Текст
А. И. АЛЕКСЕЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО КЛАССИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977
537
А 47
УДК 538.3
Сборник задач по классической электродинамике,
А. И. Алексеев, учебное пособие. Главная ре-
редакция физико-математической литературы изда-
издательства «Наука», 1977.
В книге представлено около 500 задач, кото-
которые охватывают все основные разделы теории
электромагнитного поля, рассматривающей элек-
электромагнитные процессы и движение зарядов в
вакууме. Приведенные в ней разнообразные мето-
методы решения электродинамических задач помогут
освоить технику практических вычислений, харак-
характерных для теоретической физики.
Сборник рассчитан прежде всего на студентов
физических факультетов 'университетов и педаго-
педагогических институтов, а также на студентов инже-
инженерно-физических и физико-технических вузов,
изучающих электродинамику по общепринятой
программе. Задачи повышенной трудности пред-
предназначены для студентов, специализирующихся по
теоретической физике, и аспирантов. Сборник
будет полезен также инженерам и научным ра-
работникам, самостоятельно изучающим теорию
электромагнитного поля.
Рис. 28. Табл. 1. Библ. назв. 10.
Л 20402—149 „о __ © Главная редакция
A Arf./AA, „г. 79-77 физико-математической литераторы
053 @2)-77 изд-ва «Наука», 1977
ОГЛАВЛЕНИЕ
п и Ответы
3адачИ и решения
Предисловие 5
Принятые обозначения 7
Глава I. Постоянное электрическое поле . . 11 143
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные усло-
условия в электростатике 19 143
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса . . 21 144
§ 3. Применение общего решения уравнения
Пуассона 23 148
§ 4. Сила и энергия в электростатике ... 25 151
§ 5. Уравнения Лапласа и Пуассона с допол-
дополнительными условиями . 28 153
§ 6. Плотность заряда тел разной конфигу-
конфигурации 31 168
§ 7. Дипольный момент 34 170
§ 8. Тензор квадрупольного момента ... 35 172
§ 9. Поле на больших расстояниях от заря-
заряженной системы 40 176
§ 10. Двойной электрический слой 43 178
Глава II. Постоянное магнитное поле ... 44 180
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные усло-
условия в магнитостатике 50 180
§ 2. Магнитный момент 53 183
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях
от тока 55 186
§ 4. Закон Био и Савара 56 186
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности
магнитного поля 60 18Э
§ 6. Уравнения Лапласа и Пуассона с допол-
дополнительными условиями 63 193
Глава III. Переменное электромагнитное поле 68 202
§ 1. Уравнения Максвелла 74 202
§ 2. Плотность заряда и тока 75 204
§ 3. Магнитный, дипольный и квадрупольный
моменты движущихся зарядов .... 77 205
§ 4. Электромагнитные волны 78 207
§ 5. Дифракция 82 211
1*
Яаттачи Ответы
задачи и решения
Глава IV Излучение электромагнитных волн
медленно движущимися зарядами 85 217
§ 1. Дипольное излучение 93 217
§ 2. Магнитно-дипольное и квадрупольное из-
излучения 98 225
§ 3 Спектральное разложение излучения . . 105 234
§ 4. Угловое распределение излучения . . . ПО 244
§ 5 Поляризация излучаемых волн . . . . ИЗ 250
§ 6 Рассеяние электромагнитных волн . . . 115 254
§ 7 Излучение протяженных источников . . 116 25о
§ 8 Задачи, требующие вычисления на ЭВМ 119 261
Глава V. Поле релятивистских заряженных
частиц 123 273
§ 1 Преобразование электромагнитного поля 135 273
§ 2 Излучение быстро движущегося заряда 138 277
Приложения . 287
1 Основные формулы векторного анализа . . 287
2. Матрицы и тензоры 292
3 б-функция 296
4 Полиномы Лежандра 300
5 Сферические функции 303
6 Цилиндрические функции 305
7. Тензорное исчисление в псевдоевклидовом
пространстве . 308
Литература . . 318
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник содержит задачи по классической
электродинамике в вакууме, которые на протяжении
многих лет автор использовал на практических занятиях
в Московском инженерно-физическом институте, а также
предлагал студентам в качестве индивидуальных зада-
заданий. Подавляющая часть задач оригинальна. Вместе с
тем в сборник включено некоторое число известных ти-
типовых задач для иллюстрации применяемой методики
Задачи разнообразны по трудности, однако большинство
из них посильно каждому, кто изучил теорию электро-
электромагнитного поля.
Многие задачи имеют подробное решение, особенно в
тех случаях, когда используются новые идеи и методы
по сравнению с предыдущим материалом. Наряду с этим
в сборнике по разным разделам курса электродинамики
имеется большое число однотипных задач, для которых
даны лишь ответы и краткие указания. Такие задачи
весьма полезны при составлении контрольных работ и
индивидуальных заданий, а также для самоконтроля при
изучении электродинамики. Если эти задачи встречают
затруднение, то соответствующая часть курса электроди-
электродинамики усвоена не достаточно глубоко и требует допол-
дополнительной проработки.
Содержание сборника охватывает вопросы электро-
электродинамики в вакууме. Наравне с объемной плотностью
введены понятия поверхностной и линейной плотности
заряда, а также поверхностной плотности тока> что
5
позволило значительно расширить круг рассматривае-
рассматриваемых вопросов и дало возможность проиллюстрировать
разнообразные методы, которые используются как в
электродинамике в вакууме, так и в электродинамике
сплошных сред.
Каждой главе предпослано краткое теоретическое
введение, а в приложениях собраны необходимые сведе-
сведения из векторного анализа, тензорного исчисления и о
специальных функциях. Приведенные формулы являются
справочным материалом, имеющим целью сэкономить
время читателя при решении предложенных задач. Ука-
Указанные сведения позволили также сократить объем сбор-
сборника при написании решений к отдельным задачам.
Автор очень признателен В. М. Ермаченко и
Б. М. Карнакову за прочтение сборника в рукописи и
обсуждение отдельных вопросов.
А. И. Алексеев
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Везде используется гауссова абсолютная система
единиц,
Векторы обозначаются полужирным шрифтом, а мо-
модуль вектора — светлым. Разложение вектора А по ор-
ортам 1Л, \у и lz декартовой системы координат записы-
записывается двояко:
А = Ах\х + Ау\у + Аг\г = А{\х + А2\у + Ал1г.
Если векторный или тензорный индекс, обозначен-
обозначенный греческой буквой, в данном выражении повторяется
дважды, то по нему предполагается суммирование от I
до 3. При этом знак 2 суммы опускается. Например,
яА = а{Ь{ + a2b2 + a3b3.
Если указанные индексы обозначены латинской буквой,
то суммирование проводится от 1 до 4:
a2b2 + аф3 + аф±.
Интегралы любой кратности обозначаются одним-
единственным знаком \ и различаются лишь обозначе-
обозначением элемента интегрирования: dV = dx dy dz = dx —
элемент объема, dS = n dS — элемент поверхности и
d\ = x dl — элемент ориентированного контура. Здесь
п — орт нормали к поверхности интегрирования, at —
орт касательной к контуру интегрирования. Знак & обо-
обозначает интеграл по замкнутой поверхности с ортом
п внешней нормали или по замкнутому ориентирован-
ориентированному контуру, направление обхода которого задается
ортом т. Пределы интегрирования в определенном инте-
интеграле иногда опускаются вовсе. В этом случае интегри-
рование ведется по области, где подынтегральная функ«
ция отлична от нуля.
Для разложения Фурье принято обозначение
оо
/(©) = 5 f{t)eiatdt
— с©
или в трехмерном пространстве
<p(k)= J
Функция /(/), периодическая с периодом 7" = —,
разлагается в ряд Фурье
/@= ? /
П = — оо
Т/2
$
-Г/2
Полная производная по времени часто обозначается
точкой, стоящей над функцией -тг ^F* Производная от
функции Ф(х) в точке х = х0 изображается как —^~"«
Индекс 0 внизу справа от каждого символа (буквы)
отмечает постоянную во времени и координатах вели-
величину.
Если аргумент функции представлен в виде at, kr
или рг, то множители а, к и |3 не зависят от координат
и времени.
А — векторный потенциал
с—1) электродинамическая постоянная, равная ско-
скорости света в вакууме; 2) произвольная постоянная;
3) полуось эллипсоида
d — дипольный момент
ft компоненты тензора квадрупольного момента
е — точечный заряд (заряд частицы)
Е — напряженность электрического поля
&—1) энергия; 2) кинетическая энергия нереляти-
нерелятивистской частицы
F — сила
g — плотность импульса электромагнитного поля
Ь — постоянная Планка 1,054-10~27 эрг • сек
Н — напряженность магнитного поля
i — поверхностная плотность тока
/ — интенсивность излучения
j — объемная плотность тока
/ — сила тока
к— 1) волновой вектор; 2) переменный вектор разло*
жения в тройной интеграл Фурье
/ — линейный размер заряженной системы или обла-
области пространства
L—1) контур интегрирования в криволинейном ин-
интеграле; 2) длина
т — масса
М — момент импульса (механический момент)
N — момент сил
п— 1) орт нормали к поверхности (внешней нормали
для замкнутой поверхности); 2) орт радиус-вектора г
точки наблюдения; 3) единичный вектор
р — импульс
Р — полный импульс механической системы
q — линейная плотность заряда
Q — полный заряд
R — радиус окружности, цилиндра или шара
г—1) модуль радиус-вектора г; 2) сферическая ко*
ордината; 3) цилиндрическая координата
S — поверхность
s — вектор Пойнтинга
t — время
Т—1) период; 2) кинетическая энергия релятивист*
ской частицы
Та& — максвелловский тензор натяжений
U — потенциальная энергия
v — скорость
V — объем
W—1) энергия электромагнитного поля; 2) магнит-
магнитная энергия взаимодействия тока с внешним магнитным
полем
w — плотность энергии электромагнитного поля х{=х,
х2 = у, Хз — z — компоненты радиус-вектора г в декар-
декартовых прямоугольных координатах
G — полярный угол сферической системы координат
X — длина волны, деленная на 2я
|и —магнитный момент
[i — приведенная масса
р — объемная плотность заряда
а — поверхностная плотность заряда
т— 1) орт касательной к поверхности или к ориенти-
ориентированному контуру; 2) плотность дипольного момента
двойного электрического слоя
Ф — скалярный потенциал
-ф — 1) азимутальный угол сферической системы ко-
координат; 2) полярный угол цилиндрической системы ко-
координат; 3) угол между двумя направлениями
оз— 1) циклическая частота; 2) угловая скорость вра-
вращения
Q—1) телесный угол; 2) циклическая частота
V — оператор набла.
ЗАДАЧИ
Глава I
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Основной величиной, характеризующей электрическое
поле в вакууме, является вектор Е= Е(г) напряженно-
напряженности этого поля. Вектор Е(г) представляет собой силу,
действующую на единичный пробный заряд, помещен-
помещенный в точку с радиус-вектором г.
В настоящей главе рассматривается электростатиче-
электростатическое поле, созданное неподвижными зарядами. Распре-
Распределение зарядов в пространстве описывается объемной
плотностью р(г), на заряженной поверхности — поверх-
поверхностной плотностью а (г), а на заряженном линейном
контуре — линейной плотностью q (r). Заряженная по-
поверхность рассматривается как предел поверхности ко-
конечной толщины, которая неограниченно утончается при
условии, что заряд а на единице поверхности остается
неизменным. Аналогично линейный заряженный контур
(или просто линейный заряд) является пределом заря-
заряженного длинного цилиндра, который бесконечно утон-
утончается при условии, что заряд q на единице длины
остается прежним. Формы заряженной поверхности и
контура линейного заряда произвольны. Кроме того, в
пространстве могут находиться отдельные точечные за-
заряды ег (/ = 1,2, ..., N).
Напряженность постоянного электрического поля
удовлетворяет уравнениям Максвелла
rotE = 0, (I. 1)
A.2)
Если заряды сосредоточены в конечной области, то
напряженность электростатического поля на больших
расстояниях г от заряженной системы убывает, как 1/г2,
или быстрее. Это утверждение служит дополнительным
И
условием к уравнениям Максвелла A.1) и A.2) при
отыскании Е в неограниченном пространстве.
При переходе через заряженную поверхность нор-
нормальная составляющая Еп = En напряженности элек-
электрического поля претерпевает скачок
A.3)
в то время как тангенциальная составляющая непре-
непрерывна
пХ(Е2-Е1) = 0. A.4)
Здесь индексы 1 и 2 отмечают напряженность электри-
электрического поля в первой и второй областях, лежащих го
разные стороны от заряженной поверхности. Единичный
вектор п нормали к этой поверхности направлен из пер-
первой области во вторую. Соотношения A.3) и A.4) яв-<
ляются граничными условиями в электростатике.
В правую часть уравнения Максвелла A.2) обычно
входит кусочно-непрерывная объемная плотность р за-
заряда, а поверхностная плотность а учитывается в гра-
граничных условиях.
Наравне с этим имеется другой подход к решению
задачи, который не требует формулировки граничных:
условий. Поверхностное распределение заряда а (г)
учитывается в объемной плотности р(г) при помощи
б-функции, а решение уравнений Максвелла сразу
ищется во всем пространстве. С математической стороны
такой подход менее удобен, так как правая часть урав-
уравнения A.2) становится сингулярной функцией, обра-
обращающейся в бесконечность в точках заряженных по-
поверхностей.
Для напряженности электрического поля выполняется
электростатическая теорема Гаусса
A.5)
s
где Q — полный заряд, заключенный внутри замкнутой
поверхности S. В общем случае этот заряд слагается из
объемных, поверхностных, линейных и точечных за-
зарядов.
Наравне с напряженностью Е постоянное электриче-
электрическое поле характеризуется также потенциалом <р, кото-
который определяется соотношением
E = -gra<^. A.6)
12
Разность потенциалов между первой и второй точ-
точками пространства представляет собой работу, которою
необходимо затратить против сил электрического поля,
чтобы перенести единичный заряд из второй точки про-*
странства в первую.
Потенциал ф удовлетворяет уравнению Пуассона
у2ф==__4яр A.7)
и граничным условиям на поверхности раздела областей
*-^=4-> а. в)
Ф1=ф2. A-9)
Уравнение A.7) с нулем в правой части называется
уравнением Лапласа. Решая уравнения Пуассона и Ла-
Лапласа, следует принимать во внимание, что потенциал
является непрерывной функцией во всех точках прост-
пространства, в которых объемная плотность заряда огра-
ограничена. Более того, потенциал непрерывен при перехо-
переходе через заряженную поверхность, если поверхностная
плотность заряда в данной точке ограничена. Граничное
условие на линейном контуре, заряженном с линейной
плотностью #, записывается при г —*0 в виде ф =
= —2q In r + const, где г — кратчайшее расстояние от
точки наблюдения до рассматриваемого контура. Когда
заряды расположены в конечной области пространства,
потенциал на бесконечном расстоянии от этих зарядов
равен нулю. По найденному потенциалу определяют на-
напряженность электрического поля путем вычисления
градиента A.6).
Напротив, если вектор Е найден по электростатиче-
электростатической теореме Гаусса A.5) или каким-либо другим пу-
путем, то потенциал ф электрического поля определяется
из соотношения A.6), рассматриваемого как дифферент
циальное уравнение относительно искомой функции ф«
В задачах электродинамики часто исследуется элек-*
трическое поле бесконечно протяженных источников,
хотя реальные заряженные системы всегда имеют огра-
ограниченные размеры. Получаемые при этом результаты
имеют практический интерес, поскольку поле бесконечно
протяженных источников правильно описывает электри-
электрическое поле соответствующих ограниченных заряженных
систем на расстояниях, малых по сравнению с ли*
нейными размерами этих реальных систем. Например,
13
электрическое поле бесконечного заряженного цилиндра
с большой точностью совпадает с полем аналогичного
цилиндра достаточно большой, но конечной длины, если
только точка наблюдения расположена на расстоянии ог
этого цилиндра, малом по сравнению с его длиной. Раз-
Различие между указанными полями наблюдается вблизи
торцов цилиндра, а также на расстояниях от него, срав-
сравнимых с его длиной.
Потенциал и напряженность электростатического
поля точечного заряда е
где г и г' — радиусы-векторы соответственно точки
наблюдения и точки расположения заряда (закон Ку-
Кулона).
В электростатике справедлив принцип суперпозиции:
электростатическое поле системы нескольких зарядов
представляет собой наложение (сумму) полей, создан-
созданных каждым зарядом в отдельности. Другими словами,
заряд в присутствии других заряженных систем создает
такое же поле, как и в пустоте.
Если заряды распределены с объемной плотностью
р(г'), то согласно закону Кулона для элементарного
точечного заряда p(vf)dVf и принципу суперпозиции по-
потенциала ф(г) и напряженность Е(г) электрического
поля в точке наблюдения с радиус-вектором г можно
представить в следующем виде:
Е (г) =$><'¦>,*_-У *"¦ (I-12>
Потенциал A.11) удовлетворяет уравнению Пуас-
Пуассона A.7) и является его общим решением в неограни-
неограниченном пространстве, если объемный интеграл сходится.
При этом граничные условия A.8) и A.9) на поверхно-
поверхности раздела зарядов и вакуума выполняются автомати-
автоматически. Если интеграл A.11) расходится или его не
удается вычислить аналитически, то потенциал электро-
электростатического поля находят путем решения уравнения
Пуассона A.7) с учетом граничных условий A.8) и
A.9).
14
Иногда вместо объемных зарядов в пространстве
имеются заряженные поверхности и линейные контуры.
6 этом случае потенциал вычисляется по формуле
а напряженность электрического поля определяется со-
согласно соотношению A.6).
Непосредственное вычисление интегралов A.11) и
(I. 13), как правило, весьма затруднительно. В связи с
этим для определения электростатического поля на боль-
больших расстояниях от заряженной системы разработан
метод вычисления этих интегралов с любой степенью
точности. Он состоит в разложении функции
а
в ряд по малому параметру —, где радиус-векторы
гиг7 берутся в системе координат, начало которой рас-
расположено внутри заряженной системы, имеющей макси-
максимальный линейный размер /. В результате потенциал на
больших расстояниях г ^> I от заряженной системы
представится в виде бесконечного быстро сходящегося
ряда
Ф = — + тН 2F5 h .••, (I. H)
где для распределения заряда с объемной плотностью
р(г) введены обозначения
+ x3l2. A.18)
Величины A.15), A.16) и A.17) называются соот«
ветственно полным зарядом, дипольным моментом и тен-
тензором квадрупольного момента заряженной системы.
Последние характеризуют степень отклонения от цен-
центральной симметрии в распределении заряда системы*
У сферически-симметричной заряженной системы вели-
величины A.16) и A.17), как и мультипольные моменты
15
более высокого порядка, равны нулю, а потенциал в на^
ружных точках является кулоновским ср = Q/r.
Если заряды распределены по поверхности с поверх-
поверхностной плотностью а, то полный заряд, дипольный мо-
момент и тензор квадрупольного момента выражаются
соответственно через интегралы A.15) —A.17), в кото-
которых произведена замена pdV-> odS, а интегрирование
проводится по заряженной поверхности. Аналогично для
линейного контура, заряженного с линейной плотностью
q, в интегралах A.15) — A.17) совершается замена
pdV—>qdl, а интегрирование проводится по заряжен-
заряженному контуру.
В случае зарядов е,-, расположенных в точках с ра-
радиус-векторами гi (i = 1,2, ..., N), объемная плотность
заряда выражается через 8-фуккцию:
p{r)=Zietb(r-rt), (I.19).
а величины A.16) и A.17) принимают вид
N
d=E etvh (I.20)
N
Для однородно заряженного тела вращения тензор
квадрупольного момента имеет наиболее простой вид в
декартовой системе координат, одна из осей которой
совпадает с осью аксиальной симметрии. В этом случае
отличны от нуля только диагональные компоненты тен-
тензора Da$. Например, если ось Z выбрана вдоль оси сим-
симметрии тела вращения, то отличные от нуля компоненты
тензора Da$ равны
Дц = Аа=--2-Язз. О-22)
Величину D33 = D называют квадрупольным моментом
тела вращения.
По аналогии со случаем точечных зарядов A.19),
имеется возможность при помощи б-функции ввести
понятие объемной плотности р также в том случае, когда
задано поверхностное или линейное распределение за-
заряда. После этого можно использовать формулы, полу-
16
ченные ранее для пространственного распределения
заряда с объемной плотностью р(г).
Система двух бесконечно близко расположенных
паралельных поверхностей, у которых поверхностная
плотность заряда на противолежащих участках одина-
одинакова по абсолютной величине, но противоположна по
знаку, называется двойным электрическим слоем. Он
характеризуется плотностью дипольного момента т.
В каждой точке поверхности двойного слоя вектор т
параллелен нормали п и направлен от отрицательной
стороны к положительной. При неограниченном сближе-
сближении противоположно заряженных параллельных поверх-
поверхностей поверхностная плотность заряда на противолежа-
противолежащих участках возрастает по абсолютной величине так,
что плотность дипольного момента т принимает конечное
значение. Элемент dS = ndS поверхности двойного элек-
электрического слоя имеет электрический дипольный момент
d dSdS
Потенциал двойного электрического слоя в точке
наблюдения с радиус-вектором г определяется следую-
следующим образом:
где т(г') — плотность дипольного момента в точке с ра-
радиус-вектором г/ на поверхности двойного электриче-
электрического слоя.
Когда плотность дипольного момента по абсолютной
величине постоянна, слой называется однородным, и
формула A.23) упрощается:
Здесь Q — телесный угол, под которым из точки наблю-
наблюдения видна положительная сторона поверхности двой-
двойного электрического слоя. Если видна отрицательная
сторона, то в правой части A.24) ставится знак минус.
Потенциал и напряженность электрического поля на
поверхности двойного электрического слоя удовлетво-
удовлетворяют граничным условиям
A.25)
где индексы 1 и 2 отмечают величины, взятые на отри-
отрицательной и положительной сторонах поверхности слоя.
17
Значение потенциала фо(г') в произвольной точке
на самой поверхности двойного слоя связано с плотно-
плотностью т(г') дипольного момента в этой же точке следую-
следующими соотношениями:
•'), A-27)
¦О, A-28)
где ф1(г') и фг(г')—предельные значения потенциала
при приближении к двойному слою соответственно с от-
отрицательной и положительной сторон. Эти значения по-
потенциала входят в граничное условие A.25).
Энергия электростатического поля
Если этот интеграл в неограниченном пространстве схо-
сходится, то для вычисления энергии A.29) удобно пользо-
пользоваться равнозначной формулой
W = y \pydV. A.30)
Электростатическая энергия взаимодействия двух
систем, заряженных с объемными плотностями pi(r) и
р2(г/), вычисляется по формуле
С
J
(L31)
Потенциальная энергия системы зарядов, распреде-
распределенных с объемной плотностью р(г) во внешнем электри-
электрическом поле с потенциалом ф(г), определяется выра-
выражением
Если потенциал ф(г) внешнего электрического поля
на протяжении заряженной системы меняется незначи-
незначительно, то выражение A.32) заменяют быстро сходя-
сходящимся рядом
lj^L ... A.33)
Здесь потенциал и напряженность внешнего электриче-
электрического поля, а также производные от потенциала берутся
в точке с радиус-вектором г = R, лежащей внутри рас-
18
сматриваемой заряженной системы. Эта внутренняя
точка служит началом декартовой системы координат,
в которой определены величины d и Da$.
Сила F и момент N сил, приложенные к заряженной
системе во внешнем электрическом поле с напряженно-
напряженностью Е, равны
В частном случае диполя с моментом d соотношения
A.34) и A.35) принимают вид
F = (d grad) E = grad (dE), A.36)
N = dXE. A.37)
При помощи максвелловского тензора натяжений
электростатическую объемную силу A.34) можно заме-
заменить системой поверхностных сил, приложенных к по-
поверхности объема V, внутри которого распределен заряд
с объемной плотностью р. Тогда компонента Fa суммар-
суммарной силы A.34) запишется в виде
где п — орт внешней нормали к замкнутой поверхности
S, ограничивающей объем V. (Подробнее см., например,
в книгах [1 — 3]. Необходимые сведения и задачи по
Электродинамике сплошных сред можно найти в книгах
[4-6].)
§ 1. Уравнения Максвелла
и граничные условия в электростатике
1. Найти напряженность Е электрического поля, потен-
потенциал ф которого равен: а) а(ЬХг); б) (аХг)(кХг);
в) (ar)coskr; г) dr/r3; д) /(r)F(r); e) F(/(ar)). Здесь
векторы a, b, k и d не зависят от координат и времени, а
f и р — произвольные дифференцируемые функции
своего аргумента.
19
2. Можно ли создать в пространстве электростатиче-
электростатическое поле с напряженностью Е = аХг> где а— постоян-*
ный вектор?
3. Можно ли подобрать такое распределение заряда
снаружи полой области, чтобы внутри нее напряжен-
напряженность Е электростатического поля имела вид: а) Ео;
б) (Ьг)а; в) (ab)r; г)(аХ(ЬХг)); д) (ar)(kXr); e) (rX(cXr));
ж) a (br) cos кг; з) Er\r + ЕА* + ?\ЛФ, где компоненты
_ , и (Е0Ь) Я4 ч,
вектора Е в сферических координатах ?г = -—\—X
XCcos26~l), ?e= iE°*lRi sin 26 и Е^ = 0 при г > R;
и) Е = Er\r + EJ,u + Ez\z, где компоненты вектора Е
в цилиндрических координатах Ег = (Е0Ь) ( 1 Н—j*) cos'Ф»
JB^ = (Е0Ъ) (-^— l) sin -ф и Ez = 0 при г>/?? Здесь
векторы а, Ь, с, к и Ео не зависят от координат.
4. Определить распределение объемной плотности р
заряда, создавшего в пространстве электрическое поле
с напряженностью Е, равной: a) (br)b; б) grr;
}
4- ?ele + ?ibU, где компоненты Е в сферических коор-
динатах ?r=2np0( г—g- i?J cos0, ?'е=яро (-yi?—rjsin9,
r- n ^-^ г> г? 21X^4 cos 8 „ jc y.,4 sin В
?ф = 0 при r<# и ?r = —р^ ?p^4
?ф = 0 при r^R\ д) ?rlr + ?фЦ + ?21г, где компоненты
вектора Е в цилиндрических координатах Ег = -—• ри X
XBr-/?)cos*, ^ = ^LPo(^-
—Jcosif, ?ф = —ро/?^--. — lj sin\f»,
Я2 = 0 при r^R. Здесь величины a, g, /?, р0, е и век-
вектор b не зависят от координат.
5. Вычисляя ротор и дивергенцию напряженности Е
электрического поля, необходимо убедиться в том, что
в случае электростатики выражение
удовлетворяет уравнениям Максвелла. Здесь р(г7) —
емная плотность заряда в точке с радиус-вектором г'а
20
6. Напряженность электрического поля однородна
внутри некоторой области пространства. Содержат ли
внутренние точки этой области какие-нибудь заряды,
участвующие в создании данного электрического поля?
b
7. Доказать, что в электростатике интеграл \ Edl,
а
взятый между двумя произвольными точками простран-
пространства, не зависит от формы контура интегрирования?
8. Определить распределение поверхностной плотно-
плотности а заряда в пространстве, если напряженность Е
электрического поля имеет вид: а) Ех = Еу = О, Е2 =
с= Ео при г > 0 и Ех — Еу = 0, Е7±= —Ео при z < 0;
б) Е = 0 при г < R и Е = Qr/r3 при г > R, где г — рас-
расстояние до начала координат, a Q и R — постоянные;
в) Е = 0 при г < R и Е = qv^r2 при г > R, где г — рас-
расстояние до оси Z, а а и R — постоянные.
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса
9. Область пространства однородно заполнена элек-
электрическим зарядом с объемной плотностью р. Найти на-
напряженность Е и потенциал ф электрического поля в
каждой точке пространства, если указанной заряженной
областью является: а) шар радиуса R; б) бесконечный
цилиндр радиуса R\ в) неограниченная пластина тол-
толщины 2L.
10. Поверхность равномерно заряжена с поверхност-
поверхностной плотностью а. Найти напряженность Е и потенциал
Ф электрического поля в каждой точке пространства,
если заряженная поверхность имеет форму: а) сферы
радиуса /?; б) бесконечной цилиндрической поверхности
радиуса /?; в) плоскости.
11. Шар радиуса jR заряжен сферически-симметрично
с объемной плотностью р = агъ, где а — постоянная
Чему равен поток Ф напряженности электрического поли
через круг радиуса R, плоскость которого в центральной
точке касается шара?
12. Средняя плотность заряда электронного облака
в атоме водорода равна р = — ~^-ехрГ ? J , где
а — боровский радиус, а г — расстояние до протона,
имеющего заряд е. Определить напряженность Е элек-
21
трического поля в атоме водорода. Исследовать Е на
малых г<а и больших г ^> а расстояниях от протона.
13. Пространство между двумя концентрическими
сферами радиусов Ri и R2 {R\ < #2) заполнено сфе-
сферически-симметрично зарядом с объемной плотностью
р = р(г), где г — расстояние до общего центра обеих
сфер. Найти напряженность Е и потенциал ф электри-
электрического поля в каждой точке пространства.
14. Объемная плотность заряда бесконечного цилин-
цилиндра имеет осевую симметрию и равна p = p(f)- Опре-
Определить напряженность Е и потенциал ф электрического
поля внутри цилиндра. При калибровке ф принять, что
потенциал равен нулю на поверхности цилиндра.
15. Неограниченная пластина заряжена симметрично
относительно своей средней плоскости х = 0. Объемная
плотность заряда равна р = р(|*|). Найти напряжен-
напряженность Е и потенциал ф электрического поля внутри пла-
пластины. При калибровке ф принять, что потенциал равен
нулю в точках средней плоскости
16. Разноименные точечные заряды в\ и е2 {е\ >
> \е2\) расположены на оси X на некотором расстоянии
друг от друга. Ось X направлена от положительного за-
заряда к отрицательному. Под каким углом 02 к оси X
входит в заряд е2 силовая линия, выходящая из заряда
в\ под углом 0i? Под каким углом 0О выходит из заряда
ех первая силовая линия, уходящая в плоскости XY на
бесконечность? Какой угол 0оо с осью X образует она на
бесконечности?
17. Две бесконечные однородные разноименно заря-
заряженные нити протянуты в плоскости XZ параллельно
оси Z. Линейные плотности заряда на положительной
и отрицательной нитях равны соответственно q\ и q2
(Qi > |^72|). Ось X направлена от положительной нити
к отрицательной. Под каким углом tyi к оси X выходит
из положительной нити силовая линия, входящая в отри-
отрицательную нить под углом t|)?? Под каким углом ty0 к оси
X выходит из положительной нити первая силовая ли-
линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность?
18. Заряд ех находится на оси X в точке хх == /. Опре-
Определить величину заряда е2, котоорый необходимо поме-
поместить в точку х2 = — д/з / оси X, чтобы поток напря-
напряженности электрического поля через окружность х = 0,
if -j- z2 = I2 был равен нулю.
22
19. Напряженность электрического поля в простран-
пространстве известна:
где е и Ь — положительные постоянные, а г — расстояние
до начала координат. Определить распределение объем-
объемной плотности р заряда, создавшего это поле. Чему ра-
равен полный заряд Q?
20. Определить напряженность Е и потенциал ф элек-
электрического поля двух бесконечных параллельных нитей,
равномерно заряженных с линейной плотностью соот-
соответственно q и —q. Расстояние между нитями равно /.
Исследовать Е и ф на больших расстояниях от нитей.
При калибровке ф принять, что потенциал равен нулю
на бесконечно большом расстоянии от нитей.
21. Три взаимно перпендикулярные плоскости равно-
равномерно заряжены с поверхностной плотностью о. Найти
напряженность Е электрического поля в каждой точке
пространства.
22. Шаровая полость расположена эксцентрично вну-
внутри шара, однородно заряженного по объему с плот-
плотностью р. Расстояние между центрами шара и полости
равно /. Определить напряженность Е электрического
поля в точках шаровой полости.
23. Внутри бесконечного цилиндра, однородно заря-
заряженного с объемной плотностью р, имеется цилиндриче-
цилиндрическая полость. Расстояние между параллельными осями
цилиндра и полости равно /. Найти напряженность Е
электрического поля внутри полости.
24. Равномерно заряженная с поверхностной плотно-
плотностью а неограниченная тонкая пластина разделена на
Две половины щелью ширины а. Найти напряженность
Е электрического поля на больших расстояниях г ^> а
от щели с учетом членов порядка 1/г.
§ 3. Применение общего решения уравнения
Пуассона
25. Определить потенциал ф и напряженность Е элек-
электрического поля на оси тонкого диска радиуса /?, рав-
равномерно заряженного с поверхностной плотностью сг.
Убедиться, что на большом расстоянии от диска найден-
найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе
23
через поверхность диска напряженность электрического
поля удовлетворяет необходимому граничному условию
E E 4
2
26. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной
плотностью р. Его внешняя неограниченная экваториаль-
экваториальная плоскость несет заряд с поверхностной плотностью
а. Найти напряженность Е электрического поля на оси
симметрии шара, которая перпендикулярна однородно
заряженной внешней экваториальной плоскости.
27. На оси X между точками Х\ = —/ и х2 = / рав-»
номерно распределен заряд с линейной плотностью q<
Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке
пространства.
28. Цилиндр радиуса R и высоты 2h однородно заря*
жен по объему с плотностью р. Определить потенциал q>
электрического поля на оси симметрии внутри и снаружи
цилиндра. Убедиться, что снаружи цилиндра найденное
выражение в пределе i?~>0 и npR2->q переходит в по-»
тенциал электрического поля равнОхМерно заряженного
отрезка.
29. Определить потенциал ф электрического поля на
оси симметрии следующих равномерно заряженных тел:
а) тонкого кольца радиуса /?, заряженного с линейной
плотностью q\ б) цилиндрической поверхности радиуса
R и высоты 2Л, заряженной с поверхностной плотностью
а; в) части плоскости, отсекаемой двумя концентриче-
концентрическими сферами радиусов Ri и R2 (R\ <Z R2) и заряжен-*
ной с плотностью а; г) полусферы радиуса /?, заряжен^
ной с поверхностной плотностью сг; д) половины шара
радиуса R, заряженного с объемной плотностью р.
30. Неограниченная плоскость с выступом в виде по-»
лусферы радиуса R равномерно заряжена с поверхности
ной плотностью о. Определить потенциал <р = q>(z) элек*
трического поля на оси Z, совпадающей с осью симмет-»
рии составной заряженной поверхности. Исследовать
q>(z) вблизи точки z = 0 кривизны полусферы (\z\<^R),
а также на больших расстояниях от нее A21 ;§>/?). При
калибровке ф принять, что потенциал равен нулю в точке
кривизны полусферы: ф@) = 0.
31. Внутри полусферы радиуса R распределен заряд
с объемной плотностью р = ро?аг, где р0 и а — постоян-
постоянные, a r — расстояние до центра кривизны полусферы.
Найти напряженность Е электрического поля в центре
кривизны полусферы.
24
32. Шар радиуса R заряжен с объемной плотностью
р = р0 cos 9, где 6 — полярный угол сферической си-
системы координат. Используя разложение функции
¦у __ ,, по сферическим функциям, найти потенциал <р
электрического поля внутри и снаружи шара.
33. Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено
с линейной плотностью q. Используя разложение функ-
функции -;—_ ,. по сферическим функциям, найти потен-
потенциал ф электрического поля в каждой точке простран-
пространства. Убедиться, что в точках на оси кольца найденный
потенциал совпадает с выражением, полученным в за-
задаче 29 а).
34. Поверхность равномерно заряженной полусферы
радиуса R имеет заряд Q. Используя разложение функ-
функции -j—_ , по сферическим функциям, найти потен-
потенциал ф электрического поля в каждой точке простран-
пространства. Убедиться, что в точках на оси симметрии полу-
полусферы найденный потенциал совпадает с выражением,
полеченным в задаче 29г).
35. Однородно заряженный тонкий диск радиуса R
несет заряд Q. Используя разложение функции i /¦
по сферическим функциям, найти потенциал ф и напря-
напряженность Е электрического поля вдали от диска г > R,
где г — расстояние до его центра. Показать, что в точках
на оси диска найденный потенциал совпадает с выраже-
выражением, полученным в задаче 25.
36. Используя разложение функции -|—__ , .¦ по сфе-
сферическим функциям, найти потенциал ф электрического
поля внутри сферы радиуса R, одна половина которой
равномерно заряжена с объемной плотностью р.
§ 4. Сила и энергия в электростатике
37. Заряд Q равномерно распределен по поверхно-
поверхности сферы радиуса R. Найти абсолютную величину силы
F, разрывающей сферу на две равные половины.
38. Шар радиуса R однородно заряжен с объем-
объемной плотностью р. Используя максвелловский тензор
натяжений, найти силу F, разрывающую шар на две
равные половины. Подтвердить полученный результат
25
независимым вычислением с использованием формулы
F=f pEdV, где Е — напряженность электрического по-
поля шара.
39. Бесконечный цилиндр радиуса R равномерно за-
заряжен с объемной плотностью р. Используя максвеллов-
ский тензор натяжений, найти силу F, разрывающую ци-
цилиндр на две одинаковые половины. Здесь F — сила,
приложенная к единице длины одной из половин ци-
цилиндра.
40. Определить энергию W электростатического поля
шара радиуса R, внутри которого однородно распреде-
распределен заряд Q.
41. Определить энергию W электростатического поля
сферы радуса R, равномерно заряженной с поверхност-
поверхностной плотностью а.
42. Однородно заряженный шар радиуса R\ с заря-
зарядом Q расположен эксцентрично внутри другого шара
радиуса /?2> равномерно заряженного с объемной плот-
плотностью р. Заряд большего шара не проникает в мень-
меньший. Расстояние между центрами обоих шаров равно /.
Считая заряды шаров одноименными, определить силу
F, с которой меньший шар выталкивается из большего.
Чему равна электростатическая энергия U взаимодей-
взаимодействия шаров, если потенциал электрического поля
каждого заряженного шара равен нулю на бесконеч-
бесконечности?
43. Однородно заряженный с объемной плотностью
pi бесконечный цилиндр радиуса R\ расположен внутри
другого цилиндра радиуса /?2, равномерно заряженного
с объемной плотностью рг. Заряд наружного цилиндра
не проникает во внутренний. Расстояние между парал-
параллельными осями обоих цилиндров равно /. Чему равна
сила F, приложенная к единице длины внутреннего ци-
цилиндра? Определить электростатическую энергию U =
= \ Р1Ф2 dV взаимодействия цилиндров, приходящуюся
на единицу их длины. Здесь ф2 — потенциал зарядов на-
наружного цилиндра. Для однозначности результата при-
принять, что потенциал, созданный зарядами каждого одно-
однородного сплошного цилиндра, равен нулю на его поверх-
поверхности.
44. Средняя плотность заряда электронного об-
облака в атоме водорода описывается функцией
26
р= rexPl Ь гДе а — боровскии радиус, а
г—расстояние до протона, имеющего заряд е. Учиты-
Учитывая вклады от протона и электронного облака, найти
распределение потенциала ф электрического поля внутри
атома. Исследовать ф на малых г<аи больших г ^> а
расстояниях от протона. Чему равна электростатическая
энергия U взаимодействия протона с электронным обла-
облаком, а также собственная электростатическая энергия
W электронного облака?
45. Часть сферы радиуса R, видимая из центра кри-
кривизны под телесным углом п = 2яA — cos 0O), равно-
равномерно заряжена с поверхностной плотностью а. На оси
симметрии (оси вращения) на одинаковом расстоянии от
центра кривизны и заряженной поверхности расположен
точечный заряд е. Чему равна электростатическая энер-
энергия U взаимодействия заряда е с заряженной поверх-
поверхностью?
46. Найти силу F, приложенную к заряду е, находя-
находящемуся в вершине конуса высоты h и радиуса основа-
основания R, если конус однородно заряжен по объему с плот-
плотностью р.
47. Коническая поверхность произвольной высоты и
радиуса основания R равномерно заряжена с поверх-
поверхностной плотностью а. Определить работу ?/, которую
необходимо затратить, чтобы перенести заряд е из бес-
бесконечности в вершину конической поверхности.
48. Шаровой сектор получен пересечением сферы ра-
радиуса R конической поверхностью с вершиной в центре
сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового
сектора. Найти работу С/, которую необходимо затра-
затратить, чтобы заряд е перенести из бесконечности в центр
сферы. Изменится ли найденное значение U, если заряд
Q равномерно распределить по всему объему сферы?
49. В сферических координатах средняя плотность
заряда электронного облака возбужденного атома водо-
водорода описывается функцией
где а — боровскии радиус, а г — расстояние до протона,
имеющего заряд е. Найти электростатическую энергию
U взаимодействия протона с электронным облаком.
27
§ 5. Уравнения Лапласа и Пуассона
с дополнительными условиями
50. Плоскость XY несет заряд с периодической по-
поверхностной плотностью а = gq cos (ах -{- by). Найти по-
потенциал ф электрического поля в неограниченном про-
пространстве.
51. Поверхностная плотность заряда декартовых
плоскостей XY, XZ и YZ имеет вид соответст-
соответственно о = во sin п[Х sin b\ij, о = во sin a2x sin b2y, a —
= Gosina3#sin b$zy где постоянные величины удовлетво-
удовлетворяют условию д/aj + Ь\ = ^ja\ + Ъ\ — л^а\ + Ь\ = Я.
Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке
пространства.
52. Пространство заполнено электрическим за-
зарядом с периодической объемной плотностью р =
= ро Sin Ux sin /2y sin l$z. Определить потенциал ф и на-
напряженность Е электрического поля в каждой точке про-
пространства.
53. Объемная плотность заряда полупространства
z <1 0 имеет периодическую структуру р = р,0 cos kr, где
постоянный вектор к образует с осью Z отличный от
нуля угол. Найти потенциал ф электрического поля в
каждой точке пространства.
54. Объемная плотность заряда неограниченной пла-
пластаны толщины 2а имеет периодическую структуру
р «а= р0 sin Ux sin l2y sin /3z, где jz| ^ а. Найти потенциал
<p электрического поля внутри и снаружи пластины.
55. В сферических координатах объемная плотность
заряда внутри шара радиуса R симметрична относи-
относительно оси Z и имеет вид р = р0 cos 0, где G — полярный
угол, а начало координат совпадает с центром шара.
Найти потенциал ф и напряженность Е электрического
поля во всем пространстве.
56. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равно-
равномерно по своей длине. Объемная плотность заряда
р & р0 cos г|), где tf> — полярный угол, а ось Z цилиндри-
цилиндрической системы координат совпадает с осью цилиндра.
Найти потенциал ф и напряженность Е электрического
поля внутри и снаружи цилиндра.
57. Заряд распределен по поверхности сферы радиу-
радиуса R с поверхностной плотностью a = во cos 8, где Э —
полярный угол сферической системы координат, начало
которой совпадает с центром сферы. Найти потенциал ф
28
и напряженность Е электрического поля внутри и сна*
ружи сферы.
58. Бесконечная цилиндрическая поверхность ра-
радиуса R заряжена с поверхностной плотностью а =>
s==aocos\|), где г|) — полярный угол цилиндрической си-
системы координат с осью Z, направленной вдоль оси сим-
симметрии поверхности. Найти потенциал ф и напряжен-
напряженность Е электрического поля внутри и снаружи цилин-
цилиндрической поверхности, которая поддерживается при
нулевом потенциале.
59. Объемная плотность заряда внутри шара радиуса
R задана р = аг, где а — постоянный вектор, а г—ра-
г—радиус-вектор, проведенный из центра шара. Найти напря-
напряженность Е электрического поля внутри и снаружи шара,
60. Объемная плотность заряда в сферических коор<
динатах описывается функцией
(cos 9) при
п+1
(Г) vtt+1
~-J Pn(cosB) при
где ро и R— постоянные, а Pn(cos6) — полином Лежан-
дра степени п>1. Найти потенциал ф электрического
поля в неограниченном пространстве.
61. Объемная плотность заряда в цилиндрических
координатах имеет вид
f г \
= PoD-jfJ cosm|> при
= ро^—J cosnty при
где ро и R — постоянные, а целое положительное число
п больше единицы. Найти потенциал <р электрического
поля в каждой точке пространства.
62. Потенциал фп бесконечной цилиндрической по-*
верхности радиуса R задан фп == фо cos m|), где ф,0 — по*
стоянная, п — целое число, \f> — полярный угол, а ось Z
совпадает с осью данной цилиндрической поверхности.
Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке
пространства, если внутри и снаружи цилиндрической
поверхности заряды отсутствуют. Определить распреде«
ление поверхностной плотности а заряда на цилиндри*
ческой поверхности.
63. Потенциал фп сферической поверхности радиуса
R задан Фп=Ф0[^/т(е, Ф)-К;т(9, *)"|t где У/т(9,г|))-
29
сферическая функция, а 8 и *ф— полярный и азимуталь-
азимутальный углы сферической системы координат, начало кото-
которой совпадает с центром сферы. Найти потенциал q>
электрического поля в каждой точке пространства в
предположении, что внутри и снаружи сферической по-
поверхности заряды отсутствуют. Определить распределе-
распределение поверхностной плотности о заряда на сферической
поверхности.
64. Определить потенциал ф электрического поля в
области 0 ^ х, ограниченной тремя плоскостями х = О,
у = О и у = Ъ. Предполагается, что плоскость х = О
имеет однородный потенциал ф0, а две другие плоскости
поддерживаются при нулевом потенциале. Внутри дан-
данной области заряды отсутствуют.
65. Определить потенциал ф электрического поля
внутри бесконечно длинной коробки прямоугольного се-
сечения @ ^ х ^ а, 0 ^ у ^ Ь) при следующих краевых
условиях: потенциал двух граней х = 0 и у — Ь одноро-
однороден и равен ф0, а потенциал двух других граней коровки
равен нулю. Внутри коробки зарядов нет.
66. Определить потенциал ф электрического поля
внутри полусферы радиуса R, если потенциал на ее по-
поверхности имеет постоянное значение ф0, а основание
полусферы поддерживается при нулевом потенциале.
Внутри полусферы заряды отсутствуют.
67. Неограниченная плоскость имеет выступ в виде
полусферы радиуса R. Потенциал полусферы однороден
и равен фо, а плоскость поддерживается при нулевом
потенциале. Определить потенциал ф электрического поля
в полупространстве над плоскостью с выступом, считая,
что в этом полупространстве заряды отсутствуют.
68. Одна половина сферической поверхности радиуса
R имеет постоянный потенциал фа, а другая — постоян-
постоянный потенциал щ. Найти потенциал ф электрического
поля снаружи сферы, где заряды отсутствуют.
69. Окружность радиуса R делит плоскость на две
области: внутреннюю и внешнюю. Внутренняя область
имеет однородный потенциал ф0, а внешняя поддержи-
поддерживается при нулевом потенциале. Используя разложение
по полиномам Лежандра, определить потенциал ф элек-
трическогоо поля в каждой точке полупространства над
указанной плоскостью. В рассматриваемой области за-
заряды отсутствуют.
30
70. Сферическая поверхность радиуса R состоит из
двух равномерно и разноименно заряженных полусфер,
поверхностная плотность заряда которых равна а и —а,
Ось Z совпадает с осью симметрии и направлена от от-
отрицательных зарядов к положительным. Найти потен-
потенциал ф электрического поля внутри и снаружи сфериче-
сферической поверхности.
71. Потенциал фп бесконечной цилиндрической по-
поверхности радиуса R имеет вид фп = фа при 0 < г|) < я
и Фп = фь при я <С я|) < 2я, где фа и фь — постоянные,
я|) — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндри-
цилиндрической поверхности. Найти потенциал ф в каждой точке
пространства в предположении, что внутри и снаружи
цилиндрической поверхности зарядов нет.
72. Поверхностная плотность заряда бесконечной ци-
цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид о = оа
при 0 «< г|) <С я и о — оь при я < ij) <С 2я, где оа и вь —
постоянные, г|) — полярный угол, а ось Z совпадает с
осью цилиндрической поверхности. Найти потенциал ф
электрического поля в каждой точке пространства.
73. Решить задачу 69 путем разложения искомого
потенциала ф в интеграл Фурье — Бесселя.
74. Тонкий диск радиуса R равномерно заряжен с
поверхностной плотностью о. Используя разложение в
интеграл Фурье — Бесселя, найти потенциал ф электри-
электрического поля в каждой точке пространства.
75. На поверхности тонкого диска радиуса R потен-
потенциал электрического поля имеет постоянное значение фо.
Используя разложение в интеграл Фурье—Бесселя, найти
потенциал ф в каждой точке пространства в предположе-
предположении, что вне диска заряды отсутствуют. Определить рас-
распределение поверхностной плотности а заряда на диске.
§ 6. Плотность заряда тел разной конфигурации
76. Потенциал ф электрического поля в цилиндриче-
цилиндрических координатах имеет вид
Ф = аC/? — 2r)rcosi|) при г</?,
Ф = -^у-со8'ф при r^R,
где а и 7?—-постоянные. Найти распределение объемной
плотности р заряда, создавшего это электрическое поле
(обратная задача электростатики).
31
77. Найти распределение объемной плотности р за-
заряда, создавшего в пространстве электрическое поле,
потенциал ср которого в сферических координатах имеет
вид
2е
ф = — При
где е и R — постоянные^ Чему равен полный заряд Q?
78. Потенциал <р электрического поля в сферических
координатах имеет вид ф = Q/R при г ^ R и ф = Q/r
при r^zR, где Q и R — постоянные. Найти распределе-
распределение заряда, создавшего это электрическое поле.
79. Потенциал ф электрического поля в цилиндриче-
цилиндрических координатах имеет вид <р = 0 при г ^ R и
г>
qp=gin— при г ^ R, где q и R — постоянные. Найти
распределение заряда, создавшего это электрическое поле,
80. Используя свойства 6-функции, найти распреде-
распределение объемной плотности р заряда в декартовых, ци-
цилиндрических и сферических координатах при наличии
в пространстве следующих однородно заряженных си-
систем: а) сферической поверхности радиуса R, заряжен-
заряженной с поверхностной плотностью о» (центр сферы совпа-
совпадает с началом координат); б) тонкого кольца радиусом
R, заряженного с линейной плотностью q (кольцо рас-
расположено в плоскости XY, а его центр совпадает с нача-*
лом координат); в) бесконечной нити, совпадающей с
осью Z и заряженной с линейной плотностью q\ г) пло-
плоскости XY, заряженной с поверхностной плотностью а;
д) бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R,
заряженной с поверхностной плотностью а (ось симмет-
симметрии совпадает с осью Z).
81. Используя свойства 6-функции, а также функции
при а > 0,
I при а < 0,
найти распределение объемной плотности р заряда в де-
декартовых, цилиндрических и сферических координатах
при наличии в пространстве следующих однородных за-
заряженных систем: а) полусферы радиуса R> заряженной
С поверхностной плотностью а (начало координат совпа-
совпадает с центром кривизны, а ось Z направлена в сторону
выпуклости полусферы); б) полуокружности радиуса
32
#, лежащей в первой и второй четвертях плоскости XY
и заряженной с линейной плотностью q (центр кривизны
полуокружности совпадает с началом координат, а ее
диаметр лежит на оси X); в) тонкого стержня длины /,
лежащего на положительной части оси Z и заряженного
с линейной плотностью q (один конец стержня нахо-
находится в начале координат); г) тонкого диска радиуса R,
лежащего в плоскости XY и заряженного с поверхност-
поверхностной плотностью а (центр диска совпадает с началом
координат); д) цилиндрической поверхности радиуса R
и высоты /г, заряженной с поверхностной плотностью а
(основание цилиндрической поверхности касается пло-
плоскости XY, а ее ось симметрии совпадает с осью Z).
82. Равномерно заряженный с линейной плотностью q
эллипс с полуосями а и b лежит в плоскости XY. Центр
эллипса совпадает с началом координат, а большая по-
полуось а находится на оси X. Определить распределение
объемной плотности р заряда в декартовых координатах.
83. Эллиптическая поверхность вращения с полуося-
полуосями а и & равномерно заряжена с поверхностной плотно-
плотностью <т. Центр эллиптической поверхности совпадает с
началом декартовой системы координат, а полуось b
лежит на оси Z, являющейся осью аксиальной симмет-
симметрии. Найти распределение объемной плотности р заряда
в декартовых координатах.
84. Распределение объемной плотности заряда в
пространстве в сферических координатах описы-
описывается при помощи б-функции следующим образом:
р = —2~ б A — cos2 9), где а — постоянная. Определить
форму заряженного тела и характер распределения за-
заряда на нем.
85. Определить вид заряженного тела и характер рас-
распределения заряда на нем, если объемная плотность
заряда в пространстве описывается следующей функ-
функцией декартовых координат: а) р = 2асхб {х2 — а2), где
а и а — постоянные; б) р = 2ад6 (х2 — а2) б (г), где а и q —
постоянные; в) р = 2# л/а2 + Ь26{х2 — 2ах — 2by-\-y2N(z),
где а, b и q — постоянные; г) р = ~~б (|т + fr — 1J б(^),
где а, b и Q — постоянные; д) 9 = -^^ ^{^т + jr +
+ j2— 1 )» где #i Ь% с и Q — постоянные.
2 А И Алексеев 33
§ 7. Дипольный момент
86. Доказать, что дипольный момент заряженной си-
системы не зависит ог выбора начала координат, если
полный заряд системы равен нулю.
87. Коническая поверхность с образующей / и ра-
радиуса основания R равномерно заряжена с поверхност-
поверхностной плотностью о. Вершина конической поверхности на-
находится в начале координат, а высота лежит на положи-
положительной части оси Z. Найти распределение объемной
плотности р заряда в пространстве в сферических коор-
координатах. Используя полученное выражение, вычислить
дипольный момент d.
88. Равномерно заряженный с линейной плотностью
q тонкий стержень длины / лежит в первой четверти пло-
плоскости XY, образуя с осью X угол \jH. Один из концов
стержня совпадает с началом координат. Найти распре-
распределение объемной плотности р заряда в пространстве в
цилиндрических координатах. Используя полученное вы-
выражение, вычислить дипольный момент d.
89. Выразить через б-функцию распределение объем-
объемной плотности р заряда точечного диполя с моментом d,
находящегося в точке с радиус-вектором г0.
90. Используя предельный переход
lim e\ = A
и выражение для потенциала зарядов е и —е, находя-
находящихся в точках с радиус-векторами г+ = г0 + 1иг_= г0,
определить потенциал ф электрического поля точечного
диполя с моментом d.
91. Убедиться в том, что напряженность Е электри-
электрического поля диполя с моментом d, находящегося в на-
начале координат, можно представить в виде
Е = (d grad) grad I/r.
92. Диполь с моментом d расположен в начале коор->
динат, а центр шара радиуса R находится в точке с ра-
радиус-вектором г (г>/?). Заряд Q однородно заполняет
объем шара. Найти энергию U взаимодействия диполя
с шаром, а также силу F, приложенную к шару.
93. Объем шара радиуса R заполнен зарядом с объ*
емной плотностью р = аг2, где а — постоянная, а г — рас-
расстояние до начала координат, расположенного в центр$
34
шара. В точке с радиус-вектором г,0 находится диполь
с моментом d. Определить силу F и момент N сил, при-
приложенные к диполю в двух случаях: a) ro>i?; б) ro<zR-
94. Диполь с моментом di расположен с начале ко-
координат, а другой диполь с моментом d2 находится в
точке с радиус-вектором г. Определить силу F и момент
N сил, приложенные к каждому диполю.
95. Распределение объемной плотности заряда в про-
пространстве имеет вид p(r) = (aVN(r), где а — постоян-
постоянный вектор. Пользуясь общим решением уравнения
Пуассона, найти потенциал электрического поля в каж-
каждой точке пространства. По виду полученного потен-
потенциала определить физический смысл вектора а.
96. В каждой точке пространства задан электриче-
электрический дипольный момент Р = Р(г) единицы объема. Век-
Векторная функция Р(г) убывает на бесконечности быстрее,
чем 1/г2. Доказать, что заданное распределение плотно-
плотности дипольного момента Р создает в каждой точке про-
пространства такое же электрическое поле, как и заряд,
распределенный с объемной плотностью р(г) =
= — divP(r).
§ 8. Тензор квадрупольного момента
97. Доказать, что тензор квадрупольно! о момсыа
системы зарядов не зависит от выбора начала коорди-
координат, если полный заряд и дипольный момент системы
равны нулю.
98. В сферических координатах средняя плотность
заряда электронного облака возбужденного атома во-
водорода описывается функцией
1 ^ 2г
9 4-38 па7 е 5Ш U'
где а — боровский радиус, а г — расстояние до протона,
имеющего заряд е. Определить тензор Da$ квадруполь-
квадрупольного момента атома. Чему равен дипольный момент d?
99. Начало декартовой системы координат совпадает
с центром кривизны полусферы радиуса R, а ось Z на-
направлена вдоль оси симметрии в сторону выпуклости
поверхности. Определить компоненты дипольного da и
тензора Da$ квадрупольного моментов, если заряд Q
равномерно распределен по: а) объему полусферы;
2* 35
б) поверхности полусферы; в) поверхности и основанию
полусферы.
100. Окружность состоит из двух равномерно и раз-
разноименно заряженных полуокружностей. Определить
компоненты тензора квадрупольного момента.
101. Равномерно заряженная по поверхности полу-
полусфера радиуса R имеет заряд Q и возвышается над пло-
скостью XY. Основание полусферы касается осей X и У
в точках с положительными координатами. Определить
компоненты тензора Da$ квадруполького момента.
102. Однородно заряженная полуокружность имеет
заряд Q и лежит в первой четверти плоскости XY. Один
конец полуокружности находится в начале координат, а
другой — в точке х = 2R оси X. Определить компоненты
тензора Da$ квадрупольного момента.
103. Центр эллипса с полуосями а и b совпадает с
началом декартовой системы координат. Большая по-
полуось а лежит на оси X, а малая — на оси У. Линейная
плотность q заряда на эллипсе однородна. Считая
эксцентриситет е эллипса малым (е< 1), определить
компоненты тензора Da$ квадрупольного момента с
точностью до членов порядка е2.
104. Центр однородно заряженной с поверхностной
плотностью а эллиптической поверхности вращения с по-
полуосями а и b совпадает с началом декартовой системы
координат. Полуось b лежит на оси Z, являющейся осью
вращения. Эксцентриситет е эллипса с полуосями а и b
значительно меньше единицы (е<1). Сохраняя члены
с наименьшей степенью параметра е, определить компо-
компоненты тензора Da$ квадрупольного момента.
