (вычисление) величины C(t) осуществ-
ляется следующим образом.
Поскольку при A(t) < B(t) величина C(t) = 2$jA(t), а при
A(t) > B(t) величина C(t) = 2sjB(t), то достаточно определить
На рис.3.73 приведена структурная схема формирователя вели-
чин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с идентичными возведенны-
ми в степень треугольными функциями принадлежности с тремя тер-
мами, приведенными на рис.3.56, в котором формирование (вычисле-
ние) переменных щ ) и //2 (wz) осуществляется по схеме рис.3.65,а
для возведенных в степень треугольных функций принадлежности
(см. рис.3.41), а формирование (вычисление) величины C(t) осуществ-
ляется таким образом: поскольку при A(t) < B(t) величина C(t) =
2е A(t), а при A(t) > B(t) величина C(t) = 2е B(t), то достаточно оп-
ределить меньшую величину min[/4(f),B(Z)] и вычислить
2c*min[J(r),B(r)].
194
Раздел 3
Рис.3.73
Рассмотрим формирование блоков сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис, представленных в функциональной схеме на
рис.3.46, для нечетких регуляторов, функции принадлежности кото-
рых с двумя термами показаны на рис.3.41-3.45 и 3.47-3.49.
Для нечеткого регулятора с идентичными возведенными в сте-
пень треугольными функциями принадлежности (см. рис.3.41) блок
сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис показан на рис.3.74(a).
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.78) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.80) и на выходе делителя Productl формируется величина испри
А>В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
195
Раздел 3
Switch параметр Threshoki=0.000001). При условии А > В. когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Рис.3.74(а)
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности (см. рис.3.42) блок сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис показан на рис.3.74(б).
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.82) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.83) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
196
Раздел 3
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Рис3.74(б)
Моделирование блоков сравнения величин A(t) и B(t) и расче-
та ис в интерактивной системе MATLAB можно значительно упро-
стить, если в средстве моделирования и исследования систем управ-
ления с обратной связью Simulink использовать блок MATLAB Fen,
для которого записывать соответствующие программы расчета выхода
нечеткого регулятора ис при поступлении на вход этого блока пере-
менных величин A(t) и B(t). В этом случае блок сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис моделируется одним блоком MATLAB Fen
(см. рис.3.75,а) с записанной для этого блока программой расчета.
Программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета
ис нечеткого регулятора с идентичными возведенными в степень тре-
угольными функциями принадлежности (см. рис.3.41), при моделиро-
вании этого блока одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) при-
ведена ниже:
197
Раздел 3
Parameters MATLAB function: foo41(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
ifA<=B
у1=В/2+с/(2*(с+2))*(АЛ(2/с+1)-ВЛ(2/с+1));
у!=у1/(В+с/(с+1)*(Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)));
return;
end;
у!=А/2-с/(с+1)*(Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1))+с/(2*(с+2))*(Ал(2/с+1)-
BA(2/c+l));
у1=у!/(А-с/(с+1)*(Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)));
return;
a) 6)
Рис.3.75
Для нечеткого регулятора с идентичными экспоненциальными
функциями принадлежности (см. рис.3.43) блок сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис показан на рис.3.76.
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.85) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина мспри А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.87) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
198
Раздел 3
Рис.3.76
Программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета
ис нечеткого регулятора с идентичными экспоненциальными функ-
циями принадлежности (см. рис.3.43), при моделировании этого блока
одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) приведена ниже:
Parameters MATLAB function: foo43(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2+(l-c)/cA2*(A-B-
A*log(A)+B*log(B))+l/2/cA2*(A*(log(A))A2-B*(log(B))A2);
yl=yl/(A-l/c*(A-A*log(A)-B+B*log(B)));
return;
end;
yl=B/2+l/cA2*(A-B-*log(A)+B*log(B))+l/2/cA2*(A*(Iog(A))A2-
B*(log(B))A2);
yl=yl/(B+l/c*(A-A*log(A)-B+B*log(B)));
return;
199
Раздел 3
Для нечеткого регулятора с идентичными колоколообразными
функциями принадлежности (см. рис.3.44) блок сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис показан на рис.3.77.
Рис.3.77
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.89) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.91) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета
ис нечеткого регулятора с идентичными колоколообразйыми функ-
200
Раздел 3
циями принадлежности (см. рис.3.44), при моделировании этого блока
одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) приведена ниже:
Parameters MATLAB function: foo44(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)+atan((l/B-l)A(l/2))-
atan((l/A-l)A(l/2)))-cA2/2*(A-B-log(cA2/B)+log(cA2/A));
yl=yl/(A-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)+atan((l/B-l)A(l/2))-
atan((l/A-l)A(l/2))));
return;
end;
yl=B/2-cA2/2*(A-B-log(cA2/B)+log(cA2/A));
yl=yl/(B+c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)+atan((l/B-l)A(l/2))-
atan((l/A-l)A(l/2))));
return;
Для нечеткого регулятора с идентичными гауссовыми функциями
принадлежности (см. рис.3.45) блок сравнения величин A(t) и B(t) и
расчета ис показан на рис.3.78(a).
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.93) и на вы-
ходе делителя Product формируется величина ис при А < В. Анало-
гичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числитель,
а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выражения
(3.95) и на выходе делителя Productl формируется величина мспри
А >В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Все блоки, в которых записаны математические выражения, пред-
ставленные на рис.3.74 - 3.78(a), моделируются при помощи функций
Fen из блока User-Defined Functions в средстве Simulink.
201
Раздел 3
8um1
Рис.3.78(а)
Sum1
Рис.3.78(б)
202
Раздел 3
В средстве моделирования и исследования систем управления с
обратной связью Simulink функция erf в блоке User-Defined Func-
tions моделируется не блоком Fen, а блоком MATLAB Fen, поэтому
блок сравнения величин А и В и расчета ис, показаный на
рис.3.78(a), будет представлен моделью, изображенной на рис.3.78(6).
В блоках MATLAB Fcnl - MATLAB Fcn8 записаны те же выраже-
ния, что и в соответствующих блоках в схеме на рис.3.78(a).
Для нечеткого регулятора с идентичными сигмоидальными функ-
циями принадлежности (см. рис.3.57) блок сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис показан на рис.3.79.
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.153) и на
выходе делителя Product формируется величина мепри А < В. Ана-
логичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числи-
тель, а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выраже-
ния (3.155) и на выходе делителя Productl формируется величина
ис при А > В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold=0.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
Интегралы, записанные в формулах (3.153) и (3.155), вычисля-
чются соответственно в блоках MATLAB Fcnl и MATLAB Fcn2 по
формуле трапеций. Для каждого интеграла предварительно определя-
ется верхний предел HL и нижний предел LL.
Программа для блока MATLAB Fcnl записывается в виде:
function yl=fool(HL,LL);
Var delta; Var x; Var y; Var I; 1=100; delta=(HL-LL)/I;
k=0;
while 1
k=k+l;
x(k)=LL+delta*(k-l); y(k)=x(k)/(l+exp(15*0.7)*exp(-15*x(k)));
if k>=I+l
break
end
203
Раздел 3
end;
у(1)=у(1)/2; y(I+l)=y(I+l)/2; yl=delta*sum(y);
return;
Sum1
Рис.3.79
Программа function y2=foo2(HL,LL) для блока MATLAB Fcn2
отличается от function yl=fool(HL,LL) только строчкой
x(k)=LL+delta*(k-l); y(k)=x(k)/(l+exp(15*(0.7-l))*exp(15*x(k)));
Программы составлены для параметров сигмоидальных функций
принадлежности (см. рис.2.13): с=0,7 и а=15.
Общая программа для блока сравнения величин A(t) и B(t) и
расчета ис нечеткого регулятора с идентичными сигмоидальными
функциями принадлежности (см. рис.3.57) при моделировании этого
блока одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) приведена ниже.
204
Раздел 3
function yl=foosigma(A,B);
var as; var cs; var HL; var LL; var nu; var po;
as=15; cs=0.7;
if A<=B
HL=cs-l/as*log(l/B-l); LL=cs-l/as*log(l/A-l);
nu=B/2+csA2*(A-B)/2+cs/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-l));
nu=nu+(l/(2*asA2))*(A*(log(l/A-l))A2-(B*(log(l/B-l))A2));
n u=n u+foot 1 (H L,LL,as,cs);
po=B+cs*(A-B)+(l/as)*(Iog(A)-(A-l)*log(l/A-l)-log(B)+(B-
l)*log(l/B-l)); yl=nu/po;
return;
end;
HL=l-cs+l/as*log(l/B-l); LL=l-cs+l/as*log(l/A-l);
nu=B/2+(l-cs)A2*(A-B)/2;
nu=nu+((l-cs)/as)*(A*log(l/A-l)-B*log(l/B-l));
nu=nu+(l/(2*asA2))*(A*(log(l/A-l))A2-(B*(log(l/B-l))A2));
nu=nu+foot2(HL,LL,as,cs);
po=A+cs*(B-A)+(l/as)*(log(B)-(B-l)*log(l/B-l)-log(A)+(A-
l)*log(l/A-l)); yl=nu/po;
return;
function y2=footl(HLl,LLl,asl,csl);
Var delta; Var x; Var y; Var I;
1=150; delta=(HLl-LLl)/I;
k=0;
while 1
k=k+l;
x(k)=LLl+delta*(k-l); y(k)=x(k)/(l+exp(-asl*x(k))*exp(asl*csl));
ifk>=I+l
break
end
end;
y(l)=y(l)/2; y(I+l)=y(I+l)/2; y2=delta*sum(y);
fu nction y3=foot2(HL 1 ,LL 1 ,as 1 ,cs 1);
Var delta; Var x; Var y; Var I;
1=150; delta=(HLl-LLl)/I;
k=0;
while 1
k=k+l;
205
Раздел 3
x(k)=LLl+delta*(k-l);
y(k)=x(k)/(l+exp(asl*x(k))*exp(asl*(csl-l)));
if k>=I+l
break
end
end;
y(l)=y(l)/2; y(I+l)=y(I+l)/2; y3=delta*sum(y);
Программы 1, 2 и 3 соответственно для блоков сравнения вели-
чин A(t) и B(t) и расчета ис нечетких регуляторов с идентичными
треугольными функциями принадлежности с увеличенным наклоном,
с ограничением и сжатыми треугольными функциями (см. рис.3.47,
3.48 и 3.49), при их моделировании одним блоком MATLAB Fen (см.
рис.3.75,а) приведены ниже.
1. Parameters MATLAB function: foo47(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var as; as=;
if A<=B
yl=B/2+asA2*(A-B)/2+as*(l-as)*(AA2-BA2)/2+(l-as)A2*(AA3-
BA3)/6;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
end;
yl=B/2+(l-as)A2*(A-B-AA2+BA2)/2+(l-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
2. Parameters MATLAB function: foo48(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var as; as=;
if A<=B
yl=B/2+(l-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(B+(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
end;
yl=A/2-(l-as)*(AA2-BA2)/2+(l-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(A-(l-as)*(AA2-BA2)/2);
return;
206
Раздел 3
3. Parameters MATLAB function: foo49(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var as; as=;
if A<=B
yl=B/2+asA2*(A-B)/2+as*(l-2*as)*(AA2-BA2)/2+(l-
2*as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l-2*as)*(AA2-BA2)/2);
return;
end;
yl=B/2+(l-as)A2*(A-B)/2-(l-as)*(l-2*as)*(AA2-BA2)/2+(l-
2*as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l-2*as)*(AA2-BA2)/2);
return;
Проектирование блоков сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и
расчета ис для нечетких регуляторов с различными функциями при-
надлежности с тремя термами незначительно усложняется по сравне-
нию с проектированием блоков сравнения величин A(t), B(t) и C(t)
и расчета ис для нечетких регуляторов с различными функциями
принадлежности с двумя термами.
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами (см. рис.3.50) блок сравне-
ния величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на рис.3.80.
На выходе делителя Product формируется величина ис на осно-
вании формулы (3.117) при А < С < В. На выходе делителя Productl
формируется величина ис на основании формулы (3.119) при
А > С > В. На выходе делителя Product2 формируется величина ис
на основании формулы (3.121) при
А < В < С
В< А <С
Переключатели Switch и Switch 1 замыкают верхние контакты
при условии А < С < В, когда на средних контактах этих переключа-
телей сигналы положительные (в блоках Switch и Switch 1 параметр
Threshold O.000001). При условии А > С > В, когда на средних кон-
207
Раздел 3
тактах переключателей Switch и Switchl сигналы отрицательные, пе-
реключатели замыкают нижние контакты.
Рис.3.80
208
Раздел 3
Переключатели Switch! и Switch3 замыкают верхние контакты
при условии *
[А<В<С
В< А<С
, когда на средних контактах этих переклю-
чателей сигналы положительные (в блоках Switch! и Switch3 пара-
метр Threshold=0.000001).
При условии А < С < В, когда на средним контакте переключа-
теля Switch! сигнал положительный, а на средним контакте переклю-
чателя Switch3 сигнал отрицательный, то в переключателе Switch!
замкнут верхний контакт, а в переключателе Switch3 замкнут нижний
контакт.
При условии А > С > В, когда на средним контакте переключа-
теля Switch3 сигнал положительный, а на средним контакте переклю-
чателя Switch! сигнал отрицательный, то в переключателе Switch3
замкнут верхний контакт, а в переключателе Switch! замкнут нижний
контакт.
Таким образом, при условии А < С < В сигнал на выход схемы
поступает с выхода делителя Product, при условии А > С > В сигнал
на выход схемы поступает с выхода делителя Productl и при условии
А < В < С
* сигнал на выход схемы поступает с выхода делителя
В< А<С
Product!.
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами, где функции принадлежно-
сти Д1(н) и ^(и) имеют ограничения (см. рис.3.51), блок сравне-
ния величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на рис.3.81.
На выходе делителя Product формируется величина ис на осно-
вании формулы (3.123) при А < С < В. На выходе делителя Productl
формируется величина ис на основании формулы (3.125) при
А > С > В. На выходе делителя Product! формируется величина ис
на основании формулы (3.127) при
А < В < С
В< А<С
209
Раздел 3
Рис.3.81
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами, где функции принадлежно-
сти и имеют увеличенный наклон (см. рис.3.52), блок
сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на
рис.3.82.
210
Раздел 3
Рис.3.82
На выходе делителя Product в схеме (см. рис.3.82) формируется
величина ис на основании формулы (3.129) при А < С < В. На выхо-
де делителя Product! формируется величина ис на основании фор-
211
Раздел 3
мулы (3.131) при А > С > В. На выходе делителя Product! формиру-
ется величина ис на основании формулы (3.127) при
А<В<С
В< А<С
Для нечеткого регулятора с идентичными треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами, где функции принадлежно-
сти /^(w) и //2(w) имеют коэффициент сжатия с (см. рис.3.55), блок
(сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на
рис.3.83.
Рис.3.83
212
Раздел 3
На выходе делителя Product в схеме (см. рис.3.79) формируется
величина ис на основании формулы (3.143) при А < С < В. На выхо-
де делителя Productl формируется величина ис на основании фор-
мулы (3.145) при А > С > В. На выходе делителя Product! формиру-
ется величина ис на основании формулы (3.121) при <
В< А<С
Для нечеткого регулятора с идентичными сжатыми с коэффици-
ентом с треугольными ФП с тремя термами (см. рис.3.56), блок срав-
нения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис показан на рис.3.84.
Рис.3.84
213
Раздел 3
A<B<C
B< A<C
На выходе делителя Product в схеме (см. рис.3.79) формируется
величина ис на основании формулы (3.147) при А < С < В. На выхо-
де делителя Productl формируется величина ис на основании фор-
мулы (3.149) при А > С > В. На выходе делителя Product! формиру-
ется величина ис на основании формулы (3.151) при <
Переключатели Switch, Switch 1, Switch! и Switch3 в схемах
блоков сравнения величин A(t), B(t) и C(t) и расчета ис, приведен-
ных на рис.3.81-3.84 работают так же, как в схеме, приведенной на
рис.3.80.
Аналогичным образом формируются блоки сравнения величин
A(t), B(t) и C(t) и расчета ис для нечетких регуляторов с функциями
принадлежности, показанными на рис.3.53 и 3.54.
Программы 1-7 для блоков сравнения величин A(t) и B(t) и
расчета ис нечетких регуляторов 1- с идентичными треугольными
функциями принадлежности с тремя термами (см. рис.3.50), 2- с иден-
тичными треугольными функциями принадлежности с тремя термами,
где функции принадлежности и //2(w) имеют ограничения (см.
рис.3.51), 3- с идентичными треугольными функциями принадлежно-
сти с тремя термами, где функции принадлежности /Z](w) и
имеют увеличенный наклон (см. рис.3.52), 4- с идентичными тре-
угольными функциями принадлежности с тремя термами, где функ-
ции принадлежности /Z|(w), ^2(w) и Zb(M) имеют увеличенный на-
клон (см. рис.3.53), 5- с идентичными сжатыми треугольными функ-
циями принадлежности с тремя термами (см. рис.3.54), 6 и 7- с иден-
тичными возведенными в степень треугольными функциями принад-
лежности с тремя термами (см. рис.3.55 и 3.56) при моделировании
этих блоков одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,б) приведены
ниже.
1. Parameters MATLAB function: foo50(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo50(A,B,C);
if (A<=C)&(C<=B)
у1=АЛ3/!4+В/!-ВЛ3/6+СЛ3/8;
214
I Раздел 3
у1=у!/(АЛ2/4+В-ВЛ2/2+СЛ2/4);
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-AA2/2+AA3/6+BA2/4-BA3/24+CA2/4-CA3/8;
yl=yl/(A-AA2/2+BA2/4+CA2/4);
return;
end;
yl=AA3/24+BA2/4-BA3/24+C/2-CA2/4;
yl=yl/(AA2/4+BA2/4+C-CA2/2);
return;
2. Parameters MATLAB function: foo51(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo51(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=(AA3-CA3)/24+B/2-(l-as)A2*(BA3-CA3)/6;
yl=yl/((AA2-CA2)/4+B-(l-as)*(BA2-CA2)/2);
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-(l-as)*(AA2-CA2)/2+(BA2-CA2)/4-(BA3-CA3)/24+(l-
as)A2*(AA3-CA3)/6;
yl=yl/(A-(l-as)*(AA2-CA2)/2+(BA2-CA2)/4);
return;
end;
yl=(AA3-BA3)/24+(BA2-CA2)/4+C/2;
yl=yl/((AA2+BA2)/4+C-CA2/2);
return;
3. Parameters MATLAB function: foo52(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo52(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2-asA2*(B-C)/2-as*(l-as)*(BA2-CA2)/2+(AA3-CA3)/24-(l-
as)A2*(BA3-CA3)/6;
yl=yl/(B-as*(B-C)+(AA2-CA2)/4-(l-as)*(BA2-CA2)/2);
return;
215
Раздел 3
end;
if (В<=С)&(С<=А)
yl=C/2+(l-as)A2*(A-C-AA2+CA2)/2+(BA2-CA2)/4-(BA3-
СлЗ)/24+( 1 -as) А2*(А лЗ-СлЗ)/6;
yl=yl/(A-as*(A-C)+(BA2-CA2)/4-(l-as)*(AA2-CA2)/2);
return;
end;
у1=(АлЗ-ВлЗ)/24+(Вл2-Сл2)/4+С/2;
у1=у1/((Ал2+Вл2)/4+С-Сл2/2);
return;
4. Parameters MATLAB function: foo53(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo52(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+asA2/2*(A-B)+(as/4-asA2/2)*AA2-(as/2-
asA2/2)*BA2+as/4*CA2+((l/2-as)A2*AA3-(l-as)A2*BA3+(3/4-
as)*CA3)/6;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l/4-as/2)*AA2+l/4*CA2+(as/2-l/2)*BA2);
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-(as-asA2/2)*(A-B)-l/2*(l-as)A2*AA2+(l/4-
3*as/4+asA2/2)*BA2+l/4*(l-as)*CA2+((l-as)A2*AA3-(l/2-
as)A2*BA3-(3/4-as)*CA3)/6;
yl=yl/(A-as*(A-B)+(l/4-as/2)*BA2+l/4*CA2+(as/2-l/2)*AA2);
return;
end;
yl=asA2*A/2+(as-asA2/2)*B+(l/2-as)*C+(as/4-asA2/2)*AA2+(l/4-
3*as/4+asA2/2)*BA2-(l/4-as/2)*CA2+(l/2-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(C+as*(A+B-2*C)+(l/4-as/2)*(AA2+BA2-2*CA2));
return;
5. Parameters MATLAB function: foo54(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo54(A,B,C);
Var as; as=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+asA2/2*(A-B)+(as/4-asA2/2)*(AA2-2*BA2+CA2)+(l-
216
< Раздел 3
2*as)A2*(AA3-4*BA3+3*CA3)/24;
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l/4-as/2)*(AA2-2*BA2+CA2));
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2-(as-asA2/2)*(A-B)-l/4*(l-as)*(l-2*as)*(2*AA2-BA2-
CA2)+(l-2*as)A2*(4*AA3-2*BA3-3*CA3)/24;
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l/4-as/2)*(2*AA2-BA2-CA2));
return;
end;
yl=asA2*A/2+(as-asA2/2)*B+(l/2-as)*C+(as/4-asA2/2)*AA2+(l/4-
3*as/4+asA2/2)*BA2-(l/4-as/2)*CA2+(l/2-as)A2*(AA3-BA3)/6;
yl=yl/(C+as*(A+B-2*C)+(l/4-as/2)*(AA2+BA2-2*CA2));
return;
6. Parameters MATLAB function: foo55(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo55(A,B,C);
Var as; c=3;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+(AA3-CA3)/24-c/2/(c+2)*(BA(2/c+l)-CA(2/c+l));
yl=yl/(B+(AA2-CA2)/4-c/(c+l)*(BA(l/c+l)-CA(l/c+l)));
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
yl=A/2+(BA2-CA2)/4-(BA3-CA3)/24-c/(c+l)*(AA(l/c+l)-
CA(l/c+l))+c/2/(c+2)*(AA(2/c+l)-CA(2/c+l));
yl=yl/(A+(BA2-CA2)/4-c/(c+l)*(AA(l/c+l)-CA(l/c+l)));
return;
end;
yl=C/2+(BA2-CA2)/4+(AA3-BA3)/24;
yl=yl/(C+(AA2+BA2-2*CA2)/4);
return;
7. Parameters MATLAB function: foo56(u(l), u(2), u(3))
function yl=foo56(A,B,C);
Var c; c=;
if (A<=C)&(C<=B)
yl=B/2+c/8/(c+2)*(AA(2/c+l)-4*BA(2/c+l)+3*CA(2/c+l));
217
Раздел 3
у1=у1/(В+с/2/(с+1)*(АЛ(1/с+1)-2*ВЛ(1/с+1)+СЛ(1/с+1)));
return;
end;
if (B<=C)&(C<=A)
у1=А/2-с/2/(с+1)*(2*Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)-
Сл(1/с+1))+с/8/(с+2)*(4*Ал(2/с+1)-Вл(2/с+1)-3*Сл(2/с+1));
у1=у1/(А-с/2/(с+1)*(2*Ал(1/с+1)-Вл(1/с+1)-Сл(1/с+1)));
return;
end;
у1=С/2+с/2/(с+1)*(Вл(1/с+1)-Сл(1/с+1))+с/8/(с+2)*(Ал(2/с+1)-
Вл(2/с+1));
у1=у1/(С+с/2/(с+1)*(Ал(1/с+1)+Вл(1/с+1)-2*Сл(1/с+1)));
return;
Блок нормировки выходной переменной с цифроаналоговым пре-
образователем ЦАП (Zero-Order Holdl - фиксатором нулевого поряд-
ка с передаточной функцией H(s) = (1 -e~hs}/s) показан на рис.3.85.
Граничное значение диапазона Dm = zwmax = -zwmin является па-
раметром, который перестраивается при настройке нечеткого регуля-
тора.
Holdl
Рис.3.85
Таким образом, нечеткий регулятор с функциями принадлежно-
сти, имеющими два терма (например, показанными на рис.3.41-3.45,
3.47-3.49), при моделировании в интерактивной системе MATLAB
можно представить в виде последовательного соединения трех блоков
(см. рис.3.86,а): формирователя величин A(t) и B(t) (блок 1), блока
сравнения величина А и В и расчета ис (блок 2) и блока нормиров-
ки выходной переменной (блок 3).
218
< Раздел 3
Для нечеткого регулятора с функциями принадлежности, имею-
щими три терма (например, показанными на рис.3.50-3.56), блок-
а)
б)
Рис.3.86
Важно отметить, что в схемах нечетких регуляторов, показанных
на рис.3.86, в формирователях величин A(t) и B(t) для входных лин-
гвистических переменных можно использовать функции принадлеж-
ности одного типа, а в блоках сравнения величин A(t) и B(t) и рас-
чета ис для выходной лингвистической переменной использовать
функции принадлежности другого типа.
На основе схем нечетких регуляторов, показанных на рис.3.86,
можно конструировать и более сложные схемы, одна из которых при-
ведена на рис.3.87.
Эта схема содержит составной формирователь величин A(t) ,
B(t) и Al(t), Bl(t) (блок 1 на рис.3.87), состоящий из схем формиро-
вателя величин A(t) и B(t) для нечеткого регулятора с треугольными
Функциями принадлежности, приведенными на рис.3.42, и формиро-
вателя величин Al(t) и Bl(t) для нечеткого регулятора со сжатыми
219
Раздел 3
функциями принадлежности, приведенными на рис.3.49, в котором
формирование (вычисление) переменных и осуществ-
ляется по схеме рис.3.65,г. Составной формирователь величин A(t),
B(t) и Al(t) , Bl(t) показан на рис.3.88.
Abs
Рис.3.87
MmMaxI
MinMax2
Рис.3.88
220
Раздел 3
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис (блок 2 на
рис.3.87) для нечеткого регулятора с идентичными треугольными
функциями принадлежности (см. рис.3.42) показан на рис.3.75. Блок
сравнения величин Al(t) и Bl(t) и расчета ис (блок 4 на рис.3.87)
для нечеткого регулятора с идентичными сжатыми треугольными
функциями принадлежности (см. рис.3.49) показан на рис.3.89.
»| aA2W+a*(l-2*a)V2/2+(l-2*a)*24iA3/6 |—
*1 u/2-aA2’u/2-a*( 1-2*a)*u*2Z2-(1-2*a) W3/6
Sumi
Product
u-a*u-(1-2*a)V2/2
Sum5
Sum2 г-.
Sum3
Switch
х
x
Product!
Sum4
Рис.3.89
Блоки нормировки выходных переменных иси ис}с цифроанало-
говым преобразователем (блоки 3 и 5 на рис.3.83) собраны по схеме,
показанной на рис.3.85.
Величина модуля ошибки со входа через сглаживающий фильтр
(апериодическое звено) подается на средний контакт переключателя
Switch. Когда на среднем контакте положительный сигнал более оп-
ределенной величины, установленной параметром Threshold, пере-
ключатель замыкает верхний контакт и в системе работает “верхний”
регулятор. Когда на среднем контакте положительный сигнал менее
определенной величины, установленной параметром Threshold, пере-
ключатель замыкает нижний контакт и в системе работает “нижний”
регулятор.
221
Раздел 3
Нечеткий регулятор по схеме рис.3.87 целесообразно использо-
вать, когда “верхний” регулятор обеспечивает удовлетворительные
переходные процессы в системе автоматического управления, а “ниж-
ний” - обеспечивает минимальную динамическую ошибку.
При проектировании нечетких регуляторов изложенным выше
методом, основанным на полученных аналитических выражениях для
управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при сим-
метричных треугольных, возведенных в степень треугольных, экспо-
ненциальных, колоколообразных и гауссовых функциях принадлеж-
ности и представленной функциональной схеме (см. рис.3.46), на базе
которой возможна реализация нечетких регуляторов программным
или аппаратным способом, нет необходимости в использовании паке-
та нечеткой логики системы MATLAB и процедура проектирования
нечетких регуляторов упрощается. Блочное построение регуляторов
(рис.3.86) позволяет выбирать и использовать различные блоки фор-
мирователей величин A(t) и B(t) и блоки сравнения величин A(t) и
B(t) и расчета ис.
Можно значительно упростить проектирование блоков сравне-
ния величин A(t) и B(t) и расчета ис для нечетких регуляторов, ис-
пользующих функции принадлежности с двумя термами (см. рис.3-41-
3.45, 3.47-49), если вместо всей площади результирующей фигуры,
лежащей под “результирующей функцией принадлежности”, опреде-
лять площади прямоугольников под прямыми, обозначенными А и В,
которые ограничивают сверху функции принадлежности для входных
лингвистических переменных. При этом вычисления интегралов в
общей формуле (1.1) сводится к вычислению произведений
Ахх\у Вх(1-х2) и ухх]2, ух(1-х2), (3.156)
где X] и х2 - абсциссы точек пересечения прямых А и В с соответст-
вующими функциями принадлежности.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными возведенными в степень треугольными
функциями принадлежности для каждой лингвистической величины
(см. рис.3.41 и 3.90).
На основании формул (3.156) и рис.3.90 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры44 при А < В определяется выражением
222
Раздел 3
£ 1 -+• -+1
+ (Лс _Вс )
ис = ——-—j--------j---- при А < В\ (3.157)
-+1 i+1
В+Ас -Вс
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры“ при А > В опре-
деляется выражением
1 f 1 t 2 f 2 ,
A -4-1 -4-1 1 -4-1 -4-1
+ 5С +-(ЛС -ВС )
ис = —--------------т--—j------------- при А>В. (3.158)
-+1 -+1
А-Ас + ВС
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис , построенный
согласно формул (3.157) и (3.158) приведен на рис.3.91.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,01, В=0,3, с=3 получаем ис = 0,8193.
При А=0,3, В=0,01, с=3 получаем ис = 0,1807.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными экспоненциальными функциями при-
надлежности для каждой лингвистической величины (см. рис.3.43 и
3.92).
223
Раздел 3
Рис.3.91
Рис.3.92
На основании формул (3.156) и рис.3.92 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры“ при А < В определяется выражением
- + -(Л In А - В In В) + -1-[Л(1п Л)2 - В(1п В)2 ]
ис - ——-----------------—------------------- при Л < В;
Л + -(Л1пЛ-В1п5)
С
(3.159)
224
Раздел 3
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В опре-
деляется выражением
2? 1 О О
- + —[Л(1пЛ)2-В(1пВ)2]
ис =------------------------ при А > В. (3.160)
В + -(51пВ-Л1пЛ)
С
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.159) и (3.160) приведен на рис.3.93.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,02, В=0,04, с=5 получаем ис = 0,5958.
При А=0,04, В=0,02, с=5 получаем ис = 0,4042.
Рис.3.93
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными колоколообразными функциями при-
надлежности для каждой лингвистической величины (см. рис.3.44 и
3.94).
225
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.94 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры" при А < В определяется выражением
2
- - с[у1а~А2 - л1в-В2] -—(А-В)
ис = —----------. . —---------- при А < В\ (3.161)
а-ф1а-а2 -\Ib-b2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры" при А > В опре-
деляется выражением
— (А-В)
9 9
ис =-----! --г - при А>В. (3.162)
В + с[уА-А2 -У1В-В2]
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.161) и (3.162) приведен на рис.3.95.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,1, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,7675 .
При А=0,4, В=0,1, с=0.3 получаем ис = 0,2325.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными гауссовыми функциями принадлежно-
сти для каждой лингвистической величины (см. рис.3.45 и 3.96).
226
Раздел 3
Рис.3.95
Рис.3.96
(u-l)2
1-с(-21пВ)2 с(-21пВ)2
227
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.96 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры“ при А < В определяется выражением
- - сА/-21пЯ + сВ>/-21пВ -
2
-с2(Л1пЛ-Я1пВ) A'D
ие --------.— =-------. - при А < В; (3.163)
А - сА л/-21пЛ + сВл/-21пВ
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В опре-
деляется выражением
В э
— -с2(А\пА-В\пВ)
ис -----—. -----7-- при А>В. (3.164)
В + сА/-21пЛ - сВл/-21пВ
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.163) и (3.164) приведен на рис.3.97.
Рис.3.97
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
228
Раздел 3
При А=0,02, В=0,4, с=0,3 получаем ис = 0,783.
При А=0,4, В=0,02, с=0.3 получаем ис - 0,217.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [0,1] два нечетких
подмножества с идентичными сигмоидальными функциями принад-
лежности для каждой лингвистической величины (см. рис.3.57 и 3.98).
На основании формул (3.156) и рис.3.98 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры44 при А < В определяется выражением
2
f + £-(Л-В) + -[51п(1-1)-Л1п(1-1)] +
2 2 а В А
1 1 ? 1 ?
+ (Л[1п(- -1)]2 - B[ln(- -1)]2)
2л2 А В (5.1 to)
Uc ~ 1 1 1
В + с(А - В)--[А ln(— -1) - В 1п(-1)]
а А В
при А < В\
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры1* при А > В опре-
деляется выражением
229
Раздел 3
2
| + ^-(Л-5) + Ь£Н1п(1-1)_В1п(1-1)] +
2 2 а А В
1 1 о 1 ?
+ —И1п(--1)]2 -5[1п(--1)]2} (ЗЛ66)
2а А °
Uc ~ 11 1
А + с(В - А) + — [А ln(— -1) - 51п(- -1)]
а А В
при А > В.
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.165) и (3.166) приведен на рис.3.99.
Рис3.99
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А=0,001, В=0,4, с=0,7, а= 15 получаем ис = 0,8352 .
При А=0,4, В=0,001, с=0.7, а=15 получаем ис = 0,1648.
Рассмотрим на универсальном множестве U = [ОД] два нечетких
подмножества с идентичными колоколообразными функциями при-
надлежности (bell-shaped-функциями, зависящими от двух парамет-
ров) для каждой лингвистической величины (см. рис.3.100).
230
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.100 абсцисса “центра тяжести
результирующей фигуры“ при А < В определяется выражением абсцис-
са “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В определяется
выражением
1 1 2 1 1
^_с[Л(1-1)2а - В(1 — 1)2я ] + £-[Л(1-1)«
- т т
при А < В; (3.167)
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А > В опреде-
ляется выражением
2 1 1
- + — [Л(1-1)« -В(- -1)*]
ис = —>L_-----------В_ при А > в (3168)
В + с[А(^-])2°
Отметим, что при а=1 формулы (3.167) и (3.168) совпадают с соответст-
вующими формулами (3.161) и (3.162).
При использовании в нечетком регуляторе колоколообразных функ-
ций принадлежности (bell-shaped-функций, зависящих от двух парамет-
ров), приведенных на рис.3.100, формирователь величин A(t) и B(t)
можно представить структурной схемой, показанной на рис.3.101.
231
Раздел 3
Рис.3.101
Рис.3.102
Блок сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис, построенный
согласно формул (3.167) и (3.168) приведен на рис.3.102.
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
232
Раздел 3
При А=0,005, В=0,4, с=0,3, а=3 получаем ис - 0,8321.
При А=0,4, В=0,005, с=0.3, а=3 получаем ис = 0,1679.
Используя рассмотренный способ проектирования блоков срав-
нения величин A(t) и B(t) и расчета ис, можно определить выход
ис нечеткого регулятора со сжатыми совместно используемыми,
зависящими от одного параметра Z - образной и S - образной функ-
циями принадлежности (см. рис.2.12(б)).
Для нечеткого регулятора с такими функциями принадлежности
какие бы значения не принимали переменные и/ , , ^з*(эти зна-
чения отмечены точками на универсальном множестве U = [0,1]), в
зависимости от значений величин А и В “результирующая фигура”
может принимать четыре конфигурации, показанные на рис.3.103.
Рис.3.103
233
Раздел 3
На основании формул (3.156) и рис.3.103 абсцисса “центра тяже-
сти результирующей фигуры44 при А<В<0,5 определяется выражением
| + ^.(Л - В) + „(1 - 2О)[Л(^)''2 - B(j)1'2 ] +
+ fl^U2-B2)
»е =-----------------4--------------- -------. (3169)
В + а(Л-В) + (1-2о)[Л(-),,2-В(-)1'2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при 0,5>А>В оп-
ределяется выражением
| + <!.ZAL(Л - В) - (1 - о)(| - 2О)[Л(^)' '2 - В(|)’'2] +
+ <Ь^(л2-в2)
ис =--------------------4-----------------------; (3.170)
А - а(А - В) - (1 - 2а)(А(^)1''2 - В(|)‘'2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А<0,5<В оп-
ределяется выражением
[В + а2А - (1 - а)2 В]/ 2 + (1 - 2а)[аА(^)У2 +
+ (1-а)В(Ц^)1/2]+(1~ 2а)2 М2 -В(1-В)]
ис =---------2----------4----------------. (3.171)
а(Л + В) + (1-2а)[Л(у)1/2 +В(Ц^),/2]
абсцисса “центра тяжести результирующей фигуры44 при А>0,5>В оп-
ределяется выражением
[В + а2 А - (1 - а)2 В]/2 + (1 - 2а)[аА(~^-)'/2 +
+ О - а)В А1/2 ] +(1~2а)2[Я(1 -А)-В2]
Uc =--------------------*----------- --------.(3.172)
а(А + В) + (1 - 2а)[А(~-)|/2 + В(|)1/2]
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
234
Раздел 3
При А=0,05, В=0,2, а=0,3 получаем ис = 0,6406.
При А=0,2, В=0,05, а=0.3 получаем ис - 0,3594.
При А=0,1, В=0,7, а=0,3 получаем ис = 0,7096.
При А=0,7, В=0,1, а=0.3 получаем ис = 0,2904.
При использовании в нечетком регуляторе сжатых совместно
используемых Z - образной и 5 - образной функций принадлежности
(см. рис.2.12(б)) формирователь величин A(t) и B(t) можно предста-
вить структурной схемой, показанной на рис.3.104.
235
Раздел 3
Структурная схема формирователя величин A(t) и B(t), пока-
занная на рис.3.104, построена на основании зависимостей (2.35),
(2.36), представленных на рис.3.105.
(и) №(“)
--------------------------1
1-2(итД Д А 2(и-1 + а)2
(1-ад, у
А 2(и-1 + д)2
о-2й)2'/ Y о-2^2
а 0.5 Ьа 1
0.5
О
Рис.3.105
Переключатели Switch и Switch 1 замыкают нижние контакты при
условии A(t) < 0,5 и 5(/) < 0,5 на выходе блоков min (в блоках
Switch и Switchl параметр Threshold=0.5) и переменные A(t) и B(t)
поступают на соответствующие выходы. При условии A(t) > 0,5 на
выходе верхнего на рисунке блока min переключатель Switch замы-
кает верхний контакт, на выходе нижнего блока max формируется ве-
личина
B0(0 = max[>U2(Mi),^2(M2)>Z'2(M3)L / = 1,2,3,
и переменная A(t) определяется как A(t)=l-Bo(t). При условии
B(t) > 0,5 на выходе нижнего на рисунке блока min переключатель
Switchl замыкает верхний контакт, на выходе верхнего блока max
формируется величина
Л0(/) = тах[//1(м|),я(м2)>Х'1(мз)Ь / = 1,2,3,
и переменная B(t) определяется как B(t)=l-Ao(t).
При практическом использовании в нечетком регуляторе сжатых
совместных Z - образной и S - образной функций принадлежности
можно ограничить переменные A(t) и B(t) уровнем 0,5. В этом случае
схему блока сравнения величин A(t) и B(t) и расчета ис можно про-
ектировать только на основании формул (3.169), (3.170). Такая схема
приведена на рис.3.106.
236
Раздел 3
Рис.3.106
На выходе сумматора Sumi формируется числитель, а на выходе
сумматора Sum2 формируется знаменатель выражения (3.169) и на
выходе делителя Product формируется величина испри А < В. Ана-
логичным способом на выходе сумматора Sum3 формируется числи-
тель, а на выходе сумматора Sum4 формируется знаменатель выраже-
ния (3.170) и на выходе делителя Productl формируется величина
ис при А > В.
Переключатель Switch замыкает верхний контакт при условии
А < В (когда на среднем контакте сигнал положительный, в блоке
Switch параметр Threshold^.000001). При условии А > В, когда на
среднем контакте переключателя Switch сигнал отрицательный, пере-
ключатель замыкает нижний контакт.
При моделировании блока сравнения величин A(t) и B(t) и рас-
чета ис одним блоком MATLAB Fen (см. рис.3.75,а) программа рас-
чета выполняется на основании формул (3.169)-(3.172) и представлена
ниже.
Программы 1-7 соответственно для блоков сравнения величин
A(t) и B(t) и расчета ис нечетких регуляторов с идентичными возве-
денными в степень треугольными, экспоненциальными, колоколооб-
разными, гауссовыми, сигмоидальными, колоколообразными bell-
shaped-функциями принадлежности и сжатыми совместно исполь-
237
Раздел 3
зуемыми, зависящими от одного параметра Z - образной и S - образ-
ной функциями принадлежности (см. рис.3.90, 3.92, 3.94, 3.96, 3.98,
100 и 103), при их моделировании одним блоком MATLAB Fen (см.
рис.3.75,а) приведены ниже.
1. Parameters MATLAB function: foo90(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=B/2+l/2*(AA(2/c+l)-BA(2/c+l));
yl=yl/(B+AA(l/c+l)-BA(l/c+l));
return;
end;
yl=A/2-AA(l/c+l)+BA(l/c+l)+l/2*(AA(2/c+l)-BA(2/c+l));
yl=yl/(A-AA(l/c+l)+BA(l/c+l));
return;
2. Parameters MATLAB function: foo92(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2+l/c*(A*log(A)-B*log(B))+l/2/cA2*(A*(log(A))A2-
B*(log(B))A2);
yl=yl/(A+l/c*(A*log(A)-B*log(B)));
return;
end;
yl=B/2+l/2/cA2*(A*(log(A))A2-B*(log(B))A2);
yl=yl/(B+l/c*(B*log(B)-A*log(A)));
return;
3. Parameters MATLAB function: foo94(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2))-cA2/2*(A-B);
yl=yl/(A-c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)));
return;
end;
238
Раздел 3
yl=B/2-cA2/2*(A-B);
yl=yl/(B+c*((A-AA2)A(l/2)-(B-BA2)A(l/2)));
return;
4. Parameters MATLAB function: foo96(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; c=;
if A<=B
yl=A/2-c*A*(-2*log(A))A(l/2)+c*B*(-2*log(B))A(l/2)-
cA2*(A*log(A)-B*log(B));
yl=yl/(A-c*A*(-2*log(A))A(l/2)+c*B*(-2*log(B))A(l/2));
return;
end;
yl=B/2-cA2*(A*log(A)-B*log(B));
yl=yl/(B+c*A*(-2*log(A))A(l/2)-c*B*(-2*log(B))A(l/2));
return;
5. Parameters MATLAB function: foo98(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; Var as; c=; as=;
if A<=B
yl=B/2+cA2/2*(A-B)+c/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-
l))+l/2/asA2*(A*(log(l/A-l))A2-B*(log(l/B-l))A2);
yl=yl/(B+c*(A-B)+l/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-l)));
return;
end;
yl=B/2+(l-c)A2/2*(A-B)-(l-c)/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-
l))+l/2/asA2*(A*(log(l/A-l))A2-B*(log(l/B-l))A2);
yl=yl/(A-c*(A-B)-l/as*(B*log(l/B-l)-A*log(l/A-l)));
return;
6. Parameters MATLAB function: fool00(u(l), u(2))
function yl=foo(A,B);
Var c; Var as;
c -; as=;
if A<=B
yl=A/2-c*(A*(l/A-l)A(l/2/as)-B*(l/B-l)A(l/2/as))+cA2/2*(A*(l/A-
l)A(l/as)-B*(l/B-l)A(l/as));
yl=yl/(A-c*(A*(l/A-l)A(l/2/as)-B*(l/B-l)A(l/2/as)));
239
Раздел 3
return;
end;
yl=B/2+cA2/2*(A*(l/A-l)A(l/as)-B*(l/B-l)A(l/as));
yl=yl/(B+c*(A*(l/A-l)A(l/2/as)-B*(l/B-l)A(l/2/as)));
return;
7. Parameters MATLAB function: foo!03(u(l), u(2))
function yl=foo!03(A,B);
Var as; as=0.3;
if (A<B)&(B<0.5)
yl=B/2+asA2/2*(A-B)+as*(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-
B*(B/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(AA2-BA2);
yl=yl/(B+as*(A-B)+(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-B*(B/2)A(l/2)));
return;
end;
if (B<A)&(A<0.5)
yl=B/2+(l-as)A2/2*(A-B)-(l-as)*(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-
B*(B/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(AA2-BA2);
yl=yl/(A-as*(A-B)-(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)-B*(B/2)A(l/2)));
return;
end;
if (A<0.5)&(BX).5)
yl=(B+asA2*A-(l-as)A2*B)/2+(l-2*as)*(as*A*(A/2)A(l/2)+(l-
as)*B*((l-B)/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(AA2-B*(l-B));
yl=yl/(as*(A+B)+(l-2*as)*(A*(A/2)A(l/2)+B*((l-B)/2)A(l/2)));
return;
end;
if (A>0.5)&(B<0.5)
yl=(B+asA2*A-(l-as)A2*B)/2+(l-2*as)*(as*A*((l-A)/2)A(l/2)+(l-
as)*B*(B/2)A(l/2))+(l-2*as)A2/4*(A*(l-A)-BA2);
yl=yl/(as*(A+B)+(l-2*as)*(A*((l-A)/2)A(l/2)+B*(B/2)A(l/2)));
return;
end;
return;
end;
При оптимизации параметров цифровых нечетких регуляторов
необходимо задавать критерий качества и функции воздействий
240
Раздел 3
(управляющее и/или возмущающие воздействия) на систему. Если
разработчика интересует в первую очередь быстродействие системы
автоматического управления, то за критерий качества можно принять
время регулирования, определяемое по кривой переходного процесса
(реакции системы на ступенчатое входное воздействие):
J ~t р^> min . (3.173)
Кроме этого необходимо наложить определенные ограничения на
кривую реакции системы, например, на число переколебаний, величи-
ну перерегулирования при колебательном переходном процессе.
Если необходимо минимизировать текущую ошибку (обеспечить
точность слежения за входным воздействием), то наиболее часто ис-
пользуют один из квадратичных критериев качества, например,
1
J = — => min , (3.174)
L v=0
где ошибка системы ffv вычисляется с шагом моделирования Ао, а
число L определяет интервал наблюдения.
В интерактивной системе MATLAB блок DRMS вычисляет значе-
ние корня из среднеквадратичной ошибки (root mean squared value). В
этом случае критерий качества можно записать как
- £0v2=>min. (3.175)
L v=o
Оптимальные параметры нечеткого регулятора соответствуют
минимальному значению критерия качества, а минимизация критерия
качества автоматически приводит к оптимизации переходных процес-
сов в системе управления. Можно использовать различные алгоритмы
условной и безусловной оптимизации.
Структурная схема системы автоматического управления с нечет-
ким регулятором приведена на рис.3.107. На этом рисунке из функ-
циональной схемы нечеткого регулятора (см. рис.3.46) отдельно пока-
заны блоки нормировки входных и выходной переменных с парамет-
рами, которые перестраиваются в процессе настройки регулятора.
Цифровой нечеткий регулятор включен между аналого-цифровым
преобразователем АЦП и цифроаналоговым преобразователем ЦАП
(последний представляет собой фиксатор нулевого порядка с переда-
241
Раздел 3
точной функцией H(s) = (1 -e~hs)/s, где h - шаг квантования).
Объект управления описывается передаточной функцией G(s).
При заданном входном воздействии u(t) ошибка системы 0(t), а
значит, и критерий качества J зависят от параметров нечеткого регу-
лятора. $max , $min ’ ^тах ’ ^min ’ ^тах ’ ^min > wmax ’ wmin ’с или а-
Оптимизатор
Рис.3.107
При симметричных диапазонах изменения входных и выходной
лингвистических переменных число варьируемых параметров значи-
тельно уменьшается. В этом случае для нечетких регуляторов с функ-
циями принадлежности, приведенными на рис.3.41, 3.43-3.45,
3.55,3.56, критерий качества определяется как
J ~ ^X^rnin ’ ^min ’ ^min > wmin ’c)-
242
Раздел 3
Для нечетких регуляторов с функциями принадлежности, приведен-
ными на рис.3.47-3.49, 3.51-3.54, критерий качества определяется как
J — , ^min j ^min > wmin >
При проектировании систем автоматического управления разра-
ботчик имеет возможность использовать нечеткие регуляторы с раз-
личными рассмотренными идентичными для каждой лингвистической
переменной функциями принадлежности или синтезировать нечеткие
регуляторы с другими функциями принадлежности. Для каждой лин-
гвистической переменной можно использовать свои функции принад-
лежности с варьируемым параметром. Таким образом, существует
достаточно большое число вариантов задания функций принадлежно-
сти при оптимизации параметров нечеткого регулятора. Наиболее
простым вариантом является задание функций принадлежности одной
и той же формы с одним и тем же коэффициентом настройки с или а
для каждой лингвистической переменной. Другим вариантом является
задание функций принадлежности одной и той же формы, но с разны-
ми коэффициентами настройки для каждой лингвистической пере-
менной. Следующим вариантом являются задания функций принад-
лежности различной формы с различными коэффициентами настрой-
ки для каждой лингвистической переменной. При проектировании
регулятора необходимо выбрать вариант, который при оптимизации
параметров нечеткого регулятора дает наименьшее значение критерия
качества из рассчитанных для различных вариантов минимальных
критериев качества.
Часто удовлетворяющее разработчика качество системы управле-
ния можно получить, синтезируя нечеткий регулятор с различными
идентичными для каждой лингвистической переменной функциями
принадлежности и исследуя методом математического моделирова-
ния процессы в системе с нечетким регулятором путем сравнения раз-
личных вариантов и выбора одного из вариантов. Так, на рис.3.108
представлены процессы в системе автоматического управления с не-
четким регулятором, рассмотренной в примере 3.1, при отработке сис-
темой входного воздействия, заданного полиномом
н(/) = О] (г) = 1 -1,3316 X10’3 + 0,1653269/ - 0,4785008г2 +
+ 0,1037928/3 - 8,8016х 10-3/4 + 3,404х 1 О'4/5 - 5,093 х 10-6/6.
243
Раздел 3
8 0 2 4 6 8 1 1 1 1
0 2 4 6
0 2 4 6
Рис.3.108
Слева на рисунке представлены процессы в системе с настроен-
ным нечетким регулятором, имеющим треугольные ФП (см. рис.3.42).
Диапазоны изменения входных и выходного параметров нечеткого
регулятора (диапазоны изменения переменных определя-
ются:
P™,.«ml=W5, 0.75]. [0mi„.<Ux) = [-0,7 0,7],
[«гаш,в„х1 = [-0,9 0,9] и [mmjn.mnMX] = [-70, 70].
Шаг квантования в цифровом регуляторе h =0,01с.
Время регулирования составляет 0,6с и максимальная текущая
ошибка (исключая начальный выброс при захвате сигнала) равна
0,016.
244
Раздел 3
Справа на рисунке представлены процессы в системе с настроен-
ным нечетким регулятором, имеющим экспоненциальные ФП (см.
рис.3.43) с параметром с = 50 . Диапазоны изменения входных и вы-
ходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны изменения пе-
ременных в.в^в.т) определяются:
= 2,U. = 4],
Йл.Ч.и,) = [-70 70J и [mmin,mmax) = [-40, 40].
Шаг квантования в цифровом регуляторе h =0,01с.
Время регулирования составляет 0,39с и максимальная текущая
ошибка 0,003.
Таким образом, переход при синтезе регулятора от треугольных
ФП к экспоненциальным ФП позволяет сократить время регулирова-
ния в 1,5 раза, а максимальную текущую ошибку уменьшить в 5 раз.
Ниже представлены программы расчета нечетких регуляторов с
треугольными и экспоненциальными функциями прнадлежности.
1 .Функции принадлежности - треугольные, результирующая ФП
определяется по формуле (1.3).
Процедура Res реализует расчет значения управляющего
воздействия нечеткого регулятора HP.
Обращение к процедуре: Res(Vx, M fuz);
Входной параметр процедуры: массив х - содержит текущие
значения входных параметров нечеткого регулятора; выходной
параметр: переменная у - значение управляющего воздействия
нечеткого регулятора.
Число термов, описывающих входные и выходную переменные
HP, выбрано равным двум.
В процедуре использованы следующие переменные и массивы:
Массив mju - содержит значения функций принадлежности;
массив и - содержит перенесенные на универсальное множество
значения входных параметров HP; массивы X_res,Y_res - содержат
координаты характерных точек результирующей фигуры.
Массив b и переменные i, j, suml, sum2 являются служебными.
Для работы процедуры в основной программе должны быть
заданы: N_vx - количество входов нечеткого регулятора; у_тах -
максимальное значение диапазона изменения управляющего
воздействия; y_min - минимальное значение диапазона изменения
управляющего воздействия; pred - массив, содержащий значения
245
Раздел 3
пределов диапазонов изменения входных параметров нечеткого
регулятора (сечение массива pred[l,*] содержит минимальные
значения пределов, а сечение pred[2,*] - максимальные).
В основной программе объявление глобальных переменных и
констант может быть реализовано, например, так
Const
N_vx =____;
Type
Nvektor = array [l..N_vx] of real;
Var
pred : array [1..2,l..N_vx] of real;
Vx: Nvektor;
Mfuz: real;
Массив pred может быть задан в тексте основной программы,
например для случая N_vx=3, таким образом:
pred[ !][!]:=_; pred[2][ !]:=_;
pred[l][2]:=_; pred[2][2]:=_;
pred[l][3]:=_; pred[2][3]:=_;
Настройка нечеткого регулятора для выбранного числа входных
параметров N_vx состоит в подборе значений элементов массива pred,
позволяющих получить удовлетворяющий разработчика переходный
процесс системы с нечетким регулятором.
Ниже приведен исходный текст процедуры.
Procedure Res(x : Nvektor ; var у : real);
Var
i, j: integer;
mju: array [1..2,l..N_vx] of real;
u: Nvektor;
b: array [1..2] of real;
X_res, Y_res: array [1..6] of real;
suml, sum2: real;
Begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
u[i]:=(x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[ 1 ][i]:=l-u[i]; mju[2][i]:=u[i];
end;
for i:=l to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
246
Раздел 3
end;
Y_res[l]:=0; Y_res[2]:=b[l]; Y_res[3]:=b[l]; Y_res[4]:=b[2];
Y_res[5]:=b[2]; Y_res[6]:=0;
X_res[l]:=O; X_res[2]:=0; X_res[5]:=l; X_res[6]:=l;
if b[l]>=b[2] then
begin
X_res[3]:=l-b[l];X_res[4]:=l-b[2];
end
else
begin
X_res[3]:=b[l];X_res[4]:=b[2];
end;
suml:=O; sum2:=0;
suml :=(X_res[l] - X_res[6]) * ((2*X_res[l] + X_res[6])*Y_res[l]
+(2*X_res[6] + X_res[l]) * Y_res[6]);
sum2 := (X_res[l]-X_res[6])*(Y_res[6]+Y_res[l]);
for i:=l to 5 do begin
sum 1 :=sum 1 +(X_res[i+1 ]-X_res[i])*((2*X_res[i+1 ]+ X_res[i])*
Y_res[i+1] + (2*X_res[i]+X_res[i+l]) * Y_res[i]);
sum2:= sum2 + (X_res[i+l]-X_res[i])*(Y_res[i]+Y_res[i+l]);
end;
y:=y_min+(suml/(3*sum2))*(y_max-y_min);
End; {Res}
2. Функции принадлежности - экспоненциальные, результирую-
щая ФП определяется по формуле (1.2).
Процедура Res реализует расчет значения управляющего
воздействия нечеткого регулятора HP.
Обращение к процедуре: Res(Vx, Mfuz);
Входной параметр процедуры: массив х - содержит текущие
значения входных параметров нечеткого регулятора; выходной
параметр: переменная у - значение управляющего воздействия
нечеткого регулятора.
Число термов, описывающих входные и выходную переменные
HP, выбрано равным двум.
В процедуре использованы следующие переменные и массивы:
Массив mju - содержит значения функций принадлежности;
массив и - содержит перенесенные на универсальное множество
значения входных параметров HP; массив X res - содержит абсциссы
характерных точек результирующей фигуры
247
Раздел 3
Массив b и переменные i, j, suml, sum2, u_c, u_t, u_0, mju_t
являются служебными.
Для работы процедуры в основной программе должны быть
заданы: N_vx - количество входов нечеткого регулятора; у_тах -
максимальное значение диапазона изменения управляющего
воздействия; y_min - минимальное значение диапазона изменения
управляющего воздействия; par e - коэффициент экспоненциальной
функции; М - число дискрет на интервале интегрирования резуль-
тирущей ФП; pred - массив, содержащий значения пределов
диапазонов изменения входных параметров нечеткого регулятора
(сечение массива pred[l,*] содержит минимальные значения пределов,
а сечение pred[2,*] - максимальные).
В основной программе объявление глобальных переменных и
констант может быть реализовано, например, так
Const
N_vx =____;
М =_____;
pare =____;
Type
Nvektor = array [l..N_vx] of real;
Var
pred : array [1..2,l..N_vx] of real;
Vx : Nvektor;
M_fuz : real;
Массив pred может быть задан в тексте основной программы,
например для случая N_vx=3, таким образом:
pred[l][l]:=_; pred[2][l]:=_;
pred[l][2]:=_; pred[2][2]:=_;
pred[l][3]:=_; pred[2][3]:=_;
Настройка нечеткого регулятора для выбранного числа
входных параметров N_vx состоит в подборе значений параметра
экспоненты раг_с и элементов массива pred, позволяющих получить
удовлетворяющий разработчика переходный процесс системы с
нечетким регулятором.
Ниже приведен исходный текст процедуры.
Procedure Res(x : Nvektor ; var у : real);
Var
i, j: integer;
mju: array [l,.2,l..N_vx] of real;
u: Nvektor;
248
Раздел 3
b: array [1..2] of real;
X_res: array[1..4] of real;
u_c,u_t,u_0,
mju_t, suml, sum2: real;
Begin {Res}
for i:= 1 to N_vx do
begin
u[i] := (x[i]-pred[ 1 ][i])/(pred[2][i]-pred[ 1 ][i]);
mju[l][H:=exP(“Par_c*u[i]);
mj u [2] [i] :=exp(-par_c*( 1 -u[i ]));
end;
for i:=l to 2 do
begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[l]>=b[2] then
begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c; X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end
else
begin
X_res[2]:= l+ln(b[l])/par_c ; X_res[3]:= l+ln(b[2])/par_c ;
end;
u_0:= (X_res[4]-X_res[l])/M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml:= u_t * mju_t;
sum2:= mju_t;
if b[l]>=b[2] then
begin
for i~ 1 to M-2 do begin u_t:=u_t+u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml :=suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mjut;
249
Раздел 3
end;
end
else
begin
for i:=l to M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end;
u_c:=(X_res[ 1 ]*b[ 1 ]/2+sum 1 +X_res[4]*b[2]/2)/(b[ 1 ]/2+sum2+b[2]/2);
У := y_min + u_c*(y_max-y_min);
End; {Res}
При оптимизации параметров нечеткого регулятора можно ис-
пользовать различные методы оптимизации.
Программа Opt_HD реализует алгоритм безусловной оптимизации
методом Хука-Дживса параметров нечеткого регулятора системы ав-
томатического управления нестационарного объекта (ФП - экспонен-
циальные, результирующая ФП определяется по формуле (1.2)).
В качестве входных параметров HP выбраны ошибка в системе, а
также ее первая и вторая разность. Число термов, описывающих вход-
ные и выходное значения HP, выбрано равным двум. Объект управле-
ния содержит колебательное и интегрирующее звенья с переменными
параметрами. На вход системы подается произвольное входное воз-
действие. В качестве параметров оптимизации выбраны пределы из-
менения первой и второй разностей ошибки в системе и коэффициент
с в экспоненциальных ФП.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod_Parametr_Prog - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Prisv_Natch - обнуление переменных состояния обьек-
та управления.
Процедуры Intgr, KolebZvn - моделирование интегрирующего и
колебательного звеньев с переменными параметрами.
250
Раздел 3
Процедура Parametr - моделирование законов изменения парамет-
ров обьекта управления.
Процедура Vxod - моделирование входного воздействия.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр процедуры - массив х - содер-
жит текущие значения входных параметров нечеткого регулятора; вы-
ходной параметр - переменная у - значение управляющего воздейст-
вия нечеткого регулятора).
Процедура Criterij - расчет значения критерия оптимизации.
В программе заданы константы: N_parametr - количество оптими-
зируемых параметров, N_vx - количество входных параметров нечет-
кого регулятора, y_max, у min - значения границ диапазона измене-
ния управляющих воздействий в системе, tt - время наблюдения, ЬО -
шаг моделирования, h - шаг квантования, М - число дискрет на ин-
тервале интегрирования результирующей ФП.
В программе используются следующие переменные и массивы: hn
- шаг изменения значений параметров оптимизации, JJ-значение кри-
терия оптимизации, X2nl, Xlnl, enterl, inputl, exitl, inputintgr, out-
putintgrl - переменные состояния динамических звеньев обьекта
управления, раг_с - коэффициент экспоненциальной функции, L -
интервал наблюдения, выраженный числом шагов моделирования, fi,
fb, г, i, ps, j - служебные переменные, opt_par - массив, содержащий
теукущие значения оптимизируемых параметров, pred - массив, со-
держащий значения пределов диапазонов изменения входных пара-
метров нечеткого регулятора, y_slug, z_slug, p_slug - служебные мас-
сивы.
{Программа безусловной оптимизации методом Хука-Дживса па-
раметров нечеткого регулятора системы управления нестационарного
объекта (ФП - экспоненциальные, результирующая ФП определяется
по формуле (1.2))}
Program Opt_HD2;
Uses Crt;
Const
N_parametr=3;
N_vx=3; y_max=l; y_min=-l; tt=l 5; h0=0.0005; h=0.01; M=1000;
Type
Nvektorl = array [l..N_vx] of real;
Var
i, ps, j : integer;
251
Раздел 3
opt_par, у slug, zslug, p_slug : Nvektor 1;
J J, hn, fi, fb, r, pare, L,
X2nl, Xlnl, enterl, inputl,
exitl , inputintgr, outputintgrl :real;
pred : array [1..2,l..N_vx] of real;
Procedure KolebZvn (ka 1,kb 1,enter: real; var exit: real);
VarX2n,Xln : real;
Begin {KolebZvn}
X2n:=(((4-2*kbl*h-kal*h*h)*X2nl)-4*kal*h*Xlnl +
2 * h * (enter+enter 1 ))/(4+2 * kb 1 * h+ka 1 * h * h);
X1 n:=X 1 n 1 +h*(X2n+X2n 1 )/2;
enterl :=enter; exit:=Xln; X2nl:=X2n; Xlnl:=Xln;
End; {KolebZvn}
Procedure Intgr ( Kycl,input: real; var output: real);
Begin {Intgr}
output:=outputintgrl+(input+inputintgr)*h*Kycl/2;
inputintgr:=input; outputintgr 1 :=output;
End; {Intgr}
Procedure Vxod (t:real; var Akreal);
Begin {Vxod}
Al:=- 0.0013316 4- 0.1653269*t - 0.4785008*sqr(t)
+ 0.1037928*t*sqr(t) - 0.0088016*sqr(sqr(t))
+ 0.0003404*t*sqr(sqr(t)) - 5.09342e-6*sqr(t)*sqr(sqr(t));
if t> 15 then А1.-0;
End; {Vxod}
Procedure Parametr (rr :real; Var Ту, Kdy, Ksiy :real);
Begin {Parametr}
Ty:=0.9849-0.1188*rr+0.0063*sqr(rr)-0.00012*rr*rr*rr;
Kdy:=16.5475-4.4469*rr+0.4843*sqr(rr)-
0.02315*rr*rr*rr+0.0004*sqr(sqr(rr));
Ksiy:=0.297-0.0535*rr+0.0043*sqr(rr)-0.00011 *rr*sqr(rr);
End; {Parametr}
Procedure Res(x : Nvektorl ; var у : real);
Var
i, j: integer;
mju: array [1..2,l..N_vx] of real;
u: Nvektorl;
b: array [1..2] of real;
X_res: array[1..4] of real;
u_c,u_t,u_0,
252
Раздел 3
mju_t, suml, sum2: real;
Begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
u[i]:=(x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mju[2][i] :=exp(-par_c*( 1 -u[i ]));
end;
for i:=l to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[l]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c; X_res[3]:= In(b[2])/-par_c;
end
else begin
X_res[2]:= l+ln(b[l])/par_c ; X_res[3]:= l+ln(b[2])/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t * mju_t;
sum2 := mju_t;
if b[l]>=b[2] then begin
for i:=l to M-2 do begin u_t:=u_t+u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end
else begin
for i:= 1 to M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
253
Раздел 3
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
: integer;
: real;
: Nvektorl;
: real;
J:=0; L:-0;
end;
u_c:=(X_res[ 1 ] *b[ 1 ]/2+sum 1 +X_res[4]*b[2]/2)/(b[ 1 ]/2+sum2+b[2]/2);
У := y_min + u_c*(y_max-y_min);
End; {Res}
Procedure Criterij (var J : real);
Var
N_n,N_m,i
t, Vixl, Vix2, Crit, Rasnost,
k, Vxod wos, Kw, Ksi,TTg,Ksg,
alfaG, ag, bg
Vx
us, sde, dt,d2t, Mfuz
Begin {Criterij}
k:=0; Crit:=0; t:=0; Rasnost:=0;
M_fuz:=0; Vixl:=0; Vix2:=0; dt:=O; us:=0; sde:=0;
N_m:=round(h/hO)+l; N_n:=N_m;
par e :=opt_par[l ];
pred[2][2] :=opt_par[2];
pred[l][2] :=-opt_par[2];
pred[2][3] :=opt_par[3];
pred[l][3] :=-optjpar[3];
repeat
Parametr (t+4.5,TTg,Kw,KSg);
ag:=l/Sqr(TTg); bg:=2*KSg/TTg; alfaG:=100*Kw*ag;
Vxod (t,Vxod_wos);
Vxod_wos:=Vxod_wos+1;
Rasnost:=Vxod_wos-Vix2;
if N n=N m then
begin
if t=0 then begin dt:=O; d2t:=O; end else
begin
dt:= (Rasnost-sde)/h;
d2t:=(dt-us)/h;
end;
if k=l then d2t:=0;
254
Раздел 3
Vx[l]:=Rasnost; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde—Rasnost; us—dt;
k—k+l;N_n—1;
end;
Intgr (alfaG,M_fuz,Vixl);
KolebZvn(ag,bg,Vixl,Vix2);
Crit:=Vxod wos-Vix2; J:=J+sqr(Crit); L:=L+1;
t—t+hO; N_n—N_n+1;
until t>tt;
J—J/L; writeln(J);
End; {Criterij}
Procedure Vvod Parametr Progr;
Begin {VvodParametrProgr}
Clrscr;
\угке1п(’Введите начальный шаг изменения параметров регу-
лятора’);
write('hn-); readln(hn);
{Присвоение значений пределов диапазона изменения ошиб-
ки в системе}
pred[2][l] — 1.02; pred[ 1][ 1] :=-1.02 ;
{Присвоение начальных значений параметров оптимизации }
opt_par[l]—10; opt_par[2]—2.75; opt_par[3] —16.521;
End; {Vvod_Parametr_Progr}
Procedure Prisv_Natch;
Begin {Prisv Natch}
XIn 1 :=0; X2nl:=0; enterl—0; inputl—0; exit 1—0;
inputintgr—0; outputintgrl—0;
End; {Prisv_N atch}
{Исполнительная часть}
Begin {Opt HD2}
VvodParametrProgr;
Prisv_Natch;
\угйе1п('метод Хука-Дживса’);
y_slug:=opt_par; p slug—opt_par; z_slug:=opt_par; Criterij(JJ);
\угке1п('нач. значение функции’,fi); ps—0; fb—fi;
repeat
writein ('исследующий поиск');
for i—1 to N_parametr do
begin
255
Раздел 3
opt_par[i] :=y_slug[i]+hn;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); r:=JJ;
if r<fi then begin
fi:=r; y_slug[i]:=opt_par[i];
end
else begin
opt_par[i] :=y_slug[i]-hn;
Prisv Natch; Criterij(JJ); r:=JJ;
if r<fi then begin
fi:=r; y_slug[i]:=opt_par[i];
end
else
opt_par[i] :=z_slug[i];
end;
end;
if fi< (fb-lE-3) then begin
for i:=l to N_parametr do
p_slug[i]:-2*y_slug[i]-z_slug[i];
z_slug:=y_slug; opt_par:=p_slug; y_slug:=opt__par;
fb:=fi;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); fi~JJ; ps:= 1;
writein (’поиск по образцу’);
end
else
if ps=l then begin
p_slug:=z_slug; y_slug:=z_slug; opt_par:=z_slug; ps:=0;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); fb:=fr,
writeln('3aMeHa базисной точки');
end
else begin
hn:=hn/10; writeln('yMeHbiiiHTb uiar',hn);
ifhn<lE-3 then begin
writelnfMHHHMyM найден');
for i :1 to N_parametr do
writeln(opt_par[i]);
readln;
exit;
end;
end;
until false;
End. {Opt_HD}
256
Раздел 3
Эффективность работы нечеткого регулятора (как и любого друго-
го) оценивается по тому, какие быстродействие и точность управления
в замкнутой системе автоматического управления он обеспечивает.
Наиболее часто нечеткое управление сравнивают с ПИД-управлением,
которое отличают легкость реализации и надежность и которое широ-
ко используется для управления технологическими процессами в про-
мышленности. В ряде публикаций отмечается, что нечеткое управле-
ние превосходит ПИД-управление в контурах управления нелиней-
ными и зашумленными процессами, при изменении уставок и нагруз-
ки, обеспечивает более высокую устойчивость, сводя к минимуму
перерегулирование. Однако сравнение нечеткого управления и ПИД-
управления необходимо производить для каждой конкретной системы
управления.
Структурные схемы и методики параметрического синтеза ци-
фрових ПИД-регуляторов
ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциаль-
ный регулятор) вырабатывает выходной сигнал, который состоит из
суммы трех составляющих: пропорционального регулирования, регу-
лирования по интегралу и регулирования по производной. В связи с
этим такие регуляторы еще называют трехканальными.
Уравнение классического ПИД-регулятора имеет вид:
п(Г) = Uq + К •
о
dt
где - поправочное значение или смещение, которое на-
страивает средний уровень выходного сигнала регулятора, К - общее
усиление регулятора, 7}- постоянная времени интегрирования, a
постоянная времени дифференцирования. - сигнал поступающий
на вход регулятора, обычно это ошибка отработки < истемой входного
сигнала, то есть разница между входным и выходным сигналами сис-
темы.
Передаточную функцию аналогового ПИД-регулятора обычно
записывают в виде:
W(s) = K + K'Js + Kds
257
Раздел 3
Как видно из уравнения ПИД-регулятора, первая составляющая
выходного сигнала регулятора пропорциональна входному сигналу.
Вторая составляющая пропорциональна интегралу по времени вход-
ной величины. А третья составляющая пропорциональна ее производ-
ной. Интегральная часть регулятора используется для ликвидации
стационарных ошибок, а дифференциальная - для введения опереже-
ния по фазе входных сигналов.
Структурная схема аналогового ПИД-регулятора изображена на
рис.3.109,а. ПИД-регуляторы часто используются в качестве регули-
рующих элементов многих промышленных систем управления про-
цессами в различных технологических объектах. Популярность ПИД-
регуляторов можно в какой-то степени объяснить их робастностью в
самых разных условиях работы и их функциональной простотой, об-
легчающей инженерам их эксплуатацию. Чтобы применить такой ре-
гулятор в системе управления конкретным объектом, надо просто на-
строить три параметра регулятора: K,Kh (коэффициент пропор-
циональности, коэффициент в канале интегрирования и коэффициент
в канале дифференцирования).
ПИД-регуляторы можно реализовать как в цифровом виде (про-
грамным способом), так и в аналоговом виде (аппаратним способом).
Передаточная функция цифрового ПИД-регулятора может быть
записана различными способами, поскольку интегрирование и диффе-
ренцирование в цифровой форме может быть выполнено различными
методами. Аппроксимируя производную первой разностью и исполь-
зуя интегрирование на основе трапецеидальной аппроксимации, запи-
сывают передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора в виде
[161]
W(z) = K + ^^— + -* Z— ,
2 z-1 Ао z
где Ло - шаг дискретизации, или в виде
W(z) = G]+G2^- + G3 — .
z-1 Z
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора изображена на
рис.3.109,6.
В теории дискретных систем управления используют другую
форму записи для передаточной функции цифрового ПИД-
регулятора:
258
Раздел 3
1-z’1
a)
6)
в)
Рис.3.109
Переписывая предыдущее выражение для передаточной функции
цифрового ПИД-регулятора в виде
259
Раздел 3
^(z) = G^G2^r + G3(l-z~l),
находим, что при значениях коэффициентов:
Ло = G] + G2 + G3; 6] = G2 - Gj - 2G3; b2 = G3 обе формы записи
для передаточной функции цифрового ПИД-регулятора совпадают. По
коэффициентам Ь, можно определить коэффициенты Gz: G3=b2;
G2 =(bQ+b} + b2)/2; G} =(bQ-b} -3b2)/2.
В аналоговой системе управления цифровой ПИД-регулятор вклю-
чают между аналого-цифровым АЦП и цифроаналоговым ЦАП преоб-
разователями (см. рис.3.110,а).
На рис.3.110,6 представлена структурная схема цифрового ПИД-
регулятора в системе MATLAB, где на вход Ini подается ошибка рас-
согласования, а на входы In2, In3, 1п4 соответственно значения коэф-
фициентов Gj -К, G2 -——G3 =——.
2 Ло
Оптимальные значения коэффициентов соответствуют минималь-
ному значению критерия качества (например, J ~ tр => min , когда
оценивается быстродействие системы по реакции на ступенчатое вход-
1 L~}
ное воздействие, или J = — => min, когда оценивается точность
v=0
системы по величине текущей ошибки при типовом, обычно синусои-
дальном входном воздействии с заданными частотой и амплитудой).
Таким образом, параметрический синтез цифрового ПИД-
регулятора в системе автоматического управления включает выбор
критерия качества для типового входного воздействия и вариацию
11 V К [bty Кd
коэффициентов регулятора G] = К, G2 =------, (j3 =---- с целью
2 h0
нахождения минимального значения критерия качества.
Цифровые ПИД-регуляторы используют для управления не толь-
ко объектами, для которых получены математические модели, но и
для управления объектами, которые не поддются, или поддются со
значительными трудностями формализованному описанию.
260
Раздел 3
Рис.3.110
Цифровые алгоритмы управления являются важнейшей составной
частью программного обеспечения микропроцессорных контроллеров
и управляючих вычислительных машин, которые осуществляют опрос
сигналов с датчиков, вычисляют значения управляющих сигналов на
основе заданного закона регулирования, а потом выдают их на испол-
нительные механизмы. Период опроса (квантования) изменяется в за-
висимости от динамических параметров процесса о г долей до неско-
льких десятков секунд. В настоящее время наблюдается тенденция
вытеснения аналоговых систем управления цифровыми. Это объясня-
ется широкими возможностями по реализации самых совершенных
алгоритмов регулирования, что, в свою очередь, гарантирует получе-
ние высоких точности и быстродействия в замкнутых системах циф-
рового управления. ПИД-алгоритмы цифрового управления при пра-
261
Раздел 3
вильной настройке обеспечивают достаточно високое качество управ-
ления для большинства объектов промышленной технологии.
Рассмотрим еще одну процедуру вывода алгоритма цифрового
ПИД-регулятора из соответствующего непрерывного закона, который
имеет вид
^(0
dt
де 0(f) - ошибка регулирования.
Запишем это уравнение в конечних разностях, путем замены
t -kh, где к=1,2,3... - номер периода квантования, h -период кван-
тования:
и(к) = К
Ti л=0 h
Отметим, что при достаточно малых периодах квантования циф-
ровой ПИД-закон управления обеспечивает почти такое же качество
процессов управления, как и аналоговый закон.
На практике вместо вычислений абсолютных значений управля-
ющего сигнала удобнее вычислять его приращение Aw(Zr) на каждом
такте. В этом случае становится возможным использование этого ал-
горитма для управления объектами, оснащенными как пропорциона-
льными так и интегрующими исполнительными механизмами. В ре-
зультате получим так называемый быстрый алгоритм управления:
Ьи(к) = и(к)-и(к-\) = К
0(k)-0(k-V) + —0(к) +
T'i
+ 1±[в{к)-6{к-\')-(0(к -1)-0(к - 2))] ,
h
или, приводя подобные члены, получим:
и(к) = и(к -1) + K(d^0(k) + dx0(к -1) + d20(k - 2))
где обозначено
dQ=l+ — + Id_- d X_2Id_-y d2=^-.
° 7} h 1 h 2 h
262
Раздел 3
[
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на
рис.3.109,в, где через Z’1 обоначены блоки задержки сигнала на один
период квантования.
Для того, чтобы эфект квантования по времени мало отражался на
динамике системы цифрового ПИД-регулирования, рекомендуется
вибирать период квантования из соотношения:
Г95/15 < Л < Г95/5,
где - время достижения выходным сигналом системы уровня
95% от установившегося значения при подаче на вход ступенчатого
сигнала.
Другой подход к выбору величины периода квантования основан
на рекомендациях Зиглера и Никольса, согласно с которыми
h = 0ЛТкр9 де 7\р - период критических колебаний объекта управле-
ния. В реальних условиях при управлении инерционными процессами
значение h берется от одной секунды до нескольких минут. При ре-
гулировании малоинерционных процессов величина h может состав-
лять десятые доли секунды. Нельзя выбирать большие периоды опро-
са, особенно для ответственных процессов, потому что в этом случае
аварийные ситуации будут ликвидироваться слишком долго. В то же
время, при слишком малом периоде опроса повышаются требования к
быстродействию электронной вычислительной машины и увеличивае-
тся влияние шумов.
С целью упрощения процедуры настройки цифрового ПИД-
регулятора рекомендуется (согласно Зиглеру и Никольсу) при
h - QAT\p выбирать следующие значения отношений:
6/7} = 0.2; Td/h = \.25.
В этом случае соответствующие коэффициенты (см. рис.3.79,в)
будут равны:
dQ =2.45; d} =-3.5; d2 =1.25.
При таком способе в алгоритме параметром, который необходимо
настроить, остается только один коэффициент усиления регулятора
, чем и поясняются простота и широкое распространение этого ме-
тода настройки.
263
Раздел 3
Структурные схемы и методика параметрического синтеза
цифровых оптимальных по быстродействию регуляторов
Оценку эффективности работы нечеткого регулятора также мож-
но производить путем сравнения показателей качества проектируемой
системы с нечетким и оптимальным по быстродействию цифровым
регулятором. Цифровий оптимальный по быстродействию регулятор
позволяет в ряде случает при нулевых начальных условиях получить
оптимальный переходный процесс без перерегулирования за мини-
мальное время, а также значительно увеличить точность отработки
системами автоматического управления произвольных входных воз-
действий. Это становится возможным благодаря использованию циф-
рового регулятора с передаточной функцией IV(z), которая обеспе-
чивает оптимальный переходный процесс. Наиболее просто получить
передаточную функцию оптимального по быстродействию регулятора
можно используя метод переменного коэффициента усиления [208].
Данный метод заключается в том, что регулятор рассматривается как
усилитель с переменным во времени коэффициентом усиления Kv,
причем коэффициент усиления изменяется мгновенно через проме-
жутки времени Л, которые называются шагом квантования. На про-
тяжении каждого шага квантования коэффициент усиления остается
неизменным
В общем случае передаточная функция цифрового оптимального
по быстродействию регулятора имеет вид:
/
v=0
где u(vh+) - входний сигнал регулятора на (v + 1)-m шаге квантова-
ния, u'(yh + ) - выходний сигнал регулятора на (у + 1)-м шаге кван-
тования, / - число шагов квантования.
В работе [32] для системы управления с единичной обратной свя-
зью, прямой тракт которой состоит из цифрового регулятора и линей-
ного стационарного объекта управления, для линейного сигнала вида
264
Раздел 3
u(t) ~U + (J-t на входе системы определены управляющие воздей-
ствия на объект управления, при которых переходный процесс в сис-
теме заканчивается за время t = Nh , где TV - порядок объекта (по-
рядок дифференциального уравнения, которым описывается объект), а
h - шаг квантования в цифровом регуляторе.
Рассматриваемые и синтезируемые в данной работе цифровые оп-
тимальные по быстродействию регуляторы представляют собой но-
вый тип регуляторов [22, 212], важное отличие которых от известных
“апериодических” регуляторов заключается в том, что они отрабаты-
вают не ступенчатые, а линейно изменяющиеся воздействия, которы-
ми аппроксимируют произвольные воздействия, поступающие на вход
системы управления. Поэтому эти регуляторы способны обеспечить
более высокое качество систем управления, характеризуемое текущи-
ми ошибками рассогласования в замкнутой системе.
Методика синтеза оптимального по быстродействию цифрового
регулятора включает следующие шаги [58]: 1.определяют передаточ-
ную функцию общего объекта управления, 2. на основании этой пере-
даточной функции определяют амплитуды управляющих импульсов
, количество которых равно порядку передаточной функции обще-
го объекта управления TV, а длительность каждого импульса равна
шагу квантования Л, 3. набирают структурную схему формирования
управляющих импульсов, 4. набирают структурную схему формиро-
вания скорости (первой разности) входного воздействия на интервале
регулирования nt p<t <(n + \)t р, tp = Nh , скорости (первой разности)
входного воздействия на интервале регулирования (п - \)tp<t<ntp и
приращения скорости на интервале регулирования ntp<t<(n + l)tp
(Дсг = ст„-стл.1).
Достаточно полные таблицы для амплитуд управляющих импуль-
сов для различных передаточных функций объектов управления при-
ведены в работах [28, 135, 138]. Цифровой оптимальный по быстро-
действию регулятор рассчитывается для произвольных воздействий,
поступающих на вход системы, поскольку в таком регуляторе заложе-
на процедура аппроксимации произвольных входных воздействий ли-
нейно изменяющимися на каждом интервале регулирования воздейст-
виями.
265
Раздел 3
В данном разделе изложено структурное моделирование опти-
мальных по быстродействию цифровых регуляторов на основе инте-
рактивной системы MATLAB.
Для конкретности рассмотрим регулятор, работающий на объект
управления, математическая модель которого описывается передаточ-
ной функцией
G(s) = a[s(s + a)(s + b)Y'.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на такой объект управления при линейно изме-
няющемся сигнале на входе системы управления на п-м интервале
регулирования определяются (см. Приложение Б, п.З,):
= ^о(д и + 50Д<7) + Лсгп-1 >ntp<t< ntp + h;
= X'0[^l(At/ + S0Acr) + AAcr] + 7?cTn.l,
ntp +h<t < nt p + 2й;
m2 = № + So Act) + ЛАо-(1 + <?,)] + Rcr^,
ntp+2h<t <ntp+3h, (3.176)
oZ> ^,a + b h(2 + qx)
где Ko =-------------- So = 3h +------------------
0 ab (1-Л)(1-Я)
/? = —; ^=-(Л + В);<72 = ЯВ; A = e-ah; B = e~bh.
a
MJ = 0n, где 0n - ошибка на входе регулятора в момент начала
h -го интервала регулирования длительностью t = Nh, т.е. ошибка
в момент nt р. h -шаг квантования. N =3 - порядок объекта управле-
ния. Асг = ап -сгпЧ - приращение скорости на интервале регулиро-
вания ntp<t<(n + l)tp, где ап - первая разность (средняя скорость)
входного воздействия на интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp,
сгл1 - первая разность (средняя скорость) входного воздействия на
интервале регулирования (п - l)tp<t<nt .
Цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
ntр < t <( п +1) t можно описать передаточной функцией
266
Раздел 3
6(z) At/<liz -z|
или разностным уравнением
2 2
m=C^mkei-k ’
k=0 k=\
где в = MJ при индексе i-k>0 и 0-0, т = 0 при индексе i-k<
0.
Если обозначить ДЦ дискретные значения ошибки в соответст-
вующем контуре управления в моменты ih, i =0,1,2, на интервале
регулирования длительностью t (MJ -0п- MJQ- ошибка в момент
nt ошибка в момент ntp + h, MJ2- ошибка в момент
nt + 2h), то цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
nt р < t <( п 4-1) t можно описать передаточной функцией
W)= mo + m,z'+m2z-2
0(z) MJ0 + bUtz-'+bU2z~2
или разностным уравнением
2 2
k-Q k=}
Таким образом, если ошибка квантуется с шагом Nh, регулятор
описывается передаточной функцией (3.177); если ошибка квантуется
с шагом квантования Л, регулятор описывается передаточной функ-
цией (3.178).
В момент начала п -го интервала регулирования длительностью
tр = Nh, т.е. в момент ntp, первую разность (среднюю скорость)
входного воздействия на систему управления u(t) на интервале регу-
лирования ntp<t<(n + \)tp
ап ={«[(» + l)tp]-u(ntp)}/tp (3.179)
измерить невозможно (за исключением тех случаев, когда входное
воздействие заранее задано), поэтому будем измерять текущее значе-
ние скорости входного воздействия
267
Раздел 3
сг = {u(kh0)-u[(k-V)h0]}/ h0 (3.180)
где h0 -шаг моделирования, и использовать приближенное значение
первой разности
&n=a(ntp) (3.181)
Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на пре-
дыдущем интервале регулирования (п - \)t p<t <nt р определяется как
о-п-1 =<т[(«-1Ур]. (3.182)
Тогда приращение скорости на интервале регулирования
ntp<t<(n + \)t определяется как
Act = {a(ntp) - cr[(w - l)/p ]} ltp. (3.183)
Кроме того, поскольку для многих систем автоматического
управления измерить непосредственно входное воздействие u(t) за-
труднительно, то можно использовать ошибку системы 0(t) и выход
системы x(t) и находить входное воздействие как u(t) = x(t) + 0(t).
Составленная непосредственно по выражениям (3.176) и (3.179)-
(3.183) структурная схема оптимального по быстродействию цифро-
вого регулятора представлена на рис.3.111.
Фиксатор Zero-Order Hold3 (работает с шагом моделирования
Ао), блок задержки Unit Delay3 (работает с шагом моделирования Ло),
сумматор и усилитель Gainl (с коэффициентом передачи 1 / Ао) реали-
зуют выражение (3.180). Выходом усилителя Gainl является текущее
значение скорости входного воздействия ст.
Фиксатор Zero-Order Hold 2 (работает с шагом Nh, N - порядок
объекта управления, h -шаг квантования), блок задержки Unit Delay 1
(работает с шагом Nh) и сумматор реализуют выражения (3.181) -
(3.183). Выходом блока задержки Unit Delay 1 является первая раз-
ность (средняя скорость) входного воздействия на предыдущем ин-
тервале регулирования сгл_1, а выходом сумматора является прираще-
ние скорости на интервале регулирования Дет.
Фиксатор Zero-Order Holdl (работает с шагом Nh) квантует
ошибку системы управления.
268
Раздел 3
Импульсный генератор Pulse Generator генерирует импульсы
единичной амплитуды длительностью h с периодом следования Nh.
Эти импульсы непосредственно с генератора и с линий задержек Unit
Delay4 и Unit Delay5 (каждая для сдвига импульсов на шаг квантова-
ния Л) поступают на соответствующие умножители Product и обра-
зуют стробирующие длительностью h импульсы, необходимые для
временного распределения импульсов оптимального управляющего
воздействия w0,w15w2 (см. формулы (3.176)). По выражениям (3.176)
составлена остальная часть структурной схемы цифрового регулятора.
Общая структурная схема (на шесть управляющих импульсов
Що, тх, т2, , т4, т5) оптимального по быстродействию цифрового
регулятора представлена на рис.3.112.
Кроме фиксатора Zero-Order Hold, который работает с шагом Nh
и квантует ошибку системы управления, схема регулятора включает
восемь блоков. Блок SubSystem 1 (см. рис.3.113,а) формирует сигналы
269
Раздел 3
Rcrn] и Дет из входного сигнала ;/(/), поступающего на систему.
Блок SubSystem2 (см. рис.3.113,6) формирует сигналы /и0 и
At/ + S0Aa (At/ = 0п) из поступающих на его три входа сигналов
AL/ = 0 , /?сг и Act.
и 7 п—I
SubSystem?
Рис.3.112
Блоки SubSystem3 - SubSystem? идентичны и отличаются только
коэффициентами усиления усилителей перед первым сумматором.
Эти коэффициенты находятся из выражений для оптимальных управ-
ляющих воздействий на объекты управления с соответствующими пе-
редаточными функциями (см. Приложение Б). Так, для блока Subsys-
tems эти коэффициенты равны и h (см. рис.3.113,в). На входы этих
блоков поступают сигналы At/ + S0Acr, /?сгп1 и Асг, а выходными
сигналами блоков являются соответственно сигналы
^0,?771,Щ2,?И3,Щ4,Щ5 .
Блок SubSystem (см. рис.3.114) включает импульсный генератор
Pulse Generator, который генерирует импульсы единичной амплиту-
ды длительностью h с периодом следования Nh .
270
Раздел 3
в)
Рис.3.113
Рис.3.114
271
Раздел 3
Эти импульсы непосредственно с генератора и с линий задержек
Unit Delay4 - Unit Delay8 (каждая для сдвига импульсов на шаг кван-
тования h) поступают на соответствующие умножители Product' и
образуют стробирующие длительностью h импульсы.
Стробирующие импульсы необходимы для временного распреде-
ления импульсов mQ, тх. т2, т3, т4, т5 оптимального управляющего
воздействия . Последовательность импульсов оптимального
управляющего воздействия m(t) поступает на вход объекта управле-
ния на каждом интервале регулирования ntp < t <( п +1) tр, tр = Nh .
Важно отметить, что структурную схему оптимального по быст-
родействию цифрового регулятора, которая представлена на рис.3.111,
можно использовать также для объектов управления, математические
модели которых описываются передаточными функциями, приведен-
ными в п.п.4,5,6 Приложения Б, с учетом соответствующих парамет-
ров K0,S0,<7( .
Рассмотрим регулятор, работающий на объект управления, мате-
матическая модель которого описывается передаточной функцией
(7(5) = a(s + б/)[5(52 + bs + a)(s + с)]-1.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на такой объект управления при линейно изме-
няющемся сигнале на входе системы управления на п-м интервале
регулирования определяются (см. Приложение Б, п.12):
т0 = Ко(&U + 50Д<т) + Ran_}, ntp<t<ntp + A;
m\ = К + S $&.(?) +hk.a\ + R<?n_\,
ntp+h<t<ntp + 2h;
m2 = Ko [<702 + So Act) + АД<т(1 + <?01)] + Лсгл-1»
ntp +2h<t < ntp + ЗА;
m3 = Ko[qO3(AU + SoAa) + hAa(l+qol +<702)] + R°n-\>
nt p+3h<t <ni P+Ah. (3Jg4)
где Кй=-- ac ....
aA(/(l - 2 . В cos ЛА + B)(l - C)
272
Раздел 3
R=ac . s =4h- 1 + a + b--- hQ+2& .
ad' ° d ac (1 -2\В cosAA + 2?)(l-C) ’
<701 = -(2 Jb cos Ah + C); q02 = В + 2CJb cos Ah', qm =-BC;
A = \a-b2/4; B = e-kh', C = ech.
Составленная непосредственно по выражениям (3.184) и (3.180)-
(3.183) структурная схема оптимального по быстродействию цифро-
вого регулятора представлена на рис.3.115.
Структурную схему оптимального по быстродействию цифрового
регулятора, которая представлена на рис.3.115, можно использовать
также для объектов управления, математические модели которых опи-
сываются передаточными функциями, приведенными в п.п.9,10,11,12
Приложения Б, с учетом соответствующих параметров So, qi.
Для параметрического синтеза оптимального по быстродействию
Цифрового регулятора необходимо знать передаточную функцию объ-
екта управления и производить выбор шага квантования h. Уменьше-
273
Раздел 3
ние шага Л (что необходимо для увеличения быстродействия системы
управления) приводит к резкому возрастанию амплитуд управляющих
воздействий поэтому должно выполняться условие ml< S, где
S - уровень сигнала, при котором наступает насыщение в системе.
В цифровых системах автоматического управления шаг квантова-
ния выбирают из большого числа требований, часть из которых могут
быть противоречивыми [11,173,209]. Для получения малых значений
h используют эмпирическое правило: h = (0,15...0,5)/сос, где сос -
частота среза логарифмической амплитудной характеристики для пе-
редаточной функции объекта управления. В соответствии с теоремой
Котельникова выбирают h <7с1сот^, где - максимальная час-
тота отрабатываемых сигналов. Для неколебательных систем прини-
мают h = tr /(2..4), где tr - время разгона. Для колебательных систем
принимают Л = (0,1...0,2)/г/((Уд/1-£~ ), где со и £ -соответственно
собственная частота и коэффициент демпфирования замкнутой систе-
мы [135]. Кроме того, следует иметь в виду, что различные звенья или
участки замкнутой системы автоматического управления могут рабо-
тать с разными шагами квантования. Шаг квантования является одним
из параметров, который можно включить в процедуру оптимизации
системы управления по определенному критерию качества.
274
Раздел 4
Раздел 4.
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
С ЧИСТЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
4.1. Применение оптимальных по быстродействию цифровых
регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием
Многие промышленные объекты характеризуются существенным
запаздыванием, в частности, все тепловые объекты, многие аппараты
нефтеперерабатывающих, нефтехимических и химических установок.
Нагревательные печи являются типичными объектами управления с
запаздыванием [210]. Запаздывание, вносимое объектом управления,
значительно уменьшает быстродействие системы и динамическую то-
чность процесса управления. Наиболее эффективным методом борьбы
с запаздыванием для объекта с передаточной функцией e~sTG(s) яв-
ляется охват регулятора Р звеном обратной связи с передаточной фун-
кцией (1-е sT)G(s), которое называют предиктором (упредителем)
Смита. Структурные схемы систем автоматического управления с
предиктором Смита показаны на рис.4.1,а,б. Предиктор Смита может
быть включен также параллельно объекту управления, как показано
на рис.4.1,в,г [210]. Для всех структурных схем, представленных на
рис.4.1, передаточная функция замкнутой системы имеет следующий
вид:
^)ОД т
G3 (s) —---------е ,
3 1 + fV(s)G(s)
где IV (s)- передаточная функция регулятора. Таким образом, если
синтезировать регулятор Р для объекта без запаздывания G(s), то
при наличии запаздывания качество переходного процесса не изменя-
ется, а происходит лишь смещение выходной переменной системы на
время запаздывания Т.
Указанный метод компенсации запаздывания не позволяет ре-
шить задачу обеспечения требуемой динамической точности системы,
поэтому сам регулятор Р следует синтезировать, например, с целью
обеспечения минимальной интегральной оценки качества.
275
Раздел 4
—sT
Звено запаздывания с передаточной функцией е при модели-
ровании реализуют либо приближением Паде первого порядка
-ST
е ~---------
2 + 7$
либо приближением Паде второго порядка
_5Г ~ 12-67$ +Г2?
~ }2 + 6Ts + T2s2 '
276
Раздел 4
При проектировании системы управления с оптимальным по бы-
стродействию цифровым регулятором и объектом управления с чис-
тым запаздыванием так, чтобы система “аппроксимировала” произ-
вольное входное воздействие сигналом, который линейно изменяется
на интервалах регулирования, необходимо определять оптимальные
управляющие воздействия на объект управления. Эти воздействия для
объекта управления с передаточной функцией e~sTG(s) можно най-
ти, модифицируя полученные в работах [115, 135, 138] формулы для
оптимальных управляющих воздействий на объект управления с пере-
даточной функцией G(s) следующим образом [77, 79]:
1. Интервал регулирования определить как t = Nh + т, где N -
порядок передаточной функции объекта управления, h - шаг кванто-
вания в цифровом регуляторе, Т = т - время запаздывания;
2. Поскольку за время запаздывания ошибка изменяется на вели-
чину тАет, то вместо ошибки системы вп в момент начала n-го ин-
тервала регулирования (в момент ntp) в формулы нужно подставить
величину вп + гДст, где Дет = ап - ап_}, ап - первая разность входно-
го воздействия на и-м интервале регулирования л/р</<(и + 1)/^ ,
ап_} - первая разность входного воздействия на (и-1)-м интервале
регулирования (и-1) tp-f< р
Например, на вход объекта управления, математическая модель
которого описывается передаточной функцией
G(s) = «[5(5 + d)(s + &)]“’, на п -м интервале регулирования
ntp<t<(n+V)t необходимо подавать воздействия:
/и0 = Kq(AU + SQ^a) + Ran_^ntp <t <ntp+h;
mx - K$[qx(&U + 50Лсг) + ЛЛ(т] + /?
ntp + h<t < ntp + 2h;
m2 = KelqztAU + Sq&(t) + hha(\ + qx)] + Ran_x;
ntp + 2h<t < ntp + 3/z,
(4.1)
277
Раздел 4
ab • s =3h + a + b- h(2 + <^ R = —
ah(\-A)Q-B)’ ° ab (1-Л)(1-В)’ a
ql=-(A + B); q2=AB; A=e~ah-, B = e~bh.
AU ~6n, где 0n- ошибка системы в момент начала n-го интерва-
ла регулирования, т.е. ошибка системы в момент nt р. Интервал регу-
лирования tp = Nh=3h, где W=3 -порядок объекта; Л- шаг кванто-
вания; на (и-1)-м интервале регулирования (n-\)t p<t <nt р входное
воздействие характеризуется первой разностью ап_х, на п -м интер-
вале регулирования nt p<t<(n + \)t р - первой разностью сгл;
Аст = сг -сг ., м =0,1,2,...
Подчеркнем, что ~ прямоугольные “управляющие”
импульсы, каждый из которых имеет длительность h и соответст-
вующую амплитуду. Если число импульсов W, где N -порядок объ-
екта, то интервал регулирования t= Nh.
На вход объекта управления с передаточной функцией
G(s) - + + необходимо, начиная с момента ntp,
подавать воздействия:
>и0 = Kq (AU + rAa + So А67) + ^ап-\ »nt р -z < nt р + »
т\ ~ [<71 + Т&а + S0Acr) + hAa] + Rcrn_i;
ntp +h<t < nt p + 2h;
w2 = ^ot^2 (At/ + rA<7 + S0Act) + Mct(1 +<7i)]+ /?□„_];
ntp + 2h<t < ntp + ЗЛ,
(42)
а также
= Rcrn_\ при ntp+3h <t<ntp+3 h + r. tp = Nh + r. (4.3)
Сравнивая выражения (4.1) и (4.2), отметим, что для объекта
управления с запаздыванием можно использовать формулы (4.1) вме-
сто формул (4.2) для “управляющих” импульсов, но для этого надо в
формулах (4.1) величину So заменить новым значением So - $о + Т :
278
Раздел 4
= 3h +
a + b
ab
h(2 + qi)
(1-Л)(1-5)
+ т.
При расчетах удобно время запаздывания т (особенно при боль-
шом запаздывании) выражать через целое число шагов квантования:
г = Lh. Тогда интервал регулирования можно определить как
tp = (N + L)h . При этом, в каждом интервале регулирования после
N прямоугольных “управляющих” импульсов следует L прямо-
угольных импульсов “подставки” одинаковой амплитуды R<Tn^\.
Если т меньше h, то удобно шаг квантования h выражать через
целое число интервалов запаздывания г: h-Мт. Тогда интервал
регулирования можно определить как t р = Nh + т - (NM + 1)г .
Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntр<t<ntр + Nh
(N - порядок объекта) интервала регулирования ntp<t<(n + \)tp
(t = Nh + г) можно описать передаточной функцией
= Щ2) = т0+тМ' +т^2
k 7 0(z) AU(l + z-’+z-2)
или разностным уравнением
2
2
к=0 к=\
где в = при индексе i-k>$ и 0 = 0, т = 0 при индексе / - к <0.
Если обозначить ДЦ ошибку в соответствующем контуре управ-
ления моменты ih , i =0,1,2, на интервале регулирования t (AU0 -
ошибка в момент nt Ml - ошибка в момент nt + h , Д(7Э - ошибка в
момент ntp + 2h), то цифровой регулятор на каждом подинтервале
ntp<t<nt 4-Nh интервала регулирования ntр<t<(п 4-1)tp можно
описать передаточной функцией
A/(z) _ т0 4- WjZ-1 4- m2z~2
0(z) ~ bUQ+bUxz~' +bU2z'2
или разностным уравнением
279
Раздел 4
2 2
~XAUkmi-^/AUO-
k=0 k=l
Структурная схема системы управления астатическим объек-
том, имеющим звено запаздывания, изображена на рис.4.2,а. Аналого-
цифровой преобразователь АЦП в этой схеме имеет шаг квантования,
равный интервалу регулирования.
Пусть объект управления в системе (см. рис.4,а) имеет передаточ-
1 / \ —is 10 -0,2j
ную функцию G0(s) =----------е =----------е и основной шаг
s(s + b) 5(5 + 1)
квантования в регуляторе h =2, - т =0,4. Тогда t = Nh + г =1.
На вход объекта необходимо, начиная с момента ntp, подавать
воздействия:
тп$ = X'oCAG + З^Асг) + Rcrn_\'i n<t<n+0,4;
тх = + 50Асг) + ЛАсг] + /?сгл_1; и+0,4</<и+0,8;
280
Раздел 4
т2 = Rcrn_} = —(jn_i при и+0,8 <г<и + 1,
а
где/Со = — Ь ; 50=2Л + —---------— + г, q,=~B- B = e~bh.
° аЫ\-В) 0 Ь \~В 1
Входное воздействие u(t) на каждом интервале регулирования
аппроксимируем линейно изменяющимся сигналом. Рассмотрим три
первых интервала регулирования [0,1,2], на которых входной сигнал
характеризуется первыми разностями: а0 = 1 (Дет = 1); о\ = 2
(Дет = 1) ; сг2 = 0 (Дет = -2) и Д[70 = 4. Отработка системой вход-
ного воздействия на трех первых интервалах регулирования показана
на рис.4.2,б.
Методика синтеза оптимального по быстродействию цифрового
регулятора для объектов с чистым запраздыванием включает следую-
щие шаги: 1.определяем передаточную функцию общего объекта
управления; 2. на основании этой передаточной функции определяем
амплитуды “управляющих” импульсов , количество которых равно
порядку передаточной функции общего объекта управления W, а
длительность каждого импульса равна шагу квантования h; 3. выби-
раем шаг квантования h (если шаг квантования h меньше времени
запаздывания т, выражаем время запаздывания целым числом шагов
квантования: T — Lh\ если временя запаздывания меньше шага кван-
тования, выражаем шаг квантования целым числом интервалов запаз-
дывания: h = Л/т ); 4. записываем длительность интервала регулиро-
вания в виде tp=Nh + Lh, если T — Lhy или в виде
= NA + г = (NA/+ 1)т , если h = Мт ; 5. набираем структурную
схему формирования “управляющих” импульсов и импульсов “под-
ставки”; 6. набираем структурную схему формирования скорости
(первой разности) входного воздействия ап на интервале регулирова-
ния nt p<t<(п + 1)/р, скорости (первой разности) входного воздейст-
вия сгп { на интервале регулирования (n-\)t p<t<nt р и приращения
скорости А а = сгп - сп[ на интервале регулирования nt р <t<(n + \)t р.
281
Раздел 4
Достаточно полные таблицы для амплитуд управляющих импуль-
сов для различных передаточных функций объектов управления при-
ведены в работе [135,138]. Цифровой оптимальный по быстродейст-
вию регулятор рассчитывается для произвольных воздействий, посту-
пающих на вход системы, поскольку в таком регуляторе заложена
процедура аппроксимации произвольных входных воздействий ли-
нейно изменяющимися на каждом интервале регулирования воздейст-
виями.
Для статических объектов управления блок оценки ст не нужен и
структурная схема системы управления упрощается. Например, на
вход статического объекта с передаточной функцией
G(s) = 6ze~n[(5 + a)(s + 6)]-1 необходимо подавать воздействия:
.. n ab n ,
mn = Kn0„+- 0„ nt <t<nt +h;
U Un Л—I ’ О P 1
a
т^кле,+аЬе,
a
ab
m2 = vn-\ ПРИ
a
; ntp + h <t<ntp+2h\
nt +2h <t<nt+2h + r. t„ - Nh + т.
p p p
Ко = -
ab
; = 1-A-B; A = e~ah; B = e'M
При отработке системой, имеющей статический объект управле-
ния, произвольного входного воздействия, которое аппроксимируем
линейно-изменяющимся, для повышения динамической точности сис-
темы на выходе регулятора можно ввести дополнительно интегри-
рующее звено (для придания системе астатизма первого порядка). При
синтезе оптимального по быстродействию цифрового регулятора это
звено можно отнести к передаточной функции объекта управления.
Рассмотрим пример использования методики синтеза оптималь-
ного по быстродействию цифрового регулятора для объектов с чис-
тым запаздыванием. Проведем синтез оптимальных по быстродейст-
вию цифровых регуляторов для объекта управления с передаточной
функцией
ОД = —
5(5 + Ь)
282
Раздел 4
Для объекта с такой передаточной функцией управляющие воз-
действия на каждом интервале регулирования длительностью tp
определяются в виде (см. Приложение Б, п 1):
/и0 - + SqAct) + R<Jn-\ ПРИ ntp -1 < ntp + ;
z»i = (A U + S0A a) + ЛАсг] + Rtrn-\ ПРИ ntp + h<t < nt p + 2h;
m-> = Ran-\ = —crn_\ при ntp + 2h<t < nt„ + 2Л + r,
a 1
где t n -2h + r; Kn =-------; Sn = 2h + —------— + r; ai = -B;
p ° ah(l-B) ° b (1-B) 1
B = e~bh.
Допустим, что г = 0,2 c, h - 0,4 с. Так как т меньше h, то шаг
квантования h выражаем целым числом интервалов запаздывания г:
h - 2т = 0,4. При этом на каждом интервале регулирования
tр =2h + r регулятор должен формировать два прямоугольных
"управляющих” импульса и тщ, каждый из которых имеет длите-
льность h = 2т, и один прямоугольный импульс “подставки” ампли-
тудой R<Jn_\ и длительностью т. Структурная схема этого цифрово-
го оптимального по быстродействию регулятора показана на рис.4.3,а.
Допустим, что т - 1,2 с, h = 0,4 с.Так как время чистого запазды-
вания г больше h, то удобно выразить интервал запаздывания т че-
рез целое число шагов квантования h: т = 3h = 1,2. При этом на каж-
дом интервале регулирования tp = 2h + т регулятор должен форми-
ровать два прямоугольных “управляющих” импульса и , каж-
дый из которых имеет длительность h = 0,4 с, и три прямоугольных
импульса “подставки”, каждый из которых имеет амплитуду Rcn^ и
длительность h. Структурная схема этого цифрового оптимального
по быстродействию регулятора показана на рис.4.3,б.
283
Раздел 4
б)
Рис.4.3
Рассмотрим систему управления водогрейным котлом с опти-
мальным по быстродействию цифровым регулятором [107].
Системы управления водогрейных котлов малой и средней мощ-
ности, в основном, построены на основе термостатов. Данные системы
отличаются простотой, дешевизной и надежностью, однако обладают
284
Раздел 4
недостатками релейных систем управления. Ниже изложен расчет оп-
тимального по быстродействию цифрового регулятора для объекта
управления “водогрейный котел + отапливаемое здание”.
Типовое уравнение теплопередачи между внутренним воздухом
здания и окружающей средой имеет вид:
Q = kA{6B-eA) + Mcd.{eB-0A\
at
где Q - тепло, передаваемое внутреннему воздуху за одну секунду,
Дж/с; к- общий коэффициент теплопередачи ограждающих конст-
рукций здания, нелинейно зависящий от соотношения температур,
Дж/м2 /с/°С; А - граничная поверхность, нормальная к потоку тепла
(площадь наружной поверхности здания), м2; М - масса внутреннего
воздуха, кг; с - удельная массовая теплоемкость внутреннего воздуха,
Дж/кгЛС; 0А - температура окружающей среды, °C; 0в - температура
внутреннего воздуха, °C . Отметим, что мощность котла в 1кВт соот-
ветствует теплу 0,2388 ккал/с или 1000 Дж/с. Величина, обратная про-
изведению кА, называется термодинамическим сопротивлением
(Zl4=1/R). Выражение кА^вц-Од) описывает тепловые потери зда-
ния в окружающую среду. Выражение Мс^- (0В-0А) описывает
dt
тепло, аккумулирующееся во внутреннем воздухе здания и обуслов-
ленное изменением его температуры. Уравнение теплопередачи спра-
ведливо для малых возмущений, когда можно считать, что зависящий
от температуры коэффициент к является постоянной величиной.
Кроме того, предполагается, что окружающая среда обладает беско-
нечно большой массой и потери тепла зданием не повышают темпера-
туру окружающей среды.
На основании уравнения теплопередачи термодинамическую мо-
дель здания можно представить в виде структурной схемы объекта
управления (см. рис.4.4,а).
Вход объекта - тепло, передаваемое внутреннему воздуху Q, вы-
ход объекта - температура внутреннего воздуха 0в, внешнее возму-
щающее воздействие - температура окружающей среды 0А. Возму-
щающее воздействие можно представить в виде 0А = 0^ + 0Х sin cot,
285
Раздел 4
где 0Q - средняя внешняя температура, вх - амплитуда суточных из-
менений внешней температуры, со = 2^/(24x3600) 1/с. 0^ - тре-
буемая внутренняя температура (уставка).
Цена
Интегратор топлива
1
а)
Объект управления ^здание)
i~ «<?) ;
ев(0-«Аю;
В о догре йный
котел
Задержка
Q(t)r-
---
7ст
Ф
Gt
lm(i)
L H(s)
ЦР
W(z)e
|$уст- #д(0
e
-1
ЦАП
АЦП
б)
Рис.4.4.
ш
W)
-Ь <г
286
Раздел 4
Отметим, что термодинамические свойства реальных зданий нели-
нейны и изменяются как со временем, так и с изменением погодных ус-
ловий, поэтому модель только приближенно описывает реальный объект.
При сгорании топлива GT (природного газа) количество выде-
ляемой теплоты описывается выражением QT - qmT, где
q = 4,4-107 Дж/кг - теплота сгорания природного газа, тт - масса
поступающего топлива. Если железный котел массой тк кг наполнен
водой массой твкг и вода (вместе с котлом) нагревается на 0р°С, то
Qt = Ятт = 0 + Q1 = сж ткдР + СвтвОр >
где сх. =460 Дж/кг/°С - удельная теплоемкость железа, сй=4187
Дж/кг/°C - удельная теплоемкость воды, Q Дж - количество теплоты,
полученное котлом, Q? Дж ~ количество теплоты, полученное водой.
Водогрейный котел описывают апериодическим звеном с переда-
точной функцией GBK(s) = Квк /(TBKs + Y), в которой коэффициент
передачи Квк равен максимальной мощности котла Ртах кВт. Подача
топлива GT регулируется автоматическим клапаном АК (см. рис.4.4).
Выходная мощность котла wPmax, где т - степень открытия клапана
(от 0 до 1). Транспортная задержка на г секунд описывается переда-
точной функцией е-г\
Для регулирования выходной мощностью котла применим опти-
мальный по быстродействию цифровой регулятор. В блок регулятора
входят АЦП, собственно регулятор, ЦАП (фиксатор нулевого порядка
с передаточной функцией ) и клапан АК с устройством его регу-
лировки.
Рассмотрим систему водяного отопления одноэтажного здания
площадью 300м2, работающую от водогрейного котла мощностью
30кВт с модулирующей горелкой. Модель водяного отопления здания
построена при следующих допущениях: 1. все получаемое водой теп-
ло передается воздуху здания и 2. температура “обратной” воды равна
температуре уставки.
Здание описывается необходимыми теплоизоляционными и гео-
метрическими параметрами: длиной, шириной и высотой здания, раз-
287
Раздел 4
риала:
мерами и количеством окон, формой крыши, теплопроводностью и
толщиной материала стен, окон, крыши. По этим параметрам вычис-
ляются требующиеся для термодинамической модели величины М и
R. Формулы для расчета следующие:
M = wl(tan + h3d)p, R = RcmHROK0H ,
С с
о = ~тены~ Р — _ок"а. А — иЪ уо
стены q д ’ окна О Л ’ окон ' г*окна Уокна ’
лтены стены '^окна ^окна
^cnKH=2h3<)(l + w) + 2lw/cos(apad/2) + wtanapad- Аокон,
р - плотность воздуха на уровне моря (1,225кг/м3).
Расчет проведем для следующих конкретных данных. Здание име-
ет длину /=30м, ширину w = 10m и высоту /^д=4м. Размеры окон:
~^окна =1М- Количество окон и =6. Крышный угол а =40°,
40
180/ РаД коэффициент теплопроводности и толщина мате-
4теяы=0.038Дж/м/с/К и ^теям=0.2м, Локно=0.78Дж/м/с/К и
h
окна
<*ра6 =
^=0-01м, Лкрыши = Лстены и <5крыши = <5ст,,ы По этим параметрам
получаем следующие требующиеся для термодинамической модели
объекта управления величины М и R (размерности указаны выше):
М=\778,4; /?=0,0015. Другие параметры модели заданы следующими:
С=1ОО5,4; Ртах=30; г =100; 0,=5; ^т=20; Твк =300.
Рассматривая в качестве выходной величины объекта управления
разность между внутренней и внешней температурами и
принимая в качестве уставки температуру О преобразуем
структурную схему рис.4.4,а в схему, приведенную на рис.4.4,б. Объ-
ект управления в этой схеме описывается апериодическим звеном с
передаточной функцией G(s) = a /(s + b), в которой
Me ’ McR
При указанных параметрах McR - 2682с = 44,7л/мн .
При моделировании опишем динамику апериодического звена
(здания), используя аппроксимацию по формуле трапеций [135]:
288
Раздел 4
b,h° W,,., - (Q,+а.,).
2 + ил?0 2 + bflQ
Временной параметр v меняется через шаг моделирования
h0 = 0,02Л , где h - шаг квантования в АЦП и ЦАП.
Примем Л = Зг=ЗООс. Тогда Л0=6с.
Динамику водогрейного котла при моделировании также опишем,
используя формулу трапеций:
Qv = -- + тв~ , К+/»,.,) •
2 + аЛ0 Твк 2 + ah0
Передаточную функцию общего объекта управления можно запи-
сать в виде
G0(s) = а° — е
(s + a)(s + b)
где0 = 1/7-„; О„=^««=-А;
ГДА. МсТвк
Коэффициент передачи общего объекта управления в установив-
шемся режиме
ab
Поэтому требуемая уставка в автоматическом клапане в относи-
тельных единицах определяется как
О — Оп 0 — 6L
ni = ~~ = ’ {отн.ео,).
уст к 45
уст
Оптимальные управляющие воздействия на общий объект управ-
ления:
wo = ко0п + ^-1 + тусп,; ntр < t < ntр + h;
tz0
=Код,Оп + аЬ-0„.}+туст-, ntp+h <t<ntp+2h-.
289
Раздел 4
ab
m2= -0n-'+m
“о
'уст ntp+2h <t<ntp+2h + r. tp=Nh + r.
Численные значения параметров: /1=0,36788; 5=0,89417;
<7, =-0,26205;
аЬ = 1 ; Кй =0,33218; t =700.
«о 45
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.4) путем математического моделирования представлены на
рис.4.5, 4.6 и 4.7.
Во всех случаях требуемая температура внутреннего воздуха зда-
ния О задавалась равной 20 °C, амплитуда суточных изменений
внешней температуры 0} задавалась равной 5°С, а средняя внешняя
температура принималась соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С.
Закон суточных изменений внешней температуры принимался сину-
соидальным: вА (г) = 0О + 5 sin [2лГ /(24 х 3600)].
Рис.4.5.
290
Раздел 4
Ошибка системы 0(f) = 0уст- вB(t) показывает отличие темпе-
ратуры внутреннего воздуха здания 0B(t) от требуемой 0уст=2О°С.
Во всех случаях максимальная ошибка не превышает 1 °C. Время на-
блюдения 90000 с.
291
Раздел 4
Начальный участок (время наблюдения 3000 с) графика ошибки
(см. рис.4.6) приведен на рис.4.8, где изображены также управляющее
воздействие m(f) и изменение внутренней температуры здания
при 0О=-5°С.
Значительного уменьшения текущей ошибки системы можно дос-
тичь, если требуемую уставку в автоматическом клапане определять
как
^(0 =
к
уст
0^0^
45
(ртн.ед.).
Но при этом нужен дополнительный разомкнутый контур регули-
ровки требуемой уставки, который осуществить несложно.
Рис.4.8
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.4) путем математического моделирования при изменяющей-
ся уставке представлены на рис.4.9, 4.10 и 4.11.
Требуемая температура внутреннего воздуха здания О задава-
лась равной 20°С, амплитуда суточных изменений внешней темпера-
туры 9} задавалась равной 5°С, а средняя внешняя температура 90
292
Раздел 4
принималась соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С. Закон суточных
изменений внешней температуры принимался синусоидальным:
вл (/) = 0О + 5 sin[2flT /(24 х 3600)].
Рис.4.10
293
Раздел 4
Во всех случаях текущая ошибка системы = 0уст - (за
исключением начального выброса) не превышает 0,22°С. Время на-
блюдения 90000 с. Таким образом, при изменяющейся уставке теку-
щая ошибка системы в 4,5 раза меньше, чем ошибка системы при по-
стоянной уставке.
Рис.4.12.
294
Раздел 4
Начальный участок (время наблюдения 3000 с) графика ошибки
(см. рис.4.11) приведен на рис.4.12, где изображены также управляю-
щее воздействие m(t) и изменение внутренней температуры здания
0Д(О при 6>0(/)=-5°С.
4.2. Применение цифровых нечетких регуляторов для объек-
тов управления с чистым запаздыванием
Рассмотрим применение цифрового нечеткого регулятора для об-
щего объекта управления “водогрейный котел + отапливаемое здание”
[84]. В этом случае замкнутую систему автоматического управления
“регулятор + объект управления” можно представить в виде, приве-
денном на рис.4.13 или рис.4.14.
Цена
Интегратор топлива
1/s
Стоимость
S —> потребленного топлива
<—Расход топлива
Водогрейный
котел
m m
<Us)He-ts
G
цдП
Задержка
шуст
ОценкаL
е Г г
)| |0(к)
у у
- HP
Объект управления (здание)
О(о+)
L H(s) С
Регулятор
0(k)
h
Рис.4.13
Синтез нечеткого регулятора выполняем по формулам (3.1 )-(3.13)
для треугольных функций принадлежности (см. рис.3.2) с шагом кван-
тования (с шагом поступления данных в нечеткий регулятор HP)
Л = 0,01с. Ошибка на выходе АЦП ее первая
295
Раздел 4
0(&) = [#(£) - в(к -1)]/ h и вторая в(к) - [0(к) - 0(к - 1)]/Л разно-
сти подаются на вход HP. Сигнал с выхода HP поступает на ЦАП
(фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией
H(s) = (\-e~hs)/s) и далее на непрерывную часть системы (общий
объект управления - водогрейный котел + отапливаемое здание).
"1
Водогрейный
котел
г» АК
gbk(s) е
Задержка
m+mycT
Оценка ,__
е ё Г~
Объект управления (здание)
Q(t)
О(о+)
-Ь <
GT 0(кЦ,
HP <
L H(s)
_____ ________ 0(k)
ЦАП Регулятор АЦП
-1
-0А(О
Рис.4.14
В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны изменения
входных и выходной переменных [<9min, 0тт ], [0min, 0max ] >
[^min.^maxb ['«min>'«max]• Функций принадлежности имеют вид:
X7j(w) = 1-1/ и //2(п) ~ и» где и ~ параметр (элемент) единого уни-
версального множества U = [0,11. Для уменьшения числа параметров
настройки нечеткого регулятора диапазоны изменения переменных
приняты симметричными: (9min =-0max, 0min = -<?max ит.д.
Управляющее воздействие на общий объект управления т' (t) в
данной системе является степень открытия автоматического клапана
АК на входе водогрейного котла. Требуемую уставку в автоматиче-
ском клапане определим как
о,™
Ку",
-0A(t)
4— - (отн.ед).
296
Раздел 4
Тогда при работе системы автоматического управления (см.
рис.4.13 или 4.14) степень открытия автоматического клапана опреде-
ляется как
w(/) = w'(r) + w>ra(r)
Шаг моделирования Ао —10с. Шаг квантования (интервал посту-
пления данных в нечеткий регулятор) h = 300с.
Диапазоны изменения входных и выходных параметров нечеткого
регулятора (выбираются при проектировании HP и уточняются путем
математического моделирования с целью получения приемлемых по-
казателей качества переходного процесса в замкнутой системе):
[0,.,AJ = H,O, 1,0], [«mi„,0т„] = [-2,8 IО-3, 2,8.10-’],
[«™,„,^ах) = (-1,ЗЗ.Ю-5, 1,53.10-’] и [т„„,тя,„) = [-0,3, 0,3].
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.13 и 4.14) путем математического моделирования представ-
лены на рис.4.15, 4.16 и 4.17. Во всех случаях требуемая температура
внутреннего воздуха здания 0 задавалась равной 20 °C, амплитуда
суточных изменений внешней температуры 0Х задавалась равной 5°С,
а средняя внешняя температура 0Q принималась соответственно рав-
ной +5°С, 0°С, -5°С. Закон суточных изменений внешней температуры
принимался синусоидальным: 0A(f) - 0^ + 5 sin[2/tf/(24x3600)].
297
Раздел 4
Текущая ошибка системы 0(t) = вуст - 0B(t) показывает отличие
температуры внутреннего воздуха здания 9B(t) от требуемой
#^=20 °C. Во всех случаях текущая ошибка (за исключением на-
чального выброса) не превышает 0,2°С. Время наблюдения 90000 с.
298
Раздел 4
Начальный участок (время наблюдения 3000 с) графика ошибки
(см. рис.4.17) приведен на рис.4.18, где изображены также управляю-
щее воздействие и изменение внутренней температуры здания
0B(t) при 0О=-5°С.
Ошибка поддержания температуры релейными системами управ-
ления водогрейных котлов малой и средней мощности на основе тер-
мостатов достигает 2...3°С и имеет колебательный характер. Система
управления с нечетким регулятором обеспечивает на порядок мень-
шую ошибку, которая имеет плавный характер. Таким образом, сис-
тема управления с нечетким регулятором имеет значительно более
высокую устойчивость к изменяющимся внешним условиям, обеспе-
чивает лучшую надежность и долговечность системы отопления и
создает более комфортные условия внутри здания.
