Автор: Алексеев А.И.
Теги: физика электродинамика теоретическая физика издательство наука классическая электродинамика
Год: 1977
Текст
А.И. АЛЕКСЕЕВ
Сборник задач ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Алексей Иванович Алексеев
Сборник задач по классической электродинамике
М., 1977 г., 320 стр. с нлл.
Редактор Л П. Русакова
Техн, редактор И, III. Аксельрод
Корректоры 3. В. Автонеева, И. Я. Кришталъ
Сдано в набор 11.03.77 Подписано к печати 23.09 77. Бумага 84Х108732. Физ. печ. л. 10.
Условн. печ. л. 16,8. Уч.-иэд. л. 16,62. Тираж 23 000 экз. Цена книги 70 коп. Заказ № 527
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
537
A 47
УДК 538.3
Сборник задач по классической электродинамике, А. И Алексеев, учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.
В книге представлено около 500 задач, которые охватывают все основные разделы теории электромагнитного поля, рассматривающей электромагнитные процессы и движение зарядов в вакууме. Приведенные в ней разнообразные методы решения электродинамических задач помогут освоить технику практических вычислений, характерных для теоретической физики.
Сборник рассчитан прежде всего иа студентов физических факультетов университетов и педагогических институтов, а также на студентов инженерно-физических и физико-технических вузов, изучающих электродинамику по общепринятой программе. Задачи повышенной трудности предназначены для студентов, специализирующихся по теоретической физике, и аспирантов. Сборник будет полезен также инженерам и научным работникам, самостоятельно изучающим теорию электромагнитного поля
Рис. 28. Табл. 1. Библ. назв. 10.
20402-149
053(02)-77 V'Z
© Главная редакция
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1977
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................ 5
Принятые обозначения....................... 7
Глава I. Постоянное электрическое поле . . 11 143
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия в электростатике.................... 19 143
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса . . 21 144
§ 3. Применение общего решения уравнения Пуассона .....................................23 148
§ 4. Сила и энергия в электростатике ... 25 151
§ 5. Уравнения Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями..........................28 153
§' 6 . Плотность заряда тел разной конфигурации ....................................... 31 168
§ 7. Дипольный момент.........................34 170
§ 8. Тензор квадрупольного момента ... 35 172
§ 9. Поле на больших расстояниях от заряженной системы................................40 176
§ 10. Двойной электрический слой.....43 178
Глава II Постоянное магнитное поле ... 44 180
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия в магнитостатике.........................50 180
§ 2. Ма:нитный момент........................................53 183
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях от тока......................................55 186
§ 4. Закон Био и Савара......................................56 186
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля .... 60 189
§ 6. Уравнения Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями.........................63 193
Глава III. Переменное электромагнитное поле 68 202
§ 1 Уравнения Максвелла..................................... 74 202
§ 2. Плотность заряда и тока................................. 75 204
§ 3. Магнитный, дипольный и квадрупольнын моменты движущихся зарядов .... 77 205
§ 4. Электромагнитные волны.................................. 78 207
§ 5 Дифракция............................................... 82 211
Глава IV. Излучение электромагнитных волн медленно движущимися зарядами.............. 85 217
§ 1. Дипольное излучение................. 93 217
§ 2. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения .................................... 98 225
§ 3. Спектральное разложение излучения . . 105 234
§ 4. Угловое распределение излучения ... ПО 244
§ 5. Поляризация излучаемых волн . . . . 113 250
§ 6. Рассеяние электромагнитных волн ... 115 254
§ 7. Излучение протяженных источников . . 116 256
§ 8. Задачи, требующие вычисления на ЭВМ 119 261
Глава V. Поле релятивистских заряженных частиц.................................... 123 273
§ 1. Преобразование электромагнитного поля 135 273
§ 2. Излучение быстро' движущегося заряда 138 277
Приложения........................................... 287
1. Основные формулы векторного анализа . . 287
2. Матрицы и тензоры............................... 292
3. б-функция ...................................... 296
4. Полиномы Лежандра............................... 300
5 Сферические функции ............................ 303
6. Цилиндрические функции.......................... 305
7. Тензорное исчисление в псевдоевклидовом пространстве ..................................... 308
Литература .......................................... 318
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник содержит задачи по классической электродинамике в вакууме, которые на протяжении многих лет автор использовал на практических занятиях в Московском инженерно-физическом институте, а также предлагал студентам в качестве индивидуальных заданий. Подавляющая часть задач оригинальна. Вместе с тем в сборник включено некоторое число известных типовых задач для иллюстрации применяемой методики. Задачи разнообразны по трудности, однако большинство из них посильно каждому, кто изучил теорию электромагнитного поля.
Многие задачи имеют подробное решение, особенно в тех случаях, когда используются новые идеи и методы по сравнению с предыдущим материалом. Наряду с этим в сборнике по разным разделам курса электродинамики имеется большое число однотипных задач, для которых даны лишь ответы и краткие указания. Такие задачи весьма полезны при составлении контрольных работ и индивидуальных заданий, а также для самоконтроля при изучении электродинамики. Если эти задачи встречают затруднение, то соответствующая часть курса электродинамики усвоена не достаточно глубоко и требует дополнительной проработки.
Содержание сборника охватывает вопросы электродинамики в вакууме. Наравне с объемной плотностью введены понятия поверхностной и линейной плотности заряда, а также поверхностной плотности тока, что
позволило значительно расширить круг рассматриваемых вопросов и дало возможность проиллюстрировать разнообразные методы, которые используются как в электродинамике в вакууме, так и в электродинамике сплошных сред.
Каждой главе предпослано краткое теоретическое введение, а в приложениях собраны необходимые сведения из векторного анализа, тензорного исчисления и о специальных функциях. Приведенные формулы являются справочным материалом, имеющим целью сэкономить время читателя при решении предложенных задач. Указанные сведения позволили также сократить объем сборника при написании решений к отдельным задачам.
Автор очень признателен В. М. Ермаченко и Б. М. Карнакову за прочтение сборника в рукописи и обсуждение отдельных вопросов.
А. И. Алексеев
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Везде используется гауссова абсолютная система единиц.
Векторы обозначаются полужирным шрифтом, а модуль вектора — светлым. Разложение вектора А по ортам Е, 1у и lz декартовой системы координат записывается двояко:
А = Aviv А- А;Е, А- А212 = А[1 V Agly А" Аз12.
Если векторный или тензорный индекс, обозначенный греческой буквой, в данном выражении повторяется дважды, то по нему предполагается суммирование от I до 3. При этом знак S суммы опускается. Например,
= ахЬх + а2Ь.> + а3Ь3.
Если указанные индексы обозначены латинской буквой, то суммирование проводится от 1 до 4:
А" а2^2 А- «.Ai А- ^4^4-
Интегралы любой кратности обозначаются одним-единственным знаком j и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: dV = dx dy dz = dr — элемент объема, dS = ndS — элемент поверхности и d\ — x dl — элемент ориентированного контура. Здесь п — орт нормали к поверхности интегрирования, ат — орт касательной к контуру интегрирования. Знак обозначает интеграл по замкнутой поверхности с ортом п внешней нормали или по замкнутому ориентированному контуру, направление обхода которого задается ортом т. Пределы интегрирования в определенном интеграле иногда опускаются вовсе. В этом случае интегри
рование ведется по области, где подынтегральная фу1 ция отлична от нуля.
Для разложения Фурье принято обозначение оо — 00
f (со) = f (/) еги/ dt — 00
или в трехмерном пространстве
<р W = $ф wgikr dk>
Ф (к) = ф (г) £-гкг dr.
Функция /(/), периодическая с периодом Т = -—, разлагается в ряд Фурье
4 оо f(/)= S
П = — оо
Т/2
fn = T 5 f^e^dt.
— Т/2
Полная производная по времени часто обозначается dF
точкой, стоящей над функцией=F- Производная от
функции Ф(х) в точке х = х0 изображается как
Индекс 0 внизу справа от каждого символа (буквы) отмечает постоянную во времени и координатах величину.
Если аргумент функции представлен в виде at, kr или рг, то множители а, к и р не зависят от координат и времени.
А—векторный потенциал
с—1) электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме; 2) произвольная постоянная; 3) полуось эллипсоида
d — дипольный момент
— компоненты тензора квадрупольного момента е — точечный заряд (заряд частицы) Е — напряженность электрического поля
<S—1) энергия; 2) кинетическая энергия нерелятивистской частицы
F — сила
g — плотность импульса электромагнитного поля й— постоянная Планка 1,054-10-27 эрг-сек
Н — напряженность магнитного поля
i — поверхностная плотность тока
/ — интенсивность излучения j — объемная плотность тока J — сила тока
к— 1) волновой вектор; 2) переменный вектор разложения в тройной интеграл Фурье
I — линейный размер заряженной системы или области пространства
L—1) контур интегрирования в криволинейном интеграле; 2) длина
т — масса
М — момент импульса (механический момент)
N — момент сил
п— 1) орт нормали к поверхности (внешней нормали для замкнутой поверхности); 2) орт радиус-вектора г точки наблюдения; 3) единичный вектор
р — импульс
Р — полный импульс механической системы
q — линейная плотность заряда
Q — полный заряд
R — радиус окружности, цилиндра или шара
г—1) модуль радиус-вектора г; 2) сферическая ко*' ордината; 3) цилиндрическая координата
S — поверхность
s — вектор Пойнтинга
t — время
Т—1) период; 2) кинетическая энергия релятивисте ской частицы
Tag — максвелловский тензор натяжений
U — потенциальная энергия
v — скорость
V — объем
W—1) энергия электромагнитного поля; 2) магнитная энергия взаимодействия тока с внешним магнитным полем
w — плотность энергии электромагнитного поля %!=%, х2 = у, х.з — z—компоненты радиус-вектора г в декартовых прямоугольных координатах
0 — полярный угол сферической системы координат
X — длина волны, деленная на 2л
р —магнитный момент
ц— приведенная масса
р— объемная плотность заряда
о — поверхностная плотность заряда
т—1) орт касательной к поверхности или к ориентированному контуру; 2) плотность дипольного момента двойного электрического слоя
<р — скалярный потенциал
ф— 1) азимутальный угол сферической системы координат; 2) полярный угол цилиндрической системы координат; 3) угол между двумя направлениями
со— 1) циклическая частота; 2) угловая скорость вращения
Q—1) телесный угол; 2) циклическая частота
V — оператор набла.
ЗАДАЧИ
Глава I
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Основной величиной, характеризующей электрическое поле в вакууме, является вектор Е= Е(г) напряженности этого поля. Вектор Е(г) представляет собой силу, действующую на единичный пробный заряд, помещенный в точку с радиус-вектором г.
В настоящей главе рассматривается электростатическое поле, созданное неподвижными зарядами. Распределение зарядов в пространстве описывается объемной плотностью р(г), на заряженной поверхности — поверхностной плотностью ст(г), а на заряженном линейном контуре — линейной плотностью </(г). Заряженная поверхность рассматривается как предел поверхности конечной толщины, которая неограниченно утончается при условии, что заряд о на единице поверхности остается неизменным. Аналогично линейный заряженный контур {или просто линейный заряд) является пределом заряженного длинного цилиндра, который бесконечно утончается при условии, что заряд q на единице длины остается прежним. Формы заряженной поверхности и контура линейного заряда произвольны. Кроме того, в пространстве могут находиться отдельные точечные заряды ег (i = 1, 2, ..., ,¥).
Напряженность постоянного электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла
rotE = 0, (1.1)
divE = 4np. (1.2)
Если заряды сосредоточены в конечной области, то напряженность электростатического поля на больших расстояниях г от заряженной системы убывает, как 1/г2, или быстрее. Это утверждение служит дополнительным
условием к уравнениям Максвелла (1.1) и (1.2) прт) отыскании Е в неограниченном пространстве.
При переходе через заряженную поверхность нормальная составляющая Еп = Еп напряженности электрического поля претерпевает скачок
Е2п — £'1„ = 4лсг, (1.3)
в то время как тангенциальная составляющая непрерывна
пХ(Е2-Е1) = 0. (1.4)
Здесь индексы 1 и 2 отмечают напряженность электрического поля в первой и второй областях, лежащих по разные стороны от заряженной поверхности. Единичный вектор п нормали к этой поверхности направлен из первой области во вторую. Соотношения (1.3) и (1.4) являются граничными условиями в электростатике.
В правую часть уравнения Максвелла (1.2) обычно входит кусочно-непрерывная объемная плотность р заряда, а поверхностная плотность ст учитывается в граничных условиях.
Наравне с этим имеется другой подход к решению задачи, который не требует формулировки граничных условий. Поверхностное распределение заряда ст(г)’ учитывается в объемной плотности р(г) при помощи 6-функции, а решение уравнений Максвелла сразу ищется во всем пространстве. С математической стороны такой подход менее удобен, так как правая часть уравнения (1.2) становится сингулярной функцией, обращающейся в бесконечность в точках заряженных поверхностей.
Для напряженности электрического поля выполняется электростатическая теорема Гаусса
ф Е dS = 4nQ, (I. 5)
s
где Q — полный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. В общем случае этот заряд слагается из объемных, поверхностных, линейных и точечных зарядов.
Наравне с напряженностью Е постоянное электрическое поле характеризуется также потенциалом <р, который определяется соотношением
Е = —gradcp. (1.6)
Разность потенциалов между первой и второй точками пространства представляет собой работу, которую необходимо затратить против сил электрического поля, чтобы перенести единичный заряд из второй точки пространства в первую.
Потенциал <р удовлетворяет уравнению Пуассона
V2<p = —4лр (1.7)
и граничным условиям на поверхности раздела областей
= (1.8)
дп дп ’ v 7
Ф1 = Ф2- (I- 9)
Уравнение (I. 7) с нулем в правой части называется уравнением Лапласа. Решая уравнения Пуассона и Лапласа, следует принимать во внимание, что потенциал является непрерывной функцией во всех точках пространства, в которых объемная плотность заряда ограничена. Более того, потенциал непрерывен при переходе через заряженную поверхность, если поверхностная плотность заряда в данной точке ограничена. Граничное условие на линейном контуре, заряженном с линейной плотностью <?, записывается при г-+0 в виде <р = = —2q In г + const, где г — кратчайшее расстояние от точки наблюдения до рассматриваемого контура. Когда заряды расположены в конечной области пространства, потенциал на бесконечном расстоянии от этих зарядов равен нулю. По найденному потенциалу определяют напряженность электрического поля путем вычисления градиента (1.6).
Напротив, если вектор Е найден по электростатической теореме Гаусса (1.5) или каким-либо другим путем, то потенциал <р электрического поля определяется из соотношения (1.6), рассматриваемого как дифференциальное уравнение относительно искомой функции <р«
В задачах электродинамики часто исследуется электрическое поле бесконечно протяженных источников, хотя реальные заряженные системы всегда имеют ограниченные размеры. Получаемые при этом результаты имеют практический интерес, поскольку поле бесконечно ( протяженных источников правильно описывает электри-t ческое поле соответствующих ограниченных заряженных , систем на расстояниях, малых по сравнению с линейными размерами этих реальных систем. Например,
электрическое поле бесконечного заряженного цилиндра с большой точностью совпадает с нолем аналогичного цилиндра достаточно большой, но конечной длины, если только точка наблюдения расположена на расстоянии от этого цилиндра, малом по сравнению с его длиной. Различие между указанными полями наблюдается вблизи торцов цилиндра, а также на расстояниях от него, сравнимых с его длиной.
Потенциал и напряженность электростатического поля точечного заряда е
= (1.Ю)
где г и г' — радиусы-векторы соответственно точки наблюдения и точки расположения заряда (закон Кулона) .
В электростатике справедлив принцип суперпозиции: электростатическое поле системы нескольких зарядов представляет собой наложение (сумму) полей, созданных каждым зарядом в отдельности. Другими словами, заряд в присутствии других заряженных систем создает такое же поле, как и в пустоте.
Если заряды распределены с объемной плотностью р(г'), то согласно закону Кулона для элементарного точечного заряда р(г')с?У' и принципу суперпозиции потенциала ф(г) и напряженность Е(г) электрического
поля в точке наблюдения с радиус-вектором г можно
представить в следующем виде:
w=j »•">
(U2)
Потенциал (1.11) удовлетворяет уравнению Пуассона (1.7) и является его общим решением в неограниченном пространстве, если объемный интеграл сходился. При этом граничные условия (1.8) и (I 9) на поверхности раздела зарядов и вакуума выполняются автоматически. Если интеграл (I. 11) расходится или его не удается вычислить аналитически, то потенциал электростатического поля находят путем решения уравнения Пуассона (1.7) с учетом граничных условий (1.8) и (1-9).
Иногда вместо объемных зарядов в пространстве имеются заряженные поверхности и линейные контуры. В этом случае потенциал вычисляется по формуле
ч»(г)=Л + (1.13)
J | г — Г I J I Г — Г I
а напряженность электрического поля определяется согласно соотношению (1.6).
Непосредственное вычисление интегралов (1.11) и (I.13), как правило, весьма затруднительно. В связи с этим для определения электростатического поля на больших расстояниях от заряженной системы разработан метод вычисления этих интегралов с любой степенью „ л 1
точности. Он состоит в разложении функции р
в ряд по малому параметру где радиус-векторы гиг' берутся в системе координат, начало которой расположено внутри заряженной системы, имеющей максимальный линейный размер I. В результате потенциал на больших расстояниях г I от заряженной системы представится в виде бесконечного быстро сходящегося ряда
Q dr DnPxnxR
<P = 7- + 7r + ^JL+ ДИ)
где для распределения заряда с объемной плотностью р(г) введены обозначения
Q=Jp(r)d7, d — гр (г) dV,
Da^ = J (Зхахр — г26а(3) р (г) dV, г = xjx + х2\у + х31г.
(1-15)
(1-16)
(1-17)
(1-18)
Величины (1.15), (1.16) и (1.17) называются соответственно полным зарядом, дипольным моментом и тензором квадрупольного момента заряженной системы. Последние характеризуют степень отклонения от центральной симметрии в распределении заряда системы. У сферически-симметричной заряженной системы величины (1.16) и (1.17), как и мультипольные моменты
более высокого порядка, равны нулю, а потенциал в на-' ружных точках является кулоновским <р = Q/r.
Если заряды распределены по поверхности с поверх-ностной плотностью ст, то полный заряд, дипольный момент и тензор квадрупольного момента выражаются соответственно через интегралы (1.15) — (I. 17), в которых произведена замена pt/V -> csdS, а интегрирование проводится по заряженной поверхности. Аналогично для линейного контура, заряженного с линейной плотностью q, в интегралах (1.15) — (1.17) совершается замена р dV -> q dl, а интегрирование проводится по заряженному контуру.
В случае зарядов ег, расположенных в точках с радиус-векторами г,- (i = 1,2, ..., А), обьемная плотность заряда выражается через б-функцию:
Р (г) = £ е,б (г — г,), (1.19)
1 = 1
а величины (1.16) и (1.17) принимают вид
N
(1-20) i-I
~ Е ei (3XlaXl& ~ G- 21)
Для однородно заряженного тела вращения тензор квадрупольного момента имеет наиболее простой вид в декартовой системе координат, одна из осей которой совпадает с осью аксиальной симметрии. В этом случае отличны от нуля только диагональные компоненты тензора Да|}. Например, если ось Z выбрана вдоль оси симметрии тела вращения, то отличные от нуля компоненты тензора Da$ равны
Дц = Д22 — —2" ^зз- (1.22)
Величину Д33 s D называют квадрупольным моментом тела вращения.
По аналогии со случаем точечных зарядов (I. 19), имеется возможность при помощи б-функции ввести понятие объемной плотности р также в том случае, когда задано поверхностное или линейное распределение заряда. После этого можно использовать формулы, полу-16
ценные ранее для пространственного распределения заряда с объемной плотностью р(г).
Система двух бесконечно близко расположенных паралельных поверхностей, у которых поверхностная плотность заряда на противолежащих участках одинакова по абсолютной величине, но противоположна по знаку, называется двойным электрическим слоем. Он характеризуется плотностью дипольного момента т. В каждой точке поверхности двойного слоя вектор т параллелен нормали п и направлен от отрицательной стороны к положительной. При неограниченном сближении противоположно заряженных параллельных поверхностей поверхностная плотность заряда на противолежащих участках возрастает по абсолютной величине так, что плотность дипольного момента т принимает конечное значение. Элемент dS — ndS поверхности двойного электрического слоя имеет электрический дипольный момент dd — xdS = rdS.
Потенциал двойного электрического слоя в точке наблюдения с радиус-вектором г определяется следующим образом:
Ф (И = J dS't (1.23)
где т(г')—плотность дипольного момента в точке с радиус-вектором г' на поверхности двойного электрического слоя.
Когда плотность дипольного момента по абсолютной величине постоянна, слой называется однородным, и формула (1.23) упрощается:
Ф = гЙ. (1.24)
Здесь Q — телесный угол, под которым из точки наблюдения видна положительная сторона поверхности двойного электрического слоя. Если видна отрицательная сторона, то в правой части (1.24) ставится знак минус.
Потенциал и напряженность электрического поля на поверхности двойного электрического слоя удовлетворяют граничным условиям
<р2 — Ф1 = 4лт, (1.25)
£2л-£1я = 0, (1.26)
где индексы 1 и 2 отмечают величины, взятые на отрицательной и положительной сторонах поверхности слоя.
Значение потенциала фо (г') в произвольной точке на самой поверхности двойного слоя связано с плотностью т(г') дипольного момента в этой же точке следующими соотношениями:
Ф1 (г') = Фо (И ~ 2лт (г'), (1.27)
ф2 (г') = Фо (г') + 2лт (г'), (1.28)
где Ф1(г') и фг(г')—предельные значения потенциала при приближении к двойному слою соответственно с отрицательной и положительной сторон. Эги значения потенциала входят в граничное условие (1.25).
Энергия электростатического поля
Г = ~ J EW. (1.29)
Если этот интеграл в неограниченном пространстве сходится, то для вычисления энергии (1.29) удобно пользоваться равнозначной формулой
Г = у^рф^У. (1.30)
С
Электростатическая энергия взаимодействия двух систем, заряженных с объемными плотностями pi (г) и р2(г7), вычисляется по формуле
U = .p|-(-rl-p-1^2 dV dV'. (1.31)
J I г -r' I v '
Потенциальная энергия системы зарядов, распределенных с объемной плотностью р(г) во внешнем электрическом поле с потенциалом <р(г), определяется выражением
U = J р (г) Ф (г) dV. (1.32)
Если потенциал ф(г) внешнего электрического поля на протяжении заряженной системы меняется незначительно, то выражение (1.32) заменяют быстро сходящимся рядом
t/ = QT(R)-dE(R)+lDaB^-+ ... (1.33)
Здесь потенциал и напряженность внешнего электрического поля, а также производные от потенциала берутся в точке с радиус-вектором г = R, лежащей внутри рас-18
сматриваемой заряженной системы. Эта внутренняя точка служит началом декартовой системы координат, в которой определены величины d и Da$.
Сила F и момент N сил, приложенные к заряженной системе во внешнем электрическом поле с напряженностью Е, равны
F=JpEa% (1.3-4)
N = J(rXE)pdV. (1.35)
В частном случае диполя с моментом d соотношения '(1.34) и (1.35) принимают вид
F = (d grad) Е = grad (dE), (1.36)
N = dXE. (1.37)
При помощи максвелловского тензора натяжений
(L38)
электростатическую объемную силу (1.34) можно заменить системой поверхностных сил, приложенных к поверхности объема V, внутри которого распределен заряд с объемной плотностью р. Тогда компонента Fa суммарной силы (1.34) запишется в виде
Fa= \PEadV = §Ta^dS, (1.39)
v s
где n — орт внешней нормали к замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V. (Подробнее см., например, в книгах [1 — 3]. Необходимые сведения и задачи по электродинамике сплошных сред можно найти в книгах [4-6].)
§ 1. Уравнения Максвелла
и граничные условия в электростатике
1. Найти напряженность Е электрического поля, потенциал <р которого равен: а) а(ЬХг); б) (axr)(kXr); в) (ar)cos кг; г) dr/r3; д) f(r)F(г); е) F(f(ar)). Здесь векторы a, b, к и d не зависят от координат и времени, а f и F — произвольные дифференцируемые функции своего аргумента.
2. Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напряженностью Е = а Хг> где а — постоянный вектор?
3. Можно ли подобрать такое распределение заряда снаружи полой области, чтобы внутри нее напряженность Е электростатического поля имела вид: а) Ео; б) (Ьг)а; в) (ab)r; г)(аХ(ЪХг)); д) (ar)(kXr); е) (гХ(сХг)); ж) a (br) cos kr; з) Er\r 4- £е10 ^L, где компоненты
вектора Е в сферических координатах Er — -—— X X(3cos29—1), £0 — - sin 29 и Е^ = 0 при г > /?;
и) Е = ЕГ1Г 4- £,|,Ц + Ег1г, где компоненты вектора Е в цилиндрических координатах £Г = (ЕОЬ) (1 4~ cos ар, £М> = (ЕОЪ)(-^-l)sinap и £2 = 0 при г > Я? Здесь
векторы a, h, с, к и Ео не зависят от координат.
4. Определить распределение объемной плотности р заряда, создавшего в пространстве электрическое поле с напряженностью Е, равной: a) (br)h; б) grr; в) £{ 1 -[> + v(> +Й>р(-4)Ь в) £А + 4- Е6\в 4" где компоненты Е в сферических координатах £г=2лр0^г—-g /<Q cos9, £0=лро r)sin9, jm л г\ гу 2?т г-» 4 cos 0 л гл л sin О
£^ = 0 при г</? и £г р0/?4—г-, £е = ур0£4-—,
Eq = 0 при г R', д) £г1г 4" + Ег]г, где компоненты
вектора Е в цилиндрических координатах £г = -^-РоХ X (2г — £) cos ар, £ф = -у^р0(£ — r)sinap, £2 = 0 при
и£г = у-р0£ 4-— J cosap, £М) = -з-Ро£(<—— 1) smap, £2 = 0 при Здесь величины a, g, р0, е и вектор b не зависят от координат.
5. Вычисляя ротор и дивергенцию напряженности Е электрического поля, необходимо убедиться в том, что в случае электростатики выражение
Е(г)^^ Р(,г-,)(г7,р-^
J ! г — г |3 удовлетворяет уравнениям Максвелла. Здесь р(г') — объемная плотность заряда в точке с радиус-вектором г7, 20
6. Напряженность электрического поля однородна внутри некоторой области пространства. Содержат ли внутренние точки этой области какие-нибудь заряды, участвующие в создании данного электрического поля?
ь
7. Доказать, что в электростатике интеграл Е di,
а
взятый между двумя произвольными точками простран-ства, не зависит от формы контура интегрирования?
8. Определить распределение поверхностной плотности а заряда в пространстве, если напряженность Е электрического поля имеет вид: а) Ех = Еу = 0, Ег — = Ео при z > 0 и Ех == Еу = 0, Ег — —Eq при z < 0; б) Е = 0 при г < 7? и Е = Qr/r3 при г > R, где г — расстояние до начала координат, a Q и R постоянные; в) Е = 0 при г < R и Е = qr/r2 при г > R, где г— расстояние до оси Z, a q и R — постоянные.
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса
9. Область пространства однородно заполнена электрическим зарядом с объемной плотностью р. Найти напряженность Е и потенциал <р электрического поля в каждой точке пространства, если указанной заряженной областью является: а) шар радиуса R; б) бесконечный цилиндр радиуса R; в) неограниченная пластина толщины 2L.
10. Поверхность равномерно заряжена с поверхностной плотностью а. Найти напряженность Е и потенциал <р электрического поля в каждой точке пространства, если заряженная поверхность имеет форму: а) сферы радиуса R; б) бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R-, в) плоскости.
11. Шар радиуса R заряжен сферически-симметрично с объемной плотностью р = аг5, где а — постоянная. Чему равен поток Ф напряженности электрического поля через круг радиуса R, плоскость которого в центральной точке касается шара?
12. Средняя плотность заряда электронного облака е ( 2r X
в атоме водорода равна р =—-^j-expl — J, где а —боровский радиус, а г — расстояние до протона, имеющего заряд е. Определить напряженность Е элек
трического поля в атоме водорода. Исследовать Е на малых г •< а и больших г >> а расстояниях от протона.
13. Пространство между двумя концентрическими сферами радиусов и R2 (Ri < R2) заполнено сферически-симметрично зарядом с объемной плотностью р = р(г), где г— расстояние до общего центра обеих сфер. Найти напряженность Е и потенциал <р электрического поля в каждой точке пространства.
14. Объемная плотность заряда бесконечного цилиндра имеет осевую симметрию и равна р = р(г). Определить напряженность Е и потенциал ф электрического поля внутри цилиндра. При калибровке ф принять, что потенциал равен пулю на поверхности цилиндра.
15. Неограниченная пластина заряжена симметрично относительно своей средней плоскости х = 0. Объемная плотность заряда равна р = р(|х|). Найти напряженность Е и потенциал ф электрического поля внутри пластины. При калибровке ф принять, что потенциал равен нулю в точках средней плоскости
16. Разноименные точечные заряды и е2 (ci > > ]в2|) расположены на оси X на некотором расстоянии друг от друга. Ось X направлена от положительного заряда к отрицательному. Под каким углом 9г к оси X входит в заряд е2 силовая линия, выходящая из заряда Ci под углом 0J? Под каким углом 0О выходит из заряда <?i первая силовая линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность? Какой угол 0Ж с осью X образует она на бесконечности?
17. Две бесконечные однородные разноименно заряженные нити протянуты в плоскости XZ параллельно оси Z. Линейные плотности заряда на положительной и отрицательной нитях равны соответственно <?i и q2 (<7i> |ф>|)- Ось X направлена от положительной нити к отрицательной. Под каким углом фц к оси X выходит из положительной нити силовая линия, входящая в отрицательную нить под углом ф?? Под каким углом ф0 к оси X выходит из положительной нити первая силовая линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность?
18. Заряд <?! находится на оси X в точке xt = I. Определить величину заряда е2, котоорый необходимо поместить в точку х2= — Vs I оси X, чтобы поток напряженности электрического поля через окружность х == 0, у2 4- z2 = I2 был равен нулю.
19. Напряженность электрического поля в пространстве известна:
Е = -уг(1 +&r)exp(— Ьг),
где е и b — положительные постоянные, а г — расстояние до начала координат. Определить распределение объемной плотности р заряда, создавшего это поле. Чему равен полный заряд Q?
20. Определить напряженность Е и потенциал ср электрического поля двух бесконечных параллельных нитей, равномерно заряженных с линейной плотностью соответственно q и —q. Расстояние между нитями равно I. Исследовать Е и <р на больших расстояниях от нитей. При калибровке ср принять, что потенциал равен нулю на бесконечно большом расстоянии от нитей.
21. Три взаимно перпендикулярные плоскости равномерно заряжены с поверхностной плотностью а. Найти напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства.
22. Шаровая полость расположена эксцентрично внутри шара, однородно заряженного по объему с плотностью р. Расстояние между центрами шара и полости равно I. Определить напряженность Е электрического поля в точках шаровой полости.
23. Внутри бесконечного цилиндра, однородно заряженного с объемной плотностью р, имеется цилиндрическая полость. Расстояние между параллельными осями цилиндра и полости равно I. Найти напряженность Е электрического поля внутри полости.
24. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о неограниченная тонкая пластина разделена на две половины щелью ширины а. Найтн напряженность Е электрического поля на больших расстояниях г а от щели с учетом членов порядка 1/г.
§ 3. Применение общего решения уравнения
Пуассона
25. Определить потенциал ср и напряженность Е электрического поля на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью о. Убедиться, что на большом расстоянии от диска найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе
через поверхность диска напряженность электрического поля удовлетворяет необходимому граничному условию Ein — Еш — 4ла.
26. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью р. Его внешняя неограниченная экваториальная плоскость несет заряд с поверхностной плотностью о. Найти напряженность Е электрического поля на оси симметрии шара, которая перпендикулярна однородно заряженной внешней экваториальной плоскости.
27. На оси X между точками = —I м х2 — I равномерно распределен заряд с линейной плотностью q. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
28. Цилиндр радиуса R и высоты 2/г однородно заряжен по объему с плотностью р. Определить потенциал <р электрического поля на оси симметрии внутри и снаружи цилиндра. Убедиться, что снаружи цилиндра найденное выражение в пределе R—>0 и npR2-+q переходит в потенциал электрического поля равномерно заряженного отрезка.
29. Определить потенциал <р электрического поля на оси симметрии следующих равномерно заряженных тел: а) тонкого кольца радиуса R, заряженного с линейной плотностью q; б) цилиндрической поверхности радиуса R и высоты 2й, заряженной с поверхностной плотностью о; в) части плоскости, отсекаемой двумя концентрическими сферами радиусов R{ и R2 (R\ <. R2) и заряженной с плотностью о; г) полусферы радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью а; д) половины шара радиуса R, заряженного с объемной плотностью р.
30. Неограниченная плоскость с выступом в виде полусферы радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью а. Определить потенциал <р = <p(z) электрического поля на оси Z, совпадающей с осью симметрии составной заряженной поверхности. Исследовать <p(z) вблизи точки z = 0 кривизны полусферы (|z| < R), а также на больших расстояниях от нее (|г|3>/?). При калибровке <р принять, что потенциал равен нулю в точке кривизны полусферы: ср(О) = 0.
31. Внутри полусферы радиуса R распределен заряд с объемной плотностью р = роеаг, где ро и а — постоянные, а г — расстояние до центра кривизны полусферы. Найти напряженность Е электрического поля в центре кривизны полусферы.
32. Шар радиуса R заряжен с объемной плотностью р = р0 cos 9, где 9 — полярный угол сферической системы координат. Используя разложение функции -г 2 Г' 'Г п0 сферическим функциям, найти потенциал ф электрического поля внутри и снаружи шара.
33. Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено с линейной плотностью q. Используя разложение функции "р-— г' | п0 сФеРическим функциям, найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства. Убедиться, что в точках на оси кольца найденный
потенциал совладает с выражением, полученным в за-
даче 29 а).
34. Поверхность равномерно заряженной полусферы
радиуса R имеет заряд Q. Используя разложение функ-
1 |г —г' I
ции
по сферическим функциям, найти потен
циал ф электрического поля в каждой точке пространства. Убедиться, что в точках на оси симметрии полу-
сферы найденный потенциал совпадает с выражением, полученным в задаче 29 г).
35. Однородно заряженный тонкий диск радиуса R несет заряд Q. Используя разложение функции -|-г J -z-j-по сферическим функциям, найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля вдали от диска г > R, где г-—расстояние до его центра. Показать, что в точках на оси диска найденный потенциал совпадает с выражением, полученным в задаче 25.
36. Используя разложение функции j--~2 т, |- по сферическим функциям, найти потенциал ф электрического 'поля внутри сферы радиуса R, одна половина которой равномерно заряжена с объемной плотностью р.
§ 4. Сила и энергия в электростатике
37. Заряд Q равномерно распределен по поверхности сферы радиуса R. Найти абсолютную величину силы F, разрывающей сферу на две равные половины.
38. Шар радиуса R однородно заряжен с объемной плотностью р. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, разрывающую шар на две равные половины. Подтвердить полученный результат
независимым вычислением с использованием формулы F—jj pEdV, где Е— напряженность электрического по-ля шара.
39. Бесконечный цилиндр радиуса Д равномерно заряжен с объемной плотностью р. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, разрывающую цилиндр на две одинаковые половины. Здесь F — сила, приложенная к единице длины одной из половин цилиндра.
^40) Определить энергию W электростатического поля шара радиуса R, внутри коюрого однородно расиреде-лензаряд Q.
Шу Определить энергию IF электростатического поля сферы радуса R, равномерно заряженной с поверхностной плотностью о.
42. Однородно заряженный шар радиуса R\ с зарядом Q расположен эксцентрично внутри другого шара радиуса R2, равномерно заряженного с объемной плотностью р. Заряд большего шара не проникает в меньший. Расстояние между центрами обоих шаров равно I. Считая заряды шаров одноименными, определить силу F, с которой меньший шар выталкивается из большего. Чему равна электростатическая энергия U взаимодействия шаров, если потенциал электрического поля каждого заряженного шара равен нулю на бесконечности?
43. Однородно заряженный с объемной плотностью р1 бесконечный цилиндр радиуса Rt расположен внутри другого цилиндра радиуса R2y равномерно заряженного с объемной плотностью р2. Заряд наружного цилиндра не проникает во внутренний. Расстояние между параллельными осями обоих цилиндров равно I. Чему равна сила F, приложенная к единице длины внутреннего цилиндра? Определить электростатическую энергию U — = jp1qWIz взаимодействия цилиндров, приходящуюся на единицу их длины. Здесь <р2— потенциал зарядов наружного цилиндра. Для однозначности результата принять, что потенциал, созданный зарядами каждого однородного сплошного цилиндра, равен нулю на его поверхности.
44. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода описывается функцией 26
е ( 2r \ ,
р=-------j-expl---— 1, где а — боровскии радиус, а
г—расстояние до протона, имеющего заряд е. Учитывая вклады от протона и электронного облака, найти распределение потенциала <р электрического поля внутри атома. Исследовать ср на малых г < а и больших г >> а расстояниях от протона. Чему равна электростатическая энергия U взаимодействия протона с электронным облаком, а также собственная электростатическая энергия W электронного облака?
45. Часть сферы радиуса R, видимая из центра кривизны под телесным углом Й = 2л(1 — cos0o), равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. На оси симметрии (оси вращения) на одинаковом расстоянии от центра кривизны и заряженной поверхности расположен точечный заряд е. Чему равна электростатическая энергия U взаимодействия заряда е с заряженной поверхностью?
46. Найти силу F, приложенную к заряду е, находящемуся в вершине конуса высоты Л и радиуса основания R, если конус однородно заряжен ire объему с плотностью р.
47. Коническая поверхность произвольной высоты и радиуса основания R равномерно заряжена с поверхностной плотностью о. Определить работу U, которую необходимо затратить, чтобы перенести заряд е из бесконечности в вершину конической поверхности.
48. Шаровой сектор получен пересечением сферы радиуса R конической поверхностью с вершиной в центре сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового сектора. Найти работу U, которую необходимо затратить, чтобы заряд е перенести из бесконечности в центр сферы. Изменится ли найденное значение U, если заряд Q равномерно распределить по всему объему сферы?
49. В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода описывается функцией
р = — е За sin2 е cos2 е,
где а — боровский радиус, а г—расстояние до протона, имеющего заряд е. Найти электростатическую энергию U взаимодействия протона с электронным облаком.
§ 5. Уравнения Лапласа и Пуассона
с дополнительными условиями
50. Плоскость XY несет заряд с периодической поверхностной плотностью о = оо cos (ах -f- by). Найти потенциал <р электрического поля в неограниченном про-странстве.
51. Поверхностная плотность заряда декартовых плоскостей XY, XZ и YZ имеет вид соответственно о = о0 sin а^х sin byy, о = оу sin агх sin Ь2у, а = = (То sin а>у sin b3z, где постоянные величины удовлетво-ряют условию + b( = b-2— а$-)~
Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
{(52) Пространство заполнено электрическим зарядом с периодической объемной плотностью р == = posin/iXsin/2ysinZ3z. Определить потенциал ф и напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства.
53. Объемная плотность заряда полупространства г 0 имеет периодическую структуру р = р0 cos кг, где постоянный вектор к образует с осью Z отличный от нуля угол. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
54. Объемная плотность заряда неограниченной пластины толщины 2а имеет периодическую структуру р = Ро sin l^x sin /2у sin Z3z, где | z| а. Найти потенциал Ф электрического поля внутри и снаружи пластины.
55. В сферических координатах объемная плотность заряда внутри шара радиуса R симметрична относительно оси Z и имеет вид р = р0 cos 9, где 9 — полярный угол, а начало координат совпадает с центром шара. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля во всем пространстве.
56. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно по своей длине. Объемная плотность заряда p = pocosi|), где ф— полярный угол, а ось Z цилиндрической системы координат совпадает с осью цилиндра. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля внутри и снаружи цилиндра.
57. Заряд распределен по поверхности сферы радиуса R с поверхностной плотностью о = По cos 9, где 9 — полярный угол сферической системы координат, начало которой совпадает с центром сферы. Найти потенциал ф 28
и напряженность Е электрического поля внутри и снаружи сферы.
58. Бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса заряжена с поверхностной плотностью о = z=<70cos i|;, где ф— полярный угол цилиндрической системы координат с осью Z, направленной вдоль оси симметрии поверхности. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля внутри и снаружи цилиндрической поверхности, которая поддерживается при нулевом потенциале.
59. Объемная плотность заряда внутри шара радиуса R задана р = аг, где а — постоянный вектор, а г — радиус-вектор, проведенный из центра шара. Найти напряженность Е электрического поля внутри и снаружи шара.
60. Объемная плотность заряда в сферических координатах описывается функцией
(г \п
-£-) P„(cos6) при
(р 4^ + 1
—) Рп (cos 6) при г>/?,
где ро и R— постоянные, а Рп (cos 0)—полином Лежандра степени п > 1. Найти потенциал ф электрического поля в неограниченном пространстве.
61. Объемная плотность заряда в цилиндрических координатах имеет вид
f Г \
Р = Ро(-^') созмф при
(р чл
—) соэмф при
где ро и R— постоянные, а целое положительное число п больше единицы. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
62. Потенциал фп бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R задан фп = фо cos яф, где фо — постоянная, п — целое число, ф— полярный угол, а ось Z совпадает с осью данной цилиндрической поверхности. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства, если внутри и сн-аружи цилиндрической поверхности заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности о заряда на цилиндрической^ поверхности.
4^1/Потенциал фп сферической поверхности радиуса R задан фп == ф0[У 1т(6, ф) — Y*in(9, ФУ], где У;т(6,ф) —
сферическая функция, а 0 и ф— полярный и азимутальный углы сферической системы координат, начало которой совпадает с центром сферы. Найти потенциал <р электрического поля в каждой точке пространства в предположении, что внутри и снаружи сферической поверхности заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности о заряда на сферической поверхности.
64. Определить потенциал ср электрического поля в области 0 sg х, ограниченной тремя плоскостями х = О, у = 0 и у — Ь. Предполагается, что плоскость х — О имеет однородный потенциал фо, а две другие плоскости поддерживаются при нулевом потенциале. Внутри данной области заряды отсутствуют.
65. Определить потенциал ср электрического поля внутри бесконечно длинной коробки прямоугольного сечения (0 х еД а, 0 у Ь) при следующих краевых условиях: потенциал двух граней х — 0 и у — b однороден и равен сро, а потенциал двух других граней коробки равен нулю. Внутри коробки зарядов нет.
66. Определить потенциал ср электрического поля внутри полусферы радиуса R, если потенциал на ее поверхности имеет постоянное значение ср0, а основание полусферы поддерживается при нулевом потенциале. Внутри полусферы заряды отсутствуют.
67. Неограниченная плоскость имеет выступ в виде полусферы радиуса R. Потенциал полусферы однороден и равен фо, а плоскость поддерживается при нулевом потенциале. Определить потенциал ф электрического поля в полупространстве над плоскостью с выступом, считая, чю в этом полупространстве заряды отсутствуют.
68. Одна половина сферической поверхности радиуса R имеет постоянный потенциал <ря, а другая — постоянный потенциал фь. Найти потенциал <р электрического поля снаружи сферы, где заряды отсутствуют.
69. Окружность радиуса R делиг плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутренняя область имеет однородный потенциал ф0, а внешняя поддерживается при нулевом потенциале. Используя разложение по полиномам Лежандра, определить потенциал ф элек-трическогоо поля в каждой точке полупространства над указанной плоскостью. В рассматриваемой области заряды отсутствуют.
70. Сферическая поверхность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полусфер, поверхностная плотность заряда которых равна о и —о. Ось Z совпадает с осью симметрии и направлена от отрицательных зарядов к положительным. Найти потенциал ср электрического поля внутри и снаружи сферической поверхности.
71. Потенциал фп бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид фП = фа при 0 < ф < л и Фп = <Р& при л < ф < 2л, где фа и — постоянные, ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности. Найти потенциал ср в каждой точке пространства в предположении, что внутри и снаружи цилиндрической поверхности зарядов нет.
72. Поверхностная плотность заряда бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид о — са при 0 < ф < л и о = Оь при л < ф < 2л, где аа и о& — постоянные, ф—полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности. Найти потенциал ср электрического поля в каждой точке пространства.
73. Решить задачу 69 путем разложения искомого потенциала ср в интеграл Фурье—Бесселя.
74. Тонкий диск радиуса R равномерно заряжен с поверхностной плотностью сг. Используя разложение в интеграл Фурье — Бесселя, найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
75. На поверхности тонкого диска радиуса R потенциал электрического поля имеет постоянное значение ф0. Используя разложение в интеграл Фурье—Бесселя, найти потенциал ф в каждой точке пространства в предположении, что вне диска заряды отсутствуют. Определить распределение поверхностной плотности а заряда на диске.
§ 6. Плотность заряда тел разной конфигурации
76. Потенциал ф электрического поля в цилиндрических координатах имеет вид
Ф = й(3/? — 2r) г cos ф при r^R,
Ф = -у- cos ф при r^R,
где а и R — постоянные. Найти распределение объемной плотности р заряда, создавшего это электрическое поле (обратная задача электростатики).
77. Найти распределение объемной плотности р заряда, создавшего в пространстве электрическое поле, потенциал ср которого в сферических координатах имеет вид
е , 2/? г2 \ п
45 = ад- I3 + ~—if) п₽н
ф = — при
где е и Я — постоянные^ Чему равен полный заряд Q?
78. Потенциал ф электрического поля в сферических координатах имеет вид ф = Q/R при г R и ф = Q/r при г R, где Q и 7? — постоянные. Найти распределение заряда, создавшего это электрическое поле.
79. Потенциал ф электрического поля в цилиндрических координатах имеет вид ф = 0 при г R и Ф=<71п-у- при г R, где q и R — постоянные. Найти распределение заряда, создавшего это электрическое поле, 80. Используя свойства 6-функции, найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородно заряженных систем: а) сферической поверхности радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью о (центр сферы совпадает с началом координат); б) тонкого кольца радиусом R, заряженного с линейной плотностью q (кольцо расположено в плоскости XY, а его центр совпадает с началом координат); в) бесконечной нити, совпадающей с осью Z и заряженной с линейной плотностью q\ г) плоскости XY, заряженной с поверхностной плотностью ст; д) бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью о (ось симметрии совпадает с осью Z).
81. Используя свойства 6-функции, а также функции ( 1 при а > 0,
Л (а) Q ПрИ а < о,
найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородных заряженных систем: а) полусферы радиуса R, заряженной с поверхностной плотностью и (начало координат совпадает с центром кривизны, а ось Z направлена в сторону выпуклости полусферы); б) полуокружности радиуса 32
R, лежащей в первой и второй четвертях плоскости XY и заряженной с линейной плотностью q (центр кривизны полуокружности совпадает с началом координат, а ее диаметр лежит на оси X); в) тонкого стержня длины I, лежащего на положительной части оси Z и заряженного с линейной плотностью q (один конец стержня находится в начале координат); г) тонкого диска радиуса R, лежащего в плоскости XY и заряженного с поверхности ной плотностью о (центр диска совпадает с началом координат); д) цилиндрической поверхности радиуса /? и высоты h, заряженной с поверхностной плотностью о (основание цилиндрической поверхности касается пло-скости XY, а ее ось симметрии совпадает с осью Z).
82. Равномерно заряженный с линейной плотностью q эллипс с полуосями а и b лежит в плоскости XY. Центр эллипса совпадает с началом координат, а большая полуось а находится на оси X. Определить распределение объемной плотности р заряда в декартовых координатах.
83. Эллиптическая поверхность вращения с полуосями а и b равномерно заряжена с поверхностной плотностью <з. Центр эллиптической поверхности совпадает с началом декартовой системы координат, а полуось b лежит на оси Z, являющейся осью аксиальной симметрии. Найти распределение объемной плотности р заряда в декартовых координатах.
84. Распределение объемной плотности заряда в пространстве в сферических координатах описывается при помощи б-функции следующим образом; р = -^-6(1 —cos20), где а — постоянная. Определить форму заряженного тела и характер распределения заряда на нем.
85. Определить вид заряженного тела и характер распределения заряда на нем, если объемная плотность заряда в пространстве описывается следующей функцией декартовых координат: а) р — 2астб (х2 — «2), где а и а — постоянные; б) р = 2aq6 (х2 — а2) 6 (z), где а и q — постоянные; в) р = 2q с? + й2б(х2 — 2«х — 2iw + y2) 6(z), где а, b и q — постоянные; г) р = 61 + р- — 1 ) б (z), где а, b и Q — постоянные; д) р = 6 +
+ ~г— 1J , где а, Ь, с и Q — постоянные.
2 А И Алексеев 33
§ 7. Дипольный момент
86. Доказать, что дипольный момент заряженной системы не зависит от выбора начала координат, если полный заряд системы равен нулю.
87. Коническая поверхность с образующей I и радиуса основания R равномерно заряжена с поверхностной плотностью а. Вершина конической поверхности на-. ходится в начале координат, а высота лежит на положительной части оси Z. Найти распределение объемной плотности р заряда в пространстве в сферических координатах. Используя полученное выражение, вычислить дипольный момент d.
88. Равномерно заряженный с линейной плотностью q тонкий стержень длины I лежит в первой четверти плоскости XY, образуя с осью X угол ф0. Один из концов стержня совпадает с началом координат. Найти распределение объемной плотности р заряда в пространстве в цилиндрических координатах. Используя полученное выражение, вычислить дипольный момент d.
89. Выразить через б-функцию распределение объемной плотности р заряда точечного диполя с моментом d, находящегося в точке с радиус-вектором г0.
90. Используя предельный переход
lim el = d z-»o e->°°
и выражение для потенциала зарядов е и —е, находящихся в точках с радиус-векторами г+ = г0 + 1 и г_= г0, определить потенциал ср электрического поля точечного диполя с моментом d.
91. Убедиться в том, что напряженность Е электрического поля диполя с моментом d, находящегося в начале координат, можно представить в виде
Е = (d grad) grad 1/r.
92. Диполь с моментом d расположен в начале координат, а центр шара радиуса R находится в точке с радиус-вектором г Заряд Q однородно заполняет
объем шара. Найти энергию U взаимодействия диполя с шаром, а также силу F, приложенную к шару.
93. Объем шара радиуса R заполнен зарядом с объемной плотностью р = аг2, где а — постоянная, а г — расстояние до начала координат, расположенного в центра 34
шара. В точке с радиус-вектором г0 находится диполь с моментом d. Определить силу F и момент N сил, приложенные к диполю в двух случаях: a) ro>-R; б) r0<R.
94. Диполь с моментом dj расположен с начале координат, а другой диполь с моментом d2 находится в точке с радиус-вектором г. Определить силу F и момент N сил, приложенные к каждому диполю.
95. Распределение объемной плотности заряда в пространстве имеет вид р(г) = (aV)6(r), где а—’Постоянный вектор. Пользуясь общим решением уравнения Пуассона, найти потенциал электрического поля в каждой точке пространства. По виду полученного потенциала определить физический смысл вектора а.
96. В каждой точке пространства задан электрический дипольный момент Р= Р(г) единицы объема. Векторная функция Р(г) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г2. Доказать, что заданное распределение плотности дипольного момента Р создает в каждой точке пространства такое же электрическое поле, как и заряд, распределенный с объемной плотностью р(г) = = —div Р(г).
§ 8. Тензор квадрупольного момента
97. Доказать, что тензор квадрупольного момента системы зарядов не зависит от выбора начала координат, если полный заряд и дипольный момент системы равны нулю.
98. В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода описывается функцией
2г
о —---------—— е '^а sin4 О
р 4 • З8 па7 е ’
где а — боровский радиус, а г — расстояние до протона, имеющего заряд е. Определить тензор квадруиоль-ного момента атома. Чему равен дипольный момент d?
99. Начало дека'ртовой системы координат совпадает с центром кривизны полусферы радиуса R, а ось Z направлена вдоль оси симметрии в сторону выпуклости поверхности. Определить компоненты дипольного d,, и тензора Dai3 квадрупольного моментов, если заряд Q равномерно распределен по: а) объему полусферы;
2* 35
б) поверхности полусферы; в) поверхности и основанию полусферы.
100. Окружность состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей. Определить компоненты тензора квадрупольного момента.
101. Равномерно заряженная по поверхности полу*, сфера радиуса /? имеет заряд Q и возвышается над плоскостью XY. Основание полусферы касается осей X и У в точках с положительными координатами. Определить компоненты тензора Da$ квадрупольного момента.
102. Однородно заряженная полуокружность имеет заряд Q и лежит в первой четверти плоскости XY. Один конец полуокружности находится в начале координат, а другой — в точке х = 2R оси X. Определить компоненты тензора Da$ квадрупольного момента.
103. Центр эллипса с полуосями а и b совпадает с началом декартовой системы координат. Большая полуось а лежит на оси X, а малая — на оси У. Линейная плотность q заряда на эллипсе однородна. Считая эксцентриситет е эллипса малым (е<^С 1), определить компоненты тензора Da$ квадрупольного момента с точностью до членов порядка е2.
104. Центр однородно заряженной с поверхностной плотностью о эллиптической поверхности вращения с полуосями а и b совпадает с началом декартовой системы координат. Полуось b лежит на оси Z, являющейся осмо вращения. Эксцентриситет е эллипса с полуосями а и b значительно меньше единицы 1). Сохраняя члены с наименьшей степенью параметра е, определить компоненты тензора Da$ квадрупольного момента.
105. В вершинах квадрата со стороной 2а расположены точечные заряды так, что знак заряда е меняется на противоположный при переходе к соседней вершине. Используя общую формулу Da3= Е ^(Зх^х^ — — rm^ae)> на1”!ГИ тензоры квадрупольного момента в декартовых системах координат XYZ и X'Y'Z', повернутых около общей оси Z === Z' (рис. 1). Определить матрицу поворота aap и убедиться непосредственным вычислением, что найденные тензоры Dap и D'u& удовлетворяют соотношению D'a$ = aaaa^Dav, где штрихом отмечены компоненты тензора квадрупольного момента в штрихов ванной системе координат.
106. Два одинаковых точечных диполя находятся на оси X на равном расстоянии а от начала координат. В точке с отрицательной координатой дипольный момент d антипараллелен оси X, а другой дипольный момент в плоскости XY образует с осью X угол а. Определить компоненты дипольного da и тензора квадруполь-
ного моментов системы.
107. Определить компоненты тензора Da$ квадру-польного момента однородно заряженного эллипсоида вращения с полуосями а и Ь. Центр эллипсоида вращения совпадает с началом декартовой системы координат, а полуось b лежит на оси Z, являющейся осью аксиальной симметрии. Полный за-
ряд равен Q. Какой вид примет тензор квадруполь-ного момента, если данный эллипсоид повернуть вокруг оси У на угол а по часовой стрелке?
108. Начало декартовой системы координат совпадает с центром однородно заряженного эллипсоида с полуосями а, b и с. Полуось с совпадает с осью Z, а
полуось а составляет с осью
X угол а. Полный заряд эллипсоида равен Q. Найти компоненты тензора квадрупольного мо-
мента.
109. Центр окружности радиуса R совпадает с началом координат. Один диаметр окружности лежит на оси X, а другой диаметр, перпендикулярный первому, составляет угол а с осью У и находится в первой и третьей четвертях плоскости YZ. Линейная плотность заряда на окружности однородна, а полный заряд равен Q. Определить компоненты тензора Dap квадрупольного момента в декартовой системе координат XYZ.
НО. Заряженная система характеризуется тензором Z)ap квадрупольного момента. Найти напряженность Е электрического поля в декартовых координатах.
111. Найти потенциал <р электрического поля в том случае, когда распределение объемной плотности заряда
в пространстве имеет вид
р<г)=й«Дз^5^-м2)б(г)>
где аа$ — произвольный постоянный тензор. Исследуя выражение, полученное для потенциала, определить физический смысл тензора аа$.
112. Выразить компоненты дипольного da и тензора Da$ квдраупольного моментов заряженной системы через соответствующие компоненты мультипольных моментов
где р — объемная плотность заряда, а У/т(0, ф)—сферическая функция.
113. Потенциал ср (г) внешнего электрического поля
незначительно меняется на протяжении размеров заря-
женной системы. Принимая во внимание полный заряд, а также дипольный и квадрупольный моменты, определить потенциальную энергию U заряженной системы в заданном внешнем поле, если указанная заряженная система представляет собой: а) три заряда е, е и —2е, расположенных на оси X на одинаковом расстоянии а друг от друга (отрицательный заряд
находится в точке х = 0 между положительными); б) три заряда е, е и —е, расположенных в плоскости XY в вер-
шинах равностороннего треугольника со стороной а и центром в начале декартовой системы координат (отрицательный заряд находится на положительной чаши оси X); в) квадруполь, изображенный на рис. 2; г) однородно заряженный эллипсоид с полуосями а, b и с, центр которого расположен в начале декартовой системы координат (полный заряд эллипсоида Q).
114. Потенциал ср (г) внешнего электрического поля
мало меняется на протяжении равномерно заряженного
тонкого диска эллиптической формы с полуосями а и Ь. Полный заряд диска равен Q, а полуоси а и b лежат соответственно на осях X и Y декартовой системы координат. Найти электростатическую энергию U диска во внешнем поле с учетом квадрупольного момента. Чему равна сила F, приложенная к диску?
115. Напряженность Е=Е(г) внешнего электрического поля мало меняется на протяжении области пространства, где расположен заряд с объемной плотностью р = р(г). Разлагая Е(г) в ряд Тейлора во внутренней точке заряженной области и пренебрегая старшими производными, выразить силу F=^pEdIZ, приложенную к заряженной системе, через ее полный заряд Q, дипольный момент d и тензор Оар квадрупольного момента.
116. Заряд с объемной плотностью р = р(г) сосредоточен в ограниченной области пространства. Напряженность Е = Е(г) внешнего электрического поля мало меняется внутри указанной области. Разлагая Е(г) в ряд Тейлора и пренебрегая старшими производными, выразить момент N = ^(rXE)pdV сил, приложенный к заряженной системе, через ее дипольный момент d и тензор Оа)з квадрупольного момента.
117. В сферических координатах средняя плотность заряда электронного облака возбужденного атома водорода задана
2 ег2 г\> ~
р = —-------- 16-----) е За cos 6,
! 3“ \ а ) ’
где а — боровский радиус, а г — расстояние до протона, имеющего заряд е. Напряженность Е внешнего электрического поля как функция координат меняется в пространстве незначительно. Определить силу F и момент N сил, приложенные к атому с учетом его квадрупольного момента.
118. Однородно заряженный с линейной плотностью 7 тонкий стержень длины 21 лежит в плоскости XY, образуя с осью X угол фо- Середина стержня находится в начале координат. На оси X на большом расстоянии от стержня расположен точечный заряд е. Определить момент N сил, приложенный к стержню относительно его середины.
§ 9. Поле на больших расстояниях от заряженной системы
119. Начало декартовой системы координат совпа-
дает с центром равномерно заряженного тела вращения,
а ось Z направлена по оси симметрии высшего порядка. Найти квадрупольный член в разложении потенциала <р
электрического поля на больших расстояниях, если указанным телом является: а) тонкое кольцо радиуса R,
заряженное с линейной плотностью q\ б) цилиндр радиуса R и высоты 2h, заряженный с объемной плотно-
стью р; в) цилиндрическая поверхность радиуса R и высоты 2/г, заряженная с поверхностной плотностью о;
г) отрезок длины 2/, заряженный - с линейной плотностью q.
120. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях с точностью до квадрупольного члена для следующей системы точечных зарядов: а) трех зарядов е, е и —2е, расположен-
ных на оси Z на одинако-
вом расстоянии а друг от друга (отрицательный заряд находится в точке г —0 между положительными); б) трех зарядов е, е и —е, расположенных в плоскости ХУ в вершинах равностороннего треугольника со стороной а и центром в начале декартовой системы координат (отрицательный заряд находится на положительной части оси У); в) квадруполя, изображенного на рис. 3.
121. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от двух одинаковых антипараллелытых точечных диполей, расположенных на оси X на равном расстоянии а от начала координат. В точке с положительной координатой х = а дипольный момент параллелен оси Z и равен d. Вычисления провести двумя способами: а) сначала вычислить тензор Da$ квадрупольного момента системы, а затем определить его электрическое поле; б) найти электрическое поле системы как суперпозицию полей отдельных диполей.
122. Два одинаковых однородно заряженных стержня длины I лежат в плоскости ХУ и образуют угол, рав-
ный -фо- Вершина угла совпадает с началом координат, а одна из его сторон направлена по оси X. Какова должна быть величина угла ф0, чтобы в точке х0 оси X на большом расстоянии от заряженных стержней диполь* ный потенциал равнялся квадрупольному?
123. Окружность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей, ко* торые лежат в первой четверти плоскости XY. Отрицательно заряженная полуокружность с зарядом —Q касается осей X и У, а диаметр, разделяющий разноименные заряды, параллелен оси X. Найти потенциал <р электрического поля на больших расстояниях с точно* стью до квадрупольного члена.
124. Равномерно заряженный по объему цилиндр радиуса R и высоты 2/г имеет заряд Q. Ось Z совпадает с образующей цилиндра, а ось X направлена по диаметру его основания. Найти потенциал <р электрического поля на больших расстояниях от цилиндра с точностью до квадрупольного члена.
125. Принимая во внимание полный заряд и квадру-польный момент, найти потенциал <р электрического поля на больших расстояниях от заряженной системы, если распределение объемной плотности заряда выражается следующей функцией декартовых координат:
а) + -1) где а> b и Q-по-
стоянные;
Q s f х2 + г/2 , z2 .Л .
б) р — „ 61 + ту — 1 ], где а, о и
’ 1 2ла2Ь \ а2 ' Ь2 ) ’
Q — постоянные;
в) р = -9Я б(А~ + тт + А—0’ где а, Ь, с и ' 1 2лаЬс У а2 1 Ь2 1 с2 ) ’ ’
Q — постоянные.
126. Полусфера радиуса R равномерно заряжена о поверхностной плотностью о. Используя разложение функции —- ~г/1 по сферическим функциям У(т(6, ф), представить потенциал ф электрического поля снаружи полусферы в виде разложения по мультипольным моментам -----------------р
<S“V итт К'-’ЩСв, V4V.
127. Окружность радиуса R состоит нз двух равномерно и разноименно заряженных полуокружностей с зарядами Q и —Q, Начало координат совпадает с
центром окружности, ось У направлена от отрицательных зарядов к положительным, а ось X разделяет эти заряды между собой. На большом расстоянии z R от окружности на ее оси находится диполь с моментом d, который параллелен оси Z. Определить силу F и момент N сил, приложенные к диполю.
128. Заряд Q однородно заполняет объем эллипсоида с полуосями а, b и с. Начало декартовой системы координат совпадает с центром эллипсоида, а полуоси а, b и с лежат соответственно на осях X, У и Z. В точке с радиус-вектором г па большом расстоянии от эллипсоида расположен диполь с моментом d. Найти электростатическую энергию U взаимодействия диполя с эллипсоидом с учетом диполь-квадрупольного члена.
129. Однородно заряженная полуокружность радиуса R имеет заряд Q. Центр кривизны полуокружности совпадает с началом координат, а ее диаметр лежит на оси X. Ось У направлена в сторону полуокружности. Принимая во внимание заряд Q, а также дипольный и квад-рупольпый моменты, найти силу F, приложенную к заряду е, находящемуся на оси Z на большом расстоянии от полуокружности.
130. Заряд е находится в точке с радиус-вектором г па большом расстоянии от однородно заряженного эллипсоида с полуосями а, b и с, которые направлены соответственно по осям X, У и Z декартовой системы координат. Полный заряд эллипсоида равен Q. Принимая во внимание квадрупольный момент, найти отклонение AF от закона Кулона для силы F, приложенной к заряду е.
131. Два возбужденных атома воодорода расположены на оси Z на большом расстоянии L друг от друга (L а, где а — боровский радиус). В сферических координатах средние плотности р[ и р2 зарядов электронных облаков этих атомов равны соответственно
1 е/ 2г‘
Р1 = —-gr^-e За sin20cos26,
1 ег\ -ХИ.
р2 =----------те За sin^S,
4 • З8 ла'
где е — заряд протона, а г< и г2 — расстояния от точки наблюдения до центра первого и второго атома. Определить энергию U квадруполь-квадрупольного взаимодействия атомов.
§ 10. Двойной электрический слой
132. Однородный двойной электрический слой имеет форму диска радиуса R, расположенного в плоскости XY. Центр диска совпадает с началом координат, а плотность дипольного момента т параллельна оси Z. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля на оси Z.
133. Однородный двойной электрический слой имеет форму полусферы радиуса R с центром кривизны в начале декартовой системы координат и осью симметрии, совпадающей с осью Z. Последняя обращена в сторону выпуклости полусферы. Плотность дипольного момента на полусфере направлена по радиусу наружу. Найти потенциал ср электрического поля на оси Z.
134. Двойной электрический слой в форме полуплоскости (у — 0, х Ji 0) имеет плотность дипольного момента т. Определить потенциал ф и напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства, если постоянный вектор т параллелен оси У декартовой системы координат.
135. Плоскость однородного двойного электрического слоя имеет круглое отверстие радиуса R. Начало декартовой системы координат совпадает с центром отверстия, а ось Z параллельна плотности дипольного момента т. Найти силу F, приложенную к точечному заряду е, находящемуся на оси Z.
136. Однородный двойной электрический слой имеет форму плоскости с выступом в виде полусферы. Плотность дипольного момента т в каждой точке составной поверхности параллельна ее нормали и направлена в полупространство, в которое вдается выступ. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
137. Доказать, что напряженность Е электрического поля однородного двойного слоя имеет вид Е (г) =
X. rfl' X (г — г')
=т Су—। г _ г' р—> гДе т—модуль вектора т плотности L
дипольного момента двойного электрического слоя, а di' — элемент замкнутого контура L, на который натянут двойной электрический слой, г и rz—радиус-векторы соответственно точки наблюдения и точки нахождения элемента d\'. Обход контура интегрирования L согласован с направлением вектора т правилом правого винта.
Глава II
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Вектор Н напряженности магнитного поля в вакууме определяется по силе
dF = 4(rflXH), (П.1)
действующей на элемент dl контура, по которому течет ток J. Здесь с — электродинамическая постоянная, численно равная скорости света в вакууме, с = ~ 3-1010 см!сек.
Постоянное магнитное поле в вакууме создается постоянными токами. Распределение токов в пространстве характеризуется объемной плотностью j (г), а на поверхности— поверхностной плотностью i (г). Кроме того, в пространстве может быть задан линейный ток I, текущий внутри очень тонкой и длинной трубки.
Напряженность постоянного магнитного поля удовлетворяет уравнениям Максвелла
rotH=~J, (П.2)
divH = 0. (П.З)
Если токи текут в конечной области, то напряженность постоянного магнитного поля на больших расстояниях г от тока убывает не медленнее, чем 1/г3. Это утверждение служит дополнительным условием к уравнениям Максвелла (II.2) и (П.З) при отыскании Н в неограниченном пространстве.
На поверхности, по которой распределен ток с поверхностной плотностью i, нормальная Нп = Нп и тангенциальная Нх = Нт составляющие напряженности
магнитного поля удовлетворяют соотношениям
Я2п-Я,„ = о, (II. 4)
H2x-Hlx=^iN, (II. 5)
где iN = iN, а единичные векторы п, т и N образуют правовинтовую тройку п Хт= N. Индексы 1 и 2 отмечают напряженность магнитного поля в первой и второй областях, лежащих по разные стороны токовой поверхности. Вектор п нормали этой поверхности направлен из первой области во вторую. Формулу (II. 5) часто записывают в векторном виде
nX(H2-H1) = ^-i.
Соотношения (II.4) и (11.5) являются граничными условиями в магнитостатике.
Используя свойства 6-функции, поверхностное распределение тока с плотностью i(r) можно учесть в объемной плотности j(r), которая будет сингулярной функцией, обращающейся в бесконечность в точках токовой поверхности. В этом случае при решении уравнений Максвелла (II. 2) и (II. 3) с полученной таким способом сингулярной функцией j(r) граничные условия (II.4) и (II 5) не потребуются.
Магнитное поле линейного тока J определяется при помощи закона Био и Савара
(г) = ~г?) , (II. 6)
где г и г' — радиус-векторы точки наблюдения и точки расположения элемента тока J dV. Согласно принципу суперпозиции полное магнитное поле равно сумме полей, созданных каждым элементом тока в отдельности,
Н (г) = — . (II. 7)
\ 7 с J | г — г |3 X /
Когда распределение тока обладает аксиальной симметрией или симметрией относительно плоскости, тогда для нахождения Н полезно воспользоваться теоремой о циркуляции напряженности магнитного поля
§ Н dl = J, (II. 8)
L
где J — алгебраическая сумма токов, охватываемых замкнутым контуром L. В общем случае ток J слагается из объемных, поверхностных и линейных токов, которые пронизывают произвольную поверхность, натянутую на контур интегрирования L.
С математической стороны удобно от двух уравнений (II. 2) и (II. 3) первого порядка перейти к одному эквивалентному уравнению второго порядка для векторного потенциала А, который определяется соотношением
H = rotA. (П.9)
Векторный потенциал определен неоднозначно, так как напряженность магнитного поля не меняется, если перейти к другому векторному потенциалу А' при помощи преобразования калибровки
A' = A + gradf, (П.Ю)
где f = f (г) — произвольная функция.
Чтобы ограничить произвол в выборе векторного потенциала, накладывают дополнительное условие Лоренца
divA = 0. (II. 11)
В этом случае векторный потенциал магнитного поля удовлетворяет уравнению Пуассона
V?A = -^j. (11.12)
На поверхности раздела двух областей выполняются граничные условия
— —I, (11.13)
(7П (7П С '
А, = А2. (II. 14)
Решение уравнения (II. 12) является непрерывной функцией в каждой точке пространства, в которой текут объемные и поверхностные токи с ограниченной плотностью. Граничное условие на линейном контуре, по которому течет ток J, записывается при г—>0 в виде А = т (-у- 1п у- + const) , где г — кратчайшее расстояние, от точки наблюдения до рассматриваемого контура, а т—вектор, касательный к контуру, указывающий направление тока. Если токи сосредоточены в конечной области, то векторный потенциал на больших расстоя-46
ниях г от тока убывает, как 1/г2 или быстрее. Эти замечания следует использовать совместно с граничными условиями (II. 13) и (II. 14) при отыскании решения уравнения Пуассона (11.12). По найденному таким образом векторному потенциалу определяют напряженность магии гпого поля путем дифференцирования (II. 9).
С другой стороны, если напряженность Н магнитного поля известна (например, получена из теоремы (II. 8)), то векторный потенциал А легко найти из соотношения (II.9), рассматриваемого как дифференциальное уравнение относительно -искомой функции А.
Векторный потенциал и напряженность магнитного поля объемных токов могут быть записаны в виде объемных интегралов
А (г) = 1 , (П.15)
н (г) = 1 С НИ X (г - И. dy, (п 16)
' ’ С J I Г — Г Р х '
Если объемный интеграл сходится, то векторный потенциал (II. 15) является общим решением уравнения Пуассона (11.12), удовлетворяющим граничным условиям (II. 13) и (II. 14) на поверхности раздела токов и вакуума. Иногда интеграл (II. 15) расходится или его не удается вычислить аналитически, тогда векторный потенциал магнитного поля находят путем решения уравнения Пуассона (II. 12) с учетом граничных условий (II. 13) и (II. 14).
В случае линейного тока величины А и Н получаются из выражений (II. 15) и (II. 16) путем замены
j(r')dV'-->7dl', (11.17)
которая преобразует объемные интегралы (II. 15) и (II. 16) в криволинейные интегралы по оси весьма тонкой трубки с линейным током J. Элемент dY оси этой трубки направлен в сторону течения тока J. После перехода в выражении (II. 16) к криволинейному интегралу получаем формулу (II. 7). В связи с этим выражение (II. 16) также называют законом Био и Савара.
/аналогично, для поверхностных токов в интегралах (11.15) и (II. 16) следует сделать замену j(r')dV'-> i (г7) dS'.
На больших расстояниях г от ограниченной области, в которой текут замкнутые токи, векторный потенциал и напряженность магнитного поля принимают вид
А = -^, (П.18)
Н==К1Д)Д_ JL (П. 19)
г5 г' к '
где ц— магнитный момент замкнутых токов. В случае объемных токов
М = ^$(гХП^. (11.20)
Для замкнутых линейных токов последнее выражение преобразуется к виду
(11.21) где
S = jjdS. (11.22)
Этот интеграл берется по произвольной поверхности, натянутой на контур токовой трубки, по которой течет линейный ток /. Модуль вектора S равен площади, наименьшей из поверхностей интегрирования. Если контур токовой трубки лежит в плоскости, то направление S связано с направлением тока J в трубке правилом правого винта.
Энергия магнитного поля
Г = (11.23)
В случае объемных токов, текущих в ограниченной области пространства, магнитную энергию (11.23) токов можно также вычислять по формуле
r = (11.24)
Магнитная энергия взаимодействия токов, текущих с объемными плотностями j1 и j2, определяется следующим образом:
^ = 4$ (П.25)
Сила F, приложенная к объемному току во внешнем магнитном поле с напряженностью Н, имеет вид
F = l$(jXH)dy, (11.26)
а магнитная энергия W взаимодействия указанного тока с внешним магнитным полем выражается через векторный потенциал А этого поля
r = y^jAd/. (П.27)
Если напряженность Н внешнего магнитного поля мало меняется на протяжении области пространства, где текут замкнутые токи, то магнитная энергия взаимодействия этих токов с внешним полем выражается через магнитный момент g замкнутых токов
Г = .иН. (П.28)
В этом случае сила F и момент N сил, приложенные к токам во внешнем магнитном поле, записываются в виде
F = (g grad) Н = grad (цН), (11.29)
N = mXH. (II. 30)
Формулы (11.29) и (11.30) аналогичны соответствующим формулам (1.36) и (1.37) электростатики, в которой выражение —dE представляет собой потенциальную энергию дипольного момента d во внешнем электрическом поле с напряженностью Е. Физическая величина gH в магнитостатике не является потенциальной энергией. В связи с этим иногда вводят в рассмотрение так называемую потенциальную функцию U = —gH, которая позволяет представить силу, приложенную к магнитному моменту во внешнем магнитном поле, в обычной форме F = —grad U. В механике применительно к частице с магнитным моментом g величина —gH называется энергией магнитного момента g во внешнем магнитном поле с напряженностью Н.
Суммарную объемную силу (11.26) можно заменить системой поверхностных сил, приложенных к поверхности объема V, внутри которого текут токи с объемной плотностью j,
= (11.31)
V s
Здесь n — орт внешней нормали замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V, а Та$ — максвелловский тензор натяжений
= <IL32>
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия в магнитостатике
138. Можно ли подобрать такое распределение электрического тока снаружи полой области, чтобы внутри нее напряженность магнитного поля имела вид: а) Н = Но; б) Н = b (zlx 4- xly + у12), где b — постоян*
, „ з (цг) г ц
пая; в) Н=—---------у, где вектор ц не зависит о г
координат и времени, а точка с радиус-вектором г — О находится вне полой области?
139. Можно ли создать в пространстве постоянный электрический ток с объемной плотностью j = ]ав~аг, где а — положительная постоянная, а объемная плотность заряда не зависит от времени?
140. Определить распределение объемной плотности j тока в пространстве, если напряженность Н магнитного поля этого тока имеет вид: а) Н = f(r) (аХг), где вектор а не зависит от координат и времени, a f(r)— произвольная дифференцируемая функция; б) Н = (ar)(b X г), где векторы а и b параллельны и не зависят от координат и времени; в) Н = Hrlr + Яе10 + Н^,, где компоненты вектора Н в сферических координатах
Яг = а(4-----у) cos0, Н0=а(~--------у-) sin0,
77^ = 0 при r^R, и 2aR5 Q ,, aR5 . о
пг = -ууг-cos е> #о= тут Sin 0,
77^ = 0 при r^R‘,
г) Н = Hrir 4- 4- Нг1г, где компоненты вектора Н
в цилиндрических координатах
Нг = 0, = gr, n, = b (R2 — г2) при г < R,
Hr = Hz = Q, Н^=^~ при r^zR.
Здесь a, b, g и R — постоянные.
141. Вычисляя ротор и дивергенцию напряженности Н магнитного поля, необходимо убедиться в том, что в случае магнитостатики выражение
Н (г) == 1 ( j (г2 Х (г ~ И- dV'
удовлетворяет уравнениям Максвелла. Здесь j(r') — объемная плотность постоянного тока в точке с радиус-вектором г', а с — скорость света в вакууме.
142. Непосредственным вычислением убедиться в том, что в случае постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н векторный потенциал А, удовлетворяющий условию Лоренца, можно записать в виде А = у (Н X г), >'Де г — радиус-вектор произвольной точки наблюдения.
143. Считая объемную плотность тока j = j(r) и ее первые производные непрерывными функциями в каждой точке рассматриваемой области (поверхностные и линейные токи отсутствуют), доказать, что нормальная составляющая вектора j на граничной с вакуумом поверхности обращается в нуль.
144. Постоянный ток течет с объемной плотностью j = j (г) в конечном объеме, который граничит с вакуумом. Функция ]‘(г) непрерывна внутри данного объема, включая точки граничной поверхности. Доказать, что j dV — 0.
145. Доказать, что общее решение уравнения Пуассона в магнитостатике
удовлетворяет условию Лоренца, если токи текут в ограниченной области или убывают на больших расстояниях от точки наблюдения не медленнее, чем 1/(г — г')2.
146. При каком условии энергию магнитного поля IT =Н2 г/Р’ можно представить в виде W = = jjAdV, где А — векторный потенциал магнитного поля тока, текущего с объемной плотностью j?
147. Электрический ток с объемной плотностью j = = j(r) течет в ограниченной области пространства.
Доказать, что вид формулы W = -^yihdV для магнит-, ной энергии тока не изменится, если от векторного потенциала А перейти к новому векторному потенциалу А'= Аgrad Д где / = /(г) — произвольная функция
148. Определить распределение поверхностной плотности тока, если напряженность Н однородного магнитного поля, созданного этим током, имеет вид: а) вектор Н параллелен оси У в области между плоскостями х — а и х — b (a <Z Ь) и равен нулю вне этой области; б) вектор Н параллелен оси У в полупространстве х <Z а, анти-параллелен оси У в полупространстве х > b (a <Z Ь) и равен нулю между плоскостями х = а и х = Ь-, в) вектор Н внутри цилиндрической поверхности параллелен ее оси и равен нулю снаружи.
149. Используя декарт овые, цилиндрические или сферические координаты и свойства 6-функции, найти распределение объемной плотности j тока в пространстве для следующих случаев: а) по цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью i0; б) по оси Z в положительном направлении течет линейный ток 7; в) ток с поверхностной плотностью i0 течет в плоскости X); г) в плоскости XY по бесконечно тонкому кольцу радиуса R течет линейный ток J, образуя правовинтову.о систему с осью Z, которая проходит через центр кольца; д) равномерно заряженная с поверхностной плотностью о сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью со, направленной вдоль оси Z; е) равномерно заряженная с поверхностной плотностью о поверхность кругового конуса с вершиной в начале координат вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью о, направленной вдоль оси Z (телесный угол конуса содержит положительную часть оси Z и равен 2л (1 — cos 0)).
150. Можно ли создать в плоскости YZ постоянный электрический ток с поверхностной плотностью
i = (e-«^ + e-^)f0,
где а и io — постоянные? 52
151. Определить конфигурацию области, по которой течет ток, а также характер распределения тока в ней, если объемная плотность тока в неограниченном пространстве описывается следующей функцией декартовых координат: a) j = 2aio6(x2 — а2), где а — постоянная, а постоянный вектор io параллелен плоскости KZ; б) j = = 2a/ly6(x2 — п2)б(г), где а и J — постоянные.
152. Ток J течет по тонкому замкнутому контуру L. Доказать, что для вычисления напряженности Н магнитного поля тока можно ввести скалярный потенциал Ф согласно формуле Н = —grad®. Найти уравнение и дополнительные условия, определяющие Ф.
153. Определить скалярный потенциал Ф и напряженность Н = —grad® магнитного поля линейного тока /, текущего вдоль оси Z.
§ 2. Магнитный момент
154. В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны
/г = /е = 0 и Д==-5г-----те 3asin0cos20,
lr Т З3 nma7 ’
где а — боровский радиус, й— постоянная Планка, пг и е — масса и заряд электрона, а г — расстояние до протона. Вычислить магнитный момент ц орбитального тока.
155. Распределение объемной плотности тока j в пространстве описывается выражением j = rot [aF(г)], где а — постоянный вектор, а функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г3. Выразить магнитный момент и тока через интеграл от функции F(r).
156. Объемная плотность тока в пространстве имеет вид ](г) = (а X V)6(r — г0), где а и г9 — постоянные векторы. Определить магнитный момент и тока.
157. Внутренний магнитный момент электрона по аб-и г» I в I h
солютнои величине равен магнетону Бора щ ,
где й— постоянная Планка, с — скорость света в вакууме, а е и т — заряд и масса электрона. Согласно классической модели электрон представляет собой одно-родно заряженный шар радиуса Рассматривая
внутренний магнитный момент как результат вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить угловую скорость со этого вращения. Во сколько раз изменится угловая скорость вращения, если предположить, что заряд е равномерно размазан по поверхности шара?
158. Доказать, что магнитный моменту = (rXj)^ тока, текущего в пространстве с объемной плотностью j = j(r), зависит от выбора начала координат. Предполагается, что магнитный момент тока имеет конечное значение.
159. В некоторой ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j(r). Напряженность Н внешнего магнитного поля вну!ри этой области однородна. Выразить магнитную энергию W =-^ jAtZP взаимодействия тока с внешним магнитным полем через магнитный момент ц = (г X j) dV тока. Здесь А —
векторный потенциал внешнего магнитного поля.
160. Однородно заряженный цилиндр произвольной высоты и радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью о. Полный заряд цилиндра равен Q, а его ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить магнитную энергию W взаимодействия цилиндра с внешним магнитным полем.
161. Внутри ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j(r). Напряженность Н внешнего магнитного поля во всем пространстве однородна. Выразить момент N = у j (г X (j X Н)) dV сил, приложенный к току, через ма! нитный момент и тока. Доказать, что момент сил не зависит от выбора фиксированной точки, относительно которой он вычисляется.
162. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о цилиндрическая поверхность радиуса R и высоты h вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью и. Ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить момент N сил, приложенный к цилиндрической поверхности
163. Напряженность Н = Н(г) внешнего магнитного поля мало меняется на протяжении некоторой конечной 54
области пространства, где текут токи с объемной плотностью j = j(r). Разлагая Н(г) в ряд Тейлора во внутренней точке данной области и пренебрегая старшими производными, выразить силу
F = |J(jXH)dV,
приложенную к току, через его магнитный момент и =
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях от тока
164. Однородно заряженный эллипсоид вращения с полуосями а и b вращается с постоянной угловой скоростью о вокруг своей оси симметрии. Полный заряд эллипсоида равен Q, а его полуось b лежит на оси вращения. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от эллипсоида.
165. Заряд Q равномерно распределен по конической поверхности (х2 -ф у2 = z2, Q^tz^th), которая вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью о. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от конической поверхности.
166. Ток J течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной а. Определить напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях г от тока.
167. Две одинаковые равномерно заряженные сферические поверхности радиуса Д расположены на большом расстоянии друг от друга. Полный заряд каждой сферической поверхности равен Q, а их угловые скорости вращения вокруг собственных осей симметрии равны сц и 02- Определить магнитную энергию W взаимодействия сферических поверхностей.
168. Заряд Q однородно заполняет объем конуса (х2 у2 — z2, 0 г h), который вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью ы. На большом расстоянии г от конуса находится частипа с внутренним магнитным моментом р. Определить силу F, приложенную к частице.
§ 4. Закон Био и Савара
169. Распределение объемной плотности тока в пространстве имеет вид j — /'(г)1, где 1 — постоянный вектор, а /(г)—скалярная функция декартовых координат. Доказать, что в каждой точке пространства напряженность магнитного поля тока перпендикулярна вектору 1.
170. Заряд Q однородно заполняет объем шара радиуса R. Найти напряженность Н магнитного поля в центре шара, если последний вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью о. Во сколько раз изменится напряженность магнитного поля в центре шара, если заряд Q равномерно размазать по его поверхности?
171. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о коническая поверхность (х2 + у1 = г2, 0 г
h) вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью о. Найти напряженность Н магнитного поля в вершине конической поверхности.
172. В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны
ir = = Q и
1 ейг3 • 3 а
-------г е sin3 0, 2-38 nina1 ’
где а — боровский радиус, й —постоянная Планка, т и е — масса и заряд электрона, а г — расстояние до протона. Орбитальный ток создает в пространстве магнитное поле. Найти напряженность Н этого магнитного поля в начале координат.
173. Средняя плотность заряда электронного облака е / 2г \
в атоме водорода равна р==-^-ехр!------— I, где а —
боровский радиус, г — расстояние до протона, а е — заряд электрона. Если поместить атом во внешнее однородное магнитное поле с напряженностью Но, то электронное облако придет во вращение, которое создаст в пространстве ток с объемной плотностью] (г X Но), где т — масса электрона, а с — скорость света в вакууме. На какую величину ДН изменится напряженность 56
магнитного поля в центре атома вследствие вращения электронного облака?
174. Заряд Q однородно распределен по объему шара радиуса R. Одна половина шара вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью <01, а другая вращается с постоянной угловой скоростью <о2 в противоположном направлении. Найти напряженность Н магнитного поля в центре составного шара. Какую часть заряда Q необходимо однородно распределить внутри первой вращающейся половины и какую во второй, чтобы напряженность магнитного поля в центре шара равнялась нулю?
175. Объемная плотность заряда в пространстве дается выражением
Р
Q х2 +у2 ____________
2ла2д I а2 ‘‘б2
1
где а и Ь — постоянные. Найти напряженность Н магнитного поля в начале координат, если заряды вращаются около оси Z с постоянной угловой скоростью и. Рассмотреть случаи а > b и а < Ь.
176. Шаровой сектор получен пересечением сферы радиуса R конической поверхностью с вершиной в центре сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового сектора, телесный угол которого равен 2л (1 — cosOo)-Определить напряженность Н магнитного поля в вершине шарового сектора, если последний вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью о.
177. Заряд Q равномерно распределен внутри конуса '(х2 ф- у2 = z2, который вращается вокруг
своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью о. В вершине конуса находится частица с внутренним магнитным моментом ц. Определить магнитную энергию W взаимодействия частицы с вращающимся конусом.
178. В сферических координата^ компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны
и
/г = /0 = О
etir —г~ . п
— --------г в а sm6.
где а — боровский радиус, й — постоянная Планка, т и е —масса и заряд электрона, г — расстояние до протона, имеющего внутренний магнитный момент р, направлен» ный по оси Z. Определить магнитную энергию W взаимодействия магнитного момента протона с орбитальным током. Поскольку орбитальный ток обусловлен движением электрона, а внутренний магнитный момент протона связан с его спином, данная задача описывает снин-орбитальное взаимодействие протона с электроном в атоме водорода.
179. Средняя объемная плотность тока в атоме водорода, обусловленная спином электрона, задана j = = сгоЦцо/7^)], где F(r) =^гехр(—Здесь а — боровский радиус, с — скорость света в вакууме, г — расстояние до протона, а цо—'внутренний магнитный момент электрона. Найти напряженность Н магнитного поля в центре атома водорода. Принимая во внимание, что протон имеет внутренний магнитный момент ц, определить магнитную энергию W взаимодействия протона с найденным магнитным полем. Поскольку внутренние магнитные моменты частиц связаны с их спинами, величина —W характеризует спин-спиновое взаимодействие электрона с протоном в атоме водорода.
180. Заряд Q равномерно распределен по объему эллипсоида вращения с полуосями а и b (a <Z Ь). Эллипсоид вращается с постоянной угловой скоростью о вокруг своей оси симметрии, проходящей вдоль полуоси Ь. В центре эллипсоида находится частица с внутренним магнитным моментом р. Определить момент N сил, приложенный к частице.
181. Бесконечно тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью о, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью (О. Пользуясь общей формулой
Н =1 С
i (г') X (г — г') г — г' |3
найти напряженность Н магнитного поля на оси диска. Здесь i(r')—поверхностная плотность тока, созданного вращающимся диском. Исследуя напряженность магнитного поля на больших расстояниях от диска, определить магнитный момент р вращающегося диска. Получить
магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле
B = -^$(rXi)dS.
182. Объемная плотность тока в пространстве выражается через б-функцпю следующим образом: j(r) = = (а X V)6(r — го), где а и г0 — постоянные векторы. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля. Исследуя полученные выражения, определить физический смысл вектора а.
183. Каждая единица объема электронного облака в атоме водорода имеет магнитный момент, обусловленный спином электрона. Распределение плотности магнитного момента описывается функцией ц0^(г)> гдецо — внутренний магнитный момент электрона, a F(г) — плотность электронного облака на расстоянии г от протона. Функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г. Показать, что данное распределение плотности магнитного момента создает в пространстве такое же магнитное поле, как и ток с объемной плотностью j = = с rot [jLiof (г)], где с — скорость света в вакууме.
184. По тонкой токовой трубке, образующей прямой угол, течет ток J. Найти напряженность Н магнитного поля в двух случаях: а) на оси X, являющейся продолжением одной из сторон прямого угла; б) на оси У, проходящей через вершину прямого угла перпендикулярно токовым линиям.
185. Чему равна напряженность Н магнитного поля в точках биссектрисы прямого угла на расстоянии г от его вершины в предыдущей задаче?
186. Ток J течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной а. Найти напряженность Н магнитного поля в вершине треугольника.
187. Ток J течет по тонкой токовой трубке, образующей квадрат со стороной 2а. Найти напряженность Н магнитного поля на оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости. Исследуя полученное выражение на больших расстояниях от квадрата, определить магнитный момент и тока.
188. Ток J течет по тонкой бесконечной прямой токовой I рубке, которая имеет локальное искривление в виде полуокружности радиуса R. Найти напряженность Н
магнитного поля в центре кривизны указанной полуокружности.
189. По тонкому кольцу радиуса 7? течет ток J. Используя закон Био и Савара, определить напряженность Н магнитного поля на оси кольца, выразив ее через магнитный момент |х тока.
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля
190. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет однородный ток с объемной плотностью j. Пользуясь интегральной формой уравнения Максвелла Н dl = — j dS, найти напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра. При помощи соотношения Н — rot А определить векторный потенциал А магнитного поля. При калибровке векторного потенциала принять, что он обращается в нуль на поверхности цилиндра.
191. Решить предыдущую задачу в предположении, что объемная плотность тока имеет аксиальную симметрию j = j(r), где j(r)—произвольная функция расстояния г до оси цилиндра.
192. Ток J однородно распределен по сечению бесконечного цилиндра радиуса R. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, прижимающую друг к другу две одинаковые половины цилиндра. Здесь F — сила, приложенная к единице длины одной из половин цилиндра. Подтвердить полученный результат независимым вычислением с использованием объемной силы.
193. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью io. Найти напряженность Н магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
194. По плоскости XY параллельно оси X течет однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти напряженность Н магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
195. В пространстве между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов Rt и R2 (Ri <j <.Rs) течет ток с объемной плотностью j, который однороден по сечению токовой трубки и параллелен ее 69
оси. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
196. Внутри неограниченной пластины параллельно ее поверхностям z = I и z — —I течет однородный ток с объемной плотностью j. Не прибегая к векторному потенциалу, определить напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи пластины, если токовые линии параллельны оси Y.
197. Вдоль прямой (х = I, у — 0) параллельно оси Л течет ток J, По другой прямой (х = —I, у = 0) течет антипараллельный ток той же величины. Найти напряженность Н магнитного поля. Исследовать Н на больших расстояниях от заданных токов.
198. Квадратная рамка со стороной а находится в одной плоскости с прямолинейным током /. На каком расстоянии г от тока расположена ближайшая сторона рамки, если поток магнитного поля через поверхность рамки равен Фо?
199. Прямолинейный ток Л находится в одной плоскости с током J2, текущим по тонкой квадратной рамке со стороной а. Ближайшая сторона рамки расположена на расстоянии г от тока Д и имеет одинаковое с ним направление тока. Чему равна сила F, приложенная к рамке?
200. По плоскости z = I параллельно оси У течет однородный ток с поверхностной плотностью io. По другой плоскости z = —I течет антипараллельный ток той же величины. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства. Какой вид приобретает вектор Н, если токи на обеих плоскостях параллельны оси У?
201. Линейный ток J течет по осн Z из бесконечно удаленной точки z — —оо к началу координат. В плоскости ХУ он растекается от начала координат во вес стороны равномерно. Определить напряженность Н магнитного поля во всех точках пространства и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через координатную плоскость XY. Представить вектор Н в виде суммы двух слагаемых Н = Hi + Н2, которые обусловлены соответственно линейным и поверхностным токами.
202. Линейный ток / течет по оси Z в положительном направлении, взяв начало в бесконечно удаленной точке z — —оо. В точке z — —R этот ток растекается по
поверхности однородной сферы радиуса 7? с центром в начале координат, а затем вновь собирается в диаметрально противоположной точке z = R и продолжает течь вдоль оставшейся части оси Z. Определить напряженность Н магнитного поля в пространстве и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через указанную сферу.
203. Исходя из закона Био и Савара
н(г)=—(Ь 5х(Г'~7зг'’-'
С J | г — г I3
L'
получить соотношение ф Н d\ = J. Здесь L — любой L
контур интегрирования, сцепляющийся с токовым контуром Lr, а Н — напряженность магнитного поля тока /.
204. В пространстве между двумя не коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов и Р2 (Ri +' -М < Лг) параллельно их осям течет однородный ток с объемной плотностью j. Расстояние между осями цилиндрических поверхностей равно I. Найти напряженность Н магнитного поля внутри цилиндрической полости радиуса R\.
205. Две неограниченные бесконечно тонкие пластины, лежащие в плоскости XZ, разделены между собой щелью ширины а. Центральная линия щели совпадает с осью Z. По пластинам параллельно оси Z течет однородный ток с поверхностной плотностью io. Найти напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях г>а от щели с учетом членов порядка 1/г.
206. Цилиндр радиуса R\ расположен не коаксиально внутри другого цилиндра радиуса Р2. Вдоль первого и второго цилиндров текут однородные антипараллельные токи с объемной плотностью соответственно ji и j2. Ток наружного цилиндра не проникает во внутренний. Расстояние между параллельными осями бесконечных цилиндров равно I. Найти силу F, приложенную к единице длины внутреннего цилиндра.
207. Определить величину W = — jiA2 dV, отнесенную к единице длины цилиндров, которые описаны в предыдущей задаче. Здесь А2 — векторный потенциал магнитного поля тока j2. Для однозначности результата 62
принять, что векторный потенциал, созданный токами каждого однородного сплошного цилиндра, равен нулю на его поверхности. Убедиться, что сила, приложенная к единице длины внутреннего цилиндра, по абсолютной величине равна г ——хг-
§ 6. Уравнения Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями
208. В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Аг — Ло = 0, а третья имеет вид
Л^, = «г^------^-^sinO при r^R
и
л 2°Я5 • а
15г- Sin^
при r~^R,
где а и R— постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным птенциалом.
209. В цилиндрических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = Az = 0, а третья имеет вид
A^ — ar (R2 — -у) при г <7? и
А^ = ~2Г пРи
где а и R — постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
210. В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Лг = Ло = О, а третья имеет вид
yl^ = arsin0 при r^R и Л^ = —— sin0 при r^R,
где а и R — постоянные. Найти распределение поверхностной плотности i тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
211. Переход от векторного потенциала А (г) к новому векторному потенциалу А'(г) = А(г) -f- grad f не изменяет напряженности постоянного магнитного поля, где / = /(г) — произвольная функция координат. Какому условию должна удовлетворять функция /(г), чтобы переход к новому векторному потенциалу не нарушал также условия Лоренца в магнитостатике?
212. Объемная плотность тока в пространстве меняется от точки к точке по периодическому закону j = jo cos kr, где постоянные векторы jo и к удовлетворяют соотношению kjo = 0. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля, которые созданы этим током в неограниченном пространстве.
213. Объемная плотность тока в полупространстве 2 еД 0 имеет периодическую структуру j = jo cos kr, где постоянные векторы j0 и к удовлетворяют соотношению kjo = 0, причем вектор j0 параллелен плоскости ХУ, а три компоненты вектора к отличны от нуля. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке пространства.
214. По плоскости XY течет ток с поверхностной плотностью i = i0 cos 1г, где постоянные векторы io и 1 лежат в указанной плоскости и удовлетворяют соотношению По = 0. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке пространства.
215. По декартовым плоскостям XY, XZ и YZ текут поверхностные токи с плотностью соответственно ii = ai cos hr, i2 = a2cosl2r и !3 = азсоз1зг. Постоянные векторы h, I2 и 13 удовлетворяют условию aji = a2h = = аз!з = 0 и лежат в плоскостях соответственно XY, XZ и YZ. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке пространства.
216. Внутри бесконечной пластины, ограниченной плоскостями х = а и х = —а, течет ток с объемной плотностью j = j0 sinZiX sin ky, где постоянный вектор jo параллелен оси Z. Найти векторный потенциал А магнитного поля внутри и вне пластины.
217. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j = jors cos пф, где г — цилиндрическая координата, ф— полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндра. Целое положительное число п и константа s удовлетворяют условию n2 =# (s2)2. Найти векторный потенциал А магнитного поля внутри и снаружи цилиндра, 64
218. Объемная плотность тока в цилиндрических координатах имеет вид
cosnip при r^R,
j=jo( —) cosnip при r^R,
где постоянный вектор jo параллелен оси Z, R — постоянная, а целое положительное число п больше единицы. Найти векторный потенциал А магнитного поля в каждой точке пространства.
219. Бесконечный цилиндр радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью р, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью со. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра.
220. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j — j(r)> гДе г — расстояние до оси цилиндра. Пользуясь уравнением для векторного потенциала А, найти его значение внутри и снаружи цилиндра. Произвольное постоянное слагаемое векторного потенциала выбрать так, чтобы величина А обращалась в нуль на поверхности цилиндра.
221. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью р, вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью со. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи шара. Выразить А и Н во внешней области шара через его магнитный момент ц.
222. Используя тензор натяжений Максвелла и результаты предыдущей задачи, определить магнитостатическую силу F, с которой одна половина шара действует на другую в направлении оси вращения.
223. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i = i0 cos nip, где n — целое число (п>1), ip— полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности и направлена в ту же сторону, что и постоянный вектор io. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
3 А. И. Алексеев
65
224. Используя уравнение для векторного Ттотен-циала, решить предыдущую задачу в предположении, что п — 0.
225. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью (о и одновременно движется со скоростью V вдоль той же оси. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
226. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью а сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью й>. Найти векторный потенциал А и напряженность Н магнитного поля в произвольной точке пространства. Исследуя полученные выражения, определить магнитный момент и вращающейся сферы. Получить магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле ft = ~ (г X •) dS, где i — поверхностная плотность тока, образованного вращающейся сферой.
227. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R течет ток с поверхностной плотностью i = ц при 0<ф<л и i = i2 при л < ф < 2л, где ц и i2—« постоянные векторы, ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности и параллельна Векторам ц и i2. Найти векторный потенциал А магнитного поля внутри и снаружи цилиндрической поверхности.
228. Компоненты Нг, Нв и напряженности Н магнитного поля в сферических координатах
,, , (R2 г2 \ Q
Hr — b I ~5------I cos 0,
\ о у
H0 — b(^---------y)sin0, Н^== 0
при г < R
и
//r = 4^cos0> ^e = ^-sin0, = 0 при г > R,
где b и R — постоянные. Пользуясь соотношением Н = rot А, определить векторный потенциал А магнитного поля при дополнительном условии div А = 0.
229. Определить энергию 17 магнитного поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R, Которая вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью го. Полный заряд сферы Q. Выразить энергию W через магнитный момент и вращающейся сферы.
230. Определить энергию W магнитного поля одно-родно заряженного шара радиуса R, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью го. Полный заряд шара Q. Выразить энергию W через магнитный момент ц вращающегося шара.
231. Определить энергию IF магнитного поля, приходящуюся на единицу длины однородно заряженного цилиндра радиуса R, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью го. Заряд на единицу длины цилиндра равен q. Выразить энергию 17 через магнитный момент ц единицы длины вращающегося цилиндра.
232. Определить энергию 17 магнитного поля, приходящуюся на единицу длины равномерно заряженной с плотностью о цилиндрической поверхности радиуса R, которая вращается вокруг своей оси с угловой скоро-стыо го. Выразить энергию 17 через магнитный момент р. единицы длины вращающейся цилиндрической поверхности.
233. Определить энергию 17 магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности, описанной в задаче 223.
234. По одной половине бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i, а по другой половине Течет антипараллельный ток той же величины. Определить энергию 17 магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности.
235. Вдоль цилиндра радиуса R течет однородный ток /, а по другому цилиндру того же радиуса течет антипараллельный ток той же величины. Определить векторный потенциал А магнитного поля на больших расстояниях От цилиндров. Будет ли конечной энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины такой системы?
Глава Ill
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Напряженности электрического Е и магнитного Н полей в общем случае удовлетворяют уравнениям Максвелла:
rot E — _ 1 aH c dt ’ (III. 1)
rot H _ 4л . . 1 PE c * ' c dt ' (III. 2)
div E = 4np, (III. 3)
div H = 0, (HI. 4)
где р и j — распределение объемной плотности заряда и тока в пространстве.
Точечные заряды е,- (i = 1, 2, М), движущиеся
со скоростями V,-, создают в пространстве распределение объемной плотности заряда и тока согласно формулам
Р (г, /) = Е efi (г — П), j (г, 0 = Е eyfi (г — г,), (III. 5) t=l i=1
где гг- = г,(/)—радиус-вектор г-го заряда. Функция г4(/) задается в каждом отдельном случае или находится путем решения уравнения движения.
Из уравнений (III. 2) и (Ш.З) вытекает уравнение непрерывности
divj+4f- = O, (III. 6)
интегрированно которого по объему приводит к закону сохранения заряда
= (III. 7)
s
Здесь Q — полный заряд внутри замкнутой поверхности S, ограничивающей данный объем.
Иногда разложение электромагнитного поля в интеграл Фурье содержит только компоненты с малыми частотами со <§; где L — максимальный линейный размер рассматриваемой области пространства. Такое медленно переменное электромагнитное поле внутри данной области называется квазистационарным. Оно описывается уравнениями Максвелла (III. 1) — (III.4), 1 <эн 1 <5Е ,
в которых слагаемые — и опущены (что эквивалентно пренебрежению эффектами, связанными с конечностью скорости распространения электромагнитного возмущения внутри указанной области). Например, система зарядов вг (i = 1, 2, ..., N), движущихся с нерелятивистскими скоростями Vi с внутри объема с максимальным линейным размером I, создает в вакууме электромагнитное поле с частотами в интервале
V,
О^со^ — , которое является квазистационарным в обширной области пространства с линейным размером где v — наибольшая скорость этих зарядов Векторный потенциал А (г,/) и напряженность Н (г,/) квазистационарного магнитного поля описываются теми же уравнениями, что и в магнитостатике, а время t входит в них в качестве параметра. Аналогично, скалярный потенциал <p(r, t) и напряженность Е(г, t) электрического поля в квазистационарной области определяются так же, как и в электростатике. В частности, на больших расстояниях I <С г — I от заряженной системы с максимальным линейным размером I справедливы формулы (1.14), (11.18) и (11.19), в которых источники поля зависят от времени t как от параметра.
Дипольный момент, тензор квадрупольного момента и магнитный момент системы движущихся зарядов
а=Хе;г;, Da& == £ (Ш-8)
Is"! 1 = 1
где радиус-вектор r1 = rI(/) и скорость vt = Vi(Z) i-ro заряда являются функциями времени.
Электромагнитные поля, распространяющиеся в вакууме при отсутствии зарядов и токов, называются электромагнитными волнами. Они описываются однородными уравнениями Максвелла.
В свободном пространстве однородные уравнения Максвелла сводятся к двум независимым волновым уравнениям
V2E-^--g^0, (Ш. Ю)
V2H--i-^- = 0. (III. 11)
При этом отбираются лишь такие решения последних уравнений, которые удовлетворяют также однородным уравнениям Максвелла.
Исследование электромагнитных волн в вакууме обычно проводят при помощи электромагнитных потенциалов, которые выбирают так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю <р = 0, а векторный потенциал А удовлетворял уравнению
V2A — = 0 (III. 12)
и дополнительному условию
divA = 0. (III. 13)
Тогда напряженности электрического и магнитного полей электромагнитной волны выражаются через векторный потенциал следующим образом:
Е = H = rotA. (III. 14)
Электромагнитные волны, которые описываются векторным потенциалом
А = А(/- пА = 0, (III. 15) называются плоскими. Они распространяются в направлении единичного вектора п.
Напряженности электрического Е и магнитного Н полей плоской волны равны по модулю Е = Н и составляют с вектором п правовинтовую тройку
H = nXE. (III. 16)
Плотность потока электромагнитной энергии s = = —(EXH) и плотность импулься g = s электромагнитного поля связаны с плотностью энергии w — — -±- (Е2 + Н2) в плоской волне соотношениями оЛ
s = сйУП, g = ~wn. (III. 17)
Электромагнитные волны, у которых зависимость от времени t описывается простой периодической функцией вида cos(oj/ + a), называются монохроматическими. Величина со представляет собой циклическую частоту (или просто частоту) этих волн. Важным частным случаем таких волн является монохроматическая плоская волна.
Напряженность электрического поля монохроматической плоской волны бывает полезно представить как вещественную часть комплексного выражения
E = Re[E0eHkr-<oO], (III. 18)
где кг — at— фаза волны, к —волновой вектор (й=со/с), со— циклическая частота (или просто частота) волны, a Eq —комплексный вектор, удовлетворяющий условию Еок = 0 поперечности электромагнитных волн в вакууме. Модуль вектора Ео связан с амплитудой волны. Для напряженности магнитного поля рассуждения аналогичны.
От вектора Ео отделяют комплексный множитель е~‘а таким образом
E0 = be~Za, (III. 19)
чтобы квадрат вектора
b = b1 + ib2, (III. 20)
как и сдми векторы bi и Ьз> были бы вещественными величинами. Для этого должно выполняться условие bjb2 — 0. Кроме того, вещественные векторы Ь( и Ь2 перпендикулярны волновому вектору к, указывающему направление распространения волны (III. 18).
Если выбрать ось X вдоль вектора Ьц а ось Z по направлению распространения волны, то проекции напряженности электрического поля (III. 18) запишутся
= bi cos (со/ — kz + a), Ey — ±b2 sin {at — kz а).
(111.21)
Переменные величины Ех и Еу удовлетворяют уравнению
Ei Е?-
+ (П1.22)
Д bl
Видно, что в каждой точке пространства конец вектора напряженности электрического поля описывает эллипс в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такие волны называются эллипти-чески-поляризованными. Знаки фи — перед коэффициентом Ь2 в формуле (III.21) соответствуют правой и левой поляризациям.
В случае b\ = b2 — b эллипс превращается в окружность, и волна (III. 18) называется поляризованной по кругу или циркулярной. Величина 6, численно равная модулю напряженности электрического поля, является амплитудой этой волны.
Когда один из векторов bi или Ь2 обращается в нуль, волну называют линейно-поляризованной (поляризованной в плоскости). Ее записывают в одном из двух видов
Е = IjE’ocos (со/ — kr + а), (III. 23)
Е = 1Есег (kr-^-а), (Ш. 24)
где 1 —единичный вектор поляризации, Ео — амплитуда, а а — постоянный сдвиг фазы. Физический смысл имеет только вещественная или мнимая часть комплексного выражения (III. 24).
В идеальном случае, когда длина волны бесконечно мала, распространение электромагнитных волн описывается законами геометрической оптики. Если длину волны нельзя рассматривать как бесконечно малую, то наблюдается отклонение от геометрической оптики, а возникающие при этом специфические явления в распространении волн называются дифракцией. Дифракция приводит, например, к размытию резкой границы между светом и тенью за непрозрачным телом (экраном), который находится на пути распространения света. Дифракционные явления заметно различаются между собой в зависимости от расстояний от источника излучения и точки наблюдения до экрана.
Когда источник излучения электромагнитных волн или точка наблюдения или то и другое находятся на 72
конечном расстоянии от экрана, возникающее дифракционное явление называется дифракцией Френеля.
Если источник излучения электромагнитных волн и точка наблюдения находятся на очень больших (бесконечных) расстояниях от экрана, то имеет место дифракция Фраунгофера.
Дифракция Фраунгофера наблюдается в особо интересном для практических применений случае, когда на пути распространения плоской электромагнитной волны находится плоский экран. Появляющиеся дифрагированные волны легко определить приближенно, если ограничиться малыми отклонениями от геометрической оптики, т. е. малыми углами между направлениями распространения дифрагированной и падающей волн. Ниже рассматривается только этот простейший случай.
Пусть плоский экран совпадает с плоскостью ХУ и имеет отверстие площади 3. На него падает монохроматическая плоская волна, которую запишем в комплексном виде (III. 24). Обозначим посредством и любую из компонент векторов Е и Н этой волны без временного множителя e~iat. Поскольку отклонение от геометрической оптики мало, поле в точках отверстия такое же, как и в отсутствии экрана, т. е. описывается величиной и = «о, взятой в точках отверстия. Другими словами, поле дифрагированной волны в точках отверстия экрана совпадает с полем падающей плоской волны. В точках на экране дифрагированное поле равно нулю.
В указанных предположениях компонента Фурье дифрагированной волны, рассмотренной в точках отверстия экрана, запишется в виде двукратного интеграла
ыч — \ u,fi'^rdxdy, (III.25)
s J
где интегрирование ведется по поверхности отверстия в экране. Вектор q лежит в плоскости ХУ. Он связан соотношением k' = k + q с волновыми векторами кик' падающей и дифрагированной волн (й = &'== м/с). Угол 9 между волновыми векторами кик' называется углом дифракции. Поскольку углы дифракции малы 0 1, модуль вектора q выражается через частоту
падающей волны следующим образом:
® а <7 = — 0. Ч с
(III. 26)
Угловое распределение интенсивности дифрагированной волны в среднем по времени за период колебания
di = АI j Uq
2 dqxdqy __ /0 / о \21 % (2л)2 3 \ 2лс J | иа
2
dQ.
(III. 27)
В этой формуле 3 — площадь отверстия в экране, dQ, = 0 d0 dip — элемент телесного угла, а /0 — усредненная по времени полная интенсивность падающей монохроматической плоской волны, проходящей через отверстие нормально плоскости экрана.
Дифрагированные волны за экраном можно также определить путем решения волнового уравнения с соответствующими граничными условиями на поверхности экрана и в точках его отверстия.
Два экрана называются дополнительными по отношению друг к другу, если один из них имеет отверстие там, где другой непрозрачен, и наоборот. Для таких экранов справедлив принцип Бабине: дополнительные экраны дают одинаковые распределения интенсивности дифрагированного света.
§ 1. Уравнение Максвелла
236. Может ли существовать внутри полой области переменное во времени электрическое поле без магнитного?
237. Может ли существовать переменное во времени магнитное поле без электрического?
238. Может ли существовать однородное электрическое поле при наличии переменного во времени магнитного поля?
239. Может ли однородное электрическое (или магнитное) поле быть переменным во времени?
240. При выводе закона сохранения электромагнитной энергии как следствия уравнений Максвелла обычно заменяют выражение~ (Н rot Е — Еrot Н) через divs, где s = (Е X И) — вектор Пойнтинга. Доказать, что s —не единственный вектор, дивергенция которого равна указанному выражению.
241. В цилиндрических координатах компоненты вектора напряженности магнитного поля в свободном 74
пространстве имеют вид Нг = — 0 и Hz — Н(r,t),
где функция H(r, t) и ее производные ограничены. Определить напряженность Е вихревого электрического поля, индуцированного данным магнитным полем.
242. Заряд Q и масса т однородно заполняют объем шара. В начальный момент времени = 0 включается внешнее магнитное поле с напряженностью Н = Н(?), которая постоянна по направлению и удовлетворяет начальному условию Н (0) = 0. Зависимостью вектора Н от координат в пределах шара можно пренебречь. Под влиянием магнитного поля шар приходит во вращение. Пренебрегая обратным влиянием вращающегося шара на внешнее магнитное поле, определить угловую скорость (о вращения.
243. Доказать, что запаздывающие электромагнитные потенциалы
А<г- ')”7i |,-г-| dv'-
ФС.М-- |— й —
удовлетворяют условию Лоренца
divA + -4r = 0-
1 с dt
Предполагается, что написанные объемные интегралы сходятся.
244. Найти уравнения для скалярного <р и векторного А потенциалов в кулоновской калибровке div А = 0« Величины <р и А определяются соотношениями
Е = —gradtp—Н = rot А.
v с dt
§ 2. Плотность заряда и тока
245. Заряд е движется в плоскости XY по прямой у — х — I, имея постоянную скорость v и удаляясь от начала координат. В начальный момент времени to — 0 он находился на оси X. Найти распределение объемной
плотности р заряда и объемной плотности j тока в пространстве.
246. Заряд е совершает гармоническое колебание вдоль оси X по закону х — a sin od. Написать выражение для объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока. Проверить справедливость уравнения непрерывности для этих величин. Найти средние по времени за период Т = объемные плотности заряда р и тока j и доказать, что
р dV — е.
247. Заряд е движется в плоскости XY по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью <в. В начальный момент времени /0 = 0 он находился на оси X. Написать выражение для объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока в цилиндрических координатах, начало которых совпадает с центром окружности. Проверить справедливость уравнения непрерывности для величин р и j. Доказать, что средние по времени за период Т = 2л/со объемные плотности заряда и тока р и j удовлетворяют соотношениям
со со
р dV — е, dr dzj^ = -~-.
О — оо
248. Равномерно заряженная с линейной плотностью q окружность радиуса R вращается с угловой скоростью со вокруг своего диаметра. Найти распределение объемной плотности р заряда и объемной плотности j тока в пространстве в сферических координатах. Начало координат совпадает с центром окружности, а ось Z направлена по оси вращения. Проверить справедливость уравнения непрерывности для найденных величин.
249. Заряд Q однородно заполняет объем шара радиуса R, который вращается вокруг своего неподвижного диаметра с переменной во времени угловой скоростью ®. Найти распределение объемных плотностей заряда р и тока j в пространстве в сферических координатах.
250. Определить квазистапионарное электромагнитное поле заряда е, который медленно движется с постоянной скоростью V.
§ 3. Магнитный, дипольный и квадрупольный моменты движущихся зарядов
251, Заряд Q и масса т однородно заполняют объем шара радиуса R, который вращается с произвольной угловой скоростью й) = й)(/) вокруг своего неподвижного центра. Определить магнитный момент ц вращающегося шара. Чему равен коэффициент р пропорциональности между магнитным ц и механическим М моментами ц = рм?
252. Замкнутая механическая система состоит из двух произвольно движущихся частиц, заряды которых 61 и е2, а массы т.\ и т2 соответственно. Доказать, что если начало координат выбрано в центре инерции, то магнитный ц и механический М моменты системы пропорциональны друг другу, и найти коэффициент пропорциональности.
253. Механическая система конечного числа частиц с одинаковым отношением заряда к массе движется в пространстве. Какому условию должен удовлетворять полный импульс Р системы, чтобы суммарный магнитный момент всех частиц не зависел от выбора начала координат?
254. Равномерно заряженный тонкий диск радиуса R вращается с угловой скоростью ю вокруг своего неподвижного диаметра. Полный заряд диска Q. Вычислить магнитный момент ц вращающегося диска.
255. Равномерно заряженная с линейной плотностью q квадратная рамка со стороной а вращается с угловой скоростью й) вокруг одной из своих сторон. Вычислить магнитный момент ц вращающейся рамки.
256. Нейтрон с магнитным моментом движется по заданной траектории и его радиус-вектор гн меняется со временем как гн = гн(О- Определить распределение плотности 1£1 магнитного момента в пространстве
1н(г, /)= lira Z- ,
AV->0
где Дц(г, t) — магнитный момент элемента объема ДК. Последний в результате предельного перехода ДК->0 стягивается к точке с радиус-вектором г.
257. Частица с массой т и зарядом е совершает эллиптическое движение в кулоновском потенциальном поле притяжения а/r, где а < 0. Полная энергия частицы равна <S. Найти средний по времени за период
движения дипольный момент d заряда. Выразить его через специфический интеграл движения в кулоновском поле I = v X М + -у-, где v — скорость заряженной частицы, а М — ее момент.
258. Радиус-вектор r<j точки расположения диполя с моментом d = d(/) меняется со временем по заданному закону rd — Td(t). Определить распределение объемных плотностей заряда и тока в пространстве. Вычислить магнитный момент ц найденного тока.
259. Точечный диполь с моментом d вращается по окружности радиуса 7? с постоянной угловой скоростью <в. Окружность лежит в плоскости XY, а ее центр совпадает с началом координат. Вектор d постоянен по модулю и направлен по касательной к окружности в сторону вращения от оси X к У. Определить тензор Da$ квадрупольного момента системы.
269. Частица с массой т и зарядом е совершает эллиптическое движение в кулоновском потенциальном поле а/r, где а < 0. Полная энергия и момент частицы равны соответственно & и М. Начало декартовой системы координат помещено в центр силового поля, а ось X направлена по большой полуоси эллиптической траектории, лежащей в плоскости XY. Найти средние по времени за период компоненты тензора Da$ квадрупольного момента движущегося заряда.
261. В резерфордовской модели атома водорода электрон с массой т и зарядом е движется по эллиптической орбите, имея энергию & и момент М. Большая полуось а эллипса совпадает с осью X, а орбита лежит в плоскости XY. Определить среднюю за период движения напряженность квазистационарного электрического поля на больших расстояниях г от атома с учетом дипольного момента и тензора квадрупольного момента. Исследовать полученный результат в предельном случае, когда эллипс превращается в окружность.
§ 4. Электромагнитные волны
262. Векторный потенциал плоской линейно-поляризованной волны имеет вид А = 1F(со7— кг), где со == kc, 1 — постоянный вектор, a F — дифференцируемая функция своего аргумента. В рассматриваемой калибровке электромагнитных потенциалов скалярный потенциал
равен нулю тождественно и div А = 0. Определить вектор Пойнтинга s и плотность энергии w электромагнитной волны.
263. Покоящийся цилиндр радиуса R и высоты h расположен перпендикулярно направлению распространения монохроматической плоской электромагнитной волны, которая описывается векторным потенциалом А = = AqCos(<bZ — kr + а). Длина волны мала по сравнению с величинами Rah, поэтому за цилиндром простирается область тени. На поверхности цилиндра электромагнитная волна полностью поглощается. Определить силу F, приложенную к цилиндру в среднем по времени за период Т = 2л/о).
264. Монохроматическая плоская электромагнитная волна, описываемая векторным потенциалом А = = A0cos(<b/ — kr + a), падает на поверхность неподвижного шара радиуса R и полностью отражается от этой поверхности. Длина волны мала по сравнению с радиусом R, поэтому за шаром находится область тени. Определить силу F, приложенную к шару в среднем по времени за период Т = 2л/<в.