105. В вершинах квадрата со стороной 2а располо-
расположены точечные заряды так, что знак заряда е меняется
на противоположный при переходе к соседней вер-
вершине. ИСПОЛЬЗУЯ Общую формулу ?>а|3= S ет(ЗХтаХт2~
~"гт^аз)> на^1ТИ тензоры квадруполького момента в де-
декартовых системах координат XYZ и X'Y'Z', повернутых
около общей оси Z = Z' (рис. 1). Определить матрицу
поворота аар и убедиться непосредственным вычисле-
вычислением, что найденные тензоры Da$ и Die удовлетворяют
соотношению Da$==aaaa3YDaY, где штрихом отмечены
компоненты тензора квадрупольного момента в штрихов
ванной системе координат,
зз
У
106. Два одинаковых точечных диполя находятся на
оси X на равном расстоянии а от начала координат.
В точке с отрицательной координатой дипольныи момент
d антипараллелен оси X, а другой дипольныи момент в
плоскости XY образует с осью X угол а. Определить
компоненты дипольного da и тензора Da$ квадруполь-
квадрупольного моментов системы.
107. Определить компоненты тензора Da$ квадру-
квадрупольного момента однородно заряженного эллипсоида
вращения с полуосями а и Ь. Центр эллипсоида враще-
вращения совпадает с началом декартовой системы координат,
а полуось Ь лежит на оси Z,
являющейся осью аксиаль-
аксиальной симметрии. Полный за-
заряд равен Q. Какой вид
примет тензор квадруполь-
квадрупольного момента, если данный
эллипсоид повернуть вокруг
оси У на угол а по часовой
стрелке?
108. Начало декартовой
системы координат совпа-
совпадает с центром однородно
заряженного эллипсоида с
полуосями а, Ь и с. Полу-
Полуось с совпадает с осью Z, а
полуось а составляет с осью
X угол а. Полный заряд эллипсоида равен Q. Най-
Найти компоненты тензора Da$ квадрупольного мо-
момента.
109. Центр окружности радиуса R совпадает с нача-
началом координат. Один диаметр окружности лежит на оси
X, а другой диаметр, перпендикулярный первому, со-
составляет угол а с осью У и находится в первой и третьей
четвертях плоскости YZ. Линейная плотность заряда на
окружности однородна, а полный заряд равен Q. Опре-
Определить компоненты тензора Da$ квадрупольного момента
в декартовой системе координат XYZ.
110. Заряженная система характеризуется тензо-
тензором Da$ квадрупольного момента. Найти напряжен-
напряженность Е электрического поля в декартовых коорди-
координатах.
111. Найти потенциал ф электрического поля в том
случае, когда распределение объемной плотности заряда
37
X'
Рис
в пространстве имеет вид
где аа§ — произвольный постоянный тензор. Исследуя
выражение, полученное для потенциала, определить фи-
физический смысл тензора аа$.
112. Выразить компоненты дипольного da и тензора
Da$ квдраупольного моментов заряженной системы через
соответствующие компоненты мультипольных моментов
где р — объемная плотность заряда, а У/ш(9, \|з) — сфе-
сферическая функция.
113. Потенциал ф(г) внешнего электрического поля
незначительно меняется на протяжении размеров заря-
находится в точке х — 0 между положительными); б) три
заряда е> е и —е9 расположенных в плоскости XY в вер-
вершинах равностороннего треугольника со стороной а и
центром в начале декартовой системы координат (отри-
(отрицательный заряд находится на положительной части
оси Х)\ в) квадруполь, изображенный на рис. 2; г) одно-
однородно заряженный эллипсоид с полуосями а, Ъ и с, центр
которого расположен в начале декартовой системы коор-
координат (полный заряд эллипсоида Q).
114. Потенциал ср(г) внешнего электрического поля
мало меняется на протяжении равномерно заряженного
38
женнои системы. Прини-
Принимая во внимание полный
заряд, а также диполь-
ный и квадрупольный мо-
моменты, определить потен-
потенциальную энергию U за-
заряженной системы в за-
заданном внешнем поле, ес-
если указанная заряженная
система представляет со-
собой: а) три заряда е, е и
—2е, расположенных на
оси X на одинаковом рас-
расстоянии а друг от друга
(отрицательный заряд
тонкого диска эллиптической формы с полуосями а и Ь.
Полный заряд диска равен Q, а полуоси а и Ь лежат
соответственно на осях X и У декартовой системы коор-
координат. Найти электростатическую энергию U диска во
внешнем поле с учетом квадрупольного момента. Чему
равна сила F, приложенная к диску?
115. Напряженность Е=Е(г) внешнего электриче-
электрического поля мало меняется на протяжении области про-
пространства, где расположен заряд с объемной плотностью
р = р(г), Разлагая Е(г) в ряд Тейлора во внутренней
точке заряженной области и пренебрегая старшими
производными, выразить силу F=\pEdV, приложен-
приложенную к заряженной системе, через ее полный заряд Q,
дипольный момент d и тензор Da§ квадрупольного мо-
момента.
116. Заряд с объемной плотностью р = р(г) сосре-
сосредоточен в ограниченной области пространства. Напря-
Напряженность Е = Е(г) внешнего электрического поля мало
меняется внутри указанной области. Разлагая Е(г) в
ряд Тейлора и пренебрегая старшими производными, вы-
выразить момент N = \(rXE)pdV сил, приложенный к
заряженной системе, через ее дипольный момент d и
тензор Da$ квадрупольиого момента.
117. В сферических координатах средняя плотность
заряда электронного облака возбужденного атома водо-
водорода задана
2 ег2 (а г У ~ 2 а
р =—кг—г F I e 3a cos2 8,
^ З8 па5 \ а ) 9
где a — боровский радиус, а г — расстояние до протона,
имеющего заряд е. Напряженность Е внешнего электри-
электрического поля как функция координат меняется в прост-
пространстве незначительно. Определить силу F и момент N
сил, приложенные к атому с учетом его квадрупольного
момента.
118. Однородно заряженный с линейной плотностью
q тонкий стержень длины 2/ лежит в плоскости XYy об-
образуя с осью X угол г|H. Середина стержня находится в
начале координат. На оси X на большом расстоянии от
стержня расположен точечный заряд е. Определить мо-
момент N сил, приложенный к стержню относительно его
середины.
39
§ 9. Поле на больших расстояниях
от заряженной системы
119. Начало декартовой системы координат совпа-
совпадает с центром равномерно заряженного тела вращения,
а ось Z направлена по оси симметрии высшего порядка.
Найти квадрупольный член в разложении потенциала ф
электрического поля на больших расстояниях, если ука-
указанным телом является: а) тонкое кольцо радиуса /?,
заряженное с линейной плотностью q\ б) цилиндр ра-
радиуса R и высоты 2/г, заряженный с объемной плотно-
плотностью р; в) цилиндрическая поверхность радиуса R и
высоты 2/г, заряженная с поверхностной плотностью о;
г) отрезок длины 2/, за-
А ряженный с линейной
плотностью q«
120. Найти потенциал
Ф электрического поля на
больших расстояниях с
точностью до квадру-
польного члена для сле-
следующей системы точечных
зарядов: а) трех зарядов
Рис 3. е, е и — 2е, расположен-
расположенных на оси Z на одинако-
одинаковом расстоянии а друг от друга (отрицательный заряд
находится в точке z = 0 между положительными);
б) трех зарядов е, е и —е, расположенных в плоскости
XY в вершинах равностороннего треугольника со сторо-
стороной а и центром в начале декартовой системы координат
(отрицательный заряд находится на положительной ча-
части оси У); в) квадруполя, изображенного на рис. 3.
121. Найти потенциал ф электрического поля на боль-
больших расстояниях от двух одинаковых антипараллельных
точечных диполей, расположенных на оси X на равном
расстоянии а от начала координат. В точке с положи-
положительной координатой х = а дипольный момент парал-
параллелен оси Z и равен d. Вычисления провести двумя
способами: а) сначала вычислить тензор Da$ квадру-
польного момента системы, а затем определить его элек-
электрическое поле; б) найти электрическое поле системы
как суперпозицию полей отдельных диполей.
122. Два одинаковых однородно заряженных стержня
длины I лежат в плоскости XY и образуют угол,
40
ный фо. Вершина угла совпадает с началом координат,
а одна из его сторон направлена по оси X. Какова долж-
должна быть величина угла i|H, чтобы в точке xG оси X на
большом расстоянии от заряженных стержней диполь-
ный потенциал равнялся квадрупольному?
123. Окружность радиуса R состоит из двух равно^
мерно и разноименно заряженных полуокружностей, ко-*
торые лежат в первой четверти плоскости XY. Отрица-
Отрицательно заряженная полуокружность с зарядом —Q
касается осей X и У, а диаметр, разделяющий разно-
разноименные заряды, параллелен оси X. Найти потенциал ср
электрического поля на больших расстояниях с точно-
точностью до квадрупольного члена.
124. Равномерно заряженный по объему цилиндр
радиуса R и высоты 2h имеет заряд Q. Ось Z совпадает
с образующей цилиндра, а ось X направлена по диаме-
диаметру его основания. Найти потенциал ф электрического
поля на больших расстояниях от цилиндра с точностью
до квадрупольного члена.
125. Принимая во внимание полный заряд и квадру-
польный момент, найти потенциал <р электрического поля
на больших расстояниях от заряженной системы, если
распределение объемной плотности заряда выражается
следующей функцией декартовых координат:
&E6
стоянные;
^6(i1 + 1) где а>
Q — постоянные;
Q — постоянные.
126. Полусфера радиуса R равномерно заряжена с
поверхностной плотностью а. Используя разложение
функции -|—__ ,. по сферическим функциям У/т(Э, if),
представить потенциал ф электрического поля снаружи
полусферы в виде разложения по мультипольным мо-
моментам
127. Окружность радиуса R состоит из двух равно-
равномерно и разноименно заряженных полуокружностей с
зарядами Q и —Q. Начало координат совпадает с
41
центром окружности, ось У направлена от отрицательных
зарядов к положительным, а ось X разделяет эти заряды
между собой. На большом расстоянии z ^$> R от окруж-
окружности на ее оси находится диполь с моментом d, который
параллелен оси Z. Определить силу F и момент N сил,
приложенные к диполю.
128. Заряд Q однородно заполняет объем эллипсоида
с полуосями а, Ъ и с. Начало декартовой системы коор-
координат совпадает с центром эллипсоида, а полуоси a, b
и с лежат соответственно на осях Х> Y и Z. В точке с ра-
радиус-вектором г на большом расстоянии от эллипсоида
расположен диполь с моментом d. Найти электростати*
ческую энергию U взаимодействия диполя с эллипсоидом
с учетом диполь-квадрупольного члена.
129. Однородно заряженная полуокружность радиуса
R имеет заряд Q. Центр кривизны полуокружности
совпадает с началом координат, а ее диаметр лежит на
оси X. Ось У направлена в сюрону полуокружности. При-
Принимая во внимание заряд Q, а также дипольный и квад-
рупольный момепты, найти силу F, приложенную к за-
заряду е, находящемуся на оси Z на большом расстоянии
от полуокружности.
130. Заряд е находится в точке с радиус-вектором г
на большом расстоянии от однородно заряженного эл-
эллипсоида с полуосями a, b к с, которые направлены со-
соответственно по осям Ху У и Z декартовой системы коор-
координат. Полный заряд эллипсоида равен Q. Принимая во
внимание квадрупольный момент, найти отклонение AF
от закона Кулона для силы F, приложенной к заряду е.
131. Два возбужденных атома воодорода располо-
расположены на оси Z на большом расстоянии L друг от друга
{L^> а, где а — боровский радиус). В сферических ко-
координатах средние плотности pi и р2 зарядов электрон-
электронных облаков этих атомов равны соответственно
1 егк 2Г{
Pl = —-——\-е Ъа sin29cos29,
где е — заряд протона, а г\ и г2 — расстояния от точки
наблюдения до центра первого и второго атома. Опре-
Определить энергию U квадруполь-квадрупольного взаимо-
взаимодействия атомов.
42
§ 10. Двойной электрический слой
132. Однородный двойной электрический слой имеет
форму диска радиуса R, расположенного в плоскости
XY. Центр диска совпадает с началом координат, а
плотность дипольного момента т параллельна оси Z.
Найти потенциал ф и напряженность Е электрического
поля на оси Z.
133. Однородный двойной электрический слой имеет
форму полусферы радиуса R с центром кривизны в на-
начале декартовой системы координат и осью симметрии,
совпадающей с осью Z. Последняя обращена в сторону
выпуклости полусферы. Плотность дипольного момента
на полусфере направлена по радиусу наружу. Найти по-
потенциал ф электрического поля на оси Z.
134. Двойной электрический слой в форме полупло-
полуплоскости (у = 0, х ^ 0) имеет плотность дипольного мо-
момента т. Определить потенциал ф и напряженность Е
электрического поля в каждой точке пространства, если
постоянный вектор т параллелен оси У декартовой си-
системы координат.
135. Плоскость однородного двойного электрического
слоя имеет круглое отверстие радиуса R. Начало декар-
декартовой системы координат совпадает с центром отверстия,
а ось Z параллельна плотности дипольного момента т.
Найти силу F, приложенную к точечному заряду е, на-
находящемуся на оси Z.
136. Однородный двойной электрический слой имеет
форму плоскости с выступом в виде полусферы. Плот-
Плотность дипольного момента т в каждой точке составной
поверхности параллельна ее нормали и направлена в по-
полупространство, в которое вдается выступ. Найти потен-
потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
137. Доказать, что напряженность Е электрического
поля однородного двойного слоя имеет вид Е(г) =
= тФ—, пД > где т — модуль вектора т плотности
J I г — г |
L
дипольного момента двойного электрического слоя, а
dY— элемент замкнутого контура L, на который натя-
натянут двойной электрический слой, г и г'— радиус-векторы
соответственно точки наблюдения и точки нахождения
элемента dY. Обход контура интегрирования L согласо-
согласован с направлением вектора t правилом правого винта.
Глава II
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Вектор Н напряженности магнитного поля в вакууме
определяется по силе
dF = ±(dlXn), (ПЛ)
действующей на элемент d\ контура, по которому
течет ток /. Здесь с — электродинамическая постоян-
постоянная, численно равная скорости света в вакууме, с =з
= 3-1010 см/сек.
Постоянное магнитное поле в вакууме создается по-
постоянными токами. Распределение токов в пространстве
характеризуется объемной плотностью j(r), а на поверх-
поверхности— поверхностной плотностью i(r). Кроме того, в
пространстве может быть задан линейный ток /, теку-
текущий внутри очень тонкой и длинной трубки.
Напряженность постоянного магнитного поля удов*
летворяет уравнениям Максвелла
rotH=^-j, (II. 2)
divH = 0. (II. 3)
Если токи текут в конечной области, то напряжен-
напряженность постоянного магнитного поля на больших расстоя-
ниях г от тока убывает не медленнее, чем 1/г3. Это
утверждение служит дополнительным условием к уравне-
уравнениям Максвелла (II. 2) и (П.З) при отыскании Н в не-
неограниченном пространстве.
На поверхности, по которой распределен ток с по-
поверхностной плотностью i, нормальная Нп = Нп и тан*
генциальная Нх = Нт составляющие напряженности
44
магнитного поля удовлетворяют соотношениям
Я2„-Я1п = 0, (II. 4)
Я2г-Я,, = ^ЧУ, (И-5)
где iN = iN, а единичные векторы п, т и N образуют
правовинтовую тройку nXt=N. Индексы 1 и 2 отме-
отмечают напряженность магнитного поля в первой и второй
областях, лежащих по разные стороны токовой поверх-
поверхности. Вектор п нормали этой поверхности направлен из
первой области во вторую. Формулу (II. 5) часто запи-
записывают в векторном виде
Соотношения (II. 4) и (II. 5) являются граничными
условиями в магнитостатике.
Используя свойства б-функции, поверхностное рас-
распределение тока с плотностью i(r) можно учесть в объ-
объемной плотности j(r), которая будет сингулярной функ-
функцией, обращающейся в бесконечность в точках токовой
поверхности. В этом случае при решении уравнений Мак-
Максвелла (II. 2) и (II. 3) с полученной таким способом син-
сингулярной функцией j(r) граничные условия (П. 4) и
(П. 5) не потребуются.
Магнитное поле линейного тока / определяется при
помощи закона Био и Савара
rfH(r)^7^rX_(rr-r/), (И. 6)
где г и т'—радиус-векторы точки наблюдения и точки
расположения элемента тока / dY. Согласно принципу
суперпозиции полное магнитное поле равно сумме по-
полей, созданных каждым элементом тока в отдельности,
Когда распределение тока обладает аксиальной сим-
симметрией или симметрией относительно плоскости, тогда
для нахождения Н полезно воспользоваться теоремой
о циркуляции напряженности магнитного поля
Hdl = ~-J9 (II. 8)
L
45
где / — алгебраическая сумма токов, охватываемых
замкнутым контуром L. В общем случае ток / слагается
из объемных, поверхностных и линейных токов, которые
пронизывают произвольную поверхность, натянутую на
контур интегрирования L.
С математической стороны удобно от двух уравнений
(II. 2) и (II. 3) первого порядка перейти к одному экви-
эквивалентному уравнению второго порядка для векторного
потенциала А, который определяется соотношением
H = rotA. (И. 9)
Векторный потенциал определен неоднозначно, так
как напряженность магнитного поля не меняется, если
перейти к другому векторному потенциалу А' при по-
помощи преобразования калибровки
A1.10)
где f = f(r) — произвольная функция.
Чтобы ограничить произвол в выборе векторного по-
потенциала, накладывают дополнительное условие Лоренца
divA = 0. A1.11)
В этом случае векторный потенциал магнитного поля
удовлетворяет уравнению Пуассона
V2A = --?¦]. A1.12)
На поверхности раздела двух областей выполняются
граничные условия
дп on с ч '
А1 — А2. A1.14)
Решение уравнения (II. 12) является непрерывной
функцией в каждой точке пространства, в которой текут
объемные и поверхностные токи с ограниченной плот-
плотностью. Граничное условие на линейном контуре, по ко-
которому течет ток /, записывается при г—>0 в виде
А = т( — In—(- const J , где г — кратчайшее расстояние
от точки наблюдения до рассматриваемого контура, а
т — вектор, касательный к контуру, указывающий на-
направление тока. Если токи сосредоточены в конечной
области, то векторный потенциал на больших расстоя-
46
ниях г от тока убывает, как 1/г2 или быстрее. Эти заме-
замечания следует использовать совместно с граничными ус-
условиями (II. 13) и (II. 14) при отыскании решения урав-
уравнения Пуассона A1.12). По найденному таким образом
векторному потенциалу определяют напряженность маг-
магнитного поля путем дифференцирования (П. 9).
С другой стороны, если напряженность Н магнитного
поля известна (например, получена из теоремы (II. 8)),
то векторный потенциал А легко найти из соотношения
(II. 9), рассматриваемого как дифференциальное урав-
уравнение относительно искомой функции А.
Векторный потенциал и напряженность магнитного
поля объемных токов могут быть записаны в виде объ-
объемных интегралов
Н(г)=1\ "Г?Х(Г,~Г') dV.
w с J | г — г |3
|3
Если объемный интеграл сходится, то векторный по-
потенциал (II. 15) является общим решением уравнения
Пуассона A1.12), удовлетворяющим граничным усло-
условиям (II. 13) и (II. 14) на поверхности раздела токов и
вакуума. Иногда интеграл (II. 15) расходится или его
не удается вычислить аналитически, тогда векторный
потенциал магнитного поля находят путем решения урав-
уравнения Пуассона (II. 12) с учетом граничных условий
A1.13) и A1.14).
В случае линейного тока величины А и Н получаются
из выражений (II. 15) и (II. 16) путем замены
которая преобразует объемные интегралы (II. 15) и
(II. 16) в криволинейные интегралы по оси весьма тон-
тонкой трубки с линейным током /. Элемент dV оси этой
трубки направлен в сторону течения тока /. После пе-
перехода в выражении (II. 16) к криволинейному интег-
интегралу получаем формулу (П. 7). В связи с этим выраже-
выражение (II. 16) также называют законом Био и Савара.
Аналогично, для поверхностных токов в интегралах
A1.15) и A1.16) следует сделать замену H
i(')dS'
47
На больших расстояниях г от ограниченной области,
в которой текут замкнутые токи, векторный потенциал
и напряженность магнитного поля принимают вид
А = ?*!., (Ц.18)
- -?-, (И- 19)
где jut — магнитный момент замкнутых токов. В случае
объемных токов
4\ (И-20)
Для замкнутых линейных токов последнее выраже-
выражение преобразуется к виду
^=~, (И.21)
где
J (II.22)
Этот интеграл берется по произвольной поверхности, на-
натянутой на контур токовой трубки, по которой течет ли-
линейный ток /. Модуль вектора S равен площади, наи-
наименьшей из поверхностей интегрирования. Если контур
токовой трубки лежит в плоскости, то направление S
связано с направлением тока / в трубке правилом пра-
правого винта.
Энергия магнитного поля
W = -i-\H2dV. (II.23)
В случае объемных токов, текущих в ограниченной обла-
области пространства, магнитную энергию A1.23) токов мож-
можно также вычислять по формуле
W =
Магнитная энергия взаимодействия токов, текущих
с объемными плотностями ji и j2, определяется следую-
следующим образом:
j\ УЛУ dvdv'*
4а
Сила F, приложенная к объемному току во внешнем
магнитном поле с напряженностью Н, имеет вид
IXH)rfV, A1.26)
а магнитная энергия W взаимодействия указанного тока
с внешним магнитным полем выражается через вектор-
векторный потенциал А этого поля
W = —
Если напряженность Н внешнего магнитного поля
мало меняется на протяжении области пространства, где
текут замкнутые токи, то магнитная энергия взаимодей-
взаимодействия этих токов с внешним полем выражается через
магнитный момент jli замкнутых токов
В этом случае сила F и момент N сил, приложенные
к токам во внешнем магнитном поле, записываются в
виде
F = (u grad) H = grad (uH), (II. 29)
N = jiXH. A1.30)
Формулы A1.29) и A1.30) аналогичны соответствую-
соответствующим формулам A.36) и A.37) электростатики, в кото-
которой выражение —dE представляет собой потенциальную
энергию дипольного момента d во внешнем электриче-
электрическом поле с напряженностью Е. Физическая величина
fiH в магнитостатике не является потенциальной энер-
энергией. В связи с этим иногда вводят в рассмотрение так
называемую потенциальную функцию U = —juH, кото-
которая позволяет представить силу, приложенную к магнит-
магнитному моменту во внешнем магнитном поле, в обычной
форме F = —grad U. В механике применительно к час-
частице с магнитным моментом \х величина —\\№ называется
энергией магнитного момента |ш во внешнем магнитном
поле с напряженностью Н.
Суммарную объемную силу A1.26) можно заменить
системой поверхностных сил, приложенных к поверхно-
поверхности объема 1/, внутри которого текут токи с объемной
плотностью j,
49
Здесь п — орт внешней нормали замкнутой поверхности
S, ограничивающей объем 1/, а Та$ — максвелловский
тензор натяжений
И4 (П-32)
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия
в магнитостатике
138. Можно ли подобрать такое распределение элек-
электрического тока снаружи полой области, чтобы внутри
нее напряженность магнитного поля имела вид:
а) Н = Но; б) Н = b{z\x-\- х\у + ylz), где Ь — постояв
ная; в) Н = ^5 Г ^г. гДе вектор \х не зависит от
координат и времени, а точка с радиус-вектором г = О
находится вне полой области?
139. Можно ли создать в пространстве постоянный
электрический ток с объемной плотностью j = jo?~ar, где
а — положительная постоянная, а объемная плотность
заряда не зависит от времени?
140. Определить распределение объемной плотности
j тока в пространстве, если напряженность Н магнитного
поля этого тока имеет вид: а) Н = f(r) (аХг)> гДе век"
тор а не зависит от координат и времени, а f(r) — произ-
произвольная дифференцируемая функция; б) Н = (аг)(Ь X г),
где векторы а и b параллельны и не зависят от коор-
координат и времени; в) Н = Нг\г + #е10 + Я^Ц, где компо-
компоненты вектора Н в сферических координатах
= 0 при r</?,
Яф = 0 при r>#;
г) Н = Hr\r + Н^Ц + Я212, где компоненты вектора Н
в цилиндрических координатах
Яг = 0, H^ = gr, H2 = b{R2-r2) при г<#,
при
Здесь a, b, g и R — постоянные.
50
141. Вычисляя ротор и дивергенцию напряженности
Н магнитного поля, необходимо убедиться в том, что
в случае магнитостатики выражение
удовлетворяет уравнениям Максвелла. Здесь j(r') —
объемная плотность постоянного тока в точке с радиус-
вектором г', а с — скорость света в вакууме.
142. Непосредственным вычислением убедиться в том,
что в случае постоянного однородного магнитного поля
с напряженностью Н векторный потенциал А, удовлет-
удовлетворяющий условию Лоренца, можно записать в виде
А = 2" (Н X г), где г — радиус-вектор произвольной точ-
точки наблюдения.
143. Считая объемную плотность тока j = j(r) и ее
первые производные непрерывными функциями в каж-
каждой точке рассматриваемой области (поверхностные и
линейные токи отсутствуют), доказать, что нормальная
составляющая вектора j на граничной с вакуумом по-
поверхности обращается в нуль.
144. Постоянный ток течет с объемной плотностью
j ===== j (г) в конечном объеме, который граничит с ва-
вакуумом. Функция j(r) непрерывна внутри данного объ-
объема, включая точки граничной поверхности. Доказать,
что J
145. Доказать, что общее решение уравнения Пуас-
Пуассона в магнитостатике
удовлетворяет условию Лоренца, если токи текут в ог-
ограниченной области или убывают на больших расстоя-
расстояниях от точки наблюдения не медленнее, чем 1/(г — г'J.
146. При каком условии энергию магнитного поля
W =-g^- \ Н2 dV можно представить в виде W ===
= —\ jAdV, где А — векторный потенциал магнитного
поля тока, текущего с объемной плотностью j?
147. Электрический ток с объемной плотностью j ==
= j(r) течет в ограниченной области пространства.
51
Доказать, что вид формулы W = -7^\}\dV для магнит-
магнитной энергии тока не изменится, если от векторного потен-
потенциала А перейти к новому векторному потенциалу
A' = A + grad/, где / = /(г) — произвольная функция
148. Определить распределение поверхностной плот-
плотности тока, если напряженность Н однородного магнит-
магнитного поля, созданного этим током, имеет вид: а) вектор
Н параллелен оси У в области между плоскостями х = а
и х — Ъ (а < Ь) и равен нулю вне этой области; б) век-
вектор Н параллелей оси У в полупространстве х<а, анти-
параллелен оси У в полупространстве х > b (a <C b) и
равен нулю между плоскостями х = а и х = Ь\ в) вектор
Н внутри цилиндрической поверхности параллелен ее
оси и равен нулю снаружи.
149. Используя декартовые, цилиндрические или сфе-
сферические координаты и свойства б-функции, найти рас-
распределение объемной плотности j тока в пространстве
для следующих случаев: а) по цилиндрической поверх-
поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный
ток с поверхностной плотностью 10; б) по оси Z в поло-
положительном направлении течет линейный ток /; в) ток
с поверхностной плотностью i0 течет в плоскости А" У;
г) в плоскости XY по бесконечно тонкому кольцу ра-
радиуса R течет линейный ток /, образуя правовинтову.о
систему с осью Z, которая проходит через центр кольца;
д) равномерно заряженная с поверхностной плотностгЛо
су сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг
своего диаметра с угловой скоростью ш, направленной
вдоль оси Z; е) равномерно заряженная с поверхностной
плотностью а поверхность кругового конуса с вершиной
в начале координат вращается вокруг своей оси симмет-
симметрии с угловой скоростью со, направленной вдоль оси Z
(телесный угол конуса содержит положительную часть
оси Z и равен 2я A — cos 8)).
150. Можно ли создать в плоскости YZ постоянный
электрический ток с поверхностной плотностью
где а и /о — постоянные?
52
151. Определить конфигурацию области, по которой
течег ток, а также характер распределения тока в ней,
если объемная плотность тока в неограниченном про-
пространстве описывается следующей функцией декартовых
координат: a) j = 2шо6 (х2 — а2), где а — постоянная,
а постоянный вектор i0 параллелен плоскости YZ\ б) j =
= 2al\yb(x2 — a2)8(z), где а и / — постоянные.
152. Ток / течет по тонкому замкнутому контуру L.
Доказать, что для вычисления напряженности Н маг-
магнитного поля тока можно ввести скалярный потенциал
ф согласно формуле Н = —gradCD. Найти уравнение и
дополнительные условия, определяющие Ф.
153. Определить скалярный потенциал Ф и напря-
напряженность Н = —grad Ф магнитного поля линейного тока
/, текущего вдоль оси Z.
§ 2. Магнитный момент
154. В сферических координатах компоненты вектора
j средней объемной плотности орбитального тока, теку-
текущего в возбужденном атоме водорода, равны
/г = /о = О и /„, = ±- -^re'^ sine cos2 9,
где а — боровский радиус, Ь — постоянная Планка, т и
е — масса и заряд электрона, а г — расстояние до про-
протона. Вычислить магнитный момент jui орбитального
тока.
155. Распределение объемной плотности тока j в про-
пространстве описывается выражением j = rot [aF(r)], где
а — постоянный вектор, а функция F(r) убывает на бес-
бесконечности быстрее, чем 1/г3. Выразить магнитный мо-
момент jli тока через интеграл от функции F(r).
156. Объемная плотность тока в пространстве имеет
вид j(r) = (а X VM(r — r0), где а и г0 — постоянные
векторы. Определить магнитный момент jli тока.
157. Внутренний магнитный момент электрона по аб-
¦с \е\п
солютнои величине равен магнетону Бора [Хо===-у"^—.
где h — постоянная Планка, с — скорость света в ваку-
вакууме, аеи т — заряд и масса электрона. Согласно клас-
классической модели электрон представляет собой одно-
однородно заряженный шар радиуса го = ~^г- Рассматривая
53
внутренний магнитный момент как результат вращения
электрона вокруг своей оси симметрии, определить угло-
угловую скорость со этого вращения. Во сколько раз изменит-
изменится угловая скорость вращения, если предположить, что
заряд е равномерно размазан по поверхности шара?
158. Доказать, что магнитный моментц = ^ \ (rXj)dV
тока, текущего в пространстве с объемной плотностью
j = j(r), не зависит от выбора начала координат. Пред-
Предполагается, что магнитный момент тока имеет конечное
значение.
159. В некоторой ограниченной области пространства
течет ток с объемной плотностью j = j(r). Напряжен-
Напряженность Н внешнего магнитного поля внутри этой области
однородна. Выразить магнитную энергию W =—\ jAdV
взаимодействия тока с внешним магнитным полем через
магнитный момент Н = -7^г \ (г X })dV тока. Здесь А —
векторный потенциал внешнего магнитного поля.
160. Однородно заряженный цилиндр произвольной
высоты и радиуса R вращается вокруг своей оси сим-
симметрии с угловой скоростью со. Полный заряд цилиндра
равен Q, а его ось вращения образует с напряженностью
Н внешнего однородного магнитного поля некоторый
угол. Определить магнитную энергию W взаимодействия
иилиндра с внешним магнитным полем.
161. Внутри ограниченной области пространства течет
ток с объемной плотностью j == j(r). Напряженность Н
внешнего магнитного поля во всем пространстве одно-
однородна. Выразить момент N ==— \ (г X (j X Н)) dV сил,
приложенный к току, через магнитный момент jm тока.
Доказать, что момент сил не зависит от выбора фикси-
фиксированной точки, относительно которой он вычисляется.
162. Равномерно заряженная с поверхностной плот-
плотностью о цилиндрическая поверхность радиуса R и вы-
высоты h вращается вокруг своей оси симметрии с угловой
скоростью со. Ось вращения образует с напряженностью
Н внешнего однородного магнитного поля некоторый
угол. Определить момент N сил, приложенный к цилинд-
цилиндрической поверхности.
163. Напряженность Н = Н(г) внешнего магнитного
поля мало меняется на протяжении некоторой конечной
54
области пространства, где текут токи с объемной плот-
плотностью j = j(r). Разлагая Н(г) в ряд Тейлора во внут-
внутренней точке данной области и пренебрегая старшими
производными, выразить силу
приложенную к току, через его магнитный момент ц =
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях
от тока
164. Однородно заряженный эллипсоид вращения с
полуосями а и Ь вращается с постоянной угловой ско-
скоростью о) вокруг своей оси симметрии. Полный заряд
эллипсоида равен Q, а его полуось Ь лежит на оси вра-
вращения. Найти векторный потенциал А и напряженность
Н магнитного поля на больших расстояниях от эллип-
эллипсоида.
165. Заряд Q равномерно распределен по конической
поверхности (х2 -\- у2 = г2, 0 <g г ^ h), которая вра-
вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угло-
угловой скоростью оз. Найти векторный потенциал А и на-
напряженность Н магнитного поля на больших расстоя-
расстояниях от конической поверхности.
166. Ток / течет по тонкой токовой трубке в форме
равностороннего треугольника со стороной а. Опреде-
Определить напряженность Н магнитного поля на больших рас-
расстояниях г от тока. *
167. Две одинаковые равномерно заряженные сфери-
сферические поверхности радиуса R расположены на большом
расстоянии друг от друга. Полный заряд каждой сфери-
сферической поверхности равен Q, а их угловые скорости вра-
вращения вокруг собственных осей симметрии равны o>i и
0J. Определить магнитную энергию W взаимодействия
сферических поверхностей.
168. Заряд Q однородно заполняет объем конуса
(х2 + У2 = z2, Os^z^/i), который вращается вокруг
своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью со.
На большом расстоянии г от конуса находится частица
с внутренним магнитным моментом jm. Определить силу
F, приложенную к частице,
55
§ 4. Закон Био и Савара
169. Распределение объемной плотности тока в про*
странстве имеет вид j = y(r)l, где 1 — постоянный век-
вектор, а /(г) — скалярная функция декартовых координат.
Доказать, что в каждой точке пространства напряжен-
напряженность магнитного поля тока перпендикулярна вектору 1.
170. Заряд Q однородно заполняет объем шара ра-
радиуса R. Найти напряженность Н магнитного поля в
центре шара, если последний вращается вокруг своего
диаметра с постоянной угловой скоростью о). Во сколько
раз изменится напряженность магнитного поля в центре
шара, если заряд Q равномерно размазать по его по-
поверхности?
171. Равномерно заряженная с поверхностной плот-
плотностью а коническая поверхность (х2 + у2 = г2, 0 ^ z ^
^ h) вращается вокруг своей оси симметрии с постоян-
постоянной угловой скоростью ш. Найти напряженность Н маг-
магнитного поля в вершине конической поверхности.
172. В сферических координатах компоненты вектора
j средней объемной плотности орбитального тока, теку-
текущего в возбужденном атоме водорода, равны
/г = /в = 0
и
1 ehr3 —тт . о п
h = T^l^are Sm 9'
где а — боровский радиус, Ь — постоянная Планка, т и
е — масса и заряд электрона, а г — расстояние до-про-
до-протона. Орбитальный ток создает в пространстве магнит-
магнитное поле. Найти напряженность Н этого магнитного поля
в начале координат.
173. Средняя плотность заряда электронного облака
в атоме водорода равна р = -^^ехр1 — 1, где а—«
боровский радиус, г — расстояние до протона, а е — за-
заряд электрона. Если поместить атом во внешнее одно-
однородное магнитное поле с напряженностью Но, то элект-
электронное облако придет во вращение, которое создаст в
пространстве ток с объемной плотностью]" =~2~ (г X Но),
где т — масса электрона, а с — скорость света в ва*
кууме. На какую величину ДН изменится напряженность
56
магнитного поля в центре атома вследствие вращения
электронного облака?
174. Заряд Q однородно распределен по объему шара
радиуса R. Одна половина шара вращается вокруг своей
оси симметрии с постоянной угловой скоростью ом, а дру-
другая вращается с постоянной угловой скоростью @2 в про-
противоположном направлении. Найти напряженность Н
магнитного поля в центре составного шара. Какую часть
заряда Q необходимо однородно распределить внутри
первой вращающейся половины и какую во второй, что-
чтобы напряженность магнитного поля в центре шара рав-
равнялась нулю?
175. Объемная плотность заряда в пространстве,
дается выражением
Q
2na2b
+И-ь-fi- 0.
а2 ' Ь2 ) '
где а и b — постоянные. Найти напряженность Н магнит-
магнитного поля в начале координат, если заряды вращаются
около оси Z с постоянной угловой скоростью ел. Рассмот-
Рассмотреть случаи а > Ь и а < Ь.
176. Шаровой сектор получен пересечением сферы ра-
радиуса R конической поверхностью с вершиной в центре
сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового
сектора, телесный угол которого равен 2л A—cosBo).
Определить напряженность Н магнитного поля в вер-
вершине шарового сектора, если последний вращается вок-
вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой ско-
скоростью (О.
177. Заряд Q равномерно распределен внутри конуса
(х2 + у2 = г2, 0 ^ z ^ А), который вращается вокруг
своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью (о.
В вершине конуса находится частица с внутренним маг-
магнитным моментом II. Определить магнитную энергию W
взаимодействия частицы с вращающимся конусом.
178. В сферических координата^ компоненты вектора
j средней объемной плотности орбитального тока, теку-
текущего в возбужденном атоме водорода, равны
57
где а — боровский радиус, Ь — постоянная Планка, т и
е — масса и заряд электрона, г — расстояние до протона,
имеющего внутренний магнитный момент jut, направлен-
направленный по оси Z. Определить магнитную энергию W взаи-
взаимодействия магнитного момента протона с орбитальным
током. Поскольку орбитальный ток обусловлен движе-
движением электрона, а внутренний магнитный момент про-
протона связан с его спином, данная задача описывает спин-
орбитальное взаимодействие протона с электроном в
атоме водорода.
179. Средняя объемная плотность тока в атоме водо-
водорода, обусловленная спином электрона, задана j =
= cvoi[\xQF(r)l где F (г) ^^-—ехр (- -^) . Здесь а —
боровский радиус, с — скорость света в вакууме, г —
расстояние до протона, a jm0 — внутренний магнитный
момент электрона. Найти напряженность Н магнитного
поля в центре атома водорода. Принимая во внимание,
что протон имеет внутренний магнитный момент |ш, опре-
определить магнитную энергию W взаимодействия протона
с найденным магнитным полем. Поскольку внутренние
магнитные моменты частиц связаны с их спинами, ве-
величина — W характеризует спин-спиновое взаимодей-
взаимодействие электрона с протоном в атоме водорода.
180. Заряд Q равномерно распределен по объему
эллипсоида вращения с полуосями а и Ъ (а < Ь). Эллип-
Эллипсоид вращается с постоянной угловой скоростью о> вок-
вокруг своей оси симметрии, проходящей вдоль полуоси Ь.
В центре эллипсоида находится частица с внутренним
магнитным моментом jui. Определить момент N сил, при-
приложенный к частице.
181. Бесконечно гонкий диск радиуса R, равномерно
заряженный с поверхностной плотностью а, вращается
вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью со.
Пользуясь общей формулой
-¦и
i (г') X (г - г')
найти напряженность Н магнитного поля на оси диска.
Здесь i(r') — поверхностная плотность тока, созданного
вращающимся диском. Исследуя напряженность магнит-
магнитного поля на больших расстояниях от диска, определить
магнитный момент jm вращающегося диска. Получить
58
магнитный момент также непосредственным вычисле-
вычислением по формуле
182. Объемная плотность тока в пространстве выра-
выражается через б-функцию следующим образом: j(r) =
= (а XV) б (г — Го), где а и г0 — постоянные векторы.
Найти векторный потенциал А и напряженность Н маг-
магнитного поля. Исследуя полученные выражения, опреде-
определить физический смысл вектора а.
183. Каждая единица объема электронного облака в
атоме водорода имеет магнитный момент, обусловлен-
обусловленный спином электрона. Распределение плотности маг-
магнитного момента описывается функцией [ioF(r), где jno —
внутренний магнитный момент электрона, a F(r)— плот-
плотность электронного облака на расстоянии г от протона,
Функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем
1/г. Показать, что данное распределение плотности маг-
магнитного момента создает в пространстве такое же маг-
магнитное поле, как и ток с объемной плотностью j =
= crot[iioF(r)], где с — скорость света в вакууме.
184. По тонкой токовой трубке, образующей прямой
угол, течет ток /. Найти напряженность Н магнитного
поля в двух случаях: а) на оси X, являющейся продол-
продолжением одной из сторон прямого угла; б) на оси У, про-
проходящей через вершину прямого угла перпендикулярно
токовым линиям.
185. Чему равна напряженность Н магнитного поля
в точках биссектрисы прямого угла на расстоянии г от
его вершины в предыдущей задаче?
186. Ток / течет по тонкой токовой трубке в форме
равностороннего треугольника со стороной а. Найти на-
напряженность Н магнитного поля в вершине треуголь-
треугольника.
187. Ток / течет по тонкой токовой трубке, образую-
образующей квадрат со стороной 2а. Найти напряженность Н
магнитного поля на оси, проходящей через ценгр квад-
квадрата перпендикулярно его плоскости. Исследуя полу-
полученное выражение на больших расстояниях от квадрата,
определить магнитный момент ц тока.
188. Ток / течет по тонкой бесконечной прямой токо-
токовой трубке, которая имеет локальное искривление в виде
полуокружности радиуса R. Найти напряженность Н
69
магнитного поля в центре кривизны указанной полуок-
полуокружности.
189. По тонкому кольцу радиуса R течет ток /. Ис-
Используя закон Био и Савара, определить напряженность.
Н магнитного поля на оси кольца, выразив ее через маг<
нитный момент fut тока.
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности
магнитного поля
190. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R парал^
лельно его оси течет однородный ток с объемной плот-
плотностью j. Пользуясь интегральной формой уравнения
Максвелла ФНй1 = —\jdS, найти напряженность Н
магнитного поля внутри и снаружи цилиндра. При по-
помощи соотношения Н = rotA определить векторный по-
потенциал А магнитного поля. При калибровке векторного
потенциала принять, что он обращается в нуль на по-
поверхности цилиндра.
191. Решить предыдущую задачу в предположении,
что объемная плотность тока имеет аксиальную симмет-
симметрию j = j(r), где j(r) — произвольная функция расстоя-
расстояния г до оси цилиндра.
192. Ток / однородно распределен по сечению беско-
бесконечного цилиндра радиуса R. Используя максвелловский
тензор натяжений, найти силу F, прижимающую друг
к другу две одинаковые половины цилиндра. Здесь F —
сила, приложенная к единице длины одной из половин
цилиндра. Подтвердить полученный результат независи-
независимым вычислением с использованием объемной силы.
193. По бесконечной цилиндрической поверхности ра-
радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с по-
поверхностной плотностью io. Найти напряженность Н маг-
магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
194. По плоскости XY параллельно оси X течет одно-
однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти на-
напряженность Н магнитного поля, не прибегая к вектор-
векторному потенциалу.
195. В пространстве между двумя коаксиальными ци-
цилиндрическими поверхностями радиусов R{ и R2 (Ri <
'</?г) течет ток с объемной плотностью j, который од-
однороден по сечению токовой трубки и параллелен ее
оси. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой
точке пространства.
196. Внутри неограниченной пластины параллельно
ее поверхностям z = / и z = —/ течет однородный ток
с объемной плотностью j. He прибегая к векторному по*
тенциалу, определить напряженность Н магнитного поли
внутри и снаружи пластины, если токовые линии парал-
параллельны оси У.
197. Вдоль прямой (х = /, у = 0) параллельно оси Z
течет ток /. По другой прямой (л; = — /, у = 0) течет
антипараллельный ток той же величины. Найти напря-
напряженность Н магнитного поля. Исследовать Н на боль-*
ших расстояниях от заданных токов.
198. Квадратная рамка со стороной а находится в од-
одной плоскости с прямолинейным током /. На каком рас-
расстоянии г от тока расположена ближайшая сторона рам-*
ки, если поток магнитного поля через поверхность рамки
равен ф0?
199. Прямолинейный ток J\ находится в одной пло-
плоскости с током /2, текущим по тонкой квадратной рамке
со стороной а. Ближайшая сторона рамки расположена
на расстоянии г от тока J\ и имеет одинаковое с ним
направление тока. Чему равна сила F, приложенная
к рамке?
200. По плоскости z = I параллельно оси У течет од-
однородный ток с поверхностной плотностью io. По другой
плоскости z = —I течет антипараллельный ток той же
величины. Найти напряженность Н магнитного поля
в каждой точке пространства. Какой вид приобретает
вектор Н, если токи на обеих плоскостях параллельны
оси У?
201. Линейный ток / течет по оси Z из бесконечно
удаленной точки z = —оо к началу координат. В пло-
плоскости XY он1 растекается от начала координат во все
стороны равномерно. Определить напряженность Н маг-
магнитного поля во всех точках пространства и проверить
выполнимость граничного условия для вектора Н при
переходе через координатную плоскость XY. Представить
вектор Н в виде суммы двух слагаемых Н = Hi -f- H?,
которые обусловлены соответственно линейным и поверх-
поверхностным токами.
202. Линейный ток / течет по оси Z в положительном
направлении, взяв начало в бесконечно удаленной точке
г = —оо. В точке z,— —R этот ток растекается по
61
поверхности однородной сферы радиуса R с центром в
начале координат, а затем вновь собирается в диамет-
диаметрально противоположной точке z = R и продолжает течь
вдоль оставшейся части оси Z. Определить напряжен-
напряженность Н магнитного поля в пространстве и проверить
выполнимость граничного условия для вектора Н при пе-
переходе через указанную сферу.
203. Исходя из закона Био и Савара
dV X (г - г')
й ' Г " г' '3 '
получить соотношение 4)Hrfl = —/. Здесь L — любой
L
контур интегрирования, сцепляющийся с токовым конту-
контуром Z/, а Н — напряженность магнитного поля тока /.
204. В пространстве между двумя не коаксиальными
цилиндрическими поверхностями радиусов R\ и R2 (R\ +
+ / < R2) параллельно их осям течет однородный ток
с объемной плотностью j. Расстояние между осями ци-
цилиндрических поверхностей равно /. Найти напряжен-
напряженность Н магнитного поля внутри цилиндрической поло-
полости радиуса R\.
205. Две неограниченные бесконечно тонкие пла-
пластины, лежащие в плоскости XZ, разделены между со-
собой щелью ширины а. Центральная линия щели совпа-
совпадает с осью Z. По пластинам параллельно оси Z течет
однородный ток с поверхностной плотностью io. Найти
напряженность Н магнитного поля на больших расстоя-
расстояниях г>а от щели с учетом членов порядка 1/г.
206. Цилиндр радиуса R\ расположен не коаксиалыю
внутри другого цилиндра радиуса Ro. Вдоль первого и
второго цилиндров текут однородные антипараллельные
токи с объемной плотностью соответственно ji и jV Ток
наружного цилиндра не проникает во внутренний. Рас-
Расстояние между параллельными осями бесконечных ци-
цилиндров равно /. Найти силу F, приложенную к единице
длины внутреннего цилиндра.
207. Определить величину W = — \ jtA2 dV, отне-
отнесенную к единице длины цилиндров, которые описаны
в предыдущей задаче. Здесь А? — векторный потенциал
магнитного поля тока j2. Для однозначности результата
62
принять, что векторный потенциал, созданный токами
каждого однородного сплошного цилиндра, равен нулю
на его поверхности. Убедиться, что сила, приложенная
к единице длины внутреннего цилиндра, по абсолютной
величине равна ^==~^г*
§ 6. Уравнения Лапласа и Пуассона
с дополнительными условиями
208. В сферических координатах две компоненты век-
векторного потенциала равны нулю Ат = Aq = 0, а третья
имеет вид
j ^ine при
где а и /? —постоянные. Найти распределение объемной
плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным
векторным птенциалом.
209. В цилиндрических координатах две компонен-
компоненты векторного потенциала равны нулю Аг = Az = 0,
а третья имеет вид
= аг (/?2 - -J) при
при
где а и R — постоянные. Найти распределение объемной
плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным
векторным потенциалом.
210. В сферических координатах две компоненты век-
векторного потенциала равны нулю Ar = Aq = 0, а третья
имеет вид
aR3
Ay = arsinQ при г<# и А^ = —р- sin0 при г>/?,
где а и R — постоянные. Найти распределение поверх-
поверхностной плотности i тока, создавшего магнитное поле
с данным векторным потенциалом,
S3
211. Переход от векторного потенциала А (г) к но-
новому векторному потенциалу A'(r) = A(r)-f grad / не
изменяет напряженности постоянного магнитного поля,
где f = f(r) — произвольная функция координат. Какому
условию должна удовлетворять функция /(г), чтобы
переход к новому векторному потенциалу не нарушал
также условия Лоренца в магнитостатике?
212. Объемная плотность тока в пространстве ме-
меняется от точки к точке по периодическому закону
j = jo cos kr, где постоянные векторы jo и к удовлетво-
удовлетворяют соотношению kj0 = 0. Найти векторный потенциал
А и напряженность Н магнитного поля, которые созда-
созданы этим током в неограниченном пространстве.
213. Объемная плотность тока в полупространстве
2^0 имеет периодическую структуру j = j0 cos kr, где
постоянные векторы jo и к удовлетворяют соотношению
kjo = 0, причем вектор jo параллелен плоскости XY, а
три компоненты вектора к отличны от нуля. Найти век-
векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке
пространства.
214. По плоскости XY течет ток с поверхностной
плотностью i = io cos lr, где постоянные векторы Ь и I
лежат в указанной плоскости и удовлетворяют соотно-
соотношению Но = 0. Найти векторный потенциал А магнит-
магнитного поля в каждой точке пространства.
215. По декартовым плоскостям XY, XZ и YZ текут
поверхностные токи с плотностью соответственно
ii = aicoslir, i2 = a2cosl2r и i3 = a3cosl3r. Постоянные
векторы 1Ь 12 и 13 удовлетворяют условию aji = sl2U =
= а3Ь = 0 и лежат в плоскостях соответственно XY,
XZ и YZ. Найти векторный потенциал А магнитного поля
в каждой точке пространства.
216. Внутри бесконечной пластины, ограниченной
плоскостями х = а и х = —а, течет ток с объемной
плотностью J == jo sinl\x sin hy, где постоянный вектор jo
параллелен оси Z. Найти векторный потенциал А маг-
магнитного поля внутри и вне пластины.
217. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R па-
параллельно его оси течет ток с объемной плотностью
j = ]ors cos m|), где г — цилиндрическая координата, гЬ —
полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндра. Це-
Целое положительное число п и константа s удовлетворяют
условию п2 Ф (s + 2J. Найти векторный потенциал А
магнитного поля внутри и снаружи цилиндра,
218. Объемная плотность тока в цилиндрических
координатах имеет вид
j=io ("if) c°sm|> при
J=Jo(—) cosml> ИРИ
J
где постоянный вектор jo параллелен оси Z, R— постоян-
постоянная, а целое положительное число п больше единицы.
Найти векторный потенциал А магнитного поля в каж*
дой точке пространства.
219. Бесконечный цилиндр радиуса /?, равномерно
заряженный с объемной плотностью р, вращается вокруг
своей оси с постоянной угловой скоростью о). Найти
векторный потенциал А и напряженность Н магнитного
поля внутри и снаружи цилиндра.
220. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R па-
параллельно его оси течет ток с объемной плотностью
j = Нг)> гДе г — расстояние до оси цилиндра. Пользуясь
уравнением для векторного потенциала А, найти его
значение внутри и снаружи цилиндра. Произвольное
постоянное слагаемое векторного потенциала выбрать
так, чтобы величина А обращалась в нуль на поверхно-
поверхности цилиндра.
221. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объ-
объемной плотностью р, вращается вокруг своей оси сим-
симметрии с постоянной угловой скоростью о). Найти век-
векторный потенциал А и напряженность Н магнитного
поля внутри и снаружи шара. Выразить А и Н во внеш-
внешней области шара через его магнитный момент jj,.
222. Используя тензор натяжений Максвелла и ре-
результаты предыдущей задачи, определить магнитостати-
ческую силу F, с которой одна половина шара действует
на другую в направлении оси вращения.
223. По бесконечной цилиндрической поверхности ра-
радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной
плотностью i = i0cosn\|), где п — целое число (д>1),
i|) — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндри-
цилиндрической поверхности и направлена в ту же сторону, что
и постоянный вектор i0. Найти векторный потенциал А
и напряженность Н магнитного поля в каждой точке
пространства.
3 А И. Алексеев 65
224. Используя уравнение для векторного потен*
циала, решить предыдущую задачу в предположении,
что п — 0.
225. Равномерно заряженная с поверхностной плот-
плотностью а бесконечная цилиндрическая поверхность ра«
диуса R вращается вокруг своей оси с постоянной угло-
угловой скоростью о) и одновременно движется со скоростью
v вдоль той же оси. Найти векторный потенциал А и
напряженность Н магнитного поля в каждой точке про-
пространства.
226. Равномерно заряженная с поверхностной плот-
плотностью а сферическая поверхность радиуса R вращается
вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью
со. Найти векторный потенциал А и напряженность Н
магнитного поля в произвольной точке пространства.
Исследуя полученные выражения, определить магнитный
момент jw вращающейся сферы. Получить магнитный
момент также непосредственным вычислением по фор-
формуле ц = — \ (г X i) dS, где i — поверхностная плот*
ность тока, образованного вращающейся сферой.
227. По бесконечной цилиндрической поверхности ра-
радиуса R течет ток с поверхностной плотностью i = i\
при 0 < г?> < л и i = i2 при я < г|) < 2я, где ii и i2—•
постоянные векторы, г|; — полярный угол, а ось Z совпа*
дает с осью цилиндрической поверхности и параллельна
векторам ii и 12. Найти векторный потенциал А магнит-
магнитного поля внутри и снаружи цилиндрической поверх-
поверхности.
228. Компоненты Яг, #е и Н^ напряженности Н маг-
магнитного поля в сферических координатах
при r<R
= 0 при
где Ъ и R — постоянные. Пользуясь соотношением
Н = rot А, определить векторный потенциал А магнит*
ного поля при дополнительном условии divA==0A
66
229. Определить энергию W магнитного поля равно-
равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R,
Которая вращается вокруг своего диаметра с постоянной
угловой скоростью о). Полный заряд сферы Q. Выра-
Выразить энергию W через магнитный момент ji вращаю-
вращающейся сферы.
230. Определить энергию W магнитного поля одно*
родно заряженного шара радиуса /?, вращающегося
вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью
о). Полный заряд шара Q. Выразить энергию W через
магнитный момент jn вращающегося шара.
231. Определить энергию W магнитного поля, при-
приходящуюся на единицу длины однородно заряженного
цилиндра радиуса R, который вращается вокруг своей
оси с постоянной угловой скоростью to. Заряд на еди*
ницу длины цилиндра равен q. Выразить энергию W
через магнитный момент уь единицы длины вращающе-
вращающегося цилиндра.
232. Определить энергию W магнитного поля, прихо-
приходящуюся на единицу длины равномерно заря:хенной с
плотностью а цилиндрической поверхности радиуса R,
которая вращается вокруг своей оси с угловой скоро*
стыо со. Выразить энергию W через магнитный момент
fi единицы длины вращающейся цилиндрической поверх-
поверхности.
233. Определить энергию W магнитного поля, прихо-
приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхно-
поверхности, описанной в задаче 223.
234. По одной половине бесконечной цилиндрической
поверхности радиуса R параллельно ее оси течег ток с
поверхностной плотностью i, а по другой половине
течет антипараллельный ток той же величины. Опреде-
Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на
единицу длины цилиндрической поверхности.
235. Вдоль цилиндра радиуса R течет однородный
ток /, а по другому цилиндру того же радиуса течет
антипараллельный ток той же величины. Определить
векторный потенциал А магнитного поля на больших
расстояниях" бт цилиндров. Будет ли конечной энергия
магнитного поля, приходящаяся на единицу длины та-
такой системы?
Глава III
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Напряженности электрического Е и магнитного Н
полей в общем случае удовлетворяют уравнениям Мак-
Максвелла:
divH = 0, (III. 4)
где р и j — распределение объемной плотности заряда и
тока в пространстве.
Точечные заряды е{ (i=l, 2, ..., N), движущиеся
со скоростями viy создают в пространстве распределение
объемной плотности заряда и тока согласно формулам
Р (г, 0=1 efi (г - г,), j (г, 0 = 1 e(Vi6 (г - г,), (Ш. 5)
где Гг = Гг(/) — радиус-вектор 1-го заряда. Функция
Ti(t) задается в каждом отдельном случае или нахо-
находится путем решения уравнения движения.
Из уравнений (III. 2) и (III. 3) вытекает уравнение
непрерывности
divj+-§¦ = (), (Ш. 6)
интегрирование которого по объему приводит к закону
сохранения заряда
dS = —¦!?.. (III. 7)
s
68
Здесь Q — полный заряд внутри замкнутой поверхности
S, ограничивающей данный объем.
Иногда разложение электромагнитного поля в ин-
интеграл Фурье содержит только компоненты с малыми
частотами со <С -г, где L — максимальный линейный
Li
размер рассматриваемой области пространства. Такое
медленно переменное электромагнитное поле внутри
данной области называется квазистационарным. Оно
описывается уравнениями Максвелла (III. 1) — (III.4),
1 аН 1 дЕ ,
в которых слагаемые —-тт- и —-jr опущены (что экви-
эквивалентно пренебрежению эффектами, связанными с ко-
конечностью скорости распространения электромагнитного
возмущения внутри указанной области). Например, си-
система зарядов е{ (i= I, 2, ..., N), движущихся с нере-
нерелятивистскими скоростями vt <C с внутри объема с мак-
максимальным линейным размером /, создает в вакууме
электромагнитное поле с частотами в интервале
О^сос<-у-, которое является квазистационарным в об-
обширной области пространства с линейным размером
L<C—'> где ^ — наибольшая скорость этих зарядов
Векторный потенциал А (г, t) и напряженность H(r, t)
квазистационарного магнитного поля описываются теми
же уравнениями, что и в магнитостатике, а время t вхо-
входит в них в качестве параметра. Аналогично, скалярный
потенциал ф(г, /) и напряженность E(r, t) электриче-
электрического поля в квазистационарной области определяются
так же, как и в электростатике. В частности, на больших
расстояниях / <С г <С — / от заряженной системы с мак-
максимальным линейным размером I справедливы формулы
A.14), A1.18) и A1.19), в которых источники поля за-
зависят от времени t как от параметра.