Программа FuzZap реализует алгоритм управления объектом,
который содержит звено запаздывания, с использованием нечеткого
регулятора HP. В качестве входных параметров HP выбраны ошибка в
системе, ее первая и вторая разность. Число термов, описывающих
входные и выходное значения HP, выбрано равным двум. Объект
управления содержит два апериодических звена с постоянными пара-
метрами и звено задержки. Система предназначена для поддержания
299
Раздел 4
постоянной температуры внутри помещения при изменении внешней
температуры.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod Parametr Prog - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Zero - обнуление переменных состояния объекта
управления и некоторых других переменных.
Процедура Vxod - моделирование изменения внешней температу-
ры.
Процедура Ras_mju - расчет двух значений функций принадлеж-
ности. Входные параметры процедуры: х-значение входного парамет-
ра, x_max, xmin диапазон изменения значений входного сигнала. Вы-
ходной параметр: mju - массив, содержащий значения функций при-
надлежности.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора. Входные параметры: переменные х_1, х_2, х 3 -
значения входных параметров нечеткого регулятора. Выходной пара-
метр: переменная у - значение управляющего воздействия нечеткого
регулятора.
Процедура Ras vix - расчет значения абсциссы центра масс ре-
зультирующей фигуры и переход к реальному значению управляюще-
го воздействия. Входные параметры: переменные Ь_1, Ь_2 - значения
функций принадлежности. Выходной параметр - переменная vix.
Процедура Min - определение минимального значения элемента
массива. Входной параметр: А - массив из трех элементов. Выходной
параметр: bb - значение минимального элемента массива.
Для моделирования объекта управления программа использует
стандартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl. В
программе используются следующие переменные и массивы: nl -
служебный массив для обеспечения работы подпрограммы mdl; xl, у2,
yl, al, b, х2, a, d, с - массивы, содержащие значения переменных со-
стояния динамических звеньев объекта управления.
ЬО - шаг квантования в системе; h - шаг моделирования; Таи -
время транспортной задержки в системе; tt - время наблюдения; t -
значение момента времени; Vixl, Vix2 - значения выходов звеньев;
Ras, Rasnost - значение ошибки в системе; dt, d2t - значения первой и
второй разностей ошибки в системе; M fiiz - значение управляющего
воздействия нечеткого регулятора, выработанное для данного момен-
300
Раздел 4
та квантования; M reg - значение управляющего воздействия, дейст-
вующего на объект на данном моменте времени; M ust - значение ус-
тавки управляющего воздействия; Tet ust - заданная температура
внутри помещения (температура уставки); Tetvix - текущая внутрен-
няя температура в помещении; Tetulic - текущая внешняя температу-
ра; Tet_O - средняя внешняя температура; xlmax, xlmin,
х_2_тах, x_2_min, х_3_тах, x_3_min - диапазоны изменения значе-
ний входных параметров нечеткого регулятора; у min, углах - диапа-
зон изменения значений управляющего воздействия нечеткого регуля-
тора; N_n, N_m, k, nn, i, us, sde, - служебные переменные.
{Программа моделирования САУ с нечетким регулятором и объ-
ектом управления ’’водогрейный котел + отапливаемое здание”}
Program Fuz Zap;
Uses Crt,Graph;
Type
Nvektorl = array [1..3] of Real;
Nvektor2 = array [1..2] of Real;
Nvektor3 = array [1..10] of Real;
Var
nl :array[1..10] of integer;
x 1 ,y2,y 1 ,al,b,x2,a,d,c : Nvektor3;
N_n,N_m,nn, i : integer;
hO ,tt, t, h, k,
Tau,Ras,Rasnost,M_reg,M_ust,
Vixl,Vix2,Tet_ust, Tet vix,
Tet ulic, Tet_0 : real;
us, sde, dt, d2t, M fuz,
xlmax, x l min,
x_2_max, x_2_min,
x_3_max, x_3_min,
углах, y min : real;
{$1 grafika.pas}
{$1 zven.pas}
{Процедура ввода параметров работы программы}
Procedure Vvod Parametr Progr;
301
Раздел 4
Begin {VvodParametrProgr}
h:=10; h0:=300; tt:=90000; nn:=2; Tau:=100;
Tet_0:=5; Tet_ust:=20;
xlmax :=1;
x_l_min :=-l;
x_2_max :=2.18e-3;
x_2_min :=-2.18e-3;
x_3_max :=1.5e-5;
x_3_min :=-1.5e-5;
y max :=0.3;
yrnin :=-0.3;
mdl(O,Vix,Vix);
End; {VvodParametrProgr}
Procedure Vxod(r:real;var vix :real);
Begin {Vxod}
r:=r* 2 * 3.14/(24*3600);
vix :=T et_0+5 * sin(r);
End; {Vxod}
Procedure Ras_mju(x,x_max,x_min : real; var mju : Nvektor2);
var
u : real;
Begin {Ras mju}
u:= (x-x_min)/(x_max-x_min);
mju[l]:=l-u;
mju[2]:=u
End; {Ras_mju}
Procedure Ras_vix(b_l,b_2: real; var vix : real);
var
X res, Y res : array[ 1 ..6] of real;
suml,sum2 : real;
i : integer;
Begin {Ras vix}
Y_res[l]:=0; Y_res[2]:=b_l; Y_res[3]:=b_l; Y_res[4]:=b_2;
Y_res[5]:=b_2; Y_res[6]:=0;
X_res[l]:=-1; X_res[2]:=-l+bJ; X_res[5]:=2-b_2; X_res[6]:=2;
if b l>b_2 then begin
X_res[3] := 1 -b_ 1 ;X_res[4] := 1 -b_2;
end;
302
Раздел 4
if b_l<b_2 then begin
X_res[3]:=b_l;X _res[4]:=b_2;
end;
{расчет абсциссы центра тяжести результирующей фигуры 6
вершин}
suml:=0;sum2:=0;
suml := (X_res[l]-X_res[6])*((2*X_res[l]+X_res[6])*Y_res[l] +
(2*X_res[6]+X_res[l])*Y_res[6]);
sum2 := (X_res[l]-X_res[6])*(Y_res[6]+Y_res[l]);
for i:=l to 5 do begin
suml :=suml + (X_res[i+1] - X_res[i])*((2*X_res[i+l]+
X_res[i])*Y_res[i+l] + (2*X_res[i]+
X_res[i+l])*Y_res[i]);
sum2 := sum2 + (X_res[i+l]-X_res[i])*(Y_res[i]+Y_res[i+l]);
end;
vix :=y_min+(suml/(3*sum2))*(y_max-y_min);
End; {Ras_vix}
Procedure Min(A : Nvektorl; var bb :real);
var
i : integer;
Begin {Min}
bb:=A[l];
for i:=l to 3 do
if bb>=A[i] then bb:=A[i];
End; {Min}
Procedure Res(x_l,x_2,x_3 : real; var у : real);
var
i : integer;
term_ 1 ,term_2 : Nvektor 1;
mju_l,mju_2,mju_3 : Nvektor2;
bb_l,bb_2 : real;
Begin {Res}
Ras mju(x_ 1 ,x_ 1 max,x 1 min, mju_ 1);
Ras_mju(x_2,x_2_max,x_2_min, mju_2);
Ras_mju(x_3,x_3_max,x_3_min, mju_3);
term_ 1 [ 1 ]:=mj u_ 1 [ 1 ];
term_l[2]:=mju_2[l];
term_l[3]:=mju_3[l];
303
Раздел 4
term_2[ 1 ]:=mju_l [2];
term_2[2]:=mju_2[2];
term_2[3]:=mju_3[2];
Min(term_l,bb_l);
M in( term_2 ,bb_2);
Ras_vix(bb_l,bb_2,y);
End; {Res}
Procedure Zero;
var
i : integer;
Begin {Zero}
for i:=l to 10 do begin
xl[i]:=0;y2[i]:=0;yl[i]:=0;
al[i]:=0;b[i]:=0;x2[i]:=0;a[i]:=0;d[i]:=0;c[i]:=0;
end;
t: 0; k:=0; k_l :=0; M_reg:=0; M_fuz:=0; sde:=0; dt:=O;
End; {Zero}
{ Исполнительная часть }
BEGIN {Fuz_Zap}
Zero;
VvodParametrProgr;
{Задание начальных условий}
{* Tetulic = +5, Tet_vix = +20 *}
x 1 [ 1 ] :-99.26704748;y 1 [ 1 ] :=0.3552998;
x 1 [2] —26706.067891 ;y 1 [2] :=9.926705;
mdl(l,M_reg,Vixl);
mdl(2,Vixl,Vix2);
N_m:=round(hO/h)+l; N_n:=N_m;
Dele:=l/50; Delu:=l/50; Delv:=l/50; osl:=50; os2:=150;
In Graph; Osi; Metki(20,h0,tt); Text(hO);
repeat
Vxod(t,Tet_ulic);
Ras:=Tet_ust-Tet_ulic-Vix2;
if t=0 then begin
dt:=0;d2t:=0;
end else begin
dt:= (Ras-sde)/h;
304
___________________________f Раздел 4____________________________________
d2t:=(dt-us)/h;
sde:=Ras; us:=dt;
end;
if N_n=N_m then begin
Rasnost:=Tet_ust-Tet_ulic-Vix2;
if k=l then d2t:=0;
Res(Rasnost,dt,d2t,M_fuz);
M_ust:=(Tet_ust-Tet_ulic)/45 ;
M_fuz:=M_fuz+M_ust;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
ifN_n=round(Tau/h)+l then
M_reg:=M_fuz;
mdl(l,M_reg,Vixl);
mdl(2,Vixl,Vix2);
Tet_vix:=Vix2+Tet_ulic;
Grafik(M_reg, 1 ,t,(Tet_ust-Tet_ulic)/20);
Grafik(Ras,Tet_ulic/20,t,Tet_vix/20);
t:=t+h; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
readln;
CloseGraph;
Рассмотрим автономную систему теплоснабжения, функциональ-
ная схема которой приведена на рис.4.19 [69].
Рис.4.19
Структурная схема автономной системы теплоснабжения с нечет-
ким регулятором представлена на рис.4.20.
305
Раздел 4
Цена
Интегратор топлива
1/s
<—Расход топлива ।
— nQW
|—>e-xis —kl
----- --- I
ЗсЦДСрЖКё1 ।
Стоимость
S —> потребленного топлива
Объект управления (здание)
* G..«
уст
Gt
Водогрейный
котел
1 -1
। e“V
' ----- ।
। Задержка
Q„(t)
H(s)k
Оценка
О о
HP
_____ ________ 0(к)
ЦАП Регулятор АЦП
6>(0+)
< V*A
cBmp^
1
>1
-кА <
m
Рис.4.20.
Объект управления, например здание, опишем типовым уравне-
нием теплопередачи между внутренним воздухом здания и окружаю-
щей средой, которое имеет вид:
Q-Qo=kA(0B-0A)+Mcd-(0B-0A),
at
v^Q-Qq - тепло, передаваемое внутреннему воздуху за одну секун-
ду, Дж/с; к - общий коэффициент теплопередачи ограждающих кон-
струкций здания, нелинейно зависящий от соотношения температур,
Дж/м2 /с/°С; А - граничная поверхность, нормальная к потоку тепла
(площадь наружной поверхности здания), м2; М - масса внутреннего
воздуха, кг; с - удельная массовая теплоемкость внутреннего воздуха,
306
Раздел 4
Дж/кг/°С; вА - температура окружающей среды, °C; вв - температура
внутреннего воздуха, °C . Величина, обратная произведению кА, на-
зывается термодинамическим сопротивлением {кА =1/R). В уравнении
теплопередачи учитывается как тепло Q, поступающее из подающего
трубопровода, так и тепло Qq , поступающее в обратный трубопровод.
Рассматривая в качестве выходной величины объекта управления
разность между внутренней и внешней температурами и
принимая в качестве уставки температуру 0ycm{t} - в A{t}, преобразу-
ем структурную схему рис.4.21 в схему, приведенную на рис.4.22.
Объект управления в этой схеме описывается апериодическим звеном
с передаточной функцией G{s) = б? /(s + 6), в которой
а = * ; Ь-^~ - ; (АЛ=1/Я).
Me Me McR
Интегратор
Цена
топлива
цдП Регулятор АЦП
Рис.4.21
307
Раздел 4
Водогрейный котел описывают апериодическим звеном с переда-
точной функцией GBK(s) = Квк l(TBKs +1), в которой коэффициент
передачи Квк равен максимальной мощности котла Ртах кВт. Подача
топлива GT регулируется автоматическим клапаном АК (см. рис.4.20,
рис.4.21). Выходная мощность котла тРтах, где т - степень откры-
тия клапана (от 0 до 1).
Структурные схемы автономной системы теплоснабжения с не-
четким регулятором, представленные на рис.4.20 и рис.4.21, отлича-
ются от соответствующих схем на рис.4.13 и рис.4.14 двумя сущест-
венными особенностями:
1. Внутренним контуром обратной связи с коэффициентом пере-
дачи = свтр, где св=4187 Дж/кг/°С- удельная теплоемкость теп-
лоносителя (воды), /77^=0,28 кг/с - массовый расход теплоносителя
(воды) в обратном трубопроводе;
2. Элементами задержки с передаточными функциями
Gj(5) = k}e~T's и G2(s) = k2e~T2S, которыми описываются подающий и
обратный трубопроводы.
Структурная схема разомкнутого канала (общего объекта управ-
ления “водогрейный котел + трубопроводы + отапливаемое здание”)
автономной системы теплоснабжения приведена на рис.4.22, а расчет-
ная структурная схема системы (составленная по схеме рис.4.21) по-
казана на рис.4.23.
Рис.4.22.
Передаточную функцию разомкнутого канала (общего объекта
управления “водогрейный котел + трубопроводы + отапливаемое зда-
ние”) на основании структурной схемы можно записать в виде
308
Раздел 4
_ _ _ _ _____________________
5 + bBK s + b + свтра\\ - кхк2е~{г' +Т2 }s ]
Водогрейный
котел
Объект управления
(здание)
Рис.4.23
Примем расчетные параметры водогрейного котла и отапливаемо-
го здания такими же, как для схем рис.4.13 и рис.4.14, а именно
Кйк = 3 • 104 Дж/с; Тяк = 300с; М = 1778,4 кг\
с = 1005,4 Дж / кг Г С; R = 0,0015 с°С / Дж\ а параметры трубо-
проводов следующими: кх = 0,95; к2 = 0,98, тх = 50с; т2 = 48с.
Коэффициент передачи разомкнутого канала в установившемся
режиме определяется как
ЪВК Ь + свтпра(\-к{к2)
„ L 1 1 1,
При параметрах = — = - 1 / с;
тВК зоо
а-ВК = Квк =3-104 Дж/с\
Ьвк
а= 1 = 5,5928-Ю'7 °С1Дж\Ь=- 1- = 3,7286 10’4 1/с;
Me McR
309
Раздел 4
свтр = 4187• 0,28 = 1172,36 Дж/с!0 С\ к, = 0,95; к2 = 0,98,
коэффициент передачи разомкнутого канала в установившемся ре-
жиме
= 38,124 °С1отн,ед.
Поэтому требуемая уставка в автоматическом клапане в относи-
тельных единицах определяется как
yyi =— - — (отн. ед.).
уст 38,124
Значительного уменьшения текущей ошибки системы можно дос-
тичь, если требуемую уставку в автоматическом клапане определять как
0уст~6А^
(Г) = - = - - - (отн.ед.).
У Куст 38,124
Но при этом нужен дополнительный разомкнутый контур регули-
ровки требуемой уставки, который осуществить несложно.
При работе системы автоматического управления (см. рис.4.20
или 4.21) степень открытия автоматического клапана определяется как
w(r) = w’(0 + wxm(r),
где т' = т* (t) - управляющее воздействие на общий объект управ-
ления, генерируемое нечетким регулятором.
Выберем шаг квантования (интервал поступления данных в не-
четкий регулятор) h = 300с = 5мин , а шаг моделирования Ло = 10с.
Постоянная времени отапливаемого здания
-- =-• 4 = 972,25с = 16,2мин.
Ь + свтпа 10,2854 10"4
Коэффициент передачи отапливаемого здания
Л = 5,4376-10’4 с°С!Дж.
Ь + свтра
Расчет и моделирование цифрового нечеткого регулятора произ-
водим по формулам (3.1 )-(3.13). Моделирование общего объекта
управления “водогрейный котел + трубопроводы + отапливаемое зда-
ние” выполняем по структурной схеме рис.4.22.
310
Раздел 4
Диапазоны изменения входных и выходных параметров нечеткого
регулятора (выбираются при проектировании HP и уточняются путем
математического моделирования с целью получения приемлемых по-
казателей качества переходного процесса в замкнутой системе):
i,oj,[emta,smax]=[-2,63 io-’, 2.63 Ю-3],
[0ПЛ.А.ХМ-1.53-1О-5, 1.5310-5] и [т.„,тт„] = [-0,3, 0,3].
311
Раздел 4
а)
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.4.23) путем математического моделирования представлены на
рис.4.24, 4.25 и 4.26, где изображены: а - управляющее воздействие
m(t) и текущая ошибка системы 0(f) у б - изменение внутренней
температуры здания 0B(f) на начальном интервале времени наблюде-
ния, равном 2500 с, в - изменение текущей ошибки системы 0(f) за
сутки (время наблюдения 90000 с). Во всех случаях требуемая темпе-
312
Раздел 4
ратура внутреннего воздуха здания 0угт задавалась равной 20°С, ам-
плитуда суточных изменений внешней температуры 0Х задавалась
равной 5°С, а средняя внешняя температура 0О принималась соответ-
ственно равной +5°С, 0°С, -5°С. Закон суточных изменений внешней
температуры принимался синусоидальным:
0А (0 = sin[2/tf /(24 х 3600)] (см. рис. 4.15-4.17).
Текущая ошибка системы 0(f) = в - 0В (/) показывает отличие
температуры внутреннего воздуха здания 0B(f) от требуемой 0уст=2О
°C. Во всех случаях текущая ошибка (за исключением начального вы-
броса) не превышает 0,23°С.
Таким образом, сравнивая структурные схемы рис.4.20 и рис.4.21
с соответствующими структурными схемами рис.4.13 и рис.4.14 и ре-
зультаты моделирования (см. рис.4.15-4.18 и рис.4.24-4.26), заключа-
ем, что нечеткий регулятор обеспечивает качественную работу замк-
нутой системы автоматического управления и при более строгой мо-
дели общего объекта управления (составленной с учетом внутреннего
контура обратной связи в объекте и характеристик прямого и обратно-
го трубопроводов).
В заключение раздела рассмотрим вопрос оптимизации парамет-
ров нечеткого регулятора при некоторых функциях принадлежности.
Как уже отмечалось, для оптимизации параметров нечеткого регуля-
тора осуществляется настройка (регулировка) параметров регулятора
с целью получения наилучшего качества работы системы управления
при заданных управляющих и возмущающих воздействиях на систе-
му. При этом весьма важным является вопрос о минимальном време-
ни, которое требуется для настройки, или быстроте сходимости и ус-
тойчивости критерия качества к установившемуся значению.
Рассмотрим систему управления (см. рис.4.14) с объектом управ-
ления “водогрейный котел + отапливаемое здание”. Передаточная
функция такого объекта управления определена в виде
G0(s) = а°- е~а,
(s + a)(s + b)
где а = 1/7;к =1/300с'; 6 = 1/(Л/сЛ) = 1/2682с1; г = 100с;
313
Раздел 4
ao=^^nax=5.593xlO-5.
Рис.4.26.
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регу-
лятор) h = 300 с, шаг моделирования Ло = 10 с.
Входным воздействием для этой системы является разность уста-
навливаемой температуры в здании 0 и температуры окружающей
среды вА которая изменяется в течении суток, т.е.
314
Раздел 4
w(f) ~ ^уст (0- Выходом объекта является разность реальной
температуры в здании и температуры окружающей среды
0A(t)9 которая изменяется в течении суток, т.е. х(/) = 0B(t)-OA(t).
Ошибку определяем как
Выходной величиной регулятора является степень открытия ав-
томатического клапана водогрейного котла: = т* (/) + туст (/),
где ш*(0 - непосредственно выход регулятора, а /и (/) - дополни-
тельная уставка в автоматическом клапане, определяемая как
Положим, что средняя внешняя температура 0Q = 0°С, амплиту-
да суточных изменений температуры 0} = 5° С , т.е.
0A(t) = 5 sin[2^/( 24x3600)]
(см. рис.4.27), и начальная температура в здании равна требуемой
0B^) = 0ycm=2OQC.
Рассмотрим три варианта настройки (оптимизации по квадратич-
ному критерию качества) цифрового нечеткого регулятора в системе.
а) Все функции принадлежности треугольные (формулы (2.29)
при с - 0), настраиваются диапазоны изменения входных и выходной
переменных [0min , ^max ] » ’ ^max L l^min ’ ^max J ’ ’ ^max J *
б) Все функции принадлежности экспоненциальные (формула
(2.32)), настраиваются диапазоны изменения входных и выходной пе-
315
Раздел 4
ременных [0min , 6>max ] , [0min , 0max ] , [0minAaxb КЛЛ ипа-
раметр с для всех функций принадлежности.
в) Все функции принадлежности экспоненциальные (формула
(2.32)), настраиваются диапазоны изменения входных и выходной пе-
ременных [0min,0max], [0min, 0гаах ], [£min»<?max] > и па’
раметры сх, с2, с3, с4 для каждой функции принадлежности.
При настройке минимальное значение диапазона каждой пере-
менной принимается равным максимальному значению, взятому с об-
ратным знаком, например, [0min =-0тах]. В результате настройки мо-
дели нечеткого регулятора в системе получаем следующие значения
параметров:
а) оптимальные [6*max], [<9тах], [0тах], [wmax] равны соответст-
венно следующим значениям [1,81], [0,0197], [0,0265], [0,728] при
Л™ =0,0199;
б) оптимальные [0max], [0тах], [0тах], [wmax], [с] равны сле-
дующим значениям [10,148], [1,0095], [0,1016], [0,4442], [23,4597] при
J =0,0196;
в) оптимальные [0тах], [0тах], [0тах], [wmax], [с,], [с2], [с3],
[с4] равны следующим значениям [9,9283], [1,9124], [0,9249], [0,6435],
[10,8316], [10,8244], [0,9502], [17,0019], при Jonm =0,02.
На рис.4.28 показана обеспечиваемая системой автоматического
управления температура внутри здания 0B(t) в течении суток при
0 = 20° С для рассмотренных вариантов настройки регулятора, а
на рис.4.29 - управляющее воздействие на объект управления.
Хотя оптимальные параметры регулятора для трех вариантов на-
стройки значительно отличаются, температура внутри здания 0В (/) в
течение суток регулируется практически одинаково. Однако процессы
настройки параметров нечеткого регулятора протекают различным
образом.
На рис.4.30 представлена динамика расчета значений критерия
оптимальности за интервал наблюдения и установившееся значение
316
Раздел 4
критерия для каждого из вариантов. Начальные значения параметров
регулятора выбраны следующими:
а) ^тах=[10, 2, 1, 0.3];
б) [0™, Отяк, 0тах, ™тах,с]= [10, 2, 1, 0.3, 10];
в) [^тах ’ ^тах ’ ^тах’ Wmax ’ С1 ’ С2 »С3 ’ С4 ] ~ [^,2, 1, 0.3, 10, 10, 10, 10].
Из рисунка 4.30 видно, что предпочтительным для настройки яв-
ляется второй вариант, так как критерий качества достигает устано-
вившегося минимального значения в этом варианте за более короткий
[Промежуток времени. Выбор варианта настройки весьма важен при
проектировании самонастраивающихся нечетких регуляторов в адап-
тивных системах управления с нестационарными объектами управле-
ния, когда в реальном масштабе времени выполняется идентификация
параметров объекта управления и производится настройка (измене-
ние) параметров нечеткого регулятора с целью обеспечения мини-
мального значения выбранного критерия качества.
317
Раздел 4
Как показывают результаты исследования замкнутых систем ав-
томатического управления с нечеткими регуляторами методом мате-
матического моделирования, настройка параметров нечеткого регуля-
тора при ступенчатом входном воздействии на систему с целью полу-
чения близкого к оптимальному переходного процесса (или на мини-
мальное значение показателя качества) часто обеспечивает также хо-
рошее качество работы системы при произвольном входном воздейст-
вии, при условии, когда скорость изменения и ускорение этого воз-
действия ограничены определенными значениями.
Рис.4.30
Вопросы проектирования самонастраивающихся нечетких регуля-
торов в адаптивных системах управления с нестационарными объек-
тами управления требуют особого рассмотрения.
318
Раздел 5
Раздел 5.
СИНТЕЗ НЕЧЕТКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
5.1. Синтез нечеткого регулятора системы управления
объектом с нелинейностью типа “люфт” 1108]
Ниже изложен синтез нечеткого регулятора системы управления
объектом с нелинейностью типа “люфт”. Наличие нелинейности типа
“люфт” оказывает большое влияние на точность работы систем авто-
матического управления [205, 206]. Такая нелинейность обычно воз-
никает из-за наличия мертвого хода в двигателях, различных зазоров и
упругой деформации валов и шестерен в редукторах. Нелинейность
типа “люфт” приводит к увеличению амплитудных и фазовых иска-
жений, к снижению запаса устойчивости, ухудшению показателей ка-
чества системы, существенному возрастанию времени переходного
процесса. При определенных значениях люфта в системе с заданным
коэффициентом усиления устанавливаются незатухающие колебания
с постоянной амплитудой, а время регулирования стремится к беско-
нечности [206]. Устранение подобного рода явлений может представ-
лять значительные технические трудности. Для большинства систем
автоматического управления по техническим условиям автоколеба-
тельные режимы являются недопустимыми. Поэтому часто выбирают
такие значения коэффициента усиления системы, при которых авто-
колебания в системе не устанавливаются. Но при этом качество сис-
темы может быть недостаточно высоким. Для устранения влияния не-
линейности типа “люфт” можно ввести цифровой регулятор, функ-
ционирующий на базе нечеткой логики.
Рассмотрим приборную следящую систему, в которой объектом
управления является усилитель и двигатель с редуктором. Линейная
математическая модель усилителя и двигателя описывается переда-
точной функцией <70($) = а[$($ + 6)]-1, где Ь~\!Т, а-ЬК , а ре-
дуктор описывается нелинейностью Н типа “люфт”.
Структурная схема рассматриваемой системы автоматического
управления с цифровым нечетким регулятором представлена на
рис.5.1.
319
Раздел 5
Рис.5 Л
Вид нелинейной характеристики типа “люфт” и ее аналитическая
запись представлены на рис.5.2. На рисунке к - коэффициент наклона,
с- абсцисса нуля функции.
х = к(и-с) при du/dt>0;
х=к(и+с) при du/dt<0;
dx/du=O при
Рис.5.2
Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора бу-
дем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходные параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы в, скорость изменения (первая
производная) ошибки 0, управляющее воздействие на объект т , ми-
нимально, т.е. равно 2.Отобразим диапазоны [0min,#max], [#min >^max ]
и timin’^max] изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество Ui = [О, А -1] = [0,1], где А=2 - число,
соответствующее количеству термов каждой лингвистической пере-
320
Раздел 5
менной х, i = \,n, п-3. При этом пересчет фиксированного значе-
ния параметра х* e[xwz,xez] в соответствующий элемент и* е [0,1]
определяется пропорцией
(х« - xHi) /С1 0) = {x*i - xHi) /(«‘ - 0) >
из которой получаем
W/ — (х;- — хн/-) /(хш- — XHj). (5.1)
Таким образом, на основании выражения (5.1) находим:
и\ = “ ^min )• (5-2)
и2 ~ ^min ) ^C^max ” ^min X (5-3)
w3 “ (w — wmin ) /(wmax “ wmin )• (5-4)
На множестве U = [0,1] зададим два нечетких подмножества,
функции принадлежностей (ФП) которых треугольной формы (1 и 2)
показаны на рис.5.3.
321
Раздел 5
Для получения аналитических выражений предложенных ФП
воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точки с коор-
динатами (Wp/zJ и (и2,/72), которое имеет вид:
А<«) = [(^2 " Al)« + A1W2 - А2М1 ] /(«2 - и\) • (5-5)
Тогда, в соответствие с рис.5.3, получим следующие ФП для каж-
дой лингвистической величины:
//|(w) = l-w, we [0,1]; Р2(и) = и> we [0,1]. (5.6)
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*, и с шагом квантования h осуществляется расчет
величин й|*и по формулам (5.2) - (5.3) и ФП /zy (w), j = 1,2 .
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = а{) и (0* = а£), то (т* = Ь2, (5.7)
где а( , а2 - лингвистические оценки ошибки и скорости изменения
(первой производной) ошибки, рассматриваемые как нечеткие множе-
ства, определенные на универсальном множестве, j = 1,2 ; aJ3 ~ лин-
гвистические оценки управляющего воздействия на объект, выбирае-
мые из терм-множества переменной т . Лингвистические оценки вы-
бираются из терм-множества лингвистических переменных 0* , 0* и
w* : а{ е {отрицательный (1), положительный (2)}.
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (7 = 1) или положительные (j = 2 ).
Пусть Pj(Xi) функция принадлежности параметра xf. е [хнРхв|.]
нечеткому терму а/, i - 1,2; j = 1,2 . Тогда /л"' {0.0) - зависящая от
двух переменных (X] = 0\ х2 = 0) функция принадлежности вектора
параметров решению (выбранному управляющему воздействию на
объект) m-,j = 1,2, определяется из системы нечетких логических
уравнений:
322
Раздел 5
jum,(xifx2) = (х{)л(х2). (5.8)
Таким образом, (х1?х2) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
рт:(х},х2) - функция принадлежности управляющего воздействия
нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функция
принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с ра-
бочим правилом HP записывается в виде
//"(x1,x2) = //m'(x1,x2) V ^(x^xj (5.9)
В выражениях (5.8) и (5.9) Л - логическое и, V - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (5.8) функ-
ция принадлежности управляющего воздействия щ (1/3) нечеткому
множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
A=min[//|(M*),//](w2)], (5.10)
а функция принадлежности управляющего воздействия ^2(^3) не-
четкому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
B=minLu2(wi*),A2(M2)]- (5-Н)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (5.9) определяется как
^(«з) = Я(ыз) v А2(мз)’ (512)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.5.3)
^(и3)=тах[х/1(м3),х/2(мз)]. (5.13)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия т формируется “ результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести“ результирующей
фигуры по формуле:
- ------ , (5.14)
3X(a*+i-^)(6*+I+6*)
А=1
323
Раздел 5
где N - число вершин, ak, bk - координаты вершин результирующей
фигуры.
Полученное значение на основании формулы (5.4) преобразу-
ется в значение управляющего воздействия на объект управления
™ ~ wmin + (wmax “ wmin )w3 • (5.15)
Определим реакцию системы (см. рис.5.1) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления: 6 = 10 1/с; а = 1000 1/с2
(коэффициент передачи К = 100 1/с, постоянная времени Т = 0,1 с).
Нелинейность характеризуется коэффициентом наклона к и абсцис-
сой нуля функции с . Примем к = \ и рассмотрим два значения абс-
циссы нуля функции: с = 0,001 и с =0,023. Шаг квантования (интер-
вал поступления данных в нечеткий регулятор) А = 0,01 с.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций [135]. Для апериодического звена:
xv = + ^°- (w +w ).
' 2 + Ц> v4 2 + 6V
Для интегрирующего звена: xv = xv_.
An / X
+ 2°(Wv+«v-|)’
В записанных формулах uv - входная, а
xv - выходная переменные
звена. Шаг моделирования Ад = 0,05А. Ао = 0,0005 с.
Диапазоны изменения входных и выходного параметров нечетко-
го регулятора HP (выбираются при проектировании HP и уточняются
путем математического моделирования с целью получения приемле-
мых показателей качества переходного процесса в замкнутой систе-
ме):
1].[«и.<и]=[-1и пл),"
Моделирование нелинейности Н типа “люфт” проведем в соот-
ветствии с алгоритмом, представленном на рис.5.4.
324
Раздел 5
Результаты моделирования представлены на рис.5.5 (при с-
=0,001) и рис.5.6 (при с= 0,023), где представлены реакции замкнутой
системы: а - без нечеткого регулятора (нескорректированная система);
б - с нечетким регулятором (скорректированная система).
Введение нечеткого регулятора в замкнутую систему автоматиче-
ского управления, содержащую нелинейность типа “люфт”, позволяет
значительно улучшить качество управления: исключить возникнове-
ние автоколебаний в системе и значительно сократить время регули-
рования.
Рис.5.5
Рис.5.4
325
Раздел 5
5.2. Синтез нечеткого регулятора системы управления объек-
том с нелинейностью типа “зона нечувствительности + насыще-
ние” [140]
Рассмотрим структурную схему системы (см. рис.5.7), в которой
объектом управления является усилитель и двигатель. Математиче-
ская модель усилителя и двигателя описывается последовательным
соединением нелинейности Н типа “зона нечувствительности + на-
сыщение” и линейной частью с передаточной функцией
G0(s) = a[s(s+ />)]', где Ь = \!Т, а = ЬК.
Рис.5.7
326
Раздел 5
Вид нелинейной характеристики типа “зона нечувствительности +
насыщение” и ее аналитическая запись представлены на рис.5.8. На
рисунке к - коэффициент наклона, 5 - уровень насыщения, ct, с2 -
значения абсциссы точек перегиба.
х = 0 при |и|<с1;
;ign(u) при |и| >С2 ;
л = -с, sign (и)]
при |ы|^с2 ;
*=tgv = S/(c2-Ci)
Используя математический аппарат раздела 5.1, определим реак-
цию системы (см. рис.5.7) на единичное ступенчатое воздействие ме-
тодом математического моделирования при следующих параметрах
объекта управления: b = 10 1/с; а = 1000 1/с2 (коэффициент передачи
К = 100 1/с, постоянная времени Т = 0,1 с). Нелинейность характе-
ризуется следующими параметрами: Л=1; Cj=0,l; с2=0,9; 5=0,8.
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регуля-
тор) h = 0,01 с. Шаг моделирования Ло = 0,0005 с.
Диапазоны изменения входных и выходного параметров нечетко-
го регулятора HP (выбираются при проектировании HP и уточняются
путем математического моделирования с целью получения приемле-
мых показателей качества переходного процесса в замкнутой систе-
ме):[^п,^пих] = [-1, ПЛ^пЛах]4-20,44, 20,44],и
['»min,mmax] = [-10, 10].
Моделирование нелинейности Н типа “зона нечувствительности
+ насыщение” проведем в соответствии с алгоритмом, представлен-
ном на рис.5.9.
327
Раздел 5
На рис.5.10 представлена реакция замкнутой системы: а - без не-
четкого регулятора (нескорректированная система); б - с нечетким
регулятором (скорректированная система).
Применение нечеткого регулятора дает возможность на только
значительно улучить переходный процесс системы, но и уменьшает
ошибку в установившемся режиме.
б)
Рис.5.10
328
Раздел 5
В разделах 5.1 и 5.2 описаны математические модели систем ав-
томатического управления с нечетким регулятором, в которых объек-
том управления является усилитель и электродвигатель с нагрузкой.
Ниже описана действующая система управления двигателем постоян-
ного тока от ЭВМ с цифровым интегратором, обеспечивающим аста-
тизм первого порядка [110]. В ЭВМ может быть заложена программа
работы как цифрового линейного регулятора ЛР, так и цифрового не-
четкого регулятора HP. Такая система может служить испытательным
стендом (см. рис.5.11,а) для натурного моделирования систем с реаль-
ными объектами, поскольку использует натурные агрегаты автомати-
ки, включая промышленный компьютер, преобразователи первичной
информации, устройства сопряжения с объектом управления.
а)
ЭВМ
Рис.5.11
Функциональная схема системы управления двигателем постоян-
ного тока от ЭВМ приведена на рис.5.11,6 . ЭВМ типа IBM PC АТ вы-
полняет следующие операции: 1.вычисление текущих значений часто-
ты вращения двигателя x(i); 2. сравнение заданного значения часто-
ты вращения двигателя u(i) с реальным x(z) и вычисление ошибки
329
Раздел 5
0(z), поступающей на цифровой регулятор с шагом квантования h ; 3.
программную реализацию алгоритма работы цифрового линейного
или нечеткого регулятора и расчет управляющих воздействий m(i); 4.
фиксацию на шаг квантования h и рекуррентное интегрирование воз-
действий m(i) с шагом интегрирования Ло. Управляющее воздейст-
вие от ЭВМ т(у) с шагом интегрирования Ло поступает на ЦАП.
Выход = цифрового регулятора - 16-ти разрядный код
(старший разряд определяет знак, остальные разряды - величину сиг-
нала), обновляющийся с шагом квантования h = 0,1 с и поступающий
на цифровой интегратор ЦИ с шагом интегрировния йо=О,О1Л.
Цифровой интегратор работает по рекуррентному алгоритму, состав-
ленному по методу трапеций:
Ло / \
'Wv = Wv-1+ 2 + ’
Применение цифрового интегратора позволяет обеспечить систе-
ме астатизм первого порядка и устранить ошибку в установившемся
режиме (при постоянной скорости вращения двигателя).
Сигнал на выходе цифрового интегратора т(у) = mv представля-
ет собой 16-ти разрядный дополняющий двоичный код (старший раз-
ряд определяет знак, остальные разряды - величину сигнала), обнов-
ляющийся с шагом интегрирования hQ = 0,01А . Этот сигнал поступа-
ет на цифро-аналоговый преобразователь ЦАП (фиксатор) с переда-
точной функцией HQ(s) = (1 -e^y/s, который преобразует коды
m(v) = mv, считываемые с системной магистрали ISA ЭВМ в соот-
ветствующее напряжение постоянного тока в диапазоне ±10В (зна-
чению кода 1600 соответствует амплитуда выхода ЦАП 10 В). Цифро-
аналоговый преобразователь ЦАП (в составе модуля SDI-ADC16\32H)
выполняет функции устройства сопряжения ЭВМ с объектом управ-
ления.
Объект управления состоит из преобразователя напряжения для
линейного усиления выходного сигнала ЦАП (это - управляемый ста-
билизатор постоянного напряжения - пропорциональное звено с ко-
эффициентом усиления Кпн = 2,64) и двигателя постоянного тока
ДПТ типа Д-25-1 с передаточной функцией в режиме максимальной
330
Раздел 5
частоты вращения K^(s) = ^/(7^5 + 1), где 7^= 55,6 Гц/В,
Тд.= 3,14 с.
Таким образом, передаточная функция объекта управления
G(s) = K^K^s) = /(T^s +1) . Выходная величина объекта
управления х(/) - частота вращения f ротора ДПТ - изменяется в
пределах от 0 до 100 Гц или от 0 до 6000 об/мин (п об/мин равно 60 f
Гц) при изменении питающего напряжения от 0 до 26,4 В.
Частота вращения ротора ДПТ измеряется механически связан-
ным с ротором двигателя датчиком частоты вращения ДЧВ-2500, ко-
торый преобразует частоту вращения ротора ДПТ в синусоидальное
напряжение (за один оборот ротора ДПТ датчик генерирует 16 перио-
дов синусоиды, амплитудой не менее 2 В, т.е. частоте вращения 100
Гц соответствует синусоида с частотой 1,6 кГц). Далее модуль гальва-
нической развязки МГР типа SDI-AUI преобразует каждый положи-
тельный полупериод синусоидального сигнала датчика в короткий
(10 мкс) прямоугольный импульс положительной полярности ТТЛ-
уровня. Импульсы от МГР поступают на программируемый таймер
ПТ типа КР580ВИ54 в составе модуля SDI-ADC16\32H. Этот таймер
является устройством сопряжения объекта управления с ЭВМ в цепи
обратной связи и с его помощью осуществляется преобразование чис-
ла импульсов в код и передача этого кода на системную шину ISA
ЭВМ.
Преобразование импульсной последовательности от МГР в код,
соответствующий значению частоты вращения ротора ДПТ, происхо-
дит следующим образом. Программируемый таймер ПТ модуля SDI-
ADC запускается одновременно с системным таймером СТ и фикси-
руется число импульсов Ns внутреннего генератора ЭВМ от СТ и
число имульсов Nx от ПТ за интервал измерения = 0,2Л. При
этом кодированное текущее значение частоты вращения ротора ДПТ
(см.рис.5.11,6) определяется в вычислителе частоты вращения ВЧВ по
формуле
х(0 = 1,19х10%/#,,
где 1,19x106 (Гц)-частота внутреннего кварцевого генератора ЭВМ.
331
Раздел 5
В блоке вычисления ошибки рассогласования БВО вычисляется
отклонение текущего значения частоты вращения ДПТ x(z) от задан-
ного значения u(z) .Заданное значение частоты вращения u(z) вво-
дится в систему управления с клавиатуры ЭВМ путем нажатия на кла-
виши Т и Ф , что соответствует увеличению или уменьшению часто-
ты вращения на 5 Гц (например, для установки частоты вращения от О
до 50 Гц надо нажать клавишу Т десять раз, а снизить частоту враще-
ния на 10 Гц - нажать клавишу Ф два раза). Информация о текущем
значении ошибки рассогласования считывается на вход цифрового
регулятора в блоке считывания ошибки БСО с дискретностью
h = 0,1 с.
Эквивалентную структурную схему системы, удобную для расче-
та цифровых нечетких регуляторов, можно представить в виде, изо-
браженном на рис.5.1 или 5.7. Нелинейности типа “люфт”, “зона не-
чувствительности + насыщение” и другие достаточно просто можно
реализовать, например, методом аналогового моделирования на опе-
рационных усилителях.
5.3. Синтез нечетких регуляторов систем управления с нели-
нейностью типа “дискриминационная характеристика”
5.3.1. Синтез регулятора радиотехнической системы [65, 221]
Ниже изложен синтез регулятора радиотехнической системы ав-
томатического управления на базе нечеткой логики. Представлены
результаты математического моделирования системы с нечетким ре-
гулятором при наличии помеховых воздействий и нелинейности типа
“дискриминационная характеристика”. Определены переходные про-
цессы в системе при ручной настройке регулятора и при параметрах
нечеткого регулятора, полученных в результате решения оптимизаци-
онной задачи.
Главной отличительной особенностью радиотехнических систем
является то, что физическая природа управляемой величины (частота
и фаза колебаний генератора, угол поворота антенны и т. д.) отлична
от физической природы сигнала, из которого извлекается информация
о значении управляемой величины [160]. Эта особенность приводит к
332
Раздел 5
тому, что радиотехнические системы имеют специфическое устройст-
во сравнения (измерительный элемент) - дискриминатор, преобра-
зующий входной сигнал в сигнал (напряжение) рассогласования. Ха-
рактеристика дискриминатора нелинейна, но имеет линейный участок
в начале координат. Кроме того, на радиотехнические системы, как
правило, воздействуют различного рода помехи не только во входном
сигнале, но и внутри замкнутого контура системы. Следует также ука-
зать, что переходные процессы в радиотехнических системах обычно
быстротечны в отличие, например, от систем автоматического управ-
ления производственными процессами.
Автоматизация радиотехнических устройств непрерывно расши-
ряется и одновременно возрастают требования к точности и быстро-
действию радиотехнических систем. Возникает необходимость разра-
ботки новых методов анализа и синтеза таких систем. В последние
годы стали интенсивно разрабатываться регуляторы и системы авто-
матического управления на базе нечеткой логики. Хотя регуляторы на
нечеткой логике (нечеткие регуляторы) представляют значительный
интерес в первую очередь для объектов управления, которые трудно
поддаются формализованному описанию, но даже применительно к
управлению объектами, для которых имеются математические моде-
ли, такие регуляторы во многих случаях обеспечивают более высокую
точность и быстродействие систем управления, более качественную
работу систем в условиях помеховых воздействий. Применение циф-
ровых нечетких регуляторов для синтеза, расчета и проектирования
радиотехнических систем представляет собой актуальную задачу.
Рассмотрим структурную схему радиотехнической системы авто-
матического управления, основными элементами которой являются
дискриминатор, усилитель и двигатель с редуктором. При использо-
вании цифрового нечеткого регулятора HP, обеспечивающего требуе-
мую динамику системы, применяют аналого-цифровой (АЦП) и циф-
ро-аналоговый (ЦАП) преобразователи. ЦАП обычно является фикса-
тором нулевого порядка. Структурную схему радиотехнической сис-
темы с нечетким регулятором HP можно представить в виде рис.5.12.
Дискриминатор служит для выработки сигнала рассогласования,
так как информация о задающем воздействии u(t) в радиотехниче-
ской системе обычно закодирована в каком либо параметре радиосиг-
нала.
333
Раздел 5
Рис.5.12
Выходное напряжение дискриминатора обычно можно предста-
вить в виде суммы математического ожидания и флюктуационной со-
ставляющей, которые зависят от ошибки рассогласования, спектраль-
ной плотности входного шума и в ряде случаев от амплитуды радио-
сигнала. При этом математическую модель дискриминатора можно
представить последовательным соединением устройства сравнения,
нелинейности К(е) и фильтра нижних частот ФНЧ с передаточной
функцией Сгф($) = (Гф5 4-1)"1, где Тф - постоянная времени фильтра
на выходе дискриминатора. Кривую К(е) принято называть статиче-
ской дискриминационной характеристикой. Флюктуационная состав-
ляющая на выходе дискриминатора описывается спектральной плот-
ностью Sn и зависимость Sn(e) называют флюктуационной харак-
теристикой дискриминатора. При моделировании флюктуационную
составляющую можно учитывать как напряжение К(/)- случайное
возмущение, приложенное к выходу дискриминатора. Таким образом,
общее выходное напряжение дискриминатора y(t), поступающее на
АЦП, состоит из суммы выходного напряжения фильтра ФНЧ и на-
пряжения К(/). Математическую модель нелинейности К(ё) опишем
выражением
е2
К(е) = Кдехр{- д2},
где Кд - коэффициент преобразования дискриминатора, а А - полуши-
рина дискриминационной характеристики, определяющая разрешаю-
334
Раздел 5
щую способность дискриминатора. Графически нелинейность К(е)
представлена на рис.5.13. Следует подчеркнуть, что на выходе блока
нелинейности на структурной схеме ошибка рассогласования опреде-
ляется как /С[е(7)].
Усилитель и двигатель с редуктором представим как линейную
часть системы с передаточной функцией G0(s) = ^[5(5 4-6)]"1, где
Ь = 1/Т, ах=ЬК.
Для подавления случайной составляющей (шума) на входе циф-
рового нечеткого регулятора после АЦП необходимо включать циф-
ровой низкочастотный фильтр ФНР, являющийся дискретным анало-
гом непрерывного фильтра с передаточной функцией
6фнр($) - (T<pHps +1) 1 • Дискретная передаточная функция такого
фильтра может быть определена из таблицы z-преобразований:
G(z) = 60[l + alz-’]-1 ,
где bQ = 14- ах, ах = -ехр(-И/ТФНР), h - шаг кватования.
Моделирование фильтра ФНР можно выполнить 1. по разностно-
му уравнению: 0(k) = boy(k)-ax0(k -1); 2. по рекуррентной форму-
ле для расчета непрерывного фильтра:
= о - 0 + о М*) - X* -1)] •
2 +ап 2 +ап
335
Раздел 5
Отфильтрованная ошибка в(к) подается на вход нечеткого регу-
лятора HP.
В качестве первой и второй производных от ошибки используем
соответственно первую и вторую разность, а именно:
0(к) = [0{к)-0(к -1)]/Л;
6(к) = [0(£) - в(к -1)]/ h = [£(£) - 20(к -1) + 0(к - 2)]/h2.
Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора бу-
дем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходной параметры нечет-
кого регулятора) ошибка системы в, скорость изменения (первая
производная) ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки 0,
управляющее воздействие на объект т, минимально, т.е. равно 2.
ОтобраЗИМ ДИапаЗОНЫ timin’^тах] ’ [^min ’ ^max ] ’ t^min»^max ] и
изменения входных и выходного параметров на единое
универсальное множество Ut = [0,£z-1] = [0,1], где £z=2 - число,
соответствующее количеству термов каждой лингвистической пере-
менной , / = 1, и, п = 4. При этом пересчет фиксированного значе-
ния параметра х* е [хш-, хв/] в соответствующий элемент и* е [0,1]
при симметричных диапазонах изменения входных и выходного па-
раметров определяется формулами (3.41):
(5.16)
«2’ = 40‘-0min)/(2^in); (5.17)
«3* = -{в*-6>min)/(26>min); (5.18)
™ =wmin(l-2w’). (5.19)
На универсальном множестве U =[0,1] зададим два нечетких
подмножества, функции принадлежности (ФП) которых экспоненци-
альной формы (1 и 2) показаны на рис.5.14.
Аналитические выражения предложенных ФП имеют вид:
Я(и) = е-см; х/2(«) = е-с(,“и), и е [0,1], (5.20)
336
Раздел 5
Рис.5.14
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*, 0* и 0* с шагом квантования h осуществляется
расчет величин м/, и^* и 1/3* по формулам (5.16) - (5.18) и ФП
7 = 1,2.
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
Если (0* = ) и (0* = aJ2) и (0* = а?* ), то, j = 1,2, (5.21)
где а/, а2 и а3 - лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки,
рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на универ-
сальном множестве,/ = 1,2; aJc - лингвистические оценки управ-
ляющего воздействия на объект, выбираемые из терм-множества пе-
ременной т. Лингвистические оценки выбираются из терм-
множества лингвистических переменных #*, 0* , 0* и /и*:
а/ е {отрицательный (1), положительный (2)}.
337
Раздел 5
Другими словами, все сигналы (определенные выше лингвистиче-
ские переменные) в системе автоматического управления характери-
зуются как отрицательные (j - 1) или положительные (j - 2).
Пусть функция принадлежности параметра х;б[хм/,хв/]
нечеткому терму aJt , i - 1,3; j = 1,2 . Тогда (0, 0,0) - зависящая
от трех переменных (Xj = 0; х2 = 0; х3 = 0 ) функция принадлежно-
сти вектора параметров решению (выбранному управляющему воз-
действию на объект) ,у = 1,2, определяется из системы нечетких
логических уравнений:
цт‘ (%!, х2,х3) = (X)) л (х,) л /у' (х3). (5.22)
Таким образом, //Wl(Xj,хэ,х3) - функция принадлежности управ-
ляющего воздействия нечеткому множеству “отрицательный”, а
/2т;(хрх2,х3) - функция принадлежности управляющего воздейст-
вия нечеткому множеству “положительный”. Результирующая функ-
ция принадлежности для управляющего воздействия в соответствии с
рабочим правилом HP записывается в виде
//"(х1,х2,х3) = ху'"|(Х|,х2,х3) v /у"г(х,,х2,х3) (5.23)
В выражениях (5.22) и (5.23) л - логическое и, v - логическое или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (5.22)
функция принадлежности управляющего воздействия нечет-
кому множеству “отрицательный” ограничена сверху значением:
А= min[/z, («f ), щ (и 2), А1 (и*3 )], (5.24)
а функция принадлежности управляющего воздействия р2с(и) не"
четкому множеству “положительный” ограничена сверху значением:
В= min[/22 (и*), /ь (и 2), А2 («3)] • (5.25)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (5.23) определяется как
Ис О') = А1с О') v А2с 00 > (5.26)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.5.13)
Ас 00 =тах[ цХс (м), //2с. (и) ]. (5.27)
338
Раздел 5
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия /и* формируется “результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП. Расчет абсциссы центра тяжести sc = S(uc9pc)
участка площади, охватываемой результирующей ФП /^(w) в преде-
лах изменения переменной и от и = Ul до и - U2, выполняем, ис-
пользуя численное интегрирование по методу трапеций (с шагом дис-
кретизации uQ), по формуле
и.^0 и^м
-'-п + Уи,и,+
2 2
2 tT 2
(5.28)
где (t/2 -Ц)/ М = и0 - шаг дискретизации, М - число дискрет на
интервале U2-U}, /=1,2,3,..., М-1.
При определении результирующей ФП необходимо определять
абсциссы точек пересечения ФП нечетких подмножеств (термов от-
рицательный положительный ~2) с горизонтальными прямыми.
Для ФП экспоненциального вида абсциссы точек пересечения
функций находятся из уравнений: А = ехр(-си ); В = ехр(-см );
А = ехр[-с(1 - и )]; В = ехр[-с(1 - и )] и определяются как
w* = --1п(Л или В) и w* = 1 +-ln(J или В). (5.29)
с с
Полученное значение л* на основании формулы (5.19) преобра-
зуется в значение управляющего воздействия на объект управления.
Управляющие воздействия /л* в виде кода т(к) с шагом кванто-
вания h поступают сначала на ЦАП - фиксатор нулевого порядка с
передаточной функцией //($) = (1 -e~^5)/s, а затем в виде непре-
рывного управляющего воздействия m(t) на объект управления.
Определим реакцию системы (см. рис.5.12) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления: b = 10 1/с; а} = 1000 1/с2
339
Раздел 5
(коэффициент передачи К = 100 1/с, постоянная времени Т = 0,1 с).
Нелинейность характеризуется следующими параметрами: К^=Ь9
Д=1. Фильтр низких частот на выходе дискриминатора имеет
Тф =0,01с. Фильтр низких частот на входе нечеткого регулятора име-
ет 7ф#р=1с. Шаг квантования (интервал поступления данных в не-
четкий регулятор) А = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегриро-
вания результирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций:
для апериодического звена
_2-М0 а1Л0 ( ч.
XV — о ,, *V-1 "* I , (MV +“v-l).
2 + AAg 2 + AAg
для интегрирующего звена
xv ~ *v-l "* 2 (Uv +MV-1)-
В записанных формулах uv- входная, a xv- выходная перемен-
ные звена. Шаг моделирования Ад = 0,05А. Ад = 0,0005 с.
Стационарное случайное возмущение V(/), приложенное к выхо-
ду дискриминатора, опишем корреляционной функцией
R(r) = De alr'cosQr, (530)
где D - дисперсия, а - коэффициент нерегулярности, Q - преобла-
дающая частота. Зададим численные значения: D =0,0625; а =24;
Q=40 1/с.
Моделирующий алгоритм для экспоненциально-колебательного
случайного процесса с корреляционной
R(r) = De а'г cosQr записывается в виде:
V, = Mv-2 >
где а0 = JDЛ = ^D(am ± 7«oi -4а02)/2; а, = Л
«о = р(р2 -l)cos(QAb); а01 = 1 - р4;
b{ = 2pcos(QA0); b2 = р2; р - ехр(-аА^).
функцией
(531)
/5а0/Л;
340
Раздел 5
Реализации случайного процесса К(/) получаются путем преоб-
разования последовательности £(/) независимых нормально распре-
деленных случайных чисел с параметрами (0,1) (дискретный белый
шум) в последовательность vv = v(vA0), коррелированную по закону
Rv = R(vhQ) = М{vkvk+v} . Такая реализация случайного процесса
K(Z) представлена на рис.5.15. Время наблюдения 5с.
Синтез нечеткого регулятора выполняется по формулам (5.16)-
(5.29). Коэффициент с при настройке выбран равным 2, а выбранные
без оптимизации (настройка “вручную”) диапазоны изменения вход-
ных и выходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны изме-
нения переменных 0,0,0, т) определяются:
foXH-IW. 100) и [«„„,^>[-0,3, 0,3].
Программа RTS реализует алгоритм моделирования системы ав-
томатического управления, содержащей нелинейный элемент типа
"дискриминационная характеристика". Предполагается, что с выхода
дискриминатора поступает смесь полезного сигнала и шума (экспо-
ненциально-колебательный случайный процесс). Формирование
управляющего воздействия осуществляется нечетким регулятором
HP. В качестве входных параметров HP выбраны отфильтрованное
значение выхода дискриминатора, а также его первая и вторая раз-
ность. Число термов, описывающих входные и выходную переменные
HP, выбрано равным двум. Функции принадлежности выбраны экспо-
ненциальными. Объект управления содержит интегрирующее и апе-
риодическое звенья с постоянными параметрами.
341
Раздел 5
В программе используются следующие процедуры.
Процедура VvodParametrProg - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Zero - обнуление переменных состояния объекта
управления и некоторых других переменных.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр процедуры - массив х - содер-
жит значения входных параметров нечеткого регулятора, выходной
параметр -переменная vix - содержит значение управляющего воздей-
ствия нечеткого регулятора).
Процедура Par - расчет необходимых параметров для моделиро-
вания экспоненциально-колебательного случайного процесса.
Процедура Ехр_Ко1 - формирование значения случайной величи-
ны из последовательности чисел, распределенных по экспоненциаль-
но-колебательному закону (входной параметр - переменная vx - со-
держит значение случайной величины из последовательности чисел,
распределенных по нормальному закону, выходной параметр - пере-
менная vix).
Процедура Par zif filtr - расчет значений параметров цифрового
фильтра.
Процедура Zif filtr - моделирование цифрового фильтра нечетко-
го регулятора (входной параметр процедуры vx - зашумленное значе-
ние выхода дискриминатора в моменты квантования, выходной пара-
метр vix- отфильтрованное значение).
Для моделирования объекта управления программа использует стан-
дартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl [135].
Функция Gauss - возвращает значение случайной величины из по-
следовательности чисел, распределенных по нормальному закону
(входные параметры функции - переменные то и sigma - содержат,
соответственно , значения математического ожидания и СКО).
В программе используются следующие константы: пп - количест-
во моделируемых динамических звеньев, N vx - количество входных
параметров нечеткого регулятора, h - шаг моделирования, tt - время
наблюдения, h_f - шаг квантования, T filtr NR - значение постоянной
времени цифрового фильтра, у max, y min - верхний и нижний пре-
делы диапазона изменения управляющего воздействия, big_M - число
шагов интегрирования результирующей фигуры, par e - параметр
функций принадлежности.
342
Раздел 5
В программе используются следующие переменные и массивы: nl
- служебный массив для обеспечения работы подпрограммы mdl, х 1,
у2, yl, al, b, х2, a, d, с - массивы, содержащие значения переменных
состояния динамических звеньев объекта управления, Vx - массив,
элементы которого содержат значения входных параметров нечеткого
регулятора, pred - массив, элементы которого содержат пределы диа-
пазонов изменения значений входных параметров нечеткого регуля-
тора, t - значение момента времени, Vx wos - значение входного воз-
действия системы, Ras - значение ошибки в системе, а_0, a l, b l,
b_2, vixl, vix_2, vx_l - переменные, используемые при моделирова-
нии экспоненциально-колебательного случайного процесса, par al,
par bO, vix f l - переменные, используемые при моделировании циф-
рового фильтра, shum - значение случайной величины из последова-
тельности чисел, распределенных по нормальному закону, exp shum -
значение случайной величины из последовательности чисел, распре-
деленных по экспоненциально-колебательному закону, delta , K diskr
- переменные, содержащие параметры нелинейности: половина ши-
рины дискриминационной характеристики и коэффициент передачи
дискриминатора, Vix nel - выходное значение нелинейного элемента
дискриминатора, Vix fil - выходное значение ФНЧ дискриминатора,
Vxl - выходное значение дискриминатора, содержащее шумовую со-
ставляющую, Vx_NR - отфильтрованное значение выхода дискрими-
натора, dt, d2t - значения первой и второй разностей параметра
Vx NR, M fuz - значение управляющего воздействия нечеткого регу-
лятора, Vixl, Vix2 - значения выходов звеньев объекта управления,
N_n, N_m, k, si, us, sde - служебные переменные.
{Программа моделирования САУ с нелинейным элементом типа
"дискриминационная характеристика". Случайный процесс - экспо-
ненциально-колебательный. Экспоненциальные ФП.}
Program RTS;
Uses Crt;
Const
nn = 3;
N_vx = 3;
h = 0.0005;
tt = 5;
h_f=0.01;
T_filtr_NR= 1;
y_max = 0.3;
343
Раздел 5
ymin = -0.3;
big_M = 500;
pare = 2;
Type
Nvektorl = array [L.nn] of Real;
Nvektor2 = array [ 1 ..N_vx] of real;
Var
n 1 : array[ 1.. 10] of integer;
xl,y2,yl,al,b,x2,a,d,c : Nvektorl;
Vx : Nvektor2;
pred : array [1..2,1..N_vx] of real;
N_n,N_m : integer;
t, Vxl, Vx_NR, Vx wos,
Ras, Vixl, Vix2, shum,
expshum, delta, K diskr,
Vix nel, Vix fil,
a_0,a_l,b_l,b_2,
vix_l,vix_2,vx_l,
dt, d2t, M fUz,
k, si, us, sde,
parbO, par al, vixfl : real;
{$1 zven.pas}
Procedure VvodParametrProgr;
Begin {Vvod Parametr Progr}
pred[2][l] :=1;
pred[l][l] :=-l;
pred[2][2] :=I;
pred[l][2] :=-i;
pred[2][3] :=49;
pred[l][3] :=-49;
mdl(0,sl,sl);
End; {Vvod Parametr Progr}
Procedure Par;
Var
alfa,omega,big_D,
ro,aifa_l,alfa_0 : real;
Begin {Par}
alfa:=24; omega:=40; big_D:=0.0625;
ro:=exp(-alfa*h);
bl :=2*ro*cos(omega*h);
344
Раздел 5
b_2:=-sqr(ro);
alfa_0:=ro*(sqr(ro)-1 )*cos(omega*h);
alfal :=l-sqr(sqr(ro));
a_0:=sqrt(big_D*(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0)))/2);
al :=alfa_0*sqrt(big_D*2/(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0))));
End; {Par}
Procedure Exp Kol(vx : real; var vix : real);
Begin {Exp Kol}
vix:= a_0 * vx + a_l * vx 1 + b l * vixl + b_2 * vix_2;
vix_2:=vix_l; vix_l:=vix; vx_l:=vx;
End; {ExpKol}
Procedure Zero;
var i: integer;
Begin {Zero}
for i:=l to nn do begin
xl[i]~ 0;y2[i]:=0;yl[i]:=0;
al[i]:=0;b[i]:=0;x2[i]:=0;a[i]:=0;d[i]:=0;c[i]:=0;
end;
vix l :=0; vix_2:=0; vx_l :=0;vix_f_l :=0;
End; {Zero}
Function Gauss(mo, sigma : real): real;
Var
aa, bb, rr, sq : real;
Begin {Gauss}
repeat
aa:=2*Random-l;
bb:=2*Random-l;
rr:=sqr(aa)+sqr(bb)
until (rr<l);
sq:=sqrt(-2 * ln(rr )/rr);
Gauss:=mo+sigma*aa*sq
End; {Gauss}
Procedure Par Zif filtr;
Begin {Par Zif filtr}
paral :=-exp(-h_f/T_filtr_NR);
par_bO:=l+par_al;
End; {Par Zif filtr}
Procedure Zif_filtr(vx:real; var vix : real);
Begin {Zif filtr}
vix:= par bO * vx - par al ♦ vixfl;
345
Раздел 5
vix_f_l:=vix;
End; {Ziffiltr}
Procedure Res(x : Nvektor2 ; var vix : real);
Var
i, j : integer;
mju : array [1..2,l..N_vx] of real;
u : Nvektor2;
b : array [1..2] of real;
X res : array [1..4] of real;
ut,uO,uc,mj u_t,
suml,sum2 : real;
Begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
u[i]:= (x[i]-pred[ 1 ][i])/(pred[2][i]-pred[ 1 ] [i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mju[2][i]:=exp(-par_c*(l-u[i]));
end;
for i:= 1 to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l toN vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[l]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c;
X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end else begin
X_res[2]:= ln(b[l]/exp(-par_c))/par_c;
X_res[3]:= ln(b[2]/exp(-par_c))/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/big_M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t ♦ mju t;
sum2 := mju_t;
if b[l ]>=b[2] then begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
346
Раздел 5
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml :=suml +u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mjut;
end;
end else begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml :=suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end;
u_c := (X_res[l]*b[l]/2 + suml + X_res[4]*b[2]/2) I
(b[l]/2 + sum2+ b[2]/2);
vix := y min + u_c*(y_max-ymin);
End; {Res}
{Исполнительная часть}
Begin {RTS}
Zero;
VvodParametrProgr;
Par;
t:=0; k:=0; Vix2:=0; dt:=O; us:=0; sde:=0;
M_fuz:=0;
delta:=l; K_diskr:=l; Vx_wos:=l;
N_m:=round(h_f/h)+l; N_n:=N_m;
repeat
{ элемент сравнения }
Ras := Vx wos - Vix2;
{дискриминационная характеристика }
Vix_nel:= Ras * K diskr * exp(-sqr(Ras)/sqr(delta));
{ ФНЧ }
mdl( 1 ,Vix_nel,Vix_fil);
{ шум }
shum:=Gauss(O,l);
Exp_Kol(shum,exp_shum);
347
Раздел 5
Vx 1 :=Vix_fil+exp_shum;
{нечеткий регулятор}
if N_n=N_m then begin
{фильтр нечеткого регулятора}
Zif_filtr(Vxl,Vx_NR);
dt:= (Vx_NR-sde)/h f;
d2t:=(dt-us)/h_f;
if t=0 then begin dt:=O; d2t:=0; end;
if k = 1 then d2t:=0;
Vx[l]:=Vx_NR; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde:=Vx NR; us:=dt;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
{ объект управления }
mdl(2,M_fuz,Vixl);
mdl(3,Vixl,Vix2);
t:=t+h; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
End. {RTS}
При оптимизации используем интегральный квадратичный крите-
рий качества
J = -^ev2 => min, (5.32)
где ошибка системы ev на выходе элемента сравнения вычисляется с
шагом моделирования Ло, а число L определяет интервал наблюде-
ния, равный LhQ. Оптимальные параметры соответствуют минималь-
ному значению критерия качества, а минимизация критерия качества
автоматически приводит к оптимизации переходных процессов в сис-
теме управления.
Используя метод оптимизации Хука-Дживса и оптимизируя одно-
временно коэффициент с в функциях принадлежности и диапазоны
изменения входных и выходного параметров (диапазоны изменения
переменных 6,6,д,т), находим минимальное значение показателя
J. Проведенные расчеты методом оптимизации Хука-Дживса с ис-
348
Раздел 5
пользованием формул (5.16)-(5.32) дают следующие результаты. Ми-
нимальное значение показателя J получается при следующих пара-
метрах цифрового нечеткого регулятора: с =7,32;
1,44],
^min^max] = [-«2,29 82,29] и [rnmin,/wmJ = [-0,3 0,3].
Квадратичный критерий качества имеет показатель: J - 0,0462.
Без оптимизации (при настройке “вручную”) J = 0,0856.
Рис.5.16
349
Раздел 5
Результаты моделирования системы при настройке параметров
регулятора “вручную” представлены на рис.5.16, после оптимизации
параметров цифрового нечеткого регулятора - на рис.5.17. На рисун-
ках: а - входное воздействие u(t) и реакция системы x(t); б - управ-
ляющее воздействие на входе объекта управления m(t); в - ошибка
системы на выходе фильтра нижних частот, включенного на
входе нечеткого регулятора.
Рис.5.17
350
Раздел 5
Цифровой нечеткий регулятор обеспечивает достаточно быструю
отработку скачкообразных входных сигналов и устойчивую работу
системы даже при больших помеховых воздействиях (без регулятора
система неустойчива). При этом, как и следовало ожидать, при увели-
чении быстродействия текущая ошибка в установившемся режиме от
помехового воздействия возрастает, и наоборот, при уменьшении бы-
стродействия системы текущую ошибку в установившемся режиме
можно сделать весьма малой.
Поскольку рассмотренная структурная схема радиотехнической
системы (см. рис.5.12) является достаточно общей, то можно заклю-
чить, что применение цифровых нечетких регуляторов для радиотех-
нических систем целесообразно и перспективно.
Программа Opt HD реализует алгоритм безусловной оптимизации
методом Хука-Дживса параметров нечеткого регулятора системы ав-
томатического управления, содержащей нелинейный элемент типа
"дискриминационная характеристика". Предполагается, что с выхода
дискриминатора поступает смесь сигнала рассогласования и шума
(экспоненциально-колебательный случайный процесс). Формирование
управляющего воздействия осуществляется нечетким регулятором . В
качестве входных параметров HP выбраны отфильтрованное значение
ошибки с выхода дискриминатора , а также ее первая и вторая раз-
ность. Число термов, описывающих входные и выходное значения HP,
выбрано равным двум. Функции принадлежности выбраны экспонен-
циальными. Обьект управления содержит интегрирующее и аперио-
дическое звенья с постоянными параметрами. На вход системы пода-
ется единичное ступенчатое воздействие. В качестве параметров оп-
тимизации выбраны пределы изменения первой и второй разностей
отфильтрованного значения ошибки с выхода дискриминатора, а так-
же параметр экспоненциальных функций принадлежности.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod Parametr Prog - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Prisv Natch - обнуление переменных состояния дина-
мических звеньев и некоторых других переменных.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр - массив х - содержит значе-
ния входных параметров нечеткого регулятора; выходной параметр -
351
Раздел 5
переменная vix - содержит значение управляющего воздействия не-
четкого регулятора).
Процедура Par - расчет необходимых параметров для моделиро-
вания экспоненциально-колебательного случайного процесса.
Процедура Ехр Ко! - формирование значения случайной величи-
ны из последовательности чисел, распределенных по экспоненциаль-
но-колебательному закону (входной параметр - переменная vx - со-
держит значение случайной величины из последовательности чисел,
распределенных по нормальному закону; выходной параметр - пере-
менная vix).
Процедура Par zif filtr - расчет значений параметров цифрового
фильтра.
Процедура Zif filtr - моделирование цифрового фильтра нечетко-
го регулятора (входной параметр процедуры vx - зашумленное значе-
ние выхода дискриминатора в моменты квантования, выходной пара-
метр vix - отфильтрованное значение).
Для моделирования обьекта управления программа использует
стандартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl
[18].
Функция Gauss - возвращает значение случайной величины из по-
следовательности чисел, распределенных по нормальному закону
(входные параметры функции - переменные то и sigma - содержат,
соответственно , значения математического ожидания и СКО).
Процедура Criterij - расчет значения критерия оптимизации.
В процедуре использованы следующие переменные и массивы: t -
значение момента времени; Vx wos - значение входного воздействия
системы; Ras - значение ошибки в системе; shum - значение случай-
ной величины из последовательности чисел, распределенных по нор-
мальному закону; exp shum - значение случайной величины из после-
довательности чисел, распределенных по экспоненциально-
колебательному закону; delta, K diskr - переменные, содержащие па-
раметры нелинейности: половины ширины дискриминационной ха-
рактеристики и коэффициента передачи дискриминатора; Vix nel -
выходное значение нелинейного элемента дискриминатора; Vix fil -
выходное значение ФНЧ дискриминатора; Vxl - выходное значение
дискримиранора, содержащее шумовую составляющую; Vx_NR - от-
фильтрованное значение выхода дискриминатора; dt, d2t - значения
первой и второй разностей параметра Vx_NR; M fuz - значение
352
Раздел 5
управляющего воздействия нечеткого регулятора; Vixl,Vix2 - значе-
ния выходов звеньев объекта управления; N_n, N_m, k, us, sde - слу-
жебные переменные.
В программе заданы константы: N_parametr - количество оптими-
зируемых параметров; N_vx - количество входных параметров нечет-
кого регулятора; y_max, у min - значения границ диапазона измене-
ния управляющего воздействия в системе; tt - время наблюдения; h -
шаг моделирования; пп - количество моделируемых динамических
звеньев; h_f - шаг квантования; T filtrNR - значение постоянной вре-
мени цифрового фильтра; big_M - число шагов интегрирования ре-
зультирующей фигуры.
В программе используются следующие переменные и массивы:
par e - переменная, содержащая значение параметра экспоненциаль-
ных функций принадлежности; hn - шаг изменения значений парамет-
ров оптимизации; JJ - значение критерия оптимизации; а_0, а_1, Ь_1,
b_2, vix l, vix_2, vx_l - переменные, используемые при моделирова-
нии экспоненциально-колебательного случайного процесса; par al,
par bO, vix f l - переменные, используемые при моделировании циф-
рового фильтра; fi, fb, г, i, ps, j, s_v - служебные переменные; nl - слу-
жебный массив для обеспечения работы подпрограммы mdl; xl, у2,
у 1, al, b, х2, a, d, с - массивы, содержащие значения переменных со-
стояния динамических звеньев обьекта управления; opt_par - массив,
содержащий теукущие значения оптимизируемых параметров; pred -
массив, содержащий значения пределов диапазонов изменения вход-
ных параметров нечеткого регулятора; y_slug, z slug, p_slug - слу-
жебные массивы.
{Программа безусловной оптимизации методом Хука-Дживса па-
раметров нечеткого регулятора системы управления с нелинейным
элементом типа "дискриминационная характеристика". Экспоненци-
ально-колебательный случайный процесс на выходе дискриминатора.
Экспоненциальные ФП}
Program Opt HD;
Uses Crt;
Const
N_parametr=3;
N_vx = 3;
353
Раздел 5
nn = 3;
h=0.0005;
h_f=0.01;
tt=5;
T_filtr_NR= 1;
big_M = 500;
ymax = 0.3;
ymin = -0.3;
Type
Nvektorl = array [l..nn] of Real;
Nvektor2 = array [l..N_parametr] of Real;
Nvektor3 = array [l..N_vx] of real;
Var
I,psJ : integer;
opt-par, yslug,
zslug, p_slug : Nvektor2;
pred : array [1..2,l..N_vx] of real;
nl : array[1.. 10] of integer;
xl,y2,yl,al,b,x2,a,d,c : Nvektorl;
par e, JJ,hn,fi,fb,r,s_v,
a_0,a_l,b_l,b_2,
vix_l,vix_2,vx_l,
par bO, par al, vix f l : real;
{$1 zven.pas}
Procedure Par;
Var
alfa,omega,big_D,
ro,alfa_l,alfa_0 : real;
Begin {Par}
alfa:=24; omega:=40; big_D:=0.0625;
ro:=exp(-alfa*h);
bl :=2*ro*cos(omega*h);
b_2:=-sqr(ro);
alfa_0:=ro*(sqr(ro)-l)*cos(omega*h);
alfal :=l-sqr(sqr(ro));
a_0:=sqrt(big_D*(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0)))/2);
al :=alfa_0*sqrt(big_D*2/(alfa_l-sqrt(sqr(alfa_l)-4*sqr(alfa_0))));
354
Раздел 5
End; {Par}
Procedure Exp_Kol(vx : real; var vix : real);
Begin {Exp_Kol}
vix:= a_0 * vx + a_l * vx_l + b_l * vix_l + b_2 * vix_2;
vix_2:=vix_l; vix_l:=vix; vx_l:=vx;
End; {Exp_Kol}
Function Gauss(mo, sigma : real): real;
Var
aa, bb, rr, sq : real;
Begin {Gauss}
repeat
aa:=2*Random-l;
bb:=2* Random-1;
rr:=sqr(aa)+sqr(bb)
until (rr<l);
sq :=sqrt(-2 ♦ ln(rr)/rr);
Gauss:=mo+sigma*aa*sq
End; {Gauss}
Procedure Par Zif filtr;
Begin {Par Zif filtr}
par al :=-exp(-h_f/T filtr NR);
par_bO:=l+par_al;
End; {ParZiffiltr}
Procedure Zif_filtr(vx:real; var vix : real);
Begin {Zif_filtr}
vix:= par bO * vx - par al * vix f l;
vix_f_l:=vix;
End; {Zif filtr}
Procedure Res(x : Nvektor2 ; var vix : real);
Var
i, j : integer;
mju : array [1..2,1..N_vx] of real;
u : Nvektor3;
b : array [1..2] of real;
X_res : array [1..4] of real;
u_t,u_O,u_c,mju t,
suml,sum2 : real;
355
Раздел 5
Begin {Res}
for i :=1 to N_vx do begin
u[i]:= (x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mju[2] [i] :=exp(-par_c*( 1 -u [ i]));
end;
for i:= 1 to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for j:=l to N_vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[ 1 ]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c;
X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end else begin
X_res[2]:= ln(b[l]/exp(-par_c))/par_c;
X_res[3]:= ln(b[2]/exp(-par_c))/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/big_M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t ♦ mjut;
sum2 := mju t;
if b[l]>=b[2] then begin
for i:= 1 to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2J;
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end else begin
for i:= 1 to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
356
Раздел 5
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju t;
end;
end;
u c := (X_res[ 1 ]*b[ 1 ]/2 + suml + X_res[4]*b[2]/2) /
(b[l]/2 + sum2+ b[2]/2);
vix := ymin + u_c*(y_max-y_min);
End; {Res}
Procedure Criterij(var J : real);
Var
N_n,N_m,i,ii : integer;
t, Vixl, Vix2, Vxl,
Vx_NR, Crit, Ras, k,
Vx wos : real;
Vx : Nvektor3;
shum, expshum, delta,
K diskr, Vix nel,
Vix fil : real;
us, sde, dt, d2t, M fuz : real;
Begin {Criterij}
t:=0; k:=0; Vix2:=0; dt:=O; us:=0; sde:=0;
M_fuz:=0; delta =l; K._diskr =l;
ii:=0; Crit:=O; J:=0;
N_m:=round(h_f/h)+l; N_n:=N_m;
par e := opt_par[l];
pred[2][2] :=opt_par[2];
pred[ 1 ] [2] :=-opt_par[2];
pred[2][3] :=opt_par[3];
pred[l][3] :=-opt_par[3];
Vx_wos:=l;
repeat
{ элемент сравнения }
357
Раздел 5
Ras := Vxwos - Vix2;
{ дискриминационная характеристика }
Vix_nel:= Ras * K_diskr * exp(-sqr(Ras)/sqr(delta));
{ ФНЧ }
mdl( 1,Vix nel,Vix_fil);
{ шум }
shum:=Gauss(O,l);
Exp_Kol(shum,exp_shum);
Vx 1 :=Vix_fil-i-exp_shum;
{нечеткий регулятор}
ifN_n=N_m then begin
{фильтр нечеткого регулятора}
Zif_filtr(Vxl,Vx_NR);
dt:= (Vx_NR-sde)/h_f;
d2t:=(dt-us)/h_f;
ift~0 then begin dt:=O; d2t:=0; end;
if k = 1 then d2t:=O;
Vx[l]:=Vx_NR; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde:=Vx NR; us:=dt;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
{ обьект управления }
mdl(2,M_fuz,Vixl);
mdl(3,Vixl,Vix2);
Crit:=Vx_wos-Vix2;
J :=J+sqr(Crit);
t:=t+h; ii:=ii-i-l; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
J:=J/ii; writeln(J);
End. {Criterij}
Procedure Vvod Parametr Progr;
Begin {Vvod Parametr Progr}
Clrscr;
\угйе1п('Ввод параметров работы программы');
\угЦе1п('Введите начальный шаг изменения оптимизируемых па-
раметров ');
358
Раздел 5
write('hn-); readln(hn);
pred[2][l] :=1;
pred[l][l] —-1;
pred[2][2] :=1;
pred[l][2] —-1;
pred[2][3] —49;
pred[ 1][3] —-49
par_c—2;
{Присвоение начальных значений коэффициентов ПФ регулятора}
opt_par[ 1 ] :=par_c; opt_par[2] — pred[2] [2]; opt_par[3] —pred[2] [3];
mdl(0,s_v,s_v);
End; {Vvod_Parametr_Progr}
Procedure PrisvNatch;
Var i : integer;
Begin {PrisvNatch}
for i—1 to nn do begin
xl[i]:=0; y2[i]-0; yl[i]-0; x2[i]-0; vix_f_l-0;
end;
vix l —0; vix_2—0; vx_l —0;
End; {Prisv_Natch}
{Исполнительная часть}
Begin {OptHD}
PrisvNatch;
VvodParametrProgr;
Par;
Par_Zif_filtr
\угйе1п('метод Хука-Дживса');
у slug—opt_par; p slug—opt_par; z slug—opt_par;
Criterij(JJ); fi— JJ;
writeln('Ha4. значение функции',fi);
ps—0; fb—fi;
repeat
writein ('исследующий поиск');
for i—1 to N_parametr do
begin
opt_par[i]— y_slug[i]+hn;
PrisvNatch; Criterij(JJ); r:=JJ;
359
Раздел 5
if r<fi then
begin
fi:=r; y_slug[i]:=optjpar[i];
end
else
begin
opt_par[i]:=y_slug[i]-hn;
Prisv_Natch; Criterij(JJ); r:=JJ;
if r<fi then
begin
fi:=r; y_slug[i]:=opt_par[i];
end
else
opt_par[i]:=z_slug[i];
end;
end;
if fi< (fb-lE-3) then
begin
for i:=l to N_parametr do
p_slug[i]:=2*y_slug[i]-z_slug[i];
z_slug:=y_slug; opt_par:=p_slug; y_slug:=opt_par;
fb:=fi;
PrisvNatch; Criterij(JJ); fi:=JJ;
ps:=l;
writein (’поиск по образцу’);
end
else
if ps=l then
begin
p_slug:=z_slug; y_slug:=z_slug; opt_par:=z_slug;
ps:=0;
PrisvNatch; Criterij(JJ); fi:=JJ;
fb:=fi;
writeln(’3aMeHa базисной точки');
end
else
begin
360
Раздел 5
hn:=hn/10; \¥гйе1п('уменьшить uiar',hn);
if hn< 1Е-3 then
begin
writeln(’MHHMMyM найден');
for i:=l to N_parametr do
writeln(opt_par[i]);
readln;
exit;
end;
end;
until false;
End. {OptHD}
5.3.2. Синтез регулятора системы частотной автоподстройки
Рассмотрим параметрический синтез цифрового нечеткого регу-
лятора для широко используемой системы частотной автоподстройки,
функциональная схема которой приведена на рис.5.18 [220].
Разомкнутый контур системы состоит из последовательного со-
единения частотного дискриминатора ЧД, усилителя У, двигателя Дв
с редуктором Ред, управляемого элемента УЭ, подстраиваемого гене-
ратора ПГ, смесителя См и усилителя промежуточной частоты УПЧ.
Работа системы подробно описана в [89]. Частотный дискриминатор
можно представить последовательным соединением устройства срав-
нения, нелинейности К(а>) и фильтра нижних частот ФНЧ с переда-
точной функцией Сф(5) = (Гф.У + 1)’1, где Гф- постоянная времени
361
Раздел 5
фильтра на выходе дискриминатора. Объект управления включает
элементы после усилителя У и описывается передаточной функцией
GQ(s) = OffXs + tfXs + Z))]"1, где а-\1Тдв, Ь = \/Тг, /^-постоян-
ная времени двигателя, Тг- постоянная времени генератора,
а — K$ab , Ко = Кдв^' редКг«'см^упч •
При использовании цифрового нечеткого регулятора HP, обеспе-
чивающего требуемую динамику системы, применяют аналого-
цифровой (АЦП) и цифро-аналоговый (ЦАП) преобразователи. ЦАП
обычно является фиксатором нулевого порядка. Структурную схему
системы с нечетким регулятором HP можно представить в виде
рис.5.19.
Рис.5.19
Кривую К {со) называют статической дискриминационной харак-
теристикой. Флюктуационная составляющая на выходе дискримина-
тора описывается спектральной плотностью S* и зависимость
Sn{u) называют флюктуационной характеристикой дискриминато-
ра. При моделировании флюктуационную составляющую можно учи-
тывать как напряжение И(/) - случайное возмущение, приложенное к
выходу дискриминатора. Таким образом, общее выходное напряжение
дискриминатора у(/), поступающее на АЦП, состоит из суммы вы-
ходного напряжения фильтра ФНЧ и напряжения И(/). Математиче-
скую модель нелинейности К {со) опишем выражением
362
Раздел 5
ВД = ^ехр{-"2},
Д~
где Кд - коэффициент преобразования дискриминатора, а А - полу-
ширина дискриминационной характеристики, определяющая разре-
шающую способность дискриминатора, со = ксопр - расстройка отно-
сительно номинальной промежуточной частоты а). Графически не-
линейность К (со) представлена на рис.5.20. Следует подчеркнуть, что
на выходе блока нелинейности на структурной схеме ошибка рассо-
гласования определянтся как /С[бУ(/)].
Для подавления случайной составляющей (шума) на входе циф-
рового нечеткого регулятора после АЦП необходимо включать циф-
ровой низкочастотный фильтр ФНР, являющийся дискретным анало-
гом непрерывного фильтра с передаточной функцией
G<php(s) = (Тфнр5 + О 1 • Дискретная передаточная функция такого
фильтра может быть определена из таблицы z-преобразований:
ОД = М1 + а,Г,Г1 ,
где b0 = 14- а}, ах = -ехр(-Ь/ТФНГ), h -шаг квантования.
363
Раздел 5
Моделирование фильтра ФНР можно выполнить 1. по разностно-
му уравнению: 3(к) = bQy(k) - ахО(к -1) ; 2. по рекуррентной форму-
ле для расчета непрерывного фильтра:
Отфильтрованная ошибка в(к) подается на вход нечеткого регу-
лятора HP.
В качестве первой и второй производных от ошибки используем
соответственно первую и вторую разность, а именно:
<9(Аг) = (<9(/1)-^(Л-1)]/А;
0(к) = [0(к) -0(k-])]/h = [0(к) - 20(к -1) + 0(к - 2)]/h2.
Определим реакцию системы (см. рис.5.19) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления: а = 1 / Тдв = 1 /0,05 1/с;
b = 1 / Тг - 1 / 0,04 1/с; а - KQab = 5 х 105 с^/В (постоянная времени
двигателя Тдв =0,05 с, постоянная времени генератора Тг =0,04 с,
KQ = КДВКРЕДКГКСМКУПЧ =1000 (Всу’/с. Нелинейность характери-
зуется следующими параметрами: Кд=\ (Вс); Д = 1 (при моделирова-
нии вход и выход системы принимаем за безразмерные величины).
Фильтр низких частот на выходе дискриминатора имеет Тф=0,01с.
Фильтр низких частот на входе нечеткого регулятора имеет 7^=100.
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регуля-
тор) Л = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегрирования резуль-
тирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций.
Для апериодического звена (5 + 6) 1 •
х
2-bh.
2 + bh» '
А)
2 + 4
Аналогично для апериодического звена (s + a) 1:
364
Раздел 5
+ Л
2 + ah0 V"1 2 + ahg
(Wv+«v-l)
Для интегрирующего звена:
\=Xv-l+^(Mv+Mv-l)-
В записанных формулах uv - входная, a xv - выходная переменные
звена. Шаг моделирования Ло = 0,05Л. h0 = 0,0005 с.
Случайный процесс И(Г) - нормально распределенный дискрет-
ный белый шум с нулевым математическим ожиданием и СКО, рав-
ным 0,1. Реализация случайного процесса И(/) представлена на
рис.5.21. Время наблюдения 5с.
О 50
0 40
0
0
00
Рис.5.21
30
20
-О 20
О 30
0 40
*0 50
0
0
Синтез нечеткого регулятора выполняется по формулам (5.16)-
(5.29). Коэффициент с выбран при настройке равным 5, а выбранные
без оптимизации (настройка “вручную”) диапазоны изменения вход-
ных и выходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны изме-
нения переменных определяются:
l].[«mi„,en,„] = [-l, 1].
[0n,inA.J = [-SO, SO] и [mmm,rnmas] = [-0,3, 0,3).
Используя метод оптимизации Хука-Дживса и оптимизируя по
критерию (5.33) одновременно коэффициент с в функциях принад-
365
Раздел 5
лежности и диапазоны изменения входных и выходного параметров
(диапазоны изменения переменных находим минимальное
значение показателя J, Проведенные расчеты методом оптимизации
Хука-Дживса с использованием формул (5.16)-(5.29), (5.32) дают сле-
дующие результаты. Минимальное значение показателя J получается
при следующих параметрах цифрового нечеткого регулятора:
с =9,941;
= ll.[W«]=[-0,699, 0,699].
[«™,Лах1 = Н5.929 15,929] и = (-0,3 0,3].
Квадратичный критерий качества имеет показатель:
J = 2,0495 х 10’2. Без оптимизации (при настройке “вручную”)
7 = 3,0078x1 (Г2.
Результаты моделирования системы при настройке параметров
регулятора “вручную” представлены на рис.5.22, после оптимизации
параметров цифрового нечеткого регулятора - на рис.5.23. На рисун-
ках: а - входное воздействие - Вх (скачок промежуточной частоты,
например, за счет скачка сигнальной частоты) и реакция системы -
Вых (установление промежуточной частоты); б - управляющее воз-
действие на входе объекта управления m(t); в - ошибка системы
на выходе дискретного фильтра нижних частот, включенного на
входе нечеткого регулятора.
Цифровой нечеткий регулятор обеспечивает достаточно быструю
отработку скачкообразных входных сигналов и устойчивую работу
системы даже при больших помеховых воздействиях (без регулятора
система неустойчива). При этом, как и следовало ожидать, при увели-
чении быстродействия динамическая ошибка в установившемся ре-
жиме от помехового воздействия возростает, и наоборот, при умень-
шении быстродействия системы динамическую ошибку в установив-
шемся режиме можно сделать весьма малой.
366
Раздел 5
а)
б)
в)
Рис.5.22
367
Раздел 5
1 .40
1 .20
1 00
0.80
0.60
0 40
О 20
0.00
Вых
- д пых
Вх
t, с
О 00 1 00 2 00 3 00 4 00 5 00 6 00
а)
б)
в)
Рис.5.23
368
Раздел 5
5.3.3. Синтез регулятора системы автосопровождения по
направлению
Рассмотрим параметрический синтез цифрового нечеткого регу-
лятора для следящей' системы автосопровождения по направлению
[34, 53,57,219].
В современной технике важное значение имеет задача определе-
ния направления на различные подвижные и неподвижные объекты
(задача измерения угловых координат объектов) [8,14,160]. Для реше-
ния этой задачи служат системы автосопровождения по направлению,
которые определяют угловые координаты во взаимно-
перпендикулярных плоскостях. Следящие системы автосопровожде-
ния по азимуту и углу наклона обычно идентичны и могут рассматри-
ваться автономно. Входной величиной системы Yi(t) является угол
между направлением на цель и начальным (равносигнальным) на-
правлением, а выходной величиной y2(t) -угол поворота антенны (по
азимуту или углу наклона). /(/) = ” ошибка рассогласо-
вания. При /(/) = 0 за счет поворота антенны направление на цель
совпадает с равносигнальным направлением.
Функциональная схема следящей системы автосопровождения по
направлению включает пеленгационное устройство ПУ, которое со-
стоит из последовательного соединения антенной системы, усилителя
радиочастоты и фазового детектора (ПУ структурно можно предста-
вить последовательным соединением элемента сравнения, нелинейно-
сти К(у) и фильтра нижних частот ФНЧ с передаточной функцией
Оф($)=Кпу/(Тф5+1)), и исполнительное устройство, которое состоит из
усилителя У и электродвигателя Дв. Двигатель через редуктор Ред
вращает антенную систему пеленгационного устройства. При исполь-
зовании двигателя постоянного тока обычно применяется электрома-
шинный усилитель ЭМУ, при использовании асинхронного двухфаз-
ного двигателя переменного тока обычно применяются электронные
и/или электромагнитные усилители. Передаточные функции усилите-
ля и двигателя можно записать в виде Gy(s)=Ky[(Tis+l)(T2s+l)]_1;
GAB(s)=KaB[s(TflBs+l)]’1. Структурная схема системы представлена на
рис.5.24.
369
Раздел 5
ПУ
Дв +Ред.
У2®
Xt)
К(у) - G,(s) - Gy(s) - GOT(s)Kpea
Рис.5.24
При использовании цифрового нечеткого регулятора необходимо
применить аналого-цифровой (АЦП) и цифроаналоговый (ЦАП) пре-
образователи. ЦАП обычно является фиксатором нулевого порядка.
Структурную схему системы с цифровым нечетким регулятором мож-
но представить в виде рис.5.25.
Рис.5.25
Передаточная функция объекта управления
Go(*) “ Gy рел ~
а~1
s(s 4- а)($ 4- 6)($ 4- с) ’
где а= 1 /Т1; b= 1 /Т2; с=1 /Тдв; ai=KyKABKpe4abc.
Кривую К (у) называют статической дискриминационной харак-
теристикой пеленгационного устройства ПУ. Флюктуационная со-
ставляющая на выходе ПУ (углового дискриминатора) описывается
спектральной плотностью Sn и зависимость 5Л(/) называют флюк-
туационной характеристикой ПУ. При моделировании флюктуацион-
ную составляющую можно учитывать как напряжение И(/)-
случайное возмущение, приложенное к выходу ПУ. Таким образом,
370
Раздел 5
общее выходное напряжение дискриминатора y(t) , поступающее на
АЦП, состоит из суммы выходного напряжения фильтра ФНЧ и на-
пряжения К(/). Математическую модель нелинейности К(у) опи-
шем выражением
К(у) = Каыр{-^2},
где Кд- коэффициент преобразования ПУ, а Д - полуширина дискри-
минационной характеристики, определяющая разрешающую способ-
ность ПУ, /- ошибка рассогласования. Графически нелинейность
К (у) представлена на рис.5.26. Следует подчеркнуть, что на выходе
блока нелинейности на структурной схеме ошибка рассогласования
определяется как А7[у(/)].
Для подавления случайной составляющей (шума) на входе циф-
рового нечеткого регулятора после АЦП необходимо включать циф-
ровой низкочастотный фильтр ФНР, являющийся дискретным анало-
гом непрерывного фильтра с передаточной функцией
^ф//р(я) = (7ф//рЯ + 1) Дискретная передаточная функция такого
фильтра: G(z) = Z?0[l 4-а^"1]"1, где bQ = l + at, = -ехр{-Ь/ТФНР),
h - шаг квантования.
Моделирование фильтра ФНР выполним по разностному уравне-
нию: = Ь^у(к)-ахв(к-\У
371
Раздел 5
Отфильтрованная ошибка 0(к) подается на вход нечеткого регу-
лятора HP. В качестве первой и второй производных от ошибки ис-
пользуем соответственно первую и вторую разность:
ё(к) = [0(к} - 0(к -1)] / h = [0(к) - 20{к -1) + 0(к - 2)] / А2.
Определим реакцию системы (см. рис.5.25) на единичное ступен-
чатое воздействие методом математического моделирования при сле-
дующих параметрах объекта управления:
а = 1/7] = 1/0,09 1/с; b = МТ2 = 1/0,105 1/с;
С = \!ТДВ =1/0,15 1/с; а = Я>6с = 4х105 град/(Вс4)
(KQ = 567 град/(Вс)). Коэффициент преобразования ПУ
Кд = 1 В/град, полуширина дискриминационной характеристики
Л=1 (при моделировании вход и выход системы принимаем за без-
размерные величины). Фильтр низких частот на выходе дискримина-
тора имеет постоянную времени Гф=0,01с. Цифровой фильтр низких
частот на входе нечеткого регулятора имеет постоянную времени
^^=2,4 с. Шаг квантования (интервал поступления данных в нечет-
кий регулятор) h = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегрирова-
ния результирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, которые
входят в передаточную функцию объекта управления, используя ап-
проксимацию по формуле трапеций.
Для апериодического звена с передаточной функцией 1 /(s + b):
2-bhQ hQ
\ = ад. +;vrr +) •
2 + bh0 2 + bhQ
Для интегрирующего звена:
Ло / ч
*v=*v-i + 2^+и^'
В записанных формулах wv- входная, a xv- выходная переменные
звена. Шаг моделирования Ло = 0,05Л. Ло = 0,0005 с.
372
Раздел 5
Случайный процесс И(/) - нормально распределенный дискрет-
ный белый шум с нулевым математическим ожиданием и СКО, рав-
ной 0,1. Время наблюдения 5с. Реализация случайного процесса И(/)
приведена на рис.5.27.
о
50
0
40
о
о
Рис.5.27
30
20
0 00
-0 10
*0 20
-0 30
-0 40
*0 50
Синтез нечеткого регулятора выполняется по формулам (5.16)-
(5.29). Коэффициент с выбран при настройке равным 0,2, а выбран-
ные диапазоны изменения входных и выходного параметров нечетко-
го регулятора (диапазоны изменения переменных О^в.в^т) опреде-
ляются:
= I), [«min,4».х1 =[-0,25, 0,25),
= 17]и[М.„,тш„)=[-0,3, 0,3).
Квадратичный критерий качества имеет показатель: J = 0,1037.
Результаты моделирования системы представлены на рис.5.28. На
рисунках: а - входное воздействие - /Ц/) и реакция системы - /2(/)»
б - управляющее воздействие на входе объекта управления m(t); в -
ошибка системы О(к} на выходе дискретного фильтра нижних частот,
включенного на входе нечеткого регулятора. Цифровой нечеткий ре-
гулятор обеспечивает достаточно быструю отработку скачкообразных
входных сигналов и устойчивую работу системы даже при больших
помеховых воздействиях (без регулятора система неустойчива).
373
Раздел 5
а)
б)
в)
Рис.5.28
374
Раздел 5
Программа AVS NAP Z реализует алгоритм моделирования сле-
дящей системы автосопровождения по направлению с нелинейным
элементом типа ’’дискриминационная характеристика”. Предполагает-
ся, что с выхода дискриминатора поступает смесь полезного сигнала и
шума (распределение случайной величины по нормальному закону). В
качестве входных параметров HP выбраны отфильтрованное значение
выхода дискриминатора, а также его первая и вторая разность. Число
термов, описывающих входные и выходное значения HP, выбрано
равным двум. Функции принадлежности выбраны экспоненциальны-
ми. Объект управления содержит интегрирующее и три апериодиче-
ских звена с постоянными параметрами. На вход системы подается
единичное ступенчатое воздействие.
В программе используются следующие процедуры.
Процедура Vvod_ParametrProg - задание параметров моделиро-
вания.
Процедура Zero - обнуление переменных состояния динамиче-
ских звеньев и некоторых других переменных.
Процедура Res - расчет значения управляющего воздействия не-
четкого регулятора (входной параметр - массив х - содержит значе-
ния входных параметров нечеткого регулятора; выходной параметр -
переменная vix - содержит значение управляющего воздействия не-
четкого регулятора).
Процедура Par zif filtr - расчет значений параметров цифрового
фильтра.
Процедура Zif filtr - моделирование цифрового фильтра нечетко-
го регулятора (входной параметр процедуры vx - зашумленное значе-
ние выхода дискриминатора в момент квантования; выходной пара-
метр vix -отфильтрованное значение).
Для моделирования объекта управления программа использует
стандартную процедуру моделирования динамических звеньев mdl.
Функция Gauss - возвращает значение случайной величины из по-
следовательности чисел, распределенных по нормальному закону
(входные параметры функции - переменные то и sigma - содержат,
соответственно, значения математического ожидания и СКО).
В программе использованы следующие переменные и массивы: t -
значение момента времени, Vx wos - значение входного воздействия
системы, Ras - значение ошибки в системе, shum - значение случай-
ной величины из последовательности чисел , распределенных по нор-
375
Раздел 5
мальному закону, delta, K diskr - переменные, содержащие параметры
нелинейности (половина ширины дискриминационной характеристи-
ки и коэффициент передачи дискриминатора), Vixnel - выходное
значение нелинейного элемента дискриминатора, Vix fil - выходное
значение ФНЧ дискриминатора, Vxl - выходное значение дискрими-
натора, содержащее шумовую составляющую, Vx_NR - отфильтро-
ванное значение выхода дискриминатора, dt, d2t - значения первой и
второй разностей параметра Vx_NR, M fuz - значение управляющего
воздействия нечеткого регулятора, Vix 1, Vix2, Vix3, Vix4 - значения
выходов звеньев объекта управления, par e - переменная, содержащая
значение параметра экспоненциальных функций принадлежности;
par_al, par bO, vix_f_l - переменные, используемые при моделирова-
нии цифрового фильтра; nl - служебный массив для обеспечения ра-
боты подпрограммы mdl; xl, у2, yl, al, b, х2, a, d, с - массивы, содер-
жащие значения переменных состояния динамических звеньев объек-
та управления; pred - массив, содержащий значения пределов диапа-
зонов изменения входных параметров нечеткого регулятора; hO - пе-
ременная , определяющая шаг сетки на графике; N_n, N_m, k, us, sde -
служебные переменные.
В программе заданы константы: N vx - количество входных па-
раметров нечеткого регулятора, углах, у min - значения границ диа-
пазона изменения управляющего воздействия в системе, tt - время на-
блюдения, h - шаг моделирования, пл - количество моделируемых
динамических звеньев, h_f - шаг квантования, TfiltrNR - значение
постоянной времени цифрового фильтра.
Program AVSNAPZ;
Uses Crt,Graph;
Const
h_f=O.Ol;
h = 0.0005;
N_vx = 3;
tt = 5;
nn=5;
у max = 0.3;
ymin = -0.3;
TfiltrNR =2.4;
big_M=500;
376
Раздел 5
pare = 0.2;
Type
Nvektor3 = array [1..10] of Real;
Nvector_l = array [l..N_vx] of real;
Var
nl : array [1.. 10] of integer;
xl,y2,yl,al,b,x2,a,d,c : Nvektor3;
Vx :Nvector_l;
pred : array [1..2,l..N_vx] of real;
N_n,N_m,i,big_N,ii : integer;
Vxl, Vx_NR, Vxwos,
Rasnost,Ras, Vix,Vixl,
Vix2,Vix3,Vix4,JJ,hO,
tt,t,h,k,k_l,k_2,k_3,
T_per,shum, M_f,delta,
K_diskr,Vx_nel,Vix_nel,
Vix_fil,par_bO, par_al,
vix_f_l,us,sde,dt,d2t,M_fuz : real;
{$1 grafika.pas}
{$1 zven.pas}
Procedure Vvod Parametr Progr;
begin
h0:-0.5;
pred[2][l] :=1;
pred[l][l] :=-l;
pred[2][2] :=0.25;
pred[l][2] =-0.25;
pred[2][3] :=17;
pred[l][3] :=-17;
end;
Procedure Par_Zif_filtr;
Begin {Par Zif filtr}
par_a 1 :=-exp(-h_f7T_filtr_NR);
par_bO:=l+par_al;
End; {Par_Zif_filtr}
Procedure Zif_filtr(vx:real; var vix : real);
Begin {Zif filtr}
vix:= par_b0 * vx - par al * vix_f_l;
377
Раздел 5
vixfl :=vix;
End; {Zifjlltr}
Procedure Zero;
var i : integer;
Begin
for i:=l to 10 do begin
xl[i]:=0;y2[i]:=0;yl[i]:=0;
al[i]:=0;b[i]:=0;x2[i]:=0;a[i]:=0;d[i]:=0;c[i]:=0;
end;
vix_fl:^0;
End; {Zero}
Function Sign(x:real):integer;
begin
if x=0 then sign:=0 else if x>0 then sign:=l else sign:=-l;
end;
Function Gauss(mo, sigma : real): real;
var
aa, bb, rr, sq : real;
begin
repeat
aa:=2*Random-l;
bb:=2*Random-l;
rr:=sqr(aa)+sqr(bb)
until (rr<l);
sq:=sqrt(-2*ln(rr)/rr);
Gauss:=mo+sigma*aa*sq
end;
Procedure Res(x : Nvector l ; var vix : real);
var
i, j : integer;
mju : array [1 ..2,1 ,.N_vx] of real;
u : Nvector_ 1;
b : array [1..2] of real;
X res : arrayf 1 ..4] of real;
u_t,u_0,u_c,
mju_t,suml,sum2 : real;
begin {Res}
for i:=l to N_vx do begin
378
Раздел 5
u[i]:= (x[i]-pred[l][i])/(pred[2][i]-pred[l][i]);
mju[l][i]:=exp(-par_c*u[i]);
mj u [2] [ i] .-exp(-par_c*( 1 -u[i]));
end;
for i:= 1 to 2 do begin
b[i]:=mju[i][l];
for 1 to N vx do
if b[i]>=mju[i][j] then b[i]:=mju[i][j];
end;
X_res[l]:=0; X_res[4]:=l;
if b[ 1 ]>=b[2] then begin
X_res[2]:= ln(b[l])/-par_c;
X_res[3]:= ln(b[2])/-par_c;
end
else begin
X_res[2]:= ln(b[l]/exp(-par_c))/par_c ;
X_res[3]:= ln(b[2]/exp(-par_c))/par_c ;
end;
u_0 := (X_res[4]-X_res[l])/big_M;
u_t:=u_0; mju_t:=b[l];
suml := u_t * mjut;
sum2 := mju_t;
if b[ 1 ]>=b[2] then begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*u_t)
else mju_t:=b[2];
suml :=suml +u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mju_t;
end;
end
else begin
for i:=l to big_M-2 do begin
u_t := u_t + u_0;
if u_t <= X_res[2] then
379
Раздел 5
mju_t:=b[l]
else if u_t <= X_res[3] then
mju_t:= exp(-par_c*(l-u_t))
else mju_t:=b[2];
suml := suml + u_t*mju_t;
sum2 := sum2 + mjut;
end;
end;
uj := (X_res[l]*b[l]/2 + suml + X_res[4]*b[2]/2) I
(b[l]/2 + sum2+ b[2]/2);
vix := y min + u_c*(y_max-y_min);
end; {Res}
{Исполнительная часть}
Begin
Zero;
Vvod_Parametr_Progr;
ParZiffiltr;
mdl(O,Vix,Vix);
Dele:=l/50; Delu:=l/50; Delv:=l/50;
osl:=50; os2:=150;
N_m:=(h_f/h)+l; N_n:=N_m;
In Graph; Osi; Metki(20,h0,tt); Text(hO);
t:=0; k:=0; Vix4:=0; ii:=0;
dt:=O; us:=0; sde:=0; JJ:=O;
Rasnost:=0; M_fuz:=0; big_N:=0;
delta~l; K_diskr:=l;
Vx_wos:=l;
repeat
JJ:=JJ+sqr(Vx_wos-Vix4);
ii:=ii+l;
{ элемент сравнения }
Ras := Vxwos - Vix4;
{ дискриминационная характеристика }
Vx_nel:=Ras;
Vix_nel:= Vx nel * K diskr * exp(-sqr(Vx_nel)/sqr(delta));
{ ФНЧ }
mdl(l,Vix_nel,Vix_fil);
Vix_fil:=Vix_fil*K_py;
380
Раздел 5
{ шум }
shum:=Gauss(0,0.1);
Vx 1 :=Vix_fil+shum;
{нечеткий регулятор}
if N_n=N_m then
begin
{цифровой фильтр}
Zif_filtr(Vxl,Vx_NR);
dt:= (Vx_NR-sde)/h_f;
d2t:=(dt-us)/h_f;
if t=0 then begin dt:=O; d2t~0; end;
if k = 1 then d2t:=0;
Vx[l]:=Vx_NR; Vx[2]:=dt; Vx[3]:=d2t;
Res(Vx,M_fuz);
sde:=Vx_NR; us:=dt;
k:=k+l; N_n:=l;
end;
{ объект управления }
mdl(2,M_fuz, Vix 1);
mdl(3,Vixl,Vix2);
mdl(4,Vix2,Vix3);
mdl(5,Vix3,Vix4);
Grafik(Vix_fil, 1 ,t,Vx_wos);
Grafik(Ras, 1 ,t, Vix4);
Grafik(Vx_NR,l,t,Vix4);
t:=t+h; N_n:=N_n+l;
until t>tt;
writeln(JJ,' ',JJ/ii);
readin;
CloseGraph;
End.
Рассмотрим задающее воздействие на входе системы автосопро-
вождения по направлению вида Zi(O = + ГДе
У1с(/) = 0,7 4- 0,3sin(^t/8)- детерминированная составляющая, а
у1л(/) - случайная составляющая входного воздействия, которую ап-
381
Раздел 5
проксимируем экспоненциально-коррелированным случайным про-
цессом с корреляционной функцией Я(г) = De а т и соответствую-
щей спектральной плотностью Sh(a>) = 2aD/(a2 + бУ2). Положим
23 = 0,01; а = 10 1/с.
Среднеквадратичное отклонение случайного воздействия
СКО= D = 0,1.
Стационарное случайное воздействие со спектральной плотно-
стью Su (бу) можно представить как результат преобразования белого
шума £(/) с единичной спектральной плотностью - 1 форми-
рующим фильтром с частотной характеристикой Для экс-
поненциально-коррелированного случайного процесса формирующий
фильтр описывается апериодическим звеном с передаточной функци-
ей Кф($) = к /(75 + 1), где коэффициент усиления к = v 2D/а , по-
стоянная времени Т = М а. Моделирование формирующего фильтра
можно выполнять по рекуррентной формуле
2Т - Ло khQ
r'v~ 2Т + h0 Zl'”' + 2T + h0 <’v + ’
где £v- входная, /lv- выходная переменные звена. Временной пара-
метр v меняется через шаг моделирования Ло.
Моделирующий алгоритм для экспоненциального случайного
процесса с корреляционной функцией R(r) = De аг можно записать
также в виде разностного уравнения:
/1, =
где а0 = :D(l-p2); = р; р = ехр(-ой0).
- последовательность независимых нормально распределен-
ных случайных чисел с параметрами (0,1) (нормально распределенный
дискретный белый шум).
При настройке системы по минимуму интегрального критерия пе-
рестраиваются следующие параметры: постоянная времени цифрового
фильтра низких частот на входе нечеткого регулятора Тфнр, коэффи-
382
Раздел 5
циент с в экспоненциальных функциях принадлежности и диапазоны
изменения входных параметров [0min, 0max ] и [0min, 0max ] нечетко-
го регулятора.
Результаты моделирования системы представлены на рис.5.29-
5.31, где у//) - вход, /2(Z)- выход системы, /(0 =/] (0 ~/2 (0 “
ошибка, a -управляющее воздействие на входе объекта управле-
ния (выходой сигнал нечеткого регулятора после фиксатора).
Вначале полагалось, что приложенное к выходу ПУ случайное
возмущение V(t) = O. При подаче на вход системы только детерми-
нированной составляющей /1с(/) = 0,7+ 0,3sin(ztf/8) (см. рис.5.29)
близкий к оптимальному переходной процесс системы получается при
следующих параметрах: Гф//Р=3,6с, с =0,14,
[0minAJ = H, l],[^min^max] = [-0,14, 0,14],
[<?min^max] = [-3,l 3,1] и [mmin,rnmax ] = [-0,3, 0,3].
При этом интегральный показатель J = 1,56 -10 2.
При подаче на вход системы сигнала /,(/) = + (см.
рис.5.30) и при V(l) = 0 близкий к оптимальному переходной процесс
системы получается при указанных выше параметрах, но интеграль-
ный показатель J = 1,62 • 10"2.
При подаче на вход системы сигнала и при-
ложенного к выходу ПУ случайного возмущения - нормально распре-
деленного дискретного белого шума И(/) с дисперсией
D = 0,0025 (см. рис.5.31) близкий к оптимальному переходной про-
цесс системы получается при следующих параметрах: ТФНР=2,3 с,
с =0,2,
11. «».«) = [-0.23, 0,23).
[W.«1 = H5 9,5] и т„„] = [-0,3, 0,3].
При этом интегральный показатель J = 1,58-10'2.
383
Раздел 5
а)
Рис.5.29
384
Раздел 5
В)
□ 00 3
□ DO 2
□ 00 1
Г)
□ □□□
-О 1
-0 002
Рис.5.30
385
Раздел 5
□ 006
а 00 4
0 002
□ □□□
-О 002
-□ 0 0 4
-□ 006
Рис.5.31
386
Раздел 5
Отметим, что при поступлении на вход нечеткого регулятора лю-
бого дискретного случайного процесса с шагом квантования h (в том
числе и дискретного белого шума) выходным сигналом цифрового
нечеткого регулятора является также дискретный случайный процесс
(см. рис.5.31,г).
5.3.4. Синтез цифрового нечеткого регулятора астровизира [63]
Функциональная схема астровизира представлена на рис.5.32 [198].
Телескоп ТС, расположенный на гироплатформе, последователь-
но визирует две звезды и s2. Лучистый поток от звезды проходит
через модулирующее устройство М и попадает на катод фотоэлек-
тронного умножителя ФЭУ. Сигнал с ФЭУ, несущий информацию об
отклонении электрической оси телескопа от направления на звезду,
поступает на блок оптимальной обработки БОО, в который подается
опорный сигнал с выхода генератора опорного напряжения ГОН. Пе-
ревод телескопа с одной звезды на другую осуществляется схемой пе-
реброса СП. Сигналы с блока оптимальной обработки поступают в
блок распределения сигналов PC и далее на датчики моментов ДМ.
Корректирующие моменты от ДМ вызывают прецессию гироскопов Г,
которая регистрируется датчиками углов ДУ. Сигналы с ДУ усилива-
ются усилителями У и подаются на двигатели ДВ, которые поворачи-
вают гироплатформу. Так как звезды и s2 визируются последова-
тельно, то астровизир в первом цикле отрабатывает угловые ошибки
и £2, а во втором цикле, после переброса ТС на вторую звезду, уг-
387
Раздел 5
ловую ошибку 6*3. Длительность циклов (время наблюдения за каж-
дой звездой) составляет несколько десятков секунд.
Динамические свойства телескопа, модулирующего устройства и
фотоэлектронного умножителя можно упрощенно описать нелинейно-
стью типа “дискриминационная характеристика” (см. рис.5.13) и апе-
риодическим звеном с передаточной функцией 1 /(s 4- а), где
а = 1 / Тф, Тф - постоянная времени фотоэлектронного умножителя.
Динамические свойства двигателя и гироплатформы по одному
каналу можно упрощенно представить соответственно апериодиче-
ским звеном с передаточной функцией а1 /($ + Ь) и интегрирующим
звеном с передаточной функцией а0/ s, где b = 1 / Тдв, Тдв - посто-
янная времени двигателя, а 1 / а0 - кинетический момент гиростабили-
затора. При включении в замкнутый контур цифрового нечеткого ре-
гулятора HP структурную схему одного канала астровизира можно
представить в виде рис.5.33.
Рис.5.33
Нечеткий регулятор HP включен после аналого-цифрового преоб-
разователя АЦП, а цифроаналоговый преобразователь ЦАП на выходе
HP представлен фиксатором нулевого порядка с передаточной функ-
цией //(5) = (l-e-Aj)/ 5. Для подавления случайной составляющей
(шума) на входе цифрового нечеткого регулятора после АЦП включен
цифровой низкочастотный фильтр ФНР с передаточной функцией:
G(z) = b0[\ + aiZ-'Y' ,
388
Раздел 5
где bQ = 1 + а,, ах = - ехр(-А / ТФНР), h - шаг квантования.
В качестве первой и второй производных от ошибки используем
первую и вторую разность:
O{k) = [O(k}-O(k-\)\lh\
0(к) = [0(к) - 0(к -1)]/h = [ад - 20(к -1) + 0{к - 2)]/h2,
где квантованная ошибка на выходе фильтра ФНР.
Входным полезным сигналом астровизира является угол ^(/)
между направление на звезду плоскостью гироплатформы. Входную
помеху V}(t) можно представить белым шумом с ненулевым матема-
тическим ожиданием (эта помеха обусловлена флуктуациями лучи-
стого потока от звезды, флуктуациями рефракции за счет неоднород-
ности атмосферы и неоднородностей излучения фона, собственными
шумами фотоэлектронного умножителя, приведенными ко входу).
Случайная функция И2(/) представляет собой момент сил трения и
несбалансированности массы гироприбора и описывается стационар-
ным экспоненциально-коррелированным случайным процессом с ну-
левым математически ожиданием, корреляционной функцией
/?(т) = De а г и соответствующей спектральной плотностью
5м(ш) = 2cxDI(a2 + <у2). Случайное возмущение V}(t), которое дей-
ствует на входе объекта, при моделировании системы полагаем нор-
мально распределенным белым шумом с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратичным отклонением СКО = 0,1. Корре-
ляционную функцию экспоненциально-коррелированного случайного
возмущения И2(Г) запишем в виде R(t) = 0,0025е ,О г (при этом
СКО для этого возмущения равно 0,05). Реализации случайных воз-
мущений ИД/) и И2(/) представлены на рис.5.34.
Система (см. рис.5.33) имеет следующие параметры: ТФНР = 2,4 с;
а = 1/71 =1001/с; b = \!ТЛВ = 10 1/с; а, = Клв !ТЛВ = 150; ао=4О
(размерность произведения аоа1 с-2). Нелинейность (см. рис.5.13) ха-
рактеризуется следующими параметрами: Кд~\\ А=1.
389
Раздел 5
Рис.5.34
Синтез цифрового нечеткого регулятора осуществляем по форму-
лам (5.16)-(5.29) при экспоненциальных функциях принадлежности,
аналитические выражения которых имеют вид:
/л\(и) = е~си\/Л2(и) = е~с^~и\ и е[0,1].
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регу-
лятор) Л = 0,01 с. Число дискрет на интервале интегрирования резуль-
тирующей ФП М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, исполь-
зуя аппроксимацию по формуле трапеций.
Для апериодического звена ах l(s + b):
2-bh(} a,h0 . .
xv = 0 х . 4“ (uv + uv ।.
' 2 + bh0 " 2 + bh0 v "
Для интегрирующего звена aQ / s :
’о 2° "*->)•
В записанных формулах uv- входная, a xv - выходная перемен-
ные звена. Шаг моделирования Ао = 0,05/? = 0,0005 с.
390
Раздел 5
Работа системы исследована при следующих воздействиях на сис-
тему: а) при единичном ступенчатом сигнале £](/) на входе; б) при
единичном ступенчатом сигнале и помехе типа белого шума ^(Х) на
входе; в) при единичном ступенчатом сигнале и помехе типа белого
шума Kj(/) на входе и возмущающем воздействии И>(/) в замкнутом
контуре системы (см. рис.5.33).
На рис.5.35 приведены реакции системы на указанные выше воз-
действия, а на рис.5.36 - управляющие воздействия с выхода нечетко-
го регулятора.
Вых
1 2
1 О
О В
а) о 6
О 4
О 2
О о
00 10 20 30 40 50 t, с
Вых
1 2 -
1 0 -
0 8 -
б) 0 6 -
0 4 -
0 2 -
0 0 -
00 10 20 30 40 50 t, с
Вых
1 2
1 0
0 8
в) 0 6
0 4
0 2
0 0
00 10 20 30 40 50 t, с
Рис.5.35
Настройка регулятора осуществлялась “вручную” выбором коэф-
фициента с в функциях принадлежности и диапазонов изменения
391
Раздел 5
входных и выходного параметров нечеткого регулятора. При этом для
всех режимов работы близкими к оптимальным являются следующие
параметры регулятора: коэффициент с =2, диапазоны изменения
входных и выходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны
изменения переменных 0,
= 1], ^max 1 = [-0,172, 0,172],
[0т1пЛах] = [-М8, 4,48] и [Wmin,WmJ = [-0,3, 0,3].
а)
392
Раздел 5
5.3.5. Системы тактовой синхрогизации с цифровыми регулято-
рами [36, 136, 137]
Системы тактовой синхронизации СТС нашли широкое распро-
странение в различных областях техники, в частности в цифровых се-
тях и системах передачи информации ЦСПИ [12, 200]. Современное
развитие техники требует удовлетворения СТС новым повышенным
качественным показателям.
На рис.5.37 показана типовая функциональная схема СТС ЦСПИ.
Схема включает ведущий и ведомый тактовые генераторы - ВТГ и ТГ
соответственно; входное устройство регенератора - ВхРГ; выдели-
тель тактового синхросигнала - ВТС; решающее устройство - РУ;
фазовый детектор - ФД; фильтр нижних частот - ФНЧ; управитель -
У; линию связи -ЛС.
Рис.5.37
Тактовая синхронизация цифровых сигналов электросвязи ЦСЭ -
это процесс установления и поддержания требуемых фазовых соот-
ношений между значащими моментами цифрового сигнала электро-
связи ЦСЭ и тактовым синхросигналом. Таким образом, в решение
задачи тактовой синхронизации входят: 1) формирование тактового
синхросигнала, подаваемого на РУ приёмника или регенератора; 2)
«привязка» фазы указанного синхросигнала к фазе значащих момен-
тов ЦСЭ, принятого из линии связи; 3) контроль заданного фазового
соотношения между принятым из линии связи синхросигналом и син-
хросигналом, подаваемым на РУ приёмника; 4) выработка управляю-
щего воздействия при наличии ошибки при нарушении указанного
фазового соотношения; 5) отработка фазовой ошибки в соответствии с
выработанным управляющим воздействием.
393
Раздел 5
Решение поставленных задач возможно, прежде всего, созданием
системы автоматического регулирования фазы тактового синхросиг-
нала приёмника или регенератора ЦСПИ. Ясно, что синфазная работа
передатчика и приёмника ЦСПИ немыслима без наличия синхроин-
формации (задающего воздействия системы автоматического регули-
рования). Тактовые синхросигналы вырабатываются тактовыми гене-
раторами ТГ. Следовательно, необходимо осуществлять генерирова-
ние тактового синхросигнала на передаче и на приёме, что в свою
очередь вызывает необходимость наличия ТГ на передаче и на приё-
ме. Таким образом, первый этап решения задачи тактовой синхрони-
зации на практике реализуется наличием ТГ в регенераторе или при-
ёмной части оборудования ЦСПИ, а сама тактовая синхронизация
может быть сведена к синхронизации ТГ, т.е. процессу установления и
поддержания требуемых фазовых соотношений между тактовыми
синхросигналами двух или нескольких ТГ. При этом ТГ передатчика
является ведущим, он вырабатывает задающее воздействие; а ТГ при-
ёмника или регенератора - ведомым, фаза его синхросигналов являет-
ся регулируемой величиной системы автоматического регулирования
фазы. Ведущий ТГ, как правило, территориально разобщён от ведомо-
го. Это обстоятельство является важной особенностью системы син-
хронизации, которая становится телемеханической системой.
Задающее воздействие - фаза тактового синхросигнала ведущего
ТГ в общем случае за счёт случайных искажений при перемещении
синхросигнала от передатчика к приёмнику, нестабильности генери-
рования импульсов ведущим ТГ и др. является неизвестной функцией
времени, т.е. cp3r(t) = var. Это положение даёт основание классифи-
цировать системы тактовой синхронизации как следящие системы ав-
томатики, а при cp3r(t) - const - как системы стабилизации.
Основным элементом системы тактовой синхронизации является
система фазовой автоподстройки - система ФАП, которая пунктиром
выделена на рис.5.37.
В системах фазовой автоподстройки осуществляется согласова-
ние фаз двух колебаний - текущая фаза управляемых колебаний под-
страивается под текущую фазу задающих колебаний так, что в иде-
альном случае разность фаз этих колебаний сохраняет постоянное
значение. Так как постоянство разности фаз возможно только при ра+
венстве частот колебаний, то в системах фазовой автоподстройки час-
394
Раздел 5
тота управляемых колебаний в идеальном случае устанавливается
равной частоте задающих колебаний. Это свойство систем фазовой
автоподстройки определяет их двоякое назначение - как систем авто-
подстройки частоты и как систем автоподстройки фазы.
