ELEMENTE DER MATHEMATIK
VOtt HOHEREN STANDPUNKT AUS
Band IV
Heramgcgeben von L. Loebcr-Emn
Einfuhrung in die
Geometeie der Waben
von
BLASCHKE
la Hamburg and ItUabul
VE.RLAG • BASEL UND STUTTGART

В. БЛЯШКЕ
ВВЕДЕНИЕ
В ГЕОМЕТРИЮ
ТКАНЕЙ
Перевод с немецкого
М. А. АКИВИСА
Под редакцией
И. М. ЯГЛОМА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969

АННОТАЦИЯ
В этой книге рассматриваются
свойства дифференциально-геометри-
дифференциально-геометрических образов, которые сохраьяют-
ся при всех взаимно-однозначных и
непрерывных отображениях плоско-
плоскости или некоторой ее части на об-
область плоскости.
Книга рассчитана на студентов-ма-
студентов-математиков старших курсов или ас-
аспирантов, специализирующихся по
геометрии или в близких с ней обла-
областях.
Бляшке Вильгельм-
Введение в геометрию тканей.
Редактор А. Ф. Лапко-
Техн. редактор В. Н. Крючкова. Корректор Л. О. Сечейко.
Сдано в набор 7/1 1959 г. Подписано к печати 3/VIII 1959 г.
Бумага 84x108/',.. Фнз. печ. л. 4,5. Условн. печ. л. 7,38. Уч.-изд. л. 8,0.
Тираж 6000 экз. Т-06344. Цена кннгн 6 р. Заказ 1119.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
1-я тип. Траисжелдориздата МпС

СОДЕРЖАНИЕ
От редактора перевода 7
Предисловие . И
§ 0. Введение 13
I. Криволинейные ткани на плоскости
§ 1. Связь с номографией 16
§ 2. Шестиугольные ткани 19
§ 3. Примеры 20
§ 4. Прямолинейные шестиугольные ткани 26
§ 5. Кривые третьего класса и эллиптические функции . . 28
§ 6. Формы Пфаффа ткани 30
§ 7. Дифференциальные операторы ткани , . 33
§ 8. Связность и кривизна ткани 36
§ 9. Вычисление кривизны при помощи функции ткани . . 38
§ 10. Применение к тканям, образованным поверхностями . 42
§ П. Прямолинейные ткани . 44
§ 12. Инвариантные производные 50
§ 13. Полная система инвариантов ткани 52
§ 14. Каноническое разложение 52
§ 15. Геометрический смысл кривизны ткани по Томсену . . 56
§ 16. Нормирование функции ткани 57
§ 17. Основные вопросы номографии 59
§ 18. Комплексные формы Пфаффа 63
§ 19. «Вращение» ткани 65
§ 20- Параллельное перенесение Кельвина — Леви-Чивита . 67
§ 21. Аналог одного замечания Э. Ферми ' 69
§ 22. Ткани и конформные отображения 72
§ 23- О лучшей номограмме 75
II. Ткани, образованные поверхностями
§ 24. Формы Пфаффа тканей, образованных поверхностями 77
§ 25. Первые инварианты 79
§ 26- Кривизны и связность 80
§ 27. Условия интегрируемости 82
§ 28. Инвариантные производные 84
§ 29. Геометрические иллюстрации 86

6 СОДЕРЖАНИЕ
§ 30. Криволинейные ткани в тканях, образованных поверх-
поверхностями 88
31. Октаэдрические ткани . , 90
32. Условие замкнутости октаэдрической ткани 91
33. Октаэдрические ткани, образованные плоскостями . . 94
34. Шестиугольные пространственные ткани 97
35. Вычисление инвариантов при помощи функции ткани 99
36. Каноническое разложение 102
37. Шестиугольные ткани из плоскостей 103
38. О пространственных кривых четвертого порядка пер-
первого рода . 106
§ 39* Спрямляемые ткаии, образованные поверхностями . . 109
§ 40. Несколько нерешенных вопросов, относящихся к тка-
тканям, образованным поверхностями 111
III. Замечания о криволинейных 4-тканях на плоскости
§ 41. Обзор инвариантов 4-ткани 114
§ 42. Проективная модель 116
§ 43. Нормирование форм Пфаффа М8
§ 44. Ранг 4-ткани 120
§ 45. Максимальный ранг 121
§ 46. Спрямляемость 123
§ 47. Шестиуюльные и-ткани 127
§ 48. Несколько нерешенных вопросов, относящихся к тка-
тканям В" 128
IV. О криволинейных тканях в пространстве
§ 49. -2-ткани 130
§ 50. 3-ткани 132
§ 51. Четырехугольные ткани <Шп 133
§ 52. Пространственные кривые третьего порядка 134
§ 53. Кубическое кремоново преобразование 137
§ 54. Исключительная ткань <3й» 138
§ 55. Ранг криволинейной ткани в пространстве 139
Алфавитный указатель 142

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В конце 20-х годов нашего века в немецких матема-
математических журналах стали появляться многочисленные
статьи одного из виднейших современных геометров, ру*
ководителя Гамбургской математической школы—В. Бляш:
ке, его учеников и сотрудников, носящие общий подзаго-
подзаголовок «Топологические вопросы дифференциальной гёо*
метрии». Наиболее интенсивная раббта в этом направлении
велась на рубеже 20-х и 30-х годов: в одном лишь 1930 г.'
было напечатано 17 статей на эту тему. В дальнейшем
число подобных публикаций стало сокращаться — основы
нового направления были уже заложены и, несмотря на,
большое число оставшихся нерешенными вопросов, по-
появилась необходимость подведения первых итогов. Реше-
Решению этой задачи была посвящена обстоятельная моно-
монография «Геометрия тканей» (Geometrie der Gewebe)
В. Бляшке и его сотрудника Г. Боля, вышедшая в свет
в 1938 г. в известной серии Die Grundlehren der Mathe-
matischen Wissenschaften немецкого издательства Шприн-
гер и освещающая результаты многолетней работы боль-
большого коллектива исследователей. Однако и после выпуска
в свет этой книги В. Бляшке не перестал интересоваться'
новым направлением дифференциальной геометрии, у колы-
колыбели которого он стоял. Постоянно странствуя по свету,
он все время возвращался к любимой теме, читая лекции
или лекционные курсы в Москве и в Стамбуле, в Барсе-
Барселоне и в Мессине. Не оставлял Бляшке и задачу изло-
изложения осноз «Топологической дифференциальной геомет-
геометрии». В его интереснейшей «Проективной геометрии»,
вышедшей в свет в Вольфбюттене (ФРГ) в 1947 г. и затем
неоднократно переиздававшейся, этим вопросам посвящена
заключительная глава; специальные книги по «Геометрии

8 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
тканей»*) вышли в свет в Барселоне (Испания) в 1954 г. и в
Базеле (Швейцария) в 1955 г. Перевод последней из этих
книг и предлагается сейчас вниманию советского читателя.
Появление этого перевода представляется нам тем более
уместным, что открытая В. Бляшке новая глава классиче-
классической дифференциальной геометрии, отметившая уже свою
тридцатую годовщину, весьма мало популярна в нашей
стране. В. Бляшке неоднократно читал у нас обзорные лек-
лекции на эту тему и в Харькове в 1930 г. на I Всесоюз-
Всесоюзном математическом съезде**), и в Москве в 1934 г. на
руководимой покойным В. Ф. Каганом Первой междуна-
международной конференции по тензорной дифференциальной гео-
геометрии***), и снова в Москве в 1956 г. на Третьем всесоюз-
всесоюзном математическом съезде. Однако его призывы обратить-
обратиться к этой тематике почти не находили отклика ****). Од-
Одной из причин этого являлось, по-видимому, почти полное
отсутствие на русском языке каких бы то ни было изло-
изложений «геометрии тканей»: в течение многих лет основным
источником наших знаний по этому кругу вопросов явля-
являлись указанные в сносках **) и ***) статьи Бляшке, напе-
напечатанные в сборниках, изданных ничтожными тиражами.
Таким образом, появление настоящей книги ликвидирует
бесспорный пробел в нашей математической литературе.
*) В последнее время В. Бляшке вместо предложенного им
ранее термина «Geometrie der Gewebe» («Геометрия тканей») упо-
употребляет в том же смысле название «Geometrie der Waben» («Гео-
(«Геометрия сот»). Мы в переводе вынуждены были сохранить прежний
термин из-за чисто грамматических затруднений, связанных с упо-
употреблением слова «соты» (это слово не имеет в русском языке
единственного числа).
**) См. В. Бляшке, Новые течения в дифференциальной
геометрии, Труды I Всесоюзного съезда математиков, М.—Л.,
1936, 167—178.
***) См. В. Бляшке, О геометрии тканей, Труды семинара
по векторному и тензорному анализу, вып. IV, М. — Л., 1937,
стр. 55—61.
****) Единственное известное мне исключение в этом отноше-
отношении составляет содержательное исследование А. Е. Либера, нашед-
нашедшего необходимые и достаточныеусловия эквивалентности произволь-
произвольной двумерной р-ткани прямолинейной р-ткани на плоскости и
р-ткани, образованной р семействами параллельных прямых на
плоскости (см. А. Е. Л ибер, О двумерных пространствах
с алгебраической метрикой, Труды семинара по векторному и тен-
тензорному анализу, вып. IX, М.—Л., 1952, стр. 319—350).

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 9
В чем же заключается содержание «Геометрии тканей»
или «текстильной геометрии», как любил говорить Бляшке
на первом этапе работы над этой темой*)? Основная идея
достаточно ясно обрисована автором во Введении к настоя-
настоящей книге. Согласно идее Ф. Клейна геометрия изучает
инварианты тех или иных групп преобразований; эта точка
зрения применима и к дифференциальной геометрии и
позволяет выделить отдельные ее ветви, как, например,
дифференциальную геометрию обычного (евклидова) про-
пространства, аффинную, проективную или конформную
дифференциальную геометрию. В. Бляшке предлагает
рассматривать «топологическую» дифференциальную гео-
геометрию, т. е. изучать дифференциально-геометрические
(локальные!) свойства различных объектов, инвариантные
относительно произвольных взаимно-однозначных и взаимно-
непрерывных (топологических) преобразований. При этом
использование) классического аппарата дифференциальной
геометрии заставляет нас ограничиться преобразованиями,
задаваемыми функциями, дифференцируемыми достаточное
число раз или даже аналитическими; однако Бляшке
многократно выражал надежду, что последующее развитие
науки поможет избавиться от этого довольно искусствен-
искусственного ограничения (ср., например, ниже, стр. 15)**).
Изменение целей исследования неизбежно отражается
и на объекте его. Изучаемые в классической дифферен-
дифференциальной геометрии кривые и поверхности устроены
«в малом» в каждой своей (обыкновенной) точке тополо-
топологически одинаково — малый отрезок любой линии не отли-
отличается, с нашей точки зрения, от отрезка прямой, а не-
небольшой участок поверхности — от плоской площадки.
Поэтому кривые и поверхности не имеют топологических
свойств, позволяющих отличать одну из них от другой.
Также и «сети» на плоскости или на произвольной поверх-
поверхности, т. е. двупараметр'ические семейства линий, такие,
что через каждую точку определенной области проходят
*) См., например, доклад В. Бляшке, Текстильная геомет-
геометрия и абелевы интегралы, Jahresbericht der Deutschen Math. Ver-
einigung, 43, 1933, стр. 87—97.
**) Впрочем, развитие геометрии за последние годы скорее
предостерегает от излишнего оптимизма в этом отношении (ср.,
например, статьи Дж. Нэша и Н. Кейпера, напечатанные в жур-
журнале переводов «Математика» 1. № 2 A957)).

10 ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
две (не касающиеся в этой точке!) линии, топологически
эквивалентны — все они, «устроены» как сеть координатных
линий на плоскости в декартовой системе координат.
Совсем по-другому обстоит дело, когда мы от сети пере-
переходим к «3-ткани», т. е. к трехпараметрическому семейству
линий на плоскости или на поверхности, такому, что
через каждую точку рассматриваемой области проходят
три (не касающиеся друг друга!) линии трех различиых се-
семейств. 3-ткани уже могут быть устроены топологически раз-
различно; далеко не каждую такую ткань можно отобразить,
скажем, на ткань, образованную прямыми трех фиксирован-
фиксированных направлений. Подобные «ткани» и родственные им
образы составляют основной предмет изучения в этой книге.
Скажем еще несколько слов о характере книги.
Она представляет собой скорее беглый обзор предмета,
чем детальное изложение его. Написанное с характерной
для В. Бляшке живостью и педагогическим мастерством
«Введение в геометрию тканей», в противоречие с принятой
в немецкой научной литературе традицией, является
именно введением в предмет — оно хорошо освещает
тематику новой области геометрии, основные методы ее и
стоящие перед ней задачи, а также место «геометрии тка-
тканей» в ряду других математических дисциплин; илеется
здесь также и достаточно широкая картина достигнутых
до сих пор успехов. При этом доказательства здесь часто
не проведены с полной тщательностью, а иногда (особен-
(особенно во второй половине книги) и вовсе опущены; для вос-
восполнения пробелов читателю, пожелающему избрать «Гео-
«Геометрию тканей» своей научной специальностью, придется
обратиться и к упомянутой выше монографии Бляшке —
Боля 1938 г. и к журнальной литературе. В переводе мы
в некоторых местах восстановили в подстрочных приме-
примечаниях ход мысли автора (эти примечания отмечены
звездочками в отличие от нумерованных сносок автора);
не имея, однако, в виду менять коренным образом харак-
характер книги, мы сделали это только в тех случаях, когда
можно б.:>1ло обойтись немногими строчками, и главным об*
разом в более подробно написанной первой части книги.
Кроме того, в переводе исправлены многочисленные опис-
описки и мелкие дефекты немецкого издания.
И. М. Яглом

ПРЕДИСЛОВИЕ
В течение моей жизни я совместно со своими учени-
учениками и сотрудниками выращивал различные садики, и один
из них назывался «геометрия тканей». Он принес мне уди-
удивительные плоды, как, например, приглашение на сове-
совещание работников текстильной промышленности. Поэтому
я теперь вместо «тканей» предпочитаю говорить о «сотах»,
так как мне кажется более привлекательным иметь дело
с пчелами и пчеловодами, а не с ткачами*).
Мой друг Боль (G. Bol) написал в 1938 г. при моем уча-
участии довольно тяжеловесную книгу, посвященную этому
предмету **); в этой книге он собрал вместе и упорядочил
все сделанное в этой области, начиная с работы 1927 г.
моего рано умершего друга Томсена (G. Thomsen 1899—
1934).
В последние годы я снова во многих местах — в Барсело-
Барселоне, Гамбурге, Стамбуле и Мессине — читал лекции о
тканях *).
Поэтому я охотно последовал предложению моего колле-
коллеги Лёхера (Locher) внести свой вклад в издаваемую им
серию книг, тем более, что и в Швейцарии нашлись люди,
интересующиеся этими вопросами.
Если Франческо Севери писал недавно, что «современ-
«современная математика больна абстракцией», то нашу ветвь гео-
*) См. примечание *) на стр. 8.
**) W. В 1 as с hk e und G. Bol, Geometrie der Gewebe, Berlin,
1938.
*) W. .B 1 a s с h k e, Introductidn a la Geometrie de los tejidos—
лекции, читанные в Барселоне и Мессине, изданные Тейксидором
(J.. Teixidor) и Доу (A. Dou). (Seminaro Matematico de la Univer-
sidad de Barcelona, 1954.)

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
метрии следует признать совершенно здоровой (может
быть это означает, что она недостаточно современна?),
так как основную роль в ней играют вполне «наглядные»
понятия.
Я хочу поблагодарить моих коллег Лагради (К. Lag-
rady) из Гамбурга и Ёцкана (A. Ozkan) из Стамбула за
улучшения в этой книге, которыми я им обязан.
Стамбул, весна 1955 г.

§ 0. Введение
Прежде всего я хочу попытаться кратко охарактери-
охарактеризовать тему этой книги. Ф. Клейн в своей Эрлангенской
программе 1872 г.*) классифицировал «геометрии» по со-
соответствующим группам Ли. Я посвятил свою жизнь тому,
чтобы оплодотворить этими идеями дифференциальную
геометрию. Если рассмотреть на плоскости @, отнесенной
к декартовым координатам х, у, «общее» или «топологи-
«топологическое отображение*
**«/(*. У). У* = Е(х,у), @.1)
то можно поставить вопрос о геометрических свойствах
«в малом», которые сохраняются при таких отображениях.
При этом удобно предполагать, что функции /, g в об-
области © плоскости являются аналитическими функциями
вещественных переменных х, у и их функциональный
определитель отличен от нуля:
ЧШ+°- @-2)
Тогда уравнения @.1) зададут обратимое однозначное и
непрерывное отображение области @ или некоторой ее
части на область @* плоскости @. Такие «топологиче-
«топологические отображения», конечно, не образуют группу Ли, и
само их групповое свойство имеет ограниченный характер.
Мы будем здесь рассматривать такие свойства фигур
в малом, которые остаются неизменными при всех подоб-
подобных отображениях @.1).
*) Ф. Клейн, Сравнительное обозрение новейших геометри-
геометрических учений, Сборник «Об основаниях геометрии», М., Гостех-
издат, 1956.

14 ВВЕДЕНИЕ [$ О
Пусть в области © задано «семейство кривых» <&j
«у (*> У) = «/ = const, @.3)
которое покрывает © «простым образом», т. е. такое, что
обе производные
duj dUj
дх' ~ду
нигде в © не обращаются в нуль одновременно и что
через каждую точку х, у области © проходит точно одна
кривая семейства <3у. При этом мы будем предполагать
функции щ (х, у) аналитическими в @. Рассмотрим теперь
в области Ф> три такие семейства: / =» 1, 2, 3; при этом по-
потребуем, чтобы функциональные определители
^|Uo (/, ft-2,3; 3.1; 1.2) <Р.4)
нигде в © не обращались. в нуль и (не независимо от
предыдущего) чтобы две кривые различных семейств име-
имели в © не более одной общей точки. Описанный гео-
геометрический образ мы будем называть «.криволинейной
3-тканьт или просто «тканью» 2В. При этом необходи-
необходимо предполагать область © «выпуклой» относительно 2В
в том смысле, что каждая" пересекающая © кривая тка-
ткани имеет единственную непрерывную дугу, принадлежа-
принадлежащую ©. -
Первая задача, которой мы здесь будем заниматься,—
это отыскание тех свойств тканей 2В в Малом, которые
сохраняются при отображениях @.1). В то время как
в «топологии» рассматриваются инвариантные относительно
отображений @.1) свойства геометрической фигуры «в це-
целом», как, например, «род» римановой поверхности, мы
ограничиваемся в нашей «дифференциальной топологии»
свойствами «в малом», как это обычно делается в диффе-
дифференциальной геометрии. При этом нам удобно ограничиться
аналитическими функциями f, g, и, так как это дает воз-
возможность применять обычные средства дифференциальной
геометрии, например, формы Пфаффа. Сохраняется, одна-

$ 0] ВВЕДЕНИЕ 15
ко, 'надежда, что более углубленное изучение позволит
когда-нибудь обойти это неестественное ограничение, на-
например, подобно тому, как это сделано Л. Шварцем
(L. Schwartz) в его «Теории распределений» (Paris, .1951) *).
*) «Теория распределений» или «обобщенных функций» позво-
позволяет считать «дифференцируемой» каждую непрерывную функцию
вещественного переменного. По поводу применения этого нового
аппарата дифференциальной геометрии см., например, И- Я- Ба-
кельман, Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных
поверхностей, УМН И, вып. 2 A956), 67—124.

I. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Связь с номографией
Учение о тканях тесно связано с «номографией»1, кото-
которую применяют в технике, для того чтобы графически
представить функциональную зависимость. Если мы из
уравнений трех семейств кривых ткани 2В в области ©
Uj (х, у) = Uj = const (/ = 1, 2, 3) A.1)
исключим переменные х, у, то получим зависимость
W (и1} «а, Из) = 0, A.2)
связывающую три кривые ткани, проходящие через одну
точку. Если задана подобная функция W переменных «у,
аналитическая в области © и удовлетворяющая условиям
то с ее помощью можно «топологически» изучать ткань
в малом. Если дана ткань 2В и указаны значения парамет-
параметра Uj, отвечающего кривым каждого семейства ©у, то 2В
представляет собой томограмму-» для соотношения A.2).
- Все ткани с одним и тем же «уравнением ткани» A.2)
эквивалентны в малом относительно нашего «топологиче-
«топологического» отображения A.2)*). Обратно, одной и той же ткани
*) Пусть на плоскости заданы две ткани, определяемые семей-
семействами линий uj{x, «/) = const и и*,(х, у) = const и имеющие одно
«уравнение ткани» W (и\, «2, us) = w(«*, Uj, «3) =0. Подбе-
Подберем топологическое преобразование x = f(x*, у*), y — g(x*,y*)
так, чтобы было uj(x, y) = u*j{x*t у*) (/=1,2); при этом семей-

§ U связь с номографией 17
соответствует много «функций ткани» W («i, u2, и3), кото-
которые связаны друг с другом при помощи следующих пре-
преобразований:
I: W* («I, ul, из) = W [«!(«!), u,{ul), «8(«S)], A.4)
что соответствует «замене параметра» в каждом семействе
©, при помощи однозначной функции
A-5)
)W(u1,ut,ua), A.6)
где
Я^Ов®, A.7)
н, наконец,
III: W(ut, и2, uz) = F[W(ui, «2, «»)], A.8)
где
F@) = 0, F'(O)qbO. A.9)
Эти преобразования позволяют нормировать определен-
определенным образом параметры «, и функцию ткани W, о чем мы
еще будем говорить ниже (§ 16).
Рассмотрим, например, прямолинейную ткань, т. е.
такую | ткань,- для которой семейства кривых 6У- могут
быть^представлены уравнениями:
а,(«*,)*•+ bj(ttj)y + c,(Uj) - 0. A.10)
В качестве функции ткани мы,можем ввести определитель
W («1, «2, ti3) =
Ь2(и2) с2(«3)
A.11)
Прямые семейства ©у- будут, вообще говоря, огибать кри-
кривую ©j., которая лежит вне области регулярности ® нашей
ткани. Каждая кривая Ё,- несет на себе шкалу параметра «,,
ства б! и 6а. линий первой ткани перейдут в семейства <5\ и Q^
линий второй ткани. Семейство линий <53 можно определить
уравнениями W (ult u2, const) = 0; оно перейдет в семейство линий
W ("*> U2> const) =0, т.' е. в семейство <5*3.
2.' В- Бляшке

18
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
[г л, 1
и условие W («1, «2 «з) = 0 показывает, что три касатель-
касательные к этим кривым, соответствующие значениям их, и2
и и3 параметра, проходят через одну точку (рис. 1).
Двойственная фигура (рис. 2) состоит из трех кри-
кривых К/ с нанесенными на них шкалами, и уравнение
ткани означает, что соответствующие
точки этих трех кривых лежат на одной
прямой. «Номограмма» последнего ти-
типа особенно удобна для вычислений
(«номограмма из выровненных то-
точек»).
\
J
РЯС. 1.
Рис. 2.
Итак, мы видим, что столь необходимая для техники
номография может быть включена в наше учение о тканях.
Но геометрия тканей тесно связана и с многими другими
«классическими» областями математики. В первую очередь
я здесь имею, в виду:
1) вопросы аксиоматического обоснования элементарной
и проективной геометрии;
2) алгебраическую теорию групп и теорию непрерыв-
непрерывных групп Ли;
3) проективную и алгебраическую геометрии;
4) классическую дифференциальную геометрию Гаусса;
5) проективную дифференциальную геометрию1);
6) риманову геометрию и ее обобщения;
7) вариационное исчисление;
8) теорию функций;
9) формы Пфаффа и дифференциальные уравнения;
10) теорию расслоенных пространств.
Кое-какие из этих связей будут рассмотрены в даль-
дальнейшем. Но в то время, как некоторые из этих благород-
1) Ср. G. Bol, Projektive Differentialgeometrie, т. I и II
(Gottingen 1950 и 1954 гг.).

§ 2] ШЕСТИУГОЛЬНЫЕ ТКАНИ 1'9
ных и древних родственников нашей науки в настоящее
время уже несколько одряхлели и выродились, геометрия
тканей обладает еще юношеской свежестью.
§ 2. Шестиугольные ткани
Рассмотрим на плоскости (? ткань 2В, состоящую из
трех различных семейств параллельных линий. Такую
ткань мы будем называть шестиугольной. При помощи
«аффинного» отображения плоскости E можно добиться,
чтобы три семейства прямых этой ткани стали парал-
параллельны сторонам некоторого равностороннего треуголь-
треугольника (травильная ткань»), а уравнения семейств прямых
ajx+ bjy + cj = Uj (i = 1, 2, 3) B.1)
можно нормировать так, что уравнение ткани примет
простую форму
W =¦«! + «„ +и3 = 0'. B.2)
Поставим вопрос о том, в каком . случае некоторая
заданная ткань 2В эквивалентна относительно преобразова-
преобразований @.1) такой шестиугольной
ткани, т. е. в каком случае
уравнение ткани можно привес-
привести преобразованиями I, II, III
предыдущего параграфа к виду
B.2)? Все ткани подобного рода
следует также называть шести-
шестиугольными. ¦ Рис. 3. Рис! 4.
Из данного в § 0 определе-
определения- ткани вместе с 'предположением о «выпуклости» об-
области регулярности & следует, что в каждый треугольник,
составленный из кривых ткани, можно однозначно вписать
другой такой треугольник (рис. 3), вершины которого
лежат на сторонах первого *). Назовем два различных тре-
треугольника ткани «соседними», если они имеют одну общую
сторону (рис. 4).
*) Для того чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть
точку М стороны АВ треугольника ткани, достаточно близкую
к вершине А, и провести из нее линии ткани до пересечения с дву-
двумя другими сторонами треугольника в точках N и Р и из N и
Р — линии, принадлежащие тому же семейству, что и АВ;.затем
непрерывно двигать точку М по стороне А В от А к В.
2*

20 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ (ГЛ. 1
Если вписать в треугольник правильной ткани другой
треугольник, то вершины нового треугольника будут се-
серединами сторон старого; поэтому если вписать треуголь-
треугольники ткани в два соседних треугольника, то вершины
новых треугольников, принадлежащие
общей стороне старых треугольников, сов-
совпадут между собой (рис. 5). Другими сло-
словами, у шестиугольной ткани замыкаются
все состоящие из линий тка-
ткани «шестиугольные фигуры»,
как это указано на рис. 6.
Эта фигура имеет семь вер-
вершин и по три линии каждого
из трех семейств.
Рис. 5. Рис. 6. Нетрудно доказать, что
требование замкнутости всех
шестиугольных фигур является не только необходимым,
но и достаточным для того, чтобы ткань была шести-
шестиугольной.
Действительно, рассмотрим наряду с шестиугольной
фигурой более общую фигуру 3)„ при п = 3, переходящую
в несколько пополненную шести-'
угольную фигуру. В случае правиль-
правильной ткани фигура ©„ состоит из тре-
треугольника, каждая сторона которого
разделена на /г>-3 равных частей,
и из линий ткани, соединяющих
точки деления (рис. 7, п == 4). Тот-
Тотчас же видно: из замкнутости фигу-- ¦ и
ры Фз в области & следует замкну- Рис- 7.
тость фигуры Ф„ в этой области, от-
отсюда с помощью предельного перехода выводится, эквива-.
лентность данной ткани правильной, что и требовалось
доказать.
§ 3. Примеры
I. Рассмотрим в треугольнике © три пучка прямых
с центрами в вершинах этого треугольника. Пусть
Xj = a;X+bjy + .Cj=*O (/=1,2,3) C.1)
— уравнения сторон треугольника. Нормируем линейные

S3]
ПРИМЕРЫ
21
формы Хр скажем, так, что х}= -f 1 в центре тяжести
треугольника. Если мы положим теперь
1 Х2
In — = ии
Хз
1 Хз
1П = «2.
Х\
in f = «,,
х
C.2)
то величины и,- будут определены в треугольнике @, так
как в © все х} > 0, и для трех прямых, проходящих
через одну точку, мы будем иметь
W = «1 + «а + «з = 0.
C.3)
Рис. 8.
Таким образом, наши пучки прямых образуют шести-
шестиугольную ткань, областью регулярности
которой служит открытый треугольник
© (рис. 8).
При помощи предельного перехода
можно вернуться от этой ткани к рас-
рассмотренной в § 2 ткани, состоящей из
трех различных семейств параллельных
прямых, областью регулярности © ко-
которой будет являться вся евклидова
плоскость (S. (С проективной точки
зрения эти две фигуры не будут эквивалентны, так как в пер-
первом случае мы имели дело с тремя пучками прямых, центры
которых не лежат на одной прямой, в то время как
в случае «параллельной ткани»
центры пучков принадлежат беско-
бесконечно удаленной прямой.)
II. Для того чтобы прийти ко
второму примеру шестиугольной
ткани, рассмотрим круг @. Выбе-
Выберем на его границе d® три различ-
различные точки Р\, Р2, Рз- Пусть се-
семейство Щ линий состоит из всех
заключающихся в круге @ дуг ок-
окружностей, проходящих через точ-
ки РР Pk> p{, /. k, l различны.
Мы утверждаем, что определенные
таким образом три пучка окружностей (рис. 9) образуют
в круге © шестиугольную ткань. Я дам этому простое
доказательство, которое указал в 1932 г. один кой слу-
Рис. 9.

