Б.П.ДЕМИДОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
13-е издание, исправленное
Рекомендовано Государственным комитетом
Российской Федерации по высшему образованию
в качестве учебного пособия
для студентов математических и физических
спещюлъностей высших учебных заведений
Ч15«-Ц,,
Издательство
Московского университета
Издательство ЧеРо
1997

ББК 22.161
ДЗО
УДК 517(075.8)
Рецензент: кафедра высшей математики МФТИ
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Демндович Б.П.
ДЗО Сборник задач и упражнений по
математическому анализу: Учеб. пособие. — 13-е изд.,
испр- — М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо, 1997.
— 624 с.
ISBN 5-211-03645-Х
В сборник (11-е изд. — 1995 г.) включено свыше 4000 задач и
упражнений по важнейшим разделам математического анализа:
введение в анализ: дифференциальное исчисление фукнций одной
переменной; неопределенный и определенный интегралы; ряды;
дифференциальное исчисление функций нескольких переменных;
интегралы, зависящие от параметра; кратные и криволинейные
интегралы. Почти ко всем задачам даны ответы. В приложении
помешены таблицы.
Для студентов физических и механико-математических
специальностей высших учебных заведений.
Учебное издание
Демндович Борис Павлович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Зав. редакцией Л.А.Николова.
Художественный редактор Л.В.Мухина.
Н/К
ЛР J* 040414 от 18.04.97.
Подписано в печать З.Ов.96. Формат 84x108/32. Бумага офсетная.
Офсетная печать. Усл. печ. л. 82,2. Тираж 5000 экз.
Изд. J* 6161. Заказ J* 2383
Ордена "Знак Почета" издательство Московского университета
103009, Москва, Большая Никитская ул., 5/7
Издательство "ЧеРо"
Москва, Большой Власьевский пер., д. 11, к. 208
т. 241 3390, 938 2346
Великолукская городская типография Уприпформпечатн Псковской
области, 182100, г. Великие Луки, ул. Полиграфистов, 78/12
ISBN 5-211-03645-Х © Демндович Б.П.,1996

БОРИС ПАВЛОВИЧ ДВМИДОВИЧ
(1906-1977)

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Отдел I. Введение в анализ 7
§ I. Вещественные числа 7
$ 2. Теория последовательностей 12
§ 3. Понятие функции 26
§ 4. Графическое изображение функции .... 35
§ 5. Предел функции 47
§ 6. О-символика 72
§ 7. Непрерывность функции 77
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные
параметрически 87
§ 9. Равномерная непрерывность функции ... 90
§ 10. Функциональные уравнения 94
Отдел II. Диффереициальиое исчисление функций
одной переменной 96
§ I. Производная явной функции 96
§ 2. Производная обратной функции. Производная
функции, заданной параметрически.
Производная функции, заданной в неявном виде . . . .114
§ 3. Геометрический смысл производной . . . . . 117
§ 4. Дифференциал функции .120
§ 5. Производные и дифференциалы высших
порядков .124
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Кошн .... 134
§ 7. Возрастание и убывание функции.
Неравенства 140
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба . . 144
§ 9. Раскрытие неопределенностей ....... 147
§ 10. Формула Тейлора 151
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и
наименьшее значения функции 156
§ 12. Построение графиков функций по
характерным точкам 161
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций . . . 164
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 167
| 15. Приближенное решение уравнений .... 170

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Отдел III. Неопределенный интеграл 172
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы . . . 172
§ 2. Интегрирование рациональных функций ... 184
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных
функций 187
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 192
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных
функций 198
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций 201
Отдел IV. Определенный интеграл 204
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы . . 204
§ 2. Вычисление определенных интегралов с
помощью неопределенных 208
§ 3. Теоремы о среднем 219
§ 4. Несобственные интегралы 223
§ 5. Вычисление площадей 230
§ 6. Вычисление длин дуг 234
§ 7. Вычисление объемов 236
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 239
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра
тяжести 240
§ 10. Задачи из механики и физики 242
§ 11. Приближенное вычисление определенных
интегралов 244
О т д е л V. Ряды 246
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости
знакопостоянных рядов 246
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 259
§ 3. Действия над рядами 267
§ 4. Функциональные ряды 268
§ 5. Степенные ряды 281
§ 6. Ряды Фурье 294
§ 7. Суммирование рядов 300
§ 8. Нахождение определенных интегралов с
помощью рядов 305
§ 9. Бесконечные произведения 307
§ 10. Формула Стнрлинга 314
§ 11. Приближение непрерывных функций
многочленами 315
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных 318
§ 1. Предел функции. Непрерывность 318
§ 2. Частные производные. Дифференциал
функции 324
§ 3. Дифференцирование неявных функций .... 338
§ 4. Замена переменных 348
<5 5. Геометрические приложения 361
§ 6. Формула Тейлора 367
| 7. Экстремум функции нескольких переменных 370

ОГЛАВЛЕНИЕ
Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра . . 379
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 379
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от
параметра. Равномерная сходимость интегралов 385
§ 3. Дифференцирование и интегрирование
несобственных интегралов под знаком интеграла , . 392
§ 4. Эйлеровы интегралы 400
§ 5. Интегральная формула Фурье 404
Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы . 406
§ 1. Двойные интегралы 406
§ 2. Вычисление площадей , 414
§ 3. Вычисление объемов 416
§ 4. Вычисление площадей поверхностей .... 419
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике 421
§ 6. Тройные интегралы 424
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных
интегралов 428
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике 431
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы 435
§ 10. Многократные интегралы 439
§11. Криволинейные интегралы 443
§ 12. Формула Грина 452
§ 13. Физические приложения криволинейных
интегралов , 456
§ 14. Поверхностные интегралы 460
§ 15. Формула Стокса 464
§ 16. Формула Остроградского 466
§ 17. Элементы теории поля 471
Ответы 480

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ОТДЕЛ I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Вещественные числа
1°. Метод математической индукции. Чтобы
доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального
числа п, достаточно доказать: 1) что эта теорема справедлива для
п = 1 и 2) что если эта теорема справедлива для какого-нибудь
натурального числа л, то она справедлива также и для
следующего натурального числа п -j- 1.
2°: Сечение. Разбиение рациональных чисел на два
класса А и В называется сечением, если выполнены следующие
условия: 1) оба класса не пусты; 2) каждое рациональное число
попадает в один и только в один класс и 3) любое число,
принадлежащее классу А (нижний класс), меньше произвольного числа,
принадлежащего классу В (верхний класс). Сечение А/В
определяет: а) рациональное число, если или нижний класс А имеет
наибольшее число илн же верхний класс В имеет наименьшее число, и
б) иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего
числа, а класс В — наименьшего числа. Числа рациональные и
иррациональные носят название вещественных или
действительных*).
3°. Абсолютная величина. Если х — вещественное
число, то абсолютной величиной\х\ называется неотрицательное
число, определяемое следующими условиями:
{— х, если х<0;
х, если х >0.
Для любых вещественных чисел хну имеет место неравенство
1*1—liMs£l* + »KI*l + liM-
4°. Верхняя и нижняя грани. Пусть X = {*}—■■
ограниченное множество вещественных чисел. Число
т = inf {x)
называется нижней гранью множества X, если:
') В дальнейшем под словом число мы будем понимать
вещественное число, если не оговорено противное.

° ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1) каждое х£Хщ) удовлетворяет неравенству
2) каково бы ни было е > 0, существует х'£Х такое, что
х' < т + е.
Аналогично число
М — sup [х\
называется верхней гранью Множества X, если:
1) каждое х£Х удовлетворяет неравенству
дс< М,
2) для любого е > 0 существует х"€ X такое, что
х" > М — е.
Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить,
что
inf {х) = — «г,
если же множество X не ограничено сверху, то полагают
SUp {х) — + оо.
5°. Абсолютная и относительная погреш,
Я о с т и. Если а (а Ф 0) есть точное значение измеряемой вели*
чины, а х — приближенное значение этой величины, то
Д = |* —в|
называется абсолютной погрешностью, а
!«1
— относительной погрешностью измеряемой величины.
Говорят, что число х имеет л верных знаков, если абсолютная
погрешность этого числа не превышает половины единицы
разряда, выражаемого л-й значащей цифрой.
Применяя метод математической индукции, доказать,
что для любого натурального числа п справедливы
следующие равенства:
1. 1+2+ . . . +п = я(п+1).
*) Запись *€ X означает, что число х принадлежит множе*
ству X.

« I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 9
2. it+2-+ . . . +я'~ "("-T-DCfa+Q ^
6
3. 1S + 2S+ . . . + л» = (1+2 + . . . +n)'.
4# J _|_ 2 + 22 + . . . + 2"-1 = 2" 1.
5. Пусть rf»i — a (a — Л). . . [а — (л — 1) h J и
flTO = 1.
Доказать, что (a + *)l"i- £ Ot"~mW'nl, гдеС? —
число сочетаний из л элементов по т. Вывести отсюда
формулу бинома Ньютона.
6. Доказать неравенство Бернулли:
(1 + хх)(\ + хг) . . . (1+ хп) >
> 1 + Xi + х% + .-♦ . + *„.
где x-i, хг, . . .., х„ — числа одного и того же знака,
большие — 1.
7. Доказать, что если х>—1, то справедливо
неравенство
(1 + х)« > 1 + пх (л > 1),
причем знак равенства имеет место лишь при х ■» 0.
8. Доказать неравенство
nl<( "t' Упри л>1.
Указание. Использовать неравенство
(л + 2 V+1 (\ , • V+1
9. Доказать неравенство
21-41. . . (2л)!>[(л + 1)!1я при л>1.
10. Доказать неравенство
! з 2л — 1 1
2 4 " ' 2я V2*+l '
10.1. Доказать неравенства:
б) n"+« >(л + 1)" (л > 3):

10
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
в) pin I Z ** ) < £ sin х„ (0 < хк < и;
R== i, ^, • • •» "/I
г) (2п)!<22л(л!)».
11. Пусть с — положительное число, не являющееся
точным квадратом целого числа, и А/В — сечение,
определяющее вещественное число -у/с, где в класс В входят
все положительные рациональные числа Ь такие, что
Ьг^с,ав класс А — все остальные рациональные числа.
Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а
в классе В нет наименьшего числа.
3 —
12. Сечение А/В, определяющее число >^2 , строится
следующим образом: класс А содержит все рациональные
числа а такие, что а3 < 2; класс В содержит все
остальные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет
наибольшего числа, а в классе В — наименьшего.
13. Построив соответствующие сечения, доказать
равенства:
a) <v/2"+V8"=VhT; б) V2~V3"=V6"-
14. Построить сечение, определяющее число 2^2*
15. Доказать, что всякое непустое числовое
множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое
непустое числовое множество, ограниченное сверху,
имеет верхнюю грань.
16. Показать, что множество всех правильных
рациональных дробей т/п, где тип — натуральные числа и
0 < т <. п, не имеет наименьшего и наибольшего
элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого
множества.
17. Определить нижнюю и верхнюю грани множества
рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству
г»<2.
18. Пусть {—х) — множество чисел,
противоположных числам *£{*}. Доказать, что
a) inf{—*} =—sup{*}; б) sup{—х} — —inf{*}.
19. Пусть {х + у) есть множество всех сумм
х + у, где *£ {*} и у £{у).

« I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
1!
Доказать равенства:
а) inf {х + у} = inf {x} + inf {у};
б) sup {х + у} = sup {x} + sup {у}.
20. Пусть {ху} есть множество всех произведений ху,
где лг£ {*} и у £{у}, причем X > 0 и у > 0.
Доказать равенства:
а) inf {дгг/} = inf<jc}-inf {^};
б) sup {ху} = sup{*}-sup {у}.
21. Доказать неравенства:
а) l*-!/l>IU|-li/ll;
б) \Х + *! + . . . + Хп\ >
Решить неравенства:
22. |* + 1|<0,01. 23. \х—2|>Ю.
24. |х|>|х+1|. 25. |2*-1|<|*— 11.
26. |*-f-2|-f-|*—2|<12. 27. |* + 2|—|х|>!.
28.■ ||л + 1|—|дс_1||<1. 29. \х(\—*)|<0,05.
30. Доказать тождество
31. При измерении длины в 10 см абсолютная
погрешность составляла 0,5 мм; при измерении расстояния
в 500 км абсолютная погрешность была равна 200 м.
Какое измерение точнее?
32. Определить, сколько верных знаков содержит
число х = 2,3752, если относительная погрешность этого
числа составляет 1 %?
33. Число х — 12,125 содержит 3 верных знака.
Определить, какова относительная погрешность этого
числа.
34. Стороны прямоугольника равны:
х = 2,50 см ± 0,01 см, у = 4,00 см ± 0,02 см.
В каких границах заключается площадь S этого
прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность Л и
относительная погрешность б площади прямоугольника, если
за стороны его принять средние значения?

V2
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
35. Вес тела р = 12,59 гс ± 0,01 гс, а его объем
v = 3,2 см3 ± 0,2 см3. Определить удельный вес тела
и оценить абсолютную и относительную погрешности
удельного веса, если за вес тела и объем его принять
средние значения.
36. Радиус круга г = 7,2 м ± 0,1 м. С какой
минимальной относительной погрешностью может быть
определена площадь круга, если принять л = 3,14?
37. Измерения прямоугольного параллелепипеда
суть:
х = 24,7 м ± 0,2 м,
у — 6,5 м ± 0,1 м,
г = 1,2 м ±0,1 м.
В каких границах заключается объем v этого
параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной
погрешностями может быть определен объем этого
параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?
38. С какой абсолютной погрешностью следует
измерить сторону квадрата х, где 2 м < х < 3 м, чтобы
иметь возможность определить площадь этого квадрата
с точностью до 0,001 м2?
39. С какими абсолютными погрешностями Л
достаточно измерить стороны хну прямоугольника, чтобы
площадь его можно было вычислить с точностью до
0,01 м2, если ориентировочно стороны прямоугольника
не превышают 10 м каждая?
40. Пусть б (х) и 6 (у) — относительные погрешности
чисел х и у, б (ху) — относительная погрешность числа
ху.
Доказать, что б (ху) < б (х) + б (у) + б (д:)б (у).
§ 2. Теория последовательностей
1°. Понятие предела
последовательности. Говорят, что последовательность х4, х2 **■>•• ., или
иначе х„ (п — 1, 2, . . .), имеет своим пределом число а (короче,
сходится к о), т. е.
lim хп= а,
п-*оо
если для любого е > 0 существует число N = N (е) такое, что
\х„ — а\ < е при п > N.

i 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ IS
В частности, хп называется бесконечно малой, если
Игл х„ — 0.
л-*оо
Последовательность, не имеющая предела, называется
расходящейся.
2°. Признаки существования предела.
1) Если
iln «S хп < г„
а
lim yn = lim z„ = с,
л-*ао л-»ао
ТО
lim х„ — с.
л-»ао
2) Монотонная и ограниченная последовательность имеет
предел.
3) Критерий Кош и. Для существования предела
последовательности хп необходимо и достаточно, чтобы для
любого в > 0 существовало число N — N (е) такое, что
\*п — хп+р\<е,
если только п> N и р > 0.
3°. Основные теоремы о пределах после*
довательностей. Предполагая, что существуют
lim х„ и limy„,
Л-»00 Л-+00
имеем:
1) если х„<у„, то lim x„sglim yn\
2) lim (х„ ± у„) = lim x„ ± lim у„\
П-+ао П-+оо П-^оо
3) lim (х„уп) = lim дгп lim у„;
л-»оо п-*оо п-*-оо
lim х„
4) lim =— t если Mm упфО.
п-»<ю уп lim у„ л-*оо
Л-+00
4°. Число е. Последовательность
(,+т~)п (/,==1,2'* • °
имеет конечный предел
lim
В-*оо
Л + —Y=e = 2.718 281 8284. . .

J4 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
5е. Бесконечный предел. Символическая запись
Ит х„ = то
Л-»-эо
обозначает, что, каково бы ни было Е > 0, существует число
Л' = Л/ (Е) такое, что
|х„|>Е при n>N.
6°. Предельная точка. Число £ (нли символ <»)
называется частичным пределом (предельной точкой) данной
последовательности х„ (л = I, 2, . . .), если существует ее
подпоследовательность
*р|. *р2, • • • 1 хрп> • • • (isSPi'^Pz'*^»*»)
такая, что
Нт хРп = £.
л-»оо
Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей
мере один конечный частичный предел (принцип Больцано — Вей-
ерштрасса). Если этот частичный предел единственный, то он же
является конечным пределом данной последовательности.
Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный)
последовательности х„
lim х„
Л-*ЭО
называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее
lim х„
л-*-эо
называется верхним пределом этой последовательности.
Равенство
lim х„ = lim xn
является необходимым и достаточным условием существования
предела (конечного или бесконечного) последовательности хп.
41. Пусть
п + *
Доказать, что
lim x„ = 1,
Л-*(Х>
определив для каждого е > 0 число N — N (е) такое, что
S хп — 11< е, если п> N.

§ 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Заполнить следующую таблицу:
15
е
N
0,1
0,01
0,001
0,0001
• • *
42. Доказать, что х„ (п = 1, 2, . . .) есть бесконечно
малая (т. е. имеет предел, равный 0), указав для всякого
е > 0 число N = N (е) такое, что \хп | < е при п> N,
если
(—1)"+1 л .. 2п
а) *„:
б) *„ = -
л»+ 1
■1
1
в) xa = -L-; г) дс„-(-1)«.0,999-.
л!
Для каждого из этих случаев заполнить следующую
таблицу:
е
N
0,1
0.001
0,0001
• • •
43. Доказать, что последовательности
а) *„ = (— 1)"л, б) х„ = 2^, в) *„ = lg(lgn) (n>2)
имеют бесконечный предел при п -*■ оо (т. е. являются
бесконечно большими), определив для всякого Е > О
чиело N = N (Е) такое, что |хп| > Е при п> N.
Для каждого из этих случаев заполнить следующую
таблицу:
£
N
ю
100
1000
10000
. . .
44. Показать, что хп = п("1)П (п = 1, 2, . . .) не
ограничена, однако не является бесконечно большой
при п -*• оо.

18 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
45. Сформулировать с помощью неравенств
следующие утверждения:
a) lim*„ = oo; б) lim*„ = —оо; в) Пт*л=+°°.
п-+оо л-*оо л-*оо
Предполагая, что п пробегает натуральный ряд чисел,
определить значения следующих выражений:
46. Пт 1000°" . 47. lim(VMT-V^)-
п-**> Пг-\- 1 п—°°
48. Hm V^'""" . 49. lim (-2)П + 3" .
л+1 л-оо (_2)л+1 + Зл+1
50. lim ' + a + a5+ • • •+а" (]а|<1, |Ь|<1).
61. Пт(-±- + -А_+...+-^11_).
л->ос V, Я" Л' Л' /
52. lim|J__-£- + -*-_ ...+ <-1)"-1" I
53.
Л-»-ос \ П П П П
iimr_J!_ + _2_+ ... +_ii=J)!_l.
л->оо L I3 Я3 Л3 J
хл I- Г I2 , З2 , , (2л— 1)г 1
54. |,т _— + ——+...+-* —*— .
л->оо L Я3 Я3 Я3 J
«,./1.3,5, , 2л —1 \
55. lim | г-• ■ • Н I-
л-»оД 2 2* 23 ^ ^ ,2" У
56. •- Г > ' >
Пт Г-
Л-+оо L
1-2 2-3 л(л+1) J
57. lim(V2"vA2"^2" . . . 2/2~).
Л-хю
Доказать следующие равенства:
58. lim —^-=0. 59. lim-^—=0.
П-+-00 2 Л-+-00 fll
60. lim —-=0 (а>1). 61. lim -^-=0.
л—*оо О- л-*оо /l*
62. \imnqn = 0, если |<?|<1.
63. Iim>/a'=l (a>0). 64. lim-!^- = 0 (а>1).
л-*оо л-*оо Л
G5. lim y^rT = l. 66. lim L =0.
n-t-ao л-»оо у^я!

* 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 17
67. Какое выражение больше при достаточно
больших л:
а) 100л + 200 или 0,01л*?; б) 2" или л1000?;
в) 1000я или л!?
68. Доказать, что
,. / 1 3 2л— I \ n
lim [ . . . 1 = 0.
п^ос\ 2 4 2п )
Указание. См. пример 10.
69. Доказать, что последовательность
Хп = (1+~7")П (Лв1, 2" ' "]
монотонно возрастает и ограничена сверху, а
последовательность
y„ = (i+_L)n+1(n = i, 2,. . .)
монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести,
что эти последовательности имеют общий предел
l,mCi+JLy.iiI„Ci+J-y+I -,.
л-»оо Ч П ) л-»оо \ П )
Указание. Составить отношения ■ и вое пол ь-
*Л 0Л-1
зоваться неравенством примера 7.
70. Доказать, что
0<e-(l+-Ly<-i- (л=1. 2,. . .).
При каких значениях показателя л выражение (\ -\ J
будет отличаться от числа е меньше чем на 0,001?
71. Пусть р„/(п = 1, 2, . . .) — произвольная
последовательность чисел, стремящаяся к +со, и дп (л =
= 1, 2, . . .) — произвольная последовательность чисел,
стремящаяся к —сю (рп, qni [—1, 0J). Доказать, что
Ип, (\ + _!_у» = Ит (1 + _!_у» - е.
л-юо V. Рп J "-*°° V. <?л /
72. Зная, что lim f H ) —е, доказать, что
п-»<ю Ч 1 /
lim fl+ l +-i-+_L+ . .. + J-W

18 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Вывести отсюда формулу
e=2 + ^-+-L+-.-+-T-+-TL-' <♦>
2! 3! п\ п\п
где 0 < 8„ < 1, и вычислить число е с точностью до 10~5.
73. Доказать, что число е иррационально.
74. Доказать неравенство
75. Доказать неравенства:
а) —j—<ln(l+— )<—>
' п+ 1 V, я / п
где п — любое натуральное число;
б) 1 + а < е«,
где а — вещественное число, отличное от нуля.
76. Доказать, что lim п (а1/п — 1) = 1п а (а > 0)',
л-»оо
где In а есть логарифм числа а при основании е=2,718 .. .
Пользуясь теоремой о существовании предела
монотонной и ограниченной последовательности, доказать
сходимость следующих последовательностей:
77. x„ = p0+-g-+...+_gr („=i, 2,. . .),
где pi (i = 0, 1, 2, . . .) — целые неотрица!ельные
числа, не превышающие 9, начиная с р1#
7R v 10 И л + 9
«о. хп = • . . , 1
1 3 2л-1
* «-('--rX'-H - ('-?-)■
*-*-C+-r)(4"f-)-(4-?-)-
81. xia=V2". ^ = V2 + V2~ *„ =
eV2+V2+ . . . +V2" ....
n корней
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость
следующих последовательностей:

* S. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 19
82. х„ = о« + axq + . . . +а„<7п,
где |а*|< М (А = 0, 1,2... .) и \q\< 1.
0, sin 1 , sin 2 , , sin n
Во. дс„ —
"' 2 ' 2г • ■ 2я
с cos 1! , cos 2! , , cosnl
84. *„ = •
85. х„ = 1
1-2 2-3 n(n-t-l)
.1.1, .1
2s Зг пг
Указание. Воспользоваться неравенством
111
(л = 2, 3, . . .).
п2 л — 1 п
86. Говорят, что последовательность х„ (п = 1,
2, . . .) имеет ограниченное изменение, если существует
число С такое, что
I*» — Xl\ + 1*3 — Хъ\ + . . . + (*„ — A-„.!|<C
(п = 2, 3, . . .).
Доказать, что последовательность с ограниченным
изменением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности,
не имеющей ограниченного изменения.
87. Сформулировать, что значит, что для данной
последовательности не выполнен критерий Коши.
88. Пользуясь критерием Коши, доказать
расходимость последовательности
1 i 1 . ! i .1
*„ = !+ —+ — +...+ —.
89. Доказать, что если последовательность хп (п. =
= 1, 2, . . .) сходится, то любая ее
подпоследовательность хр также сходится и имеет тот же самый предел:
lim х„ = lim х„.
90. Доказать,- что монотонная последовательность
будет сходящейся, если сходится некоторая ее
подпоследовательность.
91. Доказать, что если Игл х„ = а, то
lim |x„| = |a|.
П-+-00
2*

20 ОТДЕЛ ! ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
92. Если х„ -*■ а, то что можно сказать о пределе
lim
*n+J
п-*оо i Хп
93. Доказать, что сходящаяся числовая
последовательность ограничена.
94. Доказать, что сходящаяся числовая
последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей
нижней грани, либо той и другой. Построить примеры
последовательностей всех трех типов.
95. Доказать, что числовая последовательность
х, (в = 1, 2, . . .), стремящаяся к 4- оо, обязательно
достигает своей нижней грани.
Найти наибольший член последовательности хп (п =»
= 1,2, . . .), если:
96. *„ = -£-. 97. *„ = —^_. 98. *„ = =.
2" 100+п п!
Найти наименьший член последовательности х„ (л =•
— 1, 2, . . .), если:
99. хп = л*-9л-100. 100. хп = п + -^-.
Для последовательности х„ (л = 1, 2, . . .) найти
inf xn, sup xn, Hm х„ и lim xn , если:
101.
*я^1 i_. 101.1.*п = (-1)"-'(2 + -|-).
,02. х^-Ц^+ 1-Ь(-1)" .
,03-*«=1+т+-гСО5-т--
Я (П-1)
104. хп = 1+2{-\)п+1+3(— 1) 2
105. *„ = ""' cos-^-. 106. *„ = (—1)"я.
п+ 1 3
107. х„ = _п[2+(—1)»1. 108. *п = л<-*>».
109, x„ = l+flsin-^-. НО. *„ = - '
10.2

i 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 21
Найти lim хп и lim xn, если:
п-*оо
ч-»-оо
. , , Я2 2лЛ
111. Х„ = COS
1 + я 3
sin-^L
112. х. « (l+ -i~y. (— 1)» + si
«to Я . , ЯЛ
113. xn = smJ .
я + 1 4
114. xn = Vl+2»-i-i)n- US. *я = с<*"-^.
Найти частичные пределы следующих
последовательностей:
llfi 1 1 1 з 1 7 l
1 *0, _ • „ • —"— • —~ • . • ~т— i ... 1 •—■ t
2 2 4 4 8 8 2я
2" — !
2"
117.1, 4-- 1+4-- 4-- 1+-т-> 4-+-г»
2 2 3 3 2 3-
Л_ 'l4-i- J-4-J- -L+-L JL
J_ i - J L+JL
2 я я — 1
1
я+1
на ' l 2 12 3 1
1,0« ~Г~ • T~ » ~T"" » —Г" • —7~ • —T~ • ~T
2 3 3 4 4 4 5
2 3 4
V T* 5 "••
■t
119.
*„ = 3-(l JL) +2 <-!)».
120, *„ = -!-[(a + fc) + (-l)«(a-&)].
V.
121. Построить пример числовой последовательности,
имеющей в качестве своих частичных пределов данные
числа
Oli Cj Op.

22
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
122. Построить пример числовой последовательности,
для которой все члены данной числовой
последовательности
а1> #2» • • ■» &п> • • •
являются ее частичными пределами. Какие еще
частичные пределы обязательно имеет построенная
последовательность?
123. Построить пример последовательности:
а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный
предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных
пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела
каждое вещественное число.
124. Доказать, что последовательности хп и у„ ==■
= xn\fn (п = 1, 2, . . .) имеют одни и те же частичные
пределы.
125. Доказать, что из ограниченной
последовательности хп (п = 1, 2, . . .) всегда можно выделить
сходящуюся подпоследовательность х„ (п = 1, 2, . . .).
126. Доказать, что если последовательность х„ (п =
= 1, 2, . . .) не ограничена, то существует
подпоследовательность хв такая, что Ит х„ = оо.
127. Пусть последовательность хп (п = 1, 2, . . .)'
сходится, а последовательность у„ (п = 1, 2, . . .)
расходится. Что можно утверждать о сходимости
последовательностей:
а) хп + уп; б) хпу„?
Привести соответствующие примеры.
128. Пусть последовательности хп и уп (я = 1,
2, . . .) расходятся. Можно ли утверждать, что
последовательности
а) х„ + уп; б) хпуп
также расходятся? Привести соответствующие примеры.
129. Пусть lim хп = 0, и уп (п — 1, 2, . . .) —
произвольная последовательность. Можно ли
утверждать, что lim хпуп = 0? Привести соответствующие
примеры.

5 8. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 23
130. Пусть
lim хпуп — 0.
Следует ли отсюда, что либо lim хп = 0, либо lim #„= 0?
п-+оо п-+оо
„ 1+(_1)" 1_(_1)"
Рассмотреть пример: х„ = ———, уп —
(я = 1, 2, . . .).
131. Доказать, что
а) lim хп + Шп уп <_lim (хп + у„) < Шп хп + lim yn
я-м» п—х п—х п-+ао п—оо
И
б) lim х„ + Пгп у„ < lim (х„ + #„)< Шп х„ + Шу„.
^^ П-» П-00 „^.зо П-+Х
Построить примеры, когда в этих соотношениях
имеют место строгие неравенства.
132. Пусть хп>0иуп > О («=1, 2, . . .). Доказать,
что
а) \\тх„-\\ту„ < lim (*,,(/„)< lim *„• lim//„
к-*оо п-*оо п-*оо п-*эо п-*эо
и
б) lim хп- Mmу„ < lim (х„у„) < lim x„-lim yn.
fl_^00 п-*эо п-»эо п-»эо п-*эо
Построить примеры, когда в этих соотношениях
имеют место строгие неравенства.
133. Доказать, что если lim х„ существует, то, какова
я-*оо
бы ни была последовательность у„ (п — 1, 2, . . .),
имеем:
а) Шп (хп + уп) = lim хп + Шуп
и
б) Пт (хпуп) = lim х„ • Ш у„ (хп > 0).
п-*оо п-+оо п-»оо
134. Доказать, что если для некоторой
последовательности х„ (п=1, 2, . ..), какова бы ни была
последовательность уп (п — 1, 2, . . .), имеет место по меньшей мере
одно из равенств:
а) Ш (хп + уп) = Ш Хп + Кт уп

24 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
ИЛИ
б) ШтГ (х„уп) = ЙгтГ х„ • ЙгтГ уп (хп >0),
Л-+-00 Л-*0О Л-*00
то последовательность хп — сходящаяся.
135. Доказать, что если хп >0 (п = 1, 2, . . .) и
lim х„- Пт = 1,
л-*ос л-*оо Хп
то последовательность х„ — сходящаяся.*
136. Доказать, что если последовательность хп (п =
= 1, 2, , . .) ограничена и lim (xn+l—х„) = 0, то ча-
л-*-оо
стичные пределы этой последовательности расположены
всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:
1 = \\т хп и L = lim xm
п-»эо
л-*оо
то есть любое число из отрезка [/, LI является
частичным пределом данной последовательности.
137. Пусть числовая последовательность xlt хг, ...
.... х„, . . . удовлетворяет условию
О < хт+п < хт + х„ (т, я=1, 2, . . .).
Доказать, что lim -^- существует.
Л-*оо П
138. Доказать, что если последовательность х„ (я = 1,
2, . . .) сходится, то последовательность средних
арифметических
l„ = — (xi + xt+ . . . +хп) (я = 1, 2,. . .)
л
также сходится и
lim *' + *' + • • • +x"~lim xn.
Л-*оо И /1-+-00
Обратное утверждение неверно: построить пример.
139. Доказать, что если lim xn= +оо, то
lim *+'» + • • • +х„ = +00
Я-»оо Л
140. Доказать, что если последовательность ха (я **
= 1, 2, . . .) сходится и х„ >0, то
lim (/'дел . . . ха = lim x„

J 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 25
141. Доказать, что если хп >0 (я = I, 2, . . .), то
п-мо n-»ao Xn
предполагая, что предел, стоящий в правой части
последнего равенства, существует.
142. Доказать, что
Нт —-— = е.
n-t-co "/"ГГ
\ Я!
143. Доказать теорему Штольца: если
а) уп+1> Уп (я = 1. 2, . . .);
б) \\туп = +оо, в) существует lim *n+l~*n ,
Л-+О0 П-К» Уп+l Уп
ТО
lim -£а_ = lim *"+'-*" .
л-»оо Ул л-»сс {/n+l — Уп
144. Найти:
а) lim-—(a>l); б) lim -^-.
n-t+ao в" п-Н-оо Я
145. Доказать, что если р — натуральное число, то
1" + 2" + . . . + я" 1
а) lim
, 1Р+2,+ ...+яр «—^ '
в, цт " + У+- • .+№»-1У 2^
л-о. ЯР+» р+1
146. Доказать, что последовательность
*„=l+4- + -T-r----+J 1"" (я = 1, 2, ...j
i a n
сходится.
Таким образом, имеет место формула
1+4- + ~Г+ * • * + —= С + 1пя+е„,
где С = 0,577216 ... — так называемая постоянная
Эйлера и е„ -*■ 0 при я -*■ оо.
147. Найти
Hmf—!—+—!—+...+-L.V
n-ooV я+1 я + 2 2я /

28
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
148. Последовательность чисел х„ (п = 1, 2, . . .)
определяется следующими формулами:
*, = о, *а = &, ха= *"-' + x"-' (п = з, 4.. . .)•
Найти lim х„.
л-*эо
149 (н), Пусть хп (п = 1, 2, . . .) —
последовательность чисел, определяемая следующей формулой:
*о>0, x„+1 = -i-fx„ + -i_) (п = 0, 1, 2, . . .)•
Доказать, что lim х„ = 1.
л-*эо
150. Доказать, что последовательности х„ и у„ (п =
= 1, 2, . . .), определяемые следующими формулами:
*i = a. #» = &, хп+1 = ^/хпуп, уп+1= *" + у" ,
имеют общий предел
ц (а, 6) = lim х„ = lim yn
Л-»00 Л-*00
(арифметико-геометрическое среднее чисел а и Ь),
§ 3. Понятие функции
1°. Понятие функции. Переменная у называется
однозначной функцией \, от переменной х в данной области
изменения X = {х}, если каждому значению х £ X ставится
в соответствие одно определенное действительное значение
У — I■(■*). принадлежащее некоторому множеству Y = {^}.
Множество X иосит название области определения нли
области существования функции £ (лс); Y называется множеством
значений этой функции.
В простейших случаях множество X представляет собой
или открытый промежуток (интервал) ]а, Ь[=(а, Ь):
а < х < Ь или полуоткрытые промежутки
la, ft) = (а, 6]:а<х<Ь. [а, 6 [ = [а, Ь): а < * < 6,
или замкнутый промежуток (сегмент) [а, ft]: а < х г£ 6, где
в н Ь — некоторые вещественные числа или символы — » и
+ «о (в последних случаях равенства исключаются). Если
каждому значению ж из X соответствует одно или несколько
значений y = f,(x), то у называется многозначной функцией от х.
2". Обратная функция. Если под х понимать
любое значение, удовлетворяющее уравнению
/ (х) - У,
где if — фиксированное число, принадлежащее множеству зна-

S 1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 27
ченнй Y функции f, (х), то это соответствие определяет на мно.
зкестве У некоторую, вообще говоря, многозначную функцию
называемую обратной по отношению к функции I (х). Если
функция у = I (х) монотонна в строгом смысле, т. е. I (хг) >/ (хг)
(или соответственно f, (xt) < | (х,)) при xt > x4, то обратная
функция х = /_1 (у) является однозначной и монотонной в том
же смысле.
Определить области существования следующих функ«
ций:
151. (/ = ——. 152. у=гфх—Х> .
1 *-у~ X
153. у==(д_2)д/-1±^- .
154. a) i/=log(**—4); б) у = log(х+2)-f-log(дс—2).
155. у — Vsin (л/х~) . 156. y — ^cosx* .
157. ^lgfsin-^-V 158. i/ = ^
V x J я sin л
Где
I ЛХ
2x
159. u = arcsin 160. u = arccos (2 sin ж,
161. t/ = lg[cos(lgJt)]. 162(h). (/ = (* + |*|)V*sir?JU.
163. у = ctg шс -f arccos (2*).
164. i/ == arcsin (1 —x) + lg (lg x). 165. y = (2x)\
165.1. t/=log2log3log4je. 165.2, y = V\gtgx .
165.3. у = Vsin 2x +Vsin3Jt (0 s? x < 2л).
Определить области существования и множество
значений следующих функций:
166. у = ф+х—х* . 167. t/=lg(l—2cosx).
168. у = arccos —^— . 169. ы = arcsinfig-*—\.
* l + x* * V Ш j
170. y = (-\Y.
171. В треугольник ABC (рис. 1), основание
которого АС =* Ь и высота 5D = Л, вписан прямоугольник
KLMN, высота которого NM = х. Выразить периметр

28 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Р прямоугольника KLMN и его площадь S как
функции ОТ X.
Построить графики функций Р — Р (х) и S — S {х).
Рис. 1
172. В треугольнике ABC сторона АВ = 6 см,
сторона АС — 8 см и угол ВАС = х. Выразить ВС = а
в площадь ABC — S как функции переменной х.
Построить графики функций а — а (х) и S = S (х).
173. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 2),
основания которой AD — а и ВС — Ь (а >Ь), а высота
ИВ = Л, проведена прямая MN || ИВ и отстоящая от
вершины А на расстоянии AM = х. Выразить пло-
щадь S фигуры ABNMA как функцию переменной
я. Построить график функции: S = S (х).
174. На сегменте 0 < х < 1 оси Ох
равномерна распределена масса, равная 2 г, а в точках этой
оси х — 2 и х = 3 находятся сосредоточенные массы
во 1 г в каждой. Составить аналитическое выражение

* 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 29
функции т — т {х) (— оо < х < + «>), численно
равной массе, находящейся в интервале (—оо , х),
и построить график этой функции.
175. Функция у = sgn х определяется следующим
образом:
( —1, если дс<0;
Sgn* =
0, если jc = 0;
1, если дс>0.
Построить график этой функции. Показать, что
| х | = х sgn х.
176. Функция у — [х] (целая часть числа х)
определяется следующим образом: если х =* п + г, где п —
целое число и 0<г<1, то [х] — п.
Построить график этой функции.
177. Пусть
у = я (х) (х> 0)
обозначает число простых чисел, не превышающих
числа х. Построить график этой функции для значений
аргумента 0 < х < 20.
На какое множество Еу отображает множество Ем
функция у = / (х), если:
178(h). у = х*,
179. y~\gx,
180. у = — arctgje,
л
181. y = cig^-,
4
182. у = \х\.
£, = {—1<ж<2}.
Ех=*{10<х<\№}.
Ех = { — оо < х< + оо)
£, = {0<|*К1>.
£, = {!< \х\ <2}.
Переменная х пробегает интервал 0<лс<1.
Какое множество пробегает переменная у, если:
183. у = а+(Ь—а)х. 184. у =
I-*
185. у = —-—. 186. у=л/х^-х*.
187. 0 = ctgjuc. 188. у=« + [2x1.

/<*)={
30 ОТДЕЛ t. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
189. Найти / (0), / (1), / (2), / (3), / (4), если / (х) -
с= д*__б£3 _|_ Цх2—-6х.
190. Найти / (— 1), / (— 0,001), f (100), если / {х) -
- lg (**)•
191. Найти /(0,9), /(0,99), /(0,999), /(1), если
/(*)=- 1 + [х].
192. Найти / (- 2), / (- 1), / (0), / (1), / (2), если
1+х при — оо<дс<0,
2* при 0<х< + оо.
193. Найти / (0), / (- х), [ {х + 1), / {х) +1,
/(*) = — •
1+*
194. Найти значения х, для которых: 1) / {х) = 0;
2) / {х) > 0; 3) / (х) < 0, если:
а) /(х)=х-х8; б) /(x) = sin-^-;
в) f{x) = {x + \x\){l-x).
195. Найти <р(х) = *(« + *)-/(*) ( если.
h
а) /(*)-« + Ь; б) / (*) - х\ в) / (дс) = а*.
196. Пусть / (х) = ахъ + Ьх + с. Показать, что
/ {х + 3) — 3/ (jc + 2) + 3/ {х + 1) — / {х) м 0
197. Найти целую линейную функцию / {х) = ах + Ь,
если / (0) = — 2 и / (3) = 5.
Чему равны / (1) и / (2) {линейная интерполяция)?
198. Найти целую рациональную функцию второй
степени: / {х) = ах* + Ьх + с, если
Д_2) = 0, Д0) = 1, Д1)-5.
Чему равны / (— 1) и / (0,5) {квадратичная интерпо-
ляция)?
199. Найти целую рациональную функцию третьей
степени:
f{x) = ax3 + bxt + cx+d,
если Д-1) = 0, ДО)-2, / (1) = -3, / (2) = 5.

« 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 31
200. Найти функцию вида / (х) — а + Ьс*, если
/ (0) = 15, / (2) = 30, / (4) - 90.
201. Доказать, что если для линейной функции
/ (х) = ах + Ь
значения аргумента х = х„ (п = 1, 2, . . .) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие
значения функции уп — / (*„) (л=1, 2, . . .) образуют
также арифметическую прогрессию.
202. Доказать, что если для показательной функции
/ (х) = а* (а > 0)
значения аргумента х ■=• хн (я = 1, 2, . . .) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие
значения функции у„ = f (xn) (/i==l, 2,...) образуют
геометрическую прогрессию).
203. Пусть функция / (и) определена при 0 < и <1.
Найти области определения функций:
a) /(sin*); б) /(In*); в) /(-^-).
204. Пусть /(*) = — (а*+а~х) (а>0).
Показать, что
t(x + y) + f(x-y) = yMf(y).
205. Пусть / (х) + f (у) = / (г). Определить г, если
a) f(x) = ax; б) /(*) L;
X
B)/W = arctg* (|*|<1); r)/(*) = log-4±iL.
Найти ф [<р (х) ], i{> [ij> (*) ], ф [i|> (*) ] и t|) [<p (х) 1,
если:
206. у(х) = х* и ф(*) = 2*.
207. q>(*) = sgn* и Ч>(*) = "—•
Г0 при дс < 0, f 0 при*<0,
208. q> *)= * ^Л и Ц)(*) = . v
т w I * при дс>0 YV ' I —** при*>0.

32 ОТДЕЛ !. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
209. Найти f [f (x)l f {/ If (jc)]}, если
1-х
210. Пусть fn (jc)=jf(ft. . .7(*))),. Найти fn (jc), если
n раз
211. Найти / (jc), если / (jc + 1) = jc*—$x + 2.
212. Найти /(jc), если / fjc+-L) = jc»+ -j^-(|*| > 2).
213. Найти f{x), если/ (—\*=x+^/l+xT' (jk>0).
213.1. Найти f(x), если f (——)=*".
Доказать, что следующие функции являются
монотонно возрастающими в указанных промежутках!
214. /(jc) = jc* (0<jc< + oo).
215. /(jc) = sin* ( i-<JC<-f-)'
216. f(x)=lgx ^JL.<x<JL.y
217. /(jc) = 2jc+sinjc (—oo <jc<+oo).
Доказать, что следующие функции являются
монотонно убывающими в указанных промежутках:
218. f (*) = ** (— оо<*<0).
219. f (jc) = cos jc (0 < x < л).
220. /(jc)=ctgjc (0<jc<n).
221. Исследовать на монотонность следующие
функции:
a) f(x)=ax+b; б) f(x) = ax*+bx+c;i
в) fM-*l г) fW._H±i-;
сх-\- а
д) Нх) = а* (а>0).

$ 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 3S
222. Можно ли почленно логарифмировать
неравенство?
223. Пусть ф (х), ij) (x) и / (х) — монотонно
возрастающие функции. Доказать, что если
Ф (*) < / (*) < * (*).
то
Ф [ф (*)]</!/(*)К* 1ф(*)1.
Определить обратную функцию х = ф {у) и ее
область существования, если:
224. у = 2х+3 (— оо<х<+оо).
225. у = **; а) — оо<х<0; б)0<х<+оо.
226. У = -\=±- (хф-1).
1 + х
227. у^-у/\—хг~; а)—1<х<0; 6)0s£x<l
228. y = shjc, где shх = — (е* — е-*)
(—оо<х< +оо).
229. y = thjc, где thx = «*-^~*
( —оо<дс< +оо).
230.
|х, если —оо<л<1;
х2, если 1 < х < 4;
2*, если 4<х< + оо.
231. Функция f (х), определенная в симметричном
интервале (— /, /), называется четной, если
f(-x)~f (х);
и нечетной, если
/(—*)== — / (х).
Определить, какие из данных функций / (х) являются
четными, а какие нечетными:
а) Пх) = 3х-х3; б) /(*) = Wl—*)* +^(i+je)i;

34 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
в) f(x) = a* + a-* (а>0); г) /(*)*» In '~* ;
д) /(х) = 1п(д: + л/Т+^Г).
232. Доказать, что всякую функцию / (х),
определенную в симметричном интервале (— /, /), можно
представить в виде суммы четной и нечетной функций.
233. Функция / (х), определенная на множестве Е,
называется периодической, если существует число Т>0
(период функции — в широком смысле слова!) такое,
что
f(x±T) = f (х) при х £ Е.
Выяснить, какие из данных функций являются
периодическими, и определить наименьший период их,
если:
а) /(*) = A cosXjc + JBsinbr,
б) f(x) = smx-\ sin2»H sin Здг,
в) /W = 2tg-|—3tg-^-; г) /(дс) = 8|п»дг.
д)/(x) = sinx2; е) / (х) = V*JT* *•
ж) f (х) = tg л]Т; з) / (х) — sin х + sin (х уТ).
234. Доказать, что для функции Дирихле
\ 1, если х рационально,
у (х) = {
[О, если х иррационально,
периодом является любое рациональное число.
235. Доказать, что сумма и произведение двух
периодических функций, которые определены на общем
множестве и периоды которых соизмеримы, есть
функции также периодические.
235.1. Функция f (х) называется антипериодической,
если
f{x+T) = -f(x) (Г>0).
Доказать, что / (х) — периодическая с периодом 27\
236. Доказать, что если для функции / (х) (— оо <;
<х < + оо) выполнено равенство / (х + Т) = kf (x),
где й и Т — положительные постоянные, то / (х) =
= axq (х), где а — постоянная, а ф (л;) —
периодическая функция с периодом Т.

$ «. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 35
§ 4. Графическое изображение функции
1°. Для построения графика функции у = f (х) поступают
следующим образом: 1) определяют область существования
функции: X = {х}; 2) выбирают достаточно густую сеть
значений аргумента дг,, х» хп из X и составляют таблицу
соответствующих значений функции
yi=l(xi) («'= 1. 2 л);
3) наносят систему точек Mi(xi, у ft (i = 1, 2, ... , л) иа
координатную плоскость Оху и соединяют их линией, характер
которой учитывает положение промежуточных точек.
2=. Чтобы получить грамотный график функции, следует
изучить общие свойства этой функции.
В первую очередь нужно: 1) решив уравнение / (дг) = О,
определить точки пересечения графика функции с осью Ох
(нули функции); 2) установить области изменения аргумента,
где функция положительна или отрицательна; 3) если возможно,
выяснить промежутки монотонности (возрастания или
убывания) функции; 4) изучить поведение функции при
неограниченном приближении аргумента к граничным точкам области
существования функции.
В этом параграфе предполагается, что свойства простейших
элементарных функций — степенной, показательной,
тригонометрических и т. п., известны читателю.
Пользуясь этими свойствами, можно, не проделывая
большой вычислительной работы, сразу рисовать эскизы графиков
многих функций. Другие графики иногда удается свести к
комбинации (сумме или произведению и т. п.) этих простейших
графиков.
237. Построить график линейной однородной функции
у = ах
при а = 0; 1/2; 1; 2; — 1.
238. Построить график линейной функции
У = х + Ь
при Ь = 0, 1, 2, — 1.
239. Построить графики линейных функций:
а)у = 2х+3; б) у = 2-0,1г. у= 1 1.
240. Температурный коэффициент линейного
расширения железа а= 1,2-10"'. Построить в подходящем
масштабе график функции
1 = f(T) (— 40° < Т < 100°),
где Т — температура в градусах и / — длина железного
стержня при температуре Т, если / = 100 см при Т = 0°.
3*

36 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
241. На числовой оси движутся две материальные
точки. Первая в начальный момент времени / = 0
находилась на 20 м влево от начала координат и имела
скорость vt = 10 м/с; вторая при / = 0 находилась
на 30 м вправо от точки О и имела скорость vt =
— — 20 м/с. Построить графики уравнений движений
этих точек и найти время и место их встречи.
242. Построить графики целых рациональных
функций 2-й степени (параболы):
а) у — ахг при а = 1, 1/2, 2, —1;
б) !/ = (*—*о)* при *о = 0, 1, 2, — 1;
в) у = х' + с при с = 0, 1, 2, —1.
243. Построить график квадратного трехчлена
у => ах' + be + с,
приведя его к виду
У = Уо + а (х—х0 )а.
Рассмотреть примеры:
a) ^ = 8jc—2jc"; б) у = хх—Здс + 2;
в) у=—х* + 2х-1; г) у = -^-х* + х+1.
244. Материальная точка брошена под углом а = 45°
к плоскости горизонта с начальной скоростью ve =»
= 600 м/с. Построить график траектории движения
и найти наибольшую высоту подъема и дальность
полета (приближенно считать g « 10 м/с2;
сопротивлением воздуха пренебречь).
Построить графики целых рациональных функций
степени выше второй:
245. y^xt+l. 246. «/ = (!—х2) (2+х).
247. г/ = дс*—х*. 248. у = х(а —х)*(а+х)* (а>0).
Построить графики дробно-линейных функций
(гиперболы):
249. у = —. 250. ц= '~* .
X 1 + Х
251. Построить график дробно-линейной функции
у = -Ш£- (ad-ЬсфО, сф%
cx + d

S 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОВРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 37
приведя ее к виду
Рассмотреть пример у--
х —х0
Зх+2
2х — 3
252. Газ при давлении р0 =*= 1 кгс/ма занимает объем
v0 = 12 м*. Построить график изменения объема v
газа в зависимости от давления р, если температура
газа остается постоянной (закон Бойля—МариоттаХ
Построить графики дробных рациональных функций;
253. у — х+ (гипербола).
254. у = х*-\ (трезубец Ньютона).
255. у = х-
х
1
X1
256. у = — (кривая Аньези).
1 4~ X*
2х
257. у — (серпантин Ньютона).
258. у = - . 259. у-
I— X* 1-Х*
260. у=> —L 2- + -±-.
1 + X" X 1 —X
261. г ! 2 ■ '
1 + X X* 1-Х
262. у= (*+'Н*-2> ,
(х-1)(х4-2)
263. Построить эскиз графика функции
ах* 4- Ьх + с . , „.
г/=—:IL—г— (fli^o).
aix 4- *i
приведя ее к виду
ij = kx + m +
х — х0

33 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Рассмотреть пример
264. Построить график абсолютной величины силы
притяжения F материальной точки, находящейся на
расстоянии х от притягивающего центра, если F =
= 10 кгс при х = 1 м (закон Ньютона).
265. Согласно закону Ван-дер-Ваальса объем v
реального газа и его давление р при постоянной
температуре связаны соотношением
(p + -$r)(v-b)-c.
Построить график функции р =р (и), если а = 2
Ь = 0,1 и с = 10.
Построить графики иррациональных функций:
2G6. у= ± V—*—2 (парабола).
267. у=±*У* (парабола Нейля).
1
268. г/ = ±—л/Ю°—х% (эллипс).
269. у=±л/хг—\ (гипербола).
270. и = -ЬЛ Х~~* . 271. у =±хл/100—х».
V 1 + ж
272. у — ±х л —-— (циссоида).
V Ю — ж
273. t/ = ± У(хг—1)(9—хг).
274. Построить график степенной функции у = Xя
при: а) я = 1, 3, 5; б) я = 2, 4, 6.
275. Построить график степенной функции у = хп
при: а) я = — 1, — 3; б) я = — 2, — 4.
276. Построить график радикала у = -y/lc при:
a) m == 2, 4; б) т = 3, 5.
277. Построить график радикала t/ = j/"x*~, если:
а) т = 2, k = 1; б) m = 2, £ = 3; в) т = 3, * = 1;
г) /л = 3, k = 2; д) т = 3, А = 4; е) m = 4, k = 2;
ж) m = 4, А = 3.

§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 39
278. Построить график показательной функции
у = а" при а=1/2, 1, 2, е, 10.
279. Построить график сложной показательной
функции у — с*1, если:
a) yi = хг\ б) yt = — х*; в) «/!=—;
г) 1/1 = -^-; Д) /Л= ^-; е)*/^-^.
280. Построить график логарифмической функции
у = loge* при а = 1/2, 2, е, 10.
281. Построить графики функций:
а) у = In (— х); б) «/ = — In x.
282. Построить график сложной логарифмической
функции у = In j/j, если:
а) «/х = 1 + Л б) у, = (х-1) (*-2)2 (jc-3)3;
В) 1/1=="ТТ^"; Г) ^1 = "^; Д) 1/1 = 1+^-
283. Построить график функции у = log,.2.
284. Построить график функции у == A sin x при
/1 = 1, 10, —2.
285. Построить график функции у = sin (х—х0),
если лс0 = 0, я/4, я/2, Зл/4, я.
286. Построить график функции у = sin пх, если
п = 1, 2, 3, 1/2, 1/3.
287. Построить график функции
у = a cos jc + 6 sin jc,
приведя ее к виду
у = i4 sin (jc—jc0).
Рассмотреть пример:«/ = 6 cos x + 8 sin x.
Построить графики тригонометрических функций:
288. у = cos х. 289. у = tg х. 290. «/ = ctg x.
291. j/ — sec х. 292. «/ = esc x. 293. j/ = sin2 jc.
294. у — sin3*. 295. у = ctg2*.
296. у = sin лс-sin 3jc. 297. у = ± У cos at.

40 ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ .
Построить графики функций:
298. « = sitiJKs. 299. i/ = sin —. 300. i/ = cos —.
Я XX
300.1. y = s'mx. sin —. 301. t/ = tg~.
301.1. £ = sec—. 302. y = x(2+sin-l-\.
№. y=±^T=xTsin-2-. 304. y = -^^-
305. y = e*cosx. 306. у = ±2-*фтпх .
307. y^ cos* . 308. i/ = ln(cosx).
309. 0 = cos(lnje). 310. ^ = e'/sln*.
Построить графики обратных круговых функций:
311. у = arcsin х. 312. у = arccos x.
313. # = arctg *. 314. у — arcctgx.
315. у= arcsin —. 316. у — arccos .
317. u = arcctg . 318. у = arcsin (sin x).
X
319. у — arcsin (cos x). 320. у — arccos (cos дс).
321. у -— arctg (tg x). 322. # = arcsin (2 sin д).
323. Построить график функции
у — arcsin ylt
если:
а) л-1—f-: б) уг=-^-г;
в) ^= t~* ; г) {/! = е*.
324. Построить график функции у = arctg t/lP если:
a) 0i = *\ б) й.= -1-; В) Й-IIU,
г) й = _-!_.
ЗШДС

% 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 41
324.1. Построить графики функций:
а) у = х*—Зх + 2; б) */ = - «
в) у = —-——; г) y = *Jx(l— х2) ;
1*1 — 1
д) ^ = 3sin(^- + ^-); e) ^ctg-^-;
ж> У 1_у/1-л ; з) 0 = !g(*a-3x-r-2j;
и) # = arcsin{ sinxj;
к, ,-«ti(_|:r+_JT + _J_);
л) у = logcos * sin х; и) у = (sin x)ct« *.
325. Зная график функции # = / (х), построить
графики функций:
a) y = -f(x); б) y = f(-x); в) у /(-*).
326. Зная график функции у — f (x), построить
графики функций:
а) у = f (x—xQ); б) y = yt+f (x—xo);
в) у = / <2х); г) у = f (kx + b) (k ф 0).
326.1. Пусть
1—|х| при |х|< 1;
0 при |х|>1.
Построить графики функций:
y = -j-\f(x-()+f(x + t)]
при t = 0, / = 1 и / = 2.
327. Построить графики функций:
/<*) = {
а) 0=2+уТ-7; б) у=\-е-*;
в) у=1п(1+х);
г) ^ arcsin (1 + х); д) у = 3 + 2 cos 3*.

42 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
328. Зная график функции у = / (jc), построить
графики функций:
а) уН/MI: б) y = -Y(\f(x)\+f(x));
в) y°*-j-(\f(x)\-f(x)).
329. Зная график функции у = f (x), построить
графики функций:
а) У = Р(х); б) у = VfW; в) у = In/(х);
т)У = Н! (х)У. Д) У = sgn / (*); е) у = [/ (*)].
329.1. Пусть
/ (х) = (х-а) (Ь-х) (а < Ь).
Построить графики функций:
a) у = /(*); б)у = Р(х); в)у = -1—;
г) У = VTW"; Д) f/ = ^ и; е) r,=lg f (jc);
ж) r/ = arcetg/(jc).
329.2. Построить графики функций:
а) у — arcsin [sinf (*)]; б) у = arcsin [cosf (x)\\
в) f/ = arccos [sin/(*)]; г) г/= arccoslcos/(*)];
д) j/ = arctg[tg/(*)],
если: 1) f (x) = jc*; 2) f (x) = jc3.
330. Зная графики функций у = f (х) и у = g (x),
построить графики функций:
а) у - f (х) + g (x); 6)y = f (x)g(x); в) у = f (g (jc)).
Применяя правило сложения графиков, построить
графики следующих функций:
331. у=\ + х+е*. 332. y = (x+\)-* + {x—\)-\
333. y = x + sinx. 334. y = x+arctgx.
335. г/ = cos jc + — cos 2x+—cos Зле.
336. r/ = sinx sin3x-[ sin 5jc.

$ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 43
337. y = s\n*x+cos*x. 338. y = \l—x\ + \l + x\.
339. у = \\ — *| —\1+х\.
340. Построить графики гиперболических функций:
а) у = ch х, где ch х — — (е* + е-*);
б) у = shot, где sh* =—(е*—е~х)\
в) y = th*. где th* = -^-.
ch x
Применяя правило умножения графиков, построить
графики функций:
341. y = xs'mx. 342. y = xcosx.
343. i/ = *2sin2*. 344. у = - sin*
/(*)-{
345. y = e-*cos2x. 346. i/ = *sgn(sin*).
247. у = [*] | sin nx |. 348. # = cos*-sgn(sin*).
349. Пусть
i—|*|, если |*| < 1;
0, если 1*|>1.
Построить график функции
# = /(*)/ (а—х).
если:
а) с = 0; б) а = 1; в) а = 2.
350. Построить график функции
у = * + V* sSn (sin лд0-
Построить график функции у = , если:
351. / (*) = *2 (I—*2). 352. /(*) = * (1—*)*•
353. / (*) = sin2*. 354. / (*) = In *.
355. / (*) = e*sin *.
356. Построить график сложной функции у = f («},

44 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
где й = 2 sin х, если:
—1 при — оо<«< — 1;
/(«)= и при —-1 <«<1;
.1 при 1 < и < + •»•
357. Пусть
ф(х) = — (*+!*1) иЧ>(*) =
2 ( х2, если х > 0.
Построить графики функций:
а) £ = ф 1ф (х) 1; б) у — <р ty (х) J;
в) у - Ф 1ф (х)); г) # — г|> 1ф (дс) J.
358. Пусть
ф(х) = П. еслии|<1;
\0, если |х|>1,
и
^„/а-х-.вуинхк*
YW \2, если |х|>2.
Построить графики функций:
а) £ - ф 1ф (х) J; б) у = ф [ф (х) J;
в) # — Ч> [ф (х) J; г) у = ф [ф (х) 1.
359. Функцию / (х), определенную в положительной
области х > 0, продолжить в отрицательную область
х<0 таким образом, чтобы полученная функция была:
1) четной; 2) нечетной, если:
а) / (х) = 1 -х; б) f (х) = 2х-х»; в) / (х) - У?;
г) / (х) = sin х; Д) / (х) = ех; е) / (х) = 1п х.
Построить соответствующие графики функций.
360. Определить, относительно каких вертикальных
осей симметричны графики функций:
а) у = ах2 + Ьх+с; б) y = -J—i —;
в) у^л/а + х+л/Ь—х (0<а<Ь);
г) 0=a + bcosx.

« 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 49
361. Определить, относительно каких центров сим*
метричны графики функций:
а) у = ах+Ь; б) у^ ах+Ь •
cx + d
в) y = ax* + bx*+cx+d;
д) у- l+J^?.
362. Построить графики периодических функций:
а) у=. |sin х\; б) у = sgn cos x; в) у = /■(*),
где /(*)= Л -у-(2—7")' еСЛИ ° < *< ^ и / (* + 2/) э
r,^W-2[f];
Д) У в (*)> где (*) — расстояние от числа х до
ближайшего к нему целого числа.
363. Доказать, что если график функции у =
"•/(*)(— оо < * < + оо) симметричен относительно
двух вертикальных осей * = а и * = b (b > а), то
функция / (х) — периодическая.
364. Доказать, что если график функции у =
= / (х) (— оо < * < + оо) симметричен относительно
двух точек А (а, у0), и В (b, yt) (b > а), то функция
/ (х) есть сумма линейной функции и периодической
функции. В частности, если у0 = ylt то функция / (х) —
периодическая.
365. Доказать , что если график функции у =>
"*/ (х) (— °° < х < + оо) симметричен
относительно точки А (а, уо) и прямой х — Ь (Ь Ф а), то
функция /(х) — периодическая.
366. Построить график функции у = f (х) (— оо <
< х < + оо), если / (х + 1) - 2/ (л:) и / (х) = л (1—а)
при 0 < х < 1.
367. Построить график функции
У" fix) (~ оо<*< + ооу,
если/ (х + я) = / (*) + sin х и / {х\ =» ОприО < л <я.

4в ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
368. Построить график функции у — у (х), если:
а) х = у—у*; б) х= '~у ;
1 +у*
в) х = у—1пу, г) x2 = s\ny.
369. Построить графики функций у = у (х),
заданных параметрически, £сли:
а) х = l-t, у = 1—/»;
6)x = t + ±, y = t + -L;
в) х = 10 cos t, у = sin / (эллипс);
г) х = ch /, # = sh / (гипербола)";
д) д: = 5 cos2 /, # = 3 sin2/;
е) х —2{t—b\nt),y= 2 (1—cos /) (циклоида);
ж) х = '+vT, </ = {/7+Т, (f >0).
370. Построить графики неявных функций:
а) хг—ху + уг — 1 (эллипс);
б) дг3 + у3—3ху = 0 (декартов лист);
в) У* + л[у — 1 (парабола);
г) х2/3 + у2/3 = 4 (астроида);
д) sin д: = sin #; e) cos (лл;2) = cos {лу);
ж) ху = у* (* > 0, у > 0); з) jc— [х| = у—\у\.
370.1. Построить графики неявных функций:
a) min (л:, у) = 1; б) max (дс, #) = 1;
в) max (|*|, |^|) = 1; г) min (л2, ^) = 1.
371. Построить графики функций т = г (q>) в
полярной системе координат (г, ф), если:
а) т — ф (спираль Архимеда);
б) г = — (гиперболическая спираль);
Ч>
в)г = —5— (0<Ф< + оо);
Ф+ 1
г) г = 2ф/2я (логарифмическая спираль);
д) г = 2 (1 + cos ф) (кардиоида);

§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
е) г = 10 sin Зф (трехлепестковая роза);
ж) г2 = 36 cos 2ф (лемниската Бернулли);
47
3) ф =
(г>1);
г—1
и) ф = 2л sin т.
371.1. Построить в полярных координатах г и ф
графики следующих функций:
а) ф = 4г-Л' б) Ф =-Г^Г; в) г2 + ф* = 100.
371.2. Построить в полярных координатах г и ф
графики функций, заданных параметрически (t > 0 —
параметр):
а) ф = *со5г/,
/• = /sin*f, ,
б) ф = 1— 2-'sin
г=1— 2-'cos
я/
2
яг
2
372. Приближенно решить уравнение
х3—Зх +1=0,
построив график функции у = jc3—Здс + 1.
Графически решить следующие уравнения:
373. х3—4jc— 1 = 0. 374. х*—4х +1=0.
375. х = 2-*. 376. Ig х = 0,1 jc.
377. 10* = jc2. 378. Ig jc = jc (0 < jc < 2я).
Графически решить системы уравнений:
379. jc + i/2= 1, 16jc2 + # = 4.
380. jc2 + уг - 100, # = 10 (jc2—jc—2).
§ 5. Предел функции
1°. Ограниченность функции. Функция I (х)
яазывается ограниченной на данном промежутке (а, Ь), если
существуют некоторые числа m и М такие, что
при х £ (а, Ь).

48 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Число /По= inf {/(*)} =» max m называется нижней
*£<а, Ь)
гранью функции / (*), а число Ма =» sup {/ (х)\ •*■ minAl на-
*£<а, *)
зывается верхней гранью функции /, (х) на данном промежутке
(а, Ь). Разность М0—/л0 называется колебанием функции на
промежутке (а, Ь).
2°. Предел функции в точке. Пусть функция
/ (х) определена на множестве X = [х], имеющем точку
сгущения а. Запись
lim I (х) - А (1)
х-ю
обозначает, что для каждого числа е > 0 существует число
6=6 (е) > 0 такое, что для всех х, для которых / (х) имеет смысл
и которые удовлетворяют условию 0<|дс—а| < 6,
справедливо неравенство
\Цх)-А |<е.
Для существования предела функции (1) необходимо и
достаточно, чтобы для каждой последовательности хп -*■ а, хпф
ф а (х, £ X; п — 1, 2, . . .), было выполнено равенство
lim /(х„)=>Л.
П-* 00
Имеют место два замечательных предела:
1) lim _£iiUL =, i, 2) lim (1 + x)I/x - е.
x-t-0 X x-t-0
Критерий Коши. Предел функции / (х) в точке а
существует тогда и только тогда, если для каждого е > 0
найдется 6 = 6 (е) > 0 такое, что
ЦЕ <«')-/<«") 1< е,
как только 0<|х' — о| < 6 и 0< |х" — о| < б, где х' н
х" —любые точки из области определения функции / (х).
3°. Односторонние пределы. Число А'-
называется пределом слева функции / (а) в точке а:
А'~ lim I (х) = / (а - 0),
x-t-a—Q
если
| А' — I (41< е при 0 < а—х < 6 (е).
Аналогично, число А" называется пределом справа функции
I (х) в точке а:
А'= lim f(x) = f(a+Oy
х-*а+0
если
\А" — I (х)\ < е при 0 < х—а < 6 (е).

S 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 49
Для существования предела функции [ (х) в точке а
необходимо н достаточно, чтобы
f (а-0) - / (а + 0).
4°. Бесконечный предел. Условная запись
lim I (х) = оо
обозначает, что для любого Б > 0 справедливо неравенство:
Ц{х) | > Е, если только 0 < \х—а\ < б (Е).
5°. Частичный предел. Если для некоторой
последовательности хп -*■ а (хп Ф а) имеет место равенство
lim f(x„)=B.
то число (или символ оо) В называется частичным пределом
(соответственно конечным или бесконечным) функции j (х)
в точке а.
Наименьший и наибольший из этих частичных пределов
обозначаются
Jim I (х) н Tim f (x)
х-мг х-т
и называются соответственно нижним и верхним пределами
функции f (х) в точке а.
Равенство
lim / (ж) = lim f (x)
х-м» х-+а
необходимо и достаточно для существования предела
(соответственно конечного или бесконечного) функции / (х) в точке а.
381. Показать, что функция, определяемая
условиями:
/ (х) — п, если х — —,
п
где т и п — взаимно простые целые числа и п > 0 й
/ (х) = 0, если х иррационально,
конечна, но не ограничена в каждой точке х (т. е. не
ограничена в любой окрестности этой точки).
382. Если функция / (х) определена и локально
ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то
является ли эта функция ограниченной на данном
интервале или соответственно сегменте?
Привести соответствующие примеры.
4-33U

50 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1 ■+• X*
383. Показать, что функция f(x)=———ограни*
1 + х*
чена в интервале — оо ■< х < + оо.
384. Показать, что функция fix) — — cos— не ог-
X X
раничена в любой окрестности точки х = 0, однако не
является бесконечно большой при х -*■ 0.
385. Исследовать на ограниченность функцию
f(x) = lnx-sin2 —
х
в интервале 0 < х < е.
386. Показать, что функция / (дс) = в области
0 аЗ х < + оо имеет нижнюю грань ш = 0и верхнюю
грань М = \.
387. Функция / (дс) определена и монотонно
возрастает на сегменте [а, Ь]. Чему равны ее нижняя и
верхняя грани на этом сегменте?
Определить нижнюю и верхнюю грани функций;
388. / (х) = х% на [— 2, 5).
389. f(x)=—i— на (-оо, +оо).
390. /(д) = _|__на (0, +оо).
391. f(x) = x+— на (0, +оо).
392. / (дс) = sin х на (0, + оо ).
393. / (х) = sin х + cos дс на [0, 2л I.
394. f(x) = 2* на (— 1, 2).
395. / (х) = [дс]: а) на (0, 2) и б) на [0, 2].
396. f(x) = х— lx] на [О, 1].
397. Определить колебание функции
/ (х) = хй
на интервалах: а) (1; 3); б) (1,9; 2,1); в) (1,99; 2,01);
г) (1,999; 2,001).

« б ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
398. Определить колебание функции
1
51
f (х) — arctg-_
на интервалах: а) (— 1; 1); б) (—0,1; 0,1); в) (—0,01;
0,01); г) (— 0,001; 0,001).
399. Пусть т If] и М If] — соответственно нижняя
и верхняя грани функции f (x) на промежутке (а, Ь).
Доказать, что если fг (х) и fг (х) — функции,
определенные на (а, Ь), то
т [f1 + fi]>m If^ + m lf2]
и
М [ft + ft] ^М lf^ + М [ft].
Построить примеры функций fx (x) и ft (x), для
которых в последних соотношениях имеет место: а) случай
равенства и б) случай неравенства.
400. Пусть функция f (x) определена в области
la, + оо) и ограничена на каждом сегменте la, b]cz
cz [a, + оо).
Положим:
/л(*)= inf f(t) и М(х)= sup f(£).
Построить графики функций у = т (х) и у — М (х),
если:
а) f (х) = sin х и б) f (х) = cos x.
401. С помощью «е—б»-рассуждений доказать, что
limjc2 =4.
х-2
Заполнить следующую таблицу:
8
8
0,1
0,01
0,001
0,0001
• • •
402. На языке «Е—Ь» доказать, что
1
lim-
*-i (1-х)»
= +оо.

52 ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Заполнить следующую таблицу:
Б
8
10
100
1000
10000
• • •
403. Сформулировать с помощью неравенств
следующие утверждения:
a) lim / (х) «= Ь\ б) Нт / (*) = Ь\ в) lim f (x) = Ь.
ж-*й ж-*а—0 х-»а+0
Привести соответствующие примеры.
Сформулировать с помощью неравенств следующие
утверждения и привести соответствующие примеры:
404. a) lim / (х)» Ь; б) lim / {х) = Ь\
в) lim f(x)i=*b.
x-»-foo
405. a) lim f(x) = oo; 6) lim / (x) > — oo;
x-*e x-*a
в) lim/(x) = +оо; г) lim /(x) = oo;
x-*e x-»a—0
д) lim /(*)=:—оо;
x-»o—О
е) lim / (x) = + oo; ж) Hm/(x) = oo;
x-*a—О x-»e+0
8) lim /(*)=— oo; и) lim /(дс)=+оо.
x-»a-f0 x-mi+0
406. a) lim / (x) = oo; 6) lim / (ж) = — oo;
Х-ЮО X-»0O
е) lim f (x) «= + oo; r) lim f (x) = oo;
д) lim /(*)=— oo; e) lim /(x)==+oo;
X-*—OO X-*—OO
ж) lim f(x) — oo\ 3) lim /(*)== — oo;
X-»+00
и) lim /(*)»= +оо.
*-*+«0

S 8 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ W
407. Пусть у = / (х). Сформулировать с помощью
неравенств, что значит:
а) у -> Ь — 0 при х -*• а;
б) у-*- 6—0 при х -*■ а—О;
в) у-*- Ь—0 при х-*■ а + 0;
г) у -*■ b + 0 при х -*■ а;
д) у -*■ Ь + 0 при х -*- а—0;
е) # -> Ь + 0 при х-*- а + 0;
ж) у-*- 6—0 при х-> оо;
з) у -> &—0 при * -> — оо;
и) у -»■ 6—0 при * -*• + оо;
К) &"*■ Ь + 0 при дс-> оо;
л) у -*■ Ь + 0 при х -> — оо;
м) у -*■ Ь + 0 при * -> + оо.
Привести соответствующие примеры.
408. Пусть
Р (х) = а0хп + а1хп-1+ ... + а„,
где at (/=0, 1,..., n; n > l.Oo # 0) — вещественные
числа.
Доказать, что lim | Р (х) \ = + оо.
409. Пусть R(x)-
во Ф 0 и 60 ¥= 0.
Доказать, что
6„*m + Mm-l+. ..+ 6m
где
lim R(x) =
оо.
во
410. Пусть R (х)
О,
Р(х)
если л>т;
если л = т;
если д.<т.
0W
где Р (х) и у (х) — многочлены от х и
Р (а) - Q (а) - 0.
Какие возможные значения имеет выражение

х-*о 2хг — x — 1 x-*i 2ДС4 — дс — 1 '
X»— 1
54 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти значения следующих выражений:
411. a) lim „*'""' , ; б) lim *2-1
в) lim
Ж-оо 2ДС* — ДС — 1
412. lim а + *>Р + *Н» + Зх)-1 t
413. lim О + 'У-О + ЬО ,
х^о х2+дс5
414. lim О+■*»>"-(' + "«)" (т и п —натуральные
х-*0 X1
числа).
415. Ит (дс-1)(дс-2)(дс-3)(дс-4)(дс-5)
ж-*» (5дс — I)5
416. lim (2*-ЗГ(3* + 2)зо
,-*» (2х+1)50
Л,7 1im 0+D(^+l)...(«Ч-D
n+l
418.
420.
422.
424.
lim-
lim-
lim
x-*-l
lim
X-.-1
[(/u)«+l} 2
jc3-5jc + 6 . 419. lim *3-3* + 2.
x% — 8x+15 x-i дс«-4х+3
^-3' + 2. 421. lim Jc3-^-4' + 8
x5 — 4дс + 3 x-2 x* — bx2 + 16
x>-2x-\ ,, j (x«-x_2)»
x5 — 2x— 1 x-2 (дс3—12x+16)lu
X + AC2 + . . . + Xn — П
•
AC— 1
... , ,. x100 — 2x+ I
424.1. lim .
x-i xia - 2x + 1
425. lim ■—(m и n — натуральные числа).
... ,. (xa — an) — nan~l (x — a) ,
426. lim — - — (n — натуральное
число).
427. lim ——~(n x n (n — натуральное число).
д^-l (x — 1)J

$ 5 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 55
428. \\т(—^— . " . ^ (тип — натураль-
Х-Л 1 — *"* 1 — хп )
ные числа).
429. Ит^-Г(*+—W*+—U...
...+(„+-Ь^)].
430.1im-!-rf*+-2-Y+ft+-^y+
ьч^ъ
+ 1*4
Указание. См. пример 2.
1г+32+. . . + (2/1 — 1)»
431. lim
п-**, 2-+42 +
432,
lim Г-
л-*эо \
+ (2л)4
Is +2»+. . .-М3
т)-
Указание. См. пример 3.
13+43+73+. . .+ (3л —2)3
[1 + 4+7+. ..+ (3л-2)]г
433. lim
434. Определить площадь криволинейного
треугольника ОАМ (рис. 3), ограниченного параболой у =»
Рис. 3
= Ь {xlaf, осью Ох и прямой х = а, рассматривая
ее как предел суммы площадей вписанных
прямоугольников с основаниями а/я, где п -*■ а>.

66 ЭТДеЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти пределы:
435. Нш 4*+^^
4ж lim л/Г + 3/Г + ^ .
437. 1|ш VIT27-3
**« V* — 2
438. lim VI^7-3
439. lim VJ-^+V^L^^Q),
*-« ух*— a*
440. lim У^Пз~-2У^1,
x-»3 x* — 9
441. ital^Lhl.
442. lim ^~2 . 443. lim V«+to"-5
*-»'« y7-4 *-*« V*-2
444. lim y "1"*~— (л—целое число).
X-+0 X
445. lim Vl-to-*-<!+«> .
X-+0 X
446. lim 3/8-+3^r_2
447. lim \nrT7-Vff=*_m
уТ+Т — VT^x"
448. lim
i-io y'l + x — V\—x
3,
449. lim У^1-/хЧ-20 t

$ S. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 57
450. lim-!- * * -*-
x-*0
-V1"
451. lim
*-° 5/i + 5*-(H-<)
452. lim У1 + ах—V' + P* (m и я—целые числа).
*-»о *
453. lim У' + 'ч^ + Р*-' , (тип- целые
числа).
454. Пусть P{x) = aiX + atxt+ . . . -t-a„x» и т—
целое число.
.. У1 + Р {х) -1 й1
Доказать, что hm—-—■—— =—-.
х-о х т
Найти пределы:
455. lim—— (m и п—целые числа).
*-' Vx-l
455.1. Hmf Ц: \ V
'-'Al-V^ l-Vx )
«е. ,im(.-V-)('-'A)...0-^),
*-»! (1-Х)»-*
457. lim [V(*+а)(х + Ь)—х].
Jt-*-pOO
458. lim (V*+ V*+V* —V*/-
x-»+oo
459. lim ж(у** + 2лс—2V*' + * + *).
ж-Н-оо

68 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
461. Нт(1/ж»+ж» + 1 ^>/х»—x* + l).
X—►оо
462. lim (^^ + 3xa— V*a—2*).
463. lim х'/з [(х + lp_(x— l)2/3j.
«-►30
464. lim х3^(^/Т+1—2л/х+Т + ^/7).
465. lim \V(x—ax). . . (*+a„) —xl.
466. Iim (ж-У?ЗГУ+(,+ У?ЗГГ
ральное число).
467. Um (Vi+7+«N(Vi + 7-«)' (n .
jr-»-0 Ж
ральное число).
468. Изучить поведение корней х, и хг квадратного
уравнения ахг + Ъх + с = 0, у которого коэффициент
а стремится к нулю, а коэффициенты b и с постоянны,
причем b Ф 0.
469. Найти постоянные а и 6 из условия
lim f-^±-! ax—*Л = 0.
Х^оЛ Ж+1 '
470. Найти постоянные щ и bi (i — 1, 2) из условий:
lim (V*2—* + 1 — ai*—6i) = 0
lim V*2*"
«-►-(-00
Найти пределы:
471.
473.
lim sin5* .
Х-И) X
lim *'mmx (/n
«-►л sinnx
.x + 1.
472.
и л—
—atx-
lim -
X-*ao
целые
-6,) = 0.
sinx
•
числа).

* 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ St
474. Hm l~c°sx . 474.1. Шп-^-.
x-*0 ** *-*0 X
474.2. Iim*ctg3x.
x-M)
.-„ ,._ tgx — sin ж л-ъ ,. sin5x — sin 3*
475. hm—s . 476. lim .
«-+0 sin3* x-»o sinx
477. lim c°s*-cos3* . 478. lim » + *"*-"** .
x-*o ** x-*o 1 -J- sin px — cos px
479. lim tg2*tg(——x). 480. lim(l—je)tg —•
*-*я/4 V. 4 J x-*i 2
481. Доказать равенства:
a) lim sin x = sin a; 6) lim cos x = cos a;
x-*a
в) lim tg* = tga
x-*a
(аф^=-^п; л = 0, ±1, ±2,. . A
Найти пределы:
482. r,m «'■"-""« . 483. lim C0S<-C0Sfl .
x-+a X — a x-*a X — a
484. lim tgy-tgfl . 485. lim ctg*-ctg« .
x-*a X — a x-»0 * — fl
486. Hm «**-**« . 487. lim CMte'-c"Wtt.t
x-*« * — 0 x-*a * — а
„ | sin(a + 2x) — 2sin(a + x) + sina
x-*o *2
489 jim cos (a + 2x) — 2 cos (a + *) + cos а
x-*o **
m limtg(a + 2x)-2tg(a + x) + tga>
x-*0 X*
49) ]im ctg(a + 2x)-2ctg(a + x) + ctga
x-o *l
492. lim ""(* + *)sin (a+2*)-sin*a ^
x-*0 *
493. lim 2si"2* + si"*-' .
x-mi/6 2sin** — 3 sin x + I

#0 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
лпл 1- 1 — cos * cos 2х cos Зх
494. lim —; —.
х-*0 1 — cos x
sinfx —^
495. lim ^ LL. 496. lim ,fg'*-3tg* ,
,-я/з l-2cosx ,-я/З С05Л + _я.Л
497. lim Ц,{", + «М*,<Д-*>-У«.
X-*0 Ж*
498. lim '-ctg'* .
Х-+Л/4 2—ctgX—Ctg'x
499. lim У' + *б*-Уч-""* ,
500. lim
1 — У cos*
«-•o V'l + xsinx — Vcosx
501. lim V^^-3/^!..
502. lim Vl-cosx» ^ m ,.m
X-0 1-COS* x.O i.cos^)
504. lim '"cosxVcos2x Vcos3x
X-»0 X1
505. lim (sin yT+T—sinyT)-
/ 1 4-х \0-V*)/U-*>
ш-a> SsC-iff)
б, ,telfi±iy,-va"-. B) Um /н-у,-уг"«~'
x-lV2 + x/ 'х-^+ооЧг + хУ
507. Hmf-itl-Г. 508. ИшГ^"*+Мт5г.
509. limfsin" 2w" V
n-»w 4 Зя + 1 )
510. lim [W-iL + Af2*.
x-mi/4+oL V 8 /\
БН. nm Г-4=±^ . 512. Ш(-£Щ*.
х-«Л x» + 1 / х-«Л x» —2 ^

I S. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 61
515. limf^±fY.
x-*o» \ x — a J
616. lim ( ai*+VY (а1>0, a,>0).
517. lim (1+*»)«'«* *. 518. lim(l Ч-мпя*)41»».
519. limf , + t*' V/8"".
x-*o\ l + sinx /
519.1. Мт(Л±1Н.)^'.
Jr-+0\ 1+SlnX J
520. ljmf-^-'p1- 521. limf-^-'P".
z-M>\sina/ x-»o\ cos2x /
522. lining*)1»2*. 523. lim (sin *)*«*.
jt-mi/4 x-Mt/2
Ш. J«[*(i_)]-
525. lim f sin — 4. cos —Y.
526. limy cos V*"«
*->o
527. lim f-^±J_y. 528. lim cos--4=-.
529. lim ln<'+*> . 530. lim x[ln(x+l)—lM.
531. lim ln*-'"", (a>o).
x-»a X—a
532. lim [sinln(x + l)—sinlnx].
533. lim '"(*'-*+0 .
**+„ 111 (*»+*+ 1)
534. lim fa 100 + *'A
,-»Vs 14-100** ^
535. lim J?J2J^L.
*-»+oo 1П (3 + «**)
536. lim ,'nO + V^ + V7).t

62 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
537. Um bg(* + *> + bg(*-*>--2logiL
л-*о А*
538. lim- ^ L. 539. lim lncosa* .
ж-,0 sinftx *-щ In cos 6*
: + Vl— n*x%
540. lim An " + V'-J!!ig_Y
*-*oV, *+Vl —«* /
540.1. lim '"("* +V»-2!£!L.
*-*o ln(*+Vl —**)
541. lim a'~I (a>0). 542. lim ^"^ (a>0).
x-»0 X x-»a X — a
543. lim x*~a" (a>0). 544. l\m(x + e')i".
x-t-a X — a x-*0
545. limf-^^Y^.
545.1. limf + "n*cMauyV*t
*-»o \ 1 + sin ж cos px /
545.2. lim sin(nJca) . 545.3. lim sin^n^ .
*-i sin(njcP) *-• lnlcos(n-2*)l
lim-
«<"-«<>*
0 sin осле —sin P*
546. lim tg"f— + —V 547. lin
548. lim **~a" (a>0). 549. lim °*~а* (а>0).
х-*в ДГР —OP x—b X — b
550. lim «*» + ^-»' (a>0).
551. lim (' + *>'«'('+»';».
552. limn(vT—l) (x>0).
553. lim ^(^Т-""!^") (x>0).
B-wo
554. lim.f g-' + ^T Y (a>o, b>0).
555. lim ( ^ + ^b Y (fl>o, &>0).

i 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 63
556. ът(а*+1* + с*у' (а>0) ь>0) с>0)<
557. К^+71+^Т <«>°. *>0' <><»•
Б58- limf "It-if ) * (а>°. ь>о>-
560. lim «"'-в*" (а>0).
ж-*а «Г1 — Xе
561. a) lim ln(1 + 3*> ; б) lim ln(1 + 3<> .
«-_■ In (1+ 2*) ,-+«, In (1+ 2»)
562. lim ln(l + 2*)ln(l + —V
Ж-++00 V X J
563. lim (1—*) log, 2.
564. Доказать, что
lim -Щ- = 0 (а>1, n>0).
Х-++оо в*
565. Доказать, что
lim JaifiL^o (а>1, е>0).
Найти пределы:
566. a) lim *<?+*> ; б) lim JL^±^L.
567. lim 1п(1 + дсе*> .
*-*° In (* + V» + Jf2)
568. lim [(x+2) In (x+ 2)—2 (x+1) In (x+ l)+x In x].
Ж-*+00
569. lim fin (x In a) -In/ lna* \1 (a>l).
— [ [.nfJJ
570. lim An *+VFTT ,ln-»JL±LV

64
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
571. lim Vl + xsin*-l m
х-*о е** — 1
572. lim «»(«*>-"*(«-«) .
х-»0 X3
573. lim(2eJc^+1> — l)i*'+i>/*. 574. lim (2—*)*«(«/».
х-»0 х-»1
575. lim
l_sina+px
*+л/2 V(l — sin» дг) (1 — sinP x)
__„ . .. sh x -. .. ch x—1
576. a) hm ; 6) lim
x-*0 X x-*0 Xi
в) lim—— (см. пример 340).
х-й) X
■(«>0, P>0).
576.1. lim.
sh*x
(см. пример 340).
577. lim
X-» + tX>
x-*o In (ch Здс)
shV>* + x — shVx' —■
577.1. a) lim
chx
shx —sha
577.2. lim
x-ki x — a
In chx
; 6) lim
chx — cha
x-*a x — a
x -*o In cos x
578. lim (x—In chx).
X-»+oo
579. lim
x-»0
.sin 2x -sin x
С — e
thx
/ ch-=- V
580. lim
Л-+ЭО
cos
" J
1-х
581. lim arcsin
X-.DO 1 + Jt
582. 1 i m arccos (д/г8 + x — x).
X-»+oo
583. Hm arctg * ~~4 . 584. lim arctg —
(x-2)> _ V—
585. lim '"=ЧЯ«+»)-«п*,;* .

586. lim l~x
5 в. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 65
x-»o arctg (1 + x) — arctg (1 — x)
587. lim In arctg l- tg» (— + JL'Vl.
588. lim x (- arctg —£—>.
589. lim x (——arcsin — V
1+ ( U 1
я J
591. lim-1-е-»/**. 592. lim* In*.
x-»0 X*04 x-H-0
593. a) lim (y ** + *—*); 6) lim (У*Г+7~-*>.
X-*— 00 X-»-H*>
594. a) lim (VI +*+*a — л/1—х+х*)\
Х-*—00
б) lim (VH-x+a^^V1— *+**)•
x-i-4-oo
594.1 Найти /t= lim /(*)— lim /(*), если
X-*-+0O X-*-*00
/W-ln *+VF+^
X + V*2+6J
595. a) lim arctg ; 6) lim arctg .
x-+\—0 1-Х х-И+О 1-*
596. a) lim Ц—; 6) lim '
loo l+el» ' "' хГ+о 1+e1" *
597. a) lim 1п(1 + еДГ) ; б) lim ln(1+e<> .
X-*-—00 X Х-^+ОО X
598. Доказать, что
2x
a) >-2-fO при *->—oo;
1 + x
2x
6) >-2—О при *-»- + oo,
1 + x
5-
-23*3

66 ОТДЕЛ !. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
599. Доказать, что
а) 2*-* 1—0 при Х-+—0;
б) 2*->1+0 при х-*+0.
600. Найти /(1), /(1—0), /(1+0), если / (х) =
601. Найти / (л), / (л—0), / (л + 0) (л = 0, ± 1, . . .),
если / (х) — sgn (sin пх).
Найти:
602. lim х л /cos — . 603. lim х Г—1.
х-.о V * *-»-о. L * J
604. lim sin (n-y/n2 + \).
п-+оо
605. lim sin* (л у'ла + л).
л-»оо
606. lim sin sin ... sin x.
n раз
607. Если lim ф (х) =* A a lim гр (х) = В, то следует
ли отсюда, что
Ипгф(ф(х)) = в?
Рассмотреть пример: ф (х) = 1/<7 при х = pig, где
р и д — взаимно простые целые числа и ф (х) = 0 при
х — иррациональном; i|> (х) — 1 при х ^= 0 и \|j (x) — 0
при х = 0; причем х -*» 0.
608. Доказать теоремы Коши: если функция / (х)
определена в интервале (а, +°°) и ограничена в каждом
конечном интервале (а, Ь), то
а) lim -££L = lim (/ (х + \)—f (ж)];
б) iim I/(*)]»'* = lim /(*+1} (/(*)>C>0).
предполагая, что пределы в правых частях равенств
существуют.
609. Доказать, что если: а) функция / (х) определена
в области х > а; б) ограничена в каждой конечной
области а < х <. Ь; в) lim If (х + 1) — / (х) ] = со, то
lim -^-=oo.
jt-^-j-oo X

f 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 67
610. Доказать, что если: 1) функция f (x) определена
в области х > а; 2) ограничена в каждой конечной
области а < х < Ь; 3) для некоторого натурального я
существует конечный или бесконечный предел
ton f<*+»-fM =1,
Х-++00 Хп
ТО
f(x) I
lim
*_>+„ хп*>. п+1
611. Доказать, что
а) lim(l + —Y = e*;
б) Hm fl+ *+-£- +...+~Л«»е*.
п-»»\ 2! я! /
612. Доказать, что
lim n sin (2яея!) = 2л.
л-*оо
Указание. Использовать формулу (*) примера 72.
Построить график функций:
613. а) у=1— *100; б) y=lim (1 — х2п)(— 1<х<1)
П-+оо
614. а) у=—^—(х>0); б) y=lim—- (х>0).
* 1 + Х™ К ' ' У п-*оо 1+Х"К '
615. y = lim хП-х"п (хфО).
616. x=lim л/*Ч—— .
617. у= lim Vl+xn (х>0).
П-*оо
618. y=lim \/~l + # + (JL\n (X>0).
у Л+2
619. y=lim — (х>0).
620. a) // = sinieoex; б) у = lim sin2nx.

G8 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
621. у-lim '"(2" + *") {х>0).
Л-»оо Я
622. у = lim {х— l)arctgjc".
/|-*оо
623. у = lim У\+еп<х+1К
П-»зо
624. у= lim * + <?', .
625. «/ = lim —?— In — (х> 0).
<-*jr t — X X
x^-^+VI
625.1. y= lim ■ (*>0).
"-*» tg"1 "* i l
8 4
625.2. t/ = lim Jtsgn | sin2 {n\nx) \.
625.3. Построить кривую
limJOxr + l0l"«I.
л-+оо
626. Асимптотой (наклонной) для кривой у = f (х)
называется прямая «/ = kx + b, для которой
lim {/(*)—(fee+6)l=0.
Х-*оо
Используя это уравнение, вывести необходимые и
достаточные условия существования асимптоты.
627. Найти асимптоты и построить следующие кри*
вые:
X3
а) У=~гт -; б) «/ = У*2+*;
х- + х —- 2
в) «/ = /дс3—-дс3 ; г) f/= * ;
е* — 1
д) «/ = In (1+<?*); е) г/= * + arccos—.
X
Найти следующие пределы:
628. lim —- • * ■
л-»оо L (Я ■
1+1)! (я+2)! (2я)1 J
629. lim [(1 + х) (1 + х2) (1 + х*) . . . (1 + х2")], если
Л-+ао

§ 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 69
630. Hm (cos-i-cos — ... cos x
n-+«, \ 2 4
2n
631. Пусть Hm -iifL _ if где ^ M > 0 и пусть
%nnZt 0 (/га = 1, 2, . . .) при п -»- оо, т. е. |amn | < в
при /га = 1, 2, . . . и п > N (e).
Доказать, что
Hm [ф (а1ч) + Ф (а*,) + . . . + Ф (апп)] =
= lim [t|)(oln)+T|)(Oj„)+. . . +г|> («„„)], (1)
n-*oo
предполагая, что предел в правой части равенства (lj
существует.
Пользуясь предыдущей теоремой, найти:
в
633. Hm yVsin— V
п
634. lim 2 (a*/"'—1) (a>0).
Л->00 fe = l
в
636. lim П cos */- •
635. lim
n-+oo
n
n-t-oo к —I
637.: Последовательность xn задана равенствамш
jfi=V^t х2 = уа+л/а,х3 = Л/а+/\а+'\/а,. . «
(a>0).
Найти lim*.
П-*оо

70 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
637.1. Последовательность хп задается следующим
образом:
*! = 0, Хг = 1,
хп = -^-(хп-1 + хп_Л (л=2, 3, . . .).
Найти lim x„
п-*оо
637.2. Последовательность у„ определяется с
помощью последовательности х„ соотношениями:
i/o = *o. Уп = хп—ахп_1 (л = 1, 2, . . . ),
где |aj< 1. Найти lim хп, если lim у„ = Ь.
637.3. Последовательность хп определяется
следующим образом:
*„=!, *„ = ——! (л=1, 2,. . .).
Найти iim xn.
я-*оо
Указание Рассмотреть разности между хп и корнями
1
уравнения х = .
638. Последовательность функций
Уп = Уп(х) (0<*<1)
определяется следующим образом:
&--§-' ^n==~^ Y~ (n = 2. 3, . . .).
Найти lim yn.
п-*оа
639. Последовательность функций уп = «/„ (xj.
(О < * < 1) определяется следующим образом:
Найти lim «/„.
639.1. Пусть *>0 и у„ = уп.х (2—хуп_х ) (л = 1,
.,...). Доказать, что если yt > 0 (i = 0, 1), то
последовательность уп сходится и
lim yn = — .
П->оо X

§ S. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 71
Указание. Изучить разность
1
Уп-
х
639.2. Для нахождения у = д/д7, где х > О,
применяется следующий процесс: у0 > 0 — произвольно,
Уп" "f (*•-» +~Ч (я- 1, 2, ... )•
Доказать, что
lim yn — V* •
л-»оо
Указание. Использовать формулу
/- \i
у„-У* /Уя_1-Ух V (/ISsl)#
Уп+т/х \ Уп-1 + V* /
640. Для приближенного решения уравнения Кеплера
x—esinx = m (0<е<1) (1)
полагают
дс0 = /п, *i = m + esinjr0, . . . , xn = m + esin*„_1, . . .
(метод последовательных приближений).
Доказать, что существует £ = lim xn и число | яв-
ляется единственным корнем уравнения (1).
641. Если щ If] есть колебание функции / (х) на
сегменте |дс—£| < А (Л > 0), то число
со0 [f] = lim (оЛ [Л
fc-vO
называется колебанием функции / (дс) в точке |.
Определить колебание функции f (х) в точке дс = 0,
если f (0) = 0 и при дс =£ 0 имеем:
a) f(x)eSiii-i-; б) /(*) = _Lcos*-b
х х' х
в) f(*)=x(2+sin-LY г) f(*) = -Larctg J-;
\ х J n х
х ' ' ' w 1 + eV*
ж) /(*) = (l+|*l),/Jt.
642. Пусть / (х) — sin —.

72 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Доказать, что, каково бы ни было число а,
удовлетворяющее условию — 1 < а < 1, можно выбрать
последовательность хп -*■ 0 (л = 1, 2, . . .) такую, что
lim / (дг„) = а.
643. Определить
/ = lirn/(x) и L = hmf(x),
х-*0 *-»0
если:
а) / (jc) = sin2 -L + -?- arctg ^-;
X Л X
б) f {х) - (2 - х?) cos -i-; в) f(x) = Л +cos* -i- J"'U/Jr>
644. Определить
J = lir£/(x) и L = \imf(x),
если:
a) /(je) = sin*; 6) /(*) = ** cos2*;
b) / (x) = 2»«» "; r) / (x) = * (дс>0).
1 + x2 sin2 x
§ 6. 0-символика
Is. Запись
Ф (х) - О (Ч> (*)) при х 6 X
обозначает, что существует постоянная А такая, что
1<Р(*)КЛЖ*Н Для х£Х, (1)
Аналогично пишут
Ф (х) = О «> (х)) при х-+а, (2)
если неравенство (1) выполнено в некоторой окрестности Ua
точки а (х Ф а). В частности, если if (х) Ф 0 при х £ С0 (x ф а),
то соотношение (2) заведомо имеет место, если существует
кого (х)
иечный I'm ФЧ. В этом случае будем писать <р (х) =»
ж-*а \р (х)
= О* (Ц> (а)).
Если
lim ф(дс) =*кфО (р>0),
*-»о хР
то <р (х) называется бесконечно малой порядка р относительно

S 6. 0-СИМВОЛИКА
бесконечно малой х. Аналогично, если
73
lim
хР
■ = кфО (р>0),
то ф (х) называется бесконечно большой порядка р относительно
бесконечно большой х
2°. Запись
Ф (х) = о (ф (х)) при х-*-а
обозначает, что
Ф (х) = о (х) ф (х) (х g U а, х Ф а), (3)
где о (х) -* 0 при х -*■ а. Если \р (х) Ф 0 при х £ i/a, х#б,
то равенство (3) эквивалентно утверждению
фМ
lim
= 0.
3
(Ф W
*-а Ур(х)
Функции ф (х) и ф (дг) называются эквивалентными
ф (х)) при х -*■ а, если
Ф (х) — ур (х) =■ о (тр (х)) при ж -*■ а. (4)
Если г|> (х) ф 0 при ж £ {/<,, х Ф а, то из (4) имеем
Ф(*)
lim
JT-M1
Ц,(х)
1.
При х ->- 0 справедливы соотношения эквивалентности]
sin х ~ х; tg х ~ х; а* — 1 ~ х in а (а > 0);
1п(1+х)~х; 7Т+Т-1~ —.
Вообще
Ф (х) + о (ф (х)) ~ ф (х).
При нахождении предела отношения двух бесконечно
малых (или бесконечно больших) функций
при х -*■ а данные функции можно
заменять эквивалентными.
645. Считая центральный угол
АОВ — х (рис. 4) бесконечно малой
1-го порядка, определить порядки
малости следующих величин: а) хорды
АВ; б) стрелки CD; в) площади
сектора АОВ; г) площади треугольника
ABC; д) площади трапеции АВВхАг;
е) площади сегмента ABC.
646. Пусть о (/ (*)) — произвольная функция,
имеющая при х -*■ а более низкий порядок роста, чем
функция / (jc), и О (/ (jc)) — любая функция, имеющая при

74 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
х -*■ а тот же порядок роста, что и функция / (л-), где
/ (*) > 0.
Показать, что
а) о (о (f Ос))) = о (f (а-)); б) О (о (/(а))) = о (f (*));
в) о (О (f (а-))) - о (f (а)); г) О (О (/ (х))) = О (/ (а)),
Д) О (f (А)) + О (/ (А)) = О (/ (А)).
647. Пусть а -*- 0 и п > 0. Показать, что
а) СО (а") = О (а") (С ф 0 — постоянная);
б) О (ал) + О (а"1) = О (ал) (я<т);
в) О (а") О (Ат) = О (хп+т).
648. Пусть а -*■ + со и л>0. Показать, что
а) СО (ал) = О (ал);
б) О (ал) + О (*"•) = О (ал) (я > т);
в) О (а") О (л-т) = О (х"+т).
649. Показать, что символ ~ обладает свойствами:
1) рефлексивности: ф (а) ~ ф (а); 2) симметрии; если
Ф (а) ~ т|> (а), то т|) (а) ~ ф (а); 3) транзитивности: если
ф (а) ~ т|) (а) и i|> (a) ~ X (а), то ф (а) ~ X (а).
650. Пусть а -»- 0. Доказать следующие равенства:
а) 2а—а2 = О (а); б) a sin *Jx = О (а3'2);
в) a sin — = 0(|а1); г) 1па = о(-^-Л (е>0);
"у х+ у х+ «Jx ~j/a;
Д)
е) arctg —= 0(1);
X
ж) (1 + а)" = 1 + пх + о (а).
651. Пусть х-*-+ оо. Доказать следующие
равенства:
а) 2a-3—3a2+1 = 0(as);
6)-^-=0(-L);
х? -f- 1 V « У

§ 6. О-СИМВОЛИКА
75
в) x + x*sinx = 0(x*); г) J^- = 0(-L.yt
д) \пх = о(хе) (е>0); е) хРе~х = о(~^~);
() Л/х+л/х+-фс ~д/*; з) х2 + х\пшх
ж
652. Доказать, что при достаточно большом х > О
имеют место неравенства:
а) r' + lO.v + KXXO.OOlx3;
б) ln1000A;<Vx~; в) х10ех<е'2х.
652.1. Доказать асимптотическую формулу
«vWp*+<7 = *+-у+о(-^-)
при х -> + се.
653. Пусть х -*■ 0. Выделить главный член вида
Сх" (С — постоянная) и определить порядки малости
относительно переменной х следующих функций:
а) 2х—3х3 + хъ; б) л/ТТх— л/\^7;
в) -\J\—2х — т/1— Зх; г) tgx—sin*.
654. Пусть х -*■ 0. Показать, что бесконечно малые
a)f<*)=-r—; б) f(x) = e-v*
In jc
не сравнимы с бесконечно малой хп (п > 0), каково
бы ни было и, т. е. ни при каком п не может иметь место
f (х)
равенство lim v ' = k, где k — конечная величина,
отличная от нуля.
655. Пусть х—*-1. Выделить главный член вида
С (х—1)" и определить порядки малости относительно
бесконечно малой х—1 следующих функций:
а) х3—Здг + 2; б) V\ — jx\
в) \пх; г) е* —е; д) хх — 1.

76 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
656. Пусть х-*- + оо. Выделить главный член вила
Сдс" и определить порядки роста относительно бесконечно
большой х следующих функций:
a) **+100jc+ 10000; б) 2*°
х3 — 3* + I
в) 3Yx*—х+ч/7; г) Vl + Vl + V*" •
657. Пусть х-*- + оо. Выделить главный член вида
С С—Y и определить порядки малости относительно
бесконечно малой — следующих функций:
х
в) J7+2'—2Jx+l+J7; г) -i-sin —.
X X
658. Пусть х -*■ 1. Выделить главный член вида
С( J и определить порядки роста относительно
бесконечно большой следующих функций:
х— 1
а) _^!_; б) л Л±Г; в> Х ■
г) ——;; Д)
\пх
sin яд: (1 — х)г
659. Пусть х -+• + оо и /„ (jc) = х" (п = 1, 2, . . .).
Доказать, что 1) каждая из функций fn (х) растет
быстрее, чем предшествующая функция fn_x (jc); 2)
функция ех растет быстрее, чем каждая из функций fn (x)
<л= 1. 2 ).
660. Пусть jc -*- + оо и
/nW = ^7 (n-1. 2, . . .).
Доказать, что 1) каждая из функций /„ (jc)' растет
медленнее, чем предшествующая функция /„_i (дг)}
2) функция / (jc) = In jc растет медленнее, чем каждая1
из функций fn (jc) (n = 1, 2, . . .).

5 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
77
661. Доказать, что какова бы ни была
последовательность функций
/i (*). ft (*) fn(x), . .. (х0<х<+ оо),
можно построить функцию / (дс), которая при х--> + оо
растет быстрее, чем каждая из функций /„ (х) (п = 1,
2. . . .).
§ 7. Непрерывность функции
1°. Непрерывность функции. Функция / (х)
называется непрерывной при х = х0 (или в точке х0), если
lim/(х)=>/(х0). (1)
х-*х,
т. е. если функция / (х) определена при х = х0 и для каждого
е > 0 существует 6 = О (е, х0) > 0 такое, что при | х—х01 < б
для всех значений [ (х), имеющих смысл, выполнено неравенство
If W-I <*•)!<«.
Функция / (х) называется непрерывной на данном множестве
X'— {х} (интервале, сегменте и т. п.), если эта функция
непрерывна в каждой точке множества X.
Если при некотором значении х = х0, принадлежащем
области определения X — {х} функции / (х) или являющемся
предельной точкой этого множества, равенство (1) не выполнено
(т. е. или (а) не существует число / (х„), иными словами,
функция не определена в точке х = х0, или (б) не существует lim jf (x),
или (в) обе части формулы (1) имеют смысл, но равенство между
ними не имеет места), то х0 называется точкой разрыва функции
Их).
Различают: 1) точки х„ разрыва первого рода, для которых
существуют конечные односторонние пределы:
/(х0-0)= lim /(х) и /(х0 + 0)= lim /(x)
х-*-х<,—0 х-*х„+0
п 2) точки разрыва второго рода — все остальные. Разность
/ (*. + 0) - I (х0_0)
называется скачком функции в точке х0.
Если выполнено равенство
I («о - 0) - / (х0 + 0).
то точка разрыва х0 называется устранимой. Если по меньшей
мере один из пределов / (х„ — 0) или / (х0 + 0) равен символу оо,
то х„ называется точкой бесконечного разрыва.
Если выполнено равенство
I (х„ - 0) = / (х0) (или / (х0 + 0) = I (х0)),
*о говорят, что функция / (х„) непрерывна слева (справа) в точке хй.
Для непрерывности функции / (х) в точке х0 необходимо и
достаточно равенство трех чисел:
I (*о - 0) - I (х„ + 0) = I (х„).

78 ОТДЕЛ f. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
2°. Непрерывность элементарных
функций. Если функции Цх) и g (х) непрерывны при значении
к = xt, то функции
а) 1М ± g W; б) / М в W: в) 1&L (g (х0)Ф0)
также непрерывны при х = х0.
В частности: а) целая рациональная функция
Р (х) = во + atx + . . . + опдг"
непрерывна при любом значении х; б) дробная рациональная
функция
R ,х) _ ao + aiX+ . . . +апхп
bt+btx+ . . . +Ьтх"
Непрерывна при всех значениях х, не обращающих знаменателя
в нуль.
Вообще основные элементарные функции: хп, sin x, cos x,
tg х, a*, loga х, arcsin x, arccos х, arctg х, . . . непрерывны во
всех точках, где они определены.
Более общий результат следующий: если функция / (х)
непрерывна ори х — х0 и функция g (у) непрерывна при у =
*= I (х0), то функция g (J, (х)) непрерывна при х = х0.
3°. Основные теоремы о непрерывных
функциях. Если функция / (х) непрерывна на конечном
сегменте [а, Ь], то: 1) f,(x) ограничена на этом сегменте; 2)
достигает на нем своей нижней грани т и верхней грани М
(теорема Вейерштрасса); 3) принимает иа каждом интервале
(а, Р) с: (а, Ь] все промежуточные значения между /(а) и
f (Р) (теорема Коши). В частности, если I (a) jf (P) < 0, то
найдется значение Y (« < Y < Р) такое, что / (у) — 0.
662. Дан график непрерывной функции у = f (х).
Для данной точки а и числа е > 0 указать
геометрически число б > 0 такое, что | / (х) — / (а) \< е при
|х—а|<б.
663. Требуется изготовить металлическую
квадратную пластинку, сторона которой х0 = 10 см. В каких
пределах допустимо изменять сторону х этой пластинки,
если площадь ее у — х2 может отличаться от проектной
Уо = 100 см2 не больше чем а) на ± 1 см2; б) на ±0,1 смя;
в) на ± 0,01 см2; г) на ± е см2?
664. Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С
какой абсолютной погрешностью Д допустимо измерить
ребро х этого куба, чтобы объем его у можно было
вычислить с абсолютной погрешностью, не превышающей
в м3, если: а) е = 0,1 м3; б) е = 0,01 м3; в) е = 0,001 м3?
665. В какой максимальной окрестности точки
х0 = 100 ордината графика функции у = V*
отличается от ордьня-u у0 = 10 меньше чем на е = 10"**

f T. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 79
(п > 0)? Определить размеры этой окрестности при
п = 0, 1, 2, 3.
666. С помощью «е—6»-рассуждений доказать, что
функция / (х) — хг непрерывна при х = 5.
Заполнить следующую таблицу:
8
в
1
0,1
0,01
0,001
» « «
667. Пусть /(*) = — и в =• 0,001. Для значений
X
х0 = 0,1; 0,01; 0,001; . . . найти максимально большие
положительные числа 6 = б (е, х0) такие, чтобы из
неравенства | х—х01 < б вытекало бы неравенство
I/<*)-/'(*) К е.
Можно ли для данного е — 0,001 выбрать такое
б > 0, которое годилось бы для всех значений х0 из
интервала (0,1), т. е. такое, что если \х—*0|<6, то
\f (х)—f(x0)\<\a, каково бы ни было значение
*о £ (0,1)?
668. Сформулировать на языке «е—. б» в
положительном смысле следующее утверждение: функция / (х),
определенная в точке х0, не является непрерывной в этой
точке.
669. Пусть для некоторых чисел е > 0 можно найти
соответствующие числа б = б (е, *0) > 0 такие, что
|/ (х) — / (х0) | < е, если только | х—х01 < б.
Можно ли утверждать, что функция / (х) непрерывна
в точке х0, если: а) числа е образуют конечное множество;
б) числа е образуют бесконечное множество двоичных
дробей е =* -~ (п = 1, 2. . . .).
670. Пусть дана функция / (х) = х 4- 0,001 1х).
Показать, что для каждого е > 0,001 можно
подобрать б = 6 (е, х) > 0 такое, что | / (х') -г- f (x) | < е,
если только \х'—х\ < б, а для 0 < е < 0,001 для всех
значений х этого сделать нельзя.
В каких точках нарушается непрерывность этой
функции?
671. Пусть для каждого достаточно малого числа
б > 0 существует в = в (б, х0) > 0 такое, что если

80 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
| х—х01 < б, то выполнено неравенство | / (х) — f (x0) |<е.
Следует ли отсюда, что функция f {x) непрерывна при
х = х0? Какое свойство функции f (x) описывается
данными неравенствами?
672. Пусть для каждого числа е > 0 существует
число б = б (е, х0) > 0 такое, что если | f (х) — / (х0) |<е,
то \х—х0|<б. Следует ли отсюда, что функция / (дг)
непрерывна при значении х = х0? Какое свойство
функции описывается этими неравенствами?
673. Пусть для каждого числа б > 0 существует
число е == е (б, х0) > 0 такое, что если | f (x) — f (x0) |<е,
то | х—х01 < б.
Следует ли отсюда, что функция f (x) непрерывна
при х = х0? Какое свойство функции / (х) описывается
данными неравенствами?
Рассмотреть пример:
f arctgx, если х рационально,
I я—arctgx, если х иррационально.
674. С помощью «е—б»-рассуждений доказать
непрерывность следующих функций: а) ах + Ь; б) x%i
в) х3\ г) ■\fx~- д) л/~х \ е) sin x\ ж) cos x\ з) arctg x.
Исследовать на непрерывность и изобразить
графически следующие функции:
675. К*)-|*|.
, если хф2\
х-2 ^
А, если ж=2.
677. /(*) = . если хф—\ и f( — 1)—про-
нзвольно.
678. а) /,(х) =
I, если хФО и Л(0) = 1;
1*1 I
б) f,W—ту- • если хфО и /г(0)=1.
679. /(x) = sin —, если хфО и / (0)—произвольно.
680. /»=xsin-i-, если хфО и Д0) = 0.

4 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 81
681. f lx) = е-1'*, если хфО и /(0) = 0.
682. /(*) = ]—^ь если хф\ и /(1)—прпиа-
1+ е
вольно.
683. / (*) =х In x\ если х=£0 и f (0) = а.
684. / (х) = sgn х. 685. / (х) = Ы.
686. f(x)**i/x — IV*"].
Определить точки разрыва функций и исследовать
характер этих точек, если:
687. 0 = - . 688. »« 1 + *
» /• ■ -.45 » «1-3
691. у =
х 6
(! + *)* '
*»—1
ж* — Zx+2
—?—. 692,
1 + х»
1
689. у= , *"~' . 690. у-— ^±-^-
х— 1
sin х
. 0=д/-
— COS Я*
693. y=cos* —. 694. у = sgn (sin —Y
я
cos
695. i/ = —. 696. у = arctg —.
Я X
cos —
697. у = V*~ arctg —. 698. y=e*+i/«.
699. y=_L_. 700. у= '
In* *~ 1-е*"-* '
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиза
графиков следующих функций:
701. у = sgn (sin x). 702. у = х — \х).
703. у — х [х]. 704. у = Ы sin я*.
705. 0 = **— [**]. 706. * = Г—1.
707. /,. а; Г-Ц. 708. у - sgn (cos -Ц.

82 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
709. y=r^]sgn(sin-2-Y 710. 0 = ctg-i.
711. 0 = sec» —. 712. у = { — lf*K
713. yarctg('-l- + —Ц- + —L-V
V * * — 1 x — 2 J
x*sin** sin(*a)
716. «=ln - . 717. у=e-i/*.
718. y=\—e-v*. 719. t/=»th &
1-х*
Исследовать на непрерывность и построить графики
следующих функций:
720. t/=lim—Ц-(х>0). 721. t/=lim п"~п'х
П-*<я 1 + *" п-*оо Л* + /Г*
п
п-*оо
722. у -Ilim /"1 + дс2п. 723. у = lim cos2" х.
724. y = lim - .
я-*» l + tasinx)»»
725. |/«lim [xarctg(nctgx)].
П-КЮ
726. y=lim £±i!f?L.
727. „- lim JEli±4_.
728. y= lim (l+x)thtx.
729. Является ли непрерывной функция
(2х, если 0<*<1,
Д*) = (2—х, если 1<х<2.
730. Пусть
если дс<0,
если дс>0.
'«-&*
При каком выборе числа а функция / (х) будет
непрерывной?

« 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
83
731. Исследовать следующие функции на
непрерывность и выяснить характер точек разрыва, если:
а) /(*) =
х'
2-х
б) fix)
-[■
в) f(x) = \
г) f(*) = {
д) /(*) =
COS
при 0<х < 1,
при 1<х <2;
х при |х|< 1,
1 при |х|>1;
— при |х|<1,
,|х —1| при |х|>1;
[ctg2nx для нецелого х,
[О для целого х\
I sin ях для рационального х,
[О для иррационального х.
732. Функция d = d (х) представляет собой
кратчайшее расстояние точки х числовой оси Ох от множества
точек ее, состоящего из отрезков' 0 < х < 1 и 2 < х <3.
Найти аналитическое выражение функции d, построить
ее график и исследовать на
непрерывность.
733. Фигура Е состоит из
равнобедренного треугольника
с основанием / и высотой / и
двух прямоугольников с
основаниями / каждый и высотами,
равными 2 и 3 (рис. 5).
Функция S = S{y) (О < у < + оо)
представляет собой площадь
части фигуры Е, заключенной
между параллелями Y = О и
Y = у; а функция b = b (у)
(О < у <. + оо) есть длина сечения фигуры Е
параллелью Y — у. Найти аналитические выражения
функций Sub, построить их графики и исследовать на
непрерывность.
734. Доказать, что функция Дирихле
% (х) = lim (lim cosn (пт\х)\
разрывна при каждом значении х-
6*

84 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
735. Исследовать на непрерывность функцию
/ (*) = х% (х),
где х (*) — функция Дирихле (см. предьщущую задачу).
Построить эскиз графика этой функции.
736. Доказать, что функция Римана
/М =
—, если х = —, где т и п взаимно
п п
простые числа;
О, если х иррационально,
разрывна при каждом рациональном значении х и
непрерывна при каждом иррациональном значении х.
Построить эскиз графика этой функции.
737. Исследовать на непрерывность функцию / (х),
заданную следующим образом:
/(*) =
«+»
если х есть несократимая рациональная дробь — (л>1), и
я
f(x) = \x\,
если х — иррациональное число. Построить эскиз
графика этой функции.
• 1 -"" COS X
738. Функция /■(•*) = определена для всех
X2
значений аргумента х, кроме х = 0. Какое значение
следует приписать функции / (х) в точке х = 0, чтобы
эта функция была непрерывной при х = О?
739. Показать, что при любом выборе числа /(1)
функция f (х) — будет разрывна при х = 1.
740. Функция f (х) теряет смысл при х — 0.
Определить число f (0) так, чтобы / {х) была непрерывна при
х — 0, если:
a) fix)
-У14- — 1 ; б) f(x) = ^
» г~.—: . X
7ТТТ-1
в) /(jc) = sinxsin —; г) /(х) = (1 +*),/х;
X

J 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 85
Д> f (x) = -\-e-V"; e) / (x) = x* (x> 0);
ж) f (x) — x \n2x.
741. Обязательно ли будет разрывна в данной точке х0
сумма двух функций / (х) + g (x), если: а) функция
/ (х) непрерывна, а функция g (х) разрывна при х = х0;
б) обе функции f (х) и g (х) разрывны при х — jc0?
Построить соответствующие примеры.
742. Обязательно ли произведение двух функций
/ (*) S (х) терпит разрыв непрерывности в данной точке
х0, если: а) функция / (х) непрерывна, а функция g (x)
разрывна в этой точке; б) обе функции f(x) и g (x)
разрывны при х — *0? Построить соответствующие
примеры.
743. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной
функции есть также разрывная функция?
Построить пример всюду разрывной функции,
квадрат которой есть функция непрерывная.
744. Исследовать на непрерывность функции flg(x)]
и ё I/ (*) 1. если:
а) / (х) = sgn х и g (х) = 1 + х2;
б) / (х) = sgn х и g (x) =• х (1-х2);
в) / (*) = sgn х и g (х) = 1 + х — [х].
745. Исследовать на непрерывность сложную
функцию у = f(u), где и = ср (х), если
I и при 0<u«S 1;
'(") = \ 2-й при 1<м<2
и
1х при jc рациональном;
<PW= о (0<х<1)'.
YV 12—дс при х иррациональном '
746. Доказать, что если f (х) — непрерывная функ-
йия, то F (х) = |/ (х) | есть также непрерывная функция.
747. Доказать, что если функция / (jc) непрерывна,
то функция
I—с, если /(*)<— с;
/(х), если |/(*)|< с;
с, если f(x)>c,
где с — любое положительное число, также непрерывна.

86 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
748. Доказать, что если функция / (х) непрерывна
на сегменте [а, Ь], то функции
m(*)= inf {/(£)} и М(х)= sup {f(t)}
также непрерывны на [а, Ь].
749. Доказать, что если функции f (х) и g (x)
непрерывны, то функции
Ф (х) — min [/ (х), g (x) J и -ф (х) = max [/ (x), g (x) ]
также непрерывны.
750. Пусть функция / (х) определена и ограничена
на сегменте [а, Ь]. Доказать, что функции
т(х)= inf {(f(t)} и М(х)= sup {/(£)}
непрерывны слева на сегменте [а, Ь].
751. Доказать, что если функция f (х) непрерывна
в промежутке а < х < + оо и существует конечный
\\т f (х), то эта функция ограничена в данном проме-
жутке.
752. Пусть функция / (х) непрерывна и ограничена
в интервале (*0, + оо). Доказать, что, каково бы ни
было число 7", найдется последовательность хп -*■ + оо
такая, что
lim [f {xn + Т) -/(*„)]= 0.
л-*оо
753. Пусть ф (х) и t|? (х) — непрерывные
периодические функции, определенные при — оо <; х <z + оо и
lim [<р(х)—Ц(х)]=0.
Ж-*+оо
Доказать, что ф (х) &= ij) (x).
754. Доказать, что все точки разрыва ограниченной
монотонной функции являются точками разрыва 1-го
рода.
755. Доказать, что если функция / (х) обладает
следующими свойствами: 1) определена и монотонна на
сегменте [а, Ь); 2) в качестве своих значений принимает
все числа между / (а) и / (Ь), то эта функция непрерывна
на [а, Ь].
756. Показать, что функция / (х) = sin , если
х — а
х ф а и / (а) — 0, принимает на любом сегменте la, b\

§ 8. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
87
все промежуточные значения между / (а) и / (Ь), однако
не является непрерывной на [а, Ь].
757. Доказать, что если функция / (х) непрерывна
на интервале (а, Ь) и хх, хг хп — любые значения
из этого интервала, то между ними найдется число £
такое, что
/ (В = — [/ (*i) +/ W + • • • +/ (*„)!.
п
758. Пусть / (*) непрерывна в интервале (а, Ь) и
/=Ит/(лс) и L«=lim/(*).
х-*а x-t-a
Доказать, что, каково бы ни было число X, где
/ < X < L, существует последовательность *„-+■ а (п =»
= 1, 2, . . .) такая, что
limf(xn)=X.
П-*ор
§ 8. Обратная функция.
Функции, заданные параметрически
1°. Существование и непрерывность
обратной функции. Если функция у — \ (л) обладает
следующими свойствами: 1) определена и непрерывна на
интервале (а, Ь); 2) монотонна в строгом смысле на этом интервале,
тр существует однозначная обратная функция х = Jf-1 (у),
определенная, непрерывная и соответственно монотонная в строгом
Смысле на интервале {А, В), где А = lim / (х) и В = lim f (x).
х-*в4-0 х-+Ь—0
Под однозначной непрерывной ветвью многозначной обратной
функции данной непрерывной функции у= f (x) понимается любая
однозначная непрерывная функция x=g(y), определенная в
максимальной области ее существования и удовлетворяющая
в этой области уравнению / [g (у)) = у-
2°. Непрерывность функции, заданной
параметрически. Если функции <р (/) и лр (Л
определены и непрерывны в интервале (а, {}) и функция ф (t) строго
монотонна на этом интервале, то система уравнений
* = Ф (0. У = Ч> (0
определяет у как однозначную непрерывную функцию от х:
У = Ч> (ф-1 (х)),
на интервале (а, о), где а = lim ф (t) и b = lim <p (Л
«-*а+0 <-»0-О

W ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
769. Найти обратную функцию дробно-линейной
функции
J cx + d v '
В каком случае обратная функция совпадает с данной?
760. Найти обратную функцию х = х (у), если
у = х + [х].
761. Показать, что существует единственная
непрерывная функция у — у (х) (— оо < х < + оо),
удовлетворяющая уравнению Кеплера
у — е sin у = х (0 < е •< 1).
762. Показать, что уравнение ctg x = kx для
каждого вещественного k \— оо < k < + оо) имеет в
интервале 0 •< х < л единственный непрерывный корень:
х-*<*).
763. Может ли немонотонная функция у =?
=" /'(*){■— °° < * < + °°) иметь однозначную
обратную функцию? Рассмотреть пример:
[ х, если х рационально;
1—х, если х иррационально.
764. В каком случае функция у — f (х) и обратная
функция х = Г1'{у) представляют одну и ту же
функцию?
765. Показать, что обратная функция разрывной
функции у = (1 + х1) sgn х есть функция
непрерывная.
766. Доказать, что если функция f(x) определена
и строго монотонна на сегменте la, b J и
lim / (хп) =-- / (a) (a < xn < b),
П-»ОР
TO
lim jc„ = o.
Определить однозначные непрерывные ветви
обратных функций для следующих функций:
767. у = х*. 768. у = 2х—х\ 769.у= ** . .
1 + хг
770. (/ = sin jc. 771. j/ = cosjc. 772. y = \gx.

i 8. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 89
773. Показать, что множество значений непрерывной
функции у = 1 ■+• sin х, соответствующих интервалу
(О < х < 2п), есть сегмент.
774. Доказать равенство
arcsin х + arccos х = —.
775. Доказать равенство
arctg х -f arctg — = — sgn x (x Ф 0).
776. Доказать теорему сложения арктангенсов:
arctg х + arctg у = arctg *~*~у- + en,
1 — ху
где е = е (х, у) — функция, принимающая одно из трех
значений: 0, 1, — 1.
Для каких значений у при данном значении х
возможен разрыв функции е? Построить на плоскости Оху
соответствующие области непрерывности функции в
и определить значение этой функции в полученных
областях.
777. Доказать теорему сложения арксинусов:
arcsin х -f arcsin у —
= (— 1)е arcsin (x^/l—y* +ул/1—хг) +гя
(|х| <1, \у\<\),
где
_ | 0, если ху < 0 или хг + у* < 1,
| sgn х, если ху > 0 и хг + у* > 1.
778. Доказать теорему сложения арккосинусов:
arccos х + arccos у =
= (—1) arccos (ху—л/1—хг -д/1—уг)+2пъ
(|х|<1. |«/|<1),
где
_ f 0, если х + у > 0,
\ 1, если х + у< 0.
779. Построить графики функций:
а) у= arcsin х—arcsin -у/1—х2;
б) у = arcsin (2jc ^/l—x1)—2 arcsin x.