Дипольный момент, тензор квадрупольного момента
и магнитный момент системы движущихся зарядов
\х % — г2й ^ (III 8)
69
где радиус-вектор гг = гг(/) и скорость \% = \l(t) i-ro
заряда являются функциями времени.
Электромагнитные поля, распространяющиеся в ва-
вакууме при отсутствии зарядов и токов, называются элек-
электромагнитными волнами. Они описываются однород-
однородными уравнениями Максвелла.
В свободном пространстве однородные уравнения
Максвелла сводятся к двум независимым волновым
уравнениям
-l-^^0, (ШЛО)
-^-4|- = O. («I-И)
При этом отбираются лишь такие решения последних
уравнений, которые удовлетворяют также однородным
уравнениям Максвелла.
Исследование электромагнитных волн в вакууме
обычно проводят при помощи электромагнитных потен-
потенциалов, которые выбирают так, чтобы скалярный по-
потенциал был равен нулю ф = 0, а векторный потенциал
А удовлетворял уравнению
-^r^ = 0 (III. 12)
и дополнительному условию
divA = 0. (III. 13)
Тогда напряженности электрического и магнитного
полей электромагнитной волны выражаются через век-
векторный потенциал следующим образом:
Е==-т5г' H = rotA. (III. 14)
Электромагнитные волны, которые описываются век-
векторным потенциалом
--2р), пА = 0, (III. 15)
называются плоскими. Они распространяются в направ-
направлении единичного вектора п.
Напряженности электрического Е и магнитного Н
полей плоской волны равны по модулю ? = Яи состав-
составляют с вектором п правовинтовую тройку
Н = пХЕ. (III. 16)
70
Плотность потока электромагнитной энергии s =
с
= -j—(Е X Н) и плотность импулься g = '—s электро-
магнитного поля связаны с плотностью энергии w =
= -g- {Е2 + Я2) в плоской волне соотношениями
s = cwni g = — wn. (III. 17)
Электромагнитные волны, у которых зависимость от
времени t описывается простой периодической функцией
вида cos(co? + a)> называются монохроматическими. Ве-
Величина со представляет собой циклическую частоту (или
просто частоту) этих волн. Важным частным случаем
таких волн является монохроматическая плоская волна.
Напряженность электрического поля монохроматиче-
монохроматической плоской волны бывает полезно представить как ве-
вещественную часть комплексного выражения
E = Re[E^(kr-^], (III. 18)
где kr — (о? — фаза волны, к — волновой вектор (&=со/с),
со — циклическая частота (или просто частота) волны,
а Ео — комплексный вектор, удовлетворяющий условию
Еок = 0 поперечности электромагнитных волн в вакууме.,
Модуль вектора Ео связан с амплитудой волны. Для на-
напряженности магнитного поля рассуждения аналогичны.
От вектора Ео отделяют комплексный множитель
e-ta таким образом
Е0 = Ье^<\ (III. 19)
чтобы квадрат вектора
b = bi + /b2, (III. 20)
как и сахми векторы bi и Ьг, были бы вещественными ве-
величинами. Для этого должно выполняться условие
bib2 = 0. Кроме того, вещественные векторы bi и Ъ%
перпендикулярны волновому вектору к, указывающему
направление распространения волны (III. 18).
Если выбрать ось X вдоль вектора bi, а ось Z по
направлению распространения волны, то проекции на-
напряженности электрического поля (III. 18) запишутся
Ех = b{ cos (со/ — кг + а), Еу = dzb2 sin (otf — кг + а).
(III. 21)
71
Переменные величины Ех и Еу удовлетворяют урав-
уравнению
Е2 Е2
Видно, что в каждой точке пространства конец век-
вектора напряженности электрического поля описывает
эллипс в плоскости, перпендикулярной направлению рас-
распространения волны. Такие волны называются эллипти-
чески-поляризованными. Знаки + и — перед коэффи-
коэффициентом Ь2 в формуле (III. 21) соответствуют правой и
левой поляризациям.
В случае Ь\ — Ь2 = Ь эллипс превращается в окруж-
окружность, и волна (III. 18) называется поляризованной по
кругу или циркулярной. Величина Ъ, численно равная
модулю напряженности электрического поля, является
амплитудой этой волны.
Когда один из векторов bi или Ъ2 обращается в нуль,
волну называют линейно-поляризованной (поляризован-
(поляризованной в плоскости). Ее записывают в одном из двух видов
Е = Шо cos (со/ - кг + а), (III. 23)
*-»*-а\ (III. 24)
где I — единичный ьектор поляризации, Ео — амплитуда,
а а — постоянный сдвиг фазы. Физический смысл имеет
только вещественная или мнимая часть комплексного
выражения (III. 24).
В идеальном случае, когда длина волны бесконечно
мала, распространение электромагнитных волн описы-
описывается законами геометрической oitthkh. Если длину
волны нельзя рассматривать как бесконечно малую, то
наблюдается отклонение от геометрической оптики, а
возникающие при этом специфические явления в распро-
распространении волн называются дифракцией. Дифракция
приводит, например, к размытию резкой границы между
светом и тенью за непрозрачным телом (экраном), ко-
который находится на пути распространения света. Ди-
Дифракционные явления заметно различаются между со-
собой в зависимости от расстояний от источника излучения
и точки наблюдения до экрана.
Когда источник изтучения электромагнитных волн
или точка наблюдения или то и другое находятся на
72
конечном расстоянии от экрана, возникающее дифрак-
дифракционное явление называется дифракцией Френеля.
Если источник излучения электромагнитных волн и
точка наблюдения находятся на очень больших (беско-
(бесконечных) расстояниях от экрана, то имеет место дифрак-
дифракция Фраунгофера.
Дифракция Фраунгофера наблюдается в особо инте-
интересном для практических применений случае, когда на
пути распространения плоской электромагнитной волны
находится плоский экран. Появляющиеся дифрагиро-
дифрагированные волны легко определить приближенно, если огра-
ограничиться малыми отклонениями о г геометрической оп-
оптики, т. е. малыми углами между направлениями рас-
распространения дифрагированной и падающей волн.
Ниже рассматривается только этот простейший случай.
Пусть плоский экран совпадает с плоскостью XY и
имеет отверстие площади S. На него падает монохрома-
монохроматическая плоская волна, которую запишем в комплекс-
комплексном виде (III. 24). Обозначим посредством и любую из
компонент векторов Е и Н этой волны без временного
множителя e~mt. Поскольку отклонение от геометриче-
геометрической оптики мало, поле в точках отверстия такое же, как
и в отсутствии экрана, т. е. описывается величиной
и = иОу взятой в точках отверстия. Другими словами,
поле дифрагированной волны в точках отверстия экрана
совпадает с полем падающей плоской волны. В точках
на экране дифрагированное поле равно нулю.
В указанных предположениях компонента Фурье ди-
дифрагированной волны, рассмотренной в точках отверстия
экрана, запишется в виде двукратного интеграла
Uq = [uQe~l^dxdy, (III. 25)
где интегрирование ведется по поверхности отверстия
в экране. Вектор q лежит в плоскости XY. Он связан
соотношением k' = k + q с волновыми векторами к и к'
падающей и дифрагированной волн (k = k' = со/с).
Угол Э между волновыми векторами кик7 называется
углом дифракции. Поскольку углы дифракции малы
G <С 1, модуль вектора q выражается через частоту
падающей волны следующим образом:
<7 = —8. (III. 26)
с
73
Угловое распределение интенсивности дифрагирован-
дифрагированной волны в среднем по времени за период колебания
/¦
«о
Яхйду /р / со У
BпУ S \2jicJ
q
«о
2
dQ. (III. 27)
В этой формуле S — площадь отверстия в экране,
dQ = QdQd°ty — элемент телесного угла, а /о — усред-
усредненная по времени полная интенсивность падающей мо^
нохроматической плоской волны, проходящей через от-
отверстие нормально плоскости экрана.
Дифрагированные волны за экраном можно также
определить путем решения волнового уравнения с соот-
соответствующими граничными условиями на поверхности
экрана и в точках его отверстия.
Два экрана называются дополнительными по отноше-
отношению друг к другу, если один из них имеет отверстие
там, где другой непрозрачен, и наоборот. Для таких
экранов справедлив принцип Бабине: дополнительные
экраны дают одинаковые распределения интенсивности
дифрагированного света.
§ I. Уравнение Максвелла
236. Может ли существовать внутри полой области
переменное во времени электрическое поле без магнит-
магнитного^
237. Может ли существовать переменное во времени
магнитное поле без электрического?
238. Может ли существовать однородное электриче-
электрическое поле при наличии переменного во времени магнит-
магнитного поля?
239. Может ли однородное электрическое (или маг-
магнитное) поле быть переменным во времени?
240. При выводе закона сохранения электромагнит-
электромагнитной энергии как следствия уравнений Максвелла обычно
заменяют выражение—- (Н rotE — Еrot H) через divs,
где s = -т— (Е X Н) - вектор Пойнтинга. Доказать, что
s — не единственный вектор, дивергенция которого равна
указанному выражению.
241. В цилиндрических координатах компоненты
вектора напряженности магнитного поля в свободном
74
пространстве имеют вид Нг = Н^ = 0 и Hz = H(r,t),
где функция Н (г, /) и ее производные ограничены. Опре-
Определить напряженность Е вихревого электрического поля,
индуцированного данным магнитным полем.
242. Заряд Q и масса т однородно заполняют объем
шара. В начальный момент времени /0 = 0 включается
внешнее магнитное поле с напряженностью Н = Н(/)>
которая постоянна по направлению и удовлетворяет на*
чальному условию Н@) = 0. Зависимостью вектора Н
ог координат в пределах шара можно пренебречь. Под
влиянием магнитного поля шар приходит во вращение.
Пренебрегая обратным влиянием вращающегося шара
на внешнее магнитное поле, определить угловую ско-
скорость о) вращения.
243. Доказать, что запаздывающие электромагнит-
электромагнитные потенциалы
'Г dV'
ф(г,О-\ v |г_гЧ6 ' dV'
удовлетворяют условию Лоренца
Предполагается, что написанные объемные интегралы
сходятся.
244. Найти уравнения для скалярного ф и векторного
А потенциалов в кулоновской калибровке div А = О,
Величины ф и А определяются соотношениями
Е = — grad ф — — —, Н = rot A.
§ 2. Плотность заряда и тока
245, Заряд е движется в плоскости XY по прямой
у = х — /, имея постоянную скорость v и удаляясь от
начала координат. В начальный момент времени ^о = 0
он находился на оси X, Найти распределение объемной
75
плотности р заряда и объемной плотности j тока в про-
пространстве.
246. Заряд е совершает гармоническое колебание
вдоль оси X по закону х = a sin o)t. Написать выражение
для объемной плотности р заряда и объемной плотности
j тока. Проверить справедливость уравнения непрерыв-
непрерывности для этих величин. Найти средние по времени за
период Т = — объемные плотности заряда р и тока j и
доказать, что
247. Заряд е движется в плоскости XY по окружно-
окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью со. В на-
начальный момент времени t0 = 0 он находился на оси X.
Написать выражение для объемной плотности р заряда
и объемной плотности j тока в цилиндрических коорди-
координатах, начало которых совпадает с центром окружности,
Проверить справедливость уравнения непрерывности для
величин р и j. Доказать, что средние по времени за пе-
период Т = 2я/со объемные плотности заряда и тока р и j
удовлетворяют соотношениям
, I ,7 е
J Ф /
— оо
248. Равномерно заряженная с линейной плотностью
q окружность радиуса R вращается с угловой скоростью
со вокруг своего диаметра. Найти распределение объем-
объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока
в пространстве в сферических координатах. Начало ко-
координат совпадает с центром окружности, а ось Z на-
направлена по оси вращения. Проверить справедливость
уравнения непрерывности для найденных величин.
249. Заряд Q однородно заполняет объем шара ра-
радиуса R, который вращается вокруг своего неподвиж-
неподвижного диаметра с переменной во времени угловой скоро-
скоростью ш. Найти распределение объемных плотностей за-
заряда р и тока j в пространстве в сферических коорди-
координатах.
250. Определить квазистационарное электромагнит-
электромагнитное поле заряда <?, который медленно движется с по-
постоянной скоростью v.
76
§ 3. Магнитный, дипольный и квадрупольный
моменты движущихся зарядов
251. Заряд Q и масса т однородно заполняют объем
шара радиуса R, который вращается с произвольной
угловой скоростью (в = (о@ вокруг своего неподвиж*
кого центра. Определить магнитный момент jli вращаю-
вращающегося шара. Чему равен коэффициент р пропорцио-
пропорциональности между магнитным jn и механическим М мо-
моментами jx = [ЗМ?
252. Замкнутая механическая система состоит из
двух произвольно движущихся частиц, заряды которых
в\ и #2, а массы Ш\ и т2 соответственно. Доказать, что
если начало координат выбрано в центре инерции, то
магнитный [х и механический М моменты системы про-
пропорциональны друг другу, и найти коэффициент про-
пропорциональности.
253. Механическая система конечного числа частиц
с одинаковым отношением заряда к массе движется в
пространстве. Какому условию должен удовлетворять
полный импульс Р системы, чтобы суммарный магнит-
магнитный момент всех частиц не зависел от выбора начала
координат?
254. Равномерно заряженный тонкий диск радиуса R
вращается с угловой скоростью о> вокруг своего непод-
неподвижного диаметра. Полный заряд диска Q. Вычислить
магнитный момент jm вращающегося диска.
255. Равномерно заряженная с линейной плотностью
q квадратная рамка со стороной а вращается с угловой
скоростью <о вокруг одной из своих сторон. Вычислить
магнитный момент \х вращающейся рамки.
256. Нейтрон с магнитным моментом juio движется по
заданной траектории и его радиус-вектор гн меняется со
временем как гн = гн(/). Определить распределение
плотности 1Н магнитного момента в пространстве
IH(r,/)= ^JI
где А|и(г, t) — магнитный момент элемента объема AV.
Последний в результате предельного перехода АУ-^0
стягивается к точке с радиус-вектором г.
257. Частица с массой т и зарядом е совершает эл-
эллиптическое движение в кулоновском потенциальном
поле притяжения а/г, где а < 0. Полная энергия части-
частицы равна <о% Найти средний по времени за период
77
движения диггольный момент d заряда. Выразить его
через специфический интеграл движения в кулоновском
поле I = vX^4 » ГД? v — скорость заряженной ча-
частицы, а М-ее момент.
258. Радиус-вектор г^ точки расположения диполя с
моментом d = d(f) меняется со временем по заданному
закону Vd = Td{t). Определить распределение объемных
плотностей заряда и тока в пространстве. Вычислить маг-
магнитный момент jli найденного тока.
259. Точечный диполь с моментом d вращается по
окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью
со. Окружность лежит в плоскости XY, а ее центр совпа-
совпадает с началом координат. Вектор d постоянен по мо-
модулю и направлен по касательной к окружности в сто-
сторону вращения от оси X к У. Определить тензор Da$
квадрупольного момента системы.
260. Частица с массой т и зарядом е совершает эл-
эллиптическое движение в кулоновском потенциальном
поле а/г, где а < 0. Полная энергия и момент частицы
равны соответственно & и М. Начало декартовой си-
системы координат помещено в центр силового поля, а
ось X направлена по большой полуоси эллиптической
траектории, лежащей в плоскости XY. Найти средние
по времени за период компоненты тензора Da$ квадру-»
польного момента движущегося заряда.
281. В резерфордовской модели атома водорода элек-
электрон с массой т и зарядом е движется по эллиптической
орбите, имея энергию <8 и момент М. Большая полуось
а эллипса совпадает с осью X, а орбита лежит в плоско-
плоскости XY. Определить среднюю за период движения напря-
напряженность квазистационарного электрического поля на
больших расстояниях г>а от атома с учетом диполь-
ного момента и тензора квадрупольного момента. Иссле-
Исследовать полученный результат в предельном случае,
когда эллипс превращается в окружность.
§ 4. Электромагнитные волны
262. Векторный потенциал плоской линейно-поляри-
линейно-поляризованной волны имеет вид A=slF(co/— кг), где со =» kc,
1 — постоянный вектор, a F — дифференцируемая функ-
функция своего аргумента. В рассматриваемой калибровке
электромагнитных потенциалов скалярный потенциал
78
равен нулю тождественно и div А = 0. Определить век-
вектор Пойнтинга s и плотность энергии w электромагнит-
электромагнитной волны.
263. Покоящийся цилиндр радиуса R и высоты Л рас-
расположен перпендикулярно направлению распростране-
распространения монохроматической плоской электромагнитной вол-
волны, которая описывается векторным потенциалом А ==»
= Aocos((o/ — kr + ot). Длина волны мала по сравнению
с величинами R и /г, поэтому за цилиндром простирается
область тени. На поверхности цилиндра электромагнит-
электромагнитная волна полностью поглощается. Определить силу F,
приложенную к цилиндру в среднем по времени за пе-
период Т = 2л/со.
264. Монохроматическая плоская электромагнитная
волна, описываемая векторным потенциалом А =
= A0cos(o)/ — kr + a), падает на поверхность непод-
неподвижного шара радиуса R и полиостью отражается от
этой поверхности. Длина волны мала по сравнению с
радиусом /?, поэтому за шаром находится область тени.
Определить силу F, приложенную к шару в среднем по
времени за период Т = 2я/со.
265. Линейно-поляризованная и циркулярная волны
в комплексном виде записываются так:
Е = Re A{К)Соег <*-«'>), Е = Re (Ъа)Сое1 (кг~П
где Я= 1, 2, Со— комплексная постоянная, 1W и Ыл>—'
единичные векторы поляризации, которые удовлетво-
удовлетворяют условиям
Индекс Х отмечает два независимых состояния поляри-
поляризации волны, отвечающих одному и тому же волновому
вектору к. Доказать, что для линейно-поляризованной и
циркулярной волн справедливы следующие правила
суммирования:
Л-1
2
)) (ВЬ(Х))* = AB*~4
где А и В — произвольные комплексные векторы,
79
266. Две монохроматические волны Ei = Ео* cos(co?—
— kr + cci) и Е2 = E02cos(cof — kr -f- a2) поляризованы во
взаимно перпендикулярных направлениях. Считая ам-
амплитуды этих волн одинаковыми, найти поляризацию
результирующей волны.
267. Две монохроматические волны поляризованы по
кругу в противоположные стороны и распространяются
в одном направлении. Амплитуды и частоты волн оди-
одинаковы, а фазы отличаются на постоянную величину.
Определить суммарную волну.
268. Амплитуда правополяризованной круговой вол-
волны равна Л, а левополяризованной — В. Частоты и фазы
этих волн одинаковы. Определить поляризацию резуль-
результирующей волны.
269. Плоскости поляризации двух монохроматических
волн
Ei = Ео1 cos (со/ — кг + сц), Ег = Е02 cos (of — кг + а2)
наклонены под некоторым углом друг к другу. Опреде-
Определить поляризацию результирующей волны, если Eoi = EO2
И OCl — (Х2 = Я/2.
270. Электромагнитная волна получена в результате
сложения двух линейно-поляризованных во взаимно
перпендикулярных направлениях монохроматических
волн Ei = EOfi cos (со^ — kit*) и Е2 = Е02 cos (со2/ — k2r),
у которых амплитуды одинаковы, волновые векторы па-
параллельны, а частоты отличаются на малую величину
| coi — со2|<С coi + со2. Векторы ЕОь Е02 и к образуют пра-
вовинтовую тройку. Найти поляризацию суммарной
волны.
271. Две монохроматические волны, поляризованные
по кругу и в противоположные стороны, имеют одинако-
одинаковые амплитуды и распространяются в одном направле-
направлении. Частоты (oi и со2 волн отличаются на малую вели-
величину j со 1 — 0J1 <С (Oi + @2. Определить поляризацию ре-
результирующей волны.
272. Волновой пакет получен суперпозицией моно-
монохроматических волн Шо cos(co/ — kr) с частотами в ин-
интервале 0 ^ со ^ оо. Направление распространения и
вектор поляризации 1 этих волн одинаковы, а число волн
с частотами в интервале от со до со + dco равно
80
где Д — постоянная, не зависящая ог частоты. Выраже-
Выражение, стоящее множителем перед дифференциалом dco,
является функцией распределения данных монохрома-
монохроматических волн по частотам. Найти напряженность элек-
электрического поля волнового пакета как функцию коорди-
координат и времени.
273. Волновой пакет получен путем наложения моно-
монохроматических волн lE0cos((x)t — kr + a) с частотами,
изменяющимися в пределах от соо до соо + А, где А <С соо.
Направление распространения и вектор поляризации I
этих волн одинаковы, а амплитуда группы волн с часто-
с1
тами в интервале от со до со + dco равна -^-^со. Здесь
Ео, соо и Д — постоянные, не зависящие от частоты со.
Определить напряженность электрического поля волно-
волнового пакета как функцию координат и времени.
274. Напряженность электрического поля волнового
пакета имеет постоянное направление и описывается
функцией Е = Е (t— —), которая отлична от нуля для
конечной области изменения своего аргумента. Здесь
п — постоянный единичный вектор, а с — скорость света.
Разлагая заданную функцию в интеграл Фурье, пред-
представить волновой пакет как суперпозицию монохромати-
монохроматических волн.
275. Напряженность электрического поля электро-
электромагнитной волны задана
—
с
где векторы Ео и п, а также величина т постоянны, при-
причем т > 0. Определить компоненту Фурье Е(к, со) дан-
данной функции.
276. Компонента Фурье Е(к, со) напряженности элек-
электрического поля имеет вид
где Ео и п — постоянные векторы. Определить напря-
напряженность электрического поля как функцию координат
и времени.
277. Электростатическое поле описывается сфериче-
сферически-симметричным потенциалом ф=ув""г/а, где а —
81
положительная постоянная. Представить напряженность
Е этого поля в виде разложения
по продольным волнам Ек?'кг, векторы поляризации ко-
которых направлены вдоль к.
278. Две конические поверхности вставлены одна в
другую и имеют общую вершину и ось симметрии. По
внешней конической поверхности по направлению к вер-
вершине бежит волна тока / = /о cos(co^ + ^r)> которая за-
затем переходит на внутреннюю коническую поверхность
и уходит на бесконечность. Здесь / — суммарный по-
поверхностный ток, о) = kc, a r — расстояние от вершины
до точки наблюдения на конической поверхности. Опре-
Определить вихревое электромагнитное поле в пространстве
между коническими поверхностями. Принять, что ра-
радиальная компонента искомого вектора Е равна нулю
тождественно.
279. По оси бесконечной цилиндрической поверхности
радиуса R течет линейный ток / = /oCos(co^ — kz). Пол-
Полный поверхностный ток, текущий по самой цилиндриче-
цилиндрической поверхности, представляет собой обратную волну
вида / = /0cos(g)? + &2). Определить вихревое электро-
электромагнитное поле внутри и снаружи цилиндрической по-
поверхности. Принять, что искомый вектор Е перпенди-
перпендикулярен оси Z и со = kc.
§ 5. Дифракция
280. Электромагнитная волна, напряженность элек-
электрического поля которой Е = l?ocos(co/— kr), падает в
нормальном направлении на плоский экран, имеющий
бесконечную щель ширины 2а. Вектор поляризации
1 параллелен щели. Считая отклонение от геометриче-
геометрической оптики малым &а>1, определить электрическое
поле дифрагированной волны, распространяющейся под
малыми углами дифракции. Найти приходящуюся на
единицу длины интенсивность dl рассеяния этой волны
в интервале углов dQ в среднем по времени за период
Т = 2я/со.
281. В плоском экране прорезаны N одинаковых бес-
бесконечных параллельных щелей ширины 2ак Расстояниз
82
эдежду осевыми линиями соседних щелей 2Ь. На экран
в нормальном направлении падает плоская электромаг-
электромагнитная волна Е = 1EoCos(g)? — kr). Вектор поляризации
1 параллелен щелям. Длина волны мала по сравнению
с характерными размерами ka^>\ и kb S> 1, так что
углы дифракции также малы. Определить электрическое
поле дифрагированной волны и отнесенную к единице
длины интенсивность dl рассеяния этой волны в ин-
интервале углов dQ в среднем по времени за период
Т = 2я/со.
282. Плоский экран имеет прямоугольное отверстие
со сторонами 2а и 2Ь. Монохроматическая плоская элек-
электромагнитная волна частоты со = kc падает нормально
к плоскости экрана. Вектор поляризации параллелен
одной из сторон прямоугольного отверстия, а длина
волны мала по сравнению с характерными размерами
ka >> 1 и kb^>\. Определить интенсивность dl дифра-
дифрагированной волны в телесном угле dQ в среднем по вре-
времени за период колебания волны.
283. Линейно-поляризованная плоская электромаг-
электромагнитная волна частоты со = kc падает нормально к пло-
плоскости бесконечного экрана, имеющего круглое отвер-
отверстие радиуса R. Длина волны мала по сравнению с
радиусом kR > 1, так что углы дифракции также малы.
Определить интенсивность dl дифрагированной волны
в телесном угле dQ в среднем по времени за период
колебания волны.
284. Плоский экран имеет кольцевое отверстие ра-
радиусов Ri и R2 (R\ < R2). Определить среднюю по вре-
времени интенсивность dl дифрагированной волны в телес-
телесном угле du при нормальном падении плоской линейно-
поляризованной электромагнитной волны на кольцевое
отверстие. Длина волны мала по сравнению с радиусами
и углы дифракции также малы.
285. Плоский экран имеет эллиптическое отверстие
с полуосями а и Ь. Плоская электромагнитная волна ча-
частоты со = kc падает нормально к плоскости экрана.
Длина волны мала по сравнению с полуосями эл-
эллиптического отверстия ka S> 1 и &6>1. Определить
интенсивность dl дифрагированной волны в телесном
угле dQ в среднем по времени за период колебания
В01НЫ.
286. Определить среднюю по времени интенсивность
dl дифрагированного света в интервале углов dQ при
83
нормальном падении плоской электромагнитной волны
частоты со = kc щ пластину бесконечной длины и ши-
ширины 2а. Вектор поляризации параллелен пластине, а
длина волны мала по сравнению с шириной пластины
йа> 1.
287. Шар радиуса R, являющийся абсолютно черным
телом, находится в электромагнитном поле плоской ли-
линейно-поляризованной волны частоты со = kc. Длина
волны мала по сравению с радиусом kR^>\. Опре-
Определить среднюю по времени интенсивность dl дифраги-
дифрагированной волны в телесном угле dQ.
Глава IV
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ
Задачу об излучении электромагнитных волн удобно
решать, вводя в рассмотрение электромагнитные потен-
потенциалы А и ф, которые определяются соотношениями
H = rotA, (IV. 1)
Величины А и ф определены неоднозначно. Переход
от электромагнитных потенциалов А и ф к новым А7 и ф/
при помощи преобразования калибровки:
(IV. 3)
т
не изменяет напряженности электрического и магнит-
магнитного полей. Здесь / = /(r, t) — произвольная функция.
Обычно ее выбирают так, чтобы выполнялось условие
Лоренца
Тогда уравнения для электромагнитных потенциалов,
вытекающие из уравнений Максвелла, принимают про-
простой вид:
1 д2А 4jt .
(IV. 7)
85
и называются уравнениями Даламбера. Физический
смысл имеют только те решения уравнений Даламбера,
которые удовлетворяют условию Лоренца (IV. 5).
Излучение электромагнитных волн описывается ре-
решениями уравнений (IV. 6) и (IV. 7) в виде запазды-
запаздывающих потенциалов:
Ф(г, t)=[
(IV. 8)
V ,_, } dV't (IV. 9)
где г — радиус-вектор точки наблюдения, г'— радиус-
вектор элемента объема dV, a t — время наблюдения.
На больших расстояниях от заряженной системы
каждый весьма малый элемент поверхности сферической
волны можно рассматривать как плоскую волну, в ко-
которой напряженности электрического Е и магнитного Н
полей равны по модулю и образуют правовинтовую
тройку векторов с направлением п распространения
волны
Е = НХп. (IV. 10)
Таким образом, для определения электромагнитного
поля излучения достаточно вычислить напряженность
только магнитного поля, которая связана с векторным
потенциалом (IV. 8) соотношением (IV. 1).
Поместим начало координат внутри заряженной си-
системы, максимальный линейный размер которой обозна-
обозначим через /. На больших расстояниях r^>l^rf имеем
|г — г'\жг — nr' и векторный потенциал (IV.8) при-
приближенно запишется как
А (г, /) = JL$j(r', t-±+"f)dV, (IV. 11)
где п = у.
Далее предположим, что излучение происходит в ос-
основном на частоте со, причем длина излучаемой волны
(деленная на 2я) велика по сравнению с линейным раз-
размером источника Х = —>> /. Кроме того, исследование
электромагнитного поля будем проводить на больших
86
расстояниях в волновой зоне
В этих предположениях подынтегральное выражение
в (IV. 11) можно разложить в ряд по переменной -у-,
что соответствует разложению векторного потенциала в
ряд по малому параметру //X:
4 ^ ^ -12)
где вектор D имеет компоненты
В формуле (IV. 12) второе и третье слагаемые чис-
численно одного порядка, а в совокупности меньше первого
члена в отношении /Д. Слагаемые более высокого по-
порядка малости отброшены. Дипольный момент d, маг-
магнитный момент jn и тензор Da$ квадрупольного момента
зависят от времени с учетом запаздывания
(IV. 13)
Применительно к заряду, движущемуся неравно-
неравномерно с нерелятивистской скоростью v, сумма (IV. 12)
представляет собой разложение по параметру ~-<С 1.
Вычисляя ротор от выражения (IV. 12) и отбрасывая
малые члены, пропорциональные 1/г2, получаем напря-
напряженность магнитного поля излучаемой волны
В каждой точке волновой зоны поток электромагнит-
электромагнитной энергии определяется вектором Пойнтинга
s = 4EXH-^-n. (IV. 15)
Электромагнитная энергия /, излученная источником
в единицу времени (интенсивность излучения), равна
потоку вектора Пойнтинга через сферу большого ра-
радиуса г с центром в начале координат
/ = J-J#V2dQ. (IV. 16)
87
Используя формулы (IV. 14) и (IV. 16), нетрудна
получить для интенсивности излучения / следующее вы*
ражение:
'-?+?+¦&• ov-»)
Первое, второе и третье слагаемые представляют со-
собой интенсивности дипольного, магнитно-дипольного и
квадрупольного излучений. Слагаемые, описывающие
излучение мультипольных моментов более высокого по-
порядка, отброшены. При сохранении указанных членов
получим бесконечный быстро сходящийся ряд, отдельные
слагаемые которого в общем случае зависят от выбора
начала координат. Поэтому необходимо указывать коор-
координатную систему, в которой определены дипольный,
магнитно-дипольный и квадрупольныи моменты, которые
входят в формулу (IV. 17). Обычно начало координат
выбирают в физически выделенной точке заряженной
системы, например, в ее центре инерции или точке сим-
симметрии, а также в центре вращения зарядов.
Поскольку суммарная интенсивность излучения
(IV. 16) представляет собой поток электромагнитной
энергии через сферу большого радиуса г с центром в
начале координат, численное значение этой величины
также меняется при сдвиге начала координат в связи
с изменением положения указанной сферы относитель-
относительно излучающей системы. Однако полная излученная
энергия
оо
<§-= [idt (IV. 18)
не зависит от сдвига начала координат внутри излучаю-
излучающей системы.
Обычно векторы \i и -D по модулю меньше |d|
по порядку величины в 1/% (или v/c) раз. Тогда вто-
второе и третье слагаемые в формуле (IV. 14) яв-
являются малыми поправками при вычислении напряжен-
напряженности магнитного поля в волновой зоне. Однако второе
и третье слагаемые в формуле (IV. 17) в этом случае
следует опустить, дабы не превысить выбранную точ-
точность вычисления. Чтобы определить первую поправку
к дипольному излучению, необходимо магнитное поле
вычислить с большей точностью, сохранив в формуле
(IV. 14) отброшенный член порядка 12/с2 (или v2/c2).
Тогда к сумме (IV. 17) добавится еще одно слагаемое,
которое по порядку величины равно интенсивностям
магнитно-дипольного и квадрупольного излучений (см.
задачи 349 и 350).
Если дипольное излучение системы по каким-либо
причинам ослаблено и по порядку величины значительно
меньше магнитно-дипольного и квадрупольного, то вто-
второе и третье слагаемые в формуле (IV. 17) являются
главными членами, а вместе с первым описывают излу-
излучение системы с определенной точностью. Опущенные
члены представляют собой малые поправки более высо-
высокого порядка. Последнее утверждение, вообще говоря,
справедливо и в том случае, когда все три слагаемые
(IV. 17) по величине одного порядка. Некоторые слагае-
слагаемые суммы (IV. 17) могут обращаться в нуль.
Полную энергию (IV. 18), излученную за все время
действия источника, можно представить в виде суммы
энергий, излученных на разных частотах
(IV. 19)
где ЙГ(со) — спектральная плотность излучения, т. е. энер-
энергия, приходящаяся на единичный интервал частот. Она
характеризует спектральный состав излучения. График
функции ^Г (со) называется спектральной линией излу-
излучения.
Чтобы определить спектральную плотность <?Г (со) из-
излучения заданного источника, необходимо величины, вхо-
входящие в интенсивность излучения (IV. 17), разложить
в интеграл Фурье. Тогда энергия dS® = 8((o)dcot из-
излученная в интервале частот от со до со + dco, запишется
в виде*)
2|d«p)|» 2 1Л(ш)| |ВаР(ш) f\
+ + ) d* (IV' 20)
Зле* + Зясз + 180м*
*) Между компонентами Фурье / (со) и / (со) функции / (/) и ее
производной / (t) существует соотношение / (со) = •— /со/ (со). Ана-
Аналогично, / (ш) = — со2/ (со) и / (со) = /со3/ (со).
89
где d(co), ji(co) и Ьа^{а>) — компоненты Фурье соответ-
соответствующих величин d(/), jli(/) и Д-^О, а выражение
в круглых скобках представляет собой искомую функ-
функцию & (со).
Например, энергия, излученная на малых частотах
сот <?С 1 зарядом е во внешнем силовом поле>
В этой формуле т — порядок величины времени взаимо-
взаимодействия заряда с внешним полем, a Vi и v2 — его ско-
скорости до и после этого взаимодействия.
Когда в некоторой точке волновой зоны заданы на-
напряженности электрического E(t) или магнитного Н(/)
полей, тогда энергия (^(со), проходящая в нормальном
направлении через единицу площади в единичном интер-
интервале частот, определяется при помощи соотношения
. (IV. 21)
График этой функции <§Г (со) представляет собой спект-
спектральную линию данного излучения.
Интенсивностью dl излучения в элемент телесного
угла dQ называется энергия, протекшая в единицу вре-
времени через элемент dS = r2dQ сферической поверхности
большого радиуса г, центр которой расположен в начале
координат. Вычисляя поток вектора Пойнтинга (IV. 15)
через указанный элемент сферической поверхности, на-
находим угловое распределение интенсивности излучения
Q, (IV. 22)
где напряженность магнитного поля определяется выра-
выражением (IV. 14). Если дипольное излучение не ослаб-
ослаблено, то после возведения в квадрат суммы (IV. 14) еле*
дует опустить слагаемые, имеющие порядок величины
Р/%2 (или v2/c2)y чтобы не превышать принятую точность
вычисления.
Формула (IV.22) заметно упрощается, когда излу^
чающая система характеризуется только одним диполь*
90
ным моментом, магнитным моментом или тензором квад-
рупольного момента, и принимает вид соответственно
du, (IV. 24)
Q- (IV. 25)
Угловое распределение полной энергии, излученной
за время действия источника, получим путем интегриро-
интегрирования интенсивности излучения (IV. 22) по времени
= -j^dQ J Н2 (г, t) dt. (IV. 26)
Разлагая в этой формуле напряженность Н (г, /) маг-
магнитного поля в интеграл Фурье по переменной t, не-
нетрудно определить энергию d*?™, излученную в телес-
телесный угол dQ на частотах в интервале от ш до со + day:
й$ш = ^ I Н (г, со) |2 dQ dv>. (IV. 27)
При помощи формулы (IV. 14) компонента Фурье
Н(г, о) напряженности магнитного поля в (IV. 27) пред-
представляется в виде суммы слагаемых, относящихся к ди-
польному, магнитно-дипольному и квадрупольному излу-
излучениям. Однако после возведения в квадрат указанной
суммы необходимо отбросить члены порядка величины
Г2/с2 (или v2lc2), когда дипольное излучение не подав-
подавлено.
Если электрон находится в поле электромагнитной
волны, то в нерелятивистском случае на него действует
сила еЕ. Слагаемым -(vXH) можно пренебречь. Под
действием этой силы электрон приобретает ускорение
г=-^-Е и, следовательно, излучает. Угловое распреде-
распределение дипольного излучения электрона, совершающего
колебание в поле монохроматической волны, дается фор-
формулой (IV. 22). В результате такого излучения будет
происходить рассеяние падающей волны на свободном
91
электроне. Этот процесс характеризуется эффективным
сечением da рассеяния в телесный угол dQ:
do = -j-t (IV. 28)
где 5 — модуль вектора Пойнтинга падающей волны, а
черта над буквами означает усреднение по времени за
период колебания этой волны.
На излучающую заряженную частицу действует со
стороны излучаемого электромагнитного поля тормозя-
тормозящая сила, которую называют силой радиационного тре-
трения. При этом энергетические потери частицы на излу-
излучение можно рассматривать как результат преодоления
указанной силы трения, возникающей в процессе излу-
излучения. Сила радиационного трения в нерелятивистском
случае имеет вид
f = fjr, (IV. 29)
где е и г — заряд и радиус-вектор движущейся частицы.
Эта сила мала по сравнению с внешней силой, действую-
действующей на частицу.
Учет обратного влияния излучения на движение заря-
заряженной частицы следует проводить, когда излучение про-
происходит с большой интенсивностью на протяжении весь-
весьма продолжительного (бесконечного) промежутка вре-
времени. Такой учет осуществляется двояко. Первый путь
состоит в прибавлении силы радиационного трения
(IV. 29) к внешней силе F в уравнении движения
m*r = F + Ur. (IV. 30)
В этом случае интенсивность, спектральный состав и уг-
угловое распределение излучения вычисляются по форму-
формулам (IV. 16) — (IV.27), в которых функция r = r(f) яв-
является решением уравнения (IV. 30).
Вторым способом служит использование закона со-
сохранения энергии, согласно которому убыль энергии Ж
заряженной частицы во внешнем постоянном силовом
поле F= F(r) происходит за счет излучения
-^ = /, (IV. 31)
где величина & слагается из кинетической и потенци-
потенциальной энергии частицы, а интенсивность излучения /
дается формулой (IV. 17). Уравнение (IV.31) справед-
92
ливо лишь в первом отличном от нуля приближении (без
учета эффектов, связанных с запаздыванием излучен-
излученного электромагнитного сигнала внутри области движе-
движения заряда). В отличие от предыдущего случая радиус-
вектор r = r(t) заряженной частицы, входящий в выра-
выражение для интенсивности излучения, здесь берется из
уравнения движения
mr = F (IV. 32)
без учета силы радиационного трения. Последняя при-
привносит в соотношение (IV. 31) пренебрежимо малую
поправку. Уравнение движения (IV. 32) дает возмож-
возможность выразить правую часть равенства (IV. 31) через
энергию § и таким образом позволяет получить диффе-
дифференциальное уравнение относительно этой величины.
Полученное дифференциальное уравнение описывает
убыль энергии частицы в результате длительного излу-
излучения.
§ 1. Дипольное излучение
288. Через конденсатор пролетела частица с массой
m и зарядом е. Расстояние между обкладками конден-
конденсатора равно /, а напряженность Е электрического поля
в нем однородна и постоянна. Угол между вектором Е
и направлением скорости v0 частицы при влете равнялся
а. Знаки заряда е и косинуса угла а одинаковы. Найти
энергию &, теряемую частицей на дипольное излучение
во время пролета через конденсатор.
289. Частица с массой m и зарядом е пролетает по
диаметру шара радиуса R> внутри которого равномерно
распределен заряд Q. Заряды частицы и шара противо-
противоположного знака. Перед влетом в шар частица имела
кинетическую энергию &§. Определить энергию &', теряе-
теряемую частицей на дипольное излучение во время пролета
через шар.
290. Напряженность Н магнитного поля в полупро-
полупространстве однородна, постоянна и направлена парал-
параллельно граничной плоскости. В это полупространство
влетает протон с массой m и зарядом е. Скорость v про-
7она при влете перпендикулярна граничной плоскости.
Определить энергию <§, теряемую протоном на диполь-
дипольное излучение за время движения в магнитном полг.
291. Протон с массой m и зарядом е движется в скре-
хценных электрическом и магнитном полях с напряжен-
93
ностями Ей Н, которые удовлетворяют условиям ЕН =»
= 0 и ? < Я. Внешние поля однородны и постоянны, а
протон в начальный момент времени t0 = 0 имел ско-
скорость vo. Определить энергию дипольного излучения, те-
теряемую частицей за время t.
292. Простейшая линейная антенна представляет со-
собой тонкий прямолинейный провод длины /, по которому
течет ток / = /0 cos со/. Определить интенсивность/ длин-
длинноволнового излучения антенны в среднем по времени
за период колебания тока.
293. Под влиянием упругой силы частица с массой т
и зарядом е может совершать гармонические колебания
с частотой «о (так называемый осциллятор). Учитывая
силу радиационного трения, определить среднюю по вре-
времени за период Т = 2я/оз интенсивность / излучения ос-
осциллятора, совершающего установившиеся вынужден-
вынужденные колебания во внешнем электрическом поле с напря-
напряженностью Е = Ео sin at.
294. Электрон с массой m и зарядом е пролетает на
большом расстоянии / от неподвижного ядра с зарядом
Z\e\. В бесконечно удаленный момент времени t =* — со
электрон имел скорость, по абсолютной величине рав-
равную vo. Пренебрегая искривлением траектории, найти
энергию <%, теряемую электроном на дипольное излуче-
излучение за все время пролета.
295. Частица с массой m и зарядом е пролетает на
большом расстоянии / от диполя с моментом d, который
покоится в некоторой точке пространства. На бесконеч-
бесконечности частица имела скорость vo. Считая приближенно
траекторию прямолинейной, определить полную энер*
гию &, теряемую частицей на дипольное излучение в
двух случаях: а) дипольный момент d параллелен на-
начальной скорости Vo частицы; б) дипольный момент d
перпендикулярен начальной скорости v0 и лежит в пло-
плоскости движения частицы.
296. Полный заряд и дипольный момент покоящегося
возбужденного атома равны нулю, а компоненты тензора
квадрупольного момента имеют вид Da§ = О при а Ф |3
и D\\ = D%2 = —7г?. В плоскости XY на большом рас«
стоянии I ot атома пролетает электрон с массой m и за«
рядом е, В бесконечно удаленный момент времени t —
= — оо он имел скорость по абсолютной величине, рав-
равную Vq. Считая приближенно траекторию прямолинейной
и пренебрегая поляризуемостью атома под действием
94
пролетающего электрона, определить полную энергию <§*,
потерянную электроном на излучение.
297. В результате деления ядро раскалывается на
два осколка с массовыми числами А\ и А% и зарядами
Z\e и Z2e. В системе центра инерции суммарная кинети*
ческая энергия обоих осколков на бесконечности S'q.
Масса нуклона т. Вычислить полную энергию & ди«
польного излучения, обусловленного кулоновским взаи*
модействием разлетающихся осколков ядра. Принять,
что осколки движутся согласно законам классической
механики, начиная свое движение из тех точек простран*
ства, где их относительная скорость равнялась нулю.
298. Протон с массой т и зарядом е движется пер«
пендикулярно однородному постоянному магнитному
полю с напряженностью Н. Его кинетическая энергия
в начальный момент времени t0 = 0 равнялась <oq. Найти
закон убывания кинетической энергии &\ обусловленный
дипольным излучением.
299. Во внешнем потенциальном поле частица с мас-
массой т и зарядом е совершает одномерное гармоническое
колебание с частотой со. В начальный момент времени
1{) = о ее полная энергия равнялась <§§. Не прибегая
к явному выражению для силы радиационного трения,
определить усредненный по времени от t до t + 2я/со за*
кон убывания полной энергии <§ частицы, обусловленный
дипольным излучением. Принять, что в каждый момент
времени отклонения от гармонического режима колеба-
колебания пренебрежимо мало —тт- <С ©<?\ Поэтому при усред-
усреднении медленные функции времени можно рассматри-
рассматривать как постоянные.
300. В классической модели атома, предложенной Ре-
зерфордом, электрон с массой т и зарядом е вращается
по круговой орбите вокруг неподвижного ядра с заря-
зарядом Z\e\. Найти закон убывания полной энергии & элек-
электрона, обусловленный дипольным излучением. Вычислить
время tUi по истечении которого электрон упадет на
ядро вследствие потери энергии на дипольное излучение.
В начальный момент времени ?о = 0 электрон находился
на расстоянии R от ядра.
301. Модель атома водорода, предложенная Дж,
Дж. Томсоном, представляет собой неподвижный одно-
однородно заряженный шар радиуса R с полным положи-
положительным зарядом \е\. Внутри шара движется точечный
96
электрон с массой т и зарядом е. Чему равна частота
со электромагнитной волны, излучаемой такой системой?
Предполагая, что в начальный момент времени t0 = О
электрон покоился на расстоянии R от центра шара, оп-
определить усредненный по времени от t до ? + 2я/со закон
убывания полной энергии & электрона, обусловленный
силой радиационного трения. При усреднении медлен-
медленные функции времени следует рассматривать как по-
постоянные.
302. Доказать, что у замкнутой системы заряженных
частиц с одинаковым отношением заряда к массе ди-
польное излучение отсутствует.
303. Электронный газ плотности No находится во
внешнем однородном постоянном магнитном поле с на-
напряженностью Н. Распределение электронов по кинети-
кинетическим энергиям поступательного движения описывается
распределением Максвелла, а среднее расстояние между
электронами велико по сравнению с длиной излучаемой
волны. Определить обусловленную внешним магнитным
полем интенсивность / излучения единицы объема элект-
электронного газа.
304. Две частицы с одинаковой массой т скреплены
между собой жестким стержнем длины /, массой кото-
которого можно пренебречь. Заряды частиц одинаковы по
абсолютной величине, но противоположны по знаку. На-
Напряженность Е внешнего электрического поля однород-
однородна, постоянна и направлена от отрицательного заряда
в сторону положительного. В начальный момент времени
t0 — 0 стержень покоился и образовывал с вектором Е
малый угол г|)о <С 1. Определить интенсивность / диполь-
ного излучения системы двух зарядов.
305. Расстояние а между двумя одинаковыми парал-
параллельными диполями с моментами d = do cos со? по по-
порядку величины равно длине излучаемой волны а ~
~с/(о=Х. Постоянный вектор do параллелен прямой,
соединяющей диполи. Найти интенсивность / излучения
системы двух диполей в среднем по времени за период
Т = 2я/со. Исследовать предельный случай а <СХ.
306. Система, состоящая из большого числа N парал-
параллельных точечных диполей, занимает область простран-
пространства, линейные размеры которой ничтожно малы по
сравнению с основными длинами излучаемых волн. Ча-
Частоты колебания диполей разбросаны вблизи некоторой
частоты со так, что суммарный момент диполей с часто-
96
тами в интервале от со + е до ш + е-г^е равен
dof(e) cos (со+ е) We, где вектор d0 постоянен, а функция
распределения /(е) имеет вид f (е) = -^-р=-е °. Вели-
чины Го и 8 удовлетворяют неравенствам N ^> соГ0 >> 1
и — оо <^ е ^ оо. Определить интенсивность / излучения
системы в среднем по времени от t до t + 2я/со, а также
полную энергию & дипольного излучения за бесконечное
время — оо ^ t ^ оо.
307. Электрон с массой m и зарядом е совершает
эллиптическое движение внутри шаровой области, одно-
родно заполненной положительным зарядом с объемной
плотностью р. В начальный момент времени электрон
находился в точке с радиус-вектором г0, имея скорость
Vo. Определить энергию &9 теряемую электроном на ди-
дипольное излучение за период движения.
308. Электрон с массой m и зарядом е движется по
эллиптической орбите вокруг неподвижного ядра с за-
зарядом Z\e\. Полная энергия и механический момеиг
электрона равны соответственно ё> и М. Определить
энергию &d> теряемую электроном на дипольное излу-
излучение за период движения.
309. Положительно заряженная частица с массой т\
и зарядом е\ пролетает с прицельным расстоянием /
мимо атомного ядра с массой пг2 и зарядом е2. Скорость
частицы относительно ядра на бесконечно большом рас-
расстоянии от него равнялась v0. Определить энергию &&,
теряемую частицей на дипольное излучение за все время
пролета около ядра.
310. Частица с хмассой m и зарядом е движется в по-
потенциальном поле U = а/г2, где постоянная а положи-
положительна. Полная энергия и момент частицы равны соот-
соответственно & и М. Определить энергию <8&, теряемую
частицей на дипольное излучение за бесконечное время
движения от t = — оо до t = оо.
311. Поток одинаковых частиц с массой m и зарядом
е рассеивается сферически-симметричным потенциаль-
потенциальным полем отталкивания U=U(r). Скорость каждой
налетающей частицы на бесконечно большом расстоя-
расстоянии от силового центра равна v0. Найти эффективное
излучение
А И Алексееь о7
где bJS — полная энергия дипольного излучения чао*
тицы, пролетающей с прицельным расстоянием /. Пред*
ставить величину и в виде двойного интеграла.
§ 2. Магнитно-дипольное и квадруполькое излучения
312. Нейтрон, имеющий внутренний магнитный мо-
момент \х, влетает в однородное постоянное магнитное поле
с напряженностью Н. Внутренний механический момент
М нейтрона связан с магнитным соотношением jli =*
= —($M, а угол между векторами jm и Н при влете рав-
равнялся Во. Найти интенсивность / излучения.
313. Простейшая рамочная антенна представляет со-
собой прямоугольную рамку со сторонами а и 6, по кото-
которой течет линейный ток / = /0 cos со/. Определить интен-
интенсивность / длинноволнового излучения антенны в сред-
среднем по времени за период колебания тока.
314. Тонкая однородная спица из ферромагнетика
длины / имеет массу и магнитный момент на единицу
длины, равные соответственно гп\ и щ. В начальный мо-
момент времени спица покоилась и образовывала малый
угол \|)о с направлением внешнего постоянного однород-
однородного магнитного поля с напряженностью Н. Определить
интенсивность / излучения.
315. При каком условии интенсивность магнитно-ди-
польного излучения не зависит от выбора начала коор-
координат?
316. Электрон с массой т и зарядом е движется во
внешнем постоянном однородном электрическом поле
с напряженностью Е. Представить интенсивность / маг-
нитно-дипольного излучения как функцию скорости v
электрона и напряженности электрического поля.
317. Шар радиуса R совершает малые крутильные
колебания около своей оси симметрии с частотой соо.
Максимальный угол поворота ф0. Заряд Q и масса рас-
распределены по объему шара равномерно. Определить
среднюю по времени за период колебания интенсивность
/ излучения шара.
318. Однородный шар радиуса R вращается около
своего диаметра с постоянной угловой скоростью а>. Ось
вращения наклонена под углом 6 к направлению внеш-
внешнего постоянного однородного магнитного поля с на-
напряженностью Н. Полные заряды и масса шара равны
Q и т. Определить интенсивность / излучения.
98
319. По тонкому однородному кольцу радиуса R и
массы т течет постоянный ток /. В начальный момент
времени ось кольца составляла малый угол -фо с направ-
направлением внешнего постоянного однородного магнитного
поля с напряженностью Н (фо<? 1). Ток / течет по ча-
часовой стрелке, если смотреть по направлению вектора
Н. Найти интенсивность / излучения.
320. В тонкой неподвижной квадратной рамке со сто-
стороной / возбужден ток / = Joe-at\ Определить полную
Энергию S длинноволнового излучения за время — оо <^
< * < оо.
321. Два одинаковых заряда величины в совершают
плоское движение. Их полярные координаты гь я|>ь г2 и
*|J меняются со временем по закону
где а — положительная постоянная, a ty(t) — монотон-
монотонная функция, заключенная в пределах 0 <; ty(t) ^ л. Оп-
Определить интенсивность магнитно-дипольного излучения
такой системы.
322. Возможно ли магнитно-дипольное излучение в
моделях атома водорода, предложенных Резерфордом и
Дж. Дж. Томсоном (см. задачи 300 и 301)?
323. Доказать, что в отсутствие внешнего поля интен-
интенсивность магнитно-дипольного излучения двух взаимо-
взаимодействующих между собой заряженных частиц равна
нулю, если начало координат выбрано в центре инерции
этих частиц.
324. Замкнутая система состоит из конечного числа
частиц с одинаковым отношением заряда к массе. Дока-
Доказать, что магнитно-дипольное излучение у такой системы
отсутствует.
325. Система частиц с одинаковым отношением за-
заряда к массе, равным е/т, совершает финитное движе-
движение во внешнем центрально-симметричном поле, кото*
рое создается некоторой неподвижной частицей. В про-
странстве включено слабое однородное постоянное
магнитное поле с напряженностью Н. Определить на-
напряженности электрического Ем и магнитного Нм полей
магнитно-дипольного излучения в волновой зоне, а так-
также частоту излучаемых волн.
326. Расстояние между магнитными моментами jlii =
= jtio cos со/ и \i2 = щ cos [(со + Лео)/ + а] мало по срав-
сравнению с длинами излучаемых волн. Частоты колебания
4* 99
удовлетворяют условию Доз «С о, а величины jm0 и а по-
постоянны. Найти интенсивность / излучения этой системы
в среднем по времени от t до t+T, где Т = 2я/со — пе-
период., быстрых колебаний.
327. Система N магнитных моментов занимает об-
область пространства, линейные размеры которой ничтож-
ничтожно малы по сравнению с длинами излучаемых волн.
Магнитные моменты описываются формулой 4iin —
= jno cos [(со + ne)f], где вектор \i0 постоянен, а число л
принимает значение п = О, 1, 2, ..., N—1. Разброс
частот колебания мал по сравнению с основной частотой
eN <C со. Определить интенсивность / излучения системы
в среднем по времени от t до t + 2л/со.
328. Совокупность большого числа N маленьких замк-
замкнутых контуров с переменным током образует излучаю-
излучающую систему, линейные размеры которой весьма малы
по сравнению с основными длинами излучаемых волн.
Магнитные моменты токовых контуров совершают гар-
гармонические колебания. Подавляющая часть из них имеет
частоты, мало отличающиеся от некоторой частоты со.
Суммарный магнитный момент токовых контуров с час-
частотами колебаний в интервале от со -}- s до со + е + d&
равен d\x = \iof{e) cos (со + s)/ de, где jlio — постоянный
вектор, а функция f(e) =—, 2 ] , и описывает распре-
деление токовых контуров по частотам гармонических
колебаний при условии Л^3>сот>>1 и — оо^е^оо.
Определить интенсивность / излучения системы в сред-
среднем по времени от t до t + 2jt/co, а также полную энер-
энергию 8 магнитно-дипольного излучения за бесконечное
время — оо ^ t ^ оо.
329. При каком условии интенсивность квадруполь-
ного излучения не зависит от выбора начала координат?
330. Маленький шарик массы m прикреплен к ниж-
нижнему концу невесомого стержня длины 2/, который мо-
может свободно вращаться около своей средней непод-
неподвижной точки. Противоположные концы стержня несут
точечные заряды величины е. В начальный момент вре-
времени стержень был отклонен от вертикального положе-
положения на малый угол -ф0 и покоился. В дальнейшем он
совершает малые колебания под действием силы тяжести,
приложенной к шарику. Определить интенсивность / из-
излучения системы в среднем по времени за период коле-
колебания.
100
331. Две частицы с одинаковым отношением заряда
к массе е\\тх = е2/т2 = е/т связаны между собой пру-
пружиной и совершают гармонические колебания в отсут-
отсутствие поля тяжести. Длина ненагруженной пружины /,
а ее коэффициент жесткости k. В начальный момент вре-
времени пружина была растянута до длины 10 и покоилась.
Найти интенсивность / излучения в среднем по времени
за период колебания пружины. Взаимодействием заря-
зарядов между собой пренебречь.
332. Определить полную энергию & излучения, со-
сопровождающего разлет осколков ядра в задаче 297, счи-
считая отношение заряда к массе у осколков одинаковым
Zxe Z2e Ze
А{т A2m Am
333. Протон с массой т и зарядом е движется в про-
произвольном направлении во внешнем однородном постоян-
постоянном электрическом поле с напряженностью Е. Предста-
Представить интенсивность / квадрупольного излучения как
функцию скорости v протона и напряженности внешнего
электрического поля.
334. В магнитном поле две одинаковые частицы с мас-
массами т и зарядами е вращаются с постоянной угловой
скоростью со по окружности, находясь на противополож-
противоположных концах диаметра. В начальный момент времени
tQ = О кинетическая энергия обеих частиц равнялась до-
доопределить обусловленный излучением закон убывания
кинетической энергии S частиц, предполагая, что взаи-
взаимодействием зарядов между собой можно пренебречь.
Скорость убывания кинетической энергии частиц очень
мала —7J- <С со©.
335. Два одинаковых заряда величины е вращаются
с постоянной угловой скоростью со по окружности ра-
радиуса R. Радиусы, проведенные в точки расположения
зарядов, образуют между собой угол ф. Определить ве-
величину угла \|), при котором интенсивности дипольного
Id и квадрупольного ID излучений данной системы двух
зарядов одинаковы.
336. Точечный диполь с моментом d вращается с по-
постоянной угловой скоростью со по окружности радиуса R.
Вектор d постоянен по модулю и в каждый момент вре-
времени направлен по радиусу окружности. Определить ин-
интенсивности дипольного U, магнитно-дипольного /ц и
101
квадрупольного Id излучений в длинноволновом прибли-
приближении R <С ^ = с/а).
337. Два одинаковых антипараллельных точечных
диполя с моментами d и —d вращаются с постоянной
угловой скоростью со по окружности радиуса R, находясь
на противоположных концах диаметра. Моменты дипо-
диполей постоянны по модулю и в каждый момент времени
направлены по касательной к окружности. Определить
интенсивность / излучения, считая 7? <С—.
338. Антипараллельные точечные диполи с момен-
моментами d и —d расположены на расстоянии 2а друг от
друга и вращаются с постоянной угловой скоростью со
в плоскостях, перпендикулярных общей прямой, на ко-
которой они находятся. Определить интенсивность / излу-
излучения такой системы в длинноволновом приближении
339. Расстояние 2а между двумя одинаковыми анти-
антипараллельными точечными диполями значительно мень-
меньше длины излучаемой волны а <С X = с/со. Дипольный
момент одного из них d = d0 cos со/. Постоянный вектор
d0 перпендикулярен прямой, соединяющей диполи. Срав-
Сравнить между собой интенсивности магнитно-дипольного
/ц и квадрупольного ID излучений в среднем по времени
за период Т == 2я/со.