265. Линейно-поляризованная и циркулярная волны в комплексном виде записываются так:
Е — Re (lwCoe* (kr-“Z)), Е — Re (bwCoez (kr-“Z)),
где %= 1, 2, Co — комплексная постоянная, 1^) и bW — единичные векторы поляризации, которые удовлетворяют условиям
ь^^ 0Л2 = о’, ь'^ь2*’
Индекс X отмечает два независимых состояния поляризации волны, отвечающих одному и тому же волновому вектору к. Доказать, что для линейно-поляризованной и циркулярной волн справедливы следующие правила суммирования:
£ (Alw) (В1(А)) = АВ - 4- (Ак) (Вк),
Х = 1
2
£ (Ab(A))(Bbw)*= АВ* —-р-(Ак) (В’к),
Х=1
где А и В — произвольные комплексные векторы.
266. Две монохроматические волны Ei = Eos cos (со/— — kr + al) и Е2 = Еи cos (at — kr + а2) поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Считая амплитуды этих волн одинаковыми, найти поляризацию результирующей волны.
267. Две монохроматические волны поляризованы по кругу в противоположные стороны и распространяются в одном направлении. Амплитуды и частоты волн одинаковы, а фазы отличаются на постоянную величину. Определить суммарную волну.
268. Амплитуда правополяризованной круговой волны равна А, а левополяризованной — В. Частоты и фазы этих волн одинаковы. Определить поляризацию результирующей волны.
269. Плоскости поляризации двух монохроматических волн
Е1 = Е01 cos (W — kr + aj, Е2 = Е02 cos (со/ — kr + а2)
наклонены под некоторым углом друг к другу. Определить поляризацию результирующей волны, если Е^ = Ет и ai — а2 = л/2.
270. Электромагнитная волна получена в результате сложения двух линейно-поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях монохроматических волн Ei = E0|i cos(<Bif — kir) и Е2 = Е02 cos (и2^ — k2r), у которых амплитуды одинаковы, волновые векторы параллельны, а частоты отличаются на малую величину |<В1 — о)21 С o)i + о)2. Векторы Еоь Е02 и к образуют правовинтовую тройку. Найти поляризацию суммарной волны.
271. Две монохроматические волны, поляризованные по кругу и в противоположные стороны, имеют одинаковые амплитуды и распространяются в одном направлении. Частоты <В1 и (о2 волн отличаются на малую величину |g)i — о)21 <С (01 + о)2. Определить поляризацию результирующей волны.
272. Волновой пакет получен суперпозицией монохроматических волн 1£0 cos (ш/— kr) с частотами в интервале 0 о) оо. Направление распространения и вектор поляризации 1 этих волн одинаковы, а число волн с частотами в интервале от и до о) da равно
— 2 — е- (<№)’
ул А
где Д—постоянная, не зависящая от частоты. Выражение, стоящее множителем перед дифференциалом da, является функцией распределения данных монохроматических волн по частотам. Найти напряженность электрического поля волнового пакета как функцию координат и времени.
273. Волновой пакет получен путем наложения монохроматических волн l£’ocos(<»f — kr-f-a) с частотами, изменяющимися в пределах от <в0 до соо + А, где Д С соо. Направление распространения и вектор поляризации 1 этих волн одинаковы, а амплитуда группы волн с частотами в интервале от <в до <в + da равна -^-da. Здесь Ео, ао и Д — постоянные, не зависящие от частоты и. Определить напряженность электрического поля волнового пакета как функцию координат и времени.
274. Напряженность электрического поля волнового пакета имеет постоянное направление и описывается функцией Е = Е(/— "Т-) ’ котоРая отлична от нуля для конечной области изменения своего аргумента. Здесь п — постоянный единичный вектор, а с — скорость света. Разлагая заданную функцию в интеграл Фурье, представить волновой пакет как суперпозицию монохроматических волн.
275. Напряженность электрического поля электромагнитной волны задана
Е = Еое~ * I'-I,
где векторы Ео и п, а также величина т постоянны, причем т > 0. Определить компоненту Фурье Е(к, <в) данной функции.
276. Компонента Фурье Е(к, <в) напряженности электрического поля имеет вид
Е (к, и) = Ео 6 (к - ^-) е~^',
где Ео и п — постоянные векторы. Определить напряженность электрического поля как функцию координат и времени.
277. Электростатическое поле описывается сфериче-рки-симметричным потенциалом q> = -E-e-r/af где а —
положительная постоянная. Представить напряженность Е этого поля в виде разложения
Е ~ S Еквгкг
по продольным волнам Екв/кг, векторы поляризации которых направлены вдоль к.
278. Две конические поверхности вставлены одна.в другую и имеют общую вершину и ось симметрии. По внешней конической поверхности по направлению к вершине бежит волна тока J — Jq cos (at + kr), которая затем переходит на внутреннюю коническую поверхность и уходит на бесконечность. Здесь J — суммарный поверхностный ток, <в — kc, а г — расстояние от вершины до точки наблюдения на конической поверхности. Определить вихревое электромагнитное поле в пространстве между коническими поверхностями. Принять, что радиальная компонента искомого вектора Е равна нулю тождественно.
279. По оси бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R течет линейный ток J = Jocos(at— kz). Полный поверхностный ток, текущий по самой цилиндрической поверхности, представляет собой обратную волну вида J = Jq cos (at + kz). Определить вихревое электромагнитное поле внутри и снаружи цилиндрической поверхности. Принять, что искомый вектор Е перпендикулярен оси Z и <в = kc.
§ 5. Дифракция
280. Электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой Е = 1До соз(«й — кг), падает в нормальном направлении на плоский экран, имеющий бесконечную щель ширины 2а. Вектор поляризации 1 параллелен щели. Считая отклонение от геометрической оптики малым ka^>l, определить электрическое поле дифрагированной волны, распространяющейся под малыми углами дифракции. Найти приходящуюся на единицу длины интенсивность di рассеяния этой волны в интервале углов do в среднем по времени за период Т = 2п/а.
281. В плоском экране прорезаны N одинаковых бесконечных параллельных щелей ширины 2а, Расстояние 82
Между осевыми линиями соседних щелей 2Ь. На экран в нормальном направлении падает плоская электромагнитная волна Е = lEo cos (at— kr). Вектор поляризации 1 параллелен щелям. Длина волны мала по сравнению с характерными размерами ka 1 и kb 1, так что углы дифракции также малы. Определить электрическое поле дифрагированной волны и отнесенную к единице длины интенсивность d.1 рассеяния этой волны в интервале углов dQ в среднем по времени за период Т ~ 2п/ы.
282. Плоский экран имеет прямоугольное отверстие со сторонами 2а и 2Ь- Монохроматическая плоская электромагнитная волна частоты со = kc' падает нормально к плоскости экрана. Вектор поляризации параллелен одной из сторон прямоугольного отверстия, а длина волны мала по сравнению с характерными размерами ka 1 и kb >> 1. Определить интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ в среднем по времени за период колебания волны.
283. Линейно-поляризованная плоская электромагнитная волна частоты со = kc падает нормально к плоскости бесконечного экрана, имеющего круглое отверстие радиуса R. Длина волны мала по сравнению с радиусом kR 1, так что углы дифракции также малы. Определить интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ в среднем по времени за период колебания волны.
284. Плоский экран имеет кольцевое отверстие радиусов Ri и R2 (Ri </?г)- Определить среднюю по времени интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ при нормальном падении плоской линейно-Поляризованной электромагнитной волны на кольцевое отверстие. Длина волны мала по сравнению с радиусами и углы дифракции также малы.
285. Плоский экран имеет эллиптическое отверстие с полуосями а и Ь. Плоская электромагнитная волна частоты и = kc падает нормально к плоскости экрана. Длина волны мала по сравнению с полуосями эллиптического отверстия ka» 1 и kb^>\. Определить интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле dQ в среднем по времени за период колебания волны.
286. Определить среднюю по времени интенсивность di дифрагированного света в интервале углов dQ при
нормальном падении плоской электромагнитной волны частоты и = kc нц пластину бесконечной длины и ширины 2а. Вектор поляризации параллелен пластине, а длина волны мала по сравнению с шириной пластины ka » 1.
287. Шар радиуса R, являющийся абсолютно черным телом, находится в электромагнитном поле плоской ли-неййо-поляризованной волны частоты со = kc. Длина волны мала по сравению с радиусом kR^> Определить среднюю по времени интенсивность di дифрагированной волны в телесном угле d&.
Глава IV
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ
Задачу об излучении электромагнитных волн удобно решать, вводя в рассмотрение электромагнитные потенциалы А и <р, которые определяются соотношениями
H = rotA, (IV. 1)
E = -grad?-|^-. (IV.2)
Величины А и ф определены неоднозначно. Переход от электромагнитных потенциалов А и ф к новым А' и ф' при помощи преобразования калибровки:
А'== А + grad (IV. 3)
не изменяет напряженности электрического и магнитного полей. Здесь f = f(r,t) — произвольная функция. Обычно ее выбирают так, чтобы выполнялось условие Лоренца
div А + ± = 0. (IV.5)
Тогда уравнения для электромагнитных потенциалов, вытекающие из уравнений Максвелла, принимают простой вид:
V2?-^-g^ = -4«p, (IV. 7)
и называются уравнениями Даламбера. Физический смысл имеют только те решения уравнений Даламбера, которые удовлетворяют условию Лоренца (IV. 5).
Излучение электромагнитных волн описывается решениями уравнений (IV. 6) и (IV. 7) в виде запаздывающих потенциалов:
где г — радиус-вектор точки наблюдения, г' — радиус-вектор элемента объема dV', a t — время наблюдения.
На больших расстояниях от заряженной системы каждый весьма малый элемент поверхности сферической волны можно рассматривать как плоскую волну, в которой напряженности электрического Е и магнитного Н полей равны по модулю и образуют правовинтовую тройку векторов с направлением п распространения волны
E = HXn. (IV. 10)
Таким образом, для определения электромагнитного поля излучения достаточно вычислить напряженность только магнитного поля, которая связана с векторным потенциалом (IV.8) соотношением (IV. 1).
Поместим начало координат внутри заряженной системы, максимальный линейный размер которой обозначим через I. На больших расстояниях г I г' имеем |г — г'| « г — пг' и векторный потенциал (IV.8) приближенно запишется как
A(r, = + (IV. 11)
С/Х v х х
где n = y.
Далее предположим, что излучение происходит в основном иа частоте со, причем длина излучаемой волны (деленная на 2л) велика по сравнению с линейным размером источника Х = — ^1. Кроме того, исследование электромагнитного поля будем проводить на больших 86
расстояниях в волновой зоне г»Х»/.
В этих предположениях подынтегральное выражение в (IV. И) можно разложить в ряд по переменной что соответствует разложению векторного потенциала в ряд по малому параметру //X:
А (г, t) = — + ^^ + ~, (IV. 12)
' ’ ’ сг сг 1 Ьс2г х '
где вектор D имеет компоненты
Da — Da^n^.
В формуле (IV. 12) второе и третье слагаемые численно одного порядка, а в совокупности меньше первого члена в отношении //X. Слагаемые более высокого порядка малости отброшены. Дипольный момент d, магнитный момент ц и тензор квадрупольного момента зависят от времени с учетом запаздывания
d = d(/ — у), ц = — -0, = Да(5 (/— 0 .
(IV. 13)
Применительно к заряду, движущемуся неравномерно с нерелятивистской скоростью v, сумма (IV. 12) представляет собой разложение по параметру уС 1.
Вычисляя ротор от выражения (IV. 12) и отбрасывая малые члены, пропорциональные 1/г2, получаем напряженность магнитного ноля излучаемой волны
Н (г, /) = 4- • (IV. 14)
' ’ ' с~г 1 с~г §С3Г ' '
В каждой точке волновой зоны поток электромагнитной энергии определяется вектором Пойнтпнга
8“£ЕХН=ТГ”- (IV. 15)
Электромагнитная энергия I, излученная источником в единицу времени (интенсивность излучения), равна потоку вектора Пойнтинга через сферу большого радиуса г с центром в начале координат
I = -^H2r2dQ. (IV. 16)
Используя формулы (IV. 14) и (IV. 16), нетрудна получить для интенсивности излучения I следующее вы-
ражение:
_ 2j2 _|_ 2^2 д_
Зс3 Зе3 "г 180с5 •
(IV. 17)
Первое, второе и третье слагаемые представляют собой интенсивности дипольного, магнитно-дипольного и квадрупольного излучении. Слагаемые, описывающие излучение мультипольных моментов более высокого порядка, отброшены. При сохранении указанных членов получим бесконечный быстро сходящийся ряд, отдельные слагаемые которого в общем случае зависят от выбора начала координат. Поэтому необходимо указывать координатную систему, в которой определены дипольный, магнитно-дипольный и квадрупольный моменты, которые входят в формулу (IV. 17). Обычно начало координат выбирают в физически выделенной точке заряженной системы, например, в ее центре инерции или точке симметрии, а также в центре вращения зарядов.
Поскольку суммарная интенсивность излучения (IV. 16) представляет собой поток электромагнитной энергии через сферу большого радиуса г с центром в начале координат, численное значение этой величины также меняется при сдвиге начала координат в связи с изменением положения указанной сферы относительно излучающей системы. Однако полная излученная энергия оо
<^ = j Idt (IV. 18)
— оо
не зависит от сдвига начала координат внутри излучающей системы.
Обычно векторы ц и -у D по модулю меньше |d| по порядку величины в //X (или v/c) раз. Тогда второе и третье слагаемые в формуле (IV. 14) являются малыми поправками при вычислении напряженности магнитного поля в волновой зоне. Однако второе и третье слагаемые в формуле (IV. 17) в этом случае следует опустить, дабы не превысить выбранную точность вычисления. Чтобы определить первую поправку к дипольному излучению, необходимо магнитное поле
вычислить с большей точностью, сохранив в формуле (IV. 14) отброшенный член порядка 1?1с2 (или о2/с2). Тогда к сумме (IV. 17) добавится еще одно слагаемое, которое по порядку величины равно интенсивностям магнитно-дипольного и квадрупольного излучений (см. задачи 349 и 350).
Если дипольное излучение системы по каким-либо причинам ослаблено и по порядку величины значительно меньше магнитно-дипольного и квадрупольного, то второе и третье слагаемые в формуле (IV. 17) являются главными членами, а вместе с первым описывают излучение системы с определенной точностью. Опущенные члены представляют собой малые поправки более высокого порядка. Последнее утверждение, вообще говоря, справедливо и в том случае, когда все три слагаемые (IV. 17) по величине одного порядка. Некоторые слагаемые суммы (IV. 17) могут обращаться в нуль.
Полную энергию (IV. 18), излученную за все время действия источника, можно представить в виде суммы энергий, излученных на разных частотах
оо
ё ((D) da, (IV. 19)
о
где с? (ы) — спектральная плотность излучения, т. е. энергия, приходящаяся на единичный интервал частот. Она характеризует спектральный состав излучения. График функции ё (со) называется спектральной линией излучения.
Чтобы определить спектральную плотность ё (со) излучения заданного источника, необходимо величины, входящие в интенсивность излучения (IV. 17), разложить в интеграл Фурье. Тогда энергия <1ёа = ё (со) da, излученная в интервале частот от и до со da, запишется в виде *)
^=(-|ГУ+-'Г^' + |Вй(<,).1’)^. «у.го»
® \ Зле3 1 Зле3 1 180лс5 / ’ '
*) Между компонентами Фурье f (со) и / (со) функции f (i) и ее производной f (?) существует соотношение / (а) = — iaf (а). Аналогично, f (а) — — а2/ (а) и | (а) = га3/ (а).
где d(co), ц(со) и Dap (<о) — компоненты Фурье соответствующих величин d(Z), ц(/) и а выражение
в круглых скобках представляет собой искомую функцию ё (со).
Например, энергия, излученная на малых частотах сот 1 зарядом е во внешнем силовом поле,
В этой формуле т — порядок величины времени взаимодействия заряда с внешним полем, a Vi и у2 — его скорости до и после этого взаимодействия.
Когда в некоторой точке волновой зоны заданы напряженности электрического Е(^) или магнитного Н(0 полей, тогда энергия с?(со), проходящая в нормальном направлении через единицу площади в единичном интервале частот, определяется при помощи соотношения
ОО оо оо
J Е2 (/) Л = ~ j Я2 (/) dt = J S (co) da>. (IV. 21) — оо —оо 0
График этой функции <S (со) представляет собой спектральную линию данного излучения.
Интенсивностью dl излучения в элемент телесного угла cZQ называется энергия, протекшая в единицу времени через элемент dS — r2dQ сферической поверхности большого радиуса г, центр которой расположен в начале координат. Вычисляя поток вектора Пойнтинга (IV.15) через указанный элемент сферической поверхности, находим угловое распределение интенсивности излучения
= (IV. 22)
где напряженность магнитного поля определяется выражением (IV. 14). Если дипольное излучение не ослаблено, то после возведения в квадрат суммы (IV. 14) следует опустить слагаемые, имеющие порядок величины Z2/X2 (или и2/с2), чтобы не превышать принятую точность вычисления.
Формула (IV. 22) заметно упрощается, когда излучающая система характеризуется только одним диполь-90
ным моментом, магнитным моментом или тензором квадрупольного момента, и принимает вид соответственно
= (IV. 23)
<IV'24>
= (IV. 25)
Угловое распределение полной энергии, излученной за время действия источника, получим путем интегрирования интенсивности излучения (IV. 22) по времени
оо
d£'n=-^dQ J Я2 (г, /) dt. (IV. 26) — оо
Разлагая в этой формуле напряженность И (г, t) магнитного поля в интеграл Фурье по переменной t, нетрудно определить энергию d&na, излученную в телесный угол dQ на частотах в интервале от со до w + da:
^na> = ^-|H(r, ®)\2dQda. (IV. 27)
При помощи формулы (IV. 14) компонента Фурье Н (г, со) напряженности магнитного поля в (IV. 27) представляется в виде суммы слагаемых, относящихся к дипольному, магнитно-дипольному и квадрупольному излучениям. Однако после возведения в квадрат указанной суммы необходимо отбросить члены порядка величины 12/с2 (или о2/с2), когда дипольное излучение не подавлено.
Если электрон находится в поле электромагнитной волны, то в нерелятивистском случае на него действует сила еЕ. Слагаемым y(vXH) можно пренебречь. Под действием этой силы электрон приобретает ускорение г=-^-Е и, следовательно, излучает. Угловое распределение дипольного излучения электрона, совершающего колебание в поле монохроматической волны, дается формулой (IV. 22). В результате такого излучения будет происходить рассеяние падающей волны на свободном
электроне. Этот процесс характеризуется эффективным сечением da рассеяния в телесный угол d£l:
da = ^-, (IV. 28)
где s — модуль вектора Пойнтинга падающей волны, а черта над буквами означает усреднение по времени за период колебания этой волны.
На излучающую заряженную частицу действует со стороны излучаемого электромагнитного поля тормозящая сила, которую называют силой радиационного трения. При этом энергетические потери частицы на излучение можно рассматривать как результат преодоления указанной силы трения, возникающей в процессе излучения. Сила радиационного трения в нерелятивистском случае имеет вид
(IV. 29)
где е и г — заряд и радиус-вектор движущейся частицы. Эта сила мала по сравнению с внешней силой, действующей на частицу.
Учет обратного влияния излучения на движение заряженной частицы следует проводить, когда излучение происходит с большой интенсивностью на протяжении весьма продолжительного (бесконечного) промежутка времени. Такой учет осуществляется двояко. Первый путь состоит в прибавлении силы радиационного трения (IV. 29) к внешней силе F в уравнении движения
m’r = F + g-'r. (IV. 30)
В этом случае интенсивность, спектральный состав и угловое распределение излучения вычисляются по формулам (IV. 16) — (IV. 27), в которых функция г — r(t) является решением уравнения (IV. 30).
Вторым способом служит использование закона сохранения энергии, согласно которому убыль энергии S заряженной частицы во внешнем постоянном силовом поле F = F(r) происходит за счет излучения
= Л (IV. 31)
где величина <8 слагается из кинетической и потенциальной энергии частицы, а интенсивность излучения I дается формулой (IV. 17). Уравнение (IV,31) справед' 92
ливо лишь в первом отличном от нуля приближении (без учета эффектов, связанных с запаздыванием излученного электромагнитного сигнала внутри области движения заряда). В отличие от предыдущего случая радиус-вектор г = г(/) заряженной частицы, входящий в выражение для интенсивности излучения, здесь берется из уравнения движения
mr = F (IV. 32)
без учета силы радиационного трения. Последняя привносит в соотношение (IV. 31) пренебрежимо малую поправку. Уравнение движения (IV. 32) дает возможность выразить правую часть равенства (IV.31) через энергию § и таким образом позволяет получить дифференциальное уравнение относительно этой величины. Полученное дифференциальное уравнение описывает убыль энергии частицы в результате длительного излучения.
§ 1. Дипольное излучение
288. Через конденсатор пролетела частица с массой т и зарядом е. Расстояние между обкладками конденсатора равно I, а напряженность Е электрического поля в нем однородна и постоянна. Угол между вектором Е и направлением скорости v0 частицы при влете равнялся а. Знаки заряда е и косинуса угла а одинаковы. Найти энергию <S, теряемую частицей на дипольное излучение во время пролета через конденсатор.
289. Частица с массой т и зарядом е пролетает по диаметру шара радиуса /?, внутри которого равномерно распределен заряд Q. Заряды частицы и шара противоположного знака. Перед влетом в шар частица имела кинетическую энергию Определить энергию «S’, теряемую частицей на дипольное излучение во время пролета через шар.
290. Напряженность Н магнитного поля в полупространстве однородна, постоянна и направлена параллельно граничной плоскости. В это полупространство влетает протон с массой т и зарядом е. Скорость v протона при влете перпендикулярна граничной плоскости. Определить энергию «S’, теряемую протоном на дипольное излучение за время движения в магнитном поле.
291. Протон с массой т и зарядом е движется в скрещенных электрическом и магнитном полях с напряжен-
костями Е и Н, которые удовлетворяют условиям ЕН = = 0 и Е < Н. Внешние поля однородны и постоянны, а протон в начальный момент времени to = 0 имел скорость v0. Определить энергию дипольного излучения, теряемую частицей за время t.
292. Простейшая линейная антенна представляет собой тонкий прямолинейный провод длины I, по которому течет ток J = /0 cos a>t. Определить интенсивность / длинноволнового излучения антенны в среднем по времени за период колебания тока.
293. Под влиянием упругой силы частица с массой т и зарядом е может совершать гармонические колебания с частотой (о0 (так называемый осциллятор). Учитывая силу радиационного трения, определить среднюю по времени за период Т — 2л/со интенсивность I излучения осциллятора, совершающего установившиеся вынужденные колебания во внешнем электрическом поле с напряженностью Е = Ео sin (оЛ
294. Электрон с массой m и зарядом е пролетает на большом расстоянии I от неподвижного ядра с зарядом Z|e|. В бесконечно удаленный момент времени t = — оо электрон имел скорость, по абсолютной величине равную и0- Пренебрегая искривлением траектории, найти энергию ё, теряемую электроном на дипольное излучение за все время пролета.
295. Частица с массой ш и зарядом е пролетает на большом расстоянии I от диполя с моментом d, который покоится в некоторой точке пространства. На бесконечности частица имела скорость v0. Считая приближенно траекторию прямолинейной, определить полную энергию ё, теряемую частицей на дипольное излучение в двух случаях: а) дипольный момент d параллелен начальной скорости v0 частицы; б) дипольный момент d перпендикулярен начальной скорости v0 и лежит в плоскости движения частицы.
296. Полный заряд и дипольный момент покоящегося возбужденного атома равны нулю, а компоненты тензора квадрупольного момента имеют вид Da$ = 0 при а #= И D\\ = Z?22 SX3 -- V2Z). В плоскости XY на большом рас-
стоянии I от атома пролетает электрон с массой m и зарядом е. В бесконечно удаленный момент времени t = — — оо он имел скорость по абсолютной величине, равную vQ. Счйтая приближенно траекторию прямолинейной и пренебрегая поляризуемостью атома под действием 94
пролетающего электрона, определить полную энергию <F, потерянную электроном на излучение.
297. В результате деления ядро раскалывается на два осколка с массовыми числами Л] и А2 и зарядами Z\e и Z2e. В системе центра инерции суммарная кинети-ческая энергия обоих осколков на бесконечности Й’о-Масса нуклона т. Вычислить полную энергию <S дипольного излучения, обусловленного кулоновским взаимодействием разлетающихся осколков ядра. Принять, что осколки движутся согласно законам классической механики, начиная свое движение из тех точек пространства, где их относительная скорость равнялась нулю.
298. Протон с массой т и зарядом е движется перпендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью Н. Его кинетическая энергия в начальный момент времени ta = 0 равнялась &0. Найти закон убывания кинетической энергии <%, обусловленный дипольным излучением.
299. Во внешнем потенциальном поле частица с массой т и зарядом е совершает одномерное гармоническое колебание с частотой со. В начальный момент времени to = 0 ее полная энергия равнялась S'o. Не прибегая к явному выражению для силы радиационного трения, определить усредненный по времени от t до t + 2л/о> закон убывания полной энергии <% частицы, обусловленный дипольным излучением. Принять, что в каждый момент времени отклонения от гармонического режима колебания пренебрежимо мало С <о<г?. Поэтому при усреднении медленные функции времени можно рассматривать как постоянные.
300. В классической модели атома, предложенной Резерфордом, электрон с массой т и зарядом е вращается по круговой орбите вокруг неподвижного ядра с зарядом Z[e[. Найти закон убывания полной энергии <F электрона, обусловленный дипольным излучением. Вычислить время tn, по истечении которого электрон упадет на ядро вследствие потери энергии на дипольное излучение. В начальный момент времени tQ = 0 электрон находился на расстоянии от ядра.
301. Модель атома водорода, предложенная Дж. Дж. Томсоном, представляет собой неподвижный однородно заряженный шар радиуса с полным положительным зарядом |е|. Внутри шара движется точечный
электрон с массой т и зарядом е. Чему равна частота со электромагнитной волны, излучаемой такой системой? Предполагая, что в начальный момент времени t0 = О электрон покоился на расстоянии R от центра шара, определить усредненный по времени от t до ^-р2л/и закон убывания полной энергии электрона, обусловленный силой радиационного трения. При усреднении медленные функции времени следует рассматривать как постоянные.
302. Доказать, что у замкнутой системы заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к массе дипольное излучение отсутствует.
303. Электронный газ плотности No находится во внешнем однородном постоянном магнитном поле с напряженностью Н. Распределение электронов по кинетическим энергиям поступательного движения описывается распределением Максвелла, а среднее расстояние между электронами велико по сравнению с длиной излучаемой волны. Определить обусловленную внешним магнитным полем интенсивность / излучения единицы объема электронного газа.
304. Две частицы с одинаковой массой т скреплены между собой жестким стержнем длины I, массой которого можно пренебречь. Заряды частиц одинаковы по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Напряженность Е внешнего электрического поля однородна, постоянна и направлена от отрицательного заряда в сторону положительного. В начальный момент времени t0 = 0 стержень покоился и образовывал с вектором Е малый угол фо < 1. Определить интенсивность I дипольного излучения системы двух зарядов.
305. Расстояние а между двумя одинаковыми параллельными диполями с моментами d = d0 cos a>t по порядку величины равно длине излучаемой волны а ~ ~с/а='к. Постоянный вектор d0 параллелен прямой, соединяющей диполи. Найти интенсивность I излучения системы двух диполей в среднем по времени за период Т = 2л/и. Исследовать предельный случай
306. Система, состоящая из большого числа N параллельных точечных диполей, занимает область пространства, линейные размеры которой ничтожно малы по сравнению с основными длинами излучаемых волн. Частоты колебания диполей разбросаны вблизи некоторой частоты и так, что суммарный момент диполей с часто-96
тами в интервале от и 4-8 до w + e’-j-ds равен dof(e) cos (<о 4- s) tde, где вектор do постоянен, а функция распределения Не) имеет вид f (s) = -^~е~е т<\ Вели-
V л
чины То и 8 удовлетворяют неравенствам N аТ0 1 и — оо 5g 8 5g оо. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени от t до /4~2л/и, а также полную энергию <5 дипольного излучения за бесконечное время — оо <g <g оо.
307. Электрон с массой ш и зарядом е совершает эллиптическое движение внутри шаровой области, однородно заполненной! положительным зарядом с объемной плотностью р. В начальный момент времени электрон находился в точке с радиус-вектором г0, имея скорость v0. Определить энергию <%, теряемую электроном на дипольное излучение за период движения.
308. Электрон с массой пг и зарядом е движется по эллиптической орбите вокруг неподвижного ядра с зарядом Z|e|. Полная энергия и механический момент электрона равны соответственно <S и М. Определить энергию <Sd, теряемую электроном на дипольное излучение за период движения.
309. Положительно заряженная частица с массой mi и зарядом в] пролетает с прицельным расстоянием I мимо атомного ядра с массой т2 и зарядом е2. Скорость частицы относительно ядра на бесконечно большом расстоянии от него равнялась v0. Определить энергию ё’а, теряемую частицей на дипольное излучение за все время пролета около ядра.
310. Частица с массой ш и зарядом е движется в потенциальном поле U = а/r2, где постоянная а положительна. Полная энергия и момент частицы равны соответственно <5 и М. Определить энергию Sa, теряемую частицей на дипольное излучение за бесконечное время движения от t — — оо до t = оо.
311. Поток одинаковых частиц с массой m и зарядом е рассеивается сферически-симметричным потенциальным полем отталкивания (7 = U (г). Скорость каждой налетающей частицы на бесконечно большом расстоянии от силового центра равна v0. Найти эффективное излучение
и = Д<!Г • 2л/ dl,
о
4 А И Алексеев
где A??— полная энергия дипольного излучения частицы, пролетающей с прицельным расстоянием I. Представить величину х в виде двойного интеграла.
§ 2. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения
312. Нейтрон, имеющий внутренний магнитный момент ц, влетает в однородное постоянное магнитное поле с напряженностью Н. Внутренний механический момент М нейтрона связан с магнитным соотношением ц — — —рМ, а угол между векторами ц и Н при влете равнялся 0О. Найти интенсивность / излучения.
313. Простейшая рамочная антенна представляет собой прямоугольную рамку со сторонами а и Ь, по которой течет линейный ток J = Jo cos at. Определить интенсивность / длинноволнового излучения антенны в среднем по времени за период колебания тока.
314. Тонкая однородная спица из ферромагнетика длины I имеет массу и магнитный момент на единицу длины, равные соответственно тг и щ. В начальный момент времени спица покоилась и образовывала малый угол фо с направлением внешнего постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н. Определить интенсивность I излучения.
315. При каком условии интенсивность магнитно-дипольного излучения не зависит от выбора начала координат?
316. Электрон с массой т и зарядом е движется во внешнем постоянном однородном электрическом поле с напряженностью Е. Представить интенсивность / магнитно-дипольного излучения как функцию скорости v электрона и напряженности электрического поля.
317. Шар радиуса R совершает малые крутильные колебания около своей оси симметрии с частотой ы0. Максимальный угол поворота фо- Заряд Q и масса распределены по объему шара равномерно. Определить среднюю по времени за период колебания интенсивность I излучения шара.
318. Однородный шар радиуса R вращается около своего диаметра с постоянной угловой скоростью <о. Ось вращения наклонена под углом 0 к направлению внешнего постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н. Полные заряды и масса шара равны Q и т. Определить интенсивность I излучения.
319. По тонкому однородному кольцу радиуса /? и массы т течет постоянный ток /. В начальный момент времени ось кольца составляла малый угол фо с направлением внешнего постоянного однородного магнитного поля с напряженностью Н (фо 1). Ток J течет по часовой стрелке, если смотреть по направлению вектора Н. Найти интенсивность / излучения.
320. В тонкой неподвижной квадратной рамке со стороной I возбужден ток / == Joe~at\ Определить полную энергию <F длинноволнового излучения за время — оо
t ОО.
321. Два одинаковых заряда величины е совершают плоское движение. Их полярные координаты гь фь г2 и фг меняются со временем по закону
О = г2 = аф2, Ф1 = ф (/), ф2 = п 4- ф (/), где а — положительная постоянная, а ф(^) — монотонная функция, заключенная в пределах 0 ф(£) л. Оп-
ределить интенсивность магнитно-дипольного излучения такой системы.
322. Возможно ли магнитно-дипольное излучение в моделях атома водорода, предложенных Резерфордом и Дж. Дж. Томсоном (см. задачи 300 и 301)?
323. Доказать, что в отсутствие внешнего поля интенсивность магнитно-дипольного излучения двух взаимодействующих между собой заряженных частиц равна нулю, если начало координат выбрано в центре инерции этих частиц.
324. Замкнутая система состоит из конечного числа частиц с одинаковым отношением заряда к массе. Доказать, что магнитно-дипольное излучение у такой системы отсутствует.
325. Система частиц с одинаковым отношением заряда к массе, равным elm, совершает финитное движение во внешнем центрально-симметричном поле, которое создается некоторой неподвижной частицей. В пространстве включено слабое однородное постоянное магнитное поле с напряженностью Н. Определить напряженности электрического Ем и магнитного Нм полей магнитно-дипольного излучения в волновой зоне, а также частоту излучаемых волн.
326. Расстояние между магнитными моментами Ц1 =. = цо cos соt и цг = Цо cos [(со 4- Aco)f + а] мало по сравнению с длинами излучаемых волн. Частоты колебания
удовлетворяют условию Д« < «, а величины ц0 и а постоянны. Найти интенсивность 1 излучения этой системы в среднем по времени от t до t -ф Т, где Т = 2лДо— период, быстрых колебаний.
327. Система N магнитных моментов занимает область пространства, линейные размеры которой ничтожно малы по сравнению с длинами излучаемых волн. Магнитные моменты описываются формулой цп =-= go cos[((o 4- не)/], где вектор ц0 постоянен, а числом принимает значение п = 0, 1, 2, ..., N—1. Разброс частот колебания мал по сравнению с основной частотой еЛ/ <С «. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени от t до / + 2л/<о.
328. Совокупность большого числа N маленьких замкнутых контуров с переменным током образует излучающую систему, линейные размеры которой весьма малы по сравнению с основными длинами излучаемых воли. Магнитные моменты токовых контуров совершают гармонические колебания. Подавляющая часть из них имеет частоты, мало отличающиеся от некоторой частоты о. Суммарный магнитный момент токовых контуров с частотами колебаний в интервале от <о + е до « + е + равен du = y,of (е) cos (и -ф е)/ de, где ц.о— постоянный вектор, а функция f (е) = л ц описывает распределение токовых контуров по частотам гармонических колебаний при условии Л/ сот 1 и — оо е оо. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени от t до t -ф 2л/«, а также полную энергию с? магнитно-дипольного излучения за бесконечное Время — ОО t ОО.
329. При каком условии интенсивность квадрупольного излучения не зависит от выбора начала координат?
330. Маленький шарик массы m прикреплен к нижнему концу невесомого стержня длины 2/, который может свободно вращаться около своей средней неподвижной точки. Противоположные концы стержня несут точечные заряды величины е. В начальный момент времени стержень был отклонен от вертикального положения на малый угол ф0 и покоился. В дальнейшем он совершает малые колебания под действием силы тяжести, приложенной к шарику. Определить интенсивность / излучения системы в среднем по времени за период колебания.
331. Две частицы с одинаковым отношением заряда к массе eilm,\ — е21т2 = е/т связаны между собой пружиной и совершают гармонические колебания в отсутствие поля тяжести. Длина ненагруженной пружины I, а ее коэффициент жесткости k. В начальный момент времени пружина была растянута до длины /0 и покоилась. Найти интенсивность I излучения в среднем по времени за период колебания пружины. Взаимодействием зарядов между собой пренебречь.
332. Определить полную энергию <S излучения, сопровождающего разлет осколков ядра в задаче 297, считая отношение заряда к массе у осколков одинаковым Z,e Z?e Ze A-tm А2т Ат ‘
333. Протон с массой т и зарядом е движется в произвольном направлении во внешнем однородном постоянном электрическом поле с напряженностью Е. Представить интенсивность / квадрупольного излучения как функцию скорости v протона и напряженности внешнего электрического поля.
334. В магнитном поле две одинаковые частицы с массами т и зарядами е вращаются с постоянной угловой скоростью со по окружности, находясь на противоположных концах диаметра. В начальный момент времени t0 = 0 кинетическая энергия обеих частиц равнялась До. Определить обусловленный излучением закон убывания кинетической энергии <о частиц, предполагая, что взаимодействием зарядов между собой можно пренебречь. Скорость убывания кинетической энергии частиц очень мала —гг <С «<э .
at
335. Два одинаковых заряда величины е вращаются с постоянной угловой скоростью и по окружности радиуса R. Радиусы, проведейные в точки расположения зарядов, образуют между собой угол ф. Определить величину угла ф, при котором интенсивности дипольного 1а и квадрупольного ID излучений данной системы двух зарядов одинаковы.
336. Точечный диполь с моментом d вращается с постоянной угловой скоростью со по окружности радиуса R. Вектор d постоянен по модулю и в каждый момент времени направлен по радиусу окружности. Определить интенсивности дипольного Ц, магнитно-дипольного /ц и
квадрупольного /д излучений в длинноволновом приближении R < X = <?/«.
337. Два одинаковых антипараллельных точечных диполя с моментами d и —d вращаются с постоянной угловой скоростью о по окружности радиуса /?, находясь на противоположных концах диаметра. Моменты диполей постоянны по модулю и в каждый момент времени направлены по касательной к окружности. Определить интенсивность I излучения, считая I? <S
338. Антипараллельные точечные диполи с моментами d и —d расположены на расстоянии 2а друг от друга и вращаются с постоянной угловой скоростью « в плоскостях, перпендикулярных общей прямой, на которой они находятся. Определить интенсивность I излучения такой системы в длинноволновом приближении ««f-
339. Расстояние 2а между двумя одинаковыми анти-параллельными точечными диполями значительно меньше длины излучаемой волны а X — <?/и. Дипольный момент одного из них d — d0 cos at. Постоянный вектор d0 перпендикулярен прямой, соединяющей диполи. Сравнить между собой интенсивности магнитно-дипольного 1и и квадрупольного излучений в среднем по времени за период Т — 2л/а.
340. Дипольные моменты двух одинаковых маленьких диполей направлены вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Каждый диполь представляет собой систему двух частиц с массами m и зарядами е и —е, которые связаны между собой квазиупругой силой и колеблются с частотой <о. Расстояние 2а между диполями значительно меньше длины излучаемой волны. Определить усредненный по времени от t до / + 2л/о закон убывания энергии <S диполей, если в начальный момент времени t0 = 0 они имели энергию &0.
341. Шар, заряженный по объему сферически-симметрично, пульсирует так, что его объемная плотность заряда меняется по времени по закону р = p(r, Z), где г —расстояние до центра шара. Будет ли иметь место излучение?
342. Заряд Q равномерно распределен внутри капли, поверхность которой совершает гармонические колебания вблизи равновесного положения по закону 102
г = r0(1 + 8 cos2 0 cos at), где г — расстояние от центра капли до точки на ее поверхности, 0 — полярный угол сферической системы координат, а величины г0, и и 8 постоянны (е <С 1). Сохраняя члены с наименьшей степенью параметра 8, определить интенсивность / излучения.
343. Однородно заряженный тонкий диск радиуса R вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью о. Полный заряд диска равен Q. Найти интенсивность I излучения.
344. Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено с линейной плотностью q. Ось кольца прецессирует с постоянной угловой скоростью со вокруг другой оси, проходящей через центр кольца под углом 0 к его собственной оси (рис. 4). Найти интенсивность 1 излучения.
345. Заряд Q равномер- z' но распределен по тонкому X. стержню длины 21, который > вращается в плоскости с постоянной угловой скоростью "
и вокруг своей центральной точки. Найти интенсивность I
1 излучения. у
346. Однородно заряжен-ный по объему эллипсоид вращения с полуосями а и b покачивается в плоскости ITZ около своего центра так, что
симметрии и осью Z меняется по гармоническому закону 0 = 0о cos at, где 0О <^. 1. Полный заряд эллипсоида равен Q, а полуось b лежит на его оси симметрии. Оставляя члены, содержащие наименьшую степень угла 0, найти интенсивности магнитно-дипольного /ц и квадрупольного Id излучений.
347. Тонкий диск эллиптической формы с полуосями а и b равномерно заряжен с поверхностной плотностью о. Форма диска меняется со временем, оставаясь плоской и незначительно отклоняясь от круга радиуса R. Закон а — b , а — b
изменения параметра а деформации задан д & = = Pcosw/, где р и и — постоянные (р «С 1). Площадь диска равна площади круга радиуса R и при де
Z
Рис. 4.
угол между его осью
формации не меняется, если не учитывать слагаемые, квадратичные по малому параметру 0. Оставляя члены с наименьшей степенью параметра 0, определить интенсивность I квадрупольного излучения в среднем по времени за период Т = 2л/ш.
348. Прямоугольный параллелепипед со сторонами а, а и b равномерно заряжен с объемной плотностью р. С течением времени параллелепипед деформируется так, что его поверхность испытывает малые гармонические колебания вблизи поверхности куба со стороной а0. Па-fl— b , а ~ Ь о „ j „
раметр -д -jp-y деформации задан д & — 0cos со/, где 0 и и — постоянные (0 <С 1). Объем параллелепипеда остается все время постоянным и равным объему куба со стороной а0, если пренебречь слагаемыми, квадратичными по малому параметру 0. Найти интенсивность / квадрупольного излучения в среднем по времени за период Т — 2n/w.
349. Заряды вг (i = 1,2, ..., N) движутся со скоростями Vj в ограниченной области пространства. Опреде-t>2
лить поправки порядка 1 к векторному потенциалу и напряженности магнитного поля в волновой зоне. При помощи полученного результата найти поправки того же порядка к интенсивности дипольного излучения, представив формулу в следующем виде:
2d2 2ц2 52в
/ =----1—-—I------— 4- А/
J Зс3 “ Зс3 180с6
где d и ц— дипольный и магнитный моменты, £>ар — тензор квадрупольного момента движущихся зарядов, а величина А/ подлежит определению. Слагаемое Д/ обычно опускается при написании интенсивности излучения системы, состоящей из медленно движущихся зарядов, хотя по порядку величины оно может совпадать с интенсивностями магнитно-дипольного и квадрупольного излучения.
350. Напряженность Е электрического поля между обкладками конденсатора однородна и постоянна. Внутри конденсатора параллельно полю Е движется с нерелятивистской скоростью v частица, имеющая массу m и заряд е. Используя результат предыдущей задачи, определить интенсивность излучения с точностью до малых членов порядка v2/c2.
§ 3. Спектральное разложение излучения
351. До начального момента времени t0 = 0 электрон с массой т и зарядом е покоился. При t 0 он движется под действием электрического поля с напряженностью Е — Eoe~aZ cos coot Найти энергию d<oa, излученную электроном на частотах от « до со + dm.
352. На отрезке длины I течет линейный ток / == = Joe~at sin соо^. где постоянные величины удовлетворяют неравенствам с и В моменты времени
t 0 ток равнялся нулю. Найти энергию dS’a, излученную па частотах от и до и -[-dm.
353. Неподвижный шар равномерно заряжен с объемной плотностью р положительным зарядом. Внутри шара на расстоянии а от его центра в моменты времени t 0 покоился электрон с массой т и зарядом е. В последующее время t 0 электрон движется под действием электрического поля шара. Учитывая силу радиационного трения, определить энергию dcS\. дипольного
излучения, приходящуюся на интервал частот от со до
ч£54/ Осциллятор представляет собой частицу с массой т и зарядом е, которая совершает Гармонические колебания с частотой о>о под действием внешней упругой
силы. Начиная с момента времени /0 = 0, покоившийся осциллятор подвергся действию внешнего электрического поля с напряженностью Е= Е(/), которая описывается непрерывной функцией, обращающейся в нуль по истечении конечного промежутка времени. Принимая во внимание торможение излучением, найти энергию d<oa дипольного излучения осциллятора, приходящуюся на интервал частот от <о до <о 4- dm.
355. Частица с массой т и зарядом е подвешена на невесомой жесткой нити и совершает малые колебания с частотой о0 в поле тяжести. Учитывая силу радиационного трения, определить ширину Дт спектральной линии
издачеция.
СЗДБт-'На большом расстоянии от излучателя в волновой зоне измерительный прибор в моменты времени О t зафиксировал электрическое поле с напряженностью Е = Eoe-a/ cos aot, где постоянные величины а и <о0 удовлетворяют неравенству а (Оо. Определить ширину Ди спектральной линии излучения, прошедшего через измерительный прибор.
^57^ Совокупность возбужденных примесных атомов кристалла излучила электромагнитный импульс, распространяющийся в свободном пространстве в виде плоской
волны
Е = Еое т 1* с । cos(»0 — -у-),
где векторы Ео и п, а также величины «о и т постоянны. Несущая частота (»9 импульса и время релаксации т кристалла связаны условием а>от 1. Определить ши-ринуЛи спектральной линии излучения.
ю5& Напряженность электрического поля когерент-ногК^понтанного излучения атомов газа имеет вид плоской волны
Е = Еое 4?0 cos оэ0 —у-),
где ото — частота резонансного атомного перехода, То— время доплеровской релаксации (©о7’о^>1), п— единичный вектор направления распространения волны, а Ео — постоянный вектор. Определить ширину Дот спектральной линии излучения.
359. До начального момента времени частица с массой m и положительным зарядом е покоилась. В последующие моменты времени она движется под действием однородного постоянного электрического поля с напряженностью Е. Определить энергию d&a, излученную в интервале частот от и до со -|- do, если частица пролетела расстояние I в области, где действует это поле.
360. Электрон с массой пг и зарядом е влетает в полупространство, в котором напряженность Е электрического поля однородна и постоянна. Направление скорости v0 электрона при влете образует с вектором Е острый угол а. Определить энергию излученную в интервале частот от о до а da за все время движения во внешнем поле.
361. Протон с массой пг и зарядом е пролетает с большим прицельным расстоянием I мимо неподвижного ядра, имеющего заряд Ze. Из-за большой величины I угол рассеяния протона мал. Скорость протона до взаимодействия с ядром по абсолютной величине равнялась Cfo. Определить число dNa мягких квантов, излученных 106
протоном с частотами в интервале от а до m + da, где m-тг-. Энергия кванта ha.
C362J Две частицы с массами nit и тг и одноименными зарядами в[ и е2 двигаются по прямой из бесконечности навстречу друг другу. Когда взаимное расстояние становится равным I, частицы останавливаются, после чего совершают движение в противоположном направлении, разлетаясь на бесконечность. Определить энергию dSa дипольного излучения, приходящуюся на интервал частот от « до а Д- da. Исследовать полученное выражение в области малых и больших частот.
В начальный момент времени t0 = 0 две частицы с массами /и, и т2 и одноименными зарядами и е2 покоились на расстоянии I друг от друга. В дальнейшем в результате кулоновского взаимодействия они разлетаются на бесконечно большое расстояние. Определить энергию d<oa дипольного излучения, приходящуюся на интервал частот от w до w + da. Исследовать полученное выражение в области малых и больших частот. Сравнить с аналогичными формулами предыдущей задачи.
364. Энергия взаимодействия двух заряженных частиц является функцией расстояния между ними и приводит к взаимному отталкиванию. Рассмотреть два случая движения: а) частицы налетают друг на друга по прямой линии и после остановки вновь разлетаются на бесконечно большое расстояние, совершая движение в противоположном направлении; б) частицы после остановки остаются в покое (или, наоборот, покоившиеся частицы с некоторого момента времени разлетаются на бесконечность). Доказать, что спектральные разложения дипольного излучения в этих двух случаях
d^ = ^\d6(a)?da
выражаются через одну и ту же комплексную функцию f(a) при помощи соотношений
da(<o) = 12Ref (со), d6 (со) = 1 f (со),
где 1 — постоянный единичный вектор, параллельный прямолинейной траектории. Причем функция f(a)
удовлетворяет условию
ОО 00
2 J (Ref(«)N®= $ [ f («) I2 dm, о 0
а полные энергии дипольного излучения различаются между собой в два раза =
365. Дипольный момент d имеет постоянное направление, а по модулю меняется со временем по периодическому закону с периодом Т = 2л/йо- Представить среднюю по времени за период Т интенсивность / излучения в виде суммы излучений на отдельных гармониках с частотами, являющимися целыми кратными основной частоты 0)0-
366. Магнитный момент токов, текущих в весьма малой области пространства, меняется со временем по закону и = гДе М-о — постоянный вектор, а Т —
постоянная. Определить энергию излученную в интервале частот от ш до о + dw за бесконечное время от t = —оо до I — оо.
367. По неподвижной тонкой рамке в неограниченном промежутке времени —оо t оо течет линейный ток J — Jo х*+~Р ’ где и т — некоторые постоянные. Площадь рамки S, а ее линейные размеры малы по сравнению с величиной ст, где с — скорость света в вакууме. Определить энергию d&a, излученную на частотах в интервале от и до to + dm.
368. Два одинаковых антипараллельных точечных диполя находятся на одной прямой на расстоянии 2л друг ог друга. Начиная с момента времени t0 = 0, они совершают затухающие гармонические колебания. Момент одного из диполей d = doe-v( cos mot, где у <С со0, а вектор d0 лежит на прямой, соединяющей диполи. Расстояние между диполями мало по сравнению с основными длинами излучаемых волн. Определить энергию d&a,, излученную на частотах в интервале от и до со -f- dm.
369. Решить предыдущую задачу в предположении, что вектор do перпендикулярен прямой, соединяющей точечные диполи.
370. Два ядра с массовыми числами А[ и А2 и зарядами Z\e и Z2e движутся по одной и той же прямой из бесконечности навстречу друг другу. В системе центра 108
инерции суммарная кинетическая энергия обоих ядер до взаимодействия между собой равнялась Sq. После остановки они вновь удаляются на бесконечность. Отноше-
Zie Z2e Ze ние заряда к массе у ядер одинаково
где т — масса нуклона. Определить энергию d&a, излученную в интервале частот от w до со + dw. Исследовать предельные случаи малых и больших частот.
371. Ядро расщепляется на два осколка с массовыми числами и Л2 и зарядами Z{e и Z2e, причем отноше-
Z |в Z2e ние заряда к массе у осколков одинаково= =
/д j ttI
Ze n
~~Am' где m — масса нуклона. В момент расщепления скорости осколков равнялись нулю. В дальнейшем под влиянием кулоновского взаимодействия осколки разлетаются на бесконечно большое расстояние, имея суммарную энергию <F0. Определить энергию d<oa, излучённую в интервале частот от со до со + da. Исследовать предельные случаи малых и больших частот. Сравнить полученные результаты с аналогичными формулами предыдущей задачи.
372. Считая отношение заряда к массе у частиц в задаче 364 одинаковым, доказать, что спектральные разложения квадрупольного излучения в указанных двух случаях
. <₽а | (®) |2 . . „б _ | (<0) |2
180лс5 180лс5
выражаются через одну и ту же комплексную функцию faB(tt)) при помощи соотношении
(со) = 2z Im fafj (со), (со) = fаВ (со).
Функция fa^(a) удовлетворяет условию
ОО оо
2 5 (Im fa? (“))2 da = 5 । f*? '2 0 0
а полные энергии квадрупольного излучения разли* чаются между собой в два раза ё’а = 2^6.
373. Частица с зарядом е налетает с прицельным расстоянием I на боковую поверхность абсолютно упру* того конуса высоты h и радиуса основания R (R>1). Начальная скорость vчастицы параллельна оси косинуса.
Определить энергию dga дипольного излучения на частотах в интервале от и до и + dco.
374. Однородный поток частиц с зарядом е налетает со скоростью v на абсолютно упругий шар радиуса R. Найти эффективное излучение dxffi в интервале частот от со до иdco. Величина dun определяется формулой
00
d%ro = dS’a • 2л1 dl,
о
где d&a, — энергия дипольного излучения в интервале частот da той частицы, которая пролетает с прицельным расстоянием I.
§ 4. Угловое распределение излучения
375. Частица с массой т и зарядом е движется перпендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью Но. Скорость частицы по абсолютной величине равна V. Найти интенсивность di дипольного излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период движения частицы.
376. Прямоугольная рамка с постоянным линейным током J вращается вокруг своей диагонали с постоянной угловой скоростью <о. Площадь рамки равна S, а ее линейные размеры малы по сравнению с длиной излучаемой волны. Найти интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период вращения рамки.
377. Протон с массой т и зарядом е покидает неподвижное ядро, радиус которого R, а остаточный заряд Ze. При вылете из ядра скорость протона равнялась нулю. Найти угловое распределение d&n полной энергии дипольного излучения, обусловленного кулоновским взаимодействием протона с ядром.
378. Заряд Q однородно заполняет объем цилиндра радиуса R и высоты h. Поверхность цилиндра испытывает малые гармонические колебания вблизи равновесного положения, определяемого радиусом Ro и высотой ho = Ro. Изменение со временем параметра дефор-мации задано — е cos at, где е и со— постоянные (е «С 1). Объем цилиндра остается все время постоянно
ным и равным л7?о, если не учитывать члены, квадратичные по малому параметру 8. Найти интенсивность di квадрупольного излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 2л/®.
379. Однородно заряженный цилиндр радиуса R и высоты h вращается с постоянной угловой скоростью ® около оси, проходящей через среднюю точку цилиндра перпендикулярно его оси симметрии. Полный заряд равен Q. Определить интенсивность dl излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период вращения.
380. Квадруполь представляет собой систему четырех зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной I. Знак заряда е меняется на противоположный при переходе к соседней вершине. Предполагая, что квадруполь вращается в плоскости XY вокруг своего центра с постоянной угловой скоростью ®. определить угловое распределение интенсивности излучения di в среднем по времени за период движения.
381. Двигаясь параллельно оси Z, заряженная частица налетает с прицельным расстоянием I на абсолютно упругий шар радиуса R (R> Г). Начало координат находится в центре шара, а траектория частицы с зарядом е лежит в плоскости XZ. Найти энергию dfflla, излученную в телесный угол dQ на частотах в интервале от <0 до ® + da.
382. Квадрупольный момент D тела вращения меняется со временем по закону D — Doe~'tlT^\ где Do и Т — постоянные. Найти энергию d&n(S>, излученную в телесный угол dQ. на частотах в интервале от ® до ® -j- da за бесконечное время от t = -*-оо до t = оо.
383. При распаде неподвижного ядра радиуса R образовалась а-частица со скоростью, равной нулю. Заряд а-частицы Q, а ее радиус пренебрежимо мал по сравнению с R. В результате кулоновского отталкивания а-частица удалилась на бесконечность. Найти угловое распределение d&n полной энергии излучения с учетом малого слагаемого порядка — 1, где и—скорость
а-частицы на бесконечности.
384. Частица с массой m и положительным зарядом е пролетает расстояние I в однородном постоянном электрическом поле с напряженностью Е. Скорость Vo части' цы при влете во внешнее поле была параллельна вектору Е. Определить угловое распределение d%> п полной
энергии излучения с учетом малого слагаемого порядка v/c, где v — скорость частицы при выходе из внешнего поля.
385. Первоначально покоившийся протон с массой т и зарядом е выталкивается из однородного постоянного электрического поля с напряженностью Е, после того как пролетел в этом поле расстояние I. Скорость v протона при выходе из внешнего поля значительно меньше скорости света. Определить энергию d&,Aa, излученную протоном в телесный угол dQ. на частотах в интервале ог со до со + dco с учетом малого слагаемого порядка v/c.
386. Два одинаковых антипараллельных точечных диполя, расположенных на оси X на равном расстоянии а от начала координат, изменяются со временем по гармоническому закону. В точке с положительной координатой дипольный момент параллелен оси У и равен d = do cos at. Расстояние между диполями мало по сравнению с длиной излучаемой волны a X — с/со. Найти интенсивность di излучения в телесный угол dQ. в среднем по времени за период колебания диполей.
387. Антипараллельные диполи с постоянными моментами d и —d находятся на противоположных концах диаметра и вращаются в плоскости XY по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью со. Начало координат расположено в центре окружности, а ось Z параллельна вектору d. В длинноволновом приближении определить угловое распределение интенсивности излучения di в среднем по времени за период движения.
388. На оси Z на одинаковом расстоянии а от начала координат расположены антипараллельные диполи с моментами d и —d, которые вращаются с постоянной угловой скоростью со в плоскостях, перпендикулярных оси Z. В длинноволновом приближении определить угловое распределение интенсивности излучения dl в среднем шиаремени за период вращения.
/с 389/М параллельных точечных диполей с моментами d0 cos at расположены на одной прямой на одинаковом расстоянии а друг от друга. Постоянный вектор d0 направлен произвольно по отношению к вектору а, соединяющему два соседних диполя. Расстояние между диполями сравнимо с длиной излучаемой волны
Рассматривая электромагнитное поле на больших рас-1 12
стояниях от системы, определить интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 2л/со.
390. Пять одинаковых точечных диполей с моментами d = docoscid расположены, как указано на рис. 5 и 6.
Вектор d0 постоянен, а расстояние между диполями равно длине излучаемой волны с/со. В указанных двух случаях определить интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т — 2л/со. Найти направления, для которых излучение максимально.
§ 5. Поляризация излучаемых волн
391. Положительный заряд е вращается по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью о. Определить поляризацию волн дипольного излучения.
392. Магнитный момент вращается в одной и той же плоскости с постоянной угловой скоростью. Определить поляризацию излучаемых волн.
393. Электрон с массой m и зарядом е движется перпендикулярно постоянному однородному магнитному полю с напряженностью Но. Скорость электрона по абсолютной величине равна и. Определить поляризацию волн квадрупольного излучения.
394. Электрон находится в электромагнитном поле линейно-поляризованной монохроматической волны.
Найти поляризацию волн когерентного дипольного излу-чения электрона.
395. Тонкая рамка с линейным током имеет форму окружности, плоскость которой сохраняет постоянное положение в пространстве, а радиус увеличивается со временем. Определить поляризацию излучаемых элек-тромагнитных волн.
396. Две одинаковые заряженные частицы движутся в свободном пространстве по прямой, отталкиваясь друг от друга. Определить поляризацию излучаемых волн.
397. Поверхность однородно заряженного с объемной плотностью р эллипсоида вращения с полуосями а и b
испытывает малые гармо-нические колебания вбли-i зи поверхности шара ра-< диуса R. Параметр ° деформации меняется по закону а — pcos со/, где р 1, а полуось b лежит на оси аксиальной симметрии эллипсоида,-Объем эллипсоида все время остается ностоян-ным и равным объему шара радиуса R, если от-
бросить слагаемые, квадратичные по малому параметру р. Найти угловое распределение интенсивности излучения di и полную интенсивность I излучения по
всем направлениям в среднем по времени за период колебания, а также определить поляризацию излучаемых волн. Эта задача описывает модель излучения при переходах между колебательными энергетическими уровнями
ядра.
398. Однородно заряженный по объему эллипсоид вращения с полуосями а и b вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг своей полуоси а, не являющейся осью аксиальной симметрии (рис. 7). Полный заряд эллипсоида равен Q. Найти угловое распределение интенсивности излучения di и полную интенсивность / излучения по всем направлениям в среднем по времени
за период вращения, а также определить поляризацию излучаемых волн. Эта задача описывает модель излучения при переходах между вращательными энергетическими уровнями ядра.
§ 6. Рассеяние электромагнитных волн
399. Линейно-поляризованная плоская волна падает на свободный электрон с массой т и зарядом е. Представить эффективное сечение da рассеяния волны в телесный угол dQ как функцию углов рассеяния. Чему равно полное сечение а рассеяния?
400. Решить предыдущую задачу, считая плоскую волну неполяризованной.
401. Циркулярная волна Е = £o[L cos (a>t — &г) + ’+lysin(w^ — kz)} падает на свободный электрон с массой т и зарядом е. Найти интенсивность di рассеянного излучения в телесный угол dQ в среднем за период Т — 2л/<в. Чему равно полное сечение а рассеяния волны?
402. В томсоновской модели атома водорода электрон с массой т и зарядом е совершает колебательное движение внутри неподвижного шара радиуса R, равномерно заряженного положительным зарядом. Вычислить дифференциальное do и полное а сечение рассеяния циркулярно-поляризованной плоской волны на таком атоме. Частота со падающей волны не совпадает с атомной, а длина волны велика по сравнению с диаметром шара.