90 ОТДЕЛ !. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
780. Найти функцию у = у (х), заданную
уравнениями:
х = arctg t, у — arcctg / (— оо< / < + оо).
В какой области определена эта функция?
781. Пусть х — ch /, у = sh / (— со < / < + со).
В каких областях изменения параметра t перемен-
иую у можно рассматривать как однозначную функцию
от переменной х? Найти выражения у для различных
областей.
782. Каковы необходимые и достаточные условия
того, чтобы система уравнений х — <р (/). У — Ф (0
(а < / < Р) определяла бы у как однозначную
функцию от х?
Рассмотреть пример: х = sin*/, у — cos8/.
783. При каких условиях две системы уравнений
* - Ф ('). У = Ч> О (а < t < Ь)
и
* - Ф (X (т), 0 - Ч> (X W) (а <т < р)
определяют одну и ту же функцию у = у (*)?
784. Пусть функции <р (х) и я|> (*) определены и
непрерывны на интервале (а, &) и Л = inf ф (*), 5 =•
= sup ф (х). В каком случае существует однозначная
а<х<Ь
функция / (х), определенная в интервале (А, В) и
такая, что
V (*) = / (Ф (*)) при а < х < &?
§ 9. Равномерная непрерывность функции
1°. Определение равномерной
непрерывности. Функция I (х) называется равномерно непрерывней
на данном множестве (интервале, сегменте и т. п.) X = {х},
если / (х) определена на X и для каждого е > 0 существует
6 = 6 (е) > 0 такое, что для любых значений х', х" £ X из
неравенства
!х'-х"|<6
следует неравенство
1П*')-£Ю1<е.
2°. Теорема Кантора. Функция / (х), определен
ная и непрерывная на ограниченном сегменте [а, Ь], равномерно
непрерывна на «том сегменте.

S 9. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 81
785. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки,
стороны которых х могут принимать значения в
пределах от 1 до 10 см. С каким допуском б можно
обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их
длины (в указанных границах) площадь их у
отличалась от проектной меньше, чем на е? Произвести
численный расчет, если:
а) е = 1 см2; б) е = 0,01 см2; в) е = 0,0001 см2.
786. Цилиндрическая муфта, ширина которой 8
и длина о, надета на кривую у — у х и скользит по
ней так, что ось муфты остается параллельной оси Ох.
Чему должно быть равно б, чтобы эта муфта свободно
прошла участок кривой, определяемый неравенством
— 10 < х < 10, если: а) е = 1; б) е = 0,1; в) е = 0,01;
г) е произвольно мало?
787. В положительном смысле сформулировать на
языке «е—б» утверждение: функция / (х) непрерывна
на некотором множестве (интервале, сегменте и т. п.),
но не является равномерно непрерывной на этом
множестве.
788. Показать, что функция / (х) — \1х непрерывна
в интервале (0, 1), но не является равномерно
непрерывной в этом интервале.
789. Показать, что функция / (х) — sin л/дс
непрерывна и ограничена в интервале (0, 1), но не является
равномерно непрерывной б этом интервале.
790. Показать, что функция / (х) = sin хг непрерывна
н ограничена в бесконечном интервале — оо < х <+оо,
но не является равномерно непрерывной в этом
интервале.
791. Доказать, что если функция f (х) определена
и. непрерывна в области а < х < + оо и существует
конечный
lim f(x),
Х-++00
то / (х) равномерно непрерывна в этой области.
792. Показать, что неограниченная функция
/ (х) = х + sin х
равномерно непрерывна на всей оси — оо •< х < + оо.
793. Является ли равномерно непрерывной функция
/ (х) — xz- на интервале а) (— /, /), где / — любое,

92 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
сколько угодно большое положительное число; б) на
интервале (— оо, + оо)?
Исследовать на равномерную непрерывность в
заданных областях следующие функции:
794. /(ж)-—Ц- <_1<*<1).
4-х*
795. f(x) = \nx (0<*<1).
796. f (х) = -^- (0<х<л).
х
797. f(x) = e*cos— (0<*<1).
X
798. f (х) = arctg* t— оо < *< + оо).
799. f(x) = «fx (1 < х< + оо).
800. f (x) = xsinx (0 < х< + оо).
801. Показать, что функция f(x)= 's" *'
равномерно непрерывна на каждом интервале
Л = (— К х < 0) и У2 = (0 < х < 1)
по отдельности, но не является равномерно
непрерывной на их сумме
Л + Л-<9<1* 1<1>-
801.1. Доказать, что если функция f (x) равномерно
непрерывна на каждом из сегментов [а, с] и [с, Ь], то
эта функция является равномерно непрерывной на
суммарном сегменте [а, Ь].
802. Для е > 0 найти 6 = 6 (е) (какое-нибудь!),
удовлетворяющее условиям равномерной
непрерывности для функции / (х) на данном промежутке, если:
а) / (х) = 5*—3 (— оо < х< + оо);
б) f (х) = хг~2х— 1 (—2 < х < 5).
в)/(*) = — (0,1<*<1);
X
r)/(*) = V* (0<*<+oo);
д) f (х) = 2 sin х—cos x (— оо < *< + оо);
е) f(x) = xsin — (хфО) и f(0)=0 (0<*<я).

§ 9. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 9й
803. На сколько равных между собой отрезков до-
статочно разбить сегмент [1, 10], чтобы колебание
функции f (x) — хг на каждом из этих отрезков было
меньше 0,0001?
804. Доказать, что сумма и произведение ограни-
ценного числа равномерно непрерывных на интервале
(а, Ь) функций равномерно непрерывны на этом
интервале.
805. Доказать, что если ограниченная монотонная
функция / (х) непрерывна на конечном или бесконечном
интервале (а, Ь), то эта функция равномерно непрерывна
на интервале (а, Ь).
806(h). Доказать, что если функция /■(*)
равномерно непрерывна на конечном интервале (а, о), то
существуют пределы
А= Нт/(д:)иВ= lim f(х).
Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (а, Ь)?
806.1. Доказать что для того, чтобы функцию f (х),
определенную и непрерывную на конечном интервале
(а, Ь), можно было продолжить непрерывным образом
на сегмент la, b ], необходимо и достаточно, чтобы
функция f (x) была равномерно непрерывна на интервале
(а. Ь).
807. Модулем непрерывности функции f (x) на
промежутке (а, Ь) называется функция
со, (6) = sup|M*i) — f (*г)1.
где хх и лса — любые точки из (a, b), связанные условием
U,—хг\ < S.
Доказать, что для равномерной непрерывности
функции / (х) на промежутке (a, b) необходимо и
достаточно, чтобы
lim a>f (6) = 0.
6-*+0
808. Получить оценку модуля непрерывности щ fi)
(см. предыдущую задачу) вида
со, (S) < Сб°,
где С и a — константы, если:
а)/(*) = *" (0<*<1);
б) / (*) = У* (0 < х < а) и (a<jc< + оо),
в) /(*) = sinjt + cosjt (0<*<2л).

94
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 10. Функциональные уравнения
809. Доказать, что единственная непрерывная
функция / (*) (— оо < х < + оо), удовлетворяющая для
всех вещественных значений хну уравнению
fb + y) = f(x) + f (у), №
есть линейная однородная / (*) = ах, где а — f (1) —•
произвольная константа.
810. Доказать, что монотонная функция / (*),
удовлетворяющая уравнению (1), есть линейная однородная.
811. Доказать, что функция / (*), удовлетворяющая
уравнению (1) и ограниченная в сколь угодно малом
интервале (—е, е), есть линейная однородная.
812. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f (х) (— оо < х <
< + оо), удовлетворяющая для всех значений хну
уравнению
f(x + y) = f(x)f(y), (2)
есть показательная / (*) = а", где а — f (1) — положи*
тельная постоянная.
813. Доказать, что не равная нулю тождественно
функция / (х), ограниченная в интервале (0, е) и
удовлетворяющая уравнению (2), есть показательная.
814. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция / (*) (0 < х <+ оо),
удовлетворяющая для всех положительных значений
хну уравнению
f(xy) = f(x) + f(y),
есть логарифмическая / (я) = loga x, где а —
положительная константа {аф 1).
815. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция / (х) (0 < х < +оо),
удовлетворяющая для всех положительных значений
хну уравнению
f(xy) = f(x)f(y), (3)
есть степенная / (я) = х°, где а — постоянная.
816. Найти все непрерывные функции / (*) (— оо <
<. х < + оо), удовлетворяющие для всех
вещественных значений х и у уравнению (3).
817. Показать, что разрывная функция / (*) =~ sgn x
удовлетворяет уравнению (3).

i 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ S5
818. Найти все непрерывные функции / (х) (— оо <
<дс<4-оо), удовлетворяющие для всех вещеаЕеа-
ьых значений хну уравнению
/(* + *) + /<*-*)-2ЖШ.
819. Найти все непрерывные ограниченные функции
/ (jc) и; (jc) (— oo < jc ■< 4- оо), удовлетворяющие д/я
всех вещественных значений хну системе уравнении:
f(x + y) = f(x)f(y)-g(x)g(y),
g(x + y) = f{x)g(y) + fti)g(x),
и, сверх того, условиям нормировки:
/ (0) - 1 a g (0) - 0.
Указание. Рассмотреть функцию
F (х) = р (*) + g» (х).
820. Пусть A/ (jc) = / (jc + Ал-) — / (jc) и А2/ (а) -
= A {A/ (jc)} суть конечные разности функции f (x)
соответственно гзрвого и второго порядков.
Доказать, что если функция / (.v) (— со < jc< + ею)
непрерывная и Аа/ (jc) s 0, то эта функция линейная,
т. е. / (jc) = ajc -j- b, где а и b — постоянные.

ОТДЕЛ II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная явной функции
1°. Определение произвоиной. Если * в
«j «■ х- + Л* — звачевия независимой переменной, то разность
Ду - Цм + Дх) -| (х)
называется приращением функции у = И*) на сегменте [х, х%\.
Выражение
^•fW-lim-^., (1)
Д*-*0 Дх
есця 080 имеет сиасл, носит название производной, а сава функ-
ция I (х) в этом случае называется
дифференц ируемой.
Геометрически число £' (х)
представляет собой угловой
коэффициент касательной к графику функция
*•=£(*) в точке его *(tga=|')(x)
(рис. 6).
"Jg Ц 2°. Основные правила
яахождення производи
рис, в ной. Если с — постоянная
величина и функции и*= и (х)| о ■=*
о (х), о» в w (х) имеют производные, то
1)^-0;
2) (си)' —сы';
3) (И + V — W)' гш и' + V' — »'j
4) («i>)'~«'o+i>'«;
и'о — ив*
«(f)'
(f*0);
о»
6) («")' = пип-ги' (п — постоянное число);
7) если функции f и J (к) и и =» ф (х) имеют производные.

S I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ S7
3°. Основные формулы. Если х — независима»
переменная, то
I. (*")' = яде"-1 (л — постоянное число).
II. (sinx)' = cosx. III. (cosx)'= — sinx.
IV. (tg*)'= —L_. V. (ctg*)' = X
VI. (arcsinx)' =
cos8* sin1*
1
vn
2
VII. (arccosx)' =
Vr:
X'
VIII. (arctgx)' = -—. IX. (arcctg*)' = L_.
1 •+■ x2 14- x* •
X. (e*)'=e*lne. (e^'^e*.
XI. (Iogax)' = —i— (fl>0);
xlna
(\ax)' = — (a>0, a¥=l; x>0).
x
XII. (shx)' = chx. XIII. (chx)' = shx.
XIV. (th x)' = —!— ■ XV. (cth x)' = 1—.
ch2Jt sh2x
4°. Односторонние производные. Выражс*
ння
(_to- и» tb+W-M
д*-»~о Ддс
1' / ч г f(x+bx) — f(x)
f+ (x) =■ lim ^-^ - — '-
Ддг-Н-0 Д*
называются соответственно левой или правой производной функ*
ции / (х) в точке х.
Для существования производной \' (х) необходимо и
достаточно, чтобы
/1 (*) - f+ W.
5°. Бесконечная производная. Если функ*
ция f (х) непрерывна в' точке х и
.. f(x+ As)-f(x)
hm ——! —' ■■ = oo,
Ax-tO Ax
то говорят, что в точке х функция f (x) имеет бесконечную проиэ
водную. В этом случае касательная к графику функции у ==
= / (х) в точке х перпендикулярна к оси Ох.
J—2M3

98 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
821. Определить приращение А* аргумента х и
соответствующее приращение Ау функции у — Ig x, если
х изменяется от 1 до 1000.
822. Определить приращение А* аргумента х и
соответствующее приращение Ау функции у = 1/,«2, если
х изменяется от 0,01 до 0,001.
823. Переменная х получает приращение А*. Опра-
йелить приращение Ау, если:
а) у = ах-\-Ь; б) у = ах*-{-Ьх + с; в) у = а*.
824. Доказать, что:
а) A[f (x) + g (x)] = Af (х) + Ag (x);
б) Д [/ (х)g(x)l=g(x + Ax) Af (х) + I (х) Ag (x).
825. Через точки А (2, 4) и А' (2 + Д*. 4 + Ау)
кривой у = х2 проведена секущая АА'. Найти угловой
коэффициент этой секущей, если: а) Ах = 1; б) Д* = 0,1;
в) Д* *= 0,01; г) Д* произвольно мало.
Чему равен угловой коэффициент касательной к
данной кривой в точке Л?
826. Отрезок 1 < х < 1 + А оси Ох с помощью
функции у = х3 отображается на ось Оу. Определить
средний коэффициент растяжения и произвести
численный расчет, если: a) h = 0,1; б) h = 0,01; в) h = 0,001.
Чему равен коэффициент растяжения при этом
отображении в точке х — 1?
827. Закон движения точки по оси Ох дается
формулой
х = 10/ + 5Л
где t — время в секундах и х — расстояние в метрах.
Найти среднюю скорость движения за промежуток
времени 20 < / < 20 + At и произвести численный
расчет, если: a) At = 1; б) At = 0,1; в) At = 0,01. Чему
равна скорость движения в момент времени / = 20?
828. Исходя из определения производной,
непосредственно найти производные следующих функций:
а) х*; б) х'; в) —; г) -у/х; д) /7; е) tg x\ ж) ctg x\
в) arcsin x\ и) arccos x; к) arctg x,
829. Найти /' (1), /' (2) и /' (3), если
/ (г) = (х-1) (х-2)* (х-3)\
830. Найти /' (2), если / (jc) = jc2sin (*—2).

$ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 99
831. Найти /' (1), если
/ (х) = х + (*—1) arcsin /*/-
*+1
832. Найти Hm W ~~ ( , если функция / (х)
дифференцируема в точке а.
833. Доказать, что если функция / (х)
дифференцируема и п — натуральное число, то
lim л[/ (х+ -i-)-/(х)] = /' (х). (1)
Обратно, если для функции / (х) существует предел
(1), то можно ли утверждать, что эта функция имеет
производную? Рассмотреть пример функции Дирихле
(см. отд. 1, задачу 734).
Пользуясь таблицей производных, найти
производные следующих функций:
834. у = 2 + х—х*.
Чему равно у' (0); у' (|); у' (1); у' (- 10)?
835. 0«JL+-5!-_2*.
При каких значениях х: а) у' (х) — 0; б) «' (х) =
= - 2; в) у' (х) = 10?
836. # = а5 + 5а3хг—х5. 837. у = -fl* + fr .
e-j- *
838. </ = (х—а)(х—6).
839. 0 = (х + 1)(* + 2)г(*+3)3.
840. у = (х sin а + cos а) (х cos а—sin а).
841. # = (l+n*m)(l+m*n).
842. у = (1—х)(1—х2)*(1—х3)3.
842.1. у = (5 + 2х)10 (3—4х)20.
843. y = ± + J- + ^-
а Ъ
844. Доказать формулу ( ax + b \ = '-
7* *^ \cx+dj (« + d)«

100 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Найти производные функций:
1 + х — х*
845. </ = ■
2х
1-х*
846. у-
Х—х + х*
847. у =
848. у =
(1-х)Ч1+х)»
(2-х») (2-х3)
(1-х)»
849. у = -^^. 850. ^JiOI^L
а + х)« ■* 1+х
851. у = л; + У* + i/x.
852. у—J-+- ' ' '
Зл-
^ ^
853. у = \Г& ■
у;
854. у = хл/\+х*.
855. «/ = (1 + х)л/2~+*г/3 + дс3.
856. f, = ""^(1 —д;)'" (1 + jc)" .
857. у = — *
Vo! — х*
859. f/ =
Vl + x* (x+Vl+xO
860. у = л/х + лГх + л/х .
861. u =
862. f/ = cos 2x—2 sin x.
863. f/ = (2—jc2) cos x+2x sin x.
864. 0 = sin(cos*jc)-cos(sin*jc).
865. у = sin" x cos nx. 866. у = sin [sin (sin x)].
867. f/ = -
868. y =
cos л
869. у-
cos"x
870. f/ =
2 sin2*
sin x — x cos x
cos x + x sin x

S 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ НИ
871. y-tg-i—ctg-|-.
872. f/ = tg* —I-tgSjc+J- tg»x.
о о
873. t/ = 4^ctgT7+yrctgT7.
874. t/=sec2 —+ cosec2 —.
a a
875. t/ = sin[cos2(tg8*)]. 876. y = e~*\
877. t/ = 2'e v*. 878. t/ = e* (**—2* + 2).
879. t/ = [-
1 ~x* sin a;—^—^-cosjcle-*.
2 2
880. t/=e*(l + ctg—Y
от ln3-sin* +cos*
88». У= ~x •
882. y=eax a sin ft*-ft cos ft*^
883. t/ = e* + e<x+e"\
"•■ »-(f)"(т)*(тУ <°>* »>*
885. t/ = Jtfli+aJ(a + aeX(a>0). 886. t^ig»*8.
887. t/ = ln(ln(ln*)). 888. t/=ln(ln8(ln3x)).
889. t/ = — \n(\+x) — 1п(Ц-л^)- '
2 4 v 2(1 + *)
890. t/ = _Lln —
i
4 **+ 1
891. y= ! + -Lln——.
4(1+*') 4 1 + **
892. у l—\n W3-V2 t
2 V6 * V3 + V2
893. i, = _I_ln-i±iL+^L.in-l+Wf
1_* l_* i_ft \-xjk
(0<Л<1).
• f/=V*+1— in(i + v*+0-

102 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
895. у=1п(х+л/^М=Т).
896. у = х\п(х + л/1+х*)—^1+х2.
897. // = х1пг(х + уГ+х2) —
—2 лЛ+*2 In (л H-Vr+Зс5") Ч-2лг.
898. // = -^ V^+^" + -f- In (x + V^T^").
899. у = L-.tn V*4-*V* (a>0j fe>0)<
900. ^^IVb^' + Sln 1 + Л^Г1;Г-.
901. y=lntg-L. 902. //=lntg(-|- + -J).
903. # = — ctg* x + ln sin x.
904. y=\nJ-^™±.
V 1 + sinx
„„, COS X .. / 1 + COS X
905. y= bin /\/ !
906. ln *+*cosx + V^^'sin*
a + b cos jc
(0<|a|<|b|).
907. y = — (1п8х + 31п2л: + 61пх + 6).
908. w = —ln ' l
Ax* x 16**
909. y = J-(i_^i+xa) + 31n(1 + ^1 + Jt2)r
910. i/ = In Г— + ln f— + ln —Y].
911. i/ = x [sin (ln x)—cos (In x)].
912. t/=lntg——cosx-lntgx.
913. u = arcsin —.
* 2

§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 103
I х х2
914. у = arccos —. 915. у = arctg .
л/2 а
916. у=—^r arcctg-^-- 917. у = д/Г —arctg д/*-
V2 *
918. у = д; + д/1—х2 • arccos x.
919. у =х arcsin д/—- 1-arctgд/je"—д/Je".
920. у = arccos —. 921. у = arcsin (sin х).
X
922. у = arccos (cos2 x). 923. у = arcsin (sin x—cosjk).
924. у = arccos д/l—jc2. 925. у = arctg 1 + *-,
1 —*
926. у = агсс1бГ sinx + cosx V
Ч sin* — cosx /
927. ушп ? arctg (л/^ZttgJL)
928. у = arcsin-——.. 929. y = - 1
(a>b > 0)
l + x* arccos2 (x8)
930. у = arctg x + — arctg (x8).
О
931. y = ln(l -f sin2*)—2 sin *• arctg (sin x).
932. у = In /'arccos—— V
933. y= In—i±^_+-£- arctg -f (b#0).
934. i/ = — д/а2—*a + — arcsin -i (a>0).
935. y—i-ln <-+1)2 +-J—reigiL^L,
936. y = —L^ln -2 + W2-+l
4V2 ** — *V2 + 1
■— arctg —-—
2V2 *2~l

104 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
937. */ = дс (arcs injc)2 +2-^1 — jc2 arcsin*—2х.
938. f/==^£2i±4._LlnJ-VT^L-
х 2 1 + л/1_ха
In л:
939. £/ = arctg V^2 — i
940. ^^ arcsin* +-Lin '"*
VT3^ 2 l + x
o/ii • l„ *4~ *г+ 1 1 * л/3*
941. y =—In ' arctg—- .
12 <*2+l)J 2V3" 2*2-1
942. у — arcctg x9.
1 + x™ s
943. i/ = ln '~3/7 4-V3 arctg-1 + 2^ .
944. г/= arctg
1 + V1-*2
945. у = arcctg —a~2x (a>0).
2 V*1* — x*
946. #=-^^-Vl— 2л—jc2 +2,—:" -+*
; arcsin
V2
947. у = ± In ll+J^t±__L arctg _Vl+
4 ;att^-* 2
948. г/ = arctg (tg2 jc).
949. y = ^/\=x*-\n ,W-bli- +
+ —In 1->v/l^i!-4-VU~cT4-arcsinx.
2 1 + Vl —^
950. г/ = jc arctg jc l- In (1 + jc2) - (arctg jc)8.
* z
951. j/ = ln(e*+yi+«20-

§ I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 105
952. t/=arctg(x + yi + *2)-
m-n f sin a sin x \
953. y = arcsin 1 J.
V 1 — cos a cos дс /
пкл 1 i V*2 + 2 — * V3
954. y= — In— !— ^ +
4V3 V**+2+xV3
, 1 . V*2+2
+ —arctg ^ ^ .
2 *
955. t/ = —-arctg
;V2
2V2 Vi + -
_j ln V1 + *4 -W2
4V2 Vl + *4 +W2
„,. хл/l—x* 3 . x V2
956. t/ = —- — arcctg
' + *2 V2" Vi —*2
957. t/ = arccos (si n x2—cos хг).
958. у = arcsin (sin x2) + arccos (cos x2).
959. t/ = e"1arcsin * [cos {m arcsin x) + sin (m arcsin x)\.
860. f/= arctg
e* —In /\/—'■
V e"
'"•+1
960.1. y = V.+'/r
960.2. t/= arcctg-
Vctg
x*
960.3. t/=ln*(sec2^\)-
961. t/= * + ** + *** (x>0).
962. у = Хх" + ХаХ + а'? (fl>0, *>0).
963. y = Vx (x>0).
964. t/ = (sinx)cos* + (cosx)sin*.
965. t/=(lnx)*;xln*.
865.1. t/ = rarcsin(sinajc)rtg".
L arccos (cos* x) J

106 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
966. y=\ogxe. 967. y = ln{chx)-\ l
2ch*jt *
968. r/ = -^ lnfcth—V
sh*x \ 2 )
969. .y=arctg(tg*).
970. у = arccos (——).
\ chx J
971. £/ = —AH—* arctgl л ——-th^-1
а о \ V a+6 2 /
(0<|6|<a).
972. Найти производную функции
у = In (cos2a- -f V1 + cos* x)>
вводя промежуточное переменное и = cos2*.
Приемом, указанным в примере 972, найти
производные функций:
973. jj = (агсс os *)2 plna (arccos *) — In (arccos *) -\ 1.
974. у - ± arctg (УТ+S) + ±Ъ f ГТ?"+ ! .
975. ,/= «-*-««""»-^_4.JLlnri-e-^.
д/l _г-2*' 2
гх
976. у = —- _ ——— arcctg а~х.
J 1 + в" 1 + в2*
977, Найти производные и построить графики
функций и их производных, если:
а) У = И5 б) У = *И; в) У = 1п |х|.
978» Найти производные следующих функций:
a) i/H(*-l)*(*+l)sl; б) £/ = ] sins д: |;
в) у — arccos ; t).y — [x]sin2я*.
1*1

§ I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 107
Найти производные и построить графики функций
и их производных:
II—х при —oo<jc<1;
(1-х) (2-х) при 1<*<2;
—(2—х) при 2<*< + оо.
980 « = \ (* ~~а^2 (х ~ ЬУ при а < дс < Ь;
И
О вне отрезка [а, Ь].
981.0=/ * прил:<0;
I 1п(1+*) при *>0.
982. у = \
983. у--
arctgjc при |дс| < 1;
-j-sgnjc+ *~* при |лс|>1.
х1е-*' при |дс| < 1;
— при |лс|>1.
е
984. Производная от логарифма данной функций
у = f (х) называется логарифмической производной этой
функции:
j^-fLinimi-^>
У dx Их)
Найти логарифмическую производную от функции у,
если:
\ / 1-х Л х» £ /" 3-х
а)у=дсЛ/ТГ7; б>"= —Kl^F5
в) у = (*-а,)°" (x-aj* ... (x-anf"\
г) » = (x+VbH?)".
985. Пусть ф (*) и гр (х) — дифференцируемые
функции от х. Найти производную от функции у, если:
а) у-Уф'М+VW; б) t/ = arctg ^|jL|
В)!/ = '7Ш <ф <*)#<>; ф(*)>0);
r)l/ = log,w^W (ф(дс)>0; Ф(*)>0).

108 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
986. Найти у', если:
а) У = f И; б) у = / (sin2 я)+f (cos8 x);
ъ)у = Не*)-4*>\ г) у=/{/[/(*)]},
где / (ы) — дифференцируемая функция.
986.1. Найти /'(0), если
f(x) = x (х—\) (*—2) . . .(х— 1000).
987. Доказать следующее правило
дифференцирования определителя я-го порядка:
fuW/uW.../uW
hi (x) fk% (*)..- fkn (x)
fm(x)fni(x) . . . f„n (x)
988. Найти F' (x), если
n
-I
fll (*) /u (*)... fin (*)
f'kl W 7*S (*)••• f*n W
/nl (*) fnl (*)••• fnn W
FW =
*—I 1 2
— 3 X 3
—2 —3 *+l
989. Найти /=" (x), если
F(x)= 1 2* Зж2
О 2 6*
990. Дан график функции. Приближенно построить
график ее производной.
991. Показать, что функция
/М =
A^sin— при хфО;
х
0 при х — 0
имеет разрывную производную.
992. При каком условии функция
f»=*»sin — {хфО) и /(0) = 0
а) непрерывна при х = 0; б) дифференцируема при
х ■» 0; в) имеет непрерывную производную при х =» 0?

9 t. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 109
993. При каком условии функция
/(*) Н*|»sin—!—(*>*Q) и /(0) = 0 (т>0)
имеет: а) ограниченную производную в окрестности
начала координат; б) неограниченную производную в этой
окрестности?
994. Найти f (а), если
/ (х) = {х-а) ф (х),
где функция ф (х) непрерывна при х = а.
995. Показать, что функция
f{x) = |дс—а|ф(дс),
где ф (х) — непрерывная функция и ф (а) Ф 0, не имеет
производной в точке а.
Чему равны односторонние производные /1 (а) и
А- (а)?
996. Построить пример непрерывной функции, не
имеющей производной в данных точках: alt аг, . . . , ап.
997. Показать, что функция
/(jc) =- jc* I cos -^-1 (х#0) и/(0) = 0
имеет точки недифференцируемости в любой
окрестности точки х = 0, но дифференцируема в этой точке.
Построить эскиз графика этой функции.
998. Показать, что функция
если х рационально;
если х иррационально,
имеет производную лишь при х = 0.
999. Исследовать на дифференцируемость следующие
функции:
а) у = | (х-1) (*-2)« (*-3)31; б) у = | cos x|;
в) y = \n*—x*\s'm*x; г) t/=arcsin(eosjc);
I о, <
д) у=
*— 1 /..I i\a
(х+1)а при |х|<1;
4
\х\ — 1 при |дс|>1.
Для функции / (jc) определить левую производную
/L (х) и правую производную /+ (*)', если:
1000. / (х) - \х\. 1001. / (*) - UJ sin nx.

НО ОТДЕЛ~Н. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1002. /(*) = * cos—I (хфО), /(0) = 0.
1003. f(x)=■^Jsinxт.
1004. / (х) = *-— (хфО), f (0) «_ 0.
1 + е'х
1005. /(*) = yi— е-**.
1006. Д*) = |1п|*|| (*=£0).
1007. / (х) = arcsin —^—.
1008. /(*) = (*—2)arctg——- (*=£2), /(2) = 0.
1009. Показать, что функция f (х) — х sin— при
jt =?£ 0 и / (0) = 0 непрерывна при л: = 0, но не имеет
В этой точке ни левой, ни правой производной.
1009.1. Пусть х0 — точка разрыва 1-го рода
функции / (х). Выражения
f_(Xo)= Ит 7(*.+ *)-f(*.-0)
ft-»—о Л
И
f+K ' ft-»+o Л
называются обобщенными односторонними
(соответственно левой и правой) производными функции / (х)
в точке х0.
Найти /1 (.vo) и /+ (х0) в точках разрыва х0 функции
/ (*), если:
1 + е'
1010. Пусть
х*, если *<*„;
ox+frt если х> х0.
/»-{

§ I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
111
Как следует подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы
функция / (х) была непрерывной и дифференцируемой
в точке х — х0?
1011. Пусть
F(x) = [ f№' 6СЛИ х<>Хо'
\ax-\-b, если х>х0,
где функция / (дс) дифференцируема слева при х — х0.
При каком выборе коэффициентов а и b функция
F (х) будет непрерывной и дифференцируемой в точке х0?
1012. На сегменте а < х <; b построить сопряжение
двух полупрямых
y—kx (х—а) (— оо < х < а),
y = k2(x—b) (Ь<х< + оо)
с помощью кубической параболы
у = А (х—а) (х~Ь) (х—с),
(где параметры А а с подлежат определению).
1013. Часть кривой у = (|дс|>с) дополнить
параболой
у = а + Ьхг (|х| < с)
(где а и b — неизвестные параметры) так, чтобы
получилась гладкая кривая.
1014. Можно ли утверждать, что сумма F (х) —
— f (х) + S (х) не имеет производной в точке х = х0,
если: а) функция / (х) имеет производную в точке х0,
а функция g (x) не имеет производной в этой точке;
б) обе функции / (х) Kg (x) не имеют производной в
точке х0?
1015. Можно ли утверждать, что произведение
f(x)-f(x)g(x)
не имеет производной в точке х = х0, если: а) функция
/ (х) имеет производную в точке х0, а функция g (x) не
имеет производной в этой точке; б) обе функции / (дг)
и g (х) не имеют производной в точке х0?
Полагая х0 = 0, рассмотреть примерьи a) f (x) = х,
g(x)~\x\; б) /(*) = И. *С*)-|*|.

112 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИВ
1016. Что можно сказать о дифференцируемостй
функции
F(x) = f(g(x))
в данной точке х = х0, если: а) функция f (x) имеет
производную в точке х = g (jc0), а функция g (x) на
имеет производной в точке х = x0i б) функция f (x) не
имеет производной в точке х = g (х0), а функция g (x)
имеет производную в точке х *= х0; в) функция f (jc)
не имеет производной в точке х = g (x0) и функция
g(x) не имеет производной в точке х = jc0?
Полагая х0 = 0, рассмотреть примеры:
a) f{x)=x\ g(x) = \x\, б) /(jc) = |*I, g(jc) = x»
b)/(jc) = 2jc+|jc|, g{x)=-jx-±\x\.
1017. В каких точках график функции у =
mm х + /sin x имеет вертикальные касательные?
Построить этот график.
1018. Может ли функция f (jc) в точке ее разрыва
иметь: а) конечную производную; б) бесконечную
производную?
Рассмотреть пример: f (jc) = sgn x.
1019. Если функция f (jc) дифференцируема в
ограниченном интервале (а, Ь) и lim f (jc) = оо, то обяза-
тельно ли
1) lim f (x) = оо; 2) lim | f (х) | = + оо?
х-*а х-*а
Рассмотреть пример: f(x)=> |-cos— при jc-*-0.
X X
1020. Если функция f (x) дифференцируема в
ограниченном интервале (а, Ь) и lim /' (jc) = оо, то обяза-
х-*а
тельно ли
lim / (jc) = оо?
х-*а
Рассмотреть пример: f (jc) => /* при х -*■ 0.
1021. Пусть функция / (jc) дифференцируема в
интервале (jc0. + оо) и существует lim f (jc). Следует ли
отсюда, что существует lim f (jc)?
х-»+00
Рассмотреть пример: / (х) — sin (дс* ,

S I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 119
1022. Пусть ограниченная функция / (х)
дифференцируема в интервале (х0, + оо) и существует lim /' (*)j
следует ли отсюда, что существует lim / (x) конечный
«-►оо
или бесконечный?
Рассмотреть пример: / (х) = cos (In x).
1023. Можно ли почленно дифференцировать
неравенство между функциями?
1024. Вывести формулы для сумм:
Ря= I +2х + 3х2 + . .. + л*"-1
и Q„ = 1* + 2*х + 3V + . . . + nV-1.
Указание. Рассмотреть (х + ха + .. . + *")'.
1025. Вывести формулы для сумм:
S„ = sin x + sin 2ж + .-... + sin nx
и
Т„ = cos х + 2 cos 2x + . . . + п cos nx.
1025.1. Вывести формулу для суммы
S„ = ch х + 2ch 2* + . . . + п сп пх.
Указание. S„ — (sh x + sh 2х + . . . + sh nx)'.
1026. Пользуясь тождеством
хх х sin*
cos — cos — ... cos —
2"sin-i-
2"
2 4 2я
вывести формулу для суммы
1027» Доказать, что производная четной
дифференцируемой функции есть функция нечетная, а
производная нечетной дифференцируемой функции есть функция
четная.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1028. Доказать, что производная дифференцируемой
периодической функции есть функция снова
периодическая с тем же периодом.
1029. С какой скоростью возрастает площадь круга
в тот момент, когда ргдиус этого круга R = 10 см, если
радиус круга растет равномерно со скоростью 2 см/с?
1030. С какой скоростью изменяются площадь и
диагональ прямоугольника в тот момент, когда одна сторона
3-2МЗ

114 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
его х = 20 м, а другая сторона у = 15 м, если первая
сторона прямоугольника уменьшается со скоростью
1 м/с, а вторая возрастает со скоростью 2 м/с?
1031. Из одного и того же порта одновременно вышли
пароход А с направлением на северян пароход В с
направлением на восток. С какой скоростью возрастает
расстояние между ними, если скорость парохода А
равна 30 км/ч, а парохода В равна 40 км/ч?
1032. Пусть
f { \ _ \ х> если 0 < х < 2;
1 2х— 2, если 2<*<-|-оо,
и S (х) — площадь, ограниченная кривой у = / (х),
осью Ох и перпендикуляром к оси Ох, проведенным в
точке х (х > 0).
Составить аналитическое выражение функции S (х),
найти производную S' (х) и построить график функции
y~S' (х).
1033. Функция S (х) есть площадь, ограниченная
дугой окружности у — <у/а2—х2, осью Ох и двумя
перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках О
и х (|дс| < а).
Составить аналитическое выражение функции S (х),
найти производную S' (х) и построить график этой
производной.
§ 2. Производная обратной функции.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная функции, заданной в неявном виде
1°. Производная обратной функции.
Дифференцируемая функция у == / (х) (а < х < Ь) с производной
I' (х) ф 0 имеет однозначную непрерывную обратную функцию
х = (-1 (у), причем обратная функция также дифференцируема
и справедлива формула
г _ 1
Ху — — •
2°. Производная функции, заданной
раметрически. Система уравнений
Z-*W'}(«<«».
где <р (0 н гр (0 — дифференцируемые функции и <р' (<) =jfc 0,

S 2. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 115
определяет у, в некоторой области, как однозначную
дифференцируемую функцию от х:
У = Ч> (Ф-1 (*)).
причем производная этой функции может быть найдена по фор.
нуле
y't
xi
3°. Производная функции, заданнойв
неявном виде. Если дифференцируемая функция у— у (х)
удовлетворяет уравнению
F (х, у) = О,
то производная у' = у' (х) этой неявной функции может быть
найдена из уравнения
-f- [F (х, У)) = О,
Ах
где F (х, у) рассматривается как сложная функция переменной х.
(Более подробно о дифференцировании неявных функций
см. ч. II, отд. VI, § 3.)
1034. Показать, что существует однозначная
функция у = у (х), определяемая уравнением у3 + Зу = х,
и найти ее производную у'х.
1035. Показать, что существует однозначная
функция у — у (х), определяемая уравнением
у — е sin у = х (0 < е < 1),
и найти производную у'х.
1036. Определить области существования обратных
функций х — х (у) и найти их производные, если:
а) у = х+ In х (*>0); б) у = х+ех;
в) у = sh x; г)у = th x.
1037. Выделить однозначные непрерывные ветви
обратных функций х = х (у), найти их производные
и построить графики, если:
а) у = 2х*~х*; б) у в _£_^. в) у в Ъгх_ ггк
1038. Построить эскиз графика функции у = у (х)
и найти производную у'х, если: х = — 1 + 2t—t\
у = 2—3/ + t3. Чему равна у'х (х) при jt=0 и при
х — — 1? В какой точке М (х, у) производная
У* (х) = 0?
я*

Пв ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Найти производные у'я (параметры положительны)
если:
1039. х = V\— <JT, у = Vl — VT.
1040. x = sin4 y = cos2t.
1041. дс= ecos/, y — bsint.
1042. x=*acht, y = bsht.
1043. x => e coss /, i/ = a sin3 /.
1044. x=a(t—sinf), «/ = e(l—cos/).
1045. x - «* cos* t, у = <? sin* f.
1046. * = arcsin — , # = arccos •
л/Т+Т Vl + <*
1047. Показать, что функция i/ = у (х),
определяемая системой уравнений
«-2/ + Н , у == 5/» + 4/1/J.
дифференцируема при / = 0, однако ее производная
в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.
Найти производные у'х от следующих функций,
заданных в неявном виде:
1048. хг + 2ху-^у* = 2х.
Чему равно у' при х=2ну=4и при х = 2 и
1049. у* — 2рх (парабола).
1050. -4 + -4 = 1 (эллипс).
1051. л/х + л/у = л/а (парабола).
1052. х213 + у2,3^а'3 (астроида).
1053. arctg-^- = In л/х* + уг (логарифмическая спи-
х
раль).
1054. Найти у'х, если:
а) л = а<р (спираль Архимеда);
б) г «■ а (1 + cos ф) (кардиоида);
в) г = ае"1* (логарифмическая спираль),
где г = V**"H?" и ф = arctg —— полярные координаты.

5 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 117
§ 3. Геометрический смысл производной
Is. Уравнения касательной и нормали.
Уравнения касательной МТ и нормали MN к графику
дифференцируемой функции у — Цх) о точке его М (х, у) (рис. 7)
соответственно имеют вид:
Y -у= у'(Х-х)
У-У =
1
-7 <*-*).
У
где X, Y — текущие координаты касательной или нормали,
а у' — V (*) — значение производной в точке касания.
2°. Отрезки касательной и нормали.
Для отрезков касательной и нормали: РТ — подкасательная,
PN — поднормаль, МТ — касательная, MN—нормаль (рис. 7);.
Рис. 7 Рис. 8
учитывая, что tg се = у', получаем следующие значения:
РГ =
_У
У
ЯАГ-IW'I.
MT = \JL L/i + y'a, МЛ?= !(/| Vl + У'*.
\ У' I
3е. Угол между касательной н
радиусом-вектором точки касания. Если г = / (q>) —
уравнение кривой в полярной' системе координат и (J — угол,
образованный касательной МТ и радиусом-вектором ОМ точки
касания М (рис. 8), то
1055. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
i/ = (*+l)/3=I
в точках: а) А (— 1, 0); б) В (2, 3); в) С (3, 0).

118 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1056. В каких точках кривой у = 2 + х—х2
касательная к ней а) параллельна оси Ох; б) параллельна
биссектрисе первого координатного угла?
1057. Доказать, что парабола
у = a {x—Xj) (х—хг) {а Ф 0, хх < хг)
пересекает ось Ох под углами а и Р (0 < а < —,
0 < (3 < —}, равными между собой.
1058. На кривой у = 2 sin х (— я < х < я)
определить те участки ее, где «крутизна кривой» (т.е.| у' \)
превышает 1.
1059. Функции у = х и ух = х + 0,01 sin 1 000 пх
отличаются друг от друга не больше чем на 0,01. Что
можно сказать о максимальном значении разности
производных этих функций?
Построить соответствующие графики.
1060. Под каким углом кривая у — In x пересекает
ось 0x7
1061. Под какими углами пересекаются кривые
у — х2 и х = у2?
1062. Под какими углами пересекаются кривые
у — sin х и у — cos jc?
1063. При каком выборе параметра п кривая
у = arctg пх (п > 0)
пересекает ось Ох под углом, большим 89°?
1063. К Показать, что кривая у — \х\а
а) при 0 < а < 1 касается оси Оу;
б) при 1 < а < + оо касается оси Ох.
1063.2. Показать, что для графика функции
{|дс|а, если a=j^0 хфО,
1, если х й= 0,
предельное положение секущей, проходящей через точку
А (0, 1), есть ось Оу.
1064. Определить угол между левой и правой
касательными к кривой: а) у = -\J\—e~a'xi~ в точке х = 0;
Or
б) и = arcsin в точке х— 1.

§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 119
1065. Показать, что касательная к логарифмической
спирали г = ае"1* (а и т—постоянные) образует
постоянный угол с радиусом-вектором точки касания.
1066. Определив длину подкасательной к кривой
у = ах", дать способ построения касательной к этой
кривой.
1067. Доказать, что у параболы у2 = 2рх
а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки
касания;
б) поднормаль постоянна.
Дать способ построения касательной к параболе.
1068. Доказать, что показательная кривая
у = ах (а > 0)
имеет постоянную подкасательную. Дать способ
построения касательной к показательной кривой.
1069. Определить длину нормали к цепной линии
у = асп —
а
в любой ее точке М (х0, у0).
1070. Доказать, что у астроиды
#* + !?*-#* (*>0)
длина отрезка касательной, заключенного между осями
координат, есть величина постоянная.
1071. При каком соотношении между
коэффициентами а, Ь и с парабола у = ах2 + Ьх + с касается
оси Ох}
1072. При каком условии кубическая парабола
у = х3 + рх + д
касается оси Ох?
1073. При каком значении параметра а парабола
у = ах2 касается кривой у — \п х?
1074. Доказать, что кривые
У = f (x) (f (х) > 0) и у = f [x) sin ax,
где / (х) — дифференцируемая функция, касаются друр
друга в общих точках.
1075. Показать, что семейства гипербол х2—уг = а
и ху = b образуют ортогональную сетку, т. е. кривые
этих семейств пересекаются под прямыми углами.

120 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1076. Доказать, что семейства парабол
уг = 4а (а—х) (а>0)иуа = \Ъ (Ь + х) (Ь> 0)
образуют ортогональную сетку.
1077. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
х = 2t—tz, у = 3t—t3
в точках: a) t = 0; б) t — 1.
1078. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
2/+/а It — i2
х = —-—, у = ——
1 + Р а 1 + Р
в точках: a) t = 0, б) t= 1, в) t = со.
1079. Написать уравнение касательной к циклоиде
х = а (/-—sin t), у — а (1—cos t)
в произвольной точке t = t0. Дать способ построения
касательной к циклоиде.
1080. Доказать, что трактриса
х = a (in tg Ь cos 0. У = a sin t (a > 0, 0 < *<л)
имеет отрезок касательной постоянной длины.
Написать уравнения касательной и нормали в
заданных точках к следующим кривым:
1082. ху + 1пу=1, М(1; 1).
§ 4. Дифференциал функции
1°. Дифференциал функции. Если
приращение функции у — 1(х) от независимой переменной х может быть
представлено в виде
Д^ = А (х) Ах + о (их),
где dx = Ах, то линейная часть этого приращения называется
дифференциалом функции у:
dy= А (х) dx.
Для существования дифференциала функции у = / (х)
необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная
У1 ■" V (*)> причем имеем:
йу ** V' «*• (1)

S 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 121
Формула (1) сохраняет свою силу и в том случае, если
переменная х является функцией от новой независимой перемен»
ной {свойство инвариантности первого дифференциала).
2°. Оценка малых приращений функция.
Для подсчета малых приращений дифференцируемой функция
t (x) можно пользоваться формулой
1(х + Д*) - I (х) « I' (х) Их,
относительная погрешность которой сколь угодно мала при до*
статочно малом |Дх|, если (,'(х)фО.
В частности, если независимая переменная х определяется
с предельной абсолютной погрешностью, равной Дх, то Дв я
6и — предельные абсолютная и относительная погрешности
функции у = | (ж) — приближенно выражаются следующими
формулами:
в
I у' I
б,; = I Д*
" I У I
1083. Для функции
/ (х) = х*—2х + 1
определить: 1) А/ (1); 2) df (1) и сравнить их, если:
а) Ах = 1; б) Ах — 0,1; в) Ах = 0,01.
1084. Уравнение движения дается формулой
х = 5/»,
где / измеряется в секундах и х — в метрах.
Для момента времени / = 2 с определить Ах —
приращение пути и dx — дифференциал пути и сравнить
их, если:
a) At = 1 с; б) At = 0,1 cj в) At - 0,001 с.
Найти дифференциал функции у, если:
1085. у =—. 1086. ^-Larctg— (аф%
х а а
1087. f/ = -^-ln -J^f I- W88. у=*\п\х+т/хУЩ.
1089. у = arcsin ~ (аф 0).

122 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1090. Найти:
а) d(jce*); 6)d(sinx—xcosjc); в) <*(—Y»
гКтг> *>dW*+** e)<vrb=):
ж) d In (1 —x2); з) d (arccos —J;
и) d\_iiM_ +_LinI tg(-L+JL)I].
' L 2 cos** ^2 \ \2 ^ *J\\
Пусть и, о, w — дифференцируемые функции от х.
Найти дифференциал функции у, если:
1091. y = uvw. 1092. у = —. 1093. и = -Д==.
1094. f/ = arctg —. 1095. у = In уи*+в*.
1096. Найти: а) —— (x3—2x*~-x9);
б) —E—fJiEi-Y B) d(si"*) ■ r) JJtg*L.
dix*) \ x )' d(cosx) ' d(ctgx) '
. d(arcsinx)
d (arccos x)
1097. В круговом секторе радиус R = 100 см и
центральный угол а — 60°. Насколько изменится площадь
этого сектора, если: а) радиус его R увеличить на 1 cmj
б) угол а уменьшить на 30'?
Дать точное и приближенное решения.
1098. Период колебания маятника (в секундах)
определяется по формуле Т — 2л/\/—.где/ — длина
маятника в сантиметрах и g = 981 см/с2 — ускорение
силы тяжести.
Насколько нужно изменить длину маятника / =
= 20 см, чтобы период Т увеличился на 0,05 с?
Заменяя приращение функции дифференциалом,
найти приближенно следующие значения:
1099.^^02. П00. sin 29°. 1101. cos 151*.
1102. arctg 1,05. 1103. lg 11.

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 123
1104. Доказать приближенную формулу
Va2+*«a+— (а>0),
2а
где |*| <£ а (соотношение А <£ В между
положительными А и В означает, что А весьма мало по
сравнению с В).
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) Уб; б) У34; в) У120 и сравнить с табличными
данными.
1104.1. Доказать формулу
л/а*+х = а + — г (а>0, *>0),
2а
где
°<г<-тт-
1105. Доказать приближенную формулу
j^4^«a+—1- (а>0),
пап~*
где |*Ка.
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) у^Э; б) ^80; в) уОоб; г) '-j^IOOO.
1106. Сторона квадрата х = 2,4 м ± 0,05 м. С
какими предельной абсолютной и относительной
погрешностями можно вычислить площадь этого квадрата?
1107. С какой относительной погрешностью
допустимо измерить радиус R шара, чтобы объем его можно
было определить с точностью до 1 %?
1108. Для определения ускорения силы тяжести
с помощью колебания маятника пользуются формулой
g = 4ла//7'2, где / — длина маятника, Т — полный
период колебаний маятника. Как отразится на значении g
относительная погрешность б при измерении: а) длины /;
б) периода 7?
1109. Определить абсолютную погрешность
десятичного логарифма числа х (х > 0), если относительная
погрешность этого числа равна б.

%tt ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1110. Доказать, что углы по логарифмической
таблице тангенсов определяются точнее, чем по
логарифмической таблице синусов с тем же самым числом
десятичных знаков.
§ 5. Производные и дифференциалы
высших порядков
1°. Основные определения. Производные вые-
шах порядков от функции у — I (х) определяются
последовательно соотношениями (предполагается, что соответствующие
операции имеют смысл!):
/<«) (х) ={/(«-!> (х)}я (п =>2, 3, ...).
Если функция 1(х) имеет непрерывную производную £<") (х)
иа интервале (о, о), то кратко пишут: d (х) £ С(я) (а, Ь). В
частности, если jf(x) имеет непрерывные производные всех поряд*
ков иа (а, Ь), то употребляется запись: / (х) £ С(оо) (а, Ъ).
Дифференциалы высших порядков от функции у = f (х)
последовательно определяются формулами
dny = d(dn-*y) (л = 2, 3, ...).
где принято d'y = dy ■» y'dx.
Если х — независимая переменная, то полагают:
d*x = d»x =•...= 0.
В этом случае справедливы формулы
dny = yin)dxn и yln) = 40iL.
dxn
2е. Основные формулы:
I. (e*)C) = a* In" а (а£>0); (е*)<я> - е*.
II. (s!nx)<"> = sinfx+—Y
III. (cos x)(n) ■= cos [ х-j J.
IV. (<m)<n> = m (m — 1) . .. (m — л + 1) x"1-".
V.Qn.t)<">- (-')я-г("-»'
Xя
3е. Формула Лейбница. Если функции и = <р (х)
я о = i|> (х) имеют производные л-го порядка (п-кратно
дифференцируемы) то
(«»)<"> =£ф( Vя-».
(-=0
где н(0>"»в, '""ataCl, — число сочетаний из я эле-
центов по I.

i 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 125
Аналогично для дифференциала dn (uv) получаем;
п
dn (uv) = £ Clndn-ludlv,
i'=0
где положено d9u = и a dnv = v.
Найти у", если:
1111. у = хл/Г+х*. 1112. у= *
1113. j/ = e_*\ 1114. y = tgx<
arcs in x
1115. j/ = (l+je*)arctgje. 1116. y= ""'"* .
1117. y = x\nx. 1118. у = In/(x).
1119. # = x[sin(lnx)+cos(lnx)].
1120. Найти у(0), у'(0) и у (0), если
y = es,n*cos(sinx).
Пусть u = ф (дс) и v — ч|? (дс) — дважды
дифференцируемые функции. Найти у", если:
1121. # = ца. 1122. у = \п —.
v
1123. 0 = У"* + <А 1124. 0 = ц° (ц>0).
Пусть / (дс) — трижды дифференцируемая функция.
Найти у' и ^'", если:
1125. */ = /(**). 1126. J/ = /(-J-).
1127. j/ = /(e*). 1128. j/ = /(lnx).
1129. у = f (q> (дс)), где ф (дс) —достаточное число
раз дифференцируемая функция.
ИЗО. Найти dry для функции у = е* в двух случаях:
а) дс — независимая переменная; б) х — промежуточ*
ный аргумент.
Считая х независимой переменной, найти d*y, если:
lnx
1131. у = УГ+Л 1132. у - —. 1133. 0 - х\

126 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пусть и и v — дважды дифференцируемые функции
от переменной х. Найти d%y, если:
1134. y^uv. 1135. (/=—.
V
1136. y = umvn (т и п—постоянные).
1137. у = аи (а>0). 1138. t/ = 1пV"2 + 0я.
1139. i/=arctg—.
v
Найти производные у'х, у'х*, у'х' от функции у = у (х),
заданной параметрически, если:
1140. x = 2t—t\ у = Ы—1\
1141. * = acos/, y = asint.
1142. x = a(t—sint), у = a(l—cosf).
1143. x = e' cos t, у — e' sin t.
1144. x = f'(t). y = tf'(t)-f(t).
1145. Пусть функция у — f (x) дифференцируема
достаточное число раз. Найти производные х', х", х'",
хп обратной функции х — f~l (у), предполагая, что эти
производные существуют.
Найти у'х, у'х'', и y'xV от функции и — у (х), заданной
неявно:
1146. х% + у2 = 25. Чему равны у', у" и у'" в точке
М (3, 4)?
1147. у* = 2рх. 1148. х2—ху + у*=1.
Найти у'х и у", если:
1149. у*+2\пу = х*.
1150. V^+? = aearcte и" (а > 0).
1151. Пусть функция / (х) определена и дважды
дифференцируема при х < х0. Как следует подобрать
коэффициенты а, Ь и с, чтобы функция
/(*), если *<*o*,
l+b(x—х0)+с, если х>х0
была дважды дифференцируема.
I f{x), есл!
РМ = \а(х-х0Г.

« Б. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 127
1152. Точка движется прямолинейно по закону
s = 10 + 20/ — 5/2.
Найти скорость и ускорение движения. Чему равны
скорость и ускорение в момент времени t = 2?
1153. Точка М (х, у) равномерно движется по
окружности х2 + у2 — а2, делая один оборот за Г с. НгйтИ
скорость v и ускорение / проекции точки М на ось Ох,
если при / = 0 точка занимала положение Лм, (а, 0).
1154. Тяжелая материальная точка М (х, у) брошена
в вертикальной плоскости Оху под углом а к плоскости
горизонта с начальной скоростью у0. Составить
(пренебрегая сопротивлением воздуха) уравнения движения
и определить величину скорости у и ускорения /, а
также траекторию движения. Чему равны наибольшая
высота поднятия точки и дальность полета?
1155. Уравнения движения точки
х = 4 sin tit — 3 cos (о/, у = 3 sin <о/ + 4 cos <at
((О — ПОСТОЯННО).
Определить траекторию движения и величину ск<ь
рости и ускорения.
Найти производные указанного порядка.
1156. t/ = *(2*—1)*(* + 3)3; найти t/<e> и у«\
1157. у = -~\ найти у"'.
1158. у = л[х\ найти yi10K
х3
1159. у = ; найти «<8>.
1-х
1160. у = l±L ; найти и<100>.
VI —ж
1161. t/ = *V; найти t/<*°>.
1162. у = —, найти «/10>.
1163. t/ = л:1пд:; найти (/<ь>.
1164. t/=i2-L; найти t/W.
1165. y = x*s\n2x; найти t/<M>.
cos3*
V\~=3~x
1166. t/ = cos3* ; найти \f%

128 ОТДЕЛ 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1167. # = sinJtsin2xsin3r, найти #<w>.
! 168. у = х sh r, найти ^10°»
1169. у ■= е* cos г, найти #IV.
1170. # = sin2xlnx; найти #<•>.
В следующих примерах, считая х независимой
переменной, найти дифференциалы указанного порядка:
1171. у^х*; найти d*y.
1172. у= 1/У*; найти <Ру.
1173. y = xcos2x\ найти d10^.
1174. у = е* In*; найти d*y.
1175. # = cos x • ch r, найти d*#.
В следующих примерах найти дифференциалы
указанного порядка, если и — функция от х,
дифференцируемая достаточное число раз:
1176. у = и%\ найти d10y.
1177. у = е?', найти d*y.
1178. у — \пи\ найти dPy.
1170. Найти сРу, d?y и d*y от функции # = f (x),
считая х функцией от некоторой независимой
переменной.
1180. Выразить производные у" и у"' от функции
у = f (x) через последовательные дифференциалы
переменных х и у, не предполагая х независимой переменной.
1181. Показать, что функция у = Cxcos х + C|Sin ж,
где Ct и С2 — произвольные постоянные,
удовлетворяет уравнению
У" + У = 0.
1182. Показать, что функция у = Cxch х + C2sh x,
где Сх и Ct — произвольные постоянные,
удовлетворяет уравнению
у"-у - 0.
1183. Показать, что функция у = С^*»* + С^Р**,
где Cj и Сг — произвольные постоянные и Xlt Я, —
постоянные, удовлетворяет уравнению
у"- <*д + X J ^ + Mtf - 0.

t 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 129
1184. Показать, что функция
у = х" [CjCos (In x) + CjSin (In x) ].
где Ci и С2 — произвольные постоянные и л — по*
стоянная, удовлетворяет уравнению
х2у" + (1—2л) ху' + (1 + я8) у = 0.
1185. Показать, что функция
y = eWr(ClCos-^ + C,sin-^) +
где Cj, С2, С, и С| — произвольные постоянные, удов»
летворяет уравнению
у1" + у - 0.
1186. Доказать, что если функция / (*) имеет
производную я-го порядка, то
[/ (ах + Ь)Г> = аТп) (ах + Ь).
1187. Найти Р<п>(х), если
Р(х) = а0хп + а1хп-*+...+оп.
Найти у{п\ если
1188. у =
1190. у =
1188. у = Ш±±. 1189. «/= '
cx + d " «(1-х)
1
х- —Зх + 2
Указание. Разложить функцию на простейшие дробя.
1191. (/ = -t=L=. 1192. у
1193. i/ = sin" jc. 1194. j/ = cos2x. 1195. j/ = sittV
1196. y = coss*. 1197. (/ = sin ax sin foe.
1198. y = cos ax cos tot. 1199. у = sin шс cos foe.
1200. у = sin* e* cos foe. 1201. y — sin*x+cos**.
1202. y = xcosax. 1203. у = x* sin ax.
1204. у = (*» + 2* + 2) «Г*. 1205. у - e*/x.
1206. j/ = e*cosJC 1207. j/ = e*sin*.
g-zso

130 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1208. y = \ri±±*L.
0 — Ьх
1209. у = е!"Р(х), где Р (дс)—многочлен.
1210. y=*xshx.
Найтн dny, если:
1211. if = jcn«*. 1212.0 = —.
1213. Доказать равенства:
1) [е"* sin фх+с)1<"> = f (а* + б*)"/» sin (Ъх+с+л«р)
и
2) [е"*ссв фх+с)]Ю = ё" (о8+6*yv»cos фх+с+ /ир>,
где
6 а
sin<p =— . и cos<p =— .
1214. Найти #<">, если:
а) # = ch a* cos бдс; б) # = ch аж sin &с.
1215. Преобразовав функцию / (х) = sin2**, где р —
ватуральное число, в тригонометрический многочлен
р
fW= £ Л*«в 2Адс, найти /(л> (х).
Указание. Положить sin ж = — (f— /)• где / ■*■
*= cos х + i sin х я 7 = cos х — i sin x, я воспользоваться
формулой Муавра.
1210. Найти /<"> (х), если:
a) f (x) — sinw+1 xr. б) / (х) = cos*" jc,
в) /(jc) = cosv+1jc,
где р — целое положительное число (см. предыдущую
вадачу).
Если
/ (х) = /, (х) + if, (х),
где »' — мнимая единица и /х (*), /2 (л) — действительные
функции от действительной переменной дс, то по
определению принимаем:
rW-fiW + ifiM.

5 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 131
1217. Используя тождество
' з- ' ( ' I ^
x*+l 2i \x — i x + ij'
доказать, что
ЫргТ - (i + tfi™sin 1{п +!) ""**
Указание. Применить формулу Муавра.
1218. Найти л-ю производную от функции
/ (дс) = arctg дс.
Найти /(л>(0), если:
1219. a) f(x) = ? ; б) /(*) = ._!_ .
1220. а) / (х) = xV; б) / (х) = arctg r,
в) /(дс) = arcsinx.
1221. a) /(jic)=cos(marcsinx); б) /(jic)=sin(marcsinx).
1222. a) f (х) = (arctg *)»; б) / (дс) - (arcsin дс)».
1223. Найти РяЦа), если
f (дс) = (дс-а)«Ф (дс),
где функция ф (дс) имеет непрерывную производную
(п—1)-го порядка в окрестности точки а.
1224. Доказать, что функция
fW =
дс*" sin —, если хфО,
х
О, если х=0
(п — натуральное число) в точке дс = 0 имеет
производные до п-го порядка включительно и не имеет
производной (я -J; 1)-го порядка.
1225. Доказать, что функция
/W
е !/*\ если хФО,
0, если дс = 0
бесконечно дифференцируема при дс = 0.
Построить график этой функции.
9*

132 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1226. Доказать, что многочлены Чебышева
Тт(х) = -r^ cos (m arccos х) (т = 1, 2, ...)
удовлетворяют уравнению
(I—х2) Tl (x)-xT'm (х) + т2Тт (х) = 0.
1227. Доказать, что многочлены Лежандра
РМ) - -~- К*2- 1ГГ» (т ^ 0, 1, 2, . . .)
удовлетворяют уравнению
(1 -дс2) P"m (*)—2хР'т(х) +т(т + \)Рт(х) - 0.
Указание. Продифференцировать т + 1 раз
равенство (ж*— 1) и' = 2mxu, где и =* (ж*—1)т.
1228. Многочлены Чебышева — Лагерра определяются
формулой
Lm (х) - е* (rfVT4 (т = 0, I, 2, ...).
Найти явное выражение для многочлена Lm (x).
Доказать, что Lm (x) удовлетворяет уравнению
xLm (х) + (\—х) L'm {х) +mL (x) = 0.
Указание. Использовать равенство хи' + (х—т) и = 0,
где и ** х^е-*.
1229. Пусть у = f (и) и ы == ф (х), где / (н) и ф (*) —
n-кратно дифференцируемые функции.
Доказать, что
где коэффициенты А„ (х) (k = 0, 1 я) не зависят
от функции / (и).
1230. Доказать, что для n-й производной сложной
функции у = f (хг) справедлива формула
£*- - (2х)п/<">(х«) + я(я~1} (2х)п-*Рп-»(х*) +
+ я(я-|)(я-2)(я-3) (2je)—/(»-Ч(л>) +. „

$ S. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 133
1231. Многочлены Чебышева—Эрмита определяются
формулой
Я« (х) - (-If в* (e-x,)(m, (т = 0, 1, 2, ...).
Найти явное выражение многочленов Нп (х).
Доказать, что Нт (х) удовлетворяет уравнению
Н"т(х)-~2хН'т (х)+2тНт (х) = 0.
Указание. Использовать равенство в' + 2*" = 0, где
и - е-**.
1232. Доказать равенство
(xn-let'Ti = J=£-el«.
Указание. Применить метод математической индук-
цпи.
1232.1* Доказать формулу
-£■ (jc" In*)- п! Лп х+ £ -L\ (x>0).
1232.2. Доказать формулу
где
X'
■г , _ гм
С„(*) = 1—^-+...+(-1)п-
21 (2л)!
И
sn(*) = *~+---+(-1)'
л-1 *_
3! (2л—1)1
цирования и
1233. Пусть — = D обозначает операцию
дифферента) =1л(*) я*
«-символический дифференциальный многочлен, где рк (х)
(к — 0, 1,..., л] — некоторые непрерывные функции
от х.

134 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказать, что
/ (D) [Ри (х)} = j*f (D+K)u (х),
где А, — постоянно.
1234. Доказать, что если в уравнении
я
£ ах*у*»-= О
положить х =* ef, где / — независимая переменная, ю
это уравнение примет вид:
t *£>Ф-1)... Ф—k +1) у = О,
*=о
гдеС = 1.
dt
§ в. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
1°. Теорема Ролля. Если: 1) функция / (х)
определена и непрерывна на сегменте [а, Ь\\ 2) £ (х) имеет конечную
производную /' (х) внутри этого сегмента; 3) / (а) = / (Ь), то
существует по меньшей мере одно число с нз интервала (а, о)
такое, что
V (с) - 0.
2°. Теорема Лагранжа. Если: 1) функция / (х)
определена и непрерывна на сегменте [a, b \\ 2)/(х) имеет
конечную производную I (х) на интервале (а, о), то
t (Ь) — t (а) = (Ь—а) I' (с), где а < с < Ъ
(формула конечных приращений).
3 . Теорема Кош и. Если: 1) функции [ (х) и g (x)
определены н непрерывны на сегменте [а, Ь); 2) / (х) н g (x)
имеют конечные производные |' (х) н g' (х) на интервале (а, о);
3) JS'* (*) + g'a (х) ¥= 0 при а < х < Ь; 4) g (a) Ф g (b), то
УЖ-УМ, _ГИ_
£<*)—«<«) «'(с)
1235. Проверить справедливость теоремы Ролля для
функции
/ W . (je_i) (х_2) (*-3).
1236. Функция f (х) = 1—у хг обращается в нуль
при xt = — 1 и х2 — 1, но тем не менее /' (лг) Ф 0 при
— J < х < 1. Объяснить кажущееся противоречие с
теоремой Ролля.

« в. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ 135
1237. Пусть функция / (х) имеет конечную
производную /' (х) в каждой точке конечного или
бесконечного интервала (а, Ь) и
lini / (х) = lim / (х).
Доказать, что /' (с) = 0, где с — некоторая точка
интервала (а, Ь).
1238. Пусть: 1) функция / (х) определена и имеет
непрерывную производную (я—1)-го порядка Z*"-11 ,(дс)
на сегменте [х0, хпЪ 2) f (х) имеет производную п-го
порядка /*"> (х) в интервале (х0, х„) и 3) выполнены
равенства
/ (*•) — / (*i) — • • • — / (*») (*о < *i < • • • < *п).
Доказать, что в интервале (х0, хп) существует по
меньшей мере одна точка | такая, что /*"' (£) — 0.
1239. Пусть: 1) функция f (x) определена и имеет
непрерывную производную {р ■+• дУто порядка /<"+«> (х)
на сегменте (а, Ь); 2) /(лг), имеет производную
(/> + ? ■+• 1)-го порядка /*+•+» (*) в интервале (а, 6);
3) выполнены равенства
/ (а) - /< (а) - ... « /(« (fl) « о
/ (6) - /< (6) - .. . - fw (b) - 0.
Доказать, что в таком случае /w-и+о (с) =» 0, где
с — некоторая точка интервала (а, 6).
1240. Доказать, что если все корни многочлена
Р„(х) = а0хп+а1хп-1 + ... + ап (Оо^О)
с действительными коэффициентами ак (k = 0, 1, . . . , п}
вещественны, то его последовательные производные
Р'п (х), Р* (х), ..., ?Т~и (х) также имеют лишь
вещественные корни.
1241. Доказать, что у многочлена Лежандра
'.«-яг£*"-«п
все корни вещественные и заключены в интервале
(- 1. 1).

136 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1242. Доказать, что у многочлена Чебышева—Ла-
герра
dx"
все корни положительные.
1243. Доказать, что у многочлена Чебышева—Эрмита
вд = (-1)п**'-£0г*)
dxn
все корни вещественные.
1244. Найти на кривой у = х* точку, касательная
в которой параллельна хорде, соединяющей точки
А (— 1, — 1) и В (2, 8).
1245. Верна ли формула конечных приращений для
функции / (х) — Их на сегменте la, b ], если ab < О?
1246. Найти функцию 6 = 9 (х. Ах) такую, что
f(x + bx) — f {х) = W (х + ед*) (о < е < i),
если:
a) f(x) = ах?+ Ьх+с (а^=0); б) /{х) = х3;
вИ(*)=1/г, г)/(х) = е*.
1246.1. Пусть / (х) б О" (— оо, + оо) и для
любых х и А справедливо тождество:
/ (х + А) - / (х) - А/' (х).
Доказать, что / (х) = ах + Ь, где а и b —
постоянные.
1246.2. Пусть / (х) 6 С*2' (— оо, +оо) и для
любых х и А справедливо тождество
f(x + A)-/(x)^A/' (* + —)•
Доказать, что / (х) = аде* + Ьх + с, где а, бис —
постоянные.
1247. Доказать, что если х > 0, то
1
где
v v 2V* + 6(x)
-L<e(*)<JL
4 2
причем lim 6 (x) = 1/4, lim 9 (x) = 1/2.
x-*4-0 *-*+oo

$ в. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ. 137
1248. Пусть
/м-
3 ** при 0 < х < 1,
2
— при 1 <ж< +оо.
X
Определить промежуточное значение с формулы
конечных приращений для функции / (х) на сегменте [0, 2 ].
1249. Пусть /(*)—/ (0) = */' (I (х)), где 0 < !(*)<*.
Доказать, что если
/ (х) *= х sin (In х) при х > 0 и / (0) = О,
то функция £ = £(*) разрывна в любом сколь угодно
малом интервале (0, £), где е > 0.
1250. Пусть функция / (х) имеет непрерывную
производную /' (х) в интервале (а, Ь). Можно ли для всякой
точки | из (а, Ь) указать две другие точки хх и хг из
этого интервала такие, что
'<*>-'<*>-Г (В (*<6<*)?
Xt — Xi
Рассмотреть пример: / (х) — х* (— 1 < х < I), где
5=0.
1251. Доказать неравенства:
а) | sin х—sin у | < | х—у |;
б) рур-1(х—у) < х? - у* < рх>-1 (х—у),
если 0<у<х и р>1;
в) |arctga—arctg6|<|a — b\;
г) £ni<ln-2L<-i=^, если0<6<а.
а 6 6
1252. Объяснить, почему не верна формула Коши
для функций
/ (х) = х2 и g (х) = х3
на сегменте [— 1, 1 ].
1253. Пусть функция / (х) дифференцируема на
сегменте [хи х2), причем XxXt> 0. Доказать, что
*1 — *11 / (*l) / (*») I
где хх < I < ж,.
1254. Доказать, что если функция / (*)
дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале

138 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(а, Ь), то ее производная /' (х) также не ограничена
на интервале (а, Ь). Обратная теорема не верна
(построить пример).
1255. Доказать, что если функция / (х) имеет в
конечном или бесконечном интервале (а, Ь) ограниченную
производную /' (х), то / (х) равномерно непрерывна на
(а, Ь).
1256. Доказать, что если функция f (х)
дифференцируема в бесконечном интервале (х0, + оо) и
lim /' (х) = 0, то lim -^- =0, т. е. / (х) = о (х) при
Х-*- + оо.
1257. Доказать, что если функция / (х)
дифференцируема в бесконечном интервале (jc0, + оо) и
/ (дс) — о (х) при х -*■ + оо,
то
lim|/'(*)l = 0.
*-»~f-oo
В частности, если существует lim /' (х) — k, то k = 0.
1258. а) Доказать, что если: 1) функция / (х)
определена и непрерывна на сегменте 1х0, X ]; 2) / (х) имеет
конечную производную /' (х) в интервале (дс0, X); 3)
существует конечный или бесконечный предел lim /' {х) ==■
x-t-Xo-fO
*= /' (*о + 0), то существует соответственно конечная
или бесконечная односторонняя производная f'+ (х0У.
и Г+ (хо) = /' (х0 + 0).
б) Показать, что для функции
/W=arctg|ii- (хф\) и /(1) = 0
1 —*
существует конечный предел lim /' (x), однако функция
/ (х) не имеет односторонних производных /1 (1) и
f+ (1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
Однако в этой точке существуют обобщенные
односторонние производные (см. 1009.1).
1259. Доказать, что если /' (х) = 0 при а < х < Ь, то
/ (х) = const при а < х < Ь.
1260. Доказать, что единственная функция
/(*).(— °° < х < + о°), имеющая постоянную произ«

§ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ 13»
водную
Г (х) = k,
есть линейная:
f (x) = kx+b.
1261. Что можно сказать о функции f (х), если
/<"> (х) = О?
1261.1. Пусть / (х) 6 С*»» (— оо, + оо) и для
каждого х существует натуральное число пх (пх < п) такое,
что
/<"*> (х) = 0.
Доказать, что функция / (х) есть полином.
1262. Доказать, что единственная функция у =
= у (х) (— оо < х <С + оо), удовлетворяющая
уравнению
у' = Ху (X = const),
есть показательная;
У = Сеи,
где С — произвольная постоянная.
Указание. Рассмотреть (уе~**)'.
1263. Проверить, что функции
f(x) = arctg-J-i-^- и g(x) = arctgjs
имеют одинаковые производные в областях:
1) х<1 и 2) х>1.
Вывести зависимость между этими функциями.
1264. Доказать тождества:
о-
а) 2arctgx + arcsin — = nsgnx при \х\ > 1;
1 + х*
б) 3 arccos х— arccos (Зх—4.x3) = я при | х \ < —.
1265. Доказать, что если: 1) функция / (х)
непрерывна на сегменте la, b ]; 2) имеет конечную
производную /' (х) внутри него; 3) не является линейной, то

138 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(а, Ь), то ее производная /' (х) также не ограничена
на интервале (а, Ь). Обратная теорема не верна
(построить пример).
1255. Доказать, что если функция / (х) имеет в
конечном или бесконечном интервале (а, Ь) ограниченную
производную /' (х), то / (х) равномерно непрерывна на
(а, Ь).
1256. Доказать, что если функция / (х)
дифференцируема в бесконечном интервале (х0, + оо) и
lim /' (х) = 0, то lim -^- =0, т. е. / (х) = о (х) при
Х-*- + оо.
1257. Доказать, что если функция / (х)
дифференцируема в бесконечном интервале (хф, + оо) и
/ (х) — о (х) при х -*■ + оо,
то
Шп|/'(*)1 = 0.
В частности, если существует lim /' (х) = к, то k — 0.
1258. а) Доказать, что если: 1) функция / (х)
определена и непрерывна на сегменте 1х0, X]; 2) / (х) имеет
конечную производную /' (дс) в интервале (х„ X); 3)
существует конечный или бесконечный предел lim ? (х) =»
«= /' (xq + 0), то существует соответственно конечная
или бесконечная односторонняя производная /+ (*ь)
и U С*) = Г (*о + 0).
б) Показать, что для функции
f(*)=arctg-^ (хф\) и /(1) = 0
существует конечный предел lim /' (x), однако функция
/ (х) не имеет односторонних производных /1 (I) и
f+ (1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
Однако в этой точке существуют обобщенные
односторонние производные (см. 1009.1).
1259. Доказать, что если /' (х) — 0 при а < х < Ь, то
/ (х) = const при а < х < Ь.
1260. Доказать, что единственная функция
/ (х) (— оо < х < 4- оо), имеющая постоянную произ-

S 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ 139
водную
V М - k.
есть линейная:
/ (х) - kx + Ь.
1261. Что можно сказать о функции f (х), если
f<"> (х) = О?
1261.1. Пусть f (х) б С<~> (— оо, + оо) и для
каждого х существует натуральное число пх (пх < п) такое,
что
/<"*> (х) - 0.
Доказать, что функция / (х) есть полином.
1262. Доказать, что единственная функция у =»
= у (х) (— оо < х •< + оо), удовлетворяющая
уравнению
у' = Я# (Я, = const),
есть показательная;
У = С<У,
где С — произвольная постоянная.
Указание. Рассмотреть (уе~**) •
1263. Проверить, что функции
/ (х) = arctg -j-i^ и #(*) = arctgx
имеют одинаковые производные в областях:
1) х<1 и 2) х>1.
Вывести зависимость между этими функциями.
1264. Доказать тождества:
а) 2arctgx + arcsin — = nsgnx при |х|>1;
б) 3 arccos х—arccos (Зх—Ах3) = я при | х | < —.
1265. Доказать, что если: 1) функция / (х)
непрерывна на сегменте [а, Ь ]; 2) имеет конечную
производную /'.(*) внутри него; 3) не является линейной, то

149 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказать, что если / (а) < 0, то уравнение / (х) = О
имеет один и только один действительный корень в
интервале (а, а —ii£L J.
1286. Функция / (х) называется возрастающей в
точке х0, если в некоторой окрестности | х—х01 < б
знак приращения функции А/ (х0) -= f (х) — / (дс0)
совпадает со знаком приращения аргумента Ддс0 = х—х0.
Доказать, что если функция f (х) (а < х < Ь)
возрастает в каждой точке некоторого конечного или
бесконечного интервала (а, Ь), то она является
возрастающей на этом интервале.
1287. Показать, что функция
о
/ (х) =* х + Jc2sin—^, если х Ф О и / (0) = 0,
возрастает в точке х = 0, но не является возрастающей
ни в каком интервале (— е, е), окружающем эту точку,
где е > 0 произвольно мало.
Построить эскиз графика функции.
1288. Доказать теорему: если 1) функции ф (х) и
г|> (х) n-кратно дифференцируемы; 2) «р(*> (дс0) = i|>(*> (дс0)
(k - 0. 1 п~ 1); 3) q**) (х) > t|><"> (х) при х > ха,
то имеет место неравенство
«р (х) > у (х) при х > дс0.
1289. Доказать следующие неравенства:
а) е*>1+х при лс=^0;
б) х — — < In (!+*)<* при лс>0;
в) лс <sinjc<jc при лс>0;
6
г) tg *>*+-£ при ()<*<-£-;
Д) (xa + yay,a>(*? + !fY/* ПРИ *>0, у>0 и
0«х<р.
Дать геометрическую иллюстрацию неравенств
а) - г).
1290. Доказать неравенство
—-jc<sinjc<x при 0<лс<-5-.
л 2

i 7. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 143
1291. Доказать, что при х > О имеет место неравен*
ство
О+-#<•<(■+тГ-
1292. У арифметической и геометрической
прогрессий число членов и крайние члены соответственно
одинаковы и все члены прогрессий положительны.
Доказать, что у арифметической прогрессии сумма членов,
больше, чем у геометрической.
1293. Исходя из неравенства
п
где х, at, Ьк (6=1,..., я) вещественны, доказать
неравенство Крит
1294. Доказать, что среднее арифметическое поло*
жительных чисел не больше среднего квадратичного
этих же чисел, т. е,
1295. Доказать, что среднее геометрическое положи*
тельных чисел не больше среднего арифметического
этих же чисел, т. е.
Л 1
У*\*\ . . . Хя < (*! + *, + . . . + *„).
п
Указание. Применить метод математическое индукции.
1296. Средней порядка s для двух положительных
чисел а и Ъ называется функция, определяемая
равенством
Д,(л *)=(fl—-)'*. если5#0,
и
Д0 (а, Ь) = lim А, (а, Ь).
*-*о
В частности, получаем: при s = — 1 среднее
гармоническое; при s = 0 среднее геометрическое (доказать!)}

144 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при в«" 1 среднее арифметическое; при s = 2 среднее
квадратичное.
Доказать, что:
1) min (а, Ь) < Д5 (а, Ь) < max (а, Ь);
2) функция As (а, 6) при а Ф Ь есть возрастающая
функция переменной s;
8) lim Д, (а, &) = min (а, &);
t ►.■00
lim Д,(а, b) == max (а, ft).
**+о»
Указание. Рассмотреть —— [In Д, (а, Ь) \.
as
1297(h). Доказать неравенства:
а) *"—1 > а (X— 1) при а > 2, *> 1;
б) y^jc— ула<улдс—а, если л> 1, х> а> 0;
в) 1-Т-21ПЖХ* при *>0.
§ 8. Направление вогнутости.
Точки перегиба
Iе. Достаточные условия вогнутости.
График дифференцируемой функции у «■ f, (х) называется
вогнуты* вверх или выпуклым вниз (вогнутым вниз или выпуклым
вверх) на сегменте [а, 61, если отрезок кривой
»afW (а<х<6)
расположен выше (соответственно ниже) касательной,
проведенной в любой точке этого отрезка. Достаточным условием
вогнутости графика вверх (вниз), в предположении
существования второй производной I" (х) при а ^ х ^ Ь, является
выполнение неравенства
Г (х) > О Ц" (х) < 0) при а < х < Ь.
2°. Достаточное условие точки
перегиба. Точки, в которых меняется направление вогнутости
графика функции, называются точками перегиба. Точка ха,
для которой либо I" (хв) =» о, либо f," (х0) не существует,
причем f (х0) имеет смысл, есть точка перегиба, если I" (х) меняет
Свой знак при переходе через значение х0.
1298. Исследовать направление вогнутости кривой
в точках А {— 1, 0), В (1, 2) и С (0, 0).

i (. НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ 145
Найти промежутки вогнутости определенного знака
и точки перегиба графиков следующих функций;
1299. «/ = 3**—х*. 1300. y=-j~j (с>0).
1301. у = х+*5/3. 1302. у = т/Т+х*.
1303. у = ж+sin ж. 1304. у — е-**.
1305. у =» In(1+*•). 1306. у = jcsin(lax) (x>0).
1307. у*=х* (*>0).
1308. Показать, что кривая
х+1
У
**+1
имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.
Построить график згой функции.
1309. При каком выборе параметра А скривая
вероятности»
» = -~e-hV (*>0)
имеет точки перегиба х «= ± а?
1310. Исследовать направление вогнутости циклоиды
х = a (t — sin t), у = а (1—cos /) (a > 0).
1311. Пусть функция / (ле) дважды дифференцируема
в промежутке а < * < + оо, причем: 1) / (а) — А > 0j
2) /' (а) < 0; 3) f" (х) < 0 при х > а.
Доказать, что уравнение / (х) «- 0 имеет один и
только один действительный корень в интервале (а, + оо},
1312. Функция / (х) называется выпуклой снизу
{сверху) на интервале (а, Ь), если для любых точек xt
и ха из этого интервала и произвольных чисел Xt и X,
(А-! > 0, А.а > 0, А.! + А., «= 1) имеет место
неравенство
/ (XlXl + A.,x2) < XJ (дсх) + A,,/ (*,)
(или соответственно противоположное неравенство
/ <*Л + X,*,) > k J (Xl) + К J (*,)).
Доказать, что: 1) функция / (х) выпукла снизу на
(*) вып
х<Ь.
(а, Ь), если flt (х) > 0, при о < х < 6; 2) / (х) выпукла
сверху на (а, 6), если, /" (х) < 0, при a <
10-»»з

146 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1313. Показать, что функции
Xя (л > 1), е*, х In х
выпуклы снизу на интервале (0, +оо ), а функции
Xя (0 < л < 1), In х
выпуклы сверху на интервале (0, + оо).
1314* Доказать неравенства и выяснить их
геометрический смысл:
а) у(*" + «/")> (-£у£-)" (х>0, у>0, хфу, п>1)\
6)*±^>е*+»'2 (хфу);
в) xlnx+y\ny>(x+y)\n ^~-> если х>0 и х/>0.
1314.1. Пусть /" (х) > 0 при а < ж <; 6.
Доказать, что
,(iiTfL)<i"l/(Xl)+/(JCt)1
прв любых хх, xt £ [а, 6].
1315. Доказать, что ограниченная выпуклая
функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую
и правую производные.
1316. Пусть функция / (х) дважды дифференцируема
в интервале (а, Ь) и /" © ф О, где а < | < 6.
Доказать, что в интервале (а, Ь) можно найти два
значения хг и дсг такие, что
Xa — Xx
1317. Доказать, что если функция / (х) дважды
дифференцируема в бесконечном интервале (дс„, 4- оо) и
lim /M=0, lim/(x) = 0,
то в интервале (дс,, + оо) имеется по меньшей мере одна
точка I такая, что /" d) = 0.

$ в РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 147
§ 9. Раскрытие неопределенностей
1-й случай правила Лопиталя (раскрытие
О
неопределенности вида ——). Если: 1) функции / (х)и# (х)
определены и непрерывны в некоторой окрестности 1/е *) точки а,
где а — число или символ оо, и при х -*■ а обе стремятся к нулю:
Hm/(x)=»Hmg(*) = 0;
х-мх х-*а
2) производные /' (х) и g' (x) существуют в окрестности Ue точки
а, за исключением, быть может, самой точки а, причем
одновременно не обращаются в нуль при х <£ а; 3) существует конечный
или бесконечный предел
Нт-№,
*-я g' (*)
то имеем:
X-W g (X) X-MI g' (X)
2-й случай правила Лопиталя (раскрытие
оо
пеопределенности вида —). Если: 1) функции f (x) и g (х) при
оо
х -*■ а обе стремятся к бесконечности:
lira I (х) = lim g (ж) ■» ее,
X-MI Х-*0
где а — число или символ оо;
2) производные f (х) и ^ (х) существуют для всех х,
принадлежащих некоторой окрестности U» точки а и отличных от а,
причем
ГЧ*) + в'1 (*) ¥= 0 при ж £ 1/е и * ч*> а;
3) существует конечный или бесконечный предел
*-~ g' w
то
в»1£1.11ИЛм
«-mi g (x) x-»a g' (x)
Аналогичные правила справедливы для односторонних
пределов.
Раскрытие неопределенностей видов 0 оо, оо—оо, I00, 0°
и т. п. путем алгебраических преобразований и логарифмирова-
*) Под окрестностью U» точки а понимается совокупность
чисел х, удовлетворяющих неравенству: 1) 0< |х—а|<е,
если а — число, и 2) | х | > 1/е, если а — символ оо.
10*

148 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ния приводятся к раскрытию иеопределенностей двух основныя
типов:
О оо
— и — .
О оо
Определить значения следующих выражений:
1318. lim-^*-. 1319. limch*-cosx.
»_й) sin bx x-*o x8
1320. tan ■&=*-. 1321. lim 3tg4x-l2tg* .
x-+o X — sinx x-»o 3sin4x—12sinx
1322. lim -^. 1323. lim xctgx-' .
я tgX x-*0 X*
,324. lim jtSLzl. ,325. Шl£±ll=*£=±.
я 2sin* x — I »-*o x3
,326. lim '-««Л 1327. lim ""'"2«-2""""
»_>o x*sinx1 *-*o xs
,m йтМ^"* Vi-VFarctg Vt)-
1329. lim a'-fl8"u (fl>0). 1330. limf **~* V
«-►o x* »_>i Vlnx —x-4-I/
1331. lim ln(sinflx) . 1332. lim ln(C0Sflx).
x-»0 In(sinbx) x-o ln(cosbx)
1333. Umco»(sinx)-cosx 1334 UmJ./J Ц.
x-*0 x* x-»o x \thx XgxJ
1335. UmArsh(5hx)-Arsh(sinx)t rfteArshjc =
хч-о sh x — sin x
ln(*+Vr+J?).
1336. Hm-l2f (e>0).
1337. lim — (a>0, л>0). 1338. Hm-^—-
Xя
»-'+»«" V ' ' ' ' **0 X11
1339. ИтЛ"*"1. 1340. lim In х-In (1 — x).
1341. limXеInx (e>0). 1342. Iim*\
«-►+0 x-*-H
1343. HmV-». 1344. lim(*** — l).

« « РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 14»
1345. limjK*/t,+ln*». 1346. lim xm~x).
t-*+0 х-И
1347. lim (2-я)*""2. 1348. lim(tgx)tgte.
х-И я
1349. lim(ctgx)sln*. 1350. lim(in —Y.
1351. lim ftg -=ЬГ . 1352. lim (JULY""-.
1353. lim(^—'"M^. 1854. limfl--i-V
1355. limf-i !—Y 1356. Iimfctgx~\
1357. lim Г—, ' l- 1.
x-oL ln(x+V«+x») ln(l + x)J
1358. lim^^ (a>0). 1359. lim <* + «>*—.
ж-»о X— в х-И) ~
1360. lim <fl+*>x-flX (a>0).
1361. lim(— arctgxY. 1362. lim(thx)*.
1363. lim f_SSEi.Y". 1363.1. lim (•!« Y".
X-+0V. X У x-*0\ X У
1363.2. llmfJfcLY"' 1363.3. ||mf JSii*^.
x-»o\. x У x-oV x У
1363.4. lim (-**£)** , гдеАгеЬ*-
X-+0 \ X J
InCx + Vl+J?).
1364. ltarJLH2!if\ 1365. limfi-arccosxY7*.
x-»o |_ e J х-и) \ я У
1366. lim(J^£Y"*. 1367. lim lnch* .
,лл„ ,. /1-1-е* Vth* Jnx
1368. lim(-l^-) . 1368.1. lim-?- .
*-o\ 2 ) xr+«, (lnx)*
1369. lim №x*+x* + x+\-Jx* + x+\^°£±2\.
*-H-*>L x J

150 ОТДЕЛ IT. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1370. lim [(x +а)1+Шх) -*,+,/<*+в>].
1371. Найти lim —, если кривая у = f (х) входит
Х-+0 X
при х -*■ 0 в начале координат (0, 0) (lim / (jc) = / (0)=0)
х-*0
под углом а.
1372. Доказать, что lim jc"x» = 1, если непрерывная
х—+0
кривая у = f (х) входит при х -*■ + 0 в начало
координат (lim / (jc) = 0) и при 0 < х < е целиком остается
х-»+0
внутри острого угла, образованного прямыми: у —
= — kx и у = kx (k Ф оо).
1373. Доказать, что если для функции / (jc)
существует вторая производная /" (jc), to
Г(х) = Кт"х + Н) + Пх-Н)-2"хК
fc-*o A*
1373.1. Исследовать на дифференцируемость в точке
х = 0 функцию:
1 1
/(*) =
е*— 1
1
Т'
если хф$\
если jc = 0.
х1+х
1373.2. Найти асимптоту кривой у = (лОО).
(1 + х)*
1374. Исследовать возможность применения правила
Лопиталя к следующим примерам:
хг sin —
\ 1- * *\ !•_ * — sinx
a) hm ; б) hm ;
х-+о sinx x-*<*> x + sinx
« .. e~"(cosx+2sinx) + e~xasin*x
х-ь+оо er* (cos x + sin x) '
_4 ,. 1 + x + sinx cos x
Г) ltm ^ ^ тг-г .
«-*<*> (x + sinx cos x)es,nx
1375. Найти предел отношения площади кругового
сегмента, имеющего хорду Ь и стрелку А, к площади
равнобедренного треугольника, вписанного в этот
сегмент, если дуга сегмента при неизменном радиусе R

9 10. ФОРМУЛА ТЕЯЛОРА
151
стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом,
вывести приближенную формулу для площади сегмента:
S»-6ft.
§ 10. Формула Тейлора
1". Локальная формула Тейлора. Если
1) функция I (х) определена в некоторой окрестности |х—х01 < е
точки х0; 2) I (х) имеет в этой окрестности производные f,' (х), . . .
.... f<e_i) (х) до (п—1)-го порядка включительно; 3) в точке
хв существует производная п-го порядка /<п> (*•). то
л
f(x) - £а»:х-х.)» + о(*-х,)4. (1)
где
а* = (в = О, 1. .. ., п).
Ы
В частности, при г, — 0 имеем:
*«о "
При указанных условиях представление (I) единственно.
Если в точке х, существует производная /<"+') (х,), то
остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде
О* ((х—х,)«+%
Из локальной формулы Тейлора (2) получаем следующие
пять важных разложений:
I. **= 1+X+-J-4- • . . +-4+о(х»).
2! я!
II. slnx = x— — + • • • +(—!)"-* **'~1 +0(0.
31 (2/1—1)!
HI. cosх = 1 —— + ...+(— I)"-^- + о(х*»+1).
21 (2л)!
IV. (l + xp=l + wx+ m<m~1> x»+...
21
. m(m—I). . . (т —«+I) . . ,_,
. . . Л i - i —-x*+ o<x").
n!
V. ln(l + x) = x——+. .. +(-1)"-* — + о (Xя).
2 a
2°. Формула Тейлора. Если 1) функция f(x)
определена на сегменте [а, 61; 2) \ (х) имеет на этом сегменте

152 ОТДЕЛ 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
непрерывные производные f (х), . . . , рт-Ч (*}; 3) прл
а < х < 6 существует конечная производная £<л) (ж), то
я—1
'W-2 -^-^L (*-*)*+*„(*) (а<*<6),
где
^(х)иРЧ£±в(х_£)1(х_а)Я (0<е<1)
л1
(остаточный член в форме Лагранжа), или
/?„ W . Л«> (« + «!(«-«» (1 _ в1)»-1 (х _ а)» (0 < 6j < 1)
(Я — 1)1
(остаточный член в форме Коши).
1376. Многочлен
Р (х) - 1 + 3* + 5х2 — 2х>
расположить по целым неотрицательным степеням
двучлена х + 1.
Написать разложения по целым неотрицательным
степеням переменной х До членов указанного порядка
включительно следующих функций:
1377. /(*)= 1 + * + * . до члена с х*. Чему рав-
1 — х + х*
но /w (0)?
1378. ° + х)1°° до члена с Л
(1 — 2дг)40 (1 + 2ж)«°
1379. у^сГ + х (а>0) до члена с ж».
ъ<~.
1380. V1— 2jc-4-лс3 — у 1— Зх + х до члена с х3.
1381. ix~* до члена с х5.
1382. —-— до члена с х*.
е*-\
1383. у sin х3 до члена с х13.
1384. In cos х до члена с х*
1385. sin (sin х) до члена с х3
1386. tgxAo члена с х5.
1387. IniiH. д0 члена сЛ

} 10 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 153
1388. Найти три члена разложения функции / (х) =
= л/х по целым неотрицательным степеням разности
х— 1.
1389. Функцию / (х) = хх—1 разложить по целым
неотрицательным степеням бинома х— 1 до члена с
(*-1)3.
1390. Функцию у = а сп— (а > 0) в окрестности
а
точки х = 0 приближенно заменить параболой 2-го
порядка.
1391. Функцию / (х) — УГ~+~** — х <дс > 0)
разложить по целым неотрицательным степеням дроби —
до члена с —.
х*
1392. Найти разложение функции / (A) = In {x + А)
(х i> 0) по целым неотрицательным степеням
приращения А до члена с А" (п — натуральное число).
1393. Пусть
f(x + h) = f(x) + hf' (x) + .. . + ■£./«•> (х + еА)
Л|
(0 < в < 1), причем /<"+'> (х) =*= 0.
Доказать, что Ит в = .
п_»о п -\-1
1393.1. Пусть при х -*• 0 имеем
/ (х) = 1 + кх + о (х).
Доказать, что Игл [/ (х)]|/дг = в*.
х-*0
1393.2. Пусть / (х) £ О8» 10, 1J и / (0) = / (1) = 0,
причем |/"(дс)|<Л при х £ (0, 1). Доказать, что
IfWK -у при 0<*< 1.
1393.3. Пусть / (х) (— оо < jc < + оо) — дважды
дифференцируемая функция и
М„= sup |/»*»(*)|< + оо (* = 0, 1, 2).
—eo<jt<+oo
Доказать неравенство М* < 2Af„Af а.
1394. Оценить абсолютную погрешность
приближенных формул:
а) е*« 1+JC + — +. ..+— при0<дс<1;
21 л!

154 ОТДВЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
б) sinx«x—- при |4 < у;
в) tgx«x+—- прв|х|«0,1;
3
г) ■у/1+хт1+——— при0<х<1.
£ о
1395. Для каких х справедлива с точностью до 0,0001
приближенная формула: cos х = 1 —|- ?
1395.1, Доказать формулу
■/с? + х*=а +
(п>2, в>0, х>0), 0<г<
я —1
1398. С помощью формулы Тейлора приближенно
вычислить:
а) ^Ш б) ^Щ в) '^lOOOT
г) У« д) sin 18°; е) In 1.2;
ж) arctgO.8; s) arcsjn0.45; и) (I, l)1-3
и оценить погрешность.
1397. Вычислить:
а) с с точностью до 10"*;
б) sin 1° » > » ЮЛ
в) cos9° » » > Ю-»;
г) V5 » » » 10"*;
д) Igll » > » 10"».
Используя разложения I—V, найти следующие
пределы:
1398. lim "»*-'-** , ,399. lim ■*"-'<!+«) .
1400. limx*(i/x+T+T/x^T— 2</х).
1401. lim $ *•+*» — fx»—x*).

« 10. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 155
1402. \\т\(х*-х* + -?АеШ — л/^МП].
1403. Ит а*+а~х-2 (О>0).
х-+0 X*
1404. ИтГх—*ЧпА +—)]•
1405. limf- —Y 1406. lim-f-—ctgA
х-мЛ* sinxj х-*о х\х J
,406.1. lim Ч°("°«)~«а/ГГ? ,
x-+0 X*
1406.2. lim '-("»*>""' . 1406.3. lim sh(tgx)~'.
x-»0 Xs x-*0 «*
Для бесконечно малой при х -*• 0 величины «/
определить главный член вида Сх" (С — постоянная), если
1407. у =» tg (sin х) — sin (tg jc).
1408. у - (1 +xY — 1. 1409. у = 1 —(1 + X)X" .
e
1410. При каком подборе коэффициентов а и 6
величина
х — (а + Ь cos jc) sin x
будет бесконечно малой 5-го порядка относительно х?
1410.1. Подобрать коэффициенты Л и В так, чтобы
при х -*■ 0 имело место асимптотическое равенство
1410.2. При каких коэффициентах А, В, С и D
справедлива при х -*■ 0 асимптотическая формула
l + Cx + Dx* ^ v
1411. Считая | jc | малой величиной, вывести простые
приближенные формулы для следующих выражений:
а> "ST-ПгЬ- <К>°»
<* + *>'

156 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
л i .о»; j ln(l+ir)
1412« Считая х малым по абсолютной величине,
вывести приближенную формулу вида х = a sin х + р" tg х
с точностью до члена с ж5.
Применить эту формулу для приближенного
спрямления дуг малой угловой величины.
1413. Оценить относительную погрешность
следующего правила Чебышева: круговая дуга приближенно
равна сумме боковых сторон равнобедренного
треугольника, построенного на хорде этой дуги и имеющего
высотой дДТЗ ее стрелки.
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее
и наименьшее значения функции
Is. Необходимое условие экстремума.
Говорят, что функция / (х) имеет в точке *0 экстремум
(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней
окрестности точки х0 и для всех точек х некоторой области:
О < | х—х01 < б, выполнено соответственно неравенство
I (*) < I (*о) или И*) > t (*o).
В точке экстремума производная f (хв) = 0, если она
существует.
2°. Достаточные условия экстремума.
Первое правило. Если 1) функция / (х) определена и
непрерывна в некоторой окрестности | х—х01 < 6 точки х* такой,
что I' (х0) = 0 нли не существует {критическая точка); 2) I (х)
имеет конечную производную /,'(*) в области 0< |х—х0|<6;
3) производная f (x) сохраняет определенный знак слева от хв
в справа от х0, то поведение функции I (х) характеризуется
следующей таблицей:
I
II
III
IV
Знак производной
X <*„
1 I++
X >*,
+
+
Вывод
Экстремума нет
Максимум
Минимум
Экстремума яе»

«11 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 157
Второе правим. Если функция | (х) имеет вторую
производную I" (х) и в некоторой точке xt выполнены условия
/' (хв) = 0и|" (*,) * О,
то в этой точке функция / (дс) имеет экстремум, а именно:
максимум, когда /" (ха) < 0, и минимум, когда
Г (х.) > 0.
Третье правило. Пусть функция / (х) имеет в некотором
интервале | х—хв | < 6 производные /' (х), .... /n_l (х) в
в точке х0 производную /("> (х0), причем
^(ХвЗ^О (*=1 л-1), /<"> (*)■><>.
В таком случае: 1) если п — число четное, то в точке х0 функция
{. (х) имеет экстремум, а именно: максимум при
Р UiX 0 и м н и н м у и при /<") (х„) > 0; 2) если л — число
нечетное, то в точке х0 функция t (х) экстремума не
имеет.
3°. Абсолютный экстремум. Наибольшее
(наименьшее) значение на сегменте (а, Ь] непрерывной функции
f (х) достигается или в критической точке этой функции (т. е.
там, где производная /' (х) или равна нулю, или не существует),
или в граничных точках а и Ь данного сегмента.
Исследовать на экстремум следующие функции:
1414. у - 2 + х—х2. 1415. у - (х-l)s.
1418. у - (х-1)4.
1417. у = хГ (1— х)п (/я и л — целые
положительные числа).
1418. у = cos х 4- ch х. 1419. # — (х + I)10 г-*.
1420. у -fi + x+ -i+ .. . + "^)«r" (n —
натуральное число).
1421. у=>\х\. 1422..у-дг,/3(1—д()вд.
1423. Исследовать на экстремум в точке х = хв
функцию
/ (х) - (х-ХоГч (х)
(п — натуральное число), где функция <р (х) непрерывна
при х ■» Хо и ф (х0) # 0.
1424. Пусть / <х) = -££*-. Г (х)- -^g- и хо-ста.
ционарная точка функции / (х), т. е. Я1 (хв) = 0,
Q (*»)¥= 0.
Доказать, что sgn /" (х0) = sgn Р{ (х„).

158
ОТДЕЛ 1Г. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1425. Можно ли утверждать, что если функция / (х)
в точке х0 имеет максимум, то в некоторой достаточно
малой окрестности этой точки слева от точки х0 функция
/ (х) возрастает, а справа от нее убывает?
Рассмотреть пример:
/(*) = 2—**(2 + sin— V если хфО и ДО) = 2.
1426 (н). Доказать, что функция
f (х) = <Г!/*\ если хфО, и / (0) = 0,
имеет в точке х = 0 минимум, а функция
g(x) = даГ|/*\ если хфО, и^(0) = 0
не имеет в точке х = 0 экстремума, хотя
^)(0) = 0, |Г(0) = 0 (л -1,2 ).
Построить графики этих функций.
1427. Исследовать на экстремум функции:
а) /(*) = e_l/l"(V2+sin -±А при #0и /(0) = 0;
б) f(x) = e~l,MU/2+cos-^\ при хфО и f(0) = 0.
Построить графики этих функций.
1428. Исследовать на экстремум в точке х = 0
функцию
/(*) = |*|(2 + cos —Y если хфО и /(0)=0.
Построить график этой функции.
Найти экстремумы следующих функций:
1429. у = х>—6х*+9х—4. 1430. у = 2х*—х*.
1431. у = х(х— 1)г(х—2)». 1432. 0 = х +—.
дз
1433. у = —?*—. 1434. # - x>~3jC'H2 .
1435. у = ^2х—х* 1436. у = ж/*^Т,
1437. у — же"*. 1438. у = V* In *.

i 11. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 159
1439. у = ^-. 1440. у = cos x+—cos 2x.
х 2
1441. у = 1- . 1442. y = arctg*—-!n(l+*«).
l + sin* х 2
1443. у = е* sin ж. 1444. у = |х| е-1*-".
Найти наименьшие и наибольшие значения
следующих функций:
1445. / (х) — 2х на сегменте I— 1; 51.
1446. / (х) = хг—4х + 6 на сегменте [— 3; 10 J.
1447. / (х) = \хг—Зх + 2\ на сегменте [— 10; 101.
1448. /(*) = * + — на сегменте 10,01; 100).
1449. /(дг) = у5—Ах на сегменте 1 — 1; 1].
Найти нижнюю грань (in!) и верхнюю грань (sup]
следующих функций:
1450. f (х) = хе~оли на интервале (0, + оо).
1451. fix) = (1 +х +-£+ ... +—V* на интерва-
\ 21 я! /
ле (0, +оо).
1 + ж*
1452. Длс) = ——— на интервале (0, + ею).
1 + х*
1453. f(x) — e-^casx* на интервале (—оо, -f оо).
1454. Определить нижнюю и верхнюю грани функции
/ (I) = —^-*- на интервале х < I < + оо.
Построить графики функций
М(х)=* sup /О и т(дс)= inf /(£).
x<l<+oo x<J<+oo
1454.1. Пусть
Al* = sup il /<*> (дс) II, fe = 0, 1, 2, ...
X
Найти .Me, Afx и Mt, если f(x) = e~*'-
1455. Определить наибольший член
последовательности: _
а)-£<Л = 1,2, ...); Q-^{n=\,2,...b
в) Vn (л = 1, 2, .. .>.

160 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1456. Доказать неравенства:
а) |3*—*»|<2 при |х|<2;
б) •—• < я? + (1 —х)" < 1, если 0 < х < 1 и р> 1;
в) хГ(а—*)»<———о"4-" при т>0, л>0 и
0<х<а;
г) -^t^^jr+T^x+e (х>0. а>0, л>1);
д) |asinx + 6cosx| <Уа* + Ь*.
1456.1. Доказать неравенство
з **+*+i
При — оо < х < + оо.
1457. Определить «отклонение от нуля» многочлена
Р (х) - * (х— 1)* (х + 2)
на сегменте I— 2, i J, т. е. найти
Ер— sup |Р(х)|.
1458. При каком выборе коэффициента q многочлен
Р (х) - ха + д
наименее отклоняется от нуля на сегменте [— 1, 1],
т. е.
ЕР = sup | Р (х) | = min.
1459. Абсолютным отклонением двух функций f (х)
и g (х) на сегменте [а, 6 ] называется число
Д- sup |/(x)-g(x)|.
Определить абсолютное отклонение функций»
/ (х) = ха и g (х) <= х*
ва сегменте [О, 1 ].
1460. Функцию / (х) =* х* на сегменте lxv xt]
приближенно заменить линейной функцией
8 (*) — (*i + *«) х + Ь
tax, чтобы абсолютное отклонение функций / (х) и g (х)

5 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЯ 161
(см. предыдущую задачу) было наименьшим, и
определить это наименьшее абсолютное отклонение.
1461. Определить минимум функции
/ (*) = max {2И, |1 +х\).
Определить число вещественных корней уравнения
п отделить эти корни, если:
1462. х*—6jc2 + 9jc—10 = 0.
1463. х*—Зх*—9х + Л - 0.
1464. 3**—4*3—б*2 + 12*—20 = 0.
1465. х*—Ъх = е.
1466. In х = kx. 1467. е = ах2.
1468. sin'jt-cos х — а при 0 < х < я.
1469. ch х = kx.
1470. При каком условии уравнение х% + рх + д = 0
имеет: а) один вещественный корень; б) три
вещественных корня. Изобразить соответствующие области на
плоскости (р, q).
§ 12. Построение графиков функций
по характерным точкам
Для построения графика функции у — ( (*) нужно: 1)
определить область существования этой функции и исследовать
поведение функции в граничных точках последней; 2) выяснить
симметрию графика и периодичность; 3) найти точки разрыва
функции н промежутки непрерывности; 4) определить нули
функции и области постоянства зяака; 5) найти точки
экстремума и выяснить промежутки возрастания и убывания функции)
6) определить точки перегиба и установить, промежутки
вогнутости определенного знака графика функции; 7) найти
асимптоты в случае существования их; 8) указать те или иные особен-
ности графика. В частных случаях общая схема упрощается.
В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба
определяются приближенно.
Построить графики следующих функций:
1471. у = 3х—Xй. 1472. у= 1+*2— —.
1473. у = (х +1)(х—2)а. 1474*. у = 2~~*' .
\-\- х*
1475*. у = —**~' . 1476*. у = -
1477. и - —^-г . 1478. у - (±±* Y.

162 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1479. ц= дс'<х-1> . 1480. у = - .
* (x+D* * (1-xf
1481. j/ = (X+1)V. 1482*. у = -£±1.
1483. «/ = —\ !!+_!_. 1484. «/ = (*—3) У*.
* 1 + х Зха I— х * v
1485. у = ± л/&х*—х*. 1485.1. у = *~~2 .
1486. у = ±У(х— !)(*—2)(лг—3).
1487*. у = y'x3—Xs—x+1.
1488. j/=yG?—у^хМЛ.
1489. у = (х + 2)2/3—(х—2)2/3.
1490. j/ = (х+ lf3+(x— l)2*. 1491. у = ^— .
1494. „ = 1-x+V^. H95. „ - уГЖ.
1496*. u = y\/-^±i. 1497. у = sin x + cos»x.
V * +1
1498. j/ = (7 + 2cosx)sinx. 1499. j/ = sinx+—sin3x.
3
1500. j/ = cosx—-cos2x. 1501. y= sin*x+cos*x.
1502. у = sin х- sin 3x. 1503. у = — ,
,504. «,= -^. 1504.1. у = -!!И^.
cos2* 2+cos*
1505. у = 2x—tg x. 1506. у = e2*"**".
1507. у - (1 + **) e~*\ 1508. j/ = x+e~*.
1509. «/ = x^V. 1509.1. j/ = e_2*sin2x.

« 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 183
1510. у = -£—. 1511. y = <s/l —е-Л
* 1 + ж * v
1512. у = -^. 1513. у = 1п(х + л/^+Т).
1514. у = V^TT-ln(je + VJ^Tl).
1515. у = Т*1™ . 1516. у = х + arctg х.
1517. y = -^- + arcctgx. 1518. у « л: arctg дс.
1519. у = arcsin to . 1520. ы = arccos 1~*' .
1521. у = (х + 2) е"\ 1522. у = 2V^+r-y*=T.
1523*. y = ln дс'-3х+2.
1524. y = aarcsin ——VflS—** (<*>0).
а
1525. y = arccos *~* . 1526. ы —*\
* 1 - 2х *
1527*. у = х1/*. 1528. y = (l+x)i/x.
1529*. у = х Л + — Y (х> 0).
1530*. у= - (без исследования вогнутости).
ж | ■ *
Построить кривые, заданные в параметрической
форме:
1531.х-<'+,>\
4
1532. х = 2/ — **,
1533* х — '*
<—1
1534 х— -** .
1-<»
1535. х = *+<?"',
(<—1)»
м== -1 '—
J 4
у = 3*-*».
/
и <«-г
1
у- ,+,,-
0 = 2* + *-*.
1536. x = acos2/, y=»acosat (a>0).
11'

164 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1537. х = cos* tt у == sin4 /.
1538. x = tlnt, w = —.
t
1539.* = —^-, y = aig*t (a>0.)
coss/
1540. x = a(sht—f), y = a(cht—l) (a>0).
Представив уравнения кривых в параметрической
форме, построить эти кривые, если
1541. х3 + у* — Заху - 0 (а > 0).
Указание. Положить у — tx.
1542. хг + ул~х* + у*.
1543. х*у* = ж8—у».
1544. jc" = у*(*>0, у>0).
1545. Построить график кривой: ch* х — ch*^ = l.
Построить графики функций, заданных в полярной
системе координат (<р, г) (г > 0):
1546. г = а + Ь cos <р (0 < а < Ь).
1547. r = asin3q> (a>0). 1548. г= а (а>0).
Vcos3q)
1549*. г = й —*- , где m > 1 (а > 0).
<р-1
1550*. <р a» arccos г~~--.
Построить графики семейств кривых (а — перемен*
ный параметр):
1551. у = х*—2х + а. 1552. у = х + —.
1553. # = х ± У<* (1 — хг).
1554. у = — + е~ах. 1555. у = jce_x/e.
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций
1556. Доказать, что если функция / (х)
неотрицательна, то функция F (х) = С/2 (х) (С > 0) имеет в
точности те же точки экстремума, что и функция / (х).
1557. Доказать, что если функция <р (х) — монотонно
возрастающая в строгом смысле при — оо < х < + оо,

* 13. ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ 165
то функции f (х) и ф (/ (х)) имеют одни и те же точки
экстремума.
1558. Определить наибольшее значение
произведения m-й и я-й степеней (т > 0, п > 0) двух
положительных чисел, сумма которых постоянна и равна а.
1559. Найти наименьшее значение суммы т-й и п-к
степеней (т > 0, п > 0) двух положительных чисел,
произведение которых постоянно и равно а.
1560. В каких системах логарифмов существуют
числа, равные своему логарифму?
1561. Из всех прямоугольников данной площади S
определить тот, периметр которого наименьший.
1562. Найти прямоугольный треугольник
наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его
постоянна.
1563. При каких линейных размерах закрытая
цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь
наименьшую полную поверхность?
1564. В данный круговой сегмент, не превышающий
полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей
площадью.
1565. В эллипс —- + — = 1 вписать прямоуголь-
а* ft*
ник со сторонами, параллельными осям эллипса,
площадь которого наибольшая.
1566. В треугольник с основанием b и высотой Л
вписать прямоугольник с наибольшим периметром.
Исследовать возможность решения этой задачи.
1567. Из круглого бревна диаметра d вытесывается
балка с прямоугольным поперечным сечением,
основание которого равно Ь и высота я. При каких размерах
балка будет иметь наибольшую прочность, если
прочность ее пропорциональна ЬНг?
1568. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед с квадратным основанием наибольшего
объема.
1569. В шар радиуса R вписать цилиндр
наибольшего объема.
1570. В шар радиуса R вписать цилиндр с
наибольшей полной поверхностью.
1571. Около данного шара описать конус
наименьшего объема.
1572. Найти наибольший объем конуса с данной
образующей /.

166 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1573. В прямой круговой конус с углом 2а в осевом
сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с
наибольшей полной поверхностью.'
1574. Найти кратчайшее расстояние точки М (р, р)
от параболы у2 = 2рх.
1575. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния
точки А (2,0) от окружности х2 + у2 = 1.
1576. Найти наибольшую хорду эллипса Ь — =•
«=* 1 (0 < Ъ < а), проходящую через вершину В (0, — Ь).
1577. Через точку М (х, у) эллипса —-j_Jl. = 1
провести касательную, образующую с осями координат
треугольник, площадь которого наименьшая.
1578. Тело представляет собой прямой круговой
цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких
линейных размерах это тело будет иметь наименьшую
полную поверхность, если объем его равен V.
1579. Поперечное сечение открытого канала имеет
форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне <р
боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим,
если площадь «живого сечения» воды в канале равна 5,
а урозень воды равен А?
1580. •Извилистостью» замкнутого контура, ограни»
чиваюшего площадь S, называется отношение периметра
этого контура к длине окружности, ограничивающей
круг той же площади S.
Какова форма равнобедренной трапеции ABCD
(AD\\BC), обладающей наименьшей извилистостью, если
г снование AD — 2а и острый угол BAD = a?
1581. Какой сектор следует вырезать из круга
радиуса R, чтобы из оставшейся части можно было
свернуть воронку наибольшей вместимости.
1582. Завод А отстоит от железной дороги, идущей
с юга на север и проходящей через город В, считая по
кратчайшему расстоянию, на а км. Под каким углом <р
к железной дороге следует построить подъездной путь
от завода, чтобы транспортировка грузов из А в В была
наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны
груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному
пути р р., по железной дороге q p. (p > q) и город В
расположен на Ь км севернее завода А?
1583. Два корабля плывут с постоянными
скоростями и и и по прямым линиям, составляющим угол 6

S 14. КАСАНИИ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ 167
между собой. Определить наименьшее расстояние между
кораблями, если в некоторый момент расстояния их
от точки пересечения путей были соответственно равны
а и Ь.
1584. В точках А и В находятся источники света
соответственно силой St и St свечей. На отрезке АВ = а
найти наименее освещенную точку М.
1585. Светящаяся точка находится на линии центров
двух непересекающихся шаров радиусов R и г (R > г)
и расположена вне этих шаров. При каком положении
точки сумма освещенных частей поверхностей шаров
будет наибольшая?
1586. На какой высоте над центром круглого стола
радиуса а следует поместить электрическую лампочку,
чтобы освещенность края стола была наибольшей?
Указание. Яркость освещения выражается формулой
/ = *__,
где ф — угол наклона лучей, г — расстояние источника света
от освещаемой площадки, к — сила источника света.
1587. К реке шириной а м построен под прямым
углом канал шириной Ь м. Какой максимальной длины
суда могут входить в этот канал?
1588. Суточные расходы при плавании судна состоят
из двух частей: постоянной, равной а р, и переменной,
возрастающей пропорционально кубу скорости. При
какой скорости v плавание судна будет наиболее
экономичным?
1589. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной
шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места
приложенной силой. При каком наклоне этой силы к
горизонту величина ее будет наименьшей, если
коэффициент трения груза равен Л?
1590. В чашку, имеющую форму полушара радиуса а,
опущен стержень длины I > 2а. Найти положение
равновесия стержня.
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта
1°. К а с а н н е л-г о порядка. Говорят, что кривые
имеют в точке х, касание п-го порядка (в строгом смысле!), если
Ч><*> (*о) - Ч><*> (*о) (А - 0, 1, .... п) и ф(я+«(х.) + 1|><я+»)(*в).

168 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В этом случае при х -*■ х0 имеем:
Ф (х) — ф (х) = О* [х - х0]п+К
2°. Круг кривизны. Окружность
(х - £)* + (</-г,г) = Я*,
имеющая с данной кривой у = / (х) касание не ниже 2-го
порядка, называется' кругом кривизны в соответствующей точке.
Радиус этого круга
^ 0+у,гР
|у"1
называется радиусом кривизны, а величина * = — — кры-
/\
визной.
3°. Эволюта. Геометрическое место центров (|, tl) кру«
гов кривизны (центры кривизны)
у" У
называется эволютой данной кривой у = / (х).
1591. Подобрать параметры k и Ь прямой у — kx -f b
так, чтобы она имела с кривой у = х3—Здс2 + 2
касание порядка выше первого.
1592. При каком выборе коэффициентов а, Ь и с
парабола
у = ахг -\- Ьх + с
имеет в точке х = х0 касание 2-го порядка с кривой
У = е*?
1593. Какой порядок касания с осью Ох имеют в
точке х = 0 кривые:
а) у = 1— cosr, б) у — tgx—sinx;
в) 0«е*-(1+* + ^-)-
1594. Доказать, что кривая t/ = е-1'*' при х Ф О
и t/ = 0 при je = 0 имеет в точке х — 0 с осью Оде
касание бесконечно большого порядка.
1595. Найти радиус и центр кривизны гиперболы
ху=\ ъ точках: а) М (1, \); б) N (100; 0,01).
Определить радиусы кривизны следующих кривых:
1596. Параболы уг = 2рдс.
1597. Эллипса — + -4 = * (<*>*> °>«
0s б2 I

5 14. КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ 169
1598. Гиперболы ——у— = 1.
1599. Астроиды х21% + у2/3 = а2/3.
1600. Эллипса * = a cos /, у = ft sin /.
1601. Циклоиды х = а (/—sin f), у = а (1—cos /J.
1602. Эвольвенты круга х — a (cos f + / sin t), у =
= a (sin /—/ cos /).
1603. Доказать, что радиус кривизны линии 2-го
порядка уг = 2рх—qx% пропорционален кубу отрезка
нормали.
1604. Написать формулу радиуса кривизны линии,
заданной в полярных координатах.
Определить радиусы кривизны кривых, заданных
в полярных координатах (параметры положительны):
1605. Спирали Архимеда г — сир.
1606. Логарифмической спирали г — ае™9.
1607. Кардиоиды г = а (1 + cos q>).
1608. Лемнискаты гг = a*cos 2q>.
1609. На кривой у — In x найти точку, кривизна
в которой наибольшая.
1610. Максимальная кривизна кубической параболы
Ьг3 1
у = — (0 < х < + оо, k > 0) равна . Найти
6 1000
точку х, в которой достигается эта максимальная
кривизна.
Составить уравнения:
1611. Эволюты параболы у2 = 2рх.
1612. Эволюты эллипса Ь —= 1.
1613. Эволюты астроиды х2'3 + y2/i = а2/3.
1614. Эволюты трактрисы
х = а In fl+V^^ -Vg=7-
1615. Эволюты логарифмической спирали г = аетф.
1616. Доказать, что эволюта циклоиды
х — a (t — sin /), у = а (1 — cos /)
есть также циклоида, отличающаяся от данной только
положением.

170 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 15. Приближенное решение уравнений
1°. Правило пропорциональных частей
(метод хорд). Если функция £ (х) непрерывна на сегменте
а, Ь] и
/ (а) I (Ь) < 0,
Причем I' (х) Ф 0 при а < х < Ь, то уравнение
t M = 0 (1)
имеет один и только одни действительный корень I в промежутке
(а, Ь). За первое приближение этого корня можно принять
значение
Xi — а + fit,
где
в,—_Ж_<»_в).
1(Ь)-На)
Применяя далее этот способ к тому из промежутков (a, xt)
или (х,, Ь), на концах которого функция / (х) равнозначна,
получим второе приближение х, корня | и т. д. Для оценки
л-го приближения х„ справедлива формула
1*я-&1<-^^-, (2)
т
где m = inf Ц'(х)|, причем
Нт хп = Е.
л-юо
2°. Правило Ньютона (метод
касательных). Если7" (*) Ф 0 на сегменте [а, Ь] и / (а) /" (а) > О,
то за первое приближение £г корня £ уравнения (1) можно
принять значение
р _„ '<">
П«)
Повторяя этот прием, получаем быстро сходящиеся к корню
£ последовательные приближения Е„ (л = 1, 2, . . .), точность
которых оценивается, например, по формуле (2).
Для грубой ориентировки полезно нарисовать набросок
графика функции у — I (х).
Пользуясь методом пропорциональных частей,
определить с точностью до 0,001 корни следующих уравнений:
1617. х*—6х+2 = 0. 1618. х*~х—1=0.
1619. х—0,lsinjt = 2. 1620. cosx = x».
Пользуясь методом Ньютона, определить с указан»
ной точностью корни следующих уравнений:

$ IS. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 171
1621. л?Ч——=\0х (с точностью до 10"*).
1622. jelgx=l (с точностью до 10"*).
1623. cosx-chJc= 1 (с точностью до 10"?) (для
положительного корня).
1624. х + е* = 0 (с точностью до 10"5).
1625. х th х =■ 1 (с точностью до 10"').
1626. С точностью до 0,001 найти три первых
положительных корня уравнения tg x — х.
1627. С точностью до 10"* найти два положительных
. 1 х
корня уравнения ctg*= .