340. Дипольные моменты двух одинаковых маленьких
диполей направлены вдоль одной и той же прямой в про-
противоположные стороны. Каждый диполь представляет
собой систему двух частиц с массами m и зарядами е и
—е, которые связаны между собой квазиупругой силой
и колеблются с частотой со. Расстояние 2а между дипо-
диполями значительно меньше длины излучаемой волны.
Определить усредненный по времени от t до t + 2л/to
закон убывания энергии & диполей, если в начальный
момент времени tQ = 0 они имели энергию <§§.
341. Шар, заряженный по объему сферически-сим-
сферически-симметрично, пульсирует так, что его объемная плотность
заряда меняется по времени по закону р = р(г, /), где
г — расстояние до центра шара. Будет ли иметь место
излучение?
342. Заряд Q равномерно распределен внутри
капли, поверхность которой совершает гармонические
колебания вблизи равновесного положения по закону
102
г = гоA + е cos2 0 cos соО> где г — расстояние от центра
капли до точки на ее поверхности, 6 — полярный угол
сферической системы координат, а величины г0, со и s
постоянны (е <С 1). Сохраняя члены с наименьшей сте-
степенью параметра е, определить интенсивность / из те-
течения.
343. Однородно заряженный тонкий диск радиуса R
вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой
скоростью со. Полный заряд диска равен Q. Найти ин-
интенсивность / излучения.
344. Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено
с линейной плотностью q. Ось кольца прецессирует с
посюянной угловой скоростью (о вокруг другой оси, про-
проходящей через центр кольца
под углом 0 к его собствен-
собственной оси (рис. 4). Найти ин-
интенсивность / излучения.
345. Заряд Q равномер-
но распределен по тонкому
стержню длины 2/, который
вращается в плоскости с по-
постоянной угловой скоростью
со вокруг своей центральной
точки. Найти интенсивность
/ и ^лучения.
346. Однородно заряжен- х/
ный по объему эллипсоид
вращения с полуосями а и Ь
покачивается в плоскости
YZ около своего центра так, что угол между его осью
симметрии и осью Z меняется по гармоническому за-
кэну 9 = 9о cos со/, где Go «С 1. Полный заряд эллипсоида
равен Q, а полуось Ь лежит на его оси симметрии. Остав-
Оставляя члены, содержащие наименьшую степень угла 9,
найти интенсивности магнитно-дипольного /^ и квадру-
польного Id излучений.
347. Тонкий диск эллиптической формы с полуосями
а и b равномерно заряжен с поверхностной плотностью а.
Форма диска меняется со временем, оставаясь плоской
и незначительно отклоняясь от круга радиуса R. Закон
изменения параметра ^~ деформации задан ^"" b ^
= Pcosco/, где р и со — постоянные (|5<1). Площадь
диска равна площади круга радиуса R и при де-
103
Рис. 4.
формации не меняется, если не учитывать слагаемые,
квадратичные по малому параметру р. Оставляя члены с
наименьшей степенью параметра р, определить интен-
интенсивность / квадрупольного излучения в среднем по вре-
времени за период Т = 2я/со.
348. Прямоугольный параллелепипед со сторонами
а, а и Ь равномерно заряжен с объемной плотностью р.
С течением времени параллелепипед деформируется так,
что его поверхность испытывает малые гармонические
колебания вблизи поверхности куба со стороной по. Па-
Параметр —-ц-г деформации задан —ц^-т-= pcosco/, где
Р и со — постоянные (р<С1). Объем параллелепипеда
остается все время постоянным и равным объему куба
со стороной а0, если пренебречь слагаемыми, квадратич-
квадратичными по малому параметру р. Найти интенсивность /
квадрупольного излучения в среднем по времени за пе-
период Т = 2я/со,
349. Заряды в\ (i=l,2, ..., N) движутся со скоро-
скоростями Vi в ограниченной области пространства. Опреде-
9
щ
лить поправки порядка — <С 1 к векторному потенциалу
и напряженности магнитного поля в волновой зоне. При
помощи полученного результата найти поправки того же
порядка к интенсивности дипольного излучения, пред-
представив формулу в следующем виде:
2d2 2ii2 'bio
j L 1L2? l Д/
1 ~~ 3c3 ^ 3c3 ^ 180c5 ' Ш>
где d и ji — дипольный и магнитный моменты, Da$—•
тензор квадрупольного момента движущихся зарядов, а
величина А/ подлежит определению. Слагаемое Д/ обыч-
обычно опускается при написании интенсивности излучения
системы, состоящей из медленно движущихся зарядов,
хотя по порядку величины оно может совпадать с интен-
сивностями магнитно-дипольного и квадрупольного из-
излучения.
350. Напряженность Е электрического поля между
обкладками конденсатора однородна и постоянна. Вну-
Внутри конденсатора параллельно полю Е движется с нере-
нерелятивистской скоростью v частица, имеющая массу пг
и заряд е. Используя результат предыдущей задачи,
определить интенсивность излучения с точностью до ма-
малых членов порядка v2/c2.
104
§ 3. Спектральное разложение излучения
351. До начального момента времени to = 0 электрон
с массой т и зарядом е покоился. При t ^ 0 он дви-
движется под действием электрического поля с напряжен-
напряженностью Е= Ео?~а* cos coo/. Найти энергию d<§ &, излучен-
излученную электроном на частотах от со до со + Ло.
352. На отрезке длины / течет линейный ток / =
= JQe-at sin coo*, где постоянные величины удовлетво-
удовлетворяют неравенствам а/ <С с и соо/ <С с. В моменты времени
t 5^.0 ток равнялся нулю. Найти энергию dS'©, излучен-
излученную на частотах от со до со + ^со.
353. Неподвижный шар равномерно заряжен с объ-
объемной плотностью р положительным зарядом. Внутри
шара на расстоянии а от его центра в моменты времени
t ^ 0 покоился электрон с массой т и зарядом е. В по-
последующее время t ^ 0 электрон движется под дейст-
действием электрического поля шара. Учитывая силу радиа-
радиационного трения, определить энергию dS® дипольного
излучения, приходящуюся на интервал частот от со до
со + rfco.
354. Осциллятор представляет собой частицу с мас-
массой т и зарядом е, которая совершает гармонические
колебания с частотой о о под действием внешней упругой
силы. Начиная с момента времени /о = 0, покоившийся
осциллятор подвергся действию внешнего электриче-
электрического поля с напряженностью Е= Е(/), которая описы-
описывается непрерывной функцией, обращающейся в нуль
по истечении конечного промежутка времени. Принимая
во внимание торможение излучением, найти энергию
dS'ay дипольного излучения осциллятора, приходящуюся
на интервал частот от со до со + dco.
355. Частица с массой т и зарядом е подвешена на
невесомой жесткой нити и совершает малые колебания
с частотой со о в поле тяжести. Учитывая силу радиацион-
радиационного трения, определить ширину Дсо спектральной линии
излучения.
356. На большом расстоянии от излучателя в волно-
волновой зоне измерительный прибор в моменты времени
О ^ t зафиксировал электрическое поле с напряжен-
напряженностью Е = ^e~at cos coo^, где постоянные величины а и
со0 удовлетворяют неравенству а <С соо. Определить ши-
ширину Доз спектральной линии излучения, прошедшего
через измерительный прибор.
105
357. Совокупность возбужденных примесных атомов
кристалла излучила электромагнитный импульс, распро-
распространяющийся в свободном пространстве в виде плоской
волны
Е = Еое" '"^ coscoG(/ —~)>
где векторы Ео и п, а также величины соо и т постоянны.
Несущая частота соо импульса и время релаксации т
кристалла связаны условием соот>1. Определить ши-
ширину Дсо спектральной линии излучения.
358. Напряженность электрического поля когерент-
когерентного спонтанного излучения атомов газа имеет вид пло-
плоской волны
L. Л _JHLV
4?0 cos ш0 ('-^
где соо — частота резонансного атомного перехода, То—•
время доплеровской релаксации (соо7"о^1)> п — еди-
единичный вектор направления распространения волны, а
Ео — постоянный вектор. Определить ширину Дсо спек-
спектральной линии излучения.
359. До начального момента времени частица с мас-
массой m и положительным зарядом е покоилась. В после-
последующие моменты времени она движется под действием
однородного постоянного электрического поля с напря-
напряженностью Е. Определить энергию dS^ излученную в
интервале частот от со до ю + flfco, если частица
пролетела расстояние / в области, где действует это
поле.
360. Электрон с массой m и зарядом е влетает в по-
полупространство, в котором напряженность Е электриче-
электрического поля однородна и постоянна. Направление скоро-
скорости v0 электрона при влете образует с вектором Е ост-
острый угол а. Определить энергию d&a» излученную в ин-
интервале частот от со до со + da> за все время движения
во внешнем поле.
361. Протон с массой m и зарядом е пролетает с
большим прицельным расстоянием I мимо неподвижного
ядра, имеющего заряд Ze. Из-за большой величины I
угол рассеяния протона мал. Скорость протона до взаи-
взаимодействия с ядром по абсолютной величине равнялась
Vo. Определить число dN& мягких квантов, излученных
106
протоном с частотами в интервале от со до со + ^w, где
со<С-у-. Энергия кванта йсо.
362. Две частицы с массами тх и т2 и одноимен-
одноименными зарядами ех и ?2 двигаются по прямой из беско-
бесконечности навстречу друг другу. Когда взаимное расстоя-
расстояние становится равным /, частицы останавливаются,
после чего совершают движение в противоположном
направлении, разлетаясь на бесконечность. Определить
энергию d(S'(о дипольного излучения, приходящуюся на
интервал частот от со до со + dco. Исследовать получен-
полученное выражение в области малых и больших частот.
383. В начальный момент времени /0 = 0 две частицы
с массами Ш\ и т2 и одноименными зарядами е{ и е2
покоились на расстоянии / друг от друга. В дальнейшем
в результате кулоновского взаимодействия они разле-
разлетаются на бесконечно большое расстояние. Определить
энергию й<о® дипольного излучения, приходящуюся на
интервал частот от со до со + Ло. Исследовать полученное
выражение в области малых и больших частот. Сравнить
с аналогичными формулами предыдущей задачи.
364. Энергия взаимодействия двух заряженных ча-
частиц является функцией расстояния между ними и при-
приводит к взаимному отталкиванию. Рассмотреть два слу-
случая движения: а) частицы налетают друг на друга по
прямой линии и после остановки вновь разлетаются на
бесконечно большое расстояние, совершая движение в
противоположном направлении; б) частицы после оста-
остановки остаются в покое (или, наоборот, покоившиеся ча-
частицы с некоторого момента времени разлетаются на
бесконечность). Доказать, что спектральные разложения
дипольного излучения в этих двух случаях
выражаются через одну и ту же комплексную функцию
f (со) при помощи соотношений
da(co) = 12Re/(co), <Г(со) = 1/@),
где 1 —постоянный единичный вектор, параллельный
прямолинейной траектории. Причем функция /(со)
107
удовлетворяет условию
2 5 (Re/(со)Jd0=$ |Дсо)|2Ло,
О О
а полные энергии дипольного излучения различаются
между собой в два раза $>а = 2ё>'6.
365. Дипольный момент d имеет постоянное направ-
направление, а по модулю меняется со временем по периодиче-
периодическому закону с периодом Т = 2я/со0. Представить сред-
среднюю по времени за период Т интенсивность / излучения
в виде суммы излучений на отдельных гармониках с ча-
частотами, являющимися целыми кратными основной ча-
частоты СОо-
366. Магнитный момент токов, текущих в весьма
малой области пространства, меняется со временем по
закону ц = \^Ф~Р1Т\ где щ — постоянный вектор, а Г —
постоянная. Определить энергию dS ^ излученную в ин-
интервале частот от со до со + dco за бесконечное время от
t = —оо до t = оо.
367. По неподвижной тонкой рамке в неограниченном
промежутке времени —оо ^ t ^ оо течет линейный ток
/ == /0 2 2 , где /о и т — некоторые постоянные. Пло-
Площадь рамки S9 а ее линейные размеры малы по сравне-
сравнению с величиной сху где с — скорость света в вакууме.
Определить энергию d&'©, излученную на частотах в ин-
интервале от со до со + rfco.
368. Два одинаковых антипараллельных точечных
диполя находятся на одной прямой на расстоянии 2а
друг от друга. Начиная с момента времени t0 = 0, они
совершают затухающие гармонические колебания. Мо-
Момент одного из диполей d = do?-~v' cos соо^, где у <С coo, a
вектор d0 лежит на прямой, соединяющей диполи. Рас-
Расстояние между диполями мало по сравнению с основ-
основными длинами излучаемых волн. Определить энергию
d?T©, излученную на частотах в интервале от со до
со + do).
369. Решить предыдущую задачу в предположении,
что вектор do перпендикулярен прямой, соединяющей
точечные диполи.
370. Два ядра с массовыми числами Ах и А2 и заря-
зарядами 1\в и Z2? движутся по одной и той же прямой из
бесконечности навстречу друг другу. В системе центра
108
инерции суммарная кинетическая энергия обоих ядер до
взаимодействия между собой равнялась S'o. После оста-
остановки они вновь удаляются на бесконечность. Отноше-
Отношение заряда к массе у ядер одинаково ~^~ — 2в = -А-*
где т — масса нуклона. Определить энергию d<§ &, излу-
излученную в интервале частот от со до со + Л*). Исследовать
предельные случаи малых и больших частот.
371. Ядро расщепляется на два осколка с массовыми
числами Ах и А2 и зарядами Zxe и Z2e, причем отноше-
отношение заряда к массе у осколков одинаково , {в = "*е =
= ~j—, где т —масса нуклона. В момент расщепления
скорости осколков равнялись нулю. В дальнейшем под
влиянием кулоновского взаимодействия осколки разле-
разлетаются на бесконечно большое расстояние, имея суммар-
суммарную энергию <2?0. Определить энергию d&^ излученную
в интервале частот от со до со + dco. Исследовать пре-
предельные случаи малых и больших частот. Сравнить по-
полученные результаты с аналогичными формулами пре-
предыдущей задачи.
372. Считая отношение заряда к массе у частиц в
задаче 364 одинаковым, доказать, что спектральные раз-
разложения квадрупольного излучения в указанных двух
случаях
1^ И* №M2
выражаются через одну и ту же комплексную функцию
/„и(ш) при помощи соотношений
Daa, (о) = 2Пш fa6 (со), Щ, (со) = f a(J (о).
Функция /аз (со) удовлетворяет условию
2
о о
а полные энергии квадрупольного излучения разлив
чаются между собой в два раза $'а — 2§3 .
373. Частица с зарядом е налетает с прицельным
расстоянием / на боковую поверхность абсолютно упру-*
гого конуса высоты h и радиуса основания R (R>1).
Начальная скорость v частицы параллельна оси косинуса.
109
Определить энергию dS® дипольного излучения на ча-
частотах в интервале от со до со + dco.
374. Однородный поток частиц с зарядом е налетает
со скоростью v на абсолютно упругий шар радиуса R.
Найти эффективное излучение йк& в интервале частот
от ш до (о + dco. Величина dx© определяется формулой
где d<§ &— энергия дипольного излучения в интервале
частот dco той частицы, которая пролетает с прицельным
расстоянием /.
§ 4. Угловое распределение излучения
375. Частица с массой т и зарядом е движется пер-
перпендикулярно однородному постоянному магнитному
полю с напряженностью Но. Скорость частицы по абсо-
абсолютной величине равна v. Найти интенсивность dl ди-
дипольного излучения в телесный угол dQ в среднем по
времени за период движения частицы.
376. Прямоугольная рамка с постоянным линейным
током / вращается вокруг своей диагонали с постоянной
угловой скоростью со. Площадь рамки равна S, а ее ли-
линейные размеры малы по сравнению с длиной излучае-
излучаемой волны. Найти интенсивность dl излучения в телес-
телесный угол du в среднем по времени за период вращения
рамки.
377. Протон с массой т и зарядом е покидает не-
неподвижное ядро, радиус которого R> а остаточный за-
заряд Ze. При вылете из ядра скорость протона равнялась
нулю. Найти угловое распределение d&n полной энергии
дипольного излучения, обусловленного кулоновским
взаимодействием протона с ядром.
378. Заряд Q однородно заполняет объем цилиндра
радиуса R и высоты к. Поверхность цилиндра испыты-
испытывает малые гармонические колебания вблизи равновес-
равновесного положения, определяемого радиусом Ro и высотой
ho = Ro. Изменение со временем параметра „ , ,- дефор-
мации задано ^ , h = г cos со/, где е и со — постоянные
(е< 1), Объем цилиндра остается все время постоян^
ПО
ным и равным nRo, если не учитывать члены, квадратич-
квадратичные по малому параметру г. Найти интенсивность dl
квадрупольного излучения в телесный угол dQ в среднем
по времени за период Т = 2я/со.
379. Однородно заряженный цилиндр радиуса R и вы-
высоты h вращается с постоянной угловой скоростью о>
около оси, проходящей через среднюю точку цилиндра
перпендикулярно его оси симметрии. Полный заряд ра-
равен Q. Определить интенсивность dl излучения в телес-
телесный угол dQ в среднем по времени за период вращения.
380. Квадруполь представляет собой систему четырех
зарядов, расположенных в вершинах квадрата со сторо-
стороной /. Знак заряда е меняется на противоположный при
переходе к соседней вершине. Предполагая, что квадру-
квадруполь вращается в плоскости XY вокруг своего центра
с постоянной углевой скоростью со. определить угловое
распределение интенсивности излучения dl в среднем
по времени за период движения.
381. Двигаясь параллельно оси Z, заряженная ча-
частица налетает с прицельным расстоянием / на абсо-
абсолютно упругий шар радиуса R (R > /). Начало коорди-
координат находится в центре шара, а траектория частицы с за-
зарядом е лежит в плоскости XZ. Найти энергию dffn(i)f
излученную в телесный угол dQ на частотах в интервале
от со до со + dco.
382. Квадрупольный момент D тела вращения ме-
меняется со временем по закону D = DQe~'tlT)\ где Do и Т—¦
постоянные. Найти энергию d(on{u, излученную в телес-
телесный угол dQ на частотах в интервале от со до со + dco за
бесконечное время от t = —оо до / = оо.
383. При распаде неподвижного ядра радиуса R об-
образовалась ос-частица со скоростью, равной нулю. Заряд
а-частицы Q, а ее радиус пренебрежимо мал по сравне-
сравнению с R. В результате кулоновского отталкивания а-ча-
стица удалилась на бесконечность. Найти угловое рас-
распределение d<Sn полной энергии излучения с учетом
малого слагаемого порядка — «С 1, где v — скорость
с
а-частицы на бесконечности.
384. Частица с массой m и положительным зарядом
е пролетает расстояние / в однородном постоянном элек-
электрическом поле с напряженностью Е. Скорость Vo части-*
цы при влете во внешнее поле была параллельна век-
вектору Е. Определить угловое распределение d$n полной
111
энергии излучения с учетом малого слагаемого порядка
v/c9 где v — скорость частицы при выходе из внешнего
поля.
365. Первоначально покоившийся протон с массой
т и зарядом е выталкивается из однородного постоян-
постоянного электрического поля с напряженностью Е, после
того как пролетел в этом поле расстояние /. Скорость v
протона при выходе из внешнего поля значительно
меньше скорости света. Определить энергию й&п{Л, из-
излученную протоном в телесный угол du на частотах в
интервале ог со до со + dco с учетом малого слагаемого
порядка v/c.
386. Два одинаковых антипараллельных точечных
диполя, расположенных на оси X на равном расстоянии
а от начала координат, изменяются со временем по гар-
гармоническому закону. В точке с положительной коорди-
координатой дипольный момент параллелен оси У и равен
d = d0 cos cot. Расстояние между диполями мало по срав-
сравнению с длиной излучаемой волны а <^С X = с/со. Найти
интенсивность dl излучения в телесный угол dQ в сред-
среднем по времени за период колебания диполей.
387. Антипараллельные диполи с постоянными мо-
моментами d и —d находятся на противоположных концах
диаметра и вращаются в плоскости XY по окружности
радиуса R с постоянной угловой скоростью со. Начало
координат расположено в центре окружности, а ось Z
параллельна вектору d. В длинноволновом приближении
определить угловое распределение интенсивности излу-
излучения dl в среднем по времени за период движения.
388. На оси Z на одинаковом расстоянии а от начала
координат расположены антипараллельные диполи с мо-
моментами d и —d, которые вращаются с постоянной угло-
угловой скоростью со в плоскостях, перпендикулярных оси
Z. В длинноволновом приближении определить угловое
распределение интенсивности излучения dl в среднем
по времени за период вращения.
389. N параллельных точечных диполей с моментами
d = d0 cos co^ расположены на одной прямой на одина-
одинаковом расстоянии а друг от друга. Постоянный вектор
do направлен произвольно по отношению к вектору а,
соединяющему два соседних диполя. Расстояние между
диполями сравнимо с длиной излучаемой волны а~—.
Рассматривая электромагнитное поле на больших рас-
Л 12
стояниях от системы, определить интенсивность dl излу-
излучения в телесный угол йп в среднем по времени за пе-
период Т = 2я/о).
390. Пять одинаковых точечных диполей с моментами
d = docosco^ расположены, как указано на рис. 5 и 6.
¦4—4-
4-+
Рис. 5.
Рис. б.
X
Вектор d0 постоянен, а* расстояние между диполями
равно длине излучаемой волны с/со. В указанных двух
случаях определить интенсивность dl излучения в телес-
телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 2я/со,
Найти направления, для которых излучение макси-
максимально.
§ 5. Поляризация излучаемых волн
391. Положительный заряд е вращается по окружно-
окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью о>. Опре-
Определить поляризацию волн дипольного излучения.
392. Магнитный момент вращается в одной и той же
плоскости с постоянной угловой скоростью. Определить
поляризацию излучаемых волн.
393. Электрон с массой m и зарядом е движется пер-
перпендикулярно постоянному однородному магнитному
полю с напряженностью Но. Скорость электрона по аб-
абсолютной величине равна v. Определить поляризацию
волн квадрупольного излучения.
394. Электрон находится в электромагнитном поле
линейно-поляризованной монохроматической волны.
113
Найти поляризацию волн когерентного дипольного излу*
чения электрона.
395. Тонкая рамка с линейным током имеет форму
окружности, плоскость которой сохраняет постоянное
положение в пространстве, а радиус увеличивается со
временем. Определить поляризацию излучаемых элек-
электромагнитных волн.
396. Две одинаковые заряженные частицы движутся
в свободном пространстве по прямой, отталкиваясь
друг от друга. Определить поляризацию излучаемых
волн.
397. Поверхность однородно заряженного с объемной
плотностью р эллипсоида вращения с полуосями а и Ь
испытывает малые гармо-
гармонические колебания вбли-
вблизи поверхности шара ра«
диуса R. Параметр ^~ g
деформации меняется по
закону —г-г = 8 cos 0/,
(X -j- О
где р <С 1, а полуось Ъ
лежит на оси аксиальной
симметрии эллипсоида.
Объем эллипсоида все
время остается постоян-
Рис. 7. ным и равным объему
шара радиуса /?, если от-
отбросить слагаемые, квадратичные по малому пара-
параметру р. Найти угловое распределение интенсивности
излучения dl и полную интенсивность / излучения по
всем направлениям в среднем по времени за период ко*
лебания, а также определить поляризацию излучаемых
волн. Эта задача описывает модель излучения при пере*
ходах между колебательными энергетическими уровнями
ядра.
398. Однородно заряженный по объему эллипсоид
вращения с полуосями а и Ъ вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг своей полуоси а, не являю-
являющейся осью аксиальной симметрии (рис. 7). Полный
заряд эллипсоида равен Q. Найти угловое распределение
интенсивности излучения dl и полную интенсивность /
излучения по всем направлениям в среднем по времени
114
за период вращения, а также определить поляризацию
излучаемых волн. Эта задача описывает модель излуче-
излучения при переходах между вращательными энергетиче-
энергетическими уровнями ядра.
§ 6. Рассеяние электромагнитных волн
399. Линейно-поляризованная плоская волна падает
на свободный электрон с массой т и зарядом е. Пред-
Представить эффективное сечение da рассеяния волны в те-
телесный угол du как функцию углов рассеяния. Чему
равно полное сечение а рассеяния?
400. Решить предыдущую задачу, считая плоскую
волну неполяризованной.
401. Циркулярная волна Е = Eq[Ix cos (со^— kz)-\-
'+\ysm(cot— kz)] падает на свободный электрон с мас-
массой т и зарядом е. Найти интенсивность dl рассеянного
излучения в телесный угол du в среднем за период
Т = 2я/со. Чему равно полное сечение а рассеяния
волны?
402. В томсоновской модели атома водорода элек-
электрон с массой m и зарядом е совершает колебательное
движение внутри неподвижного шара радиуса R, равно-
равномерно заряженного положительным зарядом. Вычис-
Вычислить дифференциальное do и полное а сечение рассеяния
циркулярно-поляризованной плоской волны на таком
атоме. Частота со падающей волны не совпадает с атом-
атомной, а длина волны велика по сравнению с диаметром
шара.
403. С учетом силы радиационного трения вычислить
дифференциальное da и полное о сечение рассеяния ли-
линейно-поляризованной плоской волны на атоме водо-
водорода, описываемом моделью Томсона (см. предыдущую
задачу). Частота со падающей волны может совпадать
с атомной, а длина волны велика по сравнению с диа-
диаметром атома.
404. Электрон с массой m и зарядом е совершает
колебательное движение внутри цилиндра, равномерно
заряженного с объемной плотностью р. Учитывая силу
радиационного трения, определить дифференциальное
da и полное а сечение рассеяния линейно-поляризован-
линейно-поляризованной плоской волны на электроне. Длина падающей вол-
волны велика по сравнению с диаметром цилиндра, а век-
вектор поляризации перпендикулярен его оси.
115
405. Определить дифференциальное da и полное а
сечение рассеяния эллиптически-поляризованной плоской
волны
Е = \xbt cos (со/ — kz + а) + \Ь2 sin (со/ — kz + а)
на свободном электроне с массой m и зарядом е.
406. Определить полное сечение а рассеяния линейно-
поляризованной монохроматической плоской волны Н =
— H0cos(co?—kr + a) на свободном нейтроне, у кото-
которого магнитный jli и механический М моменты связаны
соотношением jn = —рМ. Частота р#0 прецессии магнит-
магнитного момента мала по сравнению с частотой со падающей
волны.
407. В электромагнитном поле эллиптически-поляри-
эллиптически-поляризованной волны Е = \ХЬ\ cos (со/ — kz + a) + lyb2 sin(cof—¦
— kz -f- a) покоится атом, поляризуемость которого р.
Длина волны велика по сравнению с линейным размером
атома, поэтому у него во внешнем электрическом поле
возникает дипольный момент d = pE. Определить диф-
дифференциальное da и полное а сечения рассеяния электро-
электромагнитной волны на атоме,
408. Момент инерции атома относительно произволь-
произвольной оси, проходящей через центр тяжести, равен /, а его
электрический дипольный момент d имеет равновероят-
равновероятную ориентацию в пространстве. Определить полное се-
сечение рассеяния линейно-поляризованной плоской волны
E=EoCos(co/ — kr) на электрическом диполе d, усред-
усредненное по направлению вектора d. Для упрощения фор-
формул предположить, что частота Q вращения вектора d
пренебрежимо мала по сравнению с характерной ча-
частотой д/dEo//.
§ 7. Излучение протяженных источников
409. В конечном объеме, граничащем с вакуумом, те-
течет ток с объемной плотностью j. В промежутке времени
от t\ до t2 объемная плотность заданного тока меняется
со временем, а вне этого промежутка всюду равна нулю
или постоянна. Моменты времени t\ и t2 произвольны,
в частности, возможно t\ -> оо и /2—>°°- Доказать, что
в волновой зоне, где напряженности электрического
Е(г,/) и магнитного H(r, t) полей по модулю убывают
обратно пропорционально расстоянию от заданного тока,
116
выполняются равенства
Е(г, t)dt=O,
410. По отрезку [—/, /] оси Z течет линейный ток
где со = key k = Bт + 1)я/2/, т — целое положительное
число, а с — скорость света в вакууме. Найти среднюю
по времени за период Т = 2я/о) интенсивность dl излу-
излучения в телесный угол йп. Данная задача является при-
примером излучения линейной антенны.
411. Сопротивлением излучения линейной антенны
называется величина /? = 2///jj, где / — средняя по вре-
времени за период Т = 2я/со интенсивность излучения ли-
линейного тока / == /0 cos kz sin со/, текущего по антенне.
Используя результаты предыдущей задачи, преде гавшь
сопротивление излучения антенны в виде
Bт + 1Jя
г» 1 С 1 — cos х л
о
412. Вдоль линейной антенны, лежащей на оси Z, бе-
жиг волна тока J — J (t — z/c), где |z|^/, с — скорость
света в вакууме, a J(t — zjc) — дифференцируемая функ-
функция. Определить напряженности электрического Е и маг-
магнитного Н полей излучения в точках плоскости XY на
большом расстоянии от антенны в волновой зоне.
413. По отрезку [—/,/] оси Z в моменты времени
t ^ 0 течет линейный ток
/ = /0 cos kmze~4f sin com/,
где com = kmc, km = Bm + 1)я/2/, m — целое положитель-
положительное число, а с — скорость света в вакууме. Найти напря-
напряженности электрического Е и магнитного Н полей в
точках плоскости XY, лежащих на больших расстоя-
расстояниях г от тока (г > kml2). Представить найденное элек-
электромагнитное поле излучения в виде суперпозиции мо-
монохроматических волн с разными частотами, считая
У < сот.
414. Вдоль линейной антенны длины 2/ бежит волна
тока
/ = /0 cos (со/ — kz),
117
где со = kc и |,г|^/, а с — скорость света в вакууме.
Определить угловое распределение интенсивности излу-
излучения антенны в среднем по времени за период колеба-
колебания тока.
415. N параллельных линейных антенн длины 2/ рас-
расположены в плоскости XZ на одинаковом расстоянии
друг от друга. Вектор а, соединяющий две соседние
антенны, параллелен оси X. Расстояние между антен-
антеннами сравнимо с длиной излучаемой волны а ~ с/со.
Вдоль каждой антенны течет линейный ток
/ = /osin fecosco/,
где \z\ ^ /, со = kc, k = rnn/1, m — целое положитель-
положительное число, а с— скорость света в вакууме. Определить
напряженность Н магнитного поля излучения на боль-
больших расстояниях г >> 12/а от антенн. Найти интенсив-
интенсивность излучения dl в телесный угол dQ в среднем по
времени за период Т = 41/с.
416. По бесконечно тонкой пластине (—Ъ ^ х ^ 6,
—/ ^ z ^ /) параллельно оси Z течет ток с поверхност-
поверхностной плотностью i = i'o sin kz cos со/, где со = kc, k = mnlU
m — целое положительное число, а с — скорость света
в вакууме. Ширина и длина пластины сравнимы с дли-
длиной излучаемой волны. Определить интенсивность излу*
чения dl в телесный угол dQ в среднем по времени за
период Т = 41/с.
417. Параллельно оси цилиндрической поверхности
радиуса R бежит волна тока с поверхностной плотно-
плотностью i = iocos((dt—kz), где |г|^/, со = kc, а с — ско-
скорость света в вакууме. Длина волны с/а) сравнима с
радиусом R. Определить интенсивность dl излучения в
телесный угол dQ в среднем по времени за период коле-
колебания тока.
418. Ось Z служит общей осью двух одинаковых
круглых конусов, которые расположены симметрично
относительно плоскости XY и имеют общую вершину
в начале декартовой системы координат. Образующая
каждого конуса имеет длину Ъ и составляет с его осью
угол 9о. Полный ток, текущий по боковым поверхностям
конусов, описывается функцией J — J(r, t), где г — рас-
расстояние до их общей вершины. Определить интенсив-
интенсивность dl излучения в телесный угол dQ. Исследовать
предельные выражения полученной формулы в двух
случаях 6о->О и Go = я/2.
U8
§ 8. Задачи, требующие вычисления на ЭВМ
419. Электрон с энергией § = e2j2a рассеивается на
атоме водорода, электрическое поле которого опреде-
определяется потенциалом ср (г) = е (— + — J е~2г!а9 где е — за-
h2
ряд протона, # —7шР—боровский радиус, т — масса
электрона и Ь — постоянная Планка. Определить пол-
полную энергию <Sd дипольного излучения в процессе рас-
рассеяния. При помощи вычисления на ЭВМ построить
кривую зависимости излученной энергии <8& от прицель-
прицельного расстояния / пролетающего электрона.
420. Поток частиц с массой т, зарядом е и энергией
&ъ движется в сферически-симметричном потенциаль-
потенциальном поле U (г) = U0e-7/a, где а и Uo — положи-
положительные постоянные. Найги эффективное излучение
2nl dl. Здесь hJS — полная энергия диполь-
0
0
ного излучения частицы, пролегающей с прицельным
расстоянием /. Пользуясь вычислением на ЭВМ, по-
построить кривую зависимости эффективного излучения
% от энергии йГ0 в области ОД Uo ^ «?0 ^ 10 Uo.
421. Частица с зарядом Q движется со скоростью v
по прямой мимо первоначально покоившегося заряжен-
заряженного осциллятора, собственная частота которого coo, a
заряд и масса равны соответственно е и т. Расстояние
/ от центра осциллятора до прямолинейной траектории
движения частицы настолько велико, что изменением
скорости v можно пренебречь. Пренебрегая также си-
силой радиационного трения, построить кривую интенсив-
интенсивности / излучения осциллятора под действием проле-
пролетающей заряженной частицы. Для вычисления на ЭВМ
положить v = coo/ и считать амплитуду колебаний ос-
осциллятора малой по сравнению с /.
422. Покоившийся заряженный осциллятор с тре-
трением с момента времени t = t0 подвергся действию
внешней силы F = F0?~'2/t2, так что его уравнение дви-
движения приняло вид
где coo и т — собственная частота и масса осциллятора,
а коэффициент у характеризует энергетические потери,
119
обусловленные трением. Заряд колеблющейся частицы
е. Полагая у = соо/2 = 2/т и используя численные ме-
методы, построить и сравнить между собой кривые ин-
интенсивности / излучения осциллятора под действием
внешней силы F в двух случаях: /о = 0 и t0 = —оо.
423. Тяжелое ядро с зарядом Q движется со скоро-
скоростью v по прямолинейной траектории на большом рас-
расстоянии / от покоящегося электронейтралыюго атома,
поляризуемость которого р. Последнее означает, что во
внешнем электрическом поле с напряженностью Е у
атома появляется электрический дипольный момент
d = рЕ. Пренебрегая изменением скорости v движуще-
движущегося ядра, найгн энергию d*?©, излученную поляризо-
поляризованным атомом на частотах в интервале от со до со + с/со.
При помощи численных методов построить кривую
d&Jdid спектрального разложения излучения.
424. Два ядра имеют массовые числа А{ и А2 и за-
заряды Z\e и Z2e. В системе центра инерции их суммарная
энергия ё'о. Масса нуклона т. Рассмотреть два случая
движения: а) ядра налетают друг на друга по прямой
линии и после остановки вновь разлетаются на беско-
бесконечность; б) ядра с некоторого момента времени t = О
разлетаются на бесконечность, являясь осколками боль-
большего ядра (в начальный момент времени t = О их ско-
скорости равнялись нулю). Определить спектральные плот-
плотности излучения d&%\ d<& и d<S%\dvs в случаях а и б.
При помощи численных методов построить и сравнить
между собой кривые спектрального разложения излу-
излучения в обоих указанных случаях.
425. Решить предыдущую задачу, считая отношение
заряда к массе у обоих ядер одинаковым
Zxp Z2e 7e
А\т А2*71 Am '
426. В пространстве в направлении единичного век-
вектора л распространяется электромагнитная волна,
напряженность электрического поля которой
где t' = t -, Ео — постоянный вектор, а парамет-
параметры т и ©о удовлетворяют неравенству со0т ^> 1. Исполь-
Используя численные методы, начертить спектральную линию
^Г (со) излучения, распространяющегося в виде данного
120
электромагнитного импульса. Определить ширину До
спектральной линии.
427. По бесконечно тонкой пластине (—Ь ^ х ^ 6,
—l^.z^.1) параллельно оси Z бежит волна тока с по-
поверхностной плотностью i = l^/oexpj §• (t — — J I, где
с — скорость света в вакууме, a i0 и т—постоянные.
Определить напряженности электрического Е и магнит-
магнитного Н полей излучения в точках оси X на большом
расстоянии г от пластины. Полагая Ь = / = сх, по-
построить кривую зависимости напряженности электриче-
электрического поля от времени для некоторой фиксированной
точки наблюдения волновой зоны. Начертить спектраль-
спектральную линию <§Г(со) излучения, прошедшего через эту
точку наблюдения.
428. В направлении оси цилиндра высоты 2/г и ра-
радиуса R бежит волна тока с объемной плотностью
j = jo^""(r/jRP cos (/ег — со/), где со = kc, a r и z—цилин-
z—цилиндрические координаты. Постоянный вектор j0 паралле-
параллелен оси Z. Начало координат выбрано в центральной
точке цилиндра. Определить среднюю за период
Т = 2я/со интенсивность излучения в единицу телесного
угла dl/dQ как функцию полярного угла 0, отсчитывае-
отсчитываемого от оси цилиндра. Построить диаграмму направ-
направленности излучения, откладывая численное значение
величины dl/dQ для каждого угла 0 в виде отрезка на
луче, составляющем тот же угол с полярной осью, кото-
которая совпадает с осью цилиндра. Для вычисления на
ЭВМ положить h = R = l/k.
429. Биконический вибратор состоит из поверхностей
двух одинаковых круговых конусов, касающихся вер-
вершинами и имеющих общую ось. Образующая каждого
конуса имеет длину / и составляет угол я/4 с его осью.
По биконической поверхности в направлении образую-
образующей течет полный ток / = /0 cos kr sin со/, где k =
= со/с = я/2/, а г — расстояние до общей вершины.
Определить среднюю за период Т = 2я/со интенсивность
излучения в единицу телесного угла dl/dQ как функцию
полярного угла 0, отсчитываемого от оси вибратора.
При помощи численных методов построить кривую за-
зависимости величины dl/dQ от угла 0.
430. С момента времени t = 0 из точки пространства
с радиус-вектором г = 0 был испущен импульс тока,
который начал растекаться во все стороны с объемной
121
плотностью ]= ^jr-F(r, f). Здесь 1 — постоянный
единичный вектор, a F(r,t) — произвольная функция мо-
модуля г радиус-вектора и времени /. Определить напря-
напряженности электрического Е и магнитного Н полей в
волновой зоне, где эти величины убывают обратно про-
пропорционально расстоянию от тока. Полагая
где t^~> с — скорость света в вакууме, а постоянные
% и т связаны условием ст=10А,, построить кривую
зависимости напряженности электрического поля излу-
излучения от времени для некоторой фиксированной точки
наблюдения волновой зоны.
Глава V
ПОЛЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Инерциальная система координат вместе с прикреп-
прикрепленными к ней часами называется инерциальной систе-
системой отсчета. Происшедшее событие будем отмечать
координатами х, у и z места, где оно произошло, и време-
временем t, когда оно произошло в определенной инерциаль-
инерциальной системе отсчета.
Каждому событию можно сопоставить точку в четы-
четырехмерном пространстве, которая характеризуется 4-ра-
диус-вектором Х\ с компо-
нентами
Х\ — X, ДГ2 —
(V.I)
Сумма квадратов компо-
компонент 4-радиус-вектора
x* + xl + 4 + *l (V.2)
0
>
2',
'0'
У
V
X
X'
Рис. 8.
представляет собой квадрат
расстояния точки (V. 1) до
начала координат и определяет метрику данного четы-
четырехмерного пространства.
Пусть штрихованная инерциальная система коорди-
координат X'Y'Z' движется вдоль оси X со скоростью V отно-
относительно покоящейся координатной системы XYZ. Од-
Одноименные декартовы оси параллельны, а в момент
времени t = 0 начала этих двух кординатных систем
совпадали (рис. 8). Тогда координаты и время одного
и того же события, зарегистрированные в указанных
123
инерциальных системах отсчета, связаны между собой
преобразованием Лоренца
Vt'
(V.3)
или в четырехмерном обозначении
. V ,
1х
х2
V ,
Последнее преобразование удобно записать в матрич-
матричном виде *)
*i = atkxk> (V-4)
1 Л Л 1 с
О О
0
0
V
1
0
0
1
0
0
I
о о
(V.5)
Формулы обратного преобразования получаются пу-
путем изменения знака у скорости V на противоположный
х' = ат1х =аТ х . (V. 6)
Поскольку матрица (V. 5) удовлетворяет условию
arkl = aki, преобразование Лоренца (V. 4) является ли-
линейным ортогональным преобразованием координат в
четырехмерном пространстве. Оно описывает переход
от одной координатной системы (XiX2X3XA) к другой
(Х\Х2Х^Х'^\9 повернутой в плоскости Х\Х± на некоторый
*) В данной главе по дважды повторяющимся матричным и
тензорным индексам, обозначенным латинскими буквами (t, /г,
1У ...), предполагается суммирование от I до 4, а знак суммы
опускается. Между тем греческие индексы (а, Р, у, ...), как и
прежде, пробегают значения от 1 до 3.
124
угол. Величина (V. 5) представляет собой матрицу этого
линейного ортогонального преобразования.
Вектором А\ в четырехмерном пространстве D-зек-
тором) называется совокупность четырех величин Аи А2>
As и А4, которые при ортогональном преобразовании
координат преобразуются как компоненты 4-радиус-
вектора
Л, = «,И;. А\ = аТ;Ак, (V. 7)
где uik — матрица произвольного линейного ортогональ-
ортогонального преобразования координат в четырехмерном про-
пространстве. В частности, она может иметь вид (V. 5).
Для 4-вектора принято обозначение
At = (\, AA), (V.8)
где А = \ХА\ + \УА2 + \гАз- Первые три компоненты Ль
А2 и Л3 4-вектора называют пространственными, а чет-
четвертую А$ — временной.
Аналогично четырехмерным тензором второго ранга
называется совокупность шестнадцати величин Tik, ко-
которые при ортогональном преобразовании координат
преобразуются как произведение компонент 4-радиус-
вектора
Tik*=WkJ'm> T'ik = a^a^Tlm, (V. 9)
Если некоторая величина не меняет своего числен-
численного значения при переходе в любую повернутую четы-
четырехмерную систему координат, то она называется ска-
скаляром. Этому свойству удовлетворяет, например, ска-
скалярное произведение АгВг = АВ + Л4В4 4-векторов At
и Ви которое инвариантно по отношению к поворотам
четырехмерной системы координат
(V. 10)
Импульс р и энергия <§ частицы с массой т
%= . тс2 — (V. 12)
VI - v2/c2 к '
образуют 4-вектор pi энергии-импульса (или просто
4-импульс)
pi = (pf i~}' (V. 13)
125
Эту величину часто представляют в следующем виде
рг = тспи вводя понятие 4-скорости:
1 V
-v2Ic2J
Компоненты четырехмерной скорости удовлетворяют
условию и2 =—1, так что можно записать
p?-|i = -m2c2. (V. 15)
Из формул (V. 11) и (V. 12) вытекают полезные
соотношения
or} V gc? / 2 4- ( ^ 2 T* 5?3 2 /Л Г 1 ^i\
где величина Т называется кинетической энергией реля-
релятивистской частицы, а значение тс2 — энергией покоя.
Дифференцируя по времени обе части равенства
(V. 15) и используя уравнение движения
легко определить скорость изменения кинетической
энергии частицы во внешнем силовом поле F:
Наравне с трехмерной силой F, действующей на ча-
частицу, вводят понятие 4-вектора силы ft с компонен-
компонентами
ft = (—*=-, i n ,^-^Л, (V. 19)
\ с V1 — v2/c2 с V1 — v2/c2 J
где v — скорость частицы. Четырехмерная сила входит
в правую часть ковариантного уравнения движения
mc^-=:f{. (V.20)
Здесь ds = с dt V' 1 — v'2/c2, a du{/ds = Wi — четырехмер-
четырехмерное ускорение, которое ортогонально к 4-вектору ско-
скорости WiUi = 0 и имеет следующие компоненты:
'\/\ — v2/c2 dt s/\-v2/c2 ' c^/\-v2/c2 dt ^V^l^fc
(V.21)
126
Объемные плотности тока J и заряда р образуют
4-вектор плотности тока
h = (U icp), (V.22)
а векторный А и скалярный ф потенциалы составляют
4-вектор
Л = (А, /Ф), (V.23)
который называется 4-потенциалом.
Соотношения (IV. 1) и (IV. 2), определяющие век-
векторный и скалярный потенциалы, в четырехмерном обо-
обозначении записываются единым образом:
ie-' (V-24)
* if? ~* ~v f
OX OX -
где величина F%k называется тензором электромагнит-
электромагнитного поля. Напряженности электрического Е и магнит-
магнитного Н полей являются компонентами этого антисим-
антисимметричного тензора
(V.25)
При помощи тензора электромагнитного поля урав-
уравнения Максвелла (III. 1) — (Ш.4) можно представить
в ковариантнои форме
0
-нг
"у
iEx
нг
0
-я*
IE „
-Ну
нх
0
iEz
-iEx
-iEy
~iEz
0
dFik
i
±L;
— с Jk,
dFkf i
- = 0.
(V.26)
(V.27)
Формулы (V. 9) и (V. 25) позволяют получить закон
преобразования электрического и магнитного полей при
переходе из одной инерциальной системы отсчета в дру*
гую (см. рис. 8)
ЕХ = Е'Х, Еу= %^-J--, Ez= Z,-^J--, (V.28)
/ jTT- ' ^2 / ГуГ '
¦LE'
с У
(V. 29)
127
или в векторной форме
где знаки || и JL отмечают компоненту вектора, соответ-
соответственно параллельную и перпендикулярную скорости V.
Из векторов Е и Н нетрудно образовать величины,
инвариантные по отношению к преобразованию Ло-
Лоренца:
Применяя инварианты (V. 10) и (V. 32) к монохро-
монохроматической плоской электромагнитной волне
приходят к выводу, что векторы напряженности элек-
электрического и магнитного полей этой волны равны по
модулю и ортогональны во всех инерциальных системах
отсчета, а фаза волнш является инвариантом
Плотность импульса g электромагнитного поля про-
пропорциональна плотности потока электромагнитной энер-
энергии (вектору Пойнтинга s = ~c-EXH)
g = ^-s. (V.37)
Девять пространственных компонент 4-тензора
(V. 35) составляют трехмерный максвелловский тензор
натяжений
ðР= Ж [?Л + Я«ЯР - ~ (F + Я2) вв J. (V. 38)
Сила, приложенная к поверхности 5 в электромаг-
электромагнитном поле, выражается через максвелловский тензор
натяжений (V, 38)
Fa=\TafodS, (V.39)
S
где Fa — компонента силы, а п — нормаль к поверхно-
поверхности S.
В четырехмерной записи уравнение движения (V. 20)
отдельной частицы с массой т и зарядом е во внешнем
электромагнитном поле имеет вид
mc-^reTf'*"*- (v-40)
Пространственная часть этого четырехмерного вектор-
векторного равенства после сокращения на общий множитель
совпадает с уравнением Ньютона (V. 17), в правой ча-
части которого стоит сила Лоренца
i(vXH)].
Электромагнитное поле заряда е, движущегося с
произвольной скоростью v, определяется потенциалами
Лиенара — Вихерта
(V-42)
где R = г — Te(f), а г и хе(Г) — радиус-векторы точек
наблюдения и расположения заряда. Запаздывающий
б А. И. Алексеев 129
момент времени ? связан с временем наблюдения t
условием
i' = t-^\r-re{t')\. (V.43)
Путем дифференцирования потенциалов Лиенара —
Вихерта находят напряженности электрического и маг-
магнитного полей движущегося заряда
Е
(V. 44)
Н= (R*E) , (V.45)
Электрическое (V.44) и магнитное (V.45) поля со-
состоят из двух характерных частей. Первая часть зави*
сит от скорости точечного заряда и убывает с расстоя-
расстоянием, как 1/R2. Она перемещается вместе с зарядом и
не отрывается от него, так как поток энергии этого поля
через сферу радиуса R стремится к нулю при R—>oo.
Вторая часть зависит не только о г скорости, но и уско-
ускорения и спадает по закону 1/R. Это приводит к отлич-
отличному от нуля потоку вектора Пойнтинга сквозь сферу
бесконечно большого радиуса. Следовательно, вторая
часть полей (V. 44) и (V. 45) описывает излучение элек-
электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом.
Интенсивность излучения заряда е в телесный угол
dI = -~-E*(t)R*du (V.46)
содержит лишь второе слагаемое выражения (V. 44) и
после простого преобразования принимает вид
V ~ ?")(nv)
(V.47)
R
где n = -5—единичный вектор в направлении излуче-
излучения, а все величины в правой часги равенства (V.47)
берутся в запаздывающий момент времени (V. 43),
130
В силу своего определения интенсивности излучения
r(V. 46) и (IV. 22) численно отличаются друг от друга,
если учитывать запаздывание излученного электромаг-
электромагнитного сигнала в пределах эффективной области дви-
движения заряда. Это связано с тем, что потоки вектора
Пойнтинга через сферические поверхности весьма боль-
больших радиусов г и R в один и тот же момент времени t
различны, так как центры указанных сфер не совпа-
совпадают.
Если скорость и ускорение заряда параллельны, то
формула (V. 47) упрощается
«& 'Г" , «О. (V.18)
0~Tcose)
где 0 — угол между скоростью и направлением излуче-
излучения. Для взаимно перпендикулярных векторов v и v
имеем
V С2
(V. 49)
В этой формуле 9 — угол между скоростью v и еди-
единичным вектором п направления излучения, а ф — ази-
азимутальный угол вектора п с плоскостью, проходящей
через скорость v и ускорение v заряда.
Излучение в элемент телесного угла dQ за все время
движения заряда е дается формулой
2(пу)(уу) , у2 A-^-)(пуJ [^
-~И~Т~7" i^~\3 "" /. nv\5 |af'
(V. 50)
в которой использовано соотношение
'. (V.6D
Каждый заряд, движущийся с ускорением, излучаег
электромагнитные волны, которые уносят энергию и
5* 131
импульс. Излученные за время dt энергия бШ'изл и им-
импульс ^Ризл определяются формулами
(V. 52)
2e* F2—^{vFJvdl (V 53)
где е и m — заряд и масса частицы, движущейся со ско-
скоростью v в силовом поле F согласно уравнению Нью-
Ньютона (V. 17).
Иногда правые части равенств (V. 52) и (V. 53) за-
записывают иначе:
(V.55)
где v и v — скорость и ускорение заряда е.
Во внешнем электромагнитном поле с напряженно*
стями Е и Н величина F без учета обратного действия
излучения на заряженную частицу совпадает с силой
Лоренца (V.41), а формулы (V. 52) и (V. 53) приво-
приводятся к следующему виду:
(V. 56)
(V.67)
При движении в силовом поле F скорость потери
энергии заряженной частицей на излучении электро-»
132
магнитных волн описывается выражением
о 2 F2--L(vFJ
Лс
dt
где 8и — энергия частицы в этом силовом поле.
Учет силы радиационного трения в уравнении дви-
движения (V. 17) может существенно повлиять на радиус-
вектор re(t), скорость v(t) и ускорение \(t) заряженной
частицы, что отразится на правых частях соотношений
(V.47) —(V.58).
Полная интенсивность излучения по всем направле-
направлениям
$2tfQ (V.59)
по физическому смыслу и численному значению отли-
отличается от скорости потери энергии заряженной частицей
на излучение (V.58), хотя обе эти величины имеют
одинаковую размерность. Указанные величины совпа-
совпадают только в предельном случае медленного движения
заряженной частицы со скоростью Кс, когда запа-
запаздыванием излученного электромагнитного сигнала
внутри эффективной области движения можно прене-
пренебречь. В этом предельном случае формулы (V. 59) и
(V. 58) совпадают с аналогичными выражениями
|(IV. 16) и (IV. 31), если последние применять к излу-
излучению отдельного заряда.
Если радиус-вектор ve(t) заряда е меняется со вре-
временем заданные образом, то энергия d^nte, излученная
в элемент телесного угла dQ на частотах в интервале
от со до со + do)y имеет вид
9. (V.60)
В частности, при внезапном изменении скорости за-
заряженной частицы в результате столкновения соотно-
соотношение (V. 60) запишется как
4яс3 I j __ nvi - __ nv2
\ с с
\ с с )
133
где vi и v2 — скорости частицы до и после столкновения*
Формула (V.61) справедлива для частот сот<С1, где
т — порядок величины времени взаимодействия, в ре-
результате которого произошло резкое изменение скоро-
скорости частицы. При мгновенном изменении скорости об-
область применимости формулы (V. 61) ограничена усло-
условием малости величины йсо по сравнению с кинетической
энергией частицы, чтобы исключить квантовые эффекты
в излучении.
Формулы (V. 60) и (V. 61) допускают обобщение на
случай системы зарядов еьг (т = 1, 2, ..., N), движу-
движущихся по заданным траекториям
nrm(t)
dQd®,
(V. 62)
- n
X
j X V2m
nv2m
(V.63)
где rm(t) — радиус-вектор заряда ет, a vhn и v2m —его
скорости до и после столкновения. Правые части ра-
равенств (V. 62) и (V. 63) учитывают интерференцию
электромагнитных волн, излученных отдельными за-
зарядами.
В случае периодического движения заряда е средняя
по времени за период Т = 2я/озо интенсивность dln из-
излучения в элемент телесного угла dQ на п-и гармонике
с частотой соп = псо0 равна
+ \ (nX're(t))e
dQ. (V.64)
Полная мощность излучения в элемент телесного
угла dQ в среднем по времени представляет собой бес-
бесконечную сумму интеисивностей излучения (V. 64) на
отдельных гармониках с индексами п= 1, 2, ...
Для системе! зарядов, движущихся с одним и тем же
периодом, обобщение формулы (V. 64) проводится по
134
аналогии с соотношениями (V. 60) — (V. 63). Если пе-
периоды движения отдельных зарядов различны, то сред-
средняя по времени интенсивность излучения выглядит бо-
более сложно.
Обратное действие излучения на заряженную ча-
частицу, движущуюся со скоростью v во внешнем электро-
электромагнитном поле Е и Н, учитывается в уравнении дви-
движения путем прибавления к силе Лоренца специфиче-
специфической силы f радиационного трения, которая направлена
против скорости v. Выбирая последнюю в качестве оси
X, получаем в ультрарелятивистском случае
f _
При скоростях частицы, близких к скорости света,
могут реализоваться условия, когда сила радиационного
трения (V. 65) является основной действующей силой.
Тогда после пролетания через внешнее электромагнит-
электромагнитное поле энергия заряженной частицы не может превы-
превышать критического значения ^кр, даваемого равенством
(V.66)
Зт4с8
§ 1. Преобразование электромагнитного поля
431. В покоящейся системе отсчета напряженности
Е и Н однородного электромагнитного поля заданы,
причем ЕН > 0. Определить скорости V тех инерциаль-
ных систем координат, в которых векторы электриче-
электрического и магнитного полей параллельны.
432. В покоящейся системе отсчета напряженности
электрического Е и магнитного Н полей взаимно орто-
ортогональны и не равны по модулю. Найти скорости V тех
инерциальных систем координат, в которых имеются:
а) только электрическое поле; б) только магнитное
поле. Определить напряженность указанных полей.
433. Напряженности Е и Н однородного электромаг-
электромагнитного поля в некоторой инерциальной системе коор-
координат заданы, причем Е X Н ф 0. Найти скорости V
всех инерциальных систем координат, в которых модуль
135
напряженности электрического (или магнитного) поля
имеет то же численное значение, что и в исходной си-
системе отсчета. Результат представить в векторной
форме.
434. Вдоль бесконечного однородного цилиндра про-
произвольного радиуса течет постоянный ток с объемной
плотностью j. Объемная и поверхностная плотности за-
заряда цилиндра равны нулю. Найти скорости V инер-
инерциальных систем координат, где в каждой точке про-
пространства напряженность электрического поля по мо-
модулю в N раз меньше напряженности магнитного.
435. При помощи формул преобразования напряжен-
ностей электрического и магнитного полей (V.28) я
(V. 29) доказать, что величины Е2 — Я2 и ЕН не меняют
своего вида и численного значения при переходе из од-
одной инерциальной системы отсчета в другую.
436. Напряженности Е и Н электрического и магнит-
магнитного полей в исходной системе координат образуют ост-
острый угол. Определить модули Ег и W напряженностей
электрического и магнитного полей в той инерциальной
системе отсчета, в которой угол между векторами Е' и Н'
равен я/4.
437. Нейтрон с магнитным моментом jn движется со
скоростью v в кулоновском поле покоящегося ядра с за-
зарядом Q. Считая скорость нейтрона малой по сравнению
со скоростью света и пренебрегая членами порядка
-у<1, найти силу F, приложенную к нейтрону в каж-
каждой точке траектории.
438. Электронейтральная частица с внутренним элек-
электрическим дипольным моментом d движется со скоро-
скоростью v в неоднородном магнитном поле с напряжен-
напряженностью Н. Отбрасывая слагаемые, пропорциональные
малому параметру — <С 1, определить силу F, прило-
приложенную к частице.
439. Одноименные декартовы оси двух инерциальных
систем координат параллельны, а их относительное дви-
движение происходит вдоль оси X. В момент времени t = О
начала декартовых систем совпадали (см. рис. 8). Дока-
Доказать, что компонента Fu тензора электромагнитного
поля инвариантна относительно преобразования Лоренца
(Fu = FU), а величины F2h и F3h преобразуются как че-
четырехмерные векторы,
136
440. Путем перехода к трехмерным обозначениям до-
доказать, что ковариантные уравнения
dFik . dFM . dFii ^_Q
дх1 ' дх( ' дхк
сводятся к обычным уравнениям Максвелла для напря-
жешюстей Е и Н электромагнитного поля.
441. Используя закон преобразования волнового
4-вектора, определить изменение частоты (эффект Доп-
Доплера) и направления скорости света (абберация света)
при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой. Исследовать полученные формулы в предельном
случае V <С ?, где V—модуль скорости относительного
движения двух указанных инерциальных систем коор-
координат.