403. С учетом силы радиационного трения вычислить дифференциальное da и полное а сечение рассеяния линейно-поляризованной плоской волны на атоме водорода, описываемом моделью Томсона (см. предыдущую задачу). Частота со падающей волны может совпадать с атомной, а длина волны велика по сравнению с диаметром атома.
404. Электрон с массой т и зарядом е совершает колебательное движение внутри цилиндра, равномерно заряженного с объемной плотностью р. Учитывая силу радиационного трения, определить дифференциальное da и полное ст сечение рассеяния линейно-поляризованной плоской волны на электроне. Длина падающей волны велика по сравнению с диаметром цилиндра, а вектор поляризации перпендикулярен его оси.
405. Определить дифференциальное des и полнбе а сечение рассеяния эллиптически-поляризованной плоской волны
Е = 1 xb! cos (bit — kz + а) + sin (sat — kz-\- а)
на свободном электроне с массой т и зарядом е.
406. Определить полное сечение ст рассеяния линейно-поляризованной монохроматической плоской волны Н = — HoCos(coZ—kr-j-a) на свободном нейтроне, у которого магнитный р и механический М моменты связаны соотношением р = —рМ. Частота $Н0 прецессии магнитного момента мала по сравнению с частотой со падающей волны.
407. В электромагнитном поле эллиптически-поляризованной волны Е = 1 cos (соt — kz + а) 1У&2 sin (сД —
—йг-|-а) покоится атом, поляризуемость которого р. Длина волны велика по сравнению с линейным размером атома, поэтому у него во внешнем электрическом поле возникает дипольный момент d = pE. Определить дифференциальное do и полное ст сечения рассеяния электромагнитной волны на атоме.
408. Момент инерции атома относительно произвольной оси, проходящей через центр тяжести, равен 1, а его электрический дипольный момент d имеет равновероятную ориентацию в пространстве. Определить полное сечение рассеяния линейно-поляризованной плоской волны Е — E0cos(co^ — kr) на электрическом диполе d, усредненное по направлению вектора d Для упрощения формул предположить, что частота Q вращения вектора d пренебрежимо мала по сравнению с характерной частотой VdEo/7.
§ 7. Излучение протяженных источников
409. В конечном объеме, граничащем с вакуумом, течет ток с объемной плотностью j. В промежутке времени от t\ до /г объемная плотность заданного тока меняется со временем, а вне этого промежутка всюду равна нулю или постоянна. Моменты времени t\ и t2 произвольны, в частности, возможно ti -> оо и t2 —> оо. Доказать, что в волновой зоне, где напряженности электрического Е(гД) и магнитного Н(гД) полей по модулю убывают обратно пропорционально расстоянию от заданного тока, 116
выполняются равенства
оо
Е (г, /) dt = О, — ОО
оо
H(r, t)dt = Q.
— оо
410. По отрезку [—I, I] оси Z течет линейный ток
J =/0 cos kz sin at,
где co — kc, k = (2m + 1)n/2Z, m — целое положительное число, а с — скорость света в вакууме. Найти среднюю по времени за период Т = 2п/а интенсивность di излучения в телесный угол dQ. Данная задача является примером излучения линейной антенны.
411. Сопротивлением излучения линейной антенны называется величина R = 2IfJl, где 1 — средняя по времени за период Т — 2п/а интенсивность излучения линейного тока J = /о cos kz sin at, текущего по антенне. Используя результаты предыдущей задачи, представить сопротивление излучения антенны в виде
(2/п+1)2Л
0
412. Вдоль линейной антенны, лежащей на оси Z, бежит волна тока / = J(t— г/с), где |z| sC I, с — скорость света в вакууме, a J (t— z/c)— дифференцируемая функция. Определить напряженности электрического Е и магнитного Н полей излучения в точках плоскости ХУ на большом расстоянии от антенны в волновой зоне
413. По отрезку [—I, /] оси Z в моменты времени t 0 течет линейный ток
J = 70 c°s ктге~ч1 sin amt,
где com = kmc, km — (2m 4- 1) n/2Z, m — целое положительное число, а с — скорость света в вакууме. Найти напряженности электрического Е и магнитного Н полей в точках плоскости XY, лежащих на больших расстояниях г от тока (г > kml2). Представить найденное электромагнитное поле излучения в виде суперпозиции монохроматических волн с разными частотами, считая У С ат.
414. Вдоль линейной антенны длины 21 бежит волна тока
J — JQ cos (at — kz),
где со = kc и |z|^Z, а с — скорость света в вакууме. Определить угловое распределение интенсивности излучения антенны в среднем по времени за период колебания тока.
415. N параллельных линейных антенн длины 21 расположены в плоскости XZ на одинаковом расстоянии друг от друга. Вектор а, соединяющий две соседние антенны, параллелен оси X. Расстояние между антеннами сравнимо с длиной излучаемой волны а ~ с/а. Вдоль каждой антенны течет линейный ток
J = Josinkz cos и/,
где |z|^i, со = kc, k = mn/l, т — целое положительное число, а с — скорость света в вакууме. Определить напряженность Н магнитного поля излучения на больших расстояниях гlz/a от антенн. Найти интенсивность излучения di в телесный угол c/Q в среднем по времени за период Т = 41/с.
416. По бесконечно тонкой пластине (—b х Ь, —I <Zz^l) параллельно оси Z течет ток с поверхностной плотностью i = io sin kz cos coi, где co = kc, k — mn/l, m — целое положительное число, ас? — скорость света в вакууме. Ширина и длина пластины сравнимы с длиной излучаемой волны. Определить интенсивность излучения di в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т = 41/с.
417. Параллельно оси цилиндрической поверхности радиуса R бежит волна тока с поверхностной плотностью i — i0cos(«i — kz), где |z| I, со = kc, а с — скорость света в вакууме. Длина волны с/со сравнима с радиусом Д Определить интенсивность di излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период колебания тока.
418. Ось Z служит общей осью двух одинаковых круглых конусов, которые расположены симметрично относительно плоскости XY и имеют общую вершину в начале декартовой системы координат. Образующая каждого конуса имеет длину b и составляет с его осью угол 0о. Полный ток, текущий по боковым поверхностям конусов, описывается функцией J = J(r,t), где г — расстояние до их общей вершины. Определить интенсивность di излучения в телесный угол dQ. Исследовать предельные выражения полученной формулы в двух случаях 0о —> 0 и 0О = л/2.
§ 8. Задачи, требующие вычисления на ЭВМ
419. Электрон с энергией <S = е2/2а рассеивается на атоме водорода, электрическое поле которого определяется потенциалом <р (г) — е + е~2г1а, где е — за-
ft2 , ,
ряд протона, а~~^2—боровскии радиус, т — масса электрона и 6— постоянная Планка. Определить полную энергию 8>d дипольного излучения в процессе рассеяния. При помощи вычисления на ЭВМ построить кривую зависимости излученной энергии от прицельного расстояния I пролетающего электрона.
420. Поток частиц с массой т, зарядом е и энергией 80 движется в сферически-симметричном потенциальном поле U (г) = Uoe~,/a, где а и С/о — положительные постоянные. Найти эффективное излучение оо
я = Д^ • 2л/ dl. Здесь Д<^ — полная энергия диполь-и
ного излучения частицы, пролегающей с прицельным расстоянием I. Пользуясь вычислением на ЭВМ, построить кривую зависимости эффективного излучения х от энергии «S’o в области 0,1 Uo 10 Uo.
421. Частица с зарядом Q движется со скоростью о по прямой мимо первоначально покоившегося заряженного осциллятора, собственная частота которого соо, а заряд и масса равны соответственно е и т. Расстояние I от центра осциллятора до прямолинейной траектории движения частицы настолько велико, что изменением скорости v можно пренебречь. Пренебрегая также силой радиационного трения, построить кривую интенсивности I излучения осциллятора под действием пролетающей заряженной частицы. Для вычисления на ЭВМ положить v = и0/ и считать амплитуду колебаний осциллятора малой по сравнению с /.
422. Покоившийся заряженный осциллятор с трением с момента времени t = /0 подвергся действию внешней силы F = F0e_/2/'tl, так что его уравнение движения приняло вид
г + уг + ®2г — — е~р/г!,
где йо и т — собственная частота и масса осциллятора, а коэффициент у характеризует энергетические потери,
обусловленные трением. Заряд колеблющейся частицы е. Полагая у = ою/2 — 2/т и используя численные методы, построить и сравнить между собой кривые интенсивности I излучения осциллятора под действием внешней силы F в двух случаях: to = 0 и to = —
423. Тяжелое ядро с зарядом Q движется со скоростью и по прямолинейной траектории на большом расстоянии I от покоящегося электронейтрального атома, поляризуемость которого р. Последнее означает, что во внешнем электрическом поле с напряженностью Е у атома появляется электрический дипольный момент d = рЕ. Пренебрегая изменением скорости v движущегося ядра, найги энергию dSa, излученную поляризованным атомом на частотах в интервале от со до со + с/со. При помощи численных методов построить кривую d&Jih} спектрального разложения излучения.
424. Два ядра имеют массовые числа Л] и Л2 и заряды ZjC и Z2e. В системе центра инерции их суммарная энергия So- Масса нуклона т. Рассмотреть два случая движения: а) ядра налетают друг на друга по прямой линии и после остановки вновь разлетаются на бесконечность; б) ядра с некоторого момента времени t = О разлетаются на бесконечность, являясь осколками большего ядра (в начальный момент времени t = 0 их скорости равнялись нулю). Определить спектральные плотности излучения dS'tJ, d& и dS^Id® в случаях а и б. При помощи численных методов построить и сравнить между собой кривые спектрального разложения излучения в обоих указанных случаях.
425. Решить предыдущую задачу, считая отношение заряда к массе у обоих ядер одинаковым
Z\P Z2e Ze A1ni A2m Am
426. В пространстве в направлении единичного вектора п распространяется электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой
Е = Еое~ cos
где t' = t—у-, Ео — постоянный вектор, а параметры т и ио удовлетворяют неравенству юот 1. Используя численные методы, начертить спектральную линию S (ш) излучения, распространяющегося в виде данного 120
электромагнитного импульса. Определить ширину Дсо спектральной линии.
427. По бесконечно тонкой пластине (—b х Ь, •—I z /) параллельно оси Z бежит волна тока с поверхностной плотностью 1 = 1г10ехр^-(/— где
с — скорость света в вакууме, a i0 и т — постоянные. Определить напряженности электрического Е и магнитного Н полей излучения в точках оси X на большом расстоянии г от пластины. Полагая b — I = ст, построить кривую зависимости напряженности электрического поля от времени для некоторой фиксированной точки наблюдения волновой зоны. Начертить спектральную линию <S (и) излучения, прошедшего через эту точку наблюдения.
428. В направлении оси цилиндра высоты 2/г и радиуса 7? бежит волна тока с объемной плотностью j = joe_(r/w’ cos (kz — co/), где co = kc, а г и z — цилиндрические координаты. Постоянный вектор j0 параллелен оси Z. Начало координат выбрано в центральной точке цилиндра. Определить среднюю за период Т — 2л/о) интенсивность излучения в единицу телесного угла dlldQ, как функцию полярного угла 0, отсчитываемого от оси цилиндра. Построить диаграмму направленности излучения, откладывая численное значение величины dl/dO для каждого угла 0 в виде отрезка на луче, составляющем тот же угол с полярной осью, которая совпадает с осью цилиндра. Для вычисления на ЭВМ положить h = R — \/k.
429. Биконический вибратор состоит из поверхностей двух одинаковых круговых конусов, касающихся вершинами и имеющих общую ось. Образующая каждого конуса имеет длину I и составляет угол л/4 с его осью. По биконическон поверхности в направлении образующей течет полный ток J — Ja cos kr sin о/, где k — = са/с = я/21, а г — расстояние до общей вершины. Определить среднюю за период Т = 2л/ы интенсивность излучения в единицу телесного угла dljdO как функцию полярного угла 0, отсчитываемого от оси вибратора. При помощи численных методов построить кривую зависимости величины dl/dO от угла 0.
430. С момента времени t = 0 из точки пространства с радиус-вектором г = 0 был испущен импульс тока, который начал растекаться во все стороны с объемной
плотностью j =(г, 0- Здесь 1 — постоянный единичный вектор, a F(r, t)—произвольная функция модуля г радиус-вектора и времени t. Определить напряженности электрического Е и магнитного Н полей в волновой зоне, где эти величины убывают обратно пропорционально расстоянию от тока. Полагая
Г
F(r, =
где с — скорость света в вакууме, а постоянные
Лит связаны условием ст=10Л, построить кривую зависимости напряженности электрического поля излучения от времени для некоторой фиксированной точки наблюдения волновой зоны.
Глава V
ПОЛЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Инерциальная система координат вместе с прикрепленными к ней часами называется инерциальной системой отсчета. Происшедшее событие будем отмечать координатами х, у и z места, где оно произошло, и временем t, когда оно произошло в определенной инерциальной системе отсчета.
Каждому событию можно сопоставить точку в четырехмерном пространстве, которая характеризуется 4-радиус-вектором Xj с компонентами
X, = х, х2 = у, t (V. 1) Х3 — Z, Х4 = let.
Сумма квадратов компонент 4-радиус-вектора
Х2+Х2 + Х2+Х2 (V.2)
представляет собой квадрат расстояния точки (V. 1) до
начала координат и определяет метрику данного четырехмерного пространства.
Пусть штрихованная инерциальная система координат X'Y'Z' движется вдоль оси X со скоростью V относительно покоящейся координатной системы XYZ. Одноименные декартовы оси параллельны, а в момент времени t — 0 начала этих двух кординатных систем совпадали (рис. 8). Тогда координаты и время одного и того же события, зарегистрированные в указанных
инерциальных системах отсчета, связаны между собой преобразованием Лоренца
или в четырехмерном обозначении
Последнее преобразование удобно записать в матричном виде *)
xi = aikxk> (V. 4)
Формулы обратного преобразования получаются путем изменения знака у скорости V на противоположный
x'i aikxk a}kxk‘
(V.6)
Поскольку матрица (V. 5) удовлетворяет условию a~j^ = aki, преобразование Лоренца (V. 4) является линейным ортогональным преобразованием координат в четырехмерном пространстве. Оно описывает переход от одной координатной системы (Х^Х^Х^Х^) к другой (Х^Х^Х^Х'^, повернутой в плоскости Х\Х^ на некоторый
*) В данной главе по дважды повторяющимся матричным и тензорным индексам, обозначенным латинскими буквами (Z, k, I, ...), предполагается суммирование от 1 до 4, а знак суммы опускается. Между тем греческие индексы (а, (3, у, ,..), как и прежде, пробегают значения от 1 до 3.
угол. Величина (V. 5) представляет собой матрицу этого линейного ортогонального преобразования.
Вектором А/ в четырехмерном пространстве (4-вектором) называется совокупность четырех величин Л|, Л2, Л3 и Л4, которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора
= aik^k> ^i==aik^k> (V. 7)
где агн — матрица произвольного линейного ортогонального преобразования координат в четырехмерном пространстве. В частности, она может иметь вид (V. 5).
Для 4-вектора принято обозначение
Л = (А, Л4), (V. 8)
где А = 1ЖЛ] + 1УЛ2 + 1?Л3. Первые три компоненты Ль Л2 и Л3 4-вектора называют пространственными, а четвертую Л4— временной.
Аналогично четырехмерным тензором второго ранга называется совокупность шестнадцати величин Tlk, которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как произведение компонент 4-радиус-вектора
?tk = ailakmTlm' ?' lk = adaknJ1т' (У-®)
Если некоторая величина не меняет своего численного значения при переходе в любую повернутую четырехмерную систему координат, то она называется скаляром. Этому свойству удовлетворяет, например, скалярное произведение АгВг = АВ Л4В4 4-векторов Лг и Вг, которое инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат
= = (v.io)
Импульс р и энергия § частицы с массой т
ту Р —7=----- ~ >
V1 — Ч2/с2
ср тс2
а = —7=...' —
VI — v2/c2
образуют 4-вектор р{ энергии-импульса 4-импульс)
(р. *-4)-
(V.11)
(V. 12)
(или просто
(V. 13)
Эту величину часто представляют в следующем виде = mctii, вводя понятие 4-скорости:
щ = (—----------, , 1 ...Л. (V. 14)
\сд/1-о2/с2 Vl-02/c2 )
Компоненты четырехмерной скорости удовлетворяют условию «2 = —1, так что можно записать
р2 -—/и2с2. (V. 15)
Из формул (V. 11) и (V. 12) вытекают полезные соотношения
p = <g’-2L, S = д/т2^4 + Р2с2, Т = <£ — me2, (V. 16)
где величина Т называется кинетической энергией релятивистской частицы, а значение тс2 — энергией покоя.
Дифференцируя по времени обе части равенства (V. 15) и используя уравнение движения
4p=f. <v.in
легко определить скорость изменения кинетической энергии частицы во внешнем силовом поле F:
4r=4r=vF- (v-18)
Наравне с трехмерной силой F, действующей на частицу, вводят понятие 4-вектора силы с компонентами
— F . , i п vF ...(V. 19)
\ С Vl — t)2/c2 С" Vi — о2/с2 )
где v — скорость частицы. Четырехмерная сила входит в правую часть ковариантного уравнения движения
du, mc~nr = f‘- (v.20)
Здесь ds = с dt у/1 — о2/с2, a du^ds = w, — четырехмерное ускорение, которое ортогонально к 4-вектору скорости WiUi — 0 и имеет следующие компоненты:
w{ =
__( 1 d v __________________i____d 1
\c2Vl — v^c1 dt у/1 — v-/c2 c^l-v-yc2 dt y/\ — v2lc2)'
(V.21)
Объемные плотности тока j и заряда р образуют 4-вектор плотности тока
Л = (ьМ, (V.22)
а векторный А и скалярный ф потенциалы составляют 4-вектор
А = (А, гф), (V.23)
который называется 4-потенциалом.
Соотношения (IV. 1) и (IV. 2), определяющие векторный и скалярный потенциалы, в четырехмерном обозначении записываются единым образом:
л*=4г--#-’ (v-24)
(УЛ- (у Л-
где величина Fik называется тензором электромагнитного поля. Напряженности электрического Е и магнитного Н полей являются компонентами этого антисим
метричного тензора
0 нг ~Ну ~1ЕХ
-нг 0 нх — iEy
Ну -нх 0 -iEz (V. 25)
iEx iEy iEz 0
При помощи тензора электромагнитного поля уравнения Максвелла (III. 1) — (III.4) можно представить в ковариантной форме
dFik __ _ 4л .
дх{ с
dFtk । dFkt I dPa __ „ dxl ' dX[ ' dxk
(V. 26)
(V. 27)
Формулы (V. 9) и (V. 25) позволяют получить закон преобразования электрического и магнитного полей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в дру’ гую (см. рис. 8)
hi II tn •> tn «5 II . - + 1 "|т Л Е', ~ — Н'у Е’~ /7^’ (v-28) Д/ с2
Н' ~ — Е’г ы и и Ис М С (\7 9СА
“X *1х> Му . >
или в векторной форме
e'±--(vxh')
Е|( = Е', Е1 = -—/S--gr—, (V.30)
Н1 + 7 <v X Е')
Нт =------Т=^~’ (v-31)
где знаки II и -L отмечают компоненту вектора, соответственно параллельную и перпендикулярную скорости V.
Из векторов Е и Н нетрудно образовать величины, инвариантные по отношению к преобразованию Лоренца:
Е2 — //2 = inv, ЕН = inv. (V.32)
Применяя инварианты (V. 10) и (V. 32) к монохроматической плоской электромагнитной волне
Е = 1£0 cos (со/— kr), Н —(kXE)-^-, (V.33)
приходят к выводу, что векторы напряженности электрического и магнитного полей этой волны равны по модулю и ортогональны во всех инерциальных системах отсчета, а фаза волнШ является инвариантом
со/ — kr = — kixt — inv, (V. 34)
где kt = (k, — волновой 4-вектор.
Тензор энергии — импульса электромагнитного поля
Tik = (F“F* + i (v- 35>
обладает свойствами Tih = Thi и Тц = 0. Его временная Т44 и пространственно-временные ТаЛ компоненты связаны с плотностью энергии ® (Е2 + Я2) и плотно-
стью импульса g = 4"7(EXH) электромагнитного поля следующим образом:
Т44—w> 7 а4— icga-
(V. 36)
Плотность импульса g электромагнитного поля пропорциональна плотности потока электромагнитной энергии ^вектору Пойнтинга s=-c-EXH^
g=4-s- <v-37>
Девять пространственных компонент 4-тензора (V. 35) составляют трехмерный максвелловский тензор натяжений
i - 4 (£2+tf2) М • (v- з8>
Сила, приложенная к поверхности S в электромагнитном поле, выражается через максвелловский тензор натяжений (V. 38)
Fa=\ra^dS, (V.39)
s
где Fa— компонента силы, а п — нормаль к поверхности S.
В четырехмерной записи уравнение движения (V. 20) отдельной частицы с массой m и зарядом е во внешнем электромагнитном поле имеет вид
du, е
mc-^-=—Fikuk- (V. 40)
Пространственная часть этого четырехмерного векторного равенства после сокращения на общий множитель совпадает с уравнением Ньютона (V. 17), в правой части которого стоит сила Лоренца
F = e[E + |(vXH)]. (V.41)
Электромагнитное поле заряда е, движущегося с произвольной скоростью v, определяется потенциалами Лиенара — Вихерта
Ф =----е , А = ev , (V. 42)
где R = r — аги re(f) — радиус-векторы точек наблюдения и расположения заряда. Запаздывающий
5 А. И. Алексеев 129
момент времени t' связан с временем наблюдения t условием
4' = /— у | г — ге(/') I- (V.43)
Путем дифференцирования потенциалов Лиенара —1 Вихерта находят напряженности электрического и магнитного полей движущегося заряда
(V. 44)
н= (RXE). (V.45)
Электрическое (V. 44) и магнитное (V. 45) поля состоят из двух характерных частей. Первая часть зависит от скорости точечного заряда и убывает с расстоянием, как I//?2. Она перемещается вместе с зарядом и не отрывается от него, так как поток энергии этого поля через сферу радиуса R стремится к нулю при R —* оо. Вторая часть зависит не только от скорости, но и ускорения и спадает по закону 1/R. Это приводит к отличному от нуля потоку вектора Пойнтинга сквозь сферу бесконечно большого радиуса. Следовательно, вторая часть полей (V. 44) и (V. 45) описывает излучение электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом.
Интенсивность излучения заряда е в телесный угол d£l
dl = Е2 (О R2 dQ (V. 46)
содержит лишь второе слагаемое выражения (V. 44) и после простого преобразования принимает вид dl =
(V.47)
Ж\ и
где п = -^—единичный вектор в направлении излучения, а все величины в правой части равенства (V. 47J, берутся в запаздывающий момент времени (V. 43), 139
В силу своего определения интенсивности излучения r(V. 46) и (IV. 22) численно отличаются друг от друга, если учитывать запаздывание излученного электромагнитного сигнала в пределах эффективной области движения заряда. Это связано с тем, что потоки вектора Пойнтинга через сферические поверхности весьма больших радиусов г и R в один и тот же момент времени t различны, так как центры указанных сфер не совпадают.
Если скорость и ускорение заряда параллельны, то формула (V. 47) упрощается
(V. 48)
где 9 — угол между скоростью и направлением излучения. Для взаимно перпендикулярных векторов v и v
имеем
di
еЧ2
4пс3
д* \
1----j- I sin3 0 cos2 ф
-------д--- dQ.
(l-^-cosO) _
(V. 49)
В этой формуле 9 — угол между скоростью v и единичным вектором п направления излучения, а ф— азимутальный угол вектора п с плоскостью, проходящей через скорость v и ускорение v заряда.
Излучение в элемент телесного угла dQ за все время движения заряда е дается формулой
d$n =
в которой использовано соотношение
(V. 50)
dt = (l-^dt'. (V.51)
Каждый заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны, которые уносят энергию и 5* 131
импульс. Излученные за время dt энергия и импульс б/Ризл определяются формулами
2е2 F2-^r(vF)2
^изл-з^з- * dt, (V. 52)
с2
2е2 F2-4(vF)’
dP11M = -Д-5------—---V dt, (V. 53)
изл Zm2c5 . v2 ’ ' '
1
где е и т — заряд и масса частицы, движущейся со скоростью v в силовом поле F согласно уравнению Ньютона (V. 17).
Иногда правые части равенств (V. 52) и (V. 53) записывают иначе:
2е2 ^2 — Д- (v X v)2
^изл = > -Z Г2 v dt> (V- 54) о-Я
2„2 V2--^-(vXv)2
^Ризл-> - (V. 55)
где v и v — скорость и ускорение заряда е.
Во внешнем электромагнитном поле с напряженностями Е и Н величина F без учета обратного действия излучения на заряженную частицу совпадает с силой Лоренца (V. 41), а формулы (V. 52) и (V. 53) приводятся к следующему виду: ,
^изл
2е4
3/п2с3
\2 1
<Н)) -Д(уЕ)2
-------------dt, 1--Д-с2
(V. 56)
2е4
ЛР ____________
ЫГизл 3/п2сб
\2 1
<Н)) -Д-(уЕ)2
----Д-----------V dt.
1--Д-
с2
(V. 57)
При движении в силовом поле F скорость потери энергии заряженной частицей на излучении электро-t 132
магнитных волн описывается выражением
<^4 2»’ F’--W
dt 7изл 3m2c3 ._о2
с2
(V. 58)
где — энергия частицы в этом силовом поле.
Учет силы радиационного трения в уравнении движения (V. 17) может существенно повлиять на радиус-вектор ге(0, скорость v(0 и ускорение v(/) заряженной частицы, что отразится па правых частях соотношений (V. 47) —(V. 58).
Полная интенсивность излучения по всем направлениям
/ = ^E2(O2dQ (V.59)
по физическому смыслу и численному значению отличается от скорости потери энергии заряженной частицей на излучение (V. 58), хотя обе эти величины имеют одинаковую размерность. Указанные величины совпадают только в предельном случае медленного движения заряженной частицы со скоростью v <§; с, когда запаздыванием излученного электромагнитного сигнала внутри эффективной области движения можно пренебречь. В этом предельном случае формулы (V. 59) и (V. 58) совпадают с аналогичными выражениями (IV. 16) и (IV.31), если последние применять к излучению отдельного заряда.
Если радиус-вектор ге(/) заряда е меняется со временем заданным образом, то энергия d&n№, излученная в элемент телесного угла rfQ на частотах в интервале от со до со da, имеет вид
Л SP с? со
ПИ ~ W
dQdco. (V.60)
В частности, при внезапном изменении скорости заряженной частицы в результате столкновения соотношение (V. 60) запишется как
п<а
е2 / n X Vi
4лс3 I _ nV] \ с
-^^L^dQda, 1 )
с /
(V.61)
где vi и v2 — скорости частицы до и после столкновения. Формула (V.61) справедлива для частот <от<^1, где т —порядок величины времени взаимодействия, в результате которого произошло резкое изменение скорости частицы. При мгновенном изменении скорости область применимости формулы (V. 61) ограничена условием малости величины йсо по сравнению с кинетической энергией частицы, чтобы исключить квантовые эффекты в излучении.
Формулы (V. 60) и (V. 61) допускают обобщение на случай системы зарядов ет (т = 1, 2......N), движу-
щихся по заданным траекториям
N ~ . / nrw «)\
У еш J (nXrm(0)«‘“' с 'dt
т а1 —©о
2
dQda,
(V. 62)
1
4л2с3
П X Vim nvi^ С
n X У2Ш
ПУ2ОТ С
dQ da,
(V. 63)
где rm(t)~ радиус-вектор заряда ет, a v)m и v2m —его скорости до и после столкновения. Правые части равенств (V. 62) и (V. 63) учитывают интерференцию электромагнитных волн, излученных отдельными зарядами.
В случае периодического движения заряда е средняя во времени за период Т = 2л/соо интенсивность dln излучения в элемент телесного угла dQ на n-й гармонике с частотой соп = пао равна
а, Шп 2лс3
7/2
у J (nXb(O)
-Т/2
/ пг Ю
ino>o I i--------
g \ с
2
di dQ. (V.64)
Полная мощность излучения в элемент телесного угла dQ в среднем по времени представляет собой бесконечную сумму интенсивностей излучения (V. 64) на отдельных гармониках с индексами п = 1, 2, ...
Для системы зарядов, движущихся с одним и тем же периодом, обобщение формулы (V. 64) проводится по 134
аналогии с соотношениями (V. 60) — (V. 63). Если периоды движения отдельных зарядов различны, то средняя по времени интенсивность излучения выглядит более сложно.
Обратное действие излучения на заряженную частицу, движущуюся со скоростью v во внешнем электромагнитном поле Е и Н, учитывается в уравнении движения путем прибавления к силе Лоренца специфической силы f радиационного трения, которая направлена против скорости V. Выбирая последнюю в качестве оси X, получаем в ультрарелятивистском случае
2е4 (Е„-НгУ + (Ег + НуУ
'х 3m3c4 1 — v2/c2 ’ ' ’ '
При скоростях частицы, близких к скорости света, могут реализоваться условия, когда сила радиационного трения (V. 65) является основной действующей силой. Тогда после пролетания через внешнее электромагнитное поле энергия заряженной частицы не может превышать критического значения <8Гкр, даваемого равенством
оо
= $ [^-нг)2 + (Ег + н^]<1х. (v.66)
— оо
§ 1. Преобразование электромагнитного поля
431. В покоящейся системе отсчета напряженности Е и Н однородного электромагнитного поля заданы, причем ЕН >0. Определить скорости V тех инерциальных систем координат, в которых векторы электрического и магнитного полей параллельны.
432. В покоящейся системе отсчета напряженности электрического Е и магнитного Н полей взаимно ортогональны и не равны по модулю. Найти скорости V тех инерциальных систем координат, в которых имеются: а) только электрическое поле; б) только магнитное поле. Определить напряженность указанных полей.
433. Напряженности Е и Н однородного электромагнитного поля в некоторой инерциальной системе координат заданы, причем Е X Н =И= 0. Найти скорости V всех инерциальных систем координат, в которых модуль
напряженности электрического (или магнитного) поля имеет то же численное значение, что и в исходной системе отсчета. Результат представить в векторной форме.
434. Вдоль бесконечного однородного цилиндра произвольного радиуса течет постоянный ток с объемной плотностью j. Объемная и поверхностная плотности заряда цилиндра равны нулю. Найти скорости V инерциальных систем координат, где в каждой точке пространства напряженность электрического поля по модулю в N раз меньше напряженности магнитного.
435. При помощи формул преобразования напряженностей электрического и магнитного полей (V. 28) и (V. 29) доказать, что величины Е2— Я2 и ЕН не меняют своего вида и численного значения при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.
436. Напряженности Е и Н электрического и магнитного полей в исходной системе координат образуют острый угол. Определить модули Е' и Н' напряженностей электрического и магнитного полей в той инерциальной системе отсчета, в которой угол между векторами Е' и Н' равен л/4.
437. Нейтрон с магнитным моментом ц движется со скоростью v в кулоновском поле покоящегося ядра с зарядом Q. Считая скорость нейтрона малой по сравнению со скоростью света и пренебрегая членами порядка у 2
р-<1, найти силу F, приложенную к нейтрону в каждой точке траектории.
438. Электронейтральная частица с внутренним электрическим дипольным моментом d движется со скоростью v в неоднородном магнитном поле с напряженностью Н. Отбрасывая слагаемые, пропорциональные малому параметру — <С 1, определить силу F, приложенную к частице.
439. Одноименные декартовы оси двух инерциальных систем координат параллельны, а их относительное движение происходит вдоль оси X. В момент времени t — О начала’декартовых систем совпадали (см. рис. 8). Доказать, что компонента Fl4 тензора электромагнитного поля инвариантна относительно преобразования Лоренца (Fl4 = F'l4), а величины Л2л и F3h преобразуются как че-тырехмерные векторы,
1 440. Путем перехода к трехмерным обозначениям до-
казать, что ковариантные уравнения
dFik 4л . dFjb . dFu 9Рц _ _
дх: с дх{ дх{ "Г" dxk
1 сводятся к обычным уравнениям Максвелла для напря-1 жепностей Е и Н электромагнитного поля.
’ 441. Используя закон преобразования волнового
4-вектора, определить изменение частоты (эффект Доплера) и направления скорости света (абберацня света) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Исследовать полученные формулы в предельном случае V С с, где V — модуль скорости относительного движения двух указанных инерциальных систем координат.
442. Монохроматическая плоская электромагнитная волна частоты coi падает под углом 0] на плоское зеркало, которое движется со скоростью V в направлении своей нормали навстречу падающей волне. Определить угол 02 отражения от движущегося зеркала и частоту сог отраженной волны.
443. Монохроматическая плоская электромагнитная волна с плотностью энергии w0 падает перпендикулярно на движущееся плоское зеркало и полностью отражается от него. Определить плотность энергии w и импульса g отраженной волны, если зеркало перемещается со скоростью V навстречу падающей волне.
444. Инерциальная система координат К' движется со скоростью V относительно покоящейся координатной системы К, как показано на рис. 8. Пользуясь законом преобразования тензора энергии-импульса, выразить плотность энергии w' плоской электромагнитной волны в системе К.' через плотность энергии w этой же волны в покоящейся системе К, где она распространяется под углом а к направлению скорости V.
445. Эллипсоид вращения с полуосями а и Ь, имеющий идеально отражающую поверхность, движется со скоростью V навстречу падающей электромагнитной волне, напряженность электрического поля которой Е = = Eocos(co/ — kr). Ось симметрии эллипсоида, совпадающая с полуосью Ь, параллельна вектору V. В системе координат, связанной с эллипсоидом, определить силу F, приложенную к нему в среднем по времени за
период колебания волны. В указанной системе координат длина падающей электромагнитной волны мала по сравнению с поперечным размером эллипсоида, так что позади него находится резко очерченная область тени.
§ 2. Излучение быстро движущегося заряда
446. Заряд е совершает финитное движение с нерелятивистской скоростью v. Разлагая векторный потенциал Лиенара — Вихерта в ряд по параметру и/с и по времени запаздывания электромагнитного сигнала в пределах области движения заряда, определить величину этого потенциала и напряженность магнитного поля в волновой зоне с учетом слагаемых, которые по порядку величины меньше главного члена разложения в и2/с2 раз.
447. Используя потенциалы Лиенара — Вихерта, определить напряженности электрического и магнитного полей произвольно движущегося заряда.
448. Пользуясь общей формулой (V.47) углового распределения интенсивности излучения релятивистской частицы, определить интенсивность излучения di в телесный угол rfQ в двух случаях: а) скорость v и ускорение v частицы параллельны; б) скорость и ускорение взаимно перпендикулярны.
449. Скорость v и ускорение v заряда е параллельны. Определить полную интенсивность I излучения по всем направлениям. Исследовать полученную формулу в уль-трарелятивистском случае, а также при малых скоростях заряда v2 С с2.
450. Частица с массой т и зарядом е движется параллельно напряженности Е постоянного однородного электрического поля. Доказать, что скорость потери г dffn X
энергии I---Try- частицей на излучение в запазды-
\ at /изл
вающий момент времени t', вычисленная при помощи формул (V. 48) и (V.51), а также формулы (V. 58), имеет одно и то же значение. Здесь — энергия частицы во внешнем электрическом поле.
451. Двигаясь со скоростью, по порядку величины равной скорости света, электрон с массой т и зарядом е попадает в однородное постоянное электрическое поле с напряженностью Е. В момент t0 = 0 влета во внешнее, электрическое поле скорость электрона перпендику-138
лярна вектору Е, а его энергия равна &0. Определить энергию <??взл, излученную по истечении времени t после влета, считая ее малой по сравнению с кинетической энергией электрона,
(452? Быстрый электрон с массой т и зарядом е влетает со скоростью vo в полупространство, в котором напряженность Е электрического поля постоянна, однородна и параллельна вектору vq. Пренебрегая обратным влиянием излучения на движение электрона, определить энергию ^изл, потерянную им за время пребывания во внешнем поле.
453. Расстояние I и разность потенциалов ср между пластинами плоского конденсатора поддерживаются постоянными. Перпендикулярно пластинам в направлении вектора напряженности электрического поля пролетает протон с массой т и зарядом е. Его начальная скорость Vo по абсолютной величине сравнима со скоростью света. Найти энергию ^Изл, излученную протоном за время пролета через конденсатор.
454. Релятивистская частица с массой т и зарядом е влетает в полупространство, в котором напряженность Н магнитного поля однородна, постоянна и параллельна граничной плоскости. Начальная скорость vo частицы перпендикулярна вектору Н и составляет угол л/4 с граничной плоскостью. Определить энергию ^изл, излученную за время движения в магнитном поле. Рассмотреть два случая: а) сила Лоренца в начальный момент времени направлена в полупространство, занятое магнитным полем; б) сила Лоренца направлена в сторону свободного полупространства.
455. Перпендикулярно однородному постоянному магнитному полю с напряженностью Н движется электрон с массой т и зарядом е. В начальный момент времени io — 0 энергия электрона &0, а его скорость и0 по порядку величины равна скорости света. Найти закон убывания энергии S электрона, обусловленный излучением. В полученной формуле сделать предельный переход к малой начальной скорости электрона v% с2.
456. В некоторый момент времени частица с массой т и положительным зарядом е движется со скоростью v параллельно прямолинейному постоянному току силы J на расстоянии г от него. Внутренний электрический дипольный момент d частицы перпендикулярен скорости v и находится в плоскости, в которой лежит траек-
тория и течет ток. Отбрасывая малые слагаемые, пропорциональные -^-<^1, найти интенсивность I излучения в указанный момент времени.
457. Электрон с массой т и зарядом е пролетает на большом расстоянии I от неподвижного ядра, имеющего заряд Z|e|. Пренебрегая искривлением траектории и считая изменение скорости электрона очень малым по сравнению с ее начальным значением Vo, определить энергию <Гизл, излученную за время пролета. Показать, что в предельном случае с2 полученный результат совпадает с ответом задачи 294.
458. Релятивистская частица с массой т и зарядом е пролетает на большом расстоянии I от покоящегося электрического диполя с моментом d. Во время движения изменение скорости частицы пренебрежимо мало по сравнению с ее начальным значением v0. Пренебрегая искривлением траектории, найти энергию «?Изл, излученную за время пролета в двух случаях: а) дипольный момент d перпендикулярен плоскости движения; б) дипольный момент d параллелен скорости частицы.
459. Предполагая, что в предыдущей задаче электрический дипольный момент d перпендикулярен скорости Vq релятивистской частицы и лежит в плоскости движения, вычислить проекцию излученного импульса на направление вектора Vo.
460. На большом расстоянии I от неподвижного нейтрона, имеющего магнитный момент ц, пролетает электрон с массой т и зарядом е. Его скорость v0 на бесконечно большом расстоянии от нейтрона по порядку величины равна скорости света. Считая приближенно траекторию электрона прямолинейной, а изменение скорости во время движения очень малым, определить полную энергию «З’и.зл, излученную в двух случаях: а) магнитный момент [л перпендикулярен плоскости движения; б) магнитный момент [л параллелен скорости электрона.
461. Предполагая, что в предыдущей задаче магнитный момент [j, нейтрона перпендикулярен скорости Vo электрона и лежит в плоскости движения, вычислить проекцию излученного импульса на направление вектора v0.
462. По бесконечной прямой течет постоянный линейный ток J. Перпендикулярно току на расстоянии I от него пролетает релятивистская частица с массой пг 140
и зарядом е. Считая приблизительно траекторию прямолинейной, а скорость v частицы неизменной, определить полную энергию «^изл, излученную за время полета.
463. В начальный момент времени t0 — 0 ультраре-лятивистская частица с массой т, зарядом е и энергией сГо влетает в однородное постоянное электрическое поле под прямым углом к вектору Е. Пренебрегая искривлением траектории, определить закон убывания энергии частицы в промежутке времени, пока ее скорость близка к скорости света.
464. Под некоторым углом к вектору Н однородного постоянного магнитного поля движется ультрареляти-вистская частица с массой т и зарядом е. В начальный момент времени t0 = 0 ее энергия с?о- Определить закон убывания энергии <S частицы в интервале времени, пока ее скорость близка к скорости света.
465. Частица с массой т и зарядом е движется в произвольном силовом поле F. Представить скорость потери энергии частицей на излучение (V. 58) как функ-цию-ее скорости v и ускорения v.
(^66j В результате комптон-эффекта покоившийся электрон приобрел скорость v, по абсолютной величине близкую к скорости света. Заряд электрона е. Определить энергию d&a, излученную электроном в интервале частот от и до и + da.
467. Пользуясь общей формулой (V. 60) для энергии d$na, излученной в телесный угол dQ. на частотах в интервале от ш до и -ф da, и полагая в ней скорость v заряда е малой по сравнению со скоростью света, определить спектральное разложение полной энергии излучения d<Sa с учетом малых членов порядка v2lc2. На основе полученного результата найти интенсивность излучения I, которая определена формулой (IV. 16).
468. При помощи некоторого устройства заряд е совершает быстрые гармонические колебания z — acosaot вдоль оси Z. Определить среднюю за период Т = 2п/а0 интенсивность dln излучения в элемент телесного угла dQ, на n-й гармонике с частотой ап — пао-
469. Заряд е вращается по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью v — Rao. Определить среднюю за период Т = 2п/а0 интенсивность dln излучения в элемент телесного угла d£l на п-ii гармонике с частотой <оп = пао.
470. Заряды ei и е2 совершают гармонические колебания Z\ = ai cos соо^ и z2 — «2 cos ио^ вдоль двух бесконечно близких прямых, параллельных оси Z. Определить среднюю за период Т = 2л/ио интенсивность dln излучения в элемент телесного угла dQ на n-й гармонике с частотой ип = пи0.
$171) Определить предельную энергию которой может обладать электрон с массой пг и зарядом е после пролета с прицельным расстоянием I в кулоновском поле Q/r покоящегося ядра.
472. Определить предельную энергию е?1;р ультра-релятивистского протона с массой пг и зарядом е после пролета с прицельным расстоянием I через магнитное поле Земли, характеризуемое магнитным моментом ц. Последний перпендикулярен плоскости движения протона. .
473. Частица с массой m и зарядом е пролетела с прицельным расстоянием I мимо покоящегося электрического диполя с моментом d. Вектор d параллелен скорости частицы. Определить предельную энергию «S’kp. которой может обладать частица после пролета.
474. На расстоянии I от бесконечной прямолинейной нити, равномерно заряженной с постоянной линейной плотностью q, пролетает ультрарелятивистская частица с массой m и зарядом е. Ее скорость перпендикулярна нити. Определить предельную энергию «S’kp, которую может иметь частица после пролета около заряженной нити.
475. Решить предыдущую задачу, считая, что статическое распределение заряда отсутствует q = 0, а по нити течет постоянный линейный ток /.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла и граничные условия в электростатике
1. a) b X а; б) (аг) к — 2 (ак) г + (кг) а; в) (аг) к sin кг — a cos кг;
е)
ОТ
dF df
dj d (аг) a’
2. Нельзя, так как ротор заданной векторной функции отличен нуля: rot Е = 2а.
3. Напряженность электростатического поля внутри полой обла
сти должна удовлетворять однородным уравнениям Максвелла rot Е = 0 н div Е = 0. Поэтому для ответа на поставленный воп-
рос необходимо вычислить ротор и дивергенцию заданного поля:
а) можно (rot Е = 0, div Е = 0); б) нельзя (rot Е = b X а, div Е = ab); в) можно, если ab = 0 (rot Е = 0, div Е — ЗаЬ);
г) нельзя (rot Е = а X b, div Е = —2аЬ); д) нельзя (rot Е =
= 3(аг)к—(ak)r, div Е = а (к X г)); е) нельзя (rot Е = 3(г X с)>
div Е = —2(сг)); ж) нельзя (rot Е = (b X a) cos кг —
— (Ьг) (к X a)sin кг, div Е = ab cos кг — (ак) (br)sin кг); з) можно (rot Е «= 0, div Е = 0); и) можно (rot Е = 0, div Е = 0).
4- а) Т7 i б) SL ; в) —е~2г/а; г) р0 cos 0 при г < R и О “Л Л> ДТП
при г > R-, д) ро cos ф при г < R и 0 при г > R.
6. Нет.
7. Указание. Воспользоваться теоремой Стокса (П1.17) и уравнением электростатики (I. 1).
8. Заряд с поверхностной плотностью о заполняет следующие поверхности: а) декартову плоскость XY с о = £о/2л; б) сферу радиуса R с о = Q/4nR* 2 3 * * 6 7 8; в) цилиндрическую поверхность радиуса R е. <з — q/4nR.
<
§ 2. Электростатическая теорема Гаусса
9. а) Напряженность Е электрического поля однородно заряженного шара направлена по радиусу, а модуль вектора Е зависит от расстояния г до центра шара. Эти выводы вытекают из сферической симметрии расположения зарядов. В качестве вспомогательной поверхности в электростатической теореме Гаусса следует выбрать концентрическую сферу, так как подынтегральная функция Е = Е(г) постоянна на этой сфере и выносится за знак интеграла:
ф Е dS = 4лг2Е.
Для области внутри шара из теоремы Гаусса получаем
. 16л2 4л »
4лН£1=—з—г3р, Е1 = — рг.
Снаружи шара
4лг2£2 = -!^/?2р. Е2 = -^-р/?3-^-.
Потенциал электрического поля находится путем решения уравнения
dr
правая часть которого равна Es(r) внутри и Е?(г) —вне шара. Интегрирование этого уравнения дает
cpi = — ^y-pr2 + cj при
4л р/?3 .
ф2 = — —----F при
Костанты интегрирования ci и с2 определяются из дополнительных условий = ф2(/?), ф2(°о) = 0.
Окончательно потенциал электрического поля принимает вид
2лр/?2 г2 \ „
Ф1 = —при
4лр#3 п
фз = —при г > Д;
б) Е! = 2лрг, ф1 = лр(Д2 —г2) при
Е2 = Г , ф2 = 2лр/?2 In у- при /•>/?, где радиус-вектор г точки наблюдения направлен по радиусу ццг.
линдра, а произвольная постоянная в потенциале выбрана из условия <Pi (/?) = <р2(Я) = 0;
в) EIs=4npxlJC, <pi = — 2лрх2 при 1 х | L,
п л , Х ,
Е2 = 4лрД дуу 1х,
ф2 = 2лрЬ (Л — 2 [ х [) при | х | > L.
Начало декартовой системы координат лежит в плоскости симметрии пластины, а ось X перпендикулярна к ней. Произвольная постоянная в потенциале выбрана из условия <pi(0)= 0.
10. a) Ej = 0, <pi = при г < R, Е2
4л#2от 4л#2<т ф2 = —у-
_ 4л(т/?г
Е2------—---, ф2 =>
при г > R; б) Ej == 0, <pi = 0 при г < R, = 1п — при г > R; в) Е = 2ло-ру-р 1Х, х — координата точки наблюдения, отсчитываемая от заряженной
Ф = — 2лог | х где
ПЛОСКОСТИ.
и. ф = nwfi —U-Y К V2 /
12. Е = Е =-у- при г<а,
Е = е~-г'а при г > а. a2r г
Иг г
13. Ei = 0, ф1=4л р (г) rdr при Е2 = р (g) g2 d^,
Я. Я>
Г к
ра)5^+у Jp(g)m) при 7?1 '
Rt Rz
Е3 == -у£- j р (г) г2 dr, фз = -уЦ Р (г) Г2 dr при г R1.
Иг Иг
г И И
14. E = -y^Jp(g)gdg, Ф = 4«^ Jp(B)HUn. 0 Г о
X X
15. Е = 4л1х jjp(|g|)dg, Ф = 4л J(g-x)p(|g|)dg. О о
10. Рассмотрим тело, образованное вращением силовой линии вокруг оси А'. Предположим, что эта силовая линия соединяет оба »аряда. Тогда поток напряженности суммарного электрического поля через любое поперечное сечеиие полученного тела вращения имеет
одно и то же численное значение. Этот поток можно выразить через заряд ei или 62, если стягивать поверхность поперечного сечения сначала к точке расположения заряда Si, а Затем Й е2. Приравнивая оба выражения, получаем
2jrei (1 — cos 61) = 2л | е21 (1 — cos 62),
e2 = 2arcsin(^//T|iT sln-^).
Все силовые линии, входящие в заряд е2, образуют тело вращения, которое касается поверхности прямого кругового конуса с углом 60 при вершине, находящейся в точке расположения заряда е\. Угол 6ц определяется нз соотношения
2nei (1 — cos 60) = 4л | е2 !•
Первая силовая линия, выходящая из заряда в] и уходящая в пло1-скости XY на бесконечность, касается поверхности упомянутого-тела вращения. Поэтому
Если предположить бос 0, то силовая линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность, на весьма больших расстояниях от зарядов лежит на поверхности прямого кругового конуса с углом б«, при вершине. Внутри этого конуса силовые линии отсутствуют, так как он образован вращением первой силовой линии, уходящей на бесконечность. С другой стороны, на очень больших расстояниях электрическое поле системы двух зарядов с высокой точностью совпадает с полем точечного заряда 61 + е2, которое является сферпче-ски-симметричным. Полученное противоречие приводит к выводу е„ = о.
17.
91
19. Распределение объемной плотности заряда находится при помощи уравнения Максвелла p=-^-divE везде, кроме точки г=0, которая является особой. В этой точке расположен точечный заряд, так как напряженность электрического поля при г->0 обращается в бесконечность, как 1 /г2, Величину точечного заряда можно опре-146
21. Е = 2ло
делить по теореме Гаусса, если стягивать вспомогательную замкнутую сферическую поверхность к точке г = 0. Окончательно получаем
[h2 к 1
д (г) —л— е дг I > <2 = 0.
’ 4nr J’
20- Т7^тг!
Здесь 1 — вектор, проведенный от отрицательной нити к положительной. Начало радиус-вектора г лежит на отрицательной нити, к которой он перпендикулярен.
Т*Т х + ГЛ"1у + Тй"г/ Декартовые оси со*
впадают с линиями пересечения заряженных плоскостей.
22. Не изменяя электрическое поле данной заряженной системы, заполним полость положительным зарядом с объемной плотностью р и отрицательным с объемной плотностью —р. В результате получим два однородно заряженных шара, из которых больший — положительный, а меньший — отрицательный. По принципу суперпозиции напряженность электрического поля внутри меньшего шара равна сумме напряженностей, созданных положительным
п 4л „
Е+ — 3 Рг и отрицательным
Е- = -~Рг
шарами в отдельности. Здесь г и г'—радиус-векторы, проведенные в точку наблюдения из центров большего и меньшего шаров. Напряженность суммарного электрического поля однородна и равна
_ 4л
Е = —Р1,
где 1 — вектор, проведенный от центра заданного шара к центру полости. Его модуль равен расстоянию между указанными центрами. Найденное электрическое поле существует также внутри полости до заполнения ее положительным и отрицательным зарядами.
23. Е = 2лр1, где 1 — вектор, проведенный от оси цилиндра к оси полости.
24. Е — 2лоп — Чает [г2, где п — нормаль заряженной плоскости, направленная в сторону точки наблюдения, г — расстояние от точки наблюдения до оси щелиг а г — радиус-вектор, перпендикулярный этой оси.
§ 3. Применение общего решения уравнения Пуассона
25. ф = 2л<т (Vz2 + /?2 - | z |), Ех = Еу = О, / Z Z \ л/?2о n/?2ffz . . _
'----- , Е2 = —при |z| > R.
| г|3
Координата г отсчитывается от плоскости диска.
2р + . 3 2/?эр 3|г|’
Координата z отсчитывается от центра шара.
х + / + У(х + /)2 + У2 + г~ V / 4- г\// V /\2 I ..2 Г у2
26.
\2 при
1г при
Ez
27. ф = q In
; ф
Е
Е
о
28.ф = лр (z + Л) V(z + Л)2 +/?2 -(z-ft)V(z-/i)2 + /?2-
+ A + V(z4-A)2 + ^ +s2 1 .
2! — h + V (2! — А)2 + У2 + 22 J
ф = яр f(z + Л) У(г + Л)2 + /?2 - (z - Л) V(Z- Л)2 + /?2 -z + A +V(z + A)2 + /?2 1 _ , Z
- 2 (z2 + Л2) + /?2 In
- 4Й | z | +/?2 In
z — й)2 +/?2
Начало координат расположено в центре цилиндра. После предельного перехода /?->0 и л/?2р->ф наружный потенциал принимает вид
ф = q In —-----г-,
4 | г | — h
что совпадает с потенциалом электрического поля отрезка, лежащего на оси Z между точками Zi = —h и z2 = h и заряженного равномерно с линейной плотностью q.
on х 2л Rq
29. а) ф = — ...... -, где z—расстояние до плоскости кольца;
6) T-2„tolnM'' + +
................. , где начало коор-. z-ft +У(г-й)2 + /?2
дннат расположено в центре цилиндрической поверхности;
в) Ф = 2ло Z- + /<2 — Л/ 2' + а1 )> где z — расстояние до плоскости, на которой лежат заряды;
г) ф = z2 1^2 — । г _ r |), где координата z отсчиты-
вается от центра кривизны полусферы;
д) ф = Г(г2 + /?2)'/2 — 2z3 + —/?31 при 0<z<ft,
02 L Z J
ф = [(г2 + R2}'11 — z3 — -ft-2 + Я3] при z>7?, Ф =
02 L 2 J
2лр Г/ 2 1 П2Х3Л ч , 3R2Z 1
= (z2 + /?2)/2 + z3 Н-£----/?3 при z=^0, где координа-
та z отсчитывается от центра усеченного шара.
30. ф = 2 ла [-j- (Vz2 + R2 — | z — — Vz2 + /?2 ];
Ф = лог при | г | < R,
Ф = — 2ло | z | при | z | Э> R.
31. Е = -“~ (1 — eaR) 1г. Орт 12 направлен по оси симметрии в сторону выпуклости полусферы.
32. Выберем начало кородинат в центре шара. Если точка наблюдения со сферическими координатами г и 9 расположена внутри шара, то область интегрирования по переменной г' в интеграле (I. 11) разобьем на две области: 0 г' г и г si г' R, В первой воспользуемся разложением (П5.11), а во второй— (П5.12).При определении потенциала снаружи шара используем разложение (П5 12). В результате получим
Ф1 (г, 9) = лрог (у R — г) cos 0 при г 5^ R,
Ф2 (г. 6) = ~ cos б при г>/?.
ог“
33. Оси X и У декартовой системы координат выберем в плоскости кольца, а начало координат поместим в его центр. Потенциал в произвольной точке наблюдения с радиус-вектором г
111
где интеграл берется по длине окружности радиуса R, лежащей в плоскости XY с центром в начале координат. В области г >> R воспользуемся разложением (П5.11). Тогда потенциал (1) в произвольной точке наблюдения со сферическими координатами г, 0 и ф представится в виде двойной суммы
ma-l О
Если учесть формулы (П5 9) и (П5 8), то последнее выражение переходит в более простое:
ОО
<р (г, 0, ф) = 2лд У ('Т')/+' (°) (cose)’
Z = 0
Значение полинома Лежандра в нулевой точке дается формулами (П4 6) и (П4.7), так что окончательно в области г > R получаем
^=0
При г <_ R аналогично находим ОО ,
А=0
Найденный потенциал не зависит от азимутального угла ф, т. е. является аксиально-симметричным. В точках на оси кольца (г = = |г|, 0 = 0) он изображается в виде рядов:
при | z I > R,
Ф=2«,[1+^(Ч)+^(^у(_±)(_4)+...]
при I г | < R,
которые представляют собой разложение следующих функций:
----j---
И V1+W
2лг/
<р = —т -'
Vl+zW
при | г | > R, при | z | < R.
Последние выражения совпадают с потенциалом на оси кольца, полученным в задаче 29а).
34. <₽ = ^ + ^
R R 22k+,kl(k+l)l\Rj
при г < Я,
Q , Q V (— 1)*(2А) /Яу*+1 . о.
<р = ~ +— > 7 -—-—I — I РгА+i (cos 0)
г г 22А+1/г! (k + 1)! к т )
при г > Я,
35. ф= Q у (;i)\(W-fAyS2fe(cose), Т г 22kkl(k + 1)! \ r J
Е =0_ у (- l)fe (2fe + 1) (26)!
Г г2 22/W+l)l
P2fc (cos 0),
n = Q_ у (— l)ft (2fe)l r2 zG 22*->(й-!)!(£ +1)1
( /? у* P2fe-| (cos 6) — COS 6 P2fe (COS 6) к г J sin e
Еф = 0.
36. Область интегрирования в интеграле (1.11) разбиваем иа две области: 0^ / н В первой области справед-
ливо разложение (П5.11), а во второй—(П5.12). Окончательно
I г2
<р = пр/?2 s 1-------
I зр2
22к (26 — 1)6! (6 + 1)!
4k + 3 / г У (г у*
§ 4. Сила и энергия в электростатике
38. Поместим начало декратовой системы координат в центр шара. Сила, приложенная к верхней половине шара, выражается через максвелловский тензор натяжений Ту следующим образом:
Fz = T3^n^dS,
Sa S1
где So и Si — основание и поверхность полусферы. Другие компоненты силы равны нулю: Fx — Fy — 0 При интегрировании по ос-„ 4гс нованию следует иметь в виду, что векторы Е = —х— рг и п взаимно <5 ортогональны:
5 7’3Р"₽ dS = ЪГ S £2 dS := Тад2"' Sq <Sj
Qr
Между тем на поверхности полусферы векторы £=-^3- и п параллельны, поэтому
С Q2 С Q2
J Гэр/гр dS = п3 dS = -g^-.
Si Si
В результате
F 3Q2
г 16/?2 ’
Другой способ вычисления:
Fz = p ^EzdV = ^-p^rn3dV = -^,
где интеграл берется по верхней половине шара.
39. Абсолютная величина искомой силы имеет вид
F = ~piR\
41. W = -^, Q = 4л/?2о. z/<
42. Если удалить меньший шар, то внутри большего появится полость, в которой электрическое поле однородно:
с 4л Е = —pl,
где вектор I направлен от центра большего шара к центру полости (см. задачу 22). Поэтому сила взаимного отталкивания шаров
F = ±LpQl.
Чтобы найти потенциал электрического поля внутри указанной полости, воспользуемся методом, изложенным при решении задачи 22. Тогда потенциал будет слагаться из суммы потенциалов, созданных положительным и отрицательным шарами в отдельности!
<р (г) = р (3/£ - г2) - р (з/?2 - г'2) =
= ~~ Р [3 («2 - /< ) + I2 - 2г1 ], где гиг' — радиус-векторы, проведенные в одну и ту же точку наблюдения из центров шара и полости, причем г — г' = 1.
Искомая энергия взаимодействия представляет собой потенциальную энергию заряда Q во внешнем поле <р(г), созданном большим шаром,
43. F = U = «2р1р2Л2 (fl] — Р] — I2), где вектор 1
направлен от оси наружного цилиндра к оси внутреннего. Его модуль равен расстоянию между осями цилиндров.
44. <р = е е ~г'а; <Р = ~ ПРИ г •С а, Ф = ^- е 2г/а при
р2 r>a; U = W а
5е2
16а '
45. U =2я$ае (^5 — 4 COS &Q — О.
46. F —2лрей^1------- lg~ ОРТ Ь направлен по оси
конуса от основания к вершине.
47. f/ = 2n/?oe.
48.
Значение U не изменится, если заряд Q равно-
мерно распределить по объему сферы.
49.
е2 9а'
U
§ 5. Уравнения Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями
50. В пространстве выделены две области г 0 и г 0 с потенциалами <р( = ф1(х, у, г) и <рг = фг (х, у, г), которые удовлетворяют уравнениям
V2q>] = 0, V2q>2 = 0
и граничным условиям на плоскости XY:
<Эф1 (х, у, 0) <Эсрг (х, у, 0) . . , , ,
Т дг -----------4ltCT° C0S (<I* + 6j/)’
<Pi (х, у, 0) = <р2 (х, у, 0).