22 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
шатель в Чикаго. Пусть Р — некоторая точка ©, и оу-—
угол @<Dy<2ir), под которыми виден из точки Р от-
отрезок Pk P, (Vj > к, если точки Р и Ру лежат по разные
стороны прямой PkP[). Уравнение окружности семейства
©У можно записать в виде Vj = const, причем три угла
Vj (/ = 1, 2, 3), отвечающие точке Р, связаны соотноше-
соотношением
vi + 02 + vs = 2it. C.4)
Если теперь положить
Vj-^. = uj, C.5)
то мы придем к соотношению C.3), что и доказывает на-
наше утверждение.
III. Другие примеры шестиугольных тканей из пучков
окружностей можно получить при помощи стереографи-
стереографической проекции. Пусть даны плоскость 6, сфера Ш и точка
А, не принадлежащая © и, вообще говоря, не принадлежа-
принадлежащая Ш. На плоскости © возьмем состоящую из трех прямо-
прямолинейных пучков ткань «ш0, рассмотренную в примере I.
Спроектируем ткань ав0 из точки А на сферу ®; мы
получим шестиугольную ткань ЗЕВ#, заданную в неко-
некоторой области ©? сферы ®; эта ткань высекается
на сфере й тремя пучками плоскостей, оси которых пе-
пересекаются в А. При помощи стереографической проек-
проекции сферы Й на плоскость © (Р-> Р*, рис. 10) из ткани
ЗЕВ я получается шестиугольная ткань ЗЕВ плоскости ©. При
этом случай, когда точка А лежит на сфере Ш, приводит,
по существу, обратно к примеру I*). Если точка А лежит
вне сферы й, то на плоскости 6 мы получим три семей-
семейства <Bj окружностей, которые пересекают ортогонально
некоторую фиксированную окружность f0 — этой окруж-
окружности на сфере й отвечает окружность, по которой пере-
пересекает $ поляра точки А. Если точки пересечения пуч-
пучков окружностей будут вещественными (т. е. если оси
*) Если центр S стереографической проекции совпадает с А,
то мы приходим, разумеется, к первоначальной ткани: если S
отлично от Л, то мы получаем ткань, образованную тремя семей-
семействами окружностей, получаемую из изображенной на рис. 8
ткани с помощью инверсии.

S3]
ПРИМЕРЫ
23
наших пучков плоскостей пересекают сферу ®) и если
Pi, P2, Рз — три такие точки, лежащие внутри окруж-
окружности !0, то за область регулярности ткани Ш в плоско-
плоскости © можно принять треугольник с вершинами Pf,
Рис. 10.
образованный окружностями, ортогональными к окружно-
окружности f0 (рис. 11).
Если точка А лежит вне сферы й, то могут предста-
представиться еще три подслучая, так как сферу ® может не
Рис. П.
Рис. 12.
пересекать в вещественных точках ни одна из трех про-
проходящих через точку А осей наших пучков плоскостей,

24
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
пересекать одна ось илипергсекатьдвеоги. Первый подслу-
чай иллюстрируется рис. 12. Все окружности ткани 51В
пересекают ортогонально постоянную окружность f0- Кро-
Кроме того, имеются еще три непересекающиеся окружно-
окружности !/•(/"= 1, 2, 3), ортогональные к !0, такие, что семей-
семейство ©у состоит из окружностей, пересекающих ортого-
ортогонально окружности f0 и tj. Областью ©будет шестиугольник
с шестью прямыми углами, ограниченный шестью дугами
ортогональных f0 окружностей, тремя из которых явля-
являются окружности !у. Во втором и третьем подслу чаях мы
приходим соответственно к рис. 13 и рис. 14, причем за-
заштрихованные на этих фигурах треугольники © пред-
представляют области регулярности ткани 2В.
Рис. 13.
Рис. 14.
Кроме того, существует еще несколько предельных
случаев подобной ткани, отвечающих расположениям А,
при которых одна, две или три оси пучков плоскостей
касаются сферы. Последней из этих возможностей отве-
отвечает рис. 15.
Наконец, нужно рассмотреть еще случай, когда точка А
лежит внутри сферы Ш. В этом случае три плоскости,
определяемые тремя осями, проходящими через точку А.,-
рассекают сферу $ на восемь треугольников @, в каждом
из которых ткань Ш% будет регулярной. В плоско-
плоскости © имеется такая окружность f0, что все окружности
ткани 2У пересекают эту окружность f0 в диаметрально
противоположных точках. Рис. 16 поясняет этот случай,
при котором областью © является круг Iq.

§ 3]
ПРИМЕРЫ
25
Все эти довольно многочисленные примеры шести-
шестиугольных тканей, состоящих из трех пучков окружностей,
наводят на мысль о том,, что все подобные ткани являются
Рнс. 15. Рис. 16.
шестиугольными. Однако, если мы рассмотрим ткань, со-
состоящую из прямых х = const, у = const и пучка окруж-
окружностей, проходящих через точки @,0) и A,1), то увидим,
У
Рис.
что шестиугольные фигуры этой ткани, вообще говоря, не
замыкаются (рис. 17). Поэтому здесь мы не получаем ше-
шестиугольной ткани. Вопрос о том, какие тройки пучков
окружностей образуют шестиугольные ткани, оказывается
более сложным. Мы еще вернемся к нему в § 9.

26
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
1ГЛ. I
§ 4. Прямолинейные шестиугольные ткани
К рассмотренным примерам мы добавим еще некоторые
важные соображения и найдем все шестиугольные ткани,
которые состоят только из прямых; при этом мы будем
опираться на результаты Графа (Н. Graf) и Зауэра
(R. Sauer), полученные ими в 1924 г.
Рассмотрим прямолинейную шестиугольную фигуру
(рис. 18), пары противоположных вершин которой мы
обозначим через R, U; S, V; Т, W, и докажем следую-
следующую теорему Шаля (М. Chasles,
1793—1880): если кривая третьего
класса ® касается восьми из девяти
прямых, образующих шестиугольную
фигуру (т. е. всех прямых, кроме,
скажем, SW),mo она касается также
и этой последней, причем существует
'однопараметршеское линейное семей-
семейство таких кривых Ш. Действитель-
Действительно, пусть, например, уравнение
О D.1)
связывает тангенциальные координаты gt всех прямых,
проходящих через точку U, с координатами х, у; анало-
аналогичный смысл будут иметь линейные формы г, s, t, v, w.
В таком случае уравнение
rst + cuvw = 0, с = const
D.2)
дает искомое семейство- кривых третьего класса. Но об-
общее уравнение кривой третьего класса
+ du0uiu2--=0, D.3)
а0 «о + bo и\ «2 + Со «1 и\ +
где точки обозначают круговую перестановку индексов
0, 1, 2, содержит десять однородных коэффициентов
а0, bo,...,d. Поэтому оно должно удовлетворять восьми
линейно независимым условиям, чтобы представлять ли-
линейное семейство D.2), а именно—условиям касания на-
нашей кривой с восьми прямыми рис. 18. То, что эти восемь
условий являются линейно независимыми, можно показать,
например, так: добавим еще одно — девятое — условие, что

S4]
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ШЕСТИУГОЛЬНЫЕ ТКАНИ
27
^ f'\ /^ /"N
^.-^ у. А>
Рис. 19.
кривая ® касается еще одной прямой, проходящей через
диагональную точку М; тогда эта кривая определяется
однозначно. Именно эта кривая будет распадающейся,
состоящей из точки М и конического сечения, которое
касается пяти сторон TU, TV, RV, RW и SU нашего
шестиугольника.
Отсюда следует: в каждой
области ©, в которой касатель-
касательные к кривой третьего класса
Й образуют ткань, эта ткань
будет шестиугольной. Обратно:
рассмотрим прямолинейную ше-
стиугольную ткань SB в области
© и выделим фигуру Ф4. со-
составленную из линий ткани
(рис. 19). Если ^ ы отбросим
«нижний» ряд треугольников, то получим по Шалю линей-
линейной семейство D.2) кривых й, которые касаются прямых
оставшейся фигуры ф3, и
мы можем выбрать кривую
$ так, чтобы она касалась
также «нижней» стороны
исходной фигуры. Теперь,
дважды применяя теорему
Шаля, получим, что кривая
й касается и двух осталь-
остальных прямых фигуры ф4»
не принадлежащих 5K- Та-
Таким образом, кривая ft каса-
касается всех трех прямых фигу-
фигуры Ф«, не принадлежащих
к Ф3. Точно так же можно
заключить далее, что любая
фигура Фя, п > 4, состоит
из касательных одной кривой третьего класса. Отсюда легко
получим при помощи подразделения (ф„-^Ф2п) фигуры 2)„:
прямолинейная шестиугольная ткань всегда состоит ив
касательных некоторой плоской кривой третьего класса.
Простейшим примером кривой третьего класса будет
кривая (рис. 20), описызаемая точкой окружности, катя-
катящейся без скольжения по другой окружности в три раза
Рис. 20.

28
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
большего радиуса, причем меньшая окружность заключена
внутри большей. Эта рациональная кривая называется
трехконечной гипоциклоидой;подробно эта кривая изуча-
изучалась Штейнером (J. Steiner, 1769— 1863) в 1856 г. Если
обозначить через v угол, который образуют ее касательные
с некоторым постоянным направлением, то можно доказать,
что для трех касательных, проходящих через одну точку,
имеет место соотношение ог + v2 + v& = const, откуда мы
Рис. 21.
снова получаем, что касательные к кривой Ш образуют
внутри ограниченного кривой криволинейного треуголь-
треугольника шестиугольную ткань.
Если Ш распадается на три пучка прямых, то мы сно-
снова приходим к примеру I § 3. Рис. 21 изображает шести-
шестиугольную ткань, образованную касательными к некоторой
окружности и прямыми, проходящими через ее центр.
§ 5. Кривые третьего класса и эллиптические функции
Коротко укажем на связь содержания предыдущего
параграфа с теорией функций.
Если записать уравнение прямой в виде
px + qy=L E.1)
то можно рассматривать р и q как координаты прямой.

$5] КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО КЛАССА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 29
При этом уравнение кривой третьего класса $ можно
привести к виду
q2 = 4ps — g2p — g3; E.2)
эта кривая Й не имеет двойных касательных, если
gl — 27gl Ф 0. E.3)
Эту кривую $ можно, как указал в 1865 г. Клебш
(A. Klebsch, 1833—1872), представить при помощи эллип-
эллиптической функции ф Вейерштрасса (К. Weierstrass, 1816—
1897) и параметра и*):
р =#>(«), q=$>'(u). E.4)
Чтобы найти теперь касательные к кривой ®, проходя-
проходящие через точку х, у, нужно найти нули иь и2, «з эл-
эллиптической функции третьей степени
f («) = х$ (и) + уф' (и) — 1. E.5)
Интегрируя
" t^-du E.6)
по контуру параллелограмма периодов, мы получим, что
сумма нулей «i + «а + «з отличается от суммы полюсов k
(которая не зависит от выбора х, у) только на период
функции <§> (и):
«1 + «2 + «з = k + период. E.7)
Соотношение E.7) подтверждает справедливость дока-
доказанного нами ранее элементарно утверждения о том, что
касательные к кривой третьего класса в некоторой под-
подходящим образом выбранной области образуют шести-
шестиугольную ткань. Сротношение E.7) представляет собой
частный случай знаменитой теоремы Абеля (N.H. Abel,
1802—1829), доказанной им в 1829 г., к которой мы еще
вернемся позже (§ 45).
До сих пор в § 2, 3, 4 нам нигде не понадобились
наложенные на входящие в рассмотрения функции огра-
ограничения: мы нигде не предполагали дифференцируемое™
или тем более аналитичности этих функций. Однако для
дальнейшего эти ограничения окажутся существенными.
•) См., например, Е. Т. Уитеккер и Г. Н. Ватсон, Курс
современного анализа, т. II, М. — Л., ГТТИ, 1934, стр. 267.

30 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 1
§ 6. Формы Пфаффа ткани
Предположим, что три семейства кривых ©у ткани 2В
записываются уравнениями @.3):
Uj (х, у) = «,- = const A=1, 2, 3). F.1)
Полные дифференциалы duJt умноженные каждый на
множитель
gj{*,y)*O, F.2)
дадут нам формы Пфаффа
F.3)
Дифференциальное уравнение оу- = 0 определяет семейство
кривых ©у. Множители gj мы можем, в частности, вы-
выбрать так, что для всех точек х, у области © и всех на-
направлений dx: dy будет выполняться уравнение
в1 + о, + в, = 0. F.4)
Для «нормированных» таким образом форм Пфаффа остает-
остается возможным еще одна «перенормировка» при помощи
общего множителя g (x, у) ф 0;
Согласно Грассману (Н. Grassmair, 1809—1877) можно
определить так называемое «альтернированное или внеш-
внешнее произведение* форм Пфаффа
подчиняющееся следующим правилам:
и
где / есть
причем
скаляр.
За + «,] =
[К в.1
Отсюда
[dx dy] -f
[б2 ох] = 0,
= [О1О2] + [а1бз1
следует; что
2— p%qi)[dxdy],
• [dydx] = 0.
F.6)
F.7)
F.8)
F.9)
F.10)

^ 6] ФОРМЫ ПФАФФА ТКАНИ 31
Использование подобного внешнего произведения весьма
целесообразно при двойном интегрировании
J=--\\F{x,y)[dxdy], F.11)
так как оно приводит к правильной формуле замены пе-
переменных @.1):
, y*)[dx*dy*]
= j' J F tf • 8) ifx Sy ~ fy 8X) idx dyl F.12)
E
Поэтому внешнее произведение можно рассматривать как
подынтегральное выражение при -двойном интегриро-
интегрировании.
Равенство
F.13)
представляет собой условие линейной зависимости форм
Пфаффа о! и а2.
Из условия нормировки F.4) для форм aj следует,
что
[o2g3] = [o8oi] = [о1о!!];.. F.14)
выражение
2 F.15)
можно назвать «.поверхностным элементом» ткани 2В. При
этом, однако, 2 зависит от нормировки F.5), а именно
Q* = J-Q. F.16)
Вычисления показывают, что вид внешнего произве-
произведения остается инвариантным при введении новых пере-
переменных @.1), т. е. операции внешнего умножения и
замены переменных являются перестановочными. В том
же смысле является инвариантной операция «.внешнего
дифференцирования» формы Пфаффа
a = pdx+qdy: F.17)
«.внешний дифференциала или «дифференциал Фробениуса

32 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. Г
(О. Frobenius, 1849—1917) и Картана (Е. Cartan, 1869—
1951)» этой формы имеет вид
do =¦. [dpdx] + [dq dy] = (qx — py) [dx dy]. F.18)
Тождественное обращение в нуль внешнего дифферен-
дифференциала формы о
dc = 0 F.19)
есть" необходимое и достаточное условие того, что и яв-
является полным дифференциалом
а = du. F.20)
Кроме инвариантности внешнего дифференциала отно-
относительно преобразования "@.1), весьма важны еще сле-
следующие вычислительные правила:
d(fa) = [df,a]+fda . F.21)
(здесь / — скалярная [функция, а—форма Пфаффа) и
«лемма Пуанкаре»:
ddu^O. F.22)
Далее для области @ и ее надлежащим образом ориен-
ориентированной границы d@ справедлива интегральная теоре-
теорема (Стоке, Гаусс), которая поясняет, значение внешнего
дифференциала:
а- F.23)
Этими простыми свойствами форм Пфаффа по началу мы
будем обходиться.
Можно назвать несколько новых работ, посвященных
исчислению форм Пфаффа. Это в первую очередь книж-
книжка Келлера «Введение в теорию систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений» (Е. Kahler, Einfiihrung in die Theorie
des Systeme von Differentialgteichungen, Leipzig und
Berlin, 1934), Картана «Системы внешних дифферен-
дифференциальных уравнений» (Е. Cartan, Les systemes diffcren-
tiels exterieurs, Paris, 1945), Cerpe «Дифференциальные
формы и их интегралы» (В. Segre, Forme differenziali
е loro integrali, I, Rom, 1951), наконец, работа Боля
«Альтернированные формы и полуинвариантное дифферен-

. fT] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ТКАНИ 33
цирование» (G. Bol, Alternierende Formen und halbin-
variante Differentiation, Math. Zeitschr. 54 A951))*).
Польза, которую могут принести формы Пфаффа в диф-
дифференциальной геометрии, особенно хорошо иллюстри-
иллюстрируется теорией тканей **).
§ 7. Дифференциальные операторы ткани
Если мы образуем внешние дифференциалы форм
Пфаффа ay ткани <ш, нормированные условием F.4), то
каждый из них будет отличаться лишь скалярным мно-
множителем hj от «поверхностного элемента»  ткани F.15):
fcj^hjQ. * G.1)
Из условия F.4) следует, что
•Ai+Aa + ft, = 0. G.2)
Величины hj играют в геометрии тканей роль, подобную
роли символов Кристоффеля в теории поверхностей.
Поэтому мы их также будем называть символами
Кристоффзля.
Чтобы иметь возможность проще записать правила из-
изменения величин hj при перенормировке F.5), введем
«дифференциальные операторы» ткани. А именно, пусть
/ — некоторый скаляр; разложим для всех dx:dy полный
дифференциал df по линейно независимым формам Пфаффа
аьо2:
# = /.oi-7io« ¦ G.3)
и назовем величины fu f2 «производными от функции f
относительно пары форм Пфаффа аи о2». Тогда из G.3)
и F. 15) следует, что
[d/,o1]=/12, [d/,oa] = /,2. G.4)
••) На русском языке можно указать книги: П. К- Р а ш е в-
ский. Геометрическая теория уравнений с частным производным,
М—Л., Гостехиздат, 1947; С. П. Фиников, Метод внешних
форм Картана, М.—Л., Гостехиздат, 1948. '•. '
**) См., впрочем, также В. Бляшке, Введение в дифферен-
дифференциальную геометрию, М-, 1957.
3' В.Блйшке , - - .-

34 . - КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 1
Эти формулы также могут служить для определения ве-
величин /ь /2. Обобщая, получим
df — /за2 — faa8 = /ia3 — /3°i = /a«i —/i6g, G.5)
где
[df,°j] = fjQ G.6)
и
- , h + h + h = 0. G.7)
Введем «дифференциальный оператор» dj с помощью
соотношения
fj = djf; G.8)
при этом dj определяется на ткани «ш как некоторый
¦линейный оператор G.15). В силу G.7) дифференциаль-
дифференциальные операторы dj удовлетворяют условию
di + д2 + д3 = 0, G.9)
а G.5)-приводит нас к следующему выражению для пол-
полного дифференциала:
d = з2д3 — а3д2 = а3дг — а153 = о152 — ^di. G.10)
Вместо G.6) мы можем теперь писать
[e,d]=-Sd,._ "G.11)
Таким образом, соотношения G.10) позволяют одно-
однозначно определить по нормированным формам Пфаффа оу.
дифференциальные операторы д} и обратно: для диффе-
дифференциальных операторов, нормированных условием G.9),
из соотношения G.10) могут быть однозначно определены
соответствующие им формы Пфаффа в}. Значения диффе-
дифференциальных операторов ду получаются следующим обра-
образом.. В силу F.3)
d«x = ^ G.12)
и в силу G.10)
d
G-13)
Сравнение двух последних соотношений дает
Условия G.14) и условие нормировки G.9) позволяют

§ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ТКАНИ 35
однозначно (с точностью до общего множителя) опреде-
определить по ткани 28 линейные операторы
д'-г'?+>'!;• GЛ5)
В то время как в книге «Geometrie der Gewebe» A938)
учение о тканях в основном излагалось при помощи диф-
дифференциальных операторов, в этой книге мы будем отда'-
вать предпочтение формам Пфаффа.
Дифференцируя внешним образом обе части соотно-
соотношения G.3) и используя равенства F.21) и F.22), мы
получим
О '= [dft, at] — [dfu о,] + U dai — fi dat. G.16)
Если ввести вторые производные функции / при помощи
соотношений
df2 = Ы^1 — /г1Ог. G.17)
то из G.16) следует в силу G.1)
/21-/12 = А.Л-*!/«• G.18)
Так-им образом, положив
djdkf = fkJ, G.19)
мы будем иметь
fv-fjk = hkfj-hjfk G.20)
или
djdk-dkdj = hkdj-hjdk. G.21)
Выпишем последние равенства более подробно:
G.22)
Таким' образом, наши «символы Кристоффеля» hj обязаны
своим происхождением несимметрии вторых производных.
Из инвариантности полного дифференциала относи-
относительно перенормировки F.5) следует:
j G.23)

. 36 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
§ 8. Связность и кривизна ткани
Вычислим, как преобразуются величины hj при пере-
перенормировке F.5). Положим,.как и в G.1),
dc) = h)Q* (8.1)
и найдем в силу F.5), F.21), F.16) и G.6), что
-Il + k-lU. (8.2)
Таким образом,
Эти формулы являются довольно неудобными, так как
в них входят производные gf нормирующего множителя g.
Если же мы образуем форму Пфаффа ?
Т = Л8°2 — h-zQz = hi<sz — A33i =. Л231 — Aj.aa, (8.4)
которую будем называть «связностью» ткани 23, то при
перенормировке F.5) форма т в силу (8.3) и G.5) пре-
преобразуется так:
7* = T-d!n$. (8.5)
Таким образом, связность изменяется только на полный
дифференциал; следовательно, в силу F.22) интеграл
© <Я5 ..
инвариантен относительно перенормировки. Точно так же
инвариантен и «нормированный поверхностный элемент»
di==kQ. ' (8.7)
Скаляр k мы будем называть ^кривизной ткани» или
коротко «.кривизной-». В силу инвариантности d~[ и в силу
F.16)-при перенормировке F.5) k изменяется так:
k* = g2k, -. (8,8)
Это обстоятельство мы выражаем, утверждая, что k яв-
является дифференциальным инвариантом «веса» -два. Инте-
Интегральная формула (8.6) напоминает формулу Гаусса —

§ CJ СВЯЗНОСТЬ И КРИВИЗНА ТКАНИ 37
Бонне в теории поверхностей1). Из F.5) и (8.8) следует,
что при k > 0 формы Пфаффа
(8.9)
остаются неизменньщи при перенормировке F.5).
Внешнее дифференцирование формулы
в силу F.21), G.1) и (8.7) дает
df = [Л2га1 — A2i<J2, <3i] — [ui2<Ji — Лла2, а2] =
= (hn-h12)Q = kQ;
здесь
Отсюда следует, что
k — hS2 — h23 = Аи — Asi = A2i — Л12 (8.10)
и, значит, ^ меняет, например, знак при нечетной пере-
перестановке семейств ©ь @2, ©8.
Вообще говоря, не существует такого скаляра h, что
hj = djh. (8.11)
Но если эти уравнения оказываются разрешимыми отно-
относительно Л, то в силу (8.4)
t = dh (8.12)
и, следовательно,
dT = 0, fc=0. ¦ (8.13)
Обратно, из (8.13) следует разрешимость уравне-
уравнений (8.11).
Докажем, что, для того чтобы ткань была шести-
шестиугольной, необходимо и достаточно, чтобы ее кривизна
k тождественно равнялась нулю.
Для шестиугольной ткани мы можем принять
о! = dx, <s2 = dy, aa = —d(x + у).
Из G.1) тогда следует, что Ау = 0 и далее из (8.4)
что 7 — 0; поэтому также и 4 = 0. Обратно, k = 0 —
а) Ср., например, В. Бляшке, Введение в дифференциаль-
дифференциальную геометрию, М., 1957, § 44.

38 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
условие того, что форма т является полным дифферен-
дифференциалом. Если мы возьмем теперь в качестве g решение
уравнения
Т = ding,
то в силу (8.5) будем иметь, что f = 0 и отсюда А/ = 0;
формы о/ будут, таким образом, полными дифференциа-
дифференциалами: о/ = du. В силу условия F.4) мы можем считать,
что «1 + и2 + иъ = 0 и поэтому наша ткань является
шестиугольной.
§ 9. Вычисление кривизны при псмощи функции ткани1)
Рассмотрим теперь ткань Ш, заданную при помощи
уравнения ткани W («а, и2) и3) = 0, и пусть в области ©
dW
it*0- <«¦"
Мы будем сбозначать в этом параграфе частные произ-
производные функции ткани W по переменным Uj при помощи
. индексов, так, например,
dujduk ¦""
ибо здесь мы не будем употреблять введенные в § 7
производные д} функции W. Из W = 0 следует, что
Widui + W2 du2 -f W3 du3 = 0, • (9.3)
так что в соответствии с условием нормировки F.4) мы
можем положить
Oi = Wl duit a2 = W2 du2, а3 = Ws du3. (9.4)
Если /(«i, «г» «3) есть скалярная функция аргументов
и, и
г) Ср. W. Blaschke, Osservazioni sui tessuti, Rendiconti
del Circolo Materaatico di Palermo B), 2 A953), 36—39.