442. Монохроматическая плоская электромагнитная
волна частоты оси падает под углом 0j на плоское зер-
зеркало, которое движется со скоростью V в направлении
своей нормали навстречу падающей волне. Определить
угол 02 отражения от движущегося зеркала и частоту оJ
отраженной волны.
443. Монохроматическая плоская электромагнитная
волна с плотностью энергии w0 падает перпендикулярно
на движущееся плоское зеркало и полностью отражается
от него. Определить плотность энергии w и импульса g
отраженной волны, если зеркало перемещается со скоро-
скоростью V навстречу падающей волне.
444. Инерциальная система координат К' движется
со скоростью V относительно покоящейся координатной
системы КУ как показано на рис. 8. Пользуясь законом
преобразования тензора энергии-импульса, выразить
плотность энергии w' плоской электромагнитной волны
в системе К' через плотность энергии w этой же волны
в покоящейся системе /С, где она распространяется под
углом а к направлению скорости V.
445. Эллипсоид вращения с полуосями а и Ъ, имею-
имеющий идеально отражающую поверхность, движется со
скоростью V навстречу падающей электромагнитной
волне, напряженность электрического поля которой Е =
= E0cos(o^ — kr). Ось симметрии эллипсоида, совпа-
совпадающая с полуосью 6, параллельна вектору V. В си-
системе координат, связанной с эллипсоидом, определить
силу F, приложенную к нему в среднем по времени за
137
период колебания волны. В указанной системе коорди-
координат длина падающей электромагнитной волны мала по
сравнению с поперечным размером эллипсоида, так что
позади него находится резко очерченная область тени.
§ 2. Излучение быстро движущегося заряда
448. Заряд е совершает финитное движение с нере«
лятивистской скоростью v. Разлагая векторный потен-
потенциал Лиенара — Вихерта в ряд по параметру v/c и по
времени запаздывания электромагнитного сигнала в
пределах области движения заряда, определить величи-
величину этого потенциала и напряженность магнитного поля
в волновой зоне с учетом слагаемых, которые по порядку
величины меньше главного члена разложения в v2/c2 раз.
447. Используя потенциалы Лиенара — Вихерта, оп-
определить напряженности электрического и магнитного
полей произвольно движущегося заряда.
448. Пользуясь общей формулой (V. 47) углового рас-
распределения интенсивности излучения релятивистской ча^
стицы, определить интенсивность излучения dl в телес-
телесный угол dQ в двух случаях: а) скорость v и ускорение v
частицы параллельны; б) скорость и ускорение взаимно
перпендикулярны.
449. Скорость v и ускорение v заряда в параллельны.
Определить полную интенсивность / излучения по всем
направлениям. Исследовать полученную формулу в уль-
ультрарелятивистском случае, а также при малых скоростях
заряда v2 <С с2.
450. Частица с массой т и зарядом е движется па-
параллельно напряженности Е постоянного однородного
электрического поля. Доказать, что скорость потери
энергии! ~- \ частицей на излучение в запазды-
запаздывающий момент времени V> вычисленная при помощи
формул (V. 48) и (V. 51), а также формулы (V, 58),
имеет одно и то же значение. Здесь <^п — энергия ча-
частицы во внешнем электрическом поле.
451. Двигаясь со скоростью, по порядку величины
равной скорости света, электрон с массой т и зарядом
е попадает в однородное постоянное электрическое поле
с напряженностью Е. В момент to = 0 влета во внешнее
электрическое поле скорость электрона перпендику-
138
лярна вектору Е, а его энергия равна &о. Определить
энергию (Уизл, излученную по истечении времени / по-
после влета, считая ее малой по сравнению с кинетиче-
кинетической энергией электрона.
452. Быстрый электрон с массой т и зарядом е вле-
влетает со скоростью Vo в полупространство, в котором
напряженность Е электрического поля постоянна, одно-
однородна и параллельна вектору v0. Пренебрегая обратным
влиянием излучения на движение электрона, определить
энергию <^кзл, потерянную им за время пребывания во
внешнем поле.
453. Расстояние / и разность потенциалов ф между
пластинами плоского конденсатора поддерживаются
постоянными. Перпендикулярно пластинам в направле-
направлении вектора напряженности электрического поля про-
пролетает протон с массой т и зарядом е. Его начальная
скорость Vo по абсолютной величине сравнима со ско-
скоростью света. Найти энергию <^Изл, излученную прото-
протоном за время пролета через конденсатор.
454. Релятивистская частица с массой т и зарядом
е влетает в полупространство, в котором напряженность
Н магнитного поля однородна, постоянна и параллельна
граничной плоскости. Начальная скорость vo частицы
перпендикулярна вектору Н и составляет, угол а/4 с
граничной плоскостью. Определить энергию <§?Изч, излу-
излученную за время движения в магнитном поле. Рассмот-
Рассмотреть два случая: а) сила Лоренца в начальный момент
времени направлена в полупространство, занятое маг-
магнитным полем; б) сила Лоренца направлена в сторону
свободного полупространства.
455. Перпендикулярно однородному постоянному
магнитному полю с напряженностью Н движется элек-
электрон с массой т и зарядом е. В начальный момент вре-
времени /0 = 0 энергия электрона <§Г0> а его скорость Vq по
порядку величины равна скорости света. Найти закон
убывания энергии & электрона, обусловленный излуче-
излучением. В полученной формуле сделать предельный пере-
переход к малой начальной скорости электрона v\ <C с2.
456. В некоторый момент времени частица с массой
т и положительным зарядом е движется со скоростью
v параллельно прямолинейному постоянному току силы
/ на расстоянии г от него. Внутренний электрический
дипольный момент d частицы перпендикулярен скоро-
скорости v и находится в плоскости, в которой лежит траек-
139
тория и течет ток. Отбрасывая малые слагаемые, про-
порциональные — <1С 1, найти интенсивность / излуче-
излучения в указанный момент времени
457. Электрон с массой т и зарядом е пролетает на
большом расстоянии / от неподвижного ядра, имеющего
заряд Z\e\. Пренебрегая искривлением траектории и
считая изменение скорости электрона очень малым по
сравнению с ее начальным значением vo, определить
энергию ^изл, излученную за время пролета. Показать,
что в предельном случае v* <C с2 полученный резуль-
результат совпадает с ответом задачи 294.
458. Релятивистская частица с массой т и зарядом
е пролетает на большом расстоянии I от покоящегося
электрического диполя с моментом d. Во время движе-
движения изменение скорости частицы пренебрежимо мало пэ
сравнению с ее начальным значением v0. Пренебрегая
искривлением траектории, найти энергию «?Изл, излу-
излученную за время пролета в двух случаях: а) дипольный
момент d перпендикулярен плоскости движения; б) ди-
дипольный момент d параллелен скорости частицы.
459. Предполагая, что в предыдущей задаче электри-
электрический дипольный момент d перпендикулярен скорости
Vo релятивистской частицы и лежит в плоскости движе-
движения, вычислить проекцию излученного импульса на на-
направление вектора vo.
460. На большом расстоянии / от неподвижного ней-
нейтрона, имеющего магнитный момент jw, пролетает элек«
трон с массой т и зарядом е. Его скорость v0 на беско-
бесконечно большом расстоянии от нейтрона по порядку ве-
величины равна скорости свега. Считая приближенно тра-
траекторию электрона прямолинейной, а изменение скорости
во время движения очень малым, определить полную
энергию ЙГизи, излученную в двух случаях: а) магнитный
момент \х перпендикулярен плоскости движения; б) маг*
нитный момент \х параллелен скорости электрона.
461. Предполагая, что в предыдущей задаче магнит-
магнитный момент jut нейтрона перпендикулярен скорости v^
электрона и лежит в плоскости движения, вычислить
проекцию излученного импульса на направление век-
вектора v0.
462. По бесконечной прямой течет постоянный ли-
линейный ток /. Перпендикулярно току на расстоянии I
от него пролетает релятивистская частица с массой т
140
и зарядом е. Считая приблизительно траекторию пря-
прямолинейной, а скорость v частицы неизменной, опреде-
определить полную энергию <^Изл, излученную за время полета.
463. В начальный момент времени t0 = 0 ультраре-
ультрарелятивистская частица с массой т, зарядом е и энергией
&о влетает в однородное постоянное электрическое поле
под прямым углом к вектору Е. Пренебрегая искривле-
искривлением траектории, определить закон убывания энергии
& частицы в промежутке времени, пока ее скорость
близка к скорости света.
464. Под некоторым углом к вектору Н однородного
постоянного магнитного поля движется ультрареляти-
ультрарелятивистская частица с массой т и зарядом е. В начальный
момент времени tQ — 0 ее энергия <Sf0. Определить закон
убывания энергии $ частицы в интервале времени, пока
ее скорость близка к скорости света.
465. Частица с массой т и зарядом е движется в
произвольном силовом поле F. Представить скорость
потери энергии частицей на излучение (V. 58) как функ-
функцию ее скорости v и ускорения v.
466. В результате комптон-эффекта покоившийся
электрон приобрел скорость v, по абсолютной величине
близкую к скорости света. Заряд электрона е. Опреде-
Определить энергию <^Г(о, излученную электроном в интервале
частот от со до со + dco.
467. Пользуясь общей формулой (V. 60) для энер-
энергии dc?n<o, излученной в телесный угол dQ на часто-
частотах в интервале от ю до со + d®, и полагая в ней ско-
скорость v заряда е малой по сравнению со скоростью
света, определить спектральное разложение полной
энергии излучения й&& с учетом малых членов порядка
v2/c2. На основе полученного результата найги интен-
интенсивность излучения /, которая определена формулой
(IV. 16).
468. При помощи некоторого устройства заряд е со-
совершает быстрые гармонические колебания z = acostoo?
вдоль оси Z. Определить среднюю за период Т = 2я/соо
интенсивность dln излучения в элемент телесного угла
dQ на п-и гармонике с частотой соп = ^соо-
469. Заряд е вращается по окружности радиуса R
с постоянной по модулю скоростью v = i?co0. Опреде-
Определить среднюю за период Т = 2я/соо интенсивность dln
излучения в элемент телесного угла dQ на п-и гармо-
гармонике с частотой соп = пщ.
Hi
470. Заряды в\ и е2 совершают гармонические коле-
колебания Z\ = а\ cos gW и z2 = a2 cos o^t вдоль двух бес-
бесконечно близких прямых, параллельных оси Z. Опре-
Определить среднюю за период Т = 2л/соо интенсивность
dln излучения в элемент телесного угла dQ на п-й гар-
гармонике с частотой о)п = пщ.
471. Определить предельную энергию <2?Кр> которой
может обладать электрон с массой m и зарядом е после
пролета с прицельным расстоянием / в кулоновском
поле Q/r покоящегося ядра.
472. Определить предельную энергию ^Кр ультра-
ультрарелятивистского протона с массой m и зарядом е после
пролета с прицельным расстоянием / через магнитное
поле Земли, характеризуемое магнитным моментом \х.
Последний перпендикулярен плоскости движения про-
протона.
473. Частица с массой m и зарядом е пролетела с
прицельным расстоянием / мимо покоящегося электри-
электрического диполя с моментом d. Вектор d параллелен
скорости частицы. Определить предельную энергию ^ГКр,
которой может обладать частица после пролета.
474. На расстоянии / от бесконечной прямолинейной
нити, равномерно заряженной с постоянной линейной
плотностью q, пролетает ультрарелятивистская частица
с массой m и зарядом е. Ее скорость перпендикулярна
нити. Определить предельную энергию *?Кр, которую мо-
может иметь частица после пролета около заряженной
нити.
475. Решить предыдущую задачу, считая, что ста-
статическое распределение заряда отсутствует q = 0, а па
нити течет постоянный линейный ток /,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия
в электростатике
1. a) b X а; б) (аг) к — 2 (дк) г + (кг) а: в) (аг) к sin кг — a cos кг;
dp df
2. Нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен
от нуля: rot Е = 2а.
3. Напряженность электростатического поля внутри пслой обла-
области должна удовлетворять однородным уравнениям Максвелла
rot Е = 0 и div E = 0. Поэтому для ответа на поставленный воп-
вопрос необходимо вычислить ротор и дивергенцию заданного поля:
а) можно (rot Е = 0, div Е = 0); б) нельзя (rot Е = b X а,
div Е = ab); в) можно, если ab = 0 (rot Е = 0, div E = ЗаЬ);
г) нельзя (rot Е = а X b, div E = —2ab); д) нельзя (rot Е =
= 3(ar)k — (ak)r, div E = a(k X г)); е) нельзя (rot Е = 3(г X с),
div E = —2(сг)); ж) нельзя (rot E = (b X a) cos kr —
•—(br) (к X a)sin kr, div Е = ab cos kr—(ак) (br)sin кг); з) можно
(rot Е = 0, div E == 0); и) можно (rot E = 0, div Е = 0).
4. а) -?-; б) SL; в) —— е~2г/а; г) pocos0 при r<R и 0
При г > R\ д) ро cos гр при г < R я 0 при г > R.
6. Нет.
7. Указание. Воспользоваться теоремой Стокса (П1.17) и
уравнением электростатики (I. 1).
8. Заряд с поверхностной плотностью а заполняет следующие
поверхности: а) декартову плоскость XY с о = Е0/2л; б) сферу ра-
радиуса R с о — Q/4nR2; в) цилиндрическою поверхность радиуса R
с о = <7/4jt#.
143
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса
9. а) Напряженность Е электрического поля однородно заря-
заряженного шара направлена по радиусу, а модуль вектора Е зависит
от расстояния г до центра шара. Эти выводы вытекают из сфери-
сферической симметрии расположения зарядов. В качестве вспомогатель-
вспомогательной поверхности в электростатической теореме Гаусса следует вы-
выбрать концентрическую сферу, так как подынтегральная функция
Е = Е(г) постоянна на этой сфере и выносится за знак интеграла;
Е dS = 4яг2?.
Для области внутри шара из теоремы Гаусса получаем
16я2 с Ы
3 Vi l 3
Снаружи шара
. 9„ 1бя2 пч „ 4я пч г
4кг2Е2 = п R Р' Е2 = —~- Р^ ~Т"*
Потенциал электрического поля находится путем решения уравнения
правая часть которого равна Ех(г) внутри и Я2(г) —вне шара. Ин-
Интегрирование этого уравнения дает
ф! = з~Р^2 + С1 при r
ф2 = -о" -~ Ь С2 ПрИ Г
о г
Костанты интегрирования С\ и с2 определяются из дополнитель-
дополнительных условий (pi(R) = ФгС^), Ф2(°°) = 0.
Окончательно потенциал электрического поля принимает вид
Ф1==
при г
б) Е! = 2ярг, ф 1 = яр (R2 — г2) при
Е2 = 2jt^fг , ф2 = 2яр/^2 In-^ при г>/?,
где радиус-вектор г точки наблюдения направлен по радиусу ци»
144
линдра, а произвольная постоянная в потенциале выбрана из усло-
условия q>i(/?) = ф2(#) = 0;
в) Е1 = 4ярл;1;С, ф1 = — 2зтрл;2 при | х |< L,
E2==4^pLT^TU, Ф2 = 2яр?(/, —2|л:|) при | л: | > L.
Начало декартовой системы координат лежит в плоскости симмет-
симметрии пластины, а ось X перпендикулярна к ней. Произвольная по-
постоянная в потенциале выбрана из условия фх @) = 0.
10. а)
при r>R; б) Е1==0, ф! = 0 при г < R, Е2 =
In — при r>R; в) Е = 2ясг -:—г- \х, ф = — 2па | л: |, где
Г \ X \
х — координата точки наблюдения, отсчитываемая от заряженной
плоскости.
= iL при
-^-e-2r/fl при г>а.
Л г
13. Е,-0, ф,=4я^р(г)г^ при
О»! Г
J (l)l2rfH при
О»! Г v
р A)^1 + 7 J p(l)l2rfH
при
14. E =
15.
16. Рассмотрим тело, образованное вращением силовой линии
вокруг оси Л*. Предположим, что эта силовая линия соединяет оба
наряда. Тогда поток напряженности суммарного электрического поля
через любое поперечное сечение полученного тела вращения имеет
145
одно и то же численное значение. Этот поток можно выразить че-
через заряд ех или e2t если стягивать поверхность поперечного сече-
сечения сначала к точке расположения заряда ?i, а затем к е^ Прирав-
Приравнивая оба выражения, получаем
2ш?! A — cos 61) = 2я | е2 I A — cos 82),
G2 = 2 arcsin
Все силовые линии, входящие в заряд е2, образуют тело враще-
вращения, которое касается поверхности прямого кругового конуса с уг-
углом Go при вершине, находящейся в точке расположения заряда е\.
Угол 6о определяется из соотношения
2пв\ A — cos Go) = 4я I e21.
Первая силовая линия, выходящая из заряда е\ и уходящая в пло-
плоскости XY на бесконечность, касается поверхности упомянутого тела
вращения. Поэтому
Go = 2 arcsin ' I |??2'
sinV"
Если предположить Goo ф 0, то силовая линия, уходящая в пло*
скости XY на бесконечность, на весьма больших расстояниях от за-
зарядов лежит на поверхности прямого кругового конуса с углом Gc©
при вершине. Внутри этого конуса силовые линии отсутствуют, так
как он образован вращением первой силовой линии, уходящей на
бесконечность. С другой стороны, на очень больших расстояниях
электрическое поле системы двух зарядов с высокой точностью сов-
совпадает с полем точечного заряда е\ + е2, которое является сфериче-
сферически-симметричным. Полученное противоречие приводит к выводу
Gcc =0.
17. ^ =
18.2
2
19. Распределение объемной плотности заряда находится при
помощи уравнения Максвелла р=-т—divE везде, кроме точки г = 0,
которая является особой. В этой точке расположен точечный заряд,
так как напряженность электрического поля при г->0 обращается
в бесконечность, как 1/г2, Величину точечного заряда можно опре-
146
делить по теореме Гаусса, если стягивать вспомогательную замкну-
замкнутую сферическую поверхность к точке г = 0. Окончательно получаем
20. Е = :
Здесь I — вектор, проведенный от отрицательной нити к положитель-
положительной. Начало радиус-векгора г лежит на отрицательной нити, к ко-
которой он перпендикулярен.
21. Е = 2шт ( -г^р \х + у^р [у + ~ \Л. Декартовые оси со-
впадают с линиями пересечения заряженных плоскостей.
22. Не изменяя электрическое поле данной заряженной системы,
заполним полость положительным зарядом с объемной плотностью
р и отрицательным с объемной плотностью —р. В результате полу-
получим два однородно заряженных шара, из которых больший — поло-
положительный, а меньший — отрицательный. По принципу суперпози-
суперпозиции напряженность электрического поля внутри меньшего шара рав-
равна сумме напряженностей, созданных положительным
4я
— рг
и отрицательным
шарами в отдельности. Здесь г и г' — радиус-векторы, проведенные
в точку наблюдения из центров большего и меньшего шаров. Напря-
Напряженность суммарного электрического поля однородна и равна
Е = — pi,
где 1 — вектор, проведенный от центра заданного шара к центру по-
полости. Его модуль равен расстоянию между указанными центрами.
Н аи денное электрическое поле существует также внутри полости до
заполнения ее положительным и отрицательным зарядами.
23. Е = 2лр1, где 1 — вектор, проведенный от оси цилиндра к
оси полости.
24. Е = 2яо*п — 2аот/г2, где п — нормаль заряженной плоско-
плоскости, направленная в сторону точки наблюдения, г — расстояние от
точки наблюдения до оси щелиг а г — радиус-вектор, перпендикуляр-
перпендикулярный этой оси,
147
§ 3. Применение общего решения
уравнения Пуассона
25. <р = 2шт (У*2
=¦ ;ф =
Ex = Еу = 0, Ег
при |z | >
Координата 2 отсчитывается от плоскости диска.
) . а
26. Е = ;
при
3|z|» Vz2 +
Координата 2: отсчитывается от центра шара.
/ + У(* 4- /J + ^/2 + г2
при
27. ф== g In
28
: - / + У (* - /J
~ 2
. ф = яр Г (г + h) У {z~TWT~Rr - (г - h) У (г - /гJ + Я2 -
+ /г + У (г + /гJ + j/M7?
1П
/г) У (z + hJ + R2 — (z — h) ^/{z — hJ -
г + h + У(г + /?J + /^2 I"]
г — Л + У (г — hJ + #2 IJ
при
h.
Начало координат расположено в центре цилиндра. После предель-
предельного перехода R-^О и nR2p->q наружный потенциал принимает
вид
что совпадает с потенциалом электрического поля отрезка, лежа-
лежащего на оси Z между точками Z\ = — h и z2 = h и заряженного рав-
равномерно с линейной плотностью q.
29. а)
б)
У ^ +
-, где z—расстояние до плоскости кольца;
2 + h + У B + ЛJ +
, где начало коор-
z - h + У(г - ЛJ + R2
динат расположено в центре цилиндрической поверхности;
в) ф = 2лет (д/22 + R\ ~ V22 + /?i ), где ^ — расстояние до
плоскости, на которой лежат заряды;
(V<z + ^ — | z — R |), где координата z отсчиты-
вается от центра кривизны полусферы;
?--/?3] при
при Z
«= -~- (z2 + /?2K/г + z3 H 2^" ~ -^3 ПРИ 2 < °» гДе координа-
координата г отсчитывается от центра усеченного шара.
30. ф = 2ясг
при
Ф = — 2no\z\ при \z\~>R.
31. Е = —— A — ?а^) 12. Орт \z направлен по оси симметрии
в сторону выпуклости полусферы.
32. Выберем начало кородинат в центре шара. Если точка на-
наблюдения со сферическими координатами г и 0 расположена внутри
шара, то область интегрирования по переменной г' в интеграле
(I. 11) разобьем на две области: О^г'^г и r^r'^jR. В пер-
первой воспользуемся разложением (П5.11), а во второй— (П5.12).При
определении потенциала снаружи шара используем разложение
(П5 12). В результате получим
ф1 (г, Э) = ярог f ~ R — rj cos 9 при г ^ R>
ф2 (Г, 6) = -^?i cos 9 при r> R.
33. Оси X и У декартовой системы координат выберем в плоско-
плоскости кольца, а начало координат поместим в его центр. Потенциал
в произвольной точке наблюдения с радиус-вектором г
A)
где интеграл берется по длине окружности радиуса R, лежащей в
плоскости XY с центром в начале координат. В области г > R вос-
воспользуемся разложением (П5.11). Тогда потенциал A) в произволь-
произвольной точке наблюдения со сферическими координатами г, 9 и ty пред-
представится в виде двойной суммы
(т) \ ^ (т- ¦-) '¦'•
/-От—/
149
Если учесть формулы (П5.9) и (П5.8), то последнее выражение пе-
переходит в более простое:
ф (г, 9, ф) = 2nq ? (-у)Ш pl (°)
Значение полинома Лежандра в нулевой точке дается формулами
(П4.6) и (П4.7), так что окончательно в области г > R получаем
При г < R аналогично находим
k — V
Найденный потенциал не зависит от азимутального угла ф, т. е*
является аксиально-симметричным. В точках на оси кольца (г =*
= \z\, 0 = 0) он изображается в виде рядов:
при | z I > R,
при | z I < R,
которые представляют собой разложение следующих функций:
ф==:_, i при \z\>R,
\z\ Vl+^/^2
Ф= . nq при \z\<R.
Последние выражения совпадают с потенциалом на оси кольца, по-
полученным в задаче 29а).
34. ф = -^ + -^- > >bJL/ (—1 P2fe+i(cos0)
при г
при r > /?,
150
35. ф = -*- ) У7 " v~v;> f-g-V* P2k (cos 9),
^ 2ZRk\ (k + 1I \r /
k—o
It)
(-l)feBfe)!
_____ ^<^
^*2fe-i (cos 9) — cos 9 P2k (cos 9)
sine
36. Область интегрирования в интеграле A.11) разбиваем на
две области: О^г'^гиг^г'^/? В первой области справед-
справедливо разложение (П5.11), а во второй— (П5.12). Окончательно
§ 4. Сила и энергия в электростатике
37 Р 9L
67. t - ад2 .
38. Поместим начало декратовой системы координат в центр
шара. Сила, приложенная к верхней половине шара, выражается че-
через максвелловскии тензор натяжений Та$ следующим образом:
Si
где So и S! — основание и поверхность полусферы. Другие компо-
компоненты силы равны нулю: Fx ~ Fy — 0. При интегрировании по ос-
4я
нованию следует иметь в виду, что векторы Е = --г-рг и п взаимно
о
ортогональны:
151
Между тем на поверхности полусферы векторы Е=—$- и п парал-
параллельны, поэтому
Si
В результате
р 3Q2
Другой способ вычисления:
где интеграл берется по верхней половине шара.
39 Абсолютная величина искомой силы имеет вид
до ш _ ^
™* W ~ bR '
41. 1J7 = --^—, Q =
42. Если удалить меньший шар, то внутри большего появится
полость, в которой электрическое поле однородно:
E-±Lpl.
где вектор 1 направлен от центра большего шара к центру полости
(см. задачу 22). Поэтому сила взаимного отталкивания шаров
Чтобы найти потенциал электрического поля внутри указанной
полости, воспользуемся методом, изложенным при решении за-
задачи 22. Тогда потенциал будет слагаться из суммы потенциалов,
созданных положительным и отрицательным шарами в отдельности!
где гиг7 — радиус-векторы, проведенные в одну и ту же точку на-
наблюдения из центров шара и полости, причем г — г' = !•
152
Искомая энергия взаимодействия представляет собой потен-
потенциальную энергию заряда Q во внешнем поле ф(г), созданном боль-
большим шаром,
U = -у- pQ [3 (R] — R]) — /2].
43. F =2л pjp^jl, U = ft2pjP2<Ri \R°2 ~~ R2[ — Р\ гАе вектор I
направлен от оси наружного цилиндра к оси внутреннего. Его модуль
равен расстоянию между осями цилиндров.
44. ф = е ( 1 J e~~rla\ ф = — при г < а, ф == — е~2г1а при
е2 КЛ
а 16а
45. U = 2nRoe (У5 — 4 cos 60 — l).
46. F = 2npeh(\ - j К, Орт \z направлен по оси
конуса от основания к вершине.
47. U = 2nRae.
48. U = оп . Значение ?/ не изменится, если заряд Q равко-
мерно распределить по объему сферы.
49. ?/ = -4--
9а
§ 5. Уравнения Лапласа и Пуассона
с дополнительными условиями
50. В пространстве выделены две области 2^0 иг^Ос по-
потенциалами ф1 = ф1 (х, г/, z) и фг = ф2 (х, у, г), которые удовлетво-
удовлетворяют уравнениям
72ф1 = 0, У2ф2 = 0
и граничным условиям на плоскости XYi
«^ <;/'0) ^(^У>°> = 4яа cos (ax + by),
Ф1 (*, {/, 0) = ф2 (х, у, 0).
Искомый потенциал
f Ф1 (^ ^» «) ПРИ
фа(*.У^) при
убывает при |г|->оо, так как полный поверхностный заряд равен
нулю. Поскольку граничное условие на плоскости XY периодично,
153
д2 д2
а функция cos (ал: + by) при действии оператора "XT'+ "XT вэс"
производится, потенциалы следует искать в виде
Ф1 = /i (z) cos (ах + by), ф2 == f2 (z) cos (ax + by).
Подставляя эти функции в уравнение Пуассона и сокращая на об-
общий множитель, находим
где X = Vа2 + Ь2. Решение последних уравнений должно убывать
при \z\ -*- оо. Таким путем потенциалы определяются с точностью до
постоянных множителей:
ф1 = a\eKz cos (ax + by), ф2 = a2e~Xz cos (ax + by).
Постоянные множители ах и а^ находятся из граничных условий.
Окончательно имеем
Л
51. Искомый потенциал равен сумме потенциалов, созданных ка-
каждой заряженной плоскостью (принцип суперпозиции). Поэтому до-
достаточно исследовать электрическое поле только одной заряженной
плоскости. Потенциалы, созданные двумя другими заряженными
плоскостями, находятся простым переобозначением координат точки
наблюдения. Метод вычисления потенциала электрического поля од-
одной заряженной плоскости изложен в предыдущей задаче. В резуль-
результате получаем
+ е~к l^' sin a2x sin b2z + е~к l*' sin аъу sin Ь&\.
52. Электрическое поле, созданное периодическим распределе-
распределением заряда в неограниченной области, также периодично во всем
пространстве. Причем оно обращается в нуль, если положить ро = 0.
Поэтому искомый потенциал определяется как частное решение ура-
уравнения Пуассона
4яро . , . < . ,
Ф = — ~ g sin llX sin '2# sin l*z-
/j + /2 + /3
Напряженность электрического поля вычисляется по формуле A.6):
Е ^ ~~ /2 , Т0, >2 (ll C0S llX Sln 12У Sin 1ъХ {* +
+ h sin l\X cos /^t/ sin /Зг \y + /3 sin /ia: sin hy cqs /32:1^).
154
53. Потенциал
( ф1 ПрИ Z ^
\ ф2 При Z ^
является решением уравнений
У2ф} = — 4яро cos kr, V2
с дополнительными условиями
дф1 (х, у, 0) <3ф2 (х, у, 0) _ /м
дг
] Ф1 (*, г/,
— оо) | < оо, | ф2 (х,
0
, 0)-
У> °°)
0
= ф2 (а:, ^
|< со.
',0),
О)
B)
Последние два условия вытекают из того, что точечные и линейные
заряды отсутствуют, а полный заряд равен нулю. Поскольку
cos kr = cos (kLx + k2y) cos къг — sin {k\X + k2y) sin &32,
поставленная задача допускает разделение переменных:
q>i = h (z) cos (klX + k2y) + Fx (z) sin (k{x + k2y) + -i5Hl cos kr,
Ф. = f2 (^)cos (^bv + /e^) + F2 B) sin (M + ^2t/),
где последнее слагаемое потенциала ф1 является частным решением
уравнения Пуассона. Функции ft(z) и Ft(z) (i = 1, 2) удовлетво-
удовлетворяют одному и тому же уравнению:
в котором Я = VА) + ^2- Принимая во внимание условие B), находим
/, (г) = а^**, F, (г) = bieXz,
h (г) - a2e-Xz, F2{z)=b2e~Xz.
Постоянные множители определяются из граничных условий A), так
что
2 cos kr -}- -г- sin (^ja: + k2y) — cos (k\X + k2
__, y Г К 1
1 COS (/?!% + k2y) + -T- Sin (k\X + /J2^/) •
L A J
54. Если распределение заряда во всем пространстве четно или
нечетно относительно какой-нибудь из декартовых координат, то по-
потенциал обладает той же четностью. В данном случае у(х,у,—г) =
155
Задача решается методом разделения переменных *)
Ф (х, у, z) = f (z) sin lix sin Uy,
где f(z)—нечетная функция, удовлетворяющая уравнениям
d2f
-j+г- — X2! = 0 при | z | > a,
d2f
_i— x2f = — 4jtp0 sin /3z при | г | < a,
где %, =* у l\ + l\. Поскольку полный заряд пластины равен нулю,
функция f(z) убывает при |г|->-оо. С учетом сказанного находим
f (z) = bxe% (г+а) при z < - а,
f (z) = b2 (eXz — e~~Kz) + rcpos2in з& при | г |< а,
Постоянные интегрирования определяются из граничных усло-
условий A.8) и A.9). Окончательно получаем
ф1 = фо ( sin ha + -~ cos ha J e~Xa sh Xa — sin ha I X
X ex B+a) sin hx sin l2y {z < — a),
Ф2 = Фо I sin hz — ^~"^a f sin ha + -^ cos ha J sh Яг sin hx sin hy
(
фз = фо sin ha — f sin ha + -y- cos /3a J e"^a sh Яа X
X 6 v ; sin hx sin /2#
где обозначено qp0 = 4npo/(/f + ^ + ф-
55. Если в распределении зарядов имеется определенная симме-
симметрия, то потенциал обладает тем же свойством. В данной задаче
есть аксиальная симметрия. Поэтому искомый потенциал не зависит
от азимутального угла ij).
Потенциалы внутри и снаружи шара обозначим через ф1 =»
= ф1(г, 0) и ф2 = ф2(л6). Они удовлетворяют уравнениям
72ф! = — 4яр0 cos 9, 72ф2 = 0 A)
*) В общем виде изложение метода разделения переменных
жно найти в книге [7].
155
и граничным условиям на поверхности шара
д<р, (Я, 8) дф2 (Я, 9)
6Y
Ф1 (R, 6) = ф2 (Я, 6). B)
Применяя метод разделения переменных, следует учесть, что
функция cos 9 воспроизводится при действии угловой части опера-
оператора Лапласа в сферических координатах (П1.46):
9 -sg- cos 9 J = — -p- cos 9.
r2 sin 9 д
Поэтому естественно положить
Ф1 = Fi (г) cos 9, ф2 = F2 (r) cos 9.
Тогда множитель cos 8 сократится в правых и левых частях уравне-
уравнений и дополнительных условий, после чего задача сведется к более
простой для радиальных функций Л (г) и F2(r). Согласно исходным
уравнениям A) радиальные функции удовлетворяют уравнениям Эй-
Эйлера
о d F\ o dF\ л о /о\
г2 + 2г —f 2Fi = — 4яр<Л C)
-~
и дополнительным условиям при г = Ry которые вытекают из соот-
соотношений B). Частное решение первого уравнения, очевидно,
F\ част =»= —яроЛ а общее решение однородных уравнений C) и D)
ищется в виде сг\ где с и s — константы, подлежащие определению.
Подставляя crs в уравнение D) и сокращая на общий множитель,
получаем квадратное уравнение
s2 + 5 — 2 = О
с корнями Si = 1 и s2 = —2. Значит, общие решения уравнений C)
и D) имеют вид
Из нецрерывности потенциала в точке г = 9, а также из ф2 (сх>, 9) = О
вытекает с2 = с3 = 9. Две другие постоянные определяются из
условий сшивки радиальных функций и их производных в точке
г = R. Опуская дальнейшие выкладки, приведем окончательный
результат: ф1 = ярог D/зЯ — г) cos 9, ЕХг = 2яр0 (г — 2UR) cos9,
^Ю = лроD/зЯ — г) sin 9, ?*1ф = 9 при /*</?; ф2 == "^f4 cos 9,
E2r = ^51 cos 9, E2Q = igjl sin 9, E^ = 9 при г > R.
157
60. В задаче даны две области г<1?иг>1?с потенциалами
Ф1 и ф2. Уравнение Пуассона (I. 7) и дополнительные условия (I. 8)
и (I. 9) позволяют применить метод разделения переменных. Соглас-
Согласно соотношению (П4.18) полагаем
Радиальные функции удовлетворяют неоднородным уравнениям Эй-
Эйлера
и условиям сшивки
158
Дальнейшее аналогично вычислениям в задаче 55. Окончательно
! D) J D)
ф2 _
D) J D)
!__ _ __
[1 1 / г \2] / г \Л
T=T-?+TUrJ JV^J cosn*
при г
при r^ R.
62. Потенциалы внутри ф1 = ф1 (г, г|>) и снаружи фг = фг(>\ Ф)
цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению Лапласа и
граничному условию (I. 9)
Ф1 (R, i>) = Ф2 (R, Ф) == ФО COS «ф.
Внутренняя при г ^. R и внешняя при r ^ R задачи независимо
друг от друга решаются методом разделения переменных
ф1 — -^1 (г) cos лф, ф2 = F2 (r) cos пф.
При этом для радиальных функций Л@ и F2(r) получаем уравне-
уравнения Эйлера. Решая последние, следует использовать непрерывность
потенциала в точке г = 0, так как внутри цилиндрической поверх-
поверхности заряды отсутствуют. Кроме того, снаружи цилиндрической по-
поверхности при увеличении г потенциал не возрастает, поскольку пол-
полный поверхностный заряд равен нулю. С учетом граничного усло-
условия (I. 9) находим
Ф1 = фо1-7г1 cos/гф при г<#,
ф2 = фо ( J COS ftф ПрИ
Поверхностную плотность заряда определяем из граничного ус-
условия A.8) на цилиндрической поверхности, которое еще не ис-
использовалось:
63- *i = Vo(-?)[Kta<O'*>-yJ«(e.*)] при г
ty"n(e- ^ ~ Y"im(e- *J] при г
159
64. Применяем метод разделения переменных, положив
ф (х, у) = X (х) Y (у). A)
Вдоль оси Z потенциал однороден. Подстановка функции A) в ура-
уравнение Лапласа дает
d2X d2Y
, dxz __ dy2 _%
- — — — л
л i
или
-gL_U = 0, B)
d2Y
~+%Y = Q, C)
где X — некоторая постоянная. Чтобы выполнялось граничное усло-
условие на плоскостях у = 0 и у = 6, необходимо
Y @) = Y (Ь) = 0. D)
Уравнению C) и дополнительным условиям D) удовлетворяют функ-
функции
Yn = cn sin -у У E)
где сп — произвольные постоянные и п = 0, 1, 2, ... При этом X =
Поскольку внутри рассматриваемой области зарядов нет, иско-
искомый потенциал при х -> оо не возрастает. Поэтому из двух незави-
независимых решений уравнения B) оставим только убывающую экспо-
экспоненту для каждого фиксированного значения числа п:
пп
Хп = Ъпе~~ Х, F)
где Ьп—произвольная постоянная.
Следовательно, частным решением уравнения Лапласа служит
произведение функций E) и F). В общем случае уравнению Лап-
Лапласа и граничным условиям на плоскостях у = 0 и у = Ь удовле-
удовлетворяет бесконечная сумма произведений XnYn:
ПК
х
ь~х . пк /7ч
апе sm—r-y, I')
rt=0
где введено обозначение ап = cnbn*
Подберем коэффициенты ап так, чтобы оставшееся граничное
условие на плоскости х = 0 также выполнялось:
оо
ап sin -у- у = ф0. (8)
160
Для этого воспользуемся тем, что совокупность выражений E)
образует полную систему взаимно ортогональных функций на от-
отрезке [О, Ь]. Умножая обе части равенства (8) на sin —r— у и инте-
интегрируя по у, получаем
ат = 0 при т = 2&,
где k = О, 1, 2, ... В результате потенциал G) принимает вид
оо B6+1) Я
_1 р Ъ х . Bk + \)n
В данной задаче, как и в некоторых последующих, ответ пред-
представлен в виде бесконечного ряда, хотя последний иногда сумми-
суммируется при помощи определенных математических приемов.
BН1)я . Bk+ \) л
n ¦—-— х sh ¦—-— у
аа у ,
а
. Bk+l)n и Bk + \)п , ч
sm -1 у sh (а _- х)
oh
Ь
Вдоль оси Z потенциал однороден.
66. Поместим начало координат в центре полусферы, а ось Z
направим вдоль оси симметрии в сторону выпуклости. Искомый по-
потенциал ф(г, Э) разложим в ряд (П4.15) по полиномам Лежандра
радиальные функции Fn(r) подлежат определению. После под-
подновки выражения A) в уравнение Лапласа приходим к уравне-
уравнею Эйлера
где
становки
нию Эйлера
d2Fn , 2 dFn n(n+\)
~lF~ + T—r ?—Fn==0
с решением
6 АИ. Алексеев 161
где ап и Ъп — произвольные постоянные. Из непрерывности потен-
потенциала следует Ьп = 0. Таким образом,
Ф (г, е)=^% (у У Рп (cos 6). B)
Коэффициенты ап подбираются так, чтобы выполнялись граничные
условия
Из условия C) вытекает a2k = 0 при & = 0, 1,2, .. . , так что ряды
B) — D) содержат только нечетные полиномы. Чтобы найти остав-
оставшиеся коэффициенты a2h+\, необходимо умножить обе части равен*
ства D) на Pw(cos 0)sin 6, проинтегрировать по углу 9 в пределах
от 0 до я/2 и воспользоваться формулами (П4.9) и (П4.11). Тогда
получим
Z< (_l)ftDfc + 3)Bife)l / r\M+i
Л-0
(—1)*DЛ + 3) Bk)\ /R\2(k+\)
/е=0
68. Граничное условие для потенциала ф(г, 0) удобно записать
в виде
7г (фЛ — Ф^) ПРИ 0 ^ 0 < я/2,
— 7г (фа — Ф^,) при я/2 < 0 ^ я.
После этого потенциал разбивается на сумму двух слагаемых
ф(г,0) = Ц}\(г) 4~ф2(;'>0), каждое из которых удовлетворяет своему
граничному условию
-{-
а — ф^) при 0 ^ 0 < я/2,
— фЛ при я/2 < 0 <J я.
162
Вид функции <Pi(r) очевиден, а определение потенциала фгС^в) ана-
аналогично задаче 66:
69. Ф1 = Фо + Фо ? (~зГ(У' (f) ?2ft+1 (C°S 9)
Указание. Удобно выбрать начало координат в центре ок-
ружьости, а ось Z направить в исследуемое полупространство. В ре-
решении уравнения Лапласа в виде ряда по полиномам Лежандра
следует оставлять только те слагаемые, которые непрерывны по пе-
переменной г. Это требование выделяет две области, лежащие внутри
и снаружи полусферы радиуса R, в которых потенциал имеет харак-
характерную зависимость от переменной г,
при
оо
6rt^J Pn (cos9) при /?<г.
п=0
Граничное условие на плоскости 6 = -^- приводит к выводу
ао = фо 60==0 и а2т = Ь2т~® при т = 1, 2, ...,
«2fe+i Ф 0 и &2fe+i =^= 0 при /е = 0, 1, 2, ...
Чтобы найти оставшиеся коэффициенты a2k+i и &2А+ь необхо-
необходимо воспользоваться непрерывностью потенциала и его производ-
производной по г на поверхности полусферы с радиусом г — R.
сю
*>¦ 1^"Д*'()'
6* 163
71. Ось 2 цилиндрической системы координат совмещаем с осью
цилиндрической поверхности. Вдоль этого направления потенциал
однороден. Внутренний (pi (г, \р) и наружный фг^, ф) потенциалы
вычисляются независимо друг от друга. Сместим их точку отсчета,
положив
Ф] в " (Уа + Фа) + *1 (г> *)'
^2 в У (Фд + Фь)
Новые потенциалы ф} и <р2 удовлетворяют уравнению Лапласа и гра-
граничному условию
Далее воспользуемся методом разделения переменных и будем ис-
. кать решение поставленной задачи в виде
Ф (г, t|)) = F (г) Ф (i|)), A)
где индексы 1 и 2 у потенциала опущены. Подставляя выражение
A) в уравнение Лапласа, получаем
ГТ~ I г Т~
dr \ dr
F Ф
Здесь X — постоянная. Последнее соотношение содержит два урав-
уравнения
d2<&
iLzL -f ЯФ = 0, B)
*d2F 'dF V-«L C)
' dr2 ' dr
Первое из них имеет решение
ф = A cos л/Xty + В sin V^> D)
где Л, В и Я — постоянные. После изменения угла г|з от 0 до 2я по-
потенциал A) должен совпасть с исходным выражением, поэтому
Ф (л|5 + 2л) = Ф (ф).
Это выполняется при условии уХ~п, где п = 0, 1, 2, ... Решение
второго уравнения ищется в виде F — г3. После подстановки в C)
и сокращения на общий множитель получим s2 = п2 или s = ±п.
Отсюда находим
F_O« + ?. E)
где С \\ D — произвольные постоянные. Произведение функций D) и
E) является частным решением уравнения Лапласа. Причем внутри
161
цилиндрической поверхности D = 0, а снаружи С = О, так как ис-
искомый потенциал является ограниченной функцией. Общее решение
представляет собой бесконечную сумму частных:
(г, i|)) = 2j (ir) (att^osn^) + bns\nn^) при
~ , ч V1 ( R \п /
фг (/\ Ф) == / I — I (?« cos я\|) + dn sin rt\b) при r^ R.
/ * \ г /
Произвольные постоянные ап, Ьп, сп и dn определяются из гранич-
граничных условий. Непрерывность потенциала при переходе через цилин-
цилиндрическую поверхность требует сп = ап и dn = bn, а нечетность
функций ф1 (R> -ф) и ф2 (R, ty) по переменной \|) приводит к ап = 0.
Чтобы найти Ьп, умножим обе части равенства
1/2 (фд — (рь) при 0 < ij) < я,
sin пф ===== < ... %
при я < г|) < 2я
Г !Л (фа — Ф
на sin тг|) и воспользуемся ортогональностью синусов при т Ф п.
Тогда получим
где k = 0, 1, 2, ... Окончательно
Ф1 ==—^-о—- Н
fe-0
Потенциал определен с точностью до постоянного слагаемого ф0 и
однороден вдоль оси Z, совпадающей с осью цилиндрической поверх-
поверхности.
165
73. Начало координат помещаем в центр окружности, а ось Z
выбираем перпендикулярно ее плоскости. В цилиндрических коорди-
координатах потенциал не зависит от полярного угла, а по переменной z
является четной функцией ф(г, —г)=ф(г, z). По методу разделе-
разделения переменных будем искать решение в виде
y(r,z) = F{r)Z(z) A)
После подстановки этого выражения в уравнение Лапласа находим
1 d ( dF\ d2Z
г dr V dr
Чтобы потенциал A) убывал при |г|->оо, постоянная С должна
быть вещественной и положительной С = Я2, где для определенно-
определенности считаем Я > 0. Тогда
B)
О)
dr2 r dr
Из уравнения B) получаем
Z-V-*I4 D)
где постоянгая а* подлежит определению.
Ограниченное решение уравнения C) выражается через функ-
функцию Бесселя (П6 2) нулевого порядка
умноженную на произвольную постоянную Ь^
Произведение функций D) и E) является частным решением
уравнения Лапласа, отвечающим фиксированному значению пара-
параметра Я, который здесь может изменяться непрерывно. Поэтому об-
общее решение имеет вид
кг) е ал, F)
о
где ради удобства введено обозначение aJb^= Яс«. Коэффициент с,
как функция параметра Я подбирается так, чтобы выполнялось
граничное условие
>о при г < R,
при г > R.
v
166
Полученное соотношение является разложением в интеграл
Фурье — Бесселя функции, стоящей справа этого равенстза*). Это
позволяет вычислить коэффициент с^ по формуле (Пб 24). В резуль-
результате потенциал F) запишется в виде следующего интеграла по па-
параметру X:
оо
Ф (г, г) = фо# С /0 (Хг) Л (XR) e~llzldX.
О
Этот интеграл можно выразить через специальные функции, приве-
приведенные в справочнике [9]
74. Ф (г, г) = 2ясг/? J /о (Яг) /, (XR) е~х^^ -^-.
о
оо
75. ф (Г, Z) _^E! J /0 (Яг) sin /гя.в-х1 г ' ^;
О
(У = ф0 при r<R.
л2 л/R2 - г
Указание. Граничное условие на плоскости г == 0, в которой
лежит диск, записать в виде
Ф (г, 0) = фо при г < R,
^^=0 при г>*.
Второе соотношение указывает на отсутствие поверхностных заря-
зарядов вне диска. Далее следует воспользоваться известными соотно
шениями
S
. . ч sin RX ,. п ^ п
/о (га) —т-— ал = — при г < /?;
при
V/?2 —
*) О разложении в интеграл Фурье — Бесселя см. в книгах
7, 8].
167
§ 6. Плотность заряда тел разной конфигурации
76. р = -г— cos ф при г < R, р = 0 при г > R.
77. р = е6(г) + 1!~-(r<R), р = 0 (г>Я); Q = 2е.
78. Сфера радиуса R равномерно заряжена с поверхностной
плотностью а = Q/4nR2.
79. Цилиндрическая поверхность радиуса R равномерно заря-
заряжена с поверхностной плотностью а = q/4nR.
80. a) 2Ro6(x2 + y2 + z2 — R2), 2Ro6(r2 + z2 — R2)y аб(г — R);
6) 2Rq6 (x2 + y2- R2) б (г), ?6 (r-R) 6 (г), -|" 6 (^-Л) б (cos 6) =
в) qd (*) б (у), -У- б (г), -=\ 6A- cos2 9);
г) аб (z), аб (z), — б (cos 9) = — 6 f 9 —^-J;
д) 2Ro6 (x2 + У2 — R2)> о-б (г — #), аб (г sin 9 — R).
Указание. Следует рассмотреть элемент объема AV, который
содержит внутри себя часть заданного распределения заряда вели-
величиной
AQ= J pdV. A)
AV
Искомая объемная плотность р должна удовлетворять следующим
требованиям. Если первоначально было задано распределение заряда
на поверхности с поверхностной плотностью а, то после интегриро-
интегрирования в A) по поперечной кородинате I,
AQ == \pdl dS,
AV
выражение для заряда AQ должно принять вид
adS,
AQ== [
AS
где AS — часть данной заряженной поверхности, которая оказалась
внутри рассматриваемого объема. Аналогично, если было задано рас-
распределение заряда на линейном контуре с линейной плотностью qt
168
то после интегрирования в A) по двум поперечным координатам
I и Л»
AV
AV
выражение для заряда AQ должно принять вид
J 4dl,
AL
где Д? — часть данного заряженного линейного контура, которая
оказалась внутри рассматриваемого объема AV.
81. а) р = 2/?<тб (х3 + у2 + z2 - /?2) т) (г), р = 2Rob (г2 + z2-
б) р = 2J?^6 (х2 + y'+z2-W) г, («/), р = q6 (г- R) 6 (г) ц (я-г|)),
р = -1 6 (г - R) б (cos в) ц (я - f);
в) р « <7б (*) б (у) [ri (г) - ц (z-l)l р = -?. б (г) [п (г)-п (г-/)],
р = |^- 6 A - cos2 6) г, (|- - в) h (r) - и (г - /)];
г) р = аб (z) n (R2 - х2 - у2), р = ab (z) r\ (R - г),
р - 2.в (cos в) ч (/?-г);
д) p
X [л (^ - г) (г - /)]. р = аб (г sin в - Д) ч (у - б) [П (г)~
— п (г - V/?2 + /г2 )L
84. Заряд с линейной плотностью q == 72?ш равномерно распре-
распределен вдоль оси Z.
85. а) Две плоскости х = а и х = —а равномерно заряжены с
поверхностной а;
б) две прямые х = а, г = 0 и х = —а, 2 = 0 равномерно за-
заряжены с линейной плотностью q;
в) окружность (х — аJ-\-(у — бJ = а2 + Ь2, лежащая в пло-
плоскости XY, равномерно заряжена с линейной плотностью q\
X" И"
г) эллипс —1 + 42"=^ лежащий в плоскости XYy заряжен
с линейной плотностью q = ; Полный заряд
2л Уа4 + F- — а2) х2
эллипса Q;
169
х2 , у2 , z2 f
д) эллиптическая поверхность —у + -тт-Ч—г^* заряжена
с поверхностной плотностью
-_ Q
Полный заряд эллиптической поверхности Q.
§ 7. Дипольный момент
87. р = ^ б (9 — Go) п (/— г), eo = arcsin-j-; dx =
88. p = -^ 6 B) б (г|) - -фо) 11 (/ - r); d* = !/2 <7/2 cos ф0, ^ =»
= V2 #/2 sin i|H, ^z = 0.
89. Точечный диполь с моментом d является предельным слу-
случаем системы двух зарядов е и —е% расстояние / между которыми
стремится к нулю, а абсолютная величина зарядов при этом обра-
обращается в бесконечность так, что
lim e\ = d,
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному.
Распределение объемной плотности в случае зарядов е и — <?,
находящихся в точках с радиус-векторами г+ == г0 + 1 и г_ = г0,
описывается функцией ре(г) =е[б(г — г+) —б (г — г_)]. Если в
этом выражении перейти к двойному пределу /->0 и е->-оо? то по-
получим объемную плотность заряда точечного диполя
в (г - г.) - б (г - г_) дгЬ (г - г')
p(r)=lim el-± ±1——У- L = d ' L
е->оо
где производная в направлении вектора 1 берется по штрихованным
координатам. Согласно формулам (П1.11) и
д'Ь (г - г') дб (г - г')
полученное выражение можно переписать так:
р (г) = - (dV) б (г - го).
on m d (г — г0)
90. Ф = -т- ~пг
170
93. a) F-i»|«i(?-1<*>г.), N = i^(dXr); 6) F
^ Hd + 2 (dr) r). N - -y- ar2 (d X r).
94. F, = - F2, F2 = -p- {[r2 (d,d2) - 5 (d,r) (d2r)] r + г2 l(d2r) d,
+ (dir)d2]}: W|,Jj?Xd1L+
, 3(d,r)(d2Xr)
95. ф = •—ar/r3. Вектор а представляет собой момент точечного
диполя, взятый со знаком минус.
96. Электрический дипольный момент P(r')dV элемента объема
dV\ находящегося в точке с радиус-вектором г', создает в точке на-
наблюдения с радиус-вектором г следующий потенциал;
dV(r)~??dV,
где R = г — г'. По принципу суперпозиции находим потенциал, соз-
созданный электрическим дипольным моментом обьема V:
V
Воспользуемся соотношением
А. , Р div' Р ,
dl/T-nr+
где производные берутся по штрихованным координатам. Тогда ин-
интеграл A) при помощи теоремы Гаусса — Остроградского (П1.15)
преобразуется к виду
Будем неограниченно расширять объем V во все стороны. При этом
интеграл по поверхности S, ограничивающей объем V, обращается
в нуль. Последнее обусловлено тем, что подынтегральная функция
на поверхности S убывает быстрее, чем 1/г/3, в то время как поверх-
поверхность интегрирования «S увеличивается пропорционально г'2. В ре-
результате
,«-S^Si
171
Сравнивая полученное выражение с общим решением уравнения
Пуассона (I. 11), приходим к выводу, что распределенный электри-
электрический дипольный момент создает в пространстве такое же электри-
электрическое поле, как и заряд с объемной плотностью р(г) =—divP(r),
§ 8. Тензор квадрупольного момента
98. Da|3 = 0 при а Ф р, Dn = D22 = — 36ea2, D33 = 72ea2; d = 0.
99. a) ^ = с?2 = 0, rf3 = 3/8Q^ Az3 = 0;
б) dx^d2 = 0, d3 = V2 QR, Da$ = 0;
в) d{ *= d2 = 0, d3 = lhQR, D =0 при а ф p, Du = D22 ==
= QR2/12, D33 = -Q/?2/6.
100. AzP = 0.
101. Перейдем в штрихованную систему координат, начало кото-
которой расположено в центре кривизны полусферы, а оси Х\ Y' и Z' па-
параллельны одноименным осям X, У и 2. В штрихованной системе ко-
координат имеем d\ = d'2 = 0, d's — QR/2 и D^ = 0. Воспользуемся
законом преобразования координат
и установим связь между компонентами тензоров Da$ и Da$ в ис-
исходной и штрихованной системах координат:
Отсюда находим
102. /)
/2 6 3 N
|-6 2 3 ).
\3 3 -4/
/5я 12 О Ч
12-я о •
\ О О -4я/
103. Тензор квадрупольного момента заряженного эллипса пред-
представим в виде
A)
где криволинейный интеграл берется по контуру эллипса
2 и I 7
Х /± B)
Видно, что отличны от нуля лишь диагональные компоненты тен-
тензора Dap Интеграл A) по замкнутому контуру равен учетверен-
учетверенному интегралу по дуге эллипса, лежащей в первой четверти плоско-
172
сти XY Интегрирование по указанной дуге эллипса заменяем инте-
интегрированием по отрезку [0, а] оси X,
Dn =» 4q J B** - f-) д/l + (М.у dx,
О
где функция у = у(х) дается выражениями B). При помощи за-
замены переменной х = #? и формулы Ь2 = а2A— е2) последний ин-
интеграл запишем так:
1
Dn = Aqa* J W — 1 + e2 A — \*)\ aJ X ~^ d\.
Подынтегральное выражение разлагаем в ряд по малому параметру
е2 и оставляем первые два слагаемых этого ряда. Возникающие при
этом интегралы по переменной % являются табличными Окончатель-
Окончательно получаем
Dn = nqa* (l + f e2), D22 «= nqa* (l - -у- с2),
104. Искомый тензор квадрупольного момента запишем как
где интегрирование ведется по замкнутой эллиптической поверхно-
поверхноВ случае тела вращения достаточно вычислить только компоненту
?>зз. Воспользуемся заменой переменных
х =* ах', у = ay', z = bz'
и перейдем к интегрированию тю сфере единичного ради>са
V, , Ь2
.„
173
где
&2 = а2A+е2) при Ь>а,
?2 = а2A—е2) при Ь<а.
Подынтегральное выражение разлагаем в ряд по малому параметру
е2 и оставляем слагаемые с наименьшей его степенью. В результате
находим
где верхний знак берется при Ъ > а, а нижний — для Ь < а. Дру-
Другие компоненты искомого тензора
Dap = 0 при а ф p.
105,
/0 1 0\ /-10 0\
Z)aC=12ea2j 1 0 0 1, D^ = 12ea2( 0 1 0 ;
Vooo/ чоо о/
106.
Указа
^i =
н ие.
«ар
d (cos a -
¦с ¦
-1), d2-
A+cosa) 3
3 sin a
0
Каждый
-2A
точечный
-1 0
1 0
0 V?
= d sin a,
sin a
+ cos a)
0
диполь
,)•
^з = 0;
0
0
-2A +cosa),
с моментом d следует
рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и —е,
расположенных на расстоянии / друг от друга, которые неограни-
неограниченно сближаются, возрастая по абсолютной величине. При этом
lim d = d, A)
z-»o
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положитель*
ному. В компонентах тензора квадрупольного момента, написанного
для отдельной системы двух зарядов е и —е, необходимо перейти
к двойному пределу /-^0ие-*-оои учесть A).
107. D4 = 0 при а Ф р, Dn = D22 = -^ {а2 — Ь2), ?>3з =»
20
=-~ (б2—а2). После поворота эллипсоида тензор Da$ принимает вид
3 sin2 a — 1 0 3 sin a cos a'
3 sin a cos a 0 3 cos2 (
a cos a \
2a- 1 /
174
108.
Dn = -% [a2 C cos2 a - 1) + 62 C sin2 a - I) - c2],
о
D22 = -§- [a2 C sin2 a - 1) + b2 C cos2 a - 1) - c2],
о
33=4 Bc2-a2-62),
о
30
l2 = -~p- (a2 _ ?2) sJn a
о
/10 ON
I 0 1—3 sin2 a 3 sin a cos a I.
\0 3sinacosa 3 sin2 a— 2/
109. /)a^«-
110. J?Y(r) = JD
Q
111. <p = — «ap C*a#p — г2бар). При помощи соотношения
са^ба^г2 = аоо6а$хах$ и формул (П2.16) и (П2.22) потенциал можно
Привести к каноническому виду
в котором тензор
Dap = 3
симметричен, а его след равен нулю Daa = 0. Следовательно, ком-
компоненты Da$ составляют тензор квадруполыюго момента. Вели-
Величина aa« пропорциональна тензору квадруполыюго момента в том
случае, если аа^ = а$а и аао = 0-
f + Q®), B12 = i д/| (Q<?>2 - Qf
Qf),
V
б) ^«ptoj^+ ^
\ 3 д 12
175
114.