В первом случае непосредственной целью применения системы
является установление требуемого соответствия между частотами
двух колебаний, а во втором - установление требуемого соответствия
между фазами двух колебаний.
Системы фазовой автоподстройки, непосредственной целью ко-
торых является установление требуемого соответствия между часто-
тами двух колебаний, получили название систем фазовой автопод-
стройки частоты (ФАПЧ).
Если же непосредственной целью функционирования системы
является согласование фаз двух колебаний, то ее называют так же, как
и весь класс рассматриваемых систем - системой фазовой автопод-
стройки (ФАП).
Различие названий (ФАПЧ или ФАП) отражает только различие в
непосредственном предназначении и не означает различий в принци-
пах действий. Принципы действия систем ФАПЧ и ФАП одинаковы.
Именно система ФАП определяет точность и быстродействие всей
системы тактовой синхронизации. Объектом управления в системе
ФАП является тактовый генератор, который можно описать переда-
точной функцией
а
5(5 + а) ’
где а- К П, а-\/Т, К - коэффициент усиления, Т - постоянная
времени генератора.
Математическую модель дискриминатора можно представить по-
следовательным соединением устройства сравнения, нелинейности
К(е) и фильтра нижних частот ФНЧ с передаточной функцией
Сф(х) = Кф/(Тфз + \) = к/(з + Ь),
где к = Кф /Тф, Ь = \/Тф, Кф - коэффициент усиления, Тф - посто-
янная времени фильтра дискриминатора.
Математическую модель нелинейности К(е) типа “дискримина-
ционная характеристика” обычно можно описать выражениями
395
Раздел 5
р
К(е) = Кд ехр{-—} (а) или К(е) = Кд sin(e) (б),
где Кд- коэффициент преобразования дискриминатора, а А- полу-
ширина дискриминационной характеристики, определяющая разре-
шающую способность дискриминатора. e(t) - ошибка рассогласова-
ния на входе дискриминатора. Кривую К(е) принято называть ста-
тической дискриминационной характеристикой.
Структурная схема (математическая модель) системы фазовой ав-
топодстройки, представленная в интерактивной системе MATLAB,
показана на рис.5.38.
Рис.5.38
Фазовый детектор ФД (см. рис.5.37) на рисунке 5.38 представлен
схемой сравнения на сумматоре и дискриминационной характеристи-
кой Discrim - К(е). Фильтр нижних частот ФНЧ описан звеном
Transfer Fcnl с передаточной функцией . Тактовый генератор
с передаточной функцией G(s) представлен звеньями Gain, Integra-
tor и Transfer Fcn2.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис.5.38) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,а, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
ности (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t)
и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
396
Раздел 5
ме, приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
Ошибка рассогласования 0(f) с выхода фильтра нижних частот
ФНЧ поступает на аналогово-цифровой преобразователь АЦП (Zero-
Order Hold), включенный на входе нечеткого регулятора. Шаг кванто-
вания АЦП h =0,01с. На выходе нечеткого регулятора включен циф-
роаналоговый преобразователь ЦАП (Zero-Order Holdl).
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регу-
лятора) принимаем симметричными:
^max — “^min» ^тах — ~^min» ^тах — -^min ’ wmax — —^min •
Тогда пересчет значений сигналов в значения элементов единого
универсального множества выпоняем по формулам (3.41).
Значения диапазонов (Ат = 6*тах = -0min; Вт = 0тах = -0min;
Ст = #тах = -#min ’ Dm = wmax = “wmin ) ПРИ настройке нечеткого
регулятора подбираются либо вручную, либо автоматически путем
решения оптимизационной задачи.
При исследовании системы (см. рис.5.38) методом математиче-
ского моделирования выбраны следующие параметры:
к = У, а = 10 с’1; Л = 12.5 с’1; с = 1;а = alfl = 1,5; J = l; Кд =1.
Система исследована при воздействии на входе эквивалентного
гармонического сигнала
w(/) = 1 + 0,5 sin 2nFt,
с несущей частотой F = 0,1 Fy .
Настройка нечеткого регулятора осуществлена по критерию ми-
нимума динамической ошибки. Получены следующие оптимальные
параметры нечеткого регулятора:
Ат = 0тах = 0,05; Вт = 0тах =0 4;
111<ХЛ 7 7 IllclA 7
Ст = 0тах = 10; Dm = /итах = 150.
Шал 7 II id А
Процессы в системе (см. рис.5.38) показаны на рис.5.39, где u(t)
~ входное воздействие, х(/) - выход системы (см. рис.5.39,a), e(f) -
ошибка рассогласования на входе дискриминатора (см. рис.5.39,б).
397
Раздел 5
Максимальная динамическая ошибка (за исключением начального
выброса в момент захвата сигнала) не превышает 0,7 % от амплитуды
синусоиды.
На рис.5.40 представлен переходной процесс системы - реакция
на единичное ступенчатое воздействие. Система отрабатывает вход-
ное воздействие за время, не превышающее 0,3 с, без перерегулирова-
ния.
Таким образом, цифровой нечеткий регулятор обеспечивает не
только большую точность отработки входного воздействия, но и вы-
сокое быстродействие системы при скачкообразном воздействии.
Следует отметить, что исследование системы без регулятора по-
казывает, что система не обладает устойчивостью.
398
Раздел 5
Представляет интерес рассмотреть процессы в системе при ис-
пользовании вместо нечеткого регулятора традиционного ПИД-
регулятора. Структурная схема (математическая модель) системы фа-
зовой автоподстройки с ПИД-регулятором, представленная в интерак-
тивной системе MATLAB, показана на рис.5.41.
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора (PID на рис.5.41)
приведена на рис.3.9. Передаточная функция регулятора
^(z) = G1+G2^- + G3 —,
z-l z
К i d
где Gj = a, G2 ~> G3 "-------, "о “шагдискретизации.
2 hQ
Рис.5.41
В результате настройки регулятора при указанных выше пара-
метрах системы и входного эквивалентного гармонического сигнала
получены следующие оптимальные параметры ПИД-регулятора при
hQ =0.01 с:
G} =171,2; G2 = 0,48; G3 = 1800.
Процессы в системе (см. рис.5.41) показаны на рис.5.42, где u(t)
~ входное воздействие, x(f) - выход системы (см. рис.5.42,а),
е(/) = Err - ошибка рассогласования (см. рис.5.42,б).
Максимальная динамическая ошибка в системе ФАП с ПИД-
регулятором (за исключением начального выброса в момент захвата
сигнала) не превышает 2,4% от амплитуды синусоиды. Максимальная
динамическая ошибка в системе ФАП с ПИД-регулятором в 3,5 раза
399
Раздел 5
больше максимальной динамической ошибки в системе ФАП с нечет-
ким регулятором.
На рис.5.43 представлен переходной процесс системы с ПИД-
регулятором - реакция на единичное ступенчатое воздействие. Пере-
ходной процесс - колебательный, с перерегулированием более 20%.
Система отрабатывает входное воздействие за время, превышающее
0,4 с. Время регулирования в системе ФАП с ПИД-регулятором при-
мерно в 1,3 раза больше времени регулирования в системе ФАП с не-
четким регулятором.
Таким образом, нечеткий регулятор обеспечивает точность отра-
ботки входных воздействий и быстродействие системы ФАП значи-
тельно лучше, чем ПИД-регулятор. 1
400
Раздел 5
Рассмотрим систему фазовой автоподстройки частоты генератора
(ФАПЧ) с цифровым нечетким регулятором. Одним из основных эле-
ментов системы фазовой автоподстройки частоты генератора является
фазовый детектор, статическая дискриминационная характеристика
которого может быть записана в виде [14]
Уфд = Кфд cos (р, (5.34)
где КФД - постоянный коэффициент, равный максимальному значе-
нию напряжения на выходе детектора, (р - разность фаз колебаний
одинаковой частоты, подаваемых на первый и второй входы детектора
(при равенстве частот двух колебаний разность фаз этих колебаний
постоянна). При изменении частот входных сигналов разность фаз
становится функцией времени:
$?(/) - <Рн + 2^ |Д/(t)dt, (5.35)
где (рн - начальное значение разности фаз в момент t = 0, когда
¥ = /l-/2=0-
С учетом выражений (5.34) и (5.35) структурная схема фазового
детектора при изменяющихся частотах f\ и fa входных сигналов
будет иметь вид, изображенный на рис.5.44 [15].
fl
f2
Рис.5.44
На основании структурной схемы фазового детектора с учетом
инерционностей фильтра на выходе детектора и управляющего эле-
мента на входе генератора (фильтр на выходе детектора и управляю-
щий элемент обычно описывают апериодическими звеньями) можно
составить математическую модель системы фазовой автоподстройки
частоты генератора (ФАПЧ).
Математическая модель системы ФАПЧ с цифровым нечетким
регулятором, составленная с использованием интерактивной системы
MATLAB, представлена на рис.5.45.
401
Раздел 5
Рис.5.45
Фильтр на выходе детектора и управляющий элемент генератора
опишем передаточными функциями:
Gj(s) = kl{s + b) = 10/(5 +12,5),
G2 (5) = alf\ * a /(5 + d) = 0,15 * 20/(5 + 20).
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис.5.45) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.74, с идентичны-
ми возведенными в степень треугольными функциями принадлежно-
сти (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t) и
B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.66), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
ме, приведенной на рис.3.57) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.73).
Шаг дискретизации (шаг поступления данных в нечеткий регуля-
тор) выбран 0,01с. Значения диапазонов (Am = ;
1 z 1 7 v IllaA II11I1 7
Вт — $max — — $rnin > Cm — $max — ~$rnin > Dm — ^max “ “^min )
при настройке нечеткого регулятора подбираются либо вручную, либо
автоматически путем решения оптимизационной задачи.
При исследовании системы примем, что разность частот двух ко-
лебаний изменяется по синусоидальному закону:
А/ = 0,2sin(fl75) либо А/ = 0,2sin(^/10)
(т.е. максимальное отклонение частоты генератора от заданной дости-
гает ± 20%). Система ФАПЧ должна компенсировать отклонение
частоты генератора, поэтому нечеткий регулятор необходимо на-
402
Раздел 5
страивать на минимальную текущую ошибку рассогласования в сис-
теме. В результате настройки получаем следующие оптимальные па-
раметры нечеткого регулятора:
Am=0,03; Вт=0.5; Ст=10; Dm=20; с=1.
Процессы в системе (см. рис.5.45) при входном воздействии
0,2sin(Tr/5) представлены на рис.5.46, при входном воздействии
0,2 sin(/T /10) - на рис.5.47. На рисунках e(t) - ошибка рассогласова-
ния по частоте на входе фазового детектора, 0(f) - ошибка на выходе
фазового детектора (на входе нечеткого регулятора), w(/) - управ-
ляющее напряжение на выходе нечеткого регулятора, u(t) и х(/) -
вход и выход системы соответственно.
Независимо от частоты входного сигнала переходной процесс в
системе заканчивается за 3 с. Максимальная динамическая ошибка
рассогласования по частоте на входе фазового детектора при входном
—3
воздействии 0,2sin(fl75) не превышает 2,8-10 , а при входном
403
Раздел 5
воздействии 0,2 sin(zr /10) равна примерно 1,4-10 3. Как показыва-
ют исследования системы (см. рис.5.47), нечеткий регулятор позволя-
ет увеличить точность системы ФАПЧ практически на два порядка по
сравнению с системой без регулятора.
Применение нечетких регуляторов в системах ФАПЧ целесооб-
разно. Поскольку нечеткий регулятор является цифровым корректи-
рующим устройством, то его можно с успехом применять в цифровых
ФАПЧ.
404
Раздел 6
Раздел 6.
СИНТЕЗ НЕЧЕТКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
6.1. Синтез цифрового нечеткого регулятора системы управ-
ления объектом “рулевая машина + ракета” [227]
Ниже изложен синтез цифрового нечеткого регулятора системы
управления нестационарным объектом, содержащим нелинейности и
звено запаздывания. Примером такого объекта управления может
служить “рулевая машина + ракета”. Синтез цифрового нечеткого ре-
гулятора системы управления объектом “рулевая машина + ракета”
изложен в разделе 3.1 при допущении, что рулевая машина описыва-
ется интегрирующим звеном. Реальные электрические, пневматиче-
ские, гидравлические рулевые машины имеют значительно более
сложное математическое описание. В качестве примера рассмотрим
пневматическую рулевую машину, которая находит практическое
применение. Напряженность силы в пневматических и гидравличе-
ских двигателях достигает 200-300 кг/см2 (в электрических 4-6 кг/см2),
поэтому эти двигатели при тех же габаритах и весах обладают более
высоким быстродействием, чем электрические [198].
Принципиальная схема пневматической рулевой машины с жест-
кой отрицательной обратной связью по углу отклонения руля приве-
дена на рис.6.1. Пневмодвигатель имеет подвижный цилиндр 1 и не-
подвижные поршни 2. В цилиндре имеются отверстия, через которые
подается воздух (или другой газ) из струйной трубки 3, которая связа-
на с магнитоэлектрическим устройством, поворачивающимся в маг-
нитном поле постоянного магнита при подаче в обмотку управляюще-
го напряжения т = w(Z). Струйная трубка при отсутствии сигнала
т = удерживается в нейтральном положении пружиной 4 (при
этом давления р} и р2 в полостях цилиндра одинаковые). При пере-
мещении струйной трубки относительно отверстий цилиндра образу-
ется перепад давления р = р}- р2. При этом цилиндр перемещается в
сторону, противоположную повороту струйной трубки, и через тягу 5
поворачивает руль 6. В силу того, что поворот руля и перемещение
цилиндра связаны передаточным числом п, осуществляется отрица-
405
Раздел 6
тельная жесткая обратная связь по углу отклонения руля. Вращающий
момент в магнитоэлектрическом устройстве уравновешивается мо-
ментом пружин 4.
Движение струйной трубки можно описать уравнением идеально-
го звена запаздывания
J3(f) = kxm(t-r), (6.1)
где 0(f) - угол поворота струйной трубки от нейтрального положения,
m(t) -сигнал управления, к} - постоянный коэффициент.
Рис.6.1
Движение цилиндра приближенно описывается следующим обра-
зом [198]: y = k2[(p{€)-cxsign{y)]\ Е = /3-къу, (6.2) У = п8,
406
Раздел 6
где к2- постоянный коэффициент, у(0 “ перемещение цилиндра,
8(f)- угол отклонения руля, к3- коэффициент перевода линейного
перемещения в угловое, ф(е) - нелинейность типа “ограничение”
(см.рис.6.2,а).
<1, (6.3)
где N - сила сухого трения цилиндра о поршни, S - площадь поршня,
р0 - давление в струйной трубке, ц - коэффициент, учитывающий по-
тери давления.
Выражение в квадратных скобках в уравнениях (2) представляет
собой нелинейность типа “ограничение + зона нечувствительности”
(см. рис.6.2,б)
_ *=tgy = Z/c2;
^(f) = 0 при |£|<CjC2;
^1(^) = Z(l-c1)agnU)
е при |£|>С,;
(P/f) = Z^/cyc^signte)
при с,с2^|£|^с2
б)
£(1-С])-------
L—г
”С2
-С2 -CjC2
£
Рис.6.2
Уравнения рулевой машины можно записать в окончательном ви-
де как
/?(Г) = k{m(t - г), 8 = (рх (£), s = ft - к3п8. (6.4)
п
Соответствующая уравнениям (6.4) структурная схема пневмати-
ческой рулевой машины изображена на рис.6.3, где нелинейность Н1 -
Ф\ (^) ♦ kQ=k2! пу I = к3п, а нелинейность Н2 характеризует ограни-
чение отклонения руля.
407
Раздел 6
Рис.6.3
При моделировании зададим следующие параметры рулевой ма-
шины. Для струйной трубки: к} =100; т = 0,01 с. Для нелинейности
Н1 (см. рис.6.2,б): с1 = 0,1; с2 = L = 5 . Для нелинейности Н2
(см.рис.6.2,а, в котором е надо заменить на 8): с2 = L = 5. Коэффици-
ент передачи интегрирующего звена kQ = к2 !п - 100. Коэффициент
обратной связи / = къп =0,5.
Рулевая машина включена на входе нестационарного объекта
управления - бескрылой ракеты с аэродинамическим управлением.
Приняв за выходную координату ракеты угол атаки a2(t), а за вход-
ную координату угол поворота руля £(/), определим передаточную
функцию ракеты в виде [139]
G(s) = <X2(-)= - К“- - ,
р ВД r2s2+2^7s + l
где — коэффициент преобразования ракеты, Т - постоянная вре-
мени, $ - коэффициент демпфирования.
При исследовании системы управления предположим, что зави-
симости параметров ракеты от времени полета определяются так
[138]:
T(t) = 0,9849 - 0,1188г + 0,0063/2 - 0,00012t3;
д(t) = 0,2970 - 0,0535/ + 0,0043/2 - 0,00011/3;
К“ (/) = 16,5475 - 4,4469/ + 0,4843/2 - 0,02315/3 + 0,0004/4.
Замкнутая система автоматического управления общим объектом
“рулевая машина + ракета” с нечетким регулятором HP приведена на
рис.6.4, где a^t) - заданный угол атаки, а - a2(t) - выход системы.
408
Раздел 6
цдП Регулятор АЦП
Рис.6.4
Цифровой нечеткий регулятор HP включен между аналого-
цифровым преобразователем АЦП и цифроаналоговым преобразова-
телем (фиксатором нулевого порядка с передаточной функцией H(s))
ЦАП. Ошибка системы 0(t) = квантуется с шагом кван-
тования h.
Исследуем точность отработки системой автоматического управ-
ления с цифровым нечетким регулятором закона изменения входного
воздействия, заданного: а) единичной ступенчатой функцией и б) по-
линомом [138]
a, (t) = 1 -1,3316 х 1 О*3 + 0,1653269/ - 0,4785008/2 +
+ 0,1037928г3 - 8,8016 х 10‘3/4 + 3,404 х 10V - 5,093 х 10V.
При моделировании системы опишем динамику отдельных звень-
ев, используя аппроксимацию по формуле трапеций.
Для колебательного звена с переменными параметрами:
*lv = *lv-l + (x2v + *2v-l)’
= 4-2Z>v_1A0-aA2 _ 2(а± + а^)Л0
2v 4 + 2bvhQ+avh2 2v'} 4 + 2bvhQ+avh2
2hQ
+ 71 Sa'a 1 ‘ a'2
4 + 26Л+аД
2v-l
IT ^0
Для интегрирующего звена: xv = xv_, + -•£
409
Раздел 6
В записанных формулах uv- входная, a xlv- выходная перемен-
ные звена; x,v- промежуточная переменная. Шаг моделирования
й0 = 0,05/1. Шаг квантования (интервал поступления данных в нечет-
кий регулятор) h = 0,01 с.
Синтез цифрового нечеткого регулятора выполним по формулам
(5.16)-(5.30) при экспоненциальных функциях принадлежности.
В качестве первой и второй производных от ошибки при модели-
ровании используем соответственно первую и вторую разность, а
именно:
0(£) = [0(£)-0(£-l)]//i;
0(к) = [6(к) - 0(к -1)] / h = [0(к) - 20(к -1) + 0{к - 2)] / h2.
Для получения удовлетворительных переходных процессов на-
стройку цифрового нечеткого регулятора производим путем вариации
параметра с в экспоненциальных функциях принадлежности и диапа-
зонов изменения входных и выходного параметров [$min, 0max ]»
l min ’ max J ’ l min ’ max J
На рис.6.5 представлены результаты исследования отработки сис-
темой автоматического управления (см. рис.6.4) входного единичного
ступенчатого воздействия - угла атаки a^f). Время наблюдения 0,6с.
На рисунках изображены: а - вход ax(f) системы и ошибка рассогла-
сования 0(f) = a}(f)-a2(f) в системе; б - сигнал на выходе звена за-
паздывания (см.рис.6.3) и ограниченный сигнал на выходе нелинейно-
сти Н1 в рулевой машине; в - сигнал на входе нелинейности Н2 (после
интегратора) в рулевой машине; г - сигнал управления 0(f) на выхо-
де рулевой машины (угол отклонения руля).
На рис.6.6 представлены результаты исследования отработки сис-
темой заданного полиномом закона изменения входного воздействия -
угла атаки a^f). Время наблюдения 15с.
На рисунках изображены: а - вход a}(f) системы; б - ошибка рас-
согласования 0(f) = a}(f)-a2(f) в системе; в - сигнал на выходе зве-
на запаздывания в рулевой машине (см.рис.6.3); г - сигнал управления
3(f) на выходе рулевой машины (угол отклонения руля).
410
Раздел 6
На рис.6.7 приведена реакция системы a2(t) \ а) на единичное
ступенчатое воздействие и б) на полиномиальное воздействие.
411
Раздел 6
При настройке цифрового нечеткого регулятора близкими к оп-
тимальным (как для единичного ступенчатого воздействия, так и для
полиномиального воздействия на входе системы) являются следую-
щие параметры регулятора. Коэффициент в экспоненциальных функ-
циях принадлежности: с = 20. Диапазоны изменения входных и вы-
ходного параметров:
[^.^] = [-1Д 1.5].[^,^] = [-0Д 0,6],
И™Л„1 = Н.5, 1.5] и = 1,0].
в)
Рис.6.7
Цифровой нечеткий регулятор обеспечивает высокое быстродейст-
вие системы и достаточно малую динамическую ошибку в установив-
шемся режиме работы. Следует отметить, что синтез линейного цифро-
вого регулятора для рассмотренного нестационарного объекта “рулевая
машина + ракета”, в котором рулевая машина имеет запаздывание, нели-
нейности и жесткую обратную связь (см. рис.6.3), является весьма слож-
ной задачей. Поэтому применение цифрового нечеткого регулятора целе-
сообразно, тем более, что алгоритм его работы является достаточно про-
стым для объектов управления любой сложности.
412
Раздел 6
6.2. Автономная система фаззи-управления теплоснабжением [70]
В разделе 4.2 рассмотрены достаточно простые системы автома-
тического управления объектами типа “водогрейный котел + отапли-
ваемое здание (помещение)”, работающие на базе нечеткой логики
(такие системы носят название систем фаззи-управления [9, 199]).
Ниже рассмотрена более сложная автономная система фаззи-
управления, объект управления в которой состоит из водогрейного
котла (источник тепла), который через коллектор обогревает здание,
имеющее два отапливаемых помещения (см. рис.6.8)^ Теплоноситель
(вода) циркулирует по подающим и обратным трубопроводам. Для
управления мощностью водогрейного котла с целью поддержания за-
данной температуры в помещениях при изменяющейся внешней тем-
пературе служит цифровой нечеткий регулятор.
Рис.6.8
Источник тепла - водогрейный котел описывают апериодическим
звеном с передаточной функцией GBK(s) = Квк l(TBKs + 1), в которой
Квк ~ коэффициент передачи (равен максимальной мощности котла
Ртах кВт), Твк - постоянная времени. Подача топлива GT регулирует-
ся автоматическим клапаном АК. Выходная мощность котла гиРтах,
413
Раздел 6
где т -степень открытия клапана (от 0 до 1). Отметим, что мощность
котла в 1 кВт соответствует теплу 0,2388 ккал/с или 1 000 Дж/с.
Подающие и обратные трубопроводы описывают звеньями запаз-
дывания с передаточными функциями вида , где ki - коэффи-
циент теплопотерь, a Ti - транспортная задержка тепла в трубопроводе.
Коллектор перераспределяет общий массовый расход теплоноси-
теля (воды) в системе теплоснабжения в отношении 1}/12 = mJ т2
(/, +12 - 1; Wj + т2 - т), где т} - 1}тр - массовый расход теплоно-
сителя (воды) в первом помещении, т2 = 12тр - массовый расход те-
плоносителя (воды) во втором помещении, тр - общий массовый рас-
ход теплоносителя (воды) в системе теплоснабжения, кг/с.
Уравнение теплового баланса помещения определяют по фор-
муле:
2, - Qo.=<4 (^, - )+MjC d (0Bl -оА),
at
где Q. - тепло, поступаемое в отапливаемое помещение за одну секун-
ду, Дж/с; Qoi - тепло, отводимое из отапливаемого помещения за одну
секунду, Дж/с; Q. -Qoi- тепло, передаваемое внутреннему воздуху за
одну секунду, Дж/с; ki -общий коэффициент теплопередачи ограж-
дающих конструкций здания, нелинейно зависящий от соотношения
температур, Дж/м2 /с/°С; At- граничная поверхность, нормальная к
потоку тепла (площадь наружной поверхности помещения), м2; М,-
масса внутреннего воздуха отапливаемого помещения, кг; с- удель-
ная массовая теплоемкость внутреннего воздуха отапливаемого по-
мещения, Дж/кг/°С; 0А- температура окружающей среды, °C; 0Bl-
температура внутреннего воздуха отапливаемого помещения, °C. Вы-
ражение к*А.(0В. -0А) описывает тепловые потери помещения в ок-
ружающую среду. Выражение Mtc (0Bj -0А) описывает тепло, ак-
dt
кумулирующееся во внутреннем воздухе помещения и обусловленное
414
Раздел 6
изменением его температуры. Уравнение теплового баланса справед-
ливо для малых возмущений, когда можно считать, что зависящий от
температуры коэффициент к( является постоянной величиной. Кроме
того, предполагается, что окружающая среда обладает бесконечно
большой массой и что потери тепла помещением не повышают темпе-
ратуру окружающей среды.
За счет тепла, отводимого из отапливаемого помещения, такое
помещение, рассматриваемое как объект регулирования, имеет контур
внутренней обратной связи с коэффициентом передачи К*.. = cBmt,
где св = 4187 Дж/кг/°С- удельная теплоемкость теплоносителя (воды),
mi кг/с - массовый расход теплоносителя (воды) в обратном трубо-
проводе. Поэтому структурная схема помещения как объекта регули-
рования может быть представлена в виде рис.6.9,а. Преобразованные
структурные схемы помещения приведены на рис.6.9,б,в, где парамет-
ры определяются следующим образом:
1 L kiAi 1 , . , / о
а, = ; Ь = 11 = • ; k,A,=\/R,
Mtc MjC M.cR,
Величина Rt, обратная произведению kt At, называется термоди-
намическим сопротивлением. Начальные условия при интегрировании
в схемах на рис.6.9,а,б: #(0+) -6в-вА - 0.
Уравнения тепловых балансов каждого из помещений, имеющих
общие разделяющие их конструкции, можно записать в виде:
(0п-ел)-к-мов.-ев2),
at
~ Q02 = к'2А2(0В2 -0л) + М2с d (0В2-0J-к-оАо(0В2 ~0В1),
at
где к*о - коэффициент теплопередачи общих разделяющих конструк-
ций двух помещений, нелинейно зависящий от соотношения темпера-
тур в двух помещениях, Дж/м2 /с/°С. Ао- граничная поверхность
(площадь наружной поверхности, нормальная к потоку тепла) общих
разделяющих конструкций двух помещений. Выражения
±к*оАо(дВ} -9В2) описывают переток тепла между помещениями.
415
Раздел 6
Объект управления
(помещение, здание)
Объект управления
(помещение, здание)
б)
ui Mic
Рис.6.9
kjAj
Mjc
Теперь можно составить структурную схему системы автоматиче-
ского управления, которая имеет общий объект управления - “водо-
грейный котел + коллектор с трубопроводами + здание с помещения-
ми” и цифровой нечеткий регулятор. Эта схема приведена на рис.6.10.
416
Раздел 6
Интегратор топлива
Рис.6.10
Помещения как объекты управления (объект 1 и объект 2) описы-
ваются апериодическими звеньями. Входы объектов 1 и 2 - тепло,
417
Раздел 6
передаваемое внутреннему воздуху Qx и Q2, выходы объектов - раз-
ность температур внутреннего воздуха и окружающей среды ввх - вА
и 0в2 - вА соответственно. Температура окружающей среды 0А явля-
ется внешним возмущающим воздействием. Возмущающее воздейст-
вие можно представить в виде 0А = + 0т sin cot, где - средняя
внешняя температура, 0т - амплитуда суточных изменений внешней
температуры, со = 2л7(24х 3600) 1/с. 0 - требуемая внутренняя
температура (уставка). Отметим, что термодинамические свойства
реальных зданий нелинейны и изменяются как со временем, так и с
изменением погодных условий, поэтому модель (см. рис.6.10) только
приближенно описывает реальный объект.
Рассмотрим систему водяного отопления одноэтажного здания
площадью 300м2, работающую от водогрейного котла мощностью
30кВт с модулирующей горелкой. Параметры передаточной функции
водогрейного котла: Твк = 300 с; Квк = Ртах =30 кВт=30000 Дж/с.
Здание описывается необходимыми теплоизоляционными и гео-
метрическими параметрами: длиной, шириной и высотой здания, раз-
мерами и количеством окон, формой крыши, теплопроводностью и
толщиной материала стен, окон, крыши.
Расчет проведем для следующих конкретных данных. Здание име-
ет длину /=30м, ширину и>=10м и высоту стен h стены=4м. Размеры
окон: А л =1м. Количество окон л =6. Крышный угол а =40°.
Коэффициент теплопроводности и толщина материала:
Лдаеты=0.038Дж/м/с/К и 5_ы=0.2м, Локна =0.78Дж/м/с/К и
£who=0.01m, Лк/,ышв = 4иены и Зкрыши = Зстены. Допустим, что
потери тепла через пол пренебрежимо малы, стены и крыша сделаны
из одинакового материала, а разделяющей конструкцией является сте-
на, делящая внутренний объем здания в отношении 2/1 (для первого
, 2,
помещения длина /л] = /ми количество окон п} =4, для второго -
длина Z
= I ми количество окон п2 =2). Коэффициент теплопро-
418
Раздел 6
водности и толщина материала общих разделяющих конструкций двух
помещений Ло = Ястеиы=0.038Дж/м/с/К; 8О = 8стеиы =0.2м.
Формулы для расчета следующие:
М = wl(hcmeH„ + ; Л/, = 2 М; М2 = ~ М;
4 = (2/n) + w)hcmeHbl + w/nl + W- tga; А окои1= n.h OKHaw
cos or 4
. 4, wK w1 . ,
4 = (2/„2 + w)hcmem + • + - tga-, A OKOM1= n2h OKI/aw „кт;
cosa 4
cmewl 4 окон!, A стен! A\ A окон! *
w1 8 8
Ao = hcmeHblw+ - tga- RcmeHb, = ;R0KHa = 0K"a;
' ' ^rmaUkl
А
D __ ^стен 1
4 - л ~
^стен 1
А
окон\ . п _
А ’ ~
i ^okohI
J
^*стен2
А
^стен 2
к.
D
1Хстены\
Кокна 1
D
1'стены 2
, k2 =
4 R2
к.
D
1Х~стены
1
1
1
окон 2 .
A ’
। окон!
^окна 2
p - плотность воздуха на уровне моря (1,225кг/м3).
Удельная массовая теплоемкость внутреннего воздуха отапливае-
мого помещения С=1005.4, Дж/кгЛС.
Расчетные параметры объектов 1 и 2 следующие (см. рис.6.10):
ах = 1 = 6,658-10’7 °C /Дж;
Mtc
а2 =- 1 - =13,316-Ю’7 °С/Дж-,
М,с
к'А к'А
Ь. = = 2,682-10’4 1/с; Ь2 = 2 2 = 2,759-10’4 1/с.
1 М'С М2с
Коэффициенты распределения в коллекторе приняты равными:
/, = 0,68; /2 = 0,32. Массовый расход теплоносителя (воды) в системе
419
Раздел 6
теплоснабжения первого помещения т} = 1}*тр =
= 0,68 х 0,28 = 0,1904, кг/с; массовый расход теплоносителя (воды) в
системе теплоснабжения второго помещения т2 = 12 х тр =
= 0,32 х 0,28 = 0,0896, кг/с (общий массовый расход теплоносителя в
системе теплоснабжения принят равным w^=0,28, кг/с). При этом
коэффициенты обратной связи для объектов 1 и 2 определяются:
Кж} = свт1 = 797,205 Дж/с/0 С;
Кж2 = свт2 = 375,155 Дж/с/° С.
Постоянные времени объектов 1 и 2 (с учетом обратной связи)
1-----= 1251,56с; 1-----= 1289,5с;
Ь, + с„т.а. Ь2 + c„zn,«,
10 11 2 D 2 2
коэффициенты передачи объектов 1 и 2 (с учетом обратной связи)
——1------= 8,333-1 (Г4 с°С/Дж;
Ъх + свтуах
ai =17,171 -104 с°С/ Дж.
Ь2 + свт2а2
Коэффициент взаимосвязи между объектами 1 и 2:
к'оАо = 1 1,585 Дж!с/° С.
Коэффициенты теплопотерь и соответствующие транспортные за-
держки тепла в трубопроводах приняты следующими:
к} =0.95; Аг2=0.98; к3 =0.96; к* =0.965; к5 =0.97; £6 =0.973;
Tj=25c; т2=24с; г3=24с; т4=23с; г5=26с; г6=25с.
Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора бу-
дем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходные параметры нечет-
кого регулятора) ошибка первого канала и ошибка второго канала
в2, скорость изменения (первая производная) ошибки первого канала
0х и ошибки второго канала д2, ускорение (вторая производная)
ошибки первого канала и ошибки второго канала д2 , управляющее
420
Раздел 6
воздействие на объект т , минимально, т.е. равно 2. Отобразим диа-
пазоны \^\ m(n, тах ]’ [^1 тт ’ ^1 max ] ’ min > max ] ’ [^2 min’^2 max ] ’
[^ттЛтахЬ ЙттДтах] И Km^maxl ИЗМСНеНИЯ ВХОДНЫХ И ВЫ-
ХОДНОГО параметров на единое универсальное множество
Ut - [0,Д -1] = [ОД], где Lt =2 - число, соответствующее количеству
термов каждой лингвистической переменной xt, / = 1,и, п = 1. При
этом пересчет фиксированного значения параметра х* е [хм/,хв/] в
соответствующий элемент w*e[0,l] определяется пропорцией
(xe/ - xHI)/(1 - 0) = (х/ - хш )/(«*- 0), на основании которой находим:
Щ = (^1 “ mm ) ^(^1 max “ mm )’ (6.5)
U2 ~ (^1 ~ mm ) /(^1 max “ mm (6.6)
W3 ~ (^1 “ mm ) /(^1 max “ mm )’ (6-7)
U4 = (^2 “ ^2 mm ) ^2 max “ @2 mm )’ (6.8)
U5 ~ (^2 ”^2mm)^2max“^2mm)’ (6.9)
U6 “(^2 “^2mm)/(^2max “^2mm)» (6.10)
w7* = (w*-/nmin)/(/wmjl¥ -wmin). / \ mm / \ max min / (6.П)
На множестве U = [ОД] зададим два нечетких подмножества,
функции принадлежностей (ФП) которых треугольной формы (1 и 2)
приведены на рис.6.11.
Аналитические выражения предложенных ФП для каждой лин-
гвистической величины определяются простыми формулами:
= wg[0,1]; //2(w) = w, wg[0,1]. (6.12)
При поступлении на нечеткий регулятор (HP) значений входных
переменных 0*, , 0* и 02 , 02 , 02 с шаг>м квантования h
осуществляется расчет величин их , и2 , и3* и и4 , и5 , и6 по фор-
мулам (6.5) - (6.10) и функций принадлежности (w), j = 1,2 .
Сформируем лингвистическое правило управления (рабочее пра-
вило) нечеткого регулятора в виде:
421
Раздел 6
Если (0}*=aJ}) и (0*=а2)и (0* = aJ3) и (02 = а4) и
(&2' =as) и (#2* = °б)> т° (т' =ау)> j = 1.2 . (6.13)
aJx , а2 и aJ3- лингвистические оценки ошибки, скорости измене-
ния (первой производной) ошибки и второй производной ошибки пер-
вого канала, aJ4, aJ5 и aJh - лингвистические оценки ошибки, скорости
изменения (первой производной) ошибки и второй производной
ошибки второго канала, рассматриваемые как нечеткие подмножества,
определенные на универсальном множестве и выбираемые из терм-
множества лингвистических переменных х*, i = 1,6:
422
Раздел 6
aJt 6 {отрицательная (1), положительная (2)}.
а!; - лингвистические оценки управляющего воздействия на объ-
ект, выбираемые из терм-множества переменной т*:
aJ-j 6 {уменьшить (1), увеличить (2)} .
Пусть pJ(xt) функция принадлежности параметра х;б[хм;,хв/]
нечеткому терму а/, i = 1,6; j - 1,2 . Тогда рт> - зависящая от шести
переменных (х, = ^;х2 = 0Х\ х3 =^;х4 =02;х5 = #2; х6 = функ-
ция принадлежности вектора параметров решению (выбранному
управляющему воздействию на объект) т} ,j = 1,2 , определяется из
системы нечетких логических уравнений:
цт> = //7(х|)л/(х2)л^(х3)л//;(х4)лд;(х5)л//;(х6). (6.14)
Таким образом, р”1 - функция принадлежности управляющего
воздействия нечеткому множеству “отрицательная” , а р™2 - функция
принадлежности управляющего воздействия нечеткому множеству
“положительная”. Результирующая функция принадлежности для
управляющего воздействия в соответствии с рабочим правилом HP
записывается в виде
рт=рт' v рт2 (6.15)
В выражениях (6.14) и (6.15) л- логическое и, V- логическое
или.
В соответствии с лингвистическими правилами управления, фор-
мализованными системой нечетких логических уравнений (6.14)
функция принадлежности управляющего воздействия рх (w7) нечет-
кому множеству “уменьшить” ограничена сверху значением:
А= minf//, ("i )> М (w2* X А («з')’ X Ai («5*X А ("I)]. (6-16)
а функция принадлежности управляющего воздействия р2(Ру) не-
четкому множеству “увеличить” ограничена сверху значением:
В= min[//2 (и,*), //2 (г/2‘), //2 (и3*), //, (и'4), //2 (и'5), //2 (и')]. (6.17)
Результирующая функция принадлежности для управляющего
воздействия на основании выражения (6.15) определяется как
423
Раздел 6
a(«7)=Ai(«7) v a2(«7)> <6-18)
т.е. получается формированием максимума (жирная линия на рис.6.11)
/z(«7)=max[//l(w7),//2(w7)]. (6.19)
Для определения конкретного значения управляющего воздейст-
вия пГ формируется “результирующая фигура”, ограниченная ре-
зультирующей ФП.
Производится поиск абсциссы “центра тяжести“ результирующей
фигуры по формуле:
N
- °* )K2a*+i+ак +(2°*+°ui )ьк ]
«7* = ------_------------------------------, (6.20)
з£к+)-а*Х&*+1+Ю
*=|
где N - число вершин, ак, Ьк -координаты вершин результирующей
фигуры.
Полученное значение щ на основании формулы (6.11) преобра-
зуется в значение управляющего воздействия (степень открытия авто-
матического клапана) на общий объект управления
тп - + (wm„v -wmin)w7* . (6.21)
min v max min / / v 7
Требуемую уставку в автоматическом клапане определим как
туст^} = (отн. ед.). (6.22)
уст
При работе системы автоматического управления (см. рис.6.10)
степень открытия автоматического клапана определяется как
аи(О = т‘ (Г) + (t), (6.23)
где /и* = Tn(t)- управляющее воздействие на общий объект управле-
ния, генерируемое нечетким регулятором.
Выберем шаг квантования (интервал поступления данных в не-
четкий регулятор) h = 300с = 5мин, а шаг моделирования = 10с.
Расчет и моделирование цифрового нечеткого регулятора произ-
водим по формулам (6.5)-(6.21). Моделирование общего объекта
управления “водогрейный котел + коллектор с трубопроводами + зда-
ние с помещениями” выполняем по структурной схеме рис.6.10.
424
Раздел 6
При оптимизации параметров нечеткого регулятора HP (диапазо-
НОВ тщ, max ] > [^1 min ’ ^1 max ] » [^1 mm ’ max ] ’ 1^2 min ’ @2 max ] ’
№min^2max]} [^ттДтах]) и коэффициента Киспользуем квадра-
тичный критерий качества
1 1-1
<7 = -£#v2 =>min, (6.24)
L v=o
где ошибка системы 0v вычисляется с шагом моделирования Ло, а
число L определяет интервал наблюдения. Оптимальные параметры
соответствуют минимальному значению критерия качества, а мини-
мизация критерия качества автоматически приводит к оптимизации
переходных процессов в системе управления.
При моделировании требуемая температура внутреннего воздуха
здания 0^ задавалась равной 20 °C, амплитуда суточных изменений
внешней температуры 0т задавалась равной 5°С, а средняя внешняя
температура 0^ принималась соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С.
Закон суточных изменений внешней температуры принимался сину-
соидальным (см. рис.6.12): вА (0 = 0Q + вт sin[2flZ /(24 х 3600)].
Рис.6.12
Начальные значения температуры в помещениях 1 и 2 принима-
лись равными начальной внешней температуре:
0ei(o+)=0fl2(O+W/o+) = 0o.
425
Раздел 6
При оптимизации получены следующие значения для диапазонов
изменения входных параметров нечеткого регулятора:
= 0,56];[92„.,«2т„] = [-0,55, 0,55],
= 1,6110-’];
№„,.А™)=(-1.4110-’, 1,41-10"];
-Г-3,2'>10 ", 3,29-10-];
Ift„.„,ft™.J = l-S,32-10^, 5,32 10").
Диапазон [wmin,wmax] = [-0,3, 0,3] выбирается из конструктив-
ных соображений.
Оптимальный коэффициент Куст в формуле (6.22) равен 36,08.
Результаты исследования системы автоматического управления
(см. рис.6.10) путем математического моделирования представлены на
рис.6.13 - 6.18, где изображены: а - изменение текущей ошибки сис-
темы за сутки (время наблюдения 90000с); б - изменение текущей
ошибки системы за первых 3 часа (время наблюдения 11000с); в -
изменение внутренней температуры помещений за первых 3 часа
(время наблюдения 11000с).
На рис.6.13, 6.15 и 6.17 представлены текущие ошибки первого
канала управления и изменение внутренней температуры перво-
го помещения (объекта 1) 0B}(t) при средней внешней температуре
соответственно равной +5°С, 0°С, -5°С. На рис.6.14, 6.16 и 6.18
I
представлены текущие ошибки второго канала управления #2(/) и
изменение внутренней температуры второго помещения (объекта 2)
0B2(f) ПРИ сРеДней внешней температуре 0Q соответственно равной
+5°С, 0°С, -5°С.
Для удобства рассмотрения на всех рисунках нулевая ордината
для управляющего воздействия m(t) совмещена с ординатой, равной
5, для ошибки.
Текущие ошибки системы в](0 = &уст -&в\(0 и =
0B2(t) показывают отличие температуры внутреннего воздуха поме-
426
Раздел 6
щений 0B](t) и 0B2(t) от требуемой 0 =20°C. Во всех случаях те-
кущие ошибки (за исключением начального выброса) не превышают
0,3°С.
Результаты моделирования (см. рис.6.13-6.18) показывают, что
нечеткий регулятор обеспечивает качественную работу замкнутой
системы автоматического управления при достаточно сложной моде-
ли общего объекта управления (составленной с учетом внутренних
контуров обратной связи в объектах 1 и 2, взаимосвязи между объек-
тами, характеристик коллектора, прямых и обратных трубопроводов).
А — ц- р
-U1W- t/Q— Т J U
1
\
Л—
п _ 1
C/q — + 5 С
1
\
\
V ...
О 20000 40000 60000 BDOOO t, С q 20000 40000 60000 80000 t, С
427
Раздел 6
428
Раздел 6
6.3. Синтез нечетких регуляторов следящих координаторов [64]
Следящими координаторами при самонаведении ракеты на цель
называют устройства, измеряющие угловое положение цели относи-
тельно своей оси [198]. Координатор, как измеритель углового поло-
жения цели, является измерителем рассогласования Л*, определяемо-
го векторным равенством (см. рис.6.19)
D°-X°k=Ak, (6.25)
где D° - единичный вектор дальности до цели, Хк -единичный век-
тор оси координатора. Okxkykzk - система координат, в которой из-
меряются углы рассогласования и в которой вектор А* можно пред-
429
Раздел 6
ставить проекциями: ДЛ1 и ДЛ2 • При малых рассогласованиях можно
считать, что модули векторов и Д*2 равны соответствующим уг-
лам ДЛ1 и Д42.
Рис.6.19
Движение антенной (оптической) системы, а следовательно, и оси
координатора определяется не только ее движением относительно ра-
кеты (относительное движение), но и движением самой ракеты отно-
сительно центра массы (переносное движение). Px]yiz} - связанная с
корпусом ракеты система координат, в которой ось Рх} направлена по
продольной оси ракеты.
Координаторы, у которых равносигнальная зона создается с по-
мощью нескольких неподвижных симметрично расположенных отно-
сительно оси координатора лепестков диаграммы направленности ан-
тенной системы, называют координаторами с мгновенной равносиг-
нальной зоной.
Динамические свойства координаторов с мгновенной равносиг-
нальной зоной (при условии идентичности каналов) приближенно
описываются линейными дифференциальными уравнениями
=М»>;
Ткй2+и2 - ккЛк2, (6.26)
где кК - коэффициент усиления, Тк - постоянная времени координа-
тора, практически равная постоянной времени выходного фильтра
нижних частот.
430
Раздел 6
ТуЦ+Ц = куи};
Г Д + Д = ^> М2>
(6.27)
Выходные сигналы координатора их и и2 усиливаются по мощ-
ности, чаще всего магнитными усилителями, динамика которых опи-
сывается уравнениями [198
где /j и /2 - средние за полупериод рабочего напряжения значения
выходных токов в первом и втором каналах соответственно, Т - по-
стоянная времени усилителей, к - коэффициент усиления.
Для обеспечения пространственного слежения антенная (или оп-
тическая) система, установленная на ракете в карданном подвесе, ме-
ханически связывается с двумя двигателями, на которые поступают
сигналы с выходов магнитных усилителей и которые вращают антен-
ную (или оптическую) систему относительно двух взаимно перпенди-
кулярных осей карданного подвеса. Уравнения, описывающие работу
электродвигателей постоянного тока (совместно с редукторами), ис-
пользуемых в качестве приводов следящего координатора, при равном
нулю статическом моменте сопротивления и постоянном входном со-
противлении, приводятся к виду
7А+«2=Мр (6-28)
где Тд и кд - постоянная времени и коэффициент преобразования
двигателя (с редуктором), вычисленные с учетом приведенных момен-
тов инерции приводимых в движение механических деталей антенной
(или оптической) системы.
Направление одной оси карданного подвеса совпадает с направ-
лением оси Ру, или оси Pz, связанной с ракетой системы координат.
При совпадении одной оси карданного подвеса, например, с осью
Ру., направление другой оси карданного подвеса должно совпадать с
осью Okzk. Для обеспечения слежения за целью на вход двигателя,
вращающего антенную (оптическую) систему относительно оси Okzk,
надо подавать сигнал о рассогласовании ДА], а на вход двигателя,
431
Раздел 6
вращающего антенную (оптическую) систему относительно оси 7^,,
сигнал о рассогласовании Ai2, т.е. на вход двигателя Д1 надо подавать
ток /2, а на вход двигателя Д2 - ток 7, (это учтено в уравнениях (6.28)).
Из векторного равенства = сок х , где сок - угловая скорость
-.0
вращения единичного вектора Хк, следует, что модули производной
единичного вектора и его угловой скорости вращения равны, а векто-
ры сок и взаимно перпендикулярны и располагаются в плоскости
Okykzk. Отсюда заключаем, что проекция вектора на ось ук равна
проекции вектора сок на ось zk, а проекция вектора %к на ось zk рав-
на проекции вектора сок на ось ук, взятой с обратным знаком:
.0 .0^0 „о
Ху ~ ХкУк “ ®к2к ~
.0 .0^0 -.0
Х: ~ Хк?к “ ^кУк ~ ~(Оку-
Если 6УН и со2} - угловые скорости движения антенной (оптиче-
ской) системы вокруг оси ук, вызванные переносным и относитель-
ным движениями соответственно, а й\2 и со22 - угловые скорости
движения антенной (оптической) системы вокруг оси zk, также вы-
званные переносным и относительным движениями, то
=^11+^21 •
Так как ось вращения двигателя Д2 совпадает с осью zk, то
6У22 = £^2- Ось вращения двигателя Д1 совпадает с осью ух и при не-
значительном отклонении связанной системы координат от системы
координат, в которой измеряются углы рассогласования, можно счи-
тать й)21 = Qj. Тогда
Ху ~ ^12 "* ^2 ’ Xz — ~(О\ j ~ Qj
и уравнения (6.28) можно записать в виде [63]
+ 7^6z>| । + сох j = кд12,
' Г (6^29>
432
Раздел 6
Дополнительные составляющие в уравнениях (6.29)
Тд(Ь} । 4- 69] j = кд\12>
~Тд(Ь\2 ~6912 —
обусловлены ошибками измерения, вызванными движением ракеты
относительно центра масс. Для компенсации этих ошибок на входы
электродвигателей надо подавать сигналы
69Н/кд = Д/2,
-а)\21кд=М\. (6.30)
которые формируются при помощи скоростных гироскопов, изме-
ряющих угловые скорости движения ракеты относительно центра
масс.
На основании уравнений (6.26), (6.27), (6.29) и (6.30) можно со-
ставить структурную схему каждого канала (каналы идентичны) сле-
дящего координатора с электрическим приводом (см. рис.6.20).
Рис.6.20
/1 (0 ~ Угол между направлением на цель и равносигнальным на-
правлением, y2(t) - угол поворота антенной (оптической) системы.
Передаточные функции координатора К и усилителя мощности У
определяются как
Gk (5) = кк (Tks + !)-'; G/s) = ky(Tys +1)-1.
Принимая проекции соответствующих векторов за выходные ве-
личины, передаточную функцию электродвигателя и редуктора можно
записать в виде
Gd(5) = ^[(^5 + 1)5]-'.
В структурной схеме после элемента сравнения изображена нели-
нейность (обусловленная пеленгационной характеристикой координа-
тора), которую обычно можно представить формулой:
433
Раздел 6
£(AJ = exp{-A2/А2},
а пеленгационную характеристику координатора представить в виде
F(AJ = ДЛ(Д*) - Д* ехр{-Д;/L2}. (6.31)
При этом уравнения (6.26) записываются следующим образом:
у?,
[Тки2+и2=ккЛк2К(^2).
При использовании гидродвигателей, пренебрегая запаздыванием
и зоной нечувствительности, их динамику можно описать уравнения-
ми
*^1 “ $2 “
а угловые скорости вращения антенной (оптической) системы относи-
тельно осей ук и определить как
&?21 ’ ^22 $2 ’
где и - скорости движения поршней двигателей, вращающих
антенную (оптическую) систему относительно осей у1 и zk. Тогда,
вместо системы уравнений (6.29), получаем более простую:
= kJ'
In (6-33)
А +<у„ = кд12.
В этом случае в структурной схеме рис.6.20 передаточная функ-
ция двигателя (с редуктором) будет иметь вид
Gd(s) = kd/s.
С учетом насыщения, зоны нечувствительности и запаздывания в
гидравлических двигателях структурная схема каждого канала следя-
щего координатора с гидродвигателями может быть представлена в
виде, изображенном на рис.6.21.
Рис.6.21
434
Раздел 6
Графически пеленгационная характеристика координатора F(Ak)
и нелинейность Н в гидравлическом двигателе изображены на
рис.6.22.
_ 1у=0 при 111< Ср
= Ssign(7) при 111 >с2;
j !у = к{1
при с}111 с2;
*=tgy = S/(c2-Cj)
s б)
Рис.6.22
Следящие координаторы с гидравлическим приводом широко ис-
пользуются в системах самонаведения. Использование цифрового не-
четкого (работающего на базе нечеткой логики) регулятора требует
дополнительного включения в структурную схему следящего коорди-
натора аналого-цифрового (АЦП) и цифроаналогового (ЦАП) преоб-
разователей. Структурная схема следящего координатора с нечетким
регулятором и гидравлическим приводом (с учетом компенсации
ошибок измерения вызванных движением ракеты относительно цен-
тра масс) приобретает вид, показанный на рис.6.23.
Для сглаживания шумов после АЦП включен цифровой низкочас-
тотный фильтр с дискретной передаточной функцией
435
Раздел 6
G(z) = 60[l + a1z !] где b0 = ! + <?,, а, =-ехр(-Л/Гф//р), Л - шаг
квантования. Нечеткий регулятор HP включен после цифрового низ-
кочастотного фильтра ФНР, а ЦАП на выходе HP представлен фикса-
тором нулевого порядка с передаточной функцией
H(s) = (l-e"fe)/s, где h- шаг квантования в АЦП. 0(к) - кванто-
ванная ошибка на выходе координатора К (после фильтра ФНР).
Рис.6.23
Ошибка 0(к), ее первая ()(к) = [#(£) - 0(к -1)] / h и вторая
0{к) = [^(к)-О(к - I)]/h разности подаются на вход HP. Сигнал с
выхода HP в виде кода т(к) с шагом квантования h поступают сна-
чала на ЦАП, затем в виде непрерывного управляющего воздействия
m(t) на усилитель и гидравлический двигатель.
Синтез нечеткого регулятора HP выполняем по формулам (5.16)-
(5.30) для экспоненциальных функций принадлежности с шагом кван-
тования (с шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0.01с.
Для получения оптимальных по критерию (5.33) переходных про-
цессов в системе в нечетком регуляторе настраиваются диапазоны из-
менения входных и выходной переменных [0min,#max], [0mjn,0m«L
[^min’^maxL [Wmin»Wmax ] и параметр с для всех экспоненциальных
функций принадлежности: = exp(-cw), /z2(w) = ехр[-с(1 -«)],
где и - параметр (элемент) единого универсального множества
U = [0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки нечеткого
436
Раздел 6
регулятора диапазоны изменения переменных приняты симметрии-
ными: 0min = -0max, 0min = -0^ и т. д.
При исследовании системы управления методом математического
моделирования зададим воздействие на входе следящего координато-
ра в следующем виде: МО =/ic(O + /i„(O> где
/1с (0 = + 0,3 sin(^T /8) - детерминированная составляющая, а
/|„(0 ~ случайная составляющая входного воздействия, которую ап-
проксимируем экспоненциально-коррелированным случайным про-
цессом с корреляционной функцией /?(г) = De а т и соответствую-
щей спектральной плотностью Su (б?) = 2aDI(a1 4- со2). Положим
£> = 0,01; а = 10 1/с.
Среднеквадратичное отклонение случайного воздействия
СКО=<£> = 0,1.
Экспоненциальный случайный процесс с корреляционной функ-
цией R(t) = De~a r' = 0,01е~10,г можно получить как результат преоб-
разования нормально распределенного белого шума с единичной
спектральной плотностью формирующим фильтром с передаточной
, „ r , х jlD/a
функцией Кф(5) = -—-
(\la)s +1
0,0447
0,17+1 ’
После настройки нечеткого регулятора при входном воздействии
на систему МО =/ic(0 + /i„(0 определяем реакцию системы МО
(см. рис.6.23) на задающее воздействие МО» ошибку
ДДО =* /1(0“/2 (О и управляющее воздействие на выходе нечеткого
регулятора m(t) методом математического моделирования.
Параметры системы следующие:
Тк = 0,01 с\ кк = \В/град; ТФНР = 4^Ту = 0,1 с; ку = 500мА/В;
кд = 10 град / мА\ т = 0,045 с; параметр нелинейности координатора
(пеленгационного устройства) L = 1. Нелинейность Н характеризует-
ся следующими параметрами:с, = 0,01;с2 =0,21;S =0,2. Шаг кванто-
вания (интервал поступления данных в нечеткий регулятор)
437
Раздел 6
h = 0,01 с. Шаг моделирования Ло =0,0002 с. Число дискрет на ин-
тервале интегрирования результирующей ФП (см. формулу (5.28))
М =500.
При моделировании системы опишем динамику звеньев, исполь-
зуя аппроксимацию по формуле трапеций. Для апериодического звена
, z_, t . 27-/l кК z . „
k(Ts + \) имеем: xv = ” xv_, + - (wv + uv_,). Для интег-
2T + hQ 2Т + Р1ц
рирующего звена: xv = 4- (uv 4- ). В записанных формулах
uv — входная, a xv - выходная переменные звена.
Результаты моделирования системы представлены на рис.6.24 -
6.26, где /,(/) - вход, /2(Z) - выход, /(0 = Zi (0 ”/2 (0 “ ошибка
системы, m(t) - управляющее воздействие на входе объекта управле-
ния (выходной сигнал нечеткого регулятора после фиксатора).
В результате настройки нечеткого регулятора в системе получаем
следующие значения оптимальных параметров регулятора: [#тах],
[#тах], [^maxL [wmax ], ПРИ с = 5,5 равны соответственно значениям
[14,0078], [6,1302], [57,7323], [0,1857]; при этих параметрах
J = 0,0061.
опт 7
На рис.6.24,а,б показаны переходные процессы в системе (см.
рис.6.23) при подаче на вход системы только детерминированной со-
ставляющей /,(/) = /1с(Г) = 0,7 4- 0,3sin(^T/8) и управляющее воз-
действие на выходе ЦАП после нечеткого регулятора m(t)
(рис.6.24,в).
Как показывает моделирование, система с достаточной точностью
отслеживает входное воздействие. Максимальная текущая ошибка,
кроме начального выброса, не превышает 3% от начального значения.
Система работает устойчиво. Время регулирования t составляет
примерно 0.09 с, Перерегулирование сг% примерно равно 13,5%.
На рис.6.25, б,в показаны переходные процессы /2(Z) и /(0в
системе (см. рис.6.23) при подаче на вход системы детерминирован-
438
Раздел 6
ной составляющей /к(0 = 0,7 4- 0,3 sin(лГ /8) и случайной состав-
ляющей входного воздействия Yx(t}~Yx +yXn(t) (рис.6.25,а).
Как показывает моделирование, система и при таком входном
воздействии работает устойчиво. Текущая ошибка имеет шумовой ха-
рактер, ее максимальное значение, кроме начального выброса, также
не превышает 3% от начального значения. Время регулирования tp
составляет примерно 0.05 с, а перерегулирование а°/о практически
отсутствует. Указанные параметры являются более лучшими, чем по-
лученные при отсутствии случайной составляющей входного воздей-
ствия. Это объясняется тем, что настройка нечеткого регулятора осу-
ществлялась при входном воздействии на систему
/|(0 = /)с(0+/|Я(0-
Рис.6.24
439
Раздел 6
На рис.6.26,а,б отдельно показано управляющее воздействие на
выходе ЦАП после нечеткого регулятора m(t) и сигнал на выходе
нелинейности Н.
Рис.6.25
Исследование модели канала следящего координатора, имеющего
нелинейность дискриминационной характеристики, насыщение, зону
нечувствительности и запаздывание в гидравлическом двигателе, при
поступлении на вход координатора воздействия, имеющего детерми-
нированную и случайную составляющие, дает возможность заклю-
чить, что применение нечеткого регулятора (регулятора, работающего
на базе нечеткой логики) позволяет получить достаточно высокое ка-
чество рассмотренной замкнутой системы.
440
Раздел 6
Рис.6.26
Учитывая простоту реализации и настройки нечеткого регулятора
и высокую эффективность его работы в системе можно считать при-
менение такого регулятора весьма целесообразным.
6.4. Система регулирования температуры теплоносителя на
выходе смесителя с нечеткими регуляторами [30]
Системы регулирования температуры теплоносителя на выходе
смесителя, основанные на смешении двух исходных компонент, ши-
роко используются в химической и пищевой промышленности К та-
ким системам предъявляются достаточно высокие требования. На-
пример, отклонение регулируемой температуры теплоносителя от за-
данного значения в установившемся режиме должно быть не более
0,5°С, время регулирования не более 120с, перерегулирование не
более 3% [154]. Целью управления является обеспечение требуемого
расхода и температуры теплоносителя на выходе смесителя при изме-
нениях температуры и объема исходных смешиваемых носителей. В
441
Раздел 6
данном разделе методом математического моделирования в интерак-
тивной системе MATLAB исследована система регулирования темпе-
ратуры теплоносителя на выходе смесителя с нечеткими регуляторами
и получены показатели качества системы в переходном и установив-
шемся режимах.
Заданная температура теплоносителя Оу поддерживается за счет
смешения двух исходных теплоносителей (например, холодной и го-
рячей воды или пара). В процессе функционировании смесителя ре-
гулируются объемные расходы горячей Иг и холодной Их воды при
поддержании заданного расхода теплоносителя на выходе смесителя,
равного К - Vr 4- Их.
При смешении без отвода тепла двух жидкостей с разными тем-
пературами в установившемся режиме значения температуры 0 и
объема V смеси связаны следующими уравнениями:
КГ(0-0Г) + ИХ(0-0Х) = О; И = ИГ+ГХ, (6.34)
0 = (Гг0г + Гх0х)/И. (6.35)
При требуемых (заданных) температуре Оу и объеме теплоно-
сителя на выходе смесителя заданные объемы горячей и холодной во-
ды вычисляются из уравнений (6.34) по формулам:
И3(^3-^). у /ДМз)
0,-0* ’ х 0,-0
Структурная схема многосвязной системы управления температу-
рой и расходом теплоносителя представлена на рис.6.27. Пунктирный
квадрат 1 в объекте управления составлен на основе формулы (6.35).
Пунктирный квадрат 2 на входе регуляторов составлен на основе
формулы (6.36). Температуры горячего и холодного исходных тепло-
носителей обозначены соответственно #гн и 0ХН, а измеренные - 0v
и О*. Динамические свойства датчиков температуры горячего и хо-
лодного теплоносителей описываются передаточной функцией
Gr(s) = Gx(s) = —. (6.37)
5 + а
В установившемся режиме по объемным расходам горячей (пара)
и холодной воды при 6?г = #гн и 0х = 0хп имеем:
442
Раздел 6
9 V у *2 j
0-0XH ^ГН-^ХН
(6.38)
«. = +^вш )/У. (6.39)
Инерционные свойства датчика температуры смеси и динамика
установления температуры на выходе смесителя с учетом времени
прохождения жидкости от исполнительных механизмов до датчика
температуры смеси характеризуется передаточной функцией
6О(5) = -Д-ГГ5. (6.40)
s + b
Динамические свойства исполнительных механизмов, в качестве
которых используются двигатели, управляющие заслонками, описы-
ваются передаточной функцией
443
Раздел 6
ед=—• (6.41)
5(5 + С)
Глубина коррекции температуры смеси задается коэффициентом
К.
Математическая модель системы регулирования температуры те-
плоносителя с нечеткими регуляторами, составленная в интерактив-
ной системе MATLAB, представлена на рис.6.28.
При моделировании приняты следующие значения величин и па-
раметров передаточных функций, изображенных на рис.6.27:
0ГН = 150°С; 0ХЦ = 10°С; 03 =39°С; Г3 =0,51;
b = 1 /15с~1; а = 1с“'; с = 2с'1; г = 5с.
444
Раздел 6
При заданных значениях величин согласно формуле (6.38) в уста-
новившемся режиме значения объемных расходов горячей (пара) и
холодной воды определяются:
= 051(39-10)
г3 150-10
= 0.51(150-39) ~ + = v Q 5 j
Xj 150-Ю
На рис.6.28 параметры 0ГН и 0ХИ обозначены соответственно Т
hot и Т cold, Vr и Их соответственно V hot и V cold, а параметр в на
выходе объекта управления обозначен Т.
Нечеткие регуляторы НОТ и COLD выполнены по идентичным
схемам. Полная схема нечеткого регулятора НОТ представлена на
рис.6.29.
UnrtDelayl
а)
min err
Рис.6.29
445
Раздел 6
На входе регулятора непрерывный сигнал преобразуется в цифро-
вой аналого-цифровым преобразователем АЦП Zero-Order Hold, а на
выходе цифровой сигнал преобразуется в аналоговый цифроаналого-
вым преобразователем ЦАП Zero-Order Hold 1 (см. рис.6.29,а).
Синтез нечетких регуляторов НОТ и COLD выполнен по форму-
лам (3.1)-(3.13) для треугольных функций принадлежности с шагом
квантования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0,01 с.
В каждом нечетком регуляторе настраиваются диапазоны измене-
ния входных и выходной переменных [0min, 0max ], [0min, втт ],
[^mnAaxb [^тиЛах] ТреуГОЛЬНЫХ фуНКЦИЙ ПрИНЯДЛеЖНОСТИ:
/?(м) = 1-и, //2(п) = м, где и - параметр (элемент) единого уни-
версального множества U =[0,1].
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) и уменьшения
числа параметров настройки диапазоны изменения входных и выход-
ного сигналов (параметров нечеткого регулятора) принимаем симмет-
ричными:
л — _/□ • Й — —Й • Й — —Й • yyi — —т
^гпах — ^тт’ ^тах ~~ ^тт ’ ^тах “ ^min ’ "*тах — ^‘min '
При этом пересчет значений сигналов в значения элементов еди-
ного универсального множества производится по формулам (3.41):
«;=-(»
< = -(ё'Л.М.):
w* = wmin(l-2w‘).
На основании этих формул построены структурные схемы блоков
нормировки входных (normin) и выходного (normout) параметров ре-
гулятора (см. рис.6.29,в,г). Значения диапазонов q^ , , 11,2,3,
ml и m2 при настройке (оптимизации параметров) каждого нечеткого
регулятора подбираются либо вручную, либо автоматически путем
решения оптимизационной задачи. При настройке уточняется также
значение коэффициента К.
446
Раздел 6
Отметим, что при настройке нечетких регуляторов в интерактивной
системе MATLAB целесообразно использовать блок NCD (Nonlinear
Control Design), который реализует метод динамической оптимизации
для проектирования систем управления. Этот инструмент, разработан-
ный для использования с Simulink, автоматически настраивает систем-
ные параметры, основываясь на определенных ограничениях на времен-
ные характеристики (например, время регулирования и перерегулирова-
ние для реакции на ступенчатое воздействие или пределы для текущей
ошибки рассогласования).
Ошибка на выходе АЦП 0(к) в каждом канале управления, ее
первая 0(к} - [#(&) - 0(к - 1)]/Л и вторая 0(к) - [0(к)-0(к - 1)]/Л
разности подаются на вход соответствующего блока нормировки
входных (normin) параметров. В центральном блоке нечеткого регуля-
тора Fuzzy’ Logic Controller (см. рис.6.29,а) выбираются функции при-
надлежности membership functions и задается база правил rules. Сигнал
с этого блока подастся на вход блока нормировки выходного
(normout) параметра. Сигнал с выхода каждого блока нормировки вы-
ходного параметра нечеткого регулятора поступает на ЦАП (фиксатор
нулевого порядка с передаточной функцией H(s) = (1 - e~hs )/s) и
далее на вход соответствующего исполнительного механизма.
В результате настройки получены следующие оптимальные пара-
метры нечетких регуляторов и коэффициента К:
ql 1=0.024; q 12=0.3293; q 13 =55.3936; ml=27.4152;
q21=0.9675; q22=0.799; q23=58.2343; m2=28.0226;
K=0.0127.
На рис.6.30 приведены осциллограммы установления температу-
ры теплоносителя на выходе смесителя при подаче на вход смесителя
исходных теплоносителей (пара с температурой 0ГН =150° С и хо-
лодной воды с температурой #хн = 10°С). При перерегулировании в
1°С, что соответствует перерегулированию 2,5% (участок кривой с
перерегулированием отдельно приведен на рис.6.30,б) требуемая тем-
пература на выходе смесителя 0^ =39° С с учетом чистого запазды-
вания устанавливается за 22 секунды и после окончания переходного
процесса отклонение регулируемой температуры от заданного значе-
ния в установившемся режиме равно нулю.
447
Раздел 6
На рис.6.31 приведены осциллограммы изменения объемных рас-
ходов пара и холодной воды при подаче на вход смесителя исходных
теплоносителей. После окончания переходных процессов за 42 секун-
ды устанавливаются заданные значения объемных расходов пара и
холодной воды: Иг3 = 0,106; /х3 = 0,404.
Таким образом, исследование системы методом математического
моделирования показывает, что применение нечетких регуляторов
позволяет спроектировать систему регулирования температуры теп-
лоносителя высокого качества: система обладает достаточным быст-
родействием (время установления заданной температуры на выходе
смесителя с учетом чистого запаздывания составляет 22с, перерегули-
рование не превышает 2,5%) и нулевой ошибкой в установившемся
режиме. Поэтому применение нечетких регуляторов для таких систем
целесообразно и перспективно.
448
Раздел 7
Раздел 7.
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ
ДВУХРОТОРНОГО ДВУХКОНТУРНОГО ГАЗОТУРБИННОГО
ДВИГАТЕЛЯ
7.1. Синтез цифровых регуляторов систем автоматического
управления температурой газа двухроторного двухконтурного
ГТД на базовых режимах работы [28]
Устройство двухроторного двухконтурного газотурбинного дви-
гателя с форсажной камерой и регулируемым соплом представлено на
рис.7.1.
Рис.7.1
Двигатель состоит из входного устройства 1, вентилятора 2, ком-
прессора 3, внешнего контура 4, основной камеры сгорания 5 и фор-
сажной камеры сгорания 10, турбины компрессора 6 и турбины вен-
тилятора 7 с выходным устройством турбин 8, выходного устройства
вентилятора 9 и регулируемого выходного сопла 11.
Внутренний контур включает компрессор 3, основную камеру
сгорания 5, турбину компрессора 6, турбину вентилятора 7 и выход-
ное устройство внутреннего контура 8. Во внешний контур 4 входят
вентилятор 2 и выходное устройство внешнего контура 9.
Входное устройство 1 преобразует скоростной напор набегающе-
го воздушного потока в давление и подает сжатый воздух в вентиля-
449
Раздел 7
тор 2. Вентилятор 2 представляет собой лопаточную машину и служит
для сжатия и подачи воздуха на компрессор 3. Компрессор 3 подаёт
воздух в основную камеру сгорания 5 с необходимой степенью повы-
шения давления, которое производится с целью увеличения эффек-
тивности работы двигателя и осуществляется за счёт подвода к потоку
механической энергии от турбины компрессора 6. Вдоль канала ком-
прессора скорость уменьшается и на выходе из него составляет при-
мерно половину от скорости потока на входе. Такой характер измене-
ния скорости обеспечивает высокую степень повышения давления в
последних ступенях компрессора.
Тепло к потоку во внутреннем контуре подводится в основной
камере сгорания 5. Давление газа в камере сгорания 5 падает из-за га-
зодинамических сопротивлений. Температура потока на выходе из
основной камеры сгорания составляет 1300-1600К и более. Допусти-
мое значение температуры газа перед турбиной компрессора опреде-
ляется прочностью конструкции этой турбины.
Преобразование потенциальной энергии газового потока (тепло-
перепада) внутреннего контура в механическую работу осуществляет-
ся в турбинах компрессора и вентилятора. Полученная в турбине ком-
прессора механическая работа расходуется на вращение компрессора
и агрегатов различных систем (генераторов, насосов и т.д.). Работа
турбины вентилятора затрачивается на сжатие воздуха вентилятором,
в результате чего энергия внутреннего контура передаётся во внешний
контур. Распределение энергии между контурами зависит от отноше-
ния расходов газа, протекающего через них.
В турбинах компрессора и вентилятора 6 и 7 происходит расшире-
ние газового потока внутреннего контура. Давление и температура га-
зов при прохождении газового потока через турбины снижаются, ско-
рость потока возрастает. Дальнейший разгон газового потока осуществ-
ляется в сопле выходного устройства внутреннего контура 8 и в фор-
сажной камере 10. Выходное устройство 8 (на выходе турбин) предна-
значено для преобразования располагаемого теплоперепада газового
потока в кинетическую энергию его направленного движения.
Цикл работы внешнего контура 4 аналогичен внутреннему конту-
ру, только потенциальная энергия газового потока не преобразуется в
механическую работу турбины, а полностью используется на увели-
чение в нём кинетической энергии воздушного потока и преодоление
газодинамических потерь.
450
Раздел 7
Для каждого режима полёта имеется оптимальное распределение
энергии между контурами при котором удельная тяга двигателя будет
максимальной. При этом максимальному значению удельной тяги од-
новременно соответствует минимальное значение удельного расхода
топлива.
Форсажная камера предназначена для повышения тяги и расши-
рения лётных характеристик летательного аппарата. Процесс включе-
ния и выключения форсажа относится к неустановившимся режимам
работы ГТД. Особенности работы двигателя на этих режимах опреде-
ляются совместной работой компрессора, вентилятора и выходного
регулируемого сопла, а также работой системы топливной автоматики
и управления. Обычно при работе двигателя на форсированных режи-
мах топливная автоматика обеспечивает максимальные и постоянные
частоты вращения роторов вентилятора и компрессора с помощью
регуляторов постоянства частот вращения. При изменении степени
форсирования тяги двигателя независимость работы вентилятора и
компрессора от работы форсажной камеры достигается регулятором
сопла 11, поддерживающим постоянное значение степени понижения
давления на турбинах. Изменение режима работы форсажной камеры
осуществляется изменением расхода топлива.
На расчётном режиме работы ГТД имеет место полное расшире-
ние газа в сопле. При этом статическое давление газа в выходном се-
чении сопла 11 равно давлению воздуха в атмосфере. Скорость и тем-
пература потока на выходе из сопла определяют величину тяги и эко-
номичность двигателя. В зависимости от режима работы ГТД темпе-
ратура потока газа на выходе из реактивного сопла может составлять
500-800°С, скорость — 500-800 м/с и более.
Двухроторный двухконтурный газотурбинный двигатель ГТД
представляет собой сложную динамическую систему со многими ак-
кумуляторами энергии. Полностью учесть физические законы, кото-
рым подчинена эта система, при выводе уравнений движения ГТД не
представляется возможным. Многочисленные расчёты по определе-
нию свойств ГТД как объекта управления показывают, что опреде-
ляющими аккумуляторами энергии в двигателе являются вращающие-
ся массы «компрессор + турбина компрессора» и «вентилятор + тур-
бина вентилятора». Остальные аккумуляторы энергии мало влияют на
свойства объекта и без большой погрешности ими можно пренебречь.
451
Раздел 7
Преобразование энергии в процессе горения, в результате чего
происходит выделение тепла, можно представить как безынерцион-
ный процесс, происходящий с некоторым запаздыванием по времени.
Движение объекта управления в установившихся базовых режимах
его работы можно рассматривать в линейном приближении, справед-
ливом при малых отклонениях обобщённых координат объекта. В
этих случаях в системе автоматического управления температурой
газа двухвального двухконтурного газотурбинного двигателя можно
использовать линейные цифровые регуляторы. Ниже изложен расчет
оптимальных по быстродействию линейных цифровых регуляторов
для различных базовых режимов работы двигателя и методом матема-
тического моделирования определены оптимальные переходные про-
цессы при условии стационарности параметров двигателя на каждом
базовом режиме.
Для упрощения математических расчётов примем, что на опреде-
лённом базовом установившемся режиме работы ГТД его параметры
остаются постоянными. Кроме того, не будем учитывать процесс за-
паздывания выделения тепла в основной и в форсажной камерах сго-
рания. Тогда получим неполную систему линейных уравнений модели
двигателя с учетом только инерции вращающихся масс роторов [28]:
пВ -^ВВпВ +^ВКпК + kBGGT',
4 пК ” кквпв + ^ККпК + (7-1)
Тт -kTBnB + kTKnK + kTGGT,
где пк=&пк1пкц - относительное отклонение частоты вращения
ротора компрессора; пв = \пв / nBQ -относительное отклонение час-
тоты вращения ротора вентилятора; Тт = / Тто - относительное
отклонение температуры газа за турбиной вентилятора (за турбинным
блоком); GT = >/GT0 - относительное отклонение расхода топли-
ва в основной камере сгорания; nKQ,^Bq,Ttq,Gto - значения соответ-
ствующих параметров на базовом установившемся режиме работы
двигателя; к - коэффициенты влияния, которые физически выражают
изменение регулируемой величины в долях величины приложенного
возмущения на установившемся режиме работы ГТД. На разных ре-
жимах работы и при различных внешних условиях коэффициенты
452
Раздел 7
влияния двигателя существенно изменяются, поэтому для каждого
режима необходимо определять свои значения этих коэффициентов.
В уравнениях (7.1) регулируемыми являются три параметра (три
выходных переменных): частота вращения ротора вентилятора пв,
частота вращения ротора компрессора и температура газа за тур-
бинным блоком Тт. Управляющим параметром (управляющим воз-
действием) является расход топлива в основной камере сгорания GT.
Заметим, что записанные выше уравнения для такого нестацио-
нарного объекта управления, каким является газотурбинный двига-
тель, находятся путем идентификации параметров объекта и получа-
ются методом “замороженных коэффициентов” для различных уста-
новившихся режимов работы двигателя.
Линейную динамическую модель исполнительного устройства
представим в виде
T3TzT +zt= kZTiT,
< ТиТ^ТФОР С^)
t ^ТФОР'
где GT<pop,GT,ZT,iT - относительные отклонения управляющих сигна-
лов, T3T,kZTyT ит - постоянные коэффициенты динамической модели
исполнительного устройства.
Температура газа за турбинным блоком измеряется термопа-
рой, динамику которой можно описать уравнением
Ттпх + х = Гг, (7.3)
где Ттп - постоянная времени термопары.
Введем обозначения
а0 = \/ТИТУ <7| = kZTknH / Тзт , а2 = kBGy сх3 = kKG<i
^4 ~ ктв> ^5 ~ ~ ^тк’ ~ ккв* ^8 ~ ^вк"> (Т-4)
= 1 / Тзт; b2 = —кВВу Ь3 — —ккк у b4 = 1 / Ттп.
Составленная с учетом уравнений (7.1) - (7.3) и обозначений (7.4)
структурная схема системы автоматического управления с цифровым
регулятором ЦР, объектом управления ОУ в виде линейной модели
453
Раздел 7
ГТД (вместе с исполнительным устройством) и термопарой ТП пред-
ставлена на рис.7.2 [111, 112].
Рис.7.2
На основании схемы (см. рис.7.2) запишем следующие уравнения
в преобразованиях по Лапласу при нулевых начальных условиях:
ид(5) = а\ GT(s)+ ** nK(s); (7.5)
s + b2 s + b2
”k(s)= a\ Gr(s) + a\ nB(sb C7-6)'
s + by s +by
TT(s) = a4GT(s) + a5nB(s) + a6nK (s). (7.7)
Подставляя nK(s) из уравнения (7.6) в уравнение (7.5), после не-
сложных преобразований найдем:
z ч a^s + a,b. + а,а<> _ z х
Ло(5)= . 2 2 3 3 8 С7г(5). (7.8)
5“ (Ь2 4- b3 )5 + b2b3 - a2as
Подставляя nB(s) из уравнения (7.5) в уравнение (7.6), после не-
сложных преобразований найдем:
454
Раздел 7
, д;5+«Д+«,а? г , ,
nK(s) = 3- - Gr(s).
s2 +(b2+b3)s + b2b3 -a2as
Подставляя правые части выражений (7.8) и (7.9) в
(7.7), получаем:
г a.a.s + аЛаЛ +а,а8)
Гг(5) = [а,+ , - 5 S'- - 3 ; 8/ +
s' +(b2+b3)s + b2b3 -а2ап
+ a3a6s + ab(a3b2+a2a7)
s2 + (b2 +b3)s + b2b3 -a7as т
Из выражения (7.10) получаем передаточную функцию
сМ=Гг(5) =а/:+‘г1+г,
Gr(s) s'+bs + a
(7.9)
уравнение
(7.Ю)
(7.П)
, , , , , , , ct2a.' + a3ah
где: o = o2+o3; a = b2b3-а7а^, q = b2 +b3 + ;
a4
r = b,b3 -а7а3 + (a-,b3 +a3as) + (a3b, + «,a7).
a4 ’ «4
Теперь можно записать общую передаточную функцию объекта
управления вместе с исполнительным устройством и термопарой (см.
рис.7.2):
ед=х(5,= , а<‘!+ч‘+г'> е--, (7.12)
m(s) s(s'+ bs + a)(s + c)(s + d)
где a = a0a}a4b4-, c = Z>t; d = b4.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объект управления при линейно изменяю-
щемся сигнале на входе системы управления на п -м интервале регу-
лирования определяются (см. Приложение Б, п.20):
w0 = K0(MJ + S0A<t) + Л<тп_|, ntp<t < ntp + h;
ТП\ = К0[д}(Ди + S0Aa) + АДсг] + Rcrn_}, ntp + h<t < ntp +2h;
m2 ~ + S0Acr) + AAcr(l + ^l)] + 7?o-n_|,
ntp + 2h <t < ntp+ 3h;
m3 = Ки[д3(Ди + 50Дсг) + ЛДсг(1 + <7, +^2)] + /?crn_l,
455
Раздел 7
ntp+3h<t<ntp+4h; (? (3)
"»4 = Ко [q4 (A U + 50Дсг) + AAtr(l + qx + q2 + ^)] + Ran_t,
ntp + 4h < t < ntp + 5h,
acd _ acd
где Ka= - — ; R = ;
aAr(l-2-.5cos/l/? + B)(l-C)(l-D) ar
S ^§h-q + a-C + d^ + bcd - Л(4 + 3^1+2^2+9з)
° r acd (1-2 В cos Ah+ B)(l-C)(\-D)’
qi = -(2 . В cos Ah + C + £>); q2 = В + 2(C + D) В cos Ah + CD;
q} = -B(C + D)~ 2CD В cos Ah; q4 = BCD;
A= a-b2/4; B = e~bh; C - e~ch; D = e~dh.
MJ = 0n, где -ошибка системы в момент начала и-го интерва-
ла регулирования t = Nh + z\, т.е. ошибка системы в момент ntp. А -
шаг квантования. N =5 - порядок объекта управления (вместе с ис-
полнительным устройством и термопарой). Дет = сгп — сгп_} - прира-
щение скорости на интервале регулирования ntp < t <( п +1) t , где ап
- первая разность (средняя скорость) входного воздействия на интер-
вале регулирования ntp<t<(n + ])tp, стп_] - первая разность (средняя
скорость) входного воздействия на интервале регулирования
(n-\)tp<t<ntp.
По определению передаточная функция цифрового регулятора
есть отношение z- преобразования выходной переменной регулятора
(которая является управляющим воздействием на объект управления)
к z- преобразованию входной переменной регулятора (которая явля-
ется ошибкой рассогласования) при нулевых начальных условиях. По-
этому цифровой регулятор на каждом подинтервале ntp<t<ntp + Nh
интервала регулирования ntp<t<(n + \)tр можно описать передаточ-
ной функцией
456
Раздел 7
W(z} =M(z) = т0 + т^'+ m2z~2 + m3z~3 + mAz~4
0(z) At/(1 +z"' + z-2 + z~3 + z~4)
или разностным уравнением
4 4
w = - At/]Tw_J/At/ , (7.15)
k=Q k=l
где 0 = At/ при индексе i-k>0 и 0 = 0, m = 0 при индексе
i - к < 0.
Если обозначить At/; дискретные значения ошибки системы в
моменты ih, i =0,1,2, на интервале регулирования длительностью t
(AUq = AU = 0п - ошибка системы в момент ntp^ At/, - ошибка сис-
темы в момент ntp + h, &U2 - ошибка системы в момент ntp + 2h, и
т д), то цифровой регулятор на каждом подинтервале
ntp<t <ntр + Nh интервала регулирования ntp<t<( п +1 )t можно
описать передаточной функцией
= W° + т'2'' + т^ 2 + 3 + т^- (7 16)
0(z) At/0 + ДЦг'1 + At/,z'2 + At/3z’3 + At/4z~4
или разностным уравнением
(7-17)
к=0 А=1
Разработаны методики идентификации коэффициентов влияния
для базовых установившихся режимов работы двигателя.
Полученные в результате идентификации коэффициенты для мак-
симального режима (МР) работы ГТД типа АИ-222 в схеме на рис.7.2
имеют следующие числовые значения:
а0 = \/ТИТ = 0,01; а} = к7Ткпи /Тзт = 85;
а2 = ~ U9; а3 = кКС = 0,67;
а4 = kTG = 0,38; а5 = ктв = -0,09; а6 = кТК = -0,36;
ai ~ к кв ” “0’5; а8 = квк = 2,81;
b. = МТ1Т = 0,29; Ь2 = -квв = 4,42; Ь. = -кКК = 2,5;
1 Л 7 £ DD ’ ’ 3 ЛА ’ ’
457
Раздел 7
64 =\/Ттп =0,67; т} =0,045.
Базовые значения выходных параметров для максимального ре-
жима:
пв = 13943об/лшн; пк =18880об/мин\ Тт =975°С.
«ов = = 1459,37рад/с; сок = = 1976,1 \рад/с.)
Полученные в результате идентификации коэффициенты для
среднего (крейсерского) режима (СР) работы ГТД в схеме на рис.7.2
имеют следующие числовые значения:
= \/Тит = 0,01; <z, = кгткпи 1Тзт = 85;
а2 ~ квв = 0,78; а, = кК(; = 0,38;
<z4 = kTCi = 0,42; cr, = ктв - -0,14; аь = кТК = -1,16;
а7 = ккв = 0,03; = кВК = 5,64;
b. = 1 / Т,т = 0,29; Ь, = -квв = 3,96; 6, = -кКК = 3,49;
Ь<=\1Тти =0,67; г, =0,045.
Базовые значения выходных параметров для среднего режима:
= 10674об/лшн; пк = 16817об/лшн; Тт = 115° С
(<уд = = 1117,21 рад/с; (ок = = 1760,1 Ърад/с.)
Полученные в результате идентификации коэффициенты для ре-
жима малого газа (РМГ) работы ГТД в схеме на рис.7.2 имеют сле-
дующие числовые значения:
ог0 — \/Тит — 0,01, = kZTknH /Тзт = 85;
«2 = kRG = 0,27; а3 = kKG = 0,16;
<z4 = kTC = 0,37; а5 = kTl) = -0,03; аь = kTK = -1,04;
ai ~ ккв ~ 0,005; а8 = кВ1< = 2,27;
Ь.=\/Тзт= 0,29; Ь, = -квв = 1,21; Ь3 = -кКК = 0,59;
Ь.=]/Тт11 =0,67; г, =0,045.
Базовые значения выходных параметров для режима малого газа:
= 4830o6/jww//; пк =12768об / мин\ Тт =591°С
о ’ Л ’ /
458
Раздел 7
7777 тт
(й)в = = 505,54рад /с; сок = = 1336,38 рад/с.)
Численные значения параметров общей передаточной функции
(7.12) объекта управления вместе с исполнительным устройством и
термопарой для указанных трех режимов работы газотурбинного дви-
гателя приведены в табл.7.1.
Таблица 7.1
а Я г b а с d
МР 0,216 6,0034 9,0626 6,92 12,455 0,29 0,67
СР 0,239 6,1405 7,8087 7,45 13,651 0,29 0,67
РМГ 0,211 1,3284 0,1122 1,80 0,703 0,29 0,67
Для максимального режима ГТД (при максимальной тяге двигате-
ля) звено второго порядка 1-(52 + 6,92s+ 12,455)~1 является колеба-
тельным (корни уравнения, стоящего в скобках,
х,, = -3,46 ± /0,6953). Для среднего (крейсерского) режима работы
ГТД звено второго порядка
1 • (Г + 7,455 + 13,651)’1 = 1 • [(5 + 3,2511)($ + 4,1989)]-',
т.е. состоит из двух апериодических. Для режима малого газа звено
1 • (s2 +1,85 + 0,703)-' = 1 • [(5 + о,5729)(5 +1,2271)]’1,
т.е. также состоит из двух апериодических.
Поэтому для среднего режима и режима малого газа общую пере-
даточную функцию объекта управления нужно записать в виде
ад=ф)= е--, (7.18)
m(s) s(s + g)(s + l)(s + c)(s + d)
rn£g = b/2+ b2/4-a; l = b/2~ b2/^-a.
Для объекта управления с передаточной функцией (7.18) ампли-
туды импульсов длительностью h оптимального управляющего воз-
действия при линейно изменяющимся сигнале на входе системы
управления на /7-м интервале регулирования определяются по фор-
мулам (7.13), в которых (см. Приложение Б, п.18):
459
Раздел 7
к = - glcd R =glcd
° a/w(l-G)(l-£)(l-C)(l-£>)’ ar '
s =5h_q + glc + gld + gcd+lcd _ h(4 + 3q} + 2q2 + q3)
° r glcd~~ (1 - G)(l - £)(1 - C)(l - £>) ’
q, = -(G + L + C + D); q2 = GL + GC+ GD +LC + LD + CD;
q3 = -(GLC + GLD + GCD + LCD)- q4 = GLCD;
G = e'gh; L = e~,h; C = ech; D = edh.
Отметим также, что для максимального режима ГТД звено
(52 4-6,0034^ 4-9,0626) является форсирующим второго порядка
(корни уравнения, стоящего в скобках, xL2 = -3,0017 ± у 0,2289). Для
среднего режима ГТД звено (s2 + 6,1405s + 7,8087) =
= (s 4- l,7983)(s 4- 4,3422), т.е. состоит из двух форсирующих первого
порядка. Для режима малого газа звено (s2 4- 1,3284s 4- 0,1122) -
= (s 4- 0,0906)(s 4-1,2378), т.е. также состоит из двух форсирующих
первого порядка.
Результаты расчета по формулам (7.13) амплитуд импульсов дли-
тельностью h оптимального управляющего воздействия при ступен-
чатом сигнале на входе системы управления для объекта управления
при работе ГТД на максимальном режиме (численные значения пара-
метров передаточной функции (7.12) общего объекта управления оп-
ределяются из первой строки таблицы (7.1) при различных шагах
квантования в цифровом регуляторе следующие:
при h - 0,5 с
mQ =92,18; ^=-176,4; т2 = 108,5; т3 = -23,6; т4 = 1,8;
при h = 1,5 с
т0 = 3,7; т} = -3,78; т2 = 0,9; т3 = -0,005; т4 = 0;
z-изображение оптимального управляющего воздействия на входе
объекта управления M(z) = 4- т^~л + m2z~2 4- m3z~3 4- m4zA.
На рис.7.3 представлены амплитуды импульсов управления и пе-
реходные процессы x(t) на выходе общего объекта управления (на
460
Раздел 7
выходе системы) для максимального режима работы ГТД при значе-
ниях шага квантования соответственно h = 0,5 с и h = 1,5 с. Если при
Л = 1,5 с переходный процесс x(Z) близок к апериодическому, то при
h = 0,5 с переходный процесс х(7) - колебательный с перерегулиро-
ванием » 32 %.
Результаты расчета по формулам (7.13) амплитуд импульсов дли-
тельностью h оптимального управляющего воздействия для объекта
управления при работе ГТД на среднем (крейсерском) режиме (чис-
ленные значения параметров передаточной функции (7.12) общего
объекта управления определяются из второй строки таблицы (7.1) при
различных шагах квантования в цифровом регуляторе следующие:
при h = 0,8 с
mQ = 23,14; т. = -34,41; т2 = 14,27; т3 = -1,25; = 0,028;
при h = 2,0 с
т0 = 2,19; т} = -1,8; т2 = 0,32; т3 « 0; /и4 ~ 0.
На рис.7.4 представлены амплитуды импульсов управления и пе-
реходные процессы x(Z) на выходе общего объекта управления (на
выходе системы) для среднего режима работы ГТД при значениях ша-
га квантования соответственно h — 0,8 с и h = 2,0 с. Если при
461
Раздел 7
h = 2,0 с переходный процесс х(7) близок к апериодическому, то при
h = 0,8 с переходный процесс х(7) - колебательный с перерегулиро-
ванием « 27 %.
Как показывают расчеты и моделирование, при оптимальном
управлении переходные процессы х(7) в системе заканчиваются за
N шагов квантования (практически за более короткое время). Поэто-
му длительность переходных процессов зависит от величины шага
квантования. С уменьшением шага квантования значительно возрас-
тает амплитуда импульсов управления, переходный процесс из апе-
риодического переходит в колебательный и резко возрастает перере-
гулирование. Таким образом, быстродействие системы ограничивает-*
ся либо заданным перерегулированием, либо допустимым усилением,
необходимым для формирования амплитуд импульсов управления.
Отметим весьма важный факт. Рассмотренные переходные про-
цессы х(/) для максимального и среднего (крейсерского) режимов
работы ГТД имеют место на выходе термопары, которая является дат-
чиком температуры газа за турбиной TT(t). При этом изменение тем-
пературы в переходных процессах носит другой характер, а именно,
переходные процессы температуры TT(t) (на входе термопары) могут
иметь весьма значительное, часто недопустимое, перерегулирование
462
Раздел 7
при практически апериодических переходных процессах х(7) на вы-
ходе термопары. На рис.7.3,6 и 7.4,6 представлены переходные про-
цессы температуры TT(t) (на входе термопары). Эти переходные про-
цессы имеют значительное перерегулирование, для уменьшения кото-
рого необходимо увеличивать шаг квантования в цифровом регулято-
ре. На рис.7.5 изображены переходные процессы температуры TT(t)
для максимального МР и среднего СР (крейсерского) режимов работы
ГТД при перерегулировании не более 2...3 %.
Сравнивая переходные процессы, изображенные на рис.7.3,6 ,
7.4,6 и 7.5, заключаем, что при ограничении перерегулирования (при
условии, что перерегулирование сг% не более 2...3 %) время регули-
рования температуры TT(t) в 1,6... 1,8 раз больше, чем время регули-
рования выходной координаты x(Z), и составляет для максимального
МР и среднего СР (крейсерского) режимов работы ГТД примерно 7 с.
Однако при некоторых параметрах газотурбинного двигателя пе-
реходные процессы могут иметь значительное перерегулирование да-
же при очень больших шагах квантования.
На рис.7.6 изображен переходный процесс x(Z) на выходе общего
объекта управления (на выходе системы) для режима малого газа ра-
боты ГТД при значении шага квантования h = 20 с. Интересно отме-
тить, что кривая температуры TT(t) в этом случае практически повто-
ряет кривую x(f), а оптимальное управляющее воздействие на входе
463
Раздел 7
общего объекта управления m(t) представляет собой один импульс
т0 = 0,289.
Рис.7.6
В заключение отметим, что рассматривалось оптимальное управ-
ление температурой газа за турбинным блоком двухроторного двух-
контурного газотурбинного двигателя на базовых режимах работы
двигателя при условии, что непосредственным входным воздействием
на газотурбинный двигатель является расход топлива в основной ка-
мере сгорания. При этом линейную модель двигателя можно описать
передаточной функцией (7.11).
Датчиком температуры в системе (см. рис.7.2) является термопара
ТП, которая описывается апериодическим звеном с передаточной
функцией GTn(s) = b4(s + b4)~l, Ь4 = \1Ттп, где Ттп - постоянная
времени термопары. Термопара обладает значительной инерционно-
стью, что в определенной степени ухудшает динамику системы
управления. Поэтому желательно компенсировать инерционность тер-
мопары.
Для полной компенсации такого звена как термопара необходимо
последовательно включить звено с передаточной функцией
Grn(s) - 1 + s7Z>4. Звено с передаточной функцией G^n(s) можно
реализовать, если на выходе термопары включить устройство выбор-
ки-хранения УВХ, работающее с весьма малым шагом дискретизации
Ло, и с выхода УВХ сигнал x(z) пропустить параллельно через про-
порциональное звено и звено, реализующее первую разность, т.е.
обеспечить следующий алгоритм:
464
Раздел 7
а... х(/)-х(/-1) -г / ч
*0) + ~'—- = Тт (/)•
Мд
Ниже изложен расчет оптимальных по быстродействию цифро-
вых регуляторов для системы автоматического управления темпера-
турой газа двухроторного газотурбинного двигателя ГТД при условии
компенсации динамических свойств датчика температуры [117].
Структурную схему линейной модели системы автоматического
управления с цифровым регулятором ЦР, объектом управления ОУ в
виде линейной модели ГТД (вместе с исполнительным устройством),
термопарой ТП и устройством компенсации можно представить в ви-
де, изображенном на рис.7.7.
При компенсации динамических свойств термопары общую пере-
даточную функцию объекта управления вместе с исполнительным
устройством (см.рис.7.7) можно записать в виде:
(719)
m(s) s(s2 + bs + a)(s + с)
где а = аоахаА', с = ЬХ.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объект управления при линейно изменяю-
щимся сигнале на входе системы управления на п -м интервале регу-
лирования определяются (см. Приложение Б, п.12):
m0 = KQ(AU + 50Лсг) + /?сгп_1, ntp <t<ntp+h\
т\ = Ко [<7i (AU + З^Дст) + ЛДсг] + R<J„.X,
nt+h<t < nt + 2h',
p p ’
m2 = K0[q,(AU + S0A<f) + hAa(\ + qx)] + Rcrn_x,
ntp+2h<t < ntp + ЗЛ;
=KQ[q,(MJ + 50Дсг) + ЛДсг(1+ </, +^2)] + /?crn_|, (7.20)
ntp + ЗЛ < t < ntp + 4Л,
ac
где Kn = - - - - ;
ahr(\-2 . В cos Ah+
465
Раздел 7
R = ac- S =4h-q + а + Ьс - Л(3 + 2^+72)
ar' й г ас (1-2 В cos Ah + Z?)(l - С)’
q}=-(2 В cosAA + C); q2 = В + 2С В cos Ah;
q^--BC; A=,a-b2/4; B = ehh-, C = e‘h.
I---
i ОУ
nB
1
ZT ^ТФОР
»—tv
J -------
m(t) = iT(t)
Цифровой
Фиксатор рмулягор
—iG
s__
>
ЦАП
<*7
АЦП u(t)
1
S+b-2.
h 0(0
a3
s+b<
x(t)
x(t)
/ ТП
b.
s+b^
^«4
Рис.7.7
Д(7 = 0n, где 0n -ошибка системы в момент начала п -го интерва-
ла регулирования t - Nh + г,, т.е. ошибка системы в момент nt р. h -
шаг квантования. N =4 - порядок объекта управления (вместе с ис-
полнительным устройством, но без термопары). До* - ап-стп.х -
приращение скорости на интервале регулирования ntp<t<(n + \ )tp,
где ап - первая разность (средняя скорость) входного воздействия на
интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp, сгп_} - первая разность
466
Раздел 7
(средняя скорость) входного воздействия на интервале регулирования
(n-\)tp<t<ntp.
Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntp<t<ntр + Nh
интервала регулирования ntp<t<( п +1 )tp можно описать передаточ-
ной функцией
(7.21)
0(z) MJ(\ + z ' + z ' +z ’)
или разностным уравнением
т=(^т^,-к , (7.22)
А-0 к~\
где 0 = NU при индексе i - к и 0 - 0, т - 0 при индексе i-k<
0.
Если обозначить &U, дискретные значения ошибки системы в
моменты /Л, Z =0,1,2, на интервале регулирования длительностью t
(Д(70 - ошибка системы в момент ntp, ошибка системы в мо-
мент ntp + h, &U2- ошибка системы в момент ntp + 2h, и т.д.), то
цифровой регулятор на каждом подинтервале nt p<t <nt р + Nh интер-
вала регулирования nt p<t <(n + \)t р можно описать передаточной
функцией
^(2)=W)=
0(z) A£/0+4t/,z-' +MJ2z'2 +\и^
или разностным уравнением
w.=(X",*A67'-* д(7о- <7-24)
АО к-\
Полученные в результате идентификации численные значения па-
раметров общей передаточной функции (7.19) объекта управления
вместе с исполнительным устройством для базовых режимов работы
газотурбинного двигателя - максимального режима МР, среднего
(крейсерского) режима СР и режима малого газа РМГ приведены в
табл.7.2
467
Раздел 7
Таблица 7.2
а 9 г b а с
МР 0,323 6,0034 9,0626 6,92 12,455 0,29
СР 0,357 6,1405 7,8087 7,45 13,651 0,29
РМГ 0,315 1,3284 0,1122 1,80 0,703 0,29
Для максимального режима ГТД (при максимальной тяге двигате-
ля) звено второго порядка 1 -(s2 + 6,92s +12,455)~’ является колеба-
тельным (корни уравнения, стоящего в скобках,
х12 = -3,46± >0,6953).
Для среднего (крейсерского) режима работы ГТД звено второго
порядка (52 +7,455 + 13,651)’1 = [(s +3,251 !)($ +4,1989)]"', т.е. со-
стоит из двух апериодических. Для режима малого газа звено
(s2 +l,8s + 0,703)-1 =[(s + 0,5729)(s + l,2271)]'1, т.е. также состоит
из двух апериодических.
Поэтому для среднего режима и режима малого газа общую пере-
даточную функцию объекта управления нужно записать в виде
a(s!+,s + r) (72$)
Ш(5) 5(5 + </)(5+/)(5 + (?)
гдеб7 = />/2+ Z>2/4-a; I = Ы2- .Ь2/4-а.
Для объекта управления с передаточной функцией (7.25) ампли-
туды импульсов длительностью h оптимального управляющего воз-
действия при линейно изменяющимся сигнале на входе системы
управления на п-м интервале регулирования определяются по фор-
мулам (7.20), в которых (см. Приложение Б, п.10):
= D = e~dh-
° ahrO-CW-DW-L)’
L = e~'h; C=*ech-,
cdl £ _ _ 9 ±cd + cl + dl h(3 + 2qx + q2)
ar' °“ ~r + cdl -(l-C)(l-r>)(l-Z,)’
cjy — ~(C + D + L)\ (j2 — CD + CL + DL\ — —CDL.
Как показывают расчеты и моделирование, при оптимальном
управлении переходные процессы в системе заканчиваются за N ша-
468
Раздел 7
гов квантования (практически за более короткое время). Поэтому дли-
тельность переходных процессов зависит от величины шага квантова-
ния. С уменьшением шага квантования значительно возрастает ампли-
туда импульсов управления, переходный процесс из апериодического
переходит в колебательный и резко возрастает перерегулирование.
Таким образом, быстродействие системы ограничивается либо задан-
ным перерегулированием переходных процессов, либо допустимым
усилением, необходимым для формирования амплитуд импульсов
управления. При заданном перерегулировании переходных процессов
минимальные шаги квантования, а значит, и минимальная длитель-
ность переходных процессов для различных режимов работы ГТД бу-
дут различными. Ниже приведены результаты расчета и моделирова-
ния системы при заданном перерегулировании переходных процессов
не более 2...3 %, когда путем моделирования определяется минималь-
ный шаг квантования, при котором перерегулирование переходного
процесса не превышает 2...3 %, и для этого шага записываются ам-
плитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия и фиксируется сам переходный процесс.
На рис.7.8, а,б,в представлены амплитуды импульсов управления
и переходные процессы с минимальной длительностью соответствен-
но для максимального режима МР, среднего (крейсерского) режима
СР и режима малого газа РМГ работы ГТД.
Для максимального режима работы ГТД минимальный шаг кван-
тования h = 1,4 с; при этом шаге квантования амплитуды импульсов
длительностью h оптимального управляющего воздействия следую-
щие: /и0 = 2,665; т} =-1,799; т2 =0,016; т3 %0.
Для среднего (крейсерского) режима работы ГТД минимальный
шаг квантования h = 1,8 с; при этом шаге квантования амплитуды
импульсов длительностью h оптимального управляющего воздейст-
вия следующие: mQ =1,947; тх =-1,162; т2 =0,004; т3 ~ 0.
В режиме малого газа не удается уменьшить п урегулирование,
которое составляет примерно 35 % при шаге квантования Л = 20 с ;
при этом управляющее воздействие представляет собой один импульс
= 0,29.
Как показывают расчеты и моделирование, время регулирования
на максимальном режиме работы ГТД составляет примерно 2,2 с, на
469
Раздел 7
среднем (крейсерском) режиме время регулирования составляет при-
мерно 2,6 с. Без компенсации динамических свойств термопары время
регулирования в указанных режимах составляет примерно 7 с. Таким
образом, система автоматического управления температурой газа
двухроторного двухконтурного газотурбинного двигателя при ком-
пенсации динамических свойств термопары обладает почти в 3,2 раза
(на максимальном режиме ) и почти в 2,7 раза (на среднем режиме)
более высоким быстродействием, чем та же система без компенсации
динамических свойств термопары. Если учесть, что технически ком-
пенсацию динамических свойств термопары выполнить очень просто
и она дает большой эффект по быстродействию системы управления,
то применение такой компенсации является весьма целесообразным.
470
Раздел 7
На рис.7.9, а,б,в представлены переходные процессы с минималь-
ной длительностью соответственно для максимального МР, среднего
СР и малого газа РМГ режимов работы ГТД и показано влияние
управления температурой газа TT(t) на частоты вращения ротора вен-
тилятора nB(t) и компрессора /7^(/)при отработке системой (см.
рис.7.7) единичного ступенчатого воздействия по температуре.
1.5------------------------------ 1.6 -------------------------
Рис.7.9
Изменение температуры газа (отработка системой единичного
ступенчатого воздействия по температуре) оказывает весьма значи-
тельное влияние на частоты вращения роторов вентилятора и ком-
прессора газотурбинного двигателя [54]. Частота вращения ротора
вентилятора отклоняется от своего первоначального установившегося
значения значительно больше частоты вращения ротора компрессора,
471
Раздел 7
причем отклонения частот вращения роторов от их первоначальных
значений особенно большие в режиме малого газа работы двигателя
(новое установившееся значение частоты вращения ротора вентилято-
ра более чем в 12 раз, а новое установившееся значение частоты вра-
щения ротора компрессора более чем в 4 раза превышает единичное
входное воздействие).
Для устранения значительного влияния изменения температуры
газа на частоты вращения роторов вентилятора и компрессора газо-
турбинного двигателя необходимо вводить дополнительный контур
управления по частоте вращения ротора вентилятора с использовани-
ем дополнительного управляющего воздействия на объект, например,
относительной величины проходного сечения выходного сопла. Дру-
гими словами, необходимо использовать многомерную (в частном
случае, двухмерную) систему управления.
Кроме компенсации динамических свойств термопары можно вы-
полнить компенсацию динамических свойств газотурбинного двига-
теля как объекта управления при условии достаточно точной иденти-
фикации параметров объекта на базовых режимах работы [56].
Если после фиксатора в системе рис.7.7 ввести корректирующий
контур с передаточной функцией
GI« = i/i’S + “. (7-26)
’ s 4- qs 4- г
то передаточную функцию объекта управления вместе с исполнитель-
ным устройством на основании выражений (7.19) и (7.26) можно запи-
сать в очень простом виде:
Go(5) = ^ = —^——e~T's . (7.27)
m(s) s(s + с)
Структурную схему линейной модели системы автоматического
управления с цифровым регулятором ЦР, объектом управления ОУ в виде
линейной модели ГТД (вместе с исполнительным устройством), термопа-
рой, устройством компенсации термопары и корректирующим контуром в
этом случае можно представить в виде, изображенном на рис.7.10.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляю-
щего воздействия на объект управления с передаточной функцией (7.27)
при линейно изменяющимся сигнале на входе системы управления на
п -м интервале регулирования определяются (см. Приложение Б, п.1):
472
Раздел 7
т0 = K0(AU + S0A<t) + Ясг„_', ntp <t < ntp +h;
mi = К0[д{ (AU + S0Acr) + ЛДсг] + Rtrn_}, ntp + h < t < ntp + 2h;
(7.28)
<7i = ~C\
C = e~ch.
ЦАП АЦП
Рис.7.10
Д(/ -On, где вп - ошибка системы в момент начала л-го интер-
вала регулирования tр = Nh + тх, т.е. ошибка системы в момент ntp.
h -шаг квантования. N =2 - порядок объекта управления (вместе с ис-
полнительным устройством, но без термопары). Дсг = сгп -сгп_1 -
приращение скорости на интервале регулирования nt p<t <(п +1 )tp,
где (Jn - первая разность (средняя скорость) входного воздействия на
интервале регулирования ntp<t+ р, <уп_х - первая разность
473
Раздел 7
(средняя скорость) входного воздействия на интервале регулирования
(n-Y)tp<t<ntp.
Цифровой регулятор на каждом подинтервале nt<t<ntр + Nh
интервала регулирования ntp<t<{п + 1 )t можно описать передаточ-
ной функцией
M(z)= т0+тгг~'
ад At/(i+z-')
или разностным уравнением
т ~C2Lmk^i~k~ , (7.30)
*=о
где в - &U при индексе i-k>0 и 0 = 0, т = 0 при индексе
/ - к < 0.
Если обозначить Д(/ дискретные значения ошибки системы в
моменты /А, / =0,1,2, на интервале регулирования длительностью t
(AUq - ошибка системы в момент ntp, Д(/ - ошибка системы в мо-
мент ntp + h), то цифровой регулятор на каждом подинтервале
ntp<t<ntp + Nh интервала регулирования nt p<t <(n + \)t р можно
описать передаточной функцией
Л/(г)= Wo+w.z’1
ад д(/0+дад'
или разностным уравнением ,
1
w -ДЦ/и^^/ДЦ,. (7.32)
Полученные в результате идентификации численные значения пара-
метров общей передаточной функции (7.19) объекта управления вместе с
исполнительным устройством для базовых режимов работы газотурбин-
ного двигателя - максимального режима МР, среднего (крейсерского)
режима СР и режима малого газа РМГ приведены в табл.7.2.
Как показывают расчеты и моделирование, при оптимальном
управлении переходные процессы в системе являются апериодиче-
скими и заканчиваются за N шагов квантования. Поэтому длитель-
474
Раздел 7
ность переходных процессов зависит от величины шага квантования.
С уменьшением шага квантования значительно возрастает амплитуда
импульсов управления. Таким образом, быстродействие системы ог-
раничивается допустимым усилением, необходимым для формирова-
ния амплитуд импульсов управления.
На рис.7.11, а,б,в представлены амплитуды импульсов управления
и переходные процессы соответственно для максимального МР, сред-
него (крейсерского) СР режимов и режима малого газа РМГ работы
ГТД при условии, что амплитуды импульсов управления ограничены
значением т < 10.
475
Раздел 7
При указанном ограничении амплитуд импульсов управления на
всех базовых режимах работы двигателя минимальный шаг квантова-
ния в регуляторе составляет Л = 0,6 с, переходные процессы - апе-
риодические (без перерегулирования), длительность процессов равна
2Л = 1,2 с. Амплитуды импульсов управления для максимального ре-
жима = 9,37; пц =-7,87, для среднего =8,48; гщ =-7,12,
для режима малого газа = 9,62; т} = -8,09.
На рис.7.12, а,б,в представлены переходные процессы с мини-
мальной длительностью для максимального режима МР, среднего ре-
жима СР и режима малого газа РМГ работы ГТД и показано влияние
управления температурой газа Тт(1) на частоты вращения ротора вен-
тилятора nB(t) и компрессора п^(/)при отработке системой (см.
рис.7.10) единичного ступенчатого воздействия по температуре [54].
476
Раздел 7
Изменение температуры газа (отработка системой единичного
ступенчатого воздействия по температуре) оказывает весьма значи-
тельное влияние на частоты вращения роторов вентилятора и ком-
прессора газотурбинного двигателя. Частота вращения ротора венти-
лятора отклоняется от своего первоначального установившегося зна-
чения значительно больше частоты вращения ротора компрессора,
причем отклонения частот вращения роторов от их первоначальных
значений особенно большие в режиме малого газа работы двигателя
(новое установившееся значение частоты вращения ротора вентилято-
ра более чем в 12 раз, а новое установившееся значение частоты вра-
щения ротора компрессора более чем в 4 раза превышает единичное
входное воздействие).
Существенным является также то обстоятельство, что длитель-
ность переходных процессов изменения частот вращения роторов вен-
тилятора и компрессора значительно превышает длительность пере-
ходных процессов изменения температуры газа за турбинным блоком:
на максимальном и среднем режимах это превышение примерно в 2
раза, а в режиме малого газа это превышение достигает примерно 30
раз.
Для устранения значительного влияния изменения температуры
газа на частоты вращения роторов вентилятора и компрессора газо-
турбинного двигателя необходимо вводить дополнительный контур
управления по частоте вращения ротора вентилятора (или компрессо-
ра) с использованием дополнительного управляющего воздействия на
объект, например, относительной величины проходного сечения вы-
ходного сопла. Другими словами, необходимо использовать много-
мерную (в частном случае, двухмерную) систему управления.
7.2. Синтез цифровых регуляторов систем автоматического
управления частотами вращения роторов двухроторного двух-
контурного ГТД на базовых режимах работы [113,116]
Составленная с учетом уравнений (7.1) - (7.2) и обозначений (7.4)
структурная схема системы автоматического управления частотой
вращения ротора вентилятора с цифровым регулятором ЦР, объектом
управления ОУ в виде линейной модели ГТД (вместе с исполнитель-
ным устройством) представлена на рис.7.13.
477
Раздел 7
Составленная с учетом уравнений (7.1) - (7.2) и обозначений (7.4)
структурная схема системы автоматического управления частотой
вращения ротора компрессора с цифровым регулятором ЦР, объектом
управления ОУ в виде линейной модели ГТД (вместе с исполнитель-
ным устройством) представлена на рис.7.14.
Для схемы рис.7.13 запишем передаточную функцию
ед= ”s(5) =а2 / + Гв .
GT(s) s2+bs + a
Для схемы рис.7.14 запишем передаточную функцию
(7.33)
(7.34)
В формулах (7.33)-(7.34):
г в = + 6/3 а%-, rK=b,+ а~ а7; b-b2+b3; a-b2b3 -а7а^.
«2 «3
478
Раздел 7
Теперь можно записать общую передаточную функцию объекта
управления вместе с исполнительным устройством (см. рис.7.13 и
7.14):
m(s) s(s2 +bs + a)(s + c)
(7.35)
где a = aB =a0a{a2; c-b}; r = rB для системы управления часто-
той вращения ротора вентилятора и а = ак = аоа,а3; с -Ь}\ г = гк
для системы управления частотой вращения ротора компрессора.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объекта управления с передаточной функци-
ей (7.35) при линейно изменяющемся сигнале на входе системы
управления на п -м интервале регулирования определяются (см. При-
ложение Б, п.12):
mQ = KQ(^U + SQA(j) + Rcrn }, ntp <t <ntp + h\
+ 50Дсг) + /?Дсг] + /?сг/М, ntp+h<t <ntp +2h;
479
Раздел 7
w2 =.КО[<72(Д(У + 50Дст) + АД<т(1 + 71)] + /?<тп_„
nt + 2h < t < nt„ + ЗА;
p p ’
m3 = K0[q3(AU+ S0&a) + h&a(\ + q] + <?,)] +Ra^,
ntp+3h <t < ntp + 4A,
„ ac . d ac.
где К 0 = ; R ;
ahr{\-2 Bcos/IA + B)(l-C) ar
S=4h-]+a + bc- A(3 + 2^+92) .
° r ac (1-2 В cos Ah + B)(]-C)'
qx = -(2 В cos ЯЛ + C); q2- B + 2C В cos ЯЛ;
q,=-BC\ k^ .a-b1!^ B = ebh\ C = e~ch.
\U - дп, где -ошибка системы в момент начала и -го интерва-
ла регулирования t = Nh 4- тх, т.е. ошибка системы в момент ntp. Л -
шаг квантования. N =4 - порядок объекта управления (вместе с ис-
полнительным устройством). Ла = ап -апЧ - приращение скорости
на интервале регулирования nt p<t <(n + \)t р, где ап - первая раз-
ность (средняя скорость) входного воздействия на интервале регули-
рования nt p<t <(п+ \)t р, ап_} - первая разность (средняя скорость)
входного воздействия на интервале регулирования (и-\)tp <t<ntp.
Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntp<t<ntр + Nh
интервала регулирования ntp<t<(n + \)tp можно описать передаточ-
ной функцией
М(г) = ».о+т,г-+т1г;г+тг>
в(г) Л(/(| ’ >г ')
или разностным уравнением
(7-38)
480
Раздел 7
где 0 - &U при индексе i-k>0 и 0 = 0, т = 0 при индексе
i - к < 0.
Если обозначить А [7, дискретные значения ошибки системы в
моменты ih, /=0,1,2, на интервале регулирования длительностью tp
(AU — 0п — &U0 - ошибка системы в момент ntp, ДЦ- ошибка сис-
темы в момент ntp + h, ошибка системы в момент nt^lh, и
т.д.), то цифровой регулятор на каждом подинтервале
ntp<t<ntр + Nh интервала регулирования nt p<t <(n + \)t р можно
описать передаточной функцией
w{z} = M(z) = мо+^-'+т^+т^-3 (739)
0(z) Д^+ДЦд’1 +^U2z'2 +Д^зг'3
или разностным уравнением
_ZA(/*w<-*)/A(7o- (7-40)
*=0 к = \
Разработаны методики идентификации коэффициентов влияния
для базовых установившихся режимов работы двигателя.
Полученные в результате идентификации коэффициенты для мак-
симального режима (МР) работы ГТД типа АИ-222 в схемах на
рис.7.13 и 7.14 имеют следующие числовые значения:
а0 = \/Тит =0,01; а, = к7Ткпи Пзт =85;
а2 = кв(3 = 1,19; а3 = kKG = 0,67;
а4 = kTG ~ 0,38; а5 = ктв = -0,09; а6 = кТК = -0,36;
^7 = к кв = “0,5, «8 = кВк = 2,81,
b} = 11Т\т = 16,7; b, = -kBB = 4,42; b. = -kKK = 2,5;
1 JI 7 7 Z DD 1 7 J Л.Л. 7 7
r, = 0,045.
Базовые значения выходных параметров для максимального ре-
жима:
пв = 13943об/мин; пк =18880об/мин, Тт =975°С.
(<У® = ’7о =1459’37РО<)/С; С°к =7о =1976’И^ад/с-)
481
Раздел 7
Полученные в результате идентификации коэффициенты для
среднего режима (СР) работы ГТД в схемах на рис.7.13 и 7.14 имеют
следующие числовые значения:
а0 = 1 /Тит - 0,01; а} = kZTknH 1Тзт = 85;
а7 “ квс - а, - ккс = 0,38;
2 DO 7 7 3 АО 7 7
а4 = krG = 0,42; «5 = кгв = -0,14; аь = к1К - -1,16;
ai = ккн = ®’03; а8 = кВК - 5,64;
А = 1 / г = 16,7; Ь2 = -квв = 3,96; Ь, = -кКК = 3,49;
Г| =0,045.
Базовые значения выходных параметров для среднего режима:
пя = \0614об/мин-, пк =16817об/мин-, Тт = П5°С.
(бУв = ^й - 11 ,2\рад I с, а>к = = 1760,18рад/с.)
Полученные в результате идентификации коэффициенты для ре-
жима малого газа (РМГ) работы ГТД в схемах на рис.7.13 и 7.14 име-
ют следующие числовые значения:
а0 = \!ТИТ = 0,01; а, = kZTknH /Тзт = 85;
а-> = вс = 0,27; а, = ккс = 0,16;
2 WO 7 7 3 АО 7 7
а\ ~ kTG = 0’37; <z5 = ктв = -0,03; а6 = ктк = -1,04;
ai = к кв = 0,005; = квк = 2,27;
b. = 1 / Тзт = 16,7; Ь2 = -квв = 1,21; Ь, = -кКК = 0,59;
г, = 0,045.
Базовые значения выходных параметров для режима малого газа:
ня =4830об/мин; пК = \2168об/мин; Тт =591°С.
= 505,54раЭ/с; сок = = 1336,38рад/с.)
Численные значения параметров общей передаточной функции
(7.35) объектов управления в схемах рис.7.13 и 7.14 вместе с исполни-
тельным устройством для указанных трех режимов работы газотур-
бинного двигателя приведены в табл.7.3
482
Раздел 7
Для максимального режима ГТД звено второго порядка
1 • (52 4-6,925 4-12,455) 1 является колебательным (корни уравнения,
стоящего в скобках, Xj 2 = -3,46 ± у‘0,6953). Для среднего режима
ГТД звено второго порядка
1 • (s2 + 7,45i +13,651)-' = 1 • [(5 + 3,251 l)(s + 4,1989)] 1,
т.е. состоит из двух апериодических. Для режима малого газа звено
1 • ($2 +1,85 + 0,703)’’ = 1 • [(5 + о,5729)(5 +1,2271)]’’,
т.е. также состоит из двух апериодических.
Таблица 7,3
(*k гв гк b a c
MP 1,01 0,57 4,0821 3,5319 6,92 12,455 16,7
CP 0,66 0,32 6,2377 4,0216 7,45 13,651 16,7
РМГ 0,23 0,14 1,9352 1,2184 1,8 0,703 16,7
Поэтому для среднего режима и режима малого газа общую пере-
даточную функцию объекта управления (7.35) нужно записать в виде
G(5)=X(5)= а(" + г) е
0 m(s) 5(5 + d)(s + l)(s + с)
(7.41)
где d = b/2 + ,b2/4-a; 1 = Ы2- b2/4-a.
Для объекта управления с передаточной функцией (7.41) ампли-
туды импульсов длительностью h оптимального управляющего воз-
действия при линейно изменяющимся сигнале на входе системы
управления на п-м интервале регулирования определяются по фор-
мулам (7.36), в которых (см. Приложение Б, п.10):
X = - - cdl
° aAr(l-C)(l-D)(l-£)’
_ cdl „ ., 1 cd + cl + dl h(3 + 2q, + qO
R= ; S,.=4h- + - • - ;
ar r cdl (1-C)(1-£>)(!-£)
qt = -(C + D + L); q2 = CD + CL + DL, q,=-CDL\
D = e~dh; L = e~,h; C = e~ch.
483
Раздел 7
Как показывают расчеты и моделирование, при оптимальном
управлении переходные процессы в системах заканчиваются за Л4
шагов квантования (практически за более короткое время). Поэтому
длительность переходных процессов зависит от величины шага кван-
тования. С уменьшением шага квантования значительно возрастает
амплитуда импульсов управления, переходный процесс из апериоди-
ческого переходит в колебательный и резко возрастает перерегулиро-
вание. Таким образом, быстродействие систем ограничивается либо
заданным перерегулированием переходных процессов, либо допусти-
мым усилением, необходимым для формирования амплитуд импуль-
сов управления. При заданном перерегулировании переходных про-
цессов минимальные шаги квантования, а значит, и минимальная дли-
тельность переходных процессов для различных режимов работы ГТД
будут различными. Ниже приведены результаты расчета и моделиро-
вания систем при заданном перерегулировании переходных процессов
не более 2...3 %, когда путем моделирования определяется минималь-
ный шаг квантования, при котором перерегулирование переходного
процесса не превышает 2...3 %, и для этого шага записываются ам-
плитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия и фиксируется сам переходный процесс.
На рис.7.15 представлены амплитуды импульсов управления и
переходные процессы с минимальной длительностью для максималь-
ного режима работы ГТД а) в системе управления частотой вращения
484
Раздел 7
ротора вентилятора (см. рис.7.13), б) в системе управления частотой
вращения ротора компрессора (см. рис.7.14).
Для рис.7.15,a h = 0,lc; т0 =84,69; = -13,287; т2 =0,667;
т3 ~ 0.
Для рис.7.15,6 h = 0,8с; mQ =143,93; т} =-15,35; т2 =0,567;
т3 ~ 0.