Искомый потенциал
, . ( ф1 (х, у, 2) при 2<0,
<р (х, у, Z) — < , „
(. ф2 (х, у, Z) при 2^0
убывает при |г|—.-оо, так как полный поверхностный заряд равен нулю. Поскольку граничное условие на плоскости XY периодично.
д2
а функция cos(tzx + &t/) при действии оператора вос-
производится, потенциалы следует искать в виде
<pi = fi (г) cos (ах 4- by), <р, = f2 (z) cos (ах + by).
Подставляя эти функции в уравнение Пуассона и сокращая на общий множитель, находим
1 _ J2F _Л 2 _ T2f _Л
М1“°’
где Л = д/а2 + Ь2. Решение последних уравнений должно убывать при |z|->oo. Таким путем потенциалы определяются с точностью до постоянных множителей:
q>i = a^z cos (ах + by), tp2 = а2е Kz cos (ax 4- by).
Постоянные множители a} и a2 находятся из граничных условий. Окончательно имеем
<р = е~^2' cos (ах + by).
Л
51. Искомый потенциал равен сумме потенциалов, созданных каждой заряженной плоскостью (принцип суперпозиции). Поэтому достаточно исследовать электрическое поле только одной заряженной плоскости. Потенциалы, созданные двумя другими заряженными плоскостями, находятся простым переобозначением координат точки наблюдения Метод вычисления потенциала электрического поля одной заряженной плоскости изложен в предыдущей задаче. В результате получаем
2ло0 г — Aizl . , ,
<р = ——|е 11 sin atx sin b{y +
Л
4- e~}' I sin a2x sin b2z 4- e~}' sin a3y sin b3z].
52. Электрическое поле, созданное периодическим распределением заряда в неограниченной области, также периодично во всем пространстве. Причем оно обращается в нуль, если положить р0 = 0. Поэтому искомый потенциал определяется как частное решение уравнения Пуассона
4лро . , . , . ,
Ф = ~i---5----7 ‘Iх sin W sm hz.
' + + l3
Напряженность электрического поля вычисляется по формуле (I 6)’.
Е =------; 4яр°-- (h COS hx sin hy sin Z3z 4-
ll + l2 + 4
4* Z2 sin hx cos hy sin l>z ly 4-I3 sin hx sin l2y cos hz 1г).
53. Потенциал
( ф1 при z О, Ф = 1
(. <р2 при z^O
является решением уравнений
V2<pi — — 4лр0 cos кг, 72ф2 = 0
с дополнительными условиями
<?Ф1 (х, у, 0) дф2 (х, у, 0) . , гл
~~ дг = дг '' <р' (Х’ У’ 0) = 4,2 У’ 0)1 (1)/
I ф1 (X, у, — оо) I < ОО, | ф2 (х, у, оо) I < оо. (2)
Последние два условия вытекают из того, что точечные и линейные заряды отсутствуют, а полный заряд равен нулю. Поскольку
cos kr = cos (й(х + k2y) cos A3z — sin (AiX + k2y) sin A3z, поставленная задача допускает разделение переменных:
Ф1 = f। (z) cos (kix + k2y) + Fi (z) sin (kix 4- k2y) + 4^f° cos kr,
фг = /г (z)cos (kix 4- k2y) + F2 (z) sin (M + k2y),
где последнее слагаемое потенциала ф1 является частным решением уравнения Пуассона. Функции ft(z) и F,(z) (1=1, 2) удовлетворяют одному и тому же уравнению:
d2fi dz2
- Vfi = 0,
в котором Л = д/й2 + Принимая во внимание условие (2), находим fi (г) = aieKz, Fi(z) = bieKz, f2 (z) = a2e~Kz, F2 (z) = b2e~Kz.
Постоянные множители определяются из граничных условий (1), так что
Ф‘ = уу- | 2 cos kr + [-у- sin (kix + k2y) — cos (kix + k2y)^ eKz j , Ф2 = e~Kz [cos (hx + k2y) 4- -y- sin (kix 4- k2y).
54. Если распределение заряда во всем пространстве четно или нечетно относительно какой-нибудь из декартовых координат, то потенциал обладает той же четностью. В данном случае ф(х, у,—г) = = — ф(х, у, Z).
Задача решается методом разделения переменных *)
Ф (х, у, z) = f (z) sin Цх sin l2y, где f(z)—нечетная функция, удовлетворяющая уравнениям
AL — = 0 при \г\> а,
d2f
— №f= — 4лро sin l3z при | z | < а,
где Л = V /? + /2. Поскольку полный заряд пластины равен нулю, функция f(z) убывает при |z|->oo. С учетом сказанного находим
f (z) = bteK <г+а) при z < — а,
f(z) = b2(e—e Лг)+ „ ,.при |г|<а,
Ч + '2 + 1л
f (z) = — bte~K при z>a.
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий (1.8) и (1.9). Окончательно получаем
ЧР1 = фо sin 13а 4- ~ cos 13а е sh Ла
X <'z+a') sin Zix sin l2y
(z 'C — a),
фг = Фо sin l3z — e }'a
(sin l3a -L- cos l3a ) sh Zzj sin
Z(x sin l2y
(| z | < a),
фз e фо
/з sin l3a 4- т cos Л
e~Ka sh Ла]х
X e K (z~a) sin hx sin l2y (z~^a),
где обозначено ф0 = 4лр0/(/^ 4-4-ф-
55. Если в распределении зарядов имеется определенная симметрия, то потенциал обладает тем же свойством. В данной задаче есть аксиальная симметрия. Поэтому искомый потенциал не зависит от азимутального угла ф.
Потенциалы внутри и снаружи шара обозначим через ф1 =»' = ф((г, 0) и ф2 = ф2(г, 0). Они удовлетворяют уравнениям
72ф1 = — 4лр0 cos 9, 72ф2 = 0 (1)
*) В общем виде изложение метода разделения переменных можно найти в книге [7].
и граничным условиям на поверхности шара
д<Р1 8) = С?ф2, <Р1 (/?, 0) = <р2 (/?, 0). (2)
Применяя метод разделения переменных, следует учесть, что функция cos 0 воспроизводится при действии угловой части оператора Лапласа в сферических координатах (П1.46):
1 д ( • о д 2 о •
п —yr- I Sin 0 -Тд- cos 0 1 =-г cos 0.
г2 sin 0 <36 Ч <56 ) т2
Поэтому естественно положить
Ф1 = Fi (г) cos 0, ф2 = F., (г) cos 0.
Тогда множитель cos 0 сократится в правых и левых частях уравнений и дополнительных условий, после чего задача сведется к более простой для радиальных функций Fi(r) и F2(r). Согласно исходным уравнениям (!) радиальные функции удовлетворяют уравнениям Эйлера
d2F< dF,
г2-^ + 2г-^Г~2^ = -4п^2’ &
r2^+^-2F>-° W
и дополнительным условиям при г = Д, которые вытекают из соотношений (2). Частное решение первого уравнения, очевидно, Fi част == —Jtpor2, а общее решение однородных уравнений (3) и (4) ищется в виде сг’, где с и s — константы, подлежащие определению. Подставляя сг! в уравнение (4) и сокращая на общий множитель, получаем квадратное уравнение
s2 + s - 2 = О
с корнями Si = 1 и s2 = —2. Значит, общие решения уравнений (3) и (4) имеют вид
Fi = + -yf- —• прог2, F2 = c3r + ^-.
Из непрерывности потенциала в точке г = 0, а также из ф2 (оо, 0) = О вытекает с2 = сз = 0. Две другие постоянные определяются из условий сшивки радиальных функций и их производных в точке г = R. Опуская дальнейшие выкладки, приведем окончательный результат: ф| = лрог (4/зД — г) cos 0, £1Г = 2лр0 (г — 2/3Д) cos0,
EiO — про (4/зД — г) sin 0, £';ф = 0 при r^R; Ф. = cos 0,
Г, 2лро/?4 _ ЛРоД4 . а л п
Е2г = —— cos 0> £20 = • згз...sin 0, i21|, = 0 при г > R.
56. qpi = -у- po (3R — 2r) r cos ф. Elr = -5- po (4r — 3/?) cos ф, о о
=--p-po (3,? — 2г) sin ф, Е1г = 0 при г <7?; ф_-=
2л R3 „ 2л R3 , 2л „ R3
= -рРорС05ф, £2г = — Po—cos ф, Е2ф = -р Po-p-sm ф,
Е.г = 0 при г>£.
57. При г < R: <р( = Др or cos 0, Er = — -§--<*0 cos0, £,9 =
4л п „ „ 4л/?3сГо _
= -pOjSin0, £1ф = 0, при г > R-. <р2 = ——cos U, Е2г =*
8л/?3<То . о р 4л/?',(То . „ п
= —р— cos 0, Е2в = —pj— sm 0, Е2ф = 0.
58. При r < R: q>i=0, Е(=0, при г > R: <р2 =
= 2л<т0/? ------cos ф, Е2г = 2л<То/?г + ~рГ j cos ф, £2ф =
= 2ло0/?2^р-----sin ф £2z=0.
59. Е1г = ДД-а(9г2-5/?2)соз0, Е10 = ДД- а (5/?2 - Зг2) sin 0, it? it?
„ г. „ г. 8naR? п „ 4ла/?5 . а „ п
Е|ф = 0 при г</?, Е2г = 15^3 cos 0. E2q — 15гз sin 0, Е2ф = 0
при r^R.
60. В задаче даны две области г R и г R с потенциалами ф1 и ф2 Уравнение Пуассона (1.7) и дополнительные условия (I 8) и (I 9) позволяют применить метод разделения переменных Согласно соотношению (П4 18) полагаем
Ф1 = £1 (г) Рп (cos 0), Ф2 = Fi (г) Рп (cos 0).
Радиальные функции удовлетворяют неоднородным уравнениям Эй
лера
f2 + 2г - п (п 4- 1) F( = - 4лр0/?2 (-£)"+ 2 ,
d2F2 dr2
|-2г-^--п(и+1)£2=- 4лр0Я2 (-р)"
и условиям сшивки
^7^- = Fi (/?) = л (/?)>
Дальнейшее аналогично вычислениям в задаче 55. Окончательно ф-=2^2 [-2^=т - (f )2J (£ГРп (cos е)-
- = ^[^-^(4)2](4Гр„(еозе, 61. <р1=лРа^[74Т-;г1-г(^)2](^)'!соз«ф
при r^.R, пг Г 1 1 ( R 'i2! ( R \п~2
ф2 = «р^2[Ттгг-7+т17-) JQ—) cosni”
при r>R.
62. Потенциалы внутри <pi = <pi (г, ф) и снаружи q>2 = ЯРг(''> ф) цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению Лапласа и граничному условию (I 9)
Ф1 (R, Ф) = q>2 (R, ф) = Фо cos иф.
Внутренняя при г R и внешняя при г R задачи независимо друг от друга решаются методом разделения переменных
Ф1 = Ft (г) cos пф, ф2 = F (г) cos иф.
При этом для радиальных функций /71(г)~и Fi(r) получаем уравнения Эйлера. Решая последние, следует использовать непрерывность потенциала в точке г = 0, так как внутри цилиндрической поверхности заряды отсутствуют. Кроме того, снаружи цилиндрической поверхности при увеличении г потенциал не возрастает, поскольку полный поверхностный заряд равен нулю С учетом граничного условия (I 9) находим
/ \ П
ф1 = фо(^-£-1 соэпф при Г</?,
Поверхностную плотность заряда определяем из граничного условия (1.8) иа цилиндрической поверхности, которое еще не использовалось:
„ «Фо ff=2^C0S'nl’-
63. Ф! = Фо(у) [гйп (6. Ф)-^(0, Ф)] при '•<#-
Ф2 = Фо(-Т-) [KZzn (0. ф) - У1т (0> Ф)] ПРИ ГЖ
Ф)].
64. Применяем метод разделения переменных, положив
<р(х, y) = X(x)Y(y). (1)
Вдоль оси Z потенциал однороден. Подстановка функции (1) в уравнение Лапласа дает
d2X d2Y
dx2 dy2
или
-4^--U=0, (2)
dr
d2Y
-^ + xr = o. (3)
где X — некоторая постоянная. Чтобы выполнялось граничное условие на плоскостях у = 0 и у = Ь, необходимо
Y (0) = Y (Ь) = 0. (4)
Уравнению (3) и дополнительным условиям (4) удовлетворяют функции
>. .пл / .
r„=cnsm-y-y (5)
где сп —произвольные постоянные и п — 0, 1, 2, ... При этом А = = (ил/6)2.
Поскольку внутри рассматриваемой области зарядов нет, искомый потенциал при х->оо не возрастает. Поэтому из двух независимых решений уравнения (2) оставим только убывающую экспоненту для каждого фиксированного значения числа п:
пп
Xn = bne ь \ (6)
где Ьп —произвольная постоянная.
Следовательно, частным решением уравнения Лапласа служит произведение функций (5) и (6). В общем случае уравнению Лапласа и граничным условиям на плоскостях у — 0 и у = b удовлетворяет бесконечная сумма произведений XnYn:
оо пл
Еь х . пл апе sm — y, (')
п=0
где введено обозначение ап = спЬп.
Подберем коэффициенты а„ так, чтобы оставшееся граничное условие на плоскости х — 0 также выполнялось:
ОО
Е. ПЛ
ап sin — у = ф0. (8)
п=0
Для этого воспользуемся тем, что совокупность выражений (5) образует полную систему взаимно ортогональных функций на oi-резке [О, Ь]. Умножая обе части равенства (8) на sin у и интегрируя по у, получаем
Н/п = 0 при m = 2k,
+ при m = 2/i + 1'
где k = 0, 1, 2, ... В результате потенциал (7) принимает вид
оо (2fe+l) п
4<р0 V* 1 b * . (2* 4- 1) я
<р == —— > -.-г — --г- е sin------г—-— у.
т л L-i 2k + 1 Ь *
k=o
В данной задаче, как и в некоторых последующих, ответ представлен в виде бесконечного ряда, хотя последний иногда суммируется при помощи определенных математических приемов.
“ / . (2* 4-1) л , (2*4-1) л
Е/ sin -------!—-— х sh -i---!—— у
________а________________а ।
I 2k + 1 sh (2* 4-1) л ь +
fe=o \ а
. (2k 4“ 1) л , (2k 4- 1) л , . \
sin - — у sh -J — (а — х) \
2*4Й (2* 4- 1) л Г
о '
Вдоль оси 1 потенциал однороден.
66. Поместим начало координат в центре полусферы, а ось 7. направим вдоль оси симметрии в сторону выпуклости. Искомый потенциал <р(г,0) разложим в ряд (П4 15) по полиномам Лежандра
ОО
<р(г,О)= £ Fn(r)P„(cos0), (1)
п-0
где радиальные функции Fn (г) подлежат определению. После подстановки выражения (1) в уравнение Лапласа приходим к уравнению Эйлера
d2Fn , 2 dFn п(п+()
dr2 + г dr г2 U
с решением
где «п и Ьп — произвольные постоянные. Из непрерывности потен-* циала следует Ьп = 0. Таким образом.
ОО
<р (г. 0) = ап Рп (cos 6).
п»0
(2)
Коэффициенты ап подбираются так, чтобы выполнялись граничные условия
X Ц^-)Ч(о) = о, п=0
(3)
00
У, anPn (cos 6) = <jp0. (4)
л=0
Из условия (3) вытекает а2А = 0 при k = 0, 1,2,..., так что ряды (2) — (4) содержат только нечетные полиномы. Чтобы найтн оставшиеся коэффициенты a2k+i, необходимо умножить обе части равенства (4) на Рт (cos 0) sin 0, проинтегрировать по углу 0 в пределах от 0 до л/2 и воспользоваться формулами (П4 9) и (П4.11). Тогда получим
Ф=Фо£
fe=0
ОО
67. ф = фо
fe=0
(—1)А (4Й 4-3) (2й)! / г\24+1 D . ft.
2^'W + l),.U)
(-l)fe (4fe + 3) (2fe)| 22&+^!(й+ 1)!
68. Граничное условие для потенциала <р(г, 0) удобно записать
в виде
( '/а (<Ра ~ <fb)
при
при
О 0 < л/2, л/2 < 0 < л.
После этого потенциал разбивается на сумму двух слагаемых <р(г, 0) = <pi (г) + <р2(г, 0), каждое из которых удовлетворяет своему граничному условию
<Р1 (R) = Чг (<Ра + <РЬ),
( '/а (<Ра — <РЬ) при 0 < 0 < л/2,
( — ‘/а (<?а - <Pft) при л/2 < 0 < л.
Вид функции <pi (г) очевиден, а определение потенциала <$г(г, 9) аналогично задаче 66:
I р
ф = у (фа + ф6) — +
+1(». - т») У -L-JI^ + W / яу'«" Рм, (СО!в).
СО
и. ф, _ ф. + V (д.у'+1 ftl+, ([и9)
(r^R),
ОО
Ф, _ У timi!» (Лу '1+“ Я„+, (ео, в) (, > я|. ,tj 2м+1И(# + 1)| (г }
Указание. Удобно выбрать начало координат в центре окружности, а ось Z направить в исследуемое полупространство. В решении уравнения Лапласа в виде ряда по полиномам Лежандра следует оставлять только те слагаемые, которые непрерывны по пе-ременной г. Это требование выделяет две области, лежащие внутри и снаружи полусферы радиуса R, в которых потенциал имеет характерную зависимость от переменной г,
ОО
Е/ Г \П
ап J Рп (cos 0) При
п=0
оо
ф2 (Г, 6) == У bn (А) рп (cos 6) прн R <г.
rt«O
Граничное условие на плоскости © =-у приводит к выводу «о = Фо, 6а = 0 и a2m = bim = Q при m=t 2, ...,
a2k+\ 0 и b2k+i 0 при й = О, 1, 2, .,,
Чтобы наитн оставшиеся коэффициенты Яглч i н &2*+ь необходимо воспользоваться непрерывностью потенциала и его производной по г на поверхности полусферы с радиусом г = R.
70. ф, = 2паг V -J fр k+l (cos 0) (г < R),
Ь 22^1(й+1)!
ф2
2ла??3
Е
k-0
(~l)k(2k)l (R\ik 22*W+ 1)1 \r J
P2k + \ (COS©)
71. Ось Z цилиндрической системы координат совмещаем с осью цилиндрической поверхности. Вдоль этого направления потенциал однороден. Внутренний дДг, ф) и наружный дДт, ф) потенциалы вычисляются независимо друг от друга. Сместим их точку отсчета, положив
Ч»1 = J (Фв + Ф6) + Ф[ (г- Ф)>
Ф2 = 4(Ч) *а + <,)г>) + $2 (г- *)•
Новые потенциалы <jh н ф2 удовлетворяют уравнению Лапласа и грЭ' ничному условию
( ’/г (Фп — Фь) ПРИ о < ф < л,
Ф1 (R, Ф) = $2 (R, ф) = <
I — /* (Фа — Фь) ПРИ я < Ф < 2л.
Далее воспользуемся методом разделения переменных и будем искать решение поставленной задачи в виде
Ф (г, ф) = Г (г) Ф (ф), (1)
где индексы 1 и 2 у потенциала опущены. Подставляя выражение (1) в уравнение Лапласа, получаем
X.
d / dFX d2<J)
Г dr v dr ) dtp2 F Ф~
Здесь X — постоянная. Последнее соотношение содержит два уравнения
-^- + АФ = О,
dr2 dr
Первое из них имеет решение
Ф — A cos УХф + В sin VХф,
(2)
(3)
(4) где А, В и А — постоянные. После изменения угла ф от 0 до 2л потенциал (1) должен совпасть с исходным выражением, поэтому
Ф (ф + 2л) = ф (ф).
Это выполняется при условии д/Х = п, где « = 0, 1, 2, ... Решение второго уравнения ищется в виде F = г’. После подстановки в (3) н сокращения на общин множитель получим s2 = п2 или s = ±н. Отсюда находим
F = Crn+-^r,
(5)
где С н D — произвольные постоянные. Произведение функций (4) и
(5) является частным решением уравнения Лапласа. Причем внутри
цилиндрической поверхности D = 0, а снаружи С = 0, так как искомый потенциал является ограниченной функцией. Общее решение представляет собой бесконечную сумму частных:
Ф1 (г. Ф) = (у) cos + 6/1 sin "Ф)
п=0 оо
Фг (г, ф) = J** (у-) (с„ cos пф + drt sin пф) п=0
при
прн
Произвольные постоянные ап, Ьп, сп и dn определяются из граничных условий. Непрерывность потенциала при переходе через цилиндрическую поверхность требует сп = ап и dn = Ьп, а нечетность функций ф( (R, ф) и ф2 (R, Ф) по переменной ф приводит к ап — 0. Чтобы найти Ьп, умножим обе части равенства
V к (фа ~ Ф») "РН
>. Ьп sin иф = <
Л=0 I при
0 < ф < л, л < ф < 2л
на sin лчф и воспользуемся ортогональностью синусов при т -ф п.
Тогда получим
. _л h _ 2 ~ <Р»)
&2А-0, &24-М я(2*+1) ’
где k — 0, 1, 2, ... Окончательно
Фа + Фб , 2 (Фа - Фь) V 1
Ф* “ 2 Ч" л L. 2k + 1
.2*4-1
| sin (2fe + 1) ф
m Фа + Фб , 2 (Фа - <₽*) V 1 PYft+I4ln/2j>4.n,b ф2-----2 Н „ 2Г+Т КТ/ sin (2fe -f- 1) ф
S=0
72. ф[ = 47? (оа -
E Sin (2k + 1) ф (2fe + I)2 k-o
<р2 = 2лЛ(ад + аг,)1п-5- +
2*4-1
, . _ . . V*i sin (2k -J- 1) ф ( R 42*4-1 . Q.
+ -(2Гй1)2-Лт) +ф°
fe=o
Потенциал определен с точностью до постоянного слагаемого <р0 и однороден вдоль оси Z, совпадающей с осью цилиндрической поверхности.
73. Начало координат помещаем в центр окружности, а ось Z выбираем перпендикулярно ее плоскости. В цилиндрических координатах потенциал не зависит от полярного угла, а по переменной г является четной функцией <р (г, —z)=<p(r, z). По методу разделения переменных будем искать решение в виде
ф (г, г) = F (г) Z (z). (1)
После подстановки этого выражения в уравнение Лапласа находим
1 d / dF_\ d2Z
г dr V dr ) dz2 „
F
Чтобы потенциал (1) убывал при |z| ->оо, постоянная С должна быть вещественной и положительной С = А2, где для определенности считаем А > 0. Тогда
- MZ = 0, (2)
d2F . 1 dF , .2„ . -п-~1 j н A2f = 0. dr2 ' г dr ' (3)
Из уравнения (2) получаем Z = аке~к 1 г >, (4)
где постоянная подлежит определению.
Ограниченное решение уравнения (3) выражается через функцию Бесселя (П6.2) нулевого порядка
F (г) = 6х/0(Аг), (5)
умноженную на произвольную постоянную Ь^.
Произведение функций (4) и (5) является частным решением уравнения Лапласа, отвечающим фиксированному значению параметра А, который здесь может изменяться непрерывно. Поэтому общее решение имеет вид
ОО
ср (А 2) = (^r) (6)
о
где ради удобства введено обозначение а^Ь^— Коэффициент как функция параметра Л подбирается так, чтобы выполнялось граничное условие
F „ г . .. Г фо при г < R, 1 • л (Л/*) ЛиЛ 1 л г-»
J х 0 10 при г > R.
о
Полученное соотношение является разложением в интеграл Фурье — Бесселя функции, стоящей справа этого равенства’'). Это позволяет вычислить коэффициент по формуле (П6.24). В результате потенциал (6) запишется в виде следующего интеграла по параметру Л:
ОО
Ф (г, г) = ф0Я /о (Аг) 71 (ХУ?) е~ Л 1 г 1 dX.
о
Этот интеграл можно выразить через специальные функции, приведенные в справочнике [9].
ОО
74. ф (г, z) = 2ло7? \ /0 (Xr) h (%R) е~к ।г । J Л
о
оо
75. ф(г, 2)=-^-70(Хг)8тЛХе~х1г14^;
ГС J Л
о
л2 л/ R2 — г2
при
г < R.
Указание. Граничное условие на плоскости z = 0, в которой лежит диск, записать в виде
ф (г, 0) = фо при г < R,
5ф (г, 0) _ _
п₽и r>R-
Второе соотношение указывает на отсутствие поверхностных зарядов вне диска. Далее следует воспользоваться известными соотношениями
ОО
С т . ,, sin Л’Х л . п
\ 70 (гХ) —д-— dX = -j- при г < R;
о
™ ( 0 при г > R,
J /o(rX)sin/?XdX = ] .. 1 f</?
О I Vfl2-r2
*) О разложении в интеграл Фурье — Бесселя см. в книгах [7, 8].
§ 6. Плотность заряда тел разной конфигурации
76. р = cos лр при г < R, р = 0 при г > R.
77. р = еЪ (г) + (г < R), р = 0 {г > R); Q = 2е.
78. Сфера радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью а = Q/inR2.
79. Цилиндрическая поверхность радиуса R равномерно заря* жеиа с поверхностной плотностью о = q/4nR.
80. a) 2Ra6(x2 + у2 + г2 — R2), 2Ro6(r2 + г2 — R2), об(г—R);
б) 2Rqb (х2 + у2 — R2) б (z), <?б (r—R) д (г), -£ б (г—R) б (cos 0) = R
в) ( в , Л (,/). fl(r), ~-й(1 — cos20);
г) об (г), об (z), у б (cos 0) = б ^0 — ;
д) 2Ro6 (х2 + у2 — R2), об (г — R), об (г sin 0 — R).
Указание. Следует рассмотреть элемент объема ДУ, который содержит внутри себя часть заданного распределения заряда величиной
AQ= р dV. (1)
ДУ
Искомая объемная плотность р должна удовлетворять следующим требованиям. Если первоначально было задано распределение заряда на поверхности с поверхностной плотностью о, то после интегрирования в (!) по поперечной кородинате £,
AQ = р dg dS, ДУ
выражение для-заряда AQ должно принять вид
AQ = a dS, дз
где АД — часть данной заряженной поверхности, которая оказалась внутри рассматриваемого объема. Аналогично, если было задано распределение заряда на линейном контуре с линейной плотностью q,
то после интегрирования в (1) по двум поперечным координатам £ И Т),
AQ — р rft) dl,
SV
выражение для заряда AQ должно принять вид
AQ= j qdl,
S.L где AL — часть данного заряженного линейного контура, которая оказалась внутри рассматриваемого объема AV.
81. а) р = 2Ra6 (х2 + у2 + z2 - R2) n (г), р = 2/?аб (г2 + г2 -- R3) П (г), р = об (г - R) п (у - б) ;
б) р = 2Rqb (х2 + y2+z2—R2) п (у), p = q6(r—R)ii (z) t) (я—ф), р = — б (г — 7?) б (cos 6) t) (я — тр);
А
в) р -= ?б (х) б (у) [т> (г) — n (z—/)], р = -^7 б (г) [Г] (z)—и (г—/)], P = ^«(l~cos2 e)n(-J-e) h (r) - т) (г - /)];
г) р = об (z) г) (R2 — х2 — у2), р = об (г) г) (R — г),
р = -у-б (cos 0) Г| (R — г);
Д) р = 2/?аб (х2 + у2 — R2) h (z) — t) (z — /)], р = об (г — R) X X [и (z) — т) (z — /)], р = аб (г sin 0 — Я) п (у — б) Ь1 О’)— — п(г — 'VR3 + h2)].
+ 5(-?+-S~Osw-
84. Заряд с линейной плотностью q = Чгла равномерно распределен вдоль оси Z.
85. а) Две плоскости х = а и х — —а равномерно заряжены с поверхностной о;
б) две прямые х = а, г — 0 и х = —a, z = 0 равномерно заряжены с линейной плотностью q\
в) окружность (х—а)2 + {У — Ь)2 = а2 + Ь2, лежащая в плоскости XY, равномерно заряжена с линейной плотностью q;
г) эллипс + — = ], лежащий в плоскости XY, заряжен
с линейной плотностью q—-----, - а- --------- Полный заряд
2л Va4 4- (b2 - а2) х2
эллипса Q;
X* tr Z£
д) эллиптическая поверхность + -р- + = 1 заряжена
с поверхностной плотностью
а =__________ <?-
4nab aJ\ + (рг - 1) + -fr (р- ~ 1)
Полный заряд эллиптической поверхности Q.
§ 7. Дипольный момент
87. р = — б (0 — Оо) П {I — т), Оо = arcsin-y-; dx = dy — 0, dz=* = 4 MJRI2 Vl - R2/l2.
□
88. p = — 6 (z) б (ф — фо) П (/ — r)> dx — '/2 ql2 cos ф0, dy == = 1 /2 ql2 sin фо, dz = 0.
89. Точечный диполь с моментом d является предельным случаем системы двух зарядов е и —е, расстояние I между которыми стремится к нулю, а абсолютная величина зарядов при этом обращается в бесконечность так, что
lim el = d,
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному.
Распределение объемной плотности в случае зарядов е и —е, находящихся в точках с радиус-векторами г+ = г0 + 1 и г_ = г0, описывается функцией ре(г) =е[6(г — г+)—6 (г — г_)]. Если в этом выражении перейти к двойному пределу / -> 0 и е ->• оо, то получим объемную плотность заряда точечного диполя
6 (г
р (г) = lim el-----
I
где производная в направлении вектора 1 берется по штрихованным координатам. Согласно формулам (П1.11) и
д'Ь (г — г') в _ 56 (г — г')
51 “
д\
полученное выражение можно переписать так:
р (г) = - (dV) 5 (г — г0).
90. ф=±(г.-г°)
го|3 '
92. U=Q-^; F^q(^^-4).
93. a) F = ^(4- N = ^(dXr); 6) F =
*= (r2d 4- 2 (dr) r). N = ~ ar2 (d X r).
94. F1 = -F2. F2 = p- {[л2 (d1d2)-5(d1r) (d2r)]r + r2 [(d2r) d. + + (d1r)d2]}: N[ = ld^+3(d2^.Xj:)>
3 (d,r) (d2 X r) + 75------.
95. <p = —ar/r3. Вектор а представляет собой момент точечного диполя, взятый со знаком минус.
96. Электрический дипольный момент P(r')dV' элемента объема dV', находящегося в точке с радиус-вектором г', создает в точке наблюдения с радиус-вектором г следующий потенциал:
d<¥ (r) = - ^ dV',
где R = г — г'. По принципу суперпозиции находим потенциал, созданный электрическим дипольным моментом обьема V:
ф(г)=$-Ц^-^'. (1)
V
Воспользуемся соотношением
,. , Р div'Р , n ,, 1 dlv _ = —_ + Pgrad _
где производные берутся по штрихованным координатам. Тогда интеграл (1) при помощи теоремы Гаусса — Остроградского (П1.15) преобразуется к виду
Ф(„_<£ №. J A J А
S V
Будем неограниченно расширять объем V во все стороны. При этом интеграл по поверхности S, ограничивающей объем V, обращается в нуль. Последнее обусловлено тем, что подынтегральная функция на поверхности S убывает быстрее, чем 1 /г'3, в то время как поверхность интегрирования S увеличивается пропорционально г'2. В результате
. С — div' Р (г') |г_-г;т dv.
Сравнивая полученное выражение с общим решением уравнения Пуассона (1.11), приходим к выводу, что распределенный электрический дипольный момент создает в пространстве такое же электрическое поле, как и заряд с объемной плотностью р(г) =—divP(r).
§ 8. Тензор квадрупольного момента
98. Da^ — 0 при а =/= р, Du = D22 = — Збеа2, D33 = 72еа2; d = 0.
99. a) d, = d2 = 0, d3 = 3/8 QR> Da& = 0;
6) d\ — d2 = 0, d3 = '/2 QR- Dap= 0;
в) dx = d2 = 0, d2 = 41QR, D = 0 при a =/= p, Du — D22 = = QR2/12, D33 = —QR2/6.
100. Dap = 0.
101. Перейдем в штрихованную систему координат, начало которой расположено в центре кривизны полусферы, а оси X', У' и Z' параллельны одноименным осям X, У и Z. В штрихованной системе координат имеем dj = d'2 = 0, dj = Q^/2 и D'a^ = 0. Воспользуемся законом преобразования координат
г = а + г', ai — a2 — R, a3 = 0
и установим связь между компонентами тензоров Dag и Dag в исходной и штрихованной системах координат:
Da& ~ °aP + <2(3fi’aaP ~ ^ap) + 3 (aarfP + rfaap) — 2ad 6aP’ Отсюда находим
QR2 f2 6 3 \
Dop = -*£- 6 2 3.
\3 3 —4/
/5л 12 0 \
102. Dap = ^- 12 -л 0 •
2n k 0 0 -4л/
103. Тензор квадрупольного момента заряженного эллипса представим в виде
Dap= <7 (3*a*p г26ар) dl, (1)
\
где криволинейный интеграл берется по контуру эллипса
у + 1- <2)
Видно, что отличны от нуля лишь диагональные компоненты тензора Dog. Интеграл (1) по замкнутому контуру равен учетверенному интегралу по дуге эллипса, лежащей в первой четверти плоско-172
сти XY. Интегрирование по указанной дуге эллипса заменяем интегрированием по отрезку [0, а] оси X;
а ___________
А. =' 4? J (2х2 - у2) д/1 + (-g-)2 dx, О
где функция у — у(х) дается выражениями (2). При помощи замены переменной х = аЕ> и формулы Ь2 — а2(1 —е2) последний интеграл запишем так:
1 ____________________________
= 4<?а3 J [3£2 - 1 + е2 (1 - V)! д/rfg-о
Подынтегральное выражение разлагаем в ряд по малому параметру е2 и оставляем первые два слагаемых этого ряда. Возникающие при этом интегралы по переменной | являются табличными. Окончательно получаем
Du = nqa3 (1 + -|- е2), О22 = nqa3 Q — — е2),
(3 \
1 ~ f ®2 ) > = О ПРИ а Р-
104. Искомый тензор квадрупольного момента запишем как
®а₽ ~ а (Зхах$ г26ар) dS,
где интегрирование ведется по замкнутой эллиптической поверхности
х2 + У2 , г2 .
-+ ^=Е
В случае тела вращения достаточно вычислить только компоненту 1>зз. Воспользуемся заменой переменных
х = ax', у = ау', z = bz'
и перейдем к интегрированию по сфере единичного радиуса
Z>33 = 0а2 (^) [2b2z's — а2 (х'г + j,'2)] X
где
,2 1 /2 /2
z' = 1 — хг — у ,
b2 = a2 (1 + e2)
62 = a2(l — e2)
при при
b > a, b < a.
Подынтегральное выражение разлагаем в ряд по малому параметру е2 и оставляем слагаемые с наименьшей его степенью. В результате
находим
г, , 32л I 2 D33 = ± -уу aa3 4e2.
где верхний знак берется при b > а, а нижннй — для b < а. Дру-гие компоненты искомого тензора
D\ \ = D22 = — '/2 Дзз.
при a + p.
/ - 1 0 0\
o'B = 12ea2( 0 1 0 1;
\ 0 0 0/
1-1 0 \
1 1 0 j.
о 0 V?/
d2 — d sin a, d3 = 0;
3 sin a 0 '
— 2(1+ cos a) 0
0 — 2 (1 + cos a),
Dap = ° 105.
/0 1 0>
DaB=12ea2( 1 0 0 \0 0 0>
106. d\ = d (cos a — 1) / 4 (1 + cos a) Z)ap = ad I 3 sin a
\ 0
Указание. Каждый точечный диполь с моментом d следует рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и —е, расположенных на расстоянии I друг от друга, которые неограниченно сближаются, возрастая по абсолютной величине. При этом
lim el = d, (1)
Z->0 e-> оо
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному. В компонентах тензора квадрупольного момента, написанного для отдельной системы двух зарядов е и —е, необходимо перейти к двойному пределу /->0 и е->оо и учесть (1).
107. Dop = 0 при a + р, = D22 = -|- {а2 - b2), Di3 =
20
=—• (b2—a2). После поворота эллипсоида тензор Z)ag принимает вид
_ Q (&2 - а2)
Рар---------5-----
3 sin2 а — 1
О
3 sin a cos а
О
- 1
О
3 sin a cos а
О
3 cos2 а — 1
108.
i = [a2 (3 cos2 a — 1) + &2 (3 sin2 a — 1) — c2],
О
D22 = -Я fa2 (3 sin2 a — 1) + &2 (3 cos2 a — 1) — c2], О
C33=~ (2c2 — a2 — &2), 5
D12 = (a2 — 62) sin a cos a,
О
Dig — 2)23 s
QR2 (1 0 0 A
109. Da$ = g - I 0 1—3 sin2 a 3 sin a cos a I.
\0 3 sin a cos a 3 sin2 a —2/
110. £v(r)==Dopxa(J--&/--------
3
111. fp = yr «ap (3xaXfj — г26ар)- При помощи соотношения <lafi6af/2 = a<jasap*a*p и формул (П2.16) и (П2.22) потенциал можно Привести к каноническому виду
<Р 2^ ’ в котором тензор
Оар = 3 [3 (аар + ара) 2я00дар]
симметричен, а его след равен нулю Daa = 0. Следовательно, компоненты Daji составляют тензор квадрупольного момента. Величина aap пропорциональна тензору квадрупольного момента в том случае, если аа$ — а$а и я(га = 0.
»2. dx=-^(Q(1,)-Q,J)I). d~-L(q<0 + Q<n), dz = -<;
D„ = Q<2) - д/j (Q«2> + Q<?2), O12 = i д/f (Q<1) - qW),
=VI(Q*2)“Q~’)’ =+VI+Q-)’
рзз=-2е
n3. a}V==ea.^L. ' dx2
2ea d<p (0) , ea2 d2 d2 \
6) y = eq>(0)--—+ 3 — U(0);
у 3 dx 12 \ dy2 dx2 /
,) и-“’(да--да)ф«>):
')v - е» m(«! да +if+' да) * »
1Н. [/-вф(0) + -2-(«>^- + »"^.)ф(0);
F-QB<0>+|(>;gr+»’;gr)e<0>.
где Е(0) =—gradfp(O)—напряженность внешнего электрического поля.
1 Л2Е
115. F=QE + (dgrad)E + _Z)afi.___>
где напряженность электрического поля и ее производные берутся в точке, расположенной внутри заряженной системы. Эта точка служит началом декартовой системы координат, в которой вычислены величины d и Da^.
1 дЕу
116. Na = eapydfrEy + у eagvDpj ,
где напряженность электрического поля и ее производные берутся в точке, расположенной внутри заряженной области. Эта точка служит началом декартовой системы координат, в которой вычислены величины d и Da^.
117. F = -36ea2-^M-;
dz2
Nx — 72ea2 дЕ*^} , Ny = - 72м2 (9)-, АГг = О.
dy y dz
118. Nx = Ny = Q, ^=-^-sin2i|>o.
§ 9. Поле на больших расстояниях от заряженной системы
..п 11 П1 1 ~ 3 COS2 0
119. а) (р = у<?^2---------;
б) ф=-5- Рад2 (> -1 й2) 1-~ 33COS-9
в) ф = ncflR ^2 _ 1. J----------3 3C0S 9 ;
. qP 3 cos2 0 — 1
Г) <₽ = -3--------7i------.
120. а) ф =-ур-(3 cos2 0 — 1); '
б) ф =,—---- sin 0sin -ф —[24-3 sin20 (1—4 cos2ф)];
в) Ф = — ^3- sin2 0 sin 2ф.
/0 0 1\
121. Dop = 6ad( 0 0 0 ); ф = 6ай-^-.
\1 0 0/ т
122. ^, = „±2/^/^-.
123. Ф = ^-[1/-/? + -^(х + 1/)].
Указание. Воспользоваться методом, изложенным при решении задачи 101.
124. ф = -^ + ^-(/?х + й2)4--^[(|/?2-4й2) х2-
- (4R2+4A2)у2+(4А2 - 4R2)г2+6/?Ax2}
Указание. Воспользоваться методом, изложенным при решении задачи 101.
125.
а) ф = у" Н" 13 (a2 cos2 Ф + ^2 sin2 Ф) sin2 0 — а2 — &2][
Q , 1 Л 2\ 3cos2 0 — 1
б) Ф=-у +Т QU> ~а ^----------7з—;
в) ф = у + ~^~з [а2 (3 sin2 0 cos2 ф — 1) 4-
+ b2 (3 sin2 0 sin2 ф — 1) 4- с2 (3 cos2 0 — 1)).
126. ф(л е, 4) = 2±=^-q;;)pz(cos0), z=o r
Q^ = 2naR\k, Q^+[>= Z2^+3(2fe)!
0 u 2*+(й 4- 1)1
127.
fx = fz = 0,
\2QRd
.. 4QRd
JN x-------a—
71Z3
.\-y=Nz = 0.
128. tf = _^ + ^{[(dr)0_^)+2rflxp +
+ [(dr) (1 ~ ~г) + ™гу\ b2 + [(dr) (1 - ^-) + 2d9z] F }
129.F=4r(1_4^)Iz_^1i.
z2 1Д 2z2 ) nz vj
130. EFX = [5 (a2x2 + b2y2 + c2z2) - r2 (3a2 + b2 + c2)],
= 15 (a2x2 + b2y2 + c2z2) “ f2 (a2 + 3&2 + c2)J>
Afz = (5 (a2x2 + Ft/2 + c2z2) - r2 (a2 + b2 + 3c2)].
13 L Z7 = -3888-4i-.
§ 10. Двойной электрический слой
132. ф (г) = 2лт (1--
\ Vz2 4-
£ =£ =0, Ег = ——-^2-,г. х у (г2 + ^2)/г
133. Ф (z) = 2лт (1--:
\ Vz2 +
ф (z) = — 2лт (1 + 2 „ Л п
при z 0, <р (0) = 0;
— V2 пт.
134. В цилиндрических координатах <р = 2т (л — ф) при 0 < ф < < 2л, ф = 0 при ф = 0; Ег = Ег = 0, Е^—2т/г.
,,в р р п р 2лтеЯ2
У ^(z2 + E2)2
136. Над положительной стороной электрического двойного слоя ф = 2лт. На его поверхности ф = 0. Под отрицательной стороной ф = —2лт.
137. Потенциал двойного электрического слоя ф = т£2, где Q — телесный угол, под которым видна положительная сторона слоя (для отрицательной рассуждения аналогичны). Пусть слой сместился параллельно самому себе на величину da. Элемент d\' контура L, иа который натянут слой, опишет поверхность da X dV. Она видна из е (da X dl') R
точки наблюдения под телесным углом --------, где вектор
R = r — г' проведен от элемента поверхности в точку наблюдения, 178
Полное изменение телесного угла при смещении слоя
= (1)
L
Потенциал в точке наблюдения изменится соответственно на величину dip = т dQ. Если слой неподвижен, а точка наблюдения переместилась в противоположную сторону на величину de = —da, го численное значение телесного угла (1) не изменится. Однако изменение потенциала в этом случае выражается через напряженность электрического поля следующим образом:
dip = - de т ф--1 * R = - de Е.
L
Ввиду произвольности вектора de находим
'«MW'
L
Глава II
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла
и граничные условия в магнитостатике
138. Если заданное магнитное поле удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла rot Н — 0 и div Н = 0, то заведомо найдется такое распределение тока снаружи полой области и на ее поверхности, которое создает это поле. Напротив, если ротор или дивергенция вектора Н внутри полости отличны от нуля, то никакое распределение тока не может создать данное магнитное поле. В связи с этим необходимо вычислить ротор и дивергенцию заданной векторной функции
а) можно (rot Н = 0, div Н = 0);
б) нет (rot Н == (|х + lv + lz)&, div Н = 0);
в) можно (rot Н = 0, div Н = 0).
139. Нет, так как div j =£ 0.
б) j = — [3 (ar) b — (ab) r];
в) ir — ie~ °> Й = ^7— sin 6 при r < R, j = 0 при r > R;
r) b = 0, /,0 = -^-, iz = -§~ при j =0 при r > R.
144. Из уравнения Максвелла rotH = -^-j следует div j = 0. Поэтому внутри заданной ограниченной области текут замкнутые токи, токовые линии которых являются замкнутыми кривыми. В связи с этим разобьем объемный интеграл на сумму интегралов
( j dV = Ji <^) dfi (1)
по отдельным замкнутым весьма топким трубкам, для которых 180
справедлива замена
j dVi -> Ji dli,
где J,—линейный ток i-й трубки, a dlt- — элемент оси L, этой токовой трубки. Ось каждой трубки направлена по соответствующим замкнутым токовым линиям. Равенство (1) тем точнее, чем тоньше выбраны токовые трубки. Линейный интеграл (^) dli равен нулю, по-
добно сумме векторов, составляющих замкнутый многоугольник. Поэтому j dV — 0.
145. Для произвольного объема V имеем
div А (г) = -Ц div , J (Г,)/Т dV = - — [ div' j (г \ , dVr, c J r — г c J r — r
V V
где использовано div/j(r/) = 0 В последнем интеграле дивергенция берется по штрихованным координатам. Используя теорему Гаусса— Остроградского (П1.15), найдем
(1)
S
Если токи текут в ограниченном объеме V, то /п(г') обращается в нуль на поверхности интегрирования, и условие Лоренца выполнено. Если токи текут в неограниченном пространстве, то при расширении объема V во все стороны поверхностный интеграл (1) также обращается в нуль. Это связано с тем, что поверхность S возрастает пропорционально г'2, в то время как подынтегральная функция убывает быстрее, чем 1/г' .
146. Постоянный ток должен течь в ограниченной области. В этом случае выражение jA dV инвариантно по отношению к преобразованию калибровки (II. 10) и имеет физический смысл энергии магнитного поля.
сН
148. а) /’ = Z,, — 0, Z, =• — в плоскости х = a, — х у z 4д ** и »
. СН к
i, =-----— в плоскости х = Ь;
4л
п . сН .
6) Zr = Zu==0, ---т— в плоскостях х = а и х = 1г;
' л » ’ г 4rt
сН
в) ir — iz =* 0, Z = где ось 7 цилиндрической системы координат направлена по оси цилиндрической поверхности параллельно вектору Н.
149. а) В цилиндрических координатах j = б (г — #) 10;
б) в декартовых координатах j = Z6(x)6({/)12;
в) в декартовых координатах j = 6(z)i0;
г) в цилиндрических координатах /г = /г = 0, = 7?) 6(z)t
я) в сферических координатах jr = /0 — 0, = оагб (г—7?) sin 0;
е) в сферических координатах jr — j0 = 0, /ф = от sin 0об (0—0О). 150. Нет, так как div j¥=0, где j = z06 (х) (\уе~ауг + 1ге~а*!).
151. а) В плоскостях х — а и х = —а течет ток с поверхностной плотностью i0; б) по прямым х = а и х = —а, лежащих в плоскости ХУ, параллельно оси У течет линейный ток J.
152. Натянем на контур L произвольную поверхность S, которая превращает окружающее пространство в односвязную область. В точках, не лежащих на токовом контуре L, уравнение Максвелла (II. 2) однородно rot Н = 0. Согласно теореме (П1.22) магнитное поле в этих точках можно представить как Н = —grad Ф, где Ф = = Ф(х, у, г) —некоторая функция, заданная в односвязной области. Возьмем ее в таком виде, чтобы второе уравнение Максвелла div Н = 0 также удовлетворялось при подстановке выражения Н = = —grad®. Для этого функция Ф должна быть решением уравнения Лапласа V2® = 0 с дополнительным условием, вытекающим из теоремы о циркуляции напряженности магнитного поля
(§HTdZ = -y-7. (1)
С
Здесь г — орт касательной к контуру интегрирования С, который охватывает линейный ток Z. Кроме того, функция Ф обращается в нуль на бесконечности, если токовый контур L лежит в ограниченной области. Так определенная функция Ф называется скалярным потенциалом магнитного поля. I
Поверхность S, натянутая на токовый контур L, рассечет контур интегрирования С в некоторой точке. Обозначим точками 2 н 1 начало и конец рассеченного контура С. Значение потенциала в этих точках по разные стороны поверхности S обозначим через Ф2 и Фц Интеграл (1) по рассеченному койтуру
5<?Ф << ... 4л . /пч
dl — Ф2 Ф1 — l 7. (2)
С’
Как видно, скалярный потенциал Ф претерпевает скачок при переходе через поверхность S, натянутую на токовый контур L, хотя производная <?Ф/дт остается непрерывной. При этом величина Ф формально совпадает с потенциалом двойного электрического слоя S, плотность дипольного момента которого равна J/c. Таким образом, скалярный потенциал Ф удовлетворяет уравнению ?2Ф =0 п
дополнительному условию (2) на фиксированной поверхности S, натянутой на токовый контур L.
153. В качестве фиксированной поверхности, натянутой на токовый контур, выберем полуплоскость у = 0, х 0. Уравнение Т-2Ф = = 0 с дополнительным условием
с' г
решаем в цилиндрических координатах. Здесь контуром интегрирования Сг служит окружность произвольного радиуса г с центром на оси Z. Ее плоскость перпендикулярна линейному току J. Контур интегрирования Сг рассекается в некоторой точке полуплоскостью у — 0, х 0.
Из условий задачи вытекает, что искомая функция Ф не зависит от координат г и г, а зависимость от полярного угла ф линейная ф = Фо + аф, где Фо и а — постоянные. Дополнительное условие выполняется при а = —2J/с и произвольном Фо. Таким образом, потенциал определен с точностью до произвольного слагаемого. Окончательно
ф = ф0_ — ф, Яг==Дг = 0, =
4зт
Функция Ф претерпевает скачок -у J при переходе через полуплоскость у — 0, х 0, которая соприкасается с линейным током J. Если произвольную постоянную положить равной Фо =-^5-7, то величина Ф формально совпадает с потенциалом двойного электрического слоя у — 0, х 0 с плотностью дипольного момента J/с (см. задачу 134).
§ 2. Магнитный момент
г, 154. = =
ОО
« hi- С о г< / х 1
155. ц ~~— J r2F (г) dr. о
156. ц = ~—. с
tStnc2 f tic
157. к> = ——(yj • Если заРяД размазан по поверхности
3 Шара, то угловая скорость уменьшается в -g- раза.
□
158. Перейдем в штрихованную систему координат г — а + г', в которой распределение объемной плотности тока описывается функцией j'(r') ss j(a + г'), а магнитный момент
Н' = т' XJ' (г') dV.
Сделаем замену переменных интегрирования г'= г — а, тогда
и 4г(ах $
Поскольку вектор а произволен, второе слагаемое обращается в нуль в том случае, если
= (1)
Для токов в конечной области соотношение (1) получено в задаче 144.
Если токи текут в неограниченном пространстве, то несобственный интеграл (1) определим так:
$ jdV=I. (2)
7->оо
Умножим скалярно обе части равенства (2) на произвольный постоянный вектор I = grad(rl). Под знаком интеграла воспользуемся тождеством
j grad (rl) = div [(rl) j]
и для некоторого фиксированного объема V преобразуем объемный интеграл в поверхностный
ф (rl) in dS = JI, (3)
s
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая фиксированный объем V. После этого перейдем к пределу S -> оо, растягивая замкнутую поверхность во все стороны, что соответствует предельному переходу V -> оо.
Объемная плотность тока j по модулю убывает на бесконечности быстрее, чем 1/г4, так как магнитный момент имеет конечное значение. Поскольку S увеличивается пропорционально г2, поверхностный интеграл (3) обращается в нуль при S-^oo. Поэтому II = = 0. Ввиду произвольности вектора 1 интеграл (2) также равен нулю. Соотношение (1) и равенство ц = ц' доказано.
159. Ш’ = цН.
Указание. Воспользоваться соотношением A=-g-(HXr).
160. ^«^.(аН).
161. Запишем момент сил в виде
N = i\ (rH)jdV- А ( (rj)dV. с J с J
Объемные интегралы при помощи замены (II. 17) разобьем на ' сумму линейных интегралов по осям Lt тонких токовых трубок
м=4Х/'Г(у(гн)^“н$(rd,i) •
‘ LLi
Ко второму интегралу применим теорему Стокса (П1.17) ф г rflj = rot г dSi = 0, Li sz
(1)
а в первом — воспользуемся формулой (П1.10), тогда
N = y £ Л J (пХ Н) dS/ = Y^//(SiXH)=^HfXH==l*XH.
I Si i i
Здесь Si — вектор площади поверхности, натянутой на контур i-й токовой трубки
S; = dSi,
si
а — магнитный момент линейного тока Jt.
162. N = y hRsa (® X Н).
163. Введем обозначение г == R + г', j(R + r') = j'(r'), где R — радиус-вектор фиксированной внутренней точки рассматриваемой области пространства, и перейдем к интегрированию по штрихованным координатам
F = lJj'(r')XH(R + rW'.
Затем воспользуемся разложением в ряд Тейлора
Н (R + г") == Н (R) + (rT) Н (R) 4- ....
где оператор V действует на координаты фиксированной точки с радиус-вектором R. В первом отличном от нуля приближении имеем
F = ~\ Г (г') X (r'V) Н dV',
где Н = H(R). Далее применим формулы
(r'V) Н = grad (г'Н), rot [(г'Н) j'] = grad (г'Н) X j , в которых дифференцирование производится по компонентам радиус-вектора R. Тогда выражение для искомой силы преобразуется к более удобному виду
F = - rot (г'Н) j' (r')dV'J.
Полученный здесь интеграл вычислен ранее при решении задачи 161. Он равен векторному произведению магнитного момента р. тока и вектора Н. Окончательно находим
F = — rot (ц X Н) = grad (pH), где производные берутся от векторной функции Н = H(R) по координатам фиксированной точки с радиус-вектором R, которая лежит внутри токовой области.
§ 3. Магнитное поле на больших расстояниях от тока
, рХг „ з (рг) г р
164. А = -Г—=—, Н = —-Д-—-------гд Где р — магнитный мо-
j-o * pa pi ' J
мент вращающегося эллипсоида:
Qfl2® ц = —, 5с
165. А = (<й х г)’ н = [3 (<йг) г “ f2“]-
V3” a2 J
166. Н ==——[3 (пг) г — г2п]. Единичный вектор п нормали к плоскости треугольника образует с направлением тока J правовинтовую систему.
в? ( QR2 V ( 3 (® г) (® г) в>!в>2 \
167. W = ----------------— J- Радиус-вектор г
проведен из центра первого шара к центру второго.
1йя г 9Q^2 ( ш г 5 (нНг А
20с к г5 г7 )
§ 4. Закон Био и Савара '
170. Применим формулу (II. 16), поместив начало координат в центр шара и направив ось Z вдоль вектора <в. Тогда напряженность магнитного поля в центре шара запишется.
н (0) = — -Х/СЦ dv
с j г3
где штрих у переменной интегрирования опущен. В результате вращения внутри шара появится ток с объемной плотностью j(r) = р®Хг, 3Q
где р = - . Раскрывая двойное векторное произведение в
4Лд'5
подынтегральном выражении, получаем
„ 1 С Г2й — ыгг ,z
Н (°) = — J Р-----~3----dV.
Интегралы, содержащие гх и zy, обращаются в нуль как интегралы от нечетной функции в симметричных пределах. Оставшиеся слагаемые дают
H(0) = -2.(p^.dv. с J г
Полученная формула справедлива для любого тела вращения, внутри которого распределен заряд с объемной плотностью р = — р(г,0). В частности, для равномерно заряженного шара находим
Н (0) = -g-.
Если заряд Q размазан по поверхности, то напряженность магнитного поля в центре шара уменьшается в 2/з раза.
171. Н=— Лав).
С
172. Нх = Ну — 0, Нг=-Лс:е- г.
" 405/пса3
......... esH0
_ „ Q (<0i — (В?) ®1 и
174. Н — 2са> ‘ Напряженность магнитного поля в центре обращается в нуль, если заряды первой и второй половин шара Qi = 4- ®з), Q? =s 4* ®з)-
175. Н = (b - -=£= с (Ь2 — а2) \ л/ а2 — Н = _^Л_ _£ с(Ь2 — а2)\ -у/Ь2- 176. Н = Г1 — cos 0о cos2 177 w = 3 (3 ~ 4) QH® 3hc 178. ^=—. 24тса3 179. Н=-|£, 1Г = -Д!Й5-. За3 ’ За3 . а2 — Ь2 \ . __ arcsin | (а > Ь); Ь2 а / . b + ^b2-a2\ . —— 1п 1 (й > а). а2 а /
180.
3Q_/'_&________a2
2c \62-a2 V(6’2 - a2)3
. b + Vb2 — a2 \ . .
In —--------------I (|i X «)•
a /
181. H - 2OT| . | [(I + §-)’’ + (. + *.)~'h - 2]i•
„ ла/?4® , , n ла/?4®
H = o~i—гт ПРИ I* = —I-----•
2c I г 13 4c
Вектор а пропорционален магнитному моменту ц заданного тока согласно формуле а = — сц.
183. Векторный потенциал, созданный магнитным моментом p,(r')dV' элемента объема dV, имеет вид
</А (г)=^£^><_5 dv',
R3
где fi(r') = ji0F(г'), R = r — г', а г и г' — радиус-векторы точки наблюдения и точки нахождения элемента объема dV. Для произвольного объема V по принципу суперпозиции получим
А (г) = ? dV' = L (г') X grad' -L dV'.
J к J i\
V V
При помощи формул (П1.30) и (П1.18) преобразуем последний шр теграл к виду
А (Г) = 1 ( dV' - $ 2L><Mr2
С J К J А
V S
Устремим объем V к бесконечности, неограниченно расширяя его во все стороны. При этом поверхностный интеграл обращается в нуль, так как подынтегральное выражение при 5 -> оо убывает быстрее, чем 1/г'2. Сравнивая полученный результат с общей формулой
приходим к выводу, что распределенный магнитный момент создает такое же магнитное поле, как и ток с объемной плотностью
j (г) = с rot (НоГ (г)).
184. Начало координат поместим в вершину прямого угла, а ось Z выберем по направлению тока. Тогда получим
а) н = 77^ б) н“77('*->*)•
185. Н = — (1 -}- V2 ) 1у, где обозначения те же, что и в пре-
дыдущей задаче.
27
186. Н = —— п, где орт п нормали к плоскости треуголь-•V3 са
ника образует правовинтовую систему с направлением тока I.
,о, „ 8а27п
167. Н=------------- ..... где орт п нормали к плоско-
b (z2 + a2) Vz2 + 2а2
сти квадрата образует с направлением тока J правовинтовую систему.
эт/
188. Н=—^-п, где орт п нормали к плоскости полуокружности образует правовинтовую систему с направлением тока, текущего по дуге.
ЮП ы 2л#27п 2ц
189. Н =--------гт-=-------—зТ"> гДе орт п нормали к
с (z2 + /?2)!1 (z2 + R2),г
плоскости кольца образует с направлением тока J правовинтовую систему.
§ 5. Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля
190. Распределение тока обладает цилиндрической симметрией, поэтому проще всего воспользоваться теоремой о циркуляции напряженности Н магнитного поля (II. 8). Вследствие цилиндрической симметрии вектор Н в каждой точке пространства перпендикулярен оси цилиндра и направлен по касательной к окружности с центром на его оси Направления векторов Н и j связаны между собой, как в законе Био и Савара. По модулю вектор Н зависит только от .расстояния до оси цилиндра. Сделанные утверждения однозначно определяют форму вспомогательного контура интегрирования в формуле (11.8).
Чтобы найти напряженность Н; магнитного поля внутри цилиндра в фиксированной точке на расстоянии г от его оси, проведем через эту точку окружность Ст радиуса г с центром на указанной оси и вычислим циркуляцию вектора Hi:
ф Н, = ф Л==2лгЯ,.
Сг Сг
Ток, охватываемый вспомогательной окружностью Сг,
j rfS = №/.
После проделанных вычислений соотношение (II 8) превращается в алгебраическое уравнение относительно Hi, откуда находим
Я1ф = Я1 = ^, Hir = Hiz = 0.
Напряженность Н2 магнитного поля снаружи цилиндра вычисляется аналогично*
нгг = н2г = 0.
