.l'- .
...
11 /! Т; 11
.J'...l ........ .J... 1..1 '
ilA'
-l J..
/' ....
 .&-
.J.
1.
,,-

Ю. Л. ЕРШОВ, Е. А. ПАЛЮТИН
.
МАТЕМАТИЧЕСИАЯ
лоrиНА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерство.'\!, высшеао
tL среднее о сnеЦllалъном образовЙНllЯ СССР
в 1<ач-естве уч-ебное" nособllЯ
для студентов JI!йтеJ\tаТllч-вС1<ИХ сnециалъносте 
вы.сших учебных 3<zведенu'(l,
",

1Il0С1\ВА (,НАУНА»
rЛАВНАЯ РЕДАRЦИЯ
ФИ3ИRО-МАТЕМАТИЧЕСRОй ЛИТЕРАТУРЫ
1987

ББК 22.12
Е80
УДК 510.6 (075.8)
Ер m о в Ю. Л., П а л ю т и н Е. А. Математическая лоrика:
Учеб. 'пособие для вузов. 2-е изд., испр. и доп. М.: HaYI{a. rл.
ред. физ.-мат. лит., 1987. 336 с.
в книrе изложены основные классические исчисления MaTe
lIIа:rической лоrики: исчисление высказываний и исчисление пре-
дикатов; имеется краткое изложение основных понятий теории
множеств и теории алrоритмов. Ряд разделов книrи  теория мо-
делей и теория доказательств  изложены более подробно, чем
это предусмотрено проrраммой.
Для студентов математических специальностей вузов. Может
служить пособием для спецкурсов.
Рецензент
член-корреспондент АН СССР О. В. Лупа//'ое
Юрий Леонидович Ершов
Евеений Андреевич ПаJ!ютин
МАТЕМАТИЧЕСRАЯ лоrИRА
Редактор В. В. ДончеН1<й
Художественный редактор Т. Н. l(ОJtъчеюtо
ТехническиJi редактор В. Н. Нонда1<ова
Норректоры r. в. ПодвоJtЬС1<ая, М. Л. МвдведС1<ая
ИВ No 12972
Сдано в набор 21,05.86. Подписано к печати 16.02.87. Формат 84Х108/32.
Бумаrа тип. .м. I'арнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл,
печ. л. 17.64, сл, кр.-ОТТ. 17,64. Уч.-изд. л. 19,38. Тираж 30000 зкз.
аказ .м 218. Цена 95 RОП.
Ордена Трудовоrо RpacHoro Знамени издательство HaYKa»
I'лавная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-Н. Ленинский проспект. 15
4-я типоrрафия издательства (,Наука"
630077 r. Новосибирск 77, Станиславскоrо, 25
Е 1702020000069 58-87
053 (02)-87
 Издательство HaYKa,..
 rлавнал редакция
физико-математической
литературы, 1979;
19f.менениями и дополнениями,

оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Введение 9
r л а в а 1. Исчисление высказываний 15
. i 1. Множества и слова . . . . 15
i 2. Язык исчисления высказываний . 22
i 3. Система аксиом и правил вывода 25
i 4. Эквивалентность формул . 32
i 5. Нормальные формы . . . . . 36
i 6. Семантика исчисления высказываний . .. 43
i 7. Характеризация доказуемых формул . " 48
i 8. Исчисление высказываний rильбертовскоrо типа 52
i 9. Консервативные расширения исчислений 56
r л а в а 2. ТеоРИJl множеств 65
i 10. Предикаты и отображения . . 65
i 11. Частично упорядоченные множества 70
i 12. Фильтры булевой алrебры . . . 78
i 13. Мощность множества . . 82
i 14. Аксиома выбора 90
. r л а в а 3. Истинность на алrебрапчеСItIlХ систе1\lах 96
i 15. Алrебраические системы 96
i 16. Формулы сиrнатуры.  103
i 17. Теорема компактности 111
r л а в а 4. Исчисление предикатов 119
i 18. Аксиомы и правила вывода 119
i 19. Эквивалентность формул 128
i 20. Нормальные формы . . . . . 132
i 21. Теорема о существовании модели . . 135
i 22. Исчисление предикатов rильбертовскоrо типа 142
i 23. Чистое исчисление предикатов . . . 147
r л а в а 5. Теория модедей 152
i 24. Элементарная эквивалентность 152
i 25. Аксиоматизируемые классы . 161
i 26. Скулемовские фу,НRlЦии . 169
i 27. Механизм совместности . . . . . 172
t 28. Счетная однородность и универсальность 186
t 29. Катеrоричность . . . . . . . 193
1.

4
Оt.i1А13ЛЕIlItЕ
r л а в а 6. Теория ДОКlщательств 204
 30. rенцеНОВСI,ая система G 204
 31. Обратимость правил . . 209
 32. Сравнение исчислениЙ ИП:!: и G 214
 33. Теорема Эрбрапа . . 222
 34. Исчисления реЗ0львепт 233
r л а в а 7. АJIrорптмы и рекурсивные функции 241
 35. Нормальные алrорифмы и машины Тьюринrа 241
 36. Ренурсивпые фУНIщии . . . . . .. 251
 37. Ренурсивно перечислимыe преДИRаты 268
 38. Неразрешимость исчисления преДИI\атов и теореш
rёделя о неполноте 281
 39. РазреШИllIые теории 296
 40. Неразрешимые теории 318
Предметный указатель 335
.

ПРЕДИСЛОВИЕ 1\0 ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подrотовке HOBoro издания значительной перера
ботке подверrлась rлава 6, имевшая ранее серьезные по-
rрешности. К rлаве 7 добавлены два новых параrрафа
( 39. Разрешимые теории и  40. Неразрешимые Teo
рии). Незначительные изменения сделаны и по осталъ
ному тексту: исправлены замеченные опечаТI\И и мелкие
ПОI'решности, сделаны небольшие добавления.
Авторы блаrодарны Iюллеrам, конструктивная крити-
ка которых способствовала улучшению книrи.

ПРЕДИСЛОВИЕ R ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
НаСТОЯIЦая книrа представляет собой систематическое
изложение ряда разделов современной математическоЙ
лоrики и теории алrоритмов. Написана она с целью ис
пользования ее в преподавании как в качестве учебника
По математической лоrике для университетов, так и в
качестве учебноrо пособия при чтении спецкурсов.
Разделы, соответствуЮIЦие обязательной проrрамме
( 19 в rлаве 1 (без мелкоrо шрифта),  1011 в
rлаве 2,  1516 в rлаве 3,  1820, 2223 в I'лаве 4
и  35 в I'лаве 7), написаны более ТIЦательно и подроб
но, чем разделы, ОТНОСЯIЦиеся к более специальным BO
просам.
Изложение исчисления высказываний и и.счисления
предикатов не является традиционным и начинается с
изучения секвенциальных вариантов исчислений HaTY
ральноrо вЫвода (хотя традиционные исчисления также
появляются здесь под названием rильбертовских). OCHO
ванием к зтому являются:
1) возможность хорошеrо объяснения смысла всех
правил вывода;
2) возможность более быстроrо при обретения навыка
формальных доказательств;
3) практическая возможность проделать все необхо
димые в курсе формальные доказательства в таких ис
числениях.
Мноrолетний опыт чтения старшим из авторов курса
математической ЛОI'ики на математическом факультете
Hr"Y, на основе KOToporo написаны rлавы 14, показы
вает, что указанные выше возможности вполне реализу
ются. Это оправдывает использование TaKoro способа из
ложения наряду с традиционными.
Более подробные сведения о содержании книrи мож
но получить из ее оrлавления.
Ввиду учебноrо характера книrи, несмотря на назва
ния «Теория множеств», «Теория моделей», «Теория дo
К8.зательств»' и «АлI'ОРИТМЫ и рекурсивные функцию),

ПРЕДИСЛОВИЕ
7
соответствующие rлавы, конеЧJilО, содержат лишь малую
часть содержания этих больших разделов современной
математической лоrики. Как и принято в учебниках,
большинство результатов приведено в данной книrе без
указания авторов.
В тенсте имеется небольшое число упражнений почти
после каЖдоrо параrрафа книrи. Однако этих упражне
ний явно недостаточно для учебных целей. Мы рекомен-
дуем использовать в каче.стве задачника для данноrо
курса следующий: Лавров И. А., Максимова Л. Л.
Задачи по теории множеств, математической лоrике и
теории алrоритмов. М.: Наука, 1984.
Для облеrчения пользования книrой укажем схему
зависимости rлав:
1 27
4 .:: 3
6 ./
5
Сделаем несколько замечаний теХПи'tескоI'О порядка.
Нумерация теорем сквозная по rлавам, нумерация пред
ложений и лемм своя в каждом параrрафе. Выражение
(<предложение 12.2» ((теорема 12.2», ...) означает «пред
лоЖение 2 (теорема 2, ...) из  12». При ссылке на
предложения и леммы внутри одноrо параrрафа и часто
при ССЫЛКе на теоремы внутри одноЙ I'лавы параrраф не
указывается. Символ * является сокращением дЛЯ BЫ
ражения «из... следует ...», символ -<=> является COKpa
щением для выражения (<... равносильно ..... Символ о
указывает на окончание доказательства.
Создание этой книrи не было бы возможно без кол
лектива кафедры алrебры и математической лоrини Ho
восибирскоrо rосударственноrо университета. Основатель
этой кафедры  выдающийся советский математик aKa
демик А. И. Мальцев (19091967)оказал решающее
влияние па формирование научных интересов и педаrо
rических взrлядов авторов. На разных этапах ПОДI'отовки
настоящей книrи большую помощь и поддержку мы по
лучали от М. И. Карrаполова, Н. В; Белякина, И. А. Лав
рова, Л. Л. Максимовой и мноrих друI'их. Этим коллеI'ам
и товарищам мы выражаем свою искреннюю признатель
ность и блаrодарность.
При работе над данной книrой были исполъзованы
8аписи курсов лекЦИЙ А. И. Мальцева и Ю. Л. ЕРЦIOва ,

8
uPЕдИСЛОВИЕ
J{НИI-И: Ершов Ю. Л., Палютин Е. А., Тайц
л и н М. А. Математическая ;rrоrика. Новосибирск:
Пац-во Hr"Y, 1973; R у р а т о в с R И Й н., М о с т о B
С К И Й А. Теория множеств. М.: Мир, 1970; М а л ь
Ц е в А. И. Алrебраические системы. М.: Наука, 1970;
:м а р к о в А. А. Теория алrорифмов. М.: Издво АН
СССР, 1954; m е н Ф и л Д Дж. Математическая лоrика.
11.: HaYJ;>a\ 1975, а также друrие моноrрафии и научные
статьи.
Новосибирск.
АRадемrородок
Ю. Л. Ершов
Е. А. ПаJ1,ЮТU1

ВВЕДЕНИЕ
Математическая лоrика как самостоятельный раздей
современноЙ математики сформировалась сравнительно
недавно  на рубеже девятнадцатоrо  Двадцатоrо веков.
Возникновение и быстрое развитие математическоЙ лоrи
ки в начале нашеrо века было связано с так называемым
кризисом в основаниях математики, Поrоворим об ЭТОl\1
чуть подробнее..,;,
При любоЙ попытке систематическоrо изложения ма.
теllIaТИКИ (как, впрочем, и любоЙ друrой наyJ{И) возни.
кает проблема выбора начальных (исходных) понятиIr и
принципов, которые будут положены в основу Bcero Il3
ложения. Проблема выбора и обоснование этоrо выбора
исходных данных лежит, как правило, вне самоЙ науч.
ноЙ ДIlСЦИПЛИНЫ и относится К философии и меТОДОЛОf'ИИ
научноrо познания. Систематизация математики в конце
Девятнадцатоrо века выявила, что весьма перспеКТИВНЫI\I
является использование понятия множества в качестве
единственноrо исходноrо понятия для всеЙ математи:юз:.
Работами Б. Больцано, Р. Дедекинда и r. Кантора была
создана новая область математики  теория множеств,
которая красотоЙ и силоЙ своих построений и перспек
тивами использования ее в основаниях математики при
влекла внимание мноrих ведуЩИХ математиков Toro
времени. Была проделана большая работа по теоретико-
множественному осмыслению математических и даже
лоrических понятий. В ЭТQЙ связи большоЙ интерес пред
ставляют исследования r. Фреrе и Б. Рассела. Однако
высокая степень абстрактности и «универсаЛЬНОСТ!I» по-
нятия множества не моrли не привести в новце концов
к трудностям, хорошо и давно известным в философии
при работе с «универсаЛИЯl\1И». Проявилось это в появ
Jrеню! так называемых теоретико-множественных пара
доксов.
Приведем один из наиболее типичных теоретико:r.шо-
жественных парадоксов  парадокс Рассела. Для произ
вольноrо множеСТl3а является вполне осмысленным BO

10
ВВЕДЕНИЕ
прос, «будет ли это множество своим собственным эле
ментом». Примером множества, которое содержит само
себя в качестве элемента, моrло бы служить, например,
множеСТВО всех множеств. Рассмотрим множество И О
всех множеств, для КО1'оры;х ответ на этот вопрос отри
цателен. Спросим теперь, является ли это множество
своим элементом? К своему (наивному) удивлению обна
р'ужю,l, что если ответ положительный, то имеем Мо Ф jt1o,
1'. е. ответ должен (бы) быть отрицательным. Если же
ответ отрицателен, то в силу определения множества И О
ответ должен быть ПОЛОжительным. Этот парадокс пока
зывает, что если мы не хотим приходить К ПрОТиворе
чиям, то необходимо (в частности) отказаться от прият
ноЙ мысли, что любое осмысленное условие на элементы
определяет некоторое множество. К счастью, TaKoro рода
парадоксы можно получить лишь с «большими» или
<шеестественнымю> множествами, без которых в MaTeMa
тике можно вполне обойтись *) .
Появление таких парадоксов в теории множеств было
воспринято мноrю.1И математиками очень болезненно и
поэтому ПРИЕлекло к вопр'осам оснований математики
пристаЛЬное внимание практически всех ведущих MaTe
матиков Toro времени (назовем к примеру имена Д. rиль
берта, А. Пуанкаре, r. ВеЙля). Было предложено He
сколько проrрамм «спасению> математики от «ужаса»
парадоксов, входить в детали которых мы не будем. YKa
жем вкратце только две наиболее деЙственные проrрам
мы, различные модификации ноторых обсуждаются и в
настоящее время. Отметим, что мноrообразие подходов
Б основаниям математики остается и понЫне. Однако
прошедшие rоды и безусловные достижения математи
чеСRОЙ лоrИRИ, речь о ноторых еще впереди, сняли OCTpO
ту этой проблемы настолько, что большинство математи-
ков, работающих в друrих разделах матемаТИRИ, не yдe
ляют особоrо внимания тем дискуссиям, которые веДут
ныне специалисты по основаниям математики.
ОдноЙ из наиболее разработанных проrрамм по ОС НО-
ваНИЯ1 математики является предложенная Д. rильбер-
том проrрамма финитарноrо обоснования матемаТИRИ.
Суть этой проrраммы состоит в попытке построения та-
*) .'Упоминаемые ниже формализации теории множеств  ах.
сиоматвческuе теории множеств, сохраняя все полезное, не дo
пускают проведенuя всех известных «парадоксальных» рассуж.
еНIlй.

ВВЕдЕНИЕ
11
кой формализации математики, что средствами этой
системы можно доказать свою собственную непротиворе
чивость. Друrим принципиальным требованием к ТaIюii
формализации является условие, чтобы все простейшие,
проверяемыенепосредственно утверждения о натураль
ных числах были истинными в этой формализации. Pa
бота над этоЙ проrраммой RaI{ caMoro rильберта, так и
ero учеников и последователей ОRазалась весьма плодо
ТБОРНОЙ для математической лоrИRИ, в частности, в раз
раБОТRе СОБременноrо аRсиоматичеСRоrо метода. Хотя
проrрамма «финитизма» в своей исходной постаНОВRе
оказалась невыполнимой, RaK ПОRазал в своих знаменитых
работах К. rёдель, однаRО возможные МОДИфИRации этой
проrраммы подверrаются полезному обсуждению и до Ha
стоящеrо времени.
Друrой подход R основаниям математики был связан
с КРИТИRОЙ ряда положений, ROTopble использовались в
математике без должноrо обоснования. Это относится,
в частности, к неоrраниченному использованию заRона
исключенноrо третьеrо и аRСИОМЫ выбора. Проrрамма
построения математики при жестки.х оrраничениях на
использование этих принципов получила название ин
туиционизма; ее создание и развитие связано в первую
очередь с именем Л. Э. Я. Брауэра. Развитый в Со.
ветском Союзе А. А. MapRoBblM и ero иоследователями
КОНСТРУКТИВИСТСRИЙ подход к основаниям математики
ТaI,же связан с критичеСRИМ подходом к допустимым ло
I'ичеСRИМ средствам в матемаТИRе и систематичеСRИ ис
пользует понятие алrоритма при RОНСТРУКТИВИСТСRОМ вос.
произведении математических результатов.
Хотя основания матемаТИRИ традиционно относятся к
математической лоrИRе, в настоящем учебнике не место
вдаваться в болыпие подробности этоrо раздела, находя.
щеrося на стыке матемаТИRИ и философии. Поэтому orpa
ничим обсуждение оснований матемаТИRИ приведенными
выше замечаниями, не претендующими на полноту и
исчерпывающую точность, служащими cRopee иллюстра
тивным целям.
Основным итоrом деятельности в области оснований
математики можно считать становление математической
оrики как самостоятельноrо раздела матемаТИRИ, а прин.
ципиальным достижением математичеСRОЙ лоrИl\И  раз
раБОТRУ совремеnnоео ак,сuоматuческ,оео метода, RОТОрЫЙ
может быть охараRтеризован следующими тремя чертами:

12
БВЕДЕШIЕ
1. Явная формулировка исходных положений (акси
Ol) той или иноЙ теории.
2. Явная формулировка лоrических средств (правил
вывода), которые допускаются для последова тельноrо по
строения (развертывания) этой теории.
3. Использование искусственно построенных формаль
ных язьшов для изложения всех положений (теорем)
рассматриваемой теории.
Первая черта характеризует классический аксиома
тический метод. Две слеДующие являются дальнейшими
шаrами в достижении маКсимальной точности и ясности
в изложении теорий. Введение и использование подходя
щих обозначений было па протяжении всей истории Ma
тематики весьма важной и продуктивноЙ процедуроЙ.
Но математические символы были только элементами
формальных языков. В математичеСfЮЙ же лоrИI,е впер
вые в истории были созданы такие боrатые формальные
ЯЗЫRИ, которые позволяют ФОРМУJIировать практичеСIШ
все основные положения cOBpeMeHHoU: математики. Боrа
тые формальные языки математичеСIЮЙ лоrики и успеш
ный опыт работы с ними создали одну из объективных
предпосылок для создания универсальных вычислитель
ных машин, пользуlОщихся в настоящее время весьма
разнообразным спектром формальных ЯЗЫIЮВ ПрOl-рам
lIIирования.
Основным объектом изучения в математической лоrи
ке являются различные исчисления. В понятие исчисле
ния входят ТaI\Ие основные компоненты, как: а) язык
(формальный) исчисления; б) аксиомы исчисления;
в) правила вывода. Понятие исчисления позволяет дать
cTporoe математическое определение понятия доазаrель
ства и получить точные утверждения о невозможности
доказательства тех или иных предложений теории. Еще
одним замечательным достижением математической ло,
rики является нахождение математическоrо определения
понятия аморитма, т. е. эффективной процедуры для
решения задач из Toro или иноrо (бесконечноrо) I\ласса
задач. Интуитивно понятие алrОрИТ1\Iа использовалось
очень давно. Выдающийся мыслитель XVIIXVIII вв.
r. Лейбниц даже мечтал о нахождении универсальноrо
алrоритма для решения всех математических проблем.
Точное определение понятия алrоритма позволило доволь-
но быстро разруШИТЬ эту красивую утопию: А. Чёрч в
1936 r. ПОI,азал, что невозможен алrоритм, который по

ВВЕДЕНИЕ
произвольному утверждению, ваписапному на формаль
ном языке элементарной арифметюш, отвечал бы на BO
прос: будет ли это утверждение истинно на натуральных
числах? Далее оказалось, что даже в системе, описыва
ющеЙ «чистую лоrику» (исчисление предикатов), про
блема доказуемости алrоритмичеСRИ неразрешима. В по
следующие [оды было обнаружено бо.'lьшое мноrообра
зие алrоритмич.еСRИ неразрешимых проблем в мноrих
разделах математики. Большой ВRладв разраБОТI\У Teo
рии алrоритмов и решение алrоритмических проблем
внесли Э. Пост, А. Тьюринr, С. Клипи и советские Ma
темаТИRИ А. И. Мальцев. П. С. Новиков и А. А. МарIЮВ.
Изучение исчислеНИll составляет сиnтак,сическ,ую
часть математичеСRОЙ лоrики. Наиболее rлуБОRое изуче
ние (синтаксичеСRоrо) понятия доказательства в тех или
иных исчислениях состаВJIЯет самостоятельный раздел
математическоЙ лоrИRИ, RОТОРЫЙ носит название теории
док,азательств. Наряду с синтаRсическим изуче;нием
исчислеНИll проводится таЮI,е сеJ1иnтическ,ое изучение
формальных язьшов математической лоrИRИ. Основным
понятием сеlllаНТИRИ является понятие истинности для
JзыражениЙ (формул, секвенциЙ и т. п.) формальноrо
язьша. Семантические понятия таRже получили точные
математичеСlше определения,. что дало возможность си
стематичеСRОI'О и CTpororo изучения различных понятиЙ
истинности. Классическая семантика ЯЗЫRа исчисления
преДИRатов составила весьма боrатыЙ раздел математи
чеСRОЙ лоrики  теорию моделей, Rоторая активно раз
пивается, а ее методы и результаты успешно применя
ются и в друrих облас'тях математики (алrебре, анализе).
Основателями теории моделеii являются А. ТарекиЙ и
А. И. Мальцев.
Исчисления позволяют формализовать мноrие разделы
матемаТИRИ. и друrих наук. Исчисление ВЫСRазываниii и
упоминавшееся выше исчисление предикатов являются
формализациями лоrики, древнейшеЙ наУIШ о законах
праВИJIьноrо мышления. Создание и изучение этих фор
маJIИзациii явилось важным этапом в развитии лоrикп
RaI\ науки. Первые попыткп формализацпи лоrики свя
эаны с именами Аристотеля и Дж. Буля, но действитель
ная (и действенная) формализация лоrиюr была ocy
ществлена ТОЛЬRО с созданием математической лоrИRИ.
Итальянский матсмаТИR Пеано MHoro сделал для разра
БОТЮl и популяризации фОРJ\1аJILНЫХ н:.JЬШQВ JIоrИЮl,
fЗ

14
ВВЕДЕНИЕ
Для математики особенно ваЖНОII оказалась возмож
ность формализации теории множеств. Исчисления, фор
мализующие основные конструкции <<наивной» теории
множеств, оказались столь боrатыми, что любое теорети
комножественное рассуждение, встречающееся в реальной
ма тематической практике, можно формально воспроизве
сти в этих исчислениях. Естественной «расплатой» за это
боrатство было обнаружение К. rё,делем эффектов непол
ноты и даЖе непополнимости таких исчислений.
На пути построения семантики естественных или фор-
мальных язЫков нас подЖидают также большие TPYДHO
сти. Так, простодушное убеждение, что каждой повество
вательноЙ фразе pyccKoro язьша можно правдоподобным
(или, по крайней мере, непротиворечивым) образом при
писать значение истинности, опроверrается так называе
мым «парадоксом лжеца». Некто rоворит: «Фраза, кото-
рую я сейчас произношу, ложна». Попробуем выяснить,
правду сказал этот человек или солrал. Если предполо-
жить, что он сказал правду, то из смысла фразы полу
чается, что ,он солrал. Если он солrал, то иа Toro, что
фраза ложна, получаем, что он сказал правду. Этот па
радокс лежит в основе ряда замечательных теорем Ma
тематической лоrики (теорем о неполноте и о неопреде
лимости истинности в системе).
История создания и развития математпческоЙ лоrикп
является самостоятельным предметом и ей не будет
уделено внимания в этой КНИl'е, за исключ:ением приве-
денных выше заведомо не полных указаниЙ HeKOTopbLX
имен и обстоятельств.
В заключение настоящеrо введения нужно отметить,
что современная математическая лоrика представляет
собой обширный и разветвленный раздел математики, ис
точником проблем для KOToporo наряду с внутренними
ее проблема ми служат как философские проблемы ОСНО:-
ваниЙ математики и лоrики. тю{ и проблемы, возникаю
щие в друrих разделах математики (алrебра, анализ, ма-
тематическая кибернетика, проrраммирование и др.).

.15
rлаВа 1
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИИ
 1. Множества и слова
Под бупвой мы понимаем знак, которыЙ рассматри
вается как целыЙ, т. е. знак, части KOToporo нас не ин
тересуют. Букву будем называть также симвОЛОltt *). Про
две данные (например, написанные) буквы мы можем
I'оворить, что они одинаковы или что они различны. Ha
пример, все строчные буквы «а» в данноЙ lшиrе считаем
одинаковыми. Одинаковыми мы считаем также все строч
ные буквы «а» в некотором рукописном тексте, хотя оди
наковость двух букв в этом случае установить труднеЙ,
чем в преДыдущем. Будет предполаrаться, что для pac
-сматриваемых двух конкретных букв мы всеrда можем
установить их одинаковость или различие. Если буквы
а( и а2 одинаковы, то будем писать аl == а 2 .
Абстракция отождествления одинаковых букв дае'Т
нам понятие абстраптnой бупвы. В дальнейшем о двух
одинаковых конкретных буквах аl и а2 мы будем rOBo
рить Kal{ об одноЙ и тоЙ же (абстрактноЙ) букве а. При
этом каждая из этих двух Iюнкретных букв будет назы
ваться nредставителe;r-,t абстрактноЙ буквы а **).
Совокупность Х некоторых объектов, которые будут
называться элементами Х, назовем мnожествоltt ***).
Если а  элемент множества Х, то пишем а е Х. Если
любоЙ .элемент множества Х является элементом множе
'ства У, то множество Х называется nодмnожеством MHO
*) Иноrда слово «буква» будет иметь и обычный смысл, на.
пример, <<латинская буква», «строчная буква».
**) Следует при этом различать абстрактную букву, обозна
чаемую СИМВОЛО1 а, и сам символ а, который есть обозначение
или имя упомянутой абстрактной буквы.
***) Как отмечалось во введении, такое определение, вообще
rоворя, может привести к противоречию. Однако это не должно пу
rать читателя, так как существование всех рассматриваемых ;в этой
книrе множеств можно вывести в рамках формальной системы,
описанной в  11, в которой невозможно провести В:и одно извест-
вое «парадоксальное» рассуждение о множеСТВaL

1В
rл. {, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЭЫВАн:иа
жества У и обозначается это так: Х s;;; У. Если дЛЯ МНО--'
жеств Х и У имеем Х s;;; У и У s;;; Х, то будем считать
множества Х и У равными и писать Х == У. Таким обра
зом, множество полностью определено своими элемента.
ми. В частности, существует только одно множество, не
содержащее ни одноrо элемента, Такое множество будем
называть пустъм! и обозначать символом 0, Если для
множества Х не имеет место а Е Х, то будем писать
аф.Х.
Буквами i, f, k, 1, т, n, Р, r, s, возможно с индексами,
будем обозначать натуральные числа. Множество всех
натуральных чисел будем обозначать буквоЙ (о. Если
а 1 Е Х, ..., а,,'Е Х, то будем писать аl, .,., а" Е Х. Если,
Х  множество, аl, .. " а" Е Х и любоЙ элемент Х равен
одному из аl, .. " а", то Х называем nонеч1tliМl Jrтоже.
ством и пишем X=={al, ..., а,,}*). Если cp(a)HeKOTopoe
условие на объект а, а Х  множество, то через
{aEXlep(a)} или {alep(a), аЕХ} обозначаем множество,
содержащее в качестве элементов те и только те элемен-
ты а Е Х, которые удовлетворяют условию ер (а). Напри.
мер, {п Е (о I п == 2k для HeROToporo k Е (О} является мно.
жеством всех четных натуральных чисел.
Множество абстрактных букв называется алфавитом.
Букву, являющуюся элементом алфавита А, будем назы"
вать буnвой алфавита А.
КонечныЙ ряд написанный дру!' за друrом конкрет.
ных букв называется nоnnретnьм! сл.овом. В частности,
каЖдая конкретная буква является конкретным словом.
Если каждаи из букв KOHKpeTHoro слова а является пред
ставителем некотороЙ буквы алфавита А, то будем rOBo.
рить, 1J:TO а является сл.овом в алфавите А. Мы допуска
ем также случай, коrда слово а не содержит ни одной
конкретной буквы, Такое слово будем называть пустым:
и обозначать через А. Будем rоворить, что два KOHKpeT.
ных слова al.', а"и b l .,. b k алфавита А равны, и писать
а 1 . , . а" == Ь 1 . , . b k , если n == k и а 1 == b l , ..., а" == Ь". Все
пустые слова считаем равными. Если а1... а"  конкрет.
ное слово, состоящее из п букв а!, ..., а" алфавита А, то
число п называется длипой этоrо слова. ДлиноЙ пустоrо
слова будет число О.
*) Отметим, что при этом попарное различие элеIентов аl, .. i
..., an не предполаrается. В частности, {0} == {0, 0, 0}.

i {, МНLI;RЕСТ1ЦПСЛОВЛ
17
Применяя абстракцию отождествления, будем rOBo
рить о двух равных конкретных словах аl, а2 как об од.
ном и том же (абстрактном) слове а. При этом эти два
:конкретных слова будем называть nредставuтелямu сло-
ва а. Из определения равенства коцкретных слов полу-
чаем, что абстрактное слово а можно определить как
конечный ряд абстрактных букв такой, что каждый, преД-
ставитель слова а есть ряд представителеЙ соответству-
ющих абстрактных букв. Ноличество абстрактных букв
в этом ряду будем называть дЛlтой абстрак,тnоео слова
а. Пустое абстрактное СЛово будем обозначать тоЙ Же
буквоЙ Л, что и конкретные пустые слова.
Для абстрактных слов а и  определяем абстрактное'
слово a как такое абстрактное слово, все представители
KOToporo получаются приписыванием к некоторому преД-
ставителю слова а HeKoToporo представителя слова .
Абстрактное слово a будем называть соедиnenием абст
рактных слов а, ; абстрактное слово а будем называть
nачаЛОJ.t слова a. АнаJlоrично определяется соединение
аl . . . а п абстрактных слов СХI, ..., ап'
В дальнеЙшем под словом мы понимаем абстрактное
слово. Очевидно, что для любых слов а,  имеем Ла ==
:;: аЛ == а и аЛ == a.
, Слово  алфавита А называется подсловом слова а
алфавита А, если а == ')'б для HeKo'fopblX слов ')', б.
В частности, любое начало с 1Ова а будет подсловом а.
,Может оказаться, что а == ')'б == ')'1бl и ')' =1= ')'1. В этом
. случае rоворим о различных вХОJ/Cдt1tuяr подслова  в а.
Таким образом, вхождением подслова в сдово а назы-
вается слово  вместе с местом ero расположения в сло-
ве а. Вхождение подслова  в слово а можно изображать
так: ')' *  * б, rде *  символ, не принадлежащиЙ алфа-
виту А. В частности, если сх == ')'б == ')'!бl и ')' =1= ')'1, то
мы имеем два различных ВлО'fщения ')' *  * б и ')'1 *  * б l
подслова  в слово а. Если для вхожцения ')'0 *  * б о
подслова  в а слово ')'0 (слово 150) имеет наименьшую
длину среДИ всех слов ')' (слов б), для которых а == ')'б,
то ')'0 *  * б о называетСя nepBbl.'ft (последnuм) вхожде-
nueJlt  в а.
Вхождеnuем бупвы а в слово а называется вхожде-
нием в а слова, состоящеrо из одной БУRВЫ а. Если су-
ществует вхождение буквы а в слово а, то rоворим, что
бупва а входит в а. Пусть '( *  * б  вхождение слова 
в а. Если а' == ')''б для HeKoToporo слова ', то будем
2 Ю, Л. Ершов, Е, А, ЛалlOТИН

18
rл. 1, ИСЧИСЛЕНИЕ вы{]RАзыАнийй
rоворить, что слово а,' ПQлучается из а, аамеnой вхож
деяия "{ *  * б подслова  па слово '.
Ряд Х I , ..., Х п некоторых объектов X i , i Е {1, ..., n},
будем называть nоследовательnостью или 1>ортежем,
а число n  длипой этой последовательности. Объекты X i ,
i е {1, ..., п}, будут называться члеnами ИЛИ элемеnтами
последовательности Х I , ..., Х п . .мы предполаrаем, что по
записи последовательности ее члены и их порядок BOC
станавливаются однозначно. Для этоrо нам необходимо
разделять члены последовательности, например, с по
мощью запятоЙ. Если n  О, то ряд Х I , ..., Х п будем
считать пустоЙ последовательностыо И обозначать ero
тем же символом iO, что и пустое множество. Иноrда
последовательность Х I , ..., Х п будеl\i: обозначать через
(Х I , ,.., Х п >. Если Х I , ..., Х п  множества, то множе
.ство всех кортежей (al, ..., а п >, rде аl Е Х I , .. " а n Е Х n ,
будем обозначать через Х I Х... Х Хn. Если Х I  Х 2 ...
... ...: Х n , то множество Х I Х Х 2 Х... Х Х N будем обозна
чать также через x.. Последовательность из двух (трех
и т. д.) членов будем называть парой (тройк,ой и т. д.).
Последовательность из n элементов будем называть
пx:oй.
Отображеnuеltt 1 множества Х в множество У назы
вается соответствие, сопоставляющее l{аждому элементу
а Е Х элемент 1 (а) Е У, называемыЙ зnач еnием отобра
жения 1 на элементе а. Ясно, что отображение 1 множе-
ства Х в множество У однозначно определяется множе
ством {(а, l(a»EXXY!aEX}. Это множество (называе
мое иноrда ерафих:ом f) мы будем отождествлять с OTO
бр'ажением 1. Если 1  отображение Х в У, то пишем
1: Х --+ У. Если Х  множество,'l'О всякое отображение
1: xп --+ Х будем называть n-мес,тnой операцией на Х,
а п  lftестnостью операции f, Если 1: У --+ Х П У s:;; Хn,
то f будет называться частичnОЙ nместnой оnерацией
па Х с областью определения У.
Пусть Х  множество, ХО s:;; Х и 11, ..., 1.  операции
на Х, местности которых равны n l , ..., n. COOTBeTCTBeH
но. Определим множество W s:;; Х следующим образом:
а е W тоrда и только тоrда, коrда существует последова
тельность ао, ..., а т элементов множества Х, обладающая
следующим своЙством: а т === а и для любоrо [";;; т либо
а! Е Хо, либо а]  Ij (ajl' . . " a j nj ) для HeKOToporo j Е3
е Н, "" k} И некоторых t 1 !"'1 Еn) < [. В этом СЛуЧае

61. мноЖЕСТВА И СЛОВА
19
будем rоворить, что множество, W оnреде.л.еnо по иnдуп-
ции с помощью следующее о оnределеnuя:
1) еслu а Е ХО, ТО а Е W;
2) еслu iE Н, ..., k} и аl, ...,aniEW" то
fi (а 1 , . . ., a ni ) EV.
Будем rоворить, что задано uсчuслеnuе 1, если зада
ны следующие четыре множества:
а) алфавит А (1);
б) множество Е (1) слов алфавита А (1), называемое
JМllожеСТ80М 8ыражеl-luи llсчuслеnuя 1;
в) множество Ах (1) выражений исчисления 1, назы
ваемое множеством апсиом uсчислеnuя 1;
Т) множество {fl, ..., fn} частичных операций на
множестве Е (1), называемых nравuламu вывода UСЧUС
леnuл 1.
Выражения рассматриваемых в этой книrе исчислений
будут называтьсл сепвеnция:мu и фор.ttулаJ.Нl, а правила
вывода f: у....... Е (1) записываться так:
Ф о ' ""Ф n
f(Фо, ""Фn)'
При этом указывается область определения f, если она
не совпадает с (Е (1) ) ". Выражения фо, ..., Ф" В пре-
дыдущей записи будут называться nосылпаJ.Щ, а выраже
ние f (фо, ..., фn)  за1iлючеnuем правила f. nMeCTHoe
правило f исчисления 1 будем называть также nnocы
лочnым правилом. Па ру <А (1), Е (I) >, состоящую из
алфавита А (1) и множества выражениЙ Е (1) исчисле
ния 1, будем называть языпО.lll исчисления 1 и обозна-
ча ть через L (1). Пусть даны два исчисления 11 И 12. Если
А (11) S:= А (12) И E(lI)s:=E(l2), то будем rоворитъ, что
язык L(l2) исчисления 12 является расшuреnuем языка
L(lI) исчисления 11, и обозначать это так: L(l2)s:=L(lI)*)'
Если дано исчисление 1, то множество Т (1) S:= Е (1)
допазуеJ.lЫХ выражеnuи или TeopeJ.l uсчuслеnuл 1 опреде-
ляется с помощью слеДующеrо индуктивноrо определения:
1) если 8  аRсиома 1, то 8  теорема 1;
2) если 81, ..., 8n  теоремы Т, f  nпосылочное пра-
вило исчисления 1 и RортеЖ <81' ..., 8n} принадлежит
области определения f, то f (81' ..., 8n)  теорема 1.
*) Это обозначение не совсем соrласуется с уже введенным
обозначением включения для множеств, однако оно удобно и пу-
таницы не вызывает.
2*

20
rл, 1, ПСЧИСЛЕНIIЕ выR'А3ыыАнIIйй
Для Toro чтобы задать множество Х, достаточно YRa
аать, для Rаких объеRТОВ а истинно отношение а Е Х.
Поэтому следующие выражения будут однозначно OHpe
де.'lЯТЬ по двум множествам Х и У новые множества
Х n У, Х U У и Х\У, называемые соответственно пepece
чеlUlеJ>t, объедиllепие:м и разностью множеств Х и У:
а) аЕХПУ*>(аЕХиаЕУ);
б) а Е Х U У*>( а Е Х или а Е У);
в) аЕХ\У *>(аЕХ и аФ У).
Пр е Д л о ж е н и е 1. Операции пересечепuя u объеди
пCllUЯ удовлетворяют следующи.м paBencT8aJ>t для лю(ых
J>l1tожеств Х, У и Z:
1а. хпу===уп х , }
 п0.i1tJ>tyтnamU6!{OCТnb;
1б. Х U у === у u Х
2а. хпх==х, } д
 и е,lщотеliтn1tость;
26. Х U Х == Х
За. (Х n у) n Z == Х n (У n Z), }
 ассоциативность;
3б. (Х U у) U Z == Х U (У U Z)
4а. Х n (У U Z) == (Х n У) U (Х n Z), } д
т  истnрибу
4б. Х U (1 n Z) == (Х U У) n (Х U Z) тиВllост,ь.
Проверка этих равенств не представляет труда. Дока-
жем, например, 4б. Пусть а принадлежит левой части
равенства. Тоща а Е Х или а Е У n Z, поэтому а Е Х U у
II а Е Х U Z, т. е. а принадлежит правоЙ части. Если
а Е Х U У и а Е Х U Z, то а Е Х или а Е У n Z. Следова
т.е'Iьно, а принадлежит левой части равенства 4б. ,О
Если Х  множество, то множество всех ero поДl',1ПО
,жеств будем называть ,iltножеСТВО;ltстепенью Х и обозна
чать через Р(Х).
Пусть J  непустое множество и Х ; дЛЯ i Е J  HeKO
торые множества. Объедипе1tие:м U Х ; и пересечепuе.ilt
i EJ
n X i множеств X i , i Е J, будем называть :множества,
iEJ .
определенные следующим образом:
а Е U X i {9 (а Е X i Д.'lЯ нсшотороrо i Е J)t
isJ
аЕ n Х i Ф9(аЕХ i для всех iEJ).
l.eJ

I 1, МНОЖЕСТВА n СЛОВА
2!
.. .,
Если Хо, ..., Х", У  множества, то запись Х о ,
Х"....... У будет обозначать, что n X i S У, а Х о ,
i<;;n
Х" ....... будет обозначать, что n X i == ef. Если Фо,
i<;;n
Ф", ч'  какието утверждения, то запись
Ф О . ""Ф n
'l'
.. .,
.. "'
будет обозначать, что либо одно из утверждений Фо, ...
. . " Ф" ложно, либо Ч' истинно.
Предложение 2. Пусть Хо, ..., Х n , Y t , Yz, z
;мnожества. Тоада
Хо' ''''Х n --+Уl; Хо' ...,Хn......уз ,
1)
 Хо'...'Хn......УlПУз '
2) ХО'''''Х n ' Y 1 --+Z; Хо.....,Х n ' Y2--+ Z ; ХО; ""Хn--+УIИУ2
Xo,...,Xn--+Z .
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а Е n Х i' Из истинно:-
i<;;n
сти утверждениЙ в 1) над чертой имеем а Е У ! И а Е Vз,
т. е. а Е У ! n V z . Теперь предположим, что утпержде
ния в 2) пад чертоЙ истинны и а Е n Х i' Из истинности
i.(;n
третьеrо утверждения над чертой следует, что а Е У, U У 2 ,
т. е. а Е У ! или а Е У 2 . В обоих случаях из истинности
первых двух утверждений над чеРТО!1 получаем а Е Z. О
Упражнении
1. Сколько различных вхождений имеет пустое слово Л в сло-
во ДЛIlНЫ.ll?
2. 'ПОI{азать, что число различных подслов слова IX д.'шны n
п ('! + 1)
не превышает 2 +1. '
3. Для каких слов IX длины п число различных подслов IX рав-
п (п + 1) + 1 1
но 2
4. Пусть множества Хо, "', Х,,+\ являются подмножествами
HeKOToporo !IНожества У. Обозначим через Х, множество У\Х,.
Показать, что
а) UX, =: n Х,; б)""j1"X. == U Х.;
i<;;n ' i<;;n' i-<n' i-<n'
Хо' .... Х n --+ хn+l
r)  j д) XOnXl ==Xo(XOXl)'
ХО' ..., Х n ' X n + 1 --+
ХО' ..., Х n ' .х n + 1 --+
В) .
Хо' ..., Х n --+ X n + 1 '

22
rJI. {. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЗЫВАНИй
А 2. Язык исчислении высказыванпu
Высказыванием в русском язьше мы называем по
вествовательное предложение, про которое можно YTBep
ждать, что оно истинно или ложно. Например, высказы
вание «вода  продукт rорения водородю) истинно, а BЫ .
скnзывание «все нечетные натуральные числа простые})
ложно. Из высказываний А, В в русском языке МЫ MO
жем образовывать более сложные высказывания таКие,
как «А и Б-», «А или В}), «неверно, что А}), «если А,
то В». Если мы знаем, истинно или ложно каждое из
высказываний А, В, то мы можем определить, истинны
или ложны выписанные выше сложные высказывания.
Например, если А истинно, а В ложно, то высказывание
«если А, то В» ложно. Однако иноrда мы можем YTBep
ждать об ИСТИННОСТИ сложноrо высказывания, не зная,
истинны или ложны высказывания, из которых оно со-
ставлено. Например, каковы бы ни были высказывания
А И В, высказывание «неверно, что А, или если В, то А»
всеrда истинно. В этом случае rоворим, что схема (ше
верно, что А, или если В, то А» тождественно истинна.
Одной из основных задач исчисщшия высн.азываний,
к изучению KOToporo мы приступаем, является описание
тождественно истинных схем. Для этоrо придется заме
нить РУССКИЙ язык формальным языком, который не дo
пускает двусмысленностей.
Алфавит исчисления высказываний, которое будем
обозначать через ИВ, состоит из трех rрупп символов.
1. Пропозициональные переменные: Qo, Qt, ..., Qn, ...,
rде п  натуральное число.
2. Лоrические символы или СВЯ3I<И: импликация ....,
КОНЪЮНКЦИЯ /\1 дизъюнкция V, отрицание 1! символ
следования 1---.
3. Вспомоrательные символы: левая скобка (, праВаЯ
скобка), запятая ,.
Оп р е Д е л е н и е. Формулой ИВ назовем слово алфа
вита ИВ, удовлетворяющее следующему ИИДУКТИВНОМУ
определению.
1. Пропозициональная перемениая является форму-
лой (будем называть ее эле:меnrарnой или атомарпой).
2. Если Ф и чr  формулы, то (Ф /\ '1')1 (ФV'I').
,( Ф --+ чr) И jФ  формулы.
Из определения следует, что (QO/\Ql)VQo  не фОР
мула (нет внеШних скобок). Однако в целях сокраще

 2, ЯЗЫR ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСRАЗЫВАНИЙ 23
.
ния записи мы часто будем ОПУСRать внешние СRобки.
Таким образом, (Qo 1\ Ql) V Qo будет СОRращенной
записью формулы ((QOI\Ql)VQO)'
в дальнейшем формулы исчисления ВЫСRазываний
будут обозначаться БУRвами Ф, '1', Х, а пропозициональ
ные переменные  БУRвами Р, R, причем Ф, '1', Х, Р, R
MorYT иметь индеRСЫ.
ПодфОРlltуЛОЙ Ч' формулы Ф ИВ будем называть под
слово Ф, являющееся формулой ИВ.
ДОRажем теперь утверждение об однозначности раз
ложения формулы ИВ.
Пр е Д л о ж е н и е 1. Всякая 1tеато:марная формула Ф
ИВ представима в одном и только одНОll-t из следующих
. видов: (Ч' 1\ Х), (Ч'V Х), (Ч'  Х), или l чr для однозначно
определенных формул Ч' и Х.
ДЛЯ доказательства предложения установим сначала
один техничеСRИП фаRТ.
Лемма 1. Если Ф и '1'формулы ИВ и Фна'lа
.110 Ч', rоФ==Ч'.
Д о R а з а т е л ь с т во. ДОRазывать лемму будем ин
ДУRциеii по длине формулы Ф. Если Ф атомарна, то и
'1' должна быть атомарной, так ЕаЕ в ПQ9ТИВНОМ случае
Ч' начинае'тся со СRоБRИ или С символа . I и тоrда Ф не
может быть началом Ч'. Следовательно, Ф == '1'.
Пусть Ф не атомарна и имеет вид ,Ф', Torдa '1'
,должна иметь вид ,Ч' , причем, ЕаЕ нетрудно усмотреть
из определения формулы, Ф' и '1" должны быть фор
мулами. Кроме Toro, Ф' является, очевидно, началом '1".
ИНДУRционноепредположение дает Ф' == 'У' и, следова
тельно, Ф == ,Ф' == -l'V' == Ч'.
Пусть Ф имеет вид (Ф а тФ I ), rде Фа и Ф t  формулы
ИВ, т  один из символов 1\, V, . Torдa '1' начинается
. со СRоБRИ ( И поэтому может быть представлена в виде
('1' а т' 'У 1), rдe '1' о и '1' 1  формулы И т'  один из симво
лов /\,: V, . Так ЕаЕ (ФОТФI) есть начало ('1' о т'Ч'I),
то слово Ф о есть начало слова '1' от'Ч' 1, '1' о  тоже Ha
чало этоrо слова. Из двух начал одноrо и To1'o же слова
одно из них есть начало друrоrо (нужно взять начало
меньшей длины). Следовательно, Ф о  начало Ч' о ИЛИ
,Ч' о  начало Фо. В любом случае применимо ИНДУRЦИОН
пое предположение и, следовательно, Ф О == Ч' о, т =='.' и
Ф j  начало '1' j. Снова, применив ИНДУRционное преДПО
ложение, получаем, что Ф I == Ч' j и Ф == (Ф о Ф i ) ==
""(Ч'от'.Ч'I).==Ч" О

24
rЛ, {, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСНАЗЫВАНИй
д о к а з а т е л ь с т в о пр е Д л о ,1> е н и я 1. Если фор
мула Ф начинается с символа l, то ДОНflзывать нечеrо.
Пусть Ф представлена в ВIцe (Фо.Ф j ), rДе .  один ИЗ
символов 1\" v или -+, а Ф о ,' Ф j  формулы ИВ, и в
виде (Ф't"Ф)" rде т'  одпн ИЗ символов 1\ f V пли
, , ,
-+, а Фа, Ф 1  формулы ИВ. Тоrда Ф О  начало Фа пли
Ф  начало Фо. По лемме Фа == Ф, поэтому т == т' И
Ф 1 == Ф. Сле::J;овательно, преДС1'авлеШlе Ф == (ФОТФL),
единствепно. О
С л е Д с т в п е 1. Пусть Ф  фор.tула ИВ. Tozoa с
пажоылt вхожоеllиелt С1Мtвола ( или l в формулу Ф oo
llОЗllаЧllО связ[fllО llеноторое вхожоеllие поофор.,tулы фор
"'tуЛЫ Ф, первым сu.,tволо.;t пOTOpozo является раСС.маТ4
ривае.иое вхождеlluе ( или l соответствеllllО.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Индунцпей по построению фор
мулы с каЖДЬВf вождением символа ( или l можно
связать llепоторое TaHO вхождение подформулы, але:.!.
ма 1 позволяет утверждать единственность TaKoro вхож.
денпя. О
Предложенпе 2. Если Ффор.,tула ИВ, '1'], e
вхождеllUЯ в Ф подфОР.1tул '1', Х соответствеllliО, ТО
либо '1'] и е не И.меют общих вхождеllИЙ СИ.,tволов ал.
фавита ИВ, либо одllО из llих целипо:'rt содержится
в друеод
Д о'к а з а т е л ь с т в о. Если '1'] и е имеют общие вхож.
дения символов, то первое вхождение первоrо символа '1']
или е должно быть общим. Пусть первое вхождение пер
Boro символа 11 входит в е. Если '1'  атомарная форму-
ла, то утверждение очевидно. Пусть '1' не атомарна,
Torдa первый символ '1' есть ( или l. ПО следствию 1
этот символ однозначно определяет вхождение некоторой
подформулы '1" в Х. Но эта подформула будет подфор-
мулой II В Ф. В формуле Ф с рассматриваемым вхожде-
ние:\{ символа ( или l связано вхождение '1'] подформулы
'1'. В силу единственности '1' должна совпадать с '1" и
'1'] целиком содержится в е. о
Если все вхождения подформулы '1' в фор:мулу Ф
ЗЮlенить на фОрIУЛУ Х, то получим новую формулу, ко-
торую обозначим через (Ф)I. TaI{Oe определение нор-
ректно, так как из предложения 2 следует, что два раз-
. личных вхождения подформулы '1' в Ф не имеют оБЩI:IХ
'вхождениЙ символов алфавита ИВ.

 3. СIfСТЕМ.t\АНСИОМ ППРАБИJI БЫВcrдА 25
Оп Р е Д е л е н и е. . Сепвенция.ми ИВ называются по
следовательности следующих 'rетырех видов:
Фа, "', Фnl---чr; Фа, .", Фnl---; f---Ч'; fo
rде Фа,. .., Ф n , чr  формулы ИВ, п  натуральное
число.
Часто сенnенции будут обозначаться через r 1--- чr или
r 1---, [де r обозначает последовательность формул ИВ,
может быть, пустую.
Если формулы ИВ можно рассматривать как «фор
:мы» Сложных высназываниЙ пашеrо языка, то сеlшенции
являются «формами» утверждениЙ, теорем, в которых
Можно отчетливо выделить УСJlOВИЯ (посыЛIШ) и заклю
чение. А именно, рассматривая ЭНaI{ 1--- I\aK знак (лоrи
ческоrо) следования, секвенцию Фа, .. " Фn 1--- чr можно
нонимать как утверждение вида «Из (истинности) по-
СЫЛОR Фа, ..., Ф n (лоrичеСRИ) следует выскаЗIlIвание Ч'».
Секвенция вида Фа, ..., Ф n 1--- может пониматься как
утверждение о совместной противоречивости посылок
(условиЙ) Фа, " " Фn.
Правила вывода ИВ, ноторые будут описаны в следую
щем параrрафе, отражают (формализуют) некоторые про
стейшие стандартные лопческие способы рассуждения,
позволяющие переходить от одних истинных утвержденй
(теорем) к ДРУ1'им истинным утверЖдениям (теоремам).
Упражнения
1. Используя предложение 1. показать, что для любоrо слова (Z
алфавита ИВ мы через конечное число шаrов сможем определить,
является ли а ФОРМУ,1JОЙ ИВ или нет.
2. Заменим в определении формулы ИВ п. 2 на следующий:
если Ф и ч'  формулы, то (Ф) А ('l'). (Ф) 1\ ('l'), (Ф)  ('l') и
'1 (Ф)  формулы. Показать, что при таком определении имеют
место У,тверждения, аналоrичные предложениям 1 и 2.
 3. Система аксиом и правил вывода
НИЖе мы часто будем иметь дело не с конкретными
формулами и секвенциями, а с так называемыми cxe
м:ами формул и секвенциЙ. Буквы Ф, чr, Х (буквы r, 11,
6), возможно с индексами из множества натуральныХ
чисел, будем называть пере;менными для формул (после
дователъностеи фОрJ.tул). Пусть алфавит В содерЖИТ
нроме символов алфавита ИВ переменные для формул
и последовательностей формул.

26
rЛ, 1, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСНАЫБАНИй
Схемой сеnвenций (фОрtУЛ) ИВ мы будем называть
такое слово в алфавите В, что при любых подстановках
в это слово вместо переменвых для формул и последо-
вательностеЙ формул соответственно конкретных формул
и последовательностеЙ конкретных формул получаются
секвенции (формулы) ИВ. Результаты таких подстано
вок будут называться частпЫ.ми случаями этой схемы.
Например, чr, rf--- ф v чr и Ф  (Х 1/\ Х 2 ) будут схемами
секвенций и формул соответственно, а
Qo/\ iQ1' iQo, I(Q2Ql)  QзV(Qо/\ iQl)'
((Q1 ---+ iQl) /\ Qo) ---+ (Qз/\ j(Q2 V iQo»
 частными случаями соответствующих схем *):.
о n р е Д е л е в и е. Схема секвенций
фf---ф
называется схемой acUOJlt ИВ. Частный случай схемы
а:ксиом будем называть aKCUOJltOи.
Правилами вывода ИВ являются следующие:
r, Ф f-- Ч'
7. r 1---- Ф --+ 'l" .
r f-- Ф; r f-- Ф --+ 'l'
8. r f-- Ч' $
r. "1Ф f--
9. r f-- Ф ,(
r f-- Ф; r f--- "1ф
10. r f--- f
r, Ф, Ч', f1f---X
11. r, Ч', Ф, r 1 f--- x r.
ff--Ф
12. r, Ч' f---- Ф .
1 ff---Ф;rf---Ч'
. rf--ФI\'l' $
2 ff--Фf\Ч'
. r f-- ф ,;
3 rf---Фf\Ч'
. r f-- Ч' ,;
- 4. f f-- Ф
r f-- ФV'l' f
rf--Ч'
5. r f-- ФVЧ" ;
6 т , Ф f-- Ч'; r, Х f---- Ч'; r f-- ФVХ
. r f--- Ч' '
Как отмечалось в конце щJедыдще1'оo параrрафа, пра
вила вывода ИВ формализуют определенные CTaHдapT
ные лоrические способы рассуждений. Про комментируем
на содержательном уровне, не очень cTporo, правила 1
12 с этой ТОЧRИ зрения. Правила 13  это просто пра
,*) Коrда значения переменных длл формул и последователь-
ностей формул в схеме С секвенциЙ (формул) в тексте эафИRСИ-
рованы, схему С будем называть просто сеRвеНЦией (формулой).

 3. СIIСТЕМА АRСИОМ И ПРАВИЛ ВЫВОДА
27
пила, раЗЪЯСНJ1ющие смысл союза «и» (конъюнкции)'.
Правила 4, 5 так же относятся к пояснению смысла
союза «или» (дизъюнкции). Правило 6 формализует
способ рассуждения «разбором (двух) возможных слу
чаев». Если при выполнении посылок r справедливо Ф
или Х, а 'l' справедливо при выполнении условий r и
Ф, а также и при выполнении условий r и х, то '1'
все1'да справедливо при выполнении .посылок r, что YCTa
навливается рассмотрением двух возможных случаев
(один из которых обязательно выполняется.): 1) выпол
ненЫ условия r и условие Ф, 2) выполнены условия r
и условие Х. Правило 7 Формализует прием зквивалент
ноЙ переформулировки теоремы, позволяющий одно из
условий теоремы помещать в ее заключение в виде по
сылки. Правило 8  ЭТО одно из лоrических правил (пра
вило modus ponens иЛи правило отделения), отмеченных
еще Аристотелем; оно указывает, как можно освобож
даться от посылки в заключении. Правило 9 формали
зует правило «рассуЖДения от противно1'О». Предполо
жим, что условия r и jФ MorYT одновременно выпол
няться; приходя к противоречию, заключаем, что из
выполнимости условий r все1'да вытекает выполнимость
Ф. Правило 10  это правило «обнаружения (выведения)
противоречию) для последовательности посылок r. Пра.
вило 11 носит совершенно техническиЙ формальный xa
рактер: перестановка посылок не влияет на истинность
заRлючения. Правило 12, называемое ИНО1'да «утонче
нием» или правило м лишней посылки, отражает триви
альный факт, Что, добавляя к условиям теоремы лишнее
условие, мы не нарушаем истинности заКJlЮчения Teo
ремы.
Если в правилах вывода в качестве r и r t берутся
конкретные последовательности формул ИВ, а в каче
.стве Ф, '1', Х  конкретные формулы, то получаются
частные случаu (или nри.мененuя) правил вывода. Пра-
вила 110 называются основными, а правила 1112 
струптурными. Если е  применение правила вывода k,
то будем rоворить, что секвенция; стоящая в в под чер-
той, получается из секвенций, стоящих над чертой, при
помощи правила k.
Оп р е Д е л е н и е. Линейным допаэательством. в ИВ
называется конечная последовательность 80, ..., 8,. ceK
венЦИЙ ИВ, которая удовлетворяет следующему условию:
каждая секвевция Si, i::;;; n, либо является аксиомой, либо

28
rл, 1. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЗЫВАНИй
J10лучается из некоторых S;, j < i, при помощи одноrо из
правил вывода 112. Секвенция S называется доазуе
мой в ив или reopeJrtou ИВ, если существует доказатель
ство So, "', S" в ИВ, у KOTopo1'o S" == S. Формула Ф ИВ
называется доазуемой в ИВ, если в ИВ доказуема ceK
вепция 1--- Ф.
Заметим, что если So, ..., S"  доказательство в ИВ
и Sl ..., S  доказательство в ИВ, то So, ..., Sn,
S, . . " S  тоже доказательство в ИВ.
Определим индуктивно понятие дерева:
1) Всякая секвенция является деревом.
2) Если Do, ..., Dn  деревья в S  сеItnенция, то
DO,...,Dn
S
 также дерево.
Одна и та же сеItВеНция моЖет входить в дерево He
сколько раз. Секвенцию вместе с ее местом расположе
пия в дереве D будем называть вхождеnием севеnчиu е
дерево D. Вхождение секвенции в дерево D, над которым
нет rоризонтальной черты, будем называть nачальnым
в D. Вхождение секвенции в D, ПОД ItОТОРЫА1 нет 1'ори
вонтальной черты, будем называть аапЛlOчurеЛb1lЫМ в D.
Часто будет употребляться слово «секвенция» вместо
«вхождение сен:венции», если из контекста ясно, о каком
вхождении ИДеТ речь. Ясно, что дерево может иметь MHO
ro начальных сеItвенций, но заключптельная сеI,веJIЦИЯ
только одна. Часть дерева, состоящую из секвенций, pac
положенных непосредственно над некотороп чертой, под
тоЙ же чертой, и самой черты, называется переходом.
Оп р е Д е л е н и е. Дерево D пазовем допаааrе.льствОJlt
11 ИВ в виде дерева, если все ero начальные секвенЦИИ 
aI{СИОМЫ ИВ, а переходы  примененпя правил выnода
112. Если S является заRлючительной секвенцией дo
Rазательства D в ИВ в виде дерева, то D называется
доааате.лъствОJrе S в виде дерева или деревом вывода S
в ИВ.
Пусть h  функция, определенпая на се:квепциях
(точнее: на вхождениях секвенций) дерева D и припи
мающая в качестве значений натуральные числа, со сле
дующими свойствами:
1) h (S) == О, если S является заключительной ceKBeB
циеЙ дерева D.

 3, СИСТЕМА АRСИОМ И ПРАВИЛ ВЫВОДА
29
2) Если
80' ...,8n
8
 переход в дереве D, то
h (80) == . . . == h (8 n ): == h (8) + 1.
Очевидно, что условия 1), 2) определяют функцию h
однозначно. Число h (8) назовем высотой (вхождения)
сепвеnции 8 в дереве D. Максимальную высоту ceKBeH
ций, входящих в D, назовем высотой дерева D.
Пр е Д л о ж е н и е 1. Сепвеnция 8 и.меет допазаrСJlЬ-
ство в ИВ в виде дерева тоеда и ТОДЬКО тоеда, поеда
8  теорема ИВ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 80, ..., 8"1, 8  линей-
ное доказательство в ИВ. Если 8  aI(сиома, то 8 будет
доказательством секвенции 8 в виде дерева. Пусть
Do, ..., Dni  доказательства секвенций 80, ..., Sni :в
8 i ; ...; 8ih
виде дерева. Если 1 8 J i t , ..., i" < n, примене-
ние HeKoTOpo1'O правила, то дерево
D i1 i ...; Dih
8
будет доказательствомсеI\nевции S в виде дерева.
Пусть теперь дано доказательство сеlшенции S в виде
дерева D. Построим линейное ДOlшзательство секвенции
8. Построение будем вести индукцией по высоте ceKBeH
ций в дереве D. lIачальные секвенции в дереве D будут
линейными докаяательствами. Если для всех секвенций
8o, ..., 8 т высоты k + 1 уже построены линейные дока-
зательства Lt, ...; Lm, то очевидно, что' последователь-
ность
Lt, ..., Lm, 8
будет линейным доказательством 'секвенции S высо-
ты k. о
Схема секвенций Н называется допазуемой в ИВ,
если ее добавление к ИВ в качестве схемы аксиом не
расШпряет множество доказуемых сеКВенциЙ. Ясно, что
это эквивалентно тому, что все частные случаи схемы Н
доказуемы в ИВ.

30
rЛ, 1. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСНАЗЫВАНИй
При м е  1. Следующее дерево показывает доказуе
мость схемы Фt 'р' r ф л 'Р' *):
'v  'v
Ч', Ф f--- ч'  правило 12
Ф, 'l' f--- 'l'  правило 11
 правило 1
Фf--Ф
Ф, Ч' f--- Ф  правило 12
Ф, 'l' f--- ФЛ 'l'
Правило вывода называется допустимым в ИВ, если
добавление еуо в исчисление ИВ не расширяет множе
ство доказуемых секВенций. В частности, правила 1 12
ИВ допустимы.
Пр е Д л о ж е н и е 2. Следующие правила являются
аопус тимыми в ИВ:
'l"l,..., 1f n f--- Ф \
а)
Х l' .... Х т r Ф ,
\тr \тr еде {'Р' 1, "'1 Ч' n} s; {Х 11 . . '1 Х т }.
б "'1' .... "'п f---
) Х Х i
l' .... п 1----
) r f--- 'l"; r, 'l" f--- Х ) r l' Ф, 'l", r 2 f--- Х
В rf--- Х 1 r r 1 , Ф;\Ч', r2f---X1
) rf--- Ф Л"1Ф ) rf---
д r l---- i е r [ '1" ;
) r, Ф f--- ) r f--- Ф
Ж r f--- "1Ф'; в r, "1Фf---"
) r.Фf---'l" ) r,"1Фf---"1'l"
и r,iЧ'f---"1Ф ' к 1'.'l"I----Ф
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Дерево
r, Ф. Ф f--- чr
r,фf---ф--+'l' r,Фf---Ф
r,ФI----'l'
показывает допустимость правила
' ) r, Ф. Ф 1---- 'l"
а r, Ф 1---- ч' ·
Ясно, что допустимость правила а} следует из допусти
мости правила а') с помощью правил 11, 12. Допусти
мость правила б) следует из правил а). д) и е). Пока
жем еще допустимость правил е) и ж). оставляя ДРУ1'ие
читателю в каче стве упражнения.
*) Вместо слов «применение правила 12» и т. д. будем писать
короче: «праВИJlО 12». Прultl. ред.

 З. СИСТЕМА АRСИОМ И ПРАВИЛ ВЫВОДА
31
Ясно, что секвенцию r  можно получить лишь по
правилу 10. Поэтому, если секвенция r 1---- доказуема, то
доказуемы секвенции r f--- Ф О и r  'lФо для некотороЙ
формулы Ф о . Для доказательства допустимости пра-цила
вида
rf---
s'"'""
достаточно построить дерево, начальными секвенциями
KOToporo будут либо доказуемые схемы, либо r f--- Ф О и
r  lФо' заключительной  секвенция 8, а перехода
ми  правила 112.
r  Ф О r r__"1Ф о
r. "1'1' 1--- Ф О r,"1'1' 1--- "1Ф о
е) r, "1'1' f---
r'1'
ж) Воспользуемся доказуемостью схемы r,I'I', чr,
установить которую предла1'аем читателю в качестве
упражнения.
r, ФФО r, Фf--1Фо
r, Ф, llФ f---фо r, Ф,11Фf--1Фо
. r, llФ, ФrФо r. llФ, lФr r, llФ, ФlФо r, llФ.1Ф"-
'r. llфf---ффо; r,llФrФ r, llфf---ФlФо; r,llФI--Ф
r, llФФо. r,llФl--1Фо
r. 11Ф
. . о
r 1--1Ф
Коне1Jная последовательность секвенций 80, ..., 8"
называется пвазивыводо,м, сепвепции 8" в ИВ, если каж
дая входящая в нее секвенция является доказуемой в
ИВ или получается из предыдущих по допустимому в
ИВ правилу вывода. Дерево D называется пвазивыводо,м,
сепвепции 8 в ИВ в виде дерева, если всякая начальная
секвенция D доказуема в ИВ, заключительной - ceKBeH
цией является 8, а переходы представляют собой приме
пения допустимых в ИВ правил вывода.
Очевидно, что всякая секвенция, для которой суще
ствует квазивывод или квазивывод в виде дерева, явля
ется доказуемой.

32
rл. !. исчис.1'IElmE высRА'зывнnйй
Пр п м е р 2. Докажем секвенцию j---- Qo V jQo'
-,Qo f--- -'Qo
"1Q o l--- QoV-,Qо; (QоV-'Qо) e -, (QoVIQo)
J(QoV,Qo)' ,Qot--
-, (Qo V ,Qo) t-- Qo
"'(Qo V IQo)rQo V ,Qo; "l(Qo V,Qо)-'(Qо V ,Qo)
'l(QoVIQo)1---
rQoVIQo
Заметим, что приведенное выше дерево не является
доказательством в ИВ, так как второЙ переход не лв
ллетсл применением ни одноrо из правил. Однако ЛСЕО,
что, дополнив это дерево примененилми правил 11 и 12,
МОЖно получить доказательство. В дальнейшем без oro
ворок будем пользоваться допустимыми правилами, KO
торые получаются из основных правил комбинациеЙ со
структурными правилами, например, таким:
Ф 1 , ..., Ф n , Ф  '1'; ''1'1' . . ., '1' т' Х 1--- '1'; X 1 , .. " X h f--- ФV Х
Ф ntl , ..., Ф n + r  '1'
.f
rде {Ф I , ..., Ф п , ч' 1, ..., Ч' т, Х I , ..., X k } S; {Ф,,+I, .. (
,.., Фп+r}.
Упражнения
i. Vстановить доказуемость в ИВ следующих схем:
а) r" Ф, r2Ф; б) r, ,Ф, ФI---j в) Фл'V'fЛФ;
r) Ф V 'V f--- 'V V ф,
2. Доказать допустимость в ИВ следующих правил:
r, iФf---'1' r, ФI--- ,'1'
л) r, ,'1' f--- Ф ; м) r, '1' f--- "lФ .
 4. ЭКВlIВ8JIентноеть форму.l
Обозначим через F множество всех формул ИВ.
Пусть В: F  F  отображение МНОЖества F в F, YДOB
летворлющее условиям:
1) s(ФЧ')==(s(Ф)--+s(Ч'»),
2) s (Ф J\ Ч') == (8 (Ф) J\ 8 (Ч'),
3) s(Ф V Ч') ==(s(Ф) V s(Ч'»),
4) s (i Ф ) == \8 (Ф).

I 4. ЭRВИВАЛЕНТНОСТЬ формул
83
Всякое такое отображение будем называть noдCTaпoв
пой. Предоставляем читателю возможность самостоятель
но убедиться в том, что всякая подстанопка однозначно
определяется СnОИМI1 значенпнми на атомарных Форму
лах, т. е. если Ро, ..., Р п  все атомарные подформулы
формулы Ф, а Во и В1  такие подстановки, что Во (P i ) 
===SI(P i ) для in, то SО(Ф)==SI(Ф)' ДЛЯ результа
та подстановки s (Ф) введем оuозначение s (Ф) ==
Ф РО ...., Рn
=== ()s(Po)"...S(Pn)' которое соrласуется с обозначением
'l'
(Ф)х, введенным в  2.
Распространим отображение s на секвенции:
5) s(Ф 1 . ..., Ф п f---'Р')==s(Ф 1 ), ..., s(Фп)f---s('Р');
s(Ф 1 , ..., Ф n f---)==s(Ф 1 ), ..., s(Фn)f---; s(f---Ф)f---s(Ф);,
s(f---)==f---.
По индукции МоЖно определить продолжение s на дe
репья:
( пl; ...;D k ) в (пд; ...;s(Dk)
6) s 8 == s (8) .
т е о р е м а 1 (о подстановке)'. Пусть отображепие
в: F -+ F удовлетворяет условиям 1) 6) и 8  дoпa8ye
мая в ИВ сепвепция. Тоеда сепвепцuя s (8) дoпa8ye
.7fta в ИВ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукцией по высоте дерева
будем доказывать, что если D  доказательство ceKBeH
ции 8 в ИВ в ВИДе дерева, то s (D)  ДOIi.азательство
секвенции s (8) в ИБ. Если 8  аксиома, то s (8) также
будет аксиомой. Пусть
D==
пО, ., .' , п
о' 10
80
D O k; ...; п
'k
8h
8
Torдa
s (D) 
в (Dg); ...; s(Dn)
s (S о)
s (п); ...;s(Dk)
s (S /t)
s (8)
В силу индукционноrо предпо.JIожения достаточно дo
Rазать, что в дереве s (D) последний переход является
применением ТОРО 11\е правила, что и в последнем пере
ходе дерева D. Но это очевидно, так как СВОйства 11 5>:
8 ю. Л, E1JШОВ. в. А, Паmoтиlt

34
rЛL-1. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRА3ЫВАНИй
rарантируют сохранение переходов. Например, если
Ф о ' Ф  '1'; Ф о ' Х  '1'; Ф О  ФVХ
Ф О  '1'
 последний переход в дереве D, то
S(Ф о )' s (Ф)  s ('1'); S(Фо)' s (Х) f--- s (Ч'); s(фо) f-- s (Ф)Vs (Х)
s (Ф о) f--- s ('1')
 применение правила 4 и последний переход в дереве
s (D). о
Теорема о подстановке, иными словами, утверЖдает,
что если в доказуемой сеКвенции вместо пропозициональ
ных переменных подставить произвольные формулы, то
полученная секвенция будет доказуемой.
Оп р е Д е л е н и е. Две формулы Ф и '1' назовем э,.ви
валепТ1tы,ми (обозначаем Ф == '1'), если в ИВ доказуемы
две секвенции Ф 1--- '1' и '1' f--- Ф.
Отметим, что символ == не является символом язык.а
исчисления высказываний. Он является символом языка,
на котором мы доказываем утверЖдения об исчислении.
Иноrда этот язык называют метаязыком. Понятия схемы
и доказательства также являются понятиями метаязыR..
Л е м м а 1. ОТ1tошепие Ф == '1' является отпошепием
эквивалептnости, т. е. для люqых формул Ф, '1', Х ИВ
справедливы следующие утверждения:
а) Ф==Ф;
б) если Ф == '1', то '1' == Ф;
в) если Ф == '1' и '1' == Х, то Ф == Х.
Доказательство. а) следует из Toro, что Фf---Ф
аКспома. б) следует из симметричности Ф и '1' в опреде
лении отношения Ф == '1'. Если ф-f--- '1' и '1' f--- Х доказуе
мы, то по предложению 3.2 в) Ф f--- Х доказуема. Анало
rично, если Х f--- Ч', '1' f--- Ф доказуемы, то Х f--- Ф ДOKa
зуема. О
Л е м м а 2. а) Если Ф == '1', то Ф доказуема в ИВ
тоеда и только тоеда, коеда в ИВ доказуема '1'.
б) Если Ф, == '1', и Ф 2 == '1' 2, то (Ф 1 Л Ф2) ==
== ('1' 1 Л '1'2)' (Ф 1 V Ф2) == ('1' 1 V '1' 2)' (Ф 1  Ф2) == ('1' 1 --+ ч' 2)
и iФ 1 == l'f l'
Доказательство. Если доказуемы f---Ф и Фf--- '1',
то дерево
Фf---'1'
I';Ф
I---'l'

I! 4. ЭRВПВАЛЕНТНОСТЬ ФОРМУЛ
35
будет квазивыводом 1-- Ч' . Аналоrично из доказуемости
1-- чr и ч' 1-- Ф получаем доказуемость I--Ф. Утверждение
а) доказано.
В силу симметричности Ф i и Ч' I В б) достаточно дo
казать секвенции lФ] l Ч\, Фl Л Ф 2 f--- Ч'l Л Ч'2'
Ф j V Ф21-- чr 1 V ч' 2 И Ф j -+ Ф 2 1-- Ч' 1 ....... чr 2. Следующие
4 квазивывода завершают доказательство леммы 2:
'У] r Фl; "lФ] f--- "lФ 1
1) 'I'l' "lФ] r
"lФ 1 f--- ,'У 1 ;
Ф]!\Ф2f---Фl;Фlf---'I'1 Фl!\Ф2f---Ф2;Ф2r'I'2
Фl!\Ф2f---чrl Фl!\Ф2f---чr2
Фl!\Ф2 f--- чr 1 !\ чr 2
Ф2f---'I'2
Ф L чr V 'Y Фl V Ф 2 f---Фl V Ф 2
2 [ ] 2
Ф 1 V Ф 2 f--- чr 1 v чr 2
'Уl f--- Фl; Ф 1 .......Ф2 f--- Ф 1 -+Ф 2
Фl -+ Ф2' чr 1 f--- Ф 2
Ф] --+ Ф2' чr] f--- чr 2
Фl-+ Ф 2f--- чr 1 -+'У 2 ' О
2)
Ф1f---'I'i
3) Ф] f--- '1\ v qr 2
4)
Ф 2 f--- 'У2
f--- ф2....... чr 2
Теорема 2 (о замене). Пусть ФфорJ.tула ИВ,
Ч'  ее nодфОРJ.tула. Пусть Ф' получается из Ф путем
заJ.tеnы nекотороео вхождеnия чr па формулу Ч". Тоеда
если Ч' == чr', то Ф == ф'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Ч' == Ф, то теорема три
виальна. Далее индукциеЙ по длине формулы Ф. Если
Ф == Qi, то ч' == Ф.
ИНДУI}ЦИОIIНЫЙ шаr распадается на 4 случая:
а) Ф==ФIЛ Ф 2; б) Ф==ФIV Ф 2;
в) Ф == Ф I -+ Ф2; r) Ф == iФl'
По предложению 2,2 любое вхождение Ч' =1= Ф coдep
житсл либо в Ф j , либо в Ф2, поэтому эквивалентность
Ф == Ф' следует из индукциониоrо предположения и
леммы 2 б). о '
Упражнення
{. Пусть ФОРМУЛЫ Ф и '1' ИВ содержат лишь одну пропози
циональную переменную Р, и для некоторых подстановок $1, $2
имеем $l(Ф) == '1' и $2('1') == Ф. Покаэать, что Ф == '1'.
3*

36
rл, 1, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRА3ЬШАНIIЙ
2. Пу,сть ф;;а чr и существует пропозициональная перемеtI
нан Р, входящая как в Ф, так и в чr. Показать, что существует
формула Х, эквивалентнан фОРfулаы Ф и чr, все пропозициональ-
ные переменные котороЙ содержатся как в Ф, так и в чr. (У к a
за R и е. Воспользоваться теоремой 1,)
9 5. Нормальпые формы
Понятие эквивалентпости формул ИВ будет иметь
для нас большое значение, так как основные изучаемые
нами свойства формул ИВ сохраняются при переходе к
эквивалентным формулам. Поэтому очень важно уметь
находить для каждой формулы ИВ эквивалентную ей
формулу, но устроенную по возможности более просто.
В этом параrрафе будут определены такие (<канониче
ские» представитеJIИ для формул ИВ.
Л е м м а 1. Пусть Ф и 1Jf  формулы ИВ. Тоеда иMe
ЮТ J.teCTo следующие эпвивалептиости:
а) (Ф  чr) =:= Сl Ф V Ч');
б) ijФ=:=Ф;
в) j(Ф 1\ чr) == (jФ Vi'f);
r) j(ФV ЧF) == (jФ 1\ IчF);
д) фе;(фVф);
е) Ф == (Ф 1\ Ф).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прпве;:(ем КR3зивыводы для ут-
верждения а):
Ф 1--- Ф; Ф --+ Ч' 1--- ф 4- Ч'
Ф --+ '1', (j) \----- Ч' ....,Ф 1--- ,ф
Ф--+Ч",Ф\-----iФУ'l'; -lф\-----i;vу'f"j tфviф .
ф--+ 1),11--- i'РУЧ! '
Ф 1--- Ф; ,Ф 1--- ,Ф
Ф, ,ф\-----
Ф, ,ФI---Il"j 0/1--- Ч'; ,ФVЧ'I--- ,ФVЧ'
,ФУlf, ФI--- Ч'
, Ф у '11 t-- ф --+ ч'
Заметим, что доказуемость r Ф V j Ф следует из l1рП
мера 3.2 и теоремы о подстановке. /
Доказательство остальных утверждений леммы 1 пре-
доставляется читателю, О

I 5, НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
87
л е м М а 2. Любая формула Ф исчислеnия выcna.3ы
ваnий эnвuвалеnтnа формуле Ч', nоторая nе содержит
си.чвола иJltnлиnации.
Д о !{ а з а т е л ь с т в о. Определю.{ отображение а: Р 
 р индукциеЙ по построению формулы:
1) a(Qi)==Qi,
2) а (Ф!\ Ч') == а (Ф) !\ а (Ч'),
3) а(ФVЧ')=:а(Ф)Vа(Ч'),
4) а (i Ф ) == ,а (Ф),
5) а (Ф  Ч') ==< ,а (Ф) V а ('1').
Torдa а (Ф) не содержит символа ИМПЛИRации и а(Ф) ==
ЕЕ Ф следует по индукции из леммы 4.2 б) и леl\I
мы 1 а). О
Л е м м а 3. Любая фОРJltула Ф ИВ эnвивалenтnа фор
,муле Ч' без символа имплипации, у nоторой симвО,JЫ
отрицаnия стоят тольnо перед aTOMapnЬkМи подфор
,мулами.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р....  множество формул,
не содерЖащих символа ИМПЛИRации. Определим отобра
тение : р....  р.... по ИНДУКЦИИ:
1)  (Qi) == Qi,
2)  (\Qi) == iQi,
3)  (Ф 1\ \У) ==  (Ф) 1\  (ч r ),
4) (фVчr)==(ф)v{\v),
5)  (, (Ф 1\ Ч1'») ==  СiФ) VB (,Ч'),
6) (,(ФVЧ')) == (lФ)!\(,Ч'),
7)  Cl :Ф) == р (Ф).
Пусть Х == а (Ф), rде а  отображение из леммы 2. Эк
впвалентность Х 03  (Х) леrно получить индукцией по
длине Х, используя лемму 1 и лемму 4.2 б). Очевидно,
что ч r  (X) удовлетворяет требованиям леммы 3. о
Л е м м а 4. Пусть Ф, Ч' и Х  форJltулы ИВ. Тоеда
а) (Ф 1\ Ч') == (ч r !\ Ф);
а') (фvЧ')==(чrvф);
б) ((Ф!\ 'I')!\ Х) == (Ф 1\ (Ч' !\ Х);
б') ((Ф V Ч') V Х) == (Ф V (Ч' V ХН;
в) (Ф!\ (Ч' V Х)) == ((Ф!\ Ч') V (Ф ,1\ Х));
в') (Ф V СУ !\ Х» == ((Ф V qr)!\ (Ф V Х».

38
rл, 1, ИСЧНСЛЕНIШ ПЫСНА3ЫВАНИЙ
д о к а з а т е л ь е т в о. Чтобы пе заrрОМОТI\дать изло
жение. докажем лишь в). Остальпые эквивалентности
читатель леп{о докажет сам, используя навык, приобре
тенный при разборе ранее приведенных доказательств.
фл ('УVХ)I--Ф;'УI--'I' 'ФЛ('УVХ)f--Ф;ХI---Х
ФЛ('I'VХ), чrf--ФЛ'I' ФЛ('I'VХ).ХI--ФЛХ ,
. фл(чrVХ). 'УН ФЛ 'Y)v( ФЛХ); ФЛ('I'VХ),Хf--( ФЛ '1") v (ФЛХ); фл(q,VХ)f--ЧlVХ.. ,
ФЛ(Ч'VХ)f--(ФЛ'!')V(ФЛХ) ,
'ФЛ'Уf--Ч' ФЛХf--Х
ФЛЧ'f--'l'VХ;ФЛVI--Ф ФЛХf--Ф;ФЛХI--'l'VХ
> ФЛVf--ФЛ(VVХ);. 'ФЛХf--ФЛ(VVХ); (ФЛV)V(ФЛХ)f--(ФЛV)VФ'лХУ .
(Флчr)V(ФЛХ)I--Ф,Л(VVХ) . .ц
Определим теперь важные понятия диЗЪЮlи.тивnоео
и по1tъюnпти61tоео члена формулы. Для любой формулы
Ф через D(Ф) будем обозначать мноЖество всех дизъ
IOнктивных членов формулы Ф, а через К (Ф)  множе
ство всех ее коIlыотивныыx членов, которые определим
индукцией по длине Ф.
а) Если формула Ф не представима в виде ДИЗЪЮНI{
ции, т. е. в Биде Ф == (Ф о V ФI), то D (Ф) == {ф}, т. е. Ф
является своим единственным ДИ3ЪЮНI\ТИВНЫМ членом.
б) Если Ф==(Ф о VФI), то D(Ф)==D(Фо)UD(Ф 1 ).
Множество К (Ф) определяется 'J,BolIcTBeHHo. а) Если
формула Ф не имеет вида . Ф С , Л Фl, то К (Ф) == {Ф};
б) если Ф==(ФОЛФI)' то К(Ф)==К(Фо)UК(Ф 1 ).
Предложение 1. Пусть Ф и Ч!фОр.JItулы ИВ.
Если D(Ф)s:=D(Ч!), то еепвв-lщия Фf--- Ч! допазуема в ИВ.
ДОRаз8.тельство. "Установим, что из ФЕD(Ч!)
следует ДОI{азуемость секвенции Ф f--- Ч!. Донажем это
индукциеЙ по длине формулы Ч! при фиисированноЙ
формуле Ф. Если Ч!' имеет минимальную длипу, то
Ч! == Ф и ДОI\азывать нечеrо. В случае, коrда Ч! не пред
ставима в виде ДИ3ЪЮНIЩИИ, то таюне имеем Ч! == Ф.
Пусть Ч! == Ч!' V Ч!". Тоrда Ф Е D(Ч!') или Ф Е D(Ч!").
Если, скажем, Ф Е D (Ч!'), то
ф f--- 1f"
Ф r Ч'V'1'''
 кваЗИБЫВОД секвенции Ф f--- Ч! .

 5, НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
89
}' c;rановим теперь предложение индукцией по длине
Ф при ФИI{сированном чr. Если D (ф) == {ф}, то Ф Е
Е D (чr) и вЫше уже устаповлена доказуемость Ф f-- чr.
Если ф==ф'Vф", то D(Ф')UD(Ф")==D(Ф)sD(1Jf)
и по индукционному предложению секвенции ф' f-- 1Jf и
ф" f-- 1Jf доказуемы. Torдa
ф 1--- ф' VФ"; Ф'I--- Ч'; Ф" 1--- Ч'
ФI---Чf
 квазивывод цужной секвенции. О
Следствие 1. Если D(Ф)==D(1Jf), то ф=а1Jf. о
Полученное следствие показывает, что с точностью До
эквивалентности формул можно пользоваться обозначе
n '
нием V Ф  или Фl V . . . v фп для формул Ф таких, что
il '
D(Ф)=={Фl, ..., фп}.
Для конъюнктивных членов ситуация :вполне анало
rичная. Оставляем читателю доказательство следующеrо
предложения.
Пр е Д л о ж е н и е 2". Пусть Ф и 1Jf  ФОр,1ftулы ИВ.
Если К (чr) s К (ф), то доказуема сеl'tвеllция Ф f-- чr. о
Следствие 2. Если К(Ф)==К(1Jf), то ф== чr. о "
Это позволяет использовать обобщенную запись вида
n
Л Фi или ФI/\' . ./\ Фn для всех формул Ф таких, что
il
К(Ф)=={Фl, ..., фп}.
л е м м а 5. Для любой КОllеЧ1l0й последоватеЛЬ1l0сти
r и любой формулы Ф се1iвеllция r f-- ф доказуема тоеда
и только тоеда, коеда доказуемы секвеnции r f-- ф' для
всех ф' Е К(Ф).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В одну сторону лемма вытекает
из предложения 2. Пусть для любоrо ф' Е К (Ф) сеI{Вен
ция r f-- ф' доказуема. ИндукциеЙ по длине Ф покажем,
что r f-- ф доказуема. Если Ф не представима ' в виде
ФОЛ Ф Н то доказывать нечеrо. Если Ф == ФО/\Ф\' то
по индукционному предположению r f-- Фа и rf-- Ф 1 дo
казуемы (так как К (Ф i ) S К (Ф». Следовательно,
r 1--- Фо; r 1--- Ф\
r 1--- Фо!l Ф 1
есть квазивывод СeI\Венции r f-- Ф. О
Оп р е Д е л е н и е. Будем rоворить, что формула Ф
есть элемеllтарllая диз'Ъюnкчия, если каждый дизъюнк

40
rл, 1. IIСЧИСЛЕНИВ БыRАзыыАнийй
тивный член Ф есть либо атомарная формула, либо отри
цание атомарной формулы. Будем rоворить, что форму
да Ф находится в КО1I/ъюnктивnой nормальnой фор.tе
(К. n. ф.), если каждый конъюнктивный член Ф является
элементарной ДИЗЪЮНКЦИей. Формулу Ф, находящуюся в
IЮНЪЮНКТИВНОЙ нормальной форме, с точностью дО ЭКВИ
n ( 1 t )
валентности моЖно записать в виде Л Фа V . . . V Фтi t
. io
rде Ф}  атомарные формулы или отрицания атомарных
формул, а Ф V .. . V Ф:п i  обобщенные обозначения
для конъюнктивных членов Ф.
Двойственным образом (т. е. заменой Л на V и V
на Л) определяются понятия элемеnтарnой коnъюnкции
и диЭЪЮnКТltвnой nОрlltaльnой фОрlltЫ (д. N. ф.).
т е о р е м а 3. Для любой формулы Ф ИВ существует
эквllваJlдtтnая ей формула ':1', nаходящаяся в к. n. ф.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ':1' 1  формула, эквива
лентная Ф, не содержащая символа ИМпликации и все
символы отрицания которой стоят перед атомарными
подформулами. Будем доказывать теорему индукцией по
длине ':1' 1. Если чr 1  атомарная формула или ее отри
цание, то чr 1 уже находится в К. н. ф. Если чr I ==
с= ФIЛ Ф 2 И X 1 , Ха  формулы, Э!{вивалентные ФI, COOT'
ветственно Ф 2 , находящиеся в к. н. ф., то очевидно, что
формула Х 1 Л Х 2 эквивалентна чr I и находится в К. н. ф.
Пусть чr 1 == Ф 1 V Ф2' Пусть Х 1 И Ха уже находятся
в R. н. ф., Х 1 е= Ф 1 И Х 2 Е$ Фа. По теореме о замене ':1' I !!3
== Х 1 V Ха. ДОRазательство Toro, что Х 1 V Ха ЭRвивалент
на неRОТОРОЙ чr, находящейся в к. н. ф" будем вести иц
ДУКциеЙ по п == т l + та, 1'де т;  число символов Л в
X i , i == 1, 2. Если т l == та == О, то Х 1 V Ха, будучи элемен
тарной дизъюнкцией, находится R к. н. ф. Пусть, напри
мер, та не равно нулю. Torдa Ха == Х з 1\ Х,. По лем
ме 4 в') получаем
X 1 VXa == Х 1 V(Х з I\Х 4 )== (X 1 VХЗ)Л(Х 1 VX 4 ).
По индукционному предположению Х 1 V Ха И Х 1 V Х,
эквивалентны ч' 2 И соответственно ':1' з, которые находят
ся в К. н. ф. Ясно, что чr == чr 2 Л чr З удовлетворяет Tpe
БUНflНИЯМ теоремы. о
Доказательство следующей теоремы аналOl'ИЧНО ДOKa
зательству теоремы 3 и оставляется читателю.

!! 5, НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
41
т е о р е м а 4. Для любой Фор_нулы Ф ИВ суще,
ствует эквивалентная ей фор.нула чr, находлщался
в д. н. ф. О
Оп р е Д е л е н и е. Будем rоворить, что формула Ф ИВ
находится в совершенной к. 11,. ф. (д. 11,. ф.), если выпол
нены следующие условия:
1) Ф находится в к. н. ф. (д. н. ф.);
2) любая пропозициональная переменная Р, входящая
в формулу Ф, имеет в любом конъюП!<тивном (дизъюнк
тивном) члене Ф ровно одно вхождение;
3) любые два различных вхождения конъюнктивных
(дизъюнктивных) членов Ф имеют различные множества
дизъюнктивных (конъюнктивных) членов.
Например, из формул
(Ql VQз)V"lQо, (Q2/\Q4)V(Q4/\Q2)'
(Ql/\ iQ2)V(Q2/\ lQl)t
находящихся в д. н. ф., первая находится в совершенноii:
к. н. ф., а третья  в совершенноii: д. н. ф.; первая и BTO
рая формулы не находятся в совершенноЙ д. н. ф. (По
чеilУ?)
т е о р е м а 5. Если фоР;ltула Ф ИВ не до-казуеJ.tа в
И В, то существует э-квивалентна.ч ей фОРJ.tула Ч", naxo
дящаяся в совершенной -к. 11,. ф.
Докажем сначала три вспомоrательных утверждеНШI.
Л е м м а 6. Если для nе-которой формулы Ф ив cy
ществует фОРJ.tула ч" та-кая, что Ч", i'F Е D (Ф)! то Ф
до-казуеJrtа.
Д о н. а з а т е л ь с т в о. ДеЙствительно, формула чr V
v lчr доказуема и D (Ч'" V i'F) s;; D (Ф). По предложе
нию 1 чrV I чrrФ доказуемая секвенция, но TorAa
и Ф  ДОl<азуемая формула. О
Л е м м а 7. Если Ф  до-казуемал в ИВ формула, то
Ф /\ чr == чr для любой фОрJ.tулы ЧJ' ИВ. .
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Следующие деревья являются
квазивыводами нужных секвенциЙ:
ФА '1' 1--- ФА '1'
l}J А '1' r '1' t
1--- Ф; '1' 1--- '1'
'I'r ФА'I"
о
л е м м а 8. Для любых формул Ф и ч" ИВ u.'teer
место э-квuвалenтnость Ф == ФV (чr /\ ,чr).

42
1'Л, 1, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЗЫВАНIIй
д о к а з а т е л ь с т в о. Следующие квазивыводы
навливают доказуемость нуЖНЫХ СeI\Венций:
Фr Ф
ФI;-- ФVСfЛ .'l'') !
чr Л .., чr r чr; чr 1\ .., '1' r .., '1'
'1' 1\ .., '1' r
Ф r Ф; 'v Л .., '1' r <1>; Ф V ('1' 1\ .., '1') r Ф v СУ 1\ .., '1')
ФV(Ч' 1\ ",чr) r ф
YCTa
о
д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 5. Пусть Х  фор
мула, эквивалентная Ф и паходящаяся в к. н. ф. Тюшя
формула существует по теореме 3. Пусть Хо, ..., X h 
все I\ОнЪюнктивные члены Х, дЛЯ I\ОТОрЫХ нет пропози
циональных переменных Р таRИХ, что Р, lP Е: D (X i ).
ТаRие члены существуют, так как в противном случае
по лемме 6 и лемме 5 формула Х, а следовательно, и Ф
была бы ДОRазуема.
Пусть D (X i )  IX, . . ., XiJ, rде X =1= X дЛЯ r =1= s.
По следствию 1 элементарная ДИЗЪЮНRЦИЯ Х; эквивалент
на элементарной дизъюнкции X  ( . . . (x V X) V . . . ) v
v Xi! В RОТОРУЮ каждая пропозициональная перемен
ная входит не более одноrо раза. По леммам 6, 7 и Teo
реме о замене формула Х ЭRвивалентна формуле Х' ==
"""(... (X/\X)/\...)/\x. Пусть Ро, ..., PnBce ато-
марные подформулы формулы Х/. Если неRоторая Х) не
содержит Rакойнибудь Р; в Rачестве подформулы, то
В силу
х; == X;V (Pi/\ ,Рд == (х; V Pj) /\ (xV l Pj)
формула
х'
Х" == (х')' j, ,
(х) VP i) лС XjV. P i )
эквивалентна Х, находится в к. н. ф., любая пропозицио
нальная переменная имеет не более одноrо вхождения
в любом ее RОНЪЮНКТИВНОМ члене и число ее конъюнк
ТИВНЫХ членов, не содержащих Р;, меньше, чем у Х/.
Проделав Rонечное число таRИХ преобразований, мы MO
жем получить формулу Х*, эквивалентную Ф иудовлет
воряющую условиям 1) и 2) определения формулы, Ha
ходящейся в совершенной R. н. ф. Выберем максимальное
мноЖество ру о, ..., 1J" h} попарно не эквивалентных RОНЪ

 6. СЕlIIАНТИRА ИСЧИСЛЕНIIЯ ВЫСRАЗЫВАНИЙ 43
юНRТИВНЫХ членов Х*. Из следствия 1 получаем D (Ч' 1) "1=
"1= D (Ч' J) дЛЯ i "1= j. По теореме о замене и след
ствию 2 получаем, что Х* ЭRвивалентна формуле Ч' ==
== (. . . (Ч' 01\ Ч' 1) 1\ . . .) 1\ Ч',н следовательно, Ч' УДовлет
воряет требованиям теоремы. о
ДОI{азательство СJlедующей теоремы проводится aHa
лоrичным способом и мы оставляем ero читателю.
т е о р е м а 5'. Если формула jФ И В пе aoпaayelfta
в ИВ, то существует формула Ч', эпвивалептпая Ф и пa
ходящаяся в совершenпой д. п. ф. О
Упражнения
1. Доказать утверждения б)  е) леммы 1 и утверждения а),
а'), б), б'), в') леммы 4.
2. Доказать предложение 2, теорему 4 и теорему 5'.
3. Показать, что в теоремах 4 и 5 можно потребовать, чтобы
Ф и Ч' содержали одни и те же переменные.
4. Показать, что секвенция r, ф 1--- Ч' тоrДа и только тоrДа
доказуема в ИВ, коrда для любоrо Х Е D(Ф) секвенция r, х 1--- Ч'
докаЗУ,ема в ИВ.
 6. Семантика исчисления высказываний
Исчислеюfе называется пеnротиворечивым, если в нем
не все формулы этоrо исчисления ДОRазуемы.
Пусть Х  HeRoTopoe множество, fx  HeROTopoe OTO
бражение элементарных формул ИВ в множество Р (Х)
всех подмножеств Х. TaRoe fx назовем иптерnретацией
ИВ в Х. Продолжим fx до отображения формул ИВ в
Р(Х) (обозначим ero таRже через fx) по ИНДУRЦИИ:
1) fx (Ф 1\ Ч') == fx (Ф) n fx (Ч'),
2) fх(ФVЧ')==fх(Ф)Ufх(Ч'),
3) fx Сl Ф ) == X"'-fx (Ф),:
4) fx (Ф --+ Ч') == fx (jФ) U fx (Ч').
Каждой сеRвенции S ИВ сопоставим утверждение
f х (S) про подмножества Х следующим образом:
а) fх(Ф о , ..., ФnI---Ф)*>(fх(Фо), ..., fх(Фп)-+fх(Ф»);
б) fx(I---Ф)*>fх(Ф)==Х;
в) fх(Фо, ..., Фпl---)*>(fх(Фо), ..., fх(Ф п )-+);
r) fx(I---)*>Х-+.

