P. M. БЫЧКОВ
Ю. В. ЧУГУЙ
DTT
т.
^т
2011

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
КОНСТРУКТОРСКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ
НАУЧНОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Р.М.БЫЧКОВ, Ю. В. ЧУГУИ
БЕСЕДЫ
О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ
Ответственный редактор
докт. техн. наук | В. П. Коронкевич
де>
НОВОСИБИРСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
2011

УДК 535.31 (075.8)
ББК 22.34я73
Б95
Бычков, P.M. Беседы о геометрической оптике / Р. М. Бычков, Ю. В. Чугуй;
отв. ред 1 В. П. Коронкевич |; Рос. акад. наук, Сиб. отд-ние, Констр.-технол.
ин-т науч. приборостроения, Новосиб. гос. ун-т, Новосиб. гос. технич. ун-т. —
Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2011. — 480 с.
В учебном пособии рассмотрены основные понятия и законы геометрической
оптики, знание которых необходимо для понимания работы и эксплуатации
оптических систем. В книге изложены основные принципы построения и особенности
проектирования оптических систем различного назначения. В качестве примеров
приведены описания широко используемых на практике телескопов, микроскопов,
фотографических осветительных и проекционных систем.
Весь порядок изложения предлагаемого материала определяется теми этапами,
которые последовательно проходит разработчик при проектировании оптических
систем: от формулировки задачи до ее практической реализации в виде натурного
образца с дальнейшим исследованием его возможностей.
Книга предназначена для студентов и молодых специалистов,
специализирующихся в области оптического приборостроения, но может быть полезна и
широкому кругу научных и инженерно-технических работников.
Рецензенты:
Дубнищев Ю. К, докт. техн. наук, профессор
Палъчикова И. Г., докт. техн. наук, профессор
Рекомендовано Ученым советом факультета информационных технологий
Новосибирского государственного университета
в качестве учебно-методического пособия для студентов естественнонаучных
факультетов, а также для студентов профильных специальностей
Утверждено к печати
Ученым советом Конструкторско-технологического института научного
приборостроения СО РАН
ISRN 978 <5 760? П981 9 ° Бычков р- M-> ^й Ю- В-> 201 *
1M5JN У /5-э- /oyz-иУб 1 -у Q оформление. Издательство СО РАН, 2011

Посвящается
Вольдемару Петровичу
Коронкевичу
СЛОВА БЛАГОДАРНОСТИ
Наивно думать, что книга — труд только двух авторов, отмеченных на ее
обложке. Выбор темы, постановка задачи, наконец, стиль изложения — все это
результат, казалось бы, незаметных бесед, случайных или спонтанных обсуждений,
возможно, даже и между делом и, наконец, оценка отдельных набросков глав коллегами
с весьма полезными, а порой и нелицеприятными замечаниями. Именно из этих
совсем неприметных частностей и начинает закладываться фундамент любой книги.
И наша работа не исключение.
Поэтому нам очень хотелось бы поблагодарить явных и неявных участников
нашего проекта.
И прежде всего, нам хотелось бы выразить искреннюю признательность
д. т. н. Вольдемару Петровичу Коронкевичу, который фактически вдохновил нас на
издание этой книги. Будучи в высшей степени профессионалом, а, в общем-то
«оптиком от бога», он с большим интересом и любопытством прочел наши «литературные
изыски», поначалу оформленные в виде «подсобного материала» к
лабораторным работам. Неожиданно для себя, и уж тем более для нас, он обратил внимание на
нестандартное изложение и подачу набивших оскомину, казалось бы уже
известных разделов геометрической оптики. Каковым впечатлением он и поделился с нами.
После этой беседы с Вольдемаром Петровичем и родилась идея издания книги по
геометрической оптике и ее прикладным аспектам, доступной для широкого круга
читателей.
Авторы искренне благодарны Евгению Гурьяновичу Попову, который,
несмотря на свою постоянную занятость, все же нашел время прочесть наш работу «от
корки до корки» и высказать целый ряд весьма полезных для авторов замечаний и
рекомендаций.
Мы не можем не высказать слов благодарности за весьма ценные замечания и
Азарию Самуиловичу Итигину, за плечами которого огромный многолетний опыт
чтения лекций в НИИГАиКе.
Авторы считают своим долгом поблагодарить д. т. н. Ирину Георгиевну Паль-
чикову и к. ф.-м. н. Михаила Федоровича Ступака за конструктивные замечания при
чтении начальной версии рукописи, которые, безусловно, пошли на пользу и, по
мнению авторов, позволили заметно улучшить ее содержание.
И конечно, нам хотелось бы от всей души поблагодарить и Елену Сергеевну
Арсенину, нашего надежного помощника, аккуратности и терпению которой мы
постоянно удивлялись. Благодаря ей рукопись с каждым днем приобретала все более
«товарный вид», который не мог не радовать авторов и в то же время заставлял их
более ответственно относиться к своей работе.
Особая благодарность нашим вечным помощникам по жизни — Татьяне
Алексеевне Бычковой и Вере Федоровне Чугуй, — которые оказывали нам не только
моральную поддержку в трудные периоды рождения книги, но и создавали комфортные
условия для ее написания. Именно их вера в начатое нами дело во многом помогала
нам на протяжении трех лет написания книги.
И, наконец, мы хотели бы высказать слова благодарности работникам
издательства Сибирского отделения РАН, благодаря которым и увидела свет эта книга.
Мы заранее благодарны активным читателям книги, которые, может быть, не
поленятся, на что мы очень надеемся, и пришлют нам свои замечания и предложения
по адресу «chugui@tdisie.nsc.ru».
3

ОТ АВТОРОВ
Предлагаемая книга не учебник, а скорее пособие по геометрической оптике.
Просто авторы попытались выбрать и свести воедино те сведения из геометрической
оптики, которые бы помогли студентам и молодым специалистам быстрее овладеть
навыками выполнения экспериментов, связанных с моделированием и анализом
работоспособности оптических и оптико-электронных систем.
В самом общем случае создание конкретной оптической схемы сводится к
решению двух задач: к выбору габаритов оптической схемы (габаритный расчет) и
исключению или минимизации свойственных любой оптической системе аберраций
(аберрационный расчет).
Обычно разработчик при практическом моделировании оптической схемы
использует уже готовые (или стандартные) оптические элементы, а проще — те,
которые в данный момент находятся у него «под рукой», поэтому, и как правило,
необходимость в аберрационных расчетах отпадает сама собой. Но, к сожалению,
«качество» эксперимента в этом случае во многом будет зависеть от «правильности»
(грамотного) выбора оптических компонентов, с аберрационными характеристиками не
ниже требуемых.
Убедиться в том, что они действительно соответствуют предъявляемым
требованиям, можно или по паспортным данным, или исследовав оптические элементы на
оптической скамье.
Однако проведение довольно «тонких» экспериментов нередко требует
изготовления оригинальных оптических элементов с выполнением тех или иных
специальных требований к ним.
Габаритный же расчет оптической схемы остается неотъемлемой частью
эксперимента. В этом случае экспериментатор, стремясь побыстрее проверить
результаты своих размышлений, обращается не к расчету хода лучей, а к формулам оптики
Гаусса.
Но использование при моделировании оптических элементов, которые в
данный момент имеются в наличии, может потребовать некоторой «подгонки»
оптической схемы к их параметрам, а возможные «нестыковки» в уже собранной
оптической системе — их окончательного устранения в процессе юстировки.
Такой подход авторов к моделированию оптических систем во многом и
определил порядок и содержание излагаемого материала.
В первой части книги рассмотрены основные понятия и законы
геометрической оптики, знание которых обязательно для разработки и выбора наиболее верных
(подходящих) конструктивных решений создаваемых оптических систем.
В качестве примеров приведены краткие описания широко известных (часто
используемых) типов оптических систем (телескопов, микроскопов,
фотографических объективов и проекционных систем).
Во второй части детально рассмотрены вопросы моделирования
проектируемых оптических систем, от выбора необходимых компонентов для натурного образца
разрабатываемой системы до его сборки и юстировки на оптических скамьях или
4

столах. Вопросы юстировки моделей оптических систем рассмотрены как для
когерентного, так и для некогерентного («белого») света.
Авторы в изложении методов юстировки даже не пытались давать примеры
юстировки известных оптических систем, полагая, что обсуждение общих ее
принципов в большей степени способствует творческому подходу к выполнению
экспериментальных работ.
Авторы не стремились строго излагать доказательную базу многих
утверждений, принятых в геометрической оптике. По этим вопросам существует (издано)
достаточно большое количество довольно хороших и очень хороших книг. Но нередко
они написаны сухим и достаточно формальным языком, что, без достаточного
«оптического» опыта, затрудняет их изучение молодыми специалистами, а тем более,
студентами. Часто таким книгам недостает простой юношеской легкости и молодого
задора.
Авторы старались минимально использовать математические средства, избегая
пространных теоретических выкладок, в то же время пытаясь в максимальной
степени заставить «работать» интуицию молодых людей.
Во избежание излишнего педантизма, авторы пытались строить изложение
ясно, нередко опуская «несущественные» детали, излишнее акцентирование внимания
на которых зачастую просто сбивает студентов и начинающих профессионалов
с толку.
Будучи абсолютно уверенными, что большинство явлений, происходящих в
оптических системах, можно отобразить на бумаге (и неважно, лучевая это оптика
или волновая), авторы не ленились каждый раз, даже при анализе (рассмотрении)
совсем несущественных деталей, привести подробный рисунок. Авторы убеждены,
что предварительное «моделирование оптических систем на бумаге» будет только
способствовать обучению молодых специалистов применять на практике «правила
игры», используемые в оптике.
Действительно, для того чтобы проанализировать работу проектируемой
оптической схемы, как правило, вполне достаточно проследить, как поведут себя лучи,
непосредственно участвующие в формировании изображения, встречая на своем
пути различные оптические элементы. Поэтому качественно выполненный в
определенном масштабе (для этого авторы не жалели бумаги!) чертеж оптической схемы
может дать достаточно материала для размышлений и послужить хорошим
подспорьем для проверки правильности аналитического (формульного) расчета
оптической схемы.
Авторы стремились сделать книгу легко читаемой, доступной и интересной
студентам и молодым специалистам. Стараясь придерживаться более или менее
традиционного порядка изложения рассматриваемых вопросов, принятого в
классических учебниках по оптике, авторы, тем не менее, допускают некоторую, но
простительную вольность. Именно стремление авторов «не связывать руки» молодым
разработчикам строгим порядком анализа оптических схем на примере широко
известных оптических приборов (хотя и это не вредно!) привело их в отдельных случаях
к нарушению общепринятого порядка изложения.
По сути, весь порядок изложения предлагаемого материала определялся теми
этапами, которые последовательно проходит разработчик при подготовке к
экспериментальному моделированию оптических систем от формулировки задачи до ее
практической реализации в виде натурного образца с дальнейшим исследованием его
возможностей.
Авторы надеются, что читатель найдет в предлагаемой книге много
интересного для того, чтобы у него «разыгрался аппетит» и возникло желание «пощупать»
собственными руками все то, о чем рассказано в книге.
5

ГЛАВА 1. IIA4AJIO ВСЕХ НАЧАЛ
1.1. Предварительные замечания о природе света
Без всяких сомнений, большую часть информации об объектах окружающего
нас мира мы получаем с помощью зрения и немалую роль в этом играет нечто,
называемое нами просто свет.
До середины восьмидесятых годов позапрошлого столетия свет
рассматривался, на основании уравнений Максвелла, как излучение, распространяющееся в
пространстве в виде электромагнитных поперечных волн, испускаемых различными
телами. Но после экспериментов немца Вильгельма Вина в 1896 г. и англичанина
Джона Рэлея в 1900 г. свету стали приписывать свойства, очень похожие на поведение
отдельных самостоятельных частиц. Дальнейшие исследования показали, что свет
обладает уникальной способностью: в одних случаях он проявляет себя как волна,
а в других — как частица. Впоследствии такое поведение света стали назвать корпус-
кулярно-волновым дуализмом.
Это интересно: Если все же попытаться заглянуть
«внутрь» природы света, то удивлению не будет предела.
Привычная всем и неоднократно подтвержденная на
практике волновая природа света в один момент была разрушена,
когда в конце 1900 г. Макс Планк выдвинул идею излучения
энергии колеблющимися электрическими зарядами в молекулах
вещества не непрерывно, а небольшими дискретными порциями,
связанными с частотой колебаний v соотношением
Е = hv,
где h — постоянная Планка, равная 6,626 х Ю-34 Дж-с, a v —
частота излучения, Гц.
В 1905 г. Эйнштейн развил идею Планка, предположив,
что колебательная энергия атомов излучающего тела
квантована (квант — порция), а раз так, то, согласно закону
сохранения энергии, свет должен излучаться тоже небольшими
порциями, а совсем не в виде непрерывных волн. Позднее эти
порции получили название фотонов.
Такое «раздвоение личности» (двойственный характер
света) не могло не привести к яростным спорам, с одной
стороны, сторонников волновой природы света, а с другой —
сторонников фотонной (или корпускулярной) теории излучения. Но
в конце концов противники пришли к соглашению: двойственную
природу света следует принять как неоспоримый факт. Именно
двойственный характер света следует понимать под довольно
замысловатым словосочетанием «корпускулярно-волновой дуа-
6

лизм». К слову, «dou» на латыни означает два, отсюда и
дуализм — двойственность или раздвоенность.
Во многом примирению сторон способствовал великий
датчанин Нильс Бор, предложивший свой знаменитый принцип
дополнительности. Идея его довольно проста: при объяснении
тех или иных экспериментов, связанных со светом, допустимо
использовать или только его волновое представление, или
только корпускулярное, но ни в коем случае и то, и другое
представление одновременно.
В этой книге мы не будем разбираться в таких тонкостях представлений о
свете. Эта тема для других книг. Для нас более значимо описание света в виде
распространяющихся в пространстве электромагнитных волн, предложенное
Джеймсом Максвеллом (волновая модель света), которое позволит нам легко понять
и просто объяснить многое из того, что происходит со светом, несущим на «своих
плечах» информацию об окружающем нас мире.
Не менее важным моментом, вытекающим из дуалистических представлений,
является возможность подмены сложной структуры волнового фронта
электромагнитной волны простым набором лучей, нормальных к элементам этого фронта и,
по сути, определяющих направление ее распространения (лучевая модель света).
Такая «утилизация» вполне достаточна для решения задач геометрической оптики,
однако она полностью исключает возможность дать объяснение тонкой структуры
самих изображений. Но об этом позже.
Поэтому и по большому счету все рисунки, которыми мы сопровождаем наши
объяснения, следует воспринимать всего лишь как «удобные картинки», имеющие на
самом деле мало общего с физикой тех процессов, которые в действительности
происходят со светом в оптических системах. Такая подмена, пусть и в первом
приближении, дает нам прекрасную возможность проследить за ходом лучей и теми
преобразованиями световых пучков, которые они испытывают на своем пути от предмета
до изображения.
Замечание: Вместо того чтобы следить за
распространением световой волны от начального (первичного) источника
излучения до освещаемого объекта, нередко бывает
целесообразнее анализировать ее последующее распространение исходя
из ее положения в данный момент. Это значит, что каждую
точку данной волновой поверхности в любой момент времени
можно рассматривать как самостоятельный источник излучения,
в свою очередь излучающий световые сферические волны (так
называемые вторичные волны). Причем новое положение
распространяющейся волны получают как огибающую вторичных
сферических волн. В этом суть принципа Гюйгенса.
Однако в такой формулировке, когда положение
огибающей, а следовательно, и направление «развития»
электромагнитной волны определяется вторичными волнами, принцип
Гюйгенса в не меньшей степени является и принципом
геометрической оптики. Тем более, когда длина световой волны
бесконечно мала по сравнению с протяженностью самого волнового
фронта.
В физической оптике, исходя из этого принципа, любой
предмет (или объект) можно рассматривать как некое
множество точечных источников, каждый из которых самостоятельно и
7

независимо от других излучает электромагнитную волну. Эти
источники называют вторичными источниками (или источниками
Гюйгенса).
Смысл такого названия легко понять, если выбрать
предмет в виде цветного (или черно-белого) слайда с какой-либо
сценой. Рассматривая его на «просвет», т. е. размещая слайд
между внешним (первичным) источником света и глазом
человека, мы увидим все, что запечатлено на слайде. При этом все
изображение можно рассматривать как совокупность некоего
числа новых самостоятельных источников излучения со своей
яркостью (амплитудой), цветом (длиной волны) и т. д.,
совершенно «забывая» о первом источнике, с помощью которого мы,
собственно, и видим изображение. Именно эти воображаемые
«точечные» источники, создаваемые освещающим (первичным)
источником, и называются вторичными.
Если изображение представляет собой непрозрачный
предмет или объект (иногда называют его бинарным), то вторичные
источники распределяются по границе объекта «свет—экран» и,
если пространство не ограничено, простираются в плоскости
предмета по всем направлениям до бесконечности.
1.2. Скорость евега и показатель преломления
Интуиция и опыт подсказывают нам, что точечный источник излучения,
расположенный в однородном (изотропном) пространстве (т. е. в среде с постоянными
свойствами, не меняющимися в пространстве и времени), будет излучать
электромагнитные волны, скорость распространения которых по
всем направлениям будет одинакова.
Из уравнений Максвелла следует, что скорость электромагнитной волны
определяется соотношением
v = -F=> 0-0
где Цо—магнитная постоянная (магнитная проницаемость вакуума), равная
471-107Тлм/А; £0 — диэлектрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость
вакуума), равная8,85-10"12 Кл2/(Нм2).
Вычислив скорость распространения электромагнитных волн в вакууме,
Максвелл был приятно удивлен: скорость их распространения совпадала с измеренным
значением скорости распространения света в воздухе:
1 1
v =
^fwo V(M51012 Кл2/(Нм2))(4Ы(Г7 (Тлм)/А)
«3,00-108 м/с.
Исходя из этого «совпадения» Максвелл сделал вывод, что свет представляет
собой электромагнитную волну.
Так как скорость света представляет собой универсальную, постоянную
величину, ее стали обозначать «именным» символом «с».
Это интересно: Впервые попытку измерить скорость света
предпринял Галилей. Нельзя сказать, что его эксперимент
закончился неудачей: не получив численного значения скорости
света (этого просто не позволяли техника и средства
измерений), Галилей сделала вывод, что скорость света должна иметь
«беспредельно» большую величину.
8

То, что скорость света действительно велика, но имеет
конечную величину, обнаружил в 167 6 г. датский астроном Оле
Рёмер. В своей попытке найти скорость света Рёмер
воспользовался результатами астрономических измерений для
определения времени прохождения светом диаметра Земной орбиты.
В качестве «фиксирующих» устройств использовались
моменты входа в тень Юпитера и выхода из нее самого яркого
его спутника - Ио при разном расположении Земли на своей
орбите. В первом случае измерялось время, когда Земля
находилась на минимальном, а во втором — на максимальном
расстоянии от Юпитера. Разница во времени, по Рёмеру,
составила 22 минуты. Рёмер не получил точного значения скорости
света, но ценность результатов его измерений неоспорима: он
показал, что свету требуется определенный промежуток
времени для пересечения земной орбиты, а это значит, что
скорость света имеет конечное значение.
Достаточно точные значения скорости света были
получены в 184 8 г. Арманом Физо. Правда, для этого ему
потребовалось создание специальной системы отсчета времени,
обеспечивающей измерение коротких отрезков времени с достаточной
точностью.
Благодаря совершенствованию метода определения коротких
промежутков времени, в частности французскими физиками Корню
и Фуко, удалось еще в большей степени повысить точность
измерения скорости света. И, наконец, Альберт Майкельсон в США
в серии своих прецизионных измерений, которые он неустанно
проводил с 1880 по 1920 г., определил скорость света с
погрешностью порядка 3 км/с, что составляет 0,001 %.
Принятое в настоящее время значение скорости света в вакууме равно
с = (2,99792458 ± 0,00000001) х 108 м/с.
Правда, обычно эту величину округляют, если не требуется особая точность,
до значения с = 3,00 х 108 м/с.
Скорость света в воздухе мало отличается от его скорости в вакууме (v«
« 2,99710337 х 108 м/с), поэтому обычно считают, что она также равна 3,00 х 108 м/с.
Однако, совсем не праздное любопытство двигало физиков дальше в
определении скорости света в различных средах. Как выяснилось, для разных сред (или
разных веществ) она различна и эти различия могут достигать значительных величин.
Так, в 1862 г. француз Фуко измерил скорость света в воде, и она оказалась
равной 2,23 х 108м/с. Несколько позже Майкельсон определил скорость света в
сероуглероде — 1,71 х Ю8 м/с.
Абсолютный
показатель
преломления
Наверное, не было предела восторгу или
удивлению исследователей, когда отношение скорости света
в вакууме к скорости света в испытуемой среде точно
совпадало со значением показателя
преломления, определенным иными способами для этой среды.
Например, для воды это отношение равно:
с 3,00х108м/с tOA
- = = 1,34 = п.
v 2,23хЮ8м/с
9

Из уравнений Максвелла можно получить выражение для определения
скорости света в среде, если известны ее магнитная (ц) и диэлектрическая
(б)проницаемости:
у = ~Г' (1.2)
В оптике принято считать абсолютным показателем
преломления п отношение скорости света в вакууме к скорости света в испытуемой среде, т. е.
civ. Тогда
л=£=л/Я (1.3)
v
а так как для материалов, используемых в оптике, £ всегда больше единицы (б > 1),
а \х близко к ней (ц « 1), то можно записать, что
/7=л/б. (1.4)
Можно встретить, и нередко, и такое определение абсолютного показателя
преломления: абсолютным показателем преломления называется показатель
преломления вещества (среды), измеренный относительно вакуума (воздуха).
Если показатель преломления в вакууме принять за единицу п = 1, то а б с о-
лютный показатель преломления воздуха при нормальном
атмосферном давлении 760 мм ртутного столба и температуре 20 °С составит
величину порядка п = 1,000274.
Естественно, показатели преломления различных сред, найденные
относительно воздуха, будут отличаться от их абсолютных значений, найденных
относительно вакуума.
Например, при достаточно высокой точности измерений можно обнаружить,
что показатель преломления стекла, найденный относительно вакуума, имеет
несколько большее значение, чем найденный относительно воздуха. Для образца
оптического стекла показатель преломления, найденный относительно воздуха,
составляет величину порядка 1,50000, а абсолютный показатель преломления, найденный
относительно вакуума, уже будет составлять величину порядка 1,50044. Но хотя эти
показатели разнятся, значения их настолько близки, что в большинстве случаев этим
различием просто пренебрегают.
На практике показатели преломления исследуемых сред определяют обычно
относительно воздуха, принимая при этом, что его показатель преломления, как и
вакуума, равен единице. Для практических расчетов этого вполне достаточно.
Относи тельный Определить показатель преломления между двумя
показатель различными (произвольными) средами можно, как и пре-
жде, воспользовавшись отношением скоростей распро-
. странения света в этих средах. Но представьте себе число
мыслимых (и немыслимых) комбинаций различных
соприкасающихся материалов (или сред), для которых пришлось бы определять
показатели преломления! Выход из этого, казалось бы безнадежного, положения был
найден совсем простой.
Оказывается, определить показатель преломления между двумя различными
(произвольными) средами достаточно просто, если воспользоваться отношением
значений их абсолютных показателей преломления. Так, если свет попадает в среду 2
с абсолютным показателем преломления п2 из среды 1 с абсолютным показателем
преломления ль то показатель преломления второй среды относительно
первой будет равен
-.2=5* (1.5)
10

Величина п\2 называется относительным показателем преломления
двух сред.
Нередко об относительном показателе преломления п]2 говорят более
конкретно, например, показатель преломления света, проникающего из среды 1 в среду
2, или показатель преломления среды 2 относительно среды-1.
й
Замечание: Будьте очень внимательны к порядку записи
индексов сред, которые приходится преодолевать свету.
Именно они указывают «откуда пришел и куда пошел» свет при
своем распространении. п12 и п2\ — это совсем не одно и то же!
По установившейся традиции оптики пользуются относительными
показателями преломления, превышающими единицу. Поэтому, если относительный
показатель преломления щ2 среды 2 относительно среды 1 оказывается меньше единицы, то
обычно пользуются его обратной величиной «2ь т. е. показателем преломления среды
1 относительно среды 2:
п^=п2 = п]2 О-6)
Как видите, относительный показатель преломления как отношение значений
абсолютных показателей преломления двух сред полностью (и с блеском!) решает
вопрос о распространении света в различных средах!
1.3. Геометрическая и оптическая длина пути света
Из огромной серии экспериментов по определению скорости распространения
света в различных средах был сделан очень важный вывод: свет в более плотных
средах распространяется всегда с меньшей скоростью, чем в средах менее плотных.
А это значит, чем плотнее среда и, следовательно, меньше скорость распространения
света в ней, тем большее время потребуется свету на преодоление этой среды. В то
же время, свет, распространяющий в среде менее плотной, где скорость света
больше, за это же самое время пройдет больший путь.
Эти эксперименты привели к возникновению двух очень важных понятий для
оптики: геометрической и оптической длины пути.
Геометрическая длина пути — это то расстояние, которое предстоит пройти
свету в среде и которое можно измерить обычной «линейкой».
Оптическая длина пути — это то реальное (физическое) расстояние, которое
прошел бы свет в вакууме (или в воздухе) за то же время, которое он затратил на
прохождение в среде.
Принципиальную разницу между ними можно понять из простого примера
(рис. 1.1). Пусть у нас имеется стеклянная плоскопараллельная пластина толщиной
dcr = 10 мм, на которую по нормали к ее поверхности падает пучок параллельных
лучей (плоская волна). Толщина пластины, измеренная в миллиметрах (или в других
единицах длины), и есть геометрическая длина пути dre0M, которую предстоит пройти
свету: dre0M = dCT.
Найдем оптическую длину пути света, предполагая, что его начало совпадает
с верхней поверхностью стеклянной пластины. Зная скорость света в среде v,
нетрудно найти и время /, которое затратит свет на прохождение стеклянной пластины
толщиной dcr:
t=^-. (1.7)
11

"I COM "CI
"c,
I t
Y T T T T
11111
"OilI CI "CI X ,?CI "„f
Рис. 1.1. Геометрическая и оптическая длины пути света.
За это же время свет, распространяющийся в воздухе (или вакууме), пройдет путь
равный
dm =СХ/, (1.8)
где с — скорость света в вакууме (или в воздухе).
Учитывая, что с > v, вполне очевидно, что путь dao3 > rfCT. Ну, а дальше совсем
все просто. Из (1.8) получим
_ ^воз
(1.9)
Приравнивая правые части выражений (1.7) и (1.9), получим
■*воз
С
(1.10)
Но со скоростями «работать» не совсем удобно, поэтому, переписав
соотношение (1.10) в виде
^•воз — "ст
С
V
и воспользовавшись формулой для определения значений абсолютных показателей
преломления через отношение скоростей распространения света в вакууме и
рассматриваемой среде (1.3), получим выражение для оптической длины пути
■ Лст мст /7СТ uiei
(l.ii)
Вычислив длину пути света в стеклянной плоскопараллельной пластине, мы,
по сути, нашли эквивалентную длину пути, которую бы пробежал свет за это же
время в воздухе (в вакууме).
Нередко в геометрической оптике требуется найти величину изменения
оптической длины пути распространяющегося света в результате установки на его пути,
например, той же плоскопараллельной пластины. Если сказать иначе, то необходимо
определить величину изменения оптической длины пути на фиксированном
расстоянии в двух различных средах.
Установим, как и прежде, нормально к распространяющемуся пучку
параллельных лучей прозрачную плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной
dCT= 10 мм (геометрическая длина пути) с показателем, равным пст= 1,5. А теперь
попытаемся узнать, как изменится длина пути той части пучка света, которая
распространяется в плоскопараллельной пластине, относительно той, которая
распространяется в воздухе (показатель преломления его, как всегда, примем равным единице:
Явоз= 1,0).
Найти оптические длины путей сйета в стекле и в воздухе совсем несложно:
rfoirr. ст= ист х ^ст = 1 »5 х 10= 15 [мм],
4шт воз = ^воз = «воз X ^ст = 1,0 X 10 = 10 [ММ].
(1.12)
(1.13)
12

Как видите, введение плоскопараллельной пластины заметно увеличивает
оптическую длину пути света, причем при толщине стеклянной пластины в 10 мм
разность хода лучей света в стекле и воздухе составит величину порядка 5 мм. А это
не так уж и мало!
Из соотношений (1.12) и (1.13) можно получить простую формулу для
определения разности длин оптических путей света А в некоторой среде (с толщиной d и
показателем преломления «)ив воздухе (с показателем преломления пвоз« 1,0):
А = dom_ ср - dB03 = (п - 1)х d. (1-14)
Это, собственно, и все, что мы хотели рассказать о различии геометрических
и оптических длин путей распространения света.
1.4. Свет, лучи, пучки и все остальное
Хотя волновая теория электромагнитного поля (света) позволяет решать любые
задачи по распространению света в различных средах (в том числе и в любых
оптических системах), нередко некоторые задачи преобразования световых пучков или
формирования оптических изображений значительно проще решать, используя
представления геометрической оптики. Правда, модель перемещающегося в пространстве
электромагнитного поля в виде неких пучков прямых линий выглядит несколько
искусственно или, если хотите, даже грубо, но, несмотря на это, подобная подмена сложных
физических явлений простыми геометрическими представлениями дает достаточно
точные результаты и благодаря своей простоте широко используется на практике.
Переход от реальных световых полей к их представлениям в виде световых
лучей позволяет совместно с элементами проективной геометрии использовать для
анализа (или синтеза) оптических систем весьма простые геометрические и
алгебраические соотношения.
Волновая теория света утверждает, что свет распространяется от источника
излучения в виде поперечных электромагнитных волн (рис. 1.2, а), направление
распространения которых определяется нормалью п к их фронтальным поверхностям.
Направление перемещения каждой точки такой сферической волны будет зависеть от
направления нормали п к ее поверхности именно в выбранной точке (рис. 1.2, б), а
вся сферическая волна, удаляясь от источника излучения, будет увеличиваться в
размерах, создавая впечатление перемещающейся в пространстве сферы вдоль линий,
нормальных к ее поверхности.
Именно эти воображаемые нормали принято считать теми световыми лучами
(или просто лучами), с которыми так легко оперируют в геометрической оптике.
Понятие светового луча, как и понятие нормали, — чисто математические
понятия и никакого физического содержания в себе не несут. В природе световые лучи
Рис. 1.2. Сферическая волна, излучаемая точечным источником (я), и пучок лучей.
исходящий из него (б).
13

просто не существуют. Однако подобная абстракция, т. е. замена световыми лучами
волнового фронта, распространяющегося в пространстве электромагнитного поля,
весьма плодотворна.
В пределах понятий, принятых в геометрической оптике, как правило,
пренебрегают описанием явлений, непосредственно связанных с волновыми свойствами
света. Например, нередко не принимают во внимание дифракционные явления на
оправах оптических элементов, полагая, что размеры оправ (ограничивающих
отверстий), определяющих ширину пучков, проникающих в оптическую систему,
несоизмеримо (на несколько порядков) больше длины световой волны.
й
Замечание: Вообще, понятие светового луча — удачная
выдумка ученых и представляет собой некое абстрактное
математическое «оправдание» замене реальных физических
образов их упрощенной моделью. Казалось бы, чем меньше
по диаметру мы проделаем отверстие в непрозрачном
экране, установленном на пути распространения света, т. е.
чем уже «вырежем» пучок из общего потока излучения, тем
в большей степени мы приблизимся к понятию светового
луча. А если перейдем к отверстиям сколь угодно малым, то
получим световой луч в виде прямой линии.
Однако не все так просто. Нельзя забывать и о таком
«пустяке», как дифракция света. На отверстиях малых
размеров волновая природа света, проявляя себя во всей
«красе», приведет к неотвратимому угловому расширению
реального светового пучка АЭ, которое будет определяться
отношением длины волны света X к диаметру отверстия D,
т. е. ДЭ ~ X/D.
Принято считать, что геометрическая оптика, имея дело
со световыми лучами, есть всего лишь предельный случай
волновой оптики, соответствующий исчезающе малой длине волны,
т. е. когда А. => 0. Только в случае, когда X = 0, можно
говорить о луче как о геометрической линии, вдоль которой
распространяется энергия светового излучения.
Световые пучки
л> чей
Совокупность световых лучей, часто
ограниченных в некотором объеме, например, неким экраном с
отверстием, установленным на пути распространения
электромагнитной волны, образует пучок световых лучей
(рис. 1.3).
a
s:
с
X
г
1 Ф
' R ■
б
Рис. 1.3. Расходящийся (а)
>'А
R:
f
Z
-s X
/г
г
J ^^
и сходящийся (б) пучки.
==■ s
14

Плоская волна —
параллельный пучок лучей
Сходящаяся волна — схо-
о,,,»..::::::::::::::::::.'.".". ;-^* '^ дящийся пучок лучей
Расходящаяся волна — рас- .^ .^- ^
холящийся пучок лучей
Рис. 1.4. Распространяющиеся в однородном пространстве сферические и плоские волны
и их представления в виде соответствующих пучков лучей света.
Пучок лучей, излучаемый точечным источником, в котором лучи, с удалением
от источника, расходятся, называется пучком расходящихся лучей (рис. 1.3, а).
Именно с такими пучками мы чаще всего имеем дело и нередко их называем
просто расходящимися пучками. Пучки лучей, в которых лучи пересекаются в одной
точке, называются гомоцентрическими (с латыни homos — единый, равный).
Оптические приборы обладают способностью преобразовывать расходящиеся
пучки в пучки сходящихся лучей (рис. 1.3,6). Например, сходящиеся пучки можно
получить с помощью обычной положительной линзы или иной оптической системы,
способной «стянуть» расходящуюся сферическую волну в точку.
Как правило, после различных преобразований расходящихся (или
сходящихся) пучков они теряют свою гомоцентричность и вместо точки формируют некое
расплывчатое пятно. Такие пучки лучей называются негомоцентрическими.
Сам собой напрашивается вывод, что между сходящимися и расходящимися
пучками могут существовать пучки параллельных лучей (рис. 1.4). Пучки
параллельных лучей существуют в природе, но могут быть получены и в оптических приборах.
Например, сферическая волна, удаляясь от источника излучения, будет
увеличиваться в своих размерах, и на некотором расстоянии от источника (говорят в
«бесконечности») небольшой участок сферической волны, который может «охватить» глаз
человека (или входное отверстие оптического прибора), будет восприниматься
плоским. По сути, это та же сферическая волна, но с очень большим («бесконечным»)
радиусом кривизны.
В этом случае принято считать, что нормали к сферической поверхности,
исходящие из одной точки (источника излучения), оставаясь перпендикулярными
к поверхности волны, становятся параллельными между собой. Как и в случае
сферических волн, так и в случае плоских волн нормали к волновым фронтам
определяют направление их распространения.
Если пучок параллельных или расходящихся лучей попадает в глаза человека,
человек видит предмет, который их излучает или отражает. Но если глаз человека
поместить в сходящийся пучок лучей, то глаз человека просто не увидит источник,
породивший его.
«Дневной» ^се ПУЧКИ лУчеи? которые мы рассмотрели выше,
(рассеянный) свет обладают направленным «действием», т. е. четко выра-
_ женным направлением распространения света. Несколько
сложнее обстоят дела с так называемым «дневным»
светом (только не путать с «белым» светом и его спектральным составом!). В этом
туманном (или, если хотите, расплывчатом) определении скрыто довольно занятное
физическое содержание. Наверное, редко кто задумывался над тем, что же на самом
деле представляет собой «дневной» свет.
15

<^
1
<
4 < ^
/ ^JU-*-
4 ^
Рис. 1.5.
m\
i/-~-
Глаз и рассеянный свет.
У
—п
|
1
Но представьте себе, что Вы находитесь на улице в пасмурную погоду или,
еще лучше, в комнате, окна которой выходят на север. Свет, исходящий от Солнца,
непосредственно не может попасть в комнату (в наших широтах оно перемещается в
пространстве с южной стороны), однако в комнате светло, «как днем».
Так вот то, что мы называем дневным светом, на самом деле представляет
собой невообразимый «хаос», состоящий из бесконечного множества «снующих» взад-
вперед и в самых непредсказуемых направлениях, неоднократно где-то и как-то
отраженных и преломленных электромагнитных полей, возникновение которых
обязано излучению Солнца.
Именно этот вполне естественный «беспорядок» и есть главный признак
«дневного» (рассеянного) света. Только благодаря этому кажущемуся «беспорядку»
мы получаем информацию об окружающем нас мире.
Соответственно и нормали, распространяющиеся по всевозможным
направлениям волновых фронтов, создают в пространстве такую «неразбериху»
воображаемых прямых линий, что говорить, а тем более, пытаться выделить какое-то
определенное направление распространения световой волны кажется невероятной и
бессмысленной затеей.
В то же время интуитивно понятно, что для получения информации о каком-
либо конкретном предмете из всей массы свободно «гуляющих» по пространству
световых волн мы должны выделить только те, которые непосредственно несут
информацию о предмете и несут ее в направлении к наблюдателю. При этом все
остальные световые поля, по сути, представляющие помеху, должны быть каким-то
образом отсечены. Эту, казалось бы неразрешимую, задачу о выделении нужной
информации из общего «хаоса» световых полей довольно легко решают даже самые
простые оптические приборы.
В качестве примера можно воспользоваться оптической системой глаз
человека. Благо, этот «инструмент» всегда доступен (рис. 1.5). Удивительно, но факт,
сетчатка глаза отреагирует только на те световые поля, нормали к которым пройдут
через геометрический центр радужной оболочки глаза, — входного отверстия
оптической системы глаза. Остальные поля из общего «хаоса», окружающего нас, глаз
просто не видит! Геометрический центр радужной оболочки глаза, по, сути, является
центром проекции при построении изображения реального предмета (или объекта)
методом центральной симметрии.
а
Замечание: Обратите внимание, изображение в глазу
человека получается перевернутым, что полностью соответствует
законам центральной симметрии. Говорят, что новорожденные
до шести месяцев видят мир «вверх ногами»! И только после
шести месяцев изучения мира мозг, вдруг «сообразив», что
«что-то не так!», переворачивет все с «головы на ноги».
16

1.5. Основные законы геометрической оптики
Как и все в этом мире, распространение света подчиняется строгим законам,
на изучение и исследование которых лучшие умы человечества затратили не одну
сотню лет. В результате были сформулированы четыре закона, которые легли в
основу геометрической оптики. Краткому знакомству с этими законами (а может быть,
только для того, чтобы вспомнить) и посвящена настоящая глава этой книги.
1.5.1. Закон прямолинейного распространении света
Опыт учит нас, что в одном случае мы видим объект благодаря тому, что он
излучает свет, а в другом (что бывает значительно чаще) — только потому, что он
его отражает.
Но и в том, и в другом случае мы изначально принимаем, что свет в
однородном пространстве распространяется прямолинейно. Нередко это положение
принимают как первый закон геометрической оптики.
Можно привести массу различных примеров, подтверждающих факт
прямолинейного распространения света: от тонкого луча солнечного света, проникающего
через маленькое отверстие в полутемную комнату, до мощных направленных пучков,
излучаемых прожекторами.
Но, пожалуй, самым потрясающим подтверждением этого феномена может
служить то, что даже в определении положения окружающих нас объектов мы
ориентируемся, подсознательно полагая (даже не осознавая этого!), что свет
распространяется прямолинейно.
Следует однако помнить, что этот закон справедлив в рамках геометрической
оптики, когда размеры объекта много больше длины волны света. В противном
случае, как мы отмечали ранее, имеет место дифракция света на объекте, приводящая к
отклонению лучей света от первоначального направления.
1.5.2. Закон независимости распространения свеча
И хотя «хаос» световых лучей (или световых полей) — не самый лучший
вариант для изучения направления распространения света, закон независимости
распространения световых пучков — второй закон геометрической оптики — позволяет
нам оперировать с каждым из них как с совершенно самостоятельным объектом
исследования.
Тот факт, что пучки лучей при своем распространении в пространстве
действительно не оказывают друг на друга никакого влияния, можно проиллюстрировать
на элементарном примере.
Для этого достаточно взять два обычных проектора, вставить в них слайды
с различными изображениями и высветить их изображения на двух различных
экранах, как показано на рис. 1.6. В области перекрытия пучков, выделенных на рисунке
сплошными линиями оранжевого цвета, информация о двух различных
изображениях каким-то образом «перемешивается», но оба рисунка этими пучками лучей будут
«донесены» до экранов без искажений!
U Замечание: Но этот закон справедлив лишь до тех
пор, пока интенсивности пересекающихся пучков невелики,
что мы и наблюдаем, например, при использовании
традиционных источников света.
В случае же применения мощных лазеров, позволяющих
сгенерировать пучки света большой мощности, этот закон
нарушается и степень его нарушения определяется
интенсивностью генерируемых пучков.
17

Рис. 1.6. Независимое распространение света.
Однако, много интереснее законы отражения и преломления. Они
непосредственно связывают углы падения лучей света с углами, полученными в результате их
отражения или преломления на границе раздела двух сред с разными показателями
преломления. Для того чтобы каким-то образом различать углы, мы введем для них
простое правило знаков, которое нам пригодится и в будущем: будем считать углы
положительными, если для совмещения нормали с лучом ее необходимо повернуть
по часовой стрелке, и отрицательными, если ее необходимо повернуть против
часовой стрелки.
1.5.3. Зак'он о 1 ражен и я снеш
Мы уже говорили о том, что чаще всего мы видим объекты окружающего нас
мира в результате отражения падающего на них света. Свет, падая на поверхность
предмета, частично отражается от него, частично поглощается им, а если предмет
к тому же еще и прозрачен, то частично проходит сквозь него.
Но пока мы будем говорить только о направлении распространения
отраженных лучей света и зависимости этого направления от направления падающих лучей
на отражающую поверхность.
В принципе закон отражения {третий закон геометрической оптики) состоит
из двух частей, хотя, как правило, помнят и применяют только вторую (рис. 1.7).
Падающий
луч \
Зеркальная
поверхность
Отраженный
луч
г ■-.. р
Рис. 1.7. Закон отражения света.
18

• Первая часть закона утверждает, что лучи, падающий А и отраженный В,
лежат в одной плоскости с нормалью NN, восстановленной к
отражающей поверхности в точке падения луча.
• Вторая часть констатирует, что угол отражения б', образованный отраженным
лучом В и нормалью NN, восстановленной к отражающей поверхности в точке
падения луча О, равен по абсолютной величине углу падения £, образованному
падающим лучом А и той же нормалью к поверхности, но противоположен по
знаку:
£'=-£. (1.15)
Обратите внимание, что углы падения и отражения обозначаются тем же
символом, что и диэлектрическая проницаемость.
Диффузное Возможны два случая отражения света объектом:
и зепка ibiioe I диффузное и зеркальное. Например, если пучок парал-
огюажение I лельных (что, кстати, совсем не обязательно!) лучей света
I падает на шероховатую поверхность, то отраженные лучи
будут распространяться по самым различным
направлениям. Это так называемое диффузное отражение. Именно благодаря ему мы и видим
окружающие нас предметы.
В качестве примера на рис. 1.8, а показаны отраженные от шероховатого объекта
лучи, распространяющиеся по различным направлениям. Обратите внимание, как бы мы
ни перемещали точку наблюдения, всякий раз в глаза будут попадать лучи отраженного
пучка из каждой точки диффузной поверхности (на рисунке положение I и II).
Очевидно, что в случае диффузного отражения света закон отражения будет
выполняться только для небольших участков отражающей поверхности объекта.
Совсем иная картина наблюдается при отражении пучка параллельных лучей
(и вновь это не обязательное условие!), падающих на зеркало (рис. 1.8, б). Если при
диффузном отражении Вы видите объект из разных положений, то при отражении от
зеркальной поверхности все лучи пучка будут отражаться под одним и тем же углом,
определяемым законом отражения. В этом случае Вы увидите свет (или объект)
только в том случае, если ваши глаза займут в пространстве положение, для которого
строго выполняется закон отражения, т. е. только в положении I. А это означает, что
в положении II отраженный свет вы видеть не будете и, как результат, информацию
об объекте наблюдения не получите.
Замечание: Конечно, все изложенное выше для пучков
параллельных лучей, отраженных от зеркальных поверхностей, в
равной степени справедливо и для пучков расходящихся или
где-то сходящихся! Важно, чтобы при зеркальном отражении не
менялась структура отраженной части пучка. Так, в случае па-
а
И
*©
^>в
б
Рис. 1.8. Диффузное (а) и зеркальное
© ©
1
(б) отражение. 1
19

дающих пучков в виде параллельных лучей сохранялась их
(лучей) параллельность в отраженном пучке, а в случае
расходящихся, например гомоцентрических пучков, — сохранялась их
гомоцентричность!
Интуитивно понятно, что при диффузном отражении
структура отраженной части падающего пучка лучей будет нарушена.
Из-за несовершенства полировки, даже при доводке
поверхностей до зеркального «блеска», в отраженном свете
наряду с зеркальной составляющей всегда присутствует
диффузная составляющая, обусловленная дифракцией света на
микронеровностях. Правда, чем выше качество полировки, тем
рассеянного света в отраженном пучке становится меньше.
Вместе с тем, не установлено предела шероховатости, при
котором диффузное отражение переходит в чисто зеркальное.
В оптике доказывается, что для зеркального отражения
необходимо, чтобы величина 2hcose, где h — высота
неровностей на поверхности, а е — угол, под которым свет падает на
поверхность, составляла малую долю длины световой волны.
При больших значениях угла падения величина cose становится
достаточно малой и даже при значительной высоте неровностей
h величина произведения 2hcose может быть небольшой, а это
означает, что зеркальное отражение можно наблюдать и от
шероховатых поверхностей, например, даже от гладкой бумаги.
Мнимое
01 раже н не
в зеркале
Именно в этом и заключаются необычные свойства
зеркал. Рассматривая себя в зеркале, Вы видите своего
«двойника» и отраженные изображения окружающих Вас
^ предметов. Все предметы, которые мы видим в зеркале,
кажутся нам расположенными перед нами, за зеркалом,
хотя мы прекрасно понимаем, что там их просто не может быть!
На рис. 1.9 показано, как формируется изображение реального предмета за
зеркалом. Освещаемый объект (ваза) диффузно отражает свет по многим направлениям.
Мы выделили только две точки объекта А и В и два луча из множества
возможных лучей, отражаемых вазой в этих точках. Отразившись от зеркала, в соответ-
~^\
**
^^^
^>^
>
\ А Q
Рис. 1.9. Формирование
Плоское
зеркало
<
4
•
А,
<
'о
а'
изображения в плоском
i
В':
от
еж...
Л'
—ж
...W
зеркале.
20

ствии с законом отражения, они попадут в наши глаза в виде расходящихся пучков,
создавая впечатление, что они исходят из точек объекта, установленного за зеркалом.
В этом легко убедиться, если продолжить отраженные лучи в обратном направлении,
за зеркало. Точка пересечения продолжений этих лучей, по сути, представляет собой
изображение точек предмета, сформированное с помощью зеркала.
Но в действительности за зеркалом не возникнет никакого изображения, даже
если бы часть лучей, отраженных вазой, смогла пройти за зеркало. В этом легко
убедиться, если в месте предполагаемого расположения изображения поместить некий
экран или лист бумаги. Подобные изображения, полученные с помощью
«неестественного» продолжения лучей в обратном направлении, называются мнимыми, в отличие от
действительных изображений, которые строятся на естественном продолжении лучей
в прямом направлении и которые можно наблюдать на экране. Но об этом позже.
В рассматриваемом же случае наши глаза, не имея ни малейшего
представления о том, что лучи света от чего-то отразились, видят вазу за зеркалом, на
продолжении лучей, отразившихся от него. И им совершенно неважно, от какого
изображения идут эти лучи, мнимого или действительного!
Но вернемся к рис. 1.9. На нем легко можно выделить два прямоугольных
треугольника AAiO и OAjA'. Из закона отражения следует, что углы AAiO и A'AjO
равны между собой. Катет AiO общий для обоих треугольников. И это значит, что
треугольники равны между собой и расстояние от зеркала до изображения объекта
равно расстоянию от зеркала до самого объекта: АО = ОА' (а = а').
Нередко говорят, что эти треугольники конгруэнтны, т. е. абсолютно
совпадают при наложении друг на друга.
й
Замечание: Пожалуй, о конгруэнтности стоит сказать
несколько слов особо. На латыни congruentia буквально
означает соответствие, совпадение, совмещение. Но в более широком
смысле под конгруэнтностью (конгруэнцией) нередко понимают
совокупность (или семейство) линий, заполняющих некоторое
пространство, но заполняющих его так, что через каждую
точку этого пространства может проходить одна и только одна из
линий этого семейства.
Совокупность линий (или семейство линий), из которых
каждая пересекается некоторой поверхностью (например,
волновым фронтом) под прямым углом, называют нормальной
конгруэнцией. В противном случае говорят о косой конгруэнции.
Если все линии семейства, составляющие конгруэнцию,
представляют собой прямые линии, говорят о прямолинейной
конгруэнции.
В геометрической оптике, как правило, рассматриваются
только нормальные прямолинейные конгруэнции. Несложно
сообразить, что, по сути, пучок лучей в геометрической оптике
есть не что иное, как нормальная прямолинейная конгруэнция.
Конгруэнтность прямоугольных треугольников позволяет значительно
упростить построение хода отраженных лучей для любого типа поверхностей (плоской,
вогнутой, выпуклой): вместо транспортира для построения углов падения £ и
отражения б' (хотя и это несложно) воспользоваться только циркулем и линейкой.
Графическое определение
направления
отраженных лучей
Выделим из пучка расходящихся лучей,
излучаемых источником А, три произвольных
луча АС, АС] и АС2 и определим направление
их распространения после отражения от плоско-
21

го зеркала (рис. 1.10). Для этого воспользуемся способом равных отрезков или
равных засечек, в основе которого лежит равенство отрезков, противолежащих равным
углам.
Для определения направления отраженных лучей (рис. 1.10, а) опустим из
точки А (источника излучения) перпендикуляр к отражающей поверхности (черный
пунктир). Затем из точки падения луча (точки С) проведем окружность радиусом АС,
которая пересечет перпендикуляр к отражающей поверхности в точках А и А'.
Фрагмент окружности высвечен сиреневым пунктиром. Интуитивно (а если хотите, то из
школьного курса геометрии) понятно, что АО = ОА'. Несложно доказать, что и угол
падения равен углу отражения: -е = е'. А это, собственно, и подтверждает
справедливость наших построений.
По существу, мы получили положение изображение А' источника А, которое
увидим за зеркалом. Теперь достаточно соединить изображение источника А' с
точками С, Cj и С2 падения лучей AC, AQ и АСг. Продолжение этих прямых линий за
границу отражающей поверхности и задаст направление распространения
отраженных лучей.
Второй способ поиска направления распространения отраженных лучей
показан на рис. 1.10,6. Оказывается, для определения направления отраженного луча
вполне достаточно провести перпендикуляр из точки А падающего луча к нормали
NN, восстановленной к отражающей поверхности в точке падения луча, точке С, а
затем построить окружность радиусом АС. Точка ее пересечения с перпендикуляром
к нормали (точка В) определит направление отраженного луча СВ. Отрезки,
отсекаемые окружностью на перпендикуляре к нормали, восстановленной к поверхности
раздела двух сред, вновь равны между собой: AN = NB, а это значит, что углы -£ и б'
равны между собой.
Обратите внимание, во втором случае изображение источника излучения А'
можно получить как пересечение продолжения отраженного луча в обратном
направлении с окружностью, но только в том случае, если ее радиус равен расстоянию,
которое пробежит падающий луч от источника света до отражающей поверхности,
т. е. расстоянию АС.
Аналогичным образом нетрудно определить направление распространения
лучей, отраженных от сферических поверхностей (вогнутых или выпуклых). В этом
случае целесообразно поменять порядок построений (рис. 1.11).
Сначала проведем нормаль к сферической поверхности в точке падения луча (ее
направление, очевидно, совпадает с направлением радиуса сферической поверхности),
затем прорисуем окружность произвольного радиуса с центром в точке падения О.
Рис. 1.10. Графические способы определения направления распространения отраженного
луча с помощью прямой АА\ параллельной нормали NN в точке паления луча С {а\
и прямой АВ. перпендикулярной нормали NN (б).
22

N
О
N
Рис. 1.11. Определение направления распространения лучей, отраженных
от сферических поверхностей: вогнутой (а) и выпуклой (б).
Из точки А пересечения окружности с падающим лучом опустим перпендикуляр AD и
продолжим его до пересечения с прорисованной окружностью (точка В). Соединим эту
точку с центром сферы С. Эта прямая и будет задавать направление отраженного луча.
Изменение угла
отражения при
повороте
отражающей
поверхности
Хотя закон отражения довольно прост, но поведение
отраженного луча порой может оказаться неожиданным.
Например, интересно знать, как поведет себя
отраженный луч при повороте отражающего зеркала на
некоторый угол, когда направление падающего луча в
пространстве не меняется.
яя—тт~—ття^-~^—^ Обратимся к рис. 1.12. На нем отображены два
возможных положения зеркала (I и II). Падающий луч АС высвечен оранжевым
цветом. Для положения I проведены нормаль к зеркалу N0N0 и отраженный под углом г'
луч СВ, высвеченный оранжевым цветом, причем, естественно, угол отражения г'
равен углу падения -£.
Повернем плоское зеркало на угол Р в положение II. Нормаль к зеркалу
развернется на угол Р и займет новое положение NjNj. И хотя падающий луч АС не
изменит своего направления распространения, угол падения луча относительно нового
положения зеркала изменится и станет равным -б|.
Рис.
II
I
А
1.12. Изменение
No
-эИ-<: J
\- '~8 /е'
N,/ | N0
N,
"V
В
V
1
D
г
р/
/ 1
угла отражения при вращении отражающей поверхности. 1
23

Отраженный луч (сиреневого цвета) пойдет по новому направлению — CD.
Выясним, как при повороте зеркала на угол р изменится направление
распространения отраженного луча.
Если определить угол поворота зеркала как р = £ - £Ь то величину изменения
угла отражения ф найти совсем просто, если учесть, что г\ = -£ь а £' = -£:
ф= £j -£,-(£,-£) = -2£,-(-2£) = 2 (£-£,) = 2р. (1.16)
Таким образом, при повороте зеркала на угол Р отраженный луч повернется в
пространстве на его удвоенное значение.
Оптические элементы (зеркала, отражающие призмы), принцип работы
которых основан на законе отражения, очень широко используются в оптическом
приборостроении для изменения направления хода лучей.
n.naa.uu..« I ДЛЯ оптической системы (рис. 1.13), состоящей из
V.J I рлжснис I
от дв\\ зеркал двух зеРкал (р1рь РоРо), было бы интересно определить,
* как будет зависеть угол отклонения луча, падающего на
первое зеркало, от угла между зеркалами.
Пусть два плоских зеркала выставлены одно относительно другого под углом
ф. В такой системе падающий луч, очевидно, пройдет по пути AO0OjB. Для нас
представляет интерес угол отклонения б между падающим и отраженным лучами.
Обозначим угол падения входного луча на первое зеркало символом £0, а на второе —
символом б|. Учитывая, что угол O0DM, образованный перпендикулярами к
зеркалам, является внешним по отношению к треугольнику O0DOj и принимая во
внимание закон отражения -г'0 = е0, можем записать для угла ф:
ф = £]+£(). (1-17)
В то же время угол б является внешним углом для треугольника ОоСОь Тогда
этот угол, с учетом -e'i = £i и (1.17), можно найти как
6 = £j - £| +£о- £о =2б| +2£0 = 2ф. (Ы8)
Как видите, угол отклонения луча на выходе из оптической системы,
состоящей из двух зеркал, совсем не зависит от углов падения луча на зеркала £о и £j. А это
значит, что при совместном повороте обоих зеркал как единой системы угол
отклонения луча на выходе из нее остается неизменным.
Pi
Рис. 1.13. Отражение от двух плоских зеркал.
24

Иными словами, угол отклонения луча, отраженного от двух зеркал,
определяется лишь углом между ними и не зависит от их одновременного поворота вокруг
ребра двугранного угла, образованного поверхностями этих зеркал.
Прямое
Изображение, создаваемое одним плоским зеркалом
и зеркальное I (и в этом Вы Убеждаетесь, наверное, каждый день), пред-
отобпажения I ставляет собой зеркальное отражение объекта: то, что в
- действительности у объекта находится справа, в зеркале
отображается слева, и наоборот, то, что располагается
слева, в зеркале отображается справа.
Чтобы получить прямое изображение оригинала, достаточно воспользоваться
вторым зеркалом, которое, в свою очередь, еще раз «развернет» зеркальное
изображение (рис. 1.14).
Из этого простого примера можно сделать важный вывод: нечетное число
отражений всегда будет давать зеркальное изображение оригинала, а четное — прямое.
Это интересно: В изображении, получаемом с помощью
одного плоского зеркала, правая сторона становится левой, а
левая — правой. Мы настолько привыкли к такому положению
вещей, что совершенно не обращаем внимания на один довольно
интересный момент (который попытайтесь объяснить
самостоятельно) : почему в одном плоском зеркале происходит
«обращение» создаваемого изображения только вокруг вертикальной
оси и полностью отсутствует вокруг горизонтальной?
Практический
выбор размера
зеркала
Рассмотрим под конец один простой, но
интересный пример (рис. 1.15). Вряд ли, ежедневно встречаясь с
законом отражения, мы серьезно задумываемся о нем.
Попробуем определить размеры зеркала и высоту, на
которой его необходимо установить, чтобы человек ростом
170 см увидел свое отражение в полный рост.
Для начала рассмотрим луч АВ, идущий от носка кроссовок в направлении
зеркала. Встретившись с зеркалом в точке В, луч отразится и пойдет в направлении
BE, строго соблюдая закон отражения. Вряд ли имеет смысл располагать зеркало
ниже точки В. Так как е = -е', то высота h расположения нижней точки зеркала будет
Прямое
отображение
оригинала
Зеркальное
отображение
оригинала
'А
Оригинал
Рис. 1.14. Зеркальное и прямое отображения оригинала.
25

10 см
У
t г
17
\
0 см
1
G
ш -
1
i
1
А
Рис.
г *=*=
h
^
^
F
В
D
/i
1
1.15. Девушка в «Зазеркалье».
Н
о
1
<si
С
1
равна половине роста человека за вычетом расстояния от верхней точки головы до
глаз, т. е.
1 170-10
h = BD = J (AG - GE) = 5 = 80 [см1-
Если человек хочет увидеть, как выглядит его прическа, то вполне достаточно,
чтобы зеркало заканчивалось в точке F.
Учитывая, что и в этом случае угол падения и угол отражения равны (на
рисунке не показаны), можно предположить, что точка F должна располагаться на 5 см
ниже верхней точки головы. Откуда следует, что высота DF равна
DF = AG-0,5GE=165[cm].
И, наконец, размер зеркала должен быть равен простой разности
BF = DF - BD = 0,5AG = 85 [см].
Таким образом, высота зеркала равна половине роста человека.
А теперь попробуйте ответить на вопрос, будет ли размер зеркала зависеть от
расстояния человека до зеркала. Кстати, все из этого примера Вы сможете легко
проверить на опыте. Достаточно «повертеться» немного перед зеркалом и, конечно,
немного подумать!
26

Под конец заметим, что плоское зеркало, пожалуй, единственный оптический
инструмент, который «не разрушает» гомоцентричность световых пучков независимо
от положения объекта, т. е. отображает «точку в точку» (рис. 1.16). Действительно,
если мы поместим перед зеркалом некий точечный источник излучения S, то увидим,
что его изображение отображает источник излучения строго (без всяких искажений)
в виде точки.
Еще интереснее закон преломления, которому обязаны своим существованием
почти все оптические приборы.
1.5.4. Закон преломления света
Когда свет, распространяясь в пространстве, переходит из одной среды в
другую, часть падающего света отражается на границе раздела двух сред, полностью
подчиняясь закону отражения, а часть переходит в новую среду. При этом, если свет
падает на границу раздела под углом, отличным от прямого, то во второй среде лучи
света изменяют свое первоначальное направление распространения. Именно это
явление называется в оптике преломлением света.
Это интересно: О преломлении света в различных средах
знал уже греческий философ Аристотель (350 лет до нашей
эры) , но дать объяснение этому явлению впервые попытался
знаменитый греческий геометр Эвклид (300 лет до нашей эры).
Спустя почти четыреста лет греческий математик, физик
и астроном Птолемей (где-то около 120 года нашей эры)
предпринял вторую попытку как-то связать углы преломления с
углами падения света на границу раздела двух сред. Птолемей
доступными ему средствами измерял углы, составляемые
падающими и преломленными лучами с перпендикуляром,
восстановленным к плоскости раздела рассматриваемых сред. В
частности, он проводил измерение углов при переходе света из
воздуха в воду, из воздуха в стекло и из стекла в воду.
Данные, полученные Птолемеем, достаточно точны. Но, к
сожалению, все свои измерения Птолемей проводил для небольших
углов падения и в результате пришел к ошибочному выводу о
пропорциональности угла преломления углу падения.
Значительно позже, спустя почти девятьсот лет, араб
Альгазен (1038 г.) в своей работе «Opticae thesaurus»
(найденной в 1572 г.) подверг сомнению предположение Птолемея о
пропорциональности углов падения углам преломления.
Альгазен показал, что отношение углов падения и преломления не
остается постоянным, но правильного выражения, описывающего
явление преломления, он найти не смог.
И только спустя еще почти шестьсот лет (где-то около
1621 г.) голландский математик Виллеброрд Снелл (Снеллиус
ван Ройен, 1580—1626 гг.) экспериментально установил, а
затем дал четкую формулировку закона преломления в виде:
«Отношение косекансов углов падения и преломления всегда имеет
для одних и тех же сред одну и ту же величину».
Несколько позже, в 1630 г., француз Рене Декарт в
своем сочинении «Диоптрика», изданном в 1637 г., дал
формулировку закона преломления, которой мы пользуемся сегодня.
Неизвестно, знал ли Декарт об исследованиях Снеллиуса или
27

нет, но уж точно известно, что ни Виллеброрд Снеллиус, ни
Рене Декарт понятия не имели, что показатель преломления
света зависит от скорости света в среде.
Только много позже было обнаружено, что показатель
преломления можно найти как отношение скорости света в
вакууме к скорости света в испытуемой среде.
Можно лишь удивляться, что такой простой, на первый
взгляд, закон преломления света действительно является
результатом большого труда великих людей нашей цивилизации на
протяжении почти двух тысяч лет!
Этому удивительному свойству лучей «ломаться» при своем прохождении
через различные среды обязано множество наблюдаемых нами «забавных» зрительных
иллюзий.
Например, вспомните, насколько смешно выглядит, человек, вошедший по
пояс в реку. Человеку, находящемуся на берегу, кажется, что у человека в воде ноги
стали намного короче (рис. 1.17).
Объяснить такой «эффект» несложно: глаза и мозг человека в течение многих
веков «усваивали», что свет распространяется только прямолинейно и доныне
понятия не имеют о том, что он может менять свое направление. Глаза видят ступни ног,
но видят их на продолжении прямого луча. В результате этого и происходит
«коррекция» фигуры человека, «наполовину» находящегося в воде.
Попытаемся разобраться, что же происходит на самом деле. Для этого
обратимся к рис. 1.18.
Пусть луч АВ, свободно распространяющийся в некоторой среде I, встречает
на своем пути поверхность раздела двух сред I—II. На границе этих сред он
разделится на два луча, один из которых отразится в полном соответствии с законом
отражения, а другой, претерпев преломление и несколько изменив направление своего
первоначального распространения, продолжит путь в среде II. Но преломленный луч
в среде меняет свое направление не произвольно, «как ему вздумается», а строго
подчиняясь тем свойствам среды, в которую он проникает. Мы уже говорили о том,
что чем плотнее среда, тем скорость распространения света меньше, и наоборот, чем
меньше плотность среды, тем скорость распространения света больше. Это приводит
к тому, что в средах различной плотности оптический путь, пробегаемый световой
л
^
\
\*~
Ступни ног
кажутся здесь!
А в действительности
они здесь!
Рис. 1.17. «Чудеса» на реке.
28

Падающий луч ^ Отраженный луч
у D
Среда I
Среда II
N
-Е2
С Преломленный луч
Рис. 1.18. К закону преломления света.
волной, будет различен. Именно это различие путей приводит к изменению
направления распространения света.
Условие, связывающее углы падения и преломления со свойствами сред, в
которых луч распространяется, и носит название закона преломления (четвертый закон
геометрической оптики). Этот закон состоит из двух частей.
• Первая часть закона утверждает, что лучи падающий и преломленный лежат в
одной плоскости с нормалью NN, восстановленной к границе раздела двух
сред в точке падения луча (см. рис. 1.18).
• Вторая часть констатирует, что отношение синуса угла падения -£ь
образованного преломленным лучом и нормалью к границе раздела двух сред в точке
падения луча В, к синусу угла преломления -£2, образованному преломленным
лучом и той же нормалью, для каждой среды есть величина постоянная, равная
отношению показателей преломления этих сред.
В аналитической форме (в декартовой формулировке) он выглядит
следующим образом:
sin(-£|) = sine! n2 „ 19
sin(-£2) sin£2 щ
Исходя из аналитического представления закона преломления, его можно
сформулировать несколько иначе:
• Преломленный луч при падении света на изотропную среду лежит в плоскости
падения и образует с нормалью к границе раздела сред угол -е2 (угол
преломления), определяемый соотношением
(1.19а)
й
WjSlIlEi = W2S1I1£2.
Замечание: Нередко закон преломления Вы можете
встретить и в такой форме записи:
nsine = n'sine',
где £ и г' — углы падения и преломления соответственно, а
п и ri — показатели преломления сред.
В знак уважения к первооткрывателю этого закона Виллеброрду Снеллиусу
закон преломления нередко называют просто законом Снеллиуса.
Зная, что показатель преломления представляет собой отношение скорости
света в вакууме с к скорости света в прозрачной среде v, т. е. п = c/v, можно выразить
29

Нормаль
Падающий
луч
\
|Eil>|e2|
Преломленный
луч
* *
Воздух (а?,)
Стекло (п2)
Преломленный
луч
Нормаль
<ГЕг
'/, 'Л
е. < Ы
Воздух (п2)
Стекло (я,)
|_8\ Падающий
луч
Рис. 1.19. К закону преломления света при распространении из воздуха
в стекло (а) и из стекла в воздух (б).
закон преломления, воспользовавшись современными знаниями, через скорости
распространения света в средах в следующем виде:
sing) п2 vx
sin£2 п\ v2
(1.20)
где Vj и v2 — скорости распространения света соответственно в первой и второй
средах.
Исходя из закона Снеллиуса, можно утверждать, что всякий раз, когда луч
света попадает в более плотную среду, где скорость света меньше, т. е.
v2 < Vj (или показатель преломления больше: п2 > щ\ луч приближается
к н о р м а л и, т. е. |е2| < |б||.
Если же луч света попадает в среду менее плотную, где скорость света
больше: v2 > v, (или показатель преломления меньше: п2 < пх\ луч
отклоняется от нормали, т. е. |б2| > |£j|. Оба эти случая отображены на рис. 1.19.
В оптике наиболее часто встречаются задачи, когда свет, проникая из воздуха
в оптическую систему, встречает различные оптические элементы, выполненные из
оптического стекла. В этом случае, принимая показатель преломления воздуха щ « 1,
выражение (1.20) можно переписать в более простой (компактной) форме:
sine
sin£2
л,
(1.21)
где п = п2 — показатель преломления стекла (прозрачной среды).
Однако применять эту простую формулу нужно с особой осторожностью,
никогда не забывая, что падающий луч света приходит из воздуха. Если же падающий
луч приходит из некой среды с показателем преломления, отличным от единицы,
лучше использовать более полную форму записи закона Снеллиуса (1.20).
й
Замечание: Нередко закон отражения рассматривают как
частный случай закона преломления, считая при этом, что
показатель преломления «второй» среды л', куда попадает
отраженный луч, равен показателю первой среды п, но взятому со
знаком минус: л' = -л.
Конечно, в отрицательном значении показателя
преломления нет никакого физического смысла, однако в отдельных
случаях с помощью такой «условности» в геометрической
оптике проще вести расчет хода лучей!
Посмотрите, как получится отрицательное значение
отраженного угла:
30

nsine = n sine => n = -n
Откуда следует, что £ = -e'!
nsm £ = -nsine
Графическое
построение хода
луча, преломленного
на плоской границе
раздела двух сред
Для определения хода преломленного луча
применим тот же способ, который мы использовали для
определения направления отраженного луча, когда
знакомились с законом отражения.
Пусть луч света АС из среды менее плотной,
например из воздуха (яВозХ попадает в среду более
J плотную — стекло с показателем преломления яст под
углом £ к плоской границе раздела этих сред
(рис. 1.20, а).
Для определения хода преломленного луча проведем две окружности с
центром в точке С, точке преломления падающего луча, радиусы которых выберем
пропорциональными значениям показателей преломления сред пвоз= 1,00 и псг= 1,50.
(На рисунке эти окружности высвечены соответственно светло-голубым и
светлосерым пунктиром.)
Учитывая, что падающий луч света распространяется в воздухе, найдем точку
пересечения его с окружностью, радиус которой пропорционален показателю
преломления воздуха (точка Mj). Из этой точки проведем прямую линию, параллельную
нормали NN к плоскости раздела сред воздух—стекло, и продолжим ее до
пересечения с окружностью (точка М2), радиус которой пропорционален показателю
преломления стекла. Из точки М2 проведем прямую линию, перпендикулярную нормали
NN, до пересечения с нашей окружностью (точка L). Эта точка и определит
направление распространения преломленного луча в стекле.
Проведем из точки М\ перпендикуляр к нормали NN (точка Rj), а для
окружности в стекле воспользуемся величиной полухорды R2L. Так как мы прорисовали
окружности радиусами, пропорциональными показателям сред, то можно записать,
что их радиусы будут соответственно равны MjC = г х явоз, a CL = г х пст (где г —
произвольно выбранный исходный радиус, например, равный единице).
Тогда значения синусов углов падения и преломления можно найти как
MiR, . , LR> LR2
"^J- И -S1I1£' = = *-•
M1R1
-S1I1£ = уг = ■
CL
Г X Пгг
N; В
Рис. 1.20. Графическое определение направления распространения луча, преломленного
на плоской границе раздела двух сред: из воздуха в стекло (а) и из стекла в воздух (б).
31

Из графических построений также следует, что LR2 = M2R2 = MjRj. Ну, а
теперь совсем все просто: если первое равенство поделить на второе, то получим
выражение для закона Снеллиуса:
sin£ псг
sin£ п.
'воз
Что, собственно, и требовалось доказать!
Если же луч света идет из более плотной среды (стекла) в менее плотную
(воздух), то графические построения, выполняемые для определения направления хода
преломленного луча, отличаются от предыдущего примера только тем, что сначала
находят точку пересечения падающего луча с окружностью, радиус которой
пропорционален показателю преломления более плотной среды (на рис. 1.20, б высвечена
светло-серым пунктиром). Затем из этой точки проводят прямую линию,
параллельную нормали к границе раздела двух сред, до пересечения с окружностью, радиус
которой пропорционален показателю преломления среды менее плотной. Ну, а все
остальное, как в предыдущем примере.
Кстати, в обоих примерах нижние индексы букв определяют порядок поиска
характерных точек при графических построениях.
Замечание: В основе всех графических построений лежат
длины оптических путей света, которые он проходит в
различных средах за одно и то же время. Изменение длины
оптического пути, который пробегает световая волна в различных
средах, приводит к изменению направления ее
распространения, а луч света, являясь нормалью к распространяющейся
световой волне, по сути, отражает изменение направления ее
распространения.
Как видите, выполненные графические построения мало чем отличаются от
рассмотренного выше способа (или метода) равных засечек или равных отрезков.
Эффекты при I Теперь, набравшись знаний, связанных с законом
ппохождении I преломления, попытаемся с научной точки зрения объяс-
свега через среды i нить, почему же у человека, находящегося по пояс в воде,
pa *шчной I ноги «становятся» короче?
и ю i носщ Для пРостоты рассуждений выберем в качестве
объекта наблюдения точечный источник излучения А и,
хотя бы на бумаге, расположим его под водой (рис. 1.21, а).
Найти расстояние, на котором мы его увидим, наблюдая из воздуха, с Вашим-то
опытом труда не составит. Лучи света, распространяясь в воде, среде более плотной, чем
воздух (явод > явоз), на выходе из нее отклонятся от нормали NN. Причем угол
преломления -£', в соответствии с законом преломления, будет больше угла падения -£.
Если теперь мы продолжим лучи, вышедшие из воды, в обратном направлении, то
увидим источник света на пересечении их продолжений в точке А'.
Принимая во внимание, что углы, под которыми лучи от источника излучения
попадают в глаза человека, по своим значениям невелики (на рисунке мы вынуждены
сильно увеличивать углы для лучшей читабельности чертежа), закон преломления
-«вод х sin£ = -явоз х sins' можно переписать в виде явод х £ = пвоз х £' или
7=ТГ' С-22)
Ь "вод
а значения углов найти как
32

a
^воз
v
BW
! \
i V
Ci
^вод
- "^
_ _ _
Рис. 1
>
-e
—
.21
Л
A
n
:N
jo
0
T v—
\i
f
<
•г Bi
c2
' f 4
s'
ei^~l
— ~
. Положение
_ _ _
О
А'
N
•>*.
к
s'
1 /А
| [ Т
s
\ е.-
*1/ >*
\
V-e
^\
^воз
\ Т с,; \о чС2
~ "X (ц^__
"вод
^~
в"_"Л"_"_"_"5_"_"
~ у
-f_ _
в2
— "■' """""
предмета и его изображения при наблюдении предмета |
из воздух
а (а) и из воды (б).
1
6 =
СгО СгО ,_СО СО
С,А
С,А'
(1.23)
После простой подстановки (1.23) в (1.22) и простых преобразований получим:
^вод
(1.24)
Из последнего выражения следует, если показатель среды, в которой
располагается объект наблюдения, больше показателя среды, из которой ведется его
наблюдение (для нашего случая пвоп > пв03), то расстояние от границы раздела до объекта
наблюдения будет казаться меньше, чем есть на самом деле.
Если принять, что показатель преломления воды пвоа = 1,33, то это расстояние
будет равно
5'=Тзз*
Аналогично, можно показать, что при наблюдении объекта, расположенного в
среде менее плотной, из среды более плотной (из воды в воздух) расстояние от
объекта наблюдения до границы раздела этих сред будет казаться больше, чем на самом
деле (рис. 1.21, б): s' = 1,33 х s.
Полное
внутреннее
отражение
Рассмотрим более подробно случай, когда свет
падает из среды с большим показателем преломления в
среду с меньшим показателем преломления (рис. 1.22),
например, из стекла в воздух (луч SA). При некотором угле
падения угол преломления может достигнуть величины
90°, при этом преломленный луч света начнет скользить
по поверхности стекла (луч SB). Угол падения луча, при котором преломленный луч
начнет скользить по поверхности более плотной среды, называется критическим
углом Окр. Его можно легко определить, исходя из закона Снеллиуса:
33

щ (щ > п2)
S .
Рис. 1.22. Полное внутреннее отражение.
С
sinS„ = ^sin90°=^
3,
(1.25)
sin&Kp = — = 0,666,
При угле падения О < Зщ, часть света, идущего из среды с большим
показателем преломления (стекла), отразится от границы раздела, а часть преломится и
пройдет в среду с меньшим показателем преломления.
Если же угол падения будет превышать критический угол Экр, т. е. Э > Экр, то
синус критического угла должен стать больше единицы. Но синус любого угла не
может превышать единицы. А это значит, что преломленный луч будет отсутствовать, и
весь свет будет отражаться поверхностью среды с большим показателем преломления
(луч SC). Это интересное явление получило в оптике название полного внутреннего
отражения, а угол S^ — предельного угла полного внутреннего отражения.
Например, синус критического угла на границе раздела стекло—воздух (п2 =
= 1, п\ « 1,5), согласно (1.25), будет иметь значение
J_
а сам угол будет иметь величину S^ « 41° 16'.
Именно на этом принципе основана вся оптоволоконная оптика. Очень тонкие
стеклянные или пластиковые волокна собираются в один жгут, образуя так
называемые световоды или оптоволоконные системы передачи изображения. Свет в
подобных световодах в результате полного внутреннего отражения от границы раздела
двух сред с различными показателями преломления «перемещается» по световоду с
весьма малыми потерями. Эта особенность световодов вместе с исключительно
большой шириной полосы пропускания оптических сигналов в виде пучков света,
промодулированных по амплитуде, позволяет «организовать» в оптоволокне
передачу информации по гигантскому количеству каналов.
На рис. 1.23 показано распространение осевого луча пучка света в
стекловолокне с оболочкой. Показатель преломления сердцевины волокна псер всегда больше
показателя преломления оболочки п^. Луч света, попадая через торец внутрь
стекловолокна, испытывает многократное полное внутреннее отражение от его боковых
поверхностей и практически без потерь выходит из него.
ми,
и,= 1
...
"об
V* и
«1 = 1
Рис. 1.23. Ход осевого луча света в стекловолокне с оболочкой (исср > п^).
34

На входе и выходе «действия» луча полностью подчиняются закону
преломления (система находится в воздухе):
sinSi = ncep sin S(, sin02 = псер sin 02,
а внутри стекловолокна — условию полного внутреннего отражения, согласно которому
sina > wo6/wCep.
Для уменьшения потерь в стекловолокне обычно для изготовления его
сердцевины используют тяжелые флинты, а для оболочки — легкие кроны.
В сложных оптоволоконных системах передачи визуальной информации
нередко используют дополнительные оптические элементы и системы, позволяющие
рассматривать передаваемое изображение.
Принцип
обратимости
лучей
Уже из простого закона отражения, как,
собственно, и из закона преломления, вытекает одно очень важное
следствие геометрической оптики: свойство
«обратимости» лучей.
Это означает, что если луч, распространяясь слева
направо (или сверху вниз), идет по определенному пути, то в обратном направлении,
справа налево (или снизу вверх) он пойдет по тому же самому пути.
Можно сформулировать этот принцип и несколько иначе: отраженный луч
света всегда можно заменить на падающий луч, а падающий луч — на отраженный,
равно, как преломленный луч всегда можно заменить на падающий, а падающий
луч — на преломленный.
1.6. Прохождение пучков света
через плоскопараллельную пластину
Но вернемся к традиционным оптическим компонентам (деталям). На
протяжении всей книги нас в большей степени будет интересовать не технология их
изготовления, а влияние компонентов на распространяющийся свет. При этом,
по-прежнему, мы будем рассматривать световую волну как некую совокупность прямых
линий— пучка лучей, направление распространения которых и будет определять
направление распространения световой волны. Такое представление позволяет изучать
изменение направления распространения световой волны при ее встрече с
оптическими элементами на примере всего лишь одной линии — одного луча. От этого
рисунок становится только «чище» и понятнее, но не следует забывать, что этот луч —
один из множества лучей пучка и все остальные его «собратья» просто «по физике»
должны следовать его примеру!
|Для начала выберем самую простую оптическую
деталь — плоскопараллельную пластину произвольной
толщины. Вряд ли можно найти что-то проще! Но вместе
пластина с тем эта пластина даст нам возможность понять, что же
в параллельном I МОжет происходить со светом при его встрече с оптиче-
нучкесвега I скими компонентами. Сначала рассмотрим случай, когда
на идеальную плоскопараллельную пластину,
расположенную в воздухе, падает пучок параллельных между
собой лучей.
Замечание: Под идеальной плоскопараллельной пластиной
мы будем понимать стеклянную пластину с совершенно
параллельными рабочими гранями.
35

Под осевыми лучами мы будем понимать лучи, являющиеся
одновременно осью симметрии пучка. Естественно, в случае
параллельных лучей осевым лучом может служить любой из них.
Будем считать, что мы ничего не знаем о том, как поведут себя лучи пучка
света при их прохождении сквозь плоскопараллельную пластину. Однако мы уже
знакомы с правилами графических построений, которые использовали выше для
определения хода лучей света при их распространении в различных «неоднородно-
стях». Эти правила универсальны, и их можно легко применить для анализа
возможного изменения хода лучей и в плоскопараллельных пластинах.
Обратимся к рис. 1.24. На нем показаны два варианта возможной встречи
пучка параллельных лучей с идеальной плоскопараллельной пластиной, расположенной
в воздухе.
В одном случае пучок плоскопараллельных лучей падает на
плоскопараллельную пластину по нормали к ее поверхности (а), а во втором — под некоторым углом
к ней а = £j (б).
С помощью графических построений можно легко проследить за ходом пучка
параллельных лучей, падающих на плоскопараллельную пластину по нормали к ее
рабочей поверхности. Для этого, уже известным нам способом, определим
направление их распространения внутри пластины (после их преломления на первой
поверхности) и на ее выходе (после их преломления на второй поверхности).
Графические построения у Вас не должны вызвать затруднений. Заметим, что
показатели преломления сред, в которых распространяется пучок лучей и
пропорционально которым выбираются радиусы вспомогательных окружностей,
соответственно равны щ = 1 и п2 = 1,5. Как обычно, пучо|с лучей света распространяется в
пространстве слева направо.
Для первого случая (рис. 1.24, а) при нормальном падении пучка лучей
нормаль к поверхности пластины в точке падения луча совпадает с его направлением
распространения. Естественно, что в этом случае и точки встречи падающего и
преломленного лучей со вспомогательными окружностями будут лежать на их
диаметрах. То есть падающий луч при проникновении внутрь пластины не будет
испытывать преломления и выйдет из нее, сохранив свое первоначальное направление.
Несколько иначе будут выполняться графические построения для второго
случая (рис. 1.24, б), когда пучок параллельных лучей встречает плоскопараллельную
пластину под неким углом а. Прежде всего, падающий луч встретит (в точке а) вспо-
а = 0
,-■■■" '"]
/ .•••'" '"">-
!'е ^ 0° /
спад: v ^ :
\ '•■:. .X
-^"
3^~
п2
\ / \ ^ВЫХ \
d I
>-:
/П\
Г
■••■j* Р" .о*^г&
L^r-ЗГС
23
I
'"■ </::'ц "1 '"'••■ ,--'"\
:.*•"'••" П2/■■■:".. -о i^ "
r-*"D
Рис. 1.24. Прохождение параллельного пучка лучей сквозь плоскопараллельную пластину,
расположенную нормально (а) и наклонно (б) относительно падающих лучей.
36

могательную окружность, диаметр которой пропорционален показателю
преломления воздуха.
Для того чтобы определить направление распространения преломленного луча
в пластине, мы должны через провести вспомогательную прямую линию ab,
параллельную нормали к поверхности пластины, до ее пересечения со вспомогательной
окружностью, диаметр которой пропорционален показателю преломления пластины
(точка Ь). Затем из точки b следует провести перпендикуляр к нормали, продолжив
его до его пересечения с окружностью (точка с). Направление, задаваемое точками В
и с, определит направление распространения преломленного луча ВС в пластине.
Точно так же мы можем получить направление распространения луча на
выходе из пластины. Только теперь исходной (начальной) вспомогательной
окружностью будет служить окружность, диаметр которой пропорционален показателю
преломления пластины.
Мы все же показали графическое определение хода лучей для одного из лучей.
Вы же, если вдруг у Вас появится желание (в чем, правда, мы очень сомневаемся!),
можете выполнить графические построения (для практики!) для всех лучей,
показанных на рисунке.
Но вернемся к анализу хода лучей. При нормальном падении пучка
параллельных лучей на поверхность плоскопараллельной пластины (см. рис. 1.24, а) на ее
выходе мы не увидели никаких изменений. Пучки, как вошли в пластину в «строгом»
порядке, так же «красиво» и вышли из нее, не изменив ни своего направления, ни
своего положения. Но стоило нам только наклонить пластину (см. рис. 1.24, б) на
угол а, как все параллельные между собой лучи внутри пластины «дружно»
изменили направление своего распространения. Но, обратите внимание, на выходе из нее
они вновь «пошли» в своем первоначальном направлении. Естественно, что и в этом
случае мы не заметили никаких изменений в пучке лучей. Однако по графическим
построениям все лучи пучка «синхронно» сместились в поперечном направлении на
величину е, пропорциональную углу поворота пластины.
Это же утверждает и формульный анализ хода лучей. Обратимся к рис. 1.24, б
и, используя закон преломления, вычислим последовательно значения всех углов
(падения и преломления), определяющих направление хода лучей в
плоскопараллельной пластине и на выходе из нее.
Очевидно, закон преломления для первой поверхности можно записать так:
«jsine, = n2sine[,
где £i = а. С учетом того, что коэффициент преломления воздуха равен единице
{щ = 1), перепишем закон в более простой форме:
sine, = /72 sin e[. (1.26)
Так как в плоскопараллельной пластине угол падения на ее вторую поверхность
равен преломленному углу на ее первой поверхности, т. е. е[ = е2, то закон
преломления луча на второй поверхности пластины имеет вид
sin£2 = w2sinei. (1.27)
Сравнивая (1.26) и (1.27), получим, что
е,=^ = а, (1.28)
т. е. угол, под которым выходит луч из плоскопараллельной пластины, равен углу
падения луча на ее входе.
Отметим особо, что выражение (1.28) справедливо, если плоскопараллельная
пластина абсолютно идеальна, т. е. ее рабочие грани (поверхности) строго
параллельны между собой.
37

Вообще мы получили очень интересный результат: под каким бы углом луч ни
входил в плоскопараллельную пластину, под тем же самым углом он должен выйти
из нее.
Обратите внимание, все вычисления (вернее, рассуждения!) мы проводили в
общем виде, поэтому полученный результат можно распространить на любые
значения углов. С такой же долей уверенности можно утверждать, что при прохождении
лучей любого направления (при любом угле падения!) сквозь плоскопараллельную
пластину на ее выходе лучи остаются «верными» своему первоначальному
направлению (т. е. не изменяют направление своего первоначального распространения!).
й
Замечание: Не ленитесь еще раз внимательно просмотреть
в этой цепочке последовательность всех вычислений.
Особенного в ней ничего нет, она довольно проста. Просто обратите
внимание на изменение порядка следования углов и
показателей преломления сред, которые последовательно проходит луч!
Теперь не стоит и задумываться: если угол падения пучка параллельных лучей
на первую поверхность плоскопараллельной пластины равен нулю (£11ад = 0°), то и на
выходе из нее мы получим пучок параллельных лучей, нормальных к ее второй
поверхности (£вых = 0°), т. е. распространяющихся в своем первоначальном направлении
(см. рис. 1.24, а).
Если же мы развернем плоскопараллельную пластину вокруг горизонтальной
(или вертикальной) оси (см. рис. 1.24, б) на угол а, например, в 10°, то угол падения
пучка параллельных лучей на первую поверхность пластины, естественно, будет таким
же. На выходе из пластины, в соответствии с (1.28), мы получим пучок параллельных
лучей, распространяющихся в пространстве за пластиной в направлении, задаваемом
углом преломления на ее второй поверхности (а = 10°). Иными словами, на выходе из
пластины мы получим пучок параллельных лучей, распространяющийся в том же
направлении, в каком распространялся пучок лучей на ее входе.
Настала пора сказать несколько слов и о поперечном смещении пучка на
выходе из пластины. Найти это смещение совсем несложно. Обратимся к рис. 1.25.
п\
п2
П\
О
\V = Z\..
Рис. 1.25. Смещение пучка параллельных лучей при косом падении
на плоскопараллельную пластину.
38

На нем показана та же самая развернутая плоскопараллельная пластина со
всеми углами, которые определяют ход параллельных между собой лучей при их
прохождении через плоскопараллельную пластину. Найти величину смещения луча е
(или лучей) на выходе из пластины действительно несложно, если воспользоваться
«услугами» треугольников ABC и ABD.
Из треугольника ABC можно найти
e = ABxsin(£,- ej), (1.29)
а из треугольника ABD
АВ=—^т- (1.30)
COS£, V '
Подставив (1.30) в (1.29), найдем смещение
e=sin(£'-£;)4 (1.31)
cose!
п\ •
где б 1 согласно закону преломления находится из уравнения sinei = —sine!.
Вот и все!
Ну, а мы пойдем дальше. Казалось бы, что плоскопараллельная пластинка,
расположенная на пути следования пучков лучей, ничего не меняет. Меняет, да еще как!
Плоскопараллельная Выше мы Уже говорили, что лучи в пучке
пластина в сходящемся I могУт быть параллельными, представляя собой
света I геометрический эквивалент плоской волны, или
сходящимися (расходящимися), представляя собой
" в этом случае геометрический эквивалент
сферической волны. Плоские и сферические волны, имея
«по физике» одну и ту же природу, оказывается, при встрече с плоскопараллельной
пластиной ведут себя совершенно по-разному, хотя и подчиняются при своем
распространении одному и тому же закону — закону преломления.
Выполним на бумаге простые графические построения, которые помогут нам
проанализировать ход расходящегося пучка через плоскопараллельную пластину
(рис. 1.26).
На рисунке (который Вы вполне смогли бы прорисовать самостоятельно)
показан случай, когда на плоскопараллельную пластину падает расходящийся пучок
лучей, но падает таким образом, что его осевой луч ОО нормален к поверхности
плоскопараллельной пластины, т. е. угол падения £пал осевого пучка лучей равен
нулю. Опираясь на предыдущие рассуждения, можно утверждать, что в этом случае
осевой луч при своем распространении внутри пластины и вне ее не будет менять
направление своего первоначального распространения.
В то же время все остальные лучи расходящегося (или сходящегося) пучка
лучей (как то ABCD, ABjCjDb AB|C|D| и AB'C'D') будут встречать поверхность
пластины под разными углами. Каждый отдельный луч расходящегося (или
сходящегося) пучка будет иметь свой «индивидуальный» угол падения, а значит, и свой
«индивидуальный» угол преломления на выходе из пластины.
Однако и в этом случае равенство (1.28) будет оставаться справедливым, т. е.
если косой луч и будет входить в пластину под своим «индивидуальным» углом, то
на выходе из нее он будет следовать в прежнем направлении и его угол преломления
будет равен его же углу падения.
39

Рис. 1.26. Нарушение гомоцентричности расходящегося пучка лучей
плоскопараллельной пластиной.
Но, как и в случае наклонного падения пучка параллельных лучей на
плоскопараллельную пластину (рис. 1.26), косой луч расходящегося (неважно, или
сходящегося) пучка за пластиной должен сместиться.
В то же время в любом расходящемся или сходящемся пучке лучей всегда
можно выделить пару лучей, расположенных симметрично относительно его осевого
луча (оси симметрии пучка), которые при встрече с плоскопараллельной пластиной
будут иметь равные (по модулю) углы падения. Пересечение именно этой пары
симметрично расположенных относительно оси пучка лучей будет определять
местоположение в пространстве самого источника излучения или его изображения.
г;, Замечание: Конечно, в расходящемся (или сходящемся)
\l пучке таких пар — бесчисленное множество, и все вместе они
образуют конус, вершиной которого служит точечный источник
излучения, породивший их, или его изображение в виде точки,
в которую в идеальном случае «стягиваются» все лучи
сходящегося пучка.
Понятно, что пара лучей, падающих под одним и тем же
углом на поверхность плоскопараллельной пластины, — это
просто след осевого сечения этого конуса.
Вот здесь и начинается один из «сюрпризов» плоскопараллельных пластин.
Представим себе, что источник излучения А мы рассматриваем через
плоскопараллельную пластину (все тот же рис. 1.26). Естественно, в глаза попадают только
«хвосты» лучей, уже дважды преломленных пластиной. Причем направления этих
«хвостов» определяются отрезками лучей CD, QDi и симметричными им отрезками CD',
c;d;.
Но если человек понимает, то глаз не «воспринимает», что эти направления, по
сути, результат двух преломлений. Глаз «знает» лишь одно: «свет распространяется
только прямолинейно»! И для создания образа источника он «достраивает» эти лучи
в обратном направлении. Вспомните наши «водные процедуры»! На рисунке обрат-
40

ный ход лучей высвечен зеленым пунктиром, а полученные в результате
изображения источника — зелеными точками.
Само собой разумеется, сколько в пучке лучей (а их бесчисленное
множество) — столько мы получим «фиктивных» изображений источников света. Правда, все
они сольются в один расплывчатый «клубок». Вместо точечного источника А в мозге
человека «отпечатается» некое расплывчатое пятно с размером, определяемым
расстоянием между точками А и А". И, пожалуй, самое важное: даже из простых
графических построений становится ясным, что при прохождении гомоцентрического
пучка лучей, излучаемого точечным источником света сквозь плоскопараллельную
пластину, гомоцентричность пучка нарушается.
Но обратите внимание, чем ближе к оси проходит луч, формирующий
изображение источника излучения, тем сильнее изображение источника приближается к его
действительному положению. Можно видеть, что расстояния s > s' > s".
Все это позволяет надеяться, что при малых углах падения, когда
расходимость (или его сходимость) пучка невелика, гомоцентричность пучка лучей в какой-
то степени будет сохранена!
Замечание: Именно благодаря малым углам, под которыми
рассматривается точечный источник излучения через толстую
плоскопараллельную пластину, мы получаем изображение
источника излучения достаточно высокого качества, в котором
трудно обнаружить какие-либо заметные искажения. Но в оптических
системах эти углы могут быть достаточно велики и искажения в
создаваемых изображениях могут достигать заметных величин.
В заключение скажем, что разность расстояний s и s" в оптике называют
продольной сферической аберрацией.
Но и это еще не все! Нетрудно убедиться, что, как и в случае параллельного
пучка лучей, при наклоне плоскопараллельной пластины лучи расходящегося пучка
будут смещаться в поперечном направлении.
Это можно показать с помощью тех же графических построений (рис. 1.27).
На рисунке показано прохождение сходящегося пучка сквозь плоскопараллельную
Рис. 1.27. Смещение сходящегося пучка при повороте плоскопараллельной пластины.
41

пластину при ее нормальном и наклонном положениях. Все обозначения идентичны
обозначениям, как и в случае параллельных лучей (см. рис. 1.24, б). Очевидно,
смещение осевого луча, а с ним и изображения источника излучения, можно найти по
формуле (1.31), полученной для случая наклонного падения пучка параллельных лучей.
Графически можно определить и направление распространения косых пучков
сквозь плоскопараллельную пластину и проследить за их участием в формировании
изображения источника излучения.
Теперь можно более детально разобраться, что же
происходит с косыми лучами сходящегося (или
расходящегося) пучка при его встрече с плоскопараллельной
пластиной.
Выберем из всей массы лучей сходящегося пучка
один единственный косой луч (рисунок будет чище!)
и проанализируем его ход сквозь плоскопараллельную
пластину (рис. 1.28). Надеемся, что все графические построения Вам понятны, и мы
не будем на них останавливаться.
Продольное
смещение косого
луча света
плоскопараллельной
пластиной
й
Замечание: Следует сказать, что в принципе совсем
неважно, поворачиваем ли мы в пространстве плоскопараллельную
пластину на угол ст или лучи параллельного пучка лучей
встречают ее под углом падения ст.
Для простоты дальнейших обсуждений мы провели на рисунке некую прямую
OiCb, нормальную к рабочим поверхностям плоскопараллельной пластины.
Но теперь обратите внимание: если продолжить преломленные лучи пучка до
их пересечения с прямой Oj02, то можно увидеть, что луч, падающий на пластину
под некоторым углом, на ее выходе смещается не только в поперечном, но ив
продольном направлении. А это уже интересно!
^Ч--^ = ст V
Рис. 1.28. Поперечное (е) и продольное (I) смещения луча при прохождении
через плоскопараллельную пластину.
42

Зная поперечное смещение е (1.31), из треугольника ADA' нетрудно найти
продольное смещение L луча АА':
i<__f_=sin(E,-s;)</> (132)
sin £2 cos£[sin£2
а если учесть, что г'2 = £ь то выражение (1.32) можно переписать в виде
sin£j coseJ -cos£jsin£[ ,
L= — d9
COS£j Sin£!
или окончательно:
1 -g"> (1.33)
Выражения (1.31) и (1.33) можно значительно упростить, если принять, что
углы, под которыми пучки параллельных лучей встречают плоскопараллельную
пластину, достаточно малы и допустима замена тригонометрических функций их
значениями в радианной мере: tg£j « £1 и tg£[ « г\.
Не забывая, что в данном случае закон преломления можно записать как г\ и
«£i/«, где п = п2 (п\ = 1), то после простых подстановок формулы для продольного
(1.33) и поперечного (1.31) смещений примут совсем простой вид:
Л_1\/, (1.34)
е = су\^У (1.35)
На практике при определении возможного смещения вообще пользуются
грубой оценкой. Например, если принять значение показателя преломления стекла, из
которого изготовлена пластина, равным п— 1,5, то продольное смещение
изображения согласно (1.34) будет равно примерно одной трети ее толщины:
!*!> (1.36)
а поперечное, соответственно
е = охт- (1-37)
Обратите внимание на то, что продольное смещение лучей зависит только от
толщины плоскопараллельной пластины, а поперечное еще вдобавок — и от угла
встречи луча с поверхностью плоскопараллельной пластины.
Пусть Вас не удивляет, что мы столько сил и времени потратили на «какие-то
плоскопараллельные стекла». Но все, что присуще плоскопараллельным пластинам
(и хорошее, и плохое), оказывается в равной мере характерно и различным
отклоняющим элементам оптических систем, выполненным в виде различных призм.
Откровенно говоря, учитывать каждый раз при га-
Редукция баритных расчетах оптических систем толщину
плоскоплоско- параллельных пластин и связанных с ней возможных сме-
параллелънои щений распространяющихся в системе лучей — не очень
пластины уЖ благодарное занятие. Значительно проще было бы рас-
1 считывать систему, если бы плоскопараллельные
пластины и подобные им оптические элементы как бы
отсутствовали в оптической схеме. Это кажется, на первый взгляд, невозможным. Но
обратимся к рис. 1.29.
43

N
h = h0
П\
M
К
в,
:^.
-<—
п2
d0
в2
М'
!
1
i
i
i
j
>v i
i ^S.
i ^>
i
;
IГ
1/3 d
d
>~
H
N
A0
•o
+±»
Рис. 1.29. Редукция плоскопараллельной пластины (п2 = 1,5).
На нем вновь отображена плоскопараллельная пластина толщиной d
(высвечена серым пунктиром), на которую падает луч света ABj. Преломившись на первой
поверхности пластины в точке Вь он встретит вторую поверхность пластины в точке
BI и, преломившись на ней, пойдет по новому направлению Bi A'0.
Проведем прямую линию BjA0 как продолжение падающего луча ABj. Теперь
начнем смещать плоскость пластины МН справа налево до точки пересечения В2
нормали NN с прямой линией BjA0. Обратите внимание: расстояние B[B2 равно
расстоянию AqAq = L. При этом точка Ао совместится с точкой А0. При толщине
плоскопараллельной пластины, равной d0, очевидно, возможен случай, когда
распространяющийся луч проходит сквозь пластину без преломления. Но это произойдет только
в том случае, если показатель преломления «новой» пластины будет равен
показателю преломления воздуха, т. е. п2 = 1.
Приведение оптической среды пластины (или чего-то иного) к воздуху в
оптике называется редуцированием (reducere с латыни буквально означает всего лишь
приводить обратно, возвращать).
Из рис. 1.29 можно найти, что
d0 = d-L.
И согласно (1.34) равно:
</о=—, (1.38)
где п2 — показатель преломления среды (в нашем случае стекла). Отметим, что при
п2 = 1,5 величина d0 « 0,67d.
Замена плоскопараллельной платины ее эквивалентом, приведенным к
воздуху, значительно упрощает выполнение габаритных расчетов, но всегда необходимо
помнить, что при обратном переходе от редуцированных пластин к реальным следует
учитывать смещение луча L.
1.7. Отражательные и преломляющие призмы
В основе конструирования любых оптических деталей лежат в принципе два
закона — закон отражения и закон преломления света. Действительно, если в резуль-
44

тате изменения углов падения и показателей преломления сред, в которых
распространяется свет, мы можем каким-то образом управлять направлением его
распространения, то законы независимого и прямолинейного распространения в
геометрической оптике лежат вне круга нашего влияния и принимаются нами как данность,
без всяких обсуждений.
Именно законы отражения и преломления используются во всю мощь при
конструировании оптических элементов, управляющих направлением
распространения света. К этим элементам можно отнести оптические детали с плоскими
отражающими и преломляющими поверхностями, образующими между собой
двугранные углы. В оптике такие элементы принято называть призмами. Сечение призмы
плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла, принято называть главным
сечением призмы, а угол, образованный входящим в призму и выходящим из нее
лучами, — углом отклонения.
По характеру воздействия граней призм на направление распространения света
их делят на две группы. К одной из них, к группе так называемых отражательных
призм, относят призмы, в основу действия которых положен закон отражения, а к
другой, к группе преломляющих призм, отнесены призмы, в основу действия
которых положен закон преломления света.
1.7.1. Отражательные призмы и их развертки
Уже в самом названии этих оптических элементов заложен принцип их
воздействия на распространяющиеся лучи света, связанный с законом отражения.
Обычно отражательные призмы применяют для изменения направления
распространения лучей в оптической системе, но нередко и для поворота изображения,
формируемого оптической системой.
Интуитивно понятно, что отражательные призмы можно заменить зеркалами,
но вряд ли при моделировании оптических схем (да, наверное, и не только!) это
имеет какой-либо смысл. В отражательных призмах углы между призмами неизменны.
Они не требуют юстировки, как это нередко бывает при использовании зеркал, и в то
же время при углах падения, больших углов полного внутреннего отражения,
отсутствуют потери света, а следовательно, отпадает необходимость в применении
зеркальных покрытий.
Конструкций отражательных призм и их самых различных комбинаций
существует достаточно много. В этом параграфе мы кратко рассмотрим только самые
распространенные из них. Сведения об остальных можно почерпнуть или в учебниках,
или в специализированных справочниках по оптике.
Начнем вновь с самого простого: рассмотрим прямоугольную отражательную
призму.
Прямоугольная
отражательная
призма
Прямоугольная призма в своем главном сечении
представляет обычный прямоугольный треугольник.
Однако способы ее использования могут быть различны.
В одном случае отражающей поверхностью призмы
может служить ее грань, являющаяся гипотенузой
прямоугольного треугольника (рис. 1.30, а), а в другом — грани, являющиеся катетами
прямоугольного треугольника (рис. 1.30, б).
Рассматривая рис. 1.30, прежде всего, обратите внимание, что происходит с
изображением после отражения на гранях призмы. Это важно! На рисунке мы
специально показали две взаимно-перпендикулярные стрелки разного цвета. На рис. 1.30, а
стрелки отражаются гипотенузной гранью (один раз) и в результате, как и в зеркале,
мы получаем зеркальное изображение. На рис. 1.30, б стрелки отражаются дважды:
45

14
Рис. 1.30. Отражательные прямоугольные призмы: с гипотенузной (а)
и катетными (б) отражающими гранями.
1
X
■
сначала одной катетной гранью, а затем — второй. Как и ранее в случае двух зеркал,
мы получаем прямое изображение.
Прямоугольная призма, отражающая лучи гипотенузной гранью, работает, как
одно зеркало, а отражающая двумя гранями — как два зеркала, установленные под
прямым углом.
Уже эти два рисунка не могут не натолкнуть на мысль, что призмы с нечетным
числом граней будут давать на выходе зеркальное изображение предмета, а с четным
числом граней — прямое.
Но еще интереснее то, что отражательные призмы обеспечивают равенство
углов, под которым луч входит в призму и под которым он выходит из нее после
отражения. В этом несложно убедиться, если с помощью законов преломления и отражения
проанализировать ход наклонного луча сквозь прямоугольную призму (рис. 1.31).
С подобным положением мы уже встречались, когда «разбирались» с
прохождением лучей света сквозь плоскопараллельную пластину. Там тоже наблюдалась
ситуация, когда луч выходил из пластины под тем же самым углом, под которым он
входил в нее. А это уже кое-что! И это «кое-что» позволяет дополнить
прямоугольную отражательную призму до плоскопараллельной пластины, как и показано на
рис. 1.31. По сути, мы развернули прямоугольную призму вокруг ее гипотенузной
грани, т. е. той грани, на которой падающий на нее луч претерпевает отражение.
Замечание: Нетрудно догадаться, что луч СВ'А' есть
зеркальное отображение луча СВА относительно нормали NN к
гипотенузной грани прямоугольной призмы в точке падения
вошедшего в призму луча ABC.
-е2 = е,
Рис. 1.31. Ход наклонного луча в прямоугольной призме.
46

a
I
D
* \
\
L . э[ч\
t 1l_
ч-
i |
т i 1
1 t
'■
: "<•
! d
">-
б
А
D
Y
а> п ч
1 4-
Г7'л
т
t..c и >'
б/
Рис. 1.32. Прямоугольная отражательная призма и ее развертка.
а — отражение на гипотснузной грани
б-
—
1
->►
^^
- отражение на катстных гранях призмы. 1
Под разверткой отражательных призм понимается графическое построение
эквивалентной призме плоскопараллельной пластины, толщина которой равна
геометрической (и оптической тоже!) длине пути светового луча в теле призмы. Вообще
развертку любых отражательных призм можно получить поворотом их контура
вокруг отражающих граней в той последовательности, в которой происходит
отражение осевого луча пучка от отражающих граней призмы.
Возможность замены призм их эквивалентом в виде плоскопараллельной
пластины, с одной стороны, значительно облегчает (и это Вы увидите ниже) анализ
прохождения лучей света в оптической системе, включающей в себя отражательные
призмы различного типа. Но, с другой, и настораживает: все погрешности, которые
может вносить плоскопараллельная пластина в работу оптической схемы, могут
проявиться при использовании в ней отражательных призм.
Примеры разверток прямоугольной призмы с различным числом отражающих
граней показаны на рис. 1.32.
Максимальный размер пучка параллельных лучей, который сможет пройти
через развертку прямоугольной призмы (а значит и через саму призму!), при отражении
на одной грани будет определяться размерами ее катетной грани D (рис. 1.32, а)\ при
отражении на двух гранях — половиной ее гипотенузной грани, обозначенной на
рис. 1.32, б тоже как D.
Толщину эквивалентной плоскопараллельной пластины d при различных
способах использования прямоугольной призмы (равно как и других) можно найти как
d=kxD, (1.39)
где к — численный коэффициент, определяемый типом призмы.
Для случая, отображенного на рис. 1.32, а, длина хода в эквивалентной
плоскопараллельной пластине равна катету, т. е. d= D. Поэтому к = 1. Для случая,
представленного на рис. 1.32, б, длина хода в эквивалентной плоскопараллельной
пластине равна гипотенузе, т. е. d = 2D (к = 2).
Очевидно, что коэффициент пропорциональности к в выражении (1.39)
устанавливает связь между размерами входного окна призмы, способного пропустить
пучок лучей, диаметром D и толщиной призмы d.
Замечание: Вообще коэффициент к — удивительный
коэффициент! По существу, он равен отношению длины хода луча
в призме d к световому диаметру ее входной грани D:
к = d/D. Его значение, с одной стороны, однозначно
определяет тип призмы, а с другой - способ ее использования. 06-
47

ратите внимание, даже для самой простои прямоугольной
призмы он имеет два значения: одно {к = 1), когда для отражения
используется одна грань, а второй {к = 2), когда для
отражения используются две ее грани.
Поразительно, но этот коэффициент, казалось бы,
непосредственно связанный с геометрическими параметрами призмы,
совершенно не зависит от ее размеров. И последнее,
коэффициент пропорциональности к можно найти для любых призм.
Нередко одна из плоских
граней призмы заменяется двумя
гранями, причем двугранный угол
между ними принят равным 90°.
Призмы такой конструкции обычно
называют призмой «с крышей».
На рис. 1.33 показан один из
типов таких призм. Называется она
прямоугольной призмой «с
крышей». В такой конструкции
диагональная грань призмы, обычно
плоская, заменена двумя гранями,
примыкающими друг к другу под углом
90° и напоминающими «крышу».
Так как свойства отражательных призм во многом схожи со свойствами
плоскопараллельных пластин эквивалентной толщины, представляется весьма полезным
научиться быстро строить их развертки, при этом не «ломая особо голову».
Ниже, в качестве «ликбеза», мы приведем еще несколько примеров
отражательных призм: как самостоятельных оптических элементов, так и их комбинаций,
которые находят широкое применение в оптических системах.
Рис. 1.33. Прямоугольная призма «с крышей».
Нентапризма
Интересным решением двухзеркальной системы
в виде одного моноблока является пятиугольная призма,
часто называемая пентапризмой (рис. 1.34). Построить ее
сечение и проследить ход лучей в ней несложно.
Делается это так. Для начала вычерчивается квадрат ABCD со стороной АВ,
равной световому диаметру 2г пучка лучей, который должен пройти сквозь призму в
систему. Затем через вершины квадрата А и С проводится диагональ, на продолже-
1
о
О
Рис. 1.34. Ход луча в пентапризме.
Г:
4
48

нии которой откладывается отрезок СО, равный вновь световому диаметру пучка 2г.
Полученная точка О соединяется с вершинами квадрата В и D. Точки пересечения
продолжения сторон квадрата ВС и DC с прямыми линиями OD и ОВ соединяются
прямой BjDi. В результате мы получили контур пентапризмы.
Проследить в ней ход осевого луча пучка также нетрудно. Следует только
помнить, что угол BAD между входной АВ и выходной AD гранями призмы равен
90°, а между отражающими (BBj и DDj) составляет 45°. Именно благодаря
последнему, угол между входным и выходным лучами 8 всегда будет равен 90°.
Весь ход осевого луча высвечен на рисунке оранжевым цветом.
Вообще-то следует твердо запомнить раз и навсегда, что угол отклонения
луча, отраженного последовательно от двух зеркал, установленных под углом друг к
другу, всегда равен удвоенному значению угла между зеркалами и совершенно не
зависит от угла падения, т. е. угла, под которым падающий луч встречает
поверхность первого зеркала относительно нормали к нему!
й
Замечание: Это очень важный вывод. Действительно, как
бы мы «ни крутили» пентапризму вокруг ее вертикальной оси
(и не только ее, а любую с двумя отражениями) , угол между
входным и выходным лучами согласно (1.18) всегда будет
равен удвоенному значению угла между отражающими гранями,
т. е. 90°.
Попробуйте повращать прямоугольную призму с отражением
на катетных гранях вокруг вертикальной оси (ребра прямого
угла), входной и выходной лучи будут всегда параллельны
друг другу. Иначе и быть не может: выходной луч изменит
свое направление относительно входного луча ровно на 180°
(2 х 90° = 180°) !
Несложно получить и развертку пентапризмы (рис. 1.35).
Как и в случае с прямоугольной призмой, следует последовательно развернуть
контур относительно тех граней, на которых луч света претерпевает отражение.
Толщина эквивалентной плоскопараллельной пластины представляет собой сумму
трех отрезков:
1
1
^
1
^—
ш»^^—
\
А
С
^г'
\ / N.
в/ N.
1\ /1
. \ / 1
/ i /V \ !
^Нт, г""
rf, ] d2 j
d
Рис. 1.35. Развертка пентапризмы.
di
^^
^
-:>-
■
49

d=d} + d2 + d3,
где d]=d3 = D,ad2= Dy/2.
Тогда
d=2D + Dj2 =3,41D.
Откуда следует, что коэффициент к для пентапризмы равен 3,41.
(1.40)
й
Замечание: Углы падения лучей на отражающие грани
пентапризмы равны 22° 30', т. е. меньше предельного угла
полного внутреннего отражения. Для полного отражения
попадающего в пентапризму света ее отражающие грани BBX и CCi (см.
рис. 1.35) обычно покрывают серебром.
Ромбическая Для того что^ы сместить в пространстве луч или
поизма изображение, сформированное оптической системой, па-
. раллельно самому себе, можно воспользоваться
ромбической призмой, показанной на рис. 1.36, которая, по
существу, представляет собой две прямоугольные призмы, «сложенные» по одному из
катетов.
Графически построить ее развертку тоже несложно. Достаточно два раза (по
числу отражений луча) развернуть контур призмы относительно ее отражающих граней.
Несложно найти и ее геометрические размеры. Если принять, что углы ВАС =
= СЕВ = 45°, то очевидно, что углы ABE = АСЕ = 135°. Полагая, что АВ = Д легко
получить размеры сторон ромба АС = BE = -\2D и геометрическую длину хода
в развертке: d = 2 Д где к = 2.
Призма
Шмидта
Для изменения направления распространения лучей
с «оборачиванием» изображения можно использовать приз-
_ му Шмидта, в которой проходящий луч отражается три
раза (рис. 1.37).
Призма Шмидта представляет собой равнобедренный треугольник с
двугранным углом при вершине 45°, образованной равными сторонами призмы. Угол
отклонения в призмах Шмидта, как нетрудно догадаться, равен 135°.
*■
К
1^
\
<57
£
D
■I
W \С
р
AB=CE=D
АС = ВЕ=д/2£
d=2D k=2
Рис. 1.36. Призма ромбическая (а) и ее развертка (б).
50

D
AB=-j2D=\A\D d=(\+^f2)D = 2A\D
Л = 2,41
Рис. 1.37. Призма Шмидта (с тремя отражениями) (а) и ее развертка (б).
В заключение следует сказать, что любая качественно изготовленная призма
должна обязательно разворачиваться в плоскопараллельную пластину. В противном
случае она будет вносить в систему аберрации, несимметричные относительно
осевого луча распространяющегося пучка лучей, которые в симметричной оптической
системе устранить невозможно.
1.7.2. Призменные системы
Наряду с отдельными, вполне «самостоятельными», призмами широкое
применение в оптическом приборостроении находят и самые различные комбинации,
называемые призменными системами. Они могут быть совсем простые, например
как призма Пехана (рис. 1.38, а\ или уж совсем «фантастические» (рис. 1.38, б).
Рассматривать все комбинации призм, которые используются в оптическом
приборостроении, вряд ли имеет смысл. Для этого существует достаточно много
специализированной литературы, в которой можно найти подробные описания призмен-
ных систем.
Мы же, на паре простых примеров, покажем, как можно использовать простую
комбинацию двух прямоугольных призм для полного оборачивания изображения,
получаемого в оптической системе.
Рис. 1.38. Комбинации призм:
а — призма Пехана, б — «фантазия» из прямоугольных призм.
51

Система призм
Порро I рода
Интуитивно понятно, что для того чтобы
развернуть на 180° вертикальную стрелку, достаточно
воспользоваться второй прямоугольной призмой (рис. 1.39), но
расположить ее относительно первой нужно так, чтобы их
ребра при вершинах прямого двугранного угла были перпендикулярны друг другу.
Такая комбинация прямоугольных призм, по идее, должна бы называться
именем русского изобретателя — самоучки О. Н. Малафеева, он предложил ее в 1827 г.,
но сегодня мы больше ее знаем как систему Порро I рода. Нужно сказать, что Игна-
цио Порро, итальянец по происхождению, предложил ее много позже нашего
соотечественника.
Эта система замечательна тем, что обеспечивает полное оборачивание
изображения на выходе из системы. Из рисунка видно, если одна из прямоугольных
призм оборачивает изображение вокруг одной оси, например вертикальной, то
другая — так же лихо делает это вокруг другой, горизонтальной, оси.
Подобная комбинация прямоугольных призм и сегодня находит широкое
применение в оптическом приборостроении. Например, она широко используется в
качестве оборачивающей системы в современных полевых биноклях.
г^ Это интересно: К сожалению, мы мало что знаем об
4£ О. Н. Малафееве. Об Игнацио Порро (Ignazio Porro, 17 95—
1875 гг.) нам известно несколько больше. Итальянский
военный инженер, родился в Пиньероле, учился в Военной школе в
Турине, а затем служил в итальянских инженерных войсках. Но
его истинным увлечением была оптика. В 184 8 г. Порро
бросает службу в армии и переезжает в Париж, где открывает
Institut Technomatique. С этого момента он все свое время
отдает конструированию оптических приборов.
Система призм
Порро II рода
Интересна и комбинация Порро II рода. Она
состоит из трех прямоугольных призм, причем две призмы
отражают проходящий через систему луч гипотенузными
гранями, а одна — катетными (рис. 1.40). Эта система
также позволяет получить полное оборачивание (на 180°) создаваемого оптической
системой изображения.
Можно было бы и дальше рассказывать о призмах и их комбинациях. Но всего
не расскажешь. Мы просто пойдем дальше и покажем, как можно просто определить
габаритные размеры призм.
i
i/^v
Рис. 1.40. Система призм Порро II рода.
52

1.7.3. Определение геометрических размеров
отражательных призм
Отражательные призмы находят самое широкое применение в оптическом
приборостроении. Нередко они используются, чтобы сократить габаритные размеры
прибора, а нередко, чтобы получить из перевернутого изображения прямое.
Призмы с полупрозрачными гранями часто используют как светоделители,
когда один пучок лучей необходимо поделить на два и, наоборот, как светосовместите-
ли, когда из двух пучков хотят получить один. Но в каком бы качестве их ни
применяли, от выбора и обоснования геометрических размеров используемых призм
никуда не уйти.
Любую призму можно определить углом отклонения распространяющихся
лучей, длиной их хода в теле призмы и поворотом создаваемого оптической системой
изображения относительно его прообраза.
При определении габаритных размеров призм, как правило, рассматривают
ход лучей в ее главном сечении — в плоскости, перпендикулярной граням призмы и
проходящей через оптическую ось системы. Естественно, размеры призмы будут
зависеть от геометрии пучка и от ее положения в нем (рис. 1.41). Часто, чтобы «не
привязываться» к конкретной геометрии пучка, габаритные размеры призмы находят из
условия прохождения сквозь призму цилиндрического пучка параллельных лучей с
диаметром, равным наибольшему диаметру в сечении реального пучка, который
должен пройти через призму.
Проще всего найти габаритные размеры призм, если воспользоваться ее
разверткой в эквивалентную плоскопараллельную пластину. Тогда длина хода d пучка
параллельных лучей в теле призмы будет связана с его наибольшим диаметром D
уже известным соотношением
d=kxD.
Согласно этому выражению, исходными данными для определения размеров
призмы могут служить максимальный диаметр D цилиндрического пучка
параллельных лучей на входной или выходной грани и коэффициент к, характеризующий
призму выбранного типа. Напомним, что коэффициент к не зависит от размеров
призмы, а зависит только от ее типа.
Таким образом, определение размеров призмы, используемой в оптической
схеме, сводится к поиску диаметра пучка на входной или выходной грани призмы.
Рис. 1.41. К определению размера входной грани призмы D.
53

Аналитическое При 0ПРеДелении Диаметра D пучка могут встре-
определение I титься Два случая (см. рис. 1.41). В первом из них задано
размеров призмы I положение s входной грани призмы относительно верши-
I ны А входного пучка (пучок ВАС), а во втором —
положение s' выходной грани призмы относительно вершины
А' пучка на выходе из призмы (пучок В'А'С).
Для первого случая найти размер сечения пучка на входной грани призмы
можно из треугольника ВАС:
D = 2stg<j. (1.41)
Во втором случае для определения диаметра сечения пучка на входной грани
следует найти расстояние s и воспользоваться вновь выражением (1.41). Из рис. 1.41
следует, что
s = d+s'-L. (1.42)
Учитывая, что
-(?>"•
после простых преобразований найдем расстояние
s = s' + %- (1.43)
Воспользовавшись (1.41), получим общую формулу определения диаметра D пучка
для второго случая:
D= 2[s' + -]tga. (1.44)
Подставив d=kD в (1.44), после простых преобразований формулу для D
можно представить в следующем виде:
2ns'i2<5
D = г£—• (1.45)
Имея в распоряжении диаметр пучка, который должна пропустить призма,
можно приступить непосредственно к определению размеров граней призмы и длины
хода луча в ней, воспользовавшись чертежом выбранного типа призмы.
Графическое
определение
размеров призмы
Найти габаритные размеры призмы можно и чисто
графическими способами. На рис. 1.42 показан фрагмент
оптической схемы прибора, с одной стороны ограниченный
размерами объектива ММ, а с другой — полем зрения NN
оптической схемы, в которой формируется действительное
изображение наблюдаемого предмета. По условию нам необходимо разместить в ходе
лучей некоторую призму, местоположение которой нам пока неизвестно.
Естественно, не определившись с расположением призмы, не имеет смысла
говорить и о ее размерах. Но предположим, что мы расположили выходную грань
призмы на некотором расстоянии z от плоскости, в которой система сформировала
бы изображение предмета (рис. 1.42).
К сожалению, это единственное, что мы можем сделать. Если бы мы даже
смогли определить каким-то образом сечение пучка на выходе из призмы, то, не зная
ее толщины d, мы не смогли бы найти размер сечения пучка D на ее входе. А не зная
размера сечения пучка D на ее входе, мы не сможем найти ее толщину d\ He правда
ли — замкнутый круг!? Выход из этого круга был предложен в 1938 г. советским
оптиком профессором И. А. Турыгиным. А смысл его таков!
54

Развертка
призмы
Плоскость
изображения
Рис. 1.42. Графический способ определения размеров призмы.
Обратимся вновь к рис. 1.42. На нем показаны фрагмент плоскопараллельной
пластины АВСЕ толщиной d, равной толщине развертки некоторой призмы, и ее
редуцированный эквивалент А'В'СЕ толщиной d = din. Напомним, приведение
развертки призмы к воздуху позволяет исключить необходимость учета преломления
наклонных пучков.
Проведем из осевой точки Р2 прямую линию в вершину редуцированной
развертки А'. Тогда, согласно рисунку,
tgY=^7- (1.46)
2d'
С учетом d' = d/n этот параметр равен
Dn
X^=2d'
(1.47)
Как известно, толщина d развертки призмы связана с диаметром D сечения
пучка на входе в призму соотношением d = kD. Подставив в выражение (1.47) вместо
d ее значение kD, получим
tgy=5F (M8)
Из выражения (1.48) следует очень интересный результат: угол у совершенно
не зависит от геометрических размеров призмы и его величину можно получить, зная
только коэффициент к для используемого типа призм и показатель преломления
стекла я, из которого эта призма изготовлена. Более того, являясь функцией
коэффициента к (величины, постоянной для каждого типа призм), значение угла у есть
постоянная величина для определенного типа призм, если для их изготовления
используется стекло одной и той же марки.
Таким образом, если, согласно выражению (1.48), мы найдем значение угла у,
то далее уже несложно графически определить размеры призмы. Достаточно просто
повторить все процедуры графических построений, которые мы выполняли при
определении угла у, но только в обратном порядке.
Для графического определения габаритов отражательных призм поступаем
следующим образом.
• Строим графически ход габаритных (крайних) лучей.
• Устанавливаем положение задней СЕ плоскости редуцированной развертки
призмы (симметрично оптической оси системы!).
55

• Из осевой точки Р2 под углом у к оптической оси проводим прямую линию до
пересечения с габаритным (крайним) лучом (точка А').
• Из точки пересечения А' опускаем перпендикуляр к оптической оси и
продолжаем его до пересечения с нижним габаритным лучом. Отрезок А'В'
определяет и положение входной грани редуцированной развертки призмы, и размер
сечения D пучка лучей на ее поверхности. Расстояние между точками Pj и Р2,
по сути, равно толщине d' редуцированной развертки призмы.
• Если теперь на рисунке измерить расстояние PjP2 = d\ то, согласно формулам
d=nxd' nD = dlk, можно найти толщину эквивалентной плоскопараллельной
пластины d и размер сечения пучка лучей D на входной грани.
• Если же на рисунке измерен диаметр сечения пучка на входной поверхности,
то dud' можно найти согласно формулам d = к xD и d' = din.
А дальше по известным углам и чертежам конкретно выбранной призмы
(найденным хотя бы в справочниках по оптике) определяются все размеры для ее изготовления.
1.7.4. Редуцированная нлоскопараллельная ii.iaciinia
в оптической схеме
В заключение этого параграфа покажем, как развертка различных призм в
эквивалентные плоскопараллельные пластины с их последующей редукцией позволяет
упростить изучение хода распространяющихся в системе лучей. Для этого обратимся к
рис. 1.43.
На нем отображена развертка некоторой призмы (неважно какой) в
плоскопараллельную пластину толщиной d. После редукции — приведения эквивалентной
плоскопараллельной пластины к воздуху — ее толщина будет равна din.
Можно доказать, что высоты лучей на выходной грани эквивалентной
пластины /ъ и выходной грани редуцированной пластины /ъ' равны между собой. Можно
доказать и другое: расстояние s" от выходной грани редуцированной пластины до
вершины сходящегося пучка А и расстояние s' от эквивалентной пластины до
вершины реального пучка также равны между собой.
Действительно, если
-(?ь
Развертка
призмы
J /ь ! Т /^^--А А'
▼ I -? ▼■ V/^v-o^bCtt;
Рис. 1.43. Действие редуцированной плоскопараллельной пластины, эквивалентной
развертке призмы.
56

то
s' =5 + L-d = s-- = s".
Поэтому при выполнении графических построений или аналитических
расчетов реальные плоскопараллельные пластины, применяемые в оптических схемах, или
те же плоскопараллельные пластины в случае развертки реальных призм намного
выгоднее сначала привести к воздуху, т. е. выполнить процедуру редуцирования.
Направления распространения лучей в системе останутся прежними, как и
в случае реальных пластин. Ничего не изменится и при использовании
редуцированной развертки призм: с таким же успехом Вы сможете проследить, на каких высотах
распространяющийся луч встречает входную и выходную грани реальной призмы.
Но при этом всегда надо помнить, что Вы работали с редуцированными
пластинами, поэтому при переходе к реальной оптической схеме нельзя забывать производить
замену расстояния din на расстояние d, т. е. увеличивать чертеж на величину L.
1.7.5. Преломляющие призмы
Наряду с отражающими призмами, ход лучей в которых полностью
описывается законом отражения, в оптике широко применяются преломляющие призмы и
клинья, в которых ход лучей строго описывается законом преломления. Ниже мы
покажем два довольно простых, но наглядных примера подобных призм (рис. 1.44).
Пусть луч света вновь падает из воздуха, но теперь на одну из граней
преломляющей призмы (см. рис. 1.44, а).
й
Замечание: Оптические детали с плоскими преломляющими
поверхностями, образующими двугранный угол ф, в которых
превалирует закон преломления, называются преломляющими
призмами. Двугранный угол ф между плоскими преломляющими
гранями называется преломляющим углом призмы. Сечение
призмы плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла,
называется главным сечением призмы. Угол, образованный
входящим и выходящими лучами, называется углом отклонения. Если
преломляющий угол призмы не превышает величины порядка 6°,
такую призму нередко называют клином.
Примем, что показатель преломления воздуха щ = 1, а стекла, из которого
изготовлена призма, п2 = п= 1,50.
Согласно закону Снеллиуса, преломленный угол будет равен
Щ п2 = л щ
Рис. 1.44. Ход лучей в преломляющей призме (а) и в клине (б).
57

sine; = » (1.49)
В то же время, как следует из рис. 1.44, я, угол ф для треугольника ABC
является внешним, т. е. можно записать, что
Ф = - г[ +£2. (1.50)
И вновь по закону Снеллиуса для луча на выходе из призмы с учетом (1.50)
имеем
sin£2 =Hsin£2mm sin£2 =nsin((p+ г\\ (1-51)
а угол отклонения со из того же рисунка найдем как внешний к треугольнику ABD:
со = (£2 -£2) + (ei -£i)= £2 -ei-cp, (1.52)
где £2 определяется согласно выражениям (1.51) и (1.49).
Отметим, что в предельном случае малых углов £|Иф угол отклонения со,
согласно (1.49) и (1.51), равен
со = (л-1)ф (1.53)
и, таким образом, не зависит от угла падения £ь
Теперь обратимся к рис. 1.44, б. На нем изображены оптический клин с
преломляющим углом, равным 5°, и осевой луч пучка лучей, падающий на входную
грань клина.
Для того чтобы «не ломать» голову, каким образом поведет себя луч в клине,
воспользуемся условием нормального падения луча на входную грань клина.
Понятно, что в этом случае луч будет испытывать преломление только на выходе из клина.
Согласно закону Снеллиуса, мы можем записать:
п2 sin £ = п\ sin £',
где угол £ = ф.
Вновь примем, что коэффициент преломления воздуха равен щ = 1, а
коэффициент преломления стекла п2 = п = 1,5. Учитывая, что преломляющий угол клина по
условию достаточно мал, можно считать, что sin £ « £, a sin£' « £', и закон
преломления переписать в виде пг = г'. Тогда
£' = Л£ = 7,5°,
а угол отклонения равен
со = £'-£ = (л-1)ф*2,5°. (1.54)
Как и следовало ожидать, этот угол совпадает с углом отклонения призмы
в случае малых значений £j и ф (см. (1.53)). Следует обратить внимание на
интересное свойство клина: падающий на него пучок света всегда отклоняется в сторону
основания клина.
В заключение отметим, что преломляющие призмы типа, показанного на
рис. 1.44,<з, находят широкое применение в спектральных приборах, а типа клин
(рис. 1.44, б) — нередко используются при юстировке оптических систем для сведения
оптических осей или как самостоятельный оптический элемент для измерения углов.
1.8. Преломление лучей света на сферических поверхностях
В оптике наряду с оптическими деталями, с которыми мы только что
познакомились и которые представляют собой, по сути, тела, ограниченные плоскими
поверхностями (гранями), широчайшее применение находят оптические элементы, тела
которых ограничиваются сферическими (или асферическими) поверхностями. Это
так называемые линзы. В более широком смысле о них говорят, что линзы — это оп-
58

тические детали, ограниченные поверхностями, которые являются частью
поверхности тел вращения.
К обсуждению преломляющих свойств сферических поверхностей мы и
обратимся в этом параграфе.
1.8.1. Преломляющие свойства сферических поверхностей
Но прежде чем приступить к детальному знакомству с влиянием сферических
поверхностей на ход распространяющихся в пространстве лучей света, неплохо было
бы посмотреть (даже не вникая глубоко в физику происходящих событий), что же
происходит с лучами света при их встрече с оптическими элементами,
ограниченными сферическими поверхностями?
Начнем вновь с самого простого. Мы уже знаем, что оптический клин
отклоняет лучи света в сторону своего основания, а плоскопараллельная пластинка при
нормальном падении лучей оставляет направление их распространения без
изменения (в этом мы убедились выше). Исходя из этих предпосылок, можно
«сконструировать» гипотетический оптический элемент, состоящий из двух клиньев и
плоскопараллельной пластинки, показанный на рис. 1.45, а.
Если ввести эту «конструкцию» в пучок параллельных лучей, пришедших от
точечного источника, расположенного в бесконечности, то мы увидим, что он
разделится на три пучка параллельных лучей, которые, преломленные клиньями,
пересекутся в некой области за нашим «оптическим элементом». Правда, область
пересечения этих пучков получится достаточно большой и будет определяться размерами их
поперечных сечений, которые, в свою очередь, будут полностью зависеть от
геометрических размеров компонентов, включенных в наш оптический элемент. Но
интуитивно понятно, что при желании ее можно значительно уменьшить, если
использовать в нашей «комбинации» большее число клиньев меньших размеров, но при
условии, что каждый из них будет изготовлен со своим собственным (и надлежащим)
преломляющим углом (рис. 1.45, б).
Очевидно, преломляющая поверхность такого «оптического элемента» при
бесконечном увеличении числа отклоняющих клиньев будет вырождаться в некую
гладкую кривую — участок окружности.
Нетрудно понять и то, что в трехмерном случае поверхность, ограничивающая
тело оптического элемента, при бесконечном увеличении числа отклоняющих
(теперь уже довольно сложных по форме клиньев) будет вырождаться в сферу. Таким
образом мы «сконструировали» с Вами один из основных элементов оптической
системы — сферическую линзу.
Правда, при этом совсем не очевидно, что такой оптический элемент,
ограничиваемый любой гладкой поверхностью, будет собирать пучок параллельных лучей в
точку, и совсем уж не очевидно, будет ли он способен создавать качественное
изображение объекта, расположенного от него на конечном расстоянии.
Рис. 1.45. Призменная модель сферической линзы. Структура светового поля в области
пересечения пучков при малом (а) и большом (б) числе призм.
59

Однако в идеальной оптической системе, исходя из ее определения, все
параллельные лучи пучка, распространяющегося вдоль ее оптической оси и вошедшие в
нее, просто «обязаны» собраться в одной точке, отображаемой в центрированной
системе на ее оптической оси.
Для того чтобы понять, как поведут себя лучи пучка, встретив на своем пути
оптический элемент со сферическими поверхностями, достаточно воспользоваться
законом Снеллиуса и проследить за ходом каждого из них, т. е. определить
направления их распространения на входе и выходе оптического элемента.
Вообще следует сказать, что геометрическая оптика — удивительная
дисциплина: она позволяет решать одни те же задачи как с помощью чисто графических
построений (графическими методами), так и с помощью чисто аналитических
вычислений (математическими методами).
Графическое
определение хода
действительного
луча
Для начала попытаемся понять с помощью только
графических построений, что произойдет с лучом света
при его встрече с одной сферической поверхностью.
С этой целью выберем в качестве оптического
элемента круглый брусок, изготовленный из стекла с показа-
" тел ем преломления п\ причем будем считать, что торец,
обращенный к свету, оформлен в виде сферической
поверхности. Будем считать, что брусок расположен в воздухе, показатель преломления
которого равен п.
Для определения направления распространения луча после его встречи со
сферической поверхностью воспользуемся вновь методом «вспомогательных
окружностей», радиусы которых пропорциональны показателям преломления тех сред, в
которых распространяется свет.
На рис. 1.46 отображена преломляющая сферическая поверхность,
разделяющая две среды (воздух—стекло) с показателями преломления, соответственно
равными п= 1 ил' = 1,5.
Очевидно, радиус окружности, определяющий оптическую длину пути в
воздухе, будет равен г х я, а в стекле — гх п\ где г — некоторая произвольная величина.
Дальше все графические построения выполняются в той же
последовательности, как и в предыдущей главе. Сначала строятся окружности с центром в точке С
падения луча на границу раздела двух сред. Затем через точку Mj пересечения па-
А
гхп гхп 1
ш--у У ^ _ 1
п "N п' 1
-■***■■_' 1
м2- I
Рис. 1.46. Определение графическим способом направления распространения преломленно-1
го луча на сферической границе раздела двух сред с различными показателями преломления. 1
60

дающего луча с «воздушной» окружностью (на рисунке высвечена, как и прежде,
светло-голубым пунктиром) проводится прямая линия, параллельная нормали NN
(не забывайте, что нормаль направлена вдоль радиуса сферической поверхности с
центром в точке О) до пересечения со «стеклянной» окружностью (точка М2). Эта
окружность высвечена на рисунке светло-серым пунктиром. Из точки М2 опустим
перпендикуляр к нормали NN и продолжим его до пересечения со «стеклянной»
окружностью (точка L). Точка падения С луча на сферическую поверхность и
найденная точка L и определяют направление распространения преломленного луча СВ.
Как видите, определение направления распространения действительных лучей
света после их преломления на границе раздела двух сред с различными
показателями преломления с помощью графических построений не представляет особых
сложностей.
Аналитическое
определение хода
действительного
луча
Совсем нетрудно найти направление
распространения преломленного луча с помощью аналитических
вычислений.
Обратимся к рис. 1.47. На нем отображен в
несколько измененном масштабе луч, направление
распространения которого, после преломления на сферической
поверхности, мы определили графическим способом (см. рис. 1.46).
Как и ранее, будем считать, что оптический элемент представляет собой
длинный брусок стекла, один из торцов которого выполнен в виде сферической
поверхности с радиусом г. Длину куска мы выберем такой, чтобы все лучи, вошедшие в такую
«линзу», пересекали ее оптическую ось в стекле. Такая модель позволит нам
использовать только два показателя преломления: показатель преломления воздуха я, в
котором располагается наш оптический элемент, и стекла, из которого он изготовлен п'.
Будем считать, что точечный источник излучения А находится на конечном
расстоянии от сферической поверхности и лежит на оптической оси О'О',
проходящей через вершину сферической поверхности О и ее центр кривизны С.
Выделим из всего обилия лучей, излучаемых источником А, луч AM А'. На
рисунке он обозначен жирной линией оранжевого цвета. При встрече с поверхностью
под некоторым углом падения -£ луч, естественно, должен преломиться и пойти по
новому направлению.
Так как луч света при входе в тело нашего элемента попадет в среду более
плотную, преломленный луч, естественно, отклонится в сторону нормали, в
направлении радиуса сферической поверхности, проведенного из ее центра С в точку М,
в которой луч пересекает сферическую поверхность. Распространяясь далее, прелом-
61

ленный луч пересечет оптическую ось в некой точке А'. Очевидно, наша задача будет
сводиться к поиску местоположения изображения А' предметной точки А.
За точку отсчета, от которой мы будем отсчитывать расстояния до предмета и
его изображения, примем вершину О сферической поверхности, которая
ограничивает наш брусок стекла. Тогда, в соответствии с правилами аналитической геометрии,
расстояние до предмета мы должны считать отрицательным, а расстояние до его
изображения — положительным. Радиус сферической поверхности мы будем также
отсчитывать от вершины сферической поверхности в направлении центра кривизны,
т. е. в том же направлении, что и расстояние до изображения. Поэтому, что вполне
естественно, и его следует считать положительным.
й
Замечание: А теперь обратите внимание: свет от
источника излучения распространяется слева направо. Расстояния,
которые совпадают с направлением распространения света, мы
приняли за положительные, поэтому вполне естественно
расстояния, которые отсчитываются «против света», считать
отрицательными. Что мы и сделали. Так постепенно мы
сформулируем все правила знаков, которые приняты в геометрической
оптике.
А теперь наш совет: будьте очень внимательны и
особенно обращайте внимание на наши манипуляции с алгебраическими
знаками! В этой главе все процедуры, связанные с ними, мы
попытаемся разобрать достаточно подробно! Но в следующих
главах будем вести себя «скромнее»!
Найти положение изображения предмета на самом деле несложно. Для этого
в треугольнике АМС найдем длину стороны АС = г - s9 а затем, воспользовавшись
теоремой синусов, известной еще из школы, составим пропорцию
г -s + r г s-r __ч
= =>- = . (1.55)
sin a sin(ft + e) sin а sine
Найти из выражения (1.55) величину угла падения е несложно:
sin е = -- -sin а. (1.56)
г
Теперь обратимся к треугольнику А'МС и найдем длину стороны А'С как
разность А'С = s' - г, а затем, вновь воспользовавшись теоремой синусов, получим еще
одну простую пропорцию
г s'-r
sin a sine
из которой несложно найти расстояние s'\
(1.57)
^■f^ (1.58)
V sin а у
В выражении (1.58) значение синуса преломленного угла е' можно заменить
через значение синуса угла падения е согласно закону преломления:
п
sine' =~sine. (1.59)
Тогда выражение (1.58) примет вид
■rll-^7]. (1.58а)
к wsina '
62