ОТДЕЛ lit
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
Г. Понятие неопределенного
интеграла. Если функция I (х) определена и непрерывна на
промежутке (а, Ь) и F (х) — ее первообразная, т. е. F" (х) — j (x)
npi a < х < Ь, то
J"I! (х) dx - F (х) + С, a<x<b,
гае С — произвольная постоянная.
V. Основные свойства неопределенного
аятеграда:
a) d[U(x)dx]~f(x)dx; б) J dO (x) - Ф (х) + С;
в) JAf(x)dx-A U M dx (А - const; Л*0);
г) Sli(x) + g(x)]dx-h{x)dx + 5gix)dx.
3°. Таблица простейших интегралов:
I. JVax--^-+C(rt*-I).
п+1
Ч-т--
1п|х!+С (хчбО).
Ш f *** =f arctgx+C,
' J 1 + x» \ —arcctgx+C.
IV. C_*L_._Lta|J±£.| + c.
J 1-х* 2 | 1-х J
v Г dx ( arcsin x + C,
J Vl—x» \ —arccosx+C.
VI. С ** =lnlx-bV^iTI + C.
VII. J" a'dx »-£-+ С (а>0. о #1): JVdx-e*+C.
In а
VIII. J sinxrfx =» —cosx-f- C. IX. j cos x dx *=sinx-f C.

$ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173
X. Г—— =— cigx+C.
J sir
sin'x
XI
• f-4—Ц.+ С
J, cos*x
XII. .fsh'^-chx+C. XIII. $cbxdx-sbx+C..
XIV. f-*£_= — cth*+C.
J sh*x
J ch*x
4°. Основные методы интегрирования,
а) Метод введения нового аргумента. Если
JfWAr-FW + C.
то
рерывио дифференцир
жения. Если
. (*) - /i W + f, W.
где к =» ф (х) — непрерывно дифференцируемая функция,
б) Метод разложения. Если
то
If W dx - Ui (*) dx + Ut W <**•
а) Метод подстановки. Если £ (*) — непрерывна, то,
полагая
* - Ф (0.
где ф (0 непрерывна вместе со своей производной ф' (0, получим
JiWAt- //(Ф(/))Ф'(0<«.
г) Метод интегрирования по частям. Если и и о —
некоторые дифференцируемые функции от х, то
) и dv = uv — ) v du.
Применяя таблицу простейших интегралов, найти
следующие интегралы:
1628. J(3—x*)*dx. 1629. Jx*(5—x)*dx.
1630. J(l— ж) (1—2*) (1—3*) dx.
1632.
Ki^^K «"М"^*

174 ОТДЕЛ IIL НЕОПРЕДЕЛЕННЫЯ ИНТЕГРАЛ
ИМ. l'Vb^Z+1 ,&.
У-Ч-
J Ух
1635. Г ('7*)3 dx.
1636. ГА—J_W*V* <**-
1637. [ (^-Уъх~У dx.
Л^ШЕИ-dx. 1639. f^^-.
J ** J 1 + *»
J 1 — ж* J *!-l
1640,
1642. Г УТТТГл-У»-^^
J Vi-*4
Vx" 4- i — V*
1643. \ •v' •«•' --v—U_djc.
V*4 —i
1644. J"(2*+3*)sdje.
1645Л ун-|>н *c. 164бЛ^+1-*с.
J 10* J e*+l
1647. j"(l+sinx-fcosx)dx.
1648. J" V1—s»n2x dx (0 < x < я).
1649. J"ctg»*dJt. 1650. $tg*xdx.
1651. J"(ashjt + 6chx)dx. 1652. Jth2xdjc.
1653. [cWxdx.
1654. Доказать, что если J/ (x)dx == ^ДО + С, то
\f(ax+ b)dx=—F(ax + b) +C {аф%
Найти интегралы:
1655. f-^-. 1656. J(2jc—3)19dx.
1657. ^у"Г^Зх dx.

$ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 17|
1658.
J У 2 —5*
[—
J (5x —
1659. ' dx
2)5*
J660. \ Vl-» + * J*.
1664.
S4
t * . 1662. (—^
J 2 + 3x» J 2 —
Г *
J V2 —3x*
3x»
1663
3 V«
V3** —2
1665. JV'+r-2*)***. 1666. J(sin5*—sln5a)djc,
1667. Г £ .
1668. J - . 1669. f £—.
J 1 + COSJt J 1—C03JB
1670. ( £ .
J i + sin x
1671. J[sh(2*+l)+ch(2x—l)]dx.
1672. Г—£_. 1673. Г d* -.
J ch»— J sb*-i-
2 2
Путем надлежащего преобразования подынтерраль»
ного выражения найти следующие интегралы!
1674. t
1675. JV|/1+*S dx.
1676. f-^-. 1677. f_^L_
J 3-2*» J (l + *y
1678. (-i^L-. 1679. f-^JL.
J 4+** J *»_2

176 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
dx
1680.
) (i+*)V*
Указание. —— — 2d(Vx).
1681.
1682.
1683.
1685.
1687.
J x x*
[—^ .
J xV**+l
C-^ . 1684. f^L_
J xV*s-l J (**+l)
f^^ . 1686. (
3/2
I
X*dX
(8x» + 27)2/3
С ** Д688. Г dx .
j V*o+*) J V*u-*)
1689. Jjce-^dx. 1690. У *** .
J 2+e*
1691. Г ^—.
J **+*-*
1692. С—d*
,e93. CJSliLd*. 1694. Г *L
J X J X In X In (In X)
1695. Jsin'xcosxdx.
1696. Г sin* dx.
J Vcos* x
1697. JtgJtdjc. 1698. Jctgjed*.
J
,699. \ д"" + "»* djc,
■/^sin x — cos x
,700. \ sinxcos< <fr.
J -y/a1 sin* x + 6* cos* x
\
,700.1. V s,n« d*. 1700.2. Г cosx dx.
Vcos2x J Vcos2jc
sh x
1700.3. С "' * dx.
J У<Л2х

i 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 177
dx
\
1701. .
sin* x /ctg x
1702. Г——-——. 1703. f-^-.
J sin* x ■+- 2 cos* x J sin x
1704. f-^-. 1705. [-**-. 1708. [ -Iх-
J cos* J shx J chx
1707 ** shxchx л_ ,,Ло f dx
7. [ shxch* dx. 1708. С
J Vsh4x+ch«x J ch*xj^tb*x
1709. { -^^JL dx.
J l + x*
1710. f dx
J (arcsin x)* V1- **
1712. f^±-Ldx.
Указание. [Н — Jdx = dfx J.
1713. \j£=±-dx. 1714. f **"*
1715. С —*=
3 Vi +
X»/2dX
x"+*
1716. f l— In -i±^- dx.
1717
■$■
X* 1-Х
cosxdx
-dx.
-4*
V2 + cos 2x
,718. С sin*c0sx dx. 1719. С -£*-
J sin4 x + cos* x J 9* — 4*
,720. Г *"' .
Применяя метод разложения, вычислить интегралы:
1721. Jx»(2—3x*)*dx. 1721.1. Jx(l — *)10dx.
1722. [-±±!Ldx. 1723. f-^—dx.
J 1-х J l+x
■j 2—**»

178 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1724. \-^—dx. 1725. f ° + *f dx.
J3+X J 1 + x»
1726. f {2~x)t dx. 1727. f - dx.
J 2-х» J (l-x)i«
1728. f —— dx.
1729.
x+1
dx
л/x+l + ^x-l
1730. \хф—Ьх dx.
1 2
Указание. **» — (2 — 5*) + —-.
5 5
1731. С . xdx .
3 *Т=зГ
1732. JVW + ** d*.
1733. Г dx
J (x_l)(x + 3)
Указание »■» — [(*+3) — (x - Щ.
4
1734. Г ^ . 1735. Г ^
J x*+x-2 J (x»+l)(x»+2)
J (х»-2)(х» + 3)
1736. ' dx
xdx
1737. Г — . 1738. f
J (x + 2)(x+3) J x* + 3x»+2
1739- \ i л. Ti л.м« {афЬ)-
1740. f (алфЬ*).
J <x» + a*)(x»+6') v ^ '
1741. $ sin* xdx.
1742. Jcos^d*. 1743. Jsinjesin(x + a)djic.
1744. J sin3jc-sin5*d*.
1745. С cos — -cos — dx.
J 2 3
1746. Г sin (2jc—|Л cos (з* + -2Л dx.

$ 1. ПРОСТЕЯШИВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 179
1747i Jsin'xd*. 1748. Jcos'xdy.
1749. J sin* x dx. 1750. j" cos* xdx.
\7Sl. $ctg*xdx. 1752. Jtg»jedje.
1753. fsitfaysin^dx. 1754. f £ .
J sin*x cos* x
Указание. 1= sin*x + cos*x.
dx
1755. Г Ё5. , !75в. f
J sin1 x-cos x J
1757. f-^^Ldx. 1758. f
J sin x J
sin x cos1 x
cos'x . .... (* dx
cos*x
1759. C-^L_. 1760. [-"±*?-dx.
1761. jstfxdx.
1762. Jch'xdx. 1763. Jshxsh2xdjc.
1764. jchxcb3xdjc. 1765. \ **
sh* xch* x
Применяя подходящие подстановки, найти
следующие интегралы:
1766. $x*VT=xdx.
1767. jVU— bx*)19dx.
1768. Г V <f*. 1769. С ** dx.
J У 2-х J У1 — **
1770. jV(2 — 5x3)2/3dx. 1771. Jc(*s*.yslnjcdx.
17?2 f sinxcos'x ^ 1773 Г jlnlx_ ^
J l+cos*x J cos'x
С In xdx
J xVl + tnx
dx
J Vi + «*_ '
tgV*
V* 1 + *
1774
J X'
dx
,775. J
1776.
J777. С »"*g V* ._rf*

180 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Применяя тригонометрические подстановки х =>
= a sin t, x = a tg /, x = a sin2/ и т. п., найти
следующие интегралы (параметры положительны):
1778. С ^ . 1779. Г хЧх .
1 0-*2Г 1 V^
1780. JV1— ** dx.
1781. f ^ .
1782. \ л/-^- dx. 1783. \ х л/ *_ dx.
1784. f **
J"
У<*-а)(6-х)
Указание. Применить подстановку х—а = (6 — a) sin*t.
1785. JV(*—«) (*— х) dx.
Применяя гиперболические подстановки х = ash t,
х = a ch / и т. п., найти следующие интегралы
(параметры положительны):
1786. $^/а* + х* dx.
1787. С -—- dx.
J У<>»+**
1789. Г '* .
1790. $л/{х + а)(х+Ь) dx.
Указание. Положить x + а =*» (6—a) sh2^.
Применяя метод интегрирования по частям, найти
следующие интегралы:
1791. Jlnjtd*. 1792. $x»\nxdx (пф — 1).
1793. С (-^Y <**• 1794. J У* ln'xdje.
1795. \xer*dx. 1796. J*»«-**<fx.
1797. JVe-^dx. 1798. J* x cos xd*.

« I. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 18t
1799. $x*sm2xdx. 1800. Jxstixdx.
1801. $x*cb3xdx. 1802. Jarctgxdx.
1803. J arcsin xdx. 1804. Jxarctgxdx.
1805. J x* arccos xdx. 1806. [ arc^n* rfx.
1807. Jln(x+YH-x»)dx.
1808. fxln-^-dx.
1809. farctgyxd*. 1810. J sin x-ln (tgx)dr.
Найти интегралы:
1811. $x*e*dx. 1812. J" (arcsin x)»dx.
1813. .fxfarctgxpdx.
1814. CxMn-^-dx.
J l + x
1815. [ *Ь.(«+УГТ7) d*.
1816. f f-rz-dx. 1817. С ^—.
J (1 + x*)' J (a«+xV
1818. Jy<**—x» dx. 1819. J" VF+a'dx.
1820. JVyoMTSFd*. 1821. Jxsin'xd*.
1822. jV^d*. 1823. fxsin ф dx.
artgji
1825. [ «*"*" dx. 1826. f sin (In x) d*.
J (l + x')3/2
1827. J cos (In x) dx. 1828. J e0" cos fcxdx.
1829. j" e°" sin ftxdx. 1830. j e2* sin* xdx.
1831. JV—cosx)*dx.
1832. [ ™cX** dx. 1833. f JH&ULdx.
J «* J sin»*
1834. \-^-. 1835. Г *** dx.
J cos** J (x+l)*
Нахождение следующих интегралов основано ва првведе»
нии квадратного трехчлена к каноническому виду в прямей*
С *0и " 41 *
1824. \ — dx.

182 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
яии формул:
L { ,*? » ^ — arctg-^+C (аФО).
J а2 + ха а а
*■№
d* =J_inla+x
х* 2а а —х
-т-С (а*=0).
III. (—iif—= ±-L ln|a"±x»| + C.
J fl'tx» 2
IV. f d" = arcsin ^- + С (а>0).
J л/а* — х* °
V. С dX = ln|x + Vx'±oa 1 + C (a>0).
VI- f—xdx « ± Vo2 ± *2 + С (а>0).
J <y/a*±x*
VII. f Va2 — x* dx = — Vaa- x* +
2
ea x
H arcsin f-C (а>0).
2 а
VIII. Jv*2±a* dx= —V*2±as ±
±_£_ln|x+ V*2±a* l + C (aj>0).
Найти интегралы:
1836. f d* . (аЬфО). 1837. С ^ .
J a + *x* r J x« —x + 2
1838. ( — . 1839. [ — .
J 3x« —2x—1 J x* — 2x* — 1
1840. [ (x+l) dx. 1841. f ** .
J x*+x+l J x» —2xcosa+l
1842. [ ^ . 1843. [ ^тЧг-
J x* — x* + 2 J x«—Xs —2
1844. f !?£ .
J 3sin*x —8sinxcosx + 5cos*x
1845. [ *
J sinx-f-2cos x+3

i 1. ПРОСТЕПШИВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1847. Г dx 1848. Г " ,
J V>— 2x — х» J V*+«*
1849. Г dx
J У^х* —х+2
1850. Доказать, что если
у = ах* + bx + с (аф О)1,
Ш
то
\
dx
■у/у Уд
dx 1
In 1 -^— + Jay \+C при а>0
V»
■ arcsin
— У
— а
л/Ь*— 4ас
+С при а<0.
1851.
1853
1853
1854
Г *"* 185
J Уб+х — **
[ XdX -.
J Vl — 3** — 2х*
l. Г cos*^ .
j V* +sin■*+cos* *
Г x»dx
J V** — 2x* — 1
\
\
x+l
Jx*+x+l
•dx.
1855
Vl+ x* — x*
1856. f d*
1857. С d*
J х*Ух» + х — 1
1858.
1859.
Г dx
J (x+dV*7
Г dx
J (x-l)V^

184 ОТДЕЛ II!. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1863. JV** + 2**—Ixdx.
1864. f 1~x + xt dx. 1865. f *+' dx.
J x-Vi + x-x» J *л/«*+1
§ 2. Интегрирование рациональных функций
Применяя метод неопределенных коэффициентов,
найти следующие интегралы:
1866. [ ^±J dx.
J {x-2)(x + 5)
1867. f ^ .
J (х+1)(х+2)(х + 3)
,868. С ^' . 1869. C_Jl±i dr.
J х»+х_2 J х»-5*» + 6х
1870. [ - dx. 1871. С *djc
J х«+5х*+4 J х* —
Зх + 2
1872. [ ^±1 d*.
J (JC+ I)* (X— 1)
1873. [( - Yd*.
Я x»-3x+2 /
1874. f ^
J (x+l)(x+2)*(* + 3)9
1875. t "-
J X* + X« —2x3 —
2x2+x+l
1876. С *+s'+4 dx. 1877. C-
J *«+5x*+4 J (x+l)(x»+l)
1878. f £ ,
J (x»-4x+4)(x»-4x+5)
1879. С ^ .
J (x — l)»(*2+2x + 2)
1880. f *
1 + x)(l + X+X*)
1881. \ ."*. . 1882. f-^-
1883. ' " *°°4 ' d*
f_*L_. |S82. С -^^
J x3+l J x3-1
x*+\
1885. f - . 1886. J*
J x«+x»+l **+l
1S87 Г **

$ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 1М
1888. [— р—. —
J & — Х*+* — Х*+Х — 1
1889. ' Лх
1
х*+3х* + — *2+3* + 1
1890. При каком условии интеграл
Г ахг+Ьх+с
dx
*»(*—1)*
представляет собой рациональную функцию?
Применяя метод Остроградского, найти интеграла
1891. Г ^ . 1892. Г
dx
(*»+ 1)*
,893. [-^-г- ««М- f . **■ ,
J <*■+«» J (x*+2x + :
2)«
1895. Г Л
,896. Г * + *=*—**.
(**+ 1)»
)'(x-l)(x*+x+\)*
,897. ( £
J (**-!)*
Выделить алгебраическую часть следующих
интегралов:
,898. \—J*±l-—dx. 1899. (_L-.
1900. f 4*~1 dx.
1901. Найти интеграл
С dx
J x*+2x*+3x*+2x+l
1902. При каком условии интеграл
[_a*±W*±y_dx
J (ах*+'2Ьх + ср
представляет собой рациональную функцию?

186 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Применяя различные приемы, найти следующие
интегралы:
1903.
1905.
Г * dx. 1904. f-£*_.
J (x-iP° J x»-l
J *»+3 J *«+l
1907. f *^ dx. 1908. f— *dx
J x(*«+3*« + 2) J (x
1909.
10 —10)*
C__x»_dx__ mQ С *dx
J x»+3*« + 2 * ' J (х»»+2х»-+2)» '
mi. \-^-dx. 1912. [-£?-. dx.
1913. Г £ . 1914. f Ё£ .
J x'(x»+9 J x(xw+l)»
1915. С '~x? ds.
3 *(l + x»)
1916. f i—^ d*.
x«—1
■ 5)(x»_5x+i)
1917. [—*^—dx.
J x*+x*+l
*» — 1
x* + x»+x*+x+l
1918. Г .-*"T' — <**•
1919. С **~x dx. 1920. С x4+1 dx.
J *•+! J *»+!
1921. Вывести рекуррентную формулу для
вычисления интеграла
Пользуясь этой формулой, вычислить
dx
'-$-«*
' + *+!)»
Указание. Использовать тождество
4а (ах* + 6х + с) — (2ах + 6)* + (4ас—б8).
1922. Применить подстановку t = ***"". для вы-
х+Ь
числения интеграла
,_С dx
/:
(х + аГ(х + 6)«
(тип — натуральные числа).

f S. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ ОТ
Пользуясь этой подстановкой, найти
Г dx
J (* — 2)а(* + 3)»
1923. Вычислить
J (* — а)я+1
если /*„ (х) есть многочлен степени л относительно х.
Указание. Применить формулу Тейлора.
1924. Пусть R (х) ■» R* (**), где /?* — рациональная
функция. Какими особенностями обладает разложение
функции R (х) на рациональные дроби?
1925. Вычислить
г dx
) l + x»'
где л — целое положительное число.
§ 3. Интегрирование некоторых
иррациональных функций
С помощью приведения подынтегральных функций
к рациональным функциям найти следующие интегралы:
dx
1926.
Ы
С i
3 *0 + 2V*+3/*)
1927. ' **
1928. \ 'V" dx.
1929.
Г х3/2+7
J *+3/2T]_
J l + 3/*+l
J (i + VT)3/7 '
1930, ' dx
1931. \ У*+'-У*-1_^.

IS8 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1933- [ < Xd* (a>0).
J Ух3 {а — х)
Г dx
1934. I —————————- (л—натуральное чио-
J У(х — a)n+i(x — *)"-!
ЛО).
dx
1935.
h
+ V* + Vn- *
_( и* — 1 у
Ч 2» J'
Указание. Положить ж =
1936. Доказать, что интеграл
j* R [х, (х—а)"" (х—Ь)<Чп\ dx,
где R — рациональная функция и р, q, n — целые
числа, является элементарной функцией, если
р + q — kn,
где k — целое число.
Найти интегралы от простейших квадратичных ирра-
циэнальностей:
1937. [ " -dx
) *Jl + x + x*
) (jc+l)V*J+*+i
1939. r dx
1938 ' dx
fc
o2Vi-.
,940. 1 V*' + 2*+2 dx.
1941
I
•Jo
X
xdx
+ x) Vl — * — x*
,942. Г l-x + x* Hr.
J <y/l + x — xa
Применяя формулу
где # = V0*2 + bx +c, Pn {x) — многочлен степени п,

S 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ 189
Qn-i (x) — многочлен степени л—1 и Я, — число, найти
следующие интегралы:
1943.
f х8
J У1 + 2х — j
dx. 1944.
Г x">dx
) yi + *«
1946.
1947.
1948.
dx
1945. Jje*Va2—x2 dx.
г x*— 6x»+ llx —6
J Vxs+4x + 3
С -£ . 1948. С
J x» V**+l J x* V**—1
1949. С **
J (* — l)3 V*J + 3* + 1
1950. f **
J (х+1)»Ух* + 2*
1951. При каком условии интеграл
\
0\Х* + ЬхХ + СХ
dx
Vox* + bx + с
представляет собой алгебраическую функцию?
SP (Х\
. dx, где у = ■у/ах1 4- bx+с, раз-
лагая рациональную функцию
дроби.
1952.
Р(х)
Q(x)
на простейшие
1953.
1954.
1955.
1956.
1957.
xdx
(х— l)*Vl + 2x — x*
х dx
(х>
— l)Vx2 —х—1
Ух» + x + 1
(x+1)2
X3
dx.
(1 -f x) У1 + 2* — x*
x dx
d*.
(x* —Зх + 2) Ух> —4x + 3
dx
(1 + x*) Vl— *2

190 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1958.
1959.
1960.
Г dx
Г dx
Приводя квадратные трехчлены к каноническому
виду, вычислить следующие интегралы:
dx
1961.
( •■
J (х» + ж+1)
1962. С x'dx
J (4 —2х+**) V2+2* — ж*
1963. С (X+I)dx
1964. С помощью дробно-линейной подстановки х ■
«•—З-11- вычислить интеграл
3 (х*-х+ 1) V*»+*+l
1965. Найти
Г <**
J (**+2) У2ж* — 2*+5
Применяя подстановки Эйлера
1) ijax1+Ьх+с = ± V^ +-«fесли о>0;
2) Vax"+6x+c = лег ± V^i если с>0;
3) У а (х —ж,) (х—xj = 2 (х—«i).
найти следующие интегралы:

$ S. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ WI
J x+V*a + 3x + 2
1970. С — - .
J [i + V*o + *)l2
Применяя различные методы, найти следующие
интегралы:
их
1971.
1972.
1973.
Г ^ .
J (1-х3) Vl-*s
Г <te
J Ф + л/i-x + V i~+
5
X
,974. \_£±Vi±£±^_-<to
1975.
1976.
J V* + V*+i
(x* — l)d*
1978
J (*»+l) V^+l
,977. f_£±J>*L_.
J (x*-l) V«*+l
(— "*
J xV**+2x»-l
,979. f—g±i>*L_.
,980. Доказать, что нахождение интеграла
J"/?(ж, -у/ах+Т, i/cx+d)dx,
где Я — рациональная функция, сводится к
интегрированию рациональной функции.
Интеграл от дифференциального бинома
ixm(a+bxa)i>dx,
где га, п и р — рациональные числа, может быть приведен к
интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех
случаях (теорема Чебышева):
Случай I. Пусть р — целое. Полагаем х= zN, где
Л' — общий знаменатель дробей тип.

ItS ОТДБЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
С л у ч a fi 2. Пусть — целое. Полагаем а + Ьхп =»
л
■* **, где N — знаменатель дроби р.
С л у ч а й 3. Пусть —^— +р — целое. Применяем под-
л
становку ах-п + Ь «= г*, где W — знаменатель дроби р.
Если я «= 1, то эти случав эквивалентны следующим!
1) р — целое; 2) m — целое; 3) т + р — целое.
Найти следующие интегралы:
1981. /у**+** dx.
1982. \ З/* dx.
1983. Г— *** 1984.
3/F)2
j. Г—sfi
1985. С ^ .
1986. ^ dx
) VT+1F
1987. Г—-^ .
3 х'/ТТ"
1
1988. .
* Г
х*
dx
1989. У^Зх—*■**•
1990. В каких случаях интеграл
JVlTi^dx.
где m — рациональное число, представляет собой
элементарную функцию?
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида J tlnmx cos" х dx, где m я л — целы»
числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований
■ли применением формул понижения.

9 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 193
Найти интегралы;
1991. jcosbxdx. 1992. Jsinexdx.
1993. $cos<xdx. 1994. J sin»xcos*;cd*.
1995. Jsin*xcos5xdx. 1996. Jsin5xcossxdx.
,997. f-^-d*. 1998. [JZ^-dx.
J cos*x J sm3x
1999. [ -^—. 2000. [ -~.
J sin'x J cos'x
2001. f - . 2002. f , ds % .
J sin4 x cos4 x J sin'x cos* x
2003. Г .
J stn x cos4 x
2004. j tg* x dx. 2005. J ctge x dx.
2006. f-^i-d*.
J cos* x
dx
2007.
\
V sin3 x cos* x
2008. С ** 2009,
J cos x /sin*x
2010. "
Г dx
) 3/t77 "
2011. Вывести формулы понижения для интегралов;
a) In = $sinnxdx; б) Кя = $cosnxdx (л>2)
и о-помощью их вычислить
Jsin'xdx и §cos*xdx.
2012. Вывести формулы понижения для интегралов1
а) 1я~[-%-; б) Кп = \-±- (п>2)
J stn" х J cos" x
в о помощью их вычислить
С dx Г dx
J sin* x J cos? x
Следующие интегралы вычисляются с помощью примененвя
формул:
I. sin a sin р = — [cos (а — Р) — cos (а + Р)].
13-и«

194 ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
II. cos a cos P = — [cos (а — р) — cos (а + Р)].
III. sin а cos В = — Г sin (а — fi) + sin (а + P)J.
2
Найти интегралы:
2013. J sin5jecos*<ix. 2014. j cos*cos2xcos3*dx
2015. \ sin*sin — sin — dx.
J 2 3
2016. lsmxsm(x-\-a)sm(x->eb)dx.
2017. J cos* a* cos2 fad*. 2018. Jsin^-cos^d*.
Следующие интегралы вычисляются путем применения тож»
деств:
sin (a - р) - sin [(х + a) - (х + р))
и
cos (a - р) в cos Цх + а) - (х + р».
Найти интегралы:
2019. С — .
J sin (x + a) sin (х + Ь)
2020. С — .
J sin (x + в) cos {х + Ь)
2021. [ ^
J cos (х + о) cos (х + Ь)
2022. Г £ . 2023. С ^ .
J sinx— sin a J cos x+cos a
2024. ]tgxtg(x + a)dx.
Интегралы вида
J Л (sin x, cos x) dx,
где R — рациональная функция, в общем случае приводятся
к интегрированию рациональных функций с помощью
подстановки tg — = t.
а) Если выполнено равенство
R (— sin х, cos x) sa — R (sin x, cos x)
или
R (sin х, — cos х) « — R (sin x, cos x),
то выгодно применять подстановку cos х = t или соответственно
sin х = t.
б) Если выполнено равенство
R (— sin х, — cos ж) =а R (sin х, cos x),
to полезно применять подстановку tg * == t.

S 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 195
Найти интегралы:
2025. J• dx
2 sin x — cos x + 5
2026. [ dx
J (2 +
co5 x)sinx
dx
2027. f — dx. 2028. f-
J sin x + 2 cos x J 1 + e cos x
а) 0<е<1; б) е>1.
2029. [—^—dx. 2030. С **—
J l + sin^x J a» sin2 x+ft*
cos*x
2031.
J-
cos2 x dx
(a2 sin2 x+b" cos* x)»
2032. $ .sinxcosx dx.
sin x + cos x
dx
(a sin x + 6 cos x)2
sin x dx
sin5 x + cos* x
dx
sin* x + cos* x
2036. Г sin2 x cos2 x ^
J sin" x + cos» x
2037. С ""''-*»'* dx. 2038. [ sinxco*' dx.
J sin4 x + cos4 x J 1 + sin4.
2039.
2033.
2034.
2035.
Г d* 2040. Г -
J sin* x + cos6 x J (sin2 x + 2 cos* х)г
2041. Найти интеграл \ — . приведя
J osinx+ 6 cos x
знаменатель к логарифмическому виду.
2042. Доказать, что
a.sinx+Mosx dx = ^x + Bln|asinx+bcosx|+C,
a sin x + ft cos x
где А, В, С— постоянные.
Указание. Положить
Ojsin x + ftjcos x = A (a sin я + ft cos x) + В (a cos x—6 sin x),
где А и В — постоянные.
Найти интегралы:
2043. f sinx-cosx djc< 2043.1. [ ^ dx.
s
sinx+2cosx J sinx —3cosx
13*
Ssin
sin x —!

sin x + ft cos x + с
196 ОТДЕЛ HI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2044. [ * . 2045. Г «nHn« + >tco«* ^
J 3 + 5 tg x J (вх sin x + ft cos x)*
2046. Доказать, что
f a, sin x + ft, cos x + c, , . . D i ■ i i
\ — I—! ——dx*=Ax-\-Blr\\asmx-\-
J в sin x + ft cos x + с
+6cosx+c| + cf—■ -^
J asinx+ft<
где А, В, С—некоторые постоянные коэффициенты
Найти интегралы:
2047. С""'+2со5*-3 ^
J sinx— 2 cos x-f*.j
2048. f ^ dx
J -у2 -f- sin x + cos x
2049. Г 2sinx + cos* ^
J 3 sin x + 4 cos x — 2
2050. Доказать, что
f в, sin* x +2fti sin xcos x + c,coss x . . . ,
V— ——■ ^—± dx = As\ax+
J о sin x + b cos x
+ Bcosx+c( £ ,
J esin *+ftcosx
где А, В, С— постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2051. Г sin»x-4sinxcosx+3cos«x ^
J sin x + cos x
2052. Г sin'x-sinxcosx + 2cos»x ^
J sin x + 2 cos x
2053. Доказать, что если (а—с)2 + ЬгФ 0, то
f a, sin х + ft, cos x . _
a sin' x + 2ft sin x cos x + с cos* x
где Л, fl — неопределенные коэффициенты, *lt ла
корни уравнения
| О С — А-1
ui = (a— %i)s\nx+bcosx и h — г— (1 = 1, 2).
a — Ai

ft 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197
Найти интегралы:
2054. Г 2*п ж-со» ж ^
2055
J 2sina
2'sin x — cos x
3sin*x + 4 cos* x
(sin x + cos x) dx
■ x — 4 sin x cos x + 5 cos*x
2056. Г sin*-2cos* ^
J 1 + 4 sin x cos x
2057. Доказать, что
dx
(a sin x + 6 cos x)n
i4 sin д
(a sin x + * cos x)n_1 J (a sin ж + 6cosx)n~*
i4sinx+Scosx , *>f A:
где Л, 5, С — неопределенные коэффициенты.
|* dx
J (sinx + 2cosx)*
2058. Найти '" ta
\
2059. Доказать, что
dx A sin x
+
(a + b cos x)" (a + b cos x)n~l
J (a + b cos x)"-* J (a + b cos x)n *
и определить коэффициенты А, В и С, если я —
натуральное число, большее единицы.
Найти интегралы:
2060. l sinxdx
cos x V' + sin'2*
2061. Г ?£±—dx.
J cos* x V^g *
2062. f sinxdx .
J У 2 + sin 2*
2063. f '* ., (0<e<l).
J (1+8 COS X)'
n 1 *+ в
cosn_i —2—
2064. - dx.
2

198 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ж+а
COS ■
Указание. Положить t ■= .
х — а
sin
2
2065. Вывести формулу понижения для интеграла
х — а \п
dx
sin
/ = ' ' 2
«/1 —
. х+а
sin
2 J
(п — натуральное число).
§ 5. Интегрирование различных
трансцендентных функций
2066. Доказать, что если Р (х) — многочлен
степени п, то
J>(x)<*"d*=i
^Г'М "»+... + < 1)« "J? 1 + С.
L a a* ап*х J
2067. Доказать, что если Р (х) — многочлен
степени п, то
jP(x)cosaxdx=*
sin ах Г„м Р"(х) . PlV(x)
a L () ' в» "' а*
cos ах Гр/ . Р»(х) . PV(x)
1 в» L W a* * а*
$P(x)sinaxdx=*
cos а* Голл Р"(*) , P'V(x)
а L () а* ' а*
Г а* L W я2 "4
....] +
1+0
— ... 1 "Г U
- 1^.
"•••J+
— ...]+а
Найти интегралы:
2068. jVc^d*. 2069. J <дс*—2x + 2)e-*dx.
2070. J^sinSxdx. 2071. ,f(l+JC*)8cosxd*.

5 S ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ЮЭ
2072. jVe-*'dje.
2073. J JC2eVjc djc.
2074. J e°* cos2 bx dx. 2075. J" e°* sin3 bx dx.
2076. J xe* sin * d*. 2077. J *V cos * dx.
2078. J *e* sin» x dx. 2079. J (r— sin xf dx.
2080. j cos*-y/7dx.
2081. Доказать, что если R — рациональная функция
и числа аи аг, . . . , ап соизмеримы, то интеграл
J «(в**, «**. e°n*)dx
есть элементарная функция.
Найти следующие интегралы:
2082.
2084.
2085.
(—— 2083. f е dx.
) (1 + **)1 J l + «x
С dx
J е«+«* —2 *
[ 1 + ^ dx. 2087. C_^=
2088. \ A/-£lzLi-djt.
2089. JVe2x + 4e*—1 dx
2090. Г dx
!■
2091. Доказать» что интеграл
$R(x)e"dx,
где /? — рациональная функция, знаменатель которой
имеет лишь действительные корни, выражается через
элементарные функции и трансцендентную функцию
гдэ
J
— dx =
X
lix=
°И(«") + С,
f ,* •
J 1ПДС

200 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2092. В каком случае интеграл
Ит)**
где Р (—") = ав+~+ •••+—- Hflro»fli. • • ■ «■ »fln—
\ X / X х"
постоянны, представляет собой элементарную функцию?
Найти интегралы:
2093. (Yl -Ye*dx. 2094. M\ — ±'\e-*dx.
2095. Г . *" dx. 2096. f———dx.
J x»-3*+2 J (*+l)*
2097. Г х*е*Х dx.
J (x-2)«
Найти интегралы, содержащие функции In f (дс),
arctg / (дс), arcsin / (дс), arccos / (дс), где / (х) —
алгебраическая функция:
2098. JhVxdx (л —натуральное число).
2099. jx*\n*xdx. 2100. (Y-^Ydje.
2101. Г In l(x+aY+° (x + ЬУ+»). dx
J (x+fl)(x + i)
2102. $1пг(х + т/Т+х*)(1х.
2103. J In (УТ^х+УГ+Г)^.
2104. J—JniL_dje. 2105. Jxarctg(x +1)dx.
2106. J" УГ arctg yTdx. 2107. J дс arcsin (1—x)dx.
2108. J arcsin VJFdx. 2109. f дс arccos— dx.
2110. \ arcsin 2<v/* dx.
J l + x
2111. Г arccos* dx. 2112. f *arccos* dx.
J (1— x1)»/* J (1-х*)»/»
2113. Jx arctg x In (l+x*)dx.
2114. fxln-i±^dx. 2116. [ Ь»С»+УГ+7)*»_.
J 1-х J <l+x*)»/«

§ в ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЯ 801
Найти интегралы, содержащие гиперболические
функции:
2116. jshJxch*xdx. 2117. fch*xdx.
2118. Jsh'rdx. 2119. j"shxsh2xsh3xdx.
2120. J.thxdx. 2121. fcthaxdx. 2122. $<y/thx~dx.
J" "
2123.1.
2123.
shx+ 2chx
dx
sh2 x — 4 sh x ch x + 9 cha x
chxdx
2123.2. f - . 2123.3. f-
j 0,1 + chx J 3sh* — 4chx
2124. J sh ax sin bx dx. 2125. §shaxcosbxdx.
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций
Найти интегралы:
2126. Г ^ . 2127. f x*dx .
J х*(\ + х*) J (1-**)»
2128. f - . 2129. С ^ .
2,32-W^vT^-
2133. Г—****. . 2134. С- ^
/**(!-*)
2135. f dx 2136 f dx
J хл/Т+х^Тх7
2137. V 1 + VT^r ^
x V*4 — 2x» - 1
2138. f_£±S*L_. 2139. f *« + *+*> d».
) l + т/хТ* J и + х)*
2140. J(2je+3)arccos(2jc—3)dx.
2141. J x In (4+**)<&.

202 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
J'
2Н2. \^JL. * + ** dx.
'■ Vi—**
2143. Г «lnd + VT+Tl^
J Vi + jo
2144. JxVJ?+TlnV^ —1 dx.
2145. f— * In—— dx.
2146. f ^—. 2147. f «iB-lfL ^.
J (2 + sinx)s J sinex+cos8*
2143.
!■
dx
sinx-V 1 + cosx
2149. Г ax*+b arctgxdx.
„,,„ С ах*+ b , I x— 1 I ,
2150. I ——In \dx.
2151. f *'"' dx.
2152. С *aretg* dx. 2153. f sin2* dx.
J Vl+«* J V' + cos4*
2154. Г x'arccosx ^
2155. f *mtgx dx. 2156. С *arcCtg* dx.
J 1 + ДС* 3 0 + **)»
2157. t *Щ(* + УП^)_^
3 о-*2)*
2158. j"Y1— x* arcsinxdx.
2159. JxO+x^arcctgxdx. 2160. J x* (1 + In x) dx.
2161. f arcsingX dx. 2162. С arctggX/> dx.
2163. [ *"
2164. fyWx+l dx. 2165. f * + «'"« .g*^
J v J 1 + cosx
2166. J|x|dx. 2167. Jx|x|dx. 2168. J(x +1xD'dx.
2169. }{|1+х|-|1-*1>«*«.
2170. ]e~^dx. 2171. |тах(1, x2) dx.

§ в. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЯ 203
2172. J ф (х) dx, где ф (х) — расстояние числа х до
ближайшего целого числа.
2173, J [x] |sinned* (x > 0).
. , (1— х2 при |jc|< 1;
«74. J/W&, где/««{,_„ прн|х|>ь
2175. lf{x)dx, где f(x) =
1, если — co<jc<0j
х+l, если 0<л:<1;
2х, если 1<л:«С+оо,
2176. Найти [xf" (x)dx.
2177. Найти J f (2x) dx.
2178. Найти f(x), если /'(**)=— (*>Q).
AC
2179. Найти f {x), если /' (sin* x) = cos* х.
2180. Найти 7 (x), если
и f(0) - 0.
2180.1. Пусть 7 (х) — монотонная непрерывная функ*
ция и f1 (х) —ее обратная функция.
Доказать, что если
5f(x)dx = F(x) + C,
то
J7"1 (х) dx = xf-1 (x)-F(f-> (х)) + С.
Рассмотреть примеры: a) f (х) — хп (п > 0}|
б) f (х) = ех\ в) / (х) = arcsin х; г) f (х) — Arth x.

ОТДЕЛ IV
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
1°. Интеграл в смысле Римана. Если
функция / (х) определена на [а, Ь] и а = х0 < хх < х, < . . . <*п=*
■= Ь, то интегралом функции I (х) на сегменте [а, Ь\ называется
число
Ь л-1
U(x)dx= Hm Vt(h)bxt, (1)
J max | Дж(|-*0£5
ПЮ X| < Ef < *l+t " д*< = *<+i —*f ■
Для существования предела (1) необходимо н достаточно,
чтобы нижняя интегральная сумма
я—i
S«= J] /я,Дх,
i=»0
и верхняя интегральная сумма
п-1
5=2 Л1,Дх,,
где
/п< = inf f(jc) и Mf* sup f(x),
имели общий предел при max | Дх,-1 -*■ 0.
Функции jf (х), для которых предел в правой части равенства
(1) существует, называются интегрируемыми (собственно) на
соответствующем промежутке. В частности, а) непрерывная
функция; б) ограниченная функция, имеющая конечное число
точек разрыва; в) ограниченная монотонная функция,—
интегрируемы на любом конечном сегменте. Если функция / (х) не
ограничена на сегменте [а, Ь], то она собственно неннтегрируема
на [а, Ь].
2°. Условие интегрируемости.
Необходимом и достаточным условием интегрируемости на данном сег-
■мате [а, 6] функции [ (х) является выполнение равенства
П-1
Hm V o>,AXf = 0,
maxjA^l-^O gj,

§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 205
где щ •= Мс—mi — колебание функции f (х) на сегменте
2181. Найти интегральную сумму S„ для функции
на сегменте [— 1,4], разбивая его на п равных
промежутков и выбирая значения аргумента h (i = 0, 1, . . .
. . . , п—1) в серединах этих промежутков.
2182. Для данных функций / (х) найти нижнюю S,
и верхнюю Sn интегральные суммы на соответствующих
сегментах, деля их на п равных частей, если
a)/(x) = x3 I—2<лс<31;
б) f{x) = ^/x~ (0<x< 11;
в)/(*)«= 2* 10<<*<101.
2183. Найти нижнюю интегральную сумму для
функции / (х) — х* на сегменте 11, 21, разбивая этот
сегмент на п частей, длины которых образуют
геометрическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы
при п -*■ оо?
2184. Исходя из определения интеграла, найти
т
[(Vo+gt)dt,
где у0 и g — постоянны.
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их
как пределы соответствующих интегральных сумм и
производя разбиение промежутка интеграции
надлежащим образом:
2 ! Я/2
2185. f x*dx. 2186. IV dx (a>0). 2187. J sinxdx.
—10 0
x ь
2188. [cos tdt. 2189. [— (0<а<&).
0 J Хг
а
Указание. Положить £* = V*»*i+t (i = 0, 1 л).
»
2190. $xmdx (0<a<b; тф — Х).
а
Указание. Выбрать точки деления так, чтобы их
абсциссы Х( образовывали геометрическую прогрессию.

808 ОТДЕЛ ГУ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
»
2191. ("-£. (0<o<6).
2192. Вычислить интеграл Пуассона
л
f In (1—2ос cos x + a*) dx
при: a) Ja|<lj б) 1а|> 1.
Указание. Воспользоваться разложением многочлена
а*"—1 на квадратичные множители.
2193. Пусть функции / (*) и <р (*) непрерывны на
[а, Ь ]. Доказать, что
Нт £Шф(9,)Д*,=1/(*)ф(*)<**.
шах |4х^|-*0<=о а
где xt < It < xl+1, xt < в, < *,+l (t = 0, 1,... ,n—1) и
Д*< — xi+l —xi (jc, = a, xn = ft).
2193.1. Пусть / (x) ограничена и монотонна на [0,1 J.
Доказать, что
о *«1
2193.2. Пусть функция f (x) ограничена и выпукла
сверху (си. 1312) на сегменте [а, Ь).
Доказать, что
(b_fl) т±ш. < J, {x)dx < {b-a)f (л±А).
2193.3. Пусть f (*) £ C<*> U, + оо) и f (x) > 0,
/' (x) > 0, f{(*) < 0 при * £ 11, + oo).
Доказать, что
/gi/(ft)=Y/(n)+ff(Jt)dx+0(1)
При Л-»- оо.
2193.4. Пусть f(x) £ C<»> la, ft] и
"a *-l

§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 207
Найти lim пД„.
П-*оо
2194. Показать, что разрывная функция
f (х) - sgnfsin—)
интегрируема на промежутке [0, 1 ],
2195. Показать, что функция Римана
(0, если х иррационально;
(0, если х иррацио!
^ * 11/л, если х =■ т/п,
где т и п (п > 1) — взаимно простые целые числа,
интегрируема на любом конечном промежутке.
2196. Показать, что функция
f(x)~ Г—1, если хфО
и f (0) = 0, интегрируема на сегменте [0, 1 ].
2197. Доказать, что функция Дирихле
10, если х иррационально;
** 11. если х рационально,
не интегрируема на любом промежутке.
2198. Пусть функция / (х) интегрируема на la, Ы
fn(x) = supf(x) при xt < х<хцъ
где
Xi = a-\ (Ь— a) (t=0, 1, . . ., л; п=1, 2,. ...)t
п
О 6
Доказать, что lim jfn(x)dx = $f(x)dx.
л-*оо а а
2199. Доказать, что если функция / (х) интегрируем*
на [а, Ь], то существует последовательность нёпрерыв»
ных функций ф„ (х) (п — 1, 2, . „ .) такая, что
с с
J f (x) dx — lim J ф„ (x) dx при а ^.с < 6.
а л-»оо а
2200. Доказать, что если ограниченная функция
/ (х) интегрируема на сегменте [а, Ь1, то абсолютная
величина ее |/ (*)| также интегрируема на [а, Ь], при*
чем
ь
)f{x)dx
ь
^$\f{x)\dx.

(0.
208 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2201. Пусть функция / (дс) абсолютно интегрируема
ь
на сегменте [а, Ь], т. е. интеграл | \f(x)\dx сущест-
а
вует. Является ли эта функция интегрируемой на [а, Ъ ]?
Рассмотреть пример:
{1, если храционально;
— 1, если х иррационально.
2202. Пусть функция / (х) интегрируема на la, Ь)
v А < / (х) < В при а <; х < b, a функция ф (х)
определена и непрерывна на сегменте [-4, В]. Доказать, что
функция ф (/ (дс)) интегрируема на [а, 6 ].
2203. Если функции f (х) и ф (х) интегрируемы, то
обязательно ли функция / (ф (х)) также интегрируема?
Рассмотреть пример:
0, если л: = 0;
если хфО,
в ф (х) — функция Римана (см. задачу 2195).
2204. Пусть функция / (дс) интегрируема на сегменте
[А, В]. Доказать, что f (х) обладает свойством иншег-
ь
рольной непрерывности, т. е. \\m\\f(x-\-h)—f(x)\dx = 0,
Л->-0 а
где [a, b]cz IA, В].
2205. Пусть функция / (х) интегрируема на сегменте
ь
la, Ь ]. Доказать, что равенство J /г (х) dx — 0 имеет
а
место тогда и только тогда, когда / (х) = 0 во всех
точках непрерывности функции / (дс), принадлежащих
сегменту [я, Ь].
§ 2. Вычисление определенных интегралов
с помощью неопределенных
1°. Формула Ньютона — Лейбница. Если
функция I (х) определена и непрерывна на сегменте [а, Ь\ и
F (х) — ее первообразная, т, е. F' (х) = I (х), то
ь ь
lf(x)dx^F(b)-F(a)-F(x)\ .
а а
Ь
Определенный интеграл Г I (x) d* при (. (х) > 0 геомет-
а
рачески представляет собой площадь S криволинейной трапе-

* 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 209
ции, ограниченной кривой у — f (дс), осью Ох и двумя
перпендикулярами к оси О*: х — а и х = Ь (рис. 9).
Ь as
Рис. 9
2°. Формула интегрирования по ч а с т я и.
Если I (х), g(x) £ CW [в, Ь), то
ь ь ь
\ (х) g' (х) dx=f(x)g(x)\—$g (х) V (х) их.
af a a
3°. Замена переменной. Если: 1) функция {(дс)
непрерывна на сегменте [а, Ь]\ 2) функция <р (t) непрерывна
вместе со своей производной ф' (г) на сегменте [о, ft], где а =»
•= ф (о), Ь — ф (р); 3) сложная функция [ (Ф (0) определена
и непрерывна на [а, р], то
ь р
$f(x)dx = $ f (<(({)) <f'(t)dt.
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти
следующие определенные интегралы и нарисовать
соответствующие криволинейные площади:
8 з я
2206. f -/Tdx. 2207. \sitixdx.
— i о
V3
dx
2208.
2210.
2212.
I
sh2
1 + *J
dx
2209.
1/2
-1/2
dx
Vi-*2
sbl
1
Vi + -
2211. \\\—x\dx.
о
1-
dx
2дс cos о + 1
(0<сс<л).
14—238J

210 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2л
2213.
б
1
zn
Г—-£ <0<е<1).
J 1 4- е cos х
2214. ' d*
J V(l— 2a*+as)(l — 26*4-ft»)
(|a|<l, |ft|<l, a&>0),
Я/2
2215. f — (в**Ю).
J a*sin»* + Pcos*x v ^ '
о
2216. Объяснить, почему формальное применение
формулы Ньютона—Лейбница приводит к неверным
результатам, если:
1 2Л I
cor» vWr С Л / I \,
_] 0 —I
2217. Найти ££(-^*.
100Я ^__
2218. Найти j VT
—cos 2x dx.
С помощью определенных интегралов найти пределы
следующих сумм:
2219. lim (J-4—Y+ . • • +-^-).
n-*ooV Я* Я* Я» )
2220. lim f—\— + —1—+...+—J—).
n-*oo ЧЯ+1 Я+2 П + П J
2221. lim (—— + .* + . . . 4- ;" Y
n-»oo\ я» + 1» я* + 2» n*+ я* J
2222. lim-J-fsin^ + sin^+.-.+sin^^).
л-**> Я V Я Я Я /
2223. lim 1Р + 2Р+-- -+яР (/»0).
Л-.-СО ЯР+1
2224. Hm-i-(\A+--i- + A/l+ — + ...
Л-ao Я V V Я V Я
•••+лЛ+Т)-

? 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 211
Найти
утл
2225. lim
п-+х Я
.. 2226. lim
±р{-+Щ
Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших
порядков, найти пределы следующих сумм:
2227. lim \(\ + ±) sin -^ + (j + -А-) sin Ц- + ...
П
2228. lim sin —. V ■ •
""~ " A 2+cos-^L
*=|
2 л/(я* +k)(nx+k+l)
2229. lim -i=! : (*>0),
n-*oe П
<£ln gin
2230. lirn/-^
Л-too I Я
2»/"
+ 1 ,x'
я+т
я+-^
)
2231. Найти:
d * * *
—— J sin хЧх, J sin x*dx, — f sin x*dx,
dx a da a db a
2232. Найти:
0
cos ж
14*
в) — f cos(n/V/.
dx sin *
2233. Найти:
(cosx*dx f(arctgx)*d*
a) lim -5 ; 6) lim * , -

212 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
в) шп Л5 /_.
f evidx
2233.1. Пусть / (х) С С [О, + оо] и / (х)-> А при
х-*- + оо. Найти Hm J7(/u)dx.
Л-»ооЬ
* 1
2234. Доказать, что [^'d* *** ПРИ х-*•<*>•
«In х ^__
Г ytg* dx
2235. Найти lim '■
*-»+о **
I Vsinx dx
2236. Пусть / (х) — непрерывная положительная
hfiQdt
Uf(()dt
функция. Доказать, что функция <р(дс)= воз
растает при х > 0.
2237. Найти:
х2 при 0<дс<1,
г, fjc» г
а)1/(^еслн/(,) = (2_хпри1о<2;
I ( х при 0 < дс < /,
б) !/(*)<**, если f(x) =
* — при 1<дс<1.
1 —»
2238. Вычислить и построить графики интегралов
/ — / (а), рассматривая их как функции параметра а,
если:
i
а) 1 = $ х\х—a\dx;
о
б) /.Г И!* .^
о

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 213
J V1 — 2ocosx+o*
о
Применяя формулу интегрирования по частям, найти
следующие определенные интегралы:
In 2 я
2239. j" xer'dx. 2240. \xsinxdx.
о о
2л е
2241. Г x*cosxdx. 2242. j" |lnx|d*.
О Me
2243. Jarccosxdx. 2244. f xarctgxd*.
Применяя подходящую замену переменной, найти
следующие определенные интегралы:
i
2245.
5. Г xdx . 2246. [xiJa*-*xtdx.
) Vs"^^ *
—i
0." In 2
2247. С " 2248. [ <y/e*—\ dx.
J (x + 1) V*a + 1 S
о
l
2249. Г arcsinVr ^
J л/х(1-х)
0
I
2250. Вычислить интеграл I ——— dx, полагая
X
2251. Объяснить, почему формальная замена х =»
«= Ф(/) приводит к неверным результатам, если:
a) )dx, где t = xv* б) ( —£— . где * = -!-;
—i
л
в) [-rrh-' rnt\gx-t.
J 1-r-sin* ж

214 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3
2252. Можно ли в интеграле \х-/\ —хг dx поло-
о
жить х = sin /?
i
2253. Можно ли в интеграле Гд/1 — х2 dx при
замене переменной х — sin / в качестве новых пределов
взять числа я и —?
2
2254. Доказать, что если / (jc) непрерывна на [а, Ь ],
то
ь 1
J/ (х)dx - (6-а) {/ (а + (6 -а) х) dx.
2255. Доказать равенство
J *»/ (jc») dx = -i- jxf (x) dx (a>0).
и 2 о
2256. Пусть / (x) — непрерывная функция на сег-
менте [A, B]zd [а, Ы Найти -!l-$f(x+y)dy при
dx a
la—х, b—x] а [А, В).
2257. Доказать, что если / (х) непрерывна на 10, 1 ],
то
л/2 Я/2
а) Г f (sin x)dx=* j f (cos jc) dx;
л я
б) |jt/(sinx)dx = — J7(sinje)dx
2258. Доказать, что для непрерывной на [—/, /I
функции f (х) имеем: 1) J /(je)dje = 2_f f(x)dx, если
—i о
i
функция / (л:) четная, и 2) J" / (x) djc = 0, если функция
/ (х) нечетная. Дать геометрическую интерпретацию
этих фактов.
2259. Доказать, что одна из первообразных четной
функции есть функция нечетная, а всякая первообраз»
ная нечетной функции есть функция четная.
2260. Вычислить интеграл
2
\(l+x—LWo/*>d*,
1/2

$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 215
введя новую переменную
* = * + _L.
X
2л
2261. В интеграле f f(x) cos xdx выполнить замену
переменного sin x — t.
2262. Вычислить интеграл
1
—2 ля
где п — натуральное число
J |Н1пт)]Ь
я
2263. Найти I *sin* dx.
J 1 + COS2 X
0
3
2264. Найти интеграл f —'—^—dx, если
V J. l + PW
/(*) =
-I
(x+l)*(x_l)
x3(* — 2)
2265. Доказать, что если / (x) — непрерывная
периодическая функция, определенная при — оо < х <
< + оо и имеющая период Т, то
а+Т Т
°| f(x)dx = [f(x)dx,
где а — любое число.
2266. Доказать, что при п нечетном функции
X X
F(x) = [s\nnxdx и G(x) — $ cosn xdx
периодические с периодом 2я; а при п четном каждая
из этих функций есть сумма линейной функции и
периодической функции.
х
2267* Доказать, что функция F(x)=$ f(x) dx,
х„
где / (х) — непрерывная периодическая функция с
периодом Т, в общем случае, есть сумма линейной
функции и периодической функции периода Т.

216 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить интегралы:
2268. 1*(2—x*)udx.
i
2269. Г — .
i 9 .4
2270. \(х\пх)*йх. 2271. [x-/T^xdx.
2272. { d* 2273. $хиф+3х* dx.
—2
3
2274. \ arcsin л/—±— dx.
о
2я
2275. Г ^
J (2+cosx)(3+cosx)
о
2л
2276. Г ** . .
J sin* х + cos* х
о
яд. л
2277. j" sinxsin2jtsin3*dx. 2278. f (xsinx)*dx.
In 2
2279. fe* cos» xdx. 2280. f sh«*d*.
С помощью формул понижения вычислить интегралы,
вависящие от параметра л, принимающего целые
положительные значения:
Я/2 Я/2
2281. /„*» j sin*xdx. 2282. /„= J cos"je«U
о о
Я/4 I
2283. /я= Г tg»»xd>!. 2284. /„» f (1— *")"<&.
'■-(—£=• 22W. /й-Гх"(1п*)»Лк.
I
2285.

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 217
Я/4
2287. /„= (V ""*-«** y+'rf,,
J V. Sin x + cos x J
о
Если / (х) = /, (дс) + i7a (ж) есть комплексная функция от
действительной переменной х, где ft (х) = Re I (x), £, (дс) «■
= Im f (х) и «а = — I, то по определению полагают:
Очевидно, что
Re J / (дс) dx т j" Re / (х) dx
н
Im J t (дс) dx = J Im f (дс) dx.
2288. Пользуясь формулой Эйлера
eix = cos x + i sin x,
показать, что
*? f 0, если тфп,
б 12л, если m=n
(пит — целые).
2289. Показать, что
ь
(аир — постоянные).
Пользуясь формулами Эйлера:
cos х=—(еи + е-и), sin х- -^- (ete—r-1*),
вычислить интегралы (т и л — целые положительны!
числа):
Я/2
2290. f sin2"1 х cos2" л Же.
23*1. f -!!°~LЛ. 2292. f <*» <*»+»« <(*.
J sin дс J cos x
о о
я и
2293. [ cos* x cos nxdx. 2294. f sin" x sin nx dx.

218 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти интегралы (л—натуральное число):
л
2295. Ssinn-1xcos(n+l)xdx.
л
2296. $cosn-Ixsin(n+l)xdx.
о
2л
2297. $ e-^cos^xdx.
о
П/2
2298. ^ In cosx-cos2nxdx.
2299. Применяя многократное интегрирование по
частям, вычислить интеграл Эйлера: В (т, п) =
1
= S jc*"—* (1—x)n~ldx, где т и п—целые
положительные числа.
2300. Многочлен Лежандра Рп(х) определяется
формулой: ря (х)я_±--£-[(*»--1)»] (п = 0,1,2 . . .).
Доказать, что
0, если тфп,
2
^Pm(x)Pn(x)dx =
•I если т = п,
2л+ 1
2301. Пусть функция f(x) собственно интегрируема
на [а, Ь] и F(x) — функция такая, что F' (х) — f (x)
всюду в [а, Ь], за исключением, быть может, конечного
числа внутренних точек с,- (i=l, . . . , р) и точек а
и Ь, где функция F (х) терпит разрыв 1-го рода
(«обобщенная первообразная»). Доказать, что
U(x)dx=F(b-0)-F(a+0)-t [F(cc + 0)-F (с,-0)1-
О 1=1
2302. Пусть функция f(x) собственно интегрируема
на сегменте [а, Ь] и
F(x) = C + lf(l)dl
а
—ее неопределенный интеграл.
Доказать, что функция F (х) непрерывна и во всех
точках непрерывности функции / (х) имеет место

2308. jf(x)dx, где /(*) = {0'
§ 3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 219
равенство
F'(x) = f(x).
Что можно сказать о производной функции F (х)
в точках разрыва функции / (*)?
Рассмотреть примеры:
а) /Г—} = 1 (п = ±\, ±2, . . . ) и f(x) = 0 при
п
б) / (*) = sgn х.
Найти неопределенные интегралы от ограниченных
разрывных функций:
2303. $sgnxdx. 2304. j- sgn (sin x)dx.
2305. ][x)dx (*>0). 2306. $x[x]dx (*>0).
2307. ](—\f*ldx.
1, если |*|</,
если |*|>/.
Вычислить определенные интегралы от
ограниченных разрывных функций:
3 2
2309. $sgn(x—x3)dx. 2310. $[е*)йх.
о о
6 я
2311. J[*]sinn*/6d*. 2312. j- x sgn (cos x) dx.
о о
2313. j \n[x]dx, где а—натуральное число.
1
2314. fsgn[sin(ln*)]d*.
"о
2315. Найти f j cos дс | Vsin* dx, где Е — множество
Е
тех значений сегмента [0, 4л], для которых
подынтегральное выражение имеет смысл.
§ 3. Теоремы о среднем
1°. Среднее значение функции. Число
МЩ=— ]tWx
b —a a

220 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
называется средним значением функции t (x) на промежутке
(а, »|.
Если функция I (х) непрерывна на [а, Ь], то найдется точка
* € (°i *) такая, что
м № - / (с).
2°. Первая теорема о среднем. Если: 1) функ-
ции 1(х) и <р (х) ограничены и соответственно интегрируемы на
сегменте la, Ь\\ 2) функция ф (х) не меняет знака при а < х < Ь,
то
р(х)ф(х)а*-ц|ф(*)а*.
a a
где m <ц<М и m = inf f (x), Af= sup f (x); 3) если, сверл
a<x<6 <■<*<&
того, функция £ (x) непрерывна на сегменте [a, 6J, то ц = / (с),
где а^с^Ъ.
3*. Вторая теорема о среднем. Если: 1)
функции 1(х) и ф (х) ограничены и собственно интегрируемы на
сегменте [а, Ь\; 2) функция ф (х) монотонна при а<х< 6, то
6 \ Ь
|/(х)ф(х)а*-ф(а + Оф(*)а*+ф(6-()){7(*)ах,
где а ^ | < Ь; 3) если, сверх того, функция ф (х) монотонно
убывающая (в широком смысле!) и неотрицательная, то
р(х)ф(х)ах-ф(а + 0)|/(х)ах (а<6<&);
а а
3') если же функция ф (х) монотонно возрастающая (в
широком смысле) и неотрицательная, то
ь ь
J" f{x) ф (х) dx - q> (Ь - 0) f I (x) dx (a<I<6).
2316. Определить знаки следующих определенных
интегралов:
2я 2л
а) f x sin* dr. б) [-^L dx,
о J х
в) J **2*Жг, г) f xMnxdx.
-2 J/2
2317. Какой интеграл больше:
Я/2 И/2
а) f sin10xdjc или f sin%xdx?
i i
б) Ie~"dx или \er*dxi

§ 3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ £2)
R 2Л
в) f e-^cos^xdx или J e-*cos*xdx?
2318. Определить средние значения данных функций
в указанных промежутках:
а) / (дг) - х2 на [О, I ];
б) f(x) = ^fx на [0, 100];
в) / (jc) = 10 + 2 sin jc + 3 cos х на [0, 2л 1;
г) / (jc) =» sin x sin (jc + ф) на [0, 2л 1.
2319. Найти среднее значение длины фокального
радиуса-вектора эллипса
г = - £ (0<е<1).
1 — е cos ф
2320. Найти среднее значение скорости свободно
падающего тела, начальная скорость которого равна v0.
2321. Сила переменного тока меняется по закону
:J0Sin
(-?- + »)■
где t0 — амплитуда, / — время, Т — период и ф —
начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы
тока.
2321.1. Пусть / (jc) £ С (0, + оо) и lim / (jc) - A.
Найти
lim J-lf(x)dx.
Х-*+оо X 0
Рассмотреть пример / (jc) = arctg x.
2322. Пусть
jf(t)dt=4№
Найти в, если:
а) / (0 = Р (п > - 1); б) / (0 = In /; в) / (/) - *.
Чему равны lim 6 и lim 8?
Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить
интегралы:
2л 1

822 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
100
2325. \ '" их.
с+100
2326. Доказать равенства:
i
а) Игп Г—-—
п-+х> J 1 + X
2326.1. Найти:
1
Я/2
адс = 0; б) lim J" sin" xd*=»0.
п-»зо 0
a> limf—7ГГ'- ® Hmf/W-*r.
и м
где a > 0, b > 0 и / (x) £ С 10, 1 J.
2327. Пусть / (x) непрерывна на la, b ] и <р (ж)
непрерывна на [a, 6] и дифференцируема на (a, 6), причем
ф' (х) > 0 при а<.х<Ъ.
Доказать вторую теорему о среднем, применяя
интегрирование по частям и используя первую теорему
о среднем.
Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить
интегралы:
200л .
2328. j* ^^-dx.
toon х
b
С е-**
2329. \ sin ход: (а > 0; 0<а<Ь).
а
Ь
2330. Jsinje«dx (0<a<6).
а
2331. Пусть функции <р (х) и 1|> (*) интегрируемы на
промежутке [а, Ь\ вместе со своими квадратами.Дока-
вать неравенство Коиш—Бунтовского
{jq><x)4>(*)dd <ltfifidx]vix)dx.
U Jen
2332. Пусть функция f (x) непрерывно
дифференцируема на сегменте la, Ь ] и / (а) = 0.

i 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 223
»
Доказать неравенство Мг < (6—a) f /'2 (x) dx, где
М= sup |/(jc)|.
2333. Доказать равенство
и-гР
lim f -^-dr=0 (р>0).
л-*оо J д;
§ 4. Несобственные интегралы
1°. Несобственная интегрируемость
функций. Если функция / {х) собствекне интегрируема на
каждом конечном сегменте [а, Ь], то, по определению, полагают:
f f {*)**- Hm \f{x)dx. (1)
Если функция I (x) не ограничена в окрестности точки Ь
и собственно интегрируема на каждом сегменте [а, Ь—е] (е > 0),
то принимают:
ъ 6-е
\f(x)dx=* lim f f(x)dx. <2)
a e-+o a
Если пределы (I) или (2) существуют, то соответствующий
интеграл называется сходящимся, в противном случае —
расходящимся (в элементарном'смысле!).
2°. Критерий Коши. Для сходимости интеграла (1)
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
число Ь = Ь (е) такое, что при любых Ь' > Ь и b" > b было бы
выполнено неравенство
Ь'
J I (х) dx
V
<е.
Аналогично формулируется критерий Коши для интеграла
типа (2).
3е. Признаки абсолютной сходимости.
Если \1(х)\ несобственно интегрируема, то соответствующий
элементарный янтеграл (1) или (2) от функции I (х) называется
абсолютно сходящимся и является интегралом заведомо
сходящимся.
Признак сравнения I. Пусть | [(х) | < F (х) при х ^ а.
+00 +00
Если \ F (x) dx сходится, то интеграл J Цх) dx сходится
а а
абсолютно.
Признак сравнения II. Если ф (*) > 0 и <р (*) = О* Щ (х))
+0О +°°
ири *-►■ + оо, то интегралы f ф (*) dx и J ф (x) dx сходятся
а а

224 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛ
или расходятся одновременно. В частности, это имеет место,
если <р (х) ~ ф (ж) при * "*■ + оо.
Признак сравнения III. а) Пусть
/(x) = 0*f—^ прих-*+оо.
>-ш
В таком случае интеграл (I) сходится, если р > 1, и расходится,
если р < 1.
б) Пусть
/(x)«0*f ^ ^ при х-*о — 0.
В таком случае интеграл (2) сходится, если р < I и расходится,
если р > 1.
4. Специальный признак сходимости.
Если: 1) функция <$> (х) монотонно стремится к нулю при х -»■+ оо
и 2) функция I (х) имеет ограниченную первообразную
F(x)~]f®dl.
в
то интеграл
I /(х)ф(*)</х
а
сходится, вообще говоря, не абсолютно.
В частности, интегралы
-н» +»
f cos* , f >пх . , ^ я,
J —* " J "I?"* (a>0)
а а
сходятся, если р > 0.
5°. Главное значение в смысле Коши,
Если функция I (х) такова, что при любом е > 0 существую*
собственные интегралы
J f(x)dx и f /(x)dx (a<c<b).
а с+е
to под главным аначением в смысле Коши (v. p.) понимается число
v. p.f/(x)dx- Hm [T/MAS+ f Hx)dx],
Аналогично
+oo a
v. p. f f(x)dx= Hm f f(x)dx.
Joe «-H-«4o
Вычислить интегралы:
2334. f -£- (c>0). 2335. |lnxdx.

S 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 225
+оо 1
dx 000- Г dx
j,VT
2336. f —^—. 2337.
J » + **
—oo
2338. f - . 2339. f ^ .
J x*+x-2 J (x*+x+l)»
2 -oo
-{-OO -{-00
2340. f dx . 2341. f x2+1 dx.
0
1
J (2-*)Vi^"
2342 ' dx
о
+00
2343.
r dx
1
2344. T xlnx dx. 2345. T arctg* dx.
2346. I e-°*cosfccd* (a>0).
+»
2347. j e~ax sin bxdx (a>0).
о
С помощью формул понижения вычислить следую»
щие несобственные интегралы (п — натуральное число)|
+оо
2348. /„= J xne~xdx.
Ь
2349. /„= f - (ас-Ь»>0).
J (ах*+2Ьх+с)п '
—ОО
+ао
2350. /„ = Г ^ .
1
I
2351. /Я=Г x"dJC
'-S-
. V(l -*)U+*>
о
15-2МЗ

226 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
+00
2352. /„= Г ^—.
о
я/2 я/2
2353. a) f In sin л:dr, б) | lncosxdje.
2354. Найти Г е-^ lsin*-cos*|_^ где £_мно.
J Vs»" *
в
жество тех значений х интервала (0, +оо), для которых
подынтегральное выражение имеет смысл.
2355. Доказать равенство
*{-О0 -f 00
Г ffax + -j\dx = -~ Г fWx* + iab)dx,
о о
где а > 0 и 6 > 0, предполагая, что интеграл в левой
части равенства имеет смысл.
2356. Средним значением функции / (х) на интервале
(О, + оо) называется число М|/|= lim —f/(£)<&
х-+-\-а> X О
Найти средние значения следующих функций:
а) / (jc) - sin» x + cos» (x V2);
б) / (х) = arctg х; в) / (х) = д/* sin x.
2357. Найти:
a) limjef^2^-£fft б) lim 2 ;
*-»0 J i* х-*оо **
B) Пт-±— ; г) lim x* Г -^- df,
*-»0 ,„ 1 x-*0 J /*+'
Щ *
x
где a > 0 и / (/) — непрерывная функция на сегменте
Ю, 1].

S 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227
Исследовать сходимость интегралов
+00 +00
2358.
Г—£!Ё5__. 2359# г—dx
J x'-x'+l J ^^-^
2 +oo
2360. Г—. 2361. (V^'dx.
1 +00
2362. (Vln«— d*. 2363. Г **", djc (л>0).
2364. "pl^d* (a=*0). 2365. |"^±^<te.
о и
2366. +p^d* (n>0).
о
+00
2367. f cosa* dx (л>0).
о
-oo Я/2
\^dx. 2369. J
2368.
о
+oo Я/2
" ' " " dx_
sin'' x cos* x
6
1 +00
2370. Г—£^f_. 2370.1. [———
+oo 1
2371. f ——-. 2372. [ -^dx.
J x'+x* J 1-х*
о о
П/2 +oo
2373. \b!!!*Jldx. 2374. f dx
2375. +f * .
J xP (In x)« (In In xf
t
+«
2376.
С dx
J |x-fl1|"M*-fl,ip,...|*-a„|"«
(а1<аг<.. . <a„).

228 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
+»
2376.1. j" jc«|jc—\pdx.
о
2377. ( Рт (х) djc, где Pm (*) и Р„ (х) — взаимно
О
простые многочлены соответственно степеней тип.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
следующие интегралы:
+00
2378. С -^-dx.
о
Указание. | sin x | ;> sin2*.
+ 00 +00
2379. Г ^х cos* dx. 2380. f jc" sin (У7) dx (q¥*0).
J *+ioo J w^
о 0
Я/2 +00
2380.1. $s\n(secx)dx. 2380.2. \ x* cos (e*) dx.
2381. Г x sin* dx (<?>0).
.) 1 + *«
о
2382
+» . / . 1 \
p Sin I X4 I +oo
. \ Ь xJ-dx. 2383. f-^Hsinxrfx,
о a
где Рт (х) и />„ (x) — целые многочлены и Рп(х) > О,
если jc > а > 0.
+»
2384. Если J f (x) dx сходится, то обязательно ли
а
f (x) -*■ О при х -*• •+• °°?
Рассмотреть примеры:
+оо +оо
a) J sin (jc8) dr, б) f (—1)W i*.
2384.1. Пусть / (х) £ C<1> U0, +oo), |/'(jc)|<C
+oo
при jc0 < x< + oo и j" I/ (jc)|dje сходится. Доказать,
что / (*] -*■ 0 при * -*• + оо.

S 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 229
Указание. Рассмотреть интеграл
+»
2385. Можно ли сходящийся несобственный интеграл
H(x)dx
а
от неограниченной функции f {x), определенной на la, b J,
рассматривать как предел соответствующей интегральной
я—I
суммы £ / (&) д*<» гДе *< < & < xi+i и • Д*< = *h-i—*i?
2386. Пусть
[f(x)dx (1)
a
сходится и функция ф (х) ограничена.
Обязательно ли сходится интеграл
ff(x)<t(x)dx? (2)
a
Привести соответствующий пример.
Что можно сказать о сходимости интеграла (2), если
интеграл (1) сходится абсолютно?
2387. Доказать, что если J f (x) dx сходится и / (х) —
монотонная функция, то f (дс) = О Г—Л.
2388. Пусть функция f (jc) монотонна в промежутке
О < х < 1 и не ограничена в окрестности точки х — 0.
Доказать, что если существует j" f (x) dx, то
о
lim-i-V/f-^
-*-£'Ф-|'«*
2389. Доказать, что если функция / (jc) монотонна
и ограничена в интервале 0 < х < а и существует не-
a
собственный интеграл f xp f (x) dx, то
Нтхр+1/(*) = 0.

*30 ОТДЕЛ W. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2390. Показать, что:
a)v.p. j^--0; „т.^-А-.о,
—I О
+»
в) v. p. J sir\xdx = 0.
2391. Доказать, что при x > 0 существует
'"-'•p-j-a-
Найти следующие интегралы:
+»
2392. V. р. [ — . 2393. V. р. Г
v J х* —Зх+2 r J
Ах
о
+00
Г/3
+оо
х 1пх
2394. v. р. Г l + * dx. 2395. v. p. J arctgxdx.
J 1 + Xя —oo
§ 5. Вычисление площадей
1°. Площадь в прямоугольных к о о р д и •
ватах. Площадь S плоской фигуры АхА%ВгВх (рис. 10),
1(Ч&Л*
*\
Ш*)
Рнс. 11
ограниченной двумя непрерывными кривыми у — У\ (х) я
У — У» (*) (Уа (*) > Ух W) " двумя прямыми х = а и х «■ Ь
(а < 6), равна
»
S~J ly,(x)-ffi(x)]«lx.
а
2°. Площадь фигуры, ограниченной к р и«
вой. ааданиоб в параметрическом виде.

f Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
231
Если «=*(/), у = y(t) Ю ^ < ^ 74 — параметрические
уравнения кусочно гладкой простой замкнутой кривой С,
пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей
слева от себя фигуру с площадью S (рис. 11), то
Т т
S= -[y(i)x'(f)dt = [ x(t)y'(f)dt.
или
1 т
S~-±-{[x(t)y'(.f)-x'(()y(t)]dt.
2 о
3°. Площадь в полярных координатах.
Площадь S сектора ОАВ (рис. 12), ограниченного непрерывной
Рис. 12
Рис. 13
кривой г = г (ф) и двумя полупрямыми ф = а и ф = р (а < Р),
равна
* о
2396. Доказать, что площадь прямого
параболического сегмента равна
S--§-№.
где b — основание и Л — высота сегмента (рис. 13).
Найти площади фигур, ограниченных кривыми,
заданными в прямоугольных координатах *):
2397. ах = у2, ау — х*.
2398. у = хг, х + у = 2.
2399. у = 2х—х2, х + у = 0.
2400. у = |lgx|, у = 0, л: = 0,1, х = 10.
2400.1. у = 2х, у = 2, х = 0.
2400.2. у = (х + I)2, х = sin яу, у = 0 (0 < у < 1).
*) Все параметры в этом и следующих параграфах отделе IV
считаются положительными.

232 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2401. у — х; у = х + sin8* (0 < х < я).
2403. -£ + -£ = 1
а» **
2404. у3 = х* (а2—х2).
2405. у* = 2рх, 27 ру2 = 8 (х~р)8.
2406. Ах* + 2Вху + Су* = 1 (Л > 1, А С—В? > 0J.
2407. »/2 =—^— (циссоида), х = 2а.
2408. jc = aln a + v*-f—^/a?—y\ y=0 (трак-
триса).
2409. у* = £—— (х>0; п>— 2).
* (1 + хя+У v '
2410. y = e_J!|sinje|, у = 0 (*>0).
2411. В каком отношении парабола у2 = 2х делит
площадь круга х" + у2 = 8?
2412(h). Выразить координаты точки Af (x, у)
гиперболы дс2 — у2 — 1 как функции площади
гиперболического сектора 5 = ОМ'М, ограниченного дугой
гиперболы М'М и двумя лучами ОМ и ОМ', где
Af' (дс, — у) — точка, симметричная М относительно
оси Ох.
Найти площади фигур, ограниченных кривыми,
заданными параметрически:
2413. х = a (/—sin t), у = a (1 — cos f) (0 < t <2я)
(циклоида) и у = 0.
2414. х - 2/—Л // = 2*2—г3.
2415. * = a (cos f + * sin t), у = a (sin f — * cos t)
(0 < f < 2л) (развертка круга) и * = а, у s£ 0.
2416. х = a (2 cos f—cos 20, у = a (2 sin / — sin 20-
2417. x = — cos4 i/ = —sin3* (c2 = а2— б2) (эво-
a b
люта эллипса).
„,„ t . a sin*/
2417.1. x = acosf, w — —.
2+sin/
Найти площади фигур, ограниченных кривыми,
заданными в полярных координатах:
2418. г! = a2 cos 2<р (лемниската).

S 8 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 233
2419. г — а (1 + cos ф) (кардиоида).
2420. г = a sin 3<p (трилистник).
2421. г= ^ (парабола), q>=—t q>=—.
1— cosip v K ' T 4 T 2
2422. r== ^ (0<е<1) (эллипс).
1 + e cos ф
2422.1. r = 3 + 2cos9.
2422.2. r = —, r = —— Г0<ф<—V
Ф sin ф \ 2 /
2423. r = acos9, r = a(cos9 + sin9) (Mf-|-, oVsV
2424. Найти площадь сектора, ограниченного кривой
Ф = г arctg r
и двумя лучами ф = 0 и ф = —-рг.
2424.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г» + ф«= 1.
2424.2. Найти площадь фигуры, ограниченной ле*
пестком кривой
Ф = sin (яг) (0 < г < 1).
2424.3. Найти площадь фигуры, ограниченной лв>
ниями
Ф = 4г—г3, ф = 0.
2424.4. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
Ф *=» г — sin г, ф =-» я.
2425. Найти площадь фигуры, ограниченной замкну»
той кривой
2а/ я/
г = ——, Ф = .
1+1* т 1 + /
Перейдя к полярным координатам, найти площадя
фигур, ограниченных кривыми:
2426. х3 + у3 — Залу (лист Декарта).
2427. х* + у4 = а» (х* + у2).
2428. (*2 + уг)г = 2а2ли/ (лемниската).
Приведя уравнения к параметрическому виду, найти
площади фигур, ограниченных кривыми:

Ю4 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2429. Xi/3+y2/a=*a2/3 (астроида).
2430. х* + у* = ахгу.
Указание. Положить у = tx.
§ 6. Вычисление длин дуг
Г. Длина дуги в прямоугольных
координатах. Длина Дуги отрезка гладкой (непрерывно
дифференцируемой) кривой
у = у(х) (а<х<6)
равна
Ь
s=$Vl+y"W dx.
а
2°. Длина дуги кривой, заданной
параметрически. Если кривая С задана уравнениями
x*=x(t), y = y(t) (t0<t^T),
где *(/), j/(0£C(l) [t0, Т], то длина дуги кривой С равна
г
S = $ V*'!('>+{''Ч')<^^
3°. Длина дуги в полярных коордана'
т а х. Если
г = г(Ф) (о<ф<Р),
где г (ф) С С<1> (а, р], то длина дуги соответствующего отрезка
кривой равна
а ^^^^_^^^^_
5=$Л/'Л(Ф) + '"(Ф) Лр.
а
Длины дуг пространственных кривых см. в отд. VIII.
Найти длины дуг следующих кривых:
2431. i/ = x3/2(0<*<4).
2432. уг = 2рх (0<х<хо).
2433. y = ach — от точки Л (0, а) до точки В(&, А).
а
2434. # = <* (0 < х < лг0).
2435. x=-Ly*—1-\пу (1 < у<е).
2436. t/ = aln t^_ t (0<x<fc<a).
2437. i/=lncos* А)<дс<а<— V

S в. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ 23ft
2438. x=aln а + Уа*~У*—^/а*—у* (О<Ь<0<а).
2439. у* = —— ГО < х < -5-aV
2а — * V 3 )
2440. х2/3 + {/2/3 = а2/3 (астроида).
2441. х = — cos3/, у — —sin3/, c*=a2—Ь* (эволю-
a b
та эллипса).
2442. * = cos4/, # =» sin4/.
2443. х — а (/ — sin /), у = а (1—cos /) (0 < /<2я).
2444. х = a (cos / + / sin /), у = a (sin /—/ cos /)
при 0 < / < 2я (развертка окружности).
2445. х = a (sh /—/), у = a (ch /-1) (0 < / < Г).
2445.1. * = ch3/, у ~ sh»/ (0 < / < 7).
2446. г — щ (спираль Архимеда) при 0 < ф < 2я
2447. т = авТ™ (т > 0) при 0 < г < а.
2448. г = а (1 + cos ф).
2449. r=—Z Г|ф| <-£-Y
1 + cos ф V 2 /
2450. г = asin3-*-.
3
2451. г = ath -*- (0 < ф < 2л).
2452. Ф = у (Г + 7") (l ^ Г <3)*
2452.1. ф = УГ (0<г<5).
2452.2. ф = f -^ dp (0 < г < Я).
2452.3. г =l+cos/, <р = ^—tg— (0</<Г<л).
2453. Доказать, что длина дуги эллипса
х = a cos /, у =« 6 sin /
равна длине одной волны синусоиды у — с sin -^-, где
о
2454. Парабола 4а# = а;2 катится по оси Ох.
Доказать, что фокус параболы описывает цепную линию.

S36 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2455. Найти отношение площади, ограниченной пет»
лей кривой
к площади круга, длина окружности которого равна
длине контура этой кривой.
§ 7. Вычисление объемов
1°. Объем тела по известным
поперечным сечениям. Если объем V тела существует и 5 •= S (х)
|а ^ ж < Ь ] есть площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох в точке х, то
»
V«j"S (x)dx.
а
2°. Объем тела вращения. Объем тела,
обрадованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции
a «s х ^ ft, 0 < у s£ у (х),
где у (х) — непрерывная однозначная функция, равен
»
У, = я| у* (x)dx
а
В более общем случае, объем кольца, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры а < х < ft, ух (х) < у < у% (де), где
yt (де) и у» (х) — непрерывные неотрицательные функции, равен
V=nJ[y*(x)-tf(x)]dx.
а
2456. Найти объем чердака, основание которого есть
прямоугольник со сторонами а и Ь, верхнее ребро
равно с, а высота равна Л.
2457. Найти объем обелиска, параллельные
основания которого суть прямоугольники со сторонами А,
В и а, Ь, а высота равна Л.
2458. Найти объем усеченного конуса, основания
которого суть эллипсы с полуосями А, В и а, Ь, а
высота равна Л.
2459. Найти объем параболоида вращения,
основание которого S, а высота равна Н.
2460. Пусть для кубируемого тела площадь S = S (х)
его поперечного сечения, перпендикулярного коси Ох,
изменяется по квадратичному закону:
S (х) = Ахг + Вх + С [а < * < Ь],
где Л, В и С — постоянные.

f 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 237
Доказать, что объем этого тела равен
v~Y[S(a)+4S(£ir)+S(6)]'
где Я =» b—а (формула Симпсона).
2481. Тело представляет собой множество точек
М (х, у, г), где 0 < z < 1, причем 0 < х < 1, 0 < #<1,
если z рационально, и — 1 < х < 0, — 1 < у< 0, если
г иррационально. Доказать, что объем этого тела не
существует, хотя соответствующий интеграл
1
fS(z)dz=l.
о
Найти объемы тел, ограниченных следующими
поверхностями:
2462. -4 + -4 = 1. 2 = ~jc, z = 0.
2463. -4- + -4 + —= I (эллипсоид).
a* 6* с*
2464. -£- + £—£ = 1, z=±c.
о» 6» с»
2465. *а + z* - a\ #* + z* - a2.
2466. ха + у* + z* = a8, x2 + y2 = ax.
2467. z* = b (a—x), x2 + y* = a*.
2468. -£ + -£ = 1 (0<z<a).
а* г*
2469. x + у + z2 = 1, x = 0, # = 0, z = 0.
2470. x2 + y* + z* + xy + yz + zx — a2.
2471. Доказать, что объем тела, образованного
вращением вокруг оси Оу плоской фигуры
а < х < Ъ, 0 < # < у (х),
где у (х) — однозначная непрерывная функция, равен
ь
У„ = 2л $ xy(x)dx.
а
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями,
полученными при вращении отрезков следующих линий:
2472. у = b (—Y/3 (0 < х <. а) вокруг оси Ох
(нейлон д).
2473. у ■» 2дс—дса, у — 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг
оси Оу,

238 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2474. у — sin х, у — О (0 < х < л): а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу.
2475. у= b(-^y, «/= Ь
б) вокруг оси Оу
2476. у = ег*, у — О (0 < де < + <х>): а) вокруг
оси Ох; б) вокруг оси Оу.
247,7. х2 + (у—Ь)2 = а2 (О < а < 6) вокруг оси Оде.
2478. ж8—деу 4- у3 = а2 вокруг оси Оде.
2479. «/ = е~х л/sin де (0 < х < + оо) вокруг оси Оде.
2480. х = а (/—sin /), j/ — а (1 — cos /) (0 < /<2л),
0 = 0: а) вокруг оси Оде; б) вокруг оси Оу; в) вокруг
прямой у — 2а.
2481. дс = a sin3/, j/ = b cos8/ (0 < / s£ 2л): а)
вокруг оси Оде; б) вокруг оси Оу.
2481.1. Найти объем тела, образованного вращением
площади петли кривой дс = 2/—/*, у = 4/—/3 вокруг:
а) оси Оде; б) оси Оу.
2482. Доказать, что объем тела, образованного
вращением вокруг полярной оси плоской фигуры
0«х<ф<р<я, 0<г<г(ф)
(ф и г — полярные координаты), равен
V=-2?-$r3(<f)sin(fd(f.
d a
Найти объемы тел, образованных вращением плоских
фигур, заданных в полярных координатах:
2483. г = а (1 -+• cos ф) (0 < ф < 2л): а) вокруг
полярной оси; б) вокруг прямой г cos ф = .
4
2484. (де8 + у2)2 = а2 (х2—уъ): а) вокруг оси Оде;
б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у = х.
Указание. Перейти к полярным координатам.
2484.1. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда
г = aq> (а > 0; 0 < ф < л),
вокруг полярной оси.
2484.2. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями: ф = яг3, ф = я,
вокруг полярной оси,
2485. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры а < г *; а л/2 sin 2ф вокруг полярной оси.
: а) вокруг оси Оде;

S 8. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ 239
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращении
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой
хривой А В вокруг оси Ох, равна
в
P*=2n[\y\ds,
где ds — дифференциал дуги.
Найти площади поверхностей, образованных
вращением следующих кривых:
*-*Vf
2486. у=пхл/ — (0 «£ х < а) вокруг оси Ох.
пх
2487. y = acos (|*|<6) вокруг оси Ох.
2488. у = tg х(о < х < —} вокруг оси Ох.
2489. у2 = 2рх (О < х < х0): а) вокруг оси Одг
б) вокруг оси Оу.
2490. -^-+— = 1(0< 6<а); а) вокруг оси Оя
о* 6*
б) вокруг оси Оу.
2491. ж* + (у—Ь)% = а2 (Ь > а) вокруг оси О*.
2492. ж2/3+1/;}/3 = а2/3 вокруг оси О*.
2493. y = ach— (|*|<6); а) вокруг оси Оде; б) во«
а
круг оси Оу.
2494. ±* = aln й+^Д2-у' yfl8 _ ^ ^ру,,
оси О*.
2495. * = а (/ — sin /), i/ = а (1 — cos /) (0«5 /<2я)г,
а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой
У = 2а.
2496. * = a cos8/, # = а sin8/ вокруг прямой у ■» #.
2497. г = а (1 + cos ф) вокруг полярной оси.
2498. г2 = a2 cos 2<р: а) вокруг полярной оси} б)
вокруг оси ф = —j в) вокруг оси ф = —.
2499. Тело образовано вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной параболой ау = аг—хг и осью Ох,

840 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти отношение поверхности тела вращения к
поверхности равновеликого шара.
2500. Фигура, ограниченная параболой у2 = 2рх и
прямой х = р/2, вращается вокруг прямой у — р.
Найти объем и поверхность тела вращения.
§ 9. Вычисление моментов.
Координаты центра тяжести
1°. Моменты. Если на плоскости Оху масса М
плотности р = р {у) заполняет некоторый ограниченный континуум
Q (линию, плоскую область) и со = со (у) — соответствующая
ыера (длина дуги, площадь) той части континуума Q, ординаты
которо'й не превышают у, то k-м моментом массы М относительно
оси Ох называется число
Mk = Игл £ р ({/,.) </*Дсо ({/,.) = f p<Ato (у.) (k = 0, I, 2, ...),
тахДу.--*0 (-_.| q
/де byt = yi—yi-i и Дш (j/i) = со (у() — a (yi-i).
Как частные случаи, получаем при k = 0 массу М, при
k = 1 — статический момент, при k = 2 — момент инерции.
Аналогично определяются моменты массы относительно
координатных плоскостей.
Если р = 1, то соответствующий момент называется
геометрическим (момент линии, плоской фигуры, тела и т. д.).
2°. Центр тяжести. Координаты центра тяжести
(х0, (/„) однородной плоской фигуры площади S определяются
по формулам
Mf М\х)
где М\у\ Mj*' — геометрические статические моменты фигуры
относительно осей Оу и Ох.
2501. Найти статический момент и момент инерции
дуги полуокружности радиуса а относительно диаметра,
проходящего через концы этой дуги.
2501.1. Найти статический момент дуги параболы
уг = 2рх(0<л:<р/2)
относительно прямой х = р/2.
2502. Найти статический момент и момент инерции
однородной треугольной пластинки с основанием b
и высотой h относительно основания (р = 1).
2502.1. Найти моменты инерции /, = MSp и Iy = Mf
относительно осей Ох и Оу параболического сегмента,

§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ
241
ограниченного кривыми
ау = 2ах — х2 (а > 0) и у = 0.
Чему равны радиусы инерции гх и гу, т. е. величины,
определяемые соотношениями
K = Sr\, Iy = Srl,
где S — площадь сегмента?
2503. Найти моменты инерции однородной
эллиптической пластинки с полуосями а и b относительно ее
главных осей (р = 1).
2504. Найти статический момент и момент инерции
однородного кругового конуса с радиусом основания г
и высотой h относительно плоскости основания этого
конуса (р — 1).
2504.1. Найти момент инерции однородного шара
радиуса R и массы М относительно его диаметра.
2505. Доказать первую теорему Гульдена: площадь
поверхности, образованной вращением плоской дуги С
вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости
дуги, равна длине этой дуги, умноженной на длину
окружности, описываемой центром тяжести дуги С.
2506. Доказать вторую теорему Гульдена: объем
тела, образованного вращением плоской фигуры S
вокруг не пересекающей ее оси, расположенной в
плоскости фигуры, равен произведению площади S на длину
окружности, описываемой центром тяжести этой
фигуры.
2507. Определить координаты центра тяжести
круговой дуги: х — a cos ср, у = a sin ср (| ф| < а < л).
2508. Определить координаты центра тяжести
области, ограниченной параболами ах = у2, ау =
= х2 (а > 0).
2509. Определить координаты центра тяжести
области —+ -^- < 1 (0 < х < а, 0 < у ^ Ь).
а2 Ь2
2510. Определить центр тяжести однородного
полушара радиуса а.
2511. Определить координаты центра тяжести
С (Фо, г0) ДУГИ ОР логарифмической спирали г =
= аетЦ> (т > 0) от точки 0 (— оо, 0) до точки Р (ср, г).
Какую кривую описывает точка С при движении
точки Р?
2512. Определить координаты центра тяжести
области, ограниченной кривой г = а (1 + cos ср).
16-2383

242
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2513. Определить координаты центра тяжести
области, ограниченной первой аркой циклоиды х «=»
= a (t — sin /), у = а (1 — cos /) (0 < t < 2л) и
осью Ох.
2514. Определить координаты центра тяжести тела,
образованного вращением площади 0 < х < а; у2 < 2/w
вокруг оси Ох.
2515. Определить координаты центра тяжести
полусферы хг + у2 + z2 = аа (г > 0).
§ 10. Задачи из механики и физики
Составляя соответствующие интегральные суммы и
находя их пределы, решить следующие задачи:
2516. Определить массу стержня длины / = 10 м,
если линейная плотность стержня меняется по закону
6 = 6 + 0,3* кг/м, где х — расстояние от одного из
концов стержня.
2517. Какую работу надо затратить, чтобы тело
массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой R,
на высоту А? Чему равна эта работа, если тело удаляется
в бесконечность?
2518. Какую работу надо затратить, чтобы
растянуть упругую пружину на 10 см, если сила в 1 кгс
растягивает эту пружину на 1 см?
Указание. Использовать закон Гука.
2519. Цилиндр диаметра 20 см и длины 80 см заполнен
паром под давлением 10 кгс/сма. Какую» работу надо
затратить, чтобы уменьшить объем пара в два'раза,
считая, что температура пара остается постоянной?
2520. Определить силу давления воды на
вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса а,
диаметр которого находится на поверхности воды.
2521. Определить силу давления воды на
вертикальную стенку, имеющую «форму трапеции, нижнее
основание которой а = 10 м, верхнее Ь = 6 м и высота
h = 5 м, если уровень погружения нижнего основания
с = 20 м.
Составляя дифференциальные уравнения, решить
следующие задачи:
2522. Скорость точки меняется по закону:
v = vQ + at.

ft 10. ЗАДАЧИ ИЗ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 243
Какой путь пройдет эта точка за промежуток
времени [О, Т1?
2523. Однородный шар радиуса R и плотности д
вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью
со. Определить кинетическую энергию шара.
2524. С какой силой притягивает материальная
бесконечная прямая с постоянной линейной плотностью ц0
материальную точку массы т, находящуюся на
расстоянии а от этой прямой?
2525. Определить, с какой силой притягивает
круглая пластинка радиуса а и постоянной поверхностной
плотности б0 материальную точку Р массы т,
находящуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки,
проходящем через центр ее Q, на кратчайшем расстоянии
PQ, равном Ь.
2526. Согласно закону Торичелли скорость
истечения жидкости из сосуда равна v = с У 2 gh, где g —
ускорение силы тяжести, А — высота уровня жидкости
над отверстием и с — 0,6 — опытный коэффициент.
В какое время опорожнится наполненная доверху
вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D — 1 м
и высотой Н = 2 м через круглое отверстие в дне
диаметра d — 1 см?
2527. Какую форму должен иметь сосуд,
представляющий собой тело вращения, чтобы понижение уровня
жидкости при истечении было равномерным?
2528. Скорость распада радия в каждый момент
времени пропорциональна его наличному количеству.
Найти закон распада радия, если в начальный момент
t — 0 имелось Q0 граммов радия, а через время Т =
— 1600 лет его количество уменьшится в два раза.
2529. Для случая процесса второго порядка скорость
химической реакции, переводящей вещество А в
вещество В, пропорциональна произведению
концентрации этих веществ. Какой процент вещества В будет
содержаться в сосуде через / = 1 ч., если при / = 0 мин.
имелось 20 % вещества В, а при / = 15 мин. его
стало 80 %?
2530. Согласно закону Гука относительное удлинение
е стержня пропорционально напряжению силы о в
соответствующем поперечном сечении, т. е. е = alE, где
Е — модуль Юнга.
Определить удлинение тяжелого стержня конической
16*

244 отдал rv. определенный интеграл
формы, укрепленного основанием и обращенного вер*
шиной вниз, если радиус основания равен R, высота
конуса Н и удельный вес у.
§ П. Приближенное вычисление определенных
интегралов
1°. Формула прямоугольников. Если
функция у = у (х) непрерывна н дифференцируема достаточное число
b — a
раз на конечном сегменте [а, Ь\ и А = ,х{ =а +fft (i=0,
п
I *).й"1( (*i). то
ь
$y(x)dx**h(y9 + yl + . .. + Un-i) + Rn.
а
где
2s. Формула трапеций. При тех же
обозначениях имеем:
а
]j, {x)dx=h fJl±Mu-+f/l + 9t+ . . .+ ¥Л+ Rn
. __ (6-е) А»
где
it, п\ м
-Г «О (в<6'<«.
3°. Параболическая формула (формула
С н м п с о и а). Полагая п — 2k, получим:
f A
)у (x)dx -=---l(y«+»rt) + 4(jri + ys+. • . + Jtak-i) +
■ 3
+ 2(у,+ У4+- • • + y2*-f)l+ Яя.
где
2531. Применяя формулу прямоугольников (п = 12),
приближенно вычислить
J xsinxdx
о
п результат сравнить с точным ответом.
С помощью формулы трапеций вычислить интегралы
н оценить их погрешности, если:
2532. f—^j (л =8). 2533. Г ^* (п = 12).

S И. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 245
ц/2 .—
2534. Г л/1 L-sm*xdx (Я==6).
о
С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы:
9
2535. fyxd* (л = 4).
2536. Гуз + cosjc dx(n = 6).
Я/2
2537. f ^Ш-dx (л = 10).
I
2538. f i^— (л =6).
J In (I + x)
о
2539. Принимая n — 10, вычислить константу Ка-
талана
f arctg
2540. Пользуясь формулой -j-— f ,
вычислить число я с точностью до 10~&.
I
2541. Вычислить $e*'dx с точностью до 0,001.
i
2542. Вычислить Г (е*—1) In -^ ctx с точностью
J«*-'>hT
до 1(Г4.
2543. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл ве-
+»
роятностей J e-*'dx.
о
2544. Приближенно найти длину эллипса, полуссп
которого а — 10 и Ь = 6.
2545. Построить по точкам график функции
х
y=rji!!i_d/ (р<х<2л),
о
приняв Ддг — п/3.

ОТДЕЛ V
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости
знакопостоянных рядов
1°. О б щ н е понятия. Числовой ряд
00
Oi+a»+. • • + <*„+. .. = У а„ (I)
называется сходящимся, если существует конечный предел
lim S„ = S (сумма ряда),
П-»00
где S„ = at + а. + . . . 4- аа. В противном случае ряд (1)
называется расходящимся.
2°. Критерий Кош и. Для сходимости ряда (1)
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
число N = N (е) такое, что при п>Ынр>0(пър —
натуральные числа) было выполнено неравенство
1Л+Р
V at <e.
i-n+l
В частности, если ряд сходится, то
lim а„ = 0.
п-»оо
3". Признак сравнения 1. Пусть, кроме ряда (1),
имеем ряд
Ь1+Ъл+... + Ъ„+... (2)
Если при я > ч0 выполнено неравенство
то 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); 2) из
расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
В частности, если ап ~ Ь„ при я -> оо, то ряды с
знакоположительными членами (1) и (2) сходятся или расходятся одно*
временно.

S 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ S47
4°. Признак сравнения II. Если
то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р ^ 1 расходится.
5°. Признак Даламбера. Если ап > 0 (л ■=» 1,
2, . . .) и
lim JEs+L. . Qt
то а) при q < 1 ряд (1) сходится и б) при q > 1 расходится.
6°. Признак Кош и. Если в„ > 0 (в = 1, 2, . . . )и
lim!J^r = fl,
л-мю
то а) при <7 < 1 ряд (1) сходится и б) при q> 1 расходится.
7°. Признак Раа бе. Если ап > 0 (л = 1, 2, . . .) и
im л(—2 lj"»P.
*<» \ an+i )
lim
Я-*оо
то а) при р > I ряд (1) сходится и б) при р< 1 расходится.
8°. Признак Гаусса. Если а„ > 0 (л = 1, 2, .. .) в
где ,| б„ | < Си в > 0, то а) при X > 1 ряд (1) сходится и б) при
Я < 1 расходится; в) при X = 1 ряд (1) сходится, если ц > 1,
и расходится, если ц ^ 1.
9°. Интегральный признак Кош и. Если
f (х) (х > 1) — неотрицательная невозрастающая непрерывная
функция, то ряд
Л=1
сходится или расходится одновременно с интегралом
+«
f f(x)dx.
Доказать непосредственно сходимость следующих
рядов и найти их суммы:
254в. 1-i+i- -i"+ • • • +±^TL+ ■ ■ ■
«"•(t+t)+(t+v)+"i-
*) Значение символа О* см. отдел I, § 6, 1°.

248 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2548
5 . . 2„-1
2 2* 2* 2"
2549. _i_ + —L-+ — +... + ! + ,..
1.2 2-3 3-4 я(я+1)
2550. -J- + —+ . ..+ Ц + ...
1.4 ^ 4-7 (Зл - 2) <3л + 1)
2551. a) <7sina + <7asin2a + ... + qn sin па +. . . ;
б) <?cos a + q*cos2a +. . . + </"cos na + ...
(WKD-
2552. 2 (VnT2" — 2 л/л+Т + V" )•
00
2553. Исследовать сходимость ряда ]£ sin/ue.
Указание. Показать, что при х Ф Ал (Л — целое)
невозможно, чтобы sin n* -» 0 при л -»■ оо!
оо
2554. Доказать, что если ряд^а,, сходится, то ряд
оо "n+l-1
S /4„, где i4„ — £ аг (pi=l, Pi<Pt<.-.),
полученный в результате группировки членов данного
ряда без нарушения порядка следования их, также
сходится и имеет ту же сумму. Обратное неверно;
привести пример.
оо
2555. Доказать, что если члены ряда ]£ ап положи-
оо
тельны и ряд^Ап, полученный в результате группи-
ровки членов этого ряда, сходится, то данный ряд также
сходится.
Исследовать сходимость рядов:
2556. 1 — 1 + 1 —1 + 1 —1 + ...
2557. 0,001 +фШ + У0Щ + . ..
2558-1Г+-5-+15-+---+-^Г+--'
г5Я). l+a.+.|+j....... +_i_+

i 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 24f
2560, -1-+ —+ —H + 1 + ...
1001т 2001 3001 JOOO/i + 1 ^
2561. l+i + j.+ ...+ -*_ + ...
2563. —!—+ — + l-zr+ ■ ' •
ф. 2л/з ЗУ*
i
2564. i—+ ^— + • • •
1
...+
V(2«-l)(2«+l)
2565. Доказать, что ряд чисел, обратных членам
арифметической прогрессии, расходится.
оо во
2566. Доказать, что если ряды2 ап{А) и ZA(B)
оо
сходятся и ап^сп <&„ (п=1, 2, ...), то ряд£с„ (Q также
сходится. Что можно сказать о сходимости ряда (Q,
если ряды (Д) и (В) расходятся?
2567. Пусть даны два расходящихся ряда
ОО ОО
2 ап и И>Ьп с неотрицательными членами.
Что можно сказать о сходимости рядов:
ОО 00
а) £ min (ап, Ьп) и б) X max (а„, Ь„)?
п=1 л=1
00
2568. Доказать, что если ряд 2 ап (ап > 0) сходится,
оо
то ряд £ eft, также сходится. Обратное утверждение
л=1
неверно; привести примеры.
00 00
2569. Доказать, что если ряды £ а* и 2 Й сходятся,
оо оо оо
то сходятся также ряды V | а„&я |, V(an + &л)я. V -^- •

250 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2570. Доказать, что если lirn пап = а Ф 0, то ряд
П-+ЭО
оо
]£ ап расходится.
2571. Доказать, что если ряд X а„ с положитель-
ными и монотонно убывающими членами сходится, то
lirn па„ = 0.
В-*оо
оо
2572. Является ли сходящимся ряд £ап> если
п=.1
lim (an+1 + an+i+ . . . +an+p)=0
rt-*oo
при р = 1, 2, 3, . . .?
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость
следующих рядов:
2573. fl, + -£L+...+J*L-+... (Ic|< 10).
„__. sin х , sin 1х , , sin nx ,
2574.
2575.
2 22 2"
cos х — cos 1x , cos 2x — cos 3x ,
J + 2 + •••
, cos nx — cos (n + 1) x ,
• • . 4 I . . •
2575.1.
n
cos x , cos x* . . cos л:"
Указание. Использовать неравенство
-i-< = l- - (л = 2, 3....).
n2 л (л — 1) л — 1 л
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость
следующих рядов:
2576. I + JL + -L+...+-L+...
£• О ft
2577. 1 + - L + _L + J L+. ..
2 345 6
2577.1. 1^ + 1-—+...+ ' 4- ...
Vl-2 V2T V"(rt+1)

5 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 251
Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или
Коши, исследовать сходимость рядов:
„,_„ 1000 , 1000» , 1000» , 1000" .
2578. — + -—h -1Г + . • • +-^- + • ..
2579. J!!L + ^+...+J5!!l+...
2! ^ 4! (2л!)
2580. " ' 21 ' 31 • " "' '
2581. а)
1 2* 3* п"
2-11 . 2»-21 . 2»-31 ,
22 з»
• • •
2"n!
,ч 311 . 33-2! , 3>-31
б) -т-+^-+-^-
3"л!
2582. J1!)1+J21)L + J31)L+ . . .+-£•!»! + . . .
2 2* 2» '2"*
2583 100° ■ 1000-100» . I000-1001•1002 ■
1 1-3 1-3-5 "**•••
2584. Л • ** • 4-7-10 .
2-6 2-6-10
2585. | (V2"-j/2")(V2-И") . . .
... (V2 -2"72).
2585.1. £ая,
л=1
где
(1//Z, если п — тг,
а"=\\1п\ если пфт* (т~ нэтУРальное числ°?'
2585.2. УпхП- ^4
n=i *=i

26t отдел v. ряды
2588,
У _! 2589. У =^Чхш •
2589.1. V—п—. 2589.2. f (JLzLY^K
La 2n+3» LU+I /
2590. V2+V2— У? +V2— V2+V2" +
+ V2-V2+V2+V2~ + . . .
Указание. V2—2cos
4
2591. Доказать, что если
Hm_£K!_ef (ая>0),
л-*оо fln
то а„ — о (97), где qx > ?.
2591.1. Пусть для членов знакоположительного ряда
а»
£ а„ (а„>0) выполнено неравенство
в"*1 <Р<1 при п>п0.
«я
Доказать, что для остатка ряда
°п = оп+1 + а„+2 + . . .
имеет место оценка
Яп < an,, -^ . если п > п0.
1 —р
оо
2591.2. Сколько членов ряда Y t(2n)l!]1 , где [(2n)!!Ja=
La (4>i\l!
л=1
■= 2-4 . . . 2n, достаточно взять, чтобы
соответствующая частная сумма S„ отличалась от суммы ряда S
меньше, чем на е = 1(Г*?
2592. Доказать, что если ПпГ а"*1 — q < 1 (а„ >0),
00
то ряд £ а„ сходится.

* I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 25Э
Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример
ее
2593. Доказать, что если для ряда £ а„(а„>0)
/1=1
существует
/|-»оо
то существует также
Нт_^!±!_=<7, (А)
n-t-ав Оп
п
/|-»оо
Hm^a7=<7. (Б)
Обратное утверждение неверно: если существует
предел (Б), то предел (А) может и не существовать.
Рассмотреть пример
Lt 2Я«
3+(-1)я
я=1
2594. Доказать, что если ТШГ -/^—Я (fln>0\
то а) при д< 1 ряд ]£ ап сходится; б) при q>\ этот
/1=1
ряд расходится (обобщенный признак Коши).
Исследовать сходимость рядов:
2595. JT 2 + {~1)П - 259в- £ °С0^ЯЯ/3 '
1=1 л=1
2597. ) «'ГУ?+ <-!)■]"
_ 3я
п=1
л=1
2597.1. Vf l + cosnV""""
Z-Л 2 + cosn /
Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать
сходимость следующих рядов:
"»(т)'+Ш-)'+Шт)*+

t54 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2599 д I g(o + rf) ■ o(a + d)(b + 2d) .
Ь b(b+d) b(b+d)(b+2d) "'"•••
(a>0, 6>0, d>0).
2600. y_^
2601. ^ ^-
z
(2+VO(2+V2) . . . (2+V")
2602. f ^ („>()).
2603.
z
p(p+l). . .(p+n-1) 1
n! ' n»
2604. уГ l-8.6...(2»-.)v j_
£jL 2-4-6. . .(2rt) J n«
nml
2605(h). у Г'»+'>• ••^ + "-1)1a(p>0,9>0).
2606 (н). Доказать, что если для
знакоположительно
ного ряда 2 а„ (а„ > 0) при л -> с» выполнено условие
nasi
а„ , , р , / 1
ТО
ап=о( Y
где е > 0 произвольно мало; причем, если р > 0, то
а„ | 0 при я ->• оо, т. е. а„ при я > л0, монотонно
убывая, стремится к нулю, когда я-> оо.
Определив порядок убывания общего члена аЯ) ис-
следовать сходимость ряда £ ая, если
я=1

SI. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 255
2607. ап = ^Tl'll " ' 17 ' W "« +
+ Ь1Л«-1+ . . . +bfl>0.
2608. а„ = —— sin —.
я" я
я —1
2610. an = ln"(sec —)
2609. ап=(л/л+Т—л/л)Р1п -^- (л> 1).
я+ 1
II. a„ = log4n(n--^) (a>0, Ь>0).
2611
1 V1P
2612.
°"=К1+т)7
2613. а„ = ——Ц . 2614. а„ = '
„1+t/lnn я'+1/п
2614.1. Доказать признак Жамэ: зиакоположитель -
ный ряд £an(a„>0) сходится, если
(l — Va7)—~— >P>1 при л>Ло,
4 ' In я
и расходится, если
(l — V^) —— < 1 при л>л0.
4 ' In я
«о
2615. Доказать, что ряд £ a„(a„>0) сходится,
1пт-
если существует а>0 такое, что — >1+апри
In л
1пТ"
л > л0, и расходится, если —-—— < 1 при л> л0 (ло-
1п я
гарифмический признак).
Исследовать сходимость рядов с общим членом:
2616. а„ = л1п* (х>0).
2617. ап= \ (л>1).
(In In я)'п л
(In я)"
2618. ад= „.„,„,, (л>1).

256 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Пользуясь интегральным признаком Коши,
исследовать сходимость рядов с общим членом:
2619. ап= —-L- (л>1).
п 1прп
2620. ап= 1- (л>2).
п п (In п)Р (In In n)« v
2620.1. Исследовать сходимость ряда
In 2- In 3 . • . ln(n-H)
z
ln(2+p)ln(3+p). . . ln(n+l + p)
3- <P>°>-
oo
2620.2. Исследовать сходимость ряда
v (л) — число цифр числа п.
2620.3. Пусть *.„ (л = 1, 2, . . .) — последователь-
вые положительные корни уравнения tg х = х.
оо
Исследовать сходимость ряда £ Л,„~2.
оо
2621. Исследовать сходимость ряда V.
In (n!)
л=2
оо
2622. Доказать, что ряд £ а„ с положительными
монотонно убывающими членами сходится или расхо-
дится одновременно с рядом £ 2"агп-
л=0
2623. Пусть / (х) — положительная монотонно не-
возрастающая функция.
оо
Доказать, что если ряд £ / (л) сходится, то для
остатка его
справедлива оценка
f / (*) dx</?„ </ (л +1) + f / (х) d*
п+1 п+l

5 !. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 257
Пользуясь этим, найти сумму ряда V —— с точ-
ностью до 0,01.
2624. Доказать признак Ермакова: пусть / (*) —
положительная монотонно убывающая функция и
*-оо / (X)
Ряд £ f (п) сходится, если X < 1, и расходится,
если X > 1.
оо
2625. Доказать признак Лобачевского: ряд £ а„ с ПО-
п-о!
ложительньши и монотонно стремящимися к нулю
членами сходится или расходится одновременно с рядом
00
52 рт2~т, где рт — наибольший номер членов Ов»
удовлетворяющих неравенству
аж>2—(п«1, 2, . . ., рт).
Исследовать сходимость следующих рядов!
оо
л/л + 2 —Vfi —2
2626
л =2
л =2
2627. £ (УЯТ^-^ + л + ь).
2628. f fctg—= sin_™LJ).
/jV 4п-2 2п+1 J
л=1
2630. yJlLML. 2631. Ee-3/"
n=l
2632. £ nV-^.
17-*»

258
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
оо / 1 \ во a In п+Ь
2633. £^п"*+' —\). 2634. £eelnn+".
2635. V"* !—*
П==1
2636. 2(cos-^)n'.
я=1
2637.
2638.
п
Я=3
у _^1_. 2639. v_5l:2_.
2639.
2640. YS**- &1/Я + с1/") (а>0, Ь>0, с>0),
п=1
2641. Е(п«а-1).
л=1
^•Zhv-'K5'"-^)]-
оо
2643. £ <*~(6 ln n+c w n) (а>0).
я=1
00
2644. У 2- (а>0, &>0),
2645. V "Я+1>!'Я .
Lt 21-41. . .(2л)!
л=1
Исследовать сходимость рядов ]£ и„ со следующими
п=1
общими членами;

S 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ. 259
J/л
2646. •■ - » ^xdx
■.*- J -*
0
2647. u„=- *■ .
fVl + ** dx
b
(я+И л
2648. ы„ = f -^Л.
ЛЯ
Rt! /-
2649. u„= J e-^ dx.
л
я/л
X
2650. ы„= V -^-i-rfx.
J 1 + *
о
265K Un==— до *
2652. u„= — .
Заменив последовательности *„ (я <= 1, 2, . . .)
соответствующими рядами, исследовать сходимость их,
если:
2653. *„= 1 + —Цг +...+—^— 2л/«~-
л
■ J
ft 2
2654. --,VJ«*___0»4!
2655. Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы
найти его сумму с точностью до 10"s, если
с© оо оо
а) y_L. 5) У—?—, в) У 1—.
1и л2 Li (n + 1)1 ' ' L, (2n -^ 1)1
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
1°. Абсолютная сходимость ряда. Ряд
Z «<. (1)
17*

260 ОТДЕЛ V РЯДЫ
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
£|««|- (2)
Л=1
В этом случае ряд (1) также сходится. Сумма абсолютно
сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых.
Для определения абсолютной сходимости ряда (1) достаточно
применить к ряду (2) известные признаки сходимости для
знакопостоянных рядов.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1)
называется условно (не абсолютно) сходящимся. Сумму условно
сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно
сделать равной любому числу (теорема Римана).
2°. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
bi-bt+ba-bt + . . .+(_ i)«-i 6„+ . . .
(6,i^0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если
а) ьп > ьпЛ\ (я — 1. 2, . . .) и б) lim b„ = 0. В этом случае
л-»оо
для остатка ряда
Яп = ( - 1)" Ьп+1 + (- 1)"+1&ч+,+ • . .
имеем оценку
Ля-(-1)"вя6я+1 (0<в.<1).
3°. Признак Абеля. Ряд
Z °пЬп (3)
л=1
оо
сходится, если: 1) ряд ]Г ап сходится; 2) числа Ь„ (п — 1, 2, . . .)
4=1
образуют монотонную и ограниченную последовательность.
4°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится, если:
п
1) частичные суммы Ап = "У.а1 ограничены в совокупности;
i=i
2) Ьп монотонно стремится к нулю при п -*• оо.
2656. Доказать, что члены не абсолютно
сходящегося ряда можно без перестановки сгруппировать так,
что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся.
оо
2657. Доказать, что ряд £ап является сходящимся,
л=1
если выполнены условия: а) общий член этого ряда ап
во
стремится к нулю при п->■ со; б) ряд J]/4n, получен-
л=1
ный в результате группировки членов данного ряда
без нарушения их порядка, сходится; в) число слагав-

S 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 261
мых at, входящих в член Ап = Т, Ъ (1 ~Рi<P*<- • •)>
ограничено.
2658. Доказать, что сумма сходящегося ряда не
изменится, если члены этого рядз переставить так, что ни
один из них не удаляется от своего прежнего
положения больше чем на т мест, где т — некоторое заранее
заданное число.
Доказать сходимость следующих рядов и найти их
суммы:
2659. 1 2_ + -^ -+ ...
2 4 8
2660. 1 ' ' 1.1.» 1 ■
2 4 8 16 32
2661. 1 L + J L + -i -+...
2 3 4 о 6
Указание. Применить формулу 1 + — + . .. Н——=
■= С + In n -J- е„, где С — постоянная Эйлера и lim е„ = 0.
П-+оо
00
2662. Зная, что V ■ *"" '— = In 2, найти суммы ря-
дов, полученных из данного в результате перестановки
его членов:
«л 1 _l ! 1.1,1 1 .
а) 14 V • • •
' 3 257 4
б) !__L__L+_L_J__JL+...
2 4 3 6 8
-i—-f— переста-
п=1
вить так, чтобы он стал расходящимся.
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
2664.
00
I
( _ 1)л(п-1)/«
2"

262 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
266, jV^.ihJu.y.
n=l
2666. 1 + — + - 1- ! L+_L +
23 4 5 6^7
+ 8 + 9 •'•
2666.1. Пусть
Е(-1)п&„. 0)
л=1
где Ьп > 0 и &„ -*■ 0 при л -»- оо. Следует ли отсюда,
что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример
£«_„.-Ш=*.
п=1
2667. ^Jllp-sin-^-. 2668. £(_iy.JiDl£.
ос
2669. > /_пп У±-
/_| Л-
1+ 100
Z(-l)"
Vn +(-
4=2
2670.
1)"
2671. 2 sin (я Vn2+*2)-
Л»=1
2672. У-*——
4=1
ОО
2673. х (~°"
Z(-0
4=1
2673.1. V-i-cos-^-
L ln!» я + 1
п=2

§ 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 263
2674. Доказать, что знакочередующийся ряд
Ь!-Ьг + Ь3-^+ . . . +(_l)«-i б„+ . . . (6„>0)
сходится, если
• + i+<T>
bn+i
где р > 0 (см. 2606 (н)).
Исследовать на абсолютную (кроме 2690) и условную
сходимость следующие ряды:
2675. V (~ р ~ • 2676
л=1
00
2677. У In ГЦ
/1=1
(-1)" 1
_ пР
л=2
2678. У (~\)»-i JlJ^JL
л=1
2679. V -1=1*1. 2680. V <-1>"
Lt *+п L» 1я+(-1)Т
Л=1 Л=2
2681.
^=1
2682.
00 ля
Zsin
Л=1
2683. У(—\)пЛ—± L_
л=1
оо
Z„100
(_1)л(л-1)/2_?__
л=1
2685. х- (-»>"
2- Iks-
п=1

264 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2686.
2688.
2689.
Znn со
^EL. 2687. f±zVt
In n l__, nP
оо
1
(-l)0""1
V( n-'Г ьз'5, •■(2л~')1
Zj L 2-4-6. . .(2л) J
2690. У "" "•*'""' , 2691. £.sin/i».
4 = 1
Указание. Доказать, что lini sin n* Ф 0.
n-»oo
2692. Пусть
n /х\ _ ар*" + ai*""1 + ■ • • +aP
V бо^+^^-Ч- • • • +fce
— рациональная функция, где а0 «^= 0, b0 Ф 0 и [Ьо** +
+ fctJC-1 + . . . + b„\ > 0 при * > n0.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
ряд
S (-i)"/?eo.
я=Ло
Исследовать сходимость рядов:
2693. ' 1 ' ' ■ ' ■
2694. 1
\р 2» 3" 4» 5Р 6»
1 1,1,1 1 ,
2695. 1 +
2696. 1-
у> V 5" 7" 4"
1 1,1.1 1.1
У 1" ЪР 7" 3" 9Р
. 1 1
11" 5"
1 ,
■ +
3" 4" 5» &>

$ 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 2в5
2697. Доказать, что ряды
. . . sin2x , sin3x ,
a) sinx +
б) COSX +
2 3
cos 1х , cos Ъх
2 3
не абсолютно сходятся в интервале (0, я)'.
2698. Для рядов
определить для совокупности параметров (р, х): а)
область абсолютной сходимости; б) область неабсолютноб
сходимости.
2698.1. Исследовать сходимость рядо~:
а) V (-1)""/^ ,
La inn
«I
;i=2
sin J
Lj л •
sinn
2699. Для ряда
In (In п) /_, n + 10 sin я
n—10
,я_, (1+P)(2+P). . .(n+P)
n\n<>
определить: а) область абсолютной сходимости; б)
область условной сходимости.
2700. Исследовать сходимость ряда
1С)<
о-
где j - 1 — w (w — 1) . • ■ (т — л + 1)
2701. Если ряд X On сходится и
Нт А. = 1,

266 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
00
то можно ли утверждать, что ряд £ Ъп также схо-
п=1
дится?
Рассмотреть примеры
yJzigL и VM-5 +-L1
L V« Z-L V« пу
ОО
2702. Пусть £ а„ — не абсолютно сходящийся ряд и
п=1
г»
IQfI + Qf л, _ V \ot\ — at
P-_£J«d±«L, ^ = £
(=1 i='
Доказать, что
n->-oo Pn
2703. Доказать, что сумма ряда
для каждого р > О лежит между — и 1.
2703.1. Сколько членов ряда следует взять, чтобы
получить его сумму с точностью до е = 10"*, если:
а) Y-^г; б) у *£L.
2704. Доказать, что если члены ряда
переставить так, чтобы группу р последовательных
положительных членов сменяла группа q последователь»
ных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет
ln2 + J-ln-£-.
2 q
2705. Доказать, что гармонический ряд

! 3. ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ 267
останется расходящимся, если, не переставляя его
членов, изменить знаки их так, чтобы за р
положительными членами следовало бы q отрицательных (р Ф q).
Сходимость будет иметь место лишь при р — q.
§ 3. Действия над рядами
Сумма и произведение рядов. По
определению полагают:
п~\ л=1 п=1
оо оо оо
б) Sа" Sь" - £ с«-
П=1 Hoi Пв|
где
Сп = Мп + Mn-i + ... + an6i.
Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряда
00 ОО
Ya„ и V Ьп сходятся, а равенство б) —если, сверх того, по
меньшей мере одни из этих рядов сходится абсолютно.
2706. Что можно сказать о сумме двух рядов, из
которых а) один ряд сходится, а другой расходится; б) оба
ряда расходятся?
2707. Найти сумму двух рядов:
i[*+-^]+i[-?=-+-4R-
л=1 л=-1
Найти суммы следующих рядов:
л«1
оо
I
п=1
2ля
cos
2709. / 3
2"
ни
2710. £ ^»/2усч-')/2] (| *# |< 1).
л=0
оо оо
2711, Показать, что V—. V
п=0 о=0
L-0". _,

268 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
(во Ч» оо
Е<Н — Z(«+Ue" (kl<i).
п=0 / л—О
2713. Показать, что квадрат сходящегося ряда
I
(-1)"
есть ряд расходящийся.
2714. Доказать, что произведение двух сходящихся
рядов
" (-0"-* ,„^пч „ Г* (-»)"-*
Г^Р^-Г^
Ф>0)
есть ряд сходящийся, если а + р" > 1, и расходящийся,
если а + р< 1.
2715. Проверить, что произведение двух
расходящихся рядов
'-ту ■ 1+Ёаг(2'+^-)
л—1 п=1
есть абсолютно сходящийся ряд.
§ 4. Функциональные ряды
1°. Область сходимости. Совокупность Х0 тех
аначеннй х, для которых сходится функциональный ряд
«1 М + «,(*) + ••• + "лМ + • • •, (1)
называется областью сходимости этого ряда, а функция
S(*) = Hm T«,M ixtXo)
п-кв £Д
— его суммой.
2е. Равномерная сходимость.
Последовательность функций
ti (*). ft (*). • • • . /nW. •• •
называется равномерно сходящейся на множестве X, если:
1) существует предельная функция
Л-*оо
2) для любого числа е > 0 можно указать число N = N (е)
такое, что
If W - /„ W К «
прщ л > JV и х £ X. В этом случае пишут: /„ (x)rtf (x).