44
rл, 1, ИСЧИСЛЕНИЕ БысRАзы3Анийй
Напомним ( 1) определение отношения...... на l\шоже
ствах:
Хо, ..., Хn--+ У -<* ( .n Х; s У ) ;
1-<.n
(ХО' ..., Х" --+) -<* ( n X i == О ) .
i"
Т е о ре 1\I а 6. Для любой uптерnретации !х ив в Х
II любой доnаауемой в ИВ сеnвепциu 8 утверждепие !х (8)
справедливо.
Д о к а а а т е л ь с т в о. Пусть D  дерево вывода в ИВ
СeI{венции 8. Очевидно, что если 8'  аксио:ма, то !х(8')
истинно. Поэтому достаточно доказать, что если !х оТ Cel{
пенций над чертоЙ дерева D справедливо, то !х от ceKBeH
ции ПОД той же чертой также справедливо. Пусть, Ba
прпмер,
Ф n' ..., Ф n , '1'0 1--- 'I';Ф о ' ..., Фn' '1'1 1--- '1'; Ф о' .... Ф" 1--- '1'0 V'l' 1
Ф о , ..., Фnl--- '1'
 переход в дереве D и !х{Ф о , ..., Ф,,, '1'0  Ч'}, !х{Ф о , ...
''', Ф n , '1'1  Ч'), !х (Фо, ..., Ф n  '1' о V Ч' 1) имеют место.
Пусть ХЕ n !х(ф;). Так как n !х(Ф;) с= !х('I'о)U
{n {n
U!X('P'l), то ХЕ!Х(Ч'i) для HeKoTopoIO j1. Так как
n !х (Ф;) П!х ('I'j) s; !х (Ч'), то Х Е tx ('1'). Следовательно,
in
!Х (Ф О , ..., Ф n  Ч') имеет место.
Проверка для друrих пере ходов D также проста И
предоставляется читателю. О
Следствие 1. ИВ пеnротиворечиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х  непустое множество,
tx  некоторая интерпретация ИВ в Х. По определению
интерпретации !х (Qo!\ iQo) ==!х (Qo) n (X''.Jx (Qo)) == 0.
Очевидно, что утверждение !х (Qo!\ iQo) ложно. По
теореме 6 секвенЦИЯ  Qo!\ iQo не доказуема: Следо.
вательно, формула Qo!\ iQo не доназуема в ИВ. о
Мы рассмотреJIИ интерпретациlO ИВ, при которой про
позициональные переменные интерпретировались как
подмножества HeKoTopOl'O множества Х, а лоrические СВЯЭ
IШ как операции на этих подмпожестпах. Это позволило
доказать непротиворечивость ИВ. Представляет интерес и
сама параллельность теоретикомножественных операций
и лоrических св язок *).
*) Полезное обобщение ЭТОй интерпретuции припедено в уп-
ражнении 2 к  11.

I 6, СЕl\1АНТИRА ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСRАЗЫВАНИЙ 45
Конечно, понятие интерпретации выходит за рамки
caMoro ИСЧИСJlения. Оно относится к так называемой ce
....щllТие uсчис.ltеllUЯ, в отличие от понятий формулы, пра
вил вывода, ДОI{азательства, которые относятся к СИllта
сuсу исчислеllUЯ.
Сейчас рассмотрим друrую интерпретацию ИВ, KOTO
рая очень тесно связана с этим исчислением и IЮТОРую
будем называть мав1l0Й И1lтерnретацией ИВ. На множе
стве {О, 1} определим операции !\, V, -+, "1 при помощи
следующей таблицы:
х I v I хЛу \ xVv I Х4У IlX
о о о о 1 1
U 1 О 1 1 1
1 О О' 1 О О
1 1 1 1 1 О
Эта таблица соответствует правилам 1)4J определе-
ния интерпретации fUlJ}' коrда 0== fO, 1""" {fO}. Иноrда
употребляют вместо символов О, 1 слова «ложно» и «ис
тинно». Torдa эта таблица укажет правила приписывапия
значений истинности для связок Л, V t -+, 1, довольно
хорошо соrласующиеся с употреблением соответствующих
связок в русском язьше.
Зафиксируем пропозициональные переменные Р о , .,.
. .., Р". Если задано отображение f множества элементар
вых формул {Р о , ..., Р,,} в {О, Н, то по таблице (1) t од-
нозначно продолжается на множество формул ИВ, пропо
ЗI!Циональные переменные которых находятся среди Р о , . . .
..., Р". Если при этом f(Ф)==l (f(Ф)==О), то будем1'ОВО
рить, что 1lа llаборе <f(Po}, ..., f(P,,) > 81lачеlluе истип1l0сти
фОрМу.ltЫ Ф равно 1 (О) или просто, что Ф иСТИllllа
(ЛОЖllа) 1lа ЭТОМ llаборе.
Таким образом, для любой формулы Ф с пропозицио
нальными переменными среди Р о , ..., Р" мы имеем
(k + 1) местную функцию на множестве {О, Н, которая
заданным значениям истинности переменных Р о , ..., Р"
сопоставляет значение истинности формулы Ф. Эту функ
циIO назовем истип1l0СТ1l0Й фУ1l1щией фор.МУЛЫ Ф (обо
значаем ее через Т Ф (Р о , ..., Р,,». Формулу Ф с перемен
пыми среди P i , i  k, назовем тождестве1l1l0 истин'1l0Й
(тож(}ествеll1l0 ЛОЖ1l0Й) , если Т ф (Р о , ..., Р,,) принимает

46
rЛ. 1, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRА3ЫВАНИЙ
значение истины (лжи) на всех наборах значений пере
ыенных Р О , ..., P. Ясно, что это понятие не зависит от
выбора Р О , ..., P. СeIшенция r f--- Ф называется UСТU1l1ЮU
на llаборе <t o , ..., t k > значений истинности переменных
Р О , . . ., P, среди I{ОТОРЫХ содержатся все переменные сек-
венции r f--- Ф, если на наборе <t o , .." t> либо одна из
формул r ложна, либо Ф истинна. Секвенция r f--- назы-
вается UCTUll1iOU на наборе, <t o , ..., t> значений истинно
сти переменных Р О , " ., P k , среди которых содержатся все
переменные из элементов r, если одна из формул r на
наборе <t o , ..., t> ложна. Секвенция f--- является ложной
на любом наборе по определению, а истинность ceKBeH
цИИ f---Ф совпадает с истинностыо Ф.
Секвенция S называется тож(}ествеll1l0 UCTUll1iOU, еслп
она истинна на любом наборе <t o , .. ., t k > значений истин
ности переменных Р О , ..., P k , среди которых содержатся
все переменв.ые, входящие в S. Очевидно, что это поня
тие также не зависит от выбора РО, ..., P.
т е о р е м а 7. Еслu сеnвеllция S ИВ доnаауема в ИВ,
то S тождествеll1iО UCTUll1ia.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D  доказательство ceK
венции S в ИВ в виде дерева. Индукцию проводим ПО BЫ
соте доказательства D. Если S  аксиома, то утверждение
теоремы тривиально. Чтобы завершить доказателрство
теоремы, нужно проверить, что правила 1  12 сохраняют
тождественную истинность. Пусть, например,
r 1-- Ф; r 1-- ф --+ '1'
п '1'
 применение правила 8. Если на некотором наборе ис
тинности пропозициональных переменных все формулы
из r истинны, то по индукционному предположению Ф и
Ф --+ Ч' истиннЫ на этом наборе. Тоrда по определению
операции --+ формула Ч' тоже истинна.
ПроверlШ друrих правил также проста и предоставля
ется читателю. О
Из теоремы 7 получаем Apyroe доказательство след
ствия 1. В сашам деле, ясно, что Qo!\ ....,Qo  тождесr
венно ложная формула. Поэтому в силу теоремы 7 ceKBeH
ция r Qo!\ ....,Qo ив доказуема в ИВ.
С л е Д с т в и е 2. Если Ф == чr, а пропоаUЦUО1iаЛЬ1iые
пepeJltellnble ИВ Фи Ч' содержатся среди Р О , ..., p, ТО
Т Ф(Р О , . . ., P) == Т'I! (Р О , .. ., P).

!! 6. сю.IАнrПRА ПСЧПСЛЕНШI ВЫСRАЗЫВАНИй 47
ДОRазательство. Пусть на наборе '[ Тф(t) 1.
По условию Ф f--- чr доназуема. По теореме 7 получаем, что
т ч1 ('[)  1. Аналоrичпо из T'l' ('[) == 1 следует Т ф и) == 1. о
Введем обозначения р о == Р, pl  .:l Р. Пусть '[ 
== <t o , . . ., t n >  набор нулей и единиц.
Л е м м а 1. 9лемептарпая дuз'ЪюJt1щuя Ф вида
р:о V . . . V pn npuпu},taeT зпачепuе О па eauпCTeeппo},t
паборе '[  <t o , ..., t n > зпачепuй истиппости nеремеппых
Ро, ..., Рn.
Д О 1\ а з а т е л ь с т в о. Формула Ф построена из фор
мул Pi при помощи операции У. Из таблицы истинно
сти для ДИЗЪЮIIНЦПП следует, что если бы одна из фОр1IУЛ
Pi приняла значение 1, то Ф танже принюrа бы значе-
ние 1. Следовательно, Р ; должна принимать значение t i . О
Т е о р е м а 8 (о фуннционально:Й полноте ИВ). Пусть
f  фупlЩUЯ, оnределеппGЯ па паборах <t o , ..., t n > пулей
u едипиц u nрuпuмающая пуль uлu едипицу в пачестве
зпачепuй. Тоеда существует тапая формула Ф ИВ, nepe
},tennble поторой содержатся среди Qo,. . ., . Qn и
т ф (Qo, . . ., Qn) == 1.
Д о н а з а т е л ь с т в о. Если 1 тождественно равна еди-
нице, то в начестве Ф можно взять формулу Qo V "1 Qo'
Будем обозначать набор <t o , ..., t n > элементов множе
ства {О, 1} через '[, а через 1 и)  значение фуннцип
I(t o , ..., t n ). Пусть множество Х==ШI(t)==О} не пусто.
ВозьмемвначествеФ формулу вида Л (QoV ...VQn).
tEX
Донажем, что Т ф (п == о энвивалентно f Е Х. Пусть
т Ф (п  о. Тан нан Ф построена из нонъюннтивных чле
нов С помощью операции 1\, то существует нонъюнктив
ный член W', ноторый ложен на наборе '[О Ч' имеет вид
I I
QO V . . . V Qn, rде '[' Е х. В силу предыдущей леммы
'[' == f и, следовательно, f Е Х. Пусть теперь f Е Х. По
лемме 1 нонъюнктивный член чr вида Qo V . . . V Qп
ложен на наборе [. Используя опять то, что Ф построена
из конъюнктивных членов (среди которых находится чr)
при помощи операции 1\, заключаем, что Т ф (t) == О. о
Упражнения
1. Предположпм, что ваши вычислительные возможности со-
стоят только в следующем: если вам дают пару чисел t" t2 Е
Е {О. 1}, то вы можете вычислить максимум шах (t" t2) этих ч.I1

48
rЛ, 1. ИСЧIIСЛЕНIIЕ ВЫСRАЗЫВАНИй
сел, а коrДа вам дадут 1 Е {О, 1}, то вы мошете назвать l Е {О, 1},
КОТОРЫЙ не раВен t. Показать, что вы ТО1'да способны вычислить
любую функцию J, сопоставляющую наборам <10, .... t n ) нулей
и еДИНИЦ нуль или единицу,. А именно, для любой таI,ОЙ Функ
ЦИИ J существует такая последовательность 80, ..., 8h, ЧТО дЛЯ
любоrо i  k Sj есть либо пара (j, т) чисел, меньших i, либо одно
число, меньшее i, При этом, если вы по заданному, набору <10, ...
. .., t n ) нулей и еДИНiIЦ напишете последопаТeJIЬНОСТЬ qo, ..., qл
нулей И единиц по СЛедующему ПрНВИЛУ,:
а) если i  п, то qj === li;
б) если п < i  k и 8;  <j, т), то qi === шах (qj, qт);
в) есл п < t  k и Si < i, то qi == QSi'
то тоrда qh будет значением J на наборе ('0, ..., I n ). (У к а з 1
н И е. Восполыоваться теоремой 8, слеДСТШlе1 2 II ЭКВl1валевт
ностью Ф Л 1f = 'l (! Ф v,Ч').)
2. Показать. что если формулы Ф == чr находятся в совершеII
ной К. н. ф. совершенной д. н. ф,) И содержат одни II 1е же пеJlе
менпЫе, то {D(Х)jХЕК(Ф)} === {D(Х)IХЕК(Ч'»} ({K(X)IXE
Е D(Ф)} == {К(Х) 'Х Е D(Ч')}).
 7. ХарантеРIlзацпя донаЗУОl\fЫХ фОрМУЛ
т е о р е м а 9. Пусть Ф  фор,нула ПВ. Следующие
три условия эпоивале1iТ71Ы:
1) Ф допазуелta в ПВ.
2) Для всл'Кой ф' == ф, паходящеЙся в н. п. ф" и лю
боео ее 'КО1i'ЪЮJштивпоео члена Ч' существует таная aTO
Jftарnая форлtула Р, что Р, lP s D(Ч'').
3) Существует ф' == Ф, nаходящаяся в п. n. ф. и та"
пая, что для любоzо ее пОН'ЪЮllптивпоzо члена чr суще.
ствует тапая атолtaРllал Р, что Р, IIp Е D (Ч').
Д о к а з а т е л ь с т во. 2) =>- 3) трившJ.лыI.. 3) =>- 1) сле.
дует из ле:\IМ 5.5, 5,6 и 4.2 а).
ДОRажем 1) =>- 2). Пус1Ь Ф ДОl{азуеыа. Тоrда люБОli
IЮНЪЮПКТИВНЫЙ член ЧJ' формулы ф' Б. силу ЛО1>НIЫ 5.5
ДОI,азуем. Пусть D (Ч') не содержит НПКaIоii aTo:\1apHOlI
формулы р вместе с ее отрицанием ,Р. Р3ССlОтриы Два
множества атошрных формул Х == {PIP Е D (чr)} и У ==
=={PI,PsE('I')}. По предположению, хп y==.ef. Пусть
Ч' 1 получается из Ч' заменой всех подформул РЕ Х на Qu
II всех Р Е У на ,Q О. ПО теоремо о подстаНОlll,е qr 1 до-
I\азуема. Пусть ч r 2 получается из Ч' 1 заменой "Q О на
Qo. ,В силу леммы 5.1 б) и теОрЮIЫ о замене Ч'2 ES Ч'I.
Следовательно, Ч'2 ДОRззуема. Очевидно, что D(Ч'2)=== {Qo}.
По следствию 5.1 Qo;;;: Ч' 2' Следовательно, Qo доказуема.
По теореме о подстановке получаем, что любая формула

!! 7, ХАРАНТЕРИ3АЦИ;1 ДОНАЗУЕМЫХ ФОРМУЛ 49
х ДОI,азуема. Это невозможно в силу непротиворечипости
ИВ. О
Теоре:на 9 дает харантеризацию доназуемых в ИВ
формул, основанную на строении энвивалентных И:.\l фпр
мул, находящпхся в н. Н, ф. Таную хараIПеризацию назо
вем дедуптuвной. Сейчас мы ПОЛУЧИМ се}.tаJlтuчеспую xa
рантеризацию ДOIiазуемых в ИВ формул, основанную на
понятии ИСТПННОСТII.
Л е м м а 1. СеnвПЩllЯ r, Ф f--- Ч' доказуема тоеда u
только тоеда, nоеда дm-:азуеlltа се1>ве1tЦllЛ r r- Ф  Ч',
Д о н а 3 а т е л ь с т в о. Непосредствелно по праВПЛЮI
7 и 8, о
Л е м м а 2. СеnвеlЩUЯ r f--- дттауеlltа тоеда и толы:о
тоеда, поеда доназуе.ма се1>венцил r I Qo!\ ...., Qo'
Д О Н а 3 а т е л ь с т в О. Сле,l,ует П3 предложения 3,2
д) и е). о
т е о р е м а 10 (о полноте ИВ), а) Для тоео чтобы
фОРlltула Ф ИВ была дО1>азуе"ta в ИВ, необходll.tО и дo
статочно, чтобы Ф была тождественно ИСТU1l1l0й.
б) Для тоео чтобы сеnвеltция S ИВ была (}оr.азуеllta
е ИВ, Jlеобходlutо и достаточ1tо, чтобы S была тож(}ест
ее 1l1-1О UCTltlUtou.
Д о н а з а т е л ь с т ВО. НеоБХОДИ:.\10СТЬ утверждает T(,O
pe:.\Ia 7. 1'твертдеппе б) следует пз а), так нак в силу
леМ:.\1 1, 2 и определения ТОff\Дественной ИСТПНIIОСТИ cex
веlЩПЙ II фОр:.\IУЛ доназуемость и тождестпенная ИСТIIН-
ность сеlшенцпЙ Ф Н " " Ф" f--- Ч' и Ф" ..., Ф" f--- paBHO
СИЛЬНЫ ;J:Оf,азуе:.\IOСlll п тождественноfr истинности фор
мул ФI-+(Ф2-+"'(Ф"-+чr)...), И Ф 1 -+(Ф 2 --+...
. . . --+ (Ф n -+ (Qo!\ '1 Q о) . . .) соответственно.
Пусть Ф  тождествепно истинная фОР:.\lула и Ф' == Ф
находится в н. н. ф. ПреДПОЛОJIiшr, что Ф не доназуе:'.Iа.
Torдa ф' тоше не доназуема. В сплу лемм 5.5 и 5.6 суще
ствует конъюнктивный член чr формулы Ф', дЛЯ HOTOpO
[о D(Ч') не СОJIержит ато:.\rарноЙ ФОРМУЛЫ Р вместе с ее
отрицанием ,Р. Пусть Х==={РIРеD(Ч')} и у==
== {Р I 'l Р Е D (Ч')}. Тоrда Х n у ==!2J. Если переменные
из Х припимают значение О, а переменные из У  зна
чение 1, то по лемме 6.1 Ч' принимает значение О. Так
}{ан Ф' построена из нонъюннтивных членов (среди HOTO
рых есть Ч') с помощью ОДНОЙ связки !\, то Ф' прини
мает значение О, ноrда переменные из Х принимают зна
чение О, а из У  значение 1. Следовательно, ф'  не
тождественно истинная формула. В силу следствия 6.2
4 Ю, Л. Ершов, Е, А. Палюпш

50
1'Л. 1, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЗЫВАНIlЙ
ф  тоже не тождественно истинная фор!ула. Получили
противоречие. О
Если задано исчисление и определено Понятие истин
ности (сешнтина) формул этоrо исчисления, то rоворят,
что исчисление непротиворечиво по отпошепию n этой ce
маnтиnе, если в исчислении доназуемы тольно истинные
формулы. Если доназуемы все истинные формулы, то ro
ворят, что исчисление пол по по отпошепuю n этой ceta1l
типе. Кроме проблемы непротиворечивости и полноты
важное значение имеет проблема разрешимости исчисле
ния. rоворят, что исчисление разрешимо, если существу
ет эффентивная процедура (алrоритм), позволяющая для
любой формулы Ф через нонечное число шаrов опреде
лить, доназуема Ф или нет. Если таной процедуры не cy
ществует, то rоворят, что исчисление nеразрешимо.
'Если истинность формул ИВ определить нан тождест
венную истинность, то предыдущая теорема поназывает,
что ИВ полно и непротиворечиво по отношению н этоЙ
семантине. Очевидно, что за нонечное число шаrов можно
узнать, является ли данная формула Ф ИВ тождественно
истинной или нет. Тан нан тождественная истинность и
донавуемость Ф энвивалентны, то ИВ разрешимо.
При задании исчисления с помощью схем ансиом и
правил вывода естественно вознинает вопрос о независи
мости этих схем ансиом и правил вывода. Схе.щ аnсиоt
называется пезависимой в исчислении, если хотя бы один
ее частный случай не доназуем в исчислении без этоЙ
схемы. Правило вывода называют пезависuмым в исчис
лении, если оно не является допустимьп! в исчислении
без этоrо правила. Псчислепuе называется незавuсимым,
если все ero схемы ахсиом и правила вывода незаВИСИfЫ.
При построении исчисления часто стремятся получить
ero везависимы.. (Немаловажную роль здесь иrрают зсте-
тичесние соображения.) В оставшейся части параrрафа
на примере ИВ будет изложен важный метод доназатель
ства независимости исчислений *) .
Предложение 1. ПВ пезависuмо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так нак в ИВ тольно одна cxe
ма аксиом, то она независима. Для доназательства неза
висимости правил вывода достаточно для наждоrо прави
ла а найти характеристичесное свойство ,:1, которым об
ладают все сенвенции, доназуемые при помощи правил,
.) См, также упражнение 1 к  8.

I! 7. ХАРАRТЕРИЗАЦИЯ: доRАзуЕмых ФОРМУЛ 51
отлпчных от а, и которым некоторые доказуемые в ИВ
секвенции не обладают. Мы оrраничимся только форму
лпровками характеристических своЙств для правил 112,
оставляя необходимую проверку читателю.
Характеристическим свойством для правил 18 будет
тождественная истинность ( 6) секвенциЙ при HOBO1
определении для каждоrо правила одной иа лоrических
операций А, V, --+, I на множестве Ю, 1}. Остальные
операции при этом определяются по таблице  6. Приве
дем новые определеНIIЯ лоrических операций, соответству-
ющих правилам 1 8.
Правило 1. Конъюнкция определяется как тождест-
венно ложная функция.
Правило 2. Значение конъюнкции х АУ равно аначе-
нию BToporo члена у.
Правило 3. Значение конъюНlЩИИ х АУ равно значе
нию первоrо члена х.
Правило 4. Значение дизъюнкции х V У равно значе-
нию BToporo члена у.
Правило 5. Значение дизъюнкции х V У равно значе
нию первоrо члена х.
Правило 6. Дизъюнкция определяется как тождествен-
но истинная функция.
Правило 7. ИМПЛИI\аЦИЯ определяется как тождествен
но ложная функция.
Правило 8. Импликация определяется как тождествен
но истинная функция.
Рассмотрим множество А == {О, 1, 2}. Конъюнкцию на
множестве А определим как минимум двух чисел, а дизъ
юнкцию  как максимум. Отрицание определяется следу
ющим образом: 1(2) == 01 1(1) == 0,;1(0) == 2. Имплика
ция определяется так:
{ 2, тn;
т--+n==
n, т>n.
Правило 9. Характеристическим свойством для секвен-
циЙ r f--- ф (r f---) является следующее: для значений из
множества А пропозициональных переменных минимум
значениЙ формул из r меньше или равен значению фор
мулы Ф (соответственно равен нулю). При этом минимум
nycToro множества значений полаrается равным двум.
Правило 10. ХарактеристичеСIШМ свойством секвенций
для этоrо правила является наличие форыулы в правой
части.
4 0tJ

52
rл. 1. ИСЧИСЛЕНИЕ БЫСRАЗЫВАНnй
Правило 11. Харю(теристическое свойство секвенции
r f--- Ф (r f---) состоит в следующем: если r -== (Ф О , ...
. .., Фn>.р О, то секвенция Ф О f--- Ф (Ф О f---) доказуема
Б ИВ.
Правило 12. Характеристическое свойство секвенций
r f--- Ф, r f--- состоит в том, что r ОДноэлементно или
пусто. О
Упражнения
1. Пусть фОР1\lула Ф ИВ находится в д, н. ф. Для тото чтобы
Ф была доказуемой в ИВ, необходимо и достаточно, чтобы для
любых не содержащих общих элементов множеств Х и У пропози
циональных переменных существовали форму.ла ч' е D(Ф) и мно-
жества Х(, У( пропозициональных переменных, для которых
(XUX t )n(YU Y 1)==0 и К(Ч'Н{РIРЕ(ХUХl)}U{IРIРЕ
Е (У U У 1)}' СУ к а 3 а н и е. Применить теорему о полноте ИВ.)
2. Провести необходимую проверку характеристических свойетв
в доказательстве предложения 1.
i 8. Исчисление выка\Jыыанийй rильбертовскоrо типа
В этом параrрафе мы рассмотрим друryю, так называе
мую 1'ильбеРТОБСКУЮ, аксиоматизацию исчисления БЫСRа
вываний  ИВ!.
ОП Р е Д е л е н и е. ПОНЯ1'ие формулы в ИВ! то )ке, Что
и Б ИВ; секвенций в ИВ! нет. АI\СИОМЫ ИВ! получаются
из следующих 10 схем подстаНОВI\ОЙ нонкретных формул
ИВ! вместо переменных Ф, Ч', Х.
1. Ф --+ (Ч' --+ Ф),
2. (Ф --+ Ч') --+ «(Ф --+ (1У >- Х)) --+ (Ф --+ Х»,
3. (Ф 1\ 'I')  Ф,
4. (Ф 1\ '1')  '1',
5. (Ф---+- Чf)  ((Ф ---+-Х)  (Ф --+ (1f 1\ Х»)),
6. Ф--+(ФVЧ'),
7. Ф--+(Ч'VФ),
8. (Ф --+ Х) --+ «Ч' --+ Х) --+ ((Ф V Ч') --+ Х»),
9. (Ф ---+- '1')  (Ф --+ I '1')  J Ф),
10. IIФФ.
Правило вывода в ИВ! одно:
Ф, Ф  ч"
qt

I 8. ИСЧIIСЛЕНИЕ rИЛЬБЕ:r>ТОВСRоrо ТИПА 53
ОП р е Д е л е н и е. Док,азательством в ИВ 1 формулы Ф П
называется такая последовательность, формул Фа, ..., Ф П
ИВ 1 , что каждая Фi, i  n, либо является аксиомой, либо
получена из некоторых Ф;, Ф", f, k < t, по правилу BЫBO
да. Если существует доказательство в ИВ 1 формулы Ф, то
Ф называется док,азуемой в ИВ 1 и обозначается это так:
t>Ф. Выводом в ИВ 1 формулы Ф П из множества Н фор
lftУЛ ИВ 1 называется такая последовательность Фа, . . ., Ф П
формул ИВ 1 , что каждая Фi, i  n, либо является аксио
!lIОЙ, либо принадлежит Н, либо получается I:tз некоторых
Ф;, Ф", j, k < i, по правилу вывода. Если существует BЫ
вод формулы Ф из Н, то Ф называем выводиJlЮЙ в ИВ 1 из
Н и пишем Н t> Ф, при этом Н называется множеством
zиnотез.
Очевидно, что ДО1\азуемость Ф в ИВ 1 р.авносильна BЫ
водимости Ф В ИВ 1 . из пустоrо множества 1'ипотеs. OTMe
тим, что множество rипотез Н не обязано быть 1\онечным,
но если Н t> Ф, то в силу конечности вывода Ф из Н cy
ществует конечное множество НI s; Н, дЛЯ KOToporo
НI t> Ф. Очевидно также, что если Н s; Н' и Н t> Ф, то
Н' t> Ф.
Основной целью данноrо параrрафа является ДОRаза
тельство следующей теоремы, 1\оторая показывает в опре.
деленном смысле равносильность ИВ и ИВ 1 . '
Т е о р е м а 11. а) Сек,венция ч' 1, ..., Ч' n 1-- Ф тоеда u
тольк,о тоеда док,азуема в ИВ, к,оеда Ф выводима из
{Ч' 1, . . " Ч' п} в ИВ 1 . В частности, множества дoaдyeMЫX
формул в ИВ и в ИВ 1 совпадают.
б) Сек,венция Ч' 1, , ." Ч' nl-- тоеда и тольк,о тоеда дoк,a
зуема в ИВ, к,оеда формула Qол "'lQo выводима Ид
{Ч!I, ..., Ч' п} в ИВ 1 .
Прежде чем приступитъ к доказательству теоремы 11,
мы разовьем некоторую теорию выводимости в ИВ 1 .
При М е р 1. Пусть Ф  формула ИВ 1 . Последователь
ность из следующИх 5 формул будет доказательством фор
мулы Ф....,.. Ф в ИВ 1 :
1} Ф  (Ф""'" Ф)  а1\сиома,
2) Ф  ((Ф""'" Ф)  Ф)  аксиома,
3) (Ф  (Ф  Ф) -+ ((Ф""'" ((Ф -+ Ф) ....,.. Ф)У -+ (Ф-+
-+ Ф))  а1\СИОlа,
4) (Ф -+ ((Ф -+ Ф) -+ Ф» -+ (Ф -+ Ф)  правило вывода
и1) иЗ),
5) Ф...... Ф  правило вывода 1\ 2) и 41.

54
1'Л, 1, IIСЧИСЛЕIOlE ВЫСRАЗЫВАНИй
Правило выво;:r;а
Ф о ' .,., Ф k
чr
называется допустимым в ИВ!, если е1'О добавление к ис
числению ИВ! не увеличивает семейство выводимых из II
формул для любо1'О множества 1'ипотез Н.
Квазивыводом в ИВ! ФОРМУЛЫ фп из м1tожества eипo
тез Н называется такая последовательность формул
Фа, ..., фп, что каждая Фi, i  п, либо выводима в ИВ!
из Н, либо получается из некоторых предыдущих по дo
пустимому В ИВ! правилу вывода. Очевидно, что если
имеется квазивывод в ИВ! формулы Ф из множества Н,
то Ф выводима в ИВ! из Н.
Теорема 12 (о дедукции). Если НU{Ф}t>Ч', то
Нt>Ф---'>-Ч'.
Д о к а з а т е л ь с т в о проводим ИНДукцией по мини
мальному п, для IЮТОрО1'О существует вывод Ч' о, ..., Ч' n
формулы Ч' из H.U {ф}. Если п == О, то либо 1) Ч' == Ф,
либо 2) Ч'  аксиома или входит в Н. В первом случае,
в силу примера 1, формуЛ1l Ф ---'>- Ч' Быводима из Н. Во
втором случае последовательность
Ч', Ч' -+ (Ф ---'>- Ч'), Ф -+ Ч'
будет ВЫБОДОМ В ИВ! ИЗ Н. Пусть п> О. Из минимально
сти п имеем, TO чr получается из чr i И чr j == (чr i -+ чr)
для i, j < п по правилу вывода. ТО1'да в силу индукцион
Horo предложения последовательность
Ф ---'>- Ч' (, Ф -+ (Ч' i -+ Ч'),
(Ф -+ Ч',)..... ((Ф -+ (Ч'i ---'>- Ч'» -+ (Ф -+ Ч'»)
(Ф-+(чri-+чr»-+(Ф---'>-Ч'), Ф-+Ч'
будет квааивыводом Ф -+ Ч'из Н. о
Теорема о дедукции существенно облеrчает дЛЯ MHO
rих формул ИВ! установление их доказуемости в ИВ!.
Так, без применения теоремы о дедукции в следующем
примере пришлось бы привести 1'ораздо более длинное
доказательство.
При м е р 2. Пусть Ф и чr  формулы ИВ!. Покажем,
что формула Ф --+ (Ч' --+ (Ф Л Ч'» доказуема в ИВ/. По
теореме о дедукции достаточно показать, что {Ф, Ч'} [>Ф Л
Л Ч'. Следующая последовательность будет требуемыи
выводом:

!i 8, ИСЧПСЛЕШШ 1'ПЛЬБЕРТОВСI\О1'О TTТnA 55
1) Ф --+ (Ф --+ Ф)  аНСИО:'Ia,
2) Ч' --+ (Ф --+ Ч')  аI\сиоra,
3) (Ф --+ Ф) --+ ((Ф --+ Ч') --+ (Ф --+ (Ф /\ Ч'))  аксиома,
4) Ф  rипотеза,
5) Ф --+ Ф  праВJI.1IО R 1) и 4),
6) Ч'. rипотеза,
7) Ф --+ Ч'  правило н 2) и 6),
8) (Ф --+ Ч') --+ (Ф --+ (Ф /\ Ч'»)  правило к 3) и 5)
9) Ф --+ (Ф /\ Ч')  правило к 7) и 8),
10) Ф /\ Ч'  правпло.н 4) И 9).
,
Прежде ЧЮf прпступить R ДОRазате.1JЬСТВУ теоремы 11,
устаноВIШ еще один техническиЙ факт.
С л е Д с т в и е 1. {Ф о , ..., Ф n } t> Ф равпосилыю t>Ф о --+
--+(Ф j --+.. .(Ф n --+ Ф).. .), что в свою очередь равносильно
t> (ФО/\(Ф 1 /\" '(Фnl/\ Ф п ).. .))--+Ф. .
. д о к а з а т е л ь с т в о. В одну сторону n + 1 раз ПрIl
меняем теорему дедукции. Пусть теперь t>Ф о --+ (Ф j --+. . .
...(Фn--+Ф)...). Torдa {Ф о , ..., Фn}t>Фо--+(Ф j --+...
. . . (Ф n --+ Ф). . .) и, применяя яеСRОЛЬRО раз праВIIЛО BЫ
вода, получаВ:'f {Ф о , . .., Ф n } t> Ф. Используя несколыо
раз пример 2 и правило вывода, получаем {Ф о ' . . ., Фп} t>
t> Фо/\(Ф 1 /\.. .(Фпl/\ Ф п ).. .), а применяя несколько
раз аксиомы 3, 4 и правило вывода, получае.\l
{Ф О /\ (Ф 1 /\ . . . (Фnl /\ Ф п ) . . .)} !> Ф i для любоrо i  n.
Следовательно, {Ф о , ..., Ф n } t> Ф равносильно выводимо
сти {Фо/\(Ф 1 /\... (Фпl/\Фп).' .)}!> Ф, что, как уже
ПОRазано выше, равносильно !> (Фа /\ (Ф 1 /\ . . . (Фп1 /\
/\Ф п ).. .»--+Ф. о
д о н а з а т е л ь с т в о т е о р е l\l ы 11. В силу сле;:J;
ствия 1 II лемм 7.1, 7.2 достаточно поназать, что доказуе
мость фОрIУЛЫ Ф В ИВ равносильна доказуемости Ф в
ИВ j . Лешо проверИТЬ, что все ансиомы ИВ j тождественно
истинны, а правило вывода ИВ j сохраняет тождественную
истинность. Поэтому по теореме о полноте ИВ из t>Ф сле-
дует ДОRазуемость Ф в ИВ.
Будем rоворить, что правило вывода ИВ сохраnяет вы
водu.мость в ИВ j , если после замены в нем секвенциЙ
Ч' 1, ..., Ч' n  Ф И Ч' 1, ..., ч' n соответственно на
{Ч'I, ..., Ч'п} t> Ф и {Ч'l' ..., Ч'п}!> Qo/\ iQo из истин
ности утверждениЙ над чертоЙ будет следовать ИСТИННОСть
утверждения под чертоЙ. Ясно, что для доназательства

56
rл. 1. ИСЧПСЛЕНПЕ ВЫСRАЗЫВАНИй
тоro, что из ДОRазуемости Ф в ИВ следует [> Ф, достаточ
но ПОRазать, что правила 112 сохраняют выводимость
в ИВ!. Сохранение выводимости для правил 15 леrRО
ПОRазать, используя пример 2 и аRСИОМЫ 3 7. Пусть
РУ!, ..., Ч'k, Ф} [> Ч'; {Ч!I,..., Ч'", Х} [> Ч'; {Ч'I,..'
. .., Ч' ,,} [> Ф V Х. ПО теореме о дедуRЦИИ {Ч' 1, ..., Ч' ,,} [>
[> Ф -+ ч' И {Ч' 1, ..., Ч' ,,} [> Х -+ чr. При:меняя три раза
правило вывода ИВ 1 R акспоме 8, получаем {Ч'I, .,.
. .., 'f ,,} [> Ч'. Следовательно, правило 6 сохраняет BЫBO
димость. Правило 7 соответствует теОрЮfе о деДУКЦIllI,
правило 8  правилу вывода ИВ!, Докажем сохранение
выводимости правилом 9. Пусть {Ч't, ..., Ч'k, 'lФ}!> QoA
А 'lQo' Из аRСИОI 3 и 4 получаем {1ft, . . ., Ч'k, 'l Ф} !> Qo
и {Ч'1' "., Ч'kl 'lФ} !> 'lQo. По Teople о деДУКЦIIП по
лучаем{1f ll ""Ч'k}!>'lФ-+Qо Il {Ql, ..., 1f k }!>'lФ-+
-+ 'l Qo' Torдa из аксиом 9 II 10 получаем {Ч' 1, . .., чr k} [>
[> Ф. Рассмотри1.I правило 10. Пусть {Ч' 1, .,., Ч! я} [> Ф Il
{чr 1! . . '1 Ч' п} 1> _! Ф. Из аксиомы 1 получаем
{Ч't, .. '1 чr,,} 1> 'l(QoA ""1Qо)-+Ф
и
{чr1' "'! чr п } 1> 'l(QoA 'lQo)-+'lФ.
,Из аксиом 9 и 10 тоrда следует {1ft, "', Ч'k}!> Qол 'lQo'
Сохранение выводимости праВIIЛЮ.IИ 11 и 12 следует непо
средственно из определения вывода в ИВ 1 . О
Упражuеllие
{. Доказать иезависимость ИВ l . (У к а з а н и е. Тот же метод,
что и для ИВ. ДЛЯ доказательства независимости схем 1 и 2 лоrIl
ческие связки определяются на множестве {О, 1, 2}, а схем 3.
10  на множестве {О, 1}. Для схемы 1 связки опредеЛЯ10ТСЯ так:
пЛт)==шin (п, т), п V т == шах (п, т), ""1 О == ""11 == 2 ,! 2  О,
(п -+ т) "'" 2, если п  т, и (п -+ т) == О, если п> т. Для схемы 2
имеем (ОЛт) ==(тЛО) == 1, (OVO) == 1, ""12 == 1, (0-+0) == (2-+0) ==
== (2 -+ 1) ==Z,1, (1 -+ О) == 2, а остальные значения связок  как дли
схемы 1. Характеристическое свойство формул при доказателъ
стве независимости схем 1 и 2  тождественное равенство 2,)
I 9. Консервативные расширения псчисленwi
Пусть даны два языка Lo s;; L i И два исчисления: . 10
языка Lo и l i языка LI' Исчисление 11 назовем "OHcep8a
тивным расширением 10 (обозначаем 10 < 11)' если BЪ1pa
жение Ф язьша Lo доказуемо в l Q тоща и только ТО1'да,

! 11. 'RОНСЕРВАТИВНЪШ РАСШИРЕНИЯ ИСЧИСЛЕНИЙ 57
Боrда Ф ДОRазуемо в 1!. Очевидно, что отношение < реф
леI<СИВНО, траIiЗи'l'ИIШО и имеет место
Предложение 1. Если 10<1! и 10 nеnротиворечи
во, то 11 nепротиворечиво. О
Пусть иве...)  исчисление, полученное из ив удале
нием из алфавита символа -+ И удалением правил 7 и 8.
Пр е Д л о ж е н и е 2. ив'''') < ив.
Д о I\ а з а т е л ь с т в о. Пусть : F..... F  отображение,
определенное в ДОI\азательстве леммы 5.2. Продолжим а
на последовательности формул и сС'Квенции:
(Ф!, ..., Ф n »)== (аФ!, ., " Фn>,
 (r 1-- Ф) -=  (r) f--- а (Ф),  (r 1--) ==  (r)I--.
Тан нак  (Ф) == Ф для формулы Ф, не содержащей им
пликации, то достаточно показать, что если секвенция 8
доказуема в ив, то секвепция а (8) доказуема в ив(",).
Если D  ДОI\азательство секвенции 8 в ив в виде дepe
ва, то индукцией по высоте D будем строить Rвазивывод
D* секвенции а(8) в ив''''), Если D аI\сиома ив, то
очевидно, что D* == a(D) аRсиома ив("'). Пусть
п 1 ; ,..; п п
D== s .
Если последний переход в D осуществляется по правилам,
отличным от правил 7 и 8, то очевидно, что
п; ...; п
D*
 а. (8)
будет квазивыводом в иве...), у I\OTOporo последний пере
ход осуществляется по тому же правилу, что у D, Если
D 1 ; D 2
D== rf--Ф '
1'де D!, Da  доказательства в ив сеI\венций r 1-- Ч',
r 1-- Ч' ..... Ф соответственно, то в качестве D* берем сле
дующее дерево:
..,а. (Ф). а. (Ф), "'..,а. ('1') f--
.., а. ('1') f-- .., а. ('1'); .., а. (Ф), а. (Ф) f--- 1 а. ('1');
D;; a.(r), 1а.(Ф)f--- ,а.('1')
а. (П, 1 (Х. (Ф) f--
а. (1') f--- а. (Ф) .
D*
2

Е8
1'Л. 1, ИСЧИСЛЕНИЕ БЫСRА3ЫВАНИй
Если
D == Dl
r\-- Ч'-+фt
rде DI  доказательство в ИВ секвенции r, Ч' f--- Ф, то
в начестве D* берем слеДующее дерево;
.
Dl
а (r), а (чr) i'- "1 а ('l")vа(Ф); ,а (чr) j>. "1 а ('l")Va (Ф); i>- а ('l")V "1 а (чr)
а (1') f.- ,а ('l")Va (ф) О
Пусть ИВ(--"'V)  исчисление, полученное из ИВ удале
нием из алфавита символов , V и удалением пра
вил 48.
Предложение 3. ИВ(4,V) < ИВ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через F("') множе
ство формул ИВ, не содержащих' символа . Определим
отображение : F(-+)  F(-+) следующим образом:
а) если Ф не содержит символа У, то  (Ф) == Ф;
б) если Ф == (Ч'V Х), то  (Ф) == i( i (Р);\ i (Х));
в) если Ф==(Ч';\Х), Ф==iЧ'l то (Ф)==((Ч')Л
;\ (Х»,  (Ф) == "l  (11').
Продолжим  на последовательности формул и секвенции:
 «Ф 1 , . .., Ф П » == <ФI' ..., Фп>,
(rf---Ф)==(r)f---(Ф), (rf---)===(r)f---.
в силу а) определения  и предложения 2 достаточно по
назать, что если сенвенция 8 доказуема в исчислении
иВ<....), то  (8) доназуема в ИВ(;+,V).
Индунцией по высоте для любоrо доказательства D
секвенции 8 в ИВ(-+) В виде дерева будем строить квази
вывод D* секвенции  (8) в ИВ("" V). Если D  ансиома
ИВ<....), то очеВIIЦНО, что D* ==  (D)  ансиома ИВ(...,v).
Пусть
Do; . ..; Dn
D == .
, 8
Если последний переход в D осуществляется по правилам,
отличным 01' правил 46 ИВ, то очевидно, что
* *
Do; ...; Dn
D* ===  (8)
будет квазипыводом в ИВ(""V).

!i 9, НОНСЕРВАТIIВIIЫЕ РАСШIIРЕНИi1 ПСЧПСЛППТ:t1: 59
Пусть
D== D 1
l' r l)) V 'i'
П последниЙ переход в D осуществляется по правилу 4
* . ,
псчисления ИВ. Torдa Dl будет Rвазивыводом ceRBeH
ции  (п r  (Ф) II В Rачестве D* мошно взять следующее
дерево:
D; в(п, "lB (Ф)/\ "lB еР) f-- "lВ(Ф )
В т. ,В (Ф)/\ "lB (Ч') r
 (п r "l ("lB (Ф)Л ' (Ч'»)
.
Аналоrично рассматривается случай, Rоrда последниЙ
переход в D  применение правила 5.
Прежде чем рассмотреть случай применения правила
6, ДОI<ажем допустимость в ИВ(.....v) следующих правил:
) r. Ф f-- Ч' . б )  r, Ф r .
а r,I"lФrЧ" r,"lIФr"
) r.Фr ) r,Фf--Ч'
в rr "lФ; l' 1', "lPr "lФ'
Допустимость в ИВ(....'v) правил а} и б) будем ПОRазы
вать Qдновременной ИНДУl\цией по высоте доказательства
D в ИВ(.....v) сеRвенциЙ r, Ф r Ч! (r, Фrу. Если D  ах-
сиома Х r Х, то lшазивыводом в ИВ(....'v) сеlшенции
"l "l Х t---- х будет следующее дерево:
,X "lX; "l"lXf-- "l"lX
"l "lX, "lX r
I"lXrX .
Если D не является аI\СIIО.моЙ, то ДОI<азуемость сеlшеНЦIIИ
r, "l "l Ф t---- 11' (сеRвенции r, "l I Ф t----) сразу следует из
ИНДУRционноrо предположения. Пусть секвенция r, Фr
доказуема в иВ(....'v). Тоrда по правилу б) получаем до-
I{азуемость r, "l "l Ф t---- и по правилу 9 получаем ДОI<азуе-
мость в ИВ(....' V) секвенцИИ r t---- I Ф. ПОRашем теперь
допустимость в иВ(....' V) правила r). Из ДОRазуемой в
иВ(.....v) секвенции r, Ф r чr и аRСИОМЫ 1 Ч' t---- "lЧ' с по-
мощью правил 1012 получаем сеRвенцию rf. "lЧ',Ф t----.
Из ДОПУСТИМОСТИ в ИВ(.....v) правила в) получаем ДОКа-
зуемость в иВ\.....у) сеКВеНцИИ rJ ,IЧ' t---- ,IФ.

60
Пусть теперь
I'Л. 1. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЗЫВАППll.
D 1 ; D 2 ; D:J
D == l' 1---- '1'
 доказательство в :ИВ(-+-), последний переход в KOTopOI
осуществляется по правилу 6. По ИНДУIЩИОННОIУ предпо
* * *
ложению существуют кваЗIIВЫВО,J;Ы D 1 , D 2 И D3 В ИСЧIIС
лении ив(-+,V) секвенций (П, (Ф)(Ч!); (П,
(Х)(Ч') И (rH'" "'l(--,(ф)л l(X» соответственно.
в силу допустимости в иВ(.....v) правила r) следующее
дерево будет l\ваЗИВЫВОДО:\1 в ив(' v секвенции  (r) r.
r-(Ч'):
D* п*
1 2
В (r), --'В ('1') 1-- --,(3 (Ф) В (1'),113 ('!I) 1-- ' (Х)
*
 (1'), ' ('1') 1-- ' (Ф)Л ' (Х); о з
 (1'), ' (\fI) 1--
1:\ (1) r-- fj ('!") . О
До этоrо мы рассматривали расширения языков исчислений
ЛИШЬ путем расширения алфавитов, Рассмотрим теперь расuш-
рение LG языка исчисления ИВ('V , у KOToporo алфавит и фор-
МУЛЫ те же aMыe, что у ив (. V), а секвенции оuределпются ТiШ:
еели r и е  поелеДО'вательноети формул исчисления ив(' V), то
r  е является секвенциеЙ язьша LG,
Определим теперь исчисление G o язьша LG, АкеПОlаJ\1И G o
будут секвенции вида Р, r  е. Р, rAe р  атомарная фОРIула,
а r, е  последовательности атомарнах фuр}!ул. ПраВI!ла!И выво-
да исчисления G o будут следующпе:
r r е, Ф; r r е, '1'
1) fI--8,ФЛ'У
Ф. '1', r r 8
2) Ф Л 'l' I f 1-- 8 '
Ф, rr 8
3) r r е, IФ '
If1----8, Ф
4) IФ, r r е'
r r д, Ф, Ч', 8
5)
l' 1-- д, 'V', Ф, (у'
[, Ф, 0/, д 1-- 8
6) l' 'f1' Ф с. L... (:j'
, , , I
r r 8, Ф, Ф
7)
1'1---- е, Ф
Ф, Ф, r r в
8) }1>, l' r-- t)
rде Ф, чr  пере:',rенные для формул G o , а [, 8, д  перемепные
для последоватеш,ностеii фор!ул G(),
В оставшейся части параrрафа формулами и секвенциями,
если не oroBopeHo противное, мы называем ФОРМУЛЫ и секвенции
исчпсления G o .
Л е 11 м а 1. Пусть секвенция r  е докаауема 8 G o , а после..
довательности [ l и 81 содержат среди CBOllX членов все члены
последоватеЛЬ/luстей r и 8 соответственно. Тоеда секвенция
rl  81 допаауе.!Еа в G o . '

 9, RонсЕрвАтивныЕ РАСШИРЕНИИ ИСЧIIСЛЕНИЙ 61
Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукцией по длине Ф покажем, что
для любых последовательностей формул r, 8 из доказуемости в
G o секвенцаи r 1---- в следует доказуемость в G o секвенций Ф. r r- 8
и r 1---- в, Ф. Утверждение леммы отсюда получим, используя пра
вила 5)8).
Если Ф  атомарная формула. а D  доказательство в G o сес;-
венции r 1---- в. то очевидно, что, заменив в D каждую секвеПЦIIЮ
r' 1---- в' на r', ф 1---- в' (на r'l---- Ф, в'). получим доказательство в
G o секвенции r, Ф 1---- в (секвенции r 1---- Ф, 8). Применяя праВИ.1а
5), 6), получим доказуемость секвенций Ф. r 1---- 8 и r 1---- е, ф,
Пусть Ф == '1' 1\ х и секвенции Х, r 1---- в; r 1---- в, чr; r 1---- 8, Х
доказуемы в G o , ИЗ индукционноrо предположения получаем ДОhа
зуемость '1', Х, r 1---- 8, а с помощью правила 1) получаем доказуе-
II!ОСТЬ r 1---- е, Ф. с помощью правила 2) получаем также Ф, r r- 8.
Если Ф == I '1' и секвенции чr, r 1---- в; r 1---- в. 'f доназуеI\iЫ в
G o , то доказуемость в G o сенвенций Ф, r 1---- 8 и r 1---- 8, Ф полу-
чаем с помощью правил 3) и 4). О .
Л е м м а 2. а) Если в G o докаауема секвеltция r 1---- 8. ФА If,
то докаауе,иы также секвенции r 1---- в, Ф и r 1---- в, чr.
б) Если в G o докаауелrа секвенция ФА, r 1---- 8. то доказуе-
ма также секвенция Ф, чr, r 1---- в.
в) Если в G o iJOKaaye.lta секвеltция r 1---- е, I Ф, то 80nаа//елrа
также секвеНЦI1Я Ф, r 1---- в.
r) ЕСди в G o докаауема сеnвенция I Ф, r 1---- е, то Oonaaye.lra
также секвенция r 1---- в, Ф.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Донажем утверждение б). Доказателr,
ства остальных утверждений про водятся аналоrцчно. и мы их
оставляем читателю в качестве упражнения.
Переход в доказательстве D будем называть существвltны.!r,
если он осуществляется по правилаJ\1, отличным от правил пере-
становки 5), 6). Если D  доказательство в G o в виде дерева, то
через D* обозначим дерево, ПОЛУ,ченное из D удалением всех сен-
венциЙ, расположенных ниже секвенции, ЯВЛЯЮlЩейся заклroче
ниеJ\! при последнем существенном переходе в D.
ИНДУlщиеЙ по  числу существенных пере ходов в дереве D
будем доIшзыатьь следующее утверждение: если D  доказатель
ство в G o сеlшенции r l' ФА '1', r 2 f-- в, то существует доказа
тельство DI секвенции rr, Ф, чF, f 2 1---- 8, причем число существен-
ных переходов в Dr меньше числа существенных переходов в D.
Пусть D* имеет следующий вид:
D'
Ф, Ч', f' f-- 8'
А '1', [' f-- в' .
Тоrда в начестве требуемоrо Dl можно взять некоторое дерево DI.
для KOToporo
( D' ) *
D == Ф. '1', r' r-- 8' .
Пусть D* имеет следуюllЦИЙ вид:
D'
ФА '1'. ФА If, 1" + 8'
Фд 'l'. r' r-- e

62
rЛ, 1. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЗЫВАНИЙ
ОбознаЧllМ через по число существенных переходов в D. По ин
ДУIЩIIОIllIOМУ предположению существует ДОl,азательство D 2 Cel{-
J!СНЦИИ Ф, '1', ФА '1', [' t-- 8' с числом сущестнеПIlЫХ перехо
дов < по  1. Опять по индуКЦИОННОМУ предположению сущест-
вует доназательство D3 секвенции Ф, '1', Ф, '1', r' 1--- 8' с числом
существенных переходов < по  2. Тоrда в качестве D, можно
взять такое доказательство секвенции r 1 , Ф, '1', r 2 1--- е, что
*
D 1 есть
D3
Ф, Ф, '1', '1', [' t-- 8'
Ф, '1', '1', [' t-- 8'
'1', Ф, '1', r' t-- е'
'1', '1', Ф, 1" r 8'
ЧF, Ф, 1" t-- 8'
Ясно, что число существенных переходов в D, меньше
по  2 + 2  по,
Пусть D* имеет следующий вид:
D' D"
T, ФА чr, r t-- 8', Х 1 r, ФА '1', J' t-- 8', Х 2
T, ФА '1', r t-- 8', Х 1 АХ 2
По индукционному предположению существуют
п ' D " u' Ш r ' о, r '
1 И 1секвеНЦIIиrl'Ф'" 2t--'О,Х 1 и 1'Ф,
соответственно и число существенных переходов в
числа существенных переходов в деревьях
D'
r, ФА '1', r t-- 8', Х 1 '
доказательства
'1', r t-- 8', Х 2
, "
Dl' D 1 меньше
D"
T, ФА чr, [t-- 8', Х 2
соответственно. Тоrда в качестве требуемоrо D, берем такое дока-
зательство секвенции rl, Ф, '1', r21--- е, для I{OTOpOro
D'. D"
* l' 1
D 1 == " .
Т1' Ф, '1', r 2 t-- 8', Х 1 АХ 2
Оставшиеся виды последнеrо существенноrо перехода в D pac
сматриваютси аналоrично. О
Л е м ма 3. Если сеl>6еnции [1--- е, ФиФ, r' 1--- 8' BOl>aaye;,tbI
в G o , то сеl>6еnция r, [' 1--- е, 8' BOl>aayeMa в G o .
Д о 1\ а з а т е л ь с т в о. Существенным переходом в доказатель-
стве D в виде дерева называется переход по правилам, отличным
от правил перестановки 5) и 6).
Пусть Ф  атомарная формула. Будем доказывать лемму в
этом случае индукцией по числу существенных переходов в дока-
зательстве D секвенции r 1--- 8, Ф. Если D не имеет существенных
переходов, то rl--- 8, Ф отличается от аксиом только перестановкой
формул. Тоrда либо Ф Е r, либо '1' Е Т, '1' Е 8 для некоторой
аТО1аРНОЙ '1', В первом случае доказуемость r, r' 1--- 8, 8' следует

!! 9, RОНСЕРВАТИВНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ИСЧИСЛЕНИЙ 63
пз доказуемости Ф, r' 1--- 8 и леымы 1. Во втором случае доказуе-
!OCTЬ r, r' 1--- 8, 8' следует из аКСИОl\ciы чr 1--- чr с помощью леl
МЫ 1. Пусть доказательство D секвенции r 1--- 8, Ф иыеет п > О
сущеС'fвенных переходов. Пусть последний существенный переход
в D является прииенением правила 1):
r 1 1--- 81' Ф, 82' Ч'; r 1 1--- 81' Ф, 82' Х
r 1 1--- 81' Ф, 82' Ч'ЛХ
rде последовательности rl и <81' Ф, 82' Ч'ЛХ> являются
перестановками последовательностей r и <8, ф). Из индукцион
Horo предположения, используя правила перестановки, получаем
доказуемость секвенций r, r'l--- 81, 82, 8', чr и r, r' 1--- 81, 82, 8'. Х.
Применяя правило 1) и правила перестановки, получаем докаЗу,е
мость секвенции r, 1" 1--- 8, 8'. Случаи применения друrих праВЮI
в последнем существенном переходе для атомарной Ф рассыатри-
ваются аналоrично.
Продолжим доказательство леммы, применяя индукции по дли
не формулы ф, Пусть rl--- 8, ФиФ, r' 1--- 8' доказуемы в G o .
Если Ф == Ч' !\ х, то по лемме 2 доказуемы секвенции
r 1--- 8, чr; r 1--- 8. Х и чr. Х. r'l--- 8'. Из индукционноrо преДПОЛО
жения получаем сначала доказуемость секвенций r, Х, r'l--- 8, 8',
а затем секвенции r, r, r'l--- 8. 8, 8'. Доказуемость секвенции
1', r' 1--- 8, 8' получаем теперь с помощью структурных правил
5) 8).
Если Ф ==IЧ', то по лемме 2 доказуемы секвенции Ч', r 1--- 8
и r'l--- 8', Ч'. По индукционному предположению ПОЛУ,чаем ДOKa
зуемость r'. r 1--- 8', 8, а значит, и r. r' 1--- 8, 8'. О
Если 8  последовательность Фl, ..., Фn формул исчислении
G o , то через будеи обозначать последовательность '1 Ф1' ...
..., IФ n .
Л е м м а 4. Если секвенция r 1--- 8 доказуема в G a , 1'0 ceK8eH
ция 18, r 1--- доказуема 8 ИВ.
Д О К а 3 а т е л ь с т в о проводим индукцией по высоте дока-
зательства D секвенции r 1--- 8 в Са, Предлаrаем читателю приме
нить свой оПыт по доказательствам в исчислении ИВ, полученный
при чтении предыдущиХ параrрафов. О
Предложение 4. ИВ(-->'V) <G o '
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в G o доказуема секвенция r 1--- 8,
rде 8 содержит не более одноrо члена, то из леммы 4 и предЛо
жения 3 следует доказуемость r 1--- 8 в ИВ(-->'V).
Рассмотрим секвенцию 8, доказуемую в ИВ(' V). Индукцией
по высоте доказательства D секвенции 8 в ИВ(' V) покажем
доказуемость 8 в G o , '
Пусть D  аксиома Ф 1--- Ф исчисления ИВ(--> , V). Если Ф  ато-
марная формула, то Ф 1--- Ф  аксиома СО, Если Ф == Ч' Л Х и
'Jf 1--- Ч', Х 1--- Х доказуемы в G o . то по лемые 1 и правилам 1), 2)
получаем ДОl\азуемость Ф 1--- Ф в G o . ЕСJ1И Ф == I Ч' и чr 1--- чr дока-
зуема в G, то по правилам 3), 4) и 6) получаем доказуемость в G o
секвенции Ф 1--- Ф.
Пусть высота D равна п> О и дЛЯ всех секвенций 8', имею,..
щих доказательство в ИВ(--',V) с высотой < п, доказуемость 8' в

64
1'Л, 1, ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСRАЗЫВАНIIй
G o установлена. Если последний переход в D осуществляется по
правилам 1 или 11 исчисления ИВ, то доказуемость S в G o сле-
дует из ИНДУJЩИОННОI'О предположения с помощью правил 1) и 6)
исчисления G o ,
Если D lшест один пз следующпх видов:
D'
l' r ф 1\ '
п..-Ф
П'
1 r 'I\ Ч'
r r- 'i'
П'
1,-lCj)f----
l' f---- Ф
то доказуемость S в G o следует пз пндукционноrо предположения
и леммы 2,
Если последний переход в .D осуществляется по правилу
12 ИВ. то ДОRаЗУС10еть S в G o следует из ИНДУКЦИОННоrо предпо-
.тIожения и JleMMb! 1.
Рассмотрим последний из ВОЗМОЖНЫХ случаев, коrДа D
имеет вид
D' D"
r r- Ф; l' r "lФ
rl--
Из индукционноrо предположения и леммы 2 следует доказуемость
в G o секвенций r 1---- ФиФ, r 1----. Применяя лемму 3 и правила 6),
8), получаем доказуемость в G o секвенции r 1----. о
Исчисление G o является частью исчисления G, предложенноrо
rенценом. Исчисления rенценовскоrо типа по сравнению с изу-
ченными нами исчислениями являются более удобными при ана'
лизе и поиске формальных доказательств. Это объясняется OCHOB
ной особенностыо этих ИСЧИСJlепий, которая. rрубо rоворя, состоит
в том, что сложность формул при примепении правил может только
возрастать. Исчисление G будет подробuо изучаться в rлаве 6.
Здесь мы лишь применим отмеченное выше свойство исчисления
G o для получения непротиворечивости ИВ, не прибеrая к понятию
интерпретации ИСЧИСJlения. В самом деле, рассмотрим секвенцию
1---- Qo. Индунцией по высоте леrко заметить, что если D  доказа-
тельство секвенции S в исчислении G o и существует вхождение
формулы в D, содержащее лоrичееку,Ю евязку 1\ или " то Эта
лоrическая связка обязана входить в S. Поэтому, если секвен-
ция 1---- Qo доназуема в G o , то она может быть получена из аксиомы
с помощью только правил 5) 8), что очевидным образом невоз
можно. Следовательно, исчисление G o непротиворечиво. Применяя
предложения 1, 3, 4, получаем непротиворечивость ИВ.
Упражнения
1. Поr;азать, что
IIБ(-+) удалением из
правил.
2. Используя теорему, полноты ДЛJf ИВ, ПОRазать, что
ИВ('V'''') < ИВ, rде ИВ(-->'V'''') получается из иВ1....'v) Уl1;але-
нием из алфавита СИlвола 'l и соотВетстВУЮЩИХ правил.
иВ(....л) < ИВ, rде ИВ(.....'i\) получено из
аJlфаВllта символа Л и соответствующих

65
rлава 2
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
 10. Предикаты и отображения
Все изучаемые в этой книrе объекты являются мно.
жествами, хотя называются они поразному: слова, сим.
волы, совокупности, числа, фУНКЦИИ, формулы и др. ,
С интуитивной точки зрения, :конечно, не в<:е матема.
тичеСl\ие объекты суть множества, например, трудно ду.
:мать о скобке и пропозициональной переменной как о
множествах. Однако посредством ПОДХОДЯЩИХСО1'лашений
(кодирования) их можно отождествить с множествами.
В частности, скобку можно отождествить с множеством
{{.0'}}. Этот метод является плодотворным, и в этой квиrе
принимается такое соrлашение *). в Rачестве аксиомы
. теории множеств мы принимаем апсиому впстенсиональ.
ности, которая утверждает, что два множества, имеющих
одинаковые элементы, paBHЫ, друrими словами, ,любое
множество определяется своими элементами.
Если al, .,., а n  все элементы множества А, то в си.
лу аксиомы экстенсиональности множество А можно обо.
значать через {al, ..., а n }. При этом не предполаrается,
что al, .. " а n попарно различны. Ясно, что одно и то же
множество А может иметь MHoro таких обозначений, на.
пример,
{а, Ь, а}  {а, Ь, ь}  {а, ь}  {Ь, а}.
Множества .0', {.0'}, {.0', {.0'}} и т. д. (каждое последующее
состоит из всех предыдущих) называются натуральными
числами и обозначаются соответственно через О, 1, 2
и т. д. Множество всех натуральных. чисел обозначаем
через ц). Слова 12'" n И конечные последовательно<:ти
*) Для некоторых объектов, е интуитивной точки зрения не
являющихся множествами, мы фиксируем их кодировку через MHO
жества (например, для натуральных чисел), для друrих ыы коди
ровку не уточняем, так как в наших рассуждениях она не участ-
вует  важно лишь выделение этих объектов среди друrих мно-
жеств, встречающихся в книrе.
5 ю. Л, Ершов, Е. А. папютЩI

66
rл, 2. ТЕОI'IПI МНОЖЕСТВ
СХ\, CXz, . . ., СХ" будут отождествляться с упорядочеННЫlft Ha
бором (сх\, ..., сх,,> элементов СХl, ..., СХ n , который сейчас
определим индукцией по n.
Оп р е Д е л е н и е. 'Упорядоченный набор () пустоrо
множества элементов равен 125. 'Упорядоченный набор (а>
одноrо элемента а равен а. }Тпорядоченный набор (а, Ь>
двух ,шеlllентов а и Ь называется упорядоченноЙ пароЙ п
равен {{а} {а, Ь}}. Если п > 2, то упорядоченный набор
(аl, . . ., а n > элементов аl' . . ., а ,. равен упорядоченной па
ре «аl, . . ., an1>' а n >.
Упорядоченный набор (аl, . . ., а n > ИНОI'да будем назы
вать 'Кортежем, а число n  длиной Iюртежа <аl' ..., а,),
при этом длина пусто1'О корт'ежа < > равна нулю. Кортеж
длины n> 2 будем называть упорядочеlU-ЮU n1тй шш
просто nкой (тройкой, четверкой и т. д.)'. Отождествде
нпе слов и последовательностей с упорядоченньши набо
рами возможно в силу следующеrо предложения.
Пр е дл о ж е н и е 1. Если <al, ..., а,,) === <Ь 1 , .. " Ь,,>,
то аl === Ь 1 , . . ., а ,. === Ь N .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определеиия УПОрЯ;:I,О'Iеиноrо
набора следует, что достаточно доказать преДЛОiI-\ение ДJIЯ
n === 2. Из условия <а\, az> === <Ь\, b z > и определения упоря
доченной пары имеем {а) Е (Ь 1 , Ь 2 >. Так как <b j , b z >===
=== {{Ь 1 }, {Ь 1 , b z }}, то {aj} === {Ь 1 } или {a j } === {Ь\, Ь 2 }, поэтому
Ь ! Е {aj}, т. е. Ь ! --;- aj. Леrко заметить, что если {х, у} ===
=== {х, z}, то у === z. Torдa из установленноrо равенства
({а), {aj, а2}} == {{aj}, {aj, b z }} получаем сначала {a j , az} ===
=== {а\, Ь 2 }, а затем az == b z . о
Определение. а) Множество {(ай, ..., anllao E
Е А о, ..., а n Е А,.) называется декартовым nроuаведеllиеlf
мноя,еств Ао, ..., Аn и обозначается через Ао Х... Х Аn.
Если Х s;; Ао Х. . . Х Аn, то множество всех а Е AI' дЛЯ ко-
торых существуют тю,ие ао, ..., all, al+l, ..., а n , что
<ао, . . ., aij, а, al+j, . . ., а n > Е Х, назьшается проекцией Х
Il обозначается через п7Х.
б) Если А 1 ==...==А n ==А, то AjX...XA n называет-
ся декартовой nстепенью множества А и обозначается
через А ". Если n == О, то по определениlO полаrаем
А 0=== {125}.
в) ПОДl\Iнощества В s А" будут называться п-lftеСТllЬМtlt
ОТllошеНUЯМll или преди.".ата.ни на А. Будем rоворить, что
В  n-местное отношение или предикат, если В явля
ется n-местным отношением на А для HeKoToporo мно-
жества А.

!i 10, ПРЕДIШАТЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ
87
т) Еслп В  двухместное отношение, то двухместное
отношсние {<а, Ь> I <Ь, а> Е В} будем называть обратным
l{ В и обозначать через BI.
д) Если в, С  два двухместных отношения, то ДBYX
местное отношение
{<а, с> I <а, Ь> Е В и <Ь, с> Е С для HeRoToporo Ы
будем называть пОJ.lпозuцией или проивведением ДBYXMeCT
ных отпошенпй В, С и обозначать через (ВС) или В . С.
Так как <а> == а, то А 1 == А, поэтому подмножества А
будут одноместными предшtатами на А.
Заметим, что OMeCTHЫX предикатов ТОЛЬRО два: !2f и
{!2f}. Из определения B1 сразу следует равенство В ==
== (BI)I.
Пр е Д л о ж е н и е 2. Если В, С и D  двухместпые
предипаты, то
а) ((BC)D)==(B(CD»,
б) (BC)I....(CIBI).
ДОRазательство а). Пусть <х, у>Е((вс)п). Tor-
да для неRОТОрых Z и v имеем <х, и> Е В, <и, v> Е С и
<V, у> Е D. Таким образом, <и, у> Е (CD) и <х, у> Е
E(B(CD». ВRлючение (B(CD»s;,((BC)D) доказывается
аналоrично. Доказательство. б) оставляется читателю. О
Ассоциативность композиции, доказанная в Rредложе
нии 2, позволяет обозначать композицию ((BC)D) ==
== (В (CD» через (BCD). По этой же причине однозначно
определена композиция п предикатов (В 1 ... Вn). OTMe
ТИМ, что коммутативность (ЕС) == (СВ) дЛЯ произведеНIIЯ
преДIшатов не имеет места (приведите пример) .
О п р е Д е л е н и е. Двухместное отношение И на MHO
жестве А называется
а) диаZОllалыо А z Il обозначается через id A , если И ==
=={<а, a>laEA};
б) рефле.".сивным на А, если id A s;;; И;
в) сим.метричпЫ.1tt, если и.... ИI;
1') трапзитивным, если (ИИ)>;; И;
д) э.".вивалептпостью на А, еслИ И рефлексивно, сим
метрично И транзитивно;
е) аптисш,tметричпым, если И Л ИI '"" id A .
Например, предикат
{<т, п>lm и n  взаимно простые натуральные числа}
является симметричным, но не рефлексивным: и не транзИ'
тинным на ((), а предикат {(m l п> I {п  тl> О, п, т Е(,,)}
Ь.

68
rл. 2. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
является транзитивным на cu, по не симметричным и не
рефлеRСИВJIЫМ на cu.
Если и  nMeCTHoe отношение на А и В  А, то OT
ношение и n вn на множестве В будем называть ozpanu
чепиеJft отnошеnия и па мпожество В. Очевидно, что orpa
ничения отношений типов а)  е) из предыдущеrо опре
делении на любое В  А будут также отношениями COOT
ветствующих типов а)  е) .
При мер 1. rоворим, что R=={AiliEJ} является раз
биением множества А, если U А ! === А и для любых
iEI
i, j Е 1 либо А, === A J , либо А i n А! === 12f. Пусть R ==
== {A,li Е [}  разбиение множества А. Онределим следую
щее двухместное отношепие на А:
ER=={<a, b>la, ЬЕА, для неноторото iE[}.
Очевидно, что E R будет ЭRвивалентностью на А.
Если Е  ЭRвивалентность на множестве А, то мно-
жества Ех == {а! <а, х> Е Е} дЛЯ х Е А будем называть
пдассаиll эпвива.ttеnТ1l0СТU по отношению Е.
Лerко ПОRазать, что любую энвивалентпость на MHO
жестве А можно получить способом, указанным в при
мере 1. В самом деле, нусть Е  эквивалентность на А и
R E == {Exlx Е А}. Из рефлеКСИВНОСТll Е получаем х Е Ех,
следовательно, U Ех == А. Из симметричности II транзи-
ХЕА
тивпости Е следует, что если <х, у> Е Е, то Ех == Еу, а ec
ли <х, у) Ф Е, то Ех n Е у == 12f. ТаюIМ образом, множество
R E Iшассов эквивалентности но Е является разбиением А
и E RE == Е.
ОП р е Д е д е н и е. а) Двухместное отношение f назы
вается отображепием ИJIИ фуппцией, если для любых а,
Ь, С из <а, Ь> Е f и <а, с) Е f следует Ь == с. Если f  OTO
браженпе, то множоство ;си называется об.ttастью onpe
8e.ttеuuл f и обозначается dom f, а множество лf назы
вается об.ttастыо вnачеnий f и обозначается rang f.
6) Отображение f называется разnозпаЧlf.,Ы,l,t, если f1
также является отображением.
в) Отображение f называется отображением А в В.
если domf==A и rangfB.
r) Отображение f называется отображением А па в;
если dom f == А и rang f == В.
д) Отображение f множества А n в А называется
nJftестlf.,ОЙ операцией на А.

11 10. ПРЕДИRАТЫ И ОТОВРАЖЕНИЯ
60
Очевидно, что диаrональ id"i, множества А 2 будет раз
позпачной одпоместной операцией на А. Диаrональ id A
ыпощества А 2 в дальнейшем будем называть также тож
дественной операцией на А. ,
Запись f: А....... В будет в дальнейшем обозначать, что
f  отображение А в В, а запись f: А"'* В будет обо
зпачать, что f' отображение А на В.
Предложение 3. а) Еслиf: A.......Bug: В.......с,ТО
(Jg): А ....... С.
б) Если f: А"'* В и g: В"'* С, то (fg): А"'* С.
в) Если f  разн,ОЗllачное отображе7iuе А на В, ТО
f1  раЗllозн,ачн,ое отображе7iuе В llа А, f' f1 == id A и
f1 . f == id B .
r) Если f и g  разнозначные отображен,ия, то f. g
таr.же раЗllозн,ачн,о и (fg) I == (glfI).
Доказа тельство этоrо предложения оставляется чита
толю в качестве упражнения. О
Если f  отображение и <а, Ь> Е f, то Ь называется
Зllа'lеlluе.t f н,а элемеllте а и обозначается через На):
пли ja.
Если f  отображение и А  dom f, то множество
{fala Е А} называется образом мложества А при отобра
жепиu f и обозначается через f[A], а отображение f n (А х
Х rang 1) называется оzраllичеllием f llа А и обозначает
сн через f t А.
Ясно, что пместная операция являtJтся (п + 1) MeCT
пым отношением, а О-местная операция f: А о ....... А есть
{<.0', а>} для neKOToporo а Е А. Часто О-местную операцию
{(.0', а>} на А будем называть КОIlстаnтой на А и отож
дествлять с элемеНТОI а.
Если f  пместная операция на А, то условие <al' . . .
. .., а n , Ь> Е f будем записывать так: f(al' ..., а n ) == Ь.
ДЛЯ п == О это будет f( ) == Ь, т. е. f == ь, что соrласуется
с приняты м нами отождествлением константы с ее значе
нием.
Если f  пlIIестная операция на А и В  А, ТО MHO
;-кество В называется заJrlЮiУТЫМ ОТllОСительн,о операции f,
если из al, . . ., а n Е В следует f (al' . . ., a n ) ЕВ.
Упражнения
1. Пусть и  транзитивное двухместное отношение на MHO
жестве А, (а, а> Ф и для любоrо а и ДЛЯ любоrо а Е А сущест
вует тю\Ое Ь, что <а, Ь) Е U. Показать, что А бесконечно.

70
rЛ, 2. ТЕОРИЯ мнОЖЕСТВ
2. Доказать предложение 3.
3. Если /: А  В, с: В"* А и (с!) == id B , ТО / равнозначно
и g cz tl.
, 11. Частично упорядоченные множества
Среди различных типов отношений некоторые имеют
фундаментальное зпачение не только для математической
лоrики, но и для всей математики. В предыдущем пара
1'рафе мы уже рассматривали одно из таЮIХ отношений 
эквивалентность. Определим еще два очень важных типа
отношений.
ОП р е Д е л е н и е. а) Отношение U на множестве А
называется часrиЧllЬМ(. nорядпом llа А, если оно рефлек
сивно, транзитивно и антисимметрично.
б)' Частичный порядок U на А называется лиllеЙllЫ.t
порядпом llа А, если для любых а, Ь Е А выполняется
хотя бы одно из следуюЩИХ двух условий: <а, Ь> Е и,
<Ь, а} е и.
Очевидно, что оrранич:ение частичноrо (линейноrо)
порядка на А на любое подмножество В s;;;; А будет час
тичным (линейным) порядком на В.
Важным примером частичноrо порядка на множестве
А является отношение {<а, Ь> I а, ь Е А, а s;;;; Ь}, а приме
ром линейноrо ПОрЯДI{а  отношение {<а, Ь> I а, ь Е Х,
а  Ы, !'Де Х  некоторое подмножество деЙствительных
чпсел.
Оп р е Д е л е н и е. а) Если U  частичный порядок на
А" то пару fl! ==: <А, и> назовем частиЧllО упорядочеllllЫМ
;,tllожество;,(. (сокращенно ч. у. м.).
б) Если U  линейный порядон на А, то пару  ==
.... <А, и> назове,м ЛUllейllО упорядочеllllЫМ :мпожествод
Пусть  === <А, и)  частичпо упорядоченное множе
ство. Элемент ао Е А называется веРХllей (llИЖllей) ераllЫО
в  подмножества Ао k; А, если <Ь, ао> Е U «ао, Ь> Е И)
дЛЯ всех Ь Е Ао. Верхняя (нижняя) в  rpань А называ
ется н.аибольшим (1lаu.ме1lьши.м) в  элементом. Элемепт
а Е А называется :маr.сu.'.tальн.ым (;,щпu.',илыl.м)) в !,
если из <а, Х> Е U (соответственно из <Х, а> Е И) следует
Х ==: а. Ясно, что наибольший (наименьший) элемент яв
ляется максимальным (минимальным), и если U  линеii
вый порядок, то максимальный (минимальный)' в  эле-
мент является также наибольшим (наименьшим)' в .
Очевидно, что если наибольший (наименьший) в fl! эле

 11, ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ :tIШОЖЕСТВА 71
мент существует, то все Ма!,сn:мальные (минюrальные)
элеиенты равны между собоЙ.
Если В  множество верхних rраней в  == <А, и>
множества А 1 s А, то наименьший в <В, U n В2> ЭЛe:llент
называется паИ.мепьшей верхпей ерапью (СОltращеПIIО
н. в. r.) в  множества А 1 и обозначается через sup (А 1 , 'д).
Заменив в предыдущем определении слова «верхних» и
<<наименьший» соответственно на слова <<нижних>} и <<наи
больший», получим определение паuбольшей пuжпей epa
lЩ (СОI\ращенно н. н. r,) А 1 в , :которую будем обозна
чать через iпf(А 1 , ). Ясно, ЧТО sup(A 1 , ) И iпf(А" Qf)
определяются по А 1 и  однозначно, если они сущест
вуют.
Оп р е Д е л е н и е. Частично упорядоченное мнон,ество
 == <А, и> называется решеткой, если для любых а, Ь Е
Е А- в  существуют sup ({а, Ь}, ) и inf( {а, Ы, O, кот 0- .
рые будут обозначаться через а U ! Ь и а n ш Ь. Решетка
'Х == <А, и> называется дистрибутивной, если для любых
а, Ь, с Е А операции U'! и n  удовлетворяют слеДУЮЩШI
условиям:
D) aU'!(bn'!c)==(aUb)n(aU'!c);
D') an'!(bu'!c)==(aп(b)U'!(anc).
РешеТI<а 'Х == <А, и> называется булевой решеткоЙ, если
'Х дистриБУТIlвна, Шlеет наибольшпй алемент 1 '!, наIIмень
ший зломент OQ{ и для любоrо а Е А сущсству
ет такоП ЭJIомент а Е А, что aU a == 1 и а n  а == O.
Эдемент а, удовлеТВОРЯЮЩИII в решеТIШ  с напБОЛЬШШI
элемептом 1'! и наименьшим алементом О'! указанным
условиям, называется дополнение.м, эле.tепта а в .
Пр е Д л о ж е ни е 1. а) Если дополпепие а ЭЛf.tепта
а в дистрибутивпоЙ решетке 'Х с паибольшим и пatl.tteHb
ШИ.М эле.мептаJJttt существует, то O1l0 едипствеппо.
б) Если 'Х == <А, и>  булева решетка, то для любых а,
Ь, с Е А операции U S., n '! и , определеппые выше, yдoв
летворяют следующим условиям (д'/!я простоты ипдеnс 'Х
у U V! и п ')( опущен):
1) а U Ь == Ь U а,
2) а n Ь == Ь Па,
3) aU(blJc)==(aUb)Uc,
4) аП(ЬПс)==(аПЬ)ПС J
5) (а П Ь) U Ь == Ь,
6) (а U Ь 2 n Ь == Ь,

72
rл, 2. TMPHfI ]ПЮЖЕСТВ
7) an(bucY==(anb)U(anC), 9) (anii)Ub==b,
8) aU(bnc)==(aUb)n(aUc), 10} (aUii)nb....b.
в) Если на множестве А аадапы три операции U, n
и , удовлетвОРЛlOщuе длл любых а, Ь, е Е А уеловuлм
1)10) утверждепuл б) (еде U(a, Ь), n(a, Ь) и (a) nи-
ш.утсл 1'>а1'> а U Ь, а n Ь и а), то пара  == (А, и> алл U ==:i
== {(а, .b>la n ь == а} лвллетел булевой решет1'>ОЙ, причем
aU b==sup({a, Ы, ), anb==inf({a, Ы, ), aUa == 1'!j
а n а == O.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. а) Для простоты будем ОПУСI{ать
индеRС  у U!/{  п!/{  1'! и О'!. Если а U аl == 1 и а n а2 ==
== О, то
аl == аl U 0== аl U (а n а2)== (аl U a)n (аl U а2) ==а
== 1 n (аl U а2)== аl U а 2 .
Аналоrично И3 а n аl == О и а Ua2 == 1 получаем а2 == а2 U al,
следовательно, аl == а2.
б) Свойства 1) и 2) очевидны. Тан как а Па == O n
а U а == 1, то вьiполняются 9) и 10). TaR как  дистрп-
бутивпа, то выполняются 7)' и 8). в Дальнейшем усло
вие (а, Ь) Е U будем обозначать через а  Ь. И3 опре
деления операций u!/{ и п!/{ получаем, что для любых d,
m l , т 2 Е А '
(1) a 11ilnm2(dml и aт2),
(2} тl U та  d  (тl  d и т2  d),
(3)' ml, т 2  тl U т 2 ,
(4) т l О т2  ml, т 2 .
Пользуясь этими фактами, леrко установить свойства
3)6). Проверим, например, свойство 6), оставляя про
верку 3)5) читателю. Из (4) получаем (aU b)n Ь  Ь,
а из (3) и (1) получаем Ь :;:;(а U b)n Ь, следовательно,
И3 антисимметричпости U получаем 6).
в) Из условий 5), 6), 1) и 2) получаем
а n Ь == а  а U Ь == Ь. ( * '5
ПОRажем сначала, что U == {(а, Ь) I а n Ь == а}  частичный
порядок. Подставив в 7) вме,сто Ь элемент а, а вместо е 
элемент ii и воспользовавшись условиями 2), 1), 6)' и 9),
получаем а == а n а, следовательно, U рефлексивно. Пусть
anb==a и bnc==b. И3 (*),7),5), 1} и 2): получаем
.f) С == а n ( Ь .u е>. == (а 11 ь>. U (а n с>. == а U (а n с 1 := а,

 11, ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОJfШСТВА 73
следовательно, U транзитивпо. Пусть а n ь === а и Ь n а === Ь,
Torдa из 2) получаем а === Ь, т. е. U антисимметрично. Для
вавершения доказательства нужно показать, что a'\J Ь ==
== sup ({а, Ь}, ) и а n ь == inf( {а, Ь}, ). Докажем первое
из этих равенств, оставляя. проверку BToporo читателю. Из
а n (а U Ь) == (а n а} U (а n ь J == а U (а n Ь) == а
и а U Ь == Ь U а получаем, что а U Ь  верхня.я. rрань мпо-
жества {а, Ь}. Пусть сверхня.я. 1'рань {а, Ь}, т. е. anc==
с= а и Ь n с с= Ь. ТО1'да '
(а U Ь) n с == с n (а U Ь J == (с n а J U (с n ь J == а U Ь,
т. е. <а U Ь, с) Е и. О
У.словия. 1)10) из предложения 1 называются аRСИО-
l\fЮШ булевых аЛ1'ебр, а множество А вместе с определен
ПЬ13!lI на нем операциями n, U, , удовлетворяющими aK
сиомам 1) 10), называется бу.ttевой q,.ttееброй. Если  ==
с= <А, U, n, )  булева алrебра, то через  будет обозна
чаться частичный порядок на А, определенный УСЛОВИЮI
а  Ь -<* а n ь == а.
Из предложеия 1 следует, что булева аЛ1'ебра  определя
ется отношением .s:;; однозначно.
При м еры. 1) Если А s;; Р(ВУ и множество А замкну
то относительно операций объединения и пересечения, то
леrко ,проверить, что  == <А, 5); rде 6  отношение
включения на А, является дистрибутивной решеткой, при
че1 U  и n  являются операциями объединения и пере
сеч€ния на А.
2) Если в примере 1) множество А замкнуто относи
тельно операции взятия дополнения в В (т. е. операции
а == В\а) , то  === <А, s;;) является булевой решеткой,
а <А, U, n, >  булевой алrеброй, 1'де U) n)   операции
объединения, пересечения и дополнения в В. Б частно
сти, если А==Р(В), то <Р(В), U, n,) будет называться
бу.tteвой а.лееброй всех подмножеств В и для просто ты бу
дет иметь то же обозначение Р (В), что 11 множество всех
ПОДШlОжеств В.
Оп р е Д е л е н и е. Частично упорядоченное множество
 == <А, и> называется фундированным, если для любоrо
непустоrо подмножества А, 5 А ч. у. м. l === (Al. U n A>
имеет минимальный элемент.
Если <А, и>  фундированное частиЧно 'YIIорядоченное
множество, то очевидно, что <В, U n В2> также будет

74
rл. 2. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Фун;\пропапны:м Ч3.СТIIЧНО упорядоченны:lI множеством для
ЛЮООI'О В S А.
На фундированное частично упорядоченное множество
можно обобщить метод мате:\lатичеСl\ОЙ индукции.
Пр е Д л о ж е н и е 2 (принцип трансфинитной пндук
цпи). Пусть  ==о <А, и>  фундированное частично упо-
рядоченное Jlt7iожество и В s А. Если для любоао а Е А
из {Ь Е AI<b, а) Е и, Ь =1= а} sB следует аЕВ, то В ==А,
Доказательство. Предположим, что B=FA, и
пусть а о  минимальный элемент ч. у. м. <А \В, U n
n(A\B)2). ТО1'да {bEAI<b, ао) Е и, Ь =F а о } '=в и по ус-
ловпю имеем а о Е В, что невозможно. О
Оп р е Д е л е н и е. Пусть  ==о <А, и>  линейно упоря
доченное множество. Множество Х s А будем называть
а) 1lа'lаЛЬНblМ ceeMeHTOJl' , если для любых а, Ь Е А
из а Е Х и <Ь, а) Е U следует Ь Е Х;
б) sа.ю.путы:м начальпым cea,l1,eHTOM, если для HeKOTO
РOl'О а о Е А Х равно множеству О[а о , ] .... {ы
 <Ь, а о ) Е т;
в) отпрытым пачальны.м ceaMenTO."l, если Х равно MHO
жеству О (а о , ) == (О[ао, ]\{ao}) для HeI\OTOpOro а о Е А.
Часто, КО1'да ясно, о каком  идет речь, мы будем пи
сать О[а о ] и О(а о ) вместо О[ао, ] и О (а о , ) COOTBeTCTBeH
но. Заметим, что пустое множество fO является начальным
cerMeHTOM любorо линейно упорядоченно1'О множества.
Очевидно, что элемент а о в б) и в) предыдущеrо опреде-
ления определен по Х однозначно.
При м еры. Пусть G  отношение «меньше ИЛИ paB
но» на действительных числах (т. е. <а, Ь>. G... аЕ:: Ь).
1. В линейно упорядоченном множестве <(а), G n (а)1)
любой отличный от (а) начальный cerMeHT является OДHO
временно и O'l'KpblTblM и замкнутым.
2. В <R, G>, rде R  множество всех действительных
чисел, любой отличный от R начальный cerMeHT является
открытым или замкнутым, но никакой начальный cerMeHT
.<R, G> не является одновременно открытым и заИ'Кнутым.
3. В <Q,. G n Qa>, rде Q  множество всех рациональ
ных чисел, начальный cerMeBT {rlr  У2} не является ви
открытым, ни замкнутым.
Оп р е Д е л е н и е. Если \t... <А, и>  фундированное
лпнейное упорядоченное множество, то f2( называется
вполне упорядочеnnы.м мnожеством. Если ... <А, и> 
ч. у. м., Х,= А и U n Х 2  линейный порядок на Х, то Х
называется цепью в 12!. В частности, пустое множество яв
ляется цепью в любом ч. у. м.

о 11, ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
75
в  10 была сформулирована одна аКСИО)fа теорпи
множеств, I\ОТОрОЙ мы уже пользоваЛIlСЬ, это аl\сиома
экстснсиопальности. Впредь мы будем ИСПОЛЬЗ0вать TaK
же апсиому выбора, утверждающую что для любо1'О He
пустото множества А существует такое отображенпе
(фУНКЦИЯ выбора) h: (Р(А)\{0})-+А, что lъ(В)е.В ДJIЯ
любоrо непустоrо В s= А. Из этой Ю,СИО),fЫ вытекают сло
дующие два важных принципа.
Теорема 1 (принцип максимумаJ. Если в частично
упорядоче7ы-tом множестве  == <А, и) паждая цепь Х s= А
имеет верхnюю ераnь, то существует махсu.мальnый в 
элемент.
Д о к а з а т е л ь С т в о. Рассмотрим множество У ==
z=: {Х s= А I Х  цепь в } и для Х е. у множество В (Х) ==
=== {а е. А I а  верхняя трань Х в }. Предположим, ЧТО 
не имеет максимальных элементов. Тотда семейство S ===
=== {в (Х) \Х I Х е. у} состоит из непустых. подмножеств А.
Из аксиомы выбора получаем, что существует такое OTO
бражение h множества У в А, что h (Х) е. (В (Х) \X для
всех Х е. У. В дальнейшем начальный сетмент линейно
упорядоченното множеСтва <Х, U n X Z ) будем называть
начальным сетментом Х. Рассмотрим множество Z s; у
всех непустых цепей Х в , удовлетворяющих следующе
му условию: h (Х , ) === inf (Х\Х " <Х, U n XZ» для любоrо
пачальното сет,мента Х , s; Х, Х , '*' Х. Очевидно, что
{h(0)}e.Z. Пусть Х " Xze.Z. Так каУ, h(0)наимень
ший элемент в (Х 1 ,UП Х i)и(Х 2 , иПХ;)lТО Х , и Xz имс
ют общие непустые начальные СeI'менты. Пусть е  объ
единение общих начальных сетментов Х , и X z . Ясно, что
е  начальный сетмент Х , и Xz. Torдa е == Х , или е z=: x z ,
так кан в противном случае е U {h (ер -1= е было бы об-
щим начальным ce1'MeHToM Х , и X z , что противоречит оп-
ределепию е. Таким образом, ДЛЯ любых Х " Xz е Z или
Х , 5 X z , или Xz s; Х , . Следовательно, е * == u х будет
XEZ
цепью в  и С* U {h (С*)} е. Z, что противоречит опреде
лению С* и условию h (С*) е. В (С*) \С*. о
Т е о р е м а 2 (приuциu ПОJlНОI'О упорядоченпяJ. [(аж
дое .мnожество А может быть вnолnе уnорядочеnа, т. е.
для паждозо множества А существует U s; А Z, для пOTOpO
ео  == <А, и)  впо,/!не упорядочеnnое мnожество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим MHOJI,ecTBo W ==
== {<Х, и) I <Х, и)  вполне упорядоченное множество,
Xs;A}.