где Е@) =—gradcp(O)—напряженность внешнего электрического
поля.
115.
где напряженность электрического поля и ее производные берутся
в точке, расположенной внутри заряженной системы. Эта точка слу-
служит началом декартовой системы координат, в которой вычислены
величины d и Da$.
I дЕу
116. Na = edE + г^б
где напряженность электрического поля и ее производные берутся
в точке, расположенной внутри заряженной области. Эта точка слу-
жит началом декартовой системы координат, в которой вычислены
величины d и Z)ap«
117.
Nx = 72ea2 -
ду
§ 9. Поле на больших расстояниях
от заряженной системы
119.
_ д1ъ 3cos26 —
176
л/у2
120. a) <p = -^-Ccos29-l);
б) ф —i - —j^j sin esin ф - -ijL. [2 + 3 sin* 6 A - 4 cos'
в) q> = —- sin2 6 sin 2i|).
121. ?W
/0 0 1\
0 0 0 ); <p = 6atf^§-.
41 0 0/ r
Указание. Воспользоваться методом, изложенным при реше-
решении задачи 101.
124. ф_?
" (т
4Л2)у2+(IA2 ~ 4
Указание. Воспользоваться методом, изложенным при реше-
решении задачи 101.
125.
а) ф = Я- + JJL [3 (a2 cos2 $ + b2 sin2 ф) sin2 9 - a2 - Ь2\\
*\ Q , 1ЛШ o^ 3cos2 e~ x
б) Фв +-g- Q(^2~a2) ^з ;
в) фв-5.+-А [a2Csin2ecos2a|)~l) +
+ 62 C sin2 0 sin2 ф - 1) + c2 C cos2 9 - I)J.
126. ф (г, О, $) = > v ' Q[)Pl (cos 0),
где Л = 0, I, 2, ...
127. /
177
[(dr) A - ^r) + 2<%] b* + [(dr) A - ^-
130. AFX = ~2?*L [5 (a2*2 + 6 V + c2z2) - г2 (За2 + b2 + c2)],
LFy= "W-[5 (a2*2 + *2^2 + c2*2) -r2 (a2 +3b2 +c2)]>
[5 (a2^2 + b2^2 + C222) _ f2 (fl2 + b2
131. ?/ = -3888-
L5 *
§ 10. Двойной электрический слой
132. ф (z) = 2ят ( 1 / t —— при г ф 0, <р @) = 0:
V yz2 + R2 J | 2 |
133. ф (-г) = 2лт A , ] при z > /?, ф (/?)== — V2 ят>
ч V-г2 + /^2
134. В цилиндрических координатах ср = 2т (я — i|>) при 0 <
< 2я, ф = 0 при 1|з = 0; ?г = Ez = 0, ?ф = 2т/г.
136. Над положительной стороной электрического двойного слот
ф = 2ят. На его поверхности ф = 0. Под отрицательной стороной
Ф = —2ят.
137. Потенциал двойного электрического слоя ф = xQ, где Q —
телесный угол, под которым видна положительная сторона слоя (для
отрицательной рассуждения аналогичны). П^сть слой сместился па-
параллельно самому себе на величину da.. Элемент dY контура L, на
который натянут слой, опишет поверхность da X d\'. Она видна из
(da X dY) R
точки наблюдения под телесным углом -^—-—, где вектор
R = г — г' проведен от элемента поверхности в точку наблюдения.
178
Полное изменение телесного угла при смещении слоя
A)
L
Потенциал в точке наблюдения изменится соответственно на вели-
величину dq> = TdU. Если слой неподвижен, а точка наблюдения пере-
переместилась в противоположную сторону на величину йг = — da, го
численное значение телесного угла A) не изменится. Однако изме-
изменение потенциала в этом случае выражается через напряженность
электрического поля следующим образом:
L
Ввиду произвольности вектора dz находим
Глава II
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла
и граничные условия в магнитостатике
138. Если заданное магнитное поле удовлетворяет однородным
уравнениям Максвелла rot Н = 0 и div Н = 0, то заведомо найдется
такое распределение тока снаружи полой области и на ее поверхно-
поверхности, которое создает это поле. Напротив, если ротор или дивергенция
вектора Н внутри полости отличны от нуля, то никакое распределение
тока не может создать данное магнитное поле. В связи с этим необ-
необходимо вычислить ротор и дивергенцию заданной векторной функции
а) можно (rot Н = 0, div Н = 0);
б) нег (rot Н = (I* + 1у + \г)Ь, div Н = 0);
в) можно (rot Н = 0, div Н = 0).
139. Нет, так как div j ф 0.
б) J—^-[3(ar)b-(ab)r];
в) jr = /в = 0, /^ = —— sin 9 при /¦<!/?, j = 0 при г > R;
Ъ СГ Q"С
г) jr = °» /* = -от-» /* = -nzr при г < /?, j = 0 при г > /?.
144. Из уравнения Максвелла rot Н = —j следует div j == 0.
с
Поэтому внутри заданной ограниченной области текут замкнутые
токи, токовые линии которых явля-ются замкнутыми кривыми. В свя-
связи с этим разобьем объемный интеграл на сумму интегралов
h A)
по отдельным замкнутым весьма тонким трубкам, для которых
180
справедлива замена
idVi + JidU,
где Ji — линейный ток i-й трубки, a d\t — элемент оси Li этой токо-
токовой трубки. Ось каждой трубки направлена по соответствующим зам-
замкнутым токовым линиям. Равенство (I) тем точнее, чем тоньше вьг-
браны токовые трубки. Линейный интеграл (\) d\{ равен нулю, по-
добно сумме векторов, составляющих замкнутый многоугольник. По-
Поэтому \ j dV = 0.
145. Для произвольного объема V имеем
div А (г) = — [ div , j (r'},, rfr*--( div' ^W
w с J I г — r71 с )
[ div , ,, rfr( v тW dV>
с J I г — r71 с ) | г — г |
где использовано div'j(r') = 0. В последнем интеграле дивергенция
берется по штрихованным координатам, Используя теорему Гаус-
Гаусса— Остроградского (П1.15), найдем
A)
Если токи текут в ограниченном объеме V, то }п (г') обращается в
нуль на поверхности интегрирования, и условие Лоренца выполнено.
Если токи текут в неограниченном пространстве, то при расширении
объема V во все стороны поверхностный интеграл A) также обра-
обращается в нуль. Это связано с тем, что поверхность 5 возрастает про-
пропорционально г'2, в то время как подынтегральная функция убы-
убывает быстрее, чем 1/г' .
146. Постоянный ток должен течь в ограниченной области. В этом
случае выражение -~- \ jA dV инвариантно по отношению к преоб-
преобразованию калибровки (II. 10) и имеет физический смысл энергии
магнитного поля.
тг
148. a) ix = / = 0, i2 == —— в плоскости х — at ix~ ty = О,
сН
i = г- в плоскости х = Ь\
сН
б) ix = iy = 0, ig = —j— в плоскостях х = а и х = Ь\
ГГ
в) /г = iz = 0, / = ——, где ось Z цилиндрической системы
координат направлена по оси цилиндрической поверхности парал-
параллельно вектору Н.
181
149. а) В цилиндрических координатах j = б (г — /?)i0?
б) в декартовых координатах j = J6(xN(y)\z\
в) в декартовых координатах j = 6(z)i0;
г) в цилиндрических координатах /г = \г = 0, /ф = /б (г—R) б (z)\
д) в сферических координатах /г = /е = 0, /ф = сгсогб(г—/?) sin 9;
е) в сферических координатах /г = /е = 0, /^ = асо sin 90б F—60).
150. Нет, так как divj^O, где j = /об (х) {\уе^ауг + \2e~as*).
151. а) В плоскостях х — а и х = —а течет ток с поверхност-
поверхностной плотностью i0; б) по прямым х = а и х — —а, лежащих в пло-
плоскости XY, параллельно оси У течет линейный ток J.
152. Натянем на контур L произвольную поверхность S, которая
превращает окружающее пространство в односвязную область.
В точках, не лежащих на токовом контуре L, уравнение Максвелла
(II. 2) однородно rot H = 0. Согласно теореме (П1.22) магнитное
поле в этих точках можно представить как Н = —grad Ф, где Ф =
= Ф(х, у, г) —некоторая функция, заданная в односвязной области.
Возьмем ее в таком виде, чтобы второе уравнение Максвелла
div Н = 0 также удовлетворялось при подстановке выражения Н =
= —grad Ф. Для этого функция Ф должна быть решением уравне-
уравнения Лапласа У2Ф = 0 с дополнительным условием, вытекающим из
теоремы о циркуляции напряженности магнитного поля
Utdl=^—Jt A)
с
Здесь т — орт касательной к контуру интегрирования С, который ох-
охватывает линейный ток /. Кроме того, функция Ф обращается в
нуль на бесконечности, если токовый контур L лежит в ограниченной
области. Так определенная функция Ф называется скалярным потен-
потенциалом магнитного поля. *
Поверхность S, натянутая на токовый контур L, рассечет контур
интегрирования С в некоторой точке. Обозначим точками 2 и 1 на-
начало и конец рассеченного контура С'. Значение потенциала в этих
точках по разные стороны поверхности S обозначим через Ф2 и Фь
Интеграл A) по рассеченному контуру
С
_ dl = Ф2 - Ф, = —- J. B)
Как видно, скалярный потенциал Ф претерпевает скачок при пере-
переходе через поверхность S, натянутую на токовый контур L, хотя
производная дФ/дх остается непрерывной. При этом величина Ф
формально совпадает с потенциалом двойного электрического слоя
S, плотность дипольного момента которого равна J/c. Таким обра-
образом, скалярный потенциал Ф удовлетворяет уравнению У2Ф = 0 и
\°2
дополнительному условию B) на фиксированной поверхности S, на-
натянутой на токовый контур L.
153. В качестве фиксированной поверхности, натянутой на токо-
токовый контур, выберем полуплоскость у = 0, х ^ 0. Уравнение
= 0 с дополнительным условием
С
г
решаем в цилиндрических координатах. Здесь контуром интегриро-
интегрирования С'г служит окружность произвольного радиуса г с центром на
оси Z, Ее плоскость перпендикулярна линейному току /. Контур ин-
интегрирования С'г рассекается в некоторой точке полуплоскостью
у = 0, х ^ 0.
Из условий задачи вытекает, что искомая функция Ф не зависит
от координат г и г, а зависимость от полярного угла а|) линейная
ф == ф0 -f- m|), где Фо и а — постоянные. Дополнительное условие
выполняется при а = —2J/c и произвольном Фо. Таким образом, по-
потенциал определен с точностью до произвольного слагаемого. Окон-
Окончательно
Функция Ф претерпевает скачок / при переходе через полупло-
полуплоскость у = 0, х ^ 0, которая соприкасается с линейным током /.
Если произвольную постоянную положить равной 00= Л то
величина Ф формально совпадает с потенциалом двойного электри-
электрического слоя у = 0, х ^ 0 с плотностью дипольного момента J/c
(см. задачу 134).
§ 2. Магнитный момент
ей
154. fix = f*y = 0, ^
155. ^i=i~-ij r2F(r)dr.
о
156. ^==-~.
ie_ 5mc2 /Йс\2 _
157. С0===~2й—I—F") • Если заРяД размазан по поверхности
3
шара, то угловая скорость уменьшается в -=- раза.
о
183
158. Перейдем в штрихованную систему координат г = а + г%
в которой распределение объемной плотности тока описывается
функцией j'(r') ss^a + r'), а магнитный момент
Сделаем замену переменных интегрирования г' = г — а, тогда
Поскольку вектор а произволен, второе слагаемое обращается в
нуль в том случае, если
Для токов в конечной области соотношение A) получено в за-
задаче 144.
Если токи текут в неограниченном пространстве, то несобствен-
несобственный интеграл A) определим так:
j dV = I. B)
Умножим скалярно обе части равенства B) на произвольный по-
постоянный вектор 1 s= grad(rl). Под знаком интеграла воспользуемся
тождеством
]grad(rl)eEdiv[(rl)j]
и для некоторого фиксированного объема V преобразуем объемный
интеграл в поверхностный
' (rl) in dS = И, C)
s
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая фиксированный
объем V. После этого перейдем к пределу S -*¦ оо, растягивая замк-
замкнутою поверхность во все стороны, что соответствует предельному
переходу У-> оо.
Объемная плотность тока j по модулю убывает на бесконечно-
бесконечности быстрее, чем 1/г4, так как магнитный момент имеет конечное
значение. Поскольку 5 увеличивается пропорционально г2, поверх-
поверхностный интеграл C) обращается в нуль при S->oo. Поэтому II =
= 0. Ввиду произвольности вектора 1 интеграл B) также равен
нулю. Соотношение A) и равенство jm = jj/ доказано.
159. 1F = |liH.
Указание. Воспользоваться соотношением А = -у (Н X г).
184
161. Запишем момент сил в виде
Объемные интегралы при помощи замены (II. 17) разобьем на
сумму линейных интегралов по осям Li тонких токовых трубок
(rH) dXi -н
$
Ко второму интегралу применим теорему Стокса (П1.17)
(^)r dU = \ rotrc?Sj=0,
h si
а в первом — воспользуемся формулой (ШЛО), тогда
i г>1 i i
Здесь St — вектор площади поверхности, натянутой на контур i-й
токовой трубки
S
а \хг — магнитный момент линейного тока Ju
162. N = —
163. Введем обозначение г = R + г', j(R + r') == jr(r'), где R —
радиус-вектор фиксированной внутренней точки рассматриваемой об-
области пространства, и перейдем к интегрированию по штрихованным
координатам
Затем воспользуемся разложением в ряд Тейлора
где оператор V действует на координаты фиксированной точки с ра-
радиус-вектором R. В первом отличном от нуля приближении имеем
F="-\j'(r')X(r'V)H^',
185
где Н = H(R). Далее применим формулы
(г'7) H = grad(r'H),
rot[(r'H)n = grad(r'H)X]'.
в которых дифференцирование производится по компонентам радиус-
вектора R. Тогда выражение для искомой силы преобразуется к бо-
более удобному виду
F--rot[±$(r'H)J'(r')<«"]-
Полученный здесь интеграл вычислен ранее при решении задачи 161.
Он равен векторному произведению магнитного момента (Л тока и
вектора Н. Окончательно находим
где производные берутся от векторной функции Н = H(R) по коор-
координатам фиксированной точки с радиус-вектором R, которая лежит
внутри токовой области.
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях
от тока
164. А = з—> И = —^—g з", г$е М- — магнитный мо-
момент вращающегося эллипсоида:
Qa2®
^1 ~~ Ъс '
165. А=-П/>2
д/з а2!
166. Н=—-—g—[3 (пг) г — г2п]. Единичный вектор п нормали
к плоскости треугольника образует с направлением тока / право-
винтовую систему.
3 (б> г) (©2г) о
Радиус-вектор г
проведен из центра первого шара к центру второго.
(д + (СРГ) \1 + (|^6>) Г 5 (ЮГ) (И*) Г
7
7*
§ 4. Закон Био и Савара
170. Применим формулу (II. 16), поместив начало координат в
центр шара и направив ось Z вдоль вектора «. Тогда напряженность
магнитного поля в центре шара запишется
186
где штрих у переменной интегрирования опущен. В результате враще-
вращения внутри шара появится ток с объемной плотностью j(r) =
3Q
где р = ¦ ц3« Раскрывая двойное векторное произведение в
подынтегральном выражении, получаем
Интегралы, содержащие гх и zy, обращаются в н>ль как инте-
интегралы от нечетной функции в симметричных пределах. Оставшиеся
слагаемые дают
H(o) ^^,
С J Г
Полученная формула справедлива для любого тела вращения,
внутри которого распределен заряд с объемной плотностью р =
s= р(г, 6). В частности, для равномерно заряженного шара находим
¦<»-¦$-
Если заряд Q размазан по поверхности, то напряженность маг-
магнитного иочя в центре шара уменьшается в 2/3 раза.
171. Н= — ho&.
с
2рЬ
172. Нх = Ну == О, HZ = A(Z ,
173. AH = ^%
174. H=—^~—~~^—-. Напряженность магнитного поля
в центре обращается в нуль, если заряды первой и второй поло-
половин шара Qi = co2Q/(coi + ш2), О.г = g>iQ/(«i + со2).
175. н - Q(° Г6 - ~^
с (Ь2 - а2) \ л/а2-
Ь2
)
Mb"-a'
178. н^(
177. ir=
a )
1п ^ + Уб^Г^Ч
)
3hc
24тсаъ '
187
Вектор а пропорционален магнитному моменту \i заданного тока
согласно формуле а = — c\i.
183. Векторный потенциал, созданный магнитным моментом
\л(г')йУ элемента объема dV, имеет вид
где jm(r') = |HoF(r'), R = r — г', а г и г'— радиус-векторы точки
наблюдения и точки нахождения элемента объема dV'. Для произ-
произвольного объема V по принципу суперпозиции получим
Устремим объем V к бесконечности, неограниченно расширяя его во
все стороны. При этом поверхностный интеграл обращается в нуль,
так как подынтегральное выражение при 5 -*¦ оо убывает быстрее,
чем 1/г'2. Сравнивая полученный результат с общей формулой
приходим к выводу, что распределенный магнитный момент создает
такое же магнитное поле, как и ток с объемной плотностью
184. Начало координат поместим в вершину прямого угла, а ось
Z выберем по направлению тока. Тогда получим
133
185. Н = (l + V2 ) \у, где обозначения те же, что и в пре-
предыдущей задаче.
2/
186. Н = —т=— п, где орт п нормали к плоскости треуголь-
V3 са
пика образует правовинтовую систему с направлением тока /.
187. п = . —, где орт п нормали к плоско-
k (Z2 + fl2) V22 + 2a2
сти квадрата образует с направлением тока / правовинтовую си-
систему.
188. Н=—=г- п, где орт п нормали к плоскости полуокружно-
сти образует правовинтовую систему с направлением тока, теку-
текущего по дуге.
189. Н = гт- = —— где орт п нормали к
с (z2 + R2)'2 (z2 + R2)k
плоскости кольца образует с направлением тока / правовинтовую си-
систему.
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности
магнитного поля
190. Распределение тока обладает цилиндрической симметрией,
поэтому проще всего воспользоваться теоремой о циркуляции напря-
напряженности Н магнитного поля (II. 8). Вследствие цилиндрической
симметрии вектор Н в каждой точке пространства перпендикулярен
оси цилиндра и направлен по касательной к окружности с центром
на его оси Направления векторов Н и j связаны между собой, как
в законе Био и Савара. По модулю вектор Н зависит только от
расстояния до оси цилиндра Сделанные утверждения однозначно
определяют форму вспомогательного контура интегрирования в фор-
формуле (II. 8).
Чтобы найти напряженность Hi магнитного поля внутри цилин-
цилиндра в фиксированной точке на расстоянии г от его оси, проведем
через эту точку окружность Сг радиуса г с центром на указанной
оси и вычислим циркуляцию вектора Hi:
& Hi di = HX & dt=* 2лг#!.
cr cr
Ток, охватываемый вспомогательной окружностью CTj
18Э
После проделанных вычислений соотношение (II. 8) превра-
превращается в алгебраическое уравнение относительно Ни откуда нахо-
находим
с
Напряженность Н2 магнитного поля снаружи цилиндра вычис-
вычисляется аналогично:
2nR2j ___
сг
Из аксиальной симметрии следует Лг = Лф=г0, AZ~ Az(r).
Поэтому соотношение Н — rot А внутри и снаружи цилиндра при-
принимает вид
Интегрирование этих уравнений с учетом дополнительных условий
Aim (Ю = А2г (R) = 0 дает
Ai^m.(R2-r2), A2z
191. При г<#:
о
г О
при г>/?:
R
Я2Г = H2Z = 0,
4л: f
л2г = л2ф == о, л22 = — \ /
о
—
192. По абсолютной величине искомая сила определяется фор-
формулой
f== АР
193. Hi=0 при г<^; Я2г = H2z = 0, Я2ф = 4nRh ¦ при г >/?.
СГ
194. Я* = Я* = 0, #„ = -
* ~ у с\г\
190
199. Рамка притягивается к прямолинейному току с силой
200. Для антипараллельных токов:
для параллельных токов:
203. Циркуляция напряженности магнитного поля запишется
так:
??(|r) 0)
L L'
где R = г'— г. Сделаем циклическую перестановку сомножителей в
смешанном произведении и рассмотрим интеграл по штрихованной
переменной. Для этого натянем на токовый контур V фиксирован-
фиксированную поверхность S', которая превращает окружающее пространство
в односвязную область и рассекает замкнутый контур L в некоторой
точке. К интегралу по штрихованной переменной применим теорему
Стокса (П1.17):
2
U L Sf I
2 2
5 $(-*-Х*)л'- \ $[(dlV)-Jr-d.divJr]rfS',
S' 1 S' I
где цифрами 1 и 2 обозначены начало и конец рассеченного контура
L, которые лежат по разные стороны поверхности S', прикасаясь к
ней в одной и той же точке. Интеграл от второго слагаемого обра-
обращается в нуль, так как
R 11
div -дт- — div grad — = V2 -77 = — 4яб (г — г'),
К К А
а при интегрировании г Ф г'.
R йЪг
Величина —^— == d® представляет собой телесный угол, под
которым видна площадка dS' из точки, лежащей на контуре L.
Следовательно, интеграл по штрихованной переменной равен телес-
телесному углу Q = Q(r), под которым из точки с радиус-вектором г
видна поверхность S', натянутая на контур Z/. Величина Й(г) по-
положительна, если нормаль W к поверхности S' направлена от точки
наблюдения, и отрицательна в противном случае. Значение телес-
телесного угла fi(r) в точках 1 и 2 обозначим через Qi и Q2. Интеграл
вдоль рассеченного контура L от точки 1 до точки 2 легко вычис-
вычисляется:
2 2
\ (rflV) Q = \ t grad Q dl = \ -|~
1 1 1
| dl = Q2 —
1 1 1
Для определенности считаем, что в точке пересечения контура L
поверхностью S' векторы тип' образуют острый угол. Тогда ска-
скачок Q2 — ^i телесного угла й(г) при переходе через поверхность S'
192
равен 4я. Таким образом, интеграл в правой части равенства A)
4я _
равен /.
204. Внутреннюю полость цилиндрической поверхности радиуса
R однородно заполним током с объемной плотностью j и антипарал-
антипараллельным током с объемной плотностью —j. Эта операция не изме-
изменит магнитное поле исходной системы, хотя и заменит ее двумя
сплошными цинлиндрами радиусов Ri и R2 с антипараллельными то-
токами. По принципу суперпозиции напряженность Н магнитного поля
внутри цилиндра радиуса R{ равна сумме напряженностей Н =¦
= Н+ + Н_, созданных наружным и внутренним цилиндрами в от-
отдельности, где
Здесь г и г' —радиус-векторы, лежащие в перпендикулярной к ци-
цилиндрам плоскости и проведенные от осей указанных цилиндров в
точку наблюдения. Напряженность суммарного магьитлого по^я од-
однородна и равна
где 1 — вектор, проведенный от оси наружного цилиндра к оси вну-
внутреннего 1 = г — г'. Его модуль равен расстоянию между этими
осями. Найденное магнитное поле существует также внутри цилин-
цилиндрической полости радиуса R{ до заполнения ее антипараллельными
токами.
205. Н = —~ (г X io) Т| **' где г "" РаДиУс"вектоР- лежа-
сг с I у I
щий в плоскости XY.
206. Цилиндры отталкиваются с силон, отнесенной к единице их
длины, которая по абсолютной величине равна
т. w-(If-)'IA(е + К;-К)).
§ 6. Уравнение Лапласа и Пуассона
с дополнительными условиями
• р:г sin 9 при
208. / / 0 \ < 2п
( ас
l о
\ о
при г > R.
при г ^ R,
209.
при г > R.
7 А. И. Алексеев 193
210. На сфере радиуса R течет поверхностный ток с плотностью
гл . Зас . Л
1Г = '8 = 0» *ф в -^" sin 6.
211. Функция f(r) должна удовлетворять уравнению Лапласа.
212. Искомый векторный потенциал представляет собой частное
решение уравнения
V2A = -i5-joCoskr, A)
которое обращается в нуль при j0 = 0. Поскольку граничное условие
отсутствует, а правая часть уравнения A) периодична в неограни-
неограниченном пространстве, векторный потенциал имеет ту же периодиче-
периодическую структуру
А = Ао cos kr. B)
Чтобы найти постоянный вектор Ао, искомое решение B) подстав-
подставляем в уравнение A) и сокращаем на общий множитель cos kr В ре-
результате получаем
cos kr.
А =
Напряженность магнитного поля находится по формуле (П. 9):
213.
H=i*%Xk)_sinkr.
А2 = -|bJ2- е-*г [cos (klX + k2y) + ^L sin (kxx + fey)] (z > 0),
A, = -^2-1 2 cos kr + eKz \Ь- sin (fe* + fey) - cos (fex + fe
Указание. Векторный потенциал А имеет постоянное направ-
направление, определяемое вектором jo. Модуль векторного потенциала удо-
удовлетворяет уравнению и дополнительным условиям таким же, как и
потенциал электрического поля в задаче 53. Это позволяет восполь-
воспользоваться методикой, изложенной при решении указанной задачи.
214. A=-^e-'ll
215.
X
с
216.
Aj = — Ао [h sin 1\п — e~~liCL (h sin l\<x + l\ cos ha) sh l2a] X
X eh {x+a) sin l2y (x < - a),
194
А2 = Ао [l2 sin Ux — e lta (l2 sin l\a + lx cos l\d) sh l2x] si
sin
Аз = Ао [l2 sin l\d — e %a (l2 sin l\a + l\ cos l\d) sh l2a\ X
где введено обозначение
д ___.
Указание. Использовать метод решения задачи 54.
217. Из условий задачи следует Аг— Лф = 0 и Az=A(r, ф).
Функция
А\ (г, ф) при г ^ Ry
А2 (г, г|)) при г ^ R
внутри и снаружи цилиндра удовлетворяет уравнениям
VM! = - —/У5 cos/n|>, VM2 = 0 A)
с
и граничным условиям на поверхности
А (Я, "ф) = Л2 (^, -ф), L^J = ^-т—! .
Кроме того, функция Ai(r,ty) непрерывна в точке г = 0, а вектор-
векторный потенциал снаружи цилиндра возрастает не быстрее, чем In г
Последнее утверждение обусловлено тем, что полный ток, текущий
через поперечное сечение цилиндра, равен нулю (согласно резуль-
результатам задачи 190 векторный потенциал бесконечного прямолинейного
тока на больших расстояниях возрастает, как In г). Уравнения и
дополнительные условия позволяют применить метод разделения пе-
переменных. Поскольку cos п\|) при действии угловой части оператора
Лапласа в цилиндрических кородинатах (П1.40) воспроизводится
1 а2 п2
•-j- ¦ 2 cos /г-ф = ^ cos n^ и> кроме того, функция cos т|э яв-
является однозначной на оси X при г|>->0 и \|)->2л;, будем искать ре-
решение в виде
А\ = Л (г) cos ntyt Л2 = F2 (r) cos nty,
где Fi(r) непрерывна, а функция F2(r) вдали от цилиндра возрастает
не быстрее, чем In г. После подстановки в уравнения A) и сокраще-
сокращения на общий множитель получим
dr2 ' dr
d^F2 dF\
Чгг+г1Г
7*
- »2f> -
- n2^ =
0.
B)
C)
195
Дополнительными условиями к уравнениям B) и C) служат
с г от
Частное решение неоднородного уравнения B) имеет вид
а решение соответствующих однородных уравнений ищем в виде
Crv где постоянные Си v определяются из самих уравнений и до*
пслнительных условий Опуская промежуточные вычисления, приге-
дем окончательный ответ:
Иг = 2 —- __f-LLj COS Пф
218.
?_ I —
с L я — 1 n+1 u
219. Вращающийся цилиндр создает в пространстве ток с объ-
объемной плотностью
рсог при г<#.
Поэтому необходимо использовать лапласиан в цилиндрических ко-
координатах (П1 42).
Из симметрии задачи следует ЛГ = Л2 = О и Л«ф = Л(г).
Функция
(г) при г ^ R,
> (г) при г > R
внутри и снаружи цилиндра удовлетворяет уравнениям
^+г^-А, = 0 B)
и граничным условиям
dAx (R) dA2 (R)
dr ~~ dr '
№
Векторный потенциал непрерывен в любой конечной области
пространства, а вдали от цилиндра не возрастает Последнее утвер-
утверждение связано с тем, что вращающийся цилиндр можно рассма-
рассматривать, как совокупность кольцевых токоз Следовательно, вектор-
векторный потенциал отдельного участка цилиндра убывает на бесконеч-
бесконечности, как 1/г2. Полный векторный потенциал равен бесконечной сум-
сумме вкладов от отдельных участков цилиндра Такое суммирование
{точнее говоря, интегрирование) увеличивает значение векторного по-
потенциала вдали от цилиндра и приводит к более слабому закону
убывания A<i ~ 1/г.
Метод решения уравнения Эйлера A) и B) изложен в задаче 55.
Окончательно получаем
при г ^ R:
при г > R.
220. Л]г ЛС Л^^
г 0
R
j
о
221. В сферических координатах распределение объемной плот-
плотности тока описывается функцией
pcorsinB при г<^#,
/г-/в-а /¦{ 0 при r>R
Из общего решения (II 15) уравнения Пуассона и симметрии
сист мы вытекает Лг =* Aq = 0 и А^ = А {г, 6). Векторны i п >тен-
UHiji внутри и снаружи шара обозначим через А\ и А2 Имея в виду
лапласиан (П1.48) в сферических координатах, находим
Функции А\ и Лг ограничены в любой конечной точке простран-
пространства, а последняя вдали от шара убывает не медленнее, чем 1/г2.
На поверхности шара выполняются граничные условии
А IR в\-А IR fll дА' (R< B) ^(?,0)
^1 (К, V) = Ai (К, V), г- = -г- •.
Сформулированная задача решается методом разделения пере-
переменных. При этом учтем, что на больших расстояниях от шара функ-
функция А2(г, 6) совпадает с векторным потенциалом магнитного мо-
момента |ш вращающегося шара:
Поэтому естественно попытаться найти решение уравнений A) и B)
в виде
Ах = Fi (r) sin 9, А2 = F2 (r) sin 6.
Подставляя искомые решения в A) и B) и сокращая на общий
множитель, приходим к уравнениям Эйлера
решение которых описано в предыдущих задачах (см., например, за-
задачу 55). Приводим окончательный результат:
Air = AiQ = 0» А<ф = ~Г P<w (-3 "У ) sin 9»
3 (цг) г
222. Одна половина шара прижимается к другой с силой
223. При г < R:
Air = Ax$ = 0, А1г = т у-щ-J cos лф,
2я/0 /" а- \п~1
--^(Т) COS Я*.
#12 0;
при г > R:
Л2 = Л| = 0 Л= *° ( — ) cos /г-ф,
СП,
198
224. Ai=A0) Н1=0 при г < R;
д2=.М^-1п-? + Ао( Я2Г = Я22=О, tf2l|,=i^ при r>R.
С Т СГ
Здесь Ао — произвольный постоянный вектор, имеющий размерность
потенциала.
225. При г < R:
А1г = А12 = 0, Л1ф == —-
с
Я1г = #1ф = 0, #1г = —
При г > #:
Л2г==0, Л2^ = , A2Z = oro/f In —-,
С/* С t
где ось Z выбрана вдоль направления движения, а произвольное
постоянное слагаемое в векторном потенциале опущено.
226. При г < R:
#1Г = -г— 00)/? COS 9, #10 =
при г > R:
^2Г ==: ^20 = 0, Л2ф = Si
Я2г=-
Магнитный момент вращающейся сферы
4л;
Векторный потенциал и напряженность магнитного поля выра-
выражаются через магнитный момент следующим образом:
а М^Хг __ 3 (\ir) г _ \i
д2== _ 9 н2__ __ _ [Г ^ К).
227. Векторный потенциал направлен по оси Z и однороден
вдоль этого направления А = А (г, \|з).
199
Ток на поверхности цилиндра удобно разбить на сумму двух
слагаемых io + i&, где
Кроме того, функция А!Ь ограничена в точках оси Z, а величина А2ь
обращается в н)ль на бесконечности: А2ь(°°, ф) =0. Последнее ут-
утверждение обусловлено тем, что цилиндрическая поверхность с то-
током \ъ на больших расстояниях г ^> R эквивалентна системе двух
прямолинейных нитей с антипараллельными токами, векторный по-
потенциал которых при г -»¦ оо обращается в нуль. В действительности,
для однозначного решения задачи достаточно более слабого требо-
требования, чтобы функция A2b(/\t|:) не возрастала при г->оо. Дальней-
Дальнейшие вычисления аналогичны решению задачи 72, так что оконча-
окончательно получаем
229. W =
230. r-
232. ir-
233. W-
234. W=m(—
2k 4- IK *
235. Ar — A^ — Q, Az — 2—• ®съ Z совпадает с осью од-
одного из цилиндров и направлена противоположно течению тока в
нем. Радиус-вектор г лежит в плоскости XY, а вектор 1 проведен в
той же плоскости из начала координат к оси другого цилиндра. На-
Напряженность магнитного поля на больших расстояниях г >• I от ци-
цилиндров убывает достаточно быстро:
21 (\т\
так что энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины
данной системы, имеет конечное значение.
Глава III
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла
236. Нет.
237. Нет.
238. Нет.
239. Да.
240. Если к вектору s прибавить rot F, где векторная функция
р = F(r, t) произвольна, то соотношеняе
div s = — (Н rot Е - Е rot H) A)
43Х
не изменится в соответствии с теоремой векторного анализа
div rot F аз 0.
Следовательно, дивергенция суммы s + rot F также равна правой ча-
части равенства A).
241. Напряженность Е вихревого электрического поля перпенди-
перпендикулярна вектору Н и не зависит от координат г]> и 2. Из уравнения
Максвелла (III. 1) вытекает
д (rFsг ОН
где использовано ?г « ?г » 0 и Е^ = Е (г, t). Интегрирование по-
последнего уравнения С учетом ограниченности функции Ё(г, t) при
г e=s 0 дает
cr J
о
Непосредственным дифференцированием нетрудно убедиться, что
напряженность Е найденного вихревого электрического поля удовле-
удовлетворяет уравнениям Максвелла div E «в» 0 и rot H = у «-w- E, в ко*
202
торых заданная функция Н является решением волнового уравнения
(III. 11).
242. Используя результаты предыдущей задачи, находим напря-
напряженность вихревого электрического поля
Ь ~~ 2с Г Х dt '
где г — радиус-вектор точки наблюдения, проведенный из центра
шара. Момент сил, приложенный к шару,
Производная по времени от механического момента
шара равна моменту внешних сил. Это приводит к дифференциаль-
дифференциальному уравнению
d(d _ Q dH
dt 2mc dt '
интегрирование которого с учетом начального условия дает следую-
следующее значение угловой скорости:
= QH
0 2тс *
243. Второе слагаемое подынтегрального выражения в правой
части равенства
преобразуем к другому виду, используя формулу (П1.28):
I г — г' | |г-гЧ |г-г'
где штрих у градиента и дивергенции обозначает дифференцирова-
дифференцирование по штрихованным координатам. При помощи теоремы Гаусса —
Остроградского (П1.15) один из объемных интегралов преобразуем
в поверхностный
который, как легко видеть, равен нулю.
Непосредственной проверкой с учетом уравнения непрерывно-
непрерывности (III. 6) нетрудно убедиться в равенстве
dz' "" о Ъ '
203
где объемная плотность тока зависит от времени с учетом запазды-
запаздывания
После этого дивергенция от запаздывающего векторного потен-
потенциала запишется в виде
| г — г
Правая часть полученного равенства с противоположным знаком
равна —-. Следовательно, запаздывающие электромагнитные по-
с от
тенциалы удовлетворяют условию Лоренца.
... _,л 1 д2к 1 , дао 4я . _, .
с2 dtz с ъ dt с Y
§ 2. Плотность заряда и тока
245. р = ед (х — a sin (ot) б (у) б (z)> jx =ва раю cos со/, /^ ==» \г я 0;
/г =-/«=• 0,
/^ = р/?о). Здесь целое положительное число я цля каждого момента
времени t выбирается из условия 2ял ^со? ^2 (п + 1) я.
248. р- /?^|п9
+ б (ф - ш/ + 2пя + я)],
/2 = /0 = о, /\jj * p0i^ sin 9, где для каждого фиксированного мо-
момента времени t целое положительное число п выбирается из усло-
условия 2яя ^ со/ < 2 (п + 1) я.
30
249. р = 4^3 г] (R — г), j = р© X г. Здесь к] (а) — ступенча-
ступенчатая функция аргумента а, которая определена в ((ПЗ. 21).
диус-вектор движущегося заряда
204
§ 3. Магнитный, дипольный и квадрупольный
моменты движущихся зарядов
251.
be w> н~ 2тс *
252. li = —
(JL. + _Ц
253. Полный импульс частиц в рассматриваемой системе коор-
координат должен равняться нулю Р = О
254. Элемент dS — г dr dQ поверхности диска, расположенный в
точке со сферичесьими координатами г и 0, при свеем вращении соз-
создает круговой ток
dJ = dS
Магнитный момент этого тока имеет вид
d\i = — г2 sin2 G dS.
с
После интегрирования получим
QR2
255.
256. \п (г, 0 = М (г - г„ (/)).
257. Траектория частицы в полярных координатах имеет сид
-I— = 1 -}- g cos \|),
где фокальный параметр р и эксцентриситет е даются формулами
8=V'
М2 - /j .
/па
Средний за период Т дипольный момент движущегося заряда на-
направлен вдоль полярной оси. Его проекция на эту ось
т
dx=*-y ^rcos«?// = =-J A -i-ecos^^ ' (])
о о
При замене переменной интегрирования использовано уравнение тра-
ev гории и закон сохранения момента, который дает связь между
приращениями времени и полярного угла
205
Далее воспользуемся табличным интегралом
2Я
f d-ф 2л;
J Р + 8 cos ф
Путем дифференцирования обеих частей последнего равенства по па-
параметрам р и 8 с последующей подстановкой р = 1 находим значе-
значение интеграла в выражении A). В результате получим
о
d
B)
где а — большая полуось эллипса
Р
Чтобы определить постоянный вектор I, вычислим его величину
в фиксированной точке траектории с координатами if = 0 и г =
= а(\ —е). В этой точке имеем
I = (vM + а) \х = - 2#еа1*. C)
Таким образом, сохраняющийся вектор I направлен вдоль по-
полярной оси X, на которой расположена большая полуось эллипти-
эллиптической траектории частицы.
Из сравнения выражений B) и C) окончательно находим
258. р (г, t) = - (dV) б (г - rd),
Указание. Точечный диполь следует рассматривать как пре-
предельный случай системы двух зарядов е и —е, расстояние / между
которыми стремится к нулю, а абсолютные величины зарядов — к
бесконечности (см., например, решение задачи 89). Искомые вели-
величины определяются при помощи формул (III. 5) и (III. 9), в кото-
которых необходимо перейти к двойному пределу / -^ 0 и е -> оо с уче-
учетом соотношения
lim e\ = d,
/
где вектор 1 направлен в сторону положительного заряда.
259. ?)ц = — D22 = ~ ЗЯ</ sin 2co/, Dn = 3Rd cos 2®t, ?>13 =
«= D23 = Язз == 0.
206
0С1 PCI
260. Dap = 0 лриа?=Р, .Dii = gp-(l+982), Dv^j^j
/>зз = — -б^т B + Зе2), где e — эксцентриситет эллиптической траек-
тории:
а/1
V
3 (dr) xa — i
261. ?a = -<—
2
где введено обозначение dx = —^"eea, <i2 = <^з == 0, Dap =
при a^p, ?I1==^|_
_ ea<1 2 e<2 I
2 ' 2\&\' у
me4
Для круговой траектории
E = — (г2 - 5z2) ? = -22. (г2 - б^2) ?"=*= —
* Г7 '> У Г7 \ <> >* Г7
где ?) = zUea2.
Указание. Воспользоваться результатами задач 257 и 200.
§ 4. Электромагнитные волны
262. s =
263. F =
264. F =
265. Направление вектора к выберем в качестве оси Z, а другие
оси X и У направим вдоль векторов поляризации 1<1) и 1<2> линейно-
поляризованной волны. Тогда
К правой части этого равенства прибавим и вычтем выражение AZBZ-
Первые три слагаемых полученной суммы составляют скалярное про-
произведение АВ, а последнее запишем как
-AA=--?r(Ak)(Bk).
В результате заданная сумма представлена нами в виде слагаемых,
содержащих лишь скалярные произведения векторов. Следовательно,
207
она- имеет одич и тот же вид во всех системах координат, поверау-
тых друг относительно друга на некоторый угол.
Для циркулярной водны в указанной выше системе координат
им^ем Ь( ) = —-г=г (\х + i\u) и ЬB) =—т=" Cjc — &и)- Дальнейшие
V2 у V2
рассуждения а ^логичны.
268. Запишем напряженности электрических полей в комплекс-
комплексном виде. Тогда для с>ммарлой волны получим
где % = а, — а2. Введем обозначение
Ео.+ Е02е'х =(b1+/b,)e-/a,
где bi и Ь2 — вещественные векторы:
Ъ{ = Е01 cos a + Еэ2 cos (a + %),
b2 = Eol sin a + E02 sin (a + %)-
Подберем фазу a так, чтобы выполнялось равенство
bi b2 = 0 или tg 2a = — tg %.
Для этого необходимо, чтобы
a~ 2 "" 2 *
После этого векторы bi и Ь2 запишутся как
bi = (E01 + E02)cos-|-,
b2 == (- Eoi + Ео2) sin 1L.
Таким образом, результирующая волна эллиптически-поляризо-
ванная. Главные оси эллипса поляризации повернуты относительно
векторов Eoi и Е02 на угол я/4 по часовой стрелке, если смотреть
вдоль направления распространения волны. Если векторы Eoi, E02 и
к образуют правовинтовую тройку и
sin¦—- > 0, cos-|->0,
то поляризация результирующей волны правая. В общем случае на-
направление вращения вектора Е суммарной волны зависит от ориен-
ориентации векторов Eoi и Еог и знаков величин
cos-у, sin-g-.
В системе координат с осями X и Z, параллельными векторам
bi и к соответственно, проекции напряженности электрического поля
208
суммарной волны запишутся как
Ех = b{ cos (ю/ -
sin (©* -
где 6- = V i^oi cos-|-, b2 = V^o2sin-|-.
257. Напряженность электрического поля суммарной волны
Е = 2?0 П* cos —L——- + \у sin —- J cos ( со/ — ?г + —L~—- J,
где ?*о и со — амплитуда и частота обеих циркулярных волн, a ai и
U2 — постоянная фаза соответственно право- и левополяризованной
волны (со = kc). Величина Ео численно равна модулю вектора на-
напряженности электрического поля каждой циркулярной волны.
268. Результирующая волна эллиптически-поляризованная. По-
Полуоси эллипса поляризации равны Л + В и \А — В\. Поляризация
волны правая при Л >S и левая, если А <С В.
269. Результирующая волна эллиптически-поляризованная. Полу-
Полуоси Ь\ и &2 эллипса поляризации
Ь | E + Е1 Ь
—— | Eoi + Е021« Ьг = —р=г
V 2 V 2
— Е
Поляризация волны правая, если вектор Eoi X E02 параллелен волно-
волновому вектору к, и левая, если указанные векторы антипараллельны.
270. Выберем ось X вдоль вектора EOi + E02, а ось Z — по на-
направлению распространения волн. Тогда проекции вектора напряжен-
напряженности электрического поля суммарной волны принимают вид
ЕХ = VIЕП cos t cos (^±^ * ~ Н^ 2)'
sin x sin
^ ODi — C02 л k\ — k2 ^
где обозначено % = ^ / z. В каждой точке про-
странства эллипс поляризации суммарной волны деформир>е1ся со
временем от отрезка, направленного вдоль оси X (при % — 0), в эл-
эллипс с правым *р?щением вектора Е и далее в окружность (при
5( = я/4). Затем окружность переходит в эллипс с правым враще
нием, который постепенно сплющивается в отрезок (при % = я/2),
направленный вдоль оси Y. При дальнейшем увеличении % в преде-
пределах от я/2 до я картина повторяется, но с левым вращением век-
вектора Е, и так далее. Когда эллипс вырождается в отрезок, волна
становится линейно-поляризованной.
209
271. Е = 2?0 (I* cos x + ^ sin %) cos Ф,
coi — со? / . г\ . cti — a
Ф
2 '
+ a2
где aj и <%2 — постоянные фазы право- и левополяризованных цир-
циркулярных волн, распространяющихся вдоль оси Z. Ео — амплитуда
этих волн, численно равная модулю вектора напряженности электри-
электрического поля. Результирующая волна линейно-поляризованная. Од-
Однако в каждой точке пространства ее вектор поляризации медленно
вращается с частотой | соi — со2| около направления распространения.
sin A I t г— ) f
^ V «"«('-тс)+'1-
274. Е = -1 J [Е' (со) cos (arf -
О
-h Er/ (со) sin (со/ - ¦—-)] d®.
где Е'(со) и Е"(со)—вещественная и мнимая части компоненты
Фурье заданной напряженности электрического поля:
оо
Е' (со) + /Е" (со) == [ Еу')еш' dt\
275. E(kl со)
со2т2
276. Е = л/л Еое 4
9 F
2/7. Jb|_ = — I-
Указание. Разложить в пространственный интеграл Фурье
обе части равенства Е =- —grad cp и получить связь между компо-
компонентами Фурье обеих частей этого равенства Ек == — /ксрк. Компо-
Компонента Фурье фк от потенциала находится путем непосредственного
вычисления интеграла
210
278.
279.
при г >
Нr — Hq — 0,
При г < R:
R:
Ez=Et
?е =
Яф =
= 0, J
= 0, i
> = 0, i
= 0, i
2/0 cos (о/ — ^г)
cr sin Э '
2/0 cos (со? — kr)
cr sin 9
2/
Е"г = —— cos (co^ •— kz)f
Er = —- cos kz cos ®tt
cr
j^ з= —si- sin /гг sin atf.
§ 5. Дифракция
280. Выберем оси X и У в плоскости экрана, причем ось У сов-
совместим с осевой линией щели, как показано на рис. 9. Жирная линия
обозначает этот экран в разрезе.
Дифрагированное поле Е =
== Е(#, г, t) за экраном одно-
однородно вдоль оси У. Оно удовле-
удовлетворяет волновому уравнению
дх2 dz2 с2 dt2
и граничному условию на пло-
скости XY:
Е (х9 0, t) = lyEog (x) cos co^,
где g(x)=\ при |х|^а и
g(x) = 0 при |#|> а. Это гра-
граничное условие является при-
приближенным. Оно применимо
лишь при малом отклонении от рис# д#
геометрической оптики ka ^> 1.
Удобно сначала решить более простую вспомогательную задачу
д2& д2$ 1 д2&
дх2 + d^2 "" с2 dt2 "U>
до решение исходной задачи записывается как Е (х, z, t)
Re 8 (х, г, *).
211
Видно, что решение вспомогательной задачи следует искать в
виде
В (*, г, /) = \uEof (х, г)е~ш.
Если принять во внимание временной множитель е~~ш , то ста-
становится ясно, что первое слагаемое суммы C) описывает волны,
распространяющиеся от щели, а второе — волны обратного направ-
направления. Согласно условию задачи второе слагаемое должно отсут-
отсутствовать: Ф(д)==0.
Из граничного условия B) получаем
212
f. e. величина F(q) является компонентой Фурье функции
Окончательно
Е (jc, zr t) = \yEQ Re (/ (*, г) e"f<B0 =
Проведенные рассуждения справедливы также для совокупности
бесконечных щелей, параллельных оси У. Для одной щели получаем
E(XfZtt)^iyI± Vi!M?.cos(arf-?*-
я J ?
-As
2ff0 f _s[
Я J
2E0 f sin
* q
Первое слагаемое напряженности lL(x,z,t) электрического поля
представляет собой бегущую волну, распространяющуюся от экрана.
Второе слагаемое — стоячая волна, амплитуда которой отлична от
нуля только вблизи экрана. Второе слагаемое по порядку величины
меньше первого в отношении -г—<1.Оно должно быть отброшено,
чтобы не превышать принятую точность вычисления. Таким образом,
дифрагированная волна имеет вид
Е (х, z,t) = \y^ J ^!M?L Cos @/ - k'r) dq,
—k
где волновой вектор k' = lxq + \z V&2 — q2 составляет угол G с на-
направлением распространения падающей волны. Его компонента, ле-
лежащая в поперечной плоскости XY, связана с углом дифракции 9
соотношением
q = k sin 8 ** kB.
Рассмотрим бесконечную полосу единичной ширины (—oo ^ х^,
^ оо, у0 ^ у ^ г/о + 1, где уо произволен), которая расположена на
некотором расстоянии z от экрана. Поток электромагнитной энергии
213
через поверхность этой полосы в среднем по времени за период
Т = 2я/со дается выражением
где черта над квадратом напряженности электрического поля ди-
дифрагированной волны обозначает усреднение по времени за период
колебания.
Величина / не зависит от z. Значит, она совпадает со средней
по времени интенсивностью /0 = сЕ^а/Ы падающей волны, отнесен-
отнесенной к единице длины щели, если пренебречь малыми слагаемыми по-
порядка \jka.
Эффективная область углов дифракции заключена в пределах
О ^ 0 ^ От <С 1. Считаем, что длина падающей волны настолько
мала, что kaQm > 1. Поэтому отнесенная к единице длины интен*
сивность D) дифрагированной волны запишется как
Отсюда находим угловое распределение интенсивности дифраги-
дифрагированной волны
Этот результат можно также получить непосредственно из фор«
мул (III. 25) —(III. 27).
281. Повторяя рассуждения, проведенные при решении предыду*
щей задачи, получаем
Опустим малые слагаемые порядка -у—-<1, тогда напряжен-
ность электрического поля дифрагированной волны, распространяю-
распространяющейся под малыми углами дифракции, примет вид
Е (*, г, t) =
k
Eq f sin qa sin Nab
H J ~f~ sin qb
Отсюда находим отнесенную к единице длины интенсивность ди-
дифрагированной волны в интервале углов dd в среднем по времени за
период колебания
иг — /о (sinNkbQy sin2kaQ
nN \ sinkbQ ) ka& m'
где /о — усредненная по времени и отнесенная к единице длины пол-
полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через все
щели.
282 dl = /o sin2 (fea9 cos \|)) sin2 (Ш sin ^) ^
n2ab &264 sin2 -ф cos2 a|)
где /о — усредненная по времени полная интенсивность электромаг-
электромагнитной волны, проходящей через прямоугольное отверстие, а 9 и
\|) — полярный и азимутальный углы точки наблюдения.
Указание. Воспользоваться формулами (III. 26) — (III. 27).
283. В интеграле (III. 25) проведем замену переменных интегри-
интегрирования х = г cos ф и у = г sin ф, где г и ф — полярные координаты
в плоскости экрана, а начало координат выбрано в центре отвер-
отверстия. Угол ф отсчитывается от вектора q. Далее воспользуемся ин-
интегральным представлением (П6.7) для функции Бесселя нулевого
Порядка. Тогда
#2я R
п«" u° И е~iqr cos Фг drd(* ~ 2nu° j 7°{qr) r dn
о о
Согласно соотношению (П6.15) имеем
Подставим найденную компоненту Фурье в общую формулу
(Ш. 27) и используем (III. 26). В результате угловое распределение
интенсивности электромагнитной волны при дифракции на круглом
отверстии примет вид
215
где 10 — усредненная по времени полная интенсивность электромаг-
электромагнитной волны, проходящей через отверстие.
284. di - /0 l^(^)rR^mfi)V
где /0 —усредненная по времени полная интенсивность электромаг-
электромагнитной волны, проходящей через кольцевое отверстие.
285. Компонента Фурье дифрагированной волны выражается в
виде двукратного интеграла (III. 25) по площади эллипса с полу-
полуосями а и Ъ. Замена переменных интегрирования х = ar cos ф и
у = Ьг sin ф приводит к интегрированию по площади круга единич-
единичного радиуса. Угол ф отсчитывается от вектора Q = \xaqx + lyb?v
Принимая во внимание интегральное представление функции Бесселя
(П6.7), находим
1 2Я 1
uq = abuA { e~iQrcos^rdrdq> = 2nabuf) [jQ(Qr)rdr.
и О О
При помощи формулы (Пб 15) преобразуем полученное выражение
После этого воспользуемся общими формулами (III. 26) и
(III. 27), которые приводят к искомому результату
аЫ] (kd Va2 cos2 ф + b2 sin
2
] ( Va os ф + |)
0 лб2 (a2 cos^ г{) + Ь2 sin^ rip)
В этой формуле /о — усредненная по времени полная интенсивность
электромагнитной волны, проходящей через эллиптическое отверстие,
а 0 и \|) — полярный и азимутальный углы точки наблюдения.
.о„ ,, . sin2 kaO ,Л т
288. а/ = /0 ———аи, где /о — средняя по времени за пе-
риод Т = 2л/со интенсивность электромагнитной волны, падающей
на единицу длины пластины.
J2
(RQ)
287. dl = /0 c~2 du, где /0 — усредненная по времени за
период Т = 2я/со полная интенсивность электромагнитной волны,
поглощаемой абсолютно черным шаром.
Глава IV
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ
§ 1. Дипольное излучение
288. Начало координат расположим в точке влета частицы в кон-
конденсатор, а ось X направим в сторону движения перпендикулярно
пластинам. Из уравнения Ньютона тх = еЕ определяем ускорение
частицы, которе входит в формулу интенсивности дипольного излу-
излучения. После этого получаем
— 2L
Зс3
Время ?д движения найдем, приравняв х-ю координату частицы
eEtl
х = 2 + votA cos a
расстоянию / между обкладками конденсатора. Энергия, излученная
за время пролета через конденсатор, запишется как
( I 2eEl
I Л I '<
v V т*о
. 2
Н cos а — cos a
289. Пусть начало координат выбрано в центре шара, а движе-
движение происходит вдоль оси X. При помощи уравнения движения
Qe
тх = ~5Т х определяем ускорение и записываем интенсивность из-
излучения как функцию координаты частицы
2Q2e*x2
217
Здесь использован тот факт, что влияние поля излучения на движе-
движение частицы незначительно и им можно пренебречь. Для вычисления
энергии
R
-R
теряемой частицей на дипольное излучение во время пролета через
шар, воспользуемся законом сохранения энергии.
тх2 ^sr Qg , 2 R2)
Энергия & излучения ничтожно мала по сравнению с полной энер-
энергией частицы и поэтому отброшена. В этих условиях скорость х яв-
является простой функцией координаты частицы, и интеграл по пере-
переменной х легко вычисляется:
2Qe
arcsin
2ne*Hv2
тсJ]<> где оси х иГвь"
браны вдоль векторов Е и Н соответственно.
292. /-4??-.
293. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиацион-
радиационного трения запишется так:
Сила радиационного трения мала по сравнению с упругой силой
осциллятора. Поэтому в соответствующем однородном уравнении g
большой точностью справедлива замена г -> — ся^т, которая приво*
дит к уравнению колебаний при наличии трения
4
где Yo ^ "о—гг> Yo 'С соо. Следовательно, общее решение соответ-
соответствующего однородного уравнения затухает со временем. Устано-
213
вившиеся колебания осциллятора описываются частным решением
уравнения A), пропорциональным внешней силе,
(cOq — со2) sin со/ — coy cos to/
г =
Y =
Ътоъ '
Средняя по времени за период Г интенсивность излучения осцилля-
осциллятора
— 2 Ч / 9 2\9 2 9 •
Ът с (g>q — со ) + со Y
294. Ускорение электрона находим из уравнения Ньютона
Ze2v o
mv =—з—• Это позволяет записать полную энергию излучения в
виде
2ZV
О)
Ради удобства считаем, что электрон движется в плоскости XY, а в
момент времени t = 0 пересекает ось У (рис. 10). Поскольку траек-
траектория близка к прямолинейной, скорость электрона во время про-
пролета мимо ядра меняется незначительно vx = v0. Поэтому интеграл
A) принимает вид
ОО ОО ' I
dt
Я/2
2 Г 2 Л ^
cos2 ada =
В результате получаем
295. а)
б) <Г =
Sm2c3v0l5 '
Рис. 10.
Sm2c3v0l5 '
296. Уравнение движения имеет вид mv = jl—* где
г — радиус-вектор электрона в плоскости XY. Из этого уравнения
определяем ускорение, которое входит в формулу интенсивности из-
излучения, Тогда интенсивность дипольного излучения, обусловленная
219
взаимодействием электрона с квадрупольным моментом атома, за*
пишется так:
/ =
Пусть в момент времени t = 0 электрон пересекает ось Y (см.
рис. 10). Траектория движения близка к прямолинейной Значит, ки-
кинетическая энергия электрона велика по сравнению с потенциальной.
Поскольку движение быстрое и электрон пролетает далеко от сило-
силового центра, его скорость по модулю меняется незначительно vx =
= Vq и х = vot. Это обстоятельство облегчает вычисление полной
энергии, потерянной электроном на дипольное излучение,
dx
Vq 4m2c3v0 J (л:2 + /-у
297. В системе центра инерции суммарный дипольный момент
обоих осколков
Величину <?эфф можно рассматривать как эффективный заряд ча-
частицы с приведенной массой
А, А,
Движение частицы с приведенной массой происходит вдоль оси
X и описывается уравнением
йл—
с дополнительным условием х@) = лг0, х@) == 0.
Полная энергия дипольного излучения
7272рА
— \ ^Т^ъ
J XX
3\х2сл
где лг0 — начальное расстояние между осколками.
Из закона сохранения энергии
2 • х и
определяем скорость х как функцию координаты х, что позволяет
преобразовать последний интеграл к следующему виду*
- 2Qlb4*O
220
Окончательно энергия дипольного излучения запишется так:
JifA_.?iV( 2ли2 у/»
45VMi Л2>! V ^i + Л2 >!