§ 6] ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ТКАНИ 39
то
df = h dux +. U du2 — ^-
+ Wz du2)
wa
~{w8~w;r2-
Сравнивая с G.10), мы получим следующие выражения
для производных di, д2, д3-
1 ~ Ws du3 W2 du2'
g i__a i_ _a_
2"~ Wx диг W3 du3 '
5з== W2 W2~Wldul'
Из уравнений (9.4) x
(9.5)
(9.6)
и из того, что
• 2 = [e1o,] = ... = W1W2[du1du2] = ..., (\7)
где точки обозначают круговую перестановку индексов
1,2, 3, мы получаем
(vn. тот \
(9.8)
Отсюда в силу G.1) имеем
h =
1
/
12
(9.9)

40
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
1ГЛ. I
Если ввести сокращенные обозначения:
W23 LJL\nW =-L-A;
1 ~~ W2W3~~ W2 ди% 3 W3 du3
dus
s dus
1dul
w
12
то получим
1 д 1
i — Кг u —- ™r- д— Ш
дй,
Vt/г
J-JL
W3 duz
или в силу (9.5)
(9.10)
(9.11)
-(9.12).
Найдём теперь связность ?>' пользуясь ее определе-
определением (8.4): ' . . ¦ ¦ •
т = —V1W1du1 — V2W2du
С другой стороны, в. силу (9.10)
(9.13)
d In (WiWtWz) = /A In Wx + V2 Wt + V3Wi\ dut+ ...,
(9.14)
где точки обозначают круговую перестановку индексов
1, 2, 3. Из (9.13) и (9.14) следует (так как dW = Widtti+
+ Wd + Wd 0)
-~
...]. (9.15)

§ 9] ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ТКАНИ 41
Таким образом, мы можем вместо т в качестве связ-
связности использовать также выражение
з
п1ГЛ' (9Л6)
так как f и т' разнятся лишь на полный дифференциал.
Внешний дифференциал выражения (9.16) имеет вид
или по определению кривизны сплетения k для «норми-
«нормированного элемента поверхности» имеем
^l«bdurduS]- (9Л8)
Найденные формулы (9.16) и (9.18) имеют то преимуще-
преимущество, что непосредственно переносятся также и на слу-
случай я>2 измерений.
Положим для сокращения
а . — __J ° 1П Г1л _
"~ W,Wt дигдий W~~
ий
_¦ Wrrs wr,s wrs iwss wrr
,W,
Эти величины являются кососимметричными:
К + К = 0. (9.20)
Из (9.18) теперь следует
k^An + An+Avt. (9.21)
Если мы разрешим, наконец, функцию ткани относи-
относительно «3:
W = u3— w(ult ы2), (9.22)
то из (9.16) получим
т' = -а— Inwi dux + -з—lnw2dti2. (9.23)

42 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ if Л. 1
Отсюда следует далее, что
dT = 2 ^-^- In — [rf«i Ai«]. (9.24)
Для шестиугольной ткани (для которой df = 0) мы по-
получаем дифференциальное уравнение
_^-1п^ = 0. (9.25)
Но решение этого дифференциального уравнения имеет
вид
w = w{U1(u1) + U,(u,)}; . (9.26)
сравнение формул (9.22) и (9.26) с B.2) снова показы-
показывает, что шестиугольная ткань характеризуется условием
k = 0.
Предположим, что уравнение ткани линейно относи-
относительно каждого и?.
W = auiu2u3 + Ь1щиа + Ь2«з«1 + baUiU2 +
c3ua + d— 0. (9.27)
Тогда все W/y = 0 и в силу (9.19) т = 0. Поэтому в каж-
каждой области ®, где все Wj Ф 0, уравнение W = 0 пред-
представляет шестиугольную ткань.
Задача § 3 о нахождении всех шестиугольных тканей,
состоящих из пучков окружностей, приводит, как нетруд:
но проверить, к функции ткани, квадратичной относи-
относительно каждого «у. Выделение отсюда шестиугольных
тканей с помощью нашей формулы (9.18) приводит к до-
довольно запутанным выкладкам. Все же эту задачу можно
свести к некоторому чисто алгебраическому вопросу.
§ 10. Применение к тканям, • образованным поверхностями
Наша формула (9.16) для связности у позволяет дать
простое доказательство одной теоремы о тканях, образо-
образованных семействами поверхностей в трехмерном простран-
пространстве, найденной в 1929 г. Дюбурдье (J. Dubourdieu).
В этом параграфе мы временно обратимся к рассмотрению
трехмерного пространства; тканью в области © простран-

§10] применение к тканям, Образованным поверхностями 43
ства с декартовыми координатами х, у, г мы будем на-
называть совокупность четырех семейств поверхностей
и, (х, y,z) = Uj = const (/ = 0,1,2,.3) A0.1)
таких, что через каждую точку х, у, z области © про-
проходит в точности одна поверхность каждого семейства.
При этом функциональные определители аналитических
функций Up взятые по три, в области © должны быть
отличны от нуля:
d^4^ (Ш2)
д(х, у, г)
В таком случае, скажем, семейства A0.1) поверхностей
при у = 1, 2, 3 высекают на поверхности щ = const в об-
области © составленную из кривых ткань, которую мы
обозначим через ав°.
Мы докажем, что если образованные, на семействах
tii, «2, «з = const поверхностей криволинейные ткани зв1,
2В2, SB3 будут шестиугольными, то такой же будет и
криволинейная ткань зв°.
Для доказательства примем за «связность» ткани,
образованной' четырьмя семействами поверхностей, форму
Пфаффа
з
где W (ы0, «ъ «2» «з) есть «функция ткани», получающаяся
из A0.2) путем исключения х, у, г, и W,-— частные
производные W по и,- (ср. с формулой (9.16)). Заметим,
что на каждой поверхности «0 = const форма Г превра-
превращается в ^связность 7° сплетения 2В°.
Из формулы F.23), примененной к криволинейному
тетраэдру $8, образованному четырьмя поверхностями
ткани
и, = const (/ = 0,1,2,3),
мы получим
=S f dT/ = 0 A0.4)
° (В.

44 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 1
(ср. F.22); здесь ©у- обозначают четыре «треугольные
грани» тетраэдра S3). По кашему пред:положению из четы-
четырех слагаемых праЕой части три равны нулю; значит,
равно нулю и четвертое. Но так как треугольник @0 на
поверхности и0 = const может быть выбран произвольно,
то отсюда следует, что
df = О,
что и требовалось доказать.
Несколько иначе можно было бы провести дока-
доказательство, используя формулу (9.21). Из нее мы найдем
следующие значения для кривизн четырех криволинейных
тканей ав':
Л32 + Л2о + Ло3,
Л» ¦ а A1/.О)
13 ~Г* ЛЗО I «Oil
При этом величины А^ вычисляются из функции
W (ы0, ии и2, Из)
нашей поверхностной ткани при помощи формул (9.19). В
силу косой симметрии (9.20) величин. AJk из A0.5) следует,
что
*0+*1 + *2 + *3 = 0 A0.6)
— ив этом соотношении снова содержится теорема Дюбур-
дье. Сходное доказательство формулы A0.6) мы дадим
позже, в § 30.
§ 11. Прямолинейные ткани
После этого небольшого отступления мы снова вер-
вернемся к плоской геометрии и рассмотрим ткань зв, обра-
образованную прямыми
a, (uj) х + bj (Uj) y + Cj(Uj) = O A1.1)
(/=1,2,3).

: $ 11 ] ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ
В качестве функции ткани возьмем определитель
W (ци «а, Из) =
с3 (из)
A1.2)
Обозначим вектор с координатами ajt bjt c} через п/.
П;(и;) = (арЬрс;); A1.3)
в таком случае
где «;-(«;. 6л с}); (П.4)
При этом определитель W будет равен тройному (сме-
(смешанному) произведению:
W = (пи ih, па);
A1.5)
это позволяет просто вычислять его производные по и,,
так, например,
W1 = {n\,n2, из),
= (»Ь «2, Яз)|
= («1 , Я2, Из).
A1.6)
Если мы подставим эти значения в формулы (9.16),
(9.18), то .получим некоторые проектйвно инвариантные
соотношения. Мы введем в эти соотношения метрические
инварианты, положив
aj — cos ир
bj = sin Up
A1.7)
при этом tij будет . определять «направление» рассматри*
ваемой прямой, т. е. ее угсл с некоторым фиксированным
направлением, а с, будет равно расстоянию прямой от
начала координат. Таким образом, Cj(uf) есть функция,, ко-
которая согласно Минковскому (Н. Minkowski, 1864 — 1909)

46 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ. ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ.1
называется опорной функцией огибающей ?,¦ семейства A1.1)
прямых. Вычисления показывают, что с)(и;) есть расстоя-
расстояние нормали кривой §у- от начала координат и
с,+ с'; = г, A1.8)
— радиус кривизны кривой fy *).
Вычислим теперь связность т' нашей прямолинейной
ткани по формуле (^.16):
'd + d + ^d AL9)
*) Из рис. 22, на котором изображены две близкие прямые
х cos uy, + у sin Uj-f- Cj — О
и
х cos (Uj + duj) + у sin {uj + d«y) + c; + ^9 = 0,
пересекающиеся в точке Pj, огибающей %, видно, что (обозначе-
(обозначения ясны из рисунка)
Cj cj + dcj
•< cos 8y cos (Эу—duj) '
откуда немедленно вытекает, что
с/
Следовательно,
Рис. 22. где // есть расстояние от О до нормали'
к § в Р/.
Далее, если Р,-—точка ?/, принадлежащая второй из наших
прямых, Р', — точка, принадлежащая первой прямой, то теорема
Пифагора дает
OP) = OQ] +{Qt P) + P'jP,f = c) + (<y + Uj)\
где 8/у== P'.Pj — элемент длины кривой. Из сравнения последних
двух равенств получаем, пренебрегая бесконечно малыми второго
Cj btj dtj Cj dcj
порядка, btj = dtj+jj dcj, следовательно, г; = щ = щ + jj Щ ,
откуда, так как t{ — c'f, rt — cj + Cj.

•S-UJ
._ Найдем
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ
— sin Их cos «х с\
cos и2 sin «a ?2
COS «s
— COS Их— Sin«i Ci
Wn —- cos иг sin «2 C2
cos Из sin и8 c3
A1.10)
Мы имеем (рис. 23) три огибающие §х §2, §з и три каса-
касательные к ним PPj, касающиеся наших кривых в точках Pj.
Рис. 23.
Если мы примем за точку Р начало координат, то с) = L
будет равно длине отрезка касательной от Р до кривой
фу, с/ = Г] и су = 0. Таким образом, из A1.9) и A1.10)
следует, что
заметив, что
к виду
-т-^-.
A1.11)
а §у- и
приведем предыдущую формулу
Li + ^ + ^i3. (П.12)
1 «2 ?3
Введя в рассмотрение длину дуги dsj огибающей §у- и
ds-

48 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
В силу этого теорема Графа и Зауэра, рассмотренная
в § 4, принимает следующий вид: если на плоскости за-
заданы три дуги фу- так, что через каждую точку некото -
•рой области @ плоскости проходит по одной касательной
к каждой дуге §у-, и если выражение A1.12) является пол-
полным дифференциалом, то эти дуги будут принадлежать
одной кривой третьего класса. Мы можем, также вос-
воспользовавшись формулами (9.19) и (9.21) и произведя
соответствующие выкладки, записать условие rff' — О ИЛИ
А = 0 в виде
Таким образом, кривая третьего класса может быть опре-
определена также и этим уравнением. Вообще, для кривой
л-го класса имеет место уравнение
п
^ = 0. (Н.14)
Это предложение восходит к Рейсу (М. Reiss, 1805—1869)
из Франкфурта A837 г.), ученику Гаусса. Эти исследования
были продолжены другими геометрами, большей частью
независимо от Рейса, а именно норвежцами Бэклундом
(А. V. Backlund, 1845—1922) и Ли (S. Lie, 1842—18S9)
в 1882 г., далее, в связи с изданием собрания сочинений
Ли, его учеником Энгелем (F. Engel, 1861—1941) в 1939 г.,
наконец, римскими геометрами Бомпиани (Е. Bompiani)
в 1930 г. и Сегре (В. Segre) в 1947 г. и в Испании —
Тейксидором (J. Teixidor). Намеченная выше связь теоре-
теоремы Графа и Зауэра из § 4 с теоремой Рейса была указана
в 1927 г. Либманом (Н. Liebmann, 1874—1939).
Рассмотрим.теперь кратко результаты Рейса в их перво-
первоначальном виде. Пусть
— уравнение кривой n-го порядка, S. Если прямые х —
= const при малых |* — *0| пересекают кривую & в я
различных вещественных точках {х, Уу(х)), то из A1.15)
следует, что
+ y2(x)+...+yn(x) = -(a+bx), A1.16)

Si']
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ
49
и следовательно, что
Уа + ••• +Уп =0.
A1.17)
Мы, по существу, уже получили искомый результат, кото-
который надо еще ляшь несколько преобразовать. Прежде
всего, нетрудно придать соотношению A1.17) проективно*
инвариантную форму; а именно, это соотношение можно
переписать в виде
^(Pi.P'i,P'/)_Q
& {а, в, />;-K
A1.18)
где А и В суть две фиксированные точки прямой х —
= const; Pj (/= 1, 2, ..., п) — п точек пересечения этой
прямой АВ с кривой Е; скобки обозначают детерминанты
из однородных координат трех точек, а штрихи — произ-
производные по произвольному криволинейному параметру.
В самом деле, формула A1.18) является проективно ин-
инвариантной и в частном случае однородных координат х°,
х1, х2 таких, чтох= —, у =— переходит в A1.17).
X X
Формула A1.18) удобна тем, что для нее можно сразу
написать двойственную формулу. Если мы снова возьмем
уравнение прямой в нормальной форме Гессе
л cos и -\- у sin и -f- с = 0
и характеризуем эту прямую при помощи вектора п —
= {cosw, sin и, с}, то для прямых, проходящих через
начало координат (прямых с;- = 0)
(«у, tlj, П{) =
COS Uj
— sinw,-
{a, b, n'i) ='
1
0
sinw,-
COSU,
in г
О
1
Ч
tj-Cj
= 0'
— sin и,- cosw
7
A1.19)
(здесь векторы а и & характеризуют оси декартовой си-
системы координат). Из A1.18) и A1.19) следует» что,
4 В. Бляшке ;

50 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
в самом деле,
п
2^ = 0. (П.20)
Менее простым является обращение этой теоремы, т. е.
доказательство того, что алгебраическая кривая может
быть определена соотношениями A1.17) или A1.20). Это,
по-видимому, впервые отметил С. Ли; а доказано это было
Энгелем и в последнее время — Тейксидором *).
В соответствии с A1.12) условие Рейса для плоской
кривой п-то порядка может быть сформулировано так:
составленное для точек пересечения кривой с подвижной
прямой 91 выражение
duJ
A1.21)
(где Wj — углы между прямой SR и кривой в точках их
пересечения, a dUj — элемент угла между касательными
к кривой в этой точке) должно быть полным дифферен-
дифференциалом.
После этого отступления мы продолжим изучение ин-
инвариантов ткани, начатое в § 7 и 8.
§ 12. Инвариантные производные
При помощи связности т (8.4) можно вместо введенных
в § 7 дифференциальных операторов определить на ткани
«инвариантные производные», позволяющие построить,
исходя из кривизны k, «все» дифференциальные инвари-
инварианты ткани.
Мы будем говорить, что инвариант q имеет «вес» р,
где р — некоторое действительное число, если q при пере-
перенормировке F.5) преобразуется следующим образом:
A2.1)
Кривизна k ткани имеет в силу (8.8) вес два.
х) По поводу исследований Тейксидора ср. ниже, § 38.

§ 12] ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 51
Если мы введем в рассмотрение дифференциальный
оператор D, определяемый формулой
D = d + pi,- A2.2)
где d обозначает взятие полного дифференциала, р—вес
инварианта, к которому применяется оператор D, и
Y — связность ткани, то будем иметь
Dq — dq-\-pqi A2.3)
и
D*q* = gPDq. A2.4)
В самом деле, в силу (8.5) мы получим
Если мы положим теперь
где
Di + D, + D, = 0, A2.7)
то из A2.2) и A2.6) в силу G.10) и (8.4) будет следо-
следовать, что
Dj = dj + phj. A2.8)
Из A2.4) и A2.6) получаем далее
D)q*=g»+lDjq. A2.9)
Это означает, что инвариантные дифференциальные опера-
операторы Dj переводят дифференциальные инварианты веса р
в дифференциальные инварианты веса р -J- 1.
Воспользуемся теперь соотношениями G.21) для того,
чтобы вычислить кососимметри ческую часть вторых про-
производных. Принимая во внимание A2.8) и A2,9), мы найдем
в силу G.22) и (8.10)
Di D2 — D2Dx= {dx + (р + 1) hx] [д2 + ph2) —
— {^2 ~Ь (р ~Ь 1) h2) {dx -J- phx) — дх d2 ¦— д2 dx -\-
+ Р (Аи — hu) + (Р + 1) (Ai d2 — Л2 dx) =
= p{hxd2 — h2dx + k} = p{h1D2—h2D1+k} A2.10)
и, следовательно (при г ф s),
DrDs-DsD, = p {h,Ds-hsD, + k). A2.11)
4»

52 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
§ 13. Полная система инвариантов ткани
Справедлива следующая теорема: кривизна k ткани да
в точке Р (х, у) и инвариантные производные кривизны:
Поря-
Порядок
3
4
5
6
и т. д.
Инварианты
к
Di k, Dik,
D^Dyk, DiDfjk, D%D%k,
DxDjDjfe, D1D1Dik, D,DaD2fe, D2D2D2fe
Bee
2
3
4
5
образуют полную систему независимых дифференциаль-
дифференциальных инвариантов.
Прилагательное «полная» здесь означает, что две тка-
ткани да и да*, для которых эти инварианты в соответству-
соответствующих точках Р и Р* совпадают, обязательно будут тополо-
топологически эквивалентными.
Заметим еще, что. оператор, D3 можно не рассматри-
рассматривать, так как он в силу A2.7) выражается через D\ и ?>2,
и что порядок следования операторов является несуще-
несущественным в силу A2.11). Прилагательное «независимые»
имеет в виду то обстоятельство, что эти инварианты не свя-
связаны никакими тождественными соотношениями. Набросок
доказательства теоремы полноты мы дадим ниже; полное
доказательство приведено в книге Боля и моей от 1938 г.
§ 14. Каноническое разложение
Предположим, что в точке Р ткани да
их = «2 = и3 = О,
и разложим функцию ткани W в степенной ряд
по Uj. При помощи преобразований I, II § 1 это раз-
разложение можно привести к следующему «каноническому»

§14] КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 53
виду *):
W = Ui + «2 -f «з -f-а {и\Us + и\ их -f- и\ и2) +
+ (biUi + 62 «2 + Ь «з) «1 «2 «з + ••-, A4.1)
*) Пусть разложение W в степенной ряд имеет вид
W = W± и, + W2 u2 + W3 и, + -2 Wi и? + Wia Bl и, +¦¦¦
(где возможно изменить коэффициенты разложения с помощью
преобразований I, можно, например, считать, что ни один из коэф-
коэффициентов. Wlt W.it Wt не обращается в нуль). Воспользуемся
преобразованием II: W = Н (иь щ, u3)W, где
Н (и„ u2, ug) = 1 + ах и,. + а2 и2 + о3 «8 + «и «? + <*i2 «1 «2 + —
Подобрав подходящим образом 3 коэффициента аи аг, аг, мы можем
добиться, чтобы в разложении W в степенной ряд отсутствовали
члены Wlt ut иг, W13 ых и3, W23 и* и3; подобрав подходящим обра-
образом 6 коэффициентов ап, а12, а13,'аг2, а23, а33, мы можем добиться,
чтобы 7 коэффициентов &11г, #„„ ^,„, Ф1Ы, #из, ^22з> ^2зз
нужным образом зависели от одного параметра а; подобрав под-
подходящим образом 10 коэффициентов а11и с112, ..., a3S3, мы можем
добиться, чтобы 12 коэффициентов llmil Wmt, •••, ^ssss нужным
образом зависели от двух параметров Ьг и Ь2- Таким образом, мы
приходим к разложению
где 6j + 62+ Ь3 = 0; точки в середине формулы означают цик-
.лическую перестановку индексов 1, 2, 3. Теперь достаточно вос-
воспользоваться подстановкой
и\ = #х и, + 1 W'u «f + jTFul uf + 2l V"" "!•  --,  = -
(преобразование I!), чтобы прийти к «каноническому разложению*
A4.1):
U2 

54 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ ГЛ.1
где постоянные величины bu b2, Ьъ удовлетворяют услсЕию
6i+fe2+&3 = 0. A4.2)
При перенормировке
u)=?L.W = % A4.3)
мы получим, что
а* = г*а, Ъ) = гП]. A4.4)
Поэтому если только а Ф О, то всегда можно считать, что
а = ± 1. Из A4.1) следует, например, что если в точке Р
постоянная а ф О (что, как мы сейчас .увидим, равно-
равнозначно условию k Ф 0), то нашу ткань д$$ в окрестности
точки Р можно аппроксимировать шестиугольной тканью,
совпадающей с <2В с точностью до членов второго порядка
включительно.
Найдем • частные производные функции A4.1) по и/.
где не выписанные члены имеют относительно ыу порядок
три и выше. Далее, из формул (9.10) для V} получаем
у „ 2g — т л- НА 6}
где опять не выписаны члены, имеющие порядок три и
выше. Наконец, из (9.13), A4.5) и A4.6) найдем выра-
выражение для связности ткани:
7 = — [2аи% + FiMi + 262«a + 2&3«3) «i+...} cf«i-l-...; A4.7)
здесь точки внутри скобок обозначают члены третьего и
высшего порядка относительно Up а точки в конце фор-
формулы — члены, получающиеся из выписанных круговой
подсхановкой индексов 1, 2, 3. Из A4.5) и (9.7) следует,
что с точностью до членов второго порядка относительно и,
[du2 du3] = [du3 dUi] = [dui du2] = Q. A4.8)
Дифференцируя теперь внешним образом соотношение

§14] КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 55
A4.7) и учитывая A4.8) и (8.7), мы получим, что кривизна
ткани имеет вид
k = — 2{—а — 62^1 + 63W1 + ...} -f-...
или, окончательно,
k = 6а + 2 (Ь2 — Ь,) щ + 2 (Ья — Ьг) и% +
+ 2Fi —62)«з +.¦•, A4.9)
где точками снова обозначены члены более высокого по-
порядка относительно Uj. В' исходной точке Р (где Ui — и2 =
= «з = 0) в силу (9.11), A4.6) и A4.5) символы Кристоф-
феля hj = 0 и, следовательно, в силу A2.8) инвариантные
дифференциальные операторы совпадают с обыкновенными:
Dj = dj. A4.10)
Далее, в силу (9.5) и A4.5) в точке Р
д д
ди2
д
ди2
A4.11)
и поэтому из A4.9), A4.10) и A4.11) в силу A4.2) выте-
вытекает, что в этой точке
Dik = 6bi, D2k = 6b2, D3k^6b3. A4.12)
Последние формулы частично подтверждают, частично
усиливают утверждения § 13. А именно, мы видим, что
кривизна k — единственный дифференциальлый инвариант,
порядок которого не превышает трех, и мы имеем в точке Р
6 = 6а. A4.13)
Далее, величины
Djk^-bbj A4.14)
являются единственными дифференциальными инвариан-
инвариантами четвертого порядка. Смысл равенств A4.13) и A4.14)
заключается в том, что они определяют смысл коэффи-
коэффициентов a, bj канонического разложения A4.1), являю-
являющихся еажнейшими инвариантами ткани.

56 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 1
Разрешая уравнение W = 0 относительно и\, мы полу-
получим в силу A4.2)
U1 = — «2 — «3 + О («2 + 3«2 «3 — «I) +
... A4.15)
Точно так же будут справедливы и формулы, которые
получатся из A4.15) круговой перестановкой индексов
1, 2.. 3.
§ 15. Геометрический смысл кривизны ткани
по Томсену
В силу A4.1) мы можем каноническое разложение
уравнения ткани записать в виде
и + v + w + a (v*w + w2u + u2v) + ... =0, A5.1)
где мы временно вместо щ, ы2, и3 пишем и, v, w. Отсюда
можно получить, следуя работе Томсена (G. Thomsen,
1899—1934) 1927 г., геометрический смысл кривизны
ткани k. Опишем около точки Р @, 0, 0) образованный
линиями ткани шестиугольник с вершинами
= @, v0, Wo), Pi = (Ui, 0, Wo), Pi = («i, v2, 0), , 5
P3 = @, v2, w3), Pi = («4, 0, ws), Ръ — («i, vb, 0)
(рис. 24). ^При этом в точке Ро (см. A5.1))
vo+ w0 -\-avlwo + ... = 0 A5.3)
и отсюда
Wo — —v0 + ayo 4- ••• I A5.4)
в точке Pi
Ui 4- Wo -j~\aUiW2)-\-...=0 A5.5)
и, следовательно,
I 3 I Л 3 I / 1 Г ?.\
U\ — — Wo -p owo 4" •¦• == ^o — 2avo 4" ••• ('"•")
Далее, в точке Ръ
(.5.7)

§16] НОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ТКАНИ
в точке Рз
V2 + ws + avl ws + ••• = О»
о о
Wz = — р2 + az>2 + ••• = vo — 4av0-{-...;
в точке Pt
«4 + ws+ aui wl+ ... =0,
3 1 :
наконец, в точке Р&
Разность
... ±= 0,
— v0 = — 6avl
57
A5.8)
A5.9)
A5.10)
A5.11)
оценивает «незамкнутость» нашего шестиугольника и тем
самым указывает геометрический смысл кривизны k — 6а
в точке Р. Для k > 0 при обхо-
обходе . вокруг точки Р происходит
приближение к этой точке,
как на рис. 24, в то время
как при k < 0— удаление от нее.
Вследствие (8.8) знак кривизны
k не зависит от нормировки.
§16. Нормирование функции
ткани
Как указано в § 2, функция
W (ult u2, us) ткани 28 остается
в большой степени произволь-
произвольной. Однако ее можно однознач-
однозначно нормировать во всяком случае тогда, когда кривизна
кФО не меняет знака в рассматриваемой области © ткани
<28. В силу (8.10) или A5.11) в этом случае всегда можно
добиться (например, переставив семейства ©i и ©2), что-
чтобы было &>0.
Пусть ыь «2, и3 — три кривые ткани <эв, которые
органичивают треугольник Ъ с вершинами Ри Р2, Рз
в области*© (рис. 25). Рассмотрим двойной интеграл по
Рис. 24.

58
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Ъ, который можно назвать «полной кривизной» этого тре-
треугольника:
N (ии ы2, и3) = j kQ.
A6.1)
Так как &> 0, то эта функция обращается в нуль только
тогда, когда треугольник Ф стягивается в точку. В силу
соотношений (8.6) и (8.7) функцию Л' можно представить
как интеграл, распространенный по'границе d© треугбль-
ника ф:
f
(
A6.2)
При этом, например, областью интегрирования в первом
интеграле в правой части A6.2) является сторона тре-
треугольника, ф, вдоль -которой «! постоянно.
р В силу (8.4) и (9.12) имеем
= — fAi°2= — fdiln№io2.
A6.3)
р,
то из трго, что oi —Она стороне Р^Рз, следует, что
4™ Ч Но так как в силу G.3)
Рис. 25. dlnW^-dzlnWiOL—dilnWic2, A6.4)
¦И
A6.5)
Таким образом, из A6.2) и A6.5) получаем
, , W1(Ps)Wi(P1)W3(P2)
n(Uuu)\n \;
Если мы теперь внесем в правую часть вместо W ее кано-
каноническое разложение A4.1), то получим разложение функ-

$17] ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ НОМОГРАФИИ Sg
ции N по степеням их» «2» и3:
N = За («1 + и2 +¦ и3J + ... A6.7)
Целесообразно ввести [функцию
VJV = М («1, ы2, из) = /За (ui + «2 + и.) + ... A6.8)
Теперь мы можем, наконец, нормировать параметры «i,
и2, us в окрестности точки щ = 0, ы2 = 0, и3 = О следую-
следующим условием:
М («1, 0, 0) = оь Ж @, и2) 0) = vt, М @, 0, из) = v8. A6.9)
Если мы положим теперь
М (ии'и2, Us) = W (oi, v,, v3), A6.10)
то функция, стоящая в правой^ части, будет однозначно
определенной нормированной функцией ткани при выбран-
выбранной начальной точке @, 0, 0).
§ 17. Основные вопросы номографии
Ткань <2В, по существу (т. е. заданная с точностью до
топологического отображения), определяется одной функ-
функцией двух переменных. Это можно усмотреть, либо запи-
записав уравнение ткани в виде (9.22):
И3 = W («1, И2), A7.1)
либо, что равносильно, из того, что семейства линий
Их = const, и2 = const могут быть приняты за координат-
координатные линии х, у = const, так что возможный произвол
определяется одним уравнением третьего семейства линий
w (х, у) = const. С другой стороны, прямолинейная ткань
зависит от трех функций одного переменного; в качестве
таких функций можно взять фигурирующие в A1.7) опор-
опорные функции Cj{Uj) огибающих трех семейств прямых.
Уже из этих простых подсчетов следует, что, «вообще
говоря», нельзя по заданному уравнению W (иь и2) и3) = 0
найти прямолинейную ткань или построить прямолиней-
прямолинейную номограмму для уравнения W = 0. Встает, таким об-
образом, вопрос об условиях «спрямляемости-» ткани. Реше-
Решение этого вопроса наталкивается на большие вычислитель-
вычислительные трудности, и здесь мы остановимся лишь на некото-
некоторых относящихся сюда подсчетах.