< в для всех х € X.
$ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 869
Функциональный ряд (1) называется равномерно
сходящимся на множестве X, если равномерно сходится на этом
множестве последовательность его частичных сумм:
S„W= Ущ(х) (л-1. 2,. . .).
3s. Критерий Кош и. Для равномерной сходимости
ряда (1) на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для
каждого е > 0 существовало число N — N (е) такое, что при
л > yV и р > 0 было выполнено неравенство
п+р
is„+,w-s„<*)i= £ щ(х)
i=n+l
4°. Признак Вейерштрасса. Ряд (1) сходятся
абсолютно и равномерно на множестве X, если существует
сходящийся числовой ряд
Ci + ca+ . . . +сп+ ... (2)
такой, что
I «я (*) I < с„ при х С X (п = 1, 2, . . •).
5°. Признак Абеля. Ряд
£ ап (х) Ья (х) (3)
оо
сходится равномерно на множестве X, если: I) ряд £ ап (х)
я—1
сходится равномерно на множестве X; 2) функции Ьп (х) (п == 1,
2, . . .) ограничены в совокупности и при каждом х образуют
монотонную последовательность.
6°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится
равномерно на множестве X, если: 1) частичные суммы £а„ (х) в со*
вокупностн ограничены; 2) последовательность Ь„ (х) (п = !,
2, . . .) монотонна для каждого х и равномерно на X стремится
к нулю при п -*■ оо.
7°. Свойства функциональных рядов,
а) Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функции
есть функция непрерывная.
б) Если функциональный ряд (1) сходится равномерно ив
каждом [а, р*] с (а, Ь) н существуют конечные пределы
lim и„ (х) = Ап (п == 1, 2, . . .),
оо
то 1) ряд £ Ап сходится и 2) имеет место равенство
я=1
{ОО \ 00
<£3 J n-l\*-«> J

270 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
в) Если члены сходящегося ряда (1) непрерывно ди(И>с-
OQ
ренцируемы при а < х < Ъ и ряд производных V и'п (дс) схо-
л=|
цится равномерно на интервале (а, 6), то
— ГZ«»w| = Е в«w пр" *^а-6>•
г) Если члены ряда (1) непрерывны и этот ряд сходится
равномерно на конечном сегменте [а, Ь], то
Ь I оо \ оо t
в / оо
а 1л=1
а »
л=| а
Вообще формула (4) верна, если J /?„ (*) d*-»-0 при п -*• оо,
а
где /?„ (*) = V щ (х). Это последнее условие годится также
г=л+1
в для случая бесконечных пределов интеграции.
Определить области сходимости (абсолютной и
условной) следующих функциональных рядов:
2716. У JL. 2717. fl=VL(-L=±)\
La Xя /_, 2n-l \ l + x J
л=1 л=|
2718. y,_JL_(_iL-_Y.
JLi n+l \ 2дс+ 1 J
2719. Y Ь3- ' •<2я-1> f 2* Y.
Lt 2-4. . . (2n) Vl + )tV
л=1
2720. £-=£-* (1 -x)-. 2721. £ -^
л
2722. y-inl>
л=»|
2723. У wPsin"*, (fl>0; 0<*<я).
Д-» 1-+п»
л™ I
оо
2724. У —-— (ряд Ламберта).
/ » 1 — Xя
л=|

S 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 271
272, £[«]". ™. 1-^.
00
2727. V
U <1 + *)<1
+ х») . . . (1 + хп)
л=1
2728. £пг-п*. 2729. V — -
2^ уяг "»+«м*8
оо
2730. Г (2—*) (2—*1/2) (2—jc'/З) . . . (2—*'/«) (х>0).
2731. УЩ^~. 2732. У-^_(х>0;У>0).
£j пп*х La хп + у"
П—1 П*»1
2733. У *" (у>0). 2734. £ ^| х |"а + | у I"1.
L-t п + уГ n=i
2735. £ Ш0 + ^ (х>0). 2736. £V(*+^-).
2737» Доказать, что если ряд Лорана £ ап*" схо-
л=—во
дится при х = хх и при ас = дсг (|JCil< \хг\), то этот
ряд сходится также при \xt\ <|х\ < |xs|.
2738. Определить область сходимости ряда Лорана
+»
х"
У —■
^ 2""
и найти его сумму.
2739. Определить области сходимости (абсолютной
и условной) рядов Ньютона:
где *H — x (jc—1) . . . [x — (n—l)L

273 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2740« Доказать, что если ряд Дирихле} —J- cxo-
Л-1
дится при х = х0, то этот ряд сходится также при х >х^.
2741. Доказать, что для равномерной сходимости
на множестве X последовательности /„ (х) (я = 1, 2, . . .)
к предельной функции / (х) необходимо и достаточно,
чтобы
lim{sur„W}=0.
где г„ (*) = !/(*)— fn(x)\.
2742. Что значит, что последовательность fn(x) (л = 1,
2, . . .): а) сходится на интервале (х0, + оо); б) сходится
равномерно на каждом конечном интервале (а,
Ь) <± (х0, + оо); в) сходится равномерно на интервале
(Л. + оо)?
2743, Для последовательности
fn(x) = *•» (п = I, 2, . . .) (О < х< 1)
определить наименьший номер члена N — N (г, х), на*
чнная с которого отклонение членов последовательно-
ста в данной точке х от предельной функции не
превышает 0,001, если *=—, 1 '
10 Уш уто"
Сходится лн эта последовательность равномерно на
интервале (0, 1)?
оо
2744. Сколько членов ряда > —следует взять,
Z_i Я (Я + 1)
л=1
чтобы частная сумма Sn (х) отличалась при — оо < х <
< + оо от суммы ряда меньше чем на е? Произвести
численный расчет при: а) е = 0,1; б) г — 0,01 j в) е =»
«=0,001.
2745. При каких п будет обеспечено выполнение
неравенства
1=0
<0,001 (0<*<10)?
Исследовать последовательности на равномерную
сходимость в указанных промежутках:

S 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 273
2746. Ы*) = х"; а)0«£х< —; б)0<х<1.
2747. U (х) = х» — *"+'; 0 < х < 1.
2748. /я (х) = х» -х2"; О < х < 1.
2749. /\, (х) = —!—; 0<х< + «».
х-\- л
2750. Ь(«)» я* ; 0<х<1.
1 + л+х
2751. J. ОД =_£!!_-; а) 0<х< 1-е;
6)1—е<х<1+е; в) 1+е <*<+«>, где е>0.
2752. /eW„_^_; а)0<*<1;
б) 1<х<+оо.
2753. /„(*)= д/^4—^-; — оо<х<+*>.
2754. /„(*) = л(д/*+-£--V*)l 0<х<+оо.
2755. a) fn (х) = -^£-; - оо <х< + оо;
б)/„(x) = sin —; —оо<х< + оо.
п
2756. a) fn (x) = arctg nx; 0<х< + оо; б) f„ (х) =»
= xarctgnx; 0<x<-foo.
2757. fn(x) = е»<*~»; 0<х<1.
2758. f„(x) = «-('-»)•; а) — /<х</, где /—любое
положительное число; б)—оо <х< + °°«
2759. /я (х) а — In —; 0<х< 1.
л л
2760. M*)=(l + — Y; а) На конечном интер*
вале (а, 6); б) на интервале (—оо, +оо)«
2761. fn (х) = п (х'/"—1); 1 < х < а.
2762. /я (х) = уТ+3^; 0 < х < 2.

274 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
л
1 ^.. ^ 2
п2дс, если 0 < х <
2763, /„ (х) = п2 (-—х), если -L<*<-1 ;
2
О, если *js—
л
на сегменте 0 < х < 1.
2764. Пусть f (дс) — произвольная функция,
определенная на сегменте [а, Ь], и /„ (х) = tnfW1 (я=
-1,2,...).
Доказать, что /„ (дс) ^ f (дс) (а < д: < Ь) при л -*- оо.
2766. Пусть функция f (x) имеет непрерывную
производную /* (х) в интервале (а, Ь) и
ы*)="[7(*ч™)-ш].
Доказать, что /„ (дс) z£ f (х) на сегменте а < дс < р,
где а < а < р < 6.
2766. Пусть /»W=^7/(x+7)' ГДе f W ~
• =о
непрерывная на (— оо, + оо) функция. Доказать, что
последовательность /„ (дс) сходится равномерно на
любом конечном сегменте [а, Ь].
Исследовать характер сходимости следующих рядов:
00
2767. 2х" а) на интервале \x\<q, где д<\;
п=0
б) на интервале |*|<1.
00
2768< V — на сегменте — 1 < х < 1.
00
2768.1. У'—на интервале (0, +оо).
00
2769. Y, С1 — *) *" на сегменте 0 ^ х < 1.
п«=0

§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 275
оо
2771. У - ; 0<х<+оо.
ОО
2772. V ! ; 0<*< + оо.
(1=1
2773. У ^ ;
La <1 + j0<1 + 2*)...(1 + iue)
а) 0 < х < е, где е > 0; б) е < х < + оо.
2774. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать
равномерную сходимость в указанных промежутках
следующих функциональных рядов:
а) У ' , — оо<х< + оо;
л=1
6)ZtS- -2<*<+°°-'
оо
в)£-гткг'0<*<+оо;
л=1
оо
Д) У -£=- (*"+*-"). 4-<И<2;
Lu -у/гл 2
л=|
оо
———» \х\<а, где а — произвольное
положительное число;
18*

876 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
ж) У ■ *»" , |*|< + оо;
Z-i /п«+х*
оо
. V"1 cos яде , „, _ .
з) > ——, |х|< + оо;
sin их
t Vя"
H)yJln^t |x|< + ee;
K)Zln(,+^)'"l<fl;
я-2
Л) £ ^г-"*, 0 < х< +оо;
я»1
OD
Исследовать на равномерную сходимость в
указанных промежутках следующие функциональные ряды:
оо
2775. V sinn* а) на сегменте е < х < 2л — е,
где е>0; б) на сегменте 0 < х < 2я.
00
2776. У 2я sin——; 0<ж< + со.
La 3"x
п«1
оо
2777. У-Ц^-; 0<jc< + oo.
La x + n
Указание. Оценить остаток ряда.
00
2778. У ("~1)П ; 0<*<2я.
£j n-f-sinx
я-2
во
>. У-lniL
2779. / 17" -; |*| < 10.
Ч-в*
п-1

Zcos -
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 277
2ля
2780. / : — oo<*<-foo.
2781. \ »"'*■"'»* . 0 <*< + «>.
2782. Y <-'>IVrl
Z-f v« (n+*)
0 s^JC< + oo.
2783. Может ли последовательность разрывных
функций сходиться равномерно к непрерывной функции?
Рассмотреть пример
/„(*) = — ФМ (п=1. 2,...).
я
,hrvi_i ■ если * иррационально;
♦<•»-{*
если jc рационально.
2784. Доказать, что если ряд £ 1/nWI сходится
оо
равномерно на [а, & ], то ряд 21 /п(*) также сходится
равномерно на [а, Ь].
оо
2785. Если ряд21/п(-к) сходится абсолютно и равно-
п—1
оо
мерно на [а, &], то обязательно ли ряд21 |/я(*)1 схо-
дится равномерно на [а, Ь\>
Рассмотреть пример £ ( — 1)" (1 — х) х", где 0 < х < 1.
2786. Доказать, что абсолютно и равномерно
сходящийся ряд
Z fn(x) <0<*<1),
0, если 0 < х < 2-<"+";
где /„(*) = — sin2 (2"+^*), если 2-<"+|><*<2-п;
л
0, если 2-" < х *£ 1,

278 отдел V, ряды
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с не*
отрицательными членами.
00
2787. Доказать, что если ряд£ Ф„(*)> члены кото-
пав!
рого суть монотонные функции на сегменте [а, Ь ],
сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то
данный ряд сходится абсолютно и равномерно на
сегменте [а, Ь].
00
2788. Доказать, что степенной ряд £ апхп сходится
абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком
лежащем внутри его интервала сходимости.
2789. Пусть ап -*■ оо так, что ряд V —
Lu I an
сходится.
Доказать, что ряд > сходится абсолютно и равно-
/Lt ж — а„
мерно на любом ограниченном замкнутом множестве,
не содержащем точек а„ (л = 1, 2, . . .).
оо
2790. Доказать, что если ряд ][] ап сходится, то ряд
оо
Дирихле у -22-сходится равномерно при х > 0.
00
2791. Пусть ряд ,£ ап сходится. Доказать, что ряд
п=|
оо
]£ апегпх сходится равномерно в области х > 0.
я-1
2792. Показать, что функция f(x)~ V sin"*. не-
прерывна и имеет непрерывную производную в области
— с» < х<. + оо.
2793. Показать, что функция
+00
flsss—ОО
г) определена и непрерывна во всех точках, за исключе-

9 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 279
нием целочисленных: х =• О, ± 1, ± 2, ... | б)
периодическая с периодом, равным 1.
оо
2794. Показать, что ряд£ [nxe-**—(п—l)xe-in~l>*\
л=1
сходится неравномерно на сегменте 0 < х < 1, однако
его сумма есть функция, непрерывная на этом]сегменте.
2795. Определить области существования функций
/ (х) и исследовать их на непрерывность, если
оо
в) f(x)=Y *—.
nasi
2796. Пусть rk{k — 1,2,...) — рациональные числа
сегмента [0, 1 ]. Показать, что функция
*=1
обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2)
дифференцируема в иррациональных точках и недифферен-
цируема в рациональных.
2797. Доказать, что дзета-функция Римана
л=1
непрерывна в области л>1 и имеет в этой области
непрерывные производные всех порядков.
2798. Доказать, что тэта-функция
tins—ОО
определена и бесконечно дифференцируема при х > 0.
2799. Определить область существования функции
/ (х) и исследовать ее на дифференцируемость, если:
°>'«=I^ <»'«=Z^r
П=\ Цаз1

280 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2800. Показать, что последовательность
М*) = — arctgjf (л=1, 2, . ..)
л
сходятся равномерно на интервале (— оо, + оо), но
[Km М*)Г фМтГп(\).
2801. Показать, что последовательность
/„(*) = х* +-1-sin п(х+-2-)
сходится равномерно на интервале (— оо, + оо), но
[lim/„(*)]'¥=Hn f'n(x).
п-*оо rt-»oo
2802. При каких значениях параметра а: а)
последовательность
fn(x) = naxe-«* (1)
(п = 1, 2, . . .) сходится на сегменте [0, 11; б)
последовательность (1) сходится равномерно на [0, 11; в)
возможен предельный переход под знаком интеграла
i
Km J7„(x)dx?
rt-»QT 0
2803. Показать, что последовательность
f„(x)=*nxe-'* (л=1. 2, ...)
сходится на сегменте 10, 1 ], но
i i
1 [Y\mfn(x)]dx=^\imUn(x)dx.
О П-ь-ао П-*-оо О
2804. Показать, что последовательность
/„(*) = пх(1-х)« (л = 1, 2 )
сходится неравномерно на сегменте [0, 1 ], однако
1 1
lim (7„ {x)dx — l lim fn(x)dx.
2805. Законен ли переход к пределу под знаком
интеграла в выражении
1
lim f —nJL— dx-i
П-»00
f—
J 1 +
«V

§ б СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 281
Найти:
2806. lim
iZ
(— 1)я+* х"
=1
/^ " л»
л=1
2807. lim £ (*"—*п+1)-
*-*1-0 л=1
OD во
2808. lim V ——. 2808.1. lim V -—.
х-++о L, 2nn* x-~»Li 1 + п*х*
л=1 л—I
2809. Законно ли почленное дифференцирование ряда
arctg
2810. Законно ли почленное интегрирование ряда
оо
л=1
на сегменте [0, 1}?
2811. Пусть / (х) (— со < х < + оо) — бесконечно
дифференцируемая функция и последовательность ее
производных /(п) (х) (л = 1,2,.. .) сходится равномерно
на каждом конечном интервале (а, Ь) к функции <р (х).
Доказать, что <р (х) — Се", где С — постоянная
величина. Рассмотреть пример fn(x) = e-(*-")*, л= 1, 2, . . .
2811.1. Пусть функции fn(x), л=1, 2,
...,—определены и ограничены на (— со, + со) и fn (дс) ZX ф (*) на
каждом сегменте la, b). Следует ли отсюда, что
lim sup / (х) = sup ф (дс)?
я-*ао х х
§ 5. Степенные ряды
Iе. Интервал сходимости. Для каждого
степенного ряда
во + а, (х— а) + •. . + ап(х~а)п + . . .
существует замкнутый интервал сходимости: \x—a\^R,
внутри которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус

282 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
сходимости R определяется по формуле Коши — Адамара
1 г--"/
-—= lim /|a„| .
R л-н»
Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле
ап I
: Нт
п-»оо
Оп+1
если этот предел существует.
2°. Теорема Абеля. Если степенной ряд S (х) =
00
еа У* On*" (|х|<Л) сходится в концевой точке х = R интер-
л=0
сала сходимости, то
S (R) = lim S (х).
х-*Я—О
3°. Р я д Тейлора. Аналитическая в точке а функция
f (х) в некоторой окрестности этой точки разлагается в
степенной ряд
ft=0
Остаточный член этого ряда
ft=0
ножет быть представлен в виде
^1>( +е( }) (0<е<1)
(»+1)1
(форма Лагранжа), или в виде
п!
(форма Коши).
Необходимо помнить следующие пять основных разложе«
ннй:
X2 Xя
I. .«.,1+ , + -£-+...+-£-+...
2! и!
( — оо <х< + оо).
•Л ,2Л-1
II. sinx = x — -i- + . .. +(-l)""i—- г"- ••
31 (2n-l)! ^
( —oo<5jt<3 + оо).
«A у2Л
III. cosx=l — + . . .+(_1)» — {-. ..
2! ^ ( (2n)!
( —oo<^x< +oo),

§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 283
IV. (1 + х)т = 1 + тх + т (m ~ 1} **+...
21
. . . + *(т-1)...(т-*+1) хП +...(_ , <х< ,).
л!
V. to(l+ *)-*- — + -? ...+<-!)-» —+...
(— 1<дс<1).
4°. Действия со степенными рядами.
Внутри общего интервала сходимости \х—а\ <. R имеем:
а) £ап(х-а)"± £*„(*-«)"- £ (а„ ± ft„) (ж - а)»;
л=0 л*=0 л=0
б) £а„(*-а)л £*«<«-«>"-£«■ с*-«у*.
л=0 л=0 л=0
где с„ ■= о0*л + <*i V-i + . . . + anb0;
в) 4-1 Ee»(*-а)"1 = Е («+ •>а»+1 (*-а)"}
ах Ln=o J л=о
Г) f У аЛдс-а)" Lc =
L»=° J
= С + V —^f— (дс - в)»+».
Li n+ 1
л=0
5°. Степенные ряды комплексной
области. Рассмотрим ряд
£ ев(»-в)*
где
Сп= ап+ 1Ьп, а = а + /р\ г = дс + й/, ta = — 1.
Для каждого такого ряда имеется замкнутый круг сходимости
\г—a\^R, внутри которого данный ряд сходится (и притом
абсолютно), а вне расходится. Радиус сходимости R равен
радиусу сходимости степенного ряда
л=0
в действительной области.
Определить радиус и интервал сходимости и
исследовать поведение в граничных точках интервала
сходимости следующих степенных рядов:
00 ОО
2812. У~. 2813. V 3" + (-2>" (х+1)\
п=1 п=1

284 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2814. V-&!>!*•.
L, (2л)!
2815. Еа»'.*» (0<а<1).
/Inl
я»!
28,71 £"5г*,(в>1)-
nasal
2818. уГ'-3.?,..(2«-1> ffJLzi.Y.
Z-» L 2-46 . . . (2n) J V 2 /
2819. f (-Iff-^LTV
ZjV L(2n+l)l J
Ш0. f* "(«-')г.-(«^я+1) хл
La n\
n«l
2821. £(^-+ -%■)* (e>0, &>0).
n»=I
""• Z"^r (a>0, 6>0).
nasi
oo
2823. V-4r (o>0).
2824.
2825. V <?")l! x».
Z (2/1)1
(2n+l)ll
n=l

§ 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 283
2826. £ i^L(JLJV.
л=1
2827-1:(1+т+---+т)л
п=|
2828. |] Р + <-ЦТ *.
п=|
2829.
V1 (1 + 2C0SJHLV ^,х„,
/ -^ ^—jc». 2830. > —
/ t Inn Lu 2я
n=2 ««I
-i—^ xn (ряд Принсгейма).
«=.1
Z,0v(ri)
(1— *)", где v(n)—число цифр
числа п.
2831.2. f(-*-)\
La \ sinn /
Л = !
2832. Определить область сходимости
гипергеометрического ряда
1 + jlLx+«<«+'>P(H-o ,»+,,,
1-7 1-2-7(7+ 1)
. «(«+!)• ■ .(a+n-i)P(p+i).. .(P + n-i) ,
. . . Т ' Л -г« • •
1-2. . .n-7(Y+D. . .(7+n-D
Найти область сходимости обобщенных степенных
рядов:
2833. f —1— (±^-У. 2834. У _L Sin -*-.
1=0 л*>1

see
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2835.
£-£-• ~2;(,+тГ'
2837. VflMltg^.
^ (3«)i s
2838, Функцию
Ш-*
разложить по целым неотрицательным степеням бинома
2839. Функцию
/(*) = —!— (а#0)
разложить в степенной ряд: а) по степеням х; б) по
степеням бинома х—6, где Ъ Ф а; в) по степеням —. Ука-
х
зать соответствующие области сходимости.
2840. Функцию / (х) =■ In х разложить по целым
неотрицательным степеням разности х—1 и выяснить
интервал сходимости разложения.
Найти сумму ряда
Написать разложения следующих функций по
целым неотрицательным степеням переменной х и найти
соответствующие интервалы сходимости:
2841. f{x) = shx. 2842. f (x) = ch x.
2843. / (*) = sin2*. 2844. / \х) = а* (а > 0).
2845. / (х) = sin (ц arcsin *).
2846. f (x) = cos (ц arcsin x).
2847. Написать три члена разложения функции
f (х) = х* по целым неотрицательным степеням
разности х—1.
2848. Написать три члена разложения функции
/ (*) = (I + х)1/х (х Ф 0) и f (0) = е по целым
неотрицательным степеням переменной х.
2849. Функции sin (х + h) a cos (x + А) разложить
по целым неотрицательным степеням переменной А.

§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 287
2850- Определить интервал сходимости разложения
в степенной ряд функции:
/(*) = ■
xs_5x4-6
а) по степеням х; б) по степеням бинома х—5, не произ*
водя самого разложения.
2850.1. Можно ли утверждать, что
N
ZX2"'1
(—l)n_1 Ztsin* на ( — оо, +оо)
при N-*-co?
Пользуясь основными разложениями I—V, написать
разложения в степенной ряд относительно х
следующих функций:
2851. е~х\ 2852. cos8*. 2853. sin3*.
2854. *10 . 2855. I . 2856.
1-х 0-х)а Vl-2*
1пд/.
1 + * 2858,
737*
2857. ш л / -г-— • 1-\- х — 2хг
Указание. Разложить данную дробь на простейшие.
2859. —12~5* . 2860.
6 — Ъх — *а (1 — х) (1 — **)
2861. ! . 2862. '
1 — х — хг 1 + х + ж»
2862.1. /(*) = -.
w 1 + х+х*+х*
Чему равно /<1000> (0)?
2863. *«*«-*' . 2864. *sine
1 — 1х cos о + ха 1 — 2х cos a + х*
2865. — -. 2866.
l-^2*cha+** (1-**)УГЗ^Г
2867. In (1 + x+хг + Xs). 2868. e*cos e cos (jc sin a).
Указание. Применить формулы Эйлера.

288 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Разложив предварительно производные, путем
почленного интегрирования получить разложения в
степенной ряд следующих функций:
00
2869. / (х) = arctg х. Найти сумму ряда У (~ _ .
л=1
2870. /(х) = arcsinx. 287i. /<х) = 1п(х + д/Т+хП.
2872. /(*) = ln(l-2xcosa + A
2873. Применяя различные методы, найти
разложения в степенной ряд следующих функций:
а)/(*) = (1+*)1п(1+х);
б) / (х) = -1- In -i±^- + -L arctg x-,
в) /(*) = arctg 2-fx
1 + 4*
2*
г) /(x) = arctg ,
2— x*
д) / (x) = x arctgx— Inyi+*8;
е) / (x) = arccos (1 —2x2);
ж) /(•*) = * arcsinдс+VI—** '•
з) /(jc) = jcln(jc + VT+V)—Vr+^.
2874. Используя единственность разложения
f{x + h) -f (x) = Л/' (*) +-|-/" (*) + ...,
найти производные я-го порядка от следующих функций:
а)/(*) = <*■; б) /(*) = *"*; в) / (дс) = arctg *.
2875. Функцию f (дс) = In разложить по
2 + 2* + х%
целым положительным степеням бинома х + 1.
2876. Функцию f (х) — разложить в
степенной ряд по отрицательным степеням переменной х.
2877. Функцию / (х) = In x разложить в степенной
г I
ряд по целым положительным степеням дроби .
*+1
2878. Функцию / (дс) = разложить в сте-
УГ+7

§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 289
пенной ряд по целым положительным степеням дроба
X
1 + х
оо
Еж"
—. Доказать непосредст-
п\
вен но, что
f (x) f(y) = f(x + у).
2880. Пусть по определению
<-1)я1^ГоГ и a*x-L{-ly''w'*
Доказать, что
a) sinxcosx = — sin2jc; б) sin2Jc + cossjc = 1.
2881. Написать несколько членов разложения в
степенной ряд функции
-1
f(x):
л=0
Производя соответствующие действия со степенными
рядами, получить разложения в степенные ряды
следующих функций:
2882. f(x) = (\+x)e~*. 2883. f(*) = (l— *)»ch V*.
2884. f(*) = ln*(l— x). 2885. /(at) = (1 +x*) arctgx.
2886. f(x) = e*cosx. 2887. f (x) = ex sin x.
2888. f (x) = ln{l + x) . 2889. f (x) = (arctg x)\
1 + x
2890. f(x) = (^f±-J.
Написать три члена разложения (отличные от нуля)
в степенной ряд по положительным степеням
переменной х следующих функций:
2891. f(x) = tg*. 2892. /(*) = thJC.
2893. f(x) = ctgx -.
х
19-2383

2Э0 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2894. Пусть разложение sec x записано в виде
secх = У ~Еп - х2п.
Li <2я)1
п=0
Вывести рекуррентное соотношение для
коэффициентов Еп (числа Эйлера).
2895. Разложить в степенной ряд функцию
/(*) = ~7=!=- (И<1).
00
2896. Пусть / (х) = 2 апх*. Написать разложение
л=0
функции F (х) = <х) .
1 —JC
00
2897. Если ряд £ <*„■*" имеет радиус сходимости Rlf
л=0
00
а ряд X 6„д;п— радиус сходимости R2, то какой ра-
л=0
диус сходимости R имеют ряды
оо оо
a) Z(an±bn)x»; б) 2 с^х»?
п=0 п=0
2898. Пусть / = liml—^=— I и L=um|-^L_|.
JT+oo I вл+1 1 n-*ao | en+i I
Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда
оо
£ апхп удовлетворяет неравенству
л=0
оо
2899. Доказать, что если / (х) = 2 апхп, причем
л=0
In! an\<M (л=1, 2, ...).
где М — постоянная, то: 1) / (х) бесконечно
дифференцируема в любой точке а; 2) справедливо разложение
оо
п=0
2899.1, Пусть / (*) £ С<~> (а, Ь) и |/<">(*) I < с" (п «

S 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 291
= О, 1, 2, . . .) при х £ {а, Ь). Доказать, что функция
/ (х) разлагается в степенной ряд
/(*)=£ М*-*о)п (*о€(в. %
сходящийся в интервале (а, Ь).
2899.2. Пусть / (х) £ С*»> I— 1,1 J и /<"' (*) > 0 (п =»
= 0, 1, 2, . . .) при х £ I—• 1,1 ]. Доказать, что в
интервале (— 1,1) функция / (х) разлагается в степенной
ряд
Указание. Используя монотонность производных
«<"> (х) для остаточного члена R„ (x) ряда Тейлора функции
I (х), получить оценку
l«nMKI*l"+l/<l>.
2900. Доказать, что если 1) а„ > 0 и 2) существует
оо оо
lim £ а„ *" = 5, то 2 а«#п = 5-
Разложить в степенной ряд функции:
*
dt
]er*dt. 2902. С -
2901
о
х
2903
j-!i£j_d/. 2904. f-i^ Л.
о о
х
2905. \ —— (написать четыре члена).
о
Применяя почленное дифференцирование, вычислить
суммы следующих рядов:
2906. х+ — + —-Ь • ..
3 5'
2907. х £-4--^ . . .
2908. l-f-£--f-£L_j-.
21 41 ^
19*

292 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2909. _£-+-£!_ + _£!_+ . . .
1-2 2-3 3-4
2910. l-;--L*_|_JJL^ + ±i^_xs+i<
2 2-4 2-4-6
Указание. Производную ряда умножить на 1—х.
Применяя почленное интегрирование, вычислить
суммы рядов:
2911. х + 2*2 + 3*3 + . . .
2912. х—1х3 + 9х3— 16л:4 + . . .
2913. 1-2* + 23хг + 3-4*3 Ч- . . .
оо
ZX*"

удовлетворяв
ряет уравнению t/lv = у.
оо
2915. Показать, что ряд у — V ■—— удовлетво-
L-t («О
п=0
ряет уравнению ху" + у'—у = 0.
Определить радиус и круг сходимости степенных
рядов в комплексной области (г — х +• iy):
2Q1fi
2Q17
2Q18
2019
2920.
ZJ
П=1
OO
z-
oo
z-
oo
oo
(г-I-.)"
я-2"
(1 + ()" г"
(я+!)(« +2)
я! z"
(1 + 0 (1 + 20 . . . (1 + я»)
г"
„ос+.е "
(г-е,а)п
„(1 _е'«)" '
л=>1
2921. Пользуясь формулой бинома Ньютона, при-

§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 293
ближенно вычислить у^9 и оценить ошибку, которая
получится, если взять три члена разложения.
2922. Приближенно вычислить:
NV
a) arctgl,2; б) уЧООО; в)——; г) In 1,25
ye
и оценить соответствующие погрешности.
Пользуясь соответствующими разложениями,
вычислить с указанной степенью точности следующие
значения функций:
2923. sin 18° с точностью до 10"5.
2924. cos 1° с точностью до 10"*.
2925. tg 9° с точностью до 10"3.
2926. е с точностью до 10"в.
2927. In 1,2 с точностью до 10"4.
2928. Исходя из равенства
л . 1
— = arcsin —,
б 2
найти число п с точностью до 10"4.
2929. Пользуясь тождеством
-*- = arctg-i- + arctg-L-.
вычислить число п с точностью до 0,001.
2930. Пользуясь тождеством
— = 4 arctg arctg ,
4 & 5 239
определить число п с точностью до Ю-9.
2931. Пользуясь формулой
1п(л+1) = 1пл+2Г ! + —г—+ • ••!•
v ' L 2n+l 3(2n+l)s J
найти In 2 и In 3 с точностью до 10"*.
2932. С помощью разложений подынтегральных
функций в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие
интегралы:
г
a) f e~*dxr, б) J el"dx; в) \ -^^-d*.

294 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
1 I +оо
г) \cosx4x; д) \-*7-** е) J -jf^l
1
[
о
1/3 1
ж)
и)
0
10
1/2
Лс
3/- 1
VI — *2
In (1 + *)
X
arctgx A„
лЛ + *4 '
dx;
1/2 1/2 1
Г arctg х , Г arcsinx , Г „,
к) \—^— Лг. л) \—-—<&; м) U*^.
0 0 0
2933. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной
полуволны синусоиды
у — sin х (0 < х < я).
2934. Найти с точностью до 0,01 длину дуги эллипса
с полуосями а — 1 и Ь — 1/2.
2935. Провод, подвешенный на двух столбах,
расстояние между которыми равно 2/ = 20 м, имеет форму
параболы. Вычислить с точностью до 1 см длину
провода, если стрелка прогиба Л = 40 см.
§ 6. Ряды Фурье
1°. Теорема разложения. Если функция f, (x)
кусочно-непрерывна и имеет кусочио-непрерывиую
производную |' (х) в интервале (— /, I), причем ее точки разрыва £
регулярны (т. е. 1(1) = — Ц £-0) -Н (£ + 0)]), то функция £ (x)
в этом интервал* может быть представлена рядом Фурье
оо
во i V / ппх . ппх \
где
f(x)cos-^-dx (я «О, 1, 2,. . .) (2)

S в. РЯДЫ ФУРЬЕ 295
1 Г. ппх .
Ьп = — ИМ sin—— dx (л=1, 2, . . .). (2')
В частности:
а) если функция £ (х) четная, то имеем:
--*+£■
?(*) =—п—г > a„cos—;—, (3)
л=1
где
I
*-"Я
f (x) cos —-— dx (n = 0, 1. 2. . . .);
о
б) если функция £ (х) нечетная, то получаем{
оо
л=1
где
н
ппх
£(x)sin—-—dx (я=1, 2, . . .)•
о
Функцию I (х), определенную в интервале (О, О И обладаю*
щую в нем приведенными выше свойствами непрерывности,
можно в этом интервале представить как формулой (3), там
и формулой (4).
2 . У с л о в и е полноты. Для всякой интегрируемой
иа отрезке [— /, /] вместе со своим квадратом функции f (х)
формально построенный ряд (1) с коэффициентами (2), (2 ) удов»
летворяет равенству Ляпунова
3е. Интегрирование рядов Фурье. Ряд
Фурье (1), даже расходящийся, интегрируемой по Риману в ин«
тервале (— /, /) функции £ (х) можно интегрировать почленно
в этом интервале.
2936. Функцию
/ (х) — Sin4*
разложить в ряд Фурье.

296 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2937. Каков будет ряд Фурье для
тригонометрического многочлена
л
Рп (х) — Tj (а« C0S ix + Р» sin '*)'
2938. Разложить в ряд Фурье функцию
/ (х) =* sgn х (— л < х < л).
Нарисовать график функции и графики нескольких
частных сумм ряда Фурье этой функции.
Пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница
(_i)«-i
2i 2"-1
Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах
следующие функции:
( А, если ()<*</;
2939. /(*)= п .^ ^0.
v ' 10, если /<*<2/,
где Л — постоянная, в интервале (0, 21).
2940. /(*) = * в интервале (— л, л).
2941. /(*) = п~х в интервале (0, 2л).
2942. /(*) = |*| в интервале (—л, л).
( ах, если —л<х<0;
2943. /(*) = . .^ ^
[ох, если 0<*<л,
где а и Ь — постоянные, в интервале (— л, л).
2944. / (х) = л2—х2 в интервале (— л, л).
2945. / (х) = cos ах в интервале (— л, л) (а —
не целое).
2946. / (*) = sin ах в интервале (— л, л) (а —
не целое).
2947« / (х) = sh ад; в интервале (— л, л).
2948. / (х) = е°* в интервале (— Л, А).
2949. / (х) = х в интервале (а, а + 2/).
2950. f (х) = х sin * в интервале (— я, л).
2951. / (х) = х cos х в интервале ( .-^-).
Разложить в ряды Фурье следующие периодические
функции:

§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 29?
2952. f (х) = sgn (cos х).
2953. / (х) = arcsin (sin x).
2954. f (x) = arcsin (cos x). 2955. f (x) = x — [xl
2956. / (x) = (x) — расстояние х до ближайшего
целого числа.
2957. / (х) = |sin дс|. 2958. f (x) = |cos x\.
оо
2959. f(x)=Y a" sin пх (|«|<1).
/ t sin лг
4=1
2960. Разложить в ряд Фурье функцию
/(*) = sec* ( 7"<JC<-7")-
Указание. Вывести соотношение между
коэффициентами ап и о„_г.
2961. Функцию f (x) = х2, разложить в ряд Фурьм
а) в интервале (— л, л) по косинусам кратных дуг}
б) в интервале (0, л) по синусам кратных дуг; в) в
интервале (0, 2я).
Нарисовать график функций и графики сумм рядов
Фурье для случаев а), б) и в).
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:
ее оо оо
Zi V <-i)n+1 „ V '
и=1
2362. Исходя из разложения
оо
(—я<дс<л),
почленным интегрированием получить разложения в ряд
Фурье на интервале (— я, л) функций х2, х3 и х*.
2963. Написать равенство Ляпунова для функции
fi ) = l l при |j:1<a;
'W~ [ 0 при а<|*|<л.
Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:
оо ее
Zsin2 па V"* cosa па
л=1 п=1

<98 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2964. Разложить в ряд Фурье функцию
х, если 0 < х < 1;
/(*) = 1, если l<Jt<2;
3—х, если 2 < х ^3.
Пользуясь формулами
cos х = — (t +7),
sinjc = -
2i
(t-t),
где / =» etx и / = e~ix, получить разложение в ряд Фурье
следующих функций:
2965, cos*m х (т — целое положительное число).
2966.
2967.
2968.
q sin х
1 — 2g cos x + q1
1 — 2q cos x + g*
L —17 cos x
(Ш<1).
(IflKl).
(I <?!<!)•
1 — 2? COS X + 9*
2969. In (1—2? cos x + q*) (| q\ < 1)
Разложить в ряд Фурье неограниченные
периодические функции:
X
2
х
sin-
COS-
2970. f(*) = ln
2971. /(*) = 1п
2972. /(jc) = ln
2973. Разложить в ряд Фурье функцию
6 2
/(х) = \ 1п д/jctg -±-\dt (—я<х<я).
о
2974, Разложить в ряд Фурье функции
х = х (s), у = у (s) (0 < s < 4а),
дающие параметрическое представление контура
квадрата: 0 < х < а, 0 <. у <а, где s — длина дуги,
отсчитанная против хода часовой стрелки от точки О
(0, 0).

% 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
299
2975. Как следует продолжить заданную в
интервале (0, я/2) интегрируемую функцию / (ж) в интервал
(— я, я), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
00
/(*)= £a„cos(2n—1)дс (—я<дс<я)?
2976. Как следует продолжить заданную в интервале
(О, л/2) интегрируемую функцию / (х) в интервал
(— л, л), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
00
/(*)= 2>„sin (2/1-1) х (—я<*<я)?
2977» Функцию
/И-*(-5—*)
разложить в интервале (0, я/2):
а) по косинусам нечетных дуг; б) по синусам
нечетных дуг.
Нарисовать графики суммы рядов Фурье для
случаев а) и б).
2978. Функция / (х) антипериодична с периодом л,
т. е.
/ (Х + я) г» - / (х).
Какой особенностью обладает ряд Фурье этой
функции в интервале (— я, я)?
2979. Какой особенностью обладает ряд Фурье
функции / (х) в интервале (— я, я), если / (х + я) гз / (*)?
2980. Какими особенностями обладают коэффициенты
Фурье ап, 6„ (л = 1, 2, . . .) функции у = / (дс) периода
2л, если график функции: а) имеет центры симметрии
в точках (0, 0), (± я/2, 0); б) имеет центр симметрии
в начале координат и оси симметрии х — ± л/2?
2981. Как связаны между собой коэффициенты Фурье
ап, Ь„ и а„, р„ (л = О, 1, 2, .. .) функций <р (*) и Ч> (дс),
если
Ф (- х) ш Ч> (*)?
2982. Как связаны между собой коэффициенты Фурье
а„, Ьп и ап, р„ (а = О, 1, 2, . . .) функций <р (*) и i|> (х),
если

800 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2983. Зная коэффициенты Фурье ап, Ь„ (п = 0, 1,
2, . . .) интегрируемой функции / (х),_имеющей период
2л, вычислить коэффициенты Фурье ап, Ьп (п — 0, 1,
2, . . .) «смещенной» функции f (x + h) (h — const).
2984. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (а — 0, 1,
2, . . .) интегрируемой функции / (х) периода 2л,
вычислить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = 0, 1, 2, . . .)
функции Стеклова
М х— h
2985. Пусть / (х) — непрерывная функция с
периодом 2л и ап, Ьп (п = 0, 1,2,...) — ее коэффициенты
Фурье. Определить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п. = 0,
1, 2, . . .) свернутой функции
f(*)= — UWf(x + t)dt.
я -я
Пользуясь полученным результатом, вывести
равенство Ляпунова.
§ 7. Суммирование рядов
1°. Непосредственное суммирование.
Если
«п = 011+1 — fit (л=1. 2,. . .) и lim t;„ = t;oo.
П-»-00
ТО
оо
£ "л = t>» — Vt.
n=l
В частности, если
1
ип = 1
Cifin+l • • • в„+т
где числа щ (i = 1, 2, . ..) образуют арифметическую
прогрессию со знаменателем d, то
1 1
*>п = — —~. •
"И* "пОп+1 • • • "n+m-l
В некоторых случаях искомый ряд удается представить
в виде линейной комбинации известных рядов:
Z(— 1)"+* , V* * я*
а—1 n=l

00
I
12 и т- «■
§ 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ SOt
(-1)"+* Т^_
п="
оо
2°. М е т о д Абеля. Если ряд]£ ап сходится, то
во оо
У а„ =. lim V fl„*n.
00
Сумма степенного ряда £ в„деп в простейших примерах нахо-
flssO
дятся с помощью почленного дифференцирования или
интегрирования.
3°. Суммирование тригонометрических
рядов. Для нахождения сумм рядов
ОО ОО
£ ап c°s я* и J] an sin ях
п=0 п=1
их обычно рассматривают как действительную часть и
соответственно как коэффициент мнимой части суммы степенного ряда
00
в комплексной области £ апг", где г — еи.
п=0
Здесь во многих случаях полезен ряд
п=1
г" 1
я i —г
Найти суммы рядов:
2986. ' ' '
2987.
2988.
1-3 3-5 5-7
1.1.1
1-2-3 2-3-4 3-4-5
J L+_i L_
1-2 2-3 3-4 4-5
то
2989 > -
Li (п+1)(я+2)(я + 3)
h=i
ОО
—-4—т- (m—натуральное число).
п (я + т)
2990.

302 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
1.1.1
2991.
1-2-3 3-4 5 5-6-7
2992
Z—!—. 2993. У 2я-Г. .
л=2 П=!
оо оо
2994. V Х- . 2995. V—.
L «(2«+D L «i
/1=1 П = 1
2996. У 2"<"+1) . 2997. V ! .
Lt п\ L n*(n+l)8
П=0 Л—I
ОО
2998. У— !- —.
L n*(n+l)*(n + 2)»
2999. У C-riy^ , 3000. V <-}* .
L (2"+1)' L «*+n-2
3001. Пусть P (x) « a0 + <*i* + . • . + ат£*. Найти
сумму ряда
оо
/ , n!
n=!
Найти суммы следующих рядов:
8002. V-JiLL*.. 3003. У ^'>"я8 х".
во
3004. У (-»"(^+,') ^. 3005. У
(2п + 1)1
п=0 /1=0
С помощью почленного дифференцирования найти
суммы рядов:
зооб. У-£-. зов?. У (-1)"-1
La n /^ п(7п —
о=1 п=1

8008.
TO
i
§ 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 303
4л+1
л=0
3009. У «fr + Q.. .[«+ft.-i)fl rf
/J d-2d. . . nd v '
Указание. Производную ряда умножить на 1—дс.
зою. -L^L+_Lt_CJLY+_L±I_fJLY+...
3 2^3-6^2/ 3-6-9 UJ
С помощью почленного интегрирования найти сумма
рядов:
3011. £ пгх"-К 3012. f n(n + 2)*".
3013. Vi2*+i)^
Z(2n +
Используя метод Абеля, найти суммы следующих
рядов:
1,1 1 .
3014. 1-
3015. 1-
3016. 1
4 7 10
-*- + -! 1-+..
3 5 7
J . 1-3 1-3-5
2 2-4 2-4-6
3017. l + - L+_LJ—L+...
2 3 2-4 6
Найти суммы следующих тригонометрических рядов-
3020.
л=1
Zsinn* . 3019. V_££i^
п /_, п
л=1
00
Zsin na sin)
п
3018.
л=1 л=1
I ЛДС

804 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3021
3022.
оо
X
п=2
8024.
п=1
У sin'"«sin"* (о«х<-£Л.
оо
Zsin (2п — 1)х
2п-\
оо
3023. У(— 1)" со$пх .
/ , ч2—1
п=2
оо
Zcos(2n — 1)х
(2л - 1)» *
оо
8025. V (— I)"-1 &1ППХ— -
оо
ZCOS ПГ
ill
п=1
3026.
п=0
8027. Построить кривую
оо
Zsinnxsinny „
пг ~
п=1
Найти суммы следующих рядов:
3028. У Кд-1)11' (2х)*. 3029. f J*!>L *..
Zj (2я)! Zj (2В)!
п=\ п=0
зозо. —И—+ ?! +
*+1 (х+1)(х+2)
3!
(х+\)(х + 2)(х + 3)
аг + х ' а4+ж аэ+дт
3031. —^—Ч 2! ^ Ь ... при условии,
что х > 0, ап > 0 (л = 1, 2, . . .) и ряд У — рас
La an
ходящийся.

§ 8. НАХОЖДЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 305
3032. —-— + — Ь—-—+ .... если
I — *2 1—** 1-*»
а) |х|<1; б) |х|>1.
00
3033. У — , если а)|х|<1; б)|х|>1.
£л (\-хп) (1 _*«+*) /ii^- '—
§ 8. Нахождение определенных интегралов
с помощью рядов
С помощью разложения подынтегральной функции
в ряд вычислить следующие интегралы:
i
3034.
$ in _l_ dx. 3035. J mfr+vra л.
In (1 + x)
3036. Г "i-т^ dx
о
l
3037. JjeP-4n(l— x«)dx (p>0, (?>0).
о
l
3038. fln*.ln(l — x)dx.
5
Ц-оо H-eo
3039. Г ———. 3040. f xdx
о о
3041. Разложить по целым положительным степеням
модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл
1-го рода
Л/2
F(k) =
J V'— *2sin2q>
о
3042. Разложить по целым положительным степеням
модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл
2-го рода
я/2
E(k)= j" Vl — # sin» q> d<p.
о
3043. Выразить длину дуги эллипса
х = a cos t, x — b sin / (0 < / < 2я>
20-2ИЗ

306 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
с помощью ряда, расположенного по целым
положительным степеням эксцентриситета.
Доказать равенства:
3044- f-5-Z-i-
0 л=1
-{-00
8045. Г e-^smaxdx =
0
2л
1 у* (—1)яп!
2 Li (2n+l)!
я=0
а2"+1.
8046. J* е008 * cos (sin jc) cos nxdx= — (л=0, 1, 2,...).
0 Я1
Найти!
2я
8047. j ef cos * cos (a sin jc—/Lt)i* (л — натуральное
число).
3048. Г *»'"" ^,
xsina
1 — 2a cos x + о»
о
Указание См. пример 2864.
я
8049. f In (I — 2acosx-fa2)d*.
3050. Доказать формулу
J о + х а а* о3
...+(-!)»-J^ + (_i)»JgL, (1)
где о>0 и 0<б„< 1.
С какой точностью выразится интеграл
+"
1
100+ х
о
dx,
если в формуле (1) взять два члена?

§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
307
§ 9. Бесконечные произведения
1°. Сходимость произведения. Бесконечное
произчедение
00
PjPj . . . рп . . . = JJ р„ (1)
называется сходящимся, если существует конечный и отличный
от нуля предел
п
Mm TT pi = lim Рп = Р.
п-+оо £rj п=оо
Если Р = 0 и ни один из сомножителей р„ не равен нулю,
то произведение (1) называется расходящимся к нулю; в
противном случае произведение называется сходящимся к нулю.
Необходимым условием сходимости является
lim р„«= 1.
п-*оо
Сходимость произведения (1) равносильна сходимости ряда
00
£ 1прп- (2)
п=п„
Если р„ = 1 + ап (п = 1, 2, . . .) и о„ не меняет знака,
то для сходимости произведения (1) необходимо и достаточно,
чтобы был сходящийся ряд
f «»=f (Рп-1). (3)
В общем случае, когда ап не сохраняет постоянного знака
и ряд (3) сходится, произведение (1) будет сходиться или расхо-
йиться к нулю вместе с рядом
ОО 00
2>2п=£(р„-02.
2е. Абсолютная сходимость. Произведение (I)
называется абсолютно или условно (не абсолютно) годящимся
в зависимости от того, абсолютно или условно сходится ряд (2),
Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости
произведения (1) является абсолютная сходимость ряда (3).
3°. Разложение функций в бесконечные
произведения. При — оо < х < -f- oo имеют место
разложения

308 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
В частности, из первого при х = п/2 получаем формулу
Валлиса
~ 2я 2л
_я ту 2я
2 -L1 2я — 1 2я + 1
Доказать следующие равенства:
"•'■ПО-гО-т-
я =2
3052. П 4^ = — .
3053. ПГ1 Н—1=-1-.
11L «<n+i)J з
л—О
3055. Д
/1=1
оо
3056. Д
3057. Д ch -?-
Я=|
3058. Д (1 + **•) = -J— <\х\< 1).
л=0
3059. -*■ = . 2 2 2
Л
2я+х
РП"? , .^, .
2"
rh^L-
2
я
sin х
X
shx
3060. Д
^ V2+V2 V2 + V2 + V2"
Зл Зл 2л
л=1
Зл-1 Зл+1 ЗЛ/3
Доказать сходимость и определить значения
следующих бесконечных произведений:
оо л оо
3061. ТТ " ~4 . 3062. ГГГ1 + —Ц-1-
11 л*_1 111 л(п+2) J

§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 309
3063. И <*"+'><*» +?> .
11 (2п+3) (2п+ 5)
/1=1
ОО
3064. П а(-,)П/п (а>0).
00
3065. Следует ли из сходимости произведений Ц рп
п—1
ОО ОО
и П Яп сходимость произведений: а) Л(Рп+ЯпУ,
п=1 п=1
б) ПРп-. в) ft/W. г) П-^?
п=1 "=1 ^Л 9п
Исследовать сходимость следующих бесконечных
произведений:
1 чп«7 П JH41
3066. П —. 3067. ТТ [n+i> .
11 п 11 я (я+2)
3068. П(1 + -^). 3069. Д (1-Х).
п=2
3071. ТТ «'+«*+»> ? где n2 + an + fc>0
±1 п*4- ап + Ь
П=Яо
П>П0.
3072. ТТ С-°0С-ч»>- ' -^"^ , где п0>Ь<
11 (я —^(я-Ьл) . . .(я-&р)
(i = l,2 р).
n=0 n=l 'уя'-t- 1
3075-ni/i+T-
3076. TJ V* 3077. Д (l + —) e-x/n.

310
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3078.
ЙО-тпг)^ гдес>а
3079. П (1 ~ *")• 3080. JJ (1 + -£)
л=1
3081
.п
п=1
1 +
o-ir
3082. ТТ (\ —\
3083. n(l + -il)cos^
3084. ТТ
у/л/п+*72л
/ sin —
JC \ Р
п=|
V «
3085. П^1п(л+*)-1пл •
со
3086, Доказать, что произведение Д cos *„ сходится,
ОО
если сходится ряд Д х„.
л=|
со
8087* Доказать, что произведение ТТ tg (— + ап "\
f|a„|<—) сходится, если абсолютно сходится ряд
л
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
следующие бесконечные произведения:
3088.
3089.
й[,+^Г]-

§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 311
со
3092. П
п=2"
V"
-. 3093. Пл(-|)П.
=2 л/п" + (-1)" "=1
3094. П"/^. ^nt'+^F1]-
3096-C+^)(,-i)(1-^)x
0+7)С-Ж,+7)0+7)»
3097.
3098. Показать, что произведение
(1+^+т)е-7)г)(,+-£+±)"
сходится, хотя ряд
(-^+т)+(-^)+(^+т)+
+(-^)
+ ..
расходится.
3099» Показать, что произведение Ц(1+а„), где
а„ =
1
1 , 1
V* й * V*
если n = 2k—1,
, если n = 2k,
сходится, хотя оба ряда £аЛи £ ад расходятся.
ц=1 а=1

3,2 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3100. Пусть
оо
,1х
(дзета-функция Римана) и рп (п = 1, 2, . . .) —
последовательные простые числа.
Доказать, что ТТ П 1 = £(х).
оо
3101. Доказать, что произведение ТТ (1 ) и
ос
ряд V , где рп (л= 1,2,.. .)—последовательные про-
Lj Рп
стые числа, расходятся (Эйлер).
3102. Пусть ап > 0 (п = 1, 2, . . .) и
_£^ = 1 + JL + 0(_L-) (е>0).
Доказать, что
Указание. Рассмотреть
11п.вяпР = в1П-22±1-('Ц-Л.у.
л-*» * * а„ V, л /
3103. С помощью формулы Валлиса доказать, что
1-3-5. . .(2л — 1) 1
2-4.6. . .(2л) ~ ^ '
3104. Доказать, что выражение
п\еп
ап =
„rt+1/З
имеет отличный от нуля предел А при п -*■ оо.
Вывести отсюда формулу Стирлинга
n\ = Ann+V2e-n(\-\-en),
где lim e„ = 0 А =^/2л.
л-*оо

S 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 31Э
Указание. Искомый предел представить в виде
бесконечного произведения
во
А = Hm an = aiTT an*\lan-
n-°° n=i
Для определения константы А воспользоваться формулой
Валлиса.
3105. Согласно Эйлеру гамма-функция Г (jc)
определяется следующей формулой:
r(jt) = lim .
Исходя из этой формулы: а) представить функцию
Г (jc) в виде бесконечного произведения; б) показать,
что Г (jc) имеет смысл для всех действительных jc, не
равных целому отрицательному числу; в) вывести
свойство
Г (jc + 1) = jcr (jc);
г) получить значение Г (л) для п целого и
положительного.
3106. Пусть функция / (jc) собственно интегрируема
на сегменте [а, Ь] и
6„=-^-, fin = f(a + i8n) (f-1,2,. . .,л).
п
Доказать, что
»
тт . . \iw*
Ит11(1 + 6я/,п)-е<'
л->оо »=0
3107. Доказать, что
V\
n-I
П <«+»*)
lim '=° 2
п—1
I
«=0
где а > 0 и Ь > 0.
3108. Пусть /„ (х) (л =■ 1, 2, . . .) — непрерывнвге
функции на интервале (а, Ь) и |/„(jc)| < с„ (л = 1,
00
2, . . .). где ряд £ с„ сходится.
п=1

314 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Доказать, что функция
^(*) = П[1+Ы*)] (1М*)|<1).
непрерывна на интервале (а, Ь).
3109. Найти выражение для производной функции
F(*) = ftll+M*)].
Каковы достаточные условия существования F1 (к)?
3110. Доказать, что если 0 •< х < у, то
Нт х{х+1)- ■ -(х+п) =0.
п-оо у((/+ 1) . . . (у+ Л)
§ 10. Формула Стирлинга
Для вычисления nl при больших значениях п полезна
формула Стирлинга
п\ =. ■у/Шп ппе~п+вп/12п (0 < в„ < 1).
Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно
вычислить:
3111. Ig 100I 3112. 1-3-5. . . 1999.
SU3 1-3-5. . .99 т4 сю
2-4-6 . . . 100
3115. 10Ш
20! 30! 50!
1 2я
3116. и\—хг)ь0(1х. 3117. f sin™xdx.
3118. Вывести асимптотическую формулу для
произведения
(2я—I)!! = 1-3-5... (2п—1).
3119. Приближенно вычислить Cjn, если п велико.
3120. Пользуясь формулой Стирлинга, найти
следующие пределы!
п» .
а) Ига у п\\ б) И
п
tm
^7П
В) Нт п г) Ига ~^-
"'**' V(2n— 1)!' п"*°° 1пЛ"

$ И. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 315
§ 11. Приближение непрерывных функций многочленами
1°. Интерполяционная форму ла Лаг»
р а н ж а. Многочлен Лагранжа
п
у> (х — х0) . . ■ (х — ж,-.!) (х — хм) . . . (х — хп)
£-1 (Ч — Хо) • • • (.XI — X,-_j) (Xf — ХМ) . . . (X,- — Хп)
1=0
обладает свойством Рп (лс,) = у,- (»" = 0, 1, . . . , я).
2°. Многочлены Бернштейна. Если / (х) —
непрерывная на сегменте [0, 1] функция, то многочлены
Бернштейна
л
вп м = У t (-£-) cW <1 - *)""'
i=0
при л -v оо сходятся равномерно на сегменте [0, 1] к функции
И*).
3121. Построить многочлен Рп(х) наименьшей
степени п, принимающий заданную систему значений:
X
У
—2
S
0
1
4
—3
5
1
Чему приближенно равны
P„(-i). MD. Мб)?
3122. Написать уравнение параболы у — ах* +
+ Ьх + с, проходящей через три точки: A (xa—h, у _^,
В (ха, у0), С (х0 + Л, #,).
3123. Вывести формулу для приближенного
извлечения корней у = -yjx (1 < х < 100), используя
значения х0 — 1, Уо = I', х 1 = 25, ^i = 5; х% — 100,
Уг = Ю.
3124. Вывести приближенную формулу вида
sin х° « ах + Ьх3 (0 < х < 90; х = arc x°),
используя значения
sin 0° = 0, «in 30° = — , sin 90° = 1.
2
Пользуясь этой формулой, приближенно найти:
sin 20°, sin 40°, sin 80°.

816
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3125. Построить для функции / (х) = |дс| на сегменте
1 — 1, 1) интерполяционный многочлен Лагранжа,
приняв за узлы точки: х— 0, ±—, ± 1.
3126. Заменив функцию у (х) многочленом Лагранжа,
2
приближенно вычислить]^ (х) dx, где
X
У (У)
0
5
0,5
4,5
1
3
!,5
2,5
2
5
3127. Составить многочлены Бернштейна Вп (х) для
функций х, х2, х3 на сегменте 10, 1).
3128. Написать формулу многочленов Бернштейна
В„ (х) для функции f (х), заданной на сегменте [а, Ь].
I х\ -4- х
3129. Приблизить функцию / (х) = — на
сегменте I— 1, 1] многочленом Бернштейна В4 (х).
Построить графики функций у = и у =
-£.<*).
3130. Приблизить функцию / (х) = 1*1 при
— 1 < х < 1 многочленами Бернштейна четного
порядка.
3131. Написать многочлен Бернштейна Вп (х) для
функции
/ (х) = екх (а < х < 6).
3132. Вычислить многочлен В„ (х) для функции
/ (х) = cos х на сегменте —— < х< —.
' ' 2 2
3133. Доказать, что \х\ — \\тРп(х) на сегменте
[— 1, 1 ], где
Л,(*) = 1
1-х8
г»
1=2
1-3
2-4 .
•(2<-3)
(2i)
(1 — X2)',

§ !!. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ 317
3133.1. Пусть /(*) £ С [а, Ь] и
ь
Mk = $x*f(x)dx = 0 (* = 0, 1, 2, . . .).
а
Доказать, что / (х) зз О при х £ la, b].
Указание. Использовать теорему Вейерштрасса об
аппроксимации непрерывной функции многочленами.
3134. Пусть / (х) — непрерывная 2л-периодическая
функция и ап, Ьп (/1 = 0, 1, 2, . . .) — ее коэффициенты
Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены
Фейера
п—1
ап (х) = ■— + У (\ jj-Л {at cos ix + b( sin ix)
равномерно сходятся к функции / (х) на отрезке
[—я, я1.
3135. Построить многочлен Фейера аи4 (х) для
функции
/ (х)i = |х\ при — л ^ х < л.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОТДЕЛ VI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Предел функции. Непрерывность
1°. Предел функции. Пусть функция f (Р) =
e I (xi< *•..... х„) определена на множестве Е, имеющем
точку сгущения Р0. Говорят, что
lim /(Р) = Л,
я-»р0
если для любого е > 0 существует б = б (е, Р0) > о такое, что
\t(P)-A\<t,
если только Р £ Е и 0 < р (Р, Р0) < б, где р (Р, Р0) — рас»
стояние между точками Р и Р0.
2°. Непрерывность. Функция I (P) называется
непрерывной в точке Р0, если
lim f(P)=HP„).
Р-*Р.
функция t (P) непрерывна в данной области, если она
непрерывна в каждой точке этой области.
3°. Равномерная непрерывность. Функция
JF (P) называется равномерно непрерывной в области G, если для
каждого е > 0 существует б > 0, зависящее только от е,
такое, что для любых точек Р' и Р" из G имеет место неравенство
1И-°')-|(Я")|<е,
если только
р (Р', Р") < б.
Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой
области, равномерно непрерывна в этой области.
Определить и изобразить области существования
следующих функций:
3136. u = JC+Vy- 3137. ы=у.— х2 + л/^-Г.

§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 319
3140. и = <у/(х2+у2—1)(4—х2—у2}.
3141. a = A/Z±ZZ*-.
3142. u = Vl — (x2 + y)\
3143. ы = 1п( —х—у).
3144. ы = arcsin — .
X
3145. ы = arccos-
х + У
3146. ы = arcsin -?— + arcsin (l —у).
у2
3147. u = Vsin(*a + «/*).
3148. u=arccos— г
л/*г+</2
3149. u = ln(Jtt/z). 3150. ы = 1п(— 1— х2—y2+z2).
Построить линии уровня следующих функций:
3151. z = x + y. 3152. z = x2+y2.
3153. z = x2—tf. 3154. z = (jc-f-y)2.
3155. z=-^-. 3156. z = - '—
x x*+ 2y*
3157. z = ^xy. 3158. z = |*| + y.
3159. г=|дс| + |(/|-|дс + (/|.
3159.1. z = min(*, y). 3159.2. z = max(|jt|, |t/|).
3159.3. z = min(jc2, y). 3160. г = £**+*.
3161. z = *» (*>0). 3162. z = x*e-* (*> 0)..
3163. z = ln/v/(*-a), + y' (a>0).
3164. z^arctg ■ 2af (a>0).
3165. z = sgn (sin x sin (/).
Найти поверхности уровня следующих функций:
3166. и = х + у + г. 3167. ы = х2 + */2 + z2.
3168. ы = х2 + */2 — г2, 3169. и = (х + у)3 + г2.
3170, и = sgn sin (ха + t/2 + z2).

320 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Исследовать характер поверхностей по данным их
уравнениям:
3/71. г = / (у—ах). 3172. г = f (</хтТ~УГ).
3173. * = */(-t)- 3174. * = /р-).
3175. Построить график функции
/■(/) = / (cos /, sin /),
где
( 1. если у>х,
/(*. W-\o, если у<х.
3176. Найти/А, -У-), если /(*, у) = *ху , .
3177. Найти / (*), если
3178. Пусть
z = V«/ + /(V^-i)-
Определить функции /иг, если г = х при г/ = 1.
3179. Пусть
г = х + у + f (х—у).
Найти функции /иг, если г = х? при i/ = 0.
3180. Найти / (*, у), если f (х + у, -*-) = л;?—у2.
3181. Показать, что для функции
f(x,y)=-^-
х+у
имеем:
НтШт/С*, 0)1 = 1; lim flim/(jc, у)\= — I,
х-+0 \у-*0 ) у->0 \ х-+0 J
в то время как Нт / (х, у) не существует.
д:-»0
3182. Показать, что для функции
f{X' У)= «V+<*-*)»
имеем:
lim/lim/(x, ^)l = lim (lim/(x, 0)1=0,
x-»0 ly-»0 J y-»0 U->0 J
тем не менее lim / (x, у) не существует,
«-►о
у-И)

5 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 32)
3183. Показать, что для функции
/(*. у) — {х + у) sin—sin —
х у
оба повторных предела lim /lim / (х, у)\ и lim /lim f{x, y)\
не существуют, тем не менее существует lim / (х, у) = 0.
х-+0
У-0
3183.1. Существует ли предел
lim-**-?
X-+Q Хг-\-уг
у-*й
3183.2. Чему равен предел функции
/(х, у) = хге~{х'-и)
вдоль любого луча
х = / cos а, у = t sin а (0 < / < + оо)
при / -*■ + оо?
Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой
при х->-оо и t/->oo?
3184. Найти lim/lim/(х, у)\ и lim/lim/(x, t/)\,
если:
а) /(*, y) = -^fliIr. a = oo, Ь=оо;
б) /(х, </)= * , а = оо, &=+0;
1 + X»
их
в) / (х, у) — sin , а = оо, Ь = оо;
г) /(х. j/) = —tg ^ , а = 0, Ь = оо;
ху I + ху
Д) /(*. J/) = log,(* + */), а=1, Ь = 0.
Найти следующие двойные пределы:
3185. lim ^ . 3186. lim *'+y' .
*-► оо ДС2 — Ху + I/2 х-»-оо Ж4 + у*
У-*- ОС ^-»-00
3187. lim slnxy . 3188. lim (х* + уг) е~«+й.
х-*0 X *-*+oo
у-*а у-ь+яо
2"|—гзвз

322 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3189. lim (—S—Y'. 3190, lim {p+tff*.
■со
0+-У
3191. iim(i + ±Ynx+u\
3192. lim ln(* + ti° .
3193. По каким направлениям <р существует
конечный предел:
а) lim ех/и'+У'>, б) lim е*'-«х • sm2xy,
Р-Ч-0 Р-*+оо
если х = р cos <р и у — р sin <p?
Найти точки разрыва следующих функций:
3194. и = ' 3195. и =—^—.
V*s+*2 *+у
3196. и= х + у . 3197. и = sin —.
ж3 + у3 ху
3198. ы=^——. . 3199. ы = 1п(1— а:2—у*).
3200. ы =
sin х sin у
1
хуг
3201. ы = 1п-
V(« — а)2 + (у — 6)» + (г — с)»
3202. Показать, что функция
/(*, У) =
2ху
-, если л^ + у^О,
х2+ уг
0, если *2-j~£/2 = 0,
непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности
(при фиксированном значении другой переменной), но
не является непрерывной по совокупности этих
переменных.
3203. Показать, что функция
, если х2 + угФО\
f(x, y)=l ** + Уг
[ 0, если х*+у2 = 0,
в точке О (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча
х = t cos a, у = t sin a (0 < * < + oo),

S I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 323
проходящего через эту точку, т. е. существует
lim/(*cosa, /sina) = /(0, 0);
t-*o
однако эта функция не является непрерывной в точке
(0. 0).
3203.1. Исследовать на равномерную непрерывность
линейную функцию и = 2х—Зу + 5 в бесконечной
плоскости Ег = {\х\< + оо, \у\< + °о}.
3203.2. Исследовать на равномерную непрерывность
в плоскости £2 = {\х\< + оо, \у\< Ц- оо\ функцию
и = -у/*2 + у%.
3203.3. Будет ли равномерно непрерывной функция
/ (х, у) = sin £—-
в области х* + уг «С 1.
3203.4. Дана функция и — arcsin—. Является ли
У
эта функция непрерывной в своей области
определения £?
Будет ли функция и равномерно непрерывной в
области Е?
3204. Показать, что множество точек разрыва
функции / (х, у) = х sin—, если у Ф 0 и / (х, 0) — 0, не
является замкнутым.
3205. Доказать, что если функция f (x, у) в
некоторой области G непрерывна по переменной х и
равномерно относительно х непрерывна по переменной у, то
эта функция непрерывна в рассматриваемой области.
3206. Доказать, что если в некоторой области G
функция / (х, у) непрерывна по переменной х и
удовлетворяет условию Липшица по переменной у, т. е.
\f(x, у')-f(x, y")\<L\y'-y"\,
где (х, у') £ G, (х, у") £ G и L — постоянная, то эта
функция непрерывна в данной области.
3207. Доказать, что если функция / (х, у), где
(х, у) £ Е, непрерывна по каждой переменной х и у
в отдельности и монотонна по одной из них, то эта
функция непрерывна по совокупности переменных в области Е
(теорема Юнга).
3208. Пусть функция / (х, у) непрерывна в области
с < х <; Л, Ъ < у < В, а последовательность функции
21*

824 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ф„ (х) (л — 1, 2, . . .) сходится равномерно на [а, А]
и удовлетворяет условию Ь < ф„ (х) <, В. Доказать,
что последовательность функций
F„(x)^f(x, Ф.(дс)) (л= I, 2 )
также сходится равномерно на [а, А).
3209. Пусть: 1) функция / (х, у) непрерывна в области
R(a<x<A; b < у < В); 2) функция ф (х)
непрерывна в интервале (а, А) и имеет значения,
принадлежащие интервалу (Ь, В). Доказать, что функция
F (х) - / (х, Ф (*))
непрерывна в интервале (а, А).
3210. Пусть: 1) функция / (х, у) непрерывна в
области R (а < х < А; Ь < у < В); 2) функции х = ф (и, v)
и у = ty (и, v) непрерывны в области R' (а' < и < Л';
6'<1)<В') и имеют значения, принадлежащие
соответственно интервалам (а, А) и (Ь, В). Доказать, что
функция
F (и, v) = f (ф (ы, и), г|5 (ы, и))
непрерывна в области R'.
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
1°. Частные производные. Результат частного
дифференцирования функции нескольких переменных не
зависит от порядка дифференцирования, если все производные,
входящие в вычисление, непрерывны.
2°. Дифференциал функции. Если полное
приращение функции I (х, у, г) от независимых переменных х, у,, г
может быть представлено в виде
Ч (х. у, г) = А Ах + ВАу + СДг + о (р),
где коэффициенты А, В, С не зависят от Ддс, Ау, Дг и р =
= V(A*)2 + (Ду)а + (Дг)г. то функция / (х, у, г) называется
дифференцируемой в точке {х, у, г), а линейная часть приращения
А Ах + В Ау + + С Дг, равная
df{x, у, z) = f'x(x, у, z)dx + fy(x, у, z)dy+f'2(x, у, г)4г,(1)
где dx = Ax, dy = Ay, dz = Дг, называется дифференциалом
этой функции.
Формула (1) сохраняет свое значение и в том случае, когда
переменные х, у, г являются некоторыми дифференцируемыми
функциями от независимых переменных.
Если х, у, г — независимые переменные, и функция
f (х, у, г) имеет непрерывные частные производные до n-го порядка
включительно, то для дифференциалов высших порядков имеет

5 8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 325
место символическая формула
d"t(x, у, $-(dz^+dy-Z-+ &-£-}* f(x. у, г).
\ dx dy dz /
3°. Производная сложной функции. Если
а> = f,(x, у, г) дифференцируема и t — ф (и, v), у = $ (и, v),
* = X («I ч), где функции ф, у, % дифференцируемы, то
дш _ dw dx . dw dy , dw dz
ди dx du dy du dz ди
dw dw dx t dw dy , dw dz
dv dx dv dy dv дг dv '
Для вычисления производных второго порядка функции ш
полезно пользоваться символическими формулами:
dhu
ди*
й%
ди dv
где
4°
-1'-
- (г,
V1
+ Я2
.Про
д
дх
_д_
дх
d
dz
Pi
Р*
И 3
+ Qi-
- + Qi
л»+
- d*
Л;
в о д н
Если направление 1 в
правляющими косинуса
д Л-R д
— [-Hi —
ду dz
dy di
dv dx
о - *
., Ух = ——
du
* Qi ~ dv
а я в д а н
-) «< +
, dQi
du
r)('-
dQi
da
. «i =
» /?2 —
dPt
du
dw
dw .
dx
■ dRt
du
д J-П д
dx dy
dw ,
ду +
dz
~dT'
dz
dv
ном напр
dRi
dv
а в л е
dw
dz
■ +
dw
dz •
НИИ.
пространстве Охуг характеризуется
нами {cos a, cos p, cos у) и функция и =
l(x, у, г) дифференцируема, то npouseodnax no направлению
l вычисляется по формуле
du du , du a . du
— = cos a 4 cos p -| cos y.
dl dx dy dz
Скорость наибольшего роста функций в данной точке, по вели-
чине и направлению, определяется вектором — градиентом
функции:
. du . . du ,■ , du
grad и *=• I -1 7-1 k,
dx dy dz
величина которого равна

326 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
$211. Показать, что
/;(*. «=™i/(*. ад.
3212. Найти f'x{x, 1), если
f(x, у)=х+(у— l)arcsin Л/ — •
3212.1. Найти f'x(0, 0) и ft (0, 0), если / (х, у) = У~Ту.
Является ли эта функция дифференцируемой в точке О
(0, 0)?
3212.2. Является ли дифференцируемой в точке
О (0, 0) функция
3212.3. Исследовать на дифференцируемость в точке
О (0, 0) функцию / (х, у) = е-'/'Ч-И при ха+ у% > 0 и
/ (0, 0) - 0.
Найти частные производные первого и второго по-
сядков от следующих функций:
3213. и = х* + у*—4*у. 3214. и = ху + - "
У
3215. и = —. 3216. ы =
3217. u = xsin(x+y). 3218. и =
COSX*
У
3219. u = tg —. 3220. и = хУ.
У
3221. ы = 1п(дс + ^). 3222. u = arctg
X
3223. u = arctg x + y . 3224. u=arcsin
1 — *У л/х'+у*
3225. и = — ' 3226. ы = (—Y.
V*1+**+**
3227. « = *»/*. 3228. ы = дс^.
3229. Проверить равенство
■»
дх ду ди дх

5 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 32?
если
а) и = хг~-2ху—Ъуг\ б) и = л*';
в) и= arccos л/ — .
У у t
3230. Пусть f (х, у) =ху * у .если Xs + #а =£ 0
*2 + 0а
и /(0, 0) = 0. Показать, что fxy(0, 0)^fyx(0, 0).
3230.1. Существует ли /*i(0, 0), если
/(*, У) =
—^ при х* + у*>0;
хг + у*
0 при х = у = 0.
3231. Пусть ы = / (х, у, г) — однородная функция
измерения п. Проверить теорему Эйлера об однородных
функциях на следующих примерах:
а) ы = (х—2^ + Зг)*; б) ы = — * :
^/х*+у*+я*
")«-(Т) .
3232. Доказать, что если дифференцируемая
функция и => / (дс, у, г) удовлетворяет уравнению
du , ди , ди
х \-у \-г = лы,
дх ду дг
то она является однородной функцией измерения п.
Расе»
F(0-
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
f(tx, iy, U)
3233. Доказать, что если / (х, у, г) —
дифференцируемая однородная функция измерения п, то ее частные
производные /; (х, у, г), f'y (дс, у, г), £ (х, у, г) —
однородные функции измерения л—1.
3234. Пусть и = f (х, у, г) — дважды
дифференцируемая однородная функция измерения п. Доказать, что
{х17+у-^+г1Г)и = п{п-')и-
Найти дифференциалы первого и второго порядков
от следующих функций [х, у, г — независимые
переменные):
3235. и = хтуп. 3236. ы= —.
у

328 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3237. и = ^хг + у%. 3238. « = lnV*2 + y*.
3239. и = е*у. 3240. и = ху + уг + гх.
3241. ы=— .
3242. Найти rf/.(l, 1, 1) и d2f (1, I, 1), если
/(*,
■.*H/f •
3243. Показать, что если и = у** -f у* +г2, то
«Г2ы > 0.
3244. Предполагая, что х, у малы по абсолютной
величине, вывести приближенные формулы для
следующих выражений:
а) (1 +х)т (1 + У)п\ б) In (l+x)- In (1 + у);
в) arctg^-.
3245. Заменяя приращение функции
дифференциалом, приближенно вычислить
1,03*
а) 1.002-2,003*-3,0043; б)
У 0,98*/и0&а
в) V1.02s+1,973; г) sin29°-tg46°; д) 0,97'-«.
3246. На сколько изменятся диагональ и площадь
прямоугольника со сторонами * = 6ми«/ = 8м, если
первая сторона увеличится на 2 мм, а вторая сторона
уменьшится на 5 мм?
3247. Центральный угол сектора а = 60° увеличился
на Да = Г. На сколько следует уменьшить радиус
сектора R = 20 см, чтобы площадь сектора осталась без
изменения?
3248. Доказать, что относительная погрешность
произведения приближенно равна сумме относительных
погрешностей сомножителей.
3249. При измерении радиуса основания R и
высоты Н цилиндра были получены следующие результаты:
R = 2,5 м ± 0,1 м; Н = 4,0 м ± 0,2 м.
С какой абсолютной погрешностью Д и относительной
погрешностью 6 может быть вычислен объем цилиндра?
3250. Стороны треугольника а = 200 м ± 2 м,
b = 300 м ± 5 м и угол между ними С = 60° ± 1°.

% 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 329
С какой абсолютной погрешностью может быть
вычислена третья сторона треугольника с?
3251. Показать, что функция
/ (*. У) — VT^I
непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке обе частные
производные f'x (0, 0) и f'u(Q, 0), однако не является
дифференцируемой в точке (0, 0).
Выяснить поведение производных f'x(x, у) и f'y(x, у)
в окрестности точки (0, 0).
3252. Показать, что функция
fix. и)= ^ , если л^ + ^О
/ (0, 0) - 0,
в окрестности точки (0, 0) непрерывна и имеет
ограниченные частные производные f'x(x, у) и f'y(x, у), однако
эта функция недифференцируема в точке (0, 0).
3253. Показать, что функция
/(x,» = (*8+02)sin—-|—-, если x> + iV0
и
f (0. 0) - 0,
имеет в окрестности точки (0, 0) частные производные
f'x (х, у) и f'y(x, у), которые разрывны в точке (0, 0) и не-
ограничены в любой окрестности ее; тем не менее эта
функция дифференцируема в точке (0, 0).
3254. Доказать, что функция f (х, у), имеющая
ограниченные частные производные fx(x, у) и f'y(x, у) в
некоторой выпуклой области Е, равномерно непрерывна
в этой области.
3255. Доказать, что если функция f (x, у) непрерывна
по переменной х при каждом фиксированном значении у
и имеет ограниченную производную }'у (х, у) по
переменной у, то эта функция непрерывна по совокупности
переменных хну.
Найти указанные частные производные в следующих
задачах:
3256. ——, , — , если
дх* дх3ду дх*ду*
и = х—у + хъ + 2ху + уг + х3—3хгу—у* + х*—
— 4*У + у*.

330 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3257. —-—, если и = х In (ху).
дхгду v "'
д6и
3258. -———-, если и = х3sinw + w3sinjc.
дзгду3
3259. —**_, если a = arctg х + У + г~*У* .
дхдудг \—ху — хг — уг
3260. ffl" , если ы = е*»г.
Эх ду дг
3261. -—, если ы = 1п
3262. ^ , если и = (х—х0)»(у-у,)ч.
3263.^^-, еслиы^ *+"
дхтдуп х — у
3264. ———, если и = (л:2+уг) ex+f.
ДР+Я+Гп
3265. ———, если и = хугех+«+г.
дхРдуЯдгГ *
3266. Найти f%y\0, 0). если / (х, у) = e* sin t/.
3267. Показать, что если и = f (хуг), то
дх ду дг
= f(0.
где t — хуг, и найти функцию F.
3268. Найти d*u, если и = л4—2х3#—2ху3 + у* +
+ х*—3х*у — Зху* + у3 + 2хг—ху + 2уг + х + у + 1.
TI д*и д*и д*и
Чему равны производные , , ,
г дх* дх3ду дх*дуг
д*и dhi ..
И ?
дх ду* ду*
Найти полные дифференциалы указанного порядка
в следующих примерах:
3269. d3u, если и = х3 + у3—Ъху (х—у).
3270. d3u, если и = sin (х2 + у*).
3271. dlau, если и = In (х + «/).
3272. deu, если ы = cos x ch г/.
3273. d3u, если ы = хуг.
3274. d4u, если ы = In (ххуУгг).

$ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 331
3275. dnu, если и = е0Х+Ьу.
3276. dnu, если и = X (х) Y (у).
3277. dnu, если ы — / (х + у + г).
3278. dnu, если ы = в«+1чн-«.
3279. Пусть />„(*, у, г) — однородный многочлен
степени п. Доказать, что
dnPn(x, у, z) = n\Pn(dx, dy, dz),
3280. Пусть
л ди , ди
дх ду
Найти Аи и А2и = А (Аи), если
х + J
3281. Пусть
Найти Ды, если
а) ы = sin jc ch у; б) ы = In <у/х2 + уг.
3282. Пусть
и
дх* ду* огг
Найти Ахи и Д2ы, если
а) и = х3-{-у3 + г3—Зхуг; б) ы
Найти производные первого и второго порядков от
следующих сложных функций:
3283. u=f{x* + y2+z2).
3284. u=f (x, —].
3285. u = f(x, at/, хуг).
3286. Найти-^-, если и = f (x + у, ху).
3287. Найти r« = -|^- + -ff + -ff.
дх3 дуг дгъ

332 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
если
и = f(x + у + г, х2 + у2 + г2).
Найти полные дифференциалы первого и второго
порядков от следующих сложных функций (х, у и г —
независимые переменные):
3288. и = / (t), где t = х + у.
3289. и = f (t), где t = -^-. 3290. и = / (V*2 + «/*)•
3291. ы = / (/), где / = *(/г. 3292. и = / (**+ (/8+гг).
3293. и — / (6, л), где 5 = ах, r\ — fc«/.
3294. ы = / (5. Л), где £ = х + у, л — х—у.
3295. и = / (I, л), где & = *(/, Л = — •
3296. и — f(x + у, г).
3297. ы = f (х + у + г, х2 + у2 + г2).
3298. ы=/(—, -^-).
3299. и = f (х, у, г), где х = Л «/ = Л z = Л
3300. и = f d, л. £). где I — ах, ц = &*/, £ = сг.
3301. и = / (|, л, 0, где £ = а:2 + у2, л = *2-*Л
С - 2ху.
Найти dnu, если:
3302. и = f (ах + by + сг). 3303. и — f (ax, by, сг).
3304. ы = f (i, л. 0. где % = агх + Ьху + схг,
«j = а%х + Ь^у + c2z, £ = аях 4- Ь$ + £з£.
3305. Пусть и = / (г), где г = л/х2 + у2 + г2 и
/ — дважды дифференцируемая функция. Показать, что
Ды = F (г),
где Ды = 1 1 оператор Лапласа, и
дхг ду2 дг3
найти функцию F.
3306. Пусть и и v — дважды дифференцируемые
функции и Д — оператор Лапласа (см. задачу 3305).
Доказать, что
Д (uv) = и Av + v Аи + 2Д (и, v),
где
А , ч ди dv , ди до . ди dv
A(u, v)= 1 1 .
дх дх ду ду дг дг
3307. Показать, что функция
и = In ^(х—а)2 + (у—Ь)2

5 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 333
>ряет
= 0.
(а и Ъ — постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа
дги . д*и
дх* ду*
3308. Доказать, что если функция и = и (х, у)
удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3307), то
функция
также удовлетворяет этому уравнению,
3309. Показать, что функция
1
и — е
4аЧ
ia-y/nt
(а и & — постоянные) удовлетворяет уравнению
теплопроводности
ди . d*«
■ = а2
dt дх*
3310. Доказать, что если функция и = и (х, f)
удовлетворяет уравнению теплопроводности (см. задачу
3309), то функция
4аЧ
\ cfit a*t )
алД
также удовлетворяет этому уравнению.
3311. Доказать, что функция
1
" = — \
где г = д/(х—а)2 + (у—Ь)г + (г—с)2, удовлетворяет
при г Ф 0 уравнению Лапласа
дх* дуг дгг
3312. Доказать, что если функция и = и (х, у, г)
удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3311),
то функция
1 / k2x кгу ьч \
v = — и[——, ——, ——К
где k — постоянная и г = д/х2 + уг + г2, также
удовлетворяет этому уравнению.

834 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
8313. Доказать, что функция
и ——i ■—-—i
где г ™ -у/х* 4- у2+г2 и Clt Ct — постоянные,
удовлетворяет уравнению Гельмгольца
д*и , дги , д*и «
«* — аги.
дхг ду* дгг
3314. Пусть функции иг = иг (х, у, г) и ы2 = и2 (*•
у, г) удовлетворяют уравнению Лапласа Ды = 0.
Доказать, что функция
v = ых (*, у, г) + (х2 + у2 + г2) и2 (х, у, г)
удовлетворяет бигармоническому уравнению
А (До) = 0.
3315. Пусть / (х, у, г) есть т раз дифференцируемая
однородная функция измерения п. Доказать, что
i'-b+'-w+'-tr'<***-
= n(n — l)...(n—m + l)f(x, у, г)
3316. Упростить выражение
дг . дг
secx ——hsec у 1
дх ду
если г = sin у + / (sin х — sin у), где / —
дифференцируемая функция.
3317. Показать, что функция z = J^f(-~\, где f —
произвольная дифференцируемая функция,
удовлетворяет уравнению
xjL+2y-2- = nz.
дх ду
3318. Показать, что г -= yf (х2—у2), где / — произ-
гольная дифференцируемая функция, удовлетворяет
уравнению
» дг , дг
дх ду
3319. Упростить выражение —— Н—— Н——, если
«—-j-x*—±-x3(!f + z) + -Lx2yz+f(y-x, г-х),
где / — дифференцируемая функция.

5 S. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 335
3320. Пусть х2 = vw, у2 = uw, г2 = uv и
/ (х, у, г) = F (и, v, w).
Доказать, что
xf'x + yfy + zf'z — uF'u + vF'v + wF'w.
Предполагая, что произвольные функции «р., tp и т. п.
дифференцируемы достаточное число раз, проверить
следующие равенства:
3321» и— — х — = 0, если г = <?(х2+у*).
дх ду
3322. х2——ху — +4^ = 0, если г = ^- + <р (ху).
дх ду Здс
3323. (х2—tf)-^-+xy-^- = xyz,
дх ду
если 2
3324. jc JL + „у Л + рг JfL = пц,
дх ду дг
если и =
= е»ф Ue2*').
"-"»(*• 7>
.... да , дм , дн . хв
3325. х \-у-т~+г-^- = «+—-•
дх ду дг г
если м= —1пдс+д:ф(—, —V
3326. J^fL^aa-ffL, если ы = ф(лт—а0 + 1р(* + а/).
д/2 дх*
3327. J^--2-^- + J5L-0,
дх2 dxdi/ di/2
если и = *ф(.к+#) + #1р (•*+#)•
3328. ^4г + 2^ТТ"+^ТГ=0'
дх2 дх ду ду2
если " = ф(-7') + д:,1,(-7)<
3329. S^L + toy-f^ + ifi-^-nin-Vu,
дх2 дх ду ду2
если u = xn(f(-^-\ + xl-nylp(-^-Y
onon ^и дги ди д2и , , . , v.

836 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Путем последовательного дифференцирования
исключить произвольные функции ф и гр:
8331. г = х + у(ху). 3332. f/ = jt<p(-^-Y
8333. 2 = ф(У-г! + «/2). 3334. u = ff(x—у, у—г).
8335. ц*=ф(—, -^Л.
3336. 2 = ф(д:) + т|з(1/). 3337. г = у (х) Ц (у).
8338. г=ф(х + 1/) + гр(л:— #).
3339. z = jap(—^+j/ij)(—V
3340. 2 = ф(х1/)+11>(—У
3341. Найти производную функции г — х%—у% в
точке М (1, 1), в направлении /, составляющем угол
tt = 60° с положительным направлением оси Ох.
3342. Найти производную функции г = хг—ху + у*
в точке М (1, 1) в направлении /, составляющем угол а
с положительным направлением оси О*. В каком
направлении эта производная имеет: а) наибольшее
значение; б) наименьшее значение; в) равна 0.
3343. Найти производную функции 2 = In (хг + у2)
в точке М (х0, у0) в направлении, перпендикулярном
к линии уровня, проходящей через эту точку.
3344. Найти производную функции г = 1 — С—С—+-У-^-)
в точке М |—^- , —— | по направлению внутренней
W2 V2 /
нормали в этой точке к кривой:
а2 Ь-
3345. Найти производную функции и = хуг в точке
М (1, 1, 1), в направлении / {cos a, cos p\ cos у}.
Чему равна величина градиента функции в этой
точке?
3346. Найти величину и направление градиента
функции
1
ы =—,
г
где г = У** +• у*- + г2, в точке М0 (х0, у0, г0).

« 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 337
3347. Определить угол между градиентами функции
и = х2 + у2—г2 в точках А (е, 0, 0) и Б (0, е, 0).
3348. На сколько отличается в точке М (1, 2, 2)
величина градиента функции и = х + у + г<ут величины
градиента функции
v=x+y+z+ 0,001 sin (10вл У*2 + у2 + г2)?
3349. Показать, что в точке М0 (х0, у0, г0) угол
между градиентами функций
и = ах2 + by2 + cz2
и
v = ах2 + by2 + cz2 + 2mx + 2пу + 2pz
(a, b, с, m, п, р — постоянны и а2 + Ь2 + с2 Ф 0)
стремится к нулю, если точка М0 удаляется в бесконечность.
3350. Пусть и — f (х, у, г) — дважды дифференци-
. и о д*и д f ди \ „
руемая функция. Найти—— = 1 ), если cos а,
cos p\ cos y — направляющие косинусы направления /.
3351. Пусть и = / (х, у, г) — дважды
дифференцируемая функция и
lx {cos ах, cos р\, cos Yi}. h (cos at< cos Рг> cos Ya}i
/3{cosa3, cosp\,, cos уз}
<— три взаимно перпендикулярных направления.
Доказать, что:
~ д2и , дГ-и , (Рч д-и , д2и , д-и
б)
а/? di\ di\ д*2 ду2 дР
3352. Пусть и = и (х, у) — дифференцируемая
функция и при у = х2 имеем:
... ди
и(х, у)=1 и — =*•
дх
Нди о
аити —- при у = х*.
ду
3353. Пусть функция и = и (х, у) удовлетворяв!
уравнению
дги д*и ^Q
22—2МЗ

338 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и, кроме того, следующим условиям:
и (х, 2х) = х, и'х (х, 2х) = х2.
Найти
и"хх(х, 2х), и'ху(х, 2х), и'уУ{х, 2х).
Полагая г. = г (х, у), решить следующие уравнения:
3354.
3356.
3357.
3358.
-£--0.
дх*
дуп
Полагая и
3355.
= " (х,
д*и
дх ду д
Найти решение г =
дгг
дхду
У, г).
= 0.
г
■■ 2(Х,
-£- = х* + 2у,
ду
-0.
решить
уравнение
у) уравнения
удовлетворяющее условию: г (я, хг) = 1.
3359. Найти решение г = г (х, у) уравнения
-^- = 2,
ду2
удовлетворяющее условиям: г (дс, 0) = 1, г'у(х, 0) — х.
3360. Найти решение г — г (х, у) уравнения
дЧ
дхду
удовлетворяющее условиям: г (х, 0) = х, г (0, у) = у3.
§ 3. Дифференцирование неявных функций
1°. Т е о р ема существования. Если: 1) функ«
ичя F (х, у, г) обращается в нуль в некоторой точке
Ао (*о. Ул< го); 2) F (х, у, г)и F'z(x, у, г) определены и непрерывны
в окрестности точки AB;3)Fz (*„, уа, г<,)ф0, то в некоторой доста«
точно малой окрестности точки А0 {х0, у„) существует единствен»
ная однозначная непрерывная функция
г = I (х, у), (1)
удовлетворяющая уравнению
F (х, у, г) =т 0
и такая, что г„ = I (*„, Уа).

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 839
2°. Дифференцируемость неявной
функции. Если, сверх того, 4) функция F (х, у, г)
дифференцируема в окрестности точки Л0 (*<>■ Уо> 2о). то функция (1)
дифференцируема в окрестности точки А0 (дг„, у0) и ее произ-
дг дг
водные •—— и •-— могут быть найдены из уравнений
дх ду
JL+JL.Jl = 0, J£_+_e!_Jl = 0. (2)
дх дг дх ду дг ду
Если функция F (дг, у, г) дифференцируема достаточное число
раз, то последовательным дифференцированием равенств (2)
вычисляются также производные высших порядков от функции г.
3°. Неявные функции, определяемые
системой уравнений. Пусть функции Ft (хи . , , , хт;
Уи • • • » Угд (i — I, 2 л) удовлетворяют следующим
условиям:
1) обращаются в нуль в точке А0 (*i* ... . *mol
Уи> • • • , Ут>)> Л
2) дифференцируемы в окрестности точки А0;
Л iF F \
3) функциональный определитель — —— Ф О
д Ufi уп)
в точке А0.
В таком случае система уравнений
Ft (*i хт: Vi Ул)=0 (/=1,2,..., я), (3)
однозначно определяет в некоторой окрестности точки
Л9 (*ю, . •.. хт) систему дифференцируемых функций
41 " f (*i. • . . » *m) («'=1,2 Я),
удовлетворяющих уравнениям (3) и условиям
ft (*io *mn) = Vh («" "" 1. 2, ..., л).
Дифференциалы этих неявных функций могут быть
найдены из системы
f-¥Ldxi + flLLdyk = o
Lj dxt L-t дук
(i= I, 2, .... n)*).
3361. Показать, что разрывная в каждой точке
функция Дирихле
{1, если х рационально,
О, если х иррационально,
*) При формулировке большинства задач этого раздела без
оговорок предполагается, что выполнены условия
существования неявных функций и их соответствующих производных,
22*

340 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
удовлетворяет уравнению
у2-у = 0.
3362. Пусть функция / (х) определена в интервале
(а, Ь), В каком случае уравнение
/ М У = 0
имеет при а < х < Ь единственное непрерывное решение
У-0?
3363. Пусть функции f (х) и g (x) определены и
непрерывны в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение
f(x)y = g (x)
имеет в интервале (а, Ь) единственное непрерывное
решение?
3364. Пусть дано уравнение
х2 + уг = 1 (1)
у = у(х) (- 1 < х < 1) (2)
— однозначная функция, удовлетворяющая
уравнению (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет
уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (0) = 1;
б) у (1) = 0?
3365. Пусть дано уравнение
*• = У9 (1)
и
У = У(х) (— «о < х < + ooj (2)
есть однозначная функция, удовлетворяющая
уравнению (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет
уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных дифференцируемых функций
(2) удовлетворяет уравнению (1)?
4) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (1) = lj
б) у (0) = О?

$ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 341
5) Сколько однозначных непрерывных функций
у = у (х) (1—б < х < 1 + б) удовлетворяет уравнению
(1), если у (1) = 1 и б достаточно мало?
3366. Уравнение хг + у% — х* + у* определяет у как
многозначную функцию от *. В каких областях эта
функция 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна,
4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой
функции и ее однозначные непрерывные ветви.
3367. Найти точки ветвления и непрерывные
однозначные ветви у = у (х) (— 1 < х < 1) многозначной
функции у, определяемой уравнением (х2 -f- уг)2 —
= х2-у2.
3368. Пусть f (х) — непрерывна при а<. х <. b и
Ф (у) — монотонно возрастает и непрерывна при с <Cy<.d,
В каком случае уравнение ц> (у) — f (x) определяет
однозначную функцию у = ф-1 (/ (х))7
Рассмотреть примеры: a) sin у + sh у = х; б) е~у =>
= — sin2jc.
3369. Пусть
х = у + ф {у), (1)
где ф (0) = 0 и | ф' (у) | < k < 1 при — а < у < а.
Доказать, что при —е < х < е существует единственная
дифференцируемая функция у = у (х),
удовлетворяющая уравнению (1), и такая, что у (0) = 0.
3370. Пусть у = у (х) — неявная функция,
определяемая уравнением
х = ky + ф (у),
где постоянная k Ф 0, и ц> (у) — дифференцируемая
периодическая функция периода ш такая, что |ф' (у)\ <
< | k\. Доказать, что
У = "7" + * (*).
к
где 1)з (х) — периодическая функция с периодом \k\ ш.
Найти у' и у" для функций у, определяемых
следующими уравнениями:
3371. хг + 2ху—у2 = а2. 3372. In «Jx2- + у2 =»
■= arctg-^-.
X
3373. у — е sin у = х (0 < е < 1).
3374. х" = у* (хфу). 3375. у = 2х arctg-^-.

342 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3376. Доказать, что при
1 + ху = k {х—у),
где k — постоянная величина, имеет место равенство
dx dy
1 + х* _ 1 + у2 '
3377. Доказать, что если
*У + х2 + у2 — 1 = О,
то при ху > О имеет место равенство
dx + *» =0.
Vl — x* -y/l—y*
3378. Доказать, что уравнение
(х* + у2)2 = а2 (х*-у2) (а ф 0)
В окрестности точки х = 0, у = 0 определяет две
дифференцируемые функции: у — ух (х) и у = уг(х). Найти
*i(O)H0i(O).
3379. Найти у при х = 0 и # = 0, если
(*2 + у2)2 = ЗхУ-у».
3380. Найти у', у" и t/'", если х2 + j«/ + у* - 3.
3381. Найти t/', t/" и #'" при дс = 0, t/ = 1, если
х2—ху + 2у2 + х—у—1 = 0.
3382. Доказать, что для кривой 2-го порядка
ах* + 2Ьху + су2 + 2dx + 2еу + f = О
справедливо равенство
-£rl(y")-2'3]=o.
Для функции z = z (х, у) найти частные производные
первого и второго порядков, если:
3383. хг + у2 + г2 = а*. 3384. z3—Ъхуг = а3.
3385. х + у + г = е*.
3386. z = V*a—l/a tg— г
3387. * + t/ + z = *-<*+*+*>.
3388. Пусть
х2 + у2 + г2 — 3jo/z = 0 (1}
в
/ (х, У, г) = xyh3.

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 343
Найти: a) f'x (1, 1, 1), если г = г (х, у) есть неявная
функция, определяемая уравнением (1); б) f'x (1, 1, 1), если
у = у (х, г) есть неявная функция, определяемая
уравнением (1). Объяснить, почему эти производные
различны.
3389. Найти -^-, -^—, -^ при х = 1, у = — 2,
дх* дхду дуг v
2=1, если л:8 + 2у2 + Згг + ху—г—9 = 0.
Найти dz и d2z, если:
3390. J- + JL + JL = 1.
о2 ft» с*
3391. л#г = х + у + 2.
3392. JL==ln-i- + l. 3393. z = x + arctg —v-—.
г у г — х
3394. Найти du, если и» — 3 (х + у) и% + г3 = 0.
3395. Найти —^—, если
/Чх+0+z, х* + у* + гг) = 0.
3396. Найти — и —, если
дх ду
F(x—y, y—z,z—x)=z0.
3397. Найти —, — и —, если
дх ду дх*
/?(*, Х + 0,Х+0 + г) = О.
3398. Найти -^-, если F (xz, yz)=0.
дх*
3399. Найти d2z, если:
a) F(x + z, y + z) = 0; б) F^L, -^-) = 0.
3391.1. Пусть z — z (х, у)—та дифференцируемая
функция, определяемая уравнением
г3 — xz + у = 0,
которая при х — 3, у = — 2 принимает значение 2 = 2.
Найти dz (3, — 2) и d2z (3, — 2).
3400. Пусть х = х (у, z), у = у (х, г), г = г (*, #) —
функции, определяемые уравнением /•■ (х, у, г) = 0.
Доказать, что
дх ду дг .
ду дг дх

344 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3401. Найти — и -^-, если х + у + г = 0, х2 +
dz dz
+ уг + г2 = 1.
3402. Найти -^, Л., £l. „ _^L при , = i,
<4г <fc dz* dza
у — — 1, г = 2, если *а + (/г = — г2, х + у + г - 2.
3403. Найти-^-, -*i,-*L и -^L, если x«-(/w = 0,
дх ду дх ду
уи + xv — 1.
3403.1. Система уравнений
xeu+° + 2«w=l,
yeu-v ii_ = 2x
определяет дифференцируемые функции и — и (х, у)
и v ~ v (х, у) такие, что и (1, 2) = 0 и v (1, 2) = 0.
Найти du (1, 2) и du (1, 2).
3404. Найти du, dv, d2u и rf2w, если
, sin и х
U+V^X + y, — = .
sin и у
3405. Найти du, dv.d^ua d*v при х — 1, у = 1, ы = 0,
и = —, если
4
еи'х cos — = ——, e"/xsin— = ■
» л/2 » л/2
3406. Пусть
* = / + Г1, у = *г + Г2, г - *3 + Г3.
u , du <fc d*y d4
Найти —2-1 1 —— и .
dx dx dx* dx*
3407. В какой области плоскости Оху система
уравнений
х = и + v, у — и2 + v2, г — ы8 + и3,
где параметры и и v принимают всевозможные
вещественные значения, определяет г как функцию от
переменных х и (/? Найти производные —— и .
3407.1. Найти —2- и —^- в точке и = 1, о = I, если
дх ду

§ 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 345
х = и + In v,
y = V — lnu,
г = 2и -f v.
дгг
3407.2. Найти в точке и = 2, v = 1, если
дхду
х = и+Ь*,\
у— и2—и8
г = 2uv.
3408. Найти—, если
дх1
х — cos ф cos \jj, у — cos ф sin ф, г — sin ф.
3409. Найти —. -*L-H—, если
дх% дх ду ду*
х — и cos v, у = и sin v, г = о.
3410. Пусть z = г (х, у) функция определяется
системой уравнений:
х = e"+v, у = в"-», г == uv
{и и v — параметры). Найти dz и d2z, при и = 0 и о = 0.
3411. Найти —— и ——, если г — х2 + у2, где и =»
At dxa
= # (*) определяется из уравнения
хг — ху + #2 = 1.
3412. Найти —— и ——, если и = г , где г опре-
дх ду у + г
деляется из уравнения ге* = *е* + у&.
3413. Пусть уравнения х = ф (ы, и), ^ = ^ (ы, и),
2 = X ("i °) определяют г как функцию от х и у. Найти
дг дг
дх ду
3414. Пусть х = ф (и, v), у — ty (и, v). Найти
частные производные первого и второго порядков от
обратных функций: и — и (х, у) и v = v (x, у).
„.,. и . ди ди dv dv
3415. Найти , , , , если
дх ду дх ду
а) х— и cos—, у = и sin —;
и и
б) х = е" + и sin v, у — е" — и cos v.

346 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3416. Функция и — и (х) определяется системой
уравнений
и = f(x, у, г), g (х, у, г) = 0, h (х, у, г) = 0.
Найти и .
dx dx*
3417. Функция и — и (х, у) определяется системой
уравнений
и-f(x, у, г, t), g (у, г, t) = 0, h (г, t) = 0.
и . ди ди
Найти — и .
дх ду
3418. Пусть * = /(«, v, w), у = g (и, v, w), г =
. , \ ii * ди ди ди
«= A (u, v, w). Найти , и .
дх ду дг
3419. Пусть функция г = г (х, у) удовлетворяет
системе уравнений / (х, у, г, t) = 0, g {х, у, г, t) — О,
где t — переменный параметр. Найти йг.
3420. Пусть и — f (г), где г — неявная функция от
переменных х и у, определяемая уравнением г —
•= х + t/ф (г).
Доказать формулу Лагранжа
д"и дп~1 I. . ... ди )
ду" dx"-i \lY w дх)
Указание. Доказать формулу для л = 1 и применить
нетод математической индукции.
3421. Показать, что функция г = г (хл у),
определяемая уравнением
Ф (х — аг, у — Ъг) = 0, (1)
где Ф (u, v) — произвольная дифференцируемая
функция от переменных и и v (а и Ь — постоянные), являются
решением уравнения
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (1).
3422. Показать, что функция г = г (х, у),
определяемая уравнением
ф( *-*° , у-М = 0, (2)
\ г — г0 г — г„ )
где Ф (и, v) — произвольная дифференцируемая
функция от переменных и и v, удовлетворяет уравнению
(х — х0)-^-+ (у—уо) -£- —г—г0.
ох оу

5 S. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 347
Выяснить геометрические свойства поверхности (2).
3423. Показать, что функция г = г (х, у),
определяемая уравнением
ах + by + сг — Ф (*2 + уг + г2), (3)
где Ф (и) — произвольная дифференцируемая функция
от переменной и и а, Ь и с — постоянные, удовлетворяет
уравнению
(су— Ьг) —— + (02—ex) -±- = bx —ay.
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (3).
3424. Функция г = г (х, у) задана уравнением
Показать, что
(*_^ _а*) JL + 2ху -£- = 2хг.
дх ду
3425. Функция г = г (х, у) задана уравнением
Г(х+гу'\ t/+«"1) = 0.
Показать, что
дг , дг
х—+у — = г—ху.
дх ду
3426. Показать, что функция г = г (х, у),
определяемая системой уравнений:
xcosa + t/sina-blnz = /(a), 1
—xsina + t/cosa = /'(a), J
где a = a (x, у) — переменный параметр и / (a) —
произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет
уравнению
3427. Показать, что функция г = г (х, у), заданная
системой уравнений:
2 = ax+ —+ /(a),
а
0 = * У—+С(а.),
а1
удовлетворяет уравнению
дг дг _.
дх ду

M8 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3428. Показать, что функция г — г (х, у), заданная
уравнениями
[z-/(a)]» = x»(y»-a»),
lz-/(a)ina) = ca*,
удовлетворяет уравнению
дг дг
дх ду ХУ'
3429. Показать, что функция г = г (х, у), заданная
уравнениями
z = ax+4rtp(a)+ip(a),
0 = х + уу
гф(о)+1р(а), |
.'(a) + V(a). J
удовлетворяет уравнению
дх1 ду* \дхду )
3430. Показать, что неявная функция z = г {х, у),
определяемая уравнением
у = хф (z) + Мр (г),
удовлетворяет уравнению
Vajr J а** а* ду дхду \дх ) ду* ~ '
§ 4. Замена переменных
1°. Замена переменных в выражении, со»
держащем обыкновенные производные.
Пусть в дифференциальном выражении
А = Ф (х, у. у'х, у"хх, . . . )
требуется перейти к новым переменным: t — независимой пе-
ременной и и — функции, связанным с прежними переменными
х в у уравнениями
* = *('. «). </ = g(t, и). (I)
Дифференцируя уравнения {\), будем иметь:
dt ди
Ух =
dt ди
Аналогично выражаются высшие производные ухх, ..» В ре-
«ультате мы получаем:
А = Ф,(<. и, u't, ult, .. .).

§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 349
2°. Замена независимых переменных в
выражении, содержащем частные п р о и з •
водные. Если в дифференциальном выражении
B = F( г — — дЧ д*г д*г \
V ' ' ' dx ' ду дх* дхду ' дуг ' ' ' ')
положить
х- f(u, о), y = g(u, о), (2)
где и и о — новые независимые переменные, то последователь*
дг дг
ные частные производные — » ~, • .. определяются из еле-
дх ду
дующих уравнений:
дг дг df . дг dg
du дх ди ду ди
дг __ дг df дг dg
dv дх до ду до
и т. п.
3°. Замена независимых переменных и
функции в выражении, содержащем
частные производные. В более общем случае, если имеем
уравнения
*=/(". о. w), у = g (и, v, ю), г = Л (и, v, w), (3)
где и, v — новые независимые переменные и w = w (и, и) —
дг дг
новая функция, то для частных производных —» — , , ,.
дх ду
получаем такие уравнения:
дг Г df ■ df ftt\ . дг / dg . dg dw \
dx V du dw ди J ду \ ди dw ди J
dh . dh dw
du dw du
дг / df . df dw \ . дг / dg . dg dw \_
dx \ do dw do ) dy \ do dw do J
dh . dh dw
dv dw do
и т. п.
В некоторых случаях замены переменных удобно
пользоваться полными дифференциалами.
3431. Преобразовать уравнение у'у'"—Зу"г=х,
приняв у за новую независимую переменную.
3432. Таким же образом преобразовать уравнение
y'iylV _ 10у'у"у'" + 15у"г = 0.
3433. Преобразовать уравнение
У" + — У'+У^О,
X

850 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
приняв х за функцию и t — xy — за независимое
переменное.
Вводя новые переменные, преобразовать следующие
обыкновенные дифференциальные уравнения:
3434. х*у" + ху' + у = О, если х = е?.
3435. у"' - -Щ-, если / = In | х\.
х*
8436. (I—*8) у" — ху' + пгу = 0, если х - cos /.
3437. y" + y'thx + -^-y = 0, если *=lntg-£-
X
-1/2 J p(E)rf6
3438. y"+p (x) y'+q (x) y=Q, если y=ue *
где p (x) С С»>.
3439. **</" + xyy' — 2ys = 0, если х = tf ny= ue*',
где и = u (/).
3440. (1 + ж*)У{ - у, если * = tg t к у =-^-,
cos<
где и = и (/)•
3441. (1—х1)гу'1 — — у, если * = th /иу
U
ch/
где и = и (t).
8442. у" + (*+«/) О + у')* - 0, если ж - ы + *
в у = u—t, где ы = и (/).
3443. у'" —х*у" + ху' — у •=» 0, если ж = —
и у=-у-, где и = и (г).
3444. Преобразовать уравнение Стокса
Ау
полагая
* (х-а)*(х-Ь)*
« = —*—, *=1п
х — Ь | х— b I
И принимая и за функцию переменной t.
3445. Показать, что если уравнение

« 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 351
преобразовать подстановкой х = <р (!) в уравнение
d|a d\
то
W&QfD+Q'®] [Q(Dl-3/2 =
= [2p (*)<?(*) Ч-^МИ*)]*3*.
3446. В уравнении Ф (у, у', у") = 0, где Ф —
однородная функция переменных у, у', у'1, положить
$ udx
у^е" .
3447, В уравнении F (х2у", ху', у) •» 0, где F —
однородная функция своих аргументов, положить
у'
у
3448. Доказать, что уравнение
у'" (1 + у") - Зу'у"* - О
не меняет своего вида при томографическом
преобразовании
aiS+M + C! flal+M + c.,
Указание. Данное преобразование представить в виде
композиции простейших преобразований:
* - аХ + рУ + v, у = К;
в
Х4 = а? + Ьц + с, Kj = а2| + Ь2Л + сг,
3449, Доказать, что шварииан
х' (0 2 L х' (О J
не меняет своего значения при дробно-линейном
преобразовании:
у= ax(t) + b (ad-bc^O).
У cx(t) + d V ^ '
Преобразовать к полярным координатам г и <р,
полагая х = г cos <р, «/ = г sin <р, следующие уравнения!

352 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3450. -*L.JL±iL.
dx х— у
3451. (ху'-у)* - 2ху (1 +у'*).
3452. (ха + yYy" = (* + W')3-
3453. Преобразовать к полярным координатам вы*
х + уч'
ражение —■ .
ху' — у
3454. Кривизну плоской кривой
К
\у*Л
{1 + у?У2
выразить в полярных координатах г и ср.
3455. В системе уравнений
£- = y + kx(x* + y% ljL=-x + ky(x* + y*)
перейти к полярным координатам.
3456. Преобразовать выражение
W = x-£* у
<Рх
df> " dp
введя новые функции г = д/ х2 + у2, ф = arctg — •
3457. В преобразовании Лежандра каждой точке
(х, у) кривой у = у (х) ставится в соответствие точка
(X, У), где
Х = у', Y = ху'-у.
Найти Y', Y"- и У".
Вводя новые независимые переменные I и г\, решить
следующие уравнения:
3458. —— = ——, если 1 — х-\-у и п = х—у.
дх ду
3459. у— х—— = 0, если 1 = х и х\ = хг + уг.
а дх ду
3460. а— +Ь — = 1 (а=£0), если £ = * и ц =
■у—Ъг.
3461. *— + */ — = 2, если £=х и Tj = -2-.
дх ду х

в 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 3SS
Принимая ни «за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
3462. х НлЛ+#а = ху, если и = \пх и о=»
дх ду
= 1пО/ + УГ+?").
3463. (х + у)— (х—у) — = 0, если и =
дх ду
= In -\/jc2 + i/a nu=arctg —.
X
dz , дг
3464. je-£L+i/_£L = 2 + A/^+^ + 2a, если
3* ду
и—— и u = z + Vx2 + i/a + z2 •
X
3465. * — +«/ — = — , если и = 2*—г* и
дх ду г
* = -*-.
г
3466. (*+2)-^- + 0/+г)-^- = *+«/+г, если
дх ду
и = х + г и v = y + z.
3467. Преобразовать выражение
(г+е*) -^- + (г + е") -J—(z»-e*+*),
дх ду
приняв за новые независимые переменные
l = y + ze~x, г\ = х+ге~у.
3468. Преобразовать выражение
(•£)'+(■£?•
полагая
х = цу, «/ = — (иг—v*).
3469. В уравнении
ди . ди ди _~
дх ду дг
положить \ = х, т] = у—х, С = г—дг.
3470. Преобразовать уравнение
дх ду
23~г:

354 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
приняв х за функцию, а у и г — за независимые пере'
менные.
3471. Преобразовать уравнение
(у-г)-%- + (у + г)-%- = 0,
ох ду
приняв х за функцию, а и = у—г, v = у + г — за
независимые переменные.
3472. Преобразовать выражение
М-Н+Ш"'
приняв х за функцию и и = хг, v = уг — за
независимые переменные.
3473. В уравнении
(М + г + и)-^ + (х + г + и)-^+(х+у + и)-~~~
дх ду дг
=х+у+г
положить:
е* = лс—и, & = у—и, £ = г—и.
Перейти к новым переменным и, v, до, где w =»
■= до (и, и), в следующих уравнениях:
3474. y^L^~x — = {y—x)2, если
ц=**-4-1Д и = 1 , до = 1пг—(*+#).
3475. л8— +^ — = z*. если
д* ду
_ ^J 1_ _J 1_
ух г х
3476. (*</ + г)-^ + (1~уг)-?- = * + 1/г. если
ох ду
и — уг—х, v — хг—у, ад = ху—г.
*4<-!r)*+(*i)'=**i-i' -
х — ие?, j/ = we,°, г = ихе».
3478. Преобразовать выражение
дг дг
«-K*-t>

$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 355
полагая
и = InV xz + уг% v = arctg г, w «=» х + у + г,
где w — w (и, v).
3479. Преобразовать выражение
А дг . дг
дх ' ду
полагая и = хе1, v — ye1, w = гег, где w — w (и, v).
3480. В уравнении
ди . ди , ди , ху
X \-у 1-2 = U-\ —
дх ду дг г
положить: I = — t л =-£-, £ = z, to =— , где w =>
г * г г
= ^ (Б. л. £)•
Преобразовать к полярным координатам г и ф,
полагая х — г cos ф, # = г sin ф, следующие выражения]
mi. w = x-^--y^-. 3482. w^xJlL + yJiL^
ду дх дх ду
3483. «,=(—)+(—). 3484. ш
д«» д»*
Н2хи Ну
дх1 п * дхду * ду*
алев « д*г 0 <Яг , д д4г
3486. ш = г/* —— 2дя/
д** д* ду ду'
я
-(^+"t)'
3487. В выражении
ди dv ди dv
1-
дх ду ду дх
ПОЛОЖИТЬ X — Г COS ф, У *= Г Sin ф.
3488, Решить уравнение —£- — аг -~, введя новые
dt* дх*
независимые переменные
|= х—at, r\ = х + at.
Приняв и и v за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
23*

356 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3489. 2-£L + -^--2L + JL + .*._a если
дх2 дхду ду* дх ду
и = х + 2у + 2н v=x—у—\.
3490. (l + x2)-^-+{\ + y2)^L.+x-%-+y-%- = 0,
дх* ду* дх ду
если и — In (х + у 1 + х2) и к = In (# + У 1 + у2).
3491. «»-fL + 2tey_£L- + C0»J£-=O (а,Ь,С-
ох* дх ду ду*
постоянны), если и = In х и и = In t/.
3492. -£- + -£- = 0, если
ах* а#»
X V
и = —■ ио= £——.
х2 + у1 х* +1/*
3493. —+ —+ m*z = 0, если
ах* ау*
* = еи cos и, у — еи sin и.
^ -В-'-г—rv &>0)' •»
и = *—2 У~^ и и — х + 2 Vy-
3495. *»-2£--ы* —= 0, если ы = ж«/ и и = —.
дх* ду* у
3496. *»^_(*»+^)_^-+1/«-£L==0, если
дх* дх ду ду2
U = X + y И «== 1 .
+ * — = 0, если ы = — (** + «/*) и v=xy.
ду 2
3498. *» ——2jcsint/-^-+sin2t/4r- = 0, если
дх* дхду ду*
s 2
3499. х — —у— = 0 {x>0, t/>0), если
их* ду2
х = (и + v)% и у = (и—и)*.

$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 35?
3500. -^- = fl + -^-V. если
дхду V ду )
U. = х и v = у + г.
3501. С помощью линейной замены
| == х + Xjj/, г) = х + л2«/
преобразовать уравнение
- *« '2В-^-+С-^=0, (1)
их* й* Й1/ ду'
где Л, В и С — постоянные и АС—Вг < 0, к виду
е%дЛ
Найти общий вид функции, удовлетворяющей
уравнению (1).
3502. Доказать, что вид уравнения Лапласа
^.i + J^^o
дх* ду1
не меняется при любой невырожденной замене
переменных
X = ф (U, V), у = 1|> (U, U),
удовлетворяющей условиям:
ду _ йф д<р __ дф
du dv dv du
3503. Преобразовать уравнения
a) AUSS-^L + -£|!!L = 0; б) Д(Ди) = 0.
дхг ду*
полагая и — f (г), где г = У*? + уг.
3504. Какой вид принимает уравнение
дхду
если положить
ш = / (и),
где и = (х—х0) (у—уо)?
3505. Преобразовать выражение
. дъи , д*и , ди
А —х \-у ,
дх* а дхду дх
полагая

35$ ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3506. Показать, что уравнение
дх1 дх ду
не меняет своего вида при преобразовании переменных
= 0,
I
X = UV И U = —.
* V
3507. Показать, что уравнение
дх% дх ду ду1
не меняет своего вида при замене переменных
и = х + г и v — у + г.
3508. Преобразовать уравнение
дги , d»u . д*и _
дх ду ду дг дх дг
полагая
* =* r\t, У = К. z = &1-
3609. Преобразовать уравнение
Уг ■ д»г ■ ^г ■ д2* ■ д*г ■ д*г
дх? д^ д*| dxjdx2 дххдх3 дх2дх3
полагая
^1 = Xt + JC3—*i> Уг ~ х1 "Г" *з—*г> Уз ~ *х "Ь -*2—*з»
3510. Преобразовать уравнение
дх1 ду дгг дхду дхдг
J дудг
полагая
Е = — ♦ т]= —, £ = у—г.
X X
Указание. Записать уравнение в виде А*и—Ли —0,
где
д , д . д
А = * "Т~ + у ~7~ + г Т~ •
дх ду дг
3511. Выражения

$ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 359
II
А дгы . дЧ , дги
г дхг дуг т dz3
преобразовать к сферическим координатам, полагая
х = г sin в cos ф, у = г sin в sin ф, г = г cos 6.
Указание. Замену переменных представить в виде
композиции двух частичных замен
х = R cos <р, у = R sin <р, г — г
и
R = г sin В, <р = <р, г = г cos Э.
3512. В уравнении
I, dx* ^ ду» ) \дх ) ^\ду )
ввести новую функцию до, полагая w = za.
Приняв и и v за новые независимые переменные
и до = до (и, и) за новую функцию, преобразовать
следующие уравнения:
3513. у-fr+2 "?- = — • еслиы-—, v = x,
дуг ду х у
w — xz—у.
3514. _—_2-—— +—Г=0, если « = * + #,
дх* дхду ду*
У 2
V = — , ДО=—.
X X
3515- TT + 2-TJ- + ~7T:z=0' если" = *+#,
ох* дхду ду1
v — x—у, w~xy—г.
3516. —- + ———+ -г— = г, если и=—-*-%
дх* дхду дх 2
X —- U
v ~ —^-2-, до = г&.
ы = х, D==x+y, w = x + y + z.
3518. (l_^)^L. + (l-^)-|V = ^-f- + ^.
дхг дуг дх ду
если x=sin«, у = sin v, z = ew.

360 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3519. (l_^)-|i~^i— 2*f- -±г = 0
дх2 дуг дх 4
(|*|<1), если u = — (y + arccosx),v = —-(y — arccosx).
w — zy 1 — хг.
дЧ
3520.
дх*
дН
ду1
дг дг
о дх ду
хг-уг
3{Х* + У1г (1*1>1у1)> если и = х + у, v = x-y,
х — уг)г
W — ■
(дс*
г
3521. Доказать, что всякое уравнение
&г дг , и дг . п
-а \-Ь \-cz = 0
дхду дх ду
(а, Ь, с — постоянные) путем замены
г = ue^+ty,
где аир — постоянные величины и и — и (х, у), можно
привести к виду
д*и
дхду
■Ciu = 0 (сх = const).
3522. Показать, что уравнение —— = -JL не из-
Jy дх* ду
меняет своего вида при замене переменных
i *'
x' = -L, у> = L, u' = _Jf_e <■/ ,
У У V*
где и' — функция переменных х' и у'.
3523. В уравнении
в(1+?)-Й (l + P + q+2pq)- д*г '
дхг дхду
+ р(1 + р)-~=0,
дг дг
где р = —— и q = , положить и = х + г, v =
оде di/
= (/ + г, да = * + # + г, считая, что w = to (ы, у).