Время регулирования для систем управления частотой вращения
ротора вентилятора и компрессора (см. рис.7.13 и 7.14) примерно оди-
наковое и равное 1,2 с, но установившееся значение для системы
управления частотой вращения ротора вентилятора (см. рис.7.13)
примерно в 2,1 раза больше, чем установившееся значение для систе-
мы управления частотой вращения ротора компрессора (см. рис.7.14).
На рис.7.16 представлены амплитуды импульсов управления и
переходные процессы с минимальной длительностью для среднего
(крейсерского) режима работы ГТД а) в системе управления частотой
вращения ротора вентилятора (см. рис.7.13), б) в системе управления
частотой вращения ротора компрессора (см. рис.7.14).
Для рис.7.16,а А = 0,5 с; т0 =157,177; тх = -50,228; лл2=3,8;
т3 ~ 0.
Для рис.7.16,б А = 0,8 с; /и0 = 247,798; т} = -27,004;
т2 = 0,639; т3 « 0.
485
Раздел 7
Время регулирования для системы управления частотой вращения
ротора вентилятора (см. рис.7.13) примерно равно 0,95 с, время регу-
лирования для системы управления частотой вращения ротора ком-
прессора (см.рис.7.14) примерно равно 1,25 с; установившееся значе-
ние для системы управления частотой вращения ротора вентилятора
(см. рис.7.13) примерно в 3,2 раза больше, чем установившееся значе-
ние для системы управления частотой вращения ротора компрессора
(см. рис.7.14).
На рис.7.17 представлены амплитуды импульсов управления и
переходные процессы с минимальной длительностью для режима ма-
лого газа работы ГТД а) в системе управления частотой вращения ро-
тора вентилятора (см. рис.7.13), б) в системе управления частотой
вращения ротора компрессора (см. рис.7.14).
Для рис. 7.17,6/ h - 1,4 с; т{} =41,626; =—26,134; т2 - 3,349;
т3 ~ 0;
Для рис.7.17,б Л = 1,9 с; w0 =60,491; = -26,245;
т2 = 1,979; т3 ~ 0.
Время регулирования для системы управления частотой вращения
ротора вентилятора (см. рис.7.13) примерно равно 2,3 с, время регули-
рования для системы управления частотой вращения ротора компрес-
сора (см. рис.7.14) примерно равно 3 с; установившееся значение для
486
Раздел 7
системы управления частотой вращения ротора вентилятора (см.
рис.7.13) примерно в 2,6 раза больше, чем установившееся значение
для системы управления частотой вращения ротора компрессора (см.
рис.7.14).
Представленные выше результаты моделирования дают возмож-
ность заключить, что из рассмотренных двух систем значительным
преимуществом обладает система управления частотой вращения ро-
тора вентилятора. При ступенчатом воздействии на входе этой систе-
мы с оптимальным цифровым регулятором отработка входного воз-
действия системой заканчивается за более короткое время на всех ба-
зовых режимах работы ГТД, чем системой управления частотой вра-
щения ротора компрессора. При этом установившееся значение часто-
ты вращения ротора компрессора в этой системе (отклонение частоты
вращения ротора компрессора от первоначального установившегося
значения) примерно в 2,1 ...3,2 раза меньше установившегося значения
частоты вращения ротора вентилятора (меньше отклонения частоты
вращения ротора вентилятора от первоначального установившегося
значения).
Управление частотами вращения роторов вентилятора и компрес-
сора оказывает существенное влияние на температуру газа за турбин-
ным блоком [116].
Ниже приведены результаты расчета и моделирования систем
управления (см. рис.7.13 и 7.14) с учетом этого обстоятельства. Путем
вариации определяется минимальный шаг квантования h = Лт|П, при
котором перерегулирование переходного процесса не превышает 2...3
% (при меньших шагах квантования перерегулирование значительно
возрастает), и для этого шага фиксируется переходный процесс.
На рис.7.18, 7.19 и 7.20 представлены переходные процессы с ми-
нимальной длительностью и показано влияние управления частотами
вращения роторов на температуру газа за турбинным блоком соответ-
ственно для максимального режима МР, среднего режима СР и режи-
ма малого газа РМГ работы ГТД а) в системе управления частотой
вращения ротора вентилятора, б) в системе управления частотой вра-
щения ротора компрессора.
487
Раздел 7
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
а) б)
Рис.7.18
488
Раздел 7
На основании результатов моделирования можно заключить, что
управление частотами вращения роторов вентилятора и компрессора
оказывает значительное влияние на изменение температуры газа за
турбинным блоком ГТД. При этом в системе управления частотой
вращения ротора вентилятора при отработке ступенчатого входного
воздействия установившееся отклонение температуры от первона-
чального на максимальном и среднем базовых режимах работы ГТД
значительно меньше, чем в системе управления частотой вращения
ротора компрессора. Отклонение температуры в переходных процес-
сах происходит со значительным перерегулированием, особенно в ре-
жиме малого газа. Очевидно, для недопущения отклонения темпера-
туры при регулировании частот вращения роторов вентилятора и ком-
прессора необходимо переходить к многомерной системе (в простей-
шем случае - двухмерной) и дополнительно вводить систему автома-
тического управления температурой газа за турбинным блоком.
7.3. Синтез цифровых регуляторов в двухмерных системах ав-
томатического управления основными параметрами двухротор-
ного двухконтурного ГТД на базовых режимах работы
7.3.1. Синтез цифровых регуляторов в двухмерной системе авто-
матического управления частотами вращения роторов двухроторно-
го двухконтурного ГТД [51 ]
В данном разделе изложен синтез и расчет оптимальных по быст-
родействию линейных цифровых регуляторов в двухмерной системе
автоматического управления частотами вращения роторов вентилято-
ра и компрессора для различных базовых режимов работы двигателя и
методом математического моделирования определены оптимальные
переходные процессы при условии стационарности параметров двига-
теля на каждом базовом режиме. Для упрощения математических рас-
чётов примем, что на определённом базовом установившемся режиме
работы ГТД его параметры остаются постоянными. Кроме того, не
будем учитывать процесс запаздывания выделения тепла в основной
и в форсажной камерах сгорания. Тогда неполная система линейных
уравнений модели двигателя с учетом только инерции вращающихся
масс роторов примет вид:
489
Раздел 7
^в ~ кввпв + квкпк + квс£т + кврГкр,
4 ~^квпв + кккпк + ккв^т + kKFFKP, (7.42)
Гг — kTBnB -I- кткпк ч- kTCGT + kTPFKP,
где пк ~ \пк /пК{) - относительное отклонение частоты враще-
ния ротора компрессора; пв~\пв/пв^ -относительное отклонение
частоты вращения ротора вентилятора; Тт — &Тт /TTQ - относительное
отклонение температуры газа за турбиной вентилятора (за турбинным
блоком); Gr = \GT / GTQ - относительное отклонение расхода топли-
ва в основной камере сгорания; FKP = \FKP IFKPQ - относительное
отклонение величины проходного сечения выходного сопла;
^кро " значения соответствующих параметров на
базовом установившемся режиме работы двигателя; к - коэффициен-
ты влияния, которые физически выражают изменение регулируемой
величины в долях величины приложенного возмущения на устано-
вившемся режиме работы ГТД. На разных режимах работы и при раз-
личных внешних условиях коэффициенты влияния двигателя сущест-
венно изменяются, поэтому для каждого базового режима необходимо
определять свои значения этих коэффициентов.
В уравнениях (7.42), также как и в уравнениях (7.1), регулируе-
мыми являются три параметра газотурбинного двигателя (три выход-
ных переменных): частота вращения ротора вентилятора пв, частота
вращения ротора компрессора пк и температура газа за турбиной Тт .
Но управляющими параметрами (управляющими воздействиями), в
отличие от уравнений (7.1), являются два: расход топлива в основной
камере сгорания GT и величина проходного сечения выходного сопла
р
1 кр •
Заметим, что записанные выше уравнения для такого нестацио-
нарного объекта управления, каким является газотурбинный двига-
тель, находятся путем идентификации параметров объекта и получа-
ются методом “замороженных коэффициентов” для различных уста-
новившихся режимов работы двигателя.
490
Раздел 7
Линейную динамическую модель исполнительного устройства
для регулировки подачи топлива представим в виде (7.2):
^3TZT ZT =
4 Тит^тфор ~ zt
GT = е ' СТФ0Р,
Линейную динамическую модель исполнительного устройства
для регулировки проходного сечения выходного сопла представим в
виде
T3Fz р + zF — kZFiF,
T F -т.
1 HF1 KP ^F*
(7.43)
GT0OP,GT,ZT,iT, Fkp>zf^f " относительные отклонения управ-
ляющих сигналов, Тзт,kZT,Tит,Т3F,kZF,Tии - постоянные коэффи-
циенты динамических моделей исполнительных устройств.
Частоты вращения роторов двигателя измеряются импульсными
датчиками ИД и преобразуется в напряжение х(7) электронными пре-
образователями частоты ЭПЧ. При этом блок ИД+ЭПЧ образует еди-
ничную отрицательную обратную связь.
Введем обозначения:
а0| — 1 / Тит, cifj = kZTknH I Тзт, = 1 / Тзт,
6Zq2 = 1 / THF; a} = kZFknH IT3F, = 1 / T3F,
= ^BG ’ «3 = к KG ’ ^4 = kpG ’ ^5 ~ ^TB ’ (7-44)
~ ктк ’> ai ~ к kb ’ ^8 ~ ^вк ’ = ^bf ’ ^10 = kKF; j = kTF;
Z>2 — ~kBB\ b3 = —kKK.
Составленная с учетом уравнений (7.2), (7.42) и (7.43) и принятых
обозначений (7.44) структурная схема двухмерной системы автомати-
ческого управления частотами вращения ротора вентилятора и ком-
прессора с цифровыми регуляторами ЦР1 и ЦР2, объектом управле-
ния ОУ в виде линейной модели ГТД (вместе с исполнительными
устройствами) представлена на рис.7.21.
491
Раздел 7
Цифровой
Фиксатор регулятор
- H(s) ‘-- ЦР1
Im^k)]U 0](к)
ЦАП
h /э m ИД+ЭПЧ
АЦП
ui(t)
[ ОУ
I ZT ^ТФОР
Цифровой
Фиксатор регулятор
- H(s) (---ЦР2 *----
L_l^2(k) L_W)
ЦАП
Рис.7.21
На основании схемы (см. рис.7.21) запишем следующие уравне-
ния в преобразованиях по Лапласу при нулевых начальных условиях:
«в(5) = а~ GT(s)+ nK(s)+ FKP(s); (7.45)
s + b2 s + b2 s + b2
пк (5) = 'a-,-GT{s) + -ai- - nB(s) + -a,$- FKP(s); (7.46)
s + b3 $ + b3 s + b3
Подставляя nK(s) из уравнения (7.46) в уравнение (7.45), после
несложных преобразований найдем:
492
Раздел 7
пв (*0 — G\ 1 (s)Gt (5) + ^2i Wkp (*у),
(7.47)
где
G\ 1 (^) ~ «2 A'' ; G21(s) = a9 25-+<21 ; s +bs +a s +bs + a
b = b2+b3; IL I ^3^R L ^8^40 a ~ ^2^3 ~aia^ 'll = ^3 + > ГЭ1=634- . a2 “ a9
Подставляя nB(s) из уравнения (7.45) в уравнение (7.46), после
несложных преобразований найдем:
”K(s) = G\2(S)GAS) + G22(S)FKp(S\ (7-48)
где
GI2 (5) ~ ^3 5 + Г12 z- / x S + r22 2 , ; g22^)=«1o 2-; ; s +bs +a s +bs +a
b = b2 + b3; a = Ь2Ь3 -а2аъ\ r)2 = b2 + a2<X1; rv =b2 + а1С1д. «3 ‘ «10
Выражения (7.47) и (7.48) запишем в матричной форме
= Gn(s) G2i(s) gAs)
”k(S) G\2^^ G22^^
где
г / \ _ ^11(5) ^21 (5)
^ГТД \S) ~ r f ( \
Gn(s} G22(^)
(7.50)
передаточная матрица газотурбинного двигателя как двухмерного
объекта управления.
Передаточная матрица газотурбинного двигателя с исполнитель-
ными устройствами (передаточная матрица общего двухмерного объ-
екта управления) может быть записана следующим образом:
^(5)0,! (5) G2(5)G2|(S)
G.(S)G12(5) G2(s)G22(s) '
Для развязки контуров (для отдельного управления частотами
вращения ротора вентилятора и компрессора) введем перекрестные
связи, определив матрицу перекрестных связей в виде
493
Раздел 7
ад=
1
я,2(*)
(7.52)
/?21(s)
1
Структурная схема общего объекта управления с перекрестными
связями приведена на рис.7.22.
Время задержки в динамической модели исполнительного уст-
ройства для регулировки подачи топлива весьма мало по сравнению с
временем регулирования в каждом из разомкнутых контуров, поэтому
передаточные функции исполнительных устройств можно записать в
одинаковой форме:
И G,($) =
«02«12
5(a + Z>b)
Структурная схема двухмерной системы автоматического управ-
ления частотами вращения ротора вентилятора и компрессора с циф-
ровыми регуляторами ЦР1 и ЦР2, объектом управления ОУ в виде
линейной модели ГТД (вместе с исполнительными устройствами)
представлена на рис.7.23.
Передаточная матрица общего объекта управления с перекрест-
ными связями определяется (параметр преобразования по
Лапласу s для упрощения записи опустим):
G0R = 1 11 2 21 12 1 " 21 * 21 . (7.53)
G,G|2 + G2G,-.У?,, G|G|2/?2| +G2G22
494
Раздел 7
h Q (t. ИД+ЭПЧ
ЦР1 <;
“1(0
0,(к)
АЦП
Цифровой
Фиксатор регулятор
r—I H(s)^-—
ЦАП
Цифровой
Фиксатор регулятор
- H(s) <—— ЦР2 <-----
ЦАП
h ИД+ЭПЧ
АЦП lu2(t)
Рис.7.23
Если выполнить условия
G,=G2=G; Л,2=-^; *„=-<?, (7.54)
G22 G] j
то матрица GoОстановится диагональной, а именно
495
Раздел 7
ОДп- * 21 ] о
G0R = 22 г г ’ <7 55>
О ОД22- >-?|]
^11
и таким образом, собственные движения контуров не влияют друг на
друга, система развязана по сигналам задающих переменных и воз-
можно отдельное управление частотами вращения ротора вентилятора
и компрессора. Передаточные функции перекрестных связей в этом
случае определяются
* + '12 . (7 56)
«Ю^-Ь^22 “ а2 S + r\\
Передаточные функции в квадратных скобках в главной Диагона-
ле матрицы G0R определяются:
Gi_Gl2G21 = go s=+qs + r . (75?)
G22 ai0 (s'+bs + a)(s + r22)
G22-G”c='=«" 2?+9i + '' , (7.58)
G} । a2 (s2 + bs + a)(s + r,,)
Тде g0 =a2a,0 -a3a9; (5.59)
r = (a2axorxxr22 -a3a9rX2r2X)/g0; (7.60)
Я = [a2a,o (r, I + Г22 ) - «3«9 012 + Г21 )] / go • (7-61)
Подставляя выражения для rn, rX2, r2I, r22 из формул (7.47) и (7.48)
в формулы (7.60) и (7.61), найдем:
q = b2 + Ь3 -Ь\ г = Ь2Ь3-а1аъ= а. (7.62)
Таким образом, когда система развязана по сигналам задающих
переменных и возможно отдельное управление частотами вращения
ротора вентилятора и компрессора, передаточные функции в квадрат-
ных скобках в главной диагонали матрицы G^R определяются:
_ ^12^21 _ So 1 . Q _ ^12^21 _ So
^22 #10 ) ^11 ^2
496
Раздел 7
При условии, что а0| = а02 =aQ,a^ = ах -ax,bx^ = bx =ЬХ,
цифровой регулятор 1 нужно рассчитывать на объект Р1 с передаточ-
ной функцией
P.(s) = a°a'8° 1 (7.63)
«10 5(5 + 6,)(5 + Г22)
а цифровой регулятор 2 нужно рассчитывать на объект Р2 с пере-
даточной функцией
P2(s) = a°a'go - - (7.64)
a, s(s + bt)(s + rit)
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объекты управления при линейно изменяю-
щемся сигнале на входе системы управления на п -м интервале регу-
лирования определяются (см. Приложение Б, п.З):
т0 = K0(A(J + S0Acr) + Rcrn_}, ntp<t < ntp + h;
mt - K0[qt(\U + 50Асг) + ЛАсг] +
ntp + h<t<ntp + 2h;
m2 = Kol<h (At/ + 5oA<T) + ЛАст(1 + ?)] + R°n-\, (7 65)
ntp + 2h < t < ntp + ЗЛ;
KQ= - - Cd ; q.=-(C + D}, q2=CD;
R = cd; S0=3h + C + d -- A(2 + ?,) C = e'ch-, D = edh,
a ° cd (1-C)(1-D)
где для объекта Pl:
a = (aoa,g0)/alo; rf = r22;
для объекта P2:
а = (а0а^0)/а2; c = b};d = rn.
= 0пЪ где вп - ошибка в соответствующем контуре управления
в момент начала л-го интервала регулирования длительностью
tр = Nh, т.е. ошибка в момент ntp. h-шаг квантования. N =3 - поря-
док объекта управления. Дет = ап-сгпч - приращение скорости на
497
Раздел 7
интервале регулирования ntр <t <( п 4-1) tp, где ап - первая разность
(средняя скорость) входного воздействия на интервале регулирования
ntp<t<(n + \)tp, сгп1 - первая разность (средняя скорость) входного
воздействия на интервале регулирования (п - \)tp <t< nt.
Цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
ntр<t<(n + \)t можно описать передаточной функцией
M(z) = mD+miz-'+m2z-
0(z) Af/d + z'fz )
или разностным уравнением
w = (^ ~т,-к) / ’ (7.67)
к~0 к = \
где в = AU при индексе i-k>0 и 0 = 0, т = 0 при индексе
i - к < 0.
Если обозначить At/, дискретные значения ошибки в соответст-
вующем контуре управления моменты ih, i =0,1,2, на интервале регу-
лирования длительностью tp = = 0п - ошибка в момент ntpt
ошибка в момент ntp + h, &U2 - ошибка в момент ntp + 2h\ то
цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
ntр < t <( п +1) tp можно описать передаточной функцией
M(z)= m,,+m,z-'+m!z-=
6>(z) Д//,, zAU.z +ad.z ;
или разностным уравнением
= (ZXAt/<-* -^А^/и(_д)/ДС/0. (7.69)
4=0 4=1
Если Gj G2, то для отдельного управления частотами вращения
роторов вентилятора и компрессора нужно выполнить условия:
^|G|2 . _ G2G2I
G2G22 G} G]}
(7.70)
498
Раздел 7
При этих условиях матрица (70Остановится диагональной, а
именно:
GJGh-^2'] о
G0R= 22 r г • (7.71)
О G2[G22-G^']
При условии, что а0 передаточные
функции перекрестных связей определяются:
R =_^ata3 (s + bj(s + ri2) >
«о:аь«ю (s + b]t)(s + г22)’
_ a^a^s+b^s+r^
«0«1«2 (* + \Х5 + Гп)
цифровой регулятор 1 нужно рассчитывать на объект РЗ с переда-
точной функцией
рз(5)=ао1а^о ’
cr10 s(s + bitXs + r22y
(7-74)
а цифровой регулятор 2 нужно рассчитывать на объект Р4 с переда-
точной функцией
ад = а-“'^ 1 - .
«2 Ф + \Х5 + Г11)
(7.75)
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объекты управления РЗ и Р4 при линейно
изменяющемся сигнале на входе определяются по формулам (7.65),
где
для объекта РЗ:
с = Ь1г d = r,;
для объекта Р4:
« = («о2«1Ло)/аг2; .
а цифровые регуляторы 1 и 2 рассчитываются по формулам (7.66)-
(7.69).
499
Раздел 7
Разработаны методики идентификации коэффициентов влияния
для базовых установившихся режимов работы двигателя.
Полученные в результате идентификации коэффициенты для мак-
симального режима МР работы ГТД типа АИ-222 в схеме на рис.7.23
имеют следующие числовые значения:
а7 = к вс - U 9; а, = кКС = 0,67; а4 = ктс = 0,38;
Z D\J ' 7 5 Ли 7 7 Ч /и 77
а, = ^тя = “0,09; а. = кТК = -0,36; а7 - kKR = -0,5; ag = kRh. = 2,81;
J In 7 7 О /Л 7 7 / Ло 7 7 о оЛ 7 7
а9 - kBF =1,37; aI0 = kKF = 0,3; ап - kTF = 0,036; b2 = -квв = 4,42;
= ~кКК - 2,5;
Полученные в результате идентификации коэффициенты для
среднего режима СР работы ГТД в схеме на рис.7.23 имеют следую-
щие числовые значения:
ai - квв - 0,78; а3 = kKG = 0,38; а4 = kTG = 0,42;
а, = kTR = -0,14; а. = kTf, - -1,16; а. = к^ = 0,03; а. - kRK = 5,64;
J In 7 7 О /Л 7 7 I t\.D 7 7 о ОЛ 7 7
а9 = kRF = 0,736; а|0 = kKF = 0,034; аи = krF = -0,063;
= -kSB = 3,96; b. = -кКК = 3,49;
Полученные в результате идентификации коэффициенты для ре-
жима малого газа РМГ работы ГТД в схеме на рис.7.23 имеют сле-
дующие числовые значения:
а2 ~ кВв = 0,27; а3 = kKG = 0,16; аА = kTG = 0,37;
- kTR = -0,03; ah = ктк = -1,04; a. = kKft = 0,005;
j Id 7 7 о /л 7 7 / до 7 7
ai = ^bk ~ 'l-ZT, aR = kBF = 0,051; al0 = kKF = 0,025;
a,. = kTF = -0,02; Ьг = -kRR = 1,21; b. = -kKK - 0,59;
II Ir 7 7 L DO 7 7 J 77
Численные значения параметров передаточных функций объектов
управления Р1-Р4 для указанных трех режимов работы газотурбинно-
го двигателя приведены в табл.7.4
Таблица 7.4
go Г22 Г12 Г21
МР -0,561 4,082 2,137 3,532 3,115
СР -0,235 6,238 4,609 4,022 3,751
РМГ -0,0014 1,935 1,220 1,218 1,703
500
Раздел 7
Как показывают расчеты и моделирование, при оптимальном
управлении переходные процессы в каждом контуре управления за-
канчиваются за W шагов квантования (практически за более короткое
время). Поэтому длительность переходных процессов зависит от ве-
личины шага квантования h. С уменьшением шага квантования зна-
чительно возрастает амплитуда импульсов управления. Таким обра-
зом, быстродействие контуров управления ограничивается допусти-
мым усилением, необходимым для формирования амплитуд импуль-
сов управления. Ниже приведены результаты расчета и моделирова-
ния двухмерной системы управления общим объектом с перекрест-
ными связями (см. рис.7.23) при параметрах исполнительных уст-
ройств:
а0) =аОг = cz0 = 0,01, «1( =ац =at =85,^ =Z?b =0,29.
На рис.7.24 приведены переходные процессы для максимального
базового режима МР работы газотурбинного двигателя в контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора (а) и в контуре
управления частотой вращения ротора компрессора (б) при ограниче-
нии переходных процессов по температуре газа.
Рис.7.24
Минимальный шаг квантования выбран равным 0,5 с. Для этого
шага амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на входе первого контура управления равны:
501
Раздел 7
т0 = -8,801; т1 =10,637; т2 =-2,616. .
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на входе второго контура управления равны:
=-50,318; т} =50,062; т2 =-5,654.
На рис.7.25 приведены переходные процессы для среднего (крей-
серского) базового режима СР работы газотурбинного двигателя в
контуре управления частотой вращения ротора вентилятора (а) и в
контуре управления частотой вращения ротора компрессора (б) при
ограничении переходных процессов по температуре газа.
Минимальный шаг квантования выбран равным 0,2 с. Для этого
шага амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на входе первого контура управления равны:
т0 =-31,119; т. =41,743; т2 =-11,681.
Амплитуды импульсов длительностью Л оптимального управ-
ляющего воздействия на входе второго контура управления равны:
w0 =-816,239; тх =1004,75; т2 =-221,222.
На рис.7.26 приведены переходные процессы для базового режи-
ма малого газа РМГ работы газотурбинного двигателя в контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора (а) и в контуре
управления частотой вращения ротора компрессора (б) при ограниче-
502
Раздел 7
нии переходных процессов по температуре газа. Минимальный шаг
квантования выбран равным 1,0 с. Для этого шага амплитуды импуль-
сов длительностью h оптимального управляющего воздействия на
входе первого контура управления равны:
/и0 =-41,601; гщ =43,408; т2 =-9,188.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на входе второго контура управления равны:
mQ = -586,987; т} =523,98; т2 =-63,422.
Расчеты и моделирование двухмерной системы автоматического
управления (см. рис.7.23) показывают, что при развязанных контурах
управляющее воздействие на входе одного контура не оказывает ни-
какого влияния на выходе другого контура, например, управление
частотой вращения ротора вентилятора не оказывает влияния на час-
тоту вращения ротора компрессора, а управление частотой вращения
ротора компрессора не оказывает влияния на частоту вращения ротора
вентилятора. Но управление частотами вращения роторов приводит к
значительному изменению температуры газа за турбиной ГТД. При
этом, если переходные процессы по частотам вращения роторов яв-
ляются апериодическими, без перерегулирования, при различных ша-
503
Раздел 7
гах квантования h, то переходные процессы по температуре газа мо-
гут иметь весьма большое перерегулирование и необходимо выбирать
минимальный шаг квантования, при котором это перерегулирование
ограничено, например 20-30 %.
Отклонение температуры газа за турбиной в установившемся ре-
жиме при регулировании частоты вращения ротора компрессора зна-
чительно больше, чем отклонение температуры газа при регулирова-
нии частоты вращения ротора вентилятора на всех базовых режимах
работы газотурбинного двигателя (на максимальном режиме пример-
но в 7 раз, на среднем режиме т^имерно в 6 раз, в режиме малого газа
примерно в 2,5 раза). При этоаЛ, отклонение температуры газа за тур-
биной в установившемся режи1йе малого газа при регулировании час-
тоты вращения ротора компрессора примерно в 6 раз больше отклоне-
ния температуры газа на установившемся среднем режиме, а отклоне-
ние температуры газа на установившемся среднем режиме примерно в
2 раза больше отклонения температуры газа на установившемся мак-
симальном режиме работы газотурбинного двигателя.
7 3 2 Синтез цифровых регуляторов в двухмерной системе авто-
матического управления частотой вращения ротора вентилятора и
температурой газа за турбинным блоком двухроторного двухкон-
турного ГТД [52]
Если изменение температуры газа за турбиной нежелательно, то
можно выполнить двухмерную систему с одним контуром управления
частотой вращения ротора вентилятора (или компрессора) и вторым
контуром управления температурой газа за турбиной с развязкой этих
контуров.
В данном разделе изложен синтез и расчет оптимальных по быст-
родействию линейных цифровых регуляторов в двухмерной системе
автоматического управления частотой вращения ротора вентилятора
и температурой газа за турбинным блоком для различных базовых ре-
жимов работы двигателя и методом математического моделирования
определены оптимальные переходные процессы при условии стацио-
нарности параметров двигателя на каждом базовом режиме.
504
Раздел 7
Время задержки в динамической модели исполнительного уст-
ройства для регулировки подачи топлива весьма мало по сравнению с
временем регулирования в каждом из разомкнутых контуров, поэтому
передаточные функции исполнительных устройств можно записать в
одинаковой форме:
а0 а.
G,(5)= °'-''
Ф + Ь.,)
a°ja^
s(s + b,3)
G2(S) =
Частота вращения ротора вентилятора в двигателе измеряется им-
пульсным датчиком ИД и преобразуется в напряжение х(/) электрон-
ным преобразователем частоты ЭПЧ. При этом блок ИД+ЭПЧ образу-
ет единичную отрицательную обратную связь.
Датчиком температуры в системе является термопара ТП, которая
описывается апериодическим звеном с передаточной функцией
GTn(s) = b4(s + b4)-1, b4 - \/Ттп, где Ттп - постоянная времени тер-
мопары. Термопара обладает значительной инерционностью, что в
определенной степени ухудшает динамику системы управления. По-
этому желательно компенсировать инерционность термопары.
Для полной компенсации такого звена как термопара необходимо
последовательно включить звено с передаточной функцией
^777 СО “ 1 + 5 / ^4 • Звено с передаточной функцией G^n (s) можно
реализовать, если на выходе термопары включить устройство выбор-
ки-хранения УВХ, работающее с весьма малым шагом дискретизации
hQ, и с выхода УВХ сигнал x(i) пропустить параллельно через про-
порциональное звено и звено, реализующее первую разность, т.е.
обеспечить следующий алгоритм:
Составленная с учетом уравнений (7.2), (7.42) и (7.43) и принятых
обозначений (7.44) структурная схема двухмерной системы автомати-
ческого управления частотой вращения ротора вентилятора и темпе-
ратурой газа с цифровыми регуляторами ЦР1 и ЦР2, объектом управ-
ления ОУ в виде линейной модели ГТД (вместе с исполнительными
устройствами) представлена на рис.7.27.
505
Раздел 7
Цифровой
Фиксатор регулятор
- H(s) (--- ЦР1 ------
П |0i(k)
ЦАП
Цифровой
Фиксатор регулятор
- H(s) (----ЦР2 <----
ЦАП
Рис.7.27
На основании схемы (см. рис.7.27) запишем следующие уравне-
ния в преобразованиях по Лапласу при нулевых начальных условиях:
М5) = а\ GT(s)+ nK(s)+ а\ FKP(s); (7.76)
s + b2 s + b2 s + b2
nK(s) = a\ GT(s)+ °7 nB(s) + 0,10 FKP(s); (7.77)
s + b3 s + b3 s + b3
TT {s) = a5nB (s) + abnK + + FKP (s). (7.78)
506
Раздел 7
Подставляя nK(s) из уравнения (7.77) в уравнение (7.76), после
несложных преобразований найдем:
С J- и с и
nB(s) = a2 11 GT(s) + ag - 2'- FKP(s), (7.79)
s~+bs + a s +bs + a
где b - bi + Z>3; a - b2b3 -a7as', rH = b3 + ; r21 = b3 + .
a2 a9
Подставляя nB(s) из уравнения (7.76) в уравнение (7.77), после
несложных преобразований найдем:
с и с -L и
nK(s) = a3 , t12 GT(s) + a]0 22 FKP(s), (7.80)
s~ +bs +a s~ +bs + a
lit г i 1 tZ26Z7 L. Ct-iCCa
гдео = о2+о3; a = o2o3-a7a8; rl2 = о, + ' ; r2, = o,+
«3 " ‘ «10
Подставляя выражения для nB{s) и nK(s) из формул (7.79) и
(7.80) в (7.78), найдем:
rr(.s) = a4 s2 +q}s + t\ s +bs + a s2+bs + a
где
<?,=/> + + "заГб; q, =b + aiag + «6«10 .
«4 ' «Ц «>1
«3«6 1 asag aba.o
r}=a+ ~ 5 '-1.+ - rx2- r2=a + 3 7 « | О iv • r21 "r ' r22’
«4 a. «11 «И
(7.81)
Уравнения (7.79) и (7.81) запишем в матричной форме
«в(5) = Gn(s) G2l(s)Gr(s),
Tr(s), G12(s) G22(s) Fkp(s)
(7.82)
~ / \ 5 + /ll S' ! 3 5+r2l
гдеСц(5) = а, 2 11 G,,(.s) = a9 - ;
' 5 +bs + a s +bs +a
Gn(s) = a<
s2 +q{s + rt
s2 +bs + a '
G22(5) = a„ J2 -\2
S + bs + 67
507
Раздел 7
G..(5) G21(i)
Gra(s) = "V 21
“ G12(5) G22(s)'
(7.83)
- передаточная матрица газотурбинного двигателя как двухмерного
объекта управления.
Передаточная матрица газотурбинного двигателя с исполнитель-
ными устройствами (передаточная матрица общего двухмерного объ-
екта управления) может быть записана следующим образом:
01(S)G11W G,(s)G2l(s)
G,WG,,(s) G,(5)G,2(5)
где G} (5) =
<W =
Ф + \)’
Для развязки контуров (для отдельного управления частотой вра-
щения ротора вентилятора и температурой газа за турбиной) введем
перекрестные связи, определив матрицу перекрестных связей в виде
T?12(s)
№
1 !
(7.85)
Структурная схема общего объекта управления с перекрестными
связями приведена на рис.7.28.
Если Gj * G2, то для отдельного управления частотой вращения
ротора вентилятора и температурой газа за турбиной нужно выпол-
нить условия:
(7.86)
= _ ^1^12 . R = _^2^21
G2G22 21 GjGjj
Рис.7.28
508
Раздел 7
При этих условиях матрица GQОстановится диагональной, а
именно:
о
G0R= °22 r г (7.87)
О G2[622-Gp4
Gll
и таким образом, собственные движения разомкнутых контуров не
влияют друг на друга, система развязана по сигналам задающих пере-
менных и возможно отдельное управление частотой вращения ротора
вентилятора и температурой газа за турбиной.
При условии, что a0 ^a0^a] ^a]2,bl ^b]2 передаточные
функции перекрестных связей определяются:
2 (/.о©)
«о2«12«п (s + l\ )($ +q2s + r2)
ап а. а9 (s + b. )(s + г21)
/?2)($) = — °2 - 12 ' -21 . (7.89)
«0«1«2 (5 + \ )(* + П1)
Передаточные функции в главной диагонале матрицы G0R опре-
деляются:
G _^12^21]=а0,а1,^0 53+g,52 +g25 + g3
1 " G22 ац s(s + bit )(s2 + bs + a)(s2 + q2s + r2)’
(7.90)
G2[G,2 - G,2<721 ] = a°'-a'180 + g,f-+ 8>S + g3 _ , (7 91)
Gn a2 s(s+ bi2)(s2+bs+ a)(s+ rlt)
где g0 =а2аи -«4a9; gt ^[a2a„(q2 +r„)-a4a9(q, +r2l)]/g0;
g2 =[a2all(r2+q2r„)-a4a9(rl +q,r2,)]/g0;
g3 =(a2a„r2r„-a4a9r,r2l)/g0.
Интересно отметить, что условие а0 =а0 ,а1 =0^,^, =Ььне
приводит к упрощению передаточных функций (7.90) и (7.91), но пе-
редаточные функции перекрестных связей упрощаются и принимают
вид
509
Раздел 7
(7.92)
Таким образом, цифровой регулятор 1 нужно рассчитывать на
объект с передаточной функцией (7.90), а цифровой регулятор 2 нуж-
но рассчитывать на объект с передаточной функцией (7.91).
Если в первый контур (контур управления частотой вращения ро-
тора вентилятора) и во второй контур (контур управления температу-
рой газа за турбиной) общего двухмерного объекта управления ввести
корректирующее устройство с передаточной функцией
s2+bs + a
GK{S)— 3 2
•S +g|-S +^25 + Яз
(7-93)
как показано на рис.7.29, то передаточные функции в главной диаго-
нали матрицы G0R значительно упрощаются и принимают вид:
G GIG - ^12^211 g°,g|,go _______________1---------
К ' " С22 S(s + byi)(S2+q2S + r2)
и
G,2G2l]_<*O“hgo 1
Gn a2 s^s + b^s + r")
(7.94)
(7.95)
Рис.7.29
В этом случае цифровой регулятор 1 нужно рассчитывать на объ-
ект с передаточной функцией (7.94), а цифровой регулятор 2 нужно
рассчитывать на объект с передаточной функцией (7.95).
510
Раздел 7
Численные значения параметров передаточных функций в форму-
лах (7.79)-(7.82) и (7.90)- (7.97) для указанных трех базовых режимов
работы (МР,
табл.7.5 и 7.6.
СР и РМГ) газотурбинного двигателя приведены в
Таблица 7.5
ь а Hi Г21 Г\2 Г22 ёо
MP 6,92 12,455 4,0821 3,1153 3,5319 2,1367 -0,4778
СР 7,45 13,651 6,2377 3,7505 4,0216 4,6094 -0,3583
РМГ 1,80 0,703 1,9352 1,7027 1,2184 1,2202 -0,0243
Таблица 7.6
Я\ <?2 П Г2 ёх ё2 ёз
МР 6,0034 0,4950 9,0626 -4,625 9,525 30,486 32,455
СР 6,1405 9,7116 7,8087 22,6711 10,722 38,028 44,667
РМГ 1,3284 3,1765 0,1122 2,4191 3,494 3,752 1,19
На максимальном режиме работы ГТД звено
1 = 1 1
52 +725 + г2 " s2 +0,4955-4,625 <5 -1,9173)(5 + 2,4123)
На среднем режиме работы ГТД звено
1 _____________________________1_________=
52+<725 + г2 ~ s2 +9,71165 + 22,6711 "
_ 1 _ ___________________1_________
" (5 + <7)(5+/) " (5 + 3,9031)(5 + 5,8085) * (7 96)
В режиме малого газа работы ГТД звено
1 _____________________________1_________=
s2+q2s + r2 52+3,17655 + 2,4191
1 =___________1_________
“ (5 + q)(s + l)~(s +1,2666)(5 +1,9099)' (7 97)
511
Раздел 7
Таким образом, на всех режимах работы ГТД это звено можно
представить двумя апериодическими звеньями, но на максимальном
режиме работы ГТД одно из апериодических звеньев - неминимально-
фазовое. Поэтому на максимальном режиме перекрестная связь с пе-
редаточной функцией J?12(s) является неустойчивой и эту связь ис-
пользовать нельзя.
На максимальном режиме работы ГТД звено в передаточных фун-
кциях (7.82)
1 =________1__
Р"+bs + а Р + 6,92s +12,455
является колебательным; в среднем режиме работы ГТД звено
1= 1_____________________________= 1
s2 +bs + a " Р +7,45s+ 13,651 ” ($+3,2571Х$+4Д989)
состоит из двух апериодических; в режиме малого газа работы ГТД
звено
_J _ 1________ 1
Р + bs+a ~ Р+1,8s+ 0,703 " (s + 0,5729Xs+l,2271)
также состоит из двух апериодических.
На среднем режиме и в режиме малого газа передаточную функ-
цию (7.94) можно записать в виде
Сд-Gi[G,, - G^' ] =----------------, (7.98)
Gn s(s+c)(s+q^s+l)
где
a = (aoaltgo)/alt; c = blt;
q = q2!2+ ]q}l4-r2\ I = q2l2-jq}l4-r2.
Для объекта управления с передаточной функцией (7.98) ампли-
туды импульсов длительностью h оптимального управляющего воз-
действия при линейно изменяющимся сигнале на входе системы
управления на л-м интервале регулирования определяются по фор-
мулам (см. Приложение Б, п.9)
т0 =K0(AG + 50Дсг) + Лстя_1, ntp<t<ntp+h;
512
Раздел 7
(7.99)
С = е"сА; 0 = е-’*; £ = <? '*;
mi = [0i (Д^ + + АДст] + , ntp + h < t < ntp + 2h;
m2 = ko[Q2 (AU + s<A<r) + ЛЛ*(1 + Qi)] + RonA,
ntp +2h < t < ntp +3h;
= *о[0з (Д U + S'oAcr) + ЛД<т(1 + 0, + 02)] + ,
nt. + ЗЛ < t < nt„ + 4A,
p p ’
K = _ cqi____________
0 aA(l-C)(l-0)(l-£)
. g = 4^ । __h(3 + 2g, + 02_)
a ’ 0 ” cql (i-C)(l-^xf-L)’
0 =-(C+0+L); Q2 = CQ+CL + QU Q3=CQL.
AU = 0n, 0л-ошибка в первом контуре управления (контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора) в момент начала
п -го интервала регулирования tp=Nh, т.е. ошибка в момент ntp. h-
шаг квантования. N =4 - порядок объекта управления. Асг = ап- <T„-t
- приращение скорости на интервале регулирования ntp<t<(n + l)tp,
где ап - первая разность (средняя скорость) входного воздействия на
интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp, - первая разность
(средняя скорость) входного воздействия на интервале регулирования
Цифровой регулятор 1 на каждом интервале регулирования
ntp£t<(n + V)tp можно описать передаточной функцией
. M(z) т0 + m.z~'+ m,z'2 + m3z~3
или разностным уравнением
3 3
‘ *-о *=1
(7.100)
(7.101)
513
Раздел 7
где О = АС/ при индексе / - £ > О и 0 = 0,/и = 0 при индексе
/-£<0.
Если обозначить А(/, дискретные значения ошибки в первом
контуре управления в моменты ih, i =0,1,2, на интервале регулирова-
ния длительностью tp (AU0 - ошибка в момент ntpt AU}- ошибка в
момент ntp+h, AU2 - ошибка в момент ntp+2h, и т.д.), то цифровой
регулятор 1 на каждом интервале регулирования ntp<t<(n + l)fp
можно описать передаточной функцией
W(-} =<<2) = wo + т,г-'_+ т£г + т3г~3
U 0^) A(70+A(/1z'1+At/2z'2+A(/3z’3 Ь ’
или разностным уравнением
3 3
/и. = (^Г>я4Д£//ч1 -^Аикт^к)/AUo. (7.103)
А=0 *=1
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объект управления с передаточной функцией
(7.95) при линейно изменяющемся сигнале на входе системы управле-
ния на п —м интервале регулирования определяются (см. Приложение
Б, п.З):
т0 = K0(AU + S0Acr)+/?<тп1, ntp<t<ntp + Л;
т\ = *o(2i + ЛАа] + , ntp + h<t <ntp+ 2h;
(At/ + S0Aa) + ЛАа(1 + Q,)] + Ran.},
.ч;Й=-(С+£>);02=СП;
nt. +2h <t < nt„ +ЗЛ;
p p ’
K = cd _ . _ _
0 ай(1-С)(1-£>)’~
R = cd\ SQ=3h + C--d--h^2 + ^ ;
a 0 cd (1-C)(1-D)
C = ech\ D = e'dl,;a = (aoal2go)/a2; c = bu; d = ru.
(7.104)
514
Раздел 7
At/ = 0п, где 0п - ошибка во втором контуре управления (в кон-
туре управления температурой газа за турбиной) в момент начала п -
го интервала регулирования tp = Nh. т.е. ошибка в момент ntp. Л -
шаг квантования. N =3 - порядок объекта управления. Да = ап - ая_|
- приращение скорости на интервале регулирования nt p<t<(n + \)t р.
где (Тп - первая разность (средняя скорость) входного воздействия на
интервале регулирования ntp<t<(n + l)tp. апЧ - первая разность
(средняя скорость) входного воздействия на интервале регулирования
(и-1)А<Г<игр.
Цифровой регулятор 2 на каждом интервале регулирования
nt р <t<(n + \)tp можно описать передаточной функцией
' (7105)
0(z) At/(l + z*’ + z’2)
или разностным уравнением
2 2
т=(^ткв,-к-^и^т>-(7.106)
*=о *=1
где в = MJ при индексе i-k>0 и 0 = 0,т = 0 при индексе
i-k<0.
Цифровой регулятор 2 можно описать также передаточной функ-
цией
«'(z) = "и=_ +"v:2
0(z) At/0 + A(7,z~ +At/,z"2
или разностным уравнением
"»,=(Е - Z дс/* )7 д и° • <7-1 °8)
*=0 *=1
На максимальном режиме работы ГТД матрицу перекрестных свя-
зей следует определять в виде
ад = А 2 • (7.109)
iU 1
515
Раздел 7
Оставляя прежним второй контур управления (см. рис.7.29), опре-
делим передаточную функцию единственной связи в виде (параметр
преобразования по Лапласу s для упрощения записи опустим):
(7.110)
Gi&u
Тогда матрица GQR принимает вид:
;ед, о
GK2G2[Gn--^'i ' (7111)
I G11 I
а структурная схема общего обьекта управления приводится к ви-
ду, изображенйрму на рис.7.30.
Рис.730
a(s+d)
s(s+c)(s2 +bs+a)
(7.112)
где
а = аоа1а2; d = rn; c = bv
Таким образом, на максимальном режиме работы ГТД цифровой
регулятор 1 нужно рассчитывать на объект с передаточной функцией
(7.112), а цифровой регулятор 2 нужно рассчитывать на объект с пере-
даточной функцией (7.95). Нетрудно заметить, что в этом случае
управление температурой газа за турбинным блоком не влияет на час-
516
Раздел 7
тоту вращения ротора вентилятора, а управление частотой вращения
ротора вентилятора влияет на температуру газа за турбинным блоком.
Для объекта управления с передаточной функцией (7.112) ампли-
туды импульсов длительностью h оптимального управляющего воз-
действия при линейно изменяющимся сигнале на входе системы
управления на п -м интервале регулирования определяются (см. При-
ложение Б, п.12):
m0 = Кй(ЛУ+50Дсг)+Лсг,.] ,ntp<t< ntp + й;
= K0[Qt(AU + 50Дсг) + ЛД<т] + Ran_t, ntp + h<t<ntp + 2h;
= К^г(Ли + 8.Ла) + ЬЛа(\ + 0)] + Яа„_1,
ntp +2h < t< ntp+3h;
«з =АГв[0з(Д1/+5оД<г)+ЛД<7(1+01 +<?2)] + Я<т„_1,
ntp+3h<t < ntp+4h,
к ac
ahd(\i — 2 /В cos Ah + BX1 - Q
R= ac S = 4Л - 1 + — b-C___-^3+?Й±С2.)______.
ad' 0 d ас (I-I^B cos AJi + B^l-C)'
Qi =-(2B cos Ah + C); Q2 = В+2CjB cos Ah; Q3 = -BC;
A = /a^b44; B = e~bh; C = ech.
Ли -0n, где 0n -ошибка системы в момент начала и-го интерва-
ла регулирования tp = Nh + r}, т.е. ошибка системы в момент ntp. h-
шаг квантования. N =4 - порядок объекта управления (вместе с ис-
полнительным устройством, но без термопары). Ла = ап - <тя_, -
приращение скорости на интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp,
где аа - первая разность (средняя скорость) входного воздействия на
интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp, ап_, - первая разность
517
Раздел 7
(средняя скорость) входного воздействия на интервале регулирования
Цифровой регулятор 1 описывается передаточными функциями
(7.100) или (7.102) и соответствующими этим функциям разностными
уравнениями (7.101) или (7.103).
Как показывают расчеты и моделирование, при оптимальном управ-
лении переходные процессы в каждом контуре управления заканчивают-
ся за N шагов квантования (практически за более короткое время). По-
этому длительность переходных процессов зависит от величины шага
квантования h . С уменьшением шага квантования значительно возраста-
ет амплитуда импульсов управления. Таким образом, быстродействие
контуров управления ограничивается допустимым усилением, необхо-
димы^ для формирования амплитуд импульсов управления.
Ниже приведены результаты расчета и моделирования двухмер-
нойу/истемы управления общим объектом с перекрестными связями
(citf. рис.7.29) при параметрах исполнительных устройств:
а() = а0 = сг0 = 0,01, = ах = 85, = Ь} = Ь{ = 0,29.
На рис.7.31 приведены переходные процессы для максимального
базового режима МР работы газотурбинного двигателя в контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора (а) и в контуре
управления температурой газа за турбиной (б) при одновременном
контроле частоты вращения ротора компрессора.
Шаг квантования в первом контуре выбран равным 0,8 с, во вто-
ром контуре 1 с. Амплитуды импульсов длительностью h оптималь-
ного управляющего воздействия на входе первого контура управления
равны: mQ =5,886; =-5,295; т2 =0,521; =-0,018.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на входе второго контура управления равны:
т. =-14,017; =10,725; т2 =-0,177.
На рис.7.32 приведены переходные процессы для среднего (крей-
серского) базового режима СР работы газотурбинного двигателя в
контуре управления частотой вращения ротора вентилятора (а) и в
контуре управления температурой газа за турбиной (б) при одновре-
менном контроле частоты вращения ротора компрессора.
518
Раздел 7
а) б)
Рис. 7.31
Рис.7.32
Шаг квантования в первом контуре выбран равным 1 с, во втором
контуре 0,2 с. Амплитуды импульсов длительностью h оптимального
управляющего воздействия на входе первого контура управления рав-
ны: mQ =5,531; =-4,267; т2 =0,096; w3 -0. Амплитуды им-
пульсов длительностью h оптимального управляющего воздействия
на входе второго контура управления равны:
519
Раздел 7
mQ =-576,785; т} =709,942; т2 =-156,324.
На рис.7.33 приведены переходные процессы для базового режи-
ма малого газа РМГ работы газотурбинного двигателя в контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора (а) и в контуре
управления температурой газа за турбиной (б) при одновременном
контроле частоты вращения ротора компрессора.
Шаг квантования в первом контуре выбран равным 2,5 с, во вто-
ром контуре 0,2 с. Амплитуды импульсов длительностью h опти-
мального управляющего воздействия на входе первого контура управ-
ления равны: /и0 =0,556; т{ =-0,297; т2 =0,014; ~0. Ампли-
туды импульсов длительностью h оптимального управляющего воз-
действия на входе второго контура управления равны:
т0 =-2030,7; =3295,3; т2 =-1301,3.
Рис.7.33
Расчеты и моделирование двухмерной системы автоматического
управления (см. рис.7.29) показывают, что на среднем (крейсерском)
режиме и в режиме малого газа при развязанных контурах управляю-
щее воздействие на входе одного контура не оказывает никакого
влияния на выходе другого контура, например, управление частотой
вращения ротора вентилятора не оказывает влияния на температуру
газа за турбинным блоком (см. рис.7.32,а и 7.33,а), а управление тем-
пературой газа за турбинным блоком не оказывает влияния на частоту
вращения ротора вентилятора (см. рис.7.32,б и 7.33,6). Но частота
вращения ротора компрессора изменяется, хотя и не в очень больших
520
Раздел 7
пределах. Переходные процессы в указанных режимах являются апе-
риодическими, без перерегулирования. При устойчивой работе систе-
мы длительность переходных процессов изменения частоты вращения
ротора вентилятора в среднем режиме составляет примерно 2,5 с, в
режиме малого газа - примерно 6,5 с; длительность переходных про-
цессов изменения температуры газа за турбиной в среднем режиме и в
режиме малого газа примерно одинаковая и равна 0,5 с (но при такой
малой длительности требуются весьма большие амплитуды импульсов
управления, особенно в режиме малого газа).
На максимальном режиме управление температурой газа за тур-
бинным блоком не оказывает влияния на частоту вращения ротора
вентилятора, но частота вращения ротора компрессора изменяется
(см. рис.7.31,6). Переходные процессы - апериодические. Длитель-
ность переходных процессов изменения температуры газа за турбин-
ным блоком составляет примерно 2,4 с. Но управление частотой вра-
щения ротора вентилятора приводит к изменению не только частоты
вращения ротора компрессора, но и влияет на температуру газа за
турбинным блоком (см. рис.7.31,а). Причем переходный процесс из-
менения частоты вращения ротора вентилятора - колебательный, и
длительность этого процесса необходимо выбирать исходя из требуе-
мого перерегулирования (при заданном перерегулировании 2...3%
длительность переходного процесса изменения частоты вращения ро-
тора вентилятора составляет примерно 1,8 с).
При рассмотрении двухроторного ГТД как одномерного объекта
управления (вход - GT, выходы - пк,пв,Тт) и использовании од-
номерной системы управление каким либо одним из выходных пара-
метром приводит часто к нежелательным изменениям других пара-
метров. Поэтому для двухроторного ГТД с форсажной камерой и ре-
гулируемым соплом как двухмерного объекта управления (входы -
GT.FKP> выходы - п^п^Т?) применение двухмерной системы
управления двумя параметрами с развязкой контуров управления, яв-
ляется более целесообразным.
521
Раздел 7
7.4. Синтез цифровых нечетких регуляторов систем автома-
тического управления параметрами двухроторного двухконтур-
ного газотурбинного двигателя на базовых режимах работы
7.4.1. Синтез цифровых нечетких регуляторов в системе авто-
матического управления температурой газа двухроторного двухкон-
турного газотурбинного двигателя при компенсации динамических
свойств объекта управления и датчика температуры[(Л]
Структурная схема системы автоматического управления темпе-
ратурой газа двухроторного двухконтурного газотурбинного двигате-
ля при компенсации динамических свойств объекта управления и дат-
чика температуры представлена на рис.7.34. В системе используется
цифровой нечеткий регулятор HP, на вход которого после аналого-
цифрового преобразователя АЦП поступает квантованная ошибка
0(к)у ее первая и вторая разности.
цдП Регулятор АЦП
Рис.7.34
522
Раздел 7
При компенсации динамических свойств термопары (без исполь-
зования корректирующего контура) общую передаточную функцию
объекта управления вместе с исполнительным устройством
(см.рис.7.7) можно записать в виде (7.19):
Сг a(s2+qs + r) Tl,
w(5) s(s1 + bs + a)(s + c)
где a = tz0a,<z4; c = Z>,.
Корректирующий контур, компенсирующий динамические свой-
ства объекта управления, имеет передаточную функцию (7.26):
GK(s) =
s2 +bs + а
2 ’
5 + qs + r
При этом передаточную функцию объекта управления вместе с
исполнительным устройством можно записать в виде (7.27):
G0(*) =
тг(.у) _ a ^TlS
m(s) s(s + с)
Синтез нечеткого регулятора выполняем по формулам (5.16)-
(5.30) для экспоненциальных функций принадлежности с шагом кван-
тования (с шагом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 0,01
с. Ошибка на выходе АЦП 0(к), ее первая 0(к) = [#(£) - 0(к - 1)]/Л
и вторая 0(к) = [0(к)-0(к-V)]/h разности подаются на вход HP.
Сигнал с выхода HP поступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка с
передаточной функцией H(s) = (1 -e~hs)ls) и далее на непрерывную
часть системы (общий объект управления - исполнительное устройст-
во + двигатель).
Параметры передаточных функций (7.19), (7.26) и (7.27) для базо-
вых режимов работы газотурбинного двигателя - максимального ре-
жима МР, среднего (крейсерского) режима СР и режима малого газа
РМГ приведены в табл.7.2.
В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны изменения
ВХОДНЫХ И ВЫХОДНОЙ переменных [0min,0max] , [0min,0max] > WninAaxL
timin’wmaX] и параметр с для всех экспоненциальных функций при-
надлежности: //(и) = ехр(-си), /л2 (и) = ехр[-с(1-и)], где w- па-
523
Раздел 7
раметр (элемент) единого универсального множества U =[0,1]. Для
уменьшения числа параметров настройки нечеткого регулятора диапа-
зоны изменения переменных приняты симметричными: #min = ,
= И Т. Д.
min max
Результаты моделирования системы (см. рис.7.34) только с уст-
ройством компенсации динамики термопары (без корректирующего
контура), когда общий объект управления описывается передаточной
функцией (7.19) представлены на рис.7.35, а,б,в, где изображены пе-
реходные процессы изменения температуры газа за турбинным бло-
ком TT(t) и управляющие воздействия m(f) с выхода нечеткого ре-
гулятора соответственно для максимального режима МР, среднего
(крейсерского) режима СР и режима малого газа РМГ работы ГТД.
Рис.7.35
524
Раздел 7
Эти процессы получены при условии, что управляющие воздейст-
вия m(t), поступающие с выхода нечеткого регулятора на объект
управления, ограничены значением |w(/)| < 10.
Настройка регулятора производилась с целью получения пере-
ходных процессов минимальной длительности с перерегулированием
не более 3%. При этом на всех базовых режимах работы газотурбин-
ного двигателя оптимальные параметры нечеткого регулятора [#тах],
[wmax], [с] равны следующим значениям [5,0], [8,0], [20,0]. На мак-
симальном режиме МР перерегулирование составляет 2,9%, а опти-
мальные параметры [0тах], [0тах] равны значениям [0,6], [1,07]; на
среднем режиме СР перерегулирование составляет 3%, а оптимальные
параметры [#тах], [0тах] равны значениям [0,6], [1,1]; в режиме ма-
лого газа РМГ перерегулирование составляет 3%, а оптимальные па-
раметры [0тах], [0тах] равны значениям [0,5], [1,3]. В режимах МР и
СР время регулирования примерно одинаковое и составляет около 2,5
с. В режиме РМГ время регулирования составляет примерно 2,3 с.
Результаты моделирования системы (см. рис.7.34) с устройством
компенсации динамики термопары и корректирующим контуром, ко-
гда общий объект описывается наиболее простой передаточной функ-
цией (7.27) представлены на рис.7.36 и 7.37.
На рис.7.36,а,б,в изображены переходные процессы изменения
температуры газа за турбинным блоком TT(t) и управляющие воздей-
ствия m(t) с выхода нечеткого регулятора соответственно для макси-
мального режима МР, среднего (крейсерского) режима СР и режима
малого газа РМГ работы ГТД при условии, что управляющие воздей-
ствия m(t), поступающие с выхода нечеткого регулятора на объект
управления, ограничены значением |тл(/)| < 10. Настройка регулятора
производилась с целью получения переходных процессов минималь-
ной длительности с перерегулированием не более 3%. При этом на
всех базовых режимах работы газотурбинного двигателя оптимальные
параметры нечеткого регулятора [<9max], [0max], [0тах], [wmax], [с]
равны следующим значениям [0,6], [1,1], [5,0], [8,0], [20,0]. Таким
525
Раздел 7
образом, на всех режимах работы газотурбинного двигателя можно
использовать один и тот же нечеткий регулятор с указанными пара-
метрами. При этом время регулирования для указанных режимов ра-
боты газотурбинного двигателя примерно одинаковое и равное 2,2с, а
перерегулирование отличается незначительно: для максимального ре-
жима 3%, для среднего режима 2,1%, для режима малого газа 3,2%.
На рис.7.37, а,б,в представлены те же, что и на рис.7.36, переход-
ные процессы изменения температуры газа за турбинным блоком
TT(t) с минимальной длительностью соответственно для максималь-
ного режима МР, среднего (крейсерского) режима СР и режима мало-
го газа РМГ работы ГТД и показано влияние управления температу-
526
Раздел 7
рой газа TT(t) на частоты вращения ротора вентилятора nB(t) и ком-
прессора nK(t) при отработке системой (см. рис.7.34) единичного сту-
пенчатого воздействия по температуре.
1.5 ----------------------------------------------- 1.6
Рис.7.37
Изменение температуры газа (отработка системой единичного
ступенчатого воздействия по температуре) оказывает весьма значи-
тельное влияние на частоты вращения роторов вентилятора и ком-
прессора газотурбинного двигателя. Частота вращения ротора венти-
лятора отклоняется от своего первоначального установившегося зна-
чения значительно больше частоты вращения ротора компрессора,
причем отклонения частот вращения роторов от их первоначальных
значений особенно большие в режиме малого газа работы двигателя
527
Раздел 7
(новое установившееся значение частоты вращения ротора вентилято-
ра более чем в 12 раз, а новое установившееся значение частоты вра-
щения ротора компрессора более чем в 4 раза превышает единичное
входное воздействие).
Существенным является также то обстоятельство, что длитель-
ность переходных процессов изменения частот вращения роторов вен-
тилятора и компрессора значительно превышает длительность пере-
ходных процессов изменения температуры газа за турбинным блоком:
на максимальном режиме это превышение составляет примерно 1,4
раза, на среднем режиме - примерно 2,2 раза, а в режиме малого газа
это превышение достигает примерно 20 раз.
Как уже отмечалось, для устранения значительного влияния из-
менения температуры газа на частоты вращения роторов вентилятора
и компрессора газотурбинного двигателя необходимо вводить допол-
нительный контур управления по частоте вращения ротора вентилято-
ра (или компрессора) с использованием дополнительного управляю-
щего воздействия на объект, например, относительной величины про-
ходного сечения выходного сопла. Другими словами, необходимо ис-
пользовать многомерную (в частном случае, двухмерную) систему
управления.
Сравнивая работу цифровых нечетких регуляторов и оптималь-
ных по быстродействию регуляторов в системах автоматического
управления, представленных структурными схемами на рис.7.7, 7.10 и
7.34, отметим, что во многих случаях применение нечетких регулято-
ров имеет значительные преимущества. Так, замена оптимального по
быстродействию регулятора в системе (см. рис.7.7) на нечеткий регу-
лятор дает возможность на базовом режиме малого газа работы газо-*
турбинного двигателя получить переходный процесс с перерегулиро-
ванием 3% и временем регулирования 2,3с вместо переходного про-
цесса с перерегулированием более 30% и временем регулирования
более 30с (см. рис.7.8,в и рис.7.35). Если в системе (см. рис.7.10) для
оптимального по быстродействию регулятора требуется настройка
коэффициентов mt для каждого базового режима работы газотурбин-
ного двигателя, то нечеткий регулятор в системе (см. рис.7.34) с кор-
ректирующим контуром и устройством компенсации динамики тер-
мопары имеет оптимальные параметры для всех базовых режимов ра-
боты газотурбинного двигателя.
528
Раздел 7
7.4.2. Синтез цифровых нечетких регуляторов систем автома-
тического управления частотами вращения роторов двухроторного
двухконтурного газотурбинного двигателя на базовых режимах ра-
боты [118]
Составленная с учетом уравнений (7.1) - (7.2) и обозначений (7.4)
структурная схема системы автоматического управления частотой
вращения ротора вентилятора с цифровым нечетким регулятором HP,
объектом управления ОУ в виде линейной модели ГТД (вместе с ис-
полнительным устройством) представлена на рис.7.38.
Составленная с учетом уравнений (7.1) - (7.2) и обозначений (7.4)
структурная схема системы автоматического управления частотой
вращения ротора компрессора с цифровым нечетким регулятором ИР,
объектом управления ОУ в виде линейной модели ГТД (вместе с ис-
полнительным устройством) представлена на рис.7.39.
I---
I ОУ
zt 6ТФ0Р
m(t) = iT(t)
Рис.7.38
529
Раздел 7
Общая передаточная функция объекта управления вместе с ис-
полнительным устройством определяется по формуле (7.35):
-г a(S-''1-----е’-.
m(s) s(s2 +bs + a)(s + с)
где а = ав = с = г = гв для системы управления час-
тотой вращения ротора вентилятора и а = ак = аоа}а3;
с - г = гк для системы управления частотой вращения ротора
компрессора.
Численные значения параметров общей передаточной функции
(7.35) объектов управления в схемах рис.7.38 и 7.39 вместе с исполни-
тельным устройством для указанных трех режимов работы газотур-
бинного двигателя типа АИ-222 приведены в табл.7.3
Рис.7.39
Поскольку передаточная функция объекта управления в системах
управления частотой вращения ротора вентилятора и частотой враще-
530
Раздел 7
ния ротора компрессора одна и та же, а параметры передаточной
функции для этих систем управления отличаются только коэффициен-
том усиления и параметром форсирующего звена, рассмотрим резуль-
таты моделирования системы управления частотой вращения ротора
вентилятора. Синтез нечеткого регулятора выполняем по формулам
(5.16)-(5.30) для экспоненциальных функций принадлежности с шагом
квантования (с шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0,01 с.
На рис.7.40,6/,б,в изображены переходные процессы изменения
частоты вращения ротора вентилятора nB(t) и управляющие воздей-
ствия m(t) с выхода нечеткого регулятора соответственно для макси-
мального режима МР, среднего (крейсерского) режима СР и режима
малого газа РМГ работы ГТД.
531
Раздел 7
Настройка регулятора производилась с целью получения пере-
ходных процессов минимальной длительности с перерегулированием
примерно равным 3%. При этом на всех базовых режимах работы га-
зотурбинного двигателя оптимальный параметр нечеткого регулятора
[с] равен [20,0]. На максимальном режиме МР оптимальные пара-
метры [0тах], [0тах], [0т«х]. ['«m.xL равны следующим значениям
[0,94], [1,1], [4,0], [9,0]; на среднем режиме СР оптимальные пара-
метры [<9max], [#тах], t^], [тт„], равны значениям [0,78], [3],
[10], [100]; в режиме малого газа РМГ оптимальные параметры
[0maxb WmxL [<Lx]> Равны Значениям [0,7], [1,13], [10],
[100]. В режимах МР и СР время регулирования примерно одинако-
вое и составляет около 2,1 с. В режиме РМГ время регулирования со-
ставляет примерно 2,5 с.
532
Раздел 7
На рис.7.41, а,б,в представлены те же, что и на рис.7.40, переход-
ные процессы изменения частоты вращения ротора вентилятора nB(t)
с минимальной длительностью соответственно для максимального
режима МР, среднего (крейсерского) режима СР и режима малого газа
РМГ работы ГТД и показано влияние управления частотой вращения
ротора вентилятора nB(f) на температуру газа за турбиной TT(t) и
частоту вращения ротора компрессора пк (t) при отработке системой
(см. рис.7.38) единичного ступенчатого воздействия по частоте вра-
щения ротора вентилятора.
На основании результатов моделирования можно заключить, что
управление частотой вращения ротора вентилятора оказывает значи-
тельное влияние как на частоту вращения ротора компрессора, так и
на температуру газа за турбинным блоком ГТД. При этом отклонение
температуры в переходных процессах происходит с перерегулирова-
нием, которое особенно велико в режиме малого газа.
Как уже отмечалось, для недопущения отклонения температуры
при регулировании частот вращения роторов вентилятора и компрес-
сора необходимо переходить к многомерной системе (в простейшем
случае - двухмерной) и дополнительно вводить систему автоматиче-
ского управления температурой газа за турбинным блоком.
7.4.3. Синтез цифровых нечетких регуляторов в двухмерной сис-
теме автоматического управления частотами вращения роторов
двухроторного двухконтурного газотурбинного двигателя [50]
Структурная схема двухмерной системы автоматического управ-
ления частотами вращения роторов двухроторного двухконтурного
газотурбинного двигателя, в которой используются цифровые нечет-
кие регуляторы, приведена на рис.7.42. Эта структурная схема отлича-
ется от схемы, изображенной на рис.7.23, только наличием цифровых
нечетких регуляторов вместо линейных цифровых регуляторов.
Когда система развязана по сигналам задающих переменных и
возможно отдельное управление частотами вращения ротора вентиля-
тора и компрессора, передаточные функции в квадратных скобках в
главной диагонале матрицы G^R (см. формулы (7.53)-(7.55)) опреде-
ляются:
533
Раздел 7
Q — ^12^21 _ go 1 . Q __ ^12^21 — gp 1
^22 «!Р (^“*"r22) ^11 ^2 (^ + Гн)
Оценка 0,0^-
Фиксатор
Ь ^(t)
ul(t)
I- H(s) (——
ЦАП Регулятор
Оценка 0,0
Фиксатор
- H(s) HP2
x Jm9(k) | 02(k)
ЦАП Регулятор
ИД+ЭПЧ
x/t)
Рис.7.42
При условии, что а0) =«02 =a0,at =а,2 =^l2 =Ь19 пе-
редаточные функции перекрестных связей определяются по формулам
(7.56) и цифровой нечеткий регулятор НР1 управляет объектом Р1 с
передаточной функцией (7.63)
534
Раздел 7
ад=,
«10 Ф + ^)(5 + Г22)
а цифровой нечеткий регулятор НР2 управляет объектом Р2 с переда-
точной функцией (7.64)
ад = .
«2 ф+^Х^ + Гц)
Численные значения параметров записанных выше передаточных
функций для трех режимов работы газотурбинного двигателя те же,
что и для системы, структурная схема которой приведена на рис.7.23.
Синтез нечетких регуляторов НР1 и НР2 выполняем по формулам
(5.16)-(5.30) для экспоненциальных функций принадлежности с шагом
квантования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП 0(к) в каждом канале управле-
ния, ее первая 0(к) = [О(к)-О(к -1)]/Л и вторая
0(£) = \О(к)-О(к -1)]/Л разности подаются на вход соответствую-
щего HP. Сигнал с выхода HP поступает на ЦАП (фиксатор нулевого
порядка с передаточной функцией H(s) = (1 s) и далее на со-
ответствующий вход двухмерного объекта управления.
В нечетких регуляторах НР1 и НР2 настраиваются диапазоны из-
менения входных и выходной переменных [#min,0max], [0min>0max]’
Wmaxl и параметр с для всех экспоненциальных
функций принадлежности: (и) = ехр(-си),
//2(w) = exp[~c(l-w)], где w- параметр (элемент) единого универ-
сального множества U = [0,1]. Для уменьшения числа параметров
настройки нечетких регуляторов диапазоны изменения переменных
приняты симметричными: 0min = -0max, 0min = -0max и т. д.
Ниже приведены результаты моделирования двухмерной системы
управления общим объектом с перекрестными связями (см. рис.7.42)
при настройке нечетких регуляторов НР1 и НР2 и параметрах испол-
нительных устройств:
= аа =дг0 =0,01, =а, = а,=85,Ь, = Ь. = />.=0,29.
Uj v Ч 4 Ч *2 "
535
Раздел 7
На рис.7.43, 7.44 и 7.45 приведены переходные процессы соответ-
ственно для максимального МР, среднего (крейсерского) СР базовых
режимов работы газотурбинного двигателя и режима малого газа
РМГ: а - в контуре управления частотой вращения ротора вентилято-
ра; б - в контуре управления частотой вращения ротора компрессора.
ТтШ
Рис.7.44
536
Раздел 7
Настройка регуляторов НР1 и НР2 производилась с целью полу-
чения переходных процессов минимальной длительности с перерегу-
лированием не более 3%. Оптимальные параметры нечетких регуля-
торов НР1 и НР2 [титах] и [с] для всех базовых режимов работы вы-
браны одинаковыми и равными [50] и [50].
На максимальном режиме МР оптимальные параметры нечеткого
регулятора HPl [6>max ], [0max], [0max] равны значениям [1,58], [2,25],
[20]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2 равны зна-
чениям [0,95], [1,5], [1,1]. Время переходного процесса для первого
контура управления составляет примерно 0,8с, для второго контура
управления примерно 1,5с.
На среднем (крейсерском) режиме СР оптимальные параметры
нечеткого регулятора HPl [0тах], [0тах], [#тах] равны значениям
[0,93], [1,9], [32]; оптимальные параметры нечеткого регулятора
НР2 равны значениям [0,89], [1,49], [50]. Время переходного про-
цесса для первого контура управления составляет примерно 0,6с, для
второго контура управления примерно 2,1с.
537
Раздел 7
В режиме малого газа РМГ оптимальные параметры нечеткого ре-
гулятора HPl [<9тах], [#тах], [#тах] равны значениям [1,08], [0,8],
[3]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2 равны значе-
ниям [1,4], [0,91], [30]. Время переходного процесса для первого
контура управления составляет примерно 2,8с, для второго контура
управления примерно Юс.
Моделирование двухмерной системы автоматического управле-
ния с цифровыми нечеткими регуляторами (см. рис.7.42) показывает,
что при развязанных контурах управляющее воздействие на входе од-
ного контура не оказывает никакого влияния на выходе другого кон-
тура, например, управление частотой вращения ротора вентилятора не
оказывает влияния на частоту вращения ротора компрессора, а управ-
ление частотой вращения ротора компрессора не оказывает влияния
на частоту вращения ротора вентилятора. Но управление частотами
вращения роторов приводит к значительному изменению температуры
газа за турбинным блоком ГТД. При этом если переходные процессы
по частотам вращения роторов имеют перерегулирование не более
3%, то переходные процессы по температуре газа могут иметь боль-
шее перерегулирование.
Отклонение температуры газа за турбинным блоком в установив-
шемся режиме при регулировании частоты вращения ротора компрес-
сора значительно больше, чем отклонение температуры газа при регу-
лировании частоты вращения ротора вентилятора на всех базовых ре-
жимах работы газотурбинного двигателя (на максимальном и среднем
режиме примерно в 6 раз, в режиме малого газа примерно в 2,5 раза).
При этом отклонение температуры газа за турбинным блоком в уста-
новившемся режиме малого газа при регулировании частоты враще-
ния ротора компрессора примерно в 6 раз больше отклонения темпе-
ратуры газа на установившемся среднем режиме, а отклонение темпе-
ратуры газа на установившемся среднем режиме примерно в 2 раза
больше отклонения температуры газа на установившемся максималь-
ном режиме работы газотурбинного двигателя.
538
Раздел 7
7.4.4. Синтез цифровых нечетких регуляторов в двухмерной сис-
теме автоматического управления частотой вращения ротора вен-
тилятора и температурой газа за турбинным блоком двухроторного
двухконтурного газотурбинного двигателя [55]
Структурная схема двухмерной системы автоматического управ-
ления частотой вращения ротора вентилятора и температурой газа за
турбинным блоком двухроторного двухконтурного газотурбинного
двигателя, в которой используются цифровые нечеткие регуляторы,
приведена на рис.7.46.
[Оценка
ЦАП Регулятор
Ь ^(0
Ul(t)
АЦП
ИД+ЭГГЧ
Х](0
[оценка
Фиксатор
- H(s) (-----НР2
I Г"Ъ(к)1 J 02(к)
цдП Регулятор
Рис.7.46
539
Раздел 7
Эта структурная схема отличается от схемы, изображенной на
рис.7.27, только наличием цифровых нечетких регуляторов вместо
линейных цифровых регуляторов.
Газотурбинный двигатель как двухмерный объект управления
описан в разделе 7.3.2.
Рассмотрим вариант, когда контуры управления частотой враще-
ния ротора вентилятора и температурой газа за турбинным блоком
развязаны при помощи перекрестных связей и для среднего (крейсер-
ского) базового режима и режима малого газа в первый контур (кон-
тур управления частотой вращения ротора вентилятора) и во второй
контур (контур управления температурой газа за турбиной) введено
корректирующее устройство с передаточной функцией (7.93), как по-
казано на структурной схеме общего объекта управления (см.
рис.7.29), и кроме того выполнено условие
а0| = «о2 > ai, - ai2 , \ \ , ПРИ котором передаточные функции пе-
рекрестных связей определяются по формулам (7.92). В этом случае
цифровой нечеткий регулятор НР1 работает на объект с передаточной
функцией (7.94), а цифровой нечеткий регулятор НР2 работает на
объект с передаточной функцией (7.95).
На максимальном режиме работы ГТД цифровой нечеткий регу-
лятор НР1 работает на объект с передаточной функцией (7.112), а
цифровой нечеткий регулятор НР2 работает на объект с передаточной
функцией (7.95), как показано на структурной схеме общего объекта
управления (см. рис.7.30).
Численные значения параметров передаточных функций для трех
режимов работы газотурбинного двигателя те же, что и для системы,
структурная схема которой приведена на рис.7.27.
Синтез нечетких регуляторов НР1 и НР2 выполняем по формулам
(5.16)-(5.30) для экспоненциальных функций принадлежности с шагом
квантования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП 0(к) в каждом канале управле-
ния, ее первая в(к) = [#(£) - 0(к -1)] / h и вторая
0(&) = [0(&)-0(&-1)]/Л разности подаются на вход соответствую-
щего HP. Сигнал с выхода HP поступает на ЦАП (фиксатор нулевого
порядка с передаточной функцией H(s) = (1 s) и далее на со-
ответствующий вход двухмерного объекта управления.
540
Раздел 7
В нечетких регуляторах НР1 и НР2 настраиваются диапазоны из-
менения входных и выходной переменных [#min, , [0min, 0тт ],
timin’Wmax] и параметр с для всех экспоненциальных
функций принадлежности: (и) = ехр(-си), (и) = ехр[-с(1 - и)],
где и - параметр (элемент) единого универсального множества
С/ = [0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки нечетких ре-
гуляторов диапазоны изменения переменных приняты симметричны-
ми: 5 ^min = и т. д.
min max ’ min max
Ниже приведены результаты моделирования двухмерной системы
управления общим объектом с перекрестными связями (см. рис.7.46)
при настройке нечетких регуляторов НР1 и НР2 и параметрах испол-
нительных устройств:
«о, = «о2 = «о = °>01> «1, = «12 = «1 = 85, \ \ =Ь}= 0,29.
На рис.7.47, 7.48 и 7.49 приведены переходные процессы соответ-
ственно для максимального МР, среднего (крейсерского) СР базовых
режимов работы газотурбинного двигателя и режима малого газа
РМГ: а - в контуре управления частотой вращения ротора вентилято-
ра; б - в контуре управления температурой газа за турбиной.
541
Раздел 7
Настройка регуляторов НР1 и НР2 производилась с целью полу-
чения переходных процессов минимальной длительности с перерегу-
лированием не более 3%. Оптимальный параметр с нечетких регуля-
торов НР1 и НР2 для всех режимов работы газотурбинного двигателя
выбран одинаковым и равным 50. Оптимальный параметр wmax не-
четких регуляторов НР1 и НР2 для максимального МР и среднего
(крейсерского) СР базовых режимов работы выбран одинаковым и
равным также 50.
На максимальном режиме МР оптимальные параметры нечеткого
регулятора НР1 [0т„], [0тах], [6*тах] равны значениям [0,8], [1,15],
[25]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2 равны зна-
чениям [1,0], [1,58], [30]. Время переходного процесса для первого
контура управления составляет примерно 1с, для второго контура
управления примерно 1,6с.
На среднем (крейсерском) режиме СР оптимальные параметры
нечеткого регулятора НР1 [0тах], [#тах], [0тах] Равны значениям
[1,9], [1,72], [11]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2
равны значениям [0,85], [1,54], [40]. Время переходного процесса
542
Раздел 7
для первого контура управления составляет примерно 1,3с, для второ-
го контура управления примерно 1,7с.
В режиме малого газа РМГ оптимальные параметры нечеткого ре-
гулятора НР1 [0max], [0max], [6^], [штах] равны значениям [3,0],
[1,15], [2,5], [5]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2
равны значениям [0,95], [0,93], [6], [50]. Время переходного про-
цесса для первого контура управления составляет примерно 3,1с, для
второго контура управления примерно 2,5с.
Расчеты и моделирование двухмерной системы автоматического
управления (см. рис.7.46) показывают, что на среднем (крейсерском)
режиме и в режиме малого газа при развязанных контурах управляю-
щее воздействие на входе одного контура не оказывает никакого
влияния на выходе другого контура, например, управление частотой
вращения ротора вентилятора не оказывает влияния на температуру
газа за турбинным блоком (см. рис.7.48,я и 7.49,я), а управление тем-
пературой газа за турбинным блоком не оказывает влияния на частоту
вращения ротора вентилятора (см. рис.7.48,6 и 7.49,6). Но частота вра-
щения ротора компрессора изменяется, хотя и не в очень больших
пределах.
543
Раздел 7
На максимальном режиме управление температурой газа за тур-
бинным блоком не оказывает влияния на частоту ъращения ротора
вентилятора (см. рис.7.47,б), но управление частотой вращения ротора
вентилятора приводит к изменению не только частоты вращения ро-
тора компрессора, но и влияет на температуру газа за турбинным бло-
ком (см. рис.7.47,а). Причем переходный процесс изменения темпера-
туры газа за турбиной - колебательный.
При использовании одномерной системы управления каким либо
одним параметром приводит часто к нежелательным изменениям дру-
гих параметров, что может значительно ухудшить работу двигателя.
Поэтому для такого объекта управления как двухроторный двухкон-
турный газотурбинный двигатель ГТД с форсажной камерой и регу-
лируемым соплом применение двухмерной системы управления, в
которой весьма просто можно осуществить развязку контуров управ-
ления, является более целесообразным, чем использование одномер-
ных систем.
7.5. Исследование систем автоматического управления основ-
ными параметрами двухроторного двухконтурного ГТД при про-
извольных входных воздействиях методом математического мо-
делирования
7^5.1. Исследование двухмерной системы автоматического
управления частотами вращения роторов двухроторного двухкон-
турного газотурбинного двигателя [38]
Синтез оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов
для этой системы рассмотрен в разделе 7.3.1, а структурная схема сис-
темы представлена на рис.7.23. При развязанных контурах управления
(когда осуществляется отдельное управление частотами вращения ро-
торов вентилятора и компрессора) можно отдельно исследовать про-
цессы в каждом контуре. Структурные схемы контуров управления
представлены на рис.7.50 и 7.51, а структурная схема объекта управ-
ления - на рис.7.52.
При произвольном входном воздействии u(t), которое изменяет-
ся с максимальной скоростью и максимальным ускорением £тах,
рассмотрим эквивалентное гармоническое воздействие
544
Раздел 7
ыэ(/) = U э sin <уэ/,
параметры которого определяются из соотношений [10]:
= ®тах 1 *тахЧ = £max Z "max ’
Рис.7.50
545
Раздел 7
Рис.7.52
В свою очередь, если заданы параметры эквивалентного гармони-
ческого воздействия, то максимальная скорость а>тах и максимальное
ускорение £тах произвольного входного воздействия находятся из
соотношений: сотах = £max = U3(O2.
Ниже представлены процессы в первом контуре (контуре управ-
ления частотой вращения ротора вентилятора - см. схему на рис.7.50)
и во втором контуре (контуре управления частотой вращения ротора
компрессора - см. схему на рис.7.51) на максимальном режиме (см.
рис.7.53), на среднем (крейсерском) режиме (см. рис.7.54) и в режиме
малого газа (см. рис.7.55) работы газотурбинного двигателя. На вход
контуров управления на всех режимах работы газотурбинного двига-
теля поступает эквивалентное гармоническое воздействие
u3(t) = 10sin(^/30),
где U3 = 10; соэ = л730 « 0,1 рад!с. При таких параметрах эквива-
лентного гармонического воздействия произвольное входное воздей-
ствие имеет следующие максимальные скорость и ускорение:
®тах = ~1рад/с; £max = U,a>2 = 0Д(рад/с)2.
546
Раздел 7
Цифровые оптимальные по быстродействию регуляторы на всех
режимах работы газотурбинного двигателя работают с шагом кванто-
вания h — 0,5с.
Рис.7.53
На максимальном и среднем (крейсерском режиме) работы газо-
турбинного двигателя максимальная динамическая ошибка в первом
контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентилятора),
за исключением начального выброса в первый период захвата входно-
го воздействия, не превышает 1% от амплитуды эквивалентного гар-
монического воздействия и контур управления частотой вращения
ротора вентилятора с высокой точностью отрабатывает входной сиг-
нал. Амплитуды импульсов управляющего воздействия на объект
управления с выхода оптимального по быстродействию цифрового
547
Раздел 7
регулятора, за исключением начальных импульсов в период захвата
входного воздействия, не превышают 30% от амплитуды эквивалент-
ного гармонического воздействия на максимальном режиме работы
ГТД и 10% на среднем (крейсерском) режиме работы ГТД.
8
6
4
2
В) 0
-2
-4
-6
-8
-10
-П1 (t)
0 10 20 30 40 50__60
200
150
100
50
В) 0
-50
-100
-150
-200
-250 « ---—-----—------—
0 10 20 30
___________
40 50 60
-т (О
Рис.7.54
В режиме малого газа характеристики первого контура (контура
управления частотой вращения ротора вентилятора) ухудшаются. Ди-
намическая ошибка (за исключением начального выброса в первый пе-
риод захвата входного воздействия) достигает примерно 5% от ампли-
туды эквивалентного гармонического воздействия и с такой ошибкой
контур управления частотой вращения ротора вентилятора отрабатыва-
ет входной сигнал. Амплитуды импульсов управляющего воздействия
на объект управления с выхода оптимального по быстродействию циф-
548
Раздел 7
рового регулятора (за исключением начальных импульсов в период за-
хвата входного воздействия) почти в 5 раз превышают амплитуду экви-
валентного гармонического воздействия, а амплитуда начального им-
пульса больше амплитуды входного воздействия в 20 раз.
(t) п ПЛЛЛЛЛИ1г'лл1ГчП П П_П_П п п
iprlrlni IT U « и UTjiJtJtjM1 «Л
2000
1500
1000
500
В) 0
>500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
(t)
1Мг(г1лГи1Г “ U U1J t,c
0 10 20 30 40 50 60
Рис.7.55
Процессы во втором контуре (контуре управления частотой вра-
щения ротора компрессора) на максимальном и среднем (крейсер-
ском) режимах работы газотурбинного двигателя практически такие
же как и в контуре управления частотой вращения ротора вентилято-
ра. Это касается и процессов в режиме малого газа, за исключением
того, что амплитуды импульсов управляющего воздействия на объект
управления с выхода оптимального по быстродействию цифрового
регулятора, за исключением начальных импульсов в период захвата
549
Раздел 7
входного воздействия, в режиме малого газа почти в 50 раз превыша-
ют амплитуду эквивалентного гармонического воздействия, а ампли-
туда начального импульса больше амплитуды входного воздействия
примерно в 300 раз.
Двухмерная система автоматического управления частотами вра-
щения роторов вентилятора и компрессора двухроторного двухкон-
турного газотурбинного двигателя с нечеткими цифровыми регулято-
рами (см. схему на рис.7.42) исследована в разделе 7.4.3 при ступенча-
тых входных воздействиях.
Ниже представлены процессы в первом контуре (контуре управ-
ления частотой вращения ротора вентилятора с нечетким регулятором
НР1) и во втором контуре (контуре управления частотой ротора ком-
прессора с нечетким регулятором НР2) на максимальном режиме (см.
рис.7.56), на среднем (крейсерском) режиме (см. рис.7.57) и в режиме
малого газа (см. рис.7.58) работы газотурбинного двигателя.
1-й контур 2-й контур
Рис.7.56
550
Раздел 7
На вход контуров управления на всех режимах работы ГТД по-
ступает эквивалентное гармоническое воздействие
u3(t) = 10sin(fl7/30),
где U 3 = 10; а)3 = Д’/30 ® 091рад/с. При таких параметрах эквива-
лентного гармонического воздействия произвольное входное воздей-
ствие имеет следующие максимальные скорость и ускорение:
бУтах = U 3&>з « \рад/с ; = Uзсо2 - 0,1(рад/с)2. Нечеткие
цифровые регуляторы НР1 и НР2 на всех режимах работы газотур-
бинного двигателя работают с шагом квантования h = 0,01с.
Настройка регуляторов НР1 и НР2 производилась с целью полу-
чения минимальной текущей ошибки. Оптимальные параметры си
wmaxнечетких регуляторов НР1 и НР2 и для всех базовых режимов
работы газотурбинного двигателя выбраны одинаковыми и равными
50.
Рис.7.57
551
Раздел 7
На максимальном режиме МР оптимальные параметры нечеткого
регулятора HPl [0тах], [0т1Х], [<?тал] равны значениям [1,58], [2,25],
[20]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2 равны зна-
чениям [0,95], [1,5], [1,1].
На среднем (крейсерском) режиме СР оптимальные параметры
нечеткого регулятора HPl [#тах], [^тах], [0тах] Равны значениям
[0,93], [1,9], [32]; оптимальные параметры нечеткого регулятора
НР2 равны значениям [0,89], [1,49], [50].
В режиме малого газа РМГ оптимальные параметры нечеткого ре-
гулятора HPl [0miX], [0max], [#maJ равны значениям [1,08], [0,8],
[3]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2 равны значе-
ниям [1,4], [0,91], [30].
Рис.7.58
552
Раздел 7
Отметим, что оптимальные параметры нечетких регуляторов НР1
и НР2 [0тах], [#тах], [6^], [т^] и [с] для всех базовых режимов
работы газотурбинного двигателя при поступлении на вход контуров
управления эквивалентного гармонического воздействия такие же, как
и параметры, выбранные при входном ступенчатом воздействии.
Сравнивая процессы в контурах управления с оптимальными по
быстродействию цифровыми регуляторами с процессами в контурах
управления с нечеткими цифровыми регуляторами, приходим к выво-
ду о том, что нечеткие цифровые регуляторы обеспечивают значи-
тельно более высокое качество работы контуров управления в двух-
мерной системе автоматического управления частотами вращения ро-
торов двухроторного двухконтурного газотурбинного двигателя.
В контурах управления с нечеткими цифровыми регуляторами
при поступлении на вход контуров эквивалентного гармонического
воздействия динамические ошибки более чем на порядок меньше ди-
намических ошибок в контурах управления с оптимальными по быст-
родействию цифровыми регуляторами на всех базовых режимах рабо-
ты газотурбинного двигателя. Кроме того, в контурах управления с
нечеткими цифровыми регуляторами значительно меньше начальные
выбросы ошибки. Поэтому применение нечетких цифровых регулято-
ров в исследуемой двухмерной системе весьма целесообразно.
7.5.2. Исследование двухмерной системы автоматического
управления частотой вращения ротора вентилятора и температу-
рой газа за турбинным блоком двухроторного двухконтурного газо-
турбинного двигателя [59]
Синтез оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов
для этой системы рассмотрен в разделе 7.3.2, а структурная схема сис-
темы представлена на рис.7.27. При развязанных контурах управления
(когда осуществляется отдельное управление частотой вращения ро-
тора вентилятора и температурой газа за турбиной) можно отдельно
исследовать процессы в каждом контуре. Структурные схемы конту-
ров управления представлены на рис. 7.59,1а,б, а структурная схема
объекта управления - на рис.7.52. В первом контуре (контуре управле-
ния частотой вращения ротора вентилятора) согласно формулам
(7.94), (7.98) и (7.112) для объекта управления используется опти-
553
Раздел 7
мальный по быстродействию цифровой регулятор, структурная схема
которого приведена на рис.3.115. Во втором контуре (контуре управ-
ления температурой газа за турбинным блоком) согласно формуле
(7.95) для объекта управления используется оптимальный по быстро-
действию цифровой регулятор, структурная схема которого приведена
на рис.3.111.
554
Раздел 7
Структурные схемы перекрестных связей с передаточными
функциями 2 (5) и ^21 (5) (см- формулу (7.92)) показаны на
рис.7.60. Структурная схема корректирующего устройства с переда-
точной функцией RK(s) (см. формулу (7.93)), которое используется
как в первом, так и во втором контурах управления, приведена на
Рис.7.60
Отметим, что в первом контуре управления на максимальном ре-
жиме работы газотурбинного двигателя звенья с передаточными
555
Раздел 7
функциями /?12(s) и RK(s) следует исключить и, устранив перекре-
стную связь, подавать управляющее воздействие с выхода оптималь-
ного по быстродействию цифрового регулятора непосредственно на
вход объекта.
Ниже представлены процессы в первом контуре (контуре управ-
ления частотой вращения ротора вентилятора) и во втором контуре
(контуре управления температурой газа за турбинным блоком) на мак-
симальном режиме (см. рис.7.62), на среднем (крейсерском) режиме
(см. рис.7.63) и в режиме малого газа (см. рис.7.64) работы газотур-
бинного двигателя. На вход контуров управления на максимальном и
среднем режимах работы газотурбинного двигателя поступает эквива-
лентное гармоническое воздействие u3(t) = 10sin(flt/45), где
U3 =10; <уэ =я745«0,07/^)/с.
О 10 20 30 40 50 во 70 80 90
Рис.7.62
L-m(t)
556
Раздел 7
В режиме малого газа эквивалентное гармоническое воздействие
u3(t) = 10sin(flr/90), где U3 = 10; со3 = я790 « 0,035рад/с .
Цифровые регуляторы на всех режимах работы газотурбинного
двигателя работает с шагом квантования h = 1с.
-m(t)
-m(t) . . п П Л ЛЛЛЛЛ*ъ~хпмкл.пл.п к . -
1лЛЧЛпллЛ1ц'|г ’’•ЛТиЛщППГ* _к£
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Рис.7.63
Максимальная динамическая ошибка в контуре управления часто-
той вращения ротора вентилятора (за исключением начального вы-
броса в первый период захвата входного воздействия) не превышает
5% от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия на
максимальном режиме работы газотурбинного двигателя и 10% на
среднем (крейсерском) режиме работы газотурбинного двигателя.
Амплитуды импульсов управляющего воздействия на объект управле-
ния с выхода оптимального по быстродействию цифрового регулятора
(за исключением начальных импульсов в период захвата входного
воздействия) не превышают 30% от амплитуды эквивалентного гар-
557
Раздел 7
монического воздействия на максимальном режиме работы ГТД и
50% на среднем (крейсерском) режиме работы ГТД. Следует отме-
тить, что с уменьшением частоты эквивалентного гармонического
воздействия динамические ошибки уменьшаются.
Рис.7.64
В режиме малого газа работы газотурбинного двигателя на круго-
вой частоте входного эквивалентного гармонического воздействия
69 э = я/45 « 0,07 рад 1с динамическая ошибка очень большая, по-
этому качественная работа контура управления возможна при более
низкой частоте входного воздействия. На рис.7.64 представлены про-
цессы в контуре управления частотой вращения ротора вентилятора в
режиме малого газа при круговой частоте входного эквивалентного
гармонического воздействия 6УЭ = л790 « 0,035рад/с . При такой
частоте динамическая ошибка (за исключением начального выброса)
не превышает 10% от амплитуды эквивалентного гармонического воз-
558
Раздел 7
действия, а амплитуды импульсов управляющего воздействия на объ-
ект управления с выхода оптимального по быстродействию цифрового
регулятора (за исключением начальных импульсов в период захвата
входного воздействия) не превышают 40% от амплитуды эквивалент-
ного гармонического воздействия.
Процессы во втором контуре (контуре управления температурой
газа за турбинным блоком) на максимальном и среднем (крейсерском)
режимах работы газотурбинного двигателя подобны процессам в пер-
вом контуре (контуре управления частотой вращения ротора вентиля-
тора). Но точность слежения за входным сигналом в этом контуре
выше. Так, динамическая ошибка в указанных режимах не превышает
2% от амплитуды эквивалентного гармонического воздействия (при
этом амплитуды управляющего воздействия на объект управления с
выхода оптимального по быстродействию цифрового регулятора со-
ставляют до 70% на максимальном режиме и до 100% на среднем
(крейсерском) режиме работы ГТД от амплитуды входного воздейст-
вия).
Качество (оцениваемое величиной динамической ошибки) второ-
го контура выше качества первого контура особенно в режиме малого
газа работы ГТД. При круговой частоте входного эквивалентного гар-
монического воздействия 69 э = л790 » 0,03 5рад / с динамическая
ошибка во втором контуре (за исключением начального выброса) не
превышает 0,5% от амплитуды эквивалентного гармонического воз-
действия, а амплитуды импульсов управляющего воздействия на объ-
ект управления с выхода оптимального по быстродействию цифрового
регулятора (за исключением начальных импульсов в период захвата
входного воздействия) не превышают 10% от амплитуды эквивалент-
ного гармонического воздействия.
По результатам моделирования можно заключить, что оптимальные
по быстродействию цифровые регуляторы обеспечивают достаточно вы-
сокое качество контуров управления основными выходными параметра-
ми газотурбинного двигателя на базовых режимах его работы.
Если возможна идентификация внутренних параметров (коэффи-
циентов влияния) газотурбинного двигателя (см. формулы (7.1) и
(7.42)) в текущем времени, то можно проектировать адаптивные (са-
монастраивающиеся) оптимальные по быстродействию цифровые ре-
гуляторы, в которых будут изменяться (подстраиваться) параметры
559
Раздел 7
структурных схем цифровых регуляторов (см. рис.3.112 или рис.3.115)
аналитическим путем. Такая настройка параметров цифрового регуля-
тора необходима при изменении режимов работы газотурбинного дви-
гателя, например, при переходе с одного режима на другой. Этот во-
прос требует особого рассмотрения.
Двухмерная система автоматического управления частотой вра-
щения ротора вентилятора и температурой газа за турбинным блоком
двухроторного двухконтурного газотурбинного двигателя с нечетки-
ми цифровыми регуляторами (см. схему на рис.7.46) исследована в
разделе 7.4.4 при ступенчатых входных воздействиях.
Ниже представлены процессы в первом контуре (контуре управле-
ния частотой вращения ротора вентилятора с нечетким регулятором
НР1) и во втором контуре (контуре управления температурой газа за
турбинным блоком с нечетким регулятором НР2) на максимальном ре-
жиме (см. рис.7.65), на среднем (крейсерском) режиме (см. рис.7.66) и в
режиме малого газа (см. рис.7.67) работы газотурбинного двигателя.
Рис.7.65
560
Раздел 7
На вход контуров управления на максимальном и среднем (крей-
серском) режимах работы газотурбинного двигателя поступает экви-
валентное гармоническое воздействие
u3(t) = 10sin(flT/45),
где U3 - 10; соз = л745 » 0,07рад/с, а в режиме малого газа эк-
вивалентное гармоническое воздействие
w3(Z) = 1 Osin(flT /90),
где Uэ = 10; соз = тг/90 « 0,035рад/с. Нечеткие цифровые регу-
ляторы НР1 и НР2 на всех режимах работы газотурбинного двигателя
работают с шагом квантования h = 0,01с.
20
15
10
»)о
-5
-10
-15
-20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 00
Рис.7.66
Настройка регуляторов НР1 и НР2 производилась с целью полу-
чения минимальной динамической ошибки. Оптимальный параметр
с нечетких регуляторов НР1 и НР2 для всех базовых режимов работы
561
Раздел 7
газотурбинного двигателя выбран одинаковым и равным 50. Опти-
мальный параметр wmax нечетких регуляторов НР1 и НР2 для макси-
мального МР и среднего (крейсерского) СР базовых режимов работы
выбран одинаковым и равным также 50.
1-й контур
2-й контур
Рис.7.67
На максимальном режиме МР оптимальные параметры нечеткого
регулятора НР1 [0тах], [0тах], [0тах] равны значениям [0,8], [1,15],
[25]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2 равны зна-
чениям [1,0], [1,58], [30].
На среднем (крейсерском) режиме СР оптимальные параметры
нечеткого регулятора НР1 [/?тах], [#тах], [0тах] Равны значениям
[1,9], [1,72], [11]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2
равны значениям [0,85], [1,54], [40].
562
Раздел 7
В режиме малого газа РМГ оптимальные параметры нечеткого ре-
гулятора НР1 [0max], [0maxL [^maxb ["'max ] Равны значениям [3,0],
[1,15], [2,5], [5]; оптимальные параметры нечеткого регулятора НР2
равны значениям [0,95], [0,93], [6], [50].
Отметим, что оптимальные параметры нечетких регуляторов НР1
И НР2 [«О’ K,axL t^max]* ["’max ] И И Д™ ВСвХ баЗОВЫХ рвЖИМОВ
работы газотурбинного двигателя при поступлении на вход контуров
управления эквивалентного гармонического воздействия такие же, как
и параметры, выбранные при входном ступенчатом воздействии.
Сравнивая процессы в контурах управления с оптимальными по
быстродействию цифровыми регуляторами с процессами в контурах
управления с нечеткими цифровыми регуляторами, приходим к выво-
ду о том, что нечеткие цифровые регуляторы обеспечивают значи-
тельно более высокое качество работы контуров управления в двух-
мерной системе автоматического управления частотой вращения ро-
тора вентилятора и температурой газа за турбинным блоком двухро-
торного двухконтурного газотурбинного двигателя.
В контурах управления с нечеткими цифровыми регуляторами
при поступлении на вход контуров эквивалентного гармонического
воздействия динамические ошибки более чем на порядок меньше ди-
намических ошибок в контурах управления с оптимальными по быст-
родействию цифровыми регуляторами на всех базовых режимах рабо-
ты газотурбинного двигателя.
Кроме того, в контурах управления скоростью вращения вентиля-
тора и температурой газа за турбинным блоком с нечеткими цифро-
выми регуляторами значительно меньше начальные выбросы ошибки.
Поэтому можно заключить, что применение нечетких цифровых
регуляторов в исследуемой двухмерной системе также весьма целесо-
образно.
7.5.3. Исследование системы управления температурой газа
двухроторного двухконтурного газотурбинного двигателя при произ-
вольных входных воздействиях [114]
В данном разделе изложены результаты исследования работы сис-
темы автоматического управления температурой газа двухроторного
563
Раздел 7
двухконтурного газотурбинного двигателя с оптимальными по быст-
родействию и нечеткими цифровыми регуляторами при произвольном
входном воздействии на различных базовых режимах работы двигате-
ля методом математического моделирования.
Работа системы при произвольных входных воздействиях имеет
весьма существенные особенности. Основным требованием здесь яв-
ляется получение высокой динамической точности, что диктует при-
менение специальных цифровых регуляторов, которые эту точность
(малые динамические ошибки рассогласования) могут обеспечить.
Ниже исследована работа системы (см. рис.7.7), в которой использо-
ваны регуляторы, оптимальные для линейно изменяющегося воздей-
ствия, которым аппроксимируют произвольное воздействие, а также
нечеткие регуляторы. Исследование проведено методом математиче-
ского моделирования с использованием интерактивной системы
MATLAB.
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления, состоящей из оптималь-
ного по ^стродействию цифрового регулятора Subsystem и объекта
управления (исполнительное устройство + ГТД), изображена на
рис.7.68.
Рис.7.68
Общая передаточная функция объекта управления вместе с ис-
полнительным устройством определяется формулами (7.19) и (7.25). В
564
Раздел 7
общей передаточной функции объекта не учитывается инерционность
термопары (измерителя температуры), так как эту инерционность
весьма просто компенсировать, и не учитывается звено запаздывания
в исполнительном устройстве, так как постоянная времени этого звена
весьма мала по сравнению с временем регулирования.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объект управления при линейно изменяю-
щимся сигнале на входе системы управления на п -м интервале регу-
лирования определяются по формулам (7.20). Передаточная функция
оптимального по быстродействию цифрового регулятора определяет-
ся по формулам (7.21), (7.23).
Полученные в результате идентификации численные значения па-
раметров общей передаточной функции объекта управления вместе с
исполнительным устройством для базовых режимов работы газотур-
бинного двигателя - максимального режима МР, среднего (крейсер-
ского) режима СР и режима малого газа РМГ приведены в таблице 7.2.
Составленная согласно формул (7.20) для передаточных функций
общего объекта управления (7.19) и (7.25) в интерактивной системе
MATLAB структурная схема оптимального по быстродействию циф-
рового регулятора приведена на рис.3.115.
При ступенчатых входных сигналах система на рис.7.68 исследо-
вана в разделе 7.1 (см. рис.7.8 и рис.7.9, а,б.в).
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления, состоящей из нечеткого
регулятора Controller и объекта управления (исполнительное устрой-
ство + ГТД), изображена на рис.7.69.
Синтез нечеткого (работающего на базе нечеткой логики) регуля-
тора HP выполняем по формулам (5.16)-(5.29) для экспоненциальных
функций принадлежности с шагом квантования (с шагом поступления
данных в нечеткий регулятор) А = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП
в(к), ее первая 0(к) = [0(A) - 0(к -1)] / h и вторая
0(A) = [0(А)-0(А-1)]/Л разности подаются на вход HP. Сигнал с
выхода HP поступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка с переда-
точной функцией H(s) = (1 s) и далее на непрерывную часть
системы (общий объект управления - исполнительное устройство +
двигатель). В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны измене-
565
Раздел 7
ния входных и выходной переменных [0min,0max], [0min,
[^minAaxL ["’min > Wmax ] И Параметр С ДЛЯ ВСвХ ЭКСПОНвНЦИаЛЬНЫХ
функций принадлежности: р'(и) = ехр(-см), /л2 (и) = ехр[—с(1 —и)],
где и - параметр (элемент) единого универсального множества
(/ = [0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки нечеткого
регулятора диапазоны изменения переменных приняты симметрии-
НЫМИ: 0-nin = -^max , 0m,n = “^nax И T. Д.
При ступенчатых входных сигналах система на рис.7.69 исследо-
вана в разделе 7.4.1 (см. рис. 7.34 и рис.7.35,л,б.в). Настройка нечетко-
го регулятора производилась с целью получения переходных процес-
сов минимальной длительности с перерегулированием не более 3%.
566
Раздел 7
При этом на всех базовых режимах работы газотурбинного двигателя
оптимальные параметры нечеткого регулятора [#max], [wmax], [с]
равны следующим значениям [5,0], [8,0], [20]. На максимальном
режиме перерегулирование составляет 2,9%, а оптимальные парамет-
Ры [#тах ] ’ [$тах ] равны значениям [0,6], [1,07]; на среднем режиме
перерегулирование составляет 3%, а оптимальные параметры [#тах],
[#тах] равны значениям [0,6], [1,1]; в режиме малого газа перерегу-
лирование составляет 3%, а оптимальные параметры [#тах], [#тах ]
равны значениям [0,5], [1,3].
Ниже представлены процессы в системе с оптимальным по быст-
родействию цифровым регулятором (см. рис.7.68) и в системе с нечет-
ким (работающем на базе нечеткой логики) цифровым регулятором
(см. рис.7.69) при поступлении на вход каждой системы эквивалент-
ного гармонического воздействия
u3(t) = 10sin(^T/90),
где U3 = 10; й)3 = л / 90 « 0,035рад / с , при работе газотурбинного
двигателя на максимальном (процессы на рис.7.70), среднем (процес-
сы на рис.7.71) режимах и в режиме малого газа (процессы на
рис.7.72).
Оптимальный по быстродействию цифровой регулятор на макси-
мальном и среднем (крейсерском) режимах работы газотурбинного
двигателя работает с шагом квантования А = 0,25с; в режиме малого
газа с шагом квантования Л = 2с. Нечеткий цифровой регулятор на
всех режимах работает с шагом квантования h = 0,01с.
Настройка нечеткого цифрового регулятора производилась с це-
лью получения минимальной текущей ошибки рассогласования. Оп-
тимальные параметры нечеткого цифрового регулятора [#min], [#min],
[#min ] ’ [wmm ]» [c] на максимальном и среднем (крейсерском) режи-
мах работы газотурбинного двигателя имеют следующие числовые
значения [-0,05], [-0,4], [-8], [-12], [20]. Эти значения парамет-
ров нечеткого цифрового регулятора отличаются от полученных при
ступенчатом входном воздействии.
567
Раздел 7
Оптимальный по быстродействию цифровой регулятор и нечет-
кий цифровой регулятор обеспечивают качественную работу систем
на максимальном и среднем (крейсерском) режимах работы газотур-
бинного двигателя (см. рис.7.70 и 7.71). Но максимальная динамиче-
ская ошибка (без учета начального выброса в момент захвата входно-
го сигнала) в системе на рис.7.69 с нечетким цифровым регулятором
на максимальном режиме работы ГТД равна 0,00072 (см. рис.7.70), на
среднем режиме равна 0,00083 (см. рис.7.71), а максимальная динами-
ческая ошибка в системе на рис.7.68 с оптимальным по быстродейст-
вию цифровым регулятором на максимальном и среднем (крейсер-
ском) режимах равна 0,006.
Рис.7.70
Преимущества системы (см. рис.7.69) с нечетким цифровым регу-
лятором особенно проявляются в режиме малого газа работы ГТД (см.
рис.7.72). Оптимальные параметры нечеткого цифрового регулятора
568
Раздел 7
[0m.n]’ (Lb ['"min]’ [с] в режиме малого газа работы газо-
турбинного двигателя имеют следующие числовые значения [-0,5],
[-1,3], [-5], [-8], [20]. Эти значения параметров нечеткого цифро-
вого регулятора совпадают с полученными при ступенчатом входном
воздействии.
Рис.7.71
Максимальная динамическая ошибка (без учета начального вы-
броса в момент захвата входного сигнала) в системе на рис.7.69 с не-
четким цифровым регулятором в режиме малого газа работы ГТД
равна 0,05/ а максимальная динамическая ошибка в системе на
рис.7.68 с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
равна 2,2.
Отметим также, что на всех режимах работы ГТД начальные вы-
бросы ошибки в системе на рис.7.69 с нечетким цифровым регулято-
ром значительно меньше по величине.
569
Раздел 7
Таким образом, на основании проведенных исследований мето-
дом математического моделирования можно заключить, что цифровой
нечеткий регулятор обладает значительным преимуществом по срав-
нению с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором,
обеспечивая более высокое качество систем при отработке входных
воздействий типа эквивалентной синусоиды, которой аппроксимиру-
ется произвольное входное воздействие с ограниченными скоростью
изменения и ускорением. По мере увеличения скорости изменения и
ускорения произвольного входного воздействия (увеличения частоты
и амплитуды эквивалентной синусоиды) качество системы (опреде-
ляемое величиной динамической ошибки) с оптимальным по быстро-
действию цифровым регулятором резко ухудшается и система может
становиться неустойчивой, в то время как система с цифровым нечет-
ким регулятором сохраняет высокое качество работы и при достаточ-
но больших значениях скорости изменения и ускорения произвольно-
го входного воздействия.
Рис.7.72
570
Раздел 7
7.5.4. Исследование систем автоматического управления часто-
тами вращения роторов двухроторного двухконтурного газотурбин-
ного двигателя при произвольных входных воздействиях [60]
В данном разделе изложены результаты исследования работы сис-
тем автоматического управления частотами вращения роторов двух-
роторного двухконтурного газотурбинного двигателя с оптимальны-
ми по быстродействию и нечеткими цифровыми регуляторами при
произвольном входном воздействии на различных базовых режимах
работы двигателя методом математического моделирования.
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления частотой вращения рото-
ра вентилятора (см. рис.7.13), состоящей из оптимального по быстро-
действию цифрового регулятора SubSystem и объекта управления (ис-
полнительное устройство + ГТД), изображена на рис.7.73.
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления частотой вращения рото-
ра компрессора (см. рис.7.14), состоящей из оптимального по быстро-
действию цифрового регулятора SubSystem и объекта управления (ис-
полнительное устройство + ГТД), изображена на рис.7.74.
Рис.7.73
571
Раздел 7
Общая передаточная функция объекта управления вместе с ис-
полнительным устройством для этих систем определяется по форму-
лам (7.35) и (7.41).
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объект управления при линейно изменяю-
щимся сигнале на входе систем управления на п -м интервале регули-
рования определяются по формулам (7.36). Передаточная функция
оптимального по быстродействию цифрового регулятора определяет-
ся по формулам (7.37) или (7.39).
Рис.7.74
Полученные в результате идентификации численные значения па-
раметров общей передаточной функции объекта управления вместе с
исполнительным устройством для базовых режимов работы газотур-
бинного двигателя - максимального режима МР, среднего (крейсер-
ского) режима СР и режима малого газа РМГ приведены в таблице 7.3.
Составленная согласно формул (7.36) для передаточных функций
общего объекта управления (7.37) и (7.39) в интерактивной системе
572
Раздел 7
MATLAB структурная схема оптимального по быстродействию циф-
рового регулятора приведена на рис.7.75.
При ступенчатых входных сигналах системы, структурные схемы
которых приведены на рис.7.73 и 7.74, исследованы в разделе 7.2 (см.
рис. 7.15 - 7.17). При произвольных входных воздействиях для оценки
качества систем удобно использовать эквивалентные гармонические
Ниже представлены процессы в системах (см. рис.7.73 и 7.74) с
оптимальным по быстродействию цифровым регулятором при посту-
плении на вход каждой системы эквивалентного гармонического воз-
действия 1
u3(t) = lOsin(flT / Ю),
где U3 = 10; й)э = л /10 » 0,314рад / с, при работе газотурбинного
двигателя на максимальном (процессы на рис.7.76), среднем (процес-
сы на рис.7.77) режимах и в режиме малого газа (процессы на
рис.7.78). При таких параметрах эквивалентного гармонического воз-
573
Раздел 7
действия произвольное входное воздействие имеет следующие мак-
симальные скорость и ускорение: бУтах = U3a>3 * 3,14рад/с;
^=^Х=0,986(раЭ/с)2.
Оптимальные по быстродействию цифровые регуляторы в систе-
мах (см. рис.7.73 и 7.74) на всех режимах работы газотурбинного дви-
гателя работают с шагом квантования h = 0,25с. Длительность ин-
тервала регулирования при таком шаге квантования составляет 1с
(rp = 7VA = lc).
Рис.7.76
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления частотой вращения рото-
ра вентилятора (см. рис.7.38), состоящей из нечеткого регулятора
Controller и объекта управления (исполнительное устройство + ГТД),
изображена на рис.7.79.
574
Раздел 7
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления частотой вращения рото-
ра компрессора (см. рис.7.39), состоящей из нечеткого регулятора
Controller и объекта управления (исполнительное устройство + ГТД),
изображена на рис.7.80.
Синтез нечетких (работающих на базе нечеткой логики) регулято-
ров HP для систем (см. рис.7.79 и 7.80) выполнен по формулам (5.16)-
(5.29) для экспоненциальных функций принадлежности с шагом кван-
тования (с шагом поступления данных в регулятор) h = 0,01 с.
Рис.7.77
Ошибка на выходе АЦП 0(к), ее первая
0(к) = [0(к) - 0(к -1)] / h и вторая 0(к) = [0(к) - 0(к -1)] / h разно-
сти подаются на вход HP. Сигнал с выхода HP поступает на ЦАП (фикса-
тор нулевого порядка с передаточной функцией H(s) = (1 -е"^)/ s) и
далее на непрерывную часть системы (общий объект управления - ис-
575
Раздел 7
полнительное устройство + двигатель). В нечетком регуляторе настраи-
ваются диапазоны изменения входных и выходной переменных
Г#™,#™!, И ПарЯМСТр С ДЛЯ
l min ’ max J ’ l min ’ max J ’ l min ’ max J ’ l min ’ max J г г •~~r
всех экспоненциальных функций принадлежности: /лх(и) - exp(-cw),
/^2(w) = ехр[-с(1 -w)], где w- параметр (элемент) единого универ-
сального множества U =[0,1] Для уменьшения числа параметров на-
стройки нечеткого регулятора диапазоны изменения переменных приня-
ты симметричными: 0min =-0тах, 0т1П = -0тах ит.д.
Рис.7.78
Процессы в системе (см. рис.7.78)
При ступенчатых входных сигналах система, структурная схема
которой представлена на рис.7.79, исследована в разделе 7.4.2 (см.
рис.7.40 и 7.41). Настройка нечеткого регулятора производилась с це-
лью получения переходных процессов минимальной длительности с
перерегулированием не более 3%. При этом на всех базовых режимах
576
Раздел 7
работы газотурбинного двигателя оптимальный параметр с нечеткого
регулятора равен 20.
На максимальном режиме МР оптимальные параметры [0тах],
[Злах] > [0maJ> ["’maxi РавНЫ СЛедуЮЩИМ ЗНЭЧеНИЯМ [0,94], [1,1],
[4,0], [9,0]; на среднем режиме СР оптимальные параметры [0тах ],
PmaxL [^тах]> [Wmax] раВНЫ ЗНЭЧеНИЯМ [0,78], [3], [10], [100] J В ре-
жиме малого газа РМГ оптимальные параметры [0max], [0тах], [0тах],
ритах] равны значениям [0,7], [1,13], [10], [100].
Рис.7.79
При поступлении на вход систем (см. рис.7.79 и рис.7.80) эквива-
лентного гармонического воздействия настройка нечетких цифровых
регуляторов производилась с целью получения минимальной текущей
ошибки рассогласования.
577
Раздел 7
Ниже представлены процессы в системах (см. рис.7.79 и 7.80) с
нечеткими цифровыми регуляторами при поступлении на вход каждой
системы эквивалентного гармонического воздействия
иэ(Г) = 1 Osin(^T /10),
где U3 = 10; а)э = л /10 ® 0,314рад / с, при работе газотурбинного
двигателя на максимальном (процессы на рис.7.81), среднем (процес-
сы на рис.7.82) режимах и в режиме малого газа (процессы на
рис.7.83).
Рис.7.80
Оптимальные параметры нечеткого цифрового регулятора [0min],
0min], KJ в системе (см. рис.7.79) на максимальном ре-
жиме имеют следующие числовые значения [-1,15], [-1,4], [-25],
[—100]; оптимальные параметры нечеткого цифрового регулятора
[«„J. №,J. [«.J. [™™.l в системе (см. рис.7.80) на максималь-
578
Раздел 7
ном режиме имеют следующие числовые значения [-0,17], [-2,5],
[-100], [-1000].
Оптимальные параметры нечеткого цифрового регулятора [#min ],
[^J’ [^minb ["’min] в Системе (см. рис.7.79) на среднем (крейсер-
ском) режиме имеют следующие числовые значения [-0,15], [-1,8],
[-50], [-800]; оптимальные параметры нечеткого цифрового регуля-
Т0Ра [<Япт ] > [#m,n], [^п] в системе (см. рис.7.80) на среднем
(крейсерском) режиме имеют следующие числовые значения [-0,22],
[-4,2], [-70], [-1600].
Рис.7.81
Оптимальные параметры нечеткого цифрового регулятора [0min ],
[^min], [^minK [wmm] в системе (см. рис.7.79) в режиме малого газа
имеют следующие числовые значения [-1], [-3,5], [-100], [-800];
579
Раздел 7
оптимальные параметры нечеткого цифрового регулятора [0min],
И™1. KJ в системе (см. рис.7.80) в режиме малого газа
имеют следующие числовые значения [—0,4], [-2,5], [-100],
[-1600].
На всех базовых режимах работы газотурбинного двигателя оп-
тимальный параметр с в нечетких регуляторах выбран равным 20.
Процессы в системе (см. рис.7.79)
Процессы в системе (см. рис.7.80)
Рис.7.82
Следует отметить, что после настройки нечетких регуляторов в
системах (см. рис.7.79 и 7.80) оптимальные параметры регуляторов
[ЗтпЬ PminL [^minb ["’min ] Ha баЗОВЫХ рвЖИМЭХ рабОТЫ ГЯЗОТур-
бинного двигателя оказываются различными, т.е. для каждого режима
необходима своя настройка. Более того, настройка нужна и при раз-
личных воздействиях на входе систем.
Процессы представленные на рис.7.76-7.78 для систем управления
частотами вращения роторов вентилятора (см. рис.7.73) и компрессора
(см. рис.7.74) ГТД с оптимальными по быстродействию цифровыми ре-
580
Раздел 7
гуляторами и процессы представленные на рис.7.81-7.83 для систем
управления частотами вращения роторов вентилятора (см. рис.7.79) и
компрессора (см. рис.7.80) ГТД с нечеткими цифровыми регуляторами
определяют качество указанных систем (характеризуемое величиной ди-
намической ошибки) и дают возможность сравнить эффективность рабо-
ты регуляторов. Параметры объекта управления в системах (см. рис.7.73
и 7.79) и в системах (см. рис.7.74 и 7.80) определены из табл.7.3.
Процессы в системе (см. рис.7.79) Процессы в системе (см. рис.7.80)
Рис.7.83
Максимальная динамическая ошибка (без учета начального вы-
броса в момент захвата входного сигнала) в системах (см. рис.7.73 и
7.74) с оптимальными по быстродействию цифровыми регуляторами
на всех режимах работы ГТД составляет примерно 5-7%, а начальные
выбросы ошибки составляют 30-33% от амплитуды входного сигнала.
Особенно велики начальные амплитуды управляющих импульсов на
входе объекта управления.
Максимальная динамическая ошибка (без учета начального выброса
в момент захвата входного сигнала) в системах (см. рис.7.79 и 7.80) с
581
Раздел 7
нечеткими цифровыми регуляторами на всех режимах работы ГТД при-
мерно на порядок меньше, а начальные выбросы ошибки составляют 7-
12% от амплитуды входного сигнала. Начальные амплитуды управляю-
щих импульсов на входе объекта управления в системах с нечеткими
цифровыми регуляторами также во много раз меньше по величине.
Таким образом, на основании проведенных исследований мето-
дом математического моделирования можно заключить, что цифровые
нечеткие регуляторы обладают значительным преимуществом по
сравнению с оптимальными по быстродействию цифровыми регуля-
торами, обеспечивая более высокое качество систем при отработке
входных воздействий типа эквивалентной синусоиды, которой ап-
проксимируется произвольное входное воздействие с ограниченными
скоростью изменения и ускорением. По мере увеличения скорости
изменения и ускорения произвольного входного воздействия (увели-
чения частоты и амплитуды эквивалентной синусоиды) качество сис-
темы (определяемое величиной текущей ошибки) с оптимальными по
быстродействию цифровыми регуляторами резко ухудшается и работа
систем становит неустойчивой, в то время как системы с цифровыми
нечеткими регуляторами сохраняют высокое качество работы и при
достаточно больших значениях скорости изменения и ускорения про-
извольного входного воздействия.
7.6.. Применение нечетких регуляторов в двухконтурных сис-
темах автоматического управления основными параметрами
двухроторного двухконтурного ГТД [48,62]
В разделах 7.2 и 7.5.5 представлена математическая модель двух-
роторного двухконтурного газотурбинного двигателя и исследованы
системы автоматического управления частотами вращения роторов
вентилятора и компрессора двигателя на базовых режимах. Выходны-
ми параметрами математической модели двигателя являются частота
вращения ротора вентилятора пв, частота вращения ротора компрес-
сора пк и температура газа за турбинным блоком Тт. Управляющим
параметром (управляющим воздействием) является расход топлива в
основной камере сгорания GT. В одноконтурных системах, рассмот-
ренных в разделах 7.2 и 7.5.5 можно управлять только одним выход-
ным параметром, при этом другие параметры не управляются, но из-
582
Раздел 7
меняются при изменении управляемого параметра. Применение циф-
рового нечеткого (работающего на базе нечеткой логики) регулятора
дает уникальную возможность построить двухконтурную фаззи-
систему управления частотами вращения роторов двухроторного
двухконтурного газотурбинного двигателя и управлять желаемым об-
разом сразу двумя выходными параметрами двигателя при соблюде-
нии определенных соотношений между управляемыми величинами.
Математическая модель в интерактивной системе MATLAB двухкон-
турной фаззи-системы управления частотами вращения двигателя
представлена на рис.7.84 (объект управления - Object, нечеткий регу-
Для простоты решения задачи синтеза нечеткого регулятора бу-
дем полагать, что число термов, с помощью которых оцениваются
лингвистические переменные (входные и выходные параметры нечет-
583
Раздел 7
кого регулятора) ошибка первого контура (Erv) и ошибка второго
контура 6^ (Erk), скорость изменения (первая производная) ошибки
первого контура и ошибки второго контура , ускорение (вторая
производная) ошибки первого контура и ошибки второго контура
#2 ’ управляющее воздействие на объект т, минимально, т.е. равно
2. В качестве первой и второй производных от ошибки каждого кон-
тура используем соответственно первую и вторую разность, а именно:
0(k) = [0(k) - 0(k -1)]/ Л; 0(k) = [0(£) - 0(k -1)] / h .
Синтез нечеткого регулятора выполняем по формулам (5.16)-
(5.29) для экспоненциальных функций принадлежности:
Я (и) = exp(-cw), /z2(w) = ехр[-с(1 - w)].
Шаг квантования (интервал поступления данных в нечеткий регуля-
тор) h = 0,01с.
В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны изменения
входных и выходной переменных: [^iminmax]» [#1 minimax]>
Wmin»^1 max]» [^2min »^2max ]» [^2min»^2max]» l^2min»^2max] и
[^min’^max]- Для уменьшения числа параметров настройки нечеткого
регулятора диапазоны изменения переменных приняты симметрич-
ными: 0lmin =-0lmax, 6>2min =-#2тах и т- Д- Целью настройки не-
четкого регулятора при ступенчатом входном воздействии является
получение в каждом контуре переходных процессов минимальной
длительности с перерегулированием не более 2...3%. Целью настрой-
ки нечеткого регулятора при гармоническом входном воздействии,
которым аппроксимируется произвольное входное воздействие с ог-
раниченными скоростью изменения и ускорением, является получение
в каждом контуре минимальной текущей ошибки.