76
rл, 2, ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Определим на множестве W порядок :
(ХН U 1 >  (Х 2 ! U 2 > -<=> U 1 s;; U 2 И Х!  начальный
сетыент <Х 2 , U 2 >.
Пусть {<Xi, U i > I i Е J}  цепь в (W, >. Очевидно, что
!l( ==- < U Х {, U И { ) является линейно упорядоченным
{Еl {Еl
множеством. Пусть Ys; UX i И Y*Z. Тоrда УП Х ! *S25
i,sl о,
дЛЯ HeKoTopo1'o е о е 1. Так нак (X i , U ! >  вполне У по
о о
рядоченное множество, то (У n Х i , И i n У2) имеет мини 
о о
мальный элемент Уо. Тан как Х !  начальный cerMeHT ,
то Уо  минимальный элемент (У 1 Cl U i ) n У2). Таким
образом,  Е W. Ясно, что Щ является верхней rранью для
цепи {<X i , U i > [i Е J} В (P'/, >. Поэтому по теореме 1
(W t Z::::;;> имеет максимальный элемент <Ао, u о >. Если cy
ществует ао Е А \Ао, то <Ао U {а о }, И!> Е W, 1'де И! == U О u
u {<а, ao>laEAo} U {<ао, ао>}, что противоречит максималь
ности <Ао, u о > в (W, >. Таким образом, <А, u о > 
вполне упорядоченное множество. О
Определение. Пусть """ <А, И> и == <В, V> 
два линейно упорядоченных множества. Отображение
f: А  В назовем подобием  на , если
<а, Ь> Е: И -<=><fa, fb> е У. (1)'
Будем rоворитъ, что  и  подобны, если существует по
добие одноrо из них на друrое.
Заметим, что подобие f: А  В разнозначно. В ca
мом деле, если fa == fb, то из рефлеRСИВНОСТИ V и (1)
получаем <а, Ь> Е И и <Ь, а> Е И, следовательно, из антИ
симметричности И получаем а == Ь. Если f  подобие  на
18, то очевидно, что f!  подобие 18 на .
Пр е Д л о ж е н и е 3. Если f  подобие лuпеuно упоря-
доченноео множества  на линейно упорядоченное множе
ство 18 и Х  (отпрытый, аампнутый) начальный сеемен7'
Q!, 1'0 f(X}  (отпрытый, аампнутый) начальпый сеемент .
Доказательство оставляетСЯ читателю В Rачестве леr
Koro упражнения. О
В оставшейся части параrрафа мы докажем важные
свойства вполне упорядоченных множеств.
Пр е Д л о ж е н и е 4. Любой начальный сеемент Х
вполпе уrtорядочепnoео множества !l( == <А, и>, отличпый
РТ А, является отхрытым.

s 11. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 77
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. ОчевиДnО, что Х == (J (а о , ),
r;J;e ао  МИНЮIaЛЬНЫЙ элемент множества А \Х. о
Если Х и У  начальные сеrмепты линейно УПОрЯ;J;О
ченных множеств  == <А, И> и  == <В, V> соответственно
п <Х, и n Х 2 > подобно <У, V n У2>, то в дальнейшеl бу
дем rоворить просто, что х подобно У.
Предложение 5. Если f: А--+В и g: A--+Bдвa
подо бил вполне уnорлдоченново мложества  == <А, и> на
непоторые начальные севменты линейно упорлдоченноzо
Мllожества  ==<В, V>, то f == g.
д о и а 3 а т е л ь с т в о. Рассмотрим lIшожество Q ==
== {а Е А Ifa == ga}. Если О(Ь, ) s= Q, то fb ==
===inf(B\g[O(b, )], ), следовательно, fb==gb. По пред
ложению 2 имеем Q == А, и предложение 5 доиазано. О
Пр е Д л о ж е н и е 6. Нипапие два различных началь
ных сеамента вполне упорлдоченново множества  не пo
добны между собой.
Д о к а за т е л ь с т в о. Пусть j  подобие начальноrо
сетмента Х на начальный сетмент У. Тан нак id.r являет
сл подобием. Х на Х, то по предложению 5 f == idx, следо
вательно, Х == У. о
Т е о р е м а 3. ЕСЛlt  == <А, И> и  . <В, V>  вполне
упорлдоченные множества, то либо  подобно начальному
ceaMeHTY , либо  подобно начальному севменту .
Д о и а 3 а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество Р == {flf
подобие HeKOToporo начальноrо cerMeHra  на начальный
cerMeHT }.
в силу предложений 3 и 5 для любых j, g Е Р либо
t s= g, либо gs= j. Поэтому F == U j будет подобием Ha
I""P
чальноrо cerMeHTa Х множества  на начальный ce1'MeHT
У множества . Если Х == А или У == В, то все доказано.
Предположим, что это не таи. Torдa по предложению 4
Х == О (а о , ) и У == О (Ь О , ). Очевидно, что F U {<ао, Ь О >}
будет TOrдa подобием начальноrо cerMeHTa О[ао, ] на 'Ha
чальный cerMeHT О[Ь о , ], следовательно, F U {<ао, Ь О >} s=
s= Р, что невозможно. О
у пражнення
1. Показать, что если  == <А, и>  ч. у. Ы, с наименьшим :)Ле
ыентом, А конечно и для любых а, Ь Е А существует sup ({а, Ь}, ),
то   решетка.
2. Пусть!! == <А, U, N, >  булева алrебра и А содержит бо-
лее ОДноrо элемента. Отображение "{ множества F'фОрЫУЛ ИВ в А,

78
rЛ, 2. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
обладающее свойствами:
1) '\' (Ф V 'У) == '\' (Ф) U '\' (чr),
2) '\' (Ф Л чr) == '\' (Ф) n '\' (чr),
3) '\' (Ф  чr) == '\' (Ф) U '\' (чr),
4) '\' (! Ф) == '\' (Ф) ,
называется интерпретацией ИВ в '!. Показать, что до!,азуемые в
. ИВ формулы  это в точности такие Ф, что'\' (Ф) == 1'Л для любоЙ
интерпретации у ИВ в , (У к а з а н и е. В одну сторону YCTaHO
'!
вить'\' (Ф) == 1 для аксиом ИВ 1 и проверить, что правило ИВ 1
сохраняет это свойство, в друrую сторону восполыюваться тем, что
па множестве 11. o) операции U, n и  определяются так же,
как на множестве {1. О} в  6 определяются операции V, л и "l.)
3. Показать, что ч. у. м. (А, и> тоrда и только то!'да не яв
ляется фундированным, коrда существует последовательность
ао, ..., ап, .., попарно различных элеме'нтов А, для которой
(an+l' ап> Е и, n Е 0).
 12. Фильтры булевой алrебры
Пусть на протяжении это1'о параrpафа  == <В, П, U,
>  булева аЛ1'ебра. Как показано в предложении 11.1,
. * =- <В, .s;; >, rде отношение ао:;;; Ь определяется равен-
ством а n Ь == а, является булевой решеткой и для любых
а, Ь Е В выполняются условия:
(1) aUb==sup({a, Ы, *), anb==inf({a, Ы, *);
(2) а U а....1  наибольший элемент *:
(3) а n ii ""'" О  наименьшиii элемент !8*;
(4) ii является единственным элементом В, для KOTO
po1'O выполняются условия а U ii -== 1 и а n ii == О.
Отметим еще некоторые свойства булевых операций.
Ле м м а 1. а) 0== 1, l' == о:
б) О Па"'" О, О U а == а;
в) 1 Па"'" а, 1 U а == 1;
r) а==а;
д) а n Ь ii U Б;
е) аUЬ== iiПБ;
ж) а n Ь == а -<=> а U Ь == Ь.
Д о к а З а т е л ь с т в о. Свойство а} непосредственно
вытекает из (1)  (4). Свойства б), в) следуют из (1) 
(3), а r) следует из (4), так как iiUa-==аUii==1 и
аПа==аПа==О. Свойство ж) следует из (1), так кю,
а n Ь -== а -<=> а .s;; Ь. ДЛЯ доказательства д) в силу (4) дo
ста точно показть, что
(anb)U(iiUo)==1 и (anb)n(iiUo)==O.
31'И равенства следуют из аксиом 11 61 булевых алrебр,

11 12, ФИЛЬТРЫ ВУЛЕВОй АЛ1'ЕВРЫ
79
например,
(а n Ь)П(а U Ь)=с((а n Ь)П a)U((a n Ь)П Ь)==
(ОПЬ)U(ОПа}==О.
ПроверIШ друтото равенства, а также доказательство
спопства е) проводптся аналоrично. О
Часто для просто ты обозначенип мы будем отождест
влять f8* с . Пусть далее В неодноэлементно.
Оп р е Д е л е н и е. :Множество D s; В называется фUAь
TpOJrt булевой алеебры f8, если выполняются следующие
условия:
1) О t1= Dj
2) если а, Ь Е D, то а n ь Е D;
3) если а Е D и а  Ь, то Ь Е D.
Множество D s; Р(Х) назы!3ается фильтром на Jltножестве
Х, если D является фильтром булевой алrебры (Р (Х),
u, П, > и Dr=/o {О.
При J4 еры. 1. Множество {1} является фильтром бу
ловой аЛ1'ебры f8. С друrой стороны, из условия 3) lIЫTe
нает, что 1 Е D для любоrо BeuycToro фильтра D в буле
БОЙ алrебре .
2. Если а о Е В, ао  О, то множество {Ь I Ь Е В, ao.s:;; Ь}
будет фильтром алrебры !В.
3. Множество {У  XI (Х\У)  конечное множество}
является фильтром ва бесконечном множестве Х, KOTO
рый ИВО1'да вазывают фильтром Фреше на Х.
Так как операции U и n булевой алrебры iВ удовлет
воряют аксиомам коммутативности 1), 2) и аксиомам ac
социативвости 3), 4), то можно 1'оворить 05 объединении
(пересечении) в  конечноrо множества элементов аl, ...
. . ., а.. Ei В и обозначать ето так: аl U . . . U а n (аl n '" Пап).
Индукцией по n леrко устанавливаются следующие обоб
щенные законы дистрибутивности:
Ь U (а! n . . . Па..) == (Ь U aj) n . . . n (Ь U а..),
Ь n (а l U . . . U а,,) .... (Ь n aj) U . . . U (Ь Пап),
а также обобщен ия свойств д), е) леммы 1
а! n . . . n а" == а ! U . . . U а..,
а, U . . . U а" "'" а, n . . . Па".
Оп р е Д е л е н и е. а) Множество У s; В называется
центрированным в булевой меебре, если пересеченпе
в  любо1'О конеЧноrо множества элементов ив У не paB

80
rл. 2, ТЕОРПЯ МНОЩЕСТВ
но О. Центрированное в <Р(Х), U, N, ) множество (т. е.
такое множество У s= Р (Х), у которото любое I{онечное
подмпожество имеет непустое пересечепие) будем просто
называть цептрироваЩiЫМ.
б) Фильтр булевой алrебры , не содержащийся ни
в каком отличном от нето фильтре алrебры , называется
ультрафильтром.
Яспо, что любой фильтр булевой аЛ1'ебры  будет
центрированным в  множеством.
Пр е Д л о ж е н и е 1. Наждое цептрироваппое в бу.ле
вой алеебре  мпожество У содержится в пепотором
ультрафUAьтре алеебры .
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество U ==
=={XIX  центрированное в  множество и У s= Х}. Так
как У Е и, ТО' U ':/= f2J. Очевидно, что в ч. у. 111. <и, s=)
объединение любой цепи является элементом и. По Teope
ме 1 в <и, s=) имеется максимальныЙ элемент Хо. ДOCTa
точно покаВ8ТЬ, что ХО является фильтром. V словие 1) дЛЯ
ХО тривй:ально выполнено. Для проверки условиЙ 2) и 3)
в силу максимальности ХО достаточно показать, что если
а, Ь Е ХО И а::;::;; С, то ХО U {а n Ь} и ХО U {с} центрированы
в . Центрированность ХО U {а n ь} очевидна. Предполо
жим, что а , n . . . n а n n с == О для некоторых а " . . ., а n Е Хо.
Тотда ив равенства е n а == а получаем
О == О n а == (а, n . . . n а n n с) n а == (а, n . . . Пап) n (е n а) ==
== а, n . . . n а n n а,
что противоречит центрированности Хо. О
Пр е Д л о ж е н и е 2. д.ля тоео чтобы фильтр D булевой
алеебры  был ультрафильтром, пеобходи.lftо и достаточпо,
чтобы для любоео Ь Е В было либо Ь Е D, '/!ибо Б Е D.
Д о к а в а т е л ь с т в о. В силу предложения. 1 для дo
кавательства необходимости нужно лишь покавать, что
для любоrо Ь Е В либо D U {Ь}, либо D U {Ы является
центрированным в  множеством. Предположим, что это
не так. Torдa Ь ! N. . . n Ь n n ь == О и Ь п + 1 n . . . n Ь п + т n D == О
для некоторых Ь " ..., Ь n + т Е D. В силу своЙства 2),
фильтра DMOiI\HO считать n == т === 1. Ив своЙств опера
циЙ U, п,  в булевоЙ алrебре  получаем
Ь , n Ь 2 == Ь , n Ь 2 n (Ь U о) == (Ь , n Ь 2 n Ь )U (Ь , n Ь 2 n о)' ==
== (О n Ь 2 ) u (Ь ! n О) == О U О == О,
что противоречит своЙствам 1), 2) фильтра D.

6 12, ФПЛЬТРЫ БУЛЕВОЙ АлrЕПРЫ
81
Достаточность. Если существует фильтр D*;2 D и эле
мент Ь  D*\D, то Ь Ф D, ТЮ. IШR В противнои СЛУЧ:l,е
О  Ь n ь Е D*, что невозможно. О
Оп р е Д е л е н и е. Фильтр D булевой алrебры  назы
вается ела в nЫ,М, если существует такой ао Е D, что
D{bEBlaobl.
3лсыент а Е В называется атщfO.,[ булевоЙ алzебры , если
а*Ои
ba=?(b=='a или Ь=='О).
Ясно, что еслп а  атом \8, то Ь n а равно а пли О для
люGоrо Ь Е В.
Л е м м а 2. Если D  zлавnый ультрафильтр алzебры
!!3, ТО D ==' {Ь.Е Bla o  ь} для nепоторо?о аТЩla ао ал
ееоры .
Д о R а з а т е л ь с т в о. Пусть D ==' {Ь Е ВI Ь О  ь} для
пекотороrо Ь О * О. ПреДПОЛОЖЮI, что Ь О  не атом. Torдa
существует Ь,  Ь о , Ь, '* Ь о , Ь, * О, Так Еак Ь, Ф D, то по
. предложению 2 Ь, Е D, OТI{yдa Ь О  О,, т. е, Ь О n Ь, === Ь о .
Следовательно,
Ь, === Ь, n Ь О ==' Ь, n (Ь о n ь,) ==' ьоп (Ь, n ь,) ==' О,
получили" противоречие, О
Пр е Д л о ж е н и е 3. Следующие условия для булевой
ал?ебры  эпвивалсптnы:
'1) В  h'о1tеЧllое Jlтожество;
2) все nепустые фильтры  zлавuыс;
3) асе ультрафильтры  елавпые.
Д о I\ а 3 а Т,е л ь с т в о. 1) =? 2). Если В  Rонечное мно-
жество п D ==' {Ь" ..., Ь,,}  фплыр алrебры , то пересе-
чение ао ==' Ь, n . . . n ил ПРllпаДJlеlIШТ D II ао  Ь; для i 
==' 1, ..., п. 7тверждение 2) =? 3) ТРПВllально. ДОRажем
3) =? 1). Пусть выполняется 3). Пусть Ао s;; В  множест
во всех атомов алrебры . Рассиотрим множество А, ===
==' {ala Е Ао}. Покажем, что А, пt:J центрированное. В ca
мом деле, если А, цептрпроваиное, то по предложепию 1
А, s;; D для HeRoтoporo улырафllлыра D. Из условия 3)
и леммы 2 получаем, что существует таRОЙ ао Е Ао, что
ао  Ь для всех Ь Е D. В частности, ао  а о , т. е. ао == ао n
n ао === О, что противоречит условию а '* О для атомов
а Е Ао. ТаЕ Еак А, не центрированное, то а, n . . . n ал == р
6 Ю. Л. Ершов. Е. А, Палют,ш

82
rл, 2, ТЕОРПЯ МНОЖЕСТВ
для Н(lIЮТ ОРЫХ aj, . . ., а n Е Ао. Из леммы 1 тоrда ПОЛучаеI
1  О  а 1 n ... n а n ;;1 u ... u п  а 1 U ... U ап'
Пусть Ь  пропзвольный элемент В. Torдa
Ь == Ь n 1 == Ь n (аl U . .. U а n ) == (Ь n аl) U . . . U (Ь Пап}.
Тю{ как Ь n а; равпо й; плп О, то Ь равно О IIЛП объеДIlне
ншо некоторых элеыентов шюжества {aj, ..., а п }. Следо
вательно, В  Rоночное l\Iножество. О
Пр е дл о ж е н li е 4. Если D  zлавн,ый ультрафильтр
на Jrtllожестве 1, ТО D == {Х  1110 Е Х} длЯ HeKOTOpoZO
io Е 1.
Д о к а 8 а т е л ь с т в о. Следует liЗ леlЫЫ 2, так кю{
очевидно, что в Р (/) аТОIЮШ являются О,J;ноэлемептные
множества. О
Упрrшшенил
1. Пусть D  непустой ,фильтр булевой алrебры !в ==
0== <В, U, n, >, На множестве В определим отношение lJ следую
ЩШI образом:
alJЬ -<* (а n Ъ) U (Ь n а) е п,
rде п равно {а! d Е D}, ПОI,азать, что lJ  эквивалентность на В
и D  ультрафилътр TorAa II только тоrда, l(оrда В разбивается
отношением D на два юraсса эквивалентности.
2. Фильтр D на мношеетве 1 называется счетно ПОЛНЫft
если для любых а; Е D, i Е U}, мпожество n a i принадлежит D,
iEw
Яено, что любой I'лавный фильтр D на 1 является счетно полным,
Показать, что на множестве U} не существует нетлавноrо счетно
полноrо ультрафильтра.
3. Пусть lJ  отношение эквивалентности на В IIЗ упражне-
НIIЯ 1. lIуеть R (D) == {lJ b I Ь Е В} (мношество lJ b определено в  10
II равно {alalJb, а ЕВ}), Определим на B(D) операции U, П,  сл13--
Д)'ЮIЦим образом:
а) т 1 U т 2 "'" D(a,U a 2 )' б) m 1 n та == D(a1п a t )'
в) т 1 =='15. ,
a 1
rДе а; е mi, i == 1, 2, Пор,азать, что таlше определение не зависит
от выбора элементов а; Е тj и <B(D), U, П, > является булевой
алrеброй.
f 13. МОЩflOСТЬ множества
Для беСI{онечпых множеств обобщением понятия чис-
ла элементов l\Iошет служить попятие мощности.
О пр е Д е л е н и е. Будем rоворить, что МОЩНОСТЬ ,lftIiO-
жества А меньше или равна tOщности множества В (и

а 13, МОЩRОСТЬ МНОЖЕСТВА
8з
обозначать 'А 1  [BI), если существует разнозначное ото-
uражение f: А  В. rоворим, что tOщltосrи М,ltожесr8 А
1I В равны или что А и В равltомощltы (обозначаем [А[ ==
== IBI), если существует разнозначное отображение А
на В.
Заметим, что мы пона не определили, что такое мощ-
ность множества А, а определили тольно два двухместных
отношения на множествах. Именно эти отпошения и яв
ляются основными понятиями этоrо параrрафа, а введен-
llая ниже мощность появляется лишь для удобства из
ложения.
,Отметим свойства введенных отношений, вытенающие
пепосредственно из определения:
а) IAI c;;;;IAI;
,б) (IAI  IВI и 'ВI  ICI) IАI  ICI;
в) \АI =- !В[ (IAI  'ВI и IВ\  IAI).
Следующая теорема показывает, что в свойстве в) l\ЮЖ
но заменить  на -<*.
Т е о р е м а 4 {Нантора  Бернштейна}. Если аля
Мltожесrв А и В и.вeM IAI  IВI и IBI  IAI, то IAI ==
== IBI.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f: А -+ В; g: В -+ А 
разнозначные отображения, Ао == А, А! == g[Bl и А n + ! ==
== (fg)[A,.]. Индукцией по п леrко установить, что Аn+! s:;;
s;;; Аn, п Е 00.' Пусть D == n Ak и М/ == A/\A/+ 1 . Оqевид
kS:(j)
но, что ( U M i ) U D == Ak И М/ n М ! == f2J для i '* j.
k<;;;iE(j)
Тап ПaI{ f. g разнозначно отображает М; на М Н! для
любоrо i Е 00, то отображение h: А -+ А, 'определенное
СJlедующим образом:
( а, если а Е ( ,U M2i+1 ) U D,;
h tE(j)
а == (fg) I а), если а Е U M2i"
iS:(j)
является разнозначным отображением А на
( U м i ) U D == А 1 .
l<;;;iE(j)
ТаК как 'ВI == !AII, то получаем [ВI == !А 1. о
Теорема 5 (Нантора). Условие 'Р(А)I  'АI не
имеет места для любоzо Мltожесrва А.
Д о н а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует
рюнозначное отображение f: P(A) А. Рассмотрим MHO
6*

84
rл. 2. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Жество Х=={аЕf[Р(А)llаФtl(а)}. Если f(XYEX, то
из определения Х получаем f(Х)ФfI(f(Х)==Х. Если
f(Х)Ф Х, то f(X) Ф f1 и(Х)), следовательно, f(X) Е Х.
Полученное противореqие ПОI,азывает, что TaKoro f не
может существовать. О
Т е о р е м а 6. Для любых множеств А и В либо
'IAI  [ВI, либо IB!  IAI.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 2 существуют Ta
кие Us;Az и Vs;B Z , что ==<A, и> и QЭ==<В, V>
вполне упорядоченные множества. Утверждение Teope
мы теперь следует из теоремы 3. О
Для множества Х определим двухместное отношение
, е(Х), состоящее из таких пар <а, Ь> Е X Z , что а Е Ь или
а == Ь. Множество Х называется траltЗUТU8ltым, если из
Ь Е Х следует Ь s; Х. .
Оп р е Д е л е н и е. Множество  называется opдипa
дом, если оно транзитивно и <, в () >  вполие упоря
доченное множество.
Пр е Д л о ж е и и е 1. ЭлемеltТЫ ордultала  явдяются
ордultаламu.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ,!;;;  для любоrо
 Е а, то отношение е () == е (а) n Z является фундиро
Баппым линейным порядком на  Е а. Если бы элемент
 . ординала ct не был, транзитивным, то для некоторых
"(1 и "(2 было бы "(1 Е "(2 Е  И "(1 Ф. Так как ct транзи
тивнcJ, то "(1, "(2 Е а. Это противоречит транзитивности OT
пошения е (а). О
Оqевидно, что натуральные числа
)2$, {fO}, {fO, {fO}}, {)2$, {)2$}, {fO, {)2$}}},
(каждый последующий содержит все предыдущие} бу
дут ординалами. Множество 00 всех натуральных чисел
также является ординалом. Ординалами являются MHO
жества 00 U {оо}, 00 u {оо} u {ы, {оо}} и т. д. Вообще, если
ct  ординал, то ясно, что множество ct U {а} также ЯВ
JIЯется ординаJIОМ, который ИIlоrда iю аналоrии с пату
ральными числами обозначают через ct + 1.
Пр е Д л о ж е н и е 2. Еслu ctl, а2  два раЗЛUЧltых op
дultала, ТО либо аl Е а 2 , лuбо а2 Е ctl'
Д О К а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что либо
аl s; а2, либо ctz s; аl. Если это не так, то в силу TpaH
зитивпости аl' а 2 И вполне упорядоченпости <аl, е (аl) >,
<а2. 8 (а2» существуют такие "(1 Е ctl, "(2 Е ctz, что "(1 s;
s; а 2 . "(2 s; аl' "(1 Ф а2, "(2 Ф аl' Пусть б Е "(1. Torдa б Е

 13, МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
85
Е а2, И если б Ф "(2, ТО В силу линейной упорядоченности
<а2' е (а2)'> либо б == "(2, либо "(2 Е б. В обоих случаях
из транзитивности а l получаем "{2 Е ctl, что невозможно.
Таким образом, "(1 s; "(2' Аналоrично показывается "{2 s; "(1,
следовательно, по аксиоме экстенсиональности "{I == "(2,
что противоречит условиям "(1 Е аl И "{2 Ф ctl.
Итак, показано, что аl s; а 2 или а2 s; ctl' Пусть, Ha
пример, ctz S; ctl. Так как аl =F а2, то по вполне УllОрЯ
доченности <ctl, е (СХ1)'> существует такой  Е CXI, что
 S; СХ2 И  Ф СХ2. Пусть б Е СХ2, тоrда б Е аl И б s; а 2 . По
линейной упорядоченности <СХ!, е (CXI)'> имеем одно из
следующих условий;  Е б,  == б ИJIИ б E. Первые два
невозможны в силу транзитивности СХ2 и  Ф СХ2' ТaIШll1
образом, СХ2 S;, что вместе с  s; СХ2 дает СХ2 ==  Е CXI' О
Для множества Х определим множество
U Х == {а J а Е х для HeKoToporo Х е!!: X}
которое называется объедuпепuеJ.t или суммой множе-
ства Х.
Ординал, отличный от О и не имеющий вид СХ + 1,
называется предмьпым. Ясно, что ординал б =F О тоrда
и только Torдa является предельным, коrда U б == б.
Множество натуральпых чисел ro можно определить как
такой ординал, все элементы KOToporo не предельны.
Пр е Д л о ж е н и е 3. Если Х  мпожество ордипалов,
ТО U Х является ордuпалом.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Транзитивность U Х следует
из транзитивности элементов Х. Линейная упорядочен.
ность <U Х, е (И Х) следует из предложения 2. Еслц
У s;; U Х, <У, е (У) не имеет минимальноrо элемента
и У не пусто, то для любоrо а Е У множество а не пу
сто и <а n У, е (а n У)'> не имеет миним:альноrо элемента.
Так нак по предложению 1 а является ординалом, то
это невозможно, следовательно, <ИХ, е (И Х» Вllолне
упорядоченное множествО. О
Пр е Д л о ж е н и е 4. Если Х  lrtltожество ордuпалое,
то <Х, е (Х) .>  вполпе упорядочеппое Jltltожество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а Е Х, ТО В силу предло-
жения 2 либо а Е Ь для neKoToporo Ь е Х, либо а ==
== И Х. Следовательно, Х s;; ((U Х) + 1) и утверждение
следует из предложения 3. о
Пр е Д л о ж е н и е 5. Для любоzо вполпе упорядочеп
HOZO мпожества  == <А, и.> существует единственный
ордuпал a() такой, что <a(), e(cx(»)'> подобно .

86
rл. 2. ТЕОРия МRож:еств
Назовем этот ординад Tипo.! вподне упорядоченноzо MHO
жсства .
Д о R а з а т е л ь с т в о. Единственность следует из
предложения 11.5, так как в силу предложения ,2 из лю
бых двух различных ординалов ,  один является Ha
чальным cerMeHToM дрУ1'О1'о.
Рассмотрим множество Х s А всех таких а Е А, что
существует ординал (a} и подобие fa вполне упорядо
ченноrо множества <а(а), 8((a»> на <O[aJ., U n
n (О[а])2>, [де О[а] == О[а, ]. По предложению 11.5 по
добие ta определено по а Е Х однозначно. Пусть с Е Х
И <Ь, с> Е и. Очевидно, что а о == и;1а I а Е О [Ь]}  op
динал. Так как 10 tCto подобие <ао, е(ао» на <О[Ь],
Un(O[b])2>. то ЬеХ и fb==fc ta o ' следовательно,
fb s f.. Таким образом, отображение 10 == u {Ia I аЕ Х}
будет подобием <o, e(o» на <Х, unx2>, [де oop
динал, равный U {(a) J а Е Х}. Если Х == А, то все дo
назанО. Предположим, что Х of:. А. Так как Х  началь
ный cerMeHT  и так как   вполне упорядоченное MHO
жество, то существует таное ао Е А, что Х"", О (ао).
Очевидно, что /0 u {<o, ао>} является подобием ордина
ла o U {o} на Х U {ао} == О[ ао], поэтому а о е Х, что про
тиворечит выбору ао. о
Будем rоворить, что ординал  меньше ординала 
(обозначать  < ), если  е а. Если  <  или  == а,
то будем писать  . в силу предложения 4 любое
множество ординалов вполне упорядочено отношением
. Если al, ..., а n  ординалы, то наибольший по OT
ношению  элемент множества {а" ...; а n } будем обо
значать через Шах {а" . . ., n}.
О П Р е Д е л е н и е. Ординал  называется 'XapдиHa
лом, если он не является равно мощным никакому мень-
шему ординалу.
Пр е Д л о ж е н и е 6. Натуральные числа 0, {0},
{0, {0}}, '" U множество. (J) всех натуральных чисел яв
JLЯЮТСЯ 1iардunаламu.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для Toro чтобы показать, что
все натуральные числа являются кардиналами, достаточ-
но индукцией по п Е (J) показать, что любое натуральное
число п не раВНО1l10ЩНО НИRакому своему подмножеству
io =1= п. Для п == О это выполняется, так как 0 не имеет
подмножеств, отличных от 0. Пусть f: п + 1 -+ п + 1 
разнозначное отображение и rang f of:. п + 1. Если п 
Ф rang 1 или 1 {п} == п, то / t п отображает п на поД1',ШО

g 13, МОЩНОСТЬ :МНОЖЕСТВА
87
тество 10 G п, ш =1=- п, что неВОЗl\10ЖНО по индуrщионному
ПРСДПОЛОЖОШПО. (Напомним, что п + 1 == (О, 1, ..., п}.)
ЕСЛlI j (k) === п, k < п, то определясм отображение g: п 
-+n, для KOToporo g(i)==/(i) для i<п, i=l=-k, и g(k)==
===Нп). Так кан rangg==l'angj\{n} и п=l=-rangf\(п},
то g отображает п на ш s; п, 10 =1=- п, что опять противо-
речит индукционному преДПОЛОlEенIПО. Если бы (U не
был Rардпналои, то I (J) I  I п I для HeI\OTOpOro натураль-
Horo числа п. Torдa было бы In+ 11:::::;; I(UI  lпl,
т. е. п + 1  не кардинал, что противоречит преды-
дущему. О
Следующая теорема позволяет выделить среди рав-
номощных множеств КRноничесrщrо представителя 
кардинал.
т е о р е м а 7. ДЛЯ любоzо JlUiожества Х существует
едипствеnnыи пардunал \Х\, равllО.'vtoщnыи Х.
Д о l{ а 3 а т е л ь с т в о. Единственпость \Х\ следует пз
определения кардинала и предложения 4.
По теореме 2 существует такое и 5 xz, что <Х, и> 
вполне упорядоченное множество. По предложению 5
существует ординал ctа, раВНОl\fОЩНЫЙ Х. В Rачествв IXI
берем ординал   ctа, Р:ШНО:,IOщный ctа, все элементы
KOToporo не равномощпы ctа. ТаI\ОЙ ОрДllНал существует
по вполне упорядоченности (ctо, е (ctо) >. О
Оп р е Д е л е н и е. Для множества Х кардинал 'ХI
из теоремы 7 называется МОЩIЮСТЬЮ Мllожества Х.
Очевидно, что lal  а для ординала а и а тоrда и
только Torдa является Rардиналом, :коrда I а I == а. 3a
метим, что определенное в начале параrрафа отношение
IX\  I УI на множествах Х и У соответствует отноше-
нию  на кардиналах IX! и I YI, введенному выше так:
"'1  "'2  ("'1 Е "'2 или "'1 -== ",). Дадим точное опреде-
ление свойства быть конечным множеством, которым
ранее мы пользовались интуитивно.
О п р е д е л е н и е. Множество Х называется -поnеч-
НЫ.М, если 1XI Е Ф, И счетным, если 'ХI == Ф.
Если Х  не конечное множество, то rоворим, что Х
бесконечно. 8аме1'ИМ, что существуют бесконечные не-
счетные множества, более Toro, в силу теоремы 5 мощ-
ность любоrо множества Х меньше мощности множе
ства Р (Х). Так как (U  наименьший бесконечный кар-
динал, то счетные множества имеют наименьшую мощ
насть среди беСRонечных множеств. Очевидно, что ко-
нечное или счетное множество Х можно представить в

88
rл. 2, ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
виде Х == {anlп Е Ш}, при этом последовательпость
ао, аl, ..., а n , ..., ПЕШ,
будем называть пу.иерацuей ,множества Х. Ясно, что если
у s= Х, то I УI  \XI. Заметим, что бесконечный карди
нал х не может иметь вид сх + 1 == сх U {сх}. В самом де-
ле, так как сх  бесконечный ординал, то по предло
жению 2 Ш s;;; сх, поэтому отображение f: а + 1'"'* а, для
KOTOporO
[ '
f () == !о "
 + 1,
если  ф Ш U {а},
если  == aJ:
если  Е Ш 1
будет разнозначным, следовательно, 'а+ 11 == lаl  а.
Докажем следующую ваншую теорему.
Т е о р е м а 8. Если J.тожеСТ80 А беС1iонечпо, то
IAI == /А 2 1.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Отображение f: А --+ А 2, для
KOToporo На) == <а, а>, будет разнозначным, следователь
но, IAI  IA 2 1. Предположим, что 'А21  IAI пе выпол
пяется. Тоrда мпожество
Х == {аl а  беСI{онечный Кардинал, сх  IA I и а < 1(';(.21}
не пусто, и пусть (';(.0  наименьший элемент множества
Х. Определим на множестве a отношение :
<1' 2) 
(шах {1' 2} < шах {1'17 1'2} ИЛИ
 <1'1' 1'2)  1 шах {1' 2} == шах {1'1' 1'2}, 1 < 1'1' или
lшах {1' 2} == шах {1'I, 1'2}, 1 == 1'1' 2 1'2'
Очевидно, что   линейный порядок на a. Кроме
Toro <(';(.,)  ВПОЛllе упорядоченное множество, так
как для любоrо непустоrо подмножества У с:: a суще
ствуют непустые подмножества
У 1 == {<, 1> Е Ylmax {, 1} 
 тах {', у'} для любых <', у'> Е П,
Y2=={<' y>EYII' для любых <', y')EY 1 },
Уз == {<, у> Е У 2 1у  у' для любых <', у') е У 2 }
п очевидно, что Уз содержит ровно один элемент и он
является наименьшим по отношению  элементом У.
Тан как а о < I (';(. 1, то по теореме 3 <ао, е (а о ) > подобно

I 13/ МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
89
начальному cerMeHTY Z === о «'o, 10> У вполне УПОРЯДО
ченпо1'О множества <at ).
ПУСТЬ 60 === тах {o, 1 о}, Torдa очевидно, что Z!;;j
s; (60 + 1) 2. Так нак ао беСI\опечно, то Z и 60 также бес
конечны и 160 + 11 == 160 I < ао. Torдa по выбору карди
нала ао имеем
ао === !Z!  1 (60 + 1)21  160 + 11 < а о ,
получили противоречие. О .
С л е Д с т в и е 1. Пусть А, В  },шожества и хотя бы
од по из пих беС1iопеЧ1Ю, Toдa
а) если A=F и B=F, то IAXBI==max{IAI, IBI};
б) 'А U ВI == тах {IA 1, IBI}.
Доказательство. Пусть 'АI ==max{IAI, IBI1.
а) Пусть Ь о ЕВ. Torдa отображение f: А -+ А Х в,
для KOToporo f (а) == <а, Ь о >, разнозначно, поэтому 1 А 1 
 'А XВI. Из 'ВI  'АI и предыдущей теоремы полу
чаем
'А Х ВI  'А21 == IAI.
б} Очевидно, что IAI  'А U BI. Пусть f: В -+ А 
разнозначное отображение, Torдa отображение g: А U В -+
'"-+ А Х {О, п, для KOToporo
{ <а, О), если а Е А"
g (а) == <fa, 1), если а Е в",,-А,
будет разнозначным, поэтому из утверждения а) по
лучаем
'А u ВI  'А Х {О, НI == IAI. о
с л е Д с т в и е 2. а) Если А беС1>опечпо, то IAkl ==
"'" 'А I для любоо патуральпоо k > О.
б) Если А беС1>опечпо и A*==utAklkEro}, ТО
IA*I == IAI.
в) Если W  мложество слов алфавита А =F, то
I W j === тах { I А 1, ro}.
Доказательство. а) следует из следствия 1 а)
ИНДукциеЙ по k.
б) Пусть fk: A k -+ А, 0< k < ro, разнозначные OTO
бражения, существующие B силу утверждения а). Тоrда
отображение f: А * -+ ro Х А, для KOToporo
« О, а), если а === eJ Е А О " "
fa ===' k ( О kl )
(k 1 fka)l если а Е А "" А U ... u А 1 k> 01.

90
1'л, 2, ТЕОРИЯ МНОЛ:ЕСТВ
будет разнозначным, поэтому в силу следствия 1 а} по
лучаем IA * I  100 ХА 1 :== IA 1. Обратное неравепство
IAI  IA*I оче13ИДНО.
в) Так кан для а Е А слова а, аа, ааа, ... попарно
различны, то (о  I ТУ 1. Если А беСI{онечно, то утвержде-
Iше в) следует из утвершдепия б). Еслн IAI ==пЕ(О,
то очевидно, что I ТУI  1 (0* 1, и снова по б) получаем
ITYI  т. О
Упражнения
1. Показать, что множества целых, раЦIIональных II алrсбраи
чеСКIIХ чисел счетны.
2. Показать, что МIТожества деЙствительных и !\ОThшлексных
чисел равномощны, а множества деЙствительных и натуральных
чисел не равно:мощны. СУ к а з 11 II II е, Заметить, что мощность
множества действительных чисел IJзвиа [Р (ы) 1, и применить Teo
рему. 1\3HTopa.)
 14. АI.СIЮl\Ш выбора
Определим мнотества V а, rде а  ординал, следую
щим: образом:
а) V o "'" 0;
б) Va==P(V), если а==р+1;
в) V а == U V [3, еслп а  предеJIЬПЫЙ ОрДIlнал.
[3<а
Аксиома, утвеРtIщающая, что ДJIЯ люБОl'О мпожества
Х существует ОРДIшал а, ДЛЯ KOToporo Х Е У а , пазы
вается аксио.лtой РСi3УЛЛРliОСТU, ТaIШМ образом, по
aI{споме реrулярности каждое 1I1ножество получается на
неКОТОРОIlI шаrе «реJ'улярноrо процосса», прп НОТОрОМ:,
ПСХОДН пз пустоrо множества, па IШЩЦОМ ШaI'е получа
ются все множества, элементы J{OTOPbIX уже получены
на преды,l,УЩИХ шаrах. Это вполне соrласуется с Ha
шими ИНТУllТIIВПЫМИ представлениямп об образовании
мнотеств.
Ан:сиома реl'УЛЯрllОСТИ ПОЗВОШfОТ н:юпдому множе
ству Х сопоставить ордипал р (Х), I\OTOpbIii н&3ывается
paпzo.M Х и определяется как наИl\1еньшиЙ ординал, для
I\OTOpOro Х Е Vp(X)' Очевидно, что если Х Е У, то р (Х) <
< р (У), поэтому в силу предложения 13.4 из Ю{СИОIlIЫ
реrулярности следуют следующие Два утверждения:
1) не существует последовательнuсти Х о , Х 1 , ...
..., Х n , ..., для r:оторой Хn+l Е Ха, п Е 00;
2) любое ненустое мпожество Х имеет элемент а Е Х,
для KOTOpo1'O а n Х .:: 0.

I 16, А.НСИОМА ВЫБОРА
91
АI\сиома реryлярности на самом деле равносильна
I\аждому ИЗ утверждений 1) и 2). Действительно, если
Х n +! Е Х" для n Е 0), то множество {Xnln е О)} противо
речит условию 2), следовательно, 2) => 1). Заметим,
что если для любоrо элемента а множества Х суще
ствует ординал (a), для ROTopo1'o а Е V(a), то. Ха V r ,
rJIe "? == (U {(a) I а Е Х} + 1). Поэтому если а о не при
nадлежит Va. ни дл.я RaHo1'O ординала а, то существует
аl Е а о , RОТОРЫЙ также не принадлежит Va. НИ для
KaRoro а. ТаRИМ образом, если аRсиома ре1'УЛЯРНОСТИ не
выполняется, то существует таRая последовательность
а n , n Е 0), что а n + 1 Е а n , n Е 0), т. е. 1) также не выпол
ияется.
АКСИОМЫЭRстенсиональности и ре1'УЛЯРНОСТИ нала-
1'ают определенные условия на отношение EiI (принад
Ш:!ЖНОСТИ) и lCa (равенства), т. е. в определенном
смысле оrраничивают «универсум», состоящий из JrIНO
жеств. АRсиома выбора, наоборот, утверждает, что в
этом «универсуме» должны существовать определенные
множества, если неноторые уже существуют. Однано в
ДОRазательствах мы свободно ПОЛЬЗ0вались и дрyrимп
условиями существования множеств, например, мы' об
раЗ0вывали объединение А U В двух множеств А и В,
рассматривали множество-степень Р (А), считали, что в
нашем распоряжении «имеются» натуральные числа
п Е 0). Все условия существования множеств, ноторые
мы ИСПОЛЫJовали (нроме аRСИОМЫ выбора), вытеRают иэ
следующих аRСИОМ «существования»:
1) Существует пустое множество 0.
2) Если существуют множества а и Ь, то существует
множество {а, Ь}.
3) Если существует множество Х, то существует MHO
жество U Х == {t I t Е х для HeRoTopo1'o х Ei Х}.
4) Существует множество (j) =- {О, 1, .." n, " ,}, rде
О == 0 и n + 1 == n U {n}. .
5} Если существует множество А, то существует MHO
жество Р(А)== {E!Bs=A}.
6) Если Ф (х, у)  неноторое условие на множества х,
у таное, что для любо1'О множества :.с существует не бо
лее одно1'О множества у, уДовлетворяющеrо условию
Ф (х, у), то для любо1'О множества а существует MHO
н,ество
{Ы Ф (с. Ь). для HeRoTopo1'o С Е!! а}.

92
rл, 2. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
При м е р 1. Покажем, что из аксиом 5) и 6) следует
существовапие множества АЗ == {(а, ь> I а, ь Е А} дЛЯ лю
601'0 множества А.
Так как (а, Ь> == {{а}, {а, Ь}}, то АЗ s; Р(Р(АП.
Пусть
ФО (х, У) -<=> (существуют таRие а, Ь Е А,
что х=={{а}, {а, Ы} и у==х).
Тоrда множество А 2 равно {ы
о(с,, Ь), СЕР(Р(А»} и
по аксиоме 6) оно существует.
Систему аксиом 1)  6) вместе с aI{сиомами зкстен
сиональности и реrулярности назьiвают системой ancuo.t
Церме.ltО  Френ-пе.ltЯ (обозначают ZF). Систему ZF
вместе с аксиомоЙ выбора обозначают через ZFC *).
в рамках теории ZFC можно изложить все общепри
нятые в современноЙ математике способы рассуждениЙ.
Можно даже сн:азать, что на современном этапе разви
тия матемаП\:1Ш тю,ан (шереводимосты) n ZFC является
мерилом м:атематичесн:оЙ строrости. (П рапда, это оспа
ривается интуиционистами и конструнтиnистами, но их
воззреНИII мы в этоЙ н:ниrе не касаемся.) Таким обра
30М, формальныii вывод из aI{СИОМ ZFC ММIШО принять
в Rачестве разумноrо уточнения понятия математическо
1'0 дон:азательства **). Точпая формулировт{а этоrо поня
тия имеет большое значение и составляет одну из цент-
ралыJхx задач м:атематичеСIЮЙ лоrики. ТОЛЬRО при
наличии соответствующих точных определений м-ожно
установить недоназуемость и независимость ны{оторых YT
верждепиЙ. Тан: было дон:азано, что множеству деЙстви
тельных чисел можно без противоречия приписать прат{-
тичесн:и любую мощпость. То обстоятельство, что пра-
вилыюсть формальноrо докаRателъства леrн:о проверить
на машине, явилось отправным пунн:том для перспен:тив
пых IIсследованиii по машинному поисн:у ДОRазательств.
ИсторпчеСIШ 1'лавную роль в создании ZFC сыrралп про
ТПllоречия (<наивной» теорип мпожеств. Нан же обстоят
дела с непротиворечивостью ZFC? В paМl{aX ZFC НИI{а
*) Для точноrо определепия понятия условия Ф (х, у) в ак-
сиоме а) мы отсылаем читателя к понятию формулы сиrнатуры
o, содсржащей лпшъ один двухместный преДИI\аТНЫЙ сиывол Е
(см. rлаву 3). 3аметим, что все аксиомы ZFC можно записать в
виде предложений сиrнатуры o. ,
**) под формальным выводом понимается вывод в исчислении
преДИI{атов (см. g 22). .

g 14. АRИОМА ВЫВОРА
93
I\ИХ противоречий до сих пор де обнаруа;ено. С ДРУ1'ой
сторопы, было ДОRазано, что если ZFC непротиворечива,
то этот факт нельзя установить средствами этой теории.
В ZFC имеется семь аRСИОМ, утверждающих суще-
ствование неноторых множеств. АRсиома выбора среди
них заПИI\1ает особое место. Она, повидимому, является
наименее «очевидной». Доло в том, что множества, cy
щоствование I\ОТОрЫХ утверilщается в а!{сиомах' 1)  6) ,
определяются однозначно (например, сумма множества
U Х однозначно определена по Х), фУНRЦИЯ же выбора
для непустых подмножеств' Х определена неоднозначно.
Более Toro, если существует условие, определшощее oд
нозначно функцию выбора' для непустых подмножеств
Х, то Тоrда существование фУНRЦИИ выбора дЛЯ
Р(Х) \{0} МОiIШО вывести без аксиомы выбора (т. е. в
ZF). Наличие таRОЙ неопределенности объеRта, суще
ствование ROToporo утверждает эта аRсиома, а таюке
неноторые ее следствия, не СО1'ласуIOщиеся с (<наивной»
интуицией, вызвало' мноrочисленные споры вонру1' aH
сиомы 'выбора среди математиков в, начале ХХ в. He
ноторые даже считали, что она навеРНЯRа должна при
вести к противоречию. ОдпаRО после результата К. rё
доля оравнонепротиворечивости ZF иZFС эти споры
в основном утихли. Тем не моне е, до сих пор иноrда
стараются приводить, если это возможно, ДОRазатеЛI;>
ства, не использующие аксиому выбора, считая такое
ДОRазательство более (<l{ОНСТРУКТИВНЫМ»,
Оставшуюся часть параrрафа мы посвятим теореме,
ноказывающей, что аксиома выбора ЭRвивалентна
(в ZF) неRоторЫI\-L своим следствиям, доказанным в пре
дыдущих параrрафах.
Т е о р е м а 9. Из Ш.сиОJt ZF Jtожно вывести Э1>вива
деnтнОСТЬ С/lедующих утверждений: .
,а) anCUOJta выбора: д/lЯ /lюбоео непустоео ШlОЖе
ства А существует тапое отображение h: (Р (А) \{0})--+
--+ А, что hB Е В д/lЯ всех В s;;; А, В =1= 0; ,
б) принцип подноео упорядочения: д/lЯ /lюбоео MHo
жества А существует отношение U s;;; А 2, для 1>OTOpOO
<А, и>  вполне упорядоченное Jt1tожество;
в) nринцип JtanCUMYJta: если в частично уnоря{}очеll
HOJl множестве Щ == <А, и> 1>аждая цепь имеет верхнюю
ерань, то  имеет JlапСUJtaЛЬНЫЙ элеJtент;
r} если мпожество А беспонеЧllО, то 'А 2 1 == !AI.

94
rл, 2. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
д о R а з а т е л ь с т в о. В силу теорем 1, 2 и 8 в ZI"
имеют место а)*в), а)*б) и а)* 1'), l{роме Toro, прп
доказательстве теоремы 2 показано, что в ZF имеет Me
сто В) * б). Поэтому достаточно из анеИО)l ZF вывести
б) '* а) и 1') * б).
б)* а). Пусть (А, И)  вполне упорядоченное мпо
жество. Возьмем в Rачестве Ф (х, у) следующее условие:
Ф (х, у) -<:=>- (х, U n х 2 )  вполне упорядоченное множе-
2 2
ство, У  упорядоченная пара, 'ЛIУ  х И 'Л2У  наи
меньший элемент (Х-' U n х 2 ». Очевидно, что для любо
ro х существует не более одноrо у, для KOToporo
выполняется Ф (х, у). Из аксиомы 6) получаем, что cy
ществует мпожество
hr:={(B, а)/Ф(В, (В, а», BE(P(A)\{.Q1})}.
Ясно, что 'h: (P(A)\{.Q1})A и h(B)EB дЛЯ Bs;A,
В =1= .Q1.
r)  б). Так как (n, 1': (п»  вполне упорядоченное
:множество для любо1'О n Е (j), то достаточно рассмотреть
случай, КО1'да А беСRонечно. Из аксиомы 6 ) следует ey
ществовапие множеетва
w -= {[1 s; А 21 (п (и), [1)  вполне упорядоченное
MHOiI\eCTBo} ,
rдe D ([1) ==; {а Е А I (а, Ь) Е [1 или (Ь, а> Е U для HeKO
Toporo Ь Е А}. Если U Е w, то через (Х (И) обознl).ЧИМ
тип множества (D ([1), и) (предлотение 13.5). По ан-
сиоме 6) существует множество V == {(Х ([1) 1[1 Е vV}.
Ясно, что V равно множеству {(Х I а  ординал и ) а I 
.:::;; 'А !}. По предложению 13.3 (ХО == U v является op
диналом. Если существует разнозначное отображение
f: (Хо..... А, то {fl Е (хо} ...А, тан как в противном слу
чае отображение f U {«(хо, ао)}, rдe а о Е А \ {f I  Е (Хо},
будет разнознаЧllО отображать (ХО + 1 в А, следова
тельно, (ХО + 1 s; (Хо, что невозможно. Тан:им образом,
либо имеет место I (хо I се I А 1, либо I (ХО I  I А I не имеет
:места. Если \(хо\ са IA 1, то из вполне упорядочеННОСТlI
«(хо, е ((хо) > получаем вполне упорядоченность (А, и> для
HeROTOpo1'O и s; А2. Пусть l(Xo\  IA I не имеет места. ИlI
ДУRцией по n Е (j) лешо получить, что I n I Е;;; I А I для Лlо
бо1'О n Е (1), следователыl,, ао  бесконечный орДi1па:т.
РаССllIОТрИl\1 мношество Х == {«(Хо, а> I а Е А}. Очевидно,


 Н, АКСНОМА ВЫБОР А
95
что IXI==IA\ и хп(хо==)о. Для простоты равномощ
ность IEI а=: IPI будем обозначать через Е..... Р.
Заметим, что еслп I УI  IZ! и Z бесконечно, то У U
U Z ..... Z. в самом деле, если g: У  Z  разнозначное
отображение, Z\, Z2 Е Z, Z\ =1= Z2, то отображение t: у u
U Z  z2, для KOTopo1'o
{ <Zl' ga)l если а Е У,
fa  <Z2' а)l если а Е Z'""Y{
разнозначно, поэтому 'У U Z!  IZ2'. ИЗ 1') имеем !Z 2 1 ==
== IZI, следовательно, I у U Z!  IZI. 'словие \ZI 
 I у u' Z I очевидно. ПОJIЬЗУЯСЬ этим фактом и условп
ем т), получаем
CG o U Х /'-' (а о U Х)2 == a U ((хо Х Х) U х 2 U (Х Х (хо) /'-'
/'-' а о U ((ХохХ) U Х U (Х хао) /'-' (а о хХ) U (Х хао) /"OJ а о хХ.
Таюrм образом, (ха Х Х == с U D, тде С  (ха И D "'" Х '" А.
ПОШJжем, что ((Ха Х {Х}) п С =1=)0 для любо1'О Х Е Х.
13 самом деле, в противном случае ((Ха Х {Ха}) s; D для
НeIютороrо ха Е Х, следовательно, I (ха Х {Ха} I  !DI. Так
Еак (Ха..... ((ха Х {Ха}) и D '" А, ТО это противоречит тому,
что условие !аоl  IA I не выполняется. TaR RaR С", (ха
И <(ха, 8 (ао) >  вполне J'порядоченпое множество, то cy
ществует И s; Cz, д.'JЯ I\OToporo <с, И>  вполне упоря
дочепное множество. Используя ar,сиому 6), ле1'RО ПОJIУ
ЧI1ТЬ отображение t: Х -+ с, ДJIЯ ноторото ta равно паи-
меньшему по отпошеншо И элементу из ((ха Х {а}) п с.
ОqеюiДНО, что t  разнозначное отобрашение. 'Утвершдс
ние т) => б) получаем теперь из А..... Х и вполне упоря
доченности <ПХ], и п (![X])Z). о
Упражнение
1. Показать, что ю;сиоиа выбора эквивалентна в ZF следуIO
щему утверждению: если М  разбиение множества А (см. ПрIl
ыер 10.1), то существует отображение g: М -+ А, дЛЯ которOl'О
g(m) Е т, т Е М, rп =1= 0. СУ к а з а н и е. Рассмотреть разбl1tШШJ
{т(В) IB Е Р(А)\{)О}}, rде т(В) == {<В, a>la Е В},)

96
rлава 3
ИСТИННОСТЬ НА АлrЕБР АИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
f 15. Алrебрапческие системы
Часто объеI{ТОМ изучения в матемаТИRе служит MHO
жество вместе с определенноЙ на нем структуроЙ, напри-
мер, множество треуrоЛЬНИКОВ с отношением подобия,
множество деЙствительных чисел с операциями сложения
и умножения, множество веЩественных функций со свой
ством дифференцируемости и операцией дифференциро
nания и друrие. В атом пара1'рафе МЫ дадим одно из
уточнений этоrо попятия, введя определение алrебраи
ческой систеМЫ.
Оп р е Д е л е н и е. Уорядоченная тройка I ==>
== <R, Р, /l> называется СИ8патурой, если выполняются
сЛедующие условия:
а) множест:ва R и F пе имеют общих элементов;
б) /l является отображением множества R U F в ffi.
Элементы множества R называются символами OTпo
шепий или преди-патов. Элементы мнotкества F назы
ваются символами операций или фуп-пций. Отображе
вие /l называется отображепием местпости или арпости
для 1:. Если t (q) == п, то q называется пMeCTHЫM пре
ДИRатным символом при q Е R и пMeCTHЫM функцио
нальны'м: СИМВОJIOМ при q Е Р. Оместный функциональ
ный симво.'l называется символом константы или просто
I{онстантой.
Часто для удобства будем представлятъ Rонечную
или счетную СИ1'натуру 1: == <R, Р, /l) в виде
'5',  ( rf.L(r 1) r f.L(r n ) . j f.L(f 1) . j f.L(fk) . . . . , Cl, . . .
.....  1 1." -1 n 1.. ., 1 1.' . ., h 1
..., Ст, .. .),
1'де r" fj  символы отношений и фУНlщий, не являю
щихся Rонстантами, Ck  Iюнстанты сиrнатуры 1:. Все
сиrнатуры в дальнейшем будут обозначаться буквой 1:
(возможно, с индексами), множество их символов OTHO
щений  через R, множество СИМВО.'lов операций  че

s 15, АЛl'ЕБР.ШЧЕСI\IIЕ СIIСТЮIЫ
97
рез Р, а отобраа\ение арности  через 11 (с соответству-
lOщими индексами). Будем rоворить, что cIIrnaTypa 
содерrН:ИТСЯ в сиrнатуре I (обозначаем L S:; L 1 ), есдн
R s:; R 1 , F s; Р, и 11 s:; 111. ,Если Х s:; R U Р, то сиrнатуру
L} (R n Х, F n X,v. [.А) пазов ем оrраничением СИ1'на-
туры  на множество Х (обозначаем l::::: t Х). Мощ-
ность множества ни F называется мощностью сиrнату-
ры  === <R, Р, 11> и обозначается через I  1. Если Ln S;
S; L п +l, 11 Е Ш, то через U Ln обозначаем сиrнатуру
ПЕШ
/ U Rn, U Рn, U Iln"'-.
"'-n:;::<iI 'ns<o nS<il /
Если RUF=I=ef и F==rzJ (R==rzJ), то сиrнатура L
называется nредu-патной (фун-пцuоnальной). Если
R U F == rzJ, то сиrнатура L называется пустоii.
Оп Р е Д е л е н и е. 'Упорядоченная пар  == (А, ")
называется аЛ8ебраuчес-пой сuсте.МОЙ СИ8нату ры L, еСJrи
выполняются следующие условия:
а) А  непустое множество;
б) "  отображение множества R U F в множество
отношений и операций на множестве А;
:в) r Е R => " (т) является /l (т) -местным отношенисм
на А;
т) f Е F => " (1)  f.! (f)-местная операция на А.
Множество А называется носuтеле},! , "  иптерnрета-
цией сиенатуры L в А. В дальнейшем вместо " (r) бу-
дем часто писать просто T или даже r, если ясно, о на-
кой  идет речь.
Алrебраические системы в дальнейшем будут обозна
чаться 1'отическими буквами , , .,. (возможно, С ин-
дексами), а их носителп  соответствующими латин-
скиш буквами А, В, ... (с соответствующими индекса-
ми). Мощносrью алеебраuчесnой cucreJllbt будсм назы-
вать мощность ее носителя А. ДЛЯ краткости БУДЮI
часто опускать слово «алrебраическаю> п называть 
просто системой.
Оп р е Д е л е н и е. Отображение f: А  В называется
80JlИ:МОРфuзJ'rlО.?t алrебраическоIi спстемы  cIl:rнaTYpы L
в систему  той же сиrпатуры L, если ВЬШОЛШIЮТСЯ CJIC-
дующие условия:
а) если qr=.R и /l(q)===п, то длл всех al, .", а"ЕА
(a 1 , ..., а п ) Е q( => (!а н . . " !а,,) Е q'5;
7 10, 11, Ершов, Е. А. Па:rюТiЩ

98 1'Л, 3, ИСТIIННОСТЬ НА .ШfЕБР.\ПЧЕСIШХ СПСТE:lIАХ
б) ес:ш qEF п t(q)==п, то для всех аl, ..., а"ЕА
1 (q (а 1 , ..., а n ») == q"В иа 1 , . . ., la n ).
Еслп 1  rомоморфизм  и '-8 п 1[...4] == В, то 1 назы-
вается 80.1tоморФиз;мюt  На '-8, а !8  80.1tОlftoрфНЬМt об-
разом . .
РазнозначпыЙ rомоморфизм 1  на '-8, для которото
Ij  также rомоморфизм, называется изо.морфизмо;м 
на !8 и обозначается через 1: .:::+!8. Еслп существует изо-
.1tорфизм 1:  !8, то системы  и!8 называются иЗОJltорф
ными и обозначается это так:  !8. Изоморфизм 1 си-
стемы  на  называется авТОlftорфиЗJrtом системы .
Предложение 1. а) Еслиl:::::;'!8, то IJ: !8::::;..
б) Если 1:   1 и g: 1':::+ 2' то (fg):   2'
в) id A : ::::;..
д о к а з 11 т е л ь с т в О нолучается пепосрественно из
определения изоморфизма. О
О п р е Д е л е н и е. Система  называется nодсисrеlftОй
системы !8 (обозначаем  s;;;!8), если выполняются сле-
;'I,ующие условия:
а)  и !8 имеют O;J.HY Il ту Fl,е сипraтуру;
б) А s;;;B;
в) множество ...4 замкнуто относительно операций
'V (п, 1 Е Р;
т) отношения и операцни 'V (q), q Е R U Р, в  яв-
ляются О1'раничением на А соответствующих отношениii
и операций 'V (q), q Е R U Р, в !8.
ЕсJШ А =1= В, то  s;;;!8 называется собственной под-
системой !8. Если  s;;;!8, то !8 называется надсистемой .
Из определения подсистемы следует, что две подси-
стемы j, 2 системы !8 с одинаковыми носителями сов.
падают. С ДРУ1'ой стороны, если неПустое подмножество
В ! s;;; В замкнуто относительно оиераций системы !8, то
В! является носителем некоторой подсистемы !8 1 s;;;!8.
Таким образом, существует разнозначное отображение
множества непустых замкнутых относительно операций
!8 ПОДМНОil,еств В на множество подсистем !8. Это ото-
бражение MOil\HO продолжить на все непустые ПОД1',шо-
жества В. А именно, имеет место
Пр е Д л о ж е н и е 2. Если '-8  аЛ8ебраичесая си-
стема, Х s;;; В, Х =1= 50, то существует таая eдиHCTвeH
ная подсистеАЩ !8 (Х) s;;;!8 с ltйсителеlft В (Х) , что Х s;

!I 15, А:1rЕБР.АIIЧЕСIШЕ СПСТЕ!liЫ
99
s; в (Х) и !В(Х) s  для любой подсистемы  S!В, для
оторой Х s А.
Доказательство. В Rачестве В(Х) берем пере-
сечение носителей А всех подсистем  s!В, содержащих
Х. Тю\ как Х s В (Х), то В (Х) =1= g. Кю\ уже отмеча
лось вьппе, В (Х) ЯВ,ТIЯстся носителем единственноЙ по;-
спстемы !в (Х) s!в. о
О пр е Д е л е н и е. Подсистема !в (Х) s!в из предло-
а,ениЯ 2 называется под системой, порождепuой мпоже-
ством Х в !В. Если Х == {а" ..., а,,}, то !в (Х) обозначаем
также через !в (а" ..., а n ). Если Q3 (Х) ==!В, то 1'оворим,
что система !в llорождается множеством Х.
Множество алrебраичеСI\ИХ систем {ili Е J} называ
ется uаправлеuным множеством алее6раичес-пих систем,
если 1 =1= g и для любых i, j Е 1 существует k Е 1, для
ROToporo ; s k II j S k' Из определения следует, что
все системы направленноrо множества систем имеют O:l
ну СИ1'натуру.
Предложение 3. Если {iliЕJ}uаправлети-lOе
м.южество алеебраичесих систем сиенатуры , то су-
ществует единственная система  та-пая, что ; s  для
всех i Е 1 и  s!в для любой системы !В, для -по торой
; s!В, i Е 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Носителем  будет множество
А == .U At. Пусть {а" ..., а n } sA. ТО1'да и определения'-
tGI
направленно1'О множества следует, что существуеt: такое
i Е 1, что {а" ..., а n } s A i . Пусть <а" ..., а n ) принад
лежит ,,(s), s Е R U F, точно тоrда, Iюrда (а" ..., а n >
'!{,
принадлеа\Ит " '(s). Такое определение не зависит от
выбора i Е 1, так I\Ю\ если {а" ..., а n } s A j , то суще
СТВу'ет таRая k, что ; S k И j S k' Следовательно,
,,'J., (r) n {<a 1 , ..., ап)}, r Е R, и ,,, (f) (a 1 , ..., а!,), j Е F,
для l' Е Н, j} совпадают с соответствующими" 'W. k (r) n
n {<a 1 , ..., а п )}, rE R, и ,,rh (1) (a 1 , ..., а п ), j Е F.BTopoe
утверждение предложешш 3 и единственность  оче
видны. О ,
Система  из предложения 3 называется объеаипе
иием систем i, i Е 1, и обозначается так:  == u i'
iEI
ОП Р е Д е л е н и е. Алrебраическая система  сиrна-
туры  называется 060еащеuиеА{ систеА!Ы 1 сиrнатуры
" если выпоаняются следующие условия:

100 1'.'1, 3, ПСТlIННОСть НА АЛ1'ЕБРАIIЧЕСIШХ СПСТЕМАХ
а) А A!;
б) l;l (Rl U F 1 );
{ 
в) v 1  V HR 1 U F д.
Если система  СИ1'натуры l; является обоrащением
системы 1 сиrнатуры l;!, то 1 называется обеднеnиелt
системы  до спrнатуры l;! и обозначается через  t l'
Е "" / .11(r ) t(rn) . / 11(11) / 11(/k) .
сли   ' 1 1, ..., r n ,. . ., 1 ,. . ., k ,. . . ,
'"
Сl, ..., С т , ... /, то алrебраичеСI{JЮ систему  сиrна
туры l; часто будем обозначать так:  === <А, !...!, ...
..., r", ...; /1, ..., /k, ...; С 1 , .." С т , ,..>, 1'де r", /k, С т
обоЗ-;ачают OOTBeTTBeHHO тноше;ие y (r n ), перци
'\''!( (fhJ и значение нонстанты y (Ст) на множестве А.
Il р и м е р 1. Алrебраическая система  == <N, + ,
О, 1>, rде N == (()  множество натуральных чисел,
+ л -::.  операции сложения и умножения, Q. == о,
.!.. == 1, называется арифlftети1'iОЙ натураЛЫ-lЫХ чисел или
просто арифметикой. Заметим, что  не имеет нодсистем,
ОТЛИЧНЫХ от нее самоЙ. Функциональная сиrнатура
1 == <+2, .2; О, 1> называется сиrнатуроЙ колец с еди
шщеЙ. Однако не все аЛI'ебраичеСRие системы сиrнату
ры :l;1 будут кольцами. Для ЭТО1'о необходимо, чтобы
операции удовлетворяли определенны?t1 условиям (aK
СIIомам Rолец). Арифметика  не является RОЛЬЦОМ,
а система .3 == <Z, +, .; О, 1>, 1'де Z  множество всех
целых чпсел (Z==То,1,2,--:..; 1, 2, ..J), +, .
операции сложения и умножения, О == О, 1 == 1, будет
кольцом. Заметим, что  s;;; .3. Сист-;;ма .3  называется
кольцом целых чисел. Система т == <R, +, ., О, 1>, rде
R  действительные ЧИСJIа, +, .  операЦIIИ ёложения
и умножения, Q. == о, 1. == 1,таRже является кольцом.
Система .3 является подсистемой т.
Il р и м е р 2. Фушщиопальная сиrнатура L2 ==-
== <.z, (1) 1; е> называется rРУППОБОЙ. rpyппou пoдCTa
новоn Jlt1-l0жества Х называется система <S(X), ., (!); е>
СИI'Патуры 2' rде S (Х) обозначает множество---;сё'Х paa
НОiЗначных отображений пепустоrо множества Х на себя,
.  IЮМ:ПОЗИЦИЮ отобращений, (I)  обращение OTO
браа,еl1ПЯ, .!!.  то;ндествепное ото бр аil\енпе. Dообще сп

s 15, А.:'1rЕБРАIIЧЕСhIШ СИСТЕМЫ
101
стеш
f(!  <А, ., (); :!..>
спrнатуры 2 называется
а 1 , а 2 Е А в fX выполняются
cJ!yтzoil, еСД11 для любых а,
сле!(ующпе равенства:
1) а ,(а 1 'a2)(a' а 1 ) - а2,
2) a'ee'aa,
3) а ' al  al . а  е,
тде  (п, а 1 ), () (а) записаны более l,paTHO !,ан а' а 1
и al. ЕС.тIII для любых а, а 1 Е А в fX выполняются еще
равенства
а) а . а 1  а 1 ' а,
то l'рупна fX называется абелевоЙ. Часто, чтобы подчерr,
нуть, что rруппа fX абелева, символы ., (1) Н е обозна
чаются через +, () н О соответственно. Примеро!
абелеВОll rруппы может служить rруппа целых ч:исс.'I
<Z, + , (=.); Q>, тде   слотение, (=.)  операция, пе-
реВОll,ящая т в т, :и Q  О.
Пр:и м е р 3. Если пред:икатная с:иrнатура  == <Q2>
системы fX состоит из одното символа двухместното OTHa
шенин Q, то fX  <А, Q..> называется rрафом. Если Q.. 
частичный (линейныЙ) порядо!\ на А (см.  11), то fX
называется частично (шшеЙно) упорядоченным мнаже
СТВО:М ШIИ нросто частичным (линейным) порядном *).
В этом случае <а, Ь> Е Q обозначается через а \!! Ь илп
просто через а  Ь. Частичный порядок fX называетсп
плотным, если из а  Ь и а +- ь следует существоваНIlе
такото с Е А, что с +- а, с+- Ь, а  с и с  Ь. Буде! TO
парить, что два линейных порядка fX и !в u....tеютодu
lшповые концы, если существование в { первоrо 11 HO
c.тreДHeTO элемента эквивалентно существованию соот-
петствующеrо Э.тIемепта в !В. Заметим, что подсистема
частичноrо (.тIинеЙноrо) порядна будет частичным (.тш--
неЙным) порядком, однано подсистема плотноrо линеif
ното порядка не обязана быть плотным линеiiпым по-
рядном (приведите контрпример ) .
Пр е Д л о ж е н и е 4. Если fX и !в  два счетных плОт
ных липейных порядка с одllнаковЫJltИ Конца....lИ, ТО
fX  !В.
Д о !{ а з а т е л ь с т в о.
 {bnlп Е ш}. Рассмотрим
Пусть А  {a"lп Е ш}, В,...."
мноа,ество G, состоящее нз
*) Это опредс.ТIСI!IIС не COBCCI совпа,,\аст с ОПРСДСЛСН1Iем Ч, у, М.
В  11 (ч. у. М, В  11  пара, а rраф  TpollKa), OAlraKO в СIIЛУ
паПICrо соrлашеппя обозначать rраф чrрrз (А, р>, rдс р s А2. это
не 6у:\ет вызывап, путаllПЦЫ.

102 r.l. 3, IIСТIШНОСТЬ IH с\.JrЕБР\]]ЧЕСIШХ СПСТЕl\НХ
тоораiI;онпii g: А 1 ""* В 1, У,J,Ов.'lОТВОРЯIOщпх СДО,J,УЮЩПl\I
УС,ТIOВIIЯl\I:
, 1) А, и В,  !{онечные ПОДl\шожества А и В COOT
ветственно;
2) g: (А])::::;:QЗ(В]), ОС:Пl А ! =1= 0;
3) еслп IJjl 0==211>0, то {Пu, ..., a,,Js;:A., п {Ь о ,...
..., bH\}s;:Bj;
4) есди 1.14,1 == 2n+ 1, то {а о, " " ан} s;: А, и при
n > О {Ь О , ..., bп'} s;: В,;
5) есЛи а Е А,  первый (последний) эдемонт , то
ga  первыЙ (послеJl:НИЙ) элемент QЗ.
Тю{ как 0 Е С, то G =1= 0. Пусть g: А 1 ""* В 1 принад-
лежит G и 'А,I 0== 2n. Из условия 3) получаем, что
МОЖНО выбрать а Е А \А" для I\OTOpOro {ао, ..., а п } S:;;
s;: А, U {а}. Возьмем такой элемент Ь Е В\В" что Ь 
 gc -<:> а  с для всех с Е А, и Ь  первыii (послед
ниЙ) элемент в Q3 тоrДа и только Torдa, коrда а  первыЙ
(последний) элемент в . ТаI\ОЙ элемент существует в
силу плотности Q3 и условий 2), 5) для g. Ясно, что
gU{<a, b)}EG. Если IA,I==2n+1, то, поменяв места-
ми  и , точно так Же можно найти пару <а, Ь> ф. g,
для которой g U {<а, Ь)} Е G. Следовательно, в частичном
порядке <G, S:;;), тде s:.;::  отношение включения, нет Ma
I,сималь:р:ых эле мснто;'- Torдa в G существует бескоиеч
ная цепь Х s;: G. И3 условиЙ 2) 4) следует, что объеди
пение элементов Х будет ИЗ0МОРФизмом  на QЗ. о
Упражнения
1. Попазать, что любая алrеGраичеСIШЯ система  счетноЙ
сиrнатуры  иыеет счетную или конечную подсистеМ)I 18 s;: '2!.
(У п а 3 а Н и е. Определим не более чем счетные множества В п ,
11 Е 00, слеДУЮЩИl\1 образом: Во == {а}, rдe а Е А, В п +! == В п U {Ь\ Ь
является значением функции системы '2! на элементах ыножества
Н"}, TorAa в качестве носителя 18 ыожно взять lIпюжество
В == U B1')
11Е6)
2. Для данной алrебраичеСI\ОЙ системы '2! пусть 8 ('2!) обозна
чает ыножество ее подсистем. TorAa система <8 ('2!);  >, rAe
<181, 182> Е  -<:>181 s;: 182, является решеткой (см.  11), если сиr-
натура  системы  содержит СИl\1ВОЛЫ констант.
3. Пусть система  имеет собственную ИЗOlilОрфНУЮ себе под
систему. TorAa '2! имет собственную изоморфную себе надсистему.
4. Показать, что система <N; +) имеет счетное число подси-
стем, а система <N; .)  IIесчетное
5. Показать, чтоесли [I < 00, то для любоrо п Е 00 сущест
пуеТ такое J\ОFечное :lIНOa,eCTBO Х СИСТe:ll сиrнатуры , что любая

s 16, ФОР:\П':JЫ спrНАП'РЫ 2:
1.03
систоra С!lпraтуры , имеющая 10ЩIIОСТЬ п, lIЗОlОрфпа однои аз
систем MIIOJf\eCTBa Х.
6. Чему равна минимальная 10ЩНОСТЬ множества Х из упраrt, '
непия 5, если  содержит лишь k Е ro одноместных иредикаТОll'?
. 7. Показать, что разнозначный rО10МОР'физм: lL: А,""* В си-
CTelЫ '2( на систему  функциональной сиrнатуры  является изо-
морфизмом '2( на . Построить приыер, НOI;азывarощий, что усло-
ВНС R =1= 0 па сиrпатуру  в этом утверШДСIШИ онустпть нельзя.
 16. ФОРIУЛЫ СllrнатуРЫ 
Зафиксируем шшоторое счетное множество V 
 {И; I i Е Ш}, элемопты KOToporo буде:\1 называть си.1lео.
ла,tu nеремеllпых или просто nepeMellllbUltU и обозначать
буквами х, у и Z, возможно, с индексами. Если в Ter,cTO
встречается последовательность Хо, ..., Х n переменных,
то всетда предполаrается, что Х; =1= Xi для i +- j.
О пр е Д е л е н и е. Множество Т (Z;) тер;мое сиеllату ры
Z;  <R, Р, !!> опредоляется по ИПДУIЩИИ:
1) переменные Х Е V являются термаl\IИ сш-на.
туры Z;;
2) если t" "', t n  термы сиrнатуры Z;, f Е F и
!! и)  n, то f и" .. ., t n )  Tepl\l сшнатуры Z;.
Напомним, что занись е (т" ..., Т n ) при n == О обо-
зпачает е; в частности, из 2) получаем, что символ
с Е F константы СИfпатуры Z; является термом сиrlIа-
туры Z;.
Таким обраЗОllf, термы  это слова (l-\Онечно, не вес
слова) алфавита V U F U {(,)} U {,}. Множество перемеп.
ных, входящих в терм t, обозначаем через FV (t). ЕС.,1I
FV (t)  50, то терм t называется константным lIJШ
Зal\ШПУТЫМ. Если t  терм сиrнатуры Z;, то запись
t(x" ...,'Х n ) будет обозначать, что FV(t)s:;;{x" о.., Х n }.
Эту запись также будем называть термом *).
О п р е Д е л е н и е. Пусть   алrебраическая система
сиrнатуры Z;. Отображение у множества Х s:;; V в А Ha
зывается ИllтерnреТ,ацией nepelitellllblX множества Х в Л.
Если FV (t) s:;; Х для терма t сиrнатуры Z;, то индукциеii
по длине t опредеШlем 311ачеlluе t'J1 [у] Е А терАИ t е 
nри Иllтерnретации "(:
*) Эта запись, конечно, как 1I буква t, ссть по терм, а обозпа
чеIШС (<<ШIЛ») терма.

104 r:r, З, IIСТШIНОСТL Н.\ .\:IrЕБР.\IIЧЕСlтх СIlСТЕМ.\Х
1) если t === х, х Е V, то t 91 ['\'1 === I'х;
2) если t===/(t" ..., Ц, /EF, то i[,\,J===v91(f)(t[YJ,...
. . ., t [,\,]).
Ясно, что если "(,: Х, -+ А, "(2: Х 2 ........ А  две пнтерпрс
тации, tET(), FV(t)sX,nX z II 1'1 tFV(t)=='\'2 tPV(t),
ТО t ['\'1] === t'lf. ['\'2J. Часто для кратности вместо tf!! (х 1 , ...
. . ., х n ) [,\,] мы будем писать, t fЛ (а 1 , ..., а п ), тде а, ==
=== j (Х,), ..., а " === j (Хn)' Если в тексте встречается запись
t (х" ..., Х n ), то следующая за этим запись t'lf. (а 1 , ..., а п ),
а" "', а"ЕА, будет обозначать t fЛ (х 1 ,.. " xn)[,\,J, 1'де "(
определяется тю\: "{Х, == а" i == 1, . . ., п.
Пр е Д л о ж е н и е 1. а) Если   алеебраичеспая cи
CTelJta СU811атуры , Х s А, Х 9= 50, то носитель А (Х)
подсистемы X) равen множеству {t 91 [,\,] I t Е T(L;),
1':FV (t) --+ Х!.
б) Если h  еОlJtо,;'rtорфизм алеебраичеспой систе,чы 
Cll811aTypbl L; в CUCTelJty QЭ, t (Х" ..., х n ) Е Т (L;) и а 1 , . .
...,аnЕА, то h(t'lf.(a 1 , ...,a п »)==t'.8(ha 1 , <.o,ha п ).
Доказательство. а) Пусть Y==(tf!!['\'JltET(L;),
'\': FV(t)--+Хl. Индукцией по длине терма t получаем,
что если t(x" ..., x,,)ET(L;) и а" .." а"ЕХ, то
t fЛ (а 1 , . .., а n ) Е В для любоЙ подсистемы Q3 S, дЛЯ
которой Х s В. Поэтому достаточно поназать, что У 3fШI\
нуто относительно операций системы . Пусть f Е F,
t(f)==т, t" ..., tmET(L;) и "(: (FV,)U...UFV(tm»-+
-+Х. ТоrдаvfЛ(t)(t['\'J, ...,t['\'J)==to ['\'JEY, rде t u ==
== f( t" ..., t n ).
б) Лешо ДОI\азывается индунцпей по длине t. О
Определение. Множество F(L;) фор,ул cиeHaTY
ры  == <R, F, IA-> определяется по индукции.
1) Если rER, t(r)===п и t" ..., (nET(), то слово
r (t" ..., t n ) является формулой сиrна-rуры .
2) Еслп t l , t 2 Е T(), то слово (1;:::: t i является фор-
мулой сиrнатуры l:.
3) Если Ф, Ч'  Формулн сu:rп!',туры ::>:, то (Ф 1\ Ч'),
(Ф V Ч'), (Ф -+ 'l') и 'lф  ФОРIУЛЫ СИI'l1дтуры :2.
4) Если Ф - формула сиrнатуры l:, :i,. е V, то 'v хФ
II 3хФ  формулы сиrнатуры l:.
Тarшм обра30I, l\пIOi-I{ество F () формул сиrнатуры 
СОСТОIIТ из IJeI{OTOpbIX c.тroп алфаппта V U R U F U {Л, V,
1:

 16. ФОРIу;rrы спrПАТУРЫ 1:
105
-+, 1, } U {У, З} U {( , )} u { , }. Например, если r Е П,
f, g, СЕР, t(r)==Il(g)==2, 1l'(f)==1, Il(C)==O, то СЛОВО
('Vu 1 3u 2 r (и 2 , f (v з » V I и 4  g (u 1 , С)
яВ:Iяется фОРIулоfr сиrпатуры :Е, в то вреыя как с,;rопD.
и 1  и 2 Ур 1 , С:::::::: V 1 V и 2 :::::::: С 1 ('r/v1r (f (u з ), и 2 )),
(3t'rr (Р l' U 2' U 1 ) V С:::::::: V З )
фОрIулаШI сиrнатуры :Е не являются (почему?). При
атом ИОСJrеднее слово является формулой, только друrой
сиrна туры.
Последовательность Ф некоторых символов будем Ha
зывать просто Фор;мулой, если она является формулой
некоторой сиrна туры. Если Ф  формула, то через :Е (Ф)
будем обозначать си:rнатуру, все символы которой BXO
l\ЯТ В Ф, И Ф является формулоЙ СIIПШТУРЫ :Е (Ф). Яспо,
что :Е (Ф) определяется по Ф однозначпо.
Подслово формулы Ф, I{OTOpOe само является фор!у
лой, называется подфор.мулой формулы Ф. Формулы
вида r (t[, "" t l1 ) И t[ :::::: t 2 , [де r  иредина тныЙ СИМВОЛ,
t[, t 2 , ".TepMЫ, называются аТОJlирuыlftu *), Атомарные
формулы, содержащие не более одно1'О сиrнатурноrо
сиывола, называются аТО.tliыJttu, Таким образом, aTol
ная формула сиrнатуры :Е ш!Сет один из слеДУЮЩIIХ
видов:
Ui::::::::Uj, C::::::::t'i! Vi::::::::C! Vj::::::::/(Vi o ' 0041 Vi l1 )(
f (Vi o ' .., Ui n ):::::::: Uj, r (\I 4' '1 ui n )" r 1
1';J;e с  ROHCTaHTa, f  функциональный СЮIВОЛ, а r 
преДИRатный символ сшнатуры :Е. Сшшол  называ-
ется СZl,ltвОЛО.lt равепстйа ИЛИ просто paBeHcTBOI. СИJ\1
волы 'V и 3 называются соответственно 1'ieaUTOpalftU вce
оБЩ1l0сти II сущестеоеаllllЯ. Заиись 'V х (запись 31')
читается <<для всех Х» «<существует х»), Формулу, не
содержащую Rвапторов, будеы иазывать беСI\ванторноii,
Доказательство следующих трех иредложений явля
ется ПО существу повторением доказател.ьств преДЛОJI\е
ппй 2,1, 2.2 и слрдствпя 2.1 соответственно. {PaCCMOT
рение случаев, Rоrда фОР:\Iула начинается о нванторов,
не отличается ио существу от раСС:\Iотрения :в УI\азанных
*) в неl\ОТОРЫХ ЮIИrах тапие формулы называются элеlентар
ными, но ыы Этот т('ршн употреблять не БУД('I.

10(\ 1':1, 3. IIСТIIННОСТЬ К\ А:JТЕJJР.\ПЧЕСIШХ СПСТЕ:\IАХ
ПРСДЛО;Ь:СIlПЯХ случая, 1\о[,'"(а фОР:\Iула начинается с OT
рпцания,)
Пр е Д л о ж е н и е 2. ВСЯliая неатомарная формула Ф
снснатуры :Е представш!а в oдHO.! и талыш oдHO.! иЗ
с.lедующих видов:
(0/ 1\ Х), (ч r V Х), (Ч' -+ Х), 'v'.1'Ч',3хЧ', 1 Ч'
iJ.1Я однозначно определенных фОрJJ!УЛ чr и Х cиCl!a
туры :Е. о
Пр е Д л о ;1, f' n и с 3. Если Ф  формула сита туры :Е,
а 11 и е  вхождет!я в Ф подформул чr Ll Х COOTвeT
ствпто, то либо 11 и е пе и.!еют общих вхожденuй CUlIt
волов, либо одно uз тlX чеЛИКОllt содержится в дpy
eO.}t. О
Пр е Д л о ж е н и е 4. С каждЫlrt вхождениеllt в фор
lrtУЛу Ф CuиtaTypbl  символов (, 1, V или 3 однознач
но связано некоторое вхождение подформулы фОрlltУЛЫ
Ф, первым сиJJtвОЛОJJt КОТОрОсО является раСС.]!атривае.toе
вхождение соответствующеао сиlrtвола. О
О и р е Д е л е н и е. Подформула формулы Ф сиrнату
ры :Е, связанная по предложению 4 с вхождением HBaH
тора V HBaHTopa З}" называется областыо действия
зтото вхождения 'Квантора V (нвантора 3).
Мы буде:м в дальнеЙшем пользоваться соrлашением
об опускании внешних СI{обок, принятом в S 2 rлавы 1.
Заметим, что формулу исчисленпя высназываний можно
рассматривать нак фориулу некотороЙ сиrнатуры, если
считать, что символы пропозициональных переменных яв-
ляются нульместными предикатными символами.
ОП р е Д е л е н Il е. Для каждоЙ формулы Ф сиrнату
ры :Е определим множество ру (Ф) свободных пepe:MeH
НЫХ ФОР;МУЛЫ Ф следующим образом.
1) ЕСJlИ Ф  атомарная формула Вида r, r(t j , ..., t n )
или t l  t 2 , то множество FV(Ф) равно 525, FV(t , ) U...
...U PV(t n ) или PV(t , )U Fv 7 (t 2 ) соответственно.
2) Если Ф == Iчr, то FV(Ф) FV(Ч').
3) Если Ф == Ф 1 'tФ 2 , тде 't Е {;\, V, --+}, то
-= f'V(Ф1)U FV(Ф2)'
4)' Если Ф ==0 хчr, 1'де Q Е {V, 3}, то
""" РУ( '1') \{Х}.
Псно, что для любоЙ формулы Ф через нонечноо
число шаrов можно найти все эшшенты ру (Ф).
Вхождение 'у] переменноЙ Х в формулу Ф сиrнатуры
 БJ'дем пазыIJтьь связаНJiЫ,Jl, сс,;ш 11 Лf';I\llТ в области
FV (Ф) ==
FV (Ф) ==

 16. ФОР:.\lУ:IЫ спrи.НУРЫ 
107
;J,еuствпя Hel'OTOpOrO вхо;.r,денпя IШЮIтора V ШI1l 3, за
которым сразу следует символ Х. J..i:СJШ вхоащенпс 11 пс
реыенноЙ Х в формулу Ф не является свлзанным, то бу
дем ero называть свободНЬМt. Если формула Ф содер-
а-.:пт свободные (связанные) ВХОтндения переыенноЙ: х,
то будем rоворить, что Х входит свободно (связаюiO) в
формулу Ф.
Пр е Д л о ж е н и е 5. Если Ф  фОРNула сиепатуры
, ТО перемепная Х тоеда и только тоеда принадлежит
FV(Ф), коеда существует свободное вхождепие Х в Ф.
Доказательство лешо проводится ИНДукцией по дли
не Ф, н мы оставляем ero читателю. О
Если Ф  формула, то запись Ф (Xt. .... х,.)' в даль
неЙшем будет обозначать формулу Ф, а также то, что
РV(Ф)S{Хi' ..., Х n }'
Определим rлавное понятие этой rлавы.
О п р е Д е л е н и е. Для алrебраической системы !2!
СИl'натуры , интерпретации переменных "(: Х --+ А II
формулы Ф Е F (), для котороЙ FV (Ф) s Х, опредеЛII1\I
отношение   Ф[ "{] (читается «в !2! истинпо Ф[ у]») ин:-
дукциеЙ по длине Ф.
1) Если Ф==r, rER, J.L(r)==O, то !2!Ф[у] ,)l\ВИ
валснтно eJ Е v'2t (r).
2) Если Ф-==r(tt, ''', t n )", reR, t(r)==п, t i , ..., t n E
Е т (), то !2!  Ф[ у] эквиваJlентно <tll У]а о ИI t[ У]) Е
Е v (r) *).
3) Если Ф равна t 1  t z , t i , t a Е T{l, то  1= <1["(]
ЭКВIIEалептпо t [У] == t [у].
4) Если Ф == ..., Ч', то !2!  Ф[ "(] тоща и только Torдa,
I,orдa неверно, что !2! 1= ч' ["( 1.
5) Если Ф == (Ф 1 !\ Фа)' то !2!  Ф[у] "( 1= Фi["(] II
!2! 1= Ф 2 [у]).
6) Если Ф==(ФiVФ z )', то Ф["(]-<=?-(!2!I=Фt["(] ИЛИ
!2! 1= Ф 2 [у]),
7) Если Ф==(Фl--+Ф2)' то !2!C!I[y] (если имеет
место !2!Фt["(], то иыеет место 1112{Ф2["(])'
8) Если Ф == 3ХЧ', то !2!I=Ф["(] имеет место тоща II
только Torдa, коrда существует такая интерпретация
*) I\опечпо, 2) щ;лючает 1), т:ш J"Ш JЫ доrОВОРПЛПСJ, счптать
1'(11' ..., ln) прп п == О равпьш 1", Ыы щесь ВJШЮЧJl.1lП 1), чтобы под
ЧСРRJiУТЬ спецпфику пульыеСТJIЫХ предшщтов,

108 1'Л, 3, ПСТПННОСТЬ НА А:r1'ЕБРАIIЧЕСIШХ СIIСТЕЫАХ
"(1: Х 1 --+ А, для I{OTOpoiI ХЕХ 1 , '\'1  PV (Ф) ==' у  PV (Ф)
II  1= Ч'[уJ ..,
9) Если Ф == Ух'!', то  1= Ф[11 Юlеет место тоща JI
только тоща, котда для любой интерпретации Уl: Х 1 --+ А,
Д.1JЯ КОТО f ОП ХЕ Х 1 И 1'1  FV(Ф)у  РV(Ф), имеет мосто
 1= Ч'[Уl .
ИЗ ЗТО1'О определения видно, что при устаНОВJIОНИП
истинности формулы Ф СИl'натуры :Е свободные и свя-
занные вхождения переменных в формулу Ф И1'рают
совершенно различные роли. А именно, свободным BXO
Н\дениям IIеременной Х <шриписываетсю> постоянное зна
чение у (х), в то время как связанным вхождеНIIЯМ пе
ременных никакие постоянные значеНIIЯ не (шриписы-
ВaIОТСЮ>, а рассматриваются всевозможные их значения.
Пр е Д л о ж е н и е 6. Пусть   ал?ебраuчесnая си-
сте.иа сиеиатуры :Е и фЕР(:Е). Если 'Уl: Х 1 --+А,
"12: Х 2 --+ А  две иптерпретации, для ",отарых PV (Ф) s
ХlПХ2 и '\'1 РV(Ф)==У2 FV(Ф), то I=Ф[Уl]
"'*  1= Ф[ 'У2]'
Доказательство ле1'J{О проводится ИНДУlщией по длп-
11е Ф. о
Мы часто будем использовать Ю1есто  1= Ф (X 1 , ...
. .., Х,,)[ у] БОJ10е удобную запись  1= Ф (аl, ..., а,,),
I;:1,e а 1 == 'у (х 1 ), "', а ,. == у (Хn)' А именно, если в тен,сто
встречается запись Ф (.'1::1' ..., Х n ), то следующая за этим
запись  1= Ф (а 1 , ..., а n ), аl, "', а" Е А, будет обозначать
Щ:I=Ф(ХI, ,", хn)[у], rдe у опрсделяется тю\: 'YXia/,
i == '1, "', п. В силу преДJIОff\СНИЯ G та1\ое соr;ращение
возможно.
Оп р е Д е л е н и е. Если Ф  формула сиrнатуры :Е
II FV(Ф)== 0, то Ф называется замnн,утой фор.'.tулай
или предложение.м.
Если Ф  преДЛОi1,еНllе сиrнатуры :Е,   система
СППIатуры :Е, то отношение щ: 1= Ф[ 'У] не зависнт от ИН
тсрпретации "{, и мы е1'О будем обозначать просто  1= Ф.
Ясно также, что есш!: для формулы Ф, системы ( и ин-
терпретации 'у определено отношение (I= Ф[ у], то  t=:
1= Ф [у] "'*   :Е (Ф) 1= Ф [у]. Если Ф[у] не истинно в ,
то 1'оворшr, что Ф[ у] ЛОЖll О в Щ:.
Оп р е Д е JI е н п е. ФОРllIула Ф называетсл тожде
creei'тo истиюий или общезначutG-й, если  1= Ф[ 'У] длл
.'1юбой системы  спrнатуры :Е(Ф) и любой интерпрета
ЦШI у: FV(Ф)>- А. Ясно, что спrпатуру :Е(Ф) в этом
определении можно заменить па шоiJую :Е;;?:Е (Ф). MHO

s lG, ФОРl\IУЛЫ сп1'П.\Т.'РЫ 
109
а;сСТво фориул У s Р (:Е) называется выпОЛlUl.НЫ.1l в cи
сте.1се  CltrHaTypbl :Е, если существует такая интерпре-
тация "{: U PV (Ф) -+ А, что  t= Ф[ "{] ДЛЯ всех Ф Е У.
Ф",У
Формула Ф называется выпО.ULUlftОЙ в систе,щ , если
ыноа,еСТ1!О {Ф} выполНIП\lО В .
Понятие истинности формулы на системе нарЯДУ с
llонятием выводимости принадлежит к основным поня
тиям математической лопши. Важность этоrо ПОнятия
объясняется тем, что мпоrие теоремы математики можно
выразить как утверждения 06 истинности некоторых фор-
мул на аЛ1'ебраичеСЮIХ системах из HeHoToporo Rлас
са. В отличие от свопств «быть формулоп}) и «быть тож-
дественно истинной формулой ИВ}), В общем случае не
существует эффективноrо способа, позволяющеrо для
предложения Ф за конечное число шаrов установить,
верно ли  1= Ф.jЭто связано с тем, что при бесконечном
А пп. 8) и 9) требуют проверки бесконечноrо числа yc
JroвиЙ *). Пункты 2) и 3) в общем случае также не
«эффеI{ТИВНЫ», так как предикаты и фуНIЩИИ бесконеч-
ной системы  MorYT быть заданы не (тФФентивно».
"Установим теперь простой, но важный факт.
Пр е Д л O)f, е н и е 7. ЕСЛZt f  uво.'rtорфиВlff. систе.1СЫ
 на CUCTelfty , Ф (X 1 , ..., х,,)  формула СИ8патуры сп-
cTe.1tbl , то для любых at, ..., а" Е А свойство  1=
1= Ф(аt, ..., а,,) эквивалентно  t= Ф(fа t , ..., fa n ). В ча-
СТ1l0сти, если Ф  предложение, то  1= Ф эпвuва.п.ент-
но  t= Ф.
ДОI\аэатеJIЬСТВО леш о проводится индукцией по дли
не Ф. Если Ф  атомарная формула, то утверждение
следует из определения изоморфизма и предложешш
1 б). ИнДукционный шаr оставляется чнтателю в I{аче-
стве упражнения. О
В отличие от беСRонечных систем, ироверку истин-
ности формулы Ф на IюнеЧllОЙ системе  сиrнатуры
L (Ф) можно осуществить за I{онечное число ШaI'ОВ. Это
лешо поназать lIндунцией ио длине Ф.
О и р е Д е л е н и е. Пусть п Е Ф, п> О. Предложение
Ф называется побщеанаЧUJ1lЫlft, если  1= Ф для любой
алrебраическоii системы  мощности п и сю'нату-
ры :Е (Ф) .
Пр е Д л о Il{ е н п с 8. Существует эффективная про-
цедура (аЛ80ритм), поаволяющая дл.'/, любоео п Е (.),
*) в rлаво 7 будет ПОI,азапо, что :эту трудпость нсльзн обойти.

110 r.:I, 3. IIС1'lIННОСТЬ НА А,jIrЕБРАIIЧЕСЮIХ СИСТЕМАХ
п > О, и любоео предложепия Ф за конечnое число ша
еов устаповить, является ли Ф nобщезншtulltЫllt или нет.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что для I\Онечноrо
множества Х множества Р(Х) и Хn, n Е Ф, конечны.
Поэтому для лю60Й конечноЙ сиrнатуры  иыеется лишь
конечное число систем сиrпатуры  с Iюнечным носите
лем Х. Torдa процеДУр'а проверlШ n06щезначимости
сведется к выписыванию всех систем сиrнатуры (Ф) с
носителем {1, 2, ..., n} и проверке истинности Ф на
каждоЙ из вьшисаilПЫХ систем. Такая проверка, кан OT
мечалось выше, осуществляется за конечное число
шаrов. О
Можно определить аналоrично n-общезначимости,
О < n < Ф, понятие %-06щезнаЧИМОСТII формулы Ф длл
6есконечно1'О кардинала %. Как будет показано в  24,
эти понятия для всех бесконечных кардиналов % совпа-
дают. Какие еще зависимости существуют между этими
понятиями? Как 6удет ПОI\азано в следующем параrра
фе, если предложение Ф 6есконечпо общезначимо, то cy
ществует такое число ПО Е Ф, что Ф является kобще-
значимым для Л1О60rо k;;?; ПО. Из nобщезнаЧIIМОСТИ
предложения Ф для лю60rо п Е Ф, n 9= О, в общем слу
чае не следует (упражпение 4) общезначимость Ф. От-
метим, что ПОЛНО1'О описания множества
S == {Х s= Ф I х равно {n I Ф nобщезначимо}
для некотороro предложения Ф}
пока не получено. Неизвестно даже, замкнуто ли множе
ство S относительно дополнения в множестве Ф. МЫ OT
метим здесь простоЙ факт.
Пр е Д л о ж е н и е 9. Для ЛlОбоео п Е Ф, п;;?; 1, CY
щесtвует Ta/'i,Oe предложение Ф n пустой сиепатуры o
(т. е. o==<0, 0, 0»), для ",отороео Ф n является поб
щеЗ1iачи.мы.м, а '1 Фn является k-общезначиll!Ы.!'rt для лю
бое о k =1= п, k;;:: 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В l,ачестве фn можно взять
предложение
ЗV 1 ,... ЗVn((i VlV2/\ (! VlVЗ/\
1\(.../\ ,иn1ип)"'))/\ VVO(VOVIV
V (... V и о  и n ) . . . ». о
Формула 'VV 1 'VV 2 I Р (Vl) Р (и 2 )) не содержит СИМ
волов равенства и фунrщий, является 106щезначимоЙ и
не является побщезпачимой для п > 1,. Леrко строитсн

 17, ТЕОРЮIA IЮ:\IПАI{ТIIОСТII
111
(упражнение 3) также формуда ч' n без равенства II
функций, являющаяся k-общезначимой для О < k  п II
не являющаяся т-общезначимоЙ Д,ТIя т > п. Построить
формулу Фn из преДЛОiIiения 9 без равенства и функ-
циЙ нельзя в сплу сле,з;ующеrо фаI\та (упражненпе 5):
еслп предложенпе Ф не содержит символов равепства
II функцпй, ТО пз п-общезначимости Ф следует k-обще-
значимость Ф для любоrо k  п, k =1= О.
Упражнения
1. Показать, что для любой конечной сппraтуры 2: сущест-
вует процедура, позволяющая по любой конечной последователь-
IЮСТИ символов определить, является ли опа форыулой сиrнату-
ры :Е пли нет.
2. Пусть l  rомоморфизм системы  сиrпатуры  в систеыу IВ,
Тоrда для любой атомарной Ф(Хl,..., Х n ) Е F() II любых
Ul, .,., аn Е А имеем   Ф(аl, .,., а n ) '* IВ I=,Ф(hаI, ..., 11a n ).
З. Показать, что следующая формула 1р' n является kобщезна-
чимой тоrда и только тоrда, кtда 1  k  п:
:'1'2'" 31' n +1\>'1' о (\>'1'1 (r (1'2' 1'1) -+ r (1'0' 1'1») v
v (... v \>'1'1 (r (1' n +1' 1'1) -+ r (1'0' 1'1)) .. ,)).
4. Показать, что следующая формула является побщезначп-
мой для любоrо п Е (О, п OF О, и не является общезначимой:
31'0\>'1'1 "1 t (1'1)  1'0.... 31103.1(1 (1'0)  t (1'1) л "1 1'0  1'1)'
5. Пусть О < k < n < (о, ПJ?едложение Ф n-общезначимо, не
содержит символов равенства и функций. Тоrда Ф k-общезнаЧlll\IО.
(У к а з а н и е. Пусть Ш  "1 Ф, rде Ш  система' сиrнатуры  (Ф) .
с носителем {1, 2, ..., k}. Строим систему f8;;2  мощности п,
определяя на множестве В == {1, 2, .... n} преДl!IШТЫ r спrнатуры
}; (Ф) следующим обраЗОi:
(i1' ..., f т )Ev IВ (r)W(j1' ..., jт)EV (r),
rде j. == i., если i.  k, j. == k в противном случае. Тоrда f81= "lФ.)
 17. Teopelifa компактности
Теорема компактности была доказана А. И. Мальце-
БЫМ в 1936 [. Он же впервые показал ее важное значе-
ние как HOBoro метода для доказательства не толыш
теорем математичеСRОЙ лопши, но и теорем алrебры. Мы
дадим доказательство Этой теоремы с помощыо ультра-
пропзведенпй, введенных Лосем в 1955 r.
Пусть дано семеЙство множеств S == {Х , I i Е Л. д е-
пapTOBbl.tt проuзведен.uе.t се1ейства S называется мпо-

1 t2 r:т, 3, ИСТIIННОСТЬ ПА А:I1'ЕБР.ШЧЕСIШХ СПСТЕ:\С\Х
а,ество
Ipro(lXi == { f: 1 --+ U Xil fi Е X i \.
isl J
Для j Е 1 отображение множества Iprod Х ; в X j , co
поставляющее элементу f элю:!ент f и), называется nро-
епциеи декартова произведения на jю координату 11
обозначается тоЙ же буквоп j.
Пусть на 1 задан фильтр п. Определим на Iprod Х ;
отношение!!.. следующим образо:\:!:
f Е. g *> {i \ fi == gi} Е D.
Л е м м а 1. Отпошеuие!!.. является эпвивалеUТ1-l0СТЫО
иа I-prod X i .
Д о К а з а т е л ь с т в о. Рефлеr\СПВIIОСТЬ и сиыметрич
насть!!.. очевидна. Пусть f !L g и g ,У., h. Torдa множество
у == {ijfi == hЛ содержит пересечение множеств Щfi ==
== gi} и {'ilgi == hi}, являющихся элементами D. Из yc
::rовпЙ 2) и 3) определения фrшыра получаем У Е D. о
Отображение, сопоставляющее эле:\:!енту / Е 1prod X 1
lJ
l\Ласс ЭI\ВlIвалентносrи по отношеНlIЮ ,содержащий f,
будем обозначать той же буквой D, что и фильтр. МНО-
тество
Dprod Х ! == ШJlf Е I-prod Х/}
наЗЫВается фильтровапliы.1l nроиавеоепием ;,tltожеств X i ,
i Е 1, по фильтру D.
Оп Р е Д е л е н IJ е. ФильтроваНliЫJlt проuзведепuе.:и по
фильтру D ce,1teUCTBa алеебраU'lеспuх систе.1t {; I i Е [}
ситатуры 2: называется алrебраичеСl\ая Сl1сте),1а  ==
== Dprod / сиrнатуры 2: с ПоСптеле),:! А == Dprod А, и
с::rеДj'ющеЙ интерпретацией " сиrнатуры  в .
1) Если с Е F и /1 (с) == О, то для f Е Iprod А/
Df === v W (с) -Ф? {i I ti == Vi (с)} Е D.
2) Если s Е R U Р, то для 11, ..., fn Е Iprod AI
<D/ H "'} Dfn) Е \,\11 (8) *> {i I <t1i, ..., /ni) Е Vi(S)} Е D j
r,J:e n == /1(S), если 8 Е R, и n == /1(s)+ 1, если s Е Р.
Проверим, что определение корректно, т. е. множе.
ства v (s) 11 V (с) не зависят от выбора представите
лей /1' ..., /n и / в I\ЛассаХ D 11, ..., D f п 11 D f. В са),:!ш:!

 li, TEOPE:.IrA НО:.lIhАНТПОСТI!
113
;:Ie:re, пусть У п == {'iJ Ihi == ghiJ Е D, 1  k  п. Множества
H't=={il<fli, ...,/пi) ЕV 'Ж i (8)} Il vV 2 == {il<g1i,...
. . ., g"i) Е v Q(i (8)} ЮleIОТ ОДШIa:hовые пересечения с зле-
)lентом У ! n . .. n У n фпльтра D. Следовательно, 1'V j Е
Е D  vV 2 Е D. Аналоrичпо ПОI\азывается КОррЮ\Т
ность 1). ДJiЯ Toro чтобы утверждать, что  ЯВ.'lяется
систе)lоii спrнатуры , нужно еще ПОI,азать, что \'! (s) 
операция на А, еСШI 8 Е Р. Пусть 8 Е F JI !l (8) == п. Д.'1я
ЭЛЮlентов 11, ..., In Е l-prod А ; определим 1 Е lprod А ;
ТaIс/i=:=V'Ж i (8)(f1 i , ...,f"i), iEI. Тоrда <Df1' ...,D/n,
D/) Е v (8). Пусть ДJIЯ неноторой g Е lprod А ; имеет
месl'О
<Df 1 , ..., Dlп, Dg) Е vQ( (8).
ТаRI,аи Vi(S), iEI, функции, ТО множество {'il/i==giJ
содержит пересечение множеств {il<flit ..., l11i, fi)E
Е V!i (s)} И {i I <f1i, ..., lпi, gi) Е Vi(8) которые принад-
лежат D. Следовательно, DI == Dg.
Фильтрованное произведение {Лрl'оd j. называется
Del'iapr08bMt или пРЯ.1tы/lt проuзоедеnие.1t систем i, i Е 1.
Да.'J;IШ незаВIIСпмое определение для этоrо важноrо ча
cTlloro случая. Пусть  == lprod Q{j ЯВJIяется СIlстеIОЙ
спrнатуры  с носпrеле)1 А == lprod А ; п следующей ии-
терпретацией  в А.
1) Если СЕР п t(c)==O, то
\'! (с) и) == \'! i (с).
2) Если s Е R U Р, то
</1' ...,/11) Е \''11 (8)  </1i, ..., /ni) с: v\)(j (8)
для всех iEI, rде п == l(S), ес.'IП SЕЛ, и п == l1(s)+ 1,
если 8 Е Р.
Ясно, что отображение, сопостаВJIяющее )Лемеиту f
Э.'IеIент {л, будет И30МОРфП3)IОМ IPI'od ; на {[}-prorl Q{j,
поэтому, не опасаясь путанпцы, CIICTe)IY I-РI'оd ; буде}!
таюке вазывать дю,артовым или прюiым произведеНlIЮI.
Декартово произведение l-prod ; часто обозначается че
рез Пi и череа i Х ... х iп, если 1 == {i1' ""1 i п } 
isI 1
8 10. Л. Еrшов, Е. А, ПаiIЮТllН

114 1'Л. З, пстинность НА АПfЕБРАПЧЕСЮIХ СПСТЕМА:J\.
I'онечное множество. УI\ажем один
полезныi'I факт, связывающий денартовы
фильтрованными.
Пр е Д л о fh е н и е 1. ДЛЯ любozо фильтра D на 1 lt
Сllсте.1! {i! i Е l} Сllcnатуры  отображение D; lprod A i --+
--+ Dprod A i является ео.1tololOрфиз.1tо.1t систеlotы / ==
=== lprod '1(i па ClICTelotY ' === D-prod i.
Д О 11: а з а т е л ь с т в о. Пусть s Е R U F  не копстанта
II </1' ..., 1,,) Е.: \' (s). По определенПIО декартова ПрОII3
ведения {i I </li, ..., 11li) Е.: Vi (s)} == 1. Тю{ как 1 Е D, то
{il</1i, ..., fni) Е.:V'Лi(S)}Е.:D, Т.е. <D/ 1 , ..., D/n)E.:V'J ' (s).
Случай, lюrда s  константа, рассматривается анало
fИЧНО. О
Под плассо.М в дальнейшем IIIЫ попимаем Hel\OTopoe
свойство в множеств *). При этом множества, удовлетвс
ряющие свойству в, будут называться элементами l{лас
са в. в частности, все множества образуют класс V,
I\ОТОрЫЙ, IЩI{ уже отмечалось, не является множеством.
Свойство «быть элементом множества Х» определяет
мнояество Х, поэтому любое множество можно считать
:классом. :Конечно, с lшассами нельзя поступать, как с
МНOFRествами, например, нельзя рассматривать класс всех
ПОДI\Лассов данното класса К. Однако если К/, К 2  клас-
сы, то очевидным образом определены классы К, n К 2 ,
К, U К 2 И К, \К 2 . Если а  элемент Iшасса К,. то так же,
IШК II в случае множеств, мы будем rоворить, ЧТо. а
принадлежит К, и обозначать а Е К.
Пусть даны некоторый класс К алrебраических систем
спшатуры  и фильтр D на 1. rоворим, что класс К
за.мпnут отн.осительnо фильтроваnн.ых произведеnий ПО
фильтру D, если для любоrо множества {I jiE.:I} си-
стем из класса К имеем Dprod i Е К. Если дЛЯ
Ф(Х" ..., Хn)Е F() определить К(Ф) как класс таких
систем  сиrпатуры , что для всех а" ..., а" Е А в 
истинно Ф (а 1 , ..., а n ), то леrко проверить, что 'для aTO
l\Iарной формулы Ф класс К(Ф) заl\ПШУТ отиОСIIтельпо
простой, по
произведения с
*) Так нак мы В:JЯЛИ за основу систему ZFC, то ПОД свойством
е мы понимаем свойство. записанное ФОРМУЛОЙ Ф(х, Yl, ..., Уn)
сиrнатуры (Е 2 >, rДе перемеПlIЫС Yl, о.., У,. иrрают рОЛЬ параJl1ет
ров. В качестве (\Кода.} Rласса К, ОlIреДеленноrо с 1I0Jl10ЩЬЮ пара-
метров al. ..., аn. МОЖНО взять множество «Yl, al>, ..., (Уn, а n >.
Ф(х Yl, ..., Уn», rДе Ф(х, Уl. ..., уn) форму.1J:а сиrпатуры (Е 2 )
ДЛЯ КОТОР::ОЙ Ф(Ь, а" .. , аn) Ф>- (Ь  элемеlIТ К).