§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 361
3524. В уравнении
дх1 " дуг дг*
-('SH'fM'vf
положить х = е*, у = с4, z = е», ы = е"\ где ш =•
= а' (£ . П, О-
3525. Показать, что вид уравнения
дгг дгг Г д*г V Q
их2 ауг I дхду ) ~
не меняется при любом распределении ролей между
переменными х, у и г.
3526. Решить уравнение
/ дг у д'г 2 аг аг агг ( дг у Э»г _ Q
V ay J ахг ах ay а*ау VaxJ дуг '
приняв х за функцию от переменных у и г.
3527. Преобразовать уравнение
^ ах ау у ахг V ах ау /
ахау
^ \дх ду) ду* ^
применяя преобразование Лежандра
Хдг *т дг ? „ дг , дг
ах а^ &с ду
где Z = Z (X, У).
§ 5. Геометрические приложения
1°. Касательная прямая и нормальная
плоскость. Уравнение касательной прямой к кривой
х=ф(0, у = Ч>(0. *=х(0
в точке ее М (х, у, г) имеет вид
Х — х _ У-у _ 2 —г
dx dy dz
df d/ dt
Уравнение нормальной плоскости в этой точке!
J±.{X-.x) + J%-(Y-y) + JL(Z~-z)-0.
dt dt as

862 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2°. Касательная плоскость и нормаль.
Уравнение касательной плоскости к поверхности г = / (х, у)
в точке ее М (х, у, г) имеет вид
Z-z=-^-(X-x)+^-(Y-y).
ах ду
Уравнение нормали в точке М есть
X — х _ Y-y _ Z —г
_дг_ _Эг_ —1
дх ф
Если уравнение поверхности задано в неявном виде
F (х, у, г) — 0, го соответственно имеем:
dF {X-x) + -¥-(Y-y)+-¥-(Z-2)~0
дх ду дг
— уравнение касательной плоскости и
Х-х Y-y Z-г
dF dF dF
дх ду дг
—уравнение нормали.
3°. Огибающая кривая семейства
плоских кривых. Огибающая кривая однопараметрического
семейства кривых f, (х, у, а) = 0 (о — параметр) удовлетворяет
системе уравнений:
f (х, у, а) = 0, /о (х, у, а) - 0.
4Э. О г л бающая поверхность семейства
поверхностей. Огибающая поверхность
однопараметрического семейства поверхностей F (х, у, г, а.) = 0 удовлетворяет
системе уравнений:
F (х, у, г, а) = 0, Fa(x, у, г, а) = 0.
В случае двупараметрического семейства поверхностей
Ф (х, у, г, а, Р) = 0 огибающая поверхность удовлетворяет
следующим уравнениям:
Ф (х, у, г, о, Р) = 0, Ф^(х, у, г, а, Р) = 0,
Фр(х, у, г, а, Р) = 0.
Написать уравнения касательных прямых и
нормальных плоскостей в данных точках к следующим
кривым:
3528. х = a cos a cos /, у — a sin a cos /, z=as'mt;
в точке / = t0.
3529. х — a sin2/, у = b sin t cos /, г = с cos2 /; в
точке t = —,
4

§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 363
3530. у — х, г = х2; в точке М (1, 1, 1).
3531. х3 + г% = 10, jf + z2 = 10; в точке М (Ы, 3).
3532. ^+«/а+2а = 6, ^+t/+z= 0; в точке М (1, —2,1).
3533. На кривой х — t, у = t2, z — t3 найти
точку, касательная в которой параллельна плоскости
х + 2у + г = 4.
3534. Доказать, что касательная к винтовой линии
х — a cos /, t/ = a sin /, z = Ь/ образует постоянный
угол с осью Ог.
3535. Доказать, что кривая
х — ael cos t, у — ае' sin /, г — ае*
пересекает все образующие конуса х% + у2 — г2 под
одним и тем же углом.
3536. Доказать, что локсодрома
*в(т + "2")==в" (* = const).
где ф — долгота, tj> — широта точки сферы, пересекает
все меридианы сферы под постоянным углом.
3537. Найти тангенс угла, образованного
касательной в точке М0 (х0, у0) к кривой
,_f/v ,л *~х° — У — У*
2=1 \х, у), =— ,
cos a sin а
где / — дифференцируемая функция, с плоскостью Оху.
3538. Найти производную функции
X
и — — —
V*2 + У2 + **
в точке Af (1,2, — 2) в направлении касательной в этой
точке к кривой
* = /, у== 2/а, z = — 2/*.
Написать уравнения касательной плоскости и нор»
мали в указанных точках к следующим поверхностям:
3539. г = х2 + у2; в точке MQ (1, 2, 5).
3540. х* + у2 + г2 = 169; в точке М0 (3, 4, 12).
3541. г = arctg—; в точке М0( 1,1, —Y
3542. ахг + by2 + сг2 = 1; в точке Л10 (х0, «/о, z0),
3543. Z — у + In —; в точке М0 (1, 1, 1).

864 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3544. 2*'г + 2у» = 8; в точке М0 (2, 2, 1).
8545. х — a cos if cos <р, у — b cos if sin <р, г —
«= с sin if; в точке М0 (<р0, if0).
3546. х = г cos ф, у '= л sin ср, г = r ctg а; в точке
А*0 (Ф01 Л))-
3547. л; = и cos i>, у = и sin v, z — av; в точке М0
(«о, *»<>)•
3548. Найти предельное положение касательной
плоскости к поверхности:
X — U + V, у = U2 + V*, 2 = Ы3 + VZ,
когда точка касания М (и, v) (и Ф v) неограниченно
приближается к точке М0 (ы0, ы0) линии края и — v
поверхности.
3549. На поверхности хг + 2у2 + Зг2 + 2ху +
•+• 2хг + 4уг = 8 найти точки, в которых касательные
плоскости параллельны координатным плоскостям.
3550. В какой точке эллипсоида
,2 и1 ,2
J.—|-_^_+_!_^i
а» 6» с»
нормаль к нему образует равные углы с осями
координат?
3551. К поверхности х2 + 2у2 + Зг2 = 21 провести
касательные плоскости, параллельные плоскости
х + 4у + 6г = 0.
3552. Доказать, что касательные плоскости к
поверхности хуг = а3 (а > 0) образуют с плоскостями
координат тетраэдр постоянного объема.
3553. Доказать, что касательные плоскости к
поверхности _
УлГ + Vl/ + У7 = л/а (а>0)
отсекают на осях координат отрезки, сумма которых
постоянна.
3554. Доказать, что касательные плоскости к конусу
проходят через его вершину.
3555. Доказать, что нормали к поверхности
вращения
*-/(V*■ + *•) <Г*о)
пересекают ось вращения.

8 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 365
3556. Найти проекции эллипсоида
х2 + у2 + г% — ху = 1
на координатные плоскости.
3557. Квадрат {0 < х jS 1, 0 < i/ < 1} разбит на
конечное число частей а диаметра ^ б. Оценить сверху
число 6, если направления нормалей к поверхности
г = 1— х2—у2
в любых точках Р (х, у) и Рх (xlt yt), принадлежащих
одной и той же части а, отличаются меньше чем на 1°.
3558. Пусть
z = f (*, У), где (х, у) £ D, (1)
— уравнение поверхности и <р (Plt P) — угол между
нормалями к поверхности (1) в точках Р (х, у) £ D
и Pi (*i, yi) £ D.
Доказать, что если область D ограничена и замкнута
и функция f (х, у) имеет ограниченные производные 2-го
порядка в области D, то справедливо неравенство
Ляпунова
Ф (Ри Р) < Ср (Ри Р), (2)
где С — постоянная и р (Plt P) — расстояние между
точками Р и />!■
3559. Под каким углом пересекается цилиндр
х2 + у2 = а2 с поверхностью Ьг — ху в общей точке
М0 (х0, у0, z0)?
3560. Показать, что координатные поверхности
сферических координат х2 + у2 + г2 = г2, у — х tg <p,
х2 + у2 = г2 tg29 попарно ортогональны.
3561. Показать, что сферы х2 + у2 + г2 — 2ах,
х2 + у2 + г2 — 2Ьу, х2 + у2 + 22 = 2сг образуют три-
ортогональную систему.
3562. Через каждую точку М (х, у, г) проходят при
Я, = Я.ц Я, = ^л, А, = К3 три поверхности второго
порядка:
-^г+1Г^+^г=-1 («>»<>о).
Доказать ортогональность этих поверхностей.
3563. Найти производную функции и = х + у + г
в направлении внешней нормали сферы х +у + г = 1
в точке ее М0 {х0, у9, г0).

366 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В каких точках сферы нормальная производная
функции и имеет: а) наибольшее значение, б) наименьшее
вначение, в) равна нулю?
3564. Найти производную функции и = хг + у* + гг
хг и*
в направлении внешней нормали эллипсоида —— + •*—• +
*\- -2— = 1 в точке его М0 (х0, у0, г0).
с2
3565. Пусть —— и нормальные производные
дп дп
функций и и v в точке поверхности F (х, у, г) = 0. До-
д , ч dv . .. ди
казать, что (uv) = u —— + v——.
дп дп дп
Найти огибающие однопараметрических семейств
плоских кривых.
3566. х cos а + у sin а = р {р = const).
3567. (х—а)г + у2 =
\2 I .Л _ °'
2
3568. у = kx + — (а = const).
3569. уг =2рх +р2.
3570. Найти кривую, огибаемую отрезком длины I,
концы которого скользят по осям координат.
3571. Найти огибающую эллипсов-^— + -^— = 1,
имеющих постоянную площадь S.
3572. Найти огибающую траекторий снаряда,
выпущенного в безвоздушном пространстве с начальной
скоростью v0, при варьировании в вертикальной плоскости
угла бросания а.
3573. Доказать, что огибающая нормалей плоской
кривой есть эволюта этой кривой.
3574. Исследовать характер дискриминантных
кривых семейств следующих линий (с — переменный
параметр):
а) кубических парабол у = (х—с)3;
б) полукубических парабол у2 = (х—с)3;
в) парабол Нейля у3 = (х—с)2;
г) строфоид (у—с)2 = х2 —~* .
а-\- х
3575. Определить огибающую семейства шаров
радиуса г, центпы котооых расположены на окружности
х = R cos t, у = R sin /, г — 0 (/ — параметр, R > г).

S в. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 367
3576. Найти огибающую семейства шаров
(x—t cos а)2 + (y—t cos P)2 + (z—t cos-у)2 = I,
где cos^a + cos2p* + cos^ = 1 и / — переменный ьа-
раметр.
3577. Определить огибающую семейства
эллипсоида „а 2а
дов f--2—_i- — li объем V которых постоянен.
аг Ь2 ■ с2
3578. Найти огибающую семейства сфер радиуса р,
центры которых расположены на поверхности конуса
х2 + ф = г2.
3579. Светящаяся точка находится в начале
координат. Определить конус тени, отбрасываемой шаром
(*-*о)2 + (У-Уо)* + (г-г0)2 < R*,
если х* + у\ + г\ > R*.
3580. Найти огибающую семейства плоскостей
г—г0 = р (х—х0) + q (y—yQ)t
если параметры р и q связаны уравнением
р2 + q2= 1.
§ 6. Формула Тейлора
1°. Формула Тейлора. Если функция f, (x, у)
имеет в некоторой окрестности точки (а, Ь) непрерывные все
частные производные до я + 1 порядка включительно, то в этой
окрестности справедлива формула
Н*. ») = /(". *) +
л
+Z"«" [(х~а)"аГ + to~*}T"J'f (a' *)+/?n(x' '}' W
где
(n+1)! L их dtf J
Xf(a + e„(*-a). fr + 6„to-»))
(o < e„ < i).
2°. Ряд Тейлора. Если функция / (х, у) бесконечно
дифференцируема и lim R„(x, у) — 0, то эта функция допускав!

868 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
представление в виде степенного ряда
оо
Г (х, у) = f(a, Ь) + У -L- f<W> (а, Ь) (х -*а)'(у- Ь)1. (2)
Lj i\]\ x у
t+i>t
Частные случаи формул (1) и (2) при а = 6 = 0
соответственно носят названия формулы Маклорена и ряда Маклорена,
Аналогичные формулы имеют место для функции более чем
двух переменных.
3е. -Особые точки плоских кривых. Точка
М0 {х0, у0) дифференцируемой кривой F (х, у) = 0 называется
особой, если
F (х0, Уо) = 0, F'x(x0, j/o) = 0, F'y(xa, y0) — 0.
Пусть М0 (х0, у'0) — изолированная особая точка
кривой класса и числа
А = F'xx (*о. Уо) = 0, В => F'x'y (х0, у0), С = F'y'y (xa, уо)
Be все равны нулю. Тогда, если
1) АС—В2 > 0, то М0 — изолированная точка;
2) АС—В2 < 0, то М0—двойная точка (узел);
3) АС—В2 = 0, то М0 — точка возврата или изолирован'
пая точка.
В случае А = В = С = 0 возможны более сложные типы
особых точек. У кривых, не принадлежащих классу гладкости
могут быть особенности более сложной природы: точки
прекращения, угловые точки и др.
3581. Функцию / (х, у) = 2х2—ху—у2—6х—3у + 5
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
А (1, -2).
3582. Функцию / (х, у, г) = х3 + у3 + z3 — Ъхуг
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
А (1, 1, 1).
3583. Найти приращение, получаемое функцией
/ (х> У) — Х*У + хУг — 2ху, при переходе от значений
х = 1, у = — 1 к значениям хг = 1 + h, ух — — 1 +k.
3584. Разложить / (х + h, у + k, г + I) по целым
положительным степеням величин h, k и /, если
/ (х, у, г) =
= Ах2 + By2 + Сгг + 2Dxy + 2Ехг+ 2F уг.
3585. В разложении функции / (х, у) = х" в
окрестности точки Л (1, 1) выписать члены до второго порядка
включительно.
3586. Разложить по формуле Маклорена до членов
четвертого порядка включительно функцию

§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 369
3587. Вывести приближенные формулы с точностью
до членов второго порядка для выражений:
ч cos* л ._ 1 + х+у
а) ; б) arctg т ]"у ,
cos у 1 — ж + у
если |х| и \у\ малы по сравнению с 1.
3588. Упростить выражение
cos (х + у + z) — cos х cos у cos г,
считая х, у, г малыми по абсолютной величине.
3589. Функцию
F(x, y) = -±-[f(x + h, y) + f(x, y + h) +
+ f (x-h, y) + f (x, y-h) )-f(x, y)
разложить по степеням h с точностью до Л*.
3590. Пусть f(P) = f (х, у) и Pt (xit yt) (t = 1, 2,
3) — вершины правильного треугольника, вписанного
в окружность с центром в точке Р (х, у) радиуса р,
причем Xi = х + р, ух — у. Разложить по целым
положительным степеням р с точностью до ps функцию
F(p)^-j\f(Pi) + f{Pi) + f(P3)b
3591. Разложить по степеням Л и k функцию
Ь„П*. y) = f(x + h, y + k)~f(x + h, у)-
-f (х, y + k) + f (х, у).
3592. Разложить по степеням р функцию
F (Р) = -г-"1/(* + pcos<p, i/+psin<p)dq>.
т о
Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
3593. f (х, у) = (1 + *)"• (1 + у)п.
3594. f (х, у) = 1п (1+ х + у).
3595. f (х, у) = е* sin у.
3596. / (д:, у) — е* cos у.
3597. / (д:, у) = sin x sh у.
3598. / (д:, у) = cos x ch у.
3599. f (х, у) = sin (д:* + у2).
3600. f (х, у) = 1п (1 + х) In (1 + у).
3601. Написать три члена разложения в ряд Макло-
оена функции / (х, у) — f (1 + x^1' <ft.
24—и»3

370 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3602. Функцию е*+» разложить в степенной ряд по
целым положительным степеням биномов х—1 и у + 1.
3603. Написать разложение в ряд Тейлора функции
х
/ (■*> у) — —в окрестности точки М (1, 1).
У
3604. Пусть z — та неявная функция от х и у,
определяемая уравнением г3—2хг 4-^=0, которая при
х = 1 и у — 1 принимает значение г — \.
Написать несколько членов разложения функции г
по возрастающим степеням биномов х—1 и у—1.
Изучить типы особых точек следующих кривых и
примерно изобразить эти кривые:
3605. у2 - ах2 + х3. 3606. х3 + у3 — Зху = 0.
3607. х2 + у2 = х* + у*. 3608. х2 + у* = х*.
3609. (х2 + у2)2 = а2 (х2—у2). 3610. (у—х2)2- = х*.
3611. (а + х)у2 = (а—х)х2.
3612. Изучить форму кривой у2 = (х—а) (х— 6)Х
X (к—с) в зависимости от значений параметров а, Ь, о
(а «£ Ь «£ с).
Исследовать особые точки трансцендентных кривых:
3613. */2 = 1 — Г*2. 3614. #2=1— е-*3. 3615.0=*In*.
3616. # = £—,
а 1 + в"*
3617. u = arctgf——V 3618. t/a = sin —.
Ч sin дс / х
3619. i/a = sin jc3. 3620. y2 = sin3x.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
1°. Определение экстремума. Пусть функция
f (Я) = l (Xj хп) определена в окрестности точки Я0.
Если или L (Яв) > /> (Я), или / (Я0) < /, (Я) при 0 < р (Я0, Я) <
< б, то говорят, что функция I (Я) имеет строгин экстремум
(соответственно максимум или минимум) в точке Я0.
2е. Необходимое условие экстремума.
Дифференцируемая функция f (Я) может достигать экстремума
лишь в стационарной точке Р„> т- е- такой, что df, (Я0) == 0.
Следовательно, точки экстремума функции I (Я) удовлетворяют
системе уравнений 'хЛхи • • • » *п) = 0 (i == 1, . . . , л).
3е. Достаточное условие экстремума.
Функция I (Я) в точке Яв имеет:
п
а) максимум, если if (Я,) = 0, d*t (Pt)<0, при 52 I^It^O.b

5 Т. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
871
б) минимум, если df(Pt)= О, cPf4 (Р0)> О при V \dxi\¥-0,
Исследование знака второго дифференциала ЛЦ (Р„) может
быть проведено путем приведения соответствующей
квадратичной формы к каноническому виду.
В частности, для случая функции / (х, у) двух независимых
переменных х и у в стационарной точке (*„, у0) (df, (х„, уа) = 0)
при условии, что D=*AC — В2 Ф 0, где A = f"xx(x0, у0),
В=*/Ху(х0, У0). С = /* (х0, у0) имеем:
1) минимум, если D > 0, А > 0 (С > 0);
2) максимум, если D > 0, Л < 0 (С < 0);
3) отсутствие экстремума, если D < 0.
4°. Условный экстремум. Задача определения
экстремума функции / (Pe) = jj (jcb .... хп) при наличии ряда
соотношений <р;(Р) = 0 («' = I т; т < я) сводится к
нахождению обычного экстремума для функции Лагранжа
L(P) »/(/>)+ £ Ь,Ф,(Р).
где Л* (/ =* 1, . . ., т) — постоянные множители. Вопрос о
существовании и характере условного экстремума в простейшем
случае решается на основании исследования знака второго
онфференцнала d*L (Рв) в стационарной точке Р„ функции L (Р)
при условии, что переменные dxlt , .,, dxn связаны
соотношениями
да.
1 dx,*=0 (i = 1 m).
5е. Абсолютный экс.трем ум. Функция I (Р),
дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области, до*
стнгает своих наибольшего н наименьшего значений в этой об»
ласти или в стационарной точке, или в граничной точке области*
Исследовать на экстремум следующие функции яе*
скольких переменных:
362!. г = х* + (у—\)\ 3822. г = хг — (и—1)г.
3623. 2 = (д:—у + 1)».
3624. г = х' — ху + у* — 2х + у.
3625. г = *у (6—*—#). 3626. г = х9 + у'—Зху,
3627. 2 = х*■+ у* — хъ — 2ху—уг.
3627.1. z = 2х* + #* — *г — 2у\
3628. г в*у+-§£ + .£. (*>0, у>0).
3629. z=xy^Jl —£ —£ (a > 0, & > 0).
24*

372 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3630. г: а*+ьУ + с (ei + » + с*Ф0).
\х* + у* + 1
3631. 2Г= 1— ^ хг + у*.
3632. z = в"*8" (8х*—6jc*/+3^.
3633. г=ех2-Ц5—2х+у).
3634. z в (5* + 1у—25) е-ь'+'У+уЧ.
3635. г - хг + ху + t/2 — 4 In x — 10 In у.
3636. г = sin x + cos у + cos (x—t/) (0 < x < я/2;
0s£t/<n/2).
3637. г = sin x sin t/ sin (*+«/) (0«£x < я; 0<t/< я).
3638. г - x—2« + In V*8+У2+3 arctg -£-.
ж
3639. 2 = jh/ In (** + y*).
3640. 2 =b x + jf + 4 sin x sin y.
3641. г = (^ + «/г)е-<''+»!>.
3642. ы - x* + уг + г* + 2x + Ay — 62.
3643. и = x3 + уг + г* + 12xt/ + 22.
3644. u = x+■£-+— + — (x>0, t/>0, 2>0).
3645. ы - хугг3 (а—х—2у—3г) (а > 0).
3646. « = -fl + iL + J!L + Jl (ж>о, t/>0, г>0,
х у г 6
о>0, 6>0).
3647. и = sin х + sin у + sin 2 — sin (x + у + г)
(О «s х < я; 0 < t/ «S я; 0 < г < я).
3648. u = xlxl = x^[l — х1—2хг— .. . — пхп) (х,>0,
х,>0, .. ., хя>0).
3649. « = jc1 + -^ + ^+ . . . + ЛП-+2- (Х.>0,
*i *а xn-i хп
1 = 1 2 п).
3650. Задача Гюйгенса. Между двумя
положительными числами а и Ь вставить п чисел хи
х,, . . ., хп так, чтобы величина дроби
„ *\Ч ■ ■ ■ *л
была наибольшей.
Найти экстремальные значения заданной неявно
функции г от переменных х и у:
3651, ха + у2 + г2 — 2.V + 2у—\г — 10 = 0.

в 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 373
3652. х2+ у2 + г2 — хг—уг + 2х + 2у+2г—2 =0.
3653. (хг + у2 + г2)2 = а2 (х2 + у2 — г2).
Найти точки условного экстремума следующих
функций:
3654. г = ху, если х + у = 1.
3655. 2 = — + -^-, если х2 + у2 = 1.
а Ь
3656. г = х2 + у2, если — + JL = \.
а Ь
3657. г=Ахг+2Вху+Су2, если х*+у*=1.
3657.1. г = х2 + 12ху + 2у2, если 4х2 + у2 = 25.
3658. г = coszx + cos2y, если х—у =» —•
3659. и = х — 2у + 2г, если х2 + у* + г2 = 1.
3660. ы = хт у"г", если д; + у + г = а (т>0,
п > 0, р > 0, а > 0).
3661. и = х8 + у* + г2, если ■—+ — + -4= 1
аг Ь* с*
(а>*»с>0).
3662. и = ху2*8, если х + 2у + Зг = а {х > О,
у>0, г>0, а>0).
3663. ы = хуг, если х2 + у2 + г2 = 1, х + у + г =0.
3663.1. и = ху + уг, если х2 + у2 — 2, у + г = 2
(х>0. у>0, г>0).
3664. ы = sin х sin у sin г, если х + у -Ь г = —
(х > 0, у > 0, г > 0).
3665. ы= — + -£ + —, если х2+у2 + г2 = 1,
о2 fr1 с*
х cos а + у cos {J + г cos у = 0 (а > b > с > О,
cos2 а + cos2P + cos2y = 1).
3666. и = (х—|)2 + (у—х\)* + (г—Q2, если Ах +
+ Ву + Сг = 0, х2 + у* + г2 = R2, —L_e_u_ e
cos а cos p
s=—-—, где cos*a + cos26 + cos2v = 1.
cosy
3667. u = x2.+x* + . .. + x2, если -Й. + .&+...
... + ii-=l (a,>0; t = l, 2, .... n).
3668. « = xf+xf + ... + xg C>1), если х,+
+ *2+...+x„ = a (a>0).

874 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3669. и==-21 + 3.+ ... +-ZL, если
Pi*i+ Рг*2+ • • •+ Рп*п = 1
(at>0, р\>0, x,>0, i = 1, 2, .... л).
3670. « = х*1х**... *"", если дс, +дс2 -f.. . -f хп - а
(а>0, a,>l, t = l, 2, .... л).
3671. Найти экстремум квадратичной формы
п
и^аихм (а„ = ан)
при условии
8672. Доказать неравенство
№)"
2
если я > 1 и * > 0, «/ > 0.
Указание. Найти минимум функции г = — (*" + у")
оря условии х + у = s.
3673. Доказать неравенство Гёльдера
(a, >0, *,>0, i = l, 2, .. ., л; ft>l, -L-fJ- = lV
Указание. Найти минимум функции
■-(£<)W
при условии
п
3674. Доказать неравенство Адамара для
определителя Л — \ац\ порядка я:
А2<

$ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
375
Указание. Рассмотреть экстремум определителя А =*
= \ац\ при наличии соотношений
X4=s< с-». 2 п).
Определить наибольшие (sup) и наименьшие (inf)
значения следующих функций в указанных областях:
3675. г = х—2у—3, если 0 < х < 1 , 0 < # < 1,
О < х + у < 1.
3676. г = хг + #2—12* + 16#, если х2 + у2 < 25.
3677. г = х2—ху + у2, если \х\ + \у\ < 1.
3678. и = х2 + 2у2 + Згг, если х2 + у2 + г2 < 100.
3G79. « = х + у + г, если дс2 + #2 < г < 1.
3680. Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань
(sup) функции
и = (х + у + z) e-<*+2v+fc>
в области х > 0, у>0, г > 0.
3681. Показать, что функция г == (1 + еу) cos дс—j/e»
имеет бесконечное множество максимумов и ни одного
минимума.
3682. Является ли достаточным для минимума
функции / {х, у) в точке М0 (х0, у0), чтобы эта функция
имела минимум вдоль каждой прямой, проходящей через
точку M0f
Рассмотреть пример / (х, у) = (х—у2) (2х—у2).
3683. Данное положительное число а разложить
на п положительных сомножителей так, чтобы сумма
обратных величин их была наименьшей.
3684. Данное положительное число а разложить на п
слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была
наименьшей.
3685. Данное положительное число а разложить на п
положительных множителей так, чтобы сумма заданных
положительных степеней их была наименьшей.
3686. На плоскости даны п материальных точек
Pi (*i. #i). Рг (*2. #г) Рп {х„, Уп) с массами,
соответственно равными т1( т2, .... тп-
При каком положении точки Р (х, у) момент
инерции системы относительно этой точки будет
наименьшим?
3687. При каких размерах открытая прямоугольная
ванна данной вместимости V имеет наименьшую
поверхность?

376 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3688. При каких размерах открытая
цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением,
поверхность которой равна S, имеет наибольшую
вместимость?
3689. На сфере хг + у2 + гг = 1 найти точку,
сумма квадратов расстояний которой от п данных
точек Miixt, t/i, Z{) (i — 1, 2, .... n) была бы
минимальной.
3690. Тело состоит из прямого кругового цилиндра,
завершенного прямым круговым конусом. При
данной полной поверхности тела, равной Q, определить
его измерения так, чтобы объем тела был бы
наибольшим.
3691. Тело, объем которого равен V, представляет
собой прямой прямоугольный параллелепипед, нижнее
и верхнее основания которого завершаются
одинаковыми правильными четырехугольными пирамидами. При
каком угле наклона боковых граней пирамид к их
основаниям полная поверхность тела будет
минимальной?
3692. Найти прямоугольник данного периметра 2р,
который вращением вокруг одной из своих сторон
образует тело наибольшего объема.
3693. Найти треугольник данного периметра 2р,
который вращением вокруг одной из своих сторон
образует тело наибольшего объема.
3694. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
3695. В данный прямой круговой конус вписать
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
хч »з gi
3696. В эллипсоид — +— -\ =1 вписать
а* Ь* с*
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3697. В прямой круговой конус, образующая
которого / наклонена к плоскости основания под углом а,
вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшей
полной поверхностью.
3698. В сегмент эллиптического параболоида — =
с
х* иг
= 1--2—, z — с, вписать прямоугольный паралле-
лепипед наибольшего объема.
3699. Найти кратчайшее расстояние точки
М0 (х0, у0, г0) от плоскости Ах + By + Cz + D — 0.

J 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 377
3700- Определить кратчайшее расстояние d между
двумя прямыми в пространстве
х — *t _ У —\У _ г — г1
щ ni pi
и
x — xt __ У — Уг __ г — h ^
Щ ч* Рг
3701. Найти кратчайшее расстояние между
параболой у = х2 и прямой х—#—2 = 0.
3702. Найти полуоси центральной кривой второго
порядка
Ах2 + 2Вху + Суг = 1.
3703. Найти полуоси центральной поверхности
второго порядка
Ах2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Еуг + 2Fxz = 1.
3704. Определить площадь эллипса, образованного
пересечением цилиндра
плоскостью
Ах + By + Сг = 0.
3705. Определить площадь сечения эллипсоида
плоскостью
х cos а + у cos р* + г cos у = 0,
где
cos^ + cos2p + cos^ = 1.
3706. Согласно принципу Ферма свет, исходящий
из точки А и попадающий в точку В, распространяется
по той кривой, для прохождения которой требуется
минимум времени.
Предполагая, что точки А и В расположены в
различных оптических средах, разделенных плоскостью,
причем скорость распространения света в первой среде
равна vlt а во второй v2, вывести закон преломления
света.

378 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3707. При каком угле падения отклонение светового
луча (т. е. угол между падающим и выходящим лучами),
проходящего через призму с преломляющим углом а
и показателем преломления л, будет наименьшим?
Определить это наименьшее отклонение.
3708. Переменные величины х и у удовлетворяют
линейному уравнению у — ах + Ь, коэффициенты
которого требуется определить. В результате ряда
равноточных измерений для величин хну получены значения
xi, yi (1 = 1,2,..., л).
Пользуясь способом наименьших квадратов,
определить наивероятнейшие значения коэффициентов а и Ь.
Указание. Согласно способу наименьших квадратов
иаивероятнейшими значениями коэффициентов а и Ь являются
те, для которых сумма квадратов погрешностей
будет наименьшей.
3709. На плоскости дана система л точек M((xi, yd
(i = 1, 2 , л).
При каком положении прямой
х cos а + у sin а — р — 0
сумма квадратов отклонений данных точек от этой
прямой будет наименьшей?
3710. Функцию хъ на интервале (1, 3) приближенно
заменить линейной функцией ах + b так, чтобы
абсолютное отклонение
Д «= supl х* — (ах + Ь) | (1 < х < 3)
было минимальным.

ОТДЕЛ VII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Собственные интегралы, зависящие
от параметра
1°. Непрерывность интеграла. Если
функция I (х, у) определена- и непрерывна в ограниченной области
R [а < х < А; Ь^у г-£ В], то
А
F(y) = Jf(x. y)dx
а
представляет собой функцию, непрерывную на сегменте
6<у <В.
2°. Дифференцирование под зйаком
интеграла. Если сверх указанного в 1°, частная производная
fy(x, у) непрерывна в области R, то при Ь < у < В справедлива
формула Лейбница.
d л А
— |/(х. y)dx = $fv(x. y)dx.
аУ а а
В более общем случае, когда пределы интеграции являются
дифференцнруемымн функциями <р (у) и ф (у) параметра у и
а < ф (У)< А, а < if (у) < А при Ь < у < В, имеем:
d *W
— J i(x, у) dx = / (if (у), у) V (у) - f (<p (у), у) <р' (у) +
+ J /„(*• У)''* (6<у<В).
3°. Интегрирование под знаком
интеграла. При условиях 1° имеем:
в л а в
[dy\l(x, y)dx = jdxU(x, y)dy.
b a a b
3711. Показать, что интеграл
о

880 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
от разрывной функции / (дс, у) = sgn (х—у) является
функцией непрерывной. Построить график функции
и ~ F (у).
3712. Исследовать на непрерывность функцию
где функция / (х) непрерывна и положительна на
сегменте [0, 1 ].
3713. Найти:
1+а
a) lim [ — ; б) Iim JV**-fa* dr,
J 1 +*»+a» ' ' o-o-i
a
2 l
I
a-»00
в) Yimjx* cosaxcbr, r) lim f
3713.1. Найти
г ал
~Ь(,+тУ
Я/2
lim J <r*slned9.
R->-oo 0
3714. Пусть функция / (х) непрерывна на сегменте
[А, В]. Доказать, что
Hm-J-J [f{t + h)-f(t)]dt = f(x)-f(a) (A<a<x<B).
3714.1. Пусть 1) фЛ*) > 0 (я - 1, 2,...) на
[—1, 1]; 2) ф„(дс) ^ 0 при п — оо на0<е < |х|< 1;
i
3) Jфл (дс) Лс —^ 1 при п->оо.
Доказать, что, если / (дс) £ С [— 1, 1 ], то
lim J7(*)9„(*)<** =/(<>)•
Л-+0О —t
3715. Можно ли совершить предельный переход под
знаком интеграла в выражении
1
lim f— е-''iy'dxf
*-о^ у*

§ I. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 381
3716. Можно ли вычислить по правилу Лейбниид
производную функции
1
FG/) = j* In V*1+ «/*<**
о
при у = О?
3717. Вычислить F' (дс), если
3718. Найти
a) F(a) =
в) F(ct) =
F(x) =
X
F' (а), если:
cos a ,
= J ea*-x'dx;
since
а
•J"
0
а
In (1 + ах)
X
i
dx;
-*?dy.
6) /
b+a .
o+e
r) F(a) = j/(x + a, x-a)d*;
a1 x+a
д) F(a) = fdx j'sin(^ + «/»-a«)d</.
0 x—a
3719. Найти f" (x), если
F(x)==J(x + y)/(j,)dy,
где / (дс) — дифференцируемая функция.
3720. Найти F" (х), если
F(x) = $f(y)\x-y\dy,
а
где а<.Ь и / (у) — непрерывная на la, b] функция»
3721. Найти F" (х), если
F(x) = ±-Ulh(.x + l + ^dri (A>0),
А* о о
где / (дс) — непрерывная функция.
3722. Найти F<"> (х), если
^M-J/Wlx-O-'tf.

W2 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3722.1. Доказать формулу
•5-(^)->г^«(»+Т-)* ">
О
(я-1, 2....).
Пользуясь формулой (1), получить оценку:
I dn / sin х \ I ^ 1 г. . .
1 1 < при х£(—оо, +оо).
I dxn \ х J\ п+ 1 v 4V • ^ i
3723. Функцию / (*) = *2 на промежутке 1 < х < 3
приближенно заменить линейной функцией а -f- Ьх так,
чтобы
з
Ua + bx —хг)г их = min.
3724. Получить приближенную формулу вида
Vl + х2 « а + Ьх (О < х < 1)
из условия, что среднее квадратичное отклонение
функций а + Ьх и ■y/l + хг на данном промежутке [0, 11
является минимальным.
3725. Найти производные от полных эллиптических
интегралов
Я/2
E(k) = Г VI—*8sin89d9
й
п/2
f(ft)=f ^ (0<ft<l)
J Vl— ft2 sin* ф
о
и выразить их через функции £ (ft) и f (k).
Показать, что Е (k) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Е" (k) + — E' (k) + E(h\ = 0.
w ft w 1—ft»
8726. Доказать, что функция Бесселя целого индекса п
Jn (х) = — f cos (пф—х sin ф) dy
удовлетворяет уравнению Бесселя
кЧ'пМ + хГп{х\ + {х*~пг) Jn{x) = 0.

f 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 383
3727. Пусть /(g) = \ ф(х)—, где функция <р (х)
/<«>-С-^
J V«—-
■ X
6
непрерывна вместе со своей производной <j' (*) на
сегменте О < х < а.
Доказать, что при 0 < а ■< а имеем:
л/а J -у/а — х
о
Указание. Положить * = at.
3728» Показать, что функция
1
и{х)=^К(х, y)v{y)dy.
где
*<**).= ( Х(1~Й,вСЯИХ<1'!
1 t/(l— *), если х>у,
к v (у) непрерывна, удовлетворяет уравнению
и" (*) = — и (х) (0 < х < 1).
3729. Найти F'x'y(x, у), если
^(Jf. У)= $ (x—yz)f(z)dz,
xly
где / (г) —дифференцируемая функция.
3730. Пусть / (х) — дважды дифференцируемая
функция и F (х) — дифференцируемая функция.
Доказать, что функция
и(х, t) = ±[f(x-at) + f(x + at)] + -±- J F(z)dz
2 2а x—at
удовлетворяет уравнению колебаний струны
дги 2 д*и
а/2 ~~ а*»
и начальным условиям: и (х, 0) — / (х), и\ (х, 0) = F (xf.
373!. Показать, что если функция f (x) непрерывна
на сегменте [0, / ] и (x—i)* + уг + г* Ф 0 при 0 <£</,
то функция
и% у, a J-—&*==.
о

384 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
удовлетворяет уравнению Лапласа
= 0.
дх* дуг дг*
Применяя дифференцирование по параметру,
вычислить следующие интегралы:
я/2
3732. f \n(aisinix + btcos2x)dx.
я
3733. Jln(l— 2acosx + a?)dx.
Я/2
3734. Г arctg(a<gx)
J tg*
о
Я/2
3735. Г ln-L±£«L«_._*L_ (|в|<1)
J 1 — a cos х cos x
о
3736. Пользуясь формулой
i
arctgx С dy
X ~ J 1 + X V '
о
вычислить интеграл
Г arctg х dx
о
3737. Применяя интегрирование под знаком
интеграла, вычислить интеграл
{ ""Г* dx (в>0, 6>0).
J \пх
3738. Вычислить интегралы:
a)jsin(ln-^)^-d*;
о
1
б) f cos (in -±Л х ^* dx (a>0, &>0)
i

§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 385
3739. Пусть F (k) и F (k) — полные эллиптические
интегралы (см. задачу 3725). Доказать формулы
к
а) J F (M kdk=E {k)—k\F (ft);
о
k
б) \E(k)kdk = — [{l+k2)E(k)—k\F(k)],
о
где k\ = 1—k2.
3740. Доказать формулу
f xJ0 (x) dx = xJ} (x),
где J0(x) и </i (*)—функции Бесселя индексов 0 и 1
(см. задачу 3726).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие
от параметра.
Равномерная сходимость интегралов
1°. Определение равномерной
сходимости. Сходящийся несобственный интеграл
+ оь Ь
f /(*, y)dx=> lim fn*. y)dx, (1)
где функция f (x, у) непрерывна в области a ^. x < + oo,
01. < у < Уа. называется равномерно сходящимся в интервале
0/1» Уг)> если Для любого е > 0 существует число В = В (в)
такое, что при всяком 6 > В имеем:
J /(ж, У) d*
< е (yi < у < у2).
Равномерная сходимость интеграла (1) эквивалентна
равномерной сходимости всех рядов вида
£ | /(*. У)<**. (2)
где а= а„ < flj < а2 < . . . <я„ < e„+i < ... и lim ал=+ °°.
Если интеграл (1) сходится равномерно в интервале (yt, уД,
то он представляет собой непрерывную функцию
параметра у в этом интервале.
2°. Критерий Кош и. Для равномерной сходимости
интеграла (1) в интервале (ух, у2) необходимо и достаточно,
25-2МЗ

388 ОТДЕЛ Vlt. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
чтобы для любого е > 0 существовало число В = В (е) такое,
что
6*
/О*. y)dx <8 при У1<у<уг,
если только Ь' > В и Ь" > В.
3 . Критерий Вей'ерштрасса. Для
равномерной сходимости интеграла (1) достаточно, чтобы существовала
не зависящая от параметра у мажорирующая функция F (х)
такая, что
1) \t (*. У) I ag F (х) при а е£ х < + оо
и
+»
2) J F(x)dx<3+~.
а
4°. Аналогичные теоремы имеют место для несобственных
интегралов от разрывных функций.
Определить области сходимости интегралов:
•4-ею
3743. f-S^dr.
dx (p>0).
При помощи сравнения с рядами исследовать
сходимость следующих интегралов:
3747. T-SHi^-dx.

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 387
3748. ( — (л>0).
J I + ^sin'x
о
Ь»
С dx
J xP -/ът
о
3749
sin2*
л
sin (х + * )
J
3750. »»м»-г«/ djCt
3751. Сформулировать в положительном смысле, что
значит, что интеграл J / (х, у) dx сходится неравно-
а
мерно в заданном интервале (ylt у2)?
-J-со
3752. Доказать, что если 1) интеграл j" / (х) dx cxo
а
дится и 2) функция ф {х, у) ограничена и монотонна
по х, то интеграл
+~
J f(x)y(x, y)dx
а
сходится равномерно (в соответствующей области).
3753. Доказать, что равномерно сходящийся интеграл
+=о _J/,_ J.Y
/= Г е "! v *> dx (0<«/<l)
нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не
зависящим от параметра.
3754. Показать, что интеграл /= f ae~axdx
1) сходится равномерно в любом промежутке
2) сходится неравномерно в промежутке 0 <; а < Ь.
3755. Доказать, что интеграл Дирихле
/=+j J™^Ldx
о
1) сходится равномерно на каждом сегменте la, Ь], не
содержащем значения а = 0, и 2) сходится
неравномерно на каждом сегменте [а, Ь], содержащем
значение а = 0.
25*

388 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3755.1. Исследовать на равномерную сходимость
интеграл
7*
I
В следующих промежутках: а) 1<а0<а< + оо;
б) 1 <а< ■+• оо.
3755.2. Исследовать на равномерную сходимость
интеграл
Г dx
V — при 0<а< 1.
J *"
о
3755.3. Показать, что интеграл Г — сходится
J *a+i
о
неравномерно в интервале 1 <а < + оо.
Исследовать на равномерную сходимость в
указанных промежутках следующие интегралы:
3756. f e-^sinxdx (0<a0 <а< + оо).
+?°
3757. J x?e-xdx (a < а < Ь).
i
+00
3758.
С cos ах . . — - I \
I -———dx ( —оо<а< + оо).
3759- [ 1—%тт (° < а< + «>)■
J (х — а)»+1
о
3760. [ -^-e-a*dx (0<а< + оо).
о
Wx
3760.1. [ '"1 dx (P<p<10).
I
+°°
3761. С e-o'-^dx (0<а< + оо),
где р>0 фиксировано.

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 389
3762. Г л/ае-ах,йх (0 < а< + оо).
+"
3763. J e-^-^dx; a) a<a<b; б) — оо<сс< + оо.
+~
3764. Г ет"* <1+»,> sin xdy ( —oo<jc<+ 00).
+00
3765. J -ц^-dx (p>0).
0
3765.1. Подобрать число 6> 0 так, чтобы
+=0
0< 1 ———<е при 1,1 <л< 10, где е=1(Гв.
ь
1
3766. Г*"-1 In» — dx; a)p>po>0; б) р>0
о
(<7>-1).
1
3767. Г — х" dx (0<л< + оо).
о
1
3768. Г sin —.— (0<л<2).
о
3769. С ^ (|«К-И-
о
1
3770. f—sincc* dx (0<а<1).
J Vl*-«l
о
3771. Интеграл называется равномерно сходящимся
при данном значении параметра, если он равномерно
сходится в некоторой окрестности этого значения.
Доказать, что интеграл
+00
/— Г adx
J 1 + а'х*
о

390 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
сходится равномерно при каждом значении а Ф 0 и не
сходится равномерно при а = 0.
3772. Законен ли переход к пределу под знаком
интеграла в выражении
+0О
lim J ae-^dx?
о-*+о о
3773. Функция / (х) интегрируема в промежутке
(0, + оо). Доказать формулу
-}-00 -4--00
lim J e-<"/(*)d*= J f(x)dx.
a-*+0 0 0
3773.1. Доказать, что если /' (x) абсолютно
интегрируема на [а, + оо ], то существует lim / (х).
3774. Доказать, что
+~
lim J /(*)sin nxdx = 0,
n-*oo 0
если функция / (x) абсолютно интегрируема в
промежутке (0, + оо).
3775. Доказать, что если 1) / (х, у) z£ f (x, у0) в
каждом конечном интервале (а, Ь)\ 2) |/ (х, у)\ < F (х), где
J F (x) dx< + оо, то
а
+00 4*°°
lim j" f(x, y)dx= J lim f (x, y) dx.
3776. Вычислить интеграл
Т«^-Тй1[(|+"гП*
о о
используя предельный переход под знаком интеграла.
3776.1. Пусть / (х) — непрерывна и ограничена на
[О, + оо). Доказать, что
+00
Ит_2_ с _g£Ldjc=:/(0)>
3776.2. Найти
П-м» J Хп + I

S 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 391
3777. Доказать, что интеграл
F(a)= f erb-^dx
есть непрерывная функция параметра а.
3777.1, Показать, что
F(a)= \ — dx
есть непрерывная функция в интервале 0<a< h
3778. Определить точки разрыва функции
Г(я)-Т """-"'"А.
■W-J
О
Построить график функции у — F (а).
Исследовать на непрерывность в указанных
промежутках следующие функции:
+»
3779. F(a)= Г xdx при а>2.
о
3780. F(a)= f -^-dx при а>0.
i
л
3781. F (а) = Г — dje при 0<о<2.
3 *а(я-*)а
о
3782. F(a)= f * ' dx при 0<а<1.
J |sin*|a
о
+~
3783. F(a) = \ aer**dx при — оо<а< + оо.

892 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 3. Дифференцирование и интегрирование
несобственных интегралов под знаком интеграла
1°. Дифференцирование по параметру.
Если 1) функция I (х, у) непрерывна вместе со своей,
производной fy (х, у) в области а ^ х < + то , ух < у < уг;
+00 +О0
2) f t(x,y)dx сходится; 3) J f'y (x, y)dx сходится равномерно
а а
В интервале (yv yt), то
J- $ f(x, y)dx~ f f'(x, y)dx
dy a a
при Ух < у < yt (правило Лейбница).
2°. Формула интегрирования по
параметру. Если 1) функция / (х, у) непрерывна при х~^а и
yi-^У ^Уг> 2) J / (*> У) dx сходится равномерно в конечном
а
сегменте [ух, у2], то
у, -foo +оо J/,
j" dy j f(x, y)dx= J dx] /(*, y)dy. (1)
V, a ay,
Если f, (x, y) > 0, то формула (1) верна также и для
бесконечного промежутка (ylt yt) в предположении, что внутренние
интегралы равенства (1) непрерывны и одна из частей равенства
(1) имеет смысл.
3784. Пользуясь формулой
г 1
jV-'dx = — (л>0),
о п
вычислить интеграл
1
/= f xn~l lnm xdx, где m—натуральное число,
о
3785. Пользуясь формулой
+оо
Г dx "_ (а>0),
о
вычислить интеграл
+00
dx
, где п—натуральное число.
,_ Г dx
J (х*+а)"П

I 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 393
3786. Доказать, что интеграл Дирихле
... Г sin ах ,
/(а)= \ dx
о
имеет при а Ф 0 производную, однако ее нельзя найти
с помощью правила Лейбница.
Указание. Положить ах = у.
3787. Показать, что функция
+°°
Fla)= \ ^ dx
1 + (* + «)*
о
непрерывна и дифференцируема в области
— оо <а < + оо.
3788. Исходя из равенства
„—ах „—Ьх b
е — е
j" e-x«dy,
вычислить интеграл
+0О
,—ах „—Ьх
\ - dx (a>0, 6>0).
о
3789. Доказать формулу Фруллани
Т I™-*™ dx = f(0)\п± (а>0, 6>0).
J х а
о
где / (х) — непрерывная функция и интеграл I d*
А
имеет смысл при любом А > 0.
Применяя формулу Фруллани, вычислить интегралы:
0-7ПП С cos ax — cos 6* , . _.
3790. I d* (а>0, 6>0).
о
3791< +j" sin.,-sin Ьх dx (а>0> b>0)
о

394 ОТДЕЛ Vlt. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3792 J arctg"*-*rctgfr* dx (а>0, ь>0).
о
С помощью дифференцирования по параметру
вычислить следующие интегралы:
3794
f е-0"* — в-Р*
. \ dx (a>0, р>0).
о
. \ (^ J dx (а>0, р>0).
о
f е~ах — е_рх
3795. \ sin m* Же (а>0, Р>0).
о
Г e_ow — е_рх
3796. \ cos mxdx (а>0, Р>0).
о
Вычислить интегралы:
t
3797. f '"^-«'^ dx (|а|<1).
х2 Vl — **
3798.
о
Г '"(!-«»*') ^ (|а1<1).
о
In (l - а¥)
о
3799. Т arctg0" dx.
3800. Т ln(a*+'2) dx
(f
3801
6
I
)
-oo
V arctgaxarcigP* .
о
3802. T '"(1 + «^п(1 + р^ ^

5 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 355
3803. Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона
I=*j e-*'dx,
исходя из формулы
-f-C© -f-OO
/* = Г e-^dx J xe-^dy.
о о
Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти
величины интегралов:
3804. J е-«"!+2»л+с) dx (а>о, ас—Ь2>0).
,—оо
+00
3805. J (al# + 2blx + cJr'*uf+2**+t*dx
—00
(а>0, ас—Ь2>0).
3806. j e-^'ch&jedje (a>0).
—оо
+»
3807. J е-(*,+"'/я')^ (а>0).
о
+оо
3808. \ ; dx (а>0, Р>0).
о
+.-
3809. J «-«"'coskedx (a>0).
о
+~
3810. J xe-ax'sm bxdx (a>0).
о
3811. J х2" е~"' cos 26* dx (га — натуральное число!»
о
3811.1. Доказать, что
в
lira V* J e~axl'dt= /i/— (a>0, 6>0).
-*+oo — б V О
ходя из интеграла
+0°
/ (a) = f e-« -™- d* (a> 0),
3812. Исходя из интеграла
+oo

396 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вычислить интеграл Дирихле
+00
_ С sinBx
O09-J
dx.
X
о
3812.1. Какой примерно вид имеет график
интегрального синуса
у = Si х,
где
SixJj^Ldl.
*xi'
Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти
величины интегралов:
+0О
Г е-0"' — cos В*
3813. \ -——dx (a>0).
о
3814. Г Binaxrinp» ^ (lai^jpi).
о
,815ш Y sin ах cos Рх^ 3816* Т ^^- dx.
8817. J(«*2*.ydx. 3818. ^-^Jd*.
о о
3819. У^^-
о
3820. Т ""'"-''"'Р* ^ (сф^О).
о
3821. 7j™p-dx.

5 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 397
Г е_„ sincusinj*^ (fe>()) a>0j р>0)>
J хг
3822.
о
3823. Найти разрывный множитель Дирихле
dw=t 5
Sin A COS A*
О
для различных значений х. Построить график функции
У = D (х).
3824. Вычислить интегралы:
-fao -foo
. Г sin ex . -.v С sin ax ,
a) v. p. V dx; 6) v. p. I ax.
V J x+6 * J x+b
—ao — oo
3825. Пользуясь формулой
1 J e-fC+^di/,
I + x»
вычислить интеграл Лапласа
L==+r_cosax__dx
J 1 + *1
+~
3826. Вычислить интеграл Lx= \ xsin«x ^
о
Вычислить интегралы:
3827. X^^-dx. 3828. T cosa* rf*.
о о
3829.
Г £21^ d;c (a>0, ac-b*>0).
—OO
3830. Пользуясь формулой
-~- = -j=-+fe-'y'dy (x>0),

398 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вычислить интегралы Френеля
+00 +О0
\ sinW = -f \ ^~dx>
О О V *
Найти величины интегралов:
+00
3831. J- sin (ахг + 2bx + с) dx (а=£0).
+»
3832. J sin *a-cos 2а* d*.
+ 00
3833. J cos*2-cos2aA:dA:.
3834. Доказать формулы:
+00
,. f cos ax , я .
1) \ — dx = — sin ao
о
+00
m f xsinojt , я
2> J -„lZ^-d;c==-Tcosaa'
0
где а Ф 0 и интегралы понимаются в смысле главного
значения Коши.
3835. Найти преобразование Лапласа
F(p)= fe~*f(f)dt (p>0)
о
для функции / (t), если:
а) f(t) = tn (n—натуральное число);
6)/(0 = Vf-. B)/(Q = e«';
г)/(0 = /е-«'; д) /(/) = cos/;
ж) / (0 = sin о д/Т»

i 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 399
3836. Доказать формулу (интеграл Липшица)
+00
[ e—J*Mdt= (о>0),
J Ye»+6*
о
где J0(x) = — J cos(хsin<p)d<p— функция Бесселя
я о
0-го индекса (см. задачу 3726).
3837. Найти преобразование Вейерштрасса
F (х) = —L_ +г°° е-<*-*>« / (у) dy,
Л/п Joo
если:
а)Ш=1; б)Ш = «Л
ъ) f(y) = е**": г) / (#) — cos ay.
3838. Многочлены Чебышева — Эрмита определяются
формулами
Ня (х) = (- 1)" е*'-^- (е~*) (п = О, 1, 2, ...).
Доказать, что
если /п Ф п\
если /п = л.
3839. Вычислить интеграл
ф(дс) = i 1 в d\
Y 2яаха, J
(0Х>О, 02>О),
имеющий важное значение в теории вероятностей.
3840. Пусть функция f (x) непрерывна и абсолютно
интегрируема на промежутке (— сю, + со).
Доказать, что интеграл
+«>
г (1-х)'
и(х, t)= 1-= \ f(l)e 4а" dS
2аynt -оо
удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди 1 д*и
dt а* дх*
Tw.Wff.^r-d*-}^^

400 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
и начальному условию
lim и (х, t) — f (x).
«-н-о
§ 4. Эйлеровы интегралы
1°. Гамма-функция. При х > 0 имеем:
Г(х)= J tx-4-'dt.
Основное свойство гамма-функции выражается формулой
понижения
Г (х + I) - хГ (х).
Если п — целое положительное число, то
Г(п) = (п-1)1; r(4-L)- '■3--2f"-1>y«.
2°. Формула дополнения. При 0 < х < 1
имеем:
Г(х)Г(1-х) = . *
sin их
3°. Бета-функция. При х > 0 и у > 0 имеем:
1
В(х, «/) =| /*-*(! — О*"1 d:
о
Справедлива формула
D . . Г (х) Г (у)
3841. Доказать, что гамма-функция Г (х) непрерывна
и обладает непрерывными производными всех порядков
в области х > 0.
3842. Доказать, что бета-функция В (х, у) непрерывна
и обладает непрерывными производными всех порядков
Ь области х > 0, у > 0.
С помощью эйлеровых интегралов вычислить
следующие интегралы:
1 а
3843. f Jx—х* dx. 3844. j'x2 <y/a2—x* dx (a>0).
b о
-boo
J (1 + *)2
3845. \ ./*,, dx.
о

§ 4. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
3846. ' dx
J
1 + х*
о
3847.
(* хЧх
J 1 + х* '
о
п/2
3848. j sin6*-cos* л: dx.
о
i
3849. ( - (л>1).
о
+Г
3850. J x2ne-*'dx (n—целое положительное),
Определить область Существования и выразить
рез эйлеровы интегралы следующие интегралы:
+~
385Ь ] 1Т^Г^ <л>0>-
о
+°°
3852. \ — dx.
J U + *)n
о
4-ое
3853.
С xmdx
JVT^r- (а>0'b>0'n>0)-
о
3854-1 'V+~'" * «»<■<* «*»■
а
1
dx
3855. f - (т>0).
о
п/2 п/2
3856. j sinm*cosn.xd*. 3857, | tgnxdJb
я
8858. f ^^—d* (0<|*|<1).
о
26-2383

402 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3859. J e~*ndx (л>0).
о
3860. f xme-*"dx.
oJ
i
3861. Г ("in—Ydx.
+00
3862. J" xPe-ax\nxdx (a>0).
о
3863. T ^^-dx.
J 1 + *
о
3864. 7^1^-dx.
J 1 + *
00 00
3864.1. Г x]nx dx. 3864.2. Г ln'* dx.
J 1 + *? J 1 + Jt1
о о
3865. 7 ■**-** dx.
3866.
J-^rEf-* «°<"<"-
о
Указание. Этот интеграл можно рассматривать кан
lim [В {р, е) - В (1 - р. е)1.
е-»+0
+оо
3867. Г -^-dx(0<a<p).
J shf*
о
1 а+1
3868. [\nY{x)dx. 3869, ] lnT{x)dx(a>0).
3870. J In Г (х) sin nx dx.
3871. §\nT(x)cos2nnxdx (n — натуральное число),
о

§ 4. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 4<Й
Доказать равенства:
3872 Г dx Г хЧх
о " о
-\ о
+00 +00
о о 8V2
+00 +00
3873. f e-*dx- [ *2e-*'d* = - n
п +«
3874. Д Г #*-le~*dx = (—Ут(?я)т*
m=l о
+00
3875. lim J e-*"d* = l.
П-юо О
1 1 +Г°°
Используя равенство = J /«~ie**'d/ (л;>0),
+=»
f cos ах ,
5. J —jr-й* <P<m<l).
найти интегралы:
+00
3876.
о
+°° .
3877. Г -^^-Же (0<т<2).
о
3878. Доказать формулы Эйлера:
+ Э0
a) J ^-1e-Wcosacos(^sina)d< = -^-cosou;
о А.х
+00 Г» / \
о V
(b>0, *>0, -JL<a<JLy
3879. Найти длину дуги кривой
г" = a" cos /ир (а > 0, л — натуральное).
3880. Найти площадь, ограниченную кривой
\х\п + \у\п = а» (л>0, а>0).
26'

404 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 5. Интегральная формула Фурье
1°. Представление функции
интегралом Фурье. Если 1) функция \ (х) задана на оси — оо <з
< х < +оо, 2) кусочно-непрерывна вместе со своей
производной I' (х) в каждом конечном промежутке и 3) абсолютно
интегрируема на интервале (—оо, +оо), то во всех своих точках
непрерывности она допускает представление в форме интеграла
Фурье:
/ (х) = j [а (X) cos %x + b (X) sin Xx] rfX, (1)
о
где
i(l)=- J /(5)cosX|rf£H 6(X)= — J (£)sinXfcd5.
Я —оо Л —оо
В точках разрыва функции I (х) левая часть формулы (1) должна
быть заменена на — {/ (х + 0) + / (* — 0)].
Для четной функции / (х), с тем же замечанием относительно
точек разрыва, формула (1.) дает:
t(x) = j A(X)cosXxdX, (2)
о
где
2 +?
Аналогично для нечетной функции t (x) получаем:
f(*) = J 6(X)sinXxrfX, (3)
о
где
+°°
6W-— J n£)sinXJd£.
Я о
2°. Представление функции интегралом
Фурье в интервале (0, + оо). Функция / (х), заданная
в интервале (0, +оо) и кусочно-непрерывная вместе со своей
производной {' (х) на каждом конечном интервале (а, Ь) с:
с(0,+ оо), абсолютно интегрируемая на (0, + оо), по желанию
может быть представлена в данном интервале или формулой (2)
(четное продолжение), илн формулой (3) (нечетное продолжение).
Представить интегралом Фурье следующие функции:
, 1, если |х|<1;
3881. /(*)«„ '
если \х >1.
w [О, если |х|>1.

S 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ФУРЬЕ
3883. f(x) = sgn(x—a)—sgn(x—b) (b>a).
h({ — ~T~)' №ЛИ \х\<а>
405
3884. /(*) =
О,
3885. f(x)
1
если \х\>а.
3886. /(*) =
х
а»+х2
(а>0).
(а>0).
f sin jc,
3887. /W = (0>
3888. /(*) =
если | jc 1 < я;
если |х|>я.
cosjc, если |jc| < —;
0.
если \х\> —.
2
A sin at, если 11\ <
3889. /(0 =
0.
Inn
если
|/|>——(л—натуральное число).
3890. /(*) = е-°Ч*1 (а>0).
3891. / (x) == e~a I *' cos px (a >0).
3892. / (*) = e~a Ix I sin px(a>0).
3893. f(x) = e-*'. 3894. /(х) = л:е-Л
3895. Функцию / (x) = e~x (0 < x < + oo)
представить интегралом Фурье, продолжая ее а) четным
образом; б) нечетным образом.
Найти преобразование Фурье
F (х) = —!— f / (f) e-«* dt = —^ lim \ f(t)e~iudl
-f
V2n -a
для функции / (/), если:
3896. /(je) = e-°4*l (a>0).
3897. /(x) = A*-a|*l (a>0).
3898. f(x) = er*/2. 3899. f (x) = e~ *"/2 cos ax.
3900. Найти функции <р (*) и t]) (x), если:
a) J у (у) cos xydy-.
0
+00
1+X»
6) J # (y) sin xydy = e-* (*>0).
0

ОТДЕЛ VIII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойные интегралы
1°. Непосредственное вычисление
двойного интеграла. Двойным интегралом от непрерывной
функции / (х, у), распространенным на ограниченную замкну»
тую квадрируемую область Q, называется число
Г ГI (*. у) dx dy = lim V V / (xir У1) Дх.Ду/,
J J max| Ьх(\-*0 ^ ^
max|Aj/y|-»0 ' '
где Ддс( = дс,-+1 — xi, Ду/ = y/+i — y\ и сумма
распространяется на те значения i и j, для которых (дс,-, у/) £ й.
Если область Q задана неравенствами
a -g х sg Ь, yi(x)^y-^ya (x),
где уг (х) и у2 {х) — непрерывные функции на сегменте [а, Ь],
то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по
формуле
ь «,м
J"J7<*. y)dxdy~$dx J l(x, y)dy.
Q a l/i <*>
2°. Замена переменных в двойном и н т е •
Г р а л е. Если непрерывно дифференцируемые функции
х = х (и, v), у = у (и, v)
осуществляют одно-однозначное отображение ограниченной и
замкнутой области ft в плоскости Оху на область Q' в
плоскости Ouv, и якобиан
j _ D (*. У)
D{u, v)
сохраняет постоянный знак в Я за исключением, быть может,
множества меры нуль, то справедлива формула
П/(*. y)dxdy=Hl(x(u, v), y(u, v))[I\dudv.
а а'
В частности, для случая перехода к полярным координа«
там г и ф по формулам х = г cos ф, у = .г sin ф имеем:
И / (*. y)dxdy = Hl(r cos ф. г sin ф) г dr dy
О О'

§ !. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
407
3901. Вычислить интеграл J J xydxdy,
рассматривая его как предел интегральной суммы,
разбивая область интегрирования на квадраты прямыми
х = i/n, у = /7/1 (»', /=1,2 л—1)
и выбирая значение подынтегральной функции в
правых верхних вершинах этих квадратов.
3902. Составить нижнюю S и верхнюю S
интегральные суммы для функции / (х, у) — х2 + у2 в области
1 <: х < 2, 1 < у < 3, разбивая последнюю на
прямоугольники прямыми
х = 1 + -L, у = 1 +2L («, / = о, 1 л).
п п
Чему равны пределы этих сумм при п -+• оо?
3903. Приближенно вычислить интеграл
г г dxdy
)) д/24 +*• + »•
аппроксимируя область интегрирования системой
вписанных квадратов, вершины которых Л</ находятся в
целочисленных точках, и выбирая значения подынтегральной
функции в вершинах этих квадратов, наиболее
удаленных от начала координат. Сравнить полученный
результат с точным значением интеграла.
3904. Приближенно вычислить интеграл J" J" *Jx-f у dS,
s
где S —треугольник, ограниченный прямыми х = 0,
у — 0 и х + у = \, разбив область S прямыми х =
= const, у = const, х + у = const на четыре равных
треугольника и выбрав значение подынтегральной
функции в центрах тяжестей этих треугольников.
3905. Область S {х2 + у2 < 1} разбита на конечное
число квадрируемых частей ASC (i = 1, 2, . . . , п)
диаметра меньше чем 6. При каком значении 6 будет
обеспечено выполнение неравенства
J"j" sin (x+у) dS - £ sin {xt + уд AS,-
где {xh yi) £ AS,?
<0,001,

408 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить интегралы:
II IX
3906. | dx j" {х + у) dy. 3907. j" dx f xif dy.
0 0 0 x'
2я а
3908. j" d<pj*r2sin2q>dr.
о о
3909. Доказать равенство
А В
ttX(x)Y(y)dxdy = { X(x)dx- j" Y (y)dy,
R a b
если R — прямоугольник: a < x < A, b ^ у <, В, и
функции X (x) и У (г/) непрерывны на соответствующих
сегментах.
/t В
3910. Вычислить 1 = 1 dx\ f {x, у) dy, если
а Ь
f (x, у) = F'x'y (x, у).
3911. Пусть f (x) — непрерывная функция в
промежутке а < х < Ь. Доказать неравенство
[Ь -1» Ь
J/(*)dxJ <(b-a)I/aWdx,
где знак равенства имеет место лишь, если / (х) = const-
Указание. Рассмотреть интеграл
ь ь
$dx$[f(x)-f(y)}2dy.
а а
3912. Какой знак имеют интегралы:
а) || Inix^ + y^dxdy;
б) И Vl-x'-y'dxdy;
x'+!f<4
в) || arcsin(x+у) dxdy?
0<х<1
—i<j/<i-*
3913. Найти среднее значение функции
/ (х, у) — sin2x sin2i/
в квадрате: 0 < х < я, 0 < t/ < я.
3914. Пользуясь теоремой о среднем, оценить
интеграл
/= ff dxdy
J J 100 + cos2 x + cos21/
w+i*i<io

5 i. двойные интегралы 409
3915. Найти среднее значение квадрата расстояния
точки круга (х—а)2 + {у—b)2 < R2 от начала
координат.
В задачах 3916—3922 в двойном интеграле
Hf(x,y) dxdy расставить пределы интегрирования в
Q
том и другом порядке для указанных областей Q.
3916. Q — треугольник с вершинами О (0, 0), А (1, 0),
В(\, 1).
3917. Q—треугольник с вершинами 0(0, 0),
А (2, 1), В (- 2, 1).
3918. Q —трапеция с вершинами О (0, 0), А (1, 0),
В(1, 2), С(0, 1).
3919. Q — круг х2 + у2 < 1.
3920. Q — круг х2 + у2 < у.
3921. Q — параболический сегмент, ограниченный
кривыми у — х2 и у = 1.
3922. Q — круговое кольцо 1 < х2 + у2 < 4.
3923. Доказать формулу Дирихле
\dx]f(x, y)dx = [dy]f{x, y)dx (a>0).
0 0 0 у
Изменить порядок интегрирования в следующих
интегралах:
2 2х 2 2-х
3924. JdxJ/(x, y)dy. 3925. $ dx j" f(x,y)dy.
Ox —6 (xV4)—1
1 x'
3926. U*U(x> y)dy.
0 x3
3927. ] dx Т_/(ж, y)dy.
3S28. fd/T^M*. </)ф.
1 2-х
2o V2oF
3929. J dx ] f(x, y)dy (a>0).
0 л/2ах—х*
3930. fdx j" /(*, jfldj,.
1 0
2л sin д:
3931. j" ^ j" /(x, j,)^.
0 0

410 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить следующие интегралы:
3932. J J хуЫх dy, если область Q ограничена
nasi
раболой уг = 2рх и прямой х = р12 (р > 0).
3933. f Г — у (а > 0), если область Q ограни-
J J V2a-*
Q
чена кратчайшей дугой окружности с центром в точке
(а, а) радиуса а, касающейся осей координат, и осями
координат.
3934. Г| \xy\dx dy, если Q — круг радиуса а о
я
центром в начале координат.
3935. f f (x2 + у2) dx dy, если й — параллелограмм
Q
со сторонами у *= х, у = х + а, у — а и у — За (а > 0).
3936. f Г y2dx dy, если Q ограничена осью абсцисс
Q
и первой аркой циклоиды х — a (t — sin t), у =
= а (1 — cos /) (0 < / < 2л).
В двойном интеграла
j"j7(x, y)dxdy
а
перейти к полярным координатам г и ф, полагая х =
= г cos ф и у — г sin ф, и расставить пределы
интегрирования, если:
3937. Я — круг х2 + у2 < а2.
3938. Q — круг х2 + у2 < ах (а > 0).
3939. Я — кольцо a2 «S х2 + у2 < ft2.
3940. й — треугольник 0 < х < 1; 0^#< 1-х.
3941. й — параболический сегмент — а < х < а;
*2/а < # ^ а.
3942. В каком случае после перехода к полярным
координатам пределы интегрирования будут
постоянные?
Перейти к полярным координатам г и ф, полагая
х — г cos ф и у = г sin ф, и расставить пределы
интегрирования в том и другом порядке в следующих
интегралах:
I I ! VT^t»
3943. j&J/(x, y)dy, 3944. I dx j" f (x, y)dy.
0 0 0 1—ж

§ I. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 411
2 W3
3945. Jdx J f{-y/x2 + y*)dy.
3946. JdJcJ/fc, f/)dy.
3947. ||M*. y) dx dy, где область Q ограничена
с
кривой (х^ + уг)г = аг (хг—у2) (х > 0).
Предполагая, что г и ф — полярные координаты,
изменить порядок интегрирования в следующих
интегралах:
л/2 a cos Ф
3948. J dq> | /(ф, r)<ir (a>0).
—Я/2 0
я/2 а Vsin2q>
3949. | <fq> J /(ф, r)dr (а>0).
о о
О (р
3950. Х^ф Г/(ф, r)dr (0<а<2л).
Перейдя к полярным координатам, заменить
двойные интегралы однократными:
3951. J-]- fWx*Tyi~)dxdy.
3952. JJ/(V?+7)dx^. Q = {\y\<\x\, |дс |<1}.
3953. Г Г fUL\dxdy.
Переходя к полярным координатам, вычислить
следующие двойные интегралы:
3954. || У^+у dxdy.
3955. jj ыпл/х2 + уг dxdy.
3956. Квадрат S {а < х < а + h, Ь < у < Ь + h}
(а >• 0, b >• 0) с помощью системы функций
и = у2/*, о = -у/ху
преобразуется в область S'. Найти отношение площади
области S' к площади S. Чему равен предел этого
отношения при h -*■ 0?

412 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вместо хну ввести новые переменные ииои
определить пределы интегрирования в следующих двойных
интегралах:
Ь р*
3957. J dx J" / (jc, у) dy (0<a<b; 0 < а < P),
a ax
еСЛИ U = X, V = (//*.
2 2-х
3958. f djc J / (jc, t/) dy, если ы = jc + у, v = x—y.
0 1-х
3959. JJ/(*» y) dx dy, где область Q ограничена
q _
кривыми д/Jc + -yjy = V^> * = 0, t/ = 0 (a > 0),
если jc = ы cos*u, у — и sin4u.
3960. Показать, что замена переменных
х + у = 1, у = |т)
переводит треугольник 0 < х < 1, 0 < t/ < 1 —jc в
единичный квадрат 0 < £ < 1, 0 < т] < 1.
3961. При какой замене переменных криволинейный
четырехугольник, ограниченный кривыми ху = I,
ку = 2, х—у +1=0, х—у~ 1 =0 (х > 0, у > 0),
перейдет в прямоугольник, стороны которого
параллельны осям координат?
Произведя соответствующие замены переменных,
свести двойные интегралы к однократным:
3962. J J f(x + y)dxdy.
3963. J f / (ojc + by + c) dx dy (a2 + b2 Ф 0).
3964. j" j" / (xy) dx dy, где область Q ограничена
кривыми ху = 1, jet/ = 2, t/ = jc, у ■= 4jc (jc > 0, t/ > 0).
Вычислить следующие двойные интегралы:
3965. f J (jc + t/) djc dy, где область Q ограничена
'о
кривой jc2 + у% = jc + t/.
3966. JJ (|jc| + |*/|)djcd*/.
I*l+M<'
3967
D
. \\ Д/* —t ~- dxdy, где область Q
ограничена эллипсом -—^.~- = 1.

$ I. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 413
3968. J" Г (х2 + уг) dx dy.
3969. j" j (x + y) dx dy, где область Q ограничена
о
кривыми у2 — 2x, x + у — 4, x + у = 12.
3970. П xy dx dy, где область Q ограничена кри-
а
выми ди/ = 1, х + у = 5/2.
3971. J7 |cos(jc + i/)|dxdt/.
0<дг<Я
3972. fC |^-^ jcl—t/2
V2
dxdt/.
3973. Я Vl</-*2|d*4/.
0<V<2
Вычислить интегралы от разрывных функций:
3974. [ Г sgn (jc2—уг + 2)dx dy.
*Ч-|/«<4
3975. J Г [x + y]dxdy. 3978. J J" V(l/—x*\ dxdy.
3977. Доказать, что ff xmyndxdy=0, если
тип — целые положительные числа и по меньшей
мере одно из них нечетно.
3978. Найти
lim-1- ff f(x, у)dxdy,
р-о яр2 ^^
где f (x, у) — непрерывная функция.
3979. Найти Ff (t), если
3980. Найти f" (/), если
F(t)= И Vx^Wdxdy.
3981. Найти /" (/), если
F(0= Jf f(x, y)dxdy (t>0).
*+Уг<Р

414 ОТДЕЛ Vtn. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3982. Доказать, что если f (x, у) непрерывна, то
функция
и(х, 4f) = -i-JdE I /(?. т»)лГт|
2 0 1-х+у
удовлетворяет уравнению
3983. Пусть линии уровня функции f (x, у) —
простые замкнутые кривые и область S (ог, и,) ограничена
кривыми f (х, у) = v1uf (х, у) = vv
Доказать, что
J J f{x, y)dxdy = ]'vF(v)dv,
где F (v) — площадь, ограниченная кривыми / (x, y)=vt
и f (x, y) = v.
Указание. Область интегрирования разбить на части,
ограниченные бесконечно близкими линиями уровня функции
i (x, у).
§ 2. Вычисление площадей
Площадь области S, расположенной в плоскости Оху,
дается формулой
S = Hdxdy.
s
Найти площади, ограниченные следующими
кривыми:
3984. ху = а2, х + у =— а (а > 0).
3985. у2 = 2рх + р2, у2 = — 2qx + q2 (p> О,
9>0).
3986. (х—у)2 + х2 = а2 (а > 0).
Переходя к полярным координатам, вычислить
площади, ограниченные следующими кривыми:
3987. (х2 + у2)2 = 2а2 (х2—уг); х2 + у2 > а2.
3988. (*3 + у3)2 = х2 + у\ х>0, у>0.
3989. (х* + у2)2 = а (х*—3ху2) (а > 0).
3990. {х% + у2)2 = 8а2ху; (х — а)2 + {у—а)2 < а2
(а>0).

$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 415
Вводя обобщенные полярные координаты г и <р по
формулам
х = ar cos™ <р, у = br sin™ q> (r > 0),
где а, ft и а — надлежащим образом подобранные по«
стоянные и —**' у' — а аЬг соя*-' го sin06-1 го, найти
О (г. ф)
площади, ограниченные следующими кривыми (параметры
считаются положительными):
i Vх _ х . у
3991.
а2 6г ft ft
3992. -iL + —= —+~; «-О, у = 0.
а» ^6» A» ft2 *
39М- (f+f )'-£+£' <*>»• »>°>-
39M- (f+f)'-f-£■ <*>°- *>°>-
3994
\a ^ b ) ~ с*
3995. -j/jL + yX = l;x = 0, y=0.
Производя надлежащую замену переменных, найти
площади фигур, ограниченных кривыми:
3996. х + у — а, х + у = Ь, у = cue, У = Р*
(0 < а < Ь; 0 < а < Р).
3997. ху = а2, ху = 2а2, у — х, у = 2х (х>&,
у>0).
3998. уг = 2рх, у2 = 2?*, х2 = 2гу, л;2 = 2sy
(0 < р < q\ 0 < г < s).
3998.1. л:2 = ау, х2 = 6у, *3 = су2, х* = dy*
(0<а< Ь; 0<c<d).
3998.2. у = ахР, у = 6*", у = сх", у = d*«,
(0</><<?; 0<a<6;J)<c<d).
з9"- Vf+Vf -ь V-F+Vf-*
^•'•°(тГ+(1г-'- (fr+(fr-*
а о a o

416 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4000.
X + А,-са
значения:
с\
2 я 4 .
— с\ — с*
3 3
1, где Я, принимает следующие
. -сг (х>0,у>0).
3 3 3 3
4001. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(а^ + fcj# + cj2 + ifliX + brf + с2)2 = 1,
где 6 = афг — агЬ1 Ф 0.
4002. Найти площадь, ограниченную эллипсами,
сп*и
ж2
■ + ■
sh2u
= с*
(ы = ых, ы2) и гиперболами
cos* о
У = с* (у = ух, t>2) (0 < Ых < Ы2!
sin2 о
0 < ух < и2; * > 0, у > 0).
Указание. Положить * = cch u cos о, у = csh «sine.
4003. Найти площадь сечения поверхности
*2 + уг + г2 — х«/ — хг — уг = а2*
плоскостью х + I/ + г = 0.
4004. Найти площадь сечения поверхности
1
1
•+—+—=о
х у г
плоскостью г = 1—2 (х + у).
§ 3. Вычисление объемов
Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной
поверхностью г = I (х, у) ;> 0, снизу плоскостью г = 0 и с боков
прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из пло»
скости Оху квадрируемую область Q (рис. 14), равен
V = JJ/ (jc, y)dxdy.
о

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 417
4005. Нарисовать тело, объем которого равен
интегралу
V=Jd* | (х* + у*)<1у.
4006. Изобразить объемы, выражаемые следующими
двойными интегралами:
а) Я (x + y)dxdy,
• $$ V1--f-f**
в) И (# + t?)dxdy,
г) Я -y/x^+lfdxdy,
Д) Я -yjxydxdy;
е) J J sin п л/х2 +у* dxdy.
Найти объемы тел, ограниченных следующими по«
верхностями:
4007. z = I + х + у, г = 0, дс + г/ = 1, * »= О,
у = 0.
4008. д: + у ± z = а, х2 + уг = R2, * = 0, у = О,
г = 0 (а > #V 2).
4009. г = х2 + г/2, у = х\ у — 1, г = 0.
4010. z = cos * cos у, г = 0, | * + у\ < л/2,
|* — у\ < л/2.
4011. z = sin -22-, г = 0, у = х, у = 0, * = п.
4012. г = ху, х + у + г = 1, г = 0.
Переходя к полярным координатам, найти объемы
тел, ограниченных следующими поверхностями!
4013. г* = ху, х* + у% = а\
2J—X34

418 ОТДЕЛ VIU. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4014. г = х + у, (х* + у2)* = 2ху, г - 0 (х > О,
У>0).
4015. г = хг + у2, х* + уг - х, х2 4- #2 = 2х, г =0.
4016. х2 + у2 + г* = а2, х2 + #2>а |х| (а> 0).
4017. х2 + у2—аг = 0, (х2 + у2)2 = а2 (х2—у2),
г = 0 (а > 0).
4018. г = <Ги,+й\ г = 0, л:2 + j/2 = Я2.
4019. z — с cos я"у*+у ^ г — 0, y — xtga,
2а
У= xigfr (а >0, с > О, 0 «£ а < 0 «S 2я).
4020. г = х2 + у2, г = х + у.
Найти объемы тел, ограниченных следующими
поверхностями (параметры предполагаются
положительными):
4021. -4. + -Jr + ™l. -4 + -7Г = ^Т-(г>°>-
аг о1 с* а' Ьъ с%
4022. -il + J!l-4- = -l. — + -^=I.
a2 6a ca а' Ьг
«■4.(-£-+£Г+^-1..-а
4025. ^-£- + -J-y + -£-el, х = 0, {/ = 0. г = 0.
4026. J.+JC + JL»!. (JL+JLX-JL-JL.
а* Ь* с* \ а? Ь» J а3 Ь»
4027. г2 = ху, х + у = а, х + у = Ь (0 < а < Ь).
4028. г = хг + у2, ху = а2, ху = 2а2, у =-J-,
у = 2х, г = 0.
4029. г = х#, х2 = у, х2 = 2#, #2 = х, #2 = 2х,
г = 0.
4030. г = с sin 2^-, г = 0, ху—а2, у — а.х, у — $х
(0 < а < Р; jc > 0).
4031. г = х3" + t^2, г = 0, х+у = 1,х = 0, ^ =0.
«■ -£+£+i='• (ff+Ctr-1-
г=0.

§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ 419
4033. г = с arctg -^-, z = 0, <\/х*+у* = a arctg -^-
X X
(У>0).
4033.1. г = ye-*v'a', ху=аг, ху= 2а2, у = т, у = п,
г = 0 (0 < m < л).
4034. J£- + JC-+-E1=1, х = 0, у=0. 2=0 (л >0).
дП jn (Л
4035. (JL + Xy +(_!_)"* = 1, x = 0. у»0, 2 = 0
(л>0, т>0).
§ 4. Вычисление площадей поверхностей
Г. Случай явного задания поверхности.
Площадь гладкой криволинейной поверхности г — г (х, у)
выражается интегралом
с
где fi — проекция данной поверхности на плоскость Оху.
2°. С л у ч. а й параметрического задания
поверхности. Если уравнение поверхности задано
параметрически:
х = х (и, о), у = у (и, о), г — г (и, о),
где (и, и) £ Я, Q — ограниченная замкнутая квадрируемая
область и функции х, у и г непрерывно дифференцируемы
в области Q, то для площади поверхности имеем формулу
S=JJV£G —F* dudv.
а
'-(■£)■+(■£?+(-=-?•
F дх дх . ду ду . дг дг
ди ди ди ди ди ди
4036. Найти площадь части поверхности аг = дс#,
заключенной внутри цилиндра х2 + у2 — а2.
4037. Найти площадь поверхности тела,
ограниченного поверхностями х2 + г2 = а2, у2 + г2 — а2.
4038. Найти площадь части сферы х2 + у2 + г2 =а\
заключенной внутри цилиндра —— -\—У— = 1 (b sg a).
27*
где

420 ОТДЕЛ VIU КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4039. Найти площадь части поверхности г* = 2ху,
отсекаемой плоскостями х + у = 1, jc = 0, у = 0.
4040. Найти площадь части поверхности х2 + у2 +
+ г* = а2, расположенной вне цилиндров х2 + у2 =»
= ± ах (задача Вивиани).
4011. Найти площадь части поверхности г =
= V х* + Уг> заключенной внутри цилиндра х2 + у2 =
«- 2jc.
4042. Найти площадь части поверхности г =
= V х2—у2, заключенной внутри цилиндра (х2 + у2)2—
= а* (х2-у2).
4043. Найти площадь части поверхности г =
е= — (дс2—уг), вырезанной плоскостями х—у = ± 1,
х + у = ±1.
4044. Найти площадь части поверхности х2 + у1 =»
= 2аг, заключенной внутри цилиндра (х2 + у2)2 =
= 2а2ху.
4045. Найти площадь части поверхности х2 + уг =
= а3, вырезанной плоскостями х + г = 0, jc—г = 0
(jc> 0, у > 0).
4045.1. Найти площадь части поверхности
(jc2 + у2)312 + г = 1,
отсекаемой плоскостью г = 0.
4045.2. Найти площадь части поверхности
\ а Ь ) с
вырезанной плоскостями х — 0, у = 0 и г = 0.
4045.3. Найти площадь части поверхности
вырезанной поверхностью
4045.4. Найти площадь части поверхности
sin г == sh jc-sh у,
отсекаемой плоскостями дс === 1 и х = 2 (у > 0).
4046. Найти поверхность и объем тела,
ограниченного поверхностями х2 + у2 = -у г'» х+у + г=2а
(а > 0).

S 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 421
4047. Найти площадь части сферы, ограниченной
двумя параллелями и двумя меридианами.
4048. Найти площадь части геликоида х = г cos ф,
у = г sin ф, z ==» Лф, где 0 < г < а, 0 < ф < 2л.
4049. Найти площадь части поверхности тора
х = (b + a cos i|>) cos ф, у = (b + a cos o|>), sin ф, z =
= a sin г|? (0 < a sg ft), ограниченной двумя
меридианами ф = Ф1, ф = фг и двумя параллелями г|> = i|>i,
Чему равна поверхность всего тора?
4050. Найти телесный угол со, под которым виден
из начала координат прямоугольник х — а > 0,
0 *3 </ «2 ft, 0s£zs£c.
Вывести приближенную формулу для со, если а
велико.
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике
1°. Ц е н т р тяжести. Если хв и у0 — координаты
центра тяжести пластинки П, лежащей в плоскости Оху, и р =
= Р (■*• У) — плотность пластинки, то
х0 =—- X I pxdxdy, Уо = — \ \ pydxdy, (1)
а а
где М = j \p dx dy — масса пластинки.
Q
Если пластинка однородна, то в формулах (1) следует
положить р = I.
2°. Моменты инерции. 1Х и 1У — моменты
инерции пластинки £2, лежащей в плоскости Оху, относительно
координатных осей Ох и Оу — выражаются соответственно формулами
'* =* Я ру2 dx d,j- '»- Яр*2 dx dy" (2>
$) а
где р = р {х, у) — плотность пластинки.
Рассматривается также центробежный момент инерции
Ixy=\\9xydxdy. (3)
Q
Полагая р = I в формулах (2) и (3), получим
геометрические моменты инерции плоской фигуры.
4051. Найти массу квадратной пластинки со
стороной а, если плотность пластинки в каждой точке
пропорциональна расстоянию этой точки от одной из
вершин квадрата и равна р0 в центре квадрата.

422 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти координаты центра тяжести однородных
пластинок, ограниченных следующими кривыми:
4052. ау — х2, х + у = 2а (а > 0).
4053. У^с + У~у = л/~а, х = 0, у = 0.
4054. х2'3 + tf'3= а2/3 (* > 0, у> 0).
4055. fJL + JLY=_£iL (петля).
\ а Ь ) с2
4056. (х2 + у2)2 = 2а2ху {х > 0, у > 0).
4057. г = а (1 + cos ф), ф = 0.
4058. * = а (/ — sin /), у — а (1 — cos /) (0< /<2л),
* = 0.
4059. Найти координаты центра тяжести круглой
пластинки х2 + у2 eg а2, если плотность ее в точке
М {х, у) пропорциональна расстоянию точки М от точки
А (а, 0).
4060. Определить кривую, описываемую центром
тяжести переменной площади, ограниченной кривыми:
у = У 2рх, у = 0, х = X.
Найти моменты инерции 1Я и 1У относительно осей
координат Ох и Оу площадей (р = 1), ограниченных
следующими кривыми:
4061. -~ + -f = 1. -r-+-f = l. 0 = 0 (&х>0,
b2>0, h>0).
4062. (*—а)2 + (t/—а)2 = а2, * = 0, у = 0 (0<*<а).
4063. г = а (1 + cos ф).
4064. х* + у* = а2 (*2 + t/2).
4065. *у = а2, *# = 2а2, х = 2у, 2х = у {х> 0,
У>0).
4066. Найти полярный момент
lo^^^ + ^dxdy
площади S, ограниченной кривой
{х* + у2)2 = а2 (х2-у2).
4066.1. Найти центробежный момент инерции 1ху
однородной фигуры, ограниченной кривыми
ау = х2, ах = у2 (а > 0).
4067. Доказать формулу /, = /^ + Sd2, где /,,
/г — моменты инерции фигуры S относительно двух

% 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 423
параллельных осей / и /0, из которых /„ проходит через
центр тяжести фигуры и d — расстояние между этими
осями.
4068. Доказать, что момент инерции плоской
области S относительно прямой, проходящей через ее центр
тяжести О (0, 6) и составляющей угол а с осью Ох.
равен
/ = /xcos2a — 2Ixysin a cos a + /„sin2**,
где I„ и /у — моменты инерции области S относительно
осей Ох и Оу и 1ху — центробежный момент:
Ixy = l\?xydxdy.
4069. Найти момент инерции правильного
треугольника со стороной а относительно прямой, проходящей
через центр тяжести треугольника и составляющей
угол а с его высотой.
4070. Определить силу давления воды на боковую
стенку х >• 0 цилиндрического сосуда хг + у% = а%,
г — 0, если уровень воды г = А.
4071. Шар радиуса а погружен в жидкость
постоянной плотности 6 на глубину А (считая от центра шара),
где h > а. Найти силу давления жидкости на верхнюю
и нижнюю части шаровой поверхности.
4072. Прямой круговой цилиндр, радиус основания
которого равен а, а высота Ь, целиком погружен в
жидкость плотности 6 так, что центр его находится на
глубине А под поверхностью воды, а ось цилиндра
составляет угол а с вертикалью. Определить силу давления
жидкости на нижнее и верхнее основания цилиндра.
4073. Определить силу притяжения однородным
цилиндром хг + уг < а2, 0 < г < А, материальной точки
Р (0, 0, Ь), если масса цилиндра равна М, а масса точки
равна т.
4074. Распределение давления тела на площадку
смятия
о» ft*
дается формулой р = р„ П ^ Т)-
Определить среднее давление тела на эту площадку.
4075. Луг, имеющий форму прямоугольника со
сторонами а и Ь, равномерно покрыт скошенной травой

424 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
с плотностью, равной р кгс/м2. Какую минимальную
работу надо затратить, чтобы собрать все сено в центре
луга, если работа по транспортировке груза Р кгс на
расстояние г равна kPr (О < k < 1).
§ 6. Тройные интегралы
Iе. Непосредственное вычисление т
ройного и- нтеграл а. Если функция I (х, у, г) непрерывна и
Область V ограничена и определяется следующими
неравенствами:
*isS*=S*j. yi(*)*S y^ftW. *i (*. ?)^г«г,(х, у),
где ух (х), у, (х), zt (х, у), z2 (xt, у) — непрерывные функции,
то тройной интеграл от функции I (х, у, г), распространенный на
область V, может быть вычислен по формуле
*> v> (*> *» (*. у)
JJjM*. 9. z)dxdydz = $dx j dy J" f(x, у, z)dz.
V x, у, (ж) г, (х ■ у)
Иногда удобно также применять формулу
J f J f(x. у, z)dxdydz = $ dx JJ* f(x, у, z)dydz,
где S (x) — сечение области V плоскостью х =* const.
2°. Замена переменных в тройном
интеграле. Если ограниченная кубируемая замкнутая область
V пространства Охуг взаимно однозначно отображается на
область V пространства O'uvw с помощью непрерывно
дифференцируемых функций
х— х(и, v, w), у— у (и, v, а), г= г {и, v, w),
D (х, у, г)
причем якобиан / = — при (и, о, w) С V', почти
D (и v, w)
всюду (в смысле меры) сохраняет постоянный знак, то
справедлива формула
Ш/<*. y,z)dxdydz =
v
"Ф
/ (х (и, v, w), у (и, v, if), г (и, v, w)) | / | du av dw.
Как частные случаи, имеем: 1) цилиндрическую систему
координат <р, т, h, где
х = г cos <р, у — г sin ф, г = А,
н
Р(х.У.г) ^г
D(r, <p. Л)

5 6. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 42t
в 2) сферическую систему координат <р, \f, г, где
х = г cos ф cos if, 0 = г sin ф cos if, z= r sin if,
и
D(x, у, г) ,
v g'—J- = r2 cos if.
О (г, ф. if)
Вычислить следующие тройные интегралы:
4076. j" f j" xy*z3dx dy dz, где область V
ограничена поверхностями z = ху, у = х, -х = 1, z = 0.
4077. I I I у , где область V ограничена
(1 + х+У + г)3
V
поверхностями х + у + z = 1, х = 0, у — 0, z = 0.
4078. f JJ xyzdxdydz, где область К ограничена
поверхностями ** + уг + г2 = 1, х = 0, J/ = 0, г = 0.
4079. f f (YJi. + Ji + JLWdt/dz, где область V
ограничена поверхностью
в, + ь, + с» - ь
4080. JJJV^H-fi^ dxdydz, где область К огра-
ничена поверхностями
*а + «/* = za, z =» 1.
Различными способами расставить пределы
интеграции в следующих тройных интегралах:
1 1-х х+у
4081. Jdx f dt/ J/(*, y, z)dz.
обо
i VT11*3 i
4082. \dx l_dy _£_/(*, y, z)dz.
-i _Vi-x« -vW»'
1 1 *4-y*
4083. Jd*fd(/1 f(x, y, z)dz.
обо
Заменить тройные интегралы однократными:
4084. | dl | dn J/ © d£. 4085. | dx | d/p (z) dz.

426 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4086. Найти
ЛВС
ldxldy\f{x, у, z)dz,
а Ь с
если / (х, у, г) = F'x'u'x (x, у, г) и а, Ь, с, А, В, С —
постоянные.
Переходя к сферическим координатам, вычислить
интегралы:
4087. JfJV^2 + у2 + г2 dxdydz, где область V
ограничена поверхностью хг + уг + г- = г.
4088. \dx [ dx J" гЧг.
4089. Перейти к сферическим координатам в
интеграле
ф7 (V*2 + У2 + ?)dxdydz,
где область V ограничена поверхностями г = хг + «Д
дс = у, х — 1, у = 0, г = 0.
4090. Произведя соответствующую замену
переменных, вычислить тройной интеграл
х1 i/2 га
где V — внут ренность эллипсоида —- + -2— -\ = 1.
а" Ъ* с*
4091. Перейдя к цилиндрическим координатам,
вычислить интеграл
\[\{х* +у*) dxdydz,
где область V ограничена поверхностями хг + у2 = 2г,
2=2.
4092. Вычислить интеграл JfJ x*dxdydz, где
область V ограничена поверхностями г = а#г, г = 6#г,
#>0 (0<а<6), z = ax, z = $х (0< а < р"), г =
= h (h > 0).
4093. Найти интеграл J" f j" xyzdx dy dz, где
область V расположена в октанте х> 0, г/>0, г > 0

« 6. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 42!
и ограничена поверхностями:
г= *i + yt , z = х% + уЛ , ху = а\ ху = Ь\ у = ах, у = $х
т п
(0< а < Ь; 0 < а < Р; 0 < т < п).
4094. Найти среднее значение функции
/ (х, у, г) = х2 + у2 + г2
в области х2 + у2 + г2 < х + у + г.
4095. Найти среднее значение функции
f(x, у, z) = /V <" + * +"
X1 V9 22
в области г- —Н < Ь
а? Р с2
4096. Пользуясь теоремой о среднем, оценить
интеграл
в- fff ***
где а2 + Ь2 + с2 > Л2.
4097. Доказать, что если функция / (х, у, г)
непрерывна в области V и
Ш/(*. У. z)dxdydz = Q
ш
для любой области <о а V, то / (*, г/, г)г0 при
4098. Найти /=" (/), если:
а) F(t)= Ш f(x2+y2 + z2)dxdydz,
где / — дифференцируемая функция;
б) F(f)=Sttf{xyz)dxdydz,
0«я</
где / — дифференцируемая функция.
4099. Найти
Ш xmtfzpdxdydzt
где т, п и р — целые неотрицательные числа.
4100. Вычислить интеграл Дирихле
^^"{/'/(l-x-y-zfdxdydz
V
(р>0, д>0, r>0, s>0),

428 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где область V ограничена плоскостями х + у + * =* 1»
К — О, у = О, 2 = 0, полагая
х + у + z = I, у + z = {-т), г = £ц£.
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
Объем области V выражается формулой
V=l^dxdljd2.
Найти объемы тел, ограниченных следующими
поверхностями:
4101. г = х2 + #а. z = 2х* + 2у2, у = х, у = х2.
4102. г == х + у, г = ху, х -f у = 1, лс = 0, # = 0.
4103. х% + г2 = а2, дс + # = ± а, л—у — ± а.
4104. аг = х2 + #2, г = У** + #2 (а > 0).
4105. аг = а2—х2—#2, г = а—х—у, х = 0, # = О,
2 = 0 (а > 0).
4106. г = 6—х2—у2, г = У*2 + #2.
Переходя к сферическим или цилиндрическим
координатам, вычислить объемы, ограниченные
поверхностями:
4107. х2 + у2 + г2 = 2аг, х2 + у2 < 2s.
4108. (х2 + у2 + г2)2 = а2 (х2 + #2 — г2).
4109. (х2 + у2 + г2)3 = Зхуг.
4110. х2 + у2 + г2 = а2,
хг + у2 = г2 (г > 0) (0 < а < *).
X2 + #2 + 22 = б2,
В следующих примерах удобно пользоваться обобщенными
сферическими координатами
г, ф и ф|г>0; 0г£фг£2я; — ^psS )•
вводя их по формулам
х = or cosa ф cos*5 ф,
у= Ьг sina ф cos" ф,
г «= cr sine ф
= oPaftc/^cos
(а, Ь, с, ее, р" —постоянные),
Р(х, У, г)
D (л ф, i|>)
'^a_, ф sina_1 ф cos
^-'фмпР-'ф.

J 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 429
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями;
\а* Ь* (?) h
4U2. fi + Jt + iY^i + it.
\с? b? (?) о* Ь»
4,12.1. (*. + £.+ *.)*-£ + £.-*..
\а* Ь* (?) a2 Ь* (?
4„з. Л+Jt+JUi, *.+•£ = -L.
а2 Ь* с2 о* Ь» с
4114. l + i + 1-l. 4115. (^l + J<lY + JUl.
а» 6* с* Ч а2 Ь») с*
Пользуясь подходящей заменой переменных,
вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями
(параметры предполагаются положительными):
4116. (JL + X + ^YB,JL + _L(x>o,y>0,2>0).
V а 6 с / /t A
4116.1. (-L + -*- + _LY = JL_X (Х>0, у>0, г>0).
\а Ь с J h k
4117. (JL + JL + _LY = ia(je>o, y>Q, г>0).
\ a b с J abc
4118. (JL + JLy + ^iy^i (X>0, y>0, z>0).
4118.1. ^JjL+^JjL+^-L = \ (X>0, y>0,
>0). ^_ _ [__
4118.2. |/Л^-+|/ЛХ + }J~± = \ (x>0, y>0,
4119. г = *2 + #2, г = 2 (*2 + #2), дсу = a\ xy -
- 2a2, * = 2y, 2* = у {х>0, у> 0).
4120. r8 + z2 = а2, *2 + г2 = ft2, *2—у2—z2 = 0
(л: > 0).
л . -2чз... a'*3
4121. (x* + 02 + z2);
*»+</»

430 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
а
4123.
X
а
= 1,
JL + JL
а Ь
о
х = 0,
г
с
Х =
2
я
-а.
larosinC-^+i + iV
я Ч о ft с /
JL-i.JL = _L
4124. Л + Х + ^ = 1П « * *
a ft с
а ft
ж = 0, г = 0,
ft с
a ft с
1.
4125. В каком отношении делит объем шара
#? + у2 + г2 < 4аг поверхность х% + уг + аг = 4а2?
4126. Найти объем и поверхность тела,
ограниченного поверхностями х*: + у* — аг, г = 2а — У**• + у2
(а > 0).
4127. Найти объем параллелепипеда, ограниченного
ллоскостями
щх + 6tt/ + с^г = ± A, (t = 1, 2, 3),
если
Д =
«I *1 Ci
=7<=0.
4128. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(а,* + Ьху + ctz)* + (агх + Ь^у + сгг)2 +
+ \а3х + Ь3у + с3г)2 = А2,
если
Д =
<ч
*t
а»
ftl Cl
ft, с,
ft» Сз
#о.
4129. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
V a* ftV с4" h\a* ftV V '
4130, Найти объем тела, расположенного в
положительном октанте пространства Охуг (х > 0, у > 0, г > 0)

S в. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 431
и ограниченного поверхностями:
-£+£+■£ "! Сп>о. п>о, Р>о),
Х = 0, у = 0, 2 = 0.
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
1". М а с с а тела. Если тело занимает объем V a
Р — Р (*. У. г) — плотность его в точке (лс, у, г), то масса тела
равна
Л1 == J f j"p dxdydz. (1)
2". Центр тяжести тела. Координаты центра
тяжести (х0, yt, г0) тела вычисляются по формулам
М у
—гф
руdxdydz,
(2)
*(> = — $ U Ptdxdydz.
М Jv?J
Если тело однородно, то в формулах (1) я (2) можно поло-
жить р — 1.
3°. Моменты инерции. Моментами инерции тела
относительно координатных плоскостей называются
соответственно интегралы
lxy = J f j" pz2dx dydz, /j,r = nj V**** & d*>
'zx-^^y'dxdydz.
Моментом инерции тела относительно некоторой оси \
называется интеграл
!, = $$$P>sdxdydz,
где г — расстояние переменной точки тела (х, у, г) от оси /.
В частности для координатных осей Ох, Оу и Ог соответственно
имеем:
/х e lxy т Ixti ty e tyx "Г lytt 'г в /« *Г /ад»
Моментом инерции тела относительно начала координат
называется интеграл
lo^mpix'+yi+z^dxdydz.
Очевидно, имеем; /„ =» 1ху + /w + /w,

432 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4°. Потенциал поля тяготения.
Ньютоновым потенциалом тела в точке Р (х, у, г) называется интеграл
^)=Шр|
v
где V — объем тела, р = р (|, т), £) — плотность тела, и
Г = V(|-*)2+(T]-</)2+(£-2)2-
Материальная точка массы т притягивается телом с силой
F=- (X, Y, Z), проекции которой X, Y, Z на оси координат
Ох, Оу, Ог равны:
X = km — = km[ Г fp —-did^dt,
v
Z = km—=km Г Г fp-£^ld£dr]d£»
где А — постоянная закона тяготения.
4131. Найти массу тела, занимающего единичный
объем 0 < х < 1, 0<«/s£l, 0 < z < 1, если
плотность тела в точке М (х, у, г) дается формулой р =
= х + у + г.
4132.- Найти массу тела, заполняющего бесконечную
область х2 + у2 + г2 > 1, если плотность тела
меняется по закону р = р0е-к^х'+у'+2', где р0 > 0 и k >0
постоянны.
Найти координаты центра тяжести однородных тел,
ограниченных следующими поверхностями:
X2 11г 2а
4133. —+ — = —. г = с.
4134. z = хг + у2, х + у = а, х = 0, у = 0, г = 0.
4135. х2 = 2рг, у2 = 2рх, х = -£-, 2 = 0.
4136. — + -^- + —= 1, х = 0, «/ = 0, z = 0.
а? Ь* с*
4137. х2 + г2 = а2, «/2 + г2 = а2 (г > 0).
4138. х2 + у* = 22, х +«/ = г.
4139. (-£ + —+—Y = — (*>'0, «/>0, г>0;
V a* ft* с V аЬс ч *
а>0, 6>0, с>0).

§ 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 433
4140. г = х2 + у\ г = -L (х* + уг), х + у = ± I,
х—у = ± 1.
414,« 4 + -& + -Т = 1' х = 0,у = 0,г = 0 {п>0,
ап Ьп с"
х>0, */>0, 2>0).
4142. Определить координаты центра тяжести тела,
имеющего форму куба: 0 < х < 1, 0 <г/ < 1, 0 < г < 1,
если плотность тела в точке (х, у, z) равна
га—1 гр—1 2у—1
Р = х1-ау^г1-\
где 0<а< 1, 0< р< 1, 0< v < 1.
Определить моменты инерции относительно
координатных плоскостей однородных тел, ограниченных
следующими поверхностями (параметры положительны):
4143. JL + —+ —=1. х = 0, ы = 0, г = 0.
а Ь с
4144. JL+JL + JL = \. 4145. -il + -^- = —, г=с.
аг Ьг с1 а2 Ьг с*
4146.4+4+4=1. 4+4= "
а* V* <? а2 6* a
6*
4147. -£+-£= 2JL. i + -L«-L.
4.47.1. (i + i+jT)1».*+j£_-£.
\а* Р <?) а» б2 с*
4.47.2. (i)" + (A)', + (i)"eli х-0.,-0,,-0
(п>0; х >0, у > 0, г > 0).
Определить моменты инерции относительно оси Ог
однородных тел, ограниченных поверхностями:
4148. г = х2 + уг, х + у = ± 1, х—у = ± 1, г = 0.
4149. х2 + уг + г2 = 2, л:2 + #2 = г2 (г > 0).
4149.1. (х2 + у2 + г2)3 = аъг.
4150. Найти момент инерции неоднородного шара
хг + г/2 + г2 < /?2 массы УИ относительно его диаметра,
если плотность шара в текущей точке Р (х, у, г)
пропорциональна расстоянию этой точки от центра шара.
4151. Доказать равенство /, = 1и + Md2, где /j —«
момент инерции тела относительно некоторой оси /,
1и — момент инерции относительно оси /0, параллель-
28—я*э

434 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ной / и проходящей через центр тяжести тела, d —
расстояние между осями и М — масса тела.
4152. Доказать, что момент инерции тела,
занимающего объем V, относительно оси /, проходящей через
его центр тяжести О (О, 0, 0) и образующей углы а, р,
V с осями координат, равен:
h — К cos*а + ly cos* Р + h cosS V—2%ху cos « cos Р —
—2Кхг cos а cos у—2Куг cos р" cos v.
где Ix, 1У, 1г — моменты инерции тела относительно
осей координат и
К ч = Ш Рху dx dy dz, Кхг = J J $ рхг dx dy dz,
Lyt^HSpyzdxdydz
•— центробежные моменты.
4153. Найти момент инерции однородного цилиндра
х2 + у2 < а3, г — ± Л, плотности р0 относительно
прямой х — у = z.
4154. Найти момент инерции относительно начала
координат однородного тела плотности р0,
ограниченного поверхностью
(х2 + у2 + г2)2 = а2 (х2 + у2).
4155. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г)
однородного шара £2 + г\2 + £2 < R2 плотности р0.
Указание. Положить, что ось 0£ проходит через точку
Р (х, у, г).
4156. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г)
сферического слоя R\ ^ \2 + г\2 + £2 < R\, если
плотность р = / (R), где / — известная функция и /)=>
= л/12 + г\2 + ?.
4157. Найти ньютонов потенциал в точке Р (0, 0, г)
цилиндра |2 + т)8 < а2, 0 < £ < А, постоянной
плотности рв.
4158. С какой силой притягивает однородный шар
|2 + г\2 + £2 < R2 массы М материальную точку
Р (0, 0, а) массы т?
4159. Найти силу притяжения однородным
цилиндром I2 + т)2 < а2, 0 < С < h, плотности р0, точки
Р (0, 0, г) с единичной массой.
4160. Найти силу притяжения однородным
шаровым сектором плотности р0 материальной точки с мае-

S 9- НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
43S
сой, равной единице, помещенной в его вершине, если
радиус шаровой поверхности равен R, а угол осевого
сечения сектора равен 2а.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
1". Случай бесконечной области. Если
двумерная область ft не ограничена и функция £ (х, у) непрерывна
на ft, то по определению полагают:
f f f<x. y)dxdy~\imHHx, y)dxdy, (1)
где Q„ — любая последовательность ограниченных замкнутых
квадрируемых областей, исчерпывающая область ft. Если
предел в правой части существует и н§ зависит от выбора
последовательности Qn, то соответствующий интеграл
называется сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл
от непрерывной функции, распространенный на неограниченную
трехмерную область.
2°. Случай разрывной функции. Если
функция I (х, у) непрерывна в ограниченной и замкнутой области ft
всюду, за исключением точки Р {а, Ь), то полагают:
Г ff (*, y)dxdy = lim f f f(x, y)dxdy. (2)
где Ue есть область диаметра е, содержащая точку Р, п в случае
существования предела рассматриваемый интеграл называют
сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Предполагая, что вблизи точки Р (а, Ь) имеет место равенство
/(*, tf = q>(*. y)lra.
где абсолютная величина функции ф (х, у) заключена между
числами m >0 и М >0 и г = V(* — <*)> + (у — 6)\
получим, что 1) при о < 2 интеграл (2) сходится;
2) при а ;> 2 — расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл (2),
если функция f, (x, у) имеет линию разрыва.
Понятие несобственного интеграла от разрывной функции
легко переносится иа случай тройных интегралов.
Исследовать на сходимость несобственные интегралы
с бесконечной областью интегрирования (0 < т <
< \<Р(х,у)\ <М< + оо):
4161. Г Г »<*-*> dxdy.
-f-oo -f-oo
4162.
Hit
dxdy
i + uii(i + i»m
28*

436 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4163. f f ф(*' у) dxdy.
(Ку<1
|*|-нл>1
4165. f f sin<slnydxdj/.
4166. Доказать, что если непрерывная функция
/ (х, у) неотрицательна и Sn (п = 1, 2, . . .) — какая-
нибудь последовательность ограниченных и замкнутых
областей, исчерпывающая область S, то
И" / (х, у) dx dy о. Hm Jf / (*, «/) dx dy,
S n-*oo S.
л
где левая часть имеет или не имеет смысла одновременно
с правой.
4167. Показать, что
Hm J" $ sin(х*-\-уг)dxdy = л,
п-юо |х|«п
тогда как
lim J J sln(*+0*)dxdy«O
я-»оо дг>+у*<2яп
(п — натуральное число).
4168. Показать, что интеграл
Х>1,У>1
расходится, хотя повторные интегралы
Гл [-*=£-*у и fd«, f^=^-d*
J J P+W J J (*г + ^)!
i I ij
сходятся.
Вычислить интегралы (параметры положительны):
4169. f f**L. 4170. f f-^L..
x»>l. *+*>'.
*>1 <X*<I
4171. f f *»■ . 4172. ff_^L.

§ 9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 437
Переходя к полярным координатам, вычислить
интегралы:
+ 0О +00
4175. j* j* er**+*dxdy.
—00 —оо
+оо +оо
4176. j $ е-^+мcos(x* + t?)dxdy.
—оо — оо
+00 +0©
4177. J $ е-<*'+^ sin {хг + уг)dxdy.
Вычислить интегралы:
+00 +00
4178. J J ^"+26^+^+2^+2^+? ^d^ где а <0f
—ОО —ОО
ас — Ьг>0.
4179. J j" e-w*+*iihdxdy.
*1а*+уЧЬ'>\
4180. J j>e V^ - 6+i"J^dt/(0<|e|<l).
.—00 —00
Исследовать на сходимость несобственные двойные
интегралы от разрывных функций (0 < т < | ф (х,у) | <
< М < + оо):
4181. I I —^-^-,где область Qопределяется усло-
J J хг + у*
ши: \у\ < х2; х2 + у% < 1.
4182. [ Г /tey)- ifxdy.
Х'+У'<1
4183. f f dxdy (p>0, <7>0).
W+I.VKI
4184. f r,*_j,|Pa*a^
4185. f С »<** dxdy.
**+И<|

438 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4186. Доказать, что если 1) функция ф (х, у)
непрерывна в ограниченной области а < х < Л, fc < i/ < 5;
2) функция / (х) непрерывна на сегменте а < х < А
и 3) р <С 1, то интеграл
л в
[dxt *(x'y) dy
сходится.
Вычислить следующие интегралы:
I \ In— dxdu.
J J.. V^ + v*
4187. . .
x
4188. Г dx f — dy (a>0).
J J j(a-x)(x-y)
о о
4189. § pnsin(x—y)dxdy, где область Q огра-
Q
ничена прямыми у — О, у = х, х = я.
<fx<fy_
та
4190.
IS
V*2+у
Исследовать на сходимость следующие тройные
интегралы:
4191. Г Г Г *(*' у- г) dxdydz, где 0<m <
<|ф(ДС, I/, *)|<M< + 0O.
4192. f f [ ф(*' у' г) dxdydz, где 0<m <
«£|ф(х, i/, z)|<M< + oo.
4193. Г Г Г d^dy^ (р>0, <?>0, г>0).
J J J \*\>+\уР+\ЧГ
4194. f{( /fc».4*** , Где 0<m<
0 0 0
< \f (x, у, г) I < M < + oo, а ф(х) и Ч>(*)—непрерывные
функции на сегменте [0, а].
4195. Г Г Г dxdydz .
i»ki.

§ 10. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 439
Вычислить интегралы
4196. f f f Ш&-
fffjllf^. 4197. fff_*^L_
0 0 0 *Ч-у«+г»>1
dxdydz
x« _ у* — г2)Р
4,98. fjf_£&£«
4199. J J J e-^'+y+^djedydz.
**—OO — OO —00
4200. Вычислить интеграл
-}-oo -|-oo +oo
III erpb"**'**dxldxldx9,
-oo-oo-oo ^ ^
где Я (*lt xz, x3) = 2) J] a*/*,*/ (a,/ = %) —
положительно определенная квадратичная форма.
§ 10. Многократные интегралы
1°. Непосредственное вычисление
кратного интеграла. Если функция f, (xlt xt, . . ., хп) не<
прерывна в ограниченной области Q, определяемой неравен*
ствами
Х| ^ Х1 ^ х\,
х2 (xj) =^ «2 ^ х2 (Xl)'
хп\х1> х2< •••• хп—l) =S хп ^ хп (х1 • х2> •••• хп—))•
где Xj и Xj — постоянные числа и х2 (х,), х2 (х,), ...
.... x'n{xlt х2 *„_i). *n(*|. *2 хл_,) — непрерывные
функции, то соответствующий многократный интеграл может
быть вычислен по формуле
П • • • 1 f <*«• *»• • • ••*») dxidxs ■ . -dxn =
а
х"\ хг(х|) *п(х\ **-i)
— ^ dxi j dx% ... J jf(*i. * *«)<**п.
*i M'l) *n(*i *n-i)
2°. Замена переменных в кратном
интеграле. Если 1) функция / (xlt х„ . . ., х„) равномерно
непрерывна в ограничепной измеримой области Q; 2) непрерывно
дифференцируемые функции
*i = Ф< Й1. Ег In) (' = 1. 2 л)
осуществляют взаимно однозначное отображение области Я про*

440 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
странства Oxtxt. . .хп на ограниченную область Q' пространства
O'IjIj. . . ln и 3) якобиан
. D (*i, xt, . . ., хп)
= 1>(%и |8 Ы
сохраняет почти всюду постоянный знак (кроме множества меры
нуль) в области Q', то справедлива формула
J J ... j" f (xu xt x„) dxi dx3. . . dxn —
я
= JJ...J/(9i. <P* •••• VJindlidU .. .dl„.
В частности, при переходе к полярным координатам
(Г, <Pi. <Р* <Рп-г^ по формулам
xi = г cos <j>i,
дс> = г sin Ф1 cos <Pj,
x„_i = л sin <pi sin <p, . . . sin <p„_, cos <p„_i,
*„ = r sin q>j sin ф> . . . sin <pR_t sin фп_,
имеем:
/ = D(*x' ** *в) = r»-* sin»"* <p, sin"-» ф, ... sin <p„_„
0 ('. <Pi. • ■ -t <Pn-i)
4201. Пусть K(x, у)—непрерывная функция в
области R (a < х < b; a < у < t) и
=П••• JЖ*. ЦК(*и g...K(/m y)dt1dtt...л„.
а а а
Доказать, что
K»+m+i (х, у) - J К„ (*. О *т ('. 1/) dt.
а
4202. Пусть / = (jcj, хг, . . . , *„) — непрерывная
функция в области 0 < xt к, х (i = 1, 2, . . . , л).
Доказать равенство
X \ п 1 "
f dxjdjc„ ... J /dL>e„ == J£U„ J^дся_!. . . J/&i
0 0 0 0 АГд *«
(n > 2).
4203. Доказать, что
jdhfa.. .ff(h)f(tj .. ./(g^» = -j{|/(t)^}",
где / — непрерывная функция.

5 10 МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 441
Вычислить следующие многократные интегралы:
i i 1
4204. a) ff..-JW+j£ + . . .+4)^1^2- . .<&„;
i i i
б) И ■•■Ux1 + xi + . . . + xn)2dx1dxi...dxn.
4205. /„= j f ...J dxtdxi.. .dxn.
Xj>0, x2>*0. ... *n>0.
*!+*«+ • • • +*n<0
4206. \dxi\dxt. . . j JfiJCj. . . xndxn.
4207. JJ — J V*i+*» + --- +xndxl...dxn.
*x>o. *8>o..... *„>o
4208. Найти объем п-мерного параллелепипеда,
ограниченного плоскостями
e<i*i + 0,2^2 + . . . + ainxn = ± h( ({' =1,2 л),
если Л =|0(/| Ф 0.
4209. Найти объем л-мерной пирамиды
^+-*■+...+-*а-<1, Jti>0 (i = l, 2, .... л)
(a, > 0, i = 1, 2, .... л).
4210. Найти объем п-мерного конуса, ограниченного
поверхностями
л л л 2
■ + -Г+...+
4211. Найти объем п-мерного шара
xf + xl + . . .+д£<а2.
4212. Найти j"]"... $x2ndxidx2... dxn, где область Q
определяется неравенствами
4213. Вычислить

442 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4214. Доказать равенство
х xt *„_! х
\dx^dx2...§ f{xn)dxn^^f{u)^^-du.
0 0 0 0
4215. Доказать равенство
X
JXidxj. J х&г... J/ (xn+1) dxn+1 = —— |(x* — «у / (и) Ал
0 0 0 2"rtl 0
4216. Доказать формулу Дирихлг
И • • • J n *Г'*Г' • • • #-'<**А • • • йх« -=
*i*a V-0
Г(Р1 + рг+ . . . + Р„ + 1)
4217. Доказать формулу Лиувилля
J J ••• I / (*1+*2+ . • . +Xa)tf-14*~l • • •
*!■*» хп>0
*»,+*§+• ••+хп<'
.. .x^~1dA-1dx2...dx„ =
= г о»,) г ы... г о».) ^ ^ uPl+Pi+... +Pn_, du
Г (Рх + p2 + . . . + pn) о
(Pi. Pi Pn>%
где f (и) — непрерывная функция.
Указание. Применить метод математической индукции.
4218. Привести к однократному интегралу л-кратный
интеграл (п > 2)
J J .- иЫх1+х1 + '-+х£) <V*2 • • • dxa.
а
распространенный по области xj+xf-f.. . + x2n <#2,
где / (и) — непрерывная функция.
4219. Вычислить потенциал на себя однородного шара
радиуса R и плотности р0, т. е. найти интеграл
и- р° С Г Г С С f dx^dy^^dx^y^
где гь t = V(*i—**)* + (У1—Уо)г + (2i—2j)a

« П. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 443
4220. Вычислить я-кратный интеграл
J J... Jc Uw=i .=' UXldx2...dxn,
*-oe ~-oo * oo
ft
если J] ацХ1Х](ац = ац)— положительно определен-
i. /=1
ная квадратичная форма.
§11. Криволинейные интегралы
1°. Криволинейный интеграл 1-го рода.
Если f, (х, у, г) — функция, определенная и непрерывная в
точках гладкой кривой С
х = х (0. У = У V), г = г (0 (/0 ss t ^ T) (I)
и ds—дифференциал дуги, то по определению полагают
т
f(x. у. z)ds=$f(x((), у ГО. *(f))V*'*(0 + !//i!(0 + */2(Od/.
i
Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от
направления кривой С.
2°. Механические приложения
криволинейного интеграла 1-го рода. Если р= р (х, у, г)
— линейная плотность в текущей точке (х, у, г) кривой С, то
масса кривой С равна:
M=fp(x, у, z)ds.
Координаты центра тяжести (х0, у0, г0) этой кривой
выражаются формулами
*° = ТГ J" *Р <*' У' г) ds< Уо = -7г5у9 <*• У> г) ds'
М£ Л1 £
г0 = — f гр (х, у, г) ds.
М &
3°. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Если функции Р = Р (х, у, г), Q= Q (х, у, г), R —R (х, у, г)
непрерывны в точках кривой (1), пробегаемой в
направлении возрастания параметра i, то полагают
Р (х, у, z)dx+ Q (х. у, z)dy+R (x, у, г)6г =
!
Т
= J' {Р (х М. У М. г(/)) х' (/) + Q (х (0. у (0. г (0)If' (0 +
'о
+ Я(х(г), y(t), z(())z'(f))dt. (2)
При изменении направления обхода кривой С этот интеграл
изменяет свой знак на обратный. Механически интеграл (2) представ-

444 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ляет собой работу переменной силы {Р, Q, R), точка приложе*
вяя которой описывает кривую С.
4°. Случай полного дифференциала. Если
Р (х, у, г) dx + Q (х, у, г) dy + R (х, у, г) dz = du,
где и = и (х, у, г) — однозначная функция в области V, то
независимо от вида кривой С, целиком расположенной в области
V, имеем:
i
Р dx + Q dy + R dz — и (хг, уг. zj — u to, yi, *i).
где (*i, У\, Zi) — начальная и (хг, уг, г2) — конечная точка
пути. В простейшем случае, если область V односвязна и
функции Р, Q и R обладают непрерывными частными производными
первого порядка, для этого необходимо и достаточно, чтобы
в области V были тождественно выполнены следующие условия:
Л!Л.= ЛИ. JSL — JUL dR = дР
ду дх дг ду дх дг
Тогда в простейшем случае стандартной параллелопидальной
области V, функцию и можно найти по формуле
в (*. у, 2) =з | Р (х, у, z) dx + ]Q (х0, у, z)dy + j* R (х0. Уо, z)dz+e,
«о »о а>
где (х0, Уо> *о) — некоторая фиксированная точка области V и
с — произвольная постоянная.
Механически этот случай соответствует работе силы,
имеющей потенциал.
Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го
рода:
4221. Г (х + у) ds, где С — контур треугольника
с вершинами О (О, 0), А (1, 0) и В (0, 1).
4222. Г уг ds, где С — арка циклоиды
* — а (/ — sin /), у = а (1 — cos /) (0 < / < 2л).
4223. f {хг + у2) ds, где С — кривая
х — a (cos / + / sin /), у — a (sin / — / cos /)
(0 < t «S 2я).
4224. f xy ds, где С — дуга гиперболы
х = a ch /, у = a sh / (0 < / < /0)-
4225. j (хт + yil3) ds, где С — дуга астроиды
**Ч«Л3 = а2/3.

* I]. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 44S
4226. \e^x'+^ds, где С—выпуклый контур,
ограниченный кривыми г =а, ф = 0, ф = — (г и «р—полярные коор*
4
динаты).
4227. Г | г/|ds, где С —дуга лемнискаты
(х2 + у2)2 = а2 (х2 - у2).
4228. f х ds, где С — часть логарифмической
спирали г = aekv (к > 0), находящаяся внутри круга г^а.
4229. \^/x2 + y2ds, где С—окружность х*+уг = ах.
с
4230. Г —, где С—цепная линия y = ach —.
Найти длины дуг пространственных кривых
(параметры положительны):
4231. х = 3/, у = З/2, г = 2/3, от О (0. 0, 0) до
А (3, 3, 2).
4232. х = е-' cos /, у — e-'sin /, z = «-', при
0< /<+оо.
4233. i/ = a arcsin—, z = — ln^—- от О(0, 0, 0)
а 4 а + х
ДО i4(x0l //0, г0).
4234. (*—«/)' = а (* + */), **—У2—J-* от 0(0, 0, 0)
О
до Л(х0. г/о. г0).
4235. х2+ «/* = «, -^-=tg — от 0(0, 0, 0) до
X С
А(х0, г/0, г0).
4236. x2+y* + z* = a\ V^+^chfarctg-^Wa от
точки А (а, 0, 0) до точки В (х, у, г).
Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода,
взятые вдоль пространственных кривых:
4237. f (х2 + уг + г2) ds, где С — часть винтовой
линии
х = a cos /, у = a sin t, г — Ы (0 < t < 2л).