Из аксиальной симметрии следует Аг = Аф = 0, Лг=Лг(г). Поэтому соотношение Н = rot А внутри и снаружи цилиндра принимает вид
^Лг=_ 2л/_г (г<Д),
dr с
dAzz ___ 2л/?2/ п\
dr сг (ГЖ>-
Интегрирование этих уравнений с учетом дополнительных условий Ац (R) = A2Z (R) = 0 дает
Я1г = -^-(Я2-г2), Л2г = -^-1п-£-,
191. При г
Г
7/ir = Wiz==0, = “ / (Л) И
О
Я Д
4эт f 1 Г
Л[Г = Ллр = о, л1г== — j -|- р (я)я^п:
г О при г ^ /?: 7?
//2г=я2г=0, =
о
л2г == л21р = 0, A2z = / (я) Я 1п —•
о
192. По абсолютной величине искомая сила определяется формулой
Зле2/? '
193. Hi =0 при г < R; H2r = H2z = 0, Н2^ = при г > R.
194. Hx=Hz = 0, Ну = -^^.
195. Hi =0 при r^Ri; H2r = H2z=®, H2^ =----——
v cr
2nj(Rl ~ rT\
При Ri r CJ R2; Нзг = Нзг — 0, H3^ =-—----L. при r R3.
196. H j = ~-n^!Z 1 x при | z | < I,
„ 4ir/'Zz i , , ,
Н2 = 7Т7Г * при |z|^z-
< 07 jj — (____-___________________A
x c \ (x + I)2 4- y2 (x — iy + y2 )’
tj _ / X I_____________* + 1
У с \(Х-1У + у2 (x + iy + y2 )’
HZ = Q-, 4J/ Г / 2x2 \ 2xy 1
H==-^r[(-^——JS-1*] ПРИ r>z-
199. Рамка притягивается к прямолинейному току с силой г 2а2Ц]2
с2г (г + а)'
200. Для антипараллельных токов:
Hi = 0 при | z | > I,
Н2 = — -^у2-1* при |z| </;
для параллельных токов:
Н‘ =~с| z Г * при lzl>Z’
Н2 = 0 при | г | < I.
2J
201. Н = 0 при г > 0, Hr = Hz — 0 и Ну = — при г < 0; д1г = //1г==0> Я11|,=^-Г1--г=^==\ //2г = Д2г = 0, Я21|,=-сг \ д/г2 + г2 J
= Т — (1------' 2 ' Y где верхний знак берется для г > О,
сг\ л/z2 +г2 )
а нижний — при z < 0. Здесь гиг — цилиндрические координаты точки наблюдения.
2]
202. Н = 0 внутри сферы; Нг = Нг—0 и Н^ = — снаружи сферы, где г — расстояние До оси г.
203. Циркуляция напряженности магнитного поля запишется так:
f H(r)rfl = -4f f (1)
L L'
где R = г' — г. Сделаем циклическую перестановку сомножителей в смешанном произведении и рассмотрим интеграл по штрихованной переменной. Для этого натянем на токовый контур L' фиксированную поверхность S', которая превращает окружающее пространство в односвязную область и рассекает замкнутый контур L в некоторой точке. К интегралу по штрихованной переменной применим теорему Стокса (П1.17):
2
-фф(~х</1)^1' = - Jrot'J (A-Xrfl)rfS' =
L' L S' 1
2 2
=$ VotG^xrf,)rfs'=$ 5[(rf^)^--rfidivA.]ds',
S' 1 S' I
где цифрами 1 и 2 обозначены начало и конец рассеченного контура L, которые лежат по разные стороны поверхности S', прикасаясь к ней в одной и той же точке. Интеграл от второго слагаемого обращается в нуль, так как
R 1 1
div = div grad -— = V2 — = — 4л6 (г — г'), л Л: к
а при интегрировании г =£ г'.
R dS'
Величина —— == dQ представляет собой телесный угол, под которым видна площадка dS' из точки, лежащей на контуре L. Следовательно, интеграл по штрихованной переменной равен телесному углу Q = Q(r), под которым из точки с радиус-вектором г видна поверхность S', натянутая на контур L'. Величина Q(r) положительна, если нормаль п' к поверхности S' направлена от точки наблюдения, и отрицательна в противном случае. Значение телесного угла Q (г) в точках 1 и 2 обозначим через Qj и Q2. Интеграл вдоль рассеченного контура L от точки 1 до точки 2 легко вычисляется:
2 2 2
(dlV)Q= TgradQd/ = dl= Q2 - Q,.
i 1 i
Для определенности считаем, что в точке пересечения контура L поверхностью S' векторы тип' образуют острый угол. Тогда скачок Q2 — телесного угла Q(r) при переходе через поверхность S' 192
равен 4л. Таким образом, интеграл в правой части равенства (1) 4л _
равен —— J.
204. Внутреннюю полость цилиндрической поверхности радиуса R однородно заполним током с объемной плотностью j и антипарал-дельным током с объемной плотностью —j Эта операция не изменит магнитное поле исходной системы, хотя и заменит ее двумя сплошными циплиндрами радиусов и с антипараллельными токами. По принципу суперпозиции напряженность Н магнитного поля внутри цилиндра радиуса Ri равна сумме напряженностей Н = = Н+ + Н_, созданных наружным и внутренним цилиндрами в отдельности, где
H+ = -y-(jXr), Н-- (г'X j)-
Здесь г и г'—радиус-векторы, лежащие в перпендикулярной к цилиндрам плоскости и проведенные от осей указанных цилиндров в точку наблюдения. Напряженность суммарного магнитного поля однородна и равна
Н=-у-0ХП,
где 1 — вектор, проведенный от оси наружного цилиндра к оси внутреннего 1 = г — г'. Его модуль равен расстоянию между этими осями. Найденное магнитное поле существует также внутри цилиндрической полости радиуса Ri до Заполнения ее антипараллельными токами.
„ 2а . „, . , 2л/0// ,
205. Н = —j- (г X io)-j—f- где г — радиус-вектор, лежа-
С/* I I
щий в плоскости XY.
206. Цилиндры отталкиваются с силой, отнесенной к единице их длины, которая по абсолютной величине равна
f==2(JTL)2
207. г=(^)2 /1/2 (г* + я; _ я;).
§ 6. Уравнение Лапласа и Пуассона с дополнительными условиями
208. jr — / о — 0, /ф —
209. /г = /г = 0, /ф =
-75—г sin 0 при г < R,
2л г
0 при г > R.
г при г R,
0 при r> R.
А И. Алексеев
193
210. На сфере радиуса R течет поверхностный ток с плотностью
Л • Зас • а ir = iQ = 0, 14=-,— sin о.
т 4л
211. Функция f(r) должна удовлетворять уравнению Лапласа.
212. Искомый векторный потенциал представляет собой частное решение уравнения
4л1
V2A =----— jo cos kr, (1)
которое обращается в нуль при jo = 0. Поскольку граничное условие отсутствует, а правая часть уравнения (1) периодична в неограниченном пространстве, векторный потенциал имеет ту же периодическую структуру
А = Ао cos kr. (2)
Чтобы найти постоянный вектор Ао, искомое решение (2) подставляем в уравнение (1) и сокращаем на общий множитель cos kr. В результате получаем
А = cos kr.
Напряженность магнитного поля находится по формуле (II. 9):
Н 4я 0° X к)
в 1 ^2 Ь111 л 1«
213.
А2 =-^~-e~Kz\cos (fe.x + k2y) +-тг- sin (fe:x + /г2г/)1 (z > 0), С/? |_ Л J
А! = ~^2~ | 2 cos kr + [-р s'n (^ix + ^-У') ~ cos <АХ + ^)] }
(z<0).
Указание. Векторный потенциал А имеет постоянное направление, определяемое вектором j0. Модуль векторного потенциала удовлетворяет уравнению и дополнительным условиям таким же, как и потенциал электрического поля в задаче 53. Это позволяет воспользоваться методикой, изложенной при решении указанной задачи.
214. А = - — е~11 2 । cos 1г.
cl
215.
А = (ф- е~г‘,г1 cos hr Ц- |у| cos 12г +-7^- е—Zj•х' coelsr').
с \ h 12 h /
216.
Al = — Ао [h sin 1>а — e~l‘a (l2 sin l;a + li cos l}a) sh Z2a] X
X е1г sin l2y (x — a),
Д2 = Ao sin liX — e ll“ (l2 sin Ца + /1 cos lia) sh l2x] sin l2y (|x|<a).
Аз = Ao [z2 sin Fa — e~ll“ (l2 sin Fa + G cos Zia) sh l2a] X
X e~ll^x~a^ sin l2y (x>a), где введено обозначение
A 4jIb ° ci^ + iiy
Указание. Использовать метод решения задачи 54.
217. Из условий задачи следует Аг=Аф = 0 и Аг = А(г, 1р). Функция
. , ,. ( А (г, ip) при г<Я,
А (г, ib) = » .
(. А2 (г, ip) при г R
внутри и снаружи цилиндра удовлетворяет уравнениям
V2Ai =—jBrs cos nip, \2А2 = 0 (1)
и граничным условиям на поверхности
Кроме того, функция Ai(r, ip) непрерывна в точке г = 0, а векторный потенциал снаружи цилиндра возрастает не быстрее, чем In г. Последнее утверждение обусловлено тем, что полный ток, текущий через поперечное сечение цилиндра, равен нулю (согласно результатам задачи 190 векторный потенциал бесконечного прямолинейного тока на больших расстояниях возрастает, как 1пг). Уравнения и
дополнительные условия позволяют применить метод разделения переменных. Поскольку cos nip при действии угловой части оператора Лапласа в цилиндрических кородинатах (П1.40) воспроизводится 1 д2 . п2 .
cos nip ----— cos nip и, кроме того, функция
ляется однозначной на оси X при ip —0 и тр -> 2л, будем шение в виде
Al = Fi (г) cos nip, А2 = F2 (г) cos nip,
cos nip яв-искать ре-
где Ft(r) непрерывна, а функция F2(r) вдали от цилиндра возрастает не быстрее, чем in г. После подстановки в уравнения (1) и сокращения на общий множитель получим
+ (2)
Дополнительными условиями к уравнениям (2) и (3) служат
dr or
Частное решение неоднородного уравнения (2) имеет вид
г 4л/пг5+'2
1 част~ с [и2 - (s + 2)2] ’
а решение соответствующих однородных уравнений ищем в виде Сг'1, где постоянные С и v определяются из самих уравнений и дополнительных условий. Опуская промежуточные вычисления, приведем окончательный ответ:
Л r ==* Л^ s= О,
. 2л/о 7?s+2 Г 2n (г \s+2 / г VI . , m
Л = — ln + s + 2 (у) - W J
А г = А ф ==s О,
^7^ (Я — ('>« 218.
^-^[^т-^-^ПСгГ-* <'*”
219. Вращающийся цилиндр создает в пространстве ток с объемной плотностью
{par при r^R, О при г > R.
Поэтому необходимо использовать лапласиан в цилиндрических координатах (П1.42).
Из симметрии задачи следует Аг = Лг = 0 и Лф = Л(т). Функция
,,)я= Г Л1(г) при I А2 (г) при г > R
внутри и снаружи цилиндра удовлетворяет уравнениям г24^ + г^--Л = --^Р<оЛ О)
г2^-+г^г-А^°
и граничным условиям
л, (Л) « л2 (R), -А^ =
Векторный потенциал непрерывен в любой конечной области пространства, а вдали от цилиндра не возрастает. Последнее утверждение связано с тем, что вращающийся цилиндр можно рассматривать, как совокупность кольцевых токов. Следовательно, векторный потенциал отдельного участка цилиндра убывает на бесконечности, как 1 /г2. Полный векторный потенциал равен бесконечной сумме вкладов от отдельных участков цилиндра. Такое суммирование (точнее говоря, интегрирование) увеличивает значение векторного потенциала вдали от цилиндра и приводит к более слабому закону убывания А2 ~ 1/г.
Метод решения уравнения Эйлера (1) и (2) изложен в задаче 55. Окончательно получаем
при г R:
Л1г = Лг = 0, Д|(1,=^риг H]=^p^-r!m
при г > R: Z-
д2г = л2г=0, 4^==^, н2 = 0.
к I
ДтГ1 С 1 С
220. 41Г = 41ф = 0, 41г= —\-М £ J 5 J
г О
R
42Г==Л2ф = 0, A2z^~- (>•>£).
о
221. В сферических координатах распределение объемной плотности тока описывается функцией
( p®r sin 9 при г R, fr = Je = O. = < D
(. О при г > R.
Из общего решения (II, 15) уравнения Пуассона и симметрии системы вытекает 4r=4g = 0 и 4ф=4(г, 0). Векторный потенциал внутри и снаружи шара обозначим через А[ и 42. Имея в виду Лапласиан (П1.48) в сферических координатах, находим
V242 —
4, г2 sin2 0
-у- рог sin 9,
(1)
42
г1 sin2 0
0.
(2)
V4, -
Функции Ai и Аг ограничены в любой конечной точке пространства, а последняя вдали от шара убывает не медленнее, чем 1/г1. На поверхности шара выполняются граничные условия
4, (R, 0) = Аг (R, 9), 0) .
Сформулированная задача решается методом разделения переменных. При этом учтем, что на больших расстояниях от шара функция А2(г, 0) совпадает с векторным потенциалом магнитного момента pi вращающегося шара:
. . ц sin 0 ( 4лр/?5 \
Л(г,0) = ^г- (и
Поэтому естественно попытаться найти решение уравнений (1) и (2) в виде
Ai = F\ (г) sin О, А2 = F2 (г) sin 0.
Подставляя искомые решения в (1) и (2) и сокращая иа общий множитель, приходим к уравнениям Эйлера
„ d2Ft . „ dFi 4л
гт+2г^г-2?‘ = - —
г2 + 2r - 2F2 = 0,
dr2 1 dr
решение которых описано в предыдущих задачах (см., например, задачу 55). Приводим окончательный результат:
л,г = Д10 = о, Лф = р®г (4— 1") sin 0’
= — р® ------g- J COS0, tf10 = —Р(ЦуГ2-—Jsin 0,
Я1ф = 0
а2=^, н2 = 1<^-4
г3 г г3
222. Одна половина шара прижимается к другой с силой
223. При г < R: А1 f = А1 ф =— 0,
1 ( лрсо^3 \2
15Д с ) •
„ 2nRi0
Aiz =='
СП
Г \п
I cos пф,
„ 2л10 ( г \п 1 . , 2л10 ( г \п 1 .
^1г=-----------— (у) s,nra1*’’ ------глт) cos”'t’’
при г > R:
A2f = Д2ф=== 0.
//12 = 0;
. 2л/?10 ( R\n
„ 2Л1О / , и 2я/0 /Я\п+1
Н2г =-----;— I —j 8Ш пф>, //2ф =------------ I — I cos лф,
t* \ Г / С \ Г /
Н 2Z — 0*
224. A, = Ao> Hi=O прн г < R;
Аг=4я^’° In-^-4-Ао, Я2г =/-/2г = О, Н2^=4п^°- при r>R.
Здесь Ао — произвольный постоянный вектор, имеющий размерность потенциала.
225. При г < R:
Аг — Л1г = О,
Н1г = Н^=*0,
при г > R:
А2г = 0, Л2ф
. 2л
Л,л =------<r®Rr,
v с
.. 4л _
Н1г = —- cr®R;
с
cr
. 4л _, R
Л-,г =-----croR In
с г
H2r = O, н2^
Я22 = 0, сг
Где ось Z выбрана вдоль направления движения, а произвольное постоянное слагаемое в векторном потенциале опущено.
226. Прн г < R:
•АГ = Лщ = О,
Il <r — o^R cos6, Зе
при г > R:
Л2г = A2q - О,
. 4л п . А
Л! ф = OfflRr sin 0,
Я,е=—|^-<T®Rsin0, Я1ф = 0;
. 4ror®R4 . „
Аф = —3er2 - Sitl 6>
„ 8na®R4 а и 4no®R4 . а „ п
Н2г=—ЗсТз—cos0- = —3^3—sin0> H2^=G.
Магнитный момент вращающейся сферы
4л
Н = — <tR4®.
ОС
Векторный потенциал и напряженность магнитного поля выражаются через магнитный момент следующим образом!
Н'~If <r<S)’
Л.--4Р4. fr>W.
227. Векторный потенциал направлен по оси Z и однороден вдоль этого направления А = А (г, ф).
Ток на поверхности цилиндра удобно разбить на сумму двух слагаемых io + it, где
>а ~ 'A (ii + h),
. _ ( ’A (h ~ I?) при 0 < ф < я, b 1 41 (12 — ii) при л < ф < 2л.
Этим токам отвечает сумма векторных потенциалов Ао + Ас- Величина А, найдена в задаче 224;
( Ао при r^R,
Ао = ) 2л/? .Г' . . R .
(. —~— (h + 12) 1п ——(- Ао при г R, где Ао — произвольный постоянный вектор с размерностью потенциала.
Векторный потенциал
М,ф) = (А'‘м)
I А2й (г, ф) (г > /?) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному условию на цилиндрической поверхности
А,6 (R, ф) = А;й (/?, ф), -g-A ь \R- ij.
dr dr с
Кроме того, функция Ак, ограничена в точках оси Z, а величина А26 обращается в нуль на бесконечности; A2i(oo, ф) = 0. Последнее утверждение обусловлено тем, что цилиндрическая поверхность с током ib на больших расстояниях г » R эквивалентна системе двух прямолинейных нитей с антипараллельиыми токами, векторный потенциал которых при г -> оо обращается в нуль. В действительности, для однозначного решения задачи достаточно более слабого требования, чтобы функция А2г> (г, ф) не возрастала при г->оо. Дальнейшие вычисления аналогичны решению задачи 72, так что окончательно получаем
А = -4/? (il ~ i2) V (_СУ4+1 sin (2fe + 1) ф , <- р\
с L,\r) (2fe+iy И-ЛЛ
k — Q
2n/?(i; + i2) m R c r
228. AIr = Aie = 0,
A2r — A2q — 0,
4/? (ii — i2) V1 ( R Vft+I sin (2k + 1) Ф. c LXr) (2k+\¥
k=o
(r^R).
= ---ir)sin® (r^R)',
= sinQ (r^R)~
j or
22». И—2^».
23».
23!. !₽_*; Ц-^.
232. w = ^-- g = a
Rr c
co
234. Г==1б(—У У ,,,,],.а .
\ с J L-i {2k + I)3
fe=0
235. Ar — Аф = 0, Az = —. Ось Z совпадает с осью од-
ного из цилиндров и направлена противоположно течению тока в нем. Радиус-вектор г лежит в плоскости ХУ, а вектор 1 проведен в той же плоскости из начала координат к осн другого цилиндра. Напряженность магнитного поля на больших расстояниях г / от цилиндров убывает достаточно быстро:
Hr — Hz — Q, =
так что энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины данной системы, имеет конечное значение.
Глава HI
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Уравнения Максвелла
236. Нет.
237. Нет.
258. Нет.
239. Да.
240. Если к вектору s прибавить rot F, где векторная функция F <= F(r, I) произвольна, то соотношение
div 8 = 4- (Н rot Е -Erot Н) (1)
4Л
не изменится в соответствии с теоремой векторного анализа
div rot F sO.
Следовательно, дивергенция суммы s + rot F также равна правой части равенства (1).
241. Напряженность Е вихревого электрического поля перпендикулярна вектору Н и не зависит от координат ф и Z. Из уравнения Майсвелла (III. 1) вытекает
дг с dt
где использовано Er = Ez «= 0 и Е$ — Е (г, t). Интегрирование последнего уравнения С учетом ограниченности функции Ё(г, t) при г = 0 дает
„ 1 С . дН (|, t) .ь
E=--trV~mdt
о
Непосредственным дифференцированием нетрудно убедиться, что напряженность Е найденного вихревого электрического поля удовле-
1 д
творяет уравнениям Максвелла div Е >=• 0 н rot Н = -у Е, в ко
торых заданная функция Н является решением волнового уравнения (III. 11).
242. Используя результаты предыдущей задачи, находим напряженность вихревого электрического поля
Е = — г X
К 2с Х dt ’
где г — радиус-вектор точки наблюдения, проведенный нз центра шара. Момент сил, приложенный к шару,
J(tXPE)d7 = -^-^-.
Производная по времени от механического момента
М = 2/5 mR2& шара равна моменту внешних сил. Это приводит к дифференциальному уравнению
dm _ Q dH dt 2тс dt '
ннтегрированне которого с учетом начального щее значение угловой скорости:
условия дает следую-
QH
<0=------
2тс
243. Второе слагаемое подынтегрального выражения в правой части равенства
1- > iff div j ,, 1 \ ,.ТГ
div А = —- \ I ------у; j grad -----------n- ] dV
c J \ I г — r' I s | r — r | /
преобразуем к другому виду, используя формулу (П1.28):
л, 1 л. , 1 div'j
j grad -j-----yr- = div i-------------:----rr ,
r - r' r — r r - r'
где штрих у градиента и дивергенции обозначает дифференцирование по штрихованным координатам. При помощи теоремы Гаусса —-Остроградского (П1.16) один из объемных интегралов преобразуем в поверхностный
\ div' -j—ф л—^—yydS',
J |r —r'| J | r - r '|
У->оо S->oo
который, как легко видеть, равен нулю.
Непосредственной проверкой с учетом уравнения непрерывности (III. 6) нетрудно убедиться в равенстве
.. di* , Vy , diz
div J + div J = -yy 4- -yy 4- -yy dx dy dz
1 <Эр o dt ’
где объемная плотность тока зависит от времени с учетом запазды-
вания
После этого дивергенция от запаздывающего векторного потенциала запишется в виде
div А = - - ( 4g- -J—J-7-r dV'.
с J dt J г — г I
Правая часть полученного равенства с противоположным знаком 1 <5<р „
равна—-^у-. Следовательно, запаздывающие электромагнитные потенциалы удовлетворяют условию Лоренца.
244. FA-4-^-lgrad-|2. = --^J, Г’Ф = -4лр.
§ 2. Плотность заряда и тока
245. р = -^L-)d(z), j«pv.
248. р = ед (х — a sin at) д (у) д (г), /х = рам cos at, {у<=*]г=а0‘
р = — при | х | < а, (5 = 0 при | х [ > а; | = 0.
л у а2 — х2
247. р = 4- д (г — 7?) д (ф — of + 2яя) д (г). /г " = 0.
А.
— pRffl. Здесь целое положительное число п для каждого момента времени t выбирается нз условия 2ля a>t 2 (n 4- 1) я.
248. Р = - pff-к- д (г — 7?) [д (ф — <о7 + 2ял) + Sill v
+ д (-ф — ш/ 4- 2пл 4- я)],
/z = 19 = о, = рсоТ? sin 0, где для каждого фиксированного момента времени t целое положительное число п выбирается из условия 2пл at 2 (п 4- 1) я.
30
249. р = ц (7? — г), j =ро)Х г. Здесь р (а) — ступенчатая функция аргумента а, которая определена в ((ПЗ. 21).
ос» с е (г — ге) „ evX(r —гв) ... _ _ __
250' Е~ |г-гв(3’’ Н-------с (г - гвР ’ ГД® re = r«W-ра-
диус-вектор движущегося заряда е.
§ 3. Магнитный, дипольный и квадрупольныи моменты движущихся зарядов
251. ц = р =
5с 2>пс
252. ц =----П-^-------+ ДЛ М.
2с (m, + т2) «j т2 )
253. Полный импульс частиц в рассматриваемой системе координат должен равняться нулю Р = 0.
254. Элемент dS = г dr dQ поверхности диска, расположенный в точке со сферическими координатами г и 0, при своем вращении создает круговой ток
dJ
о со л
dS.
Машитный момент этого тока имеет вид
du — —- г2 sin2 0 dS. с
После интегрирования получим
и=
И 8с
<0.
255. и = 2^1 6с
256. 1н (г, /) = Ноб (г - г„ (/)).
257. Траектория частицы в полярных координатах имеет вид
-у- = 1 + е cos ф,
где фокальный параметр р и эксцентриситет е даются формулами
А12 /, , 2<£М2
р —-----:-г, 8 = Л / 1 Н--------.
т j а | V та2
Средний за период Г дипольный момент движущегося заряда направлен вдоль полярной оси. Его проекция на эту ось
Т
, е f етр
dx = ~f jr cos * dt = ~Тм
о
2Л
SCOS ф ^ф
(1 + е cos ф)3 ’ о
(1)
При замене переменной интегрирования использовано уравнение траектории и закон сохранения момента, который дает связь между приращениями времени н полярного угла
dt = г2 йф.
М т
Далее воспользуемся табличным интегралом
2л
С __ 2л
J ₽ + е cos ф Vp2 — е2
Путем дифференцирования обеих частей последнего равенства по параметрам р и е с последующей подстановкой р = 1 находим значение интеграла в выражении (1). В результате получим
dx = — у ее а, (2)
где а — большая полуось эллипса
Р а а ~~ 1 — е2 — '
Чтобы определить постоянный вектор I, вычислим его величину в фиксированной точке траектории с координатами ф — 0 и г — = а(1 — е). В этой точке имеем
I = (t>M + a)lx = — 2<realx. (3)
Таким образом, сохраняющийся вектор I направлен вдоль полярной оси X, на которой расположена большая полуось эллиптической траектории частицы.
Из сравнения выражений (2) и (3) окончательно находим
. Зе d= 4^’-
258. p(r, 0 = -(dV)d(r-rd),
j (г, 0 = <16 (г - rd) - rd (dV) б (г - rrf),
МП 0 = y[(rdXd) + (dX^].
Указание. Точечный диполь следует рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и —е, расстояние I между которыми стремится к нулю, а абсолютные величины зарядов — к бесконечности (см., например, решение задачи 89). Искомые величины определяются при помощи формул (III. 5) и (III. 9), в которых необходимо перейти к двойному пределу I -> 0 и е -> оо с учетом соотношения
lim el = d,
Z->0 e->oo
где вектор 1 направлен в сторону положительного заряда.
259. Dn = — £)22 = — 37М sin 2<о/, Du = 3Rd cos 2ш/, £)13 =
= £?23 = Д33 — 0.
260. Дар = 0 при а=^р, Dn = Цт(1 +9е2), D22 = -~ (I—бе2), Р33 = — -Цгр (2 + Зе2), где е — эксцентриситет эллиптической траек-
тории:
2gAp та-
3 (dr) ха — r2da / 5 261. Еа = —ь . л з где введено обозначение Я] = — -у-ега, при а=И=р, Дп =—2~ (1 + 9е2), х r2f> griVxY аХр г оарJ , d2 = d3 = о, £>ар = 0 Д22=^-(1~-6е2),
П _ е°2 /0102. в2 /1 । 2й’Л42
Рзз- 2 (2 +Зе), « —2|g.|, е-д/1+ mg. .
Для круговой траектории
Ех = (г2 — 5z2), ^ = -^-(r2-5Z2), Ez=^-(3r’^5z2K
где D — 3 * * * * В/^а2.
Указание. Воспользоваться результатами задач 257 и 260
§ 4. Электромагнитные волны
263. F = -4— RA^hkk. 4л u
264. F = -|-Е2Л2/гк.
W
265. Направление вектора к выберем в качестве оси Z, а другие оси X и У направим вдоль векторов поляризации IW н К2) линейно-поляризованной волны. Тогда
2
£ (AlW)(BlW)=^Bx +
Х = 1
К правой части этого равенства прибавим и вычтем выражение АгВг. Первые три слагаемых полученной суммы составляют скалярвюе про-
изведение АВ, а последнее запишем как
-AzSz=--l-(Ak) (Bk).
В результате заданная сумма представлена нами в виде слагаемых содержащих лишь скалярные произведения векторов. Следовательно
она имеет один и тот же вид во всех системах координат, поверну-
тых друг относительно друга Для циркулярной волны
имеем
b'!’-W"-' + ,v
на некоторый угол.
в указанной выше системе координат
и Ь'2) =—— <!«)• Дальнейшие V 2
рассуждения аналогичны.
266. Запишем напряженности электрических полей в комплексном виде. Тогда для суммарной волны получим
Е = Re {[Ео1 + Ео2в'х] е‘(кг
где х — «1 — а2. Введем обозначение
Е01 + Е02егх =(Ь,+(Ь,)е-г“,
где Ь] и Ь; — вещественные векторы:
Ь[ = Е01 cos а + Е02 cos (а + х),
b2 = E0I sin а + Еог sin (а + %) Подберем фазу а так, чтобы выполнялось равенство-bib2 = 0 нли tg 2а = — tg х-
Для этого необходимо, чтобы % а2 — со а— 2 “ 2
После этого векторы bi и Ь2 запишутся как bi = (Е(и -j- Е02) cos
Ь2 = (— Ео! + Е03) sin у.
Таким образом, результирующая волна эллиптически-поляризо-ванная. Главные оси эллипса поляризации повернуты относительно векторов Е01 и Е02 на угол л/4 по часовой стрелке, если смотреть вдоль направления распространения волны. Если векторы EOi, Е02 и к образуют правовинтовую тройку и
sin -у > 0, cos -у > О,
то поляризация результирующей волны правая. В общем случае направление вращения вектора Е суммарной волны зависит от ориентации векторов Е01 и Е02 и знаков величин
COS -у, Sin -у.
В системе координат с осями X и Z, параллельными векторам bi и к соответственно, проекции напряженности электрического поля 208
суммарной волны запишутся как
Ех = bi cos (ш/ — kz + а‘ а‘-^,
Еу — b2 sin (со/ — kz + И|' ,
где 6. = V 2 ^oi cos-у, 62 = V 2 £02 sin-у.
267. Напряженность электрического поля суммарной волны
„„Л Ct 1 — 0.2 . , . ct| — а2 \ / . , , СЧ+азЧ
Е = 2£0 (lx cos---------1- ly sin------) cos (ш/ — kz А---2---) •
rut Ел и ш— амплитуда и частота обеих циркулярных волн, а а, и аг — постоянная фаза соответственно право- и левополяризованной волны (со = /гс). Величина Ео численно равна модулю вектора напряженности электрического поля каждой циркулярной волны.
268. Результирующая волна эллиптнчески-поляризованная. Полуоси эллипса поляризации равны А В и |А— В|. Поляризация волны правая при А > В и левая, если А < В.
269. Результирующая волна эллиптически-поляризованная. Полуоси bi и Ь2 эллипса поляризации
bi — —-т=г | Eoi + Е021, bi = —-г=г [ Eq2 — ЕЭ1 |.
-V 2 V 2
Поляризация волны правая, если вектор EOi X Е02 параллелен волновому вектору к, и левая, если указанные векторы антипараллельны.
270. Выберем ось X вдоль вектора Ещ + Е02, а ось Z — по направлению распространения волн. Тогда проекции вектора напряженности электрического поля суммарной волны принимают вид
С лГп г ( Ш1 "Ь ®2 f ki + kl \
Ex = V 2 Em cos % cos ----g---1---------2---- J ’
С x/~O C • . / + <02 . kl + ki \
Ey= \ 2E01 sin x sin -----2---z---------2----2 J’
, Ш1 — C02 , ki — kl „
где обозначено x ~-------2-----------2--2' ® каждой точке про-
странства эллипс поляризации суммарной волны деформируется со временем от отрезка, направленного вдоль оси X (при х = 0). в эллипс с правым ‘лргщением вектора Е и далее в окружность (при Х = л/4). Затем окружность переходит в эллипс с правым вращением, который постепенно сплющивается в отрезок (при х = я/2), направленный вдоль оси У. При дальнейшем увеличении х в пределах от л/2 до л картина повторяется, но с левым вращением вектора Е, и так далее. Когда эллипс вырождается в отрезок, волна становится линейно-полярнзованной.
271.
Е = 2Е0 (1л cos х + \у sin х) cos Ф,
где at и «2—постоянные фазы право- и левополяризованных циркулярных волн, распространяющихся вдоль оси Z. Ео— амплитуда этих волн, численно равная модулю вектора напряженности электрического поля. Результирующая волна линейно-поляризованная. Однако в каждой точке пространства ее вектор поляризации медленно вращается с частотой |сщ — coal около направления распространения.
274.
-t- Е" (со) sin ^со/------------] ^м'
где Е'(е>) и Е"\со)—вещественная и мнимая части компоненты Фурье заданной напряженности электрического поля:
ОО
Е' (а) + zEz/ (со) = Е (Г) dt',
— ОО
е /I . 2 (2л)3 тЕ0 j. /, па \
275. Е (к, и) = \ 6 к---------).
' о>2т2 +1 к с J
2 9
276. Е = д/лЕое 4 ' с ' .
е .- 4 ле к
277.
Указание. Разложить в пространственный интеграл Фурье обе части равенства Е = —grad ср и получить связь между компонентами Фурье обеих частей этого равенства Ek = — Zk<pk. Компонента Фурье срк от потенциала находится путем непосредственного вычисления интеграла
i 1 —/кг и, 4ле
<рк = е \ — е 1КГ dV = -Гт-,—т
К Jr k2 + а2
278. £r = = О,
2/0 cos {at — kr) cr sin 6 ’
H r = Hq = 0,
279. При г < R:
Ег = Е-ф =0,
2J0 cos (го/ — kr) cr sin 6
21
Er = —— cos (rof — kz).
о т
H r = Hz = 0, Ну — —- cos {at — kz);
при r > R.
4Zo
Ez=Ety = Q, Er——- cos kz cos at,
4/o
Hr = Hz = 0, //ф = —- sin kz sin at.
§ 5. Дифракция
280. Выберем оси X и У в плоскости экрана, причем ось У совместим с осевой линией щели, как показано на рис. 9. Жирная линия
обозначает этот экран в разрезе. Дифрагированное поле Е = — E(x, z, t) за экраном однородно вдоль оси У. Оно удовлетворяет волновому уравнению
д2Е д2Е 1 д2Е дх2 "Г дг2 с2 dt2
и граничному условию на плоскости XY:
Е (х, 0, t) = (*) cos at,
. где g{x)= 1 при а и g{x) — 0 при |х|> а. Это граничное условие является приближенным. Оно применимо лишь при малом отклонении от геометрической оптики /га Э> 1.
Удобно сначала решить более простую вспомогательную задачу
д2ё д2ё 1 d2S
дх2 "Г dz2 с2 dt2
S {х, 0, t) = lyEog (х) e~iat.
Тог&а решение исходной задачи записывается как Е {х, z, t) = “=Re# (х, z, t).
Видно, что решение вспомогательной задачи следует искать в виде
& (х, z, t) = \uEof (х, z) e~,ai.
Функция f(x, z) определяется как решение уравнения
-S- + -§- + ^ = ° 0)
с граничным условием
f(x. 0)=g(x). (2)
Разложим искомую функцию f(x, z) в интеграл Фурье по переменной х;
ОО
f(x, z) =\ ф(?, z)e,<ixdq.
J — со
Из основного уравнения (1) получаем простое дифференциальное уравнение для компоненты Фурье ф(</, z) с фиксированным значением параметра q:
- 2) + (*2 - q2) Ф (Ъ г) = 0.
Его решение
ф (q, г) = F (q) + Ф (g) е-»'
Таким образом, искомая функция f(x,z) разбивается на два слагаемых оо
/ (X, г) = JL J F (?) ei (?* dq +
— ОО оо
+ _L ( ф (9) ?<9Х d(?. (3)
2л J
—оо
Если принять во внимание временной множитель e~lat, то становится ясно, что первое слагаемое суммы (3) описывает волны, распространяющиеся от щели, а второе — волны обратного направления. Согласно условию задачи второе слагаемое должно отсут-1 ствовать' Ф(р)г=0.
Из граничного условия (2) получаем
ОО
4- F (?) вчх dq = g (х),
J — 00
Т. е. величина F(q) является компонентой Фурье функции g(x). Окончательно
Е(х, z, /) = 1^0 Re (f (х, z)e-to/) =
ОО
= \у Re ( F (?) е1 dq.
Aft J — оо
Проведенные рассуждения справедливы также для совокупности бесконечных щелей, параллельных оси У. Для одной щели получаем
а
F(q) =
—а k
Е (х, z, t) = 1у -- s'n • cos (га/ — qx — V^2 — q2 z) dq + — k 00
, 2Ea I sin qa , »
+ I у \ — e v ’ я x cos qx dq cos at.
к
Первое слагаемое напряженности Е(х, z,t) электрического поля представляет собой бегущую волну, распространяющуюся от экрана. Второе слагаемое — стоячая волна, амплитуда которой отлична от нуля только вблизи экрана. Второе слагаемое по порядку величины меньше первого в отношении -^-<4X1. Оно должно быть отброшено, чтобы ие превышать принятую точность вычисления Таким образом, дифрагированная волна имеет вид
к
н . ., , До V sin qл , , , f . j
Е (х, z, t) = ty \---------— cos (at — кг) dq,
—к
где волновой вектор kz = lxq + 12 ^k2 — q2 составляет угол 0 с направлением распространения падающей волны. Его компонента, лежащая в поперечной плоскости ХУ, связана с углом дифракции 0 соотношением
q = k sin 0 kQ.
Рассмотрим бесконечную полосу единичной ширины (—оо
Уа У Уо + 1, где Уа произволен), которая расположена на Некотором расстоянии г от экрана. Поток электромагнитной энергии
через поверхность этой полосы в среднем по времени за период Т = 2я/«> дается выражением
“ 2 й
— ОО —А
где черта над квадратом напряженности электрического поля дифрагированной волны обозначает усреднение по времени за период колебания.
Величина / не зависит от г. Значит, она совпадает со средней по времени интенсивностью /0 = сЕ^а/4л падающей волны, отнесенной к единице длины щели, если пренебречь малыми слагаемыми порядка \/ka.
Эффективная область углов дифракции заключена в пределах О 0 sg: 0m <S 1. Считаем, что длина падающей волны настолько мала, что kaOm 1. Поэтому отнесенная к единице длины интенсивность (4) дифрагированной волны запишется как
/о С sin2 kaQ а
Отсюда находим угловое распределение интенсивности дифрагированной волны
Этот результат можно также получить непосредственно из фор-* мул (III. 25) — (III. 27).
281. Повторяя рассуждения, проведенные при решении предыдущей задачи, получаем
ОО
Е (х, г, 0 = -g- Re F (?) е1 dq<
— 00
дг—1 2п6+а дг_ j
Л(9)= = (e-i4(2nb-a) _e-i4{2nb+a)'j=s
п=0 2nb—a п=0
— 9 sin да V - 9 sin qa 1 — e~l2N<]b
<1 L 2 q i-e~W>
/1=0 4
== 2 sin qa sin Nqb (w_n q sin qb *
Опустим малые слагаемые порядка •< 1, тогда напряженность электрического поля дифрагированной волны, распространяющейся под малыми углами дифракции, примет вид
Е (х, z, t) = k
j Ер С sin да sin Ngb у я j д sin gb — k
cos [со£ — дх — Vfe2 — д2 г + (W — 1) <?&] dg.
Отсюда находим отнесенную к единице длины интенсивность дифрагированной волны в интервале углов dG в среднем по времени за период колебания
__ /о ( sin NkbQ \2 sin2 kaG ._ nF I sin £60 J kaG2
где Iq — усредненная по времени и отнесенная к единице длины полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через все щели.
282. di = 7° sin2 (kaQ cos sin2 sin я2аЬ £204 sin2 ф cos2 ф
где /о — усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через прямоугольное отверстие, а 0 И ф — полярный и азимутальный углы точки наблюдения.
Указание. Воспользоваться формулами (III. 25) — (III. 27)
283. В интеграле (III. 25) проведем замену переменных интегрирования х = г cos <р и у = г sin ср, где г и ср — полярные координаты в плоскости экрана, а начало координат выбрано в центре отверстия. Угол <р отсчитывается от вектора q. Далее воспользуемся интегральным представлением (П6.7) для функции Бесселя нулевого йорядка. Тогда
К2я Л
“ч = “о § е~iqr C°S Фг dr = 2nu0 JQ (gr) r dr.
о 0
Согласно соотношению (П6.15) имеем
«q=2^A7^--
Подставим найденную компоненту Фурье в общую формулу (Ш. 27) и используем (III. 26). В результате угловое распределение интенсивности электромагнитной волны при дифракции иа круглом Ртверстии примет вид
/? (kRG)
где /о — усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через отверстие.
284.
где /о — усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через кольцевое отверстие.
285. Компонента Фурье дифрагированной волны выражается в виде двукратного интеграла (III. 25) по площади эллипса с полуосями а и Ь. Замена переменных интегрирования х — ar cos <р и # = &rsin<p приводит к интегрированию по площади круга единичного радиуса. Угол ф отсчитывается от вектора Q = 1»а<7х + Принимая во внимание интегральное представление функции Бесселя (П6 7), находим
1 2Л
о о
rdrdy = 2nabu0
1
j Al ) r dr‘ о
При помощи формулы (П6.15) преобразуем полученное выражение
и = 2лаЬи0 —1 -•
После этого воспользуемся общими формулами (III. 26) и (III. 27), которые приводят к искомому результату
abl2 {kQ -\/a2 cos2 ф + b2 sin2 ф)
л02 (a- cos2 ф + Ьг sin2 ф)
В этой формуле /й—усредненная по времени полная интенсивность электромагнитной волны, проходящей через эллиптическое отверстие, а 0 и ф — полярный и азимутальный углы точки наблюдения.
.... . ,, г sin2 kaO ,п
28b. я/ — /о ~ где 'о — средняя по времени за пе-
риод Т — 2л/со интенсивность электромагнитной волны, падающей иа единицу длины пластины.
(аде)
287. di — Io—--------dli, где 10 — усредненная по времени за
период Т = 2л/а> полная интенсивность электромагнитной волны, поглощаемой абсолютно черным шаром,
Глава IV
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИМИСЯ ЗАРЯДАМИ
§ 1. Дипольное излучение
288. Начало координат расположим в точке влета частицы в конденсатор, а ось X направим в сторону движения перпендикулярно пластинам. Из уравнения Ньютона тг = еЕ определяем ускорение частицы, которе входит в формулу интенсивности дипольного излучения. После этого получаем
2е2 -2 _ 2е4£2
Зс3 Г Зт2с3
Время /д движения найдем, приравняв х-ю координату частицы
х=-2^-+ f oleosa
расстоянию I между обкладками конденсатора. Энергия, излученная за время пролета через конденсатор, запишется как
( / 2e£Z
V V
2е3£о0
Зтс3
f- cos2 a — cos a
289. Пусть начало координат выбрано в центре шара, а движение происходит вдоль оси X. При помощи уравнения движения . Qe
тх = Х опРеДе'1Яем ускорение и записываем интенсивность излучения как функцию координаты частицы
2Q2c4x2
1 ~ ЗпГс2^ •
Здесь использован тот факт, что влияние поля излучения на движение частицы незначительно и им можно пренебречь. Для вычисления внергии
Л
J х
-R
теряемой частицей на дипольное излучение во время пролета через шар, воспользуемся законом сохранения энергии:
Энергия <£' излучения ничтожно мала по сравнению с полной энергией частицы и поэтому отброшена. В этих условиях скорость х является простой функцией координаты частицы, и интеграл по переменной х легко вычисляется:
290. &
Smc*
291. %
2е^Н2 Г 2 , ( , Е ,
|> + (л + ~н с) г где
оси X и У вы-
браны вдоль векторов Е и Н соответственно.
292. / = -~-Зсд
293. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиацион
ного трения запишется так:
*• 2в ••• . о с • 2 /1 \
г - 3^r+ft,or = ^Eosinwt (1)
Сила радиационного трения мала по сравнению с упругой силой осциллятора. Поэтому в соответствующем однородном уравнении в большой точностью справедлива замена г — сОцГ, которая приво» дит к уравнению колебаний при наличии трения
г + Yor + <^г = 0, 2еМ
где Vo — 'згас'з ’ Yo'C^o- Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения затухает со временем. Устано
вившиеся колебания осциллятора описываются частным решением уравнения (1), пропорциональным внешней силе,
еЕ0 (со2 — со2) sin со/ — <ву cos coi 2?<a2
т (со2 — со2)2 + <о2у2 ’ Зтс3
Средняя по времени за период Т интенсивность излучения осциллятора
_ e^El со4
3m2? (Ю2-<о2)2+<А2,
294. Ускорение электрона находим из уравнения Ньютона
Ze2r г3
тт
. Это позволяет записать полную энергию излучения в
виде
2Z2e3
Зт2с3
(1)
Ради удобства считаем, что электрон движется в плоскости XY, а в момент времени t = 0 пересекает ось У (рис. 10). Поскольку траектория близка к прямолинейной, скорость электрона во время пролета мимо ядра меняется незначительно vx = о0- Поэтому интеграл
(1) принимает вид
В результате получаем
nZ2e6 3m2c3«o/3 '
295. а) %=
3ne*rf2
8m2A0/5 ’
б) & =
8т2с3г>о15 '
296. Уравнение движения имеет вид mr =------------4rs~"> где
r — радиус-вектор электрона в плоскости XY. Из этого уравнения определяем ускорение, которое входит в формулу интенсивности излучения, Тогда интенсивность дипольного излучения, обусловленная
взаимодействием электрона с квадрупольным моментом атома, запишется так: ,
_ ЗРМ 1 8т2с3г* ‘
Пусть в момент времени t = 0 электрон пересекает ось У (см. рис. 10). Траектория движения близка к прямолинейной. Значит, кинетическая энергия электрона велика по сравнению с потенциальной. Поскольку движение быстрое и электрон пролетает далеко от силового центра, его скорость по модулю меняется незначительно vx — = с/0 и к == vat. Это обстоятельство облегчает вычисление полкой энергии, потерянной электроном на дипольное излучение,
„ С t dx ЗР2е4 С dx 15яР2е4
= J Со 4м2с30о J (*г + ^)4 = 128m2c3VoZ7 '
— оо 0
297. В системе центра инерции суммарный дипольный момент обоих осколков
. eAiAz ( Z2 \ , л
dx~'lir^\A^~~A^)X="Ci3^X'
Величину <?офф можно рассматривать как эффективный заряд частицы с приведенной массой
Движение частицы с приведенной массой происходит вдоль оси X и описывается уравнением
с дополнительным условием х(0) = х0, х(0) = 0. Полная энергия дипольного излучения
с dx 3(i2<? J х4х’ х,
где Хо — начальное расстояние между осколками. Из закона сохранения энергии
определяем скорость х как функцию координаты х, что позволяет, преобразовать последний интеграл к следующему видуг
У’ (
= 3p2c3Z1Zie‘ \ 2<Г0 J J (1 - ’
Окончательно энергия дипольного излучения запишется так:
( 2А'А'2 \,г ( VZi
45 кЛ, А2) \ А,+ А2) \ тс2 ) Z}Z2’
298. Интенсивность 1 излучения протона пропорциональна его кинетической энергии
2е2 -2 _ 4е'Н2& = Зе3 Г Зш3с5
Это позволяет составить дифференциальное уравнение для искомой величины
d& 4е'Н2
dt Зт3с1
Решение последнего уравнения дает ответ на поставленную задачу:
—м-^)-
300. Отклонение от кругового движения, вызванное потерей энергии электрона на излучение, весьма мало за один оборот вокруг ядра. Поэтому в каждый момент времени кинетическая и потенциальная энергии электрона выражаются через его полную энергию <5. Это обстоятельство дает возможность выразить интенсивность дипольного излучения через полную энергию электрона
z _ 2e2r2 _ 2е2 ( Ze2 V _ 32<Г<
Зс3 Зс3 \ тг2 ) ~ Зс1 (mZe)2'
Энергия электрона расходуется на излучение
dff __ 32^<
dt Зс3 (mZe)2 ’
откуда получаем закон убывания полной энергии электрона
1 _ 1 32/
%* + (mZe)2 с3 ’
где й’о = —Z^ftR — начальное значение полной энергии. Время падения электрона на силовой центр получим, устремляя энергию & к бесконечности со знаком минус:
у m2c3R3
tn ~ 4Zei *
301. Электрон внутри равномерно заряженного шара представ-
I е I ляет собой осциллятор, колеблющийся с частотой о =-----_. —.
R V mR Излучаемые электромагнитные волны имеют ту же частоту. Если
х 2е2 -
учесть силу f = г радиационного трения, то колебательное движение электрона станет медленно затухающим. При этом с большой точностью выполняется соотношение г = — со2г. В соответствии с начальными условиями движение электрона одномерное н описывается уравнением
х + ух + со2х = О с решением вида
х — Re~yt^ cos со/.
Здесь обозначено у= (Y^®)- Усредненная по времени от t до t + 2л/со полная энергия электрона определяется выражением
„ т "72 , та2 ~ 1 2n2 -vt
S = -^-х Н----— х =~2 та R е Y .
302. Вторая производная по времени от дипольного момента системы выражается через сумму всех сил, приложенных к частицам. Равнодействующая этих сил в случае замкнутой системы обращается в нуль Поэтому интенсивность дипольного излучения равна нулю.
303. При вычислении энергетических потерь единицы объема электронного газа можно суммировать не амплитуды поля, а интенсивности излучения отдельных электронов. Это связано с тем, что среднее расстояние между электронами сравнимо с радиусом волновой зоны, а разности фаз излучаемых электронами волн распределены хаотично. Интенсивность излучения отдельного электрона во внешнем однородном магнитном поле с напряженностью Н дается формулой
2e4//V±
1 (V-l) = 3m2c6 '
где Vj_—составляющая скорости электрона, перпендикулярная вектору Н. Используя распределение Максвелла
_ ту*
dN (v) = Na ( г 2kT dvx dvy dvz,
а также соотношения
о2 — vj_ + о2, dvx dvy — Ojl dOjL A|), запишем число электронов в единице объема со скоростями в интервале от c/jl до Oj_ + dajL в следующем виде:
.... . Nam 2kT ,
с/Л'(о1)=-^-е
где k — постоянная Больцмана, a T — температура электронного газа. Умножая эту величину на интенсивность (I) излучения отдель-
лого электрона, получим энергию излучения в единицу времени группы электронов, находящихся в единице объема со скоростями от vj. д0 + Полную интенсивность I излучения единицы объема электронного газа найдем путем интегрирования по поперечной скорости
пЛ,
~ 2kT ANae'H2kT
ё ЗтМ •
о
NaeiH2 С
‘AmkTс5 J
304. / =
8е4£2^ Зт2с3
( / 2еЕ \
305. Поместим начало координат в средней точке между диполями, а расстояние от диполей до точки наблюдения г волновой зоны запишем как
nd0 . nd0
ri==r-a2rf7- r2 = r + “w
Г
где n = — — единичный вектор, направленный от центра системы в точку наблюдения.
Напряженность магнитного поля излучения в волновой зоне равна сумме вкладов от каждого диполя в отдельности:
Средняя за период интенсивность излучения
2(о (* цшх
1 — —з— \ (1 — х2) cos2 • dx ==
c3 J 0
n ,2 V-3 Г 1 . • a a
— fyti'oK ° I-----1 — sin ----cos —
0 L3 a2 \a X X
В предельном случае a X имеем I =-|- d2coX~3.
V2n №do®4ro
' 3? ’
_ 4np|e | 3m
306. I — ------— exp I------у I,
3? X 2Г2/
307. = + <
*• Ze^r
308. Используя уравнение Ньютона тг =-----, представим
энергию ffd’ излученную за период Т, в виде интеграла т 2Z2es Г dt
ffd Зт2с* Jr** •
о
При помощи закона сохранения момента отг2ф = М перейдем к интегрированию по полярному углу ф, воспользовавшись уравнением траектории
= 1 -j- g cos ф,
где фокальный параметр и эксцентриситет известны:
ЛР /. , 2<ГЛР
р ~ mZe2 ’ 8 Д/ + mZ2e* *
Окончательно получим
__ 2nZ*el0/n / 2tfM2\ ЗЛ13с3 l3+mZ'e'J-
309. В системе центра инерции в относительных координатах ура внение Ньютона и дипольный момент системы запишутся:
е^х , ехт2 — e2mt _ п
рг =------, d = —-—j-----------г es <2эффГ.
г3 «I + Шг
_ ОТ|ОТ> _ . . .
Здесьц =--------;-----приведенная масса, а уЭфф— эффективный
щ.\ -f- Шг
заряд. Полные момент М и энергия <S системы заданы:
ро2
Энергия &•<, теряемая на дипольное излучение, выражается в виде интеграла
°о .
2<Э°эффе1е2 С dt 4^1ффг1е2 f
------П
Зр2с3
— —--------7-9- | (1 — 8 COS ф)2 dtp
г4 ЗрМс-У j
где р — фокальный параметр, е — эксцентриситет гиперболы, а максимальный угол отклонения от полярной оси, равные
И2 / 1
Р =-------, 8 = Л/ 1 + I--------------I , ф™ = arccos —
p,ete2 V \ ехе2 J е
После интегрирования находим
Sd
4(eie2)* f ei
Зц2с3 (o'oZ)5 \ mi
[(1+Ie2) ^-4esin4-
ineWmff2
310. =------------------
с3 (М2 + 2ота)
8ле2
I
31Ь 3m2aoc3 dl J dr о Г)
Z2 2U ’
.2
где ra = ra(l) — минимальное к силовому центру частица, нием I. Величина га является
расстояние, на которое приближается пролетающая с прицельным расстоя-корнем уравнения
1-21
^.=0.
§ 2. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения
312. 1 =
313.
1 =
314.
I
2(3'//’ц2 . ,о
3^“s,n 9°-
а2^®4
3? '
2/2|Х?<оМ , ,
---------cos2 (ы, со =
Зс3
I Дипольный момент d заряженной системы должен удовле-0.
315.
творять условию d
316. I
317. Z =
318.
^l^2-(Ev)2].
Q2/?4®^
75с5
Q2®2
sin2 0.
319.
320.
321.
322.
600с к тс2 ) . 8 Z л272^2Яф0
Зс к тс3 ________ а/4/* I = 7 2ла •... /=^-^(4^ + W-
Магнитно-дипольное излучение отсутствует в системе коор-
динат центра инерции. В других координатных системах магнитнодипольное излучение имеется.
2л/Я , тс
8 А. И Алексеев
225
323. Если начало координат выбрано в центре инерции, то после перехода к относительным координатам магнитный момент двух заряженных частиц выражается через полный механический момент, который в случае замкнутой системы сохраняет постоянное значение. Поэтому производная по времени от магнитного момента обращается в нуль тождественно и магнитно-дипольное излучение отсутствует.
324. Магнитный момент системы пропорционален механическому. Согласно уравнению движения производная по времени от механического момента системы равна моменту внешних сил. Последний равен нулю, так как система замкнутая. Следовательно, производная по времени от механического и магнитного моментов обращается в нуль тождественно и магнитно-дипольное излучение отсутствует.
325. Магнитный момент р системы заряженных частиц выражается через полный механический момент М при помощи формулы
е it
р = Д5---- М.
2m с
(1)
Во внешнем магнитном поле уравнение движения момента М имеет вид
dM dt
(2)
Из соотношений (1) и (2) вытекает
= — (£2 X гх) Й = -^-,
dt (ИД[р, 2тс’
т. е. вектор р вращается вокруг направления Н с угловой скоростью
—Й. Вращение вектора р приводит к магнитно-дипольному излуче-
/л т т
нию с частотой й = . Напряженности магнитного и электриче-
ского полей излучения в волновой зоне:
р2Нг
нм=да7(пХ(^±Хп))> Ем = НмХп,
где п—единичный вектор, проведенный из центра системы в точку наблюдения, a Pj_ — составляющая магнитного момента, перпендикулярная вектору Н.
4р?®4 Д®/ + а
326. Z — 7, - cos2
Зс3
2,
827. Полный магнитный момент системы
ЛГ-!
= cos (® + не) t =
п=о
/ Л'-1 \
= Но Re I eiat £ einet ) = Во Re Ге;“г
' n=o '
1 - eiM
1 - eiet
= Ho cos
ЛГ- 1
2
, Net sln —
e.t
sra T
Средняя .по времени от t до t + 2л/ш интенсивность излучения
запишется
. , Хе/ ng®4 sin2 — Зс3 . „ е/ sin~
V2,,2Z44_
2V |aq(D Т7
3^
329. Интенсивность квадрупольного излучения не зависит от выбора начала координат, если выполнены условия
Q = 0, d О,
где Q и d — полный заряд и дипольный момент излучающей системы.
330. Дипольное излучение отсутствует. Искомая интенсивность слагается из интенсивностей магнитно-дипольного и квадрупольного излучений системы двух зарядов.
Прежде всего решаем задачу о колебаниях шарика в предположении, что излученная энергия ничтожно мала по сравнению с его полной энергией. Выбрав начало координат в средней точке стержня и совместив плоскость ХУ с плоскостью колебаний (ось X параллельна силе тяжести), получаем для координат шарика следующие выражения:
х = I, y = lty, z = 0.
Здесь ф — угол отклонения стержня от вертикального положения, который меняется по гармоническому закону ф = Ф<> cos со/, где а = a g— ускорение силы тяжести. При определении координат шарика сделано разложение в ряд по малому параметру ф С 1 и отброшены все старшие степени угла ф, кроме первой.
Зная закон изменения координат шарика, находим зависимость координат обоих зарядов от времени. После этого интенсивность
£27
8*
магнитно-дипольного излучения вычисляется по общей формуле
е2/4ф0<в6
Зс5 •
В выражении для тензора квадрупольного момента системы двух зарядов также следует отбросить старшие степени угла ф, так как шарик совершает малые колебания:
/2 Зф
Dap =,2е!21 Зф -1 \ О О
0 о
-1
Тогда средняя по времени интенсивность
квадрупольного излучения
принимает вид
ZD= 5сь *
Полная интенсивность излучения обоих зарядов равна сумме интенсивностей магнитно-дипольного и квадрупольного излучений
бе^фд®6
15Z*-
ЧЧ1 r — <Z ~ Z°)2 (
15c \ m (m.! + m2) c2
332, В системе центра инерции полный осколков ядра, разлетающихся вдоль оси X,
квадрупольный момент имеет вид
. eZA}A2x2 f2 °
A(Al+A2) 0’
0
О
-1
где к — координата частицы с приведенной массой
ЛI Л 2
u = —Л—1—л~т-
P Ai + A2
а т — масса нуклона. Используя уравнение Ньютона и закон сохранения энергии
.. ZiZ2e2
цх? , ZtZ2e2 „ “2~ + —T~ = c
нетрудно получить соотношение
d3x2
dtJ
2ZiZ2e2 it
H x2
После этого задача о нахождении энергии изл^'чения сводится к вычислению интеграла
х 16 /2\’/i
— dx=------ -
х4 105 \ Н/ Z'Z4eG
где Хо — начальное расстояние между осколками (см. также решение задачи 297). Окончательно энергия квадрупольного излучения при разлете осколков ядра выражается формулой
54 / /11 + ^2 Л1'8 / g’o
1575 \ 2А:А2 J \ тс2 ) AtA2 '
333. Вычисляя третью производную по времени от тензора
е (ЗхаХр — г*бар)
квадрупольного момента заряда е, следует помнить, что ускорение г — Е протона постоянно. Поэтому
Dap = Зе (Зхах0 + Зха1р — 2г гйа₽).
Искомая сумма DapDpa вычисляется в общем виде, после чего ускорение протона выражается через Е. В результате интенсивность квадрупольного излучения протона запишется так:
Зр4
' - ToSv l(vE>’ + 3"
334.
1 32е2и2/
5т2с5 <Г0 ’
335.
3 /?<в т ~с~
ld
4е2/?2о4 .. . ,
3сз - -(1 + cos Ф), 1D
32е2/?4о« , ,
---------- COS2 ф. 5с5 т
336.
!d Зе3
2d2co4 = 27?2d2a6 Зс5
lD
32R2d2<s>'1
5с5
Указание. Точечный диполь с моментом d следует рассматривать как предельный случай системы двух зарядов е и —е, расстояние I между которыми сокращается до нуля, а абсолютная величина зарядов возрастает до бесконечности так, что
lim el = d, (1)
Z->0
где вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному.
Поэтому магнитный момент, создаваемый вращающимся дипо-лем, представляет собой предел следующей суммы:
= ^[(dXr) + (rXd)]=-^r,
где г — радиус-вектор вращающегося диполя.