!! 17, ТЕОРЫIА RОМПАНТНОСТlI
115
юооых декартовых ПрОlIзведонпiL В СlIЛУ преДЛОil,ения 1
11 упражнения 2 к  16 [{ (Ф) дЛЯ атомарной формулы Ф
замкнут также относительно всех фильтрованных про
пзводениЙ. Т{ан будет ПОI,азано в дальнейшем, это верно
не толыю для атомарных формул. Если n;е D  ультра
фильтр, то для любоЙ ФОРМУЛЫ ФЕF() класс К(Ф)
заШШУТ относительно фильтрованных произведений по,
D (теорема 1 ниа;е).
Оп р е Д е л е н и е. Формула Ф(ХI' ..., Х n ) называет
ся фильтрующейс.я по фильтру D (на множестве 1),
если для любоrо множества {ili Е]} алrебраическпх
систем сиrнатуры (Ф) и любых Dfl"'" Dfn Е
Е Dprcd А/
Dрrоdt;I:::Ф(Dfl, . ., DfnJ*'>-{il.I=Ф(fli, ,", fni)}eD.
1
Если в этом определении вместо ЭRвивалентности *'>-
выполняется -{=, то формула Ф называется УСЛО6liО
фильтрующейс.я по D. Формула Ф называется (услов
liO) фильтрующейс.я, если она (условно) фильтруется по
любому фильтру О.
Если "(  интерпретация некоторото множества пере-
менных в 1 pToд А /, ТО через D ("() обозначаем КОМПОЗII
цИЮ отображений "( и D. Через i("() обозначаем компо
ЗИЦIIIO отображениЙ "( и проекции на iю координату.
Л е м м а 2. Если Ф и чr (условио) фильтруютс.я по
фильтру D, то форлtулы V хФ, 3хФ и Ф 1\ ч" (ус-
ловliО) фильтруютс.я по фильтру D.
Д о к а з а т е л ь с т в 6. Зафиксируем некоторую ин
терпретацию "( СЕободных переменных формулы V хФ в
множестве lprod А/.
Пусть {i I i t= VхФ [i (у)]} Е D. Torдa для любоЙ
f Е lprod А/, если рассмотреть "(' 2 '(, для которой
"(' (х) == j, имеем
{ili  Ф[i("(')]} Е п.
Если Ф условно фильтруется, то D-prod ;  Ф[D("(')]
дЛЯ любоrо "(': Fv(ф).......Iрl.оdАi, "("(', т. е.
D-prod it= VхФ [D (у)].
Пусть Dpl'od ; t= VхФ [D (у)] и Ф фильтруется.
Рассмотрим множество Х == {i I i t= VхФ [i (у)]). Возьмем
такую функцию f Е lprod A i , что для i Е I\Х имеет
место it= "lФ[i(у')], тде "('2"(, "('(x)j. Тотда И<l
фильтруемости Ф II тото, что Dprod ;  Ф[ D ("(')], CJle-
дует, что Х=={iliФ[i("(')]} Еп.

И6 1';1, 3, IIСТПННОСТЬ К\ .\П1'ЕБРАПЧЕСЕlIХ СПСТЕl\1.\Х
i'.:'
Случаи 3.:сФ 11 Ф 1\ Ч' рассматриваются аналоrично,
и мы оставляем их читателЮ в качестве упражнения. О.
Л е м м а 3. Атомарные фор.tулы фильтруются ПО лlO
бо.ну фильтру D.
ДОI{8зате.lЬСТВО. Пусть Ф(х!, ..., х,,) aTO-
марная фОРМУJlа вида 8(t 1 , ..., t",), {'де 8 Е Н, /l(8)
 т, t 1 , ..., t",  Tep:llbI, пусть "(: {Хl, "" х,) 
........ /-pr'od А ;  IIнтерпретаЦllЯ перемеНIIЫХ и Ij  "( (Xi),
i Е {1, . . ., n}. TOI')1.a для Щ == Dpl'od j
 r= Ф (D/l' ..., D/n) <L [yD], ..., t [yDJ) Е " (8).
По предложению 1 и 16.1б) имеем t[yD]Dt[YJ,;
1  j  т, !'Де !8  /prod i, ПОЭТОМУ
(t; [yD], ..., t[yD]>E
EV(8)<Dt[YJ, ..., Dt;[YJ)Е
Е v (8)  {i \ (t [y)(i), ..., t [у](п) Е y; (8)} ED.
Но t[y] (i) [t (/1' ..., Ir,)](i) == ti(f1i, ..., Irti). rЮЭТО:llУ
(t [у] и), «.., t [у] (i) Е vi (8)  i r= Ф (fli, ..., lni).
ТaI\ИМ образом,
D-РI'оdjФ(D/l' ..., Dln){ilIФ(fli, "', Ini)}ED.
СJlучаii, Коrда Ф имеет впд t l  t 2 , разбпрается ана-
ЛОl'ПЧllО. О
Теорема 1 (Лось). Любая фор.иула Ф фильтрует-
ся по люБОJltу ультрафuльтру D.
Д о I{ а з а т е л ь с т в о. ИНДУIщией по длине Ф. TaI{
как истинность формул Ф  'Jf п Ф V 'Jf эКвивалентна
истинности формул 'l (Ф 1\ 'l Ч') и 'l ( 'l Ф 1\ 'l 'У) СООТ-
ветственно, то в снлу лемм 2 и 3 достаточно показать
фплыруеыость по D формулы jФ для филырующейся
по D формулы Ф. Из свойства ro Ф D и предложения
12.2 следует Х Ф. D  I\Х Е п. Поэтому из филыруе-
мости Ф получаем
Dprodi r= jФ[УJ{ili r=Ф[уiJ}фD
{ili r= 'l Ф[уiJ}ЕD. о
Оп р е Д е л е н 11 е. Алrебрапческая спстема  спrн.а-
туры  наЗЫВается .'rtоделыо .нножества фор.1tул r сиша-

 17, ТЕОРЕЫ.\ КОИПАI,ТНОСТП
117
туры , еСJШ существует Та!{ая шперпретация "( в А пе-
рсыенных, ВХО,1;ящпх свободно в элементы r, что
!2с r= Ф["(] дЛЯ всех Ф Е r. МНOJБество r называется вы
1I0Лlш.мbl,t, если r И1!еет ыодель. Множество называется
.10liально выпО.1JЩ,\(Ы.%, ССJШ каждое Iщнечное ПОД1!НОiI,;е-
ство r Шlсет lI10;(eJIb.
В I,ачество слеДСТВI1Я теоремы 1 получаем следуro
щую очень ва}кную теорему, I\Оторая называется Teope
,(Oй liO.ltnaKTHOCTlI.
Т е о р е м а 2. Каждое локальnо выполnи.мОе лtnоже
ство r формул сиеnатуры  выпОЛНUJJtо.
Д о к а з а т е л ь ст В о. Рассмотрим мнол,ество 1 KO
нечных подмножеств r. Для i Е 1 выберем Та!ше систе
мы !2С; сиrнатуры  и интерпретации "(; В А; свободных
переменных, входящих в ФОРМУЛЫ из i, что ; r= Ф[ "(;]
для всех Ф Е i. Для i Е 1 рассмотрим множества Х; ==
== {! Е Ili s Л. Система множеств {Xili Е [} является
цеНТРИIюванной. Действительно, если io,..., i h Е 1 и
j == io U. ..U i h , то j Е Xio n . .. n X il1 : По предложению
12.1 существует Та!ЮЙ удырафилыр D, что Х ; Е D для
всех i Е 1. Для переменной х, входящей своБО;:(llО в lta
IЮЙIшбудь элемент r, определпм "( (х) Е Iprod А; сле
 .
дующпм ооразом:
. { Yi (х), если х Е dom Yi,
У (х) (l) == ПРОIIЗВОЛЬНЫЙ а Е A i в противном случае,
Пусть Ф Е r. Псно, что
Х{Ф} S {ili  Ф["(i]}.
Так Бак Х{Ф} Е D, то {il;  Ф[ "(i]} Е D. По теореме 1
получаеы D-prod ;  Ф[ "(D]. о
Теорема 2 будет ШИрОRО применяться в следующих
тдавах, особенно в rлаве 5. Здесь мы дадим простое, но
доводыю типичное прпменеШlе этой теоремы (см. таКШе
упраlIшение 7).
С л е Д с т в и е 1. Если длл ЛlOбоzо п Е ()) .Ulожество
ФОР:МУЛ r сиznатуры  илtеет модель мощnостu ?-п, то
r имеет беспоnечnую лtoдель.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем беСIюнечное MHoa;e
ство CIlMBOJIOB с, д.1.Ш I\OToporo С n (Н U Р) == 0, и пусТl,
'1:.1 == <R; PUC, tl), тде tl t(HUP)== f.l и f.l1(C)==O ДЛЛ
С Е С. Рассмотрим 1IIножество Х == r U {..., с  d I с, d Е С,
С =р а} предлorнеНШI спrпатуры \. Если У 
== r1U{"" (\dl' ..., ..., cndп}, тде rlsrl\онечное.

118 1':r, 3, пстинность НА АЛ1'ЕБРАПЧЕСКIIХ СИСТЕМАХ
подмножество Х, то У ВЫПОЛНIПI0 в подходящеи ooora-
щении модели  множества r, имеющей МОЩilОСТЬ п.
По теореме компаRТНОСТИ Х пиеет модель . Таи Ral,
,,(c) =1= ,,'$. (а) для а, с Е С, С =1=- а, то   беСRопечнан
модель r. о
Тан IШI{ в ДОRазательстве следствия МНОНШСТВО С
ПРОIIЗВОЛЬНО, то мы на самом деле ПОRазаШI, что при ус-
ловии следствия 1 множество r имеет модель l\IOЩНОСТII,
превосходящей любую напере;:; заданную мощность.
Упражнения
1. Показать, что фильтрованное нроизвеД"ние частично упорн-
доченных множеств является частично у;:rорядоченным множе-
ством.
. 2. Показать, что декартово произведение К 1 Х К 2 двух полей
не Может быть полем. (У к а з а н и е. В К 1 Х К 2 имеются делите-
ли нуля.)
3. Если все i, i Е 1, равны одной системе !В, то декартово
(фильтрованное) произведепие lprod ; (Dprod i) называется
декартовой (фИJIьтрованной) степенью !В и обозначается че
рез !В 1 (!В п ). Показать, что
а) на. всех декартовых степенях !В 1 при 111 > 1 ложна
формула
:1 ио:l иl (т (и о ) Л (т (и 1 ) л (! и о  и 1 Л VV 2 (т (и 2 ) 4-
...... (и 2  и о V и 2  и 1 »»));
б) декартова степепь !В 1 , котда носитель !В и пюжество l
имеют более одноrо элемента, не может быть линеiiно УПОрЯДU
чеПilЫМ множествоы.
4. Найти неизоморфные алrебраичеСIше системы  n , для
lЮ'ИрЫХ система  Х  изоморфна !В Х!В. (У к а з а н и е. Пусть
k == <тl), А == В == (О, "(T) == (О"{Щ, ,,!В (Т) == (O{O. 1},)
5. Если DI s; D 2  два фильтра на множестве 1, то существует
rОЫОМОрфИ3I систеыы D 1 -prod!8 i на D2prod !Вi, (У к а 3 а п и е.
Рассмотреть отображение, сопоставляющее элементу Djj эле-
мент D 2 j,)
6. Пусть D  rлаВНЫII ультрафплыр на 1 и nD == {io}' Тотда
система Dprod ; изоморфна системе i '.
о
7. Пусть r  тю\Ое l\шожество предлоа,ений сиrнатуры , что
для любой ЮIrебр,шческоiI системы  сиrнатуры  cy
ществует предложение Ф Е r, истинное на . ПОI>азспь, что су-
ществует таное конечное множество {Ф j , .." ФI1} s r, что предло
жение (Фj V (Ф2 V '" v Ф,,)...)  тождеСТilенно ИСТIIIIпан
формула,

rдава 4
IIСЧIIСЛЕНИЕ ПРЕДИRА ТОВ
s 18, АСlIOl\IЫ п правила вывода
ЗафИl{сируем неl\ОТОрУЮ произвольнуlO сиrнатуру 1:.
}3 ЭТОМ параrрафе мы определим исчислепuе предипатов
сштату ры L; (СОRращенно ИП1:) ,
Формулами ИП1: будут формулы сnrнатуры 1:. Ceп
веnцuяlttll ИП1: называются последовательности следую
ЩIIХ 4 типов:
Фо, "" Ф" r- Ч'; Фо, ., " Ф" r-; r- Ч'; r-,
rде Фо, "', Фn, Ч'  формулы ИП1:.
Примем следующие соrлашения. Пусть ХI, '." Х N 
переменные, t l , .,., t n  термы сиrнатуры 1: и Ф  фор
ыула сrнатуРЫ 1:, Запись (Ф):::":::: будет обозначать
результат подстаНОВIШ термов t l , ,. .,' t n вместо всех
свободных вхождений в Ф переl\lенных ХI, ., " Х N соот-
ветственно, причем, если в TeCTe встречается запись
(Ф);'::::::, то предиолаrается, что дл!! всех i == 1, ., " п
нп одно свободное вхождение в Ф переменной Х ! не BXO
дИТ в подформулу Ф вида V УФ l иди 3УФ l для У Е
Е РУ (t i ). Запись [Ф] будет обозначать формулу (Ф),
и при ее появлении предполаrается, что I{pOMe условия
на запись (Ф) еще выполняется условие уФ FV (Ф).
I-оrда в TeCTe уже встречалась запись Ф (ХI, "', Х n ),
(Ф Хl'''''Хn
вместо I'ромоздоЙ записи )t1"...t n часто будеl\l пи-
сать просто Ф (t l , ..., t n ). Заметим, что по соrлашению в
начале  16 переменные Х 1 , .,., Х N попарно различны,
в то время aK среди t l , "', t n MorYT быть равные
TeplЫ.
Оп р е Д е л е н и е. AпCIlOlttaMU ИП1: являются следу
ющие сеRвенцпи:
1) Ф r- Ф, Ф  формула ИП1:;
2) r- Х  Х, Х  переменная;

i20
1';r, 4, IIСЧIIСЛЕНПЕ ПРЕДIШ.l.ТОВ
3) х  у, (Ф)  (Ф), х, У, z  перемепныс, Ф  фор
My.'Ia ПП:i:/ уовлетворяющая усло'Зию па запись (Ф)
11 (Ф).
ОП р е  е л е н п е. П р::r8llла вывода 11п r таЕ,ОВЫ:
1. r f-- Ф; r [ 0/ . 9. r, .., Ф f-- .
l'fФ Л 'l" , l' f-- Ф ,
2. r f-- ф 1\ 0/. 10. ]' f-- Ф; r f-- .., Ф .
l' f-- Ф , l' f-- ,
3 rФl\чr. 11. [, Ф. ЧJ, r 1 !--- х .
п..'!' , 1', 'l", Ф, 1'1 f-- Х '
4. rf--Ф 12. rf--Ф
l' f-- Ч) V Чi' 1', 'у f--- Ф'
5. п---Ч' 13. rf--Ф
l' f-- ф V 't" l' r VхФ' [де х пэ
ВХОДат в члены
r свободно;
6 [, Ф f-- Х; r, qr f-- Х; r f-- Ф V qr .
. I'f--X '
[, Ф f-- Ч' .
7. r f--- Ф -+ Ч"
8 r f---- Ф; r f-- Ф -+ чr .
. l' f 'у '
r, (Ф) f-- чr
14.
r, 'tхФ f--'Y 1
r f-- (Ф)f
15.
l' f-- 3хФ
[. Фf-- \f
16. 1 . Т д е х
r, :JхФ (qr
не ВХОДПТ 11 'f и
ЧЛРНll r сво50ДПО.
Ию, II В ИВ, n пра;зилах вывода Ф, ч", х  перемсн
пые для формул IПР, а r, r l  переIенные для после
довательностей ТaIШХ ФОРМУЛ. При этом в правилах
131G ФОР"-IУЛЫ Ф, чr И последовательности r ДОЛШВI
удовлетворнть УБаза.нпым условпям, а также условi'[Н.м
на запись (Ф);. Так же нан II в ИВ, если в праюш:::х
вывода Юlесто переll1енных Ф, чr, х 11 переменных r, r 1
берутся "ОНI,реТIIые ФОРМУЛЫ и нонкреТ,ные последова.--
тельности формул, то получаются частные случаи (ИЛII
применения) правил вывода. Если е  частный случаЙ
правила вывода СХ, то будем rоворить, что секвенция,
стоящая в в под чертой, получается из сеRвенций, стоя--
щих в в над чертоп, при ПО"'IOЩИ: правила СХ. СлеДУЮЩее

g 18, АIСlIO:\IЫ Il ПРАВП<'Н ВЫВОДА
121
ОlIреде:rение является почти дословным повтореНllе:\I co
ответствующеrо определения ИВ.
Оп р е Д е л е н II е. Линейны.М дО1>ааотельствОllt в ИП1:
называется конечная последовательность Со,. .., Сп
секвенций ИП1:, которая удовлетворяет следующему yc
JIOВИЮ: каждая секвенция C i , i  п, либо является ar{
сиомой, либо получается из некоторых предыдущих пра
помощи oAHoro из правил вывода 116. Линейное дo
назательство Со, ..., Сп называется линейным ДОI\аза-
тельством своей последней СeI\Венции Сп. Если суще
ствует линейное доказательство в ИП1: секвенции С, то
С называется докаауе.м'ОЙ в ИП1: или ,теоремой ИП1:. Фор-
мула Ф ИП1: называется ДOI{азуемой в ИП1: или Teope
мой ИП1:, если в ИП1: доказуе:ма секвенция 1--- Ф. Дере-
во D называется доказательствОllt в виде дерева или
деревом доказательства секвенции С в - ИП1:, если все
ero начальные сеI\венции  аксиомы ИП1:, переходы 
применепия правил 1  16, а 3aI\ЛЮЧIIтельная секвенция
равна С.
Определения допустимоrо правила и квазивывода
совпадают с соответствующими определениями из  3 с
заменой ИВ на ИП1:.
Пр е Д л о ж е н и е 1. Секвещия С является теоремой
ИЛ1: тоеда и только тоеда, кос:да существует ее д01>aaa
тельство в виде дерева в ИIР. .
Д о l{ а з а т е л ь с т в О. Поч.ти дословное повторение
ДOI,азательства предложения 3.1. LJ
Формула чr ИП1: называется тавтолоеuей, если она
получается из формулы Ф исчисления ВЫСI\азываний,
доказуемой в ИВ, путем замены всех ее пропозицио
нальных переменных Рl:'", Р п на формулы ИП1:
чr /, "', чr n соответствсшю, Формулу Ф при этом вазо
вем основой та втолоеuu.
Пр е Д л о ж е н и е 2. Люсая тавто.лоеuя чr сищату-
ры 2: доказуема в илт..
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть чr получена из основы
Ф замеНО!I переменных Р 1, ..., Р п на формулы Ч' 1, ...
. .., чr п соответственно.
Пусть дерево D 1 получено из дepBa ДОI\азательства
D в ИВ СeI\ВеПЦИll f-- Ф заменой переменных Рl, . "" Р n
соответственно на чr 1, ..., чr пизаиеной остальных
пропозпциональных переменных па ПРО!IЗВОЛЬНУЮ фор
мулу Ч',,+1 СППIaТУРЫ 'Z. Очевидно, что дере!10 D, явля
тся дерево:'.! ДОЮ13атсльства СОI\ВСНЦШI f-- чr в етР, о

122
1':1, , IlСЧIlС:1ЕНllЕ ПРЕДШС\.ТОВ
Предложение 3. Пусть Ффор;1tу.та ипr., X j ,...
. .., Х N  nере.менные, t l , ..., t n  терлtы сизнатуры L и
выполняются условия на запись (Ф):::::. Тозда /1
ИПr. допазуемы следующие сепвенцпи:
\.1 Ф L ( Ф Хl"."Хn
а) "'Х 1 ... УХ n I )11,..,,1,,;
б) ( ф) Хl'''',Хn L 3 3 Ф
1 1 ....,l n ,' X 1 ... Х" .
Доказательство. Пусть YI, .", уnпопарно
различные переменные, не входящие в форыулу Ф, в Tep
MЫ t l , . . ., t,n и отличные от XI, . . ., ХN'
а) Для всех 1 < k < n имеет место равенство
( \.1 \.1 ( ф ) хl..."х"l ) '" \.1 \.1 ( ф ) Хl':'''Х''
v Xk+l ... v Х N У 1 ..... YKl Yh. == v х" н ... v Х N Y 1 ,''''Yk'
и выполнены Бсе условия на ТaI.ую запись. Поэтому c.'le-
дующее дерево будет доказательством в ИПr.:
(ф)Хl'...,Х n 1--- (ф)"'l'''''Х l1
У1'...,Уn У1'...,У"
ух (ф(1'....хn1 1--- (Ф)Х 1 '" 'Х п
11. Yl"."Yп1 y1"",yп
Vx Vx (ф)Хl""'Х"21--- (ф)Х1'''.'Х п
n1 "Yj"."Yn2 Yj"..,Y"
. .
"
V ... ух Ф L ( Ф)Х1""'Х n
Х 1 n"- Y 1 ' ""У n
Применяя теперь n раз правило 13, получаеI доказуе-
r.юсть в ипr. секвенции
\.1 \.1 Ф L \.1 \.1 ( ф ) "l'''''Х n
V Х 1 . .. v Х " I v Уl ... v У" Уl""'Уn'
Обозначим формулу
( ф ) х 1 .....х l1
Уl'''''Уn
через чr. Тоrда для чr
( Ч' ) Уl' ""уn Д
11".'-'n' ля всех
выполнено условие на запись
1 < k < n имеем
( \.1 \.1 ( Hf ) Y1""'Y"l ) Y" \.1 \.1 ( Hr ) Yl'''''Yk
VYh.+l". уУn r /1....,1h.1 Ih. == VYk+I'" уУп r 11'....1"
и условия на такую запись. Снова применяя n раз пра
вило 14, подучаем доказуемость в ИПr. сеlшепции
\.1 \.1 Hf L ( Hf ) Y1'..'.Yn
V Уl ... v Уn r I · 1 1 "..,l n .

s 18, .ШСIIО:\lЫ П ПРАВП:IА ЕЫЕОЦА
123
. . . ( 'У ) Уl'''''Уп  ( ф ) ""l""'''"n
Tal\ 1\ак 1 1 ,...,l n  11"..,111'
будет l\ваЗllВЫВОДОМ в ИП}::
Ч ' (Ф "'l'....""п
УУ 1 ." Уу"  )11'.... lп
YY 1 '" VУпЧ'--+(ф)l"""\ I 'п; VX I '" V:r 1 ,ФI--- VУ l '" VуnЧ'
1 ...., п 
Ух ," V:r Ф 1--- (ф)"'l'''''Х''
1 11 11',..,1"
то следующее дерево
б) Доказательство аналоrично а). Сначала, приме
няя несколько раз правило 15, получаем теорему
ф) х 1 ....'''"11 L Ф
( Yl""'Y 11 I 3Xl ... 3Х11 .
Затем, применяя нестолько раз правил/) 16, получаем
теорему ИП}::
3 3 (ф) "'l'''''Хn L 3 3 Ф
Yl . .. Уп Y1,,,,,Y n I X 1 ... Х 11 .
(1)
Опять, применяя несколько раз правило 15, получаем
доказуемость в ИП}: секвенции
( 'У ) Уl'...,У" L 3 ... чr
1 1 "...l n I Уl ... :..IYn ,
(2)
rде 'у == (Ф)::",'::. Из (1) 11 (2) так Же, как в а), сле
дует доказуемость в ИП}: секвенции б). о
Пр е Д л о ж е н и е 4. В ИЛ}: допустимы правила
а)  м) из предложения 3.2 и упражнения 2 1'> 9 3,
а также правило
Ф 1 , .... Ф k 1--- Ч'
 .
( Ф ) Х1"...Хn. ... , ( Ф ) Хl'''''Хn r (Ч'(l....'Х n
111',..,l n k 11,..,,111 11'...,111
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для правил а)  м) доказа-
тельство по существу совпадает с доказательством допу
стпмости соответствующих правил из 9 3.
н) Пусть секвенция Фl, ..., Фk f-- чr доказуема в ИП}:.
Применяя несколько раз праВИ,IО 7, получаем доказуе-
мость в ИП}: секвенции
 Фl -+ (Ф z -+ . . '(Фi; -+ 'l'). . .}.
Применяя несколыю раз правило 13, получаем доказуе-
мость секвенции
r-- VX 1 ... V.:r 11 (Фl ---?- (,1)2 --+... (Фk --+ 'У) ".».

124
1'Л, 4, IIСЧIIСЛЕНIШ ПРЕДIШ.\ТОВ
Из предложения 3 а) II допустимоrо правила в) получа
ем ДО:Rазуе:мость в ИП}: секвенция
L (Ф ( h Ф 1TI ) ) "'1""'Хn
. 1  (!? 2 --+ . . . ( k --+ r ...) { l' .. " ()l'
(3)
т;r (3 (Ф ) "'l...""'п L (Ф ) "'1""'11
аЗ ) И аксиомы 111.....111 r' 111,...,111' по прави
лам 8 и 12 получаем СeIшенцпIO
( Ф ) "'1''''''''1' L ( Ф, --+ ( '" ( Ф --+ ЧУ ) . . . )) X1"..'.n.
1 1 1 ,..,.l n . 2 k 11,..,,111
Аналоrично примепяя еще неСI;ОЛЬНО раз правило 8, ПJ
лучаем дон:азуемость в ИП}: сенвенции
Ф ) Х1'''''Х п Ф ':1""'Х П 1 Х1'''''Х П О
( 1 11'....l n , ..., ( k)t 1 ....,t Jl i---' (P)t 1 ,..,.i 1t .
Если С  секвенция ИП}:, то объединение всех MHO
жеств FV(Ф), rде Ф  формула из С, пазывается MHO
жеством свободных переменных сеRвенцпи С и обозна-
чается через FV (С) .
Оп р е Д е л е н и е. Пусть С  СeItвонцпя ИП:!:, 'х 
алrебраическая спстема СИПIaТУРЫ  и "(  пнтерпрета
ция переменных из FV(C) в множестве А. С61шенция С
называется истиnnой в fl( при интерпретации "( (обозна-
чаем fl( 1= С ["(]) Torдa II толы.о Torдa, I;оrда пьшолняются
с.тrедующие УС.JIовия:
1) если С == r /--- Ч', то ШIОО 'х 1= Ч'['УJ, лпбо  1= ,Ф[у]
для некоторой формулы Ф нз r;
2) если С == r /---, то 'х 1= ,ф [1'] для HeI{OTopOlI фОР;'IУ-
лы Ф из r; D частности, r  пепустая последователь
ность.
Если сеlшепция С не ПСТIПllIa в fl( при '(, то rоворшI.
что С ложnа в fl( при '(. Из оиределепия получаем, что
секвенция /--- ложна на любоЙ алrебраичесноЙ спстеме C
Оп р е Д е л е н и е. Секвенция С исчисления ИП}: Ilа
'зывается тождественно истинной, если fl( 1= С[ '(] для лю
боЙ алrебраическоЙ системы fl( сиrнатуры  и любоЙ ин
тсрпретации '(: FV(C) А.
Ясно, ЧТО своЙство секвенции С быть тождественно
истинноЙ не зависит от Toro, в каном ИСЧИС.'1ении ИIР
она рассматривается (т. е. от сиrнатуры ).
ОсновноЙ целыо для нас в этоЙ rлаве будет доказа
телЬСТRО следующеrо замечательноrо ..результата И. I'tj
деля: Rласс ДOJ,азуеl\lЫХ в ИП}: секвенциЙ совпадает с
классом ТОЖДССТВС1ШО истинных секвенций ИП}:. Это УТ-
ВСРЖ,11еIIпе называется Teope;,1OU: полноты исчисления

!I 18. АI\СIIОМЫ II ПР.\ВIIЛА ВЫВОДА
123
преДIП\аТОВ. Одна часть этоrо утверждения доказывается
леrко.
т е о р е м а 1. Все до};азуе.lblе в ИП:!: секвеnчии С яв
ляются тождествеnnо истиnпылш. В частпости, исчисле
пие ИП:!: непротuворечиво, Т. е. не все форлtулы ИП:!: дo
f>аJуеЛlЫ в ИIР.
Д о к а з а т е л ь с т в о прОВОДИ1\{ индукциеЙ по высоте
ДОRазательства секвенции С в виде дерева. Очевидно, что
аксиомы ИП:!: ЯВШIЮТСЯ тождественно IIСТIШНЫМИ. Про
верку Toro, что праВlIла вывода 116 сохраняют Toa\Дe
ственную истинность, мы оставляем читателю в качестве
упражнения. Заметим ТОЛЫШ, что для проверЮI правил
14 и 15 следует сначала устаНОВIIТЬ следующий фат,т.
Пусть Ф  фОР:\fула, t  терм II выполняются условия на
зашrсь (Ф)f, Х =:; FV (Ф), У === FV (Фт. у: Х ---+ А, 1*:
у  А, Тоrда ссля '( t (Х {х}) === ')'* I (х",{з}) n х1[у] ==а
=== t Ч "{*], То '
IX i= Ф [у] -<=>-  t= (ф)?' [у*].
Этот факт лerко устанавливается индукциеЙ по дли
не Ф. о
Вторую часть теоремы полноты мы ДОRажем в S 21.
Для этоrо нам нужно сначала получить достаточное ко-
ЛlIчество доказуемых в ИП:!: секвенциЙ. Следующее пред-
.1Jожение пот,азывает, что обычные своЙства равенства дo
Rазvемы в ИП:!:.
. Если t l , ..., t n , t  термы спrнатуры, XI, ..., Х ,. 
пере:\leIlllые, то через (t)::::: обозначае:\l результат
подстановки вместо X 1 , ..., Х N термов t l , ..., t" COOTBeT
ственно.
11 р е Д л о ж е н и е 5. Лусть t, q, s; ql, ..., qn; Sl, '"
..., S"  тер.мы сиепатуры , Ф  фор;мула ИЛ:!:, удовлет
вОрЯlOщая условиям па запись (Ф)::::: и па запись
(Ф) ::::::;:. Тоеда в ИЛ:!: дОКП8УeJ,LЫ следующие се};-
вепции:
а) 1--- t  t;
б) t  q 1--- q  t;
в) t  q, q  s 1--- t  s;
) L ( ) xlt....Xп ( ) Хl"",Хn
r qlSl' ...,qnsnl tqlt.....tqn tSl'H"Sn;
if Х 1 '''''У11 rr X'p...tXn
д) qlSl' "', q,,SI1, (ч)ql.....qnr-(ч)sl..."'u.

126
ra. 4. IIСЧIIС:ШНIIЕ ПРЕДИRАТОВ
Доказательство. а) Секвенция 1--- t  t получает
ся пз ю,СИОl\lЫ 1--- Х  Х по ПРОИ3ВОДному правилу н) из
предложения 4.
Пусть Х, XI, У, Z  попарно различные перемепные.
Рассмотрп:м дерево
 х  х; х ;::! у, (z ;::! x)  (z  x)
х;::!у',-у;::!х
t;::!qq;::!t
Так как начальные секвенции у He1'O  аксиомы, а пере
ходы  применения правил из предложения 4, то pac
сматрпваемое дерево является квазивыводом секвенции
б). Доказуемость в) получаем аналоrично из квази
вывода
х х
yz, (хХ1)/',-(ХХl)zl
Х  у, у z z 1--- х  z
tq,qsts
Пусть YI"'" Уn; ZI,..., Zn  попарно различные
переменные, отличные от Х/, ..., Х n , не входящие в тер-
мы ql, .. ., qn, 81, ..., 8n, t и в формулу Ф. Из а), предло
жения 4 в) п IIЗ Toro, что термы и:; и (щ::): равны,
получаем, что дерево
 (t)X y 1;::! (t)1; У 1 ;::! zl' (t)l;::! ( Щ;1 ) l  (t)l ;::! (t)1
1 1 1 11 1 J
У 1 ;::! Zl  (t);1 ;::! (t)l
1 1
является l{вазпвывоДО},{ в ИП:!:. Если п > 1,
предложения 4 н) в ИП:!: доказуема
L ( ) Хl "'2 ) X 1 .X 2
У1  Zl, t Y1:Y2 (t '1.112' Применяя к этой
n аксиоме
то  силу
секвенция
секвенции
( ) Х1''''2 ( ) "'1''''2 ) %2 L ( ) "'1''''2 ( ) Х1'Ха
У2  Z2, t У1' У 2  t '1'Х2, 1/2' t У1' У 2  t '1'Х2
правило в) пз предложеНIIЯ 4, получаем секвенцию
Уl  Zl;
L ( ) X1'XZ ( ) Х1'Х2
У2  Z2 I t У У  t z ,х .
l' 2 1 2
Проде.1ав неСRо.JIЬRО таЮIХ шаrов, получаем доказуемость
в ИП:!: сеlшеlЩIШ
. 1.--. ( ) хl'....хn ( ) Х1...";\.n
У1  Zl' ..., Уп  Zn, t Y""'YH  t <1'''',Хп'

!i 18. А}\СIЮИЫ II ПРАВИо'IА вывод"\
127
ПЗ ЭТОII секвенции с помощью правила н) из ире;Jдоже
ния 4 получаем секвенцию r),
( ( ф ) хl'х 2 ...'.х п ) у1 ==
д) Так как справедливо равенство yl' y z..."yn '1
 ф ) х 1 'х z ....,х п
 ( Zl 'Y 2"."Yn'
то секвенция
Ф ) Хl'Х 2 ""'Х п I ( ф ) Хl'Х 2 '''''Х n
У1::::::: Zl' ( Y 1 ,Y z ,.."Vn 1" z1'Y Z ...,'yn
является aI\СИОЧОЙ. Если п> 1, ТО из этой аксиомы и
аксиомы
( ф ) хl.'хZ.,..,х п L ( ( ф ) Хl'Х2,..',Хп ) z
У2  Z2' z1'v z ...',v п I z1'Y Z ...',yп Z
по правилу в) из пред.10женпя 4 получаем
D х 1 'х 2 'х з ..."х n L ( ф ) Х 1 'Х 2 'Х з ,''',Х п
Уl  Zl' У2  Z2' «( )У 1 ,У z 'уз....,Уп 1" z1'z2'У з ....'vа.
Проделав нескольн.о ТaIШХ шаrов, получае1 доказуемость
D ИП Е секвенции
( (У' ) Хl'''''Х п L ( ф ) х 1 ....,х п .
Yl:::::::: Zl' ..., Ун;:::::::: Zпt v Yl,...,Yj1 I ll,...,Zп
Отсюда в силу предложенпя 4 н) следует ДОI\азуемость
в ИП Е секвенцпи д). о
Следующая теорема является, конечно, следствием
упомянутоЙ ВЫ1';]О теоремы rёделя, однако ее леп\О дo
казать в непосредстuеuно.
Т е о р е м а 2. Если LI S;, то исчисление ИЛЕ явля
ется KOHcepeaTueliblJ,t расширеnиеJlt исчисления ИЛ 1.
Д О К а з а т е л h с Т в о. Пусть D  дерево дою\затель-
ства в ИП Е сен:веНЦИII С, являющейся также секвенцией

ИП 1, Пусть У  переIеlIная, не входящая ни в одну
формулу пзD. Определим отображение о: T() -+ T(I)
индукцией по длине TepIa t Е Т () :
а) если t  перемепная, то бt == t;
б) если t == f и!, ..., t,,), rде f  символ пз I' то
бt == f (Ot l , ..., бl n );
в) если t == f (tl, .,., t n ), rде f  символ не из !, ТО
бt == у. .
Если Ф  атомарпая формула сиrнатуры , то пусть
6Ф равняется: а) формуле r (бt!, ,.., бl n ), если Ф ==
== r(tl, ..., t n } и r  символ сиrнатуры I; б) формуле
бt l  бt 2 , если Ф == t l :::: t 2 ; в} формуле Уу (у  у), если
Ф==r(t l . ..., t n ), rде rсимвол не ИЗ I' ДЛЯ любой
формулы Ф сиrнатуры  определим формулу 6Ф сиrна

18
1':1, 4, ПС'ШС:ШШШ Пl'ЕДlШ.\ТUВ
туры L1 l,al_ резудыат ЗЮleIIЫ в ФОР)IУJ10 Ф всех aTO
марных подформул Ч' на БЧ'. Пусть БD получается пз D
ЗЮlеноЙ всех секвенциЙ '1' 1, ..., Ч' п t-- Ф и '1' "
..., Ч'пt-- на 6'1'1, ..., БЧ' п t--6Ч' и БЧ'l, ..., БЧ'пr--- co
ответственно. ОчеВИ-1НО, что начальные сеriвенцпп БD
:Е
будут аКСИО)1аМИ ИП 1. Леrко ироверяетсн, что все пере.
ходы в 6D будут применеНИЯМll тех же праВ!lЛ, что и co
ответствующие переходы в D. В самом деле, проверка
для правил 113 и 16 тривиальна, а для правил 14 и 15
нужно сначала индукцией по длине формулы Ф заме
ТIITЬ (учитывая х 0/= у), что б (Ф) == (БФ)I' д.ЛЯ чеrо в
свою очередь индукциеЙ по длине терма t 1 нужно для
любоl'О теР)1а t 2 установить равенство б (tl)7 === (бt 1 )61 .
2 2
Так как 6Ф == Ф для всех формул Ф из секвенции С, то
1;
БD будет доказательством С в ИП 1. О
В дальнейшем мы свободно будем пользоваться Teo
ремой 2, чтобы не упоминать исчисление ИП.!:, коrда
речь идет о доказуемости некоторой секвенции С. В ча-
стности, мы будем rоворить, что секвенция С aOKaayeJlta
в uсчuслепuu nрединатов или просто aOKaaye.JIta, если С
доказуема внекотором ИП.!:.
Упражнения
1. Пусть сиrнатура  содержит пропозициональные перемеп-
l1ые исчисления ИВ в :качестве нульместных предикатных спмво.
лов, По:казать, что ИП является консервативным расширением ИВ.
(У:к а з а н и е. Воспользоваться теоремой полноты для ИВ и тео.
ремой 1.)
2. Показать, что если в одном из правил 1316 убрать оrрани-
чение на применения этоrо правила (в частности, для правил 14
и 15 снять условие на запись (Ф)). то в полученном исчисле
llIШ будет до:казуема не тождественно истинная формула.
3. Показать, что если во всех правилах 1316 убрать все
Оl'раlшченпл на прнменения этих правил, то все теоремы получен
Huro исчисления 1 будут 1-0бщсзначимыми, в частности, 1 будет
llСПРОТIIворечивьш.
 19. Эквивалентность формул
Все llзучаЮlые наIИ cBoiicTBa алrебраичеСЮIХ СIlСТЮI
ппварпантны относительно ПЗО)IОРфИЗ)1а, )шоrпе же Иll
тересующие нас свойства формул инварпантны относн.
тельно определ.енноrо ниже отношения эквпваШШТНОСТII.
3афlшспруе)[ на дальнеiiшее нропзвольную СIПнату.
ру L. Всс фориулы п алrобрапчесюlO СIIСТС)IЫ в ;)тo.[ па

 19, ЭRВИВАЛЕНТНОСТЪ ФОРМVЛ
{2
раrрафе имеют сиrнатуру , а' доказате.'Iьства рассмат"
рпваlOТСЯ в ИСЧИСJIении ИП Е .
Оп Р е Д е л е н и е. ФОРМУJIЫ Ф IJ ч' называются энви..
валеllт;чы,ми (обозна'lается Ф == чr), ес.'IИ доказуемы две
сю,вепцпи Ф f---- чr и чr f---- Ф.
ОtlеВИДllО, что отношение s; является эквивалент..
ностью. на множестве F () п все доказуемые формулы
П3 F () образуют один Rласс эквивалентности. В СIШУ
теоремы 1 для любых формул Ф """ чr, любоЙ системы 
и любой интерпрет ации "(: F V (Ф) U FV (чr) --+ А ИЗ
 1= Ф[у] следует  1= чr[у].
3аl\Iетим, что в силу теоремы 2 отношенпе Ф == Ч' не
зависит от сиrнатуры .
Оп р е Д е.'! е н и е. Формулы Ф и 'l' называются npo
nоаицио;чаЛЬ1l0 эквивале;чт;чы,ми (обозначается Ф 8 чr) 
если Ф --+ Ч' И чr --+ Ф  тавтолоrии.
Из преД.'Iожения 18.2 и праВИ.'Iа 8 ПОJIучаем
Пр е Д л о ж е н и е 1. ПРОnО8uцио;чаль;чо эквuвале;чт
;чые формулы Ф и 'l' эквивале;чт;чы. О
Предложение 2. Пусть Ф, Ч'  фор.tулы и xн'
входит свобод;чо в чr. Тоеда иcee эпвивалеllТ;ЧОСТU:
а) i3хФ=:=VхiФ; б) iV'хФ=:=3ХiФ;
в) 3хФ А чr === 3х (Ф А Ч"); т) v' хФ А Ч" == v' х (Ф А Ч");
д) 3х Ф VЧ"=:=3х(ФVЧ"); е) V'хФV'У=зV'х(ФVЧ");
ж) VхФ == Vу[Ф]; з) 3хФ == 3у[Ф].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведеl\! квазивыводы для
эквивалентностей а), в), д} и ж), оставляя проверку ос.
тальных читателю.
iФf----iФ
а) vx iФ f---- iФ
Ф f---- iVхiФ
3.тФ  iVхiФ .
VхiФ  i3хФ'
Фf----Ф
Ф  3хФ
i3хФ  iФ
i3хФ 1--- VхiФ'
Ч',ФФЛчr
в) Ч',Ф3х(ФЛЧ')
If, 3хФ  3х (ФЛ Ч')
3хФ f---- Ч' ...... 3х(Ф Л Ч')
f----3хФ--+(Ч'...... 3х (Ф Л Ч'); 3хФ Л Ч' f---- 3хФ
3хФЛ Ч'  Ч'...... 3х (ФЛ '1'); 3хФЛ ч'  ч'
3;::ФЛ чr r 3х(Фд Ч') :
9 10. Л. Ершов. Е. А. Палютци
,'ф

130
rЛ. 4. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИRАТОВ
ФА '1' 1-- ф
ФА '1' 1-- 3хФ; ФА '1' 1-- '1'
ФА '1' 1-- 3ХФА '1'
3х (Ф А 'Р') 1-- 3хФ А 'Р'
Ф f---- ФV'l'
д) Ф 1-- 'X (<t:. V 'Р') '1' f---- Ф V'l'
3хФV'l' 1-- 3х ФV'l'; 3хФ f---- 3х (ФV'Р'); '1' 1-- 3х (ФV'l')
3хФV'Р' 1-- 3х (ФV'Р')
ФI--Ф
Ф 1-- 3хФ
ФV'l' 1-- ФV'l'; Ф 1-- 3хФV'l'; '1'  3хФV'l'
ФV'l' 1-- 3хФV'Р'
3х (ФV'Р') 1-- 3хФV'Р"
[Ф]Х 1-- [ф]Х
ж) у у
VхФ 1-- [ФJ
VхФ 1-- Vy [Ф] ·
Перед доказательством последней секвенции заметим,
'что [[Ф}] Ф. Это равенство следует И3 условий на
запись [Ф].
[[Ф]] f---- Ф
Vy [ФJ r Ф
Vy [ФJ 1-- VхФ. о
Пр е Д л о ж е н и е 3. Имеют :лtесто все энвивалеllТ
пости из  4 и 5, если Ф, '1' и Х считать ФОР:Лfулд..ltu
ситатуры .
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Очевидно, так как при заr.rене
пропозициональных переменных па формулы ИП Е ДOKa
эательства в ИВ перейдут в доказательства в ИП Е . О
Теорема 3 (о замене). Если фор:мула Ф получает-
ся из формулы '1' си81lатуры  заJ.fеll0и пенотороео вхож-
депия подформулы '1" па формулу ф' ситатуры  и
ф' == '1", то Ф == Ч'.
Д о к а з а т е л ь с т в о проводим индукцией по длине
'1' . Если '1" == '1', то утверждение тривиально. Если
чr == I чr 1 или чr == чr 1 -т:чr 2' rде 1: Е {I\, V, }, то доказа
тельство индукционноrо шаrа не отличается от COOTBeT
ствующих случаев теоремы о замене дЛЯ ИВ ( 4). Ta
ким образом, для завершения доказательства в силу ин
ДУКЦионноrо предположния осталось рассмотреть СJlучаи,

Ii 19. ЭНБИВАЛЕНТНОСТЬ ФОРМУЛ
131
I\оrда Ч' имеет вид V'хЧ" или ЗхЧ". По условию ceK
венЦИИ ф' f-- Ч!' и Ч!' f-- Ф' доказуемы. В силу симметрич
ности ф' и Ч!' достаточно доказать секвенции 'v' хЧ'" 
r 'v'хФ' и 3хЧ" r 3хФ'. Приведем их квазивыводы: ,
'У' f-- ф' 0/' f-- Ф'
'V хчr' f-- Ф' чr' f-- 3хФ' О
'VхЧI' r 'VхФ' 3хчr' r 3хФ"
в определении истинности формул на системах свя
занные вхождения переменных иrрают совершенно дpy
rую роль, чем свободные. В частности, проверка истин
ности формул 'v' хФ и 'v' у[ Ф] одна и та же. В оставшеЙся
части этоrо параrрафа будет показано, что замена свя
занных переменных преобразует формулу в эквивалент
НУlo ей, если при этом новое вхождение переменной свя
зывается тем же вхождением квантора и никакое CBO
бодное вхождение переменноЙ не становится при такой
замене связанным. ПереЙдем к точной формулировке Ta
Roro преобразования.
Оп р е Д е л е н и е. rоворим, что формула Ф получа
ется из формулы Ч! заменой связанной nере.7Itенной,
если Ф получается из Ч! заменой HeKoToporo вхождения
подформулы QхЧ! 1 на формулу ау [Ч' l] (здесь Q Е
Е {'v', 3} и выполняются условия на запись [Ч' 1 ]).
Формулы Ф и Ч! называются понеруэнтны:мu (обозна
чается Ф  Ч!), если существует такая последователь
ность формул Ф о , ..., Ф п , что Ф о == Ф, Ф п == Ч!, а ФН1,
k < n, получается из Ф k заменоЙ связанноЙ переменной.
Пример. Рассмотрим формулы Ф == 'v'v 2 3v з r(v 2 , V3)
и Ч' == 'v'v з 3v 2 r (v з , v 2 ). Последовательность
'v'v 2 3v з r (V 2 , v з ),
'v' v 3 3v o r (V з , v o ),
'v'v 2 3v o r (V 2 , v o ),;
'v'v з 3v 2 r (V з , V 2 )
показывает, что Ф  Ч!.
Пр е Д л о ж е н и е 4. а) Отношение  является эпвu-
валептностью на множестве фОРlrtуд ситатуры .
б) Е сди Ф  Ч!, то Ф == Ч!.
l(оказательство. а) Из своЙства [[Ч'l]]==Ч'l
для любой формулы Ч! 1, для которой Выполняются усло-
вия на запись [Ч' 1 ], следует, что еслИ Ч! получается из
Ф заменой связанной переменной, то Ф также получает
сп из Ч! заменой связанной перемнной. Отсюда получа
9'"

132
1'Л, 1,. IIСЧИСЛЕIIIШ ПРЕДIШАТОВ
ем симметричпость отношения "". РефлексиВIfOСТЬ и TpaH
зитивность отношения "" очевидна.
б) В сплу теоремы о замене достаточно показать, что
О.1'чr1==Оу[\fI'1J, ОЕ{У, 3}. Но это уже доказано в
преДJlOжешrи 2 ж), з). о
Кю{ уже отмечалось, нас будут интересовать форму
ль! в основном «с точностью» до ЭI\Вивалентности, по
этому будут допускаться записи вида Ф 1 Л. . . л Ф n , V Ф k
К<1'
и др., ПО которым формулы восстанавливаются HeOДHO
значно, но при любых расстановках скобок получаются
эквивалентные формулы.
Упражнения
1. ПОRазать, что отношение !!Е является :ЭRвивалентностыо
на Р('2:).
2. ДОRазать утверждения б), r), е) и 3) предложения 2.
3. ПОI{азать, что для любой формулы Ф и любых переменных
Xj, ,.., Х п существует такая формула чr, что чr ЕЕ Ф И {Xj, ..., Хп} >=
>= FV(чr).
 20. Нормальные фОрl\IЫ
Тан как нас в основном будут интересовать формулы
«с точностью» до ЭRвивалеНТНОСТII, то полезно выбрать
такие подмножества Р >= F () формул, устроенных по
возможности более просто по сравнению с произвольны
ми формулами, чтобы для любоЙ Ф Е F () существовала
ч! Е Р, дЛЯ котороlI Ф ЕЕ Ч!. Некоторые из таких подмно
жеств будут определены в настоящем параrрафе.
Будем rоворить, что формула Ф сиrна'l'уры  находит
ся в дU8'Ъюнптивной nор;на.rrыий форме (СОI{ращенно
д. Н. ф.), если она получается из формулы Ч! исчисле-
ния выст,азываниЙ, находящейся в д. н. ф., заменоЙ всех
входящих в Ч! пропозициональных переменных Р 1 ,
. .., Р п на Не!шторые атомарные формулы Ф 1 , ..., Фn
сиrнатуры  соответственно.
ОП р е Д е л е н и е. Будем rоворить, что формула Ф
сиrнатурыI  находится в npeneпcnou нор;ttальnой форме,
если она имеет вид
01.1'1 . . . Оn .1' n Ф l!
rде Oj, 1 о:::; i о:::; n, кванторы, а Ф 1 находится в д. н. ф.
Формулу Ф1 В этом случае назовем .матрицей, а слово
01.1'1 . . . ОпХп  пваnторной приставпой формулы Ф.

!I 20. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
133
Т е о р е м а 4. Для любоЙ ф'ор,tУЛЫ Ф cиzпaTYpы 
существует фОРJtула чr cиzнaTYpы , находящаяся в
пренексноЙ нор.мальной форме и эквивалентная Ф.
Д оI{ а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 19.3 фор-
мулы Ф, --+ Ф2 И '1 Ф 1 V Ф 2 ЭIшивалентны для любых
ф" Ф2ЕF(). Следовательно, для любой фЕF(),
прпменяя несколько раз теорему 3, можно получить фор-
мулу чr, == Ф, не содержащую знака --+. ИНДУlщиеЙ по
длпне формулы чr" не содержаще:ir --+, ПОI\ажем, что cy
ществует чr 2 == чr" имеющая вид
01Уl ... Ok.l!k Ч'з,:
rJ\e чr з  беСlшанторная формула, и длина чr 2 равна
длине чr,. Если чr, беСlшанторная, то в качество чr 2 бе
рЮl чr,. Если чr 1 == ОхЧ", то нужная чr 2 существует по
предположению индукции и теореме 3. Таким образом,
осталось рассмотреть случаи: 1) Ч' 1 == '1 Ч" и 2) Ч' 1 ==
== (Ч"'t'Ч'''), 't' Е {I\, V}, rде чr' имеет кванторы и Haxo
дится в виде Оохо. . . ОпХпХ, rде Х  бескванторная фор
мула. (Здесь мы воспользовались эквивалентностью
(чr' 't' чr " ) == (чr " 't' чr') для Toro, чтобы утверждать, что чr'
имеет кванторы.) Пусть 1У' == 3х1У4' Случай с друrим
квантором рассматрпвается совершенно аналоrично. Из
предложения 19.2 а) получаем для случая 1) ЭI{Вива
лентность 1У 1 == V Х '1 Ч'4' Нужная чr 2 для случая 1) cy
ществует тоrда по индукционному предположению и Teo
реме 3. Рассмотрим случаЙ 2). Пусть у  переменная,
не входящая в чr,. Из предложения 19.2 3) и теоремы 3
получаем Ч' 1 == (3у [Ч' 4] 't' Ч'''), ИЗ эквивален.тностеЙ в)
и д) TorO же предложения имеем Ч' 1 == 3у ([Ч' 4] 't'Ч''').
Требуемая чr 2 наЙдеТСfI теперь по индукционному пред
положению и теореме 3.
Для завершения доказательства теоремы в силу тео-
ремы 3 нужно для бескванторноЙ чr з наЙти Ф' == чr з, Ha
ходящуюся в д. н. ф. Для этоrо заменим все атомарные
подформулы Ф о , ..., Ф n формулы чr з на пропозицио
нальные переменные Ро, .. " Р п соответственно, получим
формулу Х исчисления высказываниЙ. Пусть Х,  фор-
мула исчисления высказываний, находящаяся в д. н. ф.
С ТЕШИ же переменными, что и Х, дЛЯ котороЙ Х, 1---- Х
и Х 1---- Х,  теоремы ИВ. Пусть Ф' получается из Х !
заменой Ро, ..., Р п на Ф о , ..., Ф n соответственно, тоrда
s
Ф' == Ч'ЗI следовательно, по предложению 19.1 Ф'::= чr з . О

134
1'Л. 4, ИСЧИСЛЕниЕ ПРЕДИНА'l'ОВ
оп р е Д е л е н и е. rопорим, что формула Ф сиrнату
ры  находится в приведеnnой nормальnой форме, если
все ее атомарные подформулы являются атомными. (См.
 16 для определения атомноЙ формулы.)
Пр е Д л о ж е н и е 1. Ддя дюбой формулы Ф cиeliaTY
ры  существует фор,муда ЧJ' сиenатуры , nаходящаяся
в nриведеnnой nормадьnой форме.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 3 достаточно
доказать предложение для атомарноЙ ФОРМ'Улы Ф. Про
ведем индукцию по числу п (Ф) вхождений сиrнатурных
символов в Ф. Если n(Ф) о;:;; 1, то Ф  атомная формула
и доказывать нечеrо. Если n (Ф) > 1, ТО в Ф существует
вхождение терма t, имеющеrо вид f (Vi 1 , "'! Vik)' Тоrда
Ф == (Ф')r, rде Ф' получается из Ф заменой этоrо вхож-
дения на переменную у, не входящую в Ф.
Следующие квазивыводы:
ф r Ф; r t z t
Ф r (ф' А У:::::; t)i .
Ф r 3у (ф' Ау:::::; t)'
у z t, ф' r ф
ф' А у  t r ф
3у (ф' Ау :::::;t) r ф
показывают, что Ф == 3у (Ф' !\ у  t). Теперь приме-
няем ИНДУНЦIlонное предположение н Ф' и теорему 3. о
3амеТIIМ, ЧТО в теореме 4 без изменения доназатель-
ства можно потребовать, чтобы формула .Ч' находилась
в приведенной нормальноЙ форме, если Ф находится в
ПРIlведенноЙ нормальноЙ форме. Поэтому имеет место
С л е Д с т в и е 1. Для любой фОрJrlулы Ф сиenатуры 
существует фор,иуда Ч' ситатуры , llаходящаяся в nре-
llепСllОй nрuведеnllОЙ llор,tалыlйй фОрJ1tе и эпвивалеllТ-
llая Ф. О
В дальнейшем для нратности вместо (шренексная
(приведенная) нормальная форма» будем писать (шре
нексная (приведенная) н. ф.».
Упражнения
1. Показать, что в теореме 4 можно потребовать, чтобы у фор-
мул Ф и 'Р' было одно и то же число вхождений нванторов.
2. Показать, что в теореые 4 можно потребовать, чтобы Ч'
имела вид
3 x o Vx 1 . '3ХnlVХnчr'..
3. Проверить, что в теореме 4 и преДЛQжении 1 можно потре-
бовать, чтобы FV(Ф) ==FV(Ч').

 21, ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ МОДЕЛИ 135
 21. Теорема о существовании модеЛIl
Оп р е Д е л е н и е. Множество формул Х сиrпатуры 
называется противоречивЬМt пли nесов.lltеСТllЫJft, если в
псчислении предикатов доказуема сенвенция r 1----, rде все
члены r принадлежат Х. В ПрОТИВНО:\I случае Х назы
вается nепротиворечивы.м или совJ.teСТnЫJ1t.
Отметим простые своЙства введенноrо понятия.
Пр е Д л о ж е н и е 1. а) Пустое .мnожество пeпpOTи
воречиво.
б) Если Х  nепротиворечивое Jot1l0жество фОР"1tул
сисnатуры  и в исчислеnuи предикатов доказуемд ceп
ве1-lция ФI,..., Ф n 1---- Ф, сде Ф Е F (), Ф О Е Х,
. . ., Ф n Е Х, то Х U {'Ф} nепротиворечиво.
в) Если Х U {3хФ} nепротиворечиво, те Х U ([Ф]j ne
противоречиво при условии, что у nе входит свободnо в
элемеnты Х.
r) Если Х", п Е O), nепротиворечивые мnожества, и
Х п s; X n + l , 17 Е 0), то Х  U Х N nепротиворечиво.
iSOJ
д) Если Х  nепротиворечивое -Мnожество формул
сизпатуры , то для ,л,lOбой Ф Е P() либо Х U {ф}, ,л,и60
Х U {..., Ф} nепротиворечиво.
Д о l{ а 3 а т е л ь с т в о. Утверждение а) следует из тео...
ремы 1. Утверждение r) очевидно. Если ФI' ..., Фn 1----
1---- Ф  теорема исчисления предикатов, то из доказуемо
сти секвенции ч! 1, ..., Ч! h, Ф 1---- следует доказуемость
Ч! 1, ..., Ч! h, ФI, ..., Ф n 1----, так что имеет место б). Если
секвенция Ф" ..., Фп, [Ф]  доказуема в исчислении
предикатов и у не входит свободно ни в одну из формул
ФI, ..., Фп, то по правилу предложения 18.4 ж) и пра
вилу 13 получаем доказуемость Ф 1 ,..., Ф п  "'у..., [Ф].
Тоrда из предложения 19.2 ж) следует ДОI\азуемость ceK
венции Фl' . . ., Ф п  V х..., Ф. Из предложения 19.2 а) Tor..
да следует доказуемость ФI, ..., Фп  3хФ. Исполь-
зуя теперь правило 10 и аксиому 3хФ  3хФ, получаем,;
что Фl' ..., Ф п , 3хФ  является теоремоЙ исчисления
предикатов, откуда получаем в). Если ФI, "', Ф п , Ф 1----,
и Ч! 1, ..., Ч! h, ..., Ф   теоремы исчисления предикатов,
то по правилу 9, предложению 18.4 ж) и правилу 10 по..
лучаем доказуемость секвенции ФI,. .., Фп, Ч! 1, ..«
. .., ЧУ h 1----, т. е. справедливо д). о
Приступим теперь к доказательству одной из важней..
ших теорем матеМатической ЛО1'ики.

{36
rЛ, 4, ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИRАТОВ
Теорема 5 (о существовании модеШI). Любое ne
противоречивое ,ltuожество Х фор.мул сищатуры  и,%еет
модель.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. В силу теореыы коr.шактности
(s 17) можно считать, что множество Х Iюнечно. Пусть
Х" ..., Х п  все переменные, ВХОДlIщие свободно в эле
менты Х == {'чr " ..., чr ,}. Так I\aK ВЫПОJlНИМОСТЬ Х рав-
носильна выпошвшости Х/ =={3Х 1 . . . 3Х п (0/ 1/\ . . ./\ чr k)},
то можно считать, что Х состоит из одноrо пред
ложения. Наконец, спrнатуру  == (R, Р, t> можно
считать конечноЙ. (Если  бесконечна, то нужно взять
оrраничение  на множество СПМВОJIОВ, входящих в ЭJIе
мент Х.)
Пусть С == {'Сп I п Е ф}  множество символов, Сп '* С о
дли п*!;' и Cn(RUF)==JO. Пусть, llолучаетси добав
Jlением к  ;}лементов множества С в качестве символов
новых констант. Так I,aK формулы СИl'натуры 1 явшпот-
си СJIOваыи HeKoToporo счетноrо алфавита, то множество
всех формул сиrнатуры 1 имеет счетную мощность.
Пусть {'фп I п Е ф}  множество всех иреДJIожений сиrна.
туры 1'
Строим последовательность
ХО s; Х, s; . . . s; Х" s; . .., п Е ф,
конечных множеств предложений спrнатуры 1 следую-
щим образом:
1. Хо==Х.
2. Если Х" U {'Ф,,} ИРОТlIворечиво, то Х п +1 == Х п U
U {IФ"}'
3. Если Х п U {'Фп} непротиворечиво и Фп не начинает
ся с квантора существования, то Х п +! == Х" U {Ф,J. 
4. Если Х п U {Фп} неиротиворечиво и фn == 3хФ/, то
Х п +1 == Х N U {Фт (фl)h}' !'Де С. Е С  нонстанта с наи
меньшим k, не ВХОДЯщаЯ в Фп И элементы Х п .
ПОЛОЖИМ Х ш == U ХN. Установим неноторые свойства
nSШ
множества К". Пусть Ф и чr  произвольные предложе
НИИ сиrнатуры ,.
а) Х ro непротиворечиво;
б) либо Ф Е X ro , либо I Ф Е Х",;
в) если Ф"..., Ф" Е Х ro И ф"..., Ф" 1---- Ф дoъ:a
зуема, то Ф Е X ro ;
1'} ФI\Ч!е::Хш(Фе::ХCI) И 'Р'е::Х ro );


Ii 21, ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИII МОДЕшr 137
д) ФVЧ'ЕХro(ФЕХro ил'и Ч'ЕХ ro );
е) IФЕХfJ)ФфХ"';
ж) ф-+WЕХro(Фф.Хro или Ч'ЕХ ro );
з) 3хФ Е ХЫ  ((Ф) Е ХЫ дЛЯ Н8IЮТОРСЙ С Е С);
п) 'V.2'Ф Е ХО)  ((Ф) Е ХО) дЛЯ любой с Е С);
h) если t  замкнутыЙ терм сиrнатуры 1, то С  t Е!
Е Х ro для некотороЙ с Е С.
ДЛЯ доказательства а) в силу предложения 1 r) до-
статочно установить, что Х n , n Е Ф, непротиворечивы.
Рассуждение проводим индукцией по n. ПО условию
Ха == Хнепротиворечиво. Пусть Х N непротиворечиво.Ес
ли для Ф n имеет место случаЙ 2, то Х n +! непротиворечиво
по предложению 1 д). в случае 3 Х n +! непротиворечиво
по условию. Пусть Х n U {3хФ'} непротиворечиво и D 
дерево доиазательства в ИП 31 секвенции Ч' н ..., чr 1;,;
3хФ', (Ф') r 1 rде с Е С не входит в формулы чr l' ...
..., Ч'k, 3хФ'. Пусть у  переменная, не входящая в дe
рев о D, и D' получается И3 D заменоЙ всех вхождениЙ с
на у. Очевидно, что П' будет доказательством в ИП 31
секвенции Ч' 1, . . " Ч' k, 3хФ', rФ'], что ПРGТиворечит
предложению 1 в), если Ч' i Е Х n , 1  i < k. СвоЙство б)
вытекает непосредственно И3 построения X ro , таи как
Ф == Ф n для HeKoToporo n Е Ф. СвоЙство в) леrко следует
пз своЙств а) и б). СвоЙства r)  ж) леrIЮ следуют И3
CBOIICTB а), б) и в). Докажем своЙство 3). Пусть
Ф n == 3хФ. Если 3ХФЕ Хы, то по своЙству а) Х N U {'Ф n }
непротиворечиво, Torдa по построению (Ф) ЕХ n11 для
некотороЙ с Е С. С друrоЙ стороны, таи как(Ф); r 3хФ 
теорема исчисления предикатов, то И3 (Ф) Е ХО) и своЙ
ства в) получаем 3хФ ЕХЫ, Докажем своЙство и). Если
'v'хФ Е ХОО И с Е С, ТО из аксиомы (Ф); r (Ф) по прави-
лу 14 получаем теорему 'v' хФ r (Ф). Отсюда по свойст
ву в) получаеМ(Ф)Е ХОО' Если 'v'хФ Ф Хы, то по свойству
е) I 'v' хФ Е Х 00' Из эквивалентности  'v' хФ == 3х I Ф и в)
получаем 3х I Ф Е ХОО' По свойству 3) (1 Ф) Е ХОО дЛЯ
некотороЙ с Ее. Тоrда по своЙству е) (Ф) Ф. ХОО'
Докажем теперь последнее своЙство к). В СИJlУ предло
жения 18.5 а) r (х  t)f  теорема исчисления предика
тов. По правилу 15 получаем, что r 3х (х  t)  также
il'eOpeMa. Теперь к) следует из в) и 3).

138
rл. 4, ИСЧПСЛЕНИЕ ПРЕДИRАТОВ
На множестве С определим отнощение  так:
с  ac .d Е X ro ,
ИЗ своЙства в) и предложения 18,5 а)  в) следует, что
  ЭI,вивалентность на С, Если .С Е С, то обозначим
через с класс эквивалентности по отношению , coдep
жащиi'I с, Переходим к определению алrебраическоЙ си
стемы   <А, V'2I). Пусть А == {clc Е С}. Сиrнатура си
стемы  равна , == <R, Р U с, !-t'>. Определим интерпре
тацию v сиrнатуры , в А. Пусть с, а" " " а" Е С. Тоrда
1) ,\,Q( (с) == ;; .
  Q(
2) <d l , .."dn)E.v (r)r(dl' ,..,dn)Е.К ш , 1'деrЕ.R:
!-tИ==п;
 (   ) .....
3) если f Е Р, /l(/)== п, то v (/) d 1 , .. " d n == с#
-<=> с:::::::: f (d 1 , , . ., а n ) Е. КШ'
KoppeI,THocTb определения иреДИI\аТОВ системы  по
2) следует из своЙства в) и предложения 18.5 д), IIро
верl'СМ, что если f Е Р, то 3) действительно является
определением операции на А, Пусть с  j(d" . ", а,,)е
EX ro , c'f(e" ..., е,,)еХ ro и а,==е" .." а."==е,,,
Тоrда а,  е, Е X ro , .,., а "  е" Е X ro , откуда по свой
ству в) И предложению 18.5 r) получаем на" .,., а,,) 
 f (е " ,.., е,,) е X ro , следовательно, по свопству в) И
предложению 18.5 б)  r) имеем с  с' Е X ro , т. е. с == с'.
С друrоЙ стороны, для любых а" "., а" Е А по свой
ству к) имеем с  f(d" "" а,,) Е Х ш для неIютороrо
с Е С, т. е. vQ( и) определена на любых а" ., " а" Е А,
ИндукциеЙ по длине замкнутоrо терма t сишатуры I
покажем, что
tQ( ==   с  t Е. КШ,
(1)
Если t  Iюнстанта из С, то (1) следует из определения
отношения  и из 1) определения v, Для термов t ВИДа
f(d" ,.., а n ), rде а " ., " а" Е С И f Е F (в частности,
Коrда t  константа из ), эквивалентность (1) следует
из 3) определения vQ(. Пусть t == f (tl, ..., t n ), f е Р, .
Q(  Q(  .
!-t(f)== п;;;.1 и t 1 == d 1 ,. .., t n == d n . По индукционному
предположению а,  t, Е Х", .. " а "  t" Е Х.., поэтому
из предложения 18.5 r) и свойства в) получаем
f(t" ..., t n )  f(d" "'1 а,,) еЕ К...
(21


i 21. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ МОДЕЛИ 139
ПО определению v и) имеем
t'1! == ; -<=> с  f(d 1 , ..., d n ) Е X(J)' (3)
Из (3), (2), предложения 18.5 б), в) и своЙства в) полу
чаем (1).
Индукцией По длине предложения Ф сиrнатуры 1
llOl{ажем
fX 1= Ф -<=> Ф Е Х...
(4)'
Если Ф == t 1  t 2 , т{) по (1) имеем
fX 1= Ф -<=> (с  t 1 Е Х.., С  t 2 Е Х.. дЛЯ HeKoToporo с Е с).
Отсюда в силу предложения 18.5 б)  r)' и свойств в)' I
:к) ПОJlучаем 4) для этоrо случая. Пусть Ф == r(t 1 . ...
( '1! 
. . ., t n ), r Е R, и t 1 == d 1 , . . ., t n == d n . Используя опре...
деление vQ( (r), (1), предложение 18.5 и своЙство в)', полу...
чаем (4) для TaKoro Ф. ДЛЯ остальных Ф эквивалент..
ность (4) сразу получается из индукционноrо предполо...
жения и соответствующих своЙств в)  и) .
Так как Х s; Х.., то ИЗ (4) получаем, что fX является
моделью для множества Х. О
Следствием доказанной теоремы является
Т е о р е м а 6 (теорема rёделя о полноте). Еслu Ф 
тождествеnnо uстunnая фор.мула uсчuслеnuя nредипатов,
то Ф допаауема в uсчuслеnuu nредипатов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из тождественноЙ иСТинности
Ф получаем, что множество {..., Ф} не имеет модели. Из
теоремы 5 следует, что {..., Ф} ПРОТИRоречиво, т. е.
..., Ф r  теорема исчисления предикатов. По правилу 9
получаем, что Ф доказуема. О
Доказательство теоремы 5 дает нам следующий факт:
конечное непрОТИВоречивое множество Х формул сиrна
туры  имеет конечную или счетную модель fX. К сожа
лению, теорема компактности, которую мы применили
для произвольноrо множества Х, ничеrо не rоворит нам
о мощности модели дЛЯ Х. ОДНaIЮ сила метода дон:аза
тельства теоремы 5 позволяет обойтись без теоремы ком-
пактности и заодно получить информацию о мощности
полученной модели. Сначала введем одно понятие.
Оп р е Д е л е н и е. Множество предложениЙ Х сиrна
- туры  называется nолnым в , если Хнепротиворечиво
и для любоrо предложения Ф сиrнатуры  либо Ф Е Х,
либо 'lФ Е Х.

146
I'Л. 4. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИRАТОВ
п р е Д л о ж е н и е 2. Любое nепротиво речивое ,v,nоже-
ство Х пред.ltожеnий сиznатуры  содержится в neJli,OTO
рож, по.ltnом (j  мnожестве предложеnий У.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Рассмотрим семеЙство Р всех
непротл:воречивых множеств предложениЙ сиrнатуры ,
содержащих Х. Отношение включения s; частично упо'"
рядочивает множество Р. Очевидно, что объединение
любой цепи из <Р, s;) принадлежит Р. По принципу
максимума <Р, s;) имеет максимальный элемент У. ИЗ
предложения 1 д) получаем, что У  полное в  множе
ство. О
Т е о р е м а 7. Ес.rщ беспоnечnое мnожество Х фОр.lltУ.lt
сиеnатуры  nепротиворечиво, ТО Х UJrteeT модель  МОЩ
nости, nе превосходящей МОЩnОСТЬ Х.
"'Доказательство. Пусть FV(X)Bce перемен
ные, входящие хотя бы в одну формулу из Х своБОДНQ.
,Рассмотрим такое множество С'== {Cxlx Е FV(X)} СИМ-
;юлов, что С" <=1= Су для х <=1= у и С' n (R U F) == JO. Пусть
}; (Х)  сиrнатура, все символы которой входят хотя бы
в одну формулу из Х. Пусть o получается из  (Х) дo
бавлением элементов множества С' в качестве символов
новых констант. В силу следствия 13.2 I o I  I Х 1. Заые-
ним во всех формулах из Х все свободные вхождения пе
ременных х Е FV (Х) на константы С" Е С' соответствен по.
Ясно, что полученное множество Х' предложений сиrна
туры o имеет модель тоrда и толы\о тоrда, Коrда Х
имеет модель. Множество Х' непротиворечиво *). в са-
мом деле, предполоЖИМ, что D  дерево доказательства
( Ф ) х1....'Хn ( Ф хl,....хn L Ф
секвенции 1 С х ....,с х ' ..., k)c x "...С х l' 1'де 1, ...
1 n . 1 n
. . .,! Ф k Е Х и С Х1 , . . ., С Хп  все константы из С', входя
JЦие в D. Заменив l\онстанты С Х l" . ., С ХN на перемен
ные УI, ..., У"" не входящие в D, получим доказатель
, (Ф ) Х1.....хn (Ф ) Х1""'Хn L
СТВО D сеl\венции 1 У1'''''Уп' ..., 1; уl.....уn " При-
меняя предложение 18.4 н) (перенеся сначала одну из
формул в правую часть с отрицанием), получим доказуе-
мость ФI, ..., Фk, что противоречит совместности Х.
Переходим R построению множеств предложений Х n ,
п Е Ф, И сиrнатур n, п Е Ф. При ЭТОМ будут выполняться
.следующие условия:
*) По прпчпш:ш, !(оторые вылспятся в Rопце данпоrо параrра-
фа, мы даем здесь доказатеЛЬСТJJО, не опирающооея на теорему 5.

142
rл, 4,. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИRАТОВ
,
следует из построения множеств Х щ n Е 0). Наконец,
свойства и), к) следуют из свойства з) так Же, как в
теореме 5. Далее нужно в точности повторить конец дo
RазатеЛЬСтва теоремы 5, начиная с определения отноше-
ния  на множестве С.
Осталось только заметить, Что мощность модели  не
превосходит мощности множества С, которое в свою оче
редь является объединением счетноrо числа множеств,
имеющих мощность, не превосходящую мощность Х, и,
следовательно, имеет мощность, не превосходящую мощ
ность о) Х Х. ПО следствию 13.1 а) имеем 10) х Х! ==
== IXI.'o
Теорема 7 вместе с теоремой 1 дает также новое дo
казательство теоремы компактности. (См. подстрочное
примечание на с. 140.)
Упражнения
1. Привести пример формулы Ф исчисления предикатов, для
которой МНожества {Ф} и (1 Ф} НеПрОТИВоречивы,
2. Вывести теорему компактности нэ теорем 1 и 7.
3. Из теорем 1 и 6 получить характеризацию докаэуемых сек-
веНЩIЙ ИП: секвенция С исчисления ИП Torдa и толыю Torдa
доказуема в ИП. коrда С.тождественно истинна.
i 22. Исчисление предикатов rильбертовскоrо типа
3афиRсируем ПРОИ8ВОЛЬНУЮ СИ1'натуру . Все завися
щие от си:rнатуры понятия это1'О параrрафа будут OTHO
ситься К сиrнатуре .
В этом параrрафе мы рассмотрим исчисление ИП;,{
которое называется исчис.лепием предикатов 8и.льбертов
СКО80 типа, и покажем ero эквивалентность в определен
ном смысле (теорема 9) исчислению ип 1i подобно тому,
кан в  8 была ПОRазана эквивалентность ИВ и ИВ,.
Определение форму.лы ип; то Же, что и дЛЯ ИП 1i .
Секвенций в ИП нет.
Аксиомы ИП[ получаются из следующих 14 схем
заменой переменных Ф, 0/, Х конкретными формулами
ип;; х, у, z  переменными, а t  термами ИП 1 :
1. Ф-+(о/-+Ф), .
2. (Ф -+ 0/) -+ «(Ф -+ (0/ -+ Х)) -+ (Ф --+ Х»),
3. {Ф !\ Ч')Ф,
4. (Ф !\ Ч')  Ч',
5. (Ф Ч')«(ФХ)(Ф(чr Л Х))1


 22, ИСЧИСЛЕНИЕ 1'ИЛЬВЕРТОВСRО1'О ТИПА 143
6. Ф(ФVчr),
7. Ф(чrVФ),
8. (Ф..... Х)  ((чr --+ Х) --+ ((Ф V чr) --+ Х»,
9. (Фчr)((Фlчr)lФ)!
10.1l Ф --+ Ф ,
11. V'хФ --+(Ф)t,'
12. (Ф)f --+ 3ХФ 1
13. х  х,
14. х  у' --+ ((Ф) --+ (Ф)).
Правила вывода ип:
1. Ф,  -+ Ч' , 2. ч' ч'  ФФ ' 3. Ф -+ ч' ,
-+ х. :tхФ -+ Ч'
rде в правилах 2 И 3 х не входит свободно в чr.
Допазательством в ип формулы Ф называется Ta
Rая иослеДовательность Фа,..., Фn формул ип, что
Ф n == Ф И для RаЖдоrо i  п формула Ф j удовлетворяет
одному из следующих условий:
. 
1) Ф j  аксиома ип l ,
2) Ф j получается из некоторых Ф j , j < i, по одному
из правил 13.,
Если существует ДОRазательство в ипf формулы Ф,
то Ф называется допазуеlrtой в ип; или теоре,МОЙ ип;
(обозначаем r> Ф).
Выводом в ип; формулы Ф из Мnожества ФОР,МУЛ G
называется таRая последовательность ФQ, ..., Ф n фор

мул ИП l , что Ф n == Ф И для Rаждо1'О i  п формула Ф j
удовлетворяет одному из следующих условий:
1) Ф j доказуема в ИП;,
2) Ф j принадлежит G,
3) Ф j получается из некоторых Ф j , j < i, по одному
пз правил 1 3, причем при применении правил 2 и 3 пе
ременная х не должна входить ни в одну формулу из
G свободно.
Если существует вывод в ип; формулы Ф из множе
ства G, то Ф называется выводимой в ипf из G. При
этом G называется множеством 1'ипотез. Очевидно, Что
доказуемость формулы эквивалентна ее выводим ости из
пустоrо множества 1'ппотез. Поэтому выводим ость Ф ИЗ
G можно обозначать через G r> Ф. в этом параrрафе,
если не О1'овореио противное, под доказательством И BЫ
водом понимаются доказательство и вывод в ип;.

144
rл. 4. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДПНАТОВ
Правило вывода
Ч' l' ..., Ч'k
Ф
называется допУСТUJ.IЫlll в ИПi если e1'O
к исчислению ип; не изменяет множества
формул.
Пр е Д л о ж е н и е 1. С.ltедующuе правuла будут дo
nYCTUlIlblMU в ил;j
) Ф б ) (Ф)f . (Ф)f-+ 'Р.
а УхФ ; 3хФ' в) УхФ-+ чr '
добавление
ДОRазуемых
чr -+ (Ф)f
r) Ч'. -+ 3хФ '
;
Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть Ч'  некоторое ДOKa
эуемое предложение, ТО1'да в силу аксиомы 1, доказуе-
мости Ф и правила 1 получаем [> Ч' -+ ф, По ПраВIIЛУ 2
получаем [> Ч" --+ v' хФ. Отсюда ДОRазуемость v' хф сле
дует по правилу 1.
в) Формулу V'хф--+ Ч" получаем из аксиомы V'хФ--+
--+ (Ф)f и теоремы (Ф)f --+ Ч' с помощью аксиом 1, 2 и
правила 1.
Доказательство утверждений б) и 1') мы оставляем
читателю (упражнение 1). d
Формулы Ф и чr называЮтся эквuвалеnтnымu в ипf,;
если в ИП доказуемы фОРМУ:IЫ Ф -+ чr И чr -+ Ф (обоз
1
в:а'1аем ЭТо через Ф = Ч').
Пр е Д л о ж е н и е 2. Любая тавтолоuя Ф допазуе,}lа
в ИЛ;.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть чr  основа Ф. В силу
теоремы 8.11 'Р' доказуема в ИВ!. Ясно, что, заменив
пропозициоhальные переменные в доказательстве в ИВ!
формулы чr на соответствующие формулы ипf 1 получим
доказательство Ф в ип;. о
С л е Д С т в и е 1. Еслu Ф U чr  nропозuцuоnалыiO
эпвuвалеnтnые ФОРlltУлыИЛ;, то допазуемость Ф в ИЛ

равnосuльnа допазуемостu Ч' в ИЛ 1. О
Т е о р е м а 8 (о дедукции). Если G U {Ф, чr}  MnO
жест во формул И лf., то UЗ GU {Ф}I> Ч' следует GI>Ф--+ Ч'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукция по длине п мини
мально1'О вывода Ч'j, ..., Ч'n формулы чr из G U {'ф}.
СлучаЙ, коrда n === 1 (т. е. чr  теорема ип или при
надлежйт G U {ф}) I а также случай, коrда чr:n ПОJlучает;,


 22, ИСЧИСЛЕНИЕ 1'ИЛЬВЕРТОВСRО1'О ТИПА 145
ея по правплу 1, ничем не отличаются от соответствую
щих случаев дЛЯ ИВ\ и уже рассмотрены в доказатель
суве теоремы 8.12. В силу минимальности вывода OCTa
лОСЬ рассмотреть случаи, коrда 'V получается из 'V "\ по
правплам 2 или 3. По предположению индукции мы уже
ИIеем G [> Ф -+ 'V "\'
Пусть ЧJ' "\ == (8\ -+ 82) и ч" == (81  V х8 2 ). При этом
В силу определенпя вывода х не входит свободно в Ф"
Э,Iементы G и 8\. Так кан Ф -+ (Х\ -+ Х 2 ) И (Ф Л X1) Xz
пропозициональпо эквивалентны для любых формул Х\,
Х2, то В силу следствия 1 последовательность
ФЧ"n11 (Ф Л 81)e2' (Ф Л (1) Yx82' Ф(8l  Ух8 2 }
можно дополнить до вывода Ф -+ 'V из G.
Пусть теперь 'V получается по правилу 3. Torдa
ЧJ' ,,1 == (е\ -+ е 2 ) и чr == (3xe1e2)' Здесь х не входит
СЕободно в Ф, е 2 и элементы G, В сплу пропозициональ
s
ных эквивалентностеЙФ чrnl ==е1(Фе2) и 3хе ! 
s
 (Ф  e k ) == Ф (3xe!  е 2 ) следующую последователь
ность:
Фчrnl' еl(Фе2)' 3хе1(Фе2)' Ф (3xe1e2)
можно дополнить до вывода Ф -+ 'V из G. о
С л е Д с т в и е 2, Пусть ФI", " Ф n , Ф  фор.мулы
II П , Тоеда {'Ф\", " Ф n } [> Ф равносилы-о[> Ф\ -+
-+ (Ф 2 -+ . . , (Ф n -+ Ф). . .), что в свою очередь paвHO
сильно 1> (Ф l Л (, . . (Фnl Л Ф n ) , ..»  Ф.
д о к а з а т е л ь с т в о. Для первоЙ эквивалентности
п раз применяется теорема 8 и правило 1. Для второЙ
ЭIшивалентности те же рассуждения, что и в след
ствии 8.1. О '
Т е о р е м а 9. Для тоео чтобы фор:мула Ф была вывo
дима в ипf из множества всех членов nонеЧ1l0Й после
довательностu формул r, llеобходuмо и достаточно, что-
бы сепвенцuя r f--- Ф была допазуеJltа в ИП1:, В частно
СТU, множества формул, доnазуемых в ИП; и в ИП1:,
совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу правил 7 и 8 ИП1: ceK
Венция 'V \, ',., 'V n f--- Ф доказуема в ИП1: тоrда и тольно
тоrда, коrда доказуема f--- 'V 1 -+ (Ч' 2 -+ " . (Ч' n -+ Ф). , . ).
Тоrда из следствия 2 получаем, что для доказательства
необходимости можно оrраничиться 'случаем r -== 0.
10 ю. Л. Ершов, Е, А. Палютин

146
1'Л. 1" ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДIШАТОВ
Ле1'КО про верить, что аксиомы ипf тождественно истин
z
ны, а правила ВЫВОДа ИП 1 сохраняют тождественную'
истинность. Поэтому необходимость следует из теоремы
rёделя о полноте.
Достаточность. Очевидно, что если r f-- Ф  аксиома
ИП1:, то r [> Ф. (Здесь и далее мы допускаем некоторую
вольность в обозначениях: следовало бы писать {Ч' 1, ...
..., ч' n} [> Ф, если r == <Ч' 1, . '.., ч' n>.) Пусть Ф О  Ka
коенибудь предложение сиrнатуры . Так нак правила
r f---- r f---- Фа 1\ "l Ф О
rf----ФоЛ"lФ о ' l"f----
являются допустимыми в ИП1:, то осталось показать, что
если в правил ах вывода исчислеНIIЯ ИП:& заменить знак
f-- на [>, а r f-- на r 1> Ф о Л "l Фа, то из истинности YTBep
ждений над чертоЙ будет следовать утверждение под
чертой. Для правил 112 проверка та же самая, что и
в теореме 8.11. Для правил 13 и 15 при r == JZJ это верно
в силу предложеnия 1 а), б). Для остальных случаев это
у
следует из следствия 2, правил 2, 3 исчисления ИПj и
предложения 1 в), 1'). о
Из этой теоремы и теоремы 2 получаем
. Z
С л е Д с т в и е 3. Если 1 s;; :2:, то исчисление И П 1 яв-
Z
ляется /'>оnсервативnым расширеnием исчисления И П 11. О
1
Из теоремы 9 следует также, что Ф == чr равносильно
Ф==Ч'.
С л е Д с т в и е 4. Пусть Х u {ф}  множество формул
сиен.атуры , а У  множество всех nеремеnных, вхоitя
щих свободно хотя бы в одну формулу из Х U {ф}. Для
тоео чтобы имело место Х [> Ф, необходимо и достаточно,
чтобы выnолnялось следующее условие: для любой алееб
раичес/'>ой системы  сиен.атуры :2: и иnтерпретации
1: У --+ А, если имеет место Щ t= чr[1] при любом чr Е Х,
ТО Щ t= Ф[1].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как вывод содержит лишь
конечное множество формул, то Х [> Ф равносильно
тому, что Х 1 [> Ф для HeKoToporo конечно1'О Х 1 S;; Х. He,
оБХОДIlМОСТЬ тоща следует из теорем 9 Il 1. Если из Щ 1=
1= Ч' [ 1], 'v Е Х, следует Щ t= Ф[ 1] для любых систем Щ
сиrнатуры  и 1: У --+ А, то множество Х U {l Ф } не имеет
модели. ТО1'да по теореме 5 для некоторых 'V 1, ..., чr n Е
Е Х секвенция 'V 1, ..., 'V n f-- Ф доказуема и из Teope
мы.9 получаем достаточв:ость. О


6 23. ЧИСТОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИRАТОБ
i47
Упражненя
1. Доказать утверждения б) и r) предложения 1.
2. Докавать, что r 1> ф тоrда и только тоrда, коrда существует
тaIiая последовательность Фа, ..., Ф n формул ИП;, что Фn "'" Ф
И ДJIЯ каждоrо i  п формула Фi удовлетворяет одному ив сле
дующих условий:
1) Фi докаВУ,ема в ИП,
2) Фi принадлежит r,
3) Фi получается из некоторых Фj, j < i, по правилу 1.."
 23. Чистое исчисление предикатов
В этом параrрафе будет определено исчисление ИПЧ,
:hOTOpOe называется чистым исчислепием предипатов, и
будет доказана некоторая {<универсальносты> этоrо ис
числения (теорема 11).
Рассмотрим сиrнатуру * == <R*, F*, 11*> со следую-
щими свойствами:
1) F* "'" 525, R* == {r;:'\ k, т Е O)J;
2) 11* (r;:') == k для любоrо т Е о) И k Е 0).
Формула:ми ИПЧ будут формулы сиrнатуры *, не
содержащие с.имвола равенства. Сепвепции ИПЧ  это
секвенции ип*, все формулы в которых являются
формулами ипч.
Аксиомами ИПЧ будут только секвенции вида Ф  Ф;
, *
правила вывода те же, что у ИП . ДОRазательство в
ИПЧ определяется так Же, как в ИП*   Rонечно, под
формулами, секвенциями и аксиомами теперь понимают
ся формулы, секвенции и аксиомы ИПЧ. Ле1'КО прове
)шть, что все результаты в  1820, относящиеся к
* '
ИП , за исключением предложения 18.5, предложе-
ния 20.1 и теоремы 2, справедливы также дЛЯ ИПЧ, так
как в их доказательствах не используются аксиомы 2), 3).
Сейчас мы покажем, что результаты  21 также pac
пространяются на ИПЧ. На самом деле имеет место
т е о р е м а 10. Исчислепие ИЛ};* является попсерва-
тивпым расширеl-lием исчuслеl-lия ИЛЧ.
Д о к а з а т е Л ь с т в о. Множество Х предложений
ИПЧ называется совместным в ИПЧ, если для любых
ФI, ..., Ф n Е Х секвенция Ф I , ...; Фn  не доказуема в
ипч. Покажем, что любое совместное в ИПЧ множество
формул ИПЧ имеет модель. Доказательство это1'О утверж
дения мало чем Q1'личается от ДОRаздтельства теоремы s..
10"

148
1'Л. 4, ИСЧIIСЛЕНИЕ ПРЕДIIRАТОВ
Построение множества Х", то же самое. (При ЗТ01\l
под формулами и доказательствами, конечно, понимают
ся фОрМУJIЫ и доказательства в ИПЧ.) ДОБазатеJlЬСТва
свойств а)  и) дЛЯ Х", те же самые. Свойство к) в дaH
ном случае не требуется. Отношение  на С не опреде
Jlяется и носитеJIeМ системы il( является само МIIоше
ство С. Дон:азатольство эн:вивалентности
r=Ф(d!, ..., dп)Ф(dl'''' da)EX",
из свойств а)  и) проводится еще проще, чем. в Teope
ме 5, так кю( отпадает неоБХОДШ\IОСТЬ переходить к пред-
ставителям lшассов эквивалентности по отношению 
и нет атомарных формул вида t 1  t z .
Если теперь S  1}f 1, ..., 1}f а 1--- Ф  теорема ИП*"
являющаяся сеЮJенциеЙ ИПЧ, то по теореме 1 S  тож
дественно истинная СeIшепция. Тоrда по ТОJIЫШ что дo
казанному ру 1, ..., ЧУ п, l Ф}  не совместное в ИПЧ
множество, следовательно, секвенция ЧУ 1, ..., ч' а, l Ф t---
доказуема в 1111 Ч. По l1раышу \:.J поаучаGМ ДОI\азуемость
S в ИПЧ. Ес,;lИ S  ч' 1, ..., Ч'п 1---, то {\V 1, ..., чr,.}  не
совместное в lПIЧ множество, и опять ч r 1, "', чr а 1--- 
теорема ипч. О
Ясно, что из результатов  21 и теоремы 10 следует
справедливость всех теорем, полученных И3 теорем  21
заменой ИП на ИПЧ. Конец этоrо параrрафа мы по-
святим одвому факту, которыЙ ПOl{азьшает, что вопросы
о доказуеМОСТIl в разлпчных ИIР «сводятся,> к вопросам
о доказуемости в ИПЧ. ПереХОДИl\1 к ТОЧIIЬШ Формули-
'ровкам.
3аФlШСИРУСМ преДIII\аТНЫЙ спивол 1'о Е Н*, для КОТО-
poro J.to (ro) === 2.
Оп р е Д е л е н II е. Пусть }: === <R, Р, J.t)  конечная
или счетная ClIrHaTypa. Разнозначное отображение а,: R U
.U F -+ R* называется интерпретацией}: в 1:*, если выпол
няютсл следующие условия: а) ro Ф a,(R U Р); б) если
BER, то J.t*(a,s)J.t(S); в) если fEP, то J.t*(a,f)===
== J.t (п + 1. Для интерпретации а сиrнатуры ): в }:* оп-
ределим отображение а* множества формул сиrнатуры
}:, наХОДЯЩИХСЯ в приведеНIIОlI нормально:''! форме, в
множество формул ИПЧ по ИНДУКЦИИ. Если Ф  атои
ная формула вида Х  у, то а*(Ф)== ro(x, у); если Ф 
атомная формула вида s (х!, ., " х,,), то а,*Ф  as (х 1 , .,.
..., Х п ); если Ф  атомная формула вида у  f(x"
.. " Х n ) lIJШ 1 (х 1 , ',., Ха)  у, то а,*ф == аl (Хl, "" Х", у);


 23. ЧИСТОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИRАТОБ 149
eC-ЛI1 Ф == 1 Ч', Ф == QхЧ' или ф == Ч' lтЧ' 2' rде Q Е
Е: {У ,3}, rr Е {А, V, --+}, то а*'ф равна 1 а*Ч', Qха*Ч'
ПЛИ а*Ч' Iта*Ч' 2 соответственно. Если а  интерпретация
 в *, ф Е F () находится в приведенной н. ф. И
l:(Ф)== <{'So, .... Sh}, {fo, ..., fn,}, J.t'), то через аоФ обо
значим конъюнкцию следующих предложений сиrнатуры
l:* (rде пi == J.t' (Si), l; == J.t' (/;), Х, У, Z, XI, ..., х N , YI, ...
. . ., Уn  попарно различные переменные) *) :
1) "Х 1 ... Vx nj VY 1 ... VYnj ((ro (х 1 , Уl) А ...
.. Aro(xnj' Уnj)лаSj (х 1 , ..., x nj ))--+аSj(Уl' ..., Ynj))' j<"k;
2) "Х о .. VX!iVyo ... VYli((rO(x o , Уо) А ...
.., Aro (X1i' Yz i ) А afi (хо, .. ., xzi))--+аfi(Уо, .. ., Yli)),i<"т;
3) "Х 1 ... V X l i 3y a fi(X 1 , ..... X1i'Y)t i<"т;
4) "Х 1 ... V X l i VyVz((afi(x 1 , '."Х1i'У)Л
Aty"fi(X 1 , ""Х Н ' z))--+rо(У, z»), [<"т;
5) V xro (х, х);
6) V :J;Vy (ro (х, у) --+ ro (у, х»;
7) VxVyVz((ro(x, у) А ro(Y, z»--+ro(x, z».
Ясно, что из условпя 2) на сиrнатуру * следует, что
для любой конеЧНОII или счетноЙ СИ1'натуры  существу
ет интерпретация  в *.
т е о р е м а 11. Пусть Ф  Фор:Лtу.ла исчuс.лепuя пpe
aUli-атОВ, ф' 0== Ф, ф' паходится в приведеппой п. ф. и
а  unтерпретщия cиeпaTypь (Ф') в *. Тоеда Ф aOli-а
aye.ilta в исчuс.леnuи преди1'>атов тоеда и TO.'lbIi-О тоеда, li-oe
да аоФ' -+ а*Ф' доnаауе,ма в ИПЧ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теорем 1, 6 и 10 дoc.тa
точно проверить, что тождественная истИнность ф' paB
носильна тождественноЙ истинностй аоФ'......, а*Ф'. Для
любой системы  сиrнатуры  (ф') == < {So, ..., S,,},
*) Предложение О:оФ зависит только от сиrнатуры (Ф), а ero
ИСТИННОСТЬ на алrебраической системе !! равносильна тому, что

v (r о) еСТЬ эквивалеllТНОСТЬ, предикаты O:Sj и af; не «разЛичают
 
v (r о) - эквивалентные элементы, а отношения v (o:fi)' опреде
!!
ляют на классах v (r о) эквивалентпых элементов liMecTHble опе-
рации.