Настройка производилась для всех базовых режимов работы га-
зотурбинного двигателя: максимального, среднего (крейсерского) и
режима малого газа. Параметры (коэффициенты) объекта управления
для этих режимов приведены в разделе 7.2. Ниже представлены ре-
зультаты исследования процессов в системе с нечетким регулятором
(см. рис.7.84) при настройке регулятора для максимального базового
режима работы газотурбинного двигателя. Процессы в системе с не-
четким регулятором (см. рис.7.84) при ступенчатом входном воздей-
584
Раздел 7
ствии приведены на рис.7.85, при гармоническом входном воздейст-
вии u(/) = 10sin(л//30)-на рис.7.86.
Путем регулировки усиления в одном из контуров управления
можно получить почти одинаковые процессы в обоих контурах
управления, минимизируя текущую разность ошибок
0(f) = - ^2(0 (Err). С этой целью в первый контур управления
введен усилитель Gain! с коэффициентом усиления 1/(2,0528).
В результате настройки получены следующие значения для диа-
пазонов изменения входных параметров нечеткого регулятора как при
ступенчатом входном воздействии, так и при гармоническом входном
воздействии:
585
Раздел 7
Mmin.*lmax] = H, 4]; [02min,02max]= [-0,15, 0,15];
[^1 minimax J “f~0,52, 0,52], [#2 min’^2 maxi ~
t^lmin’^lmax] = [”2, 2], [^2 min’^2 max] = 5],
[^min ’ wmax ] = ^]-
В экспоненциальных функциях принадлежности параметр с вы-
бран при настройке равным 20.
Если в системе с нечетким регулятором (см.рис.7.84) включить в
цепь управления второго контура усилитель Gain2 (без усилителя
Gainl) с коэффициентом усиления 0.485, то при настройке нечеткого
регулятора первый контур отрабатывает единичное ступенчатое воз-
586
Раздел 7
действие, а второй контур отрабатывает ступенчатое воздействие с
уровнем примерно равным 0,5. Такое же соотношение амплитуд со-
храняется при отработке системой гармонического входного воздей-
ствия (см. процессы на рис.7.87 и рис.7.88).
587
Раздел 7
Таким образом, применение цифрового нечеткого регулятора в двух-
контурной фаззи-системе управления частотами вращения роторов
двухроторного двухконтурного газотурбинного двигателя дает воз-
можность управлять желаемым образом сразу двумя выходными па-
раметрами двигателя при соблюдении определенных соотношений
между управляемыми величинами. При этом система имеет достаточ-
но высокое быстродействие и хорошее качество (характеризуемое ди-
намическими ошибками) при эквивалентном гармоническом воздейс-
твии с достаточно высокой скоростью изменения.
7.7. Синтез трехканального нечеткого регулятора системы ав-
томатического управления частотой вращения ротора двухротор-
ного двухконтурного ГТД [124]
Газотурбинный двигатель можно рассматривать как стационар-
ный объект управления только на базовых режимах его работы. При
переключении двигателя с одного базового режима на другой газо-
турбинный двигатель необходимо рассматривать как существенно не-
стационарный объект управления. Каждый базовый режим характери-
зуется определенными частотами вращения роторов компрессоров
низкого и высокого давления. Например, газотурбинный двигатель
типа АИ 222 имеет частоту вращения ротора компрессора высокого
давленйя для режима малого газа пк = 12768об/л*мн, для среднего
режима пк = 16811 об / мин , для максимального режима
= 18880об/мин. При этом параметры общей передаточной функ-
ции объекта управления (вместе с исполнительным механизмом) в
системе автоматического управления частотой вращения ротора ком-
прессора (7.35)
'w(-y) s(s 4- с)($ 2 + bs •+ а)
будут разными для указанных режимов работы двигателя (см.
табл.7.3).
Можно по трем известным значениям параметров на базовых ре-
жимах построить примерные зависимости параметров передаточной
588
Раздел 7
функции от частоты вращения ротора компрессора при переключении
двигателя с одного базового режима на другой (см. рис.7.93). Эти за-
висимости определяются следующими формулами;
а(пк) = 0,14 +0,0946л + 0,0853л^;
а(пк) = 0,703 + 23,17476лк - 10,2267л|;
6(лк) = 1,8 + 10,12336ик -4,4733и£;
гк ("к) = 1,2184 + 5,3249лк - 2,5217и|.
При указанных выше значениях частоты вращения ротора ком-
прессора на базовых режимах параметры передаточной функции
(7.114) совпадают с табличными (см. табл.7.3). За начало отсчета
принимаем режим малого газа. Тогда при переводе двигателя с режи-
ма малого газа на средний режим частота вращения ротора компрес-
сора получает приращение Дл^ » 4000об/ мин , а при переводе дви-
гателя со среднего режима на максимальный режим работы частота
589
Раздел 7
вращения ротора компрессора получает дополнительное приращение
Дл^ « 2000об / мин. Отметим, что перевод двигателя с режима ма-
лого газа на максимальный режим работы называют режимом разгона
двигателя или приемистостью. Особенностью процесса разгона двига-
теля является зависимость температуры газа от скорости изменения
расхода топлива. Так как температуру газа нельзя увеличивать выше
определенной величины, необходимо ограничивать не только величи-
ну расхода топлива, но и скорость ее нарастания. Поэтому для разгона
двигателя применяют специальные автоматы приемистости или сис-
темы разгона. Разгон двигателя автоматом приемистости производят
до получения указанных для базовых режимов частот вращения рото-
ра компрессора, после чего автомат приемистости выключается и
подключается система автоматического управления частотой враще-
ния ротора компрессора на соответствующем базовом режиме.
При моделировании имитацию работы двигателя на каждом базо-
вом режиме можно выполнить следующим образом. За начало отсчета
принимаем режим малого газа. Тогда после отработки единичного
скачка управляющего воздействия u(t) = 1, соответствующего при-
ращению частоты вращения ротора компрессора
Дл^ ® 4000об / мин , двигатель будет работать на среднем режиме, а
после .отработки дополнительного скачка управляющего воздействия
н(/) = 0,5, соответствующего приращению частоты вращения ротора
компрессора /\пк » 2000<?б/лшн, двигатель будет работать на мак-
симальном режиме. Переходные процессы при указанных скачках
рассматривать не будем (эти процессы в автомате приемистости будут
другими), а исследуем процессы в системе автоматического управле-
ния частотой вращения ротора компрессора ГТД на базовых режимах
работы при возмущающих воздействиях. Синтезируем нечеткий регу-
лятор, способный обеспечить качество системы на всех базовых ре-
жимах работы двигателя.
Структурная схема системы автоматического управления часто-
той вращения ротора компрессора ГТД представлена на рис.7.90.
Ошибка рассогласования Err, поступающая на вход нечеткого ре-
гулятора (Controller), представляет собой разность между заданной
590
Раздел 7
напряжением u(t) требуемой частотой вращения ротора компрессора
и преобразованной в напряжение частотой вращения ротора
х(/) з пк (Г): 6»(Г) = u(t) - x(t).
Математическая модель нестационарного колебательного звена
описывается дифференциальным уравнением
2 2
-- Х'(Г) + + a(t)xx (/) = a(t)G(t). (7.115)
dr dt
Математическая модель нестационарного дифференцирующего
звена 1-го порядка описывается дифференциальным уравнением
M') = ^P+M')*i(0. (7.116)
at
Рис.7.90
591
Раздел 7
Математическая модель ГТД в интерактивной системе MATLAB
составлена следующим образом. На вход модели поступает сигнал
G(t) с выхода блока задержки Transport Delay. Выходной сигнал не-
стационарного колебательного звена Х\ (/) получаем на выходе блока
Integator3. На выходе блока Polinoms (см. рис.7.91) при поступлении
на вход блока сигнала формируются сигналы а(пк), а(пк),
Ь(пк), и которые в соответствующих блоках перемноже-
ния Dot Product умножаются на входной сигнал G(t), сигнал Xj (/),
первую и вторую производные сигнала Х](0 согласно записанным
выше дифференциальным уравнениям нестационарных колебательно-
го звена и дифференцирующего звена 1-го порядка.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором (см. рис.7.90) квантуется аналого-цифровым преобразовате-
лем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом поступления
данных в нечеткий регулятор) А = 0,01 с. Ошибка на выходе АЦП
0(к), ее первая 0(к) = [0(A) - 0(А -1)] / h и вторая
0(A) = [0(A) - 0(А -1)]/ h разности подаются на вход нечеткого регу-
лятора (Controller). Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП
(фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной функ-
цией H(s) = (1 - е~^) / 5) и далее на вход общего объекта управления
(исполнительный механизм + газотурбинный двигатель). Исполни-
592
Раздел 7
тельный механизм структурно представлен последовательным соеди-
нением апериодического (блок Integrator с обратной связью) и интег-
рирующего (Integrator 1) звеньев и звена запаздывания (Transport
Delay).
Функциональная схема трехканального нечеткого регулятора при-
ведена на рис.7.92. Блок настройки регулятора (adjustment of fuzzy-
controller), блоки нормировки входных (normin) и выходного (normout)
сигналов приведены соответственно на рис.7.93, 7.94 и 7.95.
Блок настройки регулятора (adjustment of fuzzy-controller) имеет
переключатель для установки номера канала и четыре переключателя
для установки возможных минимальных значений входных и выход-
ного параметров нечеткого регулятора в каждом канале. Установка
номера канала производится следующим образом. При имитации ре-
жима малого газа с блока Mode на вход 1 блока настройки (на нижний
вход сумматора) поступает нулевой сигнал, на второй вход сумматора
поступает единичный сигнал и работает первый канал. При имитации
среднего режима с блока Mode на нижний вход сумматора поступает
единичный сигнал, на второй вход сумматора поступает также еди-
ничный сигнал (переключатель в верхнем положении) и работает вто-
рой канал. При имитации максимального режима с блока Mode на
нижний вход сумматора поступает сигнал, равный 1,5, на второй вход
сумматора поступает сигнал, также равный 1,5 (переключатель в ниж-
нем положении), и работает третий канал.
Рис.7.93
593
Раздел 7
Сигналы с выходов 1 -3 блока настройки регулятора поступают на
соответствующие входы 4,5,6 блока нормировки входных (normin)
сигналов, а сигнал с выхода 4 блока настройки регулятора - на вход 2
блока нормировки выходного (normout) сигнала. На входы 1-3 блока
нормировки входных сигналов поступают дискретные текущие значе-
ния 0(к), 0(к), 0(к) . С выхода 1 блока нормировки выходного сиг-
нала поступают дискретные текущие значения сигнала управления
т(к):
Синтез нечеткого регулятора в каждом канале управления выпол-
нен по формулам (3.5)-(3.13), но вместо треугольных функций принад-
лежности (см. формулу(3.4)) использованы экспоненциальные ФП:
Я (и) = ехр(-см), (и) = ехр[-с(1 - w)].
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров каждого канала
нечеткого регулятора) приняты симметричными:
^max — — $min ’ $тах — ~^min ’ ^тах “ “^min > ^тах “ “wmin
и нормировка (пересчет) выполнена по формулам (3.41).
Для исследования процессов в системе автоматического управле-
ния частотой вращения ротора компрессора ГТД на базовых режимах
работы задано возмущающее воздействие вида:
594
Раздел 7
u(f) = 0,1 + 0,05 sin cot. co = \.
Возмущающее воздействие подается на систему после того, как
переходные процессы, связанные с переходом системы с одного базо-
вого режима на другой, закончены (для этого возмущающее воздейст-
вие подается с задержкой на 5-7с относительно ступенчатых воздейст-
вий, поступающих с блока Mode).
На рис.7.96-7.98 представлены процессы в системе управления с
настроенным цифровым трехканальным нечетким регулятором при
имитации работы газотурбинного двигателя соответственно в режиме
малого газа, на среднем (крейсерском) и максимальном режимах.
Диапазоны изменения входных переменных [^нр^тахЬ
Аах] после настройки первого канала (ГТД работает
в режиме малого газа - см. процессы на рис.7.96) следующие:
[-0,45, 0,45], [-1,75, 1,75], [-45, 45].
595
Раздел 7
Диапазоны изменения входных переменных [#min, #max ],
[Зпт.Зпах] ’ после настройки второго канала (ГТД работает
на среднем режиме - см. процессы на рис.7.97) следующие:
[-0,67 0,67],[-1,9, 1,9], [-40, 40].
Диапазоны изменения входных переменных [#min>^maxl’
lAinAaxl после настройки третьего канала (ГТД работа-
ет на максимальном режиме - см. процессы на рис.7.98) следующие:
[-0,92 0,92],[-2, 2], [-50, 50].
Диапазоны изменения выходного параметра [wmin,/wmax] выбраны
для каналов равными [-400, 400]. Параметр с в экспоненциальных
ФП выбран равным 50.
Настройка каждого канала нечеткого регулятора произведена с це-
лью получения минимальной динамической ошибки рассогласования и
596
Раздел 7
близкого к апериодическому переходного процесса (перерегулирова-
ние <3%).
в)
Рис.7.98
Время регулирования в режиме малого газа примерно 0,6с, на
среднем режиме - 0,45с, на максимальном режиме - 0,48с. Макси-
мальные текущие ошибки слежения за синусоидальным сигналом ука-
заны на рисунках.
Анализируя процессы в системе автоматического управления
частотой вращения ротора компрессора на базовых режимах работы
газотурбинного двигателя, можно заключить, что трехканальный не-
четкий регулятор обеспечивает достаточно высокое качество системы
управления, характеризуемое временем регулирования при отработке
скачкообразных входных воздействий и динамической ошибкой при
слежении за эквивалентным гармоническим входным воздействием.
597
Раздел 7
7.8. Синтез цифровых оптимальных по быстродействию и не-
четких регуляторов систем управления частотами вращения ро-
торов двухроторного ГТД с приводным топливным насосом
В разделах 7.2 и 7.5.5 методом математического моделирования
исследованы процессы в системе автоматического управления часто-
тами вращения роторов двухроторного газотурбинного двигателя, ма-
тематическая модель которого приведена на рис.7.99.
Out2
Рис.7.99.
Движение такого объекта управления как ГТД на базовых режи-
мах его работы рассматривается в линейном приближении, справед-
ливом при малых отклонениях обобщённых координат объекта. Про-
цессы получены в предположении, что подача топлива является вход-
ной координатой и определены реакции ГТД на изменение подачи то-
плива. Такой подход к ГТД как объекту управления позволяет на пер-
вом этапе отвлечься от особенностей системы подачи топлива и ее
влияния на процессы в системе управления. Система подачи топлива
состоит из топливного насоса, дроссельного крана и топливных фор-
сунок. Часто топливный насос приводится во вращение от одного из
роторов двигателя и по отношению к топливному насосу число оборо-
тов ротора п является входной координатой [146]. Другой входной
598
Раздел 7
координатой топливного насоса служит координата т, характери-
зующая положение регулирующего органа насоса. Например, для
плунжерных насосов подача топлива зависит в основном только от п
и т. Для шестеренчатых и центробежных топливных насосов подача
топлива зависит еще и от координаты положения дроссельного крана
и от давления воздуха в камере сгорания. Если координата положения
дроссельного крана фиксирована, то подача топлива является функци-
ей только п и т . В данном разделе изложен синтез цифрового опти-
мального по быстродействию и нечеткого регуляторов системы
управления частотами вращения роторов двухроторного ГТД с при-
водным топливным насосом и методом математического моделирова-
ния в интерактивной системе MATLAB определены процессы в сис-
теме при условии стационарности параметров двигателя на каждом
базовом режиме [40, 41,42, 44].
Систему линейных уравнений модели двигателя как одномерного
объекта управления с учетом только инерции вращающихся масс ро-
торов запишем в виде (7.1):
пв ~ квв^в + квкпк + kBGGT\
4 = kKBnB +kKKnK +kKGGT;
Тт = ктвпв +кткпк +kTGGT.
Частоты вращения роторов двигателя измеряются импульсными
датчиками ИД и преобразуется в напряжение электронными преобра-
зователями частоты ЭПЧ.
Математическая модель ГТД получена из уравнений (7.1) с учетом
обозначений
а2 = квс> аз = ккс'у а4 ~ kTG*9 аз - ав ~ ктк» ~ ккв',
а8 “ кВк; Ь2 = ~квв\
Система подачи топлива при условии, что топливный насос при-
водится во вращение от ротора вентилятора (компрессора низкого
давления), в преобразованиях по Лапласу описывается уравнением
GT(s) = KnnB(s) + Kmm^ (7.117)
599
Раздел 7
где Кп - коэффициент усиления подачи топлива по числу оборотов,
Кт - коэффициент усиления подачи топлива по регулирующему ор-
гану насоса.
На основании структурной схемы ГТД как одномерного объекта
управления запишем следующие уравнения в преобразованиях по Ла-
пласу при нулевых начальных условиях:
"В= -^7-\-КппВ (5) + Ктт^У\ + -у-пК (5) > (7-118)
s + b2 s + Ь2
пК (s) = (•*) + Кт w(5)] + пВ (*) ; (7-119)
S 4- Dj 5 4- Dj
Гг(5) = (а5 + a4Kn)nB{s) + a4Kmm(s) + a(>nK{s'). (7.120)
На основании уравнений (7.118)-(7.120) определим передаточные
функции для ГТД с приводным топливным насосом при условии, что
топливный насос приводится во вращение от ротора вентилятора
(компрессора низкого давления). После несложных преобразований
находим:
G (s) = !1b(?)=k a s + rB (7.121)
• sz+bs + a aj s + rK
(7.122)
'-’K \s)~ , x — *'-ma5 о , ’ m(s) s^+bs + a
Г(.\ F ZV S2 +4s + r G(s) = = Kma4 m(s) sz+bs + a (7.123)
где b = b2 +b3 -а2Кп; а = Ь2Ь3-а2а^-а2Кпгв-,
- -в ±аз „ , -в „ в +в + «3«6
rB ~ by + ^8> ГК ~ ®2 *-а1» Ц -Ь2+Ь3 +----------
а2 а3 а4
г = Ь2Ь3 - а2а^ + (a2Z>3 + a3at) + — (a3b2 + а2а2).
«4 «4
600
Раздел 7
Сравнение выражений (7.121) и (7.122) с соответствующими вы-
ражениями (7.33) и (7.34) и выражения (7.123) с выражением (7.11)
показывает, что охват соответствующих колебательных звеньев поло-
жительной жесткой обратной связью не изменяет типа звеньев, а из-
меняет только коэффициенты а и b в знаменателях передаточных
функций.
Система подачи топлива при условии, что топливный насос при-
водится во вращение от ротора компрессора высокого давления, в
преобразованиях по Лапласу описывается уравнением
Gt(s) = KnnK(s) + Kmm(s). (7.124)
На основании структурной схемы ГТД как одномерного объекта
управления запишем следующие уравнения в преобразованиях по Ла-
пласу при нулевых начальных условиях:
пВ (*) = -^Г-[Кппк (s) + Ктт^\ + пк (5); (7.125)
пк 00 = ~^г1Кппк (s) + + “~7"пВ (J); (7-126)
5 + О3 5 + О3
TT(s) = (a6 + a4K„)nK(s) + a4Kmm(s) + a5nB(s). (7.127)
На основании уравнений (7.125)-(7.127) определим передаточные
функции для ГТД с приводным топливным насосом при условии, что
топливный насос приводится во вращение от ротора компрессора вы-
сокого давления. После несложных преобразований находим, что пе-
редаточные функции Gk(s) и G(s) определяются по фор-
мулам (7.121) - (7.123), но коэффициенты а и b в этих формулах бу-
дут другими, а именно:
b = b2+b3-a3K„; a = b2b3-a1ai-a3K„rK. (7.128)
Исполнительный механизм, управляющий регулирующим орга-
ном насоса, опишем передаточной функцией
Gm(s) = — (7.129)
S S + Z>!
601
Раздел 7
Рассмотрим одномерную систему управления частотой вращения
ротора вентилятора ГТД при условии, что топливный насос приводит-
ся во вращение от ротора вентилятора. Математическая модель систе-
мы управления представлена на рис.7.100, где ГТД (см. рис.7.99) обо-
значен блоком Object, топливный насос - блоком Fuel-injection pump,
исполнительный механизм - блоком Engine,
На основании выражений (7.121) и (7.129) запишем передаточную
функцию общего объекта управления (вместе с исполнительным уст-
ройством и топливной системой):
= 2 , (7.130)
™p(s) s(js +bs + a)(s + c)
где a = aGa}Kma2;r = rB;c = b{.
Формула (7.130) совпадает с формулой (7.35) раздела 7.2, поэтому
при синтезе цифрового оптимального по быстродействию регулятора
по методике, изложенной в разделе 3.2, используем формулы (7.36),
по которым определяем амплитуды импульсов длительностью h оп-
602
Раздел 7
тимального управляющего воздействия на объект управления с пере-
даточной функцией (7.130) при линейно изменяющемся сигнале на
входе системы управления на w-м интервале регулирования.. В этих
формулах АС/ = вп, где -ошибка системы в момент начала и-го
интервала регулирования tр- Nh, т.е. ошибка системы в момент
h -шаг квантования. N = 4 - порядок объекта управления (вместе
с исполнительным устройством). Ao* = ап ~сгп^ - приращение скоро-
сти на интервале регулирования ntp<t<(n + \)tpi где ап - первая
разность (средняя скорость) входного воздействия на интервале регу-
лирования ntp<t<(n + \)tp, ап_} - первая разность (средняя ско-
рость) входного воздействия на интервале регулирования
(n-\)tp<t<ntp.
Цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
ntp<t<(n + V)t можно описать передаточной функцией (7.37) или
разностным уравнением (7.38).
Текущее значение скорости входного воздействия, первую раз-
ность (среднюю скорость) входного воздействия на систему управле-
ния u(t) на интервале регулирования ntp<t<(n + \)t , первую раз-
ность (средняя скорость) входного воздействия на предыдущем ин-
тервале регулирования (п - \)tp<t<ntp и приращение скорости на
интервале регулирования nt p<t <(n + \)t р определяем соответствен-
но по формулам (3.159)-(3.161).
Составленная непосредственно по выражениям (7.36) и (3.159)-
(3.161) структурная схема оптимального по быстродействию цифро-
вого регулятора в интерактивной системе MATLAB представлена на
рис.3.115. Полученные в результате идентификации значения коэф-
фициентов для максимального (МР), среднего (СР) режимов и режима
малого газа (РМГ) работы ГТД типа АИ-222 приведены в разделе 7.2.
Параметры топливного насоса и исполнительного механизма примем
следующими: Кп=Кт= 1; а0 = 0,01; = 85; Ьх = 16,7.
Переходные процессы в системе с цифровым оптимальным по бы-
стродействию регулятором (Controller на рис.7.100) заканчиваются за
603
Раздел 7
N шагов квантования. При заданном перерегулировании переходных
процессов минимальные шаги квантования, а значит, и минимальная
длительность переходных процессов для различных режимов работы
ГТД будут различными. Ниже приведены результаты моделирования
системы, когда путем моделирования определяется минимальный шаг
квантования, при котором перерегулирование переходного процесса
не превышает 2...3 %, и для этого шага определяются амплитуды им-
пульсов длительностью h оптимального управляющего воздействия и
фиксируется сам переходный процесс.
На рис.7.101,а,б,в представлены амплитуды импульсов управления
и переходные процессы в системе управления частотами вращения
роторов двигателя соответственно для максимального МР, среднего
режимов СР и режима малого газа РМГ работы ГТД.
В таблице даны значения амплитуд импульсов управления с выхо-
да цифрового регулятора:
h m0 Ш1 ш2 ш3
МР 0,6 8,79 -10,89 3,23 -0,24
СР 0,4 31,89 -48,44 20,06 -1,97
РМГ 1,5 29,34 -27,78 2,96 0
Время регулирования для систем управления частотами вращения
роторов двигателя составляет примерно 1,2 с для максимального ре-
жим, 0,85 с для среднего режима и 2,5 с для режима малого газа при
заданном перерегулировании в переходных процессах не более 2...3
%. Таким образом, на всех базовых режимах работы ГТД время регу-
лирования не превышает 2,5 с.
Установившееся значение частоты вращения ротора компрессора
Nk в системе составляет 49% для максимального режим, 31% для
среднего режима и 37% для режима малого газа от установившегося
значения частоты вращения ротора вентилятора Nv.
При ступенчатом воздействии на входе системы отработка воздей-
ствия системой с оптимальным цифровым регулятором заканчивается
за достаточно короткое время на всех базовых режимах работы ГТД.
604
Раздел 7
в)
Рис.7.101
При произвольном входном воздействии u(t), которое изменяет-
ся с максимальной скоростью tymax и максимальным ускорением £тах,
рассмотрим эквивалентное гармоническое воздействие
w3(/) = U3 sin a>3t, параметры которого определяются из соотношений
[10]: иэ = </£тю; = £тах /<утах.
605
Раздел 7
Ниже представлены процессы в системе управления частотой
вращения ротора вентилятора на максимальном режиме (см.
рис.7.102), на среднем (крейсерском) режиме (см. рис.7.103) и в режи-
ме малого газа (см. рис.7.104) работы газотурбинного двигателя. На
вход системы управления на всех режимах работы газотурбинного
двигателя поступает эквивалентное гармоническое воздействие
нэ(Г) = 0,1 sin(^f /15),
где U3 = 0,1; соэ = ^/15 « 0,2рад/с.
Рис.7.102
Рис.7.103
При подаче воздействия г/э (/) = 0,1 sin(/zZ /15) на вход системы
управления начальный выброс реакции системы составляет примерно
22%, а максимальная динамическая ошибка составляет примерно 2,6%
606
Раздел 7
от амплитуды входного воздействия на всех базовых режимах работы
газотурбинного двигателя.
Рис.7.104
При увеличении периода эквивалентного гармонического воздей-
ствия максимальная динамическая ошибка уменьшается.
Максимальную динамическую ошибку можно также уменьшить,
уменьшая шаг квантования в оптимальном по быстродействию циф-
ровом регуляторе, но при этом резко возрастают амплитуды импуль-
сов управляющего воздействия m{t), поступающих на объект управ-
ления с выхода регулятора, особенно в режиме малого газа работы
ГТД, что может привести к насыщению усилительного тракта систе-
мы управления.
Математическая модель системы управления с нечетким регуля-
тором представлена на рис.7.105.
Полная структурная схема нечеткого регулятора в интерактивной
системе MATLAB представлена на рис.3.10,а, блоки нормировки
входных и выходной переменных соответственно на рис.3.10,б,в.
Схема состоит из фиксатора Zero-Order Hold (который работает с
шагом Л), блоков оценки первой и второй производной ошибки систе-
мы, двух блоков нормировки входных {normin) и виходного {normout)
сигналов, центрального блока нечеткого регулятора Fuzzy Logic Con-
troller и выходного фиксатора Zero-Order Holdl (который работает с
шагом Л).
Блоки оценки первой и второй производной ошибки системы реа-
лизуют разностные уравнения:
607
Раздел 7
0(k) = [0(k)-0(k-\)]/h , 0(k) = [0(k)-0(k-i)]/h.
Диапазоны изменений входных и выходного сигналов (параметров
нечеткого регулятора) принимаем симметричними и пересчет значе-
ний сигналов в значения елементов единого универсального множест-
ва выполняем по формулам (3.41).
Аналитические выражения выбранных ФП имеют вид:
/Л (и) = ехр(-си), //2 (и) = ехр[-с(1 - w)].
Значения диапазонов Ат = 0max =-0min; Вт = 0тах =-0min;
Ст = 0тах = -0min; Dm = '"max = “'"min ПРИ настройке (оптимиза-
ции параметров) нечеткого регулятора получены путем решения оп-
тимизационной задачи.
Синтез нечеткого регулятора выполняем по формулам (5.21)-
(5.29) с помощью пакета прикладных программ Fuzzy Logic Toolbox
интерактивной системы MATLAB.
Коэффициент с в экспоненциальных функциях принадлежности
выбран при настройке равным 20. Шаг квантования h - шаг поступ-
608
Раздел 7
ления данных в нечетком регуляторе выбран равным 0,01 с. Выбран-
ные в результате оптимизации диапазоны изменения входных и вы-
ходного параметров нечеткого регулятора (диапазоны изменения пе-
ременных 0,при исследовании переходных процессов (реак-
ций системы на единичное ступенчатое воздействие) для базовых ре-
жимов работы ГТД представлены в таблице:
h, с Am Вт Ст Dm
МР 0,01 1,4822 1,6322 9,9967 22,0244
СР 0,01 1,0094 0,8407 2,7897 21,8997
РМГ 0,01 0,9081 0,6205 20,0006 21,7418
На рис.7.106,а,б,в представлены управляющие воздействия с вы-
хода нечеткого регулятора и переходные процессы в системе управле-
ния частотами вращения роторов двигателя соответственно для мак-
симального МР, среднего режимов СР и режима малого газа РМГ ра-
боты ГТД. Настройка нечеткого регулятора осуществлялась с целью
получения переходных процессов, имеющих перерегулирование не
более 2...3 %. Время регулирования для системы управления частота-
ми вращения роторов двигателя составляет примерно 1,3 с для макси-
мального режима, 1,68 с для среднего режима и 4,85 с для режима
малого газа при заданном перерегулировании в переходных процес-
сах.
Установившееся значение частоты вращения ротора компрессора
Nk в системе составляет 49% для максимального режим, 31% для
среднего режима и 37% для режима малого газа от установившегося
значения частоты вращения ротора вентилятора Nv.
Отработка системой с нечетким регулятором ступенчатого воз-
действия на максимальном базовом режиме работы ГТД заканчивает-
ся за весьма короткое время (1,3 с). На среднем режиме время регули-
рования увеличивается примерно в 1,3 раза, а в режиме малого газа
примерно в 3,7 раза по сравнению со временем регулирования на мак-
симальном режиме. Таким образом, на всех базовых режимах работы
609
Раздел 7
ГТД время регулирования в системе с нечетким регулятором не пре-
вышает 5 с (указанное время в два раза превышает время регулирова-
ния в системе с оптимальным по быстродействию цифровым регуля-
тором). Ошибка в установившемся режиме практически равна нулю.
Рис.7.106
Ниже представлены процессы в системе управления частотой
вращения ротора вентилятора на максимальном режиме (см.
рис.7.107), на среднем (крейсерском) режиме (см. рис.7.108) и в режи-
ме малого газа (см. рис.7.109) при подаче на вход системы управления
на всех режимах работы газотурбинного двигателя эквивалентного
гармонического воздействия
610
Раздел 7
u3(t) = 0,1 sin(X 115),
где U3 = 0,1; а)э = /15 ® Q.lpad/c.
Выбранные в результате оптимизации (достижения минимальной
динамической ошибки) диапазоны изменения входных и выходного
параметров нечеткого регулятора (диапазоны изменения переменных
3,представлены в таблице:
Am Вт Ст Dm |
МР 0,0322 0,1683 1,8213 213548
СР 0,0304 0,0861 2,5983 21,8997
РМГ 0,0033 0,0177 20,0043 21,7418
а) б)
Рис.7.108
611
Раздел 7
При подаче воздействия u3(t) = 0,lsin(^Z/15) на вход системы
управления с нечетким регулятором начальный выброс реакции сис-
темы составляет примерно 1,82% на максимальном базовом режиме,
1.47% на среднем режиме и 2,81% в режиме малого газа от амплитуды
эквивалентного гармонического воздействия. Эти начальные выбросы
значительно меньше, чем начальные амплитуды управляющих им-
пульсов в системе с оптимальным по быстродействию цифровым ре-
гулятором.
-На рис.7.110 отдельно представлена динамическая ошибка рассо-
гласования. Максимальная динамическая ошибка практически равна
нулю на всех базовых режимах работы газотурбинного двигателя (при
подаче воздействия = 0,lsin(fl7/15) на вход системы управле-
ния с нечетким регулятором максимальная динамическая ошибка до-
ставляет примерно 0,008% на максимальном базовом режиме МР ра-
боты газотурбинного двигателя, 0.018% на среднем режиме СР и
0,017% в режиме малого газа РМГ от амплитуды входного воздейст-
вия). Нечеткий регулятор обеспечивает получение более чем на поря-
док меньшие ошибки рассогласования по сравнению с оптимальным
по быстродействию регулятором. При увеличении периода эквива-
лентного гармонического воздействия максимальные динамические
ошибки уменьшаются.
Таким образом, нечеткий регулятор обеспечивает весьма хорошее
качество системы управления, характеризуемое максимальной дина-
мической ошибкой при эквивалентном гармоническом воздействии на
612
Раздел 7
систему, которым заменяется произвольное входное воздействии при
математическом моделировании. Точность отработки системой за-
дающих воздействий на всех базовых режимах работы ГТД весьма
высокая. Поэтому применение нечеткого регулятора для системы
управления частотами вращения роторов двухроторного ГТД с при-
в)
Рис.7.110
Рассмотрим синтез цифровых оптимальных по быстродействию и
нечетких регуляторов для двухмерной системы управления частотами
вращения роторов двухроторного ГТД с приводным топливным насо-
сом как двухмерного объекта управления. Структурная схема двухро-
торного газотурбинного двигателя как двухмерного объекта управле-
ния показана на рис.7.111.
613
Раздел 7
Допустим, что топливный насос приводится во вращение от рото-
ра вентилятора. Система подачи топлива при условии, что топливный
насос приводится во вращение от ротора вентилятора (компрессора
низкого давления), в преобразованиях по Лапласу описывается урав-
нением (7.117).
Рис.7.111
Систему линейных уравнений модели двигателя как двухмерного
объекта управления, с учетом только инерции вращающихся масс ро-
торов запишем в виде (7.42):
пв ~кввпв +кВкпк +^bg^t +квр?кр>
4 = кквпв +ккк”к + kKGGT +ккр?кр>
Тт = ктвпв 4- kTKnK + kTGGT + kTFFKP.
Частоты вращения роторов двигателя измеряются импульсными
датчиками ИД и преобразуется в напряжение электронными преобра-
зователями частоты ЭПЧ.
Математическая модель ГТД получена из уравнений (7.42) с уче-
том обозначений
614
Раздел 7
а1 ~ квв '* «3 ~ * «4 ~ ^TG’ «5 ~ ^ТВ * а6 ~ ктк* <*7 ~ ^КВ >
«8 = квк\ «9 ~^bf^ «ю =ккр \ «и = kTF\ b2 =-kBB\ b^ --к^.
На основании структурной схемы ГТД как двухмерного объекта
управления и выражения (7.117) управления запишем следующие
уравнения в преобразованиях по Лапласу при нулевых начальных ус-
ловиях:
пВ СО = \-КппВ СО + w(5)] + —7- пК (О + FKP СО ;
5 + О2 s + "2 5 + О2
(7.131)
ПК СО = СО + ^тХО] + —7- ПВ (з) + -^7“ FkP ’
5 + О3 5 + О3 5 + О3
(7.132)
Подставляя nK(s) из уравнения (7.132) в уравнение (7.131), после
несложных преобразований найдем:
"в (s) = G11 (s)m(s) + G21 (s)FKp (s), (7.133)
где Gn(s) = a2Km— ; G2i(s) = a9— ;
s +bs +a s +bs + a
r -h . a3«8 «8^10 .
rll ~b3 + ’ r21 -°3 + ’
a2 a9
b = b2+b3 -a2K„; a = b2b3 -а7а3 -a2K„rn.
Подставляя nB(s) из уравнения (7.131) в уравнение (7.132), после
несложных преобразований найдем:
”k(s) = ^2(5X5)4-622(5)^ (5), (7.134)
где G12 (5) = а3Кт — —— ; G22 (s) = а10 ;
s +bs +a s +bs +а
, а2а7 а7а9 { a3a9.v
г12 =62 +-^; г2г =Ь2 +^-^--(а2 —^-)Кп-,
а3 а10 а10
b = b2+b3-a2K„-, a = b2b3-а7аг-а2Кпгп.
Выражения (7.133) и (7.134) запишем в матричной форме
615
Раздел 7
М5) = Сц(^) <^21(^) "*(*)
”k(s) ^12($) Cz22(-y)||^*/cp(*y)
(7.135)
^цСО ^21
^12 СО ^22 (О'
передаточная матрица газотурбинного двигателя с приводным топ-
ливным насосом как двухмерного объекта управления.
Передаточную матрицу газотурбинного двигателя с исполни-
тельными устройствами (передаточную матрицу общего двухмерного
объекта управления) запишем следующим образом:
(72(s)(721 ($)
oW“ адад g2(5)g22(5)‘
Для развязки контуров (для отдельного управления частотами
вращения ротора вентилятора и компрессора) введем перекрестные
связи, определив матрицу перекрестных связей в виде
1
Л12(5) 1
Структурная схема общего объекта управления с перекрестными
связями приведена на рис.7.112.
где
G/тд (s) —
(7.136)
(7.137)
ад=
(7.138)
616
Раздел 7
Допустим, что передаточные функции исполнительных устройств
определяются в виде:
а}
GAs) = —
' *(*+*>,)
Структурная схема двухмерной системы автоматического управ-
ления частотами вращения ротора вентилятора и компрессора с циф-
ровыми регуляторами ЦР1 и ЦР2, объектом управления ОУ в виде
линейной модели ГТД (вместе с исполнительными устройствами)
представлена на рис.7.113.
Цифровой
ЦАП
*<*11
Цифровой
Фиксатор регулятор
- H(s) — ЦР2 ---------
L Гт?(к)Г _Га,(к)
Рис.7.113
617
Раздел 7
Передаточная матрица общего объекта управления с перекрест-
ными связями определяется (параметр преобразования по Лапла-
су s для упрощения записи опустим):
(7](7и + G2^2l^l2 ^1^11^21 + ^2^21
^1^12 + ^2^22^12 ^1^12^21 + ^2^22
Если выполнить условия
G,=G,=G; Л|г=-~-:; Я2,=-^1,
&22 ^11
то матрица G0R становится диагональной, а именно
(7.139)
(7.140)
GqR =
^22
О
О
G[G21-^']’
(7.141)
и таким образом, собственные движения контуров не влияют друг на
друга, система развязана по сигналам задающих переменных и воз-
можно отдельное управление частотами вращения ротора вентилятора
и компрессора. Передаточные функции перекрестных связей в этом
случае определяются
Я12=-^--—Я21 (7.142)
«ю s + r22 а2 s + r\\
Передаточные функции в квадратных скобках в главной диагона-'
ле матрицы GQR определяются:
G„-gl2g2L=g°^ ‘г*Ч"г----------------. (7МЗ)
622 «ю (s2 + bs + a)(s + r22)
, (7.144)
«2 (s2 +bs + aXs + rlt)
где g0 = («2«ю ~«3«9X (7Л45)
r = (a2a,or„r22 -a3a9rl2r2l)/g0; (7.146)
618
Раздел 7
Я = [«2«ю (п 1 + r22) - а3а9 (rI2 + r2,)] / g0. (7.147)
Подставляя выражения для f*n>ri2’r2i’r22 из формул (7.133) и
(7.134) в формулы (7.146) и (7.147), найдем:
q - b2 +b3 -а2Кп =b; г = а = Ь2Ь3 -а2а^ -а^^хх ~ а- (7.148)
Таким образом, когда система развязана по сигналам задающих
переменных и возможно отдельное управление частотами вращения
ротора вентилятора и компрессора, передаточные функции в квадрат-
ных скобках в главной диагонали матрицы GQR определяются:
G12G21 _ gQKm 1 ^12^21 _ S^m 1
Сг| ।--------—----------------, Cj22----------—-------------’
^22 «10 (5 + г2г) ^11 «2 (5 + г11)
При условии, что <zOi = «0; =а0,а^ = а^ =at,bx =b^ =b{,
цифровой регулятор 1 нужно рассчитывать на объект Р1 с передаточ-
ной функцией
Pl (s) = , (7.149)
«10 Ф + М5 + г22)
а цифровой регулятор 2 нужно рассчитывать на объект Р2 с пере-
даточной функцией
Р2 (s) = g°glg°.S---------1-------. (7.150)
а2 s(s + Ь})(5 + ги)
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объекты управления при линейно изменяю-
щемся сигнале на входе системы управления на п -м интервале регу-
лирования определяются (см. Приложение Б, п.З):
w0 = K0(AU + 50Дст) + , ntp<t< ntp + Л;
/n( = K0[qi(AU + S0Atr) + hAa] + Ran^,
ntp + h<t <ntp+ 2h\
m2 = KQ[q2^U + S^o) + h^a(\ + q,)] + Ron_K, J5
ntn+2h<t <nt„+ 3h;
p p ’
гл cd
° “ ah(l - C)(l - D) ’ q' = "(C + D); 42 = CD’’
619
Раздел 7
_ cd „ c + d Л(2 + о.) . .
Л= ; So =ЗА+——О = е\
a cd (1 - CXI - D)
где для объекта Р1: {а^а^^Кт)1 а10; с = bf, d = r22',
для объекта Р2: (aoatgo^m)/d2‘, с = Ьц d = Гц.
Л17 = 0Я, где 0П - ошибка в соответствующем контуре управления
в момент начала л-го интервала регулирования длительностью
tp= Nh, т.е. ошибка в момент ntp. h-шаг квантования. N =3 - поря-
док объекта управления. Д<т = <тя - сгп| - приращение скорости на
интервале регулирования ntp<,t<(n + \)t р, где <тя - первая разность
(средняя скорость) входного воздействия на интервале регулирования
ntp<t<(n + \)tp, <тя_| - первая разность (средняя скорость) входного
воздействия на интервале регулирования (n-])tp<t<nt р.
Цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
ntр < t <( п +1) tp можно описать передаточной функцией
.... . M(z) т0+тхг~1 +m2z~2 (7.152)
ад
или разностным уравнением
2 2
-bU^m^/AU, (7.153)
*-о *=1
где 0 = Ли при индексе i-k>0 и 0-0, т = 0 при индексе
i-k<Q.
Полученные в результате идентификации коэффициенты для мак-
симального режима МР работы стендового ГТД в схеме на рис.7.117
имеют следующие числовые значения:
а2 = ^вв ~ 1»19; а3 = kKG = 0,67; а4 =кп = 0,38;
а5 = Лга = -0,09; а6 = кТК = -0,36; а3=ккв= -0,5; at = квк = 2,81;
«9 = квр = 1,37; Лю — = 0,3; сгц — kjf = 0,036; Ь2 = —квв = 4,42;
Ь3 = — к^ = 2,5;
620
Раздел 7
Полученные в результате идентификации коэффициенты для
среднего режима СР работы ГТД имеют следующие числовые значе-
ния:
а2 - kBG = 0,78; аъ = kKG = 0,38; а4 = kTG = 0,42;
as ~ ктв = ~0,14; а6 = ктк = -1,16; а7 = ккв = 0,03; as = квк = 5,64;
а, = kBF = 0,736; а10 - kKF = 0,034; ап = kTF = -0,063;
b2 = ~квв = 3,96; Ь3=-кКК= 3,49;
Полученные в результате идентификации коэффициенты для ре-
жима малого газа РМГ работы ГТД имеют следующие числовые зна-
чения:
а2 “ ^bg = 0,27; а. = kKG - ОД 6; а* = kTG = 0,37; а. - ктв = -0,03;
Z D\J ' 7 J Ли 7 7 Ц /О 7 7 J 1D 77
а. = кТК = -1,04; а, = кКЙ = 0,005; а. = кВК = 2,27;
а9 = kBF ~ 0,051; а10 = kKF = 0,025; ан = kTF = -0,02;
ь2 = ~квв = Uh Ьз = _ккк = о,59.
При развязанных контурах управления (когда осуществляется от-
дельное управление частотами вращения роторов вентилятора и ком-
прессора) можно отдельно исследовать процессы в каждом контуре.
Структурные схемы контуров управления с оптимальными по быст-
родействию цифровыми регуляторами такие же как на рис.7.50 и 7.51,
а структурная схема объекта управления с приводным топливным на-
сосом и исполнительными механизмами представлена на рис.7.114.
При произвольном входном воздействии которое изменяет-
ся с максимальной скоростью 69max и максимальным ускорением ,
рассмотрим эквивалентное гармоническое воздействие
u3(t) = U3sino)3t 9 параметры которого определяются из соотноше-
ний. U3 — £Утах / ^тах> &)э “ ^тах
Процессы в контурах управления исследованы при подаче на вход
контуров эквивалентного гармонического воздействия
мэ(/) = 1 sin(M / 30),
где Uэ = 1; соэ = л / 30 « 0,1 рад / с, на всех базовых режимах рабо-
ты газотурбинного двигателя. При таких параметрах эквивалентного
621
Раздел 7
гармонического воздействия произвольное входное воздействие имеет
следующие максимальные скорость и ускорение:
^тах =иэшэ *ОДрад/с; Етах = U3(o] = 0,01(рад/с)2.
Рис.7.114
Цифровые оптимальные по быстродействию регуляторы работают
с шагоц квантования h = 0,2с.
Ниже представлены процессы в первом контуре (контуре управ-
ления частотой вращения ротора вентилятора с оптимальным по бы-
стродействию цифровым регулятором - см. схему на рис.7.50) и во
втором контуре (контуре управления частотой вращения ротора ком-
прессора с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором -
см. схему на рис.7.51) на максимальном режиме (см. рис.7.115), на
среднем (крейсерском) режиме (см. рис.7.116) и в режиме малого газа
(см. рис.7.117) работы газотурбинного двигателя.
Как показывают результаты исследования системы (см. рис.7.113)
методом математического моделирования максимальная динамиче-
ская ошибка рассогласования в обоих контурах управления с опти-
мальными по быстродействию цифровыми регуляторами не превыша-
ет 0,28% от амплитуды входного воздействия на всех базовых режи-
мах работы газотурбинного двигателя.
622
Раздел 7
Но при этом максимальные амплитуды управляющих импульсов с
выхода оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов
имеют для первого контура примерные значения 15, 5 и 500, а для
второго контура 60, 90 и 5000 условных единиц на максимальном,
среднем режимах и режиме малого газа соответственно.
623
Раздел 7
Уменьшить максимальные амплитуды управляющих импульсов и
максимальные начальные выбросы ошибки рассогласования возмож-
но путем увеличения шага квантования в цифровых оптимальных по
быстродействию регуляторах, но при этом возрастают максимальные
ошибки рассогласования.
624
Раздел 7
о.ов,
0.06
O.OSi
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
О
-0.01
/0(0
0.04
0.02
0(0
10 20 30 40 50 60
б)
500
400
300
200
100
О
-100
-200
-300
400 10 20 30 40
В)
6000
4000
m(0
2000
о
-0.01
10 20 30 40 50 60
б)
2000
Рис.7.117
50 60
4000 10 20 30 40 50 60
В)
При использовании в двухмерной системе автоматического
управления частотами вращения роторов вентилятора и компрессора
двухроторного газотурбинного двигателя с приводным топливным
насосом (см. рис.7.113) цифровых нечетких регуляторов (Fuzzy Con-
trollers) структурные схемы развязанных контуров управления, вы-
625
Раздел 7
полненные в интерактивной системе MATLAB, представлены на
рис.7.118 и 7.119.
Рис.7.118
В каждом канале управления используется нечеткий регулятор
(см. рис.7.118 и 7.119) с экспоненциальными входными функциями
принадлежности (см. рис.3.43) и возведенными в степень треугольны-
ми выходными функциями принадлежности (см. рис.3.41) в виде по-
следовательного соединения трех блоков (см. рис.3.86,а): формиро-
вателя величин A(t) и B(t) (блок 1, схема которого представлена на
рис.3.61), блока сравнения величина А и В и расчета ис (блок 2,
схема которого представлена на рис.3.74(a)) и блока нормировки вы-
ходной переменной (блок 3, схема которого представлена на рис.3.85).
Шаг квантования (шаг поступления данных в нечеткие регуляторы)
Л=0.01с. Параметр экспоненциальных и возведенных в степень тре-
угольных функций принадлежности с =50.
Ниже представлены процессы в первом контуре (контуре управ-
ления частотой вращения ротора вентилятора с цифровым нечетким
регулятором - см. схему на рис.7.118) и во втором контуре (контуре
управления частотой вращения ротора компрессора с цифровым не-
четким регулятором - см. схему на рис.7.119) на максимальном режи-
626
Раздел 7
ме МР (см. рис.7.120), на среднем (крейсерском) режиме СР (см.
рис.7.121) и в режиме малого газа (см. рис.7.122) работы газотурбин-
ного двигателя.
Рис.7.119
На вход контуров управления на всех режимах работы ГТД по-
ступает эквивалентное гармоническое воздействие
u3(t) = lsin(flT/30),
где U3 = 1; соэ = л/30 « 0,1рад/с. При таких параметрах эквива-
лентного гармонического воздействия произвольное входное воздей-
ствие имеет следующие максимальные скорость и ускорение:
2 2
<umax = ^э^э »0,1рад/с; £max = U3a>3 = $,Ъ\(рад1с) .
Настройка нечетких цифровых регуляторов производилась с це-
лью получения минимальной динамической ошибки.
Оптимальные значения диапазонов Ат = #max = -£min;
Вт = ^тах = Ст = #тах = “^min ПРИ настройке нечетких ре-
627
Раздел 7
гуляторов на максимальном режиме работы ГТД с приводным топ-
ливным насосом выбраны следующими:
для первого контура управления Ат = 0,3; Вт =1; Ст = 20;
для второго контура управления Ат = 0,085; Вт = 0,1; Ст = 5.
628
Раздел 7
При такой настройке нечетких регуляторов максимальная дина-
мическая ошибка рассогласования на максимальном режиме работы
ГТД в обоих контурах управления не превышает 0,01% от амплитуды
задающего воздействия.
1-й контур
2-й контур
20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120
в) в)
Рис.7.121
629
Раздел 7
Оптимальные значения диапазонов Ат = #max = ~$min \
вт = 0max = Ст = 0тах = -0min при настройке нечетких ре-
гуляторов на среднем (крейсерском) режиме работы ГТД с приводным
топливным насосом выбраны следующими:
0.005
о
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
-0.035
-0.04
-0.045
-5 0 20 40 60 80 100 120
30
20
10
0
-10
Рис.7.122
20 40 60 80 100 120
630
Раздел 7
для первого контура управления Ат = 0,095; Вт = 0,85; Ст = 30;
для второго контура управления Ат = 0,035; Вт - 0,03; Ст = 1.
При такой настройке нечетких регуляторов максимальная дина-
мическая ошибка рассогласования на среднем (крейсерском) режиме
работы ГТД в обоих контурах управления также не превышает 0,01%
от амплитуды задающего воздействия (при этом ошибка в первом
контуре в четыре раза меньше, чем ошибка во втором контуре).
Оптимальные значения диапазонов Ат = 0тях = -0min;
г// Шал iiiiii
Вт = #тах = Ст = ^тах = ~^min ПРИ настройке нечетких ре-
гуляторов на среднем (крейсерском) режиме работы ГТД с приводным
топливным насосом выбраны следующими:
для первого контура управления Ат = 0,025; Вт = 0,25; Ст = 0,15;
для второго контура управления Ат - 0,08; Вт - 0,015; Ст = 0,1.
При такой настройке нечетких регуляторов максимальная дина-
мическая ошибка рассогласования в режиме малого газа работы ГТД в
первом контуре управления не превышает 0,01%, а ошибка во втором
контуре управления примерно равна 0,05% от амплитуды задающего
воздействия. Причем вхождение в установившийся динамический ре-
жим во втором контуре занимает около 20 с.
7.9. Синтез цифровых оптимальных по быстродействию и не-
четких регуляторов системы управления частотой вращения ро-
тора вентилятора и степенью повышения давления в вентиляторе
двухроторного ГТД с приводным топливным насосом
В данном разделе проведен синтез цифровых оптимальных по
быстродействию и нечетких регуляторов для двухроторного ГТД с
приводным топливным насосом как двухмерного объекта управления
и исследованы процессы в двухмерной системе автоматического
управления, когда выходными, регулируемыми переменными двига-
теля приняты частота вращения ротора вентилятора и степень повы-
шения давления в вентиляторе двигателя. Исследование проведено
методом математического моделирования с использованием интерак-
тивной системы MATLAB.
Для упрощения математических расчётов примем, что на опреде-
лённом базовом установившемся режиме работы ГТД его параметры
631
Раздел 7
остаются постоянными. Кроме того, не будем учитывать процесс за-
паздывания выделения тепла в основной и в форсажной камерах сго-
рания. Тогда неполная система линейных уравнений модели двигателя
с приводным топливным насосом с учетом только инерции вращаю-
щихся масс роторов примет вид:
”5 = к ВВП в + квкПК + квв^т + кврЕКр\
' "К ~ кК” + ккк^К + kKG^T + kKF^KP^
*B = k-лвПв +k„KnK+ kj^G-r + ktfFfrp,
где Пк = Лпк / nKQ - относительное отклонение частоты вращения
ротора компрессора; Ив = &пв / nBQ -относительное отклонение часто-
ты вращения ротора вентилятора; Лр - &7Ср / л^о- относительное
отклонение степени повышения давления в вентиляторе двигателя;
Gj' = ДС77 / G'j'Q - относительное отклонение расхода топлива в ос-
новной камере сгорания; F%p = / F^po ~ относительное от-
клонение величины проходного сечения выходного сопла;
пК0 >пВ0> Тто,’ FКРО “ значения соответствующих параметров
на базовом установившемся режиме работы двигателя; к - коэффици-
енты-влияния, которые физически выражают изменение регулируемой
величины в долях величины приложенного возмущения на устано-
вившемся режиме работы ГТД. Регулируемыми являются три пара-
метра газотурбинного двигателя (три выходных переменных): частота
вращения ротора вентилятора частота вращения ротора компрес-
сора и степень повышения давления в вентиляторе двигателя тс р.
Опишем исполнительные устройства идентичными апериодиче-
скими звеньями с передаточной функцией
G1(5) = b1/(s + 61)
и введем обозначения:
а\ = ^1 ’ ^2 = ~квв\ = ~ккк; а2 = kBG\ «з = kKG\ а4 = k^-,
а5 = клв\ аб = a-j = kKB; а$ = кВк\ а9 ~kBF; а10 =kKF',
«и = V;
632
Раздел 7
С учетом линейных уравнений модели двигателя, принятых обо-
значений и выражения (7.127) составим структурную схему ГТД с
приводным топливным насосом (см. рис.7.123)
Рис.7.123
Из системы линейных уравнений двигателя с использованием
формулы (7.127) и принятых обозначений запишем в преобразованиях
по Лапласу следующее выражение (см. рис.1):
я В (s) = («5 + )пв (s) + а4Кт m(s) + а6пк (s) + «i ] (5) •
Используя это выражение и формулы (7.131)-(7.134) для рассмат-
риваемой структурной схемы ГТД с приводным топливным насосом
(см. рис.7.123) получим следующую передаточную матрицу:
«5(5) = Gh(s) G2,(s)| m(s)
*b(s) G)2(.s) СггСмКкрСО
где Gn(s) = a2Km- S-^11 ; G2i(s) = ft9 /-+^1- ;
s +bs +a s +bs + a
2 2
. ,, 5 +<7i5 + ri , x 5 + a2s + r2
G12(5) = a4Km —r—--------; G22(s) = cq! — ---------;
5 +bs + a s +bs +a
633
Раздел 7
л — А 4- а3«8 . r _ h . «8«10 .
П1 - Оз +----, Г21 ~ь3 +--->
#2 а9
. а2а2 , а^аь . аза9\^
И 2 = ^2 +---'> г22 =^2 +---(«2-----“Х»’>
«3 «10 «10
b = bi + />з - а2Кп; а = &2^з “ «7«8 _ a2^nr\ 1»
Л -А 4.А 4. «2«5+«3«6 .
q 1 = b2 +03 4-------,
«4
Л-АА /у „ , «2«5П 1 + «3«бП2 .
q _ о2и^ — С12(Х% 4----------,
«4
П - А 4. + «4^П)«9 + «6«10 .
^2=0 +------------------,
«11
(а5 +а4^„)а9г2| + «б«10г22
/*2 = яЧ------------------------
Go(5) =
(7.155)
«11
Передаточная матрица газотурбинного двигателя с исполнитель-
ными устройствами (апериодическими звеньями):
G\ {s)Gx i (л) Gx(s)G2x(s}
Gi (s)Gx 2 (s) G] (s)G22 (s) ’
Для развязки контуров (для отдельного управления частотой вра-
щения ротора вентилятора по каналу zw —> ng и степенью повыше-
ния давления в вентиляторе по каналу F^p —> введем перекрест-
ные связи, определив матрицу перекрестных связей в виде
1
Я„(5) 1 I
Структурная схема общего объекта управления с перекрестными
связями приведена на рис.7.124.
Для отдельного управления частотой вращения ротора вентилято-
ра по каналу т —> пр и степенью повышения давления в вентиляторе
по каналу F%p —> Пр нужно выполнить условия:
ад=
(7.156)
634
Раздел 7
R - G{2 • R - Gli
G22 G],
(7.157)
При этих условиях матрица GQОстановится диагональной, а
именно:
и таким образом, собственные движения разомкнутых контуров не
влияют друг на друга, система развязана по сигналам задающих пере-
менных и возможно отдельное управление частотой вращения ротора
вентилятора и степенью повышения давления в вентиляторе.
Передаточные функции перекрестных связей определяются:
2
„ z ч (ХдКт S +О|5 + Г1 „ , „ (Ха S + r2i
/?12(s) = - 4 w - ?—/?21 GO =------------1------—.(7.159)
^11 5 + 42s + r2 а2^т s + rl 1
Передаточные функции в главной диагонали матрицы GQR опре-
деляются: по каналу т
гг ^12^21a\go^m s3 + glg2 + g2s + S3
GllGl 1--------J ------------------?---------j---------->
g22 а11 (5 + Z>i )($ + bs + a)(s + q2s + r2)
(7.160)
635
Раздел 7
по каналу лв
3 2
G1[G22 _9^}=а^ s + g.s + g2s + g3 , (7 161)
6ц а2 (s + b^s2 + bs + а)(з + Гц)
где g0 = a2aH-a4a9;
gi = [a2«i! (?2 + П i) - «4 «9 (<h + r21)]7 go;
g2 = [a2a} ,(r2 + q2r}!) - a4a9(r} + д,г21)] I g0;
g3 = (a2aj tr2rt ] - a4a9rIr21)/g0.
Таким образом, цифровой регулятор Pl в первом контуре (контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу
т-ьпр) нужно рассчитывать на объект с передаточной функцией
(7.160), а цифровой регулятор Р2 во втором контуре (контуре управ-
ления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу
FKp —> я#) нужно рассчитывать на объект с передаточной функцией
(7.161).
Если в первый контур (контур управления частотой вращения ро-
тора вентилятора) и во второй контур (контур управления степенью
повышения давления в вентиляторе) общего двухмерного объекта
управления ввести корректирующее устройство с передаточной функ-
цией-
GK(s) = -3 s2+bs + °----, (7.162)
* +21* +£25 + £з
то передаточные функции в главной диагонали матрицы GQR значи-
тельно упрощаются и принимают вид: по каналу т-^Пр
GKG\\G\\_gl2g2L] = ^0^---------------1--------->(7.163)
^22 а11 ($ + 2>1Х$ +<72s + r2)
по каналу F^p я в
G>:GЛG22-^~2L>a'g° - '--------------7- (7.1М)
GH а2 ($ + )(5 + Г, ])
636
Раздел 7
В этом случае цифровой регулятор Р1 нужно рассчитывать на
объект с передаточной функцией (7.163), а цифровой регулятор Р2 - на
объект с передаточной функцией (7.164).
Структурная схема двухмерной системы управления показана на
рис.7.125.
Полученные в результате идентификации коэффициенты для фор-
сажного режима работы ГТД типа АИ-222 в схеме на рис.7.123 имеют
следующие числовые значения
#1 — bx =10; = ~^вв ~ by ~~ ~^кк = 2,49;
аз = ^kg = = ОД 1; а5 - к^ = 1,08;
^6 = = 0,08; (Xq — к— —0,22; — к^р — 2,32;
#9 = ^bf ~ 1>23; ofjo = к^р = 0,25; = к^р — —0,61.
При произвольном входном воздействии u(t), которое изменяется
с максимальной скоростью й)тах и максимальным ускорением £тах,
рассмотрим эквивалентное гармоническое воздействие
иэ (0 = U э » параметры которого определяются из соотноше-
ний: Uэ = Фтах / ^тах ’ = ^тах ^тах •
637
Раздел 7
При развязанных контурах управления (когда осуществляется от-
дельное управление частотой вращения ротора вентилятора и степе-
нью повышения давления в вентиляторе) можно отдельно исследо-
вать процессы в каждом контуре. Структурные схемы контуров
управления с оптимальными по быстродействию регуляторами (Con-
trollers), выполненные в интерактивной системе MATLAB, представ-
лены на рис.7.126 и 7.127 .
Рис.7.126
Рис.7.127
638
Раздел 7
В первом контуре (контуре управления частотой вращения ротора
вентилятора по каналу т —> Пр) для объекта управления (Object) ис-
пользуется оптимальный по быстродействию цифровой регулятор,
структурная схема которого приведена на рис.7.128.
Во втором контуре (контуре управления степенью повышения
давления в вентиляторе по каналу FKp —> для объекта управле-
639
Раздел 7
ния используется оптимальный по быстродействию цифровой регуля-
тор, структурная схема которого приведена на рис.7.129. Регуляторы
работают с шагом квантования h = 0,5с.
Структурная схема корректирующего устройства с передаточной
функцией которое используется как в первом, так и во втором
контурах управления, приведена на рис.7.130.
Рис.7.130
На рис.7.131 представлены процессы в первом контуре (контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу
т —> Пр) и во втором контуре (контуре управления степенью повы-
шения давления в вентиляторе по каналу F^p —» тг#) при подаче на
вход ’ каждого контура эквивалентного воздействия
нэ(/) = lsin(^t/45), где Uэ = 1; соэ = я745 « 0,07раЭ/с.
Максимальная динамическая ошибка в контуре управления часто-
той вращения ротора вентилятора по каналу т-ьпр (за исключень-
ем начального выброса в первый период захвата входного воздейст-
вия) не превышает 1,2% от амплитуды эквивалентного гармоническо-
го воздействия. Максимальная динамическая ошибка в контуре
управления степенью повышения давления в вентиляторе по каналу
F^p (за исключением начального выброса в первый период
захвата входного воздействия) не превышает 0,6% от амплитуды эк-
вивалентного гармонического воздействия. С уменьшением частоты
эквивалентного гармонического воздействия динамические ошибки
уменьшаются.
640
Раздел 7
1-й контур
2-й контур
а)
641
Раздел 7
Структурные схемы контуров управления с цифровыми нечеткими
регуляторами (Fuzzy Controllers), выполненные в интерактивной сис-
теме MATLAB, представлены на рис.7.132 и 7.133.
Рис.7.132
Рис.7.133
В каждом канале управления используется нечеткий регулятор
(см. рис.7.134) с экспоненциальными входными функциями принад-
лежности (см. рис.3.43) и возведенными в степень треугольными вы-
ходными функциями принадлежности (см. рис.3.41) в виде последова-
тельного соединения трех блоков: формирователя величин A(t) и
B(t) (блок 1, схема которого представлена на рис.3.61), блока сравне-
642
Раздел 7
ния величина А и В и расчета ис (блок 2, схема которого представ-
лена на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной переменной (блок
3, схема которого представлена на рис.3.85). Отличие используемой
схемы нечеткого регулятора от общей схемы, показанной на
рис.3.86,а, только в наличии дополнительного интегратора, который
служит для повышения астатизма системы управления. Шаг кванто-
вания (шаг поступления данных в нечеткие регуляторы) Л =0.01с. Па-
раметр функций принадлежности с =20.
1 2
Рис.7.134
На рис.7.135 представлены процессы в первом контуре (контуре
управления частотой вращения ротора вентилятора по каналу
т —> ) и во втором контуре (контуре управления степенью повы-
шения давления в вентиляторе по каналу F%p -> лв) при подаче на
вход каждого контура эквивалентного воздействия
u3(t) = lsin(flT/45), где U3 =1; соэ= я745 « 0,07рад/с.
Оптимальные значения диапазонов при настройке нечетких регу-
ляторов для первого контура управления (регулятор НР1) и для вто-
рого контура управления (регулятор НР1) приведены в таблице.
HPl НР2
Am=2.2791; Bm=1.9147; Am=0.0841; Вт=0.8796;
Ст=15.5866; Dm=98.2547; Ст=19.9503; Dm=50.0373.
Максимальная динамическая ошибка в контуре управления часто-
той вращения ротора вентилятора по каналу т-> ng (за исключени-
ем начального выброса в первый период захвата входного воздейст-
вия) не превышает 0,04% от амплитуды эквивалентного гармониче-
ского воздействия.
643
Раздел 7
Рис.7.135
644
Раздел 7
Максимальная динамическая ошибка в контуре управления степе-
нью повышения давления в вентиляторе по каналу F^p^-t лв (за ис-
ключением начального выброса в первый период захвата входного
воздействия) не превышает 0,03% от амплитуды эквивалентного гар-
монического воздействия.
Таким образом, применение нечетких регуляторов вместо опти-
мальных по быстродействию цифровых регуляторов позволяет
уменьшить динамическую ошибку слежения в первом канале управ-
ления в 30 раз, а во втором канале управления - в 20 раз.
645
Раздел 8
Раздел 8.
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ
ПАРОВОГО КОТЛА [79]
8.1. Синтез цифровых регуляторов одномерных систем авто-
матического управления параметрами парового котла [128]
Автоматизация процесса получения и потребления тепловой энер-
гии занимает значительное место среди мероприятий по экономии то-
плива в системах теплоснабжения [2, 13, 167, 202]. Актуальной зада-
чей является разработка автоматов и систем автоматического управ-
ления параметрами такого важного объекта теплоснабжения как паро-
вой котел [4, 166, 191,211,214]. Такой объект управления рассмотрен
в работе [153], где представлена его структурная схема с параметрами,
полученными в результате идентификации. Паровой котел как объект
управления является многомерным, но для управления основными
параметрами этого объекта можно использовать одномерные системы
автоматического управления одним из его основных параметров. На-
пример, таким параметром (регулируемой переменной) как давление
пара &Рпар в испарителе котла можно управлять расходом топлива
АС7Г как управляющей переменной, а таким параметром (регулируе-
мой переменной) как температура пара АГ^ на выходе нагревателя
котла можно управлять расходом воды &тв как управляющей пере-
менной. Передаточные функции испарителя и нагревателя паровогр
котла получены в работе [153] по измерениям входных и выходных
переменных реального парового котла (парогенератора).
м г (\ 0,96
Испаритель: G22(5) = р = Q . (8.1)
AGyCs) 6955(1 + 15$)
u r (<•) A7^(5) (1 + 13,8 Is)2 (1 + 18,4s)
Нагреватель: G,,(s) = = - ----- 7 v y. (8.2)
а?ид(5) (1 + 595)
В данном разделе представлен синтез оптимальных по быстро-
действию цифровых регуляторов для одномерных систем управления
(см. рис.8.1, а и б) давлением пара APW в испарителе (см. рис.8.1,я) и
646
Раздел 8
температурой пара АТ^ на выходе нагревателя (см. рис.8.1,6), а так-
же представлены результаты исследования систем методом математи-
ческого моделирования. Отличительная особенность синтезированных
оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов заключается
в том, что алгоритм их работы учитывает не только квантованные зна-
чения ошибки системы, но и среднюю на интервалах квантования ско-
рость изменения входного воздействия.
Расходы топлива AGr,%, и воды Атвберутся в относитель-
ных значениях, а ошибки поддержания давления АР^, бар, и темпе-
ратуры АГлар, К, пара выражены соответственно в барах и Кельвинах
(отметим, что Хмегабар « 1кг /см2; 0° К = -273,1°С).
а)
б)
m(t) пар
—-------^1(5)|---^|G22(5)|----|
Фиксатор --- h 0(t)_ ----
- H(s) 1- ЦР1 b——- | <=——1
I ky| m(k)|^ I 0(k) ЬЫ Vх Г
цдП Регулятор АЦП lu(t)
Фиксатор - h 0(t) x(t)------
ЫгЕНЗ*—I-1 h
ЦАП Регулятор АЦП Tu(t)
Рис.8.1
При использовании цифровых регуляторов применяют аналого-
цифровые (АЦП) и цифроаналоговые (ЦАП) преобразователи. ЦАП
обычно является фиксатором нулевого порядка с передаточной функ-
цией H(s) = (l-e-/tr)/s, h - шаг квантования.
В качестве исполнительных устройств обычно используются уст-
ройства типа “электродвигатель + регулируемый вентиль”. Поскольку
постоянная времени электродвигателей намного меньше постоянных
647
Раздел 8
времени в передаточных функциях (8.1) и (8.2), то исполнительное
устройство можно представить интегрирующим звеном с передаточ-
ной функцией G} (5) = 1 / 5.
Тогда, передаточная функция объекта управления “исполнитель-
ное устройство + испаритель” определяется в виде
(8-3)
s (s + a)
где а = 9,2-10"5; а = 1/15с4,
а передаточная функция объекта управления “исполнительное
устройство + нагреватель ” определяется в виде
s(s + a)
где а = -5,82-10'5; а = 1/59с4; b = 1/13,81с4; с = 1/18,4с4.
Для объекта управления с передаточной функцией (8.3) амплиту-
ды импульсов длительностью h оптимального управляющего воздей-
ствия на каждом интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp опреде-
ляются (см. Приложение Б, п.7):
mQ = KQ(AU + SqA<j), ntp<t<ntp + h\
— 1)(AC7 + 50А<7) + ЛАсг], ntp +h <t<ntp + 2h\
m2 - -qxK^\U + S^o-h\cr\ntp + 2h<t<ntp + 3h, (8.5)
K a c 1 Л(3 + ^) _ah
где KQ = —г------; 50 = ЗЛ +---------q} = -A; A = e .
0 аЛ2(1-Я) 0 а 2(1-Я)
At/ = 0n, где 0n- ошибка системы (см. рис.8.1,а) в момент начала
и -го интервала регулирования длительностью tp= Nh , т.е. ошибка в
момент ntp. h -шаг квантования. N =3 - порядок объекта управления.
А а = ап где ап - первая разность входного воздействия на
интервале регулирования ntp£t<(n + l)tp, ап_} - первая разность
входного воздействия на интервале регулирования (п - \)tp<t<ntр.
Цифровой регулятор ЦР1 на каждом интервале регулирования
ntp<t<(n + \)tp можно описать передаточной функцией
648
Раздел 8
Л/(z) _ т0 + OTjZ'1 + m2z'2
----- ~ ---------i---т-- (О.О)
ад At/o+z-'+z’2)
или разностным уравнением
/«=(£ -au± mi_k)/mj, (8.7)
к~0 к=}
где 0 = AU при индексе i-k>0 и 0 = 0,/и = О при индексе
i - к < 0.
Если обозначить АЦ ошибку системы (см.рис.8.1,а) моменты
/Л, /=0,1,2, на интервале регулирования t (&U = 0п - ошиб-
ка в момент ntp, АЦ- ошибка в момент ntp + h, &U2 - ошибка в мо-
мент ntp+2h), то цифровой регулятор ЦР1 на каждом интервале ре-
гулирования ntр < t <( п +1) tp можно описать передаточной функцией
ад д{/0+дцг''+дад2
или разностным уравнением
2 2
™ =(2Хд^,-* -EAC/*"’-*)/At/o- (8-9)
i-О к=\
Для объекта управления с передаточной функцией (8.4) амплиту-
ды импульсов длительностью h оптимального управляющего воздей-
ствия на каждом интервале регулирования ntp <t<( п +1) tp определя-
ются:
/и0 = + 50Асг)4-Т?сгл_1, ntp<t<ntp + h\
т\ = ^[^(АС/ + 50Ао') + ЛАо'] + /?о'л_1, ntp + h<t<ntp+2h\
т2 = Ко[Я2<Аи + 50Дст) + ЛДст(1 + q})]+Ran_{,
ntp+2h<t< ntp+3h;
тз =^о[9з(А^ + 50Дсг) + ЛДст(1 + g, + q2)] + , (8.10)
ntp+3h<t< ntp+4h;
= K0[q4(MJ+ S0Mr) + hMr(\ + ql +q2 + q3)] + Ra„_x,
649
Раздел 8
ntp+4h<t< ntp+5h',
ms = ко1Я5 (AU + So Ac) + ЛДст(1 + + q2 + q3 + qA)] + Ra„^,
ntp <+5 h t< ntp+6h,
a5 a5
где KQ =-------------R = —
оЛ62с(1-Л)5 ab2c
S -6h 6 + 2с |5 Л(5 + 4?1 +3^2 +2^з
0 be a (1-Я)5
q} = -5A; q2 = 10Я2; q3 = -10Л3; q4 =5A4; q5 =-A5; A = e'ah.
AU = 0n> где 0n- ошибка системы (см. рис.8.1,6) в момент начала
п -го интервала регулирования длительностью tp-Nh, т.е. ошибка в
момент ntp. h -шаг квантования. N =6 - порядок объекта управления.
Лег = ап - <7n_j, где ап - первая разность входного воздействия на
интервале регулирования ntp<t<( w + l)/p, спЛ - первая разность
входного воздействия на интервале регулирования (п - \)tp <t<ntp.
Цифровой регулятор ЦР2 на каждом интервале регулирования
ntp <у <( и +1) tp можно описать передаточной функцией
JV(Z\ = = то + + m2z'2 + mi2'3 + + (8 ! в
0(z) Д(/(1 + z-1 + z”2 + z-3 + z-4 + z-3)
или разностным уравнением 7
5 5
т,-(^тке<-к -bU^/n^)/&U, (8.12)
к=0 к=1
где 0-AU при индексе i-k>0 и 0 = 0,/и = 0 при индексе
i-k<Q.
Если обозначить ДЦ ошибку системы (см. рис.8.1,6) в моменты
ih, /=0,1,2, на интервале регулирования tp (AU = 0п = - ошиб-
ка в момент ntpt AUX- ошибка в момент ntp + h, &U2 - ошибка в мо-
мент ntp +2 Л, и т.д.), то цифровой регулятор ЦР2 на каждом интерва-
650
Раздел 8
ле регулирования ntp<t<(n+\)tp можно описать передаточной
функцией
FK(z) = =
0(z)
-2 -3 -4 -5 <813)
_ m0+mtz + m2z +m3z + m4z + m5z
~ MJ0 + AL\z*' + &U2z~2 + At/3z’3 + AU4z'4 + AC/5z’5
или разностным уравнением
w, = (1XA[/-* “ZAt/*'”.-*)/A[/o- (8.14)
k=0 k=\
В момент начала n -го интервала регулирования длительностью
tp-Nh, т.е. в момент ntp, первую разность (среднюю скорость)
входного воздействия на интервале регулирования ntр < t <( п +1) t
^„ = {u[{n + \)tpy-u{ntp)}ltp (8.15)
измерить невозможно (за исключением тех случаев, когда входное
воздействие заранее задано), поэтому будем измерять текущее значе-
ние скорости
о = {«(^0)-и[(Л-1)Л0]}/Л0, (8.16)
где Ао -шаг моделирования, и использовать приближенное значение
первой разности
=o{ntp) (8.17)
Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на пре-
дыдущем интервале регулирования (п -\)t p<t<nt р определяется как
<Т„_1 =ст[(и-1)/р]. (8.18)
Тогда приращение скорости на интервале регулирования
ntр<t<(,n + \)tp определяется как
Дет = {o(ntp ) - о-[(и - 1)Гр ]}ltp. (8.19)
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления давлением пара с объек-
том управления “исполнительное устройство + испаритель” изобра-
жена на рис.8.2,а; структурная схема системы автоматического управ-
651
Раздел 8
ления температурой пара с объектом управления “исполнительное
устройство + нагреватель” изображена на рис.8.2,б.
а)
б)
Гис.8.2
Структурная схема оптимального по быстродействию цифрового
регулятора SubSystem в системе (см. рис.8.2,а), составленная на осно-
вании формул (8.5), представлена на рис.8.3.
Структурная схема оптимального по быстродействию цифрового
регулятора SubSystem в системе (см. рис.8.2,6), составленная на осно-
вании формул (8.10), представлена на рис.3.112.
На рис.8.4 изображены переходные процессы (реакции на ступен-
чатое входное воздействие) в системе рис.8.2,а при шагах квантова-
ния соответственно h = 60с (а) и Л = 1с(б). На рис.8.5 изображены
652
Раздел 8
переходные процессы в системе рис.8.2,6 при шагах квантования со-
ответственно Л = 60с (а) и h = 15с (б).
Unit Oelayl
С уменьшением шага квантования в системе рис.8.2,а переход-
ные процессы остаются апериодическими (без перерегулирования), но
значительно возрастают амплитуды импульсов управления. В системе
рис.8.2,б с уменьшением шага квантования не только возрастают ам-
плитуды импульсов управления, но переходные процессы становятся
653
Раздел 8
колебательными и значительно увеличивается перерегулирование, что
связано с наличием форсирующих звеньев в передаточной функции
объекта управления.
Рис.8.5
При произвольном входном воздействии u(f), которое изменяет-
ся с максимальной скоростью бУтах и максимальным ускорением £тах,
удобно рассматривать эквивалентное гармоническое воздействие
u3(t) = U3sina)3t9 (8.20)
параметры которого определяются из соотношений [10]:
^,=®L^max; Ч =^тах/<Ут.х-
С целью уменьшения динамической ошибки в системах автома-
тического управления с оптимальными по быстродействию цифровы-
ми регуляторами следует уменьшать шаг квантования в регуляторах,
но при этом возрастают по величине сигналы управления. Чтобы сиг-
налы управления на выходе цифрового регулятора были не слишком
большими по величине при уменьшении шага квантования целесооб-
разно увеличивать коэффициент усиления в объекте управления (на-
пример, усиливать выходные сигналы после датчиков давления и тем-
пературы).
На рис.8.6 (слева) представлены процессы в системе автоматиче-
ского управления давлением пара с объектом управления “исполни-
654
Раздел 8
тельное устройство + испаритель” (рис.8.2,а) при поступлении на вход
системы эквивалентного гармонического воздействия
w3(r) = 10sin(^ /240),
где Uэ = 10; со3 = л/240 - QfiVSpadlс. При таких параметрах эк-
вивалентного гармонического воздействия произвольное входное воз-
действие имеет угловую частоту бУтах = U эсо3 = 0,13ра6/с и уско-
рение £тах = U3a)2 = 1,69 • 10-3 (раб/с)2. Цифровой регулятор ра-
ботает с шагом квантования h = 1с.
На рис.8.6 (справа) представлены процессы в системе автоматиче-
ского управления температурой пара с объектом управления “испол-
нительное устройство + нагреватель” (рис.8.2,6) при поступлении на
вход системы эквивалентного гармонического воздействия
u3(t) — 10sin(^ /1200),
где U3 =10; а)3 = л71200 = 0,0026рад/с. При таких параметрах
эквивалентного гармонического воздействия произвольное входное
воздействие имеет угловую частоту 69max -U30)3 = 0,026рад/с и
ускорение стах =U30)3 = 6,76 • 10-5{рад 1с)2. Усиление в разомк-
нутом контуре «объект управления + датчик температуры» в системе
(см. рис.8.2,б) равно: а = -5,82 • 10~5 х 200. Цифровой регулятор ра-
ботает с шагом квантования Л = 15с.
Максимальное значение динамической ошибки (кроме начального
выброса) в системе автоматического управления давлением пара с
объектом управления “исполнительное устройство+испаритель” (см.
рис.8.2,а) не превышает 0,11% от амплитуды эквивалентного гармо-
нического воздействия и выход системы x(t) практически повторяет
входное воздействие u(t).
Для системы автоматического управления температурой пара с
объектом управления “исполнительное устройство+нагреватель” (см.
рис.8.2,6) сигналы управления на объект имеют более сложную струк-
туру (сравните рис.8.4 и 8.5). Захват входного сигнала системой про-
исходит с большей задержкой и начальный выброс ошибки значи-
тельно больше, чем в системе рис.8.2,а. Максимальное значение ди-
намической ошибки (кроме начального выброса) составляет 3,5% от
655
Раздел 8
амплитуды эквивалентного гармонического воздействия и выход сис-
темы x(t) устойчиво отслеживает входное воздействие u(t).
Рис.8.6
Таким образом, синтезированные оптимальные по быстродейст-
вию цифровые регуляторы при ступенчатых входных воздействиях
обеспечивают время регулирования tp-Nh, где h - шаг квантования,
N - порядок объекта управления. При произвольных входных воздей-
ствиях с заданными максимальной скоростью а)тгк и максимальным
ускорением (такие воздействия заменены эквивалентными гармо-
ническими воздействиями с угловой частотой / а)тях и
амплитудой U3 = бУ^ах / ^тах) системы с оптимальными по быстро-
действию цифровыми регуляторами имеют малые динамические
ошибки рассогласования при достаточно малых значениях указанных
656
Раздел 8
параметров входных гармонических воздействий. С увеличением
бУтах и £(увеличением угловой частоты и амплитуды эквивалент-
ного гармонического воздействия) динамические ошибки в системах
возрастают.
8.2. Синтез цифровых нечетких регуляторов одномерных систем
автоматического управления параметрами парового котла [127]
Ниже представлен синтез цифровых нечетких (работающих на ба-
зе нечеткой логики) регуляторов для одномерных систем управления
(см. рис.8.7,а и б) давлением пара в испарителе и температурой
пара &Тпар на выходе нагревателя.
Оценка 0,0
цдП Регулятор АЦП lu(t)
Оценка 0,0
б) ЦАП Регулятор АЦП
Рис.8.7
Передаточная функция объекта управления “исполнительное уст-
ройство + испаритель” определяется формулой (8.3), а передаточная
функция объекта управления “исполнительное устройство + нагрева-
тель” определяется формулой (8.4).
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического управления давлением пара с объек-
657
Раздел 8
том управления “исполнительное устройство + испаритель” и нечет-
ким регулятором изображена на рис.8.8,а; структурная схема системы
автоматического управления температурой пара с объектом управле-
ния “исполнительное устройство + нагреватель” и нечетким регулято-
ром изображена на рис.8.8,6.
Рис.8.8
Синтез нечетких регуляторов НР1 и НР2 выполняем по формулам
(3.1)-(3.13) для треугольных функций принадлежности с шагом кван-
658
Раздел 8
тования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 1 с.
Ошибка на выходе АЦП #(£), ее первая 0(к) = [0(k)-~0(Jc -V)]/ h и
вторая 0(к) = [#(£) - 0(к -1)]/ h разности подаются на вход HP.
Сигнал с выхода HP поступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка с
передаточной функцией H(s) = (1 -e-A5)/s) и далее на вход объекта
управления.
В нечетких регуляторах НР1 и НР2 настраиваются диапазоны из-
менения ВХОДНЫХ и ВЫХОДНОЙ переменных [0min,0max],
АахЬ lWmin’WmaxJ- Д™ УМвНЬШеНИЯ ЧИСЛЯ Параметров НЭСТрОЙ-
ки нечетких регуляторов диапазоны изменения переменных приняты
симметричными: 0min = -0max, 0min = -0max и т. д.
Ниже приведены результаты моделирования систем управления
(см. рис.8.8,а и 6) при настройке нечетких регуляторов НР1 и НР2. На
рис.8.9 представлены переходные процессы (реакции на единичное
ступенчатое воздейтвие) соответственно в системах рис.8.8,а и б.
На рисунках: а) вход u(t) и выход x(f) системы, б) управляющее
воздействие m(t) на выходе нечеткого регулятора (после фиксатора
нулевого порядка).
659
Раздел 8
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[^,,3™], [^min>^n.«], [Wmin, ] ПОСЛв НВСТрОЙКИ pC"
*• min’ max J ’ l min’ max J ’ L mm’ max J ’ l min’ max J * *
гулятора HP1 в системе с испарителем (см. рис.8.8,а) следующие:
[-1, 1], [-0,035, 0,035], [-0,012, 0,012], [-2, 2].
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
AinAaxL Ain Аах b Ап Аах К ['"min. '"т» ] "ОСЛв НЭСТрОЙКИ ре-
гулятора НР2 в системе с нагревателем (см. рис.8.8,6) следующие:
[-2,55, 2,55], [-0,133, 0,133], [-0,09, 0,09], [-2,31, 2,31].
При произвольном входном воздействии u(t), которое изменяет-
ся с максимальной скоростью 69max и максимальным ускорением 6*^,
удобно рассматривать эквивалентное гармоническое воздействие
(8.20), параметры которого определяются из соотношений (8.21).
На рис.8.10 представлены процессы в системах (см. рис.8.8,а и б )
при поступлении на вход системы эквивалентного гармонического
воздействия
ыэ (7) = 10 sin(flt / 240),
где U3 = 10; соз = л / 240 = 0,013рад / с. Усиление в разомкнутом
контуре «объект управления + датчик давления» равно:
а = 9,2-10‘5 х 100. Усиление в разомкнутом контуре «объект управ-
ления + датчик температуры» равно: а = -5,82 • 10'5 х 200. На рисун-
ках: а) вход u(t) и выход x(Z) системы, б) динамическая ошибка 0(f)
системы, в) управляющее воздействие m(f) на выходе нечеткого ре-
гулятора (после фиксатора нулевого порядка).
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
AinAaxL AinAaxL AinAaxL ['"т.п,'"max] После НЭСТрОЙКИ ре-
гулятора НР1 в системе с испарителем (см. рис.8.8,а) следующие:
[-1, 1], [-0,035, 0,035], [-0,012, 0,012], [-2, 2].
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
AinAaxL AinAaxL AinAaxL Am -'"max ] П0Сле НЭСТрОЙКИ ре-
гулятора НР2 в системе с нагревателем (см. рис.8.8,6) следующие:
[-2, 2], [-0,2, 0,2], [-0,03, 0,03], [-3, 3].
660
Раздел 8
Рис.8.10
Диапазоны изменения входных и выходной переменных после на-
стройки регулятора НР1 в системе с испарителем (см. рис.8.8,а) при
входном ступенчатом сигнале и при входной эквивалентной синусои-
де одни и те же. Диапазоны изменения входных и выходной перемен-
ных после настройки регулятора НР2 в системе с нагревателем (см.
рис.8.8,б) при входном ступенчатом сигнале и при входной эквива-
лентной синусоиде разные и настройка регулятора НР2 более слож-
ная.
По результатам математического моделирования систем можно
заключить: 1.системы с цифровыми нечеткими регуляторами доста-
точно быстро и без перерегулирования отрабатывают ступенчатые
воздействия; 2. при отработке эквивалентной синусоиды динамиче-
ская ошибка в системах, за исключением начального выброса при за-
хвате системой входного сигнала, мала и в установившемся режиме
слежения практически близка к нулю.
661
Раздел 8
8.3. Сравнительная оценка цифровых регуляторов в системах
автоматического управления параметрами парового котла [71,
126]
Основная задача регулятора в замкнутой системе автоматического
управления - обеспечить качество системы. Качество системы доста-
точно широкое понятие. Оно включает параметры переходного про-
цесса - реакции системы на ступенчатое воздействие (время регулиро-
вания, время установления, перерегулирование, число колебаний).
Время регулирования определяет быстродействие системы. Качество
оценивается величиной динамической ошибки рассогласования при
заданном входном и/или возмущающем воздействиях. Качество оце-
нивается также робастностью системы, которая характеризует пове-
дение системы при изменении параметров объекта управления и кото-
рая может быть определена методом математического моделирования
путем изменения параметров модели объекта управления. Наконец,
качество можно оценивать одной из интегральных оценок. Таким об-
разом, можно рассматривать различные оценки качества, но, как пра-
вило, параметры реакции системы на ступенчатое воздействие (время
регулирования, время установления, перерегулирование, число коле-
баний), максимальная величина динамической ошибки рассогласова-
ния и робастность системы, определяющая изменение указанных па-
раметров при изменении параметров объекта управления, достаточно
полно характеризуют качество системы, обеспечиваемое регулятором.
В свою очередь по тому, какое качество системы способен обеспечить
тот или другой регулятор, можно произвести сравнительную оценку
регуляторов и выбрать наилучший для данного объекта управления.
Рассмотрим переходные процессы в системе автоматического
управления (см. рис.8.1,а и 8.2,а) с объектом управления “исполни-
тельное устройство + испаритель” и оптимальным по быстродействию
цифровым регулятором [71]. Допустим, что цифровой регулятор рас-
считан для первоначально заданных параметров передаточной функ-
ции (8.3) объекта управления: а = 9,2 10“5 хЮО; а = 1715с"1. Шаг
квантования в регуляторе h = 1с. При параметрах цифрового регуля-
тора, рассчитанных для заданных параметров объекта управления, как
изменение параметра а, так и изменение сопрягающей частоты а в
передаточной функции объекта управления приводит к значительной
662
Раздел 8
деформации и увеличению длительности переходного процесса (см.
рис.8.11,а, б). Время регулирования tp (определяемое до момента,
когда отклонение выходного сигнала от установившегося значения не
будет превышать 5%) увеличивается примерно с 2,5с до 7,5с (в три
раза).
На рис.8.12 и 8.13 показаны процессы в системе при поступле-
нии на вход системы эквивалентного синусоидального воздействия
иэ (t) = 10 sin(7ZT / 240),
где Uэ = 10; соэ = л*/240 = 0,013рад/с . На рисунках: а) - входное
воздействие и реакции системы, б) - ошибки рассогласования. Расчет
цифрового регулятора произведен для первоначально заданных пара-
метрах передаточной функции (8.3) объекта управления:
а = 9,2 10~5 хЮО; а = 1/15с-1. При рассчитанных для заданных
параметров объекта управления параметрах цифрового оптимального
по быстродействию регулятора как изменение параметра а, так и из-
менение сопрягающей частоты а в передаточной функции объекта
приводит к увеличению динамической ошибки рассогласования в сис-
теме.
При 1,3 х а максимальная текущая ошибка составляет примерно
1,1% от амплитуды синусоиды, а при 0,7 ха она равна 1,9%. При
1,3ха и при 0,7ха максимальная текущая ошибка составляет при-
мерно 1,4% от амплитуды синусоиды. При точном задании парамет-
663
Раздел 8
ров передаточной функции (8.3) максимальная динамическая ошибка
составляет 0,011% от амплитуды синусоиды. Таким образом, при от-
клонениях параметров передаточной функции объекта управления на
± 30% от расчетных максимальная динамическая ошибка значительно
увеличивается, но не превышает 2% от амплитуды синусоиды.
Рассмотрим переходные процессы в системе автоматического
управления (см. рис.8.7,а и 8.8,а) с объектом управления “исполни-
тельное устройство + испаритель” и цифровым нечетким регулятором
при условии неточного задания параметров передаточной функции
(8.3). Эти процессы приведены на рис.8.14.
664
Раздел 8
Синтез нечеткого регулятора выполнен по формулам (3.1)-(3.13)
для треугольных функций принадлежности с шагом квантования (ша-
гом поступления данных в нечеткий регулятор) h - 0,1 с. Настройка
нечеткого регулятора проведена при первоначально заданных пара-
метрах передаточной функции (8.3) объекта управления:
а = 9,2 • 10~5 х 100; а = 1 /15с~1. Диапазоны изменения входных и
ВЫХОДНОЙ ПеремеННЫХ [^лщр^тах 1> [^minAaxL [<LnAaJ’
[zwmin, wmax ] после настройки нечеткого регулятора в системе с испа-
рителем (см. рис.8.8,а) следующие:
[-0,94 0,94], [-0,064, 0,064], [-0,032, 0,032], [-10,25 10,25].
При настроенном на заданные параметры объекта управления не-
четком регуляторе как изменение параметра а, так и изменение со-
прягающей частоты а в передаточной функции объекта управления
приводит к деформации и увеличению длительности переходного
процесса (см. рис.8.14,а, б). Время регулирования tр (определяемое
до момента, когда отклонение выходного сигнала от установившегося
значения не будет превышать 5%) увеличивается примерно с 12с до
21с.
На рис.8.15 и 8.16 показаны процессы в системе с нечетким ре-
гулятором (см. рис.8.8,а) при поступлении на вход системы эквива-
лентного синусоидального воздействия
665
Раздел 8
На рисунках: а) входное воздействие и реакции системы, б)
ошибки рассогласования. Настройка нечеткого регулятора проведена
при первоначально заданных параметрах передаточной функции (8.3)
объекта управления: а = 9,2 • 1О”5 х 100; а = 1 /15с”1. Цель настрой-
ки - получение минимального значения максимальной динамической
ошибки рассогласования при минимальном начальном выбросе вы-
ходной реакции. Диапазоны изменения входных и выходной перемен-
ных [0т;п,0гпЯу] , ПОСЛв НЯСТрОЙКИ
l min 7 max j ’ l min 7 max j 7 <- min7 max j 7 l min7 max J *
нечеткого регулятора в системе (см. рис.8.8,а) следующие:
666
Раздел 8
[-0,568 0,568], [-0,05, 0,05], [-0,037, 0,037], [-8,059 8,059].
При настроенном на заданные параметры объекта управления
регуляторе как изменение параметра а, так и изменение сопрягаю-
щей частоты а в передаточной функции объекта управления приво-
дит к некоторому изменению величины максимальной динамической
ошибки в системе. При 1,3 х а максимальная динамическая ошибка
составляет примерно 0,036% от амплитуды синусоиды, а при 0,7 х а
она равна 0,065%. При 1,3ха максимальная динамическая ошибка
составляет 0,061% от амплитуды синусоиды, а при 0,7ха она равна
0,034%. При точном задании параметров передаточной функции (8.3)
максимальная динамическая ошибка составляет 0,05% от амплитуды
синусоиды. Незначительное уменьшении динамической ошибки при
отклонениях параметров передаточной функции объекта управления
от расчетных связано с увеличением начального выброса. При откло-
нениях параметров передаточной функции объекта управления на
±30% от расчетных максимальная динамическая ошибка не превы-
шает 0,07% от амплитуды синусоиды.
Таким образом, максимальная динамическая ошибка в системе
автоматического управления (см. рис.8.7,а и 8.8,а) с объектом управ-
ления “исполнительное устройство + испаритель” и цифровым нечет-
ким регулятором при условии неточного задания параметров переда-
точной функции объекта в 28,6 раза меньше, чем в системе (см.
рис.8.1,а и 8.2,а) с цифровым оптимальным по быстродействию регу-
лятором. Но время регулирования в системе с нечетким регулятором
примерно в 2,8 раза больше, чем в системе с оптимальным по быстро-
действию регулятором.
Исследование системы автоматического управления (см.
рис.8.1,а) с объектом управления “исполнительное устройство + испа-
ритель” и цифровым ПИД-регулятором дает следующие результаты.
При ступенчатом входном воздействии лучший переходный процесс
(с наименьшими временем регулирования и перерегулированием) по-
лучается при параметрах передаточной функции объекта управления
(8.3) а = 9,2 • 10"5 х 100; а = 1/15с-1 и следующих параметрах регу-
лятора: К = 0,0045; /Q=0; А^=0,2819. Передаточная функция
регулятора:
667
Раздел 8
W(z) = K + -d-Z-~.
ho z
Переходные процессы в системе с указанными параметрами ПД-
регулятора при точном и неточном задании параметров передаточной
функции объекта управления (8.3) приведены на рис.8.17.
При настроенном на заданные параметры объекта управления ре-
гуляторе как изменение параметра а, так и изменение сопрягающей
частоты а в передаточной функции объекта управления приводит к
деформации и увеличению длительности переходного процесса (см.
рис.8.17,а и б). Время регулирования tр (определяемое до момента,
когда отклонение выходного сигнала от установившегося значения не
будет превышать 5%) увеличивается примерно со 105с до 196с. Та-
ким образом, время регулирования в системе с ПД-регулятором в 9,3
раза больше, чем в системе с нечетким регулятором, и в 26 раз боль-
ше, чем в системе с оптимальным по быстродействию регулятором.
На рис.8.18 и 8.19 показаны процессы в системе с ПД-
регулятором (см. рис.8.1,а) при поступлении на вход системы эквива-
лентного синусоидального воздействия
u3(t) = 10sin(^/240).
На рисунках: а) входное воздействие и реакции системы, б)
ошибки рассогласования. Настройка ПД-регулятора проведена при
первоначально заданных параметрах передаточной функции (8.3) объ-
668
Раздел 8
екта управления: а = 9,2 -10 5 х 100; а = 1 /15с 1. Цель настройки -
получение минимального значения максимальной динамической
ошибки рассогласования при минимальном начальном выбросе вы-
ходной реакции. Параметры настроенного регулятора:
К = 0,0013; /Q=0; ^=2,0354.
--------------------------- 1.4,-------------------------
При настроенном на заданные параметры объекта управления
регуляторе как изменение параметра а, так и изменение сопрягаю-
щей частоты а в передаточной функции объекта управления приво-
дит к некоторому изменению величины максимальной динамической
ошибки в системе. При 1,3ха максимальная динамическая ошибка
669
Раздел 8
составляет примерно 4% от амплитуды синусоиды, а при 0,7 х а она
равна 7,3%. При 1,3x67 максимальная динамическая ошибка состав-
ляет 6,5% от амплитуды синусоиды, а при 0,7 х а она равна 5,4%. При
точном задании параметров передаточной функции (8.3) максималь-
ная динамическая ошибка составляет 5,1% от амплитуды синусоиды.
При отклонениях параметров передаточной функции объекта управ-
ления на ± 30% от расчетных максимальная динамическая ошибка не
превышает 8% от амплитуды синусоиды.
Таким образом, максимальная динамическая ошибка в системе с
ПД-регулятором в 4 раза больше, чем в системе с оптимальным по
быстродействию регулятором, и 114 раз больше, чем в системе с не-
четким регулятором.
Сравнение процессов, приведенных на рис.8 Л1 - 8.19, показывает
весьма значительные преимущества системы с цифровым оптималь-
ным по быстродействию регулятором и системы с нечетким регулято-
рами по сравнению с системой, использующей ПИД-регулятор. Отме-
тим также, что по точности слежения система с нечетким регулятором
значительно превосходит систему с оптимальным по быстродействию
регулятором.
Рассмотрим переходные процессы в системе автоматического
управления (см. рис.8.7,б и 8.8,6) с объектом управления “исполни-
тельное устройство + нагреватель” и цифровым нечетким регулятором
при условии неточного задания параметров передаточной функции
(8.4) [83]. Эти процессы приведены на рис.8.20.
Синтез нечеткого регулятора выполнен по формулам (3.1)-(3.13)
для треугольных функций принадлежности с шагом квантования (ша-
гом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 0,1 с. Настройка
нечеткого регулятора проведена при первоначально заданных пара-
метрах передаточной функции (8.4) объекта управления:
а = -5,82-1О-5 х 200; а = 1/59с-1; b = 1/13,81с-1; с = 1/18,4с-1.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
после настройки нечеткого регу-
лятора в системе с нагревателем (см. рис.8.8,б) следующие:
[-0,93 0,93], [-0,0174, 0,0174], [-0,0168, 0,0168],
[-7,224 7,224].
670
Раздел 8
При настроенном на заданные параметры объекта управления ре-
гуляторе как изменение параметра а, так и изменение сопрягающей
частоты с в передаточной функции объекта управления приводит к
деформации и увеличению длительности переходного процесса (см.
рис. 8 Л 4,а, б). Время регулирования tp (определяемое до момента,
когда отклонение выходного сигнала от установившегося значения не
будет превышать 5%) увеличивается примерно с 12,5с до 70с.
Рис.8.20
На рис.8.21 и 8.22 показаны процессы в системе с нечетким ре-
гулятором (см. рис.8.8,6) при поступлении на вход системы эквива-
лентного синусоидального воздействия
w3(0 = 10sin(^/240).
На рисунках: а) входное воздействие и реакции системы, б) ошибки
рассогласования. Настройка нечеткого регулятора проведена при перво-
начально заданных параметрах передаточной функции (8.4) Цель на-
стройки - получение минимального значения максимальной динамиче-
ской ошибки рассогласования при минимальном начальном выбросе вы-
ходной реакции. Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[£„,„,£? 1, [^„,„,^„„1, [6С,п;А,„], 1 после настройки не-
четкого регулятора в системе (см. рис.8.8,б) следующие:
[-0,462 0,462], [-0,077, 0,077], [-0,035, 0,035] [-11,7, 11,7].
При настроенном на заданные параметры объекта управления
регуляторе как изменение параметра а, так и изменение сопрягаю-
671
Раздел 8
щей частоты с в передаточной функции объекта управления приво-
дит к некоторому изменению величины максимальной динамической
ошибки в системе. При 1,3ха максимальная динамическая ошибка
составляет примерно 0,0002% от амплитуды синусоиды, а при 0,7 х а
она равна 0,0007%. При 1,3хе максимальная динамическая ошибка
составляет 0,00035% от амплитуды синусоиды, а при 0,7 х с она равна
0,0006%. При точном задании параметров передаточной функции (8.3)
максимальная динамическая ошибка составляет 0,0004% от амплиту-
ды синусоиды. При отклонениях параметров передаточной функции
объекта управления на ± 30% от расчетных максимальная динамиче-
ская ошибка не превышает 0,001% от амплитуды синусоиды.
Рис.8.22
Как показывают исследования, система автоматического управ-
ления с объектом управления “исполнительное устройство + нагрева-
672
Раздел 8
тель” и с цифровым оптимальным по быстродействию регулятором
или с цифровым ПИД-регулятором оказывается неработоспособной
(имеет недопустимо большие ошибки в переходных и установившихся
режимах).
Таким образом, применение цифровых нечетких (работающих на
базе нечеткой логики) регуляторов позволяет проектировать одномер-
ные системы автоматического управления параметрами парового кот-
ла с весьма высоким качеством работы.
8.4. Синтез цифровых нечетких регуляторов двухмерного объ-
екта “ испаритель + нагреватель парового котла 99 [68,129]
Рассмотрим структурную схему двухмерного объекта управления
“испаритель + нагреватель парового котла” (обведена пунктиром на
рис.8.23). Данная модель рассмотрена в работе [153]. Регулируемыми
переменными этого двухмерного объекта являются давление пара
£Рпар в испарителе и температура пара &Тпар на выходе нагревателя.
Управляющими переменными являются расход топлива Дбу и рас-
ход воды Атв. Расходы топлива Дбу,%, и воды AmBв модели
приведены к относительным значениям, а выходными величинами
являются ошибки поддержания давления ЬР^бар, и температуры
К, пара, выраженные в соответственно в барах и Кельвинах.
Рис.8.23
поросой. мтм
673
Раздел 8
Серьезным недостатком одномерных систем автоматического
управления параметрами многомерного объекта является влияние
управления одним параметром на другие параметры объекта управле-
ния. Так, управление давлением пара &Рпар в испарителе котла влияет
на температуру пара ДТ на выходе нагревателя, а управление тем-
пературой пара ДТ на выходе нагревателя влияет на давление пара
№пар в испарителе котла.
Ниже изложен синтез регуляторов, работающих на базе нечеткой
логики, для двухмерного объекта управления “испаритель + нагрева-
тель парового котла” и отмечены преимущества применения таких
регуляторов в системах автоматического управления параметрами та-
кого объекта.
Уравнения объекта управления в матричной форме имеют вид
АГ пар G12(5) G2I(s) G22(s)\ I^B |AGr , (8.22)
где G(5) 1 = G„(5) Gn(s) G2i(s) G22(*y) - (8-23)
передаточная матрица двухмерного объекта управления.
Передаточные функции в передаточной матрице двухмерного
объекта управления получены в работе [101] по измерениям реального
парогенератора.
„ r(x bT^s) (1 + 13,815)2(1 + 18,45) _
Нагреватель: <7.(51 =----— = ----------—- .7------(8.24)
1,V' bmB(s) (l + 59s)5
u г (х 0,96
Испаритель: G22 (5) = ——- = , х. (8.25)
AGr(s) 695s(l + 15s)
г r <x ^aP(s) 0,0605
Связь нагреватель-испаритель: Gl2 (5) = = ' (8-26)
Связь испаритель-нагреватель:
г !>771 (wx
2I ' AGr(s) (1 + 153,55X1 + 245X1 + 155)’ Ь
674
Раздел 8
В качестве исполнительных устройств обычно используются уст-
ройства типа “электродвигатель + регулируемый вентиль”. Так как
постоянные времени электродвигателей значительно меньше посто-
янных времени в идентифицированных передаточных функциях, то
инерционностью исполнительных устройств можно пренебречь и за-
писать их передаточные функции в виде
Gx(s) = G2(s) = 1/5. (8.28)
Передаточная матрица двухмерного объекта с исполнительными
устройствами может быть записана следующим образом:
G2(s)Gn(s)
G0(s) = ' 11 2 21 . (8.29)
G,(s)Gi2(s) G2(s)G22(s)
Для развязки контуров (для отдельного управления температурой
пара ДГ на выходе нагревателя и давлением пара &Рпар в испари-
теле) введем перекрестные связи, определив матрицу перекрестных
связей в виде
ад=
1 ад
/?I2(S) 1
(8.30)
Структурная схема общего объекта управления с перекрестными
связями приведена на рис.8.23.
Передаточная матрица общего объекта управления с перекрест-
ными связями (передаточная матрица системы в разомкнутом состоя-
нии) определяется (параметр преобразования по Лапласу s для упро-
щения записи опустим):
q yj _ ^1^11 + ^2^21^12 ^1^11^21 +С2С2| (8 31)
GiGi2 + G2G22Rx2 GXGX2R2X + G2G22
Если выполнить условия
G. =G2=G- R.2=-^--, R2=-^, (8.32)
g22 Ц i
то матрица Go7? становится диагональной, а именно
675
Раздел 8
G0R =
GIG,,
@22
О
О
G[G„ -^1’
Oil
(8.33)
и таким образом, собственные движения контуров не влияют друг на
друга, система развязана по сигналам задающих переменных и воз-
можно отдельное управление температурой пара ДТ^ на выходе на-
гревателя и давлением пара ДР^ в испарителе. Передаточные функ-
ции перекрестных связей в этом случае определяются
Я12 = - -12 = -0,063(1 +155); (8.34)
G22
R =_G21 =____________________1,771(1 +59s)5______________
21 Gn (1 +153,5sXl + 24sX1 + 15jXI +13,815)2(1 +18,4jj’ (8 35)
Структурная схема двухмерной системы автоматического управ-
ления температурой пара ДТ^ на выходе нагревателя и давлением
пара в испарителе парового котла, в которой используются
цифровые нечеткие регуляторы, представлена на рис.8.24.
Когда система развязана по сигналам задающих переменных и
возможно отдельное управление температурой пара ДТ^ на выходе
нагревателя и давлением пара ^Рмр в испарителе, цифровой нечеткий
регулятор НР2 работает на один (нижний на рис.8.24) канал с переда-
точной функцией
G[G22 - G,2-21-] =-------------J0,96 +
22 gh 69552(1 + 15s)
+ ,---------гр— ---ст~ -----гтр---------г]. (8.36)
(1 +153,5sXl + 24s Х1 +13,81s)2 (1 +18,4s)
а цифровой нечеткий регулятор НР1 работает на второй (верхний на
рис.8.24) канал с передаточной функцией
GIG 815)2(1 + 18,45),
1 " G22 5 (l + 59s)5
676
Раздел 8
Ъ °’Щ6- J (8.37)
(1 + 153,5^X1 + 245)
Синтез нечетких регуляторов НР1 и НР2 выполняем по формулам
(3.1 )-(3.13) для треугольных функций принадлежности с шагом кван-
тования (шагом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 0,01
с. Ошибка на выходе АЦП 0{к) в каждом канале управления, ее пер-
вая 0(к) = [0(k)-0(k-V)]/h и вторая 0(к) = [0(к)-0(к -1)]/Л
разности подаются на вход соответствующего HP. Сигнал с выхода
HP поступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка с передаточной
функцией //(s) = (l-e’^)/я) и далее на соответствующий вход
двухмерного объекта управления.
ЦАП Регулятор
<^21 СО
Оценка 0,04-
*g22(j)
4|G12(j)
Фиксетор tyk)^02(k)
НР2 *
L H(s) (----
Ч к Тпъ(Ю________
ЦАП Регулятор
Рис.8.24
677
Раздел 8
В нечетких регуляторах НР1 и НР2 настраиваются диапазоны изме-
нения входных и выходной переменных [0min, , AinAJ,
AinAaxL ["’minimax] ВСвХ фуНКЦИЙ ПрИНЭДЛеЖНОСТИ: /? («) = (1 - И),
/л (и) = w, где и - параметр (элемент) единого универсального множе-
ства U = [0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки нечетких
регуляторов диапазоны изменения переменных приняты симметричны-
ми- И Т. Д.
min max ’ min max
При развязанных контурах управления (когда осуществляется от-
дельное управление давлением пара в испарителе и температу-
рой пара А 7^ на выходе нагревателя) можно отдельно исследовать
процессы в каждом контуре. Структурные схемы контура управления
давлением пара и контура управления температурой пара представле-
ны соответственно на рис. 8.25,а,б, а структурная схема объекта
управления - на рис.8.26.
Ниже представлены процессы в первом контуре (контуре управ-
ления давлением пара в испарителе - см. схему на рис.8.25,а) и во вто-
ром контуре (контуре управления температурой пара на выходе нагре-
вателя - см. схему на рис.8.25,б) при поступлении на вход контуров
управления эквивалентного гармонического воздействия
u3(t) = 10sin(flT/240),
где U3 =10; соз -л /240 = 0,01 ЗраЭ/ с. При таких параметрах экви-
валентного гармонического воздействия произвольное входное воз-
действие имеет следующие максимальные скорость и ускорение:
^=изсо}=0,}3рад/с-, етм =С/эЧ2 = 1,69 103(рад 1с)1.
Настройка нечетких регуляторов НР1 и НР2 производилась с це-
лью получения минимальной текущей ошибки рассогласования.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
AinAaxL Ain^nmx], AinAJ’ ["’mm, "’mJ ПОСЛе НЭСТрОЙКИ ре-
гулятора НР2 в контуре управления давлением пара в испарителе (см.
рис.8.25,а) следующие: [-0,5 0,5], [-0,13, 0,13], [-0,05, 0,05],
[-3, 3]. Диапазоны изменения входных и выходной переменных
AinAJ, Am Aj, AinAj- ["’min* "’max] ПОСЛв НЭСТрОЙКИ ре-
гулятора HPl в контуре управления температурой пара на выходе на-
678
Раздел 8
гревателя (см. рис.8.25,б) следующие: [-0,8, 0,8], [-0,09, 0,09],
[-0,04, 0,04], [-10, 10].
б)
Рис.8.25
679
Раздел 8
10
Рис.8.26
Процессы в контуре управления
давлением пара в испарителе
Процессы в контуре управления
температурой пара на выходе
Рис.8.27
680
Раздел 8
Процессы в контурах управления давлением и температурой пара
в паровом котле представлены на рис.8.27.
Динамические ошибки рассогласования в обоих каналах, за ис-
ключением начальных выбросов при захвате сигнала, практически
близки к нулю.
Другим примером парогенератора как двухмерного объекта
управления является модель прямоточного котла дубль-блока 300
МВт, рассмотренная в работе [68]. Передаточные функции в переда-
точной матрице двухмерного объекта управления (8.23), полученные в
работе [186] по измерениям реального парогенератора, определены
следующим образом.
Нагреватель:
Испаритель:
A^/s) 3
Aws(s) (99s+ 1)2
(8.38)
nap(s} 2,5
AG^Cy) (365 + 1)3
(8.39)
Связь нагреватель-испаритель:
_ 2,9(465 4-1)
12 5 Амв (s) (38s +1)3 (74s +1)
(8.40)
Связь испаритель-нагреватель:
^'пар СО 7305
>(s) (240s+ 1)2
(8-41)
Передаточные функции исполнительных устройств типа “элект-
родвигатель + регулируемый вентиль” определяются по формуле
(8.28)
Для развязки контуров (для отдельного управления температурой
пара на выходе нагревателя и давлением пара №пар в испари-
теле) введем перекрестные связи, определив матрицу перекрестных
681
Раздел 8
связей по формуле (8.30). Структурная схема общего объекта управ-
ления с перекрестными связями приведена на рис.8.23.
При условии развязки каналов, когда возможно отдельное управ-
ление температурой пара &Тпар на выходе нагревателя и давлением
пара &Рпар в испарителе, передаточные функции перекрестных свя-
зей определяются по формулам (8.32):
. _ (Зб5 + 1)3(4б5 + 1).
К] 7 —-----— —1,10---------;------—
&22 (38$ + 1)3 (74$ +1)
Gil (240$+ 1)2
(8.42)
(8.43)
Структурная схема двухмерной системы автоматического управ-
ления температурой пара &Тпар на выходе нагревателя и давлением
пара &Рпар в испарителе парового котла, в которой используются
цифровые нечеткие регуляторы, представлена на рис.8.24.
Когда система развязана по сигналам задающих переменных и
возможно отдельное управление температурой пара &Тпар на выходе
нагревателя и давлением пара &Рпар в испарителе, цифровой нечет-
кий регулятор НР2 работает на первый (нижний на рис.8.24) канал с
передаточной функцией
Ггр ^12^21 1 _ 2>5
+ 705,7 (46511X995+ 1)2
(38$+ 1)3(74$ +1X240$+ 1)2
(8.44)
а цифровой нечеткий регулятор НР1 работает на второй (верхний на
рис.8.24) канал с передаточной функцией
682
Раздел 8
_ ^12^21 j _ j- 3
&22 5(995 +1)2
/ v 43 ’ (845)
(465 + 1ХЗ65 + l)3 J
(385 + l)3(745 + lX2405 + l)2
При развязанных контурах управления (когда осуществляется от-
дельное управление давлением пара &Рпар в испарителе и температу-
рой пара &Тпар на выходе нагревателя) можно отдельно исследовать
процессы в каждом контуре. Структурные схемы контура управления
давлением пара и контура управления температурой пара представле-
ны соответственно на рис. 8.28,а,б, а структурная схема объекта
управления - на рис.8.29.
Как и в предыдущем случае синтез нечетких регуляторов НР1 и
НР2 выполняем по формулам (3.1)-(3.13) для треугольных функций
принадлежности с шагом квантования (шагом поступления данных в
нечеткий регулятор) h = 0,1с.
Настройку нечетких регуляторов НР1 и НР2 производим с целью
получения минимальной динамической ошибки рассогласования.
На рис.8.30 представлены процессы в первом контуре (контуре
управления давлением пара в испарителе - см. схему на рис.8.28,а) и
во втором контуре (контуре управления температурой пара на выходе
нагревателя - см. схему на рис.8.28,б) при поступлении на вход кон-
туров управления эквивалентного гармонического воздействия
мэ(Г) = 10sin(^/240),
где U3 = 10; соэ = л / 240 ® 0,013 рад / с.
На рисунках «(/) - входное воздействие, x(t) - выход соответст-
вующего контура системы, 0(t) - ошибка рассогласования, m(t)-
управляющее воздействие на выходе соответствующего нечеткого
регулятора. При таких параметрах эквивалентного гармонического
воздействия произвольное входное воздействие может иметь следую-
щие максимальные скорость и ускорение:
бУтах =^эбУэ 13рад/с; етзх =^эа)э ~ 0,00017(раб/с)2.
683
Раздел 8
а)
б)
Рис.8.28
684
Раздел 8
О 10 11
Рис.8.29
Процессы в контуре управления Процессы в контуре управления
давлением пара в испарителе
(см. рис.8.28,а)
температурой пара на выходе
нагревателя (см. рис.8.28,6)
Рис.8.30
685
Раздел 8
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[^min ’ 1 > 1 , [$nin , 1 » [ Wm.n , ] ПОСЛв НаСТрОИКИ рв"
l min’ max J ’ t min ’ max J ’ L min’ max-»’ l min’ max J * *
гулятора HP2 в контуре управления давлением пара в испарителе (см.
рис. 8.17,а) следующие: [-1,2131, 1,2131], [-0,0206, 0,0206],
[-0,0155, 0,0155], [-10, 10].
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[ЗтпЛахЬ [0minAJ> [^m.n A J ’ ПОСЛв НЭСТрОЙКИ рв-
гулятора НР1 в контуре управления температурой пара на выходе на-
гревателя (см. рис.8.17,6) следующие: [-0,2201, 0,2201],
[-0,0094, 0,0094], [-0,5414, 0,5414], [-9,3448, 9,3448].
Максимальная динамическая ошибка (за исключением начального
выброса) в контуре управления давлением пара в испарителе не пре-
вышает 0,24 % от амплитуды входного воздействия, а в контуре
управления температурой пара на выходе нагревателя эта ошибка не
превышает 0,06 %. Динамические ошибки рассогласования в обоих
каналах, за исключением начальных выбросов при захвате сигнала,
практически близки к нулю.
Процессы в контуре управления
давлением пара в испарителе
Процессы в контуре управления
температурой пара на выходе
Рис.8.31
686
Раздел 8
На рис.8.31 представлены переходные характеристики (реакции
на единичное ступенчатее воздействие) контуров управления давле-
нием пара в испарителе и температурой пара на выходе нагревателя, а
также управляющее воздействие на выходе нечетких регуляторов НР1
и НР2. Время регулирования в первом контуре не превышает 5 мин.,
во втором контуре - 2 мин.
8.5. Синтез цифровых регуляторов системы регулирования тем-
пературы перегретого пара на выходе парового котла [80,81, 82]
Одним из важнейших элементов комплексной системы автомати-
ческого управления энергоблоком тепловой станции является система
регулирования температуры перегретого пара на выходе парового
котла [164,187]. Параметры котла существенно зависят от нагрузки
энергоблока. Ниже изложен синтез цифровых регуляторов системы
регулирования температуры перегретого пара на выходе парового
котла типа ТГМП-204 энергоблока мощностью 800 МВт для трех ос-
новных режимов нагрузки энергоблока. Для каждого режима нагрузки
паровой котел как объект управления можно считать стационарным.
Передаточная функция котла ТГМП-204 по возмущению впры-
ском, синтезированная по экспериментальным динамическим харак-
теристикам определена в виде [164]
ОД=—е”. (8.46)
s +bs + a
Параметры передаточной функции котла ТГМП-204 по каналу ре-
гулирования температуры перегретого пара для трех основных режи-
мов нагрузки представлены в табл.8.1 (постоянные времени парового
котла для каждого режима выражены в секундах).
Таблица 8.1
Режим Мощность?, МВт г, с «0 b а
1 400 36 5,66 10 4 2,95 Ю’2 2,71 10
2 600 16 3,53 10^ 3,28 10'2 3,54 10
3 800 0 4,06 10^ 3,85 10'2 4,53 10
687
Раздел 8
В качестве исполнительных устройств обычно используются уст-
ройства типа “электродвигатель + регулируемый вентиль”. Поскольку
постоянная времени электродвигателя намного меньше постоянной
времени в передаточной функции (8.46), то исполнительное устройст-
во можно представить интегрирующим звеном с передаточной функ-
цией <7j(s) = l/s. Тогда передаточная функция общего объекта
управления для регулятора определяется в виде
= —----------е°. (8.47)
5(5 4- bs 4- а)
При проектировании систем управления с оптимальными по бы-
стродействию цифровыми регуляторами и объектами управления с
чистым запаздыванием так, чтобы система “аппроксимировала” про-
извольное входное воздействие сигналом, который линейно изменяет-
ся на интервалах регулирования, необходимо определять оптималь-
ные управляющие воздействия на объект управления. Эти воздействия
для объекта с передаточной функцией G(s)e'c можно найти, моди-
фицируя полученные в работе [135] формулы для оптимальных
управляющих воздействий на объект управления с передаточной
функцией G(s). Так, на вход объекта управления с передаточной
функцией G(s) = ae‘tt[s(s2 +bs + a)]~' необходимо на каждом ин-
тервале регулирования tp, начиная с момента ntp, п = 0,1,2,..., пода-
вать воздействия:
= А7О(ДС74-50Дсг)4-/?сгл_1 при ntp<t<ntp + h\
т\ = K^[qx(AU 4-50Да) 4-ЛДа] 4- Rcrn_\ при
ntp + h <t<ntp+2h\
т2 = К$ [q2 (AU 4- SoДа) 4- ЛДа(14- qx)] 4- Rcrn^ при
nt +2h<t<nt+3h;
p p *
w3 = R = — при nt +3h<t<nt +3h + r. (8.48)
а
В формулах (8.48): tp = 3h + г;
688
Раздел 8
ah{\ - 2-Jb cos Ah + B) ’
So = 3h + -^2+^)-----+ T-q= -24b cos Ah; q2 = B;
a (I-24b cos Ah + B)
B = e-bh;A = 4a-b2/4.
Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntp<t<ntp +3h
интервала регулирования ntp<t<(n + l)tp можно описать передаточ-
ной функцией
0(z) ДС/(1 + г‘ +z’2)
или разностным уравнением
2 2
т =(^mkfy-k AU> (8.50)
jt=o к=\
где 0 = &U при индексе i-k>0 и 0 = 0,/и = 0 при индексе
1-к<0.
Если обозначить Д(7. ошибку в соответствующем контуре управ-
ления моменты ih, /=0,1,2, на интервале регулирования t (Д1/о-
ошибка в момент ntp, AU} - ошибка в момент ntp + h, AU2 - ошибка в
момент ntp + 2h\ то цифровой регулятор на каждом подинтервале
ntp<t<ntp+3h интервала регулирования ntp<t<(n + \)tp можно
описать передаточной функцией
= Лф) = mo+m,z-'+m;z-=
0(z) Д(/0 + ДЦг-'+Д(72г’2
или разностным уравнением
m =(^/и4ДЦ_Л -^ДС/*/п,._Л)/ДС/0. (8.52)
Д=1
Л- шаг квантования. На (и-1)-м интервале регулирования
(n-\)tp<t<ntр входное воздействие характеризуется первой разно-
689
Раздел 8
стью (средней на интервале скоростью) стп_], на п -м интервале регу-
лирования ntp<t<(n + \)tp -первой разностью (средней на интервале
скоростью) ап; приращение средней скорости на интервале регули-
рования ntр < t <( п +1) tp можно определить как А ст = ап - ,
«=0,1,2,...