Вот вся сила и мощь закона преломления!
Но это еще не все! Если угол падения £ определить как внешний угол
треугольника АМС, т. е. - £ = ф - а, а угол ф — как внешний угол А'МС, т. е. ф = а' - £',
то можно получить значение угла а' в следующем виде:
а' = а-£ + £'. (1.60)
Тогда выражение (1.58) можно записать в виде
«sine
s'=r\
: + e')J
(1.586)
ris'm(a
Видите, как все очень просто!
Таким образом, для определения хода луча, преломленного сферической
поверхностью, необходимо знать ее радиус кривизны, значение показателей
преломления оптических сред, разделяемых ею, а также углы а и £ (б' определяется б).
А результатами вычислений будут являться расстояние s'9 определяющее положение
изображения предмета за поверхностью, и угол встречи преломленного луча с
оптической осью а'. По существу, мы определили ход (или направление
распространения) действительного луча.
й
Замечание: Наверное, геометрическая оптика потому и
называется геометрической, что в ней прямо-таки
господствуют законы геометрии (ее аксиомы и теоремы).
Полученные формулы можно легко распространить на оптические системы,
состоящие из нескольких преломляющих поверхностей. В этом случае все
вычисления, согласно полученным формулам, выполняются последовательно для каждой
поверхности.
Для простоты рассмотрим пример только для двух сферических
преломляющих поверхностей с вершинами 0\ и 02 (рис. 1.48). Нетрудно сообразить, что в этом
случае изображение А'ь полученное с помощью первой преломляющей поверхности
(Oj), будет являться предметом А2 для второй преломляющей поверхности (02).
Но чтобы «связать» выходные параметры s[ и а!, полученные с помощью
первой преломляющей поверхности, с входными параметрами s2 и а2 для второй
преломляющей поверхности, мы должны воспользоваться формулами «перехода»:
*2= s{ -du a2 = a,',
а2' = а3.
(1.61)
Они настолько просты по своему содержанию, что вряд ли имеет смысл давать
к ним какие-то пояснения!
Alcr^
Рис.
0*^-ах
У
П\
}
У
oj
"l Г2
Ч Jv
]о2
«3
V
*
-f
ЧА'2 a'l
Si
S\'
:^.Z.b.A........
>**".
^ ~ 1
1.48. Определение предмета для второй преломляющей поверхности.
63

Не менее важно и другое. Согласно (1.586), расстояние s' между изображением
точки и вершиной сферической поверхности будет нелинейно зависеть от угла а:
лучи, исходящие из осевой точки А предмета под разными углами, будут пересекать
оптическую ось в разных точках, или иными словами, формировать ее изображение в
виде бесконечного множества точек, вытянутых вдоль оптической оси.
Отсюда следует простой вывод: после преломления реальных лучей
гомоцентрического пучка на сферической поверхности гомоцентричность пучка нарушается.
й
Замечание: Для того чтобы гомоцентрический пучок лучей
после преломления на сферической поверхности не терял свою
гомоцентричность (т. е. чтобы точка А' оставалась идеальным
изображением точки А), необходимо и достаточно обеспечить
постоянство расстояния s' для любых значений углов а, под
которым лучи исходят из предметной точки А. А это имеет
место, если отношение
sina
sina
const.
Убедиться в этом предлагаем Вам самостоятельно, воспользовавшись
формулами (1.55)—(1.60).
Параксиальная
область и
параксиальные
лучи
Однако «возиться» со значениями
тригонометрических функций, искать их в таблицах,
интерполировать, да еще с необходимой точностью, вряд ли кому
доставит удовольствие. Наверное, это понимали и наши
пращуры, и, может быть, именно это подвигло их на по-
______ иски более простых путей расчета. Возможно, была и
другая причина. Реальные оптические системы, как правило, не дают
стигматического изображения точки (точку в точку), а отображают некие кружки рассеяния
различных размеров, а для точек, расположенных вне оси, — даже кружки рассеяния
самой различной формы.
Но оказалось, в реальных оптических системах можно найти такую область,
в которой гомоцентрический пучок сохраняет свою гомоцентричность и формирует
стигматическое изображение точки.
Она располагается вблизи оптической оси. В этой области лучи,
формирующие изображение, распространяются настолько близко к оптической оси, что все
углы, образуемые лучом с оптической осью (а и а') или с преломляющими поверхно-
Рис. 1.48. Определение предмета для второй преломляющей поверхности.
64

стями (б и £'), можно считать бесконечно малыми. Это область носит название
параксиальной (приосевой) области, а лучи, распространяющиеся в этой области,
называются параксиальными лучами.
Определить однозначно размеры этой области нельзя, так как они зачастую
ограничиваются теми погрешностями, которые допустимы в создаваемом системой
изображении. Но именно в ней допустима замена значений тригонометрических
функций углов а и а', £ и г' непосредственно самими значениями углов,
выраженными в радианах, т. е. аргументами этих функций.
И более того, значение в радианах как отношение дуги, стягивающей этот
малый угол к радиусу окружности, которой принадлежит дуга, вполне можно заменить
отношением катетов прямоугольного треугольника, один из которых определяется
высотой встречи луча со сферической поверхностью, а второй — расстоянием от
предмета (источника) до вершины все той же сферической поверхности.
Поибшжение Нередко при анализе хода лучей в оптических сис-
Tavcca в оптике темах можно отказаться от использования точных
значений тригонометрических функций при определении
величин углов, образуемых распространяющимися лучами с
оптической осью, а воспользоваться только первыми членами их разложения в ряд
Маклорена:
.. [рад],
• • [рад],
а3 2а5 г ,
tga«a+-3~ + -^-+ ... [рад].
Замена точных значений тригонометрических функций значениями их
аргументов, выраженными в радианах, вполне допустима и без особого
ущерба для точности вычислений может быть использована в практических расчетах:
sina «tga « а [рад], cosa « 1. (1.62)
Правда, это выражение можно записать и так:
sina° «tga° « а [рад], cos a° « 1. (1.62а)
Такая замена, с одной стороны, позволяет значительно упростить описание
связей между реальным предметом и его изображением, сведя их к элементарным
аналитическим соотношениям, но с другой (и к сожалению!) — приводит к
ограничению величин допустимых углов, образуемых направлением распространяющихся
лучей с оптической осью системы а, а' и углов падения и преломления £, £'.
sina « a
cosa « 1 -
a3 a5
~3! + 5! +
a2 a4
"2!+4! +
fi
Замечание: Чтобы избежать лишних вопросов, напомним,
что радиан, как и градус, это всего лишь единица измерения
угла (но не значение тригонометрических функций!).
Только один градус — это одна трехсот шестидесятая (1/360)
доля (часть) окружности, а один радиан равен углу между двумя
радиусами окружности, длина дуги между которыми равна
радиусу.
Применительно к случаю преломления лучей света на
сферической поверхности (см. рис. 1.47) при малых углах
падения а луча из точки А справедливо следующее равенство:
sina° « tga° « а [рад] « — ■>
65

где в геометрической оптике h — высота встречи
параксиального луча со сферической преломляющей поверхностью, а
вернее, с плоскостью, касательной к сферической поверхности в
ее вершине, as— расстояние от источника излучения (или
точки предмета) до касательной плоскости (на рис. 1.47 она
не показана. Более подробно эти вопросы рассмотрены в
следующей главе).
И особо обратите внимание, если отношение h/s при
малых значениях углов может непосредственно равняться
величине угла, измеренной в радианах, то при больших углах это
отношение может определять только значение
тригонометрической функции угла и совсем неважно в каких единицах
(градусах или радианах) этот угол представлен, т. е.
tga = tg(a[pafl]) = —*
Пожалуйста, посмотрите внимательно на два последних
равенства и прочувствуйте разницу.
Замену тригонометрических функций их аргументами, выраженными в
радианах, и принято называть приближением Гаусса. Можно показать, что в приближении
Гаусса (в параксиальной области) гомоцентрический пучок лучей после преломления
на сферических поверхностях остается гомоцентрическим.
Аначитическое Как и в слУчае с Действительными лучами, наша
задача по определению хода параксиального луча будет
сводиться к поиску местоположения изображения А'
предметной точки А, но путь поиска будет несколько
тштяят1^^ иным.
Характерным признаком параксиальной области
является выбор для расчета хода лучей только тех из них, которые образуют с
оптической осью малые углы и, как результат, встречают преломляющую поверхность
под небольшими углами.
Поэтому, если теперь произвести замену значений тригонометрических
функций используемых углов непосредственно их значениями, выраженными в радианах,
т. е. воспользоваться приближением Гаусса, то мы легко сможем «въехать» в
параксиальную область реальной оптической системы, правда, в нашем случае состоящей
всего из одной сферической поверхности. Покажем, как это сделать.
Вернемся к выражениям (1.55) и (1.57) и легко найдем из них радиус
сферической поверхности г.
r = Js-r)sma^ (163)
sin£
r = _(,'-r)sina'_
sins'
Приравняв правые части этих выражений, получим
(s-r)sina (s'-r)sina'
: = :—; > (1.65)
Sin£ S1I1£
а применив закон Снеллиуса, выразим значение синуса преломленного угла £' через
значение синуса угла падения б:
п
sins' =~7sin£. (1.66)
определение хода
параксиального
луча
66

Простая подстановка этого значения в (1.65) после простых преобразований
приведет его к виду
n{s - r)sina = ri{s'- r)sina\ (1.67)
Как видите, все абсолютно честно! И пока все, только что проделанное выше,
полностью справедливо для ранее рассмотренных действительных лучей.
А вот теперь начинается самое интересное — переход от
действительных лучей к их параксиальным «собратьям»!
Введем в рассмотрение еще один важный параметр — высоту h (см. рис. 1.47),
на которой луч встречает преломляющую поверхность. Ее величину можно найти из
треугольника MNC:
h = rsincp = rsin(a' - е'). (1.68)
Так как мы исследуем ход луча в параксиальной области, то можно
воспользоваться приближением Гаусса и заменить значения функций sina и sina' на а и а',
предварительно определив их значения в радианной мере как отношения
соответствующих сторон в треугольниках AMN и A'MN:
И И
а=~ и а'=~- (1.69)
После подстановки (1.69) в (1.67) и простых преобразований выражение (1.67) в
гауссовом приближении можно привести к виду
n{s-r%=rt(s'-r^^> п{\-ГЛ = п'[\-!-Х (1.70)
Поделив в последнем выражении правую и левую скобки на г, получим
следующее интересное выражение:
'Х П Л П (1.71)
•п-\
J S j
которое в геометрической оптике имеет «персональное» имя инварианта Аббе,
правда, справедливости ради, следует сказать, что впервые его получил Исаак Ньютон.
После простых преобразований выражение (1.71) можно привести к виду,
полезному в дальнейшем:
ft' Yl ft' — YI
п__п_=п_п_ (1 72)
s' s г
Обратите внимание (и это важно!), в формулах (1.71) и (1.72) полностью
исчезли все величины, определяющие направление распространения луча (углы
падения и преломления, а также углы, образуемые лучами с оптической осью), а остались
только величины, связанные непосредственно с конструктивными параметрами
оптического элемента — радиусом его сферической поверхности г и показателем
преломления материала п\ из которого он изготовлен, и, естественно, показателя
преломления п той среды, в которой он расположен.
А это значит, что все лучи, исходящие из точки А и образующие с оптической
осью различные углы, но обязательно бесконечно малой величины, после
преломления пройдут через одну и ту же точку пространства. Иными словами,
гомоцентрический пучок параксиальных лучей (или пучок лучей, распространяющийся в
параксиальной области) после преломления на сферической поверхности сохраняет свою
гомоцентричность.
Инвариант Аббе, по существу, связывает положение точки предмета с
сопряженной точкой изображения. Например, если известно расстояние s, определяющее
положение точки А относительно преломляющей поверхности, найти положение ее
изображения, определяемое расстоянием s' относительного этой же поверхности,
можно из следующего простого соотношения:
67

n n -n
- +
s r
(1.73)
Определив положение изображения точки А', сопряженной точке предмета А, мы, по
существу, определили ход параксиального луча в нашей оптической системе.
Но и это еще не все! «Упражняться» с инвариантом Аббе (и получать от этого
удовольствие!) можно много и долго!
1.8.2. Фокус и фокусное расстояние сферической
преломляющей поверхности
Выше мы уже говорили о том, что пучок параллельных лучей,
распространяясь в пространстве параллельно оптической оси сферической поверхности, будет
преломлен ею и «стянут» в точку на оптической оси. Эту «особую» точку в
геометрической оптике называют точкой фокуса (или фокальной точкой, или просто
фокус) и обычно обозначают буквой F или F.
а
Замечание: Слово focus в буквальном переводе с латыни
означает очаг, но в русском языке нередко употребляется в
смысле средоточие или центр чего-либо и уж совсем не имеет
никакого отношения к проделкам иллюзионистов (фокусников).
Кстати, если уж к слову пришлось, слово фокус как
ловкая проделка иллюзионистов происходит от немецкого
словосочетания «hokus pokus».
Положение этой «особой» точки для одной преломляющей сферической
поверхности можно найти, если воспользоваться только что полученным инвариантом
Аббе (1.72):
п
7
п
S
п -п
По определению, точка фокуса является сопряженным изображением
источника света, расположенным в бесконечности (в систему входит пучок параллельных
лучей!).
Действительно, если на рис. 1.49 начать упрямо перемещать точечный
источник излучения А влево от сферической поверхности, то наступит момент, когда
источник окажется в бесконечности (s = оо), а параллельные лучи пучка, излучаемого
М/
6
10
С
•о-
F'
00
п
У
♦
Г
Г
п'
—>-
F'
Рис. 1.49. К определению положения задней точки фокуса одной преломляющей
поверхности. Луч распространяется слева направо.
68

источником в бесконечности, после преломления на сфере сойдутся в точке на
оптической оси F' (см. рис. 1.49).
Подставив значение расстояния 5 = оо в формулу (1.72), получим уж совсем
простое соотношение для s\ равное/':
п' п' -п
г~ г
Из него несложно найти расстояние/', называемое в геометрической оптике
фокусным расстоянием (а точнее, задним фокусным расстоянием):
г=—
пг
п -п
(1.74)
Рассуждая таким же образом, но рассматривая прохождение луча в
оптическом элементе теперь уже справа налево, можно получить вторую точку фокуса F
(рис. 1.50).
В этом случае расстояние s' = a>. После простой подстановки и аналогичных
преобразований получим похожее выражение для s, равное/
п _п'-п
"7 ~'
Откуда так же несложно найти значение расстояния/, называемое передним
фокусным расстоянием:
/ = -17
пг
п -п
(1.75)
.fit Замечание: Обратите внимание на знаки полученных фо-
li кусных расстояний. Фокусное расстояние до заднего
фокуса — положительное, а фокусное расстояние до переднего
фокуса — отрицательное.
Если же исходить из направления распространения света
и того условия о выборе знаков расстояний (или отрезков),
что мы сформулировали выше, то так и должно быть.
В геометрической оптике плоскости, перпендикулярные к оптической оси и
пересекающие ее в точках переднего и заднего фокусов, принято называть
соответственно передней и задней фокальными плоскостями.
А теперь еще один интересный момент! Если поделить одно равенство (1.74)
на другое (1.75), то можно получить следующие соотношения:
А 1
!F
.'.'.':..#..,
jF
Рис. 1.50.
К
п
k
J\N
i r
ri
С F
■^ Л' 1
oo I
определению положения передней точки фокуса одной преломляющей 1
поверхности. Луч распространяется справа налево. 1
— ...- , - - Г
69

/' "' ri n *
■— = — или — = = Ф,
f ri f f
(1.76)
где Ф — так называемая оптическая сила системы в виде сферической поверхности,
«погруженной в среду».
Выражения (1.76) можно привести и к более простому виду
nf'=-n'f.
(1.76а)
Это очень важные соотношения. Они показывают, что величины переднего и
заднего фокусных расстояний напрямую зависят от показателей преломления тех
сред, которые делит преломляющая сферическая поверхность. При этом оптическая
сила Ф «погруженной в среду» сферической поверхности, у которой показатели
преломления слева (ri) и справа (ri) не равны друг другу, остается неизменной! Кстати,
таким параметром удобно пользоваться не только при расчетах оптических систем,
но и на практике. Но об этом попозже.
Приведем пару простых примеров.
Обратимся к нашему «незатейливому» оптическому элементу, который мы
использовали на протяжении всей этой главы, и отобразим его еще раз на рис. 1.51.
Покажем на рисунке точки фокусов F и F' и расстояния/и/', на которых они
располагаются относительно преломляющей сферической поверхности.
Будем считать, что этот оптический элемент изготовлен из стекла с
показателем преломления ri = 1,5 и расположен в воздухе, показатель преломления которого,
как всегда, будем считать равным единице, т. е. п = 1. Из соотношения (1.76а) сразу
можно найти, что расстояние/' в стекле в полтора раза больше, чем в воздухе:
f'=-rif=-\,5f.
Еще интереснее проследить, как расстояния / или /' связаны с радиусом
кривизны сферической преломляющей поверхности г.
Для этого вполне достаточно воспользоваться формулами (1.74) и (1.75)
п'-п 1,5-1
/ = -77
пг
■ = -2г.
п'-п 1,5-1
Их отношение, кстати, как и должно быть, будет равно /' / / = -1,5 .
70

1.8.3. Тонкая линза. Точки фокусов и фокусные расстояния
Выше мы показали, что любая сферическая поверхность способна «стянуть»
пучок параллельных лучей, распространяющихся параллельно оптической оси, в
точку на оси, которую назвали фокусом. Более того, мы также показали, что даже одна
сферическая поверхность имеет две точки фокуса, положение которых относительно
преломляющей сферической поверхности определяется направлением
распространения лучей параллельного пучка: слева направо или справа налево. Причем, если
принять за основное направление распространения света направление слева направо,
точку фокуса за преломляющей поверхностью принято называть задним фокусом и
обозначать символом F, а точку фокуса перед преломляющей поверхностью —
передним фокусом и обозначать просто символом F.
Выше мы получили и формулы (1.74) и (1.75), которые позволили определить
положение (расстояние) точек фокусов F и F' от вершины сферической поверхности:
/=■
пг
п -п
и /' = 77
пг
п -п
Но можно показать, что все это в равной степени справедливо и для
совокупности различных сферических поверхностей, образующих сферическую линзу. Что
мы и попытаемся сделать с помощью все того же инварианта Аббе.
Предположим, что нам удалось изготовить оптический элемент, ограниченный
двумя сферическими поверхностями, но настолько тонкий, что вершины
ограничивающих его поверхностей почти соприкасаются друг с другом. Конечно, какими бы
ни были мы мастерами, такой оптический элемент не только создать, но представить-
то себе невозможно, разве что с больным воображением. Но все же...
Вообще в геометрической оптике принято считать оптический элемент
бесконечно тонким^ если расстояние между вершинами ограничивающих его сферических
поверхностей (по сути, его толщина вдоль оси) намного меньше значений их
радиусов кривизны Г\ и г2. Вот к такой «тонкой» линзе мы и обратимся (рис. 1.52).
Честно говоря, весь рисунок выполнен от «лукавого». Не следует забывать,
что инвариант Аббе справедлив только в параксиальной области, но для нас это пока
и неважно. Мы же просто вынуждены так гипертрофировать величины углов только
для того, чтобы рисунок был легко «читаем», чтобы Вы без труда «схватили» идею!
А идея достаточно проста.
щ = щ
Рис. 1.52. К выводу формулы тонкой линзы.
71

Луч, испускаемый источником А, расположенным на оптической оси, сначала
встретит первую преломляющую поверхность, и, если бы отсутствовала вторая, то он
бы пересек в сплошном стекле оптическую ось в точке А[, которая являлась бы
предметом для второй преломляющей поверхности. Но луч, преломленный первой
поверхностью, встречает вторую поверхность, которая «бессовестно доламывает» его
и отправляет по новому направлению, где он, пересекаясь с оптической осью,
формирует изображение точки А2.
Очевидно, изображение А2 как бы мнимого предмета А[ будет строиться в
обратном ходе лучей. Отсюда, кстати, знак минус у расстояния s2.
Это — общепринятая в геометрической оптике последовательность
формирования изображения предмета с помощью графических построений и общепринятая
последовательность выполнения аналитических вычислений по определению,
например, положения изображения предмета.
Таким образом, мы имеем два изображения: одно, полученное с помощью
первой преломляющей поверхности AJ, а второе А 2 —с помощью второй.
На рисунке мы специально, для лучшего восприятия, все, относящееся к
первой поверхности, высветили зеленым цветом, а все, относящееся ко второй, — синим.
В своих выводах мы все расстояния на схеме будем отсчитывать от точки О,
которая, по выбранной нами «фантазийной» конструкции тонкой линзы (или, исходя
из представлений о тонкой линзе), как бы совпадает с вершинами сферических
преломляющих поверхностей, непосредственно ограничивающих тело нашей линзы.
Теперь, после такого детального объяснения, можно заняться выводом общей
формулы для определения фокусного расстояния оптического элемента,
ограниченного двумя сферическими преломляющими поверхностями.
Как и прежде, воспользовавшись инвариантом Аббе (1.72), для первой
поверхности линзы мы сможем записать (поверхность и все относящиеся к ней размеры
высвечены зеленым цветом):
п2 щ = п2-пх
si sx n
Не составит труда записать инвариант Аббе для второй поверхности (поверхность и
все относящиеся к ней размеры высвечены синим цветом). Совершенно аналогично,
как и для (1.77), запишем:
щ__г±=щ-г± (178)
s2 s2 r2
Интуитивно понятно, что действие обеих сферических преломляющих
поверхностей на распространяющиеся лучи будет равно сумме воздействий каждой из
них, т. е. мы можем это записать так:
п2 щ | щ п2 = п2-пх | щ-п2
S\ S\ S2 S2 Г\ Г2
А теперь обратите внимание на интересные равенства s{ = -s2 и п3 = пи с помощью
которых выражение (1.79) можно привести к виду
Щ | п\ ^п2-пх п2-щ
S\ s2
А если окончательно, то
п\
Ks2 S\
= {п2-щ)
(1.81)
Поскольку, и нередко, оптические элементы располагаются в воздухе, показатель
которого принято считать равным единице (пх = 1), то формула (1.81) может быть
представлена и так:
72

a
э^
*-
з^
i\
<*. \-
11
г
-^
p
p
F'
6
F
F
F
-f
n
ii —
Рис. 1.53. Точки фокусов, фокальные плоскости и фокусные расстояния.
s2 st Vl r2)
(1.82)
В самом общем виде, принимая, что s2 = s' и S\ = s, a п2 = п, ее можно записать как
1
1 1 , J\
— — = (п-\)
S S
\П г2
(1.83)
Ну а если уж формулой (1.83) заниматься и дальше, то легко можно найти
фокусные расстояния, теперь уже линзы. Для поиска заднего фокусного расстояния/'
достаточно s устремить в бесконечность. В результате получим
1 (\ Л
— = (я-1) • (1.84)
/ U г2)
Аналогично можно получить значение переднего фокусного расстояния, если
теперь устремить в бесконечность s':
= (/i-l)
■-1
(1.85)
Нередко формулы (1.84) или (1.85) называют формулами шлифовщика.
Как видите, вместо четырех точек фокусов для каждой из преломляющих
поверхностей (для каждой по паре) мы получили для нашей линзы, включающей в себя
две преломляющие поверхности, всего две, положение которых определяется двумя
фокусными расстояниями (рис. 1.53).
Если теперь воспользоваться выражениями (1.84) и (1.85), то формулу (1.83)
можно записать в следующем виде:
1 1 1 1
^ ~s~7~ 7
Ее часто называют формулой линзы. Она определяет положение изображения
предмета (расстояние s') в зависимости от его расстояния s до линзы и ее фокусного
расстояния (параметры / и f). Эта формула является одной из основополагающих
в геометрической оптике и будет нами далее активно использоваться при расчете
оптических систем.
На этом, пожалуй, можно и закончить наш краткий «экскурс» по основным
законам геометрической оптики.
(1.86)
Рекомендованная литература к главе 1
Лхманов С. А., Никитин С. Ю. Физическая оптика. М.: МГУ, 2004. 656 с.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 720 с.
Бутиков Е. И. Оптика. Невский диалект, БХВ — Петербург, 2003. 480 с.
73

ГоджаевН. М. Оптика. М.: Высшая школа, 1977. 430 с.
Горелик Г. С. Колебания и волны. М.: Физматлит, 1959. 572 с.
Дитчбери Р. Физическая оптика. М.: Наука, 1965. 637 с.
Друде П. Оптика. М.; Л: ОНТИ, Гл. ред. общетехн. лит., 1935. 196 с.
Калитеевский Н. И. Волновая оптика. М.: Высшая школа, 1978. 384 с.
Ковалевская Т. Е., Овсюк В. Н., Белоконев В. М., Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Матвеев А. Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 351 с.
Михель К Основы теории микроскопа. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Стафеев С. К, Боярский К. К, Башнина Г. Л. Основы оптики. СПб.: Питер, 2006. 336 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с; Т. 5. 760 с.
Чуриловский В. К Теория оптических приборов. М.: Машиностроение, 1966. 564 с.
Яворский Б. М, Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов
вузов. Москва, Оникс, Мир и образование, 2006. 1056 с.

ГЛАВА 2. ГАУССОВА ОПТИКА
Успехи физической оптики, связанные непосредственно с работами Френеля
по дифракции света, Малюса и Био по его поляризации, в начале XIX столетия
отодвинули на второй план проблемы, связанные с геометрической оптикой.
Но в 1807 г. на должность руководителя кафедры математики и астрономии
Геттингенского университета, в состав которой входила и астрономическая
обсерватория, приходит тридцатилетний Карл Фридрих Гаусс.
Увлекшись астрономическими наблюдениями, Гаусс, обладая характером
исследователя, естественно, не мог не заинтересоваться средствами наблюдения, в том
числе и вопросами их расчетов. К тому времени уже существовал целый ряд
различных приемов расчета, обеспечивающих достаточную точность в определении хода
лучей в довольно сложных оптических системах, состоящих из линз конечной
толщины. Будучи первоклассным вычислителем, для которого рассчитать любую
оптическую систему, наверняка, не составило бы никакого труда, Гаусс обратил внимание
на их чрезвычайную трудоемкость и неудобство в обращении с ними.
В 1840 г., в возрасте 63 лет, Гаусс публикует свою работу Dioptrische Unter-
suchungen (в русском переводе приблизительно «Диоптрические исследования»).
В этой работе Гаусс предложил более простую математику для расчета в принципе
любых оптических систем. Правда, при одном, но очень важном условии: определять
расстояния от объекта или его изображения до сферических оптических элементов не
от вершин ограничивающих их поверхностей или оптического центра этих систем,
а от двух «особенных» точек, лежащих на оптической оси, названных Гауссом
главными точками линзы. Плоскости, проведенные через эти точки перпендикулярно к
оптической оси, Гаусс назвал главными плоскостями.
В основу определения положения главных точек и главных плоскостей Гаусс
положил условие: изображение предмета, спроецированное в одну из главных
плоскостей системы, должно отображаться во второй в виде прямого изображения,
равного по величине изображению в первой главной плоскости. В этом и состоит суть
одной из главных идей оптики Гаусса.
Введением в оптическую систему так называемых кардинальных элементов
Гаусс чрезвычайно упростил существовавшую до него сложную теорию оптических
систем и создал основу для последующих исследований в области геометрической
оптики.
Теория, предложенная Гауссом, по существу, есть чисто геометрическая теория,
устанавливающая простую геометрическую связь между точками, линиями и
плоскостями. Она заключается в определении местоположения характерных (или
характеристических) элементов оптической системы, непосредственно связанных с ее
геометрическими параметрами. Причем, по предположению Гаусса, именно эти элементы
должны определять проективную связь между предметом и его изображением.
Теория Гаусса удивительно проста для понимания и не требует никакого
специального образования. Для того чтобы решать довольно сложные оптические
задачи, вполне достаточно знаний в объеме элементарной алгебры и геометрии, даже ес-
75

ли этот объем ограничивается только рамками школьного курса. Эта простота
обязана, прежде всего, тем предположениям и приближениям, которые Гаусс принял
в качестве основы при создании оптики «нулевых лучей» (или оптики идеальных
систем), как нередко еще называют оптику Гаусса.
Но вся красота оптики Гаусса, проявляющаяся в простоте и изяществе
рассуждений, полностью воспринимается только тогда, когда, анализируя на практике
работу оптических систем, начинаешь понимать, с какой поразительной легкостью
простые формулы дают удивительно точные результаты. С момента создания оптика
Гаусса не претерпела особых изменений, хотя и получила дальнейшее развитие
в работах многих математиков и физиков.
2
Замечание: Совершенно не трогая основные идеи,
предложенные Гауссом, их изложение мы будем вести с сегодняшних
позиций (на современном языке), нарушая некоторую
последовательность, которая была принята Гауссом при создании
своей теории.
Да простят нас сторонники классического подхода к
анализу оптических систем.
Ну а теперь все по порядку! Основываясь на тех сведениях о системах со
сферическими поверхностями, которые мы получили в предыдущей главе, попробуем
взглянуть на оптическую систему глазами Гаусса. Конечно, если у нас это
получится — смотреть на мир чужими глазами не так-то просто!
2.1. Несколько слов об оптических системах:
основные определения
Понятие системы многогранно и используется во многих отраслях науки и
техники. В буквальном переводе с греческого языка слово «system» означает нечто
целое, составленное из отдельных частей.
Оптические Система в оптическом понимании представляет со-
системы ^ои С0В0КУПН0СТЬ отдельных оптических узлов и деталей,
_ конструктивно связанных между собой для решения
определенных задач (или связанных общей функцией).
Объект и его изображение, как и пространства, в которых они располагаются, являются
неотъемлемой частью оптической системы. Поэтому рассматривать оптическую
систему всегда следует как некую последовательность, включающую в себя сам объект
(предмет), оптические элементы, формирующие его изображение, и, наконец,
приемник оптической информации, в качестве которого может выступать или глаз
человека, или некое фоторегистрирующее устройство.
Под объектом в самом широком смысле этого слова можно понимать все, что
угодно: от источников излучения до сложных трехмерных реальных сцен. Но в
любом случае оптическая система всегда будет представлять собой совокупность,
состоящую из объекта, оптических элементов, изображения объекта и приемника
оптической информации. В некоторых случаях при анализе и синтезе оптических
систем даже среду, в которой располагаются отдельные элементы системы и которая
непосредственно участвует в переносе и формировании оптической информации,
приходится включать в понятие оптической системы. Нередко в оптике
сложный оптический элемент, например фотообъектив, также называют системой, но
говорить о нем как о системе без привязки к предмету и его изображению вряд ли
имеет смысл.
76

Q Замечание: Даже если в руках мы держим очень сложный
объектив, то, в принципе, это всего лишь набор «стекляшек».
Но когда этот объектив участвует в формировании изображения
некоего предмета (неважно какого), то все вместе — это уже
система!
Конструирование оптических систем, как правило, требует выполнения
довольно большого объема вычислительных работ, непосредственно связанных с
получением необходимых качественных и количественных характеристик создаваемых
оптических систем (приборов). Причем все выполняемые расчеты можно свести в
три большие группы.
К первой группе можно отнести расчеты, непосредственно связанные с
определением габаритных характеристик оптической системы, т. е. с определением
световых диаметров оптических элементов и их расположением в схеме прибора. Ко
второй — светоэнергетические расчеты с целью получения необходимой
освещенности создаваемого изображения или оптимизации отношения сигнал/шум. И, наконец,
третью группу составляют расчеты, непосредственно связанные с минимизацией
аберраций, снижающих качество создаваемых оптической системой изображений. Но
при всех этих расчетах изучаются условия прохождения лучей пучка через всю
оптическую систему.
Нас в большей степени будет интересовать первая группа расчетов, так как она
непосредственно связана с определением световых диаметров оптических элементов
и их расположением в оптической системе, что, пожалуй, в первую очередь
необходимо знать при ее моделировании для экспериментальной проверки предельных
возможностей системы. Но прежде чем перейти к анализу работы оптических систем,
хотелось бы сказать несколько слов о тех определениях и понятиях, с которыми нам
придется встретиться при их исследовании.
Оптические системы, прежде всего, служат для преобразования или передачи
оптической информации (или того и другого вместе). При этом к ним могут
предъявляться самые различные требования, определяемые теми задачами, которые
предстоит решать оптической системе.
В геометрической оптике источник информации, например некий объект или
его изображение, обычно рассматривается как совокупность некоего множества
точек, излучающих свет. Причем каждая точка, являясь бесконечно малым источником
света, излучает (или отражает) свет в виде пучка лучей, вдоль которых происходит
распространение световой энергии. Когда все лучи пучка пересекаются в одной
точке, то такой пучок, как мы уже говорили выше, называется гомоцентрическим, а
точка пересечения его лучей — геометрическим центром пучка. Центр пучка лучей,
входящих в оптическую систему, называется предметной (объектной) точкой, а ее
отображение на выходе оптической системы — изображением предметной точки или
изображением точки объекта.
Реальные оптические системы не всегда обеспечивают достаточно высокое
качество создаваемого изображения. В результате несовершенства оптических
элементов, вызванного самыми различными причинами, формируемое изображение
зачастую выглядит несколько искаженным. В общем случае эти искажения носят название
аберраций (aberration — отклонение от истины). Поэтому, и нередко,
гомоцентрические пучки на выходе из оптической системы теряют гомоцентричность и вместо
точки мы получаем в ее изображении некое размытое пятно. Правда, в реальных
оптических системах с помощью специальных аберрационных расчетов стремятся
свести к минимуму влияние аберраций на качество создаваемых изображений.
77

Q Замечание: Понятие «качество изображения» довольно
сложное и расплывчатое. Обычно в оптике под качеством
изображения понимают, с одной стороны, способность оптической
системы передавать раздельно мелкие детали предмета, а с
другой — ее возможности по достаточно точной передаче
контраста рассматриваемого предмета.
Но и нередко качество изображения, особенно с позиций
среднего обывателя, можно определить довольно своеобразно.
Например, Вы смотрите некий фильм по телевизору, и Вам
кажется, что качество создаваемого изображения могло бы быть
лучше, но Вам лень подниматься с дивана. В этом случае
можно считать, что качество изображения вполне Вас устраивает.
В практике эксперимента, чему собственно и посвящена эта книга, зачастую
используются готовые оптические узлы и детали, поэтому, как правило,
необходимость в проведении аберрационных расчетов отпадает. Именно это послужило
основной причиной, по которой вопросы теории аберрационных расчетов оставлены за
рамками настоящей книги.
Идеатьные ^Ри м°ДелиРовании оптических схем, прежде всего,
оптические следует знать конструктивные параметры оптических эле-
системы ментов, входящих в схему, непосредственно связанные с
- ее габаритами, т. е. с диаметрами и длинами.
Провести предварительный расчет оптической
системы, а затем подобрать оптические элементы с определенными фокусными
расстояниями и необходимыми световыми диаметрами, определить их положение
относительно друг друга можно довольно просто с помощью элементарных формул
геометрической оптики, если предположить, что рассматриваемая оптическая система
идеальна.
Под идеальной оптической системой мы будем понимать оптическую
систему, свободную от аберраций и способную без искажений воспроизводить с помощью
широких пучков любую точку пространства предметов независимо от его размеров.
Или иначе, идеальная оптическая система допускает возможность построения
изображения любой точки пространства предметов, как бы оно ни было велико,
с помощью широких гомоцентрических пучков лучей, сохраняя их гомоцентрич-
ность при формировании изображения точки (проецирование «точки в точку»).
Центрированные I ^ геометрической оптике наиболее широко приме-
оптические I няются оптические элементы, ограниченные двумя пре-
системы ломляющими поверхностями, чаще всего представляю-
яш^1ШШиятяятттт^^ щими собой отдельные «куски» сферы. Такие элементы,
как мы упоминали ранее, обычно называются линзами
(рис. 2.1).
Воображаемая прямая линия, которая соединяет центры кривизны Ci и С2
сферических поверхностей, ограничивающих ее «тело», называется оптической
осью. Оптические элементы, ограниченные сферическими поверхностями, обладают
круговой или аксиальной симметрией (axialis — осевая), причем осью симметрии
является оптическая ось системы.
Оптические системы, которые обладают круговой симметрией и
сохраняют все свои свойства при вращении вокруг оптической оси, называются
центрированными.
78

fi
Замечание: Однако, если оптическая система включает в
себя одну сферическую поверхность, то положение оптической
оси строго определить нельзя, так как любую прямую,
проходящую через центр кривизны сферической поверхности, можно
принять за оптическую ось.
Такой же особенностью обладают оптические системы,
центры кривизны сферических поверхностей которых совпадают.
В этом случае любую прямую, проходящую через центр
кривизны, можно принять за оптическую ось. Такие системы в оптике
называют концентрическими.
Центрированные оптические системы могут содержать наряду со
сферическими элементами (или сферическими поверхностями) плоские зеркала, отражающие
призмы, круглые диафрагмы.
Именно такие оптические системы мы и будем рассматривать в этой книге.
Сопряженные ^ основе действия любой оптической системы ле-
пространства жит геометРическая> а вернее, проективная связь между
_ пространством, в котором расположен предмет, и
пространством, в котором формируется изображение. В одном
случае эта связь осуществляется с помощью коллинеарной (параллельной) проекции
(коллинеарного переноса), а в другом — с помощью центральной проекции. Но в
обоих случаях оптическая система связывает два пространства — пространство
предметов (объектов) и пространство изображений. Эти пространства в
геометрической оптике называются сопряженными в том случае (рис. 2.2), если:
• каждой точке пространства предметов соответствует одна и только одна точка
пространства изображений;
• каждой прямой линии пространства предметов соответствует одна и только
одна прямая линия пространства изображений;
• каждой плоскости пространства предметов соответствует одна и только одна
плоскость пространства изображений.
А это означает следующее: если в пространстве предметов задать направление
распространения луча, то, исходя из свойств сопряженных пространств, можно найти
направление его распространения в пространстве изображений.
Не следует думать, что границей между сопряженными пространствами
(пространствами предметов и пространства изображений) служит линза или некий другой
оптический элемент. И пространство предметов, и пространство изображений
существуют по всему пространству: от минус бесконечности до плюс бесконечности.
79

Пространство изображений
Г
Пространство предметов
(объектов)
Рис. 2.2. Сопряженные пространства и меридиональные плоскости Mi и М2.
Плоскости Р и Р' сопряжены между собой.
Оба пространства, неограниченно простираясь в обе стороны, довольно часто
незаметно переходят одно в другое. Потому, и в этом Вы убедитесь чуть ниже сами,
оптическая система может сформировать изображение в области, которая, казалось
бы, принадлежит пространству предметов, и, наоборот, предмет может
расположиться в области, которая, казалось бы, должна принадлежать пространству изображений.
Однако, при всех этих «вывертах» эти пространства можно легко связать
простым отношением сопряженных отрезков (рис. 2.2):
у'
Р =
(2.1)
которое в оптике носит название линейного (или поперечного) увеличения и, по сути,
определяет масштаб формируемого оптической системой изображения.
Заметим, что эта формула не учитывает применительно к рис. 2.2 инверсию изображения.
Тем не менее, такая запись оказывается универсальной. Но об этом позже.
Важным свойством линейного увеличения является то, что в паре
сопряженных и перпендикулярных к оптической оси плоскостей линейное увеличение всегда
остается постоянным.
Меридиональная I Любую плоскость, содержащую в себе оптическую
п 10скость I ось' в оптике называют меридиональной плоскостью, при-
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ чем каждая меридиональная плоскость, простираясь в обоих
пространствах, сопряжена сама с собой. Отсюда следует,
что любой поворот меридиональной плоскости вокруг оптической оси в пространстве
предметов вызовет ее немедленный поворот вокруг оси в пространстве изображений.
Если в пространстве предметов рассматриваемый луч лежит в меридиональной
плоскости, то он не может ее покинуть и в пространстве изображений (см. рис. 2.2).
Благодаря аксиальной (осевой) симметрии сферических поверхностей в оптической системе
может существовать бесконечное множество меридиональных плоскостей.
Введение понятия меридиональной плоскости позволяет нередко отказаться от
трехмерного представления оптической схемы и дает возможность проводить ее анализ
на плоскости. Такая замена вполне допустима, так как в аксиальных системах
изображение точки А' (или В') произвольной точки А (или В) всегда будет лежать в
меридиональной плоскости, проходящей через эту точку (на рис. 2.2 плоскости М] и М2) и ось
симметрии Z. В результате оптическую систему, изображенную на рис. 2.2, можно
отобразить на плоскости, как показано на рис. 2.3 (меридиональная плоскость Mi).
80

г
а
У
Р' ^z
iJ
t
•А'
f
Рис. 2.3. Сечение оптической системы меридиональной плоскостью.
В этом случае изображение точки, линии или плоскости можно легко получить
или с помощью простых геометрических построений, или с помощью простых
алгебраических вычислений на плоскости.
Действительные,
параксиальные
и нулевые лучи
В геометрической оптике оперируют такими
понятиями, как светящаяся точка и световой луч. Оба эти
понятия являются чисто математическими и не имеют
никакого отношения к физической природе распространения
света.
Под светящейся точкой мы будем понимать источник излучения бесконечно
малого размера, а под лучом света — прямую линию, чаще всего являющуюся
геометрической осью светового пучка.
Напомним, что лучи света, испытывающие преломление непосредственно на
преломляющих поверхностях реальных оптических элементов реальных оптических
систем, мы называем действительными лучами. Лучи света, распространяющиеся в
параксиальной области реальных оптических систем, — параксиальными лучами. И,
наконец, лучи, используемые для анализа идеальных оптических систем, будем
называть нулевыми лучами.
Замечание: Для лучшего понимания излагаемого нами
далее материала считаем нелишним напомнить, что за
положительное направление оптической оси, согласно общепринятым
правилам, принято считать направление распространения света
слева направо.
В этом случае отрезки, направление отсчета которых
совпадает с направлением распространения света, считаются
положительными, и, наоборот, если направление отсчета
противоположно направлению распространения света, —
отрицательными.
За положительное значение углов принимаются углы, для
образования которых необходимо повернуть оптическую ось или
нормаль по часовой стрелке. В противном случае угол
считается отрицательным.
Радиусы сферических поверхностей принято считать
положительными, если их центры кривизны лежат справа от
преломляющей поверхности, и отрицательными, если центры
кривизны лежат слева от преломляющей поверхности.
Чтобы окончательно расставить точки над i, обратимся к рис. 2.4.
На нем показан возможный ход действительного (ARA'), параксиального
(АРА') и нулевого (ANA') лучей. Уже из рисунка видно, что реальный луч (ARA')
81

..^?'::/к>::
"-Кф-
.^<=А *^J?- Л:5 .
Рис. 2.4. Действительный (ARA'), параксиальный (АРА') и нулевой (ANA') лучи.
испытывает преломление непосредственно на реальной сферической преломляющей
поверхности SS. Именно ход этих лучей в наибольшей степени соответствует
естественным условиям прохождения широких волновых фронтов, распространяющихся в
пространстве. Абстрагируясь от физической сущности световой волны, можно
считать (но только считать!), что эти лучи будто бы существуют в природе.
Для параксиального луча (АРА'), распространяющегося бесконечно близко к
оптической оси, углы падения и преломления настолько малы, что без всякого
ущерба для точности вычислений значения тригонометрических функций можно заменить
значениями непосредственно самих углов, выраженными в радианах.
При малых значениях углов ар и а'р, образуемых падающим и преломленным
лучами с оптической осью, естественно малы и их углы падения 8р и преломления г'р.
В отличие от действительных лучей, испытывающих преломление на
сферических поверхностях, у параксиальных лучей в общем-то и «не понять», где они
испытывают преломление! Нередко считают, что их преломление происходит на некой
фиктивной плоскости, касательной к вершине сферической поверхности. Но
фиктивная плоскость при малых углах падения настолько близка к преломляющей
поверхности, что высота, на которой падающий параксиальный луч встречает
преломляющую поверхность, определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки
встречи параксиального луча со сферической поверхностью (точкой Р) на
оптическую ось.
Только этим и отличается «поведение» параксиальных лучей от поведения их
реальных «собратьев».
К сожалению, чтобы хоть как-то отобразить параксиальные лучи на рисунке,
мы были просто вынуждены нарисовать для них достаточно большие углы. Но малые
углы и малые высоты вряд ли удобны для практических вычислений. Поэтому на
практике прибегают к «услугам» так называемых нулевых лучей.
Если за действительными и параксиальными лучами еще можно как-то
признать некое право на «существование» (все-таки преломляются на сферической
поверхности или близко к ней!), то нулевые лучи кроме как «надуманными» и не
назвать. Их парадоксальность заключается хотя бы в том, что они испытывают
преломление не на сферической поверхности, на которой в действительности происходит
преломление реального луча, а на некой фиктивной плоскости, расположенной в
одной из сред. Однако, распространяясь в пространстве, нулевой луч отсекает на
оптической оси точно такие же отрезки s и s'9 как и параксиальный луч,
распространяющийся в том же направлении. Высота ON встречи нулевого луча с плоскостью, на
которой он испытывает преломление, не намного отличается от высоты встречи дей-
82

ствительного луча со сферической преломляющей поверхностью. Углы а и а',
образованные нулевыми лучами с оптической осью, получаются почти такими же, как и
углы, образованные с оптической осью действительными лучами.
И если в формулах для расчета хода параксиальных лучей (с
малыми значениями углов ар и а'р) мы с полным правом можем воспользоваться
непосредственно значениями углов, выраженными в радианах,
то в формулах для расчета хода нулевых лучей (с большими значениями углов а„ и а'„)
мы этим правом воспользоваться не можем, а просто будем вынуждены для вычислений
использовать значения их тригонометрических функций.
Из этих сопоставлений становится понятным, и в этом Вы легко убедитесь
ниже, — формулы для расчета хода параксиальных и нулевых лучей будут
различаться только тем, что для параксиальных лучей в записи формул углы будут
обозначены, как а и а' (что означает в радианах), а для нулевых, соответственно, как tg а и
tg а'. В этом вся и разница!
Крайне важно, что формулы для расчета хода нулевых лучей (в этом Вы
убедитесь сами!) получаются значительно проще, чем для таких же расчетов,
выполняемых для действительных лучей.
Этого, наверное, вполне достаточно, чтобы понять различие между лучами,
используемыми в геометрической оптике.
В этой главе мы будем иметь дело по большей части с нулевыми лучами,
формирующими изображения реальных предметов в идеальных оптических системах.
2.2. Кардинальные элементы оптических систем
Мы не знаем, каким путем в своих размышлениях шел Гаусс, создавая свою
оптику. Нам известны только результаты этих размышлений. Поэтому все, о чем мы
будем говорить, дается с позиций современных представлений о прохождении лучей
света сквозь оптическую систему.
Так чем же замечательны эти кардинальные (cardinal is — главный) элементы
оптической системы? Для знакомства с ними мы воспользуемся «услугами»
симметричной двояковыпуклой (собирающей, или положительной) линзы. Причем, все
дальнейшие рассуждения мы будем вести, предполагая, что оптический элемент
находится в однородной среде, а это значит, что показатели преломления в
пространстве предметов и пространстве изображений равны между собой: п = п'. Это случай,
который наиболее часто встречается на практике в повседневной жизни.
Попутно заметим, что собирающая линза потому и называется собирающей, что
обладает способностью собирать все падающие на нее параллельные (или исходящие
из одной точки) лучи в одну, реально отображаемую (хотя бы на экране) точку.
Но раз так, то справедливо и следующее утверждение, а в этом мы убедились
в предыдущей главе: для линзы, по сути, куска стекла, ограниченного двумя
сферическими поверхностями, мы можем определить две характерные точки, в которых
все лучи пучка параллельные ее оптической оси, будут так же стягиваться в точку
(рис. 2.5).
Напомним, что точка, расположенная слева от линзы на расстоянии -/,
называется передним фокусом F сферического элемента, а расстояние /— его передним
фокусным расстоянием, а точка, расположенная справа от линзы на расстоянии /',
называется задним фокусом F' сферического элемента, а расстояние/' — его задним
фокусным расстоянием.
Плоскости, нормальные к оптической оси и пересекающие ее в точках
фокусов, называются фокальными плоскостями, причем плоскость FF, пересекающая
оптическую ось в передней точке фокуса F, называется передней фокальной плоскостью,
а в задней точке фокуса F' — соответственно задней фокальной плоскостью FT'.
83

Рис. 2.5. Точки фокусов, фокусные расстояния
и фокальные плоскости.
Таким образом, мы получили две характерные (кардинальные) точки
оптической системы — точки переднего и заднего фокусов и две характерные
(кардинальные) плоскости — переднюю и заднюю фокальные плоскости.
Выше мы говорили, что в двух сопряженных пространствах, пространстве
предметов и пространстве изображений, идеальная оптическая система строго
отображает точку точкой, прямую — прямой, а плоскость — плоскостью. Представляя
себе, что бесконечно удаленный источник излучения может принадлежать плоскости,
расположенной в бесконечности, можно утверждать, что фокальная плоскость (как
передняя, так и задняя) всегда сопряжена с одной-единственной плоскостью —
плоскостью, расположенной в бесконечности.
Замечание: Правда, если говорить вообще о
бесконечности, то с какого расстояния начинается «эта бесконечность»
в пространстве толком никто и не знает. Но в геометрической
оптике для конкретных оптических приборов «расстояние до
бесконечности» (смешное словосочетание!) определяется их
разрешающей способностью. Но об этом в следующих главах.
Для характеристики оптических элементов чаще используется заднее фокусное
расстояние/'. При этом, если заднее фокусное расстояние больше нуля (/' > 0) —
система считается положительной (собирающая линза), если же заднее фокусное
расстояние меньше нуля (f' < 0) — система считается отрицательной (рассеивающая линза).
Главные Теперь обратимся к рис. 2.6. На нем отображена
плоскости I Двояковыпуклая линза, у которой толщина вдоль оптиче-
и главные точки I скои оси сопоставима с радиусами кривизны ограничи-
I вающих ее поверхностей.
Далее предположим, что, распространяясь слева
направо, на линзу падает пучок лучей, параллельных оптической оси. Из предыдущих
обсуждений следует, что лучи пучка, встретив первую преломляющую поверхность
линзы, изменят направление своего первоначального распространения, а встретив
вторую преломляющую поверхность, преломятся еще раз и после выхода из линзы
соберутся в одной точке F' на оптической оси, в заднем фокусе линзы, что и
отражено на рисунке.
Проследим за изменением хода лучей от их входа в линзу до выхода из нее.
Например, выделим луч Aaa'F', падающий на первую преломляющую поверхность на
высоте А|. Этот луч сначала встретит первую преломляющую поверхность в точке а,
затем после преломления встретит вторую преломляющую поверхность в точке а' и
только потом, распространяясь дальше, пересечет оптическую ось линзы в точке
F — заднем фокусе линзы.
84

Рис. 2.6. К определению главных плоскостей.
Если теперь луч Аа, параллельный оптический оси, продолжить за линзой без
всяких преломлений в направлении его первоначального распространения, а
преломленный луч a'F' продолжить без преломления на поверхности линзы в обратном
направлении, то они пересекутся в точке Hi.
Такие же построения можно выполнить для лучей Bbb'F' и Ccc'F'. В
результате мы получим серию точек Н'ь Щ, Щ...
Соединив их, мы увидим, что все они, оказывается, лежат на одной прямой
линии, а принимая во внимание, что сферическая поверхность обладает круговой
симметрией, нетрудно догадаться, что эта прямая линия не что иное, как след некой
«виртуальной» плоскости, рассекающей все тело линзы. Пересечение этой плоскости
с оптической осью, точку Н', Гаусс назвал задней главной точкой, а плоскость,
которой главная точка обязана своим появлением, задней главной плоскостью.
Естественно, ход параллельных лучей, распространяющихся параллельно
оптической оси, но справа налево (нижняя часть рис. 2.6), будет отличаться от хода
параллельных лучей, рассмотренных выше, только тем, что в этом случае все лучи,
после преломления в линзе, пересекут оптическую ось перед линзой в точке F —
переднем фокусе линзы.
Если мы выполним точно такие же геометрические построения для этих
пучков параллельных лучей, то получим вторую плоскость и вторую точку Н
пересечения виртуальной плоскости с оптической осью, которые Гаусс назвал передней
главной плоскостью, а точку пересечения, соответственно, — передней главной точкой.
Теперь обратите внимание: лучи, распространяющиеся параллельно
оптической оси и идущие хоть слева направо, хоть справа налево, отсекают на прямых
линиях, представляющих собой следы главных плоскостей, совершенно одинаковые
(равные) отрезки. То есть их отношение, по сути, отражающее линейное увеличение
при переносе изображения из одной главной плоскости в другую, всегда будет
оставаться равным плюс единице:
Рн =
Н'Н'
нн4
= +1.
Иными словами, лучи света, распространяясь между главными плоскостями в
теле линзы, по предположению Гаусса, не должны менять своего направления
распространения.
85

: F
1 H
j П
il L
F H
<
-f
/ п'
jo 0с
F'
Р
г* V ▼
г !
/'
Р
-^. % - — - ■ >^-
i
Рис. 2.7. К расположению точек фокусов в различных средах.
Понятно, что одной произвольной точке передней главной плоскости
соответствует одна и только одна точка на задней главной плоскости, а это значит, что
главные плоскости системы сопряжены между собой. Именно от этих главных
плоскостей (или главных точек) отсчитываются расстояния до фокальных плоскостей,
которым мы выше дали название фокусных расстояний и обозначили символами/и/'.
й
Замечание: Если фокусные расстояния f и f измеряются
от главных плоскостей, то можно сказать, что положение
главных плоскостей определяется фокусными расстояниями f и
f, откладываемыми соответственно от переднего и заднего
фокусов F и F'.
Наверное, теперь стало понятно, почему мы,
рассматривая преломление лучей на одной сферической поверхности, так
упрямо «ломали» их, в конечном счете, на плоскости,
касательной к вершине сферической поверхности. Обратимся к
рис. 2.7.
В первой главе мы определили положения точек фокусов F
и F' одной преломляющей поверхности с помощью инварианта Аб-
бе согласно выражениям
пг
п -п
f ■
п г
п - п
совершенно не имея никакого понятия о главных плоскостях.
Теперь же, исходя из наших новых представлений, если мы
отложим фокусные расстояния от точек фокусов (которые в свою
очередь в первой главе мы находили относительно вершины
сферической поверхности), то увидим, что они определят
положение плоскости, касательной к сферической поверхности в
ее вершине. По сути, это и есть главная плоскость для
случая одной преломляющей поверхности.
Аналогичным способом можно определить кардинальные элементы для
двояковогнутой отрицательной линзы (рис. 2.8).
Что и как получилось, наверное, Вам ясно из рисунка. Мы же только
обратим ваше внимание на то, что точки переднего и заднего фокусов, а с ними и
фокусные расстояния поменялись местами относительно тех мест, которые они имели в
случае положительной линзы, в то время как главные плоскости и главные точки
сохранили их.
86

Рис. 2.8. Кардинальные элементы в отрицательной линзе.
Фокусные расстояния, поменявшись местами, естественно, изменили и знаки:
если у положительной линзы переднее фокусное расстояние отрицательно, т. е.
«сопровождается» знаком минус, то у отрицательной линзы фокусное расстояние
становится положительным, и наоборот.
Кстати, такой поворот в расположении кардинальных элементов
отрицательной линзы нередко приводит к затруднениям как при построении графическими
методами изображений реальных предметов, так и в выборе знаков при аналитических
вычислениях.
И хотя эти затруднения легко разрешимы, но понимать, что у Вас в руках
отрицательная линза и у нее что-то «наоборот», нужно всегда!
В линзах различных типов главные плоскости и главные точки могут
располагаться как вне оптической системы, так и внутри нее. Более того, они могут
располагаться совершенно несимметрично относительно ограничивающих (преломляющих)
поверхностей оптической системы.
Узловые
плоскости
и узловые точки
Мы рассмотрели в предыдущих примерах пучки
лучей, падающие на оптический элемент параллельно
оптической оси системы. Попробуем посмотреть, что
происходит с пучками параллельных лучей, входящими в
оптическую систему под углом к оптической оси.
Интуитивно понятно, что пучок параллельных лучей, входящий в оптическую
систему под некоторым углом к оптической оси, преломившись за линзой, должен
собраться в точке А', также расположенной в фокальной плоскости (рис. 2.9).
Среди множества лучей наклонного пучка, испускаемого внеосевым
источником излучения, расположенным в бесконечности, всегда можно найти луч,
проходящий через передний фокус линзы F, который после преломления на ее главной
плоскости в точке Н3 идет далее через точку ЬЦ параллельно оптической оси — в
направлении Н3А'. Тогда можно найти его высоту «входа» в оптическую систему как
h =/tga.
(2.2)
Наверняка, в пучке параллельных лучей найдется и луч, проходящий через
переднюю главную точку Н под углом ан = а и, следовательно, на выходе из линзы
проходящий через ее заднюю главную точку Н'. Но так как этот луч принадлежит
87

h'= h
Рис. 2.9. Наклонный пучок на входе в оптическую систему.
При щ = щ главные точки НиН' совпадают с узловыми точками N и N'.
также рассматриваемому наклонному пучку параллельных лучей, то, естественно, он
просто «обязан» пройти в пространстве изображений, за линзой, через точку А'. Для
этого случая мы можем записать, что
h' = -f'tga'H. (2.3)
А теперь обратимся к рис. 2.9 и посмотрим, что мы получили. Все три отрезка
НН3, Н'Нз и FA' равны между собой и равны И. Из (2.2) и (2.3) с учетом (1.76)
нетрудно получить, что
tgaH' __/' _пъ
f
tgaH
П\
(2.4)
Если же наша линза расположена в однородной среде и щ = п3, то отношение
тангенсов tgaH' и tgaH будет равно плюс единице:
Ун =
tgaH'
tgaH
+1.
(2.5)
В геометрической оптике это отношение обычно называют угловым
увеличением и обозначают греческой буквой у (но более подробно о нем мы поговорим позже).
Так вот, точки N и N', в которых угловое увеличение равно единице,
называются узловыми точками, а плоскости, перпендикулярные оптической оси и
пересекающие ее в узловых точках, называются узловыми плоскостями.
И последнее: когда п\ = п3и, соответственно,//= —f, то это тот единственный,
но широко распространенный и весьма важный случай, когда в оптической схеме
главные точки НиН'и главные плоскости совпадают с узловыми точками N и N' и
узловыми плоскостями (рис. 2.9).
Таким образом, мы, а точнее Гаусс, выделили шесть важнейших
(кардинальных) элементов, которые, в принципе, полностью определяют линзу: это две точки
фокусов F и F' с их фокальными плоскостями, две главные точки НиН'и две
узловые точки N и N' соответственно со своими плоскостями.
88

Знание расположения кардинальных элементов (точек фокусов, главных и
узловых плоскостей) в рассматриваемой оптической системе позволяет без особого
«напряга», излишних затрат труда и времени определить положение и размеры
изображения любого предмета.
Интересно, обратили ли Вы внимание на то, что по существу мы нашли два
луча (и совсем не важно, какому пучку они принадлежат, сходящемуся,
расходящемуся или параллельному!), которые всегда распространяются по наперед заданному
закону. Этими лучами являются:
• луч, распространяющийся параллельно оптической оси (и совсем не важно,
справа или слева!) и всегда пересекающий оптическую ось в точке фокуса
системы, и
• луч, проходящий через узловые точки системы и не меняющий направление
своего первоначального распространения (конечно, если слева и справа
относительно оптического элемента среда с одним и тем же показателем
преломления!).
Именно эти лучи, имитирующие ход световых лучей, излучаемых (или
отражаемых) точками предмета, для которых «контрольными» точками прохождения
являются кардинальные элементы оптической системы, лежат в основе всех
геометрических построений, позволяющих исследовать условия формирования изображений
оптической системой! Но об этом несколько позже.
2.3. Тонкая идеальная линза
Наверное, Вы уже обратили внимание, что «возиться» с двумя плоскостями,
пусть и главными, а, тем более, если между ними луч вообще не меняет своего
направления распространения, вряд ли имеет смысл. Поэтому невольно возникает
желание все эти плоскости и точки совместить, тем более, что при щ=щ узловые точки
также совпадают с главными. Что, наверное, и сделал Гаусс (а как увидите дальше, и
не только это!).
Проделаем это совмещение и мы. В результате получим одну главную
плоскость и одну главную точку, с которой совмещены и узловые точки (рис. 2.10). На
рис. 2.10, а показан реальный ход луча в толстой линзе, на рис. 2.10, б — несколько
идеализированный ход луча в той же толстой линзе, но при условии, что
преломление падающих лучей происходит на ее главных плоскостях, и, наконец, на рис. 2.10, в
показан ход лучей в тонкой линзе по Гауссу.
В геометрической оптике линзу, толщина которой невелика по сравнению с
радиусами кривизны преломляющих поверхностей, обычно принято считать (и
называть!) тонкой. В оптике Гаусса вопрос о толщине линзы можно исключить полностью.
Рис. 2.10. Различный ход лучей в толстой и тонкой линзах:
а — реальный ход лучей в толстой линзе; б — ход лучей по Гауссу в толстой линзе;
в — ход лучей по Гауссу в тонкой линзе.
89

нн/
Н'
Рис. 2.11. Представление тонкой линзы в виде прямой линии:
а — положительной, б — отрицательной.
Линза просто заменяется плоскостью, на которой и происходит преломление
распространяющегося луча. Для тонкой идеальной (безаберрационной) линзы
отпадает не только необходимость учета формы преломляющих поверхностей и значений
показателей преломления различных сред (через которые проходит луч), но и самой
толщины линзы.
Теперь графически, даже в самом общем случае, линзу можно отображать
прямой линией, которая будет представлять собой след пересечения совмещенных
главных плоскостей с листом бумаги.
Это часто и делают, обозначая положительную (собирающую) линзу прямой
линией со стрелками, идущими наружу (рис. 2.11, я), а отрицательную
(рассеивающую) — со стрелками, идущими вовнутрь (рис. 2.11, б).
Математические выражения, связывающие основные параметры оптической
системы, становятся значительно проще; зачастую их можно найти из простых
геометрических соотношений, например, из подобия простых геометрических фигур,
хотя бы тех же треугольников.
Теперь нас может совершенно не интересовать действительный ход лучей
в тонкой линзе, а все операции, связанные с определением хода лучей и
определением местоположения формируемого изображения, можно свести к простым
геометрическим построениям или простым алгебраическим вычислениям.
Используя определение тонкой линзы, вытекающее из предположений Гаусса,
можно не только значительно упростить все графические построения, связанные
с анализом хода лучей в оптической системе, но и (это мы увидим ниже) значительно
упростить математические расчеты, ограничиваясь для этого только рамками
школьного курса математики.
й
Замечание: Очень часто, без особого ущерба для
моделирования и анализа сложной оптической системы, состоящей из
нескольких оптических элементов (линз), ее заменяют одной
тонкой идеальной (безаберрационной) линзой. Но при
этом следует помнить: изображение, получаемое в реальной
системе, будет смещено относительно изображения тонкой
линзой, построенного на расстояние, найденное для каждого
компонента отдельно, согласно выражению
А.„ «
х d,
где п — показатель преломления, d — толщина линзы.
90

2.4. Построение изображений в оптической системе
с помощью кардинальных элементов
Графические построения в геометрической оптике, выполняемые при анализе
оптических схем, играют важную роль, которую даже трудно переоценить. Именно
графические построения в наиболее полной мере позволяют понять и даже
«увидеть», что же происходит в оптической системе. И хотя для их анализа мы
пользуемся, в какой-то степени, примитивным способом описания распространяющихся
электромагнитных полей (волн) — лучами, изменение направления их распространения
позволяет нам наиболее наглядно представить (и прочувствовать!) условия
формирования изображения реальных сцен и предметов, выполняемых оптической системой.
Основываясь на определениях кардинальных элементов, предложенных
Гауссом, любой объектив, как бы сложен он ни был, в принципе, всегда можно заменить
его элементарным эквивалентом в виде одной тонкой линзы с совмещенными
главными и узловыми плоскостями, при условии, что этот оптический элемент
расположен в воздухе.
Учитывая, что оптические системы, как правило, обладают осевой
(аксиальной) симметрией, все необходимые графические построения можно проводить не в
трехмерном пространстве, в котором работает реальная оптическая система, а на
плоскости, рассекая линзу одной из меридиональных плоскостей.
На рис. 2.12 изображена расположенная в однородном пространстве (воздухе)
двояковыпуклая линза, в которой главные и узловые плоскости, а с ними главные и
узловые точки совмещены. Совмещенные плоскости, исходя из представленной
конструкции линзы (двояковыпуклая с равными радиусами кривизны), расположены
посредине тела линзы и обозначены одним символом НН' (жирная линия черного
цвета). Главные и узловые точки оптического элемента отображены на рисунке
одной точкой, расположенной в центре линзы, и обозначены символом Н. Для
простоты, и нередко, мы будем называть эту точку оптическим центром линзы. Слева и
справа, в пространстве предметов и пространстве изображений, на фокусном
расстоянии -f=f от совмещенных главных плоскостей НН' расположены точки
переднего F и заднего F' фокусов, через которые проходят передняя FF и задняя F'F'
фокальные плоскости. На рисунке фокальные плоскости показаны пунктирными
линиями светло-серого цвета.
Перечисленные выше кардинальные элементы являются теми исходными
элементами, которые позволяют связать пространство предметов и пространство
изображений, а по сути, задают направление световых (или проецирующих) лучей,
используемых при построении изображений реальных предметов.
Н
Н'
F
-/
Г
F
Рис. 2.12. Изображение оптического элемента в сечении
меридиональной плоскостью.
91

Мы уже говорили, что любое изображение, как и любой реальный предмет,
можно представить в виде совокупности множества точек, каждая из которых
излучает (или отражает) световой поток, воспринимаемый глазами человека или неким
фоторегистрирующим устройством. Поэтому, если мы сможем каким-то образом
определить в оптической системе местоположение некой точки изображения,
сопряженной точке предмета, мы сможем определиться со многими (если не со всеми!)
параметрами самой оптической системы.
й
Замечание: Хотелось бы еще раз напомнить, что в
качестве плоскости, где лучи, идущие параллельно оптической оси,
меняют свое направление, выбрана плоскость, в которой
совмещены главные и узловые плоскости тонкой линзы.
Именно эта плоскость как бы «поделила» все
пространство, окружающее линзу, на две области — пространство
предметов и пространство изображений. Однако, как Вы скоро
убедитесь сами при решении задач на построение хода лучей,
пространство предметов и пространство изображений не
отделяются одно от другого какой-либо границей. Оба пространства
неограниченно простираются в обе стороны и существуют
независимо друг от друга.
«Пространство предметов» — это пространство, которое
существует до преломления лучей на главных плоскостях
оптической системы. «Пространство изображений» - это
пространство, которое существует после преломления лучей на главных
плоскостях оптической системы. Это деление пространства на
пространство предметов и пространство изображений чисто
условное, но точки в этих пространствах определяются вполне
реальными координатами!
Точки предмета и его изображения могут даже совпадать
друг с другом, но при этом все равно будут принадлежать
различным пространствам: пространству предметов и пространству
изображений.
Пространство предметов и пространство изображений даже
не имеют права переходить друг в друга, они могут только
меняться местами или накладываться друг на друга в силу
сопряженности этих пространств.
Как известно, на плоскости положение любой точки можно определить
пересечением двух прямых линий. В геометрической оптике этими линиями служат лучи
(нормали к волновому фронту). Но чтобы в полной мере использовать возможности
лучей, мы, по крайней мере, должны знать заранее или уметь определять пути их
распространения.
Внимательный читатель, наверное, обратил внимание, что ранее мы уже
использовали лучи, которые в идеальной оптической системе всегда идут по одному и
тому же пути, никогда и ни при каких обстоятельствах не меняя его. Этих лучей
всего три и все они показаны на рис. 2.13, причем на рис. 2.13, а показаны лучи,
распространяющиеся слева направо, а на рис. 2.13, б справа налево.
Как видите, одни из них, распространяясь в одном из пространств параллельно
оптической оси, в другом, после преломления, всегда пересекают оптическую ось
системы в точках ее фокусов. Другие, если они пересекают оптическую ось в точке
фокуса в одном из пространств, в другом, после преломления, пойдут параллельно
оптической оси. И, наконец, третьи, в каком бы пространстве они ни распространя-
92

Н Н'
Рис. 2.13. Лучи, ход которых после преломления всегда известен при распространении:
слева направо (а) и справа налево (б).
лись, пересекая оптическую ось в оптическом центре линзы (в ее совмещенных
главных и узловых точках), вообще «понятия не имеют», что такое преломление и
никогда не меняют своего направления распространения.
В пространстве всегда можно найти точечный источник излучения,
расположенный в бесконечности и в то же время лежащий на оптической оси. Очевидно,
пучок лучей, излучаемый источником света, пока «доберется» из бесконечности до
входного отверстия идеальной линзы, трансформируется в пучок параллельных
лучей, которые, после преломления линзой, будут «стянуты» ею в точку в заднем
фокусе F (рис. 2.14, а).
В случае отрицательной линзы будет наблюдаться несколько иная картина
(рис. 2.14, б): пучок параллельных лучей, встретив на своем пути отрицательную
линзу, легко пройдет сквозь нее, но на выходе будет преобразован ею в
расходящийся пучок лучей. Однако, если продолжить эти расходящиеся лучи в обратном
направлении (против света), то их продолжения снова соберутся в заднем фокусе F',
который у отрицательной линзы всегда располагается перед ней.
Хотелось бы обратить Ваше внимание на то, что любой пучок параллельных
лучей, распространяющийся под любым углом к оптической оси, соответствует
излучению бесконечно удаленного источника, расположенного вне оптической оси.
Естественно, и изображение сопряженной ему точки также будет располагаться вне
оптической оси.
Если источник излучения, расположенный в бесконечности, вдруг начнет
«съезжать» с оптической оси, то сопряженное ему изображение, сформированное
в задней фокальной плоскости идеальной системы, также начнет
перемещаться вдоль ее следа F'F, но в противоположном направлении (рис. 2.15, а).
В оптической системе с отрицательной линзой, обратите внимание, — «все
будет с точностью наоборот» — изображение источника будет перемещаться в том
же направлении, что и удаленный источник.
Эти, казалось бы, совсем простые замечания следует всегда помнить, чтобы
избежать путаницы при выполнении графических работ.
Рис. 2.14. Параллельные лучи пучка сходятся в заднем фокусе положительной линзы (а).
Продолжения этих лучей после преломления отрицательной линзой (б)
пересекаются в ее заднем фокусе.
93

Рис. 2.15. Наклонные параллельные пучки света формируют в задней фокальной
плоскости положительной (а) и отрицательной (б) линз соответственно действительное
и мнимое изображения точки D'.
Теперь мы покажем, каким образом гауссово представление оптических
систем можно использовать на практике. Насколько теория оптических систем
становится проста в предположениях Гаусса, настолько она поразительно универсальна
при решении различных оптических задач. Всего лишь три луча, но какой широкий
простор их различные комбинации открывают для вашей фантазии при определении
хода любых из этих лучей, которые, собственно, и формируют изображение как
отдельных точек предмета, так и всего предмета в целом.
Вообще приемов (способов) графической прорисовки оптических схем
существует масса. Но все они строятся, в принципе, всего лишь на основе этих трех лучей,
ход которых заранее предопределен (известен).
Условно их можно поделить на две группы: к одной можно отнести приемы,
связанные с определением положения изображения точки предмета, расположенной
вне оптической оси, а в другой — с определением положения
изображения точки предмета, лежащей на оптической оси.
Приемы графических построений для нахождения положения точки предмета,
расположенной вне оптической оси, позволяют довольно легко определить
положение непосредственно самого объекта в плоскости, перпендикулярной оптической оси.
Естественно, этих плоскостей, рассекающих сам предмет, может быть множество.
Способы определения положения точки предмета, расположенной на
оптической оси, дают возможность, и это, пожалуй, самое главное, найти направление
распространения (ход) лучей после их преломления оптическим элементом.
Следует сказать, что подобное деление весьма условно, но оно позволяет хоть
каким-то образом определить круг решаемых задач.
Но прежде чем приступить к демонстрации приемов (способов) графических
построений, выполняемых при анализе оптических схем, хотелось бы сделать
несколько полезных замечаний.
На всех рисунках мы специально для каждого луча оставили раскраску,
принятую на рис. 2.13. Лучи в прямом ходе мы показали сплошной линией, а в
обратном— пунктиром, но того же цвета. Направление распространения лучей до
преломления и после мы всегда будем показывать стрелками.
Все буквенные обозначения для каждого луча мы, не меняя, будем повторять
от рисунка к рисунку. Так, точки встречи лучей с главной плоскостью линзы мы
будем обозначать символами М, N и С и, если это необходимо, их продолжение в
прямом ходе — символами с одним штрихом М', N' и С, а в обратном направлении —
символами с двумя штрихами М", N" и С".
Естественно, в результате построений у нас будут получаться как
действительные, так и мнимые изображения. Чтобы их как-то различать, мы будем
действительные точки отображать оранжевыми кружками, а мнимые — оранжевыми
окружностями. Действительные изображения предметов мы будем отображать стрелками
черного цвета, а мнимые — стрелками светло-серого цвета.
94

Нередко, и в этом Вы убедитесь сами, «предмет», рассматриваемый с
помощью очередного оптического элемента, по существу являясь изображением
реального предмета, построенного предыдущими компонентами оптической схемы, может
оказаться в пространстве изображений. В этом случае принято
считать этот весьма своеобразный «предмет» мнимым. Такие «предметы» на наших
рисунках мы будем обозначать штрихпунктирными стрелками
черного цвета.
Вот, кажется, и все по обозначениям на рисунках.
Мы считаем, от принятых обозначений рисунки только выиграют по
информативности, а все это вместе позволит быстрее, с минимальными затратами
времени, разобраться и понять все тонкости выполняемых построений.
г^ Это интересно: Обратите внимание, мнимое изображение
^ реального предмета строится лучами, распространяющимися в
пространстве «назад» от своих первоначальных направлений.
Плоскость, на которой формируется мнимое изображение,
нередко будет «въезжать» в пространство предметов, а в
результате этого пространство изображений будет
«накладываться» на пространство предметов.
Не менее интересно и другое: мнимое изображение
возникает там, где нет света, — нет «действительных», пусть и
воображаемых, лучей, которые построили бы изображение. И
какие бы ни делались попытки увидеть его на экране
(например, «хитром», полупрозрачном), все они будут безуспешны.
Однако, «заглянув» через линзу в пространство предметов, мы
не увидим предмет, а увидим его изображение — прямое и
уменьшенное. Глаз за линзой видит расходящиеся пучки и, как
бы продолжая их в обратном направлении, «видит»
несуществующую точку их пересечения. По сути, глаз видит то, чего
нет! В то же время, в случае положительной линзы, с помощью
сходящихся «действительных» лучей (хотя и воображаемых),
получим действительно существующее изображение отрезка (в
чем легко убедиться, установив в плоскости изображений
непрозрачный экран) . Если же поместить глаз в сходящийся
пучок лучей, т. е. попытаться заглянуть в пространство
предметов сквозь линзу, то ничего хорошего не увидим!
Действительно, мысленно продолжив, как и в случае с отрицательной
линзой, сходящиеся пучки в пространстве изображений
«назад», за линзу (в пространство предметов), мы сможем
получить только «букет» расходящихся лучей, которые теперь уже
никакого отношения к рассматриваемому предмету не имеют.
Получается некий парадокс: там, где изображение
рассматриваемого предмета действительно существует, — глаз его
не видит, а вот там, где его в действительности нет, — глаз
его отлично видит! Действительно, парадокс, да и только!
И еще один очень важный момент: все построения мы будем выполнять для
идеальной оптической системы, включающей в себя тонкую идеальную линзу, в
полной мере используя свойства кардинальных элементов линзы, т. е. рн = U Ун = U где,
напомним, рн — линейное, а ун — угловое увеличение системы. Будем считать, что
оптическая система расположена в воздухе, т. е. главные и узловые плоскости и
точки совмещены.
95

fl
Замечание: Следует сказать, что почти все задачи,
связанные с оптикой и которые приходится решать на практике,
достаточно легко прорисовываются на бумаге. И совсем не
важно, относятся ли они к физической или к геометрической
оптике. Если задача сводится к волновым процессам, то в
основе ее решения лежит принцип Гюйгенса—Френеля. Если же
задача связана с геометрическими представлениями, то проще ее
решать, воспользовавшись предположениями Гаусса.
Для начала мы обратимся к анализу оптических систем с помощью
графических построений (методов).
2.4.1. Определение положения изображений внеосевых
точек предмета. Положительная линза
Идея графических построений по определению положения изображений точек
предмета, лежащих вне оптической оси, довольно прозрачна. Положение точки на
плоскости можно определить как точку пересечения двух прямых. Это простое
утверждение и лежит в основе всех графических построений.
В сопряженных пространствах каждой точке пространства предметов
соответствует одна и только одна точка пространства изображений, каждому лучу,
распространяющемуся в пространстве предметов, всегда соответствует один и только один
луч в пространстве изображений.
А раз так, то если два луча с известным направлением распространения
пересекаются в пространстве предметов в одной точке, то в пространстве изображений
точка их пересечения определит положение изображения, сопряженного
этой точке.
Вот собственно и все.
Предмет
расположен
перед передним
фокусом линзы
Для начала при графическом определении
положения изображения внеосевой точки предмета выберем
самую простую и хорошо знакомую нам оптическую
систему, ставшую, пожалуй, уже «классической» (рис. 2.16).
На рисунке отображен предмет в виде стрелки АВ,
расположенный на произвольном расстоянии от линзы, но, что
очень важно, на расстоянии, превышающем фокусное расстояние. Интуитивно
понятно, если мы сможем определить положение изображения внеосевой точки пред-
Н |Н'
Рис. 2.16. Графическое построение изображения внеосевой точки предмета положительной
линзой. Внеосевая точка предмета расположена перед передним фокусом линзы.
96

мета В в пространстве изображений, то получить изображение стрелки А'В' не
составит труда. Для этого будет вполне достаточно провести из точки В' прямую линию,
перпендикулярную оптической оси.
Для построения изображения внеосевой точки В выделим в пространстве
предметов из всей массы излучаемых ею лучей два таких луча, направление
распространения которых после преломления было бы заранее известно.
Воспользовавшись тем, что луч, проходящий через главную точку (точку Н),
не меняет своего направления, можно провести прямую ВВ' (на рисунке высвечена
зеленым цветом), причем отрезок этой прямой в пространстве изображений НВ'
будет сопряжен с отрезком этой же прямой ВН в пространстве предметов.
Кроме того, мы уже знаем, что всякая прямая, параллельная оптической оси в
пространстве предметов, в пространстве изображений должна пройти через точку
заднего фокуса F, испытав преломление на главной плоскости линзы. Таким
образом, если из точки В в пространстве предметов мы проведем луч ВМ, параллельный
оптической оси, то, преломленный в точке М главной плоскости системы, он пойдет
в направлении MF' (высвечен на рисунке желтым цветом). Отрезок MB' в
пространстве изображений будет являться отрезком, сопряженным лучу ВМ в пространстве
предметов.
А теперь главное: оба луча, и ВМ, и ВН, в пространстве предметов проходят
через точку В, изображение которой мы хотим найти в пространстве изображений.
Оба пространства — и пространство предметов, и пространство изображения —
сопряжены. Очевидно, точка пересечения лучей в пространстве изображений лучей
MB' и НВ', сопряженных соответственно лучам ВМ и ВН пространства предметов, и
определит нам положение изображения точки В.
Действительно, только точка их пересечения В' будет являться точкой,
сопряженной точке предмета В, и, по сути, ее изображением.
Если же из точки В' опустить перпендикуляр на оптическую ось, мы получим
изображение стрелки А'В' — действительное, увеличенное, перевернутое (говорят,
обратное) изображение рассматриваемого предмета. Это изображение можно увидеть
на любом экране, установленном строго в плоскости формирования изображения.
Еще раз отметим, что предмет и его изображение сопряжены между собой
и расположены в сопряженных плоскостях.
а Замечание: Любая оптическая система обладает несчетным
количеством пар сопряженных плоскостей.
Действительно, любое изменение расстояния до
произвольной плоскости в пространстве предметов вызовет
немедленную реакцию системы и приведет к изменению расстояния до
сопряженной ей плоскости в пространстве изображений.
Точно такая же реакция будет вызвана изменением
положения оптической системы относительно предметной плоскости.
Заметим, что для построения изображения точки В' можно воспользоваться и
лучом, проходящим через переднюю точку фокуса F. Преломившись на главной
плоскости линзы в точке встречи N, этот луч (на рисунке он показан штрихпункти-
ром вишневого цвета) в пространстве изображений пойдет параллельно оптической
оси и в точке пересечения с лучом, идущим через оптический центр линзы,
определит положение точки В', которая является изображением точки В.
Интуитивно понятно, что определение положения внеосевой точки предмета
можно выполнить с помощью любой пары лучей с известным направлением их
распространения после преломления на оптическом элементе.
97

Предмет
расположен
внутри переднего
фокусного
расстояния линзы
Но не всегда все построения выполняются так легко
и просто. На следующем рис. 2.17 мы поместили
предмет— стрелку АВ между передним фокусом линзы F и
совмещенными главными плоскостями НН', и
посмотрите, что у нас получилось. Откровенно говоря, сразу и не
понять!
Теперь, чтобы построить изображение внеосевой
точки предмета, хоть и немного, но стоит подумать. Будем считать, что точка В
предмета — точечный источник излучения, испускающий лучи по всем абсолютно
направлениям. Тогда, очевидно, мы сможем найти луч, излучаемый точкой В и
распространяющийся параллельно оптической оси, — луч ВМ. Достигнув главной
плоскости в точке М, он преломится и пересечет оптическую ось в точке заднего фокуса
линзы F' (луч ММ').
Наверное, среди всех излучаемых точкой В лучей мы сможем найти луч,
который пересечет оптическую ось в точке переднего фокуса F (луч BF).
Но так как наш точечный источник испускает лучи абсолютно по всем
направлениям, то, вполне вероятно, мы сможем найти луч BN, излучаемый источником в
направлении, диаметрально противоположном лучу BF.
Удивительно, но линза воспринимает его как луч, который действительно
пришел из точки переднего фокуса F (или который пересек оптическую ось в точке
переднего фокуса), поэтому, особо «не раздумывая», преломляет его и «отправляет»
дальше параллельно оптической оси (луч NN').
Можно определиться и с третьим лучом (луч ВС), который, не меняя своего
направления, пересекает оптическую ось в оптическом центре линзы — точке С.
Мы получили интересную картину — все лучи за линзой «разбежались» в
разные стороны, «не желая» нигде пересекаться! А это значит, никакого
действительного изображения предмета мы не получим.
Но, если теперь мы поместим глаз в этот расходящийся пучок, то глаз, как и в
случае с зеркалом, увидит предмет и увидит его в точке пересечения расходящихся
лучей — в точке В', которую мы получим, если продолжим их в обратном ходе!
Поэтому смело и не задумываясь, продолжим расходящиеся лучи в обратном
направлении, где они просто обязаны пересечься и «сформировать» изображение
внеосевой точки В' нашего предмета.
А дальше все просто! Чтобы получить «изображение» стрелки, достаточно,
как и в первой схеме, опустить из точки В' на оптическую ось перпендикуляр.
По сути, это и есть изображение нашего предмета — стрелки А'В'.
Рис. 2.17. Положительная линза. Внеосевая точка предмета расположена внутри
переднего фокусного расстояния.
98

ffe Это интересно: Полученное нами изображение стрелки яв-
ВД ляется прямым (не перевернутым) и увеличенным, но теперь мы
имеем дело уже не с реальным изображением, как в первом
примере, а с его «фантомом».
Это виртуальное «изображение» А'В' в геометрической
оптике и принято называть мнимым. Обратите внимание: мнимое
изображение реального предмета строится лучами,
распространяющимися в пространстве «назад» от своих первоначальных
направлений. Плоскость, на которой формируется изображение,
«въехала» в пространство предметов, и в результате
пространство предметов и пространство изображений совпали.
В этой схеме, при таком расположении объекта относительно оптического
элемента, мы получили мнимое, прямое, увеличенное изображение нашего
предмета — стрелки.
Теперь самое важное. При таком расположении предмета, между передним
фокусом и главной плоскостью линзы, мы получаем мнимое изображение предмета,
которое в действительности не существует (и его нельзя отобразить на экране). Его
совместно с оптической системой воссоздает глаз человека, и, хотя мы рисуем
изображение предмета, на самом деле его просто нет! А сама прорисовка в этом случае
подразумевает присутствие глаза человека.
Вот, собственно, и все!
Предмет
расположен
внутри заднего
фокусного
расстояния линзы
Ну, а мы пойдем дальше и теперь расположим
предмет — стрелку за линзой (по ходу распространения
света), внутри заднего фокусного расстояния линзы, т. е.
между главной плоскостью линзы НН' и точкой заднего
фокуса F' (рис. 2.18). Вы можете сказать, что такого не
бывает. Действительно, кто же будет рассматривать предмет с
помощью лупы, расположив его, как показано на рисунке.
Однако на практике и такое бывает, особенно в сложных оптических системах!
Но теперь, в силу нашей общей природной лени, а главное, чтобы не
загромождать рисунок «лишними» линиями, для всех графических построений мы будем
использовать только два луча с заранее известным направлением распространения.
В предложенной оптической системе представить, что внеосевая точка
предмета испускает лучи, которые после преломления в линзе создают ее изображение,
честно говоря, тяжеловато. Да и вряд ли это нужно! Необходимо только понимать,
что предмет АВ, расположенный за линзой, на самом деле вовсе и не предмет, а всего
лишь изображение некоего реального предмета, сфор-
Рис. 2.18. Положительная линза. Внеосевая точка предмета расположена внутри заднего
фокусного расстояния.
99

мированное предыдущей оптической системой, и,
согласно принятым нами правилам, этот «предмет» следует считать мнимым.
После такого краткого вступления попробуем и в этом, казалось бы совсем
«абсурдном», случае построить изображение «предмета» АВ. Очевидно, в пучке
лучей, падающем на поверхность линзы, можно найти луч, распространяющийся перед
линзой параллельно оптической оси системы и на расстоянии от нее, равном высоте
расположения внеосевои точки В. Найти его несложно, если из точки В провести
прямую, параллельную оптической оси, до встречи с совмещенными главными
плоскостями линзы (прямая М"М).
Параллельный луч, пришедший в точку М, должен преломиться и пройти, как
обычно, через точку заднего фокуса F' (луч ММ'). Можно найти и второй луч,
который проходит через оптический центр линзы С и внеосевую точку предмета, точку В
(луч СС).
Точка пересечения этих лучей (точка В') и определит нам положение
изображения внеосевои точки В. Опустив из нее перпендикуляр на оптическую ось, мы
получим изображение А'В' «предмета» — стрелки АВ.
Обратите внимание, мы получили изображение действительное, прямое и
уменьшенное (лучи, определяющие положение точки В, — реальные, прошедшие
через линзу).
Предмет
расположен
за задним
фокусом линзы
Теперь переместим изображение стрелки АВ,
полученное также с помощью некой предыдущей оптической
системы, за задний фокус F' по направлению
распространения света и будем считать это изображение предметом
для нашего оптического элемента (рис. 2.19). Наверное, о
способе графического построения изображения для такого
положения предмета вряд ли стоит много говорить. Все графические построения
полностью абсолютно идентичны только что выполненным построениям на рис. 2.18,
и Вы в них, мы уверены, разберетесь без нас.
Мы только скажем, что вновь получилось изображение предмета
действительное, прямое и уменьшенное.
2.4.2. Определение положения изображен и й внеосевых точек
предмета. Отрицательная линза
Если все понятно с построением изображения внеосевых точек предмета с
помощью положительных линз, попробуем с нашим уже неплохим опытом (а на это мы
очень надеемся!) найти положение внеосевых точек с помощью отрицательной лин-
Рис. 2.19. Положительная линза. Внеосевая точка предмета расположена за задней точкой
фокуса.
100

Задняя фокальная
плоскость
F'
IF'
{v..
F'
-/'
НН'
i
.
I ;Н
Передняя фокальная
плоскость
F
If
о
/
F
Рис. 2.20. Отображение оптического элемента в сечении меридиональной плоскостью. 1
зы. Мы будем использовать для построений те же самые лучи с известным
направлением распространения.
Но хотелось бы еще раз обратить Ваше внимание на то, что у отрицательной
линзы точки фокусов, а с ними и фокальные плоскости, по сравнению с
положительной линзой, поменялись местами (рис. 2.20).
Если у положительной линзы точка переднего фокуса лежит перед линзой по
направлению распространения света, а точка заднего фокуса — за линзой, то у
отрицательной линзы все наоборот: точка переднего фокуса лежит за линзой по
направлению распространения света, а точка заднего фокуса — перед ней. В то же время
положение главных плоскостей и главных точек полностью совпадает с положением,
которое мы наблюдали у положительной линзы. С таким «фокусами» отрицательная
линза способна сформировать только мнимые изображения реальных предметов.
Однако при всем при этом правила построения хода лучей, формирующих
изображение, остаются прежними, и мы, как и в предыдущих примерах с
положительной линзой, для построения изображения с помощью отрицательной линзы
можем воспользоваться «услугами» любой пары из рассмотренных ранее трех лучей.
Расположим, как и в случае с положительной
линзой, предмет перед отрицательной линзой, но теперь уже
перед ее задним фокусом (рис. 2.21). Напомним, что свет
во всех наших примерах всегда распространяется слева
- направо.
Рассматривая вновь внеосевую точку предмета В
как источник излучения, мы всегда сможем найти среди испускаемых ею лучей луч,
распространяющийся параллельно оптической оси (луч ВМ).
Предмет
расположен перед
задним фокусом
линзы
Рис. 2.21. Предмет расположен перед точкой заднего фокуса отрицательной линзы.
101

Встретив на своем пути главную плоскость в точке М, этот луч должен
«преломиться» и пересечь оптическую ось в заднем фокусе системы F. Но задний фокус
отрицательной линзы F лежит перед линзой. Луч ВМ уже давно миновал ее.
Поэтому остается только одно: искусственно соединить точку М с задним фокусом
отрицательной линзы F' (обратный ход) и таким образом с помощью линии MF задать
направление преломленного луча ММ' в пространстве за линзой.
Очевидно, в излучении внеосевой точки мы обнаружим и второй луч, который
для нас должен представлять интерес. Это луч ВС, проходящий через оптический
центр (точка С) отрицательной линзы. Смело проводим его. Точка пересечения этого
луча с продолжением преломленного луча ММ' в обратном направлении (отрезок
MF) и определит положение изображения внеосевой точки предмета В'.
Опустив, как и прежде, из точки В' перпендикуляр на оптическую ось, мы
получим мнимое изображение стрелки, причем прямое (не перевернутое) и уменьшенное.
Нетрудно понять, что отрицательная линза не сможет сформировать
действительное изображение материального (реального) объекта — стрелки, которое можно
увидеть, например, с помощью экрана.
Предмет
расположен
внутри заднего
фокусного
расстояния линзы
Теперь расположим предмет — стрелку А В ближе к
линзе, а точнее, между задним фокусом отрицательной
линзы и ее совмещенными главными плоскостями (рис. 2.22).
Все графические построения, выполняемые при
таком расположении предмета, мало чем отличаются от
предыдущего случая. Поэтому вряд ли стоит повторяться.
Достаточно посмотреть на рисунок, и все станет ясно без нас!
Предмет Мы же перейдем к следующему рис. 2.23, где
предрасположен I мет — стрелка АВ расположен «внутри» переднего фокус-
внутри переднего I ного расстояния отрицательной линзы, т. е. между ее глав-
фокусного I ной плоскостью и передним фокусом F.
расстояния линзы | Как и в случае с положительной линзой, будем рас-
" сматривать предмет как изображение, сформированное
некой предыдущей оптической системой.
Для построения изображения внеосевой точки предмета воспользуемся теми
же лучами, которые мы применяли в предыдущих случаях. Остальное, честно говоря,
дело техники, которую Вы, а мы почти в этом уверены, уже усвоили.
В результате всех построений мы получим изображение предмета
действительное, прямое и увеличенное.
1 '^N£_ "
г> -w. >%
Н'
G * Kb'.- Iм
„ -h ii
"■■ :::.-л7 9 -"Щ
<* F' A A' ;
!
-
С
N
1
с'
ГМ'
F
Рис. 2.22. Предмет расположен внутри фокусного расстояния отрицательной линзы.
102

;„.0::...
F'
H H'
■i
M
A
•••о-
F
B'
С
M'
A'
Рис. 2.23. Предмет расположен внутри переднего фокусного расстояния отрицательной
линзы.
Рис. 2.24. Предмет расположен за передним фокусом отрицательной линзы по направлению
распространения света.
Предмет
расположен
за передним
фокусом
отрицательной
линзы
Еще раз переместим предмет и расположим его за
передним фокусом отрицательной линзы (рис. 2.24). Если
честно, то мы уже и не знаем, что рассказывать! Все
графические построения настолько прозрачны, что, на наш
взгляд, не могут вызвать какие-то вопросы. Поэтому
поразмышляйте сами, и Вам все станет ясным.
Мы же только заметим, что при таком
расположении предмета относительно отрицательной линзы будет
сформировано его мнимое, перевернутое (обратное) и
увеличенное изображение.
2.4.3. Определение положения изображений внеосевых точек
предмета в сложных оптических системах
«Набив руку» на построении изображений внеосевых точек предмета, а с ними
и всего предмета целиком, формируемых одним оптическим элементом, естественно,
возникает желание попытаться распространить этот опыт на построение
изображений в более сложных оптических системах.
Правда, мы ограничимся «сложными» системами (если их можно назвать
сложными), состоящими всего из двух оптических компонентов. Нам снова важна
идея, так как техника выполнения графических построений и в сложных системах
остается такой же простой, как и в случае одной линзы.
103

Предлагаемые для обсуждения оптические схемы не имеют никакого
прикладного назначения. Выбраны они совершенно произвольно, при их выборе авторы
все-таки преследовали одну цель — показать наиболее наглядно полную
«применимость» предлагаемых способов для выполнения графических построений в
оптических системах любой сложности.
При построении изображений реальных предметов в сложных оптических
системах (как бы сложны они ни были) следует только всегда помнить, что каждый
оптический элемент (или каждый оптический компонент), будь то отдельная линза или
сложный объектив, «решает» свою конкретную задачу, определяемую его
техническими характеристиками (оптическими параметрами), но все вместе они «решают»
одну общую задачу, для решения которой, собственно, и создавалась оптическая
система (или оптический прибор). Отсюда и общий подход к выполнению графических
построений при определении положения изображения, создаваемого сложной
системой в целом. Сначала строится изображение предмета с помощью первого
компонента, как будто остальных в оптической схеме попросту нет. Затем, рассматривая
полученное изображение как предмет для второго компонента, строится его изображение
с помощью второго компонента. И так «по эстафете» от предыдущего к
последующему, «пока не надоест»!
Ну, а теперь к делу!
Оптическая
схема с двумя
положительными
линзами
Для начала обратимся к оптической схеме с двумя
положительными линзами, которые авторы расположили
на произвольном расстоянии друг от друга (рис. 2.25).
Объект, изображение которого мы хотим получить,
поместим перед передним фокусом Fi первой линзы.
Сначала любым из способов, которые мы обсуждали
выше, строится изображение с помощью первого оптического элемента системы,
причем совершенно не принимая во внимание, что в ней присутствует второй или
несколько других оптических компонентов.
Изображение, полученное с помощью первого компонента, естественно, для
второго можно рассматривать как предмет. Поэтому можно построить изображение
с помощью второго компонента. Очевидно, изображение, полученное с помощью
второго компонента, можно рассматривать, как предмет для третьего и т. д., и т. д.
В общем, пока у Вас хватит сил и терпения.
Для построения изображения с помощью первого оптического элемента мы
воспользовались приемом, показанным на рис. 2.16. Все лучи, которые мы использовали
для построения изображения А'В', отражены на рис. 2.25 в виде пунктирных линий
зеленого и вишневого цветов. Полученное изображение А'В' мы показали пунктирной
линией черного цвета, подчеркивая этим, что оно в этой схеме может существовать
только на бумаге.
н,
1
А г
# о Цы
I F, :
в""" '**" "NTY
| Рис. 2.25. Построение изобра
н; H2Hi в' J
^ м,'
i
ъг~
nvAv:.v.v::.v.'.'.".'.'.". 0Е2 o--«»v.v.".'.".'.' С.2..
^ f;
L,
жения предмета оптической сие
положительных линз.
, Ei.i 1
A" WA'
гемой, состоящей из двух 1
104

Но обратите внимание: изображение предмета А'В', сформированное первым
компонентом Lb получилось в пространстве за задним фокусом ¥'2 второго
компонента L2. Это, кстати, и объяснение того «абсурдного» случая, когда предмет
оказывается «впереди телеги» (см. рис. 2.19).
Но мы уже умеем строить изображения и при таком расположении предмета
относительно линзы. Поэтому получить изображение А"В" «предмета» А'В'
довольно легко. На нашем рисунке лучи, участвовавшие в построении изображения А"В",
высвечены желтым и зеленым цветами. Если Вы заглянете в прибор, то увидите
действительное, прямое и уменьшенное изображение предмета А"В".
Очевидно, в силу этих причин часто изображения предметов, сформированные
предыдущей системой за оптическим элементом по ходу распространения света,
называют мнимыми. Но это так, на заметку.
К сожалению, у авторов хватило терпенья только на два компонента. Вы же,
если, конечно, возникнет желание (в чем мы очень сомневаемся!), можете его
«растянуть», в принципе, на любое количество оптических элементов, используемых
в схеме оптической системы.
Оптическая схема На Рис> 2'26 показана еще одна схема оптической
с поюжитеилюй системы, также довольно простая, но в которую мы ввели
и огоицатечьной вместо положительной линзы (см. рис. 2.25) отрицательную.
шизами ^ак виДите> первый компонент (положительная лин-
- за) «сработал» точно так же, как и в предыдущем случае,
«сформировав» изображение А'В' предмета АВ, но теперь
уже за передним фокусом F2 отрицательной линзы (второго компонента)
(рис. 2.26, а). Лучи, участвующие в построении этого изображения, показаны
пунктирными линиями зеленого и вишневого цветов.
Второй компонент — отрицательная линза «сработает» точно так же, как на
рис. 2.24. Все лучи, которые мы использовали для построения изображения
отрицательной линзы, высвечены желтым и зеленым цветами.
Как показывают графические построения, в этом случае (для этой схемы) мы
получим изображение А"В" предмета А'В' мнимое, прямое (относительно реального
предмета) и увеличенное. Не для праздного любопытства, а для пользы дела покажем
еще одну картинку (рис. 2.26, б), на которой отобразим, как в действительности
будут распространяться лучи от реального предмета, формирующие в этой системе
мнимое изображение А'В'. Как видите, и в сложных системах «чудес» нет — все как
«по накатанному»!
й
Замечание: Не следует забывать, что носителем
визуальной информации может быть только электромагнитное поле.
В нашем случае электромагнитное поле несет информацию о
нашем объекте-стрелке. Встретив первый оптический элемент
сложной оптической системы, электромагнитное поле, конечно,
будет каким-то образом преобразовано и в отсутствие второго
оптического элемента обязательно сформирует где-то
изображение стрелки. Но на пути своего дальнейшего
распространения поле встречает второй оптический элемент и, «не успев»
построить изображение стрелки, вновь подвергается
преобразованию вторым оптическим элементом.
Теперь то изображение, которое мы действительно
увидим, будет результатом двойного преобразования поля обоими
оптическими элементами. Поэтому изображение, которое мы
считаем на рис. 2.2 6 предметом А'В', даже и не появится, а
105

1
ъ^~
A"
"It
1
1
1
н,
:;:::&н
ы\
н2
Hi
^4
; F?o^"o- С2!'
Hj/^M,
'1 F2
> о
1
\
B'
*-
A'
Рис. 2.26. Формирование изображения предмета оптической системой, состоящей из
положительной и отрицательной линз: построение изображения (а), ход действительных лучей
в системе (б).
сразу отобразится в виде изображения А"В", которое мы и
увидим, «заглянув» в прибор.
А те «представления», которые мы устроили Вам на
рис. 2.18, 2.19 и 2.23, 2.24, всего лишь искусственная
имитация тех сложных физических процессов, которые происходят
в оптическом приборе при распространении в нем
электромагнитного поля.
Но эта искусственная имитация, как бы она ни казалась
примитивной, позволяет нам самым простым образом понять,
как и где оптическая система формирует изображение
реального предмета.
Существует достаточное количество и других приемов и их комбинаций,
которые позволяют решать подобные задачи. Перечислить все — наверное «пустая»
затея: у авторов не хватит ни времени, ни сил. Зато у Вас какой открывается простор
для фантазий!
Но всегда, при любых геометрических построениях, будут использоваться
весьма простые правила, которые мы перечислим ниже:
• Лучи, идущие в пространстве предметов параллельно оптической оси, в
пространстве изображений должны пересечь ее в точке заднего фокуса.
• Лучи, пересекающие в пространстве предметов оптическую ось в точке
переднего фокуса, в пространстве изображений должны продолжать свой путь
параллельно оптической оси.
106

• Лучи, идущие в пространстве предметов по направлению к главной точке и
пересекающие в главной точке оптическую ось, не меняют направление своего
распространения и в пространстве изображений.
• И, пожалуй, самое главное — лучи одного пространства должны быть строго
сопряжены с их продолжением в другом.
U Замечание: Выше мы говорили, что оба пространства —
пространство предметов и пространство изображений —
безгранично «существуют» в пространстве, «бесцеремонно» нарушая
«отведенные им» границы своего существования. Но нарушение
границ «приводит к необходимости скрывать свое присутствие
в чужом пространстве». В этом случае изображение предмета
из действительного (реального) переходит в состояние
мнимого (виртуального). Все почти, как в жизни.
Поиск местоположения изображения предмета с помощью элементарных
геометрических построений нами приводится не для удовлетворения праздного
любопытства. Оптики часто пользуются ими при анализе и исследовании оптических
схем. Такой подход намного нагляднее аналитических вычислений, хотя и
аналитические вычисления не стоит сбрасывать со счетов.
2.4.4. Определение положения изображений осевых гочек объекта
Нередко при анализе оптических систем возникает необходимость
определения направления распространения преломленного луча после прохождения им
оптического элемента. Поиск этих направлений следует проводить с помощью
определения положения характерных точек, принадлежащих этому лучу. Например, точек их
пересечения с оптической осью. В этом случае все задачи по определению
направления распространения лучей сводятся к определению положения изображений т о-
чек объекта, лежащих на оптической оси (осевыхточек).
Как это делается на практике, мы покажем ниже на нескольких примерах.
Но в них мы откажемся от привычных буквенных обозначений распространяющихся
в пространстве лучей, а перейдем к цифровым обозначениям, которые будут
определять порядок их прорисовки на бумаге, а направление прорисовки (начало и конец
лучей) мы будем, как обычно, задавать стрелкой.
Мы уже знаем, что все лучи света, идущие параллельно оптической оси за
линзой, пересекут оптическую ось в точке фокуса. Точка фокуса определяет в
пространстве и местоположение фокальной плоскости системы, перпендикулярной
оптической оси системы (см. рис. 2.14).
Если же пучок параллельных лучей попадает в оптическую систему под
некоторым углом к оптической оси, то все параллельные лучи распространяющегося
в пространстве пучка лучей, под каким бы углом он ни входил в оптическую систему,
должны собраться после положительной линзы в одной точке (см. рис. 2.15) и тоже
в ее фокальной плоскости.
Теперь обратите внимание на этих рисунках на точку пересечения осевого
луча наклонного пучка, вошедшего в систему, с ее фокальной плоскостью. Осевой луч,
пересекая оптическую ось в главной точке линзы, где угловое увеличение равно ун =
= +1, не меняет своего направления при переходе из одного пространства в другое.
Именно пересечение этого луча с фокальной плоскостью определяет точку, где
должны собраться все лучи пучка параллельных лучей. Эти два замечания играют,
пожалуй, самую важную роль при определении хода преломленного луча и
позволяют решить несколько интересных задач.
107

Подобная картина наблюдается при использовании и отрицательной
(рассеивающей) линзы. Только не забывайте при этом (в случае отрицательной линзы)
менять местами положение фокальных плоскостей!
Q
Замечание: Чтобы не вносить излишней путаницы, хотелось
бы отметить следующее. На самом деле в реальных системах
реальные пучки параллельных лучей будут «стягиваться» не на
плоскости, а на поверхностях вращения (относительно
оптической оси) любого порядка (парабола, гипербола и т.д.) и
только в параксиальной области реальные пучки будут
«стягиваться» на сфере. Например, при равенстве нулю астигматизма
для аберраций третьего порядка радиус сферы R, на которой
будет строиться изображение, определяется выражением
R = f х л,
где л — показатель преломления линзы, и только в
исключительных случаях радиус сферической поверхности может
равняться фокусу линзы.
Вполне очевиден и следующий вывод: чем меньше фокусное
расстояние линзы и чем больше угол входа пучка в систему,
тем больше будет отклонение сферы от плоскости. На
плоскости точка схода будет отображаться не точкой, как принято
считать, а неким кружком рассеяния. Погрешность
(аберрация) , возникающая в отображении точки на некой неплоской
поверхности, в геометрической оптике называют кривизной
поля. В буквальном смысле слово «аберрация» (aberratio, лат.)
означает заблуждение, отклонение от чего-либо.
Изучение вопросов, связанных с расчетом аберраций
оптических систем, выходит за рамки настоящей книги. Ответы
на возможные вопросы можно легко получить в обилии
посвященной им литературы.
Мы же, как правило, будем ограничиваться лишь
определениями рассматриваемых аберраций, только в некоторых
случаях раскрывая их физическую природу.
В оптике Гаусса (оптике идеальных систем) все
параллельные лучи всегда (так уж принято!) пересекаются в
фокальной плоскости линзы.
После такого небольшого вступления можно сформулировать основную идею
графического определения положения изображения точек, лежащих на оси, а с ними
и хода лучей после их преломления оптическим элементом. Она также довольно
прозрачна и сводится к формированию на входе (или выходе) оптической системы пучка
параллельных лучей, причем ход одного из них должен быть заранее известен. Луч
с известным направлением распространения мы будем называть вспомогательным.
После преломления все лучи параллельного пучка лучей будут «стянуты» в
точку в фокальной плоскости линзы, которая, естественно, будет общей
точкой для всех лучей пучка. Именно положение
общей точки в пространстве, а в нашем случае на плоскости, и
предопределит направление распространения преломленных лучей.
В этом разделе, чтобы не «заблудиться» в словах и объяснениях, мы
специально на рисунках не только оставили буквенные обозначения для отрезков, но и
пронумеровали порядок их построения (цифры в кружках). И, кстати, мы будем
использовать снова только те лучи, ход которых заранее предопределен.
108

Вот, собственно, и все! Ну, а остальное — дело техники, к которой мы и
обратимся!
Определение
хода луча
с использованием
передней
фокальной
плоскости
Не менее интересны и способы определения хода
преломленного луча (а с ним и изображения точки,
лежащей на оси) с использованием в качестве «опорной»
плоскости передней фокальной плоскости линзы.
Идея этого способа может показаться несколько
сложнее, но если вдуматься, то и она окажется совсем
простой. Необходимо всего лишь определиться с общей точ-
■"■""""■■■-■—-—■—■■■■■■■■ К0£ в передНей фокальной плоскости линзы для луча,
направление распространения которого после преломления мы хотим определить.
Именно эта общая точка даст нам возможность сформировать пучок параллельных
лучей после их преломления в линзе. Как видите, только и всего!
Но это «только и всего» выливается для положительной линзы в следующую
процедуру (рис. 2.27, а). Как и прежде, сначала выделяем любой луч (произвольный)
из той массы лучей, которые излучает осевая точка А. (Возможен и вариант, когда
направление распространения этого луча уже предопределено предыдущим
оптическим элементом, и он всего лишь пересекает оптическую ось в точке А.) Пусть это
будет луч AM, который встречает главную плоскость тонкой линзы в точке М.
Точку пересечения следа передней фокальной плоскости и луча AM (точка К')
будем использовать как общую, через которую проведем луч К'К, параллельный
оптической оси.
После преломления этот луч просто обязан пройти через задний фокус
системы F. По сути, точка К', расположенная в передней фокальной плоскости линзы,
испускает лучи, которые в пространстве изображений должны сформировать пучок
параллельных лучей. Ну а дальше снова дело техники: из точки М проводим линию
МА', параллельную линии KF', которая, по сути, является преломленным лучом,
сопряженным лучу AM. Этот луч в своем пересечении с оптической осью и определит
положение сопряженного изображения точки А — точку А'.
На рис. 2.27, б показаны отрицательная линза и результат графических
построений по определению направления распространения преломленного луча и точки его
пересечения с оптической осью. Логика графических построений совершенно
идентична логике их выполнения для положительной линзы. Повторяться нам вряд ли
имеет смысл, а вот Вам поразмышлять, наверное, необходимо! Так что в добрый путь!
Обратите внимание: изображение А' предметной точки А на рис. 2.27, а —
действительное изображение, так как, распространяясь в пространстве,
действительный луч ММ' непосредственно пересекает оптическую ось. А вот на рис. 2.27, б
изображение А' предметной точки А — мнимое. Оно получено на пересечении
продолжения луча ММ' с оптической осью.
Рис. 2.27. Определение положения изображения осевой точки предмета с использованием
передней фокальной плоскости положительной (а) и отрицательной (б) линз.
109

Рис. 2.28. Определение положения изображения осевой точки предмета и хода
преломленного луча с использованием передней фокальной плоскости положительной (а) и
отрицательной (б) линз, а также вспомогательного луча, идущего через оптический центр линзы.
Определить направление распространения преломленного луча намного
проще, если воспользоваться лучом, проходящим через оптический центр линзы. Для
положительной линзы и голову «ломать не нужно»! Все ясно из рис. 2.28, а и без
нашей помощи.
А вот для отрицательной линзы (рис. 2.28, б) мы все-таки дадим несколько
пояснений. Хотя все это тоже несложно. Мы знаем, что у отрицательной линзы
передняя фокальная плоскость, как и точка переднего фокуса, располагаются после
линзы по ходу распространения света слева направо. Поэтому, чтобы получить
общую точку для параллельных лучей в передней фокальной плоскости отрицательной
линзы, достаточно продлить луч AM до его встречи с передней фокальной
плоскостью линзы, точкой К. Затем из точки К проводим вспомогательный луч (пунктир
зеленого цвета) через оптический центр линзы Н. Параллельно этому лучу
достраиваем продолжение луча AM после его преломления в отрицательной линзе в
направлении ММ'. Чтобы получить точку А' — изображение точки А, необходимо
продолжить луч ММ' в обратном направлении до его пересечения с оптической осью линзы
в точке А'. Это и будет изображение точки А.
Обратите внимание, изображение А' точки А — мнимое.
Для определения положения точки на оси можно в
равной мере воспользоваться и «услугами» задней
фокальной плоскости. Как это сделать, показано на рис. 2.29.
Если Вы внимательно проследите за порядком
построения всех отрезков вспомогательного луча и немного
поразмыслите, то из рисунков все станет ясно и без нас.
Мы же для справки скажем: отрезок
вспомогательного луча FN под номером 3 при построении должен быть параллелен исходному
лучу AM под номером 1, так как в паре они формируют пучок параллельных лучей,
которые должны пересечь заднюю фокальную плоскость линзы F'F'b одной точке N'.
Определение
хода луча
с использованием
задней фокальной
плоскости
Рис. 2.29. Определение положения изображения осевой точки предмета и хода
преломленного луча с использованием задней фокальной плоскости положительной (а) и
отрицательной (б) линз, а также луча, проходящего через передний и задний фокусы.
ПО

iM
1
н....
rG
...©-
Рис. 2.30. Определение положения изображения осевой точки предмета и хода
преломленного луча с использованием задней фокальной плоскости положительной (а) и
отрицательной (б) линз, а также луча, проходящего через оптический центр линзы.
И еще. Можно видеть, что положительная линза сформировала
действительное изображение точки А, а отрицательная — мнимое.
Для определения точки пересечения преломленного луча с использованием
задней фокальной плоскости можно воспользоваться и лучом, пересекающим
оптическую ось в оптическом центре линзы (рис. 2.30).
Вспомогательный луч HN под номером 3 и в этом случае должен быть
построен параллельно исходному лучу AM под номером 1. Как и при предыдущих
построениях, мы с помощью положительной линзы получили действительное
изображение А' точки А, а с помощью отрицательной — мнимое.
Не нужно думать, что наше условное деление
методов (или способов) графических построений — догма. Все
предложенные методы могут спокойно подменять друг
друга, а также спокойно «работать» в одной «связке».
Правда, если подходить к ним с «мозгами».
Посмотрите, как лихо мы воспользуемся
графическими построениями, которые только что применили для
определения положения изображения осевой точки, для
получения изображения предмета АВ, а по сути —
изображения его внеосевой точки В' (рис. 2.31).
Пусть нам дан предмет АВ, изображение которого мы хотим получить.
Естественно, у протяженного объекта имеются и осевая, и внеосевые точки. Для построения
изображения стрелки точно так же, как и прежде, проводим прямую линию —
луч AD из осевой точки предмета А под произвольным углом к оптической оси до ее
Определение
положения
изображения
осевой точки и
построение
изображения
предмета
...Ov....
О,
Рис. 2.31. Построение изображения предмета с помощью приема, используемого для
построения изображения осевой точки.
111

встречи с главной плоскостью (или главными плоскостями) линзы. Дальше все Вам
знакомо: проводим прямую ЕН, параллельную лучу AD, до ее встречи со следом
задней фокальной плоскости FT' (точка Е). Затем проводим прямую — луч DE до ее
пересечения с оптической осью. Точка пересечения этой прямой с оптической осью и
определит нам положение изображения осевой точки А.
Для определения положения изображения внеосевой точки предмета (точка В)
достаточно провести прямую — луч из точки В под произвольным углом к
оптической оси до ее встречи с главной плоскостью линзы. Ну, а здесь мы решили «слегка
отдохнуть» и провели прямую ВС параллельно лучу AD. Хотя это совсем не
обязательно! А теперь посмотрите, вспомогательная прямая линия ЕН, пересекающая
заднюю фокальную плоскость в точке Е и определяющая направление распространения
преломленного луча DA', является «родной» и лучу ВС (они же тоже параллельны!).
А это значит, что луч ВС после преломления обязательно должен пройти через точку
Е, пересечь оптическую ось и пойти дальше. Вот, собственно, и все. Теперь
достаточно из точки А' провести прямую, перпендикулярную оптической оси до встречи с
лучом СВ'. Отрезок прямой, ограниченный лучами DA' и СВ', и есть изображение
нашей стрелки.
Чтобы Вы поверили в нашу искренность, мы выполнили контрольные
построения, высвеченные на рисунке серым пунктиром.
Как видите, совпадение удивительное.
2.4.5. Определение хода преломленного луча
в сложной оптической системе
Предложенные выше приемы для графического определения положения
изображения реального предмета или определения хода преломленных лучей можно
достаточно просто распространить на сложные оптические системы, состоящие из
целого ряда различных оптических элементов.
Прекрасно понимая, что любой разработчик оптических систем (и не только)
стремится как можно быстрее оценить результаты своего «вдохновенного» труда, мы
будем для своих построений использовать только луч, пересекающий оптическую
ось в оптическом центре линзы. Это действительно (а Вы уже наверняка это поняли)
самый простой способ определения хода преломленного луча.
Обратимся к рис. 2.32. На нем отображена
оптическая система, состоящая всего лишь из двух оптических
элементов. Да для нас это пока и не так важно — для нас
вновь важна идея, а распространить ее на любое количество
используемых элементов — снова дело техники и терпения!
Положительная
линза впереди
отрицательной
112

Рис. 2.33. Определение хода луча (или положения изображения точки на оси) в сложной
оптической системе. Отрицательная линза впереди.
В предлагаемой оптической схеме впереди установлена положительная линза
с известным фокусным расстоянием, а за ней, на некотором расстоянии,
отрицательная линза, фокусное расстояние которой также известно. Необходимость выполнения
графических построений может быть вызвана или желанием определить, каким
образом луч AM пройдет через оптическую систему, или желанием узнать, где будет
сформировано изображение точки А, лежащей на оптической оси. В принципе,
порядок графических построений будет один и тот же.
Единственное, что, пожалуй, следует сказать, так это то, что промежуточное
(действительное по структуре) изображение точки А, лежащей на оптической оси,
сформированное положительной линзой, лежит в точке пересечения луча М]М2 с
оптической осью. Это промежуточное изображение является предметом для
отрицательной линзы. На рисунке это точка отмечена простым серым кружком с символами
AJ(A2). Изображение же точки, полученное в результате действия всей оптической
системы в целом, будет мнимым.
Скажем несколько слов о принятых обозначениях. Как обычно, буквенный
символ без штриха А — предмет, а со штрихом А' — изображение. Элементы,
отображаемые «жирными» символами, относятся к оптической системе в целом,
численные индексы символов указывают на принадлежность к тому или иному
компоненту схемы, двойные обозначения, например Ai(A2), говорят о том, что полученное
изображение точки Aj с помощью первого компонента схемы одновременно является
предметом А2 для ее второго компонента.
Не может не вызвать любопытства, а что получится,
если на рис. 2.32 мы поменяем линзы местами (рис. 2.33).
Все графические построения выполнены по тем же
правилам, что и в предыдущем примере.
Все символьные обозначения и раскраску отрезков
мы оставили прежними. Но вот изображение А' осевой точки А, сформированное в
результате действия всей системы, мы получили действительное А'( А\).
Промежуточное изображение A J (A2), являющееся предметом для положительной линзы,
оказывается также действительным.
2.4.6. Комбинация различных способов определения
положения изображений в сложных системах
При определении положения изображения, которое сформирует сложная
оптическая система, можно использовать любую комбинацию рассмотренных выше
приемов. Концепция выбора простая: чем проще — тем лучше! Меньше ошибок.
Ниже, для иллюстрации, мы приведем три несложных примера.
Отрицательная
линза впереди
п о л ож и тел ьной
113

Впрочем, для Вас, на наш взгляд, после таких детальных «разборок» любые
графические построения должны быть не больше, чем «пустяк».
На рис. 2.34 показана схема простой оптической системы, на котором мы не
стали менять ни цвет линий (лучей), ни порядок их построения. Единственное, что
мы изменили, — это символьные обозначения предмета. Буквы А, В и А', В'
обозначают предмет и его изображение для всей системы (обеих линз), а буквы с
порядковыми индексами (Аь А2, А[, А'2 и Вь В2, В[, В^ и т. д.) — изображения, которые
относятся к одному из оптических элементов схемы.
Теперь, наверное, Вам достаточно одного взгляда, чтобы установить, какими
приемами мы пользовались при определении положения и размера стрелки,
формируемой системой, состоящей из двух положительных линз.
Изображение предмета мы получили мнимое, увеличенное и перевернутое.
Можно выполнить построения и несколько иначе (рис. 2.35). На нем показана
та же самая оптическая схема, которую мы использовали в предыдущем примере, но
построения выполнили по-другому. При построении изображения первой линзой мы
использовали способ определения положения осевой точки предмета и луча,
пересекающего оптическую ось в оптическом центре линзы. Лучи на рисунке высвечены
соответственно зеленым и оранжевым цветами. Порядок построения лучей и вспомо-
н, н;
В(В.)
А(А,) F
в'(вЛ<:'-'
Рис 2.35. Построение изображения предмета в виде стрелки (второй вариант).
114

гательных прямых указан цифрами в окружностях. Из точки А[ пересечения луча
Mj А[ с оптической осью проводим прямую, перпендикулярную оптической оси, до
встречи с продолжением луча В,В[. Полученный отрезок А[В[ и есть изображение
стрелки АВ, сформированное первой линзой, являющееся в то же время предметом
А2В2 для второй.
А дальше определим положение изображения внеосевой точки В2 изображения
А[В[, полученного с помощью первой линзы. Для этого выберем обычный способ
определения положения изображения внеосевой точки: с использованием луча B2N2,
распространяющегося параллельно оптической оси и пересекающего после
преломления оптическую ось в точке заднего фокуса F2' (высвечен серо-зеленым цветом), и
луча В2Н2, проходящего через оптический центр второй линзы через ее совмещенные
главные точки (высвечен сиреневым цветом).
Точка пересечения В' продолжений этих лучей в обратном направлении и
определит положение изображения внеосевой точки В, сформированное всей системой.
В результате построений мы получили вновь мнимое, увеличенное и
перевернутое изображение нашего предмета — стрелки. Иначе и быть не могло — мы же
использовали ту же оптическую схему, что и в первом примере. И, кстати,
совпадение полное!
Кажется, мы достаточно поговорили о графических построениях в
геометрической оптике, но оказывается, с помощью той же графики можно легко решать
«обратные» задачи, если их так можно назвать. Иными словами, если известны
положение предмета и его изображения, можно определить кардинальные элементы
оптической системы и положение линзы в ней. Как это сделать, мы и покажем ниже.
2.4.7. Определение положения оптического элемента но известным
положениям предмета и его изображения
Действительно, при определении положения осевых или внеосевых точек,
а с ними и направления распространения преломленных лучей или положения
изображений предметов, мы предполагали, что нам известны положение оптического
элемента, его фокусные расстояния и его расположение относительно предмета.
Именно эта информация позволяла нам так запросто определять положение
изображения или ход распространяющихся лучей.
Но оказывается, с помощью графических построений можно решать и обратную
задачу: по известному (или желаемому!) положению предмета и его изображения
можно с помощью тех же графических построений определять положение и значения
фокусных расстояний оптического элемента или, иначе, его кардинальных элементов.
Определение I Начнем, как всегда, с самого простого (рис. 2.36).
положения I В левом верхнем углу показаны необходимые исходные
положительной I данные для определения кардинальных элементов
положили нзы тельной линзы: размеры предмета и его изображения,
шшшшшшшшшшшшшшштшшшшшшшшшш а также расстояние между ними. На эскизе ниже решение
задачи и порядок ее выполнения показаны, как и в
предыдущих примерах, цифрами в кружках.
А поиск кардинальных элементов, действительно, несложен. Через основания
стрелок А и А' (или их начало) проведем прямую, которая у нас будет имитировать
оптическую ось системы ОО". Затем проводим прямую, которая соединит вершины
стрелок предмета В и его изображения В' — луч ВВ'.
Интуитивно понятно, что точка пересечения этого луча ВВ' с оптической осью
ОО определит нам положение узловых точек, а в тонкой линзе, да еще
расположенной в воздухе, и положение ее совмещенных главных и узловых точек НН' относи-
115

в
yl
А?
А'
Рис. 2.36. Графическое определение положения положительной линзы и ее фокусного
расстояния по известному расположению предмета и его действительного изображения.
тельно предмета и его изображения. Через эту точку проводим перпендикулярно
оптической оси плоскость, которая и будет являться главной плоскостью НН' тонкой
линзы. Положение совмещенных главных точек или положение совмещенных
главных плоскостей однозначно определяет положение тонкой линзы относительно
предмета или его изображения. Исходя из хода лучей, «поведение» которых мы
знаем, проведем из точки В — вершины предмета (стрелки) вторую прямую ВМ,
параллельную оптической оси, до ее встречи с главной плоскостью линзы.
Очевидно, этот луч, преломившись на главной плоскости линзы, после нее
будет распространяться в направлении вершины изображения стрелки (точка В'). Луч
MB', распространяясь далее, пересечет оптическую ось в некой точке F, которая и
будет являться задним фокусом нашей линзы. Зная, что/' = -f9 найти на эскизе
положение передней точки фокуса F ну уж совсем несложно!
Вот, собственно, и все.
Так же несложно найти кардинальные элементы положительной тонкой линзы,
если формируемое ею изображение получается мнимым (рис. 2.37).
Как и прежде, в левом верхнем углу рисунка показаны необходимые исходные
данные, а ниже — выполняемые построения. Построения на этом рисунке
выполнены точно так же и в том же порядке, что и на рис. 2.36. Поэтому, на наш взгляд, вряд
ли нужны еще какие-то пояснения. Поразмыслите сами, и все станет ясно!
В'
4
i
В'
У к'
о
А'
.©
"а? "® |
Рис. 2.37. Графическое определение положения положительной линзы и ее фокусного
расстояния по известному расположению предмета и его мнимого изображения.
116

Определение
положения
отрицательной
линзы
Точно так же несложно определить положение
отрицательной линзы и ее кардинальные элементы по
известному расположению предмета и его изображения (рис. 2.38).
На предлагаемом рисунке мы вновь ничего не меняли, ни
раскраску лучей, ни порядок их построения, ни символы
характерных точек.
Поэтому и рассказывать-то особо нечего. Достаточно одного взгляда, чтобы
все понять.
Казалось бы, определение положения оптического элемента и его
кардинальных элементов по известному расположению предмета и его изображения —
действительно, простое дело.
На самом же деле это не совсем так. И трудности возникают не с выполнением
графических построений — они-то как раз просты, а с необходимостью заранее
«предугадать», где в каждом отдельном случае, в каждой конкретной оптической схеме
должен располагаться (и какой, положительный или отрицательный) оптический элемент,
формирующий изображение предмета.
Из тех построений, которые мы рассматривали выше, наверное, Вы уже
обратили внимание, что положение и структура (мнимое или действительное, прямое или
обратное) формируемого изображения во многом определяются типом оптического
элемента (положительная линза или отрицательная) и его расположением
относительно предмета.
v, Приведем еще два рисунка (рис. 2.39 и 2.40). На них
«Хитрые» случаи X , \
мы отобразили два «хитрых» случая (а их много), когда
предмет и его изображение находятся за оптическим
элементом по направлению распространения света и, более того, предмет и его мнимое
изображение меняются местами, что нередко бывает на практике.
Наверное, комментировать выполнение графических построений вряд ли есть
необходимость. Найти положение оптического элемента вообще-то нетрудно: он
всегда будет располагаться на пересечении прямой линии, соединяющей одноименные
точки предмета и его изображения, с оптической осью (это тот самый луч, который
проходит через оптический центр тонкой линзы), а вот определить, какой тип
оптического элемента (положительный или отрицательный) необходимо применить,
«подсказывает» расположение предмета и его изображения относительно друг друга.
Поначалу, без достаточного опыта, выбор типа оптического элемента для того
или иного расположения предмета и его изображения, конечно, будет вызывать неко-
Рис. 2.38. Графическое определение положения отрицательной линзы и ее фокусного
расстояния по известному расположению предмета и его мнимого изображения.
117

Рис. 2.39. Определение положения положительной линзы. Предмет и его изображение
справа от линзы. Мнимое изображение предмета впереди.
Рис. 2.40. Определение положения отрицательной линзы. Предмет и его изображение
справа от линзы. Предмет впереди изображения.
торые затруднения. Но с опытом, а он, действительно, весьма ощутимо способствует
более глубокому пониманию всего того, что происходит в оптической схеме, все эти
«затруднения» уйдут на второй план.
2.5. Графический анализ распространения
наклонных лучей в оптических приборах
Какими бы ни казались примитивными предлагаемые способы графического
определения направления распространения наклонных пучков, преломленных
оптическими элементами, тем не менее, они дают четкое представление, что происходит
даже в самой сложной системе. Поэтому всегда интересно (а порой и необходимо!)
знать, как распространяются и какие преобразования претерпевают пучки лучей
в оптических приборах.
й
Замечание: Как-то раньше не представлялось повода дать
определение, что же такое наклонные пучки (лучи), хотя оно
настолько тривиально, что вряд ли требует пояснений. Тем не
менее, наклонным пучком лучей (или отдельным наклонным
лучом) мы будем называть пучок лучей, идущий из точки вне
оптической оси. Нередко их называют косыми пучками (лучами).
Сути это не меняет.
Анализ прохождения наклонных пучков через оптическую систему позволяет
выявить почти все «неприятности», приводящие к искажению создаваемого
оптической системой изображения. Дело в том, что наклонные пучки в наибольшей степени
испытывают на себе ограничивающее влияние геометрических размеров оптических
118

элементов системы, что приводит, например, к потере разрешения системы, а в
общем случае — к возникновению самых разнообразных аберраций.
Й Замечание: Для расширения кругозора коротко скажем:
в оптике имеется четыре аберрации, связанные
непосредственно с наклонными пучками. Это кома, дисторсия,
астигматизм и хроматизм увеличения. Нередко упоминаемое
виньетирование в основном положительно влияет на аберрации. Но
анализ аберраций и причины их возникновения — это отдельная
книга!
В качестве иллюстрации распространения наклонных пучков в простом
оптическом приборе мы приведем два несложных примера. Для анализа их хода мы
воспользуемся теми же самыми способами, которые рассматривали выше.
«Сконструируем» любую, пусть виртуальную, оптическую систему, о
конкретном назначении которой и авторы не имеют никакого представления, но вполне
достаточную для анализа прохождения наклонных пучков. Оптическая схема
(рис. 2.41) системы включает в себя три оптических элемента: две положительные Lj
и L3 и одну отрицательную L2 линзы. Параметры оптических элементов в нашем
примере совершенно произвольны, и хотя, на первый взгляд, мы не задаем их
численного значения, но, построив оптическую схему в определенном масштабе, мы тем
самым жестко определили ее параметры. Эта «жесткость» выражается в установке на
определенных расстояниях оптических элементов в общей схеме системы и задании
конкретных значений фокусных расстояний для каждого оптического элемента.
Обозначим фокальные плоскости всех оптических элементов Lb L2, L3
соответственно F] и ¥{ , F2 и F2 и F3 и F3. На рисунке фокальные плоскости отображены в
виде прямых линий (пунктиром серого цвета).
А теперь попробуем проследить, как поведет себя наклонный луч,
распространяющийся внутри оптической системы. Будем считать этот луч осевым лучом
распространяющегося в системе наклонного пучка.
Распространяясь в пространстве предметов по направлению АВ, луч в точке В
встретит главную плоскость HjH[ линзы Lb где должен преломиться и пойти по
новому направлению. Это направление определит точка OJ — точка пересечения
вспомогательной линии OiO[, параллельной наклонному лучу, с фокальной плоскостью
Fi первого объектива Lj.
Преломленный луч, распространяясь далее, встретит на своем пути, в точке С,
главную плоскость Н2Н2 второго оптического элемента схемы — отрицательной
линзы L2. В этой точке он должен преломиться второй раз и продолжить свой путь
Рис. 2.41. К анализу хода луча в сложной оптической системе.
119

далее, но уже по новому направлению. Это направление мы определим следующим
образом. Но прежде хотелось бы обратить внимание — фокальные плоскости
отрицательной линзы поменялись местами: задняя фокальная плоскость расположилась
впереди линзы (слева), а передняя — позади нее (справа). Именно задняя плоскость
теперь и будет определять дальнейший ход луча. Поэтому вспомогательный луч
0202 мы должны провести из узловой точки 02 параллельно лучу ВС до
пересечения с задней фокальной плоскостью F2 отрицательной линзы (точка 02).
И хотя луч распространяется слева направо и точку пересечения
вспомогательной линии с задней фокальной плоскостью он уже давно прошел, ничего
страшного в этом нет. Достаточно в «обратном ходе» соединить точку С прямой линией
(пунктир зеленого цвета) с точкой 02. Продолжение этой линии в «прямом ходе»
(для отрицательной линзы справа от линзы) и будет являться действительным ходом
луча CD, преломленного линзой L2.
Продолжая распространяться дальше, луч встретит главную плоскость
последней линзы L3 в точке D. И здесь, преломившись, он вновь пойдет по новому
направлению, которое нам вновь нужно отыскать.
Между прочим, это последний (третий) способ определения хода наклонных
лучей в оптических системах, которые мы рассмотрели выше.
Когда луч, преломленный отрицательной линзой L2, достиг главной плоскости
последней линзы L3, он уже пересек ее переднюю фокальную плоскость в точке 03.
Соединив эту точку с узловой точкой 03 последней линзы L3, мы найдем
направление распространения луча, преломленного третьей линзой. Прямая 0303 есть не что
иное, как наша вспомогательная прямая. Луч, проведенный в пространстве
предметов третьей линзы из точки D параллельно вспомогательной прямой 0303, и есть
искомый нами луч на выходе из оптической системы. Как видите, задача решена и
довольно просто. Если Вы обратили внимание, в этом примере мы полностью
использовали все три способа графического исследования хода лучей в оптических
системах, о которых говорили выше. Но посмотрите, как «лихо» с помощью простой
отрицательной линзы мы заставили наклонный (и довольно крутой) луч идти как
можно ближе к оптической оси системы.
К сожалению, так бывает не всегда. Значительно чаще бывает наоборот, когда
наклонные лучи (и даже совсем не крутые!) начинают «гулять» по путям, совсем
неисповедимым.
Для иллюстрации приведем еще один простой пример, тоже виртуальной
оптической схемы (рис. 2.42).
В схеме использованы те же самые оптические элементы, но задние
фокальные плоскости первой Lj (положительной) и второй L2 (отрицательной) линз
совмещены и обозначены на рисунке как ¥{?{.
Рис. 2.42. К анализу хода луча, «ушедшего» из сложной оптической системы.
120

Луч, распространяющийся в пространстве предметов, встречает главную
плоскость HjH[ первой линзы L\ в точке В. Пересекая главную плоскость, луч АВ
преломится и дальше пойдет по новому направлению, которое будет определяться
точкой пересечения вспомогательной линии OjOj с задней фокальной плоскостью
первой линзы, точкой OJ. Преломленный луч, распространяясь дальше, встретит
главную плоскость второй линзы L2 в точке С. Проведем через главную точку 02 второй
линзы вспомогательную прямую, параллельную преломленному лучу ВС, — прямую
0'02. Соединим точку С с точкой 02 пересечения вспомогательной линии 0202
с задней фокальной плоскостью F2 второй линзы L2. Прямая линия 02С и определит
направление распространения луча, преломленного второй линзой L2.
Посмотрев на получающийся рисунок, пожалуй, можно прекратить
дальнейшие построения. Входящий в систему наклонный луч после преломления
отрицательной линзой вообще «вышел из игры». Судя по рисунку, «он потерял всякое
желание», а мы — всякую надежду вернуть его в оптическую систему. Правда, слабая
надежда все-таки остается, но кроме дополнительной головной боли, она ничего не
принесет.
На выходе этой оптической схемы мы, наверное, что-то и получим. (В конце
концов, изображение формируется не только пучками косых лучей). Но что? И
нужно ли нам это? Приходится только сомневаться!
Этот пример очередной раз подтверждает справедливость наших слов о
необходимости анализировать ход наклонных лучей (а тем более пучков) в оптической
системе.
Поэтому необходимо быть предельно внимательным и не лениться лишний раз
выполнить графическую прорисовку проектируемой схемы.
2.6. Предмет и изображение. Положение и размеры
Наверное при выполнении графических построений Вы обратили внимание на
то, что при изменении расстояния от предмета до оптического элемента менялись не
только положение самого изображения, но и его размеры. Более того, в случае с
положительной линзой менялась и его физическая природа: в одном случае мы
получили действительное изображение, в другом — мнимое, в одном случае — прямое,
а в другом — обратное (перевернутое).
Если теперь определение хода луча и определение положения точек предмета в
пространстве изображений для Вас больше не составляет труда, то любопытно
проследить, с помощью простых геометрических построений, как происходят эти изменения.
Графические I Мы не бУДем загружать наши рисунки сложной
постюоения графикой, а выберем в качестве предмета банальную
изображений стрелку, начало которой лежит на оптической оси, а конец
пюедмета устремлен вверх от нее. Для поиска положения
изображения стрелки и ее вида мы будем использовать только два
луча. Один луч всегда будет проходить через главную
точку линзы, точку пересечения совмещенных главных плоскостей тонкой линзы с
оптической осью (высвечен зеленым цветом), а второй всегда будет распространяться
в пространстве предметов параллельно оптической оси (этот луч высвечен желтым
цветом). Для полноты счастья будем рассматривать формирование изображения
стрелки сразу для двух вариантов — положительной двояковыпуклой тонкой линзы и
отрицательной двояковогнутой тонкой линзы. Правда, мы остановимся только на
нескольких отдельных случаях расположения предмета относительно линзы, хотя Вам
настоятельно рекомендуем прорисовать все случаи, которые могут встретиться на практике!
Тем более, что это не так уж и сложно. Будем предполагать, что предмет «въезжает»
121

в систему из бесконечности слева направо. Сам предмет — стрелку и ее
действительное изображение будем выделять сплошной линией черного цвета, а мнимое —
черным пунктиром. Остальное все должно быть понятно из рис. 2.43.
На рис. 2.43, а и б предмет расположен от линзы на расстоянии,
превышающем двойное фокусное расстояние. В случае положительной линзы (а) изображение
получается действительное, уменьшенное и перевернутое, а в случае отрицательной
линзы — мнимое, уменьшенное и прямое.
Рис. 2.43. Графическое построение изображения предмета с помощью положительной и
отрицательной линз (поясн. в тексте).
122

Но, если мы расположим предмет между передней точкой фокуса и линзой
(см. рис. 2.43, в и г), то изображение, формируемое положительной линзой (в), станет
мнимым, прямым и увеличенным, а отрицательной линзой — мнимым, прямым и
уменьшенным (г).
Если мы будем и далее перемещать стрелку в направлении распространения
света, то нам придется перейти за линзу (см. рис. 2.43, д и ё). В этом случае
изображение, сформированное положительной линзой (д), станет действительным и
прямым, но меньших размеров, в то время как для случая отрицательной линзы (е)
изображение станет действительным, прямым, но больших размеров.
Перемещая предмет и дальше в направлении распространения света (см.
рис. 2.43, ж и з), мы увидим, что структура изображения, формируемого
положительной линзой (ж\ остается без изменений (если не считать уменьшения его
размеров), а изображение, формируемое отрицательной линзой (з), оставаясь мнимым и
увеличенным, становится перевернутым.
Дальнейшее увеличение расстояния от предмета до оптического элемента
структуры изображения не меняет. Изображение, построенное положительной
линзой (w), остается прямым и действительным, а изображение, построенное
отрицательной линзой (к), — перевернутым и по-прежнему мнимым (см. рис. 2.43, и и к).
Как видите, мы легко, без всяких вычислений, совершенно, казалось бы, не
учитывая геометрической формы образующих линзы и показателя преломления ее
материала, нашли ответ на вопрос, как «поведут» себя лучи в пространстве
изображений после оптического элемента. На самом же деле характеристики тонкой линзы
«скрыты» в ее кардинальных элементах.
Обратите внимание, при анализе мы ни разу не прибегали к каким бы то ни
было математическим вычислениям. С помощью самой простой графики нам
удалось, пусть и в первом приближении, проанализировать работу создаваемой
оптической схемы.
А теперь обратимся к рис. 2.44. На нем стрелки — предметы высвечены
насыщенными цветами, а их изображения — бледными. Кроме этого, действительные
изображения стрелок прорисованы сплошными линиями, а мнимые — пунктиром.
Для того чтобы лучше «врезались» в память все наши последующие
рассуждения, разобьем пространство предметов и пространство изображений на шесть
областей, воспользовавшись для этого кардинальными точками оптической системы, и,
^o^2F
2F'^+oo
Рис. 2.44. К анализу положения предмета и его изображения в оптических системах,
предмет слева от линзы (положительная линза).
123