150
1'Л, 4. ИСЧИСЛЕниЕ lJI>lЩИRАТО1'i
{'/о, ..., /т}, !-t> определим систему a СИ1'натуры a ==
== < {ro, aso, . . ., as., а/о, . . ., а/т}, !25, af-t> s= * следующим
образом:
. а) аА == А;

б) <а, Ь) Е V (ro)  а == Ь;
 .
в) v (asj) == V (Sj), J <. k;
 !!.
r) V , (аfд == v ид,  <. т,f-t ид > о;
д) v!!(a/i)=={vUi)}' i<.т, f-tUд==О.
ИндукциеЙ по длине формулы чr сиrнатуры  (Ф'j, нахо.
дящейся в приведенной н. ф., леrко проверить, что для:
любой интерпретации "{ в А свободных переменных чr
  чr[1]а'Ж  а*Чf[1].
В частности, для любой "(: Fv(Ф')....... А имеем
 1=""1 Ф' [у] =? a 1= ""1 а*Ф' [у]. (1)
Очевидно, что в a истинно аоФ', поэтому из (1)' полу
чаем, что из тождественной истинности аоФ' ....... а*Ф' сле
дует тождественная истинность ф'.
Пусть аоФ'....... а*Ф' не тождественно истинна, тоrда
для некоторой системы o сиrнатуры a и интерпрета
ции "(О в Ао свободных переменных Ф' имеем o  аоФ' и
'Жоl= ""1а*Ф' [1'0]' Из истинности в 'Ж о предложениЙ 5) 7)
И3 определения аоФ' ПОJIучаем, что отношение у!!О (ro) оп
ределяет на Ао эквивалентность. Класс эквивалентности
по отношению v!!O(ro), содержащиЙ а Е Ао, будем обозна.
чать через а. Определим систему o сиrнатуры (Ф')'
следующим образом:
а) Во == {iila Е Ао};
  o
б) <аl' . . '1 а n ) Е v (Sj)  <а 1 , . . . ,аn) Е
Е у'40 (asj), j <. k;
  O
в: <а 1 , "'1 аМl) Е v (fi) (а 1 , ...., аnн) Е
Е v!J. o (а/д, i <. т, f.t (fi) == п> о;
r) а == yO и;)  а Е у'40 (a/i), i <. т, f.t (fi) == О.
Из истинности на o КОНЪЮНКТИВНЫХ членов 1) и 2)
предложения аоФ' следует Iюрректность этих опреде,1е


 23, ЧИСТОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДIШАТОВ
151
нпlI. Из истинности предложеЩIЙ 3) и 4) следует, что
,\,o (1;), i <: т,  операции на ВО, Индукцией по длине
формулы ЧУ (Xt, "', Х n ) сиrнатуры (Ф'), находящейся
в приведенной нормальной форме, леrно проверить, что
для любых at, , . " а n Е Ао
o  ЧУ (at, ,." с1n) -<=?o  сх*чУ (at, .,., а n ).
ОТСIOда получаем, что o1= iФ' [Уо], 1'де 'Уо(Х)';: 'Уо(Х),
Х Е FV(Ф'), т, е. ф'  не тождественно истинная фор
мула. О
:Как будет показано в  38, существуют эффеRТИВНО
заданные множества формул, для которых нет эффек
тпвной процедуры (аЛ1'оритма), позволяющей для любой
формулы данноrо множества за конечное число ша1'ОВ
устанавливать, является ли она тождественно истинной
формулой или нет. Однако теорема rёделя о ПОЛНОТе
дает нам возможность по любой эффективно заданной
спrнатуре  построить эффективный процесс (машину)
M:r., который перечисляет все тождественно истинные
формулы СИ1'натуры , т. е, М в процессе работы выдает
тю,ие слова Фо, .. " Фn, .' " что {фо, .,., Фn, .. J есть
множество всех тождественно истинных формул СИ1'на
туры . Этот процесс состоит в выписывании конечных
последовательностей секвенций ИП:r. И выдает слово Ф
тоrда, КО1'да выписанная последовательность есть линей
ное доказательство сенвенции 1--- Ф в Ип:r.. Тю, как для
любо1'О эффективно заданноrо множества формул Х пе
реход от формулы Ф Е Х R формуле Ф' == Ф в приведен
, ноЙ н. ф., а затем R формуле СХоФ'  сх*ф' можно сделать
эффективным, то теорема 11 показывает, что для To1'o
чтобы уметь перечислять все тождественно истинные
формулы из любо1'О эффективно заданно1'О множества
формул, достаточно построить машину М, перечисляю
щую теоремы ИПЧ.
Упражнение
1. Пусть 1  исчисление, полученное добаплением к ИПЧ сим-
вола равенства и следующих аксиом:
а) 1--- х  х;
б) х  у, (P)I-- (P) rде p атоиная фориула сиrнатуры1:*.
Показать, что в J ДОRазуемы все теоремы ИП*.

rлава 5
ТЕОРИЯ МОДЕЛЕИ
 24. Элементарная ЭRвпвалентность
в  16 было ПО:Казано, что на изоморфных системах
истинны одни и те же предложения. Обратное неверно
для бесконечных систем. В этом параrрафе мы по:кажем
(теорема 1), что истинность на  и  одних и тех же
предложений равносильна существованию «достаточно
большоrо» запаСа :конечных частичных изоморфизмов 
и . В частности, если на :конечных системах  и  истин
ны одни И те же предложения, то  изоморфна .
Оп р е д е л е н и е. Две алrебраичеСI{ие системы  и 
сиrнатуры  называются элеиептарпо эnвивалептпыJ.tи
(обозначаем  == ) , если для любоrо предложения Ф
сиrнатуры 
ФФ.
Множество предложений {ФI'Х  ф} сиrнатуры  назы
вается элемептаР1l0Й теорией системы  или просто Teo
рией  и обозначается через ТЬ ('Х).
Ясно, что отношение  ==  равносильно равенству
,ть () == ть ().
Оп р е Д е л е н и е. Пусть 'Х и   алrебраичес:кие Cl1
стемы Сl1rнатуры  == <R, Р, /l). Разнозначное отображе
ние f: Х --+ В, 1'де Х s;; А, называется частичпыи изоиор
,фи3МO.!It 'Х в , если для любых al, ..., а ,. Ei Х выполняют
ел следующие условия:
1) если s Е: R U F  не :константа, то
 
<а 1 , ..., а n > Е v (s)  <!а н .. _, ja n > Е v (s);
2) если s Е F  константа, то
 
v (s) == а 1  v (s) '=" ja 1 .
(Напомним, что если п == О, то (а l , .. ., а n )==( )== Л == 0.)'
Еслп Х  конечное множество, то f называется nопечпы},t
частичпыи иао},tорфиа:пом. Множество :конечных частич-
ных изоморфизмов 'Х в  обозначаем через Р ('Х, ) I


 24, ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 153
Т е о р е 1\1 а 1. Пусть  и Q}  CUCTeJllbl сиеН,атуры .
Д,lЯ тOiJО чтобы систеJrtlл  и !8 были эле,lеН,тарн'О Эliви
ea.leNTNbl, 1tеобходи,IО и достаточ1tО, чтобы для люБОiJа
п Е (j) и любой коН,ечН,ой сщтатуры 1 s;  существовали
непустые Jlщожества Pl(I' 17), ..., Pn(I' 17) liонечН,ых
чаСТllЧllЫХ иЗОJllорФиа,ll0в  t 1 в !8 t 1 СО слеDующи,)II
СGоиствОJlt:
*) если f Е Pi(I' 17), 1 i < 17, то для любых а Е А,
Ь Е В существуют gl, g2 Е Pi+' (1' 17), для которых
а Е dOlll gl, Ь Е l'ang gz, f s; gl и f s; gz.
Д О Н а з а т е л L с Т в о. Достаточность. ИНДУlщиеЙ по
т докажем, что еСЮI длина формулы Ф (Хl, ..., Х.),
находящеЙся в приведенноЙ н. ф., не больше т, MHO
жества Рl ( (Ф), п) с. Р ( t  (Ф), !8 t  (Ф)), ... , РТL((Ф),
п) с. Р ( t  (<11), !8 t  (Ф)) удовлетворяют условию *) и
i+тп, то ДJIЯ любоrо fЕРi((Ф), 17) и любых al, ...
. . ., а. Е йот f
  Ф (a l , ..., а.) -{=>-!8  Ф (fal, .. ., fa.).
Если Ф  атомная формула, то это утверждение сле
дует из опредеJЮНИЯ частичноrо изоморфизма. Если
Ф  lЧ' или ф  чr l1:чr 2' 1: Е {;\, V, --+}, ТО утвержде
ине следует из индунционноrо предположения. Так нан
V хЧ' == 13Х I Ч' для любоЙ формулы чr, то достаточно pac
смотреть лишь случаЙ Ф(х 1 , "',Хk)===3Учr(у,Х 1 , ..., Xk).
ПУСТL   ф (a l , ..., a k ). ТОI'да   Ф (ао, аl, ..., a h ) для
HeI\OTOpOro аоЕА. Возьмем тю{ое gЕРi+I((Ф), п), что
f s; g и ао Е йот g. Так кан длина чr меньше длины Ф,
то по ННДУIЩIIОННОМУ предположению !8  чr (gao, fal, ...
. .., ja h ), следоватешно, !8  Ф (fa l , ..., fah)' Пусть
!8  Ф (fal, . ", fah)' Torдa !8  \Р' (Ь о , fal, ..., fak) для
ЬоЕВ. Возьмем gЕРi+I((Ф)' 17), для ноторото fs;g
и Ь о Е ral1g g. Тоrда по индукционному предположению
имеем   \Р' (g1 Ь о , al, ..., а.), следоватеJIЬНО,  
 ф (al, ..., ап)'
Необходимость. Пусть I s;   конечная спrнатура
и Х (17, т) для 17, т Е (j)  мансимальное множество по
парно не энвивалентных формул Ф сиrнатуры I' Haxo
длщихся в ПРllведенноЙ н. ф., содержащих  17 KBaH
торов и РV(Ф)s; {иl, ..., И т }. Так кан имеется лишь
конечное ЧИСло атомных формул с переменными из l\ШО
жества {и 1 , ..., и.}, то индукциеЙ по 17 леrко похазать,
что для Jlюбых п л liL множество Х (17, т) I\онечно.
ОчеВИДНО 1 что функция IX.(п l т11 неуБЬЩцющаSJ ПО

154
rл. 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
каждой иа переменных п И т, Пусть a l , .,., а. Е А
попарно различны. Отображение /: {al' "., а.}  В Ha
зовем (п, т)изо.морфиз.мо.lIt, если k <:;; т и для любой
формулы Ф(ХI, .' " Х.)Е Х(п, т) имеет место
I=Ф(аl, ..., аit)I=Ф(fаl, "., /ait).
ЯсJ1'o, что любой частичный nзоморфизм / Е P('J. t 2: l'
 t l)' для KOToporo Idoт /1 <:;; т, является (О, т)изо
морфизмом. Для i == п, п  1, "., 2, 1 будем определять
неубывающие функции gi: u)  U) так, чтобы множества
Fi(I, п)== {/It является (gi(m), т)-изоморфизмом для
HeKoToporo т Е U)}
удовлетворяли условию *).
в качестве gn берем тождественный нуль. Если
1 < i <:;; п, т Е U), то полаrаем /'
gH(m)==(gi(m + 1) .IX(gi(m + 1), т + 1) 1)+ 1,
Если gi неубывающая, то очевидно. что gi1 тю,же
неубывающая. Из  ==  следует, что / == 0 является
(п, О)изоморфизмом для любоrо п Е U). Следовательно,
классы РI (I' п),. . ., Р" (I' п) непустые. Пусть fEFH (1' п)
является (gH (т), т) изоморфизмом, 1 < i <:;; п, doт f ==
== {al, ..., а.}, k <:;; т и а Е А. Обозначим через Ф (ИI, ".
.. " и Н \) КОНЪЮRlЩИЮ всех ЧJ (ИI, ..., ИН!) Е Х (gi (k + 1),
k + 1), для которых  1= ЧJ (а 1 , ..., а., а). Число KBaH
торов у Ф не превосходит gi(k+1).IX(gi(k+1), k+1)1,
поэтому существует формула Х(и н ..., V.)EX(gH(k),k),
эквивалентная формуле 3vн+ 1 Ф (V 1 , "., Vh+l)' Так как
gH(k)<:;;gH(m), I=X(al' ..., a k ) и f(gH(m), т)изо
морфизм, то  1= Х (ja t , ..., fak)' Тоrда  1= Ф (fat, ...
. ", ja., Ь) дЛЯ HeKoToporo Ь Е В. Из построения Ф BЫ
текает, что д.ття любой чr Е Х (gi (k + 1), k + 1) либо
Ф  чr, либо Ф  "l Ч' является тождественно истинной
формулой, следовательно, g == f U (а, Ь> будет (gi (k + 1),
k + 1) изоморфизмом, т, е. принадлежит F i (I' п). 3aMe
нив в предыдущем рассуждении  на Q} и f на /t, полу
чим, что для любоrо Ь' Е В существует а' Е А" такое, что
f U {(а', Ь')} принадлежит Fi(\, п). О
С л е Д с т в и е 1, Если  и   а.'ti?ебраические cиCTe
J>otbl nоuечuои cUi?uarypu , то для TOi?O чтобы  и  были 
элемеuтарuо эnвивалеuтuы, пеобходимо и достаточuо, что
бы для .люБОi?О п Е U) существовали непустые мпожества

 24, ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭRВИВАЛЕНТНОСТЬ
155
[",(n)SP('J, !S), ..., Fn(n)sP('J,!S) СО следУlOЩUJ1t cвoй
CT60N:
*) если fEFi(n), 1i<n, аЕА и ЬЕВ, то суще
ствуют gl, g2EFi+l(n), для которых jSgl, t S g2, аЕ
Е dom g, и Ь Е rang g2.
Доказательство. В качестве множеств Р 1 (п),
..., Рп(п) берем множества Pl(, п), ..., Pп(, п) из
теоремы 1. о
С л е Д с т в и е 2. Если,!S  алеебраические CUCTeNbl
ситатуры  u  r.онечна, то  ==!S тоеда u только тоеда,
поеда   \8.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В предложении 16.7 доказано,
что для любых  и!S из  !S следует  == \8, Пусть
'J ==18 и 'А I == то Е ffi. Тан нак в 18 истинна формула
Фт О из предложения 16.9, то 'ВI == то. Для наждоrо
п Е ffi пмеется лишь нонечное число попарно различных
п-местных предикатов и функций на нонечном множест
ве, поэтому имеется таная нонечная или счетная ' s ,
что если s Е R U Р, то v'J( (8) == " (8') для HeKoToporo
в' Е R' U р'. Поэтому достаточно поназать, что  ' 
!8  '. Пусть ' === u i, rде ; конечна' и ; s i+!'
i=щ
Рассмотрим множества частичных изоморфизмов Р ! (i, п),
rде п, i Е ffi И 1 <:;; j <:;; п, из теоремы 1. Из условия *)
теоремы 1 следует, что для любых п, i Е ffi, любоrо
k < п и любых а" ..., а. Е А существует отображение
f Е Fk+l (i, п), для KOToporo аl, ..., а;" Е dom t. Следо
вательно, для любоrо п > то существует tn ЕР тон (n' п),
являющийся изоморфизмом   n на !S1  n' 1'де !8! s!8.
Тан нан I В 11 == I А I == I В 1, то 181 ==18. Существует лишь
конечное число отображений j: А........ В, поэтому суще
ствует такое число по Е ffi, что jn():   n:::;:!8 t n для
всех п Е ffi, следовательно, tn(): ....+!8. о
Понятие элементарной эквивалентности с не которой
точки зрения может быть даже более важным, чем поня
тие изоморфизма. Дело в том, что изоморфизм опреде
ляется через существование НeJ\ОТОрОЙ бесконечной функ
ции, в то время :как элементарная э:квивалентность опре
деляется через конечные' функции. Рассмотрим алrебраи
ческие системы o И 180 пустой сиrнатуры, у ROTOpblX Ао
состоит из всех счетных ординалов, а Во состоит из всех
подмножеств натуральных чисел. Из результатов П. Rоэ
на о нзависимости в ZFC следует, что o !80 нельзя

156
rл. 5, ТЕОРИЛ МОДЕЛЕй
ни доказать, ни опроверrнуть в ZFC. В 'силу же '«фини.
тарности» понятия элементарной эквивалентности для
«хорошо заданных}) систем  и  отношение  ==  мош.
но доназать или опроверrнуть в ZFC. В частности, леп;о
поназать, что o ЕЕ o. Нонечно, не надо забывать, что
понятие изоморфизма иrрает исключительную роль, на.
пример, в алrебре, так кан является «пределом}) для раз.
личных I\лассификаций алrебраических систем.
Если элементарная эквивалентность является ослаб.
ленисм понятия изоморфизма, то следующее понятие яв.
ляется усилением понятия подсистемы.
Оп р е Д е л е н и е. Подсистема  s;;  системы  сит.
натуры  называется элемептарпой подсистемой (обозна.
чаем  -< ), если для любоЙ формулы Ф (х" ..., х n ) сиr.
натуры  и любых,Ь" ..., Ь N Е В имеет место
i=Ф(Ь1' ..., Ьn)i=Ф(Ь1' ..., Ь n ). (1)
Пр е Д л о ж е н и е 1. П усть   алеебраичесr.ая си.
c1'eJta сита туры  и  S;;. Для тоео, чтобы иJttело место
fд -<, необходимо и достаточно, чтобы для любой фор-
мулы Ф (хо, .. ., х n ) сиенатуры  и любых Ь" ..., Ь n Е В
  3х о Ф (XOt b 1 , ... t Ь n ) =>- (  ф (Ь О ! b 1 , ..." Ь n ) для
Her;oтopoeo Ь О Е В).
Д О К а 3 а т е л ь с т в о. ИНДУlщие:ii: по длине формулы
Ф (х" ..., х n ) сиrнатуры  покажем, что для любых
Ь" ..., Ь n Е В истинно (1). Если Ф атомарная, то (1)
следует из определения подсистемы. Если Ф == .., чr пли
Ф === чr ,'! чr 2 для 't Е {!\, V, }, то (1) следует из ИН.
дукционноrо предположения. Так как 'v'хЧJ' == "l3х..,Ч"..
то достаточно рассмотреть лишь случаII Ф(х 1 "..., Х n ) "'"
== 3Хо ч" (Хо, ..., Х n ), но В этом случае (1) следует из
условия предложения и индунционноrо преДПОЛОiке.
пия. О
Пр е Д л о ж е н и е 2. Пусть   алеебраuческая систе.
ма сиенатуры  и  S;;. Если для любой конечной сита-
туры , S;;, любых Ь" ..., Ь N Е В и любоео а Е А су-
ществует авТОlflOрфиам f системы  t 1' для которо,ю
jb, === Ь" ..., fb n == Ь n и !а Е В, ТО  -< .
д о R а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся предложением 1.
Пусть  t= 3Х о Ф (Х о ' Ь 1 , . .. ,Ь n ). Тоща  1= Ф (а, Ь" ..., Ь n )'
для пекотороrо а Е А. Пусть f  автоморфизм системы
 t  (Ф), оставляющий Ь" ..., Ь n на месте, и fa Е В.
Из предложения 16.7 получаем  1= Ф иа, Ь" "', Ь n ). о


 24. ЭЛЕМЕIIТАРНАЯ ЭRВИВАЛЕНТlIOСТЬ 157
ЯСIlО, что из  -<  следует  == . ОбраТlIое в общем
случае неверно. Например, рассмотрим системы <Q(I);:O::;)
II <Q(2); :0::;>, rде Q(I), Q(2)  множества рациональных чп
сел, пе меньших 1 и пе меньших 2 соответственно,
а :О::;  обычпое отношеппе «меньше или равно» на чис
лах. По предложению 15.4 системы <Q(1); :0::;> и <Q(2 J ; :0::;>
изоморфны, следовательно, элементарно ЭIшивалептны.
Однано в подсистеме <Q(2 J ; :0::;> системы <Q(I J ; > фор
мула Ф (v 1 )  Уи а (v a lJClJOVl) истинна на элементе 2,
а в систе.ме <Q(I); > эта формула ложна на том же
злементе 2. Таютм обрааом, <Q(2 J ; > « <Q(1); > не име
ет места.
При м е р 1. Пусть   счетный плотный линеЙныЙ
порядок, а   плотный в  ПОрЯДОI{ (т. е.  s;;  и для
любых а < Ь из А существует с Е В, дЛЯ KOToporo а <
< с < Ь), ТОI'да (содержит концевые элементы)-<=?
 -< .
Для ДОI,азательстпа -<= замечаем, что та:к :кан  5: ,
то  и  имеют одинar,овые :концы. Теперь пусть, напри
мер, Ь О  первый элемеН'f . Torдa  1= V vo(vobo--+vobo)'
В силу  «  Iшеем I= Vv o (v o  Ь О --+ Р О  Ь О ) и, зна
чит, Ь О  первыЙ элемент . Для доказательства *
нужно воспользоваться предложеннем 2. ТребуемыЙ изо
морфюш f строится так Же, КЮ{ в предложении 15.4.
Пр п м е р 2. Пусть Q(  своБОДН8П rруппа со свобод
ными образующпми {а; I i Е J} И ]' s;; ]  бесконечное
множество. Тоrда rруппа  s;; Q(, порожденная в  MHO
жеством {а; I i Е]'}, является элементарноЙ подrруппоЙ
. Для доназательства воспользуемся предложением 2.
Пусть Ь 1 , ..., Ь п Е В И а Е А. Тоrда существуют :копеч.
ные множества Xs;;{aili E ]'} и YS;;{ailiEJ}\X, для
которых Ь 1 , ..., Ь п Е А (Х) и а Е А (Х U У). Рассмотрпм
рззнозначноеотображение f множества {aili Е J} на
себя, оставляющее элементы Х на месте и отображаю
щее У в {aili Е]'}. Тоrда f одпозначно продолжается до
автоморфизма 1'руппы , :которыЙ удовлетворяет условпю
пз предложения 2.
Хотя во мноrпх случаях признак из предложения 2
леr:ко применяется, он не является необходимым (см. уп
ражнение 2). Отметим, что вопрос о возможности заме
нить в примере 2 условие беСI\онечности /' на 1/'1 > 1
является нерешенной проблемой.
Анало1' предложения 15.2 для отношения -< не имеет
места (см. упражнение 2); в то время :как для предло

158
1'Л, 5, тЕОРИЯ МОДЕЛЕй
жения 15.3 соответствующее утверждение справедливо.
Множество {il i Е I} алrебраических систем наЗ0вем
элемеliтарlЮ liаправлеliliЫМ, если для любых i, j Е 1 cy
ществует таное k Е 1, что ; -<. и ! -< ..
Предложение 3. Если {i!iЕ[}элемеliТарIiО
liаправлеliliое Мliожество алzебраичесnих систем cuzпa
туры , ТО j -<  == u i' j Е 1.
iEI
Д О R а 3 а т е л ь с т в о. Эl\вивалентность (1) для  ==
== ! докажем ИНДУl\цией по длине Ф. Как и в доказа
тельстве пред.1l0жения 1, достаточно рассмотреть случаii
Ф == 3хЧ'. Пусть I= 3хЧ' (х, а 1 , . . ., аn), rAe ai, ...
. . ., а" Е A j . Тоща  1= ч' (а, a i , ..., а,,) для HeKOTOpo1'O
а Е А/. Возьмем k Е 1, для I\OTOpOro / -< . И ! -< ..
По индукционному предположению . 1= ч' (а, ai, ...
. . ., а,,), следовательно, kl= 3х'У (х, а 1 , ..., аn). ТаН каН
) -< k, то j 1= 3х'У (х, а 1 , . . ., а п ). Обратно, пусть имеет
место j 1= 3х Ч' (х, а l' .. ., a ll ). Тоща j 1= Ч' (a,a i , ..., а,,).
для HeKOTOpo1'O а Е A j и по индукционному предположе
нию  1= 'Р' (а, ai, ..., а,,), следовательно, имеет место
1=3хЧ'(х,аl' ...,а п ). D
Хотя аналоr предложения 15.2 для -< не имеет места,
более слабый вариант соответствующеrо утверждения
является очень важным.
Т е о р е м а 2. Пусть   алzебраичесnая система cuz-
натуры}:; и Х s;; А. Тozда существует таnая элемеliТарная
под система -<, что Xs;;B и IBI :;:;;max(IXI, II, <u).
Д о К а 3 а т е л ь с т в о. Полаrаем ХО == Х. Пусть Х"
уже определено. Для любой формулы Ч' == 3хФ (х, х 1 , ...
. . . \. х,,) сиrнатуры  и любой интерпретацпи "{: {Xi, ...
. .., х,,} --+ А выбираем такой элемент а (Ч', "() Е А, что
если 1=3ХФ(Х,'УХl' ...,'У Х ,,), то I=Ф(а(Ч', "(), "{Xi,...
. .., "(х.). Полаrаем Х nН == Х N U {а (Ч', 'У) I Ч' == 3хФ Е
Е F (), 'У: FV (Ч') --+ Х n }' Ясно, что подсистема  s;;  с
носителем U Х " удовлетворяет условию предложения 1,
пЕОО
следовательно, -<. Если ')..==max(IXI, II, <u), то
IF()I').. и IXol:;:;;')... Если /X"I.;:;;;').., то мощность l\fНO-
жества У" интерпретаций "{ переменных в Х" с конечной
областью определения не преВОСХОДIIТ \ ты X!. Так нак
IX\max (1 Х " 1, <u), то I У,,/  ').. . (() == ').., поэтому IX"+il .;:;;;
.;:;;; IF(S) 1. I У"I :;:;; ')..2 == ')... Следовательно, IBI.;:;;; ')... (() == ')... о
Оп р е Д е л е н и е. Пусть   алrебраичеСI{ая СIIсте-
м:а сиrнатуры  и Х s;; А. ВозьмеJ\l множство Cz. ==


 24, ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭRВИВАЛЕНТНОСТЬ i 59
"'" {cala Е Х}, не пересекающееся с R U F и Са =1= СЬ для
а of= Ь. Определим сиrнатуру x кан полученную из  до-
бавлением элементов множества С х в Rачестве новых
l,опстант. Обозначим через x оБО1'ащение системы  до
спrнатуры x, В котором константа Са, а Е Х, интерпре-
тпруется элементом а. Множество D (, Х) атомарных
предложениЙ сиrнатуры x или их отрицаниЙ, истинных
в системе x, называется диаzраммой множества Х в .
ЕСJПI в определении D (, Х) заменить «атомарные предло
жения или их отрицанию) на <шредложению), то получим
определение полной DuazpaMJ>tbl D* (, Х) lIщожества Х
в . Диаrрамма (полная диаrрамма) А в  называется
дuazраlltМОЙ (полной диаzраммой)  и обозначается через
D () (соответственно п* () ).
Пр е Д л о ж е н и е 4. а) Если   алzебраичеСliая cи
стема сиенатуры  и   JttOдель DuazpaмMbl D () (пол
ной DuazpaMMbl D* (» ситатуры A, то   1   для
неr>отороЙ 1 s;;  (неliОТОрОЙ 1 -<).
б) Если  s;;   алzебраичеСliие системы cuzHaTY
ры , то
 -< -<:=?-A  A'
Д О К а з а т е л ъ с т в о. а) Очевидно, что отображение,
f8
сопоставляющее элементу а Е А элемент v (Са), будет
требуемым изоморфизмом. б) НепосредствеНН9 из опре-
делений. О
Теорема 2 позволяет «спускаться» по мощностям, co
храняя элементарные свойства. Следующая теорема по-
зволяет «подниматьсю).
Т е о р е м а 3. Пусть   бесr;онечная система cиe1ea
туры , 'А  liардинал, не lItеньший тах {IAI, II}. Тozда
существует таr>ая CUCTellta , что  <  и 'ВI == 'А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем множество С сим-
волов констант мощности 'А, не пересекающееся с MHO
жеством R U Р. Рассмотрим множество
у == D* (Q() U {.., С 1  с 2 1 С 1 , С 2 Е С, С 1 =1= с 2 }.
Так как  бесконечна, то для любоrо конечноrо поД!\шо-
жества Х s;; у систему  можно оБО1'атить до l\Iодели Х.
По теореме R01l-шактности существует модель 1 множе-
ства У сиrнатуры АИС' Очевидно, что 'В 1 1  'А. По тео-
реме 2 существует 2 -< 1' IB 2 1 == 'А. По предложению
4 а) существует з < 2 И изоморфизм 111 Q(:..:..;:. 3 t.
Теперь нужно лишь переимеllовать в системе 2   эле..

160
rл. 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
менты Ь Е В з на f 1 1 b, чтобы получить требуемую !8. Что
бы избежать КОЛШIЗИП при тююм переобозначении, по
ступаем следующим образом. Возьмем мношество Z, дЛЯ
KOToporo Z n А == е5 И \Z\ == IB2 \ В з !. Пусть f  разно
значное отобрашение множества В == А U Z на множест-
!в
ВО В 2 И 11 s;; j. Определим систему!8 == (В, v ) сшнату-
ры  следующим образом:
а) если s Е R U F  пе нонстанта, то
 щ
(Ь 1 , ...,bn)EV (s)(fbl' ...,fbn)EV2(8);
б) если s Е F  нонстанта, то
v'!3 (8) == fl (V\(12 (8»).
Ясно, что f  изоморфизм !8 на !8 2 t  и  s;;!8. Пусть
Ф (Хо, ХI, . . ., Х n ) Е F (); ы 1 ...,, Ь" Е А и
!8t=:3х о Ф(х о , Ь 1 , ..., Ь п ).
Тоrда !8 2 1= 3Х о Ф (хо' f b l, ..., fb n ). Так I,aK fb l , ..., fb n Е В з
П !8 з -< !82, то существует такоЙ Ь О Е В з , что !8 2 != Ф (Ь о ,
jb " ..., fb n ). Отображение f1 является изоморфизмом
!8 2 t  на!8, поэтому !8!= Ф(fIЬо, b j , ..., Ь п ). Так как
f'bo Е А, то по предлошению 1 имеем  -<!8. ИЗ IB 2 ! == л
и !8 2 !8 следует IBI == 'А. о
Упражнения
1. Покажите, что ДШI систем !1( s;; '!3 сиrнаl'УРЫ  имеет [eCTO
!1( -< '!3, если выполняется одно из следующих условий:
а) СИfl!атура  содержит JIИШЬ бесконечное множество кон-
стант. 3начения констант в '!3 образуют бесконечное множество.
б) Сиrнатура  содержит лишь символы одноместных преди
катов rk, k Е 0), Рассмотрим множество 2'" == {vlv: о) --+ {О, 1}}.
Пусть '!3  произвольная система сиrнатуры . Для люБОl"О V Е 2'"
определяем ыножество '!3(у) == {ы
 для всех п Е о) '!3 1= т,,(Ь), если
у(п) == 1, и '!3 1=..., т n (Ь),еСJIИ у(п) == О}. Ясно. что для равличных
"l, "2 Е 20> множества '!3 (Уl) и '!3 (У2) не пересекаlOТСЯ. Пусть дли
всех v Е 2'" '!3(у) s;; А, если '!3(у)  конечное множество, и
А n '!3(у)  бесконечное множество, если '!3(у) бесконеЧllО.
в) Сиrнатура  содержит единственный символ ,...., двухмеСi
Horo отношения, которыЙ интерпретируетси в '!3 как ЭIшивалент
ность с беGконеЧIIЫМ числом бесконечных классов эквивалентно
сти. :Мнощество А содержит бесконечное ЧИСJIO классов эквива
лентности системы '!3. (У R а 3 а н и е. Воспользоватьси предложе
нием 4 б) и теоремой 1,) .
2. С помощью примера из упражнения 1 в) показать, что
а) признак элементарности подсистем из преДЛОiкения 2
}le является необходимым (у к а 3 а н и е: Пусть IA I == о) и все
в:лассы эквивалентности, содержащиеся .6 В\А, несчетны) i

!I 25, АRCIIOМАТИЗИРУЕМЫЕ RЛАССЫ
161
б) для некоторой системы !8 и беСl\онечноrо множества Х s; в
не существует минимальной по отношению ВКЛЮiЧения s; элемен-
тарной подсистемы  -< !8, содержащей Х.
 25. АI{СИОl\faтизируеl\lые классы
Оп р е Д е л е н и е. Класс К аЛ1'ебраических систем
называется апсио,:матизируе,м,ым, если существует сиrна
тура  и такое множество предложений Z сиrнатуры ,
что для любой системы !Х
!ХЕК-<=>
-<=> (сиrнатура !Х равна  и !Х 1= Ф для всех Ф Е Z) . (1)
Если для класса К выполняется (1), то  называется
сиzнатурой К, а множество Z называется множеСТ80.-п
апсио,:М для [( (обозначаем К == Кт. (Z)). Если все систе
мы класса К имеют сиrнатуру , то множество предло
жений сиrнатуры , истинных Н,а всех системах из К,
называется элеJltентарftой теорией К или просто теорией
К и обозначается через ТlI (К).
Отметим очевидное свойство теорий: если КI s; К 2 
классы алrебраических систем сиrнатуры , то Th(K 2 ) s;
s; Th(K 1 ).
Пр е Д л о ж е н и е 1. Пусть К  пласс алzебраичеспих
систе:м сиенату ры .
а) Класс К апсиОJlитизируем тоеда и тольпо тоеда,
поеда К == Кт. (ТЬ (К»).
б) Существует минимальный по отношению п 8плю
чению s; апсиоматизируе.мый пласс [(1 сиен ату ры , со-
держащий К.
Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть К == Кт. (Z). Так как
Z s; ТЬ (К), то Кт. (ТЬ (К» s; к. Обратное включение
К s; Кт. (Тll (К») очевидно.
б) В качеСтве КI нужно взять К]; (ТЬ (К). в самом
деле, если К 2  аксиоматизируемый класс сиrнатуры 
И К s; К 2 , то ТЬ (К 2 ) s; ТЬ (К). Следовательно, КТо (Тll (К» s;
s; Кт. (ТЬ (К 2 ») == К 2 . О
Будем rоворить, что класс К алrебраичеСI_ИХ систем
замкнут относительно элементарной эквивалентноСТИ
(изоморфизмов, подсистем, ультрапроизведений и др.),
если вместе с алrебраичеСI\ИМИ системами !Xi, i Е 1, ен
содержит все элементарно эквивалентные им системы
(все изоморфные им системы, все их подсистемы, ультра
произведение D-рrоd!Х j и др.). Приведем одну полезную
характеризацию акс:иоматизируемых классов.
11 10, JI, Ершов, Е. А, ПалlOТИН

"1
162
rл, 5, ТЕОРШl МОДЕТIШ
т е о р е м а 4. [{ласс К алзебраичесnих систе.l сита-
ту ры  аnСUОJ1итuзuруеж тозда и тольпо тозда, позда он
ЗaJ,tnнут относительно элежентарпой эпвивалеflТНОСТИ и
ультрапроизведений.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть К  аксиоматизируемый
класс. Очевидно, что К замкнут относительно элемептар
ной эквивалентности. Замкнутость К относительно ульт
рапроизведениЙ следует из теоремы 17.1. Пусть К замк
пут относительно элементарной эквивалентности и ульт
рапроизведепий. Достаточно lIоказать, что Кх(ТЬ (К» s К.
Пусть EKx(Th(K». Для каждоrо ФЕТh() paCCMOT
рим множества Иф == {чr Е Th() 11> '1' ........ ф}. Ясно, что
семейство Х == {Иф I Ф Е ТЬ () } будет цептрированным.
По предложению 12.1 существует такой ультрафильтр D
на множестве ТЬ (), что Х s D. ДЛЯ любоrо Ф Е Th ()
существует система ф Е К, на которой истинно Ф, так
как в противном случае l Ф Е Th (К), что противоречит
 Е КХ (ТЬ (К) ). Покашем, что  == Dprod ф, и этим
теорема будет доказана. Если  1= фо, ТО 'I' 1= фо для всех
, Ч'Е ИФ(I' Так как ИФО Е D, то по теореме 17.1 получаем
Dpl'od ф 1= Ф о . Если.  1= Ф О не имеет места, то  1= ..., Ф О
и по только что доказанному Dprod ф 1=, фо' Следо
вательно; Dprod ф I=-Фо не имеет места. О
Пр е Д л о ж е н и е 2. Пересечение любозо жножества
апсиожатизируе.мых плассов сизнатуры  и объединение
nонечнозо числа аnсиожатизируе.}lЫХ плассов сuзнатуры 
являются аnСИО.Jflатизuруе.мыжи nлассажи.
Доказательство. Если K;==Kx(Z;), iEI, то
очевидно, что n K i == К  ( U Zi ) ' Пусть К 1 == кх (ZI) и
jEI iEI
K 2 ==K x (Z2)' Рассмотрим множество z=={ФvчrIФЕZ 1 ,
'1' Е Z2}' Нокажем, что К 1 U К 2 == Kx(Z). Включение
IС U К 2  Kx(Z) очевидно. Пусть  Ф К 1 U К 2 И сиrнату
ра  равна . Тоrда существуют такие Ф О Е ZI И '1' о Е Z2,
что I= ""Фо Л ...,Ч'о' ТаЕ как фо V '1'0 Е Z, то  Ф
 КХ (Z). о
О пр е Д е л е н и е. Если К  Rласс алrебраичеСRИХ
систем и К == Кr. (Z) дЛЯ neKoToporo Rонечноrо множества
аксиом Z, то Rласс К называется понечно апсиожати
зируе.мыж.
Заметим, что если К конечно аксиоматизируем, то;
взяв RОНЪЮНКЦИЮ Rопечноrо мпожества Z аксиом дЛЯ К,
получим мпожество аксиом {ф} для к" состоящее из oд
Horo предложепия Ф.

 25, ЛНСПОМАТИ3ПРУЕМЫR ШIАССЫ
1f\3
Если К  класс алrебраичесих систем сиrнатуры ,
то через К обозначим дополнение К в классе K ио)
всех систем сиrнатуры .
Пр е Д л о ж е н и е 3. Пусть К  n.л,асс алзебраичеспuх
систем СUЗltатуры . Класс К является nоltеЧltо аnсио,ш-
Тll.1ируе.ты.т тозда u тольr.о тО?да, nозда К и К являются
а у; сuоматuзир у e':Mbl.'ftU.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Если К конечно аксиомаТИЗJI
руем, то К == К({Ф}) дЛЯ HeKOToporo iIреДЛOiпения Ф
сиrнатуры . Torдa К === Кl;({"lФ}). Пусть К и К aK
сиоматизируемы. Так как К n К === 0, К === K (Th (К) и
К == K (Th (К) ), то по теореме компактности существу-
ют такие конечные множества Х s Th (К) и У s ТЬ (К),
что Х U у не имеет модели. Тю{ как ТЬ (К) и Th (К)
замкнут относительно взятия }юныокций,, то можно
считать, что Х == {ф} и У == {Ч'}. Так как Ф /\ чr  тош
дественно ложная формула и Ф Е Тll (К), то па всех
системах из К истинно предложение Ф /\ "l чr. Обратно,
если на системе !Х сиrнатуры  ис.тинно предложение
Ф /\ "l 'Р', то !Х Ф К и, следовательно, !Х Е К. Значит,
К === K ({Ф /\ "l чr}). О
О п р е Д е л е н и е. Формула Ф, называетСя V фор:мулой
(3формулой, V3формулой), если Ф == VX 1 '" Vxko/
(Ф === 3Хl ... 3Xk'P', Ф === VX 1 ... VX k 3Yl ... 3У'1Ч')' rдe
Ч'  бескванторная формула. :Класс К алrебраических
систем называется V аr;,сиоматuзируе.МЫМ (3 ay;cиOMaTи
зuруемым, V3 апсuо,:матизируt;МЫМ), если К === K (Z), rДе
Z  МНОЖеСТВО Vпредложений (3предложений, V3
предложений) 'сиrнатуры .
Предложение 4. а) Пусть Ф(Хt, ''', Xk)  V
формула (3формула) сиеиатуры , !Х s!8  алзебраиче--
Сltие cucTeJ11bl сuзnатуры , al, ..., а" Е А. Тозда из истиlt-
ности Ф (al, ..., a k ) в !8 (в !Х) следует истиltltость Ф (п l , .. .
..:, ah) в!Х (в \8).
б) Пусть {!Xi! i Е [}  nаправлеnnое семейство алзеб-
раичесr;,их систем сuзnатуры  u V3предложеnие Ф ,
сиенатуры  uстшшо во всех !Xi, i Е 1. Тозда Ф истиnltо
в !Х == U i,
iEI '
cr
Доказательство. а) Так как значение t [у]
терма t нри интерпретации "( в А совпадает со значе
 '
нием t [у], то а) выполняется для атомарных формул Ф.
ДЛЯ бескванторных формул утверждение а) получается
11*

164
rЛ, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
индукцией по длине Ф. Тенерь остается лишь воснользо
ваться определепием истинности формул с KBaHTopa
МИ V и 3.
б) Пусть Ф:=Vх 1 ... V X k3Yl'" 3у n Ч'(х 1 , ..., Хп,
У l' ..." Уn), [де ч'  бескванторная формула, истинно па
всех ;, i Е 1. Возьмем произвольные а" ..., ал Е А. Тоrда
а" ..., аА Е А; дЛЯ пекотороrо i Е 1 и, следовательно,
'Жii= 3Уl'" 3у n Ч'(а 1 , ..., ап, Уl' ..., Уn)' Так как 'Жi!;;;'Ж,
то в силу а) имеем 'Жi=3Уl ... 3Уп чr (а 1 , . .., ап'Уl' ...
.'. " Уп). О
Л е м м а 1. Пусть r  J,t1l0жество предложеиий сиз-
патуры  и '1' о(Х" "., Хп)  формула ситатуры . Если
для любых J,LOделей 'Ж!;;;  J,fиожества r, u.меющих сизиа
туру , и любых а" .... ал Е А из истипиости '1'0 (а" .,.
. .., ал) в  (в 'Ж) следует истUlШОСТЬ '1'0 (а" ., " ал) в 'Ж
(в ), то существует VфОРJ,fУла (3фор.мула) Хо(Х"...
.. ., Х л ) ситату ры , для r.oi'opou r 1> (Ч' о --+ Ха) /\ (Х О --+
 Ч' о),
Д о к а з а т е л ь с т во. Вместо и" " " ил пишем и.
Пусть  а  набор новых нонстант, ' ===  u а, '1' i ==
==(Ч'о)J- и Z=={ФIФVпредложение сиrнатуры' и
r 1> '1'1 --+ ф}.
Рассмотрим множество r U z U {lЧ' 1}' Если оно
несовместно, то существуют Ф о , ,.., Ф n Е Z такие, что
r 1> л Фi--+Ч' l' Тоrда rl> л Ф i ++ Ч' l' Пусть Do  дepe
in i<n
rol--- ( -Л Фi--+Ч'I ) /\
,n
/\ ( Ч' 1 --+ Л Фi ) ' 1'де ro  подходящее конечное подмноже
i<n
ство r. Тап нак эта сенвенция не содержит свободных
переменпых, то можно считать, что X 1 , ..., Х л пе BCTpe
С ) dl"..,dk
чаются в Do, делаем подстаноВI{У (Do Хl'''''Хп' Это снова
дерево доназательства сенвенции r о 1--- ( Л (Фi)l 
i<n
-+ чr О ) /\ ( Чr о --+ .л (Фi) ) ' Остается заметить, что формула
,<n '
Л (Фд энвивалентна Vформуле.
i<n
Предположим, что r U z U {., Ч'l} совместно и 'Ж 
модель этоrо множества предложений. }7становим, что
r U D ('Ж) 1> ., чr l' Действительно, если   любая MO
делъ r U D () , то существует изоморфное вложение q>
во
доназательства
секвенции

 25. АRСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ RЛАССЫ
165
модели  в   '. Если бы в .!8 бы.по истинно чr l , то
ПО УСЛОВIпо чr I было бы ИСТIIННО И В ПОДСlIстеме ер ()  \В,
а следовательно, П в , что невозможно. Итак, дЛЯ ВС('Х
моделей  для r U D () имеем I> I Ч' 1" По теореме
о полноте имеем l' U D () \> I Ч' l' Существуют конеч-
ное подмножество ro  r и предложения Хо, ..., Х п Е
Е [)() таЮIе, что СРIшенцпя ro f--- л X i --+,/ Ч"1цоказуема.
 iп
Заменяя l\Онстанты вида Са на переменные и навешивая
на эти переменные lшанторы существования, получим
доказуемую секвенцию ro f--- 3 y'Cn (Xi)a)--+ I Ч'1' Тоrда
доказуема сеIшенция ro f--- Ч'1 --+ Vy '/ ( Л ( Xi)a ) . Следо
i<;:n у
вательно, VYI ( Л ( Xi)a ) E Z, Ш 1= VYI ( л ( Xдa ) "
i-<n у i п у
что противоречит тому, что Хо, ..., Х п Е [) (Ш) .
Второй вариант леммы получается из первоrо заме
ной формулы чr о на '/ чr о. О
Т е о р е м а 5. ПУСТЬ К  апсuо:матuзuруемый пласс
алеебраuчеспих систе:м сиенатуры .
а) К 3- апСUо.lJ1дтuзuруем  К зампнут отuосuтелыю
падсистем.
б) К V апсuо,:маТUЗUРУeJrt  К зампuут относuтельно
подсuстелt.
Д о к а з а т е л ь с т в о. "Утверждения '* следуют из
предложения 4.
а) Покажем сначала, что для любоrо предложения
Ф Е ТЬ (К) существует такое предложение чr ф Е ТЬ (К),
что !> чr ф --+ Ф И для любоЙ пары  !В алrебраичеСI{ИХ
систем СИ1'натуры  из  1=" чr ф следует !в  Ф. Предполо
жим, что это не так, т. е. существует такое Ф О Е ТЬ (К) ,
что для любоrо чr Е ТЬ (К) существуют системы чr  'I'
сиrнатуры , для которых из 1> чr --+ Ф О следуют чr  Ч'
И чr 1= lФо' Пусть D  ультрафильтр на множестве
ТЬ (К) , содержащий центрированное семейство Х ===
==={UФiфЕТh(К)}, rде uФ==={чrЕТh(К)ll>чr--+Ф}. Pac
смотрим системы o == Dprod чr и !ВО === Dprod чr. Так
как Ш:'l"  'I' для всех Ч' Е ТЬ (К), то существует I  o,
I  o. Из теоремы 17.1, Вlшючения Х  [) и пз Toro, что
o  I, получаем Ш: j Е К-х. (ТЬ (К) ) == К и o 1= I Ф о . Это
противоречит замкнутости К относительно надсистем.
Для ЛlOбоrо предложения Ф Е ТЬ(К) по лемме 1
(полаrаем r == {Ч'ф V I Ф} и Ч' 0== Ф) существует такое

166
1'Л, 5, ТЕОРШI МОДЕЛЕй
3-предложение ХФ, что \> ч' ф V 1Ф --+ ((Ф --+ Х ф )!\ (Х ф --+
--+Ф). Отсюда получаем, что Х Ф  Ф  тождественно ис
тинное предложение и в силу {Ф, чr Ф} s;; ТЬ (К) также Х Ф Е
Е ТЬ (К). Следовательно., множество 3 предложений
{Х Ф IФЕТh(К)} будет системой аксиом дЛЯ К.
б) Чтобы получить доказательство б), нужно в дока.
зательстве а) заменить  S;;!8 и p s;;!8'l' на !8 s;;  и
!8р s;; p соответственпо и применить друrую часть лем-
мы 1. о
Оп р е де л е н и е. Предложение вида 'VXl ... 'VXhQ,
rде Q  атомарная формула, называется тождество.'I,t.
Предложение вида
'VX 1 ... 'VXk((Ql!\ ...!\ Q,,)-+Qo), (1)
rде Qo, QI, ..., Q"  атомарные формулы, называется
квазuтождествОllt. Аксиоматизируемый класс К называ-
ется Jruиеообразuе,:м (кваЗUllтоеообразuе.м), если существу-
ет система аксиом Z д.ля К, состоящая из тождеств
(пвазuтождеств).
Так как тождество 'V Х 1 . .. 'V XkQ эквивалентно квази-
тождеству 'VX 1 ... 'VXk-Н (ХпН  XkH--+Q), то МНО1'ообра-
зие является квазимноrообразием.
Систему Ет. == < {.е5}, "Ет.> назовем едUlIUЧ1l0Й CUCTe.1ftou
сие1lату ры , если
"Ет. (8) == {.e5}11(8) для всех 8 Е R. (2)
'Условие (2) определяет систему Е!. однозначно, так как
на одно элементном множестве для любоrо п Е (f) суще-
ствует только одна п-меСТlIaЯ функция.
Пр е Д л о ж е н и е 5. а) Любое пвазUJlt1l0еообразuе К
сие1lату ры  за.мlfllУТО ОТ1l0сuтеЛЬ1l0 ФuльтроваllllЫХ про-
uзведеllUЙ u содержuт едUllUЧН,УЮ систему Е!..
б) Любое JvmО200бразuе заlltКIIУТО ОТ1iосuтелыiO еомо-
.IОРфIIЫХ образов.
Доказательство. а) Так как в Е!. истипно
Qo(0, ..., 0), для любой атомарной формулы Qo(X I , ...
..., х/,) сиrнатуры , то в Е!. истинно любое квазитож-
лество (1). Для Toro чтобы ноказать замкнутость К отно-
сителыю фильтрованных нроизведенпй, достаточно нока.
эать, что любое квазитождество (1) условно фильтруется
по любому фильтру D на множестве 1. В силу леммы 17.2
достаточно показать, что формула ((Ql!\' . . !\ Q,,)--+
--+ Qo) (X 1 , ... ,Xh) условно фильтруется по D. Пусть
tl, ..., tk Е l-prod А; и Х == {i I ; 1= ((Qи\ ... /\ Qn) 

!I 25, АНСIIОМАТII3lIРУЕМЫЕ RЛАССЫ
1.(п
--+ Qo) U1i, ..., Ы)} Е D. Предположим, что в Dpl'od ;
llСТИННО (Q1 /\... /\ Qn /\ I Qo)(Df1' ..., Dfk)' Иа
лемм 17.3 и 17.2 получаем У  {п i 1= (Q1 /\ . .. /\ Qn)
U1i, ..., fki)}ED и Z{iliQo(fli, ..., fki)}ФD.
Очевидно, что Х n у содержится в Z. Так как Х n у Е D,
то Z Е D  противоречие.
б) Пусть f  rомоморфизм  на \8. По предложеНIIЮ
16.1 б) для любоrо терма t и интерпретации '(: FV(t) +А
f (t'2l [у]) == t!3 [уЛ.
Иа это1'О равенства и определения rомоморфизма полуqа
ем, что
  Q[ '{] * \8  Q[ '(!]
для любой атомарной формулы Q сиrнатуры , Поэтому
в силу Toro, что f отображает А на В, из истинности
любоrо тождества Ф в 'Х следует ero истинность в \8. о
Т е о р е м а 6. Для VапсиоматизируелtО30 пласса К
сизнатуры  следующие условия эпвивалентны:
1) К  пвазимnозообразие,
2) К за.мпнут относителыiO понечных департовых nро-
изведений и содержит единичную систему Ет..
Доказательство. 1)* 2) доказано в преДЛОЖе
пии 5 а). Рассмотрим множество
W == {Ф!Ф  квазитождество сиrнатуры  и Ф Е ТЬ(Кр.
Пусть   модель W. Покажем, что каждое конечное
подмножество Х s;; D () имеет такую модель \8 х , что
\8х t 'ZsK. Пусть Х == у u Z, 1'де Z СОСтоит из атомных
предложений, а У  из отрицаний атомных. Если У == 0,
то в качестве \8х можно взять EJ:.A' Пусть У == {I Q1,' . .
. . ., lQn}, Ф  конъюнкция элементов Z, если, Z =f= 0,
и Ф равно Са  Са для HeKoToporo а Е А, если Z == 0.
Пусть С а1 ' "', Caп все константы из СА, входящие
в QI, ..., Qn, Ф, и Q,..., Q, Ф' получаются иа QI, .,.
..., Qn, Ф соответственно заменой С а1 " .., СапНа XI, ..., Хп'
Так как квазитождества V Х 1 ... V Хп (Ф --+ Qi), 1::::; i 
о( n, ложны в , то они не принадлежат W. Следователь...
но, существуют такие системы \81, ..., \8n Е К, что \8il=
1= (Ф /\ "'1 Qi) [Yi], 1::::; i::::; п, для некоторых '{I: {XI, ..,
. .., Хп} --+ B i . Рассмотрим декартово про изведение \81 Х . . .
... х \8n Е К И интерпретацию '{ переменных X 1 , ..., Х п
В В, для которой проекция i ('{) на iю координату раБ

168
1'.11, 5. ТЕОРIIЯ МОДЕЛЕй
на "(i. Из леммы 17.3 получаем, что 18 1 X... X!8 n l=
1= (Ф 1\ ...,Ql 1\ .., 1\ ...,Qn) [у]. Следовательно, спсте
:му 181 Х . . . Х \8 п можно обоrатить до системы 18x сиrна-
туры A, являющейся моделью Х. Из доказательства
теоремы 17.2 получаем, что существует ультрапроизве
дение 18 == Dprod 18x, являющееся моделью D (Ш:). в силу
предложения 24.4 а) существует такая подсистема \8, s;;;
с:= 18 , что Ш:  181' Так как \8  1; == D-prod (18x  1;) и
18x }:: Е К, то из теорем 4, 5 и ИЗ To1'o, что Ш:  181, BЫTe
I\aeT, что  Е К. Таким образом, получили К == K}:(W). о
Т е о р е м а 7. Для ваЗU.i1Ulоеообразuя К сиеиатуры 
следующuе условuя э/.вuвалептuы:
1) К  мuоеообразuе;
2) К зампнут отuосuтельuо еОМОJffорфпых образов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) '* 2) показано в предложе
нии 5 б). Пусть выплнястсял 2) и Ш:  модель множества
Z == {ф I ф  тождество сиrнатуры  и Ф Е Тll( К) }.
Рассмотрим множество
D ()== {I Ф Е D*() iФ  атомарная формула}.
Для любой формулы ...,чr из D (Ш:) тождество '\fYl
\.f Hr  Hr ( Hr ) У 1 ' ....1;"
." v Уn т 1 сиrнатуры "-', rде т == т 1 са ....,С о ' ложно в ,
1 n
поэтому оно не принадлежит Z. Тоща существует 18'1' Е К
И интерпретация "('1': {Уl, ..., Уn} -+ В чr , д.ля которых
18о/I=...,чr 1 [')'чr]. Следовательно, чr можно обоrатить до
системы 18:V сиrнатуры A, являющейся моделью { ..., Ч'}.
Рассмотрим декартово произведение, \8 == D' ()pl'od 180/.
В силу предложения 5 а) имеем 18 t  Е К. По демме 17.3
пмеет место 181="" чr для 'любоrо I чr Е D (Ш:). Пусть
18)  подсистема 18, ПОрОlI\дснпая в 18 множеством
{v!9(c o )/aEA}. По теореме 5 б) имеем \81 t1;EK.
Определим отображение 11,: В 1 -+ А следующим образом::
ссли t (XI' ..., Х т )  терм СII1'патуры  и t!9 (v!9 (Са ), ...
!9 ) ( 1
.. ., v (сот) --= Ь, то l (Ь) == t (а 1 , ..., а т ). Норректность
определения k слеr.;ует из Ill\шшшаций:
!?3 1 1= (t 1 ::::::: tJ (v!9 (CaJ, ..., v!9 (Сот)) :>-
=}- (., t 1 ::::::: tJ)""'X::" Ф п ():>- Ш: 1= (t 1 ::::::: tJ (a 1l "'1 а т );
а 1"'" Н 1Н 

\} 26, СRУЛЕМОВСЮIE ФУНRЦИII
169
[де t 1 (Хl, ..., Х т ) И t 2 (Х 1 , ..., Х т )  любые термы СИ1'на
туры . Цепь импликаций, полученная из' предыдущей
заменой t 1  t 2 на любую атомную формулу Q(x 1 , ..., Х т )
СПrIIaТУРЫ , также имеет место, следовательно, h явля
ется 1'омоморфизмом !8 1 на Ш:. ИЗ 2) получаем, что Q! е: К.
Таким обра30I, показано, что [( == Ку. (Z). о
Упражнении
1. Пусть К  аксиоматизируеыый Iшасс, содержащий системы
как уrодно больших конечных мощностей. Показать, что класс Коо.
состоящий из бесконечных систем Iшасса К, является а:ксиомати-
зируемым, но не является конечно аксиоматизируемым.
2. Показать, что в теореме 4 условие заМIШУТОСТИ относителr,-
но элементарной эквивалентности можно заменить на замкну
тость относительно изоморфизмов и элементарных подсистеr.
(У к а з а п и е. В доказательстве теоремы 4 вместо Tll () рас-
смотреть D* (),)
3. Показать, что любое квазитождество Ф эквивалентно квази-
тождеству 'J1 в приведенной н, ф.
4. Утверждение, аналоrичное упражпению 3, для тождеств не
имеет места. Найти мноrообразие, которое не имеет системы
аксиом, состоящей из предложений вида VXJ'" VxnQ, rAe Q 
атомная форыула. (У к а з а н и е. Рассмотреть мноrообразие с
системой [tНСИОМ {VxP (f (х»),)
 26. Скулеl\lOвские фУНIЩИИ
о п р е Д е л е н и е. Множество Т предложений СlIrпа
туры , замкнутое относительпо пыводимости (т. е. если
т 1> фиф  предложение СИrIIaТУРЫ , ТО Ф е: Т), Ha
зывается эле.Jttеnтарnой теорией или просто теорией cиe
натуры . Непротиворечивая теория Т СИfнатуры  па
зывается полnой, если Ф е: Т или ...., Ф Е Т для люБОfО
предложения Ф спrнатуры . Непротиворечивая теория
т сиrпатуры  называется .моделыю подпой, еслп 'х s;;;
s \8 =->- Ш: < \8 для любых моделей , !8 теории Т, ШlеlO
ЩПХ СИfпатуру . ФОрМУJIЫ Ф И ч' сшнатуры  назы
ваются Jквuвалеnтны.iltU относителыю теории Т СПfнату
т
ры  (обозпачаем Ф == Ч'), если Т 1> (Ф Ч') /\ (Ч' """+ Ф).
Теория Т сшпатуры  называется V -аксuо;матuзuруе.мой
или уnuверсальnо апСUОJ1rатизuруе.ilИй (3 -апСUО.i1tатuзu
руе.моЙ, V3-аr.сиОJиатuзuрупtоЙ), если существует такое
множество Z с:= т v -предложений (3-,предложенпЙ,
V3-предложепий), что ZI>Ф дЛЯ любоrо фе:: Т. Такое
множество Z называется систе.мой апсио.м для теории Т.

170
rЛ, 5, ТЕОРПЯ МОДЕЛЕй
И3 следствия 22.4 вытекает, что теория Т сишату-
ры z; V акспоматизируема (3-аксиоматизируема, У3 aK
споматизируема) точно тоща, коrда класс К == K (Т)
V аксиоматизируем (3 аксиоматизируем, V 3аксиомати
зируем), ПрlIчем если Zсистема аксиом дЛЯ K(T), то
Z является системой ю{сиом дЛЯ Т, И наоборот.
Теорпя Т спrнатуры z; называЕ'ТСЯ теорией с ЭЛIl."'1U
нациеЙ /li,ваnторов, если любдя формула Ф СИrIШТУРЫ z;
ЗКВИВlщептна относительно Т не которой бескванторпоiI
формуле Ч'. Очевидно, что неиротиворечивая теориJ,I
с элиминацией кванторов модельно полна. С друrой CTO
ропы, модеЛЫIО полная теория Т является (<почти» Teo
рией с элиминацией кванторов. А именно, IIMeeT место
следующая
. т е о р е м а 8. Для тоео чтобы nепротиворечивая Teo
рия Т сиенатуры z; была .модельnо полпой, необходимо и
достаТОЧllО, чтобы любая фоРJ1tула Ф сиеnатуры Z; была
эквивалеНТllа отnосительnо Т nепоторой V формуле Х 1 и
llепоторой Е фор.tуле Х 2 .
Д о К а 3 а т е л ь с т в о. Достаточность следует И3 пред
ложения 25.4 а). Необходимость получаем И3 леммы 25.1,
взяв в качестве r теорию Т. о .
:Конечно, в теореме 8 требование эквивалентности Ф
не которой 3 формуле Х 2 можно опустить, так как это
слрдует из ЭIшивалентности "l 1f некоторой V формуле.
Работать с формулами, содержащими кванторы, ro
раздо трудней, чем с бескванторными. Поэтому теоремы
теории моделей вида: данная теория Т является теорией
с злиминациеЙ I\BaHTOpoB (является модельно полной) 
очень важны. Сейчас мы изложим неI\ОТОРУЮ KOHCTPYK
цию, впервые предложенную Скуле мом, позволяющую
любую теорию расширять до V аксиоматизируемой MO
ДЕ'льно полной теории.
. О и р е Д е л е н и е. Если Z;  СИ1'натура, то СlIrиатура
1: S получается из Z; добавлением новых пMeCTHЫX фупк
ционалыIхx символов fф для каждой формулы Ф == ЭхЧ'
сю'натуры Z;, начинающейся с квантора существования
1I имеющей п свободных переменных. Через S обозначим
мпожество предложений
V Х 1 .. . v х 1 , (Ф (х 1 , ..., х n ) --+ ч' (fф (х 1 , .. . "х n ) , х 1 , . . ., х n »
для всех формул Ф (хl' ..., х n ) == 3хЧ' (х, х 1 , ..., х n )
сиrнатуры Z; со свободными Переменными х" ..., Х n ,
'выписанными в порядке расположения их первых CBO

!} 36, СRУЛЕМОВСЮIE ФУНlЩШI
171
бодпых вхождениЙ в формулу Ф. Еслн Т  теория сП1'
натуры , то через 1'8 обозначим теорию
{ФIФ  предложение сиrпатуры 8 и Т U St> ф}.
Сшнатура 8 (теория Т8) называется С1fУ.!J1e.1ltuзацuеЙ
сиендтуры  (теории т). Модель 8 теории (Тll(»8,
имеющая СИl'натуру ;S, называется С1fуле.1ltиаацией cи
cтeJtbl  сиrнатуры , если B   == .
в отличие от B и Т В скулемизация B не опредеJlЯ
етея по  однозначно, две скулемизации  MoryT быть
даше не элементарно эквиваJlеНТIlЫМИ (см. упражне
пие 1), более Toro из упражнения 1 вытекает, что 1'8
почти всеrда не полна.
Пр е Д л о ж е н и е 1. а) Пусть Т  теория сиепатуры
,   .1Iюде.ль теории Т 8 и  S. Тоеда    -<   
б) Любая а.леебраичеСYiая система  имеет пеYiОТОРУЮ
С1'iуле.мизацию 8.
Д О К а з а т е л ь с т в о. а) Следует непосредственно П3
преДJlожения 24.1. Докашем б). Если Ф==3х1f(х,х 1 , о.'
о . ., Х п ), то для а1, ..., а n Е А берем в качестве значеппя
v'J(fф) (а 1 , . . ., а п ) ЭJlемент a Е А, дЛЯ KOToporo  1=
1= чr (а о , а1, ..., а n ), еСШI такой a Е А существует, и про
П3ВОЛЫIЫЙ элемент а Е А, если такой ао не существует. О
Из предлошения 1 сразу получается теорема 2 из  24.
n качестве  в этой теореме нужно взять 1  , rде
1  подсистема 8, порожденная множеством Х.
Скулемизация ПОЗВОJlяет «убирать» квапторы у фор
MYJI старой СИПIaТУРЫ . Однако в формулах новой сш'
натуры 8 они «остаются». Чтобы избежать этоrо lIеудоб
ства, «замкнем» процесс СКУJlемизации.
ОП р е Д е л е н и е. Пусть   сиrнатура и Т  теория
спrнатуры . Опред.:елим сиrнатуры' }.;NВ И теории ТnВ,
п Е Ы, по индуНЦИИ: 08 ==, 1'08 == т, (n+1)B === (n8)8,
1'("+1)8 == (Тn8)8. Сиrнатура c3 -= U nБ ( теория т СВ ===
пЕС!)
=== пC!) Т nS ) называется 1l0.lL1toй С1fуле.1ltизацией сиена туры
 (теории Т). Алrебраическая система cB спrнатуры '8
называется пОJLпой С1fу.ле.1ltизацией cUCTe.'ftbl  сиrнатуры
, если cB   ==  и cB  модель (ТЬ () ) с8.
Пр е Д Jl О Ж е н и е 2. а) Любая аЛ2ебраичеС1fая систе-
Jfta  имеет пеnоторуlО пОЛliУ70 С1fулемизацulO cB о
б) Пусть Т  пепротuворечuвая теория сиепатуры }.;.
l'оеда теория ТСВ является упuверсальпо аnсио.'ftатизuруе

172
1'Л, 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
.\tbl.lt ,ltоде.л.ью пОЛН,Ы.t paClllupenueJt Т и для любой .мo
ое.ли  теории Т существует Jltооелъ I теории тев такая,
что l r  /1 .
ДОI{азательство. а) В СIlЛУ преДJIOжеНllЯ 1 б)
существуют такие системы na, п Е Ш, что oa ==  и
(n+l)B является скулеМII3ациеЙ "B. Пусть cB ==
. B
== <А, v >  система сиrпатуры cB, rде V совнап,ает
<иnВ
С V на символах из "B, Ясно, fJ.TO cB будет ПОЛНОII
скулемпзациеЙ .
б) Пусть   модель теВ сишатуры e8 И i8 S;. Из
предложения 1 а) получаем, что  r п8 -<  t пB для
ЛlOбоrо n Е (й. Тю{ как I,tS === U l,n8, то получаем i8 -<.
пЕ0
Следовательно, теЗ модедьно полна и в силу теоремы 5
:класс KJ:.cs (т СВ ) является V аксиоматизируемым, т. е.
J{r,rs (т св ) == К};сВ (Z), rде Z  множество V предложепий
сиrнатуры e8, Torдa Z  система аксиом для Те8, Второе
утверждепие в б) следует из а). О
Упражнение
1. Поиа3<1ТЬ, что ДJIЯ Toro чтобы все СJ,улемизации системы \1(
были элсментарно эквивалентными, необходимо и достаточно,
чтобы А было одноэлементно. (У к а з а н и е. Рассмотреть раЗJlИЧ
.8 -
ные значения v (fф) для Ф == 3и о (и о  иuл и 1 ::::: и 1 ).)
 27. Механизм совместности
Механизм совместности имеет в основном методиче
ское значение. Он позволяет выделить общую часть
п мноrих теоремах, доказательство которых связано с по
строеюtем моделей. В этом параrрафе мы докажем llе
сколько таких теорем. Всюду в дальнейш-ем IJредполаrа
ется, что сиrнатура  имеет конечную или счетную
мощность.
Оп р е Д е л е н и е. Для формулы Ф сиrиатуры L ()JП1е
деJШМ формулу Ф I следующим образом:
1) если Ф  атомарная формула, то Ф --, == :1 Ф,
2) (--, ЧF) --, == ЧF,
3) (Ч" 1'-+ 1f 2) "l == 'I' 1 /\ "l 1f 2,
4) (1f 1 /\ Ч'2) I == I Ч'l V I tV 2 ,

 27, МЕХАНИЗМ СОВМЕСТНОСТИ
173
5) (ЧF 1 V Ч"2) I == I ЧF 1 1\ I 'У2'
6) (3х'У) I == УХ I ЧF,
7) ('1 хчr) I == 3х I Ч".
Из определения Ф I видно, что Ф I == I Ф. Обозна
чим через 'В с сиrнатуру, полученную из сиrнатуры  ==
==' <R, Р, f.t> добавлением счетноrо множества С новых
:констапт. Копстанту сиrнатуры 'В с и терм вида /(С 1 , ...
..., Сп), rде С 1 , ..., Сп Е С И / Е F, будем называть 6азuс
пым термо.1ft сиепатуры 'В с .
О п р е Д е л е II и е. Множество S конечных или счет
ных множеств предложений сиrнатуры C называется
Jftехапuз.МОМ сов:иестпости сиепатуры 'В, если для каждоrо
8 Е S выполняются следующие условия:
(С1) включение {Ф, I Ф} s 8 не имеет места ни для
l{aKOrO предложения Ф;
(С2) I Ф Е 8=7 (8 U {Ф i} с: 81 для иекотороrо 81 Е S);
(С3) Ф -+ ч' Е 8 =*- (8 U {Ч'} s; 81 или 8 U {, Ф} s 81
для HeKoToporo 81 Е S) ;
(С4) Ф 1\ 'у Е 8* (8 U {Ф} с: 81 И 8 U {Ч'} s; 82 для He
которых 81, 82 Е S) ;
(С5) Ф V Ч' Е 8 =*- (8 U {ф} s; 81 или 8 U {Ч'} s; 81 для He
KOToporo 8! Е S) ;
(CG) VхФ Е 8* (д.'lя любоrо С Е С существует тюше
81 Е S, что 8 U !(Ф)) с: 81);
(С7) 3хФ Е 8 * (8 U ((Ф)) с: 81 для HeKoToporo с Е С И
иеRотороrо 81 Е S) ;
(С8) (С 1 , С 2 ЕС и CI;::!C 2 E 8)=*-(8U{с2;::!С 1 }S;8 1 для
иеRотороrо 81 Е S) ;
(С9) если с Е С И t  базисный терм сиrнатуры 'В С ,
то выполняются два условия:
а) 8 U {d ;::! t} s; 81 для HeKoToporo d Е С И HeKoTopol'O
81 ES,
б) ! с  t, (Ф)fl с: 8 * (8 U (Ф)l с: 81 для HeKoToporo
81 Е S).
Множество S будем называть .мехаnuзмом coвMeCTпo
сти, если оно является механизмом совместности HeKOTO
рой сиrнатуры 'В.
Пр е дл о ж е II и е 1. Пусть Т  теория сиепатуры 'В.
Тоеда мпожество S тапих копечnых .7\tпожеств 8 nредло
жепuй сиепатуры 'В с , что Т U 8 совместпо, является Mexa
nuзмом совместности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим условие (С7). Про.
верку остальных условий оставллем читателю в качеетве

.171
1'Л. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
ЛСI'1юrо упражнения. Пусть мпожество Т U s U ! (Ф)}
нссовмеСТIIО дЛЯ IЮПСТЮIТЫ с е С, пе входящей' в :ше
JI1инты 8 U {ф}, И D  доказатеJIЬСТВО ССI\ВСIЩilИ 'Р'!, .,.
. .., Ч' м (Ф); [---, rде {'Р' j, ..., ЧJ' n} s; т U 8. ИСПОJIьзуем
оuычный прием: заменяя liOПСТЮIТУ с во всех секвенциях
113 D на переменную у, Не встречающуlOСЛ в ЭJIементах D,
l1u.rrучаем доказательство D! сеRвенции 'Р'!,. .., ч' n,
'(Ф) [---. Прпменяя правило 16, получаем доказуемость
Ч' 1, ..., 'Р' м 3у (Ф) [---. Так как 3хФ и 3у (Ф) KOH
l'РУЭIlТПЫ, то множество Т U 8 несовместно, если
3ХФЕ8. О
Пр е Д л о ж е н и е 2. Пусть 8  меха1lиз.м coв:мeCTпo
сти U 8 Е: 8.
а) {Ф, ф........ 'Р'} s; 8 => (8 U {'Р'} s:; 81 для llе1fОТОрОЗ0
SjE:S).
б) Для любоео с Е: С существует Ta1iOe 81 е 8, что
s U {с  с} s:; 8!.
в) (с, d, ееС u {cd, de}S:;8)=>(8U{ce}s;
s 8! оля llе1fОТОрОЗ0 81 Е: 8).
1') 8' == {8'! 8' s; 8 Е: 8}  .меха1lиз,м cOe.JI-tеСТllIJСТU.
Д о I( а з а т е л ь с т во. r) очевидно, а) следует из (С3)
и (С1), в) следует из (С9) б), если в качестве Ф взять
х  е, а в качестве t  константу d. Докажем б). I3 силу
(С9) а) имеем 8 U {d >:::; с} s:; 8! для нскоторой константы
(l Е: С и 8! Е 8. Из (С8) получаем 8 U {cl  с,с  d} s; 81
IЛЛ пскотороrо 8! Е 8. Теперь применяем в) и получаем
8 U {d  с, с  d, с  с} s; 81 для HeKOToporO 8( Е: 8. о
Алrебрапческую систему  сиrпатуры C назовем Ka
ltонuчеС1fОЙ, если v (С) == А, т. е. любой элемент а Е: А
нвляется значением некоторой константы с Е С.
Т е о р е м а 9. Еслu 8  JtteXallU3J1t совместности cиe
патуры  u 8* Е 8, то 8* u.teeT 1fано1tuческуlО модель 
шенатуры C.
Д О К а 3 а т е л ь с т в о. Рассмотрим Iшасс 8' === {s' s;
s:; 818 Е Ю, который по предложению 2 r) является Me
хаИИ3МОlll совместности. Пусть
Фо, Ф1, ..., Фа, ", (ПЕШ)
 нумерация всех предложениЙ сиrнатуры C И
t o , t 1 , ..:, t ll , '" (п е (!)
,,нумерация всех базисных термов сиrнатуры C. Ип

g 27, МЕХАНИЗМ СОВМЕСТНОСТИ
'17!)
дукцией по пЕ w будем строить, последовательность
.'10 S .'11 S . , . s Sn S , . ,
:щемеитов 8'. Полаrаем .'10 === .'1*, Если п == 3k, то по (cg)
а) находим такую копстапту С Е С, ЧТО Sn U {С  t k } Е 8',
II полаrаем Sn+l == Sn U {с  t k }, При п == 3k + 1 полаrаем
Sn+l === Sn U {Ф/), если Sn U {Фk} Е 8' и Sn+l == Sn В против
пом случае. Пусть п == 3k + 2. Если Ф k == 31:Ч" И Ф k Е sп,
то полаrаем SnH == Sn U [(ЧF)I Е 8' для Не!ШТОрОЙ С Е С.
В противном случае полаrаем Sn+l == Sn. Рассмотрим l\ШО
ihecTBo .'1"" == U .'I п ' Из построения .'1", вытекает следую
nF'''''
ЩИЙ фю\т:
(*) одно элементное множество {s",} является ме\апиз
мом совместпости.
На множеств!) С определим отношение :
С  d -<=>- С  d Е .'1""
В силу (С8) и предложения 2 б), в) отношение "'" ЯВЛЯ 1
ется эквивалентностью на множестве С. На множестве
А == {с I с  Rласс ЭRвивалентности по отношению , С0 1
t(ержащии с Е С} определяем /,интерпретаЦlIЮ \' спrнату
ры C == <R, F C , J,tC) следующим образом:
 ( '" "' ) '"
\' и) C 1 , . , ., Сп == С -<=>- С  ! (C 1 , ,." Сп) Е Sы,
'" '" I .
<C 1 , "., Сп> Е \' (r) -<=>- r (C 1 , ..., сп) Е .'1"",
rде fEF c , rER, J.tc(t)==,{(r)==n, Из (*) и (С9) б)
следует, чт() эти определения Коррентны. Пусть, наПрII
мер, Сl  !(С 2 , Сз),. С"  !(С 5 , Со), С 2  С 5 И С з  Со припаД1
лежат .'1",. Применяя (*) и (С9) б), получаем с, 
 f( С 2 , со) Е .'1",. Еще два раза применяя (*) и (С9) б),
получаем с,  f( С2, С з ) Е .'1", И С,  С 1 Е .'1",.
Таи IШR v l (с) ==  для С Е С, ТО Щ"", <А, v> ЯВ.тшется
кавопичеСRОИ системой. Покажем теперь, ЧТо для любоrо
предложения Ф сиrнатуры C имеет место
Ф Е .'1", =>- Щ 1= Ф, (1)
Отсюда будет вытекать, что Щ  модель .'1*, Если Ф ==
== С  t для базиспоrо терма t, С Е С, Ф == r (С 1 , .. " Сп)
для r Е R, С 1 , "', Сп Е С, или Ф есть отрицание таких
формул, то (1) следует из определения v, (*) и (С1).
Если t  С Е .'1"" rде t  базисный терм, С Е С, ТО из (*)
и \ С9) а) получаем d  t Е .'1", для пекотороrо d Е С,

176
1'Л, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
Тоща по (*) и (С9) б) имеем d  с Е S"'. Следовательно,
 1= t  С. Пусть ...., t  с Е S{ij, [де t  базисный терм,
с Е С. Если в  ложно ...., t  с, то по определению 
с  t Е S",. ИЗ (*) и (С9) б) получаем ...., CC Е s(J). В си
лу (*) и предложения 2 б) это противоречит (Сl).
Таким образом, мы показали истинность ('1), если Ф 
атомарное предложение или отрицание aToMapHoro и
число п(Ф) символов сиrнатуры , входящих в Ф, пе
больше '1. Пусть Ф Е S'"  атомарное предложение или
отрицание aToMapHoro и п (Ф) > 1. Тоrда существует ба
зисный терм t  С, входящий в Ф. По свойствам (*) и
(С9) а) имеем d  t е s'" для HeKOToporo d е С. Из (*) и
(С9) б) следует, что формула ФI, полученная из Ф за
меной t на d, принадлежит s"'. Так как п (Ф I ) < п (Ф), то
по ИНДУКЦИОННОМУ предположению Ф истинно в . Для
остальных предложений Ф сиrнатуры 2:< утверждение (1)
получается -непосредственно из (*) и (C2)(C7) ИНДУR
цией по длине Ф. О
Оп р е Д е л е н и е. Множество 8 конечных или счет
ных множеств предложений сиrнатуры 2: С называется
.мехаnиамо.м сов.местности сиеnатуры 2: беа равеnства,
если 8 удовлетворяет условиям (Сl)  (С7) и предложе
ния, входящие в элементы 8, не содержат равенства.
Т е о р е м а 9'. Пусть ситатура 2: 1lе содержит cи.M
водов фУ1l1щий и Оliстаит, 8  .меха1lиа.м совместн.ости
сиеnатуры  без равеиства. Тоеда Jtюбое s* е 8 Zl.tteeT
а1tоuuчесую .модедь сита туры C. .
д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество Х == {с 
::::: с/с Е С} и Rласс 8' == {s U Xls Е Ю. Очевидно, что 8'
является механизмом совместности сиrнатуры 2:. По Teo
реме 9 s* U Х имеет каноническую модель сиrнату
ры C. О
Следующая теорема является обобщением теоремы 9,
Iюторое нам понадобится в дальнейшем.
т е о р е м а 10. Пусть 8  .механ.изJ'It сов.меСТ1tOсти
сиЗllатуры 2:, Х(, i Е Ш. r;,оuеЧllые или счеТllые мuоже
ства предJtожеuuй ситатуры 2: С и Т  llепротuворечивая
теорuя ситатуры 2:. Пусть дJtЯ Jtюбых s Е 8, Ф Е Т и
i Е (j) существуют Tar;,ue чr Е Х I и 81 Е 8, что s U {Ф, чr} с;;
S;; Sl. Тоеда дJtЯ Jtю60ео s* е 8 существует Tar;,oe .мuоже
ство Х предJtожеllий сuзuатуры 2:, что s* U Х U т имеет
а1tоuичесую .модедь  и Х n Х( =1= {z5 аJtЯ Jtю60ЗО i Е Ш.
Д О R а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим класс 8' == {s U
U Tls Е Ю, ЛеrRО проверяется, что 8'  мехапизм COB

!! 27. МЕХАНИЗМ СОВМЕСТНОСТII
177
местноСти. Например, пусть 3хФ Е 8 U Т И S Е S. Если
3хФ Е 8, то В силу (С7) 8 U ((Ф)J u т с: 81 U Т для
пекотороrо 81 Е 8. Если ЭхФ Е Т, ТО ПО условию Teope
мы существует такое 81 Е 8, что 8 U {3хФ} с: 81' Опять
по (С7) имеем 81 U ((Ф)n с: 82 для некоторых с Е С И
82 Е 8. Следовательно, 8 U Т U ((Ф)J с: 82 U Т. Пусть
Ф о , Ф!, "', ф п , ... (пЕro) и t o , t 1 , ..., t n , ... (п Е ro) 
. нумерации всех предложений сиrнатуры C И всех ба
зисных термов сиrнатуры C.
ПО 8' строим множество 8(i)  U 8 п следующим об
nE(i)
разом. Множество 80 равно 8* U Т, И 8п+1 для п, равных
4k, 4k + 1 или 4k + 2, определяем по 8' так же, как по
8 в теореме 9 строятся 8 Ч1 дЛЯ п, равных 3k, 3k + 1 или
3k + 2 соответственно. Для п  4k + 3 поступаем следу
IOщим образом: если 8 п == 8 U Т, 8 Е S, то по условию
, ,
теоремы существуют ТaIше ч' Е Х" И 8 п Е 8, что 8 п U
U {о/} с: 8'; полаrаем 8 п +1  8' U Т. Построение модели 
то же самое, что и в теореме 9. В качестве Х берем
множество 8". О
Из теоремы 9 можно получить в качестве" следствия
теорему о существовании модели из  22.
Т е о р е м а 21.5. Если Jrt1l0жество r формул cиellaTY
ры  ltепротиворечиво, то r имеет "'У/одель. '
. д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы компактности
достаточно доказать теорему для конечноrо множества
r == {Ф 1 , ..., Ф,,}. Выполнимость и совместность r paBHO
СИJIьна соответственно выполнимости и совместности
предложения чr  3Х 1 . . . 3х n (Ф lI ,\ . . ./\ Фh), rде Х1, ...
. .., х п  все свободные переменные, входящие в Ф1, ...
..., Ф". Если {Ч'} непротиворечиво, то из предложения 1
получаем, что существует механизм совместности 8, для
KOToporo {Ч'} Е 8. Теперь применяем теорему 9 для
8* == {Ч'}. о
О п р е Д е л е н и е. Множество Z формул сиrнатуры ,
свободные переменные которых содержатся в множестве
{V1, ..., V n }, называется пTипO.M сие1lатуры . Если Т 
непротиворечивая теория сиrнатуры , то птип Z сиrна
туры  называется елавllЫl>t в Т, если существует ТЮШЯ
формула Ф(V1, "', V n ) сиrнатуры , что TU{3v1'"
. . . 3v п Ф} совместно и Т 1> Ф ........ Ч' для любой Ч' Е Z.
Будем 1'оворить, что птип Z СИrIIaТУРЫ  реализуется в
алее6раичеСf>ОЙ системе  си:rнатуры , если существуют
12 ю, л, Ершов, Е, А, Палютин

178
rл. 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
'такие элементы al, .,., а n Е А, что  t= 'V (а" ..., а n ) для
любой формулы 'V (и" .. " и,,) Е Z. Если nтип Z сиrпа
туры  пе реализуется в системе '2{ сиrпатуры , то ro
ворим, что Z опУСl'iается в '2{.
Следующая Tt'opt'Ma называется теоре.LOЙ 06 OnYCl'ia
nllИ типов.
т е о р е м а 11. Если Т  неnРОТllворечивая теория
СИ;?llатуры  и .Zi, i Е (й, llезлавные в Т Петипы СЩНG-
туры , то существует .tодель Т ситатуры , опускаю-
щая все типы' Z;, i Е (й.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим совокушюсть S Ta
J\ПХ конечных множеств 8 предложений сиrпатуры C,
что 8 U Т совместно. По предложению 1 S является Mexa
низмом совместности. Пусть !i, i Е Ю, разнозначные OTO
бражепия ffi на С Щ и g  разнозначное отображение ffi
на ю2. Определим мпожества Х п , k Е Ю, следующим обра
зом: если g(k).: <i, j> и fi (j) == <С 1 , .", С 7Ii >' то по
лаrаем Хн == { ...., (ф):::,'.'..,:n: I ф Е Zi}. Предположим, что ус-
ловие теоремы 10 не выполнено. Тоrда существуют такие
80 Е S И ko Е Ю, что 80 U Т U {чr} несовместно для любоrо
чr Е Хн ' Пусть g (ko)==<i o ' [), fi (l) .: <С 1 , . . ., Сп. ) И фо 
о о 'о
КОПЪЮПIщия всех элементов 80. Тыда {фо} U т совместпо
'V 1 ,...,1'n.
И т [> фо --+ (Ф)Сl'''''СпО для всех Ф С и l' ,.., иН; ) Е Zio'
'о о
Пусть сп, +1, ..., С т  все i1лемеиты С, отличные от
10
С 1 , ..., сп. П содержащиеся в Фо. Пусть Ф,предло
10
жение, I{Опrруэитное предложению Ф о , пе содержащее
перемеllНЫХ иl, ..., и т , II пусть Ф 2  формула сиrпату
ры , для которой (Ф2):'''.'':: -== Фl' Покажем, что
т [> 31'п. +1 . , . 3UтФ2 --+ Ф для всех Ф Е Zi . В Ca1riOM
10 о
деле, пусть '2{ 1= Ф2[ у] для некоторой модели  теории Т,
имеющей сиrнатуру , и интерпретации у: {и 1 , ..., и т }........
-+ А. Рассмотрим такое обоrащепие '2{' системы '2{ до сиr
натуры C, что v' (с 1 ) == ')' (и 1 ), . .., v'2C' (с т ) == ')' (и т ). Тоrда
' 1= Ф 1 И из ЭRвивалентности Ф 1 == Ф О получаем '2{' 1= Ф о .
V 1 ,o..,v n .
:Так нак '  модель Т и Т [> Ф О --+ (Ф)с l'..'.cпO, то  1=
10
i=Ф[у]. Таким образом,  1= ( Зv п , +1'" 3v т Ф 2 --+Ф) [')']
10
для любой модели  теории Т, любой формулы Ф == Zi
о

!! 27, l\ШХАН1l3М СОВМЕСТНОСТII
179
и любой интерпретации у: {и!; . .., и п , }--+ А. Из след
'о
СТВIIЛ 22.4 Torдa следует, что Т 1> 3и п , н . .. 3VтФz --+ Ф
'о
для шобоrо Ф Е Zj . Так IШК 80 U Т совместно то
о '
т U {3и! . . . 3v т Ф 2 } также совместно. Это противоречпт
тому, что Zio  неrлавный niо-ТИП' Таким образом, yc
ловия теоремы 10 выполпепы, значит, существует такое
J\Iножество Х предложений сиrнатуры C, что Х n Х ; * ei,
i Е (й, И существует спстема '2{ СИПIaТУРЫ C, ЯВЛЯlOщаяся
моделью т U Х, у которой любой элемент а Е А является
значением НeIЮТОрОЙ константы С Е С. Так IШК дЛЯ лю
боrо i Е (j) И любоrо кортежа <С!, ..., СП,) Е сn; суще
t
СТВУСТ такое k Е (й, что X k  { I (Ф)::::::::: \Ф Е Zi}' то
'2{ t  опускает все типы Zt, iE (й. О
Теорема об опускаlllШ типов является очень важным
МСТОДОМ построения моделей. Опа дополняет теорему
компактности, Rоторая применяется в основном ТО1'да,
коrда нужно реализовывать совместные ТИllЫ. Примеие
ния теоремы 11 будут даны в  29.
ВхоН\дение символа q в формулу Ф, не содержащую
связки ........ назовем nоложитеЛЬ1lЫМ (отрицатеЛЫ-/'ЫJ1t),
если число различных подформул формулы Ф вида I Ч',
содержащих это вхождение, является четным (IIечет
lIЫМ). Обозначим через + (Ф) И  (Ф) множества сим
волов отношений СИПIaТУРЫ , имеющих соответствеПlIО
положительпые и отрицательные вхождепия в Ф. Напри
мер, если
Ф == "и!(1 (3и 2 "и!, v 2 )V"l 8(иJ)!\ l(ir(vз, t2)!\V!t!»,
rде (1, t 2  термы, то +(Ф)== {r, 8}, (Ф) Ы.
Следующая теорема пазывается иnте рnол:щио/tпой
теореJl,tОЙ Крейеа  Липдоnа.
т е о р е м а 12. ПУСТЬ Ф, Ч'. предложепия cи;тaTY
ры , пе содержащие свЯ31'iи ......., и Ф D> '1'. Тоеда
а) существует тапое преdложеЮ,iе Х сиетщтуры , nе
содержащие связки ......., что Ф D> Х, Х D> '1', +(X), + (Ф)П
п+(чr) и (х)(ф)п"сqr);
б) если  nе (:одержит сиJ1t80лов футщий и коnстапт,
Ф, '1' nе содержат равепства, а I Ф и '1' обе педоказуе
Nbl, ТО в а) .J1tОЖlЮ потребовать, чтобы Х nе содержало
равеl/.ства.
12*

180
rЛ, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
д о к а з а т е л ь с т в о. Предложение Х, удовлетворяю
щее условиям утверждения а), назовем интерполирую
щим для пары (Ф, '1'>.
а) Пусть S  множество конечных множеств 8 пред
ложений СИ1'натуры C, не содерЖащих символа импли
Rации, которые удовлетворяют следующему условию:
существуют такие 81 <1= f2f и 82 <1= И, что 8 ==' 8! U 82 И не
существует интерполирующеrо предложения для пары
</\81' '1 (/\ 82)' (Через 1\8 мы обозначаем конъюнкцию
элементов 8.) Множество 81 при этом будем называть Ha
чалом, а 82  концом 8 *). Про верим условия (С1)  (С9)
механизма совместности. Так как ИМПЛИRация не входит
в элементы 8 Е S, то (С3) тривиально выполнено. Если
предложение 81 сиrнатуры C эквивалентно предложению
8 2 E 8 E S и T(81)=='(82), '{Е{+, }, То очевидно,
что 8 U {Е>1} Е S. Отсюда получаем условия (С2) и (С8).
Пусть 8 Е S, 81  начало 8, а 82  Iюнец 8.
'(С1) Пусть {8, '1 8} с: 8. Если {е, '1 8} содержится
в пачале (конце) 8, то предложение Уи 1 '1 и 1  и 1 (пред
ложение Уи1и1  и 1 ) будет интерполирующим для
< 1\81' "1 (I\8), что противоречит условию. Если 8 Е 81
И l8 е 5 2 ( l 8Е S1 и 8 Е S2), то интерполирующии
для < 1\ 81' "1 (/\ S2) будет предложение 8 (предложе
ние "1 8).
(С4) Пусть 81/\ 82 Е 81' И предположим, что суще
ствует интерполирующее предложение Х для « /\ 81) /\ 81,
'1 (/\ $2» или для « /\ 81) /\ 82' "1 (/\ 82)' ТО1'да из /\ 811> 81
И/\Sl1> 82 получаем, что Х будет интерполирующим
предложением для < /\81' i (/\82»' что невозможно.
Если 81/\ 82 Е $2 И Х  интерполирующее предложение
для </\81' '1 ((/\8 2 )/\8д) или для </\81' '1 ((/\82)/\82»,
то в силу "'l (/\82/\81) 1>"1 (/\82) и '1 (/\82/\82) 1> "1 (/\82)
х будет интерполирующим предложением для < /\81'
"1 (/\ 82)' Полученные противоречил с условием показы
вают, что 8 U {8 1 } Е S и 8 U {Е>2} Е S.
(С5) Пусть 81 V 82 Е 81 И Х 1 . Х 2  интеРполирующие
предложения для «(/\81)/\81' ., (/\ 82), « /\ 81) /\Н 2 .
'1 (/\82) соответственно. Тоrда Х 1 V Х 2 будет интерпо
лирующим предложением для < /\S1' '1 (/\82)' Если
81 V 82 Е 82 И Х 1 , Х 2  интерполирующие предложения
для <1\81' '1 ((/\S2) 1\81), </\81' '1 ((/\82)/\82» COOTEeT
*) ОТМСТИМ, что начало и I\OlIeЦ s определяются по s неодно-
зпаЧllО.