60 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ 1ГЛ. I
Исходя из третьих производных функций ткани
W («1, и2, us), мы нашли первый топологический диффе-
дифференциальный инвариант ткани — ее .кривизну к, —
вес котсрого равен 2. Если рассмотреть также производ-
производные четвертого порядка, то сюда присоединяются новые
инварианты kx и k2 (где kj = Djk) веса 3. Величину k3
мы можем не учитывать в силу того, что Di+^г+^з^
и, следовательно, &х+ k2 + ks = 0. Пятый порядок имеют
инварианты ku, klit k^ веса 4; здесь мы игнорируем
величину ku, которая в силу зависимости A2.11) сво-
сводится к k12. Аналогично этому при помощи производных
я-го порядка функции ткани W мы можем образовать
п — 2 новых инварианта веса п — 1. При каждом шаге
число вновь полученных инвариантов увеличивается на
единицу, и после «-го шага мы имеем всего
-2) = (п-\){п~2) A?2)
инвариантов. Получается следующая таблица:
Порядок .... 123456789
Число инвариан-
инвариантов 0 0 1 3 6 10 15 21 28
Произведем теперь соответствующие подсчеты для
проективных инвариантов прямолинейной ткани. Мы имеем
опорные функции Cjitij) огибающих наших трех семейств
прямых 6/, где Uj — угол прямой с некоторым фиксирован-
фиксированным направлением и Cj — ее расстояние от фиксированной
точки. Треугольник, образованный точками Pit P2, Ps
касания с огибающими трех прямых ткани, проходя-
проходящих через некоторую исходную точку Р (см. рис. 23),
"можно (если Pj не лежат на одной прямой) при помощи
проективного отображения однозначно преобразовать так,
что опорные функции разложатся в ряд следующим
образом:
1 1
c \r'j + S+..., A7.3)
где
2ir 4я

§ 17] ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ НОМОГРАФИИ 61
При этом величина
dwj
является радиусом кривизны огибающих в точках Pj
(см. § 11). Для каждого порядка производных мы имеем
три новых проективных инварианта
(/=1,2,3; я > 2). A7.6)
Таким образом, мы приходим к следующей таблице, ука-
указывающей число проективных инвариантов в точке Р тка-
ткани <2В, порядок которых не превышает п:
Порядок 123456789
Число инвариан-4
тов ...... О 3 6 9 12 15 18 21 24
Итак, мы, по-видимому, имеем в своем распоряжении
достаточно проективных инвариантов до восьмого порядка
включительно для того, чтобы соответствующие топологи-
топологические инварианты ткани <ге могли принимать любые зна-
значения. Однако, начиная с инвариантов девятого поряд-
порядка, этр перестает быть справедливым. Поэтому можно
ожидать, что условие спрямляемости ткани выразится
лишь через производные девятого порядка от функции
ткани.
Функцию W нашей прямолинейной ткани <зв мы мо-
можем считать равной *)
W (а>и да2» о»з) = ci (wi) sin Vi + c2 (w2) sin v2 +
+ c3(ws)smv3, A7.7)
*) To есть
COS Ux Sin«! Cj,
cos «g sinw2 c2,
cos u8 sin u3 c3
(cp. A1,2)).

62
где
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ
2 ,
= US — Ы2 = -g- + WS — W2,
2
tJ=«i — «3= у+Ш! — Wz,
l>3 = «21— «1 = -g- + Ш2 — O/i.
[ГЛ. I
A7.8)
Тогда в силу формул § 9 из разложения A7.4) для точ-
точки Р ткани ад следует, например:
8/1 "" »). A7.9)
A7.10)
и аналогичные выражения для инвариантов А2 и &3- Уже
отсюда видно, что система уравнений для выражения
проективных инвариантов через инвариантные производ-
производные кривизны k является не линейной и очень сложна.
Таким образом, непосредственное нахождение условий
спрямленности ткани представляется безнадежным. Не-
Несколько более доступным кажется доказательство следую-
следующего предположения об однозначности, высказанного
Гронвэллом (F. Н. Gronwall, 1877—1932) в 1912 г.: Если
нешестиугольная ткань ад спрямляема, то топологиче-
топологическое преобразование, переводящее <Э5$ в прямолинейную
ткань, определяется, с точностью до проективного пре-
преобразования, однозначно.
Для шестиугольной ткани эта однозначность имеет
место не всегда, так как мы знаем, что подобную ткань
образуют касательные к любой кривой третьего класса,
а все кривые третьего класса не являются проективно
эквивалентными (они имеют нетривиальные проективные
инварианты). Боль (О. Bol) и Борувка (О. Boruvka) пока-
показали в 1938 г., что число проективно различных реализа-

§18] КОМПЛЕКСНЫЕ ФОРМЫ ПФАФФА 63
ций нешестиугольной ткани <[ 16. Уменьшению этой явно
завышенной оценки мешает увеличивающийся объем вы-
вычислений. Таким образом, эти проблемы номографии
являются примерами вопросов, которые теоретически не
сложны, но фактическому решению которых препятствуют
вычислительные трудности.
§ 18. Комплексные формы Пфаффа
До сих пор мы задавали ткань <2В в общем случае
тремя формами Пфаффа о, такими, что уравнения оу- = О
определяли три семейства кривых ткани. Формы ау норми-
нормировались условием
О! + а2 + оз = 0; A8.1)
при этом они определялись не однозначно, а лишь с точ-
точностью до перенормировки
.;-? ¦<««>
Вместо этих трех вещественных форм Пфаффа для многих,
задач целесообразно ввести две комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные формы Пфаффа т, х. Пусть е — примитивный корень
третьей степени из единицы
(ia= — 1); A8.3)
при этом, очевидно,
es=l, ea + e+l=0. A8.4)
Определим теперь комплексные формы Пфаффа т, ~
равенствами
х = в! + еаа -f г2о3, )
L 2 л. A8-5>
х = oi -(- е^ -\- го3. J
Обратно, имеем
Зэ1 = х + х, Зо2 = г2х + гх, За3 = sx -f s2x- A8.6)
Пусть f — вещественная скалярная функция, заданная
в области регулярности @ ткани эд; разложим полный
дифференциал df по формам х, <¦
A8.7)

64 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ (ГЛ. I
Этим тождеством определяются новые комплексно-сопря-
комплексно-сопряженные производные f, /.* от функции/. Сравнивая A8.7)
с соотношением G.5), найдем их связь с введенными ра-
ранее производными ткани
учитывая A8.5), получим
A8.8)
и, обратно,
!
3r=-z*h + sfs = -fs + **fi = -'4i + h, ' A8<9)
ИЛИ
3(*-**)Г = П + *Ь + **и
Для поверхностного элемента
2 = [Oloa]
мы найдем в силу A8.5) новое выражение
9 L J 3/3
Если мы положим
dx = HQ, dx = HQ, A8.12)
то из A8.5) и G.1) будем иметь
Н = hx + eh, + гЩ,
Н = hi + е»Аа + s/i3; A8.13)
отсюда
3hi = H + 7i, 3/г2 = е2Я + гЯ, 3/г3=гЯ + г2Я. A8.14)
Для связности у мы получим в силу (8.4)
A8.15)

§19] «ВРАЩЕНИЕ» ТКАНИ 65
И, наконец, кривизна k выразится в силу (8.7), A8.11) и
A8.12) так:
k = —H' — Hx. A8.16)
Отметим еще, как преобразуются величины Н при
перенормировке A8.2). Из A8.13), (8.3) и (Г8.10) мы
найдем
A8Л7)
§ 19. «Вращение» ткани
Формулы § 18 позволяют просто описать такие пре-
преобразования 2? -> 2В* ткани, при которых каждая точка
области © остается неподвижной, а выходящие из нее
направления ткани поворачиваются на постоянный угол v.
При этом угол v измеряется в «гауссовой метрике», ко-
которую можно вести на Ш с помощью положительно опре-
определенной квадратичной формы («элемента дуги»):
ds2 = о? + о! + «з A9.1)
или
ds2 = — 2 (а, о3 + з3 в! + "в1 о,) - -д- хх. A9.2)
Произведения форм Пфаффа здесь не косые, а обыкновен-
обыкновенные. К этой «метрике» мы еще вернемся позже (§ 22).
В метрике A9.1) кривые ткани пересекаются под рав-
равными углами, равными 2тг: 3. В самом деле, мы имеем
rfs" = 2C? + o1o2 + ei) . A9.3)
i
и угол w между двумя направлениями а;- и а/ определит-
определится формулой
' ' '2
5 В. Бляшке

66 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
Если мы положим oj: о2 == 1:0 и а\ : а2 = 0: 1, то получим
cosay = -~-, A9.5)
что и требовалось доказать.
Обратно, этим свойством пересечения линий ткани под
равными углами метрика A9.1) определяется однозначно
с точностью до перенормировки
We2
ds*2 = %. A9.6)
Этой перенормировке отвечает конформное отображение
соответствующих метрик. То, что ткани могут быть исполь-
использованы для механической интерпретации конформного
отображения, заметил Финстервальдер (S. Finsterwalder,
1862—1951) еще в 1899 г. *).
Используя формы Пфаффа т, т, «вращение» 2В-*-2В*
ткани можно задать формулами **):
X
* =
= гс*.
с, х* = re, j
-й-. \
A9.7)
где /• — постоянное комплексное число, по модулю равное
единице:
r = e'V v = v, rr= 1. A9.8)
*) Рассмотрим на плоскости ткань, линии которой в каждой
точке пересекаются под равными углами в 120°; в таком случае
метрика плоскости будет иметь вид A9.1). Произвольное преобра-
преобразование плоскости, переводящее нашу ткань в аналогичную «рав-
«равноугольную» ткань, должно являться конформным; это обстоя-
обстоятельство и было использовано Финстервальдером.
2 -
**) Так как ds2=-g-xT, то угол между двумя направлениями,
отвечающими .значениям х, т и т', т' комплексных форм Пфаффа,
можно определить формулой
2 У тт УтЧ'-
откуда следует, что если т' = rt, r = eiv, то
cos ев в -д- (л +'9.е! cos t», ш — v.

§ 20] ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ КЕЛЬВИНА-ЛЕВИ-ЧИВИТА 67
Тогда в силу A8.11) будем иметь v
Q* = Q A9.9)
и поэтому в силу A8.12)
Н* = ~гН, П* = гН. A9.10)
Отсюда и из A8.15) следует, что связность т при нашем
«вращении» остается неизменной:
Т* = Т. A9.11)
Из равенства
в силу инвариантности величин •[ и S следует, наконец,
что кривизна k также сохраняется при «вращении» ткани:
§ 20. Параллельное перенесение Кельвина — Леви-Чивита
Точке Р ткани Ш, лежащей внутри его области регу-
регулярности @, можно сопоставить с помощью введенных
в § 7 дифференциальных операторов dj «сопровождающие
точки» Pj (/ = 1, 2, 3) таким обра-
образом, что координаты xJt у} вектора
B0.1)
получаются из координат исходной
точки применением к ним опера-
оператора dj'.
Xj = dj x, yt = dj у. Рис. 26.
Точка Pj лежит на касательной в точке Р к проходяще'й
через эту точку кривой семейства ©у- ткани (рис. 26).
В силу условия
di+d2-|-d3 = 0 B0.2)
мы имеем для векторов Vj
Vi + v2 + va = 0; B0.3)
следовательно, исходная точка Р является центром тя-
тяжести своего «сопровождающего треугольника» PiP^Pz.
Произвольный вектор to, выходящий из точки Р, может
5*

68 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
быть однозначно представлен в виде
w = W\ Vi + w2 V2 + ^з Vs, B0.4)
если потребовать, чтобы коэффициенты ws удовлетворяли
условию
Wi-\-w2 + ws = 0. B0.5)
При перенормировке G.23)
мы получим в силу B0.4):
w) = —' • B0.6)
Дифференциальный оператор A2.2) для инвариантов веса
р = — 1 принимает вид D = d — 7- Поэтому, если мы по-
потребуем для вектора w, который задан вдоль некоторой
кривой (?, проходящей через точку Р, чтобы вдоль этой
кривой выполнялись условия
Dw, = dw, — w ¦ 7 = 0 B0.7)
или
, d]r\Wj = 7, - B0.8)
то эти условия не будут зависеть от нормировки. Далее,
из B0.7) следует, что
d (wi + w% + ш3) = (wi + Wi + Ws) 7, B0.9)
так что соотношение B0.5) при этом сохраняет силу.
Таким образом, уравнения B0.7) или B0.8) определяют
«параллельное перенесение» вектора w вдоль кривой (?
в области ©.
Так как
'^^=0, B0.10)
то отношения Шх--ш2:шз при этом перенесении остаются
неизменными. Поэтому совокупность концов всех векто-
векторов, выходящих из точки Р, при этом перенесении вдоль
кривой преобразуется аффинно, причем так, что касатель-
касательные к кривым семейств @у, проходящим через Р, пере-

§21] АНАЛОГ ОДНОГО ЗАМЕЧАНИЯ 3. ФЕРМИ 69
ходят снова в соответствующие касательные; следователь-
следовательно, двойное отношение четырех направлений
РРи РР2, РР3, w
остается неизменным; поэтому перенесение направлений
векторов не зависит от пути (?. Иначе обстоит дело
с длиной I вектора, которую здес*ь естественно определить
формулой
/2 = ш? + а'2 + ш|. B0.11)
В силу постоянства отношений Wi: w%: w3 длина перено-
переносимого вектора будет равна a,Wj, где а} (/— 1, 2, 3) постоян-
постоянно; поэтому для того, чтобы длина / также оставалась
инвариантной, надо, чтобы dwj, а следовательно, и cf In по-
побыло полным дифференциалом. В силу B0.8) отсюда сле-
следует, что и форма т тоже будет полным дифференциа-
дифференциалом, а это означает, что наша ткань должна быть шести-
шестиугольной. Таким образом, перенесение вектора не зависит
от пути (? только в случае шестиугольной ткани.
Подобным же образом было введено в 1867 г. Кель-
Кельвином (Lord Kelvin) и в 1917 г. Леви-Чивита (Т. Levi-
Givita, 1873—1941) параллельное перенесение для случая
римановой геометрии. Сходные соображения опубликовал
в 1917 г. Гессенберг (G. Hessenberg, 1874—1928). Даль-
Дальнейшими обобщениями мы обязаны в основном Э. Карта-
ну, И. А. Схоутену и Г. Вейлю.
§ 21. Аналог одного замечания Э. Ферми
Еели ткань 2В является шестиугольной, то (§ 8) ее
связность 1 будет полным дифференциалом. В этом слу-
случае нормирующий множитель g можно определить из
уравнения
lading, ' B1.1)
т. е. положить
g = e^; B1.2)
в этом случае из (8.5) мы получим

70 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
Если х—введенная в § 18 комплексная форма Пфаффа,
то согласно A8.5) и F.5)
т* = хе-1т. B1.3)
При этом форма х* также явится полным дифференциа-
дифференциалом*):
x* = dz = d{x + iy). B1.4)
Следовательно, интеграл
г = |е~Пт B1.5)
определит отображение нашей ткани на гауссову плоскость
комплексного переменного г; при этом в силу A8.6) се-
семейства ©у линий ткани отобразятся на три семейства
прямых
dz + dz = 0, z2dz + sdz = 0, edz+e4z~=0 B1.6)
или
х= const, x — V3y — const, х + У Зу = const. B1.7)
Таким образом, наша шестиугольная ткань отобразится на
правильную ткань (§ 2).
Пусть теперь <2В — произвольная ткань с областью ре-
регулярности @; (? — незамкнутая гладкая кривая без крат-
кратных точек. Тогда мы можем вдоль кривой © вычислить
интеграл
j =)ng. B1.8)
Проводя нормирование при помощи найденного таким
образом множителя g, мы получим форму у*, обращаю-
обращающуюся в нуль на кривой 6. Предположим, что S нигде
не касается кривых семейства ©i ткани <35В. Тогда мы можем
точки Р некоторой окрестности кривой © покрыть кри-
кривыми ©1 первого семейства, проходящими через точки Q
кривой (?. Поставим теперь в соответствие точке Р комп-
комплексное число
Q Р -
B1.9)
P. S Q
*) В силу A8.12), ибо из A8.15) вытекает, что равенство -j—О
влечет за собой Н = 0.

§ 21] АНАЛОГ ОДНОГО ЗАМЕЧАНИЯ Э. ФЕРМИ 71
где первый интеграл берется по кривой®, а второй —по
©1 (рис. 27) и функция g определена в рассматриваемой
окрестности формулой
\ng(P) = \ng(Q) ] Т.
Q
Так как форма т* обращается в нуль в каждой точке Q
кривой S для двух различных направлений и, следова-
следовательно, будет равна нулю в Q для всех направлений, то
на этой кривой h) — 0. Поэтому отображение B1.9) тка-
ткани <28 на z-плоскость пред-
представляет ткань, которая
вдоль образа S* кривой S
с точностью до производ-
производных второго порядка со-
впадает с правильной тка-
тканью. При этом мы видим,
что отображение B1.9) поз-
позволяет сопоставить любой
линии S области регуляр- Рис. 27.
ности © ткани <38 линию 6*
г-плоскости таким образом, что образ <38* ткани <38 совпадает
в окрестности второго порядка линии S* с шестиугольной
тканью. Кривая S* определяется однозначно с точностью
до преобразования подобия
z = zkaz + z0 (e»=l; к =1,2,3; а = а).
Этот результат сходен с одним результатом Ферми
(Е. Fermi), относящимся к 1922 г., который Картан исполь-
использовал для обоснования римановой геометрии *). В силу B1.9)
*) Теорема Ферми утверждает, что в римановом пространстве
можно ввести евклидову метрику такую, что вдоль любой наперед
заданной кривой коэффициенты g(j евклидовой метрической формы
и их первые производные будут такими же, как и в рассматриваемом
римановом пространстве, другими словами, что существует евкли-
евклидово пространство, соприкасающееся ? римановым пространством
вдоль данной кривой. При этом перенесение вектора вдоль кривой
риманова пространства можно определить как параллельное пере-
перенесение в обычном смысле вектора соприкасающегося евклидова
пространства. По этому поводу см. Э. Картан, Геометрия рима-
новых пространств, М. — Л., ОНТИ, 1936, гл. IV, в частности,
стр. 100.

72 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
параллельному перенесению вдоль кривой S соответствует
элементарное параллельное перенесение вдоль кривой (?*.
Таким образом, § 21 указывает геометрический смысл
параллельного перенесения, определенного в § 20.
§ 22. Ткани и конформные отображения
Вернемся еще раз к введенной в § 19 гауссовой метрике
l if = 4-« B2.1)
ткани ЯЗ- Формы -с, т отличаются от полных дифферен-
дифференциалов на некоторые скалярные множители а, Ь:
^=bdq, B2.2)
и мы можем считать аи Ь, так же как р и q, комплексно-
сопряженными величинами.
Так как
[хт] =ab[dpdq], B2.3)
то мы можем теперь вместо х, у ввести в качестве новых
независимых переменных величины р и q и положить
a = a(p,q), b = b (p, д). B2.4)
Величины р и q определяются или при помощи равенств
B2.2) или равенствами
[х dp] = 0, [xdq] = 0. B2.5)
Мы теперь можем отобразить нашу ткань <2В на гауссову
плоскость комплексного переменного р в некоторую ткань
<2В*, которая в силу § 19 явится «равноугольной»*). Эта
равноугольная ткань <35В* определяется однозначно с точ-
точностью до конформного отображения
P* = f(p), B2.6)
где / — аналитическая функция комплексного перемен-
переменного р.
*) В силу B2.2) метрика плоскости комплексного переменного
ds2 = dp dp = dpdq конформно связана с метрикой B2.1).

§ 22] ТКАНИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 73
Кривые первого семейства <Bi ткани <зв* задаются
уравнением
3Ol = х + х = 0, B2.7)
а кривые двух других семейств @2 и ©3 получаются из @i
при помощи рассмотренного в § 19 вращения на углы
2-к: 3 и 4те: 3. Отсюда следует:
Изучение криволинейной ткани Я&, заданной с точ-
точностью до «топологических» преобразований @.1), совпа-
совпадает по существу с конформной геометрией семейства
кривых
и (х-, у) = const. B2.8)
Шестиугольным тканям при этом отвечают изотер-
изотермические семейства кривых, для которых функция и мо-
может- быть выбрана так, что*)
*) Если семейство линий 6i задано уравнением B2.8) (х, у —
прямоугольные декартовы координаты), то
ди ди
d + -^dy = p dx+g dy;
при этом формы Пфаффа семейств кривых 6а и 63, образующих
2л An
с кривыми семейства 6i углы к- и -яг , запишутся в ВИде
в соответствии с F.4). Поверхностный элемент ткани принимает вид
Дифференцируя внешним образом формы оу и используя выпи-
выписанное выражение для Q, найдем из G-1)
и л и и Г52" &и
В силу (8.4) связность f ткани примет вид i=hdu. Для того,
чтобы рассматриваемая ткань была шестиугольной, необходимо и
достаточно, чтобы форма i была полным дифференциалом, т. е.

74 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
Преобразуем несколько нашу метрику B2.1), полагая
ds2 = ^ = ab dpdq. B2.10)
При помощи формул внутренней геометрии поверхностей,
которой мы в основном обязаны Гауссу A827), вычислим,
исходя из B2.10), геодезические кривизны с-кривых ткани,
проходящих через одну точку; при этом найдем
Ci + c2 + c3 = 0 B2.11)
^ B2.12)
или так же
с?+с1+г| = 1(^+А1+Лз2). B2.13)
Кривые ткани определяются уравнением
asdp8 + bsdqs = 0. B2.14)
Поверхностный элемент Q совпадает с точностью до чис-
числового множителя с элементом поверхности нашей метрики
B2.10). Для кривизны ткани <2В мы получим
* 1п Т ' ' B2Л5)
^Г аЬ ~др~Щ 1п Т '
в то время как гауссова кривизна К метрики B2.10)
имеет вид
1^ B2.16)
ab dpdq
Инвариантным относительно нормировки элементом дуги
будет выражение (при &>0)
B2.17)
чтобы было [dhdu] = 0. Поэтому h зависит только от и и, значит,
Теперь достаточно перейти от функции и (х, у) к функции
ц*= j e J M du, задающей то же семейство Sj. кривых, чтобы
прийти к уравнению Лапласа B2.9).

§ 23] О ЛУЧШЕЙ НОМОГРАММЕ 75
§ 23. О лучшей номограмме
Если смотреть на ткань с точки зрения номографии, то
встает вопрос о «лучшей реализации» ткани, заданной ура-
уравнением W {tii, «2. us) = 0 в своей области регулярности ©.
При этом «качество» этой реализации нужно характеризовать
геометрически. Можно прежде всего потребовать «равно-
угольности», так как в силу этого все углы ткани будут
.равны 2я: 3 и таким образом исключаются сечения под
малыми углами. После этого остается еще открытым вопрос
о нормирующем множителе или о конформном отображении
ткани. Его можно использовать для того, чтобы привести
к минимуму интеграл
J =\ (ci+d + ct)Q, • B3.1)
где величины с- означают, как и в B2.11), геодезические
кривизны линий ткани в нашей метрике B2.10). Это при-
приведет к тому, что линии ткани будут., «максимально рас-
распрямлены». Этой вариационной проблемой занимался
Кольвиц (Е. Kollwitz) в своей гамбургской диссертации
в 1930 г. В качестве уравнения Эйлера этой проблемы
получается условие
К = 0 B3.2)
— обращение в нуль гауссовой кривизны B2.16) нашей
метрики. Поэтому «лучшая номограмма» может быть
реализована на евклидовой плоскости. В качестве краевого
условия получается, что вдоль границы d© области ©
линейные элементы оу- семейств ©у должны быть в обычном
смысле параллельны друг к другу.
Практические примеры этих лучших номограмм Коль-
вица как будто еще никто не рассматривал.
Прямолинейная реализация («спрямление») ткани <2В,
как было показано в § 17, вообще говоря, невозможна,
однако, быть может, существует такая метрика
щ + Ла + Ло B3.3)
с положительными Лу. (х, у), что линии aj= 0 (/ = 1,2, 3)
будут геодезическими линиями этой метрики. Нам кажется,
что эта задача относительно неизвестных Лу. (х, у)

76 s КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 1
разрешима. Действительно, ткань эд зависит от функции
w — w (и, v) двух переменных точно так же, как и метрика
поверхности, которая может быть приведена, как показал
Гаусс, к виду
ds* = du* + G (и, v) dv*. B3.4)
Фольк (О. Volk) в 1925—1927 гг. рассматривал задачу
о поверхностях, на которых имеются шестиугольные ткани
из геодезических линий. Например, это возможно в силу
теоремы Бельтрами (Е. Beltrami, 1835—1900), 1866, на
всех поверхностях постоянной кривизны, так как каждая
такая поверхность может быть «в малом» геодезически
отображена на плоскость, что означает, что ее геодези-
геодезическим соответствуют на плоскости прямые линии *). Каж-
Каждой прямолинейной шестиугольной ткани на плоскости
соответствует геодезическая шестиугольная ткань на по-
поверхности постоянной кривизны. Инвариантное условие
для метрики, допускающей геодезическую шестиугольную
ткань, как мне кажется, еще неизвестно (ср. J. Drach,
С. R. Paris, .1931 г.).
*)См., например, В. Ф. Каган, Основы теории поверхностей
в тензорном изложении, ч. II, М. — Л., Гостехиздат, 1948, § 65.

II. ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ
§ 24. Формы Пфаффа тканей, образованных
поверхностями
В параграфе 10 мы уже кратко рассматривали некото-
некоторые свойства тканей, образованных поверхностями. Сейчас
приступим к их систематическому изучению. В области ©
пространства с декартовыми координатами х, у, z рассмотрим
четыре семейства поверхностей, заданных при помощи
уравнений
Uj (х, у, г) ¦= Uj = const (/ = 0, 1, 2, 3), B4.1)
такие, что через каждую точку Р области © проходит
точно одна поверхность каждого семейства и функцио-
функциональный определитель аналитических в © функций и,-
д (и„ uk, и,)
-Шжф0°® B42)
для любых трех различных значений индексов /, k, l, при-
принимающих значения 0, 1, 2, 3. Мы предполагаем, кроме
того, область © «выпуклой», т. е. такой, что каждая линия
пересечения поверхностей и-, uk = const (/ ф k) пересекает
эту область по связной дуге.
Введем теперь формы Пфаффа Oj, которые отличаются
от полных дифференциалов функций «;- (х, у, г) только не-
некоторыми скалярными множителями Sj (х, у, z) Ф 0:
Oj=Sjdu/, B4.3)
эти множители sy мы выберем так, что
°о + '1 + °2 + оз - 0 B4.4)

78 ТКАНИ. ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
для всех точек х, у, z области © и всех направлений
dx:dy:dz. Тогда формы о,- будут определены однозначно
с точностью до перенормировки
B4-5)
с помощью множителя g (х, у, z) Ф 0.
Аппарат, построенный в § б для форм Пфаффа от двух
переменных х, у, распространим на формы от трех пере-
переменных х, у, z. Мы придем к альтернированному или внеш-
внешнему произведению двух или трех форм Пфаффа, подчи-
подчиняющемуся следующим правилам:
[ас, т] = а [ах]
и для трех множителей
[аф-j ] = [З^а] = [^ар] = —[fPa] = —
[«P, Ti + T«l = («PTiI + [«Pt»1. B4J>
Кроме того,
f?«Pl Tl = f«P7l- B4.8)
Для внешнего дифференциала мы получим
d (p dx + q dy -f- r dz) — [dp dx] -\- [dq dy] + [dr dz] =
= (r, - qz) [dy dz] + (pt - rx) [dz dx] +
+ (qx-py)[dxdy] B4.9)
и
d{a[dydz] + b \dzdx] + с [dxdy]} =
= (ax +by + ct) [dx dy dz]. B4.10)
Остается справедливой и интегральная теорема F.23)
B4.11)
как для того случая, когда g является односвязным ку-
куском поверхности в области @ с границей d% и о — форма
Пфаффа, так и для случая, когда $ — подобласть области ©
с границей d% и о — внешняя форма второй степени
a = a[dy dz] +b[dzdx] + c [dx dy]. B4.12)

25]
ПЕРВЫЕ ИНВАРИАНТЫ
79
При этом границы d\$ считаются в обычном смысле «ориен-
«ориентированными».
Вместо форм а}, связанных соотношением B4.4), целе-
целесообразно ввести три линейно независимые формы Пфаффа
ту, определяемые следующими уравнениями:
аз
— ti + ^г — т3,
— Xj — т2 + х3.
B4.13)
Отсюда следует, что
2х2 = а0 -(- о2 = — о3 — olf
2хз =  -)- "з = — Ох — о2.
Мы предполагаем, что в области
зависимы:
формы
§ 25. Первые инварианты
B4.14)
линейно не-
B4.15)
Введем сокращенные обозначения для внешнего про-
произведения
[т/тА] = т/А, B5.1)
где
х,,г + х„.^0. B5.2)
Тогда из предположения х Ф 0 в области Щ следует ли-
линейная независимость форм х23, T3i, т12. Поэтому мы можем
разложить внешние дифференциалы dxj по формам xjk:
dx\ = рп Х23 -f Pl2 X31 + Pl3 Х12,
А II ^9^ V\
uX2 = р21 Х23 ^(- Д22 T3i -f- p23 Xi2, i ули.О)
d^3 = Рз1 Х23 + Р&2 X3i '-{- Рзз Х12.
Заметим, что формы ау. в силу их определения B4.3)
удовлетворяют условиям интегрируемости
[о,<*оЛ = 0. B5.4)

80 ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
Если подставить в B5.4) выражения B4.13) для форм
о, то, учитывая B5.3), получим в результате несложной
выкладки
Pi! + P22 + РЗЗ = 0,
pjk + Pkj= o> i^k.
Краткости ради введем следующие обозначения для pJk:-
Pll — Oli P22 — ^2» РзЗ — "з,
р23 = Оь /?31 = , рц = Оз
ИЛИ
B5.7)
где точки, как и ранее, означают круговую перестановку
индексов. Тогда равенства B5.3) примут вид
dii = ах -С23 + &з ^3i
rfxa = —63^23 + 02^31+ ^ifi2, B5.8)
drs = Ъ% -с23 —^ fei т31 + а3 ti2,
причем в силу B5.5>
ai + a2+a3 = 0. B5.9)
Далее из B5.1) имеем, например,
*23 = [^2 хз]
и, следовательно, внешний дифференциал
flfx2s = [diz ts] — [^2 d*s] ¦ B5.1 С)
Применяя B5.7) и произведя круговую перестановку ин-
индексов, получим
dx23 = 2biT;, dxsl = 2b2x, dx12 = 2b3t, B5.11)
где i определяется формулой B4.15).
§ 26. Кривизны и связность
Рассмотрим, как преобразуются введенные выше вели-
величины a,j, bj при перенормировке

§26] КРИВИЗНЫ И СВЯЗНОСТЬ 81
Полный дифференциал df скаляра / мы можем разложить
по трем линейно независимы л формам Пфаффа ту.
B6.2)
и определить таким образом «инвариантные производные»
ткани:
djf = fj. B6.3
Так как дифференциал df не зависит от нормировки, то
d} = gdj. .B6.4)
Далее из B5.8) мы получим
• i «.* и*
Xi п\ T2S ¦+¦ 03 ^31 — 02 tl2
d
gi Х12 + gs tei /ос с\
ii . B6.5)
где
B6.6)
Из B6.5) и формул, получающихся отсюда круговой под-
подстановкой, следует искомый результат:
' b' = gbj — gj. B6.7)
Величины Oj являются таким образом инвариантами веса
единица, связанными между собой соотношением B5.9),
в то время как Ь, преобразуются так же, как символы
Кристоффеля G.1). Величины а,- назовем шривиэнами»
нашей ткани]), а из величин bJt которые мы по-преж-
по-прежнему будем называть «.символами Кристоффгля», образуем
форму Пфаффа
7 = bi tx + Ь% та + Ьг тз, B6.8)
которую назовем связностью ткани. С помощью фор-
формул B6.7) найдем закон преобразования формы ~[ при
перенормировании:
B6.9)
!) Можно ввести в рассмотреине инвариантную форму Пфаффа
а = а1т1 + а2тг + а8тз (*=»¦«*).
назвав ее формой кривизны*. ¦ ¦ ¦
6 В. Бляшке

82 ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
Если Vj — координаты вектора или векторного поля,
то внешний дифференциал формы Пфаффа
0 = ?>i Ч + v2 т2 4- vs т3 B6.10)
в силу B5.8) имеет вид
ds = (v32 — v23 + «1 Vi — b3 Vi + b2v3LsJt •¦•. B6.11)
где точками обозначены члены, получаемые круговой
перестановкой индексов. Если вектор Vj является «гра-
«градиентом» некоторого скалярного поля,
o = dv, B6.12)
то из = 0, и из B6.11) вычисляется несимметричная часть
вторых производных скалярного поля и:
v23 — vS2 =¦¦ ai &i — b3 v2 + Ьг va, |
^31 — ^13= b3vi + u2V2 — Ьхиз, \ B6.13)
vi2 — v2i =-¦ — bt Vi + bi. v2 + a3 v3, >
или
дз дг — д2 д-s = ai ^i — b3 д2 + b2 дз,
д2 di — di д2 —¦ — b2 di + bi д2 -f
B6.14)
В общем случае векторное поле с координатами
г у — «за — vi3 + at Vi — b3 v2 + b2 v3, ... B6.15)
играет роль «ротора» векторного поля (v\, vs, v3). В част-
частности, для ротора векторного поля (аи а2, а3) имеем
г г — а32 — а23 + а\ — а2 Ь3 + а3 62. • • • B6.16)
Если вместо форм Пфаффа ^ отправляться от диффе-
дифференциальных операторов dJt то можно определить вели-
величины aJt bj, исходя из соотношений B6.14).
§ 27. Условия интегрируемости
Разложим внешний дифференциал d~[ связности т
B6.8) по формам xJk: ...
сь т12 B7.1)

<>27]
УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
83
и найдем с помощью B6.15) ротор (сь с2, с3) нашего век-
векторного поля (bi, bo, Ьз):
>.= bis Ьз1 + #2 ^2>
B7.2)
Если вообще задано векторное поле (u>i, wit w3), то диф-
дифференцирование внешней дифференциальной формы второго
порядка
+ 1 «л. /О7 Q\
^2 "^31 ~т~ ^3 ^12 \ • /
в силу B5.1.1) дает
Поэтому мы можем рассматривать выражение
Wii -\- и>22 4" ^зз "г" 2 Fi M)i -(- 62 М'г "Ь ^з й^з) B7.5)
как «дивергенцию» векторного поля (wi, w2, Ws). Образовав
подобные дивергенции d dxj форм dxj B5.8), мы получим
следующие условия интегрируемости:
ап + 2 ai bi + &32 — ^23 = О,
«22 + 2 а2 Ьг + &1S — &з1 = 0, B7.6)
ЙЗЗ 4" 2 Оз ''з 4" 021 ^12 == 0|
где
as — da- Ьь — д^Ь- . B7 7)
В силу -B7.2) эти условия интегрируемости можно пе-
переписать так:
а2г 4- «2 b2 4- с2 = 0, B7.8)
Озз 4" аг Ьз + Сз = 0. .
Из B6.9) следует, что при перенормировке B6.1)
rff* = d~[\ . - B7.9)
отсюда и из B7.1) и B6.1) вытекает, что
c', = g2cj . B7Л,0)
б*

84 ТКАНИ. ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
§ 28. Инвариантные производные
С помощью связности 7 можно построить инвариантные
дифференциальные операторы, аналогично тому, как мы
это сделали в § 12 для плоского случая. Пусть опять
<7 —скаляр веса р, который при перенормировке B6.1)
преобразуется по закону
q* = gpq- B8.1)
Образуем дифференциальный оператор
D = d+pb B8.2)
где d обозначает полный дифференциал, р—вес и т—связ-
т—связность B6.8). В таком случае мы будем иметь
D*q* = gpDq; B8.3)
это равенство и означает инвариантность оператора D.
Если мы положим теперь
Dq = 71 ti -f <7п 4 + qm ts B8.4)
и, например,
qi=diq, B8.5)
то получим
q\ = gp+lqi. B8.6)
Дифференциальные операторы д\, ди, дщ переводят инва-
инварианты веса р в инварианты веса р + 1. При этом
di=di + pblt dn = d2 + pbit дт = д3 + рЬ3- B8.7)
Далее, из B8.7) следует
дп 5, - di ди = {<52 + (Р + 1) b2) {di + ph) -
-{di + (p+l)bl}{d2 + pb2}. B8.8)
Применяя B6.14) и B7.2) и произведя круговую пере-
перестановку индексов, найдем отсюда
и — <Эи<Эш = «1 di +р{Ь3ди — Ь2дщ —
| B8.9)
Инвариантные дифференциальные операторы ди дп, дщ
позволяют сократить некоторые из ранее полученных
формул. Векторное поле (vi, v%, v3) веса 1 можно опре-

§ 28] ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ' 85
делить как в § 26. Тогда для ротора B6.15) этого поля
мы получим
Гг = 0з п — «2III+ Cl\Vi,
B8.10)
где, например,
V3 п = дн v3.
Если w — (wlt w2, w3) — векторное поле веса 2, то его
дивергенция B7.5) равна
D'ww = w'\ 1 + ш2п + а»зш- B8.11)
Формулы B7.8) принимают вид
ci = — aiU с2 = — а2 п, с3 = —«зш. B8.12)
Следойательно,. величина -* (ci + с2 + с3) будет диверген-
дивергенцией векторного поля (аи а2, а3) веса 1.
Если v = (vi, v2, vs) — векторное поле веса 1, % — по-
поверхность, d% — ее граница и г = (п, г2, г3) — ротор
поля v, то имеет место интегральная формула (ф о р-
мула Стоке а):
J B8.13)
Если w = (o»i, ш2, w3) — векторное поле веса 2, © — не-
некоторая трехмерная область и d® — ее граница, то имеет
Иесто аналогичная формула (формула Гаусса):
- W2 t3i 4- W3 T.12) = V ^ 0^1 T23 -f- J"a ^31 ~Ь ®з Х1г) ==
i
= }(wn + W2ii + W3111) t. B8.14)
©
Если мы применим формулу B8.14), в частности, к B7.1)
d~[ = C1T23 + cat3i -f- Cst12, B8.15)
то из d df = 0 следует
С] i -f- C2 и -f- С3 in = 0 B8.16)

86 ткани, образованные поверхностями [гл. и
или в силу B8.12)
«111 + а2пн + азшш = 0 B8.17)
— аналог формул Фосса, Риччи и Бианки римановой
геометрии.
Отметим еще одну формулу, которая в некоторых
случаях ^ оказывается полезной. Пусть (vt, v2, v3),
{vl v2, из) — два векторных поля и (rlt r2, rz), {r\, г2, п)—
их роторы. Тогда
d {(«a vz—vzv2) т23 + {v3v[ — viv's)x31+ (vxv2 — v2 v\)т12} =
= {(ri v'i + r2 v2 + r3 vi) — (ri vx + /2 v2 + r'z v3)} * B8.18)
или
§ 29. Геометрические иллюстрации
Настало время осветить наш дремучий лес формул
фонарем геометрической наглядности. Пусть Р — точка
области регулярности ©, образованной поверхностями
ткани ЗВ. Исходящие из точки Р направления мы отобра-
отобразим на точки некоторой, не проходящей через Р, плоско-
плоскости @, поставив в соответствие каждому направлению
точку пересечения касательной в Р к кривым этого на-
направления с плоскостью (?. Тогда касательным плоскостям
к поверхностям ау. = 0, удовлетворяющим условию B4.2),
на плоскости 6 будут соответствовать четыре прямые,
никакие три из которых не проходят через одну точку.
Эти прямые, образующие на плоскости E «полный четырех-
четырехсторонник», мы будем обозначать также через оу. (рис. 28).
Точно так же направлениям, для которых ту. = 0, на
плоскости @ соответствуют три прямые, в силу B4.15)
не проходящие через одну точку, и эти прямые образуют
«диагональный трехсторонник» полного четырехсторонника
со стороны Оу. А именно, в силу B4.14) прямая zlt на-
например, проходит через точки пересечения прямых о0 и аг
и прямых о, и о3. Дифференциальным операторам d, ± dk
соответствуют шесть вершин полного четырехсторонника.

29]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ
Это можно доказать так. Если / — некоторый скаляр, то
согласно B6.2)
d/ = /1T1 + /2T2 + /3T3> B9.1)
и поэтому в силу B4.14)
— 2df = f! (о2 + °з) + h (°8 + «i) + /з (oi + «г) =
- (/2 + /a) oi + (/в + /i) *2 + (/i + /2) «з. B9.2)
Отсюда, например, следует, что прямые а2, о3 пересекаются
в точке д2 + 53, так как при о2 = о3 = 0 получается
— 2 df = 01 E2 -f- ^з) /• Далее из B9.1) следует, что вер-
вершины диагонального трехсторонника т, соответствуют
дифференциальным операторам д;-.
Из B5.7) вытекает
[ti dxi] =• ai х, [т2 d-c2] = а2 х, [х8 dxs] = а3 х. B9.3)
В силу B5.3) и B5.6) равенство
= cj. т = О
есть условие интегрируемости уравнения Ti == 0, означаю-
означающее, что фор^а тх с точностью до скалярного множителя
является полным дифференциалом
так что семейство 'поверхностей Vi (x, у, z) = v\ = const
будет семейством интегральных поверхностей уравнения

ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ
[ГЛ. II
Ti = 0. Назовем семейство vt = const «семейством диаго-
диагональных поверхностей» нашей ткани 58. В силу B5.9)
мы будем иметд> следующий результат: если ткань 2В
имеет два семейства диагональных поверхностей хх, х2,
то она имеет также и третье подобное семейство тз.
А именно, из того, что ах — а2 = 0,
следует, что также и а3 — 0.
Те же результаты можно по-
лучить и из B6.14). А именно,
если а3 — 0, то
д2 дх — дхдг — Ьх 32 — &г дх, B9.4)
а эта зависимость означает (р ис. 29),
что из линий двупараметрических
семейств кривых дх и д2 мсжно со-
стэеить замкнутые четырехуголь-
четырехугольники, т. е. что наши двупара-
метрические семейстЕа кривых дх и 52 лежат на о^нспара-
метрическом семейстЕе поверхностей, каждая из которых
несет сеть из (д1,д2)-кривых. Таким сбразсм, условие
аз — 0 означает, что юиагснал1нь.е xpiebie» дх и д2
принадлежат семейству диаюналъных поверхностей.
§ 30. Криволинейные ткани в тканях, сбразсганных
поверхнестями
На каждой поверхности %й семейстЕа @0 нашей ткани ЯВ
— интегральной поверхности уравнения о0 = 0, остальные
семейстиа поверхностей ©ь ©2, @8 высекают криволиней-
криволинейную ткань ЯВ°, кривые которой, как это видно из рис. 28,
определяются операторами
д°1 = д2 — д3, д\ = дз — дх,
Из C0.1) следует
d°i + д°2 + д°3 = 0.
Поэтому мы мсжем применить к ткани
в которых мы должны теперь писать
C0.1) следует также
д°2 дЧ - дЧ д°2 = (д3 д, - д, а») + (дх д3 - д3 дх) +
= дх — д2. C0.1)
C0.2)
формулы § 7,
/ вместо д,-. Из
C0.3)

§ 30] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ТКАНИ 89
Чтобы сократить наши вычисления, предположим, что
в рассматриваемой точке Р формы о, нормированы так,
что Ь\ = Ъг = Ь3 = 0, что можно сделать в силу B6.7).
Тогда из C0.3) и B6.14) мы получаем
д°2 дЧ — д\д\ = ахдх + а2д2 + а3 д3 C0-4)
или в силу B5.9) и C0.1)
didi — dUl = a2d\-aid%. C0.5)
Сравнивая с G.21), получаем
aj = —hj. C0.6)
Из (8.10) мы получаем следующее выражение для кри-
кривизны ткани ЭД0:
ko = — (дг — О») пг + (д3 — д{) пу =
= — Оц — а22 + aJ3 + a23 C0.7)
и в силу B5*9)
k0 = — au — a22 — азз- C0.8)
В точке Р в силу Ъ} = 0 обычные производные дх, д2, д3
соЕпа;ают с инвариантными произЕОДньши д\, дц, дць
Поэтому из C0.8) и B8.12) следует, что
&о = сх + с2 + са. C0.9)
Изменение индексов позволяет получить выражения для
кривизн всех криволинейных тканей Чй1:
ko= Ci + с2 + с3,
kx= Ci С2 С3,
k2 = — С! + С2 С3,
fe3 = — Су — С2 + С3.
Отсюда опять следует результат Дюбурдье A0.6),
а именно г)
^0 + ^1 + ^2 + ^3 = 0. C0.11)
!) Доказательство § 10 имеет то преимущество, что оно на-
накладывает на ткань меньшие требования. Недавно мой друг из
C0.10)

90 ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ (ГЛ. II
§ 31. Октаэдрические ткани
Если исходить из уравнения семейств поверхностей
в виде B4.1)
«,¦ (х, У, л) = u.j = const (/ = 0,1,2,3), C1.1)
то, исключив из этих четырех уравнений х, у, г, получим
условие
W(u0, «1, «2) иа) = 0, C1.2)
которому удовлетворяют четыре поверхности ткани, про-
проходящие через одну точку. Полученное таким образом
уравнение C1.2) мы можем, так же как- в §§ 1 и 9, назвать
«уравнением ткани». Мы будем, в частности, называть
образованную поверхностями C1.1) ткань ЗВ «октаэдриче-
«октаэдрической-», если ее уравнение может быть приведено к про-
простому виду
uo + ui + u2 + ua= 0. C1.3)
Подобные ткани являются пространственными аналогами
шестиугольных тканей на плоскости (§ 2). Простейшим при-
примером октаэдрической ткани будет ткань, образованная
четырьмя различными семействами параллельных плоско-
плоскостей, которые, .в частности, можно считать параллельными
четырем различным граням правильного тетраэдра. В этом
последнем случае мы будем говорить о «правильной
ткани». Октаэдрические ткани, таким образом, топологи-
топологически эквивалентны правильным. Смысл предложенного
здесь названия будет выяснен позже (§ 32). Здесь же мы
докажем следующее предложение.
Для того чтобы ткань была октаэдрической, необ-
необходимо и достаточно, чтобы, кривизны ткани обращались
в нуль:
а1 = а2~аз~0. C1.4)
Необходимость этого условия очевидна. В самом деле,
для правильной ткани мы можем положить
aj = d (An x -f A,2 у + А1г z), C1.5)
где AJk — const; так как формы о;. являются полными
дифференциалами, то полными дифференциалами будут
в силу B4.14) и формы х.; при этом из B5.8) вытекает,

§ 32] УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ ОКТАЭДРИЧЕСКОЙ ТКАНИ 91
что все а, = 0. Обратно, в силу B8.12) из обращения
в нуль величин а, то же самое следует и для величин Cj.
Поэтому в силу B7.1) форма -[ будет полным дифферен-
дифференциалом. В силу B6.9) формы iy можно нормировать так,
что тождественно 1 = 0, откуда > следует, что и bj=O.
В силу B5.8) формы т,., а в силу B4.13) и формы о,.
будут полными дифференциалами: Oj -.-. duj. Интегрируя
уравнение B4.4) «о + °i + б2 + °з = 0, мы получим, выбрав
подходящим образом переменные uJt условие C1.3).
В параграфе 29 мы уже нашли геометрический смысл
обращения в нуль кривизн ткани. Но для октаэдрической
ткани можно получить еще и иные, характеризующие ее
наглядные геометрические свойства, перенеся на случай
пространства геометрическое описание шестиугольных тка-
тканей на плоскости, данное в § 2.
% 32. Условие замкнутости октаэдрическсй ткани
Рассмотрим тетраэдр S3 ткани 38, четыре грани кото-
которого образуют поверхности четырех различных семейств ©,-
ткани 3»; предположим, что этот тетраэдр лежит целиком
в области регулярности & ткани 28. На каждой грани $,.
тетраэдра SS семейства поверхностей <5k (k ф /) высекают
криволинейные ткани 38/. Согласно § 2 имеется точно
один треугольник %], образованный линиями ткани 38'
и вписанный в треугольник $,. (см. рис. 3). Два треуголь-
треугольника %;, %k одного и того же тетраэдра S3 ткани 38 мы
назовем «соседними». Они имеют общую сторону — ребро
тетраэдра S3 — и лежат на поверхностях различных се-
семейств @у, <5ft (k Ф j) ткани 38. Мы покажем, что:
Для того чтобы ткань была октаэдрической, необ-
необходимо и достаточно, чтобы треугольники %), %'k, впи-
вписанные в любые два соседние треугольника %jt %k, имели
общую вершину. Необходимость этого условия вытекает
из того, что в случае правильной ткани тетраэдр S3 будет
правильным и вершины треугольников ^у, вписанных
в его грани %Jt будут совпадать с серединами ребер тет-
тетраэдра. Стороны треугольников %} будут ребрами пра-
правильного октаэдра 31, который вписан в тетраэдр S3 так,
что четыре его грани, не имеющие общих ребер, лежат

92
ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ
[ГЛ. II
на гранях g,- тетраэдра 93 (рис. 30) *); здесь появляется
«октаэдр», который дал имя всему рассматриваемому здесь
типу тканей. Фигуру, состоящую из тетраэдра 93 и впи-
вписанного в него октаэдра 21, как и любую ей эквивалентную,
мы будем теперь обозначать
через ®2. Мы покажем, что
замкнутость фигур ©2 харак-
характеризует октаэдрические тка-
ткани; или иначе: характеристи-
характеристическим свойством октаэдриче-
ской ткани является замкнутость
образованных поверхностями
ткани октаэдров.
Сначала покажем, что из
замкнутости всех октаэдров
ткани вытекает, что кри-
криволинейные ткани, „ высекае-
семейства Щ, (/ = 0, 1
семейств <аЛ (k Ф /),
Рис. 30.
мые на поверхности
верхностями остальных
шестиугольными. Рассмотрим,
например, ткань <В°, которая
2, 3) по-
появляются
Рис. 31.
высекается на поверхности %0 семейства ©0 поверх-
поверхностями семейств ©у (/ = 1, 2, 3), и фигуру $% этой ткани,
*) Аналогично этому в каждый треугольник шестиугольной
ткани на плоскости можно вписать образованный линиями ткани
шестиугольник, три несмежные стороны которого принадлежат
сторонам треугольника; ср. рис. 5—7 иа стр. 20 (не принадлежа-
принадлежащие граням тетраэдра ф грани октаэдра SI также образованы по-
поверхностями ткаии: это следует из того, что три рёбра такой грани
принадлежат одной поверхности определенного семейства ©,•).

S 32] УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ ОКТАЭДРИЧЕСКОЙ ТКАНИ _ 93
состоящую из образованного линиями <в° треугольника ABC
и вписанного в него треугольника А В'С (рис. 31). Про-
Продолжая линии этой фигуры, дополним ее до фигуры, изо-
изображенной на рис. 32. Нам достаточно доказать, что
точки С, В" принадлежа? одной линии семейства 01 тка-
ткани Я8°, так как это будет означать, что шестиугольник
ткани <28°, описанный около точки А', замыкается и, сле-
следовательно, что ткань является'шестиугольной. Рассмот-
Рассмотрим тетраэдры ткани q$$, надстроенные над треугольниками
Рис. 33. Рис. 34.
I, II, III. Их четвертые вершины Si, Sn, Sni, по пред-
предположению (рис. 30), лежат на одной и той же поверх-
поверхности семейства <&0. Такое же заключение применимо и
к треугольнику А"В"С, так что «вершины» Su, Siv, Sv
лежат на той же поверхности семейства <50. Следователь-
Следовательно, вершины Sin, Sv принадлежат одной и той же по-
поверхности семейства @0 и поэтому треугольник .d'SmSv
будет вписан в (принадлежащую семейству ©i) грань
тетраэдра, построенного над треугольником B'C'R. До-
Дополнив полученную в этом тетраэдре фигуру до ф2
(рис. 30), мы увидим, что СВ" действительно принадлежит
линии 01.
Если мы теперь возьмем в качестве исходного пункта
фигуру Ф° (на рис. 33 п = 4), принадлежащую поверхно-
поверхности f5o семейства @0» то получим, что вершины тетраэд-
тетраэдров ткани, построенных над заштрихованными треуголь-
треугольниками фигуры Фл» лежат на одной поверхности семей-
семейства @о и образуют вершины фигуры ©2-ь принадлежа-
принадлежащей этой поверхности (рис. 34, ги> — 4). Повторяя это

„94 ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ {ГЛ. II
построение, мы найдем, что над ®2 можно построить
образованную из поверхностей ткани 38 фигуру ф„, обра-
образованную п поверхностями каждого семейства и имеющую
i-(n+l)(
вершин, которые в каждой поверхности /-го семейства
образуют фигуру Ф(' где k < п (рис. 35, п = 3). Верши-
Вершины фигуры %я можно отобра-
отобразить на вершины правильной
фигуры %*п. Это отображе-.
ние будет уточнено, если мы
уменьшим вдвое стороны ма-
малых треугольников и тетраэд-
тетраэдров, дополнив фигуру ф„ до
®2п и соответственно этому
фигуру ФаДоТ*«. Повторе-
Повторение этого процесса и после-
последующий предельный переход
рис 35. Дает нам искомое отображе-
отображение ткани ЗВ на правильную
ткань 28*. Этим и завершается доказательство нашего
утверждения.
§ 33. Октаэдрические ткани, образованные
плоскостями
Мы докажем сейчас следующую теорему, полученную1
Зауэром (R. Sauer) в 1925 г. и аналогичную теореме § 4:
Всякая образованная плоскостями октаэдрическая ткань
Порождается общими касательными плоскостями двух
различных квадрик (поверхностей второго класса). Об-
Обратно: во всякой области, где через каждую точку про-
проходят четыре различные действительные касательные
плоскости к двум данным квадрикам, эти плоскости об-
образуют октаэдрическую ткань.
Доказательство проходит точно так же, как в плоском
случае. Роль, аналогичную использованной ранее теореме
Шаля, здесь будет играть сходная с ней теорема Рейе

§ 33] ОКТАЭДРИЧЕСКИЕ ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПЛОСКОСТЯМИ 95
(Th. Reye, 1837—1919), приведенная в его известной книге
«Die Geometrie der Lage» (Leipzig, 1923).
А именно, рассмотрим фигуру, состоящую из восьми
плоскостей, топологически эквивалентную правильному
октаэдру (рис. 36), и покажем, что каждая квадрика, ко-
которая касается семи из этих плоскостей, касается
также и восьмой. Пусть Р, Q; R, S\ U, V — пары про-
противоположных вершин нашего октаэдра и пусть, например,
p = to + tix + t2y + t3z = O C3.1)
— уравнение точки Р (х, у, г) в тангенциальных коорди-
координатах tj. Тогда все квадрики, уравнение которых в тан-
тангенциальных координатах имеют вид
apq-\- brs+.cuv = 0, . ; C3.2)
где а, Ь, с — постоянные, будут удовлетворять нашему
условию. Обратно, эти квадрики, зависящие от двух па-
параметров а: Ь :с, будут единственными, удовлетворяющими
семи независимым условиям — условиям касания с семью
из наших восьми .плоскостей. В самом деле, .уравнение

96 ТКАНИ. ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
поверхности второго класса
+ «22 & -f азз й +
2с01 to ti + 2а02 ^о t2 + 2а03 to U +
«оо tl + ах 1 t\ + «22 & -f
2a12tit2 = 0 C3.3)
содержит десять однородных параметров. Следовательно,
для того чтобы определить квадрику в общем случае,
нужно задать девять ее касательных плоскостей.
Пусть теперь все плоскости изображенного на рис. 36
октаэдра, за исключением плоскости QSV, будут касаться
некоторой квадрики. Независимость этих семи условий
будет доказана, если мы покажем, что квадрика однозначно
определяется двумя дополнительными касательными пло-
плоскостями. Для этого достаточно так выбрать две пло-
плоскости, проходящие через точку Р, чтобы полученные
шесть плоскостей, проходящих через эту точку, не каса-
касались конуса второго порядка с вершиной в Р. В этом
случае квадрика распадается на пару точек Р, Q.
При помощи теоремы Рейе теорему Зауэра можно до-
доказать точно так же, как доказывается теорема Графа и
Зауэра из § 4 с помощью теоремы Шаля. Достаточно
показать, что для каждой образованной плоскостями фи-
фигуры ©л» я>-3 (вроде изображенной на рис. 35 фигуры
Фз). существует в точности одно линейное семейство
квадрик, касающихся всех плоскостей этой фигуры.
Можно также перенести на пространственный случай
рассуждения § 5. Плоскости, касающиеся всех квад-
квадрик некоторого линейного семейства, могут быть при под-
подходящем выборе тангенциальных координат tj следующим
образом представлены при помощи ^-функции Вейер-
штрасса *):
?-=9 (и), ?-=*'(«), ~=Г'{и). C3.4)
Го *о ?о
Тогда условие прохождения четырех плоскостей через
*) Ср., например, L. Heffter, Lehrbuch der analytischen
Geometrie, Bd. II, Leipzig—Berlin, 1923, 409 — 411.