Текущее значение скорости входного воздействия можно опреде-
лить по формуле
<т = {ы(ЛЛ0)-ы[(Л-1)Л0]}/Л0, (8.53)
где hQ - шаг моделирования, и использовать приближенное значение
первой разности
ап =cr(ntp) (8.54)
Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на пре-
дыдущем интервале регулирования (n-\)tp<t<ntp определяется как
=ст[(п-1)//7] (8.55)
Тогда приращение скорости на интервале регулирования
nt р<t<(n + l)tp определяется как
Дет = {<r(ntp) - сг[(и - 1)ГР ]} / (р. (8.56)
Ддя математических моделей объектов управления с чистым за-
паздыванием (см. формулу (8.47)) можно предложить общую струк-
турную схему оптимальных по быстродействию цифровых регулято-
ров, из которой можно получить различные варианты структурных
схем, которые отличаются только блоками, реализующими различные
соотношения времени запаздывания т и шага квантования в цифро-
вом регуляторе h. Для объекта с передаточной функцией (8.47) рас-
смотрим три варианта: 1) оптимальный по быстродействию цифровой
регулятор типа А, для которого примем h = т ; 2) оптимальный по бы-
стродействию цифровой регулятор типа Б, для которого примем
h = r 3) оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа
В, для которого примем Л = г/4. Регуляторы, названные условно ти-
пами А , Б и В, имеют одни и те же передаточные функции, но отли-
чаются только шагом квантования. Очевидно, можно предложить и
другие варианты (с другими соотношениями шага квантования и вре-
690
Раздел 8
мени запаздывания) оптимальных по быстродействию цифровых ре-
гуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием.
Ниже рассмотрена цифровая система регулирования температуры
перегретого пара на выходе парового котла, в которой используются:
1 - оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа А; 2 -
оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа Б и 3 -
оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа В. Иссле-
дование процессов в системе с указанными регуляторами при различ-
ных входных воздействиях проведено с использованием интерактив-
ной системы MATLAB. Структурная схема исследуемой системы
приведена на рис.8.32.
Рис.8.32
Общая структурная схема оптимального по быстродействию циф-
рового регулятора состоит из двух субблоков (на рис.8.32 эти суббло-
ки обозначены SubSystem 1 и SubSystem2).
Субблок SubSystem 1, структурная схема которого приведена на
рис.8.33, представляет собой оптимальный по быстродействию циф-
ровой регулятор, проектируемый для объекта управления без учета
звена запаздывания. Структурная схема этого цифрового регулятора
выполняется непосредственно на основании формул (8.48), (8.53)-
(8.56).
Субблок SubSystem2, структурная схема которого приведена на
рис.8.34, представляет дополнительную схему, которая проектируется
специально для учета запаздывания в объекте управления.
691
Раздел 8
Рис.8.33
Для оптимального по быстродействию цифрового регулятора типа
А, у которого Л = г, в этом субблоке используется только одно звено
запаздывания Unit Delay 1 (остальные звенья запаздывания отключе-
ны). Регулятор типа А генерирует четыре управляющих импульса на
каждом интервале регулирования (N =4): три основных импульса (см.
формулу (8.48)) и один импульс на задержку. Для оптимального по
быстродействию цифрового регулятора типа Б, у которого h = т /2, в
этом субблоке используются Два звена запаздывания Unit Delay 1 и
Unit Delay2 (остальные звенья запаздывания отключены). Регулятор
типа Б генерирует пять управляющих импульсов на каждом интервале
регулирования (N =5): три основных импульса (см. формулу (8.48)) и
два импульса на задержку. Для оптимального по быстродействию
цифрового регулятора типа В, у которого h = T /4, в этом субблоке ис-
пользуются все четыре звена запаздывания Unit Delay 1 - Unit Delay4.
Регулятор типа В генерирует семь управляющих импульсов на каж-
дом интервале регулирования (N =7): три основных импульса (см.
формулу (8.48)) и четыре импульса на задержку.
692
Раздел 8
Рис.8.34
На рис.8.35 показаны переходные процессы (реакции системы на
единичное ступенчатое воздействие) при наличии в системе опти-
мальных по быстродействию цифровых регуляторов типа А, для кото-
рого h= т (кривая 1), типа Б, для которого h = T /2 (кривая 2) и типа
В, для которого h= т /4 (кривая 3). Режимы нагрузки парового котла,
для которых получены переходные процессы, на рисунке отмечены в
скобках. Для третьего режима используется цифровой регулятор
SubSysteml (см. рис.8.22) с одним выходом Outl. Переходный про-
цесс системы с этим регулятором - кривая (3).
Оптимальные по быстродействию цифровые регуляторы обеспе-
чивают апериодические переходные процессы (без перерегулирова-
ния).
693
Раздел 8
При произвольном входном воздействии u(t), которое изменяет-
ся с максимальной скоростью бУтах и максимальным ускорением £тах,
удобно рассматривать эквивалентное гармоническое воздействие
u3(t) = U3sin<o3t, (8.57)
параметры которого определяются из соотношений [10]:
=<Утах/^тах; «э = ^max 7 <Чпах ' (858)
В свою очередь, если заданы параметры эквивалентного гармони-
ческого воздействия, то максимальная скорость <Утах и максимальное
ускорение £тах произвольного входного воздействия находятся из
соотношений:
й>тах=£Лй>э; (8.59)
Процессы в системе (см. рис.8.32) с оптимальными по быстродей-
ствию цифровыми регуляторами типа А и В при поступлении на вход
системы эквивалентного гармонического воздействия
u3(t} = 10sin(^ /3600), (8.60)
где U3 = 10; а>3 = Д’/3600 « 0,87 10~3 рад 1с, для двух режимов (1 и
2) приведены на рис.8.36 и 8.37, где u(t) - вход системы, x(t) - выход
системы, 0(f) - ошибка рассогласования.
Чец меньше шаг квантования в цифровом регуляторе, тем меньше
динамическая ошибка рассогласования в системе. Поэтому цифровой
регулятор типа В обеспечивает лучшее качество системы: в первом
режиме максимальная динамическая ошибка в системе с регулятором
типа А составляет около 2,5% от амплитуды входного сигнала, а в
системе с регулятором типа В не более 0,8%; во втором режиме мак-
симальная динамическая ошибка в системе с регулятором типа А со-
ставляет около 0,4% от амплитуды входного сигнала, а в системе с
регулятором типа В не более 0,14%. Но для регуляторов с меньшим
шагом квантования несколько усложняется схема субблока
SubSystem2 и, главное, значительно возрастают управляющие им-
пульсы на выходе регулятора, что требует применения дополнитель-
ного усиления сигналов.
Как видно из рис.8.36 и 8.37 отслеживание входного эквивалент-
ного гармонического воздействия в системе с указанными регулято-
694
Раздел 8
рами (без учета выброса при захвате входного сигнала) достаточно
точное.
Режим 1 (мощность 400 МВт)
Процессы в системе с оптимальным
по быстродействию регулятором типа А
Процессы в системе с оптимальным
по быстродействию регулятором типа В
Таким образом, проведенные исследования процессов в системе
автоматического регулирования температуры перегретого пара на вы-
ходе парового котла показывают, что оптимальные по быстродейст-
вию цифровые регуляторы можно эффективно использовать не только
при ступенчатых входных сигналах, но и при произвольных воздейст-
виях с ограниченными скоростью изменения и ускорением. Но следу-
ет отметить, что с увеличением частоты (скорости изменения и уско-
рения) входного эквивалентного гармонического воздействия дина-
мические ошибки в системе возрастают и могут возникнуть неустой-
чивые режимы работы системы.
Ниже исследована фаззи-система регулирования температуры пе-
регретого пара на выходе парового котла, работающего в указанных в
695
Раздел 8
табл.8.1 основных режимах. Исследование процессов в системе с ука-
занным регулятором при различных входных воздействиях проведено
с использованием интерактивной системы MATLAB. Структурная
схема системы приведена на рис.8.38.
Режим 2 (мощность 600 МВт)
Процессы в системе с оптимальным
по быстродействию регулятором типа А
Процессы в системе с оптимальным
по быстродействию регулятором типа В
Рис.8.37
Синтез нечеткого регулятора (Controller на рис.8.38) выполнен по
формулам (3.1)-(3.13) для треугольных функций принадлежности с
шагом квантования (шагом поступления данных в нечеткий регуля-
тор) h = 0,01 с при ступенчатых входных воздействиях и с шагом
квантования Л = 1 с при гармонических входных воздействиях. Ошиб-
ка на выходе АЦП (блок Zero-Order Hold на рис.8.38) в(к), ее первая
0(£) = [0(£)-0(£-1)]/Л и вторая ед = [ад-^-1)]/Л разно-
сти подаются на вход нечеткого регулятора. Сигнал с выхода регуля-
тора поступает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl
696
Раздел 8
с передаточной функцией H(s) = (1-е ^ ) / s) и далее на вход объек-
та управления.
UnrtDday2
Рис.8.38
В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны изменения
входных и выходной переменных [#min>^max]» [^min>^max]’
[^mirv^max]» [^mirv^maxl- Для уменьшения числа параметров на-
стройки нечеткого регулятора диапазоны изменения переменных при-
няты симметричными: 0min = -0max, 0min = -(9max и т. д.
Ниже приведены результаты моделирования системы управления
(см. рис.8.38) при настройке нечеткого регулятора.
На рис.8.39 представлены переходные процессы в системе (реак-
ции на единичное ступенчатое воздейтвие) при работе парового котла
в двух режимах, при которых имеется существенная задержка сигнала
- в режиме 1 (задержка на 36 с) и в режиме 2 (задержка на 16 с), а та-
кже в режиме 3, где задержка сигнала отсутствует. На рисунке: u(t) -
вход, x(t) - выход системы.
697
Раздел 8
Режим 1 (мощность 400 МВт) Режим 2 (мощность 600 МВт)
Рис.8.39
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[^min ’ ^max ] > [^min ’ ^max ] > t^min ’ ^max ]» t^min ’ ^max ] после настрой-
ки нечеткого регулятора в системе при работе парового котла в режи-
ме 1 следующие:
[-8, 8], [-0,08, 0,08],[-0,003, 0,003],[-0,17, 0,17].
Перерегулирование сг% не превышает 3%. Время регулирования
tp составляет примерно 280 с.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных после
настройки нечеткого регулятора в системе при работе парового котла
в режиме 2 следующие:
[-4,9, 4,9], [-0,075, 0,075],[-0,5, 0,5],[-0,2, 0,2].
Перерегулирование сг% не превышает 2,1%. Время регулирова-
ния tp составляет примерно 260 с.
698
Раздел 8
Диапазоны изменения входных и выходной переменных после
настройки нечеткого регулятора в системе при работе парового котла
в режиме 3 следующие:
[-5,1 5,1], [-0,09, 0,09],[-0,007, 0,007],[-0,6, 0,6].
Перерегулирование а% не превышает 2,5%. Время регулирова-
ния tp составляет примерно 160 с.
Процессы в системе (см. рис.8.38) с нечетким регулятором при
поступлении на вход системы эквивалентного гармонического воз-
действия u3(t) -1 Osin(^zZ/3600) (бУэ = л73600« 0,87-10~3рад/с,
U3 =10) приведены на рис.8.40, где u(f) - вход, х(/) - выход систе-
мы, 0(t) - ошибка рассогласования. При таких параметрах эквива-
лентного гармонического воздействия произвольное входное воздей-
ствие имеет: =8,7-10-3 рад / с,
lUdA J J 7 л 7
£тах=иэй)2э=7,51-10-6(рад/с)2.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[^min ’ ^max ] > t^min ’ ^max ] ’ t^min ’ ^max ]» t^min ’ wmax ] после настрой-
ки нечеткого регулятора в системе при работе парового котла в режи-
ме 1 следующие:
[-0,7 0,7], [-0,007, 0,007],[-0,0003, 0,0003],[-0,035, 0,035].
Динамическая ошибка (за исключением начального выброса) состав-
ляет примерно 3% от амплитуды входного сигнала. Начальный вы-
брос составляет примерно 8,4% от амплитуды входного сигнала.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных после
настройки нечеткого регулятора в системе при работе парового котла
в режиме 2 следующие:
[-0,6 0,6], [-0,01, 0,01],[-0,00033, 0,00033],[-0,36, 0,36].
Динамическая ошибка (за исключением начального выброса) состав-
ляет примерно 0,5% от амплитуды входного сигнала. Начальный вы-
брос составляет примерно 3,1% от амплитуды входного сигнала.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных после
настройки нечеткого регулятора в системе при работе парового котла
в режиме 3 следующие:
[-2 2], [-0,015, 0,015],[-0,006, 0,006],[-30, 30].
699
Раздел 8
Режим 1 (мощность 400 МВт) Режим 2 (мощность 600 МВт)
700
Раздел 8
Динамическая ошибка (за исключением начального выброса) состав-
ляет примерно 0,026% от амплитуды входного сигнала. Начальный
выброс составляет примерно 0,25% от амплитуды входного сигнала.
Как видно из рис.8.40, отслеживание входного эквивалентного
гармонического воздействия системой с нечетким регулятором доста-
точно точное. Таким образом, проведенные исследования процессов в
системе автоматического регулирования температуры перегретого
пара на выходе парового котла показывают, что цифровой нечеткий
регулятор можно эффективно использовать не только при ступенча-
тых входных сигналах, но и при произвольных воздействиях с огра-
ниченными скоростью изменения и ускорением.
По результатам этого раздела можно заключить, что оптимальные
по быстродействию цифровые регуляторы, проектируемые для управ-
ления объектами с запаздыванием, обеспечивают значительно более
высокое качество системы при ступенчатых входных воздействиях
(см. рис.8.35 и рис.8.39) и меньшие текущие ошибки при гармониче-
ских входных воздействиях (см. рис 8.36, 8.37 и рис.8.40). Но при рас-
чете оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов необхо-
димо знать точные значения параметров стационарного объекта
управления. Как показывает практика моделирования, системы с не-
четкими регуляторами значительно менее чувствительны к измене-
нию параметров объекта управления или к неточному их заданию.
Рассмотрим теперь паровой котел типа ТГМП-204 энергоблока
мощностью 800 МВт как нестационарный объект управления, пара-
метры которого существенно зависят от нагрузки энергоблока. Так,
для парового котла ТГМП-204 энергоблока мощностью 800 МВт в
ходе работы нагрузка может реально изменяться в пределах от 400 до
800 МВт. При таком изменении нагрузки энергоблока зависимости
параметров передаточной функции (8.46) котла от мощности энерго-
блока можно представить следующими полиномами:
г(Р) = 88-0,15Р + 510’5Р2;
Ь(Р) = (2,971 -1,225 • 10'3 Р + 2,9 • 1 (Г6 Р2) • 1 О*2;
а(Р) = (1,479 + 2,315 • 10’3 Р +1,9 • 1О-6 Р2) • 1 О'4; (8.61)
а0 (Р) = (17,884 - 4,386 • 102 Р + 3,32 • 10’5 Р2) • 1 О'4;
400 < Р < 800.
701
Раздел 8
При фиксированных значениях мощности Р, равных 400, 600 и 800
МВт параметры передаточной функции котла равны табличным (см.
табл.8.1).
При моделировании изменение мощности энергоблока можно
представить детерминированной или случайной функцией времени
P(t). При этом параметры передаточной функции котла также будут
функциями, зависящими от времени, а математическая модель котла
как объекта управления описывается нестационарными колебатель-
ным звеном и звеном запаздывания, дифференциальные уравнения
которых соответственно имеют вид:
----у— + W-y2 + а(7)Х] (0 = (/);
dtz at (8о2)
Математическая модель котла в интерактивной системе MATLAB
представлена на рис.8.41. На первый вход модели Ini поступает сиг-
нал /И] (/), на второй вход 1п2 (этот вход является входом блока Poli-
noms) - сигнал P(t). На выходе блока Polinoms (показан отдельно
справа) согласно уравнениям (8.61) формируются сигналы
ао (t), a(t), b(t), г(/), которые в соответствующих блоках перемно-
жения Dot Product умножаются на входной сигнал m](f), сигнал
jq(/), первую и вторую производные сигнала Xj(/) согласно запи-
санному выше дифференциальному уравнению колебательного звена.
Выходной сигнал объекта управления х(/) получаем на выходе Outl
блока переменной задержки Variable Transport Delay.
При использовании исполнительного устройства типа “электрод-
вигатель + регулируемый вентиль” постоянная времени электродвига-
теля намного меньше постоянных времени в передаточной функции
(8.46) и исполнительное устройство можно представить интегрирую-
щим звеном с передаточной функцией G\ (s) = (s) I m(s) = 1 / s .
Постоянная времени датчика температуры также значительно меньше
постоянных времени объекта управления, поэтому при моделирова-
нии полагаем датчик безинерционным с коэффициентом передачи
702
Раздел 8
равным единице. При этом переменная x(t) является преобразован-
ной в напряжение выходной переменной объекта управления.
Составленные в интерактивной системе MATLAB структурные
схемы систем управления температурой перегретого пара на выходе
парового котла как нестационарного объекта управления с цифровы-
ми ПИД-регулятором и нечетким регулятором представлены соответ-
ственно на рис.8.42,а и б.
Наиболее тяжелыми условиями работы парового котла являются
скачкообразные изменения нагрузки энергоблока, особенно переходы
с одного основного режима на другой, когда нагрузка может изме-
няться скачком на 200 МВт. Для имитации таких условий работы па-
рового котла сигнал P(t) генерируется следующим образом (см.
рис.8.42): напряжение 200sin(fl//3600) с генератора Sine Wavel
квантуется по времени фиксатором Zero-Order Hold (с шагом 0.1с), по
уровню - квантователем Quantizer и суммируется с напряжением ус-
тавки set-point 600.
Ошибка рассогласования Егг, поступающая на вход ПИД-
регулятора и нечеткого регулятора, представляет собой разность меж-
ду заданной напряжением требуемой температурой и преобразован-
ной в напряжение температурой на выходе объекта: 0(f) = u(f) - x(f).
При шагах квантования по уровню 50, 100 и 200 сигнал P(t) при-
веден на рис.8.43.
703
Раздел 8
а)
б)
Рис.8.42
704
Раздел 8
О 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
ф 6)
900
800
700
600
500
400
300
О 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
V
Рис.8.43
Передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора (PID-
controller на рис.8.42,а) запишем в виде
W(z) = K + ^-— + ! , (8.62)
2 z-1 Ло z
где Иц - шаг дискретизации (шаг моделирования). Такая передаточная
функция получается из передаточной функции аналогового ПИД-
регулятора W(s) = К 4- Kl- / s 4- Kds путем аппроксимации производ-
ной первой разностью и интегрирования по методу трапеции. Струк-
турная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на рис.8.44 .
После настройки ПИД-регулятора при шаге дискретизации hg = 1
получены следующие оптимальные коэффициенты в передаточной
функции (8.62):
К = 0,014; Ki = 1,5; Kd = 0,000045.
Ошибка рассогласования в системе управления с нечетким регу-
лятором (см. рис. 8.42,6) квантуется аналого-цифровым преобразова-
телем АЦП (Zero-Order Holdl) с шагом квантования (шагом поступле-
ния данных в нечеткий регулятор) Л = 0,1. Ошибка на выходе АЦП
0(к), ее первая 0{к) = [#(А:) - 0(к -1)] / h и вторая
705
Раздел 8
0(£) = [#(£) ~ 0(к -1)]/ h разности подаются на вход нечеткого регу-
лятора (Controller на рис.8.42,б). Сигнал с выхода регулятора поступа-
ет на ЦАП (фиксатор нулевого порядка Zero-Order Hold2 с передаточ-
ной функцией H(s) = (1 s) и далее на вход объекта управле-
ния.
Синтез нечеткого регулятора выполняем по формулам (3.1 )-(3.13)
для треугольных функций принадлежности. Настройку нечеткого ре-
гулятора производим с целью получения минимальной динамической
ошибки рассогласования.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
Ain > Злах ] > [4in Аах ] > Ain Аах ] > ["’min, "'max ] ПОСЛв НЭСТрОЙКИ Не-
четкого регулятора следующие:
[-1,9, 1,9], [-0,02, 0,02], [-0,00035, 0,00035], [-0,25 0,25].
На рис.8.45 и 8.46 представлены процессы в системах управления
с настроенными цифровыми ПИД-регулятором и нечетким регулято-
ром (см. схемы на рис.8.42,а,б) при поступлении на вход систем
управления гармонического воздействия
u(/) = l + 0,5sin(flT/3600)
и при скачкообразных изменениях нагрузки энергоблока на 50 (а), 100
(б) и 200 (в) МВт (см. рис.8.43).
При отработке системой управления задающего входного воздей-
ствия каждое скачкообразное изменение нагрузки вызывает переход-
706
Раздел 8
ный процесс, который можно характеризовать динамической ошиб-
кой, максимальные значения которой указаны на рисунках.
Процессы в системе управления (см. рис.8.42,а)
Рис.8.45
Как и следовало ожидать максимальная динамическая ошибка
(выброс выходного сигнала) самая большая при скачкообразных из-
менениях нагрузки энергоблока в 200 Мвт. Эта ошибка составляет
46% от амплитуды гармонического входного воздействия для системы
с ПИД-регулятором и 23% для системы с нечетким регулятором. Та-
ким образом, максимальная динамическая ошибка (выброс выходного
сигнала) при скачкообразных изменениях нагрузки энергоблока в 200
Мвт в системе управления с настроенным нечетким регулятором в два
раза меньше ошибки в системе управления с настроенным ПИД-
регулятором.
707
Раздел 8
1.6
1.4
и
1
а) 0.8
0.6
0.4
0.2
о
1.6
1.4
1.2
1
6)0.8
0.6
0.4
0.2
О
1.6
1.4
1.2
1
В) 0.8
0.6
0.4
0.2
О
Процессы в системе управления (см. рис.8.42,б)
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Рис.8.46
708
Раздел 9
Раздел 9.
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРАМИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ГАЗОВЫХ ПЕЧЕЙ [79]
9.1. Синтез цифровых регуляторов системы автоматического
управления температурой электропечи |72, 77]
Значительное место среди мероприятий по экономии энергоре-
сурсов занимает автоматизация процесса потребления электроэнер-
гии. Актуальной задачей является разработка автоматов и систем ав-
томатического управления параметрами важных промышленных ус-
тановок, одной из которых является электрическая печь большой
мощности [155, 156].
Динамические характеристики электропечи получены в работе
[185], где рассмотрена линейная модель печи как объекта управления.
Передаточная функция линейной модели определена как
ОД = 7-----(91)
(s + a)(s + Z>)
К
где a = 1 / T}; ft = 1 / T2; a- . Полученные в результате экспери-
ментальных измерений значения постоянных времени и коэффициен-
та усиления следующие: 7^ = 122 с, Т2 = 14,5 с, т -
KQ = 1,2 QC/% (управляющее воздействие на объект управления за-
дается в процентах перемещения регулирующего органа).
Структурная схема системы управления температурой электропе-
чи, выполненная в интерактивной системе MATLAB, приведена на
рис.9.1. Усилитель имеет насыщение с уровнем 5 = 18. Поэтому при
больших управляющих воздействиях на объект управления система
становится нелинейной.
В работе [56] для объекта управления в системе автоматического
управления электропечью предлагается использовать аналоговый
ПИД-регулятор с передаточной функцией
W^K + KJs + KjS, (9.2)
где оптимальными коэффициентами являются следующие:
709
Раздел 9
К = 4,84% /° С; Kt = 0,246% /° С / с; Kd = 43,32% • с /° С.
Рис. 9.1
В системе MATLAB передаточная функция цифрового ПИД-
регулятора (на рис.9.1 регулятор обозначен блоком PID) может быть
записана различными способами, поскольку интегрирование и диффе-
ренцирование в цифровой форме может быть выполнено различными
методами. Аппроксимируя производную первой разностью и исполь-
зуя интегрирование на основе трапецеидальной аппроксимации запи-
шем передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора в виде
W(z) = G, + G2 ^4 + G3 — , (9.3)
z-1 z
• x-» v d i /
где Gj = A., Cj2 =-----, G3 =-----, й0 - шаг дискретизации (шаг
2 Ло
моделирования). Структурная схема цифрового ПИД-регулятора при-
ведена на рис.3.88,б. При малых шагах моделирования цифровой
ПИД-регулятор эквивалентен ангалоговому.
Ниже представлены результаты исследования системы с цифро-
вым ПИД-регулятором при произвольном воздействии на входе сис-
темы w(/), которое изменяется с максимальной скоростью й)тах и
максимальным ускорением £тах и может быть заменено эквивалент-
ным гармоническим воздействием u3(t) = U 3sin 0)3t 9 параметры ко-
торого определяются из соотношений [10]:
710
Раздел 9
U - со2 I £ \ со ~ £ I со
з max max’ з max max
Исследование системы с цифровым ПИД-регулятором показыва-
ет, что переходные процессы в системе имеют весьма большое пере-
регулирование (до 50%) и большое время регулирования (до 100 с), но
в установившемся режиме слежения за гармоническим сигналом те-
кущая ошибка весьма мала. В качестве примера процессы в системе
(см. рис.9.1) с цифровым ПИД-регулятором при поступлении на вход
системы воздействия
иэ(Г) = 1 + 0,2 sin(;tf/180) , (9.4)
где U3 = 0,2 ; соз = л/180 «1,74• 10'2рад!с, изображены на рис.9.2.
Процессы в системе с ПИД-регулятором
Рис. 9.2
Процессы в системе с оптимальным
по быстродействию регулятором
Следует отметить, что гармонический сигнал (период сигнала ра-
вен 360 с) является быстроменяющимся для данной системы (посто-
711
Раздел 9
(9-5)
ДЛИ-
янные времени в объекте управления 122с и 14,5с). При уменьшении
частоты входного сигнала текущая ошибка в установившемся режиме
слежения будет еще меньше, но перерегулирование и время регулиро-
вания остаются такими же большими.
Проведем синтез оптимального по быстродействию цифрового
регулятора для рассматриваемого объекта управления. Передаточную
функцию такого регулятора можно получить на основании известных
оптимальных управляющих воздействий, поступающих на объект
управления при линейно-изменяющимся воздействии на входе систе-
мы [72]. Для слежения за произвольным входным воздействием, кото-
рое аппроксимируется линейно-изменяющимся, на выходе регулятора
введем дополнительно интегрирующее звено (для придания системе
астатизма первого порядка).
Тогда для объекта с передаточной функцией
G(s) =------------е~а
s(s + a)(s + b)
управляющие воздействия на каждом интервале регулирования
тельностью tp определяются в виде (см. Приложение Б, п.З):
гпц = K.q(MJ + 50А<т) + Rcrn_\ при ntp<t<ntp + h;
= K0[qy(MJ + S0Acr) + ЛА<т] + Rcr„_] при
ntp + h <t<ntp+2h;
m2 = + S0Mj) + hMj(l + ql)] + R(rn_l при
ut+2h<t<nt+3h.
p p
m3 = R = — при nt +3 h<t<nt +3 h + t.
a
где tp = 3h + г;
Л'„ =-------------;s0=3/, + ^- + +r;
0 аЛ(1-Л)(1-В) 0 ab (1-Л)(1-В)
q,=-(A + B);q2 = AB-, A = e'a\ B = e~bh.
Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntp < t < ntp +3 h
интервала регулирования nt p<t <(n + \)t p можно описать передаточ-
ной функцией
(9.6)
712
Раздел 9
M(z) = m0+mtz~' +m2z~2
0(z) At/(l + z’' +f2) ( ?
или разностным уравнением
2 2
-AC/Zw-*)M(7 > <9-8>
i-0 *=1
где 0 = Д U при индексе i-k>0 и 0 = 0, m = 0 при / - к < 0.
В момент начала и-го интервала регулирования длительностью
tp =3h + r, т.е. в момент ntp, первую разность (среднюю скорость)
входного воздействия на систему управления u(t) на интервале регу-
лирования nt р <t <(n + \)t
= {«[(« + 1)'р ] - 4(ntp )}/tp (9.9)
измерить невозможно (за исключением тех случаев, когда входное
воздействие заранее задано), поэтому будем измерять текущее значе-
ние скорости входного воздействия
ст = {м(£/0-м[(£-1)Ло]}/Ло , (9.10)
где - шаг моделирования, и использовать приближенное значение
первой разности
6n=<r(ntP) (9.11)
Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на пре-
дыдущем интервале регулирования (и - 1)/р < t < nt р определяется как
ст„ч =ст[(и-1)/р]. (9.12)
Тогда приращение скорости на интервале регулирования
ntр < t <( п +1) tp определяется как
Д ст = {ст(п/р) - ст[(п - 1)/р ]} / tp. (9.13)
Для математических моделей объектов управления с чистым за-
паздыванием (см. формулу (9.5)) можно предложить несколько вари-
антов структурных схем оптимальных по быстродействию цифровых
регуляторов, которые зависят от соотношения времени запаздывания
г и шага квантования в цифровом регуляторе h. Рассмотрим вариант
оптимального по быстродействию цифрового регулятора, для которо-
го примем h = г = 4с (т в реальном объекте равно 3,9с).
713
Раздел 9
Структурная схема такого регулятора, составленная на основании
выражений (9.6) и (9. 10)-(9.13) в интерактивной системе MATLAB,
приведена на рис.9.3 (на рис.9.1 оптимальный по быстродействию
цифровой регулятор обозначен блоком SubSystem).
На рис.9.2 (справа) показаны переходные процессы при наличии в
системе оптимального по быстродействию цифрового регулятора.
Данный регулятор обеспечивает апериодический (без перерегулиро-
вания) переходный процесс со временем регулирования, не превы-
шающим 30 с. Таким образом, быстродействие системы с данным ре-
гулятором превышает быстродействие системы с ПИД-регулятором
более чем в 3 раза. Кроме того, система с цифровым ПИД-
регулятором имеет перерегулирование 50%.
Динамическая ошибка в системе с оптимальным по быстродейст-
вию регулятором хотя и превышает ошибку рассогласования в систе-
ме с ПИД-регулятором, но достаточно мала.
При программной реализации регуляторов на микро-ЭВМ мень-
шая структурная сложность цифрового ПИД-регулятора не является
большим преимуществом. Поэтому для практического использования
можно рекомендовать оптимальный по быстродействию цифровой
регулятор.
714
Раздел 9
Структурная схема системы управления температурой электропе-
чи с цифровым нечетким регулятором, выполненная в интерактивной
системе MATLAB, соответствует схеме, приведенной на рис.9.1, в
которой вместо оптимального по быстродействию регулятора (блок
Subsystem по схеме рис.9.3) включен нечеткий регулятор [125].
Синтез нечеткого регулятора выполнен по формулам (3.1)-(3.13)
для треугольных функций принадлежности с шагом квантования (ша-
гом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 0,01 с. Ошибка на
выходе АЦП 0(к) в каждом канале управления, ее первая
0(£) = [0(£)-0(£-1)]/й и вторая 0(k) = [0(k)-0(k-l)]/h разно-
сти подаются на вход регулятора. Сигнал с выхода регулятора посту-
пает на ЦАП (фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией
H(s) = (1 -e~hs)/ s) и далее на вход объекта управления.
В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны изменения
входных и выходной переменных [0min, 0т„ ], [0min, 0max ], [0mjn, 0max ],
[zwmin, wmax ] всех функций принадлежности: /лх (м) = 1 - и ,
/z2(w)-w» где и -элемент единого универсального множества
U =[0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки диапазоны
изменения переменных приняты симметричными: $min=“$max’
3nin = "Злах И Т‘ Д'
Настройка нечеткого регулятора производилась с целью получе-
ния минимальной текущей ошибки рассогласования.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[^ninAaxb Rnin-^naxL ПОСЛе НЯСТрОЙКИ
регулятора следующие: [—0,33, 0,33], [-0,07, 0,07],
[-0,035, 0,035], [-34,3, 34,3].
На рис.9.4 показаны переходные процессы при наличии в системе
цифрового нечеткого регулятора при поступлении на вход системы
суммы единичного ступенчатого и эквивалентного гармонического
воздействий: иэ(/) = 1 + 0,2sin(^r/180). Данный регулятор обеспечи-
вает близкий к апериодическому (с небольшими колебаниями) пере-
ходный процесс с временем регулирования, не превышающим 30 с, и
достаточно малую динамическую ошибку.
715
Раздел 9
Изложим простой способ идентификации параметров электропечи
как объекта управления [141].
Задача параметрической идентификации заключается в определе-
нии параметров математической модели объекта при заданной (извес-
тной) структурной схеме объекта. Известно большое число методов
идентификации. Широкое применение при идентификации линейных
стационарных объектов находят различные частотные методы, метод
переходной функции, различные регрессионные методы (включая ме-
тод наименьших квадратов). Для идентификации объектов активными
методами в качестве входных воздействий наиболее часто использу-
ются сигналы синусоидальной формы или ступенчатые воздействия.
Параметрическая идентификация, когда известна структура объ-
екта управления (его передаточная функция) и требуется определить
лишь величины параметров, называется идентификацией в узком
смысле. Такая идентификация, при которой априорная информация об
объекте управления достаточно обширна, в наибольшей степени соот-
ветствует реальным условиям проектирования и поэтому широко ис-
пользуется в инженерной практике.
Рассмотрим задачу определения неизвестных параметров объекта
с передаточной функции (9.1). Для этого составим модель с такой же
передаточной функцией
G(s) =---------------------------------е~а . (9.14)
(s + a)(s + b) (l\s + \)(T2s + V)
На вход объекта управления и на вход модели будем подавать
сигналы u(t) синусоидальной формы или ступенчатые воздействия, а
разность выходов (ошибку - ) подадим на блок вычисления кри-
716
Раздел 9
терия качества. Выберем квадратичный критерий качества идентифи-
кации, который получил наибольшее распространение, и будем мини-
мизировать этот критерий путем изменения параметров модели. Ма-
тематическую запись критерия представим в виде
J = —^2^=>min, (9.15)
L v=0
где ошибка 0V вычисляется с шагом моделирования Ло, а число L
определяет интервал наблюдения.
Общая схема идентификации параметров объекта управления
приведена на рис.9.5. При заданном входном воздействии u(t) ошиб-
ка 0(t), а значит, и критерий качества идентификации зависят от па-
раметров модели
J = F(a,b,ayt) (9.16)
Минимизация критерия качества представляет собой задачу оп-
тимизации параметров модели. Оптимальные (наиболее близкие к не-
известным параметрам объекта управления) параметры модели соот-
ветствуют минимальному значению критерия качества.
Рис.9.5
Для минимизации критерия качества (9.15) можно использовать
различные алгоритмы условной и безусловной оптимизации. Доста-
точно хорошие результаты дает применение модифицированного ме-
тода условной оптимизации Хука-Дживса.
Суть метода Хука-Дживса заключается в следующем. Вначале
вычисляют функционал J = F(a,6,a,f) в базисной точке. Затем ка-
ждую переменную по очереди изменяют путем прибавления или вы-
читания длины шага Нк. Если такое изменение переменных приводит
717
Раздел 9
к уменьшению функционала, то для получения минимального функ-
ционала находят новую базисную точку. Если такое изменение пере-
менных не приводит к уменьшению функционала, то изменяют длину
шага (обычно берут Нк / 10), и, повторяя процедуру, получают новую
базисную точку. Каждый раз, когда вновь полученная базисная точка
отличается от предыдущей, проводят поиск по образцу (т. е. двигают-
ся в направлении от предыдущей базисной точки к полученной). При
этом каждую переменную изменяют по формуле Pk = 2ck - dk, где Рк -
значение к-й переменной в точке образца; ск - значение к-й перемен-
ной в последней точке; dk - значение к-й переменной в предыдущих
базисных точках. Поиск завершается, когда длина шага уменьшится
до заданного малого значения. Подробно метод Хука-Дживса описан,
например, в [135].
Чем меньше параметров объекта управления, требующих иденти-
фикации, тем точнее параметры модели определяют параметры объек-
та. Часто наиболее просто можно определить другими методами, на-
пример, коэффициент усиления и время задержки. Тогда более точно
определяются постоянные времени объекта управления.
Моделирование апериодического звена с передаточной функцией
G(s) = x(s) / U(s) = b /(s + b) = 1 /(Ts +1), (9.17)
где b = 1 / T , выполняем по рекуррентной формуле (по методу трапе-
ций) [135]
2~bh0
п 2 + bhQ
2T + IIQ "
с шагом моделирования . В
х„_| + (U„+Un_i) =
и—1 X " П I /
2 + лЛ0
—(9.18)
2Т + Ло
формуле (9.18) Un - входная, а хп-
выходная переменные звена.
Для моделирования звена чистого запаздывания поступим сле-
дующим образом. Вначале запишем передаточную функцию этого
звена в виде приближения Паде второго порядка:
2 6 12
s-~s + —
G(s) = exp(-ts) =--\. (9.19)
2,0 1^
718
Раздел 9
Запишем рекуррентную формулу (по методу трапеций) для моде-
лирования колебательного звена с дифференцирующим второго по-
рядка:
gM = = ° + А + с = ' + +1, (9.20)
U(s) cs2+bs + a T2s2+2£Ts + \
(8)
где а = 1/Г2; = 2£/7';с = 1/Г]2;<7 = 2$77j. Для этого звена ре-
куррентная формула (по методу трапеций) определена в виде[89]:
4-2bh0-ah% _ 4ah0
2" ' 4 + 2bh0 + ah2 2”’* " 4 + 2bh0 + ah2 'П~'
+ ------^0---- (и + и ) =
c4 + 2bhG + ah^K
4T2-4^Th0-h2 4Ap
4Т2 + 4?Th0 + Aq2 2"-1 4Г2 + 4£77г0 +h£ '
= - ип + (d - b)x3„ + (с - а)х2„ =
С
г’ " 2^ Г^3"+^2 Г2^"-
В записанных рекуррентных формулах Un - входная, х2п и х3п -
промежуточные, а х1л- выходная переменные звена.
Очевидно, при а = с = 12/т2 и d = -Ь = -6/т формула (9.20)
совпадает с формулой (9.19) и рекуррентные формулы применима для
расчета звена чистого запаздывания.
719
Раздел 9
Проверка эффективности работы общей структуры, представлен-
ной на рис.9.7, выполняем следующим образом. Задаем параметры
объекта управления: ЛГ0 = 7,2, 7] = 122с, Г2= 14,5с, т- 3,9с (эти
параметры приведены для реальной электропечи в работе [2]). Пола-
гаем, что коэффициент усиления определен заранее и для моде-
ли KQ= Kq. Задаем входное воздействие u(t). Задаем начальные зна-
чения постоянных времени модели, отличающиеся от постоянных
времени объекта на ± 50% .Запускаем программу оптимизации Хука-
Дживса.
При моделировании для программы оптимизации Хука-
Дживса заданы: точность вычисления функционала £] =10-12 ниж-
ний предел шага изменения оптимизируемых параметров
£2 = 10”4 ; входное воздействие u(t) = sin(2^Z 1122); интервал на-
блюдения 122с. При начальных значениях 7]0 =103;
Г20 =25; т0 =16 получаем следующие параметры объекта управле-
ния: Тх =121,9991; Т2 =14,5005; т = 3,8996.
Заключаем, что изложенный способ параметрической иденти-
фикации позволяет получать достаточно точные значения параметров
объекта управления.
Представляет практический интерес рассмотреть переходные
процессы в системе автоматического управления электропечью с рас-
смотренными цифровыми регуляторами при условии неточного зада-
ния параметров передаточной функции (9.1). Допустим, что регулято-
ры настроены на указанные выше параметры а, а, 6, г । а реальные
параметры а и а значительно отличаются. Эта ситуация иллюстри-
руется на рис.9.6. Неточное задание параметра а (т.е. наибольшей
постоянной времени электропечи) мало влияет на форму переходного
процесса в системе, использующей любой (из рассмотренных типов)
регулятор. Однако неточное задание параметра а приводит и значи-
тельной деформации переходного процесса, особенно в системе с оп-
тимальным по быстродействию цифровым регулятором, в которой,
кроме того, длительность переходного процесса значительно увеличи-
вается.
720
Раздел 9
1.Система с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
2. Система с цифровым ПИД-регулятором
Интересно отметить, что величина первой ступеньки в переход-
ном процессе в системе с оптимальным по быстродействию цифровым
регулятором точно равна коэффициенту, на который умножается па-
раметр а , что дает возможность определить этот параметр с высокой
точностью при условии известных остальных параметров передаточ-
ной функции объекта.
721
Раздел 9
9.2. Синтез цифровых регуляторов однопоточной трубчатой
печи [78,130]
Схема однопоточной трубчатой печи для нагрева нефтяного сы-
рья перед его переработкой представлена на рис.9.7.
Нефтяное сырье прокачивается через змеевик (экранную поверх-
ность), обогреваемый группой газовых горелок в общей топочной ка-
мере. Регулирование температуры нагрева сырья в змеевике осущест-
вляется подачей топлива в горелки. Регулируемой переменной являет-
ся температура сырья на выходе змеевика - Т. Управляющей пере-
менной является расход топлива, поступающего в горелки - G .
Рис.9.7
Передаточная функция трубчатой печи как объекта управления,
полученная по данным эксперимента, определяется в виде:
= ’ (921)
V + bf
где 6 = 1/180с-1; г = 180с; а = 10ч °С-с/лА
В качестве исполнительного устройства обычно используется
устройство типа “электродвигатель + регулируемый вентиль”. По-
скольку постоянная времени печи значительно превышает постоян-
ную времени электродвигателя, последней можно пренебречь и ис-
полнительное устройство представить интегрирующим звеном с пере-
даточной функцией 1 / 5. При этом передаточная функция общего
объекта управления определяется в виде:
722
Раздел 9
в^=~г^е~а (9-22)
s[s + b)
Структурная схема системы управления температурой сырья на
выходе змеевика, выполненная в интерактивной системе MATLAB,
приведена на рис.9.8, где оптимальный по быстродействию цифровой
регулятор представлен в виде двух блоков SubSystem и SubSystem 1.
Ниже изложен синтез оптимального по быстродействию цифрово-
го регулятора и представлены результаты исследования процессов в
системе методом математического моделирования.
Step
Рис. 9.8
Для объекта управления с передаточной функцией (9.22) ампли-
туды импульсов длительностью h оптимального управляющего воз-
действия на каждом интервале регулирования ntр < t <( п +1) tp опре-
деляются (см. Приложение Б, п.9):
mQ = KQ(AU + 50Дст), ntp<t<ntp + h\
тх = К 0[^(Д(7 + 50Дсг) + йДсг], ntp + h<t <ntp+2h\
т2 = КО[<72(ДС/ + 50Дсг) + Л(1 ч-^^Дсг], ntp + 2h<t <ntp+3h\
= Ко1<7з(А^ + SoAa) + h(\ + q\ + q2 )Лсг],
nt? + 3h<t<ntp + 4h;
mA =R, ntp + 4h<t <ntp+4h + r, (9.23)
723
Раздел 9
£3
где,,=4Л + г;К0=^-^;
S =4Л + --Л(3 + 2^ ^-2) + г; R = b4a-,
° b (1-В)3
?,=-ЗВ; q2 = ЗВ2; q3 = -B3\ В = е*.
W = 0п, где 0п - ошибка системы в момент начала п -го интер-
вала регулирования длительностью tp - 4h + т, т.е. ошибка в момент
ntp. h-шъг квантования. Лег = сглгде ап - первая разность
входного воздействия на интервале регулирования ntр<t<(n + \)tр9
<Jn_{ ~ первая разность входного воздействия на интервале регулиро-
вания (n-V)tp<t <ntp.
Цифровой регулятор на каждом подинтервале ntp<t<ntp+4h
интервала регулирования ntp<t<(n + \)tp можно описать передаточ-
ной функцией
= /n0 + ffl,z~‘+m2z~2+m3z~3
0(z) At/(l + z4+z’2+z’3) ’ }
или разностным уравнением
3 3
m ~AU^m^}/ AU, (9.25)
1=0 А=1
где 0 = AU при индексе i-k>Q и 0 = 0, /и = 0 цри индексе
i - к < 0.
Первую разность (среднюю скорость) ап входного воздействия
и(/) на интервалах регулирования ntp< t<(n + \)tp и
(п-l)fp <t<ntp и приращение скорости на интервалах регулирования
ntp < t <( п +1) tp определяем по формулам (9.11) — (9.13).
Для математических моделей объектов управления с чистым за-
паздыванием (см. формулу (9.22)) можно предложить несколько вари-
антов структурных схем оптимальных по быстродействию цифровых
724
Раздел 9
регуляторов, которые зависят от соотношения времени запаздывания
г и шага квантования в цифровом регуляторе h. Рассмотрим вариант
оптимального по быстродействию цифрового регулятора, для которо-
го примем h-т 16- 30с (т в реальном объекте равно 180с).
Структурная схема такого регулятора, составленная на основании
выражений (9.23) и (9.10)-(9.13) в интерактивной системе MATLAB,
приведена на рис.9.9 (блок SubSystem) и рис.9.10 (блок SubSysteml).
Блок SubSystem содержит следующие элементы.
Рис. 9.9
Фиксатор Zero-Order Hold 1 (работает с шагом моделирования
Ло), блок задержки Unit Delay 1 (работает с шагом моделирования ),
сумматор и усилитель Gain (с коэффициентом передачи 1 / Ло) реали-
зуют выражение (9.10). Выходом усилителя Gain является текущее
значение скорости входного воздействия а.
Фиксатор Zero-Order Hold 2 (работает с шагом tp = 4Л + т = 1 Oh,
Л-шаг квантования), блок задержки Unit Delay2 (работает с шагом
ЮЛ) и сумматор реализуют выражения (9.11) - (9.13). Выходом блока
725
Раздел 9
задержки Unit Delay2 является первая разность (средняя скорость)
входного воздействия на предыдущем интервале регулирования ап_\,
а выходом сумматора является приращение скорости на интервале
регулирования Асг.
Фиксатор Zero-Order Hold 3 (работает с шагом ЮЛ) квантует
ошибку системы управления.
Импульсный генератор Pulse Generator генерирует импульсы
единичной амплитуды длительностью h с периодом следования 1ОЛ .
Эти импульсы непосредственно с генератора и с линий задержек Unit
Delay4 - Unit Delay6 (каждая для сдвига импульсов на шаг квантова-
ния Л) поступают на соответствующие умножители Product и обра-
зуют стробирующие длительностью Л импульсы, необходимые для
временного распределения импульсов оптимального управляющего
воздействия т^тп^тп^тщ (см. формулы (9.23). По выражениям (9.23)
составлена остальная часть структурной схемы блока SubSystem.
Блок SubSystem 1 (см. рис.9.10) необходим для формирования
“подставки” R-b3 / а на время задержки г = 6Л = 180с, когда регу-
лятор не генерирует импульсов управления объектом.
На рис.9.11 показана реакция системы на единичное входное воз-
действие при наличии в системе оптимального по быстродействию
цифрового регулятора (u(t) - вход, x(t) - выход системы).
Данный регулятор обеспечивает после задержки на 180с апериоди-
ческий (без перерегулирования) переходный процесс с временем регули-
рования, не превышающим 120 с. Это дает возможность устанавливать
требуемую температуру сырья за время, не превышающее 300с.
726
Раздел 9
При необходимости изменять температуру сырья по какому-либо
закону следует иметь в виду, что система является инерционной, по-
этому для уменьшения ошибки слежения изменения температуры сы-
рья должны быть достаточно медленными.
На рис.9.12 показаны процессы в системе при поступлении на вход
системы суммы единичного скачка и эквивалентного синусоидального
воздействия:
м(Г) = 1 + 0,5 sin(^r / 7200). (9.26)
При таком синусоидальном воздействии динамическая ошибка 0(f)
не превышает 4% от амплитуды синусоиды. При увеличении частоты
входного воздействия ошибка возрастает.
Рассмотрим переходные процессы в системе автоматического
управления электропечью с оптимальным по быстродействию цифровым
регулятором (см. рис.9.8-9.10) при условии неточного задания парамет-
ров передаточной функции (9.22). Допустим, что регуляторы настроены
на указанные выше параметры а, Ь, т, а реальные параметры а и b
значительно отличаются. Эта ситуация иллюстрируется на рис.9.13 -
727
Раздел 9
9.15. Как неточное задание параметра а , так и неточное задание одной
из сопрягающих частот Ъ приводит и значительной деформации и уве-
личению длительности переходного процесса (см. рис.9.13).
На рис.9.14 и 9.15 показаны процессы в системе при поступлении на
вход системы суммы единичного скачка и эквивалентного синусоидаль-
ного воздействия (9.26) при условии неточного задания параметров пере-
даточной функции (9.22). На рисунках: а) - входное воздействие и реак-
ции системы, б) - ошибки рассогласования. При 1,3ха максимальная
текущая ошибка составляет примерно 7% от амплитуды синусоиды, а
при 0,7 х а она равна 10%. При 1,3 х Ь и при 0,7 х Ь максимальная теку-
щая ошибка составляет примерно 8% от амплитуды синусоиды. Таким
образом, при отклонениях значений параметров передаточной функции
объекта управления на ±30% от расчетных максимальная текущая
ошибка увеличивается примерно в 2 раза.
728
Раздел 9
Рис. 9.15
Применение цифровых ПИД-регулятора и нечеткого регулятора
для объекта с передаточной функцией (9.22) оказывается совершенно
неэффективным, поскольку не представляется возможным получить
приемлемого переходного процесса в системе. В данной ситуации по-
лучение приемлемого переходного процесса возможно путем исполь-
зования широко известного предиктора Смита для объектов с чистым
запаздыванием. Структурная схема системы с предиктором Смита
приведена на рис.9.16. Для объекта с передаточной функцией
e~sTG(s) цифровой регулятор Р охвачен положительной обратной
связью с передаточной функцией (e~sT - l)Cr(s’). При этом синтез
регулятора производится для объекта с передаточной функцией G(s).
Структурная схема системы управления температурой сырья на
выходе змеевика, выполненная в интерактивной системе MATLAB по
структурной схеме рис.9.16, приведена на рис.9.17.
Рис.9.16
729
Раздел 9
Predictor
Controller* Predictor
Gainl Integrator!Transfer Fcn3 Transfer Fcn4Transfer Fcn5
Predictor
Рис.9.17
Исследование данной системы с цифровым ПИД-регулятором (см.
рис.9.2) дает следующие результаты. При ступенчатом входном воз-
действии лучший переходный процесс (с наименьшими временем ре-
гулирования и перерегулированием) получается при параметрах пере-
даточной функции объекта управления (9.22):
' /> = 1/180с-1; г = 180с; а = 1/(180)3 °С-с/л<3,
и параметрах регулятора: К = 0,0027; =0; =0,8639.
730
Раздел 9
Переходные процессы в системе с указанными параметрами ПД-
регулятора и предиктора при точном и неточном задании параметров
передаточной функции объекта управления (9.22) приведены на рис.9.18.
Как неточное задание параметра а , так и неточное задание одной
из сопрягающих частот b передаточной функции объекта управления
приводит к деформации и увеличению длительности переходного
процесса системы.
При поступлении на вход системы суммы единичного скачка и
эквивалентного синусоидального воздействия (9.26) и при указанных
параметрах передаточной функции объекта управления (9.22) прием-
лемая реакция системы имеет место при следующих параметрах ПД-
регулятора: К = 0,0037; Kd = 1,2974. При этих параметрах процесс
на выходе системы имеет незначительную колебательность, но теку-
щая ошибка составляет примерно 20% от амплитуды входного сину-
731
Раздел 9
На рис.9.19 и 9.20 показаны процессы в системе с ПД-
регулятором и предиктором при поступлении на вход системы суммы
единичного скачка и эквивалентного синусоидального воздействия
(9.26) при условии неточного задания параметров передаточной функ-
ции объекта управления (9.22). На рисунках: а) - входное воздействие
и реакции системы, б) - ошибки рассогласования. При 1,3 х а макси-
мальная динамическая ошибка составляет примерно 15% от амплиту-
ды синусоиды, при 0,7 ха она равна 28%. При 1,3x6 максимальная
динамическая ошибка составляет примерно 25% от амплитуды сину-
соиды и при 0,7x6 примерно 14%. Незначительное уменьшение ди-
намической ошибки при расстройке параметров объекта управления
сопряжено с возрастанием колебательности и весьма большим време-
нем переходного процесса
Исследование данной системы с цифровым нечетким регулятором
(схема нечеткого регулятора приведена на рис.3.10) дает следующие
результаты. При ступенчатом входном воздействии лучший переход-
ный процесс (с наименьшими временем регулирования и перерегули-
рованием) получается при параметрах передаточной функции объекта
управления (9.22):
b = 1/180с-1; т = 180с; а = 1/(180)3 qC-cIm\
и параметрах регулятора - симметричных диапазонов изменения
входных и выходной переменных:
0min = -0max = -552,94; 0min =-0max = -1,5434;
^min — -^max “101,12, ^mjn — “И?тах “ “4,22 .
Синтез нечеткого регулятора выполнен по формулам (3.1 )-(3.13)
для треугольных функций принадлежности* = и
//2(w) = и с шагом квантования (шагом поступления данных в нечет-
кий регулятор) h = 1 с. Ошибка на выходе АЦП 0(к) в каждом кана-
ле управления, ее первая 0(к) = [0(A) - 0(к -1)] / h и вторая
0(A) = [0(A)-0(A-1)]/A разности подаются на вход регулятора.
Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП (фиксатор нулевого
порядка с передаточной функцией H(s) = (l-e~hs)ls) и далее на
вход объекта управления. В нечетком регуляторе настраиваются диа-
732
Раздел 9
пазоны изменения входных и выходной переменных [#min,0max],
(ЗптАахГ [^ninAaxb ['"minimax] ВСвХ ТреуГОЛЬНЫХ функций ПРИ-
надлежности.
Переходные процессы в системе с указанными параметрами не-
четкого регулятора и предиктора при точном и неточном задании па-
раметров передаточной функции объекта управления (9.22) приведе-
ны на рис.9.21.
При поступлении на вход системы суммы единичного скачка и
эквивалентного синусоидального воздействия (9.26) и при указанных
параметрах передаточной функции объекта управления (9.22) прием-
лемая реакция системы с нечетким регулятором имеет место при сле-
дующих параметрах регулятора:
0min = -552,93; 0min = -1,6332; 0min = -101,12;
wmin — “7,81 .
При этих параметрах процесс на выходе системы имеет незначи-
тельную колебательность, но текущая ошибка составляет примерно
20% от амплитуды входного синусоидального воздействия.
На рис.9.22 и 9.23 показаны процессы в системе с нечетким регу-
лятором и предиктором при поступлении на вход системы воздейст-
вия (9.26) при условии неточного задания параметров передаточной
функции объекта управления (9.22).
733
Раздел 9
о 3600 7200 10800 14400 0 3600 7200 10800 14400
На рисунках: а) - входное воздействие и реакции системы, б) - ошиб-
ки рассогласования. При 1,3ха максимальная динамическая ошибка
составляет примерно 17% от амплитуды синусоиды, а* при 0,7 х а она
равна 29%. При 1,3 xb максимальная динамическая ошибка составля-
ет примерно 26,5% от амплитуды синусоиды и при 0,7 х b примерно
16%. Незначительное уменьшение динамической ошибки при рас-
стройке параметров объекта управления сопряжено с резким возрас-
танием колебательности переходного процесса.
Таким образом, исследование системы управления температурой
однопоточной трубчатой печи как объектом управления с весьма
большим временем задержки и различными регуляторами позволяет
734
Раздел 9
сделать следующее заключение. Для объектов управления с весьма
большим временем задержки целесообразно применение цифровых
оптимальных по быстродействию регуляторов, ибо эти регуляторы
обеспечивают значительно лучшую динамику системы управления
объектом с весьма большим временем задержки, чем ПИД-регуляторы
и нечеткие регуляторы. Преимущества цифровых оптимальных по бы-
стродействию регуляторов особенно выражены при точной настройке
регулятора, когда идентифицированы параметры объекта управления
и эти параметры стационарны.
9.3.Синтез цифрового регулятора двухпоточной трубчатой печи
Ц311
Схема двухпоточной трубчатой печи представлена на рис.9.24.
Нефтяное сырье прокачивается через два параллельных змеевика (эк-
ранные поверхности), каждый из которых обогревается группой газо-
вых горелок в общей топочной камере. При регулировании темпера-
туры нагрева сырья в змеевиках подачей топлива каждый из змееви-
ков воспринимает тепло как “своих”, так и “чужих” горелок, что обу-
словливает наличие перекрестных связей в объекте управления. Сим-
метрия конструкции объекта определяет собой симметрию его дина-
мических каналов.
Модель двухпоточной трубчатой печи для нагрева нефтяного
сырья как объекта управления рассмотрена в работе [133]. Регулируе-
мой переменной этого объекта управления (см. рис.9.25,а) является
температура сырья на выходе каждого змеевика 7](/) и Т2(/).
Управляющими переменными объекта является расход топлива, по-
ступающего в горелки каждого из каналов gj (/) и g2 (О • В качестве
исполнительных устройств обычно используются устройства типа
“электродвигатель + регулируемый вентиль”. Поскольку постоянные
времени печи значительно превышают постоянную времени электро-
двигателя, последней можно пренебречь и каждое исполнительное
устройство представить интегрирующим звеном с передаточной
функцией G(s) = 1/5. Также можно пренебречь постоянной времени
датчика температуры и считать датчик пропорциональным звеном.
735
Раздел 9
При условии симметричности каналов (что обычно выполняется
на практике) и подаче одного и того же сигнала управления
m(t) = Wj (/) = w2(f) на электродвигатели можно положить:
£1 (0 = §2(0 = S(f) и Т\(t) = T2(t) = T(t). Тогда расчетная струк-
турная схема объекта управления вместе с исполнительными устрой-
ствами приобретает простой вид (см. рис.9.25,б).
Передаточные функции в передаточной матрице двухмерного объек-
та управления получены в работе [201] по данным эксперимента:
для прямых каналов (7] (5) =--——- е-Г|5;
(1 + 7о$)
для перекрестных - G2 (5) =---——Te~T1S >
0 + W
где коэффициенты передачи к\ = 0,06 °C/(л<3 • ч-1),
к2 =0,03°С/(м^ ч"1); постоянная времени апериодического звена
Tq = 180 с; постоянные времени запаздывания Т\ = 180с, т2 = 240с.
736
Раздел 9
Ниже синтезирован оптимальный по быстродействию цифровой
регулятор для объекта с передаточной функцией
<70(^) = -[C7l(5r)+<72(s)]= -к}- +
5 s(i+W
+ -, -2 = -7+ Tos + ^-e-^-^s]« (9.27)
5(l + 7’05)4 sO + T’o.s)4
foe i ,z ч r kj \
№ ~7Г^\4 {0+-;1)+- --1 (r2 - Jj )b}
s(l + T05)4 kx
(полученной в результате разложения экспоненциальной функции
е_(г2-Г1)$ в рад; е-х я । _ х)
Подставив численные значения, запишем:
OO6e"180s 9е“180*
Go(5)«-’- - -{1,5 + 1505} = - - -(5 + 0,01). (9.28)
5Q + I8O5)4 50 + 18О5)4
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = J5(£±ie- (9.29)
5(5 +а)4
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия на каждом интервале регулирования nt p<t <(n + \)t роп-
ределяются:
mQ =Kq(MJ + 50Д<т)+Rcr^, ntp<t<ntp+h-,
mi - + S0^a) + Ran_{, ntp + h<t<ntp+2h;
m2 ~ ^о1Я2(^ + S0Acr) + AAcr(l + ^1)] + 7?crn_],
ntp +2 h < t < ntp +3 h; (9.30)
тз =^о[<7з(А^ + S0A<t) + AA<t(1 + ^1 +^2)] + ^crn-i>
ntp+3 h<t<ntp+4h;
= /f0[qr4(AC7 + 5’0Асг) + ЛАсг(1 + д1 +q2 +?3)] + /?cr„_1,
ntp+4h<t< ntp+5h\
737
Раздел 9
тт = R, ntp+5h<t< ntp+5h + r,
„ а* о ,, 1 4
где Ко =----------So = 5Л - - +
ahr(l-A)4 г а
h(4 + 3ql + 2q2+q3)
~ ---------л-----4- Г.
(1-Л)4
4
R=—; 9,=-4Л; q2=6A2\ q3=-4A3; q4=A4- A = e~ah.
ar
&U = f)n, где 0n~ ошибка системы в момент начала и-го интер-
вала регулирования длительностью tp-Nh 9 т.е. ошибка в момент
ntp- h -шаг квантования. N =5 - порядок объекта управления.
Лег = ап - егл_,, где ап - первая разность входного воздействия на
интервале регулирования ntp<t<(n + l)tp, ап_} - первая разность
входного воздействия на интервале регулирования (п - \)tp < t < ntр.
Первую разность (среднюю скорость) входного воздействия на
систему управления u(t) на интервале регулирования
ntp<t<(n + \)tp, первую разность (средняя скорость) входного воз-
действия на предыдущем интервале регулирования (n-V)tp<t<ntp и
приращение скорости на интервале регулирования ntp<t<(n + \)tp
определяем по формулам (9.10)-(9.13).
Сравнивая (9.28) и (9.29), находим численные значения пара-
метров передаточной функции (9.29):
9 1 1
а =------г = ; а = — .
(180)4 ЮО 180
Структурная схема системы управления температурой сырья на
выходе параллельных змеевиков, выполненная в интерактивной сис-
теме MATLAB, приведена на рис.6.26, где оптимальный по быстро-
действию цифровой регулятор представлен в виде двух блоков Sub-
System и SubSystem 1.
738
Раздел 9
Рис.9.26
Для математических моделей объектов управления с чистым за-
паздыванием (см. формулу (9.29)) можно предложить несколько вари-
антов структурных схем оптимальных по быстродействию цифровых
регуляторов, которые зависят от соотношения времени запаздывания
т и шага квантования в цифровом регуляторе h. Рассмотрим два ва-
рианта оптимального по быстродействию цифрового регулятора:
1. h = r/3 = 60с, N = 8 и2. Л = г/2 = 90с, N = 7,
где N - число шагов квантования в интервале регулирования, а не по-
рядок объекта управления, т = 180с.
Блок SubSystem, который генерирует управляющие импульсы на
объект управления, для различных вариантов структурных схем опти-
мальных по быстродействию цифровых регуляторов для определен-
ной передаточной функции объекта управления будет одним и тем же,
но блоки SubSystem 1, которые необходимы для формирования под-
ставки R-a^ 1(аг) на время задержки т = 180с (когда регулятор не
генерирует импульсов управления) будут различными.
Структурная схема блока SubSystem, составленная на основании
выражений (9.30) и (9.10)-(9.13) в интерактивной системе MATLAB,
приведена на рис.9.27, а структурные схемы блоков SubSystem 1 для
указанных двух вариантов приведена на рис.9.28.
739
Раздел 9
Рис.9.27
Блок SubSystem содержит следующие элементы.
Фиксатор Zero-Order Hold 1 (работает с шагом моделирования
Ло), блок задержки Unit Delay 1 (работает с шагом моделирования ),
сумматор и усилитель Gain (с коэффициентом передачи 1 / Ло) реали-
зуют выражение (9.10). Выходом усилителя Gain является текущее
значение скорости входного воздействия а.
Фиксатор Zero-Order Hold 2 (работает с шагом t р = Nh , й-шаг
квантования), блок задержки Unit Delay2 (работает с шагом tp = Nh)
740
Раздел 9
и сумматор реализуют выражения (9.11) - (9.13). Выходом блока за-
держки Unit Delay2 является первая разность (средняя скорость) вход-
ного воздействия на предыдущем интервале регулирования а
выходом сумматора является приращение скорости на интервале ре-
гулирования Лег.
Фиксатор Zero-Order Hold 3 (работает с шагом t= Nh) квантует
ошибку системы управления.
Импульсный генератор Pulse Generator генерирует импульсы
единичной амплитуды длительностью h с периодом следования
tр = Nh. Эти импульсы непосредственно с генератора и с линий за-
держек Unit Delay4 - Unit Delay? (каждая для сдвига импульсов на
шаг квантования h) поступают на соответствующие умножители
Product и образуют стробирующие длительностью h импульсы, необ-
ходимые для временного распределения импульсов оптимального
управляющего воздействия /и0, т\, т2, , /и4 (см. формулы (9.30)).
По выражениям (9.30) составлена остальная часть структурной схемы
блока SubSystem.
a) h=60, N=8 б) h=90, N=7
Рис.9.28
На рис.9.29 и 9.30 показаны процессы в системе при поступлении
на вход системы единичного скачка и синусоидального входного воз-
действия: u(t) = 1 + 0,5 sin(^r/ 7200) при наличии в системе опти-
мального по быстродействию цифрового регулятора с разными пара-
метрами блока SubSystem 1.
На рисунках: a) u(t) - вход, х(/) - выход системы, б)0(/) - ошиб-
ка рассогласования, в) m(t)- управляющее воздействие на объект
управления с выхода регулятора.
741
Раздел 9
Рис.9.29. Регулятор: h=60, N=8. Рис.9.30. Регулятор: h=90, N=7.
Для регулятора с параметрами блока SubSystem 1 h = г/3 = 60с,
N = 8 максимальная динамическая ошибка 0тах = 0,023. Для регу-
лятора с параметрами блока SubSystem 1 Л = г/2 = 90с, N = 7 мак-
симальная динамическая ошибка 0тах = 0,035.
742
Раздел 9
На рис.9.31 отдельно показаны реакции системы на единичный
скачок входного воздействия.
1 - h=60, N=8, <j=60% 2 - h=90, N=7, <r=27%
Рис.9.31
Изменение шага квантования с 60с на 90с приводит к увеличению
текущей ошибки. При этом уменьшается перерегулирование с 60% до
27%, но время регулирования в переходном процессе увеличивается.
Регулятор обеспечивает после задержки примерно на 200с переход-
ный процесс с временем регулирования, не превышающим 350 с. Это
дает возможность устанавливать требуемую температуру сырья за
время, не превышающее 550с. При необходимости изменять темпера-
туру сырья по какому-либо закону следует иметь в виду, что система
является инерционной, поэтому для уменьшения ошибки слежения
при изменения температуры сырья должны быть достаточно медлен-
ными.
Интересно отметить, что применение нечеткого и ПИД- регулято-
ров для рассмотренной двухпоточной трубчатой печи обеспечивает
значительно более худшее качество регулирования нагрева нефтяного
сырья, чем оптимальный по быстродействию цифровой регулятор
[133].
743
Раздел 10
Раздел 10.
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
МОЩНОСТИ ПЕРЕДАТЧИКА В КАНАЛАХ РАДИОСВЯЗИ
10.1. Основная функциональная схема системы АРМП
Качество радиоприема сигналов в радиоканале связи оценивается
не только качеством радиоприемного устройства, т.е. его способно-
стью принимать сигналы различной мощности, обеспечивать их неис-
каженное усиление, преобразование и передачу на вход оконечного
устройства, но и характеристиками среды распространения [16, 168].
Прием радиосигналов практически всегда осуществляется в присутст-
вии помех. В ряде случаев для качественного радиоприема сигналов в
радиоканале связи организуют обратный радиоканал для управления
мощностью излучения радиопередатчика, что может существенно
уменьшить или полностью компенсировать влияние замираний на ка-
чество радиоприема. Обратный радиоканал вместе с основным радио-
каналом образует замкнутую систему автоматического регулирования
мощности передатчика (систему АРМП) [178, 207]. Такие системы
являются существенно нелинейными и нестационарными, поэтому
синтез регуляторов, обеспечивающих качественную работу систем,
для систем АРМП представляет достаточно сложную задачу. В дан-
ном разделе эта задача решена путем применения цифровых нечетких
(работающих на базе нечеткой логики) регуляторов и ПИД-
регуяяторов. Проведено исследование систем методом математиче-
ского моделирования в интерактивной системе MATLAB.
Одна из возможных функциональных схем системы автоматиче-
ского регулирования мощности передатчика АРМП показана на рис.
10.1 [178].
Передатчик ПРД в пункте А излучает в направлении корреспон-
дента, находящегося в пункте Б, сигнал мощностью Р < Ртах на час-
тоте fj. Излучаемый сигнал создает в пункте Б на входе приемника
ПРМ СВЧ-сигнал uc(J). Задача заключается в поддержании требуе-
мого уровня СВЧ-сигнала uc(t), достаточного для качественного
приема.
744
Раздел 10
Преобразованный измерительным элементом ИЭ уровень сигнала
u(t) сравнивается с уровнем опорного напряжения в сравниваю-
щем устройстве СУ и вырабатывается сигнал ошибки рассогласования
£(Z) = w0"w(O- Этот сигнал преобразуется в формирующем устрой-
стве ФУ в форму, удобную для передачи по обратному каналу, и через
модулятор и передатчик в пункте Б передается в сторону приемника
пункта А обычно на другой частоте f2. Здесь этот сигнал выделяется
приемником, преобразуется формирующим элементом ФЭ в сигнал
управления , который поступает на управляющий элемент УЭ. В
качестве управляющего элемента обычно используется двигатель с
регулирующим механизмом, посредством которого перестраивается
мощный аттенюатор.
Рис.10.1
Управление мощностью передатчика осуществляется при непо-
средственном воздействии управляющего сигнала на управляемый
СВЧ-аттенюатор, который находится в передатчике и включается в
разрыв тракта между источником мощности (генератором СВЧ-
колебаний) и нагрузкой (антенной системой). Аттенюатор может
плавно регулировать выходную мощность передатчика в пункте А и
745
Раздел 10
тем самым изменять уровень сигнала на входе приемника в пункте Б.
Если при замирании уровень сигнала uc(t) в пункте Б начинает
уменьшается, то мощность передатчика в пункте А возрастает на-
столько, что уровень сигнала uc(f) в пункте Б восстанавливается до
первоначального.
Иногда выходная мощность передатчика в пункте А регулируется
мощным аттенюатором дискретно, например, динамический диапазон
регулирования, равный 45 дБ, делится на 9 градаций, величиной 5 дБ
каждая.
Рассмотренную систему АРМП часто представляют в виде двух
связанных каналов (см. рис.10.2) [45, 46, 101-103]: канала передачи
данных или радиоканала связи и канала радиоуправления. Здесь ра-
диопередающее устройство (РПдУ) включает в себя модулятор и пе-
редатчик. Каждый из каналов включает в себя радиозвено: радиопере-
датчик РПдУ - среда распространения - радиоприемник РпрУ.
Сигнал w(/), снимаемый с РПрУ1 сравнивается с опорным сигна-
лом Uq в сравнивающем устройстве, ошибка рассогласования которо-
го через радиозвено 2 подается на устройство управления УУ (регуля-
тор). Регулятор через электрически управляемый СВЧ-аттенюатор
управляет мощностью передатчика РПдУ1, уменьшая тем самым
ошибку рассогласования. Опорный сигнал w0 косвенным образом за-
746
Раздел 10
дает качество принимаемого СВЧ-сигнала мс(/)на входе радиопри-
емника РПрУ 1.
Радиозвено является существенно нестационарным элементом
системы и включает звено чистого запаздывания, но в линейном при-
ближении передаточная функция радиозвена может быть представле-
на в виде:
Gp3(S) = a3e-^/(S + b).
Математическая модель радиозвена, представленная этой переда-
точной функцией, описывает затухание и запаздывание (при а3 - b
только запаздывание) радиосигнала в идеальной (без помех) среде
распространения и фильтрацию сигнала выходным фильтром в при-
емнике. Для описания помеховой обстановки в среде распространения
радиоволн необходима дополнительная математическая модель.
Мощность на выходе передатчика, регулируемую аттенюатором,
можно выразить следующей нелинейной зависимостью
где Ртах - мощность генератора СВЧ-колебаний, (t) - сигнал на
входе аттенюатора. Нелинейная характеристика аттенюатора изобра-
жена на рис. 10.3.
Математическая модель управляемого аттенюатора в интерактив-
ной системе MATLAB изображена на рис. 10.4, где на вход Ini посту-
пают СВЧ-колебания от генератора мощностью Ртах, а на вход 1п2
747
Раздел 10
подается переменная величина md (t), которая регулируется двигате-
лем, на вход которого подается управляющее напряжение m(t) с вы-
хода нечеткого регулятора. С выхода Out аттенюатора СВЧ-колебания
мощностью P(t) излучаются антенной в пространство.
If2
Рис.10.4.
10.2. Математические модели адаптивных каналов радиосвязи
с системами автоматического нечеткого и ПИД- регулирования
мощности передатчика
Математическая модель системы АРМП с нечетким регулятором,
составленная в интерактивной системе MATLAB, представлена на
рис. 10.5. В этой системе мощный аттенюатор перестраивается двига-
телем, на вход которого подается сигнал управления с выхода нечет-
кого регулятора. На систему воздействуют мультипликативные внеш-
ние возмущения (замирания) в каналах радиосвязи и радиоуправле-
ния.
Математическая модель канала передачи данных (радиоканала
связи) включает следующие блоки (см. рис. 10.5): блок генератора (ge-
nerator), блок управляемого аттенюатора (Attenuator), блок имитации
затухания сигнала в идеальной (без помех) среде распространения
(Radiation damping), блок идеального радиозвена R1.
Математическая модель канала радиоуправления идентична мо-
дели канала передачи данных (радиоканала связи) и включает сле-
дующие блоки (см. рис. 10.5): блок генератора (generator 1), блок
748
Раздел 10
управляемого аттенюатора (Attenuator 1), блок имитации затухания
сигнала в идеальной (без помех) среде распространения (Radiation
damping 1), блок идеального радиозвена R2. Остальные блоки в канале
радиоуправления подробно рассмотрены в разделе 10.4, где изложен
способ проектирования канала радиоуправления, позволяющий прак-
тически полностью исключить влияние аддитивных и мультиплика-
тивных внешних воздействий (помех) в этом канале.
Примем, что качество принимаемого СВЧ-сигнала uc(f)m входе
радиоприемника РПрУ1 является вполне удовлетворительным, если
опорный сигнал Uq равен 1 (см. рис. 10.2 и 10.5) и в установившемся
режиме w(/) = w0 = 1 • Сигнал u(t) получается в результате затухания
выходного сигнала радиопередатчика РПдУ 1 в среде распространения
и преобразования входного сигнала радиоприемника РПрУ1 uc(t) в
749
Раздел 10
сигнал u(t). При моделировании затухание сигнала в идеальной (без
помех) среде распространения имитируется пропорциональным бло-
ком с коэффициентом к = 1 / Рном (блоки Radiation damping).
Двигатель с регулирующим механизмом (Engine), посредством
которого перестраивается мощный аттенюатор, опишем передаточной
функцией
Gd(s) = ad[s(s + а)]"1 = 12[s(s +12)]’1,
где постоянная времени двигателя Тд =1/ а = 1/12 с. Мощность ге-
нератора СВЧ-колебаний примем равной Р^ = 20Вт. Для получе-
ния на выходе передатчика РПдУ1 номинальной мощности
Риоии = 10Вт на вход управляемого аттенюатора вводится напряжение
уставки гпц =5 (см. рис.10.4). Управление двигателем осуществляем
цифровым нечетким регулятором (Fuzzy Controller). m(t) - сигнал на
выходе регулятора.
Каждое идеальное радиозвено (R1 и R2 на рис. 10.5) с учетом
только запаздывания сигнала в среде распространения и фильтра при-
емника опишем передаточной функцией
Gp3 (5) = a3e~v /(s + b) = 1 Ое4101 /(s + 10).
Имитация замираний сигнала (Fadings) в среде распространения
радиоволн канала передачи данных (радиоканала связи) осуществля-
ется следующем образом. Допустим, что возникают ступенчатые пе-
риодические замирания сигнала на входе приемника РПрУ1 канала
радиосвязи или, что эквивалентно, ступенчатые периодические
уменьшения отношения сигнал/шум, например, на 40% от нормально-
го. Эту ситуацию можно имитировать генератором периодических
сигналов (Generator) с амплитудой импульсов -0,4. При моделирова-
нии период импульсов выбран 20с, а длительность импульсов Юс. Та-
кие импульсы следует подавать при включении модели с задержкой
(Transport Delay) примерно 2,5с, после того, как в системе наступит
устойчивое состояние равновесия. Мультипликативные внешние воз-
действия (замирания) в виде периодической последовательности от-
рицательных импульсов (Fadings) подаются на верхний вход умножи-
теля Product. Периодические замирания сигнала на входе приемника
РПрУ 1 канала радиосвязи можно имитировать также при помощи ге-
750
Раздел 10
нератора синусоидальных колебаний (Sine Wave) со смещением. При
моделировании выбраны колебания с периодом 20с, амплитудой, рав-
ной 0,2, и смещением -0,2. Задача системы автоматического регулиро-
вания мощности передатчика АРМП свести возникающую при посту-
плении мультипликативных внешних возмущающих воздействий (за-
мираний) ошибку рассогласования (Error) к нулю.
Замирания сигнала (Fadings 1) в среде распространения радиоволн
канала радиоуправления также можно имитировать, например, при
помощи генератора синусоидальных колебаний (Sine Wavel) со сме-
щением. При моделировании выбраны колебания с периодом 4с, ам-
плитудой, равной 0,05, и смещением -0,05. Мультипликативные
внешние воздействия (замирания) в канале радиоуправления в виде
синусоидальных колебаний подаются на нижние входы умножителей
Productl и Product2 и после соответствующей обработки (см. раздел
10.4) на выходе делителя Product3 компенсируются.
При моделировании мультипликативных внешних возмущающих
воздействий (замираний) и при задании напряжения уставки Uq = 1
необходимо на верхний вход умножителя Product и на нижние входы
умножителей Productl и Product2 подать также единичные сигналы
(для чего служат блоки Step и Step 1).
Моделируемые замирания сигнала (Fadings) в среде распростра-
нения радиоволн канала передачи данных u(t) и замирания сигнала
(Fadings 1) в среде распространения радиоволн канала радиоуправле-
ния приведены и на рис. 10.6.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис. 10.5) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,а, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
ности (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t)
и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
ме, приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
751
Раздел 10
О 10 20 30 40 50 60
в)
Рис.10.6
Ошибка рассогласования 0(f) на вход нечеткого регулятора по-
ступает дискретно, с шагом квантования Л =0,01с.
Для упрощения нормировки (пересчета значений сигналов в зна-
чения элементов единого универсального множества) диапазоны из-
менения входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регу-
лятора) приняты симметричными:
^тах “ “^min ’ ^тах “ “^min ’ ^тах ~ “^min ’ wmax “ —wmin •
В этом случае пересчет значений сигналов в значения элементов
единого универсального множества выполняем по формулам (3.41).
Значения диапазонов (Ат = 0тя* = ; Вт = 0тя* = -0т1П;
4 111<1Л 111111 7 111С1Л 111111 7
Ст - 0тзх = -0min» Dm = wmax = -wmin) при настройке нечеткого
регулятора подбираются либо вручную, либо автоматически путем
решения оптимизационной задачи. Кроме настройки диапазонов из-
менения входных и выходной переменных подбираем также параметр
с функций принадлежности с целью уменьшения ошибки в переход-
ных и установившихся режимах работы системы.
752
Раздел 10
При условии идеальной (без помех) среды распространения ра-
диоволн канала передачи данных (канала радиосвязи) и идеальной
(без помех) среды распространения радиоволн канала радиоуправле-
ния (блоки имитации помех Fadings и Fadings 1 отключены, но с бло-
ков Step и Step 1 на умножители Product, Productl и Product2 подаются
единичные сигналы) и при оптимальной настройке цифрового нечет-
кого регулятора система работает следующим образом.
В установившемся режиме при нулевой ошибке (Error) на выходе
аттенюатора (Attenuator 1) сигнал равен 10 (что соответствует номи-
нальной выходной мощности радиопередатчика РПдУ2 в канале ра-
диоуправления). На выходе блока Radiation dampingl, имитирующего
затухание излучаемого сигнала в среде распространения радиоволн
канала радиоуправления, сигнал равен единице. Таким образом, на
всех входах умножителей Productl и Product2 сигналы равны единице
и на выходе сумматора Suml сигнал равен нулю. При этом сигнал на
выходе аттенюатора (Attenuator) равен 10 (что соответствует номи-
нальной выходной мощности радиопередатчика РПдУ1 в канале ра-
диосвязи). На выходе блока Radiation damping, имитирующего затуха-
ние излучаемого сигнала в среде распространения радиоволн канала
передачи данных (радиоканала связи), и на входах умножителя Prod-
uct и на нижнем входе сумматора Sum сигналы равны единице. При
вычитании единичного сигнал уставки и0 = 1, поступающего на вер-
хний вход суматора Sum, из единичного сигнала на нижнем входе
сумматоре на выходе сумматора ошибка (Error) равна нулю и система
автоматического регулирования мощности передатчика АРМП нахо-
дится в равновесном, устойчивом состоянии.
Задача системы автоматического регулирования мощности пере-
датчика (системы АРМП) свести возникающую при поступлении сиг-
налов Fadings и Fadings 1 ошибку рассогласования к нулю. Для полу-
чения оптимальных процессов необходима настройка регулятора.
Значения диапазонов изменения входных и выходной переменных
в нечетком регуляторе для получения удовлетворительных переход-
ных процессов при ступенчатых периодических и оптимальных про-
цессов при синусоидальных внешних возмущающих воздействиях
(замираниях) сигнала на входе приемника РПрУ1 канала радиосвязи
после настройки нечеткого регулятора HP в системе (см. рис. 10.5)
приведены в табл.1. Параметр с функций принадлежности выбран
равным 1,5.
753
Раздел 10
Таблица 10.1.
Sin Step
т 0.02 0.03
1YI 0.1 0.1
Ст 1.0 1.0
Вт 40 25
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.5) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при мультиплика-
тивных внешних воздействиях - ступенчатых периодических и сину-
соидальных замираниях сигнала приведены соответственно на
рис.10.7 и 10.8.
Режим отработки системой скачкообразного изменения парамет-
ров среды распространения радиоволн является наиболее тяжелым,
возникают большие ошибки рассогласования при переходных процес-
сах. Но длительность переходных процессов не превосходит 2,5с и
после завершения каждого переходного процесса ошибка системы
становится практически равной нулю. Максимальная текущая ошибка
при синусоидальных внешних возмущениях (замираниях) сигнала при
настроенном нечетком регуляторе не превышает 0,4% от напряжения
уставки.
Система автоматического регулирования мощности передатчика
РПдУ1 обеспечивает хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала
ис (/) на входе радиоприемника РПрУ 1 при ступенчатых периодиче-
ских и синусоидальных уменьшениях отношения сигнал/шум на входе
приемника РПрУ 1 канала радиосвязи на 40% от нормального, автома-
тически увеличивая мощность передатчика РПдУ 1 от номинальной
10 Вт примерно до 16,6 Вт (см. рис.10.7,а и 10.8,а).
Если синусоидальные внешние воздействия (замирания) сигнала
(Fadings) рассматривать как эквивалентное гармоническое воздейст-
вие
и?(0 - U? sinty/ = 0,2sin 0,1л/,
754
Раздел 10
то можно определить максимальную скорость бУтах и максимальное
ускорение £тах произвольного внешнего воздействия из соотноше-
ний: = LLa>' £тях Имеем:
П1аЛ 3 З7 IlklA 3 3
= U,^ = 0,02я; £max = Urf = 0,002л-2.
(Fadings), которые изменяются с максимальной скоростью бУтах и
755
Раздел 10
максимальным ускорением £тах, максимальная динамическая ошибка
будет не более той, которая имеет место при синусоидальных замира-
ниях сигнала.
При воздействии на систему аддитивных внешних возмущений
(замираний) в каналах радиосвязи и радиоуправления математическую
модель системы АРМП с нечетким регулятором, составленную в ин-
терактивной системе MATLAB, можно представить в виде, показан-
ном на рис.10.9.
R3
Рис.10.9
В этой системе мощный аттенюатор также перестраивается дви-
гателем, на вход которого подается сигнал управления с выхода не-
четкого регулятора.
756
Раздел 10
При условии идеальной (без помех) среды распространения ра-
диоволн канала передачи данных (канала радиосвязи) и идеальной
(без помех) среды распространения радиоволн канала радиоуправле-
ния (блоки имитации помех Fadings и Fadings 1 отключены), и при оп-
тимальной настройке цифрового нечеткого регулятора система рабо-
тает следующим образом.
В установившемся режиме при нулевой ошибке (Error) на выходе
аттенюатора (Attenuator 1) сигнал равен 10 (что соответствует номи-
нальной выходной мощности радиопередатчика РПдУ2 в канале ра-
диоуправления). На выходе блока Radiation dampingl, имитирующего
затухание излучаемого сигнала в среде распространения радиоволн
канала радиоуправления, и на верхних входах сумматоров Sum7 и
Sum9 сигналы равны единице. Таким образом, на выходе сумматора
Suml (на входе нечеткого регулятора) сигнал равен нулю. При этом
сигнал на выходе аттенюатора (Attenuator) равен 10 (что соответству-
ет номинальной выходной мощности радиопередатчика РПдУ1 в ка-
нале радиосвязи). На выходе блока Radiation damping, имитирующего
затухание излучаемого сигнала в среде распространения радиоволн
канала передачи данных (радиоканала связи), и на нижнем входе сум-
матора Sum5 сигналы равны единице. При вычитании единичного
сигнал уставки uQ = 1, поступающего на верхний вход суматора Sum,
из единичного сигнала на нижнем входе этого сумматоре на выходе
сумматора Sum ошибка (Error) равна нулю и система автоматического
регулирования мощности передатчика АРМП находится в равновес-
ном, устойчивом состоянии.
Аддитивные внешние возмущающие воздействия (замирания) в
канале радиосвязи (Fadings) подаются на верхний вход сумматора
Sum5. Аддитивные внешние возмущающие воздействия (замирания) в
канале радиоуправления (Fadingsl) подаются на нижние входы сумма-
торов Sum7 и Sum9 (и компенсируются на выходе сумматора Suml).
Задача системы автоматического регулирования мощности передатчи-
ка (системы АРМП) свести возникающую при поступлении возму-
щающих воздействий (замираний) в канале радиосвязи (Fadings)
ошибку рассогласования к нулю.
В системах, показанных на рис. 10.5 и 10.9, используется один и
тот же нечеткий регулятор с теми же параметрами, выбранными при
настройке (см. табл. 10.1).
757
Раздел 10
Процессы в модели системы АРМП отображаются на индикато-
рах: а) Р (мощность), б) ш (управляющее воздействие на входе атте-
нюатора), в) Error (ошибка системы) и при аддитивных ступенчатых
периодических и аддитивных синусоидальных замираниях сигнала
приведены соответственно на рис. 10.10 и 10.11.
В) В)
Рис. 10.10 Рис.10.11
Длительность переходных процессов не превосходит 1,5с и после
завершения каждого переходного процесса ошибка системы становит-
ся практически равной нулю. Максимальная текущая ошибка при си-
758
Раздел 10
нусоидальных внешних возмущениях (замираниях) при настроенном
нечетком регуляторе составляет примерно 0,2% от напряжения устав-
ки.
Система автоматического регулирования мощности передатчика
РПдУ1 обеспечивает хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала
ис(/)на входе радиоприемника РПрУ1 при ступенчатых периодиче-
ских и синусоидальных уменьшениях отношения сигнал/шум на входе
приемника РПрУ 1 канала радиосвязи на 40% от нормального, автома-
тически увеличивая мощность передатчика РПдУ 1 от номинальной
10 Вт до 14 Вт (см. рис.10.10,а и 10.11,а).
Математическая модель системы АРМП с ПИД-регулятором, со-
ставленная в интерактивной системе MATLAB, при мультипликатив-
ных внешних воздействиях представлена на рис. 10.12. Эта модель от-
личается от представленной на рис. 10.5 только регулятором.
Цифровой ПИД-регулятор собран по схеме, изображенной на
рис.3.9, и описывается передаточной функцией
^(Z) = K+^-—4--^-— ,
2 z-1 hQ z
где Ao - шаг дискретизации. На рис.3.9 усилители Gain 1,2 и 3 имеют
коэффициенты усиления (7| = К. G2 = , G3 = .
2 й0
При малых шагах моделирования цифровой ПИД-регулятор экви-
валентен аналоговому. При моделировании шаг дискретизации вы-
бран 0,01с.
ПИД-регулятор требует настройки для определенного входного
сигнала. Так, наилучшие переходные процессы в системе (см.
рис. 10.12) с цифровым ПИД-регулятором при мультипликативных
внешних возбуждающих воздействиях - ступенчатых периодических
замираниях сигнала и минимальную текущую ошибку при мультип-
ликативных синусоидальных замираниях сигнала на входе приемника
РПрУ1 канала радиосвязи получаем при значениях коэффициентов,
приведенных в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Sin Step
Gain 1 по 120
Gain 2 0.85 0.85
759
Раздел 10
Gain 3 | 3700 | 2500
Рис.10.12
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.12) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при мультиплика-
тивных внешних воздействиях - ступенчатых периодических и сину-
соидальных замираниях сигнала приведены соответственно на
рис.10.13 и 10.14.
При скачкообразных изменения параметров среды распростране-
ния радиоволн ошибки рассогласования в системе с ПИД-регулятором
значительно больше, чем в аналогичной системе с нечетким регулято-
ром (см. рис. 10.7,а и рис. 10.13,а). Максимальная динамическая ошиб-
ка в системе с ПИД-регулятором при синусоидальных внешних воз-
мущениях (замираниях) составляет примерно 0,85% от напряжения
уставки, т.е. превышает максимальную динамическую ошибку в ана-
760
Раздел 10
логичной системе с нечетким регулятором более, чем в два раза (см.
рис.10.8,в и рис.10.14,в).
7'------------------------------------—
0 10 20 30 40 50 60
°’40 10 20 30 40 50 60
В)
Рис.10.13
Рис.10.14
Математическая модель системы АРМП с ПИД-регулятором, со-
ставленная в интерактивной системе MATLAB, при аддитивных
внешних воздействиях представлена на рис. 10.15. Эта модель отлича-
ется от представленной на рис. 10.9 только регулятором.
761
Раздел 10
Рис.10.15
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.15) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при аддитивных
ступенчатых периодических и аддитивных синусоидальных замира-
ниях сигнала приведены соответственно на рис. 10.16 и 10.17.
762
Раздел 10
в) в)
Рис.10.16 Рис.10.17
При скачкообразных изменения параметров среды распростране-
ния радиоволн ошибки рассогласования в системе с ПИД-регулятором
значительно больше, чем в аналогичной системе с нечетким регулято-
ром (см. рис. 10.10,а и рис. 10.16,а). Максимальная динамическая
ошибка в системе с ПИД-регулятором при синусоидальных внешних
возмущениях (замираниях) составляет примерно 0,3% от напряжения
уставки, т.е. превышает максимальную динамическую ошибку в ана-
763
Раздел 10
логичной системе с нечетким регулятором в полтора раза (см.
рис. 10.11 ,в и рис. 10.17,в).
Таким образом, системы автоматического регулирования мощно-
сти передатчика РПдУ1 с нечетким регулятором и аттенюатором,
управляемым двигателем, обеспечивают более высокое качество при-
нимаемого СВЧ-сигнала пс(/)на входе радиоприемника РПрУ1 при
ступенчатых периодических и синусоидальных уменьшениях отноше-
ния сигнал/шум на входе приемника РПрУ1, чем аналогичные систе-
мы с ПИД-регулятором.
Однако системы автоматического регулирования мощности пере-
датчика РПдУ1 с ПИД- регулятором и аттенюатором, управляемым
непосредственно напряжением с выхода регулятора, обеспечивают
более высокое качество принимаемого СВЧ-сигнала ис(/)на входе
радиоприемника РПрУ1 при ступенчатых периодических и синусои-
дальных уменьшениях отношения сигнал/шум на входе приемника
РПрУ1, чем аналогичные системы с нечетким регулятором [93].
10.3. Математические модели адаптивных каналов радиосвязи
с системами автоматического нечеткого и ПИД- регулирования
мощности передатчика с перестройкой частоты [87, 91, 104]
В рассмотренных в разделе 10.2 системах автоматического регу-
лирования мощности передатчика АРМП радиопередающее устройст-
во РПдУ1 излучает СВЧ-сигнал на одной частоте. Кроме того, мощ-
ность генератора должна быть достаточно большой для компенсации
возникающих затуханий в среде распространения и обеспечения хо-
рошего качества принимаемого СВЧ-сигнала uc(f) на входе прием-
ника РПрУ1. Ниже методом математического моделирования в инте-
рактивной системе MATLAB исследуются адаптивные радиоканалы
связи, в которых радиопередающее устройство РПдУ 1 излучает СВЧ-
сигнал на разных частотах, автоматически выбираю ту частоту, на ко-
торой помеховая обстановка в среде распространения наилучшая (от-
ношение сигнал/шум превосходит некоторое значение, соответст-
вующее достаточно хорошему качеству принимаемого СВЧ-сигнала
на входе приемника РПрУ1). При этом не требуется достаточно боль-
шой мощности генератора.
764
Раздел 10
Рассмотрим два варианта построения адаптивных радиоканалов
связи с системами автоматического нечеткого и ПИД- регулирования
мощности передатчика: а) с мощным аттенюатором, который пере-
страивается двигателем и б) с электронным аттенюатором, который
перестраивается непосредственно сигналом управления с выхода ре-
гулятора.
Система АРМП с нечетким регулятором и мощным аттенюато-
ром, который перестраивается двигателем, представлена на рис. 10.18.
Analyzer of
Noise noise situation
Unit Deiayl
Рис.10.18
Примем, что качество принимаемого СВЧ-сигнала ис (/) на входе
радиоприемника РПрУ1 является вполне удовлетворительным, если
765
Раздел 10
опорный сигнал w0 Равен 1 и в установившемся режиме u(/) = u0 = 1.
Тогда, при нулевом сигнале на выходе двигателя {Engine) на нижнем
входе сумматора Sum2 (см. рис. 10.18) сигнал равен единице и если на
среднем входе сумматора Sum2 сигнал F{t) = 1, то система находится
в состоянии устойчивого равновесия. Если сигнал F{t) отличен от
единицы (а значит и сигнал u{t) отличен от единицы), то система от-
рабатывает ошибку рассогласования <5(0= w0“w(0*
Предположим, что радиопередающее устройство РПдУ1 может
излучать СВЧ-сигнал на одной из нескольких фиксированных частот.
Допустим, что таких частоты три - , /2 > /з • Каждой частоте соот-
ветствует свой канал радиосвязи. На каждой частоте в среде распро-
странения СВЧ-сигнала может быть своя помеховая обстановка, кото-
рая изменяется во времени случайным образом.
Имитацию помеховой обстановки (Noise situation) в каждом кана-
ле выполним следующим образом. Условный единичный уровень, на-
пример, определенное соотношение сигнал/шум, при котором осуще-
ствляется достаточно качественный радиоприем назовем нормальным
или пороговым. Изменяющееся во времени соотношение сигнал/шум
в каждом канале, представляющее собой случайный (произвольный)
процесс, опишем эквивалентным гармоническим воздействием /*}(/)
с опорным уровнем, который скачком изменяется в произвольные
промежутки времени. При этом изменяющееся соотношение сиг-
нал/шум в каждом канале или превышает пороговый уровень или ста-
новится меньше порогового уровня.
При превышении соотношением сигнал/шум порогового уровня
система должна уменьшить мощность на выходе аттенюатора и обес-
печить равенство соотношения сигнал/шум пороговому уровню, тем
самым уменьшая энергетические затраты. При уменьшении соотно-
шения сигнал/шум ниже порогового уровня в данном радиоканале
система должна определить соотношения сигнал/шум в других радио-
каналах и перейти на другой канал (на другую частоту), где соотно-
шение сигнал/шум превышает пороговый уровень. При этом система
снова должна уменьшить мощность на выходе аттенюатора и обеспе-
чить равенство соотношения сигнал/шум пороговому уровню, тем са-
мым уменьшая энергетические затраты. Имитация помеховой обста-
новки в каждом канале выполнена на трех идентичных блоках Fl, F2,
766
Раздел 10
F3. Схема блока имитации помеховой обстановки на определенной
частоте представлена на рис. 10.19,а.
Рис.10.19.
В каждом блоке задаются опорные уровень А и уровень В, кото-
рый подается с задержкой TD (Transport Delay), и параметры (ампли-
туда U и частота бУ) генератора синусоидальных колебаний (Sine
Wave). Параметры блоков могут задаваться произвольно. При моде-
лировании выбраны следующие:
для Fl -А=1,1,В=-1, Гп=30с, 6y=pi/10;
для F2 - А=0,3, В=1, Тп=20с, U =0,2, 6y=pi/5;
для F3 - А=0,4, B=l, TD =40с, U =0,3, со =pi/2,5.
Соответствующие указанным параметрам эквивалентные гармо-
нические воздействия 7} (t) с опорными уровнями, имитирующие по-
меховую обстановку в каждом канале, представлены на рис. 10.20.
В системе имеется анализатор помеховой обстановки, математи-
ческая модель которого приведена на рис. 10.19,6. Анализатор состоит
из трех переключателей (Switch, Switchl, Switch2), на информацион-
ные (средние) входы которых подаются сигналы с соответствующих
блоков Fl, F2, F3. В верхних элементах памяти, подключенных к пе-
реключателям, записаны номера каналов, в нижних - ноль. В пере-
ключателях установлен порог (Threshold) > 1. Если входной сигнал
767
Раздел 10
равен или больше порогового, то на выход поступает номер канала,
если входной сигнал меньше порогового, то на выход поступает ноль.
Поскольку входные сигналы могут быть больше порогового сразу в
нескольких каналах, то необходим блок приоритета канала. Таким
блоком является блок МinMax,который отдает приоритет каналу с
наибольшим номером. Этот номер канала поступает на информацион-
ный (верхний) вход переключателя Multiport Switch, который и под-
ключает канал с хорошей помеховой обстановкой (канал, работающий
на частоте, на которой отношение сигнал/шум больше порогового).
При включении системы до 20-й секунды на выход переключате-
ля Multiport Switch поступает сигнал F] (/), поскольку этот сигнал
превышает пороговый уровень. С 20-й до 30-й секунды сигналы (/)
и F2(/) превышают пороговый уровень, но приоритет отдается вто-
рому каналу и до 40-й секунды на выход переключателя Multiport
768
Раздел 10
Switch поступает сигнал F2(z). После 40-й секунды сигналы F2(Z) и
F3(Z) превышают пороговый уровень, но приоритет отдается треть-
ему каналу и на выход переключателя Multiport Switch поступает сиг-
нал F3(Z) .
Таким образом, изменяющееся во времени соотношение сиг-
нал/шум F(Z) на выходе переключателя Multiport Switch, представ-
ляющее собой эквивалентные гармонические воздействия с различ-
ными опорными уровнями, будет больше порогового (см. рис. 10.21,а).
Система автоматического регулирования (см. рис. 10.18) будет стре-
миться свести разность F(Z)-1, а значит, и ошибку рассогласования
= w0-w(Z)k нулевому значению. При этом качество работы сис-
темы определяет нечеткий (работающий на базе нечеткой логики) ре-
гулятор.
Синтез нечеткого регулятора HP выполняем по формулам (3.1)-
(3.13) для треугольных функций принадлежности с шагом квантова-
ния (шагом поступления данных в нечеткий регулятор) h = 0,01 с.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных
[>И • , ТИ^ 1 ПОСЛС НВСТрОЙКИ PC«
l min ’ max j ’ l min ’ max j ’ l min7 max j ’ l min 7 max J г г
гулятора HP в системе (см. рис. 10.18) на минимальное значение те-
кущей ошибки при входном сигнале F3(Z) следующие:
[-0,0068 0,0068]. [-0,0536 0,0536],
[-0,334, 0,334],[-25,6 25,6].
При настройке нечеткого регулятора максимальные текущие
ошибки при воздействии на систему (см. рис.10.18) сигналов Fj(z),
F2 (Г) и F3 (/) на соответствующих частотах приведены в таблице.
со л/10 л/5 я/2.5
^тах 0.0008 0.003 0.012
Процессы в системе (см. рис. 10.18) отображаются на индикаторе
Medium,Error (среда распространения, ошибка) и на индикаторе Р
(мощность) и приведены на рис. 10.21.
769
Раздел 10
На рис. 10.21,6 показано изменение мощности на выходе радиопе-
редающего устройства РПдУ1. При превышении соотношением сиг-
нал/шум порогового уровня система уменьшает мощность на выходе
передатчика, обеспечивая равенство соотношения сигнал/шум при-
мерно пороговому уровню и тем самым уменьшая энергетические за-
траты.
Система АРМП с нечетким регулятором и электронным аттенюа-
тором, который перестраивается непосредственно сигналом управле-
ния с выхода регулятора, представлена на рис. 10.22.
Диапазоны изменения входных и выходной переменных после на-
стройки регулятора HP в системе (см. рис. 10.22) на минимальное зна-
чение текущей ошибки при входном сигнале F3(Z) следующие:
[-0,031 0,031]. [-0,715 0,715], [-52,36 52,36] ,[-38,7 38,7].
При указанной настройке нечеткого регулятора максимальные
текущие ошибки при воздействии на систему (см. рис. 10.22) сигналов
770
Раздел 10
F| (Z), F2 (/) и F3 (f) на соответствующих частотах приведены в таб-
лице:
со л/10 л/5 л/2.5
$тах 0.014 0.034 0.046
Analyzer of
РисЛ0.22
Процессы в системе (см. рис. 10.22) отображаются на индикаторе
Medium,Error (среда распространения, ошибка) и на индикаторе Р
(мощность) и приведены на рис. 10.23.
771
Раздел 10
Исследование систем автоматического управления адаптивным
радиоканалом связи с цифровым нечетким (работающим на базе не-
четкой логики) регулятором методом математического моделирования
показывает, что нечеткий регулятор обеспечивает хорошее качество
систем, характеризуемое ошибками рассогласования в переходных и
установившихся режимах работы систем. Системы автоматически оп-
ределяют прямой радиоканал связи с соотношением сигнал/шум,
больше порогового, и с достаточно высокой точностью отрабатывают
заданный уровень опорного напряжения Uq , которым оператор задает
необходимое качество принимаемого СВЧ-сигнала ис (/) на входе ра-
диоприемника РПрУ1, обеспечивая примерное равенство соотноше-
ния сигнал/шум пороговому уровню и тем самым значительно умень-
шая энергетические затраты. При этом фаззи-системы автоматическо-
го регулирования мощности передатчика, в которых аттенюатор пере-
страивается двигателем, имеют более высокое качество, чем системы,
772
Раздел 10
в которых электронный аттенюатор перестраивается сигналом управ-
ления.
Система АРМП с ПИД-регулятором и мощным аттенюатором, ко-
торый перестраивается двигателем, представлена на рис. 10.24.
Noise Analyzer of
situation noise situation
Transfer Fcnl
Рис.10.24
Передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора в виде
IF(z) = /C + -,A() z + 1+^- — ,
2 z -1 Ло z
где - шаг дискретизации (шаг моделирования). На рис.2 усилители
Gainl, 2 и 3 имеют коэффициенты усиления соответственно
773
Раздел 10
G\ = К, G2 = — ^ ° , G3 = -~ . При моделировании шаг дискрети-
зации выбран 0,01с.
После настройки ПИД-регулятора в системе (см. рис. 10.24) на
минимальное значение текущей ошибки при входном сигнале F3(Z)
получаем: G| =153,7; G2 =0,4317; G3 = 2501.При указанной
настройке ПИД-регулятора максимальные динамические ошибки при
воздействии на систему сигналов F\ (t), F2 (/) и F3 (Z) на соответст-
вующих частотах приведены в таблице:
(I) л/10 л/5 л/2.5
^тах 0.0026 0.017 0.068
Процессы в системе (см. рис. 10.24) отображаются на индикаторе
Medium, Error (среда распространения, ошибка) и на индикаторе Р
б)
Рис.10.25
774
Раздел 10
Система АРМП с ПИД-регулятором и электронным аттенюато-
ром, который перестраивается непосредственно сигналом управления
с выхода регулятора, представлена на рис. 10.26.
Noise Analyzer of
situation noise situation
Transfer Pent
Рис.10.26
После настройки ПИД-регулятора в системе (см. рис. 10.26) на
минимальное значение текущей ошибки при входном сигнале F$(t)
получаем: Gj =130; G2 = 5,362; G3 =900. При указанной на-
стройке ПИД-регулятора максимальные динамические ошибки при
воздействии на систему сигналов F\ (f), F2 (t) и F3 (/) на соответст-
вующих частотах приведены в таблице:
775
Раздел 10
со л/10 я/5 / л/2.5
^тах 0.0007 0.003 7 0.009
Процессы в системе (см. рис. 10.26) отображаются на индикаторе
Medium,Error (среда распространения, ошибка) и на индикаторе Р
(мощность) и приведены на рис. 10.27.
Исследование систем автоматического управления адаптивным
радиоканалом связи с цифровым ПИД-регулятором методом матема-
тического моделирования показывает, что ПИД-регулятор обеспечи-
вает весьма хорошее качество систем, характеризуемое ошибками
рассогласования в переходных и установившихся режимах работы
системы. Системы автоматически определяют прямой радиоканал свя-
зи с соотношением сигнал/шум, больше порогового, и с достаточно
высокой точностью отрабатывают заданный уровень опорного напря-
жения , которым оператор задает необходимое качество принимае-
776
Раздел 10
мого СВЧ-сигнала пс(/)на входе радиоприемника РПрУ1, обеспечи-
вая примерное равенство соотношения сигнал/шум пороговому уров-
ню и тем самым уменьшая энергетические затраты. При этом системы
с ПИД-регулятором, в которых электронный аттенюатор перестраива-
ется сигналом управления, имеют более высокое качество, чем систе-
мы, в которых аттенюатор перестраивается двигателем.
Текущие ошибки в системе с ПИД-регулятором и электронным
аттенюатором, который перестаивается сигналом управления, не-
сколько меньше (примено на 10...20%) текущих ошибок в системе с
нечетким регулятором и аттенюатором, который перестаивается дви-
гателем.
10.4. Проектирование каналов радиосвязи и радиоуправления
систем АРМП при аддитивных и мультипликативных замирани-
ях сигнала [25, 93-96,99J
Анализ и синтез систем автоматического регулирования мощности
передатчика (систем АРМП) выполняется на базе основных структур-
ных схем (математических моделей) этих систем. В разделах 10.2 и
10.3 разработаны и исследованы математические модели систем
АРМП с нечеткими и ПИД- регуляторами при аддитивных и мультип-
ликативных замираниях сигнала в среде распространения радиоволн.
Следует отметить, что структурные схемы систем АРМП имеют
весьма существенные особенности, которые выделяют системы АРМП
в классе одноконтурных систем автоматического управления, к кото-
рому эти системы относятся.
Структурные схемы систем АРМП с аттенюаторами, которые пе-
рестраиваются двигателем, при наличии мультипликативных и адди-
тивных возбуждающих воздействий приведены соответственно на
рис. 10.28, а и б. Структурные схемы систем АРМП с аттенюаторами,
которые перестраиваются непосредственно сигналом управления с
выхода регулятора, при наличии мультипликативных и аддитивных
возбуждающих воздействий приведены соответственно на рис. 10.28, в
и г. Основные отличия структурных схем систем АРМП от структур-
ных схем других одноконтурных систем автоматического управления
следующие.
777
Раздел 10
Рис.10.28
Во-первых, среду распространения радиоволн, в которой проис-
ходят замирания радиосигнала, на входе радиоприемного устройства
778
Раздел 10
канала радиосвязи (канала передачи данных), на который поступает
СВЧ-сигнал с замираниями, можно условно представить сравниваю-
щим устройством (виртуальным устройством сравнения) - перемно-
жителем Product (при мультипликативных замираниях) или суммато-
ром Sum (при аддитивных замираниях). Затухание и запаздывание
СВЧ-сигнала, а также динамические свойства радиоприемного уст-
ройства учитываются в передаточной функции радиозвена, которая
при допущении стационарности указанных процессов представена в
виде: Gpj(s) = -^—e~T3S.
s + b
Во-вторых, в системах, структурные схемы которых приведены
на рис. 10.28, ошибка рассогласования Error вырабатывается путем
сравнения (на сумматоре Suml) преобразованного на выходе радиоп-
риемного устройства канала радиосвязи сигнала с опорным напряже-
нием, которое задает оператор.
В третьих, ошибка рассогласования в обратном канале радиоуп-
равления, которая передается через обратное радиозвено, представля-
ет собой огибающую СВЧ-сигнала, которую необходимо выделить в
приемном тракте канала радиоуправления путем устранения постоян-
ной составляющей (на сумматоре Sum2).
В четвертых, если сигнал без замираний на входе радиоприемного
устройства прямого канала радиосвязи, соответствующий заданному
оператором, принять за условную единицу, а замирания обозначить
функцией u(t), то очевидно, что на один вход перемножителя Prod-
uct (при мультипликативных замираниях) в прямом канале радиосвязи
поступает сигнал 1 + u{t), а на один вход сумматора Sum (при аддити-
вных замираниях) в прямом канале радиосвязи поступает сигнал u(t).
В пятых, если в обычных одноконтурных системах управления
регулятор включают, как правило, после элемента сравнения на входе
объекта управления, то, поскольку объектом управления в рассматри-
ваемых системах является радиопередающее устройство прямого ка-
нала радиосвязи, в системах АРМП регулятор целесообразно вклю-
чать, как правило, в цепи динамической обратной связи на выходе
второго радиозвена.
И, наконец, в шестых, самое важное отличие заключается в том,
что в рассмотренных системах АРМП замирания в обратном канале
радиоуправления, который работает на несущей частоте отличной от
779
Раздел 10
несущей частоты прямого канала радиосвязй, существенным образом
влияют на качество систем АРМП и могут Приводить к полной нера-
ботоспособности этих систем. Если сигнал без замираний на входе
радиоприемного устройства обратного Канала радиоуправления при-
нять за условную единицу, а замирания в обратном канале радиоупра-
вления обозначить функцией щ (/), то очевидно, что на один вход
перемножителя Product (при мультипликативных замираниях) в обра-
тном канале радиоуправления поступает сигнал 1 + М|(/), а на один
вход сумматора Sum (при аддитивных замираниях) в обратном канале
радиоуправления поступает сигнал . Именно замирания в обрат-
ном канале радиоуправления делают системы АРМП, структурне схе-
мы которых представлены на рис. 10.28, существенно нестационарны-
ми.
Интересно отметить, что, рассматривая ошибку на выходе вирту-
ального устройства сравнения (перемножителя Product при мульти-
пликативных замираниях или сумматора Sum при аддитивных зами-
раниях) в прямом канале радиосвязи, систему АРМП можно опреде-
лить как следящую систему (систему слежения за замираниями), а,
рассматривая ошибку Error на выходе сумматора Suml, систему
АРМП можно определить как систему стабилизации (систему, удер-
живающую уровень опорного сигнала w0).
Применение систем автоматического регулирования мощности
излучения передатчика (системы АРМП) в адаптивном радиоканале
связи может служить эффективным методом борьбы с замираниями
сигналов на входе радиоприемных устройств прямого канала радио-
связи (канала передачи данных^ только в том случае, если решена
проблема устранения замираний в обратном канале радиоуправления.
В данном разделе решена задача проектирования канала радио-
управления в системах АРМП с компенсацией (устранением) адди-
тивных и мультипликативных замираний в этом канале.
Канал радиоуправления, в отличие от информационного канала
радиосвязи, служит, кроме того, для передачи ошибки рассогласова-
ния системы АРМП.
В простейшем случае в радиоканале прямой видимости (как в ка-
нале радиосвязи, так и в канале радиоуправления) при отсутствии от-
ражений мощность сигнала на входе приемного устройства определя-
ется выражением
780
Раздел 10
где
) _ ^npd^lnpfinpd^Jпрм^1прм Р прм?! прм
прм
L L,
о доп
L L.
о доп
(10.1)
Р - мощность сигнала на входе приемного устройства,
(7лре), G - коэффициенты направленного действия антенны передат-
чика и приемника соответственно, Tl^r)^ - потери в фидерном
тракте передатчика и приемника соответственно, Рмим = РпрдПпрд^прд '
эквивалентная изотропно излучаемая мощность передатчика, Lo - по-
(Ю.2)
тери в свободном пространстве при распространении радиоволн,
- дополнительные потери в атмосфере.
Потери в свободном пространстве при распространении радио-
волн в луче с прямой видимостью определяются выражением
L°=(±г)2
где D - расстояние между передатчиком и приемником, Л = с / f -
длина волны колебаний несущей частоты /, с - скорость света. До-
полнительные потери в атмосфере обусловлены поглощением радио-
волн кислородом, водяными парами, дождем, другими гидрометеора-
ми.
Потери в свободном пространстве при распространении радио-
волн в луче с непрямой видимостью (при наличии отражения) опреде-
ляются выражением
г<"
4лО D
(Ю.З)
где D - расстояние до препятствия, Do - расстояние от препятствия
до приемника, а - постоянный коэффициент затухания при распро-
странении без прямой видимости, определяемый по эксперименталь-
ным данным.
В общем случае энергетические характеристики принимаемого
сигнала зависят от трех факторов: потерь при распространении, мед-
ленных и быстрых замираний.
Многолучевое распространение радиоволн вследствие отражений
от различного рода препятствий является типовым для тропосферных
781
Раздел 10
станций и систем радиодоступа. Наличие нескольких различных ко-
пий сигнала приводит к замираниям принимаемого сигнала, что мо-
жет быть наиболее существенным факторам в дополнительных поте-
рях принимаемого сигнала.
Мощность сигнала на входе приемного устройства, определяемая
выражением
р* _ ^прдПnptfiпрд^прлЛпрм _ эиим^прм^1 прм
прм~ 1 “ Z ’ }
о о
♦
и соответствующий этой мощности СВЧ-сигнал ис можно считать
детерминированными, неслучайными процессами, которые можно
определить расчетным путем, в отличие от мощности Р и соответ-
ствующего этой мощности СВЧ-сигнала wc(Z), которые при наличии
замираний являются в общем случае случайными процессами.
Для тропосферных каналов радиосвязи мощность сигнала на вхо-
де приемного устройства (основное уравнение передачи радиосигна-
ла) определяется выражением
РпРм[дБ] = РпРдеФ[дБ} “ L°[dB] ~ РДТР[аБ] > 0 °’5)
где уровень эффективной мощности передатчика определяется сум-
мой:
Р"рд еФ[дБ] РпРд[дБ] + ^пРд[дБ] + GnPd[dS] +
+ ^прм[дБ} + Т^пРм[дБ]'
Затухание радиосигнала в свободном пространстве на расстоянии
D от передатчика (при условии, что антенны не обладают направлен-
ностью, т.е. Gnpd[dE} = СПрм[дБ] = 0) определяется формулой:
Zo[d£]=101g(^)2. (10.7)
Л
Дополнительное затухание радиосигнала в свободном пространс-
тве на расстоянии D от передатчика, обусловленное дальним тропос-
ферным распространением (ДТР) ультракоротких радиоволн, опреде-
ляется выражением
782
Раздел 10
1 Е2
^ДТР[дБ] - 101g—— = 101g—у, (10.8)
УдТР Е
где УдТР = Е / Eq - множитель ослабления электрического поля сво-
бодного пространства, Е - величина напряженности электрического
поля радиосигнала в приемной антенне при ДТР ультракоротких ра-
диоволн, a Eq - значенние напряженности электрического поля ради-
осигнала у приемной антенны, которое имело бы место при том же
расстоянии D от передатчика, но при наличии свободного пространс-
тва.
Величина напряженности электрического поля Е радиосигнала в
приемной антенне при ДТР ультракоротких радиоволн является слу-
чайной, и, следовательно, множитель ослабления электрического по-
ля может быть представлен в виде:
Удтр=^У3, (Ю.9)
где - долгосрочное медианное значение УдТР, определяемое
обычно для одного месяца, а ЛИ3 - отклонение величины Vд-рр от
медианы , характеризующее замирания сигнала.
Величины, входящие в выражение (10.9) определяются формула-
ми:
F F
(10.10)
Д0 Емм
де - долгосрочное медианное значение напряженности электри-
ческого поля радиосигнала у приемной антенны.
Таким образом, величина Едрр^Б^9 входящая в формулу (10.5),
на основании формулы (10.9) может быть записана в виде
^ДТР[дБ] = ^мм[дБ] + A^3[<)S]’ (10.11)
где " Долгосрочное медианное дополнительное затухание ра-
диосигнала при ДТР ультракоротких радиоволн, a - отклоне-
ние величины затухания от медианного значения. На основании фор-
мул (10.8) и (10.9):
783
Раздел 10
^мм[()Б] 101g „2 ’ ^з[дБ} 101g АГ2 (Ю-12)
.НМ ^3
Учитывая (10.11), перепишем основное уравнение передачи ради-
осигнала (10.5) для тропосферных каналов радиосвязи в виде
?пРм[дБ] = ?пРдеФ[дБ] ~ ~ ^мм[дБ] ~ ^з[дБ] • (Ю.13)
При = 0 из формулы (6.13) имеем долгосрочное медиан-
ное значение мощности сигнала на входе приемного устройства.
Характерной особенностью ДТР ультракоротких радиоволн явля-
ется непостоянная величина напряженности электрического поля Е
радиосигнала в приемной антенне. Соответственно множитель ослаб-
ления VдТР также является непостоянным^ что характеризуется вели-
чиной ДИ? (см. формулы (10.8)-(10.10)). Наблюдения за изменениями
I
величин Е и ДИ? показали, что на коротких отрезках времени по-
рядка 1...5 минут изменения этих величин, как правило, хорошо апп-
роксимируются законом Релея. Составляющую замираний на указан-
ных отрезках времени назвали быстрыми замираниями при ДТР ульт-
ракоротких радиоволн, а составляющую замираний величин Е и
ДИ?, которые усредняются на указанных отрезках времени, назвали
медленными замираниями при ДТР ультракоротких радиоволн. Ква-
зипериод медленных замираний быстрых замираний лежит в пределах
от десятых долей до единиц секунд, а квазипериод медленных зами-
раний лежит в пределах десятков минут. Медленные замирания расп-
ределяются по логарифмически нормальному закону.
Для раздельной количественной оценки быстрых и медленных
замираний величину ДИ? выражают в виде
AK3=A^3AKfo, (10.14)
где
^=—-.^6,=/-- (10.15)
Емм Ем
В формулах (10.15) Ем - медианное значение величины Е на
коротких отрезках времени 1...5 минут (короткосрочная медиана).
784
Раздел 10
В соответствии с формулами (6.12) и (6.14) величину
(см. формулу (10.11)) теперь можно определить в виде
~ ^мз[дБ] + ^бз[дБ] ’ (10.16)
^мз[дБ] = *01g; Д^бз[е)К] = 101g •
.мз &*бз
Для борьбы с быстрыми замираниями успешно используют мето-
ды разнесенного приема (передачи), особенно в аппаратуре тропо-
сферной радиосвязи. Применение этих методов позволяет улучшить
качество радиосвязи, снизить уровень шумов, увеличить скорость пе-
редачи дискретной информации, дает возможность применения более
широкополосных радиосигналов, повышает достоверность бинарной
информации.
Сущность разнесенного приема (передачи) заключается в осуще-
ствлении нескольких (как правило, двух или четырех) путей прохож-
дения радиосигнала, быстрые замирания в которых оказываются вза-
имно некоррелированными. Сложение сигналов, прошедших по таким
путям, дает определенный выигрыш качества, который зависит от
кратности разнесения и методов сложения принятых сигналов.
При методе пространственного разнесения радиосигналов на при-
емной стороне используются две (или более) антенны (см.
рис. 10.29,а), разнесенные одна от другой в направлении, перпендику-
лярном направлению на передатчик. К каждой антенне подключен
отдельный приемник. Поступающие на входы приемников радиосиг-
налы 5| и $2 характеризуются несовпадением мгновенных значений
огибающих (7| и U2 и фаз (/)\ н (р2- При некотором пространствен-
ном разнесении антенн I >Iq значения огибающих U\ и (/2 и Фаз
и ф2 оказываются некоррелированными. Величину /0 (радиус
пространственной корреляции) обычно выбирают равной 50Л, где Л
- длина волны принимаемого радиосигнала. В методе пространствен-
ного разнесения можно использовать одну частоту радиосвязи и один
гетеродин (синтезатор частот) для приемников.
При методе частотного разнесения (см. рис. 10.29,6) один и тот же
сигнал одновременно передается на различных несущих частотах /] и
/2 (ПРИ двукратном частотном разнесении). Передача и прием осуще-
785
Раздел 10
ствляется с помощью разделительных фильтров РФ\ и РФ2 • Если
разнесение частот Af = |/i - /2|>Af0, где А/о " радаУ0 частотной
корреляции, значения огибающих Uy и t/2 и Фаз и ^2 оказыва-
ются некоррелированными. Величину Д/о при тропосферной радио-
связи выбирают обычно равной 1 ...2 МГц.
б)
Рис.10.29
Широко используют также методы комбинированного разнесе-
ния, чем достигается конструктивный и экономический выигрыш.
Так, широко применяется метод 4-кратного пространственного
разнесения (см. рис. 10.30,а) при 2-кратном разнесении сигналов на
стороне приема, при 2-кратном разнесении сигналов на стороне пере-
дачи и при различении передаваемых сигналов по вертикальной (ВП)
и горизонтальной (ГП) поляризации радиоволн. На стороне передачи
786
Раздел 10
один и тот же радиосигнал с двух выходов одного передатчика посту-
пает по фидерам к разнесенным антеннам, на входах которых включе-
ны поляризаторы радиоволн, причем одна антенна излучает сигнал с
вертикальной поляризацией, а другая - с горизонтальной.
б)
Рис.10.30
На стороне приема также имеются две разнесенные в пространст-
ве антенны, каждая из которых принимает сигналы, переданные как с
вертикальной, так и горизонтальной поляризацией. Разделение сигна-
лов различной поляризации на выходе каждой приемной аннтенны
осуществляется с помощью поляризационных селекторов. Таким об-
разом, один и тот же сигнал на одной и той же несущей частоте /j
передается по четырем разнесенным в пространстве ветвям. Все четы-
ре сигнала 53’54 на приемной стороне характеризуются вза-
имно некоррелированными огибающими (/|,(/2>^3’ ^4 и взаимно
787
Раздел 10
некоррелированными фазами (р\, (р^ , (р^, (р$. Сложение таких сигна-
лов в приемнике обеспечивает высокую эффективность приема в ус-
ловиях быстрых замираний.
При комбинированном пространственно-частотном методе 4-
кратное разнесение сигналов получают при 2-кратном пространствен-
ном и 2-кратном частотном разнесении (см. рис. 10.30,6). Модули-
рующий сигнал поступает на два передатчика, несущие частоты j\ и
/2 которых различаются на величину A/* = |/j -/2|> A/о- На пре-
мией стороне имеются две разнесенные антенны, каждая из которых
принимает сигналы на разнесенных частотах /| и /2. Сигналы разде-
ляются фильтрами и усиливаются четырьмя приемниками, попарно
настроенными на частоты и /2. Сигналы, полученные на выходах
приемников, суммируются.
Недостаток пространственного метода разнесения сигналов за-
ключается в необходимости применения двух (или нескольких) ан-
тенн, расстояния между которыми могут быть значительными (на-
^гример, при А =3 см расстояние должно быть / > 1,5 м, а при Л =0,5 м
- / > 25 м), что может потребовать такого же числа антенных опор.
Недостаток частотного метода разнесения сигналов заключается в
необходимости применения двух (или нескольких) настроенных на
различные частоты радиопередающих и приемных устройств, увели-
чении числа синтезаторов частот или усложнение их конструкции.