Тензор квадрупольного момента удобно определять сначала во вращающейся системе координат X'K'Z', ось Z' которой совпадает с осью вращения, а ось X' проходит через диполь параллельно его моменту d. При этом диполь рассматривается как система двух зарядов е и —е, расположенных друг от друга на некотором фиксированном расстоянии /. После того, как тензор квадрупольного момента Da|j для фиксированной величины / во вращающейся координатной системе определен, следует осуществить предельный переход (1) в каждой компоненте этого тензора. В результате искомый тензор примет вид
(2 0 0 \
0—1 0 ).
0 0 -1 /
Путем преобразования координат находят тензор квадрупольного момента Da$ в покоящейся системе координат XYZ, ось Z которой совпадает с осью вращения, а начало — с центром окружности;
(3 cos2 со/ — 1
3 sin со/ cos со/ 0
3 sin со/ cos со/ 0 \
3 sin2 со/ — 1 0 j.
0 -1 )
337. /= » ос
ооо г 16а2с/2со5
338, /= “15с®...’
а2с£ сов
339- Zn=-3F--
aPdfo6 D = 5с5
„„ гр ( 8е2а2со4/ \
840. $ = <^о exp I —т- .
\ 15mc5 J
841. Излучение отсутствует.
342. I
2<?Мсове2 375с5 Sin2
343. I
Q2/?4co5 10с5
344. Прецессия однородно заряженного кольца приводит к ква-друпольному излучению. Тензор Da$ квадрупольного момента кольца легко вычисляется в штрихованной системе координат X'Y'Z', жестко связанной с вращающимся кольцом (см. рис. 4). Прн этом недиагональные компоненты тензора Da$ обращаются в нуль, а диагональные принимают вид
Оц = D'22 = nR3q, D'33 = — 2nR3q.
Матрица aap преобразования координат xa = от вращающейся к покоящейся координатной системе находится обычным путем:
/ созф «а₽ = 1 sin гр
\ О
— cos 0 sin ф cos 0 cos ф sin О
sin 0 sin ф \ — sin 0 cos ф I, cos 0 /
квадрупольного момента в
где введено обозначение ф = sit. Тензор покоящейся системе координат вычисляется по общей формуле
Окончательно интенсивность квадрупольного излучения принимает вид
Л2<72#6®6 ЛК • 4 0 л 2 О\ / —------— (15 Sin4 6 + sin 0).
345. / = SW
45с5
и =----------, g-х -г-----sin2 Sit,
|л> i Rn /> 5 ’
346.
150с5
Q3 (а2 — Ь2)2 . 2 f
D~ 250с5 Sln юА
347. Тензор квадрупольного момента диска: Dap = 0 при а ф р,
р22 - - Я - a2), DM = - -2- (а2 + М),
/>и=4(2а2_&г)’
где Q — лаЬа — полный заряд. При деформации диска полуоси д и Ъ меняются со временем по закону
а = R [1 + g| cos (sit + cti)l, Ь = R [1 + е2 cos (sit + а2)],
где величины Bi и е2 пропорциональны малому параметру и поэтому также малы в] 1 и е2 1. Согласно условию задачи площадь диска равна площади круга радиуса R, если отбросить слагаемые,
квадратичные по параметру (J Такое требование приводит к соотношению, которое должно выполняться тождественно при любом /:
в) cos (со/ + Oj) + е2 cos (со/ + а2) = 0.
Из этого тождества вытекают равенства е, = —е2 и ai = a2. Аналогично, закон изменения параметра деформации приводит к тождеству
6) cos (со/ + aj = р cos со/,
из которого получаем ei = р и ai = 0 Таким образом, диагональные компоненты тензора квадрупольного момента имеют вид
тг /?‘ГГ
•Du — —j— (1 + fiP cos со/),
О22 = (1 — бр COS СО/),
п л/?4сг £>зз ------2~.
Оставляя слагаемые с наименьшей степенью параметра р, находим интенсивность излучения в среднем по времени за период Г:
1 = я2/?8ст2со6р2
349. Векторный потенциал (IV. 11) в волновой зоне с учетом
2 / 2 поправок порядка оу / с
. , d,HXn D,ld2V'/\2
А (г,/) -----------Ь ~г~г + о—j -ттт / e,(nr,)2v,,
cr cr Ьсг 2c3r dt2 L-л »v 1
«=1
где радиус-вектор г, i-го заряда, а также величины d, jx, D и vt берутся в момент времени / — r/с. Здесь обозначено
1—1 1=1
Da& = £ е. (3х»<Л|3 ~ П6«|з)’ П = 7‘ f=l
Напряженность ма1нитного поля излучаемой волны
н = —А X П.
С
Вычисляя поток вектора Пойнтинга через сферу большого радиуса, находим интенсивность излучения с заданной точностью
2d2 2|ё2 Д2в
‘ Зе3 Зс3 180с5 т
„ N
if- Я3 Х-'
+даJ <d х n)up L е‘ (nr*)2 х п)(Ш-
Последнее слагаемое представляет собой искомую величину Д/, которая после интегрирования по углам принимает вид
.. л/
Л г 2d d3 Го 1 / \ л
15с5 dt3 Z_jeil2r^i (rivx) rd*
t = i
350. Поскольку магнитно-дипольное излучение отсутствует, интенсивность излучения заряда е с учетом членов порядка с2/с2 представляется в виде суммы трех слагаемых
Величина Д/ определена в предыдущей задаче:
= -Ц- [3w2v2 + (vv)2 + 2 (rv) v2] = -gg- (га2 + ^1),
где г, v и v — радиус-вектор, скорость и ускорение заряда.
Интенсивность квадрупольного излучения как функция скорости заряда найдена в задаче 333:
Д2р 6с4вУ
180с5 5т2с5
Ускорение, входящее в формулу интенсивности дипольного излучения, должно быть вычислено с учетом релятивистских поправок порядка с2/с2. Для этого воспользуемся уравнением движения d г. л.
-^-р = еЕ и формулами
справедливыми для быстрой частицы Эти соотношения позволяют выразить ускорение через скорость. Разлагая найденное ускорение в
ряд по малому параметру rfljc1 и ограничиваясь лишь первой Реля' Тйвистской поправкой, получаем
|2=^(1-з41
т2 \ с2 /
Суммируя отдельные слагаемые, находим окончательно . 2е4£2 / 6о2 бе (гЕ) \ (п
Зт2с3 \ ’ 5с2 5/ис2 )'
Пусть при t = 0 имеем r(0) == v(0) = 0. Тогда в произвоЛьны® момент времени t имеем
е (гЕ) о2 тс1 2с2 ’
и полученная поправка к интенсивности излучения пропорционйльна о2/с2.
Как отмечалось во введении к главе IV, расматриваемая ЗДесь интенсивность излучения зависит от выбора начала координат ВНУ* три излучающей системы. В частности, в момент времени, когд® за' ряженная частица находится в начале координат, найденная иатен' сивность излучения (1) численно совпадает с интенсивностью 0ЗЛУ‘
V2 1
чения релятивистской частицы (V. 59), если принять 1 11 учесть поправку порядка v2!c2 (см. задачу 449). Это обстоятел^™ связано с тем, что в данный момент времени величина (IV. 16) чис’ ленно совпадает с интенсивностью излучения (V. 59) релятивист014011 заряженной частицы, а поток вектора Пойнтинга вычисляется чеРез одну и ту же сферу большого радиуса в обоих указанных слу‘1аях-
§ 3, Спектральное разложение излучения
351. Вторая производная по времени от дипольного моМента электрона
( ——° e~at cos соо^ при t 0, d (/) = 4 т
I 0 при t <0.
Компонента Фурье этой функции имеет вид
V , , _ е2Е0 / а + t (со + соо) . а + с (со — соо) Ч 2т \ (со + сор)2 + а2 (со — соо)2 + а2 ) ’
Для энергии, излученной на частотах в интервале от со до со 4" получаем следующее выражение:
2е4£ц со9 + а2
— ^пт2с3 Цщ _|_ И())2 а2] Цщ _ Ш())2 а2]
2/^Z2cog co2
352. d^- Зяс3 [((B + Юо)2 + a2] [(ю _ Юо)2 + a2] rf®.
eV’cog 1
353. d^a — ——j----------------— dm, где обозначено
2 4лр | e | 2e‘W
“o = —У = (Y«“o)-
354. Уравнение движения осциллятора с учетом силы радиационного трения
г----о ~~е я г + ®ог = — Е (/) (1)
Зтс3 ° т ' ’ *• '
определено в бесконечном промежутке времени —оо t оо. В области t 0 правая и левая части этого уравнения равны нулю тождественно.
Разложим в интеграл Фурье обе части уравнения (1) и воспользуемся соотношениями между компонентами Фурье
г (со) = — со2г (со), г (со) = гсо3г (со).
Полученное личины г (со):
алгебраическое уравнение решаем относительно ве-
г (и)
е Е (со)
2 • *
т Oq — со — i усо
где у =
2с2со2 Зтс3
а функция Е (со) известна:
ОО
Е (со) = Е (0 ei&t dt.
о
Согласно формулам (IV. 20) и d (со) =» — ссо2г (со) энергия дипольного излучения, приходящаяся на интервал частот от ш до со 4- dco, принимает вид
2е* м< । Е (0>) I2
° Злт2с3 (со2 — cog)2 + у2®2
л 9 2
2е сох
855. Дсо = ^—Y-.
Зтс3
358. В волновой зоне вектор Пойнтинга можно выразить через напряженность электрического поля s = ^-Е2п. Полная энергия, прошедшая через единичную площадку, расположенную в точке
наблюдения перпендикулярно распространению волны, определяется выражением
8 = \ Е2 dt = -Аг \ | Е (Ш) I2 da = \ 8 (со) da,
4л J 4л2 J 1 ' ' ’ J 4
0 0 о
где
_ <^0 1
<Г(со)— 16л2 (со - соо)2 + а2 •
Величина 8 (со) описывает спектральный состав прошедшего электромагнитного импульса. Графическое изображение функции 8 (со) дает контур спектральной линии. Полушириной Дсо/2 спектральной линии называется такое значение разности со — соо, при котором функция ^(со) убывает в два раза по сравнению со своим максимальным значением, откуда находим для ширины Дю спектральной линии следующее значение: Дсо = 2а.
357. Дсо ----- 2
T-V 1 + л/2
358. Дсо = ^21П2 .
I о
осп 8е4£2 . , com-cCosa ,
360. d8a) = -5--j-j-y sin2----”=----da.
Злт2с3со2 eE
361. Время т взаимодействия протона с ядром по порядку величины равно l/v0. Энергия, излученная на малых частотах сот < 1, описывается формулой
d^ = ^(^-^da,
в которой Vi и v2 — скорости протона до и после рассеяния на ядре. Излученная энергия пренебрежимо мала по сравнению с полной энергией протона. Поэтому кинетическая энергия протона после рассеяния остается прежней. Скорость протона в процесс рассеяния поворачивается на малый угол 0 С 1, не меняясь по абсолютной величине. Это обстоятельство позволяет вычислить угол рассеяния 0 следующим образом. Выберем ось X по направлению скорости vj налетающего протона, а плоскость XY совместим с плоскостью рассеяния. Тогда, очевидно,
1g 0 == — •
V2X
В случае рассеяния на малые углы можно приближенно написать tg 0 = 0 и Ргх= «2= Оо. Поперечную составляющую скорости после
рассеяния найдем путем интегрирования уравнения Ньютона miiy = Fy. Учитывая прямолинейный характер траектории, получаем
ОО оо
1 ( „ IZe2 f dx 2Ze2
v_u — — \ Fydt =--------- \ —------—-----------•
m J mv0 J (x~ + /-)mval
— oo — oo
Треугольник, построенный па векторах Vj и v2, является равнобедренным с малым углом 0 при вершине. Это позволяет вычислить модуль разности этих скоростей по формуле
I Vj — V J = оо0.
Собирая полученные результаты, имеем окончательно
d^ 8 ( Ze2 \2 .
dN<s> = = Т*----Г I ----Г da>-
па> ЗлВис3 \ mvol J
362. Перейдем в систему центра инерции и направим ось X на-„ „ mim2
встречу частице с приведенном массой р. = ~ > летящей из
бесконечности к центру кулоновского поля отталкивания. Движение описывается уравнением Ньютона
с дополнительными условиями х(0) = I н £(0) = 0 при t — 0.
В задачу об излучении входит вторая производная от дипольного момента d = lxd, определяемая выражением
Компонента Фурье d(w) этой функции выражается через интеграл
ОО
С gitai dt
J X2 * — оо
Ддя его вычисления перейдем к новой переменной интегрирования, которая обычно используется в задачах о движении в кулоновском поле отталкивания
* = 4-(S + sH), x = /ch2-|-,
Йо
где соо — характерная частота
_ 2 / 2eie2 (mi + m2)
Ю° I \ lmtm2
В результате компонента Фурье запишется:
, 4eje2 ( ех е2 \ ,
d (со) =-----77- I------------F (со),
со0/2 \тх т2 )
Последний интеграл возьмем по частям, после чего сделаем замену переменной интегрирования g = in + г] и воспользуемся известной формулой для производной от функции Гаккеля пергого рода порядка р по ее аргументу г:
еРП-г sh и sh — inH^' (z). — оо
Тогда функция Г (со) примет вид
лсо
Р(ю)=™2.е (i—Y
<Оо t X СОо /
Ио
Энергия, излученная в виде волн с частотами в интервале dco, описывается формулой
d<Tffl = 46162^2 С _£1_ — Л2_у | /? (со) | 2 rfco.
Зл/с3 (m, 4- m2) \ nil m2J
В случае малых частот со соо асимптотическое выражение для функции Ганкеля и ее производной берем из справочника [9]
U \ СОо / ЛСО
а энергия, излученная на малых частотах, принимает вид
__ 16<?ie2/nim2 ( ех е2 \2 ,
co — Т.—, я ,-:---г-1 -“•--I wCO.
Зл/с4 (mi 4- m2) \ rni т2 /
В области больших частот со <оо воспользуемся формулой из Книги [1]
(‘V) =----(—)/з Г ) при v » 1,
1 л-уЗ XV/ \3/
где Г(г)—гамма функция аргумента z = 2/3. Следовательно, спектральная плотность излучения убывает на больших частотах в основном по экспоненциальному закону
2Л(0
4^^/^_^угбЧг/2х-|2С «L)V Ио
9л/б3 (mi + т2) \ п»! т2 ) L \ 3 ) J \ соо )
363. Следуя методу решения предыдущей задачи, находим спектральный состав излучения
где введено обозначение
ОО
f (®) = J о
1 + ch §
(1)
При со ио функцию /(со) можно заменить единицей. Спектральная плотность излучения на малых частотах в четыре раза меньше, чем в предыдущей задаче
_ 4e1e2mim2 ( е, _ е2 \2 , “ ~ Зл/с3 (zn, + т2) I т, т2) а(й'
В области больших частот и > ф0 интеграл (1) берем по частям так, чтобы появляющиеся слагаемые содержали бы частоту и в знаменателе. Оставшийся интеграл опять берем по частям, увеличивая степень и в знаменателе последующих слагаемых. Продолжая этот процесс неограниченно, получим бесконечный ряд по параметру
При больших частотах достаточно ограничиться первым членом этого асимптотического ряда
В отличие от результата предыдущей задачи спектральная плотность излучения убывает на больших частотах по степенному закону
2^2 ( ei
ЗлМО3 \
е2 \2 da> т2 / со2
864. Предположим, что нулевой момент времени t = 0 отвечает точке остановки сталкивающихся частиц Тогда в системе центра инерции вторая производная от дипольного момента заряженных частиц является четной функцией времени t при лобовом столкновении И последующем разлете. В интервале времени —оо t < 0 (или О t оо) дипольные моменты в случаях а и б совпадают между собой тождественно, так что
3“ (/) = 1G (/) при d 6 (t) = 1G (t) при
— ОО t < оо, (1)
— ОО < / < о
(или
(2)
где 1 — постоянный единичный вектор, a G(t)—некоторая четная функция времени t. Это обстоятельство позволяет написать
ОО О
da(a) = l G (t) e‘at dt = I 2 j G (t) cos at dt = 12 Ref (a), (3) — OO — oo
0
d6(a) = l G (I) eiat dt = If (a), (4)
— oo 0
где f (a) = j G (t) etat dt. — OO
Интегрируя по времени интенсивность дипольного излучения с учетом соотношений (1) и (2), приходим к выводу, что полные энергии излучения в случаях а и б связаны равенством &а = 2Й’6. С другой стороны, полные энергии можно представить в виде спектрального разложения, что дает
ОО оо
| d« (0l2 * * * 6<fo = 2 | d 6 (а) |2 da.
о о
•Это соотношение при помощи формул (3) н (4) приводится к виду
2 (Ref (a))2 da = | f (а) |2 da.
о о
Полученное равенство можно также доказать иначе. Для этого рассмотрим отдельно интеграл
оо оо 0 0
2 (Re f (a))2 da — da dt dt'G (t) G It') cos at cos at'.
О —OO -“OO — oo
Воспользуемся известными соотношениями
2 cos at cos at' = cos a (t — t') + cos a (/ t'),
OO
6 (T) = тг— \ cos ат da 2л J
— oo
и представим этот интеграл так: оо оо
2 (Ref (a))2 da = п G (/) G (/') [б (t - t') + б (t + Г)] dt dt'. о о
Слагаемое подынтегрального выражения, содержащее 6 функцию б(/ + С), не дает вклада, поэтому правая часть последнего равенства запишется как
n G2(t) dt — j f (co) pda. 0 . 4 00
365- /= "^i2-
n=-l 2^ 3c3 e 9 r2o2 2 ---r-=— a’e “ da. 3c,J
dn---
-fu
772
deln^ dt.
366. d&a
367. d&a
da.
о
Указание. Найтн магнитный момент |x(Y) тока, а затем воспользоваться соотношением между компонентами Фурье ц(а) = = — а2|х (а) н табличным интегралом
368. dSa
369. dSa
х sin ах , я; -а = при
2аЛ^_ 1
15лс5 (а — а0)2 + у2 а’
4а2^ар 1 _
15лс5 (а — а0)2 + у2 'Ю'
а > 0.
370. Тензор квадрупольного момента в системе центра инерции осколков ядра
(2
J
0
О
О
-1
О -1
где движение происходит вдоль осн X. При помощи уравнения движения и закона сохранения энергии доказываем равенство
d3 dt3
2e2Z,Z2 (Л, + Л2)
mAt Л2
Sc
х2'
которое позволяет упростить формулу для искомой компоненты Фурье
ОО
•К _ 2e3ZZ]Z2 т С ia>t dx
Da&(а)-----^л— J е
—.оо /2 0 0\
Га0= 0-1 0 ).
\0 0—1/
Сделаем замену переменной интегрирования
/ = -L(g + shg), x=^^Ch2|, too © о *•
где (Оо — характерная частота
2^о / 2£Го (^i Ч” -^з)
“° - e2ZtZ2 V mAtA2
Тогда получим следующее:
(“)=Ч^Г“РЛ (а)>
Последний интеграл возьмем по частям, а затем сделаем замену переменной интегрирования § = in + 1] и воспользуемся формулой для функции Ганкеля первого рода порядка р и аргумента z
ОО
J e'”’-2sh”dn = i^(,1>(Z). (I)
— ОО
Такое преобразование представит окончательный результат в удобном виде для исследования излучения на малых и больших частотах
8Z2e2 ( \2
rf© 0> = ТЕ--I -----г I f (<о) 2 rfco,
ш 15лсЛ2 к. тс2 ) ' ’1
л<а
Л(Ш) = _2К2_е fz—Y
СОо I — к. (Оо )
а,
На малых частотах = | р | = | z | С 1 существенная область <о0
интегрирования в (1) содержит г)» 1, поэтому
ОО ОО
С С -z h п
J ~ е а>о S =
-ОО —ОО
Кроме того, 2 л
нз справочника
[9] выписываем м
= -~ *п ПРИ a a°’ где V = ес = 1,781 ..., а С — постоянная
Эйлера. Таким образом, в области малых частот ш-Ссоо имеем
32Z2e2 ( \2( to . 2<оо \2
1блсЛ2 \ тс2 ) \ соо п уа ) а‘
Для большого чисто мнимого аргумента асимптотика функции Гаккеля приведена в книге [!]•
ittty (cv) = 7=-f—Y Г f — при v»l,
IV Л V3 k v ) к 3 /
где Г (г)—гамма-функция аргумента г = Уз. Это позволяет найтн спектральный состав излучения для больших частот со > со0:
dSa
8Z2e2 ( <Г0 УГй’/г fl'll2 Г “ 45лсЛ2 к тс2 ) L к 3 J] к со0 J
2л<а
“» d(O.
371. По аналогии с предыдущей задачей получаем спектральный состав излучения при разлете осколков ядра
„ 8Z2e2 ( So A2!., , ,
dSa = -те—гг I----7 / (со) с/со,
“ 15лсЛ2 к тс2 J "
ч _ 2<Г, / 2SQ (Л, + Л2) ’
0 e2ZtZ2 '\/ mAtA2
В области малых частот со С соо функцию f (со) можно заменить числом ‘/г, тогда
2Z2g2 Г V л.. dS<i> 15лсЛ2 I тс2 J d
Видно, что спектральная плотность излучения на малых частотах существенно отличается от результата предыдущей задачи.
В случае больших частот со со0 интеграл (1) следует брать по частям так, чтобы появляющиеся слагаемые содержали частоту со в знаменателе. Повторяя эту процедуру, получим асимптотический ряд по параметру Ограничиваясь первым членом это.о
ряда, находим
Следовательно, спектральная плотность излучения при разлете осколков ядра убывает на больших частотах со соо значительно медленнее, чем в предыдущей задаче о лобовом столкновении и последующем разлете ядер,
“ 480лсЛ2 к тс2 ) к со )
372. У Казани е. Доказательство аналогично решению задачи 364.
373. dffa= ——t - d<i> Область применимости форму-
oTIC \t\ “T’ ft")
лы ограничена условием малости величины Й<о по сравнению с кинетической энергией частицы, чтобы исключить квантовые эффекты в излучении.
4g^v*
374. dna = —— da>. Область применимости формулы огра-ничена тем же условием, что и в предыдущей задаче.
§ 4. Угловое распределение излучения
375. Интенсивность (IV. 22) дипольного излучения в элемент dQ телесного угла выражается через напряженность Н магнитного поля излучаемой волны. В свою очередь вектор Н зависит от ускорения ге частицы согласно формуле
н g (rg X n)
c2r 9
г
где п=—, а г — радиус-вектор точки наблюдения. Ускорение частицы определяется из уравнения Ньютона:
е . . . „ . еоЯо г Ге =----(V х Но) =----------п ,
тс тс
где
г . 1 . . eHbi
и =]XCOS-------Н lySin---
тс ' * тс
Здесь n'—единичный вектор, направленный по радиус-вектору ге частицы. Интенсивность dl(f) дипольного излучения в телесный угол dQ в момент времени t
4 ° г/2 е v Нп
di (О = -л---TV П - (пп')21 dQ.
4лт2с5 '
Скалярное произведение пп' выражается через полярные углы 0 и ф точки наблюдения следующим образом:
, , Q ( eHot , \
пи = sin 0 cos I —------ф 1.
После усреднения по времени за период движения частицы интенсивность d! излучения в телесный угол dQ запишется так:
g V Ii А
= —гт(1 +cos2 0) dQ. 8nm2c5 '
Z2S2<o4
376. dl = —(1 + cos2 0) dQ. Здесь ось Z выбрана вдоль
вектора ®.
e2 f 2Ze2 \Vj
377. d%„ = ТЕ—rF ( -75—г I s!n2 9 где ось -2 выбрана вдоль n 15л/? к Rmc2 ) r
прямолинейной траектории протона
25 (fR^tr
378. dl*= . о----г--sin220dQ. Начало координат поме-
ЮЗоо лсэ
щено в средней точке цилиндра, а ось Z направлена по его оси.
Указание. См. решение задачи 347.
379. Начало покоящейся декартовой системы координат поместим в средней точке цилиндра, а ось Z выберем вдоль вектора угловой скорости. Связанная с цилиндром штрихованная координатная система Х'У'2' вращается около оси Z' (Z's Z), причем ось X' совпадает с осью цилиндра. Тензор квадрупольного момента заряженного цилиндра в штрихованной системе координат находится легко:
Путем преобразования координат определяем тензор Da$ квадрупольного момента вращающегося цилиндра. Третья производная от этого тензора
/ — sin 2а/ cos 2а/ 0 \
Z)ap = — 12Da31 cos 2а/ sin 2а/ 0 ].
\ О О О/
Напряженность магнитного поля излучаемой волны в точке наблюдения с радиус-вектором г в момент времени /' = (-— г [с дается формулой
„ 2£)а3 . л ,. . . .
Н = —— sin 0 (1 X п),
С Г
г
где l = lxsin(2a/' — ф) — lv cos(2a/'— ф), п = —. Здесь 0 и ф — полярные углы точки наблюдения, ап — единичный вектор, указывающий направление распространения волны. Используя среднее значение величины (1 X п)2 за период вращения
т
у J (1 X п)2 dt' = у (1 + cos2 0),
О
находим угловое распределение интенсивности излучения
rf/=^(4-*2)2(1-cos,fw-
380. — “ • (1 - cos4 0) dQ.
яс5
381. Энергия, излученная в телесный угол dQ на частотах от Я до а + do), может быть представлена в виде
е2
^na> = l^[(v' -V) X П]2 dQ da,
где v и v' — скорости частицы до и после столкновения с шаром. По-скольку энергия излучения весьма мала по сравнению с кинетической энергией частицы, скорость частицы по абсолютной величине не ме-няется при столкновении v = v'. Из геометрических соображений не* трудно определить угловую зависимость излученной энергии dSn<^ = (1 - -£г) [sin2 е + -^2- (cos2 е - sin2 е cos2 ф) 4-
sin 20 cos ф
2 dQ. da.
882. dS^
Г>27'2ш2 sin2 2'0
256irc5
383. dg‘„ = (1 + cos ©1 sin2 0dQ, где 0 — угол между
11 1ол/<с0 у ос /
скоростью v и направлением на точку наблюдения.
384. Угловое распределение полной энергии излучения описывается формулой (IV. 26), в которой
d X n . D X п
С2Г 6с3Г ’
И = ez\z, D X п — бе (3zz + гг) nz (12 X п).
В этих выражениях полярная ось Z направлена параллельно скорости движения частицы, а координата г и ее производные по времени
имеют вид
прн
i (О =
Vo при t С J0,
еЕ т t + г>0 прн ОС ; t < т,
еЕ
т Т + Vo при &т,
' 0 при t < 0,
2(<) = - еЕ т при 0 < t < т,
_ 0 прн t > т,
2(t) = т)],
где т—время движения во внешнем электрическом поле,
После возведения в квадрат напряженности магнитного поля излучения
Q Г 1 ... "1
н = р + — (3iS + 22) nzJ (1г X П),
кроме дипольного слагаемого, оставляем интерференционный член, Имеющий порядок v/c,
п2 = [й2 + ~ 2 (Зг2 + 22) nz] (lz X n)2.
При интегрировании по времени в формуле (IV. 26) примем во Внимание свойство (П3.13) 6-функцни. Окончательно
d&n = —3-~ (1 + —cos б) sin2 0 dQ, п 4л/пс3 \ 2с )
385. Напряженность магнитного поля излучения вычисляем с учетом малого слагаемого, линейного по скорости v движения прогона,
„ dXn , DX« е Г.. , 1 1 .... .
Н = + -ёРГ = 7V + - (322 + 22) Пг\ (lz X П),
Где полярная ось выбрана вдоль направления движения протона, а Координата г и ее производные по времени имеют внд
еЕ
z^~~2tn^~^ to>2 При ~ to 1
Z (0 == - ' 0 прн t s при — t0 S =! to, ^t<to,
.42'- прн 12 S to,
1 0 при t < - t0,
еЕ при — т /о < < ^0»
1 0 прн t > to,
г(о=-^-а+<0)-«(<-«]•
Начало отсчета времени ведется от момента прохождевия протоном средней точки траектории во внешнем поле, так что 2£о — Время движения в этом поле.
Компонента Фурье напряженности магнитного поля излучения
„ , . е-Е Г/. Зи \ 2sin «о/о I ,
Н (г, ц> =----J- 1 + — пг ) —--------—пг COS а/0 —
тс2г L\ 2с ) ® с
— (®<о cos af0 — sin а?0)1 (lz X n).
C<0 ‘0 J
Сохраняя слагаемые порядка v/c, получаем окончательно d^ =
е<Е2 , 3v 1—cos ат пт sin ат п] .
= -5~2 , „ (1ч----СОЗ 0 I -----i------7Г,-----— COS 0 sin2 0 dQ,
2n2m2c3 L\ с ) a2 2c a J ’
где т = 2t0 — л _ Время пролета через внешнее электриче-V сЕ
V2eEl ----------скорость протона при выходе из этого
поля.
Интегрирование полученного выражения по частоте а дает угловое распределение полной энергии излучения с учетом слагаемого порядка v/c:
d& = /—-у (1 + 4“ cos е~) sin2 6 dQ. п 4лтс3 \ 2с /
386. Магнитный момент и тензор квадрупольного момента системы из двух диполей определяются выражениями
(О 1 0\
10 0).
ООО/
Введем обозначения
Г 1
п = у, — = ad ул3 sin tat- Na,
где Л] = sin 0 cos ip, «2 = sin 0 sin ф, пз = cos 0, = sin 0 sin ip,
Nt = sin 0 cos ip, N3 = 0. Тогда напряженность магнитного поля излучаемой волны на большом расстоянии г от диполей примет вид
Н = -^7“ [(lz X П) х n + (N х П)] sin “ (* - -7) •
Слагаемое r/с учитывает запаздывание электромагнитного сигнала. Зная величину Н, нетрудно вычислить поток электромагнитной энергии через элемент dS — r2dQ сферической поверхности радиуса г, видимый из центра заряженной системы под телесным углом dCl. После этого средняя по времени за период Т = 2л/а интенсивность излучения в телесный угол dQ запишется так:
а2^а6
di = —sin2 0 cos2 ip (1 — Sin2 0 sin2 ip) dQ.
2nc3
387. Тем же методом, который изложен в указании к задаче 336, определяем магнитный момент и тензор квадрупольного момента вращающихся диполей
/00 cos ®/ х
ц =m, £>a|j = 6/?dl 0 0 sin®/ j,
с \cosa/ sin®/ 0 /
где m = I» cos ®/ + lB sin ®/. Начало декартовой системы координат выбрано в центре окружности, а ось Z служит осью вращения.
Согласно формуле (IV. 14) напряженность магнитного поля в данной задаче выражается через векторы
ц —-------m, b = 6/?da3N,
с
N = cos 0 (lx sin w/' — ly cos a/') + lz sin 0 sin (w/z — ф), а переменные величины берутся в запаздывающий момент времени t' — i — rlc. Введенные обозначения позволяют упростить выражение для напряженности магнитного поля в волновой зоне
И = Km X n) X n + (N X »)].
Усредняя по времени угловое распределение интенсивности излучения (IV. 22), находим окончательно
dl = “ cos2 0(1+ cos2 0) dQ.
2nc5 . ' '
388. dl = „“4 cos2 0(1+ cos2 0) dQ. 2nc5 '
389. Начало координат поместим вблизи диполей. Радиус-вектор крайнего диполя обозначим через г0. Тогда расположение т-го диполя описывается радиус-вектором гт = г0 + та, где т = 0, 1........V— 1. Расстояние от т-го диполя до точки наблюдения с ра-
г
ди>с-вектором г равно Rm = г — пгт, где п = —. Напряженность магнитного поля излучаемой волны
N-\ н=-?7пХ£ т = 0
содержит дипольный момент системы с учетом запаздывания. Появившаяся сумма по индексу т вычисляется прн помощи формулы
геометрической прогрессии
= do cos (a>t — kr + kr0)
. Wka sin —
. ka ’
sin “2~
где к = — n — волновой вектор расходящейся шаровой волны. Интенсивность излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т
. . TVcona
W4 sm ~2Г~
di = (do X n)2 dQ.
8лс3 . , «па 4
sm -уу-
390. Для диполей, изображенных на рис. 5, интенсивность излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т имеет
вид
di
8лс3
<B4dg
sin2
sin2 6 dQ.
Излучение максимально под углом 0 = л/2 и аксиально-симметрично относительно оси Z.
В случае диполей, расположенных на оси X (см. рис. 6), угловое распределение интенсивности излучения в среднем по времени за период Т описывается формулой
w4d2 sin2 (у sin 6 cos ф~)
di = —|----------------------у sin2 0 dQ,
Sin2 (y sin 0 cos Ф J
где 0 и ф — полярные углы точки наблюдения. Излучение максимально в направлении, перпендикулярном плоскости XZ.
§ 5. Поляризация излучаемых волн
391. В волновой зоне напряженности магнитного и электрического полей излучаемой волны имеют вид
Н = —Е = Н X п.
с2г ’
Здесь г — расстояние
ad — вторая
от центра окружности до точки наблюдения,
г
производная от дипольного момента заряда
d = — ea>2R.n'.
Единичный вектор п направлен по радиус-вектору заряда (рис. 11).
Компоненты единичных векторов п и п':
пх = sin 0 cos ф,
Пу = sin 0 sin ф, пг = cos 0,
л' = cos со/, п.. — sin со/',
пг = О,
где /' = / — г/с — время в точке наблюдения с учетом запаздывания, 0 и i|) — полярные углы, а ось Z направлена вдоль вектора со. Введем два базисных орта Г1 и <2 в плоскости, перпендикулярной направлению волны:
_ IzXn _ nX(lz Xn) sin 0 ’ 2 sin 0
Разложим векторы Н и Е по указанным ортам:
Н — Нх т 1 4” Н х Tn, Е — Ех т. Ех т„, *14* *2 *1 1 1 *
Проекции напряженностей полей на орты ti н Тг определяются выражениями
Н = Нт. = —— cos 0 cos (co/z — ib),
Нхг = HT2 — -py— sin (®< — Ф)>
Er = , Ex = - EL.
Ti Тг
В каждой точке волновой зоны Щаются по часовой стрелке,
при 0 < 0 < -j векторы Н и Е вра-если смотреть вдоль направления
распространения волны (правое вращение). Если тр<0^л, то вращение левое. Причем концы векторов Н и Е описывают эллипсы rfz с'2 ________________Ь._(----Ь-= I а2 Ь2
Е2 Е2
Т1.,_1____i2-= 1
b2 + а2 1
с полуосями а и Ь, равными
e<o2R , п , , e<a2R
а = —5— cos 0 , b — —j— с2г 1 ' с2г
Такая волна называется эллиптически-поляризованной с правой по-
Jt зт
ляризацией при О^0<-у и левой поляризацией в области <
2
< 0 sC л Отношение длин полуосей -у = | cos 01 зависит от направления излучения. В частности, если излученная волна распространяется вдоль магнитного поля 0 = 0. (или 0 = л), то она поляризована по кругу, в то время как прн распространении под прямым углом 0= — волна поляризована линейно.
392. Излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, равным |cosO|, где 0 — угол между нормалью к плоскости вращения магнитного момента и направлением на точку наблюдения. При распространении излученной волны вдоль оси вращения магнитного момента эллипс превращается в окружность. Поляризация волны правая для углов 0 0 < и левая, если < 0 л.
Волна, распространяющаяся под прямым углом к оси вращения магнитного момента, поляризована линейно.
393. Электрон вращается по окружности радиуса R — ~е^° с '* вН 0 л ry
частотой со = ---. Ось Z выберем по направлению внешнего маг-
нитного поля (см. рнс. 11). Третья производная по времени от тензора квадрупольного момента
/ — sin 2<о/ cos 2<Щ 0 \
£>'ор = — 12«й',Я21 cos2co/ sin 2a>t 0 j,
\ 0 0 0/
Напряженность магнитного поля излучаемой волны выражается через вектор
jPap/ig = 12е<о3/?2 sin 0 • 1а,
где ради краткости обозначено
1 =•» lx sin (2со/' —5р) — Ij, cos (2«>/' — i|>).
Здесь f = t—-—время в точке наблюдения с учетом запаздывания, а 0 и ф— полярные углы, фиксирующие направление единич-г
ного вектора п = — с компонентами
пх = sin 0 cos ф, Пу = sin 0 sin ф, nz = cos0.
В волновой зоне на большом расстоянии г от центра окружности напряженности магнитного и электрического полей излучаемой волны имеют вид
Н = —sm О (I X п), Е = НХп.
Введем два базисных вектора
Т ЬХп пХ(1гХп)
1 sin 0 ' Т2 sin 0 *
лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению п распространения волны. Разложение векторов Н и Е по ортам ti н г? запишется
так:
Н = Н t. + Н. Т2, Е = Е- т. + Ех т,, kJ 1 ’ <4 i’ kJ 1 • т>2 X
где
Нх —---------рр- sin 0 cos 0 sin (2<»f — 2ф);
sin 6 cos ~ 2ф)‘.
E=HX, E- = — Hx. T| kJ1 Tj kJ
Видно, что конец вектора Н (а также Е) описывает эллипс с отношением длин полуосей, равным |cos 0|. Следовательно, квадруполь-ное излучение поляризовано по эллипсу с правой поляризацией при
О 0 < -£- и левой для углов < 0 л. Если излученная волна распространяется вдоль оси вращения электрона 0 = 0 или 0 = л,
то эллипс превращается в окружность, в то время как в поперечном направлении 0 = л/2 эллипс вырождается в отрезок и волна становится линейно-поляризованной.
394. Дипольное излучение линейно-поляризовано.
395. Магнитно-дипольиое излучение л,ииейно-поляризовано
396. Квадрупольное излучение лииейно-поляризовано.
397.
Q2W₽2 . 2 „„ .о . 4Q2£W
dl= 200лс5 sm220dQ, I =
где Q = -^-a26p, g— угол между осью аксиальной симметрии эл-О
липсоида вращения и направлением на точку наблюдения, а излучаемые волны линейно-поляризовапы.
Указание. См. решение задачи 347.
398.
di
Q2 (а2 ~ Ь2)2 со6 50лс5
(1 — cos4 6) dQ,
_ 8Q2 (а2 - Z>2)2
1 125с5
Квадрупольное излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, равным | cos 01, где 0—угол между угловой скоростью <а и направлением на точку наблюдения. Поляризация волны
ТС
правая, если угол 0 острый, и левая при -j < 0 л. Под углами 0 == 0 и 0 = л распространяются циркулярные волны, а в поперечном направлении к вектору угловой скорости — линейно-поляризованная волна.
§ 6. Рассеяние электромагнитных волн
/ е2 \2
399. da= I Tn? ) sin2 ® где ® — полярный угол точки наблюдения, а ось 1 направлена по вектору поляризации волны. Полное сечение рассеяния
8л ( е2 V ° 3 (, тс2 )
400, Если обозначить вектор поляризации волны через 1, то эффективное сечение рассеяния линейно-поляризованной волны в телесный угол dQ запишется
(|Х”)2 dQ, ' (1)
где единичный вектор п направлен в точку наблюдения и имеет компоненты
пх — sin 0 cos ф, Пу — sin 0 sin ф, nz = cos0.
Ось 1 выберем по направлению распространения волны, а азимутальный угол вектора поляризации обозначим через ф'. Тогда получим
(1 X п)2 = 1 — (In)2 = 1 — sin2 0 cos2 (ф — ф').
Чтобы найти эффективное сечение рассеяния неполяризованной волны, выражение (1) следует усреднить по углу фх. В результате находим
1 / р2 42
d<T=Tfed (1 + ^0)^-
Полное сечение рассеяния
8л Г е2 V
° 3 k тс2 )
е4£2 8л ( в2 \2
401. di = -г---(1 + cos2 0) dQ, <т = — -----------=-
8лт2с3 3 \ тс2 )
3
Здесь 0 — угол между волновыми векторами падающей и рассеянной
воли.
402.
где 0 — угол между волновыми векторами падающей и рассеянной волн, а атомная частота <в0 определяется выражением <в0 = Ve2/ml?3.
403.
где 0 — угол между вектором поляризации падающей волны и на» правлением в точку наблюдения. Параметры ас и у даются формулами
Ve2 _______________ 2е2<»2
mR? ’ Зтс3 ’
где 0 — угол между вектором поляризации падающей волны н направлением в точку наблюдения. Параметры <о0 и у имеют вид
2е2со2 Зтс3
®о =
b2 cos2 ф + b| sin2 ф ь\ + ь22
sin2 0 I dQ,
где 0 н ф — полярный и азимутальный углы точки наблюдения. Полярная ось сферической системы координат выбрана вдоль направления распространения падающей волны.
406. о — -у- - j sin2 0, где 0 — угол между вектором р и
напряженностью магнитного поля падающей волны.
Р2<о4 / b2 cos2 ф + bl sin2 ф \
—— I 1------------т------------sin2 0 I dQ,,
с4 к ' ’ 1
407. da
1
(У
8л ₽2Сй4 3
с4
где 0 н ф — полярный и азимутальный углы точки наблюдения. Полярная ось сферической системы координат выбрана вдоль волнового вектора падающей волны.
Указание. Воспользоваться уравнением движения / =
= dXE, а также уравнением d = Q X d, описывающим вращение вектора d, который по абсолютной величине не меняется.
§ 7. Излучение протяженных источников
409. В волновой зоне векторный потенциал электромагнитного поля, созданного заданным током, имеет вид
+ (I)
Г ч.
где п = —, а начало координат выбрано внутри излучающей системы.
Напряженность магнитного поля указанного тока в волновой зоне
Н (г, о = rot А (г, 0 = | А (г, t) х П.
Искомый интеграл выражается через разность значений векторного потенциала, взятых при t = оо и t = —оо,
ОО
Н (г, t) dt = [А (г, оо) — А (г, — оо)] X п.
— ОО
Для каждой фиксированной точки наблюдения с радиус-векто-ром г величина времени запаздывания — (г — пг ) принимает конечные значения, так как область интегрирования в интеграле (1)
г пгЛ
ограничена. Поэтому величина t — — 4—— стремится к ±оо,
когда время t стремится к бесконечности f->-±oo. Отсюда следует, что подынтегральная функция в интеграле (I) тождественно обращается в нуль при подстановке t = оо или t = — оо, если ток вне промежутка времени от tt до t2 отсутствует.
В том случае, когда объемная плотность j заданного тока вне промежутка времени (Л, /2) постоянна, векторные функции j = j(r', оо) И j = j(r', —оо) удовлетворяют условию замкнутости токовых линий
j (rz, оо) dV' = j (г', — оо) dV' = О,
которое было установлено ранее при решении задачи 144.
Следовательно, в условиях данной задачи в волновой зоне имеем А(г, оо) = А(г,—оо) = 0, откуда
Н (г, 0 dt = 0. (2)
“ОО
Для линейно-поляризованной волны Н = l/7(r, t) интеграл
ОО
Н (г, t) dt представляет собой площадь в плоскости переменных
— ОО
Н и t, которую назовем площадью излученного электромагнитного импульса. Согласно полученному результату (2) в каждой точке наблюдения волновой зоны площадь прошедшего электромагнитного импульса равна нулю.
Если вектор H(r, f) в точке наблюдения г поворачивается со временем в плоскости, перпендикулярной направлению п распро-
ОО
странения волны, то обращаются в нуль площади Hi (г, t) dt н
— ОО ОО
Н2 (г, t) dt, где Н\ = 1[Н н Н2 — 12Н, а единичные векторы 1Ь
“ОО
12 и п образуют правовинтовую тройку. Рассуждения для напряженности электрического поля аналогичны.
410. На большом расстоянии г kl2 от тока приближенно выполняется равенство |г — г'| = г — пг', а векторный потенциал (IV. 8) принимает вид
I
А =а —cos fez'sin [<0 ---kz'cos о[| dz' =
-I
— /о1г ( sin (1 ~ cos 6)1 I Sin [kl (1 + cos 6)1
cor \ 1 — cos 0 1 + cos 0 ) ® \ c ) ’
При помощи формул тригонометрии последнее выражение можно заметно упростить
* / am 2Z0U (2m + 1) л cos0 . /, г \
А = (—l)m-----г-4щ-соз----------------sin <о /------I.
®r sin2 0 2 \ c /
Напряженность магнитного поля излучаемой волны
Н = (1г X п) ^c/,1s>in.2e/°- cos + у) л cos 0 j cos« (f — -0.
Согласно общей формуле (IV 22) интенсивность излучения в телесный угол dQ в среднем по времени за период Т запишется:
di ~ о---°" Га cos2 \(т + "o’! Я eos
2ncsin20 L\ 2/ J
412.
H-nXE-
413. Векторный потенциал (IV. 8) в плоскости ХУ на большом расстоянии от тока можно записать в следующем виде:
А = (-1)« e-'lt' sin <amt'
Г<йт
где V = t — г/с — время в точке наблюдения с учетом запаздывания. Напряженность магнитного поля имеет только угловую составляющую в цилиндрических координатах, которая описывается формулой
Нл — —= (—1)т e~v/ [cos amt'---— sin am t' 1,
₽ dr v cr L <om J
где V 0 и /7^ = 0 при t' < 0. Векторы E и H вместе с радиус-вектором г точки наблюдения образуют правовинтовую тройку векторов, поэтому
Ег— ^Д|>> Ех = Еу = 0.
Чтобы представить электромагнитное поле излучения в виде суперпозиции монохроматических волн, разложим напряженность электрического поля в интеграл Фурье
ОО
5 ^(<o)e-‘“''dco.
— оо
Непосредственным вычислением находим
Ez («) = £'+ (<о) + IE- (и),
Е+ (<о)
Е- (<о)
____________2£~осо2у____________
(<о2 + + у2)2 - 4®2<о^ ’
£0® (и2 - <s>;n - у2)
(®2 + агт + y2)2 - 4<о2о2„ ’
£о=(-1)
СГ
Таким образом, разложение напряженности электрического поля излучения по монохроматическим волнам имеет вид
<х>
£2 = («) cos «
о
i —+ Е- («) sin w
Равенство Н$ = — Ez позволяет получить аналогичное разложение для напряженности магнитного поля.
Z2 sin20 sin2 [kl (1—cos 0)]
2лс (1—cos0)2
dQ.
415. Hr = He = 0, r i 2 sin (m cos 0)
4,—' ч cr sin0
sin -jr ka sin 0 cos Ф
L2 VJ / r
-------------— COS <0 I t-
Г I IV c
sin ka sin 0 cos ф
J2 sin2 (kl cos 0) sin2 у fea sin 0 cos ф
’ = —о • 2 д-------------FT----------------Г dQ.
2яс sin2 0 . , 1 , . n ,1
sin2 у ka sin 0 cos ф
2(л sin2 (kl cos 0) sin2 (kb sin 0 cos ф)
416. dl = -I------------------rVs------J-i-----------— dQ-
neo* sm4 0 cos2 *ф
417.
2л7?2('о f sin 0 sin [kl (1 — cos 0)] Jo (kR sin 0) \2 di =------------( ----------------;----------------------I dQ.
c \ 1 — cos 0 /
Здесь J0(a)—функция Бесселя нулевого порядка, аргумент которой а = kR sin 0. Эта функция появилась в результате интегрирования
2Л
cos [a cos (ф' — ф)] </ф' = 2я/0 (а), о
При решении задачи использован также интеграл 2Л
sin [a cos (ф' — ф)] </ф' = 0.
о
418. На достаточно большом расстоянии г от конусов векторный потенциал поля излучения дается формулой
Л(-.О-4- $|(г'.<+ (!)
где п = у и dS' = г' sin % dty dr', а интегрирование проводится по боковым поверхностям конусов, по которым течет ток с поверхностной плотностью
Единичный вектор t направлен вдоль образующей конусов. В принятых обозначениях векторы подынтегрального выражения (1) имеют следующий вид:
п = (1Х cos ф + 1Й sin ф) sin 0 + 1г cos 0,
г' = г' [(1Л cos ф' + lff sin ф7) sin 0О ± 1г cos 0О],
г' t = ± ~Г, г
где 0 и ф — сферические координаты точки наблюдения, а знаки + и — отвечают соответственно верхней (г' > 0) и нижней (г' < 0) боковым поверхностям конусов.
Поскольку в распределении тока имеется аксиальная симметрия, искомый векторный потенциал в сферических координатах г, 0 ц ф не зависит от угла ф. Поэтому в подынтегральном выражении (1) можно положить ф = 0. Тогда интеграл по переменной ф', содержащий множитель fv sin ф', обращается в нуль.
Принимая во внимание сделанные замечания, получаем
ь 2л
А = ‘277 \ </ф' р (г', t - у 4- -- cos ф) х
ХДСГ J J L \ V с /
о о
Х(1г cos 0О + lx sin 0О cos ф') +
+ / р', t---£--f- у cos (1г cos 0о — 1Л sin 0О cos ф') j =
Ь 2Я
- «йЬ J 0 - 7+ Icos ф) X
-ь о
X (1« cos 0О 4- lx sin 0о cos ф')«
где введены обозначения: cos Ф = sin 0О sin 0 cos ф' + cos 0О cos 0, cos Ф = sin 0О sin 0 cos ф' — cos 0O cos 0.
Исследуя выражение rot А, нетрудно убедиться в том, что магнитное поле имеет лишь угловую составляющую II Другие компоненты вектора Н равны нулю, как и должно быть в задаче с аксиальной симметрией. Окончательно находим
b 2Л
dl =
1
2 (2лс)3
J dl рф' Z-y+|cos®)x
-b 0
dl=
г 6
sin2 0 C _d_ (. i
J dt J k1 = ''
L-ft
I2
X (cos 0O sin 0 — sin 0O cos 0 cos ф') dQ;
12
dQ при 0O -> 0;
d/ = 0 при 0O =-5-.
§ 8. Задачи, требующие вычисления на ЭВМ
ip (Я) =2(1 +1) e~2rl.
где величина яо является корне.м уравнения
/2 1
1------g — Ф (яо) = 0-
« По
На рис. 12 изображен график натурального логарифма In^d/^o) как функция параметра l/а. Некоторое представление о зависимости полной энергии дипольного излучения от прицельного расстояния дает таблица 1.
Таблица 1
//а 0,5 1 2 5
3,36- 102 5,2 1,23-10-2 5,5-10-8
420
OO
oo
4лае2Г/р /Wo _ W° 3mc3 \ tn ’ X ~~ Uo ’
где функция Г)о = Ло(?) определяется как решение уравнения
Е2 е~”»
1 -Лг--— = 0 По х
Зависимость величины х/х0 от параметра ё'о/Уо представлена на рис. 13.
Рис. 13.
Указание. Для вычисления на ЭВМ удобно перейти от дву» кратного интеграла к однократному, выполнив сначала иитегриро, 262
вание по переменной Е в пределах от 0 до 5о(п), а затем по t] в промежутке от r|mm до оо. В плоскости переменных г] и | интегрирование проводится по области, которая заштрихована на схематическом рис. 14 Для каждого фиксированного значения х функция
g0(r|) определяется как решение уравнения
1-4 я
е-Ч ----=0.
При вычислении минимального значения т]тт переменной г] следует принять во внимание неравенство
Е2 е“’1
1 —>0,
1]- х
Рис. 14.
что дает rimlп = — In х при х < 1
и Ят1п = ° при х>1. В результате
имеем
2—24
Я е
Асимптотическое выражение величины и при больших значениях х > 1
421. I = /0 (fj + fl), где
0 3m-c3P ’
(1 - я2)7’
• ®oz . ..
sin~^- (я-5)
(1 -Ч2)3/г
Я________CQpZ I р „
(1-П2)^ 0 j" (1-£2)А
На рис. 15 изображена относительная интенсивность 1/[0 излучения осциллятора как функция переменной гр которая для случая v = cooZ принимает значение Г| = <оо/.
Рис, 16.
422. I = Iof2, где
2e2f2
0 ЗиЛ3
j = e 4 — \ e I ут cos сот (t] — g) +
n.
+ (®* - sin cot (t) - d$.
Интенсивность I излучения осциллятора как функция переменной f/т прн у = соо/2 = 2/т для случаев ta = 0 и t0 = — оо представлена соответственно на рис. 16 и 17.
423< d^= +
со СО/ - оо . (О/
о cos —g Г g sm — g
f' = ) d+n3/2 Ь = J (l+g2)’/2
Спектральное разложение излучения представлено на рис. 18.
„ 8QW
Единице на оси ординат соответствует величина '•
dS“ (Z, Z,\2
424. ___“ _________° 1 2 |__!___£1 p2
da) Злтс3 (Л] *4“ A2) V Л] A 2 J-
2<T0 /2^0 ^, 4-Л2) ,
ZiZ^e2 у/ mAiA2 *
= (f2 , V
dm Зяте3 + Л2) k A, A2 ) V> + '2.
00 Г co . 1
C cos 7Г (£+ sh&) t __ \ L (Op_______ J
" J 1+chg
0
1 +chg
Спектральное разложение излучения представлено на рис. 19. Кривые 1 и 2 отвечают соответственно случаям а и б. Единице на оси ординат соответствует величина
4е2^0Л1Лг /jZi _ Z2 \2 Зяте3 (Л] + Л2) \ Л1 Л2 )
рис. 19.
(_^УрК
da 15лсЛ2 \тс‘/
С sh£sin[-J-U + sh«| f = 2 J----(Г+TW
О
2<Г0 л /2^о Mi + Лг> ; ®о — у mAiAs ’
da 15лсЛ“ \тс /
Р sh Ecosf—(£ + she)] f _ f _!____dg.
Z1 J [(1+chg)2
о
Спектральное разложение излучения представлено на рис.
Кривые 1 и 2 отвечают соответственно случаям а и б. Единице на оси ординат соответствует величина
8е2/2
ТблМ2" к тс2 )
42в.
2
S (<о) = г'? cos [(со - (Оо) т&] rfd .
(2л)2 J
* 2х
А© = —,
где величина х является корнем уравнения
2 cos х-) d* = 0.
о
Спектральная линия излучения представлена на рис. 21. Единице иа оси ординат отвечает величина ст2Ед/(2л)2. Ширина спектральной линии Д<о = 2,8/т.
Рис. 21.
427.
Е = 1г£0
,2±ну\ п ' )dl,
Н = пХЕ,
I'
г п = —
ct2Eq If
8 «о)------J
-.2
— e-(5+i+ri)“) s;n ttTT| I ф
График напряженности электрического поля и спектральная линия излучения изображены на рис. 22 и 23 соответственно. Единице на оси ординат на рис. 23 отвечает величина ct2£q/ti2.
428.
dl dQ
2л/?’/о sin2 6 sin2 [kh (1 — cos 0)] c (1 — cos 0)2
\2
e-^’/o (kR% sin0)gd£ I .
Диаграмма направленности излучения представлена на рис. 24 для случая h = R = \/k. Направление максимального излучения с
( dIX R4}2
интенсивностью I —гг: I = —— составляет с полярной осью угол 2с
0m = 73°s
429. — = aU
/2п Л (COS 0 + Sin 6 COS ф) \2
}o C C0S 2a/2 I
= . . I \ 7—7------Г—, n ,--------377----г (sin 0 — COS 0 COS lb) dl|> I .
4л3с I J 1 + sin3 0 sin2 ib — sin 20 cos ф T /
\o /
На рис 25 изображена зависимость величины dl/dQ от угла 0 Единице на оси ординат соответствует величина /оД4л3с). График симметричен относительно прямой 0 — л/2.
430. В волновой зоне, где напряженности электрического и магнитного полей по модулю убывают обратно пропорционально расстоянию от точки наблюдения до центра излучающей системы, выполняется соотношение |г — г'| — г— пг', и запаздывающий векторный потенциал (IV. 8) принимает вид
Яа(г,0 = -М + (1)
сг J г' \ с с /
Полученный интеграл по своим индексам а и 0 является трехмерным симметричным тензором второго ранга. Поскольку подынтегральное выражение содержит единственный независимый вектор г
п = —, указанный тензор должен иметь вид
Х„ХЯ ( Г ПГ \
-V- F t----------1-------) dV' = a6ag + (2)
г \ с с /
где а и & — некоторые скалярные величины.
Приравниваем диагональные суммы тензоров левой и правой частей равенства (2)
J F(r/,/--y- + ~)rfr = 3a + 6 (3)
Умножим обе части равенства (2) на выражение nati$ и просуммируем по повторяющимся тензорным индексам
С , __L
J г' \ с
(4)
Решая совместно алгебраические ляем величины а и Ь, через которые пиз л (1)
А (г, t) = — [al + b (In) n] (5)
При вычислении ротора векторного потенциала (5) в волновой зоне отбрасываем слагаемые, содержащие множитель 1/г2. В результате находим
уравнения (3) и (4), опреде-выражается векторный потен-
Если вместо функции F(r,t) подставить заданное выражение и положить ст = ЮЛ и ~ т0 получим
оо 1
Н (г, /) = (1 X п) J dl J dx (1 - х2) X О -1
Х[1-/'+ Ю (1~х)Г L ’
(6)
где интегрирование проводится по заштрихованной площади на схематическом рис. 26. В области интегрирования выполняется условие t' g(l—х)/Ю, которое является следствием запаздывания электромагнитных сигналов, приходящих в точку наблюдения.
При фиксированном значении х проведем интегрирование в интеграле (6) по переменной g в пределах от 0 до |о(х) = ЮЛ/(1 — х)
(рис. 26). Оставшийся интеграл по переменной х
Н (г, t) =
Г 2 Г |0Г 1
= (1Хп)-^^- \ — 10е ’"drfx
О 11 J “f *7/
Напряженности электрического и магнитного полей в волновой зоне связаны между собой соотношением Е = Н X п или в сферической системе координат
Е = 1еЕе, Н = 1^, Ев = Н^.
Напряженность Е® электрического поля излучения в некоторой фиксированной точке волновой зоны изображена на рнс. 27. Единице на оси ординат отвечает величина Еа = nZ3/'osin 9/с2тг.
Глава V
ПОЛЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 1. Преобразование электромагнитного поля
431. Если найдена система координат К', в которой Е' || Н', то любая другая координатная система К", движущаяся параллельно векторам Е' и Н', также отвечает поставленному условию Е" II Н". Поэтому будем искать систему координат с заданными свойствами средн тех, которые движутся перпендикулярно векторам Е и Н. При переходе в такие координатные системы векторы напряженностей электрического и магнитного полей поворачиваются в плоскости, перпендикулярной относительной скорости этих систем, а компоненты напряженностей, параллельные относительной скорости, не возникают.
Выберем исходную систему координат так, чтобы Ёх = Нх = 0. Тогда искомая штрихованная система координат движется с некоторой скоростью V вдоль оси X, причем одноименные декартовые оси указанных координатных систем параллельны. В искомой системе координат имеем Е'х = Н'х = 0 и Ez X Hz = 0, что дает
Выразим штрихованные компоненты векторов через нештрихованные по формулам преобразования полей (V. 28) и (V. 29). После этого соотношение (1) превратится в квадратное уравнение относительно величины У/с:
( V у Е2 + Н2 V , ,_п
\ с ) |ЕХН|с‘г1 °’
где V — проекция искомой скорости на ось X. Из двух корней этого
I V |
уравнения выбираем тот, который отвечает условию — < 1 Другой корень удовлетворяет неравенству противоположного смысла,
так как произведение корней равно единице. Окончательно находим
-^ = (Е2 + № - V(E2 - Н2)2 + 4 (ЕН)2)-2-ЕУ
Если ЕН <0, то в найденной системе координат векторы Е' и Н' аптипараллельны.
432. а) Пусть Е > Н, тогда согласно инвариантам электромагнитного поля (V. 32) существует такая инерциальная система координат К’, в которой отлично от нуля только электрическое поле Е' =£ 0, Н' = 0. Скорость V этой штрихованной координатной системы лежит в плоскости, перпендикулярной вектору Н, так как компонента вектора напряженности магнитного поля, параллельная вектору V, не меняется при переходе в указанную систему отсчета HV == H'V = 0. Векторы V и Е образуют между собой некоторый угол а.