§34] ШЕСТИУГОЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТКАНИ S7
одну точку принимает вид
«о + «1 + «2 + «з = период функции ф,
что дает вычислительное доказательство того, что эти
плоскости образуют октаэдрическую ткань.
§ 34. Шестиугольные пространственные ткани
Образованная поверхностями ткань такая, что на каж-
каждой поверхности ткани поверхности трех других семейств
высекают шестиугольную криволинейную ткань, назы-
называется шестиугольной пространственной тканью. В силу
§ 31 к числу подобных тканей относятся все октаэдриче-
ские ткани. Мы покажем, что кроме октаэдрических су-
существуют и другие шестиугольные пространственные
ткани. Из C0.10) следует, что искомые ткани характери-
характеризуются условиями
С! = са = с3 = 0 C4.1)
или в силу B8.15) — условием
<*Т = 0. C4.2)
Отсюда и из B6.9) вытекает, что для таких тканей при
помощи подходящим образом подобранной нормировки
можно добиться выполнения равенства 7 = 0. В этом слу-
случае равенства B5.8) примут вид
Bti = ait23, cfc2 = ЯгТзь dz3 = a3 т12 C4.3)
и условия интегрируемости B7.8) дадут
ап = 0, а22 = 0, а3з = 0. C4.4)
Это означает, что вдоль диагонали д,- величина ау- остается
постоянной. Найдем теперь шестиугольные ткани из плос-
плоскостей. На плоскостях этих тканей пересекающие их плос-
плоскости высекают прямолинейные шестиугольные ткани, обра-
образованные, согласно теореме Графа и Зауэра (§ 4), касатель-
касательными к плоским кривым третьего класса. Плоскости ис-
искомой ткани образуют, таким образом, «алгебраический
торс», который высекает на каждой из принадлежащих
ему плоскостей алгебраическую кривую третьего класса.
Двойственный к нему образ доставляет алгебраическая
7 В. Бляшке

98 ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
кривая, которая проектируется из каждой своей точки
конусом третьего порядка; это — пространственная кри-
кривая четвертого порядка. Ей двойственно соответствует
торс четвертого класса. Отсюда получаются два (род-
(родственные друг другу) семейства таких торсов, а имен-
именно: торсы первого рода, состоящие из общих касательных
плоскостей некоторого рднопараметрического линейного
семейства квадрик, и рациональные торсы второго рода,
координаты плоскостей которых могут быть выражены
многочленами четвертой степени от некоторого параметра t.
В то время как торсы первого рода приводят к октаэд-
рическим тканям, торсы второго рода дают нечто новое.
Например, рассмотрим четыре пучка плоскостей, оси ко-
которых попарно скрещиваются и не принадлежат одной
квадрике (точнее, одной полуквадрике *)). Тогда плоскости
этих четырех пучков не касаются одной квадрики, однако
эти пучки образуют шестиугольную ткань. Таким образом,
действительно существуют такие шестиугольные простран-
пространственные ткани, которые не являются октаэдрическими.
Если для ткани, образованной поверхностями, опреде-
определить аналогично тому, как мы это делали в § 20 для
криволинейных тканей, перенесение вектора (di, v2, из)
веса 1 (т. е. такого, что v} = gv;) вдоль кривой 2 при
помощи равенств
Dvj = dvj + Vj у = 0 C4.5)
или
d\nvj = — T, C4.6)
которые должны выполняться вдоль ?, то из C4.2) будет
следовать, что шестиугольные пространственные ткани
являются единственными тканями в пространстве, для
которых перенесение не зависит от пути S. Можно по-
показать, что если Pj (/= 0, 1, 2, 3) — четыре точки, не
лежащие на одной окружности, и <&k — пучки сфер, прохо-
проходящих через три точки PJt j ф k, то эти пучки ®ft образуют
шестиугольную пространственную ткань (А. Ёцкан, 1954).
*) Полуквадрикой (Demiquadrik, иногда также Regulus) назы-
называют одно семейство прямолинейных образующих линейчатой
квадрики.

§ 35] ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ ТКАНИ 99
§ 35. Вычисление инвариантов при помощи функции
ткани
Пусть, как в C1.2),
W(u0, ии иг, «з) = 0 C5.1)
— уравнение ткани qsj и W — функция этой ткани. Из C5.1)
следует, что
^Wjduj = 0, C5.2)
о
где
6W
W .=
C5.4)
Мы можем, таким образом, положить, как и в (9.4),
Cj = WjdUj. C5,3)
В силу B4.14) получим
2-ci = Wo du0 + Wi dui = — W, du* — W3 dus,
2x2 = Wo du0 + W2 du2 = — W, duz — Widuu
2xs= Wfidu0 + Wsdu3 = — Wxdtii*- W2du2.
Если обозначим
Ъ Ч\ - ij» Wj Wk [duj duk] = [uj at] = Ьк, C5.5)
то получим из C5.4)]
4т23 = б23 + <>31 + °12.
4т31 = б2з ¦— 631 -f- C12,
4т12 = o23+o3i — о12,
и, обратно,
°23 = 2 (Т31 + Т12), 031 = 2 (t12 + Т23),
ai2 = 2(т23 -f- -c3i).
С другой стороны, из C5.4)
°01 = б12 °31> °02 = °23 °12> °03 = °31 — 323, C5.8)
и поэтому в силу C5.7)
°01 = 2 (х31 — т12), о02 = 2 (xi2 — 12з).
C5.6)
C5.7)
°оз = 2 (т23 — ^si). J
7*

100
ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ
[ГЛ. И
Если мы положим Для краткости
' 1 д
то получим
C5Л0)
C5Л1)
C5.12)
Для внешнего дифференциала выражений C5.4) найдем,
применяя C5.5) и C5.10),
> — УоЗ О03 — Vl2 О„ + К81 О81 C5. 13)
или в силу C5.7) и C5.9)
dx\ = { A/q2 ~Ь VeO (^03 + V12)} ^23 -f"
1 /t/ T/ \ /t/ t/ \ /^^ 1 Л.\
Сравнение с B5.8) и круговая перестановка индексов да-
дают следующие выражения: для кривизн
а __ /у \у \ /у j_ I/ \ C5 15)
и для символов Кристоффеля:
Вместо C5.15) в силу C5.10) и C5.12) можно написать:
аг ~ (До — ДО In „7— = (Дг — Дз) In -к^— ,
аа = (До —Д2Iп™^- = (Дз—Д01п-=Л,
C5.17)

§ 35] {ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ ТКАНИ Ю1
При этом^дифференциальные операторы Д следующим об-
образом связаны с операторами д из B6.3):
di = До + Ai — Д2 — А3,
а2 = д0—Д1 + д2—Дз, C6.18)
дз = До — Дг —Д2+Дз- >
Выражение для связности ? найдется из B6.8), если вос-
воспользоваться выражениями B4.14) для х и выражениями
C5.16) для Ь:
2Т = A/23 — Vn)(a» + a,)+ ... =
= {(V3i-Vm) + (V12-Vo3)} *!+... C5.19)
Здесь точки обозначают круговую перестановку индексов
1, 2, 3. С другой стороны,
d In (Wo W1W» W3) = 2 Vjk e*. C5-20)
или, если исключить отсюда — с0 = at 4- оа + о8,
= (Vu — Voo + Vn — V02 + V12 — Vos) 01+ ... C5.21)
Следовательно,
2i—d\n(WoW1W2Ws) = (Voo — Vu)e1 + ... C5.22)
или в силу C5.3)
3
2т = ~ S w.ln r; dui+d In {w°wx ^2 ^з)- C5-23)
0
Таким образом, связность -\ лишь несущественно отли-
отличается от введенной в § 10 связности
3
W:lnWrduJ- C5-24)
о
Если взять вместо функции ткани W функцию
&=*HW, H = W0W1W2 W3, C5.25)
то для соответствующей связности мы найдем
з
2y = 2t — d\nH= Г = — Y A-lnWj-dUj. C5.26)

102 ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
С другой стороны, если уравнение ткани W = 0 раз-
разрешено относительно и0:
W = и» (иь и2, us) — и0 = 0, C5.27)
то в силу C5.24)
з
g-lnwrduj, C5.28)
где
w-=—w C5 29)
1 duj
Формула C5.28) может быть, например, применена к тому,
чтобы найти уравнение вида C5.27) для рассмотренных
в § 34 шестиугольных пространственных тканей.
§ 36. Каноническое разложение
Как и в § 14, мы здесь используем преобразования I
и II § 1 для того, чтобы составить каноническое разло-
разложение функции W («о» Mil м2, м3) в точке О области ре-
регулярности © ткани qs; при этом мы принимаем, что
в точке О все Uj = 0. Прежде всего, применяя преобра-
преобразование I, введем новые переменные:
W («о, 0, 0, 0) = и'о,
W @, иь 0, 0) = и\,
W @, 0, иг, 0) = и\,
W @, 0, 0, из) - ul
C6.1)
вместо прежних параметров и0, их, ы2, «з- После этого
разложение в ряд функции W будет начинаться следую-
следующим образом (мы отбрасываем звездочки в обозначениях
новых переменных):
W = «о + их + щ + «з + 2 Pjk UjUk+ ..., [ C6.2)
где
Pjk-Pkr Pjj = O- C6.3)

§ 37] ШЕСТИУГОЛЬНЫЕ ТКАНИ ИЗ ПЛОСКОСТЕЙ ЮЗ
Далее мы можем с помощью преобразования II добиться
того, чтобы в точке О связность j = 0 и, следовательно,
bj = O. Тогда в силу C6.2) и C5.16)
Pol = РъЗ, Р02 = Р31, РОЗ = РП. C6.4)
Так, при помощи преобразований I и II мы приходим
к разложению
W = «о + «1 + «2 + «3 + Г1 («о «1 + «2 Из) +
+ г г (и0 ы2 + «з их) + г3 («о и3 + Ui u2) + ... C6.5)
Наконец, используя еще одно преобразование II
^^{l + riuo + Ui + Uz + UsVW C6.6)
и последующую замену переменных C6.1), мы добьемся
того, что
Г1 + Л + г8 = 0. . C6.7)
Окончательно каноническое разложение функции тка-
ткани W, задающее ее с точностью до членов второго поряд-
порядка включительно, имеет вид
W = щ -)- «1 + «2 + щ + °3 п2 («о «1 + «г «з) +
Оа °a - C6.8)
Так как здесь встречаются только разности величин aJt
то мы можем нормировать сами эти величины, потребо-
потребовав, чтобы было
at + а2 + а3 = 0. C6.9)
Тогда из C6.8) и C5.15) мы найдем, что величины о,-
совпадают с кривизнами нашей ткани в точке О.
§ 37. Шестиугольные ткани из плоскостей
я четырьмя семе
(/ = 0,1,2,3), C7.1)
Пусть яя, — ткань, образованная четырьмя семействами
плоскостей,
где
oi = ot(«y), W ==/*'" («,),' C7.2)

104 ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. U
или в векторной форме
v' =У (uj), vj = (v{ , vi, v'3), C7.3)
причем можно считать, что эти [векторы удовлетворяют
условиям-
v^_ dvj\
C7.4)
где скобки обозначают скалярное произведение. Тогда
параметр Uj будет длиной дуги «сферической индикатри-
индикатрисы» /-го семейства плоскостей, т. е. кривой v = v' (и.)
единичной сферы. За функцию ткани можно принять оп-
определитель
W —
vi
vl
vl
A"
h3
C7.5)
Условие того, что ткань <28 является шестиугольной,
в силу C5.24) можно записать в виде
In W.du, = df. C7.6)
Если мы временно отбросим усложняющий запись ин-
индекс /, то получим Для вектора р ребра возврата семей-
семейства плоскостей уравнения *)
{pv) =
C7.7)
Введем сопровождающий трехгранник, состоящий ю еди-
единичных взаимно-ортогональных векторов Vi, v2, v3, где
Vi = v, Vi — v'. C7.8)
*) См. любой курс дифференциальной геометрии (ср., напри-
например, П. К." Р а ш евс к и й, Курс дифференциальной геометрии,
М., Гостехиздат, 1956, § 70).

§37] ШЕСТИУГОЛЬНЫЕ ТКАНИ ИЗ ПЛОСКОСТЕЙ Ю5
Уравнения инфинитезимального перемещения трехгран-
трехгранника примут вид:
*
*—, • +?.
C7.9)
v3 = * — -— *
R
Здесь
* = ^. C7.10)
где и и w — длины дуг кривых, описываемых точками
v — V\ и v3 единичной сферы. ЕслиТгринять за нача-
начало координат точку О пересечения плоскостей ткани (Л'=
= 0), то уравнение C7.6) примет вид
C7.11)
Отсюда, учитывая C7.7), C7.9) и то, что v" = «4, получим
u = df C7.12)
или, в силу C7.10),
Y^dw-df. C7.13)
Положим
= q; C7.14)
тогда q будет расстоянием от точки О пересечения пло-
плоскостей до касательной к ребру возврата § нашего се-
семейства плоскостей *). Точно так же
= t C7.15)
*) Так как плоскости C7.1) для ребра возврата р=р(и) яв-
являются соприкасающимися, то вектор Vi = v направлен по би-
бинормали кривой ф, вектор г>2 = v —по главной нормали и вектор
®»= [*i ^г] — по касательной; следовательно, q= (pvt) равно про-
проекции вектора р = (Ур на главную нормаль § и t = (pva) — про-
проекции р на касательную ф.

106 ТКАНИ. ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ [ГЛ. II
равно расстоянию от основания F пгрпендикулярз, опу-
опущенного из точки О на эту касательную, до точки Р ее
касания с кривой $ (рис. 37). Таким образом, соприка-
соприкасающиеся плоскости кривой четвертого класса, проходя-
проходящие через одну точку О, удовлетворяют условию
L-dwj=df, C7.16)
где сумма распространяется на все соприкасающиеся
плоскости <5j к кривой ?>, проходящие через точку О, а
dWj обозначает угол между
соседними касательными к
этой кривой в точке Рs ее
соприкосновения с плос-
плоскостью <3у.
Перефразируя это пред-
предложение двойственным обра-
образом, получим следующее:
пусть Е — алгебраическая
пространственная кривая чет-
Рис. 37. вертого порядка и Pj — точки
ее пересечения с подвижной
плоскостью @, единичный нормальный вектор которой обо-
обозначен через п, далее tj и h} — соответственно единичные
векторы касательной и главной нормали к кривой (? в точ-
точках Pj и, наконец, dWj — угол между соседними касатель-
касательными этой кривой в точке Pj. Тогда выражение
будет полным дифференциалом.
§ 38. О пространственных кривых четвертого порядка
первого рода
Используем расчеты, которым был посвящен § 35, для
доказательства одной теоремы проективной геометрии,
относящейся к «пространственным кривым четвертого по-
порядка первого рода»; при этом «кривой» четвертого по-
порядка первого рода мы назовем пространственную линию,

§ 38J О ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Ю7
по которой пересекаются все квадрики некоторого ли-
линейного пучка (ср. с § 33). Если четыре точки Р} такой
кривой © лежат в одной плоскости, то определитель, со-
составленный из однородных координат этих точек, должен
обратиться в нуль:
W = (Ро («о), Pi (Mi), Р3 (ы2), Рз («з)) = 0. C8.1)
По теореме Зауэра (§ 33), преобразованной с помощью
принципа двойственности, это соотношение C8.1) эквива-
эквивалентно соотношению
uo + Ui + ы2 + «з = 0. C8.2)
Следовательно, определитель W должен удовлетвор ять урав-
уравнениям ai = а2 = а3 = 0, где ау определяются формулами
C5.17) или C5.15), в которых следует положить, напри-
например (ср. C5.10)):
1p;p3) • C8'3)
При этом условия uj = 0 будут иметь проективный смысл,
т. е. будут инвариантны относительно проективных пре-
преобразований (коллинеаций).
Отсюда следует, что если взять в плоскости @ четыре
точки Ро, Pi, Рг, Рз (из которых никакие три не лежат
на одной прямой) и через каждую точку Pj провести
прямую g/—[PjP't] (эти прямые попарно скрещиваются
и не лежат в плоскости @), то, вообще говоря, не суще-
существует неприводимой пространственной кривой четвертого
порядка первого рода, проходящей через эти точки Р} и
имеющей в них данные направления gj. Для того чтобы
такая кривая существовала, необходимо и достаточно вы-,
полнение двух из трех условий ах = а2 = а3 ¦— 0 *).
Чтобы придать этим условиям возможно более про-
простую форму, мы поступим следующим образом. Примем
плоскость (§ за плоскость г — 0; точки Р,- переведем под-
подходяще выбранным проективным преобразованием в вер-
вершины квадрата х, у= ±1 этой плоскости. Далее за Р]
примем точки пересечения четырех прямых gj с плоско-
•) В силу B5.9) третье условие будет уже отсюда следовать.

108
ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ
[ГЛ. II
X
У
z
p.
+1
+1
0
Рг
—1
+ 1
0
Pi
—1
1
0
p>
+1
—1
0
P'o
x0
У»
1
P\ P'2
..x\ Хз
У\ Уг
1 . 1
Р'г
х»
Уа
1
стью z=l. Тогда точки Pj, P/ будут иметь следующие
координаты:
C8.4)
Несложный подсчет показывает, что при таком выборе
системы координат условия uj—0 приобретают простой вид:
Уо— Ух — Уа + Уз = 0. )
Обратно, из теоремы Зауэра можно получить, что если
четыре пространственные дуги ©у в точках пересечения
Pj с (произвольной!) плоскостью (? имеют направления
[Pj Pf] , удовлетворяющие условиям а^=0 или C8.5), то
эти дуги kj принадлежат одной пространственной кривой
четвертого порядка первого рода.
Эти опирающиеся на § 37 результаты представляют
собой перенесение исследований, связанных с работой Рей-
Рейса A837 г.) (§ 11), на пространственные алгебраические
кривые, перенесение, которое в 1952 г. было детально
изучено Тейксидором (J. Teixidor). Тейксидору удалось
далее вывести подобные соотношения для алгебраических
кривых, которые могут быть представлены как пересече-
пересечение двух алгебраических поверхностей; однако этого не
удалось сделать, например, для рациональных простран-
пространственных кривых третьего порядка.
Подсчитаем, учитывая результаты § 39, от какого чис-
числа проективных инвариантов зависит фигура, образованная
«линейными элементами» Pj, gJt где точки Pj принадле-
принадлежат одной плоскости. Пусть Л, К — две (как мы будем
предполагать, различные) прямые, пересекающие четыре
оси gf. Тогда существует однопараметрическая группа
проективных преобразований, оставляющих неподвижными
все точки прямых h, h' и переводящих прямые gy в себя.

§ 39] спрямляемые ткани, образованные поверхностями юэ
Четыре прямые gj обладают двумя проективными инвари-
инвариантами (веса нуль); это—двойные отношения четырех то-
точек пересечения их с прямыми h и h'. Если присоеди-
присоединить к прямым gj еще и плоскость е, то она, в силу
существования упомянутой выше однопараметрической
группы, прибавит сюда еще только два дополнительных
проективных инварианта. Поэтому общее число проектив-
проективных инвариантов фигуры (PJt gj) равно четырем.
Присоединим сюда еще некоторые подсчеты. Квадри-
Квадрика зависит от десяти однородных постоянных, .т. е. от
девяти существенных параметров; пространственная кри-
кривая (? четвертого порядка первого рода как общая линия
пересечения всех квадрик пучка зависит поэтому от 2 х
X 9 — 2 = 16 постоянных. Если кривая К проходит через
четыре точки Р;- плоскости © и касается в этих точках
прямых gJt то каждая квадрика Q пучка проходит через
точки Pj и прямые g} касаются квадрики Q в этих точ-
точках. Это дает восемь условий для определения : квадри-
квадрики Q, и, таким образом, существует однопарам.етрическое
семейство квадрик, удовлетворяющих этим условиям.
Но этому пучку принадлежит дважды считаемая пло-
плоскость ©, и общая линия квадрик пучка состоит поэто-
поэтому из дважды взятого пересечения квадрики Q плоско-
плоскостью с Если же существует нераспадающаяся кривая (?,
которая проходит через точки PJt касаясь прямых gj, то
должны существовать три линейно независимые квадри-
квадрики, удовлетворяющие нашим требованиям. Выполнение
условий C8.5) является длг этого необходимым и доста-
достаточным. Если эти условия выполнены, то существует
двупараметрическое линейное семейство кривых ©, про-
проходящих через точки Pj и касающихся прямых gjt а имен-
именно, ими будут линии пересечения квадрик нашего дву-
параметрического семейства.
§ 39. Спрямляемые ткани, образованные поверхностями
Мы хотим (так же как в § 17) попытаться решить
вопрос о том, в каком случае образованная поверхностями
ткань <2В будет «спрямляемой», т. е. будет допускать ре-
реализацию, состоящую из плоскостей. Прежде все-
всего, можно показать, что дифференциальные операторы

по
ТКАНИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТЯМИ
[ГЛ. II
д\, ди, дщ (§ 28), примененные к кривизнам аи «г (§ 26)
ткани в ее точке О, дают полную систему инвариантов
ткани 9В в этой точке. Однако эти инварианты не незави-
независимы, так как в силу B8.17) они связаны соотношением
o.i 11 + Сгп и + «з ш ш =
11 — Ol III HI — «2111111=0 C9.1)
и другими соотношениями, получающимися из f39.1) пос-
после применения к нему дифференциальных операторов д\,
дц, дщ. Таким образом, кы имеем два инварианта вто-
второго порядка веса единица, а именно аи аг, шесть ин-
инвариантов третьего порядка веса два, а именнойи, а^ и,
а\ ш. аг \, а.2 и, а2 ш, из двенадцати же инвариантов четвер-
четвертого порядка веса три, а именно ащ 'и a2jk, в силу C9.1)
будут независимыми только одиннадцать; среди инвари-
инвариантов пятого порядка мы имеем соответственно 2-10 —
— 3 = 17 независимых инвариантов веса четыре; число
независимых инвариантов шестого порядка веса пять бу-
будет равно 2-15 — 6 = 24 и т. д.
Подсчитаем теперь число проективных инвариантов
ткани из плоскостей. Фигура первого порядка состоит из
четырех плоскостей, проходящих через точку О, в каж-
каждой из которых задана прямая—прямая пересечения^этой
плоскости с соседней плоскостью того же семейства. Эта
фигура, двойственная к рассмотренной в § 38, имеет че-
четыре проективных инварианта. Каждое последующее уве-
увеличение порядка на единицу увеличивает число инвариан-
инвариантов на восемь (по два для каждой из четырех огибающих
кривых). Общее число абсолютных инвариантов до^ и-го
порядка равно
C9.2)
Порядок
Топологические инварианты .
Проективные инварианты . .
1
0
4
2
2
12
3
8
20
4
19
28
5
36
36
6
60
44
Таким образом, мы можем рассчитывать отыскать ус-
условия спрямляемости ткани, только учитывая инвариан-

§40] НЕСКОЛЬКО НЕРЕШЕННЫХ ВОПРОСОВ Щ
ты не ниже шестого порядка. Далее, здесь также можно
высказать гипотезу, аналогичную гипотезе Гронвэлла (§ 17):
образованная поверхностями ткань, не являющаяся ше-
стиуюльной, допускает (с точностью до коллинеаций) не
больше одной реализации в виде ткани из плоскостей.
§ 40. Несколько нерешенных вспрсссв, относящихся
к тканям, образованным поверхностями
Мы поставим здесь некоторые вопросы, над которыми,
как нам кажется, стсит подумать!
К простейшим шестиугольным пространственным тка-
тканям относятся ткани, образованные четырьмя пучками
плоскостей с попарно скрещивающимися, не принадлежа-
принадлежащими одной [квадрике (точнее, полукЕадрике, см. § 34)
осями. Если две прямые h, h', пересекающие эти четыре
оси, будут действительными и различными, то уравнение
ткани может быть приведено к виду
W = hi («о их + «2 Из) +.Лг («о «2 + Из Ui) +
0 D0.1)
с постоянными коэффициентами hj.
Ai. Можно поставить вопрос о «диагоналях» подобной
ткани, образованной пучками плоскостей, т. е. о «сило-
«силовых линиях» соответствующих дифференциальных опе-
операторов д1г д2, д3. Образованная четырьмя пучками пло-
плоскостей фигура имеет только два проективных инвариан-
инварианта, а именно, двойные отношения четверок точек, в ко-
которых четыре оси пересекаются с их общими секущими
h и h'. Доэтому должна быть простой и фигура, обра-
образованная «диагоналями» ткани.
А2. Было бы интересно разыскать необходимые и до-
достаточные условия для того, чтобы образованная поверх-
поверхностями ткань была топологически эквивалентна ткани,
образованной пучками плоскостей. Таблица C9.2) под-
подсказывает, что это будут три условия, связывающие ин-
инварианты третьего порядка.
А3. Заслуживает внимания вопрос о нахождении
«условий спрямляемости» для шестиугольных пространст-
пространственных тканей.

ПОВЕРХНОСТЯМИ
[ГЛ. II
А4. Какой вид примет уравнение
uo = w («1, щ, щ) D0.2)
для шестиугольной пространственной, ткани.
А6. Какой вид имеет функция, которая получается
после интегрирования выражений C7.16) и C7.17):
р (*, у, г)
J
= F(x,y,z),
D0.3)
для шестиугольной про-
пространственной ткани,
образованной плоско-
плоскостями *)?
Ав. Найти примеры
шестиугольных прост-
пространственных тканей, об-
' разованных четырьмя
пучками сфер.
А7. Продолжить ка-
каноническое разложение
в ряд (§36) до членов
третьего порядка.
А„. Нормировать функцию ткани W (щ, ии ы2, "з) в со-
соответствии с § 16.
А9. Можно ли с целью упрощения относящихся к
пространственным тканям формул использовать кватерни-
кватернионы, подобно тому как комплексные числа используются
в теории криволинейных тканей (см. § 18).
Аи. Изучить риманову метрику
Рис. 38.
dsz = 00 + о\
с условиями перенормировки
+ of + 4
D0.4)
-^ds2, D0.5)
естественно вводимую на образованной поверхностями
ткани. По этому поводу см. М. Jaeger, Projektive Met-
hoden in der Gewebengeometrie, Comment. Math. Helve-
J) Ответ на более об'лий вопрос дал Арф (см. С. Arf, Sur
la Шогёте de Reiss, Rend. Math., Roma, V, 14 A954), 181-191).