298. Интенсивность / излучения протона пропорциональна его
кинетической энергии
2е2 -2 __ АеЧ12&
в Зс6 Г "~ Зт"сь *
Это позволяет составить дифференциальное уравнение для искомой
величины
=
dt Зш3сб
Решение последнего уравнения дает ответ на поставленную задач):
300. Отклонение от кругового движения, вызванное потерей энер-
энергии электрона на излучение, весьма мало за один оборот вокруг
ядра. Поэтому в каждый момент времени кинетическая и потен-
потенциальная энергии электрона выражаются через его полную энергию
&'. Это обстоятельство дает возможность выразить интенсивность
дипольного излучения через полную энергию электрона
Зс6 Зс* V tnr2
Энергия электрона расходуется на излучение
dt Зс* (mZeJ *
откуда получаем закон убывания полной энергии электрона
J1 32/
где ^о = —Ze2/2R — начальное значение полной энергии. Время па-
падения электрона на силовой центр получим, устремляя эг^ргию 8
к бесконечности со знаком минус:
301. Электрон внутри равномерно заряженного шара представ-
\е I
ляет собой осциллятор, колеблющийся с частотой со = .
Я V mR
Излучаемые электрома1нитные волны имеют ту же частоту. Если
221
2е2 ...
учесть силу f = » 3 г радиационного трения, то колебательное дви-
движение электрона станет медленно затухающим. При этом с боль-
большой точностью выполняется соотношение г = — со2г. В соответствии
с начальными условиями движение электрона одномерное и описы-
описывается уравнением
х + ух + а>2х = О
с решением вида
х = Re~yt/2 cos (at.
2е2т2
Здесь обозначено у = ——д- (у <С со). Усредненная по времени от t
до / + 2jc/cd полная энергия электрона определяется выражением
302. Вторая производная по времени от дипольного момента си-
системы выражается через сумму всех сил, приложенных к частицам.
Равнодействующая этих сил в случае замкнутой системы обращается
в нуль. Поэтому интенсивность дипольного излучения равна нулю
303. При вычислении энергетических потерь единицы объема
электронного газа можно суммировать не амплитуды поля, а интен-
интенсивности излучения отдельных электронов. Это связано с тем, что
среднее расстояние между электронами сравнимо с радиусом вол-
волновой зоны, а разности фаз излучаемых электронами волн распре-
распределены хаотично. Интенсивность излучения отдельного электрона во
внешнем однородном магнитном поле с напряженностью Н дается
формулой
2e4#V,
^. 0)
где v±—составляющая скорости электрона, перпендикулярная век-
вектору Н. Используя распределение Максвелла
^(v) = tf0(_-g_y/2e ~ШГ dvxdvydvZi
а также соотношения
v2 = V2L + v% dvx dvy = v± dv± <%
запишем число электронов в единице объема со скоростями в интер-
интервале от ух до v± + dv± в следующем виде:
где k — постоянная Больцмана, а Т — температура электронного
газа. Умножая эту величину на интенсивность A) излучения отдель*
222
ного электрона, получим энергию излучения в единицу времени груп-
группы электронов, находящихся в единице объема со скоростями от
v 1 до vx + dv±- Полную интенсивность / излучения единицы объ-
объема электронного газа найдем путем интегрирования по поперечной
скорости
.J2L
j iVQO лл 1 2kT <. <? l
304. /
5
(V?0-
305. Поместим начало координат в средней точке между дипо-
диполями, а расстояние от диполей до точки наблюдения г волновой зоны
запишем как
ndn . ndn
где п = единичный вектор, направленный от центра системы в
точку наблюдения.
Напряженность магнитного поля излучения в волновой зоне
равна сумме вкладов от каждого диполя в отдельности:
co2(iiXdo) (\ Г / г\ од (nd0) I
Н = _ j cos I со I f ) -| --— I +
c2r X L V я / 2сб/о J
Л Л
\ с J
2cd
Средняя за период интенсивность излучения
A — ^jcos4-
о
а
В предельном случае а <С X имеем / = -г- с?ошХ"~ .
307. 4r-^»W + ^ C02 = ±|M.
223
Ze2r
308. Используя уравнение Ньютона mv = j->, представим
энергию <§<i, излученную за период 7\ в виде интеграла
т
2Z2e8
о
При помощи закона сохранения момента mr2^ = М перейдем
к интегрированию по полярному углу i|>, воспользовавшись уравне-
уравнением траектории
— = 1 -|- е cos i|),
где фокальный параметр и эксцентриситет известны:
М2 Д , 2&М2
р — А/М
Окончательно получим
309. В системе центра ичерции в относительных координатах ура-
уравнение Ньютона и дипольный момент системы запишутся:
цг= d= ^ г^Cффг
Здесь ^ = ; приведенная масса, а ц>эфф — эффективный
заряд. Полные момент М и энергия & системы заданы:
Энергия <?а, теряемая на дипольное излучение, выражается в виде
интеграла
— е cos -
где р — фокальный параметр, е — эксцентриситет гиперболы, a
максимальный угол отклонения от полярной оси, равные
м2
После интегрирования находим
224
310. #rf = -
c3 (M2 + 2ma)8/2 '
Oil* К = -p:—^
3m2y0c
ma;
где Го = rQ(l)—минимальное расстояние, на которое приближается
к силовому центру частица, пролетающая с прицельным расстоя-
расстоянием /. Величина г0 является корнем уравнения
t I2 W (r0) _
1 9 2 — U.
§ 2. Магнитно-дипольнэе и квадрупольное излучения
312./=№^5.п39о
314. / = ^~
315. Дипольный момент d заряженной системы должен удовле-
удовлетворять условию d ss 0.
319. / =
3c V me3 У V me
320. / = V 2jta -
322. Магнитно-дипольное излучение отсутствует в системе коор-
координат центра инерции. В других координатных системах магнитно-
дипольное излучение имеется.
8 А. И. Алексеев 225
323. Если начало координат выбрано в центре инерции, то после
перехода к относительным координатам магнитный момент двух за-*
ряженных частиц выражается через полный механический момент,
который в случае замкнутой системы сохраняет постоянное значе*
ние. Поэтому производная по времени от магнитного момента обра*
щается в нуль тождественно и магнитно-дипольное излучение отсут*
ствует.
324. Магнитный момент системы пропорционален механическому,
Согласно уравнению движения производная по времени от механи-
механического момента системы равна моменту внешних сил. Последний
равен нулю, так как система замкнутая. Следовательно, производная
по времени от механического и магнитного моментов обращается в
нуль тождественно и магнитно-дипольное излучение отсутствует.
325. Магнитный момент \х системы заряженных частиц выра*
жается через полный механический момент М при помощи формулы
Во внешнем магнитном поле уравнение движения момента М имеет
вид
IF-PXH. B)
Из соотношений A) и B) вытекает
т. е. вектор \х вращается вокруг направления Н с угловой скоростью
—О. Вращение вектора \х приводит к магнитно-дипольному излуче-»
еН
нию с частотой О, = -= . Напряженности магнитного и электриче-
электрического полей излучения в волновой зоне:
Ем=НмХп,
где п — единичный вектор, проведенный из центра системы в точку
наблюдения, а \1± — составляющая магнитного момента, перпенди*
кулярная вектору Н.
4AqGL Асо/ + а
226
827. Полный магнитный момент системы
о V cos (со + пе) t
= „о Re (.« ? /-) = Но Re
sin
. YV — 1 Л
= \l0 COS I CO
•)'-
. et
smT •
Средняя по времени от t до t + 2зх/со интенсивность излучения
запишется
. 9 Net
~ ' sin2—=-
sin^
329. Интенсивность квадрупольного излучения не зависит от вы-
выбора начала координат, если выполнены условия
Q = 0, d ss О,
где Q и d — полный заряд и дипольный момент излучающей си-
системы.
330. Дипольное излучение отсутствует. Искомая интенсивность
слагается из интенсивностей магнитно-дипольного и квадрупольного
излучений системы двух зарядов.
Прежде всего решаем задачу о колебаниях шарика в предполо-
предположении, что излученная энергия ничтожно мала по сравнению с его
полной энергией. Выбрав начало координат в средней точке стержня
и совместив плоскость XY с плоскостью колебаний (ось X парал-
параллельна силе тяжести), получаем для координат шарика следующие
выражения:
Здесь \|) — угол отклонения стержня от вертикального положе-
положения, который меняется по гармоническому закону i|) = фо cos со/, где
а _. ^/J//) a g — ускорение силы тяжести. При определении коорди-
координат шарика сделано разложение в ряд по малому параметру \j? <? 1
И отброшены все старшие степени угла г|), кроме первой.
Зная закон изменения координат шарика, находим зависимость
координат обоих зарядов от времени. После этого интенсивность
8* 227
магнитно-дипольного излучения вычисляется по общей формуле
В выражении для тензора квадрупольного момента системы двух
зарядов также следует отбросить старшие степени угла \f>, так как
шарик совершает малые колебания:
2 3-ф С
/2 3-ф 0 \
( Зф —1 0 1
V 0 0-1/
Тогда средняя по времени интенсивьость квадрупольного излучения
принимает вид
Полная интенсивность излучения обоих зарядов равна сумме ин-
тенсивкостей магнитно-дипольного и квадрупольного излучений
m
2
332. В системе центра инерции полный квадрупольный момент
осколков ядра, разлетающихся вдоль оси X, имеет вид
2 0 0
2 /2 0 0 \
-Л 0 -1 0 ,
2' V0 0 -1/
"аР - А(АХ + Л2
где х — координата частицы с приведенной массой
am — масса нуклона. Используя уравнение Ньютона и закон сохра-
сохранения энергии
нетрудно получить соотношение
dt* ет
228
После этого задача о нахождении энергии излучения сводится к вы-
вычислению интеграла
к4 105
где Хо — начальное расстояние между осколками (см. также решение
задачи 297). Окончательно энергия квадрупольного излучения при
разлете осколков ядра выражается формулой
64 / Ах + Л2У/2 / <Гп V/2 ^а
( Ах + А2\Чг(
V 2АХА2 ) \
1575 V 2АХА2 ) \тс2
333. Вычисляя третью производную по времени от тензора
квадрупольного момента заряда е, следует помнить, что ускорение
•• в
г =» — Е протона постоянно. Поэтому
171
- 2г г"бар).
Искомая сумма ?)а$[)$а вычисляется в общем виде, после чего ус-
ускорение протона выражается через Е В результате интенсивность
квадрупольного излучения протона запишется так:
334. —
Ът2съ
335.
33b.
. /3 /?ю
>"" 3c5 ' 'D- 5c5 '
Указание. Точечный диполь с моментом d следует рассма-
рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и —е, рас-
расстояние / между которыми сокращается до нуля, а абсолютная ве-
величина зарядов возрастает до бесконечности так, что
lim d=*d, A)
е~>оо
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному.
229
Поэтому магнитный момент, создаваемый вращающимся дипо-
диполем, представляет собой предел следующей суммы:
«¦i[(dxf) + (rX«i)] = -7r.
где г — радиус-вектор вращающегося диполя.
Тензор квадрупольного момента удобно определять сначала во
вращающейся системе координат X'Y'Z', ось Z' которой совпадает
с осью вращения, а ось X' проходит через диполь параллельно его
моменту d. При этом диполь рассматривается как система двух за-
зарядов е и —е, расположенных друг от друга на некотором фиксиро-
фиксированном расстоянии /. После того, как тензор квадрупольного мо*
мента Dfa^ для фиксированной величины / во вращающейся коорди-
натной системе определен, следует осуществить предельный переход
A) в каждой компоненте этого тензора. В результате искомый тен-
тензор примет вид
B0 0 \
0-1 0
0 0-1/
Путем преобразования координат находят тензор квадрупольного
момента Da$ в покоящейся системе координат XYZ, ось Z которой
совпадает с осью вращения, а начало — с центром окружности:
/3 cos2 со/— 1 3 sin со/cos со/ 0\
#сф = 2/№ ( 3 sin со/ cos со/ 3 sin2 со/ — 1 0 1.
V 0 0 -1/
337. 1шт
5с5
838. / =
15с5
339. /„ = —Н_ , /
= ¦
ц~- Зс5 ' D~~ 5c5
Л
340. & == ^о ехрт=г
341. Излучение отсутствует.
2QWe
342. / = " sin2 0/.
375с5
230
344. Прецессия однородно заряженного кольца приводит к ква-
гДрупольному излучению. Тензор Da^ квадрупольного момента коль-
|да легко вычисляется в штрихованной системе координат X'YfZ\
жестко связанной с вращающимся кольцом (см. рис. 4). При этом
недиагональные компоненты тензора D^ обращаются в нуль, а диа-
диагональные принимают вид
Матрица аа^ преобразования координат ха = cl^x^ от вращающейся
к покоящейся координатной системе находится обычным путем:
/cos яр — cos 6 sin г|? sin 6 sin яр \
flap = I sin if) cos 6 cos яр —sin 6 cos яр j,
\ 0 sin9 cosB /
где введено обозначение яр = cof. Тензор квадрупольного момента в
покоящейся системе координат вычисляется по общей формуле
Окончательно интенсивность квадрупольного излучения принимает
вид
"'"• 45с5 '
346. /„ = г^г-г—— sin2Grt,
!D- 250^ Slnat
347. Тензор квадрупольного момента диска:
Dap = 0 при а Ф р,
Dx 1 = -J Ba2 - b2), D22 = Я Bb2 - a2), Д33 = - ~ (a2 + b2),
где Q == naba — полный заряд. При деформации диска полуоси a
и b меняются со временем по закону
а == # [1 + 6i cos (oitf + ai)], 6 = /? [1 + е2 cos (со/ + a2)],
где величины 8i и 82 пропорциональны малому параметру р и поэто-
поэтому также малы 8i < 1 и е2 < 1. Согласно условию задачи площадь
диска равна площади круга радиуса R, если отбросить слагаемые,
231
квадратичные по параметру C Такое требование приводит к соот-
соотношению, которое должно выполняться тождественно при любом ti
8i COS ((О/ + al) + 6 2 COS ((О/ + «г) = 0.
Из этого тождества вытекают равенства ei = —82 и ai = 0C2
Агалогкчно, закон изменения параметра деформации приводит
к тождеству
8i COS ((О/ + Ol) = Р COS СО/,
из которого получаем ?[ = C и ai = 0 Таким образом, диагональ-
диагональные компоненты тензора квадро польного момента имеют вид
-ep cos q/
"»- 2 •
Оставляя слагаемые с наименьшей степенью параметра |3, нахо-
находим интенсивность излучения в среднем по времени за период Т\
~~
349. Векторный потенциал (IV 11) в волновой зоне с учетом
поправок порядка v2t j с2
где радиус-вектор гг г-го заряда, а также величины d, \x, D и уг бе-
берутся в момент времени / — г/с. З^есь обозначено
J = 1
v
)> n = 7-
Напряженность магнитного поля излучаемой волны
Н= —АХп.
с
232
Вычисляя поток вектора Пойнтинга через сферу большого ра-
радиуса, находим "интенсивность излучения с заданной точностью
Зс3 т Зс3 ^ 180с5
^"'^!^ (nr-J (v. x")dQ-
1=1
Последнее слагаемое представляет собой искомую величину А/,
которая после интегрирования по углам принимает вид
N
2d d3
350. Поскольку магнитно-диполькое излучение отсутствует, ин-
интенсивность излучения заряда е с учетом членов порядка v2fc2 пред-
представляется в виде суммы трех слагаемых
Величина А/ определена в предыдущей задаче:
2 (rv) v^l =
где г, v и v — радиус-вектор, скорость и ускорение заряда.
Интенсивность квадрупольного излучения как функция скорости
заряда найдена в задаче 333:
180с5 Ът2съ '
Ускорение, входящее в формулу интенсивности дипольного излу-
излучения, должно быть вычислено с учетом релятивистских поправок
порядка v2/c2. Для этого воспользуемся уравнением движения
d в д.
-— р = еЕ и формулами
справедливыми для быстрой частицы. Эти соотношения позволяют
выразить ускорение через скорость. Разлагая найденное ускорение в
233
ряд по малому параметру v2/c2 и ограничиваясь лишь первой реля-
релятивистской поправкой, получаем
Суммируя отдельные слагаемые, находим окончательно
. __ 2е4?2 / 6v2 бе (гЕ)
"" Зтгс3 V 5с2 + 5т?2
Пусть при ? = 0 имеем r@) = v@) = 0. Тогда в произвольный
момент времени t имеем
е(гЕ) _ у2
тс2 ~~ 2с2 '
и полученная поправка к интенсивности излучения пропорциональна
v2fc2.
Как отмечалось во введении к главе IV, расматриваемая здесь
интенсивность излучения зависит от выбора начала координат вну-
внутри излучающей системы. В частности, в момент времени, когда за-
заряженная частица находится в начале координат, найденная интен-
интенсивность излучения A) численно совпадает с интенсивностью излу-
V2
чения релятивистской частицы (V. 59), если принять —j- «С 1 и
учесть поправку порядка v2/c2 (см. задачу 449). Это обстоятельство
связано с тем, что в данный момент времени величина (IV. 16) чис-
численно совпадает с интенсивностью излучения (V. 69) релятивистской
заряженной частицы, а поток вектора Пойнтинга вычисляется через
одну и ту же сферу большого радиуса в обоих указанных случаях.
§ 3. Спектральное разложение излучения
351. Вторая производная по времени от дипольного момента
электрона
е cos 0O? при t.
т
0 при t < 0.
Компонента Фурье этой функции имеет вид
л(<\— g2?o f в + *' (<о + <*>о) I а + / (а) — fi)o) Ч
dlCOj- 2m U<o + 0oJ + a2 "^ @ - 0оJ + а2/#
Для энергии, излученной на частотах в интервале от 0 до 0 + <
получаем следующее выражение:
^® " Зпт2с* [@ + 0ОJ + а2] [@ - 0ОJ + a2}
234
d<*'
352. **„--—
Зяс3 [(со + ш0J + о,2] [(со - cooJ + a2] ~
«V©* 1
353. й&(л = ——з я- da, где обозначено
4яр |е| 2еги?
354. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиацион-
радиационного трения
г --^т 'г + солг = —Е@ A)
определено в бесконечном промежутке времени —oo ^ t ^ сх>. В об-
области t ^ 0 правая и левая части этого уравнения равны нулю то-
тождественно.
Разложим в интеграл Фурье обе части уравнения A) и восполь-
воспользуемся соотношениями между компонентами Фурье
г (со) = — со2г (со), г'(со) = гсо3г (со).
Полученное алгебраическое уравнение решаем относительно ве«
личины г (со):
г ((о)= з Н-7—»
m (Oq — со — iy<u
где y = -о—Г » а ФУНКДИЯ Е (со) известна:
Е(ш)=\ E@eIffltd<.
О
Согласно формулам (IV. 20) и d (со) «да — есо2г (со) энергия
дипольного излучения, приходящаяся на интервал частот от со
до со + <2сог принимает вид
2*4 со* IЕ (со) I2 .
355. Асо =
Зтс3 "
356, В волновой зоне вектор Пойнтинга можно выразить через
Q
напряженность электрического поля & = —— Е2п. Полная энергия,
43Х
прошедшая через единичную площадку, расположенную в точке
235
наблюдения перпендикулярно распространению волны, определяется
выражением
со оо
0
где
& (со) °
16я2 (оо — ©оJ + а2
Величина $*(со) описывает спектральный состав прошедшего элек-
электромагнитного импульса. Графическое изображение функции #(со)
дает контур спектральной линии. Полушириной Асо/2 спектральной
линии называется такое значение разности со — со0, при котором
функция ^(со) убывает в два раза по сравнению со своим макси-
максимальным значением, откуда находим для ширины Асо спектральной
линии следующее значение: Асо = 2а.
357. Асо= 2
358. Дсо =
360. d<B& = ~ 9 . 2 sin ^р
Зят2?73со2 еЕ
361. Время т взаимодействия протона с ядром по порядку вели-
величины равно l/v0. Энергия, излученная на малых частотах сот <С 1»
описывается формулой
в которой Vi и v2 — скорости протона до и после рассеяния на ядре.
Излученная энергия пренебрежимо мала по сравнению с полной энер-
энергией протона. Поэтому кинетическая энергия протона после рассея-
рассеяния остается прежней. Скорость протона в процесс рассеяния пово-
поворачивается на малый угол 9 <^С 1, не меняясь по абсолютной вели-
величине. Это обстоятельство позволяет вычислить угол рассеяния 9
следующим образом. Выберем ось X по направлению скорости vt
налетающего протона, а плоскость XY совместим с плоскостью рас-
рассеяния. Тогда, очевидно,
В случае рассеяния на малые углы можно приближенно написать
tg9 = 8 и 02*= v2= Vo. Поперечную составляющую скорости после
236
рассеяния найдем путем 'интегрирования уравнения Ньютона
mvy = Fy. Учитывая прямолинейный характер траектории, получаем
оо
1 f
v->u = — V
~У m J
dx 2Ze2
т J mv0 J (x2 +12)/2 mvQl
— oo —oo
Треугольник, построенный на векторах vi и V2, является равно-
равнобедренным с малым углом 0 при вершине. Это позволяет вычислить
модуль разности этих скоростей по формуле
| Vi — v21 = vД
Собирая полученные результаты, имеем окончательно
362. Перейдем в систему центра инерции и направим ось X на-
т\т2
встречу частице с приведенной массой \х = ; , летящей из
till "Г т2
бесконечности к центру кулоновского поля отталкивания. Движение
описывается уравнением Ньютона
с дополнительными условиями х@) — I и х@) — 0 при t = 0.
В задачу об излучении входит вторая производная от диполь-
ного момента d = \xd, определяемая выражением
^^ (ji ?i_Vv== Г-^ °2 Л е'в2.
\ mi пг2 ) \ nti m2 J х2 '
Компонента Фурье с/(о) этой функции выражается через интеграл
S -'"f ¦
Для его вычисления перейдем к новой переменной интегрирования,
которая обычно используется в задачах о движении в кулоновском
поле отталкивания
' = 7Г № + sh I), x = ;ch2-|,
где соо — характерная частота
237
В результате компонента Фурье запишется:
_A
т2
— оо
1 + ch f
Последний интеграл возьмем по частям, после чего сделаем замену
переменной интегрирования g = txc —f- r| и воспользуемся известной
формулой для производной от функции Ганкеля пергого рода по«
рядка р по ее аргументу г\
оо
Г ерц-г sh л sh ^ йц = _ /jt//U)' (г)
Тогда функция ^(о)) примет вид
ГКО
(О
(Оо
Энергия, излученная в виде волн с частотами в интервале
описывается формулой
mi m2 /
Зя/с3 (mi + m2) V mi m2
В случае малых частот со <С coo асимптотическое выражение для
функции Ганкеля и ее производной берем из справочника [9]
С00 / ЯСО
а энергия, излученная на малых частотах, принимает вид
dco.
Зя/с3 (mi + т2) \ mi m2
В области больших частот со > соо воспользуемся формулой из
шшги [1]
'»'•
где Г (г)—гамма функция аргумента z = 2/3. Следовательно, спек-
спектральная плотность излучения убывает на больших частотах в ос-
основном по экспоненциальному закону
2Я@
jg_ 4eie2mim2 / е{ е2 \2Гп2/г./' 2 \"]2 / со \2/з соо -
238
363. Следуя методу решения предыдущей задачи, находим спек-
спектральный состав излучения
00 Зл/с3 (nil + т2) \ nil пг2
где введено обозначение
A)
При со <С соо функцию f (со) можно заменить единицей. Спектральная
плотность излучения на малых частотах в четыре раза меньше, чем
в предыдущей задаче
dco.
- т2) V nil tn2
В области больших частот со > соо интеграл A) берем по частям
так, чтобы появляющиеся слагаемые содержали бы частоту со в зна-
знаменателе. Оставшийся интеграл опять берем по частям, увеличивая
степень со в знаменателе последующих слагаемых. Продолжая этот
процесс неограниченно, получим бесконечный ряд по параметру
—^-<Cl. При больших частотах достаточно ограничиться первым
членом этого асимптотического ряда
В отличие от результата предыдущей задачи спектральная плог-
ность излучения убывает на больших частотах по степенному за*
кону
\\ т2
364. Предположим, что нулевой момент времени t = 0 отвечает
точке остановки сталкивающихся частиц. Тогда в системе центра
инерции вторая производная от дипольного момента заряженных ча-
частиц является четной функцией времени t при лобовом столкновении
и последующем разлете, В интервале времени —оо ^ t ^ 0 (или
О ^ t ^ оо) дипольные моменты в случаях а и б совпадают между
собой тождественно, так что
lG(t) при -оо<^<оо, A)
G (t) при — оо^/^0
(или 0<^<оо), B)
239
где 1 — постоянный единичный вектор, a G(/) —некоторая четная
функция времени /. Это обстоятельство позволяет написать
оо О
d а (со) = 1 [ G (/) еш <// = 1 2 [ G (/) cos со/ dt = 1 2 Re { (со), C)
—оо
о
G{t)eMdt**\f(®), D)
— оо
О
где f (со) = [ G (/) eto' d^.
— оо
Интегрируя по времени интенсивность дипольного излучения с
учетом соотношений A) и B), приходим к выводу, что полные энер-
энергии излучения в случаях а и б связаны равенством <§Га = 2!> . С дру-
другой стороны, полные энергии можно представить в виде спектраль-
спектрального разложения, что дает
оо
da {t)?d® = 2 ^ |d5 (со) Pico,
о о
Это соотношение при помощи формул C) и D) приводится к виду
оо оо
2 Л (Re / (со)J tfco = ^ I f (со) J с/со,
о о
Полученное равенство можно также доказать иначе. Для этого
рассмотрим отдельно интеграл
оо оо О О
2 [ (Re f (со)J d® = [day { dt [ dt'G (t) G (/') cos со/ cos со/'.
О —оо —оо —оо
Воспользуемся известными соотношениями
2 cos со/ cos со/' = cos со (/ — f) + cos 0 (/ + О>
оо
6 (т) = -д— \ cos сот dco
— оо
и представим этот интеграл так:
оо оо
2 [ (Re / (со)J da = я \ G (t) G (/') [6 (/ - /') + 6 (/ + /')] dt dt\
о о
240
Слагаемое подынтегрального выражения, содержащее б-функцию
б(/-М')» не Дает вклада, поэтому правая часть последнего равен-
равенства запишется как
\f
о о
Г/2
365. /
г^»1*,|. dn=T )
гг=1 -Г/2
366. d&(A = —?ri— в 2 d®.
367.
Указание. Найти магнитный момент \i(t) тока, а затем вос-
воспользоваться соотношением между компонентами Фурье
«= — oJ[i (со) и табличным интегралом
х sin ах тс -а ^ л
1 . «,2 ' djf == "О" в ПРИ Л > 0-
15яс5 (со — со0) + Y
369. d&&=*-
370. Тензор квадрупольного момента в системе центра инерции
осколков ядра
B 0 0\
0-1 О J,
О 0-1/
где движение происходит вдоль оси X. При помощи уравнения дви-
движения и закона сохранения энергии доказываем равенство
d3 2_ 2e2Z\Z2 (А, + А2) х
dt* X mAxA2 х2'
которое позволяет упростить формулу для искомой компоненты
Фурье
оо
п ил 2e%zz^ т [ „ш dx
— эо
0 0
/2 0 0\
= @-1 0 1.
\0 0-1/
241
Сделаем замену переменной интегрирования
~~ соо
где соо — характерная частота
Тогда получим следующее:
F(o)= \ е со° --.snsfls
.A + chgJ'
— оо
Последний интеграл возьмем по частям, а затем сделаем за-
замену переменной интегрирования g = ijt + yj и воспользуемся фор-*
мулой для функции Ганкеля первого рода порядка р и аргумента г
n-zsh-n н„ ==]
Такое преобразование представит окончательный результат в удоб*
ном виде для исследования излучения на малых и больших часто-
частотах
8ZV
^ \SncA2
Р{й) Я (i
соо /±V ©о
щ
На малых частотах = | р | = | z \ <С 1 существенная область
COq
интегрирования в A) содержит г|^>1, поэтому
Кроме того, из справочника [9] выписываем Ш^ (i—) ея
==—In—^- при 0<0О} где Y = ec= 1,781 ,,., а С — постоянная
Эйлера. Таким образом, в области малцх частот со <С соо имеем
0 / со t 2соо
\ тс2 ) \ со0 Vе0
242
Для большого чисто мнимого аргумента асимптотика функции
[Ганкеля приведена в книге [1]:
где T(z)—гамма-функция аргумента z = 7з. Это позволяет найти
спектральный состав излучения для больших частот со > со0:
8ZV
371. По аналогии с предыдущей задачей получаем спектральный
состав излучения при разлете осколков ядра
0 4 chi)
¦ л2)
тАхА2
В области малых частот со < соо функцию f (со) можно заменить
числом 1/2, тогда
2
dco.
Видно, что спектральная плотность излучения на малых частотах
существенно отличается от результата предыдущей задачи.
В случае больших частот со > соо интеграл A) следует брать по
частям так, чтобы появляющиеся слагаемые содержали частоту со
в знаменателе. Повторяя эту процедуру, получим асимптотический
ряд по параметру —-<1. Ограничиваясь первым членом этс\о
ряда, находим
Следовательно, спектральная плотность излучения при разлете
осколков ядра убывает на больших частотах со ^> соо значительно
медленнее, чем в предыдущей задаче о лобовом столкновении и по-
последующем разлете ядер,
со
372. Указание. Доказательство аналогично решению за-
задачи 364.
243
8e2v2R2
373. d&'со = -z—^—5—:—ToT ^c°- Область применимости форму-
лы ограничена условием малости величины Яо по сравнению с ки-
кинетической энергией частицы, чтобы исключить квантовые эффек-
эффекты в излучении.
4e2v2R2
374. dx® =—тг-r—dco. Область применимости формулы огра-
ничена тем же условием, что и в предыдущей задаче.
§ 4. Угловое распределение излучения
375. Интенсивность (IV. 22) дипольного излучения в элемент
dQ телесного }гла выражается через напряженность Н магнитного
поля излучаемой волны. В свою очередь вектор Н зависит от ускоре-
ускорения те частицы согласно формуле
о е {те X п)
п = ,
С2Г
где п==—, а г — радиус-вектор точки наблюдения. Ускорение ча-
частицы определяется из уравнения Ньютона:
где
п = \х cos My sin
тс у тс
Здесь п' — единичный вектор, направленный по радиус-вектору те
частицы. Интенсивность dl(t) дипольного излучения в телесный >гол
dQ в момент времени t
Скалярное произведение ппг выражается через полярные углы 8 и
точки наблюдения следующим образом:
пп' = sin 6 cos
' V me * )
После усреднения по времени за период движения частицы интенсиз-
ность dl излучения в телесный угол dQ запишется так:
376. dl = —-—g— A + cos2 6) dQ. Здесь ось Z выбрана вдоль
вектора ©.
244
е2 / 2Ze2 \72
377. d&n =* -. f ——j J sin2 9 dQ, где ось 2 выбрана вдоль
прямолинейной траектории протона.
ZlXJ V^ ДлШ О
378. d//g= ч.Ло ¦¦ ? sin229<iQ. Начало координат поме-
10368 jtcJ r
щено в средней точке цилиндра, а ось Z направлена по его оси.
Указание. См. решение задачи 347.
379. Начало покоящейся декартовой системы координат поме*
стим в средней точке цилиндра, а ось Z выберем вдоль вектора уг-
угловой скорости. Связанная с цилиндром штрихованная координатная
система X'Y'Z' вращается около оси Z' (Zr === Z), причем ось X' сов-
совпадает с осью цилиндра. Тензор квадрупольного момента заряжен-
заряженного цилиндра в штрихованной системе координат находится легко:
Путем преобразования координат определяем тензор Da$ квадру-
квадрупольного момента вращающегося цилиндра. Третья производная от
этого тензора
Г — sin 2coif cos 2Ш 0 ^
( — sin 2coif cos 2®t 0 \
cos2cd^ sin2co^ 0 j.
0 0 0/
Напряженность магнитного поля излучаемой волны в точке наблю-
наблюдения с радиус-вектором г в момент времени f — t — г/с дается
формулой
Н = ^- sin 9 A X п),
где I = 1* sinBo)?' — if)—lycosB0/' — ij?),n = —. Здесь 0 и tb —
г
полярные углы точки наблюдения, an — единичный вектор, указы-
указывающий направление распространения волны. Используя среднее
значение величины A X пJ за период вращения
г
о
находим угловое распределение интенсивности излучения
т Dг—R2 V о—cos4 e> *
380. dl= псь (I - cos4 9) dQ.
245
381. Энергия, излученная в телесный угол du на частотах от
до со + do, может быть представлена в виде
KV - v) X п]2 <Ш da,
где v и v' — скорости частицы до и после столкновения с шаром. По-
Поскольку энергия излучения весьма мала по сравнению с кинетической
энергией частицы, скорость частицы по абсолютной величине не ме-
меняется при столкновении v = v'. Из геометрических соображений не*
трудно определить угловую зависимость излученной энергии
0 ~ w) [
882,
383. бГеГп=
С1 +l^cose) sin2 е^> где 9 — угол между
скоростью v и направлением на точку наблюдения.
384. Угловое распределение полной энергии излучения описы-
описывается формулой (IV. 26), в которой
ц ._ d X п , D X п
d = ez\z> D X n = бе (Szz + zz) nz (\z X n).
В этих выражениях полярная ось Z направлена параллельно скоро-
скорости движения частицы, а координата г и ее производные по времени
имеют вид
v0 при t
TTt + v° при
еЕ
—- т + v0 при
0 при ^ < О,
-^ при 0<
9 при t > т,
где т — время движения во внешнем электрическом поле.
246
После возведения в квадрат напряженности магнитного поля
излучения
н = PF [* + 7{Ш + ii] п*\°* х п)'
кроме дипольного слагаемого, оставляем интерференционный член,
имеющий порядок v/c,
iz) Пг]
х пJ>
При интегрировании по времени в формуле (IV. 26) примем во
Внимание свойство (П3.13) б-функции. Окончательно
»Ev -v0) A + 5(у + у0) Лз.п2&
¦ 2leE
' m
385. Напряженность магнитного поля излучения вычисляем с
учетом малого слагаемого, линейного по скорости v движения про-
прогона,
н =
где полярная ось выбрана вдоль направления движения протона, а
координата г и ее производные по времени имеют вид
z @ = |^ (f + UJ при - г0 < t < to,
Начало отсчета времени ведется от момента прохождения про-
прогоном средней точки траектории во внешнем поле, так что 2t0 —
Ьремя движения в этом поле.
247
Компонента Фурье напряженности магнитного поля излучения
2 sin ©/0 /
— i jt- Шо cos co/o — sin coro) (h X **)•
Сохраняя слагаемые порядка v/c, получаем окончательно
d(o ===
е%Е2 \(* . Зи Л\ 1 —cos сот vx sin сот Л . 9 Л ,_
= о 9 > * Н cos О I з cos G sin2 6 dQ,
2п2т2с3 |Л с /со2 2с о J
/2/72/
где т = 2^0 = а/ —~ время пролета через внешнее электриче-
электрическое поле, ai)= л скорость протона при выходе из этого
поля.
Интегрирование полученного выражения по частоте со дает угло-
угловое распределение полной энергии излучения с учетом слагаемого
порядка v/c:
4nmcs
L (\ + 5» cos Л
cs V 2c /
.2
586. Магнитный момент и тензор квадрупольного момента си-
системы из двух диполей определяются выражениями
'0 1 0^
ad
Введем обозначения
/0 1 04
2) Dan = §ad\ 1 0 0 1
АО 0 0/
п==—, ~ЬарП$ = ado(x)z $m(i)t - Na,
где «! = sin 6 cos \|), n2 = sin 0 sin ф, n3 = cos 0, A^ = sin 0 sin гр,
yv2 = sin 0 cos -ф, Атз = 0. Тогда напряженность магнитного поля из-
излучаемой волны па большом расстоянии г от диполей примет вид
Wz X п) X n + (N X n)l sin со (t—j).
Слагаемое г/с учитывает запаздывание электромагнитного сигнала.
Зная величину Н, нетрудно вычислить поток электромагнитной энер-
энергии через элемент dS = r2dQ сферической поверхности радиуса г,
видимый из центра заряженной системы под телесным углом dQ.
После этого средняя по времени за период Т = 2я/со интенсивность
излучения в телесный угол dQ запишется так:
dl = -2^ст~ sin2 e cos2 Ф С1 — sin
248
387. Тем же методом, который изложен в указании к задаче 336,
определяем магнитный момент и тензор квадрупольного момента вра-
вращающихся диполей
0 cosco^X
0 sin©/ J,
cosco? silicon 0 /
/О
( 0
\cosc
где m = \х cos (dt + ^v sin °^- Начало декартовой системы координат
выбрано в центре окружности, а ось Z служит осью вращения.
Согласно формуле (IV. 14) напряженность магнитного поля в
данной задаче выражается через векторы
с
N = cos 9 (\х sin <ot' — \у cos ©f') + U sin 9 sin (со/' — ф),
а переменные величины берутся в запаздывающий момент времени
f = t — rjc. Введенные обозначения позволяют упростить выраже-
выражение для напряженности магнитного поля в волновой зоне
Н = ^~ [(т X п) X n + (N X п)].
Усредняя по времени угловое распределение интенсивности из-
излучения (IV. 22), находим окончательно
dl =
388. dl = o 5 cos2 9A+ cos2 9) dQ.
389. Начало координат поместим вблизи диполей. Радиус-век-
Радиус-вектор крайнего диполя обозначим через Го. Тогда расположение т-го
диполя описывается радиус-вектором гт = Го + та, где т — 9,
3, ..., N— 1. Расстояние от т-го диполя до точки наблюдения с ра-
радиус-вектором г равно Rm, = г — пгт, где п =? —. Напряженность
магнитного поля излучаемой волны
m-0
содержит дипольный момент системы с учетом запаздывания. По-
Появившаяся сумма по индексу т вычисляется при помощи формулы
249
геометрической прогрессии
4
/?г=0
f Wka
sin—?r—
= d0 cos (®t — kr + kr0) -
. ka *
sm-y-
где k = — n — волновой вектор расходящейся шаровой волны. Ин-
Интенсивность излучения в телесный угол йп в среднем по времени за
период Т
. „ Мопа
4 sin^ —~
dl = -^-т ^— (do X nJ dQ.
390. Для диполей, изображенных на рис. 5, интенсивность излу-
излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т имеет
вид
. 2 / 5 cos 9 \
аЛЙ sin(~2~~J
dl = -~r ~—^~ sin2
8л;с3 . 9 / cos 6 \
8111
Излучение максимально под углом 9 = зх/2 и аксиально-симметрич-
аксиально-симметрично относительно оси Z.
В случае диполей, расположенных на оси X (см. рис. 6), угловое
распределение интенсивности излучения в среднем по времени за пе-
период Т описывается формулой
сЛЙ sin2 (
dl
сЛЙ sin2 (T sinG cos ф)
sin2 I-g- sin Э cos ф J
где 0 и г|? — полярные углы точки наблюдения. Излучение макси-
максимально в направлении, перпендикулярном плоскости XZ.
§ 5. Поляризация излучаемых волн
391. В волновой зоне напряженности магнитного и электриче-
электрического полей излучаемой волны имеют вид
ХА Е = НХп.
250
Здесь г — расстояние от центра окружности до точки наблюдения,
Г у
п = —, a d — вторая производная от дипольного момента заряда
d = - e<D2/{n'.
Единичный вектор п' направлен по радиус-вектору заряда (рис. 11).
Компоненты единичных векто- ^
ров пип'; ^ '
пх = sin G cos i|?,
пу = sin 9 sin
nx = cos ®t,
cos 0,
ny = sin со* ,
рис#
где f = t — / /с — время в точ-
точке наблюдения с учетом запаз-
запаздывания, 0 и -ф — полярные уг-
углы, а ось Z направлена вдоль
вектора (о. Введем два базис-
базисных орта Х\ и т2 в плоскости,
перпендикулярной направлению п распространения излучаемой
волны:
т = l*Xn t = пХ(ЬХп)
1 sin0 ' 2 sin0
Разложим векторы Н и Е по указанным ортам:
Проекции напряженностей полей на орты ti и Тг определяются вы-
выражениями
Ят = Ht, = —ъ— cos 0 cos (со*' — ib).
Hto
¦ sin (соГ — -ф),
В каждой точке волновой зоны при 0 < 0 < -g- векторы Н и Е вра-
вращаются по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления
251
распространения волны (правое вращение). Если -л-^в^я, то
вращение левое. Причем концы векторов Н и Е описывают эллипсы
с полуосями а и 6, равными
а = —2^-| cos0 |, &
Такая волна называется эллиптически-поляризованной с правой по-
поляризацией при 0 < 9 < -~~ и левой поляризацией в области -5- <
< G ^ п. Отношение длин полуосей -т- = | cos 91 зависит от направ-
направления излучения. В частности, если излученная волна распростра-
распространяется вдоль магнитного поля 6 = 0 (или 9 = л), то она поляризо-
поляризована по кругу, в то время как при распространении под прямым уг-
углом G = -jr- волна поляризована линейно.
392. Излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин по-
полуосей, равным [cos 91, где 9 — угол между нормалью к плоскости
вращения магнитного момента и направлением на точку наблюдения.
При распространении излученной волны вдоль оси вращения магнит-
магнитного момента эллипс превращается в окружность. Поляризация
волны правая для углов 0 ^ 9 < -jr и левая, если —• < 9 < л.
Волна, распространяющаяся под прямым углом к оси вращения
магнитного момента, поляризована линейно.
393. Электрон вращается по окружности радиуса R = —77— с
etlQ
частотой со = —. Ось Z выберем по направлению внешнего маг-
магнитного поля (см. рис. 11). Третья производная по времени от тен-
тензора квадрупольного момента
( — sin 2Ш cos 2d)t 0 \
cos 2@* sin 2оа* 0 1.
О 0 0/
Напряженность магнитного поля излучаемой волны выражается че-
через вектор
где ради краткости обозначено
1 шш lx sin BооГ —-ty) — ly cos BШ' — -ф).
252
Здесь i'*=*t время в точке наблюдения с учетом запаздыва-
с
ния, a G и \f — полярные углы, фиксирующие направление единич-
г
ного вектора п = — с компонентами
пх = sin 9 cos -ф, пу = sin 9 sin if), nz = cos 9.
В волновой зоне на большом расстоянии г от центра окружности на-
напряженности магнитного и электрического полей излучаемой волны
имеют вид
Н = 2ех)*&„ sin 9 (i X n), E = HXn.
Введем два базисных вектора
Ti==~fnTF~' T2=== ihfe '
лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению п распростра-
распространения волны. Разложение векторов Н и Е по ортам ti и Тг запишется
так:
Н = Ят т, + Нг х9, Е = Ех т. + Ех т2,
где
Н == — 2<?з Ю sin 9 cos 9 sin B©/7 — 2ф);
// = —-— sin 9 cos B@^ — 2ф);
Видно, что конец вектора Н (а также Е) описывает эллипс с отно-
отношением длин полуосей, равным | cos 01. Следовательно, квадруполь-
ное излучение поляризовано по эллипсу с правой поляризацией при
О < 9 < -7Г- и левой для углов •— < 8 < я. Если излученная волна
распространяется вдоль оси вращения электрона 9 = 9 или 9 == я,
то эллипс превращается в окружность, в то время как в поперечном
направлении 9 == л/2 эллипс вырождается в отрезок и волна стаыо-
bhtlя линейно-поляризованной.
391. Дипольное излечение линейно-поляризовано.
395. Магнитно-дипольное излучение линейно-поляризовано.
396. Квадрупольное излучение линейно-поляризовано.
397.
где Q = -tt~ a2bp> 9 — угол между осью аксиальной симметрии эл-
эллипсоида вращения и направлением на точку наблюдения, а излу-
излучаемые волны линейно-поляризованы.
*253
Указание См. решение задачи 347.
398.
/ = Ь_
__ .
Квадрупольное излучение поляризовано по эллипсу с отношением
длин полуосей, равным |cos0|, где 6—угол между угловой ско-
скоростью (о и направлением на точку наблюдения. Поляризация волны
правая, если угол G острый, и левая при -^ < 8 ^ зх. Под углами
0 = 0 и 0 = я распространяются циркулярные волны, а в попереч-
поперечном направлении к вектору угловой скорости — линейно-поляризо-
линейно-поляризованная волна.
§ 6. Рассеяние электромагнитных волн
(е2 У
—2 j sm2 В dQ, где 0 — полярный угол точки наблю-
наблюдения, а ось Z направлена по вектору поляризации волны Полное
сечение рассеяния
_ 8я / е2 у
400. Если обозначить вектор поляризации волны через 1, то эф-
эффективное сечение рассеяния линейно-поляризованной волны в телес-
телесный угол dQ запишется
где единичный вектор п направлен в точку наблюдения и имеет ком-
компоненты
пх = sin 0 cos г{>, n^ = sin 9 sin if», nz = cosQ.
Ось Z выберем по направлению распространения волны, а азиму-
азимутальный угол вектора поляризации обозначим через ф'. Тогда полу-
получим
A х пJ = 1 — (InJ = I — sin2 0 cos2 0ф — г|/).
Чтобы найти эффективное сечение рассеяния неполяризованной вол-
волны, выражение A) следует усреднить по углу г|/. В результате нахо-
находим
1
1 + cos2 0) (
ч ни, /
Полное сечение рассеяния
8я
254
401.
3 \ me2
Здесь 0 — угол между волновыми векторами падающей и рассеянной
волн.
е2 \2 со
?]Cos2 9) da,
1 / е2 \2 со4
402. da в _(_?_]-_ _ A +
2 \mcr ) (©о — °> )
где 0 — угол между волновыми векторами падающей и рассеянной
волн, а атомная частота соо определяется выражением соо = y>Je2/mRd.
403,
тс
8л / е2 V
3 V тс1) со2, - ©2 Г + W
где 0 — угол между вектором поляризации падающей волны и на«
правлением в точку наблюдения. Параметры соо и у даются форму-
формулами
соо = .
404.
mcV (©5 - «Л* + y °>*
@2 _ со2J + ^Ш2 '
где 0 — угол между вектором поляризации падающей волны и на-
направлением в точку наблюдения. Параметры оз0 и у имеют вид
( е2 \2(
\тсг/ \
8я
где 0 и \|5 — полярный и азимутальный углы точки наблюдения. По-
Полярная ось сферической системы координат выбрана вдоль направ-
направления распространения падающей волны.
255
406. а = -^— ( , ] sin2 0, где 9 — угол между вектором ц и
о \ С" /
напряженностью магнитного поля падающей волны.
р со / 6f cos" * + b% sin" я|) \
407. da = —т- 1 1 4 sin2 6 I dQ,
с4 \ Ь\ + Ь\ )
8я р2со4
а~"~з ~*
где 8 и ф — полярный и азимутальный углы точки наблюдения. По-
Полярная ось сферической системы координат выбрана вдоль волнового
вектора падающей волны.
408. сг =
9с4/2 '
Указание. Воспользоваться уравнением движения / -~-гг а
= dXE> а также уравнением d = QXd, описывающим вращение
вектора d, который по абсолютной величине не меняется.
§ 7. Излучение протяженных источников
409. В волновой зоне векторный потенциал электромагнитного
поля, созданного заданным током, имеет вид
где п = —, а начало координат выбрано внутри излучающей си-
системы.
Напряженность магнитного поля указанного тока в волновой
зоне
Н (г, /) = rot А (г, 0 = ~ А (г, t) X п.
с
Искомый интеграл выражается через разность значений вектор-
векторного потенциала, взятых при t = оо и t = —oof
оо
Н (г, t) dt = 1 [А (г, оо) - А (г, - оо)] X п.
— оо
Для каждой фиксированной точки наблюдения с радиус-векто-
радиус-вектором г величина времени запаздывания — (г — пг') принимает ко-
конечные значения, так как область интегрирования в интеграле (I)
ограничена. Поэтому величина t 1 стремится к dt°°t
с с
256
когда время t стремится к бесконечности t -+- ±00. Отсюда следует,
что подынтегральная функция в интеграле (I) тождественно обра-
обращается в нуль при подстановке t = оо или t = — оо, если ток вне
промежутка времени от t[ до h отсутствует.
В том случае, когда объемная плотность j заданного тока вне про-
промежутка времени (^,/2) постоянна, векторные функции J = }(г'» оо)
и j = j(r'f —00) удовлетворяют условию замкнутости токовых
линий
j (г', оо) dV' = \ j (г', - оо) dV - О,
которое было установлено ранее при решении задачи 144.
Следовательно, в условиях данной задачи в волновой зоне имеем
А (г, оо) = А (г,—оо) = 0, откуда
Н (г, 0 dt = 0. B)
Для линейно-поляризованной волны Н = Ш(г, t) интеграл
оо
\ Н (г, t) dt представляет собой площадь в плоскости переменных
— оо
И и tt которую назовем площадью излученного электромагнитного
импульса. Согласно полученному результату B) в каждой точке на-
наблюдения волновой зоны площадь прошедшего электромагнитного
импульса равна нулю.
Если вектор Н(г, t) в точке наблюдения г поворачивается со
временем в плоскости, перпендикулярной направлению п распро-
оо
странения волны, то обращаются в нуль площади \ Hi (r, t) dt и
— 00
оо
\ #2 (f» t) dtt где Hi = ЬН и #2 = ЬН, а единичные векторы li,
—00
12 и п образуют правовинтовую тройку. Рассуждения для напряжен-
напряженности электрического поля аналогичны.
410. На большом расстоянии г > kl2 от тока приближенно вы-
выполняется равенство jr — г'| = г — пг', а векторный потенциал
(IV. 8) принимает вид
I
А = 1J2- V Cos kz' sin [0 (t - ~\ + fcz'cos el dz' =»
Joh ( sin [kl A - cos 6I , sin [kl A 4- cos 9)]
"srv l-cose + i + cose
9 А. И. Алексеев 257
При помощи формул тригонометрии последнее выражение можно
заметно упростить
м,й1.
sin2 0 2
Напряженность магнитного поля излучаемой волны
Согласно общей формуле (IV 22) интенсивность излучения в телес-
телесный угол dQ в среднем по времени за период Т запишется:
. 9 n cos2 I ( т + -(Г 1 я cos 6 I dQ.
sin2 6 L\ 2 / J
2nc sin2 6
412.
cr [ \ с
413. Векторный потенциал (IV. 8) в плоскости XY на большом
расстоянии от тока можно записать в следующем виде:
А = (— \)т —?-?- e"~v/' sin ©m/'
rcom
где /' = / — г/с — время в точке наблюдения с учетом запаздыва-
запаздывания Напряженность магнитного поля имеет только угловую состав-
составляющую в цилиндрических координатах, которая описывается фор-
формулой
где /' ^5 0 и Н^ = 0 при /' < 0. Векторы Е и Н вместе с радиус-
вектором г точки наблюдения образуют правовинтовую тройку век-
векторов, поэтому
Чтобы представить электромагнитное поле излучения в виде супер-
суперпозиции монохроматических волн, разложим напряженность электри-
электрического поля в интеграл Фурье
258
Непосредственным вычислением находим
Таким образом, разложение напряженности электрического поля из-
излучения по монохроматическим волнам имеет вид
Равенство Я^ = — Ег позволяет получить аналогичное разложение
для напряженности магнитного поля.
Здесь /о (о)—функция Бесселя нулевого порядка, аргумент ко-
которой а = kR sin 0. Эта функция появилась в результате интегриро-
интегрирования
При решении задачи использован также интеграл
\ sin [a cos (ф' — ф)] d ф' =» 0.
о
418. На достаточно большом расстоянии г от конусов вектор*
ный потенциал поля излучения дается формулой
где n ass — и dSf = г' sin 0O ^ ф' dr\ а интегрирование проводится
по боковым поверхностям конусов, по которым течет ток с поверх-
поверхностной плотностью
Единичный вектор т направлен вдоль образующей конусов. В при-
принятых обозначениях векторы подынтегрального выражения A) имеют
следующий вид:
п = Aя cos ф + \у sin ф) sin 8 + \г cos 6,
г' = г' [(Ijc cos ф' + \у sin фО sin 60 ± \г cos в0],
где G и ф — сферические координаты точки наблюдения, а знаки +
и — отвечают соответственно верхней (г* > 0) и нижней (z1 < 0)
боковым поверхностям конусов.
Поскольку в распределении тока имеется аксиальная симметрия,
искомый векторный потенциал в сферических координатах г, G и ф
не зависит от угла ф. Поэтому в подынтегральном выражении A)
можно положить ф = 0. Тогда интеграл по переменной ф', содержа-
содержащий множитель \у sin ф', обращается в нуль.
Принимая во внимание сделанные замечания, получаем
ь 2я
ХОг cos Go + \х sin Go cos ф') +
г7, / — — -J cos ф I (\г cos Go — lx sin Go cos ф') ••
с с / j
ь ш
X ('a cos 60 + \х sin 00 cos ф')»
где ^введены обозначения: cos Ф =» sin 80 $in 8 cos \J>' + cos 90 cos 9,
cos Ф = sin 90 sin 9 cos ф' — cos 90 cos 9.
Исследуя выражение rot А, нетрудно убедиться в том, что маг-
магнитное поле имеет лишь угловую составляющую Н^. Другие ком-
компоненты вектора Н равны нулю, как и должно быть в задаче с ак-
аксиальной симметрией. Окончательно находим
dl-
1
sin2 9
Г b
I $
X (cos 90 sin 9 — sin 90 cos 9 cos t|/)
2
при 9qs=-3-.
2
§ 8. Задачи, требующие вычисления на ЭВМ
419.
— I e
где величина % является корнем уравнения
На рис. 12 изображен график ' натурального логарифма
<?о) как функция параметра l/а. Некоторое представление о
зависимости полной энергии дипольного излучения от прицельного
расстояния дает таблица I.
Таблица 1
На
0,5
3,36 • 102
1
5,2
2
1.23-1 (Г2
5
5,5-10~8
261
420.
Рис. 13.
Указание. Для вычисления на ЭВМ удобно перейти от дву-
двукратного интеграла к однократному, выполнив сначала интегриро-
262
вание по переменной g в пределах от 0 до ?о(л)» а затем по rj a
промежутке от rjmin до оо. В плоскости переменных ц и ? интегри-
интегрирование проводится по области, которая заштрихована на схемати-
схематическом рис 14 Для каждого фиксированного значения х функция
?о(г]) определяется как решение
уравнения
-п
л*
= 0.
При вычислении минимально-
минимального значения Yjmm переменной ц
следует принять во внимание не-
неравенство
1?
Ц2
о
7т
тп?п
Рис. 14.
что дает т^т = — In х при х < 1
и "Hmln = 0 при х^\. В результате имеем;
Асимптотическое выражение величины к п|)и больших значе-
значениях X > 1
%-
4
421.
— \ зт *1,
v ) A - 12)к
f
•dl.
vt
n—г-
На рис. 15 изображена относительная интенсивность ///0 излу-
излучения осциллятора как функция переменной ц, которая для случая
V =* ©о^ принимает значение ц = соо^.
2&3
-2
Ю
12
wot
Рис. 15.
Рис. 16.
422. / = /0/2,где
2АЯ
е-#-\• fr^-^-V
yt cos (от (п ~
2 Y/a
J
Интенсивность / излучения осциллятора как функция пере-
переменной ifx при y == <о0/2 = 2/х для случаев *0 = 0 и ^0= — оо пред-
представлена соответственно на рис. 16 н 17.
423. ,,.
(О/ » оо ,. . «/
+ w li+PF
Спектральное разложение излучения представлено на рис. 18.
с 8Q2p2y2
Единице на оси ординат соответствует величина —«—3/е '
424
da> Зяте3 (Л, + А2) \А, А2
(Л, + a,) v л, ~ л2
ein [•?-« +eh
Спектральное разложение излучения представлено на рис 19.
Кривые J n 2 отвечают соответственно случаям а и б. Единице на
оси ординат соответствует величина
4e2S>0A]A2 /J^ _ ?2_\2
Злшс3 (At + A2) \At A2 ) *
265
3*567
mlju
Рис. 18.
ш/шд
425.
da
SezZz
\?ncA2
f° Se2Z2
'¦4
1A + ch |)s
Спектральное разложение излучения представлено на рис. 20.
i U)/tO0
Кривые 1 и 2 отвечают соответственно случаям а и б. Единице на
©си ординат соответствует величина
\2
( &о У
№7
267
426.
cos [(а> —
где величина х является корнем уравнения
е-1< A — V2" cos xl) d\ » 0.
Спектральная линия излучения представлена на рис. 21. Еди-
Единице на оси ординат отвечает величина ci21EqJBлI\ Ширина спек-
спектральной линии Дсо = 2,8/т.
-з-г-1
о i г з(ш~ш')т
Рис. 21.
427.
-1
Н-nXE, Я.--?г,
-Я-
7=
П
J
График напряженности электрического поля и спектральная ли-
линия излучения изображены на рис. 22 й 23 соответственно. Единице
на оси ординат на рис, 23 отвечает величина сх^ЕЦт&ц
428.
dl
du
il 8ш2е$т2[Ж1-соз0I
V. (* к sm e>
Диаграмма направленности излучения представлена на рис 24
для случая h = Я = 1//г. Направление максимального излучения с
0 12 3
Рис. 23.
интенсивностью
KdQjmax'
Рис. 24.
составляет с полярной осью угол
269
429. 4~=*
cos
n (cos 8 + sin 8 cos ф)
. о 1 \ 7-7 2 Q . 2 , —^
4пгс \ J 1 + sin2 8 sin2 ib — sin 28 cos
(sin 0 — cos 6 cos
На рис 25 изображена зависимость величины dl/dQ от угла 8
Единице на оси ординат соответствует величина /о/Dл3с). График
симметричен относительно прямой 8 = я/2
dl/d2
20 -
3 8
Рис. 25
430. В волновой зоне, где напряженности электрического и маг-
магнитного полей по модулю убывают обратно пропорционально рас-
расстоянию от точки наблюдения до центра излучающей системы, вы-
выполняется соотношение ^г — r'j =г — пг', и запаздывающий вектор-
векторный потенциал (IV. 8) принимает вид
cr
(I)
Полученный интеграл по своим индексам аир является трех-
трехмерным симметричным тензором второго ранга Поскольку подынте-
подынтегральное выражение содержит единственный независимый вектор
•- —, указанный тензор должен иметь вид
-J^- F [г' Л - -¦ + —J
dV
B)
где а и b —- некоторые скалярные величины.
270
Приравниваем диагональные суммы тензоров левой и правой ча-
частей равенства B)
C)
Умножим обе части равенства B) на выражение пап$ и просум-
просуммируем по повторяющимся тензорным индексам
D)
Решая совместно алгебраические уравнения C) и D), опреде-
определяем величины а и bt через которые выражается векторный потен-
потенциал A)
А (г, /)-JL
E)
При вычислении ротора вектор-
векторного потенциала E) в волновой зоне
отбрасываем слагаемые, содержащие
множитель 1/г2. В результате нахо-
находим
Н(г, О-
о
dt \ с ¦ с J Рис- 2б-
Если вместо функции F(r,t) подставить заданное выражение и
положить ст = 10Я и — Г/— — J ¦» t\ то получим
-1
~[|+//~h) {l'x)]
где интегрирование проводится по заштрихованной площади на схе-
схематическом рис. 26 В области интегрирования выполняется условие
? ^s |A—-^)/10, которое является следствием запаздывания элек-
электромагнитных сигналов, приходящих в точку наблюдения.