446 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4238. f дс2 ds, где С — окружность
х* + у* + z2 = а2, х + у + г = 0.
4239. [zds, где С — коническая винтовая линия
i
х >= / cos /, у — t sin /, z = / (0 ^ / < Q.
4240. \z ds, где С — дуга кривой дс2 + у2 = г3,
I/8 = ах от точки О (0, 0, 0) до точки А (а, а, а«/2).
4241. Найти массу кривой х — a cos /, у — Ь sin/
(а > 6 >• 0; 0 < / < 2я), если линейная плотность
ее в точке (дс, у) равна р = \у\.
4241.1. Найти массу дуги параболы
уг = 2рх (0 «S х < /?/2),
если линейная плотность параболы в текущей точке
М (дс, у) равна |*/|.
4242» Найти массу дуги кривой дс = at, y= — t2,
г — —*3 (0 < / < 1), плотность которой меняется по
закону p — ^j2yla.
4243. Вычислить координаты центра тяжести дуги
однородной кривой y = ach — от точки А (0, а) до
а
точки В (b, ft).
4244. Определить центр тяжести дуги циклоиды
х = a (t — sin t), у = а(\ — cos f) (0 sg / < я).
4244.1. Найти статические моменты
Sv = $xds, Sx=[yds
дуги С астроиды
д.2/3 + уШ = fl2/3 (X > 0, Г/ > 0)
относительно осей координат.
4244.2. Найти момент инерции окружности дс* +
+ у* = а* относительно ее диаметра.
4244.3. Найти полярные моменты инерции
/„ = J (х2- + у2) ds

§ И. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 447
относительно точки О (О, 0) следующих линий: а) контура
С квадрата max {|лс|, \у\) — а; б) контура С
правильного треугольника с вершинами в полярных координатах
Р(а, 0), Q(a.-f-). *(«.—-)•
4244.4. Найти средний полярный радиус астроиды
Jt2/3 + y2/3==a2/3f
т. е. число г0 (г0 > 0), определяемое формулой
где /0 — полярный момент инерции астроиды,
относительно начала координат (см. 4244.3) и s — длина дуги
астроиды.
4245. Вычислить координаты центра тяжести контура
сферического треугольника х2 + у2 + г2 = а2; х > О,
у > 0, г > 0.
4246. Найти координаты центра тяжести однородной
Дуги
х = е? cos /,, у = е1 sin t, г — & (— оо < t ^0).
4247. Найти моменты инерции относительно
координатных осей одного витка винтовой линии
х — a cos /, у = a sin /, z = * (0 < t < 2л).
2я
4248. Вычислить криволинейный интеграл 2-го типа
J xdy—ydx,
ОА
где О — начало координат и точка А имеет координаты
(1, 2), если: а) ОА —отрезок прямой линии; б) ОА —
парабола, ось которой есть Оу; в) ОА — ломаная
линия, состоящая из отрезка ОВ оси Ох и отрезка ВА,
параллельного оси Оу.
4249. Вычислить
J xdy + ydx
ОА
для путей а), б) и в), указанных в предыдущей задаче*
Вычислить следующие криволинейные интегралы 2-го
рода, взятые вдоль указанных кривых, в направлении
возрастания параметра:

448 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4250. J (а2 — 2ху) dx + (у2 — 2ху) dy, где С —
с
парабола
у = х2 (—1 < х < 1).
4251. f (а-2 + у2) dx + (х2 — у2) dy, где С — кри-
'с
вая
у = 1 — | 1 — х | (0 < х < 2).
4252. ф (а + (/) dA + (* — I/) dr/, где С — эллипо
с
1, пробегаемый против хода часовой стрелки.
4253. J (2а — у) dx + x dy, где С — арка
циклоиды
х — a (J — sin /), у = а (1 — cos /)
(0 < / < 2л).
4254- £J*±y)dx-(!c-y1dy_t где с_0 ужность
У *а+У2
*2+ I/2 — аа, пробегаемая против хода часовой стрелки.
4255. (f) dx + dy , Где Л BCD Л — контур квад-
Т 1*1 + 1^1
ABCDA
рата с вершинами Л (1, 0), В (0, 1), С( — 1, 0),
Ъ (о, -1).
4256. \ dx sin у + dy sin х, где АВ — отрезок
прядя
мой между точками Л (0, л) и В (л, 0).
4257. ф dt/arctg ——dA, где ОшЛ — отрезок na-
ОтДлО
раболы у = а2 и ОяЛ — отрезок прямой у = х.
Убедившись, что подынтегральное выражение
является полным дифференциалом, вычислить следующие
Криволинейные интегралы:
(2. 3) (3, -4)
4258. J xdy+ydx. 4259. f xdx + ydy.
(-1. 2) (0. t)

« П. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 449
<2. 3,
4260. J (x + y)dx + (x — y)dy.
<0, 1)
(1.1)
4261. j (x-y)(dx-dy).
a. -I)
(a, t>i
где / (uj непрерывна.
(0, 0)
tl. 2)
4263. V y *~* y вдоль путей, не пересекающих
<2. U
оси Оы.
<6, 8)
4264. Г х х~т~у у- вдоль путей, не проходящих
И, 0)
через начало координат.
4265. j ф (лс) dx + i|) (t/) dt/, ф и i|> — непрерыв*
Ui, V,)
ные функции.
13, 0)
4266. Г (х* + 4*t/s) d* + (6*У — 5j/*) dt/.
(-2. -1)
и. 0)
4267. V * i/~i/ * вдоль путей, не пересекающих
(О, -II
прямой у = х.
(2, я)
4268. С (l—^-cos^Adx + Uin-^+^-cos-^Ady
(1. Я|
вдоль путей, не пересекающих оси Оу.
(Я. Ь)
4269. f e* (cos у dx—sin у dy).
(0.0)
4270« Доказать, что если / (и) — непрерывная
функция и С — кусочно гладкий замкнутый контур, то
jf(xi + y2)(xdx+ydy)=0.
с
Найти первообразную функцию г, если:
4271. dz = (хг+2ху — у2) dx+ (х*—2ху—у*) dy.
29—2МЗ

450 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4272. dz = - ydx-'cdy
Зха — 2ху + 3(/2
4273 dz- (xi+2xy + by2)dx+(x2-2x,J + y*)dy
(х+У)3
4274. dz = е [еУ(х — у + 2) + у] dx +
+ е" № (х — у) + \]dy.
4275. dz — dx-\ ay.
dxn+idy"1 дхпду'п+х
4276. dz= a"+m+1 (\n±)dx-
4277. Доказать, что для криволинейного интеграла
справедлива следующая оценка:
I [Pdx + Qdy\ <LM,
где L — длина пути интеграции и М = max ^ Р2 + Q2
на дуге С.
4278. Оценить интеграл
/л= (£) ydx-xdy
Доказать, что lim lR =0.
л-*»
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль
пространственных кривых (координатная система
предполагается правой):
4279. Г (у2 — г2) dx + 2yz dy — x2dz, где С — кри-
&
вая х — t, у — t2, z = /3 (0 < t < 1), пробегаемая в
направлении возрастания параметра.
4280. \ у dx + z dy + x dz, где С —виток винтовой
"с
линии х = a cos t, у = a sin /, z — bt (0 < / < 2л),
пробегаемый в направлении возрастания параметра.
4281. f (y — z)dx + (2 — *)d(/ + (jc — (/)d2, где
t
С — окружность хг + у2 + г2 = а2, у = х tg a (0 <
< а < л), пробегаемая против хода часовой стрелки,
если смотреть со стороны положительных х.
4282. J у2 dx + z2 dy + х2 dz, где С — часть кри-
с

* П. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ -«5!
вой Вивиани хг + у2 + z2 = а2, х2 + у* = ах (z >
> 0, а > 0), пробегаемая против часовой стрелки, если
смотреть с положительной части (х > а) оси Ох.
4283. J (у2 — z2) dx + (г2 — х2) dy + (хг — у2) dz,
с
где С — контур, ограничивающий часть сферы х2 + у2 +
+ z2 = 1, х > 0, у > 0, г > 0, пробегаемый так, что
внешняя сторона этой поверхности остается слева.
Найти следующие криволинейные интегралы от
полных дифференциалов:
(2, 3. —4)
4284. f xdx + y2dy—z3dz.
(i. i. i)
№. i. I)
4285. f yzdx + xzdy+xydz.
(I. 2. 3)
4286. "г"* xdx + ydy + zdz ^ где точка (jCii yi| zj
J V**+y2 + *2
<*1. Pi. *l>
расположена на сфере х2 + у2 + z2 = а2, а точка (*Si
#2, z2) — на сфере х2 + у2 + z2 = b2 (a > 0, b > 0).
ttl. P>. 2,)
4287. j* ф (дс) dx + i|> 0/) dt/ + X (z) dz, где <р,
(*i. Pi. г,)
t|>, x — непрерывные функции.
4288. " /' f(x+y + z) (d* + dy + dz), mef —
<X|. Pi. Z,l
непрерывная функция.
4289. " j*" f yx2 + y2 + z2)(xdx + ydy + zdz), где
(*i. Pi. *i>
/—непрерывная функция.
Найти первообразную функцию и, если:
4290. du = (*г — 2yz) dx + {у2 — 2xz) dt/ +
+ (z2 — 2xy) dz.
4291. du=A L + JL)d* + (— + _£_^dt/—
г»
4292. dp— (*+У—»)<<*+(*+У —»)<fy+(* +У+»)<fa
29*

452 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4293. Найти работу, производимую силой тяжести,
когда точка массы т перемещается из положения
(*и Ун zx) в положение (хг, уг, гг) (ось Ог направлена
вертикально вверх).
4294. Найти работу упругой силы, направленной
к началу координат, величина которой пропорциональна
удалению материальной точки о начала координат,
если эта точка описывает в направлении,
противоположном ходу часовой стрелки, положительную четверть
эллипса 1--2—=1.
о* ь*
4295. Найти работу силы тяготения F = k/r2, гдег =
= V^ + i/2+22, действующей на единичную массу,
когда последняя перемещается и точки Мг (xlt ylt zx)
в точку М2 (хг, у2, z2).
§ 12. Формула Грина
1°. Связь криволинейного интеграла
с двойным. Если С — замкнутый простой кусочно гладкий
контур, ограничивающий конечную односвязную область S,
пробегаемый так, что область S остается слева, и функции
Р (х, у), Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными
производными первого порядка Р'Лх, у) и Q'x (x, у) в области S и на ее
границе, то имеет место формула Грина
фя (х, у) dx-rQ (х, у) dy = С С (J^L — J¥L.yxdy. (1)
£ s
Формула (1) справедлива также и для конечной области S,
ограниченной несколькими простыми контурами, если под
границей С последней понимать сумму всех граничных контуров,
направление обхода которых выбирается так, что область S
остается слева.
2°. Площадь плоской области. Площадь S
фигуры, ограниченной простым кусочно гладким контуром С,
равна
S = <$ х dy = — § у dx = — § (xdy — ydx).
£ С 11
В этом параграфе, если не оговорено противное,
предполагается, что замкнутый контур интеграции простой (без точек
самопересечения) и пробегается так, что ограниченная им
область, не содержащая бесконечно удаленной точки, остается
слева (положительное направление).
4296. С помощью формулы Грина преобразовать
криволинейный интеграл

§ 12. ФОРМУЛА ГРИНА 453
I = $Tp?T7<to + y[xy + \n(x + <J# + jf)]dy,
где контур С ограничивает конечную область S.
4297. Применяя формулу Грина, вычислить
криволинейный интеграл
I = §(x^yfdx-(xl + yi)dy,
к
где К — пробегаемый в положительном направлении
контур треугольника ABC с вершинами А (1, 1), В (3, 2),
С (2, 5).
Проверить найденный результат, вычисляя интеграл
непосредственно.
Применяя формулу Грина, вычислить следующие
криволинейные интегралы:
4298. &хуЧу—x2ydx, гле С — окружность
Ъ
х1 -г у- = а'.
4299. §(х + у) dx — (х — y)dy, где С — эллипс
"с
4300. л е* 1(1—cos y)dx — (у — sin у) dy\, где С «=■
I
пробегаемый в положительном направлении, контур,
ограничивающий область 0<х<л, 0<i/<sin x.
4301. & e-u'-*») (cos Чху dx --sin 2лг/ fli/).
4302. На сколько отличаются друг от друга
криволинейные интегралы
/»= f (x + yfax—v—yfdy
АтВ
И
/2= f {x±y?dx-ix-ijfdy,
AnB
где Л/п5 — прямая, соединяющая точки А (1, 1) и
В (2, 6), и ЛлВ — парабола с вертикальной осью,
проходящая через те же точки А и В и начало координат?
4303. Вычислить криволинейный интеграл
| (е* sin //—my) dx + (е* cos f/ — m) dti,
AmO

454 ОТДЕЛ VII!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где АтО — верхняя полуокружность*2 + у* — ах,
пробегаемая от точки А {а, 0) до точки О (0, 0).
Указание. Дополнить путь АтО до замкнутого прямо
линейным отрезком О А оси Ох.
4304. Вычислить криволинейный интеграл
j" {<t(y)ex—my]dx + [<('(y)ex—m]dy,
АтВ
где ф (у) и ф' (у) — непрерывные функции и АтВ —
произвольный путь, соединяющий точки А (х1г yj и
В {хг, (/2), но ограничивающий вместе с отрезком АВ
площадь АтВА данной величины S.
4305. Определить две дважды непрерывно
дифференцируемые функции Р {х, у) и Q (*,. у) так, чтобы
криволинейный интеграл
/ = <£ Р(х + а, y + $)dx + Q(x + a, y + $)dy
i
для любого замкнутого контура С не зависел от
постоянных а и р.
4306. Какому условию должна удовлетворять
дифференцируемая функция F (х, у), чтобы криволинейный
интеграл
I F(x, y)(ydx+xdy)
АтВ
не зависел от вида пути интегрирования?
4307. Вычислить
Cxdy-ydx
где С — простой замкнутый контур, не проходящий
через начало координат, пробегаемый в положительном
направлении.
Указание. Рассмотреть два случая: 1) начало
координат находится вие контура; 2) контур С окружает начало
координат.
С помощью криволинейных интегралов вычислить
площади, ограниченные следующими кривыми:
4308. Эллипсом х = я cos t, у — b sin t (0 < / <
< 2л).
4309., Астроидой х = a cos3?, у = Ь sin3 t (0 < t <,
< 2л).
4310. Параболой (х + у)2 = ах (а > 0) и осью Ох.

§ 12. ФОРМУЛА ГРИНА 4i>i>
4311. Петлей декартова листа ха + у9 — 2аху
(а > 0),
Указание. Положить у = tx.
4312- Лемнискатой (хг + уг)г = as (хг — у'-).
Указание. Положить у = х tg ф.
4313. Кривой Xя + у3 — хг + уг и осями координат.
4314. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(* + у)п+т+* = ахпут (а > 0, п > 0, m > 0).
4315. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(Л)п + (-|-)Я = 1 (а>0, 6>0, п>0)
и осями координат.
Указание. Положить — = cos2/n<p. -f- = imz'*<f.
а в
4316. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(тИ+ИтГ+О»*"
(a>0, 6>0, л>1) и осями координат.
4317. Вычислить площадь петли кривой
(т) Кт) =с(т)(т)
(а>0, Ь>0, с>0, л>0).
4318. Эпициклоидой называется кривая, описываемая
точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся без
скольжения по неподвижной окружности радиуса R и
остающейся вне нее.
Найти площадь, ограниченную эпициклоидой, пред-
полагая, что отношение — — п есть целое число (п >1).
г
Разобрать частный случай г = R (кардиоида).
4319. Гипоциклоидой называется кривая,
описываемая точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся
без скольжения по неподвижной окружности радиуса R
и остающейся внутри нее. Найти площадь, ограниченную
гипоциклоидой, предполагая, что отношение Rlr = п.
есть целое число (п > 2).
Разобрать частный случай г = RH (астроида).

456 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4320. Вычислить площадь части цилиндрической
поверхности х2 + у2 — ах, вырезанной поверхностью
х2 + у2 + г2 = а2.
4320.1. Доказать, что объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох простого замкнутого контура С,
расположенного в верхней полуплоскости у > 0 равен
V = —л <6 y2dx.
6
4321. Вычислить
2л У X*+Y*
с
если X = ах + by, Y = сх + dy и простой замкнутый
контур С окружает начало координат (ad — be Ф 0).
4322. Вычислить интеграл У (см. предыдущую
задачу), если X = ф (х, у), Y — i|> (jc, у), и простой
контур С окружает начало координат, причем кривые
Ф (jc, у) — 0 и i|> (jc, у) = 0 имеют несколько простых точек
пересечения внутри контура С.
4323. Показать, что если С — замкнутый контур и
/ — произвольное направление, то
(j>cos(/, n)ds = Q,
с
где л — внешняя нормаль к контуру С.
4324. Найти значение интеграла
/ = <61* cos (в, х) 4- у cosAn, y)]ds,
i
где С — простая замкнутая кривая, ограничивающая
конечную область 5, и л — внешняя нормаль к ней.
4325. Найти
lim —& (F-n) ds,
d (S)-*0 S £
где S — площадь, ограниченная контуром С,
окружающим точку (jc0, y0)t d(S)—диаметр области S,
п—единичный вектор внешней нормали контура С и F {X, Y) —
зектор, непрерывно дифференцируемый в S + С.
§ 13. Физические приложения криволинейных
интегралов
4326. С какой силой притягивает масса М, равно
мерно распределенная по верхней полуокружности jc2 4-
+ уг — а2, у > 0, материальную точку массы т,
занимающую положение (0, 0)?

« 1Я ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 457
4327. Вычислить логарифмический интеграл простого
слоя
и (х, у) = ф к In — ds,
где х = const — плотность, г = У(£—х)г-\-{г\—у)г
и контур С есть окружность |г + г\2 = /?г.
4328. Вычислить в полярных координатах р и <р
логарифмические потенциалы простого слоя
2Я 2я
/, = ( cos mip In — d\lp и /2 = \ sin m\|) In — ci\\\
о »
где г — расстояние между точкой (p, ф) и переменной
точкой (1, гр) и m — натуральнье число.
4329. Вычислить ишглграл Гаусса
" (*. £/) = ф !— as.
со-
«1-S
где г =-•/(£—*)гЧ-(Л—ч')2 —длина вектооа г,
единяющего точку Л (дг, у1 с переменной точкой .И (£, п.)
простого замкнутого гладкого контура С, (г, я) — угол
между вектором г и внешней нормалью я к кривой С
в точке ее М.
4330. Вычислить в полярных координатах .j и <р
логарифмические потенциалы двойного слоя
2я
С05тф С0МГ" "> dl|>t
О
2п
ы Г • , cos (г, л) ,.
Кг = \ sin mij; Лр,
и
где г — расстояние между точкой А (р, <р) и переменной
точкой М (1, г|э), (г, я)— угол между направлением
/Ш = г и радиусом ОМ = л, проведенным из точки
О (0,. 0), и m — натуральное число.
4331. Дважды дифференцируемая функция и =*
= и (х, у) называется гармонической, если Ды на
д-и , <Pu n n
WS ТТ "*"~7Т" = Доказать, что ы есть гармоническая

458 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
функция тогда и только тогда, если
f
■&-ds = 0.
дп
ds,
где С—произвольный замкнутый контур и —-— про-
дп
изводная по внешней нормали к этому контуру.
4332. Доказать, что
= — \ \ и Они dx dy + (Т)и —— ds,
s с
где гладкий контур С ограничивает конечную область 5.
4333. Доказать, что функция, гармоническая внутри
конечной области S и на ее границе С, однозначно
определяется своими значениями на контуре С (см. задачу
4332).
4334. Доказать вторую формулу Грина на плоскости
ди dv
|Ди UV\dxdy=& дп дп
s vl I" "
где гладкий контур С ограничивает конечную область 5
и — производная по направлению внешней нормали
дп
к С.
4335. Пользуясь второй формулой Грина, доказать,
что если и = и (х, у) — гармоническая функция в
замкнутой конечной области S, то
чч-^фО'-^-'-'-Ь)*
с
где С — граница области S, п — направление внешней
нормали к контуру С, (х, у) — внутренняя точка
области 5 и г = V(S — *)2 + (Л — У)г ~ расстояние между
точкой (х, у) и переменной точкой (Е, г\) контура С.
Указание. Вырезать точку (х, у) из области S вместе
с бесконечно малой круговой окрестностью ее и применить
вторую формулу Грина к оставшейся части области S.
И1Г

« 13 ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 459
4336. Доказать теорему о среднем для
гармонической функции и (М) — и [х, у):
с
где С — окружность радиуса R с центром в точке М.
4337- Доказать, что функция и (х, у),
гармоническая в ограниченной и замкнутой области и не
являющаяся постоянной в этой области, не может достигать
своих наибольшего и наименьшего значений во
внутренней точке этой области (принцип максимума).
4338. Доказать формулу Римана
с
где
L[u] = —— Ya— \-b—— + cu,
дх ду дх ду
М[о]=— а — b-^-+cv
дх ду дх ду
(а, Ь, с — постоянные), Р и Q — некоторые
определенные функции и контур С ограничивает конечную
область S.
4339. Пусть и = и (х, у) и v — v (x, у) —
компоненты скорости установившегося потока жидкости.
Определить количество жидкости, вытекшее за единицу
времени из ограниченной контуром С области S (т. е.
разность между количествами вышедшей и вошедшей
жидкости). Какому уравнению удовлетворяют функции аир,
если жидкость несжимаема и в области S отсутствуют
источники и стоки?
4340. Согласно закону Био—Савара электрический
ток /, протекающий по элементу проводника ds, создает
в точке пространства М (х, у, г) магнитное поле с
напряжением
г»
где г — вектор, соединяющий элемент ds с точкой М,
и k — коэффициент пропорциональности. Найти
проекции Нх, Ну, Нг напряжения магнитного поля И в
точке М для случая замкнутого проводника С.

460 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 14. Поверхностные интегралы
Iе. Поверхностный интеграл 1-го рода.
Если S — кусочно гладкая двусторонняя поверхность
х — х (и, v) y — y{u,v) г— г (и, ч) ((и, v) £ Й) (1)
И I (*. У> 2) — функция, определенная и непрерывная в точках
поверхности S, то
П"/(*. У. z)dS -J J ?(*(«. «). У(и> l'). *("• «)) л/EG-F' du dv,
(2)
где
_ бх dx , ду ду дг дг
ди dv du dv du dv
В частном случае, если уравнение поверхности S имеет вид
z = г(х, у) ((х, у) £ о),
где г(х, у) — однозначная непрерывно дифференцируемая
функция, то
J4/U. У. z)dS =
=П/(^.г(х.,))л/ц-(|)а+(|)г^^
8тот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности S.
Если функцию /. (х, у, г) рассматривать как плотность
поверхности S в точке (х, у, г), то интеграл (2) представляет собой
массу этой поверхности.
2°. Поверхностный интеграл 2-го рода.
Если S — гладкая двусторонняя поверхность, S+ — ее сторона,
характеризуемая направлением нормали Л (cos a, cos P, cosy}»
Р = Р (х, у, г), Q — Q (х, у, г), R = R (х, у, г) — три
функции, определенные и непрерывные на поверхности S, то
{\Pdy dz+Q dz dx-\-R dx dy= Jj (P cos a+Q cos Р+Л cos y)dS. (3)
s* s
Если поверхность S задана в параметрическом виде (1), то
направляющие косинусы нормали п определяются по форму*
Лам:
А а В
ccs а = ■;—-—--^—^, cos р = ■
±л/лг + В*+С* ±л/Аг+В*+&
С
cos у = —^^====- ,

S 14 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 461
где А= д1у- г) , В= д{г' х) , С= д(х" у) , и знак
д (u, v) д(и, v) д (и, v)
перед радикалом выбирается надлежащим образом.
При переходе к другой стороне S- поверхности S интеграл (3)
меняет свои знак на обратный.
4341. На сколько отличаются друг от друга
поверхностные интегралы
/i = j"f(** + f/2 + zVS и /, = .fjV + ^ + z№
s р
где S — поверхность сферы х2 -4- у2 + г2 = а2 и Р
поверхность октаэдра 1*|+ \у\ + \г\ = а,
вписанного в эту сферу?
4342. Вычислить fj zdS, где S — часть поверх-
"s
ности х2 + г2 = 2аг {а > 0), вырезанная поверхностью
z = ^/x* + y2.
Вычислить следующие поверхностные интегралы
1-го рода:
4343. И (А'+ j/+ z) dS, где S — поверхность
х2 + у2 + г2 = а2, г > 0.
4344. f f (х2 + у2) dS, где S — граница тела
"s
4345. I I —, где S — граница тетраэдра
s'
х + у + г^1, х>0, у > 0, г > 0.
4346. П I хцг | dS, где S — часть поверхности г =>
= *2 + у2, отсекаемая плоскостью 2=1.
4347. I I , где S — поверхность эллипсоида и
s
h — расстояние центра эллипсоида до плоскости,
касательной к элементу dS поверхности эллипсоида.
4348. J" [ г dS, где S — часть поверхности геликоида
x — ucosv, y — usinv, г = и(0<ы<а; 0<и<2л).
4349. J f 2s dS, где S — часть поверхности конуса
х = г cos ф sin а, у = г sin ф sin а, г = г cos а

462 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(0<г<а; 0«р<2л) и а—постоянная fo<a<—Y
4350. §j(xy+y2 + zx)dS, где S —часть конической
поверхности z = -у/х2 + у2, вырезанная поверхностью
х2 + уг = 2ах.
4351. Доказать формулу Пуассона
i
Jj7(a*+ fo/ + cz)dS = 2л J /(«Va2 + ^ + c2)du,
s —i
где S есть поверхность сферы х2 + у2 + г* — 1.
4352. Найти массу параболической оболочки
г = ±.{)?+у*) (0<г<1),
Плотность которой меняется по закону р = г.
4352.1. Найти массу полусферы
х2 + у2 + г2 = а2 (г > 0),
плотность которой в каждой ее точке М (х, у, г) равна г!а.
4352.2. Найти статические моменты однородной
треугольной пластинки х + у + г = а (х > 0, у > 0,
г > 0) относительно координатных плоскостей.
4353. Вычислить момент инерции относительно оси Ог
однородной сферической оболочки хг + у2 + га = а2
(г > 0) плотности р0.
4354. Вычислить момент инерции однородной кони-
у* Ij'i у
ческой оболочки \-— = 0 (0<г<&) плот-
а- а* ьг
ности р0 относительно прямой
_х у _ г — ь
10 0
4355. Найти координаты центра тяжести части
однородной поверхности г = д/х2 + у2, вырезанной
поверхностью х2 + уг = ах.
4356. Найти координаты центра тяжести
однородной поверхности
z = +Ja2—x2—y2 (х>0;. у > 0; х + у^а).
4356.1. Найти полярные моменты инерции
h^Sjtf+y' + z^dS

§ 14. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 463
следующих поверхностей S:
а) поверхности куба max {\x\, \у\, |z|}= а;
б) полной поверхности цилиндра х2 + у2 < R2; 0 <
< г < Н.
4356.2. Найти моменты инерции треугольной
пластинки
х + у + г= I (* > 0, (/ > 0, г > 0)
относительно координатных плоскостей.
4357. С какой силой притягивает однородная усе>
ченная коническая поверхность
х = г cos ф, у = г sin ф, г — г
(0 < ф < 2я, 0 < Ь < г < а)
плотности р0 материальную точку массы т, помещенную
в вершине этой поверхности?
4358. Найти потенциал однородной сферической
поверхности х2 + у2 + г2 = a2 (S) плотности р0 на точку
М0 (х0, Уо, 2»), т. е. вычислить интеграл и = \ \ ——,
s
где г = *J(x-x0)2 + (y-y0)2 + (г-г0)8.
4359. Вычислить
F«)= Я f(x,y,z)dS,
где
1— хг—у2—г8, если х* + (/а + 22<1;
f(x,y,z)-\ 0> если *»+(/а + г2>1.
Построить график функции и = F (t).
4360. Вычислить интеграл
^(0= Я /(*. У, z)dS,
где
*/ ч 1*2 + У2, если z>*Jx2 + y2;
I 0, если 2<удсг + г/а.
4361. Вычислить интеграл
F(x, у, г, 0-Я/О. П. Qd5,
где S — переменная сфера
£ - х)2 + (т, - у)2 + (£ - г)2 * /\

464 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Й
fa, ц, о={0]
1, если £2 + т]2 + £2<аг;
если !2 + л2+£2>а2.
предполагая, что
r = ^/x2+y2 + z2 >a>0.
Вычислить следующие поверхностные интегралы 2-го
рода:
4362. ]Ч (* dydz+ydzdx + z dx dy), где S — внешня я
сторона сферы х2 + у2 + z2 = a2.
4363. ^$(x)dydz+g(y)dzdx + li(z)dxdy, где f (х),
g (у), h (z) — непрерывные функции и S — внешняя
сторона поверхности параллелепипеда 0 ^ х < а; 0 ^
< у sg Ь; 0 < г < с.
4364. 4\(y—z)dy dz + (z—x)dzdx + (x—y)dxdy,
где S — внешняя сторона конической поверхности х2 +
-г t/2 = z2 (0 < 2 < Л).
4365. fJ(J^ + J^ + -*^L), где S - внеш-
s
** , Уг
няя сторона эллипсоида '+——I = 1.
аг ь2 сг
4386. J J x2dydz + у2 dz dx + г2 dx dy, где S —
внешня я сторона сферы (х — а)2 + (у — b)2 + (z —с)2= №.
§ 15. Формула Стокса
Если Р = Р (*, у, г), Q = Q (ж, у, г), R = R (х, у, г) —
непрерывно дифференцируемые функции и С — простой
замкнутый кусочна гладкий контур, ограничивающий конечную
кусочно гладкую двустороннюю поверхность S, то имеет место
формула Стокса:
cos a cosf cosy
fPdx+Qdy+Rdz-H
a
дх
p
a
dy
Q
a
dz
R
dS,
где cos a cos p\ cos у — направляющие косинусы нормали к
поверхности S, направленной в ту сторону, относительно которой
обход контура С совершается против хода часовой стрелки
(для правой координатной системы).

§ 16 ФОРМУЛА СТОКСА 465
4367. Применяя формулу Стокса, вычислить
криволинейный интеграл f у dx + г dy + x dz, * где С —
окружность х* + уг + г* = а2, х + у + г — О,
пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть
с положительной стороны оси Ох.
Проверить результат непосредственным вычислением.
4368. Вычислить интеграл
J (x*-yz)dx + {yt—xz)dy + (*-xy)dz,
АтВ
взятый по отрезку винтовой линии
1,
jf = acos<p, </ = asin<p, г = <р
от точки А (а, О, 0) до точки В (а, 0, Л).
Указание. Дополнить кривую АтВ прямолинейным
отрезком и применить формулу Стокса.
4369. Пусть С — замкнутый контур,
расположенный в плоскости х cos a + у cos (J + z cos у — p = 0
(cos a, cos p\ cos у — направляющие косинусы нормали
плоскости) и ограничивающий площадку S.
Найти
dx dy dz
$
cos a cos p cos у
x у г
где контур С пробегается в положительном
направлении.
Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы:
4370. J (у + г) dx + (z + х) dy + (x + у) dz, где
с
С — эллипс х = a sin2 t, у = 2а sin t cos f, z = a cos2 r
(0 < t < л), пробегаемый в направлении возрастания
параметра t.
4371. \{y — z)dx + {z — x)dy + (Jf — ^) dz, где
с
С — эллипс х* + уг = а2 — + — =1 (а > 0, Л > 0),
а /I
пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть
с положительной стороны оси Ох.
4372. $(у2 + z*)dx + (х2 + z2) dy + (х* + у*) dz,
где С — кривая х* + у2 + г2 — 2/?*, *2 + #2 = 2г* (0<
<lr<R, г>0), пробегаемая так, что ограниченная
30~2МЗ

466 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ею на внешней стороне сферы х2 + у2 + г2 = 2Rx
наименьшая область остается слева.
4373. JO/2 — г2) dx + (г2 — х2) dy + (х2 — у2) dz,
с
где С — сечение поверхности куба 0 < х < а, 0 <
3
< г/ < a, 0 < z < а плоскостью х + у -\- г — — а,
пробегаемое против хода часовой стрелки, если
смотреть с положительной стороны оси Ох.
4374. j" y2z2dx + x2z2dy + x2y2dz, где С — замкну-
с
тая кривая х — a cos /, у — a cos 2/, z — a cos 3/,
пробегаемая в направлении возрастания параметра /.
4375. Доказать, что функция
W (х, у, г) = ki Г Г cos ^' я) dS (Л = const),
s
где S — площадка, ограниченная контуром С, п
—-нормаль к поверхности S и г — радиус-вектор,
соединяющий точку пространства М (х, у, z) с текущей точкой
А (£> 40 контура С, является потенциалом
магнитного поля Н, создаваемого током i, протекающим по
контуру С (см. задачу 4340).
§16. Формула Остроградского
Если S — кусочно гладкая поверхность, ограничивающая
объем V, и Р = Р (х, у, z), Q— Q (х, у, г), R= R (х, у, г) —
функции, непрерывные вместе со своими частными
производными 1-го порядка е области V + S, то справедлива формула
Остроградского:
j f(P cos a+Q cos p+ К cos y)dS =»
-ше£-+-г-+-г-)***
V
где cos a, cos p\ cos у — направляющие косинусы внешней
нормали к поверхности S.
Применяя формулу Остроградского, преобразовать
следующие поверхностные интегралы, если гладкая
поверхность S ограничивает конечный объем V и cos a,
cos p\ cos у — направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности S:
4376. | $х* dy dz+у* dz dx + z* dx dy.

$ 16. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 467
4377. Г Г yzdydz + zxdzdx+xydxdy.
4378. ГГ *cos«+ycosP + zcosY ^
У У*2 + Уг + *г
4379. f J(-|.cosa+^-cosP + -|-cosY)dS.
s
438°- Я[С$-5-)«»+(-£"-£-Н+
. / ас? ар \ 1
+U"—)C0SVJ
dS.
4381. Доказать, что если S — замкнутая простая
поверхность и / — любое постоянное направление, то
J J" cos (я, l)dS = 0,
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
4382. Доказать, что объем тела, ограниченного
поверхностью S, равен
V = — J" f (jccos a -\-y cos p1 + 2cos y) dS,
где cos a, cos p\ cos у — направляющие косинусы
внешней нормали к поверхности S.
4383. Доказать, что объем конуса, ограниченного
гладкой конической поверхностью F (х, у, г) = 0 и
плоскостью Ах + By + Сг + D = 0, равен
V= — Stf,
з
где S — площадь основания конуса, расположенного
и данной плоскости, и Я — его высота.
4384. Найти объем тела, ограниченного
поверхностями: г = ± с и
ж = a cos и cos и + Ь sin и sin и,'
у =■ a cos ы sin v—b sin ы cos у,
2 = csin«.
4385* Найти объем тела, ограниченного
поверхностью
х = ы cos v, у — и sin v, г = —ы + a cos о
<и>0)
и плоскостями: х = 0 и г = 0 (а > 0).
30*

dt
468 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4385.1. Найти объем тела, ограниченного тором
* = (6 + acosi|>)cos<p, I
(/ = (b + acosi|>)sin<p, I (0<a<6).
z — a sirn|> J
4386. Доказать формулу
{ Ш f(x> У> z> t)dxdydz\ =
= Jj /(*,■?, z. QdS + fjj -^dxdydz
(/>0).
С помощью формулы Остроградского вычислить
следующие поверхностные интегралы:
4387. Их* dy dz + у2 dz dx + z* dx dy, где S —
внешняя сторона границы куба 0 < * < a, 0 < г/ < a,
О < z <a.
4388. Jf *• dy dz + y3 dz dx + z3 dx dy, где S —
внешняя сторона сферы x2 + уг + z2 = a2.
4389. H(x — y + z)dydz + (y—z + x) dz dx -f
•f (z — x -r y) dxdy, где S — внешняя сторона
поверхности
[x — y + z\ +\y — z + x\ + \z~ x + y\ = 1.
4390. Вычислить J" J (x2 cos a+y2 cos p1 + z2 cos v) ^5,
s
где S — часть конической поверхности х2+у2 = z2
(0 < z < ft) и cos a, cos 0, cos у — направляющие
косинусы внешней нормали к этой поверхности.
Указание. Присоединить часть плоскости z—h,
*а + уг ss Л".
4391. Доказать формулу
V S
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем
V, п — внешняя нормаль к поверхности S в текущей
точке ее (1, ц, Q, г = У(| - х]2 + (tj - у\* + ($-z)?

§ 16 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
469
иг — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, г) к точке
(I, Л. О-
4392. Вычислить интеграл Гаусса
I(x,y,z) = \\^-*-dS,
S
где S — простая замкнутая гладкая поверхность,
ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к
поверхности S ь точке ее (?, i\, £), г — радиус-вектор,
соединяющий точку (х, у, г) с точкой (£, т], S) и г =>
=л/а-х)* + (ц-У)* + &-z)\
Рассмотреть два случая:
а) когда поверхность S не окружает точку (х, у, г),
б) когда поверхность S окружает точку (х, у, г).
4393. Доказать, что если
д*и , дги . дги
Ьи
дх*
дуг
дг*
и S — гладкая поверхность, ограничивающая конечное
тело V, то справедливы следующие формулы:
•4-(—— ) Jdxdydz + I I \ ukudxdydz,
v
где и — функция, непрерывная вместе со своими
частными производными до второго порядка включительно
в области V + S, и производная по внешней нор-
дп
мали к поверхности S.
4394. Доказать вторую формулу Грина в прострян-
стве
ш: :ин$
ди
дп
и
до.
дп
dS,
где объем V ограничен поверхностью S, п —
направление внешней нормали к поверхности S и функции

470 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
и = и (х, у, z), v = v (х, у, г) дважды
дифференцируемы в области V + S.
4395. Функция и — и (х, у, г), обладающая
непрерывными производными до второго порядка
включительно в некоторой области, называется гармонической
в этой области, если
Au^J^L + J^L + J^o.
дх* ду* дг2
Доказать, что если и — гармоническая функция в
конечной замкнутой области V, ограниченной гладкой
поверхностью S, то справедливы формулы:
S
где я— внешняя нормаль к поверхности S.
Пользуясь формулой б), доказать, что функция,
гармоническая в области V, однозначно определяется
своими значениями на ее границе 5.
4396. Доказать, что если функция и = и (х, у, г) —
гармоническая в конечной замкнутой области V,
ограниченной гладкой поверхностью 5, то
/ \ 1 Г Г Г cos (г, л) . 1 ди т ,с
s
где г — радиус-вектор, идущий из внутренней точки
(х, у, г) области V в переменную точку (j, r\, g)
поверхности 5, г - V(£-*)2 + fo-l/)2 + (C-z)2. « -
вектор внешней нормали к поверхности S в точке (£, г\, £).
4397. Доказать, что если и = и (х, у, г) — функция,
гармоническая внутри сферы 5 радиуса R с центром
в (*о. #о. z0), той (х0, уо, г0) = —~\ ?и(х, у, z) dS
s
(теорема о среднем).
4398. Доказать, что функция и = и (х, у, z),
непрерывная в ограниченной замкнутой области V и
гармоническая внутри нее, не может достигать своих
наибольшего и наименьшего значений во внутренней точке обла-

§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 471
сти, если эта функция не является тождественной
постоянной (принцип максимума).
4399. Тело V целиком погружено в жидкость. Исходя
из закона Паскаля, доказать, что выталкивающая сила
жидкости равна весу жидкости в объеме тела и
направлена вертикально вверх (закон Архимеда).
4400. Пусть S, — переменная сфера (| — х)г +
+ (П - У? + (S — г)2 = /а и функция / (I, tj, О -
непрерывна. Доказать, что функция
st
удовлетворяет волновому уравнению
д*и , дги , д2и д*и
дх» ду* дгг dt*
и начальным условиям: и
= 0, -J-I =f(X, у, 2).
/=о at /=o
Указание. Производную —— выразить тройным инте*
at
градом.
§ 17. Элементы теории поля
Г. Градиент. Если и (г) = и (х, у. г), где г = xl -+*
+ {//+ гк, есть непрерывно дифференцируемое скалярное поле,
то градиентом его называется вектор
. ди . , ди , , ди .
grad и = —— / + ——/ + -— *
ах ду дг
или, короче, gradu=V", где V = / \-J~ г-*-г-• П»**
дх ду дг
диент поля и в данной точке (х, у, г) направлен по нормали
к поверхности уровня и (х, у, г) = С, проходящей через эту
точку. Этот вектор для каждой точки поля по величине
"-'-V(-vHi№y
и направлению дает наибольшую скорость изменения функции и.
Производная поля и в некотором направлении I {cos а,
cos P, cos y} равна:
ди да . ди _ , ди
—— = grad и I = cos о + • cos р -| cos Y-
dl дх ду дг
2°. Дивергенция поля и ротация (вихрь)
поля. Если
о (г) = а, (х, у, г) I + ау (х, у, г) J + аг (х, у, г) k

472 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
есть непрерывно дифференцируемое векторное поле, то скаляр
I. .-■ да, , даи да,
divosVo=—-—| а- Н —
дх ду дг
называется дивергенцией или расходимостью этого поля.
Вектор
t J k
rot a = V X а —
д д д
дх ду дг
а. аи а.
носит название ротации илн вихря поля.
3°. Поток вектора через поверхность.
Если вектор а (г) порождает векторное поле в области Й, то
потоком вектора через данную поверхность S, расположенную
в Q, в указанную сторону, характеризуемую единичным
вектором нормали я (cos а, cos р\ cos у), называется интеграл
( [ andS = f f (a, cos а + ау cos |J -+- аг cos v) dS,
s s
где o„ = an — нормальная проекция вектора. Формула Ocmfx-
градского в векторной трактовке принимает вид &ariUS —
j I J div а dxdydz, где S есть поверхность, ограничивай
S
а Ю-
VJ
щая объем V, и я— единичный вектор внешней нормали к
поверхности S.
4°. Циркуляция вектора. Линейным ингг.егролом
от вектора а (г), взятым по некоторой кривой С {работа поля),
называется число
f a dr = Г a*dx -~ aydy 4- к^г.
С С
Если контур С замкнут, то линейный интеграл называется
циркуляцией вектора а вдоль контура С.
В векторной форме формула Стокса имеет вид 4 а йг =
с
(rot a)ndS, где С — замкнутый контур, ограничивающий
"S"
поверхность S, причем направление нормали л к поверхности
S должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, стоящего на
поверхности 5, головой по направлению нормали, обход контура
С совершался против хода часовой стрелки (для правой системы
координат).
5°. Потенциальное поле. Векторное поле а (г),
являющееся градиентом некоторого скаляра и:
grad и = а,
называется потенциальным, а величина и называется потенций-
лом поля.
и<

§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 473
Если потенциал и — однозначная функция, то
f a dr = и (В) — и (А).
В частности, в этом случае циркуляция вектора а равна нулю.
Необходимым и достаточным условием потенциальности
поля а, заданного в поверхностно односвязной области,
является выполнение условия rot а = 0, т. е. такое поле должно
быть безвихревым.
4401. Найти величину и направление градиента поля
и = х2 + 2у2 + 3z2 -f xy + Зх — 2у — 6г в точках:
а) О (О, 0, 0); б) А (1, 1, 1) и в) В (2, 0, 1). В какой
точке градиент поля равен нулю?
4401.1. Пусть и = ху — г2. Найти величину и
направление grad и в точке М (—9, 12, 10).
Чему равна производная — в направлении биссек-
dl
трисы координатного угла хОу>
4402. В каких точках пространства Oxyz градиент
поля
и == х3 + у3 + г3 — Зхуг
а) перпендикулярен к оси Oz; б) параллелен оси Oz;
в) равен нулю?
4403. Дано скалярное поле
и = In —,
г
где г = д/(* — а)2 + (у — Ь)г + (г — с)2. В каких
точках пространства Oxyz имеет место равенство
|grad u\ = 1?
4404. Построить поверхности уровня скалярного поля
и = V**+ »• + (*+в)5" + V*a + </2 + (2-8)2.
Найти поверхность уровня, проходящую через точку
М (9, 12, 2S). Чему равен max и в области хг + у2 +
+ г2 < 36?
4405. Найти угол ф между градиентами поля
X
и =
х*+у*+г*
в точках Л (1, 2, 2) и В (—3, 1, 0).
4408. Пусть дано скалярное поле и = — —.
Уд»+ *• + **
Построить поверхности уровня и поверхности
равного модуля градиента ноля.

474 ОТДЕЛ VIM КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти inf и, sup и, inf i grad и |, sud | grad и | в
области 1 < г < 2.
4407. С точностью до бесконечно малых высших
порядков найти расстояние в точке М0 (х0, у, г0) между
двумя бесконечно близкими поверхностями уровня
и (х, у, г) — с и и (х, у, г) = с + Ас,
где и (х0, у0, z„) = с (grad и (х0, у0, г0) ф 0).
4408. Доказать формулы:
а) grad (и + с) = grad и (с — постоянно);
б) grad си = с grad и (с — постоянно);
в) grad (и + v) = grad и + grad v;
г) grad uv = v grad и -t- и grad у;
д) grad (u2) = 2u grad u;
е) grad /' («) = /' («) grad u.
440У. Вычислить: a) grad r; 6) grad г2; в) grad —,
где r = xi-±-yj-*-zk.
4410. Найти grad / (г), где r = V*2 + t/2 + z2.
4411. Найти grad (cr), где с—постоянный вектор и
г — радиус-вектор из начала координат.
4412. Найти grad {\с X г\г) (с — постоянный
вектор).
4413. Доказать формулу grad / (и, v) = —!— grad и -f
ди
-'—— grad v.
dv
4414. Доказать формулу V2 (uv) = uXJ2v + V\7*u +
-4- 2V"V«, где
v-iJL+jJL + kJL,
дх ду дг
Эх2 д(/г dz*
4415. Доказать, что если функция и = и (х, у, г)
дифференцируема в выпуклой области Q и [grad и) <; М,
где М — постоянная, то для любых точек А, В из Й
имеем:
\и(А) — и(В)\< Мр(А, В),
где р (Л, В) — расстояние между точками А и Б.
4415.1. Для функции и = и (*, у, г) выразить
grad и: а) в цилиндрических координатах; б) в
сферических координатах.

§ 17- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 475
4416. Найти производную поля и =*——b-"—4--^—
с* Ь* с*
в данной точке М (х, у, z) в направлении
радиуса-вектора г этой точки.
В каком случае эта производная будет равна
величине градиенте.?
4417. Найти производную поля и = 1/г, где г =
= V*2 + Уг + г2> в направлении /{cos a, cos p, cos у).
В каком случае эта производная равна нулю?
4418. Найти производную поля и = и (х, у, г) в
направлении градиента поля v= v (x, у, г).
В како>1 случае эта производная будет равна нулю?
4419. Напис.лъ в ортах векторное поле а — с X
S< grad и, если
и = arct£ —=^=r=- a c = l+]~-k.
V** + у-
4420. Определить силовые линии векторного поля
a-=xl+yj + 2zk.
4421. Доказать непосредственным вычислением, что
дивергенция вектора а не зависит от выбора
прямоугольной координатной системы.
4422. Доказать, что div а(М) — !цп J f a„ dS,
где S — замкнутая поверхность, окружающая точку М
и ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к
поверхности S, d (S) —диаметр поверхности S.
4422.1. Найти дивергенцию поля а=» ■-±~,~—
V*'- + у1
в точке М (3, 4, Е). Чему приближенно расой погок П
вектора а через бесконечно малую сферу (х —3)а-г"
+ (у - 4)* -г (г — 5)* = ег?
4423. Найти
i J *
dx dy дг
(о, <otf (о,
4424. Доказать, что a) div (a -r b) = div а + div b;
б) div (не) — с drad и (с — постоянный вектор, и
—скаляр); в) div (иа) — и div a -i- a grad и.
4425. Найти div (grad и).
div

476 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4426. Найти div [grad / (г)], где г = д/ х% + у% + гг7
В каком случае div [grad / (г)] = О?
4427« Вычислить: a) div r; б) div r/r.
4428. Вычислить div [/ (г) с], где с — постоянный
вектор.
4429. Найти div [ / (г) г]. В каком случае
дивергенция этого вектора равна нулю?
4430. Найти: a) div (« grad и); б) div (и grad v).
4431. Жидкость, заполняющая пространство,
вращается вокруг оси Ог против часовой стрелки с
постоянной угловой скоростью ш. Найти дивергенцию вектора
скорости v и вектора ускорения w в точке М (х, у, г)
Пространства в данный момент времени.
4432. Найти дивергенцию гравитационного силового
поля, создаваемого конечной системой притягивающих
центров.
4433. Найти выражение дивергенции плоского
вектора а = а (г, ф) в полярных координатах г и <р.
4434. Выразить div а (х, у, г) в ортогональных
криволинейных координатах и, v, w, если х = / (и, v, w),
У = g («. v, w), г — h {и, v, w). Как частный случай
получить выражение dive в цилиндрических и
сферических координатах.
Указание. Рассмотреть поток вектора а через
бесконечно малый параллелепипед, ограниченный поверхностями
и = const, v = const, ш = const.
4435. Доказать, что: a) rot (a -f b) — rot а + rotfti
б) rot (на) =? и rot а -t- grad (и х а).
4436. Найти: a) rot г; б) rot [/ (г) г].
4436.1. Найти величину и направление rot а в точке
М (1, 2, — 2), если а =-£-* + — J + —k.
г х у
4437. Найти: a) rot с/(г); б) rot lex f (г) г\ (с—
постоянный вектор).
4438. Доказать, что div (а х Ь) = Ъ rot a —a rot b.
4439. Найти: a) rot (grad и); б) div (rot a).
4440. Жидкость, заполняющая пространство,
вращается вокруг оси / {cos a, cos р, cos у} с постоянной
угловой скоростью ш. Найти ротацию вектора линейной
скорости v в точке пространства М (х, у, г) в данный
ыомент времени.
4440.1. Найти выражение ротации плоского вектора
а— а (г, ф) в полярных координатах г и ф.

§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 477
4440.2. Выразить rot а (х, у, г) а) в
цилиндрических координатах; б) в сферических координатах.
4441. Найти поток вектора г:
а) через боковую поверхность конуса хг + у2 < гг-
(0 < 2 < Л);
б) через основание этого конуса.
4442. Найти поток вектора а = iyz +jxz + kxy: а)
через боковую поверхность цилиндра хг + у2 < аг (0 < г <
< Л); б) через полную поверхность этого цилиндра.
4443. Найти поток радиуса-вектора г через
поверхность г = 1 — V*2 + Уг (0 < 2 < 1).
4444. Найти поток вектора а = хН + y2j -\-г2к через
положительный октант сферы хг + у2 + г2 = 1, д: > 0,
I/ > 0, г > 0.
4445. Найти поток вектора а = yi-{■ zj -\- xk через
полную поверхность пирамиды, ограниченной
плоскостями х = 0, I/ = 0, 2 = 0, х + I/ + г = а (а > 0).
Проверить результат, применяя формулу
Остроградского.
4445.1. Найти поток вектора а = хЧ + yaJ + г3Л
через сферу д:2 + у2 + г2 = д:.
4446. Доказать, что поток вектора а через
поверхность S, заданную уравнением г = г (и, v) ((и, v) 6 Q),
равен
5 Q
где а„ = ап и п — единичный вектор нормали к
поверхности S.
4447. Найти поток вектора а = тг/г3 (т—
постоянная) через замкнутую поверхность S, окружающую
начало координат.
п
4448. Найти поток вектора а(г) = Vgrad ( — J,
»=i
где et — постоянные и rt — расстояния точек Mt (источ~
ники) от переменной точки М (г), через замкнутую
поверхность S, окружающую точки Mt (i = 1, 2, .... п).
4449. Доказать, что С [ — dS = С Г С Vau dxdydz,
s v
где поверхность S ограничивает тело V.
4450. Количество тепла, протекающее в поле
температуры и за единицу времени через элемент поверхности

478 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
dS, равно dQ = —kn grad и dS, где k — коэффициент
внутренней теплопроводности и я — единичный вектор
нормали к поверхности S. Определить количество тепла,
накопленное телом V за единицу времени. Используя
скорость повышения температуры, вывести уравнение,
которому удовлетворяет температура тела (уравнение
теплопроводности).
4451. Находящаяся в движении несжимаемая
жидкость заполняет объем V. Предполагая, что в области V
отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение
неразрывности.
4- + div(pt>) = 0,
at
где р = р {х, у, г) — плотность жидкости, v — вектор
скорости, / — время
Указание. Рассмотреть поток жидкости через
произвольный объем ш, содержащийся в V.
4452. Найти работу вектора а —г вдоль отрезка
винтовой линии г — la cos t + ja sin t + kbt (0 < t <2n).
4452.1. Найти работу поля a = — i-\ j-\ k
у г x
вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки
М (1, 1, 1) и N (2, 4, 8).
4452.2. Найти работу поля a = 1е«~г +■ je*-x +
+ ke*-v вдоль прямолинейного отрезка между точками
О(0, 0, 0) и М (1, 3, 5).
4452.3. Найти работу поля а — (у+ г) 1+ (2+ x)j -Ь
+ (* + У) Ь вдоль кратчайшей дуги большого круга
сферы х2 + у2 + г2 = 25, соединяющей точки М (3, 4, 0)
и N (0, 0, 5).
4453. Найти работу вектора а = f (г) г, где / —
непрерывная функция, вдоль дуги АВ.
4454. Найти циркуляцию вектора a = —yt + xj -f-
+ ck (с — постоянная): а) вдоль окружности х2 + у2 «
= 1, г ~ 0; б) вдоль окружности (х — 2)2 + у2 — 1,
г= 0.
4455. Найти циркуляцию Г вектора а =»
= grad [ arctg — j вдоль контура С в двух случаях: а) С не
окружает ось Ог; б) С окружает ось Ог.

§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 47§
4455.1. Дано векторное поле
Вычислив rota в точке М (1, 1, 1), приближенно
найти циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой
окружности
(x-l)* + G/-l)2 + (z-l)2 = e*, 1
(х— 1) cos a + (у— 1) cos р + (г— 1) cos у = О, J
где cos2 a + cos2 0 + cos2 у = 1.
4456. Плоский установившийся поток жидкости
характеризуется вектором скорости
w = и (х, у) I + v (х, у) J.
Определить: 1) количество жидкости Q, протекающее
через замкнутый контур С, ограничивающий область S
(расход жидкости); 2) циркуляцию Г вектора скорости
вдоль контура С. Каким уравнениям удовлетворяют
функции и и v, если жидкость несжимаема и поток
безвихревой?
4457. Показать, что поле
a = уг (2х + у + г) I + хг {х + 2у + z)j +
+ ху (х + у + 2г) к
— потенциальное и найти потенциал этого поля.
4457.1. Убедившись в потенциальности поля
a = ? 1 х- J х- к,
(у + г)112 (У + zf2 {y+zf2
найти работу поля вдоль пути, соединяющего в
положительном октанте точки М (1, 1, 3) и N (2, 4, 5).
4458. Найти потенциал гравитационного поля
создаваемого массой т, помещенной в начале координат.
4459. Найти потенциал гравитационного поля,
создаваемого системой масс m< (t = 1, 2, . . ., л),
помещенных в точках Mi (i = 1, 2, . . ., я).
4460. Доказать, что поле а = f (г) г, где / (г) —
однозначная непрерывная функция, является
потенциальным. Найти потенциал этого поля.

ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ I
отдел i
16. 0{ 1. 17. — л/2; V2". 22. — 1,01< х<—0,99. 23. х<
<—8} JQ&12. 24. х< -. 2S. 0<х< —. 26. |*|<6.
л О
27. *>_-L. 28. _-L<*<-L. 29. 5-У^ <*<
2 2 2 10
_ 5 —д/ЙГ 5+л/20 _ 5+л/зО „, D
< - ; !—f <х< !—s , 31. Второе.
10 10 10
82. Два знака. 33. Не превышает 0,41 %. 34. 9,9102 см* ^
<S< 10,0902 см*; Д<0,0902 см*; в < 0,91 %. 35. 3,93 гс/см*±!
tfc0,27 гс/см»; 6 < 7,3 %. 36. 6sg3,05 %. 37. 172,480 м8 ^
< v а£ 213,642 м»; о = 192,660 м* ± 20,982 м3; 6 ж 12 _%.
88. Д <0,17 мм. 39. Д < 0,0005 м.42. а) N > —; б) N > л I-;
р. V в
в) ы>х +-&Г'г) N>ljft» -2330,6Т-43-а) N>Ei
d N >^-lS-LV; в) N^Vfi». 46. 0. 47. 0. 48. 0. 49. —.
60. ]~Ь . 51. —. 52. —. 53. —. 54. —. 55. 3.
1-е 2 2 3 3
66. 1. 57. 2. 67. а) второе; а) первое; в) второе. 72. ем
«= 2,71828 ... 92. Равен 1, если афО и принадлежит [—1,
1], или не существует, если а = 0. 96. *з = 1 — • 97. «к» в
8
1 10001000
*= —. 98. хш=— *2,49.10*i». 99. *4=хв= — 120.
20 10001
100. х10«=20. 101. 0; 1; 1; 1. 101.1. —3 — ; 5; —2; 2.
2
102. — 1; 1—; 0; 1. 103. 0; 2; 0; 2. 104. —4; 6; —4} 6.
2 *

ОТВЕТЫ 481
105. : 1) ; 1. 108. — оо; + оо; — оо; + то.
2 2
107. —оо; — 1; —оо; —оо. 108. 0; + оо; 0; - + оо. 109. —оо}
4-оо: -оо; +оо. НО. -5; 1,25; 0; 0. III. }-; 1.
112. —
(е+—^Л; е+1. 113.0» 1. 114. 1; 2. 115. 0;
1. 116. 0; 1. 117. 1; —; —; . . . ;0. 118.Все вещее*
2 3
венные числа, заключенные между 0 и 1, включая последние.
119, 1, 5. 120. а; Ь. 127. а) расходится, б) может как
сходиться, так и расходиться. 128. а) нельзя; б) нельзя. 129. Нет.
130. Нет. 144.а)0;б)0. 147. In 2. 148. — (а + 26). 151. —оо<
<х< + оо, хф — 1. 152. — оо<х<— Уз" и 0<Х^УЗ~.
153. — 1<х<1. 154. а) |х|>2: б) х£>2. 155. 4Лгяг«£х<
<(2A+l)sn» (А-0. 1. 2, . . .). 156. |xl<
V^
л/f^-'xi'KA/f
(4Л+1) <Л = 1, 2. . . .)•
157. ! <x<_L и ! <х< 1- (*«=»
2Л+1 2ft 2Л+1 2Л+2
=0, 1, 2, . . .). 158. х>0, х=5&л(л=1, 2, . . .). 159. L^
3
<х<1. 160. |х—Ля|< — (Л~0, ±1, ±2, . . .)•
ъ
161. lot**"1/»)" < х < ИХ2*-"/2)* (Л=0, ±1. ±2, . . .). 162. х=.
— — 1, —2, —3, ... и х>0. 163. х<30, хф — л(л>= 1,
2, . . .)■ '84. K*ss2. 165. хг= —, 1, JL, 2, . . .
2 2
165.1. х>4. 165.2. Ля + — <х< Ая+— (А = 0, ±1. . . .).
4 2
165.3. 0<х<— и -1"-^х<—. 166. -1<х^2; Ой
3 3 2 ^
«£У< 1 ' 167. 2Ая +JL<x<2An +-^- (А = 0. ±1.
±2, . . .); — оо < у < lg 3. 168. — оо < х < + то; 0 < у ^
<я. 169. 1 <ж< 100; "-^у^Л. |70. х*= ^—,
2 2 a?+ 1
31-2383

172.
482 ОТВЕТЫ
где v в 9 — целые числа; у**± 1. 171. Р = 26+2(1 J
(О < х<Л); S = Ьх(\ — —Л (0 < х < Л).
= VlOO — 96cosх (0<х<л), S = 24sinx (0<х<п). 173. S—
*—*', если 0<*< "-" ; S - A (* - -Ш±-Л ,
а-Ь ^2 V 4 )
а—Ь ^ ^ а+Ь с Lr а+fr (а-х)г 1
если <х< ; S=n - — ,
2 2 L 2 a—ft J
если ———<*<а. 174; т(х)—0, если —оо<х<0; m (x)=
2
= 2х, если 0<xsg;l; m(x) = 2, если 1<х<2; m(x)=3,
если 2<х<3; т(х) = 4, если 3<х< + оо. 178. £у={0<
<у<4). 179. Еу = {1<у<3). 180. Еу={0<у<1].
181. £„ = {ls£|y|< +oo}. 182. £„={1<у<2}. 183. а<
<Су<Ь при а<Ь н b<y<ia при а>£>. 184. 1<у< + оо.
183. 0>у>— оо и +оо>у>1. 186. 0<#<—. 187. +оо>
>у> — оо. 188. 0<у <— н — <у<2. 189. 0; 0; 0; 0;
24. 190. 0; —6; 4. 191. 1; 1; 1; 2. 192. —1; 0; 1; 2; 4.
193. ,. JL+£_. _^£_, _2_, JLnL, _I±JL.
1-х 2 + х 1 + х х+1 1-х
194. а)/(х) = 0, если х= — 1, х = 0 и х = 1; /(х)>0,если
— оо <х< — 1 и 0<х< 1; /(х)<0, если — 1<х<0 и 1<
<х<+оо! б)/(х) = 0, если х= ±—; /(х)>0, если
-— <х< — и 1- <х< 1 (* = 0, 1,
2k + 1 2ft 2* + 1 2k + 2
2. . ..); f(*)<0. если l- <x< —! и —<х<
2А Ч- 2 2/s+l 2k
< (k » О, 1, 2, . . .); в) / (х) = 0, если х < 0 и
!■!; /(*)>0, если 0<х<1; И*)<30. если 1<х< + оо.
195. а) а; б) 2х+/г, в) а*. ■" ~* . 197. /(х) =. — х — 2;
h 3
Г(1)=4"'» ГР)-2 — - «98. /(х) = -1-^ + -^-х+1;
О О 0 0
f(-l)~ L; /(0,5) = 2— . 199. /(х) = -^-*?-— *»-
1 3 ' 24 3 2

ОТВЕТЫ 483
22-х+2. 200. jf (*)- 10+5-2*. 203. a) 2fcn<jx<^n +
6
4-2ftn(fc = 0, ±1, ±2,...). б) 1<х<е; в) *>0, хф
«И=М*-0, 1, 2, ...)• 205. а) г*»х+у, б) г. ^
* + У
в) г=-*+у ; г) г= *+У . 206. ф(ф(х))-ж<;
1 — ху 1 + ху
Ф (ф (х)) _ 2**; ф (^ (х)) - 2«; ф (ф (х)) = 2*'. 207. ф (ф (х)) -
-=sgnx; ф (ф (х)) = х (х =£ 0); ф (ф (х)) ш» ф (ф (х)) = sgn x (х Ф
5*0). 208. ф(Ф(х))«=ф(х); ф(Ф(х))-ф(х); Ф(Ф(х))-
«=ф(ф(х))-0. 209. 5J=1^-; х(х#0, хф\). 210. /„ (х)=»
. 211. Xs —5х + 6. 212. х* — 2(|х|>2—V
У» +
213. ^У1**8 2IS.I. f(x)-f—£—Y. 221. а) Воз-
растает при а>0 и убывает при ск^О; б) при а£>0 убывает
в интервале!—оо, |и возрастаете интервале! , -4-оо 1;
V 2а7 V 2а )
в) возрастаег, г) при ad — frc£>0 возрастает в интервалах
f — оо, J я( , +оо]; д) возрастает прна£>1
и убывает при 0<^а<1. 222. Можно, если основание лога*
рифмов больше 1. 224. -^-^—(— оо<у<+оо). 22S. а) — V7
(0<у<+оо); б) Vy (0<Jf<+oo). 220. J-T^to^-l).
1 + У
227. a) —Vl—У* (0<у<1); б) Vl-У* (0<у<1). 228. Arshy=i
«=1п(у4-У1+У*) (— °° < У < + «>)■ 229- Arthy=i
= -1п 1 + у (—1<у<1). 230. х = у, если — oo<fy<^l;
2 1—у
х = л/у, если 1<у<16; x«log,y, если 16«^у<| + оо.
231. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная; д) нечет»
ная. 233. а) Периодическая, J" = 2яД; б) периодическая,
Г = 2я, в) периодическая, Т =« 6я; г) периодическая, Г ■» nj
д) непериодическая; е) периодическая, Т = я; ж) непериоди-
2 1
ческая; з) непериодическая. 241. /«=1— с, *« —3— ы.
3 3
Ь Аас — Ь*. х*
243. х.= £-, у„ . 244. у = х f-_;
2а 4а 36000
31*

484 ответы
9 км; 36 км. 251. х0 = ; Уо= —. 252. р = (»>
ее v
а а,ь — аЬл с Ьл
>0). 263. ft = —, m=»-^—^-, л= — -±-(ахЬ—
а, а\ а, а\
—abt), *„== —• 264. у = ~. 287. А**л/а*+Ь2; sinx„=
Oi xa
s= — , cosxo*3 • 356. у"—2 sin x, если I x — л&|^—.
A A 6
и у - (— 1)*. если — < | х - nk |< — (ft = 0. ±1. ±2, . . .).
6 6
857. а) ут — (x + l*l): б) и в) у-* х*. если х > 0; у«=0»
если х<0; г) у=х, если х<0; у = х*. если х>0. 358. а) у—
= 1; б) у = 1, если 1 < |х| <Уз~; у = 0, если |х|<1 или
|х|>Уз~; в) у= 1. если |х|< 1; у = 2, если | х| > 1; г) у=
= —2. если |х|>2; у = 2 — (2 — х2)». если |х|<2. 359. При х<
< 0 имеем: а) 1) / (х) = 1 + х. 2) / (х) . - (1 + х); б) 1) / (х)=
= — 2х — х*. 2) /(х)~2х+х2; в) 1) / (х) = л/ — *. 2) / (х) =
^-V — х: г) 1) /(х) = — sin*. 2) /(x) = sinx; д) 1) /(х) =
~ег*. 2) /(х) =_*-*; е) 1) /(х)~1п(-х). 2) / (х) =
= —1п( —х). 360. а) х = —; б)х = —; в)х= Ь ~~ а
— произвольно; б) ( , —J; в) (х0, уа), где х0 — —
2а ' 2 ' 2 '
г) х — kn (ft => 0. ±1. ± 2, . . .). 361. а) (*о, ах0+ &), где х0—
Ь
За
и yQ = axl+bx20+cxQ+d; г) (2,0); д) (2.1). 372. Корни:
— 1.88; 0.35; 1.53. 373. 2.11; —0.25; —1.86. 374.0.25;
1.49. 375. 0.64. 376. 1.37; 10. 377. —0,54. 378. 0; 4,49.
379. xj=— 0.57. yi= — 1,26; х4= — 0.42, yt = 1,19; х,=
= 0,45.^8 = 0,74; х« = 0.54. yt= — 0,68. 380. хг=* — 1.30.
У! = 9.91; х2 = 2,30, у„ = 9,73; х,= —0.62. у,=» —9.98; х«~
■=» 1.62, у« ■=» — 9,87. 382. а) Вообще говоря, нет; б) да.
385. Ограничена сверху и неограничена снизу. 387. / (а) и (6).
888. 0; 25. 389. 0; 1. 390. 0: 1. 391. 2; + оо. 392. — 1;
1. 393. — л/2; л/2. 394. —; 4. 395. а) 0. 1; б) 0; 2.
396. 0; 1. 397. а) 8; б) 0,8; в) 0,08; г) 0.008. 398. а) я;
6) я; в) я; г) я. 411. а) 1; б) —; в) —. 412. 6. 413. 10.
3 2
114. -!-пт(п—т). 415. 5"» 416. ( —) . 417. п 2 .

ОТВЕТЫ 485
418. -. 419. —. 420. 1. 421. —. 422. —.
2 2 4 3
423. (±\°. 424. "(W+1) . 424.1. 2 -L. т. JS..
(т)"
2 24
426. П{П~1) а"-». 427. п{п+1) . 428. JILzIL. 429. *+
2 2 2
-f—. 430. х*+ах4- —. 431. 1. 432. —. 433. 3
^2 3 2
434. —. 435. 1. 436. —-^ . 437. —. 438. —2. 439. —^ .
3 Уз 3 У2а
440. —. 441. —!_. 442. —. 443. —. 444. —
16 144 4 5 п
445. —2. 446. —. 447. —. 448. —. 449. 4 —
4 27 2 27
450. -Z-. 451. L. 452. -2 i-. 453. JL + JL
36 2 т п т п
455. —. 455.1. — . 456. —. 457. — (а+Ь). 458. —
т 2 я! 2 2
459. — —. 460. 1. 461. —. 462. 2. 463. —. 464. -
4 3 3 4
465. — (Oi + а, + . . . + ап). 466. 2". 467. 2я. 468. lira хг =
я о—о
=оо, lim*g=——. 469. а=1, 6=> —1. 470. <ц = ±\;- 6,=»
= Т — 0=1, 2). 471. 5. 472. 0. 473. (— 1)">-» J2-.
2 п
474. —. 474.1. 1. 474.2. —. 475. —. 476. 2. 477. 4
2 3 2
478. — . 479. — • 480. — . 482. cos а. 483. —sin а
р 2 я
484. sec»а (аф(2ft+l) — , ft=0, ±1. . . Л. 485. ——
V 2 / sin2 а
(афкп, где ft — целое). 486. -^—(а Ф (2А + 1) — , где
cos2 а 2
Л —целое). 487. cos a (афкп, где ft—целое). 488. —sin о.
sin* а
489. — cos а. 490. —!!££_ [ а ^ (2ft + 1) -^ , где ft — целое |.
cos» а V 2 )
2 cos л 3
491. (афкп, где ft —целое). 492. —sin 2а. 493. —S
sin8 а 2

466 ОТВЕТЫ
494. 14. 495. i—. 49в. -24. 497. COs2a
vr
COS4 О
499. —.
4
fa =jfc(2* + 1) —, где k — целое'). 498. — ,
4 I i—
600. —. 601. . 502. V2. 603. 0. 504. 3. 505. 0.
3 12
1 IT
506. a) —; 6) /I/— ; в) 1. 507. 0. 508. 0. 509. 0. 510. 0.
2 V 3
511. 1. 512. e3. 513. 1. 514. <r*. 515. еы. 516. 0, если ах<аг;
+ оо, если a1~>ai; e*i—^/«i, если Oj = аг. 517. е. 518. е-1.
619. 1. 519.1. У<Г. 520. ect8a (а=^*я — целое). 521. е3'2.
522. е-К 523. 1. 524. е"*. 525. е. 526. —^. 527. е*+1.
528. <г*г/а. 529. 1. 530. I. 531. —. 532. 0. 533. — . 534. —2.
а 5
53S. ±. 536. ±. 537. _J?££_. 638. -*L . б39. f-i-Y.
2 2 <» 6 V ft J
540. 0. 540.1. п. 541. In a. 542. a" In — . 543. o° In ea. 544. e\
e
545. JL. 545.1. eP'-a'. 545.2.—. 545.3. —2. 546. e\
3 P
547. 1. 548. — a<*-P. 549. aMna. 550. axWa. 551. e-(a+*).
P
552. lnx. 553. lnx. 554. Yb. 555. -\fab. 556. у^абсГ
557. (^X^i'la+H-*). 558. ~4zr. 559. An -V'. 560. a^lna.
561. a) 0; 6) —. 562. In8. 563. -In2. 566. a) — • 6) —.
In2 2 ' 2
567. 1.568.0. 569. Ina». 570. — . 571. — . 572.-2. 573. e\
8 2
574. e2/«. 575. JL±1_. 576. a) 1; 6) — ;в) 1. 576.1. —.
V^ 2 9
577. 2sh—. 577.1. a) cha; 6) she. 577.2. —I. 578. In2.
2
579. 1. 580. e«'. 581.
584. J?_. 685. — .
4 1+*» *a+l
-2-. 582.
2
586. 2. 587.
я
~3~"
e*
583. ?-.
2
-. 588. —.

ОТВЕТЫ 48?
589. 1. 690. eVn. 591. 0. 592. 0. 593. a) -f оо; б) — .
2
594. а) —1; б) 1. 594.1. 1п —. 595. а) — ; б) — .
аа 2 ' 2
696. а) 1; б) 0. 597. а) 0; б) 1. 600. 2; 1; 2. 601. 0; (— 1)"-«;
( —1)". 602. 0. 603. 1. 604. 0. 605. 1. 606. 0. 613. б) у=\,
если |дс|<1; у = 0, если |дс|«=1. 614. б) у = 0, если 0<дс<1;
у = — i если х = 1; у = 1, если 1 <:лс<: + оо. 615. у = — 1,
2
если 0<|дс|<1; у =■ 0, если |дс|=1; у<= 1, если |лс|>>1.
616. у=\х\. 617. у =» 1, если 0< лс< 1; у •= х, если х> 1.
ж2
618. у = 1, если 0<лс< \;у •= дс, если 1 <дс<2; у — .если
2
дс>2. 619. у = 0, если 0<х<2; у —2 *J2, если дс — 2; у = ж*,
если х>2. 620. б) и = О, если хФ(2к+\) — ; у—\, если
2
*=(2ft+ 1)—(ft = 0, ± 1, ±2; . . .)• 621- !/=»1п2, если 0 <
^ х ^ 2; у — 1п х, если дс > 2. 622. у ■» 0, если — 1 < дс < 1; у =
— — (дс— 1), если х> 1. 623. у= 1, если дс< — 1; у = ех+1,
2
если дс> — 1. 624. у •= х при дс<0; у= — при дс «= 0; у = 1
при дс>0. 625. — . 625.1. у — У* при 0 < х < 1 и 4ft — 1 <
х
<x<4ft+l; у=х при 4ft— 3<x<4ft — 2 и 4ft — 2<*<4ft —
— 1; j/= —(V*"+*) прих=2*—1 (ft= 1, 2, 3,. . .). 625.2. j/=
= 0, если дс—рационально; у = дс, если дс — иррационально.
625.3. Контур квадрата тах{|дс|, |у|}«=1. 627. а) дс=1; дс=—2,
у—х— 1; б) у=х-\ при дс-»-+оо, у=г — х при дс-*■
2 2
->- — оо; в) у — дс; г) у = дс при х -*■ + оо, у = 0 при дс-»-
3
->■ — оо; д) у = 0 при дс-»-— оо, у = дс при *-»• + оо; е) у =»
<=* + — . 628.0.629. ! . 630.-^-. 632.—.
2 1—х х 6
633. —. 634. —Inа. 635. VF. 636. e~aV«. 637. — (1 +
2 2 V 2
+ Vl + 4a). 637.1. —. 637.2. -—. 637.3. ^5 ~~ ' .
3 1—а 2

488 ОТВЕТЫ
638. л/l + x —1. 639. 1 — Vl — ж- 641. a) 2; б) + оо; в) 0;
r) 1; д) 2; e) 1; ж) 2sh 1. 643. a) I =• — 1, Z.«=2; 6) /- — 2,
Z. = 2; в) f = 2, L = e. 644. a) f = — 1, L = 1; 6) I = 0, Z. =.
= +«>; в) Z =—, L = 2; r) / = 0, i.=i +oo. 645. а) Пер-
вого порядка; б) второго; в) первого; г) третьего; д) третьего?
е) третьего. 653. а) 2х; б) х; в) — ; г) —. 655. а) 3(х—1)а:
б (1~х)1/3 ; в)х—I; г> в (х — 1); д) * —1. 656. а) **;
1 \'/2
3/2"
б) 2x4 в) **/»; г) *»/». 657. а) {— Y; б) —(—)''
J_ 1
я 1 —дс
д) ! . 663. а) 9,95<*< 10,05; б) 9,995<х< 10,005;
х — 1
в) 9,9995 <*<3 10,0005; г) л/МО — e <x<VlO0+e. 664.Д<
<-5—; а) Д<33,7 мм; б) Д<0,37 мм; в) Д<0,037 мм.
665. 100 [1 — 10-C+1>]2<x< 100 [1 + 10-<n+1>]2; a) 81 <*< 121;
б) 98,01<Jt< 102,01; в) 99,8001 <$х< 100,2001; г) 99.98000К
<jt<3 100,020001. 666. 6 = minf—, lY 667. 6 = — «
\U J l + e*o
«O.OOljtg; a) |6 « Ю-5; 6) 6 sw 10~7; в) 6 » 10~9. Нельзя.
669. а) Нельзя; б) можно. 671. Нет; ограниченность в точке
х0. [672. Нет; если функция I (х) определена в конечном
промежутке (а, Ь), то эти неравенства выполнены всегда; если
по меньшей мере а или Ь равно символу оо, то lim \l (x)\ =
х-*оо
= + оо. 673. Нет; однозначность и непрерывность обратной
функции. 675. Непрерывна. 676. Непрерывна, если /4 = 4,
и разрывна при х = 2, если А Ф 4. 677. Разрывна при х—
= —1. 678. а) Непрерывна; б) разрывна при х = 0.
679. Разрывна при * = 0. 680. Непрерывна. 681. Непрерывна.
682. Разрывна при * = 1. 683. Непрерывна при и=0 и
разрывна при а Ф 0. 684. Разрывна при х = 0. 685. Разрывна
при ж == k {k — целое). 686. Разрывна при х — k* (k — 1,
2, .. .). 687, х = — 1 — точка бесконечного разрыва, 688. х =

ответы 489
= —1 — устранимая точка разрыва. 689. х •= —2 и х = 1 —
точки бесконечного разрыва. 690. х = 0 и х *= 1 — устранимые
точки разрыва; х=—1 —точка бесконечного разрыва.
691. х = 0 — устранимая точка разрыва; х = kn (ft = ± 1,
st 2, . . .) —точки бесконечного разрыва. 692. х = ± 2 —
устранимые точки разрыва. 693. х = 0 — точка разрыва 2-го
рода. 694. х =— (ft = ± 1, ± 2, . ..) —точки разрыва 1-го
ft
рода; х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 695. х ■= 0 и х =
2
= (ft — 0, ±1, ...)—устранимые точки разрыва.
696. х = 0 —точка разрыва 1-го рода. 697. х = 0 —
устранимая точка разрыва. 698. х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
699. х = 0 — устранимая точка разрыва; х =* 1 — точка
бесконечного разрыва. 700. х=0 — точка бесконечного разрыва;
х = 1 — точка разрыва 2-го рода. 701. х = кп (к — 0, ± 1,
rfc 2, . . .) — точки разрыва 1-гО рода. 702. х = * (ft = 0, ±1,
±2, . . .) — точки разрыва 1-го рода. 703. х = * (ft = ±1,
it 2, .. .) — точки разрыва 1-го рода. 704. Функция
непрерывна. 705. х = ±Vi (n = 1, 2, . . .) — точки разрыва 1-го
рода. 706. х = — (ft = ±1, ±2, . . .) — точки разрыва 1-го
k
рода; х = 0 — точка бесконечного разрыва. 707. х = —(к =»
к
= ±1. ±2, . . .) — точки разрыва 1-го рода; х = 0 —■ устра-
2
нимая точка разрыва. 708. х = (й=0, ±1, ±2, .. .)—
— точки разрыва 1-го рода; х = 0 — точка разрыва 2-го рода,
709. х = ± — и х=± — (ft = 1, 2, , . .) — точки раз-
рыва 1-го рода, х= 0—точка разрыва 2-го рода. 710. х =»
=»— (= ± 1, ± 2, . . .) — точки бесконечного разрыва; х =
ft
2
= 0—точка разрыва 2-го рода. 711. х— (ft *= О,
(2ft + 1) я
±1, ±2, . . .) — точки бесконечного разрыва; х = 0 — точка
разрыва 2-го рода. 712. х = ± Vя (п = 1, 2, . . .) —точки
разрыва 1-го рода. 713. х = 0, х = 1 и х= 2 — точки разрыва
1-го рода. 714. х •= kn (ft = 0, ± 1, ± 2, . . .) —точки
бесконечного разрыва. 715. х — ± Vftn (ft = 0, 1, 2, . . .) —
точки бесконечного разрыва. 716. х — —1 и х *= 3—точки

490 ОТВЕТЫ
бесконечного разрыва. 717. х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
718. х = 0 — устранимая точка разрыва. 719. х — ± 1 —
точки разрыва 1-го рода. 720. у = 1, если 0 ^ х < 1; у =
= —-, если х = 1; у — 0, если х > 1; х = 1 — точка раз-
2
рыва 1-го рода. 721. у = sgn х; х = 0 — точка разрыва 1-го
рода. 722. у =* I, если |х|< •: 0 = *2. если |х|>1.
Функция непрерывна. 723. у = 0, если х =^= Ля; у = 1, если х =
= ftn (ft = 0, ± 1, ± 2, . ..); х = ftn — точки разрыва 1-го
рода. 724. у — х, если \х— ftn | <—; j/=—, если х =
6 2
= Ля ± -^- ; и = 0, если — < | х — ftn | < (ft = О,
6 6 6
± 1, . , .); х — ftn ± точки разрыва 1-го рода. 725. у—
6
= —х, если ftn<x<ftn-] ; 0= х, если ftn+
Ч- -1- < * < ftn + я; у = 0, если х= ta-| (ft = 0,
2 2
ftn
ch 1» • . .)*, х = точки разрыва 1-го рода. 726. у — я
при х < 0; у = х2 при х > 0. Функция непрерывна. 727. у=*
= 0 при х < 0 и (/= хпри х>0. Функция непрерывна.
728. у = — (1 + х) при х < 0; I/ = 0 при х = 0 и I/ = 1+
+ х при х > 0; х=0 —точка разрыва 1-го рода.
729. Нет. 730. а= 1. 731. а) Функция
непрерывна; б) х = —1 —точка разрыва 1-го рода; в) х = —1 —
точка разрыва 1-го рода; г) х = ft (ft = 0, ±1, ±2, . . .) —
точки бесконечного разрыва; д) хФ ft (ft = 0, ±1, ±2, . . .)
— точки разрыва 2-го рода. 732. d — —х при — оо < х < 0;
3
d=0 при 0 <х ;^1; d—x — 1 при 1 < х <-; d = 2 —я
3
при — < х < 2; d = 0 при 2 < х < 3; d — х — 3 при
о»
3 < х < -f-co. Функция — непрерывна. 733. S = Зу — —■
1 5
при 0 < i/sgl; S-.—-+2I/ при 1<(/<2; S = —+i/ при
2<.у<3; S = ——— при 3<у< + оо; функция — непрерывна,
6 = 3 — у при 0<у^ 1; 6= 2 при 1<(/<2; 6=1 при 2<
<у<3; 6 = 0 при 3<(/< + оо; х = 2 и х = 3 —точки
разрыва 1-го рода. 735. Разрывна при х ф 0 и непрерывна при
х = 0, 737. Разрывна при всех отрицательных значениях и

ОТВЕТЫ 491
положительных рациональных значениях аргумента. 738.
I (0) = 0,5. 740. а) ,5; б) 2; в) 0; г) е; д) 0; е) I; ж) 0. 841.
а) Да; б) нет. 742. а) Нет; б) нет. 743. Нет. Пример: / (х) =
= 1, если х — рационально, и [ (х) — —I, если х —
иррационально. 744. a) I (g (х)) непрерывна, g (J, (х)) разрывна при х=0;
б) I. (g (*)) разрывна при х = —1, х = 0 и х = I, g (f (ж)) =0
непрерывна; в) f, (g (х)) и g (£ (х)) непрерывны. 745. I (ф (х)) а ж.
759. х= ~~ У ; a-fd«=>0. 760. х~ у — k, если 2k sg
<у<2*+1 (* = 0, ± 1, ± 2. ...)•_ 764. /(/(х))«*.
767. х = — Уу (0 ^ у <j + °°): *=->/у (0 < у < + оо).
768. х= 1 — Vl — у ( — оо<у< 1); х= 1 + Vl— У ( —«><
1 — Vl — у2
<у<1). 769. х= - — (-1<у<1), х-
J/
= —— — (0 <|у|<1). 770. х = (—1)* arcsin у+•
+ kn(k = 0, ±1, ±2, . . . ) (—1^у<1). 771. х = 2Ая±
± arccos у (й = 0, ± 1, ±2,. . .) (—1<у<1). 772. х =»
= arctg у + *я (* = 0, ± 1, ±2, . . .) (—оо<у< + оо),
776. е=0, если ху<1; e = sgnx, если ху>1. 779. а) у =
л л
= — I если — 1<х<0; у =2 arcsin х —» если
0<х<1; б) у =—(я+ 4 arcsin х), если — 1<х<— —r=rt
у = 0, если ——,— <х<—j=r- ; у = я — 4 arcsin x, если
1 я / я я \
-щг <х<1^ 780. у=т-х (~Т <*< Т).
781. у= V*3 — 1 (1<х< +оо);у= — V*2 — 1 (1<х+оо).
7S2. Для всех /, для которых <р (г) = х, где х — произвольное
значение функции <р (/), функция ф (0 должна иметь одно и то
же значение. 783. Множество значений % (т) при а < т < р
должно быть интервалом (а, 6). 784. Для всех значений х, для
которых ф (х) = и, где и — произвольное число из интервала
(А, В), функция rj; (x) должна принимать одно и то же значение.
785. |б|< — см. а) 0,5 мм; б) 0,005 мм; в) 0,00005 мм.
1 б е»
786. а) в < —; б) б < 2,5-10"*; в) в < —■ »10~?; г) б < —
(8 < 1). 793. а) Да; б) нет. 794. Равномерно непрерывна.
795. Не является равномерно непрерывной. 796. Равномерно
непрерывна. 797. Не является равномерно непрерывной.
798. Равномерно непрерывна. 799. Равномерно непрерывна.
£
800. Не является равномерно непрерывной. 802. а) 6 = ~;
5
б) 6 = -f-; в) 6 = 0,01е; г) 6 = е» (е<1); д) в = -^-;
о «

492 ответы
(е 8s \
"g-* 'з+eV' 803' п>1800000-
808. а) <о/(6)<&; б)" ш/(6)<V3~; to/(б)< —v=-'.
• .— V2a
b)(o/(6)<6V2. 818. /(x)=cosa* или f(x)=.cha*.
819. f\x) = cos ax; g (x) = ± sin ax (a = const).
ОТДЕЛ 11
821. Дх = 999; Ду=3. 822. Дх =—0,009; Ду=990 000.
823. а) Ду = аДх; б) Ду = (2ах + 6) Дх + а (Дх)!; в) Ду —
= а*(аД*_1). 825. а) 5; б) 4,1; в) 4,01; г) 4 + Дх; 4.
826. 3 + 3/i+А»; а) 3,31; 3, б) 3,0301; в) 3,003001; 3.
827. а) оср = 215 м/с; б) vcp = 210,5 м/с; в) оср =
= 210,05 м/с; 210 м/с. 828. а) 2х; б) Зх*; в) (х=^0);
х*
г) 9JT (х>0): *> з ' (*^0); е) '
2 V * 3 ]/х2 cos x
(хф(2к-\) ~, fe=»0. ± I, . . .): ж) '
2 ~ ' sin»x
(хфкп, * = 0, ±1,...); з) yi—_ (|х|<1)5
и) —7/т^хТ~ (1х|<1>; к> т+~х»~' 829' _8: 0: °*
830. 4. 831. 1 + -Г- 832. f (а). 834. у'= 1 — 2х; I,
О, —1, 21. 835. у' = х»+х — 2; а) —2; 1; б) — I;
0; в) —4; 3. 836. 10а3х — 5*«. 837. —-—.
' а+Ь
838. 2х — (а+Ь). 839. 2(х+2) (х+3)* (Зх*+11х+9).
840. х sin 2а + cos 2а. 841. тпп [х"1-1 + х"~1 + (m + п) xm+"-1].
842. — (1 — х)2 (1 — х«) (1 — х*)а (1 + 6х + 15х* + 14х3).
(1 4
-т-Н Ь
х* х'
±.) {хф0), 845.-М±^
х« ,/ V ' (1-х2)3
(1*1^1).
2( — 2х) „ 1—Х+4Г1
846. - —-' 847. -1 <\х\Ф\).
(1—х+х2)2 (1 — х)3(1 + х)
! — 6х — 6х2+2х3 + 5х«-3х3
(1-х)3
0 -х)»-Ц(р + д)+(р -д)х\
12 —6х —6х2+2х3 + 5х«-3х3
•* i^r е*ч.
(1 + х)«-И О*'*
8S0. / ' [,_(,+i)x-(p + 9-l)x*] (x¥=-l).
(I + х)»

ОТВЕТЫ 493
\
33/х«
"'■ , + ^7r-+-^F" (х>0)- ""• —7-
1 М
(х>0). 853. \
1 (х>0). 854. , + 2"
х Vx
855. 6 + 3x+8x» + 4x3+2xM13xL_ (, + \Г=Г).
V2 + х» ^(3 + х3)8
(л — m) — (n + m) x -*
856. —;—L 857.
(п + т)Я+т/<1-х)"(1+хГ ' С2-**)3*
<|x|<|«|). 858. -r—^-iZ-i— flxi^lj.
859. !___. 809. 1 + 2УГ+^^/ГУ^-УГ
Ml. x!) ' /
8 V*V*+V* V *+V*+ V*
(*>0). 861. -j--. за ' X
(x^=0. x^—I, x#-8).
1
862. — 2 cos x (1 + 2 sin x). 863. ** sin x. 864. —sin 2x.cos (cos 2x).
865. nsin"-1x.cos (n + I) x. 866. cos x-
2 sin x (cos x sin x* — x sin x cos x2)
•cos(sinx)-cos[sin(sinx)]. 867. тг~к "
\ ' i sin1 x*
1 + cos* x
(х*Фкщ ft-1, 2, . . .)• 868. 2sin3jc (x*=faij
л sin x / 2fc — 1
A-0. ±1, ±2...)- 869. co$n+lx (хф - я,
)хг 2
• 870. — ■ ;——. 871. ———;
(cos x + x sin x)* sin'x
(хфкп; *=.0. ± i, ±2....)- 872. l + tg«x(x^
* (2*+!)-§-! * = 0. ±i,...)-873. J
3 sin4 x f^ctg x
2*
— 16 cos
a / kna
(хфкп, к — целое). 874. \хФ—-—%
. щ ~х \ 2
a sin8
а
й-целое). 875. —3tg**.sec**-sin(2tg* x)-cos[cos*(tg**)l

494 ответы
(хф-^г + кя, ft —целое). 876. — 2хг~*\
877. т 2tgl/xsec* — In 2. 878. хЧ*. 879. x*e-*sinx.
х* х
е* (sin x — cos х) , , „,
880. " L*" (х=/=2йя, А —целое).
. х
2 sin1 —-
2
881. ^гг sinx. в82- Vo2+*4 ^'sinfrx.
3
883. е»[1 + еех(1+е"*)]. 884. у(1п^ ~~) (*><>)•
885. в°- х0"-* + вх0-1^" In a + ax-aa" In* a.
fi 1
886.—Igelg^x» (х=^0). 887. ■ ——— (х>е).
х xlnxln(lnx)
6 1
(х > е). 889.
х In х In (ln»x) v '' ' (l + x)*(l + *s)
(*>-»)■ 89°- "irzr flJC,>1)- 89L xo + ^
<**0). 892. -^^Lp (|xl>V2^S93.(i_x^i_M
(|x|<l). ^ 894. 2(1 + Vx+1) ^-Ц-
895. —, , , , . 896. ln(x+VF+T~).
In* (x + V**+ О- 898. V^+a" •
1
a—bx*
901. (0<x — 2ftn<n, ft —целое). 902.
sin x cos x
f | x — 2ftn | < ~. ft — целое J. 903. — ctg* x (0 <
• f 2ft —1
<x — 2ftn<n, ft —Целое). 904. I x Ф n,
cos x V. 2
cos*x
Ac —целое). 905. —— (0<x —2ft.-i<«, ft —целое).
sin**
Vfr* — а» 1Пз х
906. —~— . 907. 2-=- (x>0).
a+frcosx x2 **-'«/•
1 2x
908. —r- lnx (x > 0). 909. ,

ОТВЕТЫ 495
1 + *+ — + ln —
х х
910 "~-
О +*,пт)[1 + *Чт+,пт)] "
911. 2sln(lnx) (х>0). 912. sin xlntgxfo <* — 2fen< —,
ft — целое Y 913. ■ ' (|х!<2). 914. ■ ' -^
' «Ja — x* д/1 + 2х —х»
(| х - 11< л/Т). 915. - *ах (а ф 0). 916. \ (хфО).
х*+а* х*+2
917. —^1 (х>0). 918. * arccos x (|х|<1).
2(1 + х) J*_ VrZ^
v2
919. arcsin д/—-— (*>0). 920. ' (I x | > 1).
V 1 + x |x|V73T
921. sgn (cosx) (x Ф 2£z! л. fe-целое). 922. 2sgn(sinx)cosx,
x¥= fen, fe -целое). 923. sin*+cos* (0<5*-fen< —,
Vsin 2x ^ 2
ft —целое"). 924. sgn * (0<|x|<l). 925. -
VT37" 1 + *»
(*¥=!).
926. 1 f x =yb —+kn, fe—целое"). 927. l-
\ 4 / a-\-b cos x
(x¥=0). 929. 4X (I*I<1). 930.—"t*4
928—.2sgnx
1 + x*
Vl— x* arccos' (x2) * + **
931. —2cosx.arctg(sinx). 932. — (*>1).
2x Vx— 1 arccos
933. ^-1 (x>-a). 934. Vos-x2.935.
(x+a)(x*+6«) v х»+1
(хф— 1). 936. —i— (|х|чМ). 937. (arcsinx)«(|x|< 1).
A^ ~f~ I
938. _-iI££££JL ((,<,„<,). 939. xlnx pp.
x2 (x2-!)3/2
940.
x arcsin x ., , 1Ч „,. xs / 1 \
__(|x|<i). 941.-- /|,,^__Л
0-*2)3/2 *4i V л/гГ

496 ОТВЕТЫ
g42. 12* . 943. Ц (х<1). 944. J
0 + *12)2 (l-x)Vl 2 У 1-х»
(|х|<1). 945. _ * (0<х<а). 948. *
Vax — х* Vl_2x —
у /=-\ „д. 1 „,„ sin2x
(|x+H<V2). 947.-—- 948.
х*
Yl + x* sin«* + cos«x
(хф 2fe~1. я, ft-целое V 949. У1"** _j x
V 2 / x Vl—**
(|x|<l). 950. -—arctg x. 951.
+ x 1 + x* У l+e»
1 „„„ sin a sgn (cos x — cos a) .
952. . 953. —5 — (cos x Ф cos a).
2 (1 + x2) 1 — cos a cos x
954. ' (0<|x|<l). 955. У* + ** , (\х\ф
(x«—l)V*2+2 1-х*
*„. 956. 4 (lxKD.957. 2*<с°"Ч-'""1
(i + x2)2 Vi—** Vsin t2*2)
(o< i x| < д/(+-£~)я' ft = o, 1....J.
«58. 2x[sgn(cosxs)+sgn(sinx2)]l|x|=£——.& = 0, 1, 2....).
959. , 2m . • ««Cirelm) cosm (arcsinx) (|x| < 1).
•yl —x2
e*—1
960.
x3
960.1.
6
960.2
V i + 5Л +Vtt?" '/о+^трзГ^о+г?
xa cos -^ (sin -^+cos -^-) Vctg ~^
ms. 2^3^ln2.sin(2^>.njsec23A") ^ ш. , + x,x
33/I*~. cos* (2^*)
X (1 + Inr) + x*x**(— + Inx + In*x\(*>0). 962. х0"»**" X

ОТВЕТЫ 497
X (1 + a In x) + a*W—+ In a In дЛ+**а** In a(l+1n дс) (дс>0).
963. xi/x-2 (1 — In x) (x>0). 904. (sin x)1+cos * (ctg2 x~In sin x) —
— (cos x)1+sin * (tg2 x — In cos дс) Го<дс — 2£л < — , ft — целое").
965. (ln x)X~l- [x—2 In2 x + x In X- In (In x)] (x > 1). 965.1. y' -
In r_L-1
In x+1
e2 [ arctg x ]n arcsin (sin2 дс) 3rct 2x Г sin *'sgn (cos *)
= " j 1 + дс2 arccos (cos**) [ arcsin(sin2 х) ^T+su^
c°s*-sgn(sin,) !Ux^J±t ft = 0. ±1....Y
arccos (cos2 x)Vl + cos2x J i
966. — (logxe)2(x>0, x#l). 967. th3x. 968. — (x>0).
x sh3 дс
969. —!—. 970. sg"(sh*> (X^Q). 971. a+*Ch* .
ch 2дс ch дс 6 + a ch дс
«,-„ sin 2дс „_„ 2 . , ,
972. —. 973. arccos дс-In (arccos дс)
Vl + cos4x V'— **
(|x|<l). 974.-, '"* -. 975. - 2хе-"\тЫп(е-П
\n} + W (\-e-2*')3'2
4a2* In а
(x#0). 976. arcctg a-* (a > 0). 977. a) sgn x (хфО);
(1 + а2*)2
б) 2 | x |; в) — (x#0). 978. a) (дс- 1) (дс+ 1)« (5дс - 1) sgn (дс+1);
дс
3 1
б)—sin 2дс- |sin дс |; в) (|дс| > 1); г) я [дс] sin 2ядс.
2 хд/х2 — 1
979. (/'=—1 при — оо<дс<1; у' = 2х — 3 при1<х<2;
!/' = 1 при 2 < дс < + оо. 980. у' = 2(х — а)(х — Ь) (2х — а — Ь)
при х£[а, b]\ i/' = 0 при х£[а, Ь]. 981. у' = 1 при дс<0;
(/'= при 0<х<+оо. 982. (/' = при — 1<
1 + дс 1 + дс2
<х<1; (/'= 1/2 при |х|>1. 983. у' = 2хе-х*(\—х2) при
. .^i. > п . i^i «о* ч •—х—х2 ,,v 54—36x+4x2-t-2x3
* <1; </ =0при дс >1. 984. а) ■ ; б) ■
х(1-х2) Зх(1-х)(9-х2)
Л
{ХФ0, хф\, хф±Ъ); в) У tt< ; г) "
983. а) fWfW+tHfW. (ф2(,) + Ф2(,)^0)}
•vW)+ ♦*(*)
32—2383

(98 ОТВЕТЫ
б) Ф'М* М-*('>*'■<'>■ (Ф>(х)+^(х)^0);в),р<У^хТх
Ф2(х)+1|>2(х)
|_i_JKW__^(£L1 j r)J^._J
I Ф(х) ФМ Ф2М I *W 1пф(х)
, фЧ*)_ _ h"|>(*) . 986. a) 2x/' (x2); б) sin 2x [/' (sin2 x) -
Ф (x) In2 ф (x)
-/'(cos'x)]; в) e/wH'(e*) + /'(x)/(eJC)]; r) f'(x)/'[/(x)]x
X/' {/[/Mlb 986.1. 10001 988. 3x2 + 15. 989. 6*2. 992. a) n>
>0; б)п>1; в) n>2. 993. a)n>m+l; 6)l<n<m+l.
994. ф(а). 995. /1 (a) = — ф(а), /+ (а) = Ф (а).
999. а) Недифференцируема при х=1; 6) недифференциру-
2А 1
ема при х = л, А—целое; в) дифференцируема всюду}
г) недифференцируема при х —Ал, А — целое; д)
недифференцируема при х«я —1. 1000. /_ (х) =/+(х) = sgn x при х^О
и /1 (0) 1. /+ (0) = 1. 1001. С (х) - f'+ (х) = я [xj cos ях
при х ф целому числу; /1 (А) = я (А — 1) (— 1)*, /+ (к) = яА X
X (— 1)* при к целом. 1002. /1 (х) = /^ (х) = fcos — + — х
\ X X
Xsin — |sgn( cos — | при х Ф (А—целое); /1 ( 1 =
х ) ъ \ х ) v 2A+1 V2A+1)
. (2A+D-2-, /; (_JL-) = (2A+1)-*-. 1003. /1(х) =
«=/1(х)~ XC0SX' при л/2Ая"<|х[<У(2А4-Пя (А = 0. 1,
Vsin ха
2, ,..); t'_ (0)=-1, /; (0) = 1; ^ (У(2А + I) я ) ~ * <*>,
4 (V2A1T) = ± оо (А = 1, 2, . , .). 1004. /1 (х) = /; (х) =
при х=*0; /1(0)= 1, /;<0)=(0). 1005. /1 (*)=
= fl(x)= — хе *' при х^О; /1(0)= -1, Й. (0)— 1.
1006. /1(х)= /' (х)- —, где е = —1 при 0<|х|<1 и е =
т х
= 1 при 1<|х|<+оо /1 (Т1)==— 1, /+(Т1)=1. 1007. /1(х) =
= /; (х)= 2sgn^-x8) при х* * I; /1 (±1) = Т1, /1 (±1)=
1 + х8

ОТВЕТЫ 499
= Tl. 1008. fl(x)= /' (х) - arctg —1 i^-2 при
+ x —2 (x — 2У+1
хФ'1\ f'f (2) - Tji/2. Ю09.1. a) /1 (0) = — 1/2. £+ (0) = 1/2;
6) /1 (1) = /1 (1) = 1/2; в) /1 (0) = £ (0) = 0. 1010. a = 2x0;
6= -4 1011. a = /l (jr0); <> = f(x0)-x0/; (x0). 1012. Л =
_ кг + h, CeJ*t+**L. Ю13.а = -^, ft. '"*-
(& —a)* *i+fc2 2c 2c3
1014. а) Можно; б) нельзя. 1015. а) Нельзя, б) нельзя.
1016. а), б), в) Функция F (х) может как иметь производную
^'(х), так и не иметь ее. 1017. х=»*л(* = 0, ±1. ±2, .. .).
1018. а) Не может; б) может. 1019. 1) Не обязательно; 2)
обязательно. 1020. Необязательно. 1021. Не следует. 1022. Не следует.
1023. Вообще говоря, нельзя. 1024. Р„——5—!— ! ;
(1—х)г '
1 + х — (п + 1)V + (2л* + 2я — 1) xn+l — пгхп*г
(1 - х)?
пх . п+1
Sin r Sin ■
2 7.x
1025. S„= - — ;
х
sin —
2
л sin —— sin х — sin1
Т 2 2
* п—
2 sin' —
2
л sh — sh Г я -} J х — sh1 -
2 \ 2 J
1025.1. S„= ^ Ь ^ £_, 1028. S„=
2sh* —
2
= _±_ctg_i ctgx. 1029. 40я cm«/c. 1030. 25 м*/с; 0,4 м/с
2" 2"
x*
1031. 50 км/ч. 1032. S(x) = , если 0<x<2; S(x) = x« —
— 2x + 2, если x > 2; S' (x) = x, если 0<x^2; S' (x) = 2x — 2,
если x>2. 1033. S (x)«. -biL Vaa — x* + — arcsin -J^L;
2 2 a
S' (x) — V"2 — *2 sgn x (0 < I x К a). 1034. ^ = '
3(У1+1)
1 .»„„ . ^ _ . ' x
1035. yx=* . 1036. a) —oo<y<+oo; x =
1 — e cos у * x + 1
6)— oo<y<-r-oo, x' = ; в) — oo <j/< + oo,
* 1 —x-fy
32*

600 ОТВЕТЫ
*'= ; р) —Ку<1; х' = —^—. 1037. a)*i=a
УГ+7 !-и
(0<^<1); ж,«=. V1 —• 1 — » (0<^<1); *«-Vi+V'i-y
(-оо<у<1); *;=——г — (« = 1,2,3.4). 6)*! =
4х(1—дг)
= - л/ ХУ_ (0<у < 1); *» - а/ ^ (0 < у < 1); «J-
«-£-(<-1,2); в) *х=- — 1п(1 + лЛ-«/) ( —«><У<1)>
2у*
*, „. щ 1 + У^7 (0<j, <!);/=- ! (, „ i, 2).
2 у * 2 (е-*-е-")
1038. у'х= 1-(1 + 0; -3; ^- а jj-; (-4; 4).
«К». |/ //'"э^з' <'>°- '*»• 104°- ^=~1
(0< х<1). 1041. j^= _-*-ctg/(0<|/|<n). 1042. ^ = J-x
а а
Xcth/(|/|>0). 1043. j£= — tg/(W 2Й+1 я, ft —целоеУ
1044. y'x=c\g— (t=£2kn, ft —целое). 1045. j^ = tg/ x
X gf< + —V/=*—+ *я, /^=-5- + ^, Ю46. y'x = sgnt
(0<|/|<+oo). 1048. y'= 1-*-У ; _L, L.1049. £.
x—y 1 1 у
1050. — . 1051. _- /i/JL . Ю52. _]/JL#
агу V * V *
1053. *+y . 1054. a) tg(<p + arctg <p); 6) — ctg -^- (<p ^= 0,
x — y 2 \
9Ф± —); в) tg (q> + arctg -i-Л . 1055. a) у - yT (*+l);
C- ^(x+l); б) у*3, х = 2; в) x = 3, j/ = 0.
1056. a) (—, 2—); 6) (0, 2). 1058. \xl<~ я ~<
\ 2 4 / 3 3

ОТВЕТЫ 501
< I * I < Я. 1059. max I y\ — у I = Юп ж 31,4. 1060. —.
' 4
1061. —-; arctg— « arc 37°. 1062. arctg 2 Vf « arc 70°30'.
2 4
1063. л > 57.3. 1064. a) 2arctgJL_. 6) JL. юбб. I —I.
|аГ 2 n
■JL. 1071. бР-to-O. 1072. (^)8 + ^y„o.
1073. a = —. 1077. a) 3* — 2y = 0. 2x + 3y = 0; 6) 3x - у —
2e
— 1 « 0. x + Ъу — 7 = 0. 1078. a) у - x. у = — *: 0) 3* — у —
— 4 — 0, x + Ъу — 3 — 0; в) у = — х, у*х. 1079. у — 2а =
= (х—а/0) ctg——. Касательная к циклоиде перпендикулярна
к отрезку, соединяющему точку касания с точкой
соприкосновения катящегося круга. 1081. Зх + 5у — 50 = 0, Ъх — Ъу— 10,» =
= 0. 1082. х + 2у — 3 = 0, 2х — у— 1=0. 1083. Af (1) = Дх -+.
+3(Дх)»+(Д*)э; #(1)=Дх. а) 5. 1; б) 0.131. 0.1; в) 0.010301, 0.01.
1084. Дх = 20Д/+5(Д0*. <*х=20Д(; а) 25 м, 20 м; б) 2,05 м,
2 м; в) 0.020005 м. 0,02 и. 1085. — (хфО). 1086.- dx
а3 + хг
Ю37. — Сх|^|аО- 1088. ** 1089. Sg"° dx
(|х|<|а|)- 1090. a) (l+x)e*<fx; б) xsinxdx; в) —-
, , «. , 2-lni . , „. . хdx v dx
(x*0); г) — <f*(.t>0); д) ; e)
2*V* л/а* + х* U-*)'
(|*|<1);ж) ?fL*L. (|х|<1); s) d* flx|>l))
u) -—[x# — + *я, * —цглоеМ. 1091. сш>du + ида do 4.
cossx V 2 )
j .n«» vdu — 2udv . ,я. Inn. udu + vdv
+ uvdw. 1092. : (v^O). 1093.
«. .««. fd« — udv , „ . - „. ,„__ udu+udv
(u1+vt>0). Ю94. (u2 + o*>0). 1095. ■
v u! + us u*+v2
(us + u*>0). 1096. a) 1— 4X3 — 3x«; 6) -i— fcos x— -^Л;
2хг \ x у
/ я
о) — ctgх(хФ ftn, ft —целое); г) — tg'xlx^ |-ftn, ft—це-

502 ОТВЕТЫ
лое'); д) — 1(|х|<1). 1097. а) Увеличится на 104,7 см2;
С) уменьшится на 43,6 см2. 1098. Увеличить на 2,23 см.
1099. 1.007 (по таблицам: 1,0066). 1100. 0,4849 (по таблицам:
0.4848). 1101. —0.8747 (по таблицам: —0,8746). 1102. 0.8104=
= arc 4б°26' (по таблицам: arc 46°24'). 1103. 1,043 (по
таблицам: 1.041). 1104. а) 2,25 (по таблицам: 2,24); б) 5,833 (по
таблицам: 5,831); в) 10,9546 (по таблицам: 10,9545). 1105.
а) 2,083 (по таблицам: 2,080); б) 2,9907 (по таблицам: 2,9907);
в) 1,938 (по таблицам: 1,931); г) 1,9954 (по таблицам: 1,9953).
1106. 0,24 м2; 4,2 %. 1107. 6^0,33 %. 1103. a) 6g = 6f;
б) 6„ = 2бт. 1109. 0,436. 1111. *<3 + 2*2> н|2. Ё* _
* _ (I -t-x£)3/- (1 — х*)Ч*
йх\<\). 1113. 2е-*'(2*г-1). 1114. 2slnX (хФ 2* + ' я,
cos3 х \ 2
А = 0, ± 1. ••• V 1П5. — b2arctgx. 1116. — f-
J 1 + х2 (1 —«г)г
(l+2x2)arcsinx , 1 1ЖН*)1"(х)-ГЧ*)
T (1-х2)*/* хУ /2(х)
tf(x)>0). 1119. — sin(lnx) (х>0). 1120. у (0) = 1. у'(0)-
х
ии" — и'1 vj" и'2
■=1. (Г(0)-0. 1121. 2(ии"+и'г). 1122. — - — —
и* о2
(иг + 1Я (ии" 4- w") + (u'v — ив')2
(U«>0). 1123. (" +УИ11( ?™'Z ( ° " > (u2+«2>0).
(и2 + и2)3/2
Г/" и' \2 ии" — и'3 2и'о' т
1124. «^иЧГи—+i>'lnuj +о —— +±LL+B«inu|.
1125. у" - 4х2/" (хг) + 2/' (х2); (/'" = 8x'f " (х2) + 12*/" (х*).
и». »'--5-'-(т)+-5-''Ш;
-^<"'(т)--Мт)--Мт)-'-'-
•= <■*/» (е*) + е*Г (е*); у'" = в»/'" (е*) + Зе"-*Г (в*) + e*f (e*).
1128. ^ = -Vir(lnx)-/'(inx)l; </'" = -7-^'"(lnjc>-
хг хз
— ЗГ 0пх) + 2Г(1пж)}. 1129. у* = Ф'*(*)Г(ф(*)) +
+ ф"(х) Г (ф W); у'"=ф"(х) {'" (ф(х-)) + Зф' (х) ф" (х) f" (ф (*)) +
+ Ф" (*) Г (Ф (*))■ ИЗО. а) Л**2; б) в* (dx2 + <1г х).
"*>• , , * а» • Ш2- ^ dx2(x>0).
(1 + хгГг х3

ответы 503
1133. jc* Г(1 Ч- In ж)* Ч Id*2. 1134. udh)+2dudv + vd1u.
(о d*u — и d*v) — 2do (vdu — u do) ,
1135. - — i L(o>0).
1136. um--vn-2 {[m (m — 1) oW+ 2mnuvdudv+ л (л — 1) aW]+
-\-uv(mvd2u+nud2v)}. П37. a" In a (du2 In a + d*u).
1138. [(o2 — u2) du* — Auvdudv + (u2 — o2) do2 + (u2 + o2) {ud2u +
-f vd2v] (u2 + o2)-2 (u2 + o2 > 0). 1139. [ — 2uodu2 + 2 (u2 —
— o2) dudo -f 2uodo2 + (u2 + o2) (od2« — ud2o) J (u2 + o2)"2 (u2 + u2>
>o). 1.40. *•--il£T: /"—inbj3-(/#1)-
1 3 cos /
1141. у"-- —— I !/'"= ——— (t^krt,
asm3* a2 sin0/
/
cos—
А—целое). 1142. у" - — —; sT ~ ^__
4a sin4— 4a2 sin' —
(/#2Ая, А —целое). 1143. у" ■
1/"
V2 cos3(/ + —J
_ e-2'(2sin/+cos0 Л#^+^ = 0,±1,..Л.
VTcos«(< + i) V 4 ^
*/' * »" У'6-
*IVe—2-L 'Uyf/ ' *°y (j,' ^0). 1146. -,
yl у
25 75* 3_ 25 225
y3 yb ' 4 64 1024 '
1147. -£-, —4-, J£_. „48. „»--5L=iL,
У У' У* * — 2y
6 „. 54x 2x*u
« = — i у"' «= . 1149. ц' д - y -t
<x-20» * <x-2y)» У l + y*1
2x2u
L3 (1 + y8)» + 2x* (1 — 4,*)1. 1150. д'ш
(i + yy

504 ОТВЕТЫ
„^ijr.. ^.^±й_. IWI. e ' fW,
х — у (ж — у)3 2
6 = /'(х0); с = /(х0). 1152. 20—10/, —10; 0, —10.
2яа 2я 4я2я ?я
1153. и«= —sin — /, У = - ?а cos -у- /.
1154. x«=ti0/cosa, y = r0/sina-
2
■=лЛо — 2t)og/sina + g¥ ; / = g; y=xtga ——р-т"!
2&q cos'a
9.9 9
«tf sin' a Dq
—^— ; sin 2a. 1155. ха+у2=25; 5|ш|, 5co2.
ивв.%ч-4.в' *o-o. i«57. ^__™ ("+>)&" + «>
17!!
(x * 0). 1158. /14 = - 21V уг (x > 0).
где nil обозначает произведение натуральных чисел, не
превышающих числа л, и одинаковой четности с ним, т. е. 171! =
= 1-3-5 ... 17. 1159. у<8> = ———- (хф\).
П60. #щ . I97II (399-х) \х< 1).
11в1. y<20> = 2*VMx»+ 20x+95). 1182. yd») = e* X
хЕ(-')' -4^-, гдеЛ{0=10-9-. . .(11-0иЛ°0=1-
6 274 120
1163. y(»)= — —-(x>0). 1164.yW = -lnx(x>0).
x* xe x'
/ 1225 \
1165. y(6°) =260( — x2sin2x+50xcos2x +— sin2x).
27(1 —3x)> —36 . n 27(1— 3x)2 — 28
1166. y" = s Чу,— sin3x — ——ш „ in,.— cosSx
* (1 —Зх)7/3 (1—Зх)10/3
fx# V 1167. y<l0>= — 28sin2x —2»sin4x+28310sin6x.
1168. y<100> = xsh x + 100 ch x. 1169. yiv =. — 4e*cosx.
60 . / 144 160 96 \ . „ ,
. / 60 180 , 120 . nn , \
+ ( — H h 32 lnx) cos 2x.
V x» x* x* /
15
1171. 12(Wx5. 1172. . /— 4x* (x>0).
8x* V*
1173. — 1024 (x cos 2x + 5sin2x)dx10. 1174. e* fin x +

+
4
X
6
X»
+-S-
ОТВЕТЫ
--H
505
1175. Sslnxshxdx*
1176. 2udluu + 20dud"u + 90diud*u + 240d3ud'u + 420d*ud«u -f.
+ 252 (d2u)s. 1177. e" (du4 + 6д"иг<Ри + AdutPu + За"аиг + d*u).
2d//2 3dud*u , cPu
1178. ; 1 . 1179. d?y-y"dx*-{.
и3 иг и
■4- y'd.4; cPy -3 y"dx* + 3y"dxd%x + y'd*x; d*y = ywdx* +
+ Ьу"'йхг&х + 4y"dxd*x + Зу"(Рх* + y'd*x. 1180. y' =.
dx dy
d*x &y
d*x
y" — ■
dx
dx
cPx
dy
cPy
-~3d*x
dx
d4
dx.
d*y
1187. ?1л>(*)=о,л1 1188,
(-1)"
dx*
(—l)"-^ 1С-1 (ad — be)
(ex + d)n+i
189. n\
X
[-h£-+ d-UJ- ,,9°-1-»"'**
L (*-2)»+*
(x-l)"+» J*
1191.
3" (1 + x)n+l/3
nn
1-3. . . (2n — I)
(l-2x)n+l>2
(3n— 5)(3n + 2x)
(n>2; *=?«=— I). 1193. — 2"-icosr2x+-Y-J
1194. 2"-1 cos f 2x + "Y") •
- — **[* + —)•
, 3" / nn \
+-T-]
1195.
1196.
2
(a+ 6)"
t-('+j)-
Тс"('+-Т")>
(a — b)n
1197. cos [(c — b) x ■>
[(a+ 6)x + -^-j.
(a - 6)"
1198. - _ —cos
[(.-»,, + -=-] +
(a + b)a
1199.
5[(a+ *)* ^f-]
X sin [<« _ 6) x + -=-] +-^±^sin [(a + 6)
(a — 6)"
nn
1200.
V1 / , пя\ (2a-6)"
—— cos \bx+ I —
2 V 2 / 4
, ля "I (2a+b)a Г ля
+ ~5~j~ ^ cos^(2fl + 6)x + -y
cos
-]'
£(2a-*)* +

506
1201
. 4n_1 cos f4* H —J. 1202. anx cos (ax + )
+ «a«-xsin(«+-y-). 1203. „"[*- Я(Я~1) j
XsinI o*H —j — 2лап_1д;cos( аж-^ J.
1204, (— l)ne~x [ж* — 2 (л — 1) x + (л - 1) (я — 2)].
+
X
я (я — 1) . . . (я — k -f 1)
1206. е*2"/2 cos (ж + -"j— ) . 1207. е*2"/2 sin (x + —}.
1208.
< -
1210.
(а\_ЬЧг)П К" + И" + ( - I)""1 (а + **)"] (| х |<
^-h. 1209. е°* [а"Р (ж) + С^а"""'?' (х) + . . . +РС> (ж)].
4" {[(«+«) -(-!)" (*-я)] ch ж+ [(*+ л) +
+ (_|)«(ж_л)]8М.
+ лУ-l +
п* (я — 1)"
2!
' +
1212
(—1)"я1
ж"+1
1211. dny*=-e*lxn +
+ л|1с*жп.
dxn(x>0).
1214. а) (а* + Ь2)п/2 Icosf лф — -^—J ch ax cos Гбж + ~- )—
— втГлф —Jsh axsinffaH —Jll
б) (а* + b*)n/21 cos Гяф —J ch ax sin ( bx -\ —J -f
, где
СОБфс
+ sin Глф — —-—Ъпаж cos I ЬхЛ ~—1 >
«=—/ ° к ' в!пф = —, . ■ • . 1215. Лп)(х)'
Va» + Ь2 Л/а* + ft« » v /
« "Ё ( - 1)"+*2п-»Р+* (р - ft)" C*p cos Г(2р - 2ft) х + -^-1.
ft=o L ^ J
ш.. ., ^,_у »-»+Т С;>+|Х
*=0

ОТВЕТЫ 507
X sinf(2p-2ft + 1)x + ~1; 6) J? 2"~w+l(P-*)"c*u У.
L l J *=0
4=0
X CJP+1 eos [(2p - 2ft + 1) x + -7-]} •
( — О""1 (« - I)!
,218- (1 + xy,/* s>n</.arcctgx)(x#0).
n\ n(2/i — 3)!!
1219. a) — l2»+i+(-l)»j; 6) ~^T (n>l).
1220. a) n (n — l) ап~г; 6) /<2*;(0) = 0, /<**+4 (0) =»
==(—1)*(2A1) (ft = 0. 1. 2, .. .); в) f<2*> (0) = 0. f<2*«> (0) =
= [1-3. . .(2ft-1)]* (ft«-0. 1, 2, . . .)• 1221. а) /<*> (Q)=
=• (— l)*ma (m2 — 22) . . . [m*_(2ft_2)2], /O^-D (0) = 0;
6) /(**>(0)»0. f (0) = m, ^Г-*+Ч(0) = (-1)*т(тг— 1') . . .
. . . lm2 — (2ft— 1)»] (ft=»l, 2. . . .). 1222. a) f<**> (0) -»
/(«*-« (0) = 0 (ft~l. 2. . . .); 6) /<**> (0) = 2**-i[(ft - 1)!]»,
p*-i>(0)«»0(ft= 1. 2. 4 . .). 1223. л!ф(а),
1228. Lm (x) = ( - l)m Гхт - т2*т-1 + "»'("»->)» х*"2 + . . .
L 1-2
...+(- t)m mil. 1231. Hm (x) - (2хГ _ m <m - ') (2x)m-t+
, m(m—l)(m — 2)-(m —3) .„ ,_. ,_„„ _
+ 1 — (2x)m~* — . . . 1236. При x = 0
2!
не существует конечной производной /'(*)• 1244. А (—1, —1),
С (I I). 1245. Не верна. 1246. а) 6 = 1/2; б) 9 =
V
х'1 + хДх Н (Дх)2 — х
(х>0. Дх>0); в)0 =
Дх
1 , е**—1
--^-(/\/l + —-U(x(x+Дх)>0); г) 0 = —In'
Дх\ V * / Дх Дх
1248. с=— или V2 . 1250. Вообще говоря, нет. 1261. f(x) =
= с0Ч- fix + . . . + Сп.гх"-1, где с< (t = 0, !,.... л — 1)
постоянны. 1268. При — оо < х < — функция воврастает, при

S08
ОТВЕТЫ
—— <х< -}- оо убывает. 1269. При — оо < х < — 1 функция
2
убывает, при —1 < * < 1 возрастает; при 1 < х < + оо
убывает. 1270. При — оо < x<t— 1 функция убывает, при —1 ^
< * < 1 функция возрастает; прн 1 < х < + оо убывает.
1271. При 0 < х < 100 функция возрастает; при 100 < х <3
< +оо убывает. 1272. Функция возрастает. 1273. В промежут-
(kn kn , я \ ,
, | функция возрастает; в промежутках
2 2 3 /
(JlL+JL, JlL + JL\ убывает (ft~0, ±1, ± 2, • . .)•
V 2 3 2 2 )
1274. В промежутках ( . —J и ( , •J
V 2Л-Т- 1 2ft) \ 2ft + 1 2А+2/
функция возрастает; в промежутках | , J ■
\ *ft ~p * 2ft ~f~ 1 /
— , ! ^ убывает (ft=»0, 1,2, . . . )• 1275. Прн
2ft 2ft+l )
2
— оо<х<0 функция убывает; при 0<х< возрастает;
1п 2
о
при <*< + оо убывает. 1276. При 0 < х < я функция
1п2
возрастает; при п < х < + оо убывает. 1277. Убывает при
— оо<х< —1 и 0< х << 1; возрастает при — 1 < х < 0 и
1 < х<+ оо. 1278. В промежутках (е~7"П2+2кП> е13я/12+2*я)
функция возрастает; в промежутках (е'Зя/12+2*Я( е17я/12+2*я)
убывает (А = 0; ±1, ± 2, . . .). 1283. Не обязательно.
1298. В точке А кривая вогнута вверх; в точке В вогнута
вниз; С — точка перегиба. 1299. График при — оо < х < 1
вогнут вверх; при 1 < х < + оо вогнут вниз, х = 1 — точка
перегиба. 1300. При |х|< — вогнутость вниз; при |х|>
л/з
п а
-вогнутость вверх, х = ± — точки перегиба.
л/зГ ф
1301. При х<0 —вогнутость вниз; прн х>0 —вогнутость
вверх;х=0 — точки перегиба. 1302, Вогнутость вверх. 1303. При
2*я< х < (2k + 1) я — вогнутость вниз; при (2k+l)n<x<
< (2ft+ 2) я — вогнутость вверх; х = Ля —точки перегиба (ft =
= 0, ± 1, ± 2, . . .). 1304. При |* |< VT/2 — вогнутость
вниз; при |х|>л/\12 —вогнутость вверх; х= ± V'/2
—точки перегиба. 1305. При |х|<1—вогнутость вверх; при |х|>

ОТВЕТЫ 509
> 1—вогнутость вниз; * = ±1—точки перегиба. 1306. При
^кл—Зя/4 < х < е2кл+пЦ __ вогнутость вверх; при
е2*л+п/4<ж<е2Ая+5л/4__вогнутость вниз; x=.ekn+n/i
—точки перегиба (ft = 0. ±1, ±2, . . .). 1307. Вогнутость вверх
при 0<*< +оо. 1309. А = -—. 1310. Вогнута вниз (при
а > 0). 1318. — . 1319. 1. 1320. 2. 1321. - 2. 1322. — .
ь з
1323. -. 1324. — . 1325. —. 1326.-'-. '~7- »•
3 3 6 2
1328. а~Ь . 1329. —In д. 1330. -2. 1331. 1. 1332. (—Y.
За* 6 \bj
1333. —. 1334. —. 1335. 1. 1336. 0. 1337. 0. 1338. 0.
6 3
1339. 0. 1340. 0. 1341. 0. 1342. 1. 1343. 1. 1344.— 1. 1345. е*.
1346. f*. 1347. е2/л. 1348. ег1. 1349. 1. 1350. 1. 1351. 1.
1352.
ри-
e2/sin2a(aф -^5_ , к — целое"). 1353. ei/2(ln>o-in» 6).
1354. —. 1355. — . 1356. 0. 1357. -. 1358. вО(1па—1).
2 2 2
1359. —. 1360. —. 1361. е-2/л. 1362. 1. 1363. г1/».
2 а
1363. 1. в"1/» 1363.2. г1/3. 1363.3. г"1/». 1363.4. г"1/». 1364. в"1/».
1365. е~х'я. 1366. г~1. 1367. ———. 1368. л/7. 1368.1. 0.
л — т
1369. -. 1370. а. 1371. tg а. 1373.1. /' (0) а. —.
6 12
1373.2. у = — (х-\ V 1374. а) Правило Лопиталя неп
менимо, предел равен нулю; б) правило Лопиталя
неприменимо, предел равен 1;в) формально примененное правило
Лопиталя дает неверный результат, равный 0, предел не существует;
г) применение правила Лопиталя незаконно и приводит к
неверному результату, равному нулю, предел ие существует.
1375. -. 1376. б— 13(* + 1)+ П (* + 1)г — 2(* + 1)». 1377. 1+
+ 2х + 2*г — 2** + о (х*); — 48. 1378. I + 60ж + 1950** + о (**).
1379. а + - (m- l)r* jm J_xt + lfi+0{^)
mam~i Чт*сРп-ь 6
1381. 1+2*+*» L^-JL** —xb + oix*). 1382. 1 —
3 b 15

510 ОТВЕТЫ
f__|__iE: t— + o(x*). 1383. x - _ + о(хи).
2 12 720 18 3240
1284. ——- —+o(x«). 1385. x fl+of*8). 1386. x-f*
2 12 45 3
+ j£+j£L- + 0(xb). 1387. —— - f!_4-0(x«).
3 15 6 180 2835
1388. l + _L(x— 1) L(x— l)*+o ((x—1)*). 1389. (x — 1) +
2 8
-Hx-l)»+l(x-l)*+o((x-l)3). !390.y = a+-^- + o(x*).
2 2a
1391. -J ! j-of-L-Y 1392. Inx-f — 5L + ...
2x to3 \ x* ) x 2x»
. . . + (—i^-i^L + o^ 1394. а) Меньше - ;
nx" (i+l)l
б) не превышает ; в) меньше 2-10"*; г) меньше—.
3840 16
1395. |х|<0.222=агс 12°30'. 1396. а) 3,1072; б) 3,0171, в) 1.9961:
г) 1,64872; д) 0,309017; е) 0,182321; ж) 0,67474 - arc 38°39'35";
s) 0,46676 = arc 26°44'37"; и) 1,12117. 1397. а) 2,718281828;
б) 0.01745241; в) 0.98769; г) 2,2361; д) 1,04139. 1398. -.
12
1399. —.
3
1404. —.
2
1406.3. —.
2
„ _.
в=*~,с
12
1400. •
1405. i
1407.
1410.1.
1
2
г)—. 1412. а -=
X
_1_
4 '
1401.
D. 1406. — .
3
х'
30"
А~-
, D =
1408.
2
" 5 :
3
X».
В
— .1411.
12
2 • ft l
—; р«=» —.
3 3
. 1402.
1406.1. —
9С
1409. —,
2
1
СЗ — ——
15
. 2х
1413. -*-,
180
1
6 '
i
- •
1
1
1403.
1406.2.
1410. а =
1410.2. А =
б)
где
±х;в)
! а — пол
In1 а.
2 *
4
= з:
1
An .
100*
овина
центрального угла дуги. 1414. Максимум у = 2— при х =—.
4 2
1415. Экстремума нет. 1416. Минимум у — 0 при дс=1.
1417. Минимум у = 0 при х = 0, если т — четное, и экстре-
ттпп
пума нет при х = 0, если т—нечетное; максимум у =
{т+л)т+я
при х = ; минимум у = 0 при х = 1, если п —четное,
т+п

ОТВЕТЫ 511
я экстремума нет при х = 1, если я — нечетное. 1418.
Минимум у = 2 при х = 0. 1419. Минимум у = 0 при ж = —1;
максимум у = 1010е-* « 1 234 000 при х = 9. 1420. Максимум
у = 1 при х = 0, если п — нечетное, и экстремума нет при
х = 0, если п — четное. 1421. Минимум у — 0 при х = 0.
1 з — 1
1422. Максимум и = — у^4« 0,529 при ж =—; минимум y = Q
3 3
при ж= 1; экстремума нет при х = 0. 1423. Минимум /(ж0) =
= 0, если <р (ж0) > 0 и п — четное; максимум f (ж0) = 0, если
Ф («о) < 0 и я — четное; £ (ж0) — не экстремум, если п —
нечетное. 1425. Нет. 1427. а) Минимум [ (0) = 0; б) минимум
{(0) = 0. 1428. Минимум 1(0) = 0. 1429. При х= 1
максимум у = 0; при ж = 3 минимум у = —4. 1430. Минимум y=Q
при к = 0; максимум у= ] при ж = ±1. 1431. При х =
= —" «0,23 минимум у «—0,76; при х= 1 максимум
6
у = 0; при ж = —±-2L fa 1,43 минимум у » — 0,05; при ж а
6
= 2 екстремума нет. 1432. При ж = —1 максимум у = —2; при
ж «=» 1 минимум у =2. 1433. При ж = —1 минимум у = —1; при
7 1
ж «я 1 максимум у = 1. 1434. При* = — минимум и= .
5 24
1435. При ж>=>0 и ж = 2 — краевой минимум у<=0; при х=[
3 3 з —
максимум у = 1. 1436. При ж = — минимум у = V2 »
4 8
«—0,46; при ж= 1 экстремума нет. 1437. При х— 1 максимум
у = е-1 «0,368. 1438. При ж=»-(-0 краевой максимум у = 0;
2
при ж <= е-2 «0,135 минимум у = «—0,736. 1439. Приж=
е
4
= 1 минимум у = 0; при ж = е1« 7,389 максимум у = —«0,541.
е%
1440. При ж = Ъ1(*=^0, ±1, ±2. . . .) максимум у = (— 1)* +
-f- —; при ж = ± \- 2kn (k — 0, ±1, ±2, ...) минимум у=
2 3
3
= . 1441. При х=£я(£ = 0, ±1, ±2, .. .) максимум
4
у =10; при л=ш|Н j(ftz=0, ±1, ±2,...) минимум у=Ъ.
1442. При ж=1 максимум у = — 1п2да0,439. 1443. При
х = — + 2nk (k = 0, ±1, ±2, .. .) минимум у = ——- х

512 ОТВЕТЫ
X„-Я/4+2АЯ. при х = _£i. + 2kn (fe —0, ±1, ±2, ...) максимум
4
^-xLe^/^m. 1444. При х- — 1 максимум у — ё"2 &
я 0,135; при х=»0 минимум t/= О (угловая точка); при х—1
максимум у=\ (угловая точка). 1445. —; 32. 1446. 2; 66.
100
1447. 0; 132. 1448. 2; 100,01. 1449. 1; 3. 1460. 0; — «36,8.
е
1451. 0; 1. 1452. 0; — (l + л/2~)« 1.2. 1453. — JVLe-Зя/*«
2 2
«—0,067; 1. 1454. т(х)«= .если — оо<х< — 3; т(х)=
6
I л. х
— ^, если — 3<х< — 1; т(х)=0, если — 1<х<+оо;
З-г-х»
1 14-х
М (х) — — , если — оо<х<1; М (х) = ■ , если \<х<
2 3+ха
1410 1 з,—
<+«,. 1455. a) -i^-w 1,77-10'; б) —; в) у^З « 1,44.
214 200 '
1457. 9 + 6V3" 85 |458 L.U59. —.1460. g(x)=,
4 2 27
= (*1 + *2) * - -^(х2 + 4 + 6х,х2); Д = -±-(х, - х2)2. 1461Д-
о о 3
1462. Один корень: (3, + оо). 1463. Один корень: — оо < х,<
< —1, если А > 27; три корня: — оо < х, < —1, —1 <х2 <
<3 и 3 < х, < + оо, если —5 < А < 27; один корень: 3 <
< х, < + оо, если А < —5. 1464. Два корня: — оо < xt < — 1
и 1 < х» < + оо. 1465. Один корень: — оо < *4 < —1, если
_ оо < а < —4; три корня: — оо < xt < —1, —1 < х, < 1,
1 < х3 < + оо, если —4 < а < 4; один корень: 1 < хх < + oot
если 4 < а < + оо. 1466. Один корень: 0 < xt < 1, если
— оо < ft < 0; два корня: 0<х, <— и —<х2<+ оо, если
k k
0<ft< — ; корней нет, если k> — . 1467. Корней нет если
е е
е1
и<0; один корень: —oo<Xj<0. еслиО<а< — ; три кор-
4
е1
яя: — оо < xi < 0, 0 < х2 < 2 и 2 < х3 < 4- оо, если — < а <
4
<-г-оо. 1468. Два корня при | а| < 3-\/3/16; нет корней при
|«|>3л/3/16. 1469. Два корня: 0 < | х, \<\ и |<|х2|<
<+оо, где Е»1, 2 — положительный корень уравнения.
cthx = x, если |ft| >sh£» 1,50; корней нет, если \k\ >sh£.