§ 40] НЕСКОЛЬКО НЕРЕШЕННЫХ ВОПРОСОВ ИЗ
tici 24 A950), 260 — 290 и диссертацию этого же автора, за-
защищенную в 1949 г. в Высшей технической школе в
Цюрихе.
Ац. В соответствии с § 23 отыскать наилучшую реа-
реализацию образованной поверхностями ткани (ср. Е. Н б s e 1,
Minimaldarstellung von Flachengeweben, Hamburg. Ab-
handlungen 9 A933), 273 — 290).
A12. Изучить образованную поверхностями ткань <звв> об-
образованную шестью семействами поверхностей, из которых
можно образовать замкнутые двенадцатигранники, топо-
топологически эквивалентные правильным додекаэдрам (рис. 38).
То, что здесь было сказано о тканях 3S$4, образован-
образованных четырьмя семействами поверхностей в трехмерном
пространстве R3, частично обобщается на ткани' <Шп+\ »
образованные и+1 семейством «гиперповерхностей» в Rn.
Подобным тканям посвящены раббты моего сотрудника
Ауэ (Н. Aue, Mitt]. Math. Ges. Hamburg 7 A938), 367 —
399) и недавние работы Б арча (Н. Bartsch, Abh. math.
Sem. Hamburg 17 A951) и Annali di Mat. 4, Fasc. 32,
A951), 249 — 269).
8 В. Бляшке

III. ЗАМЕЧАНИЯ О КРИЕОЛИНЕЙНЫХ 4-ТКАНЯХ
НА ПЛОСКОСТИ .
§ 41. Обзор инвариантов 4-ткани
Теперь мы снсеэ вернемся к рассмотрению планимет-
планиметрических вопросов и займемся криволинейными тканями,
образованными четырьмя семействами кривых. Подобные
ткани мсжно рассматривать как сечение образованной
поверхностями ткани какой-либо поверхностью, ие принад-
принадлежащей ткани.
Пусть в области © плоскости 6 задано п семейств
кривых ©,-:
u/(x,y)*=Uj = ccn$\ (/ = 0, 1,.. .,и— 1), D1.1)
таких, что через каждую точку х, у области © проходит
точно по одной кривей каждого семейства и ДЕе криЕые
различных семейств пересекаются в этой области не боль-
больше чем в одной точке. Далее, пусть в области ©
\dUjduk\^^ Цфк) D1.2)
функции Uj (x, у) являются аналитическими в © и область ®
будет «Еыпуклой» относительно семейств <5у. Тогда гово-
говорят, что в области © задана «криволинейная п-ткань»^",
гдея>3. Если /, k, / — какие-то три из чисел 0, 1,..., и—1,
то семейства <2>,-, ©А, ©, образуют «подткань» <2В//«ткани
<2ВЯ в области ©.
Наиболее важным после изученного в первой части
этой книги сл>чая л = 3 является (следующий по перяд-
ку) случай, когда п=4; поэтому мы хотим остансвиться
здесь именно на этом случае, тем более, что ткани <2БЯ,
где «>3, изучены пока еще совершенно недостаточно.
Случай п—\ привлекателен также и потому, что он тесно

$41] ОБЗОР ИНВАРИАНТОВ 4-ТкАНИ il$
связан с вопросом о поверхностях переноса в той постанов-
постановке, к которой пришел С. Ли (S. Lie, 1842—1899) при
изучении работ своего великого соотечественника Н. Г. Абе-
Абеля (N. H. Abel> 1802—1829). Эти исследования С. Ли были
продолжены позже его учеником Шефферсом (О. Schef-
fers, 1866—1945), а затем Дарбу (G. Darboux, 1842 —
1917), Пуанкаре (H.Poincare, 1854—1912) и Виртингером
(W. Wirtinger, 1865—1945). Недавно ткани <5В* успешно
изучались моим испанским сотрудником Доу (A. Dou).
Если мы введем формы Пфаффа
°, = ^Г (/ = 0,1,2,3), D1.3)
то семейства <Bj нашей ткани <284 можно будет задать ра-
равенствами dj ~ 0. Если отбросить (временно) семейство ©0,
то придем к 3-ткани 9В0- Если считать ткань $Шо извест-
известной, то для того, чтобы задать яв4, достаточно знать
двойное отношение t(x,y) четырех касательных, прове-
проведенных в точке (х, у) к четырем проходящим через эту
точку кривым ткани ав*. Если дв4 задано при помощи
уравнений D1.1), то для четырех кривых этой ткани,
проходящих через одну точку, можно получить два усло-
условия
G(uo,ui,u2,u3) = O, J
причем функциональные определители
в области ©. Тогда мы можем определить двойное отно-
отношение касательных (или форм о,) при помощи выраже-
выражения
Это двойное отношение t будет инвариантом первого по-
порядка относительно наших «топологических отображений»
@.1). Если мы применим к нему инвариантные операторы
?>ь Di ткани дв0 (§ 12), то получим из этого инварианта
8*

116 ЗАМЕЧАНИЯ О КРИВОЛИНЕЙНЫХ 4-ТКАНЯХ [ГЛ. Tit
i
-вес которого раиен нулю, два инварианта второго порядка
ti, t2 веса р=1. Далее получим, четыре инварианта
третьего порядка веса р = 2, а именно
где tjk = DkDjt, a 6— кривизна ткани <зво. Инварианта-
Инвариантами четвертого порядка (р = 3) будут
till, tin, ^122» ^222, ki, ki,
и т. д. Так составляется полная система независимых
инвариантов ткани <зв4 в рассматриваемой точке.
Отметим для дальнейшего еще число абсолютных ин-
инвариантов (инвариантов веса р=0) различных порядков. Мы
имеем один такой инвариант первого порядка, а именно—
двойное отношение t. Далее идет один инвариант второго
порядка, а именно — отношение t^.ti, четыре инварианта
третьего порядка: tn : t\ , tn :t\, Ui'.t\ , k: t\;шесть
инвариантов четвертого порядка: tui'.t], ^112:^1, ^m:*? ,
/222: ^?, ki:t*, k2:tZi ит. д. Сбщее число инвариантов по-
порядка 1,2,3,4 будет соответственно равно 1,2,6, 12.
§ 42. Проективная модель
Рассмотрим теперь ткань =а$4 специального рода, со-
состоящую из одних прямых линий. В качестве фигуриру-
фигурирующих в D1.4) функций F, G здесь можно ввести опреде-
определители
F = {gogig2) = O, G = (g1gigs) = 0, D2.1)
где
gjo + gji x + gji У = 0, gj (и,) = (gj0, gju gj») D2.2)
~- уравнение прямой линии семейства <3;-
Рассмотрим далее пять точек, а именно: точку Р в об-
области регулярности нашей ткани зв* и четыре «характе-
«характеристические точки» Pj, т. е. точки пересечения прямых
g;, проходящих через Р, с «соседними» прямыми gj. Ес-
Если мы возьмем «общий случай», когда никакие три из этих
пяти точек не принадлежат . одной прямой, то эта фи-
фигура будет иметь два абсолютных проективных инвариан-

§ 42]
ПРОЕКТИВНАЯ МОДЕЛЬ
117
та. Но в силу § 41 и ткань имеет в точке Р ровно два
абсолютных инварианта—двойное отношение / и отноше-
отношение /i: t-2. Отсюда вытекает следующее.
Точке Р области регулярности & произвольной ткани
Я8>1 можно, вообще говоря, однозначно поставить в соот-
соответствие точку Р* ткани <28*, образованной четырьмя
пучками прямых с центрами Pj общего положения (ни-
(никакие три из точек Pj не лгжат на одной прямой), так,
что окрестности второго порядка точки Р ткани <ЗВ4 и
точки Р* ткани ЯЗ* будут топологически эквивалентны.
Если мы зафиксируем точки Р) ткани <зк*, то в общем
случае, когда
диЛ
фО,
д{х,у)
мы получим отображение (топологическое в малом) плос-
плоскости @ ткани 28* на плоскость ©* ткани <зв*; при этом
ткани <зв* будет соответствовать некоторая ткань Зйо, ко-
которая, вообще говоря, не совпадает с <зев*. Всем тополо-
топологически эквивалентным тканям <зв4 соответствуют проек-
тивно эквивалентные ткани gsBo • Ткань Одо называют
«проективной моделью» ткани 2В4. Проблема топологиче-
топологического исследования ткани <ж* сведена, таким образом, к
проблеме проективного исследования ткани <Э5$о- Это со-
соображение, принадлежащее Хове (G. Howe), не получило
пока как будто должного применения.
Сравним число абсолютных топологических инвари-
инвариантов произвольной ткани 28* с числом абсолютных
проективных инвариантов прямолинейной ткани 28*. Мы
найдем
Порядок
Общее число абсолютных
топологических инвари-
инвариантов
Обшее число абсолютных
проективных инвариан-
инвариантов . . . .
1
1
1
2
2
2
3
6
6
4
12
10

11в ЗАМЕЧАНИЯ О КРИВОЛИНЕЙНЫХ 4-ТКАНЯХ [ГЛ. III
Отсюда, по-видимому, следует, что произвольная ткань
<2В* в окрестности третьего порядка любой своей точки
может быть рассмотрена как прямолинейная ткань, в то
время как «прямолинейное приближение» четвертого по-
порядка произвольной ткани, вообще говоря, невозможно.
Для того чтобы ткань од* была «спрямляема», должны,
по-видимому, выполняться два условия ¦, наложенные на
инварианты четвертого порядка.
Приведем здесь еще один результат, который был по-
получен в 1928 г. Майергофером (К. Mayrhofer) и обобщен
Рейдемейстером (К. Reidemeister)*).
Обозначим через яя% 3-ткань, получающуюся из 4-ткани
<284 исключением семейства линий ©у. Если все подткани
055/ (/= 0, 1, 2, 3) i-ткани ЗВ4 являются шестиугольны-
шестиугольными, то эта ткань топологически эквивалентна ткани, со-
состоящей из четырех пучков прямых.
С этим предложением связана следующая теорема:
Если топологическое отображение ткани 28*, образован-
образованной четырьмя пучками прямых, переводит ее снова в
ткань такого типа, то это топологическое отображение
является коллинеацией.
Подобные предложения, взятые в достаточна общей
форме, могут быть использованы для целей аксиоматиче-
аксиоматического обоснования проективной геометрии.
§ 43. Нормирование форм Пфаффа
Условие F.4)
=>1 + СТ2 + °3 = О
определяло формы Пфаффа 3-ткани <ЗВ3 с точностью до
постоянного множителя. Подобное нормирование для 4-тка-
ни <ЗВ* можно провести многими способами. Например, мы
можем следующим образом выразить формы оу (/ = 0,1,
2, 3) этой ткани через две линейно независимые формы
Пфаффа аир
<т0 = -{- а cos s — р sin s,
ах — -fa sin s + Р COS s,
02 = -f-acoss+psins,
03 = —asins + pcoss.
*)Cm. W. Blaschke—G. В ol, Geometrie der Gewebe, § 10

§43]
НОРМИРОВАНИЕ ФОРМ ПФАФФА
119
Здесь
2 ctg2s = / D3.2)
— двойное отношение четырех направлений оу- = 0 в точ-
точке Р области регулярности © ткани <284. Заданные в точ-
точке Р направления а = 0, C = 0 будут характеризоваться
тем, что они делят гармонически одновременно пары
направлений а0 = 0, о2 = 0 и «i = 0, о3 = 0. Формы а, р,
ву- определяются равенствами D3.1) с точностью до общего
множителя. Если поставить в соответствие направлениям
Рис. 39.
касательных tt в точке Р к линиям оу = 0 точки пересе-
пересечения прямых tj с проходящей через точку Р окруж-
окружностью ® (эти точки мы также обозначим через а}), то
конфигурация из шести точек з/Ч а, |3 окружности й будет
иметь вид, изображенный на рис. 39. Мы имеем, далее,
ос = о0 cos s + ai sins = о2 cos s — o3sins,
P = — з0 sin s + ox cos s = o2 sin s + a3 cos s
D3.3)
2= a0cos2s+s1sin2s, o0=o2 cos 2s — a3sin2s,
3=—o0sin2s-r-oicos2s, a1=o2sin2s + o3cos2s«
Отсюда следует, что
2 „2
al = a2
D3.4)
D3.5)

120 ЗАМЕЧАНИЯ О.КРИВОЛИНЕЙНЫХ 4-ТКАНЯХ [ГЛ. Ill
И
Зо Т  °1 аЗ
cos s sin s
g0 4~ q8 Ol -j~ °3
sin s ~~ cos s
D3.6)
D3.7)
Предположим, что в области ©
Q = [оф] Ф 0. D3.8)
Тогда из D3.1) можно вывести формулы, при помощи
которых можно доказать, например, теорему Майергофера
и Рейдемейстера из § 42. Эквивалентные формулы можно
получить из соотношений D1.4). Сходную систему формул
недавно применил Доу (A. Dou)*).
§ 44. Ранг 4-ткани
Рассмотрим ткань <284, для которой одно из соотноше-
соотношений D1.4) может быть приведено к простому виду
«о + «1 + «2 + «з = 0, . D4.1)
т. е. ткань, занимающую, в известном смысле, среди тка -
ней <ж4 такое же место, какое занимают шестиугольные
ткани среди тканей ЗВ3. Если мы возьмем в пространстве
октаэдрическую ткань и пересечем ее поверхностью %, не
касающейся линий пересечения поверхностей этой ткани,
то на поверхности % мы получим ткань <ш* рассматривае-
рассматриваемого специального типа. Рассмотрим теперь случай, когда
для ткани <Ж4 одно из соотношений D1.4) может быть
р способами представлено в эквивалентном D4.1) виде
^о*(«о)+У1й(«1)+^2а(«2)+Уз*(Из) = const (? = 1,2, ... , р),
D4.2)
При этом мы считаем, что между -левыми частями этих
соотношений не существует линейных зависимостей с по-
постоянными коэффициентами. Максимальное число соотно-
соотношений D4.2) для данной ткани <ЗВ4 мы назовем «рангам»
этой ткани. Наибольший ранг, который может иметь
х) A. Dou, Cuatritejidos Pianos, Met. Real. Acad. Cieny Artes,
Barselona 31, 5 A953); см. далее A. Dou, Rang der ebenen 4-Gewe-
be, Hamburg Abhandlungen 19 A954).

$ 45] МАКСИМАЛЬНЫЙ РАНГ 121
какая-либо ткань дв4, мы назовем «максимальным рангом»
и обозначим через р0.
Одна теорема Абеля (N. H. Abel, 1802—1829) 1829 г.
позволяет сразу указать пример ткани 2В4 ранга р = 3. А
именно, рассмотрим кривую Е четвертого класса максималь-
максимального рода*) р = 3. Предположим, что в плоскости G? этой
кривой существует область ©, в которой действительные
касательные к кривой 6 образуют ткань <284. Если и — па-
параметр на кривой ©, который вычисляется при помощи
«абелева интеграла первого рода», и щ, щ, и2, и3 — зна-
значения параметров касательных, проходящих через точку Р
области &, то сумма
«о + «1 + "г + «з = const D4.3)
остается постоянной при изменении точки Р в ©. Так
как каждому такому интегралу и соответствует на кри-
кривой © соотношение D4.3) и так как число линейно неза-
независимых интегралов первого рода равно роду р кривой ©,
то ранг нашей кривой действительно равен трем.
Мы покажем также, как, следуя методу. Пуанкаре
A901), можно доказать, что, обратно:
I. Максимальный ранг р0 всех 4-тканей равен трем.
II. Все 4-ткани ранга р = 3 топологически эквивалент-
эквивалентны тканям, образованным касательными к плоской кри-
кривой четвертого класса.
В частности, все 4-ткани да4 ранга 3 будут спрямляе-
спрямляемыми.
§ 45. Максимальный ранг
Если мы положим
dvik
"»=-щ- <45Л>
то из D4.2) получим (k — 1, 2, . . . , р):
v'ok du0 + v\kdUi + v'ik du2 + v'3k du3 = 0 D5.2)
*) См., например, Н. Г. Чеботарёв, Теория алгебраичес-
алгебраических функций, М.—Л-, Гостехиздат, 1948, стр. 108.

122 ЗАМЕЧАНИЯ О КРИВОЛИНЕЙНЫХ 4-ТКАНЯХ [ГЛ. Ш
для всех х, у в области регулярности © ткани <2В* и для
всех dx:dy. Считая совокупность р величин
(v'fu v'j2,.. ., v)p) = Vj D5.3)
вектором в р-мерном пространстве, мы можем объединить
наши р формул D5.2) в одной векторной формуле:
v0 du0 + Vi du.\ + v2 du2 + v3 du3 = 0. D5.4)
Рассмотрим дифференциальные операторы dJt определяю-
определяющиеся равенствами
djUj=0, djUk = ukJi=0 ЦФк). D5.5)
Применяя операторы д\ и д0 к соотношению D4.2), мы
получим векторные формулы:
= 0. J
Будем считать теперь величины v)k однородными коорди-
координатами точки Vj в (р—1)-мерном проективном простран-
пространстве $. Тогда соотношения D5.6) означают, что точки v0,
Vi, vit vs, соответствующие одним и тем же значениям х,
у области ©, лежат на одной прямой ^(д;, у) простран-
пространства $. Мы обозначим это так:
g = Voi-Vii-v2 + vs, D5.7)
где правая часть означает линейное подпространство про-
пространства $, «натянутое» на точки Vo, Vi,.v2, v3. Применяя
к первой формуле D5.6) оператор д2, получим
Vo «01 «02 + ^0 «012 + ^2 «212 + ^«312+^3 «32 «31 = 0,
D5.8)
где Vo = dv0 : du0. Это означает, что касательная
To = vo + v'o D5.9)
в точке v0 к кривой Ео пространства Р, описываемой этой
точкой, лежит в плоскости
© = ?4-«8. D5.10)
которая также содержит касательную
T3 = v9 + vl D5.11)

46]
спрямляемость
123
в точке Vz кривой &3- Значит, эти касательныэ Т0(х, у)
и Т3(х, у) пересекаются. Поэтому, в силу симметрии, все
касательные Tj(x, у) лежат в одной плоскости @ (рис. 40):
й(х> у) = То (х. у) + Ti(x, у) + Т,(х, у) + Т,(х, у) =
+ ' '¦ . . '¦ *| '\ / Л С Л О\
'OT'It'IT ^2 "Т ^2 Т ^3 ~"Г "З- DЭ. lz)
Если мы применим к равенству D5.8) оператор д3, то
в полученное выражение
войдет только одна прриз-
водная второго порядка, а
именно v"o с множителем
u0iUo2Uo3=?Q- Поэтому со-
соприкасающаяся плоскость
к кривой ©о в точке v0
совпадает с плоскостью E:
О, = Vo -\-Vo -\- Vo* D5.13)
В силу симметрии плос- Рис. 40.
кость <&, будет также со-
соприкасающейся плоскостью кривой Si в точке vt. Если мы
теперь будем закреплять попеременно параметры «0 и ии то
можем прийти от произвольной точки х0, Уо области ®
к каждой другой ее точке при помощи зигзагообразного
пути; так как при этом плоскость @ остается неподвиж-
неподвижной, то она не зависит от х, у. Таким образом, фигура,
изображенная на рис. 40, лежит в одной плоскости <j— ^J
и поэтому р = 3. Но для ткани д»4, образованной каса-
касательными плоской кривой четвертого класса рода 3, как
мы знаем, р = 3 (§ 44); поэтому максимальный ранг р0
всех тканей <2В4 действительно равен трем: р0 — 3.
Этот метод, принадлежащий Пуанкаре, может быть
применен для того, чтобы показать, что для ткани <звп
D5.14)
§ 46. Спрямляемость
Мы рассмотрим на плоскости <$. фигуру, состоящую из
четырех кривых ©0, ©ь 62, ©з, соответствующие точки
которых лежат на одной прямой g. При переходе к

B4 ЗАМЕЧАНИЯ О КРИВОЛИНЕЙНЫХ 4-ТКАНЯХ [ГЛ. 111
двойственной фигуре мы непосредственно получим следую-
следующий результат:
Каждая ткань <2В4 максимального ранга р0 = 3 спрям-
спрямляема.
Наконец, чтобы доказать, что прямые, образующие
прямолинейную ткань я&1, всегда будут касательными
к некоторой плоской кривой четвертого класса, можно
воспользоваться, например, следующей теоремой, доказан-
доказанной в 1938 г. Болем (G. Bol): Прямолинейная ткань Я&п,
удовлетворяющая условию
2«/ = 0- D6.1)
1
всегда состоит из касательных к некоторой алгебраи-
алгебраической кривой п-го класса.
Может быть, также возможно из рассмотрений § 45
вывести для кривых Еу. соотношение Рейса (§ 11), и тогда
при помощи уже знакомого обращения теоремы Рейса
получить, что эти кривые являются частями алгебраиче-
алгебраической кривой четвертого класса; однако это, как будто, никем
проведено не было. Для получения желательного резуль-
результата оказываются достаточными также соображения Ли,
Шефферса, Дарбу, Пуанкаре и Виртингера о поверхностях
переноса.
Докажем далее, следуя Болю A936), что ткань <зв8
максимального ранга 6, вообще говоря, не является спрям-
спрямляемой.
Достаточно построить пример такой «ткани <зв5 Боля»
или «исключительной ткани <2В5». Для этого возьмем в плос-
плоскости о, пять точек Pj (j = 1, 2, 3, 4, 5), из которых никакие
три не лежат на одной прямой. Пусть ©у — пучок кони-
конических сечений, проходящих через точки Pk, где k Ф у.
Тогда эти ©у образуют в некоторой области © плоскости <е
ткань <2В5.
Применим к нашей ткани <зв5 квадратичное преобразо-
преобразование Ti23; для этого мы выберем точки Ръ Р2, Ps в ка-
качестве базисных точек проективной системы координат
Xj (I = 1, 2, 3) и положим
*;=!. D6.2)

$ 46] СПРЯМЛЯЕМОСТЬ 125
При этом пучки конических сечений ©ь ©2, ©з перейдут
опять в пучки конических сечений ©i, ©2. ©з с соот-
соответствующими базисными точками:
для 6* — Pt, Р„ Р\, Pi,
для ©2 — Pit Pi, Pi Pi,
для ©3*-Pi, Рг, Pi Pi
Напротив, пучкам конических сечений ©4, ©5 будут
соответствовать пучки прямых с вершинами в точках Р\,
Р\. К полученной ткани зв5* применим второе квадратич-
квадратичное преобразование Тц*ъ* с базисными точками Р3, Р\,
Р\ :9В6*-» <2В5**. При этом пучок конических сечений ©I
переходите пучок прямых ©Г с вершиной Р2*=(Р2O'з4*5>;
пучок конических сечений ©2— в пучок прямых с верши-
вершиной Р*\ = (Р]) Тц* 5»; пучок конических сечений ©з—снова
в пучок конических сечений ©з* с базисными точками Р]*,
Р*2, Pi Р\, а каждый из пучков прямых ©J, ©б пере-
переходит в себя.
Мы утверждаем прежде всего, что каждая ткань <2В3,
содержащаяся в исходной ткани 2В6, является шестиуголь-
шестиугольной. Последовательность квадратических преобразований
^123, 7"з4*5» дает в малом топологическое отображение,
которое переводит пучки конических сечений ©i, ©2, ©6
в три пучка прямых, а они, в силу § 3, образуют шести-
шестиугольную ткань. Таким образом, ткань <2Bi25, образованная
пучками конических сечений ©lf ©2, ©8, является шести-
шестиугольной. В силу симметрии то же самое будет справед-
справедливо для любой 3-ткани Щн1, принадлежащей ткани зв8.
Если мы переменим местами семейства ©з и ©6, то
увидим, что нашу ткань <зв5 можно будет привести к сле-
следующей .несимметричной нормальной форме: она будет со-
состоять из четырех пучков прямых ©у. с центрами в точках
Pj (j — 1, 2, 3, 4), из которых никакие три не лежат на
одной прямой, и пучка конических сечений ©6 с базис-
базисными точками Pj. При помощи проективного преобразования
(коллинеации) мы можем, наконец, перевести точки P's
в вершины квадрата Рх = @, 0), Р2 =ч @, 1), Р3 = A, 1),

126
Замечания о криволинейных 4-тканях
[гл. lit
р4 = A,0) и соответственно положить параметры «,- равными
. = — , U2 = ¦
1-Х
«4= —^—
— 1
«3 =
У—х
х ' " 1-х'
и уУ-у)
D6.3)
То обстоятельство, что десять подтканей Щк1 ткани <2В5
являются шестиугольными, дает для дифференциалов dUj
только пять линейно независимых соотношений, а именно:
«1
«2 + 1— I
= 0,
dita du3 dub _0
«2 «з 1 — «б ~" '
dua diii dux _ _
«3 «4 1 Ui ~~ '
An. An. (ftl% _
= U,
= 0.
dUj dun
«4 Й5 1 — «3
D6.4)
«5 «1 1 —
Но между этими с?«у существует еще одно шестое линей-
вое соотношение, независимое от D6.4), а именно,
5
— и) In и,- ]
-—— + 1_и ] dUj = 0. D6.5)
Поэтому действительно максимальный ранг ткани од6 ра-
равен шести.
Соотношение, получающееся после интегрирова-
интегрирования D6.5), рассматривал еще Абель (N. H. Abel, Werke,
Bd. 2, 189). Получающаяся при этом функция
~^-йг D6.6)
встречается уже у Гаусса при вычислении объема тетра-
тетраэдра в неевклидовой геометрии.