При фиксированном значении х проведем интегрирование в ин-
интеграле F) по переменной {¦ в пределах от 0 до |0(x) = 10///A — *)
271
(рис. 26). Оставшийся интеграл по переменной к
Н (г, 0 -
1 - *2 Г
\0tf
X
определяется при помощи численнык методов.
Рис. 27.
Напряженности электрического и магнитного полей в волновой
зоне связаны между собой соотношением Е = Н X п или в сфериче-
сферической системе координат
Напряженность ?Q электрического поля излучения в некоторой
фиксированной точке волновой зоны изображена на рис. 27. Еди-
Единице на оси ординат отвечает величина EQ == ntfjosin 0/c2xr9
Глава V
ПОЛЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯЖЕННЫХ
ЧАСТИЦ
§ 1. Преобразование электромагнитного поля
431. Если найдена система координат К\ в которой Е' || Н', то
любая другая координатная система /С", движущаяся параллельно
векторам Е' и Н', также отвечает поставленному условию Е" II Н",
Поэтому будем искать систему координат с заданными свойствами
среди тех, которые движутся перпендикулярно векторам Ей Н. При
переходе в такие координатные системы векторы напряженностей
электрического и магнитного полей поворачиваются в плоскости, пер-
перпендикулярной относительной скорости этих систем, а компоненты
напряженностей, параллельные относительной скорости, не возникают.
Выберем исходную систему координат так, чтобы Ех = Нх = 0.
Тогда искомая штрихованная система координат движется с неко-
некоторой скоростью V вдоль оси X, причем одноименные декартовые оси
указанных координатных систем параллельны. В искомой системе ко-
координат имеем Ех = Нх = 0иЕ X Н =0, что дает
Выразим штрихованные компоненты векторов через нештрихо-
ванные по формулам преобразования полей (V. 28) и (V. 29). После
этого соотношение A) превратится в квадратное уравнение относи-
относительно величины V/c:
-^4-1 = 0.
| Е X Н | с
где V — проекция искомой скорости на ось X. Из двух корней этого
I V
уравнения выбираем тог, который отвечает условию — < 1. Дру-
I c
гой корень удовлетворяет неравенству противоположного смысла,
273
как произведение корней равно единице. Окончательно находим
X *. (Е* + Я2 — У(?2 - Я2J + 4 (ЕНJ)- ЕХН
Если ЕН < 0, то в найденной системе координат векторы Е' и
Н' антипараллельны.
432. а) Пусть Е > //, тогда согласно инвариантам электромаг-
электромагнитного поля (V. 32) существует такая инерциальная система коор-
дццат К\ в которой отлично от нуля только электрическое поле
Е' ф О, Н' = 0. Скорость V этой штрихованной координатной си-
системы лежит в плоскости, перпендикулярной вектору Н, так как
компонента вектора напряженности магнитного поля, параллельная
вектору V, не меняется при переходе в указанную систему отсчета
HV = H7V =* 0. Векторы V и Е образуют между собой некоторый
угол а.
Ради удобства выбираем направления векторов V и Н в каче-
качестве осей X и 2 исходной системы координат. Тогда искомая си-
система координат К1 движется со скоростью V вдоль оси X, причем
одноименные декартовы оси двух упомянутых координатных систем
параллельны. В координатной системе К! магнитное поле отсут-
отсутствует:
V
1"?-
где Н2 = Н и Еу = Е sin а. Отсюда получаем
V Н УН(пХ
с ?sina' с (пХЕJ П*
Здесь п — единичный вектор, лежащий в плоскости, перпендикуляр-
— < 1 накла-
с
дывает ограничения на возможные направления п относительно век-
вектора Е:
J sin a | >-?-.
При помощи формул (V. 28) находим
Е' = n (En) + -j-jj^fj
б) Если ?•<//, то существует такая система координат, в ко-
которой имеется только магнитное поле. Повторяя предыдущие рас-
рассуждения, получим
2 74
где п — единичный вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной
IV I
— < 1 наклады-
с I
вает ограничения на возможные значения угла а между векторами
Уи Н;
433, —«
с
| sin а | > -JJ-.
2((ЕХН)п)п
у, где п — единичный вектор про-
436. Е' = -j=r {В2 ~Н2 + У(?2-#2J-г-8(ЕНJ)'Ч
(ЕХп)Ч(НХ^
извольного направления.
г 1
434. V=d=-
4 ~"V2 Ч """ *
437. В координатной системе, связанной с ядром, имеем
Н«0.
В штрихованной инерциальной системе координат, где в данный
момент нейтрон покоится, магнитное поле легко определить с ука-
указанной точностью при помощи формул преобразования (V. 31):
н' - - т (у х Е>-
с
Поэтому сила, приложенная к нейтрону, запишется как
F' = grad'((*H')
В том же приближении четырехмерная сила ft —(f'lAj) имеет ком-
компоненты
с
v'F'
= 0,
где скорость v' нейтрона в штрихованной системе координат поло-
положена равной нулю. Используя формулы преобразования 4-вектора
и отбрасывая малые слагаемые, пропорциональные с2/с2, определяем
пространственные компоненты 4-силы /« = (!, /4) в исходной системе
координат
Если пренебречь членами порядка ——, то f =
1
Ft а компо-
компоненты радиус-векторов гиг' связаны между собой преобразованием
275'
Галилея. Поэтому
е'-е——sine.
с
442. В штрихованной системе координат, связанной с движу-
движущимся зеркалом, законы отражения электромагнитной волны приво-
приводят к равенствам klx = — k2x и ®[ == со^, где ось X' направлена
вдоль вектора скорости V зеркала, а одноименные декартовы оси по-
покоящейся и движущейся систем координат параллельны. В указан-
указанных двух равенствах при помощи формул преобразования Лоренца
выражаем штрихованные компоненты четырехмерных волновых век-
276
Это позволяет окончательно написать
Видно, что летящий магнитный момент р по отношению к внеш-
внешнему полю Е эквивалентен электрическому диполю с моментом
439. Указание. Воспользоваться законом преобразования тен-
тензоров (V. 9) и матрицей (V. 5) преобразования Лоренца.
где (о и 0 — частота электромагнитной волны и угол между волно-
волновым вектором к и скоростью V движения штрихованной инерциаль-
ной системы координат относительно покоящейся в соответствии с
обозначениями, принятыми в формулах (V. 3) —(V. 6). Штрихом обо-
обозначены аналогичные величины в движущейся системе отсчета. В слу-
случае V < с имеем
торов kit = I к', /—J и ^2/"I ^2» '—/ чеРез их компоненты в
покоящейся координатной системе. В результате получаем два ал-
алгебраических уравнения относительно искомых величин. Решение по-
последних отвечает на поставленные вопросы
1 + Р2 + 2p cos 9f
002 = Ol>i j <-— 9
где обозначено р = V/c.
AS* • « (?±LY wW
4tj» XS) === XS)n I ¦ i cr ~—* ————
Указание. Перейти в систему координат, связанную с дви-
движущимся зеркалом, и воспользоваться законом отражения электро-
электромагнитной волны от неподвижной плоской границы, чтобы найти па-
параметры отраженной волны. Определив отраженную волну в движу-
движущейся координатной системе, вновь вернуться в лабораторную си-
систему координат, воспользовавшись формулами преобразования
(V. 28)—(V. 31) напряженности электрического и магнитного полей
отраженной волны.
II cos a J
444. .'-«Д С ... > .
443.
§ 2. Излучение быстро движущегося заряда
446. А (г, t) =
if (v
<nv> т + <nr«> т+2
+ (nvJ ? +
+ (nre) (nv) -p- + (nvJ ? + -
H=|(AXn).
С
Здесь радиус-вектор г« и скорость v заряда берутся в момент вре-
времени t — г/с, где г — расстояние от фиксированной внутренней точки
области движения заряда до точки наблюдения (п = г/г).
447. Ответ представлен формулами (V. 44) и (V. 45),
277
Указание. Поскольку потенциалы Лиенара — Вихерта зави-
зависят явно от запаздывающего момента времени Y, необходимо зара-
заранее вычислить производные от этой величины по переменным х, у, г
и /. Для этого дифференцируют обе части равенства R(t/)=c(t—С)
по времени наблюдения t:
— — = c(l- — (П
dt' dt \ dt )'
Величину dR/dt' определяют дифференцированием тождества R2= Ra
с учетом соотношения dR(t')/dt' ¦=—v(O» что Дает
dR Rv
Подставляя найденное выражение B) в формулу A), получают по-
полезное равенство
dt' 1
dt 1 vR '
Re
C)
Аналогично вычисляют grad /' путем дифференцирования обеих
частей равенства R(t') == c(t — t') по координатам х, у и z точки
наблюдения
grad #(*') = -? grad t\ D)
С другой стороны, рассматривая величину R(t') как расстояние ме-
между двумя точками R(t') = |г — ге(/'I> можно написать
grad^(/')=|- + |p-grad/'. (б)
Приравнивая правые части равенств D) и E), находят еще одно
необходимое соотношение
grad Г = , *ч , F)
Полученные формулы C) и F) значительно облегчают вычис-
вычисление напряженностей полей (V. 44) и (V. 45).
448. Ответ представлен формулами (V. 48) и (V. 49).
449. /= 3 — п2 ч4 . В ультрарелятивистском случае
278
2e2v2 (, 21 t;
При v2<c2
где квадрат ускорения v2 также содержит малые слагаемые порядка
v2/c2. Например, в случае движения заряда е в однородном постоян-
постоянном электрическом поле с напряженностью Е последняя формула
принимает вид
/ 6 у2\
V 5 ^ У
450. Энергия частицы тратится на излучение —d<gn = d&H3Si-
?Три помощи формул (V. 48) и (V. 51) находим энергетические по*
тери частицы за время dtf:
1-х2 .
- dx.
Интеграл следует дважды брать по частям, каждый раз диффе-
дифференцируя числитель подынтегрального выражения,
Зс3
О-
dt'.
Используя уравнение движения (V. 17) и формулы (V 16) и
(V. 18), определяем квадрат ускорения частицы, скорость которой
параллельна вектору Е:
После этого скорость потери энергии частицей на излучение, вы-
вычисленная на основе формул (V. 48) и (V. 51), принимает вид
\ dt' Л
что совпадает с выражением, полученным из другой формулы (V 58)
для заряженной частицы, движущейся параллельно напряженности
электрического поля.
451. Интенсивность излучения
279
где v = v@—скорость электрона в момент времени /. Выбираем
в качестве осей X и У направления векторов Е и v@). Тогда
где ру — проекция импульса электрона на направление его началь-
начальной скорости v@).
Поскольку излученная энергия мала по сравнению с кинетиче-
кинетической, обратное влияние поля излучения на движение электрона мож-
можно не учитывать. Согласно уравнению движения (V. 17) величина pv
в этом случае сохраняет постоянное значение, определяемое началь-
начальным условием, поэтому
Следовательно, интенсивность излучения электрона постоянна, а
излученная энергия пропорциональна времени;
/52 X -
452. <ГИЗЛ
Smc2
453. #изл = *c2\ (л/(еу + <Г0J — (mc^Y — cp0),
где введены обозначения:
5» TTIC2 со V()
&o = . —, po = © о -х-
454. а)
—-;
)
где предположено, что излученная энергия пренебрежимо мала по
сравнению с кинетической энергией частицы.
455. Энергия 8 электрона расходуется на излучение, поэтому
3w2c5 - и2 d/f A)
где v — абсолютная величина скорости электрона. При помощи фор-
формулы (V. 12) выразим скорость через энергию J8'. После этого сбот-
нсшение A) запишется как
йЖ __ 2еЧР Л4 ~
(тс2J-** "" 3m*F aU К}
Интегрируя обе части равенства B) с учетом начальных условий,
получаем
Arth-?--Arfl3
J\l 111 . X\i 111 q ——
тс2 тс2
Воспользуемся известной формулой тригонометрии
th(a~P)= 1_thathfi
и представим энергию как явную функцию времени
В случае малой начальной скорости Uq<c2 имеем
2
V2
456. / = -q—тт~г ( е ^ —) » где знаки + и — отвечают двум
направлениям дипольного момента — в сторону тока и от него.
457. Полная излученная энергия
-оо С*
где Е = —Ц—9 т _ радиус-вектор электрона и v » v0.
Пусть траектория электрона параллельна оси X и пересекает
ось У в момент времени / = 0 (см. рис. 10). В этом случае
1» /2^
0 0 -
где г2 = /2 -j- *2, Первый интеграл вычисляется непосредственно
281
Второй интеграл, содержащий в знаменателе подынтегрального
выражения г в более высокой степени, вычисляется путем диффе-
дифференцирования обеих частей равенства A) по параметру / Оконча-
Окончательно получаем
458.
аг
& И31
зл—¦
4 г
Зл
я
л
12 /
гс2/5ус
m / !
zV
л*2
4^tJ
«¦
'-4
15 o*
3 v\
460. а) ^Гизл=——
4 m
64
461. PH3j
D^ ГП l С КС —
f — 4ш?4/2р
изл~* ЪтЧЧ (с2 - о?) #
1 1 , 2е4?2/
462.
1 1 2б4Н2±^
464. —- = ^—Ь"*~о—47» где ^JL — составляющая вектора Н,
перпендикулярная скорости ультрарелятивистской частицы
465. При помощи формул (V 12) и (V. 16) —(V. 18) получаем
t(v X (v X v))
m
vF = _^ _ с2 2
no (,_^.)'-
282
Составляем разность квадратов величин A) и B). После воз-
возведения в квадрат суммы A) делаем циклическую перестановку со-
сомножителей, а также пользуемся ортогональностью векторов v и
v X v. Дальнейшее преобразование полученной общей суммы приво-
приводит к результату
т1
Окончательно
-
2
Зс3
Это соотношение можно также получить иначе, выразив предв1-
рительно правую часть исходного равенства (V. 58) через квадрат
четырехмерного ускорения (V. 21)
Раскрывая квадрат 4-ускорения, вновь приходим к искомому со-
соотношению
466. йШ* = — (— In ii-1 -
ПС \V C-—V
467. Разложим экспоненту в ряд и сохраним первые три слагае-
слагаемые
. -/(О—- . /о
rtfe * ==re ——
Воспользуемся соотношением
2г* (пте) = (гвХЫХп + ~ ге (гвп)
и перепишем полученную сумму в новых обозначениях
где /)а = ?>ар /ip, ц — магнитный момент, a Z>ap — тензор квадру-
польного момента заряда.
Будем считать, что для компонент Фурье /(о) и /(со) каждой
рассматриваемой здесь функции f(t) и ее производной f(t) справед-
справедливо соотношение
_ /о/ (со) = / (©).
283
Тогда исходная формула (V. 60) в заданном приближении при-
примет вид
| * (ш) X п + (ii (ш) X п) X п +
+ -^ D (со) X n + Q (а>) X п
где ради краткости обозначено
2?
(-toK (пгеJ vet(at dt.
После интегрирования по углам находим спектральный состав
излучения с учетом членов порядка v2/c2:
2|d"(m)|* 2|р(«)|'
+
[ОО
d(«) 5e-'»'^Br2ev-(rev)re)rf< +
— ОО
+ d* (») j е'и< -^ Br^v - (r.v) г.) Л | dm.
Если проинтегрировать по частоте ш, то получим полную излу-
излученную энергию
idt>
где интенсивность излучения имеет вид
2d2 2ii2 Й^ 2е ..
468. В общей формуле (V. 64) положим
те (t) = 12а cos ©о^> пге @ = a cos 9 cos ©of, toot =* q>,
где 9 — угол между осью Z и направлением излучения. После этого
средняя по времени интенсивность излучения в элемент телесно* q
угла на я-й гармонике запишется:
cose cos?)
о о о
п2е2а <
2лс*
sin2 0 era
284
Возникший интеграл представим в виде суммы двух
я
~
2пх
s}n ф) d<f __
2лх
Первый интеграл равен нулю в силу периодичности подынтегральной
функции с периодом 2л, а второй выражается через функцию Бес-
Бесселя целочисленного порядка п:
я
(- i)n
2л
Окончательно находим
dap.
9 9
п~е а
¦tg2e/9rt
- cos QJdQ.
469. Выберем оси X и У в плоскости окружности, а ось Z сов-
совместим с осью вращения. Компоненты радиус-вектора заряда и еди-
единичного вектора направления излучения запишутся
хе =¦ R cos (oo/, Уе~ R sin coo/, ге = О,
П\ = sin 0 cos i|), n2 = sin 0 sin i[>, пъ = cos 0.
В результате усреднения по времени интенсивность излучения в
элемент телесного угла в данной задаче становится аксиально-сим*
метричной и не зависящей от угла \|з. Поэтому для упрощения воз-
возникающих соотношений с самого начала положим ф = 0 в исходной
формуле (V. 64). Принимая во внимание
п X г* @ = — /?соо (\х cos 0 cos ф + \у cos 0 sin ф —• \2 sin 0 cos ф),
nre (/) = R sin 0 cos ф, ф = coo/,
получаем для средней по времени интенсивности излучения в эле-
элемент телесного угла на п-й гармонике следующее выражение:
dln
2яс3
±_
2я
П/1Ф--
cos ф dq>
sin ф
-Я
G j
cos2G JrfQ. A)
265
Воспользуемся интегральным представлением функции Бесселя
целочисленного порядка п. Тогда первый из интегралов правой ча-
части равенства A) выразится через производную от функции Бес-
Бесселя, а второй — через саму функцию Бесселя, как и в предыдущей
задаче. После простых вычислений находим
470.
din=-2н|-tg2 e [eiIn (—7^cos9)+eiIa (-Р-cos v\
где 6 — угол между осью Z и направлением излучения.
тЧЧ V I
it-
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение t
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Скалярное и векторное произведения векторов:
Смешанное и двойное векторное произведения векторов:
Дифференциальный оператор набла
Оператор Лапласа (лапласиан)
Градиент функции ср:
Интегральные соотношения, содержащие градиент функ-
функции:
<Jq>dS= JgradcpdK, (П1.9)
5 V
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем
<§>q>di=J(nXgrad(p)dS, (ШЛО)
L $
где 5 — произвольная поверхность, натянутая на замкну-
замкнутый контур L. Нормаль п к этой поверхности обращена
в ту сторону, куда ввинчивается правый винт при вра-
вращении в направлении обхода контура L.
Производная от скалярной функции q> в направлении
орта п
!f . (ШЛО
Производная от вектора В в направлении орта п
| . (П1Л2)
Производная от вектора В в направлении вектора А,
умноженная на модуль |А| этого вектора,
^ ^ ^||. (П1ЛЗ)
Дивергенция вектора А:
Теорема Гаусса — Остроградского
(П1Л5)
где S—замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
Ротор вектора А:
д д
дх ду
д
дг
(
_(дАг дАу\
— \ду ~ дг ) '*
Теорема Стокса
ф Arfl = JrotAdS, (П1.17)
L S
где S — произвольная поверхность, натянутая на замк-
замкнутый контур L. Нормаль к этой поверхности обращена
в ту сторону, куда ввинчивается правый винт при враще-
вращении в направлении обхода контура L.
Часто встречающиеся интегральные соотношения:
gradcpdS=\ SPydV, (П1.19)
J
S V
в которых S —замкнутая поверхность, ограничивающая
объем Vy a n — внешняя нормаль к этой поверхности.
Формулы Грина
Ф gradi|)rfS= \ (фУ2ф + grad ф grad <ф) dV9 (П1.20)
S V
dy z=z \Y) I ф —— — 'И) -—
J \ uVl и
s
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем
У, а п — внешняя нормаль к этой поверхности.
Ротор градиента
rot grad ф = 0.
Ротор от ротора
rot rot A = grad div A — V2A.
Дивергенция ротора
div rot A = 0.
Дивергенция градиента
div gradф = V2ф.
Ю А. И Алексеев
(П1.22)
(П1.23)
(П1.24)
(П1.25)
289
Производные от произведений:
grad (фф) = ф grad Ф + Ф grad ф, (П1.26)
grad (АВ) = (A grad) В + (В grad) A +
+ AXrotB + BXrotA, (П1.27)
div(q>A) = <pdivA + A grad ф, (Ш.28)
div(AXB) = BrotA- A rot В, (ГЦ.29)
rot(q>A) = <protA + grad<pXA, (П1.30)
rot (А X В) = (В grad) А — (A grad) В —
-BdivA + AdivB. (П1.31)
Производные от некоторых сложных функций:
-r/| = -grad/|r-r'|:=-jf^?p (П1.32)
grad F(<P) = |? grad Ф) (П1.33)
, (П1.34)
ЯД
gJ-, (П1.35)
(A grad) В (Ф) = (A grad Ф) Ц-. (П1.36)
Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора
Лапласа в цилиндрической системе координат:
lZ( (П1.37)
дАг
V ф ^r2 I r fir * r2 dtyl ' Qz* » V • /
г. У ч d2F , \ dF \ с
290
= grad div A — rot rot A =
,. (П1.42)
Выражения градиента, дивергенции, ротора и опера-
оператора Лапласа в сферической системе координат:
х = г sin 8 cos *ф, у = г sin 6 sin ф, z = r cos 9,
? l&i?u. (П1.43)
(П1.44)
(П1.45)
— дгг -+¦ f dr -f ^sine ae ^sinw ae j f r2 sin2e
(П1.46)
dr* ^ T dr — r2 dr V dr )— r dr* Vth
(П1.47)
= grad div A — rot rot A =
+ [VMe + -p [-Щ- —
[
2 sin2 e
291
Приложение 2
МАТРИЦЫ И ТЕНЗОРЫ
Совокупность чисел яар, представленных в виде таб-
таблицы,
/«П «12 «1з\
I а2] а22 «2з ] =
\ «3i а32 «зз /
называется матрицей а, а сами числа аар— матричными
элементами. Если число матричных элементов в каждой
строке и столбце одинаково, она называется квадратной.
При сложении матриц а и б складываются их одно-
одноименные матричные элементы, так что матрица с суммы
(П2.2)
имеет следующие матричные элементы:
Са* = <*ч + Ьау (П2.3)
Произведением аб матриц а и б называется такая
матрица с, матричные элементы которой определяются
как
Обычно аб ф ба. Если аб = ба, то матрицы назы-
называются коммутирующими.
Множитель с, общий у всех матричных элементов,
можно вынести за знак матрицы
(сам сап с«1з\ / аи «12 «i?\
^«21 са22 са2Ъ \ = с\ «2i «22 «2з I.
^«31 ^«32 С«зз / \ «31 «32 «33 /
(П2.3)
«31 «32 «33.
Матричные элементы единичной матрицы
/1 о 0\
/==( о 1 о ) (П2.6)
\о о 1/
обозначаются символом Кронекера
1 при а = р,
Исходная^матрица й не меняется при умножении на
единичную d/ = /d = d.
292
Если определитель
#11 #12 #13
«21 #22 #23 =\й\ (П2.8)
#31 #32 #33
матрицы й отличен от нуля, то существует обратная мат-
матрица а~{ такая, что
й-1й = йй-1 = 7, (П2.9)
Матричные элементы обратной матрицы &~1 имеют
вид
«5I-W' (П2Л1)
где Лза — алгебраическое дополнение (адъюнкта) эле-
мента а$а определителя матрицы (Г12.8).
Матрица ат, которая получается из исходной й путем
замены строк на столбцы, называется транспонирован-
транспонированной
<, = %«• (П2.12)
Симметричная s и антисимметричная й матрицы об-
обладают свойствами:
Sa3 = V (П2.13)
*<* = -*(*• (П2.14)
Произвольную квадратную матрицу 6 можно разло-
разложить на сумму симметричной и антисимметричной
4 S-ST) (П2.15)
или иначе
*«Э = Т (Й«Э + &Р«) + Т F«Р ~ 6Р«). (П2.16)
Диагональная матрица определяется выражением
(an 0 0 \
О #22 0 ). (П2.17)
О 0 а33 /
Компоненты xi, x2 и #3 радиус-вектора в трехмерном
евклидовом пространстве при переходе из координатной
системы XYZ в повернутую систему координат X'Y'Z'
преобразуются по формуле
< = V&> (П2.18)
293
где x'v х'2 и х'ъ — компоненты того же радиус-вектора
в повернутой системе координат, а коэффициенты аа&
представляют собой косинусы углов между р-й осью ис-
исходной и а-й осью повернутой декартовых систем коор-
координат. Совокупность коэффициентов аа$ составляет мат-
матрицу линейного преобразования координат при переходе
из исходной в повернутую координатную систему. Об-
Обратный переход осуществляется при помощи обратной
матрицы (П2.11).
Линейное преобразование координат вида (П2.18)
называется ортогональным, если коэффициенты аа$ удо-
удовлетворяют условию а~^ = а^а. Примером линейного орто-
ортогонального преобразования координат служит переход
из одной декартовой системы координат в любую по-
повернутую.
Вектором Лр называется совокупность трех величин
Ль Л2 и Л3, которые при ортогональном преобразовании
координат преобразуются как компоненты радиус-век-
радиус-вектора *)
где три величины Л', А!2 и Лз представляют собой ком-
компоненты того же вектора в штрихованной системе коор-
координат.
Тензором второго ранга называется совокупность де-
девяти величин Гу6, которые при ортогональном преобра-
преобразовании координат преобразуются как произведение
компонент радиус-вектора
где Т'а^—компоненты того же тензора в штрихованной
координатной системе.
Аналогично определяется тензор д-го ранга, у кото-
которого величины 7*aflY... имеют п индексов. В частности, для
п = 3 имеем
После введения понятия тензора обычный вектор
(П2.19) можно рассматривать как тензор первого ранга.
*) Рассматриваются только ортонормированные базисы трехмер-
трехмерного евклидова пространства, поэтому нет необходимости вводить
ковариантные и контравариантные компоненты вектора.
294
Величина, которая не меняет своего численного значения
при поворотах координатной системы, называется ска-
скаляром или тензором нулевого ранга. Примером скаляра
служит скалярное произведение векторов.
Наряду с поворотом координатной системы сущест-
существует еще одно ортогональное преобразование координат,
заключающееся в одновременном изменении знака всех
координат (инверсия). Это есть не что иное, как переход
в левую координатную систему, все оси которой направ-
направлены в противоположную сторону по отношению к ис-
исходной.
Если скаляр и вектор меняют знак при инверсии, то
они называются соответственно псевдоскаляром и поляр-
полярным вектором, а при сохранении знака — истинным ска-
скаляром и аксиальным вектором.
Истинный тензор n-го ранга при инверсии умножается
на (—1)п, а псевдотензор умножается на (—l)n+1.
Все сказанное о сложении и умножении матриц
(П2.2) — (П2.11) относится также к тензорам второго
ранга. Остаются в силе и определения (П2.13) — (П2.17)
для симметричного, антисимметричного и диагонального
тензоров.
Тензор Та$Т$у, полученный при скалярном умножении
симметричного тензора Г«з на антисимметричный Гру,
имеет важное свойство
71Л = 0. (П2.22)
Сумма диагональных компонент Таа тензора Та$ на-
называется его следом. След тензора является скаляром.
И вообще при свертывании тензора Гаруб... по любым
двум его индексам, например 7"aaY6...» получается новый
тензор, ранг которого на две единицы меньше.
В результате скалярного умножения тензора Та$ на
вектор А$ получается другой вектор
Совершенно антисимметричным единичным псевдо-
псевдотензором третьего ранга называется совокупность 27 ве-
величин еа$у, меняющих знак при перестановке любых
двух индексов. Отличны от нуля лишь те компоненты
этого тензора, у которых индексы а, |3 и у различны. При
этом #123 = 1, а остальные отличные от нуля компоненты
равны 1 или —1, смотря по тому, четно или нечетна
295
число перестановок, которые приводят данную последо-
последовательность чисел aPv K последовательности 123. Тензор
ea?Y, как и единичный тензор бар, выделены среди дру-
других тем, что имеют один и тот же вид во всех декарто-
декартовых системах координат.
При помощи тензора еа$у векторное произведение
векторов можно записать в виде
(aXb)a = eapYflp6Y. (П2.24)
Полезны также следующие формулы:
где правая часть последнего равенства представляет со*
бой определитель, составленный из символов Кронекера
(П2.7).
Приложение 3
б-ФУНКЦИЯ
б-функцией (дельта-функцией) называется такая
функция 8{х— Хо), которая равна нулю всюду, кроме
особой точки х = Хо, где она обращается в бесконечность
так, что интеграл от этой функции по произвольному
промежутку, содержащему внутри себя точку л'о, равен
единице:
О при х ф х0,
оо при х — х0;
ь
' б (х — *о) = 1 при а < х0 < 6. (П3.2)
296
Важнейшие свойства 6-функции выражаются равен-
равенствами:
а<х°<Ь' (ПЗ.З)
0 при х0 < а или Ь < х0,
-xo) = f(x0)b(x-xo), (П3.4)
\ б (х — Xi) б (х — х2) йх = Ь {Хх — х2) при а < ДГ] < Ь
или а<х2<Ь, (П3.5)
6(-х) = б(*), (П3.6)
д:б (х) = О, (П3.7)
| jc |б(х2 — е) = 6(л:) при е^ + 0, (П3.8)
b(ax) = -±jb(x), (П3.9)
а)]) (П3.10)
» = V.
d*(x)
где величины хп (п = I, 2, ..., Л/) суть простые корни
уравнения f(x) = Q, в котором f(x) является однознач-
однозначной дифференцируемой функцией. В формулах (ПЗ.З) и
(П3.4) функция f(x) непрерывна. Приведенные соотно-
соотношения (П3.4) — (П3.11) следует понимать в том смысле,
что интеграл от обеих частей написанных равенств имеет
одно и то же значение.
Поскольку б (л:) является четной функцией, то из со-
соотношений (П3.2) и (ПЗ.З) при а = —Ъ < 0 и х0 = О
следуют равенства
ь
{x)dx=\, (П3.12)
(П3.13)
Вычисление интеграла, содержащего производную
-б(х — х0) от б-функции, проводится интегрированием
297
по частям:
ъ
f(x)^6(x — Xo)dx=—DIl*L\ t (П3.14)
^ ' X~Xq
где а < х0 < Ь. Важный частный случай этой формулы
иногда записывают так:
Аналогично вычисляется интеграл, содержащий про-
производные высших порядков от б-функции,
. (П3.16)
х=*х9
Существуют различные аналитические представления
б-функции. Наиболее распространенные из них имеют
следующий вид:
оо
= -^- \eikxdk= -lim ^^-, (П3.17)
(ПЗЛ9)
б (а:) = ^=г lim це-^г. (П3.20)
\ 71 (X -> оо
Если б-функции (П3.17) — (П3.20) стоят под знаком
интеграла, то предельный переход осуществляется после
взятия этого интеграла.
б-функцию можно также получить путем дифферен-
дифференцирования ступенчатой функции
1 при х > х0,
О при х < х0,
а именно:
6 (х — хь) = ~- tj {х — *0). (П3.22)
298
В связи с этим производную от разрывной функции
м1 ПРИ Х<Х°' (П3.23)
Ы*) при х>х0, v
часто записывают в виде
df(x)
х <
при х > лг0.
(П3.24)
Наглядное представление о б-функции и ее основном
свойстве (ПЗ.З) можно получить, рассматривая, напри-
•. j. sin2 Lx
мер, график функции
при большом значении пара-
параметра L > 2я (рис. 28). Дей-
Действительно, в этом случае мак-
максимум в точке х = 0 является
главным. Его высота L/я, а ши-
ширина 2я/?. По обе стороны от
главного максимума функция
sin2 Lx ,,
—. 2 - имеет бесконечный ряд
побочных максимумов с быст-
быстро убывающей высотой. Они
разделены между собой мини-
минимумами в точках х ^==~ (п —
= ±1, ±2, ...). Если пара-
параметр L стремится к бесконечности, то главный максимум
беспредельно возрастает и сужается, в то время как по-
побочные максимумы неограниченно уменьшаются. В ре-
результате функция ¦--" ¦¦-¦- при L -> оо стремится к пре-
предельному выражению (П3.1).
Для произвольной непрерывной функции f(x) при до-
достаточно большом значении параметра L основная об-
область интегрирования в интеграле
ъ
-dx при а<0<?
299
совпадает с шириной главного максимума функции
sin2 Lx г»
. В подынтегральном выражении непрерывную
функцию f(x) в области главного максимума можно за-
заменить ее значением в точке х = 0. Такая замена тем
точнее, чем больше параметр L и, следовательно, выше
и уже главный максимум. Постоянный множитель /@)
выносится за знак интеграла, а оставшийся интеграл
в пределе L->oo равен единице. Отсюда получаем основ-
основное свойство б-функции (ПЗ.З).
Трехмерная б-функция определяется соотношением
6 (г - г0) = 6 (* - Хо) 6 (у - у0) б (г - г0). (П3.25)
Основное свойство этой функции выражается равен-
равенством
$ (П3.26)
где точка с радиус-вектором г0 лежит внутри объема ин-
интегрирования I/, в котором задана непрерывная функция
f(r). Если указанная точка лежит вне объема V, то ин-
интеграл (П3.26) равен нулю.
Трехмерную б-функцию удобно представить в виде
трехкратного интеграла в неограниченном к-простран-
стве
^S (пз*27)
Трехмерная б-функция появляется, например, в ре-
результате следующего дифференцирования по компонен-
компонентам радиус-вектора г;
V2 77^77 = - 4яб (г - г'). (П3.28)
Приложение 4
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Полиномы Лежандра Рп(х) являются решениями
дифференциального уравнения (см. книги [7—9])
где — 1 <х ^ 1 и п = 0, 1, 2, ...
зсо
Несколько первых полиномов с индексами п = О, 1,
2 и 3 имеют вид
, . (П4.2)
Полином Лежандра п-и степени хможет быть вычислен
по формуле
^?х'-1П (П4.3)
Полиномы Лежандра обладают следующими свой-
свойствами:
Рп(-х) = (—1)пРп(х), (П4.4)
Я„@ = 1, (П4.5)
) = 0f (П4.6)
$'•'
О
1
P2k{x)dx = 6k0. (П4Л0)
Если индексы пит одновременно четны или не-
нечетны, то выполняется равенство
J Рп (*) Рт « dx = 2^ру б„т. (П4.11)
О
Для полиномов справедливы рекуррентные формулы:
(п + 1) JVi (х) - Bл + 1) хРп (х) + пРп-г (х) = О, (П4.12)
(х2 — 1) Рп (х) = лхРд (л:) — пРп-1 (х), (П4.13)
Рп+i W ~ *Р« W = (л + 1) Рп {х)9 (П4.14)
301
где штрих обозначает производную от функции Рп(х)
по аргументу х.
На отрезке [—1, 1] полиномы Лежандра образуют
полную систему ортогональных функций. Поэтому про-
произвольную дважды дифференцируемую функцию f(x),
заданную на этом отрезке, можно разложить в ряд
где
f(*)=
1
rt 2
z
с„р
fix)
nix),
>Pn(x)dx.
(П4.15)
(П4.16)
-1
Часто в качестве аргумента полиномов Лежандра бе-
берут х = cos 0. В этом случае в интегралах (П4.8) —
(П4.11) и (П4.16) следует сделать замену переменной
интегрирования, а уравнение Лежандра (П4.1) прини-
принимает вид
(П4.17)
Сравнивая левую часть (П4.17) с оператором Лап-
Лапласа в сферических координатах (П1.46), получаем при
г Ф 0 полезные соотношения
V2P» (cos 9) = - п (nrt ° Pn (cos 6), (П4.18)
1=0. (П4.19)
Отсюда следует, что решением уравнения Лапласа
У2Ф = 0 является также сумма полиномов Лежандра
с произвольными коэффициентами ап и Ьп\
9 = nZ(anrrt + Ьпг-"-1) Р„ (cos 6). (П4.20)
302
Приложение 5
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции У/т@, t|>) определяются форму-
формулами *)
«¦ л/^ФИШтPl"'(cos е) <""*
(П5.1)
где —/<т</ и г = 0, 1,2, ..., a Pf(cosG) —присое-
—присоединенные полиномы Лежандра
f/ (COSU) Sin U ^ cqs e^w .
Выпишем первые девять сферических функций:
ilcos0sin9e±'*' (П5-4)
у — л /_!?_ sin20e±i24'
Сферические функции К;тF, Ф) являются ограничен-
ограниченными решениями дифференциального уравнения
(П5.5)
Поэтому при действии оператора Лапласа в сферических
координатах на функцию У/т(в, ф) последняя воспроиз-
воспроизводится:
V-' У/т (в, *) = - -^Ш1 Г/т (9, *), (П5.6)
где г Ф 0.
*) Выбор нормировочного множителя соответствует определе-
определению сферической функции, принятому в квантовой механике [10].
303
Из многочисленных свойств сферических функций от-
отметим лишь те, которые используются в настоящем сбор-
сборнике *). Сферические функции ортогональны на поверх-
поверхности сферы единичного радиуса
Y\m (9, ф) YVm> (9, г|з) du = 6//- дтт>, (П5.7)
где du = sin 9 dQ dty — элемент телесного угла. При
т = 0 сферическая функция выражается через полином
Лежандра
l
и не зависит от азимутального угла -ф. К функциям YLq
приводят следующие интегральные соотношения:
\ Yim (9, *ф) dty = 2я60тК;0, (П5.9)
о
2я
Лт @> +) YVmr (9> *) d^ = 2п6тт' Г/0ГГ0- (П5 10)
Для вычисления потенциала крайне полезны следую-
следующие разложения по сферическим функциям:
' i0 m
i=0 m=-l
(П5.11)
(Пб.12)
где г, 0 и ф — сферические координаты точки с радиус-
вектором г. Штрихом отмечены аналогичные величины,
относящиеся к другой точке пространства.
*) Подробные сведения о сферических функциях можно найти в
книгах [7, 9].
304
Приложение б
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Цилиндрические функции Zv(x) являются решениями
уравнения Бесселя
-¦?)*.-«•
где О^х^оо, a v — некоторый параметр.
Ограниченное решение Jv(x) уравнения (П6.1) назы-
называется функцией Бесселя v-ro порядка или цилиндриче-
цилиндрической функцией первого рода
— 2,
( + )( + + )
где F(s) — гамма-функция, которая для Re s > 0 опреде-
определяется формулой
оо
r(s)=Je-4-'rfS. (П6.3)
0
Основные свойства гамма-функции
ГE+1) = 5ГE), Г A) = 1, Г@) = оо. (П6.4)
Если п — целое, то из соотношений (П6.4) следует
Т(п+1) = п\ и Г(—п) = (—1)л-оо.
Второе линейно-независимое решение уравнения Бес-
Бесселя обращается в бесконечность в точке х = 0. Если
параметр v не равен целому числу, то таким решением
служит или функция /_v(*)» или функция Неймана
которую называют также цилиндрической функцией вто-
второго рода.
В случае целых значений v = м, а также при v = 0
выполняется соотношение /_n(x) = (—\)nJn{x), из кото-
которого видно, что функции J-n(x) и Jn(x) линейно-зави-
линейно-зависимы. Поэтому при v = п или v = 0 в качестве второго
305
линейно-независимого решения уравнения Бесселя берут
функцию Неймана
Nn (х) = lim Ad*>c°s.™-/-v(*) (П6>6)
sinjtv
где п = 0, 1, 2, ...
Для функции Бесселя целого порядка п иногда по-
полезно использовать интегральное представление
(П6.7)
В силу периодичности функций sin <p, cos ф и einrp
интегрирование в (П6.7) можно производить по любому
промежутку от ф0 до ф0 + 2я, где фо — произвольное ве-
вещественное число, а п = 0, 1, 2, ...
В качестве решений уравнения Бесселя употребляют
также цилиндрические функции третьего рода (функции
Ганкеля)
# 1° (х) = Jv (x) + iNv (x), (П6.8)
H{v2) (х) = /v (x) - iNy (x). (П6.9)
Здесь Ну] (х) и Ну] (х) — функции Ганкеля первого и
второго рода ранга v. Последние часто записывают в виде
интегралов
НУ (х) = е J ^evt + ix*htdt, (П6.10)
(х) — - -~- J e*-ix cht dt, (П6.11)
в которых параметр v и переменная величина х могут
принимать комплексные значения, если рассматривать
аналитические продолжения данных функций в комп-
комплексную плоскость [8, 9].
Цилиндрические функции первого, второго и третьего
родов линейно-независимы, так что общее решение урав-
уравнения Бесселя можно представить в виде линейной ком-
комбинации с произвольными коэффициентами любых двух
из названных цилиндрических функций.
306
Отметим некоторые свойства цилиндрических функ-
функций:
Z(y\ 4- 7 [х\ — 7 (у\ /Tlfi 19^
у — \ \Л/ ^^ Z^y + I \л/ у "V V"^/» ^llvl.lZi^
Z/r\ 7 /'r^ 9 v ^^ /TTR 1 Ъ\
нгХ =—Zi{x), (П6.14)
= jcZ,(*), (П6.15)
где в качестве цилиндрической функции Zv{x) может
быть взята любая из функций /v(#), Nv(x)y #v° (x) и
Приближенные выражения цилиндрических функций
при малых значениях аргумента \х\ <С 1:
|-)'t при п>1, (П6.17)
(П6.18)
где С = 0,5772. Приближенный вид функций Ганкеля по-
получается из формул (П6.8) и (П6.9) при помощи соот-
соотношений (П6.16) —(П6.18).
Асимптотические выражения для больших значений
аргумента \х\ > 1:
sin (* - f v - i) . (П6.20)
а соответствующие выражения для функций Ганкеля мо-
могут быть получены из соотношений (П6.8) и (П6.9) с уче-
учетом формул (П6.19) и (П6.20).
При решении многих физических задач приходят к
дифференциальному уравнению
(П6.2,)
307
решение которого обычно выражают через функции Бес-
Бесселя Jv(Xr) и Неймана Nv(kr) аргумента х = Кг:
у = Cl/v (Xr) + c2Nv (Яг), (П6.22)
где произвольные постоянные С\ и с2 определяются из
граничных условий к уравнению (П6.21), а параметр v
может принимать и целочисленные значения.
Функцию /(г), непрерывную в промежутке @, оо),
можно разложить в интеграл Фурье — Бесселя
(П6.23)
где п — любое целое число или нуль, а коэффициент с%
разложения представляется интегралом
(П6.24)
Функции Бесселя Jn(kr) и /n(Vr) с разными значе-
значениями параметра Я ортогональны с весом г:
\ n (к'г) г йг = \ 6 (Я - ЯО. (П6.25)
о
Для выполнимости разложения Фурье —Бесселя
функция f(r) должна быть кусочно-непрерывной с конеч-
конечным числом максимумов и минимумов во всяком конеч-
конечном промежутке изменения аргумента г и, кроме того,
должен абсолютно сходиться интеграл
оо
\f ir) л/7 dr. (П6.26)
о
Приложение 7
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Происшедшее событие принято характеризовать ко-
координатами х, у, z и временем t. Интервалом между
двумя событиями хи У\, Z\y t\ и х2, #2, 22, h называется
величина S21, квадрат которой дается выражением
S1, - с* (/, - /,J - (x-xtf - (у2-у,у- {z-ztf. (П7.1)
308
Согласно основным постулатам теории относительно-
относительности интервал между двумя одними и теми же события-
событиями имеет один и тот же вид и численное значение во
всех инерциальных системах отсчета. Другими словами,
квадратичная форма (П7.1) является инвариантом, т.е.
не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.
В связи с этим удобно объединить обычное трехмер-
трехмерное пространство и время в одно четырехмерное про-
пространство, каждая точка которого характеризуется 4-
радиус-вектором х{ с компонентами
x° = ct, xl=x, x2 = y, ? = z. (П7.2)
Квадрат расстояния между двумя точками в этом
четырехмерном пространстве определяется квадратичной
формой (П7.1), а квадрат 4-радиус-вектора есть
iff - (х1J - (x2f - (а-3J = glkx'x\ (П7.3)
где gik — метрический тензор
/1 о о о\
\о о 0-1/
Первый индекс i = О, 1,2,3 нумерует строки в таблице
(П7.4), а второй индекс k — столбцы. По повторяю-
повторяющимся «немым» индексам, один из которых расположен
вверху, а другой внизу, всюду предполагается суммиро-
суммирование от 0 до 3. Пространство с метрикой (П7.3) назы-
называется псевдоевклидовым.
Компоненты 4-радиус-вектора (П7.2) при переходе к
другой четырехмерной системе координат преобразуются
по формуле
х1 = а{х'\ (П7.5)
где совокупность коэффициентов а[ составляет матрицу
линейного преобразования, описывающего переход от
штрихованной системы координат к нештрихованной.
Верхний индекс коэффициента а1к обозначает номер
строки, а нижний — столбца этой матрицы.
Обратный переход в исходную систему координат
дается формулой
/ = а[х\ (П7.6)
309
где совокупность коэффициентов ak составляет матрицу
обратного преобразования такую, что
1 при / = k,
О при 1фк.
(П7.7)
Поскольку переход к другой системе координат в
рассматриваемом четырехмерном пространстве не меняет
квадратичную форму (П7.3), матрицы преобразований
(П7.5) и (П7.6) удовлетворяют соотношениям
giha\akm = glm, ёцгй\йт==8ш- (П7.8)
Переходу из одной инерциальной системы отсчета
в другую (рис. 8) соответствует в четырехмерном про-
пространстве переход от одной координатной системы к
другой, повернутой относительно первой на некоторый
угол в плоскости Х°ХК Преобразование компонент 4-ра-
диус-вектора, отвечающее такому вращению, называется
преобразованием Лоренца. Оно описывается формулой
(П7.5), в которой матрица преобразования имеет вид
V/c
Vl - V2/c
V/c
~ V2/c2
1
Vi -
I
О О
0 о
1 О
О 1
(П7.9)
J
Матрица обратного преобразования Лоренца полу-
получается из (П7.9) путем изменения знака перед скоро-
скоростью V на противоположный.
Четырехмерным вектором А{ D-вектором) называется
совокупность четырех величин Л°, Л1, Л2 и Л3, которые
при переходе от одной четырехмерной системы коорди-
координат к другой преобразуются как компоненты 4-радиус-
вектора
А1 = а*кА'к, Arl = a\Ak. (П7.10)
По аналогии с 4-радиус-вектором (П7.2) первая ком-
компонента Л° 4-вектора А1 называется временной, а три
другие: Л1, Л2 и Л3 — пространственными. Эти компонен-
компоненты иногда выписывают в явном виде, вводя следующее
310
обозначение для 4-вектора:
А1 = (А°, А).
Как и в случае 4-радиус-вектора, квадратичная форма
(Л0J - (Л1J - (Л2J - (Л3J, (П7Л2)
составленная из компонент всякого 4-вектора А\ явля-
является инвариантом. Ее называют квадратом 4-вектора.
Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрица-
отрицательным или равным нулю. Такие 4-векторы называют
соответственно времениподобными, пространственнопо-
добными и нулевыми.
В псевдоевклидовом пространстве ради удобства
вводят две разновидности компонент 4-вектора. Индек-
Индексом вверху А1 помечают контравариантные компоненты
4-вектора, а индексом внизу Аг обозначают ковариант-
ные компоненты того же самого 4-вектора, которые суть
А0 = А°, Ах = -А1, А2^-А\ Л3 = -Л3. (П7.13)
Ко- и контравариантные компоненты 4-вектора свя-
связаны между собой при помощи ковариантного gik и кон-
травариантного glh метрических тензоров следующим
образом:
\ Al = gikAk, (П7Л4)
Таким образом, один и тот же вектор может быть
представлен своими контравариантными или ковариант-
ными компонентами
А1 = (Л°, А), А, = (Л°, - А). (П7.15)
После этого квадрат 4-вектора (П7.12) запишется как
А0А° + А{А{ + А2А2 + А3А3 = AtAl. (П7.16)
По аналогии с выражением (П7.16) определяют ска-
скалярное произведение двух 4-векторов А{ и В{ в виде
АЬВ1 = А0В° + А{В1 + Л2В2 + Л3В3. (П7.17)
Одно и то же скалярное произведение можно запи-
записать в разных формах:
А.В1 = А1 В, = ё1кА1Вк = gl%Bk =
= Л0В° - АВ = А°В0 - АВ. (П7.18)
Скалярное произведение 4-векторов инвариантно по
311
отношению к любым поворотам четырехмерной коорди-
координатной системы и, следовательно, по отношению к пре-
преобразованию Лоренца. Другими словами, скалярное
произведение 4-векторов является четырехмерным ска-
скаляром D-скаляром).
Поскольку квадрат 4-радиус-вектора XkXh является
4-скаляром, ковариантные компоненты xk 4-радиус-век-
4-радиус-вектора при переходе к другой четырехмерной системе ко-
координат преобразуются по закону
xk = x'iuk> xk:==xial (П7.19)
где коэффициенты ak и а1к составляют те же самые мат-
матрицы, что и в случае преобразования контравариантных
компонент (П7.5) и (П7.6). Ковариантные компоненты
всякого вектора преобразуются согласно формулам
(П7Л9).
Дифференциал
^ (П7.20)
дх1
четырехмерного скаляра Ф также является 4-скаляром.
Здесь он представлен в виде скалярного произведе-
произведения, составленного из операторов дифференцирования
д/дх1 и контравариантных компонент dxi 4-вектора. От-
Отсюда следует, что операторы д/дх{ дифференцирования
по координатам xi должны рассматриваться как кова-
ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Анало-
Аналогично операторы д/дх{ дифференцирования по ковари-
антным компонентам Хг 4-радиус-вектора являются кон-
травариантными компонентами операторного 4-вектора,
так что
(П7.21)
дх. \с dt' У дх1 \с dt
Четырехмерный градиент 4-скаляра Ф представляет со-
собой 4-вектор
Четырехмерная дивергенция 4-вектора Ai опреде-
определяется выражением
—_ _- 1- div А. (П7.23)
дх с dt
312
Четырехмерным тензором D-тензором) второго ран-
ранга называется совокупность шестнадцати величин Tlh,
которые при переходе от одной четырехмерной системы
координат к другой преобразуются как произведения
компонент 4-радиус-вектора
р* = a[akj'tm, Trik = a\akjlm. (П7.24)
Четырехмерный тензор более высокого ранга опре-
определяется аналогично. Введенные выше 4-вектор и 4-ска-
ляр можно рассматривать как 4-тензоры соответственно
первого и нулевого рангов.
Один и тот же 4-тензор может быть представлен
своими контравариантными компонентами Тгк, у кото-
которых индексы ставятся вверху, а также ковариантными
компонентами с индексами внизу Тги или смешанными
компонентами Т\. В последнем случае первый индекс
может стоять внизу, а второй вверху, что обозначает
другие смешанные компоненты Тгк данного 4-тензора.
Подобно формулам (П7.14) связь между разными ви-
видами компонент 4-тензора можно установить при по-
помощи ко- и контравариантного метрических тензоров,
например,
Tik = gii8kmTim9 Tik = gklTtl, T^gag^T1^ (П7.25)
Другими словами, поднятие или опускание времен-
временного индекса 0 не меняет компоненту 4-тензора, в то
время как та же операция над одним из пространствен-
пространственных индексов 1, 2 или 3 меняет знак компоненты.
Если Tih = Thi, то тензор Тгк называется симметрич-
симметричным, а в случае Tih = —Thi — антисимметричным. Сме-
Смешанные компоненты симметричного тензора совпадают:
7\ = 7У, поэтому их записывают как 7^, располагая
индексы один над другим.
В тензорном исчислении основными алгебраическими
операциями являются сложение, умножение и сверты-
свертывание.
Суммой тензоров А\т и В\т называется тензор
Опт с компонентами С1г<т = А\т + В\т. Другими сло-
словами, при сложении тензоров одинакового вида и одного
ранга суммируются их одноименные компоненты, при-
причем с обеих сторон всякого тензорного равенства
313
должны находиться тензоры с одинаковыми и одинаково
расположенными свободными индексами.
Произведением тензоров называется тензор, компо-
компоненты которого равны произведениям компонент сомно-
сомножителей. В результате умножения образуется новый
тензор, ранг которого равен сумме рангов перемножае-
перемножаемых тензоров. Например, умножая тензор Агк на Bim,
получаем новый тензор Clkim с компонентами Cikim =
A*B
Свертыванием (упрощением) тензора называется
суммирование по паре индексов, один из которых яв-
является ковариантным, а другой — контравариантным.
После свертывания образуется другой тензор на две
единицы меньшего ранга.
Получающаяся при свертывании сумма
Ti = Го° + Г,1 + Т22 + Г33 (П7.26)
называется следом или шпуром тензора Tik. Очевидно
7\- = ТУ.
Если последовательно проводится умножение и свер-
свертывание, то такую операцию называют скалярным умно-
умножением. Например, в результате скалярного умножения
вектора А{ на тензор Тгк образуется новый вектор Вк\
Ajik = Bk. (П7.27)
Единичный 4-тензор dl дается выражением
1 при /== k.
F ' (П7.23)
0 при ьфк.
Его след равен четырем 6j =4. Единичный 4-тензор 6^
как и метрические тензоры gik и gik, имеет один и тот
же вид во всех четырехмерных системах координат.
Если тензоры Aik и Вгл удовлетворяют равенству
AilBik = bl (П7.29)
то они называются обратными друг другу. Например,
ковариантный метрический тензор gik является обрат-
обратным контравариантному метрическому тензору gih.
314
Кроме тензоров 6ь grk и gih, имеется еще один 4-тен-
зор, который не меняется при переходе в другую си-
систему координат. Это совершенно антисимметричный
единичный 4-псевдотензор четвертого ранга егМт. Его
компоненты меняют знак при перестановке любых двух
индексов. Поэтому отличны от нуля лишь те компонен-
компоненты, у которых индексы i, k, I и т различны. При этом
еО123=1, а остальные отличные от нуля компоненты
равны 1 или —1 в зависимости от того, четно или не-
нечетно число перестановок, которые приводят данную
последовательность чисел iklm к последовательности
0123. Для тензора ешт имеем вот = —1, причем
е'*'теш« = -4! = -24. (П7.30)
Компоненты истинного 4-тензора четвертого ранга, у
которых один индекс временной, а три другие про-
пространственные (или наоборот), меняют знак при инвер-
инверсии. Между тем компоненты еШт не изменяются при
инверсии, так как по определению имеют один и тот же
вид во всех системах координат. Поэтому еШт является
не истинным 4-тензором, а 4-псевдотензором.
Обобщение теоремы Гаусса — Остроградского на
четырехмерное псевдоевклидово пространство запишет-
запишется как
A1 dSt = [ Щ- dQ, (П7.31)
J дх
где А1 — некоторый 4-вектор, dQ = dx°dxldx2dx2>— эле-
элемент объема в 4-пространстве, a dSi — 4-вектор элемен-
элемента гиперповерхности, контравариантные компоненты ко-
которого суть dS° = dxxdx4x\ dSl = dx°dx2dx\ dS2 =
= dx°dxldx3 и dS3 = dx°dxldx2. В левой части равен-
равенства (П7.31) интегрирование ведется по замкнутой ги-
гиперповерхности, а в правой — по 4-объему, заключен-
заключенному внутри этой гиперповерхности.
Каждая векторная физическая величина может быть
представлена как своими контравариантными, так и ко-
вариантными компонентами в зависимости от удобства.
То же относится и к тензорным величинам. В принятых
обозначениях 4-импульс р\ 4-вектор плотности тока /* и
4-потенциал А1 запишутся как
р* = D • р) • I' = <ср> 1>» А' = to» A) • <П7-32)
315
Физический смысл используемых здесь величин раскрыт
в теоретическом введении к главе V,
Тензор электромагнитного поля
--^- (П7.33)
имеет вид
П __| "Я* U —tiz Ну \ /у-j- одч
0
— Е
— Е
— Е
0
Ех
?у
Ег
X
У
Z
—
0
Я;
0
Яг
г
0
нх
¦ Еу -
0
нх
Ег
"у
-Их
0
¦Ег\
"у
¦нх 1
0 /
\Ег -Ну Нх 0 /
Ковариантная форма уравнений Максвелла
^5г = --/'. (П7.36)
3. (П7.37)
дх1 дх1 дх*
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Гг* = -
Этот тензор симметричен, а его след равен нулю. Физи-
Физический смысл различных компонент тензора энергии-
импульса виден из следующей таблицы:
/
\
sx/c
^szlc
Sjc/C
— Т хх
— тух
— Г2л;
Sy/C
-Тху
szfc
— 7"л:г
где w — плотность энергии электромагнитного поля, s —
вектор Пойнтинга, а Та$ — максвелловский тензор натя-
натяжения (V.38).
Уравнение движения частицы массы m и заряда е
во внешнем электромагнитном поле:
тр1к^
310
где ds = с dt-yj \ — v2/c2, а и1 = (w°, u)—четырехмерная
скорость, компоненты которой выражаются через ско-
скорость v частииы следующим образом:
ц° = -7—1—=r, u=—. v (П7.41)
При движении заряженной частицы со скоростью
порядка скорости света к правой части уравнения дви-
движения (П7.40) следует дополнительно прибавить четы-
четырехмерную силу
Зтс3 дх1
(П7.42)
которая учитывает торможение излучением. Временная
и пространственные компоненты 4-силы gl связаны с
трехмерной силой f радиационного трения согласно об-
общей формуле
(П7<43)
Когда скорость заряженной частицы приближается к
скорости света, трехмерная сила радиационного трения
принимает вид
f e W ^z"') (Fhmu*d v. (П7.44)
Если ось X направить вдоль скорости v частицы, то
из (П7.44) получаем выражение (V.65).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М., Теория поля, «Наука», 1973.
2. Джексон Дж., Классическая электродинамика, «Мир», 1965.
3. Пановский В., Филипс М., Классическая электродина-
электродинамика, Физматгиз, 1963.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных
сред, Гостехиздат, 1957.
5. Т а м м И. Е., Основы теории электричества, «Наука», 1976.
6. Б а т ы г и н В. В., Т о п т ы г и н И. Н., Сборник задач по элек-
электродинамике, «Наука», 1970.
7. Т и х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А., Уравнения математи-
математической физики, «Наука», 1972.
8. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного, «Наука», 1973.
9. Р ы ж и к И. М., Г р а д ш т е й н И. С, Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963.
10. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика, «Нау-
«Наука», 1974.
Алексей Иванович Алексеев
Сборник задач
по классической электродинамике
М., 1977 г., 320 стр. с илл.
Редактор Л П. Русакова
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15