для наглядности, разграничим их плоскостями. На рис. 2.44 эти области
определяются следующим образом: -оо -г- 2F, 2F -ь F, F -ь Н и Н' -ь F', F' -г- 2F', 2F' -ь +оо.
Наша стрелка, перемещаясь в пространстве предметов, должна
последовательно «посетить» все эти области, а мы, воспользовавшись одним из графических
способов, построить ее изображения, отслеживая при этом, что же происходит с
изображением стрелки. Заметим, что все эти зоны попарно сопряжены.
в области
-00-2F
Когда предмет начинает приближаться к оптической
^ I системе, но находится в области -оо ч- 2F (от -оо до 2F),
изображение предмета увеличивается и удаляется от
заднего фокуса F' к точке 2F', оставаясь при этом действи-
ш—~т~~—яш—— тельныМ9 перевернутым и уменьшенным, т. е. меньше
предмета (стрелки синего цвета).
Интересно отметить, что скорость перемещения предмета в области -оо -=- 2F
значительно выше, чем скорость перемещения изображения в области F' ч- 2F'.
Действительно, предмету нужно преодолеть «сумасшедшее» расстояние из
бесконечности к точке 2F, в то время как изображение может, «не торопясь» и даже «лениво»,
пройти расстояние, равное всего лишь фокусному расстоянию оптической системы.
Поел мет I Когда предмет окажется в точке 2F, расположенной
юаспоюжен на Двоином фокусном расстоянии от главной плоскости
на расстоянии I тонкои линзы (стрелки оранжевого цвета), его изображе-
от 1инзы 2F I ние заимет положение в пространстве изображений в точке
ииившишиишишииши-и^^ 2F', также расположенной на двойном фокусном
расстоянии. Изображение останется действительным,
перевернутым, но того же самого размера, как и предмет. Заметим, что это — второе
положение изображения в оптической системе, когда его размер равен размеру предмета
(напомним, первое положение имеет место, когда изображение и предмет находятся
в главных плоскостях).
Когда предмет приближается к точке 2F, скорость его перемещения
становится медленнее и в точке 2F становится равной скорости перемещения изображения,
пришедшего в точку 2F'.
Предмет I Когда предмет находится между точками 2F и F, его
в об части 2F- F I изображение будет располагаться в пространстве
изображений между точкой 2F' и бесконечностью, т. е. в области
2F' -^ +оо (стрелки сиреневого цвета). Изображение будет
оставаться действительным, перевернутым, но размер его будет увеличиваться и тем
больше, чем ближе предмет будет приближаться к точке переднего фокуса F. По
мере приближения предмета к переднему фокусу оптической системы скорость
перемещения изображения растет и очень быстро, а при прохождении предмета через
точку переднего фокуса становится бесконечно большой.
Но что интересно, в этот момент изображение с «бешеной» скоростью удаляется
в бесконечность вправо и вдруг, совсем неожиданно, появляется из бесконечности слева!
Предмет I Когда предмет расположен у линзы, в пределах ее
в области F -*• Н I фокусного расстояния, никакого действительного изобра-
- жения не возникает. Возникает мнимое изображение,
прямое и увеличенное (стрелки коричневого цвета, мнимые
изображения показаны на рисунке пунктиром того же цвета). Когда предмет
подходит к передней главной точке линзы Н, изображение, двигаясь слева, «догоняет»
предмет. Они «сталкиваются» в главной плоскости тонкой линзы и сливаются в одно
124

целое, при этом скорости их перемещения второй раз становятся равными между
собой.
Дальше вся картина формирования изображения
повторяется, только уже с правой стороны относительно
тонкой линзы. Изображение все больше отстает от предмета,
медленно «тянется» за ним и «добирается» всего лишь до
заднего фокуса системы F, в то время как предмет стремительно «уносится» в
бесконечность, вправо (рис. 2.45).
Но, обратите внимание — изображение сможет быть сформировано системой
только в области Н' -ь F и будет всегда прямым и действительным.
На досуге Вы можете самостоятельно (если хотите, и если будет не лень!)
провести подобный анализ и для отрицательной линзы.
А мы, на основании проведенного анализа, можем сделать главный вывод
(правда, который сделали задолго до нас) — изображение всегда будет перемещаться
в том же направлении, куда направляется предмет. Эту закономерность часто
определяют совсем кратко, простым мнемоническим правилом: «куда предмет, туда и
изображение».
* * *
Хотелось бы еще раз поудивляться возможностям оптики Гаусса. Мы
определяли местоположение точек и строили изображения прямых линий, исследовали ход
лучей через оптическую систему как с положительными, так и с отрицательными
линзами и ни разу не вспомнили о радиусах кривизны преломляющих поверхностей,
не говоря уже о показателе преломления материалов, из которых они изготовлены.
Более того, мы ни разу не прибегли к каким бы то ни было математическим
формулам. С помощью самой простой графики, пусть и в первом приближении, но
нам удалось проанализировать и исследовать возможности произвольно выбранных
оптических схем.
С помощью вышеприведенных примеров, детально (и даже слишком!)
разбирая их, авторы хотели лишний раз показать, как можно с помощью простых
графических построений провести действенный анализ оптических схем.
К сожалению, иногда поверхностное (или беглое) знакомство с оптикой Гаусса
в курсах геометрической (или физической) оптики не позволяет раскрыть все
возможности быстрого простого и в то же время достаточно точного анализа оптических
систем с помощью графических построений. И как результат, предложенное
прекрасное решение оптической схемы «выбрасывают в урну» только из-за того, что в
самом начале проекта исходные данные были выбраны неверно.
Но еще большую силу оптика Гаусса приобретает тогда, когда параллельно
с графическими построениями выполняется достаточно простой, но, в то же время,
достаточно точный анализ с помощью элементарных алгебраических соотношений.
Рис. 2.45. К анализу положения предмета и его изображения в оптических системах,
предмет справа от линзы (положительная линза).
Предмет
в области Н' -т- +оо
125

2.7. Математика оптики Гаусса
Простые графические построения не могут не вызвать соблазна всю
элементарную геометрию построения хода лучей, а с ними и построение изображений
реальных предметов, «одеть» в математические «одежды».
Правда, в этом случае анализ оптических схем будет не настолько нагляден, но
зато у нас появится возможность точно определять все необходимые параметры
оптической схемы, исключая полностью ошибки геометрических построений.
Поэтому мы не устанем повторять: не ленитесь делать наброски оптических
схем, которые Вы хотите смоделировать, хотя бы в черновом виде. Проводить ее
предварительный аналитический расчет, а главное, понимать все, что Вы делаете,
намного проще, когда перед Вами лежит вычерченная схема. Поверьте, в будущем
это позволит Вам избежать многих недоразумений и ошибок.
Формулы, на которые мы хотим обратить Ваше внимание, довольно просты и
не требуют особого напряжения мысли для их запоминания. Значительно проще,
исходя из рисунка оптической схемы, запомнить ход рассуждений при их выводе. Тем
более, что их вывод даже неудобно назвать выводом, так как он состоит, как правило,
из, максимум, трех—четырех последовательных действий.
2.7.1. Правила знаков
Прежде чем приступить к знакомству с математикой оптики Гаусса (теорией
идеальных систем), мы снова поговорим о знаках, но более пространно. Роль знаков
в геометрической оптике очень велика. Элементарная путаница с ними может не
только совершенно изменить все представления об оптической системе, но и
поменять структуру получаемого с помощью нее изображения. Достаточно напомнить
(в надежде, что Вы уже приобрели некоторый опыт), что ошибочное изменение
знаков фокусных расстояний оптического элемента легко может привести к подмене
положительной оптической системы ее отрицательным эквивалентом. Ошибка в
знаках линейных размеров формируемого изображения перевернет его «вверх ногами»,
а ошибка в расстояниях от оптического элемента до изображения вообще может
«переделать» его из мнимого в действительное и наоборот.
И хотя все правила о знаках можно сформулировать в виде трех—четырех
положений, нередко правильность их расстановки вызывает сомнения и у нас.
В самом общем случае правила знаков можно сформулировать так:
• За положительное направление в геометрической оптике принято направление
распространения света слева направо.
• Все расстояния в геометрической оптике считаются положительными, если
направление их отсчета совпадает с направлением распространения света, в
противном случае все расстояния следует считать отрицательными.
• Все отрезки, расположенные выше оптической оси, принято считать
положительными, а расположенные ниже оптической оси - отрицательными.
• Все углы в геометрической оптике считаются положительными, если для их
образования линию отсчета (оптическую ось или нормаль к поверхности)
необходимо вращать по часовой стрелке, в противном случае углы следует
считать отрицательными.
й
Замечание: И только с радиусами сферических
преломляющих поверхностей (и не сферических тоже) все обстоит совсем
наоборот. Радиусы кривизны принято считать положительными,
если центры кривизны располагаются справа от преломляющей
поверхности, и отрицательными, если они располагаются слева
126

от нее. Как видите, все «шиворот—навыворот». Радиус
преломляющей поверхности считается положительным, если его
отсчет производится «против света», и отрицательным, если «по
свету».
Казалось, куда уж проще, если бы не одно «но»
«Путаница» в расстановке знаков обычно вызывается не сложностью
принятых правил, они довольно просты, а тем, что начала отрезков и углов в оптических
схемах зависят как от типа оптического элемента, используемого в оптической схеме
(собирающая или рассеивающая линза), так и от положения предмета и его
изображения относительно этого элемента.
Поэтому теперь мы попытаемся определиться, в каком направлении отсчиты-
ваются значения отрезков, связывающих положение предмета и его изображения
с кардинальными элементами оптической системы.
Чтобы было ясно, о чем идет речь, обратимся к рис. 2.46, на котором показаны
все расстояния, применяемые в геометрической оптике для оптической схемы с толстой
положительной линзой, причем направления отсчета этих расстояний показаны
стрелками, а их знаки выбраны в соответствии со сформулированными в этом разделе
правилами (более подробно о параметрах оптической системы с толстой линзой мы
поговорим попозже).
Итак, дополнительно имеем:
1. Фокусные расстояния/ и /' оптического элемента и расстояния от
оптического элемента до предмета а или его изображения а' всегда отсчитыва-
ются от его главных плоскостей.
2. Расстояние от переднего фокуса до предмета z и расстояние от заднего
фокуса до его изображения z' отсчитываются, соответственно, от передней F и
задней F точек фокусов.
Рис. 2.46. Расстояния и их знаки в оптической системе с двояковыпуклой толстой линзой.
127

3. Передний sF и задний s'F' вершинные (или фокальные) отрезки, как и
расстояния от вершин до главных плоскостей sH и sH' •> отсчитываются от
вершин соответствующих поверхностей, ограничивающих тело оптического
элемента.
4. Толщина оптического элемента всегда положительна.
Как видите, эти дополнения к правилам достаточно просты, но их
внимательное применение во многом облегчит Вашу жизнь.
Мы знаем, какое смятение нередко вносит в души молодых специалистов
расстановка знаков в аналитических выражениях без графической прорисовки
оптической схемы. Поэтому, чтобы избежать «глупых» ошибок, мы еще раз настоятельно
рекомендуем Вам, прежде чем приступать к анализу оптической схемы,
прорисовывайте ее на бумаге, и чем аккуратнее Вы выполните графические построения, тем,
уверяем Вас, меньше будет ошибок.
Да что греха таить, нередко и авторы, мягко говоря, попадают в неловкое
положение, особенно при анализе сложных оптических систем. Но опыт берет свое!
Вывод формул оптики Гаусса нередко вызывает затруднения (особенно с
расстановкой знаков) из-за того, что различные типы оптических элементов
(положительные или отрицательные) для различного расположения наблюдаемых предметов
формируют его изображения на различных расстояниях от оптических элементов,
а нередко, как бы в одном и том же пространстве. Сформированные изображения
могут быть как увеличенные, так и уменьшенные, как прямые, так и перевернутые,
как действительные, так и мнимые, располагаться как в области изображений, так и в
области, где, казалось бы, должен располагаться предмет. И все это разнообразие
получаемых «эффектов» закодировано в алгебраических знаках геометрических
величин, определяющих характеристики как отдельного оптического элемента, так и
всей оптической системы в целом.
В принципе, любая оптическая система предназначена для преобразования
неким образом некоего предмета (или сцены) для обеспечения наилучшего восприятия
визуальной информации. Обычно все эти преобразования в классических оптических
системах чаще всего сводятся к изменению масштаба изображения предмета,
создаваемого системой.
Но оказывается, оптическая система при формировании изображения
предмета, изменяя его масштаб, изменяет не только так привычные для нас линейные
размеры, но и несколько необычные — угловые, и даже его глубину вдоль оси
(продольные размеры предмета вдоль оптической оси).
Все это привело к тому, что для полной характеристики оптической системы
необходимы три увеличения: линейное Р, угловое у и продольное а.
2.7.2.Формулы оптики Гаусса
Простота математических формул оптики Гаусса, прежде всего, определяется
теми приближениями, которые принял Гаусс и о которых мы уже говорили выше.
Для вывода основных формул геометрической
оптики воспользуемся рис. 2.47. На нем мы привели в
качестве примера конкретную оптическую схему, довольно
часто встречающуюся в учебниках по геометрической
оптике и ставшую уже классической.
Это обычная оптическая схема, выполненная в виде одной тонкой,
идеальной двояковыпуклой линзы, погруженной в однородную
среду (п = п' и /1 = /'). Она формирует в пространстве изображений действи-
(поперечное)
увеличение
128

тельное, увеличенное и перевернутое изображение А[А2 обычной реальной стрелки
AjA2, расположенной в пространстве предметов.
Найдем теперь линейное увеличение системы, под которым мы условились
понимать отношение некоего линейного размера изображения,
взятого в направлении, перпендикулярном оптической оси, к
соответствующему линейному размеру предмета (см. (2.1)). В нашем случае это —
отношение расстояния у' от оптической оси до точки А'2 в сформированном
изображении к расстоянию у от оптической оси до этой же точки А2 непосредственно в
пространстве предметов:
р=
J..
й
Замечание: Обращаем Ваше внимание еще раз: в этом
выражении перед значениями у и У отсутствуют алгебраические
знаки, чем лишний раз подчеркивается «универсализм»
приведенной формулы, а это значит, что ее можно применять для
любых оптических систем. Но при анализе или расчете
конкретных оптических схем учет знаков («плюс» или «минус»)
обязателен!
Для нашей же конкретной схемы (см. рис. 2.47), если ввести знак для
расстояния/, линейное увеличение равно
Р У
Из анализа этих двух уравнений и нашего рисунка можно легко сделать
следующие простые выводы:
• Если | р | > 1, то размеры изображения больше размеров предмета, если же
| Р | < 1, то размеры изображения меньше размеров предмета.
• Если Р > 0, то выбранные отрезки направлены в одну сторону, т. е. предмет и
его изображение лежат по одну сторону оптической оси; инверсии (поворота
на 180°) изображения относительно предмета не происходит.
• Если Р < 0, то выбранные отрезки направлены в разные стороны, т. е. предмет
и его изображение лежат по разные стороны оптической оси; происходит
инверсия изображения относительно предмета.
Очевидно, что значение длины любого отрезка в пространстве предметов (его
геометрический размер) и значение длины сопряженного с ним отрезка в пространст-
Рис. 2.47. К выводу формулы линейного увеличения.
Линза находится в однородной среде (п = п').
129

ве изображений можно легко определить из простого соотношения сторон подобных
треугольников, стороны которых связаны простыми соотношениями.
На рис. 2.47 можно обнаружить несколько пар подобных треугольников.
Рассмотрим сначала подобные треугольники AjCA2 и А [С А 2 (высвечены зеленым
цветом). Из них можно получить следующее простое выражение:
У -а у а '
и, согласно (2.1), окончательно можно записать:
V а'
Мы получили еще одно соотношение, которое также определяет линейное
увеличение оптической системы, но связывает его с расстояниями от предмета до
линзы и от линзы до полученного изображения.
Рассматривая рис. 2.47 и рис. 2.48, можно обнаружить еще две пары подобных
треугольников, которые связывают линейный размер предмета и линейный размер
его изображения: треугольники AiFA2 и CFD (высвеченные светло-зеленым цветом)
и треугольники BF'C и A[F'A2 (высвеченные светло-сиреневым цветом).
Нетрудно видеть, что в первой паре сторона CD треугольника CFD равна
линейному размеру изображения, т. е. CD = -у'. Отсюда можно получить еще одно
выражение для линейного увеличения:
у -z у z
Можно рассмотреть и вторую пару треугольников CF'B и A[F'A2. По
аналогии с предыдущим примером, можно записать
tt tt
У /' У /'
Учитывая, что /' = -f9 окончательно для линейного увеличения оптической
системы, расположенной в воздухе, мы можем записать целую цепочку формул:
У d f z' Г z
K=-=-i=--=t = y' ( '
Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда наша линза погружена в
неоднородную среду, т. е. ri Ф п (рис. 2.48). Напомним, что в этом случае /' * \f\
(см. (1.76)). Для получения изображения А2' точки А2 воспользуемся лучом А2В,
параллельным оптической оси, и лучом A2D, проходящим через передний фокус F.
Очевидно, что первый луч после преломления в точке В пройдет через задний фокус
F, а второй луч после преломления в точке В пойдет параллельно оптической оси.
Пересечение этих лучей и даст изображение точки А2\ Полагаем, что получение
изображения А\' точки Ai у Вас не вызовет трудностей.
Существенно, что теперь формула (2.6) для поперечного увеличения Р «не
работает», что нетрудно понять из анализа рис. 2.48. Чтобы найти р, воспользуемся
подобными треугольниками AjA2F и FCD, а также подобными треугольниками BCF'
и F' А/А2'. Так как
zz_ = zL ~y - z
у -z у Г
то для поперечного увеличения Р имеем следующее выражение:
130

Рис. 2.48. К выводу формулы линейного увеличения.
Линза находится в неоднородной среде (п Ф п').
р=/=-/=-г
/'
(2.8)
Оно содержит более укороченную цепочку формул (сравни с (2.7)).
Было бы очень интересно узнать, как поведут себя полученные формулы в
оптической схеме, в которой все «наоборот» (рис. 2.49). На рисунке представлена
оптическая схема с отрицательной линзой, которая создает мнимое изображение
предмета, расположенного за ее передним фокусом на достаточном удалении от него.
Очевидно, в этом случае мы получаем мнимое, обратное и увеличенное изображение.
Обратите внимание: на рис. 2.49 все отрезки поменяли свои знаки
(относительно рис. 2.47 и 2.48) на противоположные. А это нам и надо. Предлагаем Вам
самостоятельно посмотреть, как в этом случае «поведут» себя формулы для
определения линейного увеличения системы.
й
Замечание: У оптической системы с положительной линзой
точка переднего фокуса лежит перед оптической системой по
направлению распространения света; точка заднего фокуса —
за оптической системой. У оптической системы с
отрицательной линзой точка переднего фокуса лежит за оптической
системой по направлению распространения света, а точка заднего
фокуса — перед ней.
Рис. 2.49. Линейное увеличение в системе с отрицательной линзой.
131

Можно «экспериментировать» с цепочкой формул для определения линейного
увеличения сколько угодно и насколько хватит вашей фантазии, но всегда она (эта
цепочка) с завидным упорством будет подтверждать свой «универсализм».
Угловое
увеличение
Воспользуемся далее схемой оптической системы
(рис. 2.50), находящейся в однородной среде {п = п'). Про-
j ведем из точки А\ под произвольным углом -а к
оптической оси луч в направлении точки К. Определим одним из
уже известных нам способов направление распространения преломленного луча.
Очевидно, он пересечет оптическую ось в точке А[ под углом а'.
Рис. 2.50. К выводу формулы углового увеличения.
Как уже отмечалось в разделе 2.2, под угловым увеличением оптической
системы понимают отношение тангенса угла, образованного лучом с оптической осью
в пространстве изображений, к тангенсу угла, образованного сопряженным лучом
с оптической осью в пространстве предметов:
у = tga' / tga. (2.9)
Так как
tga = h/a и tga' = h/a , (2.10)
то из (2.9) и (2.10) получаем, что
у =а/а'. (2.11)
Из сравнения (2.11) с выражением (2.6) для линейного увеличения
Р=я'/я.
Отсюда следует, что если оптическая система располагается в однородной
среде, то угловое увеличение обратно пропорционально линейному увеличению:
у = Р"1 •
(2.12)
Формула I Чтобы получить одну из важнейших формул оптики
Пью юн а Гаусса, вернемся к выражению (2.8) для определения ли-
" нейного увеличения системы, погруженной в
неоднородную среду (ri ф п):
и перепишем их в строчку
р =
/ _
/"
132

&=ff'. (2-13)
Эта «простота» и есть знаменитая формула, предложенная Ньютоном и
названная его именем. Вроде бы совсем «пустяк», но при известных фокусных
расстояниях (а они известны всегда, а если неизвестны, то их легко определить) и
положении предмета она позволяет с легкостью найти положение изображения на
оптической оси системы.
Если же средой, в которой располагаются предмет и его изображение, является
воздух, т. е. п = п' = 1, то фокусные расстояния, естественно, будут равны по
абсолютной величине, а различаться будут только знаками (/*' = -f). Тогда формула
Ньютона примет совсем простой вид
ZZ'
-г1.
(2.14)
Продольное I Теперь попробуем найти выражение для определе-
увеличение | ния продольного увеличения. Обратимся к рис. 2.51 (его
■ мы выполнили с нарушением масштабных соотношений).
Стрелку, которая служила нам предметом, «положим на
бок» и попытаемся построить изображения ее начальной А\ и конечной А2 точек.
Вообще-то сделать это тоже несложно.
Достаточно провести из начальной и конечной точек стрелки лучи
произвольного направления, которые, встретившись со сферической поверхностью,
естественно, изменят направление своего распространения. Определить новое направление
преломленных лучей можно любым из способов, о которых мы говорили выше.
Например, проведем прямые линии CDj и CD2, параллельные лучам А]К и А2К, но так,
чтобы они прошли через точку С, в которой совмещены главные и узловые точки
линзы, и продолжим их до пересечения со следом задней фокальной плоскости FT'.
Эти точки пересечения (Dj и D2) и определят направление распространения
лучей AjK и А2К после их преломления. Точки пересечения А[ и А'2 преломленных
лучей с оптической осью, по сути, и являются началом и концом изображения нашей
стрелки.
Так вот, отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси
в пространстве изображений, к сопряженному с ним отрезку в пространстве
предметов и называют продольным увеличением оптической системы:
а = lim
(г2-г,)->0
Л
Z2~Z\ )
= lim '
Az->oV Az
dz'
Обратимся к формуле Ньютона zz' =ff и продифференцируем ее по z и z':
Рис. 2.51. К выводу формулы продольного увеличения.
133

zdz' + z'dz = 0,
откуда получим
a ="
dz'
dz
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Теперь из той же формулы Ньютона найдем и z, и z':
z~ f z- z ,
и подставим их в (2.15) с учетом (2.8):
а z z ff f z f / P •
Если же наша система находится в воздухе (или однородной среде), то, естественно,
/' = -/ и выражение (2.17) принимает совсем простой вид:
а=р2. (2.18)
Легко найти и связь между всеми тремя увеличениями. Действительно, если угловое
увеличение определить как (2.12), т. е. у = р1, то
ссу = р. (2.19)
Таким образом, произведение продольного и углового увеличений равно
линейному (поперечному) увеличению.
Зависимость
между тремя
видами
оптических
увеличений
Чтобы «прочувствовать» что же такое линейное,
угловое и продольное увеличение и как они в оптической
схеме связаны между собой, обратимся к рис. 2.52. На нем
отображена обычная схема с одной тонкой линзой, на
входе которой размещен предмет в виде стрелки А1А2.
Построение ее изображения мы выполнили несколько иначе,
щтяятя~~~~~— ^^ ^ предыдущих примерах (хотя в нем использовались
те же самые правила, что и ранее).
Через вершину стрелки А2 мы провели произвольную прямую, которая
пересекла оптическую ось в точке А и встретила совмещенные главные плоскости линзы
в точке D. Затем обычным способом определили направление преломленного луча,
который в пространстве изображений пересек оптическую ось в точке А',
сопряженной точке предмета А.
Проведя через главную точку С тонкой линзы прямую А2С до ее пересечения
с продолжением преломленного луча DA', мы определим положение вершины стрел-
Рис. 2.52. Связь трех увеличений: линейного, углового и продольного.
134

а продольное увеличение
Угловое увеличение
где
ки в пространстве изображений (точка А2). Опустив из нее на оптическую ось
перпендикуляр, мы получим изображение стрелки AJA^.
В результате графических построений мы получили два, но вовсе не подобных
треугольника АА1А2 и А'А[А2. Связать их можно с помощью ранее приведенных
выражений для определения увеличений. Так, линейное увеличение системы по-
прежнему можно определить как
>-*
Az'
Az
tga'
Y = —'
tga
tga'=^7>tga = -^-
Если же в формуле для углового увеличения заменить тангенсы углов их
значениями, то получим
= _£_Az= P_
Y Ы У й
или
а х у = р.
Теперь покажем на нескольких наиболее ярких примерах, как просто можно
получить основные формулы оптики Гаусса.
ф I Нередко положение предмета и его изображения,
Гаусса I формируемого оптической системой, намного удобнее
_ находить относительно главных плоскостей системы. Как
это сделать, мы и покажем ниже.
Для начала вернемся к формуле Ньютона zz' =ff' и выразим значения z и z' как
разность отрезков, отсчитываемых от главных плоскостей:
z = a-fnz' = a'-f. (2.20)
Подставив выражения (2.20) в формулу Ньютона (2.14), получим
(а-У) (о'-/')=#'. (2.21)
После простых алгебраических преобразований (2.21) сводится к виду
Поделив в последнем выражении правую и левую части на аа\ получим знаменитую
формулу Гаусса (формулу отрезков):
4+4 = i.
Если примем, что -/ = /', то выражение (2.22) можно привести к более
привычному виду
111 111
— - — = — или — - — = —. (2.23)
a a f a a f
Упражняясь дальше, легко получить еще две весьма полезные формулы. Так
как, согласно (2.6), а'= Р<з, то подставляя этот параметр в (2.23), после простых пре-
135

образований получим следующую формулу для расстояния от главной плоскости до
предмета:
(1 " Р)/' (1 " Р)/
а= или а= - .
(2.24)
Р Р
По аналогии можно определить и расстояние от главной плоскости до
изображения, если в (2.23) подставить выражение для а = а'ф:
а' = (1-Р) /' или я' = -(1-р)/. (2.25)
Правда, можно обойтись и без увеличений, разрешив формулу (2.23)
относительно любого из расстояний. Например, расстояние а' равно:
"Г
или а = -
¥
о + /' a- f
а расстояние а вычисляется следующим образом:
а'Г
а' - Г
(2.26)
(2.27)
Как видите, с этими простыми выражениями можно упражняться бесконечно,
получая все новые и новые, весьма полезные соотношения для анализа работы
оптической системы.
Но обратите внимание: мы получили целый ряд самых разнообразных формул,
используя сведения только о линейном увеличении оптической схемы. И, что
интересно, мы нигде, ни в одной формуле, не использовали конструктивные параметры
линзы: радиусы сферических поверхностей, ограничивающих тело линзы, и
показатель преломления материала, из которого она изготовлена. Более того, мы нигде не
обсуждали углы падения и преломления лучей, строящих изображение предмета. Вот
Вам и Гаусс, ну разве не гигант!
Правила знаков
и идентификация
оптических схем
Из сравнения рисунков 2.47, 2.48 и 2.49 следует
достаточно простой вывод: использование различных
оптических элементов (положительных или отрицательных)
«круто» меняет условия формирования изображений
реальных предметов. И это вполне естественно!
При этом можно обнаружить, что и положение предмета относительно
оптического элемента оказывает не меньшее влияние на структуру получаемого изображения.
Рис. 2.53. Смена знаков при построении изображений положительной (а)
и отрицательной (б) линзами.
136

Действительно, при абсолютно одинаковых оптических элементах,
используемых в этих схемах, мы получили совершенно разные по структуре изображения. Для
схемы с положительной линзой, показанной на рис. 2.47, сформированное
изображение является действительным, перевернутым и увеличенным. В несколько другой
схеме с такой же линзой (рис. 2.53, а) изображение оказывается мнимым, прямым
и увеличенным.
Для схемы с отрицательной линзой, представленной на рис. 2.49, мы получили
изображение мнимое, перевернутое, увеличенное. Если же обратиться к другой схеме
с той же линзой, приведенной на рис. 2.53, б, то мы будем иметь дело с мнимым,
прямым и уменьшенным изображением.
Й Замечание: Обратите внимание: на всех рисунках
направления отсчета всех расстояний определены (или заданы) двумя
способами: алгебраическими знаками и направлением стрелок.
Этим мы лишний раз хотели подчеркнуть (и напомнить!), как и
каким образом отсчитываются расстояния в оптических системах.
Если теперь мы попытаемся вывести формулы для определения того же
линейного увеличения, которые для нас служили основополагающими для вывода всех
остальных соотношений оптики Гаусса, то получим выражения, полностью
идентичные ранее выведенным соотношениям (2.7).
Как ни покажется странным, но именно, к счастью, полученные выше
формулы в своем общем виде совершенно не отражают физической структуры оптической
схемы, и в этом легко убеждают приведенные выше примеры: совершенно разные
оптические системы, совершенно по-разному строящие изображения, описываются
одними и теми же аналитическими выражениями.
Действительно, если мы сравним рис. 2.48 и 2.53, а, то увидим, что один и тот
же оптический элемент (с одними и теми же характеристиками) решает задачу
построения изображения совершенно по-разному. И это «разное» определяется
положением предмета в оптической схеме. В одном случае мы получили изображение
предмета действительное и обратное (перевернутое) за линзой по ходу
распространения света, в другом — мнимое и прямое и перед линзой.
Изображение поменяло свой вид и поменяло свое положение в пространстве.
Изменили свое направление (начало отсчета) и отрезки а и a', z и z', связывающие
предмет и его изображение, создаваемое линзой. На своем месте остались только
фундаментальные параметры линзы F, fu F и f, связанные непосредственно с ее
конструктивными параметрами.
Очевидно, положение предмета относительно линзы (или линзы относительно
предмета) принципиально меняет «физическое» содержание оптической схемы.
Действительно, указанные выше оптические системы являются совершенно разными
системами, так как они совершенно по-разному решают привычную для них задачу:
задачу построения (формирований) изображения.
Вы должны себе ясно представлять, что в оптической системе предмет и его
изображение являются неотъемлемыми компонентами системы, а вся система
представляет собой сложную «связку»: «предмет => оптический элемент => изображение».
Тогда сам собой напрашивается вывод: очевидное различие в оптических
схемах должно быть заключено в расположении и направлении отрезков, задающих
положение предмета и определяющих положение изображения.
Становится ясным, что идентифицировать каждую конкретную оптическую
схему можно с помощью алгебраических знаков «+» и «-», указывающих
направления конкретных отрезков, если заданы точки начала их отсчета и их конкретные
численные (или символьные) значения.
137

Именно из этих предпосылок были сформулированы правила знаков, причем
за положительное направление числовой оси, роль которой вполне может выполнять
оптическая ось системы, было принято направление распространения света слева
направо.
Нелишне еще раз напомнить, что правильность расстановки знаков отрезков и
углов в формулах оптики Гаусса нередко даже у опытных оптиков вызывает
сомнения. Довольно часто, чтобы избежать ошибок, они, хотя бы и в грубой форме
(вчерне), прорисовывают анализируемую оптическую схему, расставляют на ней знаки
или определяют направление отсчета отрезков, а затем уже пишут необходимые для
анализа формулы. Нередко этим пользуются и авторы.
На наш взгляд, молодым специалистам предварительная прорисовка
оптической схемы с предварительной расстановкой знаков или предварительным
определением направления отсчета расстояний никогда не повредит. Поэтому, чем чаще Вы
будете прибегать к этому правилу, тем меньше ошибок будет в Вашей работе.
Поэтому наш Вам совет: пока Вы «не набьете руку», не торопитесь сразу писать формулы
со знаками, сначала прорисуйте оптическую схему с теми отрезками, которые Вам
необходимы, определитесь с их началом и направлением отсчета и только потом
пишите формулы!
Нельзя не обратить внимания, что лингвистика формул всегда остается
одинаковой, но алгебраические знаки круто меняют их физическое содержание.
Мы же ниже покажем на тех же самых рисунках, которые рассматривали
выше, как использование правила знаков конкретизирует особенности
анализируемых схем.
2.7.3. Примеры расчета основных параметров оптических систем
Вроде бы настало время показать, как этими формулами пользоваться в случае
конкретных схем: с определенным типом оптического элемента и определенным
расположением предмета, а следовательно, и его изображения.
Для примера мы приведем несколько уже рассмотренных нами рисунков,
глядя на которые легко убедиться, что знаки углов и отрезков определять совсем
несложно, но это требует определенного внимания.
Положительная
линза, предмет
перед линзой,
изображение
действительное
Пусть предложена некая оптическая схема с
численными значениями расстояний, отраженными на
врезке 2.1. Нам необходимо найти положение и размеры
сформированного оптической системой изображения. На врезке
мы не только обозначили исходные данные (верхняя
строчка), но и дали результаты вычислений (нижняя строч-
шявшятшяшяяяяяя~яшяятшшш ка) Зто мы сделали только для того, чтобы каждое свое
действие Вы смогли проверить!
Можно было бы сразу взяться за карандаш и начать прорисовку оптической
схемы на листе бумаги или немедленно приступить к вычислениям. Но мы советуем
поступить по-другому.
Присмотритесь к врезке. Из нее уже можно получить много интересных
сведений. Например, отрицательное значение переднего фокусного расстояния /< 0
говорит нам о том, что в схеме используется положительный оптический элемент.
Можно и не думать, заднее фокусное расстояние в этом случае, конечно, будет
положительно, т. е./' > 0 и, безусловно-, по абсолютной величине будет равно
переднему фокусному расстоянию, т. е./'= + 10 мм.
Знак минус перед численным значением расстояния от главной плоскости
положительного оптического элемента до реального предмета (а < 0) несет информа-
138

Дано:/= -10,00 мм; а = -40,00 мм; .у = +10,00 мм.
Врезка 2.1
Ответ:/'= +10,00 мм; а' = +13,33 мм; z' = +3,33 мм;
У = -3,33 мм; z = -30,03 мм; р = - 0,333х.
цию о том, что предмет расположен перед линзой в пространстве предметов. То, что
расстояние предмета от оптического элемента по абсолютной величине больше
абсолютного значения переднего фокусного расстояния, т. е. | а | > \f\ и даже больше 2/,
говорит, может быть пока и не столь явно, о том, что изображение должно быть
действительное, уменьшенное и перевернутое.
Проанализировав подобным образом предложенную оптическую схему,
можно приступить и к ее графической прорисовке (рис. 2.54). Прорисовав оптический
элемент с его характеристиками и расположив предмет на заданном расстоянии от
линзы, любым из известных нам способов построим его изображение. Все это
отражено на рисунке.
Нанесем на эскиз все заданные (и те, которые нужно найти!) расстояния, а для
дополнительной проверки правильности выбора знаков отметим точками начала
отсчета расстояний, а стрелками — их направление.
Откровенно говоря, это, наверное, уже достаточно поднадоевшая нам
известная оптическая схема с двояковыпуклой линзой, в которой предмет расположен
перед передним фокусом F, а его изображение, согласно правилам построения
изображений, за точкой заднего фокуса F'.
Так как выше мы выводили все формулы без учета знаков реальной
оптической системы, то в этом случае, когда определены все исходные данные, оптическая
схема приобретает вполне конкретную компоновку. Поэтому во все формулы
«общего» вида, полученные ранее, все численные исходные данные следует подставлять
обязательно с учетом знаков.
Свои вычисления мы начнем с определения расстояния от главной плоскости
оптического элемента до изображения, сформированного оптическим элементом.
Для этого воспользуемся выражением (2.26):
Масштаб 1:1 1
Предмет Н Н'
;;
4
к А „ПТ""""!
г V f
< -: ♦< _/ ,
N. Изображение
\Р
^Зц^
/'
\ -а а'
Рис. 2.54. Оптическая система с положительной линзой. Изображение обратное, |
уменьшенное и действительное
139

^^ = _Ь401х1±101 = +1зззГмм1
а а+Г (-40)+ (+10) +13'33LmmJ.
Определившись с расстояниями от главных плоскостей оптического элемента
до предмета а и его изображения а\ можно найти линейное увеличение, которое
обеспечивает система:
Р а -40,00 U,JJJ *
А зная линейный размер предмета, легко получить линейный размер изображения:
У = у х (3 = + 10, 00 х (-0,333х) = -3,33 [мм].
Как видите, все о'кей! Изображение предмета, согласно нашему анализу
исходных данных, и «впрямь» получилось действительное, уменьшенное и обратное.
В принципе, поставленная задача решена!
Прорисовывая эскиз, мы старались выполнить его в масштабе 1:1, насколько
позволяла наша «техника»: в одной клетке — одна условная единица. С этой же
точностью мы старались графически найти положение изображения и его размеры.
Поэтому Вы вполне можете сравнить результаты вычислений с графикой. Совпадение
почти полное!
Конечно, рассмотренный пример настолько прост, что его решение особой
чести нам не делает. Да, собственно, и не в этом дело. Формулы и знаки — вот, что
для нас сейчас важно! Поэтому мы не откажем себе в удовольствии еще немного
«покувыркаться» с уже известными формулами, а Вы внимательно следите за нами и
за знаками.
Например, расстояния от точек переднего и заднего фокусов до предмета и его
изображения можно найти как обычную разность уже известных расстояний:
z = а -/= - 40 - (-10) = - 30,00 [мм],
z' = d -Г = + 13,33 - (+10) = + 3,33 [мм].
Но можно их найти и с помощью формулы Ньютона
z/=//',
если известно одно из расстояний — или z, или z'. В случае, если известно z, то
z z = -30,00 = + 3>33tMM]-
А если же известно z', то
ff \0x(-\0)
z = - —т~ = - —+о 33 = ~ 30,03 [мм].
z
Трудно отказать себе в «удовольствии» и «не покрутить» фокусные
расстояния в формуле Ньютона. Ведь известно, что они равны по абсолютной величине и
противоположны по знаку. Из этого их свойства можно дополнительно получить еще
пару интересных формул.
Если принять, что/= -/', то формула Ньютона примет вид
zz' = -/'2,
а вычисления дадут снова прежние результаты:
Г2 10 х 10
z = - z, = - 333 = - 30,03 [мм],
или
Г* 10x10 о„г 1
Z=" z=-T^ = + 3,33[mm].
140

Если теперь заднее фокусное расстояние/7 выразить через переднее фокусное
расстояние, то формула Ньютона может быть записана в следующем виде:
^' = -/2.
После вычислений снова получим те же расстояния:
или
£__ (-Ю)ж (-Ю)
z -- z-- _3003 - + 3,33 [мм].
Чтобы Вам не показалось, что мы забыли об основателе оптики нулевых
лучей, попытаемся, воспользовавшись формулой Гаусса, найти расстояния до предмета
и его изображения от главной плоскости оптического элемента. Для практики это
весьма полезно. Но для начала запишем формулу Гаусса в самом общем виде (2.22):
4-н!-1.
Честно говоря, «тупо» разрешив это выражение относительно а или а\ мы уже
сможем найти эти расстояния (формулы (2.26), (2.27)). Именно так мы поступали
выше. Если «тупо» — то и голова не болит!
Но чтобы «набить руку» с расстановкой знаков, мы будем продолжать
«ломать» свою и Ваши головы. По крайней мере, это интереснее и намного быстрее
прибавляет опыта!
Найдем расстояния ana', меняя в формуле Гаусса фокусные расстояния/' на
-/ и/на -/'. Вообще-то в этой процедуре ничего сложного нет, но подобная замена
довольно часто встречается в геометрической оптике при выводе различных
соотношений. Поэтому будет невредно «прокрутить» ее еще раз. И нас вновь будут
интересовать в первую очередь знаки.
Для того чтобы найти расстояние предмета от главной плоскости линзы,
заменим в формуле Гаусса заднее фокусное расстояние на значение переднего фокусного
расстояния. Эта замена ничем не отличается от тех, что мы производили при
вычислении отрезков z и z', т. е. попросту в выражении (2.22) мы должны заменить +/'на
-/ Тогда получим
а о а' +/
А дальше все очень просто:
a'f (+13,33) х (-10)
д-7Т^ = <+1зУ+(-10) -40,03.. 40[ыы].
Если же мы захотим получить значение расстояния а' от главной плоскости
линзы до изображения, то в выражении (2.22) мы должны заменить значение
переднего фокуса на его заднее значение, т. е. заменить/на -/':
/' "/'
— + — = 1
а' а
или
1 1 = J-
d - а ~ Г '
Ну, а дальше снова без забот. В результате для а' получим
а а+Г (-40)+ (+10) +13>33LMMJ-
141

В общем, «крутите», что хотите и как хотите, а нам кажется, что этот пример
дал Вам предостаточно «пищи» для размышлений!
Ниже мы приведем еще два примера. В первом случае мы воспользуемся
«услугами» положительной (собирающей) линзы и расположим предмет «внутри»
отрезка, определяющего ее фокусное расстояние, а во втором — «услугами»
отрицательной линзы, расположив предмет также перед линзой, но на расстоянии большем,
чем даже 2/
Положительная Все исх°Дные данные для второго примера приве-
линза. Предмет *eHbI на вРезке 2'2'
перед шизой ^ снова, проанализировав исходные данные, мы
изображение можем уверенно сказать, что предлагаемая система содер-
м и и мое жит положительный оптический элемент с передним
фокусным расстоянием, равным/= -10 мм, перед которым на
ттштттшттти—-——— расстоянии а = _g мм расположен реальный предмет с
размером, равным у = +2,00 мм. Как и прежде, следует найти положение и размеры
создаваемого системой изображения.
Врезка 2.2
Дано:/= -10,00 мм; а = -8,00 мм ; у = +2,00 мм
Ответ:/' = +10,00 мм; а' = -40,00 мм; z = 2,00 мм;
z' = - 50,00 мм; у = +10 мм; р = +5,00х.
В системе вновь используется положительная линза, но обратите внимание:
фокусное расстояние линзы /' больше, чем расстояние | а | от линзы до предмета
(/' > I а D- Это дает нам полное право утверждать, что положительная оптическая
система сформирует изображение в пространстве предметов увеличенное, прямое и
мнимое.
Как и прежде, нарисуем эскиз предложенной схемы (рис. 2.55). Построим
любым из известных способов изображение реального предмета. Мы специально эскиз
выполнили в масштабе 1 : 1 (каждая клетка подложки соответствует одной условной
единице). Это даст нам возможность сверять результаты наших вычислений,
сравнивая их с размерами, полученными на эскизе.
Выполнив подготовительную работу, можно непосредственно приступить
к вычислениям. В этом примере мы не будем давать столь подробных комментариев,
как в первом примере, вряд ли в этом есть необходимость — пример прост, а логика
вычислений остается прежней. Но Вы внимательно следите за знаками. Пока это для
нас самое главное!
Прежде всего, найдем расстояние, на котором система сформирует
изображение предмета. Для этого можно воспользоваться или формулой Гаусса, или
формулой Ньютона.
Мы это сделаем вначале с помощью формулы Гаусса:
af (-8)x(+10)
a'=77f= V4io) -^м^-
Теперь достаточно просто можно найти линейное увеличение системы:
и размеры изображения:
У =у х р = (+ 2,00) х (+ 5,00х) = + 10,00 [мм].
142

1 Изображение
r--^..
vr: - Предмет
y : "^^^^
Н'
i I te—C^l:i—
1 с ~f «
«i. -*r ~a *
U ^ ♦
Масштаб 1:1
———*'
г
.-< == Ф 1
1 1
Рис. 2.55. Оптическая схема с положительной линзой. Изображение прямое, |
увеличенное, мнимое.
1
В заключение следовало бы проанализировать полученные результаты, хотя
и так все ясно из рисунка.
Предмет в нашей схеме располагался между передним фокусом и самой
линзой (а = -8 мм), а его изображение мы получили далеко от линзы (а' = -40 мм). Так
как а' < 0, то изображение предмета располагается в непривычном для нас месте —
перед линзой, в то время как на месте привычного для нас расположения
пространства изображений никакого изображения просто нет! Глазами мы его увидим, но
отобразить на экране (в пространстве изображений) никак не сможем. Линза при
таком расположении предмета сформировала его мнимое изображение. Да и на эскизе
мы его получили в обратном ходе лучей.
Но не стоит забывать, что пространство изображений, так же, как и
пространство предметов, простирается от «минус бесконечности до плюс бесконечности». Так
что, по существу, все находится на своих местах!
Теперь обратите внимание на размеры изображения. Оно получилось много
больше самого предмета, да к тому же еще со знаком плюс. Если с размерами
изображения все понятно, то знак плюс утверждает, что изображение и предмет лежат по
одну сторону оптической оси и, более того, направления предмета и его изображения
совпадают (представьте себе, что наш предмет — направленная стрелка).
Таким образом, хотя мы и использовали в схеме положительный оптический
элемент, изображение мы получили прямое, увеличенное и мнимое. Казалось бы, что
мнимое изображение — прерогатива отрицательных линз, но оказывается, не только!
По сути наша задача решена. Но чтобы еще попрактиковаться со знаками, мы,
как и в первом примере, вычислим расстояние z, а затем, воспользовавшись
формулой Ньютона
найдем расстояние z' и, наконец проверим правильность наших вычислений,
определив линейное увеличение системы:
z = a -/= -8 - (-10) = +2,00 [мм],
, ff (-Ю)хЮ
+2
-50,00 [мм],
p=-i=-Ti=+w,
143

p=
f
!W=+5>00*-
Отрицательная
линза, предмет
перед линзой,
изображение
мнимое
Теперь обратимся к отрицательной линзе. Но при
«конструировании» конкретной оптической схемы
системы поступим следующим образом. Выберем
отрицательный оптический элемент с фокусными расстояниями, по
абсолютной величине равными фокусным расстояниям
положительной линзы, которую мы использовали в пред-
~ ыдущем примере. Так как у отрицательной линзы
передний фокус F всегда располагается за линзой (по ходу распространения света), а
задний фокус F' перед линзой, то мы можем записать/= +10 мм, а/' = -10 мм. Предмет
для нашей схемы выберем с размером, равным изображению в предыдущем примере,
т. е. у = +10 мм. Расположим его от линзы на расстоянии а = -40 мм, т. е. там, где в
случае положительной линзы формировалось изображение. Сведем воедино все
исходные данные (врезка 2.3).
Врезка 2.3
Дано:/' = -10,00 мм; а = -40, 00 мм; .у = +10,00 мм.
Ответ: /= +10,00 мм; а' = - 8,00 мм; z = -50,00 мм;
f = + 2,00 мм; у = +2,00 мм; р = 0,2х.
Наша задача, как и во всех предыдущих случаях, состоит в том, чтобы найти
положение изображения и его размеры. Как и прежде, начнем с эскиза схемы
(рис. 2.56). Давать по нему пояснения вряд ли имеет смысл. Только скажем, что
задний фокус F' должен располагаться перед отрицательной линзой, а передний F —
соответственно за ней.
1
Предмет
1 i
У
\
- Изображение
► i2ti
S'
< -/"
!^' —а'
-* ^ :
Рис. 2.56. Оптическая схема с отрицательной линзой.
i
уменьшенное, мнимое.
Hi Н'
Г Л i
i
т!
1
]
♦
Масштаб 1:1 |
/
Изображение
• 1
прямое, 1
144

Начнем свои вычисления с определения расстояния от главных плоскостей
отрицательной линзы до предполагаемого расположения формируемого изображения.
Для этого вновь воспользуемся формулой Гаусса для определения расстояния а':
а a+f (_40) + (-10) -8'0(HMMJ-
Далее найдем линейное увеличение системы:
п а' -8,00 1
и затем размеры изображения:
У =у х р = + 10,00 х 0,2х = + 2,0 [мм].
Вот и все!
А теперь посмотрите на результаты наших вычислений (хотя многое уже было
ясно из рисунка). Мы все получили с точностью наоборот! Расположив предмет тех
же размеров и в том же месте, где располагалось изображение в случае
положительной линзы, мы получили изображение, сформированное отрицательной линзой, тех
же размеров и там, где располагался предмет для оптической схемы с
положительным оптическим элементом. Это не должно вызывать у Вас удивления.
Отрицательная система в области мнимых изображений — абсолютный антипод положительной
линзы, в котором все наоборот. Но только мнимых! Отрицательная линза вообще не
«умеет» строить действительные изображения реальных предметов!
Для практики вычислений со знаками найдем и остальные расстояния,
присутствующие в оптической схеме (см. рис. 2.56):
z = а -/= - 40 - 10 = -50,0 [мм], z' = а' -/'= -8,00 - (-10) = 2,0 [мм];
z = -j=- 2fi 50'° tMML z =z= -50,00 ' [MM1;
P z -50,00 ' ' P /' -10 '
Если вы обратили внимание (а если не обратили, то обратите сейчас), две
оптические схемы в первом и втором примерах выполнены с одним и тем же
оптическим элементом и с одним тем же предметом, но с его разным расположением
относительно линзы. В результате мы получили разное расположение различных по
размеру изображений. Две оптические схемы во втором и третьем примерах выполнены
с различными по типу оптическими элементами, но с одинаковыми по абсолютной
величине параметрами. В результате мы получили решения, в которых предмет и его
изображение просто поменялись местами.
Это дает Вам возможность, самостоятельно сравнивая рисунки и врезки с
исходными данными и ответами, глубже «прочувствовать», как знаки и расстояния
меняют расположение и структуру создаваемых оптической системой изображений.
Возможно, наши объяснения покажутся навязчиво подробными, но вызваны
они одним желанием, чтобы Вы научились буквально «кожей» чувствовать условия
формирования оптической системой изображений реальных предметов. Видеть за
сухими числами с алгебраическими знаками действительный ход лучей в реальных
оптических системах — это действительно «высший пилотаж»!
Пожалуй, на этом мы и закончим разговор о знаках.
145

2.8. Сложная оптическая система
В предыдущей главе мы подробно рассмотрели прохождение лучей света
через несколько преломляющих поверхностей, что позволило нам в этой главе
проанализировать работу простейшего оптического элемента в виде элементарной линзы,
ограниченной двумя сферическими преломляющими поверхностями. Затем,
воспользовавшись предположениями Гаусса (и приближениями тоже!), заменить
сферические преломляющие поверхности тонкой идеальной линзы плоскостью, на которой
лучи света при своем распространении испытывают преломление.
Но любая оптическая система редко состоит из одной линзы. Как правило,
в системе присутствуют несколько оптических элементов, обладающих
преломляющими свойствами, каждый из которых выполняет свою определенную функцию.
Оптическую систему, состоящую из нескольких оптических элементов, часто
называют сложной системой, а элементы (линзы, объективы, или что-то еще),
входящие в нее, нередко называют ее компонентами. В сложной системе каждая из
линз, обладая своими характерными особенностями (положительная, отрицательная,
величина фокусных расстояний, угол поля зрения и т. д.), в системе ведет себя не как
некое «эго», а как «равноправный член команды», на которого возложены
определенные функции и которые она стремится в силу своих возможностей безукоризненно
выполнить. В то же время все линзы в системе работают как один слаженный
механизм, «помогая» друг другу решать одну общую задачу.
Разработчик (или экспериментатор) в своей повседневной практике, как
правило, имеет дело со сложными оптическими системами, которые тем более требуют
предварительного моделирования для оценки их потенциальных возможностей.
Казалось бы, сложные схемы требуют и проведения сложных расчетов. Однако это не
совсем так. И в сложных системах можно значительно упростить выполнение
графических построений и аналитических расчетов, если рассматривать несколько совместно
работающих линз в виде одиночного оптического элемента, который по своему
воздействию на распространяющиеся пучки лучей света оказывает на них точно такое
же действие, как совокупность всех заменяемых им линз.
Оказывается, оптика Гаусса позволяет «сотворить» (правда, только на бумаге!)
такой оптический элемент, который, вобрав в себя все индивидуальные особенности
каждого отдельного оптического элемента, входящего в общую схему, будет
надежно выполнять при аналитическом моделировании «работу» заменяемой совокупности
оптических компонентов.
Мы специально сделали ударение на словосочетании «аналитическом
моделировании», потому что создать такой «всемогущий» оптический элемент можно,
наверное, только теоретически, а на практике — весьма затруднительно, если вообще
возможно!
Разработчик в своей повседневной практике, как правило, использует уже
конструктивно законченные оптические элементы и узлы. Поэтому он может менять
только «внешние» параметры своей системы, например, расстояния между оптическими
элементами сложной оптической схемы или ее отдельными узлами. Но зачастую и эти
простые действия могут приводить к довольно интересным результатам. Не обратиться
к ним, по нашему мнению, просто нельзя! Как и прежде, для анализа сложных
оптических систем мы будем использовать основные положения оптики Гаусса.
На примерах, которые мы будем приводить ниже, Вы еще раз сможете
убедиться в том, насколько универсальна оптика Гаусса и как просто ее можно
использовать в самых неожиданных случаях.
Но начнем мы с изучения хода луча через систему линз, представляющих в
совокупности некую, пусть вновь «фантазийную», сложную оптическую систему,
146

а затем выведем пару законченных формульных выражений для двух- и трехлинзо-
вых оптических систем.
Инвариант Этот инвариант с легкостью связывает линейные
Гюйгенса размеры предмета с угловым размером пучка лучей. Но
Гечьмгольца самое важное его свойство состоит в том, что он сохраняет
_ свое численное значение постоянным при прохождении
лучом оптической системы с любым числом
преломляющих поверхностей.
Вернемся снова к формуле Ньютона zz' =ff и прибавим к ее правой и левой
частям член zf'\
zz' + zf'=ff + zf'^z (z' +/') =/'(/"+ z). (2.28)
Ho z' +f = a\ a /+ z = а. Поэтому последнее выражение после простой
замены скобок можно переписать и так:
— = £-. (2.29)
a z
В результате формулу для линейного увеличения Р, (2.28) с учетом (2.29)
можно записать в следующем виде:
Р = - = -- = --*£ = -—х™^*-. (2.30)
У z z f z f f a
Но из рис. 2.50 следует, что
<7tga = a'tga\ т.е. ^ = ^" (2-31)
А теперь только дело «за техникой». Заменим в (2.30) отношение отрезков а и
а' на отношение тангенсов из (2.31):
£_ /tga
У Z'tga"
и все это развернем в строку:
-y'f'tga'=yftga. (2.32)
Но это еще не инвариант: знак минус «портит все настроение».
й
Замечание: Хотя формула (2.32) и не является
инвариантом (из-за знака), однако она также справедлива для
любого числа преломляющих элементов оптической системы.
Вспомним еще одно соотношение, которое мы получили в первой главе:
/ и"
Простая замена фокусных расстояний показателями сред позволяет переписать
(2.32) как
147

y'n'tga' = yntga. (2.33)
А это уже действительно инвариант, который мы можем распространить на любое
число преломляющих элементов, входящих в оптическую схему.
й
Замечание: Очевидно, что выражение (2.33) при малых
значениях углов справедливо и в параксиальной области.
В этом случае оно примет вид
Уп'а'=упа. (2.34)
Это замечательное тождество (2.33) носит название инварианта Гюйгенса—
Гелъмголъца. Нередко, особенно в старой технической литературе, можно встретить
это выражение под названием инварианта Лагранжа—Гельмгольца. Что поделаешь,
меняются времена — меняются имена!
Инвариант Гюйгенса—Гельмгольца, как следует из выражения (2.33), у т-
верждает, что произведение трех величин у, tga и п остается неизменным
(постоянным) при переходе от пространства предметов к пространству изображений.
Обратим внимание: из инварианта Гюйгенса—Гельмгольца следует, что в
общем случае, когда показатели преломления сред справа и слева от линзы не равны
между собой (пфп% линейное увеличение Р = у'/у связано с угловым увеличением
у = tga'/tga следующей формулой:
р-у=^. (2.35)
п
Если перечисленные ранее инварианты, в частности закон преломления и
формула Аббе, справедливы только для одной преломляющей поверхности и называются
неполными инвариантами, то инвариант Гюйгенса—Гельмгольца носит название
полного инварианта и справедлив для любого числа преломляющих поверхностей.
а
Замечание: Слово invariant с великолепного
французского буквально означает неизменяющийся. В русском языке, в
самом общем случае, слово инвариант присваивают выражениям,
которые остаются неизменными при определенном
преобразовании переменных, «связанных» этим выражением.
В оптике этим красивым словом называют выражения,
которые сохраняют свои численные значения при переходе луча
через преломляющую поверхность.
Аналитически инвариант записывается как симметричное
уравнение, в котором правая и левая стороны различаются
только входящими в них величинами, относящимися к различным
средам.
Из этого определения следует, что закон преломления
Снеллиуса является таким инвариантом. Формула Аббе (1.71) —
тоже инвариант. Но обратите внимание: эти инварианты
справедливы только для одной преломляющей поверхности. Обычно
такие инварианты называют неполными.
Но существуют инварианты, которые сохраняют свои
численные значения при переходе через любое число преломляющих
поверхностей. Такие инварианты называются полными. Именно
к ним относится инвариант Гюйгенса—Гельмгольца.
Например, если оптическая система состоит из к преломляющих
поверхностей, то выражение (2.34) для подобной системы можно в параксиальной области
записать в виде
148

П\У\0<\ = ЪУМ = ПзУ2<Х<2 = = Щ+\)Ук^'к, (2.36)
где символы с индексом 1 относятся к пространству предметов первой поверхности,
а символы с индексом к — к пространству изображений последней (к-и) поверхности.
Естественно, можно, не задумываясь, опустить все промежуточные
произведения и «сходу» записать
п\У\<*<\= i\k+X)y'ka'k9 (2-37)
сразу связав «вход» и «выход» оптической системы.
2.8.1. Формулы углов и bmcoi для линзовых систем
Воспользуемся уже известной нам формулой Гаусса (формулой отрезков),
которая связывает положение предмета с его изображением, формируемым оптическим
элементом с фокусным расстоянием/' = -f. Исходя из записи этой формулы
а' а
попробуем вывести так называемую формулу углов, которая позволит нам по углу а,
образованному в пространстве предметов оптической осью и лучом, исходящим из
точки, расположенной на оптической оси, определить угол а', под которым
преломленный луч пересечет оптическую ось в пространстве изображений.
На рис. 2.57 показана простейшая оптическая система (всего из одного
оптического элемента — линзы), формирующая изображение А' точки А, расположенной
на ее оптической оси. Будем считать, что линза расположена в воздухе, п\ =
= П2= 1. Именно такие условия чаще всего нас будут «преследовать» по жизни.
Умножим правую и левую часть формулы Гаусса на высоту /г, на которой
распространяющийся луч встретит совмещенные главные плоскости линзы. В
результате получим простое, но интересное выражение:
А теперь внимательно посмотрим на рис. 2.57. Нетрудно видеть, что
отношения И/а' и И/а, по сути, есть значения тангенсов тех углов, которые образуют
соответствующие лучи с оптической осью системы. Тогда запишем
И И
tga = - и tga'=-- (2.39)
Н.Н'
1
^-<^
A^-^"^-a| H
-a i
\
i
L Н'
Ч 4
п'
\
Г"^\^
ь Т
^А'
а'
Рис. 2.57. К выводу формул углов и высот для тонкой линзы.
149

Если теперь выразить а и а' через И и углы а и а', используя (2.39), и подставить их в
формулу Гаусса, то можно получить следующее выражение для tga':
tga' = -J7tga + y
(2.40)
Так как отношение фокусных расстояний пропорционально отношению показателей
сред, в которых расположен оптический элемент, т. е.
Г п"
то с учетом этого формула для tga' принимает вид
tga'=^tga+y7
(2.41)
Введем далее для характеристики оптической системы параметр Ф =
= rilf\ называемый нами оптической силой системы (см. (1.76)). С учетом этого
выражение для tga' можно переписать следующим образом:
tga':
п ФИ
-7tga+—.
(2.41а)
Это и есть знаменитая формула углов. Она позволяет по углу, который
образует с оптической осью луч, исходящий из точки на оси в пространстве предметов,
определить не только сопряженный ему угол в пространстве изображений, но и
последовательно найти значения углов, образуемых распространяющимся лучом с
оптической осью для любого (пока не надоест считать!) количества оптических элементов.
Если далее принять, что оптический элемент, как это часто бывает на практике,
расположен в воздухе (п = п'= 1), то выражение (2.406) примет совсем простой вид:
И
tga' = tga + 77 = tga + ФИ. (2.42)
Попытаемся это показать на примере трех линз. На рис. 2.58 показана вновь
«фантазийная» оптическая схема из трех линз, расположенных в воздухе (щ = п2 =
= п3 = п4= 1).
Схема вычислений будет следующая. Используя (2.42), сначала найдем
значение первого угла а[ = а2 после преломления луча первой линзой Lj:
tga2 = tgaj = tga, + ~jr • (2.43)
Для того чтобы найти угол a2 = а3 между оптической осью и лучом,
преломленным второй линзой L2, очевидно, необходимо знать высоту И2 встречи луча,
преломленного первой линзой, с главной плоскостью второй линзы. Из рис. 2.58
нетрудно найти, что
150

dt =t«a2'
Откуда для высоты h2 имеем
h2 = h]- ^tga2. (2.44)
Формула (2.44), позволяющая определить высоту встречи луча, преломленного
первой линзой, с главными плоскостями второй линзы называется формулой высот.
В паре с формулой углов она позволяет легко рассчитать ход луча в оптической
системе любой сложности.
Для определения угла а3 вновь воспользуемся формулой (2.41) с учетом того,
что а[ = а2:
tga3 = tga2 = tga2 +
fi
Ну а дальше, даже голову не стоит «ломать»! Пишите все подряд и только не
забывайте менять индексы. В результате получаем
h3 = h2- d2tga3
и
Аз
tga3 = tga3 +
Я
Как видите, все исключительно просто!
По сути мы получили формулы (2.43) и (2.44), которые позволяют рассчитать
ход нулевых лучей через любую сложную оптическую систему, определив его
координаты а* и fa в любом месте системы.
Честно говоря, «возиться» с расчетом хода нулевого луча занятие
утомительное и скучное, да и не всегда на это есть время. Когда появляется новая интересная
идея, хочется проверить ее «сейчас и сразу»! И здесь неоценимую помощь могли бы
оказать простые формулы оптики Гаусса. Но, к сожалению, применить их можно
только в том случае, если известны кардинальные элементы всей нашей сложной
системы, т. е. положения ее главных плоскостей и ее фокусные расстояния. Для того
чтобы попытаться их найти, обратимся к рис. 2.59.
Очевидно, если в нашу сложную систему попадает пучок параллельных лучей,
распространяющийся вдоль ее оптической оси, то, пройдя все компоненты системы,
на ее выходе, как подсказывает нам интуиция, он соберется в точку, которая,
очевидно, будет являться задним фокусом, но теперь уже всей сложной системы (а не
последнего ее компонента!).
Здесь можно и поудивляться! Как прекрасно все получается! Посмотрите,
оказывается, достаточно из пучка параллельных лучей выбрать произвольный луч, на-
н, н;
I
Рис. 2.59. К определению фокусных расстояний и задней главной плоскости
в сложной системе.
151

пример входящий в оптическую систему на высоте /гь просчитать его ход, а затем,
совершенно не обращая внимания на присутствие в схеме других оптических
компонентов, «прогнать» его через всю систему до встречи в точке D' с продолжением
в обратном ходе выходного луча D3F'.
Очевидно, точка D' должна определять положение задней плоскости всей
системы, так мы соблюли основной критерий выбора главных плоскостей — равенство
высот h\ = h\ на которых входной и выходной лучи встречают главные плоскости
системы.
Ну, а теперь все просто: заднее фокусное расстояние нашей системы, которое
мы будем теперь называть эквивалентным фокусным расстоянием системы, можно
найти как
/'=:гЧ (2.45)
J tga3' v '
а положение точки заднего фокуса можно определить отрезком
s?=7b-- (2.46)
tga3 '
Несложно «разобраться» и с определением переднего фокусного расстояния,
положением передней главной плоскости и положением переднего фокуса. Для этого
необходимо просчитать ход луча, параллельного оптической оси, через всю нашу
систему, но в обратном направлении, справа налево, положив, что а3 = 0 и выбрав для
него произвольную высоту h3. Тогда, «не мудрствуя лукаво», по аналогии с (2.45) и
(2.46), можно записать, что
f=r1- (2.47)
J tga, v '
и
^?=Г^' (2.48)
tga, '
А вывод очень простой: как бы сложна ни была оптическая система,
состоящая из некоего числа оптических элементов, она всегда будет иметь эквивалентные
главные плоскости, эквивалентные точки фокусов и эквивалентные фокусные
расстояния.
Но такое положение не может не натолкнуть на мысль о возможной полной
замене сложной оптической системы одним оптическим элементом, хотя бы на время
«бумажных» экспериментов.
Интуитивно понятно, что все полученные формулы можно распространить на
любую оптическую систему с любым количеством оптических элементов К. Для
этого достаточно использовать такие индексы при символах, которые бы подчеркивали
их универсализм. Если теперь ввести «текущий» индекс к (1 < к < К), то полученные
формулы можно записать в следующем виде:
tga* = tfl' tga(*+1) = tga'*=-H|-, (2.49)
h{k+i) = hk- tga(* + iydk, (2.50)
tga(*+ ,) = tga* + -jr. (2.51)
A
к
Положение изображения, получаемого на выходе системы, можно найти как
о*= Ик , (2.52)
tga(*+I)' v }
а линейное, угловое и продольное увеличения соответственно
152

P=:
Jgaj_
(2.53)
(2.54)
tga(it+I)'
tgOtt+n
У tga, '
a = p2. (2.55)
Удивительно, но насколько эти формулы просты, настолько они и универсальны.
2.8.2. Расчет оптической системы из двух и грех компонентов
Мы не напрасно утомляли Вас этими выводами. В следующем примере мы
с удовольствием покажем Вам, как можно использовать полученные нами
результаты на практике.
Формулы I Обратимся к рис. 2.60. На нем отображена вообще-
двухлинзовой I то снова «фантазийная» оптическая схема, состоящая из
оптической | ДВУХ тонких идеальных линз, причем положения их со-
системы вмещенных главных плоскостей известны (расстояние ме-
- жду ними равно d). Линзы расположены в воздухе.
Известны и их фокусные расстояния, выраженные в
нашем случае через оптические силы Ф\ и Ф2 для каждого оптического элемента
системы. Наша задача будет состоять в том, чтобы найти фокусное расстояние
эквивалентной системы, способной заменить действие двух используемых линз одной.
Пусть на первую линзу падает пучок лучей, параллельных оптической оси
системы (ai = 0). Не забывайте, что в представлениях Гаусса луч должен преломиться на
главной плоскости линзы, поэтому ни о каких нормалях к сферическим поверхностям
не может быть и речи!
Выберем один из лучей пучка, например входящий в первую линзу на высоте
h\, и продолжим его после преломления линзой до пересечения с оптической осью.
При этом будем считать (и это важно!), что вторая линза в системе в данный момент
отсутствует. В этом случае после преломления наш луч должен пройти через заднюю
точку фокуса F/ первой линзы.
Если же теперь в систему мы введем вторую линзу, интуитивно понятно, что
луч, преломленный первой линзой, будет «перехвачен» второй линзой и, преломив-
Рис. 2.60. Оптическая схема системы из двух компонентов.
153

шись в ее главной плоскости, пересечет оптическую ось в точке F', которая, по идее,
должна являться задним фокусом всей оптической системы, состоящей из двух линз.
Далее поступим так же, как мы это делали при графическом определении
положения главных плоскостей в одиночной линзе: продолжим падающий луч без
преломления слева направо (параллельно оптической оси), а луч, преломленный второй
линзой, продолжим в обратном направлении. Точка их пересечения Н' определит нам
положение задней главной плоскости нашей эквивалентной системы. На рис. 2.60
вспомогательные лучи высвечены зеленым пунктиром. Аналогично можно получить
положение и передней главной плоскости системы Н.
Теперь попробуем применить для расчета хода луча этой системы полученные
выше формулы углов и высот.
В качестве исходных данных примем, что расстояние между главными
плоскостями линз равно d, их фокусные расстояния известны и соответственно равны f{
и /2 (оптические силы Ф, = l//j' и Ф2 = l//2'). Луч, ход которого нас будет
интересовать, входит в систему на высоте h\ под углом ах = 0. Тогда, согласно формулам
(2.50) и (2.51), мы можем записать:
tga, = 0, (2.56)
tga2 = AI0„ (2.57)
A2 = Ai(l -Ф\с1)9 (2.58)
tga3 = А,[Ф, +(1 - Ф,</)Ф2]. (2-59)
Учитывая, что оптическая сила эквивалентной системы равна
Ф=^Г = ^, (2.60)
то, поделив левую и правую части выражения (2.59) на h\, несложно придти к
следующему выражению:
ф = ф, + ф2 - ф,ф2</. (2.61)
В результате совсем уж простых действий мы получили значение фокусного
расстояния /' линзы, которая по своей силе способна заменить прежние две! Вот
почему мы назвали такую линзу эквивалентной, а все ее оптические
характеристики — эквивалентными.
Несложно найти и расстояние от заднего фокуса эквивалентной системы до
второго компонента. Если мы вновь обратимся к рис. 2.60, то
s'r =ГЧ (2.62)
tga3' '
или после подстановки и простых преобразований получим
s'r=f'(\-Oid). (2.63)
Аналогично можно найти и расстояние от переднего фокуса до первого компонента:
*f=/0-<M). (2.64)
Нетрудно найти расстояния от первого и второго компонентов до передней
и задней главных плоскостей эквивалентной системы:
sH = sF-fn s'H.=s^-fr. (2.65)
Все полученные выше формулы справедливы и для толстых оптических
элементов, когда расстояние между главными плоскостями не равно нулю (Анн' * 0). В
этом случае расстояние d отсчитывают от задней главной плоскости
предшествующего компонента Н* до передней главной плоскости последующего Н(*+1).
154

Передняя Передняя
главная фокальная
плоскость плоскость
эквивалентной эквивалентной
системы системы
Задняя
фокальная
плоскость
эквивалентной
системы
Задняя I
главная |
плоскость
эквивалентной
системы
Рис. 2.61. Двухлинзовая оптическая система с кардинальными элементами эквивалентной
однолинзовой системы (выделены зеленым цветом).
В самом общем случае отдельные компоненты в сложной оптической системе
могут располагаться на самых различных расстояниях, например так, как показано на
рис. 2.61. На нем же показана одиночная линза, по своим параметрам эквивалентная
системе из двух одиночных тонких линз. Все, относящееся к эквивалентной системе,
на рисунке высвечено зеленым цветом. Параметры эквивалентной системы,
показанные на рисунке, получены расчетным путем и отображены в масштабе 1:2.
Мы же, воспользовавшись этим рисунком, покажем Вам еще один пример
расчета эквивалентной системы. Так, если обратиться к выражению (2.61) и заменить в
нем значение оптической силы Ф величиной, обратной фокусному расстоянию (\lf)
для каждого компонента сложной системы, то после простых преобразований
получим их эквивалент в следующем виде:
/=■
AL
/i'+Л -d
и/'=
ЯЯ
Я+Я-d
(2.66)
Если предположить, что система находится в воздухе (т. е. -f\= Я и -f2 =
= ЯХ эти уравнения примут совсем простой вид:
/ =
fw2 тж г* _ f\h
и / -
А А
(2.67)
где А — оптический интервал, который, согласно рисунку, можно определить
следующим образом:
А = d - VI+ (-/2)} = d-fi+f2. (2.68)
Если же принять, что^ = -/2', то выражение (2.68) можно записать так:
А = d- [Я + (-f2)] = d- ft-Я (2.69)
Чтобы определить положение точек фокусов FhF'b эквивалентной
оптической системе, то согласно рис. 2.61, достаточно найти значения отрезков
zF и z'p от положения известных нам кардинальных элементов Fj и F^ линз L] и L2,
входящих в нашу «сложную» оптическую схему. Сделать это нетрудно.
Точки Fj' и F' с о п р я ж е н ы между собой, так как точка F' является
отображением точки F^, полученным с помощью линзы L2. Если же теперь
воспользоваться формулой Ньютона (2.13)
155

то определить расстояние zr не составит никакого труда. Действительно, согласно
рис. 2.61, имеем
-Axz'r =/2/2'
и
f Г
F'F' = z' =-^±L, (2.70)
А
Аналогично можно найти и отрезок zF:
f f
F1F = zF =^L. (2.71)
A
Заметим, что знак минус в (2.70) обусловлен знаком оптического интервала А,
который ведет отсчет от точки F2.
Определить расстояние zH и z'H- до главных плоскостей НиН' эквивалентной
системы и того проще! Из геометрии рисунка следует:
F]H = zH=z¥-f и F±H' = z'w=z'r-f. (2.72)
Простая подстановка в эти выражения найденных значений zF и z'v, а также
фокусных/и /' расстояний эквивалентной системы, найденных ранее (см. (2.66)), после
простых преобразований позволяет найти zH и z'H'-
FlH = ZH=^>2), (2J3)
F2'H# = z^=^^^. (2.74)
Ну и наконец — совет! Вряд ли стоит запоминать все приведенные выше
формулы, это, наверное, не имеет смысла. В своей практике Вы чаще всего будете
пользоваться какими-то двумя парами уравнений (формул), одной — непосредственно
для вычисления фокусных расстояний и другой — для вычисления отрезков,
определяющих положение или фокусов, или главных плоскостей. Это дело вкуса!
Необходимо сказать, что эти формулы носят универсальный характер, т. е.
применимы к оптическим схемам любой компоновки и любой сложности. Нам
кажется, что в таком изложении Вы быстрее привыкнете работать «с листа».
Сводка формул I Аналогично можно получить и формулы для трех-
для трехлинзовой I линзовой системы. Мы не будем давать их вывод. По идее,
оптической I он ничем не отличается от вывода формул для двухлинзо-
системы вых систем и? в принципе, сводится к последовательному
■ «нанизыванию» элементов, входящих в систему. Поэтому
мы предложим Вам сводку этих формул. Правда, они
имеют вид несколько «покудрявее», но смысл остается прежним:
ф = ф, + ф2 + ф3 - </,Ф, (Ф2 + Ф3) - </2Фз (Ф] + Ф2 - ^Ф] Ф2), (2.75)
,= лля
Г (УГ+ Я - dt Х/з - d2)+ЖЛ- dx) (2'76)
и
sr =-^U-Ф|№ + d2)-d2<&2(\ -Ф^)]. (2.77)
Если же система состоит из трех тонких линз, придвинутых вплотную, т. е.
d\ = d2 = 0, то
156

/'
Ф = Ф| + Ф2 + Ф3,
fxfifi
(2.78)
(2.79)
*г=/' = ф" (2.80)
Наверное, по аналитическим расчетам сложных систем это, пожалуй, все.
2.8.3. Толе гая линза
Наша «фантазийная» тонкая линза, которую мы сконструировали в первой
главе только для иллюстрации способности двух сферических поверхностей в
параксиальной области «изящно» собирать параллельные пучки в точку, конечно, ничего
не имеет общего с реальными толстыми линзами.
Основываясь на предположениях Гаусса о существовании в линзе
виртуальных кардинальных элементов, попробуем теперь взглянуть на нее по-иному
(рис. 2.62).
Посмотрите, в какие «одежды оделась» простая линза в представлении Гаусса.
Вроде бы кусок стекла, а сколько у нее появилось новых параметров! Поэтому,
вполне естественно, возникает желание найти значения всех оптических характеристик
линзы, непосредственно связав их с ее конструктивными параметрами. То есть
необходимо найти значения фокусных расстояний/и/', вершинных (или фокальных
отрезков) 5р и 5р , расстояний 5н и 5н главных плоскостей, хотя бы от вершин
сферических поверхностей, ограничивающих линзу, и, наконец, расстояние А между ее
главными плоскостями.
П\
А
\
Й1
Г
F
-^^
d
= 1
а, -0
о,
А
П-у = П
4 1
в 1 >
уаГ
Н
-f I
~
С
1
Н'
-s'w
.?^_
» 1"
а',
"j
02 /^^Ч*"'
А \ f
N<J
Рис. 2.62. Двояковыпуклая толстая линза в воздухе.
^
\
h2
)
157

Под конструктивными параметрами линзы мы будем понимать радиусы гх\\г2
ограничивающих ее сферических поверхностей, толщину d и показатель
преломления материала я, из которого она изготовлена.
Получить значения (или величины) оптических характеристик толстой линзы,
выразив их через ее конструктивные параметры, достаточно легко, если
воспользоваться теми же формулами, которые мы получили ранее при изучении хода
нулевых лучей через оптическую систему.
С этой целью обобщим ранее полученную формулу углов (2.51) на случай,
когда показатель преломления среды щ между оптическими элементами — различный.
Такой случай мы рассматривали для линзы, погруженной в среду, показатель
преломления которой слева и справа равен соответственно п и п (см. формулу (2.41)).
Очевидно, что эта формула для среды с показателем преломления щ может быть
записана в следующем виде:
tg№i=-^*-tgai+^. (2.81)
П(к+1) Jk
В первой главе, воспользовавшись инвариантом Аббе (формула (1.71))
\r s) \r s
предельным переходом s —> оо и s' —> оо мы получили формулы (1.74) и (1.75) для
фокусных расстояний отдельно взятых сферических поверхностей:
г=4г
п -п
_ пг
J t
п -п
Эти формулы с индексами для каждой к-й поверхности линзы будут иметь
следующий вид:
Л'= П{к+1)П , (2.82)
fk=- ПкП , (2.83)
Л(*+1)-Л*
причем отношение этих фокусов подчиняется простой закономерности:
Тк Пк
После простой подстановки (2.82) в (2.81) получим искомую формулу углов
в более общем виде:
tga(*+l) = tg<4 = ^-tga* + "(*+1)~"Ч. (2.84)
Щк+\) Щк+\)Гк
Формулу (2.84) можно переписать в более компактном виде, если ввести
оптическую силу Ф* для к-й поверхности, «погруженной в среду», у которой показатели
преломления слева и справа от поверхности — различные и равны соответственно щ
и Я(*+1). Если теперь воспользоваться ранее полученной нами формулой (1.76), то для
Ф* можно получить:
Фк = ^о=д*+о-* (2.85)
158

И, наконец, используя выражение (2.85), формулу углов можно представить в
следующем виде:
tga(*+I) = tgai =-^-tga* + ^-±. (2.86)
П(к+1) П(к+1)
Если теперь добавить к ней найденные ранее формулы (2.49) и (2.50), мы
можем выстроить новый ряд формул, которые нам позволят определить все
характеристики теперь уже толстой линзы:
tga*=-=-, tgai=-=-
l\k+\) = h -tga{k+i)dk,
t Щ Фк^к
tga(*+1) = tga* = tga* + .
Щ+\) П(к+\)
Предположим, что на линзу падает параллельно оптической оси пучок
параллельных лучей. Выделим в пучке луч, который встречает плоскость Lb проведенную
через вершину сферической поверхности, на высоте h\. Луч, преломившийся на
плоскости Lb распространяясь далее, встретит вторую плоскость L2 и, преломившись
на ней, пересечет оптическую ось в некоторой точке F'.
Обращаем Ваше внимание, что вопрос о правомерности «ломки» лучей на
плоскости Li, касательной к вершине Oi первой сферической поверхности, мы уже
обсуждали в разделе 2.2 (с. 85).
Далее, если принять, что ах = 0 (из условия хода луча), a'i = a2, nx = п3 = 1,
п2 = я, а d\ = d, то выражение (2.84) для первой поверхности линзы примет совсем
простой вид:
tga|= tga2=— h. (2.87)
ПГ\
Под этим углом луч, распространяющийся в «теле» линзы, встретит
касательную плоскость L2 линзы на высоте h2, которую можно определить согласно (2.50):
h2 = k-dtga2. (2.88)
После простой подстановки (2.87) в (2.88) получим:
A2 = (l-5^Lrf) А,. (2.89)
Воспользовавшись вновь выражением (2.84), найдем угол а'2 после
преломления этого же луча на второй плоскости L2:
tga2 = tga3 = л tga2 + — h2. (2.90)
Если теперь формулы (2.87) и (2.89) подставить в (2.90), то после несложных
преобразований получим:
tga'2=tga3 =«(^) h^-^-[\-^d)h =
(2.91)
4<«-'>a-i>^«
А теперь обратите внимание: в полученном выражении (2.91) перед
квадратной скобкой стоит высота h\, на которой луч входит в оптическую систему. Если
теперь мы правую и левую части выражения (2.91) разделим на Аь то получим
159

Но из треугольника H'CF' отношение катетов представляет собой тангенс угла,
под которым переломленный луч пересекает оптическую ось:
tgct3=^- (2.93)
Простая подстановка полученного значения высоты h\ в (2.92) позволяет нам
вывести окончательную формулу в классическом виде для вычисления фокусного
расстояния толстой линзы через ее конструктивные параметры:
Если расстояние d в линзе между преломляющими сферическими
поверхностями несоизмеримо меньше радиусов кривизны сферических поверхностей, то
вторым слагаемым в выражении (2.94) без особого ущерба для точности вычислений
можно пренебречь. Тогда выражение для/' заметно упростится:
r=in-»(rr-k)- (2-95)
И таким образом мы приходим к «формуле шлифовщика», которую получили ранее
(см. (1.84)) для тонкой линзы! В более общем случае — с учетом толщины линзы —
эта формула имеет вид (2.94).
й
Замечание: Оценим ошибку, которую дает приближенная
формула (2.95) по сравнению с точной (2.94). Выберем,
например, двояковыпуклую линзу с равными радиусами
сферических поверхностей: г1 = г2 = 12 0 мм, и толщиной, равной
12 мм. Как всегда, показатель преломления стекла примем
равным л = 1,5. Если вычислить фокусное расстояние по
точной формуле (2.94), то оно окажется равным 122 мм, а по
приближенной (2.95) — 12 0 мм. Как видите, ошибка определения
фокусного расстояния f для такой линзы по упрощенной
формуле не превышает 1,5 %.
Не представляет сложности и поиск заднего фокального отрезка s'¥.
Обратившись вновь к рис. 2.62, из треугольника B'02F' можно найти, что:
s'r = — • (2.96)
tgct3
Умножим и поделим правую часть этого равенства на h\\
tgct3 п\ tgct3 п\ v у
Но отношение h\l tgct3, как следует из (2.93), равно заднему фокусному расстоянию
Л т. е.
Л
Воспользовавшись далее формулой (2.89) для Л2, в результате для $р получим
*=f (}-*£*)■ <2-">
Несложно найти и расстояние s'w между задней главной плоскостью и задней
преломляющей поверхностью линзы (см. рис. 2.62):
s<w = sh,_r=_rn^±d (2100)
&=/иГ <2-98>
160

Чтобы получить значения найденных расстояний перед линзой, т. е. значения
5р и 5н, можно рассчитать ход такого же луча, но теперь слева направо. Но можно
поступить еще проще. Интуитивно понятно, что при переворачивании линзы вокруг
вертикальной оси радиусы сферических поверхностей должны поменяться местами
и, как следствие, сменить свои знаки на противоположные. А если еще немного и
подумать, то можно сообразить, что передний фокальный отрезок sF неперевернутой
линзы и задний фокальный отрезок перевернутой линзы sF должны различаться
только знаками, т. е.
5рЧ-п)=>-5р(г2). (2.101)
Поэтому, окончательно убедившись в правильности своих домыслов (если хотите —
рассуждений), можно «сходу» записать:
sF=-f'(\ + ?-^d\ (2.102)
Тогда и
Если теперь воспользоваться (2.100) и (2.103), то можно найти расстояние
между главными плоскостями системы А = НН\ Действительно, согласно рис. 2.62,
получим
d=SH + A~ 5н,
откуда
A = HH' = d-sH + s'H. (2.104)
Если теперь в выражении (2.104) заменить sH и 5н и* значениями из (2.100) и (2.103),
то после простых преобразований мы придем к выражению
d. (2.105)
*-""•-[■-^ с*-*):
Рассматривая выражение в квадратных скобках
как фокусное расстояние /' некой тонкой линзы (не имеющей толщины d), можно
предположить (если действительно толщина реальной линзы не слишком велика),
что/' « /', тогда выражение (2.105) можно переписать так:
A=m, = {l-^r)d-^rd-
(2.107)
Эта формула наиболее приемлема для практических расчетов расстояния
между главными плоскостями для всех типов линз, кроме менискообразных.
Если положить, что показатель преломления стекла п= 1,5, то
A = HH'*-^d. (2.108)
Этих обсуждений для одиночной линзы, расположенной в воздухе, более чем
достаточно для ее практического использования при моделировании различных
оптических схем.
2.9. Примеры общей практики
Ну а теперь, пожалуй, можно и «отдохнуть», совмещая полезное с приятным.
Вооружившись карандашом и бумагой (лучше миллиметровкой), применим все
полученные знания (конечно, если чтение книги пошло на пользу, а не во вред!) на при-
161

мере уже знакомого фрагмента оптической схемы, состоящей всего лишь из двух
тонких линз L] и L2. Будем считать, что эти линзы с фокусными расстояниями,
соответственно равными -f\ =f\ = 50 мм и -f2 =/2 = 70 мм, расположены друг от друга
на расстоянии d=25 мм.
Разместив линзы на листе на миллиметровке и аккуратно отметив положение
точек переднего и заднего фокусов каждой из них, попытаемся для начала построить
изображение предмета — стрелки размером у = 25 мм, расположенной от главной
плоскости первой линзы на расстоянии а\ = -100 мм.
Графические построения в сложной оптической системе можно выполнять
различными способами. Можно рассматривать ход лучей и исходить из условий их
распространения, а можно, понимая, что каждый оптический элемент системы всегда
решает только свою задачу, строить изображение с помощью первого компонента
системы, а затем, рассматривая изображение, полученное с помощью первого компонента,
как предмет для второго, строить изображение с помощью второго. Дело вкуса!
Для графического построения хода лучей или изображений неких предметов в
сложной оптической системе, кроме индивидуальных характеристик каждого
отдельного оптического элемента, необходимо знать и те параметры, которые определяют
совокупность отдельных линз (или объективов) как самостоятельную оптическую систему,
т. е. расстояния между их кардинальными элементами — параметры duA (рис. 2.63).
Параметр d равен расстоянию между условно совмещенными главными
плоскостями тонких оптических элементов Hj и Н2, которое отсчитывается от главной
плоскости предшествующего компонента до главной плоскости последующего
(в случае линзы конечной толщины — расстояние между задней главной плоскостью
первого компонента и передней главной плоскостью второго компонента).
Что касается параметра А, то он есть не что иное, как расстояние А между
задним фокусом первого элемента и передним фокусом второго элемента. Довольно
часто в литературе А называют оптическим интервалом. Для определения знака
оптического интервала отсчет ведут от заднего фокуса предшествующей системы F,' до
переднего фокуса F2 последующей.
Обсуждение
фрагмента
оптической схемы
Выполнить графические построения изображения,
формируемого этой системой, несложно. Для этого можно
воспользоваться любым из способов, о которых мы
рассказывали выше. Следует только помнить: каждая из линз
работает вполне самостоятельно, но каждая последующая
линза воспринимает для себя изображение, построенное предыдущей линзой, как
реальный предмет (рис. 2.64).
162

H4Hi Н2.Щ
Рис. 2.64. Построение изображения предмета — стрелки фрагментом двухлинзовой
системы.
Но так происходит только в процессе графических построений. По жизни,
каждый последующий оптический элемент перехватывает лучи, преломленные
предыдущим элементом схемы, даже не давая ему возможности завершить «начатое
дело» в построении изображения, и достраивает его сам.
Все построения мы выполнили следующим образом. Сначала, совершенно не
обращая внимания на присутствие в схеме второй линзы, строим изображение с
помощью только первого компонента системы. Все лучи, участвующие в этом, на рисунке
высвечены зеленым цветом. Луч BjE, идущий в пространстве предметов параллельно
оптической оси, будет преломлен в точке Е и за линзой пойдет в направлении точки
заднего фокуса F/. В то же время луч BjDj, пересекающий оптическую ось в точке
переднего фокуса первой линзы, будет преломлен в точке Dj и за линзой будет
распространяться параллельно оптической оси. Точка их пересечения В[ в пространстве
предметов первой линзы будет не чем иным, как изображением точки В\. Опустив из
нее перпендикуляр на оптическую ось, мы получим промежуточное изображение
стрелки, построенное первой линзой системы, действительное и перевернутое.
Получить изображение, сформированное вторым компонентом, тоже несложно.
Как мы уже отмечали, луч BjDj за линзой будет распространяться вдоль (параллельно)
оптической оси. Встречая на своем пути вторую линзу, он, преломившись, пройдет
через ее точку заднего фокуса F2. На рисунке лучи, относящиеся ко второй линзе,
высвечены сиреневым цветом. А дальше дело техники. Проводим прямую линию из
точки В[ через оптический центр второй линзы С2. Пересечение линии В[С2 с лучом
D2 F2 и определит нам положение точки В2 — изображения точки В[.
Из выполненных графических построений следует, что первая линза строит
действительное обратное изображение AJBJ реального предмета AjBj. Но при
построении изображения второй линзой это действительное изображение А[В[ для
второй линзы будет являться мнимым предметом А2В2. А вот изображение А2В|
мнимого предмета А2В2, построенное второй линзой, будет по отношению к
реальному предмету AjBj действительным, обратным (перевернутым) и уменьшенным.
й
Замечание: Все-таки необходимо четко представлять, что
в реальности никакого промежуточного изображения А/В/,
построенного первой линзой, нет. Как бы мы его ни искали!
Лучи, излучаемые точками реального предмета, после преломле-
163

ния первой линзой «перехватываются» второй линзой,
«доламываются» пропорционально оптической силе линзы и формируют
то действительное перевернутое изображение, которое мы
можем увидеть на любом экране.
Если рисунок был выполнен аккуратно и в необходимом масштабе, получить
размеры всех расстояний можно с помощью простой линейки. Конечно, точность
будет невелика, но при макетном моделировании и этого бывает достаточно.
Более точные результаты безусловно дают аналитические расчеты. Вот к ним-
то мы и обратимся. Но мы уже знаем, что положение изображения и его размеры
можно найти как «коротким» способом, с помощью готовых формул оптики Гаусса,
так и более «длинным», с помощью так же готовых формул для вычисления хода
нулевого луча.
Сначала пойдем более коротким путем, хотя он и не всегда бывает коротким!
Определение
положения и
размера
изображения по
формуле Гаусса
Найти положение изображения предмета и его
размеры с помощью формулы Гаусса достаточно просто. Но
не следует забывать, что построение изображений в
сложной системе всегда проводится «по эстафете»: от
предыдущего компонента к последующему.
Поэтому для выяснения, где и как будет
сформировано изображение предмета всем фрагментом схемы, мы
должны начинать с определения положения изображения, формируемого первой линзой.
Это можно сделать с помощью формулы Гаусса. Именно она «связывает»
расстояния от предмета до совмещенных главных плоскостей линзы и от этих же
плоскостей до его изображения. Для первой линзы это будет выглядеть так:
J___L = J_
а\ я 1 f'
Откуда, после простых преобразований (а мы это уже делали) найдем
Расстояние от второй линзы до предмета А2В2 можно найти как простую
разность:
а2 = а[ - d= 100,0 - 25,0 = 75,0 [мм].
А дальше, по аналогии, получим:
, агй 75x70 ^^ _ _
ai = я2+/2'=^5Т70 = 36>21 tMMl-
Очевидно, чтобы узнать линейные размеры полученного изображения, мы
должны определить размеры промежуточного изображения, а уж затем нашего
действительного изображения. В самом простом случае для каждого получаемого
изображения мы можем записать
о "1 о "I
В,=— И В2= —•
Нетрудно доказать (а это уж Вы без нас!), что общее увеличение оптической
системы, состоящей из любого количества оптических элементов, равно
произведению увеличений, которое обеспечивает каждый оптический компонент. Для нашей
схемы, состоящей всего лишь из двух элементов, это будет выглядеть так:
в_в хВ-«-'х«2 .JOL.i^i, 0483*
Р-Р,хВ2 _х_ _ioqX ^ __0,483.
164

Окончательно получим:
Определение
положения и
размера
изображения
с помощью
нулевого луча
у2 = уф = 25 х (-0,483) = -12,08 [мм].
I
Найти положение изображения предмета и его
размеры можно и иначе. Достаточно «посмотреть», как
поведут себя лучи, распространяющиеся от предмета через всю
систему до его изображения. Для этого обратимся к
рис. 2.65. На нем отображен тот же самый фрагмент
оптической системы, что и на рис. 2.64. Убрав все «лишнее»,
- мы показали только ход одного луча, кстати, исходящего
под произвольным углом cti из точки предмета Аь
расположенной на оптической оси системы.
Луч, распространяясь в пространстве предметов под произвольным углом а\
к оптической оси, пересечет совмещенные главные плоскости первой линзы в некой
точке D] на высоте h\. В точке Dj луч будет преломлен и, распространяясь далее,
встретит совмещенные плоскости второй линзы в точке D2 на высоте Л2, затем, вновь
преломившись и распространяясь в пространстве изображений, пересечет в некой
точке А2 оптическую ось системы. Несложно догадаться, что эта точка и будет
изображением точки предмета Aj.
Так будут обстоять дела в реальности. Но мы, чтобы действительно учесть
влияние каждой линзы на формируемое изображение, а с ним и на ход луча,
участвующего в его формировании, вновь просто вынуждены рассматривать прохождение
луча последовательно через каждый компонент схемы.
й
Замечание: Оформляя рис. 2.65, мы многое
позаимствовали из рис. 2.64. Вряд ли имело смысл повторять графические
построения. Мы постарались на рисунке выделить только то,
что потребовалось для расчета хода луча.
Более того, в этом примере мы использовали и исходные
данные предыдущего примера. На наш взгляд, такой подход
(решение одной и той же задачи разными способами) ярче
высветит особенности различных методов расчета.
Н|| Н| П2 П2
Рис. 2.65. Определение положения изображения предмета с помощью расчета хода
произвольного луча, исходящего из точки предмета.
165

Воспользуемся вновь формулой Гаусса (2.23) и несколько модифицируем ее,
умножив каждый ее член на высоту встречи h\ выбранного луча с главной
плоскостью первой линзы. Правда, мы уже это делали выше, но чтобы что-то осталось у Вас
в памяти, повторим, не «стесняясь», еще раз. Тогда для первой линзы мы получим
_L__L=_L hL_hi=h
Но отношения Л, Iа{ и h\lau как следует из треугольников AiCjDi и D2C2AJ,
это всего лишь тангенсы соответствующих углов а2 и а^
С учетом этого для tgct2 имеем
h
tga2 = tga,+7^- (2.109)
Но нам неизвестен и угол а\. Однако, если присвоить высоте Ль в принципе,
любое произвольное значение, если, конечно, ее величина не оговорена каким-либо
условием (например, размерами предмета), значение угла а\ легко можно найти из
треугольника AjCiDj. Мы же примем высоту h\ равной размеру нашего предмета^,
т. е. h\ =у\ =25,0 мм, и тогда, принимая исходные значения параметров фрагмента
схемы из условия задачи, получим
tgai = a1 = ^oo = -°'25-
hi_ 25
ах -ЮС
Подставив полученное значение tgctj в выражение (2.109), найдем значение
tga2:
tga2 = tga, + т! = - 0, 25 + 50 = 0,25.
По сути, мы нашли направление распространения луча, преломленного первой
линзой.
А дальше, а это нам должна подсказать интуиция, простая замена в формуле
(2.109) индексов в обозначениях параметров, определяющих действия первой линзы,
на параметры, связанные со второй линзой, позволит нам определить значение
тангенса угла а3:
tga3 = tga2+7^- (2.110)
h
Однако, в этом выражении нам неизвестна высота h2. Согласно рис. 2.65, она
равна:
h2 = hx -dtga2 = 25 - 25 х 0,25 = 18,75 [мм].
А теперь дело техники. Находим
h2 18,75
tga3 = tga2 + 7t = 0,25 + ~^~ = 0,518.
Зная значения высоты h2 и тангенса угла а3, расстояние от совмещенных
главных плоскостей второй линзы до изображения можно найти из треугольника
D2C2A2:
Й2__.18,75
^=^=0^Т9 = 36'20[ММ]-
Для определения размеров получаемого изображения проще всего
воспользоваться инвариантом Гюйгенса—Гельмгольца (см. формулу (2.36)) хотя бы в такой
форме записи (в предположении, что наша система расположена в воздухе):
yitga, = yl tga2= y2tga3.
А дальше все совсем уж просто. Увеличение, которое обеспечивает первый
компонент системы, можно найти как
166

v,' уг _tga1_-0>25
P - — tga2 0,25 ]'0'
а размер изображения, созданного первым элементом, как у2 = у$ = 25,0 * (-1,0)" =
= -25,0 мм.
Так же просто найти линейное увеличение второго компонента:
р.^-^-ЙЕ* *5 0,483',
У\ У г g0t3
и размер изображения, созданного вторым элементом оптической схемы: у'2 =
=j2p = 25,0 х 0,483" = 12,07 [мм].
А можно и сразу найти линейное увеличение всей системы:
и линейные размеры формируемого ею изображения: у2 = у$ = 25 * 0,483х =
= 12,07 [мм].
И обратите внимание: для всех трех произведений инвариант Гюйгенса—
Гельмгольца постоянен и равен
yictgOLk = 6,25 = const.
Удивительно, но как все просто!
Одной из важнейших задач, решаемых в оптике Гаусса, является определение
положения кардинальных элементов системы. Конечно, и эту задачу можно разрешить
двумя способами, которые мы и покажем ниже. На наш взгляд, будет не вредно лишний
раз продемонстрировать разнообразие возможных подходов к решению одних и тех же
оптических задач, которые с удивительной простотой обеспечивает оптика Гаусса.
Определение
кардинальных
элементов в
эквивалентной
системе
И вновь в качестве примера мы будем использовать
фрагмент оптической системы, уже знакомый нам по
предыдущим примерам.
Для определения фокусного расстояния оптической
системы, состоящей из двух оптических элементов, можно
воспользоваться ранее полученной нами формулой (2.66):
f- f fLK 50x70
~f'f " /.' +/г' ~ d ~ 50 + 70 - 25 " 36'84 [мм]'
По правилам геометрической оптики для определения положения точек
переднего и заднего фокусов мы должны откладывать фокусные расстояния от главных
точек (или главных плоскостей) эквивалентной системы. Знание только значений
эквивалентных фокусных расстояний еще не решает задачи определения положения
непосредственно самих точек фокуса, так как нам неизвестно и положение ее
главных плоскостей.
Поэтому было бы очень интересно «привязать» положение точек фокусов
эквивалентной оптической системы к положению кардинальных элементов (главным
точкам или главным плоскостям) компонентов, входящих в наш фрагмент
оптической системы, тем более, что их положение в пространстве определено условием
задачи (рис. 2.66). Осуществить эту «привязку» можно так же легко с помощью уже
готовых формул, которые мы получили ранее.
Расстояние от главной плоскости первой линзы (а в случае толстой линзы —
от ее передней главной плоскости) до переднего фокуса эквивалентной линзы можно
вычислить по формуле (2.64):
167

1 клетка = 2 мм
-^♦~
Я
\
V
н,
£ (
н;
1н
/|'
н2
н
Hi
! г
^ -sy ! *н
^*
&,
Jt
f о -~..v... .
/ ! 1
Рис. 2.66. Определение положения кардинальных элементов оптической системы.
состоящей из двух оптических элементов.
5F =/x 0 ~~tt) = ~36'84 х 0 ""то) = ~23'68 [мм]'
Аналогично по формуле (2.63) можно найти и расстояние от главной плоскости
второй линзы (а в случае толстой линзы — от ее задней главной плоскости) до заднего
фокуса эквивалентной линзы:
s'r =/'* (l -J?) = 36,84 х (l --Ц) = +18,42 [мм].
А теперь не составит никакого труда найти положение главных плоскостей
эквивалентного оптического элемента относительно главных плоскостей обоих
компонентов нашего фрагмента оптической схемы. Из рисунка понятно, что их можно
найти как обычную алгебраическую разность значений отрезков sF и sF и
соответствующих фокусных расстояний:
*н = *f -/= -23,68 - (-36,84) =13,16 [мм],
s'w = s'F -Г = 18,42 - 36,84 = -18,42 [мм],
где 5н и 5н' — расстояния от оптических элементов до главных точек (или
соответствующих главных плоскостей) эквивалентной системы.
Все, что мы «насчитали» в этом примере, показано на рис. 2.66.
А теперь найдем положение кардинальных
элементов эквивалентной системы можно путем расчета нулевого
луча. Только теперь на вход системы подадим луч,
параллельный оптической оси системы, распространяющийся на
высоте, равной высоте предмета, т. е. h\= y\= 25 мм. А в
принципе высота может быть вновь любая, правда, если
она никак не оговорена в условии задачи.
Для начала обратимся к рис. 2.67. На нем отображен
тот же самый фрагмент некой системы (см. рис 2.64), только теперь в масштабе 2:1.
Правда, у нас «не влез» рисунок предмета, но он нам, собственно, пока и не нужен.
Вновь, не обращая совершенно никакого внимания на присутствие в схеме второй
линзы, прорисуем ход воображаемого луча, распространяющегося в пространстве
Определение
положения
кардинальных
элементов
с помощью
нулевого луча
168

предметов параллельно оптической оси. Очевидно, преломившись в точке Db
расположенной на совмещенных плоскостях тонкой линзы, в пространстве изображений он
должен пройти через точку ее заднего фокуса F/. Встретив на своем пути вторую
линзу, он вновь должен преломиться в точке D2 и пройти через задний фокус F' всей
системы, образованной обеими линзами.
й
Замечание: Кстати, положение этой точки заднего фокуса
всей системы (эквивалентной) Вы можете определить чисто
графически, воспользовавшись одним из способов определения
положения точки предмета, расположенной на оптической оси. Для этого
вновь, не обращая никакого внимания на присутствие в
оптической схеме второго компонента, прорисуем ход луча,
преломленного первой линзой. Так как рассматриваемый нами луч в
пространстве предметов распространялся параллельно оптической
оси, то после преломления первой линзой он просто обязан
пересечь оптическую ось в заднем фокусе F/ первой линзы. А это
значит, что направление распространения преломленного луча
между линзами становится известным. Теперь достаточно через
оптический центр С2 второй линзы провести прямую линию,
параллельную отрезку D!D2, до ее пересечения с фокальной плоскостью
F2'F2'. Точка пересечения с оптической осью прямой D2F2' и
определит нам положение заднего фокуса всей системы F'.
А почему? — подумайте сами!
Теперь мы покажем, как можно найти положения кардинальных элементов
эквивалентной системы, рассчитав ход нулевого луча. Так как наш луч параллелен
оптической оси, то вполне естественно, угол, образованный лучом с оптической осью,
будет равен нулю, т. е. си = 0.
Ну а дальше, воспользовавшись формулами предыдущей задачи, найдем
значение тангенса угла ct2, значение высоты, на которой луч встречает главные
плоскости второй линзы, и, наконец, значение тангенса угла аз. Обсуждать здесь,
собственно нечего, поэтому сразу запишем:
1 клетка = 2 мм
1
Рис. 2.67. Определение положения кардинальных элементов с помощью расчета хода
нулевого луча.
169

A. „ 25 n,
tga2 = tga,+7t = 0+3Q = 0,5,
h2 = hi -dtga2 = 25 - 25 x 0,5 = 12,5 [мм],
tga3 = tga2 +-£ = 0,5 + -^- = 0,6785.
Найти фокусное расстояние эквивалентной системы можно, исходя из
треугольника EF'H':
f'=^o&S5 = 36M[tm]'
а расстояние s'F> для «привязки» точки заднего фокуса F' эквивалентной системы —
из треугольника D2F'C2:
И уж совсем просто найти положение задней главной плоскости относительно
совмещенных главных плоскостей второй линзы:
s'h' = *f' -/' = 18,42 - 36,84 = -18,42 [мм].
Рассчитывая ход луча в обратном направлении, т. е. справа налево, можно
определить расстояния s? и $н, а заодно и проверить правильность вычисления
фокусного расстояния/'.
Но для того чтобы было проще провести вычисления и не запутаться в знаках,
достаточно оптическую систему просто развернуть вокруг вертикальной оси на 180°.
В этом случае параметры «повернутой» системы примут следующие значения: -f\ =
=fx = 70,0 мм, -f2 =fi = 50,0 мм, d= 25,0 мм. Ну, а дальше, как и в первой половине
этого примера: cti = 0, а Aj =25,0 мм.
Все необходимые вычисления проводим аналогично. Тогда
tga2 = tga, + т^ = 0 + то = 0,3571,
h2 = h\-d* tga2 = 25 - 25 х 0,3571 = 16,07 [мм],
tga3 = tga2 +7^= 0,3571 + —5^—= 0,6785,
Г = Г"1" = a/itoc = 36,84 [mm].
J tga3 0,6785 ' L J
И, наконец, найдем расстояния, определяющие положение кардинальных элементов
для «повернутой» системы:
s'r = 7^" = о 6785 = 23>68 [мм]? S'H' = S'F "/' = 23,68-36,84 = -13,16 [мм].
Так как все вычисления проводились для «повернутой» системы, в
«нормальном состоянии» значения/ sp и sh будут иметь следующие знаки:
/= -/' = -36,84 [мм], sF = -sr = -23,68 [мм], sH = sH' = 13,16 [мм],
т. е. все наоборот.
Замена двух линз I Вряд ли (особенно у любопытных) не возникнет
их эквива1ентом I вполне резонного вопроса: зачем использовать две линзы,
. а нельзя ли действительно обойтись одной? Теперь, на наш
взгляд, настало время рассмотреть и эту возможность.
170

Для того чтобы можно было действительно заменить две линзы (а можно и
больше!) одной эквивалентной, необходимо знать ее эквивалентный фокус, который
можно найти по формулам (2.66).
Этого вполне достаточно, чтобы прорисовать тонкую линзу и от ее
совмещенных главных плоскостей отложить значения фокусных расстояний и тем самым
определиться с положением переднего и заднего фокусов. После этого можно приступить
к решению тех задач, которые Вас могут заинтересовать, и решать их на выбор, или
графическим, или аналитическим методами.
Если же Вы захотите использовать в качестве эквивалента толстую линзу, то,
наверное, мы прежде всего должны определить положение ее главных плоскостей.
Очевидно, для этого мы должны каким-то образом «привязать» их к кардинальным
элементам наших линз. И такую «привязку» мы уже осуществляли выше.
А теперь попробуем графически отобразить все то, что мы «насчитали»
(рис. 2.68).
Мы получили довольно «приличную» оптическую схему с одной толстой
линзой. На рисунке мы специально оставили эскиз нашего фрагмента оптической
системы, а чтобы он не бросался в глаза, высветили его бледно-серым пунктиром.
На этом же рисунке мы построили «заново» изображение нашего предмета. Но
обратите внимание: передняя главная плоскость Н толстой линзы оказалась по ходу
распространения света позади ее задней главной плоскости Н'.
Это накладывает особые условия на построение изображения предмета. Луч
BD, идущий в пространстве предметов параллельно оптической оси системы, сначала
должен встретить переднюю главную плоскость Н в точке D и только затем
встретить заднюю главную плоскость Н' в точке D'. В точке D' он должен преломиться и в
пространстве изображений пройти через точку заднего фокуса толстой линзы F'.
Естественно, в случае необходимости, от толстой линзы (линзы конечной
толщины) можно перейти к тонкой (линзе нулевой толщины). Для этого достаточно
4 ^т
Рис. 2.68. Построение изображения предмета - стрелки с помощью эквивалентной
толстой линзы.
171

просто «сдвинуть» навстречу друг другу ее главные плоскости. Но главные
плоскости «потянут» за собой и точки фокусов. При «традиционном» расположении
главных плоскостей (передняя впереди, а задняя сзади) вопросов никаких не возникает:
точки фокусов будут смещаться вслед за главными плоскостями к линзе: передний
фокус F слева направо, а задний фокус F' — справа налево.
А вот в полученной нами расчетной толстой линзе все наоборот. Главные
плоскости поменялись местами (задняя впереди, а передняя сзади). Посмотрите,
когда передняя главная плоскость Н «поедет» к оптическому центру толстой линзы,
точке С, точка переднего фокуса F начнет смещаться от линзы, т. е. справа налево, а
при перемещении задней главной плоскости Н' к оптическому центру толстой линзы
(точка С) точка заднего фокуса F' начнет смещаться от линзы, т. е. слева направо.
Это, действительно, важный момент. При большой толщине линзы и большом
расстоянии между главными плоскостями не избежать ошибок при выполнении
графических построений. Результаты наших преобразований отражены на рис. 2.69.
Особо отметим, что все построения на рис. 2.68 и 2.69 мы старались
выполнить в одном масштабе, чтобы лишний раз убедиться в удивительном совпадении
в положении и размерах получаемого изображения.
Выводы, наверное, Вы сделаете легко сами. Мы же только отметим:
оптическая схема с одним эквивалентным элементом стала намного понятнее, а это
особенно важно при выполнении анализа (графического или аналитического — неважно!)
создаваемой Вами оптической системы.
Окончательный выбор решения, конечно, остается за разработчиком: или он
использует двухлинзовую систему, или ищет линзу с необходимыми параметрами.
В заключение хотелось бы сказать, что любую оптическую систему, какой бы
сложной она ни была (но в пределах разумного, конечно!), всегда можно свести
к одной-единственной линзе. Но всегда ли нужно это делать, может подсказать
только практика (опыт) или весьма скрупулезный анализ создаваемой системы.
Как видите, по существу, вся геометрическая оптика — это «сплошная
геометрия с тригонометрией с небольшим привкусом элементарной алгебры».
Действительно, в вычислениях ничего сложного нет! Но при всей этой наивной простоте
необходимо стремиться не к угадыванию, а к четкому представлению (пониманию)
того, что должно получиться на выходе той или иной оптической системы. А за эти-
Рис. 2.69. Построение изображения предмета — стрелки с помощью эквивалентной
тонкой линзы.
172

ми, казалось бы простыми, формулами видеть не белый лист бумаги, а «физику» тех
процессов, которые происходят в оптических системах.
Мы так много уделяли в своих объяснениях внимания графике только потому,
что настоятельно рекомендуем разработку любого макета любой оптической системы
начинать с прорисовки ее на бумаге. Поверьте, бросившись в лабораторию и встав за
оптическую скамью (или оптический стол), вряд ли до конца Вы будете
представлять, что хотите получить или сделать. Не стоит надеяться «на авось». Четкое
представление того, что Вы хотите получить и как, — залог Вашего успеха!
Об оптике Гаусса можно говорить много и долго, но, наверное, того, что мы
рассказали и показали, вполне достаточно, чтобы начать мыслить самостоятельно.
Сводка основных формул нулевой оптики
Здесь мы приведем сводку основных формул оптики идеальных систем, по
которым, собственно, и выполняются габаритные расчеты оптических систем. И совсем
неважно, что для некоторых из них мы не давали вывод в тексте. Дело в том, что он
чрезвычайно прост и при желании Вы это сможете легко сделать и сами.
Сначала приведем формулы при условии эксплуатации оптических систем в
воздухе, т. е. я = я'.
Для однокомпонентной оптической системы наиболее важными из них
являются:
Формула Ньютона
линейное увеличение
р=
угловое увеличение
1
у = _
р
ZZ'
=-/'2.
Формула Гаусса
J_
а' ~
Формулы
" У а
_ tga' _
tga
продольное увеличение
1 1
'« /"
[ увеличений:
1- ±-
a z
~*~ ~ 1
tga
tga''
L
z'
a-р'Л.
У
Формулы для определения параметров системы из двух оптических
компонентов с фокусными расстояниями /,' и /2':
• Эквивалентное фокусное расстояние и оптическая сила:
f, =_f= ti£L =_1Ш.
J J fi'+fi'-d A '
Ф= — =Ф]+Ф2- б/Ф]Ф2,
г
где d—расстояние между задней главной плоскостью первого компонента и
передней главной плоскостью второго, а А — оптический интервал, равный А = d-f\ —ft-
• Отрезок, определяющий положение точки переднего фокуса эквивалентной
системы
173

*-А*-к)-А^)-
1 Отрезок, определяющий положение точки заднего фокуса эквивалентной
системы
*-/-(.-1)-*(-£).
• Отрезки, определяющие положения главных плоскостей эквивалентной
системы
^Н = ^F —f, ^H' = SF' ~Г•
Формулы для вычисления хода нулевого луча в многокомпонентной
оптической системе:
• Формулы углов:
К
tga*= —, tga^H-i =
ак
Формула высот:
hk+] = ht
Заднее фокусное расстояние:
/'=
Положение заднего фокуса:
S'r =
Переднее фокусное расстояние:
/=
Положение переднего фокуса:
S?
Положение изображения:
Sk =
Линейное увеличение:
р =
Угловое увеличение:
у =
Продольное увеличение:
а = В2
К
—, tga(jt+1)
ак
k-tga{k+\)dk.
\
hk
tga(*+i)
_ l\k+\)
tga,
tga]
hk
tga(jt+1)
tgai
*8а<*+п
tga,
tg2a!
tg2a(*+1)
174

А теперь в порядке обобщения приведем формулу углов, когда показатели щ
преломления среды, в которой «эксплуатируется» оптическая система, — разные, и
при этом луч пересекает к сферических поверхностей с радиусами г*:
Щ П(к+\) ~пк , Щ ®kh
При этом «работает» приведенная выше формула высот с соответствующей
заменой в ней полученного выше выражения для tga(A:+1).
Это интересно: Столько рассуждать об оптике Гаусса и
ничего не сказать о самом Гауссе, — авторам не позволяет
совесть. Рассказывать всю биографию Гаусса вряд ли имеет смысл.
Но сказать хотя бы несколько благодарных слов просто
необходимо.
Карл Фридрих ГАУСС родился в Брауншвейге в 17 7 7 г., в
семье бедного крестьянина. Много позже Гаусс говорил о себе
полушутя, полусерьезно, что он научился считать раньше, чем
научился говорить.
Наблюдательный учитель начальной школы обратил внимание
на удивительные способности молодого Карла и помог ему
продолжить образование в Геттингенском университете (17 95—17 98 гг.).
Правда, молодой Гаусс со своим вечно сомневающимся
характером долго не мог определиться с выбором будущей профессии.
В одинаковой степени он увлекался филологией и математикой.
Окончательно же он определился в своем выборе, которому остался
верен до конца жизни, только в 1796 г., когда, с помощью циркуля
и линейки, построил правильный семнадцатиугольник. Это было
открытие — до него эту задачу никто не мог решить. В это время
Гауссу шел девятнадцатый год.
После окончания университета Гаусс получает доцентуру в
Брауншвейге, а в 1807 г. — кафедру математики и астрономии в
своем родном Геттингенском университете. Именно с этого
момента начинается всемирная слава Геттингенского университета как
мирового центра математической науки.
Не имеет смысла перечислять все открытия, сделанные
Гауссом. Достаточно сказать, что его интересы охватывали всю
математику, астрономию, физику, геодезию. В общем все, что было
связано с точными науками. И с чем бы ни соприкасался его
острый ум, немедленно следовали открытия, потрясавшие всю Европу.
Еще при жизни его современники считали Гаусса равным
Архимеду и Ньютону! Что уж говорить о нас, грешных?!
Этот удивительно неутомимый исследователь был по-детски
нерешителен в публикации результатов своих исследований. Он
категорически запрещал публиковать их тем, с кем делился
своими результатами.
Но сколько людей — столько и мнений: одни относили это к
его нерешительности, другие к высоким требованиям,
предъявляемым Гауссом к своим работам.
Простой пример. Еще в 1818 г. Гаусс пришел к мысли и даже
сформулировал ее некоторые положения, что наряду с евклидовой
геометрией существует и другая, как называют ее ныне —
неевклидова геометрия. Но опасения, что его революционные идеи
175

не будут поняты современниками, привели к тому, что Гаусс
никогда и нигде не публиковал результаты своих размышлений по
этому направлению геометрии. Справедливости ради стоит
сказать, когда Н. И. Лобачевский совершенно независимо и ничего
не зная о работах Гаусса опубликовал свои исследования по
неевклидовой геометрии, Гаусс отнесся к его работе с большим
уважением.
Именно Гаусс рекомендовал к избранию Н. И. Лобачевского
членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества, но при
этом ни разу не упомянул о своих собственных достижениях в
этой области.
Еще один интересный момент. Во времена, когда комплексные
числа больше вызывали недоумение, чем рассматривались как один
из мощных математических инструментов, некоторые молодые
математики уже использовали их в своих доказательствах. Однако,
чтобы не задевать самолюбие своих уважаемых учителей, мэтров
от математики, пытались всяческими способами это скрывать.
Среди них был и молодой Гаусс.
Доказывая в одной из своих работ, опубликованной в
1799 г., что каждый многочлен с действительными коэффициентами
можно разложить на множители первой и второй степени, Гаусс
воспользовался средствами, которые могли предоставить только
комплексные числа. Но, будучи в то время не до конца уверенным
в логическом обосновании теории комплексных чисел, он на
протяжении всей своей работы ни разу о них не упомянул. Там же,
где они должны были проявиться, он объединял их попарно, чтобы
у мэтров и мысли не возникло об их мнимости. И только спустя
много лет (а точнее 32 года), в 1831 г. Гаусс впервые
опубликовал свое объяснение комплексных чисел и дал глубокое
обоснование их теории.
Гаусс всегда придерживался логической строгости
доказательств, никогда не отступая от принципа: «Работу никогда
нельзя считать законченной, если еще кое-что можно сделать!».
Многие математики того же времени смотрели на это совсем
иначе. Например, его молодой современник Карл Густав Якоби,
немецкий математик, член Берлинской академии наук, член-
корреспондент и почетный член Петербургской академии наук,
нередко говаривал своим студентам: «Господа, для гауссовской
строгости у нас просто нет времени».
В этом весь Гаусс.
Он умер в Геттингене в 1855 г. После его смерти в его
записных книжках и дневниках обнаружилось то, о чем по его
публикациям можно было только догадываться. Гаусс предвосхитил
множество открытий, совершенных впоследствии другими
математиками.
И просто удивительно, когда сделанные позже открытия, по
поводу приоритета которых молодые ученые вели бесконечные
споры, мирно пылились в неопубликованных бумагах Гаусса,
полученные им еще тогда, когда неоперившихся соперников просто не
было на свете.
Гаусс был очень требователен к себе и никогда не
торопился публиковать результаты своих работ.
176

В подчинении кафедре математики и астрономии находилась
астрономическая обсерватория Геттингенского университета.
Став, как сегодня бы мы сказали, завкафедрой по дисциплинам
математики и астрономии, Гаусс автоматически становится
директором университетской обсерватории. И, конечно, занимаясь
астрономическими наблюдениями, Гаусс не мог пройти мимо тех
оптических устройств, с помощью которых эти наблюдения
проводились. Именно желание усовершенствовать их привело к созданию
оптики нулевых лучей, называемой ныне оптикой Гаусса.
Это, пожалуй, все, что мы хотели Вам рассказать о самом Гауссе и об оптике Гаусса.
Рекомендованная литература к главе 2
Андреев Л. К, Грамматин А. П., Кирюшин С. И., КузичевВ. И. Сборник задач по теории
оптических систем. М.: Машиностроение, 1987. 193 с.
Борн М, Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 720 с.
Герцбергер М. Современная геометрическая оптика. М.: Иностранная литература, 1962. 487 с.
Друде П. Оптика. М; Л: ОНТИ, Гл. ред. общетехн. лит., 1935. 196 с.
Ковалевская Т. Е., ОвсюкВ. Н., Белоконев В. М., Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М: Наука, 1980.
153 с.
ЛандсбергГ. С Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Матвеев А. К Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 351с.
Михель К Основы теории микроскопа. М: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
Русинов М. М. Габаритные расчеты оптических систем, М.: Госгеолтехиздат, 1963. 400 с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Слюсарев Г. Г. Геометрическая оптика. М.; Л.: Изд. АН СССР, 1946. 332 с.
Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 670 с.
Слюсарев Г. Г. Расчет оптических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 639 с.
Тудоровский А. И. Теория оптических приборов. М.; Л., Изд-во АН СССР, 1948—1952. Ч. 1.
661 с.;Ч. 2. 567 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с; Т. 5. 760 с.
Чуриловский В. К Теория оптических приборов. М.: Машиностроение, 1966. 564 с.
Яворский Б. М, Детлаф А. А., Лебедев А. К Справочник по физике для инженеров и студентов
вузов. М.: Оникс, Мир и образование, 2006. 1056 с.
Czapski S. Grundziige der Theorie der Optischen Instrumente nach Abbe. Leipzig: Verlag von Johann
Ambrosius Barth, 1904. 479 S.
Gauss С F. Dioptrische Untersuchungen. Gottingen: Druck und Verlag der Dieterichschen
Buchhandlung, 1841. 44 S.