471 ШЕСТИУГОЛЬНЫЕ n-ТКАНИ 127
То, что наша ткань <зв5 не спрямляема, можно увидеть,
например, так. Если бы ткань дв8 можно было перевести
в прямолинейную ткань, то 4-ткань <2В4, состоящая из
семейств прямых ии ы2, «з, «* — const D6.3), перешла бы
при этом снова в ткань, состоящую из четырех пучков
прямых. Но по теореме Майергофера и Рейдемейстера (§ 42)
преобразование, осуществляющее этот переход, может
быть только коллинеацией. Поэтому пучок конических
сечений ©8 переходит при этом снова в пучок конических
сечений, т. е. остается криволинейным.
§ 47. Шестиугольные я-ткани
Ткань <2ВЯ при п>-3 называется шестиугольной, если
все ее подткани дь8 будут шестиугольными. По теореме
Майергофера и Рейдемейстера каждая подобная 4-ткань
эквивалентна ткани, образованной четырьмя пучками пря-
прямых. При « = 5, в силу теоремы Боля (§ 46), это уже не
" будет верно. Однако имеет место следующая теорема:
Шестиугольную ткань <ЗБб можно отобразить либо на
ткань, образованную пятью пучками прямых, либо на
ткань <2В6 Боля (§ 46).
Относительно ткани <2В5 можно еще показать, что если
из десяти ее подтканей <2В8 девять являются шести-
шестиугольными, то шестиугольной будет и десятая. Напротив,
четыре условия шестиугольности подтканей <2В3 ткани <38'4
являются независимыми.
Наконец, шестиугольная ткань шп при п > 6 всегда
можно отобразить на ткань, состоящую из п пучков
прямых. Это предложение без труда можно свести к тео-
теореме о шестиугольных 5-тканях.
Вопрос о независимости условий шестиугольности для
подобной ткани <2ВЛ как будто еще остается открытым.
КрасиЕый пример ткани <2В27, содержащей, однако, не
только шестиугольные подткани <зв3, рассмотрен в 1936 г.
Бурау (W. Burau). Пусть % — поверхность третьего по-
порядка с 27 действительными прямыми; очевидно, что
каж,дая плоскость, проходящая через какую-либо из этих
прямых, пересечет поверхность %, кроме того, еще по ко-
коническому сечению. Эти конические сечения образуют в
малом на поверхности % ткань «зв87 Бурау. Три попарно

128 ЗАМЕЧАНИЯ б КРИВОЛИНЕЙНЫХ 4-ТК.АНЯХ [ГЛ. Ill
скрещивающиеся прямые поверхности $ будут осями трех
пучков плоскостей, высекающих на поверхности % кониче-
конические сечения, образующие в малом шестиугольную ткань;
подобным образом можно получить все шестиугольные 3-тка-
3-ткани в ткани <ав27 Бурау. Эта ткань <2В27 может быть тополо-
топологически определена при помощи соответствующих условий
шестиугольности.
Плоская реализация ткани Бурау получается таким
образом: возьмем в плоскости шесть точек PJt из которых
никакие три не лежат на одной прямой, шесть пучков
прямых с центрами в />., 15 пучков конических сечений,
определяемых каждой четверкой точек из PJt и, наконец,
шесть пучков рациональных кривых третьего порядка,
которые проходят через точки Р}- и имеют одну из этих
точек двойной F+ 15 + 6 = 27). О тканях, образованных
коническими сечениями на поверхностях третьего порядка,
несущих, меньше 27 действительных прямых, как будто
ничего неизвестно.
§ 48. Несколько нерешенных вопросов, относящихся
к тканям <2ВИ
В заключение этого неполного обзора мы приведем еще
некоторые вопросы, относящиеся к криволинейным «-тканям
на плоскости.
Ах. Вывести в симметричной форме полную систему
инвариантов ткани <2В4, заданной четырьмя уравнениями
Оу = 0 (/ = 0, 1, 2, 3).
Аг, В частности, найти инвариантные условия для того,
чтобы ткань <зв4 имела ранг р— 1, р = 2 или р = 31).
А3. Вывести инварианты ткани <зв4, заданной уравне-
уравнениями D1.4):
F (и0, «1, ы2, и3) = 0, G (ы0, ии «2, и3) = 0.
Л4. Найти каноническое разложение для уравнений D1.4)
ткани ж4.
Аъ. Найти проективные инварианты прямолинейной
.ткани <зв4.
Ср. работы Доу, указанные в § 43.

§48] НЕСКОЛЬКО НЕРЕШЕННЫХ ВОПРОСОВ 129
А6. Исследовать связь между модулями плоской алге-
алгебраической кривой *) и топологическими инвариантами
ткани, образованной ее касательными.
Л7. Исследовать методом Пуанкаре (§ 45) кривые Ё,-
в пространстве ^5, отвечающие ткани ав5 максимального
ранга 6. Провести соответствующие исследования для
ткани зв" (я>>5) максимального ранга.
Подобные же вопросы можно поставить и о еще менее
изученных тканях ав", образованных п семействами поверх-
поверхностей в трехмерном пространстве. Тем не менее Болю
удалось обобщить на ткань звл, образованную п семействами
поверхностей пространства Rs, теоремы о «ранге». Так,
например:
Если образованная плоскостями ткань зв" удовлетво-
удовлетворяет условию
Ui + u2+ ... +«„ = 0,
то ее плоскости образуют алгебраический торс класса п.
Далее,
Максимальный ранг образованной поверхностями про-
пространства R3 ткани ав" равен
ро= (т — IJ при п — 2т,
ро = т (т — 1) при п = 2т-\- 1.
Наконец, имеет место «основная теорема»:
Каждая образованная поверхностями ткань <з&" макси-
максимального ранга при п Ф 5 является спрямляемой, т. е.
она допускает реализацию при помощи плоскостей.
Однако доказательства Боля, которые приведены
в нашей совместной книге от 1938 г., достаточно сложны
и запутаны.
*) Ср. Н. Г. Чеботарёв, Теория алгебраических функций,
\.— Л.,
М.—Л., Гостехиздат, 1948, стр. 8.
9 В. Бляшке

IV. О КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТКАНЯХ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 49. 2-ткани
Двухпараметрическое семейство кривых © (которое
называют также «конгруэнцией» кривых) в пространстве
с декартовыми координатами х, у, z можно задать при
помощи дифференциальных уравнений
или с помощью соответствующего дифференциального опе-
оператора
при этом функции р (х, у, z), q (x, у, z), r (х, у, г) не долж-
должны обращаться одновременно в нуль в некоторой области ©.
Семейство поверхностей
и (х, у, г) = const, D9.3)
которое удовлетворяет условию
ди = 0, D9.4)
обладает тем свойством, что в области & каждая из его
поверхностей несет однопараметрическое подсемейство кри-
кривых конгруэнции ©. Можно сказать, что это семейство
поверхностей «натянуто» на семейство кривых D9.1).
Два семейства кривых ©у, которые задаются незави-
независимыми (в рассматриваемой области Щ операторами
dk + + </ 12 <495)

§ 49] 2-ТКАНИ 131
определяют 2-ткань <2В2 кривых. Эта ткань называется
четырехугольной, если четырехугольники, пары противо-
противоположных сторон которых принадлежат кривым разных
семейств, в малом замкнуты. Тогда уравнения
D9.6)
имеют общее решение и, т. е. существует семейство по-
поверхностей, «натянутое» одновременно на оба семейства
кривых. С помощью дифференциальных операторов четы-
четырехугольные ткани можно определить линейной зависи-
зависимостью
Рассмотрим кратко общий случай ткани дв2, когда три
оператора ди <Э2, di<?2— d2di линейно независимы в об-
области ©. Топологическое исследование таких тканей <зв2
может быть сведено к изучению двухпараметрического
семейства кривых на плоскости, которые удовлетворяют
дифференциальному уравнению второго порядка
^ D9.8)
Чтобы убедиться в этом, нужно только спроектировать
семейство 6i при помощи семейства б2 на подходящим
образом выбранную плоскость. Топология дифференциаль-
дифференциального уравнения D9.8) изучалась многократно, например,
Трессе (A. Tresse) в 1896 г. по инициативе С. Ли. Эта
топология достаточно сложна. Позже обстоятельная* ра-
работа по этому вопросу была опубликована Картаном
(Е. Cartan, Bull. de. la Societe Math, de France 52
A924)).
Замечательным является тот простой факт, что в то
время как при изучении криволинейных тканей авп на
плоскости первое простое топологически инвариантное со-
соотношение получается при п = 3 (шестиугольные ткани),
в пространстве уже случай п — 2 приводит к инвариант-
инвариантным четырехугольным тканям. •

132 О КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТКАНЯХ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. IV
§ 50. 3-ткани
Рассмотрим 3-ткань с линейно независимыми дифферен-
дифференциальными операторами
d' = PJlu + qS-W + rj~^~ (/=1.2,3). E0.1)
Тогда мы можем образовать «скобки»
+ сцдз
с23дз, \ E0.2)
д\ дй — д2д\ = С31 dl + C32 <?2 +
Если мы перенормируем операторы
d] = fjdJt E0.3)
то получим
• * х2 ¦ ¦ х2
С22 СЗЗ = / 1 С22 Сзз» C33CU =J2 С83 Сц,
h
Отсюда следует
2 ¦ ¦ 2
, I
f E0-5)
22 '
В общем случае, а именно, когда
'сцСггСззчЬО, E0.6)
мы можем так однозначно нормировать операторы djt что
са= 1. E0.7)
Применение нормированных таким образом операто-
операторов dj к коэффициентам с^ дает полную систему инвариан-
инвариантов ткани зв3, как это показано в книге Боля и Бляшке.
Еще более просто обстоит дело в случае ткани ав4,
определяемой операторами E0Л) при у = 0, 1, 2, 3. В этом
случае операторы можно с точностью до произвольного
множителя нормировать так, чтобы было
do + di + d2 + d3 = O;
при этом мы придем к теории инвариантов, которая будет

61]
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ТКАНИ <g$n
133
несколько более общей по сравнению с теорией, развитой
во второй главе для 4-тканей, образованных поверхностями.
Подобным образом можно исследовать также «смешан-
«смешанные ткани», состоящие из семейств кривых и поверхностей..
Однако мы здесь остановимся лишь на простейших криво-
криволинейных тканях ав" в пространстве.
§ 51. Четырехугольные ткани зв"
Рассмотрим сначала исключенный в предыдущем па-
параграфе случай криволинейной 3-ткани ав3, для которого
в уравнениях E0.2) все cj} = 0. Тогда для любых двух
семейств кривых этой ткани сущест-
существует натянутое на них семейство
поверхностей. Подобные ткани оп-
определяются тем, что будет замыкаться
«кубическая фигура» (рис. 41), состав-
составленная из кривых ткани. Такая
ткань зв3 в малом топологически эк-
эквивалентна ткани, образованной тремя
связками прямых, центры которых
не лежат на одной прямой.
Предположим далее, что ткань
ЗВ3 — прямолинейная, но натянутые
на семейства прямых поверхности являются не плоскостями,
а,"квадриками. Тогда эти три семейства поверхностей
Uj = const в однородных координатах
X = (х0, Хи Х2, Х$)
Рис. 41.
можно представить в виде
X = а<H0 + Я100«1 + #010 «2 + 0001 
E1.1)
где пцк — точки $8.
Ткань <58* мы назовем четырехугольной, если она в ма-
малом эквивалентна ткани ав4, образованной четырьмя связ-
связками прямых, никакие три из центров которых не лежат
на одной прямой. Далее, мы назовем четырехугольной
ткань я&" (я>-4), все содержащиеся в которой подтка-
ни зв* будут четырехугольными. Тогда оказывается спра-

134
О КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТКАНЯХ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. IV
ведливой теорема, аналогичная теореме Боля из § 46, и
сводимая к этой последней, а именно:
Четырехугольная ткань <Шп при п Ф 6 всегда эквива-
эквивалентна ткани, образованной п связками прямых. Напро-
Напротив, при п — 6 она эквивалентна либо ткани, образован-
образованной шестью связками прямых, либо некоторой исключи-
исключительной ткани ЗВв. Эта исключительная ткань <звв со-
состоит из пяти связок прямых, центры которых нахо-
находятся в общем положении (никакие три из них не лежат
на одной прямой), и из двупараметрического семейства
пространственных кривых третьего порядка, проходящих
через эти пять центров.
Если спроектировать эту исключительную ткань <2Вв
при помощи одного из ее шести семейств на плоскость,
то мы получим на ней исключительную ткань <ЗВ8, рас-
рассмотренную в § 46.
Чтобы подробнее исследовать этот исключительный
случай, приведем некоторые сведения о пространствен-
пространственных кривых третьего порядка.
§ 52. Пространственные кривые третьего порядка
Нераспадающаяся пространственная кривая третьего
порядка Е в однородных координатах xf может быть пред-
представлена следующими параметри-
параметрическими уравнениями (рис. 42):
Хо — 1, Х\ — t,
E2.1)
При t = 0 кривая E про-
проходит через точку Ро —
= A,0,0,0), имеет касатель-
касательную PQ Pi и соприкасающуюся
Рис 42. плоскость Ро Pi Р2.
При t = оо она проходит
через точку Ps = @,0,0,1), имеет касательную Р3Р* и
соприкасающуюся плоскость РаР^Ръ
Соприкасающиеся плоскости в тодках Ро и Pz пересе-
пересекаются по прямой Pi Ра. Этим определяется наш коорди-

S 52] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
натный тетраэдр. Если мы положим
, ad — be ф О,
dsx3,
135
то получим
х*0 = (с + ШK = c% -f
х* = (с + dt)* {a + 60 - сЧхй +.
xl = (с + Л) (а + &02 = ^% + •
4 = (а + btf = а% + ¦ • ¦
E2.2)
Таким образом, если поставить в соответствие трем
различным точкам tu t2, ts кривой Е три другие ее раз-
различные точки t\, t*, tl, то существует единственное про-
проективное преобразование пространства, которое переводит
кривую Е в себя и ее точкам tj ставит в соответствие
точки t*> Кривая Е проектируется из каждой своей точки
при помощи конуса второго порядка; например, из-точ-
из-точки Ро —при помощи конуса xix2 — x\ — 0. Обратно: Два
подобных конуса ft\, ®a с различными вершинами Si, S2
и общей образующей Si S2, вдоль которой они не ка-
касаются, пересекаются по кривой третьего порядка ©.
Три проективных пучка плоскостей с попарно скрещи-
скрещивающимися осями порождают кривую 6. Две квадрики,
имеющие общую образующую, пересекаются, вообще гово-
говоря, по кривой &.
Уравнение соприкасающейся плоскости кривой E2.1)
имеет вид
E2.3)
-1. E2.4)
1
2
х0
Xi
х2
Хз
1
t
t2
t*
0
1
2t
3t*
0
0
2
тангенциальные координаты этой плоскости
«о = t3, «1 = — З/2, «2 = Ы, щ =

136
О КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТКАНЯХ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. IV
Двойственным образом к кривой Ё будет снова эта кри-
кривая, рассматриваемая как совокупность своих соприкасаю-
соприкасающихся плоскостей. Уравнение
(х0 ys —
— 3
х2
= О
E2.5)
— это уравнение «нуль-системы», которая переводит кри-
кривую (S в себя. Если Pj — точки пересечения некоторой
плоскости @ с кризой Е, то соприкасающиеся плоскости
в точках Pj пересекаются в точке, сопряженной плоско-
плоскости @ относительно этой нуль-системы. Для касательных
к кривой Е мы имеем
t* t3
О
V
= 1,
ёоз =
где gi/—плюккеровы координаты прямой, и
gos — 3gi2 = О
E2.6)
E2.7)
— уравнение линейного комплекса, которому принадлежат
касательные к кривой Ё.
Теорема. Через шесть точек Pjt из которых ника-
никакие четыре не-лежат в одной плоскости, проходит точно
Одна кривая &.
Рассмотрим конус второго порядка ®0 с вершиной в точ-
точке Ро, проходящей через остальные пять точек Pj, и второй
такой же конус ®i с вершиной в точке Pt. Тогда эти ко-
нусы ®0, ®| пересекаются, кроме прямой Р0Р\, еще по
кривой третьего порядка ©. Справедливо и соответствую-
соответствующее двойственное предположение.
Для двух касательных к кривой E мы имеем
1 h t\ t\
О 1
0 1 2t%
Ы\
Отсюда следует для четырех касательных
V(g*gi) (gigs) + V(gog*) (gsgi) + V(gogs) (gigz) = 0

§ 53] КУБИЧЕСКОЕ КРЕМОНОВО ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 137
или
(t0 - h) (tt -1») + (t0 -1,) (t, - h) + (/„ - /3) (/1 -12) = 0.
Для четырех прямых g/j — 0, 1, 2, 3) можно определить,
следуя Грассману (Н. Grassman), двойное отношение по
формуле
G =. (SSdigg)
§ 53. Кубическое кремонсво преобразование
Рассмотрим отображение
*; = 4" (/ = 0,1,2,3), E3.1)
X
XJ
которое определено всюду, за исключением базисных то-
точек и базисных плоскостей координатного репера. Каж-
Каждая прямая g, которая не проходит через базисные точки
и не лежит в базисных плоскостях, переводится преобра-
преобразованием E3.1) в кривую третьего порядка. В самом деле,
возьмем* например, плоскость
Qi хх + 02*2 + а3 xs = 0, где а;ф0,
проходящую через прямую g и точку Ро = A, 0, 0, 0).
При преобразовании E3.1) она переходит в конус
«1 Хъ х3 + а2 хз Xi + а3 Х\ х2 = О
с вершиной в Ро. Два таких конуса пересекаются по кри-
кривой третьего порядка 6. Эта кривая проходит через все
четыре базисные точки. Обратно, каждой кривой третьего
порядка, проходящей через четыре базисные точки, соот-
соответствует прямая. Если кривая К проходит только через
три из этих четырех точек, то ей соответствует другая
кривая третьего порядка ©*, проходящая через те же ба-
базисные точки. Если, например, кривая (S проходит через
точки Ри Р2, Р3, то она проектируется из точки Рх при
помощи конуса
«оо Хо + 2аО2 *о х2 + 2с0з *о #з + 2агз х2 *з = 0.

138 О КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТКАНЯХ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. IV
а этому конусу соответствует снова конус
2а02 х'о хз + 2аОзх'0х*2 + 2а2з х*02 = О
с вершиной в точке Р2- То же самое будет верно и для
конуса с вершиной Р3, и оба новых конуса дадут в пере-
пересечении кривую Е*.
§ 54. Исключительная ткань 2В8
Теперь мы можем установить, что отсутствие симметрии
между семействами ©у- при построении ткани двв в § 51
оказывается только кажущейся. А именно, если из пяти
точек Pj (/ = 0, 1, 2, 3, 4) четыре первых мы возьмем в ка-
качестве базисных точек отображения E3.1), то связки ©0,
©ь ©2, ©з перейдут в себя, связка <S6 кривых третьего по-
порядка Е, Проходящих через точки PJt перейдет в связку
прямых ©5) проходящих через точку Р\, а связка прямых
©4 с центром Pt — в связку кривых третьего порядка с
базисными точками Ро, Ри Р2, Р», Р\- Таким образом, се-
семейства ©4 и S6 меняются ролями.
Отсюда видно, далее, что на семейства ©,, ©ft натягива-
натягиваются попарно семейства поверхностей. Поэтому ткань 058е
действительно будет четырехугольной.
Спрашивается, можно ли ткань <2Вв преобразовать (как
в § 46) так, что симметрия или равноправие его шести
семейств станет очевидной. Казалось бы, что самой простой
такой тканью будет ткань <2Вв, образованная шестью связ-
связками ©у кривых третьего порядка, каждая из которых со-
состоит из кривых, проходящих через пять из шести задан-
заданных точек Pk (k Ф }). Однако можно увидеть, что эта <2В6
эквивалентна ткани, образованной шестью пучками прямых.
Предположим, что никакие четыре из точек Р} (J =
= 0, 1, 2, 3, 4, 5) не лежат в одной плоскости. Произве-
Произведем сначала кремоново преобразование E3.1) с базисными
точками Ро, Ри Р2, Р3. При этом связки ©,- при / — 0, 1, 2,3
перейдут опять в связки кривых третьего порядка ©}.
Далее базисными точками связки ©/ будут точки Ро> Ръ
Pi, Рз, за исключением Pj, и, кроме того, образы Р\, Р*5
точек Р^ Ръ. Напротив, семейства ©4i ©5 будут связка-

§55]
РАНГ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТКАНИ В ПРОСТРАНСТВЕ
139
ми прямых с центрами Р*5, Р\. Проведем второе преоб-
преобразование E3.1) с базисными точками Ра, Ра, Р\, Р',
Тогда мы получим четыре связки прямых ©**, (а*,*,®*',
©** с центрами Р\у Р*, Р*, Р* и две связки кривых
третьего порядка ©2 и ©3 с базисными точками Р*Ог p*{t
Рз, Р**> Pi', Р*о> Р*и Pi, P*4, Pi- Тогда достаточно про-
провести третье преобразование E3.1) с базисными точками
Р*о, P*i» Р\> Рб» чтобы перевести все шесть семейств кри-
кривых в связки прямых.
§ 55. Ранг криволинейной ткани в пространстве
В заключение я хочу рассказать об исследовании, ко-
которое было проведено мною совместно с Вальберером
(P. Walberer) в 1934 г. Результаты этих исследований
кажутся мне примечательными вследствие их скрытой свя-
связи с алгебраической геометрией. Но методы наших ис-
исследований явно неудовлетворительны и. могут быть
- улучшены.
Понятие «ранга», которое было введено в § 44 для
криволинейных тканей на плоскости, может быть распро-
распространено также на криволинейные ткани в пространстве.
Рассмотрим ткань <2В3, состоящую из семейств кривых б/,
которые мы будем считать заданными так:
Uj (х, у, z) = const, Vj (x, у, z) = const E5.1)
О" =1,2,3).
При этом предположим, что в области регулярности ©
ткани <2В3 определители второго порядка матрицы
дх ду dz
dvj dvi dvj
дх ду dz
E5.2)
нигде не обращаются одновременно в нуль и соответствую-
соответствующие направления dxjt dyj, dZj попарно различны в каждой
точке этой области.
Максимальное число линейно независимых соотноше-
соотношений (не связанных линейной зависимостью с постоянными

140 О КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТКАНЯХ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. IV
коэффициентами)
w \k («I, vi) + w2k («a, v2) + w3k («3, v3) = const
F=1,2 p)
мы будем называть рангом ткани <2В3.
Следуя Пуанкаре, так же как в § 45, можно показать,
что максимальный ранг всех <2В3 равен 5: р0 = 5.
Далее: все <2В3 ранга р = 5 спрямляемы, т. е. суще-
существуют их прямолинейные модели. Эти модели будут
алгебраическими и могут быть получены так: в проектив-
проективном пространстве %i четырех измерений возьмем «.гипер-
«.гиперповерхность» Ш1Ъ третьего порядка, которая задается
при помощи кубического уравнения, связывающего точеч-
точечные координаты. Тогда в $4 имеется, вообще говоря, трех-
параметрическое семейство Я33 плоскостей, каждая из
которых пересекает Э213 по трем прямым. Спроектируем
полученную совокупность треугольников на некоторое
пространство ^3 и перейдем в нем к двойственной фигу-
фигуре. Тогда мы получим искомую ткань зв3.
Гиперповерхностью ЭЛ3 третьего порядка в простран-
пространстве $4, которая здесь встречается, обстоятельно зани-
занимался недавно скончавшийся Фано (G. Fano, 1871 — 1952).
Я думаю, что было бы благодарной задачей выяснить
глубокий смысл этой интересной связи между нашим
учением о тканях и алгебраической геометрией.
Вместо соотношений вида E5.3) мы могли бы потре-
потребовать на нашей ткани <2В3 обращения в нуль максималь-
максимального числа форм Пфаффа
з
2 //* (uJt vj) duj + g,k (Uj, Oj) dvj = 0 E5.4)
или внешних форм второго порядка
з
Shlk [dujdVj] = Q F=1,2 p). E5.5)
Возможно, что эти условия приведут к инвариантам, вве-
введенным Келлером (Е. Kahler) в алгебраическую геометрию.
Таким образом, дальнейшая разработка учения о тка-
тканях и ее связях с алгебраической геометрией потребует
больших усилий.

§ 85] РАНГ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТКАНИ В ПРОСТРАНСТВЕ 141
Об исследованных Рейдемейстером и Томсеном связях
криволинейных тканей <зв3 на плоскости с аксиоматикой
проективной геометрии и теорией групп можно прочесть
в книге автора «Проективная геометрия» (W. В 1 a s с h k е,
Projektive Geometrie, 3 Auflage, Basel, 1954). Наконец,
о связях криволинейных тканей <зв4 с алгебраической тео-
теорией тел вскоре появится работа Клингенберга (W. К 1 i п-
genberg) в Трудах математического семинара Стамбула
(Abhandlungen des mathematischen Seminars Stambul).

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель Н. Г. 29, 115, 121, 126
Арф 89, 112
Ауэ 113"
Бакельман И. Я. 15
Бельтрами Э. 76
Бианки Л. 86
Бляшке В. 7, 8, 9, 10, 33, 37,
38, 118, 132, 140
Боль Г. 7, 10, 11, 18, 32, 62,
118, 124. 127, 129, 132. 133
Бомпиаки Э. 48
Борувка О. 62
Бурау В. 127, 128
Бэклунд А. 48
Вальберер П. 139
Варч Г. ИЗ
Ватсон 29
Вейерштрасс К- 29
Вейль Г. 69
Вес инварианта 36, 50
Виртингер В. 115. 124
Вращение ткани 65
Выпуклость области 14
Гаусс К. Ф. 32, 74, 76, 126
Гессенберг Г. 69
Гипоциклоида 28
Градиент 82
Грассман Г. 30, 137
Граф Г. 26
Гронвэлл Ф, 62, ПО
Дарбу Г. 115, 124
Дивергенция 83
Дифференциал внешний 31
— Фробениуса и Картана 31
Дифференцирование формы
Пфаффа внешнее 31
Доу А. 11. 115, 120, 128
Драх И. 76
Дюбурдье И. 42 ,44
2-ткань 131
Ецкан А. 12, 98
Зауэр Р. 26, 94
Инварианты 4-ткани 114
Каган В. Ф. 8, 76
Картан Э. 32, 69, 71, 131
Келлер Э. 32, 140
Кельвин 69
Клебш А. 29
Клейн Ф. 9, 13
Клингенберг В. 140
Кольвиц Э. 75
Кривая третьего порядка про-
пространственная 134
— четвертого порядка первого
рода 106
Кривизна 36
— полная 57
— ткани 36, 81
Кривые третьего класса 28
Лагради К. 12
Леви-Чивита Т. 69
Лемма Пуанкаре 32

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
143
Лёхер 11
Ли С. 48, 50, 115, 124, 131
Либер А. Е. 8 •
Либман Г. 48
Майергофер К- 118
Минковский Г. 45
Модель проективная 117
Номограмма 16
— наилучшая 75
Нормирование форм Пфаффа 118
л-ткань криволинейная 114,
Операторы ткани дифференци-
дифференциальные 33
Отображение конформное 72
— топологическое 13
Перенесение параллельное 67
Полуквадрика 98
Преобразование кубическое кре-
моново 137
Произведение форм Пфаффа аль-
альтернированное 30
внешнее 30
Производная инвариантная 50
Производные ткани инвариант-
инвариантные 81
Пуанкаре А. 32, 115, 121, 124,
129, 140
Пфафф 30
Разложение каноническое 52,
102
Ранг криволинейной ткани 139
— максимальный 121
— 4-ткани 120
Рашевский П. К. 32, 104
Рейдемейстер К. 118, 140
Рейе Т. 94
Рейс М. 48, 108, 124
Риччн Г. 86
Ротор 82
Связность ткани 36, 43, 81
Северн Ф. 11
Сегре Б. 32, 48
Семейство диагональных по-
поверхностей 88
— кривых 14
Символы Кристоффеля 33, 81
Соотношение Рейса 48
Стоке 32
Схоутен И. А. 69
Тейксидор И. И, 48, 50, 108
Теорема Боля 124
— Графа и Зауэра 27
— Гронвэлла 62
— Дюбурдье 43, 89
— Зауэра 94
— Майергофера и Рейдемейсте-
ра 118
— основная 129
— Рейе 95
— Рейса 48
— Ферми 71
— Шаля 26
Ткань 14
— Бурау 128
— исключительная 138
— октаэдрическая 90
— правильная 19, 90
— прямолинейная 44
— спрямляемая 109
— четырехугольная 131, 133
— шестиугольная 19, 127
пространственная 97
прямолинейная 25
Томсен Г. И, 56, 140
Трессе А. 131
Треугольник соседний 19
3-ткань 132
— криволинейная 14
Уитеккер 29
Уравнение ткани 16, 90
Условие замкнутости октаэдри-
ческой ткани 91
— интегрируемости 83
— линейной зависимости форм
Пфаффа 31
Фано Г. 140
Ферми Э. 71

144
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Фиников С. П. 33
Финстервальдер С. 66
Фольк О. 76
Форма кривизны 81
Формула Гаусса 85
— Стокса 85
Формы Пфаффа комплексно-со-
комплексно-сопряженные 63
ткани 30
Фосс 86
Фробекиус Г. 31
Функция Вейерштрасса 29
— опорная 46
— ткани 17
нормированная 59
Хесель Э. 113
Хове Г. 117
Шаль М. 26
Шварц Л. 15
Шефферс Г. 115, 124
Штейнер Я. 28
Элемент нормированный поверх-
поверхности 36
Энгель Ф. 48, 50
Ягер М. 112