ОТВЕТЫ 513
1470. а) —+ —5>0; б)-^- + —<0. 1471.*)- Симметрия
27 4 27 4
относительно начала координат. Нули функции: х = 0 и х =
= ±V3«±1,73. Минимум (/=»—2 при х = —1; максимум у=
= 2 при х=1. Точка перегиба х = 0, у = 0. 1472. Симметрия
относительно оси Oj/. Нули х = ±V' + V3» ±1,65.
Минимум у—\ при дс = 0; максимум у = 1— при х=±1. Точка
1 5
перегиба; х — ±—-=г да ±0,58; (/= 1—. 1473. Симметрия
относительно точки Л(1, 2). Нули: х = — 1 и х = 2. Минимум
# = 0 при х = 2; максимум (/=4 при х = 0. Точка перегиба
ж = 1, j/ = 2. 1474. Симметрия относительно оси Oj/. Нули
функции; х = ±V2 «_ ±1,41. Максимум у = 2 при х = 0;
минимум j/ = 1 — —— да —0,12 при х = ±-\/2+ V5"« ±2,06.
2
Точки перегиба: хь 2= ±0,77, уь t= 1,04; х3. 4«±2,67, «/j, 4 »
да —0,010. Асимптота у — 0. 1475. Точки разрыва: ж == 2 н
х=3. Нули: х= ±1. Минимум (/ =—(10 —V^6) »—0,20
при х = 7~V24_ ^ Q 42. шксимум у _ _ (10 _|_ ^§6) да—19,80
5
7 4- л/Й
при х = да2,38. Точка перегиба деда—0,58, уда—0,07.
5
Асимптоты: х — 2, х = 3 и j/ = 1. 1476. Точки разрыва: хх =»
«=—1 и х2 = 1. Нуль функции ле = 0. Точек экстремума нет.
Точка перегиба х да —0,22, у да —0,19. Асимптоты: х — —1,
х = 1 и у — 0. 1477. Нуль функции х = 0. Точка разрыва
13
х=—1. Минимум I/ = 0 при х = 0; максимум у = —9— при
х = —4. Точек перегиба нет. Асимптоты: х = —1 и у — х — 3.
1478. Минимум у = 0 при х = —1; точка перегиба х = —4,
81
у — . Асимптоты: х = 1 и у = 1. 1479. Максимумы j/ =■
625
д _ 34 VI7 +142 _ З + УП ^ а
32 _ 2
{/ = 0 при х = 0; минимум у = ——— да— 0,06 при х=
— — да 0,56. Точка перегиба х = — , у = . Асим-
2 5 45
птоты: х = —1 и у = х — 3. 1480. Симметрия относительно
начала координат. Точек экстремума нет; точка перегиба х=0,
*) К задачам на построение графиков не везде дают
полные ответы.
33-2МЗ

514 ОТВЕТЫ
у = 0. Асимптоты: х = —1, х = 1 и у = 0. 1481. Минимум
у = 13— при х = 5; точки перегиба х = —1, у = 0. Асимпто-
2
ты: х = 1 и у = х + 5. 1482. Минимум у = 2— при х = 2;
о
максимум у ж —3,2 при х ж —2,4; точка перегиба х = 0,
у = 8. Асимптоты: х = —1 и (/ = х. 1483. Симметрия
относительно оси Оу. Нули функции: х = ±— « ±0,79. Точек
4
экстремума нет. Точки перегиба: х = ±/\/— «±0,71, у=
2
= —2—. Асимптоты: х— —1, х=0, «=1 и} = 0. 1484. Об-
3
ласть существования: 0 < х < + оо. Нули: х=0 и х = 3.
Минимум у = —2 при х= 1; краевой максимум у = 0 при
х = 0. Вогнутость вверх. 1485. Область существования: |x|=Sj
sg2V2«2,83. Симметрия относительно начала координат и
осей координат. Нули: х = 0и«= ±2 ^/2. Максимум \у\ = 4
при х = ±2, минимум |у| = 0 при х = 0; краевой минимум
\у\ = 0 при х= ±2 V2. Точек перегиба нет. 1485.1. Нуль
функции х = 2. Минимум у =— -у/5 as —2,24 при х = —0,5.
Точка перегиба хх=- ——±Jl—«—1,18; у\ ж — 2,06 и *,=
о
= -^—^—ж 0,42; «,«—1,46. Асимптоты: у = — I при *-»■
8
-*-— оо и у= 1 при х-*-+ оо. I486. Область существования:
1<х<2 и 3 < х < + оо. Нули: х = 1, х_= 2 и * = 3.
Максимум | у | = — V^12 ж 0,62 при х = —^-^— ж 1,42; крае-
3 3
вые минимумы |у| = 0 при х= 1, 2 и 3. 1487. Минимум у =
2 з 1
= 0 при х = 1; максимум у = — -/Г» 1,06 при х = ; точ-
3 о
ка перегиба х = —I, у = 0. Асимптота у = х . 1488. Снм-
О
метрия относительно оси Оу. Минимум у=—1 при х — 0.
Вогнутость вниз. Асимптота у = 0. 1489. Симметрия
относительно начала координат. Нуль функции: х = 0. Минимум
j/=> — уТб" ж —2,52 при х= —2; максимум у=уг1& при
х=2. Точка перегиба: х=0, у=0. Асимптота: у=0. 1490.
Снизу—
метрия относительно оси Оу. Минимум у= у 4 ж 1,59 при х =
= ± 1; максимум у = 2 при х = 0. Вогнутость вниз. 1491.
Симметрия относительно начала координат. Точка разрыва: х= ± 1.

ОТВЕТЫ 615
л/Т -
Нуль функции: х««0. Минимум у—-тг—ж 1.38 при ж= л/Ъ\
/2"
максимум у= ¥■—при*— —V3. Точки перегиба: xi = О,
Ух = 0 и xt,g = ±3, у,,| = ±1 —. 1492. Область
существования функции: |jc| >1. Симметрия относительно оси Оу.
Краевой минимум у=0 при х •= ±1. Вогнутость вниз. Асимп-
X X
тоты: у=»— при х-*•+<» и у = при х-*— оо. 1493. 06-
2 2
3 —
ласть существования функции: х > 0. Минимум у =—-у'Зж
ж 2,60 при х = —. Вогнутость вверх. Асимптоты у = х-|-
3
Ч и х = 0. 1494. Область существования: х >0 и х<—3.
5+ Л/13
Нуль функции х=>—2—^ «4,30. Минимум у = 13 при
х = —4; краевой максимум у — 1 при х = 0. Вогнутость
* 5 1
вверх. Асимптоты: у = 2х при х-*- — оо; у= при
х-*- + °°; х= — 3 при х-»-— 3 — 0. 1495. Минимум у=0 при
х = 0; максимум у = — уТ ж— 1,59 при х= — 2. Точки
перегиба: xj. =» — (2 — л/3") ж — 0,27, У1 = ]/ ^ ~5 »
«0.46; х,= -(2+V3l«-3,73. у,- -|/" 5+^27 ж
ж —1,72. Асимптота х = —1. 1496. Симметрия относительно
осн Оу. Функция положительная Максимум у = л/% ж 1,73
при х = 0, минимум у = V2 «1,41 при х = ±1. Точки
перегиба xi, , ж ±0,47; ух, 2 ж 1,14 и х3,««±4,58, У».4ж4.55,
Асимптоты у = ±х. 1497. Период функции: 7" = 2я; основная
область 0 < х < 2л. Нули функции: x1=n+arcsin—— ~
2
« 1,21я и х, = 2я — arcsin —-——— « 1,79я. Минимумы у— 1
я Зя ,1
при х = — и у = — 1 при х = ; максимум у «= 1 — при
33*

516 ОТВЕТЫ
я 5я _ ... , 1 + V33
* = — их — . Точки перегиба: х< = arcsin да
6 6 8
19+зУзЗ ... . 1+V33
да0,32я, и,=—-! i «1,13; хг ==» я — arcsin 1 «
32 8
19+зУзЗ . . V33 — 1
да 0,68я, уг = !— ; *а = п + arcsin —-— «
32 8
да 1,20я, и, = — да 0,055; х4= 2я — arcsin — да
32 8
J9 з л/33
да 1.80я, у4 = . 1498. Период функции 2я; основ-
О*
ная область —л ^ х < л. Симметрия, относительно начала
координат. Нули: Xj = 0 и хг, s = ±я. Минимум у =
15 . 1
= -у15 да—7,3 при х-» —arccos — да—0,42л; максц-
8 4
мум у = -y/TS да 7,3 при х «= arccos — да 0,42л. Точки пе-
8 4
региба: xj =0, yt = 0; х2. 3= ± arccos ( J да ± 0,84я;
«a, s — ± — V ЙГ да ± 2,54; х4. в ■= ± я. 04, s = 0. 1499. Пери-
32
од функции: Т = 2я, основная область: — я ^ х < я.
Симметрия относительно начала координат. Нули: хг = 0 и х,.3=
= ±я. Минимумы: у = V2 да—0,94 при х= я
3 4
я 2 я 2
х вв , у = — при х = —; максимумы: у =
я 2 яг я Зя _
при ж = i у = — V2 при х = — и х = . Точки
2 3 4 4
перегиба: Xj = 0, yt = 0; х,,, = ± arcsin д /— да ±0,37я,
Уг.з~ ± V30- да ± 0,81; х4. s = ±1 я — arcsin л/— 1»
« ± О.бЗя, yt, 6 = ± У30~; х«,, = ±я, у,, ,=0. 1500.
Период функции: Т = 2я; основная область [ —я, я).
Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: xll4 =
= ±arccos ——да ±0,62я. Минимумы: и=— при х =
2 2

ласть
ОТВЕТЫ 517
. 1 3
= 0; у =» —1— при х— ±я максимумы: у=— при х —
2 4
я _ . _,_ 1 + V33
= ±—. Точки перегиба: хь г = ± arccos—;— «
3 8
« ±0,18я, yv 2 ж 0,63; х,, 4= ± arccos -^ ж±0,70я,
8
Уз. 4« —0,44. 1501. Период функции: 7" = —; основная об-
I , —I. Симметрия относительно оси Оу.
Функция положительная. Максимум у = 1 при х — 0; минимум у =
= —при х >= ± —.Точки перегиба х«,. = ± —, «»,«=—.
2 4 8 4
1502. Период функции Т = я; основная область I , — I.
Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: хг = 0
и х. *= ± — . Минимумы: у = 0 при х = 0 и у = —1 при
3
л 9 1
х= ± —; максимум у=— при х= ± arccos — «±0,21 л,
2 16 4.
т * .1 I + V^29~ ^. ,,
Точки перегиба: Xj,*=±— arccos - ж±0,11я,
2 16
y1-2»0,29; xj.4=± — arccos—^^ ж± 0,36л; у3,хъ
2 16
ж—0,24. 1503. Период функции: Т = я, основная область-
Зя
0 ^ х < я. Точка разрыва: х=——. Нули: хг — 0, х2 = я.
4
Экстремумов нет, функция возрастает. Точка перегиба: х =
я V2 » 3" .-„, г,
= — , у=—:—. Асимптота х = . 1504. Период фун-
4 2 4
кции Т = 2я, основная область [—я, я]. Симметрия
относительно оси Оу. Нули функции: xlt г=±—. Минимум у = 1
при х = 0; максимум у = —1 при х = ± я. Точки перегиба:
п п * п . Зя
*i, 2= —*-: 01.» =0. Асимптоты х = ±— их=± .
2 ' 4 4
1504.1. Период функции Т = 2л, основная область —л < х ^

518 ОТВЕТЫ
л/з
^я. Функция нечетная. Минимум у= -«—0,58 при
3
2я ■у/ъ „ ,„ 2я _
х= . максимум и=—-—«0,68 при ж = . Точ-
3 ' 3 3
ка перегиба хх= 0, yi = 0; *а,з= =F ". Уг.з=0- 1505. Центры
симметрии (Ля, 2*я). Нули функции: «! = 0, х2.8» ±0,37я,...
Максимумы и = 1 + 2*я при ж = \- kn; минимумы
2 4
у = —( —— 1 + 2*я ) ПРИ * = —(-— + *я ) • Точки пере-
2k + 1
гиба: ж = kn, у = 2*я. Асимптоты: ж = я (k —
целое). 1506. Симметрия относительно прямой х= 1. Функция
положительна. Максимум у = е при ж=1. Точки перегиба
xi, ] = 1 ± — У 1.2— V* да Ь65. Асимптота у = 0.
1507. Симметрия относительно оси Оу. Функция
положительна. Максимум у — I при ж = 0. Точки перегиба: ж1> , =
VT 5
— « ± 1,22, ул. .= —е-3/4 « 0,56. Асимптота у —
2 2
= 0. 1508. Функция положительна. Минимум у = 1 при ж =0.
Вогнутость вверх. Асимптота у=х при ж->+оо. 1509. Фуи-
кция неотрицательная; нуль ж=0. Минимум у = 0 при ж = 0;
КТ~ 2
— e"*/8»0,39 при ж = —. Точки пере-
9 3
гиба: жх= 2~V6 « — 0,15, у4 « 0.34 и хг = 2 + V6 ж
3 «э
«1,48, i/i«0,30. Асимптота у—0 при х->+то. 1509.1.
Функция неотрицательная. Минимум у = 0 при ж = kn (k = 0,
rfc 1»±2....); максимумы#= —е-(2*+1/2)я при х _ 1- fci.
2 4
Точки перегиба хк = (—1)* —4-*я, у* = — е-12*+1/з<-1)*]я ^
6 4
1510. Функция положительна при ж> — 1 и отрицательна
при ж< —1. Минимум у— 1 при ж = 0. ( Вогнутость вверх
при ж> —1 и вогнутость вниз при ж < —11 1511. Симметрия
относительно оси Оу. Функция неотрицательная; нуль ж — 0.
Минимум у— 0 (угловая точка) при ж= 0. Вогнутость вниз.
1512. Область существования функции: х> 0. Нуль функции

ОТВЕТЫ
519
2
* = 1. Максимум у = —«0,74 при х — е1 « 7,39. Точка пе-
е
а
региба: х == в8/8 « 14,33, у = —в-*/" « 0,70. Асимптоты: х =■ 0
при х—►+ 0 и у = 0 при х-»-+ оо. 1513. Симметрия
относительно начала координат. Нуль х = 0. Точек экстремума нет;
функция возрастающая. Точка перегиба: х=0, у=0. 1514.
Симметрия относительно начала координат. Нуль функции х = 0.
Функция возрастает. Вогнутость вверх при х > 0 и вогнутость
вниз прн х < 0; 0(0, 0)—точка перегиба. 1515. Область
существования функции: |х|< 1. Симметрия относительно
начала координат. Функция монотонно возрастает. Вогнутость
вверх при х > 0 и вогнутость вниз при х< 0; точка перегиба:
х = 0, у = 0. Асимптоты: х = ± 1. 1516. Симметрия
относительно начала координат. Нуль функции: х =0. Точек
экстремума нет, функция возрастающая. Точка перегиба: х = 0,
у = 0. Асимптоты: у=х . при х—►—оо и у = х-\
2 2
при х-к+оо. 1517. Нуль функции х« —5,95. Минимум у —
1 i я . -„, . 1 , Зя
= « 1,285 при х = 1; максимум у — «
2 4 2 4
«1,856 при х= —1. Вогнутость вверх прих>0 и
вогнутость вниз прн х < 0; точка перегиба х = 0, у = —. Асим-
Птоты: у = )-я при х—*■— оо и у = — при х—►■ -f- оо.
2 *
1518. Симметрия относительно оси Оу. Функция
неотрицательна; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0. Вогнутость
я , я
вверх. Асимптоты: у= х—1 при х—►—оо и у= — х —
2 2
— 1 при х —»- + оо. 1519. Симметрия относительно начала
координат. Нуль функции х = 0. Минимум у =
(угловая точка) при х= 1; максимум у=— (угловая точка) при
х=1. Точка перегиба х = 0, у = 0. Асимптота у *= 0.
1520. Симметрия относительно оси Оу. Функция
неотрицательна; нуль х = 0. Минимум у *= 0 при х = 0 (угловая точка).
Вогнутость вниз. Асимптота у — я. 1521. Точка разрыва
функции х = 0. Нуль функции х = —2. Минимум у = 4 Vе «6,59
при х = 2; максимум у = — « 0,37 при х = —1. Точка пе-
е

520
ОТВЕТЫ
9 Q
региба х= , у = — е-5/2» 0,13. Асимптоты: х=0 и
5 о
у = х + 3. 1522. Область существования функции |х|>1.
Симметрия относительно оси Оу. Краевой максимум у =»
= 2^2 «2,67 при х= ±1. Вогнутость вверх. Асимптота у =
= 1. 1523. Область существования функции х < 1 и х > 2.
Точки пересечения с осями координат (0, 1п 2) и (1/3, 0). Мак-'
симум у да 1,12 при х =—— да —0,72. Асимптоты х =
О
= 1, х=2и(/ = 0. 1524. Область существования функции
|х|^а. Точки пересечения с осями координат: (0, —а) и (0,
67а, 0) (приблизительно!). Функция монотонно возрастает.
Краевой минимум у = а при х = —а и краевой
максимуму =— а при х = а. Вогнутость вверх. 1525. Область
2
существования функции: х < 0 и х^ —. Краевой минимум
О
2
у = 0 при х «= 0; краевой максимум у = я при х = —. Вог-
О
2
нутость вниз при х<0 н вогнутость вверх при х^—. Асимп-
о
тота у = —. 1526. Область существования: х > 0. Функция
3
/ 1 У « 1
положительна. Минимум у = I—J да 0,692 при х= «
да 0,368; краевой максимум у = 1 при х = + 0. Вогнутость
вверх. 1527. Область существования функции х > 0. Краевой
минимум у = 0 при х — + 0; максимум у = е17' да 1,44 при
х = е. Асимптота (/ = 1. 1528. Область существования: х>
>—1, х ^ 0. Функция положительна. Устранимая точка
разрыва: х = 0. Точек экстремума нет, функция убывающая.
Вогнутость вверх. Асимптоты: х=—1 и у = 1. 1529. Функция
монотонна при х > 0. Краевой минимум у = 0 при х = + 0.
Асимптота у — е(х 1. 1530. Функция положительна.
Симметрия относительно оси 0(/. Точки разрыва: х= ±1. Ми.
нимум у — е при х = 0; максимум у = — да0,15 при х =
4д/«
= ± Уз . Четыре точки перегиба. Асимптоты: х = —1 при х -»■

ответы 521
-»■ — 1 + 0; х — 1 при jc —»- I — 0 и у = О при х -*■ оо.
1531. Функции х и у— неотрицательны; xmin = 0 при t =
==—I; Ут\п = 0 при <= 1. Вогнутость вверх при t > — 1 и
вогнутость вниз при t < —1. 1532. Точки пересечения с осями
координат: (0, 0) при t = 0; (±2 ■y/J — 3,0) при t — ± V~3
и (0, —2) при t = 2; xmaX = 1 и утах = 2 при * = 1 (точка
возврата); ут\п= —2 при t= —1. Вогнутость вверх при t< 1
и вогнутость вниз при О .1. 1533. Точка пересечения с осями
координат: (0, 0) при t = 0; xmajt = 0 при t = 0, xmin = 4
при t = 2; у убывает при возрастании t. Точка перегиба (—0,08;
0,3) при t « — 0,32 (приближенно). Асимптоты; у = 0, х —
1 ж 3
ь= и у = . 1534. Точка пересечения с осью Оу:
2 2 4
(О, 1) при t = 0; точка пересечения с осью Ох' (—1, 0) при
Г = оо. Краевые экстремумы: хт\п = 0 и утйх = 1 при t = 0;
*max = —1 н i/min = 0 при t — оо. Точек перегиба нет.
Асимптота у = —. Вогнутость вверх при \t\> 1 и вогнутость вниз
2
при 11\ < 1. 1535. Функции х и у — положительные; xmin =
= 1 и ут\п= 1 при t = 0 (точка возврата). При t<. О —
вогнутость вверх; при t > 0 — вогнутость вниз. Асимптота ^ =
=2* при /-*-+ оо. 1536. Основная область: (0, я]. Точки
пересечения с осями координат: Г—, 0\при t= *, ( 0, J
^2 > 6 V ф)
при t = — ; (— а, 0) при t = —; / 0, —— 1 при t = ;
4 2 \ л/2 ) 4
i J при / = —— . Экстремумы: лгтах = а и утаХ = а при
(_а „\ д 5я
2
« = 0; ymin = —в при t= — ; *min = —в при t= —; ymax=
2я А D
= а при t = ; хтах = а и ут\„ = — а при t = п. Вог-
О
я я
нутость вверх при 0 < / < —; вогнутость вниз при — <
2 2
<*<я. 1537. Функции х и у — неотрицательные и
периодические; основная область 0 <* < —. Экстремумы: xmin = 0
2
и !/шзх= 1 при / = — и xmajt= 1 и ymi„— 0 при <=0.
Вогнутость вверх. 1538. Область существования: t > 0. Сим-

522 ОТВЕТЫ
метрия относительно прямой х + у = 0. Экстремумы: *min=»
= L«_0l37, y= -««-2,72 при t=,-L;ymax= — ,
е ее
х= е при t = е. Точки перегиба: хх = — у 2 е~ "*2 да —0,34,
у1= _y^eVr » —5,82 при / = е-^2 да 0,24 и х4 =
— л/2е^Г, уг = л/2е~^Г при < = е^2 «4,10. При < =
•ж» изменение знака вогнутости. Асимптоты: i = 0 и у—
е
«=0. 1539. Функции х и у — периодические с периодом Г =
«= 2я, основная область —я ^ t ^ я. Симметрия кривой
относительно осей координат. Кривая имеет две ветви. Экстремумы:
х min = а, у = 0 при t = 0; xmax = — а, у = 0 при 1 = ± я.
Вогнутость вверх при —я < t < —я/2 и 0 < / < я/2;
вогнутость вниз при —я/2 < t < 0 и я/2 < t < я. 1540.
Симметрия относительно оси Оу; ут\„ =0, х = 0 при < = 0.
Вогнутость вниз. 1541. Параметрические уравнения: х =
tot За/* , ^ . ^ . . п
■, у = (—оо < t <+oo). Симметрия относи-
1 + Р 1 + Р
тельно прямой у = х. Точка пересечения с осями координат
3 /— 3 г—
О (0, 0) (двойная точка). хтах = а у4 да 1,59а при у — а у2 да
Ч — 3 —
да 1,2а; утах= а-/А при х=а^2. Асимптота х + у+ а=0,
1542. Симметрия относительно начала координат, осей коорди-
нат и биссектрис координатных углов. О (0, 0) —
изолированная точка. Точки пересечения с осями координат: (± 1, 0)
и (0, ±1). |x|min= 1 при у =0; |*| - w • +V?
4-
2
1,10 прн \у\ = л/Т}2 «0,71; |jr|min= 1 при х = 0 |у|тах=
=v:
1 + V2
2
при |х| =V1/2. 1543. Параметрические
1 _ /з J _ /з у
уравнения: х = , у = , где f=-2-(—оо < «
/* / ж
<+<»). Кривая имеет две ветви. Симметрия относительно
прямой х + у = 0. Экстремумы: хтт = 3/2 /2 да 1,89, j/=
= -3/2уТ » -2,38 при < = -^2" «-1,26; утах=—3/2 У^
к = 3/2 VT при t = — ^ТЖ да —0,79. Точки перегиба: ж, да
да 2,18, ух да —4,14 при t = — 1/ — (7 + 3 л/b) « — 1 ,90;

ОТВЕТЫ S23
г2«4,14, у2& -2.18 при t = — l/ ~- (7 _ 3 д/б) «-0,53;
при г =—у^2 —изменение знака вогнутости. 1544. Кривая
состоит из прямой у = х и гиперболической ветви ж = (1 +
4- t)X", У = (1 + 01+1/' ( — 1 < * < + оо). (е, е) — двойная
точка. Вогнутость вверх при хфу. Асимптоты: х= 1 и у —
= 1. 1545. Область существования: |*| > In (i + V^O» 0,88.
Симметрия относительно осей координат. Краевой минимум
\у\ — 0 при ж = ± In (l + д/2). Вогнутость вниз при у > О
и вогнутость вверх при у < 0. Асимптоты: </= ж и у= —ж.
1546. Область существования функции: г >0, |ф| ^а, где о=
«=arccos( j. Кривая замкнута. Симметрия
относительно полярной оси. Максимум г = а + 6 при ф = 0; краевой
минимум г= 0 при ф = ± о. 1547. Область существования;
п 2п . ^ 4я ^ ^ 5я .
О^ф^—: ^Ф^я, ^ф< . Функция г —
3 3 3 3
2я „
периодическая с периодом . Кривая замкнута и имеет
о
~ я 5я
три одинаковых лепестка. Оси симметрии: ф = —, ф=——
6 6
и ф = . Начало координат О (0, 0) — тройная точка.
При 0 ^ ф < — имеем: максимум г = а при ф = — и ми-
3 6
я
иимум г = 0 при ф = 0 и ф = —. 1548. Область существо-
о
ваиия функции: |ф| <—и <|ф|<—я, период .
6 2 6 3
2я
Минимум г = а при ф = 0 и ф = ± . Асимптоты: ф =
О
л я 5я .„.„ _
■■ ±—, ф = ±—иф=± . 1549. Спираль, имеющая
6 2 6
начало координат своей асимптотической точкой; г монотонно
убывает при возрастании ф. Асимптота ф = I. 1559. Область
д/5 j
существования г > «0,62. Краевой максимум ф =я
I—
при г = — ; минимумф = arccos— ж arc 75°30' npi

524 ответы
г = 2. Асимптота г cos <р = 1 при г -*■ + оо. 1551. Семейство
парабол с вершинами (1, а — 1) (минимумы). Точки
пересечения с осями координат (0, а) и (l =F Vl — я. О) (при а ^ 1).
Вогнутость вверх. 1552. Семейство гипербол при аф Он
прямая у = х при а — 0. Минимумы j/=2|a| при х=|а|
и максимумы I/= —2 | a | при х — — \а\ (афО). Асимптоты
у = х и х = 0. 1553. Семейство эллипсов при 0 < a < + оо;
семейство гипербол при — оо < a < 0; прямая 1/ — х при a =»
= 0. Все кривые семейств проходят через точки (—1, —1)
и (1, 1). При у > х имеем: 1) максимум у — Vl + а при х =»
= — , если a > 0; максимум I/ = —Vl + а ПРИ х =■
УИ-а
= ;—— , если —1 <а< 0; краевые минимумы у = =Fl
при х = т 1 (а ф 0); 2) вогнутость вниз. При у ^ х имеем:
1) минимум {/ = •— -\^1 + a при i= ■, если а >0}
д/l + a
Минимум у = Vl + а при х = ===-, если —1 < a < 0;
д/l + a
краевые максимумы)/ = =F 1 при х = zpl; 2) вогнутость вверх.
Асимптоты: у =(l + л/ — а)х и i/ = (1 — V — a) x при а<0.
1554. Семейство показательных кривых, если а¥=0; прямая (/=«
др
= 14 . если а = 0. Общая точка семейства (0, 1). Ми-
2
нимvмы у = (1 + 1п 2а) при х «= — In 2a, если a > 0;
2a a
!/ моиотоиио возрастает, если а ^ 0. Асимптота у = .
1555. Семейство кривых, проходящих через точку (0, 0) и име«
ющих в ней общее касание с прямой у — х. Максимум у =•
«■» ае~1 « 0,37а при х = а, если а > 0; минимум у = ое-1 при
* = а, если а < 0. Точка перегиба х = 2а, у= 2ае~2 « 0,27а.
Асимптота у = 0. 1558. . 1559. (т + л) X
(т + л)т+"
(атп ч—__
1 m+n # 15во. Основание системы логарифмов
ттпп J
не должно превышать е1,е да 1,445. 1561. Квадрат со стороной
VS*. 1562. Острые углы треугольника 30° и 60°. 1563. Высота

ответы 525
банки Н = 2 1 / —:—равна диаметру ее основания; полная
—i/Ч-'
з cos a + Vcos* о+8
поверхность Р = V 54лУ*. 1564. cos<j> =
4
где 2а — дуга сегмента и 2<р — дуга, стягиваемая стороной
прямоугольника. 1565, Стороны прямоугольника а -у/2
и 6 V2. 1566. Если Л > Ь, то периметр Р вписанного
прямоугольника с основанием х и высотой у имеет краевой,
максимум при у = Л; если Л < 6, то Р имеет краевой минимум
при у = 0; если ft = 6, то периметр Р постоянен. 1567. Ь =
d /2
= 1 h— d /\l— . 1568. Измерения параллелепипеда
Уз" V з
2/? 2/? „_Л_ 18вв. _*1_Л». 1570. яЛ*(1 +
Уз" Уз" V3 зд/з"
+ УВ") * 81 % поверхности шара. 1571. Объем конуса равен
2л
удвоенному объему шара. 1572.- — Р. 1573. Если tgo<
9 Уз
<—i то максимум полной поверхности цилиндра достигается
р
при г = , где г — радиус основания цилиндра.
2(l-tgo)
Если tgo >—, то при r=R имеем краевой максимум.
2
1574. рС/2— О Л/ 2+'2 . 1575. 1; 3. 1576. Если 6<
■ , то максимум длины хорды MB = , где с
с
V2
«= У а* — Ь* и точка Л1 имеет координаты х п у, достигается
о* . 2>з q
при х = ± Vе* — 26*; у •=• ——; если Ь> ——- , то
краевой максимум длины хорды MS = 26 достигается при х=0.
у = Ь. 1577. х=—2—, j/= ; аЬ, 1578. Минимум по-
Уг" л/7
3 / ЗУ
верхиости достигается при г = А = 1 / t где f — радиус
у 5л

526 ОТВЕТЫ
основания цилиндра и h — его высота. 1579. <р = 60е.
1580. Трапеция, описанная около окружности. Боковые
стороны АВ = CS = a sec* —. 1581. a = 2я Л/— * arc 294°,
где а — центральный угол оставшегося сектора. 1582. <р =
Q 4.0 .а
= arccos -1-, если arccos-*-^: arctg—; <р = arctg—, если
р р Ь Ь
Я ^ a •>.. | ар чр он | sin в „„.„ ...
arccos-2- < arctg —. 1583. — . 1584. AM=*
p b V"' + f' — 2«ucos6
( 3 /"Т~\~*
== a I 1 + 1/ —*- J . 1585. Расстояние светящейся точки
от центра большего шара равно х =• , если а >
>г+Яд/ и х=а —г, если r+R< a< r +
+ /?д/ . где а —расстояние между центрами шаров.
158»- —т=". 1587. (avi+b2'3)3'2. 1588. o~l/-£-' r»
^ — коэффициент пропорциональности. 1589. arctg к. 1590. При
/ <; 4а угол наклона стержня определяется из формулы cos a3
/+V**+128a»
= ; при /> 4а положения равновесия нет;
16а
1591. к = — 3; 6 = 3; у = 3 (1 — х). 1592. а - — e*°; ft —
2
-° е* (1 — х„); с = е* И — х„ + — J. 1593. а) Первый;
б) второй; в) второй. 1595. а) 'у/Т, (2, 2)',
б) 500 000, (150, 500 000) (приблизительно!). 1596. р(1 +
Н I . 1597. — — , где е= •
р / ab a
(е*х* — а*)3/2
—эксцентриситет эллипса. 1598. ♦ где
ab
• эксцентриситет гиперболы. 1599. 3|аху11/3.

1608
ОТВЕТЫ 527
аг
1600. —-— (1 — еа cos* <)3/2, где в — эксцентриситет эллипса.
о
, (Л л. ,'J\3/2
1601. 2 -у/2ау. 1602. at. 1604. —. . '•
\r* + 2r'1 — тт"\
1605. а* + 'V2 . 1606. г -y/T+W. 1607. — л/2аГ,
2ог+Л 3
a» /I In 2 \
1. —— . 1609. I ,— , —J. I6I0. jr0«680 м.
1611. Полукубическая парабола 27рт\* = 8 (§ — р)*.
1612. Астроида (а|)2/3+(&т))2/3 = с</3, где с* = а»-6я.
1613. Астроида (§+т|)2/3+ (g — Т|)2/3=2а2/3. 1614. Цепная
линия т| = a ch —. 1615. Логарифмическая спираль
а
р«-maem(*-я/2) . 1616. l = na+a(% — sim); т)=» — 2а +
+ а(1— cost), где x—t — n. 1617. х1=—2,602; х2 =
= 0,340; хя в 2,262. 1618. х1 = —0,724; х,= 1,221.
1619. х =2,087 = arc 119°35'. 1620. ±0,824. 1621. х, ~
«=» 0,472; х,= 9,999. 1622. xj~ 2,5062. 1623. X! = 4,730j
х,~7,853. 1624. х« —0,56715. 1625. х=± 1,199678.
1626. х,~ 4,493; х.~ 7,725; х,~ 10,904. 1627. хх = 2,0811
*, - 5,940.
ОТДЕЛ III
В ответах этого отдела ради краткости произвольная
аддитивная постоянная С опушена.
1628. 27х — 9х» + -|-*8 — х!. 1629. —-х»- 125r»-f
5 7 3
+ ЗОх» — ~-х* + 4" х1- 1630. х —Зха+—х9- —**.
3 7 о *
1 аа as
1631. х — 21п|х|. 1632. aln|x| — —- .
х х 2ха
2 __ 4 4 24 12
1633. —хл/Т + 2л/х . 1634. —хуПГ — -г-х /*• +
3 5 17
+Т^' 1635--1^г(,+Тх-Т*а+Тх4)'
4(*Ч
3/
1взв. 4<^+7> . ,637. 2х—^«/тгхГ + Л3/^.
^х 5 2
1638. 1п|х| —. 1639. х —arctgx. 1640. —х-\-
4х*
+ 4-'"1 1 + * 1- 1641. х+21п| *"'
2 1-х * | х+1

528
ОТВЕТЫ
1642. arcsin x + In (ж + Vl + ** )•
х+ Уж8 — 1
1643. In
4* . 6*
1644. И
In 4 In 6
х + У ** + 1
2 /IV, 1 /IV
1646. — <?2Х — е* 4- х. 1647
In 9
2
1648,
ж — cos ж-(-sin ж.
:. 2 V2~| — 1 + V2~sgn<- (cos— — cos t >» где t*=
— x — ctg ж.
■■ x — — (I ] — целая часть)
4
1649.
1650. — ж+tgx. 1651. achx+ftshx.
1653. x — cthx. 1655. \n\x + a\. 1656.
1652.
thx.
1657. -(1—Зж)4/3.
4
2
1659.
1661.
X ln
1664.
1658.
1660.
— (2* -3)4
2 ,
g-V2-5x .
15 (5ж— 2)3'2
V2 + жл/Т | .„„„ I . / /—\
vrarcs,4xVTj'
2V6
1663.
V2 — *V3 I
7==- ln | x УГ + УЗж2 —2 |
1665. — (e-* +
1666.
■ x sin 5a-
Уз
xctg^ + -^-)- l668- ^y
1670. -tg("^ £-)• 1671. -^-1сЬ(2*+1) + 5п(2ж_1)].
1672. 2th-4". 1673
1 1
— COS5X: 1667. X
5 2
1669. — ctg —.
1675.
1677.
1679.
1
(1 + xs)4/3.
— 2cth —. 1674. — Vl— хг \
2
1676. ln|3 — 2ж2|.
4
1 хг
— . 1678. —arctg -.
2(1 +хг) 4 6 2
1
8У2
=-lh
•У2-
1681. cos—.
X
ж4+л/2
1682.
1680. 2 arctg Уж .
I + VF+T
-ln

ОТВЕТЫ
52Э
1683.
1685.
— arcsin-
1
1*1
1684.
1686.
V*2 — 1
1687. 2sgnxln(VuT + V|l + *l)
1688. 2 arcsin V*"- '689. ~e~n-
1691. arctge*. 1692.
V*a+ i
Y3/8*3+27 .
(x(l + x)>0).
1690. In(2+e*).
•ln(e-*+ Vl + e"")- 1693. — In'x,
О
1
1694. In I In (In x)|. 1695. — fin'x.
6
1696.
Vc
1697. — In | cos x|. 1698. In |sin x|. 1699. — j x __sin g—
|7oo Va»sln»x+b»cos^_ (flV 6!)
1700.1.
1700.2. —j=— arcsin (V2~ sin x). 1700.5.
V2
1701.
I
-j=— In | V2 cos x + Vcos 2x j.
=— arcsin (V2~ sin x). 1700.5. —7==- X
VF
X In (V2 ch x+ Vch 2x ).
1 , (_ tgx
V2
4 4
— У ctg3 x
1702.
f-arc,g(~7f-)
1704. 1П|НТ + Т)Г
1706. 2 arctge*.
1707.
1705.
1
2 V2
1703. In
In
— In
/ ch2x
I vr
+ Vsh4x + ch*xV 1708. 3S/thx. 1709. —(erctgx)1.
1710.
1712.
X In
arcsin x
1
-VF^_rctg
x1 — x V2 + 1
1711.
X2— 1
yin3/2u+Viq^).
: V2
1713.
I
1714.
2V2
1
=-X
15 (x5 + 1)»
1715
1
x2+x V2 + 1
ln(xn+2/24-Vl + *n+2) при я Ф —2;
I 14-x
=^ln|x| при л= — 2. 1716. ln= !
0 4 1 — x
n + 2
1717. —/— arcsin
Л
34-23H3
1
V2-
(д/у sin*J- ,7|8- Yarcts(tg2^-

830
1710.
ОТВЕТЫ
1
2(1пЗ— In 2)
In I
3х-2х
Зх+2*
. 1720. 2 лЛ + Vl + х* .
1721. —х» !!-*» + -£-х'. 1721.1.
3 5 7
1722. — х — 2 In 11 — x|. 1723.-i-(l—x)»+ln|l + x|. 1724. 9x-
(!-«)" , (1-х)"
11 + 12 '
— ** + — *»-27 In |3+x|.
1726.
1
In
Л/2+;
V2 —x
1
+ 2 In 12—xa 1-х. 1727
1725. x+ln(l + x*).
1
99(1 —x)«»
49(1—x)w 97(1—x)«
+ x-ln|x+l|.
X* X* Xs
1728. — _4-_±-
5 4 3
1729. — [(x + l)3/* — (x — 1)V»J.
О
1730.
8+30x
375
(2 — бх)»/». 1731.
l+2x
10
(1 — 3x)V«,
1732. JL(l+ **)»/» L(i+JC«)4/s. паз. J_inlJ5—L
14 8 4 I x+3
...... 1 i I * — I
1734. — In
3 x + 2
1735. arctg x
1738.
1
10 V2
In
c —V2
c+V2
1
arctg ——-.
5VJf V3
1 , x
-—arctg——,
V2 -V2
1737.
Ы U + 3|S . 1738. JL In*' +1
(x+2)8
2
,739 2x + a+ft
2 x*+2* (a—6)*(x+a)(x+6)
In
x+a
1740.
1 /1 , x
1 — arctg— —
(a—ft)8- I x+6 | a8 — ft8 V 6 ft
Larctg—^ (|a|#|6|). 1741. — -sin2x. 1742. -i +
a a J 2 4 2
lxl 1
.4 sin2x. 1743. —cosa sin(2x + a). 1744. —sin2x—
T 4 2 4 T 4
1 ..
1746.
10
L sin 8x. 1745. 3 sin — + — sin —
16 6 5 6
Xcos(6jc + _£.) + 2.Cos(x + -^). .747.
1 3 1
Xcos'x. 1748. sinx sin'x. 1749. —x« sin2x +
3 8 4
-cosxH X
3

ОТВЕТЫ 831
1 3 11
+ ——sin4x. 1750. — х+ —sin2x -f —-sln4x.
32 о 4 o2
1751. — x—ctgx. 1752. — tg*x+ln|cosx|.
I753. --i-cos2x_ -|pos4x +-^-eoHta+ "~ X
1 1
X cos 8x + —— cos 12x. 1754. tg x — ctgjx. 1755. : 4-
192 sinx '
+1п|Чт + т)|- ,7se- -^r+lnltgJtI-
1757. ln|s!nx| — 4"Sln»x. 1758. tgx + -rtg»x.
2 3
1759. x-»ln(l + e*). 1760. x + 2arctge*. 1761. £- +
+ 4"Sh2x. 1762. —+ 4~sh2x. 1763. -r-sh*x.
4 2 4 3
1764. — sh 2x + 4" sh 4x. 176*. — (tb x + cth x).
4 о
,7ee- £г (9 + 12x + 14x») (1 — x)4/3.
140
1767. »+55x' (1_5^ц пв8# L. (32 + 8x+3x»)X
6 600 15
X ^2^7. 1769. — (8 + 4x* + 3x«) л/1-х* .
15
1770. — 6 + 25** (2 —5х»)»Л 1771 (- Lsin*x + —X
1000 43 7 11
X sln« x*\ VsfiFT. 1772. Lcos*x+— ln(l + cos*x).
J 2 2
1773. — tg*x + — tg»x. 1774. — (— 2+lnx)Vl + lnx .
3 5 3
1775. — x—2e-*/* +2 ln(l+ **/»). 1776. x — 21n(Vl + «*).
1777. (arctg V*")2- 1778. ■ . * ■. 1779. — V** —2 +
V1 — x* 2
-Mn|x+ V*2 —2 |. 1780. — Vl — x1 + — arcslnx.
2 2
1781. * 1782. — Vo* + x* + a arcsin -2-.
a»Va*+x» a
1783. to+JL yx(2e _ x) + за» arcsin л /— . 1784. 2 X
2 V 2a
34*

632 ОТВЕТЫ
X arcsin л/^±- . 1785. 2х~(а+6) V(*-*>)(*>-*) +
V Ь — а 4
+ (b-a)l arcsin д/-^- . IT8e.JLVJ?+7+-^-X
4 V *—в 2 2
X In (x + Va»+x»). 1787. — л/Ж+~& — In (х+ VeH^5").
2 2
1788. V** — в* — 2а In (л/х — а + V«+a), если х > а;
— У**—a2 -f 2a In (У —х+л+У —х —а), если x< — a.
1789. 2In (V* + « + V*+ 6), если x+a>0 и x+6>0;
— 2 In (У — x — a+У—x—*). если x+a<0 и х+6<0.
1790. 2x+a+b V(x+a)(x+fe) l±^°L\nM7+T +
4 4
+ V* + b), если х + а>0 и х+А>0. 1791. x(lnr-l).
1792. *"'*'* fin x —^ (пф — 1). 1793. - (In* x +
Л+1 V л+1 У x
+ 21nx+2). 1794. — х*/*(\п*х — !nx+—V 1795. — (x-f.
3 \ 3 9 /
+ l)e-*. 1796. £!!!_(*» + *+_LV 1797. -^r»1.
2x* 1 x
1798. x sin x + cos x. 1799. — cos 2x -\ sin 2x.
4 2
1800. xchx —sh*. 1801. (— + -HMsh3x — f— + —^X
X ch 3x. 1802. x arctg x In (I + x*). 1803. x arcsin x -*■
2
+ Vb^?.1804. — + l + x* arctgx. 1805. 2+** X
2 2 9
1+Л/Т=х»
/; 5 t ** ,.M arcsin x .
XV'-'M arccos x. 1806. In
3 x
1807. x In (x + УГ+**") - УПР**". 1808. x 1~**- X
2
X In 1 + X . 1809. —У7+ (1 + x) arctg У* . 1810. In Itg i-l —
1-х I 2|
— cosx-lntg*. 1811. — (x8— l)e*. 1812. x(arcsin*)*+ 2X
3
X Vl— «* arcsinx— 2x. 1813. -' + ** (arctgx)« — xarctgx-f.

ОТВЕТЫ
533
+— !n(l + x*). 1814. — -х*— - In 11 — x*|+ — lnl — I.
2 3 3 3 |l+x|
1815. Vl+«* In (*+ Vl+*8 ) - x. 1816. —
+
2(1+х*)
+ —arctgx. 1817. - ,
2 2a*(a!-fxa) 2a»
t x
arctg — (а Ф 0).
a
1818. — Va* — ** + —
arcsin —— {а Ф 0). 1819. — X
2 2 lal 2
1820. *&** + '*) X
X V*8+a +— lnU+ V**+ a |.
2 »
X V«* + *" — — ln(x+Va2-f x*). 1821. — — sin2x—
8 4 4
cos 2*
8
. 1822. 2(V*— 0e^x . 1823. 2(0—x)V* X
X cos V* — 6 (2 — x) sin V* <
1824.
1825.
(1 -f x)garctg»
2 Vl + *8
(1-Х) gTctgjt
2 V» + *'
1826. — [sin (In x) — cos (In x)].
2
«опт * i • /i . . ,i x, -««« a cos bx J- & sin 6x »,
1827. — (sin (in x) -f cos (In x)]. 1828. : e".
2 a^+ft»
18M asin&x-frcosfrx 1830 _f!l (2_sin2x_ cos 2x)#
a*+&! 8
1831. JL + -L sin 2x —e* (cos x + sin *)+—*» 1832. — x +
2 4 2
4 In (1 + e4*) — <r* arcctg (<?*). 1833. —|x + ctg xl n (e sin x)].
1834. x tg x + In | cos x |. 1835.
-OVD-
x+1
X arc
если а& < 0.
x—1
если ab>0; In
1836. ■ ._ 4
\ab
2*J — ab
Vm-*Vi*i
X In
1837.
1839.
2 . 2x — 1
arctg
3x+ 1
X In (x* + x + 1) +
Vf
1_
4V2
1_

Vain
arctg
Vf _'
x» - (V2 + 1)
x* + (V2 - 1)
2x-fl
J8IJ8. — X
4
1840.—X
2
-=^. 1841, — x
V3 2 *
Xln(x* — 2xcoso+ 1)+ctg a-arctg-—^0^L (афкл, к — це-
sin a

634
ОТВЕТЫ
1 1 Чх1 — I
лое). 1842. Л In (х* — *» + 2) -} ~- arctg - ,- -.
4 2 V7 \7
1843. — In {|х» + 11 (ха — 2)»}. 1844.—In
9 2
3 sin х —5 cos x
sin x — cos x
1843. arctg x
K+0
если 6>0;
V — b
■ arcs in
1846. ~ In (x -y/b + Va + 6x3),
in (xV"t)'
если ag>0 в
t<0. 1847. arcsin^ + 1
V2
1848. In x + JL-f V*2+x
2
1849. -JL In (x—- + Д/**— - *+l J • 1851. - V5 + *-*s +
4- — arcsin 2*~' . 1852. — In (* + — + V*8 + * + A +
2 V2T 2 V 2 /
1853.
1 4x*+3
7=- arcsin —7==-.
2 V2 Vl7
1853.1. arcsin 2smx~1. 1854. - In \x*-l+ л/x*-2x*-l\ +
3 2
j • 3 2** 1
+ -y*«-2**-l. 1855. Vl+**-**+—arcsin _.
2 2 4 V5
1856. — In',
I x + 2 + 2 У x» + * + 1
. 1857.
V«»+«-i
1 x — 2
4. f- arcsin
(L+J_>_VLy«858.
2 |x|V5 U 2 2 )
— 1
V2"
X
I-*+V2 (! + *') j m9 arcsin '-»._Q«|>
хЦ
1 + * | | x — 11V2
>V2"). I860. ± V^+2l=5- + _1_ afcsin _J±J_
о x+2 5^5 |x+2|V6
(I* + и > Ve). i86i. 2x7* V2+*-*2 +■ 4- >
X arcsin
2x —!
1862.
_Lln(_L +r+ V2^+x+x^ +
f 2**1 л/г + х+х» . 1863. J-LL^x*+2x*-l i-X
Xln |x»+l+V«* + 2*2-l I. 1864. - Vl + «-«2 +-~ X

ОТВЕТЫ
635
1 2х
Xarcsin : In
2+х+2л/1 + * — х*
I86S. In
V5
хг — 1 + л/х* + 1
1867. —In
2
5х« ,
х
(х+2)«
6
X In
28
(х+1)(х+3)*
Их5 21х« ■
0"±|<^)
186в. 1п|х—2|+1п|х + 5|.
х» х8 , Зх'
1868.
43х»
9
85х*
8
1
5
х— 1
(х+2)
1024
1869. х +
17lx +_ х
3 2 3
— ln|x| — In |х—21 +
6 2
+ -^-ln|x —3|
т 3
1870.
1
х А—— arctg х ■
3
8 . х
— arctg
3 2
1871. —
1
,2 . I х—1
Н In
3(х—1) 9 | х + 2
J In I х* — 1
^ 2
1874.
1875.
1873.
9x»+50x + 68
5x —6
x* — 3x + 2
1872.
+ 4 In
1
x+1
x—1
x—2
1
4(x+2)(x+3>» 8
3x2 + 3x — 2 . 3
In
(x+l)(x + 2)"
8(x-l)(x+l)>
x*+l
16
In
x+1
x— 1
(х + 3)П |
. 1876. arctg x-f-
+ —In
6 x* + 4
1877.
1 * . 1 . (x + 1)»
— arcctg x -4 In ——■——
2 4 x»+l
1878.
X In
1
x —2
•arctg (x —2). 1879.
8
1
1
5 (x — 1) 50
x
X
x* + 2x + 2
arctg
25
l + 2x
arctg (x+1). 1880. In
л/з~ V3
1 . 2x -1
+vr "cls "vT'
IM2. -Li, <'-"' +
6 x*+x+l
1881.
In
1 + x
(*+!)'
xJ —x+1
+
X In
+
x-1
V3
arctg
2x+l
V3"
x+1
1
arctg x. 1884.
2
1 , хл/2
—^ arctg - T
4л/2
In
1883. — *
х!+хл/2"+1 .
2 л/2
1-х»
,885. JLln^!±£±I
4 хг — x + 1
Xs—x д/2 +1
1
2д/3
X

536
X arctg
x'-l
xV3~
1886.
ОТВЕТЫ
1
In
1 + хл
/54.
X arctg x + arctg x*.
6
4V3
188?. —
X In
1 — x V3 + i
1
6(1 + *)
arctg
+
(' + *>'+_L_ardgx L
i-*+*s 2 зУз
1 , 2x—\
arctg
6
2x—1
1888. —In—l '—
6 x* + x + 1
Va
X In
x* + 2x + 2
Vi"
Vi"
1889.
хг + x + 1/2
1890. a + 26 + 3c = 0. 1891. —
x+1
4- arctg (x+ 1) \- arctg (2x + 1).
5 5
8(x-l)(x+l)2 + 16
X In
x— 1
1892.
1
(x + 1)*
2x—1
1894.
— arctg
зУз л/з"
1
3(x»+l)
1893.
+ -i-ln
9 x2 - x + 1
x(3x2+5)
x2 + 2x + 2
3 ,_ x* + x V2 + 1
16 V2
In
8 (x2 + 1)»
f arctg (x + 1). 1895.
3
arctg x.
1896.
5x-
3 (x* + x + 1)
x2 — x V2 + 1
-f- -L In
9
7x»—Ux
3- arctg
8V2
(x-1)2
4 (*•+!)_
xV2
x* + x + 1
+
x2-l
8
зУз
~ x
X arctg 2x + 1 . 1897.-
V3~ 32(*«-l)2
21
128
•In
x—1
x+1
-^X
64X
X arctg*. 1898.
x» + 2x
6(x4 + x*+l)
. 1899.
8s« + 8x2 + 4x—1
28(x3 + x+l)a
1900.
x& + x + 1
(весь интеграл!). 1901.
2x+l
\лД
arctg
2x+l
V3"
1902.
3(x2+x+l)
ay + ca = 266.
1903.
1
96 (x— 1)"
— П«
1
97 (x — l)1
1
99 (x — l)w
1905. l-zr arctg —^
4 V3 V3
1904. — In
8
x2 + l
1 (X — 1)»»
arctg x*.
1906.
12
■ In-
(**+!)'
x* — x2 + 1

ОТВЕТЫ 837
. 1 i 1 4 2х*—1 ,„_ 5 . х*
X arctg x3-] — arctg — . 1907. — In
2л/з Vi" 8 ** + 2
x* 1 / x5 . 1
In— . 1908. if* ,
1_ / x^_
00 V x10 —
X In
x4+l 100 V x10—10 2VT0"
*--4W W 1909. -*- + -Lln **+1
x5 + Vio" I/ 4 4 (** + 2)4
1910. il±^ L arctg (Xs + 1). 1911. —X
10 (x10 + 2x3 + 2) 10 n
X (xn - In I x" + 11) (n ¥= 0). 1912. — (arctg Xя —Л
2л \ xM+l J
(пфО). 1913. — In———. 1914. ! h—X
20 xl0 + 2 I0(x™+1) 10
x10 1 Ix'l 1
X In— .. 1915. —In '* '. . 1916. -1- X
X In
x,u + 1 7 (1 + x')J 5
x (x* — 5)
xs — 5x + 1
1 xa — 1 1
1917.—-—arctg- ± . 1918. —-^-X.
xln2x^+(l-V5-)x + 2 ^ 191fl _^lnx«-x»V2+lt
2xa+(l +л/5)х + 2 4л/2 х4+х2л/2+1
1920. arctg x+— arctg xs. 1921. /„= 2ax + b
3 (л—1) Л (ax2+6x+c)"-i
, 2л — 3 2a , . . ... 2x +1 .
• ln-u где Л = 4ac — 6*; /, = ———■ — 4
л — 1 Д 6(хЧ-х+1)»
2х+1 , 4 , 2х+1
! 1 arctg ■—
з (*' + *+D 3Vi" Vs
, 2х + 1 , 4 . 2х +1 ,000
-1 ! 1 arctg ■—. 1922.
. ' г (1-У^д. JLf-.-L+af-Jg.-.
(6-a)m+n-i J tm 625 V 1 2
.31Щ/Л.Г* Ы^=±. 1923.-У , P"(a) k +
J x + 3 L, k\ (n-k) (x-a)"-* T
P<n"> (a)
/il
ln|x — a|. 1924. К(х) = Р(х*) +
+ VV Г dii 1 M 1 где Р — многочлен.
tfc Oj((=l, .... k) — корни знаненателя и Л,/ —постоянные

638 ОТВЕТЫ
я (2ft - 1)
коэффициенты. 1S25.
-—У
2л Li
cos
2л
In
Л— 2*Х
~ 2А—1 . Л . 1 ЧГ1 . я (2ft— 1)
К COS — Я + хЧ-j > Ьш i i-X
2л / л ij 2я
X «rctg ■
2ft —1
X — COS Я
2я
. 2ft — 1
sin я
2л
1926. 2 У* — 2 In (l + Ух).
1927. — In Х-^- 2— х
4 /. . 6/— \2Л ву- , „гг—"\з
X arctg
(,+Vl)2(i-6/F+23/7)3 2Vr
4 V* — 1 .»„„ 3 ,„ 3 ,. 3 ,_ 15
Xln«« + <+2)-
1928. — /* —(* —ln|/— 1|+ — X
4 2 4 8
27
rctg 2t+_l , t = V2 + x .1929. 6/ —
8л/7~ Ф
>-W — 2P+ — t* + — t* — r* + 31n(l+r2) — 6 arctg 1,
2 5 7
e
где f =/*+! . 1930.
4 x1
- . 1931. —
\2 . . \r— 2
(l+4/*)2 l+4/7
/**—1 tl,|. /T-ri ,no„ 3 I f x+\
In x+V*2—1 • 1932. 1/ —-— .
2 '2 2 V x-l
1 + r V2 + <!
1933. __^L_ + _f_i„
X arctg
1-r*
V^
4V2
. где<=1/
+ —=4т
1 — t V2 + <* 2 V2
л
a —x
1934.
a —ft
X
x i/ JL-- • i93s- —+v* ——v*<i+*» -4"x
у х-а 2 2 2
Xln(V*+VTT^)- 1937. 3~2* лЛ+* + *а j-X
4 8

ОТВЕТЫ
639
1939. 2~* V— **• 1М0. Я + 1п(х + 1 + Я)—У"2 X
3(1-*)*
xln
х
, где R =* V'8 + 2х + 2.
1941.
• 1+2х ■ i„
arcsin ~ г |п
V5
х Vl+x-x»
З + х + 2 Vl—х —х2
11
• arcsin ■
1 + х
1—2х
X Vl +2х —х2 —4arcsin
1-х
V2"
1943.
1 Or
1942. - — X
4
19+5х+2ха ,.
. 1944.
/ 63
I 256
21
128
■*+
JL.»—Lii+J^vr+T-
io /
160
194S.
80 ' 10
!*х а*х*
-^-ln(x+VTT^"),
zoo
X
arcsin
16 \а\
\ 16 24 Т 6 J 16
1946. (— Х—+зЛ VxJ+4x+3 —66 In I x+2+V*s+4x+3 |>
1947. Lyijr+T + J-ln
2x» 2 |x|
X Vxa— 1. 1949.
1 ln 1+Vx»+1
2
3x —5
1948.-2^5У±Х
3x»
20 (x — 1)*
У x* + 3x + 1
11
X In
(x + 1) Уб + 2 Vx» + 3x -f 1
x—1
1950.
40 У 5
3x + 5
8 (*+!)'
X
——— ч 1
X V*a + 2x arcsin , где х < — 2 или x > 0.
8 l*+H
1951. Aa(cai+bb1)=Ba2c1+3bia1(a^0). 1952. - ~Т *~*
2 ( 1 — X)
V2
X arcsin-
1954.
+ TIn
■=- ln
x —3
V2 + Vl +2x —x"
1-х
1
1953.
1*-1|V5
In
3x + 1 — 2 Vx" — x — 1
*+l
V<?+T +in(x + -f+V^F7TT)^
1 — x + 2 Vx» + x + 1
*+l
1955.
1+*
X Vl + 2x — x2 — 2 arcsin 7=^ 7=- arcsin JlVi
V2 V2 ll+x
V2"
l»+*l

540
1956.
(*<1 или *>3).
1
ОТВЕТЫ
V** — 4у + 3
1958.
1959.
2л/2
In
x—l
1957.
x л/2-мЛ* — 1
2 arcs in
1
==— arctg
|у-2|
x л/2
:V2 — V*2—1
VT=l
1
2 л/1 + у* 4 л/2
In
V1 + Уг + у л/2
лЛ +Уа — У л/2
I960. In (у + Vy'4-2) — arctg
л/у* + 2
1961.
Xln
arcs in
(2у+1)л/2 + V3(y*-f у— О
л/б
^-x
(2у+1)л/2 —л/3(уа + У—1)
у—1
1962.
Vr
л/2 х л/2 + 2у — у2
—— arctg
1
л/Г+л/2 + 2у-Уг
Xln — ;
л/б — л/2 + 2у — у4
1964. —— arctg
Л/2
(1— у) л/2 л/6
2(у-1)
1963
л/уМ-у+1
Зл/у2 + у+1
X In
(у-1)л/2
(у + 1) л/2~ - л/3 (у» + у + 1)
+
1
л/уа — у + 1
1965.
л/б
1
— X
■^^х
6 л/2
л/2у2 — 2у + 5
X in V2(2^-2y-f5)-iy±ij _.
V2(2y2 —2у + 5) +(у+1) 3 х+{
1966.
1
2(2z+l) 2
1967.
In
где г = у +
+ л/у2 + у+1 •
1 + Vl—2у —*2
|2z+lp
. I «—1 I
In — 2 arctg z, где
f =
1968.
1 {у [(*-')'+
8
+ (* - I)"3] + К* - 1)*- (z - I)"*] + [(z - I) + (z -
H In I z— 11, где z = у + л/у2 — 2у + 2 .
5 1.3
1969. — - — r--—lnlz— II
l)"1) }
+
18(z+l) 6(z+l)*
16
-— lo|«-2|.
17
108
In | z + 11, где z
_ л/у2 + Зу+2

ОТВЕТЫ
541
1970.
2(3-4г)
5(1—г —г*)
+
где г= — х+ Ух(1+х)
5V5"
1971.
In
УГ+1 +22
У5~-1-2г
(Vx*+1 +
+ Ух* - 1 ) + — In
4
х + Ух* + 1
: + У*а — 1
3/
X arctg
{/12 \
г Уз + ^12г» +1
гУГ —J/T2F+ 1
1972.
-2 X
i-vr-
J/J2?" "\
г л/Т— 1
УП^Гх
где г =
1 + х
1-х
1973. У1+Х-
==— arcsin x. 1974. V1 + *+** + — X
X In-
V2
l+2x+2 Vl + x+x»
(2 + x + 2 УГТ*Т^")2
1975.
~ ll*+0*4
0
X arcsin -
:У2
x2+l
1977.
У2"
ln
l97e- ~~WX
хУГ+Ух«+1
x»-l
(|x|>VV2 -1 ).
1 x*—1
1978. —— arcsin —-—;=
2 x* У2
10,0 > ln *»(2*'+1+2Ух« + х»+Г)
1979. —— ln
x V(* + **)3
x* + 2 + 2 Ух* + х*+1
1 + 2x . 1 . _
—^ Ух + х» +— 1п(Ух +
1981. — X
+ У1 + x ) при х>0.
1982.
.x5/6_4jc1/2+18jc1/6 +
,1/6
+ —3X ю -21 arctgxwe. 1983. -|- г» - 2г» + Зг. где
г = л/Т+У^. 1984. _г + -|-г3- —-. где г= УТ=^".
1985.
где г =
1 . г» + г+1
~Г" "I : Z
6 (г-1)*
1
vr
arctg
/l + x3
1986. —- ln ,
4 I г—1
2г+1
vr
г+1 !

542
ОТВЕТЫ
——arctg г, где г =
х 6 г+1
+
12
In
"*" 2л/Г
г» — г+ 1
arctg
г*-1
г V3
где г = /1 + х*
1988.
1 +
—Г.п
X
(*+1)*
1989.
Зг
где
2(г*+1)
л/з
-г+1
"arctg~^T"
где
г =
УъГ-
а—
1990.
2 1
1991. sinx —-sin*x + —-sin'x.
3 о
3 1
К sin2x + —— sin4x + — sin»2x.
64 48
где k
1992.
1993.
= ± 1. ± 2, . . .
5 1
5 1
~ZT*+ — X
16 4
Xsin2x + —— sin4x
64
—— sin* 2x. 1994
sin 4x
48
sin' 2x
48
1995.
sin*x
16
2 sin* x
64
sin* x
+
1996.
cos 2*
cos* 2x
cos* 2x
1
cosx
1999.
64
1998.
cosx
96
2sin*x
•cosx
-lnltg-^
2 6 2
320
cos*x
1997.
1
3cos*x
2 sin* x
2000.
-f Inltg-J-
2 I 2
sinx
2 cos* x
■ +
+ "2"ln|te("2"+~"4")|' mi' ~8ct22jc--fCtg32x-
tg*x . 3tg*x ctg*x
2002.
2003.
+ 3ln|tgx|.
1
1
cosx
tg'x
2
ctg*x
3 cos* x
■In |cos x|.
— ctg x. 2006
fin
8 2
2005.
tg'x
2004.
— x
tg«x
4
ctg*x
2007. —2 Vctgx-f

ОТВЕТЫ 643
3 _ 4 I (1— 03(1— <*)
л/з
atctg —- f где t = /sin
2 /л/3
x.
1 г' + гУ» +1 1 . гуТ
2009. rz~ In — ;=- arctg —-—— »
2V2 га — гУ2 +1 V2 г_!
,« ,_ут^. »,.. -L,„_£±12_+jfLx
X arctg j=—» где z = /tgT. 2011. /„=»
cosxsin"-'x . n — 1 sin x cos""1* ,
= —■ 1 In-t', лп = r
i я — 1 , 1 , . 5
H л n-2» '*=• — Т" cos x sin5 х — ——• cos x sins x —
n 6 24
e с 17
—ie"cos *sin * + 1i"x; *• = T"sin *cos? * + IT *
35 35 35
X sin x cos» x + -jf^-sin x cos8 x +~^" sin * cos * + ~fif *•
cosx . я—2 ,
2012. /« = - —: ,. . „_. -! — /»-,!
(n—l)sinnix n—1
sinx n-2 .
*п== («-l)cos^x + я-1 *"-•• /t_
cosx 3 cos x 1 3 I x I sin x .
, 5 sinx . 5 sin* . 5 . I. /x . я\|
H In tgl I .
24 cos4 x 16 cos» x 16 I в Ч 2 4 /I
2013. — cos4x — cos6x. 2014. h '
8 12 4 8
sin4x . sin6x «... 3 x 3 5x
•\ — . 2015. ——cos-:: rr-cos1
16 24 2 6 10 6
3 7x . 3 1U 1
Й" C°S ~6~ "и" C°S ~6~ ' -cos(a-6)>C
1 1
X cos x — — cos (x + a + 6) + —- cos (3x + a + 6),
2017 * I sin2gx sin2frx sin 2 (a — b)x .
4 8a "1~ &b "1~ 16(a-6) "**

544
sin 2 (a + b) x
16 (a + b)
ОТВЕТЫ
2018. —
3 3
— cos 2x + — cos 4x +
10 04
, 1
-r ~rr cos 6x
48
X In
8020. -
2021.
2022.
Xln
X In
128
sin(x + b)
sin (x + a)
1
3 1
cos 8x + -nr- cos I2x. 2019.
1
cos (a — b)
2
sin (a — b)
In
In I
192 sin (a — b)
» если sin (a — b) Ф 0.
sin(x+ b)
X
In
cos (x + b)
I cos (x + b)
cos a
cos(x + a)
x — a
если cos (a — b) Ф 0.
» если sin (a — Ь)ф0.
cos ■
x + a
(cosa#0). 2023.
1
sin a
X
cos
x — a
cos-
x-)- a
2
cos x
(sina#0). 2024.
x + cfg a X
X
arctg.
cos (x + a) I
3tgf+ 1
(sin а Ф 0). 2025.
wx
V5"
2026. -L in (l-cosx)(2 + cosx)»
6 (1 + cos x)3
1 4 I / x ,
8027. — (2 sin x -j- cos x) + ,— In tg I —- +■
5 5 *yo I \ 2
. arct?2 \| „„„„ v 2
J- 2028' a) vrr? x
2
X arctg
(V4^ -f )•
если 0^;e<lj
6)
1
In I
e + cos x + Ve" — 1 sin x
VeJ — 1 | 1 + 6 cos x
1
8029. x -j=- arctg (V2 tg x).
61ч b ) (агг2 + 62)
Xarct
2030,
1
» если e > 1.
1
ab
X
arctg
2a6» B b

ОТВЕТЫ
(а6#0). где z = tgx. 2032.
545.
(sin х — cos x) —•
» ,„ I tg ( -£- + -^1.2033. «f .
V2 I V 2 8/| а (а sin x + b cos *)
:os x — sin x \
■yjz sin x )
2034. --Lln(sin* + C0S*)2
6 1—sin x cos x
tg2*
7farctg (
2035.
V2
arctg
№■ »T{VTFVr-<
X arctg
V* + 2 V2
если u = tg 2x-
— V2 —V2 arctg
1
V4-2V2 I*
1 . V2~— sin2x
Г 'n "^T '
2V2 V2+sin2x
2038. — arctg (sin2 x). 2039. arctg (- tg 2xY 2040.
2 B 8 V2 B J 4(zaH
2037.
2+2)
7=- arctg —^=- , где г = tg x.
4 V2 V2
2041
1
x'"141+1)1
где cos <p =
Va! + 6г
V«a + &a
6
Hs»n<p =
X
2043.
x
T
Va2 + 62 *
•ln|sinx + 2cosx|. 2043.1. 0,lx+0,3 In |sinx—
-3cosx|. 2044. —+ —rn|5sinx+3cosx|. 2045. —abl °l6X
1 34 34 aa+62
1
asinx+ftcosx (аг + 6г)3/г
a 6
Vaa+6J
и sin <p =
In tg Г (- — I , где cos <p=
I \2 2 )\
2047. —JL+J-x
Vaa + 62 5 5
6 5t8-f-+1
X In I sin x—2 cos x+31 arctg . 2048. —
5 2 2
Ltg Г— —") Lin (V2" + sinx+ cosx). 2049. — x
2 \ 2 8 / 2 о
V7+V3^2tgi-A
1 4
■ In I 3 sin x+4 cos x—2 | + ——
s 5V21
2051.
35-2383
-sin x
V7-V3^2tg?-A
+ 3cosx+2 V2"ln|tg(— -f — \\. 2052. —X
I 42 8Л 5

546
ОТВЕТЫ
X(slnx + 3cosx) +
8
■ In
5 л/5
1 ._ 2 + sinx
л/5 -l + 2tg-
V5 + l-2tg-i
2
2054. —X
л/з
, / cos x \ 1 , 2 +
— 2 cos x) 4
In
sin x
л/б + 2 sin x + cos x
2055. — arctg (sin x—
5
Юл/б л/б — 2sinx —cosx
2050.
4 V2
Xln
2058.
л/2 (sinx+cosx)+ 1
л/2 (sin x + cos x) — 1
2 sin x — cos x
J , |л/3 + л/2 (sin x—cos x)
4 л/б" |л/3 — л/2 (sin x—cos x)
1 ■ I. / x . arctg 2
2059. Л = _
10 (sin x + 2 cos x)» 10 л/5
b
- In I tg f
5 I 4
(„_l)(a»_6»)
n —2
, B =
2 2
(2я —3)a
<n-l)(a*-6!) '
C =
(n_l)(a*_6«)
2060.
Vf
ln
л/2 +Vl + sin*x
| cos x |
2061.
2Vtgx —
,n tgx+V2tgx+l + 1
2 л/2 tgx—V2tgx+1 л/2
( sin x — cos x ^
I V? J"
x arctg-^if. (tg x > 0). 2062. ± arcsin ( -JiH£rLc°s *
tgx— 1 2 V л/3
esinx
n cos a
X I cos •
— In (sin x + cos x -4- л/2 + sin 2x ) . 2083. —
2 (1— e*)(l+ecosx)
H ? arctg [ д /LU tg — ) . 2064.
^ (l_e*)"/* 4 V 1+e 2 /
(cos * + a Y (sin * ~~ " V" (cos а Ф0). 2065. /„ = 2/„_, X
. i 2 sin a ,„_, _ ., x — a
X cos a — /„_2 4 /" ', где n > 2 и / = sin x
X(„„_£±£.Y\" 2068. ^J!_J2L + JL__L\
4 2; V 3 3 9 27 J
2069. — e-*(x!+2). 2070. — f— —
V 5 25
— 1 cos 5* -H
5 /
+
("
12x2
24
■)-
5 125 3125
- (20x — 4xs) cos x . 2072.
625
sin5x. 2071. (21 — 10xs+x»)sinA-
(х'+Зх'+бх^ + б).
2073.
2«'(/5— 5P+20P — 60/2 + 120/— 120), где /=л/х.

ОТВЕТЫ 547
»74. M-L+ «««2ftx + 2ftsin2ftx-l ^ _£_
L 2a 2(as+46«) J 4
Г 3(asinftx — ft cos bx) asin3ftx — 3ft cos 3ftx "| ^. e*
L a*+*s aJ + 96» J" 'Iх
X [x (sin x — cos x) + cos xj. 2077. [x*(sin x + cos x) — 2xX
2
X sin x + (sin x — cos x)\. 2078. e* [f-Zli f_ (2sin2x +
L 2 10
+ cos2x) -\ L (4sin2x —3cos2x)l. 2079. — x* + — x* +
50 J 4 4
+ 3x2 cos x — x Гб sin x H sin 2x J —J 5 cos x -) cos2x^ —
-— cos'x. 2080. —+—V«"sin(2 V«) +— cos(2V«).
3 2 2 4
2082. x + ! ln(l+e*). 2083. e*—ln(l + e*).
1 + e*
2084. - + _L |n|ex_i|+ _L ln(e*+2). 2085. x-
2 3 6
—3In{(1 + «*/«)Vl + e*/»} — 3arctge*/*. 2086. x +
8
+ -^-+. • . + , ""... =0. 2093. e*(l--±-\
1+e*/*
2087. — 2 arcsin (в"*/1). 2088. In (в* + л/е" — 1) + arcsin (в"*).
2089. Ve" + 4e* — 1 +2 1n(e* + 2+ V«" + 4e* - 1) -
__ arcsin <2^~} . 2090. er* (л/Г+ё* — VT^e*) -f-
e*V5 2
,_L.n (УТТ?-00-УГ^) 2092. fll+Jl.+
4 (Vl + e* + l)(l + Vl-ex) "
21 • ' (n_l)!
2094. — e~* — li (e-x). 2095. e* li (e*-*) — в2 li (e»"2).
2096. —-—. 2097. *!L(x*+3x+— ^—\ + 64e*X
x+ 1 2 V 2 * —2/
X li («**-«). 2098. x [In" x — n In"'1 x + /1 (n — 1) In""» x + . . . +
+(—l)n-ln(n—l). . .21nx+( — 1)»лЦ. 2099. — fln»x —
L\n»x + ±.\nx L.V 2100. !_(ln3x-f.
4 8 32 ) 2x! V
, _L in»* -f -L lnx+ —V 2101. ln(x + a)ln(x+6).
^2 2 4 /
3102. xln* (x + Vl + «*) — 2 УТТ**" In (x + Vl + **) + 2*.
35*

548 ответы
2103. + х In (VT^T + VT+7) + — arcsin x.
2 2
2104. —== lnU+VrTT*). 2105. - + —X
■y/l+x* 2 2
X ln<x» + 2x + 2) + — arctg(x + 1). 2106. £-4--Lx
_ 2 3 3
X In (1 + x) + 2* "V*- arctg V«" • 2107. L±_L угТ^х»-h
3 4
-f 2*'~3 arcsin (1-х). 2108. — л/7^1!*+(х Цх
4 2 \ 2 /
X arcsin V*. 2100. !i"JL yx» _ i + Jf!_ arccos — .
2 2 x
2 V« «... xarccos x
2110. 2 J1 — V* I +(> + «) arcsin iy . 2111. -=^ —
1+x VI — *s
-InVl^?. 2112. -P^-+J-ln-^±iL. 2113.x-
Vl - x! 2 1-х
— arctg x + f l + X arctg x -) [In (1 + x») - 1]. 2114. x-
— In 1 + * . 2115. —In Vl + «*
x*
- ' " ' " ■ " x
2 1-х V» + «*
X In x+(VTT^ 2110.--£- + _£>!!£_. 2117.-^-4 Sh2*
8 32 8 4
+ -i!li*-. 2118. -^1^-chx. 2119. ch6* ch4x
32 3 24 16
ch2x
. 2120. Inchx. 2121. x — cthx. 2122. 0.5(ln(e« +
8
+ Ve" — 1) + arcsin (<•-")]. 2123. —%=■ arctg 3-V (2 th — +
V3 4 2
+ l). 2123.1. —U arctg lh<~2 . 2123.2. " X
f 3thJL\
Xarctgl — I. 2123.3. _ —x — JL\n|3shx — 4chxt.
„,„. achaxsinftx—ftshaxcosftx „,„. achaxcosbx+ftshoxsinftx
2124. ■ 2125. . ————— .
aa+6« a*+b*
2126. !_ + -I_ Larctgx. 2127.i. x+*" LX
5x5 3xs x 8 (1-х8)» 16
x,„|i±U 2128. _^_1п > + *УзЧх* l_x
I "l — * I 4 V3 1 — x V3 + x» 2 V3

ОТВЕТЫ 549
2129. 2л/*-3^*"+6^Т-61п(в/7 +
+ l)(x>0). 2130. — (15 + Юх + 8x») V* (1 - *) +
24
X arctg
1-х»
xV§"
H arcsinV* (0<x< 1).
8
2131.
± Vi"^r-
_ln 1 + <Vl — {| x| < 1). 2132. —Vl—*V* (*>0).
2133. — (8 — 4x» + 3x«) V Г+**". 2134. — In (1+г)*
15 -r # v -r 2 l-jj+г»
— Уз~ arctg ^=— , где г
УЗ
-V^--
2136. - In
3
X arccos
x»+l
x» У 2
2 + *» + 2Vl+*» + ** 1
x» Г
2 + x* 2
2136. — X
2
2137.
Vl— «* —2X
Xarcsinxflx|<l). 2138. -(1+*)»+ -+2* V* + *' +
2 4
+ lln x+— +Ух+*г|(*>0;х<~1). 2139.— ln0+*+**) _
-_Lln ('+*>' + Уз arctg -L±3L.
2 l + x+x« ^ Л/Г
V3"
2140.
2x+21
X
X V — x* + 3x — 2 + f x» + 3x —\ arccos (2x—3) (1<x<2)
2141. — x»+ -^- In (4 + x*) +2 arctg -=- . 2142.
2 2
- Vb^Lv
X
X arcsinx + — (arcsin x)s + In |x| (0<|x|<l). 2143. (l+
2
4- Vl + *s) In (1 + Vr+x») — Vl + ** • 2144. —~tl- x
з з V*'+i +i
<|x|>l). 2145. /3-х
(IzJL _ ,„ 5__ \ VT^?" —i
Tx
X arcsin x — In
1+Vl
(0<x<l). 2146.
cosx
3 (2+sin x)

550
ОТВЕТЫ
4 . 2'6T+1
— arctg
X In
X In
зл/з " л/з
7 + 4 V2~ + cos 4x
7 — 4 VJT — cos 4x
л/2 + Vl + cosx
2147.
1
2148.
V2
1

Videos X
2V2
V2 — Vl +cosx
a — b
2
a + ft
(arctg x)*.
x—1
2149. alx arctg x - In (x» + 1)1 —
2180. afxlnl *~~! 1— ln|x' — \\) +
\ \ x+l \ J
In»
x+l
2151.
ln-
2(1+x») ' 4 1+x*
(x>0). 2152. Vb-hx*" arctg x—In (x + Vl+x*). 2153.
— In (cos»x + Vl+cos4x). nt" 6x +— 2 + X*
2154.
X Vl— ** erccosx (|x|<l). 2155. - (x ^x
X arctg x + — (arctg *)» + — In (1+x2). 2156.
2 3
1-х»
4(1 + **)
arctg x.
4 d+x»)
1
2J57 ln(x+Vl+x»)
2(1-x») 4^2
X In
Vr+x5" — x V2
Vl+x» +«V2
^(IxKl). 2158.
X» . X /T-
x* X
1 X Xs 1
X ascsin x-\ (arcsinx)» (|x|< 1). 2159. 1 1 x
4 4 12 4
X (1 +*»)* arctg x. 2160. Xх (x>0). 2161. x — e~x arcsin (e*)—
-ln(l+Vl—«") (*<0). 2162. x—ln(l +ex)—2e-x/2X
X arctg e"2 — (arctg e"2)2. 2163. ^- [x - In (1 +
4
<r* /. . ,t-. ;.. .4 , 1
+ e*chl)] —
4shl
. 2164. —21n(tgx+Vl+th*x) +
V2"
xm V'+th'«+yyth^ Ш5 ^^jl 21W jlIxL
Vl + th»x — V2 thx 2 2
2167.
-*i£L. 2ie8. J^(,+ |x|). 2169. J!±Sil±£L
3 3 2
(l-x)|l-x|
. 2170. e*— 1. если х<0; 1— e"
еслв

ОТВЕТЫ 551
Xs 2
х>0 2171. х, если |х1<1; 1 sgn x, если |х|>1.
3 о
2172. -J + Y ((*) J-) f1 ~ 2 (х) ~Т ) ' ГАв (Х) = Х_1Х]*
2173 -И-{(х] —(—l)Wcosnx}. 2174.x — при|х|<1;
я 3
х 1
х 1 х| ^ sgn х при |х| > 1. 2175. х, если — оо<х<0;
— + х, если 0<х<1; х*4—!-,еслих>1. 2176. xf (x) —
2 2
— /■(*)■ 2177. —/(2х). 2178. / (х) = 2 V* • 2179.x — .
2 2
2180. / (х) = х при — оо < х < 0; / (х) = е* — 1 при 0 < х <
< +оо.
ОТДЕЛ IV
2181. 12 — . 2182. a) S„ = 16-! IZL+J^IL, Ta =
2 — 4 2n 4n2
п—1
= 16_L+_LZi+-!?5 6)Sn = _L > A/^_, s-n
л
1=1
ГТ . c 10 230 w-
А/7' в)^= „(2'»/«-.) ' Sn_
10/fl Пг-
10230-2/ 2,83. S.-81. /2"-« • -У-
«(2,0/"-l) -"■ 732-. 5
2184. o074—-£Г». 2185. 3. 2186. a~* . 2187. 1.
2 In a
1 1 ftm+i_am+i , ft
2188. sin x. 2189. . 2190.— - . 2191. In— .
a b m+1 a
2192. a) 0, если | a | <j 1; 6) nlna2, если i<x| > 1.
2193.4. b ~ " If {a) — / (6)]. 2201. Вообще говоря нет.
2203. He обязательно. 2206. 11 —. 2207. 2. 2208. —.
4 6
2209. —. 2210. 1. 2211. 1. 2212.
3 2 sin a
2213. 2" . 2214. —L_ In '+V^ . 2215.
Vl—e» л/аЬ 1 —Va6 2lfl6l

552 ответы
2216. а) Подынтегральная функция — и ее первообразная
х
1п | х | разрывны в промежутке интеграции [—1,1]; б) функция
— arctg (—-—|, играющая роль первообразной, разрывна
У2 W2 /
при 0 ^ х ^ 2я; в) функция arctg — разрывна при х = 0.
х
2217. — . 2218. 200 л/2. 2219. — . 2220. In 2. 2221. — .
3 2 4
2222. —. 2223. 1- . 2224. — (2 л/2 — l). 2225. — .
п р+1 3 е
2226 1 Г f (X) dx. 2227. —я. 2228. —^. 2229. х+
Ь — a I 6 V3
Ц . 2230. —— . 2231.0; — sina»; sin b*. 2232. а) 2х УТ+х1*;
2 In 2
Ъхг 2х
б) ——■== ==^—-; в) (sin х — cos х) ■ cos (я sin2 х).
л/l+x" л/l + x»
2233. а) 1; б) —; в) 0. 2233.1. А. 2235. 1. 2237. а)—;
4 6
«)—. 2238. а) - -, если о<0; - - + —, если
2 3 2 3 2 3
0<а<1; , если о> 1; б) — , если |а| <; 1; " .
2 3 2 2а»
9
если |о|>1; в) 2, если |а| <; 1; , если |а|>1.
|а|
1 е
2239. In . 2240. я. 2241. 4я. 2242. 2
2 2
2243. 1. 2244. ~ —Ф~. 2245. -L. 2246. ™*
('-)■
6 16
М47. _L_ 1„ Л+l^L . 2248. 2 _ JL. 2249,
Vf 7 " 2 ' 4
2250. -—— 2251. а) Обратная функция *= ± /3/^ двузначна;
V2
б) функция jc = 1// разрывна при t = 0; в) не существует
однозначной непрерывной ветви функции х = Arctg t,
определенной на конечном сегменте и пробегающей значения от 0 до я-
2252. Нет. 2253. Можно, 2250. I (х + Ь) — t (x -f a).

ответы 553
3 г
2260. — е5/2. 2261. 1 [f (arcsin t) — f (я — arcsin t)] dt +
2 о
+ f [/(2я+ arcsin t) — f (я-arcsin fl] dt. 2262. 4л. 2263. *_.
-I 4
49 1 1
2264. arctg -££- — 2я. 2268. 315-!-. 2269. —ln3 —
27 26 2
- . 2270. —es — — . 2271. -66 —. 2272.- — .
2Л/3~ 27 ^ ? 3
2273. -^-. 2274. — я—V3. 2275. 2я (—X- ^V
270 3 U 2V2J
2276. 2nV2" 22Л. — . 2278. — . 2279. J-(e"_i).
6 6 4 5
2280. -Lln2—**-. 2281. ,„ = J?*Zli>!L . JL , если „ ^
8 1024 (2*)!! 2
B2t; /„ = ^^ , если л = 2*+1. 2282. См. 2281.
(2k + 1)11
-«-^[t-O-t+t—-+-&)]•
2284. 2"* ^—. 2285. Cm. 2281. 2286. /„= -^ 1T^_
(2л + 1)1 (m+l)n+l
. /n=(_i)»|_inV2"+Y[l—j-+- •+(~I)""1~]1-
я (2w)l (2л)1
22m+2«+1mln!(m + n)I
n нечетное. 2292. (—1)"я. 2293. —. 2294. -2- sin —
2" 2" 2
[n-l
C2n + 2 У Cjn >
fc=o
2287
2290. я (2w)l (2л)1 ^ 229I Q> еслн я четное. „ есл||
1
2л — 2A)S I
2298.
.. -2-(-l)-i. 2299. ("«-1)1 (я-1)1
а2 + (2 л — 2fc)s J 4я (m+л—1)!
2302. В точках разрыва функции f (x) производная F' (*)
может как существовать, так и не существовать. 2303. \х\-{-С.
2304. arccos (cos x) + С. 2305. х [х] — ^ ^ "*" ^ + С.
азов. .ЛИ__И(М + 1)(2И4-1) + с, 2307. C+JLX
2 12 т я

554 ОТВЕТЫ
X arccos (cosnx). 2308. — (|J + x\ — |/ — x\) + С 2309. — 1.
2
2310. 14 —ln7! 2311.—. 2312. — . 2313. Inn!.
л 4
ft ft
2314. —th—. 2315. —. 2316. а)—; б) + ; в) + ; г) — .
2 3
1 2
2317. а) Второй; б) второй; в) первый. 23W. а) —; 6)6—;
о о
в) 10; г) —cos<p. 2319. — = b — малая полуось эл-
2 Vl— e*
липса. 2320. i'Cp =— (t>o+"i). гДе fi—конечная скорость тела.
2321. — «1 2321.1. А. 2322. а)в= 1/ Х-— : б)в= — ■
в) 8 = —In e*~l , Hm6=-L, limO^l. 2323. — ±
X X х-*0 2 х-*-+ео 3
± —— в (| в | < 1). 2324. Заключается между и .
3 ioVST 10
2325. 0.01—0.0059 (0<в<1). 2326.1. а) Г. б) / (0) In —.
а
2328. -5— (0<в<1). 2329. — в(|в|<1). 2330. (|в|<1).
50л а а
2334. —. 2335. — 1. 2336. я. 2337. я. 2338. — In 2.
а 3
2339. 4" . 2340. 2П_ . 2341. —"r-. 2342. —.
зУз зУз Ф 2
2343. —^- 1п / 1 Н ^— V 2344. 0. 2345. — —1. 2346. °
5 I V3 J
5 V Уз/ 2 °'+&1
2347. . " ,. . 2348. /„ = л! 2349. /„- <2n-3>!1 ~
а» + ** (2л — 2)1!
X """ЛТ.!, • 235°- /« = nt S (- 1)*+' С* In (fe + 1). где
{ас- Ь2)п+1'2 *=1
с£ — число сочетаний из л элементов по fe. 2351. /„ =
(л —1)!1 я . (п —1)!!
= — , если л— четное, и /я = — —> если
л!! 2 л!!
л — нечетное. 2352. /„ = '— я, если л — четное; /„ =
л!1

ОТВЕТЫ
555
(П — 1)11 uguxTiiiw АЧКЯ a\ —
если n — нечетное. 2353. a) In 2;.
nil 2
4 _ _я/8
6) _—1„2. 2354. 2* e „ . 2356. a) 1; 6) —; в) О.
2 1 —е-" 2
2357. a) 1; б)—; в) 1; г) — / (0). 2358. Сходится.
3 а
2359. Сходится. 2360. Расходится. 2361. Сходится при р>0.
2362. Сходится, если р > — 1 и <? > — 1. 2363. Сходится,
если m > — 1, л — m > 1. 2364. Сходится при 1 < п < 2.
2365. Сходится при 1<п<2. 2366. Сходится, еслит>—2,
л — т> 1. 2367. Сходится при л > 0 (а Ф 0). 2368.
Расходится. 2369. Сходится, если р < 1, <?< 1. 2370. Сходится
при п>—1. 2370.1. Сходится. 2371. Сходится, если min {p,q)<
< 1, max (p, q) > 1. 2372. Сходится. 2373. Сходится.
2374. Сходится, если р> 1, <? < 1. 2375. Сходится при р>
> 1, q произвольном, г< 1 и при р = 1, <?> 1, г< 1.
п
2376. Сходится, если pt < 1 (t = 1, 2, . . . , n), £ ^ > 1.
i=l
2376.1. Сходится п*и а> —1, Р > — 1, а + р" < — 1.
2377. Сходится, если Р„ (х) не нмеет корней в промежутке
[0, + те) и л > m + 1. 2378. Сходится не абсолютно.
2370. Сходится не абсолютно. 2380. Сходится абсолютно, если
D ' !■ 1 о ■ !■ 1
—1 < -!—-— < 0; сходится условно, если 0^ -*—-—< 1.
Р q
2380.1. Сходится. 2380.2. Сходится. 2381. Сходится
абсолютно, если р>— 2, q>p+ 1; сходится условно, если р > — 2*
р<<?<р+1. 2382. Сходится условно при 0 < л < 2.
2383. Сходится абсолютно при л > m + 1; сходится условно
при m<n<m+l. 2385. Нет. 2392. in —. 2393.0.
2
2394. я. 2395. 0. 2397. —. 2398. 4 — . 2399. 4 —
32 2
2400. 9,9—8,1 lge*6,38. 2400.1.2 — «0,56. 2400.2. — 4-
1п2 3
4-J-«0,97. 2401.—. 2402. яа". 2403. nab. 2404. —а»,
я 2 3
2405. — л/2р* 2406. - . 2407. Зпа*.
15 VАС -В*
2408. -^-. 2409. —— 2410. — cth — ж 0,546.
2 п+2 2 2

556 ОТВЕТЫ
2411. (Зя + 2):(9п —2). 2412. *=chS, y = sh£. 2413. ЗшЛ
2414.—. 2415. — (4nJ + Зя). 2418. бпа*. 2417. — х
15 3 8
16 "Ч 2418. а». 2419. Зпв>
XJE_. 2417.1. па* Л-- 9\.
2
2* OAot Р' (* , л^/К\ ojoo "Р*
2— (3-ИУ2). 2422.
2420. _. 2421. _ „ -г , ,, ,. _. (1_е,)3/2 •
2422.1. 1 In. 2422.2.—. 2423. (я — 1) — . 2424. — X
я 4 2
хЛ— 1п2+—-—V 2424.1.—. 2424.2.—. 2424.3.
V л/ъ ) 3
4-±-. 2424.4. я (,-Ь^-). 2425. я(, --*)<,.
2428. —а*. 2427. па* л/2. 2428. а*. 2429. —па*.
2 8
2430. ""' . 2431. — (10УП)— 1). 2432. 2/\/x0(*o+—) +
вУ? 27 V V 2/
V*+ "%/*• + --
-VF + VTT^-in » + У. + ** , 2435. 2LLL
1 + V2 4
2436. а In -2-±* 6. 2437. In tg (— + —^ . 2438. а In —
а—Ь \4 2) Ь
4в Л + УЗ" Ш _L±^L) . 2440. 6а 2441. 4 «^
-fpln ^ -—. 2433. УЛ» —а*. 2434. х„—
?439
аЬ
2442. 1+ 1п^ + "У2) 2443 ^ М44 2ntfl 2445#
V2 _
V2 ch — + Vch T
2 Ль _1_ VchT- Л-У2 In ? . 2445.1.
V 2 ' 1+V2
— (ch»/* 27" — 1). 2440. яаVr+U? + — ln(2n+ Vl + 4я»).
2 2
2447. -Xi+^-а. 2448. 8а. 2449. р \У2~ + In (l + V2~)l.
m

ответы 657
2450. -i"iL. 2451. а(2я — th я). 2452. 2 + —1пЗ.
2 2
2452.1.6—. 2452.2. sh R. 2452.3. Т. 2455. ■ 2" «0,73.
3 5V3
2456. -^_(2а + с). 2457. — [(2/1 + а) В + (i4 + 2а) Ь]..
6 6
2458. — [(2,4 + а) В + (Л + 2а) &]. 2459. —SH. 2462. — X
X аЬс, 2463. — яабс. 2464. J*£*L. 2465. —а3. 2466. —X
3 3 3 3
Ха»(я— —V 2467. —а» Va*. 2468. -^- . 2469. —
V 3 J 15 2 15
2470. 4"У2 „.. 2472. -1„а&». 2473. a) J*L; 6)J*_^
3 7 15 3
2474. а) —; б) 2я». 2475. а) — яа&*; б) Па*Ь
2 15 6
2476.3)—; б)2я. 2477. 2я*а»&. 2478. 8n°3
2 ' 3
2479, "-2n> . 2480. а) 5яаа»; 5) бя'а8; в) 7я!а».
2481. а) -??- яа&»; б) -В-паЧ. 2481.1. Vx - —я, V„ =
105 105 35 "
= -^4-я. 2483. а)—яа»; б) — я'а». 2484. a) -^LfVf X
105 3 4 4 L
Xln(l+V2-)—II; 6>-=£; в)^1. 2484.1.-1Х
3 J 4-V2 4 3
X (п* - 6я*) а3. 2484.2. -я. 2485. ""°1 .2486.-1^-^21 Vi3" +
3 2V2 243 V.
+ 2 In _3±Vl3_>) . 2487. 2a Vn*a»+4b* + J£. In fc +
2 / я \2&
+ Vnv + 4f^ 2488 n["(V5-_V2-)+ln(Vi+iHVi-i)j,
2489. a) -?iL ((2x0 + p) V2p*„ 4 P* - P*]; 6) — (p + 4*,) X
3 4 L
X V2*o(P+2*0)-P2 In V2<o -r--Vp + 2<o I 2490> a)2n&8+
+ 2„a6J™^. б)2яо»+_?Л^_1пГ^.(1 + е)]1 гдее«
8 8 L Ь J

558 ОТВЕТЫ
л/а1 — Ьг 12
= — эксцентриситет аллипса. 2491. 4я'а&. 2492. —X
а 5
X яа». 2493. a) na(ib+ ash — \ б) 2пц(а+ bsh—
— ach —). 2494. 4яа». 2495. а)-^-яа2; б) 16я2а2; в) —х
a J 3 3
X яа2. 249в. -2"- а» (4 л/2 - О . 2497. — яа2. 2498. а) 2яа*Х
5 5
X (2 — л/Т); б) 2яа» V2"; в) 4яа*. 2499. - [ 14 л/ъ +
1283/Т0
+ 17 In (2 + л/5)\ & 1,013. 2500, V = — р2; Р = 2яр« 1(2 +
О
па
+ V2)+ ln(l + V2)l. 2501. М1 = 2а1; М,=
z
2501.1. -£L[V2~+5ln(l + V^)l. 2502. M»»-^-; M2
8 6
*** 2502.1. lI=*JL-a*. /у = 4-<»4. гх = ал/щЕ. г„
12 35 * 5
=aV675. 2503. M<" = -^L; M<»> = -^-. 2504. M, =
4 4
-,r ., M,»— /-W. 2504.1. /= — MR*. 2507. *0 = ax
12 30 5
x^iEiL;,e = o. 2508. (-2-е. -±.a]. 2509.(2?-,
a V 20 20 J V Зя
—V 2510. fd, 0, — aV 2511. <p0 = Ф — «. где в =
= arctg ; /■„ =—, Логарифмическую спираль
2m Vl + 4m2
r. = ■ "" ««(*+«>. 2512. «p., = 0, r„ = — a. 2513. x„ =
V1 + 4m2 6
5 9 X /i \
= яв, j/0 =— a. 2514. x0 =—<», !fo = 0. 2515. (0. 0, —|.
6 3 ^ 2 /
Rh
2516. 75 кгс. 2517. Ah<=mg— , где R — радиус Земли;
R + A
Лоо — mgR. 2518. 0.5 кгс-м. 2519. 1740 кгс-м. 2520. —a».
3
2521. 708 — Т. 2522. u07' + — Г'. 2523. — ябш2/?5.
3 2 15
2524. Проекции силы притяжения на координатные оси; X = 0,

ОТВЕТЫ
559
Y — —2km\itla, где к — постоянная тяготения. 2525. 2nkmb0 X
Х| 1 Y где k — постоянная тяготения. 2526. При-
\ л/сР+Ь* )
мерио 3 часа. 2527. Сосуд должен быть ограничен поверхностью
образованной вращением кривой у = Сх* вокруг вертикальной
оси Оу. 2528. Q= Qo-2-'/160° 2529. 99,92
2530.
6£ '
В ответах иа приближенное вычисление определенных
интегралов даны табличные значения. 2531. —6,2832. 2532. 0,69315.
2533. 0,83566. 2534. 1,4675. 2535. 17,333. 2536. 5,4024.
2537. 1,37039. 2538. 0,2288. 2539. 0,915966. 2540. 3,14159.
2541. 1,463.2542. 0,3179. 2543. 0,8862. 2544.51.04.
2545.
X
У
0
0
л/3
0,99
2л/3
1,65
л
1,85
4я/3
1,72
я/3
1,52
2л
1,42
2546. — . 2547. —
3 2
q sin a
ОТДЕЛ V
2548. 3. 2549. 1.
б)
q cos a ■
2550. . 2551. а)
3
2552. 1 — д/2".
1 — 2q cos a + q3 1 — 2q cos a + q*
2553. Сходится лишь при х = кя (к — целое). 2556. Расходится
2557. Расходится. 2558. Сходится. 2559. Расходится. 2560. Рас
ходится. 2561. Расходится. 2562. Сходится. 2563. Сходится
2564. Расходится. 2566. Может как сходиться, так и расхо
диться. 2567. а) Может как сходиться, так и расходиться
б) расходиться. 2578. Сходится. 2579. Сходится. 2580. Сходится
2581. а) Сходится; б) расходится. 2582. Сходится. 2583. Схо
дится. 2584. Сходится. 2585. Сходится. 2585Л. Сходится
2585.2. Сходится при любых а и х. 2586. Сходится. 2587. Рас
ходится. 2588. Расходится. 2589. Сходится. 2589.1. Сходится
253.1.2 Сходится. 2590. Сходится. 2591.2. я>13. 2595. Сходится.
2596. Сходится. 2597 Сходится. 2597.1. Сходится. 2598. Сходится
прир>2. 2599 .Сходится при —> 1.
2600. Сходится при
Р>
2601. Сходится. 2602. Сходится при р + q > 1.
2603. Сходится при q > р. 2604. Сходится при — + а > 1.
2

560 ОТВЕТЫ
2605. (н). Сходится при о (<? — р) > 1. 2607. Сходится при
q > р + 1. 2608. Сходится при р > 0. 2609. Сходится при
р > 0. 2610. Сходится при р> —. 2611. Сходится при ЬФ
ф I. 2612. Сходится при р>\. 2613. Расходится. 2614.
Расходится. 2614.2. Сходится при р+ х> I. 2616. Сходится при
х < —. 2617. Сходится. 2618. Расходится. 2619. Сходится
е
при р > I. 2620. Сходится при р> I q произвольном и при
р — 1, Я>\. 2620.1. Расходится. 2620.2. Сходится.
2620.3. Сходится. 2621. Расходится. 2623. 1,20. 2626.
Сходится при о>—. 2627. Сходится, если о = —. 2628. Рас-
2 2
ходится. 2629. Сходится. 2630. Сходится при а > 2. 2631. Схо-
дится. 2632. Сходится. 2633. Сходится. 2634. Сходится, если
г = 0,—< —I. 2635. Расходится. 2636. Сходится, если аф
d
Ф0. 2637. Сходится. 2638. Расходится. 2639. Сходится.
2640. Сходится, если а = ■у/Ьс. 2641. Сходится, если а < — I.
2642. Сходится, если о > —. 2643. Сходится при а* > е, с =
2
«= 0 и при cf > 1. 2644. Сходится при а+ Ь> 1. 2645.
Сходится. 2646. Сходится. 2647. Сходится. 2648. Расходится.
2649. Сходится. 2650. Сходится. 2651. Сходится. 2652.
Сходится при о > 2. 2653. Сходится. 2654. Сходится. 2655. а)
N > 100 000; б) N > 12; в) N > 4. 2659. — . 2660. 1 —.
9 7
2661. In 2. 2В62. a)—In 2; б) — In 2. 2664. Сходится.
2 2
2665. Сходится. 2666. Сходится. 2666.1. Не следует.
2667. Сходится. 2668. Сходится. 2669. Сходится. 2670.
Расходится. 2671. Сходится. 2672. Сходится. 2673. Расходится.
2673.1. Сходится. 2675. Абсолютно сходится при р> I;
условно сходится при 0 < р < I. 2676. Абсолютно сходится при
р > 1; условно сходится при 0 < р ^ 1. 2677. Абсолютно
сходится при р> I; условно сходится при —< р ^ I.
2
2678. Абсолютно сходится при \x—nk\<.— (*—целое);
4
условно сходится при х = як ± —. 2679. Сходится услов-

ОТВЕТЫ
561
но при любом х, не равном целому отрицательному числу.
2680. Абсолютно сходится при р > 1; условно сходится пря
0</5<1. 2681. Абсолютно сходится при р > 2; условно
сходится при 1 < р < 2. 2682. Абсолютно сходится при р > 1;
условно сходится при 1/2 </5^1. 2683. Условно сходится.
2584. Абсолютно сходится. 2685. Расходится. 2686. Условно
сходится. 2687. Абсолютно сходится при р > 1; условно
сходится при 1/2 <р <1. 2688. Расходится. 2689. Абсолютно
сходится при /5>2; условно сходится при 0<р<2. 2690.
Сходится. 2691. Расходится. 2692. Абсолютно сходится при q >
>Р + 1; условно сходится при р < q </5 + 1. 2693.
Абсолютно сходится при р > 1, q> I; условно сходится при 0<
</5= q < I. 2694. Абсолютно сходится при р > 1; условно
сходится при р=1. 2695. Абсолютно сходится при р > 1;
условно сходится при р=1. 2696. Абсолютно сходится при
/5 > 1, <7>1; условно сходится при 0</5=</^1. 2698. а)/5>1;
б) 0</5<1. 2698.1. а) Сходится; б) сходится; в) сходится.
2699. a) q>p+\; б) p<q^p+\, 2700. Сходится абсолютно при
m^tO; сходится условно при — 1 < т < 0. 2703.1. а) п >
Si 1 000 000; б) /»ss 1,32-101'. 2706. а) Расходится; б) может
2 3
как сходиться, так и расходиться. 2707. —. 2708. —.
3 4
2709. . 2710. — У . 2716. Сходится абсолютно npi
7 1-дс</
|х|>1. 2717. Сходится абсолютно при х > 0; сходится
условно при х = 0. 2718. Сходится абсолютно при дс > в
при х < — 1. 2719. Сходится абсолютно при 1*1^1 и сходите!
условно при дс=—1.2720. Сходится абсолютно при— — <
6
1 2 л/и А- 3
< х<—- и при —< дс< —- ——. 2721. Сходится абсо-
3 3 6
яютно при |дс — яЛ|< — (к = 0, ±1 ±2, . . .). 2722. Схо-
6
дится абсолютно при /5>1 и хФ к (к — — 1, —2, . . .) я
сходится условно при 0 < /5 < 1, х Ф к. 2723. Сходится
абсолютно при q > /5 + 1 и сходится условно при /5 < </ < /5 + I.
2724. Сходится абсолютно при | х\ < 1. 2725. Сходится абсо»
лютно при |х|<1. 2726. Сходится абсолютно при \х\ф\.
2727. Сходится абсолютно при хф—1. 2728. Сходится абсо*
яютно при х > 0. 2729. Сходится абсолютно при 0<|х|<3
< + оо, если |а|>1; расходится, если \а\ < 1 или если х — 0.
36-м"

562
ОТВЕТЫ
2730. Сходится абсолютно при х=2 и при х > е. 2731.
Сходится абсолютно при х> 1. 2732. Сходится, если 0 < min (x,
у) < 1. 2733. Сходится абсолютно при |х|<1,0^у< + оо
в прн.|х|> 1, у > \х\; сходится условно при х = —1, 0^
<У<1. 2734. Сходится абсолютно при тах(|х|, \у\)<1.
2735. Сходится абсолютно при: 1) 0 ^ х < 1, — оо < у < +«>;
2) х = 1. у > 1 и 3) х> 1, у > 2. 2736. Сходится абсолютно
при \x.r— kn\< — , где k — целое число. 2738.—<|х|<2;
4 2
6х (х* 1)
J —. 2739. а) Сходится абсолютно при х > 0,
(2-х)*(2х-1)г v "
сходится условно при —1 <х< 0; б) сходится абсолютно при
р + х > 1 и при х = 0, I, 2 сходится условно при
0 < р + х< 1; в) сходится абсолютно при: 1) |х| < 1, у —
произвольно; 2) х = ±1, у>—; 3) х — произвольно, </=0,
If 2, ..,; сходится условно при х=1, <У< — .
2743. При в — 0,001 и х = УоТ, N > Зт. Нет. 2744. п >
> —. 2745. п>26. 2746. а) Сходится равномерно; б) сходится
е
неравномерно. 2747. Сходится равномерно. 2748. Сходится
неравномерно. 2749. Сходится равномерно. 2750. Сходится
равномерно. 2751. а) Сходится равномерно; б) сходится
неравномерно; в) сходится равномерно. 2752. а) Сходится
неравномерно; б) сходится равномерно. 2753. Сходится равномерно.
2754. Сходится неравномерно. 2755. а) Сходится равномерно;
б) сходится неравномерно. 2756. а) Сходится неравномерно;
б) сходится равномерно. 2757. Сходится неравномерно.
2758. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2759. Сходится равномерно. 2760. а) Сходится равномерно;
б) сходится неравномерно. 2761. Сходится равномерно.
2762. Сходится равномерно. 2763. Сходится неравномерно.
2767. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2768. Сходится равномерно. 2768.1. Сходится неравномерно.
2769. Сходится неравномерно. 2770. Сходится равномерно.
2771. Сходится неравномерно. 2772. Сходится равномерно.
2773. а) Сходится неравномерно; б) сходится равномерно.
2775. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2776. Сходится неравномерно. 2777. Сходится равномерно.
2778. Сходится равномерно. 2779. Сходится равномерно,
2780. Сходится равномерно. 2781. Сходится равномерно.
2782. Сходится равномерно. 2783. Может. 2785. Не обяза-

ОТВЕТЫ
563
(-1- -i)
тельно. 2795. а) Существует и непрерывна при х < 1.
б) существует и непрерывна при |х| < + оо; в) существует при
|х|<+ оо, разрывна при х = 0. 2799. а) Существует и
дифференцируема при х ф —k (k = 1, 2, 3, . . .); б) существует
при |х|< + оо, дифференцируема всюду, за исключением
х = 0. 2802. а) а произвольно; б) а < 1; в) а < 2.
1 я*
2805. Нет. 2806. —In 2. 2807. 1. 2808. 1. 2808.1.-—.
2 6
2809. Законно. 2810. Да. 2812. R = 1; (—1, 1).
При х= —1 сходится абсолютно, если р > 1, и
условно, если 0 < р ^ 1; при х = 1 сходится абсолютно,
если р > 1, и расходится, если р ^ 1. 2813. R = —- ;
о
4
При х = — — сходится условно;
О
2
при ж= — — расходится. 2814. /?=4; (—4,4). При х=
О
= ±4 расходится. 2815. R = +оо; (—оо, +оо). 2816. R —
= — ; Г 1 — 1. При х=±— расходится. 2817. /? =
в \ * е) е
>= + оо; (—оо, + оо). 2818. R = 2; (—1, 3). При х = — 1
сходится абсолютно, если р > 2, и условно, если 0 < /> ^ 2; при
х = 3 сходится абсолютно, если р > 2, и расходится, если р ^ 2.
2819. /? = 2"; (—2", 2^). При х = —2" сходится абсолютно,
если р > 2 и расходится, если /» < 2; при х = 2Р сходится
абсолютно, если р > 2, и сходится условно, если 0 < /> < 2.
2820. R = 1; (—1; 1). При х = —1 сходится абсолютно, если
m > 0, и расходится, если m < 0; при х = 1 сходится
абсолютно, если m > 0, и сходится условно, если —1 < m < 0.
2821. R — minj—; — J", (—R, R). При х= — Я сходится
условно, если а > Ь, и абсолютно, если о < ft; при x—R
расходится, если а^Ь, и сходится абсолютно, если а < 6.
2822. Я = max (о, 6); (—R, R). Прн х = ±Я расходится.
2823. /? = I; (—1, 1). При *=т1 сходится абсолютно,
если а> 1, и расходится, если о<1. 2824. R = 1; (—1, 1).
При х= ±1 сходится абсолютно. 2825. /? = 1; (— 1.
1). Прих = —1 сходится условно; при х = 1 расходится.
2826. Я—1; ( — 1, 1). ' При х= — 1 расходится; при
к = 1 сходится условно. 2827. R = 1; (—1, 1). Прн
*= ±1 расходится. 2828. R = —', Г——t — )• Прш
К=± — расходится. 2829. /? =—; f — —» —J. Прш
к— ±— расходится. 2830. R = 1; (—1, 1). При х= ±1 схо-
О
Аится абсолютно. 2831. J? = I; (—1, 1). При х= ±1 сходится
условно. 2831.1. При 0 < х < 2 сходится абсолютно; при х = 2
сходится условно. 2831.2. Сходится лишь при х = 0. 2832. /? =■
36*

564 ОТВЕТЫ
«■ 1; (—1, 1). При х *= — 1 сходится абсолютно, если у — а —
— Р > 0, и сходится условно, если —1 < у — а — Р < 0;
прих<о| сходится абсолютно, если у — а — р>0, и
расходится, если у—.а — Р < 0. 2833. х>0. 2834. |х| > —.
2836. 0<|ж|< + оо. 2836. х>—\. 2837. |х — kn\< —,
4
где к — целое число. 2838. — 1 + 3 (х + 1) — 3 (х + 1)* +
оо оо
+(.+1)М8»..>2]-55г(1*1<1«1)-.в) 2 ^^
00
(|*-*|<|а-*|): в)- £~£г <1*1>1«1).
/1=0
Z(x — 1)"
( -1)"-> (0<х<2): In 2.
п=1
ОО ОО
^_ПГ(,Х|<+^ 2842. £ —
я-=0 я=0
(|х|<+оо). 2843. У (-1)"+1-^-*2Л(|х|< +оо).
п=1
25Я-1
(2п)1
2844. У """ Xя (|х|<+оо). 2845. цх +
п—О
+ jb(!Lui!L<.+ Ю'-^-И „+ .. .(,х,<.,
01 О!
и» и* (22 — и»)
2846. 1--^-х»- М \, И' х*- . . .(|х|<1).
21 41
2847. l + (x-t) + (x-l)»+ (*~ ) + . • • (0<х<2).
2848. «(l T + -i4"^ UT^+ ' ' О (|Х|<1)'
А* А»
2849. sin (х + А) » sin х + A cos х — —- sin х — —- cos x + . . .
А*
(|А | < +оо); cos (х + А) «ш cosx — Asinx — -—cosx +
. -£- sin x + ... (|A| < + оо). 2860. a) ( - 2, 2)J
T 31

ответы 865
——^ (I *!<+«>).
Zoan-i 3
(-l)n-^|-*OT(l*l< +«>)• 2853. —X
п=.1
хУ(-1)"+г ^7', *M+t (l*l<+»>- 2854- У *"
La (2n + 1)1 La
Ой
<|х|<1). 2855. У (п + \)х»{]х\ < 1). 2856. * +
ОО ОО
1£гг (|*|<з1)- 2858- тЕ11-(-2П<я
00
(|*к т)- 2859- £[1+ V*" ] *"(|х|<1)-
ОО 00
]|Г[П+ !~(2~1)В ]х"(|х|<1). 2861. £а„*\
2857
2860.—
2 _
Sol П—0
VT + i V
+г
где ая=, ___ ц ^ J + <-!)» X
/ л/Г—1 \n+1 1 2
X I I I (числя Фибоначчи). 2862. ,— X
X Vx" sin 2я(пз+') (|х|<1). 2862.1. У спх", где сп=.
el, если n = 4fe; с„= — 1, если n = 2fe + l; с„ = 0.
если п = 2* + 2 или n = 2ft + 3 (fe = 0, ±1. ±2, . . .),
рхк>)(0) = 10001. 2863. J] x" cos па (|х| < 1).
ОО ОО
2864. £ *" sin па (| х\ < 1). 2865. £ хп sh па (| *|< е~ ' °').
№>0 п=0

566
2868.
У
ОТВЕТЫ
(2:Л,)!' ^а*1<1).
п=0
2С67.
(_1)н+1 + [1+(_1)п1(_1)н/2+1
х" ( — 1< х < 1)
п=*|
I
cos па
п\
• х" (| х |< + оо). 2869.
У (-1)"Х
Х(2я-1)!1
(2n)ll
п=1
ч=1
w x!n+i я
х^тг(|"<1):т- 287°- *+
x2n+l I X* cos па
Х 2/1 + 1 }(|х|^1)- 2872- ~2 ) -^ х" d'l^1)-
П=1
(-1<х<1);
2873. а) х+У(-1)"+' Х"*1 (_1<х<1);
/ . я (и + 1)
п-
оо
4я +
оо
2Я-! Ж^(--Т<*<Т);
ОС
оо
я) у <—1)^
п=1
х*"+»_
1
2я (2я — 1)
, V1 __(2я — 1)11 хм
/ . (2я)!1 2л +1
п=1
(1*1^1): е) 2|х|
при 0 < х < 1 и — 1 <

ОТВЕТЫ 667
^ ^ 2 Lt\ (2л4-2)1 2л+1 ]"л,**1>'
п=1
. . ** . V* / .и <2п —1)!! хуЧ*
2874. а) е*2 Г (2х)" + п * (2х)"-« +
, л(п-1)(п-2)(л-3) ,„ -i ^ч (-1)
]/_ 1V»
; б)
л (л— 1) _„_, . я(л— 1)(п — 2)
X <"* Га" + "v" ' a"-*x + ———^—=- X
(-1)"-1"' Г- _ (я-1)(я-2)
(1 + хУ I 3i
X хп-* +
(я — 1) (я — 2) (п — 3) (я — 4)
51
00
(-»)"
х""1—. . . 1.
Z( —1)"
— — (x-j-l)*" ( — 2<х<0).
х , V* (2д —1)11 ( х У'*»
1-
(->-т)-
п—I
х 1 „ \7 2 ( х-\ У+»
2876, х " "^ "' """" х ' *
(х>0). 2878. - V > -^ li^- ( Ч
К '' 1 + * Zj (2л)!1 V 1+* )
п-\
2881. 1 х— — х*— —х3 — . . .
2 12 24
- '—^ L
оо
1 г
(,х,<+со). 2883. £[—
)1 (2л — 2)!
п—О
-4)1 ]«"QxJ<+e°)' Где 01==1' (-»)'-"».
оо
(-2)1 = оо и т. д. 2884. 2 У (l+Y+" "+"7)Х
(2л
ь~1

568 ОТВЕТЫ
00
*в+* V"» (_1)Я+1
Х-——- (-1<*<1). 2885. х+2) V и х="+>
п + 1 Z^ 4л2 — 1
n=l
" 2n/2 cos -—
(|х|<1). 2886. ) 1 х" (| х|< +оо).
2n/2 sin —
2887. V — хп (| х |< + оо).
£_г л]
п=1
2888. £ {(-I)""1 Л+Y+ •• -+"7) *"}(-» <*<!)•
(-»)- (Ч-Т + ...+ -5пг) —
п=1
Z 221+1 („|)2 1
, **"(|х|<1). 2891. хЧ- у** +
+ -£- **+. . . (|x|<f). 2892. х- -L д* +
■ 2 / я \ 11
+ — х>+ . . .(|х|<Т). 2893. -Тх-— «•-
—оТГ*5- ••• (I *!<*)• 28tf4- £o=l, £((-1)*Х
Х (2fe).(2£r-2fe)l И0' Ш5- >(*> = |,Р-^
(2я — 1)11 Г „
(|х|<1), где Ро(*)=1; Рл(0= д| [<"-
"'"-') ,_. , «(«-!) («-2)(и-3) ,„_,_ # I
2(2л—1) т 2-4-(2л — 1)(2л — 3) "' J
00
(л > 1) (многочлены Лежандра). 2896. ]Г s„x", где
п=0
п
«п = £ <**• 2897- а) Я > т'п (Ль «j); б) R > «iR8
*=о

ОТВЕТЫ
569
2901. У ( - 1)" —-
л=0
(2л + 1)
■(lx|<+oo). 2902. х +
+1
(2п—1)11 х4"*1
пЫ
X
X
(2л)"
,гп+1
(|х|<1).
(2я+1)(?я+1)!
х
4л+1
(|х|< +оо).
■гп+1 хг
(|х|<1). 2905. х+—
2904
х3
ОО
>• £(-i)nx
л=0
00
(2л + 1)»
36
(|х|<1). 2906. —In j** (|х|<1).
(-1)"Х
п=0
96
2907. arctg *
. 1-х
<х<1). 2911. -
(|х|<1). 2913
2908. спх(|х|<+оо).
In (1-х) (|х|<1). 2910.
х
2909.
1
VT^
i +
(1-х)3
2х
(1-х)3
(|х|<1). 2912.
(|х|<1).
х(1-х)
П + х)3
г: 16. r = 2;
(х-1)2 + («/-1)г<4. 2917. /?= J- ; *• + »»< Y*
2919. Я=1; ха + (/г<1.
(х — cos а)2 + ((/ — sin a)2 <
2918. #=1; х2 + (/г<1.
а
2920. R =
2 sin
< 4 sin2 — . 2921. 2,080.
2
2922.
a)
0,87606 :
=arc 50°1 Г40"; б) 1,99527; в) 0,60653; г) 0,22314. 2923.0,30902.
2924. 0,999848. 2925. 0,158. 2926. 2,718282. 2927. 0,1823.
2928.3,1416. 2929.3,142. 2930.3,141592654. 2931. In 2=0,69315;
1пЗ= 1,09861. 2932. а) 0,747; 6)2,835; в) 1,605; г) 0,905;
д) 1.057; е) 0,119; ж) 0,337; з) 0,927; н) 8,041; к) 0,488?
л) 0,507; м) 0,783. 2933. 3,82. 2934. 4,84. 2935. 20,02 и.
2936.
8
— cos2xH cos4x. 2937. Ряд Фурье совпадает с мно-
2 2
sin (26— 1) х п
А
гочленом Ра (х). 2938. — V °"'^"~''* • JL , 2939. — -
я Lt 2k— l '4 2
ft=i

670
ОТВЕТЫ
1А у 1_
я Zj 2ft +
— sin (2ft + I) -^=-. 2940. 2
*=0
sin nx
z<-
1)"+1 X
2941.
sinn*
2942.
л
n—i
T~TX
у cos(2ft + l)x жз
Z^ (2ft + 1)*
(a — b) n 2 (a—6)
*=o
*z
*=o
cos (2ft + 1) x
(2ft +1)
+ (a +
sin nx
oo
2944
T *+« Z^
<-1)П*Х cosnx. 2945. -2sinna
a cos nx
2a
■ +
ОД "I „Д
u. У ( ir« acosnx 2946 2sinna V (-l)nrt"sinnx
^ la n*-a* ' ' я /^ n»_a*
"•=1 J n=l
2947.
2sh na
h па у
n Zj
n=l
(—iy«nsinnx
n» -j- a'
2948. 2 shan
+
OO
2ah
. nnx . nnx
ah cos nn sin
(ah)* + (nn)*
2949. a+/+
nna nnx nna nnx
sin cos — cos sin
ax \
T)
(a<x<a + 20. 2950. 1 COsx + 2 V-^—-^— cosnx.
R»2
2951. JL У J=}T^L Sin 2„x. 2952. iVLl^
я Д <4n»-l)« n L\
2ft + 1 J л^(Й + 1)>

ОТВЕТЫ
2954.
ао
ft=0
cos (2ft + 0*
(2ft + 1)*
29SS.
1 1
571
sin 2ллх
1 V"» sin 2?
я Zj я
cos2w(2n+ 1)*
(2n + 1)"
1 2 V
(x Ф целому числу). 2956. )
4 я* l_j
2957. -L—IV c°*2*' , 2958. l + ±yJ=!^
я я La 4ftJ—1 я я Z-i 4Aa— 1
fc=i
*=i
a V"» an+x 4
X cos 2ftx. 2959. - f- 2 ) — cos nx. 2960. -2- X
1 — a* L) l-o я
Xln(l+V2-)+ gf(- 1)* [2 +J- £ -bill si:
*=0 I L ««'
X cos (8ft + 4) x
* L,. 2m-1
In (1 + V2) +
sin (2m •
cos8ftxl. 2961. a)
(— 1)" V (—1V+1
' cosnx(—я<х<я); б) 2я у ——- sinnx —
n=l n=\
*Z^
8 V1 sin(2ft+l)x
tZ
(0<х<я); в) -^- + 4
(2ft + 1)» 3
*=0 n=l
Zcosn
(0<х<2я);
12 8
2962. x* =
ejL+4y(_i)«i^L. х»-2я»У(-1)»+1 slnn* +
3 / ^ я* / i n
n=\ /1=1
+ 12У(_1)П^'П_ПХ_ х4=Ля. + 8я,у (_1)niOSn,
Z-i л* я Z-i n*
n=l n=l
Zf— 1)п+г
-i - cosnx. 2963.
Я4
/1=1
а (я—а) я3—Зяа + За1
2 * 6

672 ответы
вол. 2 9 V^ • 2ппх i • V cos2nnx
2ЖИ. — — ' > COS
3 2я» Lu n* 3 2я» £
m
(0<*<3). 2965. J_(^I + _i:_2](^r»COS2ftx.
00 OO
2966. £ q" sin nx(\q\< I). 2967. l+2j?"cos»j (kl<l).
~ n
2968. £ «J» cos n*. 2969. — 2)-i- cos я*. 2970. —In 2 —
-У C0S"* . 2971. -1п2 + У-(~1)П+1с05Я< .
2972.
cos(2fe+l)* eQ7, Г^ sin(2* + l)*
_2y^osJ2i+i)iL> 2973 у
^ 2*+1 ^
(2* + 1)'
W74. ,(,) = -?—±LV L_
2 я» £, (2*+l)J
cos <2*+'>™ 4-^-X
2a n*
ft«o
f (~1)ft Sin 0*+')". „(5)=^__J?_X
^ (2*+ 1)' 2a 2 я»
J . {2k + l)ns _,_ 4a_ V (-D**1 :in P*+l)«
„Г 1 c0.(2t + l)« ■ 4a у (-l)«+i
Zj(2ft+l)il 2a h2Zj (2*+»)*
ft=0 ft=0
2976. f{-x) = f(x); Мя-*)= -f(x). 2976. /(_ *) «, _/(*);
Г(я-х)=/(,).2977.а)_ V (Г—^——l-±^-l X
Z-. IL (2Л +1)а я <2*+l)» J
+ -5 ! 1 sin (2*+1)Л (o<*< —Y
я (2* +1)4 ^ M 2 J
«978. 0^ = 6^ = 0 (я = 0, 1, 2. . . .). 2979. a,„_i = 6^-1 = 0
(n= 1, 2. 3, . . .). 2980. а) а„=0. 68*_1 = 0; б) a„ = 0, />,*=

ответы 573
«= 0. 2981. а„ = а„, Р„ = — Ьп. 2982. ап =» — вя, Р„ - Ьп.
2983. а„ яв а„ cos ля + ba sin- ял, F„ = bn cos nh — a„ sin ля.
„.. , , sin nh D . sin яд . , „ .
2984. Л0=Яо. /4п=ха„ —, £„ = bn —(л=1, 2, .. .).
nh nh
2985. A0 - ag. /4„ «. an + bn; Bn =0 (л=1, 2, . . .). 2986.
1
2987. _L. 2988. 2 In 2 — 1. 2989.—
4 4
+ ...+
i)-
2991. In 2 —
1
2990.
2992.
t('+t^
2993. 1.
2994. 2(1—Jn 2). 2995. 2e. 2996. 3e*. 2997.
2998.
я* ЯЧ 1 1
—. 2999. —(cos 1—sin 1). 3000.—(4 In 2—1).
4 16 2 6
3001. e* (amxm + am_ixm-l-f . . . +oo). где коэффициенты
a* (ft=0, 1, .... m) определяются из равенства Р(л)=атл(л—
— 1) . . . (л —m-f lj + a^nfa-l) . . . (л — т + 2) + . . .+
+ am + a,. 3002. е*/2(—+ —+ lY 3003. Сх*+1+—\
(\ —^ cos х - sin x. 3005. — X
V 2 / 2 4
X f X+1 sh V* - ch V* Y если x >0; — Д-1±-1
X sin Vl*l — cos VT«iY если x<0. 3006. In . 3007.2xX
; i-x
Xarctg x - ln(l+xs) (|x| < 1). 3008. —arctgx + —X
2 4
X In ' + * (| x |< 1). 3009. (1 — х)~а1й -1 (|x|<l). 3010.
1 —x
(,_JL)-'/3_,. sOU.-l+^dxKl). 3012 *<3-^x,
(I*I<1).
(1 - *)a
3013. (l+2x*)e**-
3014.
(l-x)V
"_ + -Lin2.
зд/з
3
3015. —. 3016.
4
< 2я). 3019. — In
1
. 3017. —. 3018. ——-(0<x<
2 2
2sin— I (0<х<2я). 3020. —X
2 2
V2~

Б74
ОТВЕТЫ
Xln
sin
sin
* + oc
2
x — a
2
3021. —, если 0<x<2a;0, если a<x<
4
<2n —2a; —, если 2я—2<х<х<2л. 3022. — sgnx(|x|<n).
4 4
8023. — [1
1_/. cos x \
2 V 2 )'
— sinx(|x|<n). 3024.—
2 8
<|х|«£я).
3025. — (1 -4- cos x) — sinxln (2 cos
2 V 2
(2C0S f)
(|x\<n). C026. ecos* cos (sin x) (| x I < + oo). 3027. x *= in. у =
=/я (*, i= 0, ±1. ± 2. . . .). 3028. 2 (arcsin x)a (| ж | < 1).
3029.
4 .4 V* V*" ^ . 4
H ! arcsm —! , если ж > 0;
4 — *
(4-ж)3'2
4-х
1
4 Vi* i i Vl*l +V4 — x л „„..
- ——In -^— ~ Y , если x<0. 3030. .
(4-х//2 2 x-1
3031. --'-. 3032. o) - * ; 6)—!—. 3033. a) —- ;
x 1-х 1-х (1—«)*
Q 1 3034. 1. 3035. 1+ У (_!)•-*«=!)!« L—.
(x— D» Li (2n)II (2п+1)г
n=l
3031 —
12
3037.
3038. 2 —
802». —. 304». —. 3041. F (ft) =—
24 12 2
X kw \. 3042. £ (*)=
i + f f(2n-1)!l 1
Z« L (2n)!I J 2n—1
X
~ ~ КтЭМттУ-Г" --]• --
эксцентриситет эллипса. 3047.
2яа*
. 3048. In (l + а) при
\*{<1 ж -V- In (l-fJ-Л при |а| > 1. 3049. 0 при
а» V а /

ответы 575
lo| < 1 и я1по»при |о|>1. 3050. 2-10-*. 3061. —.
4
3062. 2. 3063. —. 3064. а-,п\ 3065. а) Нет; б) да; в) да;
7
г) да. 3066. Расходится к нулю. 3067. Сходится. 3068.
Сходится при р > 1. 3069 Расходится к нулю. 3070. Сходится
при любом р. 3071. Сходится, если ах— а. 3072. Сходится,
,£, р
если V й( — V bi. 3073. Расходится к нулю. 3074. Сходится.
3075. Сходится. 3076. Сходится. 3077. Сходится при
любом х. 3078. Сходится при любом х. 3079. Сходится
при |х| < 1. 3080. Сходится при |х|<2. 3081. Сходится
при |х|>е. 3082. Сходится при любом х. 3083. Сходится
при |х|< 1, р, произвольных и при * = ± 1, р > i, q>
> —. 3084. Сходится при любых х и р. 3085. Расходится.
2
3088. Сходится условно. 3089. Расходится. 3090. Сходится
абсолютно, если р > 1; сходится условно, если — < р < 1.
3091. Расходится. 3092. Расходится. 3093. Расходится.
3094. Сходится условно. 3095. Сходится условно. 3096.
Расходится. 3097. Сводится абсолютно при а>1; сходится
условно при — < о ^ 1. 3109. F' (х) = F (х)
л=1
L, i+/„ w *
Z К<*)|< +°°. |/»W|<e« (*-!. 2 ). где £ с„ <
л=1 п=»|
< + оо. 3111. 157,970 + 6.0.0004 (0<6<1). 3112. 10»«.7,7Х
x(l +——ViOKl)- 3»3. 0.0798.(l+-^-Wl<1>.
V 12000 ) \ Ж )
3114. 10»-1,378-А+——Л (|в|<1). 3115. 10*М.792-Л +
+ _5_>\(|в|< 1). 3116. 0.124/1+-^-^ (Iе К О-
120 J ^ V. 300 J
3117. О.Збб-Л + _1_Л(|е|< 1). 3118. (2л — 1)И = л/2 (2л)"Х
Ч 600 /
Хе-П+в^(1оп,<„. 3„9. _^_.в-^ (1вп|<1).