Ради удобства выбираем направления векторов V и Н в качестве осей X и Z исходной системы координат. Тогда искомая система координат К' движется со скоростью V вдоль оси X, причем одноименные декартовы оси двух упомянутых координатных систем параллельны. В координатной системе К! магнитное поле отсутствует:
где Нг = Н и Еу — Е sin а. Отсюда получаем
V Н V = Н (n X Е)
с £ sin а ’ с (п X Е)2 П‘
Здесь п — единичный вектор, лежащий в плоскости, перпендикуляр-
I V I
ной напряженности магнитного поля Н. Условие — <1 накла-I с I
дывает ограничения на возможные направления п относительно вектора Е:
j sin а | > -g-.
При помощи формул (V. 28) находим
Е' = п (Еп) + V(E X п)2 - /Г2.
I п А П I
б) Если Е < Н, то существует такая система координат, в которой имеется только магнитное поле. Повторяя предыдущие рассуждения, получим
т- "?хХнг " Н'="(НЛ) + W?r
где n — единичный вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной I V I
напряженности электрического поля Е. Условие — < 1 накладывает ограничения на возможные значения угла а между векторами V и Н:
, . Е
I sin а | > 7-.
лпп V 2((ЕХН n п ,
433. — = -т, где п — единичный вектор иро-
с (Е X n)- + (Н X пг извольного направления.
434. V = ±-^-r|r.
436. Е' = -4=- (Е2 - Н2 + V(£2 - Н2)2 + 8 (ЕН)2)'4, <2
Н' = —U {Н2 - Е2 + 7(Я2 - Е2)2 + 8(НЕ)2)'\ V2
437. В координатной системе, связанной с ядром, имеем
Е —Н = 0.
В штрихованной инерциальной системе координат, где в данный момент нейтрон покоится, магнитное поле легко определить с указанной точностью при помощи формул преобразования (V. 31):
Н' = - 7 (v X Е).
Поэтому сила, приложенная к нейтрону, запишется как
F' = grad' (pH')
В том же приближении четырехмерная сила f[ = (Г, /4) имеет компоненты
где скорость v' нейтрона в штрихованной системе координат положена равной нулю. Используя формулы преобразования 4-вектора и отбрасывая малые слагаемые, пропорциональные v2/c2, определяем пространственные компоненты 4-силы ft = (f, /4) в исходной системе координат
f = f' = 7 grad' (pH').
Если пренебречь членами порядка -7-, то f = 7 F, а компоненты радиус-векторов гиг' связаны между собой преобразованием
Галилея. Поэтому
_д_ = _д_ <7 <7 д _ д
дх' дх ’ ду' ду' dz' dz '
Это позволяет окончательно написать
F = grad(z2ph
_ Q f v Хн _ 3 (v х >0 г г с к г3 г5
Видно, что летящий магнитный момент ц по отношению к внешнему тюлю Е эквивалентен электрическому диполю с моментом d = 12<i. С
438. F = grad ( X v И * V grad^ Н. Из выражения
для силы следует вывод, что летящий электрический диполь d по отношению к внешнему полю Н эквивалентен магнитному моменту
с
439. Указание. Воспользоваться законом преобразования тензоров (V. 9) и матрицей (V. 5) преобразования Лоренца.
V V
1 4----cos 6' cos 0' 4---
С с
441. ш —<о'--------— ------- cos 0 =---------------,
где от и 0 — частота электромагнитной волны и угол между волновым вектором к и скоростью V движения штрихованной инерциальной системы координат относительно покоящейся в соответствии с обозначениями, принятыми в формулах (V. 3)—(V. 6). Штрихом обозначены аналогичные величины в движущейся системе отсчета. В случае V -С с имеем
<о = ®' 4- — cos 0х J = 4- k'V при — <c|cos0'|,
® = ПРИ 0,=у»
у
0' — 0 =-----sin 0.
с
442. В штрихованной системе координат, связанной с движущимся зеркалом, законы отражения электромагнитной волны приводят к равенствам = —и ®i = ®>> где ось %' направлена вдоль вектора скорости V зеркала, а одноименные декартовы оси покоящейся и движущейся систем координат параллельны. В указанных двух равенствах при помощи формул преобразования Лоренца выражаем штрихованные компоненты четырехмерных волновых век-
торов = I kj, i ——J и kf[ — Ik,, J чеРез их компоненты в покоящейся координатной системе. В результате получаем два алгебраических уравнения относительно искомых величин. Решение последних отвечает на поставленные вопросы
соз6, _ + (1 + Р2) cos е,
02 1 + 02 -ь 20 cos 0! ’
1 + Р2 + 20 cos 0,
1-0'
wV
g==7F-
систему координат, связанную с дви
а2 = <0| где обозначено p = V/c.
443. ю = ,
Указание. Перейти в
жущимся зеркалом, и воспользоваться законом отражения электро* магнитной волны от неподвижной плоской границы, чтобы найти параметры отраженной волны. Определив отраженную волну в движущейся координатной системе, вновь вернуться в лабораторную систему координат, воспользовавшись формулами преобразования (V. 28)—(V. 31) напряженностей электрического и магнитного полей отраженной волны.
V \2
-----cos а I с----J
1--4 ’
+ -у k
444. w' = w —
445’ F=~^TZX^ е
§ 2. Излучение быстро движущегося заряда
446. А (г, /) =
р / V V V
= — ( V + (nv) — + (nre) — + 2 (пгв) (nv) -у- + VI \ V V V
+ (пгв) (nv) + (nv)2 Д- + 4 <ПГв)2'^') > Н=|(АХп).
Здесь радиус-вектор гв и скорость v заряда берутся в момент времени t — г/с, где г — расстояние от фиксированной внутренней точки области движения заряда до точки наблюдения (п = г/т).
447. Ответ представлен формулами (V. 44) и (V. 45).
Указание. Поскольку потенциалы Лиенара — Вихерта зависят явно от запаздывающего момента времени необходимо заранее вычислить производные от этой величины по переменным х, у, z и t. Для этого дифференцируют обе части равенства Д(/')=с(/—/') по времени наблюдения t\
dR dt' _ /. dt'\ dt' dt C V dt )'
(1)
Величину dRjdt' определяют дифференцированием тождества R2= R2 с учетом соотношения dR(f) /dt' = —v(t'), что дает
<ЭД _ Rv „
dt' R ‘ ( ’
Подставляя найденное выражение (2) в формулу (1), получают полезное равенство
Аналогично вычисляют grad I’ путем дифференцирования обеих частей равенства R(t') = ct't—t') по координатам х, у и z точки наблюдения
grad R (t') = — с grad t'. (4)
С другой стороны, рассматривая величину R(t') как расстояние между двумя точками R(t') = |г — re(f) |, можно написать
grad R (/') = -§- + 4^- grad t'. (5)
Л иг
Приравнивая правые части равенств (4) и (5), находят еще одно необходимое соотношение
grad/'=_c(tf-^)-
Полученные формулы (3) и (6) значительно облегчают вычисление напряженностей полей (V. 44) и (V. 45).
448. Ответ представлен формулами (V. 48) и (V.49).
• 1 4-1-^
2е2у2 5
449. I = ~z-------—4'. В ультрарелятнвистском случае
V
. _ 4e2v2 1
При »!<с!
где квадрат ускорения v2 также содержит малые слагаемые порядка ц2/с2. Например, в случае движения заряда е в однородном постоянном электрическом поле с напряженностью Е последняя формула принимает вид
2е*Е2 ( 6 V2 \
7 Зт2с3 к + 5 с2 )"
450. Энергия частицы тратится на излучение —dcfn =
При помощи формул (V. 48) и (V. 51) находим энергетические потери частицы за время dt':
1
С 1 — X2
-d$n=^dt' \---------------!—~——~rdx,
2с3 J /. v V
_ j 11 — — COS X I
Интеграл следует дважды брать по частям, каждый раз дифференцируя числитель подынтегрального выражения,
Используя уравнение движения (V. 17) и формулы (V. 16) и (V. 18), определяем квадрат ускорения частицы, скорость которой параллельна вектору Е:
После этого скорость потери энергии частицей на излучение, вычисленная на основе формул (V. 48) и (V. 51), принимает вид
/ dg’n \ _ 2e'g2
\ df /Из1 Зт’с3 ’
что совпадает с выражением, полученным из другой формулы (V. 58) для заряженной частицы, движущейся параллельно напряженности электрического поля.
451. Интенсивность излучения
, 2,.
Зт2с3 . _ у2 '
с2
где v = v(/)—скорость электрона в момент времени t. Выбираем в качестве осей X и У направления векторов Е и v(0). Тогда
гг-Дг(»Е)"
где pv—проекция импульса электрона на направление его начальной скорости v(0).
Поскольку излученная энергия мала по сравнению с кинетической, обратное влияние поля излучения на движение электрона можно не учитывать. Согласно уравнению движения (V 17) величина рв в этом случае сохраняет постоянное значение, определяемое начальным условием, поэтому
(тс2)2 + с’р2 =
Следовательно, интенсивность излучения электрона постоянна, а излученная энергия пропорциональна времени:
2eW2
3«4с7 *•
Зтс~ х/с1 — Vq
453. ^ = ^Sr(V(e<p + - (mc2)2 - сро),
OfTl С I
где введены обозначения:
<^°изл
ле’о2//
Зтс1
где предположено, что излученная энергия пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией частицы.
455. Энергия $ электрона расходуется на излучение, поэтому
~dS
Че'Н2 у2
Зт2с6 .____
• 1 ~~с2
(1)
где v — абсолютная величина скорости электрона. При помощи фор. мулы (V. 12) выразим скорость через энергию <5. После этого соотношение (1) запишется как
d$ _ 2е'Н2
(mc-y-iS2 Зт*с2 dt' (2)
Интегрируя попучаем
обе части равенства (2) с учетом начальных условий,
, ,, S . 2е*НЧ
Ar th---т — Ar th--5- =
тс2 тс2 лт3<р
Воспользуемся известной формулой тригонометрии
th (а — Р) ~
th а — th р 1
1 - th а th р
и представим энергию как явную функцию времени
<S — тс2
+ тс2 th
2e^H2t
Зт3с3
тс2 + <Г0 th
2e'H2t
Зт3с5
В случае малой начальной скорости Vq С с2 имеем
fflUn----------г
$ = тс? + е Зт с .
456. 7— ~^'т2стг ± — j , где знаки + и — отвечают двум направлениям дипольного момента — в сторону тока и от него.
457. Полная излученная энергия
Зт2сэ \ . v2
с2'
„ Z|e|r
где Е = —уу—, г — радиус-вектор электрона и v ~ v0.
Пусть траектория электрона параллельна оси X и пересекает ось У в момент времени t = 0 (см. рис. 10). В этом случае
где г? = Р -у л'2 Первый интеграл вычисляется непосредственно
ОО
dx л
7‘ 4/з •
о
Второй интеграл, содержащий в знаменателе подынтегрального выражения г в более высокой степени, вычисляется путем дифференцирования обеих частей равенства (1) по параметру Z. Окончательно получаем
л Z2e6 4с2 — о2
1,3,1 12 m2l3vQc3 с1 — Oj
460.
а) ^изл--
Л е’Ц'Щ
4 m2Z5c3(ci — »2) ’
15л е1ц2а0
64 m2Z5c3(c2- t\j) ‘
461. РИЗЛ
41л е4ц2а2
64 m2Z5c‘i (с2 — ад)
462. <§?изл
4ле',72ц
Зт2с51 (с2 — тф
463.
1 1 2e'E2t
& + 3mlc7 ’
464. — =-------1-------—
S <f0 Зт4с7
где Ид_ — составляющая вектора
Н,
перпендикулярная скорости ультрарелятивистской частицы.
465. При помощи формул (V. 12) и (V. 16) — (V. 18) получаем
(1)
Составляем разность квадратов величин (1) и (2). После возведения в квадрат суммы (1) делаем циклическую перестановку сомножителей, а также пользуемся ортогональностью векторов v и v X V. Дальнейшее преобразование полученной общей суммы приводит к результату
1 Г 1 1 ^-~(vXv)2
Окончательно
. 2е2 v2-7T(vXv)2
dt 3cJ v- )3
Это соотношение можно также получить иначе, выразив предварительно правую часть исходного равенства (V. 58) через квадрат четырехмерного ускорения (V. 21)
_ d&n _ 2е2с 2 dt 3 ?
Раскрывая квадрат 4-ускорения, вновь приходим к искомому соотношению.
466. d&u = — (— In - 2) da. яс \ о с — V )
467. Разложим экспоненту в ряд и сохраним первые три слагаемые
пге
• ~1<а—7“ • /со • . . (/со)2 • .
гее с = ге — — Ге (пге) + ге (пге)2.
Воспользуемся соотношением
2ге (пге) = (ге X Пг) X n + ге (геп)
и перепишем полученную сумму в новых обозначениях
пге
• . /со • . е (/со \2 . ,,
eree с = d — ссо (ц. X п)-----— D + j (nre)2 v,
где Da — Da^ ng, ц. — магнитный момент, a Da^ — тензор квадрупольного момента заряда.
Будем считать, что для компонент Фурье /(со) и /(со) каждой рассматриваемой здесь функции /(/) и ее производной /(/) справедливо соотношение
— /со/ (со) = / (со).
Тогда исходная формула (V. 60) в заданном приближении примет вид
^ne> = j d (®) X П + (И («) X n) X n +
+ D (®) X n + Q (co) x n | dQ, da, где ради краткости обозначено
ОО
Ч(®) = -^Г J (-/И)3 ("Ге)2 ve,ai dt. — OO
После интегрирования по углам находим спектральный состав • излучения с учетом членов порядка о2/с2:
С 2 |d (со) |2 2 | |л (со) I2 |5ац(со)|2
d ® I Зле3 + Зле3 + 180ле5 +
Г 00
+ 15^ й (Ю) 5 е~Ы (2r*V ~ <r«V) Г‘) dt +
L — qo
+ d* (со) еы -Ip (2r2v - (rev) гв)dt da.
Если проинтегрировать по частоте со, то получим полную излученную энергию 00
^”изл = 5 dt’
где интенсивность излучения имеет вид
2d2 2ц2 Ё28 2е .. d3 _ „
1 = "Зс3” + "Зс3" ТвОс3 *" Тбс3" d ~dP t2/eV ~ (rev) Ге1
468. В общей формуле (V. 64) положим
гв (/) = кл cos <о0/, пгв (0 ==> a cos 0 cos aot, cooZ = ср, где 0 — угол между осью Z и направлением излучения. После этого средняя по времени интенсивность излучения в элемент телесно! о угла иа n-й гармонике запишется:
Л =
9 О О 4 п'е а’Й0
2лс3
। f —И°м° cos 0 cos т)
2л J е ~л
sin ср dep
sin2 0 dQ.
Возникший интеграл представим в виде суммы двух
л
е;(ПТ-ХСО5ф)8|.пф</()) =
—л
л
=-----е<(Лф-*СО»ф) цп х sin ф) (tq _
—л
л
--Д- Lz(ntP-*cos(P) dm,
2лх J т
-л
Первый интеграл равен нулю в силу периодичности подынтегральной функции с периодом 2л, а второй выражается через функцию Бесселя целочисленного порядка п:
Л
/„(х) = -Ц^1 $ еЦ»ф+ХСО5ф) rfq)>
-л
Окончательно находим
din
9 7 2
П в'®0
2лс
„ „ / лсо„а \ tg2 0/п (—-— cos 0J dQ.
469. Выберем оси X и У в плоскости окружности, а ось Z совместим с осью вращения. Компоненты радиус-вектора заряда и единичного вектора направления излучения запишутся
хе = R cos (&ot, уе = R sin <в04 ze = О,
«I = sin 0 cos ф, n2 = sin 0 sin ф, п3 = cos 0.
В результате усреднения по времени интенсивность излучения в элемент телесного угла в данной задаче становится аксиально-симметричной и не зависящей от угла ф. Поэтому для упрощения возникающих соотношений с самого начала положим ф = 0 в исходной формуле (V. 64). Принимая во внимание
n X гв (/) = — R«>0 (Ix cos 0 cos q) + \у cos 0 sin ф — 12 sin 0 cos ф), nre (/) = R sin 0 cos ф, ф = со0/,
получаем для средней по времени интенсивности излучения в элемент телесного угла на n-й гармонике следующее выражение:
din =
i (гаер-slnBcosqj
е 4 ° J COS ф с/ф
л , ( по , _ \
I A i ^пф—— sinBcosqJ
2л \ е sin ф d<f
—л
Воспользуемся интегральным представлением функции Бесселя целочисленного порядка п Тогда первый из интегралов правой части равенства (1) выразится через производную от функции Бесселя, а второй — через саму функцию Бесселя, как и в предыдущей задаче После простых вычислений находим
". - h * (V •">) + / < ( = ’)]"
470.
п2соа „ Г f na-.(iin \ (па„а>п Y12
dln = fS 6 [ei4 ---- cos 0J + e2Jn [ —е -°- cos Ojj dQ,
где 0 — уюл между осью Z и направлением излучения.
471. З’кр
472. <Гкр
m2c4l2 \2 I е2ц ) л
473. ^кр
474. <?кр =
2 Z
475. <Укр =
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Скалярное и векторное произведения векторов:
АВ = АаВа — XBcos(AB),
12
А = (A®z— АгВу) 1х +
вг
лх вх
к Ау вУ
+ (АгВх - АхВг) 1, + (АхВу - АеВх) 1г, (П1.2)
I А X В | == ЛВ sin(AB).
Смешанное и двойное векторное произведения
(П1.3)
векторов:
А(ВХС)= Вх Ву СХ Су
А
вг
Сг
(П1.4)
(П1.1)
А X (В X С) = В (АС) - С (АВ).
Дифференциальный оператор набла
V = А- + L + 1г-£-. х дх 1 у ду г dz
Оператор Лапласа (лапласиан)
дх2 ~ ду2 ~ dz2
Градиент функции <р:
grad <р V<p = lx g- +1, g- + U-g-.
(П1.5)
(П1.6)
(П1.7)
Интегральные соотношения, содержащие градиент функции:
<^) <р dS — grad <fdV, (П1.9)
s v
где S— замкнутая поверхность, ограничивающая объем V;
ф <р dl = (n X grad q>) dS, (П1.10) l s
где S — произвольная поверхность, натянутая на замкнутый контур L. Нормаль п к этой поверхности обращена в ту сторону, куда ввинчивается правый винт при вращении в направлении обхода контура L.
Производная от скалярной функции <р в направлении орта п
-~ = ngradqp. (П1.11)
Производная от вектора В в направлении орта п
-|J- = (ngrad)BS(nV)B. (П1.12)
Производная от вектора В в направлении вектора А, умноженная на модуль |А| этого вектора,
(A gr a d) В (АV) В = Ах + Ау + А, . (П1.13)
Дивергенция вектора А:
divA^VA = ^ + -^ + ^-. (П1.14)
дх 1 оу 1 dz ' '
Теорема Гаусса — Остроградского
ф AdS== J divAd/, (П1.15)
s v
b
д ду Ау
1г д dz Az
dAz dy
rot A s V X А =
где S—замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Ротор вектора А:
о дх Ах дАх dz
Теорема Стокса
FT
<§Adl = $ rotAdS, L S
(П1.17)
где S — произвольная поверхность, натянутая на замкнутый контур L. Нормаль к этой поверхности обр ащена в ту сторону, куда ввинчивается правый винт при вращении в направлении обхода контура L.
.Часто встречающиеся интегральные соотношения;
ф (п X A) dS = j rot A dV, 8 V
<^) grad qp dS = j V2<p dV, s v
Cm. is)
(П1.19)
в которых S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а п — внешняя нормаль к этой поверхности.
Формулы Грина
фФgraddS = (ф?2л|э + gradфgraded/, ЦЦ.20) 8 V
J (ф?2л|) - Л|)?2ф) d/= (^) (ф-^'-'!’-^) ^5, (П1.21)
V 8
где S— замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а п — внешняя нормаль к этой поверхности.
Ротор градиента
rot grad ф = 0. (П1.22)
Ротор от ротора
rot rot А = grad div А — V^A. (П1.23)
Дивергенция ротора
div rot А = 0. (П1.24)
Дивергенция градиента
div grad ф = 72ф. (П1.25)
10 А И Алексеев
289
Производные от произведений:
grad (<рф) = ср grad Ф + Ф grad <р, (П1.26)
grad (АВ) = (A grad) В + (В grad) А +
+ AXrotB + BXrotA, (П1.27)
div(фA) = фdivA + А gradф, (П1.28)
div (А X В) = В rot A— A rot В, (П1.29)
гоЦфА) = фГо! А + grad ф X А, (П1.30)
rot (А X В) = (В grad) А — (A grad) В —
— В div А + A div В. (П1.31)
Производные от некоторых сложных функций:
grad | г — г'| = — grad'| г — rz | = —JErpj-» (П1.32) grad F (ф) = ~ grad ф, (П1.33)
div А (ф) ==-^-grad ф, (П1.34)
rot А (ф) = grad ф X » (П1.35)
(A grad) В (ф) ==(А grad ф)-|5.. (П1.36)
Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в цилиндрической системе координат:
х — г cos ф, у— г sin ф, z — z,
grad»--^lr + ±^l, + 4l„ (П1.37)
divA — -2.(M,)+l^h. + ^l, (П1.38)
г dr v г/ ' г дф dz ' 7
а./1 бАг 1 (дАг 9АЛ, .
, /1 д(гЛ1Ь) 1 дА.\
+ l7-^L-7w)1- (П,-39>
V®A = grad div A — rot rot A ==
+ (^4,—^ + 4^)1* + ^ЛЛ. (П1.42)
Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в сферической системе координат:
X = rsin9cos4’, у = г sin 9 sin ф, z = rcos9, grad » = 1^-1, +-^£1, (П1.43)
div A=i i + 7^9- k <sin + ттк kr • (П1.44)
rotA = 77M^(sine-4*) +
+-И-=ё - W - Ж
(П1.45)
32ф - 2 д<{> . 1 d ( . Q Зф \ 1 1 32ф
V^p— df2 + r gr + r2sin0 ^0 [sin 9 dQ J + r2gin20 0ф2 •
(П1.46)
<r} = + A dF_ = J_ _d_ / 2 dFX = X d? ,
‘ \ ) gr2 i r dr r2 fa \r dr ) r dr2 '
(П1.47)
V2A = grad div A — rot rot A —
( , 2 Г 13 1 ЗЛц,!)
= {- ?- 1л + ет 39 (sin 0АО + 7ЙГ9 -зк! Л + .ькгл 2 (дА' Ле cos9 д.
[V + г2 \ 39 2 sin2 9 sin2 9 Зф ,0
[_ 2 /ЗЛ. ЗЛ0 Ла, \Ч
Приложение 2
МАТРИЦЫ И ТЕНЗОРЫ
Совокупность чисел аар, представленных в виде таблицы,
/ <111 «12 «13 \
I 021 «22 «23 1 = d (П2.1)
\ «31 «32 «33 /
называется матрицей й, а сами числа аар — матричными элементами. Если число матричных элементов в каждой строке и столбце одинаково, она называется квадратной.
При сложении матриц а и d складываются их одноименные матричные элементы, так что матрица t суммы
t == d + b (П2.2)
имеет следующие матричные элементы:
Сор = 4* (П2.3)
Произведением dd матриц й и S называется такая матрица с, матричные элементы которой определяются как
= (П2-4)
Обычно ad =# da. Если &d = da, то матрицы назы-^ ваются коммутирующими.
Множитель с, общий у всех матричных элементов,' можно вынести за знак матрицы
(can Cd\2 / <311 &12
CU2I са22 са23 °21 а22 fl23 j. (Г12.5)
C&3I С&32 СЛзз / \ б$31 б$32 Лзз/
Матричные элементы единичной матрицы
(1 о о\
0 10 (П2.6)
0 0 1/
обозначаются символом Кронекера
( 1 при а = В,
6ай = 1 п (П2.7)
р (0 при а=^р.
Исходная матрица d не меняется при умножении на единичную d/*=/d = d.
Если определитель
«11 «12 «13
«21 «22 «23 = [d| (П2.8)
«31 «32 «33
матрицы d отличен от нуля, то существует обратная матрица dr1 такая, что
d-M = dd~1=f, (П2.9)
= аата7в = баВ- <П2 ‘1 °)
Матричные элементы обратной матрицы d~l имеют вид
aaS ~ | й ’ (П2.11)
где Лра— алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента а^а определителя матрицы (П2.8).
Матрица ат, которая получается из исходной d путем замены строк на столбцы, называется транспонированной
~ а0а‘ (П2.12)
Симметричная $ и антисимметричная d матрицы обладают свойствами:
Sap == Spa> (П2.13)
аа$ ~ йра' (П2.14)
Произвольную квадратную матрицу S можно разложить на сумму симметричной и антисимметричной
6 = у(& + 6Т) + 4(6-6Т) (П2.15)
или иначе
^ар = ~2 (^ар + ^ра) 4* "% (^ар ^ра)‘ (П2.16)
Диагональная матрица определяется выражением
«и О о
d =
о о
G.22 О
О £Хзз
(П2.17)
Компоненты Xi, Х2 и Хз радиус-вектора в трехмерном евклидовом пространстве при переходе из координатной системы XYZ в повернутую систему координат X'Y'Z' преобразуются по формуле
Ха = аавХ0' (П2.18)
где х', х' и х' — компоненты того же радиус-векторе в повернутой системе координат, а коэффициенты аар представляют собой косинусы углов между £-й осью исходной и а-й осью повернутой декартовых систем координат. Совокупность коэффициентов составляет матрицу линейного преобразования координат при переходё из исходной в повернутую координатную систему. Обратный переход осуществляется при помощи обратной матрицы (П2.11).
Линейное преобразование координат вида (П2.18) называется ортогональным, если коэффициенты удовлетворяют условию а~^ — а0а. Примером линейного ортогонального преобразования координат служит переход из одной декартовой системы координат в любую повернутую.
Вектором А а называется совокупность трех величин Л], А2 и А3, которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как компоненты радиус-вектора *)
(П2.19)
где три величины А', А2 и А'3 представляют собой компоненты того же вектора в штрихованной системе координат.
Тензором второго ранга называется совокупность девяти величин Ту6, которые при ортогональном преобразовании координат преобразуются как произведение компонент радиус-вектора
Ав ~ aafa&6^f6’ (П2.20)
где Т'р — компоненты того же тензора в штрихованной координатной системе.
Аналогично определяется тензор п-го ранга, у кото-' рого величины TapY имеют п индексов. В частности, для п — 3 имеем
•^aBv ~ ааба&оаур^6ор' (П2.21)
После введения понятия тензора обычный вектор (П2 19) можно рассматривать как тензор первого ранга.
*) Рассматриваются только ортонормированные базисы трехмерного евклидова пространства, поэтому нет необходимости вводить ковариантные и контравариантпые компоненты вектора.
Величина, которая не меняет своего численного значения при поворотах координатной системы, называется скаляром или тензором нулевого ранга. Примером скаляра служит скалярное произведение векторов.
Наряду с поворотом координатной системы существует еще одно ортогональное преобразование координат, заключающееся в одновременном изменении знака всех координат (инверсия). Это есть не что иное, как переход в левую координатную систему, все оси которой направлены в противоположную сторону по отношению к исходной.
Если скаляр и вектор меняют знак при инверсии, то они называются соответственно псевдоскаляром и полярным вектором, а при сохранении знака — истинным скаляром и аксиальным вектором.
Истинный тензор n-го ранга при инверсии умножается на (—1)", а псевдотензор умножается на (—
Все сказанное о сложении и умножении матриц '(П2.2) — (П2.11) относится также к тензорам второю ранга. Остаются в силе и определения (П2.13) — (П2.17) для симметричного, антисимметричного и диагонального тензоров.
Тензор ТавТв^, полученный при скалярном умножении симметричного тензора Гав на антисимметричный Т^у, имеет важное свойство
Т’Л = 0. (П2.22)
Сумма диагональных компонент Таа тензора Та$ называется его следом. След тензора является скаляром. И вообще при свертывании тензора TapYe по любым двум его индексам, например ТааУ& , получается новый тензор, ранг которого на две единицы меньше.
В результате скалярного умножения тензора Гар на вектор Др получается другой вектор
5а — Т’црЛр. (П2.23)
Совершенно антисимметричным единичным псевдо-теизором третьего ранга называется совокупность 27 величин еару, меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь те компоненты этого тензора, у которых индексы a, р и у различны. Прн этом 6*123 = 1, а остальные отличные от нуля компоненты равны 1 или —1, смотря по тому, четно или нечетно
число перестановок, которые приводят данную последовательность чисел af$y к последовательности 123. Тензор eapv, как и единичный тензор бар, выделены среди других тем, что имеют один и тот же вид во всех декартовых системах координат.
При помощи тензора eapY векторное произведение векторов можно записать в виде
(а X Ь)а
(П2.24)
Полезны также следующие формулы:
^ару^ару О»
^ару^Хру
где правая часть последнего равенства представляет собой определитель, составленный из символов Кронекера (П2.7).
Приложение 3
е-ФУнкция
6-функцией (дельта-функцией) называется такая функция 8(х — х0), которая равна нулю всюду, кроме особой точки х = хо, где она обращается в бесконечность так, что интеграл от этой функции по произвольному промежутку, содержащему внутри себя точку хо, равен единице:
( 0 при х =/= х0, ( оо при х = х0;
б (х — х0) = 1 при а < х0 < Ь.
(П3.1)
(П3.2)
Важнейшие свойства б-функции выражаются равенствами:
b(x)6(x-x0)dx = f прИ а<х°<Ь’ (пз.З)
J (0 при х0 < а или b < х0,
f (х) б(х — Хо) = } (х0) 6 (х — х0), (ПЗ. 4)
ь
б (х — X]) б (х — х2) dx — б (xt — х2) при а < xt < b
а
или а < х2 < Ъ, (П3.5)
б(-х) = б(х), (П3.6)
хб(х) = 0, (П3.7)
| X | б (Х2— 8) —б (х) При 8-> + 0, (П3.8)
б(ах) = -^тб(х), (П3.9)
б(х2-а2)= ’ [б(х-а) + б(х + а)], (П3.10)
z I а I
6 {f (х)) = S17 ^Txj'\—Г6 (х ~Хп}> (ПЗ-1 ° ” 1 I х dx )х = хпI
где величины xn (п — 1, 2, ..., N) суть простые корни уравнения f(x) = O, в котором /(х) является однозначной дифференцируемой функцией. В формулах (ПЗ.З) п (П3.4) функция f(x) непрерывна. Приведенные соотношения (П3.4) — (П3.11) следует понимать в том смысле, что интеграл от обеих частей написанных равенств имеет одно и то же значение.
Поскольку б(х) является четной функцией, то из соотношений (П3.2) и (ПЗ.З) при а — —b <0 и х0 = 0 следуют равенства
$6(x)dx=y, (П3.12)
о *
р(х)б(х) =4/(0). (П3.13)
о
Вычисление интеграла, содержащего производную ~б(х —х0) от б-функции, проводится интегрированием
по частям:
. (П3.14)
где а < х0 < Ь. Важный частный случай этой формулы иногда записывают так:
(П3.15)
Аналогично вычисляется интеграл, содержащий производные высших порядков от 6-функции,
ъ Г г1п а ( dnf (х) \ (П3.16)
Существуют различные аналитические представления 6-функции. Наиболее распространенные из них имеют следующий вид: оо
6(X) = J- ( eikxdk = -' 7 2л J л — оо ,. sin Lx 1Ш1 —т , L-»oo L (П3.17)
с , 1 sin2 Lx 6(х)= lim /2 , (П3.18)
6(х) = —lim --У , , (П3.19)
6 (х) = !— Игл це~^2х‘. У Л ц -> оо (П3.20)
Если 6-функции (П3.17) — (П3.20) стоят под знаком интеграла, то предельный переход осуществляется после взятия этого интеграла.
6-функцию можно также, получить путем дифференцирования ступенчатой функции
Я(х — x0) = j ( 1 ПРИ X > Xn. (П3.21)
1 0 при X < x0,
а именно: 6 (x — x0) = d dx n(* — x0). (П3.22)
В связи с этим производную от разрывной функции
ft (х) при х < Хо, f2 (х) При X > Хо,
(П3.23)
М*о) - Л (*о) = Л
часто записывают в виде
df (х\ dx
— hb{x — х0) +
dh (х) dx
dj2 (х) dx
При
X < х0,
При X > х0.
(П3.24)
Наглядное представление о 6-функции и ее основном
свойстве (ПЗ.З) можно получить, рассматривая, напри-sin2 Lx
мер, график функции nL 2 при большом значении параметра L 2л (рис. 28). Действительно, в этом случае максимум в точке х = 0 является главным. Его высота Л/л, а ширина 2л/Л. По обе стороны от главного максимума функция имеет бесконечный ряд побочных максимумов с быстро убывающей высотой. Они разделены между собой мини-пп , мумами в точках х — (п =
= ±1, ±2, ...). Если пара-
метр L стремится к бесконечности, то главный максимум беспредельно возрастает и сужается, в то время как побочные максимумы неограниченно уменьшаются. В результате функция ~^Lx>X при Л->оо стремится к предельному выражению (П3.1).
Для произвольной непрерывной функции /(х) при достаточно большом значении параметра L основная об-
ласть интегрирования в интеграле
ь
V^'^Lx^ dx при «<°<& а
совпадает с шириной главного максимума функции sin2 Lx „
—В подынтегральном выражении непрерывную функцию f(x) в области главного максимума можно заменить ее значением в точке х = 0. Такая замена тем точнее, чем больше параметр L и, следовательно, выше и уже главный максимум. Постоянный множитель f(0) выносится за знак интеграла, а оставшийся интеграл в пределе L->oo равен единице. Отсюда получаем основное свойство б-функции (ПЗ.З).
Трехмерная б-функция определяется соотношением
б (г — г0) = б (х — х0) б (у — уа) б (г — г0). (ПЗ.25)
Основное свойство этой функции выражается равенством
Jf(r)6(r-r0)dV = f(r0), (П3.26)
v
где точка с радиус-вектором г0 лежит внутри объема интегрирования V, в котором задана непрерывная функция f(г). Если указанная точка лежит вне объема V, то интеграл (П3.26) равен нулю.
Трехмерную б-функцию удобно представить в виде трехкратного интеграла в неограниченном к-простран-стве
««= (^He/krrfk- <пз-27)
Трехмерная б-функция появляется, например, в результате следующего дифференцирования по компонентам радиус-вектора г:
¥2|г2г>Т--4лб(г-гТ (П3.28)
Приложение 4
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Полиномы Лежандра Рп(х) являются решениями дифференциального уравнения (см. книги [7—9])
I?1 - х2) ^] + п(« + 1)= 0, (П4.1)
где — 1 sS х 1 и п = 0, 1,2, ...
зсо
Несколько первых полиномов с индексами п — 0, 1, 2 и 3 имеют вид
Р0(х)=1, Л(х) = х, Л(х) = |(Зх2-1),
, (П4.2)
Р3(х) = |(5х3-Зх).
Полином Лежандра л-й степени может быть вычислен по формуле
Рв(х)=^[(*’-1)я1- (П4.3)
Полиномы Лежандра обладают следующими свой-, ствами:
Р„(-х) = (-1)пР„(х), (П4.4)
Л.(1)=1, (П4.5)
P2fe+1(0) = 0, (П4.6)
J Рп (х)рт(х) dx = 2-^ дпт, (П4.8)
-1
<™.9)
jp24(x)dx = Sfe0. (П4.10)
о
Если индексы пит одновременно четны или нечетны, то выполняется равенство
$ Рп (х) Рт (х) dx = 2^трт ^пт- (П4.11) о
Для полиномов справедливы рекуррентные формулы: (n + 1) Рп+1 (х) - (2n + 1) хРп (х) + пРп-х (х) = О, (П4.12) (х2 - 1) Рп (х) = пхРп (х) - пРп-1 (х), (П4.13)
р;+! (X) - хР'п (х) = (п + 1) Рп (х), (П4.14)
где штрих обозначает производную от функции Рп(х) по аргументу х.
На отрезке [—1, 1] полиномы Лежандра образуют полную систему ортогональных функций. Поэтому произвольную дважды дифференцируемую функцию f(x), заданную на этом отрезке, можно разложить в ряд
f(x)= £СпРп(х), п=0
(П4.15)
где
\f(x)Pn(x)dx.
(П4.16)
Часто в качестве аргумента полиномов Лежандра берут х = cos 0. В этом случае в интегралах (П4.8) — (П4.11) и (П4.16) следует сделать замену переменной интегрирования, а уравнение Лежандра (П4.1) принимает вид
»(si"9 ""S’С) )+"<"+11 р» <cos е>=°-
(П4.17)
Сравнивая левую часть (П4.17) с оператором Лапласа в сферических координатах (П1.46), получаем при г =/= 0 полезные соотношения
V2P„(cos0) = — ”(nr^1) Pn(cosб), (П4.18)
V2 (rnP„ (cos 0)) = 0, V2(-%^9))==0. (П4.19)
Отсюда следует, что решением уравнения Лапласа V2<p = 0 является также сумма полиномов Лежандра с произвольными коэффициентами ап и Ьп-
ф = Е (anrn + bnr~n~l) Рп (cos 0). (П4.20)
Приложение 5
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции У;т(0, ф) определяются формулами *)
У/т(0, Ф) =
= ii л /* + ' U-l™l~ pl (cos 0)
(П5.1)
где —Z<m<Z и Z = 0, 1,2, .... a Pf(cosQ) — присоединенные полиномы Лежандра
РГ (cos 0) = sin- 0^^. (П5.2)
Выпишем первые девять сферических функций:
roo=vt’ y>o = /V^ cos0’
У1>±1 = sin0e±!'1’, (П5.3)
У20 = д/ (1-3 cos2 0),
= ± C°S 0 S‘n 9e± (П5,4)
y2,±2 = -Vir sin29e±/2*.
Сферические функции Yim(Q, ф) являются ограниченными решениями дифференциального уравнения
Se -Sf (si" 9 4» + (' <' + » —1&г) у<» “0
(П5.5)
Поэтому при действии оператора Лапласа в сферических координатах на функцию У(т(0, ф) последняя воспроизводится:
V2 У1т (0, Ф) = - у!т (0, Ф), (П5.6)
где г 0.
*) Выбор нормировочного множителя соответствует определению сферической функции, принятому в квантовой механике [10].
Из многочисленных свойств сферических функций отметим лишь те, которые используются в настоящем сборнике*). Сферические функции ортогональны на поверхности сферы единичного радиуса
$ y'lm (9, ф) У/'т' (О, ф) dQ = 6/Z' 6mm', (П5.7)
где dQ = sin 0 dQ с/ф— элемент телесного угла. При т — 0 сферическая функция выражается через полином Лежандра ____
^0 = »'д/'Т'Pz(C0s9) (П5’8)
и не зависит от азимутального угла ф. К функциям Ущ приводят следующие интегральные соотношения:
2Я
^/«(9, ф)йф==2лй0тГ/0, (П5.9)
О 2л
t)rrm,(9, Ф)^Ф = 2лдтт,г;0гГ0. (П5.10) о
Для вычисления потенциала крайне полезны следующие разложения по сферическим функциям:
оо I I
(П5.11)
1^77 - f , 5ТГ 7^ у;"(9'’ у'”(0' ♦>(/ >г)-
(П5.12)
где г, 0 и ф — сферические координаты точки с радиус-гектором г. Штрихом отмечены аналогичные величины, относящиеся к другой точке пространства.
*) Подробные сведения о сферических функциях можно иайти в книгах [7, 9].
Приложение 6
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Цилиндрические функции Zy(x) являются решениями уравнения Бесселя
+ + -4) Д = 0, (П6.1)
dx2 ‘ х dx ' \ х2 ) v ’ ' ’
где 0 х оо, a v — некоторый параметр.
Ограниченное решение Jv(x) уравнения (П6.1) называется функцией Бесселя v-ro порядка или цилиндрической функцией первого рода
<пб.2)
в=0
где T(s)—гамма-функция, которая для Re s > О определяется формулой
00
(П6.3)
о
Основные свойства гамма-функции
Г(з+ 1) = $Г(з), Г(1) = 1, Г(0) = оо. (П6.4)
Если п — целое, то из соотношений (П6.4) следует Г(п+1) = п! и Г(—п) = (—1)п • оо.
Второе линейно-независимое решение уравнения Бесселя обращается в бесконечность в точке х = 0. Если параметр v не равен целому числу, то таким решением служит или функция 7_v(x), или функция Неймана
А\(*) =
Jy (х) cos лу — У_у'(х) sin nv
(П6.5)
которую называют также цилиндрической функцией второго рода.
В случае целых значений v = п, а также при v = О выполняется соотношение 7_п(х) = (—1) п/п (х), из которого видно, что функции J-n(x) и /п(х) лииейно-зави-симы. Поэтому при v = п или v = 0 в качестве второго
линейно-иезависимого решения уравнения Бесселя берут функцию Неймана
Nn = ]im /у(х).СО8ЛУ-/-у(х)
SID Л-V
(П6.6)
где п — 0, 1,2, ...
Для функции Бесселя целого порядка п иногда полезно использовать интегральное представление
Л ’ л
= еИпф-Х81пф) d<p = ~ j е«»Ф-хсозФ)^ф> (П6.7) — Л —л
В силу периодичности функций sin <р, cos <р и е1п,1> интегрирование в (П6.7) можно производить по любому промежутку от <р0 до <р0 + 2л, где <ро — произвольное вещественное число, а п — 0, 1,2, ...
В качестве решений уравнения Бесселя употребляют также цилиндрические функции третьего рода (функции Ганкеля)
H{v (х) = Jv (х) + iNv (х), (П6.8)
Н<2> (х) = 7V (х) — iN4 (х). (П6.9)
Здесь Ну} (х) и Д?’(х) —функции Ганкеля первого и второго рода ранга v. Последние часто записывают в виде интегралов
_ УЛ1 оо
5 evt+ixchtdt, (П6.10)
2 Г
Н{2} (X) = - J evt-ixeht dt, (П6.11)
в которых параметр v и переменная величина х могут принимать комплексные значения, если рассматривать аналитические продолжения данных функций в комплексную плоскость [8, 9].
Цилиндрические функции первого, второго и третьего родов линейно-независимы, так что общее решение уравнения Бесселя можно представить в виде линейной ком* бинации с произвольными коэффициентами любых двух из названных цилиндрических функций.
Отметим некоторые свойства цилиндрических функций:
Zv_1(x) + Zv+I(x) = -^-Zv(x), (П6.12)
Zv-1(x)-Zv+1(x) = 2^M, (П6.13)
^± = -Z1(x)> (П6.14)
^Z0(^s = xZ,(x), (П6.15)
о
где в качестве цилиндрической функции Zv(x) может быть взята любая из функций Jv (х), Nv (х), #V’ (х) и
Приближенные выражения цилиндрических функций при малых значениях аргумента |х| <С 1:
(П6Л6>
= П₽И п>1’ (П6Л7>
Яо(х) = ^(1п| + С), (П6.18)
где С = 0,5772. Приближенный вид функций Ганкеля получается из формул (П6.8) и (П6.9) при помощи соотношений (П6.16) — (П6.18).
Асимптотические выражения для больших значений аргумента |х| 1:
C0S (х ~ Tv “ т) ’ ' (П6-19) (х) = д/А-sin (x--=-v(П6.20) а соответствующие выражения для функций Ганкеля могут быть получены из соотношений (П6.8) и (П6.9) с учетом формул (П6.19) и (П6.20).
При решении многих физических задач приходят к дифференциальному уравнению
> + + №21)
решение которого обычно выражают через функции Бесселя Jv(V) и Неймана Nv(Kr) аргумента х = Кг:
у = Cj/V (Kr) + c2Nv (Кг), (П6.22)
где произвольные постоянные и С2 определяются из граничных условий к уравнению (П6.21), а параметр v может принимать и целочисленные значения.
Функцию f(r), непрерывную в промежутке (0,оо), можно разложить в интеграл Фурье — Бесселя
00
f (r) = \cKJn(Kr)KdK, (П6.23)
о
где п— любое целое число или нуль, а коэффициент с у, разложения представляется интегралом
оо
c^\f(r)Jn(Kr)rdr. (П6.24)
о
Функции Бесселя Jn(Kr) и Jn(K'r) с разными значениями параметра К ортогональны с весом г:
оо
S 4 (hr) Jn (К'г) г dr = 1 б (X - К'). (П6.25)
J о
Для выполнимости разложения Фурье — Бесселя функция Цг) должна быть кусочно-непрерывной с конечным числом максимумов и минимумов во всяком конечном промежутке изменения аргумента г и, кроме того, должен абсолютно сходиться интеграл
оо
\f(r)^Fdr. (П6.26)
о
Приложение 7
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Происшедшее событие принято характеризовать координатами х, у, z и временем /. Интервалом между двумя событиями Xi, у\, zit /1 и Х2, У2> ?2, h называется величина S2i> квадрат которой дается выражением
(1г - i,)=- (х-х,)’ - (П7.1)
30S
Согласно основным постулатам теории относительности интервал между двумя одними и теми же событиями имеет один и тот же вид и численное значение во всех инерциальных системах отсчета. Другими словами, квадратичная форма (П7.1) является инвариантом, т. е. не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.
В связи с этим удобно объединить обычное трехмерное пространство и время в одно четырехмерное пространство, каждая точка которого характеризуется 4-радиус-вектором х1 с компонентами
x° — ct, х1 — х, х2 — у, x3 = z. (П7.2)
Квадрат расстояния между двумя точками в этом четырехмерном пространстве определяется квадратичной формой (П7.1), а квадрат 4-радиус-вектора есть
(х0)2 — (х1)2 — (х2)2 — (х3)2 = ^1кх1хк, (П7.3) где gtk — метрический тензор
(1 0 0 0\
О —1 о О I /гт—
о 0-1 о • <П/-4)
0 0 0 -1 /
Первый индекс i = 0, 1,2, 3 нумерует строки в таблице (П7.4), а второй индекс k — столбцы. По повторяющимся «немым» индексам, один из которых расположен вверху, а другой внизу, всюду предполагается суммирование от 0 до 3. Пространство с метрикой (П7.3) называется псевдоевклидовым.
Компоненты 4-радиус-вектора (П7.2) при переходе к другой четырехмерной системе координат преобразуются по формуле
хг = а1кх'\ (П7.5)
где совокупность коэффициентов а1к составляет матрицу линейного преобразования, описывающего переход от штрихованной системы координат к нештрихованной. Верхний индекс коэффициента alk обозначает номер строки, а нижний — столбца этой матрицы.
Обратный переход в исходную систему координат дается формулой
/ = alkxk, (П7.6)
где совокупность коэффициентов alk составляет матрицу обратного преобразования такую, что
при при
i = k, i ф k.
(П7.7)
Поскольку переход к другой системе координат в рассматриваемом четырехмерном пространстве не меняет квадратичную форму (П7.3), матрицы преобразований (П7.5) и (П7.6) удовлетворяют соотношениям
gikaiakm = Slm, = (П7.8)
Переходу из одной инерциальной системы отсчета в другую (рис. 8) соответствует в четырехмерном пространстве переход от одной координатной системы к другой, повернутой относительно первой на некоторый угол в плоскости Преобразование компонент 4-радиус-вектора, отвечающее такому вращению, называется преобразованием Лоренца. Оно описывается формулой (П7.5), в которой матрица преобразования имеет вид
ak
1
V1 - У2/с2
У/с
у/1 — У2[сг
О О
У/с
V1 - У2/с2 1
V1 - У21с2 о о
о о
о о
1 о
О 1
*(
(П7.9) '
Матрица обратного преобразования Лоренца получается из (П7.9) путем изменения знака перед скоростью V на противоположный.
Четырехмерным вектором А‘ (4-вектором) называется совокупность четырех величин А0, А1, А2 и А3, которые при переходе от одной четырехмерной системы координат к другой преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора
А‘ = а1кА'к, А'1 = а1кАк. (П7.10)
По аналогии с 4-радиус-вектором (П7.2) первая компонента А0 4-вектора Аг называется временной, а три другие: А1, А2 и А3 — пространственными. Эти компоненты иногда выписывают в явном виде, вводя следующее 310
обозначение для 4-вектора:
А‘ = (А°, А). (П7.11)
Как и в случае 4-радиус-вектора, квадратичная форма
(Л0)2 - (Л1)2 - (Л2)2 - (Л3)2, (П7.12)
составленная из компонент всякого 4-вектора А1, является инвариантом. Ее называют квадратом 4-вектора. Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Такие 4-векторы называют соответственно времениподобными, пространственноподобными и нулевыми.
В псевдоевклидовом пространстве ради удобства вводят две разновидности компонент 4-вектора. Индексом вверху Аг помечают контравариантные компоненты 4-вектора, а индексом внизу Аг обозначают ковариантные компоненты того же самого 4-вектора, которые суть Ао — А°, А^-А1, Л2=-Л2, Л3 = — Л3. (П7.13)
Ко- и контравариантные компоненты 4-вектора связаны между собой при помощи ковариантного и кон-травариантного g'k метрических тензоров следующим образом:
At = gtkA\ Al — gl,iA/l. (П7.14)
Таким образом, один и тот же вектор может быть представлен своими контравариантными или ковариантными компонентами
Л'= А), Л(=(Л°, -А). (П7.15)
После этого квадрат 4-вектора (П7.12) запишется как А^ + А'А1 + А2А2 + AiA3 — AtAl. (П7.16)
По аналогии с выражением (П7.16) определяют скалярное произведение двух 4-векторов Аг и В1 в виде
AtBl = А0В° + А^В1 + А2В2 + А3В3. (П7.17)
Одно и то же скалярное произведение можно записать в разных формах:
AtBl = AlBt glkAlBk = glkAtBk =
= Л0В° — АВ = Л°В0 ~ АВ. (П7.18)
Скалярное произведение 4-векторов инвариантно по
отношению к любым поворотам четырехмерной координатной системы и, следовательно, по отношению к преобразованию Лоренца. Другими словами, скалярное произведение 4-векторов является четырехмерным скаляром (4-скаляром)
Поскольку квадрат 4-радиус-вектора XkXh является 4-скаляром, ковариантные компоненты х^ 4-радиус-вектора при переходе к другой четырехмерной системе координат преобразуются по закону
xk = x'A xk~xfik’ (П7.19)
где коэффициенты alk и alk составляют те же самые матрицы, что и в случае преобразования контравариантных компонент (П7 5) и (П7 6) Ковариантные компоненты всякого вектора преобразуются согласно формулам (П7 19)
Дифференциал
с/Ф
дФ дх1
dx‘
(П7.20)
четырехмерного скаляра Ф также является 4-скаляром. Здесь он представлен в виде скалярного произведения, составленного из операторов дифференцирования д/дхг и контравариантных компонент dx1 4-вектора Отсюда следует, что операторы д!дхг дифференцирования по координатам хг должны рассматриваться как ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Аналогично операторы д/дхг дифференцирования по ковариантным компонентам хг 4-радиус-вектора являются кон-травариантными компонентами операторного 4-вектора, так что
—L = vY , -vY (П7.21)
dxt \c dt / дх \ c dt /
Четырехмерный градиент 4-скаляра Ф представляет собой 4-вектор
4г = (7ДД’ М- (П7-22>
Четырехмерная дивергенция 4 вектора А‘ определяется выражением
+div А. (П7.23)
дх1 с dt
Четырехмерным тензором (4-тензором) второго ранга называется совокупность шестнадцати величин Тгк, которые при переходе от одной четырехмерной системы координат к другой преобразуются как произведения компонент 4-радиус-вектора
Ttk = a\akmT'lm, T'ik = a\akmTlm. (П7.24)
Четырехмерный тензор более высокого ранга определяется аналогично Введенные выше 4-вектор и 4-скаляр можно рассматривать как 4-тензоры соответственно первого и нулевого рангов
Один и тот же 4-тензор может быть представлен своими контравариантными компонентами Тгк, у которых индексы ставятся вверху, а также ковариантными компонентами с индексами внизу Лл или смешанными компонентами 7\ В последнем случае первый индекс может стоять внизу, а второй вверху, что обозначает другие смешанные компоненты Тгк данного 4-тензора
Подобно формулам (П7 14) связь между разными видами компонент 4-тензора можно установить при помощи ко- и контравариантного метрических тензоров, например,
Ttk = gagk^Tlm, Tlk = gklTtl, Т f — gugkmTl m. (П7.25)
Другими словами, поднятие или опускание временного индекса 0 не меняет компоненту 4-тензора, в то время как та же операция над одним из пространственных индексов 1, 2 или 3 меняет знак компоненты
Если Тгк = Ткг, то тензор Т1к называется симметричным, а в случае T7h = —Ткг — антисимметричным. Смешанные компоненты симметричного тензора совпадают: Т\ — Ткг, поэтому их записывают как Т1к, располагая индексы один над другим.
В тензорном исчислении основными алгебраическими операциями являются сложение, умножение и свертывание
Суммой тензоров AThm и B‘hm называется тензор C’ftm с компонентами С\т = Агкт + Вгкт. Другими словами, при сложении тензоров одинакового вида и одного ранга суммируются их одноименные компоненты, причем с обеих сторон всякого тензорного равенства
должны находиться тензоры с одинаковыми и одинаково расположенными свободными индексами.
Произведением тензоров называется тензор, компоненты которого равны произведениям компонент сомножителей. В результате умножения образуется новый тензор, ранг которого равен сумме рангов перемножаемых тензоров. Например, умножая тензор Aik на В1т, получаем новый тензор C2kim с компонентами Cihim = = A‘hBlm.
Свертыванием (упрощением) тензора называется суммирование по паре индексов, один из которых является ковариантным, а другой — контравариантным. После свертывания образуется другой тензор на две единицы меньшего ранга.
Получающаяся при свертывании сумма
7’/ = 7’0° + 7’11+7’22 + 7’з3 (П7.26)
называется следом или шпуром тензора Тл. Очевидно Т\ = Те.
Если последовательно проводится умножение и свертывание, то такую операцию называют скалярным умножением. Например, в результате скалярного умножения вектора А( на тензор Tih образуется новый вектор Вк:
AtTik = В\ (П7.27)
Единичный 4-тензор б* дается выражением
( 1 при i = k, 1 0 при i k.
(П7.28)
Его след равен четырем б' = 4. Единичный 4-тензор б' как и метрические тензоры и gih, имеет один и тот же вид во всех четырехмерных системах координат.
Если тензоры A2k и Biti удовлетворяют равенству
A“Blk = blk, (П7.29)
то они называются обратными друг другу. Например, ковариантный метрический тензор glk является обратным контравариантному метрическому тензору gih.
Кроме тензоров б^, gih и gih, имеется еще один 4-тензор, который не меняется при переходе в другую систему координат. Это совершенно антисимметричный единичный 4-псевдотензор четвертого ранга eihim. Его компоненты меняют знак при перестановке любых двух индексов. Поэтому отличны от нуля лишь те компоненты, у которых индексы i, k, I и т различны. При этом е0123=1, а остальные отличные от нуля компоненты равны 1 или —1 в зависимости от того, четно или нечетно число перестановок, которые приводят данную последовательность чисел iklm к последовательности 0123. Для тензора е{мт имеем е012з = —1, причем
eik!meiklm = -4l = -24. (П7.30)
Компоненты истинного 4-тензора четвертого ранга, у которых один индекс временной, а три другие пространственные (или наоборот), меняют знак при инверсии. Между тем компоненты eihlm не изменяются при инверсии, так как по определению имеют один и тот же вид во всех системах координат. Поэтому егЫт является не истинным 4-тензором, а 4-псевдотензором.
Обобщение теоремы Гаусса — Остроградского на четырехмерное псевдоевклидово пространство запишется как
§ A* dSi=[-^dQ,. (П7.31)
J J дх1
где Д*— некоторый 4-вектор, d£i — dx^dx'dx^dx3 — элемент объема в 4-пространстве, a dSi — 4-вектор элемента гиперповерхности, контравариантные компоненты которого суть dS° = dxldx2dx2, c!S{ — dxQdx2dx2, dS2 = == dx^dx^dx2 и dSz — dxGdxldx2. В левой части равенства (П7.31) интегрирование ведется по замкнутой гиперповерхности, а в правой — по 4-объему, заключенному внутри этой гиперповерхности.
Каждая векторная физическая величина может быть представлена как своими контравариантными, так и ковариантными компонентами в зависимости от удобства. То же относится и к тензорным величинам. В принятых обозначениях 4-импульс р1, 4-вектор плотности тока /’ и 4-потенциал Д’ запишутся как
р‘ = (4’ р) • 1‘ = (СР> D- = (Ф> а) • <П7-32)
Физический смысл используемых здесь величин раскрыт в теоретическом введении к главе V.
Тензор электромагнитного поля
р (П7.33)
дх1 dxk
имеет вид
О Ех Еу Ег — Ех 0 —Нг Ну
-Еу Нг О -Нх -Ег -Ну Нх О О Ех Еу Ег \
Ех 0 -Нг Ну \ Еу Нг О -Нх I
Ег —Ну Нх 0 '
(П7.34)
(П7.35)
Ковариантная форма уравнений Максвелла dFlti 4л
<Эх* с ’
dFtk । dFki , dFu __
дх1 "Г дх1 "Г дх*
(П7.36)
(П7.37)
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Tik = i (~ F“F^ + Т SikFimFlm) . (П7.38)
Этот тензор симметричен, а его след равен нулю. Физический смысл различных компонент тензора энергии-импульса виден из следующей таблицы:
W sx!c SyiC sz/c
J'i/j ___
sx/c Sy/c sx/c \
— T xx — E Xy Тяг]
~ Eyx ~ Tу у — Туг I *
Tгх T2y — Тгг '
(П7.39)
где w — плотность энергии электромагнитного поля, s — вектор Пойнтинга, а Та$ — максвелловский тензор натяжения (V. 38).
Уравнение движения частицы массы m и заряда е во внешнем электромагнитном поле:
^77 = 7^’ <П7-4°)
где ds — с <11л] 1—и2/с2, а и* = (и°, и)—четырехмерная скорость, компоненты которой выражаются через скорость v частицы следующим образом:
и° = , 1 и = —.... . (П7.41)
V1 — и2/с2 с у 1 — v2/c2
При движении заряженной частицы со скоростью порядка скорости света к правой части уравнения движения (П7.40) следует дополнительно прибавить четырехмерную силу
„/ _ 2е3 dFik .j 2е4 „,1е ..k , ё ~ 3m? дх1 k Зт2с5 F Fkl +
+ ^(FktJ)(Fkmum)Ul, (П7.42)
которая учитывает торможение излучением. Временная и пространственные компоненты 4-силы g* связаны с трехмерной силой f радиационного трения согласно общей формуле
с2
vf
V1 — V2/c2 ’
____... .v.._..Л
с V1 — v2!c2)
(П7.43)
Когда скорость заряженной частицы приближается к скорости света, трехмерная сила радиационного трения принимает вид
(П7.44)
Если ось X направить вдоль скорости v частицы, то из (П7.44) получаем выражение (V. 65).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д, Лифшиц Е М., Теория поля, «Наука», 1973.
2. Джексон Дж, Классическая электродинамика, «Мир», 1965.
3. Пановский В., Филипс М., Классическая электродинамика, Физматгиз, 1963.
4. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.
5. Т а м м И. Е., Основы теории электричества, «Наука», 1976.
6. Б а т ы г и н В. В., Т о п т ы г и н И. Н., Сборник задач по электродинамике, «Наука», 1970.
7. Т н х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А., Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
8. Л а в р е н т ь е в М А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, «Наука», 1973.
9. Р ы ж и к И. М., Г р а д ш т е й п И. С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963.
10. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика, «Наука», 1974.
Алексей Иванович Алексеев
Сборник задач по классической электродинамике
М., 1977 г., 320 стр. с нлл.
Редактор Л П. Русакова
Техн, редактор И, III. Аксельрод
Корректоры 3. В. Автонеева, И. Я. Кришталъ
Сдано в набор 11.03.77 Подписано к печати 23.09 77. Бумага 84Х108732, Физ. печ. л. 10.
Условн. печ. л. 16,8. Уч.-иэд. л. 16,62. Тираж 23 000 экз. Цена книги 70 коп. Заказ № 527
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.