IjIABA 3. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Эта довольно объемная глава посвящена элементарным отверстиям и их роли
в формировании изображений оптическими системами. В принципе, всякая
оптическая система по существу представляет собой набор простых отверстий: или
совершенно «пустых» (в виде отверстий в непрозрачном материале), или в виде оправ,
в которых закреплены соответствующим образом оптические детали. Именно
размеры отверстий и их расположение предопределяют многие характеристики
оптических систем и через них влияют на качество создаваемых изображений.
Например, не вызывает сомнений утверждение, что размер отверстий,
ограничивая размеры пучков света, излучаемых предметом, будет непосредственно влиять
на яркость его изображения, а их местоположение — на общее распределение света
по его площади.
Не требует обсуждений и тот факт, что размер отверстий будет ограничивать
размеры (но не масштаб!) рассматриваемой сцены, воспроизводимой в изображении.
Может быть менее очевидно, но от размеров ограничивающих отверстий
зависит и способность оптических систем отображать мелкие детали рассматриваемых
объектов, определяя тем самым достоверность и качество передаваемой информации.
Естественно, мы перечислили далеко не все характеристики изображений, на
которые могут повлиять размеры ограничивающих отверстий или размеры самих
оптических элементов. Их достаточно много. Но даже из этого короткого
перечисления вытекает необходимость детального изучения влияния отверстий и, в частности
их размеров и расположения, на формируемое оптической системой изображение.
Й Обратите внимание: Все рисунки этой главы будут
представлять собой в большинстве случаев отдельные фрагменты
сложных оптических систем. Мы поступаем так только для
того, чтобы не отвлекать Вашего внимания на те элементы,
которые в данный момент для нас не представляют интереса, и
наоборот, выделить те из них, которые имеют
непосредственное отношение к рассматриваемому вопросу.
Однако из этих фрагментов легко можно собрать
оптическую схему по сути любого назначения, конечно, при
соответствующем выборе их оптических характеристик (параметров).
Если Вы обратили внимание, в предыдущих главах, обсуждая различные
оптические схемы, мы ни разу не упоминали о физических размерах оптических
элементов. Теперь мы постараемся восполнить этот пробел.
Действительно, световые диаметры оправ линз или
каких-либо иных «пустых» отверстий, часто называемых
диафрагмами, с одной стороны, позволяют улучшить ка-
178
Диафрагмы
в оптических
приборах

чество создаваемого изображения, а с другой — легко привести его к виду,
совершенно не пригодному для восприятия.
Среди всех ограничивающих диафрагм (или отверстий), присутствующих
в оптической системе, по важности выделяют две — апертурную диафрагму и
диафрагму поля зрения. Нередко апертурную диафрагму называют действующей, а
диафрагму поля зрения — просто полевой.
Кстати, даже одна-единственная простая линза в оптической системе (не
говоря уже о сложных конструкциях), по существу, всегда «работает» совместно с этими
диафрагмами. Просто роль этих диафрагм выполняют или конечные размеры линзы,
или диаметр ее оправы, или непосредственно размеры самого объекта (предмета).
Прежде чем приступить к анализу вопросов, связанных с ограничением пучков
света в оптических системах, хотелось бы сказать несколько слов (а скорее,
напомнить) о том, что оптическая система вполне может рассматриваться как система,
осуществляющая «перенос» энергии от каждой точки пространства предметов во
вполне определенную (сопряженную) точку пространства изображений. Поэтому,
чтобы не путаться в определениях и забегая несколько вперед, заметим, что в оптике
предмет обычно характеризуется яркостью, а его изображение — освещенностью.
Отметим, что яркость, освещенность и световой поток — это фотометрические
понятия, связанные непосредственно со зрительным восприятием изображений.
Естественно, подобие изображения реальному предмету не будет
ограничиваться только правильностью передачи его геометрии. Необходимо стремиться
к максимально верной передаче яркости и цвета отдельных точек изображения,
строго соответствующих яркости и цвету сопряженных точек предмета.
а Обратите внимание: Чтобы в дальнейшем не возникало
вопросов в определении фотометрических характеристик предмета
и его изображения, отметим, что при зрительном восприятии
некоего изображения некоего предмета мы нередко будем
употреблять термин «яркость» вместо освещенности.
Дело в том, что при визуальном восприятии (глазами)
изображение, по сути, воспринимается как совокупность
некоего числа точек различной яркости, а при фотометрическом
анализе некоего изображения с помощью фотометрического
устройства нам будет важна освещенность, создаваемая на
фоточувствительном элементе каждой точкой изображения.
Только и всего!
На этом мы пока ограничимся обсуждением фотометрических характеристик
предмета и его изображения (тем более что этому будет посвящена отдельная глава),
а вернемся снова к одному из центральных вопросов геометрической оптики: каким
образом геометрические размеры отдельных оптических элементов и их
расположение в оптической схеме могут повлиять на качество создаваемого изображения.
ЗА. Апертурная диафрагма и ее «фантомы»
Материальная диафрагма, которая сильнее всего ограничивает диаметр пучка
лучей (а в принципе, распространяющийся световой поток), излучаемых осевой
точкой предмета, и, тем самым, определяет освещенность создаваемого изображения,
называется апертурной диафрагмой. Уменьшение или увеличение диаметра
отверстия апертурной диафрагмы приводит к уменьшению или увеличению диаметра
пучка, а следовательно, и величины того светового потока, который будет определять
освещенность изображения точки, формируемой объективом (или оптической
системой в целом).
179

a
Замечание: Здесь следует отметить (и это следовало бы
и запомнить), что физики, а вместе с ними и специалисты,
занимающиеся физической оптикой вообще, очень часто,
обсуждая оптические схемы, называют любое отверстие апертурой.
В буквальном смысле это верно. По латыни слово «apertus»
означает «открытый», а как синоним — нередко просто
отверстие .
Но в геометрической оптике это слово связано с вполне
конкретными понятиями, которые служат для определения таких
важнейших параметров оптической системы, как апертурная
диафрагма, апертурный угол, численная апертура и т. д.
Бездумное манипулирование словом апертура, как
правило, ни к чему хорошему, кроме путаницы, не приводит.
Поэтому будьте внимательны и уважайте своих коллег.
С апертурной диафрагмой тесно связаны два ее «фантома-спутника» —
входной и выходной зрачки, которые могут существовать только в виде ее
изображений (по определению!), в то время как сама апертурная диафрагма всегда
материальна. Входной и выходной зрачки, являясь изображением апертурной диафрагмы,
сопряжены с ней и в то же время сопряжены между собой.
й
Замечание: Однако иногда для входного и выходного
зрачков просто невозможно по вполне объективным причинам
построить изображение. Это те частные случаи, когда
местоположение входного или выходного зрачков совмещено с
оправами оптических элементов или непосредственно с самими
диафрагмами. В этом случае, к сожалению, и нередко, говорят,
что входным (или выходным) зрачком является оправа
оптического элемента или непосредственно сама диафрагма.
На самом же деле оправа оптического элемента (или
материализованная диафрагма) является в этом случае
апертурной диафрагмой, а ее изображения, входной или выходной
зрачки, просто совпадают с ней. Конечно, можно сказать, что
входной (или выходной) зрачок материальны, но они
по-прежнему являются отображением апертурной диафрагмы или в
пространстве предметов, или в пространстве изображений.
Но об этих случаях ниже.
Для того чтобы понять востребованность апертурной диафрагмы оптической
системой, мы начнем с самых простых «бумажных экспериментов». Под «бумажным
экспериментом» мы будем понимать обычное предварительное моделирование
оптических систем, выполненное на бумаге с обязательным (осмысленным!) анализом
прохождения лучей света от источника излучения (или точки предмета) до
формируемого системой его изображения.
К сожалению, мы просто вынуждены обращаться к «бумажным»
экспериментам, так как, кроме листа бумаги и карандаша в руках, у нас больше ничего нет и,
вероятно, на протяжении всей книги ничего и не будет!
й
Замечание: Во всех-наших обсуждениях, для простоты, мы
будем использовать только понятие «тонкой» линзы, в которой
главные и узловые плоскости, а с ними главные и узловые
точки совмещены.
180

Поэтому на приводимых рисунках мы будем показывать
совмещенные плоскости в виде одной жирной прямой линии,
перпендикулярной к оптической оси и обозначенной символами
Н и Н'.
Апертурная
диафрагма и ее
назначение
«Соберем» на бумаге довольно простую
оптическую схему, состоящую из двух одинаковых тонких
двояковыпуклых (собирающих) линз. Чтобы «не возиться» с
поиском направления распространения лучей в
воздушном промежутке между линзами, совместим задний фокус
первой линзы с передним фокусом второй, а точечный источник (а это может быть и
точка предмета) расположим в точке переднего фокуса первой
линзы (рис. 3.1). Схема довольно проста и позволяет, особо не «ломая голову»,
определить в ней направление распространяющихся пучков лучей.
Из рисунка следует, что расходящийся пучок лучей, излучаемый точечным
источником, расположенным на оптической оси в переднем фокусе ¥\ первой линзы,
распространяясь в пространстве предметов, полностью «зальет» ее входное
отверстие и будет преобразован ею в пучок параллельных лучей. Диаметр этого пучка
(осевого!) за линзой будет ограничен только световым диаметром первой линзы. Так
как в схеме используются два совершенно одинаковых оптических элемента, то
пучок параллельных лучей, распространяясь вдоль оптической оси, естественно,
полностью «зальет» световой диаметр второй линзы и будет преобразован ею в
сходящийся пучок, который и сформирует в ее заднем фокусе F£ действительное изображение
точечного источника излучения. Кстати, его изображение можно наблюдать на
каком-либо экране или листе бумаги.
Как видите, все очень просто! Казалось бы, схема идеальна! Но стоит нам
переместить источник излучения в новое положение, например, в точку А, и
прорисовать ход лучей для этого случая, как мы увидим, что часть пучка, который прошел
без помех первую линзу, будет срезаться оправой второй линзы. Количество света,
которое будет участвовать в формировании изображения А' источника — точки А,
будет несколько меньше, и это «меньше» будет пропорционально «срезанной» части
пучка.
Еще хуже будет складываться ситуация для лучей, излучаемых источником
света, расположенным в точке В. От широкого пучка, пропущенного первой линзой,
за второй линзой останется «всего ничего»! Изображение точечного источника в
положении В будет формироваться узким пучком лучей, высвеченным на рисунке
зеленым цветом. Распределение освещенности в области формируемого изображения
Рис. 3.1. Ограничение пучков оправами оптических элементов. Распределение
освещенности в плоскости изображения предмета — неравномерное.
181

показано на рис. 3.1, справа, как для точек в положении Fb А, В, так и по всему полю
(в виде прямоугольника неравномерной яркости).
а Замечание: Если представить себе, что рассматриваемые
точки — это отдельные элементы разложения некой сцены, то
вряд ли кому доставит удовольствие рассматривать ее
изображение, сформированное такой системой.
И уж совсем неважно будут обстоять дела, если в
качестве регистрирующего элемента мы воспользуемся фотоприемным
устройством: результат будет вполне предсказуем. Попытки
«вытянуть» информацию при неравномерной освещенности поля
изображения приведут или к перенасыщению фотоприемника, или
к простой потере полезной информации.
Теперь предположим, что крайнее положение источника излучения,
изображение которого мы хотим получить, определяется точкой В.
Из предыдущих рассуждений ясно, что диаметр пучка лучей, участвующего в
формировании изображения источника В, значительно меньше диаметра пучка
лучей, формирующего изображение источника, расположенного на оптической оси.
Естественно, разница в диаметрах пучков приведет к различным величинам световых
потоков, участвующих в формировании изображений, и, как следствие, к их
различной освещенности.
Уравнять освещенность изображений источников излучения можно самым
простым способом — сделать одинаковыми диаметры пучков, формирующих
изображения источников. Именно так на практике чаще всего и поступают. А делается это
следующим образом: в плоскости, где пересекаются все пучки, участвующие в
формировании изображений всех источников света, устанавливают диафрагму в виде
простого отверстия в непрозрачном материале. В нашей схеме (рис. 3.2) это
плоскость совмещенных фокальных плоскостей обеих линз (точка ¥[ — F2). Причем
размер этой диафрагмы выбирается равным диаметру пучка, пропускаемого системой от
крайнего источника излучения В.
А теперь, как бы мы ни перемещали источник излучения в фокальной
плоскости первой линзы между точками А и В, освещенность изображений всех источников
излучения будет всегда оставаться постоянной. Правда, мы несколько проиграли
в уровне освещенности, но зато она стала равномерной по всему полю изображения
нашей сцены. Здесь уж ничего не поделаешь. Если жизнь полна неожиданностей,
то оптика полна компромиссов! И с этим приходится мириться!
182

Именно эта диафрагма в оптике носит название апертурной диафрагмы.
Ограничивая размеры пучков, излучаемых точечными источниками (или отражаемых
отдельными точками предмета), апертурная диафрагма определяет величину светового
потока, участвующего в формировании изображения, обеспечивая тем самым
равномерное по освещенности поле в плоскости создаваемого изображения.
Именно в этом суть и важность ее назначения.
Апертурные
углы
I Следующей важнейшей характеристикой
оптических систем, непосредственно связанной с апертурной
диафрагмой, является апертурный угол.
В геометрической оптике под апертурным углом
понимают половину плоского угла, под которым видно изображение апертурной
диафрагмы из осевой (лежащей на оси) точки предмета или из осевой точки его
изображения. В первом случае этот угол называют апертурным углом пространства
предметов (иногда передним апертурным углом), а во втором — апертурным углом
пространства изображений (нередко задним апертурным углом).
Вообще-то любой пучок расходящихся (или сходящихся) лучей представляет
собой с позиций математики обычный конус, который можно охарактеризовать
плоским углом в осевом сечении 2а (рис. 3.3).
По сути, апертурный угол пространства предметов определяет величину
конуса, в котором распространяется энергия расходящегося пучка лучей, поступающая в
оптическую систему, а апертурный угол пространства изображений определяет
величину конуса, в котором сконцентрирована энергия сходящегося пучка лучей,
участвующая в формировании изображения источника света.
Очевидно, численное значение апертурного угла (или его величина) будет
зависеть как от расположения источника излучения (расстояния от осевой точки
предмета), так и от диаметра апертурной диафрагмы.
В приближении малых углов величина апертурного угла в пространстве
предметов определяется как отношение радиуса входного зрачка (изображения
апертурной диафрагмы в пространстве предметов) к расстоянию от осевой точки предмета
до плоскости, в которой расположен входной зрачок системы. Соответственно
величина апертурного угла в пространстве изображений определяется как
отношение радиуса выходного зрачка (изображения апертурной диафрагмы в пространстве
Объектив
.. 2ст icSJk I
-К— Г)':
■ г г\Гг,р
с которой совмещен
выходной зрачок
Рис. 3.3. Световой поток, распространяющийся в конусе с апертурным углом ст.
183

изображений) к расстоянию от плоскости выходного зрачка до осевой точки
изображения.
В случае больших углов, как следует из рис. 3.3, апертурный угол в
пространстве предметов будет равен значению арктангенса отношения половины диаметра
входного зрачка DBX зр/2 к расстоянию L от осевой точки наблюдаемого предмета до
расположения изображения входного зрачка, т. е.:
а = arctg
А,
2L
(3.1)
Сопряженный ему апертурный угол в пространстве изображений а' можно
найти аналогично:
<х = arctg
Д.
2V
(3.2)
где L' = А'С— расстояние от осевой точки предмета до изображения выходного
зрачка, a DBbIX зр = 2В'С — диаметр выходного зрачка.
Для оптической схемы, состоящей всего лишь из одной тонкой линзы (рис. 3.4),
в которой и апертурная диафрагма, и входной зрачок совмещены с главной
плоскостью линзы, а источник излучения (или осевая точка предмета) расположены в точке
фокуса F, выражение (3.1) можно переписать так:
a = arctgf^\ (3.3)
Естественно, изображение источника (или точки предмета) в подобной
системе будет отображаться в бесконечности. В этом случае в выражении (3.2) расстояние
от изображения источника излучения до плоскости входного зрачка (Z/) следует
заменить бесконечностью и апертурный угол а' в этом случае будет равен нулю
(G' = 0).
Между апертурными углами а и а' существует простая связь. Ее легко
установить, если воспользоваться формулой (2.35), связывающей линейное и угловое
увеличения:
Апертурная диафрагма -
входной зрачок, диаметр D
D
ст' = 0
Y
+О0
Рис. 3.4. Апертурные углы в пространстве предметов а и
изображений а'. Источник излучения расположен в точке
переднего фокуса тонкой линзы.
184

n 1
tga' = ytga = — -tga,
n p
(3.4)
где у — угловое увеличение в точках А и А', ар — линейное увеличение в этих же
точках.
й
Замечание: Все полученные нами выражения для апертур-
ных углов справедливы только в области нулевых лучей.
Но нередко складывается ситуация, когда перед входным
отверстием находится среда с более высоким, чем у воздуха,
показателем преломления л' (рис. 3.5).
О^::;
2&
ьк5
I-
iL
Е
G'\j
D
^?
Рис. 3.5. К определению апертурного угла при больших его значениях, когда
между входным отверстием и объективом находится среда с более высоким,
чем у воздуха, показателем преломления ri > 1.
В этом случае значение апертурного угла можно найти,
например, с помощью закона преломления Снеллиуса: sina =
= n'sina' (л = 1) .
Отсюда следует, что угол а в воздухе больше, чем угол
а' в среде. И при отсутствии среды с более высоким
показателем преломления л' крайние лучи пучка, излучаемые источником
А, заведомо в систему бы не прошли (на рис. 3.5 показан
только луч BE).
Среда с показателем л' обеспечивает прохождение в
систему всего светового потока, распространяющегося в угле 2а,
и произведение n'sin а' полностью характеризует линзовую
систему по ее «пропускной способности». Следует заметить,
что световой поток, ограничиваемый значением sina в
воздухе, полностью эквивалентен световому потоку, определяемому
произведением n'sina' в среде.
Произведение л'з1па' Эрнст Аббе назвал «численной
апертурой». Такой подход к определению апертуры наиболее часто
используется в микроскопии. Понятие численной апертуры, по
•сути, определяет приведенное (редуцированное) к воздуху
значение апертурного угла а'.
Внимательный читатель, наверняка, и без нас заметил
полную аналогию между понятиями «численной апертуры» и «оп-
185

тической длины пути». В первом случае это приведение к
воздуху значения апертурного угла, во втором — это приведение
к воздуху длины пути светового луча в некоторой среде.
Только и всего!
Если обобщить сказанное, то плоский угол, основанием которого является
половина диаметра входного зрачка, а вершиной — осевая точка предмета, называется
апертурным углом в пространстве предметов, а сопряженный ему угол в
пространстве изображений — апертурным углом в пространстве изображений.
Этого, пожалуй, вполне достаточно для понимания той роли, которую
выполняют апертурная диафрагма и ее «фантомы» в оптической системе (приборе).
3.1.1. Входной и выходной зрачки
Мы уже говорили о том, что с апертурной диафрагмой тесно связаны два ее
«фантома-спутника» — входной и выходной зрачки, которые могут существовать
только в виде изображений, в то время как сама апертурная диафрагма вполне
материальна и представляет собой чаще всего круглое отверстие в каком-либо
непрозрачном материале. Правда, нередки случаи, когда входной и выходной зрачки (а можно
сказать, их изображения!) совмещены с апертурной диафрагмой.
г^ Это интересно: Определение (название) изображений
^ апертурной диафрагмы в виде входных и выходных зрачков
впервые ввел Эрнст Аббе.
Входной и Входным зрачком называют изображение апер-
выходной зрачки турной диафрагмы в пространстве предметов, а выходным
в оптической зрачком — ее изображение в пространстве изображений.
системе Если в оптической системе присутствует реальная
- материальная апертурная диафрагма, то, и нередко,
входной зрачок (а совсем не диаметр объектива!) является тем
отверстием, которое «ограничивает» световые пучки лучей, входящие в систему, в то
время как выходной зрачок является тем отверстием, которое «ограничивает»
световые пучки лучей, выходящие из системы.
В действительности входной и выходной зрачки, являясь всего лишь
изображениями (если они не совмещены с материальной диафрагмой или оправами линз),
не могут никоим образом ограничивать распространяющиеся пучки лучей. Лучи
пучка, «ограничиваемые» входным зрачком, на самом деле могут свободно попасть в
оптическую систему, но, встретив на своем пути материальную апертурную
диафрагму, они непременно будут задержаны ею и в пространство изображений уже не
пройдут.
Но входной зрачок, являясь сопряженным изображением апертурной
диафрагмы, способен продемонстрировать, какие лучи будут пропущены апертурной
диафрагмой, а какие нет. Именно в этом смысле (и только в этом!) и следует понимать
утверждение, что изображение материальной диафрагмы, т. е. входной зрачок,
ограничивает пучки лучей, проходящие через оптическую систему. В этом же смысле
следует понимать и ограничение пучков лучей, которое выполняет выходной зрачок.
Об этом необходимо помнить всегда!
й
Замечание: Когда мы будем говорить, что пучок лучей
ограничивается входным (или выходным) зрачком оптической
системы, если, конечно, они не совмещены с материальной апер-
186

турной диафрагмой, не следует понимать нас буквально!
Входной и выходной зрачки, являясь всего лишь изображениями
апертурной диафрагмы, а даже нередко ее мнимыми
изображениями, конечно, ничего ограничивать не могут. Но при
графических построениях или аналитических вычислениях они могут
«показать», какие лучи смогут участвовать в формировании
изображения, создаваемого оптической системой, а какие нет!
Положение изображений апертурной диафрагмы в оптической схеме, т. е.
входного и выходного зрачков, можно найти как с помощью графических
построений, так и с помощью аналитических вычислений, используя для этого простые
формулы гауссовой оптики, о которых мы уже рассказывали в предыдущей главе.
Графический
способ
определения
положения
входного и выходного
зрачков
Входной зрачок, который является изображением
материальной апертурной диафрагмы в пространстве
предметов, естественно, можно получить только в
обратном ходе лучей (против направления распространения
света) и с помощью только тех оптических элементов,
которые свет успел пройти при своем распространении до
встречи с апертурной диафрагмой.
Изображение же выходного зрачка, который тоже
является отображением апертурной диафрагмы, но только в пространстве
изображений, можно построить только в прямом ходе лучей (по направлению
распространения света) и с помощью только тех оптических элементов, которые лучам еще
предстоит пройти после встречи с материальной апертурной диафрагмой.
Изображения апертурной диафрагмы могут быть как действительными, так и
мнимыми, как увеличенными, так и уменьшенными, как прямыми, так и обратными
(перевернутыми), и могут располагаться как в пространстве изображений, так и в
пространстве предметов!
Если обратиться вновь к нашей схеме (см. рис. 3.1 или 3.2), то оптические
элементы (линзы), расположенные слева и справа относительно апертурной диафрагмы
(а впредь мы ее будем называть только так), позволяют получить ее изображения как
в пространстве предметов, так и в пространстве изображений.
Причем, если ее изображение в пространстве изображений можно получить с
помощью второй линзы, продолжая лучи в направлении распространения света (это и
есть «прямой ход»), то ее изображение в пространстве предметов можно получить
только с помощью первой линзы, строя лучи в обратном направлении (в «обратном ходе»).
Как выполнить это на практике, мы покажем на примере нашей прежней
схемы (см. рис. 3.1 или 3.2), но, для простоты графических построений и лучшего
понимания, предварительно разнесем объективы в пространстве так, чтобы задний фокус
первой линзы сместился относительно переднего фокуса второй линзы на некоторое
расстояние, например, А (рис. 3.6). Апертурную диафрагму в новой оптической схеме
выставим строго посредине промежутка между точками фокусов линз и не будем
забывать, что обе линзы схемы абсолютно идентичны (хотя это и не обязательно!).
Графические работы, связанные с созданием изображений апертурной
диафрагмы, достаточно просты. Чтобы не отвлекаться на описание порядка их
выполнения (а мы это делали в первой главе не раз!), все построения, выполненные «в
обратном ходе», мы высветили зеленым цветом, а все построения «в прямом ходе» —
коричневым. Кроме того, прямое и обратное направления на рисунке отмечены
стрелками. Очередность вычерчивания линий — лучей особого значения не имеет.
В результате этих построений мы получим изображения апертурной
диафрагмы в пространстве предметов (зеленый цвет) и в пространстве изображений (корич-
187

Входной зрачок
Выходной зрачок
диафрагма
Рис. 3.6. Построение изображений апертурной диафрагмы в прямом и обратном ходе лучей.
невый цвет). Оба изображения действительные и перевернутые, что, правда, для нас
совсем и неважно, так как наша оптическая схема обладает круговой симметрией.
Однако, особо подчеркнем — зрачки входа и выхода, хотя и построены с помощью
каждого отдельно взятого компонента системы, по существу, являются зрачками
входа и выхода для всей системы в целом!
Мы получили эскиз нашей оптической схемы с традиционным (но совсем не
обязательным!) расположением ее элементов, а главное, в том порядке, в каком ее
будут (и должны!) проходить пучки лучей, излучаемые каким-либо источником света.
Действительно, пучок лучей света, распространяясь слева направо, сначала
встречает входной зрачок (кстати, так и должно быть!), затем первую линзу,
распространяясь далее, пучок проходит материальную апертурную диафрагму, которая и
ограничивает его сечение, затем вторую линзу и, наконец, встречает выходной зрачок.
Замечание: Именно такой порядок прохождения лучей
через оптическую систему нужно (и должно!) применять при
анализе любых оптических схем. Этот порядок необходимо
запомнить раз и навсегда.
Если же вернуться к оптической схеме, отображенной на рис. 3.2, когда
материальная апертурная диафрагма располагалась в плоскости совмещенных заднего и
переднего фокусов оптических элементов, то становится понятным, что изображения
входного и выходного зрачков будут располагаться в бесконечности (рис. 3.7).
Апертурная
^ диафрагма
" Н2
Рис. 3.7. Апертурная диафрагма расположена в совмещенных фокальных плоскостях.
Зрачок входа и зрачок выхода системы расположены в бесконечности.
188

В этом случае зрачки входа и выхода (по нашей схеме) становятся бесконечно
большими.
а
Замечание: На рисунках, связанных с апертурной
диафрагмой и ее изображениями, приняты следующие обозначения:
непосредственно материальная диафрагма обозначается
строчными буквами р! и р2, ее изображение в пространстве
предметов — этими же буквами с одним штрихом, р[ и р2, а в
пространстве изображений — этими же буквами, но с двумя
штрихами, т. е. р" и р".
Аналитический
способ
определения положения
входного и
выходного зрачков
Найти положение и размеры зрачков входа и
выхода аналитическими методами не сложнее, чем положение
изображения любого предмета, сформированного
оптической системой.
Правда, при этом необходимо всегда учитывать
одну очень важную особенность, которая заключается в том,
,"™"ттяяштшттттт— что ПрИ ф0рМИр0вании изображения выходного зрачка
предметом всегда будет являться изображение входного
зрачка, и наоборот, при формировании изображения входного зрачка предметом
всегда будет являться изображение выходного зрачка и совсем неважно, совмещены эти
изображения с материальной апертурной диафрагмой или нет.
Вроде бы пустяк! Но именно в этом «пустяке», как Вы увидите дальше,
«зарыта собака»!
а
Замечание: Действительно, можно исходить из того, что
входной и выходной зрачки могут существовать только как
изображения апертурной диафрагмы (по их определению!). И
это абсолютно верно!
Но с такой же легкостью можно считать, что при
формировании изображения выходного зрачка предметом будет
являться изображение входного и, наоборот, при формировании
изображения входного зрачка предметом будет являться
изображение выходного зрачка.
Правда, и нередко, можно услышать фразу, что «входной
(или выходной) зрачок совмещен с апертурной диафрагмой», но
на самом деле с ней может быть совмещено только его
изображение (по определению зрачков!).
Но нередки случаи, когда изображения входного или
выходного зрачков просто невозможно построить. В этом случае
и принято считать, что зрачок входа (или выхода) совмещен
с апертурной диафрагмой.
Действительно, если мы обратимся к рис. 3.7, то д л я линзы L| апертур-
ная диафрагма одновременно является и выходным зрачком (изображение выходного
зрачка совмещено с апертурной диафрагмой). Это и есть тот самый случай, в котором
«попробуй, разберись», изображение чего же мы строим: апертурной диафрагмы или
выходного зрачка!
' Обратимся вновь к нашей оптической системе, представленной на рис. 3.8.
Очевидно, что при аналитическом определении положения изображения зрачков
входа и выхода проще всего воспользоваться формулой Гаусса (2.23), которая
применительно к зрачкам в общем виде имеет вид
189

г
Входной зрачок
Апертурная
удиафрагма
Выходной зрачок
Л
Рис. 3.8. К аналитическому определению местоположения и геометрических размеров
входного и выходного зрачков. Апертурная диафрагма находится между линзами.
1
1
-*вх. зр
_1_
Г'
(3.5)
где явх зр — расстояние от совмещенных главных плоскостей тонкой линзы до
входного зрачка, Явых. зр — расстояние от совмещенных главных плоскостей тонкой линзы
до выходного зрачка системы, а/' — фокусное расстояние линзы.
Но прежде чем взяться за карандаш или ручку, обратите внимание на то, что
для правой половины нашей схемы (линза L2) апертурная диафрагма, расположенная
перед вторым оптическим элементом, ограничивает пучок лучей на его входе,
являясь одновременно для него и входным зрачком. В этом случае говорят, что
изображение входного зрачка (линза L2) совмещено с материальной апертурной диафрагмой.
А раз так, то следуя правилу, сформулированному выше, можно утверждать, что
изображение входного зрачка, совмещенное с материальной апертурной диафрагмой,
будет являться предметом для формирования изображения выходного зрачка.
Ну а дальше все как обычно: расстояние от тонкой линзы L2 до входного
зрачка, совмещенного с апертурной диафрагмой, будет равняться -я2ап, а расстояние до
изображения выходного зрачка — соответственно я2вых.зр» и Ф°РмУла Гаусса (2.27)
для нашего конкретного случая примет вид
1
1
а.
2вых. зр
J_
ТС
(3.6)
где f[ — фокусное расстояние линзы L2.
Совсем иная ситуация будет складываться для первой половины нашей схемы
(линза Li), когда по сути реальный предмет — апертурная диафрагма, расположенная
по направлению распространения света за первым оптическим элементом,
ограничивает пучок лучей на его выходе, являясь одновременно для первого компонента
выходным зрачком. В этом случае принято считать, что изображение выходного зрачка
совмещено с материальной апертурной диафрагмой. А теперь будьте внимательны.
По правилу, сформулированному выше, лучи, распространяясь слева направо,
за линзой должны сформировать изображение выходного зрачка. А раз так, то
предметом следует считать то, что должно находиться перед линзой. Но перед линзой
отсутствуют реальные объекты, а присутствует искусственно построенное, и против
всяких правил формирования изображений в реальных оптических системах,
изображение апертурной диафрагмы — входной зрачок системы. Как ни покажется
странным, но для этого случая предметом для определения положения изображения
выходного зрачка будет служить именно изображение входного зрачка со всеми выте-
190

кающими отсюда последствиями! А последствия таковы: расстояние от тонкой
линзы Li до предмета будет равно расстоянию до изображения входного зрачка, а
расстояние от той же линзы до его изображения — выходного зрачка (первой линзы), —
расстоянию до материальной апертурной диафрагмы.
Согласно обозначениям, принятым на рис. 3.8, формула Гаусса (2.27) для этого
случая принимает следующий вид:
#1ап #1вх. зр J\
где fl — фокусное расстояние линзы L\.
На первый взгляд, формулы (3.6) и (3.7) по структуре почти одинаковы, но
именно в этом «почти» и скрыт весь смысл происходящих в системе преобразований:
в первом случае расстояние до предмета действительно равно расстоянию до
реального предмета (апертурной диафрагмы), а во втором — расстоянию до его
изображения (изображения входного зрачка!), которое, кстати, графически мы получали,
считая предметом материальную апертурную диафрагму.
Если теперь разрешить уравнения (3.6) и (3.7) относительно искомых
расстояний Я2вых. зр И Я их. зр, ТО ПОЛуЧИМ
Я1вх.зр= ,ап , , (3.8)
/l-tflan
Я2вых.зр= — — - (3.9)
/2 + Я2ан
Принимая во внимание сформулированное выше правило, можем найти
линейное увеличение первой части системы (линзы L\) как
Q - а'1ю илир^--^-, (3.10)
а1вх. зр DlBX зр
где DaiI — диаметр апертурной диафрагмы, а Д вх зр — диаметр входного зрачка.
Откуда следует, что диаметр входного зрачка
Ав,зр=-^ = -^Ап- (3.11)
Pi tflan
Несколько иная ситуация складывается при вычислении диаметра выходного
зрачка системы, полученного с помощью второго оптического элемента. Теперь
апертурная диафрагма для второго оптического элемента является входным зрачком.
Виртуальное изображение входного зрачка совмещено с материальной апертурной
диафрагмой и является при формировании изображения выходного зрачка
предметом. В этом случае линейное увеличение для второй половины нашей системы может
быть найдено по формулам
Р^2вых. зр п ^2вых. зр /л 1/ЛЧ
2 = - или(32= —-, (3.12)
а диаметр выходного зрачка, соответственно
Авых. зр = -Р2Аш = -а'2ВЫХ-ЗРДп • (3.13)
Я2ап
Й
Замечание: Посмотрите, как меняются местами предмет и
его изображение при переходе от первого компонента схемы ко
второму. То, что для первого компонента служило изображе-
191

нием, для второго становится предметом. Казалось бы пустяк,
но при определении диаметров зрачков входа и выхода этот
«пустяк» играет очень важную роль!
Линейное увеличение в зрачках системы можно найти или как отношение
диаметра зрачка выхода к диаметру зрачка входа
^2вых. зр
IV
U1вх. зр
(3.14)
или как произведение увеличений
Рэр=Р.Р2. (3.15)
Определившись с расстояниями до зрачков входа и выхода и величиной их
диаметров, не составит труда найти апертурный угол в пространстве предметов:
(п Л
ьу\в\. зр
а = arctg
21
(3-16)
где L — расстояние от осевой точки предмета до входного зрачка, a DlBX зр —
диаметр входного зрачка.
Сопряженный ему апертурный угол & в пространстве изображений можно
найти аналогично:
& = arctg
D.
2вых. зр
2Z/
(3.17)
где L' — расстояние от осевой точки предмета до выходного зрачка, a D2Bbix. зр —
диаметр выходного зрачка.
В качестве предмета для размышлений приведем еще одну оптическую схему,
в которой оптические элементы сдвинем навстречу друг другу таким образом, чтобы
фокус первого элемента расположился внутри фокусного расстояния второго
элемента, и, наоборот, фокус второго элемента расположился внутри фокусного
расстояния первого (рис. 3.9).
Если теперь мы построим изображения входного и выходного зрачков и
сравним полученное расположение зрачков с их расположением на рис. 3.8, то нельзя не
Апертурная
Изображение диафрагма Изображение
выходного зрачка у У входного зрачка
Рис. 3.9. К аналитическому определению местоположения и геометрических размеров
входного и выходного зрачков при сдвинутых оптических элементах.
192

обратить внимание, что зрачки входа и выхода «поменялись» местами! Более того,
изображения зрачков мы получили на продолжении в обратном направлении лучей,
с помощью которых строили их изображения. А это верный признак того, что
изображения зрачков входа и выхода получились мнимыми прямыми и, как и прежде,
увеличенными.
С изменением положения зрачков изменились и направления отсчета
расстояний от оптических элементов до плоскости расположения зрачков, а с ними
поменялись и знаки этих отрезков.
Для этой оптической схемы выражения, определяющие положение входного и
выходного зрачков, будут иметь точно такой же вид, как и для оптической системы,
представленной на рис. 3.8:
*,в,зр=-^Ч (3.18)
/1 ~ Я1ап
^2вЫ,зр=-^-- (3.19)
/2 + Я 2ап
3.1.2. Распространение пучков света в оптических системах
Расположение и размеры апертурной диафрагмы и ее «фантомов» — зрачков
входа и выхода — не только определяют условия прохождения пучков лучей света
через оптическую систему, но и задают направление их распространения.
Проследить же, как ведут себя пучки света внутри системы, не только интересно, но и
весьма полезно.
Но прежде познакомимся еще с одним очень важным элементом
геометрической оптики — главными лучами пучков.
Главные лучи
и их прохождение
через систему
В основе всех геометрических построений,
выполняемых оптической системой, хотя, возможно, это и
покажется поначалу странным (и об этом уже говорили),
лежат основные положения проективной геометрии. При-
~^~—~~"""""""""^—"" чем центром проекции, и это тоже не может не удивить,
является центр апертурной диафрагмы, а проектирующими лучами — осевые лучи
пучков, излучаемые точечными источниками света и ограниченные диаметром
апертурной диафрагмы.
а
Замечание: В этом нет ничего удивительного: мы сами
расположили апертурную диафрагму в плоскости, в которой
должны пересекаться все пучки лучей, попадающие в оптическую
систему, а их осевые лучи, естественно, должны проходить
через точку пересечения этой плоскости с оптической осью.
В предыдущей главе, когда мы выполняли графические
построения при определении положения изображений осевых и вне-
осевых точек, мы также применяли правила проективной
геометрии, но в качестве центра проекции использовали оптический
центр оптического элемента — линзы. И все было абсолютно
верно! Дело в том, что во второй главе в рассматриваемых
нами оптических системах все три компонента, а именно, входной
зрачок, апертурная диафрагма и выходной зрачок, были, по
существу, совмещены в главной плоскости тонкой линзы.
Так что — никаких противоречий!
193

А поскольку входной и выходной зрачки являются сопряженными
изображениями все той же апертурной диафрагмы, то интуитивно понятно, что
геометрический центр каждой из них также можно рассматривать как центр проекции, но с
одной оговоркой — один в пространстве предметов, а другой — в пространстве
изображений.
Во всех пучках лучей — сходящихся или расходящихся, —
распространяющихся вдоль оптической оси или наклонно к ней, всегда можно найти средний
(осевой) луч пучка. В центрированной оптической системе при расположении источника
излучения (или точки предмета) на оптической оси этот луч всегда будет совпадать
с оптической осью.
Естественно, что в этом случае осевой луч пучка должен пройти (просто
обязан!) через геометрические центры всех оптических элементов, будь то линзы или
простые диафрагмы, присутствующие в этой схеме.
На рис. 3.10 апертурная диафрагма и ее зрачки входа—выхода совмещены
с главной плоскостью тонкой линзы НН', а геометрический центр апертурной
диафрагмы совмещен с геометрическим центром тонкой линзы.
Обратите внимание: осевой луч АА' пучка лучей, распространяющегося вдоль
оси оптической системы, проходит через центр апертурной диафрагмы. Но пучок
лучей, испускаемый точечным источником света, расположенным на оптической оси,
всего лишь частный (но не редкий!) случай, встречающийся при анализе оптических
систем.
Намного больший интерес представляют наклонные пучки лучей, т. е. пучки
лучей, попадающие в оптическую систему под некоторым углом к оптической оси.
Они могут также быть сходящимися, расходящимися или параллельными. На
рис. 3.10 показан осевой луч ВВ' расходящегося наклонного пучка, который также
проходит через центр апертурной диафрагмы.
Итак, осевой луч пучка, испускаемого произвольно расположенным в
пространстве предметов точечным источником излучения (или произвольной точкой
предмета), но обязательно проходящий через геометрический центр апертурной
диафрагмы, в геометрической оптике принято называть главным лучом пучка или просто
главным лучом.
В то же время в силу сопряженности изображений входного и выходного
зрачков с апертурной диафрагмой главные лучи пучков должны (просто обязаны!)
проходить при своем распространении в системе через геометрические центры зрачков
входа и выхода. А это значит, что для главного луча в пространстве предметов всегда
существует сопряженный ему луч в пространстве изображений. Такими главными
лучами на рис. 3.10 в пространстве предметов являются лучи АО и ВО, а в
пространстве изображений сопряженные им О А' и ОВ\
1 в
1 А
Рис. 3.
объект
_ _х
»
»
Ч
10. Апертурная диафрагма, входной и i
ива. АО и ВО — главные лучи в прост]
странстве изображу
О """^-С"
fL;
выходной зрачки совмещены с
занстве предметов, О А' и ОВ' -
;ний.
•В'
оправой
— в про-
194

Нетрудно сообразить, что главные лучи, являясь осевыми лучами пучков
(сходящихся, расходящихся, параллельных), фактически определяют направление
распространения пучка лучей в пространстве.
Приведенный пример очень прост и малоинтересен. Поэтому мы несколько
усложним задачу, обратившись к рис. 3.11.
Так как апертурная диафрагма располагается за линзой и является последним
материальным элементом в системе, несложно догадаться, что выходной зрачок
системы совмещен с апертурной диафрагмой. Если построить изображение входного
зрачка в обратном ходе лучей, то он окажется в пространстве изображений, более
того — за апертурной диафрагмой.
На самом же деле входной зрачок принадлежит (как и должно!) пространству
предметов. Не будем забывать, что оно простирается от плюс до минус
бесконечности и в данном случае просто «наложилось» на пространство изображений!
Возникает вопрос, как же в подобной системе будет распространяться главный
луч произвольного наклонного пучка? Если рассуждать по «логике вещей», то
распространяющийся в пространстве предметов главный луч наклонного пучка сначала
должен встретить входной зрачок системы и пройти через его геометрический центр Р'.
Затем, распространяясь далее, он должен встретить апертурную диафрагму и
только потом — выходной зрачок. Но апертурная диафрагма (материальный
компонент оптической схемы!) расположена за объективом по ходу распространения света.
Поэтому главный луч наклонного пучка должен преломиться в главной плоскости
линзы таким образом, чтобы, распространяясь, далее пройти через геометрический
центр апертурной диафрагмы Р (и геометрический центр сопряженного с ней
изображения выходного зрачка!).
Если все то, что мы «наговорили», понятно, построение хода главного луча
наклонного пучка пойдет как «по маслу»: сначала проводим прямую линию ВР' из
конечной точки стрелки — предмета через геометрический центр Р' входного зрачка, не
обращая при этом никакого внимания на присутствие линзы (ведь все у нас происходит
в пространстве предметов, т. е. до линзы!). Затем проводим прямую DB' (из точки D
пересечения главного луча ВР' пространства предметов с главными плоскостями НН'
тонкой линзы) и обязательно через геометрический центр Р апертурной диафрагмы,
с которой совмещен и геометрический центр выходного зрачка системы Р".
Полученная ломаная линия BDB' и показывает направление распространения
главного луча через предложенную оптическую систему.
Апертурная диафрагма и
выходной зрачок
Входной зрачок
i f
Рис. 3.11. Прохождение главного луча наклонного пучка через оптическую систему
с апертурной диафрагмой, расположенной за оптическим элементом.
195

Но еще интереснее посмотреть, как поведет себя горизонтальный луч,
исходящий из вершины стрелки В. Очевидно, он должен повторить весь путь главного
луча. Сначала, в пространстве предметов, он должен встретить входной зрачок
системы pip2, затем «залить» светом оптический элемент, а практически его часть
(окружность диаметром mn, ограниченную лучами пучка, основание которого
определяется размерами входного зрачка!). Затем, но уже в пространстве изображений,
пройти апертурную диафрагму рф2 и только потом — выходной зрачок р"р2'. Нетрудно
сообразить, что точки pi и рь р2 и р2, pi и р", р2 и р2' сопряжены между собой.
Все лучи пучка, как и главный луч, преломившись на главных плоскостях
оптического элемента, в пространстве изображений должны пройти через
соответствующие сопряженные точки апертурной диафрагмы и выходного зрачка, образуя
сходящийся пучок лучей, вершина В' которого будет являться изображением точки В.
Выполнив все графические построения по предложенным правилам, мы, по
сути, получили реальную картину прохождения лучей гомоцентрического пучка
света через идеальную оптическую систему.
Именно использование свойств идеальных оптических систем и тех правил
графических построений, которые мы установили выше, позволяют нам легко
проводить графический анализ прохождения пучков лучей света через оптические системы
любой сложности.
Заметим, что все дополнительные графические построения, необходимые для
определения положения и размера входного зрачка, а также для определения
положения и размера предмета, на рисунке выполнены тонким пунктиром соответствующих
цветов. И еще, для того чтобы получить изображения предмета (стрелки), вообще-то
было бы достаточно «опустить» перпендикуляр из точки В' на оптическую ось!
Убедились, как все просто?!
Прохождение
пучков лучей
света через
оптическую
систему
Определение положения входного и выходного
зрачков оптической системы с помощью графических
построений или с помощью аналитических вычислений —
не «блажь» и не наша прихоть. Знание их
местоположения в оптической схеме позволяет проследить и
проанализировать (и графически отобразить!) условия
прохождения пучков лучей света через всю оптическую
систему. А это значит, понять структуру распределения освещенности по полю
изображения. Не следует забывать, что равномерное распределение освещенности в
формируемом изображении — залог получения качественного изображения.
Графически проследить, как поведут себя пучки лучей в системе, не так уж и
сложно. Апертурная диафрагма и ее изображения всегда сопряжены
между собой! Именно это условие определяет, что все лучи, «пропущенные» входным
зрачком, просто обязаны пройти без каких-либо ограничений сквозь материальную
апертурную диафрагму и выходной зрачок системы.
Исходя из условия сопряженности апертурной диафрагмы и зрачков входа и
выхода, попробуем «прогнать» пучок лучей, излучаемый точечным источником,
расположенным на оптической оси (точка А), через всю систему, показанную на рис. 3.12.
Из условия сопряженности пространств следует, что лучи любого
направления, прошедшие, например, через точку pi входного зрачка, должны обязательно
пройти через сопряженную точку апертурной диафрагмы pi и сопряженную точку pi'
выходного зрачка.
Поэтому (и даже долго не размышляя!) соединим источник излучения А
прямой линией (распространяющимся лучом) с крайней точкой входного зрачка, точкой
Pi', и продолжим его до встречи с главной плоскостью первого оптического элемента
в точке ги. В этой точке, по идее, распространяющийся луч должен преломиться и
196

Рис. 3.12. Прохождение осевого пучка лучей, ограничиваемых апертурной диафрагмой.
пойти в направлении к следующей сопряженной точке рь принадлежащей
апертурной диафрагме pip2. Продолжим его до встречи с главной плоскостью второго
оптического компонента в точке п2. Испытав в этой точке преломление, этот луч в
пространстве изображений будет распространяться в направлении к следующей
сопряженной точке pi', принадлежащей выходному зрачку.
Точно так же будет распространяться и второй граничный луч пучка,
последовательно «пробегая» сопряженные точки р2, р2 и р2' входного зрачка, апертурной
диафрагмы и выходного зрачка, испытывая преломление на главных плоскостях
оптических элементов схемы.
Обратите внимание: крайние лучи пучка, пересекаясь друг с другом, дважды
пересекают оптическую ось, где формируют сопряженные изображения источника
излучения А, расположенного на оптической оси (точки А' и А").
Ну, а теперь самое интересное: хотя свет, излучаемый точечным источником А
(кстати, излучаемый по всем направлениям), «заливает» все световое отверстие
первого объектива Lb совершенно не «обращая внимания» на встречу с входным
зрачком, в формировании изображения источника А' участвует всего лишь небольшая его
часть, «пропущенная» отверстием pip2 входного зрачка. Более того, на выходе
системы пучок лучей, несущий потребителю информацию об изображении источника
излучения А", «ограничен» отверстием pi'p".
Кажется чудеса, да и только! Но чудес здесь нет! Конечно, никакие
изображения апертурной диафрагмы — действительные или мнимые — не могут
ограничивать распространяющийся в пространстве пучок лучей. Его может ограничивать
только реальная материальная апертурная диафрагма, а входной и выходной зрачки,
являясь всего лишь ее сопряженными изображениями, «способны» показать нам и
позволить правильно оценить ход лучей в оптической системе. Именно это
отображено на рис. 3.12, где серым цветом выделены области, в которые не попадают лучи
света благодаря апертурной диафрагме!
Выше мы рассматривали условия прохождения пучка лучей, излучаемого
осевым источником света. Но так же легко проследить прохождение пучка лучей через
оптическую систему от внеосевого источника, т. е. когда он смещен относительно
оптической оси (рис. 3.13).
Все построения выполнены в том же порядке, как и в первом примере. Более
того, все буквенные обозначения характерных точек мы оставили прежними.
Единственное, что нам пришлось сделать, — это увеличить размеры линз только для того,
чтобы исключить ограничение размеров пучка оптическими элементами, которые
были пропущены апертурной диафрагмой.
197

Входной
НД^2 Выходной I
пуг | \.ш зрачок I ■
Рис. 3.13. Ограничение апертурной диафрагмой наклонного пучка лучей от внеосевого
точечного источника.
Как и в первом примере, — а теперь уже это должно стать очевидным, —
пучок лучей «ограничивается» на входе системы размерами входного зрачка (хотя, на
самом деле, — материальной апертурной диафрагмой), а на ее выходе — размерами
выходного зрачка.
Пучки на рисунке стали «кривобокими», но количество излучаемой
источником энергии, участвующей в формировании изображения источника, осталось таким
же, как и в первом примере. Почему? Нетрудно сообразить, что оно определяется
размерами апертурной диафрагмы.
3.2. Анализ схем с различным расположением
апертурной диафрагмы
В предыдущем параграфе мы познакомились в общих чертах с назначением
апертурной диафрагмы. Познакомились и с ее «фантомами» — входным и выходным
зрачками. Показали, как при определенном положении апертурной диафрагмы найти
положение изображений зрачков входа и выхода либо с помощью графических
построений, либо с помощью аналитических вычислений.
Теперь настало время узнать (и понять!), как и каким образом они «работают»
все вместе. Как Вы увидите ниже, они не только не «спорят» между собой, а,
наоборот, «работают» настолько согласованно, что нельзя не восхищаться их
исключительной слаженностью при решении общих задач.
Апертурная диафрагма, являясь вполне самостоятельным элементом
оптической системы, и неважно, что ее роль нередко выполняет оправа какого-либо
оптического элемента, может располагаться в системе в самых различных местах. Но если
известно ее положение, нетрудно найти и положение ее «фантомов» — входного и
выходного зрачков, а выяснив, где, что и как располагается, провести анализ
прохождения пучков света (как осевых, так и наклонных) через всю оптическую систему.
Приступая к анализу прохождения пучков света через оптическую систему,
мы, прежде всего, должны определиться непосредственно с положением самой
апертурной диафрагмы, затем, исходя из ее положения, найти положение ее
изображений — зрачков входа и выхода, а затем прорисовать сами пучки (а можно, если этого
достаточно, только главные лучи).
Найти положения зрачков входа и выхода можно, используя лишь
графические построения или только аналитические вычисления. Безусловно, наиболее
наглядны графические методы анализа оптических систем, но более точны —
аналитические, а их совместное использование дает вообще прекрасные результаты.
198

В этом разделе мы покажем, где могут располагаться зрачки входа и выхода
при различном расположении апертурной диафрагмы относительно оптических
элементов оптических схем. Не выходя за рамки гауссовой оптики, на нескольких
примерах мы попытаемся определить положение зрачков входа и выхода и выполнить
анализ прохождения пучков лучей в оптической системе чисто графическими
методами, а затем, достаточно «набив руку» на этих методах, приведем примеры решения
этих же задач с помощью аналитических вычислений.
Й Значение: Пожалуйста, повнимательнее рассматривайте
рисунки. Мы специально на всех рисунках ниже старались
сохранить одни и те же символьные обозначения и одинаковую
раскраску пучков лучей. Поверьте, «осмысливая» рисунки, Вы
получите значительно больше информации, чем ее отражено в тексте!
В качестве общего замечания ко всему материалу, который мы будем излагать
ниже, хотелось бы еще раз напомнить, что оптические схемы, которые мы будем
рассматривать в приводимых примерах, это всего лишь отдельные фрагменты более
сложных (а может быть, и простых) оптических систем. На наш взгляд, чем проще
выглядит схема, тем проще понять, что же в ней происходит.
Но любую сложную оптическую систему всегда можно представить, как с о-
вокупность последовательно расположенных отдельных и
вполне самостоятельных оптических элементов (или фрагментов), что
позволяет последовательно проанализировать воздействие каждого элемента на
распространяющиеся пучки (или лучи) света. Нелишне напомнить еще раз: если Вы
выполняете графические построения в сложной оптической системе, то изображение,
полученное с помощью первого элемента, будет являться
предметом для второго, а изображение, полученное с помощью
второго элемента, будет предметом для третьего и т. д.
Если же Вы выполняете аналитические вычисления, то результаты
вычислений, полученные с помощью первого элемента, будут являться исходными данными
для второго, а результаты вычислений, полученные с помощью второго элемента, —
для третьего и т. д.
Это всегда нужно помнить и смело применять на практике!
3.2.1. Anepiypiian диафрагма перед on i ическмм элементом
Нередко на практике по каким-либо причинам возникает необходимость
в размещении материальной апертурной диафрагмы перед оптическим элементом
(рис. 3.14). Например, нам необходимо определить положение и диаметр выходного
зрачка, а также положение изображения источника излучения в случае, когда
диафрагма диаметром Dan = 25 мм располагается перед тонкой линзой с фокусным
расстоянием —f-f' = 100 мм и световым диаметром DCBeT = 35 мм на расстоянии яап =
= -50 мм. При этом источник излучения расположен перед линзой на расстоянии а =
= -500 мм.
Очевидно, световой поток, излучаемый точечным источником света по
всевозможным направлениям, полностью «зальет» отверстие апертурной диафрагмы и, уже
ограниченный ее размерами, распространяясь далее, достигнет поверхности линзы.
Так как по условию в качестве оптического элемента используется тонкая
линза, то можно считать, что все вошедшие в линзу лучи расходящегося пучка, испытав
преломление на ее главной плоскости, сформируют изображение источника в
пространстве изображений.
Если же излагать все подробно и по порядку, то это будет выглядеть так.
Первым элементом оптической системы, который встретит распространяющийся в
пространстве световой поток, будет апертурная диафрагма. Так как перед ней какие-либо
199

s
.... e
Апертурная
диафрагма
H|H'
1 m
Pi Pi
\
P2 P2
Q £■••
1 11
= -«ап
-/
~a с
/f >
а'
Рис. 3.14. Апертурная диафрагма расположена перед линзой.
Входной зрачок совпадает с апертурной диафрагмой.
1
1
. .S.'
i
оптические элементы отсутствуют, то входной зрачок системы (а именно его первым
должен встретить световой пучок!) совмещен с материальной апертурной
диафрагмой. Здесь все очень просто и, мы надеемся, все понятно: ограниченный размерами
апертурной диафрагмы световой пучок, распространяясь далее, встретит
непосредственно линзу, которая и сформирует изображение S' точки S.
Определение
положения
выходного зрачка
с помощью
графических
построений
\
Присутствие линзы за апертурной диафрагмой
позволяет нам построить изображение выходного зрачка в
«прямом» ходе лучей, что мы и сделаем (рис. 3.15). Все
необходимые для графических построений
вспомогательные лучи на рисунке высвечены серым цветом.
Если кто-то что-то и забыл, мы еще раз коротко
напомним: изображение выходного зрачка всегда строится в
Выходной Апертурная диафрагма
зрачок
Входной зрачок
S'
Рис. 3.15. Апертурная диафрагма расположена перед линзой. Графическое построение
выходного зрачка.
200

прямом ходе лучей. Поэтому из точки pj апертурной диафрагмы проводим прямую
линию pim', параллельную оптической оси. Очевидно, эта прямая линия (луч «прямого
хода») за линзой должна пройти через точку заднего фокуса линзы F. Теперь проведем
прямую линию piO — луч «прямого хода», проходящий через оптический центр линзы
О — ее главную точку. Если теперь продолжить прямые pjO и m'F в обратном
направлении, то точка pi' пересечения их продолжений даст нам положение одной из границ
выходного зрачка.
Поступив аналогичным образом для граничной точки р2 апертурной
диафрагмы, можно получить положение изображения второй границы выходного зрачка.
Ограничение
осевого пучка
А теперь, пожалуй, снова самое интересное!
Действительно, нельзя не удивиться тому факту, что
изображение выходного зрачка по графическим построениям полу-
чилось мнимым, увеличенным и, главное, расположенным
впереди входного зрачка и апертурной диафрагмы в пространстве предметов, хотя
накопленный опыт уже подсказывает нам, что изображение выходного зрачка
должно принадлежать пространству изображений!
Не может не возникнуть вопроса: каким же образом в этом случае
распространяются пучки лучей в пространстве предметов и в пространстве изображений?
Начнем разбираться, как всегда, с точечного источника света, расположенного
на оптической оси (рис. 3.16). Естественно, источник S излучает световой поток
равномерно по всем направлениям. Распространяясь в пространстве, в направлении
нашего оптического элемента, он сначала «пройдет» входной зрачок pip^ совмещенный
с материальной апертурной диафрагмой рф2, которой, собственно, и будет ограничен
в своем сечении.
Чтобы выяснить, что же будет происходить дальше, рассмотрим ход верхнего
(по рисунку) крайнего луча (на рис. 3.16 высвечен оранжевым цветом).
Распространяясь в пространстве предметов, этот луч сначала должен встретить крайнюю точку
pi входного зрачка, совмещенного с материальной апертурной диафрагмой
(граничная точка апертурной диафрагмы — точка pi). Затем он достигнет линзы и в точке m
ее главной плоскости преломится, но так, чтобы продолжение преломленного луча в
обратном направлении прошло через крайнюю точку pi' выходного зрачка (как
сопряженную точке pi входного зрачка). Его продолжение в прямом ходе пересечет
оптическую ось в точке S'. И хотя изображение выходного зрачка по построению
получилось в пространстве предметов, на самом деле оно расположено в пространст-
Выходной Апертурная диафрагма
| зрачок |р5' Входной зрачок
HiH'
! , 1™
| Pi Й
s pi p
.... # « шшт(\ -—- i
J-""~"^— ip"
1 Р2]
Тру
Р7^
Грг а*
С F' _ S'
) ~W О ~~~- #
П
Рис. 3.16. Прохождение осевого пучка через оптическую систему с апертурной
диафрагмой перед оптическим элементом.
1
201

ве изображений, бесконечно простирающемся в обе стороны от линзы. Именно
расположение выходного зрачка в пространстве изображений дает ему возможность
«работать» с лучами, распространяющимися в этом пространстве.
Как видите, все просто и красиво!
й
Замечание: В предыдущих главах мы говорили, что
пространство предметов и пространство изображений, хотя
существуют независимо друг от друга, но предмет и его
изображение, расположенные каждый в своем пространстве, жестко
связаны между собой взаимозависимыми значениями координат.
Каждое из пространств, распространяясь от плюс бесконечности
до минус бесконечности, «не залезает бесцеремонно» в
область другого пространства, а просто с полным правом
присутствует в нем.
Можно сказать и по-другому — оба пространства
«накладываются» одно на другое.
В общем, как понятнее!
Точно таким же образом можно построить нижний крайний луч пучка. Для
этого точно так же находим точку преломления п в главной плоскости линзы. И
вновь, нисколько не смущаясь, проводим прямую линию — луч, но теперь уже через
точку преломления п и крайнюю точку р'2' выходного зрачка и в обратном ходе
продолжаем ее до пересечения с оптической осью системы. Если графика выполнена
правильно, лучи pi'm и р^'п должны пересечься в родной точке S', являющейся
изображением источника S.
Следует особо подчеркнуть, что распространяющийся в пространстве световой
пучок действительно «ограничивается» входным зрачком системы, совмещенным с
материальной апертурной диафрагмой (а совсем не диаметром оправы объектива!).
Выходной зрачок, являясь сопряженным изображением входного зрачка, как бы
ограничивает пучок лучей, выходящий из системы и формирующий изображение
источника S'.
й
Замечание: И хотя выходной зрачок на рисунке получился
значительно больше апертурной диафрагмы и входного зрачка,
однако, обратите внимание, в главной плоскости линзы
основанием для пучка лучей в пространстве предметов и в
пространстве изображений служит окружность одного и того же
диаметра mn. И каким бы ни было расстояние от источника
излучения до входного зрачка и от выходного зрачка до
изображения этого источника, световой поток, распространяющийся
внутри конусов с основанием в виде круга диаметром mn и
вершинами соответственно в точках S и S', будет совершенно
одинаков.
И, наконец, обратите внимание, световой поток, формирующий изображение
S' источника излучения S и определяющий его яркость, в конечном счете,
действительно ограничивается размерами апертурной диафрагмы.
Все как и должно быть!
^ J Но еще интереснее рассмотреть ход пучка лучей
I в случае внеосевого расположения источника света
наклонного пучка I \ ,_ч ._ г
I (рис. 3.17). Естественно, что и при таком расположении
источника входной зрачок системы (а вместе с ним и
отверстие апертурной диафрагмы) будет полностью «залит» световым пучком в
пределах конуса piSp2. Пропущенный входным зрачком и апертурной диафрагмой расхо-
202

Выходной Апертурная диафрагма
зрачок I „ Входной зрачок
I Pi I
Н,Н'
; S'
Рис. 3.17. Прохождение наклонного пучка лучей через оптическую систему с апертурной
диафрагмой перед оптическим элементом.
дящийся световой пучок достигнет линзы и будет преобразован ею в сходящийся,
который, собственно, и сформирует изображение S' внеосевого источника S.
Попытаемся и для этого случая проанализировать «совместную работу»
апертурной диафрагмы и ее изображений — входного и выходного зрачков, но теперь уже
на примере формирования системой изображения внеосевого источника излучения.
И начнем, пожалуй, с самого любопытного! Согласно сформулированным
выше признакам, главный луч пучка SM (на рис. 3.17 показан оранжевым цветом)
сначала должен пройти через геометрический центр входного зрачка Р' и,
разумеется, центр Р апертурной диафрагмы, а затем пройти через центр выходного зрачка (на
рис. 3.17 путь главного луча NS' высвечен зеленым цветом).
Если же от слов перейти к графическим изображениям, то получить
направление распространения главного луча пучка в пространстве предметов можно
следующим образом: достаточно из точки расположения источника излучения S провести
прямую линию через центр входного зрачка Р' до ее пересечения с главной плоскостью
линзы. В результате получим точку С\. В точке С\ главный луч должен преломиться и
пойти по новому направлению таким образом, чтобы, распространяясь в пространстве
изображений, пройти через центр выходного зрачка Р". Можно, не задумываясь,
провести прямую линию через точку С] и центр выходного зрачка Р", которая и будет
главным лучом пучка, распространяющегося в пространстве изображений.
Обратите внимание, в точке преломления С, главный луч SM,
распространяющийся в пространстве предметов, заканчивает свой путь, а главный луч NS',
распространяющийся в пространстве изображений, его только начинает, но уже по
новому направлению!
На вопрос, почему так происходит, ответ достаточно простой: в основе всех
построений лежит условие сопряженности полученных изображений входного и
выходного зрачков с материальной апертурной диафрагмой, поэтому луч, прошедший
через геометрический центр входного зрачка, должен (и просто обязан!) пройти через
геометрические центры апертурной диафрагмы и выходного зрачка. И как бы нам ни
показалось необычным, но главный луч пространства изображений NS',
действительно, сопряжен с главным лучом пространства предметов MS.
Несложно прорисовать пути других лучей пучка, излучаемых источником S.
Например, достигнув линзы, крайние лучи пучка встретят ее главную плоскость
в точках m и п, в которых изменят направление своего распространения и пойдут
в пространстве изображений в направлении граничных точек выходного зрачка pi'
и р". Соединив точки типе точками pi' и р", ограничивающими диаметр выходного
203

зрачка, и продолжив эти прямые в обратном направлении, т. е. в направлении
распространения света (слева направо), мы получим в точке их пересечения
изображение источника излучения — точку S'. Эта точка должна лежать на главном луче
пучка, распространяющегося в пространстве изображений.
Как видите, и здесь все по логике вещей!
г^ Это интересно: Когда в оптической схеме определено по-
^ ложение апертурной диафрагмы, входного и выходного зрачков,
прослеживается довольно простой способ нахождения положения
изображения источника света (или точки предмета) с
использованием лучей, ограничивающих пучок.
Определение
параметров
выходного зрачка
с помощью
аналитических
вычислений
Выше мы не раз повторяли, что совместное
использование графических построений и аналитических расчетов
при анализе оптических схем различного назначения
обеспечивает более глубокое понимание особенностей
преобразований в них пучков. Настало время привести пример
аналитического расчета схемы, приведенной на рис. 3.18.
Найти положение и диаметр выходного зрачка с
- помощью аналитических вычислений тоже не так сложно,
тем более, что с таким положением апертурной
диафрагмы мы уже встречались.
Так как в нашей оптической схеме присутствуют два компонента, способных
ограничивать пучок лучей, излучаемых точечным источником света (апертурная
диафрагма и оптический элемент), то, прежде всего, мы должны определиться с тем,
какой же из них может служить апертурной диафрагмой. Непосредственно из
определения апертурной диафрагмы следует, что ею будет являться та из диафрагм,
которая из осевой точки предмета видна под наименьшим углом.
Подставляя в формулы для tgaan и tgao6 значения параметров оптической
системы (они приведены в начале раздела), согласно рис. 3.18, получим:
tgaai
DM
25
2(я-яап) 2(-500 + 50)
= -oms
Выходной Апертурная диафрагма
зрачок п Входной зрачок
KL I
""r°a, 1°А..
Р"
Р2
И
■—»>"Г Pl
F
Р2. Р2
Н'
я
-а™ '■
<*г-, 1
ввх.зр '
>=-/
/'
Dau = 25 мм
DCBCT = 35 мм
-/=/'= 100 мм
Яан = _50 ММ
а = -500 мм
.S'
Рис. 3.18. К аналитическому расчету положения и размеров выходного зрачка в оптической
схеме с апертурной диафрагмой перед оптическим элементом.
204

_ A» 35
tgCTo6~ "2л" ~2х(-500)-Ч)'035-
Так как 2 |аап | < 2 |ao61, то апертурной диафрагмой будет являться диафрагма pip2.
Для определения расстояния от главной плоскости до выходного зрачка
воспользуемся выражением (3.19):
*««/' -50x100 lftftr,
Явых. зр = — = 1АА -А = -100 [ММ].
/+^ап Ю0-50
Чтобы определить диаметр выходного зрачка, сначала найдем через отрезки
линейное увеличение в зрачках:
R _ аВых.зР _zM-qx
Рзр — _50 1 •
"ап
С другой стороны, линейное увеличение в зрачках можно найти и через отношение
их диаметров:
Р_ ^вых. зр ^вых. зр
зр~~о Ъ
Lysx. зр ^ап
Откуда для диаметра выходного зрачка получаем:
0.ых. зр = Рзр£>а„ = 2 X 25 = 50 [ММ].
Вычислив расстояние от линзы до изображения предмета по той же формуле
Гаусса, можно найти задний апертурный угол и лишний раз убедиться, что именно
диафрагма рф2 является в этой схеме апертурной:
, аГ -500x100 wr ,
а1=—— = = 125 [мм],
f' + a 100-500
D Л
<-» / ^ .1 *-^ВЫХ. Зр
2стап = 2arctg' ^
2(0'-0'вых.зр)
= arctg
50
2(125 + 100)
= 6°,
Исходя из того, что 2аап < 2<7об, с апертурной диафрагмой мы определились
верно.
И хотя аналитические вычисления дают более точные результаты, к
сожалению, как Вы, наверное, убедились сами, — они менее наглядны.
3.2.2. Апертурная диафрагма за оптическим элементом
Нередко в практике построения оптических систем встречается случай, когда
апертурная диафрагма располагается за оптическим элементом. Как Вы увидите, он
мало чем отличается от того, что мы рассмотрели выше.
В качестве примера остановимся на фрагменте оптической схемы,
отображенном на рис. 3.19. В качестве исходных данных примем, что -/=/' = 200 мм, яап =
= 50 мм, Dan = 50 мм.
Чтобы предлагаемый фрагмент не вызывал трудностей в восприятии, все
буквенные обозначения и расцветку пучков мы оставили те же, что и в предыдущем
примере.
Пучок лучей, излучаемый точечным источником, расположенным на
оптической оси, как и прежде, излучает свет по всем направлениям. Распространяясь в
пространстве предметов, он «зальет» полностью световой диаметр тонкой линзы,
преломится на ее главной плоскости и далее, распространяясь в пространстве изображений,
будет ограничен апертурной диафрагмой. В формировании изображения S' источника
205

Апертурная диафрагма
Выходной зрачок
Рис. 3.19. Апертурная диафрагма расположена за оптическим элементом. Выходной
зрачок совпадает с апертурной диафрагмой.
излучения S будет участвовать только та часть пучка, которую пропустит выходной
зрачок системы, совмещенный с апертурной диафрагмой.
Вот, собственно, и все.
Определение
положения
выходного зрачка
с помощью
графических
построений
Основываясь на опыте предыдущих рассуждений,
для нас должно быть совершенно очевидным: если
апертурная диафрагма располагается после оптического
элемента и за ней отсутствуют какие-либо другие линзы,
построить изображение выходного зрачка в пространстве
изображений просто невозможно. В этом случае принято
_ считать, что выходной зрачок совпадает с апертурной
диафрагмой.
Изображение входного зрачка можно легко получить, но теперь уже построив
его в обратном ходе лучей, «против света», т. е. с помощью тех оптических
элементов, которые распространяющийся пучок лучей «успел» пройти. Как это сделать, Вы
должны уже знать.
Из графических построений видно (рис. 3.20), что изображение входного
зрачка получилось мнимым, прямым, увеличенным и расположенным справа от оптиче-
Апертурная
диафрагма Входной
Выходной зрачок
Н,Н'
Рис. 3.20. Апертурная диафрагма расположена за оптическим элементом. Графическое
определение местоположения и диаметра входного зрачка
206

ского элемента, как бы в пространстве изображений, хотя, в действительности, он
принадлежит пространству предметов.
И главное, обратите внимание на верхние штрихи символов, обозначающих
границы входного и выходного зрачков. Согласно выбранному нами правилу,
изображение входного зрачка, принадлежащее всегда пространству предметов,
индексируется одним верхним штрихом (р'фг), а изображение выходного зрачка,
принадлежащее всегда пространству изображений, — двумя (pi'pi')-
Ограничение
осевого и
наклонного пучков
Проанализировать ход и распространение пучков
лучей света, излучаемых точечным источником света S,
теперь для Вас, на что мы очень надеемся, не должно
составить никакого труда. Как и в предыдущих примерах,
распространяющийся в пространстве предметов пучок
лучей света должен встретить входной зрачок системы. Поэтому, не обращая никакого
внимания на то, что по ходу распространения пучка на рисунке между источником и
входным зрачком присутствуют линза и материальная диафрагма, соединяем прямыми
линиями — лучами источник излучения с границами входного зрачка (рис. 3.21).
Естественно, крайние лучи пучка, «пропущенные» входным зрачком,
распространяясь далее, должны встретить линзу, преломиться на ее главной плоскости и
далее пойти в направлении, определяемом для верхнего крайнего пучка точками m и
Апертурная
Д"1?а™а„..1 Входной
зрачок
! Pi
. Pi' !
Выходной зрачок I
Н' *
Р" Р
- Р2 V2
P2
Рис. 3.21. Апертурная диафрагма расположена за оптическим элементом. Прохождение
осевого пучка лучей через оптическую систему.
Апертурная
диафрагма Входной
Выходной зрачок I 3рачок
н'н- i Vi
*S'
Рис. 3.22. Апертурная диафрагма расположена за оптическим элементом. Прохождение
наклонного пучка лучей через оптическую систему.
20'

Pi (или pi'), а для нижнего — точками п и р2 (или р")« Почему? — Вы должны
догадаться сами.
А если хоть немного «поразмыслить» над предложенным рисунком, то Вам
станет совершенно ясно, что по существу этот пример ничем не отличается от
примеров, рассмотренных выше.
Так же легко проанализировать распространение пучка лучей, если источник
излучения сместить с оптической оси (рис. 3.22). Надеясь на Вашу смекалку, мы не
стали подробно объяснять этот рисунок, а привели лишь конечный результат.
Можете проверить нас и найти одним из показанных во второй главе
графических способов положение изображения точечного источника излучения S', не
обращая при этом никакого внимания на положение апертурной диафрагмы.
Не сомневаемся, что Вы удивитесь поразительному совпадению результатов
графических построений! На рис. 3.22 эта часть построений высвечена зеленым цветом.
Определение
параметров
входного зрачка
с помощью
аналитических
вычислений
di
я.
вых. зр ~ #ап ~ 50 ММ, а £>вых. зр
Обращаясь к выражению (3.18), получим, что
Для рассмотренной выше оптической схемы также
легко с помощью аналитических вычислений определить
положение и диаметр, но теперь уже входного зрачка
(рис. 3.23).
Параметры схемы приведены на с. 204. Для расчета
вновь воспользуемся формулой Гаусса. Из предыдущих
рассуждений следует, что выходной зрачок совпадает с
апертурной диафрагмой и, по сути, является
действительным изображением входного зрачка. А это значит, что
= Dan = 50 мм.
лвх. зр
/ "вых. зр
Линейное увеличение в зрачках равно
^Л. 50x200
а' ,„ ~ 200 - 50 _ 66'67 tMMl-
IV
-*вх. зр
50
66,67
= 0,75х,
Апертурная
диафрагма . Входной
Выходной зрачоу зрачок
Рис. 3.23. К аналитическому расчету положения и размеров выходного зрачка в оптической
схеме с апертурной диафрагмой, расположенной за оптическим элементом.
208

а диаметр входного зрачка
ЯЮ,Р =-%^ = ^0„.„ = ^*50 = 66,67[мм].
А»ыхзр _ ^вхзр ^ _ 66,67
'ВХ.Зр п "~ f ВЫХ. Зр "~ с/Л
Рзр вых. зр
Выше мы обсуждали очень простые оптические схемы, правда, не всегда
«удобные». У нас нередко «телега оказывалась впереди лошади»: изображение
выходного зрачка оптической системы нередко получалось впереди ее входного зрачка.
На наш взгляд, на примере таких «необычных» схем проще понять, как «работает»
апертурная диафрагма и каким образом «отрабатывают свой хлеб» (или как
выполняют свою роль) входной и выходной зрачки в оптической системе.
Следует отметить, что изложенные выше правила справедливы и для любых
сложных оптических систем.
3.2.3. Анергурнан диафрагма впереди
двухлинзовой оптической системы
Если все наши объяснения в предыдущих примерах понятны, то попробуем
определить положение входного и выходного зрачков в оптической системе, состоящей
из двух положительных линз с апертурной диафрагмой диаметром Dan = 41,4 мм,
расположенной перед первым компонентом на расстоянии яап = -69 мм (рис. 3.24).
Фокусные расстояния линз (или объективов) соответственно равны/i = 126,16 мм и f{ =
= 57,43 мм, а расстояние между их совмещенными главными плоскостями d = 116,50 мм.
Оба компонента оптической схемы представляют собой тонкие идеальные линзы.
Выше мы уже говорили, что любую сложную оптическую систему можно
представить как последовательность отдельных самостоятельных оптических
компонентов, каждый из которых решает свою конкретную задачу, передавая результаты
решения следующему за ним оптическому элементу. Как это происходит на самом
деле, сначала мы покажем с помощью графики, а затем с помощью аналитических
вычислений. Но не забывайте, что наша основная задача — проанализировать ход
лучей и пучков в двухлинзовой системе с апертурной диафрагмой, расположенной
перед первым оптическим компонентом системы.
г . I Очевидно, апертурная диафрагма, расположенная
I перед первой линзой оптической системы, в одно и то же
определение I „
I время будет являться входным зрачком как для первой
положения I г j ^ г г
линзы, так и для всей системы в целом. Очевидно и дру-
выходного зрачка | „ rj
I roe — выходным зрачком всей системы должно служить
_ изображение ее входного зрачка, сформированное обоими
компонентами системы. Учитывая, что каждый
компонент системы можно рассматривать как отдельный самостоятельный элемент,
определим с помощью графических построений положение выходного зрачка для первой
линзы.
Как это сделать, Вы должны уже знать, а мы, чтобы у Вас не возникало
никаких вопросов, высветим на рисунке все лучи, участвующие в построении
изображения выходного зрачка, с помощью первой линзы коричневым цветом. Изображение
выходного зрачка получилось мнимым, прямым и увеличенным (см. рис. 3.24).
Вообще-то так и должно быть — материальная апертурная диафрагма в нашей
системе располагается перед первой линзой внутри отрезка между ее точкой фокуса
и самой линзой.
Полученное изображение выходного зрачка для второй линзы системы будет
являться предметом. Поэтому, не обращая совершенно никакого внимания на
присутствие в системе первой линзы (она уже свои обязанности выполнила!), строим
209

Выходной
зрачок
первой
линзы
Fi
1
н2|Ш
Выходной
зрачок системы
Рис. 3.24. К определению положения входного и выходного зрачков в сложной системе
с помощью графических построений.
изображение выходного зрачка, но теперь уже всей системы в целом (синие лучи на
рис. 3.24). Итак, задача решена.
Замечание: Обращаем ваше внимание еще раз на то, что
все построения мы выполняли последовательно, сначала для
первой линзы, совершенно не обращая никакого внимания на
то, что в схеме присутствует вторая линза, а затем — для
второй, не обращая внимания на присутствие в схеме первой.
В такой же последовательности мы будем ниже
проводить и аналитические вычисления.
Аналитическое
определение
положения
выходного зрачка
системы
й
Определить положение и диаметр выходного
зрачка системы можно без особых помех и с помощью
аналитических вычислений, применяя последовательно к
каждому компоненту системы все ту же формулу Гаусса
(2.23) и формулу для определения линейного увеличения
в зрачках.
Замечание: Но, пожалуйста, будьте предельно
внимательны с верхними и нижними индексами символов, обозначающих
расстояния до зрачков и их диаметры. Иначе просто не
избежать ошибок. Мы специально во всех формулах записывали
численные значения всех величин, чтобы избежать неприятной
путаницы!
Сначала найдем расстояние а\ до изображения выходного зрачка,
формируемого (обратите внимание!) первой линзой (рис. 3.25):
, axf\ -69,00x126,16
а\
f\ + ax 126,16-69,00
-152,29 [мм].
Воспользовавшись формулой для определения линейного увеличения в зрачках
t Г\
Р_ Q\ _ ^вых. зр
1зр~ -"
<h А
вх. зр
210

Апертурная диафрагма
Выходной Входной зрачок
зрачок для - системы
первой линзы I
Л Ь<ы.
Pi
ь ■•--
II, 1
.... jl
r=t.
н;
Н:
Щ Выходной
зрачок
системы
емы|
* ♦
Р'(Рг)
Рис. 3.25. К определению положения входного и выходного зрачков в сложной системе.
найдем его значение:
= aj = -152,2925
Р1зр /т, -6Q ПО ~ Z'Z '
'1зр я, -69,00
а затем и сам диаметр отверстия выходного зрачка, построенного первым оптическим
компонентом, с учетом того, что DBX зр = Dan:
/)1вых.зр = Pi3p x DBX3p = 2,2071 x 41,4 = 91,37 [мм].
Рассматривая изображение выходного зрачка (для первой линзы) как входной
зрачок для второй линзы, найдем расстояние а2 от него до главной плоскости второго
компонента:
а2 = а\ - d= -152,29 - 116,15 = -268,44 [мм].
Ну, а дальше Вы уже все знаете: для искомых параметров а'ъ р2зР и D'2bux имеем
^=^2^=73'06[ММ]'
Апертурная диафрагма
Выходной Входной зрачок
зрачок для. системы
первой линзы I
Выходной
зрачок.
Рис. 3.26. Ход наклонного луча в двухлинзовой оптической системе с апертурной
диафрагмой, расположенной перед системой.
211

Р2зр= Д * 0,27х,
hi
А>вых.зр = Р2зр х DlBblX3p = 0,27 х 91,37 * 24,67 [мм].
Исходя из полученных результатов, можно получить значение линейного
увеличения в зрачках для всей системы:
РзР = Pi3Px р2зР * 0,6х
или
R = Авых. зр = 24,67
^" EL " 41,4 в°'6-
Обращаем Ваше внимание, что здесь и далее при определении диаметров
выходных зрачков мы будем опускать знак минус в силу круговой симметрии зрачка.
Формально в этих случаях соответствующие отрицательные величины берутся нами
по модулю.
Результаты графических построений, выполненные в необходимом масштабе,
не грех бы и сравнить с результатами численных расчетов оптической системы.
А в заключение мы приведем рисунок хода наклонного пучка лучей через
нашу систему (рис. 3.26). Он должен быть Вам понятен и без наших пояснений.
3.2.4. Апертурная диафрагма между компонентами
двухлинзовой оптической системы
Можно решить еще одну типичную задачу. Пусть нам необходимо определить
положение и диаметры входного и выходного зрачков в оптической схеме,
предложенной на рис. 3.27, с апертурной диафрагмой, расположенной между оптическими
элементами схемы.
В качестве исходных данных примем, что оптическая система состоит из двух
оптических элементов с фокусными расстояниями соответственно -f\ =f\ = 200 мм,
-fi ~fi = 130 мм, расположенными друг от друга на расстоянии d=70 мм. Между
ними строго посредине (а]ап = —a2au) расположена апертурная диафрагма, диаметр
которой равен DaiI = 30 мм.
Апертурная диафрагма
Выходной
зрачок
Входной
зрачок
Рис. 3.27. Апертурная диафрагма расположена внутри оптической системы.
212

Эту задачу, как и все предыдущие, можно решить чисто графически или чисто
аналитически. Решение задачи графическим способом Вы можете выполнить сами.
На наш взгляд, Вы уже достаточно «набили» руку в графических построениях. Мы
же приведем только ее аналитическое решение.
Заметим, что апертурная диафрагма, расположенная в пространстве
изображений первого оптического элемента, одновременно служит и его выходным зрачком.
Очевидно, изображение апертурной диафрагмы, построенное с помощью
первого элемента в обратном ходе лучей, будет располагаться в пространстве предметов
и будет являться входным зрачком не только для первого элемента, но и для всей
системы в целом. Положение входного зрачка, формируемого первой линзой, проще
всего найти по формуле Гаусса:
a[f{ 35,00 х 200,00
"' = JT^ = "35,00 + 200,00 = 42'42 [ММ]-
Для второго компонента оптической схемы апертурная диафрагма, очевидно,
является входным зрачком. Положение выходного зрачка для второго оптического
элемента в прямом ходе лучей, которое одновременно будет служить выходным
зрачком для всей системы в целом, также можно найти по формуле Гаусса,
предварительно «разобравшись» с расстоянием от апертурной диафрагмы до второго
компонента схемы:
#2 = я 1аи - d = 35 - 70 = -35 [мм].
В результате вычислений получим, что выходной зрачок находится от второй линзы
на расстоянии а'2, равном
, g2 A -35,00 х 130,00 ^ОЛГ ,
^=тЙ=-з5;оо+1зо;оо=-47'89[мм1-
Для определения диаметров входного и выходного зрачков вновь
воспользуемся формулами линейного увеличения в зрачках:
а'\ Am n <?2 ^вых. зр
Р1зр = — = — И р2зр - — -—" •
#1 иъх. зр а2 и2л\
Тогда
а\ 35,00 ло^лх ^ Ап 30,00 ^^г л
РзР = р1зР х р2зР = а = 42,42 = °'8250 и Dbx. зР = ^— = о,8250 = 36'36 fMM^
Н1зр
По аналогии найдем и
Р2зр = f2 = 135*00 = 1 '3682>< И Dbux зр = Dar,P23p = 3° Х ]'3682 = 4]'°4 [ММ]'
Линейное увеличение в зрачках можно получить как
р Оивл= р х р = 08250 х 13682 = 1,129х.
lsbx. зр
Это почти все, что касается зрачков.
Казалось, с введением в оптическую схему апертурной диафрагмы все
проблемы по выравниванию освещенности по полю формируемого изображения
решены. Однако, это совсем не так!
33. Диафрагмы, ограничивающие поле зрения
оптической системы
Все оптические элементы любой оптической системы имеют конечные
размеры, поэтому вполне естественно, что и пространство, которое сможет качественно
отобразить оптический прибор, будет ограничено по площади.
213

Величину (а если хотите — характеристику), определяющую размеры
пространства, видимого через оптический прибор, в геометрической оптике принято
называть полем зрения оптического прибора.
В качестве элементов, ограничивающих область пространства предметов,
отображаемую оптической системой, могут быть как оправы самих оптических
элементов, входящих в систему, так и искусственно встраиваемые специальные
материальные диафрагмы.
Безусловно, введение дополнительных ограничивающих элементов в
оптическую схему прибора приведет к изменению условий распространения пучков лучей
света и, как следствие, к изменению условий формирования изображений.
3.3.1. Виньетирующие диафрагмы
Для того чтобы понять, как геометрические размеры и положение элементов
оптической схемы, ограничивающие поле зрения оптического прибора, влияют на
структуру создаваемого изображения, вернемся к нашим «бумажным
экспериментам» и для начала обратимся к нашей первой оптической схеме, приведенной на
рис. 3.2. Анализируя в ней условия прохождения пучков лучей через всю оптическую
систему, мы перемещали источник излучения в передней фокальной плоскости
только в промежутке между точками А и В. И, как убедились, в этом диапазоне
освещенность, создаваемая системой в задней фокальной плоскости (плоскости
изображений), всегда оставалась неизменной.
Виньетирование
в оптических
системах
Но что будет происходить, если мы будем
перемещать источник излучения дальше от оптической оси,
например, в точку С, предполагая при этом, что диаметр
пучка, пропускаемый системой, всегда будет оставаться
неизменным и равным диаметру апертурной диафрагмы
(рис. 3.28). Интуитивно понятно, что наступит такой момент, когда в «игру» вступят
оправы объективов.
Действительно, если мы переместим источник излучения в точку С (и не
будем забывать, что излучаемый световой пучок будет «заливать» световой диаметр
объектива и даже более того), то одна часть пучка, излучаемого источником в этом
положении, будет срезаться верхней половиной первого объектива, а вторая —
нижней половиной второго (участки среза выделены темными областями). Естественно,
изображение источника С, сформированное системой, будет менее ярким, чем его
же изображение в точках А' и В'.
Апертурная
диафрагма
V;
н.
~¥
Рис. 3.28. Пучок лучей, излучаемый источником в точке С, срезается
частью оправы первого объектива и нижней частью второго.
iF*
■■■•■■■ л
"" j В'
1С
Fi|
верхней
214

Рис. 3.29. Влияние оправы второго объектива схемы на изменение освещенности
в плоскости изображений.
Очевидно, что перемещение источника излучения дальше от оптической оси
приведет к постепенному падению его яркости, а в пределе — к полному
исчезновению изображения источника.
Для того чтобы понять, как и что происходит в реальном оптическом приборе,
обратимся к рис. 3.29. На нем отображена оптическая схема, состоящая из двух
оптических компонентов, причем оправа первого элемента (первого объектива) является
по схеме апертурной диафрагмой, с которой совмещен входной зрачок системы.
Не останавливаясь на «тонкостях» выполнения графических построений
(надеемся, это уже пройденный этап), сосредоточим свое внимание на особенностях
изменения освещенности в формируемом изображении.
Обратите внимание: произвольно выделенные в пространстве предметов
точечные источники излучения А, В, С и D имеют одинаковую яркость. Рассматривая
эти точки как некие источники излучения, испускающие лучи по всем направлениям,
естественно предположить, что излучение каждого из них будет полностью заливать
входной зрачок системы, а с ним и световой диаметр апертурной диафрагмы. Что и
показано на рисунке. Преломившись в главной плоскости первого компонента, пучки
лучей, излучаемые этими точками — источниками, сформируют в промежуточной
плоскости их изображения а, Ь, с и d, причем их яркость останется неизменной. Для
изменения яркости не было причин. Пучки лучей, прошедшие апертурную
диафрагму, нигде не испытывали никаких ограничений. Именно оправа объектива и
совмещенный с нею входной зрачок определяют то количество света, которое сможет
проникнуть в оптическую систему.
Й Замечание: И здесь мы стремимся придерживаться
принятого порядка прохождения пучков лучей света через
компоненты оптической системы: сначала входной зрачок, затем
оптический элемент, потом апертурная диафрагма и т. д.
Рассматривая промежуточные изображения для второго компонента системы
как «предметы», можно построить их изображения, используя в качестве
проецирующего элемента вторую линзу. Вот здесь и начинаются, правда, вполне
естественные, «шутки» оправы (или светового диаметра) второго объектива.
Пучок лучей, излучаемый источником А (промежуточное изображение а),
расположенным на оптической оси, «проходит» оправу второго объектива без каких-
215

либо помех (ограничений). Аналогичная ситуация имеет место для точки В. А вот
пучки лучей, излучаемые источниками С и D (промежуточные изображения
соответственно с и d), достигая линзы, начинают «срезаться» ее оправой. И чем дальше
изображение отстоит от оптической оси, тем меньшая часть пучка проходит сквозь
линзу. Это приводит к тому, что яркость формируемых изображений начинает
постепенно убывать и, наконец, в точке D' (изображение точки D) вообще становится
равной нулю.
Освещенность полученного поля изображений, при равномерной яркости поля
предметов, стала неравномерной: максимальная в центре она убывает к краям
изображения до нуля.
Постепенное падение освещенности в реальном оптическом приборе приводит
к тому, что ограничение поля зрения, в котором формируется изображение,
происходит не сразу, а постепенно: от света к тени (или вообще, к темноте!). Это явление
в оптике называют виньетированием.
U Замечание: Хотелось бы особо обратить Ваше внимание на
то, что все пучки лучей, потенциально призванные обеспечить
формирование изображений А', В', С и D', «прошли» бы выходной
зрачок системы без каких-либо ограничений. Но они до него или
просто не доходят, или доходят, но «усеченные» в своем
поперечном сечении размерами светового диаметра второй линзы.
Получается — от чего уходили, «изобретая» апертурную диафрагму, к тому и
пришли!
Это, в общем-то «нехитрое», явление — настоящая «беда» для оптических
приборов! Мало кому доставит удовольствие смотреть передачи на экране
телевизора или фильмы на экране кинотеатра, когда центр экрана высвечивается достаточно
ярко, а на его краях с трудом удается рассмотреть, что там происходит.
Желание каким-то образом уменьшить ярко выраженную неравномерность
получаемого поля в пространстве изображений — вполне естественное и, наверное,
не требует обсуждений.
Первое, что обычно приходит в голову, — это увеличить световой диаметр
второй линзы. Но представьте себе, до каких размеров мы сможем «раздуть»
оптический прибор.
Поэтому, наверное, стоит поискать другой путь. Для начала, по аналогии с
апертурной диафрагмой и ее зрачками входа и выхода, построим изображение
оправы второго объектива в пространстве предметов. Тем более, что сделать это
несложно. На рис. 3.30 все необходимые для этого графические построения высвечены
прямыми линиями красного цвета.
Результат построений не может не удивить! Изображение второго объектива,
как и ранее изображение апертурной диафрагмы, «высветило», какие пучки лучей и
как будут пропущены элементами системы. Можно сказать и иначе: изображение
второго объектива в пространстве предметов как бы ограничило (а попросту, «не
пропустило») те пучки лучей, которые не пропустила («срезала») непосредственно
сама оправа второго объектива.
На рис. 3.30 сразу за изображением оправы объектива «срезанные» (не
пропущенные оправой второго объектива) лучи пучков мы закрасили серым цветом.
Наверное, и в это пока трудно поверить, но, выбирая положение и размеры
изображения оправы второго объектива, можно «управлять» пучками лучей при их
проникновении в оптическую систему. Конечно, «крушить» уже устоявшуюся
оптическую схему вряд ли имеет смысл, но вот ввести в нее дополнительную диафрагму,
216

Изображение оправы Плоскость
объектива L2 Апертурная диафрагма. промежуточного Объектив L,
Входной зрачок изображения | Ц
С
Рис. 3.30. «Ограничение» пучков лучей изображением оправы второго объектива L2.
Изображение
виньетирующей Апертурная диафрагма,
диафрагмы Входной зрачок
ГХ'ч4^ ' | | Li Плоскость
пром ежуточн ого
*>..,. изображения
Виньетирующая
диафрагма
С'
В'
А'
Рис. 3.31. «Ограничение» наклонных пучков лучей изображением
виньетирующей диафрагмы.
которая бы выполняла роль виньетирующей, это в наших силах. Что мы и сделаем на
следующем рис. 3.31.
Введем в оптическую схему еще один элемент — материальную диафрагму,
так называемую виньетирующую диафрагму, и установим ее перед вторым
объективом L2. При этом зададим такие ее размеры, чтобы она удалила только ту часть лучей
пучков, которые на рис. 3.29 виньетируются оправой второго объектива Ь2.
Теперь, а это следует из наших графических построений, отверстие
материальной виньетирующей диафрагмы ограничивает пучки лучей точно так же, как и
оправа второй линзы: оно полностью «отсекает» пучок лучей, излучаемый
источником D, и наполовину «срезает» пучок лучей, излучаемый источником С.
Действительно, при таком положении (и размерах) материальной диафрагмы
пучки лучей, излучаемые источниками А, В и С, полностью заливая входной зрачок
системы, сформируют в промежуточной плоскости изображения источников a, b и с
одинаковой яркости. Распространяясь далее, пучки лучей, излучаемые источниками
А и В, без каких-либо помех (или ограничений) пройдут вторую линзу и в плоскости
изображений «спокойно» сформируют изображения равной яркости А' и В'
источников излучения А и В.
217

А вот пучку лучей, излучаемому источником, расположенным в точке С, на
пути распространения «повезет» меньше. Он встретит материальную
виньетирующую диафрагму, которая «срежет» его ровно наполовину. Но срежет «по-умному».
Не пропустит на выход системы только ту его часть, которую на рис. 3.29 и так не
пропускала оправа второго объектива L2.
И без привлечения интуиции становится ясным, что меньшая яркость
получаемого изображения С источника излучения С (чем источников А и В) приведет к
неравномерности освещенности по всему полю зрения. Но теперь причиной
возникновения виньетирования явилась не оправа второй линзы, а наша материальная
диафрагма.
Отсюда и ее название — виньетирующая диафрагма.
Но обратите внимание (и это важно!), виньетирующая диафрагма
ограничивает поле зрения оптического прибора, но не резким перепадом освещенности на его
границе, а в результате постепенного падения освещенности по полю от максимума
до нуля.
Это интересно: Физика возникновения эффекта
виньетирования в оптических системах элементарна «до слез» (конечно,
если не принимать во внимание дифракцию света) . Это всего
лишь полутень «вовнутрь».
Правда, мы больше привыкли наблюдать полутень на
непрозрачных объектах, когда полутень «расползается» во
внешнюю сторону от теневого изображения непрозрачного объекта
(рис. 3.32, а). Но не менее редки случаи, когда она
возникает и на отверстиях, в каких-либо непрозрачных экранах
(рис. 3.32, б).
В этом случае полутень как бы распространяется внутрь
формируемого изображения. Возникновение полутени на
отверстии и принято называть виньетированием.
Рассмотрим более детально природу возникновения полутени при освещении
апертуры с диаметром D светящимся источником в виде круга с диаметром d
(плоскость Pj). С этой целью разобьем его на совокупность элементарных точечных
источников и рассмотрим элементарные изображения апертуры, «формируемые» в
свете таких элементарных источников. Очевидно, осевой точечный источник в
геометрическом приближении «сформирует» в плоскости Р3 изображение апертуры
(плоскость Р2) с увеличенным диаметром D = (1 + ц)Д где ц = Sy^i- Также ясно, что
каждая внеосевая точка источника, отстоящая от оптической оси на расстояние А,
«сформирует» свое изображение апертуры того же размера D, но со смещенным на
218

величину |дА центром. Если теперь просуммировать «реакции» всех точечных
источников (в пределах диаметра d), то результирующее изображение апертуры будет
отличаться от идеального (при освещении осевым точечным источником)
появлением на ее краях переходной области в виде полутени, размер которой, как видно из
построений, равен 5ПТ = \id. При этом тень «заходит» в светлую часть изображения
апертуры, в результате чего диаметр Dc этой части уменьшается на величину б1П, т. е.
Dc= D— 5IIT = (1 + \i)D — [id. Отсюда следует, что при определенном значении
dвеличина Dc может быть равной нулю, что имеет место при d= (1 + \i)D/\i. Например,
при \х = 1 (S\ = S2)9 величина d = 2D. Кстати, общий размер изображения апертуры D
увеличивается на величину размера полутени б11Т и таким образом становится равным
Dz = D + 5ПТ = (1 + ц)£* + \id. Например, при \i = 1 (S\ = S2) величина D^ = 2D + d.
Обратите внимание: размер б11Т определяется угловыми размерами источника
А0 = d I S\ и расстоянием от апертуры до плоскости наблюдения Р3, т. е. б1П = Д0-£2 =
= S2d I S\ = \id. Очевидно, чем меньше S2, тем меньше размер полутени, и при S2 = О
она отсутствует.
А теперь вернемся «к нашим баранам». Виньетирующая диафрагма (при всех
ее «минусах») обладает, однако, одним поразительным свойством: она способна
изменять распределение освещенности по полю зрения прибора в зависимости от ее
положения в оптической схеме.
Но прежде, чем о нем рассказать, мы должны хотя бы пару слов сказать о
«фантомах-спутниках» виньетирующей диафрагмы.
„ - Любая диафрагма, ограничивающая поле зрения оп-
Входное и I -
тического прибора, точно так же, как и апертурная ди-
выходное окна
(люки)
афрагма, имеет пару своих «фантомов-спутников», которые
носят названия входного и выходного окон. Названия
входное и выходное окна оговорены в государственном
стандарте и приняты только для виньетирующих диафрагм.
Однако, в книгах по геометрической оптике, ставших уже «классикой», Вы
можете встретить утверждение, что свои «фантомы» может иметь любая диафрагма,
ограничивающая поле зрения. И в те давние времена изображения этих «фантомов»
носили названия входного и выходного люков. Нередко это приводит к путанице.
Однако для нас важна идея, заложенная в их использовании, а уж какие к ним
применять названия — дело привычки, а возможно, принципов. Мы же для
изображений любых материальных диафрагм, ограничивающих поле зрения оптического
прибора, будем придерживаться как «классических» определений, принятых в
технической литературе, так и тех, что рекомендованы ГОСТ.
Ну, а теперь по существу! Изображение входного окна (люка), кстати, как и
входного зрачка, строится в обратном ходе лучей через все оптические элементы,
которые пучок лучей прошел до встречи с материальной виньетирующей диафрагмой.
Изображение выходного окна (люка) строится в прямом ходе лучей через все
оптические элементы, которые предстоит пройти пучку лучей от материальной
виньетирующей диафрагмы до его выхода из оптической системы (рис. 3.33).
Если с правой или с левой стороны относительно материальной диафрагмы
оптические элементы отсутствуют, то входной или выходной люки совпадают с самой
материальной диафрагмой, так как построить изображения окон не представляется
возможным.
Но попутно хотелось бы отметить два весьма важных нюанса в расположении
материальной диафрагмы в оптической системе. Если диафрагму, ограничивающую
поле зрения прибора, расположить за линзой в плоскости действительного
промежуточного изображения, то в пространстве предметов изображение этой диафрагмы
(входное окно или люк) будет совпадать с плоскостью реального предмета. Очевид-
219

Входное Апертурная диафрагма
I окно (люк) Входной зрачок fi
Выходное Виньетирующая I
диафрагма ■
окно (люк № диафрагма
Pi Г
Рис. 3.33. Графическое построение входного и выходного окон (люков).
но, в этом случае в пространстве изображений выходное окно или люк системы будет
совпадать с самой материальной диафрагмой, ограничивающей поле.
И, наоборот, если материальную диафрагму, ограничивающую поле зрения
прибора, расположить перед оптической системой в плоскости расположения
предмета, то изображение входного окна (люка) будет совпадать с самой материальной
диафрагмой, а ее изображение в пространстве изображений будет являться
выходным люком и располагаться в плоскости промежуточного изображения.
Трудно не увидеть некоторую «схожесть» окон (люков) диафрагм,
ограничивающих поле зрения, со зрачками апертурных диафрагм.
Поэтому графические построения для получения изображений входного и
выходного окон (люков) можно выполнить точно так же, как и графические построения
при создании изображений зрачков входа и выхода для апертурной диафрагмы. На
рис. 3.33 в качестве примера приведена схема с произвольным расположением
оптических элементов и с произвольным расположением виньетирующей диафрагмы ab.
Ее изображение а'Ь', построенное в обратном ходе лучей (на рисунке высвечены
серо-зеленым цветом), служит входным окном (люком) системы, а построенное в
прямом ходе (лучи сиреневого цвета) — выходным окном (люком) системы (а"Ь").
И последнее. Естественно, любое изменение положения виньетирующей
диафрагмы в оптической системе прибора приведет к изменению положения ее
изображений: входного и выходного окон (или люков).
Уменьшение
эффекта
виньетирования
При конструировании оптических систем
действительно почти всегда идет борьба между желанием
увеличить поле зрения оптического прибора и желанием
добиться максимально возможной равномерности освещен-
-■——■^^ ности в изображении объекта. Но оба эти желания
одновременно реализовать на практике довольно сложно. И,
как это часто бывает при конструировании оптических приборов, разработчикам
приходится искать некий компромисс, руководствуясь правилом, чтобы «волки были
сыты и овцы целы». Ниже мы покажем только пути поиска этого компромисса между
необходимыми размерами поля зрения и допустимой неравномерностью его
освещенности.
Идея этих путей тоже не столь уж оригинальна и сводится она к выбору
размеров и положения материальных диафрагм. Вернемся к нашему рис. 3.31, «вырежем» из
него фрагмент, отображенный на рис. 3.34, и спроецируем в пространство предметов
изображение виньетирующей диафрагмы, например — положение I.
На рис. 3.34 отображен фрагмент нашей оптической схемы (ее левой части),
состоящий из одиночной тонкой линзы и трех (из массы возможных) положений
входного окна (люка) — изображения некой виньетирующей диафрагмы, располо-
220

Положение III
Положение II
Апертурная диафрагма -
Положение I [ Входной зрачок
Положение I
Положение 1
Положение II
оо
кМ 0 0 0
АЮ О
Входное окно
ОО
Рис. 3.34. Уменьшение зоны виньетирования при изменении положения входного
окна (люка) системы (изображение виньетирующей диафрагмы не показано).
женной где-то внутри оптического прибора. Этого вполне достаточно для того,
чтобы проанализировать, каким образом будет изменяться освещенность по полю, в
котором система сформирует изображение предмета.
Изображения входного окна (люка), как и в случае с апертурной диафрагмой,
должны «показать» нам, как и какие пучки лучей будут «срезаны» материальной
диафрагмой, а какие будут пропущены при их распространении через всю
оптическую систему до образования изображения источников излучения А0, Аь А2 и А3.
й
Замечание: Однако напомним, что изображение
материальной виньетирующей диафрагмы (кстати, как и апертурной!) в
действительности не может ограничивать размеры формируемого
изображения. Объектив оптической системы захватит такой
участок отображаемой сцены, насколько позволяют его
размеры. Но в пространстве изображений отобразится только та ее
часть, которая будет пропущена материальной диафрагмой!
Именно в этом смысле следует понимать наше
утверждение, что размеры части сцены, передаваемые оптической
системой, «ограничиваются» изображением входного окна на входе
системы и изображением выходного окна на ее выходе.
А теперь о самом интересном. Будем считать, что диаметр входного окна при
перемещении материальной виньетирующей диафрагмы вдоль оптической оси во
всех наших экспериментах остается постоянным. Тем более, что на практике этого
легко добиться, если с каждым перемещением материальной диафрагмы мы будем в
необходимых пропорциях менять ее размер.
Для начала рассмотрим положение I, которое на рисунке отображено со всеми
нюансами прохождения пучков лучей, излучаемых точечными источниками в
положении .от А0 до А3. Как следует из рисунка, пучки лучей от источников излучения А0
и А] пройдут сквозь систему, «не ощущая на себе» никакого влияния входного люка,
и создадут изображение излучателей А0 и Ai одинаковой яркости. Что и отображено
в правой части рисунка кружками с одинаковым заполнением желтым цветом.
221

Совсем иначе будут складываться условия для пучков лучей, излучаемых
источниками А2 и А3. Эти пучки беспрепятственно дойдут только до входного люка, а
дальше будут ограничены им в поперечном сечении. На рисунке, а это видно из
графических построений, пучок лучей, излучаемый источником в положении А3, будет
«ограничен» входным люком больше, чем точно такой же пучок лучей, излучаемый
источником в положении А2. В результате, сформированные изображения этих
источников А2 и Аз будут различны по яркости и конечно, будут отличаться по яркости
от изображения источников Ао и А\.
В положении II пучки лучей, излученные источниками в положении А0 и Аь
пройдут через входной люк, как и прежде, без каких-либо «неприятностей». Однако
пучок лучей, испускаемый источником А2, хотя и в меньшей степени, но
по-прежнему будет ограничен входным люком, а пучок лучей, испускаемый источником Аз,
вообще не попадет в систему.
А теперь обратите внимание на распределение освещенности в правой части
рисунка. В положении I ширина переходной зоны от максимальной освещенности до
нуля «растянулась» почти на все поле зрения отображаемого пространства. В
положении II она стала значительно меньше. Даже появилась зона «абсолютной
темноты», которая, собственно, и уменьшила поле зрения системы. А в положении III она
совсем исчезла, освещенность стала ровнее, но поле зрения меньше.
Стало быть, виньетирование в оптической системе можно уменьшить,
приближая входное окно (или люк) к плоскости предмета. И наоборот —
виньетирование становится больше, если мы изображение виньетирующей диафрагмы
(входной люк) будем приближать к апертурной диафрагме.
Действующее
отверстие
входного зрачка
Искусственно уменьшая пределы изменения
освещенности в области формируемого изображения с
помощью диафрагмы, ограничивающей поле зрения, мы тем
самым ограничиваем размеры отображаемого участка
реальной сцены, который в этом случае способен
воспроизвести оптический прибор. Однако на практике часто возникает необходимость
применения достаточно больших полей зрения. А из наших «бумажных» экспериментов
следует, что больших полей зрения можно достичь либо за счет увеличения размеров
оптических деталей, либо «закрыв глаза» на неизбежный эффект виньетирования.
Известно, что глаза человека малочувствительны к изменению освещенности на
краях охватываемого ими пространства, но это только в том случае, если изменение
освещенности не выходит за пределы 50 % и нет резкого перепада освещенности.
Именно это свойство зрения человека широко используется в оптике
визуальных систем, давая возможность, исходя из величины допустимого виньетирования,
выбирать местоположение виньетирующей диафрагмы для увеличения поля зрения
оптических систем.
Но естественно, прежде чем «управлять» виньетированием (а тем самым и
величиной поля зрения), необходимо научиться каким-то образом определять его
величину. И здесь нам на помощь может придти еще одна характеристика оптических
систем — действующее отверстие входного зрачка
Если вернуться к нашим «бумажным» моделям оптических систем, то нельзя
не обратить внимание, что часть лучей наклонных пучков, излучаемых точечными
источниками, расположенными вне оптической оси, все же проходят в оптическую
систему и способны в плоскости изображений сформировать изображение «своего»
источника, правда, не той яркости, что формируют приосевые пучки. Площадь
отверстия входного зрачка, заполняемую лучами наклонного пучка, в геометрической
оптике называют действующим отверстием входного зрачка. По сути, размеры
действующего отверстия входного зрачка определяют ту часть светового потока, излу-
222

чаемого точечным внеосевым источником света, которая участвует в формировании
его изображения.
В то же время пучок лучей, излучаемый источником света, расположенным на
оптической оси, полностью заполняя входной зрачок, будет формировать
изображение источника для выбранной схемы с максимальной яркостью.
Как видите, у нас появились две величины, определяющие яркость
формируемых изображений источников излучения: первая — площадь входного зрачка,
заполняемая полностью осевым пучком лучей, и вторая — часть его площади,
заполняемая лучами наклонного пучка. В то же время понятно, что яркость изображений
источников, формируемых наклонным и осевым пучками, будет пропорциональна
мощности световых потоков, пропускаемых оптической системой.
У нас появились две величины, которые мы можем легко сравнить.
Коэффициент
виньетирования
Для характеристики виньетирования введем
коэффициент «затухания», показывающий, во сколько раз
слабее изображение внеосевого источника излучения
отображается в плоскости изображений, чем изображение такого
же источника, расположенного на оси. Его можно найти с помощью простого
отношения:
k - S(D
л*™ — ,
где ка — коэффициент, характеризующий «затухание» для угла поля зрения со; S0 —
общая площадь входного зрачка; £ю — площадь действующего отверстия входного
зрачка для данного угла поля зрения со.
Отношение части входного зрачка, заполненной лучами наклонного пучка, ко
всей площади входного зрачка в оптике называют коэффициентом геометрического
виньетирования.
На рис. 3.35 показан фрагмент оптической схемы, в которой апертурной
диафрагмой служит оправа объектива. В пространстве предметов расположено
изображение виньетирующей диафрагмы — входное окно системы. Для простоты
восприятия рисунка материальная виньетирующая диафрагма (располагаемая где-то внутри
прибора) не показана.
Входной зрачок
Рис. 3.35. К вычислению коэффициентов геометрического (&(0) и
линейного (&ш) виньетирования. Случай кш =0,5.
223

На пересечении оптической оси и главной плоскости оптической системы
показаны сечение осевого пучка в виде окружности, высвеченной «толстой» линией
оранжевого цвета, с площадью, равной площади входного зрачка £0, и сечение части
наклонного пучка, пропущенного входным зрачком, высвеченное внутри сечения
осевого пучка желтым цветом. Там же внутри сечения осевого пучка серым цветом
показана часть наклонного пучка, «срезанная» входным окном.
Но, пожалуй, проще найти коэффициент виньетирования не как отношение
площадей, а как отношение длин отрезков, полученных в сечении пучков
плоскостью, нормальной к оптической оси:
к -^»
где 2г0 = Do — диаметр входного зрачка, а 2а*ю = Dw — размер действующего
отверстия для выбранного угла поля зрения со в меридиональном сечении.
Замена к^ на к^ справедлива, если величина к^ составляет не менее 40 %, что
чаще всего и встречается на практике. В этом случае коэффициент «затухания» ка
называют коэффициентом линейного виньетирования.
Обычно в визуальных приборах (системах), работающих с глазом, допускается
виньетирование до 50 % на краю поля зрения.
й
Замечание: Можно предположить, что глаза человека как
некая самонастраивающаяся оптическая система с определенным
динамическим диапазоном способны самостоятельно выравнивать
в некоторых пределах яркость воспринимаемых изображений.
Но то, что «хорошо» для глаза человека, «смерти подобно» в оптических
системах, работающих в паре с фотоэлектрическими приемниками. Фоторегистрирую-
щие устройства, не щадя ничьего самолюбия, обнаружат и безжалостно вытащат
наружу все неприятности, связанные с виньетированием.
й
Замечание: Еще раз обратим Ваше внимание: не стоит
смущаться, когда мы говорим о яркости изображения и здесь
же говорим о его освещенности. В визуальных приборах
приемником информации являются глаза человека, а изображение
точек, из которых формируется изображение, воспринимаются
как источники излучения определенной яркости и цвета.
В фотоэлектрических приборах приемником информации
служат различные фоторегистрирующие устройства. Для их
нормальной работы требуется определенная освещенность,
превышающая порог их чувствительности, но не превышающая порог
их насыщения.
Только и всего!
А теперь посмотрим, как же виньетирование влияет на освещенность и
ограничение поля зрения в оптических системах.
Для начала вернемся к рис. 3.35 и рассчитаем пучок лучей от точки,
расположенной таким образом, что луч, касающийся верхней границы входного люка,
проходит через центр С входного зрачка. Очевидно, что в этом случае коэффициент
линейного виньетирования
Для характеристики затенения иногда на практике удобно оперировать уровнем
затенения, равным
224

А»=1-*и.
Эта величина пропорциональна площади затененной части входного зрачка (иногда
для краткости А^ будем называть затенением). Как нам представляется, эта величина,
будучи дополнительной к £ю, более адекватно характеризует виньетирование. Итак,
продолжаем. Уровень затенения для этого случая Аю = (1 - 0,5) х 100 % = 50 %.
Рассматривая рисунок, можно заметить, что на самом деле параметр Аю при таком
расположении входного окна для точек, удаленных от оптической системы, получается
несколько большим 50 %.
Однако в подавляющем числе случаев знание точного значения коэффициента
виньетирования к^ и не требуется. И это не может не радовать!
а
Замечание: Но найти коэффициент виньетирования и,
соответственно, величину затенения в общем виде не так-то
просто. Их определение обычно производится приближенным
способом или на стадии выбора габаритов оптической системы,
или на стадии коррекции аберраций.
А теперь обратимся к рис. 3.36. На нем отображен тот же фрагмент нашей
оптической схемы, но входное окно (люк) на нем занимает несколько иное положение:
оно сдвинуто влево, к плоскости предметов. При этом луч из точки А2, проходящий
через верхнюю границу входного люка, пересекает входной зрачок в точке,
отстоящей от верхней границы этого зрачка на расстояние 0,75D0 (Dw = 0,25D0).
И в этом случае определить коэффициент линейного виньетирования для
пучка лучей, излучаемых источником А2, также не составит труда:
I =7^=0,25,
со Do ' '
а уровень затенения Аю = 75 %.
Уже из этих очень простых рассуждений (или очень простого анализа) можно
сделать очень важный вывод: ширина зоны с постепенно спадающей освещенностью,
определяющая резкость (четкость) ограничения поля зрения прибора, зависит только
от того, как далеко ограничивающее отверстие (виньетирующая диафрагма) или его
изображение отстоит от плоскости предметов и входного зрачка системы.
Апертурная диафрагма
^Входной люк
Рис. 3.36. К вычислению коэффициента линейного виньетирования kw. Случай &ш = 0,25.
225

-50% -25% -12,5% 0%
Рис. 3.37. Иллюстрация виньетирования в оптических приборах при различных
уровнях затенения А.
Чем ближе ограничивающее отверстие (виньетирующая диафрагма) или его
изображение расположено к плоскости предметов и чем дальше отстоит от входного
зрачка, тем меньше становится поле зрения прибора, а с ним и меньше становится
перепад освещенности. И, наоборот, чем дальше ограничивающее отверстие
(виньетирующая диафрагма) или его изображение расположено от плоскости предметов и
чем ближе к входному зрачку, тем больше поле зрения прибора и больше становится
перепад освещенности по полю.
Если же вообще спроецировать изображение виньетирующей диафрагмы в
плоскость расположения источников излучения, то мы получим ровное по
освещенности поле зрения оптического прибора. Все результаты наших бумажных
экспериментов по изменению распределения освещенности по полю изображения показаны
на рис. 3.37 (в процентах указан приближенно уровень затенения А).
3.3.2. Диафрагма ноля зрения
Вернемся к расположению входного окна (люка) в положении III на рис. 3.34.
Исходя из только что проведенного анализа следует: если изображение реальной
материальной диафрагмы совместить с плоскостью расположения наблюдаемого
предмета, то в формировании его изображения примут участие только те источники
излучения, которые будут располагаться внутри этого изображения.
Именно с этого момента то, что мы называли виньетирующей диафрагмой,
приобретает новый статус и новое название — диафрагма поля зрения (или проще,
полевая диафрагма). Так мы незаметно подошли к определению нового элемента
оптической системы — диафрагмы поля зрения или, проще, полевой диафрагмы.
Интуитивно понятно и то, что в этом случае, благодаря сопряженности
пространств, материальная диафрагма должна располагаться непосредственно в
плоскости промежуточного действительного изображения или непосредственно в плоскости
самого действительного изображения.
Тогда понятно и другое: за материальной диафрагмой, в плоскости
изображения, мы действительно будем наблюдать резкую очерченную грани-
ц у свет—тень, а размеры светлого поля будут строго определяться
размерами отверстия материальной диафрагмы.
Чтобы убедиться в этом, обратимся к рис. 3.38 и 3.39. На рис. 3.38 показан
вновь фрагмент уже знакомой нам оптической схемы с материальной диафрагмой,
установленной по ходу распространения света за плоскостью промежуточного
изображения. Равномерное по яркости поле в пространстве предметов в результате
виньетирования пучков лучей, излучаемых источниками А2 и А3, в пространстве
изображений отобразится неравномерным. Это происходит из-за обрезания в плоскости
виньетирующей диафрагмы пучков лучей (в виде световых конусов), формирующих
точки в изображении предмета.
226

Входной люк
А Плоскость предметов
•43-
Апертурная диафрагма — Виньетирующая
п входной зрачок L диафрагма
4n;:-
*-Е
Плоскость
iAilr
изображения предметов Изменение А
освещенности по полю
Рис. 3.38. Ход лучей внутри системы и ограничение пучков материальной виньетирующей
диафрагмой. Произвольное положение виньетирующей диафрагмы.
Входной люк
Апертурная диафрагма —
входной зрачок у
Д Плоскость
предметов
Полевая
фрагма ^
диа<
^r!!:::i:^L.; ЩЗ....
:А',
Плоскость
изображения предмета
ifii
J
2V
Изменение^
освещенности по полю
Рис. 3.39. Ход лучей внутри системы и ограничение пучков материальной полевой
диафрагмой. Полевая диафрагма расположена в плоскости изображений.
Перемещая в пространстве изображений материальную диафрагму таким
образом, чтобы ее изображение совпало с плоскостью предметов, мы сначала («на
подходе» к плоскости предметов) минимизировали неравномерность поля
изображения за счет уменьшения ширины поперечного сечения пучков, участвующих в
формировании крайних точек изображения предмета.
Когда же изображение диафрагмы действительно совпало с плоскостью
предметов, эффект виньетирования полностью исчезает за счет сведения к минимуму
«следов» пучков точек изображения предмета в плоскости виньетирующей
диафрагмы. На рис. 3.39 показан тот же фрагмент оптической схемы с материальной
диафрагмой, но теперь установленной в плоскости промежуточного изображения.
Объясняется это тем, что точки предмета лежат внутри спроецированного
изображения материальной диафрагмы и все лучи, излучаемые ими, заливают полностью
входной зрачок системы и без помех проходят внутрь системы; в то же время лучи,
излучаемые точками предмета, лежащими за пределами изображения материальной
диафрагмы, попасть в оптическую систему не могут.
Обратите внимание, если в схеме на рис. 3.38 затенялись даже лучи пучка,
излучаемого источником в положении А2, то при расположении полевой диафрагмы
227

в плоскости промежуточного действительного изображения (см. рис. 3.39), все лучи
пучка, излученного источником в положении А2, проходят в систему без каких-либо
помех.
С этого момента именно эту диафрагму, ограничивающую область
пространства предмета, отображаемого оптической системой, принято называть диафрагмой
поля зрения, или просто полевой диафрагмой.
а
Замечание: Ограничение поля зрения в оптической
системе может происходить даже если материальная полевая
диафрагма отсутствует. Эту процедуру может выполнить
непосредственно сам экран, на котором проводятся наблюдения,
ограничивая поле зрения своими размерами. Например, в
проекционных системах роль полевой диафрагмы может выполнять
рамка, ограничивающая кадр.
Интуитивно понятно, что резкие границы формируемого системой поля
изображения мы сможем получить, только располагая диафрагму поля зрения
непосредственно (как бы парадоксально это ни звучало!) или в плоскости предмета, или в
плоскости его действительного (промежуточного) изображения. Еще раз подчеркнем:
это тот единственный случай, когда поле, в котором оптическим прибором
формируется изображение, будет иметь действительно резкие границы.
Попутно заметим, что эффект виньетирования полностью нельзя устранить,
если оптическая система «не в силах» построить промежуточное изображение.
Замечание: Из всего того, что мы «наговорили» выше,
пожалуй, самое важное (и самое главное!) — это и понять, и
запомнить, что виньетирующая и полевая диафрагма, в
принципе, решают одну и ту же задачу — ограничивают поле зрения
оптического прибора. Только в случае виньетирования это
ограничение осуществляется диафрагмой, которая не совсем
точно сопряжена с плоскостью, в которой формируется
изображение предмета.
Виньетирующая диафрагма не может резко ограничить поле
зрения прибора: за частью изображения с более или менее
равномерной освещенностью всегда следует большая или
меньшая зона, в которой освещенность постепенно падает. Ширина
этой зоны, которая, собственно, и определяет ширину границы
поля зрения, а с нею и размеры области с равномерной
освещенностью, непосредственно зависит от расстояния
виньетирующей диафрагмы до предмета и от расстояния виньетирующей
диафрагмы до входного зрачка. Чем дальше она расположена от
предмета и чем ближе к входному зрачку, тем больше
становится поле зрения системы и тем шире становится граница
поля зрения.
И наоборот, чем ближе расположена виньетирующая
диафрагма к предмету и чем дальше находится она от входного
зрачка, тем меньше становится поле зрения системы и уже
становится граница поля зрения.
И, наконец, когда -материальная диафрагма совпадет с
плоскостью предмета или с плоскостями его промежуточных
изображений граница поля зрения становится абсолютно
резкой, т. е., в принципе, равной нулю!
228

Если же входное окно непосредственно совместить с плоскостью предметов,
то все пучки лучей, испускаемые источниками излучения, расположенными внутри
отверстия входного окна, беспрепятственно «окажутся» в системе и примут самое
«активное» участие в формировании изображения. А все пучки лучей, испускаемые
источниками излучения, расположенными вне отверстия входного окна, будут
задержаны им.
Л ~ Говорить о конкретных размерах поля, ограничи-
™™™о«..с, I ваемого виньетирующей диафрагмой, в котором форми-
nOJlv Зр"НИЯ I
I руется изображение, вряд ли стоит. Кто-то его
ограничивает уровнем затенения Аю в 50 %, кто-то в 60 % или 70 %,
а кто-то вообще в 100 % (рис. 3.40, а).
Диафрагма же, установленная в плоскости предмета или в плоскости, в
которой мы непосредственно наблюдаем его изображение (или в любой промежуточной
плоскости, где оно может быть сформировано), так «шутить» не даст. Мы увидим
только часть сцены, которую «вырежет» отверстие диафрагмы, резко очерченную его
размерами (рис. 3.40).
Размеры диафрагмы поля зрения (или полевой диафрагмы) определяют
линейное поле оптической системы как в пространстве предметов, так и в пространстве
50
\
\\
-V
/-ч>°
цГ"*>-^
100%
0%
о
^\
Рис. 3.40. Поля, формируемые виньетирующей (а) и полевой (б) диафрагмами
(в процентах указаны уровни затенения А(0).
изображений. Причем линейным полем в пространстве предметов называется
наибольший размер отображаемой части в плоскости предмета, расположенного на
конечном расстоянии, а линейным полем в пространстве изображений называется
наибольший размер его изображения, формируемого системой также на конечном расстоянии.
В заключение отметим, что апертурная диафрагма и диафрагма поля зрения
никогда и ни при каких обстоятельствах не могут быть виньетирующими диафрагмами.
Но, действительно достойно удивления то, с каким блеском позволяют
анализировать прохождение лучей в системе простые изображения материализованных
элементов оптических схем.
уГ01 I Угол, образованный главными лучами, проведен-
по1я зрения I ными из геометрического центра входного зрачка к край-
J ним точкам полевой диафрагмы или ее изображению
229

(входному люку, окну), называется углом поля зрения в пространстве предметов. На
рис. 3.41 главные лучи, ограничивающие угол поля зрения в пространстве предметов,
высвечены зеленым цветом, а угол поля зрения в пространстве предметов обозначен
как 2со.
Угол, образованный главными лучами, проведенными из геометрического
центра выходного зрачка к крайним точкам полевой диафрагмы или ее изображению
(выходному люку, окну), называется углом поля зрения в пространстве изображений
2со\ На рис. 3.41 главные лучи, ограничивающие угол поля зрения 2со' в пространстве
изображений, показаны желтым цветом.
В общем случае угол поля зрения в пространстве изображений связан с
углом поля зрения пространства предметов, согласно (2.35), следующей простой
зависимостью:
, п 1
tg<*>' = — — tgco,
" Рзр
где п и п' — показатели преломления сред пространства предметов и пространства
изображений, а р3р — линейное увеличение в зрачках, равное отношению зрачка
выхода к зрачку входа системы.
а Замечание: Когда в оптическую систему приходят
наклонные пучки лучей из бесконечности, то в каждом пучке лучи
параллельны между собой, но могут быть не параллельны
оптической оси. В этом случае все лучи одного и того же пучка,
пересекаясь с оптической осью системы, образуют с ней
одинаковые углы, которые и определяют угол поля зрения
системы. На рис. 3.42, а он обозначен как 2со.
Если же пучок лучей исходит из внеосевых точек
предмета, расположенного на конечном расстоянии от оптической
системы, то, очевидно,- все лучи пучка встретят оптическую
ось системы под разными углами. В этом случае угол поля
зрения будет определяться направлением главного луча,
проходящего через центр входного зрачка (рис. 3.42, б).
230

Рис. 3.42. Угол поля зрения для точек, расположенных в
бесконечности (а) и на конечном расстоянии от оптической системы (б).
3.4. Анализ схем с различным расположением
полевой диафрагмы
Исходя из сказанного выше, диафрагма, ограничивающая поле зрения
оптического прибора, точно так же как и апертурная диафрагма, может располагаться в
общем случае в различных местах оптической схемы. Однако, чаще всего она
располагается в плоскости промежуточного действительного
изображения. Такого расположения в основном будем придерживаться и мы в наших
примерах. Чтобы не отвлекаться на изучение новых оптических систем, мы будем
использовать уже известные нам оптические схемы, которые мы приводили при знакомстве
с апертурной диафрагмой.
Для определения положения полевой диафрагмы, линейного и углового полей
зрения и соответственно диаметра полевой диафрагмы, прежде всего, необходимо
знать положение и размеры предмета или той области пространства предметов,
которую должен «охватить» оптический прибор.
Предмет
расположен
на конечном
расстоянии
Для первого примера обратимся к оптической
схеме, приведенной на рис. 3.43, в которой для получения
освещенности изображения, пропорциональной яркости
предмета в создаваемом изображении, расположим
полевую диафрагму в плоскости изображения.
Определим диаметр полевой диафрагмы и угловое
поле зрения в пространстве предмета и пространстве изображений. В качестве
исходных данных выберем следующие: фокусное расстояние оптической системы
-/=/' = 100 мм, расстояние до предмета а = -500 мм, а размер предмета у = 50 мм.
Апертурная диафрагма расположена перед оптической системой на расстоянии
яап = -50 мм, а ее диаметр равен Dan = 25 мм. Световой диаметр линзы примем
равным 25,0 мм.
Для начала выполним все необходимые графические построения, в частности,
построим изображения входного зрачка и предмета, тем более, что такие построения
мы выполняли уже не раз. Затем проведем на рисунке из конечной точки нашей
стрелки АВ главные лучи BD и DB', которые образуют с оптической осью углы со и
со' полей зрения.
231

] выходной А ,
, Апертурная диафрагма
зрачок! £ JV „ ^
v I p" Входной зрачок
Входной
люк
Полевая
диафрагма I
Рис. 3.43. К аналитическому расчету положения и размеров полевой диафрагмы,
входного и выходного люков.
Теперь, несколько преобразовав формулу Гаусса (а это мы уже делали!),
найдем расстояние, на котором будет сформировано изображение предмета:
,_ a f _-500x100
а =-
= 125 [мм].
a + f -500 + 100
Воспользовавшись выражениями для определения линейного увеличения
системы
У а
получим значение увеличенного отрезка У:
а
125
У=УЗ=У^-=50х —=-12,5[мм].
Так как линейное поле зрения системы в пространстве изображений равняется
удвоенному значению абсолютной величины формируемого изображения нашего
предмета (стрелки), то размер полевой диафрагмы может быть найден как
Дш = 2| у | = 25 мм.
Исходя из рисунка, определим, чему равен угол поля зрения в пространстве
предметов:
2co = 2arctg
*12°41\
\ат-а) V-50 + 500,
Угловое поле зрения в пространстве изображений также найти несложно:
2со' = 2arctgf -Д-1 = 2arctg[ 12,5 | * 3°10'.
\tt-f) ell25 + 100j
Так как полевая диафрагма в предлагаемой схеме является последним
компонентом, то, естественно, выходной люк совпадает с ней. Ее изображение (в обратном
232

ходе) будет располагаться в сопряженной плоскости в пространстве предметов. Здесь
же будет находиться входной люк.
Предмет
расположен
в бесконечности
Еще проще найти положение и диаметр полевой
диафрагмы для часто встречающейся двухлинзовой
системы, когда предмет наблюдения расположен в бесконеч-
- ности (рис. 3.44).
Пусть нам предложена двухлинзовая система с
угловым полем зрения, равным 2со = 8°30', с помощью которой наблюдается предмет,
расположенный в бесконечности. Фокусные расстояния компонентов системы соот-
Апертурная
диафрагма
Выходной Входной
зрачок
н21ш
зрачок Н|Н'
Pi
л2|П
т
Полевая
диафрагма
ая|
vial
Рис. 3.44. Полевая диафрагма расположена в плоскости изображения, совмещенной
с фокальной плоскостью системы.
ветственно равны //= 126,16 мм и f{ - 57,43 мм, а расстояние между ними d =
= 116,15 мм.
Для определения диаметра полевой диафрагмы необходимо знать величину
изображения рассматриваемого предмета или сцены у'. Если предмет расположен в
бесконечности, то его изображение должно сформироваться в задней фокальной
плоскости системы. Поэтому сначала определим положение полевой диафрагмы,
вычислив эквивалентное фокусное расстояние системы, воспользовавшись формулой
J ft+K-d
126,16x57,43
107,43 [мм].
f\ +fi - d 126,16 + 57,43 - 116,15
Определить размер изображения предмета, создаваемого двухкомпонентной
системой, можно по формуле
У = -/'tgco = -107,43 х tg4°15' = -7,98 [мм].
Очевидно, все поле, а с ним и диаметр полевой диафрагмы, будут равны Дщ = 2| /1 =
= 15,96 мм.
3.4.1. Определение положения и размеров оптических элементов
с помощью вспомогательных лучей
Обилие различных диафрагм, зрачков, люков нередко вводит в смятение души
молодых специалистов. А по жизни, при подготовке натурного эксперимента, необ-
233

ходимость искать положение и размеры отверстий, ограничивающих
распространяющиеся пучки лучей, возникает не так уж часто. Однако наша практика работы с
начинающими оптиками-экспериментаторами просто обязывает нас показать общую
схему определения положения и размеров апертурных и полевых диафрагм с их
«фантомами» с помощью уравнений углов и высот нулевых лучей и, уж тем более,
поговорить на конкретном примере еще раз о виньетировании.
Но прежде введем два новых понятия.
Первый и второй \
вспомогательные
лучи
При анализе оптических систем чаще всего
исследуют прохождение через оптическую систему двух лучей,
один из которых называют первым вспомогательным лу-
|Ш|И1ШШИШШ11Ш1|||И^^ чом, а второй — вторым вспомогательным лучом, а оба
вместе, нередко, объединяют под одним название лучи
Зейделя. На самом деле с обоими из них мы уже знакомы. Это станет ясным, если Вы
посмотрите на рис. 3.45.
На рисунке оранжевым цветом выделен первый
вспомогательный л уч, а зеленым — второй. Каждый из этих лучей задается своими
параметрами. Первый вспомогательный луч, излучаемый осевой точкой предмета, можно
определить высотой встречи распространяющегося луча с главной плоскостью
оптического элемента Ль углом а, который он образует с оптической осью в пространстве
предметов, и углом а', под которым он встречает оптическую ось после преломления
в пространстве изображений.
Второй вспомогательный луч — это, по сути, главный луч,
который, распространяясь в пространстве, пересекает оптическую ось в
геометрическом центре апертурной диафрагмы и сопряженных с нею центрах входного и
выходного зрачков. Его можно определить отрезком -уи на котором он встречает
главную плоскость оптического элемента, и углами со в пространстве предметов и со' в
пространстве изображений.
Но обратите внимание, первым вспомогательным лучом принято считать луч,
ограничивающий апертурный угол, а вторым — луч, ограничивающий поле зрения
оптической системы. Это важно понимать и помнить!
Использование при анализе оптических систем математического аппарата
определения хода вспомогательных лучей (формулы высот и формулы углов) в
отдельных случаях может значительно облегчить поиск положения и размеров входных и
выходных зрачков, а также входных и выходных люков в анализируемой оптической
Выходной зрачок
I Апертурная диафрагма
Входной зрачок
Первый луч
Рис. 3.45. Определение положения и размеров оптических
элементов с помощью вспомогательных лучей.
234

системе. Более того, исследование хода вспомогательных лучей позволяет легко
определить положение и размеры виньетирующих диафрагм.
Ниже мы приведем несколько примеров практического применения формул
нулевых лучей (формул углов и высот). Причем, в качестве примеров мы будем
использовать уже известные нам оптические схемы, дополняя их в случае необходимости
новыми исходными данными. Так мы поступаем только для того, чтобы Вы не слишком
«ломали» голову над тем, что и откуда появилось в рассматриваемых схемах!
В этом разделе мы покажем, как найти положения и диаметры выходного
зрачка и полевой диафрагмы, если воспользуемся для их определения «услугами»
первого и второго нулевых вспомогательных лучей.
Определение
положения и
диаметра
выходного зрачка
(I вариант)
В первом примере мы рассмотрим оптическую
систему, состоящую из двух тонких идеальных линз с апер-
турной диафрагмой, расположенной перед оптическими
элементами (рис. 3.46). В нем в качестве исходных
данных примем, что фокусные расстояния компонентов
равны соответственно f\= 126,16 мм, f2 = 57,43 мм, диаметр
апертурной диафрагмы равен Da„ = 41,4 мм, она
находится от первой линзы на расстоянии яа„ = -69 мм, расстояние между линзами равно d =
=116,15 мм, рассматриваемый предмет находится в бесконечности, а угловое поле
зрения системы составляет величину 2со = 8°30'.
Для определения положения выходного зрачка (да и входного тоже!) мы
должны исследовать условия прохождения такого луча, ход которого связан с
положением апертурной диафрагмы. С этой целью используем
второй вспомогательный луч. Именно он при своем
распространении проходит через геометрический центр апертурной диафрагмы и геометрические
центры сопряженных с нею входного и выходного зрачков. Поэтому, рассчитав ход
второго вспомогательного луча и определив точки его пересечения с оптической осью, мы
получим положения зрачков.
Если все ясно, определим положение и диаметр выходного зрачка системы,
используя ход главного луча. Для этого воспользуемся формулами углов и высот для
нулевых лучей, приведенных нами в разделе 2.8.1. В соответствии с ними имеем:
Выходной Апертурная
зрачок диафрагма Dau
первой линзы Входной зрачок
I системы
Выходной
зрачок системы
^вых. зр
Рис. 3.46. К определению положения и размеров выходного зрачка
и полевой диафрагмы с помощью вспомогательных лучей в двухлинзовой системе
с апертурной диафрагмой на ее входе.
235

P, = tgco = tg4°15' * 0,074, yx = р,аШ1 = 0,074 x (-69,0) * -5,13 [мм],
В2 = в,+^- = 0,074- 5'13 «0034 У2 = У\-№ = -5,13 -0,034x116,15 «-9,04 [мм],
к Р f; 126,16
V9 9 04
R, = R +— = 0,034 - «-0,12.
P3 ?2 fi 57,43
Из рисунка далее следует, что расстояние от второго компонента схемы до
осевой точки выходного зрачка системы (т. е. до плоскости, в которой располагается
выходной зрачок системы) равно
, уг -9,03825 ^ ^ г л
a'F + a2= — = —' =73,06 [мм].
Рз -0,12371
Линейное увеличение в зрачках можно найти, как
Р, ^0,074 Q6X
Р* |Рз| -0,12 '
Отсюда несложно найти диаметр выходного зрачка системы:
Двыхзр = РзрАш * 0,6007 х 41,4 « 24,87 [мм].
(Обратите внимание, что буквой р могут обозначаться и углы, и увеличение!)
Так как tgco3 = рз, то угол поля зрения (или угловое поле) в пространстве
изображений, будет равен 2со3 = 2arctgp3 =14°.
Определение
положения и
диаметра полевой
диафрагмы
(1 вариант)
Чтобы найти положение и размеры полевой
диафрагмы, мы должны использовать луч, ход которого
каким-то образом связан с полевой диафрагмой и люками,
сопряженными с ней. Таким лучом является апертурный
луч, а по «классификации» Зейделя — первый
вспомогательный луч. Именно точки пересечения его с оптической
осью системы определят положение полевой диафрагмы и
ее «фантомов-спутников».
Кроме всего прочего, для определения линейного поля оптической системы и
соответственно диаметра полевой диафрагмы, естественно, необходимо знать
положение и размеры предмета (или угловое поле системы). Если принять, как в нашем
случае, что предмет находится в бесконечности, то полевая диафрагма, сопряженная
с плоскостью расположения предмета, должна находиться в плоскости изображения,
т. е. в задней фокальной плоскости системы.
Выше мы уже нашли половину необходимых величин, но хотелось бы
показать, как это можно сделать с помощью расчета хода первого вспомогательного луча
(см. рис. 3.46).
Примем, согласно выбранному условию, что предмет располагается в
бесконечности, т. е. а\ = -оо. Тогда он = tgaj = tgaa„ = 0°, а высота падения луча на первый
компонент будет равна половине апертурной диафрагмы h\ = Dan/2 = 20,7 мм.
Используя значения cti и Л], вычислим параметры ot2, Л2, аз по формулам, приведенным
в разделе 2.8.2:
а, = 0о,/г,= -^2-= 20,7 [мм],
а2 = а, +^ = 0 +726Л6 * °>16408>
236

й2 = Ai - da2 = 20,7 - 116,15 х 0,16408 * 1,6421 [мм],
hi г, ,^„л« 1,6421 л 1/w,
а3 = а2+77= 0,16408 + «0,1927.
72 57,43
Теперь можно найти расстояние от второго компонента оптической схемы до точки
заднего фокуса системы:
5>, = ^=16Ы= 85215[мм].
а3 0,1927
При этом фокусное расстояние системы равно
/* = A = J?lL = Ю7,42 [мм].
J a3 0,1927
Нетрудно найти величину получаемого изображения:
У'=У2- *рРз = -9,04 - 8,5215 х (-0,12) * -8,02 [мм],
и линейное поле системы в пространстве изображений (или диаметр полевой
диафрагмы):
ДШ = 2|У|* 16,04 [мм].
Определение
положения и
диаметра
выходного зрачка
(II вариант)
Можно решить еще одну задачу. Пусть вновь нам
необходимо определить положение и диаметры входного
и выходного зрачков, а также диаметр полевой
диафрагмы в оптической системе.
В этом примере мы рассмотрим оптическую
систему, также состоящую из двух тонких идеальных линз, но
апертурную диафрагму расположим между оптическими
элементами (рис. 3.47).
Апертурная
Выходной диафрагма
зрачок. н|н, Входной
нчн! L Грачокн н'
Полевая
диафрагма
Рис. 3.47. К определению положения и размеров входного и выходного зрачков и полевой
диафрагмы с помощью вспомогательных лучей в двухлинзовой системе.
Апертурная диафрагма расположена посредине между линзами.
237

В качестве исходных данных примем, что оптическая система состоит из двух
оптических элементов с фокусными расстояниями соответственно -f\-f\= 200 мм,
-f2 =f2 = 130 мм, расположенными друг от друга на расстоянии d=70 мм. Между
ними строго посредине (а\ап = а2аи) расположена апертурная диафрагма, диаметр
которой А.. = 30 мм. Угловое поле зрения системы 2со = 20°.
Эту задачу, как и все предыдущие, можно решить чисто графически или
аналитически с привлечением только формул Гаусса, а также можно и с помощью
расчета хода первого и второго вспомогательных нулевых лучей. Выбор за Вами.
Решение задачи графическим способом Вы можете выполнить сами. А мы
приведем аналитический путь решения задачи с использованием вспомогательных лучей.
Заметим, что апертурная диафрагма, расположенная в пространстве
изображений первого оптического элемента, одновременно служит и его выходным
зрачком. Очевидно, что изображение апертурной диафрагмы, построенное с
помощью первого элемента в обратном ходе лучей, будет располагаться в пространстве
предметов и будет являться входным зрачком не только для первого элемента, но и
для всей системы в целом.
Положение входного зрачка проще всего найти по формуле Гаусса
а\Л 35 х 200 ^^г ,
"' V, - а\= 200-35 * 42'42 [мм1*
Для второго компонента оптической схемы апертурная диафрагма, очевидно,
является входным зрачком.
Найти положение выходного зрачка для второго оптического элемента в
прямом ходе лучей, который одновременно будет служить выходным зрачком для всей
системы в целом, также можно по формуле Гаусса
, _ Q2.A _ -35 х 130
2 ~fi + а2 " -35 + 130 * ^7>8947 [М-
Для определения диаметров входного и выходного зрачков вновь
воспользуемся формулами линейного увеличения в зрачках:
а\ А., о а2 ^вых. зр
Рвх. зр — — ~ и Рвых. зр — — Г" •
<*\ Ах.зр #2 Ан
Тогда
Рвх. зр = ^ = 7Т7? ~ °>825>< и Ах. зР = ТГ^ = * 36,3636 [мм].
а\ 4Z>4Z Рвхзр 0,825
По аналогии найдем и
Рвых. зр = f2 = "4^85947 = 1,3684х и АЬ1Х. зр = АпРвых. зр = 30 х 1,3684х * 41,05 [мм].
Линейное увеличение в зрачках можно получить как
Рсист = ^f^*= рвхзр х рвь1ХЗр = 0,8250 х 1,3684 «1,13х.
^вх. зр
Это, собственно все, что касается зрачков.
Определение
положения и
диаметра полевой
диафрагмы
(II вариант)
Для определения положения и диаметра полевой
диафрагмы необходимо знать размер изображения,
формируемого оптической системой. Для этого воспользуемся
расчетами хода первого и второго вспомогательных
нулевых лучей (см. рис. 3.47).
Для первого вспомогательного луча они будут
выглядеть так:
238

a, = tgaM1 = 0, /,, = ^L=36'3636 =18,1818 [мм],
a2 = ai+77 = 0+ 18'1818 =0,091, h2 = hi -da2= 18,1818-70 x 0,091 « 11,8118 [мм],
/г, 11,8118 , fh 11,8118
a3 = a2 + T7 = 0,091+ ш «0,1819, 5р'=~~ = 0,1819 *64>93[mm].
И, наконец, фокусное расстояние системы:
h 18,1818
/'=^=-07^*100[мм].
Для второго вспомогательного луча получим:
Pi = tgco = 0,1763, ух = p,a, = 0,1763 х 42,42 « 7,479 [мм],
У\ 7>479
Р2 = Pi +^7= 0,1763 + "^-« 0,2137, ^ = j>i - Р2^= 7,479 - 0,2137 х 70 »-7,48 [мм],
у2 7,48 у2 7,48
Рз = Р2+^ =0,2137-"^- «0,1562, flS = g =-"5^^=^7,89 [мм].
Размеры сформированного оптической системой изображения можно найти
исходя из рисунка следующим образом:
Уз = Уг - *гРз = -7,48 - 64,93 х 0,1562 « -17,62 [мм].
Величину полученного изображения можно проверить по уже известной простой
формуле
У = -/'tgco = -100 х tgl0° = -100 х 0,1763 = -17,63 [мм].
Как видите, все в порядке: уз=Уп- Можно найти и диаметр полевой диафрагмы:
Д1Л = 2 |У | = 35,26 мм.
3.4.2. Поиск апертурной и полевой диафрагм в сложных
ошических системах
Знакомясь на протяжении всей главы с ограничивающими диафрагмами,
используемыми в оптических приборах, мы в основном рассматривали отдельные
фрагменты оптических схем. Теперь же, познакомившись с основными свойствами
«фантомов-спутников» — апертурной и полевой диафрагм, интересно посмотреть, как
они будут ограничивать пучки лучей при формировании изображений источников
излучения (или точек предмета) в сложных оптических схемах.
Нередко Вы в своей практике будете встречаться с готовыми оптическими
схемами, буквально «напичканными» различными механическими деталями,
ограничивающими световые пучки. Поэтому, пожалуй, будет нелишним поговорить и о том,
как из всех элементов выделить те, которые могут служить в оптической системе
апертурной и полевой диафрагмами.
Анализ хода
На рис. 3.48 представлена схема некой оптической
системы, сфокусированной на конечное расстояние, с
пучков лучей -. , -
J «полным набором» важнейших диафрагм и их изображе-
через сложную ■ „
г I нии в пространстве предметов. Прорисовывать ход лучей
. оптическую I -. -.
J 1 в пространстве изображении мы не стали, чтобы не за-
снстему I , „ т/.
J щ гружать рисунок «лишней» графикой. К тому же,
построить изображения всех ограничивающих диафрагм и
непосредственно изображения предмета в прямом ходе лучей «проще простого».
239

Входной люк
полевой
| диафрагмы
Входной
Входное окно
виньетирующей
диафрагмы
Виньетирующая
диафрагма!
Апертурная ¥
диафрагма I
предметов
Промежуточного изображения
Рис. 3.48. Ход лучей в оптической системе с «полным» набором важнейших диафрагм
и их «спутников» в пространстве предметов и изображений.
Но прежде мы дадим только несколько пояснений к рисунку. Апертурная
диафрагма на рисунке высвечена синим цветом, а входной зрачок — голубым. Полевая
диафрагма показана красным цветом, а ее входной люк — розовым. Кроме того,
обратите внимание на то, что оправа второй линзы срезает часть наклонного пучка,
вызывая в поле формирования изображения эффект виньетирования (затенения).
В плоскости предметов отображен некий предмет АВ сиреневого цвета, в
промежуточной плоскости — его промежуточное изображение А'В', сформированное
первой линзой системы.
Жирной линией зеленого цвета проведены главные лучи наклонных пучков,
испускаемых точками С и В в плоскости предметов, ограничивающие поле зрения
системы. Очевидно, линейное поле зрения системы в пространстве предметов будет
равно удвоенному расстоянию АВ, а угловое — удвоенному значению угла со.
Желтым цветом высвечен пучок лучей, испускаемый осевой точкой предмета
А и, по существу, определяющий энергетические возможности оптической схемы.
Апертурный угол в пространстве предметов обозначен а, а его удвоенное значение 2а.
Но для нашего анализа эта схема интересна тем, что все пучки лучей,
ограниченные изображениями апертурной и полевой диафрагм на входе системы, четко
(строго) ограничиваются реальными материальными апертурной и полевой
диафрагмами, которые расположены внутри системы. Чтобы в этом убедиться, достаточно
проанализировать ход лучей в областях вне и внутри прибора.
После такого анализа станет ясным, что для определения «поведения» лучей
внутри оптического прибора совсем нет причин «прогонять» их через всю
оптическую систему, а вполне достаточно определить, что с ними произойдет на ее входе.
Как это сделать, мы покажем ниже.
Графический
способ поиска
апертурной и
полевой
диафрагм
Начнем с определения тех оптических элементов
схемы, которые могут служить апертурной или полевой
диафрагмами.
Существует простое правило их поиска (правда, об
этом мы уже говорили). В определенном масштабе
прорисовываются все оптические элементы схемы. Затем в
обратном ходе, через все предшествующие оптические эле-
240

менты системы строятся изображения всех ограничивающих отверстий,
присутствующих в схеме: оправ оптических элементов и используемых материальных
диафрагм.
То изображение отверстия в пространстве предметов, которое будет иметь
наименьший угол, построенный из осевой точки предмета к границам этого
отверстия, и будет являться входным зрачком системы. А та диафрагма или оправа
оптического элемента, от которой получено это изображение, будет являться апертурной
диафрагмой.
Точно так же ищется и полевая диафрагма. То изображение отверстия в
пространстве предметов, которое будет иметь наименьший угол, построенный из
геометрического центра входного зрачка к границам отверстия, и будет являться
отображением реальной полевой диафрагмы, т. е. ее входным люком. А та диафрагма или
оправа оптического элемента, от которой получено это изображение, будет являться
диафрагмой, ограничивающей поле зрения оптического прибора.
На рис. 3.49 показаны изображения всех ограничивающих отверстий, которые
присутствуют в оптической схеме системы, построенные в обратном ходе с
использованием объектива Lj. Естественно, в обратном ходе мы не сможем построить
изображение оправы первого объектива Lj. Поэтому будем считать, что реальная оправа
объектива уже есть ее изображение, правда, «само в себе»!
Построение изображений остальных ограничивающих отверстий, на наш взгляд,
вряд ли может вызывать какие-то вопросы. Как видите, нам удалось прорисовать,
включая оправу объектива, четыре изображения ограничивающих отверстий,
присутствующих в схеме в виде материальных диафрагм или оправ оптических элементов.
Наша задача проста: определить, что есть что!
Начинать всегда следует с поиска изображения апертурной диафрагмы —
входного зрачка системы. Для этого из осевой точки предмета (точки
А), а его положение должно быть известно, проводим прямые линии к
границам полученных изображений всех ограничивающих
диафрагм. На рисунке эти прямые показаны пунктиром различного цвета.
Наименьший угол будет образован прямыми линиями, проведенными к изображению
диафрагмы, высвеченному в пространстве предметов голубым цветом. Именно это
изображение будет служить входным зрачком оптической системы, а материальная
1
Входной люк
Изображение некоего
ограничивающего
отверстия
-..? М
Рис. 3.49. К определению апертурной и полевой диафрагм.
241

диафрагма, послужившая ее прообразом (по определению), будет являться апертур-
ной диафрагмой. Половина угла, который, собственно, и «позволил нам найти»
входной зрачок, а с ним и определить положение апертурной диафрагмы, есть апертур-
ный угол в пространстве предметов.
Теперь, определив, какое из изображений является входным зрачком, можно
найти и положение входного люка, а с ним и положение самой полевой диафрагмы.
Поступаем точно таким же образом: ищем наименьший угол, но теперь уже
построенный к границам всех полученных изображений ограничивающих отверстий
из геометрического центра входного зрачка, не забывая при этом, что оправа первого
объектива Li принята нами как «изображение» самой оправы.
Из построений видно, что наименьший угол, построенный из центра входного
зрачка, «опирается» на диаметр изображения ограничивающего отверстия,
расположенного в плоскости предмета. Очевидно, что это изображение будет служить
входным люком оптической системы, а материальная диафрагма, послужившая ее
прообразом, будет выполнять функции полевой диафрагмы.
Ну а дальше все просто. Диаметр поля, ограничиваемого входным люком в
плоскости расположения предмета, будет определять линейное поле зрения в
пространстве предметов, а угол с вершиной в геометрическом центре входного зрачка и
опирающийся на диаметр входного люка - угловое поле зрение прибора в
пространстве предметов.
г£ь Это интересно: Апертурный угол в пространстве предме-
^ тов непосредственно связан с точкой предмета, расположенной
на оптической оси системы, и «вырезает» из общего
излучаемого (или отражаемого) ею светового потока только ту его
часть, которая будет участвовать в формировании изображения
этой точки.
Что касается угла поля зрения, то он непосредственно
связан с той областью (частью) в плоскости расположения
предмета, которую оптический прибор способен отобразить в
сопряженной плоскости в пространстве изображений.
В принципе, этот способ поиска апертурной и полевой диафрагм во всем
наборе оптических компонентов, применяемых в оптической схеме, насколько прост,
настолько и универсален. Его можно применять во всех случаях, кроме
«предельных», когда предмет или входной зрачок находятся в бесконечности. В этих случаях
все диафрагмы (или их изображения) видны под углом, равным нулю, так как в
обоих случаях лучи входят в систему параллельно оптической оси.
Поэтому, когда предмет находится в бесконечности, за входной зрачок
принимается диафрагма (или изображение диафрагмы), имеющая наименьший диаметр.
Точно так же, когда входной зрачок находится в бесконечности, за входной
люк (или полевую диафрагму) принимается изображение диафрагмы (или
непосредственно сама диафрагма), которое имеет наименьший диаметр.
В заключение этого раздела отметим, что поиск и апертурной, и полевой
диафрагм с таким же успехом можно проводить в пространстве изображений. Понимая,
что зрачки входа и выхода, входные и выходные люки являются сопряженными
изображениями одних и тех же материальных диафрагм, интуитивно понятно, что
апертурный угол и угол поля зрения в пространстве изображений однозначно определят
положение и размеры как выходного зрачка, так и выходного люка, а соответственно,
положения и размеры апертурной и полевой диафрагм.
242

Аналитический способ поиска апертурной и
полевой диафрагм в сложной оптической системе менее
нагляден и нередко более трудоемок.
Для аналитического определения, какие из
диафрагм или оправ оптических элементов, присутствующих
в схеме, будут являться апертурной и полевой
диафрагмами, следует выполнить предварительные вычисления,
перечисленные ниже:
• сначала следует определиться с расположением и размерами предмета и его
изображения;
• затем определить положения и размеры изображений всех диафрагм и
оптических элементов, присутствующих в оптической схеме;
• после этого можно приступить к вычислению величин апертурных углов и
угловых полей зрения для каждого построенного изображения ограничивающих
отверстий.
После выполнения всех перечисленных вычислений можно приступить к
сравнению значений найденных углов. Минимальный угол из всех найденных значений
углов, вершиной которых служит осевая точка предмета, будет являться апертурным
углом в пространстве предметов, а размер отверстия, которое использовалось для его
определения, — входным зрачком. Прообраз этого отверстия — материальная
диафрагма или оправа оптического элемента — будет являться апертурной диафрагмой.
Минимальный угол из всех найденных углов, вершиной которых является
геометрический центр входного зрачка, будет определять угловое поле зрения
системы в пространстве предметов, а то изображение отверстия, которое участвует в его
определении, будет служить входным люком. Прообраз этого отверстия —
материальная диафрагма или оправа оптического элемента будет являться полевой
диафрагмой.
Так как подобные вычисления мы уже не раз проводили при анализе
оптических схем с различным расположением в системе диафрагм, то повторяться еще раз
вряд ли имеет смысл.
В заключение этой главы еще раз хотелось бы отметить, что выбор размера и
местоположения апертурной и полевой диафрагм, это совсем не праздное дело,
вызванное простым любопытством.
Их расположение в оптической системе определяет многие ее характеристики,
непосредственно связанные с качеством (совершенством) создаваемого изображения.
Выбор их положения в оптической системе и связанные с ними положения входных
и выходных зрачков и люков зависят от конкретной оптической схемы и могут
меняться от прибора к прибору.
Если назначение апертурной диафрагмы — обеспечить максимально
возможную освещенность изображения, формируемого оптической системой, то назначение
полевой диафрагмы, в отсутствие в системе виньетирующих диафрагм, — путем
выбора ее определенного положения в оптической системе обеспечить минимально
возможное изменение освещенности по полю изображения.
Нужно хорошо понимать и четко представлять себе, какие функции в
оптической системе выполняют перечисленные элементы: апертурная диафрагма, полевая
диафрагма и собственно сама линза или объектив.
А это следовало бы запомнить раз и навсегда:
апертурная диафрагма ограничивает только световой поток, входящий в
оптическую систему, отвечая за яркость/освещенность создаваемого изображения;
Порядок
вычисления
положения и
размеров
апертурной и
полевой
диафрагм
243

полевая диафрагма всего лишь ограничивает поле зрения оптической системы
и отвечает только за размеры создаваемого изображения;
и собственно линза (или объектив), «эффективно работая с расстояниями»,
способна сформировать на конечном, удобном для наблюдения, расстоянии
изображение наблюдаемого предмета, расположенного даже в «бесконечности».
Ну, а чему обязан сам факт возникновения изображения в оптических
системах, это тема уже других книг.
Этого, пожалуй, достаточно, для того чтобы понять, что представляют собой
апертурные и полевые диафрагмы и какова их роль в оптических системах.
Рекомендованная литература к главе 3
Бегунов Б. К, Заказное К П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория оптических систем. М:
Машиностроение, 1981. 431 с.
Борн М, Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 720 с.
Друде П. Оптика. М.; Л: ОНТИ, Гл. ред. общетехн. лит., 1935. 196 с.
Ковалевская Т. Е., Овсюк В. К, Белоконев В. М, Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
ЛандсбергГ. С Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Михель К. Основы теории микроскопа. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Тудоровский А. К Теория оптических приборов. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948—1952. Ч. 1.
661 с; Ч. 2. 567 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с; Т. 5. 760 с.
Чуриловский В. Н. Теория оптических приборов. М.: Машиностроение, 1966. 564 с.