Структурная схема тропосферной радиостанции, выполненная на
основе метода пространственного разнесения радиосигналов на при-
емной стороне, изображена на рис. 10.31,а. Каждая из антенн работает
на прием и передачу радиосигналов. Прием осуществляется на частоте
/1, а передача - на частоте /2. Приемники Пр1 и Пр2 принимают
сигнал одной и той же частоты и имеют общий гетеродин Гт. Выход-
ные сигналы приемников поступают на сумматор Е, а сигнал с выхо-
да сумматора поступает на каналообразующую аппаратуру КОА. На
вход модулятора М поступает групповой сигнал от каналообразую-
щей аппаратуры КОА. Колебания несущей частоты с выхода передат-
чика Пд поступают в антенные системы через делитель мощности Д.
Используется также разная поляризация радиоволн в каждой антенне.
788
Раздел 10
Структурная схема тропосферной радиостанции, выполненная на
основе метода частотного разнесения радиосигналов на приемной сто-
роне, изображена на рис. 10.31 ,б.
б)
Рис.10.31
К общей антенне через дуплексер Д1 подключены два приемника,
которые имеют гетеродины и настроены на частоты /] и /2 • При со-
ответствующем разнесении между частотами f\ и /2 быстрые реле-
евские замирания радиосигналов на выходе антенны на этих частотах
оказываются практически некоррелированными. Поэтому один из
789
Раздел 10
приемников практически всегда находится в лучших условиях приема
ибо вероятность одновременного глубокого замирания сигнала на
входах обоих приемников значительно меньше вероятности таких же
глубоких замираний сигнала на входах каждого из приемников. Вы-
ходные сигналы приемников поступают на сумматор Е, а сигнал с
выхода сумматора поступает на каналообразующую аппаратуру КОА.
Радиостанция имеет два передатчика Пд1 и Пд2 с общим модуля-
тором М, на вход которого поступает групповой сигнал от каналооб-
разующей аппаратуры КОА. Передатчики работают на разнесенных
частотах /3 и /4, Сигналы с выходов передатчиков через дуплексер
Д2 подаются на общую антенну и излучаются в пространство. Ис-
пользуется также разная поляризация радиоволн в общей антенне.
Следует отметить, что методы разнесенного приема (передачи),
обязательно применяются в аппаратуре тропосферных станций (что
отличает эти станции от радиорелейных). Как следствие применения
этих методов - усложняется структура антенно-фидерных трактов,
увеличивается число антенн, приемных и передающих устройств.
Кроме того, в тропосферных станциях, как правило, применяются
мощные передатчики (что требует мощных энергетических установок)
и достаточно громоздкие остронаправленные антенны. Например, су-
ществующие тропосферные радиорелейные системы передачи рабо-
тают на средних несущих частотах от 1 до 5 ГГц, имеют мощность
передатчиков от 0,1 до 20 кВт и антенны с диаметрами от 2,5 до 30 м
[168]. Потери при ДТР ультракоротких радиоволн очень большие и
быстро возрастают с увеличением расстояния и уменьшением длины
волны. Например, в диапазоне 1 Ггц при интервале 300 км потери на
тропосферной линии достигают 200...250 дБ. Тропосферная связь
сильно зависит от метеорологических условий и климатических осо-
бенностей на трассе. Сигналы при ДТР ультракоротких радиоволн не
стабильны во времени и испытывают медленные и быстрые замира-
ния.
Методы разнесенного приема (передачи) радиосигналов эффек-
тивны для борьбы с быстрыми замираниями, но медленные замирания
этими методами не нейтрализуются. Для повышение достоверности
передачи бинарной информации необходимо вводить дополнительные
запасы на уровень высокочастотного сигнала как на медленные, так и
на быстрые замирания. Метод адаптивного приема радиосигналов с
применением систем АРМП является эффективным для борьбы как с
790
Раздел 10
быстрыми, так и медленными замираниями, если решена проблема
устранения замираний в обратном канале радиоуправления. Ниже рас-
смотрены вопросы проектирования канала радиоуправления в систе-
мах АРМП с компенсацией (устранением) аддитивных и мультипли-
кативных замираний в этом канале.
В зависимости от записи основного уравнения передачи радиосиг-
налов в среде распространения радиоволн, которое выражают в обыч-
ных (см. формулу (10.1)) или логарифмических (см. формулу (10.13))
единицах, можно рассматривать системы АРМП, на которые воздей-
ствуют мультипликативные замирания, и системы АРМП, на которые
воздействуют аддитивные замирания
Рассмотрим математические модели адаптивного канала радиосвя-
зи с системами автоматического нечеткого и ПИД-регулирования
мощности передатчика (см. рис. 10.9 и 10.15) при наличии аддитивных
замираний сигнала в каналах радиосвязи и радиоуправления.
В системах АРМП, представленных на рис. 10.9 и 10.15 в интерак-
тивной системе MATLAB, канал радиоуправления имеет два канала
обратной связи, которые работают на одной и той же несущей частоте
и имеют одну и ту же среду распространения радиоволн.
Первый обратный канал включает следующие элементы: генера-
тор generator 1, аттенюатор Attenuatorl, сумматор Sum7, звено R2.
Второй обратный канал включает следующие элементы: генератор
generator 1, делитель Gain, сумматор Sum6, звено R3, идентичное звену
R2. Используется временное разделение (уплотнение) каналов путем
их стробирования.
Преимуществом временного уплотнения, в сравнении с частот-
ным, является почти полное отсутствие взаимных влияний между ка-
налами, так как передача сообщений по каналам производится в раз-
ные отрезки времени, и простота аппаратуры, так как она не содержит
частотных фильтров, составляющих основу частотного уплотнения.
Особенно эффективна в технико-экономическом отношении аппара-
тура временного уплотнения при числе каналов не более 60..
Затухания сигналов (Radiation damping 1 и 2) и замирания
(Fadings 1) в обоих обратных каналах одинаковые.
В первом обратном канале сигнал на выходе звена R2 (поступаю-
щий с выхода сумматора Sum7):
mzi(') = ^[1 + 0(O] + «i(O,
791
Раздел 10
где 0(t) - принятый сигнал ошибки рассогласования, ис - постоян-
ный сигнал, который может быть определен расчетным или экспери-
ментальным путем, И] (7) - замирания в среде распространения радио-
волн.
Во втором обратном канале сигнал сигнал на выходе звена R3 (по-
ступающий с выхода сумматора Sum6):
«хг(О = «* +«i(0-
Нетрудно заметить, что
ЫЕ1(О-«22(О = И*0(О-
Таким образом, вычитая из выходного сигнала звена R2 выходной
сигнал звена R3 при идентичности звеньев R2 и R3 получаем на выхо-
де сумматора Suml преобразованный сигнал ошибки рассогласования
*
системы, в котором замирания отсутствуют. Поскольку ис - постоян-
ный сигнал, который может быть определен расчетным или экспери-
ментальным путем, то множитель ис можно рассматривать как коэф-
фициент пропорциональности (пропорциональное звено в математи-
ческой модели системы управления).
Возможный вариант технической реализации передающего тракта
обратного канала радиоуправления представлен на рис. 10.32,а.
Генератор Ген генерирует СВЧ-колебания частотой /2, которые
на выходе аттенюатора Ат модулируются по амплитуде низкочастот-
ным сигналом ошибки рассогласования. Амплитуда СВЧ-колебаний
частотой /2 на выходе делителя Д - величина постоянная. Переклю-
чатель П (антенный коммутатор) поочередно подключает канал 2 с
СВЧ-колебаниями постоянной амплитуды и канал 1 с амплидудно-
модулированными СВЧ-колебаниями, которые излучаются антенным
устройством. А. Каналы подключаются к антенному устройству на
одинаковые отрезки времени т. pl и р2 - управляющие переключа-
телем П импульсные последовательности (см. рис.10.32,6). Рд- цик-
лическая частота.. Таким образом, осуществляется передача двух не-
зависимых сообщений на одной несущей частоте без расширения по-
лосы частот канала радиоуправления.
792
Раздел 10
в)
= ис + “1(0
г)
Рис.10.32
При проектировании передающего тракта канала радиоуправления
должны выполняться следующие условия:
/2»^,; r«tp,\IFA«tpy
где tp - время регулирования в системе АРМП, определяемое по ре-
акции системы на ступенчатое воздействие.
В среде распространения радиоволн высокочастотные колебания
каналов 2 и 1 затухают (если расстояние между передатчиком и при-
емником равно D, то принимаемая мощность будет пропорциональна
793
Раздел 10
11D2) и дополнительно “модулируются” по амплитуде замираниями
(потерями на пути распространения радиосигналов).
Возможный вариант технической реализации приемного тракта
обратного канала радиоуправления представлен на рис. 10.32, в.
Принимаемые СВЧ-колебания частотой /2 приемной антенной А
с выхода входного устройства приемника ВУ поступают на амплитуд-
ный детектор АД, который преобразует амплитудно-модулированные
колебания высокой частоты каналов 2 и 1 в напряжение, пропорцио-
нальное огибающей высокочастотного сигнала. Переключатель П
(коммутирующее устройство) поочередно подключает на интервалы
времени т напряжения, пропорциональные огибающим в каналах 2 и
1, к соответствующим устройствам выборки и хранения УВХ. Таким
образом, на каждое УВХ поступает последовательность импульсов,
имеющих длительностью т и модулированных по амплитуде. Уст-
ройства выборки и хранения работают с шагом квантования й = 1 / F*
и служат для выделения огибающих импульсных последовательностей
соответственно (t) = ис [1 4- 6?(Z)] + щ (t) в канале 1 и
WZ2 (0= ис+ и\ (0 в канале 2. Разность огибающих
WZ1(O“ = W*0(O с обратным знаком (для получения отрица-
тельной обратной связи в системе АРМП) получим на выходе сумма-
тора Z (вычитающего устройства).
Следует отметить, что замирания, обозначаемые функцией U\ (f),
осуществляют амплитудную модуляцию радиосигналов, передавае-
мых через среду распространения радиоволн. В качестве примера на
рис. 10.32,г приведен вид сигнала на выходе УВХ2 W£2(0 = ис + 1/1(0
в канале 2 при синусоидальных замираниях .
Канал радиоуправления можно проектировать как информацион-
ный канал, используя управляющие импульсные последовательности
Pit i=l...N. Техническая реализация передающего тракта обратного
канала радиоуправления для этого варианта представлена на
рис. 10.33,а, а управляющие электронными ключами ЭКл1 и ЭКл2
импульсные последовательности pl и р2 - на рис. 10.33,6.
794
Раздел 10
Рис.10.33
Каналы подключаются на одинаковые отрезки времени Т .F* -
циклическая частота. На вход 1 электронного ключа ЭКл! подается
сигнал ошибки системы, на входы электронных ключей
ЭКл2...ЭклМ-1 подаются информационные сигналы, а на вход элек-
тронного ключа ЭКлК - постоянный сигнал. Электронные ключи
ЭКл1.„ЭклК служат для селекции каналов (распределения информа-
ции по каналам). Сигналы с выходов электронных ключей подаются
на вход кодера К, а с выхода кодера поступают на вход модулятора М.
Выбор вида модуляции определяется классом решаемых задач. С вы-
хода модулятора сигнал поступает передатчик Пд. Выходом передат-
795
Раздел 10
чика является антенная система А, излучающая электромагнитные ко-
лебания в соответствии с заданными характеристиками направленно-
сти.
В приемном тракте с выхода приемной антенны А сигналы по-
следовательно поступают на приемник Пр, демодулятор Дм и декодер
Дк. Декодированная отдельно в каждом канальном интервале т ин-
формационная последовательность сигналов с амплитудно-
импульсной модуляцией подается на электронные ключи
ЭКл1...ЭклМ-1, а постоянная последовательность импульсов - на
ключ ЭклМ. Электронные ключи в приемном тракте ЭКл1...ЭклМ
работают синхронно и синфазно с соответствующими электронными
ключами передающего тракта и служат для селекции каналов (распре-
деления информации по каналам). Устройства выборки и хранения
УВХ1 и УВХ2 работают с шагом квантования h = \ IFr и служат для
выделения огибающих импульсных последовательностей.
С выхода ключа ЭклМ последовательность импульсов (длитель-
ность каждого импульса равна т, а период следования импульсов ра-
вен шагу квантования h = 1 / Fa) поступает на устройство выборки и
хранения УВХ2, которое служит для выделения огибающей импульс-
ной последовательности в канале 2 и^2(0 = ис + которая по-
ступает на вход 2 вычитающего устройства Z . На вход 1 вычитающе-
го устройства Z подается общая информационную последователь-
ность сигналов вместе с последовательностью сигнала ошибки. На
выходе вычитающего устройства Е из общей информационной по-
следовательности сигналов замирания i/|(f) устраняются. Ключ
ЭКл1 выделяет последовательность сигнала ошибки, а огибающая
этой последовательности (без замираний) выделяется устрой-
ством выборки и хранения УВХ1.
Для сглаживания пульсаций и усиления сигналов информацион-
ных каналов до требуемого уровня на выходе каждого канала могут
применяться соответственно фильтры низкой частоты ФНЧ и усили-
тели УНЧ.
Исследование математических моделей систем АРМП, представ-
ленных на рис. 10.9 и 10.15, показало, что любые возбуждающие воз-
действия (аддитивные замирания) в канале радиоуправления
796
Раздел 10
(Fadingsl) полностью устраняются.
Рассмотрим математические модели адаптивного канала радиосвя-
зи с системами автоматического нечеткого и ПИД-регулирования
мощности передатчика (см. рис. 10.5 и 10.12) при мультипликативных
замираниях сигнала в каналах радиосвязи и радиоуправления.
В системах АРМП, представленных на рис. 10.5 и 10.12 в интерак-
тивной системе MATLAB, канал радиоуправления имеет два канала
обратной связи, которые работают на одной и той же несущей частоте
и имеют одну и ту же среду распространения радиоволн.
Первый обратный канал включает следующие элементы: генера-
тор generator 1, аттенюатор Attenuator 1, умножитель Productl, звено
R2. Второй обратный канал включает следующие элементы: генератор
generator 1, делитель Gain, умножитель Product2, звено R3, идентичное
звену R2. Используется временное разделение каналов путем их стро-
бирования.
Затухания сигналов (Radiation damping 1 и 2) и замирания
(Fadingsl) в обоих обратных каналах одинаковые.
В первом обратном канале сигнал на выходе звена R2 (поступаю-
щий с выхода умножителя Productl):
«х1(') = «*[1 + 0(')]Х"1(')>
где - принятый сигнал ошибки рассогласования, w* - постоян-
ный сигнал, который может быть определен расчетным или экспери-
ментальным путем, Wj (/) - замирания в среде распространения радио-
волн канала радиоуправления.
Во втором обратном канале сигнал на выходе звена R3 (посту-
пающий с выхода умножителя Product2):
«х2(0 = "*х«1(0-
Вычитая из выходного сигнала звена R2 выходной сигнал звена R3
при идентичности звеньев R2 и R3 получаем на выходе сумматора
Suml разностный сигнал
«х1 (0 - «х2 (0 = х "1 (О-
После деления разностного сигнала на сигнал, полученный на выходе
звена R3, получаем сигнал ошибки системы
797
Раздел 10
^xl (0 ^х2 (0 _
Wxl(')
Процессы в системах (см. рис. 10.5 и 10,12) исследованы при
мультипликативных замираниях сигнала (Fadings) в среде распростра-
нения радиоволн канала передачи данных u(t} и мультипликативных
замираниях сигнала (Fadings 1) в среде распространения радиоволн
канала радиоуправления U] (/), приведенных на рис. 10.6.
Исследование математических моделей систем АРМП, представ-
ленных на рис.10.5 и 10.12, показало, что любые возбуждающие воз-
действия (мультипликативные замирания) в канале радиоуправления
(Fadingsl) полностью устраняются.
Варианты технической реализации передающего тракта канала ра-
диоуправления при мультипликативных замираниях могут быть таки-
ми же, как и при аддитивных замираниях (см. рис. 10.32,а или 10.33,а).
Возможные варианты технической реализации приемного тракта
канала радиоуправления при мультипликативных замираниях пред-
ставлены на рис. 10.34.
Вариант технической реализации приемного тракта канала радио-
управления при мультипликативных замираниях (см. рис. 10.34,а) от-
личается от такого же тракта при аддитивных замираниях (см.
рис. 10.32,в) только дополнительным устройством деления сигналов.
Устройства выборки и хранения УВХ1 и УВХ2 (см. рис.10.34.а)
работают с шагом квантования h-MF^ и служат для выделения оги-
бающих импульсных последовательностей соответственно:
их1 (Г) = w*[l + #(/)] х щ (г) на выходе канала 1
и wx2(/) ~ ис х и\ (0 на выходе канала 2.
798
Раздел 10
б)
в)
Рис.10.34
Разность огибающих wxj(0~wx2(0 = ucd(t)^U\(t) с обратным
знаком (для получения отрицательной обратной связи в системе
АРМП) получим на выходе вычитающего устройства Z .
После деления сигнала разности на выходной сигнал канала 2
= xwi(0, на выходе Делителя будем иметь ошибку рассо-
«Х1(О-«Х2(О /j/А
гласования------------— = Utt).
Варианты технической реализации приемного тракта канала ради-
799
Раздел 10
оуправления с информационными каналами при мультипликативных
замираниях приведены йа рис. 10.34,б,в.
Электронные ключи в приемном тракте ЭКл1„.ЭклН работают
синхронно и синфазно с соответствующими электронными ключами
передающего тракта и служат для селекции каналов (распределения
информации по каналам). Устройства выборки и хранения УВХ1 и
УВХ2 работают с шагом квантования h-MF^ и служат для выделе-
ния огибающих импульсных последовательностей.
В приемном тракте с выхода приемной антенны А сигналы по-
следовательно поступают на приемник Пр, демодулятор Дм и декодер
Дк. Декодированная последовательность сигналов с амплитудно-
импульсной модуляцией в схеме на рис. 10.34,6 подается на электрон-
ные ключи ЭКл1 и 3IGiN и с выхода Делителя 2 - на электронные
ключи ЭКл2... ЭКл!Ч-1. На выходе УВХ1 и УВХ2 выделяются оги-
бающие импульсных последовательностей соответственно:
wxl(/) = w*[l+ ^(/)]xwi(r) на выходе канала 1 и ux2(f) = х М](/)
на выходе канала 2. На выходе вычитающего устройства Z получим
разность огибающих ux\(f)-ux2(f) = uc0(f)*u\(t). После деления
сигнала разности на выходной сигнал канала 2 wx2(0 = ис х щ(Г) , на
выходе Делителя 1 получаем ошибку рассогласования 0(f).
Если с выхода декодера Дк огибающие импульсных последова-
тельностей в информационных каналах имеют вид uci(f)x , то
на выходе Делителя 2 (после деления на выходной сигнал УВХ2
wx2(0“ ис XW1(O) огибающие этих импульсных последовательно-
стей определяются как uci(f)/u*9 т.е. замирания после деления сигна-
лов устраняются. Для сглаживания пульсаций и усиления сигналов
информационных каналов до требуемого уровня на выходе каждого
канала могут применяться соответственно фильтры низкой частоты
ФНЧ й усилители УНЧ.
Если с выхода декодера Дк огибающая импульсной последова-
тельности сигнала ошибки имеет вид 0(f) х (/), то техническая реа-
лизация приемного тракта канала радиоуправления с информацион-
ными каналами при мультипликативных замираниях упрощается (см.
800
Раздел 10
рис.10.34.в). В этом случае после деления на выходной сигнал УВХ2
wx2(0 = ис х wl(0 огибающая импульсной последовательности сиг-
нала ошибки на выходе УВХ1 преобразуется к виду 0(f)/и*, т.е. за-
мирания после деления сигналов устраняются.
Системы автоматического регулирования мощности передатчика
прямого канала радиосвязи РПдУ1 с компенсацией замираний в об-
ратном канале радиоуправления обеспечивают хорошее качество при-
нимаемого СВЧ-сигнала ис(()ш входе радиоприемника прямого ка-
нала радиосвязи РПрУ1: при ступенчатых периодических и синусои-
дальных замираниях (уменьшениях отношения сигнал/шум на входе
приемника РПрУ1 на 40% от нормального), системы автоматически
увеличивают мощность передатчика прямого канала радиосвязи и та-
ким образом практически полностью компенсируют замирания в ка-
нале радиосвязи (канале передачи данных).
Если канал радиоуправления проектируется с двумя каналами об-
ратной связи (как это показано на математических моделях систем
АРМП, приведенных на рис. 10.5, 10.9, 10.12 и 10.15, при условии уст-
ранения замираний в обратном канале радиоуправления), то структур-
ные схемы систем АРМП, приведенные на рис. 10.28, упрощаются (см.
рис. 10.35), а именно, в упрощенных структурных схемах сумматора
Sum2 нет, потому что в приемном тракте канала радиоуправления по-
стоянная составляющая устранена и по каналу радиоуправления те-
перь передается только ошибка рассогласования, а главное, устранены
замирания в канале радиоуправления.
801
Раздел 10
Рис.10.35
При условии устранения замираний в обратном канале радио-
управления системы АРМП, структурные схемы которых приведены
на рис. 10.35, в отличие от систем АРМП, структурные схемы которых
приведены на рис. 10.28, можно рассматривать как стационарные.
Проблема устранения замираний в канале радиоуправления явля-
ется наиболее важной при проектировании систем АРМП.
802
Раздел 10
Исследование влияния замираний в канале радиоуправления на
работу систем можно выполнить, используя любою из моделей систем
АРМП. На рис. 10.36 представлена модель системы, рассмотренной на
рис. 10.15, в которую дополнительно введены два переключателя Ma-
nual Switch 1 и Manual Switch!.
Когда переключатель Manual Switch 1 находится в левом поло-
жении, а переключатель Manual Switch! - в верхнем положении, мо-
дель системы на рис. 10.36 совпадает с моделью системы на рис. 10.15,
в системе работают два обратных канала в общем канале радиоуправ-
ления и на канал радиоуправления воздействуют замирания. Когда
переключатель Manual Switchl находится в правом положении, а пе-
реключатель Manual Switch! - в нижнем положении, в системе рабо-
тает только один обратный канал и в канале радиоуправления замира-
ния отсутствуют. Процессы в системе для этого случая приведены на
рис. 10.37 ( они совпадают с процессами на рис. 10.17).
803
Раздел 10
Когда переключатель Manual Switchl находится в левом поло-
жении, а переключатель Manual Switchl - в нижнем положении, в
системе работает только один обратный канал в общем канале радио-
управления и на этот канал радиоуправления воздействуют замира-
ния. Процессы в системе для этого случая приведены на рис. 10.38.
О 10 20 30 40 50 60
а)
б)
б)
10 20 30 40 50 60
в)
Рис.10.38
в)
Рис.10.37
Как видно из осциллограмм система АРМП в этом случае являет-
ся практически неработоспособной из-за чрезвычайно больших оши-
бок рассогласования.
804
Раздел 10
Таким образом можно сформулировать следующий вывод: без
компенсации замираний в канале радиоуправления функционирование
систем АРМП невозможно.
В данном разделе предложен новый способ проектирования об-
ратного канала радиоуправления систем АРМП при аддитивних и му-
льтипликативних замираниях сигнала в этом канале []. Путем матема-
тического моделирования показано, что предложенный способ проек-
тирования канала радиоуправления систем АРМП позволяет устра-
нить как аддитивные, так и мультипликативные замирания в обратном
канале радиоуправления и, тем самым, устранить нестационарные
процессы в замкнутом контуре и кардинально повысить качество сис-
тем АРМП.
Необходимо подчеркнуть, что системы автоматического нечетко-
го и ПИД- регулирования мощности передатчика (системы АРМП) с
точки зрения теории автоматического управления представляют собой
одноконтурные замкнутые системы управления с обратной связью,
однако каналы радиосвязи с такими системами приобретают, в опре-
деленном смысле, свойства адаптивности и инвариантности относи-
тельно возбуждающих воздействий, какими являются замирания. Пе-
редающее устройство канала радиосвязи ’’приспосабливается” к слу-
чайным (произвольным) возбуждающим воздействиям (замираниям).
Поэтому применение систем АРМП в каналах радиосвязи можно
трактовать как метод адаптивного приема с использованием замкну-
тых систем управления с обратной связью, а каналы радиосвязи с сис-
темами АРМП можно расматривать как адаптивные (хотя сами систе-
мы АРМП адаптивными не являются).
В структурных схемах на рис. 10.28 и 10.35 передаточные функ-
ции радиотехнических звеньев одинаковые, что упрощает моделиро-
вание систем и не имеет принципиального значения, но следует отме*
тить, что обычно прямой канал радиосвязи и обратный канал радиоу-
правления работают на разных частотах, поэтому для конкретних сис-
тем АРМП параметри передаточных функций этих з ;еньев могут быть
хотя и близкими, но различными.
Заканчивая эту часть раздела определим более точные модели ат-
тенюатора как элемента системы автоматического регулирования
мощности передатчика, учитывающие реальные свойства аттенюато-
ра: нелинейную статическую регулировочную характеристику и пере-
менную инерционность.
805
Раздел 10
Модель аттенюатора как элемента системы АРМП была представ-
лена в виде статической нелинейности с линейной характеристикой в
рабочей области. Мощность на выходе передатчика, регулируемая
аттенюатором, выражалась зависимостью
[ ^nax- w(/)<0;
P(t) = 4х[1-0>(0]- 0<m(/)<9;
0,l^max> w(/)>9.
где Pmax - мощность генератора СВЧ-колебаний, m(t) - сигнал на
входе аттенюатора. Такая характеристика аттенюатора изображена на
рис. 10.3.
Для реальных аттенюаторов с регулируемым коэффициентом
передачи статическая регулировочная характеристика является суще-
ственно нелинейной и, кроме того, аттенюатор имеет инерционность,
которую можно описать передаточной функцией апериодического
звена, причем постоянная времени этого звена имеет одно значение
при увеличении и другое значение при уменьшении управляющего
напряжения на входе аттенюатора.
На практике статическую регулировочную характеристику атте-
нюатора с регулируемым коэффициентом передачи определяют экс-
периментально: задаваясь дискретными значениями управляющего
напряжения = 1Л, где / = 0,1,2,..., А - шаг управляющего напряже-
ния (в вольтах), находят значения коэффициентов передачи аттенюа-
тора Кaf При неравномерном шаге управляющего напряжения
обычно записывают значения т1 и соответствующие значения коэф-
фициентов Kai (I =0,1,2,.... ). Тогда на интервале /w/<7w</w/+1 зави-
симость Ка (т) можно найти по уравнению прямой, проходящей че-
рез две точки (т,, Ка1) и (тм, К.аМ ):
т-т, Ка(т)- К„,
-------1_ = _а—/-------aj_ (10.17)
тМ ~ т1 Ка/+\ ~ К al
Отсюда получаем
z ч ai+\~ Кal)m + ™1+\Ка1 ~ miKai+\
Ка (т) »-----—-----------------------------— при т, < т < тм
w/+| -т.
806
Раздел 10
(10.18)
При равномерном шаге А управляющего напряжения = /А,
/и/+1 =(/ + 1)Д.
Г (т\ ~ ^“/+1 ~ %al + + ~ ^al+i )
К а ~ А
А
при /A<w<(/ + 1)A (10.19)
На рис. 10.39 приведена статическую регулировочная характери-
стика атенюатора и в таблице даны значения коэффициента передачи
Ка для дискретных значений управляющего напряжения.
т Ка
0 1,000
1 0,989
2 0,972
3 0,937
4 0,886
5 0,796
б 0,682
7 0,546
8 0,398
9 0,256
10 0,159
11 0,102
12 0,057
13 0,034
14 0,023
Например, из таблицы на рис. 10.39 при А = 1 по формуле (10.19)
имеем:
= (0,989 - 1)?и =-0,011?и на интервале 0</л<1;
=-0,017?л 4-1,006 на интервале 1 <т<2;
Ка (w) ~ “0,035т +1,042 на интервале 2 < т <3;
Ка (w) = “0,05\т +1,09 на интервале 3 <т <4;
807
Раздел 10
Ка (т) ~ ’0,09/77 +1,246 на интервале 4 < т <5;
Ka(ni) = -0,114m +1,366 на интервале 5<//7<6;
/Са(/77) = -0,136/?7 + 1,498 на интервале 6</Т7<7;
Ka(jri) - -0,148/77 4-1,582 на интервале 7<//?<8;
Ка = “0,142/77 4-1,534 на интервале 8 < т <9;
Ка (/и) - -0,097/77 4-1,129 на интервале 9 <т <10 и так далее.
Если управляющее напряжение m(t) изменяется в ограниченных
пределах в области, где статическая характеристика близка к линей-
ной, то зависимость Ка(т) можно найти по уравнению прямой,
проходящей через две точки (т1УКа1) и (,КаМ) по формуле
(10.18). Например, на интервале 6 <т <9 получаем
„ . . (0,256-0,698)7/7 + 9*0,698-6*0,256 П1у1_ ,
К„ (тт/) « 2---------------------------------= 0,147/77 +1,552.
“ 9-6
При моделировании аттенюатора как элемента системы автомати-
ческого управления статическую регулировочную характеристику
атенюатора можно выразить как нелинейность в виде полинома по
табличным значения (см. таблицу на рис. 10.39). Используя, например,
программу Numeri по координатам точек из таблицы находим мате-
матическое выражение для кривой, изображенной на рис. 10.39. Полу-
чаем следующие результаты:
Ка{т) = 1 - 0,04302m + 0,02869m2 -0,00921m3 + 0,000822m4 -
-0,0000229m5 (10.20)
при погрешности у А2 =0,00053 или
Ка (т) = 0,974 + 0,059™-0,0259m2 + 0,0012m3 (10.21)
при погрешности У А2 = 0,0058.
Соответствующее значению управляющего напряжения
m(t) значение коэффициента передачи Ка устанавливается не сразу,
а находится как решение дифференциальных уравнений:
г+^^ + £а(/) = т(/) (10.22)
at
808
Раздел 10
или
Г^^ + /Са(Г) = ю(/), (10.23)
причем постоянная времени г+ соответствует увеличению коэффи-
циента передачи (уменьшению управляющего напряжения), а посто-
янная времени т~ соответствует уменьшению коэффициента переда-
чи (увеличению управляющего напряжения).
На основании вышеизложенного модели аттенюатора как элемен-
та системы автоматического регулирования мощности передатчика в
интерактивной системе MATLAB можно представить в виде, изобра-
женном на рис. 10.40.
Блоки Gain (усилитель с коэффициентом усиления \/h ) Unit De-
lay (задержка на шаг квантования А) и вычитающее устройство Suml
служат для вычисления первой разности управляющего напряжения с
шагом квантования h по формуле: m(k) = [ти(&) - m(k - 1)]/Л . Бло-
ки Transfer Fen и Transfer Fcnl соответствуют уравнениям (10.22) и
(10.23). Блок Fen представляет нелинейную статическую регулиро-
вочную характеристику атенюатора Ка(т), а блок т0 задает рабо-
чую точку на статической характеристике. На вход Ini поступает
управляющее напряжение m(t), на вход 1п2 подается мощность ге-
нератора СВЧ-колебаний ^тах, которая поступает на умножитель
Product. Если т(к) больше нуля, то на сумматор Sum поступает сиг-
нал с выхода блока Transfer Fen, иначе на сумматор Sum поступает
сигнал с выхода блока Transfer Fcnl (в модели аттенюатора на
рис. 10.40,6 такое переключение выполняет переключатель Switch, в
котором установлен порог Thresholds 0; за исключением этого мо-
дели на рис. 10.40,а,б идентичны).
809
Раздел 10
Transfer Fen
Unit Delay
a)
Transfer Fen
Unit Delay
6)
Рис. 10.40
Исследование моделей аттенюаторов (см. рис. 10.40,а,б) проведено
по схеме, приведенной на рис. 10.41. На вход Ini аттенюаторов (At-
tenuatorl) подано синусоидальное управляющее напряжение Sine
Wave m(t) - 2 sin 0,314/ (см. рис. 10.57,а), на вход In2 подано напря-
жение, имитирующее ^>тах=20 Вт (generator). Нелинейная статиче-
ская регулировочная характеристика атенюатора Ка (тп) представлена
формулой (10.20). Блоки Transfer Fen и Transfer Fcnl описаны соот-
810
Раздел 10
ветственно передаточными функциями (0,0155 + 1) 1 и
(0,0125 + 1)“'.
То Workspace
Рис.10.41
На рис. 10.42 приведена мощность на выходе передатчика, регу-
лируемая аттенюатором, при задании значений рабочей точки на ста-
тической характеристике аттенюатора т0 соответственно равных 7,24
(б), 10,24 (в) и 4,24 (г). При т0=7,24 и амплитуде синусоидального
управляющего напряжения, равной 2, аттенюаторы работают на ли-
нейном участке статической характеристики.
в) г)
Рис.10.42
811
Раздел 10
Таким образом, при моделировании систем автоматического регу-
лирования мощности передатчика (систем АРМП), в которых мощ-
ность на выходе радиопередающего устройства прямого канала ра-
диосвязи регулируется аттенюатором, в рассмотренных моделях ат-
тенюатора необходимо выбирать значение рабочей точки на статиче-
ской характеристике аттенюатора и определять диапазоны изменения
управляющего напряжения так, чтобы аттенюатор работал на линей-
ном участке.
10.5. Системы автоматического нечеткого и ПИД- регул иро-
ваниия мощности передатчика при случайных замираниях в ка-
нале радиосвязи [31, 98,100,105]
В разделах 10.2 и 10.3 системы автоматического нечеткого и
ПИД- регулирования мощности передатчика в каналах радиосвязи ис-
следовались при поступлении замираний в виде ступенчатых перио-
дических и эквивалентных синусоидальных возбуждающих воздейст-
вий. Такие воздействия являются типовыми для систем автоматиче-
ского управления и позволяют определить качественные показатели
систем по быстродействию и точности, а также, что важно с практиче-
ской точки зрения, позволяют производить сравнение систем по полу-
ченным показателям качества. С другой стороны нужно подчеркнуть,
что замирания как возбуждающие воздействия на системы АРМП яв-
ляются случайными воздействиями, поэтому целесообразно исследо-
вать эти системы при таких воздействиях.
Для моделирования стационарных случайных воздействий в инте-
рактивной системе MATLAB можно использовать блок Band-Limited
White Noise с соответствующим формирующим фильтром (Transfer
Fen). Схема моделирования с шагом моделирования Sample time =0,5
и значением Noise powers 1 отдельно приведена на рис. 10.43.
Рис.10.43
На рис. 10.44 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель фаззи-системы АРМП (системы с
812
Раздел 10
нечетким регулятором), в которой аттенюатор в прямом канале радио
связи перестраивается двигателем, на вход которого подается сигнал <
выхода нечеткого регулятора.
Двигатель с регулирующим механизмом (Engine), пocpeдcтвo^
которого перестраивается мощный аттенюатор, опишем передаточног
функцией Gd(s) = + а)]"1 = 12[s(s +12)]"1, а радиозвенья R1
R2, R3 с учетом только запаздывания сигнала в среде распространена
и фильтра приемника опишем передаточной функцией
Gp}(s) = /(s + b) = lOe'0 01 /(s +10).
Sine Wave gurng
Рис.10.44
Мощность на выходе передатчика, регулируемую аттенюатором,
выразим следующей нелинейной зависимостью
813
Раздел 10
Pmax> W/0<0;
ЛО = ЛахП - 0Л^(0], 0 < md{t} < 9;
0,1Ргаах> mrf(/)>9.
где Ртах - мощность генератора СВЧ-колебаний, md (/) - сигнал на
входе аттенюатора.
Полная структурная схема нечеткого регулятора приведена в раз-
деле 3 (см. рис.3.10). Ошибка рассогласования в системе управления с
нечетким регулятором (см. рис. 10.44) квантуется аналого-цифровым
преобразователем АЦП (Zero-Order Hold) с шагом квантования (шагом
поступления данных в нечеткий регулятор) =0,01 с. Ошибка на
выходе АЦП 0(к), ее первая 0(к) = [0(k)-0(k-\)]/h и вторая
0(к) = [#(&) - 0(к -1)]/ h разности подаются на вход блока Controller
нечеткого регулятора. Блок Controller содержит блоки нормировки
входных (normin) и выходного (normout) сигналов и центральный блок
Fuzzy Logic Controller. Сигнал с выхода регулятора поступает на ЦАП
(фиксатор нулевого порядка Zero-Order Holdl с передаточной функ-
цией H(s) = (l-e~hs)/s) и далее на вход объекта управления. Для
уменьшения числа параметров настройки нечеткого регулятора диапа-
зоны изменения переменных в блоках нормировки входных (normin) и
выходного (normout) сигналов приняты симметричными:
А ~ ^тах “ ~^min > & ~ ^тах ““ —^min > С ~ ^тах — ~^min ’
В ~ ^тах “ —wmin •
Функции принадлежности в нечетком регуляторе - треугольные.
Система (см. рис. 10.44) исследована при воздействии синусои-
дальных замираний сигнала (Fadings) в виде эквивалентного гармони-
ческого воздействия
пэ(г) = U3 sino)3t = 0,2sin0,1яГ.
Минимальная динамическая ошибка в системе (см. рис. 10.44) при
воздействии синусоидальных замираний сигнала (Fadings) в виде та-
кого эквивалентного гармонического воздействия имеет место при
следующих параметрах нечеткого регулятора:
Ат = 0,02; Вт = 0,1; Ст = 1,0; Dm = 40.
814
Раздел 10
Величина текущей ошибки при синусоидальных замираниях сигнала
не превышает 0,3% от величины уставки = 1.
Из теории известно [10], что при произвольных замираниях сиг-
налов (Fadings), которые изменяются с максимальной скоростью
C.v и максимальным ускорением = U ошибка бу-
дет не более той, которая имеет место при синусоидальных замирани-
ях сигнала.
Имеем: 69 = t7 69, = 0,02л-; £ х = 0,002л-2.
гпдл j э 7 ' Шах у j 7
Формирование произвольного процесса с заданными максималь-
ными скоростью и ускорением затруднительно, поэтому поступим
следующим образом.
Примем, что частота сопряжения формирующего фильтра, кото-
рый описывается последовательным соединением двух апериодиче-
ских звеньев, равна:
а - ^тах ” = 0,02л- = 0,0628.
Величину дисперсии примем равной D = 0,02. В блоке Transfer Fen,
который моделирует формирующий фильтр, положим: alf=0,0628,
D=0,02.
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.44,
методом математического моделирования при случайных возбуж-
дающих воздействиях (замираниях) приведены на рис. 10.45. Процес-
сы в модели системы АРМП отображаются на индикаторах: a) Fadings
(замирания u(t) - одна из реализаций стационарного случайного про-
цесса), б) Р (мощность на выходе аттенюатора P(t)), в) Error (теку-
щая ошибка рассогласования 0(f)), г) m (управляющее воздействие с
выхода нечеткого регулятора m(t) на входе двигателя).
Фаззи-система АРМП (см. рис. 10.44) при случайном увеличении
величины замираний соответствующим образом пропорционально
увеличивает мощность передатчика в канале радиосвязи, обеспечивая
хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое задается опе-
ратором при помощи напряжения уставки . При этом максимальная
величина ошибки не превосходит 0.3% от величины уставки.
815
Раздел 10
На рис. 10.46 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель фаззи-системы АРМП (системы с
нечетким регулятором), в которой аттенюатор в прямом канале радио-
связи перестраивается непосредственно сигналом управления с выхо-
да нечеткого регулятора.
Минимальная динамическая ошибка в системе (см. рис. 10.52) при
воздействии синусоидальных замираний сигнала (Fadings) в виде эк-
вивалентного гармонического воздействия
и3 (г) = U3 sin co3t = 0,2 sin 0,1 яг
имеет место при следующих параметрах нечеткого регулятора:
Ат = 0,033; Вт = 1,0; Ст = 90; Dm = 45,5.
Величина динамической ошибки при синусоидальных замираниях
сигнала не превышает 2,5% от величины уставки ~ 1 •
816
Раздел 10
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.46,
методом математического моделирования при случайных возбуж-
дающих воздействиях (замираниях) приведены на рис. 10.47.
Фаззи-система АРМП (см. рис. 10.46) при случайном увеличении
величины замираний соответствующим образом пропорционально
увеличивает мощность передатчика в прямом канале радиосвязи,
обеспечивая хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое
задается оператором при помощи напряжения уставки Uq . При этом
максимальная величина ошибки не превосходит пределов 2,2% от ве-
личины уставки.
Как показывают исследования, нечеткий регулятор в системах
АРМП, математические модели которых приведены на рис. 10.44 и
10.46, при случайных замираниях обеспечивает весьма высокое каче-
ство работы систем, характеризуемое случайной динамической ошиб-
кой.
817
Раздел 10
Рис. 10.47
На рис. 10.48 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель системы АРМП с ПИД-
регулятором, в которой аттенюатор перестраивается двигателем, на
вход которого подается сигнал с выхода ПИД-регулятора.
Передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора запишем в
виде
fF(Z) = G1+G2^ + G3 —.
z —1 Z
Система (см. рис. 10.48) исследована при воздействии синусои-
дальных замираний сигнала (Fadings) в виде эквивалентного гармони-
ческого воздействия
иэ (г) = sin бУ/ = 0,2 sin 0,1 лГ.
818
Раздел 10
Рис.10.48
Минимальная текущая ошибка в системе имеет место при сле-
дующих значениях коэффициентов ПИД-регулятора:
Gj =110; G2 =0,85; G3 =3700.
Величина текущей ошибки при синусоидальных замираниях сигнала
не превышает 0,3% от величины уставки w0 = 1.
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.48,
методом математического моделирования при случайных возбуж-
дающих воздействиях (замираниях) приведены на рис. 10.49. Процес-
сы в модели системы АРМП отображаются на индикаторах: a) Fadings
(замирания u(t) - одна из реализаций стационарного случайного про-
цесса), б) Р (мощность на выходе аттенюатора P(t)), в) Error (ошибка
рассогласования 0(t)), г) m (управляющее воздействие с выхода
ПИД-регулятора m(t)).
819
Раздел 10
а) б)
20 40 60 80 100 20 40 60 80 100
в) г)
Рис.10.49
Система АРМП (см. рис. 10.48) при случайном увеличении вели-
чины замираний соответствующим образом пропорционально увели-
чивает мощность передатчика в прямом канале радиосвязи, обеспечи-
вая хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое задается
оператором при помощи напряжения уставки . При этом макси-
мальная величина ошибки не превосходит 0,8% от величины уставки.
На рис. 10.50 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель системы АРМП с ПИД-
регулятором, в которой аттенюатор перестраивается непосредственно
сигналом управления с выхода ПИД-регулятора.
Минимальная текущая ошибка в системе при воздействии сину-
соидальных замираний сигнала (Fadings) в виде эквивалентного гар-
820
Раздел 10
монического воздействия u3(t) - U3 sin69/ = 0,2sin0,1 nt имеет ме-
сто при следующих значениях коэффициентов ПИД-регулятора:
G} =130; G2 =5,0; G3 =600.
Рис.10.50
Величина динамической ошибки при эквивалентных синусоидальных
замираниях сигнала не превышает 0,15% от величины уставки w0 = 1.
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.50,
методом математического моделирования при случайных возбуж-
дающих воздействиях (замираниях) приведены на рис. 10.51.
Система АРМП (см. рис. 10.50) при случайном увеличении вели-
чины замираний соответствующим образом пропорционально увели-
чивает мощность передатчика в канале радиосвязи, обеспечивая хо-
рошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое задается опера-
тором при помощи напряжения уставки w0. При этом максимальная
величина ошибки не превосходит 0,12% от величины уставки.
821
Раздел 10
в) г)
Рис.10.51
Как показывают исследования, ПИД-регулятор в системах АРМП,
математические модели которых приведены на рис. 10.54 и 10.56, при
случайных возбуждающих воздействиях (замираниях) обеспечивает
весьма высокое качество работы систем, характеризуемое случайной
текущей ошибкой.
Системы, математические модели которых приведены на
рис. 10.44, 10.46, 10.48 и 10.50, исследованы при случайных аддитив-
ных возбуждающих воздействиях (замираниях) в прямом канале ра-
диосвязи и обратном канале радиоуправления. Аддитивные замирания
в прямом канале радиосвязи (канале передачи данных) подаются на
блок сумматора Sum. Канал радиоуправления выполнен так, что адди-
тивные замирания в этом канале устранены (путем применения двух
каналов обратной связи).
Системы АРМП, математические модели которых приведены ни-
822
Раздел 10
же на рис. 10.52, 10.54, 10.56 и 10.58, исследованы при случайных
мультипликативных возбуждающих воздействиях (замираниях) в
прямом канале радиосвязи и обратном канале радиоуправления. Ад-
дитивные замирания в прямом канале радиосвязи (канале передачи
данных) подаются на блок умножителя Product Канал радиоуправле-
ния выполнен так, что мультипликативные замирания в этом канале
устранены.
В рассматриваемых системах АРМП математическая модель дви-
гателя с регулирующим механизмом (Engine), посредством которого
перестраивается мощный аттенюатор, представлена передаточной
функцией Gd(s) = #d[s(s + а)]"1 = 12[s(5 +12)]'1, а радиозвенья R1,
R2, R3 с учетом только запаздывания сигнала в среде распространения
и фильтра приемника представлены передаточной функцией
Gp3(s) = a3e~r's /(s + b) = 1Ое'0,01 /(5 + 10). Мощность на выходе пе-
редатчика, регулируемая аттенюатором, выражена нелинейной зави-
симостью
0,lPmax,
Pmax - мощность генератора СВЧ-колебаний, m^(t} - сигнал на
входе аттенюатора.
Нечеткий регулятор представлен схемой, изображенной на
рис.3.10. Для уменьшения числа параметров настройки нечеткого ре-
гулятора диапазоны изменения переменных приняты симметричными:
/lw = #max = — $min ’ ~ ^тах ~ ~^min » = ^тах = —^min »
Dm — wmax — ^min •
Функции принадлежности в нечетком регуляторе - треугольные.
Цифровой ПИД-регулятор представлен схемой, изображенной на
рис.3.9. Передаточная функция цифрового ПИД-регулятора имеет вид
W(z) = Gi+G2 — + G3 — .
1 J
z-\ z
Для моделирования стационарных случайных воздействий в интерак-
тивной системе MATLAB используется схема моделирования, приве-
денная на рис. 10.43, с шагом моделирования Sample time =0,6 и значе-
823
Раздел 10
нием Noise power=l. В блоке Transfer Fen, который моделирует фор-
мирующий фильтр, положим: alf=0,0628, D=0,02.
На рис. 10.52 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель фаззи-системы АРМП (системы с
нечетким регулятором Fuzzy Controller), в которой аттенюатор в пря-
мом канале радиосвязи перестраивается двигателем, на вход которого
подается сигнал с выхода нечеткого регулятора.
Рис.10.52
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.52,
методом математического моделирования при случайных мультипли-
кативных возбуждающих воздействиях (замираниях) приведены на
рис. 10.53. Процессы в модели системы АРМП отображаются на инди-
каторах: a) Fadings (замирания u(t) - одна из реализаций стационар-
ного случайного процесса), б) Р (мощность на выходе аттенюатора
Р(0), в) Error (ошибка рассогласования г) m (управляющее
воздействие с выхода двигателя m(t) на входе аттенюатора).
824
Раздел 10
в) г)
Рис.10.53
При параметрах нечеткого регулятора
Ат - 0,02; Вт = 0,1; Ст = 0,5; Dm - 25
случайная динамическая ошибка не превышает 0.7% от напряжения
уставки ы0=1.
Система АРМП (см. рис. 10.52) при случайном увеличении вели-
чины замираний соответствующим образом пропорционально увели-
чивает мощность передатчика в прямом канале радиосвязи, обеспечи-
вая хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое задается
оператором при помощи напряжения уставки .
На рис. 10.54 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель фаззи-системы АРМП (системы с
нечетким регулятором Fuzzy Controller), в которой аттенюатор в пря-
мом канале радиосвязи перестраивается непосредственно сигналом с
выхода нечеткого регулятора.
825
Раздел 10
Рис.10.54
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.54,
методом математического моделирования при случайных мультипли-
кативных возбуждающих воздействиях (замираниях) приведены на
рис.10.55.
При параметрах нечеткого регулятора
Ат = 0,033; Вт = 1,0; Ст = 90; Dm = 80
случайная динамическая ошибка не превышает 1,8% от напряжения
уставки Uq =1.
Система АРМП (см. рис. 10.54) при случайном увеличении вели-
чины замираний соответствующим образом пропорционально увели-
чивает мощность передатчика в прямом канале радиосвязи, обеспечи-
вая хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое задается
оператором при помощи напряжения уставки и0 .
826
Раздел 10
Как показывают исследования, нечеткий регулятор в системах
АРМП, математические модели которых приведены на рис. 10.52 и
10.54, при случайных мультипликативных возбуждающих воздейст-
виях (замираниях) обеспечивает весьма высокое качество работы сис-
тем, характеризуемое случайной текущей ошибкой.
На рис. 10.56 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель системы АРМП с ПИД-регулятором
(блок PID па рисунке), в которой аттенюатор в прямом канале радио-
связи перестраивается двигателем, на вход которого подается сигнал с
выхода ПИД-регулятора.
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.56,
методом математического моделирования при случайных мультипли-
кативных возбуждающих воздействиях (замираниях) приведены на
рис.10.57.
827
Раздел 10
Рис.10.56
Процессы в модели системы АРМП (см. рис. 10.56) отображаются
на индикаторах: a) Fadings (замирания u(t) - одна из реализаций ста-
ционарного случайного процесса), б) Р (мощность на выходе атте-
нюатора прямого канала радиосвязи P(t)), в) Error (ошибка рассогла-
сования #(/)), г) m (управляющее воздействие с выхода двигателя
m(t) на входе аттенюатора прямого канала радиосвязи).
При значениях коэффициентов ПИД-регулятора:
Gj =120; G2=l,6; G3 =2500
случайная динамическая ошибка не превышает 1,2% от напряжения
уставки Uq^I.
Система АРМП (см. рис. 10.56) при случайном увеличении вели-
чины замираний соответствующим образом пропорционально увели-
чивает мощность передатчика в прямом канале радиосвязи, обеспечи-
828
Раздел 10
вая хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое задается
оператором при помощи напряжения уставки z/0 .
в) г)
Рис.10.57
На рис. 10.58 представлена составленная в интерактивной системе
MATLAB математическая модель системы АРМП с ПИД-регулятором
(блок P1D па рисунке), в которой аттенюатор в прямом канале радио-
связи перестраивается непосредственно сигналом управления с выхо-
да ПИД-регулятора.
Результаты исследования системы, изображенной на рис. 10.58,
методом математического моделирования при случ 1йных мультипли-
кативных возбуждающих воздействиях (замираниях) приведены на
рис. 10.59.
При значениях коэффициентов ПИД-регулятора:
С?! =120; G2=8,96; G3=500
829
Раздел 10
случайная динамическая ошибка не превышает 0,13% от напряжения
уставки Uq=1.
Рис.10.58
Система АРМП (см. рис. 10.58) при случайном увеличении вели-
чины замираний соответствующим образом пропорционально увели-
чивает мощность передатчика в прямом канале радиосвязи, обеспечи-
вая хорошее качество принимаемого СВЧ-сигнала, которое задается
оператором при помощи напряжения уставки Uq .
Как показывают исследования, ПИД-регулятор в системах АРМП,
математические модели которых приведены на рис. 10.56 и 10.58, при
случайных мультипликативных возбуждающих воздействиях (замира-
ниях) обеспечивает весьма высокое качество работы систем, характе-
ризуемое случайной текущей ошибкой.
830
Раздел 10
в) г)
Рис.10.59
10.6. Математические модели систем автоматического регу-
лирования мощности в канале MS-BS мобильной святи (20, 26, 27,
97,218]
Представляет практический интерес распространить метод ком-
пенсации аддитивных и мультипликативных помех в обратном канале
систем АРМП на системы мобильной радиосвязи.
В системах мобильной связи мощность излучения передатчиков
регулируют на базовой станции BS и на мобильной станции MS. Од-
нако регулирование мощности в широком динамическом диапазоне
осуществляют только на MS (в обратном канале радиосвязи). Мощ-
ность излучения передатчика на BS (в прямом канале радиосвязи) из-
меняют в узком динамическом диапазоне для грубой коррекции от-
ношения сигнал/шум в приемном тракте MS. Свободное перемещение
абонентов обусловливает произвольное положение MS на территории
обслуживания, поэтому для приведения уровней сигналов, поступаю-
831
Раздел 10
щих от MS, на входе приемника BS к заданному диапазону необходи-
ма быстродействующая система автоматического регулирования мощ-
ности в обратном радиоканале связи [196,197]. В данном разделе рас-
смотрен один из вариантов математической модели системы автома-
тического регулирования мощности передатчика - системы АРМП
мобильной станции MS в канале радиосвязи MS-BS, которая при лю-
бой дальности мобильной станции MS от базовой станции BS обеспе-
чивает на входе приемника BS один и тот же уровень сигнала, посту-
пающего от MS.
Модель системы АРМП, выполненная в интерактивной системе
MATLAB, представлена на рис. 10.60. Следует отметить, что пред-
ставленная модель не отражает процессы в высокочастотных прямом
BS-MS и обратном MS-BS трактах мобильной радиосвязи (включая
среду распространения радиоволн - СВЧ-колебаний), а описывает
только передачу мощности.
Influence
of distance
Рис.10.60
Прямой канал радиосвязи включает на базовой станции BS гене-
ратор пилотного сигнала (Generator) мощностью PmaxfiS=20 Вт,
управляемый аттенюатор (Attenuator), среду распространения радио-
832
Раздел 10
волн в канале радиосвязи BS-MS и приемник (радиозвено R1) мо-
бильной станции MS.
Обратный канал радиосвязи включает на мобильной станции MS
генератор сигнала (Generatorl) мощностью P^ms^ Вт, управляе-
мый аттенюатор (Attenuatorl), среду распространения радиоволн в
канале радиосвязи MS-BS и приемник (радиозвено R2) базовой стан-
ции BS.
Модели аттенюаторов приведены на рис. 10.61. Аттенюатор в
прямом канале радиосвязи Attenuator описывается зависимостью
^тах55’
pbs = S ЛпахВхП " W. 0 < т < 9;
(10.24)
WmaxSS» т^9-
где PmaxBS - мощность генератора BS, т- сигнал на входе аттенюато-
ра, PBS - мощность на выходе аттенюатора.
In 1
If2
а)
б)
Рис.10.61
833
Раздел 10
Аттенюатор в обратном канале радиосвязи Attenuatorl описыва-
ется зависимостью
PMS = Лпах MS (1 ‘ 0 X < 1, (10.25)
где PmaxMS " мощность генератора MS, х- сигнал на входе аттенюа-
тора, PMS - мощность на выходе аттенюатора.
Из формулы (10.25) запишем:
PmaxMS
Радиозвенья R1 и R2 с учетом только запаздывания сигнала в сре-
де распространения и фильтров приемников опишем передаточной
функцией
(10.26)
Срз(5) = ^/(5 + 6).
В простейшем случае в канале радиосвязи BS-MS прямой види-
мости при отсутствии отражений мощность сигнала на входе прием-
ного устройства MS определяется выражением [145]
Р ____ Рпрд7!npdGnpdGпрмЛпри Рзиим^прлЛпрм
Гпр,и ~ т ~ т ’ /
где Р
прм
GПрд > Grip*
Lo Lo
- мощность сигнала на входе приемного устройства,
- коэффициенты направленного действия антенны передат-
чика и приемника соответственно, rinpd.T]npM - потери в фидерном
тракте передатчика и приемника соответственно, Рзиим - РпрдЛnpdGпрд -
эквивалентная изотропно излучаемая мощность передатчика, Lo - по-
тери в свободном пространстве при распространении радиоволн в лу-
че с прямой видимостью, которые определяются выражением
4=(—
" л
где D - расстояние между передатчиком и приемником, X-df -
длина волны колебаний несущей частоты f, с - скорость света.
Учитывая, что запаздывание сигнала на расстоянии D мало, при
моделировании можно определить установившийся сигнал на выходе
приемного устройства MS (Input Signal MS) по формуле
834
(10.28)
Раздел 10
> = BS
inMS (1 + pD)1 ’
(10.29)
где множитель 1 /(1 + /z£))2 характеризует уменьшение мощности (за-
тухание сигнала), зависящее от расстояния D.
Нетрудно заключить, что если мощность на выходе аттенюатора
Attenuatorl в обратном канале радиосвязи PMS будет определяться
выражением
PMS=?^4) + pD)\ (Ю.30)
*BS
то мощность сигнала на входе приемника базовой станции будет по-
стоянной при различных расстояниях между базовой станцией BS и
мобильной станцией MS, т.е. не будет зависима от расстояния между
базовой станцией BS и мобильной станцией MS .
Подставляя выражение (10.30) в формулу (10.26) найдем:
х = 1--—(1 + /zD)2 = 1---—. (10.31)
?BS ?inMS
Формула (10.31) определяет управляющий сигнал на входе атте-
нюатора Attenuatorl в обратном канале радиосвязи. Этот сигнал
можно получить при помощи делителя (Product 1), на вход которого
подается сигнал с выхода приемного устройства MS (Input Signal
MS), и вычитающего устройства (Sum).
Моделирование затухания сигнала в среде распространения ра-
диоволн в прямом канале радиосвязи (уменьшение мощности, которое
характеризуется зависимостью PBS /(1 + /jD)1 от расстояния D), в
интерактивной системе MATLAB возможно путем временной раз-
вертки (блоки Ramp, Fen, Product), считая, что дальность пропор-
циональна времени развертки. При этом следует иметь в виду, что ре-
ально расстояние между мобильной и базовой станциями меняется
значительно медленнее, чем протекают переходные процессы в моде-
ли. Поэтому в самом начале временной развертки процессы в модели
и реальной системе будут отличаться.
При моделировании приняты следующие значения параметров
модели на рис. 10.60: /2 = 0,05; Ь- 10 с”1; г = 0,001с.
Результаты моделирования представлены на рис. 10.62.
835
Раздел 10
Процессы в модели системы АРМП (см. рис. 10.60) отображаются
на индикаторах: а) Р BS (мощность на выходе аттенюатора Attenuator
в прямом канале радиосвязи PBS, равная в установившемся режиме
9,8 Вт); 6)Influence of distance (затухание мощности в зависимости от
дальности, определяемое формулой (1 + jjD)2 , где // = 0,05, а даль-
ность D (расстояние мобильной станции MS от базовой станции BS),
выражена в относительных единицах и пропорциональна временной
развертке); в) Input Signal MS (сигнал на выходе приемника мобиль-
836
Раздел 10
ной станции); г) х (управляющий сигнал на входе аттенюатора At-
tenuatorl в обратном канале радиосвязи, определяемый по формуле
(10.31)); д) Р MS (мощность на выходе аттенюатора Attenuatorl в об-
ратном канале радиосвязи PMS, определяемая выражением (10.30)); е)
Input Signal BS (сигнал на выходе приемника базовой станции).
Как показывают результаты моделирования, система АРМП (см.
рис. 10.60) при увеличении дальности D (увеличении расстояния мо-
бильной станции MS от базовой станции BS) увеличивает мощность
передатчика мобильной станции (см. рис. 10.62,д) таким образом, что
принимаемый базовой станцией сигнал от мобильной станции при
любой дальности D (любом расстоянии мобильной станции MS от
базовой станции BS) имеет один и тот же уровень (см. рис. 10.62,е).
Для борьбы с аддитивными замираниями в канале радиосвязи MS-
BS нужно проектировать два канала обратной связи по низкой часто-
те, которые работают на одной и той же несущей частоте (частоте
СВЧ-колебаний) и имеют одну и ту же среду распространения радио-
волн. При этом если канал радиосвязи MS-BS имеет конечное множе-
ство информационных каналов и один неинформационный канал (на-
пример, канал через который передается постоянный единичный сиг-
нал), то для неединичной обратной связи системы АРМП, которая
работает на низкой частоте, все информационные каналы представля-
ются как один канал, передающий общий низкочастотный сигнал, а
вторым каналом является неинформационный канал, также передаю-
щий низкочастотный сигнал (например, постоянный единичный сиг-
нал).
Модель системы АРМП, выполненная в интерактивной системе
MATLAB, с двумя обратными каналами радиосвязи MS-BS представ-
лена на рис. 10.63. Первый обратный канал включает следующие эле-
менты: генератор Generatorl, аттенюатор Attenuatorl, аттенюатор
Attenuatorl, делитель Product!, сумматор Sum!, звено R!. Второй
обратный канал включает следующие элементы: генератор
Generatorl, аттенюатор Attenuatorl, делитель Gain, делитель Prod-
ucts, сумматор Sum3, звено R3, идентичное звену R!. Используется
временное разделение (уплотнение) каналов путем их стробирования.
837
Раздел 10
Рис.10.63
Затухания сигналов в среде распространения радиоволн между MS
и BS (уменьшение мощности, которое характеризуется зависимостью
PMS /(1 + Z^)2 от расстояния D), и аддитивные замирания Fadings в
обоих обратных каналах одинаковые.
Мощность на выходе аттенюатора Attenuator! в первом обрат-
ном канале радиосвязи будет определяться выражением
Лл/5=”^-(1 + ^)2. (10.32)
*BS
Мощность на выходе делителя Gain во втором обратном канале
радиосвязи будет определяться выражением
838
Раздел 10
P2MS=K^f^{\ + pD)\ (10.33)
*BS
В первом обратном канале сигнал на выходе звена R2 (поступаю-
щий с выхода сумматора Sum2):
uu(t) = uc(t) + u(t), (10.34)
где uc(t) - информационная последовательность на выходе первого
обратного канала, принятая BS, u(t) - замирания в среде распростра-
нения радиоволн между MS и BS.
Во втором обратном канале сигнал на выходе звена R3 (посту-
пающий с выхода сумматора Sum3):
«Е2 (0 = ^2+«(')> (10.35)
*
где ис2 - постоянный сигнал на выходе второго обратного канала,
принятый BS. На выходе вычитающего устройства Suml получаем
принятый базовой станцией BS от мобильной станции MS сигнал
MS1(O-«S2(O=MC(O-W*2» (10.36)
в котором аддитивные замирания устранены.
Результаты моделирования представлены на рис. 10.64.
Процессы в модели системы АРМП (см. рис. 10.63) отображаются
на индикаторах: а) Р BS (мощность на выходе аттенюатора
(Attenuator) в прямом канале радиосвязи PBS, равная в установившем-
ся режиме 9,8 Вт); 6)lnfluence of distance (затухание мощности в за-
висимости от дальности, определяемое формулой (1 + /zD)2, где
// = 0,05, а дальность D (расстояние мобильной станции MS от ба-
зовой станции BS), выражена в относительных единицах и пропор-
циональна временной развертке); в) Input Signal MS (сигнал на выхо-
де приемника мобильной станции); г) х (управляющий сигнал на вхо-
де аттенюатора Attenuatorl в обратном канале радиосвязи, опреде-
ляемый по формуле (10.31)); д) Pl MS (мощность P]MS на выходе ат-
тенюатора Attenuator2 в обратном канале радиосвязи, определяемая
выражением (10.32)); е) Р2 MS (мощность P2MS на выходе делителя
Gain в обратном канале радиосвязи, определяемая выражением
(10.33)); ж) Fadings (аддитивные замирания сигналов в среде распро-
839
Раздел 10
странения радиоволн между MS и BS); 3)Input Signa] BS (сигнал на
выходе приемника базовой станции).
2.25
2
1.75
1.5
1.25
0123456780 10
б)
д)
0.25<----------------
I Input Signal BS
0.2
0.06
ж)
0.16
J)
Рис.10.64
840
Раздел 10
При моделировании приняты следующие значения параметров
модели на рис. 10.63: ц = 0,05; Ь = 10 с"1; т = 0,001с. Аддитивные
замирания сигналов в среде распространения радиоволн между MS и
BS описаны функцией - -0,05 + O,O5sin(O,5/r • t + л/2).
Как показывают результаты моделирования, система АРМП (см.
рис. 10.63) при увеличении дальности D (увеличении расстояния мо-
бильной станции MS от базовой станции BS) увеличивает мощность
передатчика мобильной станции (см. рис. 10.64,д и е) таким образом,
что принимаемый базовой станцией сигнал от мобильной станции при
любой дальности D (любом расстоянии мобильной станции MS от
базовой станции BS) имеет один и тот же уровень (см. рис. 10.64, з).
Аддитивные замирания (см. рис. 10.64,ж) в обратном канале MS-BS
устраняются.
Отметим одно существенное обстоятельство. В системе мобиль-
ной связи, представленной на рис. 10.63, уменьшение мощности (зату-
хание сигнала), зависящее от расстояния D, и для прямого BS-MS
(линия “вниз”) и для обратного MS-BS (линия “вверх”) каналов ра-
диосвязи определено одной и той же формулой (14- //О)2. Но указан-
ные каналы в реальных системах работают в разных диапазонах час-
тот. Например, в системе радиодоступа CDMA на базе стандарта IS-
95 диапазон частот для линии “вниз” находится в пределах 869...894
МГц, диапазон частот для линии “вверх” - 824...849 МГц, причем ду-
плексный разнос равен 45 МГц. Выберем средние частоты /1=880
МГц и /2=835 МГц. Найдем коэффициенты из формулы (10.17):
(4т/ /с)2 = 1358,8; (4т/2 /с)2=1223,3. Допустим, минимальное рас-
стояние между BS и MS равно £>min = 20 метров.
По формуле (10.17) находим:
уменьшение мощности (затухание сигнала), зависящее от расстояния
D, для прямого BS-MS (линия “вниз”) канала радиосвязи
!<,, +£>)/<]= =(4^D^/c)2(4-D/Dmy =
= 1358,8х400х(1 + 0,05 D)2;
уменьшение мощности (затухание сигнала), зависящее от расстояния
D у для обратного MS-BS (линия “вверх”) канала радиосвязи
841
Раздел 10
=[4#2(Z)min +D)/e]2 =(4лГ2^п/с)2(1 + О/Рт!п)2 =
= 1223,3 x 400 х(1 + 0,05D)2.
Поскольку коэффициенты затухания 1358,8x400 и 1223,3x400
можно компенсировать за счет установки соответствующих коэффи-
циентов усиления в приемных трактах, то уменьшение мощности (за-
тухание сигнала), зависящее от расстояния D, и для прямого BS-MS
(линия “вниз”) и для обратного MS-BS (линия “вверх”) каналов ра-
диосвязи можно определять одной и той же формулой (1 -I- //D) .
Вариант технической реализации передающего тракта обратного
канала MS-BS представлен на рис. 10.65.
Е
Рис.10.65
Канал MS-BS с N каналами обратной связи, работающими на од-
ной и той же несущей частоте и имеющими одну и ту же среду рас-
842
Раздел 10
пространения радиоволн, проектируется с N-1 информационными ка-
налами и одним неинформационным каналом, используя управляю-
щие импульсные последовательности Рц i=l...N. Техническая реали-
зация передающего тракта обратного канала радиоуправления для
этого варианта представлена на рис. 10.65,а, а управляющие ключами
ЭКл1 и ЭКл2 импульсные последовательности pl и р2 - на
рис. 10.65,6. Каналы подключаются на одинаковые отрезки времени
Г .F - циклическая частота. На входы электронных ключей
ЭКл1...ЭклМ-1 подаются информационные сигналы, а на вход элек-
тронного ключа ЭКл№ - неинформационный, постоянный сигнал.
(В математической модели системы АРМП, представленной на
рис. 10.63, в тракте обратного канала MS-BS общая информационная
последовательность сигналов поступает на управляемый вход 1п2 ат-
тенюатора Attenuator2, а неинформационный, постоянный сигнал по-
ступает с выхода аттенюатора Attenuatorl на вход делителя Gain).
Сигнал с выхода электронного ключа ЭКлИ вместе с сигналами
информационной последовательности с других каналов подаются на
вход кодера К, а с выхода кодера поступают на вход модулятора М.
Выбор вида модуляции определяется классом решаемых задач. С вы-
хода модулятора сигнал поступает на усилитель мощности УМ с ре-
гулируемым коэффициентом усиления. Линейная регулировочная ха-
рактеристика усилителя мощности УМ представлена на рис. 10.65,в.
Выходом усилителя мощности является антенная система А, излу-
чающая электромагнитные колебания в соответствии с заданными ха-
рактеристиками направленности.
(В математической модели системы АРМП, представленной на
рис. 10.63, в тракте обратного канала MS-BS модулятор М и усилитель
мощности УМ с регулируемым коэффициентом усиления моделиру-
ется генератором Generatorl и аттенюатором Attenuatorl, на управ-
ляемый вход которого подается управляющий сигнал х).
При проектировании передающего тракта обратного канала MS-
BS должны выполняться следующие условия:
f»Fa; r«tp,\/Fa«tp, (10.37)
где tр - время регулирования в системе АРМП, определяемое по ре-
акции системы на ступенчатое воздействие.
Вариант технической реализации приемного тракта обратного ка-
843
Раздел 10
нала MS-BS представлен на рис. 10.66.
Рис.10.66
В приемном тракте с выхода приемной антенны А сигналы по-
следовательно поступают на приемник Пр, демодулятор Дм и декодер
Дк. Декодированная отдельно в каждом канальном интервале т ин-
формационная последовательность сигналов с амплитудно-
импульсной модуляцией подается на ключи ЭКл1...Экл!Ч-1, обеспе-
чивающие селекцию каналов, а постоянная последовательность им-
пульсов - на ключ ЭклМ. С выхода ключа ЭклИ последовательность
импульсов (длительность каждого импульса равна т, а перод следова-
ния 1 / Рд) поступает на устройство выборки и хранения УВХ, кото-
рое работает с шагом квантования h = 1 / Fд и запоминает амплитуду
каждого импульса на период следования. УВХ служит для выделения
огибающей импульсной последовательности = ис2 + w(0 в ка-
нале 2, который представлен в модели системы АРМП на рис. 10.63.
Канал 1 в модели системы АРМП на рис. 10.63 представлен оги-
бающей декодированной информационной общей последовательности
сигналов = uc(f) + u(t) на входе вычитающего устройства Z
(см. рис. 10.66). На выходе вычитающего устройства X получаем де-
кодированную общую информационную последовательность сигналов
wc(0’wc2’ в которой замирания устранены. Ключи ЭКл1...ЭклМ-1
обеспечивают селекцию информационных каналов (распределение
информации по каналам). Для сглаживания пульсаций и усиления
сигналов до требуемого уровня на выходе каждого информационного
844
Раздел 10
канала могут применяться соответственно фильтры низкой частоты
ФНЧ и усилители УНЧ.
Модель системы АРМП, выполненная в интерактивной системе
MATLAB, с двумя обратными каналами радиосвязи на низкой частоте
для компенсации мультипликативных замираний в канале радиосвязи
MS-BS представлена на рис. 10.67.
Рис.10.67
Затухание мощности в канале радиосвязи MS-BS в зависимости
от дальности, определяемое формулой (14- /jD)2 , моделируется при
помощи делителей Product! и Products, а мультипликативные зами-
845
Раздел 10
рания в среде распространения радиоволн в канале радиосвязи MS-BS
моделируются при помощи перемножителей Product4 и Products.
В первом обратном канале сигнал на выходе звена R2 (поступаю-
щий с выхода перемножителя Product4):
«Е1(0 = «с(0х"(0, (10.38)
где uc(t) - информационная последовательность на выходе первого
обратного канала, принятая BS, u(t) - замирания в среде распростра-
нения радиоволн между MS и BS.
Во втором обратном канале сигнал на выходе звена R3 (посту-
пающий с выхода перемножителя Products):
«Z2(O = W*2 х«(0» (10.39)
где ис2 - постоянный сигнал на выходе второго обратного канала,
принятый BS, u(t) - замирания в среде распространения радиоволн
между MS и BS.
Нетрудно заметить, что
= "с(0/м*2- (10.40)
Таким образом, после деления выходного сигнала звена R2 на вы-
ходной сигнал звена R3 при идентичности звеньев R2 и R3 получаем
на выходе делителя Product6 нормированную информационную по-
следовательность, принятую базовой станцией BS от мобильной стан-
ции MS, в которой мультипликативные замирания устранены.
Результаты моделирования представлены на рис. 10.68.
При моделировании значения параметров модели на рис. 10.67
приняты такими же, как и значения параметров модели на рис. 10.63, а
именно: /л = 0,05; Ь = 10 с"1; г = 0,001с. Мультипликативные зами-
рания сигналов в среде распространения радиоволн между MS и BS
описаны функцией u(t) = -0,05 + 0,05sin(0,5п • t + л/2).
846
Раздел 10
ж)
Рис.10.68
з)
Процессы в модели системы АРМП (см. рис. 10.67) отображаются
на индикаторах: а) Р BS (мощность на выходе аттенюатора
(Attenuator) в прямом канале радиосвязи PBS, равная в установившем-
ся режиме 14 Вт); 6)lnfluence of distance (затухание мощности в зави-
симости от дальности, определяемое формулой (1 + /jD)1 , где
// = 0,05 , а дальность (расстояние мобильной станции MS от базовой
станции BS) D, выраженная в относительных единицах, пропорцио-
нальна временной развертке); в) Input Signal MS (сигнал на выходе
приемника мобильной станции);); г) х (управляющий сигнал на входе
847
Раздел 10
аттенюатора (Attenuatorl) в обратном канале радиосвязи, определяе-
мый по формуле (10.31)); д) Pl MS (мощность P[MS на выходе атте-
нюатора Attenuator2 в обратном канале радиосвязи, определяемая вы-
ражением (10.32)); е) Р2 MS (мощность P2MS на выходе делителя Gain
в обратном канале радиосвязи, определяемая выражением (10.33)); ж)
Fadings (аддитивные замирания сигналов в среде распространения
радиоволн между MS и BS); 3)Input Signal BS (сигнал на выходе при-
емника базовой станции).
Вариант технической реализации приемного тракта обратного ка-
нала MS-BS при мультипликативных замираниях представлен на
рис. 10.69.
Рис.10.69
Вариант технической реализации передающего тракта обратного
канала MS-BS при мультипликативных замираниях в среде распро-
странения радиоволн идентичен передающему тракту, показанному на
рис. 10.65. Вариант технической реализации приемного тракта обрат-
ного канала MS-BS при мупьтипликативных замираниях (см.
рис. 10.69) отличается от такого же тракта при аддитивных замирани-
ях только наличием делителя вместо вычитающего устройства (см.
рис.10.66 и 10.69).
10.7. Системы АРМП с нечеткими и ПИД-регуляторами в ка-
нале радиоуправления
В разделах 10.1-10.5 подробно описаны и исследованы системы
автоматического регулирования мощности передатчика (АРМП) с не-
четкими и ПИД-регуляторами в прямом канале радиосвязи. В данном
разделе исследованы системы АРМП с нечеткими и ПИД-
регуляторами в обратном канале радиоуправления и рассмотрены
848
Раздел 10
особенности этих систем. Включение регулятора в канале радио-
управления целесообразно, особенно для систем мобильной связи, где
основные регулировки мощности осуществляются не на базовой стан-
ции, а на мобильной станции в обратном канале радиосвязи.
На рис. 10.70 представлена математическая модель системы АРМП
с нечетким регулятором в обратном канале радиоуправления, состав-
ленная с использованием интерактивной системы MATLAB. В прямом
канале системы АРМП аттенюатор перестраивается с помощью двига-
теля и на систему воздействуют мультипликативные возбуждающие
сигналы в прямом и обратном радиоканалах.
Моделируемые возбуждающие сигналы (замирания - Fadings) в
среде распространения радиоволн канала передачи данных «(/) и воз-
буждающие сигналы (замирания - Fadingsl) в среде распространения
радиоволн канала радиоуправления щ (/) приведены и на рис. 10.6.
Радиозвенья R; опишем упрощенной передаточной функцией:
Gpj(s) = Z>/(s + Z>) = 10/(s + 10).
849
Раздел 10
Такое описание радиозвена не учитывает запаздывание радиосигнала
в среде распространения радиоволн, что справедливо, поскольку это
запаздывание весьма мало, например, при дальности D = 60 км время
запаздывания т = Die = 2• 10"4?, а затухание радиосигнала учиты-
вается отдельным блоком Radiation damping.
Мощность на выходе передатчика (generator), регулируемую ат-
тенюатором (Attenuator), выразим зависимостью
^тах’ "»/Г)<0;
Л0= ^[l-ома)], 0<^(/)<9;
[ 0,1Ртах, mrf(/)>9.
где Ртах - мощность генератора СВЧ-колебаний, - сигнал на
входе аттенюатора.
Двигатель с регулирующим механизмом (Engine), посредством
которого перестраивается мощный аттенюатор, опишем передаточной
функцией
Gd{s) = ad[s(s + а)]’1 = 12|>О +12)]"1,
где постоянная времени двигателя Тд = 1/я = 1/12с. Мощность ге-
нератора СВЧ-колебаний примем равной Ртах = 20Вт . Для получе-
ния на выходе передатчика номинальной мощности Рном =10Вт на
вход управляемого аттенюатора вводится напряжение уставки
= 5.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис. 10.70) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,а, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
ности (см. рис.3.41) и состоит из формирователя величин A(t) и B(t)
(блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59), блока срав-
нения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схеме,
приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
Шаг дискретизации (шаг поступления данных в нечеткий регуля-
тор) выбран 0,01с. Значения диапазонов (Am = 0max =-0mjn;
Вт = $тах = “^min > Ст = #тах — “^min ’ Dm = Wmax = “Wmin )
850
Раздел 10
при настройке нечеткого регулятора подбираются либо вручную, либо
автоматически путем решения оптимизационной задачи.
Особенностью системы (см. рис. 10.70) является то, что требуется
дополнительный усилитель Gainl в прямом канале, коэффициент уси-
ления которого Ga необходимо выбирать при настройке системы.
Кроме настройки диапазонов изменения входных и выходной пере-
менных подбираем также параметр с функций принадлежности с це-
лью уменьшения ошибки в переходных и установившихся режимах
работы системы.
Значения диапазонов изменения входных и выходной переменных
в нечетком регуляторе для получения удовлетворительных переход-
ных процессов при ступенчатых периодических и оптимальных про-
цессов при синусоидальных внешних возмущающих воздействиях
(замираниях) сигнала на входе приемника канала радиосвязи после
настройки нечеткого регулятора HP в системе (см. рис. 10.70) следую-
щие:
Ат = 0,2; Вт = 1; Ст = 10; Dm = 40.
Параметр с функций принадлежности и коэффициент усиления
Ga выбраны равными соответственно 1,5 и 10.
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.70) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при мультиплика-
тивных внешних воздействиях - ступенчатых периодических и сину-
соидальных замираниях сигнала приведены соответственно на
рис.10.71 и 10.72.
Длительность переходных процессов при ступенчатых периоди-
ческих замираниях сигнала не превышает 1,5с. Максимальная дина-
мическая ошибка при синусоидальных замираниях сигнала не превы-
шает 3,8 • 10"3 (0,38% от напряжения уставки).
851
Раздел 10
в)
Рис.10.72
в)
Рис.10.71
На рис. 10.73 представлена математическая модель системы АРМП
с нечетким регулятором в обратном канале радиоуправления, в кото-
рой аттенюатор в прямом канале перестраивается с помощью двигате-
ля, а на систему воздействуют аддитивные возбуждающие сигналы в
прямом и обратном радиоканалах.
852
Раздел 10
Наилучшие переходные процессы в системе (см. рис. 10.73) при
аддитивных внешних возбуждающих воздействиях - ступенчатых пе-
риодических замираниях сигнала и минимальную текущую ошибку
при аддитивных синусоидальных замираниях сигнала на входе при-
емника канала радиосвязи получаем при следующих значениях диапа-
зонов изменения входных и выходной переменных в нечетком регуля-
торе:
Ат = 0,5; Вт = 3,2; Ст = 20; Dm = 20.
Параметр с функций принадлежности и коэффициент усиления
Ga выбраны равными при синусоидальных замираниях сигнала соот-
ветственно 2 и 25, при ступенчатых периодических замираниях сигна-
ла соответственно 1,5 и 20.
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.73) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при аддитивных
853
Раздел 10
внешних воздействиях - ступенчатых периодических и синусоидаль-
ных замираниях сигнала приведены соответственно на рис. 10.74 и
10.75.
В)
Рис. 10.74
б)
Л 10 20 30 40 50 60
В)
Рис. 10.75
Длительность переходных процессов при ступенчатых периоди-
ческих замираниях сигнала не превышает 1с. Максимальная динами-
ческая ошибка при синусоидальных замираниях сигнала примерно
равна 3 • 10-3 (0,3%) от напряжения уставки, принятого за единицу.
854
Раздел 10
На рис. 10.76 представлена математическая модель системы АРМП
с нечетким регулятором в обратном канале радиоуправления, в кото-
рой аттенюатор в прямом канале перестраивается непосредственно
сигналом управления, а на систему воздействуют мультипликативные
возбуждающие сигналы в прямом и обратном радиоканалах.
Особенностью системы (см. рис. 10.76) является то, что требуется
дополнительный интегратор и усилитель в прямом канале радиосвязи.
Рис.10.76
Наилучшие переходные процессы в системе (см. рис. 10.76) при
мультипликативных внешних возбуждающих воздействиях - ступен-
чатых периодических замираниях сигнала на входе приемника канала
радиосвязи получаем при следующих значениях диапазонов измене-
ния входных и выходной переменных в нечетком регуляторе:
Ат = 0,65; Вт = 3,2; Ст = 75; Dm = 75.
Параметр с функций принадлежности и коэффициент усиления
Ga выбраны равными соответственно 1,5 и 30.
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.76) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
855
Раздел 10
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при мультиплика-
тивных внешних воздействиях - ступенчатых периодических и сину-
соидальных замираниях сигнала приведены соответственно на
рис. 10.77 и 10.78.
В)
Рис.10.77
в)
Рис.10.78
Минимальную текущую ошибку при мультипликативных сину-
соидальных замираниях сигнала на входе приемника канала радиосвя-
зи в системе (см. рис. 10.76) получаем при следующих значениях диа-
пазонов изменения входных и выходной переменных в нечетком регу-
ляторе:
856
Раздел 10
Am = 0,4; Вт = 3; Cm = 100; Dm = 100.
Параметр с функций принадлежности и коэффициент усиления
Ga выбраны равными соответственно 1,5 и 10.
Длительность переходных процессов при ступенчатых периоди-
ческих замираниях сигнала не превышает 0,7с. Максимальная дина-
мическая ошибка при синусоидальных замираниях сигнала составляет
3-10. (0,3%) от напряжения уставки, принятого за единицу.
На рис. 10.79 представлена математическая модель системы АРМП
с нечетким регулятором в обратном канале радиоуправления, в кото-
рой аттенюатор в прямом канале перестраивается непосредственно
сигналом управления, а на систему воздействуют аддитивные возбуж-
дающие сигналы в прямом и обратном радиоканалах.
Особенностью системы (см. рис. 10.79) является то, что требуется
дополнительный интегратор и усилитель в прямом канале радиосвязи.
857
Раздел 10
Наилучшие переходные процессы в системе (см. рис. 10.79) при
аддитивных внешних возбуждающих воздействиях - ступенчатых пе-
риодических замираниях сигнала на входе приемника канала радио-
связи получаем при следующих значениях диапазонов изменения
входных и выходной переменных в нечетком регуляторе:
Ат = 0,3; Вт = 2; Ст = 200; Dm = 6,5 .
Параметр с функций принадлежности и коэффициент усиления
Ga выбраны равными соответственно 1,5 и 20.
Минимальную текущую ошибку при аддитивных синусоидальных
замираниях сигнала на входе приемника канала радиосвязи в системе
(см. рис. 10.79) получаем при следующих значениях диапазонов изме-
нения входных и выходной переменных в нечетком регуляторе:
Ат = 0,03; Вт = 0,3; Ст = 80; Dm = 30.
Параметр с функций принадлежности и коэффициент усиления
Ga выбраны равными соответственно 1,5 и 1.
Длительность переходных процессов при ступенчатых периоди-
ческих замираниях сигнала не превышает 0,7с. Максимальная дина-
мическая ошибка при синусоидальных замираниях сигнала составляет
4 • 10-3 (0,4%) от напряжения уставки, принятого за единицу.
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.79) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при аддитивных
внешних воздействиях - ступенчатых периодических и синусоидаль-
ных замираниях сигнала приведены соответственно на рис. 10.80 и
10.81.
Исследование математических моделей систем АРМП с нечетким
регулятором в канале радиоуправления показывает, что эти системы
способны обеспечить весьма высокое качество работы адаптивных
каналов радиосвязи, использующих такие системы.
858
Раздел 10
в) в)
Рис.10.80 Рис.10.81
Рассмотрим системы АРМП с ПИД-регулятором в канале радио-
управления.
На рис. 10.82 представлена математическая модель системы
АРМП с ПИД-регулятором в обратном канале радиоуправления, со-
ставленная с использованием интерактивной системы MATLAB. В
прямом канале системы АРМП аттенюатор перестраивается с помо-
щью двигателя и на систему воздействуют мультипликативные воз-
буждающие сигналы в прямом и обратном радиоканалах.
859
Раздел 10
Рис.10.82
Цифровой ПИД-регулятор опишем передаточной функцией
W(z) = K + ^ — + ^— ,
2 z-1 h0 z
К h К
где коэффициенты усиления Gj = /l,G2 =—G3 =——. й0 - шаг
2 йо
дискретизации. При моделировании шаг дискретизации выбран 0,01с.
Особенностью системы (см. рис. 10.82) является то, что требуется
дополнительный усилитель Gainl в прямом канале, коэффициент уси-
ления которого Ga необходимо выбирать при настройке системы.
ПИД-регулятор также требует настройки для определенного входного
сигнала. Так, наилучшие переходные процессы в системе (см.
рис. 10.82) при мультипликативных внешних возбуждающих воздейст-
виях - ступенчатых периодических замираниях сигнала и минималь-
ную текущую ошибку при мультипликативных синусоидальных зами-
раниях сигнала на входе приемника канала радиосвязи получаем при
Ga=120 и значениях коэффициентов ПИД-регулятора, приведенных в
860
Раздел 10
таблице:
Sin Step
Gain 1 1 1
Gain 2 1.5/120 0.008/120
Gain 3 1700/120 1700/120
в) в)
Рис.10.83 Рис.10.84
Процессы в модели системы АРМП (рис.1) отображаются на ин-
дикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на входе
аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при мультипликативных
861
Раздел 10
внешних воздействиях - ступенчатых периодических и синусоидаль-
ных замираниях сигнала приведены на рис. 10.83 и 10.84. Длитель-
ность переходных процессов при ступенчатых периодических замира-
ниях сигнала не превышает 1,5с. Максимальная динамическая ошибка
при синусоидальных замираниях сигнала не превышает 4,9-10-3
(0,49%) от напряжения уставки, принятого за единицу.
На рис. 10.85 представлена математическая модель системы АРМП
с ПИД-регулятором в обратном канале радиоуправления, в которой
аттенюатор в прямом канале перестраивается с помощью двигателя, а
на систему воздействуют аддитивные возбуждающие сигналы в пря-
мом и обратном радиоканалах.
Наилучшие переходные процессы в системе (см. рис.5) при адди-
тивных внешних возбуждающих воздействиях - ступенчатых перио-
дических замираниях сигнала и минимальную текущую ошибку при
аддитивных синусоидальных замираниях сигнала на входе приемника
862
Раздел 10
канала радиосвязи получаем при Ga=l 10 и значениях коэффициентов
ПИД-регулятора, приведенных в таблице:
Sin Step
Gain 1 1 1
Gain 2 0.85/110 0.005/110
Gain 3 1400/110 1600/110
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.85) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при аддитивных
внешних воздействиях - ступенчатых периодических и синусоидаль-
ных замираниях сигнала приведены соответственно на рис. 10.86 и
10.87. Длительность переходных процессов при ступенчатых перио-
дических замираниях сигнала не превышает 1,5с. Максимальная ди-
намическая ошибка при синусоидальных замираниях сигнала не пре-
вышает 3 10 3 (0,3%) от напряжения уставки, принятого за единицу.
На рис. 10.88 представлена математическая модель системы АРМП
с ПИД-регулятором в обратном канале радиоуправления, в которой
аттенюатор в прямом канале перестраивается непосредственно сигна-
лом управления, а на систему воздействуют мультипликативные воз-
буждающие сигналы в прямом и обратном радиоканалах.
Наилучшие переходные процессы в системе (см. рис. 10.88) при
мультипликативных внешних возбуждающих воздействиях - ступен-
чатых периодических замираниях сигнала и минимальную текущую
ошибку при мультипликативных синусоидальных замираниях сигнала
на входе приемника канала радиосвязи получаем при Ga=130 и зна-
чениях коэффициентов ПИД-регулятора, приведенных в таблице:
Sin Step
Gain 1 1 1
Gain 2 5/130 5/130
Gain 3 500/130 500/130
863
Раздел 10
в) в)
Рис.10.86 Рис.10.87
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.88) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при мультиплика-
тивных внешних воздействиях - ступенчатых периодических и сину-
соидальных замираниях сигнала приведены соответственно на
рис. 10.89 и 10.90.
864
Раздел 10
Длительность переходных процессов при ступенчатых периоди-
ческих замираниях сигнала не превышает 0,4с. Максимальная дина-
мическая ошибка при синусоидальных замираниях сигнала не превы-
шает 2,8-10-3 (0,28%) от напряжения уставки, принятого за едини-
цу-
На рис. 10.91 представлена математическая модель системы АРМП
с ПИД-регулятором в обратном канале радиоуправления, в которой
аттенюатор в прямом канале перестраивается непосредственно сигна-
лом управления, а на систему воздействуют аддитивные возбуждаю-
щие сигналы в прямом и обратном радиоканалах.
Наилучшие переходные процессы в системе (см. рис. 10.91) при
аддитивных внешних возбуждающих воздействиях - ступенчатых пе-
риодических замираниях сигнала и минимальную текущую ошибку
при аддитивных синусоидальных замираниях сигнала на входе при-
емника канала радиосвязи получаем при Ga =130 и значениях коэф-
фициентов ПИД-регулятора, приведенных в таблице:
865
Раздел 10
Sin Step
Gain 1 1 1
Gain 2 5/130 5/130
Gain 3 600/130 600/130
О 10 20 30 40 50 50
а)
О 10 20 30 40 50 50
б)
в)
Рис. 10.89
В)
Рис.10.90
866
Раздел 10
Процессы в модели системы АРМП (рис. 10.91) отображаются на
индикаторах: а) Р (мощность), б) m (управляющее воздействие на
входе аттенюатора), в) Error (ошибка системы) и при аддитивных
внешних воздействиях - ступенчатых периодических и синусоидаль-
ных замираниях сигнала приведены соответственно на рис. 10.92 и
10.93.
Длительность переходных процессов при ступенчатых периоди-
ческих замираниях сигнала не превышает 0,4с. Максимальная дина-
мическая ошибка при синусоидальных замираниях сигнала не превы-
шает 1,6 • 10-3 (0,16%) от напряжения уставки, принятого за единицу.
Сравнивая процессы в исследуемых системах, заключаем, что
системы АРМП с нечеткими регуляторами и аттенюаторами, пере-
страиваемыми при помощи двигателя, имеют меньшие динамические
ошибки, чем аналогичные системы с ПИД-регуляторами. Но системы
с ПИД-регуляторами и аттенюаторами, перестраиваемыми непосред-
867
Раздел 10
ственно сигналами управления с выхода регулятора, имеют меньшие
динамические ошибки, чем аналогичные системы с нечеткими регуля-
торами.
в) в)
Рис.10.92 Рис.10.93
Как нечеткие регуляторы, так и ПИД-регуляторы в канале радио-
управления систем АРМП способны обеспечить весьма высокое каче-
ство работы адаптивных каналов радиосвязи, использующих такие
системы.
868
Раздел 11
Раздел 11.
РОБАСТНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ С ЦИФРОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ
11.1. Оценка робастности системы управления креном самоле-
та при различных цифровых регуляторах [120]
Многие современные подходы к синтезу систем автоматического
управления делают акцент на робастность систем, т.е. способность
систем обладать требуемым качеством несмотря на неточности моде-
ли или существенную неопределенность характеристик объекта
управления [147]. Эти подходы прежде всего учитывают тот факт, что
реальные физические системы и окружающие условия, в которых они
работают, не могут быть смоделированы абсолютно точно, они могут
изменяться непредсказуемым образом и могут подвергаться всевоз-
можным возмущениям. Робастность по сути дела характеризуется
чувствительностью системы к факторам, которые не учитывались на
этапах анализа и синтеза - например, к возмущениям, шуму датчиков,
не отраженным в модели системы параметрам объекта управления
или неточностям самой модели, которые влияют на динамику систе-
мы. Система должна быть способна противодействовать влиянию этих
факторов при выполнении задач, ради которых она проектировалась.
Робастность систем, как правило, обеспечивается надлежащим
выбором регулятора. Учитывая, что главной задачей регулятора явля-
ется обеспечение требуемого качества системы в переходных и уста-
новившихся режимах, следует выбирать такой регулятор, который
обеспечивал бы требуемое быстродействие при ступенчатом входном
сигнале, определяемое временем регулирования, малые динамические
ошибки при произвольном входном воздействии и допустимые изме-
нения качества системы, характеризуемое указанными параметрами.
Вопросы робастности систем автоматического управления час-
тично рассматривались в разделах 7, 8, 9 и 10. В данном разделе на
примере замкнутой системы управления положением самолета в воз-
духе, необходимой для удержания требуемого угла крена в условиях
непредвиденных внешних возмущений, оценивается робастность сис-
темы при использовании трех типов цифровых регуляторов [120]: 1)
оптимального по быстродействию, 2) традиционного ПИД-регулятора
и 3) нечеткого, работающего на базе нечеткой логики.
869
Раздел 11
Воспользуемся упрощенной моделью динамики самолета в виде
передаточной функции, связывающей отклонение элеронов и угол
крена самолета [147]. Привод элерона описывается передаточной
функцией G] (5) - 10/(5 4-10), а динамика самолета - передаточной
функцией 6^2(5) = 11,4/[5(5 4-1,4)]. Единичная отрицательная об-
ратная связь осуществляется гироскопом. При этом передаточная
функция объекта управления для регулятора определяется в виде
G(s) = a l[s(s + a)(s + 6)] = 114 /[5(5 +10)(s +1,4)].
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления креном самолета с цифровыми оптималь-
ным по быстродействию регулятором (SubSystem) и ПИД-
регулятором (PID-controlIer) представлена на рис. 11.1.
Рис. 11.1
Синтез цифрового оптимального по быстродействию регулятора
для объекта управления, математическая модель которого описывает-
ся передаточной функцией G(s) = а[^(5 4- a)(s 4- 6)]-1, выполняем по
формулам (3.176) - (3.183). Составленная в интерактивной системе
MATLAB структурная схема оптимального по быстродействию циф-
рового регулятора представлена на рис.3.111.
В системе MATLAB передаточная функция цифрового ПИД-
регулятора может быть записана различными способами, поскольку
интегрирование и дифференцирование в цифровой форме может быть
870
Раздел 11
выполнено различными методами. Аппроксимируя производную пер-
вой разностью и используя интегрирование на основе трапецеидаль-
ной аппроксимации, определим передаточную функцию цифрового
ПИД-регулятора по формуле (9.3). Структурная схема цифрового
ПИД-регулятора приведена на рис.3.109,б.При малых шагах модели-
рования цифровой ПИД-регулятор эквивалентен аналоговому.
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления креном самолета с цифровым нечетким
регулятором представлена на рис.11.2.
Transfer Fen
Sine Wave
Рис.11.2
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис. 11.2) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,я, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
ности (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t)
и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
ме, приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
Шаг квантования (шаг поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0,001 с.
При настройке цифровых регуляторов их параметры выбираем та-
ким образом, чтобы получить максимально возможное быстродействие
871
Раздел 11
системы (минимальное время регулирования) и высокую точность сле-
жения за произвольным входным сигналом (малую текущую ошибку).
Ошибка рассогласования системы 0(к) определяется разностью между
преобразованными в напряжение желаемым и действительным углами
крена самолета. Настройку каждого цифрового регулятора осуществля-
ем для передаточной функции объекта управления
<7(s) = tf[s(s + a)(s + 6)]-1=l 14[5(5 + 10)(5 + 1,4)]-1 и при изменении
параметров объекта управления параметры регулятора не изменяются.
В результате настройки для цифрового оптимального по быстро-
действию регулятора выбран шаг квантования h = 0,25 с. Для цифро-
вого ПИД-регулятора при шаге моделирования Aq = hl50 = 0,005 с
выбраны коэффициенты: К = 0,9605; Ki = 0,0437; Kd - 0,8175.
В нечетком регуляторе подбирается параметр с и настраиваются
диапазоны изменения входных и выходной переменных всех функций
принадлежности. Для упрощения нормировки (пересчета значений
сигналов в значения элементов единого универсального множества)
диапазоны изменения входных и выходного сигналов (параметров не-
четкого регулятора) приняты симметричными.
Значения диапазонов (Am = (9тах = -(9min; Вт = i9max = -0min;
Ст = ^тах = -^min '> Dm = wmax = “^min ) ПРИ настройке нечетко-
го регулятора подбираются автоматически путем решения оптимиза-
ционной задачи.
Параметр с и диапазоны изменения входных и выходной пере-
менных после настройки регулятора следующие:
с=1; Ат = 0.551; Вт = 2.536; Ст = 44.838; Dm = 38.264.
Реакции системы на единичное ступенчатое воздействие при раз-
личных цифровых регуляторах приведены на рис. 11.3: слева при раз-
ных значениях коэффициента усиления а (регулятор настроен
при а = alf = 114), справа при разных значениях частоты сопряжения
апериодического звена а (регулятор настроен при а =10).
По реакциям системы на единичное ступенчатое воздействие мо-
жно заключить, что наибольшую чувствительность к изменению ука-
занных параметров объекта управления имеет система с цифровым
оптимальным по быстродействию регулятором, а наименьшую чувст-
872
Раздел 11
вительность - система с цифровым нечетким регулятором.
1.Система с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
2. Система с цифровым ПИД-регулятором
3. Система с цифровым нечетким регулятором
873
Раздел 11
Система также исследована при воздействии на входе суммы еди-
ничного ступенчатого сигнала и эквивалентного гармонического сиг-
нала
иэ(1) = 1 ч- Uэ sin co3t - 1 + 0,5sin(0,2/r/), (11.1)
(несущая частота F = 0,l Гц). Отметим, что эквивалентному гармо-
ническому воздействию соответствует произвольное входное воздей-
ствие, изменяющееся с максимальной угловой скоростью
бУтах “ = ОДя' и ускорением £max = U= 0,02/г2 [10].
Процессы в системе автоматического управления с различными
цифровыми регуляторами (см. рис. 11.1 и 11.2) при настройке цифро-
вых регуляторов для передаточной функции объекта управления
G(s) = 4- a)(s 4- ft)]1 = 114[5(5 4-10)(5 4-1,4)]~1 показаны на
рис.11.4, где м(/) - входное воздействие, x(t) - выход системы, 0(t}
- ошибка рассогласования, 0тах - значение максимальной динамиче-
ской ошибки в динамическом установившемся режиме.
При расстройке параметров объекта управления (показанных на
рис. 11.3) максимальная динамическая ошибка 0тах увеличивается в
системе с цифровым оптимальным по быстродействию регулятором с
0,07 до 0,095, в системе с цифровым ПИД-регулятором с 0,045 до
0,054, в системе с цифровым нечетким регулятором с 0,0025 до 0,0031.
Таким образом, максимальная динамическая ошибка 0тах при рас-
стройке параметров объекта управления увеличивается незначительно
при использовании в системе любого из цифровых регуляторов, но в
системе с цифровым нечетким регулятором эта ошибка минимальная.
Отметим, что при настройке цифровых ПИД-регулятора и нечет-
кого регулятора в интерактивной системе MATLAB использован блок
NCD (Nonlinear Control Design), который реализует метод динамиче-
ской оптимизации для проектирования систем управления. Этот инст-
румент, разработанный для использования с Simulink, автоматически
настраивает системные параметры (в системах на рис. 11.1 и 11.2 на-
страиваются параметры регуляторов), основываясь на определенных
ограничениях на временные характеристики (например, время регули-
рования и перерегулирование для реакции на ступенчатое воздействие
или пределы для текущей ошибки рассогласования).
874
Раздел 11
1.Система с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
2. Система с цифровым ПИД-регулятором
875
Раздел 11
11.2. Система управления скоростью поезда-экспресса
В работе [147] динамика пассажирского поезда-экспресса описана
упрощенной моделью с передаточной функцией
G(s) = a[(s + #)(s +b)]-1 = 15[(s + 5)(s + 7)]'1. Выходная величина
модели - скорость поезда х(/). Кроме управляющего воздействия
на вход объекта управления поступает возмущение v(7).
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления скоростью пассажирского поезда-
экспресса с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
(SubSystem) и цифровым ПИД-регулятором (PID-controller) пред-
ставлена на рис. 11.5.
Р::с. 11.5
Объект управления имеет астатизм нулевого порядка. При синтезе
оптимального по быстродействию цифрового регулятора для повыше-
ния астатизма системы на выходе регулятора (на входе объекта управ-
ления) включим интегратор. Тогда регулятор будет работать на объект
управления с передаточной функцией G(s) = «^(s + aXs + Z?)]-1 и
синтез регулятора можно выполнять по формулам (3.176) - (3.183).
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная схема
оптимального по быстродействию цифрового регулятора представле-
на на рис.3.111.
876
Раздел 11
Аппроксимируя производную первой разностью и используя ин-
тегрирование на основе трапецеидальной аппроксимации, определим
передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора по формуле (9.3).
Структурная схема цифрового ПИД-регулятора приведена на
рис.3.109,6. При малых шагах моделирования цифровой ПИД-
регулятор эквивалентен ангалоговому.
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы управления скоростью пассажирского поезда-
экспресса с цифровым нечетким (работающим на базе нечеткой логи-
ки) регулятором представлена на рис.11.6.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис. 11.6) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,а, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
ности (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t)
и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.11.7), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
ме, приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормиро! ки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
Шаг квантования (шаг поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0,001 с
При настройке цифровых регуляторов их параметры выбираем
таким образом, чтобы получить максимально возможное быстродей-
877
Раздел 11
ствие системы (минимальное время регулирования) и высокую точ-
ность слежения за произвольным входным сигналом (малую динами-
ческую ошибку). Ошибка системы автоматического управления опре-
деляется разностью между преобразованными в напряжение желаемой
и действительной скоростями поезда-экспресса. Настройку цифровых
регуляторов осуществляем для передаточной функции объекта управ-
ления G(s) = а[(5 + a)(s + ft)]-1 = 15[(s + 5)(s + 7)]”1 при поступле-
нии на вход системы типовых входных сигналов и возмущении на входе
объекта управления. Возмущающее воздействие v(/), генерируемое бло-
ком Uniform Random Number в системе MATLAB, приведено на
рис.11.8.
Unit Delay
Рис. 11.7
В результате настройки для цифрового оптимального по быстро-
действию регулятора выбран шаг квантования h = 0,25 с. Для цифро-
вого ПИД-регулятора при шаге моделирования = 0,001с выбраны
коэффициенты: К = 8,334; Ki = 19,542; Kd = 0,818.
В нечетком регуляторе подбирается параметр с и настраиваются
диапазоны изменения входных и выходной переменных всех функций
принадлежности. Для упрощения нормировки диапазоны изменения
входных и выходного сигналов (параметров нечеткого регулятора)
приняты симметричными.
878
Раздел 11
Значения диапазонов (Am = 0тах = -0min; Вт = 0так = -#min;
Ст - 0тях = -0min; Dm = ттях = -ттт) при настройке нечетко-
IlldA ПИП 7 П1аЛ L11III 'г Г
го регулятора подбираются автоматически путем решения оптимиза-
ционной задачи. Параметр с и диапазоны изменения входных и вы-
ходной переменных после настройки регулятора следующие:
с=1; Ат = 0.066; Вт = 6.023; Dm = 100.
Рис.11.8
Реакции системы на единичное ступенчатое воздействие при раз-
личных цифровых регуляторах приведены на рис.11.9: слева при раз-
ных значениях коэффициента усиления а (регулятор настроен
приа = alf = 15), справа при разных значениях частоты сопряжения
апериодического звена а (регулятор настроен при а =5).
По реакциям системы на единичное ступенчатое воздействие мо-
жно заключить, что наибольшую чувствительность к изменению ука-
занных параметров объекта управления имеет система с цифровым
оптимальным по быстродействию регулятором, а наименьшую чувст-
вительность - система с цифровым нечетким регулятором.
Система также исследована при воздействии на входе суммы еди-
ничного ступенчатого сигнала и эквивалентного гармонического сиг-
нала = 1 + U3 sintfz/ = 1 + 0,5sin(0,2/r/). Эквивалентному гар-
моническому воздействию с амплитудой Uэ = 0,5 и несущей часто-
той F = 0,1 Гц соответствует произвольное входное воздействие, из-
меняющееся с максимальной скоростью бУтах = Uэсоэ = 0,1тг и уско-
рением £тяу = LLcol = 0,02л-2 .
1 1П(1Л J J 7
879
Раздел 11
1.Система с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
2. Система с цифровым ПИД-регулятором
880
Раздел 11
1.Система с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
2. Система с цифровым ПИД-регулятором
881
Раздел 11
Процессы в системе автоматического управления с различными
цифровыми регуляторами (см. рис. 11.5 и 11.7) при настройке цифро-
вых регуляторов для передаточной функции объекта управления
G(s) = a[(s 4- a)(s 4- Z>)]-1 = 1 $[(5 + 5)(s 4- 7)]-1 показаны на
рис. 11.10, где u(t) - входное воздействие, x(t) - выход системы,
0(f) - ошибка рассогласования, #тах - значение максимальной ди-
намической ошибки в динамическом установившемся режиме. При
расстройке параметров объекта управления (показанных на рис. 11.9)
максимальная динамическая ошибка #тах увеличивается в системе с
цифровым оптимальным по быстродействию регулятором с 0,12 до
0,15, в системе с цифровым ПИД-регулятором с 0,052 до 0,06, в сис-
теме с цифровым нечетким регулятором с 0,009 до 0,016. Таким обра-
зом, максимальная текущая ошибка 0тах при расстройке параметров
объекта управления увеличивается незначительно при использовании
в системе любого из цифровых регуляторов, но в системе с цифровым
нечетким регулятором эта ошибка минимальная.
11.3. Электрогидравлическая следящая система [39]
Электрогидравлические сервомеханизмы используются в систе-
мах автоматического управления тогда, когда необходимо иметь вы-
сокое быстродействие и большие развиваемые усилия [204]. Напри-
мер, при управлении инструментами металлорежущих станков (сис-
темы с числовым программным управлением ЧПУ). Коррекция дина-
мических свойств таких систем осуществлялась обычно механически-
ми, гидравлическими или электрическими обратными связями [147].
Применение цифровых регуляторов вместо указанных корректирую-
щих устройств позволяет значительно улучшить динамические свой-
ства электрогидравлических следящих систем.
На рис. 11.11 приведена принципиальная схема электрогидравли-
ческой следящей системы с электрической обратной связью. Сигнал
ошибки (рассогласования) снимается с потенциометрического датчи-
ка, усиливается усилителем и подается на соленоиды, которые воздей-
ствуют на пружины, обеспечивая перемещение золотника клапана
пропорционально сигналу рассогласования. Перемещение золотника
882
Раздел 11
открывает путь рабочей жидкости и поршень перемещает нагрузку и
контакт выходного потенциометра, обеспечивая уменьшение сигнала
рассогласования на выходе датчика до нуля.
Поршень Нагрузка
Выход
Соленоид
Потенцио-
метрический
датчик
Вход
Соленоид
Регулирующий
клапан
U
М
Постоянное
давление
Двухтактный
усилитель
Рис.11.11
Усилитель, соленоиды, устройство “регулирующий клапан - пор-
шень с гидравлической обратной связью” (на рисунке обратная связь
не показана) можно описать линейной моделью с передаточной функ-
цией [147]:
K(^ + ^-s + l)
(Г15 + 1)(^- + ^5 +
Линейная модель объекта управления с передаточной функцией
(11.2) получена при допущении малого открытия клапана и линейно-
сти его характеристик, а также без учета гистерезиса и зоны нечувст-
вительности соленоида. x(t) - относительное перемещение поршня
(и нагрузки), преобразованное в напряжение потенциометрического
датчика. 0(t) - ошибка рассогласования: = u(f)-x(t), где w(Z) -
883
Раздел 11
желаемое перемещение поршня, преобразованное в напряжение по-
тенциометрического датчика.
Синтезируем цифровые оптимальный по быстродействию, ПИД-
регулятор и нечеткий (работающий на базе нечеткой логики) регуля-
тор для электрогидравлической следящей системы и оценим робаст-
ность системы, исследуя процессы в системе с этими регуляторами.
Типичные значения параметров системы таковы
[147]:7] = 0,02с; = 10-2^; бУ2=7-2я; £ = £> = 0,05; К = 1.
Запишем передаточную функцию (11.2) в следующем виде:
_ a(s2 + qs + r)
^о(^) 2 t ’ (11-3)
(s + c)(s + bs +
где а = ^=1,9344-103; 6 = 2£2ю2 = 4,3982; с = 1 /= 50;
2
г = а$ = 3,9478 103; = 26^ =6,2832; а = -^- = 24,5.
Г|<У12
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема электрогидравлической следящей системы с оптимальным по
быстродействию цифровым регулятором (SubSystem) и цифровым
ПИД-регулятором (PID-controller) представлена на рис.11.12.
884
Раздел 11
При использовании цифрового оптимального по быстродействию
регулятора для повышения астатизма системы на выходе регулятора
(на входе объекта управления) включим интегратор. Тогда регулятор
будет работать на объект управления с передаточной функцией
G(J)= a(s +qs+r) (|14)
s(s + c)(s +bs + a)
Синтез оптимального по быстродействию цифрового регулятора
для объекта управления, математическая модель которого описывает-
ся передаточной функцией (11.4), выполняем по формулам (7.20),
(3.176) - (3.183). Составленная в интерактивной системе MATLAB
структурная схема оптимального по быстродействию цифрового регу-
лятора представлена на рис.3.115.
Передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора определим
по формуле (9.3). Структурная схема цифрового ПИД-регулятора при-
ведена на рис.3.109,6.
Составленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема электрогидравлической следящей системы с цифровым нечет-
ким (работающим на базе нечеткой логики) регулятором представлена
на рис.11.13.
Рис. 11.13
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис. 11.13) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,а, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
885
Раздел 11
ности (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t)
и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.11.7), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
ме, приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
Шаг поступления данных в нечеткий регулятор h = 0,001 с.
При настройке цифровых регуляторов их параметры выбираем
таким образом, чтобы получить максимально возможное быстродей-
ствие системы (минимальное время регулирования) и высокую точ-
ность слежения за произвольным входным сигналом (малую динами-
ческую ошибку).
В результате настройки для цифрового оптимального по быстро-
действию регулятора выбран шаг квантования h = 0,04 с. Для цифро-
вого ПИД-регулятора при шаге моделирования Aq = 0,001с выбраны
коэффициенты: К = 0,021; Ki = 12,287; Kd = 0,0064.
В нечетком регуляторе подбирается параметр c(d = \П\ = 50 ) и
настраиваются диапазоны изменения входных и выходной перемен-
ных всех функций принадлежности. Для упрощения нормировки диа-
пазоны изменения входных и выходного сигналов (параметров нечет-
кого регулятора) приняты симметричными.
Значения диапазонов (Am = (9тах = -0min; Вт = 0тах = -0min;
Ст = ^тах = -#min J Dm = wmax = “^min) при настройке нечетко-
го регулятора подбираются автоматически путем решения оптимиза-
ционной задачи. Параметр с и диапазоны изменения входных и вы-
ходной переменных после настройки регулятора следующие:
с=1; Ат = 0.006; Вт = 150; Dm = 10.
Реакции системы на единичное ступенчатое воздействие при раз-
личных цифровых регуляторах приведены на рис. 11.14: слева при
разных значениях коэффициента усиления а (регулятор настроен
приа = аИ = 24,5), справа при разных значениях частоты сопряже-
ния апериодического звена с (регулятор настроен при с =50).
По реакциям системы на единичное ступенчатое воздействие мо-
жно заключить, что наибольшую чувствительность к изменению ука-
занных параметров объекта управления имеет система с цифровым
886
Раздел 11
оптимальным по быстродействию регулятором, а наименьшую чувст-
вительность - система с цифровым нечетким регулятором.
(.Система с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
2. Система с цифровым ПИД-регулятором
3. Система с цифровым нечетким регулятором
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Рис. 11.14
887
Раздел 11
1.Система с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором
2. Система с цифровым ПИД-регулятором
3. Система с цифровым нечетким регулятором
888
Раздел 11
Система также исследована при воздействии на входе суммы еди-
ничного ступенчатого сигнала и эквивалентного гармонического сиг-
нала и3 (f) = 1 + U 3 sin 0)3t = 1 + 0,5 sin(0,5TT Z). Эквивалентному гар-
моническому воздействию с амплитудой U3 = 0,5 и несущей часто-
той F = 0,25 Гц соответствует произвольное входное воздействие,
изменяющееся с максимальной скоростью батах = U3a>3 = 0,25л* и
ускорением £тах = U3a% = 0,125л*2 .
Процессы в системе с различными цифровыми регуляторами (см.
рис. 11.12 и 11.13) при настройке цифровых регуляторов для переда-
точной функции объекта управления (11.3) показаны на рис. 11.15, где
u(t) - входное воздействие, х(/) - выход системы, 0(t) - ошибка
рассогласования, 0тах ~ значение максимальной динамической ошиб-
ки в динамическим установившемся режиме. При расстройке пара-
метров объекта управления (показанных на рис. 11.14) максимальная
динамическая ошибка #тах увеличивается в системе с цифровым оп-
тимальным по быстродействию регулятором с 0,019 до 0,04, в системе
с цифровым ПИД-регулятором с 0,064 до 0,08, в системе с цифровым
нечетким регулятором с 0,005 до 0,006. Таким образом, максимальная
динамическая ошибка 0тах при расстройке параметров объекта
управления увеличивается незначительно при использовании в систе-
ме любого из цифровых регуляторов, но в системе с цифровым нечет-
ким регулятором эта ошибка минимальная.
11.4. Система управления температурой газа двухроторного
двухконтурного газотурбинного двигателя [43]
Оценим робастность системы управления температурой газа
двухротороного двухконтурного ГТД, использующей цифровые оп-
тимальный по быстродействию регулятор (см. рис.7.72) и нечеткий
регулятор (см. рис. 7.73), при работе ГТД на среднем (крейсерском)
режиме. Расчетные коэффициенты, при которых определены опти-
мальные параметры регуляторов, имеют следующие числовые значе-
ния:
я0 = 0,01; = 85; а2 = 0,78; а3 = 0,38; а4 = 0,42; а5 = —0,14;
889
Раздел 11
ав = -1,16; а7 = 0,03; а8 = 5,64; Ь{ = 0,29; Ь2 = 3,96; Ь3 = 3,49.
Исследуем реакции системы при воздействии на входе эквива-
лентного гармонического сигнала
u3(f) = U3 sina)3t = 10sin(/r t/30)
и значениях некоторых коэффициентов в структурной схеме ГТД, от-
личных от расчетных. Эквивалентному гармоническому воздействию
соответствует произвольное входное воздействие, изменяющееся со
скоростью, ограниченной значением 69max -U3co3 = тс/3 и ускоре-
нием, ограниченным значением £тах - U3й)3 = л1 /90.
Цифровой оптимальный по быстродействию регулятор рассчи-
тан по формулам (7.20) для передаточной функции объекта управле-
ния вместе с исполнительным устройством (7.19). Параметры переда-
точной функции (7.19) для среднего режима работы ГТД определены
в таблице 7.2. При этих параметрах передаточная функция (7.19) мо-
жет быть записана в форме (7.25). Структурная схема регулятора при-
ведена на рис.3.115. Регулятор работает с шагом квантования
h = 0,25с.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller) выполнен по
структурной схеме, приведенной на рис.3.86,а, с идентичными экспо-
ненциальными функциями принадлежности (см. рис.3.43) и состоит из
блока формирователя величин A(t) и B(t) (блока 1, собранного по
схеме, приведенной на рис.3.61), блока сравнения величин А и В и
расчета ис (блока 2, собранного по схеме, приведенной на рис.3.76) и
блока нормировки выходной переменной (блока 3, собранного по
схеме, приведенной на рис.3.85).
Шаг квантования (шаг поступления данных в нечеткий регулятор)
h = 0,01 с.
В нечетком регуляторе подбирается параметр с и настраиваются
диапазоны изменения входных и выходной переменных всех функций
принадлежности. Для упрощения нормировки (пересчета значений
сигналов в значения элементов единого универсального множества)
диапазоны изменения входных и выходного сигналов (параметров не-
четкого регулятора) приняты симметричными.
890
Раздел 11
Значения диапазонов (Ат = #тях = -0т;п; Вт = Y = -#т;п;
v 111С1Л 111111 z JllClA lllll 1 '
Cm = #max = -^minJ Dm = rnmax = -rnmin) при настройке нечетко-
го регулятора подбираются автоматически путем решения оптимиза-
ционной задачи.
Настройка нечеткого цифрового регулятора производилась с це-
лью получения минимальной динамической ошибки рассогласования.
Параметр с и диапазоны изменения входных и выходной пере-
менных после настройки регулятора следующие:
с =20; Ат = 0,0175; Вт = 0,258; Ст =8,348; Dm = 13,235.
Реакции системы при отклонении одного из коэффициентов в
структурных схемах, приведенных на рис.7.72 и 7.73, показацы на
Рис.11.16
891
Раздел 11
На рисунках: а) входное воздействие и реакции системы, б)
ошибки рассогласования, в) управляющие воздействия с выхода регу-
лятора на объект управления.
РясЛ1Л7
Анализ
процессов, показанных на рис. 11.16, показывает сле-
дующее. При точном задании параметров передаточной функции
(7.25) максимальная динамическая ошибка в системе с цифровым оп-
тимальным по быстродействию регулятором составляет 0,58% от ам-
плитуды синусоиды. При отклонениях величины коэффициента на
± 30% от расчетной максимальная текущая ошибка значительно уве-
личивается и достигает 14,2% от амплитуды синусоиды.
В системе с нечетким регулятором при точном задании парамет-
ров передаточной функции (7.25) максимальная динамическая ошибка
892
Раздел 11
составляет 0,0085% от амплитуды синусоиды. При отклонениях вели-
чины коэффициента а4 на ± 30% от расчетной максимальная дина-
мическая ошибка увеличивается и достигает примерно 0,02% от ам-
плитуды синусоиды.
Таким образом, максимальная динамическая ошибка в системе с
нечетким регулятором при точном задании параметров передаточной
функции (7.25) в 68 раз меньше, а при отклонениях величины коэф-
фициента а4 на ± 30% от расчетной в 710 раз меньше, чем в системе
с цифровым оптимальным по быстродействию регулятором.
Анализ процессов, показанных на рис. 11.17, показывает следую-
щее. В системе с цифровым оптимальным по быстродействию регуля-
893
Раздел 11
тором при отклонениях величины коэффициента Z?2 на - 30% от рас-
четной максимальная динамическая ошибка увеличивается и достига-
ет примерно 2% от амплитуды синусоиды. В системе с нечетким регу-
лятором при отклонениях величины коэффициента Z?2 на ± 30% от
расчетной максимальная динамическая ошибка увеличивается и дос-
тигает примерно 0,01% от амплитуды синусоиды. Таким образом,
максимальная динамическая ошибка в системе с нечетким регулято-
ром при отклонениях величины коэффициента 62 на ± 30% от рас-
четной в 200 раз меньше, чем в системе с цифровым оптимальным по
быстродействию регулятором.
Анализ процессов, показанных на рис. 11.18, показывает следую-
щее. В системе с цифровым оптимальным по быстродействию регуля-
тором при отклонениях величины коэффициента на ± 30% от рас-
четной максимальная динамическая ошибка увеличивается и достига-
ет примерно 7,3% от амплитуды синусоиды. В системе с нечетким ре-
гулятором при отклонениях величины коэффициента на ± 30% от
расчетной максимальная динамическая ошибка увеличивается и дос-
тигает примерно 0,012% от амплитуды синусоиды. Таким образом,
максимальная динамическая ошибка в системе с нечетким регулято-
ром при отклонениях величины коэффициента на ± 30% от рас-
четной в 608 раз меньше, чем в системе с цифровым оптимальным по
быстродействию регулятором.
Проведенные исследования рассмотренных систем автоматиче-
ского управления методом математического моделирования показы-
вают, что наилучшая робастность систем (наименьшие изменения ка-
чества систем, характеризуемого реакцией на ступенчатое возмуще-
ние и/или максимальной ошибкой в установившемся динамическом
режиме) обеспечивается при использовании в системах цифрового
нечеткого регулятора.
11.5. Система регулирования температуры ректификационной
колонны {49,132]
На химических заводах используются ректификационные колон-
ны. Одним из основных параметров ректификационной колонны явля-
ется температура, измеряемая термопарой в некоторой контрольной
894
Раздел 11
точке. Регулирование температуры осуществляется с помощью систе-
мы автоматического управления. Теплоносителем (управляющим воз-
действием на объект управления - колонну) является пар. Количество
пара, поступающего в колонну, регулируется вентилем. В работе [132]
передаточные функции колонны, регулирующего пневматического
вентиля и термопары соответственно определены в виде:
G0(.s) = -^-----; = GTn(S) = ^-. (11.5)
sl+bs + a s + c s + d
Ниже решена задача синтеза цифровых регуляторов для системы
регулирования температуры ректификационной колонны, изложены
результаты исследования системы с различными цифрровыми регуля-
торами и получена оценка робастности системы.
В общем виде любая одноконтурная система автоматического
управления с единичной обратной связью состоит из регулятора и
объекта управления. На основании выражений (11.5) передаточную
функцию общего объекта управления для оптимального по быстро-
действию цифрового регулятора можно записать в виде
G(s) = 6z[s(s2 + bs + a)(s + c)(s + J)]"1 , (11.6)
где a - общий коэффициент усиления.
Интегрирующее звено с передаточной функцией 1/5 включено
на выходе регулятора для придания объекту астатизма первого по-
рядка.