!! 27, МЕХАНИЗМ СОВМЕСТНОСТИ
{81
ственно, то Х 1/\ х 2 будет интерполирующим предложе-
нпем l1,ля < /\81, ..., (/\82»'
(С6) Пусть Ухе Е 82' С Е С И Х  интерполирующее
преддожение для </\S1''''' ((/\82)/\(e)), Так Kal{
..., ((/\8 2 )/\(<Э)n[> 1(/\82), то Х является интерПОJШ
рУЮ'ЩlIМ предложением для < /\ 81' 1 (/\ 82», что HeB03
:мuашо. В случае V х8 Е 81 аналоI'ИЧНО получаем, что
в I{ачестве начала 8 U ((8)) можно взять 81 U {(e)),
а в I\.ачестве конца 82.
(С7) Пусть Со Е С не содержится в элементах 8,
Есди 3х8 Е 81 И Х  интерполирующее предложение
для «/\81)/\(8),..., (/\82»' от ИЗ аксиомы 12 и пра
"С о
юша 3 ИН; получаем, что 3УХ 1 будет интерполируIO
ЩШI преДJIожением для < /\ 81' ..., (/\ 82», !'Де Х I не co
держит константу СО, (X1) == Х И у  переменная, не
о
входящая в элементы 8 U {Х}, В случае, КОI'да 3х8 Е 82
II Х  интерполирующее преДJIожение ДJIЯ < /\ 8 Н
1 ((/\8 2 )/\(6)n), предложение УУХ 1 будет интерпо-
о
лирующим для < /\81, ..., (/\ 82»' в самом деле, /\ 81[> УУХ 1
следует И3/\8 1 [> Х, тан кан Со не входит в /\81' И3 ХI>
[>..., ((/\8 2 )/\(6)n получаем УУХ 1 [> 1 (/\82)VVY"1 (8),
о
Если "УХ 1 [> ..., (/\82) не имеет места, то существует MO
дель  множества {УУХ 1 , /\82}' И3 предыдущеI'О полу
чаем, что в Щ: истинно Уу 1 (в). Это противоречит
Щ: t= /\82 И 3х8Е 82'
(С9). Пусть С' Е С не входит в элементы s, Если Х яв
JIяется интерполирующим предложением для < ( /\ 81) /\
/\ с'  !(С 1 , .. " Сп), 1 (/\82»' то Х будет интерполирую
щим предложением для < /\ 81, ..., (/\ 82»' Пусть {со 
 !(C I , .,., Сп), (8)/(сl'."'С п )) с:: 8, Если (8)f(c 1 ,....c n ) Е 81
И Х  интерполирующее предложение для «/\81)/\
/\(8)o, ..., (/\82»' то интерполирующим для «/\81)'
1 (/\82» будет предложение Х в случае СО  !(C I , '"
.. " Сп) Е 81 И преДJIожение ..., Со ! (С1, . . ., Сп) V х в слу
чае СО  /(CI, ..., Сп)Е: 82. Если (8)7(c 1 ..."c n ) Е 82 И Х 
иптерполирующее предложение ДJIЯ < /\ 81' ..., ((/\ 82) /\
/\(8)», то интерполирующим для < /\81' ..., (/\82»
будет предложение Х в случае Со  f(c l , .,., с,,)Е 82 И

182
1'Jl, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
преДJIOlli!шие cof(cl,...,cn)AX В СJlучае Cof(CI' ...
..., С n )Е81'
Итю\, мы пока;щли:, что S  мехаНIIЗМ совместностп.
ЕСJlИ бы а) пе имеJIО места, то множество {Ф, ..., Ч'} нрп
наДJlежало б1,l S. По теореме 9 мпошество {Ф, I Ч'}
имело бы модеJIЬ, что в силу следствия 22.4 протпвореЧIIJ10
бы УСJIОВИЮ Ф [>qr .
Чтобы ДОRа;шть б), нужно в онредеЛeIIИII S заменить
СJюва (шредложепие» на «предложение без рав!шствю) и
нотребовать, чтобы не имело места ни 1>..., (А 81), Нl!
1> ..., (А В 2)' Тоrда при проверне (С1) случаи {е, ..., (>:)} с
с 81 И {е, ..., е} s 82 неВО3МОЖIIЫ. Остальная провеI1ка
условий (C1)(C7) та же, что и в а). Следовательно,
S  механизм Совместности без равенства. Затем нриме-
няем теорему ' вместо теоремы 9. о
Если в Ф или в ч' входит равепство, то в Teope
ме 12 б) нотребовать, чтобы равепство входило в Х толь
но тоща, Rоrда оно входит в Ф и Ч', нельзя (см. упраж-
НeIше 1). В оставшейся части параrрафа мы ПрИll1ешш
теорему 12 для харю\теризации предложений, сохраняю-
щих свою истинность при переходе к rОllfОМОРфным
образам.
О II Р е Д е л е н и е. Если щ:  алrебраичеСRая система
сиrнатуры , то отношение Е на множестве А пазовем.
поnеруэnтnостью на щ:, если оно является ЭRвиваJIент-
мостью на А и для любых al, ..., а n , b l , ..., Ь п Е А, r Е R,
jEP, !-t(l')==!-t(/)==п из (a l , Ь)ЕЕ, ..., (а n , Ьn>ЕЕ,
<а 1 , ...,an)Ev(r) следует <b 1 , .." bп)EV(1') и 113
(a j , bl>EE, ..., (а", Ь,,>ЕЕ следует<v(f)(аl,...,аfl)'
v и) (Ь 1 , ..., Ь n » Е Е. Если Е  RонrРУЭIIТНОСТЬ на ClI
стеме щ: СИ1'натуры , то определим новую систему Щ:/ Е
сиrнатуры , RОТОРУЮ назовем фапторсuстеМ6Й CUCTe
JJlIJl щ: по Е. Носитель Щ:/Е состоит из Rлассов эквивалепт
ности аЕ == {Ь\<Ь, а> Е т. Иитерпретация V/E опреде-
лнется тан:
<а 1 Е, . . ., а"Е) Е v'J/ E (r) -{=? <a 1 , .. ., а n > Е v (r) (r Е R),
V/E и) (a1E, ..., апЕ) == vw. и) (а 1 , ..., аn) Е (f Е F).
ПРО верну I\ОррОКТНОСТИ этоrо определенпя, а таюке
ДОRааательство следующеrо простоrо ПРОД,lIожения мы
оставляем читателю в Rачестве унражнения.

!\ 2i, МЕХАНИЗМ СОВМЕстНОСТII
183
Пр е Д л о l:h е п и е 3. а) Пусть Ф  предложеnие cиe
па туры , а Ф' получается из Ф ЗaJltеnой подФОРlitУл
t 1  t 2 па Е (t 1 , t 2 ), еде Е  символ отношеnия, nе входя-
щий в R. Если щ:  система сиенатуры ';;2, Е Е R' и
,\ж (Е)  конiруэн,тпость на Щ: t, то
Щ: j::: ф' -{=? Щ:N (Е) 1= Ф.
б) Если Е  КОllеРУЭllТНОСТЬ Щ систе.ме щ:, то отобра
жение, сопоставЛЯlOщее элементу а Е А элемент аЕ, бу
дет еОJ'rtоморфизмо.lfl щ: па Щ:/Е. о
Формулу Ф назовем положителЬ/юй, если она не co
держит ИМПЛИRации и все вхождения в Ф символов от-
ношений и равенства' являются положительными. Будем
rоворить, что предложение Ф СИ1'натуры  сохраняется
при ео:ltо.lflорфиЗliLaХ ОТ1l0сительно предложепия ч' сиr
патурьt , е(ли из истинности Ф 1\ чr на системе щ: сиr
натуры  следует истинность Ч' --+ Ф на любом ее rOMo-
J\10рфНОМ образе.
Т е о р е м а 13. Пусть Ф и Ч'  предложепия ситату.
ры  и предложение чr -+ , Ф недоnазуеJ\tо. Для тою что
бы Ф сохранялось при еОМОlitOрфизмах относительно
предложения Ч', необходимо и достаточно, чтобы Ф было
эквивалентноотносительnо Ч' положцтельnому предложе-
1iUЮ Х (т. е. чr [> (Ф --+ Х) 1\ (Х --+ Ф)).
Д О R а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Тан нан Ф и
Ч' содержат Конечное число символов, ТО можно считать
СIlПШТУРУ   <R, Р, 1-1> конечной. Предположим свача.па,
Что F  JZ5. Обозпачим через е RОНЪЮНКЦИЮ преДЛОihепий
'lrfv 1 ... 'lrfV n (, r(v 1 , ...,Vn)Vr'(V1, ,,,,и n », rER, !l(r)n,
и предложения
'lrf P l 'lrfv 2 (..., Е (и 1 , U 2 ) V Е' (u 1 , u 2 »,
rде r' (1' Е R), Е и Е'  попарно различные символы, не
принадлежащие R. Обозначим через  предложение сиr
натуры, содержащей лишь символы из R U {Е} и не co
держащее ИМПЛИКации, истинность KOToporo на системе 
равносильна тому, что v (Е)  Rонrруэнтность на Щ: t .
Пусть Ф О и Ч' о получаются соответственно из Ф и Ч'
заменой всех подформул вида х  у на Е(х, у). Пусть
Ф ' Ф ' ,
о, о И  получаются соответственно из Фо, Ч' о и 
заменой всех преДИRатных симолов на штрихованные.
Если на системе Щ: истинно предложение е 1\  1\ 'l ТО

184
1'Л, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
v (r)  v'!(r') для rE R и v (Е)  v'! (Е'), поэтпму отоб-
ражение, сопоставляющее элементу аЕ элемент аЕ',
будет rомоморфизмом (Q( t )/v'!(E) на Q(1/v'!(E'), rде Q(1 ==<
==< <А, V'!l>  система СИrIIaТУРЫ , для которой V'!l (r) ==<
== v lll (r') (r Е В). Отсюда, используя следствие 22.4, пред
ложение 3 а) и условие теоремы, получаем, что имеет
место
'Уо!\Фо!\L'l [>..., 'Yv ...,ev..., L'l'VФ.
Предположим, что [>..., 'Y V I е V ,L'l' V Ф.
в ДОRазательстве символы r' на r для r Е R и
получаем
Заменив
Е' на Е,
[>, Ч'оv, e 1 v ,L'lVФо'
rде 81 получается из 8 заменой ,.' на r для r Е R и Е'
на Е. Ясно, что 1>81, следовательно, lЧ'оV""L'lVФо
тождественно истинное предложение. Отсюда, используя
тот фаRТ, что L'l истинно на системах Q(, у ноторых отпо
шение v'! (Е) является равенством, получаем, что Ч' -+ Ф
таRже тождественно истинно. Поэтому в Rачестве Х
можно взять предложение 'lrfV 1 V 1  и 1 . Пусть теперь
,"" Ч': v I 8 V ,L'l' V Ф не доказуемо. Предложение
..., (Ч'о!\ Ф о !\ L'l) таRже не доназуемо, так l.aR в против
ном случае в силу Toro, что L'l истинно па системах 'Ж,
у ноторых v lll (Е) является равепством, пред.ТIQiI{eIше
ч'  ,ф таRже было бы тождественпо истиппым, что
противоречит условию о ero неДОRазуемости. Тоrда по
теореме' 12 б) существует интерполирующее предложе
пие Хо, ile содержащее равенства, для ROToporo имеют
место условия Ч' о !\ Ф О !\ L'l [> Хо, ХО [> , Ч' V , 8 V
v...,L'l'VФ, + (Xo)RU{E}, а таЮRе (Xo)s
 (Ч'о!\ Ф о !\ L'l) n  ( -. Ч' V l е V I L'l' V Ф) == f'5. Сле-
довательно, ХО  положительное предложение сиrпату
ры 1, Rоторая нроме символов  имеет лишь символ Е.
.Заменяя в выводе символы r' на r для r Е R и Е' па Е,
получаем ХО [> '1 Ч',) V ..., (31 V 1 L'l V фо' ТаН I\aR [> 81' то
ХО [> ..., Ч'о V ..., L'l VФо' ТаRИМ образом, мы получили
ч' о' L'l [> (Ф О  Х о )!\ (Х О --+ Ф о )' Тан нан L'l истинно на си-
стемах щ:, у ноторых отношепие v'! (Е) является равеlI
СТВОМ, то ч' [> (Ф  Х) !\ (Х --+ Ф) дЛЯ положительпоrо
предложения Х, полученноrо из ХО заменой подформул
внда Е(х, у) па х  у.

!I 27. МЕХАНИЗМ СОВМЕСТНОСТИ
185
Пусть теперь  == <R, {fl, ..., fm}, I-t). РаССМОТрlШ
СИ1'натуру ' == <R U {F t , ..., F m },' 50, I-t'), rде Ft, ..., F m 
попарно различные символы, не принадлежащие R,
1-t'(r)==I-t(r) (reR) и 1-t'(F i )==I-t(ti)+1, i E {1, ..., т}.
Пусть 'f о  предложение, выражающее в системах сиr
натуры ', что отношения Рl, ..., F т являются функ
циями *). Пусть Фl, 'f 1  предложения сиrнатуры I,
uаходящиеся в приведенной н. ф., эквивалентные COOT
ветствешro предложениям Ф, 'у. Пусть Ф2, 'f 2 получа
IOтся соответСТвепно из Фl, 'f I заменой атомных под
формул вида у  fi (Х 1 , ..., х n ), fi (Хl, ..., Х n )  у на
F i (Xl, ..., Х n , у). Ясно, что если Ф сохраняется при ro
МО1\fорфпзмах относительпо 'у, ТО Ф 2 сохраняется при
rомоморфизмах относительно ч' 01\ 'f 2' Так как ' не
содержит символов фУНRЦИЙ, то по только что доказан-
ному существует положительное предложение Х 1 СИl'IIа
туры ', для ROToporo имеет место
ч' (J 1\ ч" 2 1> (Ф 2 ---+ Х 1 ) 1\ (Х 1 ---+ Ф 2 ).
Используя слеДСТБие 22.4, получаем, что Torдa справед
липа
ч' 1> (Ф ---+ Х) Л (Х ---+ Ф),
1'де Х  положительное предложение сиrнатуры , полу
ченное из Х 1 заменой F i (x 1 ,..., х n + 1 ) на Хn+l 
 f(Xj, ..., Х п ).
Достаточность условия теоремы получается из сле
дующих двух фактов, которые проверяются непосред
ственно ИНДУRцией по длине Х. 1) Если h  1'омоморфизм
 на Q3 и Х (X j , ..., Х n )  формула, не содержащая отри
цания и импликации, то
I=X(aj, ..., a n )=>Q3I=X(ha 1 , ...,ha n ).
2) Положительная формула Х ЭI\Вивалентна формуле
Х 1 , не содержащей отрицания и импликации. О
Упражнения
1. .используя теорему 11, ДОRазать, что для люuоrо счетноrо
;'IИнейноrо порядка !Э без последнеrо Элемента существует такое
собственное элементарное расширение, !Э (т. е.  -<!Э и А * В).
*) ТО ССТЬ чr О является I{онъюнкцией предложений V Хl ' ..
... Vх 1ч VуVz((F i (х" ...,X пi , Y)AF i (x 1 , ..., X пi . z)) --+yz) Л
А V.T 1 ... V x lli 3yF i (x 1 , ..., xпj' У), i Е {1, ..., тп}, п; == J.t(fi).

.
"1
186
1'Л, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
. 
что  является начаJIЫIЬШ отрезком  (т. е, из <Ь, а) Е v () II
а Е А следует Ь Е А). (У к а з а н и е. Добавить в СИfllатуру :КOH
станты {с} U {caja Е А}, r ассмотреть теорию Т с множеством
аксиом D*()U{"1cca аЕА} II ТIШЫ Zb{vIcb}U{'Ivl
Ca I а Е А} и применить теорему об опус:кании типов.)
2. Показать, что если в Ф или в '1' входит равенство, то в Teope
ме 12 б) нельзя 'потребовать чтобы равепство входило в Х толь:ко
тоrда, Коrда оно входит в Ф и '1'. (У к а з а н и е. Рассмотреть
примеры С 1 C2 [> r(c 1 )V'lr(c 2 ), r(сI)Л "1r(c 2 ) [>"1 С 1 ;:::;с 2 ')
3. Формулу'Ч' назовем отрицательноЙ, если у формулы '1' 1.
получепной из '1' заменой всех ее подформул вида '1'1 --+ '1'2 на
"1 'l!' 1 VY.J1 2 , Rаждое вхождение символа отношения и равенства
является отрицательным. Uоказать, что доказуемые формулы не
1I10rYT быть отрицательными. (У к а з а н и е. Отрицательная фор
мула ложна в ЕЕ,)
4. Из упражнения 3 вывести, что в теореме 13 условие недока-
8)'емости ч' -+"1Ф опустить нельзя.
 28. Счетная однородность и универсальность
Пусть Т  теория сиrнатуры . Обозначим через
F n () множество формул сиrнатуры  со свободными
переменными И3 множества {V t , ..., и n }. Если Ф Е
Е Fn(), то через IIФI/т или просто через I/ФII обозначаем
множество {Ч" Е F n () I Т [> (Ф --+ Ч') Л (Ч:' --+ Ф)}. Обо
3IIaЧИМ через Q3n (Т) булеву алrебру с носителем Вn (Т) ==
=== {lIчrlllчr EFn()} И следующими операциями: .
а) !lФII u !lчrl/ == IIФ V '1'1/;
б) 11 Ф 11 n I1 Ч' I1 == 11 Ф 1\ 'f 11;
в) IТФlI == 11'1 Ф 11.
Корректность определения операций, а таRЖе проверку
аRСИОМ 1)  10) булевых алrебр оставляем читателю в
качестве упражнения.
Пусть в этом параrрафе все рассматриваемые алrеб
раические системы и теории, если не oroBopeHo против
ное, имеют сиrнатуру , а мощность  конечна или счет
на. Под моделью теории Т мы будем ПOIIИмать модель Т
сиrнатуры . Пусть щ:  алrебраическая система СИ1'на-
туры  и a t ,...., а n Е А. TunoJft н'абора <a t , '..., а,) в щ:
наЗ0вем следующий nтип:
Т (щ:, at, ..., а n ) ===
=={Ф(V t , ..., vn)IЩ:!=Ф(аt, ..., а n ), ФЕF,,(р.
Если щ:, Q3  системы сиrнатуры , at, ..., а" Е А, b t ,
. .., Ь" Е В, то равенство Т (щ:, a t , ..., а,,) == Т (Q3, b t ,

!! 28, СЧЕТНАЯ ОДНОРОДНОСТЬ И УНПВЕРСАЛЬНОСТЬ 187
Ь,,} будем обозпачать также через
<, а 1 , .,., а,,) s= <\8, Ь 1 , ..., Ь,,),
Оп р е Д е л е н и е. Счетная алrебраичесв:ая система Щ:
называетея однородпой, если для любых аl".., а п ,
Ь 1 , ,. " Ь" Е' А II любоrо элемента а Е' А II3
<, at, .,., ап)==<Щ:, b l , ..., Ь,,) (1)
.. ",
следует
<, aj, .,., а", а) == <, b j ,
.. ",
Ь", Ь)
(2)
для HeROTOpo1'O Ь Е' А,
ЯC1Iо, что если Щ:  однородная сиетема и Х f;; А  KO
нечное множество, то система Щ:Х танже является OДHO
родной.
Пр е Д л о Ж е н и е 1. Для любой счетной CUCTe,Lbt Щ:
существует счетное эле.1/ептарпое однородное расшuре
пие \8 >- .
/
Д О l{ а з а т е л ь с т во. Покажем сначала, что для лю-
бой счетной системы  существует Та!ше счетное элемен-
тарное расширение (1) >-, что для любых a t , .,., а",
b j , ..., Ь", а Е'А из (f) следует
<(I), аl, .,., а", а) == <щ, Ь 1 , .. " Ь", Ь) (3)
для HeROToporo Ь Е' А (1), Для наждо1'О Х ==: {а 1 , "', а,,}  А
определяем множество
R(X)==:{y: Х-+АI<Щ:, al, ..., а,,) == <'Ж, уаl, ..., уа,,)}.
Обозначим через R объединение всех R (Х), 1'де Х  в:о-
нечное подмножество А, Ясно, что R имеет счетную мощ
lIOСТЬ. Расширим сиrнатуру 1: А дО 1:1, добавив новые
символы одноместных операций 11 для в:аждоrо "( Е' R.
Рассмотрим следующее множество предложений СИ1'на-
туры 1:1:
Z==D*(Щ:) U (\1' х(Ф( Х, C al , .. ., саn)--+Ф(tу (х), С уа l' . .., с уаn ))
IYE'R, al, ..., a n E'doIl1Y, Ф(х, Уl, ..., у,,)Е'Р(1:)}.
ИЗ онределения множества R следует, что l\аЖдое в:онеч
ное множество Z, f;; Z выполняется в ненотором обоrа-
щепии системы' Щ:. Пусть I  счетпая модель Z и
(1) == 1  1:. Тав: нан   модель D* (Щ:), то по предло-
жению 24.4 а) можно считать, что Щ: -< Щ:(I). Если выпол-
няется ( 1), ТО из ИСТИlIНОСТИ на Щ:j предложений из Z

188
:rл. 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
.
-',
1
сШ'дует выполнимость (3) для Ь === 1;1 (а), 1'де "f (a l ) ==
== b 1 , .,., "{ (а п ) === Ь п ,
Определим последовательность систем {SЛil i Е (J)} сле
дующим образом: SЛ О  SЛ, SЛ i +1 === sл)l), i Е (J), По предло
жеНllЮ 24.3 получаем SЛ h -< Q3 === U SЛ i , k Е (J), В частно
iE:UJ
сти,  -< Q3, Тан нак Q3 == Ui, то   счетная система,
Если al, .." ап, b l , ,.., Ь п , а Е В И
<f8, a l , "., ап> === <Q3, b 1 , .,., ь п >'
то al, ,.., а n , b 1 , "', Ь п , а Е А ; дЛЯ Hel\OTOpOro i Е (J), Так
IЩI\ SX i -< Q3, ТО имеем
<SX i , а!, ,. " ап> === <i, b j , " " Ь,.>,
ИЗ определения SЛР) == Hl получаем
<i+1' a l , .,., ап, а> :::= <SX i +1, ы 1 , "', ь п , Ь>
для HeRoToporo Ь Е AiH' Так нан Ч1 -< Q3, то
<Q3, а 1 , "., а", а> === <Q3, ы 1 ' ' .., Ь п , Ь >,
Тав:им образом, !в >   счетна-я однородная система. О
Пр е Д л о ж е н и е 2. Пусть , f8  счетJ-tЫе oдпopoд
пые систе.мы сийпатуры . ТОйда следующие условия эп-
вивалеJ-tтJ-tы:
1) SXQ3,
2) в SX и Q3 реализуются одпи и .те же nTиnы сийпату-
ры , n Е (J),
д о R а з а т е л ь с т в о, 1) => 2) очевидно. Пусть выпол-
няется 2), Занумеруем А и В: A==={ailiE(J)}, В===
=== {bili Е (J)}, ИНДУRцией по n Е (J) построим в:онечные ото-
бражения /п: А" --+ В, А"  А, со следующими свойствами:
ап) если n =1= О, то /n1  /n;
б п ) если n == 2k + 1, то ап Е Ап;
вп) если n===2(k+ 1), то ЬпЕ/п(Аn);
1' n ) если А п === {еl, "., е т }, то
<, е 1 , "" е т > == <f8, /"е l , '. " /пет>'
"
Для /0 === es условия а о )  Во) тривиально выполнены.
Условие 1'0) следует из 2), тав: в:ан Th() является Оти
пом. Пусть n == 2k + 1 -и An1 == {el, "" е т }, ПО ИНДУI{
ЦИОНIIОМУ предположению имеем
<, el, "" е щ > Ее <f8, f"lel' "" fПlещ>. (1)

!! 28, СЧЕТНАЯ ОДНОРОДность И VНИВЕРСАЛЬНОСТЬ 189
Из условия 2) получаем, что тип Т (, ej, ..., е т , ан)
реализуется в f8, поэтому
(, ej, ..., е т , ан> == (f8, d j , ..., d m + j > (2)
для некоторых d j , ..., d m + j Е В. ИЗ (1) и (2) получаем
<f8, d j , ..., d m > == (f8, fnjej, ..., fnlem>;
поэтому в силу однородности f8 существует таRОЙ Ь Е В,
что
(f8, d j , ..., d m + 1 > == (f8, fnjel, ..., fnlem, Ь>.
I3 силу (2) ТО1'да имеем
(, еl, ..., е т , ан>:=; (f8, fnlej, ..., fn=iem, Ь>,
следовательно, отображение fn == fn1 u {(ан, Ь>} будет
удовлетворять условиям an) 1' n ). Случай п == 2(k + 1)
рассматривается анало1'ИЧНО. Из условий ап)  r n ), п Е Ю,
получаем, что f == U fnбудет изоморфизмом sx на f8. о
пЕ,л
О П Р е Д е л е Н и е. Счетная алrебраичеСRая система sx
сиrнатуры  называется универсалы-tOй, если для любо1'О
п Е ffi В ней реализуются все совместные с Th (SX) птипы
сиrнатуры . Счетная алrебраичеСRая система sл сиrна
туры  называется насыщенной, если для любо1'О конеч
Horo Х s;;; А в SXx реализуются все совместные с Th (sxx)
1типы сиrнатуры x.
Ясно, что совместность птипа Z с Th (SX) равносильна
локальной выполнимости Z в 'SX. Очевидно, что счетное
элементарное расширение универсальной системы явля
ется универсальной системой. ЯСНО таRже, что если си
стема  насыщена, то система SXx тю{же насыщена дли
любо1'О конеЧНОrо Х s;;; А.
П р е Д л о ж е н и е 3. Для счетной аЛ2ебраичеспой cи
cTejJtbl sx следующие условия эпвивалентны:
1) sx Насыщена,
2)  универсаЛЬ1lа и однородна.
ДОRазательство. 1)* 2). Пусть  насыщена.
Индукцией по п Е ffi пока же м, что в sx выполняется ЛЮ
бой совместный с Th () птип Zo сиrнатуры . Если
п == 1, то выполнимость Zo в sx следует из определения
насыщенности. Пусть п> 1. Рассмотрим (п  1)тип
Zl == {3v n (Ф 1 /\ . . ./\ Ф/1) I Фl, .  ., Ф" Е Zo}. Так как ZI
локально выполним в SЛ, то по ИПДУI\ЦИОННОМУ предполо
жению тип Zj реализуется в SЛ элементами а 1 , ..., anj.
Будем считать, что и 1 не входит связано в элементы Zo.

190
rл, 5, ТЕОРIIН МОДЕЛЕй
в силу предложения 19.4 б) достаточно рассмотреть
только таRие птипы Zo. Рассмотрим 1тип
Z '=' {( Ф ) "l"... "n1. "n I Ф Е Z } .
2 Cnl"",CQnl''Vl О
Лено, что 1ТИIl Zz ЛОRально ВЫПОЛIшм в fl!1.aj ,...,an1}'
В силу насыщенности fl! существует элемент G Е А, pea
лизующий в fl!1.al"..,an1} тин Zz. Тоrда птип Zo реали
зуется в fl! элементами a l , ..., anl, а.
ПОRажем однородность fl!. Пусть a l , ..., а n , b 1 , ..., Ь n ,
аЕА и
<fl!, GI, ..., а п > == <fl!, b 1 , ..., Ь n >.
(*)
j'
Рассмотрим 1 тип
Z == I Ф ( v )I fl! { } I=Ф ( а ) ФЕ;F (  { , ))
о 1 а 1 ,...,а n ' 1 G 1 ,...,G nJ .
Из (*) следует, что 1тип
Z == {( ф ) xl"... Хп I ( Ф ) Хl"'" Хп Е Z
 1 1 cb1,,,,,cb n 1 ca1"",c an О'
Ф 1 (х 1 , ..., Х т V 1 ) Е F ()}
локалыю выполним в fl!{b1,.."b n },
то ZI реализуется в . fl!{b1,.."b n }
что Torдa имеет место
<fl!, а!, ..., а n , а> == <fl!,
Тан нак fl! пасыщена,
элементом Ь Е А. Ясно,
Ь!, ..., Ь п , Ь>.
2) =? 1). Пусть fl! универсальна и однородна, al, ...
. .., а n Е А и Zo  ЛОRально выполнимый в fl!{a 1 ,..,.a n ).
1тип СИ1'натуры {al..."an}. Без оrраничения общности
можно считать, что все связанные переменные в элемен
тах Zo отличны ОТ V 1 , ..., V n +!. Рассмотрим птип Z! ==
== T(fl!, а!, ..., а n ) и (п + 1)тип
Z 2 == Z 1 U { Ф I ( Ф ) vl...'. "n' "n+1 EZ
с а1 ,...,с аn ,1'1 О'
ф (V 1 , ..., V n +1)E F ()}
ИЗ локальной 'выполнимости Zo в fl!{a 1 "."f1 n } следует
ЛОRальная выполнимость Zz в fl!. В силу универсальности
 следует выполнимость Zz в sx некоторыми b 1 , ..., Ь n +! Е
Е А. ТЮ, как Z! f;; Zz, то
<fl!, а!, ..., а n > === <fl!, Ь!, ..., Ь п >.

 28, СЧЕТНАЯ однородность П УНПВЕРСАЛЬНОСТЬ 191
Из ОДПОрОДIIОСТИ  получаем
<, al, ..., а п , а> =s <, b l , ..., Ь n + 1 >
для HeKoToporo а Е А. Очевидно, что а реализует Zo
в {al....,an)' О
Пр е Д л о ж е н и е 4. Если  и   счеТllые llасыщеll
1lые эле;меllтаР1l0 эквивалеllтпые системы, то   .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственпое следствие
предложений 3 и 2, так как в  и  реализуются все COB
местные с Th () == Th () птипы. О
Таким образом, между полными теориями Т, имею
щими счетные насыщенные модели, и счетными Hacы
щенными моделями Т существует взаимно однозначное
с точностью до изоморфизма соответствие. В силу пред
ложения 1 любая теория Т имеет счетную однородную
модель. Однако не все теории Т имеют счетную Hacы
щенную модель (см. упражнение 2). Следующее предло
жение характеризует полные теории Т, имеющие Hacы
щенные модели.
П р е Д л о ж е н и е 5. Для пОЛ1l0Й теории Т, имеющей
беСКОllеЧllые модели, следующие условия эквивалеllТllЫ:
1) Т имеет счеТllУЮ уllиверсалыlюю модель;
2) Т имеет счеТllУЮ llаСЫщеllllую модель;
3) для любоео nE(i) булева алеебра n(T) имеет
счеТ1l0е число ультрафильтров.
Доказательство. 1)=>-2). Пусть счетная
универсальная модель Т. По предложению 1 существует
счетная однородная модель  >- . Из предложения 3
получаем, что   насыщенная модель Т.
2) =>- 3). Пусть   счетная насыщенная модель Т,
п Е (i), И U  ультрафильтр алrебры n (Т). Рассмотрим
птип
Т(И)== {Фll1фll Е и, ФЕFп()}.
Ясно, что Т (И)  совместный с Т птип. Так как 
универсальна, то существует набор ii (И) == <a l , ..., а,),
который реализует тип Т (И) в . Если U 1 , и 2  два раз
личных ультрафильтра n(T), то для некоторой Ф Е
EPn() имеем IIфllЕU 1 и II,ФIIЕU 2 . Следовательно,
ii (и,) * ii (и 2 ). Таким образом, существует разнозначное
отображение множества всех ультрафильтров алrебры
n (Т) В счетное множество А п. Это дает условие 3).
3) =>- 1).. Пусть (uf I i Е (i))  множество всех ультра
фильтров " (Т) И СИrIIaтура 1 получается добавленном

HJ2
1'Л, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
к  новых попарно различных констант (cj,i \ п, iEO),.
1:;;;;; j:;;;;;n}. ТО1'да счетное множество предложений сиrна
TYpы 
Х {(ф) "l' ."."n 1 . Ф ( n )}
== TU c,i..."c,i п, l E(J); Е Т U i
совместно. Пусть   счетная модель Х. Torдa  t  бу
дет универсальной моделью Т. В самом деле, пусть Zo 
совместный с Т птип сиrнатуры . Torдa множество
у == {llфllj Ф Е Zo} будет центрированным множеством ал
rебры n (Т). По предложению 12.1 существует ультра
фильтр Ur  у алrебры n (Т). Так кю. Zo s; Т (Ur), то
Zo будет реализовываться в  t  элементами v (c,i), ...
о.., v (c,i). О
Понятия однородной, универсальной и насыщенной
счетной системы леrко обобщаются на друrие мощности.
В частности, алrебраическая система  сиrнатуры  Ha
зывается хпасыщеппой, rде х  кардинал, если для лю
боrо множества Х s; А мощности <х в x реализуется
любой совместный с Th(x) 1-тип СИПIaТУРЫ x. В за
ключение этоrо параrрафа мы приведем теорему, дока-
занную независимо Ю. Л. Ершовым и r. Дж. Rейслером.
Фильтр D на множеСтве 1 называется счетпо полпы.t,
если для любоrо множества {Х ; I i Е (J)} s; D имеет место
n X i б;:: D. Обозначим через (J)1 первый несчетный Kap
iEro
динал.
Пр е дл о ж е н и е 6. Если i, i EI, алеебраические
систе.:МЫ сиепату ры , а D  ультрафильтр па 1, пе яв
ляющийся счетпо полftЫ.1ft, ТО CUCTeJ1ta Dprod ; является
О)Iпасыщеюtoй.
Доказательство. Пусть {Xili Е О)} s;D и n Xit;E, D.
iE»
семейство {Wili Е О)}, 1'де W o == I',Xo,
W i == (Х О n . . . n ХН) \ (Х О n . . . n ХН) для
Рассмотрим
W 1 == n Хiи
iSro
t ;;;, 2. Ясно, что W i Ф D для i Е 0), U W i == 1 и W i n W j ==
iE'"
==)0 для i::/= j. Пусть i, i Е I, алrебраические системы
сиrнатуры L, Х s; Dprod A i . 'ХI  (J), Z == {Фi(V j ) li Е (J)} 
совместный С Th ((D-prod i) х) 1-тип сиrнатуры Lx и
фо  тождественно истинная формула.
Пусть  == (Dpl'od i) х и Х === {Dtkj k Е (J)}. Рассмотрим
Qбоrащепия ; систем i сиrпатуры x, для которых

!I 29, RАТЕrоричность
193
!8i f " ( ' ) Я rn D d т
С п /" ===  .  сно, ЧТО "'-' === pro "'-'; и для всех k Е ffi
{i Е 1 \ i 1= ЭV l (Ф О А.. . А Ф/J)} Е D. (1)
ВОЗЫ\Iем такое f Е I-Pl'ocl B i , чтобы для .1Iюбых k, п Е ОО,
k Е W n бьшо ," 1= Ф О (Jk) А . . . А Фт(k) (fk), rдe т (k) 
наибольшее число из множества {О, 1, ..., n}, для кото-
poro e 1= ЭV l (Ф О А . . . А фтщ). Так как W i n vV j == )о
Д,ТIЯ i =1= j и Ф О тождественно истинна, то такое f )\ЮiIНО
выбрать.
Покажем,
что ДЛЯ любоrо ko Е ОО, !СО  1
[; Е 1 I i 1= Ф RО (fi)) Е D,
(::)
и предложенле тем самым будет доказано. Рассмотрим
множество
G == [; Е 1 l!В i 1= 3 U l (Ф 1 А... А Ф:'о)}""-(W о U ... u W"ol)'
ИЗ (1) И из тото, что VофD, ,_ ., W/JolEiED, получаем
G Е D. Так как т (i);;' ko ДЛЯ любоrо i Е G, то из по-
строеппя f вытекает G s; {i Е ll, f::: Ф1,(fi)l, ОШУДа полу-
чаем (2). о
}' пражпения
1. ПОhазать, что в !!!n(Т) истинны аf>СИЮIЫ UУ,1Iевых алrебр,
2. ПУСТI, СНl"IШТУРн. :::" состоит IIЗ счетноrо ПIOжества {ri I i Е
Е (й} одноместных ПРОДlшатов и теория То опреде;rяется множест-
вом 1ШСlIОИ
{3v l (Sl(v l )!\..,,!\s1l(v l ))lпEW, slE{r l ,lr 1 }, ..., SnE{rn,lr n }}.
По.каЗ<IТЬ, Ч'iО То  J10jlпая теория, не имеющая универсальной
счеТНОll модеЮI, (}' Ii а а а н и е. Полнuта То следует из Toro, что
 t 1   t l для любой НОнtЧНUll kl s; Lo и любых счетных
моделеЙ SЛ,  теории Т; отсутствие универсальноЙ модели Т СJlсдуеl'
па TOI'O, что все l-типы {Si (/)1) I i C (й, Si "''= {ri' I r i }} совместны
с то,)
 29. Катеrоричность
Теорема 24.3 показывает, что ТЬ () для бесконечноя
системы  не опредеJшет  (с точностью до изоморфиз-
ма). Однако существует интересный класс систем , Teo
рl1Я ноторых опредсля:ет  с точностью до изоморфизма
среди систем тоя lI,е lIIОЩНОСТИ. В ЭТОМ параrрафе мы
13 Ю. л, Ершов. Е, А, ПалюТlЩ

194
1'.тI, 5, ,ТЕОРИЯ МОДЕ.тIЕЙ
рассмотрим некоторые свойства теорий таких систем.
Сиrнатуры в этом параrрафе имеют счетную или конеч
ную мощность.
О n р е Д е л е н и е. Класс К алrебраических систем
сиrнатуры  называется катеzориЧНЫ.t 8 мощности х
или хкатеzоричнылt, если все системы из К мощности х
изоморфны междУ собой. Теория Т сиrнатуры  назы
вается патеzоричной 8 Х, если Rласс K'J:. (Т) является
ХRатеrоричным.
Если Rласс К не имеет систем мощности х, то по оп
ределению он катеrоричен в х. Если К  класс алrеб
раических систем (Т  теория) сиrнатуры, то через
К"" (через Т",,) обозначаем класс бесконечных алrебраи
ческих систем из К (теорию ТU { ЗV 1 ...3vn ( , Л iVi;:::::;
'<З":n
 Vj) \ п ЕШ}). Ясно, что K:J:(T "") == (К}: (Т») "".
Пр е Д л о ж е н и е 1. Если теория Т CUZHaTypbl  пa
теzор'иЧllа 8 непоторой бесконечной мощности х и Т""
совместна, то Т"" полна. ,
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  и   две бесконечные
модели Т. Достаточно показать, что  == . По Teope
ме 24.2 существуют счетные элементарные подсистемы
, -<  И , -<. По теореме 24.3 существуют элементар
ные расширения 2 >- , И 2 >- , мощности х. Так как 2
изоморфна 2' то 2 == 2' Следовательно,  ==. о
Если Т полна и имеет конечные модели, то по след
ствию 24.2 все модели Т изоморфны не которой RонечноЙ
системе. До конца этоrо параrрафа пусть Т обозначает
полную теорию сиr:натуры , имеющую бесконечные l\Ю
дели. Заметим, что из полноты теории Т следует выпол
нимость любоrо 1'лавноrо cOBMecTHoro nтипа в любой
модели Т.
Т е о р е м а 14 (К Рыль-НардзеВСRИЙ). ДЛЯ TOZO что
бы теория Т была liатеzорична 8 счетной .МОЩности,
необходимо и достаточно, чтобы для лтобоzо n Е (J) алzеб-
ры n (Т) были КОllечны.
Доказательство. Необходимость. Пусть n (T)
о
бесконечная булева алrебра. Так как Т полна, то
lo(T) 1== 2, следовательно, по> О. По предложению 12.3
существует неrлавный ультрафильтр U на n (Т). Ясно,
о
что nотип Z == {ф Е F n () IIIФII Е и} является нешавным
nотипом в Т. По теореме 11 существует счетная ЫОll:ель 
теории Т, в которой он опускается. Так как Т U Z COBMeCT

 29, RАТЕrоричность
195
но, то по теореме о существовании модели существует
модель , в которой Z реализуется. ТаН как можно счи
тать  счетной, то Т не является счетно катеrоричной.
Достаточность. Пусть n (Т) конечны для всех п Е Ф.
Тоща любой птип Z является rлавным в Т. В силу пред
ложения 28.4 достаточно показать, что любая счетная
модель  теории Т насыщена, для чеrо в свою очередь
достаточно показать, что любой 1тип сиrнатуры
2:{а1',...а n }, rде а" ..., а n Е А, является rлавным в Т 1 
 Th ({a1....,l'п})' Последнее следует из To1'o, что отобра
тение h, переводящее Ф (v" ..., V n +') В Ф (V 1 , С а1 '" ., Сап)'
сохраняет отношение IIФIl  Ilчrll (т. е. Tr> Ф -+ чr *Т, r>
r> hФ -+ hчr) и любой (п + 1)тип сиrнатуры 2: является
rлавным в Т. о
Следующее предложение доказано П. Линдстрёмом.
Пр е Д л о ж е п и е 2. Если V3 аксио:матиаируе:мая
непротиворечивая теория Т сииитуры 2: катееоричн;а
в счетной :мощности, то Т ;моделыlo пОЛllа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем rоворить, что формула
Ф (х" ..., х n ) сиrнатуры  сохраняется при переходе
к подмоделям (надмоделям) теории Т, если для любых
моделей  s;  теории Т и любых а" ..., ,!n Е А из ис
тинности Ф (а" ..., а n ) в  (в ) следует истинность
Ф(а" ..., а n ) в  (в ). Рассмотрим множество G фор-
мул сиrнатуры , находящихся в пренексной н. ф. И не
сохраняющихся при переходе к подмоделям Т. Ясно, что
модельная полнота Т равносильна тому, что G  0.
Предположим, что Т не модельно полна. Возьмем
Ф u (х" .,., х n ) Е G, кванторная приставка которой имеет
наименьшую длину ro. Очевидно, что ro > О. Пусть фо 
 QуЧ'о(у, х 1 , .,., х n ). Из минимальности ro следует, что
чr о сохраняется при переходе к подсистемам, поэтому
Q  3. Так как ..., Ч'о эквивалентна формуле с KBaHTOp
ной приставкой длины ro  1, то из минимальности ro по
лучаем, что чr о сохраняется при переходе к надсистемам.
Возьмем такое ер: ffi -+ юn, что для любоrо а Е юn MHO
Жество {klcpk == а} бесконечно. Строим последовательность
т, т Е Ю, счетных моделей теории Т со следующими
свойствами:
1) А т S; ffi И множество ffi \А т бесконечно;
2)т S;. для т  s;
3) если срт Е (А т) n и существует счетная модель
!Вт теории Т, дЛЯ котороЙ1= Фо(,.r(срт), "', :п:срт))t
13*

196
rл, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
ТО В качестве тH берем модель Т, удовлетворяющую
условию 1) при k == т + 1, для которой т s; т+1 И
т+11= Ф О (лr (срт), ..., л(rpт»).
Рассмотрим систему '" == u т, которая в силу
тЕОО
\7'3 аксиоматизируемости Т является моделью Т (пред
ложение 25.4 б)). Так как Ф О Е': G, то существуют моде-
ли  s; i8, и для а 1 , .. " 'а n Е А имеем i81= Ф О (а 1 , ..., а n ) И
fX 1= I Ф о (а 1 , ...., а п ). Взяв соответствующие счетные эле
мептарные подс:истемы, можно считать, что  и i8 счет
ны, а в силу катеrОРИЧIIОСТИ Т в счетной мощности
:можно считать, что fX == "'. Так кан А", s; Ю, то из усло-
вия на ер следует, что срт о ==(а 1 , ..., ап)Е(Ато)п для He
KOToporo то Е Ф. Так как т с:= Ы с:= i8, то из свойства 3)
о
получаем fXmo+l 1= Ф О (а 1 , ..., а п ), следовательно, имеем
m+1l=Ч'о(Ь,аl' ...,а п ) для HeKoToporo ЬЕЮ. Это про
о
тиворечит тому, что fXUI 1= 13УЧ'о(У, а 1 , "'1 а n) и 'Уо
сохраняется при переходе к надсистемам. О
Отметим, что условие \7'3 аксиоматизируемости тео-
рпи т в предыдущем предложении является также необ-
ходимым для модельной полноты Т. А именно, можно
доказать обращение предложения 25.4 б): если аксио-
l\Iатизируемый класс К замкнут относительно объедине
ний систем, то К \7'3-аксиоматизируем. Поэтому любая
модельно полная теория \7' 3 аксиоматизируема.
Теория плотно упорядоченных множеств без первоrо
и последнеrо элемента является катеrоричной в счетной
мощности (предложение 15.4) и некатеrоричпа ни n Ka
RОЙ бесконечной несчетпой :мощности (упражнение 1).
Теория алrебраически замкнутых полей характеристики
О кате1'орична БО всех бесконечных несчетных мощностях
и НeJ\атеrорична в счетной мощности. Леrко строятся
примеры полных теорий, катеrоричных во всех беско-
нечных мощностях, и теорий, некатеrоричных во всех
бесконечных мощностях. Как показал М, Морли, друrих
случаев «распределеНIШ)} катеrоричности для полных
теорий счетной сиrнатуры с бесконечными моделями не
существует.
Оставшуюся часть параrрафа мы ПОСВЯТIlМ следую-
щей теореме, доказанной Е, А. ПалIOТИНЫМ. В ее ДOI\аза
тельстве находят применение мноrие результаты дaH
ной rлавы, а также иллюстрируется важный метод Teo
рпи моделей  метод минимальных множеств.

11 29. RАТЕ1'ОРИЧНОСТЬ
197
т е о р е м а 15. Если 1>вази,ш-{,О,юобразие К катеzорич
но в счепюй J.шщпости, то ОnО кате,ЮРИЧJlО во всех не-
еiJuниЧrlЫХ :МОЩНОСТЯХ.
:Класс неодноэлементных систем из К обозначим че
рез К+. Пусть в дальнейшем К  счетно катеrоричное
квазимноrообразие сиrнатуры 2:, для KOToporo К+ не
пуст. Элементы классов К, К+ и К"" будут называться
соответственно Ксистем:ами, К+системами и К",,систе
мами. Под формулой мы будем понимать, если не oroBo-
рено противное, формулу СИПIaТУРЫ 2:. В дальнейшем,
сели не oroBopeHo противное, буквами ,  будут обо;cj
начаться К-системы. Через w обозначаем упорядоченныЙ
набор (Ш 1 , .. " ш п >, при этом пишем w Е А, если Ш1, ...
..., ШпЕА, И Ф(w) вместо Ф(W I , ..., ш п ). Если
Ф (у, х)  формула, ii Е А, то через Ф (, а) обозначается
множество {ЬЕАIФ(Ь, а)}. Если t(YI, ..., Ут, х) 
терм, ii Е А и Х I s; А, ..., Х т s; А, то через tw. (Х 1 , ...
.. ., Х т , а) обозначается множество
{Ь О Е А I существуют ы 1 Е Х I , ..., Ь т Е Х т такие, что
Ь О == tw. (Ь н ..., Ь т , а) 1..
Если Х I ==... == Х т == Х, то вместо t (Х 1 , "', Х т , а)
пишем t'J (х, а). Для сокращения записи мы будем ча
сто опускать кванторы всеобщности -\l записи квазитож
деств, т. е. обозначать квазитождество V Х 1 .. . v х n Ф(:r 1 ,. . .
,.., Х п ) через Ф(Х I , ..., х,,). Для простоты обозначенпй
мы будем также отождествлять «диаrональные» элементы
ta Е Al, которые тождественно равны а Е А на 1, с эле
ментом а Е А. Поэтому система  будет считаться под-
спстемоЙ своеЙ декартовой степени l. Это возможно
в силу Toro, что отображение, сопоставляющее элементу
а Е А элемент fa Е А 1, является ИЗО1ll0рфИЗ1ll0М  на ПО;J;
систему диаrональных элементов I.
В силу предложений 1 и 2 теория Th (К 00 ) является
полной и модельно полной. Из предложениЙ 25.4 а) II
25.5 а) получаем, что класс К замкнут ОТНОСIIтелыlO п()д
систем и декартовых произведений. В частности, из
К+ =1= ro следует К 00 =1= ro,
л е м м а 1. а) Если предложение Ф условно фильт
руется в,месте СО свОИJ.t отрицаnuеJ.l ...., Ф и истиnпо на
пекоторой K+cиCTe:мe , то 01Ю UCTUH1iO 1ia любой
K+-систеJ.tе. ФИЛЬТРУ1Ощееся предложепuе u квазuтожде( 1'80
УСЛОG1iО фИЛЬТРУЮТСЯ в,несте со саоилщ отрица1iuя,1tu.

198
1'Л. 5. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
б) Для любой КсистеJrtы  и любоео пОllеЧ1l0ео M1l0
жества Х s; А система (X) поnеЧllа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Если предложение Ф лоЖно
в К+системе 18, то из условной фильтруемости Фи'" Ф
следует, что Ф истинно в '" и ложно в 18"'. Это противо
речит полноте Th(K",,). Если Ф  фильтрующаяся фор
мула, то условная фильтруемость .., Ф очевидна. 'у слов
ная фильтруемость квазитождества показана в доказа
тельстве предложения 25.5 а). Отрицание квазитожде-
ства Ф эквива;п:ентно предложению 3 Х 1 . .. 3Хn (Ф 1 Л
Л I Ф 2 ), rде Ф" Ф 2  фильтрующиеся формулы. По
лемме 17.2 I Ф условно фильтруется.
б) Пусть (a" ,.., а n ) бесконечна. Для каждоrо
а Е А(а l , ..., а n ) существует такой терм t a (v l , ..., и n ),
что t( (а 1 , . .., а n ) == а. Тоща формулы и n +1  ta(v" .." и n ),
а Е А (al, ..., а n ) будут попарно не эквивалентными
в Tl1((a" ..., an»==Th(K",,). Так как Th(K",,) шкате
1'оричпа, то это противоречит теореме 14. о
Л е м м а 2. Пусть Ф (у, х)  фильтрующаяся фОрJltу
ла,  Е К+, ii == (аl, ..., а n > Е А и Ф (, а) содержит 1lе
ме1lее двух элемеllтов, Тоеда
а) существует тапой ТерМ t(у,х},ЧТО t((Ф(,а),а)==
== 1;
б) для любой 18 е К+ и fj == <Ь" .", Ь n > е В М1l0же.
ство Ф (18, о) содержит 1lе Jrtellee двух эле.'ftеllтов или
пусто.
Д о 1\ а 3 а т е л ь с т в о. а) Докажем сначала, что если
Ф (, а) беСRонечно, то множество Х == Ф (, а) u {а l , ..,
.. " а п } порождает . Пусть {t, (v" ,. " v,) I 0< i < ю}  HY
мераЦIlЯ всех термов. Для каждоrо i  ф, i > n, paCCMOT
рим формулу
'l';(V o , V 1 , ..., V n ) == 3V n +1 3V n+2'"
. . . 3v; ( V и о ::::::: t) А л Ф (Vk' и 1 , .,., и n ) ) ,
j; n<k;
ИСТИНIIOсть КОТОрОЙ на системе i8 при интерпретации
"(: {ио, ..., и,.} -+ В равносильна тому, что "( (и о ) есть
значение терма t (1' (V 1 ), ..., l' (v n ), Ь n + 1 , "', b j ), rде
l"';;'i и ь n +', ..., Ь j е Ф(i8, "((,), ..., "((V,,». Ясно, что
для любоrо Ь е А (Х) существует i Е ф, i;;a. n, дЛЯ KOTO
poro  (Х) 1= чr I (Ь, а). По теореме 14 существует такое
конечное l\шожество {t" "., i k }, что для любоrо i Е ffi

 29, I<АТЕ1'ОРИЧНОСТЬ
199
Тll (КОО) t> Ч'i ---+- (Ч'i 1 V . .. VЧ'i k ).' Torдa в (X) истин
но VV o (Ч'i 1 (v o , a)V ... V Ч'ik (v o , а)). Так как (X)<,
то эта формула истинна в , откуда получаем, что 
порождается множеством Х. Предположим, что а) лож
но. Torдa существуют' такие Ь ; Е А, п  i Е 0), что
']( (  ) 
t, а,а n +1' ...,ai =l=Ьiдля любых а n +\, ..., аiЕф(, а).
1 
Тоща множество У==ф(Ш, а)==(Ф(, а»Ш бесконечно
и g ф- А Ш (У U {а\, ..., а n }), rде gi == b i , i Е 0). Это проти-
воречит предыдущему.
б) Предположим, что существуют такие 18 Е К+ и
1j Е В, что Ф (18, Б) == {а о }. В силу фильтруемости Ф MHO
жество Ф ( Х!8, аХ Б) равно Ф (, а) Х {d o }, rде аХ 1j ==
===«а\, Ь), ..., (а n , Ь n »' Пусть аоЕА; d " dzEB, d\ =1= d z ,
тоща по а) имеем
t( (с\, do>, ..., (С т , ао>, аХ Ь) == (ао, d , >,
t «C, а о ), ..., <C, d o ), а Х ь) == <а о , d 2 )
для HeKoToporo терма Цу!,..., Ут, х) И некоторых
, , Ф ( af  ) И
C 1 , ..., С т , Сl, ..., С т Е '«-, а. з определения опера
цпй на  Х i8 получаем t (d o , ..., d o , Ь) == d\ из первоrо
равенства и t (d o , ..., d o , Ь) == d z из BToporo равенства,
что противоречит условию d\ =1= d z . о
Рассмотрим максимальное совместное с Th (К) MHO
жество
х* == {I Vl  V 2 } u {Фi (v 1 , V 2 ) I i Е О)},
rдe Фi(VI, Vz), i Е O), атомарные формулы. Пусть сиr
натура :S* получается из :S добавлением двух новых KOH
стант С\, C z . Рассмотрим квазимноrообразие К* сиrна
туры :S*, множество аксиом KOToporo состоит из аксиом
К, а также квазитождеств V\V\--+Ф(С!, C z ) /l,ля aTO
марных формул Ф (v l , Vz) Е Х* И квазитождеств Ф (C 1 , Cz) --+
--+ V!  Vz для атомарных Ф (V 1 , V z ) ф- Х*.
л е м м а 3. а) Для любой K+cиCTe:мы  существует
Та/ИЯ K*cиCTe;м,a *, ЧТО *   == Щ.
б) К вааu,м,н,оаообрааuе К* катеаорuчпо в счетпои
:мощпостu.
Д о к а з а т е л ь с т в О. а  В силу максимальности Х*
достаточно показать, что Х* выполняется в любой К+ -си
стеме . Из теоремы 14 следует существование TaKoro
по Е 0), что Th (К 00) t> (Ф О !\.. . !\ Ф nО ) ---+- Ф i для всех

200
r..'1, 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
i Е Ф. Так как К", =1= 125, то по лемме 1 аУ  f=(Ф о !\...
. " !\ Фn ) --+ Фi для всех i Е Ф. Поэтому достаточно по
казать, чо в  истинно предложение 3v 1 3v 2 Ч' (и 1 , и 2 ),
тде 'у (иl' V 2 ) равна...., V 1  и 2 !\ фо !\ . . . !\ Фn о ' Пусть х*
выполняется в К-системе . Torдa 'ВI > 1 п
3v 1 3v 2 Ч' (и 1 , и 2 ) истинно в К",системе "'. В силу пол
ноты Tll(K",) имеем '"  чr (11, 12) для некоторых 11'
12 Е А"'. Так кю{ (» t=...., 1112,To I1io=l=f2io для HeKOTO
рото io Е Ф. ИЗ фильтруеМОСТII фо 1\ . . . 1\ Фn о получаем,
что . чr(fliо, f2iO)'
б) Как было показано в доказательстве теоремы 14,
каждая счетная К",система является насыщенной. Так
*
как любая К 90 система * является обоrащением HeKOTO
рой К",системы  на две константы, то * ЯБляется Ha
сыщенной. Поэтому в силу предложения 28.4 достаточно
*
показать, что любые [(оосистемы,  элементарно экви
валентны. Пусть vQ((c 1 )  a 1 , vQ( (С 2 )  а 2 , v!8 (C 1 ) == b 1 и
v\!3 (С 2 ) == Ь 2 . TaI{ ющ квазитождества Ф (С I , С 2 )  и 1 ;::::; и 2
эквивалентны в Tll (K) преДЛОiJ>:еншо '1 Ф (C 1 , С 2 ), то
из аксиом К* следует, что отображение, сопоставляющее
элементам a l , а 2 соответственно ЭJIементы b t , Ь 2 , продол
жается до изоморфизма f: o:::+ o, тде o (al' а 2 ) (}: и
o ==  (b 1 , Ь 2 ) (. Torдa f продолжается до IIЗОМОр
физма К",систем   (J) t  и !В с: (J) [. Следова
тельно, <, а 1 , а 2 ) == <, b 1 , Ь 2 ) и в силу модельноп
полноты Th(K",) получаем <(J) t, а 1 , a z )=:= <(J) t,
Ь 1 , Ь 2 ). Снова из модельной полноты Th(K",) получаем
< t ,al' а 2 ) == ( t , b 1 , Ь 2 ), следовательно, имеет
место sx ==. о
В дальнейшем будем предполаrать, что сшнатура 2:
содержит I{ОlIстанты Ct, С 2 11 предложение '1 C 1  С 2 ис
тинно В любоЙ K+-СlIстеме. Такое предположение для дo
казательства теоремы 15 можно сделать в силу леммы 3.
Torдa для любой К+системы определена К+система
sx (125), носитель которой состоит I1З значений в sx HOH
стантных термов. Из леммы 1 а) следует, что SX(125)
 (125) для любых К+систем sx и. Множество Х s; А
назовем атомно минимальным в Ксистеме SX, если !ХI >
> 1 и для .любой атомарной ФОРМУJlЫ Ф(у, х), Jlюбоrо
а Е А мНожество Х n Ф (, а) пусто, одноэлементно или
равно Х.

!i 29. RАТЕ1'ОРИЧНОСТЬ
201
л е м:м а 4. Существует такая ФиЛЬТРУlOщаяся фор
:му.1а Ф*(V,), что для любой К+систелtы  МliOжество
ф* () атом/-/,о лtU/-/'и.taль/-/'о в .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть \В Е К+. По лемме 1 б)
К+ система \ВО == \В (!О) Rонечна. Рассмотрим таRУЮ
RОНЪЮНRЦИЮ Ф*(Vl) атомарных формул, что IФ*(\В о ) 1>
> 1 и для любой атомарной формулы Ф(v 1 ) множество
ф* (\во) n ф (\во) пусто, одноэле:ментно или равно Ф* (\В,,).
Пусть Ф(у, х)  атомарная формула. ТаН нан: любой эле
мент Ь Е ВО является значением в \ВО ROHcTaHTHoro Tep
:ма, то множество Ф* (\Во) ПФ (\Во, о) пусто, одноэлементно
ИЛII равно Ф* (\во) для любоrо v Е Во. В силу леммы 2 б)
не существует ТaIШХ 1i, О Е Во, ЧТО Ф* (\во) s;;; Ф (\30, о) и
ф* (\30) n Ф (\30' а) одноэлементно. ТаRИМ образом, в \30 ис
ТIIННО одно IIЗ следующих Rвазитождеств:
а) (Ф*(VI)ЛФ(V 1 , Х)Л Ф *(V 2 )Л Ф (V 2 , X))---)O-VIV2;
б) (Ф* (V 1 ) Л ф (V 1 , х) Л Ф* (и 2 ») ---)о- Ф (и 2 ,_ х).
По лемме 1 а) одно из этих Rвазитождеств истинно в лю
бой К+системе . Так нан Ф* ();2 Ф* ((0» и
(g)\3o, то IФ*(}I >1. Следовательно, Ф*(l атом но
минимально в . О
Пусть  Е К+. Множество Х s;;; Ф* () назовем бази
сп;>,! для , если выполнлются следующие условия:
1) (X)==;
2) если а 1 , ..., а n  попарно различные элементы Х и
Q! 1= Ф(а 1 , ..., а n ) для некоторой атомарной формулы
Ф(v" ..., и n ), то В любой К+системе истинно Rвазитож
Д8СТВО (Ф*(V j ) Л '" л Ф* (un»---)о-ф(V 1 , ...,иn).
Л е м 1\1 а 5. а) Если Ф (у, х)  фильтрующаяся фор
.мула и Ф (, а) == {ь} для K+cиCTe.мы  и а Е А, то
t'1! (а) == ь для иекоторосо тер:м t (х).
б) Каждая К+сиcrелta  uщеет базис.
ДОRазательство. а) пустьо==(а). Если а) не
выполняется, что предложение ЗуФ (у, а) в к.",системе
' ложно; а в (O  : истинно. Это противоречпт
мо:\t'льной полноте Th (КОО).
б) Пусть Х s;;; Ф* ()  максимаЛЬное MHo7ffiecTBo, YДOB
леТВОРЯlOщее условию 2). В силу леммы 2,а) достаточно
наказать, что (X) содержит Ф*(). ПреJ4положим, что
существует а о Е Ф* () \А (Х). Пусть  I=r' Ф (а о , а 1, ...
..., а n ) для атомарной Ф (и о , и 1 , ..., и,,) Щ попарно раз
личных aj, ..., а" Е Х. В силу а) и атоМI:ЦОЙ :ШIнимаJIЬ

202
1'Л. 5, ТЕОРИЯ МОДЕЛЕй
ности ф* (Щ) имеем ф* (Щ) s;; ф (щ, а 1 , ..., а n ). Тан как
ф*((.е;»)*.е;, то  1= Ф*(tо)!\ Ф(tо, a 1 , ..., ан) ДЛЯ He
ROToporo ROHcTaHTHoro терма t o . Тан нан Х удовлетворяет
условию 2) и Ф* (to) Е ТЬ (К+) (лемма 1 а»), то множе
ство ф* (f8) !\ Ф (f8, b 1 , ..., Ь n ) не пусто для любой K+
системы f8 и любых Ь 1 , ..., Ь n Е ф* (f8). Поэтому в силу
31eMMbl 2 б) из I ф (, аl, ..., а n ) n ф* () I > 1 и атомной
минимальности Ф* (f8) получаем пстинность Ф (Ь о , Ь 1 , ...
..., Ь n ) в любой К+системе f8 для любых Ь о , Ь i , ...
. .., Ь n Е Ф* (f8). Следовательно, Х U {а о } УДОВ!lетворяет
условию 2), что противоречит маRсимальностп Х. О
Д о R а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 15. Пусть щ, f8 
две К+системы одной мощности х и Х, У  их базисы.
Из определения базиса следует, что любое разнозначное
отображение f: Х  У продолжается единственным обра
зом до изоморфизма  на f8 (j (Х». Поэтому в силу свой
ства 1) базиса достаточно заметить, что IXI == IYI. Если
х  Ю, то из леммы 1 б) получаем \Х\ == \ У\ == х. Если
х < ю и IXI  I YI, то  изоморфна подсистеме f8 1 s;;; f8.
Тан нан IB 1 1 == IA 1== 'ВI, то f8 i == f8. о
Упражнення
1. Показать, что теория ТО плотных линейных порядков без
первоrо и последнеrо элемента не катеrорична ни в какой беско-
нечной несчетной МОЩllОСТИ. (У к а э а JI n е, Пусть   модель ТО
lIlОЩНОСТИ Х > (() и o  счетная модель ТО, для которой Ао n А ==
== .е;; раССIllОТрИ[ ыодель I с носителем А 2 И отношениеr
(а, Ь) Чс, а)"'? (а < с пли Са ==' с и Ь  а)) и модель Ш 2 с
НОСllтелеr А U Ао и отношением
а Ш2 Ь # ((а Е А и Ь Е Ай) или (а, Ь Е А и а  Ь) или
(а, Ь Е Ао и а  Ш о Ь) );
тоrда Ш r И Ш 2 неИ301ll0рфНЫ.)
2. Показать, что мноrообразие булевых алrебр катеrорично во
всех конечных lIlОЩНОСТЯХ и некатеrорично во всех бесконечных.
3. Доказать, что мноrообразие М с аксиоraми (кванторы все.
общности опущены)
1) /(gl (х), g2(X» ::::: х,
2) НХ, У) ::::: j(gl (х), g2(Y»),
3) gr(f(gr(X), gl(Y))) ::::: gl(x),
4) g2(f(gl(X), gl(Y») ::::: gl(Y),
5) g;(gk(X»  gk(X), (, k Е {1, 2},
1\Rтеrорично во всех мощностих. (У к а 3 R Н И е. ПОКRзать, ЧТi>
1)( ' ( ш ) 2 .
"i Ч и) для любой  Е М разнозиачно отображает g 1 [А] на А

i 29, НАТЕ1'ОРичность
203
 \8
п любое разнозначное отображение h: gl [А) -+ gl [В) для
'l!, \8 Е М продолжается до изоморфизма системы 'l! на \8(h(g[A))),
переводящеrо а в 1\8 (hg  (а), hg (а) ).)
4. Построить при мер, показывающий, что в теореме 15 нельзя
утверждать, что К Iштеrорично также в мощности 1.
5. Обобщить предложение 2 на теории, ъ:атеrорнчные в беско-
нечной моности х, и получить тем самым теорему Линдстрё,м:а
в nOJIНOM ооъеме. (У к а з а н и е, Применить метод предложения 2
с заменой (() на х и показать, что если формула Ф не сохраняется
при переходе к подмоделям теории Т, то Ф не сохраняется при
переходе к подмоделям мощности х.) ,

rлава 6
ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
s 30. rенцеllовская спстеl\l3 G
Изученные рапее исчисления представ.1ЯЮТ собой ес-
тественные формализации правил JIоrики., Однако ДJШ
более l'лубокоrо изучения caMoro понятия доп:азательства
более удобными янляются друrие формы исчислениЙ.
В настояще1 параrрафе мы изу'lП;vr одно из ТaIШХ исчис
Jlений G, близкое к ИСЧИСЛl:НIIЮ, преДJlожепному rCH
ценом.
АлфаJ3ИТ исчисления G отличается от алфавита ис
ЧИСJlf:)НИЯ пре,'\ИI\аТОIJ, пзученноrо в [лаве 4, отсутствием
знаков пмпюшации и: равенства. Понятпе фОрJ1tулы иc
числспил G отличается от соотвстствующс[о ПОПЯТШI
[лавы 4: 1) отсутствием праВШI образования формул
вида (Ф --+ ч.r), t l ;:::; t 2 п 2) выпJшоlIIIeмM условил l{eCJite
шаНliости пepe;.teHHblX, ноторое озпачает отсутствие пере
меННЫХ, пмеющих haI\ свободные, тю, п связанные вхож-
дения в формулу. СепGerщии G  это вырашепшт вида
r r е, rAe r Il е  I\онечные последовате,ПЬПОСТll формул
IlСЧI1СJIОНШI G танле, что для r r е БЬШОJIНепо УСJIовпе
неСlllешанностп переIенных, uпределяемое для сеI\венциiI
тап же, нан Il для формул. СОI'JlашеНlIН о сокращеНН01!
заППСII ФОР1УЛ II некоторые обозначения, пспользуемые
НИЖе, имеют тот же смысл, что II В rJlaBe 4.
О II Р е Д е JI е н п е. А1\;сиО1Ш.Щ иСl(uсленuя G являются
секвеIЩПИ шца Ф, r r е, Ф, [де Ф  атомарпая Форму
ла, l' 11 е  последовательности (быть может, пустые)
ато:м'арных qюрму.JI.
Оп р е Д е ,l е н II е. Правилами вывода исчисления G
будут следующие:
r r е, Ф; r r е. Ч'
1. l' r е, ф /1. 'I'
3 r r е, Ф, Ч'
. r r е, ф V 'У'
Ф, Т' r (7
5. r 1--- в, 'l Ф '.
2 Ф, Ч', r r е
. Ф /1. Ч', l' r е'
4 Ф, l' r е; Ч', r r е
. ф V Ч', r r е ;
l'e, ф
G. 'l Ф, rl--- е 1

!j 30. 1'ЕIЩЕНОВСRАЯ СИСТЕМА G
2)5
l' f-- е, (Ф)f
7. r r 6, 3хФ t
8 [Ф], r  6
. 3хФ, l' r е '
входит свободно
па r и е,
(Ф)f, r f-- е
10. V'хФ, r r в ',
!'Де у не
в формулы
9 r f-- е, [ФJ
. r  е, V'хФ' 1'Ae у
не входит свободно в фор
мулы из r и EJ J
11.   : : :  , 12. : : :    "
l'  е, Ф, Ф Ф, Ф, r  е
13. l' r в, Ф 1 14. Ф, l' r е .
ПраВИJlа 110 называются осповпЫ,1Ш, а правила
Н 14  струптурпыми. Понятие ДОI\,азательства (линеЙ
Horo и в виде дерева) определяется так же, наН длл пс
чпсления преДlшатов.
Отметим ряд особенностеЙ этоrо исчисленил. Вопер
вых, это БОJlьшая симметричность правых и левых частеii
СeI\венцпи r f---- е (называемых аап.лючен,ие.ilt ИJIИ супце.
DeIiro.ilt (8) и посылпой пли ан,rщедсн,rО.ilt (r) соответ.
ственно). Во-вторых, Rаждое основное (в отличие от
струнтурных) пранпло ПОД чертой содержит более слож
lIУЮ ФОРМУЛУ, получасмуюпз фОРМУJI ПОСЫJШИ (эту фор.
мулу будем называть 2.лавн,ой фОр.iltулой правида) . Третья
особенность  своЙство подформульности  требует . вве.
;\енил новых IlОНЯТПЙ.
На вхождениях 1 секвенций в доказательство D в
впде дерева опредешш операцию 1 следующпм образом:
если 1  ЗЮ,ЛЮЧИТЫIьное вхождение в D, то 1 (1)  l;
если 1 содержится в переходе Р над чертой, то 1 (1) есть
вхождение сеI\венции из перехода Р Ш)Д чертой.. Н а
вхождеюшх J ФОРМУЛ в дерево D определим операЦПIО S
следующим образом: если J содержится во вхожденнп 1
неRОТОРОЙ сеIШClЩШI, то S и) входит в СeIшенциIO 1 (1) ;
если J входит в последовательность r плп е (или д) в
секвенции 1, то S(J) равно тому же вхождению форму-
лы в r илиEJ (пли д),. но уже в секвенции 1 (1); для ос-
новных правил, если J не входит в r и е, то S (l) есть
rлавная формула перехода; для структурных правил,
если J не входит в r, е или д, то в обозначениях пра-
ВИJI 1114 имеем S(Ф)Ф, S(Ч')===Ч'. Если для неlЮ-
Toporo IIОЛОЖlIтельно1'О п И1lfееJ\! 1" (11), === 12' то rоворим,

206
rл. 6. ТЕОРИЯ ДОRАЗАТЕЛЪСТВ
что вхождепие 11 в дереве D расположепо выше вхожде
пия 12. (Здесь через [n (/) обозначается значение [...
...l (/), rде 1 повторено п раз.) Если для neROToporo по
ложительноrо п имеем Sn(/ 1 )== 12, то rоворим, что 11 яв
ляется предпом 12' а 12 является потомпом 11.
Если Ф  формула исчисления G, x' переменная,
t  терм, то будем 1'оворить, что терм t свободеп для пe
ремеппой х в формуле Ф, если Ф не имеет свободных
вхождений переменной х или если ни одна переменная
терма t не имеет связанных вхождений в Ф.
Расширим понятие подформулы, считая обобщеппЫJ.tи
прдформулами формул 3хФ, V хФ и формулы (Ф),
1'де терм t свободен для х в Ф.
З а м е ч а н и е. Если 'f есть обобщенная подформула
фОрfУЛЫ Ф и переменная v имеет связанное вхождение
в 'у, то она имеет связанное вхождение и в Ф.
Справе)l;ЛИВО следующее свойство подформульности.
Л е м м а 1. Отпошепие предоп  потомоп удовлетво
ряет следующим условия},!: если вхождение сепвепции СО
паходится выше вхождепия ce/i,eenlfUU С 1 , '1'0 для люб020
вхождепия формулы в СО существует едипствеппый ее
пOTOlltO в С 1 ; для люб020 вхождепия формулы в С ! суще-
ствует по прайпей мере одип е20 предоп в Со. Любой
предоп является обобщеппой подфОРJ!tулой потомпа.
Справедливость леммы лепю устанавливается индук-
цией. ,О
Хотя в определении понятий формулы и сеRвенции G
предпола1'ал?сь условие несмешанности переменных, это
ro не предпола1'ается в определении доказательства
(в виде дерева). Тем не менее можно даже требовать
больше1'О. Будем 1'оворить, что доказательство (в виде
дерева) D обладает свойством чистоты перемеппых, если
для дерева D выполнено условие несмешанности перемен-
ных и для любо1'О перехода в D по правилам 8 илlI 9
соответствующая переменная у встречается толы{о в cы{
венциях, находящихся выше заключительной секвенции
ЭТО1'о перехода.
Л е м м а 2. Для любой дО/i,азуемой в G ce/i,eeпlfUU су-
ществует дО/i,азательство рТОЙ ce/i,eeпlfUU со свойством
чистоты nеремеппых.
Пусть D  доказательство секвенции С в G. СRажем,
что переменная у исчезает в переходе Р дерева D, если
у имеет по l{райнеЙ мере одно свободное вхождение
Il секвенцию над чертой и не имеет свободных вхождений

!i 30, rЕНЦЕНОВСRАЯ СИСТЕМА G
207
в сеRвенцию под чертой в этом переходе. Заметим, что
переменная может исчезать лишь в переходах, COOTBeT
ствующих одному из правил 710. СRажем, что перемен
ная У исчезает правилыю, если У исчезает в ненотором
переходе и имеет вхождения в D ТОЛЬRО В сеRвенции, Ha
ходящиеся выше нижней сенвенции ЭТО1'о пере хода. Заме
тпм, что если переменная У исчезает правильно, то она
имеет ТОЛЬRО свободные вхождения в дереве D . Если все
исчезающие переменные в D исчезают правильно, то D
имеет свойство чистоты переменных. Если D имеет He
правильно исчезающие l1еременные, то найдем переход Р,
в нотором неноторая переменнаяу исчезает неl1равильно;
пусть D'  поддерево D, соответствующее нижней сен-
венции этоrо перехода, т. е. дерево, состоящее из этой
секвенции и сеRвенций и переходов, находящихся выше
нее в П. Выберем переменную z, отличную от всех пере
менных в п, и заменим в D поддерево п' на дерево
[D'Ji, ноторое получается из п' заменой Rаждо1'О вхож
дения формулы чr на ['V]i. Ле1'КО проверить, что по
лучившееся дерево п* остается доказательством и это
ДОRазательство таково, что переменная z исчезает в п*
правильно. Ясно, что за l{онечное число таRИХ Iiреобра
З0ваний (п на п*) мы получим ДОRазательство, о В KOTO
ром все исчезновения переменных правильные. О
Следующая лемма позволит ввес'fИ в исчисление G по
лезное допустимое правило (правило утончения).
Л е м м а 3. Пусть r 1---- в  допазуемая се-пвеliция и
Ф  формула тапая, что Ф, r 1---- в является се/i,веliцией G,
тосда сепвеliции Ф, r 1---- в и r 1---- в, Ф дО/i,азуе.iltы в G.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ха, ..., Х N  все свобод
ные переменные формулы Ф. Пусть D  ДОRазательство
секвенции r 1---- в со своЙством чистоты переменных. Кан
видно из ДОRазательства леммы 2, можно предполаrать,
что все исчезающие переменные в D отличны от Ха, ..., ХN.
, ДОRажем лемму ИНДУRцией по построению форму
лы Ф. Если Ф атомарна, а (п, Ф)  дерево, полученное
заменой каждоrо вхождения сеRвенции  1---- А на вхожде
ния секвенции , Ф 1---- А, то (при сформулированных BЫ
ше предположениях относительно О) дерево (п, Ф) есть
ДОRазательство сеRвенции r, Ф f--- в. Применяя CTPYKTYP
ное правило перестаНОВRИ 12 неСI\ОЛЬRО раз, получим
ДОRазательство сеRвенции Ф, r 1---- в. Анало1'ИЧНО определя-
ется дерево (Ф, п) (r А заменяется на  r Ф, А), RO

208
rл, 6, ТЕОРИЯ ДОRАЗАТЕЛЬСТВ
торое есть ДОRазательство секвенции r f---- Ф, Е>; использо-
ВЗIше правила 11 завершает ДОRаза тельство секвенции
rf----E>, Ф.
Пусть Ф == Фа V Ф j . По ИНДУIЩИИ из ДОRазуе:мости
r f---- Е> следует доказуемость секвенций Фа, r f---- Е>; Ф j , r r
f---- Е>; r f---- Е>, Фа; r f---- Е>, Фа, Ф 1 , тоrда RвазивывоДЫ
Фо,r f---- 6; Ф 1 , r f---- 6 l' 1--- е, Фа' Ф 1
Фа V Ф 1 , r r е ' l' 1--- 6, Фа V Ф 1
ПОЕазывают доказуемость сеlшенций Ф О V Ф" r f---- Е> и
r f---- Е>, Фа V Ф j . АНRЛОrичво проверяетсн утверждение
ДJIЯ Ф ==" Ф О А Фl И Ф == 1 Ф О , ДЛЯ формул вида 3хФ,
V хФ выбираем Переменную у, не имеющую вхождений
в 3хФ, r, е, n применяем индукционное предположе
нне R формуле [Ф]. Тоrда, например, из доказуемости.
r f---- Е> следует ДОRRзуеlllОСТЬ (Ф), r 1---- Е>, И Rвазивывод
IФ], fl--- 8
3хФ, r r 8
показывает, что 3хФ 1---- Е> тоже доказуема. О
В заRЛЮчение отметим ряд простых свойств, I{OTOPbl
ми В дальнеЙшем будем пользоваться без ЯВНО1'о На них
указания.
1. Если
r 1--- 6; Л f-- t1
. [' f-- 8'
щuй адиаму из правил
Ф тапай, что r f---- е, Ф
циями G,
f 1--- Ф, 6; Л 1--- Ф, t1
Т' f-- Ф, 6'
суть nерехады, соатветствующие Taltty Же правилу
вывада.
. 2. Если (,  ,  nерехад, саответствующий однаму
llЗ правил вывада, Ф  фармула такая, что. r, Ф f---- Е> 
сеnвеuция G и nepeJteunble х и у nе свабадnы в Ф в СЛУ-
чае, .".о;;да этат перехад саответствует правилу 8 или 9, та
r f-- Ф, 6 Т, Ф 1--- 6
r' f---- Ф, 6' , Т', Ф f--- 6'
есть перехад, соответствую.
вывада, то для любай фОрJtулы
и А 1--- Ф,  являются cenвeи
Т, Ф 1--- 6; Л, Ф f--- t1
[', Ф f---- 8'
 перехады, саатветствующие тому же правиду вывада.
r 1--- 6 (Л 1--- М v
3. Если [' 1--- 6'  перехад, саатветствующии
адllОЛСУ из nравид вывада, и Ф вхадит в r' IE>'), та

!I 31. ОБРАТИМОСТЬ ПРАВПЛ
209
переход
r*e (Л* 1--- )
1"* 1--- в'
( r 1--- 8* (Л 1---  *) )
r' r е'* 1
"де r*, Л* (6*, *) получеnы вычеркuваnuем из r, л
(е, ) предпов фипси pOBaH1l0cO вхожде1iия Ф в r' '<8'),
а r'* (8'*) получеnо uз r' (8') вычерпuвапие,lrt ЭТОсО
6.Уождеllия Ф, является либо переходом, соответствую
щим то;му же правилу вывода, либо тривиальnым пepexo
дОА! (Т. е. секвенции над чертой совпадают с нижней
сеnве1lцией ЭТОсО перехода ).
Упражнения
1. ПOI;азать, что для любоЙ формулы Ф исчисления предика
тов ИП:!: существует эквивалентная ей формула Ч', удовлетворлю
щая условию несмешанпости переменных.
2. Про верить, что любая формула ИП:!:, находящаяся в пре
неRСНОЙ нормальноЙ форме, удовлетворяет условию несмешанности
переменных.
3. РаСIIШрЮI язьш исчисления G, допусная формулы и сек-
венции и без условия несмешанности переменных, Установить, что
тождественно истинная сенвепция Р (:с) 1--- 3уУхР (у) не доказуе-
ма в получившемся исчислении G*.
 31, ОбраТlIМОСТЬ правил
Большинство праВlIЛ вывода исчпсления G обладают
еще ОДНИМ прпмечательным своЙством, которое можно
использовать при поиске вывода в исчислении. Свойство
это  обраТIIМОСТЬ, nыраж:ающаяся (несколько оrрублеII
по) в том, что секвенция, стоящая под чертой в правиле,
доказуема тоrда и только тоrда, КО1'да доказуемы ceHBeH
ции (сеI\венция), стоящие над чертой.
Сформулируем и докажем это свойство сначала для
пропозицпональных правпл.
Пр е Д л о ж: е н п е 1. 1) Если докаауеАЕа секвенция
r r 8, Ф 1\ '1', то OOKaayeJflbl и секвенции r f---- 8, Ф и r r
r е, чr; 2) если докаауеJfЩ секвенция Ф 1\ '0/, r r е, то
DunaayeNa и секвenцu.я Ф, чr, r f---- е; 3) если OOKaaye,Jta
сn;венция r f---- е, Ф v чr, то докаауе;ма и сепвеНl{ИЯ r r е,
Ф, чr; 4) если OOKaayeJIla секвенция Ф V lV. r f---- е, то
до;;азуе,J1Ы и секвеЮ{lШ Ф, r r е и чr, r f---- е; 5) если дo
казуеJ.!а секвенция r f---- е, I Ф, то докаауе,ма и секвеnция
Ф, . r f---- е; 6) еСли допазуеJf1а секвеНl{UЯ I Ф, r f---- е, то
доказуема и секвенция r r е, Ф.
14 Ю. Л. Ершов, Е. А. ПаЛЮТl!Н

2tO
rл. 6. ТЕОРИЯ ДОRАЗАТЕЛЬСТВ
д о R а з а т е 11 ь с Т в о. Проверка всех утверждений
предложения утомительна и однообразна. Поэтому ДOHa
жем типичные случаи, например, утверждения 1) и 6).
ПроверRУ будем вести индукцией по высоте ДОRазатель
ства (см. таRже ДОRазательство леммы 9.2).
Утверждение 1) будем ДОRазывать в чуть более об
щей форме и только для формулы Ф: если секвенция
r r 8, Ф А Ч', А доказуема, то ДОRазуема и секвенция
r r 8, Ф, А, причем существует доказательство с MeHЬ
шим числом переходов, чем в ДОRазательстве исходной.
Пусть доказательство D секвенции r r 8, ФА Ч'} А
п.п
имеет вид .
Если Ф А чr  1'лавная формула последнеrо переход а,
то Do  ДОRазательство секвенции r r 8, Ф, А (в этом
случае Л  пустая последовательность формул) и Do Иl\1е
ет меньше переходов, чем D. .
Если Ф!\ чr  не rлавная формула последнеrо пере
хода, то заключительные секвенции СО и С ! ДОRазательств
Do и D j имеют вид ro r 8 0 ,Ф А Ч', Ао и r 1 r 81, Ф 1\ Ч',
А\ соответственно, rде выделенные вхождения Ф А Ч' R
СО И С !  это предт,и рассматриваемоrо вхождения фор
мулы Ф А Ч' в СeIшенцию С. По индукционному предпо
ложению существуют доказательства D и D ceKBeH
ций ro r 80, Ф, Ао и r\ r 8\, Ф, А ! соответственно. ТО1'да
дерево сеRвенций
, ,
Do; D 1
r  в, Ф, л
будет доказательством. (Так как Ф!\ Ч' не была rлав
ной формулой перехода
rot-- 80' ФА Ч', Ао; r 1 t-- 81' ФА Ч', А 1
rl--- 8, ФА Ч', А
то переход
rot-- 80' Ф, Ао; r1t-- 81' Ф, А 1
r r 8, Ф, А
осуществляется по тому же правилу, что и первый.)'
Пусть ДОRаэательство сеRвенции С имеет вид
по
с'
Если последний переход осуществляется не по пра
вилу 13, примененному R Ф 1\ Ч'! а С 0-== r о  80' Ф А Ч' 1

!! 31. ОВРАТИМОСТЬ ПРАВИЛ
211
Л О  занлючительная сенвенция доназательства Do, то ПО
цндукционному предположению существует ДО1\азатель-
СТВо D сенвенции ro 1--- во, Ф, Л О и дерево
D'
о
п... е, Ф, л
есть доназательство.
Пусть последниЙ переход в дереве D есть
r f--- е, Ф 1\ '1', Ф 1\ '1'
rf---EJ,ФI\'I'
По индунционному предположению существует доназа-
тельство D сенвенции r  в, Ф 1\ '1', Ф, причем число
пере ходов доназательства D меньше числа переходов Do-
Снова по индунционному предположению существует до-
:nазательство D сеl\Венции r 1--- в, Ф, Ф. Тоrда
D"
о
n----EJ,Ф
есть нужное доназательство.
Донажем теперь утверждение 6)". Пусть D  доназа-
тельство се1\венции СО  I Ф, r r в; по лемме 2 преды
дущеrо параrрафа можно считать, что доназательство D об...
ладает своЙством чистоты переменных. Перейдем от де.
рева D н дереву D', сделав следующие преобразования:
заменяем l\аждое вхождение сенвенции С == Л 1--- ,1 на
вхождение се1\венцпи С'  Л' 1--- Ф, ,1', rде Л' и ,1' полу
чаются из Л и ,1 вычер1\иванпем всех предков формулы
I Ф занлючитеJIьноrо вхождения секвенции Со, имеющих
вид Фили I Ф. (3 а м е ч а н и е. Леrно с помощью ин-
дунции проверить, что предон формулы I Ф вида I Ф
может быть тольно в левой части сенвенции, а предок
вида Ф  ТОЛЫ\О В правой части.) Проверим, что D' 
нвазивывод сенвеНЦIlИ r 1--- Ф, в. Это, очевидно, достаточно
для доназуемости сенвенции r 1--- в, Ф. Если С == Л 1---,1 
ансиома, то Л'  Л; если последняя формула из  есть
предон I Ф вида Ф, то Л' 1--- Ф, ,1' получается из ансиомы
Л 1---,1 применением тольно правила перестановки; если
последпяя формула из ,1 пе есть предон I Ф вида Ф, то
Л' 1--- ,1'  аКСНОми и Л' f Ф, \' liолучается из нее пра-
ВИЛОМ утончения (лемма 3  30) и перестановнами.
Посмотрим теперь на переходы дерева D'. Леrно про-
веряется, что если в переходе дерева D НИ ОДИН предок
14.

212
rп. 6, ТЕОРИЯ ДОRА3АТЕЛЬСТВ
формулы ...., Ф вида Фили ...., Ф пе является rлавной фор.
мулоЙ, то соответствующиЙ переход в D' будет осущест"
вляться по тому же праВИ:JIУ вывода. Рассмотрим теперь
случаи, коrда предок ...., Ф вцда Фили ...., Ф является
rлавноЙ формулой перехода. Torдa ЭТОт переход может
быть только по правилам 1, 3, 5, 6, 7, 9 или ПО СТРУК.
турным правилам 1114.
Разбор всех случаев вряд ли поучителен. Рассмотрим
случаи применеНIIЯ праЮfJI 1, 5, 6, 9, 13.
Пусть переход в D имеет вид
l\ f--- Л, '1'; l\ f--- Л, х
д f--- Л, '1" Л Х
и Ф == чr /\ х есть предок...., Ф, тоrда переход в D' будет
д' f--- Ф, Л', '1'; /).' f---- Ф, Л', Х
Nf--Ф, Л'
и нижняя секвенция может быть получена пз верхних
правилами введения НОНЪЮНlщии ( 1) , перестаНОВЮI
(11) и сонращения (13).
Пусть переход в D имеет вид
'I',I1f----Л
l\ f---- Л, ...., ч'
п Ф == "1 'у есть предон"'" Ф, Torдa переход в D' будет
'1', 11' f--- Ф, Л'
11' f---- Ф, л' '
но тан нан Ф == ...., чr, ТО нижняя секвенцпя получается иа
верхней ПРlшен()нием правил введения отрицания (5) ,
перестановки (11) и сонращения (13).
Пусть переход в D имеет вид
!1 f----- Л, Ф
I Ф, l\ f-- Л 1
а Фи"'" Ф  предки ФОРМУЛЫ ...., Ф (пз sанлючительноЙ
сенвенции), тоrда соответствующиЙ переход в D' будет
Д'f--- Ф, Л'
д' f-- Ф, Л'l
т. е. тривиален.
Пусть переход в D имеет вид
!1 r Л, ['I']
д r .1\, Ух'l'

s 31, ОБРАТИМОСТЬ ПРАВИЛ
213
ПФ==, Ухчr  предон --, Ф, тоrда' СООТiетствующий пере-
ХОД в D' будет
/::;' f-- Ф, А', IЧ'J
/::;' f-- Ф, А'
п нижняя секвенция получается из верхней примепением
правил 9 (:по примененне законно, тан нан ,1' и А' яв-
JIЯlOТСЯ частямп ,1 И Л И У отлично от всех свободных
переменных формулы Ф по свопству чистоты перемен-
ных в D), 11 и 13.
Пусть, наконец, переход !3 D таков:
дf----д, Ф, Ф
i1 f-- А; Ф
п Ф  пре;:з,он --, Ф, ТОI'Да в D' соотвеТСТВУЮЩИlr переход
д' f-- Ф, N
д' f-- Ф, А'
будет тривпальным. О
Обратимся теперь к нванторньш правилам.
Пр е Д л о ж е н и е 2. 1) Если в G доnазуе.ма cenвeH
ЦИЯ, 3:1;Ф, l' f в, то длл любо<:о терМа t Tanozo, ЧТо
(Ф)f, r r---8  сеN6пщил с, эта сеnвпщил доnазуе.ма в с;
2) если дтiазуема се/.вепцил r  е, v хФ, то длл лю60i!О
теР.1Ш t такozо, что r  е, (Ф)  сеr.веlщил с, эта сеn-
6efЩUЛ доr.азуеJltа в с.
ДOI,азатеJIьства этих утвержденпп аналоrичны, По
8ТОМУ llрпведем толыш ДOI\азательство утверждения 2).
Пусть Уа, .. " Ylt  все свободные переменные терма t
и пусть D  доназательство сенвенции r  е, v хФ, об
ШJ.дающее свойством ЧIIСТОТЫ псременных и таlюе, что
любая неременная, исчезающая в' этом ДOI\азательстве,
отлична от переменных Уа, ..., Yk. Пусть [Ф]; , ...
о
. . " [Ф]s  все lIреДIШ ВИДа [Ф] вхождения формулы
V хФ в заЮIlочитеJIЬНУЮ сенвенцию. Построим дерево
сеlшенцип D' СJlедующим образом. Каждое вхождепне
сенвенции С в D заменяем на вхождение секвепции С',
полученноЙ из С заменоЙ всех преДIЮВ формулы V хФ
вида V хФ на (Ф)f и подстановной терма t вместо всех
вхождений переменных Za, ..., Z8' Леrно проверяется, что
все начальные сенвенции дерева D' являются aI{СИОМaJШI,
а все пероходы D' либо совершаются по тем ;ке lIрави
лам, что и в СООТJJетс.твующеl\I переходе D, Шlбо ЯВJlяюrся

214
rл. 6. ТЕОРИЯ ДОRАЗАТЕЛЪСТВ
тривиальными переходами. Последнее случается, Коrда в
D соответствующий переход есть
t! f--- А, [ФI;.
t
t! f--- А, V хФ
И V хФ  предок формулы V хФ занлючителъной ceHBeH
ции. Таким образом, D' есть нвазивывод сенвенции: r}--- 8,
(Ф)7. о
с л е Д с т в и е. Пусть nереlrtеппая у пе шtеет вхожде
пий пи в одпу из Формуд сепвепции r 1--- 8, V хФ; эта
сепвепция (сепвепция 3хФ, r 1--- Е» допазуема тоада и
TOДЬnO тozда, пozда допазуеN,а сепвепция r 1--- Е>, [Ф]
(секвеfщия [Ф], l  е). о
Для правил 7 и 10 хорошей формулировни свойства
обратимости нет (см. упражнение 1), хотя оно справед
лив о в ненотором «распределенном по всему доказателъ
ству)} виде (ср. доназательство теоремы об устранении
сечения в следующем параrрафе).
Упражнения
1. Доказать, что не существует термов to, .." t таких, что
. секвенции 3хР (х) f--- (P)f, ..., (Р)7 доказуема, хоти секвенция
о h
3хР (х) f--- 3хР (х) доказуема.
2. Доказать в G секвенцию 3zP (z) f--- 3уУхР (у).
3. ПОl\азать, что в исчислении G* (см. упражнение 3  30)
предложение 2 несправедливо, СУ к а з а н и е, Воспользоваться
упражнением 2'И упражнением 3 из  30,)
* 32. Сравнение исчислений ИП]: u G
в этом параrрафе донажем, что секвенция исчисления
ИП!:, ноторая является и сенвенцией исчисления G (т. е.
пе содержит знанов И1\lплинации ........ и равенства!::! и YДOB
летворяет условию несмешанности переменных), доназуе
ма в ИП:t тоrда и тольно тоrда, ноrда она ДOl\азуема в G.
В основе ДОRазательства этоrо утверЖдения лежит
следующая важная теорема об исчислении G.
Т е о р е 1\1 а 1 (об устранении сечения). Пусть r 1--- Е>, Ф
u Ф, Л 1---   допазуе:r.tые сепвепции исчисдепuя G. Есди
r, л 1--- д, Е>  се1>вепция исчисдепия G, то опа дО1>аауема.
Д о н а з а т е JI ь с Т в о. Донажем' теорему сначала для
атомарноЙ формулы Ф индунцией по числу существенных
переходов в доказательстве секвенции r 1--- Е>, Ф, понимая

!I 32, СРАВНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИй
215
под существенными переходами ,те переходы, которые
осуществляются по правилам, отличным от правил пере
станов ни 11 И 12. Если r 1--- е, Ф имеет доназательство
без существенных переходов, то r 1--- е, Ф отличается от
аксиом тольно перестановной формул. Рассмотрим два
ВОЗ?vlОжных случая.
1. Ф Е r; тоrда сенвенция r, л I---. .е может быть
получена из (доназуемоЙ) сенвенции Ф, Л 1---  примене
нием производноrо правила утончения (лемма 3  30)
и правил перестановки.
2. Существует формула чr такая, что чr Е r и чr Е е;
тоrда сенвенция r 1--- е доназуема (перестановна ансиомы)
и секвенция r, л I---, е получается из нее утончениями
и перестановнами.
Предположим, что для секвенциЙ r 1--- е, Ф, имеющих
доназательство с менее чем п:> о существенными пере
ходами, теорема справедлива. Пусть D  доназательство
секвенции r 1--- е, Ф, имеющее n существенных переходов;
будем предполаrать, что доназательство D обладает свой
ством чистоты переменных. 
Рассмотрим самыЙ' нижниЙ существенный переход В
доказательстве D. Возможны следующие случаи:
1. Переход имеет вид
rot-- 8, Ф, 8; r1t-- 8, Ф, 8
r'l--- 8', Ф, 8"
Здесь r'  перестановка r; е', е"  пере станов на е;
указанные вхождения формулы Ф ЯВЛЯЮТСя преднами
вхождения Ф в заключительную сенвенцию r 1--- е, Ф.
Секвенции ro r e, e, Ф и r 1 r e, е;, Ф имеют ДOHa
зательство с числом существенных переходов <n (тан нан
они получаются перестановноЙ из сенвенций r о r e,
" , " )
Ф, е о и r 1  е 1 , Ф, е 1 . Поэтому доназуемысеквенции
r OJ А r 1 e, e и r l' А , e, e. Дерево секвенций
r о' А t-- д, 8, 8; r l' А t-- д, 8. 8
r', Af----- д, 8', 8"
r, А 1--- д, 8
(*)
является квазивыводом, так нан атомарная формула Ф не
является rлавной формулой перехода (*).
2. Переход имеет вид
r' r- 8'. Ф, Ф
1" 1--- 8', Ф .