ГЛАВА 4. ПЕРЕДАЧА ПЕРСПЕКТИВЫ
ОПТИЧЕСКИМИ ПРИБОРАМИ
По нашим сегодняшним представлениям окружающий нас мир трехмерен (по
крайней мере, тот, который мы воспринимаем визуально). И эта его трехмерность
(длина, высота и глубина) «отображается» в нашем сознании благодаря
бинокулярному зрению, т. е. зрению, осуществляемому двумя глазами. Именно бинокулярное
зрение дает нам возможность видеть мир «рельефным».
г^ Это интересно: Оба глаза человека расположены на его
^ лице таким образом, что одновременно видят одни и те же
предметы окружающего нас мира, будто дублируя друг друга.
Интересно и то, что при взгляде «вдаль» (при аккомодации
глаз на бесконечность) оси глаз становятся параллельны
между собой. Такое расположение глаз человека привело к
возникновению у него особой и очень ценной способности —
чувствовать глубину пространства и, что не менее важно,
оценивать на основе возникающих зрительных ощущений расстояния
до различных предметов. Эту удивительную способность
нередко называют пространственным зрением, или стереоскопическим
эффектом.
Однако существует масса оптических систем, которые «работают» по
принципу «монокуляров», т. е. с одним оптическим каналом. Перечислять их можно очень
долго — от простых фотоаппаратов до сложных проекционных систем. Казалось бы,
потеря «стереоскопичности» (или стереоскопического эффекта) должна привести и к
потере ощущения глубины наблюдаемой сцены. Действительно, в предыдущих
главах мы с завидным упорством повторяли, что в оптических системах могут
существовать только две плоскости, которые действительно сопряжены между собой.
Оптическая система, «вырезая» (или выделяя) в трехмерном пространстве всего лишь
одну плоскость, по идее, должна полностью исключить ощущение его глубины.
Однако, это не так или не совсем так! Даже рассматривая какую-либо трехмерную сцену
одним глазом, мы ощущаем ее глубину. Более того, рассматривая, например, на
плоском экране кинотеатра или на экране телевизора (и даже на плоской фотографии
или картине), некую сцену, мы чувствуем ее глубину, нередко говорят, перспективу.
Это интересно: Французское слово perspective (от
латинского perspicio) в буквальном переводе означает «видеть
насквозь», а в более скромном — «ясно вижу». В русском язы-
'ке слово перспектива, с одной стороны, определяет «вид
вдаль» или «видимую даль», а с другой — способ создания
изображения объемных (трехмерных) предметов или сцен на
плоскости (или иной поверхности) . Но в том и другом случае
245

понятие перспективы связано с теми кажущимися изменениями
величины предметов, их очертаний и четкости передачи,
которые обусловлены степенью их удаленности от зрителя или от
точки наблюдения.
С позиций начертательной геометрии перспектива — это
способ изображения фигур, основанный на применении правил
центральной проекции. При построении перспективного
изображения какого-либо предмета проводят из выбранной точки
пространства, называемой центром проекции, лучи ко всем
характерным точкам предмета. На пути лучей ставят ту или иную
поверхность (например, плоскую), на которой желают получить
изображение предмета. Линия, соединяющая точки пересечения
проведенных лучей с поверхностью, и даст контур изображения
предмета. Ну, а остальное — дело техники.
Сегодня трудно судить, чему было обязано своим
появлением представление о перспективе — или оптическим эффектам,
связанным со зрением, или желанием воспроизвести на
плоскости «рельефное» отображение мира.
Впервые правила перспективы упоминаются в трактате
греческого математика Евклида «Оптика» (III в. до н. э.).
Однако римский архитектор Витрувий относил практическое
применение правил перспективы еще к временам Эсхила (VI—
V вв. до н. э.), отца европейской трагедии, который
использовал правила передачи перспективы при создании театральных
декораций.
Витрувий упоминает и о несохранившихся трактатах
выдающегося ионийского философа Анаксагора (это он после
изгнания из Афин гордо заявил: «Не я потерял Афины, а афиняне
потеряли меня!»), и Демокрита из Абдер, первого
последовательного материалиста, в которых они якобы уже писали о
перспективе.
Правда, в позднеантичном'и средневековом искусстве
интерес к систематической разработке проблем перспективы
падает.
Но позже, в период итальянского кватроченто (так,
кстати, в истории итальянской культуры эпохи Возрождения
называют XV век) начинает складываться последовательная,
математически обоснованная теория перспективных построений,
рассчитанная на фиксированный, «антропоцентрический» (anth-
ropos + centron = человек + центр) центр проекций.
Бурно развиваясь в Европе, учение о перспективе совсем
не затронуло искусство Древнего Востока. Древний Восток и
понятия не имел о математических проблемах перспективы,
хотя чисто эмпирически живописцы того времени уже вовсю
использовали типичную для живописи Китая и Японии
параллельную перспективу, которую условно можно считать как
построение перспективы с бесконечно удаленным центром
проекции.
Правда, в последующие эпохи конкретная связь между
научной теорией и художественной практикой перспективы
заметно утратилась, а учение о перспективе в целом стало частью
начертательной геометрии.

Вообще процесс и качество передачи оптическим прибором перспективы
зависят от многих причин. А в этой главе мы рассмотрим только наиболее важные из них.
4.1. Формирование изображений трехмерных объектов
Казалось, мы достаточно поговорили об ограничивающих диафрагмах,
используемых в оптических системах, и даже «поэкспериментировали» с ними. Однако,
это далеко не все, что можно рассказать об их удивительных свойствах.
Например, что такое апертурная диафрагма? Простое отверстие. Но
оказывается, местоположение этого «простого отверстия» в оптической схеме прибора может
оказывать весьма существенное влияние на формирование изображений реальных
объектов.
Выполняя графические построения изображений по правилам геометрической
оптики, мы совершенно не задумывались над тем, что постоянно используем
основные положения проективной геометрии. Все геометрические построения нас вполне
устраивали, и мы не особенно ломали голову над тем, что геометрический центр
апертурной диафрагмы (или центр входного зрачка), по сути, всегда являлся центром
симметрии — основным элементом проективной геометрии. Все геометрические
построения были справедливы, и результаты мы получали абсолютно верные.
Но любое изменение положения апертурной диафрагмы в оптической схеме
будет приводить к изменению положения центра симметрии и, как следствие, к
искажению не только передаваемой перспективы отображаемых трехмерных сцен, но и
к нарушению соотношения линейных размеров различных объектов,
присутствующих в сцене.
U Замечание: Все наши рассуждения, которые мы приводили
выше и на которые потратили столько времени, естественно,
вполне справедливы. Справедливы только потому, что в
качестве предмета мы использовали плоские объекты (или точечные
источники излучения), а в качестве апертурной диафрагмы —
оправу самой линзы, с которой были совмещены входной и
выходной зрачки оптической системы.
Совсем иная ситуация имеет место, если мы обратимся к
объемным (трехмерным) объектам и произвольному расположению
апертурной диафрагмы в оптической схеме прибора.
Мы уже знаем, что любая линза или любой объектив способны «работать»
только с одной парой сопряженных плоскостей. Причем,
если плоскость, расположенная в пространстве предметов и выбираемая
наблюдателем, определяется положением линзы относительно этой плоскости, то сопряженная
ей плоскость в пространстве изображений «назначается» линзой «автоматически».
Этот «автоматизм» полностью зависит от характеристик линзы и однозначно
предопределен известной формулой Гаусса (2.23):
J_ I = ±
а'~ а /'*
Поэтому, как бы мы ни старались, линза, способная «работать» только с двумя
сопряженными плоскостями, никогда не сможет одинаково резко по глубине
отобразить весь рассматриваемый предмет (или сцену).
Объективы любой оптической системы проектируют реальную трехмерную
сцену или реальный объект, имеющий некую глубину (третье измерение), на
определенную плоскость, будь то экран, фотопленка или какое-либо иное фоторегистри-
рующее устройство. Эту плоскость в пространстве изображений часто называют
247

плоскостью резкого изображения (плоскостью резкого видения), или просто
плоскостью наблюдения. Плоскость, которая с ней сопряжена в пространстве предметов,
нередко называют плоскостью наведения, или плоскостью фокусировки.
Чтобы понять процесс образования изображений объемных (трехмерных)
объектов, достаточно рассмотреть, как формируется их изображение в плоскости
наведения РР пространства предметов, сопряженной с плоскостью наблюдения Р'Р' в
пространстве изображений (рис. 4.1).
В этой оптической схеме входной и выходной зрачки системы совмещены с
апертурной диафрагмой, роль которой выполняет непосредственно оправа объектива.
Совмещены и их геометрические центры — точка С, которую можно (и нужно!)
рассматривать как центр симметрии.
Вольно или невольно, но наблюдатель выбирает такое положение оптической
системы относительно рассматриваемой трехмерной сцены, чтобы получаемое
изображение «одинаково» резко отображало всю глубину рассматриваемой сцены.
Естественно, резкое изображение «точки в точку» можно получить только от тех
элементов предмета, которые будут непосредственно расположены в плоскости наведения
(«точка А в точку А'»).
Элементы предмета, лежащие вне этой плоскости (точки В и D), отобразятся в
плоскости наблюдения в виде расплывчатых кружков, так называемых
кружков рассеяния B„p и D„p.
По правилам проективной геометрии (центральной проекции) несложно найти
на плоскости наведения положения проекций Впр и Dnp (точек В и D) объемного
предмета как пересечение главных лучей пучков, исходящих из этих точек, с плоскостью
наведения. Но сами проекции точек В и D будут представлять собой «следы»
пересечения пучков лучей, исходящих из этих точек, с плоскостью наведения PP. Причем их
размеры будут определяться удалением этих точек предмета от плоскости наведения.
По сути, кружки рассеяния, получаемые в плоскости резкого видения Р'Р', есть
отображение «размазанных» проекций (Впр и Dnp) точек В и D объемного объекта,
образованные конусами лучей, опирающимися на входной зрачок системы при их
пересечении с плоскостью наведения РР (правая и левая части рис. 4.1).
Из рисунка видно, что изображение трехмерного объекта, сформированное в
плоскости наведения, действительно, представляет собой проекцию точек объекта на
Плоскость
наведения
:Р
в !в"1
■Оч...
ф ■
а ! ...■■-;:.
0«*£::"."!"
|дф
&*?:.
:--'D
III
iJfi~:::::Z
I С.
••.■:::::::i^{iMC^i^:-^:
H'
Плоскость резкого
изображения,
Yp'
Z®£
D'
r"D'
,-"' \S-~-~~$*>-
I A'
B'
--о-
B,'[r
IF
Рис. 4.1. Формирование изображений трехмерных объектов: РР — плоскость наведения.
Р'Р' — плоскость резкого изображения, точка С — геометрический центр апертурной
диафрагмы и совмещенный с нею центр проекции.
248

Плоскость
Плоскость резкого
изображения ^
Рис. 4.2. Формирование изображений трехмерных объектов при малом размере
апертурной диафрагмы.
эту плоскость, причем центром проекции служит геометрический центр апертурной
диафрагмы, а проектирующими лучами — главные лучи пучков, исходящие их этих
точек и опирающиеся на входной зрачок системы. Такое изображение объемного
объекта, «спроектированное» на плоскость наведения, нередко называют
проективным изображением трехмерного объекта.
Спроектировав трехмерный объект в пространстве предметов на плоскость
наведения при соблюдении всех правил центральной проекции, когда центром
проекции является геометрический центр входного зрачка (в нашем случае объектива и
совмещенной с ним апертурной диафрагмы), мы тем самым получили плоскую
реализацию трехмерного объекта.
Очевидно, если размеры входного зрачка выбрать малыми, то кружки
размытия от точек объекта, расположенных вне плоскости наведения, могут быть приняты
за точки в самой плоскости наведения (рис. 4.2).
Приводя к одной плоскости изображение трехмерного объекта, в результате
мы получаем наиболее близкое к натуре перспективное изображение пространства.
Ну, а теперь, пожалуй, начинается все самое интересное, что связано с
центральной симметрией в оптических системах.
а
Замечание: Можно напомнить, а это следует из
приведенных выше примеров, в оптической схеме возможно три
характерных расположения апертурной диафрагмы, а вместе с нею,
соответственно, три расположения входного (или выходного)
зрачка — центра проекций. Во-первых, апертурная диафрагма
может находиться между линзой (или объективом) и точкой
заднего фокуса оптической системы. В этом случае входной
зрачок, центр проекции, может располагаться между
объективом и бесконечностью в пространстве изображений. Во втором
случае апертурная диафрагма может быть расположена в
фокальной плоскости системы. В этом случае зрачок
соответственно будет располагаться в бесконечности. Третий случай
предполагает размещение апертурной диафрагмы между линзой
(или объективом) и точкой переднего фокуса оптической
системы. В этом случае входной зрачок (центр проекции) может
249

находиться между объективом и бесконечностью в пространстве
предметов.
Существенно, что во всех этих случаях перспектива (а
об этом мы поговорим попозже) в формируемых изображениях
реальных сцен будет отображаться совершенно по-разному.
Те из Вас, кто занимался фотографией, наверное, не раз получали
«прелюбопытные» фотографии, когда рука фотографируемого человека, вытянутая к
фотоаппарату, становилась неестественно большой, а порой и превышала размеры самого
человека.
Чтобы выяснить причины таких «неудач», проделаем несколько
«экспериментов», но, к сожалению, снова только на бумаге. Выберем в качестве объекта съемки
сцену, в которой присутствуют две девушки одинакового роста, отстоящие друг от
друга на некотором расстоянии. Чтобы не перепутать, «кто где», высветим их разным
цветом (рис. 4.3).
Возможны три случая получения фотографии предложенной сцены. В первом
случае можно сделать резким изображение девушки, стоящей ближе к объективу
фотоаппарата (положение I). Тогда вторая девушка будет видна недостаточно резко.
Можно, наоборот, «навести на резкость» вторую девушку, стоящую дальше от
объектива фотоаппарата (положение II). Тогда будет видна «нерезко» девушка, стоящая
ближе к объективу фотоаппарата.
Возможен и третий случай — выбрать такое наведения на резкость, когда оба
персонажа будут видны одинаково «резко», а вернее — одинаково «нерезко». В этом
положении фигуры девушек на рисунке высвечены цветными линиями и
располагаются в некой плоскости наведения Р'Р'. Но главное, обратите внимание, как при
одинаковом росте персонажей меняются их размеры на «получаемой» фотографии.
Если теперь эту плоскость (Р'Р') мы спроектируем в пространство предметов,
то получим плоскость РР, на которой будет формироваться так называемое
проективное изобраэюение фотографируемой сцены, переносимое оптической системой в
плоскость изображений.
После такого краткого вступления можно перейти к обсуждению более
серьезных тем, непосредственно связанных с передачей перспективы оптическими
системами и ее восприятием человеком.
Плоскость одинаково Д
«резкого» видения
Рис. 4.3. К изменению размеров объекта при различном выборе плоскости наведения.
250

Перспектива I Вообще человек обладает врожденной способно-
и зрение человека I стью чувствовать глубину (перспективу) воспринимаемо-
■ го пространства. Принято считать, что зрительное
ощущение глубины возникает только при наблюдении
пространственных образов или сцен двумя глазами, когда мозг имеет возможность
сравнить два изображения одного и того же предмета, отображаемых на сетчатке обоих
глаз.
Однако было бы абсолютно неверным говорить о том, что человек,
рассматривающий некую сцену (или некий трехмерный объект) одним глазом, не ощущает ее
перспективу (или его глубину). Законы, определяющие в самом общем случае
условия формирования изображений, позволяют ему и в этом случае ориентироваться в
пространстве.
Действительно, если мы будем рассматривать два заведомо одинаковых
предмета, но один из них будет выглядеть крупнее, то, по правилам построения
перспективы, он должен находиться к нам ближе, чем другой. И уж совсем ясно, если один
из рассматриваемых предметов будет перекрывать часть другого, то этот «другой»
будет от нас дальше, чем первый.
Это же следует и из простых геометрических построений перспективных
изображений, принятых в оптике.
Обратите внимание: на рис. 4.4 размер стрелки ОА, удаленной от глаза на
большее расстояние, чем стрелка ОВ, отображается на сетчатке глаза стрелкой О'А'
меньшего размера, чем стрелка О'В'. То же самое можно сказать и об их угловых
размерах: coj < 0)2 и со! < со2. Именно разница в линейных и угловых размерах дает
мозгу возможность каким-то образом судить об удаленности (перспективе)
предметов при их рассматривании одним глазом.
9 9
\
а
^ \
> о,
, Ыт -,,.0 о- о
Aj 0)2 coi I
Рис. 4.4. Перспектива и «кажущиеся» размеры наблюдаемых предметов. 1
4.2. Положение апертурной диафрагмы
и передача перспективы
Как мы уже говорили, передача перспективы определяется положением
апертурной диафрагмы в оптической системе. Теперь настало время более тщательно
разобраться, как меняется передача перспективы от ее положения.
Для начала расположим апертурную диафрагму между объективом и его
задним фокусом F' (рис. 4.5). Она в то же время будет являться выходным зрачком
оптической системы.
Эту оптическую схему мы разберем детально. В остальных схемах будем
использовать некоторые сокращения, которые, по сути, никак не будут влиять на
излагаемый материал. В качестве объекта съемки вновь выберем «наших» девушек.
251

плоскость проективного
изображения
Апертурная диафрагма]^ Входной зрачок
Выходной зрачок
Плоскость резкого изображения А
Рис. 4.5. Нормальная энтоцентрическая перспектива: апертурная диафрагма расположена
между линзой и точкой заднего фокуса.
Мы уже говорили о том, что центром проекции в пространстве предметов
является центр входного зрачка. Поэтому построим графически его изображение
(пунктир бледного фиолетового цвета) и определим его центр как пересечение
плоскости входного зрачка с оптической осью системы (точка С).
Из точек В и D, определяющих рост наших персонажей, проведем главные
лучи, как всегда, через центр С входного зрачка системы (прямые линии синего и
зеленого цветов). Обратите внимание, эти лучи принадлежат пространству предметов,
как и изображение входного зрачка, хотя они и отображены справа от объектива. Все
в соответствии с законами геометрической оптики!
Распространяясь за входным зрачком, главные лучи встретят совмещенные
главные плоскости объектива НН' и в точках встречи Ь0 и do преломятся и пойдут в
направлении центра выходного зрачка (точка С) теперь уже в пространстве изображений.
Но «фотограф», стараясь максимально передать глубину отображаемой сцены,
будет стремиться (порой и подсознательно!) сфокусировать объектив фотоаппарата
таким образом, чтобы «одинаково резко» видеть всю глубину отображаемой сцены.
Это и будет в пространстве предметов та плоскость наведения, на которую «спрое-
цируются» все объекты реальной сцены. Чтобы понять, что же происходит в
реальности, выберем в качестве плоскости наведения плоскость, расположенную
посредине между девушками (плоскость РР), и, пользуясь правилом центральной проекции,
спроецируем их изображения на эту плоскость. Не забывайте, что в качестве центра
проекции мы просто обязаны выбрать геометрический центр входного зрачка —
точку С. Точки пересечения b и d главных лучей (или их продолжений) СВ и CD с
плоскостью наведения, по сути, и есть проекции точек В и D, отображающих рост
девчонок. Проекции наших персонажей на плоскости наведения показаны цветными
линиями соответствующих цветов.
Легко видеть, что проективное изображение девушки в синих джинсах,
находящейся ближе к объективу, выглядит крупнее, чем проективное изображение
девушки в черных, находящейся от объектива на большем расстоянии. Именно это
проективное изображение каждой из девчонок отобразится в сопряженной ей плоскости
резкого видения (плоскости наблюдения) Р'Р' в пространстве изображений, которое и
будет зафиксировано на пленке или ином фоторегистрирующем устройстве.
Теперь, чтобы получить изображения наших персонажей в плоскости
изображений, достаточно провести вспомогательные лучи из точек b и d плоскости
наведения через главную точку О объектива до их пересечения с главными лучами, распро-
252

страняющимися в пространстве изображений (точки Ь' и d'). Обратите внимание,
размер девчонки, ближайшей к объективу, получился вновь больше той, что
находится дальше от него. Все, как и должно и быть!
Именно так визуально мы и воспринимаем перспективу: предметы, которые
расположены ближе к наблюдателю, кажутся нам больше, а те, которые
расположены дальше, кажутся нам меньше.
Так что же в остатке? Выбрав, по сути, казалось бы, произвольно в
пространстве предметов положение плоскости наведения, мы как бы спроецировали реальных
девчонок на эту плоскость. В этом случае положение апертурной диафрагмы и
связанного с ней входного зрачка обеспечили передачу нормальной перспективы.
Конечно, размеры девочек несколько изменятся, но естественная передача перспективы
обеспечена! А для фотографии это, пожалуй, самое главное.
Подобная передача перспективы называется нормальной, или энтоцентриче-
ской, перспективой. Именно фотографии, выполненные с использование нормальной
перспективы да еще с блестяще выбранным сюжетом, приобретают все признаки
высокохудожественных произведений.
Но это не единственный вариант расположения апертурной диафрагмы и
связанного с ней входного зрачка в оптической схеме.
Для следующей фотографии при съемке трехмерной сцены расположим апер-
турную диафрагму в задней фокальной плоскости системы (рис. 4.6).
Понятно, что изображение входного зрачка, а вместе с ним и центр проекции,
будут находиться в бесконечности, а центр выходного зрачка совпадет с
геометрическим центром апертурной диафрагмы и будет располагаться в точке заднего фокуса
системы.
Все проектирующие лучи (а у нас это главные лучи), проходящие через центр
входного зрачка, расположенного в бесконечности, достигнув места расположения
наших персонажей, уже будут представлять собой набор прямых линий,
параллельных оптической оси. В пространстве изображений эти лучи обязаны пройти через
точку заднего фокуса оптической системы F', а следовательно, и совмещенный с ней
центр выходного зрачка — центр проекции в пространстве изображений. Главные
лучи, исходящие из точек В и D, определяющих рост девушек, сольются и будут
отображены в виде одной проектирующей прямой. Если теперь в пространстве
изображений выберем плоскость резкого изображения, а с ней и сопряженную ей плоскость
наведения, то получим изображения девушек абсолютно равного размера!
В оптике такую перспективу называют телецентрической, а ход главных
лучей, параллельно оптической оси системы, — телецентрическим.
Плоскость
Y наведения
Апертурная диафрагма -
-оо -^-
выходной зрачок
Н|Н'
boi
Входной зрачок
Плоскость резкого
изображения!
Рис. 4.6. Телецентрическая перспектива: апертурная диафрагма расположена в плоскости
заднего фокуса F'.
253

Как видите, «чудеса» да и только! Перспектива пропала! Но природа уберегла
человека от подобной «напасти», вдумчиво расположив апертурную диафрагму глаза
(радужную оболочку) вплотную перед хрусталиком, как бы совместив апертурную
диафрагму (и входной зрачок тоже) с «оправой» хрусталика.
Однако с такой передачей перспективы Вы встречаетесь довольно часто, почти
каждый день, например, при выполнении технических чертежей. Подобный тип
проекции в начертательной геометрии называют ортогональной проекцией.
И, наконец, рассмотрим третий вариант вполне возможной фотографии, когда
апертурная диафрагма расположена дальше за задним фокусом оптической системы
по направлению распространения света (рис. 4.7).
В этом случае входной зрачок оптической системы будет располагаться на
конечном расстоянии в пространстве предметов и вполне возможен вариант, когда
объект съемки окажется в промежутке между входным зрачком и объективом. На
первый взгляд, это вообще «дикий» случай. Однако он не так уж редок у начинающих
фотографов. Проделав все те же геометрические построения, которые мы выполняли
выше, получим изображение входного зрачка в пространстве предметов слева от
объектива.
Центр входного зрачка будет являться центром проекции в пространстве
предметов. В пространстве изображений центр проекции будет располагаться в
сопряженной точке — центре выходного зрачка. Выбрав плоскость «резкого»
изображения, мы получим «удивительную» картину — изображение девушки,
расположенной ближе к объективу, стало меньше, чем изображение ее напарницы, отстоящей от
объектива дальше. Мы как бы вывернули перспективу рассматриваемой сцены
наизнанку! На первый взгляд, возникает мысль — так не бывает! Оказывается, бывает и
еще как бывает!
Объяснение такого положения вещей довольно банальное. Посмотрите
внимательно на рис. 4.7. Центр проекции (точка С), относительно которого строится
картина сцены в плоскости наведения (эту проекцию мы называли проективным
изображением, которая затем переносится оптической системой в пространство
изображений, а точнее, в плоскость резкого изображения), располагается слева от девушек.
Главный луч СВ, следуя из центра С в направлении распространения света, строит в
плоскости наведения РР увеличенную проекцию девушки в черных джинсах (точка
Ь), в то время как главный луч CD создает в этой же плоскости уменьшенную проек-
Входной
W зрачок
1
t
Плоскость
наведения
Апертурная диафрагма
Выходной зрачок
1 |р'
I
■•■'•■Ck-r-
I
■••--ш^'
Ь'Г
iP'"
Плоскость резкого Д
изображения
Рис. 4.7. Гиперцентрическая перспектива: апертурная диафрагма расположена за точкой
заднего фокуса F' системы.
254

цию девушки в синих джинсах. Именно эти два изображения будут перенесены
оптической системой в плоскость «резкого» (или «нерезкого») изображения (плоскость
Р'Р'), и, как результат, девушка в черных джинсах будет выше, чем девушка в синих.
Это совсем неестественная перспектива. Она может возникать только в
некоторых оптических приборах, например, в фотоаппаратах и носит название
гиперцентрической перспективы. Нельзя исключать получение подобной перспективы и у
начинающих молодых специалистов при моделировании разрабатываемых систем.
Так что будьте внимательны!
Пример:
«выворачивание
трубы наизнанку»
А сейчас мы приведем (правда, снова на бумаге)
интересный эксперимент, который Вы сможете легко
реализовать на практике, а мы попытаемся математически
доказать, что все те «чудеса», о которых мы рассказали
выше, действительно существуют в оптике.
Для практической реализации этого эксперимента нам потребуются всего
лишь небольшая трубка с диаметрами отверстий d и D и лупа с небольшим
увеличением (рис. 4.8). Требование к увеличению лупы объясняется необходимостью
размещения нашей трубки между точкой переднего фокуса и самой лупой. Собрать
предлагаемую схему несложно. Эксперимент будет нагляднее и ярче, если внутренняя и
внешняя поверхности трубки будут различного цвета.
На рис. 4.8 показана оптическая схема эксперимента с тремя различными
положениями глаз наблюдателя относительно фокальной плоскости: за задним фокусом
лупы z[ > О (а), в плоскости заднего фокуса z'2 = О (б) и, наконец, между лупой и
плоскостью заднего фокуса z^ < О (в). Синим пунктиром показаны вспомогательные
прямые лучи, с помощью которых было выполнено графическое построение
изображения трубки.
Естественно, при рассматривании трубки через лупу глаз будет видеть не саму
трубку, а ее изображение, причем изображение будет мнимым, прямым и
увеличенным. Но обратите внимание, при графическом построении изображение d отверстия
d, расположенного ближе к линзе, на рисунке получилось меньше, чем изображение
П отверстия D, расположенного дальше от линзы.
Наверное, стоит напомнить, что размеры изображений dt и Д диаметров
торцов трубки, формируемые лупой в глазу наблюдателя
(на его сетчатке), пропорциональны тангенсам углов оь и со^ , под которыми они
видны из точки наблюдения (индекс / = 1, 2, 3 соответствует трем случаям
расположения глаза). Нетрудно догадаться, что по этому отношению можно легко судить об
изменении размеров изображений торцов трубки при их отображении линзой при
различном положении глаз наблюдателя. Назовем это отношение коэффициентом
различия к;.
*,=A = J§^L (4.1)
A tgcoA
Ну а теперь, к делу. Расположим глаз для наблюдения изображения трубки на
произвольном расстоянии z' от заднего фокуса системы F' и определим углы со^ и
tgco/)., под которыми видны изображения диаметров отверстий трубки di и /> .
Из рисунка следует, что
d' /ЛЛЧ
tgcoj = , (4.2)
В di 2(-a' + f') + 2z!
tgco,-, = . (4.3)
255

Изображение
Л, <1
D'
Изображение
трубки I Трубка HiH'
;а П|П
1 г"
ША = <0Л=<0
*2=1
£ £ 4 U *sL
F'
I D2=d2
Г
^ z2
z' = 0
в Изображение
^~труБкй 1 Трубка Н | Н'
Рис. 4.8. Оптическая схема эксперимента с трубкой и лупой при различном положении
наблюдателя: за задним фокусом лупы (я), в плоскости ее заднего фокуса (б) и
между лупой и плоскостью ее заднего фокуса (в).

Выберем далее в качестве исходного случай, когда глаз располагается в
плоскости заднего фокуса (см. рис. 4.8, б), и попытаемся выяснить, что же происходит с
изображениями отверстий, когда глаз наблюдателя располагается перед и за задним
фокусом системы. Очевидно, что при телецентрическом случае размещения глаза
(/ = 2) мы должны, прежде всего, найти угол со', который образует с оптической осью
луч, идущий от отверстий трубки (синий пунктир) в пространстве предметов
(параллельно оптической оси) и пересекающий после преломления эту ось в точке заднего
фокуса лупы. Именно под эти углом мы видим в изображении первое и второе
отверстия трубки (прямая — луч высвечена на рисунке желтым цветом). Принимая, что
tgco' = tgcoj2 = tgco£2, a Z2 = 0, из (4.2) и (4.3), получим
d П
tgC°' " 2(-а' +/') " 2(-Ь +/')' (4'4)
Сравнивая выражения (4.2) и (4.3) с выражением (4.4), несложно заметить в
них «подозрительно» похожие члены. Чтобы произвести замену этих членов,
проделаем следующие довольно простые преобразования:
1 _2(-fl' + /'), 2z;= 1 ( 2z/
tgcoj( d' d' tgco' d' '
1 _2(-У + Л ^2zi _ 1 (2z;
tgcoA D' D' tgco' D'
Если же мы обратимся к выражению (4.1), то коэффициент различия к[ примет
следующий вид:
! , 2z;tgco'
к,Л = ^ = -—?Ц. (4.5)
Д tgcoA ! 2zf-tg(o
d\
И хотя у нас получилось «многоэтажное» выражение, но, согласитесь,
удивительно красивое. А разобраться с ним совсем несложно.
Например, для случая, когда наш глаз находится справа от точки заднего
фокуса (/ = 1, z\ > 0), учитывая, что tgco' > 0, Ьх > dx, получим, что коэффициент к\ < 1
(см. рис. 4.8, а). А это значит, что диаметр трубки, расположенный ближе к лупе,
выглядит меньше, чем диаметр, расположенный дальше от нее. Это известная нам
гиперцентрическая перспектива. Более того, Вы, надеемся, увидите и внешнюю
поверхность трубки.
Если же Вы совместите центр хрусталика глаза с точкой заднего фокуса лупы
(/ = 2, z'2 = 0), то коэффициент различия к2 станет равным единице, т. е. наблюдаемые
размеры торцов будут одинаковыми: D2 = d2. В этом случае диаметры отверстий,
хотя и будут разнесены в пространстве (кстати, как и должно быть), но в плоскости
изображений, т. е. на сетчатке глаза, они будут совмещены, и мы увидим только одно
отверстие! Это уже известная нам так называемая телецентрическая перспектива (см.
рис. 4.8, б).
И наконец, если мы поместим глаз ближе к линзе (/ = 3, z'3 < 0), то
коэффициент кт, будет больше единицы и полученное изображение примет вполне
«естественный» вид: диаметр отверстия, расположенного ближе к лупе, будет выглядеть
больше диаметра более удаленного отверстия трубки (d3 > D3). В этом случае мы имеем
дело с нормальной перспективой (см. рис. 4.8, в).
Ну, а то, что будет видеть наблюдатель, показано на рис. 4.9. Удивительно, что
мы теперь увидим внутреннюю поверхность трубки. Вот, собственно, для чего мы
предлагали взять трубку с поверхностями (внутренней и внешней) разного цвета.
Просто интересно наблюдать переход от одного цвета к другому, с внешней
поверхности к внутренней, и наоборот!
257

а Вид внешней б Вид с в Вид внутренней
поверхности торца поверхности
Рис. 4.9. Результаты наблюдения изображения трубки при различном расположении
глаза относительно лупы: справа от фокальной плоскости лупы (а),
в ее фокальной плоскости (б) и слева от фокальной плоскости лупы (в).
Таким образом, при визуальном наблюдении трехмерной сцены оптическим
прибором перспектива в пространстве изображений, воспринимаемая наблюдателем,
будет определяться положением его глаз, а вернее, положением выходного зрачка
системы. И это вполне естественно и совершенно не противоречит тому, что мы
рассмотрели выше. Мы надеемся, что Вы еще не успели забыть — входной зрачок
системы сопряжен с ее выходным зрачком.
Кстати все эти «фокусы» можно легко получить и с любым фотоаппаратом.
Как? Подумайте сами!
4.3. Отображение перспективы оптическими приборами.
Условия естественного восприятия
Из приведенных выше рассуждений следует, что центры входного или
выходного зрачков в оптических системах играют очень важную роль при формировании
изображений (не забывайте, что они сопряжены!). Действительно, именно в них
пересекаются все главные лучи, участвующие в создании изображения. Положение в
пространстве зрачков, которые, по сути, являются центрами проекции, будет во
многом определять условия формирования, а с ними и характер передаваемой
перспективы, а следовательно, и искажение в ее передаче. Не следует забывать и того, что
конечным получателем визуальной информации, как правило, является
непосредственно человек, и в этом случае положение зрачков входа и выхода определяется
положением глаз наблюдателя. В качестве иллюстрации можно привести довольно
простые примеры, встречающиеся в жизни.
Например, выбор положения входного зрачка накладывает особые условия на
просмотр фотографий для того, чтобы сохранить впечатление естественной перспективы.
Мы уже говорили, что человек, рассматривая одним глазом плоское
изображение трехмерных сцен, восстанавливает перспективу, интуитивно выбирая в сцене
изображения известных ему предметов. Восстановление пространственных впечатлений
почти всегда происходит и при рассматривании фотоснимков, и при просмотре
телевизионных передач, и при просмотре кинофильмов, не важно, где и на чем.
При рассматривании плоских изображений, сформированных оптической
системой, правильность восприятия перспективы зависит от расстояния глаз
наблюдателя до рассматриваемого изображения. Это расстояние L должно быть таким, чтобы
все угловые размеры между точками изображения строго соответствовали угловым
размерам между соответствующими точками реального пространства. Можно сказать
и иначе: видимые глазом угловые размеры предметов на фотоснимке (или экране
телевизора либо кинотеатра) должны быть такими же, как и при их
непосредственном наблюдении на местности. Это расстояние несложно найти из рис. 4.10.
258

■•-... в
""-о...
А
н
i
со ■"'■•■■
К
L
-а \
"^С
н'
щ Плоскость
фотографии
с .! ,
"■•-.... со'= со
^ !
J
f 1 с
b г
В'
Рис. 4.10. К просмотру фотографий.
1
^:::::.У
1
Стрелка А'В' = И есть изображение стрелки АВ = Л, полученное при условии,
что центр симметрии С располагается во входном зрачке системы. На рис. 4.10
показаны и угловые размеры этих стрелок со и со'.
Так как стрелка АВ имеет угловой размер, равный со, то для сохранения
естественной перспективы глаз человека необходимо разместить от снимка на
расстоянии L, которое бы обеспечило равенство угловых размеров непосредственно
проективного изображения (со) и его отображения в пространстве изображений (co'i), т. е.
А'
tgco = tgco, = ——.
Поскольку угловой размер стрелки
tgco = —,
а
то расстояние L согласно (4.6) и (4.7) должно быть следующим:
L= а— =$а.
h K
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Это условие получено в предположении, что плоскость наведения (или
фокусировки глаза) находится на конечном расстоянии.
А теперь снова самое интересное: если глаз наблюдателя будет располагаться к
изображению ближе найденного расстояния L, то перспектива будет казаться «сжатой»
по глубине, и наоборот, если глаз наблюдателя будет располагаться от изображения
дальше найденного расстояния L, то перспектива будет казаться «вытянутой» по глубине.
В этом можно легко убедиться, если посмотреть одним глазом на окружающий
нас мир через окуляр бинокля (объектив к предмету): при сильном увеличении все
наблюдаемые предметы и расстояния между ними будут казаться «сжатыми». Но если
поступить наоборот и посмотреть на местность через объектив (окуляр к предмету),
впечатление будет вообще потрясающим: глубина перспективы вытянется невероятно!
4.4. Перспектива и точность линейных измерений
Очевидно, что положение апертурной диафрагмы в оптической системе не
может не влиять на результаты измерений геометрических размеров реальных объектов.
Апертурная диафрагма и
точность линейных
измерений
Пусть нам необходимо измерить
расстояние АВ между двумя точками предмета,
расположенного перед оптической системой,
причем апертурная диафрагма расположена
259

перед объективом на произвольном расстоянии от него, а следовательно, входной
зрачок совмещен с ней.
Расстояние между изображениями точек А'В' будет измерено точно только в
том случае, если плоскость резкого изображения, сопряженная с плоскостью
наведения (где расположен предмет), совпадает с измерительным устройством (рис. 4.11),
например, измерительной шкалой или иным измерительным устройством (в
частности, многоэлементным линейным фотоприемником).
Чтобы ход лучей в системе был понятен, нам пришлось вновь отобразить
рисунок «по полной программе», т. е. со строгой прорисовкой всех лучей, участвующих
в формировании изображения предмета.
На рисунке с помощью лучей сиреневого цвета мы построили изображение
выходного зрачка.
Напомнить о том, что главные лучи пучков проходят последовательно через
геометрические центры входного зрачка, апертурной диафрагмы и выходного зрачка,
наверное, будет нелишним! С учетом этого главные лучи, исходящие из краевых точек
измеряемого предмета (А и В), пройдут в направлении центра входного зрачка С и
встретят главную плоскость оптической системы в точках а и Ь. В этих точках они
преломятся и, пройдя через центр выходного зрачка С, в плоскости расположения отсчет-
ного устройства (отображенного на рисунке в виде штриховой линейки) сформируют
изображение контролируемого предмета А'В'. Для того чтобы найти размер А'В'
полученного изображения, достаточно просто сравнить его со штриховой линейкой.
й
Замечание: Серым пунктиром, просто для наглядности, мы
показали построение изображения предмета одним из тех
«классических» способов, о которых говорили в предыдущих главах.
Уже из этих построений становится ясным, что любое смещение измеряемого
предмета вдоль оптической оси приведет к изменению размеров его изображения и,
как результат, к неверным результатам его измерений.
А сейчас представьте себе, что наше измерительное устройство выполнено в
виде отдельного модуля и предназначено для проведения измерений в
автоматизированной линии контроля. Как бы точно ни был изготовлен механизм подачи
контролируемого изделия на позицию контроля, всегда возможна ошибка позиционирования,
Выходной Апертурная диафрагма -
I зрачок I входной зрачок
Н.Н'
Плоскость наведения и
расположения отсчетного
устройства
Рис. 4.11. Оптическая система для измерения линейных размеров. Апертурная
диафрагма расположена между передним фокусом и линзой.
260

Выходной Апертурная диафрагма —
Рис. 4.12. Ошибка измерений линейных размеров объекта, вызванная его смещением
относительно позиции контроля. Апертурная диафрагма расположена
между передним фокусом и линзой.
т. е. неверного «вывода» контролируемого изделия в строго определенную позицию
и, как результат, — неминуемое возникновение ошибки измерения (рис. 4.12).
На нашем рисунке некая деталь АВ (высвеченная черным цветом)
расположена строго на позиции контроля. Плоскость Р0, «рассекающая» деталь и нормальная
к оптической оси системы, сопряжена с плоскостью Ро в пространстве изображений,
в которой расположена измерительная шкала (или некое измерительное устройство).
Не нужно долго думать, чтобы понять — разность отсчетов, снятых по шкале, с
учетом коэффициента передачи изображения (а проще, линейного увеличения), даст нам
действительный размер детали.
Но если бы всегда было так. Чаще, по каким-либо объективным или
субъективным причинам, измеряемая деталь «выводится» на позицию контроля с некоторой
ошибкой, смещаясь вдоль оптической оси и занимая, например, положения,
высвеченные на рис. 4.12 зеленым и сиреневым цветом (положения AjBj и А2В2). Тогда,
согласно положениям геометрической оптики, предмет, расположенный ближе к
оптической системе, будет резко отображаться ею за шкалой (положение AiB'i), а
предмет, расположенный дальше от оптической системы, — перед шкалой (положение
А2В2). А в результате на шкале мы увидим в виде неких кружков рассеяния всего
лишь следы пересечения главных лучей сходящихся пучков, участвующих в
построении изображения предмета. Остальное все должно быть понятно из рисунка.
Предположим, объект переместился ближе к объективу. Его резкое
изображение AiB'i будет сформировано системой за измерительным устройством. Размер
изображения смещенного объекта AiBi в расчетной плоскости позиционирования будет
больше истинного размера изображения детали А'В'. И наоборот, если объект
контроля сместился в сторону от объектива, его резкое изображение А2В2 будет
сформировано системой перед измерительным устройством, а его размер изображения будет
меньше истинного размера изображения детали А'В'.
В плоскости отсчетного устройства (фотоприемника или измерительной
шкалы) вместо резкого изображения будут наблюдаться «следы» конусов пучков лучей,
формирующих изображения точек. Фотоприемник будет «добросовестно» снимать
сигналы, но результаты всех ваших измерений будут далеки от ожидаемых.
Телецентриче- I Возможность «свободного» выбора расположения
ский ход лучей I апертурной диафрагмы в оптической схеме позволила
261

немецкому оптику Эрнсту Аббе совсем простым способом устранить влияние
положения объекта на размер его изображения в плоскости отсчетного устройства.
Идея Аббе сводилась к выполнению простого условия: если при перемещении
объекта сохранить неизменными углы главных лучей в пространстве изображений,
под которыми они пересекают оптическую ось, то размер создаваемого изображения
в плоскости расположения отсчетного устройства всегда будет неизменным.
Оказывается, для этого всего лишь необходимо (и достаточно!) расположить
апертурную диафрагму (которая в то же время является выходным зрачком) в задней
фокальной плоскости системы. Понятно, что в этом случае входной зрачок будет
отображен в бесконечности и все лучи, даже если они выйдут из центра входного
зрачка, придут к входному отверстию системы в виде пучка лучей, параллельных
оптической оси.
А дальше все понятно, лучи, вошедшие в систему параллельно оптической
оси, должны после преломления пройти через точку ее заднего фокуса.
Таким образом, если центр выходного зрачка
совпадает с задним фокусом оптической системы, то
через него пройдут только те главные лучи, которые
в пространстве предметов идут параллельно
оптической оси (рис. 4.13).
Если этим главным лучам принадлежат точки предмета, расстояние между
которыми необходимо определить, то перемещение объекта вдоль оптической оси не
приведет к изменению размера его изображения (проекции) в плоскости
измерительного устройства.
Но на самом же деле картина формирования изображения в плоскости
отсчетного устройства несколько иная. Плоскость резкого изображения при перемещении
объекта (или перемещении нашего измерительного модуля «оптика + отсчетное
устройство» относительно объекта, что в принципе одно и то же) переместится в том же
направлении, что и наш объект (см. рис. 4.13).
Безусловно, резкое изображение наблюдаемого объекта мы увидим в
плоскости резкого изображения. Оно будет перевернутое и увеличенное. В плоскости же
размещения отсчетного устройства конус, создающий изображение точки Ai (или Bi),
оставит след в виде слегка расфокусированного пятна Ai' (или Bi') в месте
пересечения светового конуса с плоскостью фотоприемника или отсчетной линейки. Эти
расфокусированные пятна будут принадлежать тем же главным лучам пучков, которые
создавали изображение точек, когда они располагались в плоскости АВ. Следова-
262

тельно, и расстояние между центрами этих пятен
останется неизменным.
Такая схема хода главных лучей (параллельно оптической оси) называется
оптической схемой с телецентрическим ходом лучей в пространстве предметов.
Расположение апертурной диафрагмы в задней фокальной плоскости
оптической системы является обязательным для всех измерительных микроскопов, в том
числе и для оптических измерительных систем, работающих совместно с системами
автоматической подачи контролируемой детали на позицию контроля.
Но, сказав «А», трудно не сказать «Б». Если в предыдущем примере мы
располагали апертурную диафрагму в задней фокальной плоскости объектива, то почему
бы теперь ее не расположить в передней фокальной плоскости (рис. 4.14). В этом
случае входной зрачок будет совпадать с самой апертурной диафрагмой, а выходной
зрачок переместится в плюс бесконечность, причем все главные лучи пучков, идущие
из предметных точек А и В через центр входного зрачка, за объективом (в
пространстве изображений) пойдут параллельно оптической оси.
Но что интересно, изображения предметных точек А и В при любой
расфокусировке изображения (или смещения отсчетного устройства) будут лежать на
главных лучах пучков. Действительно, где бы мы ни располагали измерительную шкалу
или фотодиодную линейку, расстояние между центрами изображений
сфокусированных и расфокусированных точек будет одинаково, т. е. А'В' = А"В" = А'"В'"
(см. рис. 4.14).
Такое расположение апертурной диафрагмы «прощает» небольшие ошибки в
установке отсчетного устройства, так как его положение не влияет на результат
измерений. Очевидно, что такая схема чутко реагирует на смещение контролируемого
объекта вдоль оптической оси.
Достаточно взглянуть на рис. 4.15, где показано, что произойдет, если предмет
АВ переместится ближе к объективу в положение AjBi. В этом же направлении
переместится и плоскость резкого видения.
В соответствии с графическими построениями в плоскости резкого видения
будет сформировано оптической системой изображение предмета AjBi,
действительное, перевернутое и увеличенное. Но в плоскости фотоприемного (или какого иного
отсчетного устройства) мы увидим лишь след встречи светового конуса,
формирующего изображение точки в виде слегка расфокусированного пятна Ai или Bj. Рас-
Плоскость наведения и
расположения отсчетного
устройства
'-fa
А"
У-
Выходной зрачок в
плюс бесконечности
► + оо
Рис. 4.14. Телецентрический ход лучей в пространстве изображений. Размеры изображения
контролируемого объекта — неизменны при смещении отсчетного устройства.
263

Плоскость наведения и
расположения отсчетного
устройства
Рис. 4.15. Телецентрический ход лучей в пространстве изображений. Смещение
контролируемого объекта с позиции контроля ведет к изменению размера его изображения.
стояние между центрами этих пятен не будет соответствовать истинному размеру
предмета, ограниченного точками А и В. Действительно, размер А'В' < AiBi.
Такая установка диафрагм обеспечивает за объективом параллельный ход
лучей и часто в литературе называется схемой с телецентрическим ходом лучей в
пространстве изображений.
Вот, собственно, и все о перспективе и ее влиянии на передачу размеров
рассматриваемых предметов!
Рекомендованная литература к главе 4
Бегунов Б. К, Заказное И. П., Кирюишн С. К, Кузичев В. И. Теория оптических систем. М.:
Машиностроение, 1981. 431 с.
Ковалевская Т. Е., Овсюк В. К, Белоконев В. М., Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Михель К. Основы теории микроскопа. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Тудоровский А. К Теория оптических приборов. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948—1952. Ч. 1.
661 с.;Ч. 2. 567 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с; Т. 5. 760 с.
Чуриловский В. К Теория оптических приборов. М.: Машиностроение, 1966. 564 с.

ГЛАВА 5. ГЛАЗ КАК ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Человека на всех стадиях его развития буквально «раздирало» нескончаемое
чувство любопытства, определяемое одним вопросом: «А что там?». Желание
«заглянуть» в макро- и микромир и привело к созданию оптических приборов.
Поэтому вполне естественно, что многие требования, предъявляемые ныне к
конструкции оптических приборов или определяющие их основные характеристики,
возникли не на пустом месте, а из опыта их использования совместно с глазом.
Как бы ни фантазировал человек, но почти всегда в своих теоретических
изысканиях или конструкторских решениях он «скатывается» к тому, что ему предлагает
природа. Точно так же получилось и с геометрической оптикой.
Сложно утверждать, на примере ли глаз человека, на примере ли создаваемых
оптических систем, на том ли и другом вместе, закладывались основы
геометрической оптики. Но то, что глаза человека сыграли в этом огромную роль, — трудно
оспорить.
С изобретением фотоэлектрических преобразователей самого различного
назначения конечным потребителем оптической информации по-прежнему долгие годы
оставался человек (да остается и сегодня!), поэтому менять устоявшиеся в течение
многих лет характеристики, определяющие возможности оптических систем,
пожалуй, не было никакой необходимости и смысла.
Поэтому знакомство с тем «что могут» (и «чего не могут») оптические
приборы, мы начнем с вопросов, связанных с их использованием непосредственно с глазом
человека.
Но прежде, хотя бы немного, мы должны поговорить о зрительных
возможностях человека, а главное, о его глазах как основных «поставщиках» визуальной
информации, взглянуть на них как на некую самостоятельную оптическую систему и
попытаться разобраться, как эта система «работает» и какими параметрами ее можно
охарактеризовать.
Конечно, мы не будем вдаваться в тонкости биологического строения глаз и
тем более в тонкости физиологического восприятия человеком окружающего мира.
Для наших рассуждений это не так уж и важно, да и тема-то слишком тяжеловата.
Мы просто попытаемся понять, как работает глаз человека в своей оптической
части и какие геометрические параметры наиболее точно определяют его
оптические возможности. Тем более, что он всегда «под рукой», а воспользовавшись любым
оптическим прибором (от лупы до ширпотребовской зрительной трубы или
театрального бинокля), можно поэкспериментировать с ним, чтобы, пусть на
качественном уровне, познакомиться с его оптическими возможностями.
5.1. Оптическая система глаза и ее возможности
Глаз человека, с позиций геометрической оптики, можно представить как
обычную осесимметричную оптическую систему, состоящую из ряда оптических
элементов. И это действительно так.
265

Оптическая
система глаза
| Передняя часть глаза, слегка выпуклая и
прозрачная для света, носит название роговицы (рис. 5.1).
Непосредственно за ней располагается радужная оболочка
(радужка), которую вполне можно рассматривать как апер-
турную диафрагму глаза. За радужной оболочкой располагается стекловидное
линзообразное тело, называемое хрусталиком.
И, наконец, на задней внутренней поверхности глаза расположен слой
светочувствительных элементов, способных реагировать на свет и цвет, называемый
сетчаткой, или ретиной.
Сетчатка состоит из сложного сплетения нервных волокон и рецепторов,
известных под названиями «палочек» и «колбочек», которые вследствие светового
раздражения преобразуют энергию поля в электрические сигналы, способные
распространяться по нервным волокнам. Именно на этот весьма своеобразный «экран»
в виде сетчатки и проецируется изображение рассматриваемых предметов и
реальных сцен.
Число колбочек в глазу достигает 7 млн, а палочек — до 130 млн. Периферия
сетчатки заполнена почти исключительно палочками. Палочки обладают значительно
большей чувствительностью к свету, чем колбочки. Ночью и в сумерки (при
освещенности менее 0,01лк) в основном работают палочки. Зато колбочки, в отличие от
палочек, способны различать цвета, что палочкам не дано.
Существенно, что формирование самого изображения, в соответствии с
электрическими сигналами, поступающими от всех этих палочек и колбочек, происходит
главным образом в головном мозге, хотя принято считать, что частичный анализ
поступающих сигналов происходит уже в сложной сети нервных волокон в самой
сетчатке глаза.
Оптический элемент глаза человека, непосредственно связывающий
пространство предметов и пространство изображений, состоит из двух компонентов —
роговицы и хрусталика. Преломление световых лучей, попадающих в глаз, в основном
происходит на передней поверхности роговицы. Сам же хрусталик слабо преломляет
световые лучи и обеспечивает только «тонкую» подфокусировку глаза на различные
расстояния.
Пространство между хрусталиком и сетчаткой заполнено прозрачным
веществом, называемым стекловидным телом. Показатель преломления стекловидного тела
отличается от показателя преломления воздуха и равен п' = 1,336. В результате
переднее -/и заднее/' фокусные расстояния оптической системы глаза,
«связываемые» соотношением (1.76):
Радужка — ирисовая
диафрагма
Оптический
центр
Рис. 5.1. Строение глаза.
266

~ f~n
имеют разную величину и передняя и задняя главные плоскости и главные точки не
совпадают между собой.
Однако, ввиду их близости, на практике, для простоты импровизаций (или
вычислений), эти плоскости считают «совмещенными» в плоскости, проходящей через
точку, называемую оптическим центром глаза. Этот центр находится внутри
хрусталика и лежит ближе к его задней преломляющей поверхности.
Аккпмшаиия Способность глаза фокусировать свою оптическую
систему от некоторого конечного расстояния до беско-
- нечности называется аккомодацией. В процессе
аккомодации глаза, естественно, меняются и его фокусные
расстояния. Так, согласно Гульстранду, переднее фокусное расстояние глаза, в среднем
равное/=-16,740 мм, при аккомодации может изменяться в пределах от-17,055
до -14,169 мм, а заднее, в среднем равное/ = 22,365 мм, — соответственно от 22,785
до 18,930 мм.
Это интересно: Истинные параметры глаза — предмет
серьезных дискуссий многочисленных исследователей с
незапамятных времен. У каждого из них свои цифры (усредненные).
Для упрощенной модели глаза мы выбрали некоторые средние
параметры «схематического глаза», предложенного шведским
офтальмологом, лауреатом Нобелевской премии Альваром Гуль-
страндом.
Кстати, Нобелевскую премию по физиологии и медицине
Альвар Гульстранд получил в 1911 г. за работы по
геометрической оптике и диоптрике глаза. Именно ему мы обязаны
появлением в геометрической оптике такого понятия как диоптрия.
При наблюдении предметов, расположенных в «бесконечности» (как нередко
говорят, при аккомодации глаза на бесконечность), заднее фокусное расстояние
становится равным 22,785 мм, а точка заднего фокуса совпадает с сетчаткой глаза. Это
нормальное «спокойное» состояние глаза.
При наблюдении предметов, расположенных на конечном расстоянии, заднее
фокусное расстояние уменьшается и становится равным 18,93 мм, что соответствует
расположению предмета перед глазом на расстоянии 92 мм от вершины первой
поверхности глаза.
Адаптация глаза j Глаз Уникален по своим фотометрическим пара-
I метрам. Он не теряет своей способности видеть в
огромном интервале яркостей. Этим он обязан нескольким
механизмам, анализ которых больше относится к физиологическим вопросам,
связанным со строением глаза, чем непосредственно к оптике. Поэтому мы остановимся
только на одном механизме управления освещенностью на сетчатке глаза. При
изменении яркости наблюдаемых объектов автоматически изменяется диаметр радужной
оболочки глаза, а вместе с ней и диаметр входного зрачка глаза, тем самым
регулируя освещенность изображения, создаваемого на сетчатке. Так, если днем, в
солнечную погоду диаметр зрачка глаза обычно равен 2—2,5 мм, то в «глухую» —
пасмурную погоду или ночью — он может увеличиваться до 7—8 мм. Реакция глаза на
изменение яркости рассматриваемых объектов называется адаптацией.
267

Линейное Расстояние, при котором человек с нормальным
увешчение паза I зрением видит наиболее отчетливо мелкие детали рас-
* сматриваемого предмета, называется расстоянием
наилучшего зрения (или видения). Оно составляет величину
порядка -а = 250 мм. Зная заднее фокусное расстояние глаза f = 22,365 мм и
показатель преломления склеры п' = 1,336, можно найти линейное увеличение глаза:
р= Г =_22^365_ж_1_
п'х\а\ 1,336x250 15 V '
В то же время линейное увеличение в зрачках может принимать значения от
0,909 до 0,941. Но практически его почти всегда считают равным единице. Заметим,
что обычно для увеличения глаза знак не ставится. Это связано с тем, что хотя в глазе
получаемое на сетчатке изображение — обратное, но в сознании оно отображается
как прямое.
Уго i поля ^ак свиДетельствУет опыт, угол поля зрения глаза
}П<Ч11К1 ГТ|„,„ ■ достаточно велик. Обычно он выражается в угловой мере
■ и имеет довольно значительные размеры. Так, по
горизонтали он составляет величину порядка 150°, а по
вертикали — порядка 125°.
Однако угол, в котором глаз способен «узнать» предметы, намного меньше и
равен где-то около 30° по горизонтали и около 20° по вертикали. Угол, в котором
глаз способен рассмотреть «тонкую» структуру предмета, и того меньше: он
составляет всего лишь величину порядка 6—8°. Однако, благодаря своей «резвости», глаз
быстро обегает характерные участки рассматриваемой сцены и те, которые могут
представлять для наблюдателя потенциальный интерес, быстро переводит в область,
где он способен рассмотреть тонкую структуру. На таких участках он слегка «как бы
застывает» с целью анализа тонкой структуры увиденного. Вообще, «резвости» глаза
можно позавидовать: обежать 100—120 характерных участков сцены, фиксируя на
каждом них внимание в течение 0,2—0,3 с, — это надо уметь!
Однако мы никогда не задумываемся, охватим ли мы одним взглядом (не
перемещая глаз) всю площадь сцены и различим ли те «подробности», которые хотим
увидеть. Наш мозг все делает без нас. Получая первичную информацию от глаз, он
сразу решает несколько задач: определяет, достаточен ли угол поля зрения, чтобы
увидеть всю сцену сразу, достаточен ли предел разрешения при данной яркости (или
освещенности) для распознавания мелкой структуры предмета наблюдения и т. п.
Если в системе «глаз + мозг» что-то не так, немедленно «включаются в
работу» руки и начинается, путем перемещения слайда сцены, «подбор» необходимых
параметров зрительной системы человека.
Как видите, система зрения человека совместно с мозгом решает совсем
непростые задачи. Но, по существу, они сводятся к определению и приведению в
необходимую «норму» поля зрения, увеличения и предела разрешающей способности
оптической системы глаза.
Поел ел I ^° веРнемся к глазУ- Изображение сцены, спроеци-
разрешения глаза I Рованное роговицей и хрусталиком на сетчатку (ретину)
I глаза, «разбивается» колбочками (или палочками) на
отдельные элементы, которые сегодня принято называть
пикселями. Если обратиться к сетчатке глаза (рис. 5.2, а), то вся ее поверхность
представляет собой ячеистую структуру плотно уложенных палочек и колбочек. Конечно,
у нас не хватило смелости (или способностей) показать миллионы колбочек и
палочек, которыми выстлана ретина. Но уже из этого примитивного рисунка ясно, что
268

Зрачок
глаза
s=15 мм
"Х-
Рис. 5.2. Дискретизация изображения сцены на сетчатке глаза (пояснения см. в тексте).
глаз способен различить только те элементы изображения, которые попадают на
разные колбочки (или палочки). Иными словами, если изображения двух светящихся
точек попадут на поверхность одной колбочки (или палочки), то глаз их не сможет
различить (рис. 5.2, б, позиция I). Даже если изображения двух светящихся точек
попали на две соседние колбочки (или палочки), глаз не сможет их увидеть
раздельно (см. рис. 5.2, б, позиция II). И только в том случае, когда изображения этих
светящихся точек попадут на колбочки (или палочки), разделенные третьей (не
засвеченной), мы сможем их увидеть раздельно (см. рис. 5.2, б, позиция III).
Именно размеры колбочек (или палочек) ограничивают предел разрешения
глаза. Если принять, что диаметр колбочек Арет составляет 0,005 мм, а заднее
фокусное расстояние f порядка 22,365 мм, то предел углового разрешения будет равен
Ррет
0,005
/' 22,365
х206265
угл. с
рад
«46м
(5.2)
й
Замечание: Нередко в качестве расстояния от
оптического центра глаза (вместо заднего фокусного расстояния глаза
F) до ретины применяется так называемая глубина глаза s
(см. рис. 5.2). Этот параметр имеет некоторую схожесть с
геометрической длиной пути. Его можно определить следующим
образом:
_ _Г _ 22,365
5 - п> ~ 1,336
Тогда
найти как
16,74 [мм],
предел разрешения глаза в угловой мере можно
0,005
16,74
х 206265
угл. (
рад
« 62",
Для упрощения расчетов иногда глубину глаза s
принимают равной 15 мм.
Несложно найти, какому размеру 5г соответствует предельное разрешение
в плоскости предмета, рассматриваемого с расстояния \а\ =250 мм:
8г=\а\ ррет = 250 х tg60" = 250 х 0,0003 « 0,075 [мм].
Предел разрешения глаза определяется также дифракционными явлениями на
зрачке глаза. Вследствие этих явлений изображение точечного объекта в плоскости
сетчатки имеет вид дифракционного пятна (кружка Эйри), размер которого обратно
пропорционален диаметру зрачка Drn (более подробно это изложено в главе 8). В свя-
269

зи с этим, для определения разрешающей способности глаза иногда пользуются
известной формулой идеальных оптических систем (хотя глаз совсем не идеальная
система!), определяющей размеры центрального максимума кружка Эйри, а для оценки
предела разрешения глаза — критерием Релея. Согласно критерию Релея две точки
будут различимы, если максимум освещенности в дифракционном изображении
одной точки совпадает с минимумом второй (или наоборот). В этом случае радиус
дифракционного пятна Эйри, с учетом того, что DJf'm «: 1, будет равен
ОмигЬп — Г /гл? W'^y
^лифр
а его угловой размер
1 22А,
Рлифр = 5дифР / /Гл =2x10 [угл. с], (5.4)
гл
где /гл — некоторый эффективный фокальный параметр глаза.
Так как глаз «не равнодушен» к длине волны зеленого цвета, то принимая X =
= 0,56-10"3 мм, диаметр зрачка глаза Dni = 2 мм, и полагая, что /г'л «/' = 22,365 мм,
в результате для дифракционного предела разрешения глаза в линейных размерах
получим
_ 1,22x0,56-ю-3
5ЛИфр = — ! х 22,365 « 7,6 [мкм],
а в угловых
л _ 1,22хО,56-Ю-3
Рдифр х 206265
угл. с
* 70,46".
L РаД J
Можно воспользоваться и известной формулой, которую мы привыкли видеть
в учебниках по оптике (диаметр зрачка DrJ1 дан в миллиметрах):
Рп.^1-1- (5-5)
^ТЛ
Если принять, что диаметр зрачка глаза равен 2 мм, то получим значение
предельного разрешаемого угла, близкое к полученному: ргл = 70".
й
Замечание: В действительности предел разрешения глаза
бгл лимитируется как размерами палочек и колбочек ретины
брет/ так и размером пятна бДИфР в изображении точки, который
определяется дифракцией света на зрачке глаза. В результате
суммарный предел разрешения равен
Огл — Орет + Одифр .
Таким образом, параметр бгл определяет размер
воспринимаемого сетчаткой глаза изображения точечного объекта. Но
обратите внимание: даже при идеальных (нулевого размера)
колбочках и палочках (брет => 0) размытие изображения не
исчезает: оно будет определяться дифракцией света на зрачке,
т.е. бгл « $ДИфр. И наоборот, если предположить, что бдИфр =>
=> 0, то размытие, действительно, будет определяться
параметром брет- Общая разрешающая способность глаза Ыгл
(лин./мм) связана с дифракционной разрешающей способностью
глаза Мдифр = 1/бдифр и 'с разрешающей способностью ретины
А/реТ = 1/брет следующим образом:
1 _ 1 1
А/гл А/рет А/дифр
270

Отсюда следует, что не имеет особого смысла один из
параметров NpeT и А7цИфР делать значительно меньше другого,
ибо радикального улучшения разрешения в этом случае не
достигается. Самое интересное, что фактически брет и бдИфр -
одного порядка, т.е. они сопоставимы! Согласитесь, как
мудро природа «сконструировала» глаз!
Вообще следует отметить, что на самом деле разрешение
зависит и от других факторов. Глаз — живой «механизм» и
очень чутко реагирует на такие важные параметры объекта как
его яркость и контраст. При яркости объекта в 0,025 кд/м2
угловое разрешение глаза равно 6,1', при яркости в 1,5 кд/м2
оно составляет 43", а если увеличить яркость объекта до
43 кд/м2, то угловое разрешение возрастет до 32". Как
видите, разница в разрешении составляет почти 12 раз!
А вот как влияет контраст фона на разрешение глаза:
при яркости фона в 1 кд/м2 и контрасте 0,92 9 разрешение
равно 1,2', при контрасте 0,284 оно составляет уже 2,2', а
при очень низком контрасте 0,096 оно падает до 6,3'.
По экспериментальным данным Гельмгольца, полученным в
«идеальных» (комфортных) для глаза условиях, разрешение
глаза составляет 1'.
Вас не может не удивить «разброс» значений при определении предела
разрешающей способности глаза. Но не стоит особо удивляться, глаз — «живая»
оптическая система и в разных условиях наблюдения он ведет себя по-разному. Мы же в
своих расчетах использовали усредненные величины.
Приведем простой пример, иллюстрирующий изменение предела разрешения
глаза в зависимости от диаметра его зрачка, величина которого зависит от
освещенности (или яркости) рассматриваемого предмета. При адаптации к освещенности
(или яркости) размер зрачка глаза может меняться в пределах от 2 до 8 мм. Вновь
принимая длину волны света равной 0,56-10~3 мм, а размеры зрачка глаза в указанных
пределах, мы получим диапазон изменения дифракционного разрешения глаза ргл от
57,5" до 14,4".
В заключение отметим, что предельное расстояние между мелкими деталями,
еще воспроизводимыми раздельно оптической системой глаза, проще всего
определять его угловыми размерами. Предельный угол (или предельное угловое
расстояние), под которым две близлежащие точки предмета глаз человека видит раздельно,
называется предельным углом разрешающей способности глаза. Многочисленные
эксперименты подтверждают, что предельный угол разрешающей способности глаза,
действительно, в среднем равен одной угловой минуте, но зависит от множества
внешних причин.
Величину, обратную предельному углу, нередко называют остротой зрения, а
по сути, это то, что мы просто называем разрешающей способностью глаза. Если
принять, что предельный угол разрешающей способности при каких-то
неблагоприятных условиях равен 2', то острота зрения S = 1/2' = 0,5.
Но вновь вернемся к глазу и зададимся вопросом, что же делает человек, когда
стремится рассмотреть мелкую структуру предмета? Даже не задумываясь и
совершенно не стремясь проанализировать сложившееся положение вещей, он просто
подносит предмет ближе к глазу.
Действительно, и это подсказывает повседневный опыт, воспроизведение
мелких деталей тонкой структуры объекта наблюдения зависит от расстояния между
271

Рис. 5.3. Изменение углового размера объекта при изменении расстояния до наблюдателя.
объектом и глазом человека. А что же в этом случае получается с оптической точки
зрения■? Для ответа на этот вопрос обратимся к рис. 5.3.
Очевидно, что при приближении объекта к глазу размер объекта остается
неизменным, но угол, под которым его рассматривает глаз, становится больше. Все по
законам геометрической оптики!
Согласно рис. 5.3 можно записать, что
L = -2tf0tgcD0
и в то же время
L = —2aitgcoj.
Но так как в обоих выражениях присутствует предмет одного и того же
размера, то справедливо равенство
tf0tgCDo = tfitgCOi.
Из этого соотношения следует, что угол 2со0, под которым виден предмет из
оптического центра глаза, расположенный от него на расстоянии 100 мм,
значительно больше углового размера объекта 2соь наблюдающегося на расстоянии 250 мм от
наблюдателя, что следует из соотношения
tgcoo = 2,5tgC0].
Под «занавес» сделаем еще одно интересное замечание. Если положить, что в
оптическом центре совмещены все кардинальные элементы глаза, то изменение угла
зрения в пространстве предметов будет приводить к пропорциональному изменению
угла внутри глаза (конечно, с учетом показателя преломления глаза).
Глубина
пространства,
отображаемая
глазом
Не может не удивлять и еще одна особенность глаз
человека — это глубина резкого видения трехмерных
сцен. Человек, сконцентрировавший свое внимание на
каком-либо предмете, в то же время, и независимо от
себя, видит одинаково резко другие объекты,
расположенные впереди и сзади рассматриваемого предмета. При
этом ему совершенно не надо перефокусировать, (аккомодировать) глаз на эти
объекты. Это свойства глаза объясняется его физиологическим строением. Колбочки и
палочки глаза, как мы уже говорили выше, имеют конечные размеры, которые,
собственно, и ограничивают размеры светового пятна, воспринимаемого человеком как
одна точка.
Если мы обратимся к рис. 5.4, то увидим, что гомоцентрические пучки,
формирующие изображение точки, могут сходиться как на поверхности сетчатки, так и
перед ней и позади нее.
Но если следы гомоцентрических пучков на сетчатке глаза не будут выходить
за размеры колбочек (или палочек), они будут отображаться в сознании человека как
272

0-VWIW4
'W.':.-:::::::;:::
I A!
Рис. 5.4. Отображение гомоцентрическими пучками на сетчатке глаза точек предмета,
разнесенных в пространстве.
отдельная и вполне самостоятельная точка. Именно этим можно объяснить
возникновение резких изображений объектов, разнесенных вдоль оптической оси в
пространстве предметов.
Применительно к глазу, глубиной изображаемого пространства будем
называть расстояние между плоскостями в пространстве предметов, между которыми
могут быть расположены предметы, одинаково резко видимые глазом без всякой его
дополнительной перефокусировки (аккомодации).
Найдем параметры, характеризующие глубину изображаемого пространства.
Обратимся к рис. 5.5, на котором представлены параметры оптической системы с
учетом их знаков. Пусть плоскость Р в результате аккомодации сопряжена с сетчаткой
глаза. Предположим, что в этом случае резко видны и элементы объектов,
расположенных в плоскостях Pi и Pj- Назовем плоскость Р основным планом, или плоскостью
наведения, плоскость Pi — передним планом, плоскость Р2 — задним планом.
Примем, что угловая величина кружка рассеяния на сетчатке глаза m'n' с
размером 5', создаваемого пучками лучей, излучаемыми точками Ai и А2, равна
угловому пределу разрешения глаза ргл. В то же время эти пучки оставляют в плоскости
наведения след в виде круглого пятна размером 5, сопряженного с пятном рассеяния
m'n' на сетчатке глаза.
Принимая, что увеличение в зрачках, совмещенных с оптическим центром
глаза, равно единице, размер пятна в плоскости наведения можно найти как
5 = -Рргл- (5.6)
Обозначив диаметр зрачка глаза как Drjl, из пары треугольников mAin и dAie,
а также из пары треугольников тАгп и dA2e можно просто найти следующие
зависимости:
-РРт =Ri?_^ (5.7)
-Р + Р\ ~Р\
4g"^%ffe*
;ri *
"О
A'2
-P2
Рис. 5.5. Глубина изображаемого пространства при наблюдении глазом.
273

-РРгл = D^ (58)
-рг+р -р2
Из этих равенств легко можно найти расстояния до переднего р\ и заднего pi
планов:
Dr„ РОгл
Pi
Pi
ггл
р
D pD
гл ^ гл
(5.9)
(5.10)
ггл
Это очень интересные уравнения! Если мы хотя бы на время абстрагируемся
от глаза, то они, как бы это ни показалось странным, позволяют «управлять»
положением заднего и переднего планов.
Посмотрите внимательно на уравнение (5.10). Если мы создадим такие
условия наблюдения, при которых знаменатель правой части станет равным нулю, то
задний план (плоскость Р2), что следует из математики, должен переместиться в «минус
бесконечность» (р2 = -оо), а глубина резко передаваемого пространства предметов
должна увеличиться до невероятных размеров.
Найти эти условия просто, достаточно знаменатель выражения (5.10)
приравнять нулю:
— +ргл = 0. (5.11)
Роо
Из этого уравнения можно легко найти расстояние /?«>, на котором должна
располагаться плоскость наведения Р, а иными словами, расстояние, на которое мы должны
сфокусировать (аккомодировать) глаз:
/>.= - — • (5-12)
Ргл
Расстояние до основного плана /?«,, когда задний план перемещается в
бесконечность, называется гиперфокальным расстоянием.
Интуиция должна подсказать, если переместилась в пространстве предметов
плоскость основного плана Р (плоскость наведения), то должен изменить свое
положение и передний план Рь Определить его новое положение тоже совсем просто.
Достаточно в выражении (5.9) заменить расстояние р до плоскости наведения Р его
новым значением из (5.12). Тогда новое расстояние до переднего плана, которое
обозначим для ясности как р\^, будет равно:
Рьо=-^. (5.13)
2ргл
Мы получили действительно удивительные результаты. Возвращаясь к глазу,
можно сказать, что при аккомодации глаза (его фокусировке) на плоскость Р,
расположенную от него на гиперфокальном расстоянии /?«> (а совсем не в бесконечности!),
на его сетчатке резко изобразятся все предметы от бесконечности до расстояния/?^,
вдвое меньшего гиперфокального расстояния /?«, (сравните с (5.12)).
Теперь глубина резко отображаемого пространства будет определяться
следующим образом:
п _ Ал _ РСС ,г Ыч
Ploo--- , (5.14)
2ргл 2
/?2оо = -QO.
274

Таблица 5.1
Зависимость характеристик глаза от освещенности объекта
P(S)]o0 = -46Mm
p(6)lot, =-26,32 м
р(4)1ос = -11.71м
p(2)i«= -2.92 м
£ = ~2,0-1(Г6лк
£=~1,0-10"!лк
£ = ~0.6лк
£ =-120,0 лк
ДР.гл = ~8мм
ДР..л = ~6мм
Др.гл=~4мм
Ар.Гл=~2мм
5(8)лифр= 17"
5(6)дИфр = 23"
5(4)дифр = 35"
5(2)дифр = 70"
6
5
2
46
Как же это происходит? Система человека глаз + мозг автоматически без
всякого Вашего участия может выбирать (и выбирает!) наиболее оптимальный вариант
для «праздного» (а может и непраздного) созерцания Вами окружающего мира. В
этом случае значение расстояния до переднего плана р\^ называют «началом
бесконечности». Вряд ли когда-нибудь Вы задумывались о том, что и как Вы видите. Вам,
наверное, и мысли не приходило в голову, какую работу (а главное как!) совершает
пара глаз + мозг, чтобы наилучшим образом обеспечить Вас визуальной информацией.
Поразительно, но факт: эта пара вполне самостоятельно может и уменьшать, и
увеличивать пространственную глубину отображаемого пространства, тем самым
увеличивая или уменьшая информативность отображаемых реалий.
Интуитивно понятно, что на объем и качество получаемой информации не
могут не влиять внешние (да внутренние тоже!) условия наблюдения. Понятно, что при
увеличении освещенности диаметр зрачка будет уменьшаться, а это «потянет» за
собой увеличение предела разрешения и, наоборот, уменьшение освещенности
приведет к увеличению диаметра зрачка и, как следствие, к уменьшению предела
разрешения. Глаз живой и весьма гибкий «инструмент», и не сомневайтесь, если зрение в
порядке, он совместно с мозгом выберет самый оптимальный вариант!
В заключение этого раздела в качестве примера мы приведем несколько цифр
(табл. 5.1). Посмотрите, как от освещенности Е, создаваемой на сетчатке глаза,
меняется диаметр зрачка Др. гл. С изменением диаметра зрачка естественно меняется и его
разрешающая способность, а с ней и «начало» бесконечности /?1оо.
а
Замечание: Кстати, и это очень важно! Во всех
формулах, которые мы получили выше, и, в частности, в формулах
(5.12), (5.13) и (5.14) необходимо предел разрешения
задавать в радианах.
Ну а остальное, как всегда, дело техники: размеры
зрачков глаза при различных значениях освещенности на его
сетчатке мы позаимствовали из книги И. А. Турыгина
«Прикладная оптика». Что же касается формул, то мы их только
что получили выше и за рамки только что приобретенных
знаний уже не «вылезали». А чтобы вообще стало все понятно,
вычисления для первой строки мы приведем в «цифре».
Так, разрешение, обусловленное дифракцией на зрачке,
можно получить согласно
Рлифр _ h™ . i^jl^iiL x 206265„ = iif&i
а «начало бесконечности» как
Р(8)1оо = ~^~ = х 206265 * -46,86 [м] .
2ргл 2 х 17, 6
И еще. Мы специально проставили в формулах единицы
измерения, чтобы по максимуму избежать лишней путаницы.
275

И, наконец, чтобы закончить разговор о глазе как самостоятельном
«оптическом приборе», — несколько слов о формировании изображения в сознании человека.
В самом общем случае условия формирования изображения в сознании
человека схематически можно объяснить следующим образом. Изображение,
спроектированное всеми оптическими компонентами глаза на сетчатку глаза, в результате
дискретизации колбочками и палочками на отдельные элементы преобразуется
сетчаткой в совокупность счетного количества пикселей различной яркости.
Раздельные световые ощущения, возникающие в колбочках и палочках,
передаются по нервным волокнам в мозг человека, где и формируется из ощущений
отдельных палочек и колбочек слитный зрительный образ рассматриваемого объекта.
По сути, глаз человека при формировании оптического изображения решает
две задачи: осуществляет дискретизацию изображения в конечный ряд дискретных
отсчетов и преобразует яркости каждого элемента разложения в возбуждения
нервных волокон, передаваемые непосредственно в мозг.
В свою очередь, головной мозг, получив по нервным волокнам информацию о
состоянии отдельных колбочек (или палочек), синтезирует по ним зрительный образ
наблюдаемого предмета.
При анализе работы зрительной системы человека (несколько поверхностно и
грубо, как мы это сделали выше) невольно напрашивается аналогия с оптоэлект-
ронными системами, состоящими из проекционных оптических систем, фотопреоб-
разующих устройств, вычислительных комплексов и систем отображения
получаемой визуальной информации.
Но и здесь есть чему поудивляться. Глаз, обладая ограниченной полосой
пропускания, которая приблизительно равна 5 МГц, способен различать огромное число
элементов отображаемого пространства. Как мы уже отмечали, ретина (сетчатка)
глаза включает в себя 7 млн колбочек, а палочек и того больше— 130 млн штук.
В результате при большом угле поля зрения глаз способен охватить огромное число
(десятки миллионов) отдельных элементов наблюдаемых сцен. Вся получаемая
информация о яркости и цветности каждого элемента передается по зрительному нерву,
состоящему из 1 млн каналов (нервных волокон), «работающих» со скоростью десять
импульсов в секунду.
Казалось бы, канал передачи должен «захлебнуться» от такого огромного
потока передаваемой информации. Однако глаз в этом смысле представляет собой
уникальное «устройство». Предварительная обработка получаемой информации
начинается еще в узлах канала передачи сообщений от палочек и колбочек, в которых
отсеивается повторяющаяся и избыточная информация, — это во-первых, а
во-вторых — глаз, непрерывно «сканируя» рассматриваемый предмет, отмечает только его
наиболее важные элементы. На несущественных элементах сцены он просто не
задерживается и не считает нужным передавать от них информацию в мозг.
Как он это делает — никому неизвестно! Точная картина механизма
возбуждения и передачи визуальной информации в мозг не выяснена и до сих пор.
Вернемся к понятной нам геометрической оптике.
5.2. Глаз и лупа
Для увеличения возможностей органов зрения при восприятии визуальной
информации человек придумал множество оптических приборов различного
назначения.
Часто объект, рассматриваемый невооруженным глазом, виден под небольшим
углом, образуя на сетчатке глаза настолько мелкое изображение, что его отдельные
детали просто невозможно «разглядеть». Первое, что мы обычно пытаемся сделать
(конечно, если это возможно), — приблизить рассматриваемый объект ближе к глазу.
276

С позиции геометрической оптики это означает, что мы просто пытаемся
рассмотреть его под большим углом.
Но, к сожалению, это не всегда удается сделать. Мы не можем бесконечно
приближать рассматриваемый предмет к глазу. Ближе чем с расстояния порядка
100 мм глаз вообще ничего не увидит, а если и увидит, то «не поймешь что».
Именно в этом случае на помощь приходят различные оптические
«приспособления», и простейшим из них является обычная лупа (положительная линза),
размещаемая между рассматриваемым предметом и глазом.
Л | Что можно сказать о собирающей (положительной)
1 линзе как о самостоятельном оптическом элементе, если
просто «повертеть» ее в руках ? Не так уж и много. Но это
«не так уж и много» уже позволяет в какой-то степени охарактеризовать ее
возможности.
Прежде всего, можно легко определить ее световой диаметр Д,. Не пользуясь
никакими специальными средствами, можно найти, хотя бы и приблизительно, ее
фокусное расстояние /л'. Зная же фокусное расстояние, можно определить значение
так называемого видимого (лупного) увеличения по известной
формуле (ее мы найдем позже, см. (5.17))
х = 250
J Л
Вас не должно смущать, что в формуле используется 250 мм — расстояние
наилучшего видения (зрения) глаза. В данном случае мы рассматриваем линзу как
возможный элемент для использования с глазом.
А если Вы предполагаете, что в руках у Вас линза идеального качества,
можно, воспользовавшись критерием Релея, найти предел ее разрешающей способности
в угловой мере
= um x 206265
угл.с
рад
или в линейной
а
1,22*. ,
ь,- — Г..
Это все, что можно сказать «навскидку» о лупе как самостоятельном элементе.
Замечание: Как правило, «увеличительные» системы,
которые выпускаются промышленностью, оправлены или в
металлический, или в пластмассовый корпус, на который обычно
наносятся некие числа, например, число 10х. Уже из этого числа
можно получить некоторую информацию о том, что Вы держите в
руках. Лупа всегда рассматривается, как оптический элемент,
предназначенный для работы совместно с глазом. Поэтому на
лупе всегда указывается видимое увеличение, т. е. то,
которое характеризует ее способность создавать на сетчатке
глаза более крупное (увеличенное) изображение
рассматриваемых предметов.
Из известного видимого увеличения уже можно
определиться и с фокусным расстоянием, а измерив световой
диаметр, можно определить, пусть и с некоторой ошибкой,
пределы разрешения.
277

Если же Вы держите в руках неоправленную линзу,
найденную в «хламе», конечно, на ней никаких цифр не будет.
В этом случае ее фокусное расстояние придется определять на
оптической скамье. Но об этом ниже, в следующих главах.
Оптическая
система
лупа + глаз
Но совсем по-другому «заиграет» линза, когда Вы
будете использовать ее в качестве увеличивающего
элемента в системе лупа + глаз. Схема использования линзы
л совместно с глазом довольно проста (рис. 5.6).
В предыдущих главах мы говорили, что наиболее
комфортно глаз человека чувствует себя в тех условиях, когда имеется возможность
«работать» без напряжения, т. е. когда мышцы хрусталика максимально расслаблены
и от рассматриваемого предмета в глаз приходит пучок параллельных лучей. В этом
случае говорят, что аккомодация глаза отсутствует (или глаз аккомодирован на
бесконечность). Очевидно, в этом случае предмет должен располагаться в передней
фокальной плоскости лупы, а его изображение, сформированное лупой, — в
бесконечности. Изображение предмета будет мнимым, увеличенным и прямым (см. рис. 5.6).
Но при таком расположении объекта наблюдения о линейном размере
получаемого изображения сказать определенного ничего нельзя.
й
Замечание: Предположим, изображение рассматриваемого
предмета сформировано лупой в бесконечности. Чтобы увидеть
предмет, глаз тоже должен быть сфокусирован на
бесконечность. Для глаза это вполне приемлемый вариант. Но в таком
случае предмет должен находиться в передней фокальной
плоскости лупы, а это значит, что расстояние от переднего
фокуса до предмета z = О, а расстояние от заднего фокуса до
изображения z' = -оо.
Если попытаться воспользоваться для определения
линейного увеличения лупы известными формулами
>--■!--■£.
то мы получим вообще «сногсшибательный» результат: согласно
формулам, линейное увеличение лупы должно равняться
бесконечности.
♦ t
2у
t 1
|-
-f.
Зрачок глаза — выходной
зрачок системы лупа + глаз
Н; Н'
-2/
Рис. 5.6. Наблюдение лупой. Предмет расположен в плоскости переднего фокуса.
278

Однако, благодаря веками выработанной привычке, человек, даже не
задумываясь, выбирает такое положение лупы относительно предмета, чтобы его
изображение, сформированное лупой, располагалось на привычном расстоянии наилучшего
видения (или зрения), равном величине порядка 250 мм (чисто условном!). Из этих
соображений мы все же можем говорить о том увеличении, которое способна
обеспечить лупа при рассматривании предмета глазом.
Действительно, на рис. 5.6 нельзя не обратить внимание, что величина
изображения на сетчатке глаза, создаваемого лупой, пропорциональна углу со'. В то же
время, при наблюдении того же предмета невооруженным глазом (в отсутствие
лупы) с расстояния наилучшего видения (зрения), изображение на сетчатке глаза будет
пропорционально углу со.
Поэтому вполне естественно (и нужно!) рассматривать увеличение, даваемое
лупой, как отношение тангенса угла со', под которым рассматривается изображение
после лупы, к тангенсу угла со, под которым виден предмет в отсутствие лупы.
Увеличение оптических приборов, определяемое таким образом, называют видимым
увеличением и обозначают, как правило, символом Г*.
Расположив предмет в передней фокальной плоскости лупы, за ней,
естественно, мы получим пучки параллельных лучей, излучаемых (или отражаемых)
отдельными элементами предмета, которые оптической системой глаза будут
преобразованы в сходящиеся пучки, которые, в свою очередь, все вместе сформируют
изображение предмета на сетчатке. На рисунке мы показали только два пучка лучей,
излучаемых краевыми точками наблюдаемого предмета.
Принимая половину размера рассматриваемого предмета равной у, а
расстояние от линзы до предмета — фокусному расстоянию лупы /л', мы можем получить
tgco'=—, (5.15)
Г
•/л
а в отсутствие лупы, соответственно
tgto = 250> <5Л6)
где знаменатель (250 мм), как уже отмечалось, — есть не что иное, как расстояние
наилучшего видения, на котором глаз без «напряжения» рассматривает исследуемый
предмет.
Из этих соотношений можно найти, во сколько раз используемая лупа может
изменить угловые размеры рассматриваемого предмета (увеличение лупы):
х tgco' 250
Гл =f— = • (5.17)
л tgco f v J
J п.
Замечание: Как бы человек ни «вертел» в своих руках
какую-то лупу, «нацелившись» на рассматриваемый предмет, он
всегда непроизвольно сфокусирует глаз таким образом, будто
бы он рассматривает предмет, расположенный от него на
расстоянии наилучшего видения — 250 мм. Такова уж природа его
зрения.
Но это вовсе не означает, что предмет действительно
будет располагаться перед глазом или перед лупой на этом
•расстоянии. Просто лучи, исходящие от предмета и
преобразованные лупой, будут входить в глаз человека под углом к
оптической оси глаза, как если бы предмет находился на
расстоянии 250 мм от него.
й
279

Если лупа обладает малыми остаточными аберрациями, то, придерживаясь
правил, принятых в оптике, предел линейного разрешения лупы 5Л можно определить
как наименьшее расстояние между двумя точками, при котором глаз еще способен
увидеть их раздельно. Очевидно, что это расстояние будет зависеть от разрешающей
способности глаза:
8л=/л'Ргл, (5.18)
где fl — фокусное расстояние лупы, ргл — разрешающая способность глаза, равная 1'.
Так как одна минута соответствует 0,3-10~3 радиан, то формула (5.18)
принимает совсем простой вид:
5л*0,3.1(Г3/л' [мм]. (5.18а)
Несложно найти предел разрешения, обеспечиваемый лупой, используя ее
видимое увеличение. Для этого достаточно найти из (5.18) значение заднего фокусного
расстояния лупы /л' и произвести его замену в (5.17). Окончательно получим:
§л =
250рг
(5.19)
Но не забывайте: во всех формулах разрешающая способность глаза должна
быть выражена в радианах.
Рассмотрим случай несколько посложнее. Пусть предмет располагается между
передней точкой фокуса и самой линзой (ближе к лупе), на расстоянии z'3p от точки
переднего фокуса F (рис. 5.7).
В этом случае лупой будет сформирован пучок расходящихся лучей, которые
и сформируют мнимое прямое изображение предмета на расстоянии -р'зр от зрачка
глаза. Тогда тангенс углового размера мнимого изображения, полученного с
помощью лупы (вооруженным глазом), будет равен
tgco'
-Р'зр
(5.20)
Найти половину размера полученного изображения можно исходя из формулы
линейного увеличения (см. (2.7))
У z'
Q=JL = - — •
Р У г
Jл
f"*^v
Н : Н'
Выходной зрачок
системы лупа + глаз
2/
-2v"
Рис. 5.7. Наблюдение лупой. Предмет расположен между плоскостью
переднего фокуса и линзой.
280

Откуда следует, что
/=- — z\
Г
В то же время расстояние z', на котором будет сформировано мнимое
изображение от точки заднего фокуса F', можно получить, исходя из рис. 5.7, как сумму
расстояний:
z' = -Рзр + ^зр-
Тогда, возвращаясь к предыдущим формулам, мы можно переписать их так:
Jл
Учитывая, что тангенс углового размера полученного мнимого изображения равен
отношению половины мнимого изображения у' к расстоянию -/?зр, имеем
Ч^'=^ = ^^¥^=Ц\^ (5.21)
Так как
/73р Z Z3p,
то окончательно для tgco' имеем:
J л
Тангенс угла, под которым рассматривается предмет без линзы, будет, как и прежде,
равен
tgco = 250'
а выражение (5.17) для видимого увеличения, исходя из (5.21) и (5.22), можно записать в
виде
х tgco' 250 ( z'\ 250 ( z' Л
х =^ш_ = 1+-» = l+T^Vi (5.23)
tgco /; V /v /; v *'-zy
Обратите внимание (и это важно!), из последнего выражения следует, что если
зрачок глаза располагается в задней фокальной плоскости лупы (z3p = 0), то видимое
увеличение системы лупы не зависит от положения предмета относительно точки
переднего фокуса лупы. В этом случае мы просто имеем дело с телецентрическим
ходом лучей (зрачок глаза расположен в задней фокальной плоскости лупы).
Если считать увеличение лупы при расположении предмета в плоскости
переднего фокуса нормальным (z3p = 0), то при положительном значении z3p (глаз
располагается за точкой заднего фокуса по направлению распространения света)
видимое увеличение лупы (z' < 0) будет меньше нормального. И, наоборот, при
отрицательном значении z3p (глаз располагается перед точкой заднего фокуса по
направлению распространения света) видимое увеличение лупы будет больше нормального.
Но об этом ниже!
Виньетирование
в системе
лупа + глаз
Если Вы внимательно рассматривали приведенные
выше рисунки, то, наверное, обратили внимание, что
световой диаметр линзы (хотим мы этого или нет) будет
ограничивать площадь (или размеры) рассматриваемых
объектов.
281

Обсуждая комбинацию лупа + глаз в качестве оптической системы, мы,
действительно, ничего не говорили о диафрагмах и отверстиях, ограничивающих световые
пучки. А они в такой, даже, казалось, совсем простой, системе присутствуют и, как
Вы увидите ниже, оказывают немалое влияние на формируемое ею изображение.
Чтобы несколько упростить наши рассуждения, будем считать, что объект
наблюдения расположен в передней фокальной плоскости лупы, а глаз человека,
расположенный от лупы на расстоянии /', — неподвижен. В этом случае систему лупа +
+ глаз можно рассматривать как «жесткую» систему, не подверженную никаким
изменениям. Не забывайте, что глаз за счет своего поворота относительно оптической
оси по вертикали и горизонту может значительно увеличивать угол обзора.
Й Замечание: Пожалуй, стоит напомнить, чтобы Вы «не
лазили» по страницам книги, что лучи, идущие от отдельных
точек предмета и проходящие через центр входного или выходного
зрачков, называются главными лучами. Углы, под которыми
видны апертурная диафрагма или ее изображения (входной или
выходной зрачки оптической системы) из осевой точки предмета
или его изображения, соответственно называются апертурными
углами пространства предметов или пространства изображений.
Углы, под которыми видны полевая диафрагма или ее
изображения (входной или выходной люки оптической системы) из
геометрического центра апертурной диафрагмы или ее
изображений (входного и выходного зрачка), соответственно
называются углами поля зрения в пространстве предметов или
пространстве изображений.
В системе лупа + глаз, отображенной на рис. 5.8, принято считать, что роль
выходного зрачка выполняет зрачок глаза, так как его световой
диаметр в любом случае меньше светового диаметра лупы. Он же в этой «системе»
выполняет роль апертурной диафрагмы. Его изображение
в пространстве предметов, естественно, будет являться входным зрачком.
Но сам по себе входной зрачок в системе глаз + лупа для нас будет довольно
редко представлять интерес, возможно, только для случая, когда зрачок глаза (вы-
282

ходной зрачок системы) будет совпадать с задней фокальной плоскостью лупы. При
таком расположении, естественно, входной зрачок системы будет находиться в
бесконечности.
й
Замечание: В системе лупа + глаз размер зрачка глаза
всегда меньше размера светового диаметра лупы. Поэтому
пучки лучей ограничиваются зрачком глаза, а совсем не
лупой (см. рис. 5.8). Зрачок глаза в этой системе
одновременно служит и апертурной диафрагмой, и выходным зрачком.
Именно такой вспомогательный увеличивающий прибор обычно
носит название лупы.
Совершенно идентичная по внешнему виду оптическая
система, но в которой пучки лучей ограничиваются световым
диаметром линзы (или комбинацией линз), уже называется простым
микроскопом.
Именно в этом состоит главное различие между ними.
В связи с тем, что в системе глаз + лупа промежуточное изображение
отсутствует, говорить о резком ограничении поля зрения не имеет никакого смысла.
Возникновение эффекта виньетирования в подобных системах — явление вполне
естественное. Роль виньетирующих диафрагм в них выполняет непосредственно
образующая лупы (или ее оправа). Она же является и выходным окном. Как результат,
угловое и линейное поля зрения «напрямую» зависят от диаметра лупы и положения
выходного зрачка системы (зрачка глаза). Обычно величины полей определяются
допустимым уровнем затенения Аю (см. формулу (3.26)).
Учитывая, что апертурной диафрагмой системы лупа + глаз служит зрачок глаза
наблюдателя, т. е. размеры пучков лучей, пропускаемые системой, ограничиваются
диаметром зрачка, угловое поле зрения лупы в пространстве изображений 2coi при
угловом виньетировании (Д^ = 0), как следует из рис. 5.8 и 5.9, определяется лучом,
проходящим через верхний край выходного зрачка. Его можно найти из выражения
tgcoJ= — , (5.24)
где f — расстояние от лупы до зрачка глаза и в общем случае не равно ее фокусному
расстоянию /л\
Не сложнее найти и линейное поле зрения 2у0 (см. рис. 5.9). В общем случае
оно будет равно
А,-А
Рис. 5.9. К расчету углового поля зрения, ограничиваемого виньетированием.
283

2y0 = 2f' tgco6= /;-
D -D
" П
(5.25)
Если же зрачок глаза расположить в задней фокальной плоскости лупы
(/' = /,'), то угловое 2а»о и линейное 2у0 поля зрения при нулевом виньетировании
согласно (5.24) и (5.25) можно определить из следующих выражений:
tgCOo =
Дл-Ял
2/'
(5.26)
(5.27)
2y0=Dn-Drn.
Обращаем Ваше внимание, что при расположении зрачка в задней фокальной
плоскости виньетирование пучков будет нулевым, если согласно (5.27), размер
диаметра лупы подчиняется соотношению
Д, = 2у0 + Dni. (5.27а)
При таком расположении выходного зрачка и световом диаметре лупы все
пучки, пропускаемые зрачком глаза, срезаться оправой лупы не будут. Это тот
единственный случай, когда величина затенения равна нулю.
Так как наш предмет расположен в передней фокальной плоскости, то
линейное поле зрения при нулевом виньетировании, согласно (5.18) и (5.19), можно также
найти следующим образом:
2yo = 2f][tgto'0
, _ SOOtgco^
(5.28)
Если обратиться к рис. 5.8 и 5.9, то угловое поле зрения лупы в пространстве
изображений при 50%-м уровне затенения (Aw = 50 %) можно найти из выражения
А,
tgoy,:
2Г
(5.29)
Линейное поле зрения 2yi при t' = /л' будет равно диаметру лупы Д, (рис. 5.10):
2у1 = Д,. ' (5.30)
Объект
Оправа лупы — виньетирующая
диафрагма и выходное окно
Рис. 5.10. К расчету линейного (при t' = fl) и углового поля зрения лупы
при уровне затенения: 0, 50 и 100 %.
284

И, наконец, 100%-е затенение будет наблюдаться при угле поля зрения 2со'2,
которое можно найти из выражения
tgco^ D" + D™ (5.31)
If
При выборе /' =/}[ линейное поле зрения в этом случае будет равно
2y2 = D^Dvn. (5.32)
5.3. Расчет характеристик системы лупа + глаз
Вообще теория — занятие, в принципе, интересное, но теория без практики
навевает скуку. Поэтому, пока мы все не забыли, — немного практики.
Для начала перечислим основные характеристики лупы, полностью
определяющие ее возможности:
• предел линейного разрешения 5Л,
• видимое увеличение Г* ,
• линейное поле зрения 2у9
• угловое поле зрения в пространстве предметов 2со,
• угловое поле зрения в пространстве изображений 2со',
• диаметр зрачка выхода DBblx 3p.
Выше мы уже говорили, что зрачок глаза в системе лупа + глаз выполняет две
функции, являясь одновременно апертурной диафрагмой и выходным зрачком
системы. Обычно при расчетах его диаметр принимают равным DBblx зр = 2 -*- 4 мм.
Все примеры мы будем начинать с прорисовки рассматриваемых оптических
схем, что настоятельно рекомендуем и Вам.
а
Замечание: Во всех примерах ниже мы, как всегда,
подразумеваем, что лупа представляет собой тонкую линзу, в
которой главные плоскости и главные точки совмещены.
Во всех примерах мы также будем предполагать, что глаз
человека неподвижен (хотя для него это невозможное
состояние) и аккомодирован на расстояние наилучшего видения —
250 мм, что, кстати, он всегда стремится «сделать».
Также мы будем пользоваться упрощенными
представлениями о глазе, считая, что его главные плоскости и главные
точки совпадают с оптическим центром глаза.
п - - Пусть у нас имеется лупа с фокусным расстоянием
f = 50 мм. Глаз располагается на расстоянии от главной
плоскости тонкой лупы а' = 100 мм и аккомодирован на
расстояние р'зр = -250 мм. Определим видимое увеличение и линейную
разрешающую способность системы лупа + глаз.
Так как у нас нет ничего, кроме лупы и собственно глаза, оптическая схема
нашей системы будет удивительна проста (рис. 5.11).
Для того чтобы определить видимое увеличение Г*, необходимо найти
расстояние, на котором глаз расположен от точки заднего фокуса лупы:
z'3p = а' - /; = 100 - 50 = 50 [мм].
Видимое увеличение, согласно формуле (5.22), равно
Jл
285

A
F Г
o--♦•••
н^
-Л
"Ар
fn
Рис. 5.11. К расчету основных параметров системы лупа + глаз.
Для того чтобы узнать, где должен быть расположен предмет перед лупой,
воспользуемся формулой Ньютона: zzf =ff. Тогда
л/; = л/; _ -50x50
/>;Р+4>
50-250
= 12,5 [мм].
Линейный предел разрешения системы лупа + глаз можно определить
согласно формуле (5.18). Кстати, ее можно вывести из следующих простых соображений.
Учтем, что глаз аккомодирован на расстояние 250 мм. Следовательно, предел
линейного разрешения глаза составит величину, равную произведению расстояния
аккомодации на угловой предел его разрешения. Но учитывая, что в системе лупа +
+ глаз предмет рассматривается с увеличением, определяемым лупой, линейный
предел разрешения системы в плоскости расположения предмета будет меньше в число
раз, равное видимому увеличению Г* (см. формулу (5.17)), и, таким образом, мы
приходим к формуле (5.19). Если теперь выбрать предел разрешающей способности
глаза рП| = 60", то в результате для линейного предела разрешения имеем
к _ 250 х Рп
П х 206265"
* 0,018 [мм].
Пример 5.2
Рассмотрим пример определения размеров и
положений зрачков, люков (окон) и угловых полей зрения в
системе лупа + глаз. Для нашей новой модели (рис. 5.12) в
качестве исходных данных выберем лупу с фокусным расстоянием /л' = 50 мм и
световым диаметром также Dn = 50 мм. Диаметр зрачка глаза, ограничиваемый
радужной оболочкой, выберем равным Drn = 5 мм, а его удаление от лупы — 60 мм
(z'3p = 10 мм). Будем считать, что глаз неподвижен и аккомодирован (сфокусирован)
на расстояние наилучшего видения, т. е. на расстояние 250 мм.
Наша задача сведется в этом примере к определению размеров действующей
диафрагмы и диафрагмы поля зрения, положения зрачков и окон системы и
определению ее угловых полей зрения. Мы вновь начнем с прорисовки эскиза схемы, на
котором постараемся графически отобразить всю информацию, которая для нас будет
представлять потенциальный интерес (см. рис. 5.12).
286

Входной зрачок
Оправа лупы
А,
Зрачок глаза
*-Лл — ^вых зр
Pax. чр
♦^W
Рис. 5.12. К расчету зрачков, люков (окон) и угловых полей зрения системы лупа + глаз.
Очень надеемся, что Вы еще помните о правилах графических построений и
легко построите изображение предмета. На всякий случай фрагмент графических
построений для точки В мы показали на рисунке, высветив их светло-серым пунктиром.
Обратите внимание, наша оптическая система лупа + глаз, по сути, имеет две
ограничивающие диафрагмы: одна из них — непосредственно оправа лупы, а
другая — зрачок глаза, ограничиваемый диаметром радужной оболочки.
й
Замечание: Возможно, следует напомнить: входным
зрачком системы будет та из материальных диафрагм,
расположенных перед системой, или изображение той материальной
диафрагмы, расположенной внутри системы, которые видны под
наименьшим углом из осевой точки предмета.
По аналогии, выходным зрачком системы будет та из
материальных диафрагм, расположенных за системой, или
изображение материальной диафрагмы, расположенной внутри системы,
которые видны под наименьшим углом из осевой точки
изображения предмета.
Материальная диафрагма, изображения которой в
пространстве предметов или пространстве изображений являются
входным и выходным зрачками, называется апертурной. Апер-
турная диафрагма определяет освещенность создаваемого
системой изображения.
Углы, под которыми видны входной зрачок из осевой
точки предмета и выходной зрачок из осевой точки его
изображения, называются входным и выходным апертурными углами
системы.
Материальная диафрагма, определяющая поле зрения
оптической системы, называется полевой диафрагмой, или
диафрагмой поля зрения. Ее изображение в пространстве предметов
называется входным люком, а в пространстве изображений,
соответственно, — выходным люком. Угол, под которым виден
287

входной люк системы из центра входного зрачка, называется
углом поля зрения в пространстве предметов. Соответственно
угол, под которым виден выходной люк системы из центра
выходного зрачка, называется углом поля зрения в пространстве
изображений.
Все остальные диафрагмы, присутствующие в системе,
носят название виньетирующих диафрагм.
Найти положение изображений материальных диафрагм несложно. Для этого
достаточно вспомнить выполнение тех графических построений, о которых мы
подробно (и даже более того!) говорили в предыдущих главах.
Для начала найдем изображения материальных диафрагм в пространстве
предметов. Очевидно, изображение оправы лупы в пространстве предметов будет
совпадать с самой оправой, так как слева от лупы отсутствуют какие-либо
оптические элементы.
Построить графически изображение зрачка глаза в пространстве предметов
для Вас (на что мы очень надеемся), не составит никакого труда! Аналитически его
местоположение можно найти, воспользовавшись все той же формулой Ньютона:
/„/„' -50 х 50
z3p = = jq = -250 [мм].
Для определения диаметра изображения зрачка глаза можно воспользоваться
формулой (2.7) для нахождения линейного увеличения системы:
А,х. зР = А л х 77 = D™ Х3"=5х-Г7:=25 [мм].
|Р| зр
Из простого сравнения размеров материальных диафрагм и их изображений
следует, что входным зрачком системы служит изображение зрачка глаза,
следовательно, зрачок глаза является апертурной диафрагмой оптической системы лупа +
+ глаз. Напомним, что при определении диаметров выходных зрачков мы будем
опускать знак минус в силу их осесимметричности (круглое отверстие!). Формально
в этом случае линейное увеличение р при расчетах будет браться по модулю, т. е. в
виде |р|.
Найти апертурные углы системы также несложно. Понимая под апертурным
углом в пространстве предметов угол а, под которым виден входной зрачок из
осевой точки предмета, а под апертурным углом в пространстве изображений угол а',
под которым виден выходной зрачок из осевой точки изображения предмета, можно
записать
^вх. зр А , ^вых. зр
tga = £-, tga' = .
~2Рвх. зр ^вых.зр
Из рис. 5.12 можно найти расстояние от предмета до входного зрачка
~Рв\. зр ^зр ~*~ Z.
Расстояние z также можно найти по формуле Ньютона. Согласно условию
задачи расстояние от зрачка глаза до точки заднего фокуса z'3p = 60 мм - 50 мм = 10 мм.
Так как глаз аккомодирован на расстояние 250 мм (по условию задачи), то
расстояние от сформированного лупой изображения до точки заднего фокуса линзы
будет составлять z' = -240 мм. Теперь, воспользовавшись формулой Ньютона, найдем
положение рассматриваемого предмета относительно точки переднего фокуса F, т. е.
параметр z:
288

/ /' _50 x 50
Расстояние от осевой точки предмета до входного зрачка составит:
Рвх. зР = ^зР - z = -250 - 10,4 = -260,4 [мм].
А дальше все просто. Апертурный угол в пространстве предметов 2а найдем из
следующего выражения:
tgo = Dbx3P = -^- = 0,0479 => 2а « 5° 29'.
_2п 520,8
гвх. зр
Найти апертурный угол в пространстве изображений 2а' еще проще.
Расстояние от изображения предмета до выходного зрачка (положения глаза) согласно
рисунку равно /?вых. зр = 250 мм. Тогда
tga' =^Ш^ = Щ^= 0,0100 => 2а' * 1° 09'.
Виньетирующей диафрагмой, ограничивающей поле зрения нашей системы,
будет являться оправа лупы. Она же будет являться и выходным окном.
Так как плоскость расположения предмета не совпадает с плоскостью
входного окна (а промежуточного изображения просто нет!), то поле резко не ограничено.
В то же время входной зрачок системы имеет конечные размеры. Поэтому в
подобных системах возможно наличие виньетирования.
Абсолютные значения углов полей зрения в пространстве предметов для
различных уровней затенения можно найти по формулам, полученным выше
(см. рис. 5.10). Расчеты показывают, что эти углы при уровнях затенения Aw
(см. главу 3)) порядка 0 %, 50 % и 100 % равны:
Dn ~ °вх зр 50 - 25
*"'=- ' ; = 2(50 + 250) = 0,0417и2со,* 5° 18',
^{Jл 2зр /
tg(°2 = " Ч77Г~л = 2(505+250)= °'0833 и 2с°2 а 9° 53''
^V/л 2зр /
°л + Dbx 3D 50 + 25
tg0)3= - -Л ^L*. = ~<n , ~m = 0,1250 и 2о>з » 14° 25'.
2(/л+*,р) 2(50 + 250>
По аналогии можно найти соответствующие углы поля зрения в пространстве
изображений:
= _л_1 j^iiL- ^О ~* =0,3750 и 2coi «41° 07',
2(/л'%) 2(50 + 10>
tg^= ^^=2(505+ ю) = 0^4166 и2о^^45° 14',
= л+ ■»»•» = ^^ = 0,4583 и 2со^ * 49° 25'.
2(/л'+<Р) 2(50+10)
Просматривая полученные значения угловых полей зрения в пространстве
изображений, легко увидеть, что при угле поля зрения 2coi «41° пучки лучей,
ограничиваемые выходным зрачком системы, проходят сквозь лупу без ограничений, т. е.
полностью, и, таким образом, в этом случае виньетирование отсутствует.
289

При угле поля зрения 2о)2« 45° размеры «крайних» пучков «срезаются»
наполовину, т. е. освещенность на краю поля зрения составляет величину порядка 50 % от
освещенности центральной части. В системе присутствует 50%-е виньетирование.
И наконец, при угле поля зрения 2соз ~ 49° в систему проходят только крайние
лучи (если проходят!). При еще больших углах никакие лучи пучков в систему не
проникают!
й
Замечание: Если зрачок глаза совмещен с задней
фокальной плоскостью лупы и является апертурной диафрагмой
системы лупа + глаз, входной зрачок системы будет находиться в
бесконечности. В этом случае главные лучи всех пучков,
идущих из бесконечности, параллельны оптической оси и, как
следует из формул, угол поля зрения в пространстве
предметов становится равным нулю. Поэтому при таком расположении
компонентов оптической системы принято считать, что поле
зрения системы равно световому диаметру лупы.
Приведем еще один пример, нередко встречающийся на практике.
Пример 5 3 Пусть нам необходимо выбрать фокусное
расстояние лупы для снятия отсчета по шкале с ценой деления
Лшк = 0,05мм. Вся шкала содержит NmK = 100 делений.
Хотелось бы производить, пусть на глаз, отсчет до 5точ = 0,01 мм деления шкалы.
Диаметр зрачка глаза примем равным DBblx зр = 2 мм. Его удаление от лупы
приблизительно равно 250 мм. Скажем снова, что все величины нами, как всегда, взяты «с
потолка», так как важна идея расчета, а не техника вычислений.
На расстоянии наилучшего зрения (250 мм) угловая величина 5 будет равна:
tgcoj « coi = 250 х 206265
угл. с
;§х2х 105 = 8"
рад
Естественно, глаз угол в 8" разрешить не сможет, именно поэтому для
достижения необходимого разрешения мы воспользуемся лупой. Для глаза предельная
разрешаемая угловая величина составляет величину порядка Г, и зная, что она
изменяется пропорционально видимому увеличению лупы, несложно найти значение
видимого увеличения. Очевидно, оно будет равно:
г><=р,=6о:
А Л Off ' 9^ •
Теперь найдем фокусное расстояние лупы. Для простоты округлим значение
видимого увеличения до 10х. Тогда
г, 250 мм 250 мм
/_ = = = 25 [мм].
Jsi г; 10 L
Так как линейное поле зрения (длина шкалы) составляет 2у = NmK х Ашк = 100 х
х 0,05 = 5 [мм], то угловое поле зрения можно найти из выражения
v 2,5
tgco= -jt = "25" =0,1 радили2со« 11° 30'.
/л
При 50%-м виньетировании диаметр лупы должен быть порядка
А = 2 х (/; х tgco) = 2 х (25 х 0,1) = 5 [мм].
В случае отсутствия виньетирования световой диаметр лупы должен составлять
Ав = А + Аых. зР = 5 + 2 = 7 [мм].
290

5.4. Лупа, глаз и перспектива
Лупа настолько простой оптический инструмент, что, казалось бы, о ней
больше нечего сказать! Однако и с этим простым инструментом не все так просто.
Обычно при наблюдении мелких объектов с помощью лупы объект
устанавливается в фокусе лупы или вблизи его. Только в этом случае из лупы от каждой точки
объекта будут выходить пучки параллельных лучей (или близких к ним), а
нормальный глаз, полностью «расслабившись», будет чувствовать себя при наблюдении
весьма комфортно.
Казалось бы, все в порядке, но есть одно «НО». Если диаметр лупы достаточно
большой и значительно превышает диаметр зрачка глаза, то пучки света, исходящие
от объекта наблюдения, будут ограничиваться зрачком глаза, т. е. зрачок глаза в одно
и то же время будет являться апертурной диафрагмой системы лупа + глаз и ее
выходным зрачком.
Вот здесь и начинаются «чудеса»!
Действительно, лупа и глаз, в принципе, никак не связаны между собой и глаз
незадачливого наблюдателя относительно лупы может располагаться в пространстве
где угодно. И это «где угодно» может до неузнаваемости «исковеркать» изображение
рассматриваемого трехмерного {рельефного) объекта. Достаточно вспомнить наши
рассуждения о перспективе, которые мы приводили в четвертой главе. Теперь
попробуем их применить к системе лупа + глаз.
Чтобы не мучить себя прорисовкой рельефа рассматриваемого объекта, на
рисунках мы ограничимся только двумя стрелками разного цвета, разнесенными в
пространстве вдоль оптической оси (рис. 5.13—5.15).
Для начала рассмотрим, что произойдет с изображением на сетчатке глаза при
расположении зрачка глаза в задней фокальной плоскости лупы (см. рис. 5.13).
Яснее ясного, что при расположении апертурной диафрагмы (в нашем случае
зрачка глаза) в задней фокальной плоскости лупы изображение входного зрачка
системы мы получим в бесконечности. При таком расположении входного зрачка все
главные лучи от различных точек трехмерного объекта будут идти параллельно
оптической оси и, как результат, будут формировать изображение на сетчатке глаза с
одинаковым (одним и тем же) увеличением.
Рассматривая объект наблюдения одним глазом, мы просто потеряем всю
информацию о рельефе предмета. А все, и как всегда, достаточно просто: мы получили
обычную телецентрическую перспективу.
Остальное Вам должно быть ясно и без нас. Поэтому мы не будем расписывать
вновь то, о чем уже писали, а просто приведем рисунки, которые Вам помогут
расставить точки над «i».
Изображение входного
зрачка системы
лупа + глаз в бесконечности
Н Н
Зрачок глаза — апертурная
диафрагма и выходной зрачок
системы лупа + глаз
Рис. 5.13. Формирование телецентрической перспективы в системе лупа + глаз.
Глаз находится в фокальной плоскости лупы.
291

Изображение входного
зрачка системы
лупа + глаз
•♦ ■■jj^v-Q'*""""
Н;Н'
Н! Н'
-/л
Зрачок глаза — апертурная
диафрагма и выходной зрачок
системы лупа + глаз
1
2*^
ГЧ"
/i
J гл
Рис. 5.14. Формирование гиперцентрической перспективы в системе лупа + глаз.
Глаз находится за задней фокальной плоскостью лупы.
Нередки случаи, когда в начале наблюдений зрачок глаза, а с ним и «апертур-
ную диафрагму» вообще располагают «где попало», например, отодвинув его от
лупы за точку заднего фокуса (см. рис. 5.14). Построив для этого случая изображение
входного зрачка (светло-серый пунктир), легко убедиться, что это схема
гиперцентрической перспективы, когда элементы трехмерного объекта, более удаленные от
наблюдателя, проецируются на сетчатку глаза с большим увеличением.
И, наконец, расположим глаз в промежутке между линзой и ее задним
фокусом (см. рис. 5.15). Если вновь найти положение входного зрачка (в этом случае он
будет располагаться в пространстве предметов, за глазом), то мы увидим, что эта
схема полностью соответствует перспективе, которую мы назвали энтоцентрической
(или нормальной), когда с большим увеличением проецируются элементы
рельефного объекта, расположенные ближе к наблюдателю.
А выводы просты, как «английская овсянка к завтраку».
Так, при расположении глаза в промежутке между фокусом системы и самой
системой (ближе к лупе), видимый размер ближе расположенных элементов
рельефного объекта будет больше. Наблюдаемый объект будет выглядеть таким же, как
если бы мы его рассматривали невооруженным глазом. Иными словами, изображение,
сформированное на сетчатке глаза, будет создавать приблизительно правильное
впечатление о рельефности объекта.
Если же глаз наблюдателя расположить за задним фокусом системы (по
направлению распространения света), то видимый размер ближе расположенных
элементов рельефного объекта будет меньше! Не требует доказательств, что в этом
случае изображение рельефного объекта, сформированного на сетчатке глаза, будет
Зрачок глаза — апертурная
диафрагма и выходной зрачок
системы лупа + глаз
Н: FT
Изображение входного
зрачка системы
лупа + глаз
1
Рис. 5.15. Формирование энтоцентрической (нормальной) перспективы в системе
лупа + глаз. Глаз находится между лупой и ее задней фокальной плоскостью.
292

вводить наблюдателя в заблуждение относительно действительной формы
наблюдаемого объекта.
Это же относится и к случаю, когда зрачок глаза располагается в задней
фокальной плоскости лупы. Правда, и довольно часто, неожиданно возникшие
неудобства наблюдения мозг наблюдателя может исправить, «заставив» человека
расположить глаз где-то вблизи заднего фокуса линзы.
Как видите, как ни проста лупа в своей реализации, но прежде чем
воспользоваться ее «услугами», следовало бы подумать об условиях ее эксплуатации
(использования).
Впрочем, думать надо всегда!
Рекомендованная литература к главе 5
Бегунов Б. Н., Заказное Н. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория оптических систем. М.:
Машиностроение, 1981. 431 с.
Ковалевская Т. Е., ОвсюкВ. К, Белоконев В. М, Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
ЛандсбергГ. С. Оптика. М: Наука, 1976. 928 с.
Матвеев А. Н. Оптика. М: Высшая школа, 1985. 351с.
Михель К. Основы теории микроскопа. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с; Т. 5. 760 с.
Чуриловский В. Н. Теория оптических приборов. М.: Машиностроение, 1966. 564 с.

ГЛАВА 6. ЭНЕРГЕТИКА ОПТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
И СИСТЕМ
Формирование оптической системой изображения наблюдаемого предмета
фактически сводится к перераспределению и регистрации световой энергии,
излучаемой (или отражаемой) предметом, при ее переносе (п е р е д а ч е) из
пространства предметов в пространство изображений. Поэтому анализ (и синтез) оптических
систем, особенно систем, использующих в качестве воспринимающих устройств
различные фотоэлектрические преобразователи, связан не только с чисто
геометрическими построениями изображений, но и с расчетом энергетических характеристик, с
расчетом «энергетики» световых полей. А это требует знаний хотя бы основных
энергетических характеристик, используемых при расчете оптических систем.
Так уж исторически сложилось, что первые оптические приборы
предназначались для «работы» совместно с глазом человека и только много лет спустя появились
оптические системы, в которых в качестве регистрирующих устройств стали
применяться различные фотопреобразователи, способные преобразовывать в
электрический сигнал создаваемые оптической системой изображения.
Такой путь развития оптических приборов привел к возникновению двух
различных систем оценки энергии излучения и ее воздействия на приемники излучения,
одну из которых принято называть системой энергетических единиц, а другую —
системой фотометрических (световых) единиц, привязанной к глазу человека. Основной
причиной этому послужило то, что глаза человека реагируют на освещенность
изображения, а фотоэлектронные приемники излучения — на энергетический поток
излучения, участвующий в формировании изображения.
Вместе с тем, обилие самых разнообразных характеристик, связанных с
энергетикой электромагнитных полей, вынудило авторов начать знакомство с этим
весьма важным вопросом с самого начала — с вопроса переноса энергии
электромагнитным полем. При таком подходе, пожалуй, стоит напомнить некоторые положения
физической оптики.
С этого и начнем.
6.1. Энергия электромагнитного поля
Для того чтобы ясно представлять, что скрывается под энергетическими
характеристиками излучения, принятыми в геометрической оптике, стоит вспомнить
некоторые определения, связанные с описанием распространяющегося
электромагнитного поля, принятые в физической оптике. Сразу оговоримся, под излучением мы
будем понимать любое излучение, получаемое в оптическом диапазоне от
«глубокого» ультрафиолета с длиной волны X ~ 10 нм до «дальнего» инфракрасного
излучения с X ~ 6 -^ 16 мкм. Нередко излучение этого диапазона длин волн мы будем
называть просто «свет».
В энергетической системе величины характеризуют оптическое излучение,
отнесенное ко всему его диапазону (спектру длин волн). Фотометрические величины
описывают особенности восприятия света глазами человека, связанные с различной их
294

kY
X
>^^^
z
Рис. 6.1. Графическое изображение модели распространяющейся сферической волны (а)
и графическая интерпретация вектора Умова—Пойнтинга (б).
чувствительностью к различным длинам волн. Исторически сложилось так, что для
оценки видимой части излучения применяются фотометрические величины,
пропорциональные соответствующим энергетическим величинам.
Для начала представим себе, что в однородном пространстве (вакууме или
воздухе) расположен точечный источник излучения (бесконечно малого размера),
который, «выплескивая» часть своей энергии в пространство, генерирует вокруг себя
электромагнитное поле в виде сферических расходящихся волн (рис. 6.1, а). Если
ввести понятие волнового фронта как геометрического места точек колебаний,
находящихся в одной фазе, то в данном случае поверхность фронта будет иметь вид
сферы с радиусом г, равным расстоянию до источника.
Очевидно, что при значительном удалении сферической волны от источника
излучения наступит момент, когда ее небольшой участок с достаточной степенью
точности можно рассматривать как обычную плоскость, причем плотность
излучаемой источником энергии в пределах этого участка будет иметь одинаковое значение.
В самом общем случае за направление распространения волны в пространстве
принимается нормаль к ее поверхности (фронту волны). Для сферических волн эта
нормаль как бы исходит из точечного источника (совпадает с радиусом-вектором
волны), а для плоских волн — она есть не что иное, как перпендикуляр к ее
поверхности. В геометрической оптике именно эти нормали (или перпендикуляры к
поверхностям) трактуются как лучи распространяющегося в пространстве света. Но с
равным правом, присваивая этим нормалям некие численные значения, мы можем
называть их векторами.
Вектор Умова I В самом общем случае (для различных длин волн),
Пойнтинга как I электромагнитное поле представляет собой совокупность
пютность потока распространяющихся в пространстве и изменяющихся во
энепгии времени электрических и магнитных полей, непрерывно
воспроизводящих друг друга. В вакууме электрическое
поле характеризуется вектором напряженности Е, а
магнитное — вектором магнитной индукции В, который
связан с напряженностью магнитного поля соотношением В = \мМ, где цо — магнитная
проницаемость вакуума.
Причем изменение амплитуд электрического и магнитного полей при
распространении в однородной сфере происходит синхронно (в одной фазе) по
синусоидальному закону, причем в случае плоской поляризации — во
взаимно-перпендикулярных плоскостях (см. рис. 6.1, б). Распространяясь в пространстве,
электромагнитное поле переносит энергию, переданную ему источником, вдоль линии пересечения
295

этих плоскостей. В однородном пространстве эти линии являются прямыми, всегда
совпадают с нормалями к поверхностям распространяющихся волн и могут
трактоваться в одном случае как лучи распространяющегося в пространстве света, а в
другом— как векторы, определяющие направление распространения волны (не важно
какой — сферической или плоской).
Рассмотрим более подробно сначала случай плоской монохроматической
волны света (см. рис. 6.1, б), которая может генерироваться, например, далеко
расположенным точечным источником света со строго фиксированной линейной частотой
света v (монохроматический излучатель). Этой частоте соответствует одна-единст-
венная длина волны X, связанная, как известно, со скоростью света сие частотой v
соотношением
X = cN. (6.1)
Электрическое и магнитное поля, распространяющиеся в пространстве со
скоростью света с, имеют вид бегущих волн, амплитуды которых Ev и Вх изменяются по
координате Z и во времени / согласно уравнениям Максвелла:
£ = £n sin(co/ - kz),
• (6.2)
Вх = Н0 sin(co/ - kz),
где Е0и В0 — максимальные значения амплитуд электрического и магнитного полей,
со = 2kv — круговая частота света, а к = 2к/Х — волновое число.
А теперь обратим внимание на удивительную структуру аргумента
синусоидальной функции, т. е. на фазу cp(z, /) = со/ - kz. Именно такая, на первый взгляд,
незатейливо простая структура аргумента в виде суммы двух членов со/ и kz и описывает
бегущую волну. В этом нетрудно убедиться, если проследить, что происходит с
выделенной нами фазой волны, например, с одним из ее максимумом при ф0 = п/2.
Очевидно, что положение максимума вдоль оси z смещается во времени следующим
образом: z = Xvt - Х/4. Если теперь определим скорость, с которой перемещается
максимум, т. е. величину v = Az/A/, то мы увидим, что эта скорость в точности равна
скорости света: v = с\
Именно у бегущих волн напряженности (амплитуды) электрического и
магнитного полей меняются периодически как во времени с периодом Т= 1/v, так и в
пространстве с периодом X. Чтобы убедиться в этом, зафиксируйте координату z = z0,
и Вы получите, что в данной точке амплитуда меняется гармоническим образом.
Такой же характер колебаний наблюдается, если Вы «заморозите» поле, т. е. будете
рассматривать его поведение вдоль оси z при фиксированном / = /0.
Вернемся теперь к точечному монохроматическому источнику, излучающему
свет по всем направлениям равномерно (свойство изотропности). Попытаемся найти
уравнение волны, излучаемой источником. Воспользуемся опытом, полученным
нами выше при анализе уравнения плоской волны. В этом случае, как следует из
уравнений Максвелла, излучаемая волна будет сферической, т. е. поверхность волнового
фронта — геометрическое место точек колебаний волны с одинаковой фазой —
описывается сферой с радиусом R:
E = E0^-s'm(at-krX (6.3)
R
где Е0 — амплитуда волны на выбранном расстоянии R = R0. Отсюда следует, что
амплитуда сферической волны уменьшается обратно пропорционально расстоянию
от точки наблюдения до источника. При этом квадрат амплитуды \Е\2, определяющий
энергетические характеристики поля!, уменьшается обратно пропорционально
квадрату расстояния от источника света до точки наблюдения, т. е. \Е\2 ~ /Г2. Это, кстати,
следует из закона сохранения энергии, согласно которому общая энергия,
переносимая волной в единицу времени по всем направлениям в пространстве, остается неиз-
296

менной, причем независимо от расстояния R. Действительно, так как площадь шара с
центром в точке размещения источника равна 47с/?2, то амплитуда волны, согласно
(6.3), в этом случае должна падать обратно пропорционально R.
После краткого знакомства с основами электромагнитных колебаний рассмотрим
энергетические соотношения, возникающие в электромагнитном поле для случая
плоских волн, когда переносимая волной энергия постоянна для любого участка ее фронта.
Так как направление изменения значений амплитуд (или напряженностей)
электрической Е и магнитной И составляющих электромагнитного поля в
пространстве объективно строго определены, то вполне естественно рассматривать их как
векторные величины и обозначать соответственно как Е и Н.
Согласно теории электромагнитного поля между электрической Е и магнитной
Н составляющими поля и направлением его распространения Р существует простая
связь, определяемая обычным векторным произведением, которое
носит название вектора Умова—Пойнтинга (см. рис. 6.1).
В «Международной системе единиц и размерностей» (система СИ) вектор
Умова—Пойнтинга определяется выражением
Р = Е х Н. (6.4)
а
Замечание: Вектор Умова—Пойнтинга, с позиции векторной
алгебры, представляет собой обычное векторное произведение
двух векторов Е и Н, результатом которого является третий
вектор Р. Длина (модуль) равна площади параллелограмма,
построенного на векторах Е и Н, а направление —
перпендикулярно к плоскости, образованной этими векторами (см.
рис. 6.1).
Направление вектора Р всегда выбирается таким, чтобы
кратчайший поворот вектора Е к вектору Н происходил против
часовой стрелки, если смотреть на них из конечной точки
вектора Р.
В сферической волне электрическая Е и магнитная Н
составляющие электромагнитного поля лежат в плоскости,
касательной к сфере, в точке ее пересечения с нормалью к
поверхности распространяющейся волны. В плоской волне эти
составляющие лежат в плоскости волны (точка О на рис. 6.1, б) .
Но в том и другом случае (и для сферической, и для
плоской волн) вектор Р всегда нормален (перпендикулярен) к
поверхности распространяющейся волны, и таким образом он
задает направление ее распространения. Это позволяет
рассматривать вектор Р в приближении геометрической оптики как
луч, в направлении которого распространяется свет.
Именно поэтому становится возможен энергетический
анализ оптических систем с привлечением обычных понятий
геометрической оптики.
Вектор Умова—Пойнтинга интересен тем, что он позволяет определить не
только направление распространения электромагнитной волны, задаваемое
непосредственно направлением вектора Р, но и то количество энергии, которое волна
переносит в единицу времени (равное его модулю |Р|) при своем перемещении в
пространстве в этом направлении.
Чтобы прочувствовать это «собственной кожей», но при этом глубоко «не
влезая» в теорию электромагнитного поля, воспользуемся размерностями входящих в него
компонент, которые, как мы надеемся, и помогут нам понять его физический смысл!
297

Из опыта известно, что все фоторегистрирующие устройства (в том числе и
глаза человека) реагируют только на электрическую составляющую
электромагнитного поля. Из уравнений Максвелла следует, что в вакууме в плоской
электромагнитной волне напряженность электрического поля и магнитной индукции (в системе
СИ) определяется простым соотношением:
Е = сВ. (6.5)
Отсюда следует, что выражение (6.4) для вектора Умова—Пойнтинга в вакууме, с
учетом В = ц0Н, принимает следующий вид:
Р = 80сЕ2. (6.6)
Здесь мы учли, что магнитная проницаемость вакуума цо и диэлектрическая
проницаемость вакуума е0 связаны соотношением: ц0 = (г0с2)~\
А теперь самое главное: чтобы понять, что же собой представляет модуль
вектора Умова—Пойнтинга в физической реализации, достаточно в выражение (6.6)
подставить значения элементов, входящих в это выражение, с обозначением их размерностей:
р — р
4 А2
с х А
м хкг
хс
хЕ
м хкг
c6xA2J
= |р|
"Дж"
_м2с_
= |р|
Вт
_м2_
С физической точки зрения модуль вектора Умова—Пойнтинга представляет собой
количество энергии (в джоулях), переносимое электромагнитным полем в единицу
времени (1 с) через единицу площади (1 м2), или, иными словами, — мощность излучения в
ваттах, приходящуюся на единицу площади. Таким образом, вектор Умова—Пойнтинга
характеризует плотность потока излучения, переносимого электромагнитным полем.
В оптике мощность излучения часто характеризуют таким параметром как
интенсивность света, связанным с модулем вектора Умова—Пойнтинга. Обратимся к
случаю излучения в виде плоской монохроматической волны света (6.2). Модуль
вектора Умова—Пойнтинга |Р|, согласно (6.6), будет равен
|P| = eocESsin4co/-fe) = ^^-^^cos[2(a)/-Az)]
(6.7)
Он содержит две составляющие: постоянную и переменную, осциллирующую
в пространстве с частотой 2со.
В оптическом диапазоне изменение значений векторов напряженностей Е и Н,
а проще — значений амплитуд составляющих электромагнитного поля, происходит с
огромной скоростью и составляет величину порядка 10 Гц. При такой частоте
говорить об измерении мгновенных значений амплитуды электрической составляющей
поля просто не приходится. Постоянная времени известных фоторегистрирующих
устройств (т. е. времени реакции фотоприемника) значительно превышает время
одного периода Т = 1/v = 2л/со изменения амплитуды поля. Поэтому то, чем мы можем
довольствоваться, — это всего лишь среднее по времени значение
плотности потока энергии излучения в пределах периода колебаний Г, т. е.
<mKjih*-
SaCEr
(6.8)
где угловые скобки означают усреднение по времени.
Так как второй член в (6.7) при усреднении равен нулю, то усредненное
значение |Р| будет равно постоянной составляющей модуля вектора Умова—Пойнтинга
(6.8). Именно эту величину в физической оптике и принято называть
интенсивностью излучения света, или просто интенсивностью световой волны /:
/ = (|P|) = £fl (6.8а)
298

Заметим, что, согласно (6.8а), интенсивность равна половине максимального
значения |Р|, определяемого (6.7). Таким образом, интенсивность света /
пропорциональна квадрату напряженности: /~£о- Вот почему фотоприемники,
регистрирующие интенсивность света, называют квадратичными детекторами. Такое свойство
фотоприемника — регистрировать не величину амплитуды световой волны, а ее
квадратичное значение — является ключевым при объяснении и анализе многих
оптических явлений.
й
Замечание: Правда, следует отметить, что нередко в
технической литературе под интенсивностью понимают
амплитуду вектора Умова-Пойнтинга, которая, согласно (6.7), в
2 раза больше I = (|р|) .
Вообще определением «интенсивность излучения» в
технической литературе пользуются настолько свободно, что
зачастую не сразу поймешь, о чем идет речь. Поэтому всегда,
чтобы избежать ошибок, следует помнить, каким физическим
содержанием наполнено это определение.
То, что определение интенсивности излучения как бы
«вываливается» из общего ряда единиц и размерностей
физических величин, принятых в системе СИ, отнюдь не мешает
физикам, а с ними и специалистам по физической оптике,
использовать это определение для характеристики энергии
излучения. Однако следует помнить, что интенсивность излучения,
прежде всего, следует рассматривать как плотность потока
энергии излучения.
Поток излучения I Наверное, нас при энергетических расчетах оптиче-
' ских систем в большей степени должна интересовать
величина той работы W, которую способно выполнять
электромагнитное излучение, в одном случае «попадая» на сетчатку глазу и вызывая
химическую реакцию в палочках и колбочках, а в другом — на фотопреобразующие
устройства, вызывая в них соответствующую фотоэлектрическую реакцию (или
фотохимическую, например, почернение серебра фотопластинок).
й
Замечание: Под работой, в самом общем случае, следует
понимать любое изменение состояния (или положения) объекта
исследований под воздействием неких сил. Единицей измерения
работы W в Международной системе единиц и размерностей
(системе СИ) является джоуль = ватт х с = Дж = Вт х с.
Тогда, по аналогии с механикой, можно сказать, что под
энергией поля W следует понимать его способность совершить
определенный объем работы. Единицей измерения энергии так
же, как и работы, в системе СИ является джоуль.
Продолжая аналогию, можно сказать, что под мощностью
следует понимать способность поля выполнить некоторый объем
работы в единицу времени.
Ну, а теперь, пожалуй, один из самых важных моментов наших рассуждений.
Если энергию оптического излучения измерять в джоулях, то среднюю мощность
оптического излучения за время /, превышающее период световых колебаний
источника излучения, оценивают в ваттах и в энергетических единицах называют потоком
излучения (или лучистым потоком, или потоком лучистой энергии) Фе.
299

Й
Замечание: Слово «поток» здесь и далее можно понимать
в буквальном смысле как некий непрерывно протекающий
процесс (например, поток воды) и не обязательно бесконечный во
времени. В нашем случае это — непрерывный поток света, или
непрерывный поток излучения, или непрерывный поток энергии
и т. д. Возможно, по этой аналогии, количество энергии
электромагнитного поля в энергетических единицах принято
называть потоком излучения или лучистым потоком.
Чтобы найти поток излучения Фе, вновь воспользуемся вектором Умова—
Пойнтинга (здесь и далее мы будем говорить только об электромагнитных полях
оптического диапазона и применять символьные обозначения, принятые в
геометрической оптике).
Как мы уже сказали выше, вектор Умова—Пойнтинга определяет плотность
потока излучения, т. е. величину мощности излучения, приходящего на единицу
площади. Если вообразить, что некоторую поверхность пересекает электромагнитное
поле, то очевидно, что полный поток энергии, «проливающийся» в единицу времени
через некоторую площадь S этой поверхности, можно получить как обычный
интеграл по поверхности:
Фе = |(|P|)dS . (6.9)
Только в этом смысле мы можем говорить о полном потоке излучения,
«проливающемся» через некую площадь некой поверхности, а вместе с ним и о плотности
потока, распределенного по площади этой поверхности.
Геометрическая Для понимания введенных нами энергетических
нтепппетани i характеристик поля иногда полезной оказывается их гео-
■ метрическая интерпретация. Представим себе, что на пути
энергетических
характеристик
поля
распространяющегося электромагнитного поля помещен
плоский экран с размерами отверстия D x D = S, на кото-
_ рый падает плоская волна с плотностью потока излучения
(|р|)(рис.6.2,а).
Очевидно, что поток лучистой энергии через это отверстие за время t есть не
что иное, как количество энергии We - /|P|>iS/, сосредоточенное в объеме цилиндра с
размерами V = S x L, где L = ct — длина образующей цилиндра. Она равна
расстоянию, которое пройдет за время t световая волна, распространяющаяся со скоростью
света с. Формулу для энергии W можно представить в следующем виде:
We=(\P\)St=(\P\)SL/c = (\P\)v/c.
Теперь перейдем к потоку излучения, который равен энергии, переносимой
полем в 1 с. Его можно интерпретировать как количество энергии AW в цилиндре с
объемом АV = SxAL, где AL = сЛ с « 3-108 м — расстояние, которое проходит
световая волна за 1 с (рис. 6.2, б):
AWe=(\?\)Sx\c = (\?\)SAL/c = (\?\)AV/c =Фех1с. (6.10)
И наконец, среднюю по времени плотность потока излучения ( Р ), равную
количеству энергии ЫУе, проходящей через единицу площади AS = 1 м2 за
единицу времени в 1 с, можно интерпретировать в виде «единичного энергетического
цилиндра» bWe с объемом б К =ASAL = 1 м2 xl схс, т.е. величиной bWe =
= (|Р|)бК/с = (|Р|)х1м2х1с.
300

We=(\p\).S-t = (\p\ys.L/c = (\v\).V/c
AWe =(\P\)-SЛ c = (\P\)-S■ AL/c = (\P\)-AV/с = Фсх1с
Ы¥е = (|P|) • AS • ALIc = (|P|)• Ы'Iс = (|P|)x 1m2 x 1 с
Рис. 6.2. Графическое представление энергии (я), потока излучения (б)
и плотности потока излучения (в).
В нашей модели «энергетического ящика» мы предполагали, что его торцевые
стенки нормальны к оси ящика. Но «по жизни» часто бывает так, что поверхность
воспринимающего устройства неперпендикулярна к вектору Умова—Пойнтинга, т. е.
к лучам светового поля (рис. 6.3). Если угол между нормалью п к наклонной
площадке и вектором Умова—Пойнтинга равен а, то, очевидно, что поток излучения Фе,
падающий на наклонную плоскость площадью S, будет определяться ее проекцией
S± = Scosct на плоскость, перпендикулярную вектору Умова—Пойнтинга Р:
фе =(|P|)scosa. (6.11)
Наверное, не требует никаких пояснений тот факт, что во всех
вышеприведенных формулах для энергетических расчетов оптических систем, где используется или
площадь излучателя, или площадь фотоприемного устройства, следует учитывать их
расположение относительно оптической оси системы или относительно направления
распространения света.
i
/а
s/i*
/яЧа
1 ^-
к »
Ш ^
Рис. 6.3. К определению потока через наклонную
площадку S под углом а к вектору Умова—Пойнтинга Р.
301

Пример 6 1 I Для того чт°бы немножко почувствовать «на
ощупь» сказанное, приведем простой пример из нашей
повседневной жизни, воспользовавшись для этого
обычной бытовой электрической лампой.
Пусть у нас имеется обычная электрическая лампочка, мощность которой
указана на колбе и составляет Р= 100 Вт. Нам же необходимо определить плотность
потока излучения, которую она будет создавать на расстоянии R= 10 м от источника
излучения.
Прежде всего, отметим, что мощность, указанная на колбе, определяет
среднюю потребляемую мощность, т. е. ту, которую лампа будет «забирать» из
электрической сети, а совсем не ту, которая будет создавать нам благоприятные условия
существования в темное время суток.
Обычно коэффициент полезного действия ц бытовых электрических ламп,
используемых для освещения (т. е. коэффициент, определяющий количество энергии,
затрачиваемой на освещение, ведь именно в этом предназначение электрических
ламп освещения!), составляет всего лишь порядка 2—3 % от общей потребляемой
мощности. А это значит, что из всей потребляемой энергии в 100 Вт для
генерации «световой» составляющей электромагнитного
поля будет использоваться лишь 2—3 Вт. К сожалению, большая часть энергии
(97—98 %) будет затрачена на нагревание самой лампы и той среды, в которой она
находится.
Для простоты будем считать спираль обычной электрической лампы точечным
источником излучения. Тем более, что мы это можем сделать почти на «законных»
основаниях, так как при энергетических расчетах оптических систем конечными
размерами источника излучения часто пренебрегают в случае, если его размеры меньше
одной десятой расстояния от источника до освещаемой поверхности (ниже на
конкретном примере мы постараемся подтвердить это утверждение).
Находясь в однородной среде, точечный источник излучения генерирует
электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве по всем направлениям
равномерно в виде сферических волн. Поверхность сферической волны на интересующем нас
расстоянии можно определить как площадь поверхности шара с радиусом R = 10 м, т. е.
£=4лЯ2 = 4хЗ,14х 100 м2 = 1256 м2.
Нетрудно найти среднюю плотность потока излучения
электромагнитного поля, излучаемого спиралью электрической лампы при т| = 2,5 %:
(|PI) = ^U 2>5Вт ,0,00!^.
VMI/ 25 2x1256 м2 м2
Для удовлетворения собственного любопытства, нетрудно найти
напряженность (амплитуду) электромагнитного поля, излучаемого лампой:
Подставив численные значения, получим
4
Ет, <^-„0,62*.
8,85-10-,2хЗ-108 м
По аналогии можно легко получить значения величин, связанных с магнитной
составляющей поля.
Вот, собственно, и все об энергетических соотношениях, возникающих при
анализе электромагнитных полей.
В заключение отметим, что в этом разделе с позиции физических
представлений мы познакомились с двумя очень важными энергетическими понятиями,
связанными с распространением электромагнитного поля в пространстве: с потоком энер-
302