Амплитуды импульсов длительностью h оптимального управ-
ляющего воздействия на объект управления с передаточной функцией
(11.6) при линейно изменяющемся сигнале на входе системы управ-
ления (этим сигналом аппроксимируют произвольное входное воз-
действие на входе системы) на п-м интервале регулирования опре-
деляются (см. Приложение Б, п.19):
т0 = Ко (Д U + So Дсг) + ,ntp<t< ntp + Л;
т\ = + 50Дсг) + АДсг] + /?сгп_), ntp + h<t < nt p + 2h;
+ 50Дсг) + АДсг(1 + ^1)] + 7?сгп_|,
nt p + 2h<t <ntp + 3h;
"h = K0[q3(£U + S0Acr) + ЛДсг(1 + <7, + q2)] +Rcr„_t,
895
Раздел 11
ntp+3h<t <ntp+4h,
= Ko fa W + So Д<т) + ЛД<т(1 + qt + qz + q3)] + Ra,
nt„+4h<t<nt+5h;
p p ’
acd
(11.7)
„ D acd
где Ко =-------r=--------------------; R =-----;
° c^(l-2/BcosAA + B)(l-C)(l-D) a
S = 5h i a^C + +bcd h^4+3?l + 2<?2 + ____•
° acd (l-2VBcos2/i + B)(l-C)(l-D)’
qt = -(24bcosAh + C + D); q2 = B + 2(C + D)4bcosAh + CD;
q3 = -B(C+ D)~ 2CD4B cos Ah; q4 = BCD;
A = V7-i2/4; B = e~bh; C = ech; D = e'dh.
MJ = 0n, где -ошибка системы в момент начала и-го ин-
тервала регулирования tp= Nh, т.е. ошибка системы в момент ntp.
h -шаг квантования. N =5 - порядок объекта управления (вместе с ис-
полнительным устройством и термопарой). До* = ап - прира-
щение скорости на интервале регулирования ntр < t <( п +1) tp, где ап
- первая разность (средняя скорость) входного воздействия на интер-
вале регулирования nt p<t<(n + \)t р, ая_! - первая разность (средняя
скорость) входного воздействия на интервале регулирования
По определению передаточная функция цифрового регулятора
есть отношение z- преобразования выходной переменной регулятора
(которая является управляющим воздействием на объект управления)
к z- преобразованию входной переменной регулятора (которая явля-
ется ошибкой рассогласования) при нулевых начальных условиях. По-
этому цифровой регулятор на каждом интервале регулирования
ntр < t <( п +1) tp можно описать передаточной функцией
W(z\ = = то + от|г~‘+ m2z'2 + m3z'3 + п j 8)
At/a + z-'+z^+z-’+z-4)
или разностным уравнением
At/O + z-'+z^+r’+z-4)
896
Раздел 11
k'O k=\
где в - &U при индексе i - к > 0; в = О, т = О при индексе i-k < О.
В момент начала л-го интервала регулирования длительностью
/= Nh, т.е. в момент nt р, первую разность (среднюю скорость)
входного воздействия на интервале регулирования ntр < t <( п +1) tp
= {«[(« + typ]-u(ntp)}ltp (11.10)
измерить невозможно (за исключением тех случаев, когда входное
воздействие заранее задано), поэтому будем измерять текущее значе-
ние скорости
ст = {«(М0)-м[(^-1)Л0]}/Л0, (11.11)
где -шаг моделирования, и использовать приближенное значение
первой разности
ап = a(ntp) (11.12)
Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на пре-
дыдущем интервале регулирования (п - 1)Гр <t<ntр определяется как
о-„_, =сг[(«-1)/р]. (11.13)
Приращение скорости на интервале регулирования
ntp<t<(n + \)tропределяется как
Aa = {a(ntp)-a[(n-\)tp]}/tp. (11.14)
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического регулирования температурой ректи-
фикационной колонны с оптимальным по быстродействию цифровым
регулятором изображена на рис. 11.19.
Составленная непосредственно по выражениям (11.7) и (11.12)-
(11.14) структурная схема оптимального по быстродействию цифро-
вого регулятора (SubSystem на рис.11.19) представлена на рис.11.20.
Фиксатор Zero-Order Hold /, блок задержки Unit Delay 1 (работа-
ют с шагом моделирования Ло), сумматор и усилитель Gain (с коэф-
фициентом передачи 1 / Ло) реализуют выражение (11.11). Выходом
усилителя Gain является текущее значение скорости входного воз-
897
Раздел 11
действия ст.
Фиксатор Zero-Order Hold 2 (работает с шагом Nh, N - порядок
объекта управления, h - шаг квантования), блок задержки Unit Delay2
(работает с шагом Nh) и сумматор реализуют выражения (11.12) -
(11.14). Выходом блока задержки Unit Delay2 является первая раз-
ность (средняя скорость) входного воздействия на предыдущем ин-
тервале регулирования о'л_1, а выходом сумматора является прираще-
ние скорости на интервале регулирования Дсг. Фиксатор Zero-Order
Hold3 (работает с шагом Nh) квантует ошибку системы .
Импульсный генератор Pulse Generator генерирует импульсы
единичной амплитуды длительностью h с периодом следования Nh.
Эти импульсы непосредственно с генератора и с линий задержек Unit
Delay4 - Unit Delay? (каждая для сдвига импульсов на шаг квантова-
ния А) поступают на соответствующие умножители Product и обра-
зуют стробирующие длительностью h импульсы, необходимые для
временного распределения импульсов оптимального управляющего
воздействия ,... (см. формулы (11.7)). По выражениям (11.7)
составлена остальная часть структурной схемы цифрового регулятора.
898
Раздел 11
Рис.11.20
Параметры передаточной функции (11.6) имеют следующие чис-
ленные значения [132]:
а = 10; Л = 25/105; а = 1/105; с = 1/3; d = 1/8.
Шаг квантования в цифровом регуляторе выбран h = 0,4с; шаг
моделирования выбран — А / 50.
Параметры цифрового оптимального по быстродействию регуля-
тора рассчитывается по формулам (11.7) при указанных выше пара-
метрах объекта управления и шаге квантования. Таким образом, про-
цедура синтеза оптимального по быстродействию цифрового регуля-
тора включает следующие действия: 1 .определяется передаточная
функция общего объекта управления, 2. на основании этой передаточ-
ной функции определяются амплитуды управляющих импульсов mz,
количество которых равно порядку передаточной функции общего
899
Раздел 11
объекта управления N , а длительность каждого импульса равна шагу
квантования Л, 3. набирается структурная схема формирования
управляющих импульсов, 4. набирается структурная схема формиро-
вания скорости (первой разности) входного воздействия на интервале
регулирования ntp<t<(n + l)tp9 tp - Nh , скорости (первой разности)
входного воздействия на интервале регулирования (п -1)/p<t<nt и
приращения скорости на интервале регулирования ntp<t<(n + \)tр
(Лег = (Jn - апЧ ). Таблицы для амплитуд управляющих импульсов
для различных передаточных функций объектов управления приведе-
ны в Приложении Б. Цифровой оптимальный по быстродействию ре-
гулятор рассчитывается для произвольных воздействий, поступающих
на вход системы, поскольку в таком регуляторе заложена процедура
аппроксимации произвольных входных воздействий линейно изме-
няющимися на каждом интервале регулирования воздействиями.
Оценку робастности системы производим следующим образом.
Считаем, что параметры передаточной функции для пневматического
вентиля можно определить достаточно точно и эти параметры не из-
меняются в процессе эксплуатации колонны, а параметры передаточ-
ных функций ректификационной колонны и термопары определены
либо недостаточно точно, либо изменяются в процессе эксплуатации
колонны. Тогда можно, изменяя параметры этих передаточных функ-
ций, например на ±30%, при настроенном регуляторе определять
переходные процессы (реакции системы на ступенчатое воздействие)
и фиксировать отличие этих процессов от оптимальных.
На рис. 11.21 приведены переходные процессы на выходе системы
(см. рис. 11.19) при расчетных параметрах 67 = 1 /105 и d = 1 / 8 и
при параметрах а и d, отличных от расчетных на ±30%. На
рис.11.21,а показано влияние расстройки параметра а на переходный
процесс, на рис. 11.21,6 - влияние расстройки параметра d на пере-
ходной процесс.
При расстройке параметров передаточной функции объекта
управления время регулирования (если брать пределы отклонения ре-
акции от установившегося значения 5%) увеличивается с 2с примерно
до 7с. При этом перерегулирование с нулевого возростает примерно
до 7,5%.
900
Раздел 11
а) б)
Рис.11.21
Система (см. рис. 11.19) также исследована при воздействии на вхо-
де суммы единичного ступенчатого сигнала и эквивалентного гармони-
ческого сигнала
u3(t)- l + = l + 0,5sin(^r/40). (И.15)
Отметим, что эквивалентному гармоническому воздействию соответст-
вует произвольное входное воздействие, изменяющееся с максимальной
угловой скоростью 69max = (7эбУэ = ^/80 и ускорением
£тах = ~ 0,00031тг2 [4]. Такое гармоническое воздействие явля-
ется достаточно быстро меняющимся для такого объекта как ректифи-
кационная колонна.
При выбранном шаге квантования h = 0,4с и при расчетных па-
раметрах а = 1 /105 и <7 = 1/ 8 в цифровом регуляторе время регу-
лирования в системе t = Nh =2с, а амплитуды управляющих импуль-
сов т,, поступающих с выхода регулятора на объект управления, не
превышают 60 при ступенчатом входном воздействии и 0,75 при сле-
жении за синусоидальным входным сигналом. При уменьшении шага
квантования амплитуды управляющих импульсов т{ значительно
возрастают.
На рис. 11.22 и 11.23 приведены процессы на выходе системы
(см.рис.11.19) при расчетных параметрах а = 1/105 и (7 = 1/8 и при
параметрах а и d, отличных от расчетных на ± 30% . На рисунках: а
- входное воздействие и выходные процессы (InOut), б - ошибки систе-
мы (Егг).
901
Раздел 11
Максимальная динамическая ошибка при расчетных параметрах
составляет 0,02% от амплитуды синусоидального воздействия. При
расстройке параметра а ошибка может увеличиваться до 0,048% (см.
рис. 11.22), при расстройке параметра d ошибка может увеличивать-
ся до 0,064% (см. рис.11.23). Поэтому можно заключить, что система с
цифровым оптимальным по быстродействию регулятором обладает
хорошей робастностью, т.е. способностью сохранять требуемое каче-
ство несмотря на неточности модели или существенную неопределен-
ность характеристик объекта управления.
Оптимальный по быстродействию цифровой регулятор (см.
рис. 11.20) представляет собой новый тип регулятора [212], важное
отличие которого от известных “апериодических” регуляторов заклю-
чается в том, что он отрабатывают не ступенчатые, а линейно изме-
няющиеся воздействия, которыми аппроксимируют произвольные
воздействия, поступающие на вход системы управления. Поэтому этот
902
Раздел 11
регулятор способен обеспечить высокое качество системы управле-
ния, характеризуемое текущими ошибками рассогласования. В связи с
этим представляет практический интерес сравнить данный регулятор с
широко используемым промышленным ПИД-регулятором.
В системе MATLAB передаточная функция цифрового ПИД-
регулятора (на рис.11.19 регулятор обозначен блоком PID-controller)
может быть записана различными способами, поскольку интегрирова-
ние и дифференцирование в цифровой форме может быть выполнено
различными методами. Аппроксимируя производную первой разно-
стью и используя интегрирование на основе трапецеидальной аппрок-
симации запишем передаточную функцию цифрового ПИД-
регулятора в виде
w(z) = k+^-—+^-— , (U.16)
2 z-1 z
где Ло - шаг дискретизации (шаг моделирования). При малых шагах
моделирования цифровой ПИД-регулятор эквивалентен ангалоговому.
ПИД-регулятор требует настройки для определенного входного
сигнала. Так, наилучшие переходные процессы в системе (см.
рис. 11.19) с цифровым ПИД-регулятором получаем при значениях
коэффициентов:
К = 1,18-IO-4; Ki: = 2,5-10“6; =8,4710'4.
Эти переходные процессы (реакции системы на ступенчатое воз-
действие) при расчетных параметрах а = 1/105 и <7 = 1/8 и при па-
раметрах а и d, отличных от расчетных на ± 30%, приведены на
рис. 11.24. При расстройке параметров передаточной функции объекта
управления время регулирования (если брать пределы отклонения ре-
акции от установившегося значения 5%) увеличивается с 38с пример-
но до 78,5с. При этом перерегулирование с 7% возростает примерно
до 22%.
При входном эквивалентном гармоническом сигнале
u3(t) = \ + U 3s\nco3t = l + 0,5sin(^r/40) лучшую настройку ПИД-
регулятора получаем при значениях коэффициентов:
К = 3,1710-4; Ktг =1,33’ 10-6; Kd = 0,004.
903
Раздел 11
Процессы на выходе системы (см.рис.11.19) с ПИД-регулятором при
расчетных параметрах 67 = 1 /105 и <7 = 1/ 8 и при параметрах а и
d, отличных от расчетных на ± 30% приведены на рис. 11.25 и 11.26.
На рисунках: а - входное воздействие и выходные процессы (InOut), б -
ошибки системы (Егг). Как видим, система с ПИД-регулятором имеет
такие большие ошибки рассогласования, что практически является не-
работоспособной при данном входном сигнале.
Сравнение процессов, приведенных на рис. 11.21 и 11.24, показыва-
ет, что оптимальный по быстродействию цифровой регулятор обеспечи-
вает время регулирования, определяемое по кривой переходного про-
цесса, на порядок меньшее, чем ПИД-регулятор, т.е. быстродействие
системы с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором на
порядок лучше, чем этой же системы с ПИД-регулятором.
904
Раздел 11
Система с оптимальным по быстродействию цифровым регуляторов^
обладает значительно более высокой точностью отработки входной
воздействия.
Сравнение процессов, приведенных на рис. 11.22, 11.23 и 11.25,
11.26, показывает, что робастность системы с оптимальным по быст-
родействию цифровым регулятором, т.е. способность системы обла-
дать требуемым качеством несмотря на неточности модели объекта
управления, значительно выше робастности системы с ПИД-
регулятором. Поэтому применение оптимального по быстродействию
цифрового регулятора для системы регулирования температуры на
выходе ректификационной колонны является целесообразным и пер-
спективным.
Представленная в интерактивной системе MATLAB структурная
схема системы автоматического регулирования температурой ректи-
фикационной колонны с нечетким регулятором (Fuzzy controller) изо-
бражена на рис.11.27.
Цифровой нечеткий регулятор (Fuzzy controller на рис. 11.2) вы-
полнен по структурной схеме, приведенной на рис.3.86,я, с идентич-
ными возведенными в степень треугольными функциями принадлеж-
ности (см. рис.3.41) и состоит из блока формирователя величин A(t)
и B(t) (блока 1, собранного по схеме, приведенной на рис.3.59), блока
сравнения величин А и В и расчета ис (блока 2, собранного по схе-
ме, приведенной на рис.3.74(a)) и блока нормировки выходной пере-
менной (блока 3, собранного по схеме, приведенной на рис.3.85).
Шаг квантования (шаг поступления данных в нечеткий регулятор)
905
Раздел 11
h = 0,01 с.
В нечетком регуляторе подбирается параметр с (£ = 1/ 3) и на-
страиваются диапазоны изменения входных и выходной переменных
всех функций принадлежности. Для упрощения нормировки (пересче-
та значений сигналов в значения элементов единого универсального
множества) диапазоны изменения входных и выходного сигналов (па-
раметров нечеткого регулятора) приняты симметричными.
Значения диапазонов (Am = 0тах = ; Вт = 0тях = -#min;
4 11ЮЛ 111111 ' IlldA illlll z
Cm = 0тяу = -#m;n; Dm = штяу = ) при настройке нечетко-
illdA ПИП 7 ШОА Illlll у i а
го регулятора подбираются автоматически путем решения оптимиза-
ционной задачи.
Параметр с и диапазоны изменения входных и выходной пере-
менных после настройки регулятора следующие:
с=1; Ат = 0.848; Вт = 0.1; Ст =0.02; Dm = 0.122.
Рис.11.27
Оценку робастности системы производим следующим образом.
Считаем, что параметры передаточной функции для пневматического
вентиля можно определить достаточно точно и эти параметры не из-
меняются в процессе эксплуатации колонны, а параметры передаточ-
ных функций ректификационной колонны и термопары определены
либо недостаточно точно, либо изменяются в процессе эксплуатации
906
Раздел 11
колонны. Тогда можно, изменяя параметры этих передаточных функ-
ций, например на ±30%, при настроенном нечетком регуляторе оп-
ределять переходные процессы (реакции системы на единичное сту-
пенчатое воздействие) и фиксировать отличие этих процессов от оп-
тимальных.
На рис. 11.28 приведены переходные процессы на выходе системы
(см. рис. 11.27) при расчетных параметрах а = 1/105 и d = 1 / 8 и
при параметрах а и d, отличных от расчетных на ± 30%. На
рис.11.28,а показано влияние расстройки параметра а на переходный
процесс, на рис. 11.28,6 - влияние расстройки параметра d на пере-
ходной процесс.
При расстройке параметров передаточной функции объекта
управления время регулирования (если брать пределы отклонения ре-
акции от установившегося значения 5%) увеличивается с 6,4с пример-
но до 11,8с. При этом перерегулирование с 2,7% возростает примерно
до 8%. Таким образом, при расстройке параметров передаточной фун-
кции объекта управления быстродействие системы с нечетким регуля-
тором в 6,5 раз выше,чем системы с ПИД-регулятором.
Система (см. рис. 11.27) также исследована при воздействии на
входе суммы единичного ступенчатого сигнала и эквивалентного гар-
монического сигнала u3(f) = 1 + U3 sin a)3t = 1 + 0,5 sin(zr t /40).
На рис. 11.29 и 11.30 приведены процессы на выходе системы
(см.рис.1) при расчетных параметрах а = 1/105 и d = 1/8 и при па-
раметрах а и d, отличных от расчетных на ± 30% . На рисунках: а
907
Раздел 11
- входное воздействие и выходные процессы (InOut), б - ошибки сис-
Динамические ошибки при расчетных параметрах, при расстройке
параметра а и при расстройке параметра d в динамическом устано-
вившемся режиме практически равны нулю. Поэтому можно заклю-
чить, что система с цифровым нечетким регулятором обладает хоро-
шей робастностью, т.е. способностью сохранять требуемое качество
несмотря на неточности модели или существенную неопределенность
характеристик объекта управления.
11.6. Особенности нечеткого управления [33]
Системы с цифровыми нечеткими регуляторами имеют один су-
щественный недостаток, который особенно проявляется при ступен-
чатых воздействиях на входе систем управления. Если параметры пе-
908
Раздел 11
реходного процесса (реакции на ступенчатое воздействие) систем
управления с оптимальным по быстродействию или ПИД-регулятором
не изменяются при различных уровнях скачкообразного входного воз-
действия, то эти параметры (а именно, время установления, время ре-
гулирования, перерегулирование) будут разными при поступлении на
вход системы управления с нечетким регулятором, настроенным на
один уровень скачка, при других уровнях скачкообразного входного
воздействия. В качестве примера на рис. 11.31 приведены реакции сис-
тем (см. рис. 11.1 и 11.2) на скачкообразные входные воздействия с
разными уровнями: а- системы с оптимальным по быстродействию
цифровым регулятором, б- системы с ПИД-регулятором, в- системы с
нечетким регулятором, настроенными на единичное ступенчато’е воз-
действие на входе системы управления.
При уровнях входного скачкообразного сигнала отличных от единицы
переходные процессы в системе с нечетким регулятором, настроен-
ным на единичное ступенчатое воздействие, затягиваются.
Реакция систем с нечетким регулятором на эквивалентное гармо-
ническое воздействие при изменении амплитуды и частоты этого воз-
действия имеет такую же тенденцию, что и линейная система, а имен-
но, при уменьшении амплитуды или частоты текущая ошибка умень-
шается (хотя пропорциональность не соблюдается).
Другой характерной особенностью нечеткого управления является
неоднозначность настройки нечеткого регулятора в системе автомати-
909
Раздел 11
ческого управления при условии предварительного задания диапазона
изменения ошибки [0 •,£?*].
L min ’ max J
В качестве примера на рис. 11.32 и 11.33 приведены реакции сис-
темы управления (см. рис. 11.2) на входное единичное ступенчатое
воздействие при заданном диапазоне изменения ошибки [^min,^max] •
При настройке нечеткого регулятора требуется получить переходной
процесс с перерегулированием не более 2...3 % и минимальным вре-
менем установления t у. Синтез нечеткого регулятора выполнен по
формулам (3.1) -(3.13) для треугольных функций принадлежности с
шагом квантования (шагом поступления данных в нечеткий регуля-
тор) Л = 0,001 с. В нечетком регуляторе настраиваются диапазоны
изменения входных [0min, 0max ], [0min,<?max] и выходной [mmin,rnmax]
переменных всех функций принадлежности: щ (и) = 1 - и,
где и - элемент единого универсального множества
U = [0,1]. Для уменьшения числа параметров настройки диапазоны
изменения переменных приняты симметричными: £?min = -£?max и т. д.
Значения параметров нечеткого регулятора при заданном диапа-
зоне изменения ошибки [0min,0max], полученные после настройки, и
время установления ty переходного процесса системы для каждого
значения #min приведены в табл. 11.1.
Таблица 11.1
п ^min -0,1 -0,5 -1 -10
п ^min -0,9 -2,47 • -5,95 -38
п 17 min -28 -45 -100 -500
f^min -40 -40 -100 -150
1У 0,58с 0,4с 0,3с 0,57с
При табличных значениях £?min = -0,1 и 0min = -0,5 процессы в
системе показаны на рис. 11.32 слева и справа соответственно. При
^min и #min =-10 процессы в системе показаны на рис.11.33
910
Раздел 11
слева и справа соответственно. Как видим, время установления t
переходного процесса системы для каждого значения #min разное.
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
б)
Интересно отметить, что нечеткий регулятор можно успешно на-
строить при любом из заданных диапазонов изменения ошибки, но
911
Раздел 11
время установления t переходного процесса для данной системы
минимальное при [<?min,<?max]=[-!, 1].
б)
Поэтому для оптимальной настройки нечеткого регулятора необ-
ходимо варьировать диапазонами изменения всех входных и выходно-
912
Раздел 11
го параметров нечеткого регулятора.
На рис. 11.32 и 11.33 u,(/), u2(t) и u3(Z) - пересчитанные на
единое универсальное множество соответствующие переменные ,
0(t) и 0(f). Интересно отметить, что если сразу две из трех пере-
менных u2(t) и u3(0 выходят за пределы единого универ-
сального множества U = [0,1] (см. рис. 11.32), то выход нечеткого ре-
гулятора становится равным нулю и нечеткий регулятор ведет себя
как особое нелинейное корректирующее устройство с прерыванием
сигнала управления.
Нелинейные свойства нечеткого регулятора наглядно можно пока-
зать, подавая на вход регулятора синусоидальное напряжение различ-
ной амплитуды и рассматривая выходное напряжение регулятора.
Для нечеткого регулятора, используемого в системе управления
креном самолета (см. рис.11.2) и имеющего параметры: h=0,001c;
с=1; Ат = 0.551; Вт = 2.536; Ст = 44.838; Dm = 38.264, вы-
ходное напряжение приведено на рис.11.34 при подаче на вход регу-
лятора синусоидального напряжения Jsin(?r t / 5) различной ампли-
туды А.
Рис.11.34
913
Раздел 11
Для нечеткого регулятора, используемого в системе управления
скоростью поезда-экспресса (см. рис. 11.6) и имеющего параметры:
h=0,001c;c = l; Ат = 0.066; Вт = 6.023; Dm = 100, выходное на-
пряжение приведено на рис. 11.35 при подаче на вход регулятора си-
нусоидального напряжения As\n(xt/5) различной амплитуды А.
в) г)
Рис.11.35
Для нечеткого регулятора, используемого в электрогидравличе-
ской следящей системе (см. рис. 11.13) и имеющего параметры:
h=0,0001; с=1; Ат = 0.006; Вт = 150; Dm = 10, выходное напря-
жение приведено на рис. 11.36 при подаче на вход регулятора сину-
соидального напряжения A sin(^ 112) различной амплитуды А .
Для нечеткого регулятора, используемого в системе регулирова-
ния температуры ректификационной колонны (см. рис. 11.27) и имею-
щего параметры: h=0,01c; с=1; Ат = 0.848; Вт = 0.1; Ст = 0.02;
Dm = 0.122, выходное напряжение приведено на рис. 11.37 при пода-
че на вход регулятора синусоидального напряжения A sin(zr 1140)
различной амплитуды А.
914
Раздел 11
01 2345678
а)
m(t) А=0.8
3
2
1
О
- 1
- 2
- 3
012346678
в)
Рис.11.36
в) г)
Рис.11.37
915
Приложение А
Приложение А.
Моделирование стационарных случайных воздействий.
Стационарное случайное воздействие со спектральной плотно-
стью Su(co) можно представить как результат преобразования белого
шума £(t) с единичной спектральной плотностью = 1 звеном с
частотной характеристикой K^(jco), которое называется форми-
рующим фильтром. Для нахождения частотной характеристики фор-
мирующего фильтра используют формулу
Stt(a>) = S( j co )S(-j со) =\S(ja>\2. (п.1)
При этом Кф( jco) =S(jco).
Найдем частотную характеристику формирующего фильтра для
экспоненциального случайного процесса с корреляционной функцией
R(t) = и соответствующей спектральной плотностью
Su (со) = 2aD /(а2 + со2) . На основании формулы (1) имеем
(jo) = S( jto) = - 2а^~,
а + jo)
т.е. формирующий фильтр описывается апериодическим звеном с
передаточной функцией
K*(s) = k/(Ts + l)y (п.2)
где коэффициент усиления k = yjlD/a , постоянная времени
Г = 1/а.
Найдем частотную характеристику формирующего фильтра для
линейно-экспоненциального случайного процесса с корреляционной
функцией R(r) = D(\ + a|rpe"ff^ и соответствующей спектральной
плотностью Su(co) = 4a2D/(a2 + со2)2. На основании формулы (1)
имеем
„ ,. . с/ . . 2ajD
Кф( jco) = S( jco) = -у,
(a + ja>r
т.е. формирующий фильтр описывается последовательным соеди-
нением двух апериодических звеньев с передаточной функцией
916
Приложение А
K^(s)-k/(Ts + 1J2, где общий коэффициент усиления к = 2>Ц5/а ,
постоянная времени Т = \/ а .
Рассмотрим случайный стационарный экспоненциально-
колебательный процесс (нерегулярную качку). Такой процесс описы-
вают корреляционной функцией (первая форма)
R(t) = De cosQr,
где а - коэффициент нерегулярности, a Q - преобладающая час-
тота. Спектральная плотность такого процесса
= ащ_______!_______+______?_____(п.З)
a + a + + |] + Ajco + B(jco)2\
где А -2а(а2 +Q2>-1; В-(а2 ч-Q2^-1.
Используют также другое описание процесса, когда корреляцион-
ную функцию представляют в виде (вторая форма)
R(t) = +
При этом спектральная плотность определяется как
Su(o>) =
_aD [ 20.-о + 2Q + 69 2AD (п4)
Q а2+(а)-С1)2 a2+(d} + Q)2 |1 + Л/7у + ВО<у/|2
Используя формулу (п.1) по выражениям для спектральных плот-
ностей можно сразу записать частотные характеристики формирую-
щего фильтра, который стационарный белый шум £(t) с единичной
спектральной плотностью = 1 преобразует в случайный стацио-
нарный экспоненциально-колебательный процесс. Сравнивая выраже-
ния (п.З) и (п.4) с выражением (п.1) имеем:
для первой формы
„ z. . , JAD(\ + 4Bja>)
K^joi) = S(ja>) = ——------ - ,
\ + Ajcd + B( jcd)
для второй формы
917
Приложение А
. с/ . . ^2AD
K<b(ja>) = S(jco) =------------- .
1 + Ajco + B( jco)2
В первом случае формирующий фильтр представляет собой коле-
бательное звено с дифференцирующим 1-го порядка, во втором - ко-
лебательное звено.
В первом случае передаточная функция формирующего фильтра
Kx(s-¥d) .
K^(s) = -^-----(п.5)
5 + bs + а
, А 1 2 1 1
где b = — = 2а; а = — = а +Q ; а =—г=
В в 4в
+ Q2,-
2aD.
Во втором случае передаточная функция формирующего фильтра
^(3) = -^------------------------, (п.6)
5 + bs + а
где К2 = J-^- = 2^aD(a2 + Q.2) .
1 в
Моделирование формирующих фильтров можно выполнять по ре-
куррентным формулам по методу трапеций для типовых стацио-
нарных звеньев. Для апериодического звена (п.2):
2Г-Л0 kh$
xv =------ xv-i +—(и» + и»-\) •
v 2T + h$ v 1 2Г + Ло v v 1
Для колебательного звена (п.6):
4-2bhQ-ah^ ~ 4a/iQ
x2v 2 f2Xlv-l+*
4 + 2ЬЛд + 4 + 2bhg + ahq
2/iq/l2 z . <
+ “ ^v-l Л -^Iv ~~ *1 v-1 + n ( *2v + *2v-l )'
4 + 2bhq+ah$ 2
Для колебательного звена с дифференцирующим 1-го порядка (п.5):
4-2Ь^-а1^ Aahy
*3v л . ,2 *3v-1 . 2 *2v-l + •
4 + 2bh$ + аЛо 4 + 2bh$ + ah$
918
Приложение А
4 + 2bh$ + ah$
hn .
*2v — ^2v-l 2 ^3v "1” ^3v-l 7» -^Iv ~ ^3v + ^2v*
В записанных формулах uv - входная, xlv - выходная перемен-
ные каждого звена, x2v, x3v- промежуточные переменные. Временной
параметр v меняется через шаг моделирования й0.
Заданный стационарный нормальный непрерывный случайный
процесс u(t) с корреляционной функцией R(t) отображается на
ЭВМ в виде дискретной последовательности его значений, относя-
щихся ко времени tv = vhg , где h$ - шаг моделирования, v -
целочисленный аргумент (0,1,2,...).
Случайные процессы с рассмотренными корреляционными функ-
циями и соответствующими рациональными спектральными плотно-
стями удобно моделировать также при помощи разностных уравне-
ний. В работе [24] приведены алгоритмы, не имеющие методической
погрешности и сводящиеся к простым рекуррентным соотношениям.
Моделирующий алгоритм для экспоненциального случайного
процесса с корреляционной функцией
R(r) = De~a^
записывается в виде:
1/„=а0£,+&!«„_], (п-7)
где a0=^D(]-p2 ); 6, = р; р = exp(-ah^).
Разностному уравнению (п.7) соответствует цифровой фильтр с
дискретной передаточной функцией
Моделирующий алгоритм для линейно-экспоненциального слу-
чайного процесса с корреляционной функцией
записывается в виде:
«V = + b2uV-2 > (п-8)
919
Приложение А
где а0 =y/DA = ylD(a^ +y]ai -4а^)/2; а} =Л5а0/Л;
а0 = р(р-1)(\ + сЛ0); а, = 1-4ай0р2 -р4;
b} = 2р; b2=-p2; p = exp(-ah{>).
Моделирующий алгоритм для экспоненциально-колебательного
случайного процесса с корреляционной функцией
R(r) = De cosQr
записывается в виде:
"у = *о4у + ^1^у-1 + Wy_| + b2uv_2, (п.9)
где а0 = 4dA = ^D(ax± yjax -4«q )/2; а} = 7йа0 / Л;
«о =р(рг -\)cos(Qhf)); cr, = 1 - р4;
bx = 2pcos(ClhQ); b2 - p\ p-exp(-ah^).
Моделирующий алгоритм для экспоненциально-колебательного
случайного процесса с корреляционной функцией
R(r)-De +
записывается в виде:
“у = Я()4у + ^£y-i + bxUv_x + b2uv_2, (п. 10)
где aQ = JdA = JD(ax± ^ах -4(Xq )/2; ах = jDaQ /Л;
«о = р( Р1 - Ucos(Qh0 ) + 1 + р2 )psin(Qh0 );
«I -1 - р4 - 4р2 OAq )cos(ОЛо);
by = 2pcos(£lhq); b2 =-p2; p = exp(-ah$).
Разностным уравнениям (п.8}-(п.10) соответствует цифровой
фильтр с дискретной передаточной функцией
Рассмотренные моделирующие алгоритмы предназначены для по-
лучения на ЭВМ дискретных, неограниченных во времени реализаций
920
Приложение А
uv -u(vh^) моделируемого случайного процесса и( t) ив них зало-
жен принцип преобразования последовательности £(t) независимых
нормально распределенных случайных чисел с параметрами (0,1)
(нормально распределенный дискретный белый шум) в последова-
тельность uv = и(vh$ ), коррелированную по закону
Rv =R(vfiQ) = M{ukuk+v}.
Для того чтобы получить последовательность случайных величин,
распределенных по нормальному закону используется алгоритм, ко-
торый позволяет вычислять независимую нормально распределенную
случайную величину Gauss по двум заданным независимым слу-
чайным числам [46].
1-й шаг: для получения случайных чисел необходимо выработать
два независимых случайных числа, равномерно распределенных меж-
ду нулем и единицей. Два независимых числа будут иметь вид:
А = 2 * random -1, В = 2 * random -1.
Функция random (стандартная подпрограмма) возвращает случай-
ное вещественное число, большее либо равное 0.0 и меньшее либо
равное 1. При многократном вызове данной функции формируется
случайная последовательность действительных чисел, равномерно
распределенных между нулем и единицей.
Теперь А и В равномерно распределены между-1 и+1.
2-й шаг: вычисляем величину R. Это сумма квадратов двух неза-
висимых случайных чисел. Величина R вычисляется по формуле:
R = А2+В2.
3-й шаг: если R < 1, то вычисляем величину S по формуле:
-2lnR
R
Тогда псевдослучайная последовательность чисел распределен-
ных по нормальному закону вычисляется по формуле:
Gauss = то + sigma * A* S = то + sigma * А *
где то математическое ожидание; sigma среднеквадратическое
отклонение;
4-й шаг: если условие R < 1 не выполняется, то нужно перейти к
первому шагу алгоритма.
921
Приложение А
Программа Schum реализует алгоритм моделирования псевдослу-
чайной последовательности чисел, распределенных по нормальному
закону. В программе используется процедура Grafika.pas - моделирова-
ние графики. Константы: то - математическое ожидание; sigma -
среднеквадратическое отклонение; h - шаг масштабной сетки; ЬО -
шаг моделирования; tt - время наблюдения. Переменные: t - значение
момента времени; аа, вв, гг, sq - служебные переменные; Gauss - вы-
ходное значение.
Program Schum;
Uses Crt, Graph;
Const
h0=0.001;
h=l;
tt=5;
mo=0;
sigma=l;
Var
aa,bb,rr,sq : real;
Gauss,t: real;
{$1 d:\Gostev\pas\grafika.pas}
Begin
Dele:=l/50; Delu:=l/50; Delv:=l/50;
osl:=50; os2:=150;
In_Graph; Osi; Metki(20,h,tt); Text(h);
t:=0;
repeat
repeat
aa:=2*random-l;
bb: :2 * random-1;
rr:=sqr(aa)+sqr(bb);
until (rr<l);
sq:=sqrt(-2*ln(rr)/rr);
Gauss:=mo+sigma*aa*sq;
Grafik(O,l,t,Gauss);
t:=t+hO;
922
Приложение A
until t>tt;
readln;CloseGraph;
End.
Для моделирования стационарных случайных воздействий в инте-
рактивной системе MATLAB можно использовать блок Band-Limited
White Noise с соответствующим формирующим фильтром или блок
Random Number с соответствующим дискретным фильтром, получен-
ным на основе разностного уравнения. Схемы моделирования для по-
лучения экспоненциального случайного процесса с использованием
формул п.2 и п.7 с шагом моделирования (Sample time) h() приведены
на рис.1.
Random
Discrete Filter
White Noise
Рис.1
Для получения одинаковых результатов нужно установить в блоке
Band-Limited White Noise значение Noise power =1 , а в блоке Random
Number значение Variance=l.
923
Приложение Б
Приложение Б
Таблица оптимальных управляющих воздействий на объект
управления при сигнале ll(t) — U + Cft на входе системы
Рис.1
Математическая модель стационарного линейного объекта управ-
ления описывается передаточной функцией общего вида
L
G(s) = -^----------, L<N,
•s'0
/=r+l
где сопрягающие частоты а, и могут быть вещественными
(положительными и/или отрицательными), комплексными (с положи-
тельными и/или отрицательными действительными частями); число г0
определяет порядок астатизма объекта (число интегрирующих звень-
ев); N- порядок объекта (порядок дифференциального уравнения,
описывающего объект).
При таком объекте управления в системе на рис.1 для получения
оптимального по быстродействию переходного процесса при линейно
изменяющемся воздействии вида u(t)-U -vat на входе системы и
нулевых начальных условиях цифровой регулятор должен подавать на
вход объекта (перед фиксатором нулевого порядка) управляющее воз-
действие z-изображение которого определяется как [32]
N
M(z) = Ко( 1 - г’1 У0’2 ПП - A,zA )[(U + Soa)(l - z'1) + hoz^ ].
/=г+1
924
Приложение Б
N
п«/
где r0 > 1; Ко =-------------. А. =е~^;
ah^jUd-AJ
j-\ i=r+\
h- шаг квантования.
Для объекта с астатизмом первого порядка (r0 = 1)
M(z) = rriQ + mxz~x + ...+ mNz~N (\ + z-1 + z”2 + ..J;
So = Nh - ----[(N -\) + (N -2.)q^+...+ qN_2 ];
02 пп-я,.;
/=2
1 J2-* —
DOk =------[-^-rsG(s)]s_0, k = l,2;
°* (2-k)! ds2~k
коэффициенты ?1,?2>””?лм находят из выражения:
ПП_42 + 1+<?2Z 2 + ••• + Qn-\z Л+1-
/=2
Для объекта с астатизмом второго порядка (г0 = 2)
M(z) = m$ +ni\Z~} + ... + >hv_1z“a+1;
50 = Nh---------------[(2N -3> + (2N - 5)q} +... + qN_2];
2ПП-4?
/=3
t ^3-k __
Dot =-----[-^-rS2G(s )]._0 ,k = 2,3;
°* (3-k)!1 ds2~k
коэффициенты находят из выражения:
П<1 - 4^_| ; = 1 + ?!?' + q2z~2 +... + ?A'-2z’A +2-
/=3
Ниже определены оптимальные управляющие воздействия на объек-
ты управления с различными передаточными функциями [14, 76].
1. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s(s + a)]~x
925
Приложение Б
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
mo = Ko(U + Soa);
т\ =KQ[q{(U + S0<7) + ha];
rrij = Kf)h<7(\ + q\) =—cr при i>2,
a
где Ko =----------; So = 2h + -------—; q, = -A; A = e~ah.
ah(\-A) a (1-A)
2. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a/s2
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
т0 = K0(U + Soa);
TWj --Kq[(U + SQcr)-her],
„ _ 1 с _ЗЛ
где Kq - 50 -
ah 2
3. Для объекта управления с передаточной функцией
G( s ) = а [ s( s + а )( s + b )]~х
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
tw0 =KQ(U + Stfr);
'«I = KQ[qx(U + SQa) + ha];
42(V + + M + <71Л/
mi =KQhcr(} + qx +q2) -—при i>3,
a
где к„ =---: s„ = ЗЛ + - h(2^> .
ah(\-A)(\-B) ab (1-A)(1-B)
qt =-(A +B);q2 = AB; A = e'oh; В = e~bh.
4. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s ) = a(s + r )[s(s + a)(s + b)]'x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.З, за исключением:
926
Приложение Б
iKj = Koha(\ + q} + q2) = — о* при i>3,
ar
ab . c 1 , a + b h(2 + qx)
ahr(\-A)(\-B) u r ab (\-A)(\-B)
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s)-a(s2 +qs + r )[ s(s + a)(s + b)]'x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.4, за исключением:
50=3),-’+^—
г ab (\-А)(\-В)
5. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s)-a[s(s2 +bs + a)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
mQ = K0(U + Soa);
= K(x[qx(U + Soa) + ha];
m2=KQ[q2(U + Soa) + ha(\ + qx)];
m, = Kahcr(l + qx+q2) = при i>3,
a
,, a r, ->> b h(2 + qx)
где Ko =---------y=--------; So = 3h +------;
ah(\-2y/BcosAh + B) a (\-2jB cos Ah + B)
qx = -2>/b cos Ah; q2 = В; В = e~bh; A = Ja-b2/4.
6. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s + r)[s(s2 +bs + a)]~l
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.5, за исключением:
т, = KQhcr(\ + q} +q2) = —cr при i>3,
ar
ahr(\ - 2>J~B cos Ah + В)
927
Приложение Б
50=ЗЛ-'+*---------------------
Г a (]-2ylBcosAh + B)
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s2 + qs + r )[s(s2 +bs + a)]'}
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.6, за исключением:
50=ЗЛ-’ + ‘--------.
Г a (\-2qBcosAh +В)
7. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s2(s + a)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
ти0 = K0(U+ Soa);
т\ =K0[(qx-\)(U + Socr) + hcr];
т2 =~4\Kq(U + Soa-ha),
„ о „ 1 h(3 + q.)
где Ko = — ----; 50 = 3h +-------;
ah2(\-A) a 2(l-A)
q\=-A; A = e~ah.
8. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s ) = a(s + r )[s2(s + а )]~х
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.7, за исключением:
Ко = ; So = ЗЛ - - + - -
ah2r(\-A) г а 2(1 -А)
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s2 + qs + r)[s2(s + a)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.8, за исключением:
и г а 2(\-А)
9. Для объекта управления с передаточной функцией
928
Приложение Б
G(s) = a[s(s + a)(s + b)(s + c)] 1
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
= К^(и +Soa);
f"i =Ko[q](U + Soa) + ha];
т2 =Ko[q2(U + Soa) + ha(\ + qi)];
m3=K0[q3(U + S0a) + ha(\ + q} + q2)];
rrij = KQha(\ + q\+q2+q-3) =-сг при i>4,
a
abc
где KQ =-------------------,
ah(\-A)(\-B)(\-C)
S ^^h\ah + aC + bc h(3 + 2q}+q2) .
° abc A)(] -B)(\-C)
qx — ~(A 4- В 4- C); ^2 = AB + AC + ВС; <7з = -ABC;
A = e~ah: B = e~bh; C = e-ch.
10. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s + r)[s( s + а )( s + b )( s + с
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.9, за исключением:
w, = K^ha(\ + qx + q2 + q3) = ^-cr при i>4,
ar
abc
Ko =-------------------,
° ahr(\-A)(\-B)(]-C)
„ A. 1 ab + ac + bc h(3 + 2qx+q2)
° r abc (\-A)(\-B)(\-C)
Для объекта управления с передаточной функцией
G( s) = а( s2 + qs + r)[ s( s + a)(s + b)( s 4- c)]'x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.10, за исключением:
с _Л1 qt ab + ac + bc h(3 + 2qx+q2)
° г abc (\-А)(\-В)(\-С)
929
Приложение Б
11. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s(s2 +bs + a)(s + c)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
mQ = KQ(U + Soa);
т\ =KQ[q}(U + SQa) + ha];
^2= ко[^2<и + sb°) + h<r(' + q\)];
=KQ[qi(U + SQ(T) + ha(\ + q} + q2)];
ас
mi = K$hcr( 1 + qx + q2 + q3) = —а при i>4,
a
j. ac
где £0 =-------=----------------;
ah(\-2ylBcosAh + B)(\-C)
S^4l, + ^----------hni231±311-------.
ac (\-2ylBcosAh + B)(\-C)
q} = ~(2>/b cos Ah + C); q2- B + 2CJb cos Ah; q3 - -BC;
A = Ja-b2/4; B = e~bh; C = e~ch.
12. Для объекта управления с передаточной функцией
G( s) = а( s + r)[s(s2+bs + a)(s + c)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.11, за исключением:
ас
mi = KQhcr(\^qx +q2 + q3) =— ст при i>4,
ar
ас
Ko =--------г=--------------’
ahr(\-2jBcosAh + B)(\-C)
+ ------W3 42g,^2)-------
r ac (\-2ylBcosAh + B)(\-C)
Для объекта управления с передаточной функцией
G( s) = а( s1 + qs + r)[s( s1 + bs + a)(s + c)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.12, за исключением:
930
Приложение Б
So = 44 - ’ + ------W+ ?<?.+<?:>-----
Г ас (\-1Jb cosAh +В )(\-С)
13. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s2(s + a)(s + b)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
/и0 = Kq(U + Soa):
т{=К0[(дх-\)(и + S0<y) + ha];
m2=KQ[(q2-qx)(U + Sq<j ) + hoqx];
mi=-q2K()[U + S()(T-ho-],
где К„ , . S„ = 44 + .
ah2(\-A)(\-B) ab 2(\-A)(\-B)
q}=-(A + B); q2=AB; A = e~ah; B = e~bh.
14. Для объекта управления с передаточной функцией
G( s ) = а( s + г ) [ s2 (s + а )(s + b )]"х
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п. 13, за исключением:
ah2r(\-А)(\-В) г ab 2(\-А)(\-В)
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s2 +(?5 + r)[ s2(s + a)(s + b)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.14, за исключением:
г ab 2(\-А)(\-В)
15. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s2(s2 +bs + a)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
то ~ K$(U + Sq(j);
m^K0[(q}^)(U^SQcy)^ha];
931
Приложение Б
т2 =К()[(Я2 ~qi)(U + S0a) + hoqJ;
т3 = + StfT-hcr],
ah2(l-2jBcosAh + B)’
S0=4h + ~-
а
h(S + 3q}+q2)
2(\-2>[в cosAh +В )’
q} ~-2у[в cosAh; q2 = В; A = ya-b2/4;
B = e~bh
16. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s + r)[s2(s2 +bs + a)]'x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.15, за исключением:
° ah2r(\-2jBcosAh + B)’
S -1/; 1 । 6 h(S + 3qx+q2)
° r a 2(\-2у[в cosAh +В )
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s2 +qs + r)[s2(s2 +bs + a)]~}
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.16, за исключением:
S0=4*-’ + ‘----
Г a 2(\-2JBcosAh + B)
17. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = а[ s( s + a)(s + b)(s + c)(s + d)]~}
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
= KQ(U + SqCf);
т\ =Ko[q\(U + SQcr) + ha];
т2 = КоШи++hcr(\+q\)]:
f»3=K0[q3(U + Socr) + ha(\ + qx+q2 )];
m4=K0[q4(U + Soa) + ha(\ + qt + q2 + q3 )];
932
Приложение Б
„ . z, . abed . _
m, =Колсг(1 + <7| +<7з +<7з +<7д J =-& при 1^5,
а
abed
где — — — —
0 ah(\-A)(\-B)(\-C)(\-D)
S _ 5^ + abc + abd + aed + Af 4 4- 3qx 4- 2q2 +q^)
° ” + dbed (\-A)(\-B)(\-C )(\-D) ’
qx=-(A + B + C + D); q2 = AB + AC + AD + BC + BD + CD;
q3=-(ABC+ABD + ACD + BCD); q4 = ABCD;
A = e-ah; B = e-bh; C = e~ch D^e'dh.
18. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = а(s 4- r)[s(s 4- a)(s 4- b)(s 4- c)(s 4- d)]'x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.17, за исключением:
rz > х abcd . .
= КцЬсг(14- qx 4- q2 + q3 4- q^ ) =-а при i>5,
ar
abed
KQ = — — — ------------------,
ahr(\-A)(\-B)(\~C)(\-D)
$ 1 + abc + abd + acd + bed h(4 + 3q} + 2q2 +q?>)
° ” ” 7 + ~abcd (\-A)(\-B)(\-C)(\-D)
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s2 +qs + r)[ s(s + a)(s + b)(s + c)(s + d )]~х
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.18, за исключением:
$ _ q ±abc + abd + acd + bed h(4 + 3q} + 2q2+q3)
° ” r abed (\-A)(\-В )(\-C )(\-D )
19. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s(s2 + bs ч- а)( s + c)(s + d)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
mo = Ko(U + Stfr);
т\ =Ko[qx(U + So&) + hcrJ;
933
Приложение Б
m2=K()[q2(U + SqU ) + hcr(\ +q\)];
m3=KQ[q3(U + Socr) + h(7(\ + q{ + q2)J:
m4 =Ko[q^(U + S()cr) + hcr(l + ql+q2+q3)];
„ . k acd . _
mi = KQhcr(\ + qx + q2 + q3 +Яь) =-& при i>5,
a
acd
где Ко =-------=----------------------,
ah(\-2jBcosAh + B)(\-C)(\-D)
s =5h । a(c + d) + bcd____h(4 + 3qx+2q2+q3)
° acd (l-2y/~BcosAh +B)(\-C)(\-D)
qx =-(2>J~B cosAh + C + D); q2 = В + 2(C + D)Jb cos Ah + CD;
q3 = —B( C + D)~ 2CD>[b cos Ah; q4 = BCD;
Л = Ja-b2/4; В = e~bh; C = e~ch; D = e'dh.
20. Для объекта управления с передаточной функцией
G( s) = a(s + r)[s(s2 + bs + a)(s + c)(s + d )]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.19, за исключением:
= K$h(j( 1 + qx + q2 + q3 + qA ) = ^-a при i>5,
ar
acd
KQ =--------r=---------------------'
ahr(\-2ylB cosAh + B)(\-C)(\-D)
s = 5h - - + a(c + d) + bcd__b(^ + 3q}+2q2 + q3)
° r acd (\-2JBcosM + B)(\-C)(]-D)'
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s2 + qs + r)[s(s2 + bs + a)(s + c)(s + d )]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.20, за исключением:
5 ? । <*(c + d) + bcd__h(4 + 3qx+2д2+д3)
° г acd (\-2y[BcosAh + B)(\-C)(\-D)'
21.Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s(s2 + bs + a)(s2 +ds + c)]~x
934
Приложение Б
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
m0 = K0(U + Soa);
т\ =K0[q\(U + Soa) + ha];
т2=К0[ц2(и + Soa) + hcr(l + ql)];
m3=K0[q3(U + Soa) + ha(\ + qi+q2)]:
m4 = K-olq^U + SQtr) + ha(\ + q\ + q2+q3)J;
ac
m, = KQhcr(\ + qx + q2 + q3 + qA ) ~ —а при i>5,
a
ur ac
где Kq ,— i,
ah(\-2yJB cosAh + B)(\-2^D cosph + D)
s -5/; I ad + bc________^4 + 3^] +2<72 +<73;_____
° ac (\-24BcosAh + B)(\-2jDcosph + D)’
q} = -2(4B cos Ah + Jd cos ph); q2= B + D + 4y/BD cosAhcos ph;
q3 = -2B>[d cos ph - 2dJb cos Ah; q4 = BD;
A = Ja-b2/4; В = e~hh; p = ylc-d2/4; D = e~dh.
22. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s + r)[s(s2 + bs + a)(s2 +ds + c)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.21, за исключением:
rrij = Кцпсг(I + <71 + 92 + <7з + / = —а ПРИ ^5,
аг
к =_________________.
° ahr(\ - 2^В cos Ah + B)(l- 2y/D cos jjh + D)
S ^5/; 1 । ad + bc__________h(4 + 3q}+2q2^q3)________
° г ас (\-2^В cos ^h +B)(\-2>[d cos D)
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = а( s2 + qs + r)[s( s2 + bs + a)(s2 + ds + c )]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.22, за исключением:
935
Приложение Б
Л<4 + 3?| + 2дг + д3)
с д , ad + bc
Sq 5Л + <— .—
г ас fl-2-v В cosAh + B)(\-2-J Deos fjh + D)
23.Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[ s2(s + a)(s + b)(s + c)]~'
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
т0 - K0(U + Soa);
"h = Ко[(4] ~ V(U + Soa) + ha];
m2 =K0[(q2 -q])(U + Soa) + haqJ;
m3=Ko[(q3-q2)(U + Soa) + haq2J;
mA --q3K0[U + Soa-ha],
abc
гдеК0= ------------ —,
ah2(\-A)(}-B)(\-C)
S -5h (ab + ac + bc ^7 + 5?1+3?2+?зЛ
0 abc 2(\-A)(l-B)(l-C)'
= —(A + В + C); q2 ~ AB 4- AC + BC; q$ — — ABC,’
A = e~ah; B = e~hh; C = e~ch.
24. Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s + r)[s2(s + a)(s + b)(s + c)J~}
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.23, за исключением:
abc
ah2r(l-А)(1-В)(1-С)
с _ с I. 1 : ab +ас+ bc h(7 + 5qi + 3q2 +q3)
° r abc 2(\-A)(\-B)(\-C)
Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a(s2 +qs + r )[s2(s + a)(s + b)(s + c)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.24, за исключением:
О CL q , ab + ac + bc h(7+ 5qt+3q2+q3)
r abc 2(1-A)(1-B)(1-C)
936
Приложение Б
25 .Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = a[s2(s2 4- bs + a )(s + c)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются:
то -Kq(U +
=Kq[(4\ ~V(U + SGa) + h(j];
= К^[(Ч2 ~qi)(U + SQa) + haq}];
=ко1(Яз ~Q2)(u + SQa) + hoq2];
mA = -q3KQ[U + Socr-ha]t
Д'- /Vg — T/=
ah2 (1 - 24B cos Ah + B)(l - C)
s ^5hia + bc Н(1 + 5Я}+^Я2+Яз)
° ac 2(\-24BcosAh + B)(\-C)
qi = -(2-/b cos Ah + C); q2= В + 2CJb cos Ah; q2 = -BC;
A = yla-b2/4; B = e~hh; C = e~ch.
26 . Для объекта управления с передаточной функцией
G(s) = а( s + г )[s2 (s2 + bs + а)( s + с)]-I
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.25, за исключением:
к =_____________.
° ah2r(\-24BcosAh + B)(\-C)’
S0 = 5h- — +
г
a + bc h(l + 5qi+3q2+q-})
ас 2(\-2jBcosAh + B)(\-C)'
Для объекта управления с передаточной функцией
G( s ) = а( s2 +qs + r)[s2(s2 +bs + a)(s + c)]~x
амплитуды импульсов длительностью h оптимального управляющего
воздействия определяются по формулам п.26, за исключением:
о ci q a + bc
SQ =5Л-- +----
г ас
h(l + 5q} ^Зд2 +д3)
2(1 - 2^В cos Ah + В )(\-С)'
937
Приложение В
Приложение В.
Элементы теории двухмерных систем автоматического
управления
Различают два вида наиболее важных структурных схем двухмер-
ных объектов управления: Р-каноническая структурная схема (см.
рис.1,а) и V-каноническая структурная схема (см. рис.1, б).
В Р-канонической структурной схеме каждый вход действует на
все выходы, а точки суммирования расположены на выходах объек-
тов. Р-канонические двумерные объекты управления описываются
матричным уравнением
x}(s) = G^(s) G2i(s)ui(s)
x2(s) Gi2(s) G22(s)u2(s)
(1)
ИЛИ
X = GU.
Особенность V-канонической структурной схемы состоит в том,
что каждый вход воздействует только на соответствующий выход, а
каждый выход воздействует на другие входы; эта структура позволяет
описать только те объекты управления, у которых число входов равно
числу выходов.V-канонические двумерные объекты управления опи-
сываются матричным уравнением
938
Приложение В
x{(s) _ Gn(s) О
x2(s) 0 G22(s)
U](s) 0
«2^> 0|2<Л> 0 |*2<^
(2)
ИЛИ
X = GH{U + GKX},
где GH - диагональная матрица, содержащая главные элементы
передачи, a GK - матрица, содержащая элементы связи. Поскольку
аналитическую зависимость X от U можно записать в виде
X = [I-GHGK]-'GHV,
то матрица передачи объекта управления для V-канонической
структурной схемы (см. рис.1, б) равна
G = [I-GHGK]-'GH.
Очевидно, эта матрица передачи существует, если
det[l -GHGK] О. На основании последнего уравнения V-
каноническая структурная схема приводится к Р-канонической струк-
турной схеме.
Отметим также, что Р-каноническая структурная схема приводит-
ся к V-канонической структурной схеме. Для этого нужно уравнение
X -GU переписать в виде
X = GHU +GNU = Gn[U + G-jGNU],
где GH - диагональная матрица, a GN - матрица, содержащая ос-
тавшиеся элементы. Если матрица G неособая, то U = G~xX и
X = GH[U + G~H'GNG~lX] =Gh{U + GkX },
где Gf; = G^GnG
Таким образом, каждую из канонических форм можно преобра-
зовать в другую, но при этом нужно учитывать их реализуемость.
Для конкретности будем рассматривать только Р-канонические
структурные схемы как объектов управления, так и регуляторов.
Аналогично главным и связывающим элементам передачи двух-
мерных объектов управления вводятся понятия главных и связываю-
щих (перекрестных) регуляторов.
939
Приложение В
а)
б)
Рис.2
Щ
Главные регуляторы предназначены для непосредственного
940
Приложение В
управления главными элементами объектов управления и обеспечи-
вают требуемое качество переходных процессов по переменным х},х2
относительно задающих переменных. Перекрестные регуляторы мож-
но синтезировать так, чтобы развязать контуры управления или же
усилить их взаимосвязь. Перекрестные регуляторы можно располагать
после главных, параллельно главным или перед главными (см. рис.2).
Рассмотрим развязку контуров управления по собственным дви-
жениям, при которой двухмерная система управления оказывается
также развязанной по задающим сигналам. В этом случае матрица ра-
зомкнутой системы GR должна быть диагональной.
Для схемы рис.2,а матрица разомкнутой системы определяется как
G7?=^11 ^2l ^22^21
G12 G22 Яи/?12
G( ! + G2l7?! |Л12 G{ ^22^21 + ^21^22
Gi2/?h + G22/?h/?12 G\2R22R2[ + G22/?22
Для схемы рис.2,6 матрица разомкнутой системы определяется как
Си
Gi2 u22
GR =
С21 Т?21 _ СцЯц +G21/?!
G22 /?12 R22
21^12 ^11^21 + ^2|/?22
G12^i i + G22R\2 G127?21 + G22R22
Для схемы рис.2,в матрица разомкнутой системы определяется как
G^ _ Си С21 Ли #11^21
G12 G22 Л22^|2 ^22
СцЛи +G21fl127?22 СцЛцЛо! + G21fl22
G12/?i ] + G22Ri2R22 G12/?j j/?21 + G22R22
При условии развязки контуров управления передаточные функ-
ции перекрестных регуляторов для схемы рис.2,а должны определять-
ся как
/? - С12 . R _ с21
Л12 ^21 ““ТГ'
G22 Gj j
При этом матрица разомкнутой системы определяется как
941
Приложение В
WGn—О
GR=
О R22(G22—^~)
G11
При условии развязки контуров управления передаточные функ-
ции перекрестных регуляторов для схемы рис.2,6 должны определять-
ся как
Ry
C12 n . п _ С21 о
'АЦ, А2]-~—-Л22.
о22
При этом матрица разомкнутой системы определяется также как и
для схемы рис.2,а.
При условии развязки контуров управления передаточные функ-
ции перекрестных регуляторов для схемы рис.2,в должны определять-
ся как
о - ^12 ^11 . п _ ^21 ^22
“19 9 1
G227?22 G„ Я,,
При этом матрица разомкнутой системы определяется также как и
для схемы рис.2,а.
942
Приложение Г
Рекуррентные формулы для
расчета непрерывной части систем
Тип звена и его передаточная функция Схема в переменных состояния Рекуррентные формулы (по методу трапеций) Рекуррентные формулы (по методу прямоугольников)
И нтегрмру ющее 1 5 ?х((Г) К [А-X хп =*п-1 +^-(ип +ип-1) хп = *л-1
Апериодическое 1 s + b ?х((Г) м »Ггъ тхг 2-bhn hQ хп = 21 х__. 4- X " 2 + Mi0 " 2 + 6Ло х (Un+U„_x) Хп = l- X„-i 4- ——Un п \+bhv " 1 1 4- bhb п
Колебательное 1 s2 +bs + а о Х'(0*) 1 "|~д | 4 - 2bhQ — ah^ Х2п ~ л l2 '^2л-1 4 + 2bh$ 4- ahq 4ah0 х _ + 4 4- 2b/ig 4- ah.Q + 4 4- 2Z?Aq 4- qAq xln = xln-l “* kx2n x2n-\ ) 1 Х2"=1 L2X^ 1 + bhq + ah^ aho 1 1-2 + 1 4- bhfi 4- ahQ + 2U„ ; 1 4- bhft 4- ahq x\n = *1л-1 + ^x2n
Форсирующее s + d S + Ь I о*Х<П I I—(TpJ _ 2 - fr/ip h0 2n 2 + Ыъ 2n~' 2 + bho x(l/„ +l/„_1); *1л =^n +(4-b)x2n x2n = X2n-1 4 \ + bhv 1 1 + bh0 xm = Un +(d-b)x2n
Приложение Г
Тип звена и его передаточная функция Схема в переменных состояния Рекуррентные формулы (по методу трапеций) Рекуррентные формулы (по методу треугольников)
Колебательное с дифференци- рующим 1-го порядка s + d s2 + bs + а _4-2bho-ahi I
Х3п л /4 1 > 12 *Зл-1 4 + 2bhQ + a/ig 4aho х _ + Х3п ~ 2 X3n-l 1 4- bhQ 4- a/ig aho
“ гбЪ Хз
и 4 4- 2ЬЛо 4- ah$ 2л + 2 (Un +t/n-l)’ 4 4- 2bhQ 4- ah£ x2n = X2n-\ + (*3n + *3n-l ); *ln =x3„+dx2n 4 _L 1 w ' 1 ? II + + и 4 5 5: 3 О 3-0 w - 4- ° 4- + 4-a a c5^> c5^> 3q - - • - • 4
Колебательное с дифференци- рующим 2-го порядка s2 +ds + c s2 +bs + a d —гтр— 3 ц XX/ 3 4 3 П ’ 4- 1 H q II A Jb A A *4 4- 4- +1 Xl £ Л *• + г <? 0- + + + ' ° а о H. S. w 5? e*" c? я u> S ? V f в L <5 + 1 V ~ 1 N> “ 1 X3n~l + bh0+ah0X3n-1 aho x _ + 1 4- bhq 4- a/iQ 2л 1 + - Л°- -17„; 14- bh$ 4- ahQ X2n = x2n-l + hox3n i + (d - h>3„ + (c - a>2„
Примечание: Звенья 3,5 иб при условии 4а — Ь2 >О колебательные; при условии Ь2 — 4а >О апериодические 2-го порядка.
Приложение Г
Список литературы
Список литературы
1. Александров С.С., Козлов Е.П., Кузнецов Б.1. Автоматичне ке-
рування рухомими об’ектами i технолопчними процесами: Пщручник
у 3-х томах. Т.1. Teopin автоматичного керування / За заг. ред. Алек-
сандрова С.С. - Харюв: НТУ “ХПГ, 2002. - 490 с.
2. Автоматизированные системы теплоснабжения и отопления /
С.А. Чистович, В.К. Аверьянов, Ю.Я. Темпель, С.И.Быков. - Л.:
Стройиздат, 1987. - 248 с.
3. Автоматическое управление газотурбинными установками /
Б.И. Аранович, Ю.Т. Лячек, В.А. Олейников, А.А. Файнштейн. - Л.:
Недра, 1974.-216 с.
4. Александрова Н.Д., Давыдов Н.И. Модельные исследования пе-
реходных процессов в автоматической системе регулирования уровня
в барабане котла И Теплоэнергетика. - 1994.- №10. - С.33-38.
5. Алиев Р.А., Захарова Э.Г., Ульянов С.В. Нечеткие модели
управления динамическими системами И Итоги науки и техники. Сер.
Техническая кибернетика. - М..ВИНИТИ, 1990. - Т.29. - С. 127-201.
6. Алиев Р.А., Захарова Э.Г., Ульянов С.В. Нечеткие регуляторы и
интеллектуальные промышленные системы управления И Итоги науки
и техники. Сер. Техн, кибернетика.- М.: ВИНИТИ АН СССР, 1991, т.
32, С. 233-313.
7. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия
решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Издательство
Тюменского государственного университета, 2000. - 352 с.
8. Артемьев В.М., Яшугин Е.А. Основы автоматического управ-
ления систем радиоэлектронных средств.- М.: Воениздат, 1984.- 456 с.
9. Архангельский B.I., Богаенко I.M., Грабовський Г.Г., Рюмшин
М.А. Досвщ розвитку i застосування систем фуццьуправлшня
//Автоматизация виробничих npouecie. - 1997. - №2(5). - С. 1-10.
10. Бесекерский В.А. Динамический синтез систем автоматиче-
ского регулирования. - М.: Наука, 1970 .- 576 с.
11. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. - М.:
Наука, 1976 .-576 с.
12. Брени С. Синхронизация цифровых сетей связи: Пер. с англ. -
М.: Мир, 2003.-456 с.
13. Бузников Е.Ф., Роддатис К.Ф. Берзиныш Э.Я. Производствен-
ные и отопительные котельные. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 248 с.
945
Список литературы
14. Вагапов В.Б. Автоматика радиоэлектронных стистем. - К.:
Выща шк.» 1988.-351 с.
15. Вагапов В.Б., Бурляй И.Ю., Рюмшин Н.А. Теория радиоэлек-
тронных следящих систем. - К.: Техшка, 2001. - 284 с.
16. Военные системы радиосвязи / Ю.П. Килимник, И.Н. Николь-
ский, В.Ф. Пивоваров и др.- Л.: ВАС, 1985. - 576 с.
17. Голяницкий И.А. Математические модели и методы в радио-
связи / Под ред. Ю.А. Громакова. - М.: Эко-трендз, 2005. - 440 с.
18. Гаевский С.А. Основы автоматики летательных аппаратов. Из-
дание ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1985. - 230 с.
19. Ганэ В.А., Степанов В.Л. Расчет следящих систем. - Мн: Выш.
шк., 1990. - 230 с.
20. Гостев В.И. Математическая модель системы мобильной ра-
диосвязи с регулировкой мощности передатчика в канале MS-BS и
компенсацией аддитивных замираний // Захист шформацп.- 2006.-
№3(30). - С.72-78.
21. Гостев В.И. Новый метод проектирования одного класса не-
четких цифровых регуляторов // Проблемы управления и информати-
ки. - 2007. - №6.-С.73-84 (см. также Гостев В.И. Новый метод проек-
тирования одного класса нечетких цифровых регуляторов // Матер!али
XIV м!жнародноТ конференц!!’ з автоматичного управлшня (Автомати-
ка-2007), м. Севастополь, 10-14 вересня 2007 року.- Ч.1.- Севастополь:
СНУЯС та П, 2007.- С. 122-132).
22. Гостев В.И. Новый тип оптимальных по быстродействию
цифровых регуляторов // Вюник Державного ушверситету шформа-
цшно-комушкацшних технолопй. - 2004.-Т.2, №4. - С.200-204.
23. Гостев В.И. Определение управляющих воздействий на выхо-
де нечеткого регулятора при идентичных возведенных в степень тре-
угольных функциях принадлежности // Вюник Хмельницького нацю-
нального ушверситету. -2007. - №2, Т. 1. - С.15-18.
24. Гостев В.И. Определение управляющих воздействий на выхо-
де нечеткого регулятора при идентичных экспоненциальных функци-
ях принадлежности И Электроника и связь. - 2006. - №6. - С.87-89.
25. Гостев В.И. Проектирование канала радиоуправления систем
автоматического регулирования мощности передатчика в канале ра-
диосвязи при мультипликативных замираниях сигнала // Зв’язок. -
2006.- №5 (65).-С.41-44.
946
Список литературы
26. Гостев В.И. Регулировка мощности передатчика и компенса-
ция аддитивных замираний в канале MS-BS мобильной радиосвязи И
Захист шформацп.- 2007.- №1. - С.85-90.
27. Гостев В.И. Регулировка мощности передатчика и компенса-
ция мультипликативных замираний в канале MS-BS мобильной ра-
диосвязи И Зв’язок. - 2007. - № 5 (73). - С.59-63.
28. Гостев В.И. Синтез нечетких регуляторов систем автоматиче-
ского управления. - К.: Издательство “Радюаматор”, 2005. - 708 с.
29. Гостев В.И. Системы управления с цифровыми регуляторами:
Справочник. - К.: Техника, 1990. - 280 с.
30. Гостев В.И. Система регулирования температуры теплоноси-
теля на выходе смесителя с нечеткими регуляторами // Радиоэлек-
троника. Информатика. Управление.- 2005.- №2. - С.26-29.
31. Гостев В.И. Системы автоматического регулирования мощно-
сти передатчика с ПИД-регулятором при случайных мультипликатив-
ных замираниях в канале радиосвязи // Зв’язок. - 2006. - № 8 (68). -
С.53-56.
32. Гостев В.И. Формула оптимального управления объектом
(системой) при отработке линейно-изменяющегося воздействия И Ав-
томатика. - 1992. - №1. - С. 89-92.
33. Гостев В.И., Ананин А.В., Криховецкий Г.Я. Неоднозначность
настройки нечетких цифровых регуляторов в системах автоматическо-
го управления // Вкник технолопчного ушверситету Подглля (Хмель-
ницький державний ушверситет). - 2004, №2, Ч.1,Т.1(60). - С.43-46.
34. Гостев В.И., Баранов А.А., Руднев В.Н., Побийпеч О.А. Син-
тез цифрового регулятора системы автосопровождения по направле-
нию при наличии помех И Пращ м1жнародно‘1 конференцп’ з автома-
тичного управлшня “Автоматика-2000”: Льв1в, 11-15 вересня 2000 р. -
Т.2 - Льв1в: Державний НД1 шформащйно'Г шфраструктури, 2000. -
С.57-62.
35. Гостев В.И., Баранов А.А., Скуртов С.Н. Определение управ-
ляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных
треугольных функциях принадлежности // Зв’язок. - 2007. - № 4 (72). -
С.43-44.
36. Гостев В.И., Баранов А.А. Сторчак К.П. Система тактовой
синхронизации с цифровым нечетким регулятором И Зв’язок. - 2007. -
№3(71).-С.51-54.
37. Гостев В.И., Баранов А.А., Чуприн А.Е., Худолий Д.А. Синтез
цифрового нечеткого регулятора системы управления нестационар-
947
Список литературы
ным объектом // Пращ м!жнародно1 конференцп з автоматичного
управлшня “Автоматика-2000”: Льв!в, 11-15 вересня 2000 р. - Т.2 -
Льв!в: Державний НД1 шформащйно’Г шфраструктури, 2000. - С.63-67.
38. Гостев В.И., Баранов С.С. Исследование двухмерной системы
автоматического управления частотами вращения роторов двухваль-
ного двухконтурного газотурбинного двигателя при произвольных
входных воздействиях // Открытые информационные и компьютерные
интегрированные технологии: Сб. науч, трудов. Вып.25. - Харьков:
Нац. Аэрокосмический ун-т “ХАИ”, 2004. -С. 46-55.
39. Гостев В.И., Баранов С.С. Оценка робастности электрогид-
равлической следящей системы при различных цифровых регуляторах
// Автоматизащя виробничих процеав.- 2004. - №2 (19) .-С. 143-148.
40. Гостев В.И., Баранов С.С., Чаузов А.Н. Исследование системы
управления частотами вращения роторов двухроторного ГТД с при-
водным топливным насосом при произвольных входных воздействиях
// Открытые информационные и компьютерные интегрированные тех-
нологии. - Харьков: НАКУ “ХАИ”, 2005. - Вып.26. - С.111-116.
41. Гостев В.И., Баранов С.С., Чаузов А.Н. Исследование фаззи-
системы управления частотами вращения роторов двухроторного ГТД
с приводным топливным насосом при произвольных входных воздей-
ствиях // Вюник Державного ушверситету шформащйно-
комушкацшних технолопй. - 2006.-Т.4, №2. - С. 115-118.
42. Гостев В.И., Баранов С.С., Чаузов А.Н. Синтез регулятора
для системы управления ГТД с приводным топливным насосом // Ав-
томатизащя виробничих процеав.- 2005. - №1 (20) .-С.107-111.
43. Гостев В.И., Баранов С.С., Чаузов А.Н. Оценка робастности
системы управления температурой газа двухвального двухконтурного
газотурбинного двигателя // Нов! технологи (науковий вюник 1нсти-
туту економжи та нових технолопй 1м. Ю.1. Кравченка, м. Кремен-
чук). - 2005. - №1-2 (7-8). - С.92-97.
44. Гостев В.И., Баранов С.С., Чаузов А.Н. Фаззи-система управ-
ления частотами вращения роторов двухроторного ГТД с приводным
топливным насосом // Вюник Державного ушверситету шформацшно-
комушкацшних технолопй. - 2005.-Т.З, №2. - С.117-120.
45. Гостев В.И., Бережной О.Н., Ананьин О.В. Система автомати-
ческого управления мощностью передатчика с электронным аттенюа-
тором в радиоканале связи // Вюник Державного ушверситету шфор-
мацшно-комушкащйних технолопй. - 2004.-Т.2, №3.-С.165-168.
948
Список литературы
46. Гостев В.И., Гостев В.В., Ананьин О.В. Модель оптимально-
го каналу радюуправлшня з П1Д-регулятором в адаптивному радюка-
нал! зв’язку И В(сник Кшвського нацюнального ушверситету 1мею
Тараса Шевченка. Вшськово-спешальш науки. - 2005. - Вип. 9. -
С.56-62.
47. Гостев В.И., Данилов В.А. Модификации нечеткого вывода в
нечеткой логике // Вкник технолопчного ушверситету Подшля
(Хмельницький державний ушверситет). - 2004, №2, Ч.1,Т. 1(60). -
С.10-13.
48. Гостев В.И., Иванченко В.А., Клюфас С.И., Маглюй С.А.
Двухконтурная фаззи-система управления частотами вращения рото-
ров двухвального двухконтурного ГТД // Сборник докладов IV меж-
дународной научно-технической конференции “Гиротехнологии, на-
вигация, управление движением и конструирование авиационно-
космической техники” (Кшв, 21-23 апреля 2003 г.): Часть 2. - К.:
НТУУ ”КПИ ”, 2003. - С.36-40.
49. Гостев В.И., Иванченко В.А., Скуртов С.Н., Крайнев В.В.
Оценка робастности фаззи-системы регулирования температуры на
выходе ректификационной колонны // Автоматизащя виробничих про-
цес!в.- 2004. - №2 (19) .-С. 137-142.
50. Гостев В.И., Кардаков А.Ю. Двом1рна фазьсистема керування
частотами обертання ротор1в двовального двоконтурного газо-
турбшного двигуна на базових режимах роботи И Bicri академп шже-
нерних наук УкраТни. - 2002. -№2(15). - С.44-48.
51. Гостев В.И., Кардаков А.Ю. Двухмерная система оптималь-
ного управления частотами вращения роторов двухвального двухкон-
турного газотурбинного двигателя на базовых режимах работы // Ра-
диоэлектроника. Информатика. Управление.- 2002.- №2. - С. 127-134.
52. Гостев В.И., Кардаков А.Ю. Двухмерная система оптималь-
ного управления частотой вращения ротора и температурой газа
двухвального двухконтурного газотурбинного двигателя на базовых
режимах работы // Вюник Дншропетровського ушверситету. Ракетно-
косм!чна техшка.-2003.- Вип.6.- С.26-40.
53. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Захарчук О.В. Синтез нечеткого
регулятора следящей системы автосопровождения по направлению //
Автоматизащя виробничих процес1в. - 2001. - №2 (13). - С. 71-76.
54. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Иванченко В.А. Влияние управ-
ления температурой газа в ГТД на частоты вращения роторов венти-
949
Список литературы
лятора и компрессора на базовых режимах работы // Вим1рювальна та
обчислювальна техшка в технолопчних процесах. - 2001.- №4. - С.37-
40.
55. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Иванченко В.А. Двухмерная
фаззи-система управления частотой вращения ротора и температурой
газа двухвального двухконтурного газотурбинного двигателя на ба-
зовых режимах работы // Мехашка та машинобудування. - 2003. -№1,
том 2.-С.100-113.
56. Гостев B.I., Кардаков О.Ю., 1ванченко В.А Оптимальне керу-
вання температурою газа у двовальному двоконтурному газо-
турбшному двигуш на базових режимах робота при компенсацп ди-
нам!чних властивостей об”екта керування та датчика температури //
Вкник Кшвського нацюнального ушверситету 1меш Тараса Шевчен-
ка. Вшськово-спещальш науки. - 2003. - Вип. 6. - С.80-84.
57. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Клюфас С.И. Динамика Fuzzy-
системы автосопровождения по направлению при помеховых воздей-
ствиях // Вюник технолопчного ушверситету Подшля (м. Хмельниць-
кий). - 2002, №3, Т.1(41). - С. 87-90.
58. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Коростелев О.П., Маглюй С.А.
Методика синтеза оптимальных по быстродействию цифровых регу-
ляторов систем автоматического управления И Вкник технолопчного
ушверситету Подшля (м. Хмельницький). - 2003, №3, Т.2(51). -
С. 102-106.
59. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Маглюй С.А. Исследование дву-
хмерной САУ частотой вращения ротора вентилятора и температурой
газа за турбинным блоком двухвального двухконтурного газотурбин-
ного двигателя при произвольных входных воздействиях // Механика
та машинобудування. - 2003. -№1, том 2. - С.113-123.
60. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Маглюй С.А. Исследование сис-
тем автоматического управления частотами вращения роторов двух-
вального двухконтурного ГТД при произвольных входных воздейст-
виях // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003.- №2. -
С.143-152.
61. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Маглюй С.А. ФаззЬсистема ке-
рування температурою газа двовального двоконтурного газотурбшно-
го двигуна при компенсацп динам!чних властивостей об”скта керу-
вання i датчика температури И Bicri академп шженерних наук УкраТ-
ни. - 2002. -№3(16). - С.42-47.
950
Список литературы
62. Гостев В.И., Кардаков А.Ю., Маглюй С.А., Иванченко В.А.
Двухконтурная фаззи-система управления температурой газа и часто-
той вращения ротора двухвального двухконтурного ГТД И Автома-
тизащя виробничих процеав.- 2003. - №2 (17). - С.80-84.
63. Гостев В.И., Клюфас С.И., Захарчук О.В. Синтез цифрового
нечеткого регулятора следящей системы астровизира // Вюник Чер-
каського державного технолопчного ушверситету. - 2002, №1. - С. 5-
13.
64. Гостев В.И., Клюфас С.И., Захарчук О.В. Синтез нечетких
регуляторов следящих координаторов И Артиллерийское и стрелковое
вооружение. - 2003. - Вып.7. - С.41-47.
65. Гостев В.И., Коростелев О.П., Чуприн А.Е., Захарчук О.В.
Синтез нечеткого регулятора радиотехнической следящей системы И
Всеукраинский межведомственный научно-технический сборник “Ра-
диотехника”, 2003.- Вып. 133.- С. 98-106.
66. Гостев В.И., Коростелев О.П., Яременко В.Н. Система опти-
мального управления движением снаряда И Артиллерийское и стрел-
ковое вооружение. - 2003. - №1(8). - С.30-32.
67. Гостев В.И., Коростелев О.П., Яременко В.Н. Система управ-
ления движением снаряда с нечетким регулятором И Артиллерийское
и стрелковое вооружение. - 2004. - №2(11). - С.27-29.
68. Гостев В.И., Крайнев В.В. Фаззи-система управления пара-
метрами прямоточного котла дубль-блока 300 МВт И Вюник техноло-
пчного ушверситету Подитля (Хмельницький державний ушверситет).
- 2004, №2, Ч. 1 ,Т. 1 (60). - С.50-52.
69. Гостев В.И., Крайнев В.В., Богданов В.О. Автономная система
теплоснабжения с цифровым нечетким регулятором // АвтоМатизащя
виробничих процес!в. - 2001.-№2 (13). - С. 124-127.
70. Гостев В.И., Крайнев В.В., Гостев В.В. Автономная система
фуцци-управления теплоснабжением И Радиоэлектроника. Информа-
тика. Управление. - 2001. - №2. - С. 19-28.
71. Гостев В.И., Крайнев В.В., Иванченко В.А. Оценка робастно-
сти системы регулирования давления пара в испарителе парового кот-
ла с различными цифровыми регуляторами И Радиоэлектроника. Ин-
форматика. Управление. - 2004.- №1. - С. 163-167.
72. Гостев В.И., Крайнев В,В., Криховецкий Г.Я. Выбор цифрово-
го регулятора системы управления температурой электропечи // Ав-
томатизащя виробничих процес!в.- 2004. - №1 (18). - С.70-75.
951
Список литературы
73. Гостев В.И., Крайнев В.В., Криховецкий Г.Я. Статические ха-
рактеристики “ вход - выход” цифровых нечетких регуляторов // Bic-
ник Державного ушверситету шформащйно-комушкацшних техноло-
га. - 2004.-Т.2, №2.-С.73-76.
74. Гостев В.И., Крайнев В.В., Криховецкий Г.Я. Функции при-
надлежности для нечетких регуляторов систем автоматического
управления И Вкник Державного ушверситету шформащйно-
комушкацшних технологш.-2004.-Т.2, №1.-С.30-32.
75. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Выбор входных па-
раметров при настройке нечетких регуляторов систем автоматическо-
го управления // Вюник технолопчного ушверситету Подыля (м.
Хмельницький). - 2002, №3, Т.2(41). - С. 15-18.
76. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Выбор функций при-
надлежности и настройка нечетких регуляторов систем автоматиче-
ского управления И Автоматизащя виробничих процес!в. - 2002. - №1
(14).-С.162-167.
77. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Синтез оптимальных
по быстродействию цифровых регуляторов для объектов с чистым
запаздыванием И Радиоэлектроника. Информатика. Управление. -
2003.-№1.-С.126-130.
78. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Синтез цифрового
регулятора однопоточной трубчатой печи // Вюник технолопчного
ушверситету Подыля (м. Хмельницький). - 2003, №3, Т. 1(51). - С. 18-
22.
79. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Синтез цифровых
регуляторов систем автоматического управления параметрами тепло-
энергетических объектов. - К.: Издательство “Радюаматор”, 2007.-
264 с.
80. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Синтез цифровых
регуляторов системы регулирования температуры перегретого пара
на выходе парового котла // Электротехника и электроэнергетика. -
2003. -№1.- С.11-16.
81. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Фаззи-система регу-
лирования температуры перегретого пара на выходе парового котла //
Мехашка та машинобудування. - 2003. -№1, том 2. - С.124-127.
82. Гостев В.И., Крайнев В.В., Скуртов С.Н., Яременко В.Н. Син-
тез цифровых регуляторов системы управления температурой перегре-
того пара на выходе парового котла типа ТГМП-204 энергоблока мощ-
952
Список литературы
ностью 800 МВт И Викпрювальна та обчислювальна технжа в
технолопчних процесах. - 2003.- №2 - С.138-144.
83. Гостев В.И., Крайнев В.В., Ткаченко А.Л. Определение
управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при иден-
тичных сжатых треугольных функциях принадлежности И Зв’язок. -
2007. - № 7 (75). - С.57-59.
84. Гостев В.И., Крайнев В.В., Чуприн А.Е. Управление водогрей-
ными котлами на базе нечеткой логики // Автоматизащя виробничих
npoueciB. - 2001. - №1 (12). - С. 108-114.
85. Гостев В.И., Кунах Н.И. Анализ относительной устойчивости
систем автоматического ПИД-регулирования мощности передатчика в
адаптивных каналах радиосвязи // Зв’язок. - 2006. - № 1 (61). - С.33-
36.
86. Гостев В.И., Кунах Н.И., Бережной О.Н., Величко В.А. Систе-
мы автоматического нечеткого и ПИД- регулирования мощности пере-
датчика в адаптивном радиоканале связи И Вим1рювальна та обчислю-
вальна техшка в технолопчних процесах. - 2005.- №1 - С. 170-177.
87. Гостев B.I., Кунах H.I., Величко В.А. Адаптивные радиокана-
лы связи с фаззи-системами автоматического регулирования мощно-
сти передатчика // Вюник УкраТнського Будинку економ!чних та нау-
ково-техшчних знань,- 2005. - №3. - С. 108-118.
88. Гостев В.И., Кунах Н.И., Величко В.А. О полноте правил не-
четкого управления для фаззи-систем автоматического регулирования
// Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2005.- №2 (14). -
С.124-126.
89. Гостев B.I., Кунах H.I., Величко В.А., Бережний О.М. Ощнка
якост! фаззьсистем регулювання потужносп передавача в радюканал!
зв’язку И Автоматизащя виробничих процеав.- 2005. - №1 (20) . -
С.39-43.
90. Гостев В.И., Кунах Н.И., Величко В.А., Бережний О.М. Сис-
теми автоматичного регулювання потужносп передавача в радюкана-
л! зв’язку з ШД-регуляторами при дп мультигинкативних та адитив-
них завад // Автоматизащя виробничих процеав.- 2005. - №2 (21) . -
С.14-18.
91. Гостев В.И., Кунах Н.И., Величко В.А. Системы автоматиче-
ского регулирования мощности передатчика с ПИД-регуляторами в
адаптивных радиоканалах связи И Зв’язок. - 2005. - № 8 (60). - С.32-
38.
953
Список литературы
92. Гостев B.I., Кунах H.I., Гостев В.В., Бережной О.М. По-
р!вняльна оцшка якост! фаззьсистем автоматичного регулювання по-
тужносп передавача в радюканал! зв’язку при дп мультишпкативних
та адитивних збуджуючих д!янь И Зб1рник наукових праць Втйсько-
вого i нет и ту ту Кшвського нацюнального ушверситету iM. Т. Шевчен-
ка. - 2006. - Вип.№2. - С.48- 55.
93. Гостев В.I., Кунах Н.1., Науменко M.I. Системи автоматич-
ного регулювання потужносп передавача в каналах радюзвязку. - К.:
’’Радюаматор”, 2007.-332 с.
94. Гостев В.И., Кунах Н.И. Особенности структурных схем сис-
тем автоматического регулирования мощности передатчика в адап-
тивных каналах радиосвязи // Зв’язок. - 2007. - № 2 (70). - С.58-60.
95. Гостев В.И., Кунах Н.И., Панченко И.В. Варианты техниче-
ской реализации передающего и приемного трактов канала радио-
управления систем АРМП // Вюник Державного ушверситету шфор-
мацшно-комушкацшних технолопй. - 2007.-Т.5, №2.-С.203-208.
96. Гостев В.И., Кунах Н.И. Проектирование канала радиоуправ-
ления систем автоматического регулирования мощности передатчика
в радиоканале связи при аддитивных замираниях сигнала // Зв’язок. -
2006.- №4 (64).-С.36-38.
97. Гостев В.И., Кунах Н.И. Система автоматического регулиро-
вания мощности передатчика в канале мобильной радиосвязи // Bic-
ник Украшського Будинку економ!чних та науково-техшчних знань.-
2006.-№1.-С.78-82.
98. Гостев В.И., Кунах Н.И. Системы автоматического ПИД-
регулирования мощности передатчика при случайных замираниях в
радиоканале связи // Электроника и связь. - 2006. - №.2. - С.80-83.
99. Гостев В.И., Кунах Н.И., Сукач Г.А. Компенсация мультип-
ликативных замираний сигнала в канале радиоуправления систем ав-
томатического регулирования мощности передатчика И Нов! техно-
логи (науковий вюник Кременчуцького ушверситету економжи, ш-
формацшних технолопй i управлшня). - 2006. - №1 (11). - С.57-61.
100. Гостев В.И., Кунах Н.И. Фаззи-системы автоматического ре-
гулирования мощности передатчика при случайных замираниях в ра-
диоканале связи И Нов! технологи (науковий вюник Кременчуцького
ушверситету економ!ки, шформацшних технолопй i управлшня). -
2006.-№1 (И).-С.62-66.
954
Список литературы
101. Гостев В.И., Кунах Н.И., Францевич О.Н. Дослщження фаззь
системи автоматичного регулювання потужносл передавача в радю-
канал! зв’язку при адитивних завадах // Вюник Хмельницького нащо-
нального ушверситету. - 2005, №4, Ч. 1 ,Т. 1 (68). - С. 15-19.
102. Гостев В.И., Кунах Н.И., Францевич О.Н. Система автомати-
ческого регулирования мощности передатчика в радиоканале связи //
В1сник Державного ушверситету шформацшно-комушкацшних тех-
нолопй. - 2004.-Т.2, №2.-С.105-109.
103. Гостев В.И., Кунах Н.И., Францевич О.Н. Фаззи-система
управления мощностью передатчика в канале тропосферной радиосвя-
зи // Материалы международной научно-практической конференции
“Информационные технологии и информационная безопасность в нау-
ке, технике и образовании «ИНФОТЕХ-2004»” , 20-25 сентября 2004,
Севастополь.- НТО РЭС Украины, 2004. - С.44-48.
104. Гостев В.И., Кунах Н.И., Яременко В.Н., Францевич О.Н.
Фаззи-система автоматического управления аддитивным радиокана-
лом связи // В1сник Державного ушверситету шформацшно-
комушкацшних технологш. - 2004.-Т.2, №3.-С.125-130.
105. Гостев В.И., Кунах Н.И. Фаззи-системы автоматического ре-
гулирования мощности передатчика при случайных мультипликатив-
ных замираниях в канале радиосвязи // Вюник Державного ушверси-
тету шформацшно-комушкацшних технологш. - 2006.-Т.4, №3.-С.149-
151.
106. Гостев В.И., Лесовой И.П., Чуприн А.Е. Оптимизация пара-
метров цифровых нечетких регуляторов // Радиоэлектроника. Инфор-
матика. Управление.- 2001. - №1. - С. 148-151.
107. Гостев В.И., Лесовой И.П., Чуприн А.Е. Применение опти-
мальных по быстродействию цифровых регуляторов для объектов
управления с чистым запаздыванием И Радиоэлектроника. Информа-
тика. Управление. - 2000. - №2. -С.6-11.
108. Гостев В.И., Лесовой И.П., Чуприн А.Е. Синтез цифрового
нечеткого регулятора системы управления объектом с нелинейностью
типа “люфт” И Автоматизащя виробничих процеав. - 2000. - №1(10).
-С.113-116.
109. Гостев В.И., Лесовой И.П., Чуприн А.Е. Система управления
частотой вращения ротора газотурбинного двигателя с нечетким регу-
лятором И Автоматизащя виробничих процебв. - 2000. - №2(11). -
С.105-109.
955
Список литературы
110. Гостев В.И., Лозня С.В., Гостев В.В., Успенский А.А. Систе-
ма управления двигателем постоянного тока от ЭВМ // Электротехни-
ка и электроэнергетика. - 2001. - № 1. - С. 17-19.
111. Гостев В.И., Маглюй С.А., Богданов В.О. Расчет оптимально-
го по быстродействию регулятора системы управления температурой
газа двухвального двухконтурного газотурбинного двигателя // Bichhk
технолопчного ушверситету Подыля (м. Хмельницький). - 2002, №3,
Т.1(41).-С.12-16.
112. Гостев В.И., Маглюй С.А., Иванченко В.А. Оптимальное
управление температурой газа двухвального двухконтурного газотур-
бинного двигателя на базовых режимах работы И Мехашка та маши-
нобудування. - 2002. - №1. - С. 107-117.
ИЗ. Гостев В.И., Маглюй С.А., Иванченко В.А. Оптимальное
управление частотами вращения роторов двухвального двухконтур-
ного газотурбинного двигателя на базовых режимах работы // Авто-
матизащя виробничих процеав.- 2002.-№2 (15).- С. 140-148.
114. Гостев В.И., Маглюй С.А., Иванченко В.А. Исследование
системы управления температурой газа двухвального двухконтурного
газотурбинного двигателя при произвольных входных воздействиях //
Вим1рювальна та обчислювальна техшка в технолопчних процесах. -
2002.-№1 - С.36-42.
115. Гостев В.И., Маглюй С.А., Крайнев В.В. Оптимальные управ-
ляющие воздействия на объекты управления с форсирующими звень-
ями второго порядка // Электротехника и электроэнергетика. - 2002. -
№1.-С.49-53.
116. Гостев В.И., Маглюй С.А., Успенский А.А Влияние управ-
ления частотами вращения роторов двухвального двухконтурного
газотурбинного двигателя на температуру газа на базовых режимах
работы И Мехашка та машинобудування. - 2003. -№1, том 2. - С. 128-
134.
117. Гостев В.И., Маглюй С.А., Успенский А.А. Оптимальное
управление температурой газа в ГТД на базовых режимах работы при
компенсации динамических свойств датчика температуры И Радио-
электроника. Информатика. Управление.- 2002.- №2. - С. 139-142.
118. Гостев В.И., Маглюй С.А., Успенский А.А. Фаззи-системы
управления частотами вращения роторов двухвального двухконтурно-
го газотурбинного двигателя на базовых режимах работы // Вюник
Черкаського державного технолопчного ушверситету. - 2002, №2. -
С.63-67.
956
Список литературы
119. Гостев В.И., Маглюй С.А., Яременко В.Н. Синтез фаззи-
системы стабилизации баллистической ракеты по углу тангажа // Ра-
диоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003.- №2. - С.51-56.
120. Гостев В.И., Маглюй С.А., Яременко В.Н. Оценка робастности
системы управления креном самолета при различных цифровых регуля-
торах // Проблеми шформатизацп та управлшня: Зб1рник наукових
працы Випуск 9. - К.: НАУ, 2004. - С.25-31.
121. Гостев В.И., Панченко И.В. Применение цифровых регуля-
торов на базе аналоговых корректирующих устройств в системах ав-
томатического регулирования мощности передатчика в адаптивных
каналах радиосвязи // Зв’язок. - 2007. - № 1 (69). - С.42-46.
122. Гостев В.И., Самулеев В.В., Чмелев В.О., Гостев В.В. Расчет
системы адаптивного управления частотой вращения ротора газотур-
бинного двигателя И Автоматизащя виробничих процеав. - 1999. - №1
(8).-С.91-96.
123. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Баранов С.С., Чаузов А.Н. Ис-
следование двухмерной САУ частотой вращения ротора вентилятора
и стененью повышения давления в вентилляторе двухроторного ГТД
при произвольных входных воздействиях // Радиоэлектроника. Ин-
форматика. Управление. - 2006.- №1. - С.137-144.
124. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Баранов С.С., Чаузов А.Н. Синтез
трехканального нечеткого регулятора системы автоматического
управления частотами вращения роторов двухроторного ГТД // Радио-
электроника. Информатика. Управление. - 2005.- №1. - С. 19-24.
125. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Гостев В.В. Фаззи-система управ-
ления температурой электрической печи // Зб1рник наукових праць
Вшськового шституту Кшвського нацюнального ушверситету iM. Т.
Шевченка. - 2006. - Вип.№4. - С.27-29.
126. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Иванченко В.А. Оценка робаст-
ности системы регулирования температуры пара на выходе нагрева-
теля парового котла с нечетким цифровым регулятором // Электроте-
хника и электроэнергетика. - 2004.- №1. - С.66-69.
127. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Крайнев В.В., Иванченко В.А.
Синтез цифровых нечетких регуляторов одномерных систем управле-
ния параметрами парового котла // Вюник Черкаського державного
технолопчного ушверситету.- 2002.- №3. - С.5-8.
128. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Крайнев В.В., Иванченко В.А.
Синтез цифровых регуляторов одномерных систем автоматического
957
Список литературы
управления параметрами парового котла // Автоматизащя виробни-
чих процес1в.- 2003.-№1 (16).- С. 101-106.
129. Гостев В.Г, Скуртов С.Н., Крайнев В.В., 1ванченко В.А. Син-
тез цифровых нечпких регулятор!в двом!рного об”екта “випарник +
нагр!вач парового казана” И Вюник Кшвського нацюнального
ушверситету iMeni Тараса Шевченка. Вшськово-спещальш науки. -
2003.-Вип. 7.-С.135-139.
130. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Крайнев В.В., Криховецкий Г.Я.
Оценка робастности системы регулирования температуры на выходе
однопоточной трубчатой печи с различными цифровыми регулятора-
ми // В1сник Державного ушверситету шформацшно-комушкащйних
технолопй. - 2004.-Т.2, №3.-С.145-150.
131. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Крайнев В.В., Криховецкий Г.Я.
Синтез цифрового регулятора двухпоточной трубчатой печи // Авто-
матизашя виробничих процеав.- 2005. - №2 (21). - С. 124-129.
132. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Крайнев В.В. Оценка робастно-
сти системы регулирования температуры на выходе ректификацион-
ной колонны с оптимальным по быстродействию цифровым регулято-
ром // Вюник Державного ушверситету шформацшно-комушкащйних
технолопй. - 2004.-Т.2, №4. - С.216-222.
133. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Криховецкий Г.Я. Параметричес-
кий синтез нечеткого и ПИД- регуляторов для двухпоточной трубча-
той печи // Вим1рювальна та обчислювальна техшка в технолопчних
процесах. - 2005.- №4. - С.37-40.
134. Гостев В.И., Скуртов С.Н., Чаузов А.Н. Определение управ-
ляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при идентичных
треугольных функциях принадлежности с тремя термами И Электро-
ника и связь. Тематический выпуск “Проблемы электроники”, ч.З. -
2007.-С.45-47.
135. Гостев В.И., Стеклов В.К. Системы автоматического управ-
ления с цифровыми регуляторами: Справочник.-К.: "Радюаматор",
1998.-704 с.
136. Гостев В.И., Сторчак К.П. Панченко И.В. Система тактовой
синхронизации с цифровым нечетким регулятором при случайных
изменениях фазы входного воздействия // Электроника и связь. Те-
матический выпуск “Проблемы электроники”, ч.З. - 2007. - С.42-44.
137. Гостев В.И., Сторчак К.П., Успенський А.А. Система такто-
вой синхронизации с ПИД-регулятором // Вюник Державного ушвер-
958
Список литературы
ситету шформацшно-комушкацшних технолопй. - 2006.-Т.4, №4. -
С.228-232.
138. Гостев В.И., Худолий Д.А., Баранов А.А. Синтез цифровых
регуляторов систем автоматического управления. - К.: Радюаматор,
2000. - 400 с.
139. Гостев В.И., Чмелев В.О., Климов С.В. Метод параметриче-
ского синтеза цифровых регуляторов систем адаптивного управления
// Вестник Харьковского государственного политехнического универ-
ситета. Выпуск 71. -Харьков: ХГПУ, 1999. - С.8-13.
140. Гостев В.И., Чуприн А.Е., Гостев В.В. Синтез нечеткого ре-
гулятора системы управления объектом с нелинейностью типа “зона
нечувствительности + насыщение” И Мехашка та машинобудування. -
2000. -№2. - С. 154-158.
141. Гостев В.И., Чуприн А.Е., Крайнев В.В., Скуртов С.Н. Пара-
метрическая идентификация параметров электропечи И Вкник техно-
лопчного ушверситету Подшля (м. Хмельницький). - 2003, №3,
Т.1(51). - С.13-15.
142. Гостев В.И., Чуприн А.Е., Лесовой И.П. Синтез цифрового
регулятора системы управления нестационарным объектом на базе
нечеткой логики // Мехашка та машинобудування. - 2000. - №1. -
С.128-133.
143. Гостев В.И., Чуприн А.Е. Система управления частотой вра-
щения ротора газотурбинного двигателя на базе нечеткой логики //
Электротехника и электроэнергетика. - 2000. - №1. - С.5-9.
144. Гостев В.И., Яременко В.Н. Синтез цифровых регуляторов
системы управления ракетой И Артиллерийское и стрелковое воору-
жение. - 2004. - №1(10). - С.37-40.
145. Григорьев В.А., Лагутенко О.И., Распаев Ю.А. Сети и систе-
мы радиодоступа. - М.: Эко-Трендз, 2005. - 384 с.
146. Добрянский Г.В., Мартьянова Т.С. Динамика авиационных
газотурбинных двигателей.- М.: Машиностроение, 1989. - 240 с.
147. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления / Пер.
с англ. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.- 832 с.
148. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5+Simulink 4/5 в математике
и моделировании. Полное руководство пользователя. М.: СОЛОН-
Пресс. -2003.- 576 с.
149. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расшире-
ния MATLAB. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. - 480 с.
959
Список литературы
150. Ельчанинов А.М., Шаров Д.А., Омельчук А.П. Радиопере-
дающие устройства радиоэлектронной техники. - М.: Воениздат, 1991.
-317с.
151. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его приме-
нение к принятию приближенных решений. М.: «Мир» 1976. - 165 с.
152. Зайцев Г.Ф., Стеклов В.К., Брщький O.I. Теор1я автоматично-
го управлшня. - К. : Техшка, 2002. ~ 688 с.
153. Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ.- М.,
Мир, 1984.- 541с.
154. Интеллектуальные системы автоматического управления /
Под ред. И.М. Макарова, В.М. Лохина.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 576
с.
155. Каганов В.Ю., Блинов О.М., Беленький А.М. Автоматизация
управления металлургическими процессами. - М.: “Металлургия”,
1974.-416 с.
156. Каганов В.Ю., Блинов О.М., Глинков Г.М., Морозов В.А.
Автоматизация металлургических печей. - М.: “Металлургия”, 1975.-
376 с.
157. Климентовский Ю.А. Системы автоматического управления
силовыми установками летательных аппаратов.- К.: КВЩ, 2001.- 400
с.
158. Кнутт Д. Искусство программирования для ЭВМ, том 2. - М.:
Мир, 1977.-726 с.
159. Кондрашов В.Е., Королев С.Б. MATLAB как система про-
граммирования научно-технических расчетов. - М.: Мир, 2002.- 350 с.
160. Кривицкий Б.Х. Автоматические системы радиотехнических
устройств. - М. - Л.: Госэнергоиздат, 1962. - 664 с.
161. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управле-
ния. - М.: Машиностроение, 1986. - 448с.
162. Лебедев А.А., Карабанов В.А. Динамика систем управления
беспилотными летательными аппаратами.- М.: Машиностроение,
1965.-225 с.
163. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB
и fuzzy TECH.- СПб.: БХВ-Петербург, 2003.- 736 с.
164. Мань Н.В. Оптимизация настройки робастных регуляторов с
помощью «оврагоперешагового» алгоритма нелинейной минимизации
// Теплоэнергетика. - 1995. - №10. - С.58-65.
165. Милн-Томсон Л.М., Комри Л.Дж. Четырехзначные матема-
тические таблицы. - М.: Наука, 1964. - 246 с.
960
Список литературы
166. Наладка систем автоматического регулирования барабанных
паровых котлов / А.С. Клюев, А.Т. Лебедев, С.И. Новиков.- М.: Энер-
гоатомиздат, 1985. - 280 с.
167. Наладка и эксплуатация водяных тепловых сетей: Справоч-
ник / Манюк В.И., Каплинский Я.И., Хиж Э.Б., Манюк А.И., Ильин
В.К. - М.: Стройиздат, 1988. - 432 с.
168. Наритник Т.М., Почерняев В.М., Утюн Ю.В. Радюрелейш та
тропосфера системи передач!: Навч. noci6. - Полтава: Видавництво
ПВ13. - 2006. - 419 с.
169. Нейронные сети в системах автоматизации / В.И. Архангель-
ский, И.Н. Богаенко, Г.Г. Грабовский, Н.А. Рюмшин. - К.: Техника,
1999.- 364 с.
170. Нейросетевые системы управления / В.А. Терехов, Д.В. Ефи-
мов, И.Ю. Тюкин, В.Н. Антонов. - СПб: Издательство С.-
Петербургского университета, 1999. - 265 с.
171. Нечггкий регулятор змшних д!апазошв. Патент на винахщ №
74706. УкраГна. МПК (2006) G05B 11/06 (2006.01), G05B 11/36. B.I.
Гостев, В.М. Яременко - № 20040402849; Заявл. 19.04.04; Опубл.
16.01.06, Бюл.№ 1,2006.
172. Олесон Г., Пиани Дж. Цифровые системы автоматизации и
управления - СПб: Невский Диалект, 2001. - 557 с.
173. Остром К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. - М.:
Мир, 1987.-480 с.
174. Прикладные нечеткие системы: Пер с япон. / К. Асаи, Д. Ва-
тада, С. Иваи и др.; под редакцией Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. - М.:
Мир, 1993.- 368 с.
175. Радиоавтоматика / Г.Ф. Зайцев, Г.Н. Арсеньев, В.Г. Кривуца,
В.Л. Булгач / Том 1. - К.: ГУИКТ, 2004. - 523 с.
176. Радиоавтоматика / Г.Ф. Зайцев, Г.Н. Арсеньев, В.Г. Кривуца,
В.Л. Булгач / Том 2. - К.: ГУИКТ, 2004. - 475 с.
177. Радиопередающие устройства / М.С. Шумилин, О.В. Голо-
вин, В.П. Севальнев, Э.А. Шевцов. - М.: Высш, школа, 1981. - 293 с.
178. Радиорелейные и спутниковые системы передачи: Учебник
для вузов / А.С. Немировский, О.С. Данилович, Ю.И. Маримонт и др.
Под ред. А.С. Немировского. - М.: Радио и связь, 1986. - 392 с.
179. Радиосвязь и вещание / Г.А. Александров, И.А. Доррер, О.М.
Малочинский и др. Под ред. Н.И. Чистякова. - М.: Связьиздат, 1961. -
504 с.
961
Список литературы
180. Радиостанция Р-161А-2М: Учебное пособие / Брагин А.С.,
Беляев С.Н., Дзюба В.Н. и др. К.: КВВИУС, 1987. -196 с.
181. Радютелекомунжацшн! технологи: радю передавалью та ра-
дюприймальш пристро!' / Гайдук О.В., Слободянюк П.В., Булгач В.Л.,
Сайко В.Г., Пахтусов В.В., Потапов В.В. - ЬЛжин: ТОВ “Видавництво
“Аспект-Пол(граф”, 2007. - 320 с.
182. Радиотехнические системы / Казаринов Ю.М., Коломенский
Ю.А., Пестов Ю.К., Толоконников С.В., Шломин В.И. - М.: Советское
радио, 1968.-496 с.
183. Разработка САУ типа FADEC для улучшения топливной эко-
номичности // Новости зарубежной науки и техники. Сер. Авиацион-
ное двигателестроение. - 1986.-№5.- С.25-27 (ЦИАМ).
184. Ревзин Б.С. Газотурбинные газоперекачивающие агрегаты. -
М.: Недра, 1986. -215 с.
185. Ротач В.Я. Расчёт робастной настройки автоматических регу-
ляторов // Теплоэнергетика. - 1994. - №10. - С.7-12.
186. Ротач В.Я. Расчёт систем несвязанного и автономного управ-
ления многомерными объектами // Теплоэнергетика. - 1996. - №10. -
С.8-15.
187. Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнерге-
тическими процессами. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 296 с.
188. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентифика-
ции. - Вшниця: ’’УН1ВЕРСУМ - Вшниця ”, 1999. - 320 с.
189. Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечеткой логи-
ке. - Винница: Континент - ПРИМ, 1996. - 132 с.
190. Рудаков В.И. Тропосферные системы связи с адаптивными
антеннами.-К.: ЦНИИ ВВТ ВС Украины, АО “Авионика”, 1999.-292 с.
191. Серов Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенераторов. - М.:
Энергоиздат, 1981. - 408 с.
192. Синтез систем управления и диагностирования газотурбин-
ных двигателей / Епифанов С.В., Кузнецов Б.И., Богаенко И.Н., Гра-
бовский Г.Г., Дюков В.А., Кузьменко С.А., Рюмшин Н.А., Самецкий
А.А. - К.: Техшка, 1998. - 312 с.
193. Синяков А.Н., Шаймарданов Ф.А. Системы автоматического
управления ЛА и их силовыми установками. - М.: Машиностроение,
1991. -320 с.
194. Сироджа И.Б., Соколов А.Ю., Калинин В.В. Иерархические
интеллектуальные системы управления с нечеткой логикой // Систем-
962
Список литературы
ный анализ, управление и информационные технологии: Вестник
Харьковского государственного политехнического университета.
Сборник научных трудов. Вып. 70. Харьков: ХГПУ, 1999. - С. 187-193.
195. Системы автоматического управления авиационными сило-
выми установками 2000-х годов // Новости зарубежной науки и техни-
ки. Сер. Авиационное двигателестроение. - 1991. - №7. - С.20-25
(ЦЙАМ).
196. Системы связи и радиорелейше линии / И.И. Калашников,
Л.П. Меркадер, М.Г. Тимощенко. А.И. Юдин / Под ред. И.И. Калаш-
никова. - М.: Связь, 1977. - 392 с.
197. Системы связи с кодовым разделением каналов / В.Ю. Баб-
ков, М.А. Вознюк, А Н. Никитин, М.А. Сиверс. - СПб.: ГУТ, 1999. -
120 с.
198. Системы управления и динамика полета ракет / Пугачев В.С.,
Казаков И.Е., Гладков Д.И., Евланов Л.Г., Мишаков А.Ф., Седов В.Д. /
Под ред. Пугачева В.С. - М.: Издание ВВИА им. проф. Н.Е. Жуков-
ского, 1965. - 616 с.
199. Системы фуцци-управления / В.И. Архангельский, И.Н. Бо-
гаенко, Г.Г. Грабовский, Н.А. Рюмшин. - К.: Техника, 1997. - 208 с.
200. Скляр, Бернард. Цифровая связь. Теоретические основы и
практическое применение. - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2003. -
1104 с.
201. Соболев О.С. Анализ и проектирование многосвязных авто-
матических систем регулирования с однотипными каналами // Тепло-
энергетика. - 1993.- №2. - С.7-14.
202. Соколов Е.Я. Теплофикация и тепловые сети: Учебник для
вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1982. - 360 с.
203. Cnoci6 регулювання потужносп випромшювання передава-
ча. Декларащйний патент на корисну модель № 9357. Украша. МКВ 7
Н04В7/005. B.I. Гостев, О.М. Бережний - № и 2005 02771; Заявл.
28.03.05; Опубл. 15.09.05, Бюл.№ 9, 2005.- 6 с.
204. Справочная книга по технике автоматического регулирова-
ния / под ред. Дж. Дж. Тракселя /. - М. - Л.: Госэнергоиздат, 1962. -
784 с.
205. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулиро-
вания. Кн. 3. Часть 1. Теория нестационарных, нелинейных и самона-
страивающихся систем автоматического регулирования / под ред. В.В.
Солодовникова /. - М.: Машиностроение, 1969. - 608 с.
963
Список литературы
206. Техническая кибернетика. Устройства и элементы систем ав-
томатического регулирования и управления. Кн.З. Исполнительные
устройства и сервомеханизмы / под ред. В.В. Солодовникова/. - М.:
“Машиностроение”, 1976. - 735 с.
207. Тропосферная связь /Л.И. Яковлев, Г.В. Дедюкин, Э.С. Ка-
граманов и др. - М.: Воениздат, 1984. - 256 с.
208. Ту Ю. Современная теория управления / под ред.
В.В.Солодовникова /. - М.: Машиностроение, 1971. - 472 с.
209. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического
управления. - М.: Машиностроение, 1964. - 703 с.
210. Хасмамедов Ф.И. Автоматизация управления трубчатыми
печами. - М.: Химия, 1980. - 216 с.
211. Фаликов В.С., Витальев В.П. Автоматизация тепловых пунк-
тов: Справочное пособие. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 256 с.
212. Цифровий регулятор. Декларацшний патент на винахщ №
65784 А. УкраГна. МКВ 7 HO3L5/OO. B.I. Гостев - № 2003054660; За-
явл. 22.05.03; Опубл. 15.04.04, Бюл.№ 4.- 6 с.
213. Чекмарев А.Н., Вишневский А.В., Кокорева О.И. Microsoft
Windows Server 2003. Русская версия / Под общ. Ред. А.Н. Чекмарева.
- СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 1120 с.
214. Чернов А.В., Бессребренников Н.Н., Силецкий В.С. Основы
теплотехники и гидравлики. - М.: “Энергия”, 1976. - 416 с.
215. Шевяков А.А. Автоматика авиационных и ракетных силовых
установок. - М.: Машиностроение, 1970. - 660 с.
216. Шевяков А.А. Системы автоматического управления авиаци-
онными воздушно-реактивными силовыми установками. - М.: Маши-
ностроение, 1992. - 424 с.
217. Штода А.В. Автоматика авиационных двигателей. - М.: Из-
дание ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1968. - 460 с.
218. Gostev V.I. Mathematical model of the system of mobile radio
communication with regulation of power of the transmitter and compenca-
tion of multiplicate fadings in the feedback channel // Электроника и
связь. - 2006. - №3. - С.68-73.
219. Gostev V.I., Butenko G.G. Parametric synthesis of digital con-
troller of servo system for automatic direction tracking // Cybernetics and
computing technology, Allerton Press, Inc., №113, 1998, p. 78-83.
220. Gostev V.I.,Chuprin A.Ye.,Frantsevich O.N. Synthesis of the
fuzzy controller of the system of a frequency lock loop // Вкник Держав-
964
Список литературы
ного ушверситету шформацшно-комушкацшних технолопй.-2003.-
Том 1, №1.-С. 18-22.
221. Gostev V.I., Chuprin A.Ye., Zakharchuk O.V. Synthesis of
Fuzzy-Controller of Control System with “Discrimination Characteristic” -
Type Nonlinearity 11 Telecommunication and Radio Engineering. - 2001,
№55(8). - P.68-76.
222. Gostev V.I., Kunakh N.I. Control of power of transmitter in data-
transmission channel with fuzzy controller 11 Электроника и связь. - 2005.
- №26. - С.74-78.
223. Gostev V.L, Kunakh N.I. Mathematical model of an adaptive
radio communication channel with PID-controller and electronic attenuator
// Proceedings of the 2-nd International Conference ACSN-2005, Septem-
ber 21-23, 2005, Lviv, Ukraine. - P.56-58.
224. Gostev V., Kunakh N. The analysis of relative stability of
systems of automatic PID-control of power of the transmitter in adaptive
channels of a radio communication // Proceedings of the IX-th Interna-
tional Conference TCSET-2006 “Modem problems of radio engineering,
telecommunication and computer science”, February 28-March 4, 2006,
Lviv-Slavske, Ukraine. - P.58-61
225. Gostev V.I., Kunakh N.I., Velichko V.A. Adaptive radio
communication channel with PID-controller and electronic attenuator in
data-transmission channel И ЕИсник Державного ушверситету шформа-
цшно-комушкацшних технолопй. - 2005.-Т.З, №3-4. - С. 10-13.
226. Gostev V.I., Kunakh N.I.,Velichko V.A. Mathematical model of
an adaptive radio communication channel with the PID-controller // Элек-
троника и связь. - 2005. - №28. - С.83-87.
227. Gostev V.I., Magluy S.A., Chmelev V.O. The synthesis of a
digital fuzzy controller of a control system by the object “the steering
machine + missile” // Radio Electronics, Computer Science, Control. -
2002. - №1. - P.3-7.
228. Mamdani E.H. Application of fuzzy logic to approximate reason-
ing using linguistic synthesis. - IEEE Transactions on Computers, vol.26,
no. 12, 1977, pp.1182-1191.
229. Mamdani E.H. Advances in the linguistic synthesis of fuzzy con-
trollers. - International Journal of Man-Machine Studies, vol.8, 1976,
pp.669-678.
230. Ross T.J. Fuzzy logic with engineering applications. - McGraw-
Hill, 1995.-600 p.
965
Список литературы
231. Takagi Т., Sugeno М. Fuzzy identification of systems and its ap-
plications to modeling and control. - IEEE Transactions on Systems, Man
and Cybernetics, vol. 15, no.l, 1985, pp.l 16-132.
232. Zadeh L.A. Fuzzy sets. - Information and Control, vol.8, 1965,
pp.338-353.
233. Zadeh L.A. The concept of linguistic variable and its application
to approximate reasoning. - Information Sciences, vol.8, 1975, pp.43-80.
234. Zadeh L.A. Fuzzy logic. - IEEE Transactions on Computers,
vol.21,no.4, 1988, pp.83-93.
966
Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Раздел 1. Управление на базе нечеткой логики 10
1.1.Общие особенности управления на базе теории нечет-
ких множеств 10
1.2. Функциональная и структурная схемы системы
управления на базе нечеткой логики. Принцип работы
нечеткого регулятора. Алгоритмы нечеткого вывода. 15
Раздел 2. Формализация процесса принятия решений на
базе нечеткой логики 28
2.1. Процесс принятия решения в системе с одним
выходным и п входными параметрами 28
2.2. Статические характеристики “ вход - выход”
цифровых нечетких регуляторов 54
Раздел 3. Синтез нечетких регуляторов систем управле-
ния нестационарными объектами 64
3.1. Синтез цифровых регуляторов систем управления на
базе нечеткой логики 64
3.2. Аналитические выражения для управляющих воздей-
ствий на выходе нечеткого регулятора. Проектирование
нечетких регуляторов. Оптимизация параметров цифро-
вых нечетких регуляторов 120
Раздел 4. Синтез регуляторов для объектов управления с
чистым запаздыванием 275
4.1. Применение оптимальных по быстродействию циф-
ровых регуляторов для объектов управления с чистым за-
паздыванием 275
4.2. Применение цифровых нечетких регуляторов для
объектов управления с чистым запаздыванием 295
Раздел 5. Синтез нечетких регуляторов систем управле-
ния нелинейными объектами 319
5.1. Синтез нечеткого регулятора системы управления
объектом с нелинейностью типа “люфт” 319
967
Содержание
5.2. Синтез нечеткого регулятора системы управления
объектом с нелинейностью типа “зона нечувствительно-
сти + насыщение” 326
5.3. Синтез нечетких регуляторов систем управления с не-
линейностью типа “дискриминационная характеристика” 332
Раздел 6. Синтез нечетких регуляторов систем управле-
ния сложными объектами 405
6.1. Синтез цифрового нечеткого регулятора системы
управления объектом “рулевая машина + ракета” 405
6.2. Автономная система фаззи-управления теплоснабже-
нием 413
6.3. Синтез нечетких регуляторов следящих координато-
ров 429
6.4. Система регулирования температуры теплоносителя
на выходе смесителя с нечеткими регуляторами 441
Раздел 7. Синтез цифровых регуляторов систем автома-
тического управления параметрами двухроторного двух-
контурного газотурбинного двигателя 449
7.1. Синтез цифровых регуляторов систем автоматическо-
го управления температурой газа двухроторного двух-
контурного ГТД на базовых режимах работы 449
7.2. Синтез цифровых регуляторов систем автоматическо-
го управления частотами вращения роторов двухроторно-
го двухконтурного ГТД на базовых режимах работы 477
7.3. Синтез цифровых регуляторов в двухмерных систе-
мах автоматического управления основными параметра-
ми двухроторного двухконтурного ГТД на базовых ре-
жимах работы 489
7.4. Синтез цифровых нечетких регуляторов систем авто-
матического управления параметрами двухроторного
двухконтурного ГТД на базовых режимах работы 522
7.5. Исследование систем автоматического управления
основными параметрами двухроторного двухконтурного
ГТД при произвольных входных воздействиях методом
математического моделирования 544
7.6. Применение нечетких регуляторов в двухконтурных
968
Содержание
системах автоматического управления основными пара-
метрами двухроторного двухконтурного ГТД 582
7.7. Синтез трехканального нечеткого регулятора систе-
мы автоматического управления частотой вращения ро-
тора двухроторного двухконтурного ГТД 588
7.8. Синтез цифрового оптимального по быстродействию
и нечеткого регуляторов системы управления частотами
вращения роторов двухроторного ГТД с приводным топ-
ливным насосом 598
7.9. Синтез цифровых оптимальных по быстродействию
и нечетких регуляторов системы управления частотой
вращения ротора вентилятора и степенью повышения да-
вления в вентиляторе двухроторного ГТД с приводным
топливным насосом 631
Раздел 8. Синтез цифровых регуляторов систем автома-
тического управления параметрами парового котла 646
8.1. Синтез цифровых регуляторов одномерных систем
автоматического управления параметрами парового котла 646
8.2. Синтез цифровых нечетких регуляторов одномерных
систем автоматического управления параметрами парово-
го котла ’ 657
8.3. Сравнительная оценка цифровых регуляторов в
системах автоматического управления параметрами
парового котла 662
8.4. Синтез цифровых нечетких регуляторов двухмерного
объекта “ испаритель + нагреватель парового котла ” 673
8.5. Синтез цифровых регуляторов системы регулирова-
ния температуры перегретого пара на выходе парового
котла 687
Раздел 9. Синтез цифровых регуляторов систем автома-
тического управления параметрами электрических и га-
зовых печей 709
9.1. Синтез цифровых регуляторов системы автоматиче-
ского управления температурой электропечи 709
9.2. Синтез цифровых регуляторов однопоточной труб-
чатой печи 722
969
Содержание
9.3. Синтез цифрового регулятора двухпоточной трубча-
той печи 735
Раздел 10. Системы автоматического регулирования
мощности передатчика в радиоканале связи 744
10.1. Основная функциональная схема системы АРМП 744
10.2. Математические модели адаптивных радиоканалов
связи с системами автоматического нечеткого и ПИД- ре-
гулирования мощности передатчика 748
10.3. Математические модели адаптивных радиоканалов
связи с системами автоматического нечеткого и ПИД- ре-
гулирования мощности передатчика с перестройкой час-
тоты 764
10.4. Проектирование каналов радиосвязи и радиоуправ-
ления систем АРМП при аддитивных и мультипликатив-
ных замираниях сигнала 777
10.5. Системы автоматического нечеткого и ПИД- регу-
лированиия мощности передатчика при случайных зами-
раниях в канале радиосвязи 812
10.6. Математические модели систем автоматического ре-
гулирования мощности в канале MS-BS мобильной связи 831
10.7. Системы АРМП с нечеткими и ПИД-регуляторами в $
канале радиоуправления
Раздел 11. Робастность систем автоматического управле-
ния с цифровыми регуляторами 869
11.1. Оценка робастности системы управления креном
самолета 869
11.2. Система управления скоростью поезда-экспресса 876
11.3. Электрогидравлическая следящая система 882
11.4. Система управления температурой газа двухротор-
ного двухконтурного газотурбинного двигателя 889
11.5. Система регулирования температуры ректификаци-
онной колонны 894
11.6. Особенности нечеткого управления 908
Приложение А. Моделирование стацонарных случайных
воздействий. 916
970
Содержание
Приложение Б. Таблица оптимальных управляющих воздей-
ствий на объект управления при сигнале u(t) = U + at на
входе системы
Приложение В. Элементы теории двухмерных систем авто-
матического управления
Приложение Г. Рекуррентные формулы для расчета непре-
рывной части систем
Список литературы
924
938
943
945
971
ГОСТЕВ Владимир Иванович
НЕЧЕТКИЕ
РЕГУЛЯТОРЫ
В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Корректор В.И. Гостев
Компьютерная верстка Н.М. Лысенко
Подписано в печать 26.02.2008 г.
Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Гарнитура Times. Усл. печ. л. 56.
Уч.-изд. л. 50. Тираж 300 экз. Зак. № 2777
Отпечатано с оригинал-макета заказчика
в ООО “Видавництво “Аспект-Пол1граф”
Свидетельство о внесении в Государственный реестр
субъектов издательской деятельности ДК №115 от 12.11.2002 г.
16610, Черниговская обл., г. Неяеин, ул. Шевченко, 109 А,
тел./факс 8 (04631) 3-11-08; тел. 8 (04631) 3-18-03
e-mail: aspekt@uacUi.com