'1
1
216
rЛ, 6, ТЕОРИЯ ДОRА3АТЕЛЬСТВ
Здесь r'  пере станов на r, 8'  перестановна 8, а YI\a
занные вхождения Ф являются преднам:и вхождения Ф в
занлючительную сенвенцию. Если D'  поддерево дерева
D, определенное вхождением: в D сенвенции r'l--- 8', Ф, Ф,
ТО пусть D" получается из D' вычерниванием: в каждой
сенвенции всех предков npaBoro вхождения формулы Ф
занлючительноЙ ,сенвенции r' 1--- 8', Ф, Ф. На вершинах
дерева D" будут сенвенции, отлпчающиеся от ансиом
только перестановной. Переходы будут либо тривиальны,
либо ПрОIIСХОДИТЬ в соответствии с теми же правилам и,
что и в D'. Простой перестройкой из D" можно получить
ДОIшзательство сенвенцпи r'l--- 8', Ф (а следовательно,
и доназательство сен:веНЦИIl r 1--- 8, Ф) с числом сущест
венных переходов, рапным числу существенных иереходов
в D'. Так нан число сущеетпенных пере ходов в D' MeHЬ
те чем в D, ТО по индукционному предположению ceHBeH
ция r, л I---, 8 доназуема.
3. Переход имеет вид
ro }--- 0, Ф, 0
r 1--- (:j', Ф, 0'"
Здесь r'  перестановн:а r; 8', 8"  перестановна 8;
УI\азанные вхождения Ф являются преднами Ф из занлю-
чительноЙ еенвенции дерева D и Ф не является rлавноЙ
формулоЙ этоrо перехода.
Сенвенция ro f--- e, e, Ф получается из ro f--- e,
"
Ф, 80 перестановноЙ, поэтому ЭТа секвенция имеет дo
назательство с числом существенных переходов п  1.
Тоrда по ИНДУНЦIIОННОМу преДПО.1Jожению секвенция ro,
, "
А 1--- , 80' 80 доказуема. Дерево сенвенций
, "
r о' Л\--- 11, О0' во
r', А\--- д, е', е"
r, А\--- д, е
есть квазивывоД.
lIтан, для еенвеНЦИlI r 1--- е, Ф е aToMapHoii формулой
Ф теорема установлена.
Продолжим доназательство теоремы, применяя ин
дунцию по построению формулы Ф, Предполаrая, что для
собственных (т. е. не равных Ф) обобщенных подфорыул
формулы Ф и любых r, Л, 8,  теорема справедлива,
установим ее справедливость и для Ф.

 32, СРАВНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЙ
217
Пусть Ф  Ч" А К; r 1--- е, Ф II Ф, Л f-= А  доназуеllше
сенвеНЦIIII, а r, Л 1--- е, Ф  сенвенция исчисления С. По
своЙству обратимости (предложенпе 31.1) доназуемы и
сенвенции r 1--- е, 'У; r 1--- в, К; 'У, К, Л 1--- А. Используя
индунционное предположение, получаем, что доназуемы
и сенвенции r, К, ЛI---А, в; К, r, ЛI---А, в; r, r, AI---A,
в, в и, нанонец, доназуема сенвенция r, А 1--- А, в.
Случаи Ф ==: 'I' V К, Ф ==: ..., Ч" разбираются аналоrично.
Пусть теперь Ф  'v хЧ"; r 1--- в, Ф rf Ф, А 1--- А  дока-
зуемые сенвенции, r, А 1--- А, в  сенвенция исчисления С.
Пусть D  доназательство сеивенции Ф, А 1--- А. Будем
предполаrать, что D обладает своЙством чистоты перемен-
нЫх и что любая переменная у, ноторая исчезает n D,
отлична от всех переменных формул списка r, е. YCTaHO
вим индунциеЙ по rлубине вхождения в дерево D, что
для любоrо вхождения Л' 1--- А' сенвенции в D сенвенцпя
А*, r 1--- в, А' доназуема, rде Л* получается из Л' вычер-
киванием всех преднов формулы Ф занлючительноЙ сен-
веНЦIIИ вида Ф.
Ясно, что для самых верхних вхождениЙ {Л' 1--- А' 
ансиома) соответствующая сеI\венцпя А', r 1--- в, А' дока-
зуеМа (получается ПРШIенеюшми правила утончеНIIЯ)'.
Рассмотрпм переход в D
fio  [\0; 111 \--- 111
л' \--- 11'
и преДПОЛОЖIIМ, что соответствующие верхним вхожде
ниям сенвеНЦШI A! r  в, Ао и Л! r  в, А 1 дона-
ауемы, тоrда
1I, r\--- о, 110; 1I, r\--- о, 111
1I*,I'\---0,11' ,
нан нетрудно ПрОЕерить, будет переходом по тому же
правилу вывода п, следовательно, нвазивыводом. Ан ало-
l'ИЧНО обстоит дело для ОДНОПОСЫJIOЧННХ переходов, за
иснлюченпем переходов впда
('!')f, 110 \--- 110
Ух'!', Ао \--- до 
rде ВХОЖ;J;ение Ф  'v хЧ" в нижнюю секзенцпю есть пре
док формулы Ф занлючительноЙ сенвенцип дерева D.
НхождеНИfIl\I в этот переход соответствуют секпеНЦIIИ
CY), A, r t--- 81 Ао И A, r  61 Ао. Предположим, "11'0

218
rл. 6. ТЕОРИЯ ДОRАЗАТЕЛЬСТВ
сенвенция ('f)f, Л, r 1--- в, d o доназуема. По условию
теоремы r 1--- в, V х'f  доназуемая СeI\Венция, тоrда по
предложению 31.2 будет доназуема1l сенвенция r 1--- в,
('1');. Так нан ('1'); является собственной обобщенноii
подформулой формулы Ф === Ух'l', то, применяя индун
ционное предположение о справедливости теоремы для
собственных обобщенных подформул формулы Ф К ДOKa
зуем:ым сенвенциям ('f)f, Л:, r f--- в, d o и r f--- в, ('f)f,
...
получаем, что сенвенция r, ;\0, r 1--- в, d o , в доназуема.
Используя правила перестановон и сонращения из ДOHa
зуемости последней секвенции, получаем доказуемость
*
секвенции Л О ' r f--- в, Ао,
Итак, для наждоrо вхождения сенвенции Л' 1--- 6.' Б D
соответствующая сенвенция Л*, r 1--- в, А' доназуем:а.
3анлючительноЙ сенвенции дерева D будет COOTBeTCTBO
вать доназуемая сенвенция Л, r 1--- в, А. Используя пра
вила перестановни, отсюда получаем ДОRазуемость ceHBeH
ции r, Л 1--- А, в.
Случай, ноrда Ф имеет вид 3х'f, рассматривается
аналоrично. О
3 а м е ч а н и е. Можно считать, что теорема 1 YCTaHaB
ливает допустимость следующеrо правила  правила ce
чения
r  е, Ф; Ф, л  t!
r, л  t!, е
Приступим к доказательству OCHOBHoro утверждения.
Если в === Ф j , ..., Ф п  список формул, то через 1 в
будем обозначать список '1 Фl' .. ., '1 Ф n .
Пр е Д л о ж е н и е 1. Если сепвепция С == r 1--- в дoпa
ауем.а в G, то сепвепция С' == r, '1 в 1--- допаауем.а в ИП'Е..
Д о К а з а т е л ь с т в о. Доназывать будем индукциеЙ
по высоте доказательства в исчислении G. Если Ф, r 1--- в,
Ф  аксиома, то сенвенция Ф, r, '1 в 1----- Ф доназуема в
ИП'Е. с использованием ансиомы Ф 1--- Ф и правила добав-
ления лишней посылки; нанонец,
Ф, r, '1 е  Ф; '1 Ф  'IФ
Ф, r, '1 е, '1 Ф 
есть нвазивывод нужной сенвенции в ИП:Z.
Теперь для наждоrо правила вывода исчисления G
нужно проверить, что если секвенции СО (и G 1 ), стоя
щие над чертоЙ в правиле, тановы, что C (и C) ДOHa
зуемы в ИП'Е., то и секвенция С', соответствующая ceK

!! 32" СРАВНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЙ
219
венции С под чертой, тоже доназуема в иrр. Проверl\а
всех правил достаточно утомительна, поэтому проверим
это тольно для правил 2, 3, 5, 7, 8, 10.
2) Пусть сенвенция Ф, чr, r, ..., 8 доназуема в ИП 11 ,
ТО1'да следующее дерево сенвенцИЙ есть квазивывод
в ИП 11 :
ФЛ'l'rФЛ'l' Ф,'I',r,...,8r
Ф Л 'I'rФ; '1', r, ..., 8 r ..., ф
Ф л '1' r Ф А '1' ФА '1', '1', r, ,8 r
ФА '1' r '1'; ФА '1', r, ,8 r ...,'1'
Ф Л '1', r, , 8 r
3) Пусть сеRвенЦИЯ r, ..., 8, ..., Ф, ..., ч'  доназуема В
ИП 11 , тоrда следующее дерево сенвенций есть квазивывод
в ИП 11 ;
r, ...,8, ...,Ф, ...,'I'f---
Ф r Ф 1', ..., 8, , Фr '1'
r ФУ, Ф; Ф r Ф у 0/; r, ,8, ""ФФr vЧ'
r , ..., 8 r ф у '1'; ..., (ФУ'!')r ,(ФV'l')
r, ..., 8, ..., (Ф V 0/) r
5) Пусть сенвенция Ф, r, ..., 8  доназуема В ИП 11 ,
тоrДа
Ф, r, .., 8
r, ,е r .., Ф; ...,..., Ф r ,..., ф
r, ..., 8, ..." Ф r
есть нвазивывод в ИП 11 .
7) Пусть секвенция r t .., 8, ..., (Ф)f \--- ДОl\азуема в
ИП1:, TOrдa
r, ,8, ..., (Ф)тr
r, ..., 81:-- (Ф)F
r, ..., 8 f--- 3хФ; ,ЗхФ r .., 3-rФ
r, ..., е, ""ЗХФ r
есть квазивывод В ИП1:.
8) Пусть сенвенция [Ф], r, ..., <3 r ДОl\азуема в ИП 11 ,
переменная у не имеет свободных вхождений в r, ..., 81
тоrда
[ФI, r, .., е r
3у IФ], r, .., 8 r
ЗхФ r Зу !Ф); r,..., 8 r ..., 3.11 [Ф)
3хФ, r, ..., 8 f---
есть квазивывод В ИП1:.

'1
.
220
rл, 6. ТЕОРИЯ ДОНА3АТЕЛЬСТВ
10) Пусть секвенция (Ф), r, ..., е t--- доказуема в
ИП1:, TOrдa
(Ф)f, r,'" е 1---
VхФ, f, ..., е 1---
есть нвазивЫВОД в ИП1:.
Проверна оставшихся правил вполне аналоrи:чна уже
рассмотренным. Ипдунция по высоте доназательства в G
завершает доназательство предложения. О
Пр е Д л о ж е н и: е 2. Если сепвепция С uсчислепия G
aoпaayeJ.ta в ипr., то 01lа aoпaayeJ.ta и висчислепии G.
Д о н а з а т е л ь с т в о. 'у становим сначала ДOIшзуемость
в G ансиом Ф f--- Ф исчисления ИПr. индунцией по построе
нию ФОРМУЛЫ Ф. Если Ф атомарная формула, то
Ф f--- <l?  ансиома исчисления G. Пусть для формул Ф и
чr в G доназуемы сенвенции Ф f--- Ф и чr f--- чr. PaCCMOT
рим следующие квазивыводы в G:
ФI---Ф Ч'I---'l' ФI---Ф Ч'I---'l'
Ф, Ч'f---Ф Ф, Ч'f---Ч' Фf--- Ф, '1' '1'1--- Ф,Ч'
ФА '1'1--- Ф; ФА '1' 1--- чr ф r ФV '1'; чr f--- Ф V '1'
ФА Ч'I---ФА '1' 1 ФV'l'f---ФV'l' f.
. Ф 1--- ф [Ф}Х 1--- [Ф}Х [ Ф} у Х 1--- [ Ф]:\! у
1--- Ф,""Ф у IJ
1--- ""Ф, Ф [Ф] 1--- 3хФ VхФ f--- [Ф]
..., Ф f--- ..., Ф f 3хФ f--- 3хФ f Ух1> 1--- VхФ ·
в двух последних 1{вазивыnодах переменная у выбрана
так, что она не имеет НИI\аних вхождений в Ф. Эти нвази
выводы поназывают, что можно завершить индунци:опное
доказательство Toro, что все сенвенции вида Ф f--- Ф, rде
Ф  формула исчисления G, доказуемы в G.
Теперь необходимо для наждоrо правила ВЫвода ис
числения ИПr. (за ИСI\лючением правил, касающихся им
ПЛJIнации) проnеритЬ, что если сенвенции, стоящие над
чеРТОlI, доназуемы в G, то и сенnенция, стоящая под чер
той, таЮl\е доназуема в G. Правила 1, 11, 1316 исчис
ления ИП1: являются частными случаями правил вывода
G. ДЛЯ правил 2 и 3
rI---ФА'l'
fl--- Ф f
fI---ФЛ'l'
fl---Ч'
необходимое утверждение следует из соотвеТствующеrо
свойства обратимости (преДJlожеНllе 31.2). Для прави

!I 32. СРАВНЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИй
:!21
ла 4 (5)
п-.Ф
rФvЧ'
( r\---Ч' )
rФvЧ'
квазивывод в G
r ф
r \--- ф, ч'
!'\---фvЧ'
( rЧ' )
r \--- Ч', ф
!' \--- ф, '1'
r ФV'l'r
устанавливает необходимое свойство. Рассмотрим теперь
правило 6
r\---фv'l'; r,Ф\---Х; r,'I'\---х
r Х
Если сенвенции, стоящие над чертой, доназуемы в G, то
следующее дерево, использующее допустимое правило ce
чения (см. замечание после доназательства теоремы 1),
есть 1\вазивывод в G:
r, фх r, 'У\--- х
ф, r\---x; '1', r \--- х
r \--- ф V'l';' Ф V 'У, r \--- х
r, r r х
rl---X .
Правилу 9 соответствует утверждение об обратимости
правила введения отрицания. .
Для правила 10, если r /--- Ф и r r I Ф доказуемы в G,
то (по обратимости) доказуема в G секвенция Ф, r r, а по
теореме 1 доказуема секвенция r, r r, а следовательно,
и сенвенция r /---. Допустимость правила 12 в G YCTaHOB
лена ранее.
Индукция по высоте доказательства секвенции С в ис
числении ИП Х и завершает доназательство. О
Следствием предложений 1 и 2 и является основное
утверждение это1'О параrрафа.
т е о р е м а 2. СеК8еnцuл uсчuслеnuл ИП Х , Я8ЛЛЮЩаЛ
ел u сеК8еnцией uсчuслеnuл G, доказуема 8 ИП Х тоеда u
только тоеда, коеда оnа доказуема 8 uсчuслеnuu G. о
Упражнение
1. Показать, что в исчислении G* (см. упражнение 3  30) Teo
рема 1 несправедлива, (У к а з а н и е. Воспользоваться результа
тами упражнения 2  31 и упражнением 3  30.)

222
rл, 6, ТЕОРИЯ ДОНА3АТЕЛЬСТВ
 33. Теорема Эрбрава
в этом параrрафе мы установим весьма важную Teo
рему Эрбрана, I{оторая, в частности, является теоретиче
сной основой современных машинных 1<HTOДOB ПОИСRа дo
Rазательства в исчислеНИII преДИRатов. Один из таних Me
ТОДов основан на исчислении резольвент, ROTopoe будет
рассмотрено в следующем параrрафе. Теорема Эрбрана
обосновывает, обнаружение этим методом доназуемости
любой доназуемой формулы ИП1:; последнее свойство Ha
зывается полнотоЙ метода. Теорема эта таRже придает
определенный КОНСТРУRТИВНЫЙ смысл произвольным пред
ложен иям исчисления преДИRатов.
Начнем параrраф с изучения неRОТОрых синтансиче-
СЮIХ связеЙ.
С наждым термом t и переменноЙ х свяжем неноторое
множество Рхи) функциональных символов:
а) если х не входит в t или x==t, то Fx(t)==fO;
б) если х входит в t и t =1= х, то t == h(t l , ..., t n ) для
неRОТОрых фУНRциональноrо символа h и термов t l , ,.., t n ;
n
полаrаем тоrда F х (t) == {h} U U F х (t i ).
il
Лемма 1. Если x=l=y их пе входит в t', то для лю
60<ю терма t имеет место' равепство
РХ (ЩУ,) == РХ (t).
Д о R а з а Т е л ь с т в о проводпrся ИНДУIщиеЙ по пост
роению терма t. О
Предложение 1. Если ОХЧ'(ОЕ{\f, 3}) обоб
щепная nодфОРJrlула формулы Ф, то для любава теРJllа t o
фОрJЧУЛЫ чr найдется такой терм t l фор,ttулы Ф, что
рхио) == р х (1)
и t, находится в области действия кваптора Ох.
Д о н а з а т е л ь с т в о. TaR RaR ОхЧ' является обоб
щенноЙ подформулоЙ формулы Ф, то существует таRая
пuследовательность формул Ф О == Ф, Фl' ..., Ф n == ОхЧ',
что для любоrо i < n выполнено ОДно из условиЙ:
(1) Фi == I ФiН;
(2) Ф, == Ф'+1LчrНI (Ф, --:-- чr'+1LФi+1) для подходящей
формулы чr i + 1 И Т Е {V, I\};
(3) Фi ==O'yX i , Ф iН == (Xi)Y для подходящих фор
мулы X i , переменно:Й у, терма t, свободноrо для у в X i , И
О' Е {\f 1 3}.

 33. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
223
Предпо.цожим теперь справедливрсть предложения для
п  1. Если в начестве Ф взять формулу Ф, последова
тельности Ф о  Ф, Фl' ..., Ф n  QхЧ', то по ИНДУКЦIlОН
пому предположению для любоrо терма t o формулы чr в Ф 1
можно УRазать терм t таRОЙ, что Fx(to) ==: РХи) и t BXO
;:IIlT В область деЙствия нвантора Ох. Если переход от
Ф О н Ф, удовлетворяет условию (1) или (2), то' Ф! явля-
ется подформулой (а не ТОЛЬRО обобщенноЙ подФормулой)
формулы Ф  Ф о , поэтому в начестве ИСRомоrо t, нужно
взять соответствующиii терм t. Если выполнено условие
(3), то рассмотрим три ВО3МОЖных подслучая.
ПодслучаЙ (3а): у  х. Тоrда Ф ==: а' хХ, Фl  (X)
дЛЯ подходящеЙ формулы Х. TaR HaR Ф, (и, следова
тельно, Х) имеет (по индуRЦИОННОМУ предположению)
связанные вхождения переменноЙ х, то по своЙству He
смешанности переменных х не имеет свободных вхожде
ниЙ в Х И Ф,  Х, Ф  а'хх; Ф 1 есть подформула Ф.
ПодслучаЙ (3б): у '* х и х ВХОДИТ в t. ТОl'да Ф 1  (Х)У,
Ф == О'уХ для неноторой формулы Х. Формула Ф, име
ет связанные вхождения переменноЙ х; если бы Химела
свободные вхождения у, то нарушалось бы условие сво-
боды терма t для переменноЙ у в формуле Х. Итан, у не
имеет свободных вхождениЙ в Х и Ф 1 (X)Y == Х; Ф ==
Q'УФl; Ф, есть подформула Ф.
ПодслучаЙ (3в): у '* х и х не входит в t. Пусть Х 
таRая формула, что Ф r  (Х)У, Ф  а'уХ. Для любо1'О
терма t 2 формулы Ф, существует соответствующиЙ терм
t, формулы Х такой, что t 2 == (t 1 )[, причем если t 2 BXO
дИТ В область деЙствия наRоrолибо RBaHTopa в Ф" то t 1
входит В область деЙствия TaHoro же нвантора по тоЙ же
переменноЙ. По лемме 1 имеем F х (2) == F х (и 1)[) ==
 РХ иl); если t 2 выбран в Ф, дЛЯ t o в соотвеТСТВИIl с
заI\лючением предложения, то соответствующиЙ терм t,
будет удовлетворять заключению предложения для фор
1I1УЛЫ Ф.
Предложение ДОНазано. О
Будем rоворить, что фуннциональныЙ символ g имеет
связанное вхождение в формулу Ф, если Ф содержит под
формулу вида QхЧ' и чr имеет вхождение терма t TaRo-
[о, что gEFx(t).
'УRажем два следствия предложения 1.
С л е Д с т в и е 1. Если чr  обобщен'1iая nодфор.мула
формулы Ф и фующиОн'аЛЬ1iЫЙ символ g имеет свяаа1iН,ое

224
r.:I. 6, ТЕОРПЯ ДОНА3АТЕЛЬСТВ
вхождUlUе в Ч', то g ulfteeT связаllnое вхождеnие
и 8 Ф. О
С л е Д с т в и е 2. Е ели D  доказательство секвепции
С в исчuслеlluи G u фупюуuопальnый СU.М80Л g пе ИN.еет
связаJШЫХ вхождепuй llll в одпу из формул секвеn/{ии С,
то g lle UJiteeT связапnых вхожfJеnuй 1ill в одпу UЗ фор.Atул
дерева D.
По своЙству подqюрмульности И следствию 1. о
Зафиксируем терм t o , наЧllнаЮЩПllСfI С фУН'КЦlIональ
Eoro символа g, и ПОр81\lОННУЮ :1':0' Опредедим теперь пре
образование 8 (сущоственно заВIlсящее от выбора пары
<t o , хо» термов так: .
а) если t  пере1ll8НН8Я ИЛIl !{онстанта (ОТJшчнан от
g), то 8 (t) == t;
б) если t==l(t 1 , ''', Ц II t4=t o , то s(t)==f(s(t j ),
,.., s(Ц);
в) еслп t == t o , то 8(t) == х о .
З а м е ч а n и е. ЕСJIП терм t не имеет вхождениЙ Tep
ма t o , то 8(t)==t.
Следующая лемма понаJывает взапмоотношеНIIЯ пре
образования s с подстаНОВI\ОlI.
Л е 1Il м а 2. Если х 4= хо u g Ф Fж(t), то для любоzа
тер,,,fЛ t' U,"teeT ",[еета равспетво
s ((t)f,) == (8 (t»;(t')'
д о R а 3 а т е л ь с т в о. До!(азыватъ это равенство бу-
дем ИНДУlщиеЙ по построенпю терма t. ЕСШI х не вхоцпт
в t, то х не входпт п в 8(t), поэтому 8(щп == 8(t) ==
== (s(t»:(t')' Пусть х входит в t, тоrда t 9'= ( о , так J;a!
если t==to==g(t j , ..., t k ), то geF.,(t). Если t===x, то
8 ((хЙ,) == 8 (t') === (..r)(l') == (8 (.x»t'), Если t == lL(t 1 , ..., t,,),
ТJ (t), == h ((t 1 )I" ..., (tп)n 11 S ((t),) == s (IL ((t 1);'=" ...
... ,(tU)I)) ===h(S((tl)I), ..., s(tп),)), так l{aI{ he Fж(t),
gФРж(t) и, следовательно, h((t 1 )I" ...,(tn)n=l=t o . Из
ИНДУRционноrо предположения получаем h (s(t 1 )f,), ....
..., s((tn)п) === h((s(t 1 »:(t')'.'" (8(tn»(t'»)== (S(t»s(t'), О
З а м е ч а н и е. В условиях леммы 8 (t) == t в COOТBeT
ствии с замечанием после определения преобразования 8.
Преобразование термов 8 моЖно распространить eCTeCT
венным образом и на фОрМУJlЫ, се1\венДПи и деревья ceR
в.нций, nолаrая, например, для формул

Ii 33, ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
225
а) 8(Ф)==Р(8(lj), ..., s(tnY) для атомарной формулы
Ф==Р(t j . ..., t n );
б) s(Ф) == I s(Ч') для Ф == I Ч';
в) 8(Ф)==S(Ф о )'tS(Ф j ) для Ф==Фо'tФ j , 't'E{Vf I\}; 
r) s (Ф) == Qxs (Ч') для Ф == QхЧ', Q Е {У, 3}.
Следствием предыдущеЙ леммы будет .
Пр е Д л о ж е н и е 2, Пусть nеремеnnая хо 1lе имеет
свяааnllЫх вхождеllий в Ф; х *' хо  тапая nеремеllnая,
что g Ф. Fx(t) для любоzо тер;ча t фор;.tулы Ф. Tozaa для
любоzо терма t', свободnоео для х в Ф, имеет место pa
eellCTrlO
s ((Ф)f, ) == (8 (Ф»(t')
(это соотношение внлючает в себя и утверждение, что
8 (t') свободен для х в s (Ф) ). о
Очевидно справедливо следующее
Предложение 2'. пусть nеремеllная хо nе UilteeT
свяааnnых вхождеnий в Ф; x j , ..., Х "  тапие nepeMeK
1lые, от личnые от Хо, что g Ф. Fx i (t), i == 1, ..., n, для лю
боzо терма t формулы Ф. Тоеда для любых Teptoe
t' ,
1, ..., t n , свободnых для X j , ,.., Х " в Ф соответствеllnО,
имеет место раве1l9тво
S ( (Ф)Х f . ..., XJI ) === (s (Ф» Х 1 ,.., Х n , О.
11' ..., t n .(11)' ....8(1))
'у становим следующее важное своЙство преобразова
ния s, действующеrо на Щ)Rааательствах.
Пр е Д л о ж е н :и е 3. Если D  допааательство 8 иc
числеnии G, nеремеnnая хо nе встречается в D и g пе
имеет свяааnnых вхождеllий 8 ваплючительnую ceпвen
цию п, то дерево sD является допааательством в G.
Доназательство. Если С==Ф, r1---8, ФаRСИО
ма, то 8С === sФ, 8r t-- s8, sФ  таЮl\е аRсиома.
Для Rаждоrо перехода, соответствующеrо пропоаиц:ио
нальному или CTPYRТYPHOMY правил у, леrRО проверить,
что соответствующиЙ sпереход (т. е. переход в 8D) ocy
ществляется по тому же правилу вывода. Например, пусть
в D переход таков:
r 1-- во Ф; r 1-- во 'l'
. r 1-- в, Ф Л 'l'
тоrда в 8п соответствующиЙ переход есть
sr 1-- в8 о sф; sf 1-- в8, в'!'
sf f--- в8, s (Ф Л 'у) ·
15 Ю, л, Ершов, Е, А, ПаJ!IOТИН

226
rЛ,, ТЕОРИЯ ДОRА3АТЕЛЬСТВ
Но s (Ф 1\ 'У) == s (Ф) 1\ s('Y), следовательно, это переход
по тому же правилу (введение RОНЪЮННЦИИ в эанлю
чение) .
Рассмотрим теперь переходы, соответствующие HBaH
торным правилам. Пусть переход в D танов:
r f-- в, (Ф);
r f-- 8, 3хФ ,
Тоrда в sD соответствующиЙ переход будет
8r f---- 88, 8 ((Ф))
81' f-- 88, 8 (3хФ) ·
По следствию 2 предложения 1 g не имеет связанных
вхождений в ФОРМУJlУ 3хФ; следовательно, для любоrо
терма t' формулы Ф имеем g Ф. Fx(t'). Тоrда по предло
жению 2 s ((Ф)f) == (SФ)t), Итак, в дереве sD перехо
дом будет
8r f-- 88, (8Ф)(t)
81' f-- 88, 3х (8Ф)"
но это переход по правиJry введения квантора существо
вания в заключение.
Рассмотрим теперь переход в D по правилу 8:
(Ф], rf---- 8
3 хФ, r f----- 8 '
rде у не имеет свободных вхождениЙ в r, 8. Соответствую
щим переходом в sD будет
8 (Ф], 8r f-- 88
8 (3хФ), 8r f-- 86
Нан и выше, устанавливается, что s rФ] == (sФ);(у)==
(sФ) == IsФ] и что переменная у не встречается CBO
бодно в sr, s8. Последнее утверждение вытенает из Toro,
что для щобоЙ формулы Ф формула sФ может содержать
только одну новую свободную переменную, а именно, Хо,
ноторая в D не встречается, в частности, ХО *' у. Тоrда в
sD переход имеет вид
(8Ф], 8r f---- 88
3х (sФ), 81' f-- 88 t
rде у не входит свободно в sr, в8. Следовательно, это
переход по правилу 8. 
Аналоrично рассматриваются праВИJlа \) II 10. о

!3 ЗЗ, ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
227
Приступим теперь R рассмотрению осповпоrо утверж
дения настоящеrо парю'рафа. Для сонращения записи по
следовательность термов t 1 , .,., t n будет обозначаться [;
3х означает 3Хl ." 3х n ; z  последовательность ZI,...
...", Zn.
т е о р е м а 3. Пусть сепве1tцuл С == r f--- в, Ф такова,
что Ф == 3х'v'уЧ' (х, У, z) и nj\tecTlibla фупкцuопальпый
сиlftвол g пе имеет вхождепuй в с. Сепвепцuл С дoпaay
еМа в G тоеда u только тоеда, коера в G aOKaayelfta ceп
вепция с* == r f--- в, 3хЧ' (Х, g (х), z).
Н е о б х о д и м о с т ь. Отмеченной формулой назовем
всяную формулу Ф О исчисления G вида
(3 3 (   ) Хl' ..., хв О  >
Х 8 Н... хn'v'уЧ' x 1 Y,Z) 11,...,18' O::::::.s<.n,
являющуюся обобщенноЙ подформулой формулы Ф. Если
> Ф О  отмеченная формула, то через Ф: обозначим фор
мулу
(3Х8+1'" зхnчr(х,g(Х),Z»:::::t:8.
Пусть D  доназательство сеюзенции С со свойством
чистоты переменных. Пусть дерево сенвенциЙ D* получе
НО из D заменой наждоrо вхождения наждой отмеченной
формулы Ф о , являющеrося предном вхождения Ф в за
Rлючительную сенвенцию с, на формулу Ф. Заметим,
что ЗaI\ЛючительноЙ сеRвенцией дерева D* будет С*. По
кажем, что D* является нвазивыводом.
На вершинах дерева D* будут стоять те же аксиомы,
что и в D, тан нан отмеченные формулы не являются
атомарными (содержат RвaHTop 'v' у).
Всем переходам дерева D будут соответствовать пере-
ходы дерева D* по тем же правилам вывода, за ИСRлюче-
нием переходов вида
Л L Д [ (Ч' (; z»:t 1 . ..., Хn ] У
а ' ,У, t 1 , ..., t n u.
... .... X 1 , ..., х n 1j
Л  д, (VуЧ' (х, у, Z»tl' ..., t n
rде rлавная формула перехода является отмеченной и
преДRОМ формулы Ф.
Этому переходу в D* соответствует переход
л' L д', [ (Ч' Се, у, Z)(1' ..., Хn l У
r t 1 , о." t n 'u
, f   .......
л  д , (Ч' (х, g (х), z»;
(*)
,.
( **)
15*

228
rл. 6. ТЕОРИЯ ДОНА3АТЕЛЬСТВ
Воспользуемся индунцией по rлубине вывода и будем
предполаrать, что сенвенция, стоящая над чертой в пере.
ходе (* * ), является ДОRазуемой. Тан HaR и не имеет
вхождений в А, д и А', д' имеет те же переменные, что
и А, Ll, то и не имеет вхождений в А', Ll'; седовательно,
доназуема сенвенция А' 1---/).', 'v' у ('1' (х, у, :Z))i. По пред-
ложению 31.2 тоrда ДОRазуема и сеRвенция
, , (   Х ) У
А r д., (Ч' (;Z'1 у, z»i g(i)i
но ((Ч' (Х', у, Z»)(t) == (Ч' (х, g(x), z», следовательно, сен-
венция, стоящая под чертой в переходе (* * ), ДОRа
зуема.
Необходимость установлена.
Д о с т а т о ч н о с т ь, Отмеченной назовем ВСЯRУЮ фор-
мулу вида (3Х.Н'" 3хn Ч' (х, g (х), z»:::::::, о  s  n.
Пусть D  ДОRазательство сенвенции С*. Образуем дерево
сенвенциi'I D'*, которое получается заменоЙ Rаждоrо вхош-
дения сенвенции С' == r' 1--- 8' на сенвеНЦIIЮ С+ == r' 1--- 8+,
rде СПИСОR формул 8+ определяется таи. Пусть е о  спи
COR всех формул из 8', не являющихсл одно- .
времепно отмеченными формулами и преднами формулы
3хЧ'(х, ig(x), z) из занлючительноЙ сеRвеНЦШI С*. Пусть
Р, ..., [/, l  O, это все n-наборы термов тание, что термы
g(P) имеют вхо}ндение в сеr\вепцию С'; тоща пола-
.raeM 81Ф(== 3х'v'уЧ'(-:i., у, z», Чf(l',' g(P), z), ...
..., чr и\ g(fl), z) и е+:!:;. 80, 8 j .
'Установим ИНДУlщиеп по rлубине вывода, что все сек-
венции дерева D* являются доказуемыми (заметим, что
3aIшючителъноЙ сer\венциеЙ дерева D* является ceRBeH-
ция С).
На верщине дерева D* С'I'оят сеRвенции, ноторые мо-
rYT быть получены из ансиом утончениями и пере станов-
нами.
Если в D переход осуществляется по одному из пра-
вил 1  6, то соответствующиЙ переход в D* может быть
получен неСКОЛЬRИМИ утончениями, перестаНОВRами и
применением Toro же правила. Это леrно следует из Toro,
что отмеченная формула, являющаяся преДRОМ формулы
3хЧ' (х, g (х), z) ЗaItлючительной сеRвенции, может быть
rлавноЙ формулоЙ переХОда по одпому из правил 1  6

!! 33. ТЕОРЕМА ЭРБРАНА
229
ТОЛЬRО В случае, ноrда s == 1, и тоrда эта формула обяза
тельно попадает в списо}{ 8,.
Если переход в D осуществляется по СТРУRТУРИОМУ
правилу (11  14), то соответствующпЙ переход в D* по
лучается таЮI\е применением CTPYRTypHblX правил.
Рассмотрим случаЙ, Rоrда в D переход осуществляется
по правилу 8:
[Фо]' rol--- 80' '1\, ..., '1'"
3иФо, rol--- 80' Ч'1' ..., Ч',,
rде Ч' \, ..., Ч'"  это СПИСОR всех отмеченных фор:нул
этих сеRвенций, являющихся преДRами формулы
3хчr (х, g (х), z) заRлючительной сеRвенции С*.
Тоrда в D* переход будет
[Фоl, ro 1--- 80' Ф, '1'([1, g(?), -;), ..., Ч'(lS, g('i s ), z)
. е e)) C 1 (1) ) ' l < s.
3иФо, rо80'Ф' Ч' t ,g t ,z, ..., '1' t,g t ,z
(*)
(-**)
ПОRажем:, что переменная v не входит ни в один из
термов g(P), i==1, ..., k. Предположим протпвное; пусть
у, входит в g(P), тоrда g(ti) должен BXOAllТЬ в одну из
формул секвенции \фо]\ ro 1--- 80, Ч f l , ..., Ч'". Если g(П
входит в OJl:HY пз формул сеRвеIЩИП ro 1--- 80, чr \, ..., Ч' ",
то v пмеет своБОJl:1юе вхожденпе в эту с(швенцию, тю,
шш в ПРОТПRПОМ случае g имело бы связанное ВХОЖJl:еlше
n D, что противоречпт следствию 2 преJl:ложенпя 1. Но
1'оrда не возможен переход (*) по правилу 8. Если же
g(fi) входит в [фа]:!, то формула 3UФо имеет связанное
вхоащетше спмвола g, что невозможно. Следовательно,
переменная /) не пмеет свободных вхошденнii: в ceRneH
цию ror8 o , Ф, 'У(Р, g(lI), z), ..., Ч'(Р, g(lS), z); RpOMe
Toro, сенвенцпи [ФО], r ofHo, 'f 1, . . ., чr h 11 3 пФо, Т 01--- 60,
ЧJ' 1, ..., Ч f h имеют однп и те же вхожденпя термов
впда g (п. н о тоrда l == s и переход (* *) осуществляется
по правилу 8.
Аналоrично рассматривается случай перехода по пра"
вилу 9.
Рассмотрим теперь случай перехода по правилу 7,
Пусть в D имеется переход
1'01--- 80' '1'1' ..., Ч'h' (фо)
ror 80' '1'1' ..., Ч'h' 3ХФо'
(*)

230
1'.;1, 6, ТЕОРШI ДОНА3АТШIЬСТВ
rде Ч'" ., " Ч' h  это отмеченные формулы, являющиеся
преДl\ами формулы 3хЧ' (х, g (х), i) зюшючительноii: сю{
венции, а СПИСОR 80 тюшх формул не содержит.
Возможны два случая: 1) формула 3ХФо не явля
ется отмеченноЙ или преДI\ОИ формулы 3хЧ' (х, g (Х), z);
2) формула 3ХФо является таRОПОЙ. Рассмотрим случаif
1). ВСЯIШЙ терм вида g и) НIlЖпей сенвенцпи в переходе
(*) является II терМОМ верхнеЙ сеRВeIЩИИ. Поэтому в D*
соответству:ющиЙ переходу (*) переход будет
ro  80' (Фо), Ф, чr (t l , g (ё 1 ), ;), н., чr и... g (е" ), ;)
е e)) С l (1) ) 1 IB.
r о  80' 3ХФ о ' Ф, чr t , g t ,z, ' .., чr t , g t ,Z
( **)
Вместо перехода (* *)' рассмотрим дерево сеRвенций
ro f--- 80' (Фо)' Ф, чr(t 1 , g(t 1 ), ;), н., чr(i s , g(i 8 ), )
rof--- 80' 3ХФ о ' Ф, Ч'(il, g(?), z), н., чr(t., g(ts), ;)
ro f--- 80' 3ХФо' Ф, чr(il, g(i l ), ;), ..., чr(tl, g(i l ),;) ·
в этом дереве верхниii переход соответствует (с точностью
До перестаНОВ1\И) применению правила 7, Для paCCMOTpe
пия нижнеrо перехода дон:ажем следующую лемму.
Ле М м а 3. Если в G допаауеlftа сепвепция
r r 8, 3x'v' у'У (Х1 у, z)" Ч' (t, g (t), z),
сим,вол g пе илtеет свяаап1tых вхож8ений в эту ceпвen
чию и g(l) nе Ulf'teeT вхождenий в r r 8, 3х'v'уЧ' (х, у, 2),
то в G допаауелtа сепвенцил
r r 81 3х'v'уЧ' (Х 1 у, z).
д о 1\ а з а т е л ь с т в о. Пусть D  ДОRазательство ceR
веIIЦИИ r r 8, 3х'v'уЧ'(х, у, z), Ч'(t, g(t)', z); хопере-
менная, не встречающанся в D, Если s  синтансичеСRое
преобразование, определенное парой (Х о , g и) >, то по
предложению 3 дерево sD является ДОRазательством (ceR-
венции r r 8," 3х'v'уЧ' (Х 1 у, z)," Ч' и, Хо, z) по предложе-
нию 2). Следовательно, сеRвенция r r 8" 3x'v'y'Y (Х 1 у, i)1
('1' (x 1 , .. '1 ХlIj х о ! z»f ДОRазуема. ЛеrRО утверждать,

 ЗЗ, ТЕОРЕМА ЭРВР АНА '
231
что дерево сенвенций
r f--- е, 3x'tly'I' (Х', у, Z). [ ('I' (х, у, z» t X1 ' "" f Xn ]X Y
l' .", 11 О
r L со 3  y ш (   ) ( '"' ш (   ) X 1 , ..., Х п
r о , Х у т Х, у, Z , у У т Х, у, z) { 1 , ".; {,>
r 1--- в, 3;УуЧ' (.т, у, z), ( 3X,tVy'I' (.т, у, z» X t ' l ' ..., Х ! n:!;
l' ,.., n......l
r 1--- в, 3хУуЧ' (х, у, z), 3х, Vi'f(x. у z)
r 1--- в, 3хУуЧ' (х, у. z)
является квазивыводом, О
С л е Д с т в и е. Есди в G дОliаауе;АИ секвеllЦUЯ
r !---- 81 3хУ у'У (х, у, z), 'у и\ g(t1), z), ... 1 'у и81 g (8)! Z)1
СШl60./t g 1lе и:iIlеет свяааllllЫх вхождеlluи в эту ceKвell
ЦUЮ U gCl i ) 1lе и.меет вхождеlluи в r!---- 8.. 3хуу'у (Х 1 у, z),
то в G доказуема сеК6еllЦUЯ r !---- 8, 3хуу'у (х, у, z).
Для доказательства нужно расположить термы g (Р)', . . .
..., g(P) в порядке неубывания длины применить индун-
ционное предположение по s и лемму 3. о
Возвращаемся к рассматриваемому случаю: так нан
термы g(P)', ..., gCl I ) встречаются в секвенции fof---8 0 ,
3хФ о " а термы g (tl+l), ..., g ив) не встречаются в этой
секвенции, то эти термы g([I+l), ..., g(P) не встречаются
и в секвенции ro f--- е о , 3хФ о , Ф, чr и\. g(P), z)', ...
. .., чr ([1, g (f l ), z)'. Поэтому для установления доказуе
мости последней секвенции достаточно воспользоваться
следствием леммы 3.
Случай 2), ноrда 3хФ о является отмеченным предком
формулы 3хЧ' (х) g (х), Z)f рассматривается аналоrично
(даже проще)'.
Случай, ноrда переход в дереве D осуществляется по
правилу 10, рассматривается аналоrично случаю, COOTBeT
ствующему правилу 7. о
С :каждой формулой Ф, находящейся в пренексной
нормальной форме, свяжем некоторую 3формулу Ф н ,
ноторую назовем эрбрановой формой формулы Ф, по сле-
дующему правилу. Если Ф есть 3-формула, .то Ф Н == Ф;
если Ф имеет вид 3Х 1 .,. 3х n У у 'у (T у, z) и g  пMeCT
ный Фуннционалъный символ, не встречающийся в Ф, ТО

232
1'Л, 6, ТЕОРИЯ ДОНА ЗА ТЕЛьств
фн== (3 Х l i о. 3х п 'У (Х, g (х), Z»H. Индукцпеп по числу
кванторов всеобщности устанавливается, что это опреде
ление корректно.
Т е о р е м а Эр б р а н а. Пусть Ф  ФОР,ltула в пре-
пекс-н,ой 1l0рМалмой форме, фн == 3Хl ... 3х n 'У (х, z) 
эрбра1l0ва форма формулы Ф, 2де 'v  бесква1lтор-н,ая фор
;мула. Формула Ф доказуема тоеда и только тоеда, коеда
l 1
существуют такие последоватеЛЬ1l0сти термовt == t 1 , О' .
t 1 . .  t k  t k t k д Ф
.. .; n> ""  1, .. ff Щ что оказуема ормула
'V P, z)V ... V 'V (lk,Z).
Д О К а з а т е л ь с т в о. Используя индукцию (по числу
нванторов всеобщности) и предыдущую теорему, полу
чаем, что формула Ф доказуема тоrда и только TorAa, Kor
да доказуема формула Ф н . Для завершения доказатель
ства теоремы установим следующее
Предложение 4. Формула Ф == 3Х 1 '" 3х n 'У(х, z),
еде 'V  бесква1lТОР1lая формула, доказуеJftа тоеда и толь
. ко тоеда, коеда существует такая последоватеЛЬ1l0СТЬ ппa
боров термов Р,..., '[\ что доказуема формула 'у (Р, z) V ..,
... V 'V(tk, z)',
Д О К а з а т е л ь с т в о. По свойству обратимости (пред-
ложение 31.1) формула 'V (Р, z) V .,. V 'V и\ z) доказуе
ма Torдa и только Torдa, ноrДа доназуема сенвенция
/--- чr(Р, z), ..., 'V(tk, z).
Пус..ть эта секвенция /W'Казуема, тоrда, MHoroKpaTHo
применяя правило введения нвантора существования в
::1аключение, получаем доказуемую секвенцию r 3х'У( х;
z), ... f 3х'У (х, z). ИЗ этой секвенции с помощью правил
сокращения получаем секвенцию r 3х'У (х., z). Тан YCTa
навливается достаточность.
Необходимость. Пусть D  доказательство формулы Ф
в исчислении G со свойством чистоты переменных. Пусть
Р, ..., '[k  это все наборы пTepMOB '[ таких, что в D
встречается формула 'V (l, п. Заметим, что все формулы
дсрева D, являются предКами формулы Ф. Пусть дерево
D* получается из D заменой наждоrо вхождения ceKBeH
ции ro/---,1o на секвенцию ro/---'V(p, z), ..., 'V(lk, z), ,1"
rде ,1, получается из ,10 вычеркиванием всех формул
вида (3Х 8 +1 ... 3х п 'У (х, z)::",,":;:8, о  s  п. Без труда
прове:rяется, что полученное дере-во D* будет ква3ИВЫБО
дом (секвенции 1--- 'V (Р, п, ..., 'V (Р, zl). Действительно,

\1 34, ИСЧИСЛЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТ
233
на вершинах стоят секвепции, полученные из аксиом
утончениями. Переходу, соответствующему пропозицио
нальным правилам, соответствуют переходы по тому же
правилу (быть может, с сокращением и перестановкамп).
Кванторные правила, за исключением правила 7, в дере-
ве D не используются; переходам по правилу 7 соответ-
ствуют тривиальные переходы в D*. Переходам по CTPYK
турным правилам соответствуют переходы, полученные
применением струнтурных правил. Итак, D*  нвазивывод
секвенции f--- Ч:r (Р, z), ..., 1Ji' (t\ z) и неоБХОДЩiОСТЬ YCTa
новлена. О -
Сила теоремы Эрбрана в том, что вопрос о доказуе
мости произвольной формулы сводится н вопросу о AOI;a
зуемости формулы из некотороЙ эффективно порождаемоЙ
последовательности бескванторных формул. А для обна
ружен ия доказуемости бескванторной формулы требуются
только пропозициональные (и структурные) правила.
Более точно, пусть Ф  бескванторная формула,
а Ч:r о, ..., Ч:r n  все различные атомарные подформулы
формулы ф; Torдa пропозициональной формоЙ формулы
Ф назовем формулу фр исчисления высказываний, KOTO
рая получается И3 Ф подстановкой nсюду вместо подфор
мулы Ч:r i ПРОПОЗИЩIOнальноЙ переменноЙ P i , i  О, ..., п.
Пр е Д л о ж е н и е 5. Вескванторна'я фор:мула Ф дoпa
зуе:ма в исчислении G тоеда и только тоеда, коеда ее
nропозuциональная форма фр доказуе:ма в исчислении
высnазывапuй.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямо вытекает из своЙства
подформульности. О
 34. Исчисления резольвент
Исчисления резольвент используются для поиска BЫ
вода в исчислениях высказываниЙ и предикатов. Начнем
с ПрОПО3Iщиональноrо варианта.
Фор:мула:ми пропозициональных исчислениЙ резоль
вент будут пропозициональные переменные или их OT
рицания.
Если Ф  формула, то Ф* есть I Ф, коrда Ф  пропо
зициональная переменная, II есть Р, коrда Ф  I Р.
Основным синтаксическим понятием будет список
фор:мул. ПустоЙ списрк будем обозначать символом Q5.
Исчисления резольвент будут иметь одни и те же прави
ла вывода и различаться только аксиомами. Если ro; ...

234
rл, 6, ТЕОРИЯ ДОRАЗАТЕЛЬСТВ
...; rпСПИСRИ формул, то через Rp(ro; ...; r n } будем
обозначать (пропозициональное) исчислепие резольвепт,
аксиомами HOToporo являются списки r o ; ...; r n .
Правилами вывода исчислениЙ резольвент будут:
1 r,Ф; 8,Ф* 2 r,Ф,0/,8 3 r,Ф,Ф
. r,8 J . r, 0/, Ф, 0' . 1', Ф .
Понятие допазательства (в виде дерева) определяет
ся обычным образом. Если r  непустоii список формул,
то через /\ r будем обозначать RОНЪЮНКЦИЮ формул из
r. /\ r  формула исчисления высказываний, но, вообще
rоворя, не является формулой исчисления резольвент.
Л е м м а 1. Если D  доказательсrво списка r в
Rp(r o ; ...; r n ) и r n встречается на вершине D, то для
любоео списка r' в Rp(r o ; ...; rn!; r', r n ) допазуем cпи
СОК r', r.
Д о к а з а т е л ь с т в о проводится индукцией по числу
списков дерева D. Если D == r п, то r == r n И r', r  ДOHa
зательство в Rp(ro; ...; rn!; r', r n ).
D .D 1 rO Ф'r 1 Ф*
Пусть D == Т и последний переход есть 'о'  ,
r,r
тоrда по индукционному предположению существуют
доказательства D, D в Rp(r o ; ...; rn!; r', r n ) списков
r', ro, Ф (или ro, Ф, если r n не встречается на вершине
D o ) и r', r\ ф* (или r\ Ф*, если r n не встречается в
D!) соответственно. Так как r n встречается на вершине
Do или на вершине D!, то по крайней мере одно из де-
ревьев
, ,
D o ;D 1
r', rO, r', [,1 !
, ,
D o : D 1
r', [,О, r 1 ':
, ,
D o ; D 1
1'°, [", 1,1
есть доказательство в Rp(r o ; ...; rn!; r', r n )'. из за
нлючительноrо списка СТРУRТУРНЫМИ правилами лепщ
получается список r', r.
Если последний переход дерева D осуществляется по
правилам 2 и 3, то индукционный шаr очевиден. О
Докажем теперь утверждение, связывающее исчисле-
ние резольвент с ДОRазуемостью в исчислении выказыы.
ваний. .
Предложение 1. Если r o ; ...; rnHenYCTble
списки формул (исчuслепuя резольвент), ТО формула
11
V (/\ rд доказуе,иа в uсчuслепuu высказывапий тоеда и
1==0

 34, ИСЧIIСЛЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТ
235
ТОЛЫiО тоеда, коеда в исчислении R p (r о; ...; r п) дока..
ауем пустой список ФОРhlУЛ 50.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ПУСТЬ D  такое дерево сппс
liOB формул, что на вершинах стоят непустые СПИСIШ
формул 80; ...; 8., наждый переход есть переход от oд
лому из правил вывода исчисления резольвент, а 8 
:JаключительныЙ (быть может, пустоЙ) список формул.
Докажем, что тоrда в ИСЧИСJlении высказываниЙ ДОI\а
It
зуема секвенция 8 r v (/\ ед. Доназывать будем ивдук
iO
циеЙ по числу списков формул в дереве D.
Пусть D состоит из одинственноrо (непустоrо)' спис
ка 8, тоrда секвенция е r /\ е, очевидно, доказуема в
исчислении ВЫСliазываниЙ.
п' D
П D о' 1. е о . . QO
усть дерево имеет вид -------е' о, . . ., 'CJk o 
списки, стоящие на вершинах дерева Da; e; ...; 81 1 
списки, стоящие на вершинах дерева D 1 . Пусть заклю
чительный переход есть
80' Ф; 81' Ф'"
8
(тоrда 8 == 80, (1)' По индунциовному предположению в
псчислеюtи высказываниЙ доказуемы секвенции 801
k k
Ф 1--- фО и 81, ф* 1--- ф1, rдеФО == V (/\ e) и фl==: V (/\ 8).
iU io
Тоrда дерево
80' Ф  ф О 81' ф* f. фl
 Ф V Ф*; 80' Ф  ф о V ф 1 ; 81' Ф* f--- ф о V ф 1
е 8 L ф о V фl
о' l'
есть нвазивывод нужноЙ сеКВeIЩШI д.ля дерева D. Слу
чаи, коrда последниЙ переход в дереве D соответствует
структурным правилам 2 или 3, очевиден. Из доказанно
ro утверждения вытекает, ч.то если в Rp(ro; ...; r n ) дo
n
назуем пустоЙ сппсок формул, то формула V (Л rд дo
io
казуема в исчислении высказываний.
Для доказательства обратноrо утверждения будем
использовать пропозициональныЙ вариант С р исчисле
нпя С. ИндукциеЙ по числу Сlll\1ВОЛОВ ноныокций:

236
rл, 6, ТЕОРИЯ ДОRАЗАТЕЛЬСТБ
в сенвеиции
r 1\ во, ..., 1\ е"
(*)
покажем, что если эта секвенция доказуема в G p , то в
Rp(e o ; ...; EJ k ) доназуем пустоЙ список.
Пусть сенвеНЦllЯ (*) не содержит знана нонъюнкции.
Torдa она имеет вид f-- Фо, ...; Фk, rдe Фi  ПрОПОЗИЦIlО-
нальные переменные ИJIИ их отрицания. Такая сенвенция
доназуема в G p в том и тольно В том случае, ноrда су-
ществуют , j  k такие, что Фi === Фj 1 Torдa
Фj; Фj
fZJ
есть доназательство в Rр(фо; ...; ФkУ'
Пусть для сенвенций вида (*) с числом знанов 1\,
меньшим п, утверждение справедливо. Пусть сенвен-
ция (*) имеет п знаков 1\ и в" === в, 8, тде е;: и el 
непустые СПИСI\И формул. По свойству обратимости, если
секвенция (*) доназуема, то доназуемы и сенвенЦИИ
r 1\ 80' . . ., 1\ в"l, 1\ е;: и r 1\ 80, "" 1\ в"l' 1\ в.
По индукционному предположению BRp(e o ;...; e"l; e)
и R p (€\; . ..; e"l; еl)доказуем пустой списон fZJ, Пусть
. 1
Do и D!  соответствующие доказательства. Если е" не
встречается на вершинах дерева D " то D!  доназа-
Тельство (списна fZJ) в Rp(e o ; ...; eп!) и тем более
в R p (е о ; ...; eп!; e k ). Если же e встречается на вер-
шинах дерева D " то по лемме 1 в R p (во,; ...
.. .; EJkl; е" == 8, el) существует доназательство Dспис-
на в;:. Подставляя в Do на место всех вершин вида в;: дере-
во D, получим доказательство пустото списна в Rp(e o ;. ..
...; e k }.
Возвращаемся н доназательству нужноrо утвержде
n
ния. По свойству обратимости формула V (1\ rд дона-
io
зуема в G p тоrда 11 только тоrда, Ноrда доназуема сек-
венция r 1\ ro, ..., 1\ r n. ПО тольно что доказанному
утверждению из доназуемости сеlшенции r 1\ ro,.. .
.. 1\ I'nследует, что в Rp(ro; ...; r n ) доназуем пустой
список формул fZJ, О
ПереЙдем теперь I{ изучепию исчислений резольве1-lТ
ДЛЯ ПСЧIIСJlCШШ ПРСДНЕ.атов.

 34, ИСЧИСЛЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТ
237
Формулами исчисле1lия реЗ0лье1lr будут атомарные
формулы исчисления G или их отрицания. Для формулы
Ф обозначение Ф* определяется, как выше. П равила.чи
вывода будут правила 1, 2, 3 и правило
4.%
(I')
t
rAe х == Х 1 , ..., Х п  список различных переменных, а t ==
==' t j , ..., th, списон термов.
Исчисления резольвент различаются аксиомадrи. Ис
числение резольвент с аксиомами (списками) ro; ...; r n
обозначается R(ro;...; r n ). Связь исчисления резоль
вент с доказуемостью в исчислении прединатов YCTaHaB
ливается следующим утверждением.
Пр е Д л о ж е н и е 2. Предположим, что Ф == 3Хl . . .
,.. 3XmCo(/\ r i »)  за.1luтутая фОР.1ltула исчис.lte1lия npe
дикатов, а Т/, i == О, ..., n, пеnустые списки атомарпых
формул или их отрицан;ий. фОР.'I1,ула Ф доказуе.,tа в иc
числе1lии предикатов тоеда и ТОЛЬЩJ тоеда, коеда в иc
числе1lии резольве1lТ R(ro; ...; r п) доказуем пустой cnи
сок формул.
Д о н а з а т е л ь с т в о. Пусть Ф  доказуемая в G фор
мула, Torдa по предложению 33.4 существуют такле Ha
 1 1 1 k k k
боры термов t ==t 1 , "",t m ; ...;t ==t 1 '."l t m" что дo
казуема СeJшенция
r ( ,у (/\ rд ) l' о.., ( ,у (/\ rд ) ..
o t '=O t'"
Доказуемость этой се1iвеНЦIШ равноспльна доназуемости
формулы
Ф' == V (/\ rдi j ,
oi<n
lj<R.
ПО предложению 33.5 Ф' доказуема Torдa n только Tor
да, IюrДа доказуема ПРОПОЗИЦlIонаJlьная формула Ф;.
Используя предложение 1, из доi\азуемости формулы Ф
-в исчислении высказываниЙ получаем, что в ИС'iислеiНIИ
резольвент R ( . . .; (ri)fj; ...) доказуем пусой списон с
использованием только правил 1 3. (Для этоrо в ДОI\а-
за'l'еJIьстве иYCI'oro СJJисна в ПрОIlо::шцпонаJlLПОl\I исчис

238
rл. 6, ТЕОРИЯ ДОRА3АТЕЛЬСТВ
"j
"
1

,
ленИ1 резольвент, связанном с формулоЙ Фр, нужно
сделать обратную замену пропозиционаJfЬНЫХ перемен
ных на соответствущие элементарные формулы.) Но
тю, кан списки (ri)j получаются из списков r; по пра
юшу 4, то получаем, что в R (r о; ...; r n) доназуем пу
стой список.
Для доказательства обратноrо утверЖдения, нак в
предложении 1, будем доказывать такое утверждение:
если D  доказательство списка е в R (ro; ...; r n) И
Х == Х I , ..., Х т  список всех переменных из формул
списков ro; ...; r n, ТО существуют такие наборы термов
t i == П, ..., tfn, i ==:: 1, ..., k, что в исчислении G доказуема
сенвенцияе  il CO (/\ (rj)i)).
Доназательство проводится индукцией по числу спис
нов в доказательстве D. В случае, ноrда D есть просто
список r;, следующее дерево будет нвазивыводом нужноЙ
сенвенции:
rir--л r i
k
r,r-- V(л r ,)
 jl J
D'
Пусть доказательство D имеет вид EJ , а последний
8' 
переход есть 8' rде е == (e'). По индукционному
предположению для некоторых наборов термов Р, .,., lk
iВ ,исчислеНIЦI предикатов доказуема СClшенция
С ==:: е'  il CO (/\ (rj)i) ).
Очевидно, что из доказуемост секвенции С следует
, и доназуемость сенвенции С' == (C) (нужно взять доказа
rельство D секвенции С в G и сделать подстановку (D))"
но Torдa доказуема сенвенцияс'==еf--- ,, ( ,у(/\ (rj)'j )) f
_ {1 ;==0 t
-. . и
1'де t'J == (tJ)"i'
Рассмотрение случаев, Коrда последний переход в Дo
Rазательстве D осуществляется по правилу 1, 2 или 3,
RaH в предложении 1. Итак, если в R{ro; ...; r,,) ДOKa

 34, ИСЧИСЛЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТ
239
зуем пустой список' Q5, то существуют такие наборы термов
Р; ...; Т", что ДQказуема сенвенция r :iJjo( /\ (rj)i) ).
Torдa доказуема сенвенция r ( ,у(/\ r j» ) X , ...
,o /1
..., ( .у (/\ r j» ) X Из доназуемости rакой 'сеюсенции
зо i k
леша .выводится, что доназуема и секвенция
r 3Х1'" 3Х т ( V (/\ r j » ) . о
jo
'Укажем теперь, к,ак свести вопрос о доказуемости
в G произвольной формулы Ф исчисления G к вопросу
о доказуемости пустоrо списка в подходящем исчислении
резольвент.
Если Ф содержит свободные переменные Zo, ..., Zn,
ТО, используя следствие предложения 31,2, леrко про-
верить, что Ф доказуема тоrда и тольно тоrда, коrда дo
казуемо универсальное замыкание фо == V Zo . . . 'v' zn ф
формулы Ф.
Пусть ф о  замкнутая формула, Torдa для нее эф
фективно находится .ей ю\Вивалентнал формуда фt, Ha
ХОДЯЩаяся в пренеRСНОЙ нормальной форме. По теореме
8рбрана доказуемость формулы ФI (а следовательно,
также формул ф о и Ф) равносильна ДОRазуемости эрбра
новой формы Ф,k формулы ф l . Матрица формулы Фk
находится в дизъюнктивной нормальной форме, т. е.
n
имеет вид V (/\ r i ), rде r;  неноторые списни aTOMap
io
ных формул ИЛИ их отрицаний. Но тоrда Ф,k есть заМR-
нутая 3 формула и, следовательно, ее ДОRаауемость по
предложению 2 равносильна выводим ости пустоrо спис
ка Q5 в исчислении резольвент R (r О, "', r n) .
ИЗ ТОЛЬRО что доказаиноrо, теоремы 23.11 и теоре-
мы 32.2 получаем сводим ость .вопроса о доказуемости
произвольной формулы Ф В исчислении предикатов
н вопросу о доказуемости ПУСТО1'о СПИСRа в подходящем
исчислении резольвент.
Для машинной реализации поиска доказуемости пустоrо списка
в ИС'iисленИИ резольвент используются раЭЛi:l'iные детерминироваli

240
rл. G, ТЕОРИЯ ДОНАЗАТЕЛЬСТВ
ные (иноrда и недетермииироваl1ные) способы последовательиоrо
преобразования СПИСI\ОВ так, чтобы все доказуемые списки были
получены ПрИ таких 'Преобразованиях. Такие способы носят Ha
звания стратееий поиска. Обсуждение J{аКИХЛIIбо стратеrий выхо-
дит эа рамки нашеrо учебника.
Чтобы хоть neMHoro почувствовать возню;аroщие здесь про-
блемы, предлаrается доказать следующее утверЖдеНИе. 
Пр е Д л о ж е н и е 3. Существует аЛ2Ори TJ.I, I>ОТОрЫЙ па дву.1I.
фор.\!ула.1I. Ф и ч' исчисления резольвент узнает, сущес!:.вуют -.::и
такие наборы TepJ./oe [== (1, ..., (П' что фррмулы (ф)'; u (Ч')f
совпадают, и если та/(ие наборы существуют, та находит универ-
сальный таl>ОЙ набор t.
Универсальность означает, что для любоrо наб()ра [' TaKoro, что
(Ф )  == (Ч)! f существует такой набор термов t ll == t o ",.... (,
t' l' . "
соответствующий списку и == ИQ, ..., Щ, свободных переиенных тер-
мов из t, что t' == {i). Q
t"

rлава 7
Алrоритмы и РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
 35. Нормальные алrорифмы и l\JаШIlНЫ Тьюринrа
в предыдущих rлавах мы неоднонратно 1'оворили об
8лrоритме , деЙствующем на ненотором множестве объ
ентов Х, понимая под этим точное предписание, опреде
ляющее по любому объеRТУ а Е Х неRОТОРУЮ вполне оп
ределенную последовательность простейших действий,
осуществляя ноторые, мы либо НIШО1'да не заRОНЧИМ этот
процесс (вычисления), либо этот процесс заRанчивает
ся и мы получаем объеRТ  (а), называемыЙ значением
 на а, либо процесс обрывается без полученпя значе
ния. ЕСJ!И процесс, определяемый алrоритмом  по эле
менту а, не заRанчивается пли обрывается без получе
ния значения, то rоворят, что  не при;меним ,.. а. При
мерами алrорптмов MorYT служить правила сложения,
умножения и деления, действующие на множестве пар
натуральных чисел. Заметим, что ал1'ОРИТМ деления не
применпм R паре натуральных чисел <п, т), если п. не
делится нацело на т. Друrим прпмером является описан
ный в S 20 алrоритм нахождения по формуле исчисле
ния преДИRатов ЭRвивалентной ей формулы, находящеЙ
ся в пренеRСНОЙ нормальной форме. Количество простеЙ
пшх действий, необходимых для получения значения
алrоритма, может быть весьма большим. Однано мы OT
вленаемся (абстра1'ируемся) на данном уровне изучения
от реальных возможностей осуществления алrоритмов и
будем исходить из предположения,' что при осуществле
нии процесса вычисления, определенноrо алrОРИТl\101,
МЫ ииеем неО1'раниченныЙ запас времени и материалов.
Такое предположение носит название принципа пOTeH
циаЛЬ1l0Й осуществимости. .
Как правило, интуитивноrо понимания: бывает ДOCTa
точн,О для установления To1'o, является ли данное пред
писание ал1'ОРИТМОМ или нет. Однако без точноrо опре
деления алrоритма невозможно обойтись, если пытаться
16 Ю,Л,Ершов, Е. А, Палю тин

242 rл. 7, АШ'ОРИТМЫ И РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦПИ
доказывать, что для решения определенноrо класса
задач не сущесrвуеr еl,иноii эффекrИВНОII процедуры
(алrоритма). Но возможно ли найти такое математиче
ское определение понятия алrоритма, чтобы и охватить
все разнообразие уже существующих алrоритмов и эф
фективных процедур, накопленных математическоЙ и BЫ
числительной практикой, и быть уверенным, что любой
предложенный в будущем интуитивно приешемый ал
rорптм подпадает под это определение? ПоставленныЙ
столь широко вопрос вряд ли имеет положительное ре-
шение. Однако реальное' развитие математики привело к
удовлетвор'ительному решению (точнее было бы сказа тъ
снятию) этоЙ проблемы. А именно, было предложено не-
сколько формализациЙ понятия аЛ1'оритма, различаю
щихся возможными областями действия, набором допу-
стимых простейших действиЙ и возможностями состав-
ления предписаниЙ (проrрамм) для вычисления. Изуче-
ние этих формализациЙ показало, что они обладают
своЙствами замкнутости оТносительно всевозможных
комбинациii (суперпозиции, итерации и т. п.), большими
возможностями воспроизводить с достаточноЙ степеньЮ
похожести (адекватности) все известные аЛ1'оритмиче-
скпе процедуры и приемы. Наиболее существенным для
оправдания определениЙ оказалось совпаденпе классов
ВЫЧИСЛИмых функциЙ для Всех этих понятиЙ. Поэтому
по краЙнеЙ мере понятие (алrоритмпчески) вычислимой
функции (с натуральными арrументами и значениями)
оказалось инвариантно определенным и для теоретиче-
ских целеЙ это1'О вполне достаточно. Существование ряда
различных определениЙ (уточнениЙ) понятия алrоритма
имеет и свои преимущества, так как для решения раз ,-
личных задач бывает удобно использовать различные,
наиболее подходящие для этоrо случая, определе-
ния. Аналоrию этому явлению можно наЙти в про
rраммировании  существующее МНО1'ообразие языков
ПРО1'раммирования во мнотом объясняется разнообра-
зием задач, стоящих перед вычислителями и проrраМ:ми
стами. В этом параrрафе будут даны определения для
двух различных классов ал1'ОРИТМОВ  нормальные ak
еорифмы (слово «алrорифм» есть вариант написания
слова «аЛ1'ОРИТ)1», и этот вариант традиционно испоЛl..
ауется при изложении теории нормальных ал1'ОРИТМОВ) и
машины Тьюринеа. Сколько-нибудь иодробноrо изуче-
ния эт'их ионятий здесь не будет, Mbl О1'раничимся ТОЧ

 35, НОРМАЛЬНЫЕ АЛ1'ОРПФllIЫ и МАШИНЫ ТЬЮРИН1' А 243
нымп опреелениюПI, ПрЮlерами 1 формулировками oc
HOBHoro утверждения о связи зтих понятий. В ПОСJlедую-
щих параrрафах будет более поробно изучен класс вы-
числимых фУНIщиЙ и ему будет дано еще одно (уже
третье) опрееление.
Прежде чем перейти к точным определениям, разбе-
рем один пример.
При м е р 1. Построим алrоритм , действующий на
множестве Слов алфавита ИВ и вычисляюшиii характе-
ристическую функцию множества формул ИВ, r. е. Ta
коЙ алrоритм , что  (а)  1, если CG  формула ИВ, и
 (а)  о в .противном случае,
Пусть qJ  буква, ОТJIИчная от всех букв алфавита
ИВ. Над каждым сповом CG в алфавите ИВ будем произ
водить спедующпе преобразования:
1. Заменим I\аждое ВХО1Ндение пропозициональной пе-
ременной в слове CG на букву qJ; пусть полученное слово
есть аl.
2. Строим после;J9вательносrь слов а1, а2, ..., а n
такую, что каЖ;'J,ое спово CGi+l, 0< i < п, получается llЗ
слова CGi заIеной одноrо подслова вида "lqJ, (qJ;\qJ),
(qJ V qJ) или (qJ --+ qJ) на qJ, а слово а n не содержит ни
oHoro подслова указанноrо вида.
3. Если а" совпа;J;ает с. qJ, то полаrаем  (а)  1, если
же О:n отлпчно от qJ, то полаrаем  (а)  О.
Оставляя читателю возможность убедиться в приме-
нимости 3Toro алrоритма к любому слову и в правиль
ности 3Toro алrоритма, отметим, что простейшими дей
ствиями в зтом алrоритме являются последовательные
ЗЮlены вхожденпй подслов специальноrо вида на друrпе
CJIOBa. Важной особенностью 3Toro алrоритма явпяется
возможная нео;:r,нозначность (недетерминированность) в
процессе вычисления  последовательность слов а1, а2, ...
. . ., а n определяется по CG не единственным образом (хо-
тя чпсло п, IШН леrко проверить, определено однознач-
но). Определяемые ниже понятия нормаЛlноrо алrо-
рифма и машины Тьюринrа в качестве проr.тейших дей
ствиЙ также будут иметь замены подслов С.'lовами, но
последовательность 3ТИХ операций будет однозначно оп-
ределена.
КаждыЙ из определяемых ниже алrоритмов будет
действовать на множестве всех слов HeKoToporo алфави-
та В. Часть БУI{В 3Toro алфавита будет иrрать вспомоrа
тельную техническую родь, поэтому, чтобы подчеркнуть
16*

244 rл. 7, Алrоритмы и РЕRУРСПВНЫЕ фушщии
существенную часть А алфавита В (А <;; В)', о всяком ал...
rоритме , действующем на множестве слов алфавита В,
rOBopaT, что  есть алеорит.м иад А.
АлrОРИТМIA !8 Л  над алфавитом А будем называть
эвивалеитиЫ,ltU относительно А, если для любо1'О сло
ва а алфавита А выполняются два условия:
а) если !8 ПРШlеним к слову а алфавита А, то <;S: при
J',Iевим к а и !8 (а) ==  (а)' ;
б) условие, полученное из а)' перестановкой !8 и .
Перейдем к формулировке понятия нормально1'О ал
rорифма, предложе'llноrо А. А. Марковым. Пусть в даль
нейшем А  конечный алфавит.
а п р е Д е л е н и е. Схе.мой S в алфавите А называет
ся упорядоченный набор троек
«al, I, 61>, ..., (а п , п, 6,,»,
у которых первые два элемента ai, ! ЯВ.'Iяются словами
алфавита А, а трети!'! элемент б i принадлежит множест
ву {О, Н. Нор.мальным алеорифлtОJ1t в алфавите А назы
вается пара <А, S>, состоящая из алфавита А и схемы S
в алфавите А.
Пусть а  слово в алфавите А, Q! ==<А, S>  нормаль
ный алrорифм, S ==«а!, !, 61>, ..., <а n , n' 6 n ». Если
ни одно ИЗ CJIOB al, ..., а п не является подсловрм CJIO
ва а, то будем rоворить, что слово а не поддается алео
рифму Q!. Если io  наименьшее число, для которото ai o
является подсловом а, и   результат замены первоrо
вхождения ai o в а на слоно io' то будем l'OBOpIlTb, что
 просто переводит а в , если 6 io === О (обозначаем :
а f--- ), и  залючительно переводит а в , если
6 io == 1 (обозначаем : а f--- . ). При этом преДIlолаrает
ся, конечно, что знаки f--- и . не ПрIlнадлежат аJlфавиту
А, ЕСJlИ нормальный ал1'ОРИфМ  прост,о или заКЛlOЧll
тельно переВОДllТ а в , то rоворим, что  переводит
а в . Будем rоворить, что нормальныЙ алrорифм  npe
образует слово а в слово  (обозначаем (a)== ),
если существует такая послеДовательность "{О, ..., "("
слов алфавита А, ЧТО выполняются с.lIедующие yc
ловия:
а) "{О === а и "(" ==;
б) если k === О, то а не поддается ;
в)  просто переводит "{! в "{i+i для i < k  1;

s 35, НОРМАЛЬНЫЕ АЛ1'ОРИФМЫ и МАШИНЫ тьюринrА 245

1'J если k > О и не имеет 1\!CTa ': 'Yh! r-: " 'Yh, то
: 'Yh! f-- 'Yh И 'Yh не поддается .
Если последовательность 'Y. ..., 'Yh удовлетворяет ус-
ЛОВИЯ1\! а) B) И условию : 'Yh! f-- "(h (: 'Yh! f-- ''(h)!
то будем в зтом случае писать : a (: a'),
Из определения следует, что если нормальный алrо-
рифм  переводит сдово CG в слово , то  однозначно оп
ределяется по  и а. Если алrорифм  заключительно
переводит CG в , то  не может просто переводить CG в
. Ясно также, что если CG не подд:аетя , то  не пере-
водит CG ни в какое слово. Из этих своЙств получаем, что
если нормальныЙ алrорифм  преобразует слово CG в сло-
во , то  однозначно опредеШlется по  и CG (это оправ.;
дывает оБО3'начение  (а)::: ). Если нормальный алrо-
рифм не преобразует слово CG ни в какое слово, то rOBo-
рим, что алrоритм  nе nримеnи.м  слову а. Заметим,
что если нормальныЙ алrорифм  == <А, S> не применим
к слову CG алфавита А, то существует бесконечная пос-
ледовательность слов 'Уо == а, 'У!, 'У2, ..., 'Уn, "., для кото-
рой : 'У/ f-- 'Ун!, i Е (J).
В дальнеЙшом тройку <а, , б>, принадлежащую схе-
ме S в алфавите А, будем изображать более наrлядно:
CG --+, если б == О, п CG --+ ., если б == 1, предпола1'ая,
конечно, что символы --+ II . не прпнадлежат алфавиту
А. При этом схему S будем задавать через нумерацию
ТalШХ слов.
При м ер 2. Пусть А == {Qo, Ql' Л, V, " (, ), а}.
Рассмотрим нормальный алrОРllфМ  == <А, S> со сле-
дующеЙ схемоЙ:
1) aQo --+ Qoa, 6) а ( --+ (а,
2) aQ! --+ Qia, 7) а) --+ ) а,
3) а Л --+ Л а, 8) a--+.VQо),
4) а V --+ V а, 9) Л --+ (а.
5) а "l --+ I а,
Предлаrаем читателю проверпть, что если Ф  фор-
мула ИВ в алфавите А \{а}, то (Ф)==(ФVQо), Для
иллюстрации ero работы вьшпшем ряд последовательных
подстановок, осуществляемых ал1'ОРИфМОМ , начинаю-
щим с формулы (Qo Л I Ql)' При этом часть CJlOBa, КО-

246 rл. 7. АЛ1'ОРПТМЫ II РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
торая заменяется на данном этапе, выделим скобкой ........:
(Qo А ,Q1)(a(Qo А ,Q1)((aQo А ,Ql)
........ ........... 
 ((Qa Л , Q1)  ((Qo Л а , Q1)  ((Qo А I aQ1)--+
1............., -  
((Qол ,Q lа) ((QоЛ ,Q1).((QоЛ ,Q1)VQO)'
Сформулируем теперь основное принципиальное поло
жение об «универсальносl'И» нормальных алrори:фмов.
При н Ц и п н о р м а л и з а Ц и и. Любой алеориТ,}t
nад f;;ОНСЧНЫ,}t ал,фавитом А Эf;;вивал,сnтсn относитсл,ьпо
А nCliOTopOJ.ty nор.маЛЬnО,tу а.леориф.му над А.
Основания к справе,ШIИВОСТИ этоrо принципа, не яв
ляющеrося математическим утверждением, оБСУЖ;:J.ались
по ходу изложения с caMo1'o начала параrрафа.
Может показаться, что требован;ио конечности алфа-
вита не позволяет рассматривать нормальные алrориф-
мы как адекватное отображение по'нятия аю'оритма в
математине. Однако, это не являетс;} существенным o1'
раничением. Дело в том, что если некоторый алrОРППl !в
действует на множестве ]И, то элементы множества lИ и
элементы !В(т) должны задаваться эффективно, c.тreдo
вате.тrыlO, элементы ]и и !8(т) имеют конечное ЧIIС.тrо
це.тrочис.тrенных инвариантов, причем вычисление этпх
пнвариантов и восстановление по ним объекта можно
осуществить с помощью некоторых алrоритмов «l\ОДПрО
ванпЮ> и «декодированию>. Таким образом, достаточно or
раНИЧIIТЬСЯ алrоритмами, деЙствующими на послодова
тельностях натуральных чисе.тr и выдающих в качестве
значенпЙ также последовательности натуральных чисел.
Последовательности же натуральных чисел можно зако
дировать самими натуральными числами (например, co
поставив последовательности По, ..., n. число 2 n о+1.
З N +1 nп +1
. 1 . . .. . Р п  , 1'Ae Ро, PI, ., " Р.  простые числа, BЫ
писанные в порядке возрастания). Поэтому вопрос об
уточнении понятия алrоритма сводится к вопросу об ОШI
сании Rласса функциiI f: Х -+ Ш, rде Х S= шn, дЛЯ IШТОРЫХ
существует ал1'ОРПТМ вычисления в упомянутом в нача
ле параrрафа интуптивном смысле.
Всюду в дальнейшем под час7'UЧnОЙ фУnf;;цией будем
понимать отображение f: Х -+ Ш, rде Х S= шn для HeKOTO
poro n Е (i). О частичной функции f: Х -+ (i), Х s; (i)n, бу
дем rоворить кан о вычислиJ./ОЙ, еСJIИ существует алrо.

 35. НОРМАЛЬНЫЕ АЛ1'ОРИФМЫ II МАШIШЫ ТЬЮРlшrА247
ритм , деЙствующий на шn, не применимый к nKaM ёi Ф.
ФХ, дЛЯ KOToporo (ёi)==t(ii),iiEX. Для изображения на-
туральноrо числа т мы будем использовать не обычную
десятичную запись, а более простую запись 11 ... 1, 1'де
число единиц равно т + 1. Такое слово будем далее Ha
зывать записью числа т и обозначать через m. Набор
чисел (тt, ..., т n > будем изображать словом а ==
==m 1 0m 2 0, ..., От n и называть это слово записью n-пи
а.==<т" ..., m п >.
Оп р е Д е л е н и е. Частичная функция t: Х -+ ro, Х s:
s: шn называется нормально вычислщ,toй, если существу-
ет такой нормальный алrорифм  =<А, S>, что О, 1 Е А,
дЛЯ любой пки (т" ..., т n > Е (J) имеем
(т" "" т n > Е Х   применим к записи (т" ..., т n >
и  (а) == t (а.) для а. Е Х. Такой алrорифм  будем Ha
зывать нор.taЛЬНЫl>t алеорифЛIОМ, вычисляющим фуип-
циlO t.
Принцип нормализации для частичных функции бу-
дет теперь rласить: пласс вычислимых частичных Фунп-
ций совпадает с плаССОl>t нормально вычисимых частич-
ных фунпций.
При м е р 3. ПострOlШ нормальный алrорифм , BЫ
числяющий функцию х 2 . Пусть  == <А, S>, rде А ==
== {О, 1, а, Ь, с, d, е}, а члены S располаrаются в следую-
щем порядне:
1) сl -+ Оас,
2) аО -+ Оа,
3)
4)
5)
6) ed -+ а1,
Проиллюстрируем работу Данно1'О алrОрИВlа на запи-
си числа 2:
111  Ьс  1  ЬОас1  ЬОаОас  ЬООаас  ЬОаеОас 
еа -+ ае,
Оа -+ аеО,
ОС -+ а,
7)
8)
9)
10)
11)
ad -+ d,
Od -+ d,
Ьс -+ . 1,
bd -+ . 1,
1 -+ Ьс.
........
........
 ЬаеОеОас  ЬаеОеаеОс  ЬаеОаееИс  ЬаеаеОееОс 
........
 ЬааееОееОс  baaet Oeed  ЬааееОеаl  baaeeOd11 
 Ьааееа11  baaed111  baacll111  саИ111 
 bd1111  .11111.

248 1'Л, 7. Алrоритмы и РЕНУРСИВНЫЕ ФУННЦИИ
Перейдем к описанию класса ал1'ОРИТМОВ, KOTOpblll:
был введен А. М. Тьюринrом и Э. Постом в 193G 1'.
Пусть заданы два конечных множества А Il Q, не co
держащих букв L II R. Множество четверок Р == {<Xi, Yi,
U i , Vi) I i ::о;; т} называется проера.tМОЙ с внешним алфави
том А и с внутренним алфавитом Q, если Х; Е Q, У; Е
Е А, и;Е Q и и; Е А U {L, R} дЛЯ любоrо i.:;;; т. В даль
нейшем элементы проrрамм.ы <х, У, и, и> будеl называть
но,мандами и обозначать через ху  ии.
Оп р е Д е л е н и е. Машиной Тьюрища называется ше
-стерка <А, Q, ао, qo, ql, Р), удовлетворяющая следующим
,условиям:
1) множества A,'Q конечны, не пересекаются и не
содержат букв L, R;
.2) аоЕА; qo, qIEQ;
3) Р  такая проrрЮПIa с внеШНIIМ алфаВИТО:.\1 А и
внутренним алфавитом Q, что
а) не существует двух различных четверок в Р, у KO
торых первые Il соответственно вторые члены совпадают,
б) qo не является первым членом ни одной четвеРЮl
из Р.
Маuщнным словом С внешним алФавита},! А и вHYT
реннИ.м алфавито:iIt Q (или просто машинны.М слово.И в
<А, Q»), называется таное слово а в алфавите А U Q, что
а является словом в алфавите А U {q} для HeKoToporo
q Е Q и а содержит ровно одно вхождение спивола q.
Пусть а  слово в алфавите В и а Е В. СЛОБО ааа
будем обозначать через аа. Если а == ba1c, rде Ь, С Е В,
то через аа будем обозначать
а) слово al, если Ь == с == а;
б) слово alC, если Ь == а и с 9'= а;
в) слово bal, если с == а и Ь 9'= а;
1') слово а, если Ь 9'= а и С 9'= а.
Пусть а и   машинные слова в <А, Q) и элемент
q Е Q входит в а. Будем rоворить, что машина Тыорин
1'a М == <А, Q, ао, qo, ql, Р) переводит слово а в слово 
1\1
(обозначаем а  )! ес.тIИ выполняются следующие Tpll
условия:
,1) если аа о == a 1 qaa 2 11 qa --+ rb Е Р, Ь Е А, то  ==
== (a 1 rba 2 !ao;
2) если а йо == a 1 aqba 2 и qb--+rLЕ Р, то  == (a 1 raba 2 )a o ;
3) еС.1JИ аа о == a 1 qaa 2 и qa --+ rR Е Р! ТО  == (a 1 ara 2 )ao'

 35. НОРМАЛЬНЫЕ АлrоРиФмы и МАШИНЫ тьюрин1' А 249'.
Отметим, что машина М может, переводить слово а
только в ОДНо слово. Это следует из условия 3 а) опре
деления машины Тьюринrа. Если машинное слово а в
<А, Q) не переводится машиноЙ Тьюринrа М ==<А, Q, ао,
qo, ql, Р) ни В какое сдово , то будем 1'оворить, что
а  туnи1>овое слово для М. Заметим, что из условия 3 б)
опрвделения машины Тьюринrа следует, что если Ma
шинное слово а содержит символ qo, то оно является TY
пиковым дЛЯ М.
Пусть а  машинное слово в алфавите В. Слово, по
лученное из а заменой всех вхождений символа Ь на пу-
стое CJIOBO, будем обозначать через alb.
.' Оп р е Д е л е н и е. Пусть М == <А, Q, ао, qn, Ql, Р) 
машина Тьюринrа и а,  слова в алфавите А \ {а о }, Бу-
дем 1'оворить, что машина М nреобразует слово а в сло
во  (обозначаем М (а) == ), если существует последова-
тельность "{о, .,., "(N машинных слов в <А, Q), удовлет
воряющих следующим условиям:
1) "(О == qta;
2)  == ("{nIQoJlao!
3)
м .
i'c--i> i'i+1, l < N.
Заметим, что если для последовательности "(о, ,.., 'У"
выполнены условия 1) 3), то слово "(N содержит вхож
дение qo, так как   слово в алфавите А \{а о }.
Ясно, что машина М может преобразовывать слово а:
только в одно слово. Если машина М не преобразовы
вает слово а ни в какое слово, то будем 1'оворить, чrо
машина М не применима к слову а или что значение
М (а) не определено. В этом случае или существует бес
конечная последовательность "(о, .. " "{n, ,.., n Е ro, для
1\f
которой "{О == qla и i'("-Yi+1' i Е ro, или существует конеч,
ная последовательносrь машинных слов "{о, .. " "(п. удов.
летворяющая условиям 1) и 3), а "( n  тупиковое слово,
не содержащее qo.
Оп р е Д е л е н и е. Частичная функция f: Х....... ro, Х s;;
5: ro n , называется вычислимой по Тьюрин'еу, если суще
ствует машина Тьюринrа М == <А, Q, ао, qo, ql, Р), дЛЯ
:которой выполняются условия:
а) О, 1 Е А, ао 9= О, ао 9= 1;
б) машина М применима :к записи пки а-<=? а,Е Х;
в) 1If(а1==е для аЕХ и t(a)==e.

250 t'Л. 7. АЛ1'ОРИТ:МЫ и РЕНУРСИВНЫЕ ФУННЦИИ:
Такую машину Л! будем называть Jrtашинои Тьюрина,
вычисляющей ФУНf>цию 1.
Очевидно, что все вЫчислимые по Тьюринrу частич
ные функции вычислимы.
При м е р 4. Построим машину Тьюринrа М, вычис
.1IЯЮЩУЮ фУНКЦIlЮ 1(17) == 217. Пусrь М == <А, Q, а, qo,
q" Р>, rДе А == {О, 1, а}, Q == {qo, q" qз, qз, q4}, а Р co
стопт из следующих четверок:
q,1 -+ qзО,
qзО -+ qз L ,
q.O -+ q41,
qзО -+ qз R ,
qza --+ qзО,
q 4 1 -+ q4 L ,
q з 1 --+ qзО,
qза --+ q.L,
q.a --+ qoa.
Предоставляе:ll читателю самому убедиться, что эта
машина действительно вычисляет фушщию f (ll) == 217.
Д.-ш иллюстрацИII' ее работы выпишем (<процесс ВЫЧIIС
ления» 1(2):
]1[ 1\.1 1\.1 ]1[ ]1[
q l 111  qзО11 > Оqз11  Oq201  q2 001 
м м ]1[ ]1[ м м
 q2a001  qзООО1  ОqзОО1  ООqз01  OOOq H 1 """'+
м М м и м м
 OOOq20  OOq200  Oq2000  q20000  q2aOOOO 
м м 1\1 М М
-----;. qзООООО  OqJOOOO  ООqзООО  ОООqз ОО 
М М ]1[ М М
 ООООqзО  ОООООqз  OOOOq!O  OOOOq!1 
м ]1[ м м 1\.1
 OOOq!Ol  OOOq!11  OOq!011  OOq!111 
м м м м м
"""'+ Oq!0111  Oq!1111  q!Ol111  q!11111 
м м
 q!a11111  q o al1111.
Имеет место следующая
т е о р е м а 1. Класс частичных фУНf>ций, вычис
лu.tых по Тьюринzу, совпадает с f>лассом нор.лtaльно вы-
числимых частичных фУНf>ций.
Доказательтво Toro, что ВЫЧИСЛИl\lые по Тьюринrу
функции нормально вычислимы, мы предоставляем чи
тателю в качестве упражнения. Доказательство друrоЙ
части теоремы довольно rромоздкое и состоит по суще
ству из выписывания большоrо количества проrрамм, по
"тому мы ero опJ'скаом.

!i 36, РЕНУРСIIВНЫЕ ФУНlЩIПI
251
в силу теоремы 1 следующий тезис равносилен lIрИН
ципу нормализации для частичных фунr{циЙ: любая вы
числuмая, частuчпая фующuя вычuслufttа по Тьюрuпу
(тезис ТЬЮРИН1'а).
Упражнения
1. ПОСТРОlIТЬ нормальный алrорифм, эквивалентный относи-
тельно алфавита {(Jo, Ql' Л, V, 1, , (,)) алrоритму, описанно-
му в примере 1.
2. Построить нормальный алrорифм !! над алфавитом А такой,
что для любоrо слова а в алфавите А !!(а) :; аа.
З. ДОl\аЭilТЬ, что класс функций, вычислимых по Тьюринrу,
заМIШУТ относительно суперпозиции.
 36. Рекурсивные функции
в настоящем пара1'рафе мы приведем способ уточне
ния понятия вычпслимой функции, который .можно Ha
звать аЛ1'ебраическим, так как определяемыЙ класс
функций будет порождаться из некоторых простейших
функций с помощью некоторых операциЙ.
Напомним, что под частичноЙ функциеЙ мы понима
ем здесь всякое отображение f: Х....... ш, rдe Х S;; шn для
HeKOTOpo1'O n Е Ш. Число n в этом случае называется Me
стностью чаСТIIЧНОЙ функции ! и обозначается через
'v (1). Если !: Х....... (J)  частичная функция, то будем Ha
зываrь ! Hидe пе определенной при Х:; 0 и всюду on
ределеппой при Х:; (J)v(f) *). Всюду определенную ча
стичную функцию в дальнеЙшем будем называть просто
функцией. Частичную функцию местности n будем назы
вать nместноЙ частичноЙ функциеЙ. Мы ДОПУСКае{ слу
чаЙ, Korдa n == О. Тоща О-местная функция !: ш О ....... (J) бу
дет состоять из одноЙ пары (0, n) для HeKoToporo n Е (J)
И часто будет отождествляться с числом n. Всюду в даль
неЙшем буквы т, k, n, i и j, возможно С индеКСЮlll, бу
дут обозначать натуральные числа.
Пусть f: Х....... (J)  nместная частичная функция. Ec
ли (m l , ..., т n ) Е Х, то !(m l , ..., тn) это значение
функции f на nKe (ml, ..., тn>.Если (ml, ..., т n > Ф Х,
*) Отметим, что если f  частичная функция, то ее местность оп
ре делена по f однозначно в случае, коrда f не является ниrде не
определенной. Ниrде не определевные функции местности п и т
для любых п, т Е iJ) равиыI.

1
,1
252 1'Л. 7. Алrоритмы и РЕНУРСИВНЫЕ ФУННЦИII
то будем 1'оворить, что !(т" ..., т,,) не определено или
что f не определена на пKe (т" ..., т,,>.
Ясно, что для задания частичной пместной функции
f Достаточно ДЛЯ любой пки (т,. ..., т n > сназать, оп
ределено ли Нт" .." т n ), и если определено, то YKa
зать число k==!(т" "" т,,). ЕСЛlI f И gчаСТIIчные
функции, то будем писать '
f(т,. ..., т n } == g(m,. ..., mnJ.
коrда обе части равенства определены и равны, либо
обе части равенства не определены.
Пусть fl?n  семейство всех пMeCTHЫX частичных
фу:нкций, а fl? == u fl?n  семейство всех частичных
n6Ы
функцпй.
Опреде:шм на семействе .СВ всех частичных фующий
операторы S. R, М, которые СО.храняют ВЫЧИC.1Iимость
функций.
Пусть п, k Е Ю, f  (п + 1) местная частичная функ
ция, go, ..., gn  kfестные частичные функции. ОIIре
деЛЮ,1 k-меетную частичную функцию h следующим об-
разом: } (т!, ..., mk) не определено, если хотя бы одна
из частичных функциЙ go, ..., gn не опре;:э,елена на
<mr, ..., т.>. и если все go, .... g" определены па
<т" ..., тk>. то
}/.(т" .... т.)==f(go(m i , ..., mk), ..., gn(mt, .... т.)У.
Будем rоворить, что h пdлучен.а рееулЯ[тоЙ суперпОЗll
цией из f, go, ..., gn И обозначать это следующим образом:
h == S.. n и, go, ..., gn). Оператор (рееулярн.оЙ cyпepп031l
ции) S.." является RСЮДу определенным отображенпем из
Рп+l х .r+l в !l?/< и сохраняет ВЫЧIlс.пПl\IОСТL, т. е.
если частичные функции f Е: g,)'Чl; go,..., gn Е o\
вычпслимы, то И частичная ФУН1щия S" n (1, go, .. " g n)
ВЫЧIIСЛlша. Верхние индексы у оператора S будут OllY
снаться II вместо S и. go, ..., gn) будет, нан правило,
использоваться более привычное, но менее точное обозна-
чение f(go, ..., gn).
Пусть п Е Ш, f Е ,?'!?n, g Е .TI1+2' Определим по ! п g
(п + 1) -местную частичную фующию h та к, что д.lIЯ лю
бых т" ..., т ,. Е (i)
h (т" .... т n , О) == Нт" ..., т,,);
h (т" .,.. т n , k + 1) не определено, если h (т" ..., 7n", k)

!; 36, РЕНУРСИВНЫЕ ФУННЦТПI
253
не определено и h(т 1 , "., т n , k+ 1)==g(т" ..., т n ,
k, h (т 1 , "., т n , k», если h (тl, ,,', т n , k) определено,
Очевидно, что h однозначно определена по f и g и вычис
лима, если вычислимы f и g. "Указанное определение h по
f и g задает оператор Rn+l; 2n х 2n+2 --+ 2n+l, HOTO
рыIй назовем оператором nримитивпой репурсии. Про
функцию h == Rn+l (/; g) будем rоворить, что она полу
чепа примитuвпой репурсией иа фуппций f и g. Верхний
индекс у оператора Rn+l будем опускать.
Пусть n Е Ш, f Е fВп l' Определим по f такую nMecr
ную частичную функцию g, что для любых k, т 1 , ...
..., т n Е w g(т 1 , ..., т n ) == k тоrда и только тоrда, КО1'да
Нт" "., т n , О) == О и k == О или k> О и Нт" ..., т n , О), ...
., " Нт" ..., т n , k  1) определены 1I не равны HY
лю, а f(т 1 , ..., т n , k) == О. Ясно, что такая Фунн"
ция g существует и однозначно определена по f; кроме
Toro, если f  вычислимая функция, то из определения g
видно, кан вычислять g. Таким образом, aдaH оператор
МN  оператор мипи.миаации  из 2пн в 2n; если g =-
== мn (/), то будем 1'оворить, что g nолучепа .!ltипи.миaaци
ей иа f.
Вааиспы,,'аи фующиЯJИU называются функции о, s, Iт:п
(1  т  n), rде (;  одноместная функция, I\оторая на
люБОI n принимает значение О, s  одноместная Функ
цня, ПРI1нимающая на числе n значенпе n + 1, а I":n 
пместная фушщия,  принимающая на наборе <k" ...
,.., k n > значение k т . ОчеВIIДНО, что базисные фУНI\ЦИИ
вычислимы,
Оп р е Д е л е н и е. Частичная функцпя f называется
чаСТllч1iО репурсивпой, если существует такая конечная
последовательность частичных функциЙ go, ..., gk, что
gk == t II каждая gi, i  k, либо базисная, либо получает
ся из неноторых предыдущих реrулярноЙ суперПО311Цllей,
прпмитивной рекурсиеЙ или МИНIIмизацией. Эта после
довательность go, ..., gk называется определяющей пo
следователыlOСТЬЮ для f. Если для всюду определен
ной частично рекурсивной функции f существует опре
деляющая последовательность, состоящая только из
всюду определенных функциЙ, то f называется pe
пурсивной.
В следующем параrрафе будет доказано, что любая
всюду определенная частпчно рекурсивная функция яв
ляется рекурсивноЙ.