гии (нередко называемым потоком излучения или лучистой энергией) и с плотностью
потока энергии излучения (также нередко называемой просто плотностью потока
излучения). Причем, если поток излучения в «Международной системе единиц и
размерностей» (в системе СИ) измеряется в ваттах (Дж/с), то плотность потока
излучения — в ваттах на метр квадратный (Вт/м ) или джоуль в секунду на метр
квадратный (Дж/(с хм)).
Правда, следует заметить, что в оптике с такими величинами как м оперируют
довольно редко и чаще используют (в нарушение всяких принципов построения сие-
2 2
темы СИ) более мелкие единицы измерений: см или мм .
6.2. Энергетические величины и их единицы в оптике
Как уже нами отмечалось, для характеристики световых полей в оптике
используют две системы единиц — энергетические и фотометрические. Если
энергетические характеристики объективно отражают общие энергетические свойства
излучения, то фотометрические — субъективное восприятие света человеком.
Энергетические характеристики определяют характеристики оптического
излучения по всему динамическому диапазону и используются в основном при анализе
и синтезе оптических систем, работающих совместно с различными
фотоэлектрическими устройствами.
Фотометрические (светотехнические) характеристики, пропорциональные
энергетическим характеристикам, как правило, применяются для качественной и
количественной оценки излучения в системах, работающих совместно с глазом
человека, т. е. в видимом диапазоне излучения.
Фотометрическая система единиц, сложившаяся исторически и связанная с
видимым диапазоном электромагнитного излучения, оперирует с фотометрическими
(световыми) величинами, где исходной характеристикой служит сила света.
Энергетическая система единиц, распространяемая на весь оптический диапазон
электромагнитного излучения, оперирует с энергетическими величинами, где исходной
характеристикой служит мощность излучения.
S Замечание: Оптический диапазон электромагнитного
излучения простирается от «глубокого» ультрафиолета с длиной
волны X ~ 10 нм до «дальнего» инфракрасного излучения,
когда длина волны достигает порядка 1 мм. Но видимое
излучение занимает область длин волн приблизительно от 0,4 до
0,7 мкм.
Именно этим объясняется появление двух систем единиц
измерения и оценки энергетических параметров излучения.
Поэтому следует различать энергетические величины,
характеризующие, в принципе, любое электромагнитное излучение, и
специфические фотометрические величины.
Если первые величины объективно характеризуют общие
энергетические свойства излучения, то вторые — субъективное
восприятие света человеком.
В энергетической системе единиц мощности излучения соответствует не сила
света, измеряемая в канделах, а поток энергии излучения (поток лучистой энергии),
измеряемый в ваттах.
Чтобы не вносить путаницы при определении характеристик излучения, для
случая энергетических величин к названиям характеристик, принятым в
фотометрической системе счисления, обычно добавляют слово «энергетическая». Так, опреде-
303

ление «освещенность», принятое при фотометрических измерениях, в случае
энергетических измерений принимает название «энергетическая освещенность».
Соответственно меняют название такие понятия, как сила света, яркость, светимость и т. д.
Исключение составляет только название светового потока, которое в энергетических
единицах принимает не только другое название — поток излучения, но и другой
физический смысл. Что же касается символических обозначений, то к принятым
символам в фотометрических определениях стали просто добавлять литеры «э» или «е».
В своем определении энергетических размерностей характеристик
электромагнитного излучения мы будем пользоваться теми размерностями, которые приняты в
«Международной системе единиц и размерностей физических величин» (система СИ).
Сконцентрировав внимание на потоке излучения и плотности потока
излучения, мы ничего не говорили об источниках излучения, которые можно представить в
общем случае в виде светящихся поверхностей. Они могут рассматриваться как
поверхности, излучающие или отражающие электромагнитное поле. В первом случае
это могут быть поверхности источников излучения (самосветящиеся источники), а во
втором — отражающие поверхности объектов наблюдения.
Вообще в оптике чаще всего рассматриваются источники излучения двух
типов: бесконечно малые, так называемые точечные, и источники конечных размеров,
которые нередко называют протяженными.
Рассмотрим далее энергетические величины, характеризующие эти два типа
источников.
6.2.1. Точечные источники излучения
Интуитивно понятно, что самым простым источником излучения может
служить светящаяся точка. Как мы уже отмечали, в геометрической оптике принято
считать источник излучения точечным, если его размеры на порядок меньше тех
расстояний, на которых анализируется излучаемое им поле (ниже мы подтвердим
справедливость этого утверждения).
Представить такой источник несложно, но объяснить его природу (или
существование) достаточно сложно, да к тому же это выходит за рамки нашей книги. Пока
для нас важно другое: если точечный источник находится в изотропной (однородной)
среде, то его излучение по всем направлениям будет однородно, т. е. фронт волны от
такого источника представляет собой обычную сферу.
И
2г 2ст
У
Рис. 6.4. К определению понятия телесного угла.
304

Для характеристики излучения точечного источника в пространстве вводят
понятие телесного угла (рис. 6.4). В этом случае плотность потока излучения
точечных источников есть не что иное, как мощность излучения, приходящаяся на
единицу телесного угла. Она фактически описывает угловую плотность потока излучения.
О том, что такое телесный угол и в каких единицах он измеряется, мы
расскажем ниже.
Телесный угол ft I Будем характеризовать точечный источник величи-
» ной Фе — интегральным потоком излучения энергии по
всем направлениям в пространстве. Расположим далее в
поле точечного источника произвольную малую площадку dS, которая
перпендикулярна лучу, проходящему через ее центр. Если теперь из источника провести лучи,
опирающиеся на контур этой площадки, то мы получим конус, ограничивающий
часть потока, проходящего через dS. Очевидно, что если поглощение энергии внутри
среды отсутствует, то через любое сечение этого потока проходит один и тот же
поток. Размеры этого конуса определяются величиной телесного угла,
который представляет собой часть пространства внутри конической поверхности.
Коническая поверхность, определяющая телесный угол, так же как и две прямые,
определяющие плоский угол, может бесконечно простираться в пространстве.
Если величина плоского угла между двумя прямыми измеряется частью дуги
произвольного радиуса, заключенной между этими прямыми, то телесный угол,
являясь пространственной характеристикой, измеряется частью поверхности сферы
произвольного радиуса, ограничиваемой конической поверхностью.
Иными словами, если из вершины конической поверхности описать сферу
с радиусом R, то основание конуса вырежет на этой сфере участок, площадь которого
будет пропорциональна квадрату радиуса, т. е.
dS = dQ.R2. (6.12)
Если в этом выражении коэффициент пропорциональности dfl рассматривать как
элементарный телесный угол, то его величина будет равно отношению площади
участка сферы к квадрату радиуса этой сферы:
dS
R2
dQ=-^. (6.13)
Если проинтегрировать левую и правую части (6.13), то в результате для
телесного угла Q имеем
П = ± (6Л4)
Единицей телесного угла является стерадиан (ср.). Точно так же, как
плоский угол в один радиан представляет собой центральный угол,
опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу дуги, так и
телесный угол в один стерадиан представляет собой
центральный (но в пространстве!) угол, вырезающий из сферы площадь S,
равную квадрату радиуса сферы/?, т. е. S = R2.
В общем случае, когда элементарная площадка (ее нормаль) расположена под
некоторым углом а к лучу, проходящему через ее центр, то, очевидно, что
действующей площадкой dS± будет ее проекция на ось, перпендикулярную указанному
лучу, т. е.
dS±=dS cos a. (6.15)
305

dn=^pt_ (6Л6)
Элементарный телесный угол для такой площадки будет равен:
dS cos a
~R~2
Ha практике телесный угол часто характеризуется не площадкой dS конуса и
расстоянием R от нее до источника (согласно (6.13)), а так называемым плоским
углом о~, получаемым при сечении конуса плоскостью, проходящей через его ось
симметрии (см. рис. 6.4).
Найдем связь между плоским углом а и телесным углом Q. С этой целью
вычислим площадь части сферы, которую вырезает конус, равный выбранному
телесному углу. В геометрии часть сферической поверхности сферы, отсекаемой
плоскостью, называется шаровым сегментом, площадь которого, как известно,
определяется формулой
Sulc = 2nRh, (6.17)
где R = СА — радиус сферы, a h = OD — высота шарового сегмента.
Если положить, что основание АВ конуса равно 2г, то высота шарового
сегмента h = OD = R- Я, а параметр Н = \/R2 -г2. В результате площадь шарового
сегмента, согласно (6.17), равна
Sm=2*R2
а телесный угол
П = 2к
1-.П-|£
l-.ll-lf'
(6.18)
(6.19)
Если теперь ввести плоский угол о~, то, как следует из рис. 6.4, синус этого
угла равен: sina = r/R. Подставляя отношение r/R в (6.19), в результате несложных
преобразований можно установить следующую зависимость телесного угла Q от
плоского угла а:
Q = 2тс(1 -cosa) = 47csin2 а/2. (6.20)
Очевидно, что для полусферы (а = я/2) телесный угол Q = 2л, а для сферы
(а = к) он равен Q = 4л.
Отметим, что в случае малых углов а, когда sin a/ 2 ~ tgal2-r(l 2R\
выражение для телесного угла принимает следующий вид:
* R2 " 4 R2 '
где D = 2г. Таким образом, при малых углах а телесный угол Q равен отношению
площади круга £кр = яг2, являющегося основанием шарового сегмента, к квадрату
радиуса R2 сферы. Очевидно, что в приближении малых углов с площадь шарового
сегмента можно оценить (достаточно точно) исходя из площади круга, т. е.
^u^™™,.«™o« i Используя понятие телесного угла, найдем элемен-
С/НСрГ СТИЧССКЛИ I
„ияпа „„лто ж I тарный поток излучения d$>e. Очевидно, он будет пропор-
СИЛ a CBtTa J I
I ционален элементарному телесному углу aQ:
d<&e=Je(o)dQ, (6.21)
где Je(o) — величина потока, приходящегося на единицу телесного угла. Эта
величина называется энергетической силой света (иногда энергетической силой излучения)
и характеризует энергетические возможности точечного источника света. Подставляя
выражение для телесного угла (6.16) в (6.21) для б/Фе, получим
306

^•^cosa (622)
R
Если поток излучения посылается источником равномерно, что имеет место
для точечного источника света, то, интегрируя (6.21) в пределах телесного угла 4л,
с учетом того, что Je = const, получаем следующую связь между интегральным
потоком излучения точечного источника Фе, и его энергетической силой света Je:
4л
<bc=Jejdn = 4nJe.
О
Видно, что энергетическая сила света Je изотропного излучателя меньше
интегрального потока излучения в 4 л раз:
Ф
4л
В случае неизотропного излучателя, т. е. неравномерного потока ^/ФДа) в
различных направлениях а, выражение (6.23) определяет среднюю энергетическую
силу источника, которую иногда называют средней сферической силой света. Для
определения истинной силы света в данном направлении Je{o) необходимо
воспользоваться выражением (6.21)
</Ф (а)
ail
Для дальнейшего понимания следует учесть одно важное замечание:
энергетический поток характеризует источник излучения и его нельзя увеличить никакими
оптическими средствами. Последние могут лишь перераспределить его, например,
путем концентрации потока в некоторых направлениях, чем достигается увеличение
силы света в избранном направлении ценою уменьшения его в остальных
направлениях. Таково, например, действие прожекторов, увеличивающих силу света (в
сравнении со средней сферической силой) в десятки тысяч раз.
Энср1етическая I ^та величина Ее характеризует величину потока
освещенность Е I энергии излучения с1Фе, приходящегося на элементарную
■ «приемную» площадку dSnp:
Е =*>-
dS„
Вт
(6.25)
Энергетическую освещенность иногда называют облученностью. Любопытно,
что полученная формула для Ее справедлива для любой площадки dSnp независимо от
ее ориентации. Действительно, если лучи падают под углом а к нормали наклонной
площадки, то элементарный поток с1Фе9 согласно (6.22), уменьшится
пропорционально уменьшению телесного угла (на угловой фактор cosa), стягивающего наклонную
площадку. Соответственно энергетическая освещенность будет равна:
R2
Таким образом, освещенность, создаваемая точечным источником (в
отсутствие поглощения), обратно пропорциональна квадрату расстояния до него и прямо
пропорциональна косинусу угла между направлением падающих лучей и нормалью к
освещаемой поверхности. Этот закон иногда называют законом обратных квадратов.
Нетрудно сообразить, что при освещении некоторой площадки несколькими
источниками излучения ее освещенность будет равна сумме освещенностей,
создаваемых каждым из них:
Ee=-^cosa. (6.26)
307

^ш=Ё£Г> (6-27)
где G — число источников излучения.
Энергетическая I Фотоприемные устройства, используемые в оптике,
экспозиция Н I в том числе и глаза человека, требуют для достоверного
с считывания получаемой оптической информации
определенное количество энергии, затрачиваемой для
выполнения некоего вида работы. Например, при использовании фотопленки в качестве
фоторегистратора для почернения зерен серебра необходимо определенное количество
энергии. Но во всех случаях величина реакции фоторегистрирующего устройства
зависит от мощности излучения и времени воздействия на него. Количество энергии,
переданное электромагнитным полем фотоприемному устройству в течение
некоторого времени, называется энергетической экспозицией.
При длительном облучении поверхности фотопленки или фотоприемного
устройства каждая единица их площади получит количество энергии, определяемое
энергетической освещенностью Ее и временем экспозиции т. В случае, когда
освещенность Ее постоянна, т. е. не зависит от времени, энергетическая экспозиция
"Дж"
И. = ЕЛ
м2
(6.28)
В более общем случае, когда Ее зависит от времени, энергетическая
экспозиция определяется следующим образом:
Не = JEe(t)dt
Дж
м2
(6.29)
6.2.2. Протяженные источники свега
|Для многих энергетических расчетов используемая
нами ранее модель точечного источника оказывается
вполне приемлемой. Она справедлива (как мы
неоднократно отмечали) тогда, когда размерами источниками по
отношению к наблюдаемому расстоянию можно пренебречь, или, иными словами,
когда угловые размеры источника, т. е. отношение его размера к расстоянию до него
достаточно малы. На практике же размеры многих источников настолько велики, что
при наблюдении их обычными оптическими средствами можно различать их форму,
отличать протяженный объект от точечного. Для характеристики таких источников
вводится понятие поверхностной энергетической яркости.
Выделим на светящейся поверхности протяженного источника элементарную
(малую) площадку б/£ист (рис. 6.5). Рассмотрим излучение ее в направлении угла а к
нормали этой площадки. Можно определить (и это подтверждается
экспериментально), что элементарный поток излучения <^2ФС, посылаемый ею в телесный угол dQ,
определяется не самой площадкой <iSHCT, а ее видимой величиной dS±9 равной
проекции dSmT на плоскость, перпендикулярную углу наблюдения а, т. е. dS± = dSHCTcosa.
Отношение энергетической силы света в заданном направлении Je к площади
проекции dS± светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную этому
направлению, называется энергетической яркостью:
д»=^^е • (6-30)
308

dQ.
\
Л А
■ ,..-•■' Y n f dS{ = dS„clcoso
w ^ dS
I U,JI1C1
Рис. 6.5. К определению энергетической яркости источника Ве.
Величина Ве(о) определяется свойствами излучаемой поверхности и в общем
случае зависит от угла а. Если теперь в (6.30) подставить выражение (6.24) для
энергетической силы света Je = d<be/dQ9 то формула (6.30) для яркости Ве принимает
следующий вид:
ад=
</2<t>
dQ.dS„„cosa
Вт
м ср
(6.31)
Видно, что яркость является второй производной от потока по телесному углу
и площади. А это означает, что энергетическая яркость излучающей поверхности в
направлении а равна величине элементарного энергетического потока излучения
с?Фе, посылаемого элементарной видимой поверхностью dS± внутрь элементарного
телесного угла dQ.
Источники света, поверхностная яркость которых Ве не зависит от
направления излучения, являются источниками, подчиняющимися закону Ламберта (ламбер-
товские источники). Для таких источников сила света dJe элементарной площадки dS,
согласно (6.31), пропорциональна cosa, т. е. dJe = Z?t,cosa6/SHCT.
Закон Ламберта занимает весьма важное место в оптике, и вот почему.
Довольно часто для энергетических расчетов используют модели источников излучения
конечных размеров, которые излучают или отражают свет диффузно, с яркостью,
практически одинаковой по всем направлениям. Такие поверхности называют
идеально рассеивающими поверхностями Ламберта. И хотя закон Ламберта довольно
прост и, наверное, понятен из рис. 6.6, а, трудно себе представить площадку, яркость
которой по всем направлением, т. е. под любым углом к ней, одинакова. Однако
такая модель позволяет легко найти энергетическую силу света Je для любого
направления. Действительно, пусть S — площадь светящейся площадки, Л max —
энергетическая сила излучения в направлении нормали к площадке (рис. 6.6, б), а Л(^) —
Д.
\\\
Хм
Ве
Рис. 6.6. Закон Ламберта (пояснения в тексте).
309

энергетическая сила излучения в направлении, составляющем угол а с нормалью к
светящейся поверхности. Так как, согласно (6.31), энергетическая сила излучения
Je = BeSHCT cos а, то очевидно, ее можно представить в виде
Л = Л, max COS Q, (6.32)
где Je max = BeSHCT — максимальное значение энергетической силы света, имеющее
место при а = 0, т. е. при наблюдении в направлении нормали к светящейся площадке.
Это значит, что энергетическая сила излучения, испускаемого ламбертовскими
источниками в любом направлении, равна энергетической силе излучения в
направлении нормали к поверхности излучателя, умноженной на косинус угла,
образованного нормалью с направлением распространения излучения (или наблюдения).
Если соединить концы значений энергетической силы излучения, найденных
по закону косинусов для различных направлений, мы получим окружность,
касательную к поверхности излучения, характеризующую распределение энергетической
силы излучения в пространстве от равнояркостного источника (рис. 6.6, б).
й
Это интересно: Иоганн Генрих Ламберт (Johann Heinrich
Lambert, 1728—1777) — немецкий физик и философ. Он был
академиком в Мюнхене и Берлине. Именно он заложил основы
фотометрии. Закон Ламберта и сегодня является фундаментом всех
светотехнических измерений, применяемых в оптическом
приборостроении (и не только!).
Как ни покажется удивительным и, возможно, странным, но лучшим
примером источника излучения, полностью удовлетворяющим закону Ламберта, является
только абсолютно черное тело, которое, по нашим обывательским представлениям,
вообще ничего не излучает! Освещаемые поверхности, покрытые окисью магния, или
рассеиватели, выполненные в виде колпака из хорошего молочного стекла и
подсвечиваемые изнутри, — примеры излучателей, приближающихся по своим свойствам к
источникам Ламберта. Любопытно, что поверхность Солнца излучает по закону,
довольно близкому к закону Ламберта.
Знание яркости существенно необходимо при исследовании самосветящихся
предметов, в частности, источников света. Интересно, что наш глаз реагирует
непосредственно на яркость излучения.
Энергетическая ( Для хаРактеРистики протяженных источников све-
светимость М I та часто необходимо знать распределение потока излуче-
■ ния энергии по его поверхности. В этом случае вводят
понятие светимости Ме, которая представляет суммарный
поток излучения, посылаемый элементарной светящейся площадкой наружу (в одну
сторону), т. е. в телесном угле Q = 2к. Таким образом, светимость
м„ = *ф
dS.
Вт
„СТ L«2
(6.33)
Обратите внимание на полученную размерность нашего определения. По
существу, это мощность излучения, «снимаемая» с единицы площади излучателя,
которую при знакомстве с вектором Умова—Пойнтинга (при анализе энергетических
характеристик электромагнитного излучения) мы назвали плотностью потока энергии
излучения.
В оптическом диапазоне величина энергетической светимости, по сути, равна
интенсивности излучения, определение которой мы дали выше, т. е. усредненному по
310

времени квадрату напряженности электрической составляющей электромагнитного
поля (см. (6.8а)):
".-<М)=^
Вт
Mz
Мы это отметили только для справки, надеясь, что вряд ли Вам придется
«мучиться» с величиной электрической составляющей электромагнитного поля.
Исходя из определения светимости Ме как интегральной характеристики
элементарной светящейся площадки источника, найдем связь ее с яркостью
поверхности, излучающей по закону Ламберта. Так как поток излучения d<&e с единицы
поверхности dSWT в элементарный телесный угол dQ. равен d<&e = Ве cos adCldS^, то
для светимости Ме имеем
Ме= -= \BecosadQ.
(6.34)
Если теперь воспользоваться связью (см. (6.20)) между телесным углом и
плоским углом — Q = 2к{\-cosа), то в результате дифференцирования для
элементарного телесного угла имеем: dfl = 2n sin о do. Учитывая, что яркость ламбертов-
ского источника постоянна (не зависит от угла а) в результате интегрирования для
Ме имеем
71/2
Ме =2п \ Ве cos a sin ado = nBe. (6.35)
о
Таким образом, энергетическая светимость ламбертовской поверхности в п раз
больше ее яркости!
Расчет
энергетической
освещенности
от протяженного
источника
Мы очень много говорили с Вами о точечных и
протяженных источниках. Одной из важнейших
характеристик светового поля для таких источников является
освещенность поверхности, облучаемой их излучением.
Напомним, что для точечного источника света
энергетическая освещенность Ее согласно закону обрат-
~~—~—-—— ных квадратов (6.26) равна:
Г Je
где Je — энергетическая сила света источника; R — расстояние от него до
освещаемой элементарной площадки; а — угол между направлением падающих лучей и
нормалью к площадке.
А как обстоит дело для протяженного источника, яркость которого Ве(и) в
общем случае зависит от угла а? Естественно, и в случае протяженного
источника энергетическая освещенность Ее есть отношение элементарного потока
излучения d<3>e к размеру элементарной приемной площадки dSn?9 т. е. определяется
выражением (6.25):
Е = **±
Найдем освещенность некоторой приемной площадки dSnp, находящейся на
расстоянии R от такого источника. Сначала найдем элементарный поток излучения с?Фе в
элементарном телесном угле dd от излучающей малой площадки источника dSH„:
d2<3>e = Be(o)dS„„cosadna
(6.36)
311

Так как по определению dClnp = dSnp/ R2, то (6.36) можно переписать в следующем
виде:
с12Фс = Be(a)dSH„ cosa-^ = B^cosadC^dS^
где dflHCJ = dSHCT IR2 — телесный угол, под которым из освещаемой площадки dSnp
видна излучаемая площадка йКист. Соответственно, элементарная освещенность равна
dEe = d2<be/dSnp = Be(v)cosvdnHCT. (6.37)
Для того чтобы определить полную освещенность, необходимо произвести
интегрирование по всей видимой поверхности источника:
Ее = d<&e I dSnp = J Be (a) cos GdQHCT. (6.38)
В качестве примера протяженного источника
выберем светящийся диск с диаметром D (площадь £ист = л/ЛЧ),
отстоящий на расстояние R от приемной площадки dSnp (рис. 6.7). Угловые размеры
такого диска 2аист = arctg(D / R), a его энергетическая яркость Ве не зависит от угла а
(ламбертовский источник).
Вычислим освещенность площадки dSup, используя полученное выражение
(6.38). Если теперь учесть, что элементарный телесный угол связан с плоским углом
2аист, согласно (6.20), соотношением dflHC1 =2кsin <jHCJd<j, то энергетическая
освещенность приемной площадки dSn?9 создаваемая светящимся диском, будет равна
°ист
Ес =2п \ Ве cos a sin ado = кВс sin2 аИС1. (6.39)
о
Очевидно, в случае, когда аист=7с/2, т.е. например, когда освещаемая
площадка dSup находится в непосредственной близости от светящегося диска, то
энергетическая освещенность Ее совпадает с его энергетической светимостью:
Е ,=М =кВ.
с е е
А теперь мы наконец-то в состоянии ответить на актуальный для нас вопрос:
при каких условиях протяженный источник можно рассматривать как точечный?
Иными словами, с какой точностью выполняется закон обратных квадратов, если
протяженный источник рассматривать как точечный.
Рис. 6.7. К вычислению освещенности от светящегося диска.
312

Без потери общности выберем снова в качестве протяженного источника
светящийся диск. Согласно (6.39), энергетическая освещенность, создаваемая
равномерно светящимся диском с диаметром Д на его геометрической оси в плоскости,
отстоящей на расстояние R от него, равна
Ес = кВс sin2 аист = кВс (°?5^ 2 = кВе — ^—. —. (6.40)
C(0,5D)2 + /?2 e4R2(\ + D2/(4R2))
Если угловые размеры протяженного источника малы, т. е. sin аист «tgaHCT =
= D/(2R)« 1,то выражение для Ее после разложения знаменателя в (6.40) можно
представить в следующем виде:
Ел *■
nBD
( ы \
4R2
1-
D2
4R
R2
( тл!\
1-
D2
э2
v 4*у
= ^г(1-стис1), (6.40а)
где Jc = kBcD2/4 = BCSHCT —энергетическая сила света источника. Отсюда видно,
что закон обратных квадратов выполняется с относительной погрешностью
(D/2R)2 =a2CT и, например, при D//? = 0,1 эта погрешность не превышает 0,25 %.
Именно такой критерий точечности протяженного источника и позволял нам с
хорошей точностью заменять протяженный источник точечным.
А теперь подведем некоторые итоги, связанные с энергетикой оптических
полей. Мы работали с Вами в рамках геометрической оптики на основе закона
прямолинейного распространения света. Бросается в глаза большое количество понятий,
связанных с переносом светом энергии. Наиболее дифференциальной характеристикой
поля является энергетическая яркость Ве, характеризующая мощность излучения в
заданном направлении (в элементарном телесном угле) с заданной элементарной
светящейся поверхности источника. Энергетическая сила света (излучения) Je описывает
мощность излучения также в заданном направлении, но от всей поверхности
протяженного источника. Ее чаще всего используют для характеристики точечных
источников или близких к ним (с малыми угловыми размерами). Энергетическая светимость Ме
и энергетическая освещенность Ее характеризуют мощность излучения во всех
направлениях, причем светимость Ме — от единичной площадки протяженного источника, а
освещенность Ее — мощность излучения, проходящего через единичную площадку,
размещенную в световом поле. Очевидно, что наиболее интегральной характеристикой
является поток излучения Фе — мощность светового излучения во всех направлениях,
проходящего через заданную площадку. Вышесказанное можно проиллюстрировать
следующими зависимостями между величинами Фе, Ве, Je, Me и Ее:
J'=^T= J Bc(o)cosodSK„, (6.41)
ПР -Vt
Е<=^= J B.WaxodCi^, (6.42)
Mt = —*- = J Bt (a) cos ас/Пист, (6.43)
Фе= J j B^cosodS^dn^. (6.44)
S П
JHCT "tip
В зависимости от решаемой задачи при расчетах используются те или иные
энергетические величины, которые наиболее быстро приводят Вас к успеху и, таким
образом, позволяют понять суть энергетических закономерностей, имеющих место в
интересующих нас оптических системах.
313

6.3. Фотометрические величины и их единицы,
принятые в оптике
Фотометрические единицы, принятые для оценки энергии излучения в
видимой части спектра и ее воздействия на различные фоторегистрирующие устройства,
непосредственно связаны с теми ощущениями, которые вызывает у человека свет.
Выше мы рассмотрели формулы для определения величины потока излучения
и связанных с ним величин в обычных единицах энергии и мощности (джоулях и
ваттах).
Все соотношения, принятые для фотометрических оценок излучения, по
своему «формульному» виду совершенно не отличаются от тех, что приняты для
энергетических измерений. Но если основной величиной для энергетических измерений мы
использовали поток излучения Фе, то при фотометрических измерениях в качестве
такой величины принята сила света J, единицей измерения которой в
Международной системе единиц СИ является кандела (кд).
Кандела — это сила света, излучаемого по нормали к поверхности черного тела
размером 1/600000 м2 при температуре затвердевания платины и давлении 101325 Па.
Силу света J в фотометрической системе размерностей можно определить как
угловую плотность, но теперь уже светового потока, т. е.
J(o) = Am], (6.45)
ail
где dQ> — световой поток, распространяющийся в некотором направлении внутри
элементарного телесного угла dCl.
Единицей измерения светового потока является люмен (лм), представляющий
собой световой поток, распространяющийся в пределах телесного угла в один
стерадиан при силе света точечного источника, расположенного в вершине телесного угла,
равной одной канделе. Очевидно, что световой поток в общем случае, согласно
(6.45), равен:
Ф= fj(a)dCl [лм]. (6.46)
Освещенность Е некоторой площадки £пр в фотометрической системе
определяется формально точно так же, как освещенность в системе энергетических единиц.
Она равна отношению элементарного светового потока с1Ф (в пределах некоторой
приемной площадки dSnp) к величине этой площадки. Однако единицей измерения
является люкс. Таким образом освещенность
лм
17 d®
Е =
dSnp
■ = лк
(6.47)
Из приведенных размерностей следует, что освещенность в один люкс можно
получить на площади в один квадратный метр при ее освещении световым потоком
величиной в один люмен.
Для характеристики протяженных источников, размеры которых достаточно
велики, чтобы ими можно было пренебречь, вводится такой параметр как светимость
М, характеризующая распределение светового потока по поверхности источника:
лм
dФ
dS..„
— = лк
(6.48)
Яркостью В, как и в энергетической системе измерений, называется
отношение элементарной силы света dJ = d2<p/dQ. к величине видимой элементарной
площадки источника dS± = dSHCT cos a:
кд
Я(а)= *Ф(СТ) -^(СТ)
dfldS„ctcoscj dSx
ср-м2
(6.49)
314

Экспозицией И называется то количество световой энергии, которое получает
воспринимающее устройство за время т, т. е.
т
И = JE(t)dt [лк]. (6.50)
о
В заключение отметим, что полученные нами формулы в разделах 6.1,6.2 и 6.3
могут быть положены в основу расчета как энергетических, так и фотометрических
величин при проектировании и анализе оптических систем различного назначения.
Для наглядности в табл. 6.1 приведены основные энергетические и
фотометрические величины, их единицы в системе СИ и определяющие их формулы.
Что касается формул, то мы привели два варианта. Первый соответствует
ранее рассмотренному общему случаю, когда основные энергетические и
фотометрические величины имеют неоднородный характер, т. е. изменяются при изменении того
или иного параметра (например, освещенность меняется по площади, т. е. при
переходе от одной элементарной площадки к другой). Естественно, это требует
дифференциальной формулы определения величин. Второй упрощенный вариант записи
формул соответствует частному случаю, когда отмеченные величины являются
однородными. И хотя мы подробно не останавливались на такой ситуации, мы надеемся,
что понимание этих формул не вызовет у читателя особых трудностей.
Как видите, кроме названий величин и единиц, энергетические и
фотометрические величины по своему «формульному» виду ничем не отличаются друг от
друга. Они, по сути, отражают одни и те же характеристики излучения, но
энергетические величины — во всем оптическом диапазоне, а фотометрические величины
отражают характеристики излучения только в области видимых длин волн. В связи с
этим не представляет сложности и переход от одних величин к другим.
6.4. Связь межд> ineprei ичсскимн и фотометрическими
величинами
В фотометрии действие света на зрение человека определяется не только
энергией или мощностью излучения, как бы это ни показалось странным, а также
особенностями его восприятия глазами человека, очень сильно зависящими от длины волны.
Из опыта следует, что глаза человека реагируют не только на количество
энергии, переносимое светом, но и на его спектральный состав. Вот почему при
фотометрических измерениях в обязательном порядке необходимо принимать во внимание
особенности селективного восприятия глазом (по длинам волн) светового излучения.
Глаз реагирует на световое излучение в диапазоне длин волн X, = 380 ^- 770 нм.
Но ощущения, вызываемые в видимом диапазоне излучением различных длин волн,
даже при их одинаковой мощности, различны по силе воздействия на сетчатку глаза.
Наиболее чувствителен глаз к желто-зеленому цвету с X = 555 нм. В результате
тщательных и многократных экспертных оценок с привлечением большого числа
наблюдателей было установлено, что на этой длине волны мощности 1 Вт (в энергетических
единицах) соответствует световой поток в 683 лм (в фотометрических единицах).
Отношение светового потока Ф (по сути, физиологической величины) к потоку
излучения Фе (энергетической величине) характеризует спектральную
чувствительность глаза к монохроматическому излучению и называется спектральной видно-
стью, или коэффициентом видности:
Ф
кх=—
лм
Вт
(6.51)
Это отношение определяет связь между фотометрическими и энергетическими
единицами измерений.
315

Та
Энергетические и фотометрические величины измерения
Энергетические величины

Наименование

Энергетическая
сила света
Поток
# излучения

Энергетическая
освещенность

Энергетическая
яркость

Энергетическая
светимость

Энергетическая
экспозиция
Формула
А. = -
пр
5„р
S ^
tfS„CTCOSCT
£>tJ —
S^coscj
dO
Ф
\1 =—ь-
°исг
T
//, = \Ee(t)dt
0
Единица
Вт
стерадиан
Вт
ср
Ватт.
Вт
Ватт
Вт
м2
Ватт
стерадиан х м2'
Вт
ср х м2
Ватт
Вт
Дж
м2
б л и ц a 6.1 1
Фотометрические величины 1

Наименование
Сила
света
Световой
поток

Освещенность
Яркость

Светимость

Экспозиция
Формула
dO
" ^„Р
^ dW
Ф =
ф = —
Е d®
= dSlip
Е = ^-
S„p
в- **
dSHCl cos о
SliCl cos a
M =
ф
M=
T
// = JE(t)dt
0
Единица 1
Кандела, 1
кд 1
Люмен, 1
лм
1
Люкс, 1
лк ■
Кандела
м2 '
кд
м2
Люмен 1
лм 1
Люкс х 1
х секунду, 1
лк х с 1
Для монохроматического излучения с X = 555 нм этот коэффициент по
определению имеет максимальное значение:
^555 = ^т
683
ЛМ
Вт
(6.52)
В практике измерений характеристик излучения эта величина называется световым
эквивалентом потока излучения.
Очевидно, что коэффициент перевода фотометрических единиц в
энергетические равен обратной величине Ктах:
(^max)
1
683
Вт
лм
0,00146
Вт
лм
(6.53)
Эта величина называется механическим эквивалентом светового потока, который
определяет минимальную мощность потока излучения в ваттах, соответствующую
световому потоку в один люмен.
И наконец, отношение коэффициента видности К\ на длине волны X к его
максимальному значению Ктах называется коэффициентом относительной видности:
Кх
Vx =
Km
(6.54)
316

1,0 I
0 5 i—
0 L.4
4C
Рис. 6.8. Граф
\ ! 1 1
: f » <■■—;
l-yQvi
i i i i
iV.; i i
1
)0 500 600 700 ?цнм 1
ик изменения коэффициента относительной видности. 1
Таблица6.2 I
Изменение коэффициента относительной видности 1\ в зависимости от длины волны X
X, нм
400
420
440
460
480
500
520
540
Ух
0.0004
0.0040
0.023
0.060
0.139
0.323
0.710
0,954
X. нм
560
580
600
620
640
660
680
700
Ух
0,995
0.870
0,631
0.381
0.175
0.061
0.017
0,0041
На рис. 6.8 показан график изменения коэффициента относительной видности,
а ряд его численных значений приведен в табл. 6.2.
Нередко именно этими коэффициентами пользуются для перевода
фотометрических единиц в энергетические и наоборот. Однако на практике ими следует
пользоваться весьма осторожно. Зрительные ощущения, отмечаемые различными
наблюдателями, да еще в различных спектральных диапазонах, могут значительно
различаться между собой. По существу эти коэффициенты представляют собой
усредненные величины по множеству наблюдателей для узкого интервала длин волн,
соответствующего максимуму чувствительности глаза к свету на длине волны X = 555 нм.
Так, ошибка определения механического эквивалента света составляет величину
порядка 2—3 %.
Чтобы подвести некоторую черту под этим разделом, решим две совсем
несложные задачи.
й
Замечание: Мы уже говорили ранее (пример 6.1), что не
вся мощность, потребляемая источником света, преобразуется
в видимое излучение. Поэтому вводится такое понятие, как
светоотдача (или световая отдача), которая представляет
собой отношение полного светового потока в люменах,
излучаемого источником, к его полной потребляемой мощности в
ваттах. Размерность светоотдачи источника — люмен/ватт. Эту
величину иногда называют коэффициентом полезного действия
того или иного источника света.
Пример 6.2
Попробуем определить световой поток Ф натриевой
лампы, которая излучает в видимой области спектра
лучистый поток (поток излучения) мощностью Фс, = 20 Вт с
317

длиной волны X = 640 нм. Вообще-то эта задача в одно действие. Действительно, из
таблицы 6.2 находим коэффициент относительной видности Ух = 0,175 и по
элементарной формуле вычисляем:
Ф = Ктах Ух Фе = 683 §J X 20 Вт X 0,1 75 = 2390,5 ЛМ.
А теперь решим задачу несколько посложнее.
, , I Пусть нам «взбрело в голову» определить мощ-
1 ность фиолетового Аф = 400 нм и красного Ак = 700 нм
потоков излучений при условии, что их световые потоки
равны световому потоку желто-зеленого излучения с Х3 = 555 нм, мощность потока
излучения которого Фе 3 = 1 Вт.
Из условия, которое мы себе сформулировали, следует, что световые потоки
всех трех излучений с разными длинами волн равны между собой, т. е.
ФФ = Фк = Фз. (6.55)
Так как по определению видность излучения Кх представляет собой
отношение светового потока Ф(Х) к потоку излучения Фе(Х), то
Ф = ФеКк. (6.56)
С другой стороны, согласно (6.54), этот параметр равен
Кх = У\
^неокончательно для светового потока можно записать
Ф = Ф, Ух Ктах.
Если собрать все в «кучу», то, согласно условию задачи (равенства световых
потоков всех трех излучений), получим:
Феф Уф Ктах = Фек Ук Ктах = Фез У3 Ктах.
Учитывая, что для желто-зеленого излучения У3 = 1, а мощность потока
излучения Фез = 1 Вт, то из сочетания пар с учетом табл. 6.2 легко найти:
1Вт
Ф,Ф = — =
^ 1Вт
Фек = — =
1 Вт
= 2500 [Вт]
0,0004
1 Rt
= 243,9 [Вт].
0,0041
6.5. Потери световой энергии в оптических системах
Любой процесс передачи (или переноса) энергии всегда связан с ее потерями.
В этом отношении оптические системы (приборы) не исключение (рис. 6.9).
В оптических системах потери энергии распространяющегося поля связаны с
отражением и переотражением света от поверхностей оптических элементов и
поглощением его материалом, из которого они изготовлены. Нередко причиной
ощутимых потерь может быть обычная «грязь» при неаккуратном обращении с
оптическими приборами или их элементами.
Материалы, используемые в оптике, как правило, обладают слабым
поглощением и большая часть потерь происходит за счет отражения света на границах
раздела двух сред с различными показателями преломления (далее при расчетах
поглощением света пренебрегаем).
Для определения естественных потерь света при его отражении от
преломляющих поверхностей оптических элементов обычно применяют формулу Френеля.
318

ф
Фт = тФ = (1 -р)Ф
фр = рф
-^-^if-^V
Фвых = ТХФт=(1-р)*-ф
Рис. 6.9. Потери световой энергии в линзе.
Так, если Ф — световой поток излучения, нормально падающий на первую
поверхность оптического элемента, а Фр — часть потока, отраженного от его первой
поверхности, то коэффициент отражения первой поверхности равен
Р =
Ф
п -п
ri+ n
(6.57)
где ri и п — показатели преломления разделяемых поверхностью сред. Очевидно,
величину отраженной части потока излучения можно определить как
Фр = рхф, (6.58)
а прошедшей части как
Фх = т х Ф =
1-
п-п
п + п
хф,
(6.59)
где т = 1 - р — коэффициент пропускания.
Несмотря на то, что формула (6.57) справедлива только при нормальном
падении световой волны на поверхность раздела двух сред, тем не менее, ею можно
пользоваться при изменении угла падения в довольно широких пределах (30...40°), так
как р в этом случае изменяется незначительно.
Если же принять, что поверхность раздела граничит с воздухом (п = 1), то
выражение (6.57) принимает простой вид
Фр (ri-\f
Ф (w' + l)2
(6.60)
Независимо от того, приходит ли свет из воздуха в стекло или из стекла в воздух, при
показателе преломления в стекле ri - 1,5 потери при отражении света на границе
раздела двух сред составят
Р =
Ф
1,5+1 J /0'
и таким образом прошедшая часть потока составит т = 96 %.
Если полученные формулы применить к линзе, то очевидно, что часть потока
излучения, прошедшего через первую границу раздела (величина которого
пропорциональна коэффициенту пропускания т), при прохождении через вторую
поверхность, линзы снова уменьшится пропорционально коэффициенту пропускания т.
Тогда величину потока излучения за линзой Фвых (если пренебречь поглощением в
материале линзы) можно определить как
Фвых = ТХФт = Т2хФ = (1
Р)2Ф.
(6.61)
319

Аналогичным путем можно рассчитать потери в более сложных оптических
системах, состоящих из многих линз.
Заметим, что при наличии в системе большого количества оптических
элементов потери света могут быть весьма существенными. Их удается значительно снизить
при «просветлении оптики» путем нанесения на поверхности оптических элементов
тонких покрытий определенной толщины.
6.6. Энергетический анализ оптических систем
Мы познакомились со всеми характеристиками и их величинами, которые
используются в оптике при энергетических или фотометрических оценках оптических
схем. Вид приведенных выше формул для энергетических и фотометрических
расчетов совершенно идентичен. Внешне они различаются только индексами, а
физическое различие заключено в тех величинах, которые определяются назначением
создаваемого прибора.
Но несмотря на их простоту, возможности их применения намного шире, чем
может показаться на первый взгляд. Действительно, их различные комбинации дают
уникальные результаты и позволяют рассчитать фактически любую оптическую
схему. Этим мы и займемся далее.
Чтобы вновь не увлекаться всякими сложностями, будем считать, что
источники излучения (точечные или протяженные) для рассматриваемых ниже оптических
схем всегда располагаются на оптической оси системы и, более того, их излучение
однородно в пространстве (по площади и по углу). В качестве оптического
элемента будем использовать тонкую линзу, в которой главные плоскости, входной и
выходной зрачки совмещены и ограничены в размерах диаметром линзы. Также
будем полагать, что оптическая система, как это часто и бывает, находится в
однородной среде.
6.6.1. Поток на входе оптической системы с точечным источником
Вряд ли кому-то действительно придет в голову искать плотность потока
излучения, приходящуюся на единицу площади точечного источника. Значительно
проще воспользоваться силой излучения (или силой света), которая, по сути,
определяет плотность потока излучения (или световой поток), распространяющегося в
некотором телесном углу. Итак, разместим на расстоянии а от входа оптической
системы точечный источник света, который излучает свет по всем направлениям
равномерно. Очевидно, что в систему попадет только та его часть, которая будет
пропущена входным ее отверстием (с диаметром D), роль которого в равной степени могут
выполнять и оправа объектива, и изображение апертурной диафрагмы — входной
зрачок прибора (рис. 6.10). В этом случае энергетический поток излучения, согласно
(6.24), равен
Oe=JcxQ(a).
Зная, что собой представляет телесный угол, материализовать его, т. е.
«привязать» к параметрам оптической системы, довольно просто. Для этого воспользуемся
выражением (6.20):
Q(a) = 47tsin2(a/2) = 2я(1 -cos a),
где a — плоский угол (см. рис. 6.10), равный половине углового размера отверстия
(апертурной диафрагмы) оптической системы со стороны точечного источника света.
Окончательно для потока излучения Фе, прошедшего через отверстие, имеем:
Oe=47t^sin2(a/2). (6.62)
320

D
Рис. 6.10. К расчету потока излучения от точечного источника на входе оптической
системы.
В случае малых угловых размеров апертурной диафрагмы, когда телесный угол
2 П( D
QCT « тот = — — , поток энергии в пределах входного зрачка системы будет равен
41 а
Ф, = Л*^№ [Вт].
(6.63)
Для того чтобы найти поток излучения на выходе оптической системы,
достаточно просто учесть потери, возникающие непосредственно в самой системе. Если
принять, что коэффициент пропускания системы равен т, то очевидно, что поток
излучения на выходе оптической системы Ф'е равен
ф; = тФ, = тЛх^Г^1 [Вт].
Имея в распоряжении выражение для потока Фе, нетрудно найти
освещенность, которую этот поток обеспечивает на входном зрачке системы, выполняющем
роль «приемника» излучения. Учитывая, что площадь входного зрачка S = — D ,
р 4
для энергетической освещенности при малых углах о получаем следующее простое
выражение:
Ее
_ Ф*
Je
Вт
М^
Как и следовало ожидать, освещенность падает обратно пропорционально
квадрату расстояния от источника до входного отверстия оптического прибора.
Как видите, вычисление величины потока излучения, «изливаемого» точечным
источником, и даже освещенности, получаемой на входном зрачке системы, не
составляет особого труда, а вот найти реальную освещенность в плоскости
изображений достаточно сложно, так как необходимо учитывать влияние на ее распределение
остаточных аберраций и, конечно, влияние возникающих при прохождении света
дифракционных эффектов. Поэтому мы и ограничились с Вами расчетом лишь
потока излучения на входе оптической системы.
Намного интереснее, когда источник излучения, используемый в системе,
имеет конечные размеры.
321

6.6.2. Энергетический расчет оптических систем
с протяженными источниками
Освещенность
изображения
источника
в центре поля
Для энергетического расчета оптической системы с
излучателем конечных размеров обратимся вновь к
наиболее простой схеме оптической системы (рис. 6.11), в
которой в качестве объекта выбрана прямоугольная
площадка AS, нормальная к оптической оси системы и
расположенная на расстоянии -а от тонкой идеальной линзы
L. Линза формирует изображение площадки AS' в плоскости, отстоящей от нее на
расстоянии а'. В такой системе плоскости входного и выходного зрачков совпадают,
т. е. увеличение в зрачках рзр = 1.
А теперь по существу! Если при анализе оптических систем с точечными
источниками в качестве исходных данных мы использовали энергетическую силу
излучения (или в фотометрии силу света), то при расчетах оптических систем с
источниками излучения (или предметов) конечных размеров в качестве исходных данных в
энергетических единицах используют энергетическую яркость источника Ве (или
объекта), а в фотометрических — яркость В.
Как показывают расчеты для системы с протяженным источником,
освещенность его изображения по полю оказывается неравномерной. Поэтому сначала
вычислим освещенность изображения источника в центре поля (на оси) оптической
системы, а затем по ее полю.
Будем полагать, что источник излучения находится на оптической оси в вершине
прямого кругового конуса. Формируемый им в пространстве телесный угол Q
ограничивается этой конической поверхностью. Источник излучения будем считать ламбер-
товским (энергетическая яркость излучения Ве не зависит от направления излучения а).
Вычислим далее энергетический поток, излучаемый площадкой AS, который
проходит через линзу с угловым размером 2с. Элементарный поток излучения в
пределах элементарного телесного угла dCl для ламбертовского источника, согласно
(6.31), равен
d(A<&e) = BednAScosa.
(6.64)
Для нахождения потока АФе произведем интегрирование в (6.64) по телесному
углу с учетом того, что d£l = 2л sin adcr.
\
| "'J-0 ^^
-С1^
Рис. 6.11. К расчету потока
излучения
1
)
\
D
!
а'^—"~ 1
от протяженного источника на входе 1
оптической системы.
322

о
АФ, = 2rc£AS jdu sin a cos а = ASnBe sin2 а. (6.65)
о
Интересно отметить, что интегральный поток излучения от площадки AS в
полусферу (а = я/2), согласно (6.65), равен
АФе = nBeAS. (6.66)
А теперь самое интересное: сравним полученную формулу (6.65) с формулой
(6.39) для энергетической освещенности поля от протяженного источника в виде
светящегося диска с угловыми размерами 2аист = 2а. Как видите, структура их одна и та
же. Они фактически совпадают, и это не случайно. Согласно (6.65), поток излучения
на входе оптической системы с угловым размером 2а равен потоку АФе = EeAS в
пределах площадки AS от светящегося диска с тем же угловым размером (см. (6.39)).
Хотя, если вдуматься, то результат вполне ожидаемый, так как энергетика двух
конфигураций определяется телесным углом, который по определению один и тот же!
Пожалуй, следует напомнить: мы нашли величину потока излучения на входе
оптической системы! Значение потока на ее выходе (при условии, что п = ri) можно
найти, если учесть возможные потери в оптическом приборе из-за отражения света от
оптических поверхностей, выразив их через коэффициент пропускания т:
АФ; =7iT^ASsin2a. (6.67)
Если все то, что мы вам рассказали, не так уж и интересно, тем не менее,
следствия, которые вытекают из полученных формул, не могут не поразить воображение!
Естественно, нас в большей степени будет всегда интересовать энергетическая
освещенность, создаваемая источником излучения в плоскости изображения
источника света, которую легко найти из (6.67):
£;=^ = ,T*f^Wa. (6.68)
AS' \AS')
Но отношение площадей сопряженных площадок, как мы уже знаем, равно
квадрату привычного для нас линейного увеличения, т. е.
Р2=^ = 4- (6-69)
AS a
Подставляя (6.69) в (6.68), в результате для Е'е получим
sin a
El = тгтЯ
(6.70)
А теперь по аналогии с (6.67) определим элементарный поток излучения АФ'
через выходные параметры оптической системы, в качестве которых выберем задний
апертурный угол о' (см. рис. 6.11) и энергетическую яркость В'е элементарной
площади AS':
AO^jcfijAS'sinV. (6.71)
Так как элементарный входной поток АФе связан с выходным потоком АФ^,
соотношением
АФ;=тАФ„ (6.72)
то, используя (6.67) и (6.71), нетрудно получить следующее интересное равенство:
АФ; = пВ'е sin2 a'AS' = nxBe sin2 aAS = тАФс>. (6.73)
Будем далее считать, что в оптической системе выполняется так называемое
условие синусов Аббе:
323

0 = ^7, (6.74)
n sin a
где п и п'—показатели преломления сред слева и справа от линзы. Следует особо
отметить, что равенство (6.74) является необходимым и достаточным условием
существования совершенного изображения всей элементарной площадки.
Если принять, что п = п\ то из (6.73) следует, что энергетическая яркость В'е
площадки dS* в изображении источника подчиняется закону
В'с=хВс. (6.75)
В идеальном случае, когда световые потери в оптической системе отсутствуют
(т = 1), получаем, что яркости и энергетические, и фотометрические (световые)
исходной площадки AS и ее изображения AS' совпадают, т. е:
В'е=Ве9 В' = В. (6.76)
Неожиданный на первый взгляд результат легко объясним, если принять во
внимание, что, например, при увеличении изображения площадки (р| > 1)
одновременно уменьшается телесный угол, вершиной которого является само изображение, а
основанием — апертура линзы. Причина тому — уменьшение заднего угла о' по
сравнению с о (см. условие синусов Аббе (6.74)).
Следует отметить, что в более общем случае, когда показатели преломления
сред слева (п) и справа (п*) от линзы — разные, то, согласно (6.74), энергетическая и
фотометрическая яркости подчиняются следующим законам:
В:=тВе[^,В' = *в{^. (6.77)
Иногда на практике при расчетах освещенности изображения источника
излучения Е'е удобней пользоваться задним апертурным углом о'. Очевидно, что при
условии выполнения в системе условия синусов Аббе и п = п' выражение (6.70) для Е'е
принимает более простой вид:
Е'е= Tripsin2 а'. (6.78)
Как бы это ни показалось странным, но это факт, который не должен вызывать
у Вас сомнений.
Практический интерес представляет расчет освещенности в изображении
источника для случая более сложной многолинзовой оптической системы, у которой
увеличение в зрачках (Ззр Ф 1. На рис. 6.12 дан пример такой двух линзовой системы,
внутри которой расположены апертурная диафрагма (на рисунке не показана) и ее
изображение — входной и выходной зрачки.
Расчет выполним для случая малых углов о'. Очевидно, что в пространстве
изображений апертурный угол теперь будет определяться непосредственно
диаметром выходного зрачка. Поэтому для него в приближении Гаусса мы можем записать
sina'*tga'= °вь,хзр . (6.79)
2(z'-z'0)
Но, как мы установили ранее в главе 2, отрезки z' и z'0 равны: z = -/'(3, zq = -/'Рзр,
~ о вых зр /
а линейное увеличение в зрачках: рзр = (как мы уже отмечали, увеличение в
вх зр
зрачках — величина положительная, т. е (Ззр > 0). Подставляя и эти формулы в (6.79),
для заднего апертурного угла получим еще одно интересное выражение:
D В
sina' * вхзр Рзр . (6.80)
2/' (Р -Р)
324

s
1
о...
1 о---
А Выходной
Т . зрачок :::::--::>"
'-^вых зр —: ...-•■""" А.2СУ
1 ..! >^' 1
у... , х» ;>■••• >
Тр5^ ....о-*""" --J
1 J>;:>::^- "
Входной . 1 .J^^*" а'^^^
зрачок ^^^^^^"^
Рис. 6.12. Зрачки и энергетика оптической системы.
1 .О ^'
1
О 1
- j
i
Ну а дальше — пустяки! Используя (6.80), для энергетической освещенности
изображения S' источника S, согласно (6.78), получим следующее выражение:
v2
Е'е=0,25птВе
£>
V
Р2
Кзр
/' ) (Р,р-РГ
(6.81)
Нередко в оптических системах линейное увеличение (Ззр = 1 или близко к этой
величине. Тогда выражение для Е'е принимает совсем простой для вычислений вид:
ч2
£;=0,25тгтД
£>
1
/' ) 0-Р)
(6.82)
Если источник излучения находится на расстоянии | а |, много превышающем
его фокусное расстояние /', то в этом случае ю « 1, и освещенность Е'е можно
определить по формуле
£;=0,25лтДс
D
/'
(6.83)
Можно видеть, что энергетическая освещенность осевой точки изображения
источника пропорциональна квадрату отношения диаметра входного зрачка системы
к ее фокусному расстоянию, т. е. пропорциональна квадрату так называемого
относительного отверстия системы.
Распределение
освещенности
по полю
изображения
протяженного
источника
Напомним, что мы получили формулу для
освещенности Е'е в точке изображения протяженного
источника, расположенного на оптической оси системы. Если же
Вы будете «прогуливаться» по всему полю изображения,
то наверняка обнаружите, что освещенность к краю поля
начинает заметно падать (рис. 6.13).
J Это обусловлено, во-первых, убыванием светового
потока, проходящего через линзу, связанным с наличием
угла между оптической осью и осью пучка лучей в пространстве изображений, а во-
вторых, — с явлением виньетирования, характеризуемым коэффициентом ki0.
Найдем закон убывания потока излучения. Для этого обратимся к рис. 6.14,
где Л£ист — элемент площадки ламбертовского источника, изображаемый линзой,
325

E[,
.... о-
Е'Лсо)
'~z^&
••с
«£ да о---
ft
Рис. 6.13. К распределению энергетической освещенности по полю изображения
протяженного (ламбертовского) источника, формируемого одиночной линзой (со = со').
площадь которой А5Л будем считать относительно небольшой. Поток излучения,
проходящий через линзу, равен
АФДсо) = £cASHCTAQcosco, (6.84)
AS
где телесный угол AQ =—j- cos со, а а^ —расстояние между центрами площадок
AiSj, и А£ист, равное а^ = aQ I cos со . Окончательно для потока излучения имеем
АФДсо) = BeAS„CTASn cos4 со/ а] = АФе cos4 со,
где АФс, = /?с,А£истА£л I а\ —элементарный поток, поступающий в линзу при осевом
расположении площадки AS^ (со =0).
Откуда следует, что поток излучения падает по полю пропорционально косинусу
в четвертой степени угла между направлением излучения и оптической осью системы.
Исходя из вышесказанного, падение освещенности в изображении объекта,
формируемом одиночной линзой, от центра к краю поля при со = со1 (см. рис. 6.13)
подчиняется следующему закону:
£;(<©') = *«Л'cos4 <©', (6.85)
где Е'е — энергетическая освещенность в центре изображения (на оси) предмета,
ki0 — коэффициент виньетирования.
Рис. 6.14. К определению потока излучения от площадки А5ИС1, прошедшего
через линзу.
326

Заметим, что эта формула «работает» и в более общем случае, когда со Ф аУ.
Чтобы «прочувствовать это кожей», приведем совсем простой пример.
. Определим энергетическую освещенность в центре
и на краю поля изображения, создаваемую источником с
яркостью Ве с помощью объектива с относительным
отверстием D/f = 1 : 4 и полем зрения 2(0 = 2сУ = 40°. Коэффициент пропускания
объектива т = 0,8 (см. рис. 6.11).
Решение, действительно, элементарно. Для начала определим, какова
энергетическая освещенность в плоскости изображений в точке на оси:
ПТ п( D} _ _ 2
Е[ = — Ве — = 3,14 х 0,2 х 0,252Я, = 0,03925 ft [лк].
На краю поля освещенность будет равна
££(«') = Ее cosV = 0,03925ft х 0,7797 = 0,0306ft [лк].
Можно найти более детальное изменение освещенности по всему полю
изображения, например, через одну угловую минуту. Конечно, если у Вас хватит на это
терпения. У нас, к сожалению, его не хватило.
И последнее: все полученные выше соотношения справедливы и при оценке
энергетики оптических систем при фотометрических расчетах. Отбросьте индекс «е»
внизу символов энергетических характеристик и Вы получите известные формулы.
6.7. «Чудеса в peine ie»
А теперь о мифе, который бытует среди обывателей: чем ближе к оптической
системе расположен предмет (или источник излучения), тем больше освещенность
изображения предмета, формируемого этой оптической системой. Однако, в
действительности все совсем наоборот.
Будем считать, что и предмет, и его изображение расположены в оптической
системе нормально к оптической оси (см. рис. 6.11). Тогда, в пренебрежении потерями
в системе, энергетическая освещенность на оси, согласно выражению (6.81), равна:
(D V В2
Е'е = 0,25mBe I -^2-1 ,п зр_2. (6.86)
/' ) (Рзр-РГ
А теперь предположим, что мы хотим сфотографировать некую сцену в масштабе
1:1. Очевидно, что в этом случае мы должны расположить фотокамеру
относительно сцены на двойном фокусном расстоянии от объектива. Только в этом случае
увеличение ю будет равно единице.
Обычные симметричные фотообъективы имеют, как правило, увеличение в
зрачках, также равное единице или близкое к ней. Тогда энергетическая
освещенность изображения в плоскости фотопленки
Г п \ 1 _о Г п \2
Е'=0925кВе
А,х зр I 1 ТГД,
А
вх зр
/'
(6.87)
/' Д1 + 02 16
А теперь той же самой камерой сфотографируем ту же сцену, но с достаточно
большого расстояния от переднего фокуса объектива (Щ « 1). При этих условиях
съемки выражение (6.86) для Е'е примет совсем простой вид:
Е'е=0,25пВс
вх jp
/'
(6.88)
327

Из сравнения выражений (6.88) и (6.87) следует, что освещенность изображения
удаленного предмета может быть в четыре раза больше, чем освещенность изображения,
расположенного ближе к объективу.
Эти «чудеса» легко объяснить, если принять во внимание, что для удаленного
объекта (р| « 1) значение синуса заднего апертурного угла, согласно (6.80),
увеличилось приблизительно в два раза больше, а телесный угол, в пределах которого лучи
после зрачка сходятся в формируемой точке, возрос в четыре раза!
Однако следует заметить, что этот парадокс имеет место до тех пор, пока
угловые размеры протяженного источника (предмета) много больше углового размера
пятна рассеяния объектива. В противном случае мы имеем дело не с протяженным, а
с точечным источником, освещенность изображения которого, согласно (6.26),
падает с увеличением расстояния между источником и объективом.
6.8. Практика энергетических вычислений
Для того чтобы что-то осталось в памяти и чтобы по максимуму «снять
вопросы», которые могут возникнуть, на наш взгляд, лучше всего обратиться к анализу
конкретных примеров. Начнем с самых простых.
Пример 6.5
I
Пусть необходимо определить силу света
источника, излучающего световой поток Ф = 31400 лм в конусе
с плоским углом при вершине 2а = 60°.
По сути, эта задача всего в одно действие. Достаточно воспользоваться формулой
;_ф_ ф _ 3140° _ 3140°
J Q 47isin2a 4x3,14xsin230° 4x3,14x0,25 ,0(Х)()1^-
Достаточно просто решается следующая задача.
Пример 6.6
видно, что
Необходимо определить яркость источника
излучения с размерами излучающей площадки S = 20 мм2, если
его сила света по нормали к поверхности J = 200 кд. Оче-
S 20 х 10
кд
Пример 6.7
I
Не сложнее найти освещенность наклонной
площадки, расположенной от точечного источника на
расстоянии /? = 2м, нормаль к которой составляет с
направлением на источник света угол а = 30° (рис. 6.15). Сила света точечного источника
равна J = 4000 кд.
Задача тоже решается в одно действие:
:-<—
—^
L = 2 м
усе
\/
/\
—>-:
Рис. 6.15. К задаче 6.7.
328

^ Jcosa 4000 xQ,8660 orr r л
E = -— = "Г2 = 866 [лк].
R2 4
Пример 6.8 |
Теперь выберем задачу ближе к реалиям жизни.
Пусть нам требуется найти освещенность в центре
изображения, сформированного симметричным
объективом с относительным отверстием D/f = 1 : 5 и фокусным расстоянием/7 = 105,3 мм,
если его компоненты имеют фокусное расстояние f\ =f2' = 200 мм, промежуток
между ними равен d=20 мм, а предмет находится перед объективом на расстоянии
а\ = —400 мм (рис. 6.16). Коэффициент светопропускания объектива т = 0,7.
Вообще-то задача не сложнее предыдущих. Для определения освещенности в
центре изображения воспользуемся выражением
£' = 0,25тгтЯ
£>
Pi
Г ) (Рзр-Р)2'
В симметричных объективах, как правило, увеличение в зрачках рзр равно единице.
Тогда
D \
£' = 0,25тгс£|-^
/' J
1
(1-P):
2 *
Если считать, что яркость нам известна и равна В, то необходимо найти только
линейное увеличение. Проще всего его определить по формуле (3 = -//z, где z—
расстояние от предмета до переднего фокуса объектива, равное z = 0,-sF, а sF —
расстояние от переднего фокуса до первого компонента, равное, согласно (2.64),
sr-fV4,\.
Проведя все вычисления в обратном порядке, получим:
*f=-/'| 1--| = -Ю5,Зх(1-0,1) =
-94,8 [мм],
z = ах - s¥ = ^00 + 94,8 = -305,2 [мм],
Р = _/ = _^=_о,345-.
z 305,2
И, наконец, освещенность в центре изображения равна
£' = 0,25тгтЯ
£>
1
3,14x0,7 1 В
{ Г J0-P)2 4 25(1-Р)2
Ну и, подводя итог, решим еще одну задачу.
= 0,022Я
1
(1 + 0,345)'
- = 0,012Я.
1 F
V
/
-а\
Рис. 6.16. К примеру 6.8.
SF
V
} 1
▼ 1
329

Пример 6.9 I Необходимо определить освещенность,
создаваемую лампой накаливания мощностью Р = 10 Вт, если ее
светящееся тело размерами 2,8 х 2 мм = £ист проецируется
на экран линзой со световым диаметром 30 мм. Расстояние до экрана а' = 5 м,
коэффициент светоотдачи rj = 25 лм/Вт. Потерями света в линзе можно пренебречь.
Освещенность изображения лампы накаливания на оптической оси найдем
согласно формуле
Е = TitfsinV.
Но чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать величину апертур-
ного угла системы в пространстве изображений а' и яркость источника излучения В.
Сначала найдем апертурный угол а':
D 30
Яркость найти несколько сложнее. Сначала определим полный световой поток
Ф = цР = 25 ^ х 10 Вт = 250 лм.
Далее по известному полному световому потоку Ф найдем силу света согласно
формуле
Ф 250
Яркость источника излучения, «снимаемую» с единицы площади излучающего тела
лампы, можно найти как
гкд
/ 19 9
Д=—=0о V 1П-6-3,554 х Ю6
S 2,8 х 2 х 10
м2
Ну, а теперь остались пустяки. Освещенность изображения лампы накаливания
равна:
Е'= Ti^sinV = 3,14 х 3,554 х 106 х (0,003)2 = 100,44 [лк].
В заключение отметим, что энергетические формулы, связывающие излуча-
тельные способности предмета с характеристиками оптических систем, можно
«крутить» сколь угодно долго, но важно понимать одно: основной характеристикой
электромагнитного (светового) поля все же является поток излучения. Его единица
измерения (ватт), по сути, отражает ту энергию поля (в джоулях), которую оно переносит
в единицу времени. Только и всего!
Все остальные энергетические характеристики — производные, связывающие
поток излучения с параметрами оптической системы. Так, вычисляя энергетическую
силу света (излучения) Je, Вы связываете поток излучения Фе (через телесный угол) с
размерами входного отверстия оптической системы, которое ограничивает
количество энергии, проникающее внутрь оптической системы.
Вычисляя энергетическую яркость предмета Ве и энергетическую
освещенность его изображения Е'е9 Вы, собственно, учитываете, с каким линейным
увеличением р «работает» оптическая система, а по сути, находите, как поток излучения,
«снятый» с площади излучателя и распространяющийся в определенном телесном
угле, «размазывается» по всей площади его изображения.
С энергетической экспозицией Не еще проще: это то количество энергии
электромагнитного поля, которое оно может «доставить» (перенести) за некоторый
промежуток времени т «в некий пункт назначения». А если иначе, — это то количество
энергии электромагнитного поля, которое может накопить любое фоторегистрирую-
щее устройство в течение некоторого промежутка времени т (например, фотопленка
или некое фотоприемное устройство).
330

И напоследок хотелось бы сказать, если Вы «работаете» с точечным
источником излучения, то намного проще «возиться» с энергетической силой света, так как
это всего лишь поток излучения, приходящийся на единицу телесного угла с
вершиной в излучающей точке. Если же Вы «работаете» с протяженным источником
излучения, то проще пользоваться энергетической яркостью (или в некоторых случаях —
с энергетической светимостью или с освещенностью), так как эти характеристики
непосредственно связаны с потоком излучения, приходящимся на единицу площади.
Рекоменаованная литература к главе 6
Ахманов С. А., Никитин С. Ю. Физическая оптика. М.: МГУ, 2004. 656 с.
Бегунов Б. К, Заказное Н. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория оптических систем. М.:
Машиностроение, 1981. 431 с.
Борн М, Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 720 с.
Ковалевская Т. Е., ОвсюкВ. И., Белоконев В. М, Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Матвеев А. Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 351 с.
Михель К Основы теории микроскопа. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с: Т. 5. 760 с.

ГЛАВА 7. КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Ниже из всего множества существующих оптических систем мы рассмотрим
только те, которые в лабораторной практике, на наш взгляд, представляют
наибольший интерес. Причем в основу нашей классификации мы положим не столько их
назначение, как это принято в технической литературе и классических учебниках, а тот
режим работы, для которого выполнялся их аберрационный расчет. Рассмотрение
таких расчетов выходит за рамки настоящей книги.
7.1. Фотографические системы: предмет находится
на удаленном расстоянии, а ею изображение —
на конечном
Примерами таких систем могут служить любые оптические приборы,
предназначенные для наблюдения, фотографирования или преобразования в электрический
сигнал удаленных объектов (почти в бесконечности) при условии, что
их изображения располагаются на конечном
расстоянии от системы (рис. 7.1). Под удаленными объектами будем понимать
объекты, расположенные от фотообъектива на расстоянии -я, много большем его
фокусного расстояния /' {-а » /'). Такие объекты иногда называют бесконечно
удаленными.
Полученное с помощью такой системы действительное изображение можно
непосредственно рассматривать на какой-либо матовой поверхности или зафиксиро-
—ос
о = 0°
Рис. 7.1
Кадровое окно —
полевая диафрагма
Объектив — входной
зрачок
^вх зр ..■■"'"
..-•••••"" 2(0* К
г
. Основные параметры фотообъектива.
^ч^*вых
F'
О
\
\
' вых
Т .
332

вать в светочувствительном слое (например, на фотопленке или фотобумаге) либо
передать по электронному тракту, если изображение предварительно преобразовать
в электрический сигнал с помощью какого-либо фотопреобразующего устройства.
К таким системам можно отнести все фотографические
объективы. Именно они, благодаря их широкому выбору на рынке фототоваров,
наиболее часто используются при предварительном моделировании оптических схем.
Аберрационную коррекцию фотообъективов выполняют, как правило, для
предмета, находящегося в бесконечности. У них, в отличие от многих других
оптических систем, стараются исправить все аберрации. К сожалению, это удается не
всегда. Поэтому, и нередко, при конструировании фотообъективов различного
назначения пытаются найти разумный компромисс между необходимостью полного
исправления аберраций и теми задачами, которые они должны решать. Фотообъективы
способны обеспечивать достаточно высокое качество изображений объектов,
расположенных и на конечном расстоянии.
Но все же, при их выборе (в качестве оптических элементов моделируемых
схем) нужно быть предельно внимательными и осторожными. Не секрет, что для
фотообъективов специального назначения в поисках компромисса некоторые аберрации
могут достигать значительных величин.
К основным оптическим характеристикам
фотографических объективов, которые необходимы для
расчета моделируемых схем на их основе, можно отнести
следующие:
• фокусное расстояние/7,
• относительное отверстие А = DBX зр/А
• угловое поле зрения 2со,
• разрешающая способность N.
На рис. 7.2 показаны и обозначены все отрезки, которые можно представить
«во сне и наяву» при расчете оптических систем с использованием фотообъективов.
Фокусное расстояние фотообъектива/7 определяет масштаб создаваемого им
изображения. Грубо найти масштаб изображения довольно просто, хотя бы как от-
Рис. 7.2. Оптическая схема фотообъектива. Объект находится на конечном расстоянии
(ЛД — апертурная диафрагма).
Основные
характеристики
фОТООбьС Kill ВОВ
333

ношение фокусного расстояния f к расстоянию -а от объектива до наблюдаемого
(или фотографируемого) объекта.
Если фотообъектив используется для формирования изображения объектов,
расположенных на конечном расстоянии, то масштаб получаемого изображения
будет определяться линейным увеличением, которое можно найти с помощью уже
известной формулы (2.7) с учетом параметров s\ Sp, s и sF:
p=^^=_z=z:=-i:=-_z_=_£^. (7.i)
*вх z z f s-sF f
Для удаленных предметов (-а » /') абсолютное значение линейного увеличения
можно найти по упрощенным формулам
Р = J- или р = ^-. (7.2)
a s
Относительное отверстие фотообъектива А = DBX зр/Г определяет
освещенность изображения, т. е. величину светового потока на единицу площади, который
достигнет поверхности фотопленки или иного фоторегистрирующего устройства.
Приведем еще раз полученные в разделе 6.6.2 формулы энергетического
расчета проецирующей системы.
Освещенность в центре изображения (для точки на оптической оси) для
случая, когда предмет расположен на конечном расстоянии, можно найти по известной
нам формуле (6.81):
Е'= 0,25тгт£
вх зр
\г( в V
Э,-Р.
где т — пропускание объектива, В — яркость наблюдаемого предмета, Р,р —
линейное увеличение в зрачках.
Учитывая, что в фотообъективах увеличение в зрачках нередко равняется
единице (РзР = 1), вычисление Е можно несколько упростить:
Е = 0,25тгтЯ I -=i
1
1-р
Для предметов, расположенных в бесконечности, когда линейное увеличение р => О,
эти формулы приобретают совсем простой вид:
Г ) (73)
Как уже отмечалось в разделе 6.7, эта формула справедлива до тех пор, пока
угловые размеры протяженного источника много больше углового размера пятна
рассеяния объектива.
Относительное отверстие фотообъектива может изменяться с помощью
ирисовой диафрагмы, которая в то же время служит апертурной диафрагмой. Квадрат
относительного отверстия А2 называется геометрической светосилой. Этот параметр,
помноженный на коэффициент пропускания системы т, называется физической
светосилой тА2. Величину, обратную относительному отверстию, нередко называют
диафрагменным числом и обозначают символом K=f'/DBX3p = A~\ Относительное
отверстие объектива, определенное с учетом пропускания системы т, называется
эффективным vt А. Соответственно эффективное диафрагменное число
334

Знание освещенности, которую может обеспечить фотообъектив в плоскости
изображения, необходимо для правильного выбора экспозиции при
фотографировании или при ином способе регистрации изображения.
Угловое поле зрения фотообъектива в пространстве изображений 2сУ
определяет размер снимка и, как следствие, размер создаваемого изображения, максимально
свободного от аберраций в плоскости фоторегистрирующего устройства.
Для фотоаппаратов принят прямоугольный формат изображений,
ограничиваемый кадровым окном шириной Хвых и высотой Квых. Но так как оптические
системы состоят преимущественно из осесимметричных (круглых) элементов, то угловое
поле зрения в пространстве изображений определяется углом, опирающимся на
диагональ кадрового окна (диаметр описанной окружности), равную
Л/=^в2ых+Кв2ых. (7.4)
Кадровое окно является полевой диафрагмой фотографической системы.
При известном фокусном расстоянии/7 угловое поле в пространстве
изображений можно получить как
2(o' = 2arctg| —
М^
(7.5)
Если объектив работает в однородной среде, а линейное увеличение в зрачках
равно единице, то угловое поле фотообъектива в пространстве предметов равно
угловому полю в пространстве изображений (2со = 2сУ).
Освещенность по полю изображения (для точки вне оси) можно определить по
найденной нами формуле (6.85)
£'(ю') = *(0£'cosV,
где км — коэффициент виньетирования, Е — освещенность точки на оси, 2сУ —
угловое поле зрения объектива в пространстве изображений.
В заключение скажем несколько слов о разрешающей способности
фотообъективов (более подробно вопросы разрешающей способности объективов рассмотрены
в главе 8). Ее определяют как количество линий N на отрезке в 1 мм, которые может
раздельно отобразить исследуемый фотообъектив. Она зависит от размера пятна
рассеяния 8 в изображении точки объекта. Параметр 8 определяется аберрационными
характеристиками объектива и дифракционными явлениями на его входном зрачке.
Связь между величинами /V и 8 довольно проста:
N= - [лин./мм], или для краткости N = - [мм1]. (7.6)
5 5
Для безаберрационных объективов, работающих на пределе дифракционного
разрешения, разрешающая способность Nupejl определяется минимальным
расстоянием 811ред между изображениями разрешаемых точек и вычисляется согласно критерию
Релея (см. формулу (5.3))
_L = _^
511ред 1,22^/'
#1фМ= 7-^ = 7-^77 [лин./мм], (7.7)
$пред ~ $дифр 7^ (7.8)
^Лх. зр
Вследствие остаточных аберраций разрешающая способность фотообъективов,
как правило, ниже предельной Nupea. Фотообъективы с разрешающей способностью
порядка 45 ч- 75 лин./мм в центре и порядка 40 лин./мм по краю поля принято уже
считать объективами высокого качества. Обычные объективы для обычных
потребителей разрешают в центре поля порядка 25 ч- 40 лин./мм, а по краю поля — порядка
10 ч- 15 лин./мм.
335

Рассмотрим несколько примеров решения задач, связанных с использованием
фотообъективов.
Пример 7 1 Пусть Вам потребовалась для каких-то целей некая
шкала с ценой деления 0,1 мм. Пожалуй, самый простой
способ — сфотографировать участок обычной линейки с
миллиметровыми делениями. Под рукой у нас имеется фотообъектив с фокусным
расстоянием/7 = 50 мм.
Очевидно, чтобы получить шкалу с ценой деления 0,1 мм, нам необходимо
сформировать изображение линейки в масштабе 1 : 10 (Р = -0,1х). Зная фокусное
расстояние объектива и воспользовавшись соотношениями
можно найти положение линейки относительно переднего фокуса объектива:
z = -^ = -— = -500 [мм].
Р 0,1
Положение линейки относительно объектива в первом приближении ($н = 0)
получим как алгебраическую сумму параметров/ и z:
a=f + z = (-50) + (-500) = -550 [мм].
Пример 7 2 Приведем еще один довольно интересный и
поучительный пример.
Пусть в нашем распоряжении имеется газетный
лист (высота букв 1,5 мм). Необходимо определить, с какого расстояния его можно
сфотографировать объективом с фокусным расстоянием f = 50 мм, если
разрешающая способность объектива в пределах всего кадра равна 40 лин./мм.
Из многочисленных экспериментов известно, что для удовлетворительного
распознавания текста высота изображения букв должна содержать не менее пяти
(иногда — семи) минимальных элементов разрешения, которые обеспечивает
оптическая система.
Из этого условия легко определить высоту букв, выраженную в элементах
разрешения. Очевидно, что
И = 5 х -Т7Г = 0,125 [мм].
Теперь можно определить величину линейного увеличения, которое должна
обеспечивать система:
У -0 125
У 15
увх l»J
Ну, а дальше, как в предыдущей задаче: расстояние до переднего фокуса
z = -^- = —^-«^602,41 [мм],
р -0,083
а параметр
а =/ + z = (-50) + (-602,41) = -652,4 [мм].
Пример 7 3 Пусть нам требуется найти освещенность в центре
изображения, которую может обеспечить симметричный
объектив с относительным отверстием 1:5, если
фокусное расстояние каждого из его компонентов равно/i =f'2 = 200,0 мм, расстояние
между ними d = 20 мм. Предмет находится перед объективом на расстоянии а =
= —400 мм, коэффициент светопропускания объектива т = 0,7.
336

Сначала определим эквивалентное фокусное расстояние симметричного
объектива согласно формуле (2.66):
ля
40000
f< = У1У2 = ^ГГГ a J05,3 [ММ].
fi+fi-d 380
Положение передней фокальной точки можно найти согласно выражению (2.64):
d
**=-/'
1
/;
-105,3(1-0,1)«-94,8 [мм].
При найденных параметрах симметричного объектива и заданных условиях
съемки предмет будет располагаться от переднего фокуса на расстоянии
z = а - s? = -400 + 94,8 = -305,2 [мм].
Линейное увеличение сформированного фотообъективом изображения
определим как
р = /: = _10513= 345".
z 305,2
В симметричном объективе размеры зрачков входа и выхода равны, а значит,
линейное увеличение в зрачках (Ззр = 1. Поэтому для вычисления освещенности
в центре изображения проще воспользоваться формулой (6.82):
I Г ) 0-Р)2
В =0,25хЗ,14хО,7хЦ| х
В
5) (1 + 0,345)
- * 0,01235.
Для объекта съемки, расположенного далеко от объектива (линейное
увеличение р —> 0), освещенность можно вычислить по формуле
££ = 0,25тгтД —^Ч =0,25хЗ,14хО,7хШ х£*0,022Я.
Пример 7.4 Зададимся вопросом, с какой разрешающей
способностью и фокусным расстоянием необходимо выбрать
фотообъектив, чтобы сфотографировать страницу
машинописного текста с размерами 300 х 210 мм с высотой букв 2,2 мм. При этом размер
кадра по горизонтали должен составлять 36 мм, а по вертикали — 24 мм. Известно,
что расстояние от предмета до плоскости изображения L = 600 мм.
Для решения этой задачи обратимся к рис. 7.3. Расстояние L от предмета до
его изображения, обычно называемое дистанцией съемки, можно найти как
L = a'-a+ НН\
где НН' — расстояние между главными плоскостями, взятое с соответствующим
знаком.
А
<
У
-<
:-^
-а
Н
<
м
1Н'
■*
п ^
L,
Рис. 7.3. К решению задачи 7.4.
А'
"::-: <
^-
?
— i
337

Но согласно (2.24) и (2.25) параметры а' и а равны
я=-^/\а' = (1-(3)/\
После простой замены и простых преобразований дистанцию съемки можно найти
следующим образом:
1= /'[ 2-В--1+НН'.
Так как на практике дистанция съемки L » НН', то расстоянием между
главными плоскостями фотообъектива можно пренебречь (НН' = 0). В результате для
параметра L имеем:
I*/'f2-p-ij. (7.9)
В случае необходимости учета расстояния НН' по завершении вычислений в
расчеты вводят соответствующие поправки. Обратите внимание, расстояние L может
принимать и отрицательное значение: все зависит от положения предмета и его
изображения.
Теперь можно приступить непосредственно к решению задачи. Прежде всего,
определим масштаб съемки. Чтобы обеспечить требуемые размеры по горизонтали,
необходимо, чтобы увеличение равнялось
Хъх -300
Этот параметр для вертикального размера должен составлять
Y 24
р = 1»в. = _£1_ =-0,П4х.
У« -210
Далее выбираем наименьшее увеличение и находим высоту букв:
Квых = Квх х | р2 | = 2,2 х 0,114 = 0,25 [мм].
Но в пределах размера буквы — для четкого ее распознавания (об этом мы
говорили чуть выше) — должно помещаться не менее пяти разрешаемых элементов.
Тогда разрешающая способность N объектива должна быть не менее
N> ' =20 [мм1].
0,25/5
Ну, а фокусное расстояние фотообъектива (полагая НН' = 0) найдем из формулы
(7.9), определяющей дистанцию съемки:
/ = - = — = 55,14 [мм].
2-p-l/p 2 + 0,114 + 8,77
Вот и все, что мы хотели рассказать коротко об основных характеристиках
фотообъективов.
Глубина резкости
в пространстве
нредмеюв
Наверно, у Вас не раз вызывало удивление, а
возможно, и восторг, что какая-то импортная «мыльница»
позволяет делать достаточно резкие фотографии, при этом
совершенно не приходится заботиться о наводке на
резкость изображения фотографируемого объекта.
Полагаем, что после прочтения главы 5 многое для Вас стало ясным.
Получение резких фотографий возможно благодаря наличию у фотообъектива глубины
резкости в пространстве предметов (далее глубины резкости).
338

p,
Входной
зрачок DBX 3p
В
Выходной
зрачок DBL1X Эр
В'
р; Р'
Р'.
<А| > < '-El с;
U ^ ♦
^ ^ ♦
Рис. 7.4. Глубина резко отображаемого фотообъективом пространства в области
расположения предметов.
Кратко изложим ранее полученные результаты расчетов глубины резкости.
Обратимся к рис. 7.4, аналогичному рис. 5.5.
Пусть наш фотообъектив сфокусирован на плоскость Р. Очевидно, все, что
расположено в этой плоскости, будет резко отображено на некоторой плоскости Р' в
пространстве изображений (влияние аберраций и дифракции не учитываются).
Выберем в пространстве предметов пару плоскостей, одна из которых Р\
(передний план) расположена между плоскостью наведения Р и объективом с диаметром
входного зрачка DBX зр, а вторая Р2 (задний план) — слева от плоскости Р. Для этих
плоскостей осевые точки А! и А2 в плоскости Р' пространства изображений будут
отображаться кружками рассеяния (или размытия), диаметр которых 8' меньше или равен
пределу разрешения приемника излучения. Естественно, что в этом случае кружки
рассеяния будут восприниматься приемником излучения как обычные точки, а все
предметы или изображения неких предметов, располагающиеся в плоскостях Рь Р и Р2, будут
выглядеть одинаково резкими.
Определим глубину изображаемого пространства
Д = -Й+Рь (7.10)
т. е. расстояние между плоскостями Pi и Р2 заднего и переднего планов. При
вычислении ее воспользуемся найденными нами ранее формулами (5.9) и (5.10) для/?! и/?2:
£>
' Ахзр+5 l + 8/(|p|DBX3p)'
£L
Р2
DBX3p-5 l-5/(|P|DBX3p)'
(7.11)
(7.12)
где 8 и 8' — диаметры кружков рассеяния в предметной области и области
изображений для рассматриваемого фотообъектива (рис. 7.4), причем 8 = 8' / р .
В результате для глубины А согласно (7.10) нетрудно получить:
2DBX,pPS_ 2|(3| DBX3p/?S'
А = —
Dl -82 B2D2 -8
вх зр К *^вх зр
/2 '
(7.13)
.Соотношения (7.11) и (7.12) при |р| «1, т.е. когда |(3| */7|/>| = -/'/р,
принимают следующий вид:
Р Р
А*
1-б>/(/'оизр) \-ь'РмггУ
(7.14)
339

Рга
1+8>/(/'0„„) \+&Wf'2Y
(7.15)
Напоминаем, что А = DBX 3p/f — относительное отверстие объектива.
Анализ этих формул показывает, что глубину резко изображаемого
пространства можно существенно расширить, если объектив установить на гиперфокальное
расстояние /?», т. е. на такое расстояние от объектива до плоскости наведения, при
котором задний план бесконечно удален (р2 = оо). В этом случае, положив в формуле
(7.15) знаменатель равным нулю, определим гиперфокальное расстояние как
Px=-Af2lb'. (7.16)
Подставляя в формулу (7.14), получаем, что/?!» = 0,5/?зо.
Таким образом, если сфокусировать объектив на гиперфокальное расстояние
/7оо (а не на бесконечность), то все предметы будут восприниматься одинаково резко
(без дополнительной фокусировки), начиная от бесконечности и кончая расстоянием
рJ», вдвое меньшим, чем гиперфокальное расстояние рх. Обратим Ваше внимание:
гиперфокальное расстояние р^ зависит от геометрических параметров фотообъектива
Auf и от разрешающей способности регистрирующего устройства 8'. При заданных
/' и 8' выбором относительного отверстия А Вы можете изменять его величину.
Глубина резкости
в iipocipaiiciBe
изображений
При фотосъемке объектов практический интерес
представляет допустимое смещение светочувствительного
слоя регистрирующего устройства. Естественно, оно
определяется глубиной резкости фотообъектива с диаметром
выходного зрачка DBbIX зр в пространстве изображений.
Расстояние в этом пространстве, в котором будет получаться достаточно резкое
изображение фотографируемой сцены, принято называть глубиной резкости в
пространстве изображений. Вам должно быть уже понятно, что и она будет зависеть от
разрешающей способности фотообъектива и фоторегистрирующего устройства (например,
глаза), которое Вы намерены использовать в оптической схеме. Если обратиться
к рис. 7.5, то глубина резкости, очевидно, будет равна простой разности положений
плоскостей Р2 и Pi, в которой кружки рассеяния не превышают размеров,
определяемых разрешающей способностью фоторегистрирующего устройства:
или
А'=р'2-р\
А' = 2(р'-р\). (7.1?)
Из подобия треугольников В'А'С и Ь'А'с' легко получить соотношение
Входной зрачок Выходной зрачок
р; р'
Рис. 7.5. Глубина резкости фотообъектива в пространстве изображений предмета.
340

S' _ A'
D ~ 2p"
вых. зр г
откуда
Д'=^1. (7.18)
D
вых зр
Если фотографируемый объект находится в бесконечности, то р' =/' и
выражение (7.18) принимает следующий вид:
Д'=-^. (7.19)
D
вых зр
Если же увеличение в зрачках равняется единице (рзр = 1), а | -f\ =/\ то выражение
(7.19) можно переписать как
А'=^ = ^, (7,9a)
D А
вх зр
Напоминаем, что А — относительное отверстие объектива.
Таким образом, глубина резкости А' в пространстве изображений определяется
разрешающей способностью регистрирующего устройства и относительным
отверстием объектива, а не его фокусом/', причем уменьшение его, как и следовало
ожидать, приводит к пропорциональному увеличению А'. Эта формула справедлива, в
принципе, для любого фоторегистрирующего устройства. Если же изображение
(например, снимок) рассматривается глазом, то 8' = 250 х рП1, и для глубины резкости в
пространстве изображений имеем
A' = ^V (7.20)
Теперь несколько слов о плоскостях, которые мы так «лихо» использовали в
своих рассуждениях. Не стоит их искать в пространстве предметов и в пространстве
изображений, так как положение всех этих «конечных» или «бесконечных»
плоскостей уже определено в расчетных параметрах фотообъективов, а вся приведенная
выше математика — это лишь простая иллюстрация, почему так происходит.
Рассмотрим несколько примеров расчета параметров, характеризирующих
глубины резкости фотообъектива.
II пи мер 7 5 Пусть у нас имеется камера, снабженная
фотообъективом со световым диаметром D = 14 мм и фокусным
расстоянием f = 50 мм. Наша задача — запечатлеть на
память некую группу друзей, расположенную от нас на расстоянии р = -5 м
(положение основного плана, см. рис. 7.4). Естественно, возникает вопрос, как их
сгруппировать по глубине, чтобы на снимке все персонажи действа выглядели одинаково резко.
Во-первых, мы должны разобраться с теми условиями просмотра снимка,
которые нам помогут определить необходимое разрешение 8'. Если снимок будет
непосредственно рассматриваться глазом с расстояния -ргл = 250 мм, то за 8' можно
принять значение, равное 0,1 мм. Но если снимок предварительно будет увеличен в Р раз
и только потом будет рассматриваться глазом с того же расстояния рШ9 что часто и
бывает, то величина разрешаемой точки в плоскости фотокамеры может быть
определена как
Я' = Ргл Ргл
Р
где рП| — разрешающая способность глаза, равная 1—2 угловых минут. Так, при
увеличении снимка в пять раз (Р = 5) величина 8' будет равна 0,02—0,04 мм.
341

Ну, а теперь дело за малым: воспользовавшись формулами (7.14) и (7.15),
найдем расстояния до переднего и заднего планов:
р _ -5000 ...
Л " х Р8' ~ j -5000x0,04 *_3'9[М]'
Dmvf 14,0x50
р -5000 „пг 1
Рг = , р8' =, -5000x0,04 "~7'°[М]-
1+ 1+ !
D Г 14,0x50
вх зр-/ '
Откуда глубина резко отображаемого пространства, в пределах которой должны быть
сгруппированы друзья, А = -р2 + рх = 3,1 [м].
В результате наших вычислений мы получили, что при расположении
основного плана на расстоянии р = -5 м передний план отстоит от него на расстоянии А] =
= Р\-р= 1,1 [м], а задний план — на расстоянии А2 = р - рг = 2,0 [м].
Пример 7 6 Вычислим гиперфокальные расстояния р^ и положения
передних планов р\*> («начала бесконечности») для четырех
различных фотообъективов и сравним полученные результаты.
Пусть в первом случае используется фотообъектив с относительным отверстием А =
= 1:4, фокусным расстоянием f = 40 мм и разрешающей способностью
регистрирующего устройства N = 20 мм-1 (8' = 0,05 мм). Тогда согласно (7.16) для
гиперфокального расстояния /?оо и «начала бесконечности» /?1а0 = 0,5/?» имеем
/?х=--/'2=-—х1600 = -8[м],
^ b,J 0,05 L J
p^=-—f'2= 2i^_x1600 = -4[m].
"x 26'J 2x0,05
Во втором случае воспользуемся фотообъективом с тем же относительным
отверстием А = 1 : 4, но с фокусным расстоянием f = 20 мм. При этом разрешающую
способность регистрирующего устройства оставим неизменной (8' = 0,05 мм). Тогда
рх=--/'2=-^х400 = -2[м],
И~ 8'У 0,05 L J
Л.=-—f'2=—^-х400 = -1[м].
"" 26'J 2x0,05
Обратите внимание, при одном и том же относительном отверстии расстояние
до «начала бесконечности» тем меньше, чем меньше фокусное расстояние.
В третьем случае при том же фокусном расстоянии (/*' = 20 мм) и той же
разрешающей способности регистрирующего устройства изменим величину
относительного отверстия. Выберем его А = \ : 2. Тогда искомые параметры
Ас=--/'2=—— х400 = -4[м],
"" 5'У 0,05 L J
p.=-—f'2= °1*_х400 = -2[м].
Fhc 26'J 2x0,05
И наконец, интересные результаты можно получить, если указанный выше
объектив заменить объективом с относительным отверстием А = 1 : 2 и фокусным
расстоянием f = 10 мм, а также использовать регистрирующее устройство с
разрешением 8' = 0,025 мм. В этом случае, как и следовало ожидать, значения параметров
Роо и /?j» получились теми же, что и во втором случае: р^ = -2 м, /?1ао = -1 м.
342

Так же просто найти и допустимое смещение светочувствительного слоя
регистрирующего устройства, определяемое глубиной резкого изображения плоскости.
Ипимеп 7 7 Вычислим допустимое смещение А'
регистрирующего устройства (глубина резкости изображения объекта)
при следующих параметрах оптической системы:
разрешающая способность регистрирующего устройства N = 20 мм-1 (8' = 0,05 мм),
относительное отверстие объектива А = 1 : 8.
Согласно формуле (7.19), искомый параметр А = — = 0,8 мм. Если 5' вы-
А
брать равным 0,02 мм, а А = 1 : 2, то А' уменьшится в 10 раз и составит всего 80 мкм.
7.2. Проекционные системы: нредмсм и его изображение
расположены на конечном расстоянии
К примерам таких систем относятся любые сложные оптические системы,
осуществляющие перенос объектов (или их изображений) из одной плоскости в
другую, причем и объект, и его изображение расположены на конечном расстоянии от
оптической системы. Полученное с помощью такой системы действительное
изображение можно непосредственно рассматривать на каком-либо экране, перенести на
светочувствительный слой или передать по электронному тракту, если изображение
было предварительно преобразовано в электрический сигнал.
Для осуществления таких операций (или подобных им) служат так называемые
проекционные оптические системы, которые обычно состоят из двух
самостоятельных, но «тесно связанных» (конечно в оптическом смысле!) между собой частей:
осветителя и проекционного объектива. В зависимости от свойств проецируемых
предметов и связанных с ними систем освещения, проекционные системы делятся на два
типа: эпископические и диаскопические системы.
Эпископические проекционные системы осуществляют проецирование
непрозрачного объекта в отраженном свете, т. е. с помощью лучей, отраженных
(рассеянных) от него.
Диаскопические проекционные системы, напротив, осуществляют
проецирование «содержания» прозрачного объекта с помощью лучей, проходящих сквозь него (в
проходящем свете). Но в том и в другом случае проекционные системы требуют
использования специальных осветительных систем.
Вообще осветительные системы представляют собой особый класс оптических
приборов, которые предназначены для концентрации излучения источника света в
заданном направлении и освещения направленными пучками лучей различных
объектов, создавая на их поверхности (или в плоскости их расположения) требуемую
освещенность.
А пока вернемся непосредственно к проекционным системам (рис. 7.6). На
этом рисунке легко увидеть, что используемый в оптической схеме проекционный
объектив с чисто геометрических позиций по существу выполняет те же самые
функции, что и рассмотренный ранее фотообъектив. Но различные условия использования
фотообъектива в оптической схеме фотоаппарата и проекционного объектива в
оптической схеме проекционной системы приводят к различным требованиям при
коррекции их аберраций.
Аберрационная коррекция проекционных объективов, как правило,
выполняется для предмета, расположенного на конечном расстоянии, а фотообъективов (если
Вы еще помните) — для предмета, расположенного на весьма удаленном расстоянии,
почти в бесконечности. При расчете проекционных объективов стремятся получить
при необходимом разрешении достаточно высокий контраст создаваемого изображе-
343

Диапозитив —
кадровое окно
:>^вх
N 'JX
Проекционный объектив.
Входной и выходной зрачки
совмещены
2с £
11 Н'
... L
2со .
о
/'
-L
2оУ1
Экран
Рис. 7.6. Формирование изображения на экране проекционным объективом.
ния и минимизировать, особенно в измерительных проекционных системах, влияние
геометрических аберраций на создаваемое изображение. В фотообъективах же нередко
допускают более низкий контраст и более низкое разрешение с его падением от центра
к краю поля, что обеспечивает получение более пластичных и мягких изображений.
Правда, в лабораторной практике, когда необходимо получить простые
проекции каких-либо объектов или их изображений, широко используют фотообъективы.
Конечно, в этом случае проведение точных геометрических измерений практически
исключается.
В своей работе Вы будете довольно часто встречаться с подобными
системами, особенно когда у Вас возникнет необходимость переноса полученного
изображения (или самого предмета) в другую плоскость. На рис. 7.6 мы постарались отразить
все геометрические размеры, которые характерны для проекционных систем, не
заботясь пока о способах освещения проецируемого объекта. Более того, в расчетах,
приводимых ниже, мы для простоты будем считать, что проекционный объектив
представляет собой тонкую линзу, у которой главные плоскости совмещены, а зрачки
входа и выхода совпадают с ними. (Не удивляйтесь, если мы будем повторяться при
выводе формул.)
7.2.1. Р
1СЧС1 napaiviei ров проекционном) ооьекшна
Обычно, когда заходит разговор о создании или проведении габаритных
расчетов проекционных систем, на «руках» уже имеется некий предмет определенных
размеров и, как правило, известны те размеры изображения, которые хотелось бы
получить. Поэтому сначала все обсуждения сводятся к выбору общей компоновки
проекционной системы, которая бы обеспечила получение необходимого размера
спроецированного изображения, а затем «задумываются» о том, каким образом
достичь необходимой освещенности изображения.
Обычно в результате этих обсуждений получают исходные данные, которые
включают:
• размер проецируемого предмета Хт х Увх (кадровое окно),
• размер получаемой проекции Хвых х Квых,
• освещенность Е создаваемой проекции.
344

Эти исходные данные отличаются от тех, которые мы приводили для
фотообъективов, но их несложно свести к ним, воспользовавшись для этого обычными
формулами геометрической оптики. Например, линейное увеличение (3 системы, а по
сути масштаб создаваемой проекции, легко определить с помощью уже известных
нам соотношений
Q _ вых _ вых _ вых Г7 91 ^
где Л/вых = Jx^ + Кв2ых, а Л/вх = ^ЛГ вх + Квх — размеры диагоналей предмета и его
изображения.
Если Вы ограничены габаритными размерами оптической схемы проектора
(размером L\ то при заданном увеличении (3 нетрудно найти такие параметры
проекционной системы, как расстояние -а от предмета до проекционного объектива и
расстояние а' от проекционного объектива до плоскости изображения. Их можно
определить из следующих уравнений:
\L = a'-a,
а[ (7.22)
а
Отсюда следует, что искомые параметры равны
а = , а =—-—. (7.23)
1-Р 1-Р
А если теперь воспользоваться формулой Гаусса
_L__L-_L
а' а~ /''
то после простых преобразований можно найти и фокусное расстояние
предполагаемого проекционного объектива
/'=—. (7.24)
1-Р
Зная расстояния от объектива до предмета и его изображения, их
геометрические размеры, можно без труда определить угловые поля предполагаемого объектива
в пространстве предметов и в пространстве изображений из следующих выражений:
_ V^вх + ^вх ¥Ж . . _ V ^вых + К
tg(0 = -1 = — И tg(D' =
2
вых
2а 2а'
Итак, мы определили почти все необходимые параметры для окончательного
выбора проекционного объектива проектора. Теперь нам необходимо определиться с
его световым диаметром, который бы обеспечил требуемую по условию
освещенность получаемого изображения. Сделать это можно следующим образом.
«Коронная» формула для определения освещенности £экр, создаваемой объективом на экране
в точке на оптической оси, нам уже известна (см. (6.78)):
E1Kp =7iT£sin2a', (7.25)
где В — яркость предмета, о' — задний апертурный угол проекционного объектива
(см. рис. 7.6), а т — коэффициент пропускания проекционного объектива.
Отметим, что среди проекционных систем большой класс составляют системы
формирования изображений с увеличением. Такие системы при | Р | » 1 имеют
малую заднюю угловую апертуру. А это значит, что диаметр выходного зрачка
Д»ых зр проекционного объектива много меньше расстояния до формируемого изоб-
345

ражения (DBbIX зр « а'). Для таких систем без особого ущерба для точности
вычислений можно принять, что sina' «tga' и таким образом
sina' « J^iiL. (7.26)
2d
Примем во внимание, что в проекционных объективах, как и в фотообъективах,
увеличение в зрачках нередко делают равным единице (рзр = 1) или близким к нему.
В этом случае DBX зр = А»ых Зр и выражение (7.26) принимает вид
sina' * -=i. (7.27)
2а'
Если теперь воспользоваться для вычисления расстояния а' известным выражением
(2.25)
я' = 0-РХЛ
то окончательно для синуса заднего апертурного угла получим следующее выражение:
sina' * =^—. (7.28)
2(1 -р)/'
Простая подстановка (7.28) в (7.25) позволит нам привести «коронную»
формулу к виду
£1кр=0,25ятЯ|-р
1-Р
1 ' =0,25лт&42(1-р)"". (7.29)
Эта формула позволяет по заданной освещенности и выбранному источнику
излучения (или предмета) с известной яркостью найти относительное отверстие А
проекционного объектива:
^ = 2(1-P)J^|. (7.30)
Теперь из справочников или технической литературы, или из того, что у Вас
имеется «под рукой», не составит труда выбрать объектив для вашей проекционной
системы, исходя из относительного отверстия А, фокусного расстояния/' и угла поля
зрения 2(о'.
Эти же формулы после простых преобразований дают свободу в выборе
исходных данных. Так, если известны относительное отверстие проекционного
объектива и та же освещенность, то можно определить требуемую яркость источника по
формуле
4£ (1-Р)2
В= ^ , . (7.31)
птА
Наверное, Вы уже сообразили, что все эти формулы можно, как и в обычной
алгебре, «крутить» и комбинировать самым различным образом, каждый раз получая
то, что Вы хотели бы получить!
Естественно, при больших значениях апертурных углов формулы (7.30) и
(7.31) могут привести в определении тех или иных величин (или параметров)
рассматриваемых оптических систем к значительным погрешностям. Поэтому будьте
внимательны и осторожны при их использовании.
й
Замечание: Действительно, выше при выводе формул мы
использовали приближение sina * tga, справедливое только
для малых углов. Не зря же мы стали говорить об оптических
системах с малой передней (|р| « 1) и с малой задней
346

(Ipl >> 1) угловыми апертурами. Только большие расстояния
до предмета или его изображения и небольшие диаметры
оптических элементов позволили нам воспользоваться этими
приближением. В случае проецирования изображения на какое-либо
фотопреобразующее устройство со значительным уменьшением
|р| << 1, т. е. когда -а » а1 и мы имеем дело с оптической
системой с малой передней угловой апертурой, приближение
малости заднего апертурного угла о' может привести к
заметным ошибкам. В этом случае необходимо пользоваться формулой
, -^вых. зр ^вых. зр . _ _ 0 .
S2.no =—■ ^ = , (7.32)
2l£^rL)2 + а'2 2a'f+
■'вых. зр
4 (1 - Pf f '2
С учетом (7.32) «коронная» формула (7.25) при DBb/x# зр
эр принимает следующий вид (сравните с (7.29)):
ЯЭкр = 0, 25лтВА2
1 +
4 (1 " РГ
(1 - Р)"2. (7.33)
И последнее. Если же мы хотим определить освещенность по полю
изображения, то здесь, как и в случае фотообъектива, вступает в силу известная формула (6.85):
Е'((й') = £'*(iycosV, (7.34)
где Е' — освещенность в центре изображения объекта; со' — угол в пространстве
изображений; км коэффициент виньетирования, зависящий от углового положения
точек изображения.
К сожалению, достаточно ярких самосветящихся объектов, изображение
которых необходимо получить на каком-либо экране, не так уж и много. Поэтому,
естественно, встает вопрос о дополнительном освещении объектов. Именно для этого и
применяются осветительные системы, которые мы и рассмотрим ниже.
7.2.2. Зпископичсскне проекционные cncieMM
Процесс проецирования на экран или светочувствительную поверхность
фотоприемного устройства какого-либо изображения, впечатанного в прозрачный
транспарант (или нанесенного на какую-либо непрозрачную поверхность), по сути, сводится
к модуляции светового потока пропорционально коэффициенту пропускания (или
рассеяния) отдельных участков (точек) отображаемого на транспаранте изображения.
После модуляции равноправным носителем визуальной информации
становится и распространяющийся в пространстве световой поток. При этом качество
создаваемого изображения на экране или на поверхности фотоприемника будет зависеть
от свойств и характеристик светового потока, призванного нести оптическую
информацию потребителю. Поэтому в оптике в настоящее время осветительные системы
выделены в отдельный самостоятельный класс оптических систем.
Из самого названия следует, что эти системы предназначены для
концентрации излучения источника света в заданном направлении и освещения этими
направленными пучками лучей различных объектов, рассматриваемых или проецируемых с
помощью каких-либо иных оптических устройств, создавая на их поверхности
требуемую освещенность.
Для создания направленных пучков при освещении каких-либо объектов, как
правило, используются линзы, сферические (или асферические) зеркала или их
различные комбинации.
347

Следует помнить, что хотя оптика осветителей сама и не создает изображения
предмета, оно (изображение) все-таки формируется лучами осветителя (и только
этими лучами!). Поэтому выбор оптической схемы осветителя имеет большое
значение для формирования всеми последующими оптическими элементами
высококачественного изображения объекта.
Как уже отмечалось, среди проекционных систем различают эпископические
системы (эпидиаскопы), которые формируют изображение непрозрачного объекта в
отраженном (рассеянном) свете, и диаскопические (диапроекторы), работающие в
проходящем свете. Такие режимы работы проекторов обеспечиваются соответствующими
осветителями. Рассмотрим сначала эпископические проекционные системы.
Оптическая схема их в упрощенном виде, содержащая осветитель и
проекционный объектив, приведена на рис. 7.7. Исходный непрозрачный плоский объект
освещается лампами Li и L2. Рассеянное от объекта излучение попадает в
проекционный объектив, который и формирует изображение объекта. Отметим, что обычно
объект (предмет) располагается в горизонтальной плоскости. Поэтому для
проецирования объектов на вертикальный экран используют зеркала, которые здесь для
простоты рассмотрения не показаны.
Естественно, непрозрачный объект мы видим только благодаря рассеянному
или отраженному свету. Различные коэффициенты отражения его различных
участков модулируют падающий на него световой поток, создавая на сетчатке глаза
изображение рассматриваемого объекта.
Мы также можем интерпретировать (представить себе) рассматриваемый
непрозрачный объект как совокупность некоего числа точечных излучателей с разной
излучающей способностью, которые все вместе и создают изображение
рассматриваемого объекта. Таким образом, непрозрачный освещаемый объект можно
рассматривать как некую совокупность вполне самостоятельных источников излучения.
Яркость любого элементарного излучателя, как показывает практика, зависит
от его положения в пространстве и от направления, в котором распространяется
излучаемый источником свет.
Однако существует класс излучающих поверхностей, рассеивающих
падающий на них направленный свет диффузно, причем таким образом, что их
яркость не зависит от направления распространения отраженных (рассеянных) лучей,
т. е. она одинакова по всем направлениям. Такие поверхности (или излучатели), как
мы уже отмечали в главе 6, называются идеально рассеивающими поверхностями
Ламберта.
Объектив
Н.Н'
' вых
1 F<>...... t
к I■ 3-^ I
Рис. 7.7. Эпископическая проекционная система, работающая в рассеянном свете.
348

Для таких ламбертовских поверхностей яркость £0б может быть определена,
как уже отмечалось в главе 6, через освещенность объекта £0б следующим образом:
Воб=р£^) (735)
где Роб — коэффициент отражения поверхности объекта.
Очевидно, что при использовании G различных источников света (будем
считать их точечными) результирующая освещенность £об в плоскости проецируемого
объекта будет суммой освещенностей от каждого источника света и, согласно (6.26),
равна
^=££,=1^4 (7-36)
где Jt — сила света /-й лампы, R, — расстояние от тела накала /-й лампы до центра
поверхности объекта, а е, — угол между нормалью к поверхности и лучом от тела
накала /-й лампы до центра поверхности проецируемого объекта.
«Состыковать» подобную осветительную систему с проекционным
объективом, используемым для получения эпископической проекции, несложно. Но здесь
есть один очень интересный момент! При вычислении освещенности изображения
непрозрачного предмета «источником излучения» принято считать сам освещаемый
непрозрачный предмет. Освещенность экрана будет определяться по ранее
полученной нами формуле (7.25) применительно к эпископической проекции объекта:
E^ = nxBo6sm2n', (7.37)
где т — коэффициент пропускания проекционного объектива; о' — задний
(выходной) апертурный угол объектива.
При большом линейном увеличении (Ы » 1), когда расстояние от выходного
зрачка объектива до экрана а' много больше его диаметра DBbIX зр, можно положить,
/ . I ВЫХ 3D /^ ~
что sin a « tga = f-. С учетом того, что линейное увеличение в зрачках, как пра-
2а
вило, в таких системах равно единице (диаметр входного зрачка DBX зр равен
диаметру выходного зрачка DBbIX зр), а параметр я' = /'(1-(3), то формула (7.37) принимает
следующий вид:
£1кр = OaSmB^AW -рГ2 = О^тр^^-Р)2- (7.38)
Таким образом, для габаритного расчета эпископической системы можно
воспользоваться формулами гауссовой оптики, а для энергетического расчета — формулами, в
основе которых лежит закон Ламберта. А далее по полученным данным выбрать
необходимые компоненты оптической схемы предполагаемой проекционной системы.
Как это сделать, мы покажем на следующем примере.
П м -] ^ Пусть нам необходимо подобрать объектив для
микрофильмирования некоего рисунка, выполненного в
формате 1 х 1 м. Кадр фотосъемки имеет размеры
16x16 мм. Для качественной съемки необходимо обеспечить освещенность Е
фотоматериала не менее 30 л к. Оригинал подсвечивается двумя лампами, сила света
каждой из которых равна J= 300 кд. Лампы расположены от оригинала на расстоянии
R = 1 м, образуя с нормалью к поверхности угол е = 45°. Проекционное расстояние
равно /?'« а'= 46 мм. Коэффициент отражения поверхности объекта роб = 0,7,
коэффициент светопропускания объектива равен т = 0,7.
Несложно понять, что в данном случае мы имеем дело с обычной
эпископической проекционной системой (рис. 7.7). Сначала проведем габаритный расчет нашей
349

оптической схемы. Линейное увеличение, которое должен обеспечивать
проекционный объектив, определим по привычной формуле
Р = 2^ = _^_ = -0,016 ,
Гвх 1000
где Квх и Квых — размеры кадра и его изображения по вертикали.
По формуле Гаусса
1 _1 = ±
после простых преобразований найдем фокусное расстояние проекционного объектива
/' = —= ——— = 45,28 [мм].
1-Р 1 + 0,016
Относительное отверстие А проекционного объектива найдем из формулы
(7.38), исходя из необходимой освещенности в плоскости фотопленки для получения
качественного микрофильма:
Ч
А=2{\-$)\-^-. (7.39)
Но нам в полученном выражении не известна яркость объекта В<& Ее можно
найти по формуле (7.35), в которой освещенность Е^, создаваемая в плоскости оригинала
рисунка от двух электроламп с силой света J = 300 кд, вычисляется согласно (7.36):
_ .У cose 300x0,707
£об = 2 = 2 х =424,2 [лк].
С учетом этого яркость проецируемого объекта
гкд
в £*$* = 0,7x424,2 =
тг 3,14
м2
Относительное отверстие проекционного объектива, согласно (7.39) должно быть не
менее
А^] +0^л]ШхО,7х 94,57 = 0'77-
Другими словами, оно равно А = 1 : 1,3.
Угловое поле 2со требуемого проекционного объектива найдем из формулы
tgw' = tgw = ^l = ^я, = -о, 25.
а а
Откуда получаем, что 2со«28°. Расстояние от рисунка до объектива равно
д = д'/р = -2875 мм.
Таким образом, для решения указанной задачи требуется объектив со
следующими оптическими характеристиками: фокусное расстояние /'= 45,28 мм;
относительное отверстие А— 1:1,3; угловое поле 2(о«28°, линейное увеличение
Р = -0,016х, расстояние от рисунка до объектива а = -2875 мм, а проекционное
расстояние а'ър' = 46 мм.
Теперь по полученным характеристикам из справочника, каталога или из того,
что у Вас есть «под рукой», можно подобрать объектив для рассчитанной
проекционной системы.
7.2.3. Диаскопические проекционные сисме.мы
Несколько иначе обстоят дела с проекционными системами, работающими «на
просвет» (в проходящем свете), когда в качестве проецируемого предмета использу-
350

ется прозрачный диапозитив с различным по полю коэффициентом пропускания.
Наверное, не требует обсуждения желание каждого разработчика «направить и
собрать» как можно больше света, излучаемого источником излучения, на поверхности
просвечиваемого диапозитива или окна, где должен располагаться диапозитив или
некий предмет (нередко называемого кадровым окном).
В таких системах оптическая схема осветителя может представлять собой
своеобразную проекционную систему, способную сформировать изображение
источника света, в принципе, в любой необходимой плоскости оптической схемы
проекционного прибора. Такие осветительные системы (осветители), формирующие
изображение источника излучения с помощью сходящихся пучков (или на конечном
расстоянии), нередко называют конденсорами.
й
Замечание: В буквальном переводе с латыни «condensa-
ге», означает «сгущать». Что, собственно, подобная
оптическая система и делает — «сгущает» излучаемый источником
свет. Этого названия будем придерживаться и мы.
Но когда осветитель становится неотъемлемой частью некоего более сложного
оптического прибора, хотя бы того же самого проектора, интуитивно понятно, что в
этом случае на передний план выходит необходимость согласовать его параметры с
параметрами последующих оптических элементов, лежащих на пути света до плоскости,
на которой должно быть сформировано изображение с необходимой освещенностью.
«Состыковать» проекционную часть проектора с осветителем вообще-то не
очень сложно. Но при этом следует иметь в виду следующее. Во-первых, необходимо
учитывать, что лучи, образуемые конденсором, не могут создавать изображение
проецируемого предмета. Это делает проекционный объектив. А вот создать
необходимую освещенность в плоскости формируемого изображения — это уже прерогатива
осветителя, его «святое дело». Во-вторых, из всех возможных плоскостей, в которые
переносится изображение источника света, в проекционной технике особо выделяют
только две: плоскость кадрового окна входного объекта и плоскость входного зрачка
проекционного объектива. Исходя их этого, существует два типа осветителей.
Чтобы понять и прочувствовать, в чем же состоит разница, обратимся
к рис. 7.8 и 7.9, показанным ниже. На них отображены проекционные системы,
причем и проекционные объективы, и конденсоры осветителей представлены для
простоты в виде тонких линз, в которых главные плоскости совмещены, а зрачки входа и
выхода совпадают с ними.
а
Замечание: Обратите внимание: все геометрические
расстояния, высвеченные на всех рисунках стрелками синего
цвета, относятся к конденсору, а стрелками зеленого цвета -
непосредственно к проекционному объективу. На рисунках
показаны источники света, конденсоры, непосредственно
диапозитив, проекционный объектив и, наконец, экран, на котором
формируется изображение.
Казалось бы, на рисунках отображены две совершенно идентичные оптические
схемы проекционных систем. Тем более они будут выглядеть совершенно
одинаковыми, если на них «убрать» показанные пучки лучей. Но это совсем не так! Эти
схемы различаются тем, что на первом рисунке изображение источника света
переносится оптической системой в плоскость входного зрачка проекционного объектива
(осветитель первого типа), а на втором — в плоскость расположения проецируемого
диапозитива (осветитель второго типа).
351

Проекционный
объектив
Диапозитив
Конденсор
Источник
излучения
Г**, ,<< ' Х-
А.
.;;; 2ci&r
Проекция
диапозитива А ['■
Р
...о
. '^RK
-"%
Рис. 7.8. Оптическая схема проекционной системы с осветителем
первого типа. Изображение источника света переносится конденсором
в плоскость входного зрачка проекционного объектива.
Проекционный
объектив
Проекция
диапозитива А "••.... "
Диапозитив
Л
Конденсор
Источник
излучения
1ИЯ к .у
Рис. 7.9. Оптическая схема проекционной системы с осветителем
второго типа. Изображение источника света переносится конденсором
в плоскость объекта — диапозитива.
Если источник излучения выбран с неравномерной яркостью, то изображение
источника излучения лучше переносить конденсором в плоскость входного зрачка
объектива проекционной системы, «просвечивая» на своем пути прозрачный
диапозитив (см. рис. 7.8).
й
Замечание: Почему во входной зрачок? Просто потому,
что только в этом случае все лучи, сформированные
конденсором, войдут в последующую оптическую систему. Вспомните
физику входного зрачка. В случае, когда тело накала источника
излучения проецируется во входной зрачок, каждая точка
объекта облучается всей площадью этого тела. Вот почему в этом
случае достигается максимально возможная равномерность
освещенности изображения объекта.
352

Если источник излучения выбран с равномерной яркостью и нет риска нагрева
проецируемого предмета, то изображение источника излучения обычно проецируется
конденсором в плоскость объекта — кадрового окна (в нашем случае в плоскость
прозрачного диапозитива) (см. рис. 7.9).
Обнаружить сформированное конденсором изображение источника излучения
можно легко с помощью хотя бы листа белой бумаги, используемого в виде простого
экрана. Если лист бумаги в первой схеме (см. рис. 7.8) поместить в плоскость
входного зрачка, то вы увидите изображение источника света, а в плоскости кадрового
окна — равномерное поле. Во второй схеме (см. рис. 7.9) все наоборот: в плоскости
входного зрачка Вы увидите равномерно освещенное поле, а в плоскости кадрового
окна — изображение источника света.
Интуитивно понятно, что проекционный объектив, «видя» диапозитив с
изображением источника света, перенесет его изображение на экран и совсем не
исключено, что неравномерность источника света будет отображена на экране вместе с
сюжетом, впечатанным в диапозитив. Во втором случае, когда изображение
источника света формируется в плоскости входного зрачка проекционного объектива, сюжет,
впечатанный в диапозитив, будет отображаться на экране без всяких помех! Так что
выбор схемы освещения диапозитива полностью за вами!
Выбор плоскости, в которую конденсор переносит изображение источника
излучения, определяет как условия формирования изображения проецируемого
предмета (того же диапозитива), так и всю «математику», необходимую для его расчета.
а
Замечание: Обратите внимание: на каждом из рис. 7.8 и
7.9 действительно отображены две проекционные системы: одна
из них (основная) с помощью проекционного объектива
формирует изображение диапозитива, а вторая (вспомогательная) —
с помощью конденсора строит изображение источника света.
Собственно, этот «конечный результат» и определяет
требования, предъявляемые к исправлению аберраций в системе.
В осветительных системах стремятся по максимуму
минимизировать сферическую аберрацию, так как именно она
приводит к наибольшему нарушению равномерности освещенности, а в
проекционных объективах исправляют целый ряд аберраций,
влияющих непосредственно на качество создаваемого
изображения диапозитива.
Но рассмотрение аберраций и их исправление выходят за
рамки настоящей книги, и мы уже об этом говорили!
О | Сначала рассмотрим оптическую схему осветителя,
с ппоош по а нем I когДа изображение источника света проецируется во
входной зрачок проекционного объектива.
ис1очника
во входной зрачок
обьектива
На рис. 7.10 показана оптическая схема осветителя,
в которой оптическая система представлена в виде одной
1 тонкой линзы, главные плоскости вновь совмещены, а
зрачки входа и выхода совпадают с ними. Выбор такой
оптической системы значительно облегчит нам и объяснение, и понимание
рассматриваемого вопроса.
В этой схеме диапозитив располагается в плоскости, где пересекаются все
сходящиеся пучки лучей, исходящие из разных точек (притом, всех точек!)
излучающей поверхности источника. В этом случае каждая точка предмета освещается
всеми пучками лучей, исходящими из всех точек излучающей поверхности
источника света.
353

А теперь по существу. Хотя источник излучения в нашей схеме представляет
собой светящуюся площадку конечных размеров, его можно представить в виде
совокупности отдельных точечных излучателей. Выберем для начала светящуюся
точку S, расположенную на оптической оси. Очевидно, поток, излучаемый точечным
источником S, будет ограничиваться телесным углом, основанием которого служит
входной зрачок конденсора с диаметром D*, а вершиной — непосредственно
точечный источник излучения S. Этот телесный угол можно определить плоским углом
2стОХВ1, опирающимся на диаметр Dk конденсора с вершиной в точке расположения
точечного источника. В осветительной технике этот угол носит название угла охвата.
Если немного подумать или вспомнить то, что мы уже проходили, то половина
угла охвата ничем не отличается от апертурного угла конденсора в пространстве
предметов. Угол в пространстве изображений 2оСХ|, сопряженный углу охвата 2оОХВ| в
пространстве предметов, в технике осветительных систем называют углом сходимости.
Попытаемся понять смысл угла охвата 2оОХв, с точки зрения всей
проекционной системы. Из рис. 7.10 нетрудно понять, что 2оОХв, определяет размер
освещаемого поля в плоскости диапозитива с размером Хвх (см. красные лучи). В предельном
случае, когда диапозитив располагается вплотную к конденсору, то очевидно, размер
освещаемого поля от точки S источника будет равен диаметру конденсора! Таким
образом, при такой схеме освещения объекта угловое поле зрения проекционного
объектива 2со0б в точности равно углу 2оСХ|. В более общем случае, когда диапозитив
отстоит на некотором расстоянии от конденсора, параметр 2(0Об все равно будет
определяться углом схода, причем 2с0об < 2оСХ|.
Возникает закономерный вопрос: а какова роль остальных точек источника
света? Ответ понятен из рис. 7.10: каждый из этих источников дает вклад в
освещенность входного кадра диапозитива, в результате чего суммарная освещенность будет
определяться угловыми размерами источника — параметром 2wk . Более того, так
как источник света спроецирован в плоскость зрачка проекционного объектива, то
угол <йк оказывается максимально согласованным с входным апертурным углом
проекционного объектива 2а. В случае близкого расположения диапозитива к
конденсору угол 2wk = 2с. Отсюда видно, что при заданной входной апертуре
проекционного объектива увеличение углового размера 2и>к источника света по сравнению
с двойным апертурным углом 2а хотя и приводит к увеличению освещенности
диапозитива, тем не менее, при дальнейшем его проецировании объективом она (осве-
Конденсор
Диапозитив
Проекционный объектив!
*-^вх зр ^вых чр ^-Лю
*ж
i • f^ p ■•■ 2
w: .. '"" L., f
►S'
У
■^ ИС1
-^
~ак
—а <
►
- -об
к^
а'к
"«об
-/об
•
1
^
М'
Рис. 7.10. Оптическая схема осветителя первого типа — с проецированием источника
света в плоскость совмещенных зрачков входа и выхода проекционного объектива.
354

щенность) уменьшается вследствие обрезания поля источника света апертурой
проецирующего объектива (плоскости источника света и входной апертуры объектива —
сопряжены!). Такое увеличение размера источника оказывается бесполезным, так как
действующий (эффективный) размер изображения источника жестко определен
размерами входной апертурной диафрагмы.
В заключение этой части обратим внимание, что угол 2соА есть не что иное
как угловое поле зрение осветителя. Этот параметр в технике осветителей называют
углом расходимости (рассеяния).
А теперь после «физики процесса» можно перейти к математическим
выкладкам — к расчету основных параметров такого осветителя. Найдем сначала угол
охвата оОХВ). Воспользуемся теоремой синусов (6.74) для линейного увеличения (3А
осветительной системы
pA=!ino^ = ^ = _i = _^ (74o)
где ХИС1 — размеры исходного источника света; X'HCt = Do6 — размеры изображения
источника, равные диаметру зрачка проекционного объектива; -ак и ак
—соответственно расстояния от источника света до конденсора и от проекционного
объектива до конденсора. Учитывая, что оСХ) « со^, и полагая, что
sinстСХ| *tgfo« =-■£*-, (7.41)
угол охвата можно найти из выражения (7.40):
(7.42)
2яоб
Но параметр а^, согласно формуле Гаусса, равен яоб =/о'б0-Ро6)/Ро6, где (3об —
линейное увеличение проекционного объектива, а /^ — его фокусное расстояние.
Окончательно выражение (7.42) можно привести к виду
sinaOXB =- Р'-Роб*вх . (7.43)
охв' 2(1-р^
При работе проекционной системы в режиме увеличения (Ip^l»!), что имеет
место, например, для кинопроекционных объективов, формула (7.43) несколько
упрощается:
_А*.
2/;
(7.43а)
И, наконец, формулу (7.41) для определения углового поля зрения объектива с
учетом выражения для а<& можно представить в следующем удобном для вычислений
виде:
tg(0 rLiE°6—. (7.44)
В случае ^1» 1 она имеет предельно простой вид:
tge>„,=^-- (7-45)
^J do
Перейдем теперь к расчету энергетических характеристик осветителя. При
такой конфигурации осветителя освещенность Евх в плоскости объекта, как уже
отмечалось, определяется угловыми размерами осветителя 2(0*,. При расположении диа-
355

позитива вплотную к конденсору она может быть определена с использованием
формулы (6.39), полученной нами для светящегося диска:
Ет= Tripsin2 cov (7.46)
где В — яркость источника света, тк — коэффициент пропускания осветителя
(конденсора), а (оА — половина углового размера источника света. Принимая во
внимание, что угловые размеры источника света равны двойному угловому размеру вход-
ной апертуры проекционного объектива, т. е. 2wk =2и = -2arctg——, для освещен-
2*об
ности объекта при -яоб » Do6 с учетом (2.24) получаем
£вх -0,25тгт,£—- Роб. (7.47)
"об 0 "Роб)/
Имея в распоряжении формулу (7.47), нетрудно найти освещенность экрана,
если учесть, что благодаря согласованному режиму работы осветительной и
проекционной частей системы световой поток, соответствующий каждой точке входного
кадра, проходя через объектив, уменьшается пропорционально коэффициенту
пропускания объектива тоб. Далее этот поток распределяется на экране в соответствии с
линейным увеличением объектива. Очевидно, что при |роб|>1 площадь кадра
увеличивается в (З2^ раз, а освещенность соответственно падает во столько же раз.
Исходя из этого, освещенность экрана может быть вычислена по формуле
Еч =^=n2T^DA =0а5п,ВАЧ\-^)\ (7.48)
Роб V1 Роб J J
где т = тАтоб — коэффициент пропускания всей проекционной системы.
Осветите 1ь I Вторая схема освещения, когда изображение ис-
с гшоешшованнем I точника излучения проецируется в плоскость диапозити-
источника | ва, показана на рис. 7.11.
в и юскость Если проанализировать ход лучей в этой схеме, рас-
калпового окна I сматривая источник света как совокупность бесконечного
объектива I числа точечных источников излучения, то при его
проекции в плоскость диапозитива (кадрового окна проектора)
каждой освещаемой точке предмета будет соответствовать
одна и только одна сопряженная ей точка излучающей поверхности источника света.
При этом в плоскости входного зрачка проекционного объектива будет
сформировано равномерное световое поле всеми расходящимися пучками лучей всех
точечных источников света, на которые можно разложить используемый излучатель
конечных размеров. Естественно, проекционный объектив перенесет на экран (или
что-то иное) все, что будет присутствовать в кадровом окне (плоскости предметов).
И если яркость источника излучения по поверхности излучателя неравномерна, то
эта неравномерность, спроецированная конденсором на диапозитив, полностью
отобразится в сформированном проекционным объективом изображении предмета. При
расчете такого осветителя следует принять во внимание следующие два
отличительных момента. Во-первых, размер освещенного кадрового окна определяется
размерами спроецированного конденсором изображения источника света, т. е. Хъх = Х'КСТ =
= РА Хист. А во-вторых, угол сходимости 2аСХ2 в этом случае равен (или несколько
больше) апертурного угла проекционного объектива, т. е. 2асх > 2аоб. Итак,
вычислим угол аОХВ2, определяющий также апертуру конденсора, через параметры
проекционного объектива, используя условие синусов (6.74) для конденсора при асх = аоб:
356

Рис. 7.11. Оптическая схема осветителя второго типа — источник света спроецирован
в плоскость кадрового окна, в котором размещается диапозитив.
sin °охв2 = Р*2 sin аСХ2 = р,2 sin а^,
(7.49)
X' а[
где увеличение осветителя $к^ = — = —■
Хи„ о._
При выполнении условия синусов Аббе (6.74) для проекционного объектива
параметр sinao6 можно найти из соотношения sinao6 =(3o6sina^6, где а^б —задний
апертурный угол объектива. Полагая угол а^б малым, при котором
sin a^6 «tga^6 = ——, окончательно для угла охвата аохв (с учетом а^ = -(1 -(3)/^)
2а' 2
можно получить следующее выражение:
sin су =■
ОХВ2
"Р^РоА
(7.50)
20-P..XU
А теперь самое интересное! Сравним формулы (7.43) и (7.50) для углов охвата
в двух типах осветителей:
sin ст„,
Ра.Ро,*.»
'2(1-3..)/-
20 -Po6)/i
Если теперь вспомнить, что увеличение первого осветителя (3А =
Д.
увеличение (3А второго осветителя при выборе Х'ист = Хвх равно
РА = — = —, то можно увидеть, что для определения угла охвата освети-
^ист ^ист
тельной системы в любом из двух рассмотренных случаев используется одна и та же
зависимость!
Вычислим далее освещенность экрана при использовании осветителя с
проекцией источника света в плоскость объекта. Сначала найдем освещенность поля £вх в
плоскости объекта (см. рис. 7.11). Очевидно, что в этом осветителе параметр £вх есть
не что иное как освещенность изображения источника в плоскости объекта, которая
определяется углом сходимости 2асХ2. Согласно (6.78) для освещенности £вх можно
записать следующее выражение:
357

£вх = Tripsin2 aCX2. (7.51)
В силу того, что угол 2асх ^2аоб, то при проецировании предмета
объективом световой поток, соответствующий каждой точке объекта, в пределах телесного
Dl
угла Q = —^у или остается неизменным, или одинаковым образом уменьшается
Кб)
для всех точек объекта. Если далее учесть увеличение объектива, приводящее к
уменьшению освещенности экрана в (3^б раз, то в результате формула для вычисле-
А>б А>бРоб
ния освещенности экрана Еэкр с учетом того, что sin аоб «—— = ——22—^
2*об 2(1-Роб)/о^
(|Роб| >> 0' пРинимает следующий вид:
^ =^^ = 0,257ri^sin2ao6 =0,25711^-—^г— = 0,25тгт^2(1-роб)-2, (7.52)
Роб ('"Роб) /об
где т = т*т0б — коэффициент пропускания всей системы.
Как и следовало ожидать, формулы (7.48) и (7.52) для расчета освещенностей
экрана проекционной системы при использовании двух типов осветителей оказались
идентичными. В этом нет ничего удивительного, если вспомнить условия
согласования осветительной и проекционной частей системы.
Габаритный и
энергетический
расчет ы
проекционных
сиеiем
Для проекционных систем, как правило,
осуществляется как габаритный расчет, который сводится к
определению геометрических параметров оптических
элементов, входящих в ее оптическую схему, так и
энергетический расчет, в результате которого определяются
энергетические возможности излучателя, конденсора и про-
ишшт——^—— екционного объектива. Остановимся кратко на
особенностях габаритных и энергетических расчетов проекционных систем.
Обычно при габаритном расчете проекционных систем в качестве исходных
данных принимаются следующие:
• геометрические размеры входного кадра Хвх х Квх (кадрового окна), где
располагается проецируемый предмет;
• геометрические размеры получаемой проекции Хвых х Квых;
• освещенность £экр проекции, которую необходимо получить.
В результате габаритного расчета осветителя для конденсора необходимо
получить следующие параметры:
• фокусное расстояние/1,
• линейное увеличение (3*;
• относительное отверстие Ak = D]jf'k\
• угол охвата 2аохв;
• угол сходимости 2асх.
При расчете проекционного объектива вычисляются следующие параметры:
• фокусное расстояние/'об;
• линейное увеличение (Зоб;
• относительное отверстие Л0б = E>ddf'db\
• угол поля зрения 2(0Об.
В результате энергетического расчета при заданной освещенности в плоскости
проецируемого изображения необходимо получить или значение светового (либо
энергетического) потока, излучаемого источником света, или величину его яркости,
которые бы позволили выбрать тип и мощность осветителя.
358

Полученные в результате расчета характеристики объектива и осветителя
позволят нам грамотно подобрать (по справочникам или из «хлама») необходимые
компоненты для моделирования проекционной системы.
Конечно, все, что мы перечислили выше, не догма — все будет зависеть от
того, что Вы выберете в качестве исходных данных. А это в лабораторной практике во
многом определяется тем, что у Вас есть «под рукой», но общий подход, как правило,
будет оставаться одним и тем же.
Ниже мы покажем, как можно рассчитать простые проекционные системы.
При этом и конденсор, и проекционный объектив будем считать идеальными
тонкими линзами, в которых главные плоскости совмещены, а зрачки входа—выхода
совпадают с ними.
II пи мер 7 9 ^ак Уже отмечалось> формулы для расчета
диаскопических и эпископических систем оказываются во
многом похожими. Поэтому в качестве примера численного
расчета ограничимся случаем диаскопической проекционной системы.
Итак, произведем расчет основных параметров проекционной системы, у
которой источник света проецируется во входной зрачок проекционного объектива
(рис. 7.12). Пусть нам необходимо перенести изображение некоторого кадра,
размером Хвх х Квх = 24 х 36 мм на экран в масштабе 1 : 36,5 (линейное увеличение (Зоб =
= -36,5), обеспечив освещенность на оптической оси получаемого изображения
£экр « 40 лк. Под руками же у нас имеется всего лишь один объектив с фокусным
расстоянием f = 80 мм и относительным отверстием Л0б = D^Jf =1:4 (диафрагменное
число К = 4). Светопропускание объектива примем равным т0б = 0,7, а конденсора —
Хк = 1. Тело накала источника излучения имеет размеры Х„ст x Кист =8x8 мм. Длина
осветителя L не должна превышать 220 мм. Определим необходимый световой поток
источника Фист, который должен обеспечивать требуемую освещенность, а также все
габаритные параметры диаскопического проектора. Источник света будем считать
ламбертовским (яркость постоянна и неизменна по его полю).
Все вычисления далее отобразим в виде следующей последовательности
наших действий.
1. Сначала находим диаметр входного зрачка объектива:
Do6=4t = -v=20[mm].
К 4
2. Затем вычисляем диаметр окружности, описывающей тело накала источника:
Мист= yIXlT + Y?CT=y/V7¥*\\,3 [мм].
Входной зрачок проекционного
объектива
Рис. 7.12. К габаритному и ^ергетическому расчету диаскопической проекционной
системы с осветителем первого типа.
359

3. Теперь можно найти линейное увеличение конденсора
Р*= —^ = -— = -1,77".
Л/ист 113
4. Вычислим далее отрезки а'к и ак конденсора при условии, что длина
осветителя не превышает L = 220 мм. Их можно найти из решения системы двух уравнений:
\L = -ak +dk,
Откуда для искомых отрезков получаем:
ак = —^- = — = -79,42 [мм],
(р*-1) (-1,77-1)
а'к = М* = (-1,77) х (-79,42) = 140,6 [мм].
5. Найдем далее фокусное расстояние конденсора по формуле (2.25):
а'к 140,6 ^Л „^0 г
Л= —— = — = 50,758 [мм].
1-Р* 1 + 1,77
6. Зная увеличение и фокусное расстояние объектива, нетрудно определить
расстояние, на котором необходимо расположить экран:
а'ов =Лб (1 - Роб) = 80 х (1 + 36,5) = 3 [м].
7. Аналогично можно найти положение кадрового окна аоб относительно
проекционного объектива. Используя формулу (2.7)
- = /об
Роб
для параметра а^ получаем
f —80
*об =/об + *<* = -/об -jr- = -80 - —— = -82,2 [мм].
роб -36,5
Мы нашли все расстояния, которые определяют габаритные размеры нашего
проектора. Теперь можно определить интересующие нас углы.
8. Угол поля зрения проекционного объектива найдем исходя из размера
кадрового окна и расстояния от него до объектива:
t„„ _ УЛ?Х+КВ2Х У242+362
tg<0O6 - -— = - 0- - = 0,2632.
-2яоб 2x82,2
Откуда поле зрения объектива 2(0Об = 29,49°.
9. Угол сходимости конденсора 2асх равен углау поля зрения объектива 2со0б,
т. е. 2сосх = 29,49°.
10. Теперь, воспользовавшись условием синусов Аббе (6.74), можно найти
угол охвата конденсора 2аохв-
sincjoXB = Р* х sinacx = -1,77 х sin( 14,75°) = -0,4506.
Откуда получаем, что 2aOXB = 53,6°. (В отличие от аохв двойной угол 2аохв
всегда положителен!)
Перейдем теперь к энергетическому расчету нашей проекционной системы.
11. Освещенность в плоскости.экрана (или фоторегистрирующего устройства)
на оси сформированного изображения связана с параметрами оптической системы
формулой (7.52):
Е^=0,25пхо6ВА2(\-^у2.
360

Источник...-"
Конденсор Кадровое
окно
Проекционный
объектив
t
1
Экран
"Т
V
р6 -2(fli6 -о
80.0
-^-4-
-в2ой,
2920.0
3000.0
Рис. 7.13. Результаты габаритного и энергетического расчетов проекционной системы
(источник света проецируется во входной зрачок объектива).
Учтем далее, что яркость В ламбертовского источника связана с его световым
потоком Фист следующим соотношением:
4тг5ист
где площадь источника 5ИСТ = Хкст хКист. Из последних двух формул нетрудно найти
требуемый световой поток источника света ФИСт-
Фист=16/:Х^ч,(1-Рс6)2^о6=256(810-3)240(1 + 36,5)2/0)7 = 1316 [лм].
Результаты расчета габаритных параметров (в мм) показаны на рис. 7.13. Обращаем
Ваше внимание: на этом рисунке отрицательные значения параметров соответствуют
величинам аь zo6, аоб и^б.
В заключение скажем, если сумма углов охвата и сходимости конденсора не
превышает 45° (2оохв + 2осх < 45°), то в качестве конденсора можно применить одну линзу.
Причем, если конденсор располагается на значительном удалении от излучателя или его
изображения (порядка 20 фокусных расстояний), то используют плосковыпуклую
линзу. Если же источник света проецируется в масштабе 1 : 1 (Р* = -1), то обычно
применяют двояковыпуклую линзу с равными по абсолютной величине радиусами.
В случае, когда сумма углов охвата и сходимости конденсора достигает 60°,
в качестве конденсора применяют двухлинзовую систему. Причем чаще всего
применяют пару выпуклоплоских линз, установленных сферическими поверхностями
навстречу друг другу.
В лабораторной практике расчет осветительной системы зачастую сводится к
подбору конденсора для обеспечения требуемой освещенности. Именно к подбору,
так как при моделировании какой-либо оптической схемы вряд ли следует заказывать
специальный конденсор.
7.3. Телескопические системы: предмет и его изображение
находятся в бесконечности
К примерам таких систем можно отнести любые сложные оптические
приборы, предназначенные для визуального наблюдения удаленных объектов. К ним, в
частности, можно отнести телескопы, бинокли, зрительные трубы.
Системы подобного типа обычно называют телескопическими (от греческого
слова «tele...» — вдаль, и слова «...skopeo» смотрю), или афокальными, системами
(«а» в Слове «афокальные» — частица отрицания).
Телескопические системы состоят как минимум из двух оптических
компонентов: объектива и окуляра. В оптической схеме они устанавливаются так, чтобы
задний фокус объектива был совмещен с передним фокусом окуляра (рис. 7.14).
361