576 ОТВЕТЫ
3120. а) 1; б) е; в)—; г) 1. 3121. Р, (х) = I —
55 ,--1_*' + -^— **; Р,(-1)«3,43;
21 14 42
Р,(1) = —1.57; Р,(6) «8,43. 3122. у = у„ + У'~{м (*-*«)+
2ft
+ .у' ~2у°2+ у-'- (х — *„)*. 3123. у = 0,808+ 0,193*-
— 0,00101**. 3124. sin^w-^-fl— Г——Yl; sin20°«0,341;
288 L V 150 J J
sin 40° « 0,645; sin 80° « 0,994. 3125. P (*) = — (7хг — 4*<).
О
3126. 7-i-. 3127. fl„ (*) = *; Д„ (*) = *' + '°~') ? в»(»)я
Ч1-т)0-т)*3+т(1-т)'2+^-'3,28ад=
3129. В„ (х) - -J- (1 - *) 0 + *)» + "i" 0 + *)4- 3130. В2Я (х) -
8 16
= в*" Tl + (в*'/» - 1) *~а Г , где / = Ь - а. 3132. Вп (х) =
1 Г/ п , . 2* . я V» , / п . 2* . п \»1
=— II cos \-i sin 1 +|cos 1 sin—1 ,
2 LV 2/i n 2n J \ 2/i n 2nJ \
/i-t
., , „,„. .. n 8 ^ n—k cos (2ft— l)x
где «2= —1. 3135. om_i(jc)= ) i .
M 2 n Lt 2/1-1 (2ft -1)»
ft=l
ЧАСТЬ 11
ОТДЕЛ VI
3136. Полуплоскость х > 0. 3137. |х|<1;|у|>1.
3138. Круг х* + у* < 1. 3139. Внешность круга х* + у% > 1.
3140. Кольцо 1 < дс* + у* < 4. 3141. Луночка х < х* + у* <
< 2*. 3142. — 1 < х* + у < 1. 3143. Полуплоскость * + у <

ОТВЕТЫ
577
< 0. 3144. Пара вертикальных углов \у\ ^ i х\ (х ф 0).
3145. Пара вертикальных тупых углов, ограниченных прямыми
у = 0 и у = —2х, включая границу без общей вершины О (0, 0).
3146. Криволинейный треугольник, ограниченный параболами
у2 = х, уг = —х и прямой у = 2, исключая вершину О (0, 0),
3147. Семейство концентрических колец 2яА <Jl + j1^nX
X (2A-I- 1) (А = 0, I, 2, . . .). 3148. Внешность конуса ж*+
+ у% — г* = 0, включая границу за вычетом вершины. 3149,
Совокупность четырех октантов пространства. 3150. Внутренность
двуполостного гиперболоида х2 + !/s — г3 — —1. 3151.
Параллельные прямые. 3152. Концентрические окружности. 3153.
Семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами у =»
— ±х. 3154. Параллельные прямые. 3155. Пучок прямых с
вершиной в начале координат, за вычетом вершины. 3156.
Семейство подобных эллипсов. 3157. Совокупность равносторонних
гипербол, асимптотически приближающихся к осям координат и
расположенных в I и III квадрантах. 3158. Семейство двузвеи-
ных ломаных линий, вершины которых расположены на оси Оу,
3159. I и III квадранты при 2=0; семейство двузвенных
ломаных линий, звенья которых параллельны осям координат,
а вершины расположены на прямой х •+- у = 0 при г > 0.
3159.1. Линии уровня—стороны углов, параллельные
положительным направлениям координатных осей Ох и Oyj с
вершинами на прямой у — х. 3159.2. Семейство контуров квадратов
с общим центром О (0, 0), стороны которых параллельны осям
координат Ох и Оу при г > 0; точка О (0,0) при г = 0.
3159.3. Прямые, параллельные оси Ох, если г < 0; стороны
углов, параллельные координатной оси Ох и положительной
полуоси Оу, с вершинами на параболе у — х2, если г > 0;
положительная полуось Оу, если z = 0. 3160. Пучок окружностей,
проходящих через начало координат (не включая этого начала!) и
Q
ортогональных к оси Ох. 3161. Кривые у = . 3162. Кри-
Inx
С+х
вые!/ = —!—. 3163. Семейство окружностей с центрами на
lnx
оси Ох, ортогональных к окружности х2 -t- у1 = а2. 3164.
Семейство окружностей, ортогональных к оси Оу и проходящих
через точки (—а, 0), (а, 0), за вычетом последних. 3165. Прямые
к — /ля и у = пп (/я, п = 0, ±1, ±2, . . .), при г = 0; система
квадратов /ля < х < (/я -+- 1) я, пп < у < (п + 1) л, где
(—1)т+л = г, при г= —1 или г= 1. 3166. Семейство
параллельных плоскостей. 3167. Семейство концентрических сфер
с центром в начале координат, 3168. Семейство двуполостных
37-2383

578
ОТВЕТЫ
гиперболоидов при и < 0; семейство однополостных
гиперболоидов при и > О; конус при и = 0. 3169. Семейство
эллиптических цилиндров, общей осью которых является прямая х 4-
4- у = 0, г — 0. 3170. Семейство концентрических сфер х* +
4 у* 4 ** = яп (я = 0, 1,2,...), яри и = 0; семейство
сферических слоев яп < х* + у* ■+■ г* < я (n -J- 1), где (—1)" = и,
при и = —1 или и — 1. 3171. Цилиндрическая поверхность
с направляющей z=£(y), х = 0, образующие которой
параллельны прямой у = ах, z — 0. 3172. Поверхность вращения кривой
г = Цх), у = 0 вокруг оси О*. 3173. Коническая поверхность
с вершиной в начале координат и направляющей: х — 1, г =
*= I (У)- 3174. Коноид с направляющей: х = 1, г = f (у),
образующие которого параллельны плоскости Оху. 3176. /П.—)=
= / <*, у). 3177. Vl 4 ** • 3178. I (0 = It 4 *»: * - х — 1 +
+ V7 (*>0). 3179. f (*)=х*-ж; г = 2у + (х — у)*.
3180. f(*. У) *=*' *~У . 3183.1. Нет. 3183.2. 0; нет. 3184. а) 0,
14У
1; б) —, 1; в) 0, 1; г) 0, 1; д) 1, со. 3185. 0. 3186. 0. 3187. а.
2
3188. 0.3189. 0.3190. 1.3191. е. 3192. In 2. 3193. а) — <(р<
2
_ Зя _ я _ _ Зя 5я 7я „,„. _
^ • б) — < <р < — и < ф < —. 3194. Точка раз-
2*4444
рыва: х = 0, у = 0. 3195. Все точки прямой i+y=0.
3196. О (0, 0) — точка бесконечного разрыва; точки прямой
х + у = 0 (х ф 0) — устранимые точки разрыва. 3197. Точки,
расположенные на осях координат. 3198. Совокупность точен
прямых х = тп и у = ля (т, п = 0. ±1, ±2, . . .). 3199.
Точки окружности хг 4 У* = 1- 3200. Точки координатных
плоскостей: х = 0, у — 0 и а = 0. 3201. (в, 6, с). 3203.1.
Равномерно непрерывна. 3203.2. Равномерно непрерывна.
3203.3. Неравномерно непрерывна. 3203.4. Функция
непрерывна' иа Е, но неравномерно. 3212. [х [х, 1)= 1. 3212.1.
f'x (0, 0) = О, Г (0, 0) = 0; функция недифференцируема в
точке О (0, 0). 3212.2. Функция недифференцируема в точке
0(0, 0). 3212.3. Функция дифференцируема в точке 0(0, 0).
3213. — «. 4*» - Ъху*, — = Ау»-Ъх*у, -^- = 12х*- V.
дж ду дх*
-£-»-1б*. J5L«a*_eA 3214. -£-»+—!
djroty 6V1 дх у

579
_, 1_ д*и 2x
y* ду* y*
2x d*u . дги
у* дх* дхду
— . 3216. ^-= ^—, -^ =
у* дх <x* + y*)3/* ду
— - Ум Эху* д*ы
~ <x* + y*)-V* ' вх1 в <x* + y*)*/* ' дхду ~
__ y{2x* —у») д*и _ x(x* —2y*) 3217 ft/ _
(х*-гу*)*/* ' ay* (x* + y*)*/» " ' дх
• . . » . / , » du ... d*u
= sin(x + y)+xcos(x + y), —— = xcos(x + y), -—- =
ду дх*
ffiu
= 2 cos (x + y) — x sin (x + y), = cos (x+y) — x sin (x+y),
dx&y
a*u . . , . e„,- ft* 2xsinx* du
=—x sin (x + y). 3218. = i =
дуг дх у ду
__ cosx* д*и _ 2 sin x* + 4х* cos х* д*и
у* дх* у дх ду
2xsinx* д*и 2cosx* „„.„ ди 2х , х*
, ——т- = ;— . 321В. — = ес!
у* ду1 у* дх у у
ди х* . х* д*и 2 . х* , 8х» . х* ,
= sec* , = — sec* 1 sin X
ду у* у дх* у у у* у
Xsec*-^, -_f«_ = _if_Sec*-^--ifLsin-il-x
у дхду у* У У* У
w . х* a*u 2x* . х* , 2х* . х* , х*
X sec» , = sec* j sin sec' .
у ду* у* У У* У у
ди -_, ди дги . „_
дх дх дх2
д*и
-^х*-»(1 + ylnx), -^- = х«'1п*х(х>0). 3221.—=.
дхду ду* дх
____!__ ди_ Чу д*и 1 д*и __
х + у* ' ду = х + у* ' дх* ~ (х + у*)* ' дхду ~~
_ 2У Ун _ 2(х-у«) 32И ди _ у
(х + у*)* ' ду* (х + у*)* ' * дх х* + у*'
ди х д*и 2ху д*и _ х* — у*
ду ~ х* + у* ' дх* — (х*+у*)» ' дхду ~ (х*+у*)« '

Б80 ответы
(хуф\). 3224. JH Ш—. -^- = iiiM_
дх x* + y* ду x* + y*
д*и _ 2х\у\ д*и _ (х2 —y)2sgny д*и
дх* (х* + у*)* ' дхду (х* + у*)* ' ду*
ш 2*|у| а,фО\. 3225. ди
(х* + у2)2 дх (х* + у* + г2)3/8
а*и 2х2 — у1 —г* д*и Зху
их» (х8 + у2+г2)6/2 dxdy (х2 + у2 + г2)5/»
822в. JfL^JLfJLY, .*L=_J1(JLY, JfL =
х Vy / ду У \ У J дг
д*и _ г(г—1) / х у д2ц
ду2
дх
UJ !1 д*2 х* \ у )
^_ г(г+ 1) / х у д2ц _ / х V | 2_х_ дги _
У2 V у ) дг* \ у ) у дхду
_ __iLfJLY, ^_«JLfJLYA + ftaJLV J!iL =
ху \ у J дхдг х \ у ) \ у ) ду дг
= _J_fJLYA + 2inJLUJL>0Y 8227. i!L = jeL,
!f Ч А У J \ У / дх хг
дц ц 1пх дц ум . д*ц _ у (у — г) и
ду ~ г дг ~~ г2 ' дх2 ~~ х2г2
дг« u In2 х д2и уи In х .. , , , д2»
— (2г + у In х), —
ду2 г* дг* г4 дхду
(г + У In х) ц д'ц уц(г + у In х) д2и
хг* дхдг хг* ду дг
- - J^AiL+iL^L (я ^ 0). 3228. -*L = -£- „. д"
г3 дх х ду
* , , ди ... д2и у*(0г—П
= гу2 *и In х , = у*и In x In у, = _2_i£ :_ ц
дг дх2 х2
-^- = гу2"^ (г - 1 + гу2 In x) In х. -^- = у*и (1 + у2 In х) X
ду2 дг2
1 i ■> д2и гу*-1!/ ., , ,. . д2к у*и In у
X In х In2 у. —— = — (l + y*lnx), ——— = -2 ^-х
дх ду х дх дг х
X(l + y4nx), -£|L =уг-»и1пх[1 + г1пу(1+уг1пх)] (х>
ду дг
>0, у>0). 3230.1. /*v(0, 0) не существует. 3235. du = xm_l X
Ху""1 (ту dx -+- nx dy), d*u = x"1-^ [m (m — 1) y* dx* + 2mn X
y.xydxdy + n(n— \)x*dy*\. 3236. du = Уй* — хйУ , <p„ =,
y*
«. ?-dy(ydx-xdy). 3237.dU = ^+y<fy , <№(«
y» V*2 + У*

ОТВЕТЫ
18. du — -
\xydxdy
581
xdx + ydy
*2 + u2
3239. du = exy (у dx +
= {yd:~Xd£ ■ 3238.
(x* + y*f2
_ (y* — x2) (dx2 — dy1) — Axydxdy
(х* + Уг?
+ xdy); (Pu = exv [y2dx* + 2(1 + xy) dxdy + хЧу1}.
3240. du = (у + г) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, d?u = 2 (dxdy +
-LAA,<AAl ЧОАЛ A (** + У) & - 2г (xdx + ydy)
+ dydz + dzdx). 3241. du = - (<8 + у2)г •
rfto =
2г |(3л2 — у2) dx2 + 8xydxdy + (3u2 — x2) rfy2]
-4(*2+u2)(xdx+udu)dz
(xa+u2)<>
3242. dx — du, —2 (dx — di/) (du + dz). 4244. a) 1 + mx + ny;
б) ху; в) x-f u. 3245. a) 108,972; 6) 1,055; в) 2,95; r) 0,502;
д) 0,97. 3246. Диагональ уменьшится приблизительно на 3 мм;
площадь уменьшится приблизительно на 140 см2. 3247.
Уменьшить на 1,7 мм. 3249. Д « 10,2 м3; б яг 13 %. 3250. Д « 7,6 м,
3251. \'х (х, у) и f' (х, и) не ограничены в окрестности точки (0, 0).
d*u д*и д*и
3256. -—— = 24, ——— = 0. . . ' = - 16.
дх* дх3ду дхЩ*
д3и д*и
3257. ——— = 0. 3258. = - 6 (cos x + cos у).
дхгду дх3ду3
д3и дРи ,,.,
3259- д д а »0. 3260. ялл = е*уг(1 + 3хиг +
дхдудг дхдудг
, .,„ ,ОВ1 д*и 6 L 48(х-£)2(и-т))2
+ х*и г )• 3261. L
дхдуд\дг\ г*
гв
где r=V(x-|)2+(u_Ti)2. 3262. fljt>w -plfll.
2(—l)m(m + n—l)!(nx+mu)
3263. - ^ —— y'—. 3264. г*+*Х
(x + u)m+n+1
X[xJ + u*+2(mx + rt^) + m(m-l) + n(n-l)). 3265. (x +
nn
+ P)(y + q)U+r)e*+y+*. 3266. sin——. 3267. F (t) =.
t= f (t) + 3tf" (0 + <*/* (/). 3268. d«u = 24 (dx4 — 2dx»du —
д*и d*u
*- 2dxdy3 + dy*); -— «. 24, —— 12.
дх* дх3ду
д*и д*и д*и
= 6 (dx* — 3dxsdu + 3dxdu2 + dy3). 3270. d?u = — 8 (xdx +
+ udu)s cos (xa + u2) — 12 (xdx + udu) (dx» + dy*) sin (x* + us).
91 (dx + du)10
3271. dV>u= V . 3272. d«u=-(dx«-.
<* + J/)10

582 ответы
— \bdx*dy1 + \ЫхЧц* — dy»}aaxchy — 2dxdy (Ux* —
— 10dx*<fy* + 3<ty«)sinxshy. 3273. iPu = Mxdydz. 3274.
rf'u
n
X (adx -f Myf. 3278. d"и = £ С* #<"-*> (х) КС*) (у) dx«-*dtf*.
*=0
3277. dnu = }(n')(x + y + 2)^x+dy + dz)a. 3278. <Ри =.
= e<u+*»+«(adx+M4r + afcy, 3280. а) Ли= — и.
Аги = и; б) Лы = 1. А*и = 0. 3281. а) Ди = 0; б) Ди =
= 0. 3282. а) Aju = 9[(x» — yz)* + (y* — хг)* + (г* — xy)J],
Д,и = 6(х + у + г); б) Д1и = ——, где г = У*» + У* + г* .
г*
du Зг«
Д,н = 0. 3283. -х-^хП^ + у' + г*); ~Т1-в
ох ох1
■=2/'(х» + у* + г») + 4х»Г<*, + у' + г»); f" =4ху/»
0X00
(* + .■ + *> 3284. -f- = /i(*. f) + 7"ft(* f)**
оц х i.( х\ д*и - ( * \ .
"*"-"Ч*- тг тг-г« ('• уг
■М-тУ-т^-тУ-т^-тУ-^-"
х* „ / х \ , 2х , / х \ ди
. / / ди г г ди -
= /i + yh Л- 4«/з; —г— = х/2 + xzfa —— = xuf3J
с/у ог
д*" »- .,- ...- .» /■ » о2"
■ а>а = f и + »V» + у'г'/зз + 2y/i2 + 2уг/13 + 2у'г^2з; f =»
- . д>и . д1и
= х'/и + 2х*г/м + xV/зз; —— = ху/зз;
аг* " дхду
д*и
= ху/и + хуг'/зз + xfв + xzfa + 2хуг£а + /г + г/з;
дхдг
— *yfl3 + хуЧя + ху*г& + у/з: ■ , , « хгу(<а + х*уг/зз +
ау ог
д*и
+ *& 3286. — = /;,+(х+у) ^2+ху/"и+ 4 3287. Ди - 3/п+
+ 4(x + y + 2)f'n + 4(x2 + y2 + z*)f2t-i-6t2. 3288. <*« =

ОТВЕТЫ 583
~!'(l)(dx + dy); d*u = J'{f){dx + dyyi. 328». ** =
^■r. ^+y +r. шгхХ - wl+—
x* + jf ^ (х* + £*)3/г
= f(t)dt, dlu = f(f)dfi + f'(f)dit, где «H = »»£* +7*ty-{-
-f xyd? и d*< = 2 (zdxdy + ydxdz + xdydz). 3292. do = 2f X
X (xdx+ydy + zdz); d*n = if -(xdx + ydy + zdzf + 21' (dx*-\-
+ dyJ + dz1). 3293. du = of Jdx -f 6/^j/; A = cPfadx2 +
+ 2abfl2dxdy+b,f7iiy2. 3294. du = ?j.(dx + dy) + /; X
X (dx - dy); d2« = f\, • (dx + dy)2 + г/^йх2 - dy2) + 4 X
X(dx-dy)*. 3295. du = f\-(ydx + xdy) + C ydx~xdy ;
d2«* = /;,.(влг + xdj,)2+2/;2. yW~xW + & x
x fr*-«w +2/;.^y-2/2- w-*»* ,
3298. du = f'l-(dx + dy) + frdr, d2u = fu-(dx + dy)2 +
+ 2fl2-(dx + dy)dz + f'2idz2. 3297. du = t'v(dx + dy + dz) +
+ 2/2 • (xdx + ydy + afc); I A = fi, • (dx + dy+ dzf + \fn X
X (dx + dy + dz) (xdx + ydy + zdz) + 4ft*2 (xdx +ydy + zdz)% +
ydx — xdy
-f 2fc- (dx2 + dj/« + dz*). 3298. du = t\ ■
У*
, t. zdy — ydz _ . (ydx —xdy)* ,
+ /2 ; <P« = /ll +
- {ydx —xdy) (zdy — ydz) . (zdy — ydz)*
+2b yv + fe ? "-
. (ydx —xdy) dy f (zdy — ydz)dz
— 2/1 2/2- • 3299. du ==
y* z>
- (/;+ад;+з/%) dt; a - (/;,+4#;2+4^+«*/;3+
+ 12/V23 + 9/4/да + 2/2 + 6^з) <"2- 330°- du = fl/^ + bfay +
+ c/>; d2« = a^jdx2 + &2/^ + c2/^2 + iabfaxdy +
4- 2acf\jlxdz + 2bcftflydz. 3301. do = 2f[-(xdx + ydy) +
+ г/, (xdx-ydy) + 2t'y (ydx + xdy); A = 4/"„ - (xdx + ydy)2 +

584 ответы
+ 4f'n.(xdx-y dyf + 4/*зз-(y dx+x dyf + Sf\2■ (xW -уЧу2) -Ь
+ 8Лз- {x dx+y dy) (y dx+xdy)+8h3-(xdx— у dy)(ydx +x dy) -j-
+ 2f\ • (dx2 + dy2) + 2f'2 • (dx2 - dy2) + 4/3 dxdy. 3302. d"u =
= /<n> (ax +by + cz) (adx + bdy -f- с dz)n. 3303. d"u =
/ д d д \п
— ladx——- + bdy-y- + cdz-—\ f&, r), £). где I = ax,
Г / a a
tj = fey, I = cz. 3304. d"u = I dx I 0l —- + oa — 4-
a \ , / a ,a 5\,/a.
+ *1г)+*(*1у + *1*Г + *'1г)"г*(е11Г+
+ с2у-+с3-^-)]П/(|, t,, 0. 3305. F(r) = }''(r) + -yX
dz dz
Xf'Cr). 3316. 1. 3319. xyz. 3331. x — у = x.
dx dy
dz dz dz dz
3332. 2x + y =2г. 3333. y-— — x = 0.
dx dy dy dy
du , du , du _ du du ,
3334. -Z-+-r-+-—=Q. 3335. x—-+У-—- +
dx dy dz dx dy
du агг дгг dz
+ г = 0. 3336. = 0. 3337. г = X
dz dxdy dxdy dx
dz d1z а2г „ dz dz
X—-. 3338. — —— = 0. 3339. x— +У-— -=z.
dy dx2 dy1 dx dy
д*г агг dz dz
3340. x*——-y*—- + x-—-y — =0. 3341. 1-
dx* dy2 dx dy
,— dz л
— V3 . 3342. = cos a + sin a, a) a = —;
dl 4
5" 3n 7я „„,„
6) a = ; в) a = —— и a = ——. 3343.
4 4 4
2 1 , 5m
3344. У2(аг+&г)- 3345. —- =
ab dl
= cosa+cos B+cos v. |gradu| = V3~. 3346. |gradu|
(gradi/, x) = ———1 cos (grad и, у) <
1
—, cos va ,
'o r°
*= —1 cos(grad «Гг) — ~> где r0 = \ x\ + jfg + ^ .
3347. —. 3348. «3142. 3350. -^r=TTcos,a +
2 dl* dx*

ответы 585
, 0*u 3»« d'u „ IPu
•f—-r-cos^P +—-c0S»V+2 -cosacosp+2—— X
dys dz2 dxdy dxdz
X cos a cos v + 2 cos P cos f. 3352. -—— «=> — 0,5.
ду дг ay
3353. u"xx (x, 2x) *=uyy (x, 2x) = — 4/3x, «;„ (x, 2x) =• 5/3x.
3354. г = жф (у) + *|> (у). 3355. г = <р (ж) + ф (у). 3356. г =
= Фо (*) + </9i (*)+... + Уя_1 фл-1 (*)• 3357. ы = ф (х, у) +
4- г|> {х. г) + х (у, г). 3358. и = 1 + х»у + уа — 2*«. 3359. г =
= 1 + ху + у\ 3360. г = х + у* + 0,5ху (х + у). 3362. Нули
функции f (дг) пе могут целиком заполнять никакой интервал
(а, Р) с: (а, 6). 3363. Множество нулей функции f (х) должно
быть нигде не плотным на интервале (а, Ь), причем каждый нуль £
функции f (х) одновременно есть нуль функции g (x) и сверх
того существует конечный предел lim [g (x)/f(x)]. 3364. 1) Бес-
численное множество; 2) две; 3) а) одна; б) две. 3365. 1)
Бесчисленное множество; 2) четыре: у = х; у= —х, у= \х\ я
У— —1*1 ; 3) две; 4) а) две; б) четыре; 5) одна. 3366. 1) Ни-
где; 2) 0<|х|< 1, |х| - Л/ 1+^— J 3)х=0, |х|=-
V^
l;4) 1 <|х| Л/ ; однозначные ветви: у-
-.VWi+'-OW-1^)--
где е=—1, 1. 3367. Точки ветвления: (—1, 0),
(0, 0), (1. 0); у = е(х) " '-'+I (2*'+ °
V—
2
(|жК1), где е(х)= — 1, 1, sgn x и — sgn ж. 3368.
Множество значений функции <р (у) должно иметь общие
точки с множеством значений функции f(x). 3371. у' =»
ts» ', у с= - — . НИ. у — , у = .
х —у * (х — у)3 х— у (* — у)*
1 —е sin t/
3373. у' = ; у' = у—.
1-е cos у (1-е cos у)3
„7. , y'(l-lnx) . „ уМуО~1пх)'-2(х-у)Х
00/4. и = , и = »■
х*(1 — 1пу) ««(1 —lny)*
Х(1-1пх)(1-1пу)-х(1-1пу)Ч х
*«(1-1пу)3 У *'

586 ОТВЕТЫ
у* = 0. 3378. у',(0)= -1; ^(0)»1. 3379. у\ (0) - 0;
i,2(o>--V»"; io(0) = Vr. 3380. /» - 2х+ У ;
х+2у
у» » ; у- = ^—• 3381. ,' = 0;
* (х+2у)» У (х + 2у)» * "'
. _2_. „ _2_ ^^ _*__ 5_. ^ __
* ~~ 3 ' У ~ 3 ' дх г ' ду
У . д*г х»-}-*8 д*г _ ху
в Г* ах* ~ г» : дхду ?"'
д*г «г'+г* «._. дг уг дг
= —■ . 3384. = ; ==
ду* г* дх гг — ху ду
хг дЧ ЧхуЧ дЧ _
■ху ' дхг (г2 —ху)3 ' ду1
2х*уг дЧ г{г* — 2хуг* — х-у*)
(г2 —ху)» дхду (г* —ху)»
дг дг 1 д*г дЧ д*г
3385.
дх ду х+у+г— 1 * дх* дхду ду1
_ х+у+г дг ^ хг дг
(х+у + г— 1)» ' ' дх х» —у* ' ду
уг д*г уЧ дЧ
х* — у* ах» (х* — у1)1 дхду
*У* ^ _ **? 3367 —
(х* —у»)» ' ду* <х* —у*)» ' ' дх
—-_1 ** — Уг ^
ду дх* дхду ду*
д»г 2 д*г
3388. а) —2; б) —1. 3389.
дх» 5 ' дхду
1 д*г 394 _ с* / xdx ,
3390. <fe= — (—— +
5 ' ду* 125 г V о*
Т Р )' з» 1\ а* ^ (* ) а* а*Ь* в*иут
+f-f+4,)-f-1- «"■ ,гв_<1-^>^+<'-"^;
V**c*/ft*J I — ху
_ 2 (у(1-уг)<<х»+1*+У-г(1+ху)14х<<у+*(1 -хг)<<у»}
им. <fa- z(ydx + ,dy) л_ z*(ydx-xrfy)»
8393. <fe = dx — — (*_ 2)<<У ; <Рг
ifC + г) у*(* + г)*
dy*. 3394. du ■■
(х-*)» + у(у+1)
2(*-z)(y+i)K*-»)» + y*i
К*-г>* + у(у+1)]»

ОТВЕТЫ
5S7
_ u*(dx + dy)-z»dz ш, дЧ _ 4(х-г)(у-г) ^
«I2(x + y)-ul ' ' дхду (F', + 2xf2)3
. ., . , ,. ., ,, 2(f;4-2«^)(F,42yf2)F:
X If2I'll -2f if г/1г + Fi f 22J- — . , ... — •
(f.+fefj)3
& F'l — F'z дг f2— ft ,,„_ &
З39в. -т-=—; —; -r-=—; —• 3ASi- T~
dx F3-F9 dy F,-F\ dx
~('^>
дг
ду
дг
ду
f2-
п-
-1
-F'l
-п
ll+
дЧ
дх1
- ~ f3- К{FИ + 2^ + 4) -2 (f i + F't) F3(f-„+ 4) +
x (f2V;, _ 2f if ;f;2+f;Уя) - * (xf;+yf;) f ;*j.
„«, , Л F?F'\l-2Fif 2^12 + ^22 „ . a
3399. a) <ft= — — — (dx — dyf;
(Ft + F,Y
б) Л=> (ydx-jrdjr)».
(xf,+yf2)3
3399.1 <k = — (2dx — dy); &г*= --^-(2dx* — 5dxdy +
+ MW 3401. -£--*=*-; А--£=£-.
dz x — у о* x — у
3402. -£- = 0. J&.--I. -*5_= _.**_« L.
<fc <£г «fc* Лг« 4
3403. du = _, т + У° . * ^ y« —xp . a« __ xt— уи .
dx x* + y* ' dx x* + y* ' dy x*+»s '
-*L= xu + yo (^ + ya>0). 3403.1. Ai = -dy, dc=»
dy x* + у2 З
= -dx + ±dy. 3404. d«= <sint,+*cosP)**-<»»Д»-*cos0)dy
3 XCOSO+yCOSM
j.,^ — (sing—у cos tpdx . (sin u+y cos «)<fy . (P|(=_(ft|s,
x cos 7 -{- у cos и xcosv-f-ycosa
_ (2dxcos о — xdt>sine)do (2dy cos и — ydu sin и) da
xcosp-fycosu xcosp+ycoeu
3405. due —(dx + dy); dv=—dy l-{dx—dy); d*us*dx*}
2 4 2

588
отвгты
d*v = —(dx-dy)*. 3406. -^L = 2f<+— V, — = з(/» +
2 rf* V t)' dx \
дг о d* 3 . . . 7 , . ,._, . дг 3 .
= — 3uo; = —(и-\-о) (и Ф о). 3407. L = —;
дх ду 2 дх 2
* » 3407.2. _*_-JL. 3408. Л
ду 2 дхду 121 дх'
вт'ф+соз'фсся'ф „ пп d'z sih2o д*г
S= — . «J4U9. = i S3
sin3 ф дхг и* дх ду
= __££1*L. _У2_=__М£2о__ 3410. Л-0; Л-
-l(d^lrt. 8411. -^ 2(Х'-у2) ; -^-_if=?IL +
2 dx х — 2у dx2 ~ х—2у
i 6* 3412 а" -т ' ■ (*+!)(?-*) ^-^
(дс—2у)3 ' дх у+г ' (г+1)(5,+г)»
JiL^ * + г + (Н-0(у-«) еУ-г, ми. _Ё- = Lx
^ (у+г)4 (г+1)(у+г)' дх /
X f ^ дХ дф дх Ч дг 1 / д% дф дх дф \
V ди до до ди ) ду I \ ди до до ди )
rael^JS-Л. д±_Ё2..3414. -^-=-L J*H • ди =,
ди до ди до дх I до ду
^_ L-дф.- а'и 1 г/ дф Уф _ дф д'Ф \
= / до ' дх* I* [\ до ди* до ди* )
х f^-V sf9* ^ ^- -£$-Л -^- -*t+ (-**- х
V ди J \ до ди до до ди до ) ди до \ до
дгф _ дф Уф \ / дф У]. дг" _ 1 (/ дф дгф
до' до до*)\ди)}' дхду~ Р {{. до ди*
дф д*У Ч дф дф / дф д'ф дф д'ф \ / дф
до ди* J до до \ до дидо до дидо /\ди
_дф_ , _дф_ _дф_Ч , (Jty_ ^Ф дф Уф Ч дф дф )
до до ди ) V до до* до до* ) ди ди)'
д*и 1 (/ дф д'ф дф
ду ~
_1_ (/дф д'ф дф_ УфЧ /дф у _ 2 /дф x
/» \\ ди ди* до ди* )\ до J \ до
д'ф дф д'ф Ч дф дф . / дф д'ф дф Уф V
ди до до ди до) ди до \ до до* до до* J
'Л , дф дф дф дф „.._ . ди
}, где / = —i - - J-. 3415. а) =»
) ди до до ди дх
ди _ . _о_ _ до / . v о _£_"\ •
ду и ' дх \ и и и У
-.cos-

ответы Б89
до v , v . v ,. ди sin о
= cos 1 sin —; б)
ду и и и дх e"(sino—coso)+l '
ди — cos о dv —(е" — cos о) #
ду е" (sin о—-cos v)-\-\ дх u[eu(s'mv — coso)+l) *
dv e" + sin v du _ 1 cPu
ду и [eu(sino—coso)+l] ' dx It ' dx*
l]\d(y, г) \ дх ду 3dz)i д(у,г)\ a*
+ /«-f +/> -Я в+ -тНт fair + '--f+
ду дг J д (у, г) \ дх ду
-tJ'Y
д(у. г) д{г, х)
A(i5_*) „ j .. °(1 Я. ^) 3417. д" - dt ■ д"
д(х, у) D(x, у, г) дх дх ду
= JL + _b*L, гяе/1==Л^А). . /а, *("■ » .
5i/ /,й!/ д(г, t) д(г, t)
3418 J^—Jl.- JllL — Jx.- J!L=J±. r„e / =
дх I ' ду I ' дг I ' '
_ a(g. ft) , a (ft, ft a(/. g) d </, g, ft)
а (у, и а (р. ш) a (o, cwj d (u, у, u>>
34,9. d*= —^£±Z^, где/1= 'J-* , /,. 5<^
a(*. о а((/, о
l JULJL, 3431. х"'+**'5=0. 3432. xlV=0. 3433. -^-_
д(г. t) dt1
_,(_*£Л3 = 0. 3434. ■ *»- + ^ = 0. 3435.-^.-3-^- +
+ 2-^-—ву = 0. 3436. -^- + rtJi/=0. 3437. J-!L-\-m?y=0.
dt dP dp
u" + U (x) *- P* (x) i-p' (x)] и = 0. 3439. -^- +
3438.
+ (u+3) —+2u = 0. 3440. _^i- = 0. 3441. -^- = 0.
dt dt* dt*
dlu / du \3 d3u d2u
3442. -2-=-+8uf —) =0. 3443. <* -^- + (3<» + 1) -=-=- +
dP \dt ) dt3 dP T
+ -^-=0. 3444. u"—u's= - u. 3446. Ф(1, u, u'+ua)=0.
d* (a —fr)a
3447. f (xu' + u» — u, и. 1) = 0. 3450. — = r. 3451. rn =*
dq>
6= 1~sw24) r». 3452. г(г» + 2г'г-гг'') = г'«. 3453. —.
sin 2ф г

3456. w =-?-{* ■?£■]. 3457. Y' = x; Y'^-L-; Y
690 ОТВЕТЫ
3454. K= I****"-"*'. 8466.^—*!* -£.--1.
(,* + ,'2)3/2 d/ dt
dt V л/
= ——z—. 3458. г=ф(х-{-у), где ф — произвольная дифферен-
V*
инруемая функция. 345». г=ф(х* + У*) 3469. г = 1-
а
+ 4>fo-fe»- 3461. z = x<f(-2-\. 3462. — + — =г»shя
\ х / du op
8463. _*_ = _*.. 3464. -^- = -L. 3465. -£- = -i-X
ди до до 2 до v
X * + " . 3463. <2« + р_г> — + {и+2о-г) -^-=«+0-2.
г* — и ди до
дг У
с-г-т+ш
«*+* — 2»
3467. - - . 3468.
3466. -^-=0. 3470. -«L = JLZ£.. 347,. -*L+ -*£-,» J
3472. Л И»' иЛ. 3473. *
дх , дх V д\
(дх . дх V
« ^ о 1
ди до J
+-£-+-^-+зв+^+вП+'С)=о- м74- -£--*
Л] at do
«75.-^=0. 3476. *U=0. 3477. ««f^Y+ 0»(-g-Y«
ea,ii».-£.. 8478. Ь * i_. 3476. Д«
ди
B*L,iL, 8480. -^- = -&L. 3481. ■ = -fr«
ди do dl С дф
8482. w » r
Ar

ОТВЕТЫ 591
3486. — J5L. 3487. /= -L (-*L -*L-*L Л.Л.
дф* г \ дг дф Лр dr )
3488. и = ф (jc — at) + if (i + а/), где ф и i|> — произвольные
функции. 3489.3 ——(-—= 0. 3490. -^-+-^i-= 0.
du dv du du* dv*
3491. .(_* -*Л+»-*!_ + с'-Л *
ди* du 7 dudv V ди* dv
■)-
3492. J!L. + _^=0. 3493. -*3L + Л- + mVi=0.
ди* dv* ди? dv*
3494. _«*—.0. 3495. _£_«-!_-*-. 3496. -J*-=
ди dv ди dp 2и да ди dv
2 дг ,._, . , », д*г дг
= . 3497. (и* — v*) = v .
и (4 — uv) до dudv ди
3498. -*L=.-^ д±-. ЫП.-£-+-±—(„Л~
dv* u* + v* du dudv u*—v* \ du
дг \ n ,.M /, дг \ д*г . дг d*z ,
— и 1 = 0. 3500. К 1 I { ■=» 1.
да/ \ dv J dudv dv dv*
3501. и = ф (x + X,y) + ip (ж + X^), где Xt и X* — корни
уравнения A + 2BX + CX* = 0. 3503. а) Дц == -^- + — —;
аУ» /■ dr '
« д /а * d*u . 2 d*u 1 <1*и . 1 du
б) Д (Ди) = . 3504. иХ
dr* r dr3 r* dr* r* dr
.. d*w , dw , осп, v d*u v d*u ,
-cw = Q. 3505. A = X Y
du* du dX* dXdY
du
dX
■ ~"s-0*)+^t)+'-srx
3509. J*-+-*!- +J*-. 0. 3510. J5L.0. 3511. M-
*? *S *5 *■
__ / ди \2 . 1 / ди у I ! ( ди¥- Дц = -1~х
Ui r* ld6/"t~ r*sin*e l дф J ' *" /■»
L dr V дг У sinG дв \ дв J sin*e дф* J
.(J!2.+JiWJ»LY+f*LY. 35i3.
v а** d«*; v dw Vdy;
d*ifl
ди*
3515. i5L = JL. 3516. *"
ди* 2 du*
Ни J dv* du*

592 ответы
Tw to
ЭЫ_ /J»y + C*LY-0. 3519.
di>a V. duj \ dv J
dudv 4sin*(u—v)
3520. J^ + -^Le0. 3523. J5L-.0. 3524 *"- +
du* dv* dudv d?
+ (~?")2 + ("5")2]' 3526' ^«"М+ФЮ- 3527. AIX,Y)X
X i!£_2B(X, У)-Ё*?_+С(Х. К)— =0. 3528. ^=^— =
dY* dXdY dX1 — cosasinfo
= !LzJh ^ г~г° • z-Zo^x-XoJcosatg/o + te-
— sin a sin/0 cos/0
— Уо) sin о tg to, где x0 = a cos о cos t0, Уо — a sin о cos to, ъ> =
= a sin to- 3529. JL -f JL =, 1, y= —; ax—« = — (as—c«).
а с 2 2
3530. *-1 д У"1 =JziL; x+j,+2?=4. 3531. — =
1 1 2 3
=-^-=iZ^; Зх+Зу—г=3. 3532. х+г=2; jH-2=0;x—г=
=0.3633. Mi (—1,1.-1); Mt ( -, 4 -Y 3537. tgq> =
4 3 9 2/
= £ (*o> Уо) cos a + f'y (*o> Уо) sin «• 3538. -^- = —.
3539. 2x+4y — г — 5 = 0; *~X = У~2 = г~5 .
2 4—1
3540. Зх+4у+12г=169; — = -£- = _!_. 3541. г= --
3 4 12 4
л
1 у *—1 У—1 4 _„,„ ,
(х — о); = -2 = I— . 3542. ах0х +
2 1 — 1 2
+ ftj«f + «V=»l: *~*° = У~Уо = '~~?fl . 3543. х+у-
ах0 Ьуо его
—2г = 0; *~~' = У~' =. г"~' . 3544. х+у~- 4г «= 0}
— 1 —1 2
Ж~2 = У~2 = -^-. 3545. — cos>h,cos(pe+-^-X
1 1 —4 а о
.к ■ . г • . . х sec ф0 sec <ро — о
X cosipoSinqH sinifo=l; -^—- =»
с 6с
д ysec^0cosec<p0-b = zcosecfr-c ^ ЗИ6 xcos<ft) +
ас ab

ОТВЕТЫ
593
•+• у sin <Po — г tg о 8= 0;
г— r0ctgq
-tgo
X — «о COS Wo
х — га cos фа у — r0 sin <pe
cos фо sin ф0
3547. oxsinwa — <jycosw0 + и<# *= au0vtf
a sin Co
у — и0 sin wo г — ас'а
"о
3548.
— a cos w0
3s
"о
Зу
+
-L- = 2. 3549. Л(0, ±2V2, * 2 V2); S(±2, *4, ±2);
С(±4, Т2, 0.) 3550. х=± -4", у = ±~, г=±~,
dad
где d=,Va*+6»+c». 3551. х+4у + 6*=±21. 3556. х» +
+ у» — *У=1. 2 = 0; Зу1 + 4г* = 4, х = 0; Зх»+4г* = 4, у = 0.
3557. 6 < 0,003. 3559. cosqi:
2йгв
а^/аг-\-Ь*
3563.
ди
дп
+ 0о+*е: ») *о = Уо = 2в = —т=~; б) *в = у0 = гв =
в) на окружности « + 0+2 = 0, ж» + у* + ** = 1
»«о +
1 .
3564.
л/з" '
ди
— =а
дп
л/4
. 3566. х» + у»«= р*. 3567. у= ±х.
4. + A+J.
a* b* с*
3568, у1 =» 4а*. 3569. Огибающей нет. 3570. х*/» + у*/» = Л*.
3571. |ху|
2я
3572. у =
g*2
. 3574. а) у=0 — огн-
2* 2wg
бающая (геометрическое место точек перегиба); б) у—0 —
огибающая; в) у — 0 — геометрическое место особых точек {то«
чек возврата); г) * = 0 — геометрическое место двойных то»
чек, х = о — огибающая. 3575. Тор (V** + У* — R)2+ г* ==>
= г». 3576. х» sin* a + у* sin» fl + 2» sin» у — 2ху X
Xcos a cos Р — 2x2 cos a cos у — 2уг cos p*cos y = 1. 3577. |хуг|=»
——г— . 3578. | г± У*а+ у* | = p V2 . 3579.
4я V3
+
Уо hi
+
^ЯЧ^ + ^+г*)- 3580. (х-*о)»+(у—
гь x0|
- Уо)* = (г - го)8- 3581. / (х, у) = 5 + 2 (х - 1)» - (х - 1) (у+2)—
-(у + 2)4. 3582. /(х. у, г) = 3[(х-1)»+(у-1)» + (г-1)»~
-(X-D(y-I)-(X-I) (*_l)_(y_l) (2_1)] + (Х"1)»+
38_23»3

694 ОТВЕТЫ
-r-(sr-l)s+(z-l)8-3(*-l)(sr-l)(z-l). 3583. Д/(1. -1)=
а=Л —3ft + ( —Л* —2/ift + ft*)+ (A'ft + Aft2). 3584. f(x + h, y+k,
г+/) = /(*. У, z) + 2[h(Ax+Dy+E)+k(Dx+By + F) + lx
X(Ex+Fy+Cz)] + Hh, ft, 0- 3585. *» =. 1 + (x- l)+(x- 1)X
X(sr-l) + /?,(l+e(x-l). l + 6(y-l)) (0<е<1). где
я*(*. »)-YJC"[("J"dx+,nx"''»)'+3("7" <**+1п*^) х
x(-^a+^^) + (^*s-^*V)] ndx~
= x-l. dy = y_l. 3586. 1 L(x*+y*) L(xz+y*)».
2 8
3587. a) 1 -(*'—у2); 6) -iL-}-x_Xj,, 3688. —(Ху + хг +
+ у*). 358». F <*, у) =-£- (4 + Q+-J- (ft„ + C) + • • •
4 48 ,
3590. F(p) = /(*. *) + -£- [(f'xx (x, y)+f'yy(x, »)].
3591. W(M)=4-+rf^^y,M>1-
* длду Z-iZ-. m!(n — m)\ дхтдуп-т\
I n=3m=! J
oo
3592. F(p)=f(x, y)+Y —^ (—Y" A"/ (*■ У), где Д =
La (nl)» V 2 У
__J?!—1—<?!_. 3593. \+mx + ny + m{m~X) x* + mnxy +
дхг ду* 21
•Ь "{п~ ° у» + ... (|х|<1, |»|<1).
3594. V (-П—Чт + п-!)! ^ flx| + If|<1).
Z-i /nlnt
т. п=»0
со оо
Zu £j /и! (2л 4- О»
т=0п=О
3596. У V ( - В" *\ У' ■ (|х|< +■«. |у|<3+оо).
£j /_, т! (2л)!
оо оо
3597. \ ) (-1)т - * (|хК+оо. |у|<
LuLt (2/п+1)1 (2я + 1)1

отввты
593
[+оо). 3598. У* У(-1)т /о^" (|*1<+оо, \у\<
Li La (2m)I (2n)t
m=0 л=0
oo
: + oo). 3599. У (— 1)" (** + yt)Vt+X (*» + y' < + °o).
Li (2n+1)!
00 00
ЕУ(-1Г -^^- (I*I<1. |У1<1). 3601. /(x. y)=
8600.
OO 00
1+ЛГ—i-V "»■ У У c-Tfr + 'r
3 \, 2 У Z-iZ-i m!n!
m=0n=0
<|x|<+oo, |y|<+oo). 3603. £ (_1)"[1 + (х-1)]0/-1)«
(— oo < x < + oo, 0 < у < 2). 3604. г = 1 + [2 (x — 1) —
-(У -1)1- [8(x-l)*-10 (х-1)(у-1)+3(у-1)Ч +
+ . . . 3605. (О, 0) — изолированная точка, если а < 0; точка
возврата, если а = 0; двойная, если а > 0. 3606. (О, 0) —
двойная точка. 3607. (О, 0) — изолированная точка. 3608. (0,0)
— изолированная точка. 3609. (О, 0) — двойная точка.
3610. (О, 0)—точка возврата (второго рода). 3611. (О, 0) —
двойная точка. 3612. Если а < Ь < с, то кривая состоит из
овала и бесконечной ветви; если а = Ь < с, то А (а, 0) —
изолированная точка; если а < Ь — с, то В (Ь, 0) — двойная
точка; если а=6 = с, то А (в, 0)—точка возврата. 3613. (0,0) —
двойная точка. 3614. (О, 0) — точка возврата. 3615. (О, 0) —
точка прекращения. 3616. (О, 0) —угловая точка. 3617. х =
=Ая(А=0, ±1, ±2, ...) —точки разрыва 1-го рода. 3618. х=
=0—точка разрыва 2-го рода. 3619. х = 0 — двойная точка.
3620. х=*я(А=0, ±1, ±2,. ..)—точка возврата. 3621. гт|П =
=0 при х=0 и у=1. 3622. Точек экстремума иет. 3623.
Нестрогий минимум *=0в точках прямой х—у+1=0. 3624. Zmin^
=—1 при х=1 и у—О. 3625. zmax—108 при х=2, у=3; нестрогий
минимум г— 0 при х= 0, 0<у<6; нестрогий максимум г= О
при х=0, — оо < у < 0 и 6 < у < +00. 3626. 2mjn = —1
при х = 1 и у — 1. 3627. zmin = —2 при xt — —1, ух — — 1 и
*г~ 1. Уг— 1". экстремума нет при х=0, у = 0. 3627.1.
Максимум г = 0 при х = 0, 1/ = 0; минимум г= —1— при х=>
8
= ± — t у = ± 1; седло г= — 1 при х = О, у = ±\, и сед«
2
38*

596 ОТВЕТЫ
л г== рри х=± — , y = Q, 3628. Минимум г = 30
8 2
лрих = 5и0=2. ЗС29. *„,,„ = ^=г- при — =э
3 V3 а
У 1 ab х у 1
6 V3 3V3 о ft V3
3630. гтах =У«ТЙГР" при *=.—, 0 = —, если с>0:
с с
zmin= — л/в! + &г + с* при х = —, у=—, если с<0;
с с
экстремума нет, если с = 0, в* + й*=^0. 3631. zmax = I при
ж = 0 и у = 0. 3632. Минимум г = 0 при х = 0, у = 0; седло
г= — е-' при х = , у = . 3633. Седло г = е8 при
2 4 2
х=1, у= — 2 3634. Максимум г = «"" « 2,26-Ю-' при х=1,
и = 3; минимум г = —26-е-1/"» —25,51 при дс= , о =
26
_ _. 3635. Минимум г = 7— 10 In2 as0,0685 при х=1,
26
у = 2. 3636. гтах = — л/3 при х = —- и у = —-. 3637. гтт=
2. 0 0
Зл/з" 2я . зУз~
= у-— при х = у = —-; гтах = i— при х = у^
8 о 8
— JL, 3638. Седло г = —1+—1п2 + —я« 1,70 при х==
3 2 4
= 1, у=1, 3639. Минимум г= да —0,184 при х = у —
2е
=±—^=-«±0,43; максимум г= при х—— «=±-7=:
V2e 2e уг*
экстремума нет в стационарных точках х = 0, у= ± I и х=
= ±1. « = 0. 3G40. Стационарные точки х = ( — 1)'"+»-|-
= " к 12
+ (m+n) —, у=* — (-\Г*1+(т-п) — (т, л = 0, ±1.
2 12 2
±2, . . .). Экстремум г=тл + (— + У§Л ( — 1)т+1 + 2(—1)п,
если тип различной четности (максимум при т нечетном
и п четном, минимум при m четном и п нечетном); экстремума
ьет, если тип одинаковой четности. 3641. гт|п = 0 при
* = 0 и у — 0; нестрогий максимум г = е~х при лс* + у2 = 1.

ответы 597
8642. umm = —14 при х — — 1, у = — 2, г = 3. 3643. Ми-
нимум и=—6913 при х=24, #=—144, г= — 1. 3644. Мини-
1 а1
мум и = 4 при х — — , у = 1, г =» 1. 3645. umax = —— прв
х=о=гг = —: нестрогий экстремум «= 0 при у=0, хфО,
7
г ф 0, ж + 2у + Зг ф а. 3646. Минимум u = -^fL l/ _±_
4 V 16ft
1 'Vic lit ' Vtc-ПГ • .. / a»*7
при x = — У 16auft, у = — У 16a4ft , г = — /1 / .
н 2 4 2 V 4
Максимум и = 4 при х==у = г = —у; краевой минимум
3647.
и = 0 при дс = у = г = 0 и х = у = г = п. 3648. итах
\лЧ-л+2/2 2
при *i = я»13 • • > =*я==
=(——У
. . л'+ « + 2
3649. Минимум ич» (я + 1)2,/п+| при х, = 21/""н. хг = х\, ....
дсп = дс". 3650. Числа а. х,, х2, .... х„, ft составляют геомет-
п+1/"Т
рическую прогрессию со знаменателем <?= I/ — . 3651.
Минимум гх=—2 и максимум га = 6 при х=1, у=— I.
3652. *„,,„« -(4 + 2 Уб~) при * = у = -(3 + Уб~); гтвХ •
в2-\/б"—4 при х = у= — (3 — V6~). 3653. Нестрогий минимум
а За'
г=я — т=- при дс2 + о* = , г<0; нестрогий максимум
2 V 2 8
а За* 1
t= j=- при х* + у' = , г>0. 3654. гта, =— при
2V2 8 4
1 1 ,--- Va' + ft»
ж = 1 У = — . 3655. гт|п = — — при х =»
2 2 \аЬ\
_ fte _ ае. _ *\/а.% + ft*
- Vo^TftT • у v^TF"; w П^й
fte ae ,
Ve* + ft Ve + ft
,„-- a»fts ab- alb
3656. гтах = ———— при x= — —, у
a* + ft* ог + й* a*+ 6* '
3657. zmin = X1> гтах = Х„ где Xi и Х, — корни уравнения (А —
— X) (С — X) — В* = 0 и X, < X,. 3R57.1. Максимум г = 106 -Ь
4
при х = ± 1 —, у = ± 4; минимум г = — 50 при х = ± 2,

598 ОТВЕТЫ
!/ = ТЗ. 3658. Экстремум z=l+ (~",J при х = — + — ,
V2 8 2
д= 1 (fe = 0, ± 1, ±2, . . .) (максимум, если ft—
8 2
четное, и минимум, если k — нечетное). 3659. umin = —3 пря
1 2,2. , 1
* = — • У — — » г = — ; "шах=3 при * = —-, у =
3 3 3 3
2 2 ,ecn am*n*i>mmnnpP
= , г = —. 3660. ытах== при
3 3 {fit + я + р)т*"*Р
— = JL —_£_ — ? . 3661. umin = c» при *=0. у =
т я р т + я + р
= 0, г=±с; итах = а* при х=±а, у = 0. г = 0. 3662. ита» =
= f_) ори,=У=г=Т. 3663. «-.--j^
при «-»--^г « г = —7Г-
12 12
* = г = — и у = —-, у = г -
Ve V6 Ve" V6
I 1 2
«m«*= —- при * = у= — и г = ——, х = г
зув л/в л/б
12 12
" У = —— • У "
3663.1. Условный максимум и —2 при дс = 1, j=l, ги|.
3664. «„,,„ = — ори х=у=г = -£-. 3665. umi„=Xi и umax =
8 6
= X,, где Ai и A., — корни уравнения X*—I | — +
nflM #3 (A cos a + fl cos P + С cos 7)1
3066* Utniii ^ ~~
m a* + B* + 0
3667. umi„= j \ —^- I при
'—(it)"
(«' = 1, 2. .... n). 3668. umlI1 = ——— при *,= —
я""* n
V = 1, 2. . . . , n). 3669. umjn = I V Va/P/ ) ПРИ *i =»
-(gV4>T)

ОТВЕТЫ
509
- Л/-J- (,§ Vctf/ J 'С - 1. 2 n). 3870. «max =
«f 1-2 V ^+- + e« «A«A.. . ««- при
V«i + a, + ...-t-a1I)/ • 2 "
-^- = -^-=...=-^-= ^ . 3671. Экс
«i otj a„ oi + a» +. . . + o„
тремумы u = k определяются из уравнения \<щ—Х6,-,|=0,
где Ьц ==> 0 при 1Ф j и б,-, = 1. 3675. Inf г = — 5, sup г =
= —2. 3676. Inf г = — 75; sup г = 125. 3677. Inf 2=0;
sup г — 1. 3678. Inf и = 0; sup и = 300. 3679. Inf и =
*= —; sup и ■» 1 + V2*. 3680. inf u = 0; sup и — е~1ъ
« 0,37. 3682. Нет. 3683. Минимум равен "
п,—
3684. Слагаемые равны. 3685. Множители равны х;>
l/a,
( _L _L _L_\ a» a«
Vaa! a' at a' ... an a" У
1 J. ' 4. J- '
(1=1.
<*>a'
2 я), где oj (i = 1, 2, . . . . n) — соответствующие пока-
вателв степеней; наименьшее значение суммы ( j \-
+ . . . -\ И «га, Ч *..•<*„ "j
1 " 1 " "
3686. *■= —— X m'*'' У=—-£"»,<«, где М = E m'«
3687. Измерения ванны fyW, VW, — VW. 3688. // =.
= 2/? = 2/\/ , где Л—радиус цилиндрической поверхности
V Зя
| л л
и //—ее образующая. 3689. х= v . ' V „

600 ОТВЕТЫ
Минимальная сумма квадратов расстояний равна я— 2N -f»
л
-|- J] (*?+#? + 2i)- зв90> ^'гол наклона образующих конуса
2
i=i
к его основанию равен arcsin-
3691. Угол наклона боко-
2
вых граней пирамид к их основаниям равен arcsin
о
3692. Стороны прямоугольника—— и -£-.■ 3693. Стороны
о о
р Зр Зр
треугольника —, —— и ——
2 4 4
3694. Измерения
параллелепипеда
2К
ор р
и . 3695. Высота параллеле-
л/з" V^ Vs"
пипеда равна — высоты конуса. 3696. Измерения параллеле-
пипеда-
2а
2Ь 2с
и
л/з л/з л/з~
tgg—V2
3697. Высота
параллелепипеда /t=/sina- — -^—, если a> arctgV2t и А = 0,
2tga—V2
если 0 < а < arctg V2 • 3698. Измерения параллелепипеда
а. »н-£-. 3699. ,\Л** + В* + Си + Р\ 3m rf= _1_
2
У/42 + В* + С2
±д
8701
*i—*2 У\—Уг *i—*г
«1 «1 Pi
/я«
я3 р4
i где Д= Л/
mini
Я12я»
+
"iPi
п2Рг
+
Pimi
P«M|
4V2
3702. Квадраты полуосей а1 = lj и i8 = Яя
являются корнями уравнения (1 — ХА) (1 — ХС) — Х2В2 = 0.
8703. Квадраты полуосей а2 = X, Ь2 = Ха и с2 = Я, являются
АХ— 1 DX FX
корнями уравнения
DX ВХ—1 ЕХ
FX £X CX—1
= 0. 3704. i^_X
\С\
Х^А2 + Вг + С\. 3705.
nabc
У<аг cos2 a + ft2 cos2 P + с2 cos2 7
2707. Угол падения равен arcsin (л sin — |; отклонение луча

ОТВЕТЫ 601
равно 2 arcsinln sin — J —о. 3708. Искомые коэффициента
аи Ь определяются из системы уравнений а [хх] -\- Ь [дс1 ] =в
п
= [ху], а [х\] + Ьп= [у\], где [ху] = £ *#,■ и т. п. Задач*
имеет определенное решение, если £ (х,—х/)гФ0. 3709. tg 2o=
2(х-у —ху)
<■>■/
-, р — х coso+ у sin о, где х ■=■
Ua-(*)2)-ly»-(y)*)
." .я
с=— J^xj ху^— Л xfy< и т. п. суть средние значения,
И ,=J И i«=I
3710. 4х — 7/2; Ami„c=> 1/2.
ОТДЕЛ VII
3711. F(y)= 1, если —оо<у<0; F (у)=1—2у, если 0<у<1»
f (у) = —1, если 1 < у<-\- оо. 3712. F {у) разрывна при у=0»
8713.8)—; Q 1; в) —; г) In te . 3713.1. 0.
4 3 1+е
3715. Нельзя. 3716. Нельзя. 3717. F' (х) = 2хе-* — е-*-~
_ J уЪ-w'dy. 3718. а) - (е«'sin °" sin ее + еа •cos e' cos o)+
X
COS «
+ j" т/Т^х* ee Vl~*' dx; б) (— + '—^ sin ее (6 + ее) —
sin« V ее Ь -\- а )
— (— + —| >)sina<°+a>: в) — Ind+a1); г) /(се. -се)+
\ ее а + ее/ о
« "М4*
+ 2f/u(u. f)dx, где u = x+ee и v = x — се; д) 2о J sin (y*+
о «'—«
«' а* *+а
+ а4 — се^йу + г Г sin2x2-cos2axdx—2сеГ dx | cos(x» + y8-.
-eeJ)dy. 3719. F*(x) = 3/(*) + 2*/'(*). 3720. F* (х) = 2f (x),
если x£(a. 6), и F"(x) = 0, если x£(a, &). 3721. F*(x)««
Д2/(*)
ft2
-.где Д2/(х)=/(х+2Л)—2/(x+A)+f (*). 3722. F(»)(x).
= (п - 1)! / (х). 3723. 4* —. 3724. 0.934 + 0.428* (при-
3

602
ОТВЕТЫ
близнтельно!). 3725.
-JL. 3729. F"xy
+ x*y{l-y*)f'(xy).
dE
dk
(x, У) =
3732.
E-
k
*<2-
n In -
F dF
' dk ~
-W)f(xy) +
E
k(,\—&)
t'(f)+
3733. 0, если
|а|<1; я1паг, если|а|>1. 3734. — sgna In (1 -f |a|).
3735. я arcsin a. 3736. — In (l + л/¥). 3737. In & + 1 .
3738. a)arctg »=£ ; 6) JL In - *' + »"+ 2
l+(o+l)(6+l) ' 2 аг + 2а + 2
p-1
3741. e>0. 3742. Max (p, 9) > 1. 3743.
Я
<1.
3744. p<l. 3745. л<0 и п> —. 3746. /» —. 3747. Схо-
2 2
2п — 1
лится при о>0 и при а= л (п = 1, 2, . . . ).
2
3748. Сходится при п > 4. 3749. Сходится при р > 1.
3750. Сходится при — 1 < л < 2. 3755.1. а) Сходится
равномерно; б) сходится неравномерно. 3755.2. Сходится неравно-
мерно. 3756. Сходится равномерно. 3757. Сходится равномерно.
3758. Сходится равномерно. 3759. Сходится неравномерно.
3760. Сходится равномерно. 3760.1. Сходится равномерно.
3761. Сходится равномерно. 3762. Сходится неравномерно.
3763. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
3764. Сходится неравномерно. 3765. Сходится равномерно.
3765.1. 6 > 10". 3766. а) Сходится равномерно; б)
сходится неравномерно. 3767. Сходится равномерно. 3768. Схо-
аится неравномерно. 3769. Сходится равномерно. 3770. Схо-
j—
дится равномерно. 3772. Нет. 3776. *" . 3776.2. I.
2
3778. а = ± 1. 3779. Непрерывна. 3780. Непрерывна.
3781. Непрерывна. 3782. Непрерывна. 3783. Разрывна при
— 0. 3784. <-1)mwl, 3785. JL. (2"-'>" ~ ^.
nm+l 2 (2п)!1
3788. In —. 3790. In —. 3791. 0. 3792. JLin-2_.
a a 2 b
8793. _L,n-L. 3794. in (*»>гаСР>2Р , 3795. arctg-1-
2 a (a+P)2eH"2{J m

ОТВЕТЫ
— arctg —(m=?fcO). 3796.—In P' + m* . 3797. _я(1-»
— Vl—a2). 3798. nln '+Vl — «2 3799 JL sgn a-(l+i
+ |o|— Vl+«s)-
3800.
IPI
In (|<x I + t PI) (P#0).
8801. —In (<X + P)° (o>0, P>0). 3802. -^2-[oP(o+P)>
2 aapB 3
+ a» In a + P3 In p - (a3 + P3) In (0 + P)J (0 > 0, P > 0).
8803. JV«_ 3804 /*/— e « .
2 V a
3805
3800
8809
(a + 2&8)at — 4afrfr1 + 2aVt
2a»
ac—*•
/jL «*'/*.. заду. _VJLe-«-. 3808. -^(VF-VS).
V « 2
I. ±л/± е-*'/*. 3810. "V"" «-^". 38U.(_l)»x
2 V a '
V"" <p" (c-f)
4e V°
v ■ "- . — (е-*1). 3812. (я/2) sgn p. 3812.1. Функция
2*"+l dbM
нечетная. При дс > 0 минимумы в точках 2*я и максимумы
в точках (2Л — 1) я, где ft = 1, 2, 3, . .. Асимптоты у — —
2
я „„.„ |Р|
пои х -*- + оо и и = при дс -*■ — оо. 3813. я ' Г1
* 2 2
-VH5". 3814. JL-ln -°+2-
2 о-р
381S. 0, если |<х| < |Р|{
— sgnо, если |o| = |PI; —sgnо, если |о|>|Р|. 3810. — х
4 2 4
4
X sgn о
3817. — |о|. 3818. — о|о|.
2 8
3819.
3820. — In
8
а
Р
3821. JL. 3822. -^±J-arctg-^±P-
4 2 А
_^ziLarctg^i-+Aln *Ч-(«-Р)', ШСМш|
2 * ^ 4 ft»+(«+P)a
при|х|<1; £>(*) =— при *= ± 1; £»W = 0 при |дс|>1.
3824. а) я sgn a cos ab\ б) я sgn a sin ab.
3825.

в04 ОТВЕТЫ
X e~ Ia I. 3826. — sgn ае~ I «1. 3827. -5- (l - в"2).
2 4
3828. ■"<' + ""> ,-W. 3829. Я m. fe -taiWCT,
4 i/ac — b* a
4- -j- sgn <Л . 3832. V« cos Га* + —^ . 3833. V* sin (a? +
4-j-V 3835. a)-2L_; 6) J* ; в) ! при />>«5
4 J pn** Ч-рЫр р — а
(/> + a)1 p* + 1 V P / 2p Vp
X в-в,/4". 3837. a) 1; 6) *»+—; в) e2ojt+<"; r) JLe-*/»x
2 2
X cos аж. 3839. q> (*) =» J=^ tr*!**, где а = л/oTblF.
аУ2я v i ' г
3843. JL. 3844. -52L. 3845. —Д=-. 3848. 2я
8 16 2V2 3V3 *
3847. -JL. 3848. -5я-. 3849. 5 . 3850. (2n-'>" X
2V2 512 я 2n+l
я sin —
я
X V«~- 3851. 5 (0 < m < я). 3852. В (я — m, m)
я sin
я
(0<т<я). 3853. (—I ВI 2 , p ■—1
n \ b J \ n n J
(m 4- 1 \ (b d\m+n+l
0<-^±J_<p). 3854. ° "> B(m+l,n+l)
я / (a + c)n+1 (& + c)m+l
(m> — 1, я>—1). 3855. -L-Bf—, 1__L'\(n<o
m V "i я /
илия>1). 3856. —вЛт+1 , -n+1 "l (m> — 1, я>
2 V 2 2 )
>_1). 3857. Я (|n|<l). 3858. 2"~' X
2cos-="- (1-й)
2
Xef—, —"j (я>0). 3859. -Lrf-i-') (л>0). 3860. —L.X
V22j я V л J |я|
xr^J!L±L^j»L±J_>0y 3831 Г(р + 1)(р>-1).

3862.
dp L ap+1 J
ОТВЕТЫ
. 3863.
n* cos pn
sin* pn
605
(0</><
< 1). 3864. я» • 1+C°S'P" (0 < p < 1). 3864.1. -^ я».
sins/»n
3864.2.
3n3
32 V2
3865. In
tg
pn
tg
qn
27
(0</»<l, 0<o<1);
0(/> = fl). 3866. nctgnp. 3867. _?_tg —
20 20
3869. In
3868. 1пл/2я.
V2n" +a(ina—1). 3870. J-A+ln—V 3871
3876.
nor
(a > 0). 3877.
яа"*-1
2Г (ш) cos ■
2r(m)sin
1
mn
An '
(a>0).
3879. aB
(t* it)-
3880.
2a»
r"(i)
Ш
3881. /(*) =
+00 +0O
— [ -^-^cosXxdX. 3882. /(x) = -2- [ ■
я J X я J
1 — cos X.
+00
XsinXxdX. 3683. f(*)= — С
о
+O0
sin X (x — a) — sin A, (x — ft)
dX.
3884. /(*) =
+00
2A
1 — cos aX
J—I
cos Xx dX. 3885.
1
a4+xl
-4-J
+ 0O
«-<»*■ cos Xx dX. 3886.
a о os-fx'
+oo
— = J е'о-У. sin Xx dX,
3887. f(x) = — [ JiniiL-sinXxdX. 3888. /(*) —
я J 1-Х»
с
= ± X C0Skn'2 cos Xx dX. 3889. NO = Mi? T !ш2япХ^
я J 1-Х» я J Х*-ш»
о о
+°°
XsinX/dX. 3890. /(х) = — С ° dX, 3891. /(х)=*
я J Л2 + ос*

608 ОТВЕТЫ
4-00
О
■hf .... . i +°°
х— Г e-v<* cosXx dh. 3894. «-*'= _L^ f bTv* sinkxdX.
л 5 2 У л 5
•=— ( Г-: Л 1 " 1 cos *.*<&. 3892. ?(*)=
о
4*3 f° UinA.*
<= — V dX. 3893. е-*"
я J К* ~P)*+a2] [(*+?)* + «*]
I
3895 a) e-*=s— [ -^^-dk(0s£x<+oO); 6) e~* =.
n J 1+Я*
о
я J 1 + a* у я
X — . 3897. F (x) =-£ /t/J 55 . 3898. F(*)=
= f-**72. 3899. F (x) = e-lx'+a')/2cb ax. 3900. а) <р (у) =
■=•*-» ftr>0); 6) i|>(y) = -L. У (у>0).
я 1+y»
ОТДЕЛ VIII
3901.-L. 3902.S=-i°-__IL+_i_. s= «° • » •
4 - 3 n 3n* 3 n
-f —; 13—. 3903. 9,88. Точное значение 2л (7 — УЙ") « 13,20.
3i* 3
ЗЭ04. 0,402. Точное значение 0,4. 3905. б < 0,00022. 3906. 1.
ЗУ07. —. 3908. -22—. 3910. / = F {А, В) — F {А, Ь) —
40 3
— F (а, В) + F (а, Ь). 3912. а) Отрицательный; б)
отрицательный; в) положительный. 3913. —. 3914. 1,96 </< 2.
4
3915. а* + Ь*+-!£-. 3916. Uxf/(*. y)dy=\dy\l(x, y)dx.
2 1 1 2у
3917. J Ac J f(x, y)dy~[ dy \f(x,y)dx. 3918.
—2 |V|/2 0 -2jr
*+l II 2 1
\dx f t(x, y)dy~$dy]Hx, y)dx + Г dy j" f{x, y)dx.
JO 0 0 1 V—1

ОТВЕТЫ
60?
Л-F
fZ-i?
3W.9. ) dx J f(x, y)dy=* ] dy J f (x, y)dx.
1/2 1/2+VI/4—** 1 V»-»'
3920. f <ix J /(x. yj^-fdy J f(x. y)Ox.
-1/2 1/2—Vi/«—*' ' -Vi^v"
3921. f dx f /(x, y)dy~\dy f /(x. y)dx.
-1 * » -VT
-1 * 0 _v7
3922
!. J dx J" f(x, y)dy+\dx\ j f(x, {,)<*{,+
+ $ H*. y)dy\ + [dx J M* У) dy. 3924. f <fo J / (x. y) dx+
4 2 0 2V'+j/
Ч-f <*» J /(x. y)dx-. 3925. Jdj, J f(x. y)dx +
2 »/2 -1 ~2-уТ+Г
Ц-Н $__f(x.y)dx. 3926. f <*{, J f(x, y)dx,
0 -2V1+0 ° V»
3927. Jdy J Mx. y)dx+tdy f f(x,y)dx.
-1 -Vi-И » —VI—«/
I l-fVb^ a fa-Va"
3928. fdy J f(x, y)dx. 3829. fdsrj f
a fa—Vе*—v*
dx. 3829. fdjj f |(x, y)dx +
I «
2a 2a
+ J /(x. y)dx)+$ dy J /(x. j,)dx. 3930. \dy] f(x,y)dx.
I Я—trcslny 0 2n+arcsin p
3931. [dy J" /(x. y)dx- $ dy J /(x, j,)dx.
6 «resin у —I я—»rcsln у
3932.-£. 3933. f2V2~—VV«". 3934.—. 3935. 14a*.
21 V Ъ) 2
2л a
'.. f dy J rf(r cos ф, Г5Шф)<*г.
3930.
35яв«
3937.
3938.
12
it/2 a cos
2я |fc|
j" dtp Г r\ (r cos ф, r sin ф) dr . 3939. f d*p J rf (r cos ф,
—л/2 О О |в|
В/2 l/Vi" eosec W+"/4)
г sin ф) dr. 3940. j <ty f г/(г cos ф, г bin <f) dr.

60S ОТВЕТЫ
я/4 о sin ф/cos* ф Эя/4 в/>1п9
8941.
Г dq> j rf (r cos у, /■ sin ф) <fr-f- J dy f r?(r costp,
я e sin ф/cos' ф
r sin y)dr+ J" <ftp J rf (r cos (f, r sin у) dr. 3942. В том
Зя/4 О
случае, если область интеграции ограничена двумя
концентрическими окружностями с центром в начале координат в двумя
лучами, исходящими из начала координат. 8943.
я/4 l/cos ф я/2 1/sln 9
{«*ф J rf (r cos ф, rstn9)dr -f j «ftp Г г/(г cos ф,
О Я/4 О
1 я/2 VT arcsln 1/г
г sin ф) dr— j" r dr f /(гсовф, г51Пф)^ф-|-J rdr f /(rCosq»
0 0 l arccos i/r
Я/2 1
rsiny)d(f. 3944. J dq) J r/(rcos$. rsin?)dr—
0 !/V2cosec (ф+я/4)
1 я/4+arccos l/r-^T
= J rdr j / (г «»ф, rsin ф)<*ф.
1/V2- n/4—arccos l/гт/Т
Я/3 S/cos 9
3945. j* <*» J" rHr)dr=*
fl/4 0
2УГ 4
о 2VT
Я/4 l/cos ф
3946. J d9 J r[{r cos у, r sin <p)dr=a
0 sin ф/cos* ф
. VT+4?«"-«
arcs in —-—-z
1 2r
(rdr f ^гсовф, /-51п.ф)йф-Ь
, VT+4r«-!
vr ,rc5,n -*—
-f- \ rdr | /(гсовф, г$Шф)4ф.
1 arccos 1/r
Я/4 a Vcos 2<p
3947. f dq) f rl(rcosy, r sin y)drc=,
—я/4 О
1 i*
T arccos—
= frdr f /(гС05ф, Г5Шф)4ф.
О If»
-„• arccos- -r
2 a*

ОТВЕТЫ 60В
а «ccos- „ т-т arc sin-у
3948. Jdr J /(<p, r)d<p. 3949. fir J X
—arccos — -=-arcsln—=■
a 2 ar
a a I
X f ("P. О d<P- 395°- f * I / (Ф. О d<P. 3951- 2" f rt (')Ar*
i vr
3952. Я С rf (r) dr + С (я - 4 arccos — \ rf (r) dr.
3953. i- V /(tgq>)cos»q>dq>. 3954. _£^£i_. 3955. — 6я».
2 J*n 3
3956 6 6»+6«>-Ц»)-Н6+/>)»4-(26+/0л/б(6+Л) , 2-(l\t/%
'б' Va(a+A) (Va + Va+h) (V*+Vft+*) ' 2 W *
i в 2 4—u
3957. J «duj /(u, «»)<<«. 3958. — ]"<*« J" f (=±2, £^)fo.
a a 2 I — и \ Z 2/*
n/3 a
8989. 4 f si n*t> cos* tidoju/(и cos* t>, ttsin4i»)<fu. 3961. u=xy, v=x—y.
i I
8962. J / (и) du. 3963. 2 J V» — «* / (« лЛ»4+&* + c)<*«.
3964. ln2ff(u)dM. 3965. -^-. 3966. -j-. 3967. — no».
\ а Л 3
3968. —5?^' 3869. 543 -[г-• 3970. 1— In 2.
V2 15 128
3971. 2я. 3972. —я. 3973. — 4- -2-.
16 3 4
4 1 + л/3~ 4
3974. — я+ 8 In :L-zZ . 3975. G. 3976. — (4—
— 3 VF + 4 л/П. 3978. /(0,0). 3979. — F (t), если
t>0 3980. 2 J J -JL^L-dKdg, 3M|> p(0-
? / 15 \
= j //(/cosq>, /sln<p)d<p. 3084. I — 21n2 1A
39-

610 ОТВЕТЫ
3985. — (р + q) Vw~. 398G. па*. 3987. 3 ^3 ~" о».
3 3
3988. — -\ ^-2—1п(1 + л/2~). 3989. -^-. 3990, а*Х
6 3 4
( л/7~ л/П" \ „ . nab / а'. . 6* \
XI— + arcsin— I. 3991. (-Т-Ч-тЬ
3"2- "Г hv3-U" '-1Г) + -^Г]- 3993. —X
\ /» Л» J 6Л»(aft + 6/»)»
1 lab)* ab (В — о) (6s — а»)
3994.1. —! Ц1-. 3995. ~. 3996. ^— „ .
1260 с» 70 2(о+1)ф+1)
3997. — In 2. 3998. — (q — р) (s — г). 3998.1. -— X
2 о 1э
X (б5 - а5) (*"» - «Г»). 3998.2. _Д7Л » *
(Р + 1) W + 1)
X (fc«+'/«-P _ д'Н-'/в-Р) (c-J>+l/«-« _ ^-р+1/«-> )#
65 189 / , 1 , 12 \ ,
3990. __а6. 3999.1. _(arctgT + — у.
!* i я
4000. -^-(лЛо — 2)arcsin—. 4001. ТТГЛ
о 3 | О |
с*
4002. [(са — 4j) (sh 2и, — sh 2ux) — (u, — «J (sin 2o, — sin 2oJl.
4
2 6я 5
4003. — ла*. 4004. ■ , ,- . 4007. —.
3 7 V7 6
4008. -^^ — R3. 4009. ■—-. 4010. я. 4011. я.
4 3 105
!. — — 2 In 2. 4013. 7=—Г*(4Лл 4014. ~.
12 3 л/я \ 4 ) 8
45 16 na*
<015. я. 4016. a». 4017. ——. 4018. n(l —
32 9 8
-<-»). 4019. «rt. <P-«)<"~2> , 4020. -=-.
Я* о
1 4 —
4021. —яа6с(2 — л/Т)- *°22. — яа6с(2д/2 —0«
3 в
Злабг 2 обе
4023. ■ . 4024. —-яа&;. 4025. ——.
8 3 3
2 ,—* я (Ь* — а»)
4026. -=-абс (Зл + 20 — 16 л/2 )• 4027. ■—*-— —•
4012.

ОТВЕТЫ вП
9 3 а*е В 8
4028. —-а*. 4029. —ч 4030. — In-*--, 4031. -?-,
2 4 а а 35
75 я*а%
4032. ——паЪс. 4033. ———•• 4033.1. {п — т)Х
X (е"1 - в"*) а». 4034. -^f- • Г* (1/л)/Г (3/л). 4036. яаЬе1 X
Зя1 2/п + п
X Г (1/т)/Г (2/п) /Г(1/т + 2/п). 4038. -~ яа* (2 V2~ — 1').
4037. 16а*. 4038. 8o»arcsin —. 4039. —£=-.
о V2
4040. 8а». 4041. я <}/Г. 4042. -^-. 4043. — — +
2, о
, 2V2"
3
(,+Tln3)+i"arctg-w- *"■ тг*
X (20 — Зя). 4045. 2а*. 4045.1. -— [3 л/W + In (3 + V ЙЭД.
о
1 / 1 . 1 \-*ГУ 1 i 1 i 1 \3/2 • 1
4M5.2.Tfl6c(_ + -_) [(_ + __ + __) _^_].
4045.3. — аЬ (2 V2~ —l) arctg A/"7" *
4045.4 -2- In (e + е"1). 4046. S = 4я (3 + 2 V3") а*; V =.
8л
==— о*. 4047. (<р, — ф,) (sin % — sin фх) Я*, где
V3
ф|<Фх — Долготы меридианов, ij>b ip, — широты параллелей, Л—•
( . о 4- Ve* + Л* )
— радиус сферы. 4048. я laycfl+h* + Л*1п — >.
4049. 5 = 0(9, — «Pi)l*№i — ^i) + o(sint|i, — sinf,)]; 4я*в*.
be be
4050. & = arcsin —. . . =—; w « ——.
V(a2 + 62)(a*+c*) o*
4051. Po° [2 + V2~ In (l + VO- 4052. x0 = — ~;
8 a 256
j/o = "g- a. 4053. x0 = j,„ = — • 4054- *» = У» = '315я " "•
a'6 a6* na
ms- х* = ~йё*"' Ул==~й*~; 405в- *-* = "£■•
5 16 5
4057. x, = — a; j/e = a. 4058. х« = па; у, = — а.
6 9л о
39*

612 ОТВЕТЫ
а
4059. хо=——; Уо = 0. 4060. Парабола у0 =
5
1 . 6А» л 1 ftf — г»| I
-TV3oPx,. 4oei. Л = -^-; /,- ' '12 2|
4
(6 ±16! — 6,|). 4062. 1х=1у=~(\&~ 5я). 4063. /ж =
16
21па* , 49яа* ,„„. , , Зла4
«= ; Л, = — . 4064. lx=lu= =- .
32 " 32 " 4V2
9 па* а*
4065. /* =/„ = -— а*. 4066. /0 = ——. 4066.1. .
* 8 8 12
4069. /а= Ъ2°\т . 4070. X = аА»; К = 0, где X.
К — проекции силы давления на оси координат Ох и Оу.
4071. Рг= паЧ(к — -^- а\\ Pt = яа*6 (h + -^-a\.
4072. Проекции силы давления на оси Ох и Ог,
расположенные в вертикальной плоскости, проходящей через ось
цилиндра, из которых ось Ох — горизонтальная, а ось Ог —
вертикальная, соответственно равны: Хх = —яаав(А cosa ]Х
Xsina, Zt= — яа2б(л — — cosa J cos а; Хг = паЧх
X (А + ~cos a Jsin a, Z»=na*6f А + — cos a Jcos а. 4073.
Проекции силы притяжения на оси Ох, Оу, Ог, соответственно,
2km M
равны: Х= 0, У = 0, Z == ————{|6| — |6 — А| +
в*Л
+ л/а2 + (6 — А)2 — V«2 + ** }> r*e * — постоянная тяготе-
. }■
1 15 1
4076. ——-. 4077. —-In 2 —. 4078.
364 2 16 48
4079. —nabc. 4080. —. 4081. J dx \ J dz J t(x,y,z)dy+
1 £n
пня. 4074. Pcp = — Po- 4075. Л = ~ {2a6 л/аг + 6*4-
1 f * 1-Л
■H/*f
11-* \ 1 f 2 1-0
+ Ja* f /(x, y, z)dy = Г dz J dy J f(x, y, z)dx +
« *—x J 0 IP *—0

ОТВЕТЫ 613
1 1-У \ 11 ViC^T
■\-\dy \ f(x, у, z)dx . 4082. \dx J"dz f J(x,y,z)dy=
0 I -i 1*1 _VPTF
I г V^-tf' 1 [*' 1
= J" d? J"dy J f (*.У. *)<**• 4083. J dx Ц d? J7(x, y, ?)dy +
0 -г _yj=5"» 0 lo 0
+ f di \ f(x, y, z)dy = |dz \Y dy j_f(x,y,z)dx +
*' уг-х» > ° [б V*-4<>
II ] 2 1 1
+ \ dy $ f(x,y,z)dx + J" dz j_dy j" f(x,y,z)dx.
vr ° J ■ v*-t v^5
4084. 4" J (x-?)/(£)*?• 4085. -^- J (2 - г») f (г) d* +
1 о ^ о
1 2
+ — Г (2-**)/(*) <k- 4086. F (А, В, C)-F(A, В, с) -
9 У
2 i
-F(i4, 6, Q-F(a, B, C)+F(A, b, c)+F(a, B, c) +
+ F(a. b, C) — F(a, b, c). 4087.-£—. 4088.-£- (2л/2~-1).
11) 15
JL «rctg-L- !
4 COS ф COS ф COS ф
4089. J <(ф J cos^d^ J r*f{r)dr.
0 0 sin 4>
cos'$
nxabc 16я 2
4090. . 4091. ——. 4092.
4 3 27
X
{-Ф—ТГ)**- --5-U—7-)*
X (б* - a») [(P* - a») (l + -~^r) + 4 ln ^-] • 4094- *f"'
4л Я*
4095. 3(e — 2). 4096. u = —-~ , . ^ .- , n„ »
где |в|<1. 4098. a) F' (t) = 4nt*f (P); б) F'(t) =
=— fF (0 + HI Wf (хУг) dxdydz]. где^>0и V={0^x<
<*, 0<y<f, 0 <?<*}.. 4099. О, если одно из чисел т, п
4л (т— 1)!!(я— 1)!! (р— 1)!1
и р нечетно; —■ ; —- ■ —— > если
m+л+р+З (m+n + p+ 1)!1
„,, Г(р+1)Г(?+1)Г(г+1)Г(»+1)
числа т, п и р четные. 4100. - •
T{p + q + r + s + 4)
3 7 2. яа*
4101. . 4102. . 4103.— аа(3п —4). 4104. .
35 24 3 v ' 6

614 ОТВЕТЫ
а* 32
4105. (Зл —4). 4106. -— я. 4107. па&
4108. —^~- 410в- ~Г* 4П0- Y^2~^^ *
я аЧх я*
X(6S —а*). 4111. — —. 4112. —~-аЬс.
3 Л 4
411,,. _S*_ 4,„ J^_(3_vr).
4„, j^. 411, .sy.±. рф.
(т)'
абс абс абс
«"71 «,,«» • 4118.—-.4118.1.
а 6 '554 400 3 90
Т + Т
абс 4л 9
4118.2. — . 4118.3. аЬс. 4119. —а».
1680 35 4
1
4120. —
3
<ь»- a») Y>ir п(т)- 4,2Ь "т А
паЫ? 3 / 1 1 \
4122. ——- (1— Г"1). 4123.—абс. 4124. ЬаЬс [ — I.
ЗА 2 \ е 3 /
4125. 3727.4126. V = -^-; S = -^р(6 Уг~ + 5 ^Г- t).
, 8л, АЛ» „ 4ял> . „ я* абс*
4127. !Л^2_, 4128. . 4129. — - —- .
1ДI 3|Д| Зл sin (я/л) л
4130.
аЪс
mn -j- mp -,- пр
\т л р J
k
4131. -|-. 4132. 4яр» (-j + -jr+ -£-)«''
(3 \ 2 7
0, 0, — с j. 4134. хр = у, — — а; *в = "ГТ" а*.
7 7 3 3
4135. хо = — р; уо = 0 ; г, = -j^r р. 4136. х„= —а; у0= — 6;г0=
3 За
== — с. 4137. х0 = Ув = 0*. «o = ~r_» 4138. х0 = Уо=1'.
5 л,лл 9я 9я t 9я
гв=_. 4139. х. = —а; Л--^*» '«-ЦТ'-

ОТВЕТЫ 615
4141. -*-„-£—fi—
20 a b с
4140. *, = j,0 = 0; *-~. 4141 -^---**-—%
4 гШт)
4142. *о = a; ye = Ps
обе3 . o'ftc . аЬ*с
го = у. 4143. /,„=———; /„=———; /„=———
" 60 60 60
_4_
15 ""* 15 """15
4144. 1ху ——^-паЪ(?\ 1иг — —^- яа3Ьс; /и = —^- паЬ*с.
м,.т nabc3 псРЬс natPc
4145. /,„=—_; /vz = __; ,„___.
2а&с* 2fl6sc
4146. /,„-—^g-(15n-16); 7« = ^g^—(Ю5я — 272);
/y* = 1575 (Ю5я-92). 4147. /w =-£-"^
4 4 15 л"
^= —"О^с; /„,= —яа»6с. 4147..1. 1„*= -— ,-- X
4147.2. /^=-^ ЛП °,6с: 'и-тк"х
5п» / 5 \ " Ьп*
ГГ
v -аЬ*с; lXii= ~7~Г- 1 #в*А
г(т) " ГШ
4148. /f=.-j|-. 4149. /,=— (4VF-5). 4149.1. -2-а*,
15 15 5
4 М ( 2 \
4160. — М/?«. 4153. / = —— (в*+— А»), где М в
в= 2лроОаЛ — масса цилиндра. 4154. /0*=—:— ° ~ •
8
4155. и = 2яроГя* ^-)« если г < R; « =—" ■ Р—-1
если / > R, где г « V** + У* + ** • 415е- и = 4я ^

616 ОТВЕТЫ
X [' f(p)min Г-у-, pVp, где г = V*2 + J/* + z2
4157.' ц = яр0{(ft — z) Va2 + (ft — z)2 + г Va* + z2 - (ft —z)X
I A —z + Ve2 + (ft —г)2
X|ft-z| + 2|z|l + a*ln „
I Ve2 + z2—z
AAfm
4158. X = 0; K = 0; Z- — , , . если |e|>P,
Z= -
kMm
a\a\
а, если |a|</?. 4159. X = 0; У = О»
Z = -2яро*{л/в2 + гг -Ve2-r(ft-z)2 -(|z|- |ft-z|)}.
4160. X = 0; У = 0; Z = -nfcp0/?sin2a. 4161. Сходится
при р>1. 4162. Сходится при р>1 и о>1.
1
4163. Сходится при р>—.
4164.
4169.
Сходится при
1
■ 1 < 1. 4165. Расходится.
Р Я
(р>0>1). 4170. — — (р>1). 4171. 2л.
Р-1
4172. — 0?>1). 4173. я-\/2(У2" — 0. 4174. —■
р — 1 2
(Р —9)(9 —1)
2
1
4175. я. 4176. —. 4177. —.
2 2
в 6 о*
\а Ь \
где 6 = и Д =
\ Ь с\
4178.
п
4180.
яеа'б2
Ve
=~ е
д/в
бее
d e f
4179. — ab.
е
4181. Сходится. 4182.
4183. Сходится при —-{-
2(1—е2)3/2
Сходится при р < 1.
Ч f> 1. 4184. Сходится при р < 1. 4185. Сходится
я я2
при /><!. 4187. —. 4188. яв. 4189. Г-In2.
2 2
3
4190. 2. 4191. Сходится при Р>~- 4192. Сходится при
3 1,1,1
р<— . 4193. Сходится при • 1 1 < 1.
2 Р Я г
4194. Сходится при р<1. 4195. Сходится при р<1.
4196. К1-Р)"1(1-9)-1<»-'')-1 ("<1- «<>• л<1)-
4197. —. 4198. 2яв(—, 1 —р) (р<1). 4199. я;
,3/2

4200.
б)
4207.
4209.
n(3n+ 1)
12
(л - I)! (2n + 1)
01°2 • • • On
n!
ОТВЕТЫ
где Д = | a,-;-1
an
4205. —-
n!
4208.
4210.
61?
4204. а) -yj
1
4206.
2nn!
2"/»i/»2. . .ftn
1ДГ
„(n-0/2
яГ
(^)
тп/2/,п
4211.
Хал. . . а„.
„("-H/VW
4212.
12Г
(г?-)
Г
4213.
(f+0
л
<n+l)/2
2
16
_r(f) j
4220
ыленный определитель. 4221. 1 + У2~.
4222.
окай-
256
15
cfl.
4223. 2jAj3 (1 + 2яг). 4224. — (ch3/2 2<0— 0- «25. 4a7/3.
6
4226. 2(e°— 1)+— ae°. 4227. 2a4 (—2 л/2~). 4228. 2fealV4-**
4 1+4*»
4229. 2a*. 4230. —. 4231. 5. 4232. VS". 4233. |*e|+|*„l,
где |x0|<a.
423, (l+^-)Vi
4237.
~7^4+,K-f)-
CZo .
4236. aVJarctg —
-(3aa + 4n*6«)Va* + fcs. 4238. — яа». 4239. — X
о 3 3
X [(2 + tof2 — 23/2]. 4240. - Г10О V38 — 72 — 17 X
256л/2~ L

618 ОТВЕТЫ
х ln 25 + 4V38 1 ^ 4241. 2ft (ft + a arcsine \ гда g e
л/а» — ь* 2
= —* эксцентриситет эллипса. 4241.1. —р* >:
а 3
Х(2л/2"-1). 4242.-^Г(Зл/3~-1)+— In _3_+2_л/з_1
8 L 2 3 J
....» i. / А —а А . aft
4243. хв-6 — ал/-—— ; Jfo=—H
4244. *в - У» = — «• 4244.1. S, = S„ = — о8. 4244.2. па*.
3 5
4244.3. а) -^ fl»; б) -Ь/3- А 4244.4. г,--*-.
3 2 ^2"
4245. *0=1Го = гв=-^-. 4246. д^ = ^-; *„ = ^-;
Зл 5 5
t,~-L. 4247. /х = /„ = Л^- + -£Л У 4л»а» + А*; 1г «
-.о»л'4л^1 + Л». 4248. а) 0; б)—; в) 2. 4249. а) 2;
О
б) 2; в) 2.
4254. —2i.
4259. 12.
.^,. з
4250. — —
15
4255. 0.
4260. 4.
лолл а
. 4251. —. 4252. 0. 4253. — 2жА
3
4256. 0. 4257. — — 1. 4258. 8.
4
а+Ь
4261. —2. 4262. Г f(u)du.
АОЯК Г mt.r\Ar Л. Г \Mt,\Ai, 42ЛЛ KSL
2 *, »,
4267. I. 4268. я+1. 4269. в» cos ft — I. 4271. *=»-£-4-
+ х*у — ху» £- + С. 4272. —- arctg 3*~j^ -f G.
3 %ф. 2у\/2
4273. а- — \-\п\х + у\ + С. 4274. г = е*+»(х-у +
ц. и + уе* + С. 4275. г =• — — + С. 4276. t =,
I— /Я "\ ЯО*
4280. —па*. 4281. 2л V2 o^inf—- —а]. 4282. —-.

4283. — 4,
X»
ОТВЕТЫ
7
619
4285. 0. 4286. Ь — а.
12
4287. J Ф (х) dx + J ф {у) dy + J X (г) 4г. 4288. J ? (и) rfo.
4284. — 53
ft
V (у) dy +
*1+У,+г,
Vx2+*£+*2
4289.
J uf(u)du. 4290. и= — (хЧ-уЧ-г»)—2хуг+С.
лЛ?+*?+*?
4291. u = x — — 4--^- +C 4292. и = In V(* + y)a + г» +
+ arctg \- С. 4293. Л = — m£ (га — гх). 4294. Л —
х + »
в *_ (а» _ 6»).
2
4295. А
1, где гг.
Н г, )
У*? + У?+г2 (1=1, 2).
4296.
'-V
y*dxdy.
4297. —46-
яа»
л* 1
4298. -^=-. 4299. — 2яа6. 4300. i- v
2 5
я/лй*
4303.
8
(xa — Xi) X
X (е" — О- 4301. 0. 4302. It — lt = 2.
4304. mS + ех'ф (у») — е*'ф (у») — m (у, — у») -
z
X (уа+уЛ. 4305. Я = — , Q = ftx 4" —. где и — дважды
ах ду
дифференцируемая функция я k — постоянная величина.
4306. — [xF (х, у)] = ~ \yF(x, у)]. 4307. 1) /=0; 2) /=2л.
ох ду
4311. — а*. 4312. а».
2
4308. лаЬ. 4309. — яаб 4310. —
8 С
4313. — 4 -—. 4314. — В (2/П4-1. 2л4-1). «15. — X
3 9Л/3~ 2 to
4zi
r(f)
4316.
а»
14-
(-4)"
sin-
abd*
. 4318. я (n 4- 1) (л4-2) г»; бяг». 4319. я X
4317.
2(2/i4-«)
X (л — 1) (л — 2) /■*; 6яЛ 4320. 4а*. 4321. sgn (ad — bd).

620 ОТВЕТЫ
sgn— ■ , где сумма распространена на все
д(х, у)
точки пересечения кривых: <р (х, у) = 0 и гр (х, у) = 0, лежащие
внутри контура С. 4324. У = 2S, где S — площадь, огра*
ничейная контуром С. 4325. х'х (х0, у0) + Y'y (*„, у0).
4326. Проекции силы на оси координат равны: X = 0; К в
= 2ктМ1па*, где fe — постоянная тяготения. 4327. и=2ях/?Х
X In , если р = У** + У* < Л; «= 2яхЯ In —, если
Я р
р > R. 4328. /i = -i- pm cos тф, /а = -*— pm sin тф,
m m
если 0 ^ p < 1: /j = p_m cos тф, /f = p_m sin тф,
m m
если p > 1. 4329. и = 2я, если точка А (х, у) лежит внутри
Контура С; и — я, если точка >4 (ж, у) лежит на контуре С}
«=0, если точка А (х, у) лежит вне контура С. 4330. /Ci=»
«= яр"1 cos тф, /С, = ярт sin тф, если 0 < р < 1; К% «■ О,
/(, = 0, если р «= 1; /Ci — cos тф, /С,= sin тф,
р/п р/п
если
р>1. 4339. Q=(\(^ + -ZL)dX(ly.to+±-=Q.
J J \ дх ду ) дх ду
s
4340. Hx = kiS)-~[^-y)dz-(t-z)dy]; Я» = « (£-^-X
X КС - г) их - ft - х) Л]; Яг = *« Л) _L l(t_x) dy-(ti-j/) dx].
4341. /j — /, = (4я — 2 V3 ) a*. 4342. — я -у/2 a*. 4343. яа».
4344. -2-(l+yf). 4345. 3 ~ ^3 + (Уз-1)1п2.
.-.- 125УГ— I .,._ 4я . / 1 . I I \
4346. . 4347. abc I _i_ 1.
420 3 V, a* 6* ^ с* У
4348. я» io Vl + aa + In (a -j- V» -t a* )). 4349. -^- sin о X
2
Xco.«af0<a<-2-V 4350. 5* V5V. 4352. 2я ('+6 ^ .
^ 2 J IS 15
4352.1. na*. 4352.2. — . 4353. _i_ лр0а«.
2 V3 3

ОТВЕТЫ 621
43И np„a(3a'+2bWaTTJL. «55. *--jL; ,0=0;
г0 = —— а. 4356. х0 = у0 = ; гь = — (V2~+T).
4356.1. а) 40 а4; б) я/? Г К (/?+ Я*) + — Я»] . 4356.2. л/з~
4357. Проекции силы притяжения на оси | координат X = 0;
У =. 0; Z = яйтрл 1п —. 4358. и = 4яр0 min (а, |, где
(-f)
«63. ■ Ma)-/(0) , g(fr)-g(0) , МО- МО) 1^
rQ = V*0 + »0 + i0- 4359- F(0=-^-(3-/*)», если |/|<
18
<V3~; F(/)=0, если |<|>V3". 4360. F (fl= "V8—5^2^
6
4361. F = 0, если /<r—a; F= — [a2 — (r — 0*1, если г — a <
г
< < < r+ a; F = 0, если f > г + a (f > 0). 4362. 4na\
[-
4364.0. 4365. -^-(a^+aV+frV). 4366. — (a+Ь+с) R3.
abc 3
4367. — яа» V3". 4368, —. 4369. 2 пл. S. 4370 0.
6
4371. — 2na(a + ft). 4372. 2nRrK 4373. — a*. 4374. 0.
2
4376. 3jJJ(«* + y* + **)dxdydz. 4377. 0.
1378. 2 Г Г Г dxd»dz 4379. J"f J budxdydz, гдеДи=>
J J J л/** + уг + г* *
v
^-EfL + J^ + J!^. 4330.0. 4384. -^(a*+-^W
дх* ду* д? ЗЧ2/
4385. —a». 4385.1. 2.iV&. 4387. За4. 4388. — яа».
9 5
яЛ'
4389. 1. 4390. ^—. 4392. а) / ~ 0; б) / = 4я.
4401. а) grad и (0) = 3/— 2/— Cft, (grad и (0)|=-7, cosa=3/7,
2 6
cosp= , cos v= ; 6) grad и (A)=6i+3j, |grad и(Л)Н

622 ОТВЕТЫ
«=3 V5\ cosa= ——. cos P= —— , cos v=0; в) grad и (В) =а
= 71, | grad и (В) I = 7 cos а = 1, cos 0 = 0, cos -у = 0|
gradu = 0 в точке М (—2, 1, 1). 4401.1. gradu(JH) =
= 12/ — 9J — 20*. | grad и(М) |=25. cosa =
12 „ 9 4 ди 3
cos р = , cos 7= ;
25 25 5 dl
Л/2
4402. а) ху = г4; б) х = у = 0 и х = у = г; в) х ■» у = г.
4403. г = 1. 4404. 4(** + У*> +-^~ = • (« > 16)}
и» —256 и»
«» + У*,_| !!_ = 1; max u = 20. 440S. cosq>= .
930 1024 9
4406. Поверхности уровня — полости конусов; поверхности
равного модуля градиента — торы; inf и = 0, sup и =?= 1|
inf | grad и |=0. sup | grad и | = —. 4407. ^ .
2 | grad и (хв, у0, го) |
4409. а)—; б) 2г; в) ^-. 4410. f (r) — . 4411. с.
4412. 2г (с-с) — 2c(c-r). 441S.1. a) grad и =» —ег+— X
dr r
X «и Н е». где er = I cos <р+У sin q>, e9— — I sin ф -+■
дф дг
+j cos Ф, еж — к — орты, касательные к соответствующим ко-
j да , 1 да ,1
ордииатным линиям; б) grad и = е, Н «еН X
dr r Л rsinO
X —^-«((i. где et=l cos ф sin 9 +у sin ф sin 9 + ft cos 9, «e=
дф
= / cos ф cos 9+y sin ф cos 9—ft sin 9, ev— —I sin ф+/ cos ф —
орты, касательные к соответствующим координатным линиям.
4416.— = — , где г=л/х* + у* + г*; — =|gradu|.
дг г дг
,.„ ди cos(/. г) . ди л
если а= 6 = с. 4417. = ; =0, если
dl г* dl
.м.т. ди grad u grad о ди л . .
II г. 4418. = — ; = 0. если grad u_Lgrado.
dl | grad о | dl
ш9 д_ 1ЫхЧгУт+уг)-Цл/хЧгУ1 + а) + к(х~у)г ^
4420. у = ctx, г => с,**. 4422.1. div a (M) =■ 18/125; П =
24
в —— яЛ 4423. 0. 4425. div (grad u) =• Ли, где Ди =
125

ОТВЕТЫ 623
д*и , Л, , д*и 442в.ГИ + —/'(г);Иг)-с +
дхг дуг дг*
с 2
-| —, где си С] — постоянные. 4427. а) 3; б) —•
г г
4428. -F-Q- (с Г). 4429. 3/ (г) + rf (r); f (г) = — , где
г г3
с — постоянная. 4430. а) иДи + (grad и)*; б) иДр + grad и X
Xgradv, где Ди — оператор Лапласа. 4431. div v= 0; div w=
= —2й)г. 4432. О, вне притягивающих центров. 4433. diva=
— — I (гаг) -j — , где ar, av — проекции вектора а
г \_ дг d<p J
на координатные линии <р = const иг = const. 4434. diva=
= -~- Г-|- <Mtfau) + JL (NLab) + JL (LAIe«)1, где
LMN \_ ди ди ди> J
flu. ii» а»—проекции вектора а на соответствующие
координатные линии и
-V(!T+©1+©''-V(0+(S4£T-
Если г, <р, г — цилиндрические координаты, то diva =
= — Г (гаг) -\ 5SL + г —^-|; если г, в, <р—сферические
г {. дг д<р dz J
координаты, то divc=- Г (r2a,sin6)-br-—• (aesinO)h
r'sinB L дг д»
_j-,_^!S_~|. 4436. а) 0; б) 0. 4436.1. rot а (М) = — / —
а<р J 4
—У+ —ft. I rot a (М) | = — л/ПГ. cosa = —^—, cos p =.
2 4 # VmT
- ~~4 cosv=—^L-. «37. a) Jli£L[rxcJ; 6) 2f(r)c-\-
VT4T Vl41
г
\c(rr) — r(cr)]. 4439. a) 0; 6)0. 4440. rot v =
= 2ml. 4440.1. rot a = — I (гаф) — ft, где а^ч ar —
r t дг dip J
— проекции вектора а, соответственно на координатные линии
г = const и <р = const. 4440.2. a)rotc = | -|c,j_
\ г д<( dzj ^
, ( да, даг\ , 1 Г д . . даг 1

624 ОТВЕТЫ
Or*=ax cos <$-\-av sin ф, a^—~ax sin ф+fy cos ф, az—az; 6) rot a*"
1 Г д . . a. Sag 1 . 1 г I da,
ш= J (amsmB) —\er-\ 1 , ———
rsinO L дв *p J r L sin9 дф
• (ra<() 1*6 4— ('"в) — I ev, где a,= ax cos Ф sin 9 +
3r J rL* 99 J
•4- Oj/ sin ф sin 9 + az cos 9, ae = a* cos ф cos 9 + ay sin ф cos в —
—a, sin 9. аф = — ax sin ф + au cos ф. 4441. a) 0; б) яЛ*.
4442. a) 0; 6) 0. 4443. я. 4444. —. 4445. 0,
8
4445.1. —. 4447. 4nm. 4448. V e{. 4450. cp-^-=*
5 tx dt
» div (At grad и), где с —удельная теплоемкость а р—плотность
90 Ч
тела. 4452. 2я**«. 4452.1. 8 — • In 2. 4452.2. — (3 + е« —
21 4
'в
— 12с-2). 4453. [ f(r)rdr. 4454. а) 2я; б) 2я. 4455. а) Г -
ГА
т= 0; о) Г = 2яя, где л — число оборотов контура С вокруг
оси Ог. 4455.1. rota(AI) = — J—2ft, Г = — я (cos [Ц-2 cos у) е».
S S
ft* ft* ft* ft» ..._ . . , . . „
-—= __, ___=__, 4457. и=* хуг(х + у + г) + С.
дх ду ду дх
4457.1. —. 4453.»= — . 4459. и (х, у, г) = V -2L,
3 г Lu rt
где ^—расстояние переменной точки Л*, (я. у, г) от точки M{(i=
г
=1. 2 л). 4460. и (х, у, г)= j" // (/) d/, где /■= У*»+У3+Л