—00
Плоскость а'
промежуточного
изображения "^
а = 0 ^ ^^^^^^
^^-^ Фокальная
^—— плоскость
Рис. 7.14. Телескопическая (афокальная) система.
= 0
+00
' 1
1
1
Объектив телескопической системы формирует действительное перевернутое
изображение в своей задней фокальной плоскости, а окуляр, действуя, как обычная
лупа, увеличивает его до необходимых размеров.
Особо отметим, что фокусное расстояние всей телескопической системы (в
целом), как это ни странно звучит, равняется бесконечности.
Основные
характеристики
1е.1ССкопнческн\
сиеiсм
Если вдруг у Вас возникнет необходимость
смоделировать для решения каких-то задач телескопическую
систему, то, наверное, в первую очередь Вас будут
интересовать ее видимое увеличение Г", угловое поле зрения
2со и, пожалуй, ее угловое разрешение ртел.
Именно эти величины нередко и являются
исходными данными для расчета афокальных систем. Правда, иногда задают общую длину
системы L и удаление зрачков входа и выхода. Но при лабораторном моделировании
их знание бывает не так уж и важно.
Ну а теперь, вновь по существу. Если мы обратимся к рис. 7.15, то размер у'
стрелки, образованной объективом, будет равен
У = -/o6tgco.
Его так же легко найти и со стороны окуляра
У = -/oKtgto'.
£>в* зр = Объектив
= D :H,
1-,св там _—_ *
}
а!
«.«.«-6 ...««ми.:-::
2ь,
у _L
ж.
J
Г*
Полевая 0куляр
диафрагма
:!-4: : "
>■■■<
/ок
I-
J OK
Выходной
зрачок
,Гл СО' *2 Т
-О^О f о
D'
>ф >;
Рис. 7.15. К расчету телескопической системы Кеплера.
362

Приравнивая эти два выражения, получим
Если же принять, что/оК = -fo^ то
об
Обратите внимание: видимое увеличение Гх в телескопической системе равно
ее угловому увеличению у. Поэтому мы можем записать:
св. диам /^ с-\\
"'О**' У ок вых зр
Так как и видимое увеличение Гх, и угловое увеличение у определяются через
одни и те же параметры, то линейное увеличение телескопической системы можно
найти как
Р = -р' (7.54)
а продольное согласно формуле (2.18). С учетом (7.54) оно будет равно:
й = Р2=^г- (7-55)
Как следует из последнего выражения, передача перспективы в
телескопических системах искажается. Она как бы сжимается вдоль направления наблюдения,
что легко можно обнаружить на практике. Например, человек, идущий навстречу по
направлению к наблюдателю, будет восприниматься как неуклюжий «танцор»,
подпрыгивающий на одном месте.
Мы можем легко определить ту область пространства предметов, которую
способна резко отобразить телескопическая система. При наблюдении через
телескопическую систему обычно зрачок глаза совмещается с ее выходным зрачком.
Естественно, диаметр зрачка глаза может быть в одном случае больше, а в другом случае
меньше выходного зрачка системы. Если зрачок глаза больше выходного зрачка
телескопа (или зрительной трубы), то отверстием, определяющим глубину резко
отображаемого пространства, будет являться диаметр выходного зрачка телескопа, но
если зрачок глаза меньше диаметра выходного зрачка системы, то отверстием,
определяющим глубину резко отображаемого пространства, будет являться диаметр
зрачка глаза.
Наверное, в этом случае (в системе телескоп + глаз) уместнее говорить не о
зрачке выхода, а о неком действующем отверстии Одейст отв, под которым следует
понимать ту часть зрачка глаза, которая непосредственно принимает участие в
формировании изображения на сетчатке глаза. Очевидно, в одном случае оно будет
определяться диаметром выходного зрачка системы, а в другом — диаметром зрачка глаза.
Обратимся к рис. 7.16. Будем считать, что глаз аккомодирован на расстояние
-р' (плоскость Р'). Определимся (пусть пока «от лукавого» — важно понять идею!) с
передним планом (плоскость Р'ь расстояние -р\) и задним планом (плоскость Р?,
расстояние -р'г). Входной и выходной зрачки системы, естественно, сопряжены между
собой, а это значит, что в пространстве предметов этим плоскостям (и областям)
сопряжены плоскость наведения Р и плоскости переднего Р\ и заднего Р2 планов.
Если теперь вспомнить о продольном увеличении (7.55), то, согласно рис. 7.16,
можно найти расстояние р в пространстве предметов от входного зрачка системы до
плоскости наведения Р:
363

Входной I
Р2 Р Р, 3Ра.Ч0К Рг Р' Pi Выходной |
1
т
^ -Pi 1
<-р !
зрачок 1
U р; ♦
_ *-р' ! 1
-Р2 ; !_ -Р2 ; 1
Рис. 7.16. К определению глубины резко отображаемого пространства предметов для 1
телескопических систем. 1
Р = — = Р(Г ) .
а
(7.56)
Ну, а дальше по аналогии:
/>,=/>', (П2 иР2=рНП2, (7.57)
где р\ и р2 можно определить по формулам (5.9) и (5.10), если в них соответственно
заменить pi ир2 нар\ ир2, a Drn, например, на ОдейСт.отв^
Р\ =
Р'2
D,.
D..
(7.58)
А
лсист. отв
д.,
Если принять, что глаз аккомодирован на бесконечность (наиболее
благоприятные условия для наблюдения), а это значит, что р' = -оо, то из (7.56) очевидно
имеем, что расстояние р = -оо. В этом случае, согласно (7.58), р'ы = -£>дейст отв /ртея.
Расстояние до переднего плана, как следует из (7.57), равно:
Р\оо=Р\оо(Г*)2
£>
(Г)2.
Следует только всегда помнить, что ОдейСт.отв — это действующее отверстие
в зрачке выхода системы телескоп (зрительная труба + глаз!).
Ну, а в остальном — ничего нового нет! Расстояние p\*> — это расстояние до
«начала бесконечности», т. е. до переднего плана Естественно, если глаз аккомодирован на
расстояние р' = -оо, то расстояние до переднего плана, как было показано выше, будет
равно половине /?ioo, а задний план будет «размещаться» в бесконечности.
Поле зрения в телескопических системах нередко ограничивается полем
зрения окуляра. Если Вы выбираете для макетирования телескопической системы какой-
либо промышленный окуляр, особого труда не представляет нахождение размеров
углового поля зрения 2со всей телескопической системы исходя из величины
углового поля зрения окуляра 2со', которое можно найти в справочной литературе (для
каждого типа и модификации окуляра):
tgco
_ tgco'
(7.59)
Если поле зрения ограничивается размерами полевой диафрагмы £)пд,
устанавливаемой в плоскости промежуточного изображения, то его угловая величина может
быть определена как
364

tg<o=-^4 (7.60)
где Опд можно найти как
Аи = 2AKtg(D'. (7.61)
Если в качестве окуляра использовать какую-либо «склейку» (не следует
забывать, что окуляр выполняет роль лупы), то его поле зрения можно найти как поле
зрения лупы.
Замечание: Напомним, что видимое увеличение лупы Г^
есть отношение видимого размера изображения к видимому
размеру предмета. Применительно к окуляру параметр
Г* = 250 [мм] / f0'K. Это отношение нередко называют окулярным
увеличением. Из опыта известно, что между видимым
увеличением Гл и полем зрения лупы 2у существует простая
зависимость
2у = 250/Гл.
Световой диаметр лупы в этом случае будет равен
DCB = 2у + Drn.
Он соответствует ранее полученному выражению (5.27а).
Разрешающую способность телескопических систем, как правило, определяют
в пространстве предметов. В этом случае разрешающая способность системы
оценивается предельным углом ртел, образованным лучами, проведенными из центра
входного зрачка системы к разрешаемым точкам предмета. Как уже отмечалось, этот
параметр определяется диаметром входного зрачка DBX зр (см. (5.4)):
Ртел = "^ • (7.62)
вх зр
Величину ртел иногда называют дифракционной разрешающей способностью
телескопической системы и оценивают в угловой мере. Поэтому, если принять, что
X = 0,56 мкм, а диаметр зрачка входа оценивать в миллиметрах, то мы получим
известную формулу для углового разрешения телескопа (в секундах):
1,22Х ^r^rcn 140"хмм
ртел =- х 206265" = . (7.63)
кТел D D
вх зр вх зр
Обратите внимание: в этой формуле DBX зр в миллиметрах.
Значения угловых пределов разрешения в пространстве изображений ртел и
пространстве предметов ртел связаны между собой видимым увеличением системы:
Ртел = Ртел X ГХ. (7.64)
При определении разрешающей способности телескопической системы
необходимо учитывать разрешающую способность глаза. Это легко сделать, если учесть
выражение (7.64). Если предельное разрешение глаза принять равным р = ргл = 60",
то для максимального использования разрешающей способности телескопической
системы необходимо, чтобы видимое увеличение телескопической системы (при
известном разрешении объектива ртел) было не ниже
Г>-^-. (7.65)
Ртел
Можно поступить и иначе. Если известен предел разрешения глаза (60"), то
при заданном увеличении системы необходимый угловой предел разрешения
объектива можно получить из той же формулы:
365

г тел
60'
Г""~ Г '
Если же мы обратимся к выражению (7.65) и заменим р
для видимого увеличения Г" имеем:
Ргл _ Р,
(7.66)
его значением из (7.63), то
г тел
Dnv., хмм
140" вх,р
1 *0>5DBX3pXMM~
(7.67)
Из последнего выражения следует, что как бы мы ни поднимали видимое увеличение
системы Гх, разрешающая способность телескопической системы при постоянном
размере входного зрачка расти не будет! Именно это увеличение системы называется
полезным.
Таким образом, при полезном увеличении достигается максимальное
согласование разрешающей способности оптической системы и разрешающей способности
глаза. Заметим, что иногда вводят понятие нормального увеличения. Это такое
увеличение, когда выходной зрачок прибора равен входному зрачку глаза.
Ну и, наконец, длину всей телескопической системы можно определить как
сумму фокусных расстояний объектива и окуляра: L =/'об +/ок-
В принципе мы обсудили самые важные моменты при расчете
телескопических систем. Но порядок расчета в любом случае будет полностью определяться теми
величинами, которые Вы выберете в качестве исходных.
В нашей практике нас постоянно будут интересовать такие элементы
телескопических систем, как объективы и окуляры. Объективы телескопических систем мы
будем использовать по назначению в коллиматорах, а окуляры — в качестве хорошо
исправленных в отношении аберраций луп. При этом следует помнить, что объектив
любой зрительной трубы рассчитывается исходя из того, что наблюдаемый предмет
находится в бесконечности. Следовательно, в зрительную трубу входят пучки
параллельных лучей. В коллиматоре же имеет место обратная ситуация: необходимо,
чтобы из трубы выходил пучок параллельных лучей. Поэтому, в силу обратимости
лучей, для коллиматоров вполне можно использовать объективы зрительных труб,
располагая их относительно точечного источника излучения «задом наперед».
При этом основными характеристиками, которые нас будут интересовать,
являются фокусное расстояние объектива/' и его диаметр D. Остальные параметры
можно всегда найти путем простых вычислений.
Наиболее распространенная и наиболее простая конструкция объектива,
используемая в зрительных трубах, представляет собой либо склеенные, либо нескле-
енные две линзы, причем одна из них положительная, а другая отрицательная
(рис. 7.17). Эти линзы изготавливаются из разных сортов стекла, в частности из
крона и флинта.
При угловом поле зрения 2со порядка 1 -s- 2° и относительных отверстиях
А = D/f порядка 1:10 эти объективы могут давать довольно высокое качество
изображения. Для нас же главное состоит в том,
что у этих объективов сферическая
аберрация составляет величину не более 0,1 %
фокусного расстояния (в редких случаях
0,2 %). Именно сферическая аберрация в
этом случае будет определять возможность
получения параллельного пучка лучей на
выходе коллимирующей системы.
Входной зрачок таких объективов
часто совмещен с оправой самого
объектива. На оправах объективов зрительных труб
иногда гравируют фокусное расстояние в
Флинт впереди
Крон впереди
Рис. 7.17. Типы объективов,
используемых в телескопических системах.
366

миллиметрах и величину его относительного отверстия. Правда, это делают не всегда
и не всякая фирма. Поэтому для определения этих параметров просто нужно
воспользоваться скамьей (например, типа ОСК или скамьей Бека) и измерить эти
характеристики самостоятельно.
Основными характеристиками окуляров, которые для нас могут представлять
интерес, являются его фокусное расстояние/' и видимое увеличение окуляра Гхк:
Г = —
OK rt '
J OK
Аберрации окуляров рассчитывают в обратном ходе из бесконечности, т. е. со
стороны расположения глаза, и их величину анализируют в передней фокальной
плоскости. Поэтому их вполне можно использовать в качестве миниатюрных
объективов для небольших коллиматоров, размещая источник наблюдения в точке
переднего фокуса.
Угловое поле окуляра примерно в Гхк раз больше угловых полей объективов
зрительных труб, поэтому при исправлении аберрационных характеристик окуляров
большее внимание уделяют исправлению полевых аберраций.
Поим у 10 Этих обсуждений вполне достаточно для того,
чтобы рассчитать оптическую схему телескопической
системы. В качестве примера рассчитаем зрительную трубу,
выполненную по схеме Кеплера (см. рис. 7.15). Выберем для расчета телескопа
следующие исходные параметры: видимое увеличение Гх = -10х, поле зрения 2со = 5° и
диаметр зрачка выхода DBbIX зр = 5 мм. Дополнительно выберем длину нашей
телескопической системы L = 275 мм. При габаритных расчетах будем считать, что главные
плоскости каждого из оптических элементов совмещены, поскольку расстояния между
ними не влияют на ход лучей. Найдем остальные габаритные параметры телескопа.
Ниже представлена последовательность вычислений.
1. Найдем сначала фокусное расстояние объектива/об и окуляра f'OK. Из
решения уравнений
L =/об +/ок, Гх = -/о'б / /о'к
следует, что
/0'K=L/(1-P), /^ = 1Г/(Г-1).
Откуда получаем, что фокусное расстояние окуляра /ок =25 мм, а объектива
/об = 250 мм.
2. Воспользовавшись формулой увеличения в зрачках,
pix вх. зр
вых зр
найдем диаметр входного зрачка
Ак. зР = А»ых. зР х Гх = 5 х 10 = 50 [мм].
Так как входной зрачок нашей системы совмещен с плоскостью оправы объектива, то
световой диаметр объектива, очевидно, будет равен диаметру входного зрачка
системы, т. е. DCB диам = DBX Зр = 50 мм.
3. Определим положение выходного зрачка от последней линзы окуляра
(параметр х' на рис. 7.15). Положение сопряженных точек в оптической системе можно
определить с помощью формулы Ньютона
Г2
' J OK
л ,
X
367

где х = -ров — расстояние от входного зрачка (объектива) до передней главной
плоскости окуляра. В результате для х' имеем
X> = £&- = ¥L = 2,5 [мм].
/« 250
4. Расстояние от последней линзы окуляра до выходного зрачка
приблизительно будет равно
Рвых. зР = х' +/ок = 2,5 + 25 = 27,5 [мм].
5. Определить диаметр полевой диафрагмы Dna можно, исходя из величины
углового поля зрения 2со = 5°:
Аш = 2/o6tg|cD| = 2 х 250 х 0,0437 * 22 [мм].
6. Световой диаметр линз окуляра можно определить следующим образом:
А» = Ад +2/OKtgko| = 2(11 + 25 х 0,0437) * 2(11 + 1) = 24 [мм].
На этом расчет основных параметров телескопа Кеплера можно считать
законченным. Конечно, при аналитическом моделировании телескопических систем
можно поступить и иначе. Например, так. Учитывая, что видимое увеличение
телескопической системы равно отношению диаметра входного зрачка к диаметру выходного,
можно найти диаметр входного зрачка из условия требуемого разрешения телескопа,
а диаметр выходного зрачка — из условия видимого увеличения.
Однако, чтобы так просто «раскручивать» оптические схемы, не выходя при
этом за рамки школьной геометрии и тригонометрии, необходимо понимать, как
работает оптическая система, где и чем можно пренебречь.
7.4. Л1икроскон: предмет расположен на конечном
расстоянии, а его изображение — в бесконечное! и
К числу таких систем относится очень большая группа самых различных
микроскопов: отсчетных, измерительных, биологических, поляризационных и т. д.
Но все они, прежде всего, решают одну общую задачу — позволяют наблюдателю
работать с увеличенными изображениями исследуемых объектов.
Микроскоп, как и телескопическая система, состоит из двух оптических
компонентов — объектива и окуляра, иногда совсем простых, но чаще довольно
сложных. Объектив микроскопа создает действительное и увеличенное изображение в
передней фокальной плоскости окуляра, которое затем (ну уж очень в увеличенном
виде!) рассматривается через окуляр (рис. 7.18).
Характерным в конструкции микроскопов является то, что задний фокус
объектива Fo6 и передний фокус окуляра FOK разнесены в пространстве на расстояние
АИ11Т, которое называют оптической длиной тубуса (или оптическим интервалом). Ее
следует отличать от механической длины тубуса9 которая для микроскопов,
работающих в проходящем свете, постоянна и равна 160 мм, а для микроскопов,
работающих в отраженном свете, — также постоянна и равна 190 мм.
Линейное увеличение микрообъектива в этом случае можно найти довольно
просто:
Ро6 = -:7Г- (7-68)
U Замечание: Обратите внимание: оптический интервал Аинт
есть не что иное, как параметр z' (см. (2.7)). Тогда и
выражение (7.68) становится нам более знакомым и «родным»:
po6 = -г' / fo'0.
368

Плоскость промежуточного
изображения
Увеличенное
изображение
2Л
Предметная
плоскость
Рис. 7.18. Оптическая схема микроскопа.
Видимое увеличение окуляра, по сути выполняющего роль обычной лупы,
можно найти как
250
Г1=-
J OK
(7.69)
а общее увеличение микроскопа как простое произведение обоих увеличений:
П^ЧМПк- (7-70)
Интересно отметить, что действие всего микроскопа можно рассматривать как
действие некоторой сложной лупы. В этом случае видимое увеличение всего
микроскопа можно найти как и увеличение лупы:
250
Гх =-
микр /v
Jмш
(7.71)
где /микр — заднее фокусное расстояние микроскопа, которое, как следует из (7.68)—
(7.70), равно
Г Г Г
J об J ок Уок
' Линт " |Pj'
-/микр
(7.72)
Обычно линейное поле зрения микроскопа ограничивается полевой
диафрагмой, располагаемой в плоскости промежуточного изображения, т. е. в передней
фокальной плоскости окуляра. Как следует из рис. 7.18, ее диаметр можно найти
следующим образом:
Dna = 2/ = 2/iKtgco = 2/iKtg(D'. (7.73)
А если выразить фокусное расстояние f'OK окуляра через видимое увеличение из
(7.69), то диаметр полевой диафрагмы можно найти из выражения
500tg(o'
А,
Г1
(7.74)
Воспользовавшись линейным увеличением микрообъектива роб, при
известных размерах полевой диафрагмы Dnn несложно найти линейное поле микроскопа в
пространстве предметов:
369

2y-t\- (7Л5)
А при замене Dnjl ее значением из (7.74) формула для линейного поля микроскопа 2у
принимает следующий вид:
2^ = ^. (7.76)
В общем, Вы можете по-разному «крутить» приведенные выше выражения, не
забывая при этом об оптике Гаусса. Уверяем, Вы сможете получить много интересных
формул, а мы пойдем дальше.
Положение апертурной диафрагмы выбирают при конструировании
микрообъективов. Ею может служить либо последняя линза микрообъектива, либо
материальная диафрагма, расположенная в промежутке между последней линзой объектива
и его задней фокальной плоскостью или непосредственно в задней фокальной
плоскости микрообъектива. Последний случай наиболее часто используется в
измерительных микроскопах, поскольку при таком расположении апертурной диафрагмы
в микроскопе формируется телецентрический ход лучей.
В оптических системах с большим апертурным углом, а преимущественно к
ним относятся микрообъективы, всегда стремятся строго выполнять условие синусов
Аббе (6.74):
Роб =4^ (7.77)
п sin a
где а и а' — соответственно передний и задний апертурные углы, а п и ri —
показатели преломления сред перед и за объективом. Если положить, что показатель
преломления за объективом ri = 1, то из (7.77) получаем:
sino. = «!"£. (7.78)
Роб
Как видно из рис. 7.18, радиус выходного зрачка равен произведению фокусного
расстояния окуляра на синус апертурного угла <У. С учетом (7.72) и (7.78) для диаметра
выходного зрачка DBbIX зр имеем
Ашх. зр = 2/0'Ksina' = 2f'OK— = 2«/^KpSina = 2(NAY'MliKp, (7.79)
Роб
где (NA) = wsina — числовая апертура микроскопа (здесь угол a > 0), а /микр — его
фокусное расстояние, определяемое согласно (7.72).
а
Замечание: Заметим, что несколько необычное название
(Л/Л) имеет происхождение от двух английских слов «numerical
aperture», что дословно переводится как числовая апертура.
И вновь можно «крутить» формулы, «как душе угодно». Например, если в
полученное выражение поставить /'микр из (7.71), то в результате получим зависимость
диаметра выходного зрачка DBbIX зр от параметров (NA) и Гх:
500(М4)
ДВЫхзР=-р^. (7.80)
микр
Согласно дифракционной теории Аббе, минимальное расстояние 8МИ1ф между
двумя точками, которые мы можем увидеть раздельно, в микроскопе определяется
выражением
2(NA)
8Микр=^7Т7Т7- (7-81)
370

Обращаем Ваше внимание, что формула (7.81) для предела разрешения «работает» и
при больших углах а в отличие от ранее приведенной формулы (5.3). Очевидно, если
две точки расположены в фокальной плоскости объектива (или близко к ней),
угловое расстояние между ними можно определить как отношение
г
J МИ1
Рм„кР=^Ч (7.82)
' микр
которое должно быть равно или больше разрешающей способности глаза, т. е. рмикр >
> рП|. Полезное видимое увеличение микроскопа Г*икр в этом случае, согласно
выражениям (7.71), (7.81) и (7.82), должно быть не менее
Амикр ^ Р™. (7.83)
Полученная формула (7.83) позволяет легко найти диапазон значений
полезного увеличения микроскопа, при котором будет полностью использоваться его
разрешающая способность. Диаметр выходного зрачка микроскопа обычно составляет
1 ч- 0,5 мм, что обеспечивает угловой предел разрешения глаза 2' ч- 4'. В радианах это
соответствует значениям 5,85-Ю-4 ч- 1,1710"3. Принимая рабочую длину волны в
видимой области спектра равной 0,00055 мм, несложно найти предельные значения
полезного увеличения Г*икр пол :
^^>х 5,85.10-, 527(ЛМ) и ^^>х ,,,7-Ю "* * 1054(М4).
0,00055 0,00055
Обычно в оптике эти значения округляют и записывают в виде неравенства:
5ЩШ) < Г*икр пол < 1000(М4). (7.84)
«Растолковать» его можно очень просто! Нужно понимать и помнить, что
увеличение микроскопа, прежде всего, необходимо для создания соответствующих
условий, при которых глаз человека в состоянии увидеть все детали предмета,
разрешенные объективом.
Микроскоп, видимое увеличение которого меньше 500(М4)> просто не даст
возможности увидеть глазу тонкую структуру в изображении, которую может
сформировать объектив с числовой апертурой, равной NA. В то же время видимое
увеличение более \000(NA) вообще бессмысленно, так как оно (это увеличение) просто
не сможет сделать доступным мелкие детали, присутствующие в структуре объекта.
Ну а если проще, то в первом случае объектив еще разрешает, а глаз уже не
видит, а во втором — глаз еще способен увидеть, а объектив уже не разрешает.
Кроме разрешения, не менее важной характеристикой для микроскопа
является глубина изображаемого пространства Т. Она определяет ту часть пространства,
расположенную вдоль оптической оси системы, которая достаточно резко
отображается в пространстве изображений.
Глубина изображаемого пространства представляет собой сумму трех
составляющих: аккомодационной, геометрической и дифракционной глубин.
Аккомодационная глубина микроскопа непосредственно связана с
аккомодационными способностями (свойствами) глаза. При наблюдении объемного
пространства глаз аккомодируется на его различно удаленные объекты. В результате у
наблюдателя создается субъективное впечатление, что все пространство видно одинаково
резко. Аналогичная ситуация имеет место при наблюдении через оптическую
систему. Если глаз аккомодирует в пределах от 250 мм до бесконечности, то при
наблюдении через микроскоп он будет видеть резкими изображения точек объектной
плоскости, которая может располагаться в промежутке между передней фокальной плоско-
371

стью и плоскостью, удаленной от переднего фокуса на некоторое положительное
расстояние z. Если выходной зрачок микроскопа расположен вблизи его заднего
фокуса, то расстояние z, определяющее аккомодационную глубину пространства, легко
может быть определено по формуле Ньютона с учетом (7.71):
Г2 250
Следует сказать, что в микроскопах (например, измерительных), в которых
применяется окуляр с сеткой (окуляр-микрометр), Так = 0, так как глаз наблюдателя
в этом случае аккомодируется на изображение сетки.
Геометрическая глубина определяет ту часть трехмерного объекта,
расположенную вдоль оптической оси системы, которая достаточно резко отображается в
пространстве изображений. Только природа ее возникновения несколько иная.
Можно привести простой пример. Предположим, одна из точек наблюдаемого
пространства расположена точно в фокусе оптической системы, вторая — перед ним, а
третья — за ним. Очевидно, за линзой лучи, испускаемые первой точкой, пойдут
параллельно оптической оси, от второй — образуют расходящийся пучок, а от третей —
сходящийся. На сетчатке глаза вторая и третья точки вместо резкого изображения
создадут некие пятна размытия разного размера. Если диаметр этих пятен размытия
будет меньше некоторой предельной величины, связанной с угловым разрешением
глаза, то они будут восприниматься наблюдателем как резкие изображения точек.
Геометрическое расстояние между второй и третьей точками и будет определять
геометрическую глубину отображаемого микроскопом пространства. Если
воспользоваться формулами для глубины резкости, приведенными в главах 5 и 7, с учетом
(7.71), то геометрическую глубину можно найти как
тгеом=^ор^
Дифракционная глубина связана непосредственно с дифракционными
явлениями, наблюдаемыми в оптических приборах. Ее можно найти как расстояние AzBX
от плоскости фокусировки объекта до плоскости, в которой геометрический размер
пятна 81е0м от дефокусированной точки объекта AzBX равен размеру дифракционного
пятна 6дифр. Так как 6геом = AzBXDBX ф//м'И1ф, а 6дифр =X/2(NA) (согласно (7.81)), то для
дифракционной глубины можно получить следующее выражение:
ТяиАо * AzBX = ПХ ,, (7.87)
где п — показатель преломления иммерсионной жидкости, применяемой в
микроскопии для увеличения значений числовой апертуры. В качестве иммерсии
используют воду (п « 1,33), глицерин (п « 1,47), монобромнафталин (п « 1,72) и т. д.
Таким образом, полная глубина изображаемого пространства Тг,
наблюдаемого в микроскоп, определяется как
Т = Так + Тгеом + Тдифр = -™-j + 250ргл +_пк
Можно видеть, что аккомодационная глубина зависит от увеличения
микроскопа, его геометрическая глубина — от видимого увеличения и апертуры, а
дифракционная глубина определяется только апертурой микроскопа.
Расчет in калового I В лабораторной практике Вам вряд ли придется
микроскопа I моделировать «тяжелые» (или сложные) микроскопы. Как
I правило, дальше простых шкаловых микроскопов дело не
372

Входной
зрачок Dax 3p
Объектив
1
И^сЖ -
FS
ТУ" "
V об
♦—>» ■<
Полевая Окуляр
диафрагма
Н; Н
ф::
ZCDJ^ .....-.'•'•••#:::1М*"* ' """"•••-
№
>■ ■<
-5F
Выходной
зрачок DBbIX Зр
Ф'^Г
»< >»
s'r
>ф>
Рис. 7.19. К расчету оптической схемы шкалового микроскопа.
идет. Поэтому в следующем примере мы покажем как рассчитать именно простой
шкаловый микроскоп небольшого увеличения. Поскольку это последний пример
раздела, мы решили показать, каким же образом вычисляются все параметры
оптических схем.
На рис. 7.19 показана оптическая схема простого шкалового микроскопа,
который должен обеспечить отсчет по шкале с ценой деления 0,2 мм с погрешностью
не более 0,002 мм.
Шкаловый микроскоп — это довольно простая оптическая система с
небольшим увеличением, которая часто используется совместно со шкаловыми отсчетными
устройствами для повышения точности считываемых по шкале значений (отсчетов).
Некая шкала (рис. 7.20, а\ установленная на каком-либо измерительном устройстве,
проецируется с увеличением объективом шкалового микроскопа в плоскость сетки,
установленной в фокальной плоскости окуляра микроскопа (рис. 7.20, б). Такая
система отсчета позволяет легко считывать дробные части шкалы отсчетного
устройства. Ну а теперь, к делу.
Ниже приведены все исходные данные, которые мы «смогли придумать»:
• наименьшее деление шкалы Э = 0,2 мм;
• число делений на сетке в поле зрения микроскопа /7=10;
•десятые доли по шкале микроскопа отсчиты-
ваются на глаз, т. е. минимальный отсчет 8МИН =
= 0,02/10 = 0,002 мм;
• номинальная точность отсчета по шкале микроскопа 8НОм = 0,002 мм;
• фокусное расстояние объектива микроскопа/об = 15 мм;
• линейное увеличение объектива микроскопа (30б = -5 х;
• окуляр Рамсдена.
20 мм 30 мм 40 мм
29.8 мм
IIIIIIIIIIIIIII
Рис. 7.20. Шкала отсчетного устройства (а) и поле, видимое в окуляре шкалового
микроскопа (б).
30,4 мм
373

Также для наглядности мы систематизировали все то, что хотели бы (для практики!)
определить, а именно:
• видимое увеличение микроскопа Гмикр и окуляра ГоК;
• расстояние а от предмета до передней главной плоскости объектива;
• расстояние а' от второй главной плоскости объектива до переднего фокуса
окуляра;
• оптический интервал микроскопа А;
• фокусное расстояние окуляра/ок и каждой из его линз/'10к и/20к;
• вершинные фокальные отрезки окуляра sp и sK
• расстояние от второй главной точки объектива до первой линзы окуляра
s\ - 5F;
• положение выходного зрачка относительно последней линзы окуляра s'p\
• поле зрения микроскопа в пространстве предметов;
• угол поля зрения объектива (и микроскопа) 2со в пространстве предметов;
• угол поля зрения окуляра (и микроскопа) 2со' в пространстве изображений;
• апертуру микроскопа Л;
• диаметр входного зрачка объектива DBX 3p;
• фокусное расстояние микроскопа/мИ|ф.
1. Для начала определим видимое увеличение микроскопа, которое бы
обеспечило нам снятие по шкале отсчета до 5IIOM = 0,002 мм. Очевидно, увеличенный
микроскопом размер 51ЮМ, равный 0,002ГмИкр, должен быть больше предела разрешения
глаза, аккомодированного на расстояние лучшего видения 250 мм, т. е.
0,002 Гмикр >250хРгл,
где рП| = 90" — угловое разрешение, обеспечиваемое глазом при наблюдении в
микроскоп. Тогда для видимого увеличения микроскопа имеем
р ^250ргл_ 250-90' _55,
микр 0,002 0,002-206265
Для простоты дальнейших расчетов примем, что Г*И1ф = 60х.
2. Найдем увеличение окуляра. Для этого воспользуемся формулой (7.70)
|-.х _ микр _ Ои _ «лх
3. Для нахождения а и а' воспользуемся уже известными формулами для
отрезков, получаемыми после простых преобразований формулы Гаусса:
Роб ^
«' = (»-РобУоб = (1+5)х15 = 90[мм].
4. Теперь можно найти оптический интервал АИ11Т. Согласно рис. 7.19, он равен
Диит = cf "/об = 90 - 15 = 75 [мм].
5. Несложно найти и фокусное расстояние окуляра:
. 250 250
/ок = «21 1ММ .
г; 12
6. Определим основные параметры окуляра Рамсдена. Учтем, что он содержит
две одинаковые линзы с фокусными расстояниями /„ отстоящие друг от друга на
расстоянии d Для определения /л' воспользуемся формулой (2.66) для нахождения
фокусного расстояния /о'к:
374

г2
J ок
d-2/:
Если разрешить это уравнение относительно/л, то в результате получим
/;=/;+>//«-с-
Если далее положить, что d=20 мм, то искомый параметр /;, будет равен
26 мм.
7. Теперь можно определить вершинные отрезки sp и sp'.
Очевидно, что s¥ = -/0'к + d 12 = -11 [мм], s¥ = 11 [мм].
Получилось все, как и должно быть: вершинные отрезки разные по знаку, но
равные по абсолютной величине.
8. Для определения положения зрачка выхода вновь воспользуемся формулой
Ньютона. Только теперь значение z (расстояние от объектива до фокуса окуляра)
заменим отрезком а'. Тогда расстояние от точки фокуса окуляра до плоскости
выходного зрачка микроскопа будет равно
Г2 441
р = ^- = = 4,9 [мм],
и а' 90 L J
а
s'p = s'F>+p= 11+4,9= 15,9 [мм].
9. Теперь можно определить и поле зрения микроскопа Хвх в пространстве
предметов. Будем считать, что в поле зрения шкалового микроскопа должны быть
видны все десять штрихов шкалы. Очевидно, поле будет равно произведению общего
количества числа штрихов и цены делений шкалы: Хвх = пд = 2 мм. Умножив это
значение на увеличение объектива микроскопа, мы получим поле зрения в пространстве
изображений. Размеры поля зрения микроскопа в пространстве изображений можно
считать и размерами полевой диафрагмы, т. е.
*вых = Д,д = |Роб| х*вх = 5x2=10 [мм].
10. Определившись с полевой диафрагмой, можно найти угол поля зрения
в пространстве предметов, исходя из формулы
tga)=ik = JiL =0,0555.
2а' 2x90
Откуда имеем со = 3° 12" , а 2со = 6° 24". Угол поля зрения в пространстве
изображений найдем из прямоугольного треугольника, основанием которого служит половина
полевой диафрагмы, а одним из катетов — фокусное расстояние окуляра:
tgco' = -^й- = -19- = 0,238, 2со' = 26°48'.
2/о; 2x21
асо'=13°24'и2со' = 26°48'.
11. Найдем передний (входной) апертурный угол микроскопа. Будем исходить
из полезного увеличения микроскопа, которое связано с числовой апертурой NA
микрообъектива простым соотношением
500(NA) < Tj
микр*
Из этого соотношения легко найти значение синуса апертурного угла, если
принять, что /7 = 1:
375

(AM) = sino=-^=L = —= 0,1.
500 500
Откуда следует, что угол а = 6°.
12. Диаметр входного зрачка, согласно рис. 7.19, равен
А»х зР = 2 \а\ tga -2x18x0,1=3,6 [мм].
13. Диаметр выходного зрачка можно найти по формуле
Ашх.зр = А«.зр-£- = 3'6~ = 0,84 [мм].
14. Найдем фокусное расстояние микроскопа, рассматривая его как сложную
лупу:
250 250 . ,_г п
Ликр= —— = —— = 4,17 [мм].
Гмикр 60
15. Можно, наконец, найти и общую длину микроскопа (без окуляра):
L = a'-sF «90+ 11 = 101 [мм].
На этом закончим расчет параметров микроскопа. Конечно, всего этого при
моделировании или изготовлении микроскопа для временных нужд можно было бы и
не считать. Просто нам хотелось по максимуму «снять» возможные вопросы,
которые у Вас могут возникнуть.
Хотелось бы еще раз сказать, что ход расчета любой оптической системы
определяется исходными данными. Формулы, которыми мы здесь пользовались, могут
иметь другой вид. Важно понять, что, зачем и откуда берется. А так, по существу, все
расчеты — простая геометрия!
В заключение скажем, весь микроскоп можно было бы просчитать, и не
увлекаясь ранее выведенными для него формулами. Можно было вообще всю систему
просчитать как обычную двухкаскадную оптическую систему по известным
формулам оптики Гаусса: первый объектив строит перевернутое действительное
изображение предмета, а второй (тот же окуляр Рамсдена) формирует сначала изображение
первой линзой, а затем второй! Последовательно отслеживая положение предмета и
его размеры, построенные каждым компонентом оптической схемы, в конце
вычислений мы получили бы тот же результат!
Рекомендованная ли i ера iура к 1лаве 7
Бегунов Б. Н., Заказное Н. Я., Кирюшин С. //., Кузичев В. И. Теория оптических систем. М:
Машиностроение, 1981. 431 с.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 720 с.
ВолосовД. С. Фотографическая оптика. М.: Искусство, 1971. 672 с.
Друде П. Оптика. М.; Л: ОНТИ, Гл. ред. общетехн. лит., 1935. 196 с.
Ковалевская Т. Е., ОвсюкВ. Н., Белоконев В. М., Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
ЛандсбергГ. С. Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Максутов Д. Д. Астрономическая оптика. М.: ОГИЗ, 1946. 268 с.
Матвеев А. Н. Оптика. М: Высшая школа, 1985. 351с.
Михель К. Основы теории микроскопа. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
376

Михельсон Н. К Оптические телескопы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1976. 512с.
Панов В. А., Андреев Л. Н. Оптика микроскопов. Л.: Машиностроение, 1976. 430 с.
Русинов М. М. Техническая оптика. Л.: Машиностроение, 1979. 488 с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Солнцев В. А. Оптические наблюдательные приборы. СПб.: Политехника, 1991. 80 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с; Т. 5. 760 с.
Яворский Б. М, Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов
вузов. М., Оникс, Мир и образование, 2006. 1056 с.

ГЛАВ \ 8. КОМПОНЕНТЫ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Оказавшись в лаборатории с готовой, рассчитанной и вычерченной на бумаге
оптической схемой своего творения, перед достаточным количеством оптических
деталей разного «калибра», Вы не можете не задать вопрос — с чего начать?! Ниже мы
постараемся дать ответ на этот вопрос. Но не удивляйтесь, что мы будем
повторяться, ибо всегда нужно помнить, что «повторение — мать учения».
8.1. Основные парамсмры компонентов он i ических систем
А начать нужно с подбора оптических элементов и вспомогательных
приспособлений для их крепления на скамье. Помогут Вам в этом результаты ваших
расчетов или те графические наброски оптической схемы, на которых Вы (а мы на это
очень надеемся!) не забыли проставить все необходимые размеры с параметрами тех
оптических элементов, которые потребуются для моделирования «в металле и
стекле» Ваших идей.
К основным параметрам оптических элементов, которые Вас должны
интересовать, можно отнести следующие:
• фокусное расстояние/',
• вершинные фокусные расстояния sF и sh
• разрешающая способность р,
• угловое поле зрения в пространстве изображений 2со',
• световой диаметр D (в случае призм — размер граней).
Обычно часть необходимой информации Вы можете обнаружить на оправах
оптических элементов, часть — разыскать в справочниках или каталогах, а часть —
даже в учебниках по геометрической оптике. Ну а если нет возможности искать или
просто лень, ну что ж — все можно измерить (или определить) с помощью простых
оптических приспособлений — оптических скамей.
При моделировании оптических схем Вам, наверняка, придется использовать
объективы самого различного назначения: от фото- до микрообъективов. Поэтому
ниже (и сначала) мы покажем, как по той скудной информации, которая нередко
гравируется на оправах объективов, можно вычислить так необходимые для
макетирования их оптические характеристики, а потом (еще ниже) покажем, как их можно
получить с помощью простых измерения.
Фотообьективы ^а Рис- 8.1 показан фотообъектив с отображением
- его основных геометрических характеристик.
Относительное отверстие, и мы уже об этом
говорили неоднократно, представляет собой отношение диаметра зрачка входа DBX зр
к фокусному расстоянию/', т. е. DBX 2p/f (мы с Вами это отношение обозначили как
Л = DBX -ip/f). Иногда эти обозначения могут быть представлены так: «—F =50».
378

-U2io .
-*;;:: 2co'i
^o^5::-
Рис. 8.1. Линейное и угловое поля зрения.
Здесь относительное отверстие 1/2, а фокусное расстояние 50 мм. Иногда Вы можете
встретить и такую запись: 2/50. В принципе, это то же самое: числитель дроби — это
знаменатель значения относительного отверстия, а знаменатель дроби — значение
фокусного расстояния. Величина К, обратная относительному отверстию (как уже
отмечалось ранее в главе 7), называется диафрагменным числом: К = /' / DBX зр-
Принятые значения относительных отверстий определяются рядом отношений
1/0,7; 1/1; 1/1,4; 1/2; 1/2,8 и т. д., где знаменатели, по существу, и есть диафрагменные
числа, значения которых обычно указываются на оправе объектива в виде значений
диафрагм.
й
Замечание: В основу построения этого ряда
относительных отверстий положено условие: освещенность изображения,
создаваемая двумя соседними отверстиями, должна различаться
в два раза. А так как освещенность пропорциональна площади
отверстия, то очевидно, что при этом условии диафрагменные
числа должны изменяться в ^2 = 1,41 раза.
Для фотообъективов угловое поле зрения 2о' определяется форматом кадра
(который, кстати, задан в паспорте на фотоаппарат) и находится из соотношения
M=2/'tg(o',
где М—диаметр окружности, в который вписан кадровых х Квых.
Разрешающая способность фотообъективов измеряется количеством линий N
на миллиметр. Предельная ее величина Nupea лимитируется дифракционными
явлениями на отверстии фотообъектива и согласно (7.10) равна
AL
£>
1
ЛИН.
мм
1,22А/" 122ХК\
Классифицировать фотообъективы можно по самым разнообразным
признакам. Для нас, наверное, больший интерес будет представлять классификация по
оптическим характеристикам, т. е. фокусному расстоянию /', относительному
отверстию Dlf и угловому полю зрения 2с/.
Наибольшее распространение при моделировании оптических систем в
лабораторных условиях имеют так называемые универсальные фотообъективы,
оптические характеристики которых лежат в области средних значений. Обычно их
относительные отверстия не превышают величины 1/2,8, а угол поля зрения 2аУ<60°.
К ним в полной мере можно отнести фотообъективы серии «Индустар»,
характеристики которых для различных типоразмеров лежат в следующих пределах:
379

• фокусное расстояние от 20 мм до 500 мм,
• относительные отверстия от 1/9 до 1/2,8,
• угловое поле зрения может достигать величины 64°.
В объективах серии «Индустар» достаточно хорошо исправлены аберрации,
что позволяет получать изображения высокого качества. Но существенный их
недостаток— резкое падение разрешающей способности от центра к краю поля зрения.
Для различных типоразмеров объективов разрешающая способность в центре поля
зрения составляет 50 -ь 25 лин./мм и падает к краю до 30 -^ 12 лин./мм.
К группе универсальных фотообъективов можно также отнести объективы
серий, известных под названием «Триплет» и «Вега».
Следующую группу фотообъективов составляют так называемые
светосильные объективы. К ним относятся объективы серий «Юпитер» и «Гелиос».
Более подробные сведения по фотообъективам можно найти в каталогах
предприятий-производителей и в справочниках по оптическим приборам.
Объективы
гел ее конических
систем
С объективами телескопов, коллиматоров или
зрительных труб дела обстоят значительно проще. Они, как
правило, представляют собой сборки, состоящие из двух
(рис. 8.2, а), в крайнем случае, трех (рис. 8.2, б) линз.
Основными характеристиками объективов
телескопических систем являются, по-прежнему, фокусное расстояние /', относительное
отверстие Dlf и угловое поле зрения 2о'.
^^^^^^^^^^^^^^^^^ При их использовании входной зрачок
нередко совмещается с оправой объектива. В этом
случае во всех прикидочных расчетах размеры
входного зрачка можно заменить измеренным
каким-либо образом световым диаметром самого
объектива.
На оправах объективов телескопических
систем довольно часто гравируют или наносят каким-
то иным образом значение фокусного
расстояния/'.
Если входной зрачок объектива совпадает с
его оправой, получить остальные характеристики
не составляет труда. Зная световой диаметр
объектива DCB диам = Д»х зР = D и его фокусное расстояние,
можно найти, если это необходимо, его относительное отверстие А = Dlf.
Двухлинзовые объективы телескопических систем, как правило, дают хорошее
качество изображения при относительных отверстиях не более А= 1/4 и угловых
полях зрения 2(о' не более 6°. Трехлинзовые объективы телескопических систем
позволяют увеличить величину относительного отверстия до значений порядка Л = 1/2.
Напомним, что угловое предельное разрешение объективов телескопических
систем можно найти, как и раньше (см. (7.62)):
pTeJ. = р~ [радиан].
Рис. 8.2. Двухлинзовый {а) и
трехлинзовый (б) объективы
телескопических систем.
Микрообьективы I При моделировании оптических систем нередко
I используют микрообъективы и окуляры. Обычно на
оправах микрообъективов гравируют или наносят каким-либо
иным способом линейное увеличение (3 и числовую апертуру NA. На оправе
микрообъектива обычно это выглядит так: 8х и 0,2.
380

3.7х
"v.
Рис. 8.3. Общий вид микрообъективов
с увеличением 3,7х (а) и 8х (б).
Иногда Вы можете встретить
микрообъективы, на оправах которых
нанесены значения фокусного
расстояния и числовой апертуры. Тогда
это может выглядеть так: F 8,2 0,37.
На рис. 8.3 показан внешний вид двух
объективов: один — с линейным
увеличением 3,7х, числовая апертура
которого равна 0,11 (на рис. 8.3, а не
показана), а другой — с линейным
увеличением 8х и числовой апертурой
0,2 (рис. 8.3, б). Как уже отмечалось ранее, числовая апертура представляет собой
параметр объектива, вычисляемый следующим образом:
NA = /? х sina,
где п — показатель преломления среды (иммерсионной жидкости), а a — передний
апертурный угол. В случае «сухих» объективов п = 1 и sin a < 1.
Со стороны оправы микрообъектива, обращенной внутрь микроскопа, Вы
можете увидеть вставленную апертурную диафрагму, выполненную в виде специального
отверстия в непрозрачном металлическом экране или в виде последней затяжной гайки.
Нередко апертурной диафрагмой служит механическая оправа последней линзы.
В случае малых апертурных углов а, когда sina «tga, диаметр апертурной
диафрагмы рассчитывается по формуле (7.79) при /7=1:
Dm = 2(NA)fa9
где/об — фокусное расстояние микрообъектива.
Откуда, считав с оправы значение числовой апертуры и каким-то образом
измерив непосредственно диаметр апертурной диафрагмы, можно найти фокусное
расстояние микрообъектива:
Г - °™
Уо6 2(NA)'
Можно поступить и по-другому. Зная, что линейное увеличение микрообъектива
согласно (7.68) равно
л
Роб —
Job
где А — оптический интервал (обычно равный 160 мм), фокусное расстояние
микрообъектива/об можно найти как
f — ИНГ
/об — о
Знание числовой апертуры микрообъектива позволяет легко найти его
линейный предел разрешения. Согласно (7.81),
8МИ1Ш = Гмм].
* 2{NA) L J
Тогда разрешающая способность микрообъектива может быть найдена как величина,
обратная линейному пределу разрешения:
1 2(NA) I
NM
лин.
В качестве иллюстрации приведем два примера оптических схем
микрообъективов с увеличением 10х (рис. 8.4) и 20х (рис. 8.5) и апертурами соответственно 0,3 и 0,4.
381

I Апертурная диафрагма
Dan = 10 мм
Рис. 8.4. Оптическая схема микрообъектива с увеличением Р = -10х
Ахроматический объектив. Длина тубуса 160 мм. Числовая апертура
SA = 0,3. /об= 15,4 мм. Sf= —6,15 мм. Sf = -7,15 mm.
4—^—■.
^.cV<lb-5><
Апертурная диафрагма
Da„ = 8 мм
"18
161.6
\
180
Рис. 8.5. Оптическая схема микрообъектива с увеличением Р = -20х. |
Ахроматический объектив. Длина тубуса 160 мм. Числовая апертура I
\7А = 0,4./об = 8,4 мм. sF = -1,5 мм. Sf = 6,9 мм.
Покажем, как можно приближенно найти значения их фокусных
расстояний, воспользовавшись двумя различными формулами.
Для первого микрообъектива имеем
, Аиш 160 Ра„ Ю
/об=--г—= —=16[мм]или /об= — «т-т-г
Роб 10 2sina 2x0,3
« 16,7 [мм].
Аналогично вычисляем приближенно фокусное расстояние для второго
микрообъектива:
8
АИ11Г 160 , Ра„
/об=—— = —- = 8 [мм] или /об*— *—-—
Роб 20 2sina 2x0,4
a 10 [мм].
Этого вполне достаточно для предварительного макетирования оптической
схемы. Более точные сведения можно найти в любых справочниках по оптике.
Окуляры
I Окуляры в оптических приборах всегда выполняют
роль лупы, с помощью которой рассматривают
изображение, сформированное объективом.
Отсюда вытекают и те требования, которые предъявляются к окуляру при его
проектировании.
Основными характеристиками окуляров являются:
• фокусное расстояние/',
• угловое поле зрения в пространстве изображений 2со',
• диаметр выходного зрачка Р'.
Часто, чтобы изменить сходимость входящих в окуляр лучей, используют
коллективную линзу (нередко называемую коллектором), которая устанавливается перед
лупой. Если быть более точным, то коллектор предназначен для изменения хода
наклонных пучков света.
Различных конструкций окуляров, выпускаемых промышленностью,
достаточно много. Их разнообразие определяется требованиями, которые предъявляются к
382

ним при их проектировании как по аберрационным, так и по габаритным
характеристикам.
Для нас же важно то, что все типы окуляров (кроме используемых для
фотографии) рассчитываются в обратном ходе лучей из бесконечности, т. е. со стороны
глаза. Именно поэтому их выгодно (из-за габаритов) использовать в качестве
входных объективов для систем, работающих в параллельных пучках. Только в этом
случае их необходимо включать в оптическую схему «задом наперед».
В принципе и для микроскопов, и для телескопических систем могут
использоваться одни и те же типы окуляров. Различие их состоит только в исполнении
корпусов и способов крепления.
На корпусе окуляров для микроскопов всегда указывается значение его
видимого увеличения Гхк, например, 15 х. На окулярах для зрительных
труб увеличение окуляров указывается очень редко. Как правило, в оправы окуляров
микроскопов со стороны рассматриваемого изображения вставлены
материализованные полевые диафрагмы.
Зная увеличение окуляра, достаточно просто найти его фокусное расстояние
(точно так же как для простой лупы):
= 250
J OK |-.х '
ок
В микроскопах широкое применение находят окуляры Гюйгенса и Кельнера.
Окуляры по схеме Гюйгенса состоят всего из двух линз (рис. 8.6, а) и достаточно
хорошо исправлены на хроматизм. Особенностью этих окуляров является то, что
передняя фокальная плоскость, а с ней и передний фокус Fi лежат между линзами. То
есть изображение предмета, создаваемое объективом микроскопа, формируется в
передней фокальной плоскости ¥\ окуляра и является мнимым для коллективной
линзы Oi (первой линзы окуляра по ходу распространения луча). Коллективная линза
создает действительное изображение в переднем фокусе F2 глазной линзы (лупы Ог).
В результате глазная линза формирует изображение рассматриваемого предмета в
бесконечности. В передней фокальной плоскости глазной линзы устанавливается полевая
диафрагма окуляра. Обычно окуляры Гюйгенса имеют увеличение от 4х до 15х, угловое
поле зрения порядка — 2сУ = 30 -ь 40°, а фокусное расстояние от 17 до 62 мм.
Окуляры Кельнера (рис. 8.6, б) представляют собой двухкомпонентные
оптические системы. Причем первый компонент (по ходу луча) выполняет роль
коллективной, второй — роль глазной линзы (лупы). Обычно окуляры Кельнера имеют угловое
поле зрения порядка 2со' = 40 -s- 50°, а фокусное расстояние изменяется с шагом в пять
миллиметров, т. е. имеет значения, равные 20, 25, 30, 35,40, 45, 50 мм.
В телескопических системах нередко применяют или окуляры Рамсдена, или
симметричные окуляры, оптические схемы которых показаны на рис. 8.7.
Окуляр Рамсдена обычно состоит из двух одинаковых плосковыпуклых линз,
обращенных сферическими поверхностями навстречу друг другу. Причем расстояние
между ними приблизительно равно фокусному расстоянию окуляра/'.
Выходной
зрачок
Рис. 8.6. Оптические схемы окуляров микроскопов типа Гюйгенса (а) и типа Кельнера (б).
О,
-•^?;
О
Выходной
2 зрачок
♦....»-л-#
Ff
383

F F' F F'
•p- Q- О : •?■ О
-sv
sf ■ s¥ A_ d _ s'r
♦** >» >» ^ ■ +** ^^
Рис. 8.7. Оптическая схема окуляра Рамсдена {а) и симметричного окуляра (б) для
телескопических систем.
Передний и задний фокальные отрезки в этом случае приблизительно равны
трети его фокусного расстояния, т. е. -sF = sF> « — /'. Угловое поле зрения 2сУ,
которое обеспечивает окуляр Рамсдена, обычно лежит в пределах 30 -ь 40°. Этот окуляр
обеспечивает невысокое качество изображения и, как правило, используется в
телескопических системах с малым выходным зрачком.
Более выгодно в телескопических системах использовать так называемые
симметричные окуляры. Этот окуляр представляет собой две пары склеенных линз с
небольшим воздушным промежутком между ними, расположенных своими
положительными линзами навстречу друг другу. Он обеспечивает достаточно высокое
качество создаваемого изображения при углах поля зрения порядка 40 -ь 50°. Фокальные
отрезки и воздушный промежуток между склейками приблизительно одинаковы и
3
равны -5р « Sp « d « — /'.
8.2. Экспериментальное определение параме1рсш
оишческих элементе
Иногда необходимые оптические элементы приходится выбирать из «хлама».
Авторы по опыту знают (им это не раз приходилось видеть), что в каждой
экспериментальной лаборатории имеется столько оптического «мусора», что совсем не
трудно нарваться на какую-либо оптическую деталь, которая по внешнему виду выглядит
«на первый сорт», а на самом деле никуда не годится. В результате весь ваш труд,
затраченный на создание макета (а это выясняется, как правило, когда он уже готов),
может пойти насмарку. Поэтому всегда относитесь к этому «хламу» весьма
скептически и прежде, чем использовать какой-либо оптический элемент в своих схемах,
обязательно проверяйте его на качество создаваемого им изображения. Попутно
определяйте и его оптические характеристики, особенно такие, как фокусное расстояние и
вершинные фокальные отрезки. Тем более, что они Вам будут необходимы для
предварительного расчета и геометрических построений Ваших схем. Неоднократно Вы
их будете использовать и при натурном моделировании на скамье спроектированных
Вами оптических систем.
Способов и методик определения различных параметров оптических
элементов существует огромное множество. Мы же рассмотрим только те из них, которые
не требуют особых усилий, специальных вспомогательных средств
(приспособлений), просты в реализации и дают достаточную точность результатов измерений.
Косвенно о потенциальных возможностях оптического элемента или
оптической системы, непосредственно влияющих на качество создаваемого изображения,
можно судить по той степени достоверности, с которой они могут воспроизвести
изображение точечного источника света, и тому минимальному расстоянию между
двумя близко расположенными точечными источниками (или двумя штрихами),
которое оптический элемент (или оптическая система) сможет отобразить раздельно.
384

Именно эти два параметра — качество формируемого изображения точечного
источника и минимальное расстояние между двумя точками или штрихами,
разрешаемое системой, — дают возможность без особых затрат легко и быстро
определить, что позволит и чего не позволит получить выбранный Вами оптический
элемент или выбранная Вами оптическая система.
Это интересно: Если обратиться к эволюции оптического
приборостроения, то уже на ранних стадиях его развития
можно выделить как вполне самостоятельную группу
телескопические системы и, в частности, астрономические телескопы.
Желание астрономов как можно «глубже» заглянуть в
просторы Вселенной и «не пропустить» чего-то важного,
предопределило требования, которые стали предъявлять к
астрономическим объективам. Пожалуй, важнейшим из них являлась
способность объектива создавать раздельные изображения
близко расположенных относительно друг друга звезд. Это его
свойство получило название «разрешающая способность»
объектива. При этом размеры поля зрения в конструкции
астрономических объективов, как правило, не имели особого значения.
Такой подход позволял рассчитывать и изготавливать
объективы, качество которых приближалось, как бы мы сегодня
сказали, к дифракционному пределу.
В то же время контроль качества объективов легко
выполнялся простыми визуальными методами, которые,
собственно, вытекали из условия их эксплуатации и сводились к
наблюдению изображения одного или двух близко расположенных
источников излучения, хотя бы тех же самых звезд.
Разрешающая способность в то время позволяла
количественно оценить качество изображения, создаваемого
объективом. Более того, ее можно было рассчитать исходя из теории
дифракции, измерить с необходимой точностью с помощью
простых «подручных» средств и сравнить полученные
экспериментальные данные с результатами теоретических вычислений.
Чего уж желать лучшего!
Оценить эти две, достаточно важные, характеристики можно на одной и той
же установке, показанной на рис. 8.8. Установка досаточно проста. С левой стороны
установлен коллиматор с фокусным расстоянием /к'ол, формирующий на выходе
параллельный пучок лучей. В фокальной плоскости коллиматора установлена
диафрагма с отверстием, имитирующая точечный источник света, или стеклянная пластина с
системой параллельных полос (штрихов), называемая мирой. И в том, и в другом
случае и диафрагма, и мира при необходимости (нередко через конденсор)
подсвечиваются источником излучения требуемой мощности.
Правее коллиматора в пучке параллельных лучей устанавливается
испытуемый объектив, который формирует изображение точечного источника света или
миры, геометрия которых рассматривается с помощью микроскопа.
Безусловно, все оптические элементы установки должны располагаться на
одной прямой — общей оптической оси. Но добиться их такого расположения
достаточно трудно. Поэтому, и нередко, при проверке объективов или линз считают
достаточным, если оптическая ось испытуемых оптических элементов установлена
параллельно оптической оси коллиматора. Только в этом случае наблюдаемое изображение
точечного источника света всегда будет располагаться на оптической оси контроли-
385

Испытуемый
объектив
>
jj Коллиматор
Рис. 8.8. Установка для исследования оптических
элементов и систем.
руемого элемента. Даже совсем небольшой разворот контролируемых изделий
относительно оптической оси коллиматора может привести к появлению в сформированном
изображении точки дефектов, свойственных аберрациям астигматизма и комы.
Конечно, и безусловно, световые диаметры объектива коллиматора и
испытуемой системы должны быть совмещены.
При проверке оптических элементов большое значение имеет выбор
коллиматора с определенным фокусным расстоянием, размер «точечного» отверстия
диафрагмы, устанавливаемой в его фокальной плоскости и, конечно, выбор микроскопа,
используемого для анализа распределения светового поля в изображении отверстия
диафрагмы (точечного источника света). Поэтому, прежде чем приступить к подбору
различных комплектующих для сборки и юстировки установки аттестации и
контроля оптических элементов, поговорим о тех физических принципах, которые лежат
в основе определения их качества и, в частности, качества объективов и линз.
Оценка качества
on inческой
системы по
дифракционному
изображению
10ЧКИ
Всякий оптический прибор, какого бы назначения
или конструкции он ни был, всегда ограничен в своих
размерах. Поэтому при прохождении света вблизи краев
реальных диафрагм и оправ оптических элементов будет
наблюдаться отклонение в направлении распространения
света от тех законов, которые лежат в основе
геометрической оптики. Эти отклонения объясняются волновой
природой света и в физической оптике носят название
дифракция света.
В геометрической оптике идеальным изображением точки называют такое ее
изображение, когда все лучи, участвующие в его создании, сходятся строго в одной
точке. В реальных оптических приборах этого никогда не происходит (рис. 8.9).
В таких приборах в результате интерференции дифрагированных лучей в
области вершины «сходящегося» пучка будет наблюдаться перераспределение световой
энергии. Как мы уже отмечали ранее в главе, в случае безаберрационной
дифракционно-ограниченной системы (а только такие системы мы будем рассматривать далее)
мы получим изображение точки в виде яркого центрального диска (окруженного
чередующимися светлыми и темными кольцами убывающей яркости), называемое
кружком Эйри (рис. 8.10). На этом рисунке показаны непосредственно отверстие
точечной диафрагмы (наш «эффективный точечный источник света»), его
дифракционное изображение и распределение в нем световой энергии.
В кружке Эйри основная часть световой энергии сосредоточена в центральном
ярком диске. Поэтому радиусом кружка Эйри, а следовательно, и радиусом дифрак-
386

Рис. 8.9. К дифракции света на оправе объектива. S' — дифракционное изображение
источника S, находящегося на бесконечности.
2п
•>-ч/\
f\s~.
Рис. 8.10. Моделирование точечного источника света и его дифракционного изображения
— «точечный источник излучения» в виде точечной диафрагмы; б — дифракционное изображена
|«точечного источника»; в — распределение интенсивности света в дифракционном изображении «точеч
ного источника».
)
ционного изображения точечного отверстия принято считать радиус первого темного
кольца (см. формулу (5.3)):
г,=1,22Лх-^- или г,=0,61Лх^
А>б ^б
(8.1)
где Do6 — световой диаметр объектива (зрачок входа объектива); /?0б — радиус
светового диаметра объектива; /0'6 — фокусное расстояние испытуемого объектива.
Обращаем Ваше внимание, что формула (8.1) справедлива при малом заднем
апертурном угле: 2<У « Д>б/^об ^ 1 •
Заметим, что у представленного на рис. 8.9 однолинзового объектива апертур-
ная диафрагма совмещена с оправой объектива и является таким образом входным и
выходным зрачком объектива.
По внешнему виду дифракционного изображения точечного источника,
которое может воспроизвести испытуемый объектив или оптическая система, и
принято судить о качестве исследуемой системы (рис. 8.11).
Если в изображении точечного источника видно яркое неокрашенное светлое
пятно, окруженное одним—двумя концентрическими кольцами, не имеющими
разрывов, то у Вас в руках качественный объектив или линза (а).
Если Вы видите большее количество колец вокруг центрального пятна, у Вас в
руках объектив (или линза) с явно выраженной сферической аберрацией (б). Ее
причиной чаще всего являются погрешности обеспечения требуемых толщин линз и
воздушных промежутков между ними.
387

(о)
Рис. 8.11. Отображение аберраций в
изображении точечного источника света,
формируемого объективом с ярко выраженными
аберрациями.
а — дифракционное изображение точечной
диафрагмы в случае высококачественного объектива;
б— увеличенное число колец при сферической
аберрации объектива; в — асимметричный вид
колец при аберрации кома; г — вытянутый вид колец
при астигматизме объектива.
Если изображение
«точечного источника» имеет вид пятна с
односторонним распределением
колец (или полуколец), то у Вас в
руках объектив (или линза) с явно
выраженной аберрацией кома,
возникновение которой вызвано плохой
центрировкой линз объектива (в).
Если Вы видите изображение
«точечного источника» в виде
креста, переходящего при
перефокусировке в горизонтальную или
вертикальную линию, — это значит, что у
Вас в руках объектив (или линза) с
сильным астигматизмом (г, три
изображения). Его причиной чаще всего
бывает или плохое изготовление
сферических поверхностей линз,
или искажение сферической
поверхности линзы вследствие ее
деформации при сборке объектива.
Определение
разрешающей
способное!и
обьекшва
ii.ui он in ческой
системы
Не менее важна и реальная разрешающая
способность, которую может обеспечить испытуемый
(тестируемый) объектив или система при формировании
изображения двух близко расположенных точек наблюдаемого
предмета (рис. 8.12).
Мы уже говорили, что разрешающая способность
■ определяется величиной, обратной пределу разрешения.
В свою очередь предел разрешения — это всего лишь
расстояние, измеряемое в линейной или угловой мере, между двумя близко лежащими
изображениями точечных источников света, которые глаз еще способен различить.
Пожалуй, нелишне будет напомнить и то, что по Релею за теоретический
предел разрешения двух некогерентных (по фазе) точечных источников в плоскости
Рис. 8.12. Разрешающая способность объектива. S\ и S'2— дифракционные изображения
источников S] и S2. находящихся на бесконечности.

изображения испытуемой оптической системы б[,ред принимают такое положение их
изображений, при котором максимум освещенности дифракционного изображения
одной светящейся точки предмета совпадает с минимумом освещенности
дифракционного изображения другой. Тогда наименьшее расстояние между разрешаемыми
изображениями точек будет равно величине радиуса первого темного кольца
(рис. 8.13), которое определяется формулой (8.1).
На рис. 8.13 показан результирующий контур, получаемый в результате
суммирования интенсивностей обоих изображений точечных источников излучений.
Нетрудно убедиться, что именно «провал» в его центральной части до уровня 0,74/макс
позволяет нам при наблюдении двух близлежащих источников излучения видеть
раздельно. Такой контраст (~ 26 %) обнаруживается вполне уверенно как при
визуальных, так и при объективных измерениях фотографическими или фотоэлектрическими
методами регистрации.
Обратите внимание, как все взаимосвязано в определении качества
изображения, создаваемого объективом, и в определении его разрешающей способности.
В основе того и другого лежит изображение точечного источника света, т. е. кружок
Эйри. По существу, именно радиус первого кольца кружка Эйри (см. формулу (8.1))
и есть теоретический линейный предел разрешения б;фел оптической системы, т. е.
^ел = 1 =l,22A.x^f- [mm] = 0,6Rx^-
S'nPM = 1 =1,22Хх^ [mm] = 0,6Rx^. (8.1а)
Напомним, что величина, обратная предельному линейному разрешению 5|ipeil,
носит название предельной разрешающей способности (силы) объектива и
измеряется числом линий на миллиметр:
1
N' =-
пред о/
ЛИН.
(8.2)
Предельное угловое расстояние р11рел между точками объекта, еще разрешаемое
объективом (предельное угловое разрешение), определяется из соотношения
Рпред = -JT = 1,22 х-^— [радиан] * -^—х 206265 [угл. с].
/об
Д.
А.
(8.3)
Таким образом, разрешающая способность объектива зависит от диаметра
объектива и длины волны света, при которой производятся измерения. Еще раз на-
)
Л fiT^\ 'макс/
1 1 /
пред /,
//
\\ /i • А
\
0,74/макс
'— I
j б;,рм=о,б1у"об/д*
Рис. 8.13. К объяснению предела разрешения объектива
(пояснения в тексте).
389

помним, что это справедливо для безаберрационного дифракционно-ограниченного
объектива.
й
Замечание: Пожалуй, нелишним будет еще раз обратить
Ваше внимание, что разрешающая способность оптической
системы характеризует ее способность давать раздельно
изображения двух близлежащих точек (или линий) предмета. Если
предел разрешения определен в пространстве предметов и
выражен в линейной мере, то он равен
§пред = = [мм] •
Р 2л sin a 2(NA) L J
Величина, обратная ему, будет определять разрешающую
способность количеством точек (или линий), укладывающихся
на единице длины, т. е. в линий/миллиметр:
1 _ 2л sin a _ 2(NA)
прел _ 5 _ ^ ~ ^
пред
ЛИН.
мм
Такой способ определения разрешения и разрешающей
способности находит широкое применение для микроскопов и луп.
Линейный предел разрешения оптической проецирующей
системы в пространстве изображений 5пред при DBX. зр / f' <с 1
равен
lf22Xf 1, 22Х
§прел = = = !' 22^К [ММ]'
Dbx. эр А
а обратная ему величина — N' разрешающая
способность — определяется по формуле
bjf — — зх- эр _ А _ 1
"РеЛ ~ бпрел ~ l,22\f ~ 1,22А. ~ 1, 22ХК
Напоминаем, что А = f' / DBX. зр — относительное
отверстие, а К = А'1 — диафрагменное число. Такой способ
определения разрешающей способности находит широкое применение
в фототехнике.
Заметим, что формула для 5пред в сравнении с ранее
полученной (5.3) справедлива в более общем случае
многолинзового объектива, у которого диаметры входного и выходного
зрачков не равны друг другу.
Разрешающая способность телескопической системы
измеряется в угловой мере и полностью определяется разрешающей
способностью ее объектива (согласно формуле (7.62)):
1,22k .
Ртел = [радиан].
зх. эр
Для нахождения предела разрешения объектива (или оптической системы)
можно воспользоваться той же самой установкой, которую мы применяли для оценки
качества создаваемого изображения точки (см. рис. 8.8). Достаточно измерить радиус
центрального яркого диска кружка Эйри (или его диаметр и поделить его пополам).
Но можно на этой же самой установке использовать в качестве теста-объекта миру,
установленную в фокальной плоскости коллиматора.
390

Мирами называют специальные
тест-объекты, применяемые для
определения разрешающей способности
оптических элементов или оптических
систем, которые представляют собой
семейства штрихов, ориентированных
в пространстве друг относительно
друга под углом 45° (рис. 8.14), причем
они могут быть как «позитивного»
типа (светлые штрихи на темном фоне),
так и «негативного» (темные штрихи
на светлом фоне).
Если мира установлена в фокальной плоскости объектива коллиматора с
фокусным расстоянием /K'OJI, то линейное 8 и угловое р расстояния между двумя
соседними штрихами элемента миры связаны простым соотношением
tgp = -^-. (8-4)
./кол
При малых значениях углов, когда tgp « p, можно пользоваться формулой
Рис. 8.14. Элемент штриховой миры
«позитивного» и «негативного» типов.
р« —[радиан].
Укол
(8.5)
Всего штриховая мира может содержать до 25 элементов. Каждый элемент
миры имеет свой номер, который связан с шириной штрихов. Сами миры
различаются по их номерам. Всего типоразмеров штриховых мир — пять. К каждому
комплекту мир прилагается таблица значений углов разрешения для каждого элемента всех
пяти мир. Размеры элементов всех номеров мир можно найти в ГОСТ 15114-69.
Определить реальный предел разрешения испытуемого объектива в линейной
мере, если известно его фокусное расстояние, можно следующим образом:
5реал =/o6tgPpe*, «/обРреал [мм].
(8.6)
Здесь Рреал — реальный предел разрешения испытуемого объектива в угловой мере,
определяемый из выражения
«6 If
реал J кол
(8.7)
где 8реал — предел разрешения объектива, приведенный ко входу, т. е. в плоскости
штриховой миры. С учетом выражения (8.7) формулу (8.6) можно записать в
следующем виде:
6' =6 f'l Г . (8.8)
реал реал^об Укол \v,v/
Техника определения разрешающей способности испытуемого объектива или
системы довольно проста и интуитивно понятна. Изображение миры, образуемое
испытуемым объективом (или системой), рассматривают с помощью микроскопа,
начиная с крупных элементов миры. Последний элемент, в котором четко различают
штрихи всех четырех направлений, т. е. параметр 8реал, и определяет реальное
предельное разрешение объектива, которое по известным фокусным расстояниям
коллиматора и тестируемого объектива вычисляется по формуле (8.8).
Нередко штриховые миры применяют и для оценки качества изображения,
создаваемого испытуемым объективом. Качественным объективом можно считать
такой, который отображает штрихи всех направлений последнего разрешаемого
элемента миры без каких-либо искажений.
Более подробные сведения о мирах, в случае необходимости, можно найти во
многих учебниках и справочниках по геометрической оптике.
391

Но теория теорией, а практика практикой! Познакомившись с такими
понятиями, как качество создаваемого изображения и предел разрешения (или
разрешающая способность), которые непосредственно связаны с качеством изготовления
оптического элемента или системы, попробуем определиться с теми техническими
характеристиками, которые должна обеспечивать контрольно-измерительная аппаратура.
Вь,б0р Для этого, очевидно, мы должны выбрать кол-
компоненгов лиматор с соответствующими фокусным расстоянием и
контрольно- I световым диаметром объектива, размер отверстия диа-
измеригельной I фрагмы, устанавливаемой в фокальной плоскости колли-
системы I матора для имитации точечного источника излучения,
■ номер миры для определения разрешающей способности
испытуемого объектива. Необходимо также подобрать
увеличение микроскопа и его апертуру как для качественного анализа распределения
светового поля в изображении точечного источника света (кружке Эйри), так и для
обнаружения предельных разрешаемых элементов миры.
Чтобы нам лишний раз не повторяться, мы параллельно с изложением
методики подбора компонентов контрольно-измерительной установки приведем
конкретный пример ее расчета для исследования возможностей объектива со световым
диаметром Do6 = 50 мм и фокусным расстоянием/^ = 400 мм.
В то же время у нас «под рукой» имеется коллиматор с фокусным расстоянием
/кол = 1200 мм и световым диаметром объектива DKOJ1 = 60 мм. В качестве осветителя
мы выберем источник излучения с длиной волны X = 0,56 мкм.
Интуитивно понятно, что при выборе контрольно-измерительной системы мы
должны «отталкиваться» от тех параметров испытуемого объектива, которые мы
хотим определить или проверить.
Поэтому сначала, исходя из размеров его светового диаметра и хотя бы
приблизительного значения фокусного расстояния, найдем его теоретический
(дифракционный) предел разрешения. Угловой размер радиуса первого темного кольца
кружка Эйри, определяющего величину теоретического предела разрешения
испытуемого объектива, можно найти по известной формуле (8.3):
Рпред = Роб = -^ х 206265" = 1^x0,00056 у =
Рпрел Роб D^ 5()
где Д>б — световой диаметр испытуемого объектива. Это соответствует в радианах
величине рпред = 1,3610"5 радиан.
Несложно найти и значение предела разрешения в линейной мере:
я, 1.22Я& 1,22x0,00056x400 ______
5Прел = Рпред /об = Q = ~ = 0,0055 [мм].
Все принятые обозначения приведены на рис. 8.15.
Вследствие остаточных аберраций, дефектов изготовления и сборки
объективов их реальный предел разрешения обычно принимается равным рреал =
= (1,1 -г- 1,2)рпред. Поэтому мы можем считать, что если радиус первого кольца,
полученный в изображении кружка Эйри, равен или меньше 1,2рпред (или 3,6"), то у нас «в
руках» вполне приличный объектив.
Но в последующих вычислениях мы будем использовать значение предела
разрешения, полученное в результате вычислений и равное трем угловым секундам.
Определившись с размерами возможного линейного предела разрешения
испытуемого объектива 8', можно определиться с параметрами коллиматора. Обычно
фокусное расстояние объектива коллиматора выбирают в 3—5 раз больше фокусного
расстояния испытуемого объектива, т. е. f'KOSl > (3 -s- 5)/'0б- Световой диаметр объек-
392

Элемент Коллиматор
миры
§£ .. TZ^^^^rg
/ко.
Испытуемый
объектив
Микроскоп
или лупа
Рис. 8.15. К определению оптических характеристик установки для исследования
оптических элементов.
тива коллиматора должен быть больше светового диаметра объектива испытуемого
хотя бы в 1,2—1,5 раза. В результате этих соображений нас вполне может «устроить»
наш коллиматор с фокусным расстоянием /£ол = 1200 мм и световым диаметром
DKOJ1 = 60 мм.
При оценке качества оптической системы по дифракционному изображению
точечного источника не в меньшей степени нас должен интересовать диаметр
отверстия диафрагмы, устанавливаемой в фокальной плоскости коллиматора для
«правдоподобной» имитации такого источника. Очевидно, что диаметр отверстия d0TB должен
быть заметно меньше (например, в два раза) найденного предела разрешения
объектива бреал, приведенного к передней фокальной плоскости коллиматора. Исходя из
значений параметров 8реал, /к'ол и /0'б нетрудно оценить диаметр отверстия «точеч-
/кол
ного источника»: dOTB = 0,58реал = 0,58реал —^~. При тестировании объективов с раз-
/об
решением, отличающимся от дифракционного предела в несколько раз, можно
диаметр отверстия выбрать равным 811рел :
f
у кол
"отв — 0„ред — Опред
Л
об
В нашем случае для 8отв получаем:
dorB = 0,0055^^ = 0,016 [мм].
400
Не сложнее найти и номер миры, которой мы можем воспользоваться, при
необходимости, для определения разрешающей способности испытуемого объектива.
Из наших предыдущих рассуждений понятно, что предел разрешения
оптических систем по Релею равен половине диаметра центрального диска кружка Эйри.
Соответственно и расстояние между серединами двух соседних штрихов миры
должно быть равно 8пред = 0,016 мм.
По предполагаемому линейному или угловому пределу разрешения в ГОСТ
15114-69 находят номер миры и номер ее элемента, который может быть разрешен
испытуемым объективом. Выбранную миру устанавливают в фокальной плоскости
коллиматора. А дальше дело техники: смотрите и сравнивайте!
Для экспериментального определения величины предела разрешения вообще-
то достаточно измерить диаметр центральной (наиболее яркой) части кружка Эйри и
взять его половину.
Однако изображение, которое сформирует испытуемый объектив в своей
фокальной плоскости, мы едва ли сможем детально рассмотреть невооруженным
глазом. Поэтому для того чтобы уверенно определить, на что «способен» испытуемый
объектив и детально проанализировать распределение светового поля в кружке Эйри,
393

применяют микроскоп или лупу, в качестве которой нередко используют и окуляры
зрительных труб.
Найти необходимое увеличение микроскопа для нахождения предела
разрешения можно из следующих соображений.
Комбинацию испытуемый объектив + микроскоп вполне можно (и нужно!)
рассматривать как обычную телескопическую систему, видимое увеличение которой,
как известно, определяется по формуле
_ tgco' _ tgp,,,
* сист —
г = ь = ЬКП| = —- = 40х
1 сист ^и •
tgco tgpo6
где tgp, л — тангенс углового предела разрешения глаза, a tgpG6 — тангенс углового
предела разрешения, обеспечиваемого испытуемым объективом.
Принято считать, что разрешающая способность глаз равна одной минуте
(ргл = 60"). Правда, не стоит забывать, что это справедливо только при хорошей
освещенности и достаточном контрасте. Но из опыта известно, что «угол удобного
видения», соответствующий, собственно, той же самой разрешающей способности
глаза, но при не «совсем удобных» условиях наблюдения, равен приблизительно
рП1 = 2-5-4'. Поэтому найдем увеличение микроскопа ГмИ|ф, принимая рП1 = 2'.
Сначала оценим Гсист •
tgco'tgp,,, 120
tgco tgpo6 3
С другой стороны, видимое увеличение телескопической системы можно
определить и так:
р» _ /об
1 сист — ~,
У микр
Отсюда фокусное расстояние микроскопа можно найти без проблем:
,, /об 400
/микр=—— = — =10 [мм].
' сист ^"
Теперь можно найти и видимое увеличение микроскопа:
г- - 250 -250--^-
у микр lKJ
Выбор апертуры микроскопа определяется необходимостью «охватить» весь
сходящийся гомоцентрический пучок лучей, формируемый испытуемым объективом.
Иными словами, числовая апертура микроскопа М4микр = wsina должна быть равна
или несколько больше заднего апертурного угла испытуемого оптического элемента,
т. е. /v/iMHKp > NA*.
В то же время задний апертурный угол испытуемого объектива <Тоб при малых
углах равен простому отношению
аоб * tga^e = -^ = —=^— = 0,0625.
* " 2/i 2x400
Но по условиям контроля качества изображения, создаваемого испытуемым
объективом, апертурный угол микрообъектива должен быть равен или несколько
больше числовой апертуры испытуемого объектива. Поэтому, если принять п = 1, то
NAMHKp = sinaMHKp > sin а^б = 0,0625.
По величине числовой апертуры нам вполне может подойти микрообъектив
с увеличением рмикр = 3х, у которого численная апертура равна NAMiiKp = 0,1.
394

. У \ }} Коллиматор
^ч
А i
,. •■ Зрительная
труба
Испытуемая
пласт. жа
Рис. 8.16. Установка для исследования оптических элементов
с плоскими поверхностями.
Тогда видимое увеличение окуляра должно быть не менее
микр — Нмикр '
Гх — ft yp -sp _ " МИКР _ **" ~ ох
1 микр — кмикр Л х ок —' хок— _ — - ~ ° •
Рмикр -Э
Из окуляров, имеющих такое увеличение, можно выбрать двухлинзовый
окуляр Гюйгенса, у которого ГоК = 8х, фокусное расстояние/^ = 62,6 мм, угол поля
зрения 2(о' = 22°.
Таким образом, видимое увеличение микроскопа в выбранной комплектации
будет равно требуемому.
Мы не особо увлеклись реальными значениями получаемых данных.
Главное — нам хотелось показать направление расчета контрольно-измерительных
установок, а увеличение их надежности (или точности), которое к тому же
непосредственно связано и с Вашим зрением, мы отдали Вам на откуп.
Это, в принципе, почти все формулы, которые нам могут понадобиться для
расчета элементов контрольно-измерительной установки для проверки оптических
элементов или оптических систем.
Установку, предложенную для исследования сферических деталей, можно
легко трансформировать в установку для контроля оптических деталей с плоскими
поверхностями — плоскопараллельных пластин или призм.
Для этого в ней просто необходимо микроскоп заменить на телескопическую
систему (зрительную трубу) (рис. 8.16). Качество коррекции объективов коллиматора
и зрительной трубы должно в полной мере обеспечивать изображение точечной
диафрагмы в виде кружка Эйри, включающего в себя яркий центральный диск и одно—
два светлых кольца. Зрительную трубу по коллиматору выставляют «на
бесконечность». Между коллиматором и зрительной трубой вводят проверяемую деталь таким
образом, чтобы входная грань детали была нормальна к оптической оси коллиматора.
Если изображение кружка Эйри при введении контролируемой детали на позицию
контроля не изменяется, то считают, что качество контролируемой детали «выше
всяческих похвал». Возможные изменения в геометрии кружка Эйри и в
распределении световой энергии в нем говорят о том, что с этой деталью «не все в порядке»!
На этой же установке можно с успехом определять и фокусные расстояния
испытуемого объектива (или линзы) и его вершинные отрезки.
Определение | Для прорисовки, анализа и моделирования
фокусных расстояний | оптических схем необходимо как минимум знать
методом линейных | фокусные / и /' и вершинные sF и s'F расстояния
увеличений I всех используемых в схеме оптических элементов и
395

F
-о™
-*F
~f
1tl
H'
-O-if-Qi-
F'
SF
г
Рис. 8.17. Сложный объектив и его характеристики.
их сборок. В качестве примера на рис. 8.17 показан сложный объектив и те
расстояния, которые нас должны интересовать. При габаритном расчете оптической схемы
можно считать все оптические элементы тонкими идеальными линзами, а сетки и
призмы — плоскопараллельными пластинами, редуцированными к воздуху. Этим Вы
только облегчите себе жизнь!
Прорисовать оптическую схему на бумаге можно и с учетом реальных
размеров оптических сборок, при этом не заглядывая внутрь. Чтобы на бумаге отобразить
оптическую схему в общем виде, достаточно знать всего лишь величины вершинных
отрезков Sy и 5р. Но при ее габаритном расчете желательно знать как вершинные
отрезки, так и фокусные расстояния сборок или отдельных оптических элементов.
Например, если Вы взяли какие-то оптические элементы или их сборки из
«хлама», то эти величины Вам придется определять экспериментально. Чему,
собственно, и посвящены следующие разделы этой главы.
Из огромного числа самых различных методов определения фокусных
расстояний мы расскажем только о двух: методе линейных увеличений и методе
Бесселя. Для первого из них мы воспользуемся той же установкой, с помощью которой
определяли качество и предел разрешения объектива (см. рис. 8.8).
Общая компоновка элементов установки на скамье показана на рис. 8.18.
Определение фокусного расстояния методом увеличения ничего сложного не
представляет. Для этого необходимо найти (возможно, снова в «хламе») какую-нибудь
сетку и аттестовать ее с минимально возможной погрешностью на любом
универсальном измерительном микроскопе. Для этого выполните необходимое число
измерений расстояния (как правило, не меньше десяти) между какими-либо выбранными
Вами штрихами сетки и найдите его среднее значение. Можете (вообще-то это необ-
Сетка коллиматора
/ко
15V
ы
'!] Коллиматор
Испытуемый
объектив
-£\ I
Рис. 8.18. К определению фокусного расстояния объектива методом увеличений.
396

ходимо сделать, чтобы определиться с надежностью ваших измерений!) вычислить
ошибку вашей аттестации и, если величина ошибки Вас устраивает, можете спокойно
использовать выбранную сетку в качестве образцовой меры.
На место, куда Вы устанавливали диафрагму с отверстием (или миру),
вставьте сетку, далее установите испытуемый объектив на скамье и постарайтесь выставить
его параллельно оптической оси коллиматора. Если все это Вы выполнили успешно,
то можете приступать к измерениям. В качестве средства измерения используйте
микроскоп с окуляром-микрометром. Что это такое и как его аттестовать, мы
расскажем в следующей главе.
Оптическая схема установки показана на рис. 8.19. В фокальной плоскости
коллиматорного объектива установлена сетка. Ее изображение формируется в
фокальной плоскости испытуемого объектива. Это изображение рассматривается в
микроскоп, снабженный окуляром-микрометром, с помощью которого и проводятся
измерения аттестованного расстояния между выбранными Вами штрихами.
Измерения необходимо проводить между изображениями тех штрихов сетки, расстояние
между которыми было аттестовано. Конечно, для достоверности ожидаемых
результатов желательно (и необходимо!) провести несколько серий измерений, каждый раз
определяя среднее значение измеренного расстояния. Можно оценить и ошибку
измерения.
Зная реальное расстояние укоп между выбранными штрихами реальной сетки и
расстояние между этими же штрихами д>об в изображении, сформированном
испытуемым объективом, при известном фокусном расстоянии коллиматора /K'0JI найти
фокусное расстояние объектива совсем несложно:
Г, _ .У Об /V
J об ~~ * J кол •
(8.9)
Это выражение должно Вам напомнить формулу для вычисления линейного
увеличения системы. Поэтому этот метод определения фокусных расстояний и
называют методом увеличения.
От величины фокусного расстояния испытуемого объектива зависит размер
создаваемого им изображения штрихов сетки. Поэтому может сложиться такая
ситуация, когда изображения штрихов сетки просто не попадут в поле зрения
микроскопа. Но нередко тубус микроскопа устанавливается на подвижной каретке,
снабженной миллиметровой шкалой. В этом случае можно измерить расстояние между
штрихами, перемещая весь микроскоп в поперечном направлении относительно
оптической оси. Правда, точность уже будет не та!
Очевидно, что абсолютная погрешность фокусного расстояния объектива Д/об
будет определяться погрешностями определений фокусного расстояния коллиматора
(4/колХ расстояния между штрихами реальной сетки (Ауко„) и расстояния между
изображениями ее штрихов (Ау0б)-
Сетка
±
щ
Объектив
коллиматора Е
оллиматор
—/koj
Проверяемый
объектив
с@ц-— y™z--•••■•■■ --сС III 1||- y«
Щ " K°J.' -''" "" * I 1 1 Г ~^
JH—7~ -' И t „! U-::A^
> mr.—=— \-t-: ■■: • t '
/об
|Микроскол
Окуляр-
микрометр
Рис. 8.19. Оптическая схема определения фокусного расстояния.
397

Чтобы определить погрешность предлагаемого способа, достаточно
прологарифмировать выражение (8.9), а затем продифференцировать его. В результате для
максимальной относительной погрешности 5/ получим следующее выражение:
А/об
Уоб
=
А/кол
г
у кол
+
АУкол
.Укол
+
АУоб
.Уоб
«/ =
При оценке 5/ будем исходить из того, что фокусное расстояние коллиматора
определено более точными методами, которых существует достаточно много.
В среднем их погрешность составляет величину порядка 0,2 %. Аттестацию сетки
обычно выполняют на универсальных микроскопах, поэтому второе слагаемое, как
правило, не превышает величины 0,05 %. И, наконец, третье слагаемое зависит от
неточности фокусировки микроскопа на изображение сетки, от инструментальных
ошибок окуляра микрометра и в среднем составляет порядка 0,2 -s- 0,3 %. В
результате суммарная относительная погрешность 8/ при измерении фокусного расстояния
этим методом, как правило, не превышает 0,5 %.
Определение
вершинных
отрезков
На этой же установке можно измерить и
вершинные фокусные расстояния sF и sV (нередко называемые
вершинными отрезками), которые представляют собой
расстояния между последней (первой) линзой оптической
системы и точкой заднего (переднего) фокуса. Их
практическое измерение вообще не представляет никаких сложностей.
Выставив испытуемый объектив на скамье на одной оси с коллиматором
(рис. 8.20), сначала наводят микроскоп на резкое изображение тест-объекта,
установленного в фокальной плоскости объектива коллиматора (его роль может выполнять
любой объект, будь то сетка, мира, точечное отверстие в диафрагме и т. д.), и
снимают отсчет по линейке, закрепленной на скамье.
Затем микроскоп фокусируют на поверхность последней линзы испытуемого
объектива и вновь снимают отсчет по линейке скамьи. Разность отсчетов определяет
вершинное фокусное расстояние 5р.
Для измерения второго вершинного отрезка sF испытуемый объектив
поворачивают на 180° и далее все измерения повторяют, как уже было рассказано выше.
Фокусировку на поверхность линзы можно осуществить по имеющимся на ней
царапинам или пылинкам пудры (слегка припудрив) ее поверхность, или по
капелькам влаги, просто подышав на нее.
В большинстве случаев для этой процедуры достаточно применять
микроскопы с общим увеличением порядка 20 -^ 30 крат.
1 Объектив
коллиматора
ГГЦ,
\ - =
*-М
_^ "Укол ж:
Проверяемый
объектив
г
..'.ТТ. fHsi '"V-:
*-...:: •: =?i !..•;.''
•::-f^: '".i^/""''"
1
*4-1 И положение
А
микроскопа
S'F
/об
Рис. 8.20. К определению вершинных отрезк
Фокальная плоскость
проверяемого объектива
-•^ -\j-L~.: V
I положение
микроскопа
1
ов.
398

Определение
фокусных
расстояний по
методу Бесселя
Метод Бесселя определения фокусного расстояния
оптических элементов хорош тем, что не требует
никакого дополнительного оборудования. Действительно, может
случиться так, что у Вас не окажется «под рукой» хорошо
выверенного коллиматора. Как быть? В этом случае
можно воспользоваться простым методом, предложенным
Бесселем. Иногда в литературе Вы можете встретить и другое его название:
«Определение фокусного расстояния по величине перемещения линзы».
Идея его проста. Если расстояние от предмета до изображения, которое мы
обозначим через L, более четырех фокусных расстояний испытуемого объектива, то всегда
найдутся два таких его положения, при которых на экране получается резкое
изображение предмета, правда, в одном случае уменьшенное, а в другом — увеличенное.
На рис. 8.21 показаны два возможных положения объектива и те изображения
обычной стрелки, которые они отобразят в различных положениях. Каждое
положение объектива и лучи, формирующие изображение стрелки, в каждом отдельном
случае высвечены своим цветом.
Интересно, что при резком изображении стрелок оба положения объектива
будут симметричны относительно середины расстояния между предметом и экраном.
Доказать это совсем несложно.
Если объектив относительно предмета и экрана разместить в положении I, то
для расстояний а\ и а\ будем иметь
-а\ = L-e-z,
а\ = е + z,
т. е. равно величине перемещения линзы, a z — расстоянию от линзы в положении II
до экрана.
При размещении объектива в положении II эти расстояния будут равны:
-а2 = L-z,
а'2 = z.
Воспользовавшись формулой Гаусса
1 1 1
/' а' а'
I положение
.^фгхш™ 1|«Д 4 :::!,.^:::::
Y ™:::|;;;ф4;;^ ^>^<^;::::::::г
4
Г 4%4vV"""'"" Jt""if""l: :»i'-«w.»«
! е
j -^
-*- —!
^ -Я2
II положение
j:;|.-f
| II | l^-i;»;;;-;
j; г! \ •••••-•.;,...:::
•;; """Hi....:! j
j :::::i::::~::::::
^4< "
! a'->
Рис. 8.21. Определение фокусного расстояния по методу Бесселя.
,,„-»»j
::::J
■*Ji
J
—^*
^>~;
j~i
i
1
399

найдем фокусное расстояние объектива в общем виде
аа'
/' = ■
а-а
После простой подстановки в эту формулу найденных значений аи а[ для
первого положения и а2, а2 — для второго, получим два «хитрых» уравнения:
fJL-e-z)(e+z) ^ fJ_L^ (g щ
Приравнивая правые части этих уравнений, можно найти расстояние z
z=—. (8.11)
2
Если теперь подставить найденное значение z в выражения для -а\ и а'2, то
увидим, что в обоих случаях объективы располагаются на равных расстояниях от
предмета и его изображения, а это значит, что их положения симметричны
относительно середины расстояния между ними:
, 1-е
, L + e
(8.12)
(8.13)
А теперь найдем фокусное расстояние объектива. Подставляя z из (8.11)
в (8.10), получаем удивительно простую формулу:
L2-e2
f' = ±—?-. (8.14)
41
Как видите, проще некуда!
Этот метод определения фокусного расстояния, прежде всего, хорош тем, что
он применим как к тонким, так и к толстым оптическим элементам.
й
Замечание: Фокусное расстояние оптического элемента,
по определению Гаусса, это расстояние от главных плоскостей
до соответствующих точек фокуса. Но определение положения
главных плоскостей — дело довольно нудное и трудное. А в
этом способе совсем нет необходимости знать их положение:
измеряется не фокусное расстояние объектива, а всего лишь
его перемещение. Вот так-то!
Это, пожалуй, все, что мы хотели Вам рассказать (или напомнить!).
Рекомендованная литература к главе 8
Афанасьев В. А. Оптические измерения. М.: Высшая школа, 1981. 229 с.
Ковалевская Т. Е., ОвсюкВ. К, Белоконев В. М, Дегтярев Е В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
Креопалова Г. В., Лазарева Н. Л., ПуряевД Т. Оптические измерения. М.: Машиностроение,
1987.264 с.
КривовязЛ. М., ПуряевД. Т., Знаменская М. А. Практика оптической измерительной
лаборатории. М: Машиностроение, 1974, 336 с.
400

Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Панов В. А., Кругер М. Я., Кулагин В. В. и др. Справочник конструктора оптико-механических
приборов. Л.: Машиностроение, 1980, 742 с.
Родионов С. А. Автоматизация проектирования оптических систем. Л.: Машиностроение, 1982.
271с.
СивухинД. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Сокольский М. Н. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, 1989.
221 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с: Т. 5. 760 с.

ГЛАВА 9. ОСНОВЫ ЮСТИРОВКИ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
При моделировании оптической схемы важнейшую роль играет процесс ее
юстировки (justieren — выверить, подогнать). От качества выполнения
котировочных работ во многом зависит успех эксперимента.
й
Замечание: Авторы долго обсуждали вопрос, стоит или не
стоит давать математику для вычисления хода лучей в
центрированной и децентрированной оптических системах. В
результате пришли к соглашению — не стоит. На наш взгляд, намного
важнее показать физическую сторону процесса юстировки,
раскрыть ее содержание и показать общие приемы выполнения
отдельных юстировочных операций, которые чаще всего
приходится выполнять экспериментатору при моделировании оптических
систем. Очень редко возникает необходимость вычисления хода
луча в процессе юстировки системы. Тем более, что при
выполнении юстировочных работ экспериментатор видит
результаты своего труда и может практически оценить направление и
величину необходимых перемещений юстируемых оптических
элементов .
Физический смысл процесса юстировки довольно прост: необходимо
оптические элементы, имеющие сферические поверхности, установить относительно
воображаемой оптической оси таким образом, чтобы их центры кривизны располагались
на этой оси, а их кардинальные точки находились друг от друга на заданных или
расчетных расстояниях (рис. 9.1).
Если использование в оптических системах лазеров с острой направленностью
излучения нередко позволяет принять за оптическую ось непосредственно
генерируемый им узкий пучок лучей, то при использовании некогерентных источников
такая возможность отсутствует.
Сз^ "
О Центры кривизны
о Вершины сфер
• Точки фокусов
о Главная точка
—v
Рис.
9.1
.К
Н;Н'
Р
юстировке оптической системы.
с,
1
402

Й
Замечание: Угловая расходимость пучка у газовых
лазеров составляет единицы минут, у твердотельных — это уже
несколько десятков минут, а у полупроводниковых — от единиц
до десятков градусов. Именно высокая степень
направленности излучения газовых лазеров позволила их использовать в
качестве вспомогательных средств при выполнении
котировочных работ.
Трудность определения в свободном пространстве (на оптической скамье или
специальных столах) при некогерентном освещении положения воображаемой
«оптической оси» приводит к необходимости применения для юстировки
дополнительных контрольно-юстировочных устройств, в частности, коллиматоров, динаметров и
диоптрийных трубок.
Конечно, если бы оптические элементы вставлялись, например, в какой-либо
единый корпус, то в большинстве случаев операция центрировки оптических
элементов (в частности, линз или объективов) просто бы отпала. Но в «свободном
пространстве» оптические элементы могут занимать какое угодно положение, что и приводит
к снижению качества юстировки оптической системы.
Замечание: Следует отметить, что любая линза (или
объектив) имеют две оси — оптическую и геометрическую.
Оптическая ось представляет собой воображаемую
прямую, которая соединяет центры кривизны сферических
поверхностей.
Геометрическая ось представляет собой также
воображаемую прямую, которая является осью симметрии боковой
(или торцевой) поверхности линзы, или, другими словами,
геометрическая ось служит осью вращения для образующей,
которая формирует боковую (торцевую) поверхность линзы.
В правильно изготовленной линзе геометрическая и
оптическая оси совпадают (рис. 9.2).
Если линза (или несколько линз) вставлены в оправу
(иногда говорят «оправлены»), то в этом случае роль
геометрической оси выполняет ось симметрии наружного диаметра
оправы. При этом большое значение имеет концентричность
внутреннего и внешнего диаметров оправы. Именно это условие
определяет точность центрировки оптической системы.
В правильно изготовленной сборке (оправленной линзы)
геометрическая и оптическая оси также должны совпадать. Не-
-йГ
Торец линзы
Оптическая ось
Геометрическая ось
6 I
Образующая ■
У оправы
Оптическая ось
Геометрическая ось
Рис. 9.2. Оптическая и геометрическая оси для однолинзо-
вой (а) и двухлинзовой (б) оптических систем.
403

a
ГЛ
Рис. 9.3.
/
Схема
~ ~®Л
Г\
проверки деиентрировки 1
оптических элементов. 1
совпадение этих осей свидетельствует о том, что система де-
центрирована.
Проверить децентрировку линзы (или любой сборки)
совсем несложно. Для этого существует масса самых
разнообразных оптических приспособлений и устройств. Но все они
используют простую идею. Проверяемая линза (или сборка линз)
каким-либо образом выставляется на призме (рис. 9.3, а),
хотя бы относительно луча лазера, а затем поворачивается на
360°.
Естественно, след от луча лазера, наблюдаемый на
каком-либо экране, при повороте оптического элемента или
оптической сборки на 360° опишет окружность.
Радиус описываемой окружности г, поделенный на
расстояние от линзы до экрана d, и определит угловую
децентрировку линзы (рис. 9.3, б):
г
Рдец = — [радиан] .
d
Вообразим в пространстве некую неподвижную
систему координат XYZ и предположим, что ее ось
аппликат Z является той прямой, с которой мы должны
совместить центры кривизны оптических элементов, входящих в
нашу оптическую систему.
Погрешности установки и совмещения оптических
осей элементов с осью Z, которую впредь мы будем
называть оптической осью системы, естественно приведут к снижению качества
создаваемого изображения (рис. 9.4, а).
Последствия
ошибок
нзюювления
онiически\
деталей
X
Рис. 9.4. К вопросу юстировки оптических систем: развернутая относительно визирной
линии /система (а): правильно отъюстированная система (б).

Эти погрешности можно свести в три группы:
• Погрешности, вызванные наклоном или поворотом оптических элементов
относительно оптической оси системы. Эти погрешности приводят к повороту
осевого луча и, соответственно с ним, воображаемой плоскости, в которой
создается изображение. Это так называемая децеитрировка первого рода. Де-
центрировка этого типа приводит к нерезкому отображению краевых точек
изображения и искажению масштаба изображения по полю зрения.
• Погрешности, вызванные поперечным смещением оптических элементов
относительно оптической оси системы. Эти погрешности приводят к смещению осевого
луча относительно оптической оси и, соответственно, изображения на величины
Ах и Ау. Это так называемая децеитрировка второго рода. Децеитрировка
второго рода приводит к смещению изображения относительно оптической оси и, как
результат, к ограничению («срезанию») световых диаметров оптических
элементов (или световых пучков, ограничиваемых световым диаметром линз), к
ухудшению качества изображения и увеличению предела разрешения.
• Погрешности, вызванные смещением оптических элементов вдоль оси Z на
величину Az, вызывают дефокусировку системы.
Таким образом, весь процесс юстировки линз или объективов, в принципе,
сводится всего лишь к двум операциям: совмещению центров кривизны сферических
поверхностей (или их вершин, или оптических осей отдельных элементов либо
сборок) на одной прямой, принятой за оптическую ось системы, и «расстановке»
оптических элементов на определенном расстоянии друг от друга. Правильно
отъюстированная система показана на рис. 9.4, б.
Если физический смысл юстировки довольно прост, то ее практическая
реализация требует порой значительных затрат времени. Опыт, внимательность, интуиция
(которая приходит с опытом) и, конечно, понимание физической стороны ваших
действий — лучшие помощники при выполнении юстировочных работ.
9.1. Общие замечания по выполнению юстировочных работ
Существует целый класс вспомогательных приборов,
используемых для юстировки и контроля (аттестации) оптических систем, объединяемых под
одним общим названием коитрольно-юстировочные приборы, или коротко КЮП.
Естественно, требования, предъявляемые к конструкции и качеству их
изготовления, должны быть существенно выше тех, которые предъявляются к
исследуемым макетам оптических систем (или к готовым оптическим приборам).
Поэтому довольно часто возникает необходимость выбора контрольно-юсти-
ровочных средств, которые бы обеспечили необходимую точность юстировочных и
исследовательских работ. И здесь очень важно не попасть впросак.
Ниже в самых общих чертах мы расскажем, какими соображениями следует
руководствоваться при выборе (или создании) тех средств юстировки и контроля,
которые Вам будут служить надежным подспорьем в практической реализации
ваших идей.
Пожалуй, действительно, без чего нельзя обойтись при юстировке различных
оптических систем, так это зрительные трубы и коллиматоры. С них мы и начнем.
Зрительные трубы, по сути, представляют собой телескопические системы,
предназначенные для наблюдения удаленных предметов. Подробно мы о них
говорили в главе 7. В этой же главе для нас важно то, что являясь телескопической
системой, зрительная труба «работает» с параллельными пучками (рис. 9.5).
Обратите внимание, если на вход зрительной трубы падает от удаленного
предмета параллельный пучок лучей, то его изображение, сформированное
объективом, будет отображено в фокальной плоскости объектива. В этой плоскости нередко
405

Рис. 9.6. Оптическая схема коллиматора.
устанавливаются сетки различного назначения, в частности, с помощью которых
можно оценить размеры изображения предмета, а зная увеличение зрительной
трубы, — определить размеры изображения.
Если в зрительной трубе убрать окуляр, а вместо него вмонтировать рассеива-
тель, хотя бы в виде матового или молочного стекла, и установить некий источник
излучения для освещения сетки, то мы получим обычный коллиматор (рис. 9.6).
И вновь обратите внимание: сетка в зрительной трубе была установлена в
фокусе объектива зрительной трубы. Переделывая ее в коллиматор, мы не меняли
положение сетки. Естественно, подсвечивая сетку, на выходе коллиматора мы должны
получить параллельный пучок лучей.
Таким образом, коллиматором называется оптический прибор (или оптическая
система), преобразующая расходящиеся пучки, излучаемые (или в специальных
случаях — отражаемые) отдельными точками предмета, в нашем случае сетки, в пучки
параллельных лучей.
Интуитивно понятно, если бы мы могли в идеальном случае сформировать
идеальный точечный источник излучений, то на выходе коллиматора мы бы
получили один параллельный пучок. Но, к сожалению, это только в идеальном случае,
«по жизни» которого не бывает!
Ну, а теперь вернемся к тем соображениям, о которых мы хотели Вам
рассказать.
В начале этой главы мы говорили о системах, кото-
О расходимости I рые работают с пучками параллельных лучей. В частно-
п\чков света I сти? 0 коллиматорах, которые в условиях лаборатории
обычно используются в качестве имитаторов
искусственной бесконечности.
Именно поэтому мы говорили, что источник излучения должен располагаться
строго в фокальной плоскости объектива. Но и при таком его расположении
сформировать на выходе из коллиматора строго параллельный пучок лучей (плоскую
волну) — вещь, в принципе, недостижимая. В одном случае Вас всегда будет
преследовать расходимость пучков, вызванная конечными размерами источника излучения, а
406

Рис. 9.7. Расходимость пучков при использовании источника излучения
конечных размеров.
в другом, когда источник излучения бесконечно мал, — дифракция света на оправах
оптических элементов.
Для источника излучения конечных размеров прямоугольной формы со
сторонами а х Ъ (рис. 9.7) расходимость пучков будет определяться соотношениями (/*' = -/):
2(0д =— или 2(0/, =—,
а в случае источника круглой формы с диаметром d соотношением
d
2со* =-
Г'
(9.1)
(9.2)
Очевидно, выбором фокусного расстояния /' расходимость пучка можно
уменьшить до заданной величины.
По существу угол 2со (при конечных размерах источника излучения) будет
определять угловые размеры освещаемого поля. Да и по рис. 9.7 видно, что этот угол по
своей природе ничем не отличается от угла поля зрения оптических приборов!
Казалось бы, если в коллиматорах протяженный источник излучения заменить
точечным, то останется всего лишь один осевой пучок лучей и расходимость должна
исчезнуть. Но при точечных источниках излучения начинают сильнее проявляться
дифракционные явления (рис. 9.8).
В этом случае дифракционная расходимость будет определяться выражением
2со„=-,
(9.3)
где X — длина волны, излучаемая точечным источником света, a D — световой
диаметр объектива коллиматора.
Нередко для моделирования точечного источника в фокальной плоскости
коллиматора устанавливают точечную диафрагму диаметром 0,1 ■*- 0,3 мм, освещаемую
с помощью конденсора с линейным увеличением порядка Р = -Iх. В этом случае угол
расходимости удается уменьшить до единиц угловых минут.
•■■■« 2 •
1
i
Рн
Г"
с
с. 9.8. Точечный источник \
1
р
^
I Дифр
г" —Г
D
1 1
' «я
1
>акционная расходимость.
407

Использование в коллиматорах в качестве источника излучения лазера, а в
качестве конденсоров обычных микрообъективов с небольшим увеличением позволяет,
благодаря высокой пространственной когерентности и острой направленности
лазерного излучения, использовать диафрагмы меньших размеров, диаметр которых
можно определить по формуле
</огв<0*2-^,
(9.4)
где 0 — диаметр пятна — «точки», сформированной микрообъективом вблизи
фокуса;/' — фокус микрообъектива; глаз — эффективный диаметр пучка, излучаемого
лазером; X — длина волны излучения лазера.
Пользуясь этими формулами, можно легко определить расходимость пучка,
исходящего из коллиматора, как в случае точечного источника излучения, так и в
случае источника конечных размеров.
Если, например, в качестве источника излучения использовать миниатюрную
электрическую лампочку с телом накала размером 1 х 1 мм, то расходимость
коллиматора с фокусным расстоянием/' = 1000 мм, определяемая по формуле (9.1), будет
равна
2(0о =■
1
1000
■х 206265
угл. с
рад
* 206".
Если мы воспользуемся конденсором и точечной диафрагмой диаметром dQ
= 0,1 мм, то получим угол расходимости согласно (9.2):
0,1
2(0j =-
1000
-х 206265
угл. с
рад
*2Г
Если же мы воспользуемся лазером с длиной волны излучения X = 0,0006 мм и
радиусом его пучка г = 1 мм, то при фокусе микрообъектива/' = 16 мм (увеличение 8х)
мы сможем собрать излучение лазера вблизи фокуса микрообъектива, согласно (9.4),
в пятно с диаметром
0 = 2
0,0006x16
«0,006 [мм].
3,14x1
Такой диаметр пятна позволяет нам применить диафрагму, которую едва ли
мы сможем сделать. Но все же будем считать, что нам удалось получить отверстие
диафрагмы dOTB = 0,01 мм. В этом случае расходимость пучка коллиматора, согласно
формуле (9.2), при/' = 1000 мм равна
2^= М1Х 206265
1000
угл. с
рад
*2"
Это уже «куда ни шло»! Действительно, если принять, что диаметр объектива
нашего коллиматора равен 100 мм, то можно найти его дифракционную
расходимость в соответствии с (9.3):
0 0,0006
2со/> = х 206265
100
угл. с
рад
*1,2".
Как видите, при использовании лазера и самой маленькой диафрагмы
расходимость коллиматора становится близкой к дифракционной.
Как уже нами отмечалось, при конечных размерах источников излучения
меньшую расходимость пучков обеспечит объектив с большим фокусным расстоянием.
Но и это еще не все. Существует еще одна «беда», которая и в коллиматорах, и
в зрительных трубах приводит к «искажению» положения бесконечности.
408

При сборке любой оптической системы одной из
основных задач юстировки является получение резкого
изображения наблюдаемого или измеряемого предмета в
заданном месте, в котором может располагаться
плоскость или визирной, или измерительной сетки. В оптике несовпадение двух (или
большего числа) одновременно наблюдаемых плоскостей принято называть
параллаксом.
В переводе с греческого слово «parallaxis» (а возможно, с латинского
«parallaxes») буквально означает отклонение (или уклонение). Поэтому в самом общем
случае любое отклонение чего-либо одного от чего-либо другого в любой из
областей науки нередко называют параллаксом. Отсюда слишком много различных
определений этого хитрого слова.
Объяснить возникновение параллакса в оптике проще всего, если вспомнить,
что происходит при рассматривании предметов, разнесенных в пространстве в
направлении их наблюдения.
Например, при рассматривании предметов, разнесенных в пространстве по
глубине, любое смещение наблюдаемого предмета при смене точки наблюдения
объясняют присутствием параллакса. Так, параллакс можно легко наблюдать, если
рассматривать какие-либо два предмета, разнесенные по глубине, последовательно
закрывая то левый, то правый глаз (рис. 9.9). Трудно не заметить, как наблюдаемые
предметы начинают «прыгать» друг относительно друга.
На рис. 9.9 схематически показаны глаза человека и два предмета в виде
вертикальных отрезков разного цвета. Перекрыв (или закрыв) левый глаз, Вы увидите
зеленый отрезок справа, а сиреневый — слева (позиция I). Перекрыв (или закрыв)
правый глаз, Вы увидите, как отрезки поменяются местами (позиция II). Это и есть
проявление параллакса. Параллакс можно измерить в линейной или в угловой мере,
либо в «оптической», в диоптриях.
В оптических приборах в процессе сборки может быть нарушено взаимное
расположение оптических деталей, проецирующих изображение предмета в
плоскость наблюдения, где устанавливается какое-либо считывающее устройство или
какая-либо мера сравнения.
Первое
| положение глаз
параллакса.
409
Параллакс
и его определение
XU"'
riV и
Второе
положение глаз
Рис. 9.9. К объяснению возникнове!

fl
Замечание: Например, в коллиматорах, если положение
сетки (или источника излучения) не будет совпадать с
фокальной плоскостью объектива, то интуитивно понятно, что
наша «бесконечность» будет находиться совсем не в
бесконечности, а коллиматор не будет оправдывать свое название.
Точно так же, если в телескопической системе,
например, измерительная сетка будет располагаться вне фокальной
плоскости объектива, то эта система будет совсем не
телескопическая. Правда, за счет совмещения фокусов объектива и
окуляра можно получить афокальную систему, но все измерения
наблюдаемых предметов по сетке не будут соответствовать
действительности.
В общем, и так не хорошо, и по-другому не лучше!
Например, в обычной зрительной трубе плоскость изображения бесконечно
удаленного предмета может не совпадать с фокальной плоскостью окуляра, а если
мы в трубе установим еще и сетку, то изображение предмета, создаваемое
объективом трубы, может не совпадать и с ней.
Как видно из рис. 9.10, несовпадение плоскостей наблюдения приводит к
изменению «сходимости» (или «расходимости») лучей пучка (входная часть
оптической системы, т. е. входной объектив, не показаны).
Лучи, исходящие из фокальной плоскости объектива, за окуляром образуют
сходящийся пучок, лучи, исходящие из плоскости расположения сетки, —
расходящийся, а лучи, исходящие из фокальной плоскости окуляра, формируют
параллельный пучок света.
Обнаружить присутствие параллакса при юстировке зрительной трубы
довольно просто. Как и в примере с разноцветными отрезками (см. рис. 9.9), достаточно
изменить точку наблюдения и посмотреть, изменяет ли при этом свое положение
изображение удаленного предмета относительно сетки зрительной трубы или,
наоборот, изменяет ли свое положение сетка зрительной трубы относительно изображения
удаленного предмета.
Для этого за окуляром достаточно просто сместить положение глаза,
перемещая его в пределах выходного зрачка зрительной трубы.
Не расстраивайтесь, если поначалу Вы не будете замечать никакого смещения,
со временем, после нескольких тренировок, даже не желая исследовать параллакс,
Вы всегда легко будете обнаруживать его присутствие.
Измерить величину параллакса проще всего с помощью диоптрийной трубки
или непосредственно в диоптриях, или непосредственно в линейной мере (миллимет-
6*«££ О ■:;:
-♦^
Сетка
Окуляр
<>«£;:;{;{•
./ок
Выходной зрачок
■От '
-of
со ■
Рис. 9.10. Причины возникновения параллакса: фокальная плоскость объектива
расположена перед фокальной плоскостью окуляра (а) и за ней (б).
410

pax). Для этого на диоптрийной трубке имеются две шкалы, одна из которых
отражает перемещение объектива трубки в диоптриях, а другая — в миллиметрах.
Если измерения параллакса проводились по шкале диоптрий, то найти его
величину znapajI в линейной мере можно по простой формуле:
*"аРал=±тЁ:ХМ[мм], (9.5)
'2
ок
1000
где /ок — фокусное расстояние окуляра, а М — величина параллакса в исследуемой
зрительной трубе в диоптриях. Знаки «плюс — минус» определяют положение
изображения по правилу знаков, принятых в геометрической оптике.
Более подробно об использовании при юстировке оптических систем
диоптрийной трубки мы расскажем ниже.
й
Замечание: Параллакс часто измеряют в диоптриях.
Буквальный перевод с греческого (diopter) означает видящий
насквозь. Кстати, отсюда и название раздела геометрической
оптики, в котором изучается распространение световых лучей
в прозрачных средах, — диоптрика (diopterike).
Ну, а если по существу, то диоптрия — единица
измерения оптической силы линзы Ф, равная оптической силе такой
линзы, фокусное расстояние которой равно одному метру
(f ' = 1 м) .
Так как оптическая сила линзы определяется величиной,
обратной ее фокусному расстоянию, то оптическая сила линзы
выраженная в диоптриях, просто равна обратной величине ее
фокусного расстояния, но выраженной в метрах. Чтобы было
понятнее, приведем простой пример. Пусть лупа имеет
оптическую силу Ф, равную 12 диоптриям. Определим ее фокусное
расстояние f', исходя из формулы Ф = 1 / f'. Откуда
получаем, что f' = — х 1000 мм = 83 мм.
12
Технологический прием, выполняемый в процессе юстировки оптических
систем для устранения в них параллакса, принято называть фокусировкой.
Разрешающая
способность
зрительных труб
О разрешающей способности оптических систем
мы уже говорили и не раз. В телескопических системах, а
наша эталонная зрительная труба относится именно к
этому классу оптических приборов, этот параметр
определяется пределом разрешения используемого в них
объектива, измеренного в угловой мере.
Согласно теории дифракции, предел разрешения телескопического объектива
в угловой мере зависит только от диаметра входного зрачка или его светового
диаметра (если входной зрачок совпадает с оправой объектива, т. е. DBX зр = А>б)-
1,22Х
Рте,. = — [рад],
^вх. зр
где и диаметры, и длина волны должны быть выражены в одних и тех же единицах.
Если принять, что длина волны X = 0,56 мкм, то угловой предел разрешения
телескопического объектива (выраженный в секундах), как мы неоднократно
говорили, можно найти по формуле (7.63):
411

= 140"хмм
Ртел —- •
£-увх. зр
В этой формуле диаметры по-прежнему измерены в миллиметрах.
Естественно, для полного использования разрешения, которое обеспечивает
объектив зрительной трубы, необходимо (а в принципе, и достаточно), чтобы
разрешение трубы равнялось (или было несколько большим) разрешению глаз наблюдателя.
Увеличение телескопической системы, при котором разрешение зрительной
трубы полностью используется глазами наблюдателя, и называется нормальным
увеличением. Оно равно отношению предела разрешения глаза к пределу разрешения
зрительной трубы, т. е.
1 попм = ^^ А иппм = D * ММ ,
Рзр,Ф 140"
где под D понимают или диаметр входного зрачка DBX зр, или световой диаметр
объектива Д>б-
Если принять, как мы обычно делали, разрешение глаза равным одной минуте,
т. е. рП1 = Г, то можно принять, что
ГГюрм * 0,5 DBX.3p хмм"1.
Используя значение нормального увеличения, можно определить
оптимальный размер зрачка выхода телескопической системы, при котором полностью
используется разрешающая способность системы:
гь А»х. зр Д»х. зр х мм ~
£>вых зп = = = 2 ММ.
вых.зр
1 норм KJ^-JLy%x. зр
Если же диаметр выходного зрачка получается больше 2 мм, что зачастую и
бывает, то разрешение, обеспечиваемое объективом зрительной трубы, не
используется глазом полностью и будет равно
. 60"
1 вид
где Г*ил — видимое увеличение зрительной трубы.
й
Замечание: Видимым увеличением оптической системы
(в том числе и зрительных труб или телескопических
систем) называют отношение тангенса угла, под которым
наблюдатель видит изображение предмета, образованное оптическим
прибором, к тангенсу угла, под которым наблюдатель видит
предмет невооруженным глазом:
tgco'
Гх
1 вид
tgco
Для полного использования разрешающей способности зрительной трубы (а
тем более эталонной!) необходимо, чтобы видимое увеличение зрительной трубы
было несколько больше ее нормального увеличения, например, в 2 — 4 раза, т. е.
Пил = (2 + 4) Г*орм • Это, естественно, приведет к увеличению разрешаемого глазом
угла до 2 — 4 угловых минут.
Ri.ifmn I Немаловажным моментом при юстировке оптиче-
^nn.nnuuA,.,.. I ских систем является выбор освещенности юстируемых
ofn екга I элементов, в частности, сеток и диафрагм. Это, прежде
всего, связано с реакцией глаза на изменение освещенности.
412

Пусть необходимо обеспечить равномерную освещенность или ее
симметричное изменение относительно оптической оси по полю зрения какого-либо
оптического прибора. Интуитивно понятно, что проще это сделать при слабой освещенности.
Почему? — расскажем ниже.
Зрительные ощущения человека (как и ощущения всех остальных его органов
чувств) подчиняются важнейшему закону физиологии, — закону Вебера—Фехнера.
Этот закон, названный именами открывших его ученых, — физиолога и математика,
можно сформулировать так: «Ощущения человека пропорциональны логарифму
раздражения».
На уровне обывателя, это выражение вообще можно свести к простой
(обыденной) формулировке, но которая полнее и без всякой математики раскрывает его
смысловую сторону: «Чем сильнее раздражение, тем слабее ощущения».
Логарифмическая зависимость ощущений от величины
значений раздражителей позволяет существенно расширить динамический диапазон
воспринимаемых человеком различных по силе раздражений. Если бы
ощущения были пропорциональны раздражениям, то
органы чувств должны были бы давать ощущения, различающиеся в миллиарды и
триллионы раз. Так, яркость галогенной лампы, пожалуй, в миллиарды (если не в
триллионы) раз превосходит яркость какой-нибудь неяркой звезды на небе. А
удивительно то, что глаз человека способен видеть и излучение галогенной лампы, и
излучение неяркой звезды. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать
такого диапазона ощущений.
Поэтому зрительная система человека просто «вынуждена логарифмировать»
полученные значения раздражений. А это приводит к тому, что на фоне каких-либо
значительных воздействий раздражителей слабые изменения этих воздействий мы
просто не будем замечать.
Так, если мы ненамного увеличим яркость источника излучения при уже
достаточно высокой освещенности изображения, глаз человека изменение
освещенности в изображении просто не заметит. А вот если мы увеличим яркость источника
при слабой освещенности, глаз сразу среагирует на ее изменение.
Объяснить различие между логарифмической и линейной сетками (или
масштабами) можно достаточно просто с помощью графиков, показанных на рис. 9.11.
На них отображена одна и та же функция вида у = кх, но в разных масштабах (часто
говорят сетках). Значение к принято равным единице, а х изменялось от 0 до 10.
Обратите внимание на выделенную область: чтобы получить одинаковые приращения
Ау по оси Y на равномерной и логарифмической сетках (в нашем случае это
ощущения), по оси X в логарифмическом масштабе необходимо увеличить силу воздействия
Логарифмическая
сетка
Ах Axig
Рис. 9.11. К закону Вебера—Фехнера.
Равномерная
сетка
413

на органы чувств, по сравнению с равномерной шкалой Axig, приблизительно в 3 раза,
т. е. Axig, ~ ЗДх.
Именно поэтому все опытные юстировщики предпочитают работать со слегка
«приглушенным» светом. Да Вы и сами можете обратить внимание: при слабой
освещенности изображения Вы всегда будете различать большее количество так
необходимых нередко полутонов в рассматриваемом изображении.
Безусловно, технология юстировки различных типов оптических приборов
(телескопов, микроскопов, фотообъективов и так далее) имеет свою специфику. Но
всегда можно выделить целый ряд котировочных операций, которые являются
общими для всех оптико-механических или оптоэлектронных систем. Именно на них
мы и остановимся ниже.
Но предварительно хотелось бы сказать несколько слов об универсальных
контрольно-юстировочных средствах (приборах). К ним мы отнесем эталонные
зрительные трубы, коллиматоры, динаметры и диоптрийные трубки.
9.2. Универсальные кчшгрольно-юстировочные приборы
Как и любые работы, юстировка начинается с «начала». И это «начало»
включает в себя подготовку (или даже изготовление) тех средств, которые затем можно
использовать при юстировке оптических приборов в качестве образцов сравнения.
Как правило, это тоже оптические приборы, но к которым, при их изготовлении,
предъявляются особые, более высокие требования, обеспечивающие при выполнении
последующих работ требуемые условия (в смысле точности) для сборки, юстировки,
проверки или аттестации изготавливаемых (или моделируемых) оптических систем.
Отправной точкой в изготовлении рабочих образцов сравнения может служить
обычная зрительная труба, как правило, отъюстированная на местности. Нередко
зрительную трубу, являющуюся, в принципе, «началом всех начал», в оптике
называют эталонной зрительной трубой.
9.2.1. Экиюнная зрщельпан i pvon
Действительно, первое, с чего начинают подготовку к котировочным работам,
так это со сборки, юстировки и аттестации эталонной зрительной трубы, которая
одновременно может служить и имитатором «искусственной» бесконечности.
(Конечно, если такую зрительную трубу кто-то не изготовил до Вас.)
Но мы, на всякий случай, покажем, как это обычно делается. Думаем, это не
пойдет во вред!
Изютовление
эталонной
jpnie ii.iioii фубы
Известно, что, как и все объекты, окружающие нас,
оптические элементы имеют шесть степеней свободы и,
поэтому, при их установке в «свободном» пространстве
они могут занимать самое непредсказуемое положение.
При конструировании механической части оптического
прибора конструктор-механик обычно предусматривает в своей конструкции такое
крепление оптических элементов, чтобы максимально ограничить число их степеней
свободы, а часть котировочных операций с отдельными оптическими элементами
перенести на вспомогательное, иногда специально изготовленное, оборудование —
контрольно-юстировочные приборы. Нередко эти приборы совмещаются со станочным
оборудованием, тогда открываются широкие возможности выполнить часть
предварительных котировочных операций на прецизионных (высокоточных) станках.
Довольно простым и ярким примером «автоматизации» котировочных
операций может служить изготовление обычных зрительных труб с возможно максималь-
414

^ ^
>
Рис. 9.12. Оптическая линза с шестью степенями свободы (я), центрировка
неоправленной оптической детали с помощью шлифовального круга (б) и
центрировка оптической детали в механической оправе (в).
ным использованием станочных средств, снабженных контрольно-юстировочными
приспособлениями.
Так, одной из последних операций изготовления оптических элементов типа
линз с самыми различными ограничивающими поверхностями (сферическими или
асферическими) является операция центрировки. Она заключается в том, что в
специальном патроне центрировочного станка центрируемая линза (с помощью особого
контрольно-юстировочного прибора) устанавливается так, что центры радиусов
кривизны сферических (или асферических) поверхностей (а вместе с ними и их
вершины) совмещаются с осью вращения шпинделя станка. Затем линза и шлифовальный
круг приводятся во вращение и торец линзы сошлифовывается таким образом, что
его образующая становится параллельна оси вращения шпинделя станка и,
следовательно, параллельна оптической оси линзы.
Когда линза (или несколько линз) вставляется в механическую оправу,
процедуру центрировки повторяют вновь. «Оправленная» линза в специальном патроне с
помощью контрольно-юстировочного устройства вновь выставляется на станке
таким образом, чтобы центры радиусов кривизны ее сферических (или асферических)
поверхностей (а вместе с ними и их вершины) были совмещены с осью вращения
шпинделя токарного станка. После проточки посадочного места оправы линзы (ее
образующей, по которой собранный оптический элемент вставляется в общий корпус
зрительной трубы) вся сборка оправа + линза автоматически становится
центрированной относительно оптической оси системы.
На рис. 9.12 показаны исходный оптический элемент (линза) с шестью
степенями свободы, центрировка неоправленного оптического элемента с помощью
шлифовочного круга, центрировка оптического элемента в механической оправе.
Точно такие же процедуры центрировки выполняются при сборке окуляра с
кремальерным механизмом и, в случае необходимости, сетки.
а
Замечание: Нередко сетку (визирную или
измерительную) устанавливают в окулярной части зрительной трубы,
которая может свободно перемещаться вдоль оптической оси в
теле трубы. С механизмом точной наводки на резкость весь
этот узел нередко называют кремальерным механизмом, хотя на
• самом деле в переводе с французского слово
«кремальера» (cremaillere) означает всего лишь механизм для
«тонкого» перемещения окулярной части зрительной трубы
относительно ее объектива.
415

Но для нас важно не это! Располагая сетку в окулярной
части трубы, мы должны расположить ее точно в плоскости
переднего фокуса окуляра. Тогда при наводке на резкость при
совмещении плоскости заднего фокуса объектива трубы с
плоскостью переднего фокуса окуляра и предмет, и сетку мы
увидим одинаково резко.
Нередко кремальерные механизмы снабжаются отсчетными
шкалами, по которым можно снимать отсчеты в миллиметрах при
наводке на резкость тех или иных наблюдаемых предметов.
В корпусе зрительной трубы (рис. 9.13), представляющей собой круглую
пустотелую трубу, в местах установки объектива и окуляра растачиваются так
называемые посадочные места, в которые позже будут вставлены собранные и уже
отцентрированные объектив и окуляр.
«Расточка» посадочных мест выполняется, как говорят, «за одну установку».
Только в этом случае можно гарантировать, что посадочные места будут иметь одну
геометрическую ось.
й
Замечание: Следует сказать, что порядок механической
обработки корпусных деталей оптических приборов зависит во
многом от тех технологических процессов, которые приняты на
различных производствах. Но в основе всех лежит главный
принцип: посадочные места должны обрабатываться за одну
установку (без снятия детали со станка) . Если же по каким-
либо причинам снятие детали неизбежно, то для последующей
обработки должны иметься приспособления, обеспечивающие
повторную установку детали в положение, которое она занимала
при первоначальной обработке.
Нередко для обеспечения соосности за одну установку
протачиваются и внутренний, и внешний диаметры оправ линз и
сложных объективов, а также корпусов зрительных труб.
Теперь нам осталось только вставить собранный и отцентрированный
объектив и подобным же образом собранный и отцентрированный окуляр с кремальерным
механизмом в общий корпус зрительной трубы. Кремальерный механизм с отсчет-
ным устройством должен обеспечивать, наряду с перемещением сетки и окуляра
трубы вдоль ее оптической оси, одновременное снятие отсчета по линейной шкале —
линейке кремальеры.
Угол
поля зрения
Y
Входной
I зрачок
Объектив
1
Сетка и
диафрагма
Кремальера Выходной
поля зрения
4
/об
/о к
Рис. 9.13. Конструкция зрительной трубы.
зрачок
* :
Окуляр
416

Ось вращения корпуса зрительной трубы (относительно которой она
обрабатывалась), как Вы, наверняка, уже догадались, должна совпадать с оптической осью
собранной системы.
Обратите внимание на то обстоятельство, как сама конструкция зрительной
трубы ограничивает число степеней свободы используемых в ней оптических
элементов. Если отдельный элемент системы имел шесть степеней свободы, то
вставленные в корпус зрительной трубы и объектив, и окуляр имеют только две степени
свободы. Действительно, они могут только поворачиваться вокруг оптической оси
системы и перемещаться вдоль нее.
За счет грамотной чисто механической предварительной обработки сборочных
единиц зрительной трубы нам удалось исключить выполнение операций центрировки
ее оптических элементов, а процедуру окончательной юстировки свести только к
простой установке трубы на «бесконечность».
Установка
эталонной
зрительной
трубы на
«бесконечность»
Не имея под рукой никаких вспомогательных
приспособлений для того, чтобы выставить эталонную трубу
на «бесконечность», мы просто вынуждены обратиться к
«улице». На местности выбирают характерный
достаточно удаленный некий объект, на который наводят
зрительную трубу, предварительно выставив окуляр на резкое
видение штрихов сетки (рис. 9.14). Но наводят так, чтобы
изображение выбранной точки (или элемента) удаленного объекта совместилось с
перекрестием сетки зрительной трубы. Затем перемещением кремальерной части
трубы добиваются, чтобы сетка трубы и наблюдаемый предмет были видны
одинаково резко.
По существу, юстируя зрительную трубу на «бесконечность» с помощью
кремальерной части, мы добиваемся исключения параллакса между изображением
«бесконечно» удаленного предмета и перекрестием сетки. Убедиться в этом можно,
слегка перемещая глаз в направлении, перпендикулярном оптической оси, в пределах
границ выходного зрачка зрительной трубы. Далее снимают отсчет по шкале и
записывают его. Так поступают несколько раз. Еще лучше, если в измерениях участвуют
несколько человек. По всем снятым отсчетам находят среднее значение «для
бесконечности», устанавливают его на шкале кремальеры, закрепляют кремальеру
стопорным механизмом.
С этого момента ваша зрительная труба становится эталонной, способной
заменить естественную «бесконечность» ее «искусственным» эквивалентом. Теперь
с помощью этой эталонной трубы Вы можете запросто, в лабораторных условиях,
используя ее как имитатор «бесконечности», отъюстировать любые рабочие
зрительные трубы и коллиматоры.
Л
J.ll fу
llli'" r
V V
А>
\\
Рис. 9.14. Установка зрительной трубы на «бесконечность».
417

В наиболее ответственных случаях в качестве удаленного предмета можно
использовать планету Венеру как наиболее яркую из планет, видимых на небосводе.
Вообще точно выставить зрительную трубу на «бесконечность» по резкому
изображению планеты не так-то просто. В этом Вы сможете убедиться уже при первой
попытке наведения на «бесконечность»: отсчеты по шкале при наведении зрительной
трубы на резкое видение планеты не всегда будут совпадать между собой. Поэтому
будьте предельно внимательны.
9.2.2. Рабочие зри ie.ii.in.ie i рубы и ко.кшмаюры
Из универсальных контрольно-юстировочных приборов мы рассмотрим
только рабочие зрительные трубы и коллиматоры, динаметры и диоптрийные
трубки как наиболее часто применяемые средства при юстировке оптических систем.
Название рабочие зрительные трубы и коллиматоры чисто условное и
отличаются они от эталонных зрительных труб и коллиматоров только тем, что по
отношению к ним они вторичны. Просто при их сборке и юстировке в качестве
котировочных средств применяются эталонные зрительные трубы.
Универсальные контрольно-юстировочные и контрольно-измерительные
средства выпускаются мелкими партиями предприятиями оптико-механической
промышленности и, как правило, входят в состав лабораторных установок типа оптических
скамей (ОСК-2, ОСК-3) или интерференционных столов (СИН).
Различие между рабочими зрительными трубами и рабочими коллиматорами
состоит только в том, что зрительная труба в обязательном порядке снабжена
окулярной частью и возможно визирной (или измерительной) сеткой, а коллиматор —
сеткой и осветительным устройством (рис 9.15).
Конструкция зрительных труб и коллиматоров достаточно проста и,
наверное, не требует особых пояснений. Поэтому ниже мы затронем только вопросы их
юстировки.
Из других универсальных вспомогательных средств мы поговорим о динамет-
рах и диоптрийных трубках.
Динаметры, по сути, представляют собой обычные микроскопы слабого
увеличения, а диоптрийные трубки — компактные телескопы также небольшого
увеличения. Техника юстировки или аттестации динаметров и диоптрийных трубок точно
такая же, как применяемая для юстировки и аттестации зрительных труб и
микроскопов.
Окуляр Сетка
Т г
J 1
Матовое стекло
■-©
J 1
Объектив
Объектив
шЪ**
Рис 9.15. Зрительная труба с кремальерным механизмом (а) и
коллиматор с осветителем (б).
418

Ю о а Выпускаемые промышленностью коллиматоры и
ппГ)очи\ зрительные трубы являются законченными оптическими
onuxnTTLUL.v ™*л приборами и не требуют никакой дополнительной юсти-
зрительных I ру о
и коллиматоров ровки.
.«.„«.«^..^ши^^^...е. Однако если Вы взяли в руки неизвестно что, то не
только желательно, а просто необходимо узнать, что же
это. Отличить коллиматор от зрительной трубы можно достаточно просто: по
наличию окуляра или подсветки, или посадочных мест для них. А вот насколько точно
они выставлены на «бесконечность», можно проверить с помощью Вашей эталонной
трубы. Но как это сделать, чтобы не повторяться, мы расскажем ниже.
Юстировка рабочих зрительных труб и коллиматоров, в принципе, ничем не
отличается от юстировки эталонной зрительной трубы на местности и в самом
простом случае сводится к решению тех же двух задач: совмещению перекрестия сетки
трубы или коллиматора с оптической осью объектива и установки ее строго в его
фокальной плоскости. Только теперь в лабораторных условиях в качестве имитатора
«бесконечности» (удаленного объекта) Вы можете использовать сетку эталонной
зрительной трубы, выверенной Вами на местности.
й
Замечание: Правда, не следует забывать, что для
зрительных труб нередко требуется выполнить процедуру по
устранению параллакса, возникающего в результате недостаточной
подвижки окуляра, когда из-за его ограниченного перемещения
становится просто невозможным совместить фокальную
плоскость окуляра с фокальной плоскостью трубы, в которой
располагаются штрихи сетки.
Но такая «вольность» допустима только в ваших
лабораторных «мероприятиях». В промышленных образцах зрительных
труб окуляр всегда выставлен на 0 диоптрий и допускает
перемещение в обе стороны на ±5 диоптрий.
Юстировка коллиматора и юстировка зрительной трубы имеют достаточно
много схожих (совершенно одинаковых) котировочных операций, поэтому вполне
естественно, если мы будем рассматривать вопросы их юстировки вместе. Тем более
что зрительную трубу достаточно легко «переделать» в коллиматор. Для этого
достаточно просто удалить окуляр и добавить подсветку для освещения сетки.
Для выполнения юстировки рабочей зрительной трубы (или коллиматора)
установим эталонную зрительную трубу с помощью подходящих подставок (рейтеров) на
направляющих рельсах, например, оптической скамьи (ОСК). Разместим перед ней
юстируемую трубу, которая в будущем у нас будет служить «рабочей» зрительной
трубой (или коллиматором), и постараемся максимально точно совместить по
вертикали и горизонту диаметры объективов эталонной и юстируемой труб (рис. 9.16).
Предварительно (но это не значит окончательно!) необходимо выставить
перекрестие сетки юстируемой трубы (или коллиматора) хотя бы в среднее положение
относительно ее механических подвижек. Дело в том, что при первой установке
сетки в посадочное место зрительной трубы (или коллиматора) она может занять самое
невероятное положение относительно оптической оси объектива.
й
Замечание: Здесь полезно напомнить следующее: как и
эталонная зрительная труба, выступающая в качестве
«имитатора бесконечности», так и юстируемые рабочие зрительная
труба или коллиматор предназначены для работы только в
параллельных пучках.
419

Эталонная
зрительная труба
Юстируемая рабочая
зрительная фуба
Рис. 9.16. Установка для юстировки зрительной трубы.
Поэтому, когда Вы сфокусируете зрительную трубу (или
коллиматор) на «бесконечность» и хотя бы приблизительно
«встретите» ее с эталонной зрительной трубой, то попытка
совместить их оптические оси за счет параллельного перемещения
труб относительно друг друга, естественно, к успеху не
приведет! «Встретить трубы» можно только за счет наклона и только
юстируемой трубы относительной оптической оси эталонной трубы.
«Встретив» трубы, т. е. совместив перекрестия их сеток, выставим
юстируемую трубу на «бесконечность». При этом возможны два случая.
Если юстируемая труба имеет кремальерный механизм, то установка ее
на «бесконечность», с предварительно сцентрированной сеткой в ее кремальерной
части, сводится всего лишь к определению бесконечности.
Для этого сначала наводят окуляр юстируемой (рабочей) трубы на резкое
видение собственной сетки, а затем с помощью кремальеры — на резкое видение сетки
эталонной трубы. В случае необходимости сетку эталонной трубы можно подсветить
каким-либо источником света. Резкое изображение обеих сеток — лучшее
подтверждение тому, что юстируемая (рабочая) труба выставлена на «бесконечность».
Более точный результат в определении «бесконечности» можно получить при
неоднократном наведении на резкость и снятии отсчета по шкале кремальеры
рабочей трубы. Обычно (и чтобы не забыть) среднее значение отсчетов, соответствующее
Эталонная зрительная
труба
I
\
Юстируемый рабочий !
коллиматор
> ..... V
4j"
Рис. 9.17. Установка для юстировки коллиматора.
420

Рис. 9.18. Установка перекрестия сетки на оптической оси.
а — вертикальный штрих совмещен с объектом; б — после поворота на 180° наблюдается децен-
трировка бди»; в — убирание 5Лс„/2 поперечным смещением сетки; г — поворотом зрительной трубы
убрана вторая половина смещения 5лс„/2.
установке рабочей трубы на «бесконечность», записывается непосредственно на ее
корпусе или прикрепленной к нему бирке.
В случае, когда кремальерный механизм отсутствует, для установки
юстируемой трубы на «бесконечность» перемещают непосредственно объектив трубы вдоль
оптической оси. Правда, это не так удобно, но что делать!
Сфокусировав окуляр эталонной трубы на резкое видение сетки,
перемещением объектива юстируемой трубы или по резьбе или, как говорят (когда отсутствует
резьба), по гладкому диаметру вдоль ее оптической оси, добиваются резкого
изображения сетки юстируемой трубы (рис. 9.17). Как и в первом случае, резкое
изображение обеих сеток означает, что юстируемая труба выставлена на «бесконечность».
Теперь нам осталось проверить, действительно ли мы хорошо совместили
перекрестие сетки рабочей трубы (или коллиматора) с ее оптической осью. Для этого
можно воспользоваться теми же установками, что отображены на рис. 9.16 или 9.17.
Единственное, что нужно предусмотреть, — это возможность вращать юстируемую
трубу вокруг ее оптической оси. Для начала вновь совместим перекрестия сеток
юстируемой и эталонной труб (рис. 9.18, а). Затем повернем ее на 180° вокруг
оптической оси. В большинстве случаев (как правило, всегда!) изображение сетки рабочей
трубы сместится с перекрестия сетки эталонной трубы на некую величину 8лец
(рис. 9.18, б). Это значит, что сетка смещена с оптической оси объектива юстируемой
трубы, а линия визирования (иными словами — наведения) не совпадает с
оптической осью системы.
Для исправления этого «недоразумения» достаточно оценить величину
смещения 8лец, поделить ее пополам (8лец/2) и одну половину «выбрать» смещением
сетки поперек оптической оси системы (рис. 9.18, в), а вторую — поворотом трубы
«по горизонту» (вокруг вертикальной оси) (рис. 9.18, г).
Мы не думаем, что сразу все получится «на отлично». Нередко процедуру с
вращением зрительной трубы на 180° приходится выполнять по несколько раз,
чтобы добиться необходимого результата. И у авторов это получается не сразу, но
упорство в использовании «метода последовательных приближений», безусловно, и
Вас приведет к успеху! Этот нехитрый способ, но очень часто применяющийся на
практике (и не только в оптике), нередко называют методом половинных поправок.
Й Замечание: Оптическая ось объектива должна совпадать с
образующей механического корпуса трубы. На практике корпуса
труб с посадочным местом под объектив всегда обрабатывают
на станке «за одну установку». Это значит, что, начав
окончательную обработку корпуса трубы, ее не снимают со станка
до завершения всех операций с ней.
421

\
Рис. 9.19. К центрировке сетки: котировочная призма {а), центрировка сетки
путем вращения зрительной трубы {б).
Естественно, эту процедуру по центрировке сетки рабочей зрительной трубы
следует проводить в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях. Чтобы перейти в
другую плоскость, достаточно повернуть юстируемую (рабочую) зрительную трубу
на 90° и повторить все сначала, но уже в другой плоскости.
й
Замечание: Можно поступить и иначе, если под рукой
есть призма, в которой можно с достаточной точностью
вращать трубу (рис. 9.19, а).
Установив юстируемую зрительную трубу на призме
(рис. 9.19, б) навстречу эталонной трубе (а можно и на
удаленный предмет или его фрагмент, обеспечивающий точное
визирование) , совмещают вертикальный штрих рабочей зрительной
трубы с вертикальным штрихом сетки эталонной трубы. Затем
рабочая труба поворачивается на 180°, а дальше, как раньше.
Хотелось бы несколько слов сказать и о выборе и установке осветительной
системы. Если сетка коллиматора освещается рассеянным светом, например если
перед ней стоит матовое стекло (рис. 9.20, я), то положение источника света особой
роли для юстировки не играет.
Если сетка коллиматора освещается непосредственно от источника света
(например, естественным расходящимся пучком), то положение источника света
относительно оптической оси коллиматора (рис. 9.20, бив) будет определять направление
исходящего из него пучка. Это становится понятным, если сравнить рисунки 9.20.
-Е>
[>■■■:■ J
Рис. 9.20. К юстировке осветителя при использовании рассеянного (а) света
(от матового стекла) и «прямого» света от источника света при расположении его
на оси (о) и вне оси осветителя (в).
422

Даже незначительная децентрировка источника излучения относительно
оптической оси коллиматора сформирует за объективом наклонный пучок лучей, а это
может привести к неравномерности создаваемого освещения и, как следствие, к
низкому качеству юстировки.
Вообще, выбор последовательности выполнения котировочных операций,
естественно, остается за Вами. Но чтобы увидеть что-то, наверное, все-таки прежде
необходимо выставить юстируемую трубу на «бесконечность».
Собственно, это все! Но согласитесь, выполнять юстировку вспомогательных
инструментов и приспособлений в лабораторных условиях намного уютнее.
9.2.3. Динаметр
Следующий инструмент из группы универсальных юстировочных средств, с
которым мы познакомимся в этом разделе, носит название динаметр. По конструкции
динаметр представляет собой обычный микроскоп малого увеличения (рис. 9.21), который
состоит из объектива с линейным увеличением (3 = -Г и окуляра с видимым
увеличением Гх= 12,5х. Естественно увеличение микроскопа-динаметра будет равно Гх= 12,5х.
Поле зрения микроскопа (предельные размеры измеряемого предмета) 2у = 10 мм.
Для проведения линейных измерений, например для определения видимого
увеличения испытуемых приборов, динаметр снабжен сеткой со шкалой, имеющей
100 делений с ценой 0,1 мм. Каждое десятое деление шкалы имеет оцифровку от 0 до
10. Таким образом, видимый за окуляром интервал шкалы составляет 1,25 мм.
Микроскоп перемещается внутри металлического корпуса — трубы с
помощью двух ручек, выполненных в виде винтов. Трубка самого микроскопа имеет
миллиметровую шкалу с пределом измерения 50 мм. Внешняя трубка, в которой
перемещается сам микроскоп, заканчивается фланцем — упором, с помощью которого
динаметр вплотную устанавливается к проверяемому прибору.
С помощью динаметра можно определить:
• диаметр зрачка выхода и его геометрию (форму);
• качество выполнения центрировки оптических элементов относительно друг
друга;
• удаление зрачка выхода, т. е. расстояние от последней поверхности линзы до
точки фокуса;
• увеличение телескопических систем.
423

Объектив
зрительной трубы
Коллиматор
п Окуляр
"- ., ^^^ П
« -!*-■
Диафрагма
Рис. 9.22. К центрировке оптических элементов системы, смещенных друг относительно
друга.
Если у Вас нет под рукой динаметра, то для решения всех перечисленных
задач вполне можно использовать любой микроскоп с небольшим увеличением. Как?
Сообразите сами.
Мы же только покажем, как можно с помощью динаметра выполнить
центрировку оптических элементов схемы относительно друг друга и измерить увеличение
системы.
После почти произвольной установки на оптической скамье всех компонентов
собираемой Вами оптической схемы мы можем, что чаще всего и бывает, получить
совсем «удручающую» ситуацию, которая для простой зрительной трубы отображена
на рис. 9.22. Обратите внимание: все оптические элементы зрительной трубы (кроме
оптических элементов коллиматора) как-то смещены относительно друг друга.
Для того чтобы выставить все ее компоненты на оптической оси и совместить
общую ось зрительной трубы с оптической осью коллиматора, воспользуемся
микроскопом — динаметром (рис. 9.23).
Предварительно выставим окуляр динаметра на резкое видение его сетки.
Затем установим динаметр вплотную к окуляру зрительной трубы и будем перемещать
микроскоп в корпусе — трубе динаметра до тех пор, пока не увидим резкое
изображение выходного зрачка нашей оптической системы (см. рис. 9.23).
При правильно выполненной юстировке изображение выходного зрачка вашей
системы должно представлять собой круг с равномерным распределением
освещенности (см. рис. 9.23, а). Здесь понятно и без интуиции — такое изображение
выходного зрачка можно получить только в том случае, если световые диаметры
объектива, полевой диафрагмы и окуляра будут концентричны между собой, т. е.
геометрические центры механических деталей и центры кривизны оптических деталей будут
лежать на одной прямой — оптической оси.
Объектив
коллиматора
•
с
а
Объектив
п зрительной трубы
•
)
1
гл
б
П
LJ
в
Окуляр
зрительной трубы
: ; i ji !
Динаметр
г
l<:Q
Рис. 9.23. Ограничение светового пучка («подрезание») оправами оптических элементов.
11оясн. см. в тексте.
424

Более того, весьма желательно, чтобы все оптические элементы юстируемой
(собираемой) зрительной трубы располагались концентрично элементам
коллиматора, т. е. лежали на продолжении оптической оси коллиматора.
Однако на практике, как бы тщательно Вы ни пытались установить оптические
элементы, входящие в конструкцию зрительной трубы, на одной оптической оси,
сделать это с первого раза не так-то просто! Даже слегка смещенный с оптической
оси коллиматора объектив зрительной трубы будет «срезать» часть светового потока,
ограниченного объективом коллиматора (см. рис. 9.23, б). Внести свой вклад может и
смещенная с оптической оси оправа полевой диафрагмы (см. рис. 9.23, в). Не
останется безучастным и окуляр зрительной трубы (см. рис. 9.23, г).
В результате вместо ожидаемого круга (изображения выходного зрачка) с
равномерной освещенностью мы получим «не поймешь что».
Теперь наша задача будет состоять в «наведении порядка», т. е. в
необходимости выставить (сцентрировать) все компоненты зрительной трубы относительно
оптической оси коллиматора, а значит, и относительно друг друга. Обнаружить, оправа
какого элемента срезает зрачок, можно с помощью диоптрийной трубки, фокусируя
ее на резкое изображение оправы элемента, которая приводит к срезанию зрачка.
Определив место среза, ликвидировать срезание — «дело несложное», оно
сводится только к технике его устранения. Как это сделать, Вы, наверное, уже
догадались сами.
Можно поступить по-другому: начать центрировку оптических элементов
схемы зрительной трубы с ее объектива. Возможно, придется убрать полевую
диафрагму со скамьи, так как она может ограничивать поле зрения трубы, формируемое
непосредственно оправой объектива.
Сначала постараемся «выбрать» погрешности предварительной установки
объектива за счет его перемещения вдоль осей X, У. Затем измерим диаметр
полученного изображения объектива в двух взаимно-перпендикулярных направлениях с
помощью сетки динаметра. Если размеры изображения получились равными — все
в порядке, можно переходить к юстировке следующего компонента схемы, если нет,
то необходимо сделать эти размеры (расстояния) равными путем поворота объектива
вокруг осей X, У.
На геометрию (форму) выходного зрачка могут повлиять неправильная
установка промежуточных диафрагм и линз между объективом зрительной трубы и
сеткой окуляра, смещение с оптической оси непосредственно самого окуляра и т. д.,
и т. п. Изменение размеров и положения выходного зрачка может быть вызвано и
неправильной установкой расчетных расстояний между оптическими элементами.
Удаление зрачка выхода от поверхности последней линзы окуляра можно
определить достаточно просто с помощью того же динаметра, воспользовавшись для
этого миллиметровой шкалой, нанесенной на его корпусе.
Сфокусировав окуляр динаметра на резкое видение сетки перемещением
микроскопа в тубусе, добиваются резкого изображения поверхности последней линзы
окуляра, снимают первый отсчет по миллиметровой шкале динаметра. Затем,
выдвигая микроскоп в тубусе динаметра, наводят на резкость изображение выходного
зрачка системы и вновь снимают отсчет. Разность этих отсчетов показывает удаление
выходного зрачка от последней линзы окуляра.
Нужно добиваться максимального качества юстировки. Надеемся, у Вас еще
не стерлось в памяти, что положение выходного зрачка (а его положение можно
найти или с помощью графических построений, или с помощью аналитических
вычислений) оказывает большое влияние на качество создаваемого изображения и его
освещенность (светосила любого оптического прибора пропорциональна квадрату
диаметра выходного зрачка). Поэтому по положению выходного зрачка и его геометрии
(форме) можно судить о качестве сборки и юстировки Вашей системы.
425

Конечно, сразу может и не получиться надлежащего качества. Но не
расстраивайтесь, метод последовательных приближений и Ваше упорство в любом случае
должны обеспечить успешное решение задачи.
Центрировка всех остальных компонентов оптической схемы ничем не
отличается от юстировки входного объектива зрительной трубы. Остальное Вы легко
можете проделать сами, без нас, точно таким же образом, как мы показали выше.
Определение
увеличения
оптических
сиеiем
с помощью
линамефа
Вооружившись динаметром, можно достаточно
просто определить значение увеличения, которое будет
иметь Ваша оптическая система в целом. Вообще,
определять увеличение системы можно только тогда, когда
полностью выполнена (закончена) ее юстировка. Мы
просто забегаем вперед, раз уж «зацепились» за динаметр.
Как Вы должны помнить, видимое увеличение
телескопической системы можно определить следующим
образом:
Гх =
1 тел
У об _ М»х. зр
вых. зр
^вх. зр и А»ых. зр диа-
где /об и /о'к — фокусные расстояния объектива и окуляра, a DB
метры входного и выходного зрачков.
Соотношением Гтел = DBX 3p/DBUX. зр широко пользуются на практике при
определении увеличения афокальных систем, так как оно не требует знания фокусных
расстояний компонентов схемы.
а
Замечание: Обычно в телескопических системах входной
зрачок совмещен с оправой объектива и равен его световому
диаметру.
Выходной зрачок можно увидеть на экране, установленном
за окуляром, подсветив каким-либо источником объектив
зрительной трубы. Диаметр выходного зрачка можно легко
измерить, спроецировав изображение светового диаметра объектива
(входной зрачок) на любую линейку.
Диафрагма
с прямоугольным
отверстием
ч^и
Диафрагма
в поле зрения
динаметра
Для определения увеличения зрительной трубы (как и любой другой
телескопической системы) потребуется изготовить диафрагму (или воспользоваться готовой)
с квадратным или
прямоугольным отверстием.
Размеры отверстия должны быть
аттестованы с
погрешностью, не превышающей
0,005 мм (рис. 9.24).
Для измерения
увеличения диафрагму с
отверстием закрепляют каким-либо
образом перед входным
объективом зрительной трубы
(входным зрачком) строго
перпендикулярно ее
оптической оси. Динаметр
устанавливают вплотную к окуляру
зрительной трубы. Переме-
Рис. 9.24. К определению увеличения
оптической системы.
426

щением микроскопа в корпусе — трубе динаметра совмещают предметную
плоскость микроскопа с изображением отверстия, которое получается в плоскости
выходного зрачка зрительной трубы. Изображение отверстия на окулярной сетке
динаметра должно быть резким. Далее определяют размер изображения отверстия по
шкале динаметра d. Поделив полученный в результате аттестации размер отверстия
DOTB на величину его изображения d, находят видимое увеличение зрительной трубы:
Гх
х ви
^отв
d
Заметим, что величина изображения отверстия диафрагмы не будет
изменяться, если диафрагму перемещать вдоль оптической оси испытуемого прибора.
Поэтому местоположение диафрагмы с отверстием при определении увеличения системы
большого значения не имеет. Важно, чтобы она была установлена строго
перпендикулярно оптической оси зрительной трубы.
Нетрудно определить и инструментальную погрешность данного способа
измерения, исходя из возможностей тех средств, которые мы использовали при
аттестации отверстия и измерении его изображения.
Для этого мы вновь (для практики) воспользуемся тем методом определения
погрешности измерений, о котором подробно рассказывали выше. Пропустив все
предварительные выкладки (мы надеемся, что Вы их усвоили на всю оставшуюся
жизнь), сразу запишем:
АГХВИД
Гх
1 вид
=
ADOTB
^Л>тв
+
Ad
~d
Члены данного выражения вновь представляют собой относительные ошибки
отдельных погрешностей измерений. Оценим относительную погрешность
определения видимого увеличения. Предельная ошибка измерения при аттестации отверстия
равна ADOTB = 0,005 мм. Измерение изображения отверстия с помощью динаметра
можно провести с погрешностью в одну пятую деления шкалы сетки динаметра (цена
деления шкалы сетки динаметра, напомним, равна 0,1 мм), т. е. с ошибкой Ad =
= 0,020 мм.
При ширине отверстия 10 мм и ширине изображения 2 мм увеличение системы
будет равно
1вил d 2 :>,
а величина относительной ошибки составит
АГ^
1 вид
М05+М2=о,0005 + 0,01*0,01.
10 2
Как видим, относительная погрешность определения увеличения составляет
величину порядка 1 %, а в абсолютных значениях АГвИЛ = 0,05х.
Мы вновь так подробно рассмотрели пример определения ошибок только
потому, что в повседневной практике разработчика необходимость оценки результатов
эксперимента постоянно сопровождает его по жизни.
Сцентрировав все элементы оптической схемы, юстировщик, как правило,
приступает к установке расчетных расстояний между компонентами схемы. Если Вы
помните, выше мы говорили о том, что даже при предварительной установке
оптических элементов на скамье необходимо стремиться выдержать расчетные
расстояния между ними с возможно максимальной точностью. Но как бы Вы ни старались,
точность их установки зависит от средств, с помощью которых мы проводим
измерения этих расстояний, и точности определения в пространстве положения главных
427

плоскостей и главных точек. А это не простая задача. Поэтому на практике на
завершающем этапе юстировки еще раз проверяют правильность установки критических
расстояний и в случае необходимости проводят их дополнительную юстировку.
9.2.4. Дном ipiiiiiiau i рубка
Диоптрийная трубка представляет собой обычную афокальную
(телескопическую) систему с увеличением 6-ИО крат. Она содержит легко передвигающийся
вдоль оси объектив с фокусным расстоянием порядка 100 мм и специальную
(диоптрийную) отсчетную шкалу с делениями через 0,1 диоптрии (рис. 9.25). Оптическая
система диоптрийной трубки, как правило, собрана по схеме Кеплера.
Окуляр трубки имеет сетку, а его линзы свободно перемещаются вдоль оси
трубки для корригирования аметропии глаза юстировщика перед измерением
параллакса в испытуемом приборе.
Й Замечание: По-русски это звучит намного приличнее:
линзы окуляра должны иметь возможность перемещаться вдоль
оси трубки для исправления недостатков зрения юстировщика
или наблюдателя (близорукости или дальнозоркости).
Расшифровать эти «умные» слова несложно, - произносить
их сложно. Corrigere, с латыни буквально означает
«исправлять». Ametropsis — сложное слово греческого
происхождения — а (частица отрицания) + metros (мера) + opsis
(зрение), буквально — ненормальность зрения.
Следует сказать, что нередко диоптрийные трубки имеют две шкалы: одну
выраженную в диоптриях, другую — в миллиметрах. В этом случае она выглядит, как
показано на рис. 9.26.
Диоптрийная шкала используется для измерения величины сходимости лучей.
Что касается миллиметровой шкалы, то она дает непосредственно значение линейной
дефокусировки, т. е. величину того расстояния, на которое необходимо переместить
один из оптических элементов, чтобы свести параллакс к нулю или к приемлемому
значению.
Измерение параллакса и его устранение с помощью диоптрийной трубки
проводят в следующем порядке. Перед собранным макетом Вашей оптической схемы
устанавливают коллиматор со штриховой мирой или каким-либо другим объектом,
например, простой сеткой. Окуляр диоптрийной трубки фокусируют на резкое изоб-
5
I
I iM'j/i'i'T'i' п
1 1 -оо +1 +2 \\
Рис. 9.25. Оптическая схема (а) и внешний вид (о) диоптрийной трубки.
Сетка
О
llllllllllllllllllll
../-V
428

Миллиметр
-15 -10 -5 <
llllllllllllllllllll
2,0 1,0 ,
) +5 +10 +15
llllllllllllllllllll
'I'l'l'l' +
3 1,0 2,0
ДИОП 1ИЯ
Рис. 9.26. Шкалы диоптрийной трубки.
ражение ее сетки. Затем, перемещая объектив диоптрийной трубки, получают резкое
изображение штриховой миры коллиматора или его сетки. Снимают по продольной
шкале первый отсчет. Затем, переместив объектив диоптрийной трубки до резкого
изображения, например сетки юстируемой системы, снимают второй отсчет.
Разность двух отсчетов дает величину параллакса в диоптриях со стороны
окуляра юстируемой системы, которую в формуле (9.5) обозначили М
й
Замечание: Обратившись к рис. 9.21, рассмотрим простой
пример. В процессе контроля качества фокусировки зрительной
трубы диоптрийная трубка была сфокусирована сначала на
резкое изображение сетки коллиматора, которое сформировал
входной объектив зрительной трубы в своей задней фокальной
плоскости F'0q. По продольной шкале трубки был получен отсчет
Мг = + 1,5 диоптрии (рис. 9.27).
Знак «+» говорит о том, что из окуляра зрительной
трубы выходит сходящийся пучок и задний фокус Fq6 находится
перед передним фокусом окуляра FOK.
Переместим объектив диоптрийной трубки, но теперь уже
в сторону окуляра прибора и получим резкое изображение
сетки (или полевой диафрагмы) зрительной трубы. Снимем второй
отсчет М2 = —0,2 5 диоптрий.
Знак «—» говорит о том, что из окуляра зрительной
трубы выходит расходящийся пучок, и плоскость сетки (или
полевой диафрагмы) смещена относительно переднего фокуса
окуляра зрительной трубы FOK в сторону ее окуляра.
Легко найти численное значение параллакса в диоптриях.
Его величина будет равна разности двух отсчетов: М = Мг —
- М2 = 1,5 - (-0,25) = 1,75 (диоптрий D).
Легко перевести его величину в миллиметры.
f'OK = 20 мм получаем
При
= ± ■
f'2
-»-ок
Гооо
х М =
(2 О)2
1000
х 1,75 = 0,7 [мм]
Это значит, что изображение сетки (или миры)
коллиматора находится перед сеткой юстируемой зрительной трубы.
Для устранения параллакса входной объектив зрительной трубы
необходимо приблизить к сетке (или сетку к объективу)
на величину znapajl = х' = 0,7 мм.
429

Выходная часть
оптической системы
-6 —
K5D
Диоптрийная трубка
J П 'i • i: i'!«! > _ iiF'. —
I 1 -00+ 1 ; 2 Ffi I ZI
i * ^
A/,
1.75 D
■< >■
-0.25 D
x' = 0.7 мм
F' =
Рис. 9.27. Измерение параллакса с помощью диоптрийной трубки: фокусировка на
сетку коллиматора (а) и на сетку окуляра (о). Параллакс г11арал = х' = 0.7 мм.
На практике юстировщик редко занимается вычислением величины
параллакса. Как правило, при установке в юстируемой схеме расчетных расстояний между
оптическими элементами юстировщик наводит на резкость изображение,
формируемое объективом, и, перемещая второй компонент (например, сетку, полевую
диафрагму, маску-транспарант) вдоль оптической оси, добивается его резкого
изображения или получения параллельного пучка на его выходе из системы. Диоптрийную
трубку он использует только для контроля качества юстировки.
Если под рукой отсутствует диоптрийная трубка, то можно воспользоваться
любой зрительной трубой с отсчетной шкалой и измерять параллакс в линейной мере.
9.2.5. Микроскоп с ок'у.шром-микромефом
В практике лабораторного моделирования нередко возникает необходимость
проведения достаточно точных линейных измерений. Обычно для этих целей
используют обычный микроскоп, снабженный окуляром-микрометром (рис. 9.28).
О микроскопах вообще мы
уже рассказывали в предыдущих
главах, поэтому вряд ли стоит
повторяться. Поговорим об
окуляре-микрометре (рис 9.29). Он
представляет собой обычный
компенсационный окуляр,
совмещенный с измерительным
механизмом. Измерительный
механизм выполнен в виде двух
стеклянных пластин, на одной из
которых нанесена шкала от 0 до
8 мм (иногда 10 мм) с ценой
деления 1 мм, а на другой —
перекрестие и биссектор,
выполняющий роль индекса. Шкала с бис-
Рис. 9.28. Микроскоп с окуляром-микрометром.
430

а б
Рис. 9.29. Окуляр-микрометр (а — общий вид, б — поле зрения).
I I
сектором жестко связана с микрометренным винтом, расположенным на корпусе
окуляра-микрометра, и имеет возможность свободно перемещаться вдоль оси винта.
Один полный оборот винта смещает биссектор относительно оцифрованной шкалы на
одно деление шкалы, т. е. на 1 мм. Отсюда следует, что шаг винта тоже равен 1 мм.
На гладкой цилиндрической поверхности отсчетного барабана винта также
нанесены штрихи, делящие всю поверхность цилиндра на 100 равных частей. Нетрудно
сообразить, что цена одного деления барабана равна 0,01 мм. Тогда отсчет, показанный
на рис. 9.29, будет равен 3,40 мм. Действительно, отсчет по шкале окуляра составит три
полных деления шкалы, т. е. 3 мм, отсчет по шкале микровинта — 40 делений по
0,01 мм: 40 х 0,01 = 0,40 [мм]. Полный отсчет будет равен 3 + 0,40 = 3,40 [мм].
Объектив микроскопа подбирают в соответствии с требованиями, которые
предъявляет оптическая схема к точности юстировки. Чаще всего они сводятся к
выбору увеличения и разрешающей способности.
И, пожалуй, самое главное. Когда Вы подберете нужный Вам объектив, а
затем соберете микроскоп, необходимо его аттестовать. Это нужно сделать потому, что
все оптические и механические детали микроскопа изготавливаются с некоторыми
допусками, поэтому параметры оптических узлов (и механических тоже) могут,
пусть и незначительно, но отличаться от расчетных.
Аттестация микроскопа — процедура несложная. Она
заключается в сравнении известного размера, какого-либо эталона, с теми его значениями,
которые Вы получите при его измерении с помощью микроскопа.
Обратите внимание, при аттестации микроскопа Вы определяете линейное
увеличение микрообъектива микроскопа. Для этого (и чаще всего) в качестве
образцовой меры используется так называемый объект-микрометр (рис. 9.30).
Он представляет собой прямоугольную металлическую пластинку, в которую
вклеена стеклянная шкала, выполненная в виде серии штрихов. Цена деления шкалы, как
правило, составляет 0,01 мм. Очень часто цена деления шкалы гравируется на корпусе.
Аттестация производится в следующем порядке:
1. Сначала установите окуляр микроскопа так, чтобы изображение
перекрестия окуляра-микрометра было достаточно резким.
2. Затем сфокусируйте микроскоп таким образом, чтобы резко просматривались
штрихи объект-микрометра, и выставите изображение штрихов объект-микрометра в
центр поля зрения окуляра.
3. Наблюдая в окуляр,
поворачивайте отсчетный барабан
окуляра-микрометра до совмещения центра
перекрестия окуляра с изображением
нулевого штриха объект-микрометра.
Сделайте первый отсчет по окулярному
микрометру, например, щ.
431
ао/
Рис. 9.30. Объект-микрометр.

4. Затем переместите перекрестие окуляра к последнему штриху объект-
микрометра, совместите перекрестие окуляра со штрихом шкалы объект-микрометра
и выполните второй отсчет по окулярному микрометру — п2.
Линейное увеличение объектива микроскопа определяют по формуле
аошк
где к — количество делений объект-микрометра, измеренных
окуляром-микрометром, а ешк — цена деления шкалы объект-микрометра.
Теперь можно приступить к измерению размеров интересующих Вас объектов.
Отличие измерений состоит в том, что при аттестации мы наводили перекрестие
окуляра на штрихи объект-микрометра, а при измерении же конкретного объекта — на
его границы, между которыми мы хотим определить расстояние (или размер).
Определить величину самого объекта можно следующим образом:
Р
где D — измеряемое расстояние; п\, п2 — отсчеты по окуляру-микрометру; (3 —
линейное увеличение микрообъектива.
Сделаем еще одно важное замечание (без них мы никак не можем обойтись!):
когда Вы будете аттестовывать микроскоп с окуляром-микрометром, снимайте
отсчеты несколько раз (не менее десяти). При этом, каждый раз (и не ленитесь!)
смещайте перекрестие окуляра (или биссектор) со штрихов объект-микрометра, затем
вновь наводите на штрих и снимайте отсчет. Это позволит Вам избежать случайных
ошибок, от которых никто не застрахован. Затем просуммируйте полученные
результаты и найдите среднее значение. Это и будет ваш искомый размер.
Конечно, мы перечислили и рассказали не обо всех контрольно-юстировочных
приборах, которые применяют на практике. Но это тот минимум, который
желательно иметь в оптической лаборатории.
Теперь можно поговорить и о юстировке Ваших макетных реализаций на
универсальных установках типа оптических скамей ОСК-2 и ОСК-3 или
интерференционных столах типа СИН.
9.3. IOciировка оптических систем в «свободном»
пространстве
Мы уже говорили, что любой оптический элемент в «свободном» пространстве
(да, собственно и любой другой объект в свободном «полете») имеет шесть степеней
свободы.
Конструкция корпусов рабочих зрительных труб и коллиматоров, которые мы
рассматривали выше, с операциями станочной обработки посадочных мест
позволяла нам ограничить после ее сборки число степеней свободы оптических элементов.
Вместо шести их оставалось всего две и, обратите внимание, именно те, которые нам
нужны для дальнейшей юстировки, в частности, для устранения параллакса. Все
было легко и удивительно просто.
Но, к великому сожалению, в Вашей практике при предварительном
моделировании оптических схем в лабораторных условиях на универсальных средствах типа
оптических скамей или, тем более, на установках типа интерференционных столов
механическое ограничение степеней свободы оптических элементов зачастую бывает
просто невозможным.
В этом (в основном) и состоит вся сложность юстировки оптических систем на
универсальных средствах. Вместе с тем, выполнение котировочных операций в «сво-
432

бодном» пространстве позволяет глубже «прочувствовать» задачи, которые решаются
при юстировке, и лучше познакомиться с различными способами ее выполнения.
Й Замечание: Название «свободного» пространства нами
взято чисто условно, чтобы каким-то образом разделить
вопросы, связанные с юстировкой в «замкнутом» пространстве
(в корпусах приборов). Но это так, к слову!
И хотя уже мы говорили об этом, тем не менее, напомним еще раз. Юстировка
самых различных оптических систем сводится всего лишь к установке входящих в
нее оптических элементов, но таким образом, чтобы центры кривизны сферических
или асферических поверхностей и их вершины располагались на одной
воображаемой прямой, называемой оптической осью, а расстояние между ними удовлетворяло
решению тех задач, для которых предназначена создаваемая оптическая система.
Как мы отмечали неоднократно, понятие оптической оси — понятие
абстрактное. Реально она не существует. Ею вполне может служить оптическая ось какого-
либо объектива, используемого в моделируемой схеме. Но в любом случае все
оптические элементы оптической системы должны быть строго выставлены относительно
одной прямой линии, принятой за оптическую ось.
Выбор способов юстировки во многом зависит от выбора источника излучения.
Если в качестве источника света используется лазер с минимальной
расходимостью пучка, то, благодаря его строгой направленности, луч лазера вполне можно
принять за воображаемую «оптическую ось» и все оптические элементы
моделируемой системы устанавливать относительно этого луча.
Если же в качестве источника света используется обычная лампочка или све-
тодиод, то положение оптической оси собираемой системы так просто не определить.
Поэтому, как правило, его задают с помощью коллиматора. Обнаружить ее визуально
(как в случае с лазером), а тем более «пощупать» — вряд ли удастся. В этом случае
только установка хотя бы одного оптического элемента собираемой схемы (чаще
всего первого после коллиматора) может задать направление оптической оси
моделируемой системы.
Задача совмещения оптических осей коллиматора и оптических элементов,
входящих в моделируемую систему, не столько сложна, сколько трудоемка. Поэтому,
и нередко, совместив световые диаметры коллиматора и моделируемой системы,
стремятся выставить объектив системы так, чтобы его оптическая ось располагалась
в пространстве параллельно оптической оси коллиматора. Только в этом
случае можно быть уверенным, что изображение источника излучения коллиматора
\
Рис. 9.31. Возможные конструкции рейтера
и направляющих.
433

будет располагаться на оптической оси устанавливаемого объектива моделируемой
системы.
Можно несколько упростить техническую сторону юстировки, если в качестве
направляющих для перемещения оптических элементов системы вдоль оптической
оси использовать рельсы ОСК-2 или ОСК-3 либо какие-либо иные направляющие
иных универсальных средств.
При использовании различных приспособлений для крепления оптических
элементов моделируемой схемы (в частности рейтеров, рис. 9.31) возможность
ограничения числа степеней свободы в принципе исключена. Все рейтеры обычно
сконструированы таким образом, чтобы была обеспечена возможность одновременной
подвижки и поворота закрепленных в них элементов по всем направлениям условно
выбранной системы координат (рис. 9.32).
Единственное удовлетворение, которое можно получить от использования
направляющих рельсов для моделирования оптических систем, это надежда (хотя и
слабая!), что все оптические элементы, входящие в собираемую схему, при их
перемещении вдоль воображаемой оптической оси не изменят своей центрировки.
И еще один важный момент. Вряд ли кому придет в голову «ломать» с
помощью призм или зеркал оптическую ось системы при ее моделировании на скамье.
В то же время любую оптическую систему, как бы ни была «переломана» ее
оптическая ось, всегда есть возможность «вытянуть» в одну линию, а это может
значительно упростить ее юстировку.
9.3.1. IOci ирошса опшмеских систем с когерентными
неiочниками излучения
Наибольшую сложность при юстировке оптических систем в «свободном»
пространстве, как правило, вызывает установка на оптической оси сферических
(и асферических) оптических элементов — линз и объективов.
Поэтому ниже мы покажем несколько приемов юстировки оптической
системы, состоящей всего из двух линз. Распространить их на большее число оптических
элементов — это уже дело техники.
434

а гъ "*.
17"
гоб § " ,,
'К ^Г
; Г0К :
JOK^*-~b
f^^~
♦"^^ , f^^'^'
в R)6 §
Т ок
Лазер
Уок^
^
/0^^-—^^"^
Рис. 9.33. Телескопическая система, собранная по схеме Кеплера (а),
с использованием для юстировки лазера (б).
П
1
I
Оптическая система из двух оптических элементов (или сборок) в равной
степени может представлять собой или самостоятельный объектив, телескопическую
или проекционную систему, или что-то иное, что для нас в общем случае и неважно.
Все будет определяться только тем, какие оптические элементы Вы выберете и на
каком расстоянии расположите их относительно друг друга.
Мы же для знакомства с вопросами юстировки остановимся на коллиматоре и
телескопической системе, собранной по схеме Кеплера.
Очевидно, для грамотного выполнения всех необходимых юстировочных
операций мы должны «подать» на вход юстируемых коллиматора или телескопической
системы пучок параллельных лучей, который после всех преобразований «внутри»
системы, на ее выходе, должен сохранить свои свойства (конечно, без учета
возможных остаточных аберраций).
Естественно, чтобы система решала эту задачу наилучшим образом,
необходимо, чтобы оптические оси обоих компонентов лежали на одной оси, а точка заднего
фокуса первого компонента — объектива и точка переднего фокуса второго
компонента — окуляра были совмещены с необходимой точностью (рис. 9.33, а).
Для юстировки оптических систем в когерентном свете мы воспользуемся
газовым лазером видимого диапазона, генерирующим луч с минимальной
расходимостью. Именно с помощью луча лазера мы и постараемся совместить оптические оси
компонентов, используемых в телескопической системе (рис. 9.33, б).
Если Вы детально продумали оптическую схему, которую хотите
смоделировать на скамье, прорисовали ее на бумаге со всеми компонентами и расстояниями
между ними, выбрали из «хлама» оптические элементы и проверили качество их
изготовления, измерили фокусные расстояния (или вершинные фокальные отрезки), то
можете со спокойной душой приступать к ее сборке и юстировке.
а
Замечание: Вообще-то было бы совсем неплохо, если бы
у Вас вошло в привычку проверять подобранную оптику на
качество создаваемого ею изображения и определять реальные
значения ее важнейших параметров, хотя бы таких, как
фокусные и вершинные (фокусные) расстояния.
435

Наверное, первое, что Вы должны сделать, — это
Полюговка г г
каким-либо образом задать положение воображаемой оп-
опшческои _ _
тической оси в свободном пространстве, — она будет слу-
____________ жить той прямой, относительно которой Вы и будете
устанавливать все оптические элементы Вашей схемы.
С использованием лазера в качестве источника излучения эта задача решается
довольно просто. В качестве прямой, задающей расположение оптической оси в
пространстве, вполне может служить его луч. Более того, в помещении (да и не только) в
результате рассеяния излучения лазера на взвешенных в воздухе пылинках луч его
достаточно хорошо виден (конечно, если генерация лазера происходит в видимом
диапазоне). Можно пустить и струйку дыма от сигареты (тем, кто курит), чтобы
четче увидеть лазерный луч (а заодно и убедиться, от какой дряни Вы получаете
«удовольствие»).
Для того чтобы определить в пространстве положение «оптической оси»,
поступим следующим образом. Прежде всего, подготовим экран с перекрестием. Для
этого воспользуемся простым листом бумаги (лучше миллиметровки) и начертим на
нем обычное перекрестие. Каким-либо образом прикрепим и его к рейтеру. Затем,
чтобы избежать лишних «недоразумений» при выполнении юстировки, выставим все
«подвижки» всех используемых рейтеров в среднее положение.
Замечание: Вообще следует принять за правило перед
юстировкой в обязательном порядке устанавливать все подвижки
рейтеров (подставок) в среднее положение.
Установим рейтеры с лазером и экраном на рельсе и надежно закрепим их.
Воспользовавшись накладным уровнем, можно предварительно выставить лазер
«в горизонт» (хотя это и не обязательно!), т. е. так, чтобы его горизонтальная ось
была параллельна направляющим рельса. Воспользовавшись любым отвесом,
совместим вертикальную линию перекрестия (хотя бы приблизительно) с нитью отвеса,
когда его вершина будет находиться строго посередине осевого паза рельса (рис. 9.34).
а
Замечание: Обычно ось направляющих скамьи проходит
посередине рельса — между его направляющими. Для ОСК — это
середина расстояния между прямоугольной и треугольной
направляющими рельса.
Теперь необходимо выставить наш экран с перекрестием по высоте. Помните,
мы уже выставили экран на оси направляющих, поэтому перемещать его в
горизонтальной плоскости не следует. Для того чтобы выставить экран по высоте, достаточно
за счет вертикальной подвижки рейтера совместить перекрестие экрана с лучом лазера.
Возможно, для этого будет необходимо повернуть лазер вокруг вертикальной оси.
После выполнения этих элементарных операций можно считать, что мы нашли
положение одной из точек прямой линии, которая в дальнейшем нам будет
определять в свободном пространстве положение «воображаемой» оптической оси.
Естественно, этой «реперной» точкой (после всех выполненных процедур) можно считать
центр перекрестия нашего экрана.
Вопрос о выборе второй точки, определяющей положение воображаемой
«оптической оси» в свободном пространстве, как Вы увидите ниже, вообще не стоит, так
как ею, благодаря выбранной методике юстировки, автоматически становится центр
вращения лазера вокруг его вертикальной и горизонтальной осей. А честно говоря,
до момента установки лазера на подвижках рейтера, мы и сами не знаем, где этот
центр располагается. Да и вряд ли это так уж необходимо знать!
436

4i
^f
P,o
Рис. 9.34. Установка луча лазера параллельно направляющим
скамьи (рельса).
Совместить след лазера с центром перекрестия экрана не так и сложно. Это
можно сделать, поворачивая лазер вокруг оси X по азимуту (в горизонтальной
плоскости) и вокруг оси У по высоте (в вертикальной плоскости), а можно, просто
перемещая его по горизонтали — вдоль оси X и по высоте — вдоль оси У.
й
Замечание: К сожалению, погрешности, возникающие в
результате смещения и наклона лазера в пространстве,
разделить никак нельзя. Поэтому «бороться» с ними приходится
одновременно.
Для того чтобы определиться с положением
оптической оси в свободном пространстве, а главное, задать ее
положение в пространстве параллельно механической оси
направляющих рельса, вспомним о методе «половинных
поправок» и применим его к решению этой задачи.
А выглядит это так:
1. Сначала переместим (выставленный!) экран с
перекрестием (рис. 9.35) непосредственно к лазеру («первое положение») и за счет
поворота лазера (а можно и перемещения) совместим след луча с центром перекрестия
экрана.
Задание
положения
воображаемой
оптической оси
в пространстве
Второе положение
экрана
Первое положение
экрана
>Л.
Рис. 9.35. Задание воображаемой оптической оси
в пространстве.
437

Лазер Экран
строго вдоль оси направляющей.
Рис. 9.37. Направляющая ОСК. вид сверху. Источник излучения смещен
относительно оси направляющей.
2. Затем переместим экран (см. рис. 9.35) на максимально возможное
расстояние вдоль скамьи во второе положение (вдоль оси Z). След луча лазера наверняка
сместится с центра перекрестия.
3. Мысленно поделим пополам расстояния смещения Ах и Ду следа луча лазера
относительно центра перекрестия и «выберем» (в смысле уберем) первую половину
путем перемещения лазера вдоль осей X и У, а вторую половину — за счет поворота
лазера вокруг осей У и X.
Кстати, эти расстояния, если есть желание, можно измерить с помощью линейки
или просто сосчитав число клеток на миллиметровке. Ну а поделить, и того проще!
4. Переместим наш экран вновь ближе к лазеру и посмотрим, что же у нас
получилось. Мы почему-то на сто процентов уверены, что при этом след луча лазера
вновь сместится с центра перекрестия, правда, на меньшую величину. А это значит,
что положение оптической оси выставлено еще недостаточно хорошо.
Ничего страшного в этом нет — просто следует повторить ранее проделанные
операции еще раз. Возможно, придется проверить, как выставлен экран. Но если все
в порядке, то с помощью «метода последовательных приближений», т. е. путем
последовательного повторения операций, из которых складывалась процедура
определения положения оптической оси в пространстве, Вы наверняка добьетесь успеха.
Если Вам удастся на свое творчество взглянуть сверху, то при качественной
юстировке вы должны увидеть то, что мы отобразили на рис. 9.36: луч лазера
распространяется строго вдоль механической оси направляющей.
Не стоит расстраиваться, если сразу ничего не получилось и даже если
неоднократное применение метода последовательных приближений не привело к быстрому
успеху. Авторы, пожалуй, полжизни посвятили юстировке оптических систем и у них в
очень редких случаях получилось все сразу. Но «терпение и труд — все перетрут».
а Замечание: Можно поступить и иначе. Например, первую
половину смещения следа луча лазера на экране «выбирать» за
счет перемещения экрана, а вторую половину — за счет
поворота лазера. Используя метод последовательных приближений,
Вы сможете выставить «оптическую ось» параллельно
направляющим рельса, но в этом случае воображаемая «оптическая
ось» сместится относительно механической оси направляющих.
В результате Вы получите нечто, похожее на рис. 9.37.
Обратите внимание, «оптическая ось» сместилась относительно
середины между направляющими скамьи.
438

-, i Будем считать, что после нескольких попыток нам
Центрировка I J
объективов I все же УДалось выставить луч лазера параллельно механи-
с помощью лазера ческой оси направляющих рельса как по горизонту, так и
по вертикали.
Запомните, только при таком положении лазерного
луча перемещение рейтеров с выставленными
(отъюстированными!) оптическими элементами вдоль направляющих никак не будет
влиять (в смысле, изменять направление его распространения). Не торопитесь сразу
устанавливать на рельсе все оптические элементы, входящие в оптическую схему.
Иначе Вы получите нечто, похожее на то, что изображено на рис. 9.38. По-другому и
быть не может: ведь Вы же установили все линзы (или объективы) «второпях» и как
попало.
Причины возникновения такого «поведения» луча можно объяснить довольно
просто, если повнимательнее рассмотреть рис. 9.39. Интуитивно понятно, что
отклонения в направлении распространения луча могут быть вызваны как смещением
оптической оси (децентрировкой) оптического элемента относительно направления
распространения луча лазера, принятого нами за воображаемую «оптическую ось»
моделируемой системы (см. рис. 9.39, я), так и его наклоном (см. рис. 9.39, б). В пер-
Рис. 9.38. Траектория луча лазера при произвольном
расположении элементов оптической схемы.
¥• б
Рис. 9.39. Прохождение луча лазера через положительную линзу: луч смещен
относительно оптической оси (я), линза неперпендикулярна лучу лазера (б), оптическая ось
совпадает с направлением луча лазера (в).
439

вом случае тонкий лазерный луч «воспринимает» линзу как некую призму, а во
втором— как некую развернутую плоскопараллельную пластину. Идеальный случай,
когда оптическая ось совпадает с направлением луча лазера, показан на рис. 9.39, в.
Понятно, что для исправления этого «недоразумения» достаточно
расположить (переместить или развернуть) оптический элемент таким образом, чтобы его
оптическая ось совпадала с лучом лазера. Что мы и сделаем, воспользовавшись вновь
методом «половинных поправок» (рис. 9.40).
Как и прежде, определившись с величиной смещения (и неважно, с какого
направления мы начнем — вдоль оси X или вдоль оси Y), поделим его пополам и
первую половину «выберем» за счет разворота оптического элемента, а вторую — за
счет его смещения. Кстати, можно и наоборот: первую половину «выбрать» за счет
перемещения, а вторую — за счет разворота.
Важно добиться, чтобы центры кривизны поверхностей, ограничивающих
оптический элемент, и их вершины совпали с прямой линией, принимаемой за
оптическую ось. В нашем случае — лучом лазера.
Было бы совсем хорошо, если бы оправа объектива или его крепление на
рейтере позволили повернуть объектив вокруг его геометрической оси на 180°.
Поверьте — вся бы Ваша «неаккуратность» немедленно «вылезла бы наружу». Но при
аккуратном выполнении вышеописанных операций у Вас все должно получиться с
первого раза (рис. 9.40, в).
Если что-то было выполнено недостаточно «чисто», что ж, придется все
повторить сначала. И не сомневайтесь, метод «последовательных приближений»,
которым Вы уже пользовались при определении положения воображаемой «оптической
оси» в свободном пространстве, быстро приведет Вас к успеху!
Если же все получилось удачно, можно перейти к установке и юстировке
следующего, второго от экрана объектива, но при этом ни в коем случае нельзя нару-
б
I
: i
в
Рис. 9.40. Этапы выполнения юстировки
самого дальнего объектива.
Поясн. см. в тексте.
"И
440

Рис. 9.41. Юстировка второго объектива.
Поясн. см. в тексте.
шать положение лазера, экрана с перекрестием и только что выставленного первого
объектива.
Установив произвольно второй объектив на скамье, не стоит рассчитывать на
удачу. Естественно, и не стоит расстраиваться. Его первая установка может
полностью нарушить юстировку первого объектива. Но так и должно быть (рис. 9.41, а).
Луч после второго объектива может пойти по самому непредсказуемому
направлению и встретить первый объектив в самом неожиданном месте.
Поэтому хотя бы приблизительно совместим геометрический центр второго
объектива с лучом лазера. На экране Вы увидите, как размеры смещения следа луча
лазера стали заметно меньше. Теперь можно воспользоваться и методом
«половинных поправок». «Располовинивая» смещение следа луча лазера вдоль
горизонтального и вертикального направлений, последовательно выберем их, разворачивая и
перемещая второй объектив. После нескольких попыток и в этом случае Вы добьетесь
успеха (см. рис 9.41, б).
Вот и все. Установка других оптических элементов на оптической оси ничем,
по сути, не будет отличаться от юстировки второго объектива.
Однако этот способ хорош только тогда, когда Ваша система состоит из двух,
ну трех оптических элементов. Когда же их пять—шесть, да еще с крутыми
радиусами, этот способ потребует от Вас крепких нервов.
Центрировка
объективов
по бликам
Можно несколько упростить центрировку
оптических элементов со сферическими (или асферическими)
поверхностями «по лучу», если воспользоваться теми
бликами (следами), которые луч «оставляет» на
поверхностях, ограничивающих тело линзы. Появление этих
бликов' обязано не столько отражению от просветленных поверхностей линз (оно
составляет 0,5 -*- 1 %), сколько той «грязи», которая нередко присутствует на линзе.
Назовем этот способ (или метод) чисто условно «центрировкой оптических
элементов по бликам».
441

>,
A
}
Рис. 9.42. К центрировке оптических элементов по бликам с помощью лазера:
положительная линза относительно луча лазера сметена (а), развернута (б) и правильно
отъюстирована (в).
Если Вы посмотрите «внутрь» произвольно установленной на скамье линзы
(только по ходу распространяющегося луча лазера, но ни в коем случае не
навстречу!!!), то сможете увидеть два блика — результат отражения (а скорее,
рассеяния) луча лазера на ее преломляющих поверхностях (рис. 9.42). Эти блики могут
располагаться на поверхностях линз в самом непредсказуемом месте. Все зависит от
того, как близка ее произвольная установка к центрированному положению.
Любой поворот или перемещение линзы, естественно, будет приводить к
перемещению этих бликов по поверхностям линзы. На рис. 9.42, а линза просто
смещена с воображаемой оптической оси — луча лазера, а на рис. 9.42, б она одновременно
смещена и развернута относительно того же луча лазера.
Если бы теперь нам удалось их выстроить в одну линию, совмещенную с лучом
лазера (за счет перемещения и разворота линзы), то можно считать, что центры
кривизны обеих преломляющих поверхностей линзы расположились на одной прямой — на
воображаемой «оптической оси» Вашей схемы, что мы и показали на рис. 9.42, в.
И, наконец, рассмотрим еще один способ центрировки сферических (или
асферических) оптических элементов, широко применяемый на практике. Условно
назовем его «автоколлимационным». При достаточной «сноровке» он позволяет
выполнить наиболее точную юстировку оптической системы.
Центрировка
объективов автокол-
.ш.маинонны.м
способом
Идея этого способа заключается в следующем. Как
бы хорошо ни были просветлены оптические элементы,
какое-то количество падающего на них света всегда
отражается от поверхностей линз. Этот эффект и положен в
~ основу автоколлимационного метода юстировки.
А теперь обратимся к рис. 9.43, а. Мы специально для простоты
воспользовались плосковыпуклой линзой и установили ее плоской поверхностью к излучателю
света. Совсем не требует пояснений тот факт, что если линза сцентрирована по всем
правилам «искусства» и достаточно точно, то от плоской поверхности линзы
падающий пучок лучей отразится и пойдет строго в обратном
направлен и и. В то же время значительная часть пучка пройдет сквозь линзу, дойдет до
сферической поверхности и отразится от нее.
442

a .—-**•"
! :>k"—
! ■^"'"'y»V "'": ...Рзс£к Д.Д
;:^:::^ Г '"" '' v: ^==N4
: : jj
j J зсрк :""': /лит
6 ;
! ...o-
rK.... ^>l<
■JF""' "N.£/t.i ; p
\jJ""- ^"" Ч-.--"" m . ....:
L -/зсрк ^ -
\ /линч
A, '" '"^ 4. -
■■■k^WC:: ] " — u f,
"Vj'J-... ^^■-'\[ г 1 • *sE:i:::::::™ ♦ ! .....л^уз*^
1 :- jl^tfOBepx t7^
j ^ ~У2иовсрх ^ * * 71 поверх ^^
/лип
поверх
о
•^
F'
1 ЛИ1П 1
^ 1
F'
:1липч 1
~^ :
.^ ■
^fc^
•F'
V .^ 1
Рис. 9.43. Автоколлимационный метод юстировки линз на оптической оси системы:
я, б — линза плосковыпуклая (я — впереди плоская поверхность, б — выпуклая);
в — линза двояковыпуклая.
Сферическая поверхность, в свою очередь, «отработает» как вогнутое
сферическое зеркало радиусом г. Если на линзу падает параллельный пучок лучей, который
в то же время параллелен ее оптической оси, то часть пучка, отраженная от второй
поверхности, естественно, должна собраться на оптической оси линзы в фокальной
точке F3epK — фокуса сферической поверхности линзы («сферического зеркала»). При
этом точка, сформированная отраженным пучком лучей от сферической поверхности
на каком-либо экране, будет располагаться строго в центре окружности пучка
параллельных лучей, отраженных от плоской поверхности этой линзы (рис. 9.43, а).
Если теперь мы установим плосковыпуклую линзу к падающему лучу
сферической поверхностью, то при ее достаточно точной центрировке часть светового потока
отразится от сферической поверхности и пойдет в обратном направлении (см. рис. 9.43,
б), постепенно увеличиваясь в своем сечении. По сути, сферическая поверхность при
такой установке линзы «сработала» как выпуклое зеркало и преобразовала пучок
параллельных лучей в расходящийся, который за линзой (по ходу луча) сформирует
мнимый фокус воображаемого «сферического зеркала». Часть пучка войдет в линзу и,
отразившись, но теперь уже от ее плоской поверхности, пойдет в обратном
направлении. На экране, при качественной центрировке, мы увидим два отраженных блика в
виде концентрических кругов различной яркости. И, наконец, «львиная» часть пучка,
преодолевшая обе поверхности линзы, соберется в ее заднем фокусе.
На рис. 9.43, в мы показали двояковыпуклую линзу, установленную в пучке
параллельных лучей, излучаемых лазером. А вот что с ними произойдет,
попытайтесь разобраться сами.
443

Наверное, интуиция уже подсказала Вам: только в случае, когда все
автоколлимационные блики, отраженные от поверхностей оптических элементов,
расположатся концентрично относительно друг друга, оптическая ось линзы будет
совмещена с оптической осью луча лазера.
Именно этот принцип — принцип совмещения на экране
следов отраженных лучей и лежит в основе автоколлимационного
способа центрировки объективов (и не только!).
Сборку и юстировку моделируемой схемы начнем, как и прежде, с задания
воображаемой оптической оси нашей системы, в качестве которой мы вновь будем
использовать луч лазера. Для этого можно воспользоваться любым из тех методов,
о которых мы рассказали выше. Будем считать, что эту процедуру выполнили
прекрасно и луч лазера выставлен и по вертикали, и по горизонту строго параллельно
механической оси наших направляющих.
Для выполнения юстировки с помощью автоколлимации нам потребуется еще
один экран с круглым отверстием в центре и диаметром на 20 -ь 30 % больше
диаметра луча лазера. Установив экран на рейтере, придвинем его вплотную к лазеру и
выставим его по высоте и горизонту так, чтобы луч лазера (во избежание дифракции
на краю отверстия) строго проходил через центр отверстия. Теперь, на приемлемых
(или расчетных) расстояниях установим экран с отверстием (не убирая экран с
перекрестием) и объектив, который нам необходимо выставить на воображаемой
оптической оси. Запомните, при перемещении экрана с отверстием вдоль направляющих
отверстие нигде и ни при каких обстоятельствах не должно ограничивать
(«подрезать») луч лазера.
Обратите внимание: На рис. 9.4 4 человек, занимающийся
юстировкой, смотрит на экран, а не в направлении выхода
луча лазера.
Всегда помните о технике безопасности при выполнении,
в принципе, любых работ!
В результате всех наших действий мы должны получить нечто похожее на то,
что отображено на рис. 9.44.
Конечно, установка объектива на скамье может быть настолько произвольной,
что лучи, отраженные от сферических (или асферических) поверхностей линзы, могут
пройти даже мимо экрана с отверстием. Ничего страшного в этом нет. Вращая (или
перемещая) объектив во взаимно-перпендикулярных направлениях, Вы наверняка
найдете такое положение, при котором все отраженные блики окажутся на экране.
Рис. 9.44. К центрировке объектива автоколлимационным методом.
444

Если Вы не убрали экран с перекрестием (а вообще его убирать не следует до
конца юстировки системы), можно легко отследить, как после первоначальной,
произвольной установки объектива отклоняется («ломается») воображаемая «оптическая ось».
Будем считать, что, в первом приближении, мы собрали все отраженные блики
на экране с отверстием. Несложно убедиться, что часть пучка, отраженная выпуклой
поверхностью, будет преобразована в пучок расходящихся лучей, а часть пучка,
отраженная вогнутой поверхностью, — в пучок сходящихся лучей. Размеры следов на
экране будут зависеть от расстояния объектива до экрана с отверстием. Перемещая
экран с отверстием вдоль скамьи по ее направляющим, можно получить (это зависит
от параметров линзы) след от вогнутой поверхности в виде точки, а от выпуклой —
в виде круга некоторого размера. Выбор размеров следов полностью определяется
удобством работы и зависит только от Вас. Когда Вы «набьете» руку (приобретете
опыт), определиться с выбором не составит труда. Более того, со временем Вы это
будете делать почти «на автомате»!
Мы нисколько не сомневаемся, что теперь и без наших подсказок Вам стало
ясно, что «собрать» все блики в одну «кучу», т. е. выставить их максимально концен-
трично относительно друг друга, можно, как и прежде, за счет перемещения линзы
(или объектива) вдоль осей X, К и ее вращения вокруг них.
Чувствительность этого способа в два раза выше тех, о которых мы уже
рассказывали. Чтобы в это «поверить», достаточно вспомнить, что при повороте
отражающей поверхности на некий угол а направление отраженного луча будет
изменяться на его удвоенное значение 2а. И совсем не важно, какую форму имеет эта
поверхность — плоскую или сферическую.
Если в случае плоской поверхности угол отражения определяется
относительно нормали к плоской поверхности, то в случае сферической поверхности угол
отражения определяется относительно нормали к касательной сферической поверхности в
точке, где падающий луч встречает эту поверхность. Размеры и положение на экране
следов лучей, отраженных от сферических (или асферических) поверхностей линзы,
напрямую зависят от величины и знака радиусов поверхностей, образующих линзу.
При изменении положения линзы в пространстве в зависимости от ее типа
могут меняться направление и скорость перемещения следов отраженных лучей на
экране. Более того, на экране эти следы могут перемещаться как в одном, так и прямо в
противоположном направлениях. Следует отчетливо понимать и помнить, как
направление перемещения зависит от знака радиуса кривизны сферической
поверхности, а скорость их перемещения — от величины радиуса кривизны: чем меньше
радиус кривизны, тем скорость перемещения бликов больше и, наоборот, чем больше
радиус кривизны, тем скорость их перемещения меньше. Поэтому не удивляйтесь,
если следы лучей на экране будут перемещаться с разными скоростями и в разных
направлениях.
Все это Вам должно быть понятно, если Вы последовали нашему совету и
внимательно рассматривали наши рисунки. Мы специально привели их в избытке,
чтобы разбудить Ваше любопытство и помочь понять, что же будет происходить при
юстировке Вашей схемы на скамье.
Ниже в качестве примера мы детально рассмотрим центрировку
двояковыпуклой линзы (рис. 9.45). А сводится она к следующим простым операциям:
1. После установки линзы на скамье постараемся совместить, хотя бы на глаз,
ее геометрический центр с лучом лазера. Возможно (и скорее всего), Вы получите на
экране с отверстием нечто близкое к тому, что отображено на рис. 9.45, а. Следы
лучей, отраженных от сферических поверхностей линзы, расположились самым
произвольным образом.
2. Для начала попытаемся свести следы лучей по вертикали, перемещая линзу
вдоль оси X вправо (или влево). Направление перемещения линзы нужно выбрать
445

о
X
о
\\\
> X
ft
\в Ы
of
1 I
о
■4
x
Рис. 9.45. К юстировке двояковыпуклой линзы по автоколлимационным бликам.
Поясн. см. в тексте.
такое, при котором следы ее поверхностей начнут двигаться по горизонту навстречу
друг другу.
Возможно, Вам с первого раза удастся выставить эти пятна вдоль вертикальной
оси перекрестия — оси Y (см. рис. 9.45, б), а возможно, и нет. Вы вполне можете
получить и такое расположение, как показано на рис. 9.45, в. При таком расположении
пятен вероятнее всего оптическая ось линзы развернута относительно луча лазера.
3. Поворотом линзы вокруг ее вертикальной оси попытаемся вновь «вывести»
оба пятна на ось ординат Y воображаемой системы координат. «Сходу» это может и не
получиться. Пытаясь минимизировать эту ошибку, разворачивая линзу вокруг ее
вертикальной оси, мы тем самым будем смещать ее геометрический центр с оси луча
лазера, что, естественно, приведет к смещению следов с воображаемой ординаты Y.
Возможно, Вы даже вернетесь к положению, близкому отображенному на рис. 9.45, а.
Что ж, в этом случае Вам придется повторить все, что мы делали раньше, и
добиться того, чтобы оба пятна рассеяния «устойчиво» располагались на оси ординат
(см. рис. 9.45, б). После нескольких попыток (вспомните метод последовательных
приближений) Вы наверняка добьетесь желаемого результата.
По сути, мы выставили линзу в вертикальной плоскости, проходящей через
ось луча лазера и механическую ось направляющих (рис. 9.46). Теперь нам нужно
свести оба пятна в горизонтальной плоскости, т. е. выставить их на абсциссе Х нашей
воображаемой системы координат.
Точно так же и по тем же самым правилам попытаемся сделать и это. Только
теперь мы должны перемещать линзу по вертикали вдоль оси К, а разворачивать —
вокруг оси Х. Мы уверены, что после нескольких попыток (или приближений) Вы
получите то, что показано на рисунке 9.45, г.
й
Замечание: Мы рассматривали детально центрировку линзы
или объектива только вдоль одной оси, а именно вдоль оси X.
Сначала перемещали линзу в горизонтальном направлении вдоль
оси X. Добившись определенных результатов, разворачивали ее
вокруг оси Y. Затем те же самые процедуры последовательно
выполняли относительно оси У и X.
Но очень часто экспериментаторы с опытом сразу
перемещают линзу или объектив вдоль обеих осей X и У, а затем
поочередно поворачивают его вокруг этих же осей. Результат
юстировки будет тот же самый.
Можно легко проверить и качество выполненной юстировки. Для этого
достаточно «протащить» выставленную линзу вдоль направляющих. При этом след луча
лазера не должен смещаться с центра перекрестия на экране, а автоколлимационные
пятна на экране с отверстием, полученные в результате отражения луча лазера от
поверхностей линзы, не должны «разбегаться» в разные стороны.
446

Рис. 9.46. Объектив строго выставлен в меридиональной плоскости системы.
Рис. 9.47. Объектив строго выставлен на оптической оси системы.
Но не всегда все получается так красиво, как мы только что рассказали и
показали на рис. 9.45, г и 9.47.
Существенное влияние на качество юстировки автоколлимационным способом
оказывает погрешность, с которой сцентрированы оптические элементы сложного
объектива. Для «ширпотребовской» оптики (фотообъективы для любительских
фотокамер, любительских проекционных систем и т. д. и т. п.), как правило, допуски на
центрировку самих оптических элементов и их сборок (оправленных линз)
имеют довольно широкие пределы. В результате «собрать» все следы лучей, отраженных
от поверхностей оптических элементов, в центре перекрестия экрана становится
просто невозможно (рис. 9.48, а). В этом случае остается только один выход —
«собрать» все следы лучей как можно ближе к центру перекрестия экрана (рис. 9.48, б).
.Иногда, как говорят юстировщики на производстве, удается «располовинить»
расстояния между центрами всех следов относительно вертикальной и
горизонтальной линий перекрестия (см. рис. 9.48, в).
447

16
•
0 л
hJ *
^ 1 . a
"^
Рис 9.48. К юстировке трехлинзового объектива.
Поясн. см. в тексте.
Й
Замечание: В случае центрировки сложного объектива,
состоящего из нескольких оптических элементов, вполне
понятно, что Вы получите на экране с отверстием число следов,
равное удвоенному числу используемых в объективе линз.
Поэтому при юстировке схемы, как правило, из всех получаемых
следов лучей на экране с отверстием выбираются самые яркие
и четко различаемые изображения бликов отраженных лучей.
Конечно, существуют и другие способы юстировки оптических систем и их
достаточно много. Но нам кажется, что этого вполне достаточно, чтобы с
минимальной затратой времени, энергии и средств реализовать ваши фантазии в металле и
стекле, а затем посмотреть, на что же они способны.
Когда Вы будете считать, что объектив отцентрирован достаточно хорошо,
можно приступить к юстировке следующего объектива Вашей схемы. И так далее ...
И напоследок заметим, совместное использование центрировки оптических
элементов со сферическими (или асферическими) поверхностями «по лучу» и
«по бликам» дает возможность быстрее получить необходимый результат.
Если Вы поняли (а не понять трудно), как можно сцентрировать объективы,
«обозначив» в пространстве оптическую ось лазерным лучом, то попробуем собрать и
отъюстировать простой коллиматор для работы с когерентным источником излучения.
Вообще, в самом общем случае, еще на этапе анализа выбранной оптической
схемы Вы должны ясно представлять себе, какие функции должен выполнять ее
каждый оптический элемент. Представлять себе так, чтобы при юстировке оптической
системы общая картина хода лучей, формируемых каждым оптическим элементом
схемы, у Вас не вызывала никакого смятения.
Юстировка
коллиматора
с когерентным
излучателем
На рис. 9.49 в аксонометрии (чтобы Вы лучше
представляли «что к чему») показана общая схема
коллиматора, которая включает в себя когерентный излучатель,
микрообъектив, формирующий точечный источник, и
объектив, преобразующий расходящийся пучок в пучок
параллельных лучей. Схема, конечно, до «примитива»
проста, но для нас было важно еще раз показать, какие пучки формирует каждый из
объективов.
Выбор объектива коллиматора определяется расходимостью и световым
диаметром пучка, который Вы хотите получить на его выходе. Микрообъектив
выбирают так, чтобы его апертура была равна и несколько больше объектива коллиматора.
Ну, а выбор осветителя зависит от той мощности светового потока, которую
Вы хотите получить на его выходе. Вот, собственно, и все по требованиям, которые
предъявляются к коллиматорам.
448

ф
X /ми
- ::::%
Рис. 9.49. К юстировке коллиматора с когерентным излучателем.
Замечание: Апертура микрообъектива выбирается в общем
случае исходя из требований, которые разработчик
предъявляет к работе коллиматора. Но обычно апертуру микрообъектива
выбирают несколько больше апертуры коллимирующего
объектива, стараясь обеспечить после коллимирующего объектива
равномерное распределение освещенности по всему световому
диаметру параллельного пучка. О том, как найти апертуры
объективов, мы говорили выше.
Прежде чем приступать к сборке и юстировке любой оптической схемы,
желательно прорисовывать ее на бумаге, обращая особое внимание на геометрию пучков,
формируемых каждым входящим в схему оптическим элементом, и на их размещение с
учетом тех расстояний, которые Вы получили в результате ее предварительного расчета.
Поверьте, это намного облегчит ее моделирование и позволит, наверняка,
обнаружить Ваши промахи еще до того, когда Вы начнете возиться с «железом».
А от промахов никто не застрахован!
Вся юстировка нашего коллиматора сводится всего лишь к решению двух
задач: необходимо и коллимирующий объектив, и микрообъектив выставить на
воображаемой оптической оси — луче лазера и совместить их точки фокусов.
Центрировку оптических элементов в любой оптической схеме (как бы проста
она ни была) следует начинать с самого дальнего объектива от источника излучения,
т. е. самого первого перед экраном. И только убедившись, что центрировка объектива
выполнена достаточно точно, можно переходить к центрировке следующего
объектива, стоящего перед ним, т. е. двигаясь от «конца» схемы к ее «началу» (к источнику
излучения).
Точно так же мы должны поступать и при юстировке коллиматора: сначала
отцентрировать коллимирующий объектив коллиматора и только затем приступить к
центрировке микрообъектива.
Вряд ли, после столь подробных обсуждений, стоит еще раз останавливаться
на порядке совмещения оптической оси коллимирующего объектива с оптической
осью, обозначенной лучом лазера. Поэтому мы очень надеемся, что с центрировкой
коллимирующего объектива Вы легко справитесь и без наших подсказок.
Следует только помнить, что и лазер, и экран с перекрестием задают нам
положение оптической оси в пространстве и прикасаться, а уж тем более, нарушать их
установку на протяжении всей юстировки коллиматора ни в коем случае нельзя!
449

А мы, опережая время, предлагаем задуматься над тем, каким образом с
наименьшими затратами времени и сил выставить на «воображаемой» оптической оси
микрообъектив. Предложенные ранее способы центрировки объективов в этом
случае вряд ли применимы. Пучок параллельных лучей, излучаемых лазером, так лихо
будет преобразован микрообъективом в сходящийся, что ни «по лучу», ни «по
бликам» совместить его оптическую ось с лучом лазера мы просто не сможем.
Пожалуй, единственный путь, который позволит нам выставить
микрообъектив, это попытаться равномерно «залить» излучением лазера световой диаметр
коллимирующего объектива. Если мы вернемся к рис. 9.49, то равномерно «залитый»
светом световой диаметр коллимирующего объектива должен обеспечить
равномерную освещенность по всему полю, отображаемому им на экране. Для того чтобы
более тщательно просмотреть, как распределена освещенность по полю, можно с
помощью фильтров «придавить» интенсивность светового потока.
Юстировку микрообъектива выполняют за счет его перемещения и поворота
вокруг воображаемых осей X, Y. Получив на экране равномерную освещенность по
полю, ограниченному световым диаметром объектива, будем считать, что оптические
оси и коллимирующего объектива, и микрообъектива лежат на одной прямой
(оптической оси).
Теперь можно перейти к решению следующей задачи — совмещению точек
фокусов обоих объективов. Именно условие совмещения фокусов «точка в точку»
является гарантией в получении пучка параллельных лучей на выходе из коллиматора.
Эту процедуру также можно выполнить несколькими способами. В нашем
случае, когда в схеме используется когерентный источник излучения, проще всего
совместить точки фокусов обоих объективов с помощью плоскопараллельной
пластинки, наблюдая изменение ширины интерференционных полос равного наклона,
которое происходит при перемещении коллимирующего объектива вдоль оси Z
(вдоль оптической оси).
Реализовать этот способ довольно просто. Для этого достаточно за коллими-
рующим объективом поместить полупрозрачную плоскопараллельную пластинку
под углом порядка 45° и на пути отраженного пучка поместить экран для
наблюдения (рис. 9.50).
Мы не знаем, как объектив коллиматора установлен относительно фокуса
микрообъектива. Но перемещая объектив коллиматора в «ту или другую» сторону,
по ходу луча лазера (или вдоль оси Z), Вы увидите, как на экране начнет изменяться
ширина интерференционных полос (см. рис. 9.50).
41
К
Рис. 9.50. К установке коллиматора на «бесконечность».
Поясн. см. в тексте.
450

Определив направление смещения объектива вдоль оси Z, при котором
интерференционные полосы становятся шире, продолжайте его перемещать в этом
направлении до тех пор, пока не получите на экране ровное световое поле — полосу
«бесконечной ширины» (см. рис. 9.50, световое поле справа).
Полоса «бесконечной ширины» появится только тогда, когда разность хода
всех отраженных от поверхностей пластинки лучей будет кратна кХ. А это может
произойти только в том случае, когда отраженные волновые фронты будут
представлять собой плоские поверхности, нормали (лучи) к которым, естественно, будут
параллельны между собой.
После установки коллиматора на «бесконечность» необходимо (обязательно!)
убедиться, что воображаемая оптическая ось, но теперь уже коллиматора, не
изменила своего положения в пространстве.
На этом можно считать юстировку коллиматора законченной.
ИЛ Наверно, теперь не возникнет никаких проблем с
Юстировка J_
юстировкой, в принципе, любых оптических систем в сво-
тслсскопичсскои
бодном пространстве. Для того чтобы убедиться в этом,
системы _ _
попробуем отъюстировать привычную для нас обычную
в когерентном „ _
телескопическую систему. Для юстировки мы выберем
трубу Кеплера. Вообще юстировка трубы Кеплера не
должна у Вас вызывать каких-либо проблем. Выставив
коллиматор, установите объектив трубы на
направляющие, придвиньте его почти вплотную к объективу коллиматора и попробуйте
максимально точно сцентрировать его относительно объектива коллиматора.
Затем, перемещая его вдоль направляющих, получите на экране с
перекрестием резкое изображение источника света. Конечно, при первой установке это
изображение не совпадет с центром перекрестия. Вспомните метод «половинных поправок»
и начинайте юстировку, выбирая одну половину смещения изображения
относительно центра перекрестия за счет перемещения непосредственно объектива трубы,
а вторую — ее вращением вокруг горизонтальной или вертикальной осей (рис. 9.51).
Добившись приемлемого результата юстировки, можно на скамью установить окуляр
(рис. 9.52).
Выставить окуляр на оптической оси зрительной трубы несколько сложнее.
Например, можно с помощью окуляра перенести изображение точечного источника,
сформированное объективом, на экран с перекрестием и за счет перемещения и
вращения окуляра относительно горизонтальной и вертикальной осей совместить
полученное с помощью окуляра изображение источника с центром перекрестия.
Рис. 9.51. К установке объектива зрительной трубы.
451

ь
cv
Рис. 9.52. К установке окуляра зрительной трубы.
ч
lT
4:
+
i4
Можно выставить окуляр, располагая на экране симметрично относительно
перекрестия изображение выходного зрачка. Кстати, его размеры можно найти из
простого соотношения, если известны диаметр входного зрачка и фокусные
расстояния объектива и окуляра:
/ок
^вых. зр — ^вх. зр
/i
В зрительной трубе Кеплера, как правило, размер входного зрачка равен световому
диаметру объектива.
Если мощность излучения лазера достаточна, то все исследования геометрии
выходного зрачка, формируемого за окуляром, можно провести, рассматривая его на
экране. По форме выходного зрачка и по его размеру можно оценить качество
центрирования оптических элементов системы. В нашей простой системе, юстировкой
которой мы занимались, срезание выходного зрачка может быть вызвано смещением
окуляра. Если же в трубе установлена сетка или какие-то иные диафрагмы, то к
искажению формы выходного зрачка может привести их неправильная установка.
Если возникает необходимость в установке в фокальной плоскости объектива
зрительной трубы некой сетки (либо транспаранта) или некой диафрагмы, то и здесь
у Вас не должно возникнуть никаких проблем. Установить сетку можно довольно
просто с помощью дополнительной оптики с небольшим увеличением, например,
того же окуляра (рис. 9.53). Для этого спроецируйте изображение точечного источ-
Рис. 9.53. К установке сетки зрительной трубы.
452

ника, сформированного объективом, на экран, а затем установите сетку таким
образом, чтобы изображение ее перекрестия на экране было совмещено с центром
спроецированного изображения точечного источника света.
Если Вы пытаетесь отъюстировать какой-то фрагмент некой схемы и вместо
окуляра установите объектив, то техника юстировки и в этом случае остается
прежней. О работе с динаметрами и диоптрийными трубками мы довольно подробно
рассказали выше. Поэтому вряд ли к ним стоит возвращаться.
Наверное, этого достаточно по юстировке оптических систем с когерентными
источниками излучения.
9.3.2. Юстировка оптических систем с некогерентным
источником излучения
Технология юстировки оптических систем, работающих с некогерентными
источниками излучения (электрические лампочки, светодиоды и т. д.), как мы уже
сказали, осложняется тем, что мы не можем определить (или задать) в свободном
пространстве (на оптической скамье или специальных столах) положение «воображаемой»
оптической оси, роль которой в наших когерентных системах выполнял лазерный луч.
Конечно, если бы оптические элементы вставлялись, например, в какой-либо
корпус, то в большинстве случаев центрировка оптических элементов (в частности,
линз или объективов) просто бы отпала. В «свободном» пространстве оптические
элементы могут занимать какое угодно положение, выставить их на одной
оптической оси достаточно сложно, что, безусловно, и нередко, приводит к снижению
качества юстировки моделируемой оптической системы.
Чтобы каким-то образом избежать грубых ошибок, мы настоятельно
рекомендуем по максимуму использовать возможности дополнительных контрольно-юсти-
ровочных средств и, в частности, коллиматоров, динаметров и диоптрийных трубок,
зрительных труб и микроскопов.
Теперь настало время рассказать и об особенностях юстировки оптических
систем, работающих с пространственно некогерентными источниками излучения.
Все наши дальнейшие рассуждения будут справедливы для некогерентных источников
как с широкополосным излучением («белый свет»), так и с квазимонохроматическим.
В качестве простого примера мы попытаемся отъюстировать обычную
телескопическую систему (или обычную зрительную трубу), в фокальной плоскости
которой расположены полевая диафрагма, ограничивающая поле зрения прибора, и
О Освещенность в поле зрения
зрительной трубы
Г\
Уф-тр
Полевая ч i
диафрагма Д v
Телескопическая
система
Рис. 9.54. К юстировке телескопической системы,
работающей с некогерентным источником излучения.
453

некая сетка. Входной зрачок системы совмещен с оправой объектива, которая в то же
время выполняет роль апертурной диафрагмы.
На рис. 9.54 показан общий вид собранной установки для юстировки
телескопической системы, которая включает в себя коллиматор и собственно саму
телескопическую систему.
Сетка коллиматора подсвечивается электрической лампочкой или светодио-
дом (некогерентными источниками излучения). Будем полагать, что коллиматор уже
выставлен на «бесконечность», т. е. сетка коллиматора установлена строго в
фокальной плоскости коллимирующего объектива. Нелишне напомнить, что коллиматор
является законченным юстировочным приспособлением, и при его использовании ни
в коем случае нельзя нарушать его установку на «бесконечность» и выполненную
ранее центрировку сетки относительно оптической оси коллиматора.
Положение объектива зрительной трубы, сетки и ее окуляра, естественно,
никак не ограничены в пространстве.
Первое, что нам предстоит сделать, — выставить
коллиматор вдоль (или параллельно) оси направляющих
оптической скамьи и каким-то образом «обозначить»
«продолжение» оптической оси коллиматора в
«свободном» пространстве.
Выставить достаточно точно оптическую ось
коллиматора относительно механической оси направляющих используемой скамьи
(рельса) по горизонту и по высоте достаточно сложно.
Юсшровка
коллимагора
в некогерентном
свете
й
Замечание: Напомним, и примите это за правило: для
того, чтобы избежать при юстировке излишних недоразумений,
все «подвижки» используемых подставок (рейтеров) следует
выставить в среднее положение. Этого никогда не следует
забывать, иначе, и это вовсе не исключение, все придется
начинать сначала.
Для того чтобы «привязаться» к механической оси направляющих (пусть даже
приблизительно), можно поступить следующим образом.
Установим коллиматор на каких-либо подставках (рейтерах), которые могут
обеспечить вращение трубы коллиматора вокруг его оптической оси и ее
перемещение во взаимно-перпендикулярных плоскостях. Естественно, оптическая ось
коллиматора может занять в пространстве любое произвольное положение. С помощью
вертикальных подвижек рейтеров и накладного уровня выставим его оптическую ось
«в горизонт» (рис. 9.55). Затем, воспользовавшись простым отвесом и деля,
хотя бы приблизительно «вход и выход»
коллиматора пополам, постараемся выставить как можно точнее оптическую ось
коллиматора вдоль механической оси направляющих рельса.
Подготовим экран с перекрестием и начертим границы, определяющие
световой диаметр объектива коллиматора. Выставим вертикальную линию перекрестия,
хотя бы с помощью отвеса или иного приспособления, близко к механической оси
направляющих.
Подсветив сетку коллиматора, при достаточной мощности осветителя, мы
увидим на экране светлый круг, размеры которого будут совпадать с размерами
светового диаметра его объектива. Совместить изображение светового пучка,
отображаемого на экране, с теми границами, которые мы нанесли на экране, можно
довольно просто с помощью подвижек рейтера, на котором закреплен экран (но никоим
образом не прикасаясь к коллиматору!).
454

$
«p
iz
X
* *
f
Рис.
Экран с перекрестием и границами
светового диаметра объектива
Г"^
Уровеньу
1 а
1 v~-
•jj—
%
коллиматора
W
О 'г 1
Произвольное положение коллиматора
после первоначальной установки
п
~ -—- '-—--^
kw
Положение коллиматора после установки его оси вдоль
оси направляющих оптической скамьи
шшшшш.
* 3J О
п 1
**»
LJ ■■■■■■■■■■■
9.55. Юстировка коллиматора вдоль оси направляющих оптической скамьи
с некогерентным источником излучения.
Й
Замечание: Вообще мы настоятельно рекомендуем
проверять распределение светового потока за объективом
коллиматора в плоскости экрана с помощью какого-либо
фотометрического устройства. Дело в том, что сетка коллиматора может
подсвечиваться самыми различными способами.
Если она (сетка) коллиматора освещается рассеянным
светом (например, перед ней стоит матовое стекло), то
положение источника света особой роли для юстировки не играет.
Если же сетка коллиматора освещается непосредственно
источником света (например, естественным расходящимся
пучком) , то его положение относительно оптической оси
коллиматора будет определять направление излучаемого им пучка.
Поэтому даже незначительное смещение источника излучения
относительно оптической оси коллиматора может привести к
формированию за объективом наклонного пучка лучей, что, в свою
очередь, может привести к низкому качеству юстировки.
Это, собственно, и все! Теперь наша «невидимая» оптическая ось определена и
«закреплена» в пространстве двумя точками: центром перекрестия сетки
коллиматора и центром перекрестия на экране. Правда, о высокой точности при такой
юстировке говорить не приходится. Но хоть что-то, чем ничего!
Можно поступить и иначе и «привязать» оптическую ось коллиматора к
центру перекрестия экрана более точно. Убедившись, что мы все сделали аккуратно,
развернем'трубу коллиматора на 180°. Если ось коллиматора выставлена параллельно
направляющим рельса и лежит в плоскости его механической оси, то при вращении
трубы коллиматора центр круга, отображаемый на экране (по сути «тень
наизнанку»), должен оставаться на месте. В противном случае (для произвольно или неудач-
455

но установленной трубы коллиматора) центр пучка света на экране опишет
окружность.
Конечно, эту «беду» следует убрать. Вспомним метод «половинных
поправок», о котором мы говорили выше, и попытаемся, хотя бы «на глаз», определить,
насколько после разворота трубы коллиматора след пучка света сместился на экране
относительно центра перекрестия. Поделим найденную величину смещения пополам
и одну половину «выберем» поворотом трубы коллиматора вокруг вертикальной оси,
а другую — его перемещением в горизонтальной плоскости.
Будем считать, что мы «привязали» к механической оси рельса именно экран и
именно он является у нас тем репером, который определяет положение оси рельса!
Вновь повернем трубу на 180° и посмотрим, насколько же мы удачливы. Не
стоит расстраиваться, если сразу не все получилось. Если Вы где-то и что-то сделали
«не так», эти погрешности наверняка «вылезут» наружу. Но чем быстрее — тем лучше!
А вообще, «сходу» и сразу и у авторов никогда ничего не получалось. В этом случае, и
как всегда, спасет метод «последовательных приближений». После нескольких
«приближений» удача придет Вам на помощь, и все у Вас получится на отлично.
Закончив юстировку трубы коллиматора в горизонтальной плоскости, можно
точно так же выставить ее по вертикали, но никогда не забывайте проверять,
сохранила ли свое положение труба коллиматора в горизонтальной плоскости. Выставлять
коллиматор сразу по двум осям, пока «не набрались» опыта, сложно, да и нет
необходимости.
Иногда, и нередко, приходится возвращаться к уже проделанным операциям и
выполнять «подъюстировку» там, где казалось бы, все было сделано очень хорошо!
Закончив юстировку коллиматора, ни в коем случае нельзя изменять
положение экрана с перекрестием: система коллиматор—экран будут определять в
пространстве ту воображаемую оптическую ось, на которую, мы будем «нанизывать»
оптические элементы, которые все вместе будут представлять, в самом общем
случае, некую оптическую систему, а в нашем случае простую зрительную трубу.
И, пожалуй, главное, не пытайтесь запоминать, как мы это делаем. Намного
важнее понять, что и зачем мы это делаем! Ревизия «подручных» вспомогательных
средств и Ваша фантазия наверняка подскажут Вам десятки других возможностей
отъюстировать Вашу систему.
Юстировка
зрительной трубы
KeiLiepa
в iiCKOi ерен i ном
свете
Выставив коллиматор относительно направляющих
и используя его оптическую ось в качестве оси
визирования, можно приступить непосредственно к юстировке
зрительной трубы (рис. 9.56).
Установим объектив зрительной трубы на
направляющие скамьи. Как и труба коллиматора, объектив
зрительной трубы при первой установке может занять в
пространстве самое неподходящее положение. Поэтому сначала постараемся по
максимуму совместить световые диаметры объектива коллиматора и только что
установленного объектива зрительной трубы. Для этого их можно даже придвинуть
вплотную друг к другу и за счет разворота или поперечной подвижки вдоль осей Х9 Y
постараться сцентрировать их световые диаметры.
Перемещая объектив зрительной трубы (или экран с перекрестием) вдоль
направляющих рельса, добьемся резкого изображения перекрестия сетки коллиматора
на нашем экране. Надеемся, Вы еще не забыли, что на экране объектив зрительной
трубы сформирует действительное её изображение.
Причем изображение сетки коллиматора в задней фокальной плоскости
зрительной трубы будет сформировано с увеличением р, равным отношению их
фокусных расстояний /зР ф и /кол, т. е.
456

X
л г
_4L
3J о fcs=r-
II
%
1 А
Произвольное положение объектива зрительной
трубы после первоначальной установки.
Положение объектива зрительной трубы после его
юстировки.
J
Рис. 9.56. Юстировка объектива зрительной трубы в некогерентном свете.
о _ Лр. тр
укол
В результате произвольной установки объектива изображение перекрестия
сетки, естественно, не совпадет с центром перекрестия на экране.
Разворачивая объектив вокруг осей X, Y (и не трогая коллиматор с экраном!),
добьемся совмещения центра изображения сетки с центром перекрестия на экране.
й
Замечание: Обратите внимание, и это важно! Мы не
совмещали (в буквальном смысле) оптическую ось объектива
зрительной трубы с воображаемой оптической осью, обозначенной
в пространстве центром сетки коллиматора и центром
перекрестия на экране. Мы только выставляли ее параллельно этой
воображаемой оси, разворачивая объектив зрительной трубы
вокруг воображаемых осей координат X и У.
Если оптическая ось объектива зрительной трубы не
совпадает с оптической осью коллиматора, но параллельна ей, то
как бы мы ни перемещали объектив зрительной трубы в
направлениях, перпендикулярных оптической оси коллиматора
(конечно, в пределах светового диаметра его объектива),
изображение перекрестия сетки коллиматора всегда будет совпадать
с задней точкой фокуса объектива зрительной трубы.
Другое дело, если оптическая ось зрительной трубы
развернута относительно оптической оси коллиматора. В этом
случае изображение перекрестия сетки коллиматора будет
отображаться не в точке заднего фокуса объектива зрительной трубы,
а в его задней фокальной плоскости, причем в месте, которое
будет полностью определяться углом пересечения их осей.
457

Следует помнить, что в объектив зрительной трубы
попадает параллельный пучок лучей света.
Для проверки качества юстировки объектива зрительной трубы желательно
повернуть его на 180° вокруг его оптической оси и посмотреть, насколько мы аккуратны.
Если изображение, создаваемое объективом зрительной трубы, сместится
с центра перекрестия на экране, значит, мы что-то не «доглядели». Ничего страшного
в этом нет. Не трогая ни экран, ни коллиматор, вновь попытаемся, но более
внимательно и аккуратно, совместить изображение центра сетки коллиматора с центром
перекрестия экрана.
Вполне возможно, что эту процедуру придется повторить не один раз. При
этом положение и коллиматора, и экрана на время юстировки объектива зрительной
трубы Вы ни в коем случае не должны нарушать!
а
Замечание: Наверное, это можно и не напоминать. Если
объектом наблюдения служит точечный источник света,
расположенный в фокальной плоскости объектива коллиматора, то
объектив зрительный трубы преобразует параллельный пучок
лучей, сформированный коллиматором, в сходящийся, который
«стянется» в точку в задней фокальной плоскости объектива
трубы.
Если же в качестве объекта наблюдения будет
использоваться сетка, установленная в фокальной плоскости объектива
коллиматора, то на экране, расположенном в задней фокальной
плоскости объектива трубы, Вы увидите ее изображение.
Выбор за Вами - что же использовать в качестве объекта
наблюдения.
Закончив юстировку объектива, можно перейти к установке и юстировке
окуляра зрительной трубы (рис. 9.57).
Напомним, что при совмещении задней фокальной плоскости объектива
коллиматора с передней фокальной плоскостью окуляра расходящийся пучок будет
трансформирован на выходе окуляра в параллельный, диаметр которого должен
(просто обязан!) равняться диаметру выходного зрачка,
который можно определить согласно упомянутой нами формуле:
л = л ^£И
*-^RKIX 1П *-^RX 1П f
/of
-'вых. зр — ^вх. зр
об
где DBX 3p и DBbIX зр — соответственно диаметры зрачков входа и выхода, a /i и
/о'к —соответственно фокусные расстояния объектива и окуляра, применяемых в
зрительной трубе.
Еще важно понять следующее. Когда мы выставляли объектив зрительной
трубы соосно (параллельно) оптической оси коллиматора, мы «работали» в
параллельных пучках и поперечные смещения объектива никак не влияли на положение
формируемого изображения. Теперь же изображение, сформированное объективом
зрительной трубы, мы рассматриваем с помощью окуляра, совмещая переднюю
фокальную плоскость окуляра непосредственно с плоскостью, в которой сформировано
изображение. В результате любое смещение или наклон окуляра приведет к ломке
(смещению и наклону) всей оптической оси зрительной трубы, что, естественно,
приведет к изменению положения или снижению качества рассматриваемого
изображения.
458

.Ф z
<т
ъ ^ 1 '-о-
х «■ Л >
1
3$ °«
Произвольное положение окуляра зрительной трубы после
первоначальной установки.
3j 0 ^—
и
Положение окуляра зрительной трубы после его
юстировки.
Рис. 9.57. Юстировка окуляра зрительной трубы в некогерентном свете.
Поэтому, если при юстировке объектива зрительной трубы нам было
достаточно выставить оси коллиматора и объектива соосно (параллельно) друг другу, то
теперь мы должны оптическую ось окуляра строго совместить с оптической осью
объектива (но ни в коем случае наоборот!).
Выполнить это можно самыми разными способами.
Перемещая окуляр вдоль рельса (или экран с перекрестием) в ту или другую
сторону, можно добиться резкого изображения объекта наблюдения на экране и
попытаться совместить за счет имеющихся подвижек центр полученного изображения
с центром перекрестия на экране. После этого, если есть возможность, надо
развернуть окуляр на 180°, чтобы визуально определить, насколько же мы ошиблись! Если
наружу вновь «вылезет» наша неаккуратность, придется вновь вспомнить о методе
«половинных поправок» и попытаться одну половину «неаккуратности» убрать за
счет поперечного смещения окуляра (но ни в коем случае не за счет объектива
коллиматора или экрана), а вторую — за счет его поворота. Вполне возможно, что при
установке окуляра зрительной трубы эту процедуру придется повторить несколько раз.
Чтобы выполнить юстировку зрительной трубы на «бесконечность»,
достаточно убрать экран и глазами, перемещая окуляр трубы вдоль направляющих,
попытаться увидеть резко сетку коллиматора, не прикасаясь при этом к объективу зрительной
трубы. При ее резком видении можно считать, что зрительная труба выставлена
на «бесконечность».
Если в промежуточной (фокальной) плоскости изображений зрительной трубы
отсутствуют какие-либо дополнительные элементы (сетка, полевая диафрагма),
можно считать, что юстировка зрительной трубы закончена.
459

S Замечание: Естественно, теперь мы можем отказаться от
экрана, так как с этого момента оптическую ось системы
может выполнять оптическая ось объектива зрительной трубы.
Здесь важно отметить следующее. Выставив оптическую
ось объектива зрительной трубы параллельно оптической оси
коллиматора (даже, возможно, совместив с ней, а возможно, и
нет) , мы, по сути, «связали» оптическую ось объектива с
оптической осью коллиматора. Более того, этими простыми
действиями мы «обозначили» в пространстве оптическую ось
зрительной трубы, относительно которой теперь и будем
устанавливать все оптические (и не оптические тоже) компоненты,
входящие в ее оптическую схему.
Можно отъюстировать зрительную трубу, воспользовавшись стандартными
контрольно-юстировочными приборами: динаметром и диоптрийной трубкой. Их
также можно рекомендовать для контроля качества выполненных котировочных
работ. Ниже мы покажем, как это можно быстро и легко сделать (рис. 9.58).
Как и раньше, прежде всего, необходимо выставить коллиматор хотя бы
приблизительно вдоль оси направляющих оптической скамьи. Затем необходимо с
максимально возможной точностью совместить (или выставить параллельно)
оптическую ось объектива зрительной трубы с оптической осью коллиматора.
На скамье, за объективом, по ходу распространения света, установим окуляр и,
«притушив» немного мощность излучения осветителя, постараемся, перемещая
окуляр вдоль направляющих оптической скамьи, сфокусировать изображение сетки
коллиматора, как показано на рис. 9.59. После почти произвольной установки объектива
и окуляра зрительной трубы наверняка они будут занимать какое угодно положение в
пространстве.
Теперь наша задача — «выстроить» их на одной линии — воображаемой
оптической оси системы, насколько это возможно.
Для этого воспользуемся динаметром. Выставим окуляр динаметра на резкое
видение сетки. Установим динаметр вплотную к окуляру зрительной трубы и будем
перемещать микроскоп в корпусе-трубе до тех пор, пока не увидим резкое
изображение выходного зрачка оптической системы.
Изображение выходного зрачка системы должно представлять собой круг
с равномерным распределением освещенности по полю изображения. Однако, даже
т
#
X Т
V
Рис. 9.58. Юстировка зрительной трубы на «бесконечность»
в некогерентном свете.
460

Объектив
Сетка и полевая
диафрагма
Коллиматор
/об
Г Окуляр
^ /ок ■
>■ «< ♦
Рис. 9.59. К юстировке зрительной трубы с произвольным расположением ее оптических
элементов.
*
¥\
Совмещенные сетки
и полевая диафрагма
Рис. 9.60. Установка сетки и полевой диафрагмы в зрительную трубу.
при самой тщательной предварительной установке объектива и окуляра
относительно оси коллиматора, этого может и не произойти. Выходной зрачок системы после
первой установки, как правило, будет представлять собой некую фигуру, далекую от
правильного круга. Несложно сообразить, если объектив зрительной трубы по
диаметру меньше объектива коллиматора, то, очевидно, объектив и окуляр зрительной
трубы выставлены «как попало». Принимая за опорный элемент объектив зрительной
трубы, начнем перемещать окуляр зрительной трубы в двух
взаимно-перпендикулярных направлениях (поперек направляющих скамьи) до тех пор, пока не получим
изображение выходного зрачка, близкое к идеальному кругу с равномерной
освещенностью по полю.
С помощью сетки динаметра можно измерить диаметр полученного
изображения входного зрачка в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Если
полученные значения диаметров будут равны между собой, можно считать, что у нас все
получилось. Если же значения диаметров получились различными, можно
предположить, что объектив или окуляр развернуты относительно оптической оси. Вращая
объектив вокруг оси, перпендикулярной направлению меньшего значения диаметра,
нужно попытаться выровнять значения измеряемых диаметров до его максимальной
величины. При этом всегда необходимо следить за равномерностью освещенности по
полю изображения выходного зрачка.
После этого, если необходимо, в плоскость совмещенных фокусов объектива и
окуляра можно установить сетку и полевую диафрагму (рис. 9.60).
Сцентрировать сетку и полевую диафрагму можно с помощью динаметра,
а минимизировать возможный параллакс — с помощью диоптрийной трубки.
461

Юстировка
оптических
систем
в сходящихся
||\чка\
Юстировка оптических систем в сходящихся
пучках несколько отличается от юстировки в параллельных
пучках. Ниже на очень простом примере мы покажем, как
можно быстро, без особых затрат времени, отъюстировать
такую систему.
, По существу, самостоятельную оптическую
систему или некий фрагмент некой сложной оптической
системы, «работающий» в сходящихся пучках, вполне можно рассматривать как обычную
проекционную систему, осуществляющую перенос изображения из одной плоскости
в другую (рис. 9.61). И совсем неважно, что это будет за изображение — точечный
источник излучения или некая сцена.
На рис. 9.61 мы отобразили и обозначили все рабочие отрезки, которые могут
охарактеризовать такую систему. Нетрудно убедиться, что все расстояния,
определяющие параметры схемы, тесно связаны между собой. Их знание настолько
облегчает юстировку, что вряд ли у Вас могут возникнуть какие-либо вопросы. Нам всего
лишь и надо определить расстояния от внешних поверхностей нашего объектива до
предмета и его изображения, т. е. -z-sF и z' + Sps где sF и s'F> —вершинные (или
фокальные) отрезки.
При юстировке подобных систем исходной величиной, как правило, является
линейное увеличение р. Поэтому из выражения (2.7)
можно легко найти значения гиг
э=
t .
с .
:£ =
У
f
р
_/ =
z
и z' =
t
z
J'
г
p
Значения sF и sF можно непосредственно измерить на той же самой скамье.
Как это сделать, показано на рис. 9.62. Установив предполагаемый к использованию
462

F'
""4c !
Рис. 9.62. К определению вершинных (фокальных) отрезков.
объектив на скамье в параллельном пучке лучей, мы получим в его фокальной
плоскости изображение точечного источника F. Сфокусируем микроскоп так, чтобы
изображение точечного источника, сформированное объективом, выглядело достаточно
резким. Снимем по линейке скамьи первый отсчет П\.
Если Ваша скамья не оборудована отсчетной шкалой, просто отметим каким-
либо образом первое положение микроскопа. Затем придвинем микроскоп к
объективу и наведем на резкое отображение внешней поверхности линзы, ближайшей к
микроскопу. Для того чтобы навести на поверхность линзы достаточно резко, можно
нанести на нее хотя бы обыкновенную пудру. По шкале скамьи снимем второй отсчет
/?2 или вновь каким-либо образом отметим на скамье его второе положение. Разность
отсчетов п\ - п2 определить нам значение sF'.
Точно так же, но развернув объектив вокруг вертикальной оси на 180°, можно
найти значение sF.
Определив расстояние от предмета до поверхности первой линзы объектива
(по направлению распространения света) как сумму значений -z - sF, а расстояние
от поверхности последней линзы объектива до изображения как сумму значений
z' + sp, можно достаточно точно (по той же шкале скамьи) выставить и предмет, и
экран для изображения.
В заключение этой главы хотелось бы сказать, что все те приемы юстировки,
о которых мы рассказали выше, в основном (или как правило) используются в
лабораторных условиях при предварительном моделировании оптических систем, когда,
и особенно нетерпеливым, уж очень хочется побыстрее попробовать свои идеи на
«настоящем» макетном образце.
В производственных условиях дела обстоят совсем иначе. Требования к
выполняемым котировочным операциям бывают порой настолько высоки, что даже на
мелкосерийном производстве для отдельных, особо важных юстировочных операций
разрабатывают специальные контрольно-юстировочные приборы. А говорить о
крупносерийном или массовом производстве вообще не приходится. Там контрольно-
юстировочные приборы сопровождают почти каждую операцию юстировки.
Но эта глава не о них.
463

Рекомендованная литература к i лаве 9
Берек М. О. Основы практической оптики. М; Л.: ГТТИ, 1933. 129 с.
Ельников Н. Т., ДитевА. Ф., Юру сов И. К. Сборка и юстировка оптико-механических
приборов. М: Машиностроение, 1974. 348 с.
Креопалова Г. В., Лазарева Н. Л., ПуряевД. Т. Оптические измерения. М.: Машиностроение,
1987.264 с.
КривовязЛ. М., ПуряевД. Т., Знаменская М. А. Практика оптической измерительной
лаборатории. М.: Машиностроение, 1974. 336 с.
Латыев С. М. Конструирование точных (оптических) приборов СПб.: Политехника, 2007.
580 с.
Мартин Л. Техническая оптика. М.: ГИФМЛ, 1960. 424 с.
Михельсон Н. Н. Оптические телескопы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1976. 512 с.
Панов В. А., Андреев Л. Н. Оптика микроскопов. Л.: Машиностроение, 1976. 430 с.
Погорев Г. В. Киселев Н. Г. Оптические юстировочные задачи. Л.: Машиностроение, 1989.
260 с.
Русинов М. М. Габаритные расчеты оптических систем, М.: Госгеолтехиздат, 1963. 400 с.
Слюсарев Г. Г. О возможном и невозможном в оптике. М.; Л.: Издательство АН СССР, 1944.
102 с.
Сокольский М. Н. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, 1989.
221 с.
Солнцев В. А. Оптические наблюдательные приборы. СПб.: Политехника, 1991. 80 с.
Фефилов Б. В. Прикладная оптика. М.: Геодезиздат, 1947, 531 с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вот и перевернута последняя страница наших бесед о геометрической оптике.
Вместе с авторами, ты, дорогой читатель, как и мы, пережил «взлеты и падения»,
когда пытался «осилить» эту книгу. Где-то нам был благодарен за доступное,
достаточно живое изложение сложного для понимания материала, а где-то вспоминал нас
не лучшим образом. Мы и сами полностью не удовлетворены нашим творением.
Надеемся, что при последующем издании книги с Вашей помощью нам удастся
улучшить ее содержание, устранить неизбежные ошибки и промахи.
Но нам хотелось бы поговорить о другом. Как известно, в 2010 г. исполнилось
50 лет с момента изобретения лазера. Мы не можем не гордиться этим достижением.
За это изобретение Нобелевскую премию получили и наши советские физики
Александр Михайлович Прохоров и Николай Геннадьевич Басов. По результатам
многочисленных опросов это изобретение в прошлом веке признано самым выдающимся.
Именно лазер произвел революцию в оптике. В свое время на заре научной
деятельности, 40 лет назад, в звездный час лазерной техники авторы книги не только
стояли у истоков нового направления — лазерной измерительной техники, но и сами
были активными его участниками. В результате нашей деятельности появились
первые в стране образцы новейшей лазерной измерительной техники для размерного
контроля на основе идей фурье-оптики, включая дифракционные и корреляционные
измерители.
Фурье-оптика нас настолько поразила, что от ее чар мы долго-долго не могли
избавиться. Казалось бы, чего проще, освети объект параллельным пучком лазера и в
задней фокальной плоскости линзы, установленной за объектом, мгновенно — со
скоростью света — получишь пространственный спектр Фурье. А отсюда один шаг
до фильтрации пространственных частот входного объекта и получения с помощью
второй линзы отфильтрованного изображения объекта. Оптическая вычислительная
машина, да и только! Как говорится «одной левой, и сразу в дамках»! А если к тому
же взять на вооружение известный метод расчета оптических систем по Вандер Люг-
ту, то открывается возможность точного расчета поля в любой плоскости оптической
системы с учетом действия всех предшествующих диафрагм и фильтров оптической
системы. Опираясь на такой изящный аппарат расчета когерентно-оптических
систем, можно, на первый взгляд, достаточно эффективно в реальном времени найти
интересующее нас поле, изучить закономерности его поведения в зависимости от
параметров оптической системы. Нам казалось, что этот аппарат является аналогом
архимедова рычага, которому, чтобы перевернуть мир, нужна было не много — не
мало, точка опоры. Но... за все надо платить! А расплата за элегантность и строгость
теории — необходимость вычисления многомерных трудоемких интегралов, что
делает порой невозможным и быстрый анализ, и быструю интерпретацию
интегральных выражений. Получается так, что «за деревьями и леса не видно!».
Надо сказать, что один из авторов долго был в плену волновой оптики, в то
время как другой — более опытный оптик со стажем — пытался оценить
происходящие в системе процессы совершенно с других позиций — с позиций
геометрической оптики. Парадоксально, но факт, он быстрее приходил к пониманию характера
465

преобразования полей, используя представления геометрической оптики, привлекая
вместо волновых представлений лучевые. Со временем апологету волновой оптики
пришлось умерить свой снобизм и высокомерие в отношении геометрической оптики
и взять ее в союзницы. В результате с ее помощью удалось понять механизм
пространственной неинвариантности в, казалось бы, благополучных (безаберационных)
оптических системах.
И на поверку оказалось, что во многих случаях при анализе структуры
сложных волновых полей, при попытке понять причины необычного их поведения
быстрый ответ (пусть не совсем точный!) может дать геометрическая оптика.
Вот так-то. Не зря говорят, «не сотвори кумира»! Общепринятое положение
квантовой механики о дуализме волны и частицы в нашем случае реализуется в
дуализме волновых и лучевых представлений. Более того, даже тогда, когда, казалось
бы, геометрическая оптика абсолютно не работает (размеры объекта очень малы —
порядка десятка длин волн), она — геометрическая оптика — в ряде случаев
оказывается все-таки «палочкой-выручалочкой». Так что, друзья, не хороните
геометрическую оптику в век лазеров — уникальных источников когерентного излучения.
Многие из нас, «нахлебавшись прелестей» когерентной оптики (большой
уровень шумов вследствие высокой когерентности излучения), начали обращать свои
взоры к некогерентной оптике. Воздавая ей должное (какое чистое поле получается в
свете некогерентного излучения!), стали искать компромиссный вариант, при
котором удалось бы сохранить уникальные возможности фурье-оптики (в части
эффективной фильтрации пространственных частот), но при этом несколько
«приглушить» когерентность, удалить шумы. Оказалось, что это вполне возможно, если в
качестве источников света с конечными угловыми размерами использовать частично-
когерентные источники, например, на основе современных светодиодов. При анализе
систем с такими источниками великолепным помощником оказывается
геометрическая оптика. Так что наклеивать ярлык «архаизм» на геометрическую оптику кое-кто
явно поторопился. Природа так устроена, что принцип дополнительности (волна и
фотон, волна и луч) очень часто нам облегчают понимание сложных процессов. И за
это ей огромное спасибо! А мир геометрической оптики нас окружает повсюду на
протяжении всей нашей жизни: ведь мы живем под Солнцем, которое будучи почти
неисчерпаемым источником света, каждый раз завораживает нас волшебной игрой
теней и света, подчас необычными картинками, природа которых легко объясняется
при использовании законов геометрической оптики.
Авторы надеются, что теперь после столь эмоционального заключения Вы,
дорогой читатель, несколько призадумаетесь, прежде чем «списать» со счета
геометрическую оптику. А что касается волновой оптики, а тем более фурье-оптики, то они
заслуживают отдельной книги, свою версию которой авторы полны желания
написать и издать в недалеком будущем.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Андреев Л. Н., Грамматин А. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Сборник задач по теории
оптических систем. М.: Машиностроение, 1987. 193 с.
Апенко М. И., Запрягаева Л. А., Свешникова И. С Задачник по прикладной оптике. М.: Высшая
школа, 2003. 592 с.
Артамонов И. Д. Иллюзия зрения. М.: Наука, 1969. 233 с.
Афанасьев В. А. Оптические измерения. М.: Высшая школа, 1981. 229 с.
Ахманов С А., Никитин С Ю. Физическая оптика. М.: МГУ, 2004. 656 с.
Бегунов Б. Н. Геометрическая оптика. М.: МГУ, 1966. 212 с.
Бегунов Б. К, Заказное Н. П., Кирюшин С И., Кузичев В. И. Теория оптических систем. М.:
Машиностроение, 1981. 431 с.
Берек М. О. Основы практической оптики. М.; Л.: ГТТИ, 1933. 129 с.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 720 с.
Бутиков Е. И. Оптика. СПб.: Невский диалект, БХВ — Петербург, 2003. 480 с.
ВолосовД. С Фотографическая оптика. М.: Искусство, 1971. 672 с.
Герцбергер М. Современная геометрическая оптика. М.: Иностранная литература, 1962. 487 с.
Годжаев Н. М. Оптика. М.: Высшая школа, 1977. 430 с.
Горбунова О. К, Зайцева A.M., Красников С Н. Задачник-практикум по общей физике. М.:
Просвещение, 1977. 112 с.
Горелик Г. С Колебания и волны. М.: Физматлит, 1959. 572 с.
Дитчберн Р. Физическая оптика. М.: Наука, 1965. 637 с.
Друде П. Оптика. М.; Л: ОНТИ, Гл. ред. общетехн. лит., 1935. 196 с.
Ельников Н. Т., ДитевА. Ф., Юрусов И. К. Сборка и юстировка оптико-механических
приборов. М.: Машиностроение, 1974. 348 с.
Калитеевский Н. И. Волновая оптика. М.: Высшая школа, 1978. 384 с.
Ковалевская Т. Е., ОвсюкВ. И., Белоконев В. М., Дегтярев Е. В. Фотоника: Словарь терминов.
Под ред. В. Н. Овсюка. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 342 с.
Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.
153 с.
Креопалова Г. В., Лазарева Н. 77., ПуряевД. Т. Оптические измерения. М.: Машиностроение,
1987.264 с.
КривовязЛ. М., ПуряевД. Т., Знаменская М. А. Практика оптической измерительной
лаборатории. М.: Машиностроение, 1974. 336 с.
ЛандсбергГ. С. Оптика. М.: Наука, 1976. 928 с.
Латыев С М. Конструирование точных (оптических) приборов СПб.: Политехника, 2007.
580 с.
Максутов Д. Д. Астрономическая оптика. М.: ОГИЗ, 1946. 268 с.
Мартин Л. Техническая оптика. М.: ГИФМЛ, 1960. 424 с.
Матвеев А. Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 351с.
МихельК Основы теории микроскопа. М.: Государственное издательство
технико-теоретической литературы, 1955. 325 с.
Михельсон Н. Н. Оптические телескопы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1976. 512 с.
467

Панов В. А., Андреев Л. Н. Оптика микроскопов. Л.: Машиностроение, 1976. 430 с.
Панов В. А., Кругер М. Я, Кулагин В. В. и др. Справочник конструктора оптико-механических
приборов. Л.: Машиностроение, 1980, 742 с.
ПогаревГ. В. КиселевН. Г. Оптические котировочные задачи. Л.: Машиностроение, 1989.
260 с.
Родионов С А. Автоматизация проектирования оптических систем. Л.: Машиностроение, 1982.
271 с.
Русинов М. М. Габаритные расчеты оптических систем, М.: Госгеолтехиздат, 1963. 400 с.
Русинов М. М. Техническая оптика. Л.: Машиностроение, 1979. 488 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит, 2005. 792 с.
Слюсарев Г. Г. Геометрическая оптика. М.; Л.: Изд. АН СССР, 1946. 332 с.
Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 670 с.
Слюсарев Г. Г. О возможном и невозможном в оптике. М.; Л.: Издательство АН СССР, 1944.
102 с.
Слюсарев Г. Г. Расчет оптических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 639 с.
Сокольский М. Н. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, 1989.
221 с.
Солнцев В. А. Оптические наблюдательные приборы. СПб.: Политехника, 1991. 80 с.
Стафеев С. К, Боярский К К, Башнина Г. Л. Основы оптики. СПб.: Питер, 2006. 336 с.
Тудоровский А. И. Теория оптических приборов. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948—1952. Ч. 1.
661 с; Ч. 2. 567 с.
Турыгин И. А. Прикладная оптика. М.: Машиностроение. Ч. 1. 1965. 362 с; Ч. 2. 1966. 431 с.
Фефилов Б. В. Задачник по прикладной оптике. М.: Высшая школа, 1974. 160 с.
Фефилов Б. В. Прикладная оптика. М.: Геодезиздат, 1947. 531 с.
Физическая энциклопедия в 5 тт. Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия /
Большая Российская энциклопедия, 1988—1998. Т. 1. 704 с; Т. 2. 704 с; Т. 3. 672 с; Т. 4.
704 с; Т. 5. 760 с.
Фриш С Э. Оптические методы измерений. Л.: ЛГУ, 1980. 226 с
Чуриловский В. К Теория оптических приборов. М.: Машиностроение, 1966. 564 с
Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и
студентов ВУЗов. Москва, Оникс, Мир и образование, 2006. 1056 с
Czapski S. Grundzuge der Theorie der Optischen Instrumente nach Abbe. Leipzig: Verlag von Johann
Ambrosius Barth, 1904. 479 S.
Gauss С F. Dioptrische Untersuchungen. Gottingen: Druck und Verlag der Dieterichschen
Buchhandlung, 1841. 44 S.

предметный указатель
Аббе инвариант (формула) 67, 68, 148
Аббе условие синусов 323, 324, 357, 360,
370
Аберрация 77, 108
Абсолютный показатель преломления 9, 10
Адаптация 267, 271
Аккомодация 267, 273, 274, 278
Аксиальная симметрия 78, 80
Апертура 180, 185
Апертурная диафрагма 179, 180, 181, 183,
243, 247, 287
Апертурный угол 183, 185, 242, 282, 287
Астигматизм 108,386,388
Афокальная система 361, 362, 410, 426, 428
Визуальный прибор (система) 224, 265 361
Виньетирование 216,218,223,240
Входной зрачок 180,186—188
Выходной зрачок 180,186—188
Гаусса оптика 76, 125, 146, 147
Гаусса предположение 75, 76, 85, 90
Гаусса приближение 65—67, 146
Гаусса теория 75, 76
Гаусса формула 135,173
Гюйгенса—Гельмгольца (Лагранжа—Гельм-
гольца) инвариант 147, 148, 167
Гиперфокальное расстояние 274, 340
Гиперцентрическая перспектива 254, 292
Главная плоскость 75, 84, 85
Главные точки 75, 84, 86, 87
Главный луч 193,194,234
Глаз 16, 76, 179, 245, 265, 266
Глубина изображаемого пространства
(глубина резкости в пространстве
предметов) 273, 338, 339, 340, 363, 371
Глубина предмета, пространства, сцены 128,
245
Глубина резкости в пространстве
изображений 341
Гомоцентрический пучок 15, 77
Диаскопические проекционные системы
(диапроекторы) 343, 348, 350, 359
Действующая диафрагма (апертурная) 179,
286
Диафрагма поля зрения (полевая) 179, 226,
228, 287
Диафрагменное число 334, 379
Диафрагменное число эффективное 334
Дифракция света 14, 17, 270, 387
Динаметр 423
Диоптрия 411
Диоптрийная трубка 414, 418, 428
Длина пути геометрическая 11, 12, 269
Длина пути оптическая 11—13, 32, 60, 186
Диффузное отражение света 19, 20
Заднее фокусное расстояние 69, 83, 174
Задняя фокальная плоскость 69, 83, 84
Закон независимости распространения лучей
17
Закон отражения 18, 19, 24, 25
Закон преломления Снеллиуса 27, 29, 32
Закон прямолинейного распространения
света 17,45
Зеркало плоское 20, 24, 27
Зеркальное отражение света 19, 20, 25
Зрачок глаза 282, 283
Зрительная труба Кеплера 367, 452, 456
Идеальная оптическая система 78, 84
Излучение 6, 7, 13
Изображение действительное 21, 107, 111,
121
Изображение мнимое 21, 99, 107, 111, 121
Изображение обратное 97
Изображение прямое 25, 46, 53
Иммерсионная жидкость (иммерсия) 372,
381
Источник излучения 7, 81, 304, 327
Источник света 8, 356, 386, 455, 466
Кандела 303,314,316
Кардинальные элементы 75, 83, 88, 91
Качество изображения 78, 380, 384, 385
Клин оптический 57, 58, 59
Колбочки глаза 266, 270
469

Коллективная линза 383
Коллиматор 406, 419
Кома 119,388
Конденсор 351
Контраст изображения 271,343
Коэффициент видности 315
Коэффициент виньетирования 223—225
Коэффициент отражения 319, 348, 349
Коэффициент пропускания 319, 321, 323
Коэффициент различия 255
Кривизна поверхности 61—63, 71, 78
Кружок рассеяния 108, 248
Линза толстая 89, 127, 157, 159, 160
Линза тонкая 71, 89, 134, 157, 199
Линза отрицательная 84,93, 100, 102
Линза положительная 15, 83, 84, 96
Линейное увеличение 129, 130, 135, 173, 174
Лупа 255, 256, 277, 283, 285
Луч действительный 66,81,83
Луч нулевой 81,82, 174
Луч параксиальный 65, 66, 67, 81
Луч света (световой луч) 14, 81
Люкс 314,316
Люмен 314,316,317
Масштаб изображения 128, 333, 405
Меридиональная плоскость 80, 81, 91, 447
Микроскоп 283, 368
Мира 391,398
Наилучшего зрения расстояние 290
Нормальное увеличение зрительной трубы
412
Нормальное увеличение лупы 281
Нормальное увеличение оптической
системы 366
Ньютона формула 132, 133, 173
Объектив зрительной трубы 366, 367, 412,
425, 456, 457, 461
Объектив микроскопа 368, 373, 431, 432
Окуляр 366, 383, 384, 394
Окуляр Гюйгенса 383
Окуляр Кельнера 383
Окуляр Рамсдена 373, 374, 376, 383, 384
Оптическая ось 78
Оптическая сила 70, 150, 154, 173,411
Оптическая система 76, 78, 79, 84, 97
Освещенность изображения 179, 182, 243,
267, 287, 294
Освещенность энергетическая 304, 307, 308,
311,312,316
Относительное отверстие геометрическое
333, 334, 379
Относительное отверстие эффективное 334,
379
Палочки глаза 266, 272
Параллакс 409
Пентапризма 48, 49, 50
Передняя фокальная плоскость 69, 83, 109
Переднее фокусное расстояние 86, 87, 141,
267
Перспектива гиперцентрическая 254, 255,
257
Перспектива телецентрическая 253, 257
Перспектива энтоцентрическая 252, 253
Плоская поверхность 21, 442, 443, 445
Плоскопараллельная пластина 37, 43, 56
Плоскости главные 75, 85
Плоскости узловые 88, 91
Плоскость изображения 97, 250, 410
Плоскость наведения (фокусировки) 248
Плоскость предметов 8, 97, 222, 225
Поглощение света 305, 307, 319
Показатель преломления абсолютный 9, 10
Показатель преломления относительный 10,
11
Поле зрения зрительной трубы 425, 453
Поле зрения лупы 283, 284, 365
Поле зрения микроскопа 369, 373, 374, 375,
423
Поле зрения фотообъектива 335
Полезное увеличение зрительной трубы 366
Полезное видимое увеличение микроскопа
371
Полное внутреннее отражение света 33, 34
Порро система 52
Потери света на отражение 318,319
Потери света на поглощение 18, 307, 318,
319
Поток излучения 300, 303, 304, 306, 316
Правило знаков 18, 62, 126
Предельный угол полного внутреннего
отражения света 34
Преломляющие призмы 44, 57
Преломляющий угол клина 57, 58
Принцип обратимости лучей 35, 366
Призма прямоугольная отражательная 45
Призма ромбическая 50
Призма «с крышей» 48
Призма Шмидта 50
Призменные системы 51
Продольная сферическая аберрация 41
Продольное увеличение 128, 133, 135, 173,
363
Проекционная оптическая система 343
Проекционное расстояние 350
Просветление 320,441,442
Пространство предметов 79, 92
470

Пространство изображений 79, 92
Пучки лучей 14, 15, 17, 118, 146, 186
Пучок параллельных лучей 15
Пучок расходящихся лучей 15
Пучок сходящихся лучей 15
Радужная оболочка 16,254,266
Развертка призм 45, 47
Разрешающая способность глаза 271, 280,
341
Разрешающая способность зрительной
трубы 411,412
Разрешающая способность объектива 389,
390
Разрешающая способность микроскопа 371
Разрешающая способность фотообъектива
335, 340
Редуцирование 44
Рассеянный свет 15,16
Ретина 266, 268, 276
Свет 6, 7, 8, 294
Светимость энергетическая 304, 310, 312,
313,316
Световая волна 7, 32, 300
Световой поток 92, 179, 314, 319, 320
Световая чувствительность глаза 266
Светосила геометрическая 334
Светосила физическая 334
Светящаяся точка 81
Сетчатка глаза 266, 268
Сила света 303, 306, 307, 314, 316
Сила света энергетическая 306, 307, 316
Система Кеплера (схема Кеплера) 362, 367,
428,435,451,456
Система оптическая центрированная 78, 79
Склера глаза 268
Система телескопическая 361, 362, 365, 366,
367, 383, 385
Скорость света в вакууме 9
Сопряженные точки, линии, плоскости 97,
107
Спектр 294,371,465
Спектральная чувствительность 315
Стекловолокно 34, 35
Стерадиан 305,314,316
Стереоскопический эффект 245
Сферическая аберрация 353, 366, 387, 388
Телесный угол 304, 305, 306
Телецентрическая перспектива 253, 257
Точечный источник 7, 8, 93, 295, 304
Труба зрительная 361, 363, 414
Увеличение видимое 277, 362, 365, 374, 427
Увеличение зрительной трубы 406, 412
Увеличение линейное (поперечное) 80, 128,
134, 173, 174
Увеличение лупы 278,279,281,365
Увеличение микроскопа 369, 371, 374
Увеличение окуляра 367, 369, 374
Увеличение полезное 366
Увеличение продольное 133
Увеличение угловое 132
Угол отклонения 24, 45, 57
Угол охвата 354, 357
Угол поля зрения 146, 229
Угол расходимости 355
Угол сходимости 354
Узловые плоскости 87, 88
Узловые точки 87, 88
Фокальная плоскость 69, 73, 83, 84
Фокус системы задний 71, 83
Фокус системы передний 71, 83
Фокусные расстояния 86
Фокальные (вершинные) отрезки 128, 160
Формула высот 151, 174, 175
Формула линзы 71,73
Формула углов 150, 151, 174
Формула шлифовщика 73
Формулы для вычисления хода нулевого
луча 174
Хрусталик глаза 254, 257, 266
Числовая апертура 370, 381, 394
Чувствительность глаза (палочек, колбочек)
266
Экспозиция энергетическая 308, 316, 330,
335
Энтоцентрическая перспектива 252, 253,
292
Эпископические проекционные системы
(эпидиаскопы) 343, 348, 349, 359
Яркость 8, 179,243,271,316
Яркость энергетическая 308, 309, 312, 313,
316

ОГЛАВЛЕНИЕ
БЛАГОДАРНОСТИ 3
ОТ АВТОРОВ 4
ГЛАВА 1. НАЧАЛО ВСЕХ НАЧАЛ 6
1.1. Предварительные замечания о природе света -
1.2. Скорость света и показатель преломления 8
Абсолютный показатель преломления 9
Относительный показатель преломления 10
1.3. Геометрическая и оптическая длина пути света 11
1.4. Свет, лучи, пучки и все остальное 13
Световые пучки лучей 14
«Дневной» (рассеянный) свет 15
1.5. Основные законы геометрической оптики 17
1.5.1. Закон прямолинейного распространения света -
1.5.2. Закон независимости распространения света -
1.5.3. Закон отражения света 18
Диффузное и зеркальное отражение 19
Мнимое отражение в зеркале 20
Графическое определение направления отраженных лучей 21
Изменение угла отражения при повороте отражающей поверхности .... 23
Отражение от двух зеркал 24
Прямое и зеркальное отображения 25
Практический выбор размеров зеркала -
1.5.4. Закон преломления света 27
Графическое построение хода луча, преломленного на плоской границе
раздела двух сред 31
Эффекты при прохождении света через среды различной плотности 32
Полное внутреннее отражение 33
Принцип обратимости лучей 35
1.6. Прохождение пучков света через плоскопараллельную пластину -
Плоскопараллельная пластина в параллельном пучке света -
Плоскопараллельная пластина в сходящемся пучке света 39
Продольное смещение косого луча света плоскопараллельной пластиной .. 42
Редукция плоскопараллельной пластины 43
1.7. Отражательные и преломляющие призмы 44
1.7.1. Отражательные призмы и их развертки 45
Прямоугольная отражательная призма -
Пентапризма 48
Ромбическая призма 50
Призма Шмидта -
1.7.2. Призменные системы 51
Система призм Порро Iрода 52
Система призм Порро II рода -
1.7.3. Определение геометрических размеров отражательных призм 53
Аналитическое определение размеров призмы 54
Графическое определение размеров призмы -
1.7.4. Редуцированная плоскопараллельная пластина в оптической схеме 56
1.7.5. Преломляющие призмы 57
472

1.8. Преломление лучей света на сферических поверхностях 58
1.8.1. Преломляющие свойства сферических поверхностей 59
Графическое определение хода действительного луча 60
Аналитическое определение хода действительного луча 61
Параксиальная область и параксиальные лучи 64
Приближение Гаусса в оптике 65
Аналитическое определение хода параксиального луча 66
1.8.2. Фокус и фокусное расстояние сферической преломляющей
поверхности 68
1.8.3. Тонкая линза. Точки фокусов и фокусные расстояния 71
Рекомендованная литература к главе 1 73
ГЛАВА 2. ГАУССОВА ОПТИКА 75
2.1. Несколько слов об оптических системах: основные определения 76
Оптические системы -
Идеальные оптические системы 78
Центрированные оптические системы -
Сопряженные пространства 79
Меридиональная плоскость 80
Действительные, параксиальные и нулевые лучи 81
2.2. Кардинальные элементы оптических систем 83
Главные плоскости и главные точки 84
Узловые плоскости и узловые точки 87
2.3. Тонкая идеальная линза 89
2.4. Построение изображений в оптической системе с помощью кардинальных
элементов 91
2.4.1. Определение положения изображений внеосевых точек предмета.
Положительная линза 96
Предмет расположен перед передним фокусом линзы -
Предмет расположен внутри переднего фокусного расстояния линзы .... 98
Предмет расположен внутри заднего фокусного расстояния линзы 99
Предмет расположен за задним фокусом линзы 100
2.4.2. Определение положения изображений внеосевых точек предмета.
Отрицательная линза -
Предмет расположен перед задним фокусом линзы 101
Предмет расположен внутри заднего фокусного расстояния линзы 102
Предмет расположен внутри переднего фокусного расстояния линзы -
Предмет расположен за передним фокусом отрицательной линзы 103
2.4.3. Определение положения изображений внеосевых точек предмета
в сложных оптических системах -
Оптическая схема с двумя положительными линзами 104
Оптическая схема с положительной и отрицательной линзами 105
2.4.4. Определение положения изображений осевых точек объекта 107
Определение хода луча с использованием передней фокальной
плоскости 109
Определение хода луча с использованием задней фокальной
плоскости 110
Определение положения изображения осевой точки и построение
изображения предмета 111
2.4.5. Определение хода преломленного луча в сложной оптической системе .. 112
Положительная линза впереди отрицательной -
Отрицательная линза впереди положительной 113
2.4.6. Комбинация различных способов определения положения изображений
в сложных системах -
2.4.7. Определение положения оптического элемента по известным
положениям предмета и его изображения 115
Определение положения положительной линзы -
Определение положения отрицательной линзы 117
«Хитрые» случаи -
2.5. Графический анализ распространения наклонных лучей
в оптических приборах 118
2.6. Предмет и изображение. Положение и размеры 121
473

Графические построения изображений предмета 121
Предмет в области -оо -з- 2F 124
Предмет расположен на расстоянии от линзы 2F -
Предмет в области 2F -г- F -
Предмет в области F-^H -
Предмет в области Н'-г- +оо 125
2.7. Математика оптики Гаусса 1265
2.7.1. Правила знаков -
2.7.2. Формулы оптики Гаусса 128
Линейное (поперечное) увеличение -
Угловое увеличение 132
Формула Ньютона -
Продольное увеличение 133
Зависимость между тремя видами оптических увеличений 134
Формула Гаусса 135
Правила знаков и идентификация оптических схем 136
2.7.3. Примеры расчета основных параметров оптических систем 138
Положительная линза, предмет перед линзой, изображение
действительное -
Положительная линза. Предмет перед линзой, изображение мнимое .... 142
Отрицательная линза, предмет перед линзой, изображение мнимое 144
2.8. Сложная оптическая система 146
Инвариант Гюйгенса—Гельмгольца 147
2.8.1. Формулы углов и высот для линзовых систем 149
2.8.2. Расчет оптической системы из двух и трех компонентов 153
Формулы двухлинзовой оптической системы -
Сводка формул для трехлинзовой оптической системы 156
2.8.3. Толстая линза 157
2.9. Примеры общей практики 161
Обсуждение фрагмента оптической схемы 162
Определение положения и размера изображения по формуле Гаусса 164
Определение положения и размера изображения с помощью
нулевого луча 165
Определение кардинальных элементов в эквивалентной системе 167
Определение положения кардинальных элементов с помощью
нулевого луча 168
Замена двух линз их эквивалентом 170
Сводка основных формул нулевой оптики 173
Рекомендованная литература к главе 2 177
ГЛАВА 3. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 178
Диафрагмы в оптических приборах -
3.1. Апертурная диафрагма и ее «фантомы» 179
Апертурная диафрагма и ее назначение 181
Апертурные углы 183
3.1.1. Входной и выходной зрачки 186
Входной и выходной зрачки в оптической системе -
Графический способ определения положения входного и выходного
зрачков 187
Аналитический способ определения положения входного и выходного
зрачков 189
3.1.2. Распространение пучков света в оптических системах 193
Главные лучи и их прохождение через систему -
Прохождение пучков лучей света через оптическую систему 196
3.2. Анализ схем с различным расположением апертурной диафрагмы 198
3.2.1. Апертурная диафрагма перед оптическим элементом 199
Определение положения выходного зрачка с помощью графических
построений 200
Ограничение осевого пучка -
Ограничение наклонного пучка 202
Определение параметров выходного зрачка с помощью аналитических
вычислений 204

3.2.2. Апертурная диафрагма за оптическим элементом 205
Определение положения выходного зрачка с помощью
графических построений 206
Ограничение осевого и наклонного пучков 207
Определение параметров входного зрачка с помощью
аналитических вычислений 208
3.2.3. Апертурная диафрагма впереди двухлинзовой оптической системы 209
Графическое определение положения выходного зрачка системы -
Аналитическое определение положения выходного зрачка системы 210
3.2.4. Апертурная диафрагма между компонентами двухлинзовой
оптической системы 212
3.3. Диафрагмы, ограничивающие поле зрения оптической системы 213
3.3.1. Виньетирующие диафрагмы 214
Виньетирование в оптических системах -
Входное и выходное окна (люки) 219
Уменьшение эффекта виньетирования 220
Действующее отверстие входного зрачка 222
Коэффициент виньетирования 223
3.3.2. Диафрагма поля зрения 226
Линейное поле зрения 229
Угол поля зрения -
3.4. Анализ схем с различным расположением полевой диафрагмы 231
Предмет расположен на конечном расстоянии -
Предмет расположен в бесконечности 233
3.4.1. Определение положения и размеров оптических элементов с помощью
вспомогательных лучей -
Первый и второй вспомогательные лучи 234
Определение положения и диаметра выходного зрачка (I вариант) 235
Определение положения и диаметра полевой диафрагмы (I вариант) .... 236
Определение положения и диаметра выходного зрачка (II вариант) 237
Определение положения и диаметра полевой диафрагмы (II вариант) ... 238
3.4.2. Поиск апертурной и полевой диафрагм в сложных оптических
системах 239
Анализ хода пучков лучей через сложную оптическую систему -
Графический способ поиска апертурной и полевой диафрагм 240
Порядок вычисления положения и размеров апертурной
и полевой диафрагм 243
Рекомендованная литература к главе 3 244
ГЛАВА 4. ПЕРЕДАЧА ПЕРСПЕКТИВЫ ОПТИЧЕСКИМИ ПРИБОРАМИ 245
4.1. Формирование изображений трехмерных объектов 247
Перспектива и зрение человека 251
4.2. Положение апертурной диафрагмы и передача перспективы -
Пример: «выворачивание трубы наизнанку» 255
4.3. Отображение перспективы оптическими приборами.
Условия естественного восприятия 258
4.4. Перспектива и точность линейных измерений 259
Апертурная диафрагма и точность линейных измерений -
Телецентрический ход лучей 261
Рекомендованная литература к главе 4 263
ГЛАВА 5. ГЛАЗ КАК ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 265
5.1. Оптическая система глаза и ее возможности -
Оптическая система глаза 266
Аккомодация глаза 267
Адаптация глаза -
Линейное увеличение глаза 268
Угол поля зрения глаза -
Предел разрешения глаза -
Глубина пространства, отображаемая глазом 272
5.2. Глаз и лупа 276
Лупа 277
475

Оптическая система лупа + глаз 278
Виньетирование в системе лупа + глаз 281
5.3. Расчет характеристик системы лупа + глаз 285
5.4. Лупа, глаз и перспектива 291
Рекомендованная литература к главе 5 293
ГЛАВА 6. ЭНЕРГЕТИКА ОПТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ И СИСТЕМ 294
6.1. Энергия электромагнитного поля -
Вектор Умова-Пойнтинга как плотность потока энергии излучения .... 295
Поток излучения 299
Геометрическая интерпретация энергетических характеристик поля ... 300
6.2. Энергетические величины и их единицы в оптике 303
6.2.1. Точечные источники излучения 304
Телесный угол Q 305
Энергетическая сила света J 306
Энергетическая освещенность Ее 307
Энергетическая экспозиция Не 308
6.2.2. Протяженные источники света -
Энергетическая яркость Ве -
Энергетическая светимость Ме 310
Расчет энергетической освещенности от протяженного источника .... 311
6.3. Фотометрические величины и их единицы, принятые в оптике 314
6.4. Связь между энергетическими и фотометрическими величинами 315
6.5. Потери энергии в оптических системах 318
6.6. Энергетический анализ оптических систем 320
6.6.1. Поток на входе оптической системы с точечным источником -
6.6.2. Энергетический расчет оптических систем
с протяженными источниками 322
Освещенность изображения источника в центре поля -
Распределение освещенности по полю изображения протяженного
источника 325
6.7. «Чудеса в решете» 327
6.8. Практика энергетических вычислений 328
Рекомендованная литература к главе 6 331
ГЛАВА 7. КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 332
7.1. Фотографические системы: предмет находится на удаленном расстоянии,
а его изображение — на конечном расстоянии -
Основные характеристики фотообъективов 333
Глубина резкости в пространстве предметов 338
Глубина резкости в пространстве изображений 340
7.2. Проекционные системы: предмет и его изображение
расположены на конечном расстоянии 343
7.2.1. Расчет параметров проекционного объектива 344
7.2.2. Эпископические проекционные системы 347
7.2.3. Диаскопические проекционные системы 350
Осветитель с проецированием источника во входной зрачок
объектива 353
Осветитель с проецированием источника в плоскость кадрового
окна объектива 356
Габаритный и энергетический расчеты проекционных систем 358
7.3. Телескопические системы: предмет и его изображение находятся
в бесконечности 361
Основные характеристики телескопических систем 362
7.4. Микроскоп: предмет расположен на конечном расстоянии,
а его изображение — в бесконечности 368
Расчет шкалового микроскопа 372
Рекомендованная литература к главе 7 376
ГЛАВА 8. КОМПОНЕНТЫ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 378
8.1. Основные параметры компонентов оптических систем -
Фотообъективы -
476

Объективы телескопических систем 380
Микрообъективы -
Окуляры 382
8.2. Экспериментальное определение параметров оптических элементов 384
Оценка качества оптической системы по дифракционному
изображению точки 386
Определение разрешающей способности объектива или
оптической системы 388
Выбор компонентов контрольно-измерительной системы 392
Определение фокусных расстояний методом линейных увеличений 395
Определение вершинных отрезков 398
Определение фокусных расстояний по методу Бесселя 399
Рекомендованная литература к главе 8 400
ГЛАВА 9. ОСНОВЫ ЮСТИРОВКИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 402
Последствия ошибок изготовления оптических деталей 404
9.1. Общие замечания по выполнению котировочных работ 405
О расходимости пучков света 406
Параллакс и его определение 409
Разрешающая способность зрительных труб 411
Выбор освещенности объекта 412
9.2. Универсальные контрольно-юстировочные приборы 414
9.2.1. Эталонная зрительная труба -
Изготовление эталонной зрительной трубы -
Установка эталонной зрительной трубы на «бесконечность» 417
9.2.2. Рабочие зрительные трубы и коллиматоры 418
Юстировка рабочих зрительных труб и коллиматоров 419
9.2.3. Динаметр 423
Определение увеличения оптических систем с помощью динаметра 426
9.2.4. Диоптрийная трубка 428
9.2.5. Микроскоп с окуляром-микрометром 430
9.3. Юстировка оптических систем в «свободном» пространстве 432
9.3.1. Юстировка оптических систем с когерентными источниками
излучения 434
Подготовка оптической скамьи 436
Задание положения воображаемой оптической оси в пространстве .... 437
Центрировка объективов с помощью лазера 439
Центрировка объективов по бликам 441
Центрировка объективов автоколлимационным способом 442
Юстировка коллиматора с когерентным излучателем 448
Юстировка телескопической системы в когерентном свете 451
9.3.2. Юстировка оптических систем с некогерентным источником
излучения 453
Юстировка коллиматора в некогерентном свете 454
Юстировка зрительной трубы Кеплера в некогерентном свете 456
Юстировка оптических систем в сходящихся пучках 462
Рекомендованная литература к главе 9 464
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 465
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 467
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 469

Тематический план
выпуска изданий СО РАН
на 2009 г., №190
Учебное издание
Рудольф Михайлович Бычков
Юрий Васильевич Чугуй
БЕСЕДЫ
О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ
Редактор Н. А. Лившиц
Корректор Н. В. Счастнева
Технический редактор Н. В. Бутакова
Подписано в печать с оригинал-макета 15.04.2011
Уч.-изд. л. 42,5. Усл. печ. л. 42. Формат 70x108/16
Печать офсетная. Тираж 500 экз. Заказ № 152
Издательство СО РАН
630090, Новосибирск, Морской просп., 2
E-mail: psb@ad-sbras.nsc.ru
тел. (383) 330-80-50
Отпечатано в.Издательстве СО РАН
Интернет-магазин Издательства СО РАН
http://www.sibran.ru

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Чугуй • рий Васильевич - профессор,
доктор техн. наук, заслуженный деятель науки
РФ. Окончил в 1968 г. физический факультет
Новосибирского госуниверситета. 18 лет
работал научным сотрудником в Институте
автоматики и электрометрии Сибирского
отделения Академии наук СССР. С 1987 г. по
1991 г. — начальник СКБ научного
приборостроения СО АН СССР, а с 1991 г. — директор
Конструкторско-технологического института
научного приборостроения СО РАН,
заведующий межотраслевой (СО РАН и Росатом)
лабораторией технического зрения. Область
научных интересов — фурье-оптика
трехмерных объектов, дифракция hia трехмерных
объектах, оптический размерный контроль,
лазерная метрология. По инициативе и под
руководством Ю. В. Чугуя за последние 15 лет
разработаны и созданы десятки
конкурентоспособных оптико-электронных измеритель-
1 ных систем, которые успешно
эксплуатируются в базовых отраслях страны.
Более 35 лет преподает в
Новосибирском госуниверситете и 10 лет—в Новосибирском государственном техническом
университете (НЭТИ). Автор и соавтор около 300 публикаций, в том числе трех
монографий, 27 охранных документов. Член ряда отечественных и зарубежных редколлегий и
научно-технических обществ. Старший член (senior member) американского
оптического общества (OSA). Удостоен правительственных и отраслевых наград.
Бычков Рудольф ихайлович -
кандидат техн. наук, специалист в области
оптического приборостроения, лазерной
измерительной техники. Окончил в 1961 г.
Новосибирский институт инженеров геодезии,
аэрофотосъемки и картографии (НИИГАиК) по
специальности «инженерная геодезия». Все годы
проработал на Новосибирском приборостро-
. ительном заводе им. Ленина, где прошел путь
от инженера до заведующего лабораторией
ч * прецизионных лазерных измерительных
систем в заводском ЦКБ «Точприбор». Один из
инициаторов создания в СССР
принципиально новых дифракционных измерителей на
основе фурье-оптики для бесконтактного
высокоскоростного контроля изделий с
субмикронным разрешением, внедренных в
серийное производство. Разработчик ряда
оптико-электронных систем различного
назначения с уникальными техническими
характеристиками. Награжден знаком
«Изобретатель СССР». Имеет и другие знаки
отличия. Автор 26 публикаций, в том числе
четырех авторских свидетельств на изобретение.
Имеет звание «Лучший конструктор Министерства оборонной промышленности».
Созданные им приборы трижды удостоены Золотыми медалями ВДНХ.