2М
1'Л, 7, АЛ1'ОРПТМЫ II РЕНУРСIШНЫЕ ФУННЦПII
,
Из данноrо определенпя и прпведенных выше заме
чаний о. сохранении ЕЫЧИСЛИМОСТИ операторами S, R, М
леrко следует, что всякая частично рекурсивная фУНКЦИЯ
является ВЫЧИСЩПЮЙ.
Обратное утверждение носит название тезиса Чёрча:
.любая, вЫЧllС.IЩ,'rtая, частичная, фующия частично ре.
пу рсивна.
Исторически именно это утверждение было первым
точным математичеСЮПI определенпем понятия (алrорит.
мически) вычислимоЙ фУНКЦИИ.
Имеет место следующая теорема, доказательство ко.
торой МЫ опустим из-за e1'o rромоздкости.
т е о р е м а 2. Класс частичuо репурсивuых фуuпций
совпадает с пласСом фунпций, вычислимых по Тьюринzу.
Таким образом, тезис ТЬЮРИН1'а эквивалентен тезису
Чёрча.
Пусть k, n Е ro, а.  некоторое отображение множе.
ства <1, ..., k} в множество <1, ..., n}, f  kместная
частичная функция. Будем rоворить, что nместная час.
тичная фУНКЦИЯ g nолучеuа из f nодстаuовкой а., если
для любых тl, ..., щ n Е (i) имеет место соотношение
g(тl, ..., тnУ == f(тCJ.!, .. " ma.l.J.
Будем использовать В этом случае обозначение g == fCJ..
Пр е дл о ж е н и е 1. Если f  частично рекурсивuая
Фунпция, и g получена из f подстановпой а., то g частич.
uо репурсивuа.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Ле1'КО проверить, что если g ==
== r! то
g == sn,1>l и, Il! ,., ,! I1»' О
Пр е Д л о ж е н и е 2. Следующие фуuпцuи репур.
сивны:
1) uульместные фунпции п, п Е ю;
2) двухместная фуuпция сложеuия +;
3) двухместная фуuпция умножеuия .;
4) двух.местная фунпция усеченной разности, , опре.
деленная следующим образом:
тп=={
тn, если n<т,
о в противном случае;

!I 36. РЕl\УРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
255
5} одnоместnые фующии sg и sg,
дующим образом:
sg (п) == { '
 { 1
sg (п) == о'
определеnnые сле
если п == о,
в противном случае;
если п == о,
в противном случае;
6)' двухместnая фующия идеnтификации б, oпpeдe
леnnая следующим образом:
б ) { о, если п == т,'
(п, т == 1 в противном случае.
Д о к а з а т е л ь с т Во. Покажем рекурсивность нуль-
местноЙ функции (< О, п) } индукциеЙ по п. Функция
{<О, о)} равна М(о)'. Если функция (<О, п)} рекурсив-
на, то рекурсивна функция 8({<0, п)})== (<О, п + 1)},
Tal{ как п + 0== п и п + (т + 1) == (п + т) + 1, то функ
ция + равна R (1', 8 (1;)). Из равенств п . О == О и
n . (т + 1) == n . т + n следуе'r, что функция  равна
R (о, I + 1;) .
Для Toro чтобы ноказать рекурсивность усеченной
разности +, рассмотрим одноместную функцию +1, оп
ределенную так:
. 1 { о, еСJIИ п == о,
п 
,  п  1, если n =1= О.
Она равна R (о, Ii), поэтому рекурсивна. Так кан
п:":" (т + 1) == (n"':'" т)...:... 1, то функция"':'" равна R (1, I....:....
....:.... 1), следовательно, также яляется рекурсивной.
Рекурсивность функциЙ 5) следует из равенств sg ==
==R(O, 8(0(1;))) и sg == R(1, 0(1;)).
Пусть а: Н, 2}..-+Н, 2} таково, что а(1)==2, а(2)==1,
а f  функция, полученная из функции ...:... подстанов
кой а. Тоща для функции б справедливо равенство
б == S (sg, S (+, ...:..., f). Из рекурсивности функций sg,"':'"
И предложения 1 получаем, что функция идентификации
б является рекурсивноЙ. О
Для заданпя реку.рсивных функций и изучения их
свойств удобно пользоваться специальным формальным
языком Н:,;, который похож на язык, описанныЙ в  16.
Пусть V == {vil i Е ю}  множесrво переменных, элемен

256 rл, 7, Алrоритмы 1I РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦИЙ
ты KOToporo будем обозначать буквами х, у, z, W, п, B03
можно с индексами.
Пусть  == (Н, Р, 1-'-)  некоторая конечная сиrнатура
такая, что F 2 РО == {О, s, +, .}, rде О  символ нульмест
ной функции, s  символ одноместной функции, +, . 
символы двухместных функций; н 2 Но =={ <}, rде < 
символ двухместноrо предиката.
ОпредеJlение выражений (синтаксис) языка Н]'. будет
завис.еть еще и от семантики этоrо языка. Поэтому опре
деление синтаксиса и семантики будет вестись одновре-
менно, но прежде Bcero зададимся фиксированной алrеб
раической системой QJ: сиrнатуры  с основным множе-
ством (i) и такой, что значения символов сиrнатуры o ==
==(Но, ро, 1-'-0) совпадают с функциями и предикатом, обо
значеННЫМlI Э11ИМИ символами ранее (например, симво-
лу . соответствует операция умножения натуральных чи
сел).
Итак, будем одновременной индукцией определять
понятие -TepMa, фор.мулы (более точно было бы ro
ворить об QJ:TepMax Il QJ:-формулах), множества сво-
бодных переменных FV (t) и FV (ер) TepMa t и --фор-
мулы ер соответственно, натуральное число t[ 1)] и истин
ностное значение ер[1']] Е {и, л} для всякой интерпрета
ции 1']: Х --+ Ю, rде Х s; V, FV (t) s; Х, FV (ер) s; Х:
, а) символ О является -TepMOM, FV (О) === eJ и 0{1']] ==
==0;
б) перем:енная х Е V является TepMOM, FV (х) ==
=== {х}, х[1']] == 1) (х);
в) если f Е Р:"""" nместный функциональный символ,
t l , . . ., t n  TepMЫ, то f (/1, . . ., t n )  -TepM;
FV{f{tl, ..., t n » == FV(t 1 ) U ... u РV(Ц; f(tl' ..., tn) [1']] ==
ос: j!J!. и1 (n1, ..., t 1l (1']1), здесь f!J!.  n.местная операция
алrебраической системы QJ:, соответствующая СИ1'натур-
ному символу f;
1') если Q  nместный предикатный символ из R,
а t 1 , ..., t n  TepMЫ, то Q (t l , ..., t n )  формула,
FV(Q(t 1 , ..., t n »==PV(t 1 }U...U.PV(tn);Q(t 1 ,...,t n )[1']J==
== и-<=> <t 1 [111, . . ., t 1l [1']J) Е if!., здесь Q':J!.  n-местный
предикат, соответствующий в алrебраической Системе QJ:
предикатному символу Q;
д) если t 1 , t 2  TepMЫ, то t 1  t 2  формула,
FV(t 1  tJ == FV(t 1 ) U FV(t2),(tl  t 2 ) [111 == и -<=> t 1 [1']}==
== t 2 [1')];

 36, РЕНУРСIIВНЫЕ ФУНRЦIШ
257
е) если qJ и Ф  -формулы, то ,ер, (ертф) для Т Е
Е{;\, V,}также формулы, FV(i ср)=== FV(cr),
FV (ерТф) == FV (ер) U FV ('1') и (! ер) [Ч) == i (ср [111),
(ерТф)[Ч] == ер[ч]-rф[YJ], [де операЦIlИ i,;\, V ,определе
пы на множестве {и, л} таБJ1lщеЙ (1) пз  6 с заменоЙ
«О» на «л» и «1» на «и»;
ж) пусть qJ  формула, х Е V И для любоЙ интер
претации YJI: X--+w, для котороЙ хфХ и FV(ep)s:XU{x},
существует такое nЕ w, что qJ [Ч] == II для YJ == ЧI U их, n)};
тоrда f-tхqJ  TepM, FV(f-t.щ)== FV(ep) \{х} и (f-tхqJ) [Ч] 
наименьшее по Е w, для KOToporo qJ [ч'] == п, rде ч' ==
==(Ч\{<Х, YJx)})U {<х, по)}.
Индукцией по построению -TepMa (формулы) 8
леrко устанавливаеrcя, что для любых ШLтерnретаций
чо: ХО --+ ((), Ч,: Х 1 --+ (() таких, ЧТО FV(8) s: ХО n Х 1 и для
всех х Е FV (8) ЧО (х) == ЧI (х), выnолпяется равеliство
8[Чи] == 8[YJI]'
I\ак обычно, вместо + (t l , t 2 ) (, (t l , t 2 ) буде1 писать
(t l + t 2 ) ( (t l . t 2 ) и иl < t 2 ) вместо < (t l , t 2 ). Кроме Toro,
будем пользоваться обычными сокращениями Д,1Я Tep
мов и формул, припятыми В арифметике и исчнслеНIIП
ВЫСI\аЗЫваний (например, вместо (х + ((z . z) + (х . У))) 11
(( ер 1\ '1')  ер) будем. писать соответственно х + Z2 + ху и
(ерl\ф)qJ).
ДJlЯ ормулы qJ И интерпретации Ч: Х --+ ((), PV (ер) s:
s: Х, часто вместо «ср [Ч] == и» будем ПlIсать «ср [Ч] истин
но» или просто «ср [f]]», а вместо «ср [чl == Л» будем пи
сать «ср [Ч] ложно» или «--, qJ [Ч)). ..
Пусть 8  TepM или формула. Вхождение пере
меннои хв 8 называется свободпыМ" если оно не Haxo
дится в подслове вида f-t.нр, явлюощемся TepMOM. Если
вхождение переменной в е не является свободным, то
оно называется свяаанпыМ,. Леrко проверить, '{то множе-
ство FV(8) состоит В 'fОЧНОСТИ из переменпых, имеющих
свободные вхождения в 8.
Пусть 8  -TepM Р>формула), XI, ..., Х" Е V 
различные переменные, t l , ..., t n  >TepMЫ такие, что
для любоrо i Е Н, ,.., n} 11 любоrо У Е PV и.) ни одно
свободное вхождение в 8 перемнной х. не содержится
в терме вида f-tУ ер , ЯВЛЯЮJЦемся подсловом 8. Torдa
(e)ll:,',':,: будет обозначать результат замены всех CBO
бодных вхождениЙ пере:\lенных XI, ..., Ха на TepMЫ
t 1 , ..., t" соответственно.
17 10. Л. Ершов, Е, А. ПЦIOТllfl

258 rл, 7, АлrОРIIТМЫ И РЕНУРСИВНЫЕ ФУШЩШI
ИндукциеЙ по построению >TepMa и формулы без
труда устанавливается следующее
Предложение 3. Если eTep.}t (ФОРJ,tула),
Xj, ..., Х N Е V  разлиЧllые nepeJltell1-llЛе, t 1 , ..., t " 
2>тер.ны таrше, ЧТО для е, х 1 , .." Х n , t" ..., t n eblnO.L
1lепы сфор.мулироватlые выше условия, ТО
1) е 1  (H)ll,',''''':;:n является "iлер.Jttolft (фор.Jttулой),
FV(e l )s(FV(e)\{x" ..., x,J)UFV(t l )U...UPY(t,,);
2) для любой и1lтерnретацuи YJ: Х  (() такой, что
(FV(e)\{x" ..., xn})UFV(t,)U...UFV(ln)sX, ebZnO.L
1-lяется равенство е l [11] 0== е [11 '], еде 1] f == {<у, YJ (У) > I у r:=
Е FV(e), уФ {Х" ..., Хn}} U {<X i , ([11]> li  1, ..., n}. о
Про TepM (формулу) Е\ == (6)::,'''::;:: будем rOBo-
рпть, что 81 получен из е подстапавкой TepMOB t l , ...
..., t вместо переменных Х" . . ., Хn.
I{ сожалению, условия для ВОЗlожносrи подстановкп
TepMOB вместо переменных не всеrда выполнены. Чтобы
всю'да иметь возиожность для Iюдстановки, введем сле-
дующие понятия. БудеI rоворить, что TepM (-фОрIУ-
ла) е получается из -теРll1а (фор'Мулы) е, за,ие1-l0й
связанной пере.ме1l1l0Й, если е получается из е, заменой
вхождения TepMa !-tХер на !-tу ((p), rде уФ FV (ер). -Tep
мы (формулы) е и е ' называются Yi01-lеРУЭ1-lТllыми, ес-
ли существует тю,ая последовательность ео, ..., е n , что'
80 == 8, <9n == 8 f , а e i +" i < n, получается из е; заменой
связанной поременной.
Очевидно, что отношение конrруэнтности является
эквивалентностью на множестве TepMOB и формул.
Предложение 4. Если е и е'КО1-lеРУЭ1-lТ1-lые-
тер.иы или ФорЛlУЛЫ, ТО РУ(е)== FV(e') и для любой
uптерnретацuи YJ: F V (е)  (i) uмеел е [11] == 8' [1']].
Д о к а з а т е л ь с т в о. ИндукциеЙ по длине е леrl\О
lIоказать, что если е' получается из е заменой связан
ной переменноЙ, то утверждение предложения истинно.
Далее индукция по длине последовательности ео, ..., е "
из предыдущеrо определения. О
Отметим, что для любоrо TepMa (-фориулы) е,
любоrо набора попарно различных переменных Х" ..., Х п
И любых TepMOB t" ..., t n существует TepM (фор
мула) е' такой (такая), что е' конrруэптен (RонrРУЭflТ
па) е и ДJIЯ е' вьшолпепьr УСЛОВlIЯ для ПО,J,стаНОUI{И

 36. РЕRУРСПВПЫЕ ФППЩIШ
2;)\)
(0'):::::';, Пользуясь ЭТШI СВОЙСТВОI !I предлоа>енпеы :l,
будем впредь использовать запись (e):'.:::, не забо
тясь о выполненпи условиЙ на связанные переменныв,
считая, что если этп условия не выполнены, то (8)':",::,
есть (e'):::': для >TepMa (:>фОрIУЛЫ) 8', Iюнrруэнт
ното (конrРУ::ШfНОЙ) 8, причем для 8' все УСЛОВIIЯ д:ш
1I0;J;становки уже выполнены.
НаПОМНИI, что подмножество Х s; А n называется n-
местным предикатом на А. В дальнеЙше1 ПОД преДlша
та:vш будем понимать преДIIкаты на ш. Еслп Х  пMeCT
ный предикат, то пместная фушщия Лх, определенная
слеДУIOЩИI образом: для любых тl, ..., т" Е w
, { О, если <т 1 , ..., т п ) Е Х,
ЛХ т , ... Тn п =='
(1 , ) 1 в противном случае,
называется представЛЯlOщей функциеЙ дЛЯ Х.
Наряду с предсrавляющей фунrщиеЙ лх предиката Х
часто пспользуют характеристическую функцию ХХ пре-
Дlшат Х, которая связана с фунrщиеЙ ЛХ соотношеНIlCЛI
ХХ == sg (лх) .
Предикат Х называется рекурсивным, если ero пре;(-
ставляющая функция лх рекурсивна.
Алrебраическая система Q:E называется реку pcив
Ной, если все фУIПщип и предикаты, соответствующие
символам сиrнатуры , являются рекурсивными.
В дальнейшем, rоворя о >формулах и 'TepMax (оп
ределение которых завИеит от фиксированной алrебраи
ческой системы Q:E), будем всееда предполаеать, что
Q:E  рекурсивная, алеебраическая систе;на.
Заметим, что преДlшаrы , < являются рекурсив-
ньши, таи КЮ, представляющей фующиеii для  являет-
ся функция IщентпфпкаЦШI б, а представлпющеЙ фуНI;
циеЙ для < будет рекурсивная функции sg(suп.:.... I).
С каж;1.ЪШ терIOМ (фОР:Vlу;rоii) можно связать
ce:-'IеЙство фующиЙ (преДlIкатов), Iюторые реализуются
<JТПМ repMoM (2)формулоii). Для обозначения ::JТИХ
фУlIIЩIlii (нреl,I1катов) будем lIСВОЛЬЗ0вать расIППрСННС
языка R:E, добавив новую пару СШ1ВО.'10В [,1 Iша;rраТIIЫХ
Сlюбок.
Персii;\С1 1, то'IПЬШ ОПРС;1.слеНПЯllI.
17*

260 1'.'1, 7, АЛ1'ОРИ'l'!ЧЫ II РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦIIII
Если t  TepM и FV (t) s {Xt, ., " х,,} s V, Х; =1= Xj
для i =1= j, то через t[x l , ,.., Хn] будем обозначать n:мe
стную функцию, принимающуlO на nKe (т t , , , ., т,,) Е ш n
значение t[YJ], rде YJ == {(Xj, тi> I i == 1, .,., n}. Если ер  
формула и FV (ер) s {Xt, .,., Хn} S V, Xj =1= Xj ДJШ i =1= j,
то через ер [Xt, ,", Хn] будем обозначать предикат
{(т t , ,.., тn>lер[ч] == и для 11 == {(Xi, тi>li == 1, ,.., n}}.
Заметим, что один и тот же TepM t реализует MHoro
функций; например, если FV(t)s {Х, у}, то t[x, у], t[y, х]
и t[x, у, Z], вообще rоворя, различные функции. Сим
ВОЛ [Xt, "', Хn] иrрает роль, аналоrичнуIO кванторам, он
связывает переменные Xt, ..., Х,,; так, например, если
FV(t)s{Xt, "., Х,,} И Уl, о,., упопарно различные
переменные, то имеет место равенство 
( ) Х 1'''' ''H
t [Х 1 , .,., ХН] == t иl'..,.У n [Уl' ., о, ун].
Пр е Д л о ж е н и е 5, Всякая фупущия и всякий npe
дикат, реализуемые -тер:лtом и формулой cooтвeT
ствеппо, являются рекурсивНы.ми.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 8  -TepI пли фор
:мула и FV(8)s{Xl' .." Xk}; индукциеЙ по построению
8 будем доказывать рекурсивность 8[х 1 , ..., x k ].
а) Если 8==0, то 8[х 1 , ""XK]==M(oи)).
б) Если 8 == Х Е V, то Х == Х;о для HeKoToporo io Е
Е Н, ..., ю; Torдa 8 [Х 1 , "., х/,] == Io'
в) Пусть 8 == j иl, ..., Ц, rде j  n-местныii функ
циональныЙ символ, t 1 , .,., t n  TepM:Ы; имеем FV(8)==
==FV(tt)U...UFV(t n )s{x 1 , ...., Xk}; по индукционному
предположению kместные функции gl == Цх 1 , ,.., Xk]' .,.
. .., gn == t" [Хl, ..., Xk] являют,ся рекурсивными. Если
jQ:r.  пместная рекурсивная функция, соответствующая
в модели Q:!; функциональному символу j, то, очевидно,
имеет место paeHCTBO 8 [Х 1 ". " Xh] ==8 (j'2};,gl" о . ,gn) ==
== jQ}; (gl' ..., g,,).
r) Пусть 8==Q(tt, "0, t,,)', rде Qп-меСТНЫI1 пре-
ДlIкатныЙ символ, tt; .. " t"  терIЫ. Имеем PV (8) ==
==FV(tl)U...UPV(t,,)S{Xl, ..., X k }; по IIНДУIЩИОННО1У
предположению kместные функции gt == t 1 [Xt, ..,
, .., Xk]' ..., gn == t n [Х 1 , ..., Xk] ЯВЛяются рекурсивными.
Если QQ:r.  nместныЙ предикат, соответствующий в MO
дели Q:!; предикатному символу Q, то по нашему соrла
шеШIЮ QQ:r.  рекурсивныЙ предикат; следоваТСJIЬНО,

 36, РЕНУРСПВНЫЕ ФУНIЩШI
261
rrQ  преставляющая функция предиката QQs  ЯВ.'I!I
е1'СЯ рекурсивноЙ. Леrко ПрОliерить, что kместная pe
курсивная функция S (rrQ, gl, ..., gn) является преk
ставляющеЙ для преlшата е [XI, ..., Хп]; сле;J,овательно,
этот пре),икат является реКУРСИВНЬВI.
;1,) Пусть е =:= t l  t 2 , rде t l , t 2  >терIЫ; престав
ляющеЙ фуlшцпеli для предиката е [XI, ..., Хп] будет pe
курсивная функция S (б, t l [X 1 , ..., Х п ], t 2 [XI, ..., Х п ]).
е) СлучаЙ, Korдa е имеет вид I <р или (<рТ'\1) д.'Iя
ТЕ{!\, V, -+} и для -ф6рмул <р И '\1, совсем очевиден
и оставляет,ся для разбора ЧIIтате.'IЮ.
ж) Пусть е  f.tX<p, rде <р  формула и выполнены
условия п, ж) опре)lеления TepMOB и -Формул, Тоrда
F V (<р) s: {X 1 , ..., Х,,, Х}. Будем предполаrать, что Х OT
.ТIИчно от всех переменных XI, ..., Хп; если это не тю"
то выбираем У Е V так, что У отлично от XI, ..., Хп И не
имеет вхождениЙ в <р, и вместо е рассматриваем тери
е'  f.tY (<p). По ИНДУIЩИОННОМУ преположению можно
считать, что (k + 1) местная функция g, представляю
щая предикат <р [Хl, ..., Хп, х], является рекурсивноir,
тоrда, как лerко ви;{еть, е [X 1 , ..., Х п ]  М (g), следова
тельно, фУIIКЦII!I е[Хl' ..., Хп] реI\урсивна. О
llашей осповноir задачей o l,онца параrрафа бует
доказательство Toro, что всякая реr.урсивпая фупr.ция и
Gсяr.ий репу рсивпый предикат реализуются отер:иом и
0-фОРJ1tулой.
Важньш шаrом в доказательстве этоrо утверЖденпя
будет рассмотрение следующеЙ ситуации: сиrнатура '
получена из сиrнатуры  добавлением одноrо kleCTH()rO'
ФУНКЦИОllальноrо символа f; алrебраичеСFая спстеra 1
ЯВ.'Iяется обеднеНIIе1 алrебраической системы Ql:" 3a
метим, что в этом случае всякий Tep}1 ЯБ.'шется и ' 
термом.
Пр е Д л о ж е н и е 6. Если сущеСТRует такой -Tep.1t
t o , что фупr.ция jQl:I, соответствующая в алzебраическоЙ
системе Ql:' СU.мволу f, реализуется TepNoM t o , то по лю
бому ' Tep);ty t', любой '-формуле <р' .чожпо эффеr.тив,
но построить TepM t, фор.мулу <р тапие, что FV (t) s:
s:FV(t'), FV(<p)s:FV(<p') и для любой иnтepnpeTaции
'YJ: Х ---+ ю, FV и') s: Х (FV (<р') s: Х). и.меет место paвeli
ство t'[ 11]  t[ 11] или <р'[ 11]  <р[ 11] соответствеюю.
Доказательство. Пустьj(j"2.'ttrХl' ".,Xh], Опре-
Делим индуктивно для любоrо '-Tepla ("фОрIУЛЫ):

2С2 1'a, ;, Ас'Irоритмы II РБI,УРСIIВIIЫЕ ФУШЩШI
8 слово 1'(8) так: а) еС.ТIII 8 не содержит символа j,
т, е. ес.'IП 8  >Tep1 IlЛП фОРlула, то 1'(8)  8;
о) если g Е F'  пместныЙ ФункцпональныЙ СШlI30Л,
ОТ.'IlIчныii от j, а t 1 , ..., t" '  термы, то r(g(t 1 , .,.
..., t,,»)g(r(tl), ..., r(in);
в) если t 1 , ..., tk'-ТСрlbl, то т (f(tl' ..., t,,))==
( ) Х1' .'" xh.
== t c r(l1),...,r('h);
1') еСШI Q  nMecTHbli'r пре;:(икатныii СIШВОЛ из R' 
==R, t 1 , .." t,,'TepIbl, то r(Q(t 1 , ..., t,,))Q(/'(tl),...
..., т'(ц);
д) r(tltZ)r(tl)r(tZ), если t 1 , tz'термы;
е) r(lep) I r(ep), 7'(ер'Пv)(I'(ер)тr'(11')) ДШI ТЕ{;'\,
V, --+}, если ер, 'Ф  'формулы;
ж) r(xep)== }txr(ep) для 'фОРIУЛЫ ер.
ИндукциеЙ по построению '-Tep;\lOB и 'формул, пс
пользуя преД.'Iожения 3, 4 и определение TepMOB, He
TPYl\IlO доказать одновременно следующие утвержденпя:
1) для Л70БОi?О 'тер....и t r(t) .являетсл Tep.'rtoJll и
FV (t) 2 FV (r(t));
2) для любой 'фОРJIIУЛЫ ер r(ep) является фор.ltУ
лой и Pv'(ep)2FV(r'(ep»);
3) если 8'Tep,e или 'фор.tула, FT1(8)S;;;;X, 11:
x)- ct}  Шlтерnретация, ТО 8 [11] == 1'(8) [11].
Ясно, что пз этих утверждеШlii вытенает II заRЛIO'fС
нне прrдлоа,еШJ!I. О
Совершенно ана.:rоrпчно ;rJ;онltзывается эффеI;тивнал
э.:rП:Ш1НпруеlОСТЬ пре;:(Iшатноrо СП)IВола спrнаrуры П3
Н'\Н, I\orAa существует l'>фОР:\lула без этоrо предш;ат
Horo CIIMRo:la, Рf'аЛИЗУlOщая соответствующиЙ. предш,[t т
л а.'IrебраичеСf\оii спстсще Qs,. ПО;)ТО:\lУ :\lЫ БУДЮ1 ссы-
.'Iапсл на пре,'.(.'Iожение G II Д,'Iя С.'Iучая нре,1;Тпtата.
Ес:ш дана -ФОIШУ.'Iа \f', то lxep не всеr;щ будет -
T('p:\fOI, а -Формулы с lшанторюш 3.пр п У.1'ер nообще
паШI не ДОПУСI,ались. По;)тому удобно пспользовать xo
тя бы «О1'раНIIченные» анаJIоrи этих операторов.
Оп р е Д е л е н и е. Пусть ер  -формула, t  -Tepf,
х Е V 11 хФFV(t). Введем следующие обозначеНIIЛ:
С1) р.1:  (ер == !1Х(ер V х  s(t));
б) 3,1: < tep  (L,r < [ер) < s и);
11) Vx<tep 13x<tlc,п.
ОчеВИДIlО, что /1Х  {ер, 3.1:  tep и V х  tep  -TepM
11  -формулы, FV (рх <щ) == Н' (3х  щ)  FV (У х <:
< (ер) == (РУ (ер) U FI' (t»",{х}, II длн Iштерпретацrrи 11:

\! 36, РЕНУРСIIВНЫЕ Фуннции
263
(F1'(t) U FV(ep)) \{х} --+ (U имеем
fнаименьше'IУ п < t [111, для котор01'0
,  }ер [11'], rде 11' == 11 U {<х, п>}
(,x < щ) [11]  l если такое п существует,
t [1']] + 1 в ПрОТИIIНОI случае;
(3х < tq) [11] == и {=>-
poro ер [У]'] == и, r,'\e
(V х < tep)[ 1']] == и 
(существует п  t r У]], дЛЯ KOTO
11' == У] U {<х, п)});
(длл всех п  t [11] имеем ер [У]'] == и,
T;e У]' == У] U {<х, п)}).
ВПС;1С[ в раССlIотреппе рЯ:l; рспурсшшых фУНКЦИlI п
пре:пшатов, J\обав.:IЯЯ соответстпующпе им символы к
ею'натуре Lo. Доuавп:1,1 1, clIl'IН1Type o еимволы для
фующп!t, опре,'l,е:ншпых n предложснпи 2 и не СО,J,ержа
ЩlТхся в o:
1) двух!естныii ФУШЩIIонаJlЫIЫП сим пол " сов па-
даrыцпii с обо:шаченпеI соотпеТСТПУЮlцей фупкции на ;
2) ,J,B:1 О,\по[()стных ФУШЩlIопальных символа sg и sg;
3) двухместныЙ Фунr,:циопальпыi'I СIПШОЛ б.
Н'роые то]'о, будем ПСПОЛL30вать сонро.щение п дл;r
L,,ТСIШо. s(... s(U)...), r;() с]шво,'I s встречается п р<"ц
11 Е (().
Ллrебро.llчеСЮIЯ спстеlа Q" полученноЙ сиrнатуры оп
ре;\С.lяется естеСТВСНПЬНI обра30I. 3ЮIеrrНI, что H:aa.:
лыii впе,lрппыil CIHIP.().l У;:J,ОВ.1етворяет условиям преД!lО
шенин 6:
1)  == f1Z ((z;::;; О Л (у;::;;;)' V l' < у) v (у < х Л у +
+ z;::;;.I)[,l', у];
2) sg == (1",,;- х) [х]; sg == (t  sg (х) )[х];
3) б == f1Z ((х;::;; у л z;::;; О) V (1 х;::;; у л l z ;::;; О) [х, у]
3аметим, что в правой части этих соотношений ис
ПОЛЬЗ0вались и новые Фунrщионалытые символы, дЛЯ KO
торых ранее было уже дано термальное выражение. ВБе
дeI ещf' ряд важных для дальнеi'rшеrо рекурсивных функ-
ций и реl<УРСИВНЫЙ предикат и соответствующие IШ
спмволы:
4)   двухместный преДИRат, имеющпй на (U свой
оБЫЧIIЫ!1 смысл; СIIrпатурныli: символ будет совпадать
с Э'fII:lI обозначепием;

2М rл, 7, АЛ1'ОРИТМЫ JI РЕНУРСIIВНЫЕ ФУННЦИИ
5) двухместную функцию [/ ], реапизуемую Tepfof
так:
[П == !lZ ((х < (8 (z). у» v (у  о 1\ Z  х» [х, у},
сиrнатурпыi'I спмвол будеттеf же саМЬНf; Юlесто записп
[/] (т, п) будем использовать запись [т/п]; теР)l
[/] (t l , t 2 ) также будем записывать в виде [Ц (2];
6) ОДНОlестную функцию [Y], реа.1JПЗУЮfУЮ Tep10:1,[
так:
[Y] == f!Y(x < S(y)2)[X],
СIIrнатурный символ будет тот же самый; вместо [Y](пY
БУ:I.е{ писать [Уп ], а вместо [f](t) будем писать [УТ];
7) двухместную функцию rest, реализуемую терfЮ{
тан:
rest == (х":'" ([х/у] . у» [х, у],
соответствующий сиrнатурныii СШfВол будет rest;
8) ДВУХfестную функцию с, реализуемую теРМЮl тан::
с==[((х+у)2+Зх+у)/2][х, у],
соответствующиii сиrнатурныii символ будет с;
9) одноместную функцию 1, реализуемую термом так:
1 == (х ...:.. [([ ([У 8х + 1 ] + 1)/2]) ([ ([У 8х + 1 J"':" 1)/2])/2])[х]{
соответствующий спrнатурнып символ будет 1;
10) ОДНОlестную фуНlЩ ИЮ r, реаЛlIзуеIУЮ TepIO! так:
r==([([1'8x + 1] ..:...1)/2]":': '(х) )[х],
соответствующиii спrнатурныii символ будет r;
11) двухместную фУПКЦШО , опредедеппую тер"ши
так:
(:\ "'" tZ  r (х) (3ш  1 (х) (1 + (с (Zl у) + 1).r (1'»'Ш 
 ! (,1')) [х, y]t
соответствующий сиrнатурныii сиивол будет .
Обозначим через I СИПIaТУРУ (R 1 , F I , f!1), rде
FI == {О, s, +, " ""'"", sg, sg, В, [/], [п, rest, с, 1, r, },
а R, == {<, }.
Используя предложение 6, леrко ПОI,азать, что по лю
бой 1фОР.11уле ерl и LITep_)!y t l AtoJJCНO эффептивно
построить офОрJIУЛУ 'Ро и JTep.!t t o тапllе, что

 36, РЕНУРСПВНЫЕ ФУНIЩШI
265
FV(cpo)==FV((Pl)' PV(lu)FV(lJ), и если FT'(<fo) S
 {Xl' ..., х) {PV(lo)S{X 1 , ..., x,', ТО сро[х 1 , ..., xпl==
CPt[Xt, ..., х,,] и t o [x 1 ,.. " Х,,]  It[x 1 , .,., а:.,,] СООТ-
ветствеюto.
ОТfеТШI теперь nекоторые свойства вве;::t;епных выше
фУНIщпii:.
Для любых т, пЕш, если п =1= О, то [т/п]  целая
'щсть дроби т/п, если же п == О, то [т/п] == т.
Для любых т, п Е (i), если п =1= О, то rest(m, п)  это
астата,. от делеltия т па п; если же п == О, то l'est (т,
п) == т.
Длд, любоео т Е (i) [1т]  ЭТО целая часть корпя
квадратnоео из числа т.
Функцпи с, 1, r рассмотрим BfeCTe.
Пр е Д л о ж е н и е 7. Для фУllпциЙ с, 1, r lt любых т,
п Е (i) выпОЛllЯЮТСЯ СЛf?дУlОЩllе paBeJtCTBa:
1) c(l(n), r(n»==n;
2) l(с(т, п» == т;
3) r (с (т, п)) == п.
В частности, с взаll,шtо одпОЗllаЧllО отображает ш 2
па (i).
Д О К а 3 а т е л ь с т в о. Нпже мы БУДе{ пользоваться
для ВЫЧIlсления с, 1 II r обычноЙ ариф[еТIltlеСhоif
заппсью.
(n+m)2.f-зп+m
Из равенства с (п 1 т) == 2 C:Ie;yeT, что
8с(п, т) == 4(п + т)2 +12п + 4т.
Правая часть этоrо равенства ДОПУСI{ает дпа таюп:
пре;l,ставленпя: (2п + 2т + 1)2 + 8п  1 п (2п + 2т +
+ 3) 2  8т  9. Отсюда получаем соотношения:
(2п+2т+1)2, 8c(п, m)+1 «2п+2m+З)z,
2п + 2т + 1  [18с (п, т) + 1] < 2п + 2т + 3,
2п + 2т + 2  [У 8 с (п, т) + 1 ] + 1 < 2п + 2т + 4,
1 .-/ [ [У8С (п, т) + 11 + 1 1 < + + 2
п+т+ ""=:: 2 п т .
СЛО;:J:О па толы] о,
1  l [Y8e (п, т) + 11 + 1 ]
п+т+  2 '
 [ [У 8е (n, т) + 11 + 1 ] ..-'-- 1  [ [УЗе (n, т) + 11...... 1 1
п+т 2  2 .

2О6 1'<'1, 7, A,'11'Ol'IITl\Ibl II РЕНУРСIШПЫЕ Ф'НIЩИН
Тан Бюt
( ) (п+т)2+3п+т (п+т)(п+т+1)
cт 2  2 +
то
п
:=о ( )  [ fVi)C (n. т) + 1] + 1 ]
с п, т 2 2
 [ [V8C (n, т) + 1! "'- 1 ] .
т  2  п.
.l fV 8C (n, т + 1! J... 1 1,
Отсюда получаем l(с(п, т))п, r(c(п, т»==т.
Если п == с (i, j) для некоторых i, j '---'7. (1), то из ра-
венств l (с (i, п) === i и l' (с (i, п):=о j п олучае\l с (l (п),
r(п») == п. Следовательно, ,'Хля ДОНi\:'!аТС.1ЬС1'па равенства
с(Цп), r(n»)n для любоrо nE(J} ост(\точно пока::шть,
что для любоrо п Е (J) сущеСТ1JУЮТ i, j Е ш, ,'JДЯ которых
n === с (i, п. Из опре;J,еленпя с П().1учае1 с (n, О) == N. ЕС,1Н
с (i, j) == т и j > О, то лепю пронер!IТЬ, что с (i + 1, j 
1)==т+1. ЕСШI c(i, пт 11 j==O, то с(n, i+1)==
== т + 1. о
Обратимся теперь к раССШ)тРСIIПlО (тсхппчеСЮI)
очень важной фУНКЦl!lI .
Пр е Д л о ж е н п е 8, Для .1106020 li Е Ы, Л1Оuых по, <" .
. .., N Я Е Ш существует такое чuсло т Е Ш, ЧТО
 (т, i) === n. дл.я всех i < k.
ДОБазательство. Пусть c==max{c(п i , i)+1Ii-O:;;
< k} и а == с!. Пш;аЖЮf. что ;J:.1Я 0< j < l  с ЧIН'ла
1 + ja II 1 + lа взаимно просты. ПреДПОЛOfЮIМ ПРОТIl!J-
ное, и пусть простое '[пело р ,lСЛИТ числа 1 + jn и 1 + la,
ТOI'да Р делит их разность (1+la)(1+ja)(Ij)a;
тоrда р делит l  j или а, но так как l  j  с, то l  j
делит а == с!, тю_ что в любом случае р делит а, но тоrда
а == ра' и 1 + ja ==иа')р + 1, и это число не может де-
ШIТься на р. ПО.'Iучаем протпворечпе.
Полаrае1
s  (1 + (с (110' О) + 1) а).(1 + (c(n 1 , 1) + 1) а)....
....(1+(с(nп, k)+ 1)а) ==п (1 + (с (пi,i) + 1).а)
i" h
й, т  c(s, а).

s 36, РШ,УРСИПНЬШ ФУIIIЩИИ
267
Покажем, что это т n удовлетворяет заключенпю
предложения. Пусть i:O:;; k, тоrда (1 +(C(пi, [)+ 1)а) де-
лпт 8 (ar(т), 8l(т); предположим, что для неБО
TOpOI'O Z:O:;;11; (1+(c(z, i)+1)a) также делит 8. Так
I,Ю{ z:O:;; 11;, то С (z, i):O:;; с (11;, i) < с. Отсюда и из ОПIечеп
пой выше взаимной простоты чисел вида 1 + ja и 1 + la
для j =F 1 :О:;; с следует, что с (z, i) + 1 должно совпадать
с некоторЫ:lI с (11j, j)+ 1,j:O:;; k. Но если c(z, [)+ 1 =='
C(11j, п+1, то c(z, i)C(11j, п, ij и Z11i. Таюш
образом, 11; является наименьшим z таким, что (1 + (с (z,
i)+ 1)а) делит 8 и 11;:0:;; с (11;, i)< С(11;, [)+ 1:0:;; с:о:;; а 
c!r(т), ПОЭТО:\IУ (т, i)11i. О
В дальнеiiшем oTepMЫ И офОРМУJIЫ бу;ем назы
nать рекурси8nЬМЩ термами и фОР:llулами. С.тrе;хующая
теореиа дает УБазанпую ранее характеризацию peJ\YP
сипных функций.
Т е о р е м а 3. Для тоео чтобы фУ1l1ЩUЯ f: @n --+ @
была ре1'>урcuв1l0Й, llеобходuмо и достаточно, чтобы f ре-
аЛll308ывалась llе1'>ОТОрЫ:и, pe1'>ypcuBHbMl rep,Mo.7It tj.
Д о I{ а з а т е.'1 ь с Т 11 о. Достаточность установлепа
раньше 11 пре;l,ложении 5. Дон:азате.'1ЬСТВО неоБХОДIШОСТП
проведем индукциеii по :l1Иншra.JJьноii длине онредеJIЯЮ
щей послсдовате.'IЬНОСТП РСЕУРСIIВНЫХ ФУТIRЦИЙ Д.'Iя j.
В силу ОТ:\lеченноrо выше, нужно ДОRазывать толы\О су-
ществоп:нпю 1Tep:llOn, реаЛIIЗУЮЩИХ ФУЮЩIJИ. Базис-
ные фУНIщпи о, 8 П 1;;; реализуются о-терма:ШI
lY(X  .т), 8(Х) Il 'Т т тю.;:
0== !lY(T,.I)[X], 8==S(T) [х], I;==Xт[Xl' ..."т п ].
Пусть j == S (11, go, ..., g",) и 1тер:\IЫ t, qo, ..., q'/J pra-
лпзутот h, g,), . . " g'm СООТВСТСТ1IСПНО тю,: 11  t[x o , . ,; " Х т ],
go  Qo[Zj, .." Zl']' ., " g",  /J",[ZI' ..., Zh]' Тоrл;а Ll- Te p.\1
t,  1'11'3.r о < (jo .,. 3;(/11 < (j", ('то  qo /\ ... /\ :i"i!  (jm /\
/\ lV  t), QчеВl1ДПО, реализует / тю.;: f  tJlZl' . . ., Zh]'
Если j  м (g) Il g  t,[xo, ..., х,,] для 1Tep.\Ia t g ,
то, :ЕШЕ леrко l1роверить, Д.'1Я cTep.\ola t j  lX" ив  О)
f == tl[xo, ..., Xn1]'
Пусть fR(g, 11) и gtAx" ..., хn], h==t,Jx" ..., Х,,+2]
для ПОДХОДШЦllХ 2:1TepIoB t g Il t,., РаССШJТрJШ LjфОр
мулу (р, опре;(е.'1енпую тат\:
((u, О)  t g /\ 'VlV < Х М 1 (р (и, s (п:))  (ll.):H':',(,;))),
rAe и =F w  переменпые, отличные от переменных из

268 1'Л, 7, Ы1ТОР:ИТМЫ и РЕI\"РСИБНЫЕ функции
{XI, ..., Х Il + 2 } п всех пере:\Iепных, ИIeЮЩIIХ ВХОЖ;ЩНШI
в t g и t h . Так кю{ FV(tg) S {X 1 , ..., x,J, FV(t h ) S;;
S {X t , ..., Хnн}, то p' ((j) S {и, XI, ..., X n + I }. Предыдущее
предложение поназывает, что для любоЙ интерпретации
переменных '1']: {X 1 , ..., Хn}  f1) существует такое значе
пие nE(J} переменноii и, что для 'I1'=='I1U{(u, n>} <р[ч']
ПСТПННО. Следовательно, мы можеи образовать :Z1Tep:\l
t l == f,tU(j); FV (tl) S {X 1 , ..., хn-н}, Если ПО.JlО,ЮIl\1 теперь
t j == (tl, x n + I ), то PV(tj)S {XI, ..., Xn+t}, И индукциеЙ по
значению переменной Х"+I без труда устанавливается, что
f == tj[XI, ..., Хп+tЗ. о
С JI е Д с т в и е. 1. Для любой копеl[пой ситатуры :Z
u рекурсиВ7iОЙ ал?ебраичесr.ой cucTe,ttbl Q>; существует
зффеКТИВ7iая nроцедура пере работки ,.аждо?о :ZTepJ}la или
'iфОрJUУЛЫ f) в ре"урсивпый тер.м или реr.урсиВ7i,ljЮ фор
JltУЛУ 80 та,., что FV(8) FV(8u), u если FV(8) S;;
S {XI, . . ., Х,.}, то 8[Xt, . . ., Х п ] == 8U[XI, . . ., х,,].
Это вытекает из предложения 6 и теоремы 3. о
УнраЖIIСНИЯ
{. Донааать рекурсивпость двухместной функции ех такой, что
ДЛЯ т, f! Ее" Ы, есди п =f:. О, то ех (т, п) == т" и ех (т, О) == 1,
2. До(tазать реКУРСIIВН()СТЬ ДDУХIеСТII()Й фушщии I  I таtЮЙ,
что для лю(iых n, т Е (j) I n  т I  модуль разности :)тих чисел.
3. Доказать рекурсивность одноместн()rо предшщта {п I п Е (0),
п  простое число}.
 37. PeI{YPcIIBHO перечислииые преДIIкаты
В предыдущем параrрафе было опреелено понятие
рекурСИВIlоrо предиката как предиката, представляющая
функция KOToporo является рекурсивноЙ. Таl{ИМ образом,
рeI{урсивные предикаты  это в точности такие преди
l{аты R S (О", для которых эффективно решается пробле
ма вхождения, т. е. проблема определения по заданноЙ
пKe qисел (т l , ., ., т n >, будет ли она принадлежать пре
дика ту R.
Однако алrоритмические процедуры можно использо
вать не только для распознавания принадлежности пре
дика ту, но и ДJlЛ процесса порождения caMoro иредиката
(множества) R S;; (J}n. Таких эффективно порождаемых
предикатов, вообще 1'оворя, больше, чем реI\УРСИВНЫХ
предикатов. В этом п&раrрафе будет определено понятие
реRурсивно перечислимоrо предиката, которое и являет

 3i. РЕНУРСПВНО ПЕРЕЧПС.::IИ:МЫЕ ПРЕДИНАТЫ 269
ся ПОДХОДЯЩИМ математическим уточнением для поня
ТIIЯ эффеRТIIВlIO порож;з;аемоrо преДИRата, и будут пзу
чены неRоторые базисные свойства реRУРСИВНО перечпс
Лlшых преДИRатов.
В следующем параrрафе мы увиддм, что рекурсивно
перечислимых Пре;З;ИRатов деЙствительно больше, чеl pe
ь:урсивных.
Расширим класс реRУРСИВНЫХ формул до класса pe
к,урсивпо перечислuмых фОрJ.tул с помощью следующеrо
опредедепия:
1. Если ер  РОRурсивная формула, то ер  реRУРСИВНО
перечислимая формула.
2. Ес.JIИ (Р  реRУРСИВНО перечислимая формула, Х Е
Е V, то 3хер  реRУРСИВНО перечислимая фОрIУJlа и
FYl (3хер) == FV (ер)\{х}.
Друrими словами, р(шурспвно перечислимые фор-
ыy.1JыI получаются из рекурсивных навешиваниеl He
СIЮДЬЮIХ RBaIITOpOB существования. Для всякоЙ peRYP
сивно перечисшшоii фОрIУЛЫ ер II интерпретаЦlIИ 1):
Х---+ (О, Ft 7 (ep)SXs V, естественным образом опре;J;е.1Я
ется значение ер[ 11] Е {и, л}; а именно, если ер предстаВIl
1\1а в виде 3Х О 3Хl'" 3х n еро, 1'де еро  рекурсивная фор
мула, PV(epo) sFV(ep)U{x o , о.., х,,}, то ер[1)]==и ТО1'да н
тольк,о тоrда, Rоrда существует такая интернретация
1)': FV(epo)---+(О, что 11'(и)==11(и) для всех vEFV(ep) Il
еро[ 'Il'] == и.
Заметим, что соrласно следствию 36.1 мы в равноЙ
степени вместо рекурсивных термов и формул можем
(и будем) пользоваться произвольными 1теРIaМИ II
1формулами.
Со ВСЯRОЙ рекурсивно перечислимой формулоЙ ер и
последовательностью попарно раЗЛИЧRЫХ переменных
Хl, ..., Х " таRОЙ, что FV(ep)s{Xj, ..., Хn}, можно свя-
зать пместныЙ преД}шат, RОТОРЫЙ будем обозначать
ер[х" .. " Х n ], СjIедующим образом;
ep[x j , ..., Х,,] == {<т 1 , ..., т,,>Iq:;(11] == и
для 11 == {<Xi, 7ni>li == 1, ..., n}}.
Будем rоворить, что прединат ep[x j , ..., х,,] реалuзу
ется рекурсивно перечислимоЙ формулоЙ ер.
Оп р е Д е л е н II е. ПреД,И:Rат R s (оп пазове1( рекур-
сивпо перечислuмым, если он реализуется неl\ОТОрОЙ ре-
курсивно перОЧIlСЛIl1\10Й фОрI(У,тlOi'I.

270 1':1. 7, АаrОРИТl\lЫ II РЕЮ'РСIШНЬШ ФППЩШI
Из 3Toro определения и полученных ранее результа-
тов видно, что всякий рекурсивныЙ предrшат является
рекурсивно перечислимым.
Понятие рекурсивно перечислимоrо предиката позпо
ляет охарактеризовать частично рекурсивные фУНКЦШI,
используя понятие rрафИI\а. rрафиКОlot частичноii пMeCT
ноЙ функции j назовем (п + 1) lIIестный предикат f J, оп-
ре;J.еленныЙ соотношением: для тl, ..., т n , k Е (u
(тl, ..., т n , k> Е fj -{=> j(т 1 , ..., т,,) === k.
Т е о р е м а 4 (теорема о rрафике). Ч астиЧllая ФУ1U.
ция j является частиЧ1l0 рекурсuв1l0Й Tozaa u только TO,;
да, r.ozDa ее ерафuк ff реКУРСИ81l0 перечuсли.tt.
Доказаrельство начнем с одноrо вспомоrательноrо YT
верiКДенИЯ.
Л е м l\I а. Для любozо п:iltecпLOzo рекурсивпо перечис
ли:моzо предиката R существует реку рсивllая фор.ttула ер
такая, что FV(ep) s {хо, х 1 ,..., х n } и R  (3х о ер)[х 1 , ..., х,.,].
Содержание леммы состоит в тои, что можно BCerpa
преДПQлаrать, что рекурсивно перечи.сЛIНШЯ формула,
реализующая рекурсивно переЧИСДПМЫII предикат, имеет
только один квантор существования. ДоказатеЛЬСТJJО
леммы получается индукциеЙ по числу кванторов СУЩ:J
стпования рекурсивно перечислимоЙ фОРМУJIЫ, ИСПОЛk
зул следующее леrко проверяемое свойство:
Для любой рекурсивной ФОР,НУЛЫ ер, FV(ep)s
s {х, у, Х I , ..., х n },
(з ' , у )
(3х3уер) [х 1 , ..., Х n ]  Х \lР)I(х).Ф:) [х 1 , ..., х n ].
3аlllетим, что (ep)f(x).(X)  1-формула. О
Для индуктивноrо доказательства необхо;;,GМОСТИ YC
танавим следующие факты:
1) fрафики основных фушщиЙ Ры{урСIIЫIЫ:,
ra===(XX&YO)[x, yJ;
r. === (. (х)  у)[,у, у J;
r n ===(х т ::::::у)[х 1 , ..., Х п , у].
J m
2) 11 ус ТI, f === S (h, go, .. ., g,,), I'рафIШIl fh, f gu' ... , f g,.
соответственно ФУНКЦИlI h, go, ..., gn рекурсивно пере
числимы и ер/, , CPgo, ..., Cpg,.  TD.KIIE' РeI,УРСIIвпые ФОРllIУЛЫ,

 37, РЕК'РСIIВНО ПЕРЕЧIIС:IПl\IЫЕ ПРЕДIП\АТЫ 2il
что
r/,  (3z<:p/,) [и о , .. ., и п , У];
r gJ "", (3z o <:pg) [Yl' ..., У/о и о ];
r g / 1 "", (3z,,<:pgп) [Yl' ..., У,,, !,lп],
прпче;\I пеРl\lенные z, Zo, ..., ZN, У, У" ..., Уя, И о , ..., Zln
попаРIlО раRШl'ШЫ. РаССl\lОТрIШ рекурсивную форму.1У ер:
<:р  <:Р/l 1\ <:pgo 1\ ... 1\ <:pgп' ,
ТОl'да проверка показывает, что имеет иесто равепство
r f  (3z3z o ... 3z 11 3u o . .. 3и 11 ер) [Yl' ..., Yk, у].
Следовательно, r f рекурсивно перечпсшш.
;3) Пусть j  R (h, g) и rрафики r", r g соответствен-
но фушщи-Й h, g РeI{УРСИВНО перечпслим:ы; пусть eph и
epg  такие рекурсивные формулы, что
r/, "'" (3Z(/Ph) [X l , ..., Х", Уо];
rg  (3z l epg) [x l , ..., XMl, Х n +2' Yl]
Il переменные Zo, z" Х" ..., Х n , Х n +', Хn+2, Уо, Уl попарно
различны. Образуем следующую ,-формулу ер:
<:р  v Х  ХпН (( (х  О 1\ (eph)rll,O),;'rV,O») v
V ( О 1\ ( ) Xn+l'Xn+2 У 1 z1 )) 1\
'"'1 Х  epg x...L.l, i3(U,xl),i3(U,x),i3(V,x)
1\ У   (и, XMl))
здесь переменные и, и, У попарно различны и отличны
от всех переменных формул ер,., epg и перем:енных Zo, ZI,
Х" "', Х,,+2. Тоrда FV (<:р) S; {и, и, У, Х 1 , ..., х n +'},
Пусть 11: {и, и, У, х" ..., Х n +'} -+ (J) такова, что ер [ч1;
покашем, что в этОм случае j(11X" ..., 11Хn+!) определено
и j(11X" ..., 11Xn+')(11и, 11Xn+!)11Y. Индукцией по
l  11Хп+! будем показывать, что j (11']:', ..., 11Хn, l) опрс
делено и f (1\X 1 , . . " 11Хn, [)   (1111, [).
Пусть l  О, тоrда, так IШК <:р[ 11]  и, придавая Х
значение О, виднм, что должна быть истшша Форму
) 'I() 'о r А <
ла (ep11 1(I(,O),i3(,',O) 11]. это 0значает, что 11XI,..., 11-1'",
 (11И, О» Е r п; СЛGдоваТО';IЬНО, II (11');" ..., 11Хn) опреде.ТIС
но IJ равно (1']И, О). Но и !(11Х" ..., 1}1'n. O)h(11X','"
. .., ч.т n ); следовательпо, f( 11 У \, ..., 11''1'", О) определено [1
равпо  (1111, О).

272 1'J. 7, AJroPIITMbl II РЕНУРСIIВНЫЕ ФУIШЦIIII
Пусть для 1 < ЧХn+1 уже ПОRазано, что t (11Xl,
. .., ЧХn, 1) определено и равно  (чu, 1). Придавая Х
значение l+ 1(ЧХn+l)' видим, что ДОЛiIша быть истинна
( ) Xn+l'X+2' YI' %1 I , {
формула epg xl, (3(u,x1), j3(u,x),j3(v,x) (11 ), rде 1'} == ч u (Х,
1 + 1)}. в частности,
< ЧХI, ..., ЧХn, l,  (чu, l),  (Тjи, 1 + 1) ) Е r в,
т. е. g (ЧХl, ..., 11Хn, 1,  (чu, 1» определено и равно
 (ЧU, t + 1); но так RaR по индукционпому предположе-
НIIЮ (чu, l)== f(ЧХl,..., ЧХn, l), то f(ЧХI,.. " 11Хn, l+ 1)==
== g(ЧХI, ..., ЧХn, 1, !(ЧХl, ..., ЧХn, 1» определено и рав-
но  (чu, 1 + 1).
ТаRИМ образом, f(ЧХt, ..., ЧХn, ЧХn+t) определено и
равно (11и, ТjXn+t); НО TaR RaR и (у  (и, ХМl»)[Ч] ис
тинно, то чу ==  (ч u , ЧХn+t).
Используя свойства фУНRЦИИ , отмечепные в пред-
ложении 8 предыдущеrо параrрафа, и реализуемость
1'рафИRОВ фУНRЦИЙ h и g формула1И =ZOfP/l 11 3z 1 epg
соответственно, леrRО доказать, что если т" ..., т n +l Е (J)
таковы, что t (т t , ..., т n + t ) определена и f (т l , ,. " т n + l ) ==
== k,TO существуют такие 1, s Е (1), что для интерпрета
ЦИИ 11 == {(Х;, т;>li == 1,.. " п + 1) U {(у, Ю, (и, [), <v, s)}
q;[ ч] истинно.
Тоrда из отмеченных выше свойств формулы ер вид
НО, что 1'рафИR f имеет представление r f ==(зuзvер)[х l , . . .
.. " Х n +1, у), т. е. rрафИR t рекурсивно перечислим.
4) Пусть t == м (g) и rрафИR r g фУllIЩИИ g имеет
представление r g == (3zepg) [х 1 , ,. , Х n +1, у], [де ерв  ре-
:курсивная формула.
Пусть ер tформула, определепная так:
(( ) Хп+l,%, у Л
ЦI == Уи  у epg U. f\(v.u),j3(w,ll)
Л  (ш, у)  О Л (и < у ---+ I  (ш, и)  О»;
здесь а, v, ш  различные переменные, не встречающие.
ся в ерв, Поступая, RaR и в предыдущем случае, петрудно
проверить, что для rрафИRа r f фУНRЦИИ t справедливо
соотношение
r f == (3v3шер) [х 1 , .", Хн, у],
т. е. rрафИR t реl\УРСИВНО перечислим.
Завершает ДОRазательство необходимости ИНДУRЦИЯ
по длине определяющей последовательности с пспользо
ваннем 'становленных выше фю\тов 1) 4).

!i 37, РЕRУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ ПРЕДИRАТЫ 273
ДОRажем достаточность. Пусть. /  nместная частич
ная фУНRЦИЯ и ее rрафИR r, реRУРСИВНО переЧИСЛlIl\fо
Пусть ер  реRурсивная формула таRая, что
r, == (3zcp) [Х 1 , . о о, Х т у]о
Рассмотрим реRУРСИВНЫЙ преДИRат ep[Xj, ..., Х n , у, z]. По
предложению 36.5 этот преДИRат является реRУРСИВНЫМ,
т. е. e1'o представляющая фУНRЦИЯ g является peRYP
сивной. ПО определению представляющей фУНRЦИИ:
для любых mj, ..., т n , k, l Е Ю
<т j , о' о, т n , k, l> Е cp[Xj, о. о, Х n , у, z] -<=>
-<=> g (mj, о' о, т n , k, l) == 00
РеRурсивная (n + 1) местная фУНRЦИЯ h == g(I+\ . о .
..., I+1, l(ItO, r(It\)) для любых mj, ..., т n , k
удовлетворяет соотношению
h(mj, ..., т n , k)==g(т j , ..., т n , l(k), r(k)}o
Рассмотрим частично реRУРСИВНУЮ фующию /0 ==
== l(M(h» и ПОRажем, что она совпадает с /.
Пусть m l , о.., т n Е ю ПРОИ3ВОЛЬНЫо Если j(т j , ...
..., т n ) определена: /(m j , ..., mn)==tЕЮ, то <т j , ...
о .., т n , t> Е r,; следовательно, существует s Е Ю TaRoe,
что <mj, ..., т n , t, s> Е СР[Х:, ..., Х n , у, z]; ТО1'да
g(т j , ..., т n , t, S)==O и ля k==c(t, s)
h(mj, ..о, т n , k)==g(m j , ..., т n , l(k), r(k»==
== g (тj, ..., т n , t, s) == О.
Следовательно, M(h) (mj, ,.., т n ) определено, Пусть
M(h)(т j , ..., т n ) ==k o ; тоща h(m j , ..., т n , ko) ==0==
==g(тj, ..., т n , l(k o ), r(k o »; отсюда <mj, ..., т n , l(k o ),
r(ko) > Е cp[Xj, о о" Х n , у, z], <т 1 , ..., т п , l (k п » Е
Е (3zcp)[x j , ..., Х n , y]==r, и j(m j , ..., т n ) ==l(ko) ==
==/o(т j , 0.0, т n ), TaR RaR !o(т j , о.., mn)==l(M(h) (т:,
..., тn»==l(k o ). ИТа!', еСЛII !(m j , ..., т n ) определено, то
/o(тj,..o,т n ) определено и /(тj,...,тn)==/o(mj,...,тn)o
Пусть т j , ..., т n Е ю и /0 (mj, о. " т n ) определено,
тоща и M(h) (т j , ..., т n ) определено и /o(mj, ..., т n )==
<== l (М (h) (m j , . .., т n ) ). Пусть k Е Ю TaRoBo, что
M(h) (т l , ..., тn)==k, тоща h(т j , ..., т n , k)==O==
==g(m j , ..., т n , l(k), r(k»; следовательно, <mj, .... т n ,
l (k), r(k) > Е ep[x j , о о о, Х n , у, z]; (т 1 ,. о ., m щ l (k» Е
18 ю. Л. Ершов, Е, А, ПаЛIDТИII

274
rл, 7. Алrоритмы и РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦИII
l
1
e(3zcp)[x 1 , ..., Хн, у]==rj,следовательно, Нтl, ..., т n }==
==l(k).
Поэтому, если /о(т 1 , ..., т n ) определено, то и
/ (тl, . . ., т n ) определено и /0 (m l , . . ., т n ) ==
==l(M(h}(m 1 , .", m n )==l(k)==/(ml' ''', т n ). Таким
образом, / == /0 и, следовательно, /  частично реRУРСИВ
ная фУНRЦИЯ. О
С Л е Д с т в и е 1. Для всяпой nMeCTпoй частичпо pe
курсивной фуппции / существует такая (n + 1)-..местnaя
репурсивпая фуппция h, что для любых т 1 , ..., т n
/(т 1 , ..., т n )== l(M(h) (т 1 , ..., т n ».
Непосредственно вытеБает И3 доказательства ДOCTa
точности в теореме. О
Следствие 2. Частично реурсивuая фупция яв
ляется рекурсивпой тоеда и только тоеда, поеда опа всю
ду оnределепа.
Необходимость очевидна. Достаточность непосредст
венно вытеБает И3 предыдуще1'О следствия. О
Одноместные преДИRаты будем называть просто MHO
жествами. Соответственно реRурсивные (рекурсивно пе
речислимые) одноместные преДИRаты будем называть
репурсивпыми (peypcивпo nеречисли.мыми) мпоже
ствами.
ДОRажем основные СТРУБтурные свойства реRУРСИВ
ных и реI\УРСИВНО перечислимых множеств.
Пр е Д л о ж е н и е 1. а) Если мпожество Х peпyp
сивпо, то Х рекурсивпо nеречисли.мо.
б) [(опечпое множество рекурсивно.
в) Если мпожества Х, У репурсивпы (репурсивпо ne
речисли.мы), то и мпожества Х U у и Х n у тапже peKYP
сивпы (рекурсивпо nеречислимы).
1') Для репурсивпо nеречисли.моео мпожества Х Mпo
жество ю \Х репурсивпо nеречuсли.мо тоеда и тольпо Toe
да, поеда Х репурсивпо.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. 'Утверждение а) было отмече
но раныпе для преДИRатов произвольной местности.
б) Если Х == SZ5, то представляющей ФУНRцией для Х
будет sg(s). Если Х=={n}, то фУНRЦИЯ б(n, х) [х] явля
ется представляющей дЛЯ Х. Если Х == {по, nl, ... nh},
k > О, то представляющеЙ ФУНRцией для Х будет Функ
ция
llЧnо, х}, б{n 1 , х}.... . б (n h , х) )[х].

537. РЕНУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ ПРЕДИRАТЫ 275
в) Если Х и У реRУРСИВНЫ и g, h  представляющие
фУНRЦИИ для Х И у соответственно, то g. h  представ
ляющая фУНRЦИЯ для Х U У, а sg (g + h)  представляю
щая фУНRЦИЯ для Х n У.
Пусть Х и У реRУРСИВНО перечислимы, а СРо, СРI  pe
Rурсивные формулы таRие, что Х  (3z o Cf1o) [х], У ===
.== (3Z 1 <:Pl) [х] и Х, Zo, ZI  попарно различные перемен
ные, ТО1'да
Х U у  (3z o 3z 1 (<:Ро V <:Рl» [х];
Х n у  (3z o 3z 1 (СРо Л <:Рl) [х],
т. е. Х U у и Х n у реализуются реRУРСИВНО перечисли
мыми формулами и, следовательно, РeI{УРСИВНО перечис-
лимы.
1') Если Х  реRурсивное множество, а g  реRУРСИВ-
ная представляющая фУНRЦИЯ дЛЯ Х, то sg (g)  peRYP-
сивная представляющая фУНRЦИЯ для ffi \Х.
Предположим теперь, что Х и ffi \Х  рекурсИВНО
перечислимые множества, и пусть <:ро, <:Рl  реRурсивные
формулы таRие, что Х === (3zcpo) [х] и ы"Х === (3ZCP1) [х].
Не уменьшая общности, будем предпола1'ать, что <:ро И
СРI не содержат связанных вхождений переменноЙ х.
Рассмотрим реRУРСИВНУЮ формулу ср === (<:ро V <:PI) :
FV (ср) s {х, z}. Для любоrо значения п переменной х
существует TaRoe значение т переменной z, что для
YJ ==={ <х, п), <Z, т)} имеем <:p[YJ] === и. ДеЙствительно, если
п. Е Х, то существует TaRoe значение т для z, что
CPo[YJ] === и, если же п Е ffi \Х, то найдется значение т для
z TaRoe, что <:P1[11]  и. Следовательно, /!ZCP  реRУРСИВ
пый терм, а (СРО):НР реRурсивная формула. Проверим,
что Х  (CPo)Jz<p [х]. Пусть h === /!zcp[x]  реRурсивная
фУНRЦИЯ, Тоrда по построению для любо1'О п Е Ы, дЛЯ
11==={<Х, п), <Z, h(n)} <:p[YJ]u; заметим еще, что для
11о==={<Х, п)} (CPo)xp[11o]==CPo[11]. Еслп пЕХ, то CPI[YJ]
не может быть истинным, TaR RaK в противном случае
п Е ы\Х; следовательно, <:Ро[Ч] и (СРо)щ) [1101 истинны
и пе=( СРо)щ) [х]. Если п Е ffi \Х, то СРО[ 11] не может быть ис
тинным, следовательно, (СРо)щ [1101 === л п п ф(СРо)zq>[Х].
ИтаR, множество Х реализуется реRУРСИВНОЙ формулой,
(CPo)zl-lzq>, следовательно. Х реRУРСИВНО. О
Дадим теперь хараRтеризацию реRУРСИВНО перечисли-
мых множеств с помощью реRУРСИВНЫХ функциЙ.
18.

276 rл. 7. АЛ1'ОРИтМЫ и РЕНУРСиВНЫЕ ФУНRЦИИ
Пр е Д л о ж е и и е 2. l/ еnустое мпожество Х peпypcив
по nереЧllСЛll.НО ТОеда u только ТОсда, по еда существует
одпомеСТllал репурсивпал Фунпция f тапая, что Х ==
== {f(n) In Е Ш}.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Пусть Х реRУРСИВНО перечис
лимо и ПО Е Х; пусть ер  рекурсивная формула такая,
что Х == (3уер) [х], тоща FV(ep)s;:; {х, у}, Рассмотрим 1
формулу -ф:
'ф == (epf<'X),I(X) 1\ Z  1 (х») V ( ...., epf<,x),(x) 1\ z  по);
FV (-ф) S; {х, z} и для любо1'О значения k переменной х
существует значение s переменноЙ z такое, что для
rJ == {<х, k>, <z, s>} 11)[11] == и. Действительно, если для
rJО == {<х, !,;>} epl<'X),(x) [110]' то в качестве s можно взять
l(k);еслиже ....,epl(X),x)[11elI.TO в качестве s можно взять
по. Следовательно, f.tz-ф является 1TepMoM, а реали
зуемая им рекурсивная фушщия f == JlZ'Ф[Х] удовлетво
ряет ЗaI\Люченпю предложения, Действительно, если
k Е Х, то существует ТaIюе s Е Ш, что ДJIЯ 11 == {<х, k>,
<у, в>} ер[ 11], следовательно, для t == с (k, s), rJО == {<х, t>}
ерц'х)}(х) [110] == ер [чJ == u и, следонательно, f (t) == 1 (t) ==
==l(c(k, s»)==k. ТaIПIМ образом, ХS;{f(t)ltЕШ}. Наобо
рот, если f(t)==k, то дЛЯ 11=={<Х, t>, <Z, k>} '\:[11] и, сле
довательно, либо <l (t), r (t» Е ер[х, у] и тоrда k == 1 (t) Е
ЕХ, либо <l(t), r(t» Фер[х, у] и тоrда k==noEX. Итак,
{f(t)ltЕШ}S;Х и Х=={f(t)ltЕШ},
Достаточность будет следовать из более общеrо YT
верждения:
Область апачепий всяпой одпоместпой частичпо pe
пурсивР,ой фуnпцuu f, т, е. J,tllожество Rt == {kl сущест
вует ПЕш, f(n) определено u f(n) == Ю, ре1>урсивпо пe
речиСЛUlfta.
Действителъно, пусть ер  ре!\усивно персчислимая
формула, реализующая rрафи!\ rJ фУН!\ЦИИ f: r, == ср[х, у];
ТО1'да, очевидно, Rj == (3хср) [yl. ]
Пусть для пместной частичпой фУНRЦИИ f через D..t
обозначена область определения ФУНRЦИИ t, т. е. nMeCT
ный преди!\ат {<т l , "', т,,>lтl, .." т"ЕШ, f(т l , ...
. ", т n ) определено}.
Пр е Д л о ж е н и е 3. Для любой nMeCTпoй частичпо
репурсивн.ой фунпцuu f ее область оnределепuя D..t яв
.rr.яется репу рсuвпо не речuслuмы.'rt предипатом.

3 37. l>ЕНУРСИВНО ПЕРЕЧIIС.'l:tIМЬШ ПРЕДШ{АТЫ 277
д о I{ а з а т е л ь с т в о. Пусть' СР  рекурсивно пере
чпслимая формула, реаШI3ующая rрафик r j функции j:
r j == CP[XI, "', Х п , у]; тоrда, очевидно, !!ч== (3уср) [Х 1 , '"
, . ., х n ]. О
Пр е дл о ж е н и е 4 (теорема о редукции). Для лю
бых двух репурсивnо переЧUСЛU.ll'tых мnожеств Ro u RI
существуют тапие репурсивпо перечuслu:!ttые мnожества
" I , "
Ro u R1' что Ro s Ro, R 1 S R 1 , Ro n R 1 == 0 U Ro U
U R 1 == R U R.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Пусть СРО, СРI  такие peKYP
сивные формулы, что Ro == (3zCPo) [х] и R 1 == (3ZCP1) [х].
Рассмотрим реRурсивные формулы:
cp == СРо 1\ Vyz(y  z V --, (01));
, 1\ V ) Z
СР1 == СР1 У  Z "l (СРо 11'
Тоща множества R == (3щ) [х] и R == (зzср) [х] будут
искомыми. Деi'Iствительно, включения R s; Ro и R s R 1
очевидны, таБ каБ cp влечет CPi, i == О, 1. Пусть п Е
Е Ro U R I , ТО1'да существует наименьшее 8 такое, что
для 11 == {(Х, п), (Z, 8)} истинна (СРО v CPI)[1l1.
, ,
Если СРо[1']], то очевидно, что и СРо[Ч], следовательно, п ЕЛО;
если же ""1 СРО[Ч], то истиннаср [ч]и, следовательно, nER 1 ,
, ,
Итак, Ro U R 1 == Ro U В 1 . Предположим теперь, что
k Е R n R и 80, 81 Е (J) таковы, что для 110 == {(Х, k),
(Z, SO)},'I11 == ({Х, k), (Z, 8 1 )} справедливы cp [110] и ер: [111]'
Предположим сначала, что 81 < 80, ТО1'да из истинности
Уу  Z (у  Z V --, (ер1);) ['110] должно следовать --, ер1 ['111]
II тем более --, cp [Ч1]; если же 80  81, то из истинности
V у  Z --, (epo) [Ч1] следует, что --, СРО [Чо], тем более --, cp [Чо]'
Полученное противоречие ПОRазывает, что R n R ==
== 0. о .
П р е Д л о ж е н и е 5 (теорема об униформизации) .
Пусть R  пРОUВ60ЛЬnЫU (п + 1) местnый репурсивпо
перечuслu.мый предипат, тоеда существует таfi,ая пMeCT
пая частuчnо репурсuвnая фуnпцuя j, что r j s= R и
D.. j == R' == ({m l , "', т п ) I существует т п + 1 Е (J) тапое, что
.<ml' "', т п , Inn+I)ER}.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Пусть ср  реRурсивная форму
ла такая, чтоR==(Зуср)[х}, ...'Хn'Хn+J].Пустъ и=l=z
перемепные, пе встречающисся в формуле ер, рассмотрим

278 rл 7. АЛ1'ОРИТМЫ n РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
реRУРСИ!!НУЮ формулу '1', определенную таБ:
Ф  у  l (z) Л (cp)(l;rZ) л уи  z (и  z V I (cp);(r:.t,lll»)':
тоrда Rо(3zФ)[Х1! .... Х n , у] будет rрафИRОМ r, HeKO
торой (частично реRУРСИВНОЙ) фУНRЦИИ t, r, s;;; R
И D.., s;;; R'  {<тl' .... т п > I существует т П + 1 Е ю таБое.
что <т l , .... тn+l> Е R}. Это ле1'RО вытеБает из следую
щих фаRТОВ:
1) Если <т l , .... т п > Е R' и k  наименьшее HaTY
ральное число тапое, что для '1"\  {<X 1 , тl>, " " <Хn, т п >.
<Xn+t, l(k». <у, r(k»} ср['I"\], то '1'['1"\0] для 'l"\o{<Xt,тl>''''
.... <Хп, т п >, <z, k>, <у, l(k»};
2), если '1"\0: {X 1 , .. '. Хп. z, у} -+ Ю, '1"\1: {X t , ,.., ХМ Z, у}--+
--+ ю таповы, что '1"\0 (Xi)  '1"\1 (х,), 1  i  п, и 'It ['1"\0], 'It ['1"\1]
истинны, то '1"\0  '1"\1;
3) если для '1"\0: {XI, ..., Х п , z, у} --+ Ю Ф[f]о], то для
'1"\  {(Хl, 'l"\oXI), .... <Хn, 'l"\оХп>. <Xntl, 'l"\оу>, <у, r(f]oz»}
будет ср['I"\]'
ФаRТЫ непосредственно проверяются, исходя из оп
ределения формулы ф. О
С каждым (п+ 1)MeCTHЫM предккатом R, п> О,
можно связать семейство пMeCTHЫX предикатов, полу
чаемых из R сечениями следующим образом:
для любоrо k Е ю пусть Rh  {(т l , . . ., т п >
I <k, m l , ..., т п > Е R}; предикат Rh назовем kсечением
предипата R.
Леrко проверяется, что если R  рекурсивный или
реRУРСИВНО перечислимый предикат, то для любоrо
k Е ю Rh также является рекурсивным или рекурсивно
перечислимым соответственно.
Назовем (п + 1) местный рекурсивпо перечислимый
предикат R универсальпым для пMeCTHЫX репурсивно пe
речисли.lttых пpeaUYiaroe, если семейство {Rhlk Е ю} сече'
ний R СQвПадает с семейством всех пMeCTHЫX рекурсив
но перечислимых предикатов. В следующем параrрафе
будет ДОRазано существование универсальных (п + 1)
местных рекурсивно перечислимых преДИRатов для лю
бых п > О.
Аналоrично, с I<аждой (п + 1 ) месtной частичной
функцией !. п> О, моЖно связать семейство пMeCTHЫX
частичных функций !h, k Е ю, полаrая для т t , ..., т п Е;;:
Ею
!h(тl, .... тn) f(k. mt, .... т п ).

!I 37. РЕRУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ' ПРЕДИНАТЫ 279
Ясно, что есди f  частично рекурсивная функция,
То и !h  частично реRурсивна для любо1'О k Е Ю.
Назовем (п + 1)местную частично реRУРСИВНУЮ
фУНRЦИЮ ! упиверсальной для пMeCTHЫX частичпо pe
пурсивпых фунпций, если {/hl k Е ю} совпадает с семей
ством всех пместпых частично реRУРСИВНЫХ фУНRЦИЙ.
Отметим теперь, что существование универсальных
частично реRУРСИВНЫХ фУНRЦИЙ является следствием cy
ществования универсальных реRУРСИВНО перечислимых
преДИRатов.
Предложение 6. Если R(п+2)MecTltblU pe
,.урсивпо перечислuмый предипат, упиверсальпый для
(п + 1)MeCTпыx репурсивно перечислимых предипатов,
n > О, а !  (п + 1) меС7Ная частичпо репурсив;чая фупп
ция, униформиаuрующая R, т. е. тапая, что r j s; R
и !!:..! == R' == (<т 1 , ..., т n + 1 ) I существует т n + 2 Ею тапое,
что <т 1 , ..., т n +l, т n +2) Е R}, то f является yпивep
сальпой для пMeCTпыx частичпо репурсивпых фуппций.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Пусть g  пместная частично
рекурсивная функция, тоща rрафИR r g фУНКЦИИ g 
(п + 1)местный рекурсивно перечислимый предикат.
Следовательно, существует k Е Ю таБое, что r g == Rh ==
=={(т 1 , ..., т n +l)t<k, nl t , .", т n +1)ER}. Рассмотрим
фУНКЦИЮ fh и покажем, что g == !h'
Пусть fh(тl, ..., т n ) определено и равно 1 ЕЮ, тоrда
f(k, nlt, ..., т n ) == 1 и <k, т 1 , ..., т n , l) Е R и, следо
вательно, <т l , ..., т n , l) Е Rh == r g ; поэтому g(т t , ...
.,., т n ) определено и равно l. Наоборот, пусть g(тl, ...
"', т n ) определено и равно l, тоrда <т 1 , . .., т n , l) Е
Е r g == R h , <k, тl, ..., т", l) Е R, <k, тt, .. " т n ) Е R'
и, следовательно, f(k, тl, ..., т n ) определено и, как по
казано выше, !h(тt, ''', nln)==f(k, тt, "., тnl==l==
==g(ml' ..., т n ).
Итак, g == fh. В силу произвольности выбора g полу
чаем, что {fhlk Е Ю} состоит из всех пMeCTHЫX частично
рекурсивных фУНКЦИЙ. О
В заключение параrрафа рассмотрим одно понятие,
:которое можно использовать для HeKoToporo сравнения
реRУРСИВНО перечислимых множеств и преДlII\атов по их
«аЛ1'оритмичеСI\ОЙ» сложности. Это понятие относится к
семейству понятий СВОДим ости в теории ал1'ОРИТМОВ и
является одним из наиболее интуитивно оправданных.
Пусть R  пместный преДИRат, п > О, Х  множе
ство; будем rоворить, что R т-сводится /j, Х, если суще-

280 rл, 7, Алrоритмы и рЕRурсивныIE ФУНRЦИИ
ствует nместная рекурсивная функция t такая, что для
любых т[, ..., т п Е ю
(т[, ..., т п ) Е R -<=> Нт[, ..., т п ) Е Х.
Всякую рекурсивную функцию t, удовлетворяющую
этому условию, будем называть сводящей для R и Х.
Если R тсводится к Х, То обозначать это будем так:
RmX.
Простейшие своЙства это1'О понятия сформулируем в
виде предложения.
Пр е Д л о ж е н и е 7. Пусть R  n.местnый предипат,
Х, Хо, Х[  мnо:ж:ества, R  тХ, If'оеда
1) если Х  репурсивnое или репурсивnо nеречис
лимое .мnожество, то R  репурсивllЫЙ или репурсивно
nеречисли.мый npeazmaT соответствеnnо;
2) Х  тХ; если Х< тХо, ХО  тХ[, то Х  тХ[;
3) любой репу рсивnый предипат Q тсводится п лю
бо.му JotUожеству Х, отличnо.:му от !21 и ю.
Д о 11: а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть t  сводящая функ
ция (для R и Х). Если Х рекурсивно и )(х  характери
стическая фушщип Х, то )(х (1)  характеристическая (ре.
курсивная!) функция предиката R. Если Х рекурсивно
перечислимо, то пусть ер  рекурсивная формула, реа-
Шlзующая Х так: Х  (3zq:) [х]; пусть t  рекурсив
ный тер.м, реализующнй функцию t так: t  t [X 1 ,.. ., х п ].
Тоrда, как нетрудно проверить, И:.Iеет место соотношение
R  (3x3z (t  Х 1\ ер» [x 1 , . . ., xnJ,
следователь.!IО, R реализуется рекурсивно перечислимой
формулой.
Утверждение 2) предложения 7 очевидно.
3) Пусть по Ф Х, n[ Е Х и t  любая одноместная
рекурсивная функция, принимающая в нуле значение по,
а в единице значение n[. Если XR (рекурсивная) xapaK
теристичеСI\ая функция предиката R, то f(XR) является
сводящеЙ функцией для R и Х. о
в следующем параrрафе будет показано, что среди
рекурсивно перечислимых множеств существуют наиболь
шие относительно т-своди.мости; точнее, ТaIше реI\УРСИВ
но перечислимые множества Хо, что Х  тХо для любо:-о
рекурсивно перечислимоrо множества Х; таI\ие множест
ва назовем туnиверсальnы,ми репурсивnо nеречислuмы
ми Мliожествами.

 38, НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДIIRАТОВ 281
Мощностные соображения показывают, что среди
всех множеств не может существовать наибольшеrо OTHO
сительно тсводимости, тю" как к фиксированному l\ШО
жеству может тсводиться не более счетноrо семейства
множеств (множество рекурсивных функций счетно!).
Упражнения -
Для двухместноrо предиката R s;; ы 2 через с (R) будем обозна
чать множество {nln Е ы, <l(n), r(n» Е R},
1. Доказать, что отображение R..... с (R) является ОДlIOОДНО.
зпачным соответствием между всеми двухместными предикатами
и подмножестваl1И Ы.
2. Доказать, что R s;; ы 2  рекурсивный предикат тоrда и толь
ко тоrда, коrда с (R)  рекурсивное множество.
3. Доказать, что R s;; ы 2  рекурсивно перечислимый предикат
тоrда и только Torдa, коrда с (R)  рекурсивно перечислимое MHO
жество.
4. Пусть по, ..., п т Е w попарно различны, k o , ..., k m Е W
произвольны; доказать, что существует одноместная рекурсивная
функция f такая, что f(ni) == k i для ве.ех i  т. (У к а з а н и е.
Воспользоваться теоремой о rрафике.)
5. Доказать, что не существует (п + 1)-местноrо рекурсивноrо
предиката Rn, уннверсальноrо для ссыейства всех пMeCTHЫX pe
курсивных предикатов. (У к а з а н и е. Для (п + 1)-местноrо ре.
курсивноrо предиката Rn рассмотреть пместный рекурсивный
предикат {(тl, ..., т n >l(тl, тl, ..., т n > tFRn},)
э 38. Неразрешимость исчисления предикатов
и теорема rёделя о неполноте
Одним из наиболее важных вопросов при изучении
исчисления является вопрос о ero разрешимости.
Исчисление 1 называется разреШU.!ltЫМ, если сущест.
вует алrоритм, позволяющий по любому выражению Ф
ИС<Iисления 1 узнавать, является ли Ф теоремсй 1 или
нет. В противном случае исчисление 1 называется llераз.
решuлtЫ.!lt.
rёдедевой llУ.JItерацuеu множества :Х слов алфавита А'
назовем такое разнозначное отображение g: Х -+ Ю, что
существует алrоритм G, вычисляющий по слову а Е Х
ero номер g(a), и существует алrоритм G" выписываю.
щий по числу п Е (j) слово а, если п == g (а), и выдаю.
щиЙ число О, если п Е (j)\{g(a) I а Е Х}.
Пспо, что в силу тезиса Чёрча вопрос о ра-зрешимости
исчисления 1, имеющеrо rёделеву нумерацию g всех вы.
ражений 1, сводится к вопросу о рекурсивности множест.
ва {g(Ф) I Ф  теорема п.

282 1'.11, 7, АлrоритмыI II РЕkУРСИВНЫЕ ФУНIЩИИ
Расмотрим сиrнатуру o == «2; +2, .\ st, О>, состоя
щую из символа < двухместноrо отношения, символов
+, . двухместных функций, символа s одноместной
функции и символа О константы. Индукцией по построе
пию термов и формул определим rёделеву нумерацию
"(: Т (:o) U F (:o) -+ (о термов и формул сиrнатуры o:
1) '((0)== с(О, 1),
2) '((vi)==c(1, i),
3) '((s(t»== с(2, '(t),
4) '( (t + q) == с(3, c('(t, н»,
5) '(и, q)== с(4, c('(t, '(q»,
6) '((tq)==c(5,c('{t,'(q»,
7) '((t<q)==c(6, c('(t, н»,
8) I'(Ф Л Ч') == с(7, С(I'Ф.I'Ч'»,
9) '((ФV '1')== с(8, с('{Ф, '('1'»,
10) '((Ф-+'I')==с(9, с('(Ф, '('1'»,
11) 1'("'1 Ф) == С (10, I'Ф),
12) l' (3 V i Ф ) == с(11, С (i, I'Ф»,
13) l' (VVi Ф ) == С (12, С (i, I'Ф».
Так как функции с, r, 1 вычислимы, то леrко прове
рить, что '(  rёделева нумерация формул и термов сиr
натуры o.
В ,дальнейшем множество Х s;; т (o) U F (o) будем
называть peypcивпЫM (peypcивп0 перечuс.llUМЫМ), если
множество '( [Х] рекурсивно (рекурсивно перечислимо).
Ниже нам придется устанавливать рекурсивность
большоrо числа функций. Поэтому дальнейшее изложе
ние начнем с одноrо чисто техническо1'О результата, KO
торый будет постоянно использоваться в дальнейшем.
Для любой (п + 1)-местной функции ! определим
(п + 1)местную функцию J СЛедующим образом: для
любых тl, ., " т n , т n +, Е (о J (т" .." т n , т n +,)  это
наименьшее число k Е (о такое, что имеют место равеп
ства (k, 0)== !(т"..., тn, О), (k, 1)== f(т"..., т", 1), ...
.. .,(k, т n +,)== !(т" ..., тn, т n +,).
Если ! рекурсивна, то и J рекурсивна, так как если
! == t [х" '.., Хn, Х n +,], rде t  рекурсивный терм, то
J == q [х" ..., хn, х n +'], rде
'q == !-ty (Vz  хnн ((y, z)  (t);n+I))
 рекурсивный терм. Наоборот, если ! рекурсина, то !
рекурсивна, таи наи !(т"..., тn, т n +,) ==  (f (т"
..., тn, т n +,), т n +,).

\
\
 38, НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИНАТОВ 283
'IП Р е Д л о ж е н и е 1. Пусть даны числа k, По, . . ., ПА Е 0>,
, n+l n+nо+l n+nk+1
peypcивHЫe фунции / , /0 ,'. .,f/l , .eCTHOCTЬ
OTOpЫX уазывает верхний иHдec, одноместные pe
ypcивHыe фунции go,l, ..., go,n o ' ..., gk,l, ..., g/l'nk и
peypcивHЫe формулы <ро, "', <Рп; FV(qJi)S={X 1 , ..., Х n , у},
i::;:;; k. Предположим, что для любой интерпретации
1]: {Хl, ..., Х n , у} -+ о> и любоео i::;:;; k выполнены условия:
а) если <р; [1]J, то "'1 qJj ]1]] для любоео j::;:;; k, j =1= i;
б) если qJi[1]J и ni=l=O, то gi,j(1](Y»<1](Y) для всех
j Е Н, .. " ni},
Тоеда существует, единственна и peypcивHa фун
lIия h, удовлетворяющая условию: для любых т 1 , ',., т n ,
lEO>, если 1]=={<Xi, m)11::;:;;i::;:;;n}U{<y, l)}, то
h(т 1 , ..., т n , 1) ==
1 {/0(m 1 , '. " т n , 1, h(m 1 , ..., т n , gO,l (1), ...
..., h(m 1 , ..., т n , gO'no(I))), если <Ро[1]];
== ik(m, :. '., ,;, h(l" ....., :п n : k,:(l)),'.:.' . . . .
\ ...;h(ml'...'mn'gk,nk(l))), если <Рп[1]];
1 (m 1 , ..., т n , 1) в остальных случаях.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование и единствен
вость функции h, удовлетворяющей сформулированному
в предложении условию, без труда устанавливается ин
дукцией по последнему aprYMeHTY с использованием
условий па qJi, i::;:;; k, и gi, j. Ниже будем доказывать, что
фующил li реализуется некоторым lTepMOM. После yc
тановления этоrо факта реКУРСИВllОСТЬ h будет следовать
из отмеченной выше связи между h и li и предло
жения 36,5.
Пусть имеют место следующие соотношения для под"
ходящих рекурсивных термов q, t o , .. " t h , rO,l'.", r/l,n:
1 == q [Х 1 , ..., Х n , у];
10 == t o [X 1 ,..., х n , у, Zl' ..., Zno];
Ik == tk [X 1 , ."., Х n , у, Zl' ..., Zn/l];
gi, j == ri, j [у], i  k, j Е {1, ., " n).
Пусть Si.j===(Z, ri,J), ik, jE{1, ..., nj}; Si,j
lTepMЫ и FV(sl,j)S= {Z, у}.

Рассыотрим следуюЩуЮ IФОРМУЛУ <р:
( ( 21' ...,2,п, ))
Л epi -+  (z, у)  (tдS i 1....'si 'n, 1\
i-<'k ' , t
1\ ( Л "'1 ер; -+  (z, у)  q ) ;
ik.
284 1'Л. 7. АЛ1'ОРПТМЫ и РЕI\УРСИВНЫЕ ФУНI\ЦИИ
Torдa FV(<p)s= {XI, ..., Х n , у, z}; положим:'i' Уш<у(ер),
FV(1jJ)==FV(ep). Покажем, что
для иптерnретации '1') == {(Xi, тi)! t == 1, ..., n} U
U {<у, l)} и для числа j Е (() следующие условия эвива
леuтuы:
1) 1jJ['I')'] истиппо, еде '1')' == '1') U {(z, j)};
2) для Л1Обоео тl и, т)==h(т l , ..., т n , т).
Предположим, что для l' < 1 эквива.'lентность условиЙ
1) и 2) доказана (с заменой 1 на l'). Докажем эту эк
вивалентность для l.
Пусть выполнено условие 1). Тоrда из вида формулы
Ф леrко видеть, что еспи l' < l, '1')" == ('1')'\ {(у, l)}) U
U {(у, l')}, то 1jJ['I')"]; спедовательно, по индунционному
предположению можно считать, что и, т)== h(т l , ...
..., т n , т) для всех т < l.
Рассмотрим спучай, Korдa существует i  k такое, что
ер;[1']] истинно. Torдa из истинности 1jJ[1']'] и <р['I')'] следу
ет, что имеют место равенства
Zl' .",zn.
 и, l) ==  (z, у) ['1')'] == (t;)s, 1....'S/n' ['1')'] ==
, , 
fi(т1' ..., т п , " 8i,1['I')'], ..., Si'ni ['1')'1). (*)
Далее, дпя j' Е Н, ..., n;J 8ц' ['1')'] ==  и, ri,j' 1'1')']) ==  и,
gi,j' (l»; так НЮ{ истинно ер; [1']], то по условию,
б) предложения 1 gi,j' (l) < 1 (если n; =1= О). Тоrда  и,
gi,j' (l» == h (т 1 , ..., т n , g;,j' (l» и, следовательно,
 и, l) == fi (т 1 , ..., т n , l, h (т 1 , ..., т", gi,l (1), ...
..., h(т 1 , ..., т n , gi'ni (1») == lL(т 1 , ..., т n , l).
В случае, КО1'да для любоrо i  k J <ра '1')], из истинно
сти 1jJ [1']'] следуют равенства
и, l)==(z, Y)['I')']==q[1']']==f(т l , ..., т n , l)==
== h(т l , ..., т n , l). (**)
И та«, в люБО1 случае, если 1jJ [1']'] истинно, то дпп
любоrо т  1 и, т)== h(т 1 , ..., т n , т). .

\
\
  38. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИRАТОВ 285
аоборот, пусть j Е (() таково, что для всех т  l
 и, )  h (т" ..., т n , т), ТО1'да используя ЭТИ paBeH
ства I и соотношения (* ) и (* *), получим, что <р[ '1')']
истицно. Бсли же l'<l и 'I')"===('I')'\{<у, l)})U{<y, l')},
то qJ ['1')"] истинно по индукционному предположению о
равносильности условий 1) и 2).
ОТСIOда получаем, что для '1')  (<х" т,) I i === 1, ...
..., n}U{<y, l)} (I1Z'Ф)['I')]ЭТО наименьшее jE(() Ta
lюе, что и, m)===h(m" ..., т n , т) для всех ml. По
определению h получаем, что 7i (т" ..., т n , l) ===
=== (I1Z'Ф )['1')]. Следовательно, 7i  (l1z\j: )[х" ..., Х n , у]. Как
было отмечено в начале доказательства, отсюда уже сле
дует рекурсивность h. о
Про фушщию h из предыдущеrо предложения будем
rоворить, что она определена возвратной peypcueй по
усочной cxeJ.te или что она определена усочно воз
вратной peypcueй. Часто вместо формул <р, в определе
нии по куоочно возвратной рекурсии мы будем писать
условия, которые можно леrко выразить формулой (на.
пример, 3  х  9, х =1= 2 и т. п.).
Пр е Д л о ж е н и е 2. РеурсuвныJ.Ш являются:
.a) множество Т (Z;o) термов сиенатуры o;
б) множество F (Z;o) формул сиенатуры o;
z
в) множество А (o) acuo;1t И П 1 о.
Д о к а з а т е л ь с т в о, Выпишем определение кусочно
возвратной рекурсиеЙ для характеристической функции
Т множества 'у (Т (o»:
\ 1, если п  с(О, 1) или l (п)  1,
Т (r (п», если l (п)  2,
Т(п)== T(lr(n».T(rr(n», если 3<l(n)<4,
О в остальных случаях.
Заметим, что из определений с, l, r следует l(n)  п,
r(n)  п и k, т < c(k, т) для k  2.
Для характеристической функции F множества
'Y(F(o» определение кусочно возвратной рекурсией
будет следующим:
f Т (lr (п». Т (rr (п», если 5 < l (11)  6,
JF(lr(n».F(rr(n», если 7I(n)9,
F (п) == 1 F (r (п», если l (п) == 10,
t F (rr (п», если 11 < l (п < 12t
О  остальных случаях. .

286 1'.'I, 7. АЛ1'ОРIIТМЫ и РЕНУРСИВНЫЕ Фуннции (-
Рассмотрим функцию Sb, определенную кусочно ПО34
вратноЙ рекурсией следующим образом:
Sb(n, т, k) == \
k, еСJIИ l(п) == 1 и r(n) == т, .
с (1 (п), с (Sb (lr (п), т, k), Sb (rr (п), т, k»),
если 3 < 1 (п)  9 t
си(п), Sb(r(n), т, k», если l(п)Е{2, 10},
с (1 (п), с (lr (п), Sb (rr (п), т, k»),
если 11  1 (п) < 12 и т =1= lr (n)t
t п в остальных СJIучаях.
Лешо проверить, что если eET(Z;o)UF(o) и tET(o),
то Sb ("(8, т, '(t) == '(8', rде 8' получается из 8 заменой
всех свободных вхождений переменной V m на терм t.
Определим кусочно возвратной рекурсией ДBYXMeCT
ную функцию Fr, обладающую следующим свойством:
ДJIЯ любой 8ET(o)UF(Z;o) имеем Fr()'8, п)==1, если
v n входит свободно в 8, и rr ()'8, п) == О в противно!>!
случае.
Fr (п, т) ==
r sg (6 (r (п), т», если 1 (п) == 1,
I Fr (r (п), т), если 1 (п) Е {2, 10},
== i sg (Fr (lr (п), т) + Fr (rr (п), т», если 3 < l (п) < 9,
I Fr (rr (п), т), если 11 < 1 (п) < 12 и т =1= 1," (п),
t О в остальных случаях. .
Рассмотрим функцию Р, определенную кусочно воз
вратвой рекурсией следующеrо вида:
Р (п, т, k) ==
1, если 0<I(n)<6,
Р (r (п), т, k), если 1 (п) == 10,
P(lr(n), т, k).P(rr(n), т, k), если 7<I(n)91
Р (rr (п), т,.k), если 11 < 1 (п) < 12 и
Fr(rr (п), m).Fr(k, lr(n» == 0t
О в остальных случаях,
Если ФЕF(о), tET(o), то Р()'Ф, т, )'t)==1,
v m
I\оrда выполшrется условие на запись (Ф)t (см.  18),
и Р ('{Ф, т, '(t) == О в противном случае.

 38, НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИRАТОВ 287
мея в распоряжении ренурсивные функции Т, F, Sb,
Fr Р, леrко построить рекурсивную хараRТеристиче
CKY фУЮЩИЮ А множества аксиом ипо. Достаточно
посtроить характеристическую функцию A j для множе
ства аксиом, полученных по схеме i для любоrо i Е
Е {1, 2, ., " 12}. Построим А\ и Ан, оставляя построе-
ние A j для друrих i читателю в качестве ле1'КО1'О упраж
нения.
( 1 если F (п)  1, 1 (п)  9, llT (п)  9
Al (п)  и lr (п)  ТТТТ (п),
О в остальных случаях,
А п  { 1, если F (п) == 1, 1 (п) === 9, иТ (п)  12 и Ф (п;l
11 () о в остальных случаях;
1'де
Ф (п) == 3х  п (Т (х) 1\ ТТ (п)  Sb (I-rlr (п), lrlr (п), х) Л
1\ Р (rrlr (п), lrlr (п), х», о

Пр е Д л о ж е н и е 3. Мnожество теорем И П 1 О pe.,.yp
сивnо перечисдuмо.
Д о к а з а т е л ь с т в О, Пользуясь функциями F и Fr,
леrко построить определения кусочно возвратной peKYP
,сией трехместной функции Ю\ и двухместных функций
Rl z , Rl з , для которых Ю, (п, k, т) == 1, Rl z (п, т) == 1 и
Rlз(п, т)== 1 точно тоrда, коrда п == 'УФ, т == 'fЧ', k == 'Уа
дЛЯ Ф, Ч', а Е F(o) и Ч' получается соответственно из
Ф, а или Ф по правилам 1, 2 или 3. Например,
1 1, если 1 (п) == 1 (Пt)  9, ,lrr (т) == 12,
ТТ (п) == ТТТТ (т), F (п)  1,
Ю 2 {п , т)  lr(n)  lr(m) и Fr(lr(n), lrrr(m» == О,
, lO в остальных случаях.
Для определения следующей очень важной фУНКЦИИ
рассмотрим сиrнатуру , полученную из o добавлением
функциональных символов l, т, , А, Rl" Rlz, Rl з , и соот-
ветствующую алrебраическую систему Q1:, rде введенным
символам соответствуют рекурсивные функции на ffi, обо
зпаченные ранее этими символами, Пусть qJ  ф.орму

288 1'Л, 7. АЛI'ОРИТМЫ И РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
ла, определенная так:
V х < r (и) (А ((l (и), х») 
 1 V 3у <x3z < х ("'1 У  х 1\ "'1 z  х /\
1\ (Rl 1 Ф (l (и), у),  (l (и), z),  (l (и), х» V
V Rl 2 ((l (и), у),  (l (и), х» V Rl з (13 (l (и), у),  (l (и), х»)));
FV (ер) == {и}. Определим теперь одноместную рекурсив
ную функцию Pr так:
для n Е ro
Pr n == { (l(n), r(n», если ер[11] для n == {<И 1 n>}!
() у (и о  и о ) в остальных случаях. .
Остается проверить (это мы оставляем читателю), что

функция Pr будет перечислять множество теорем ИП 1 о. О
Рассмотрим совокупность ro предложений, являющих
ея универсальными замыканиями следующих формул
СИ1'натуры o:
1) "'1 8 (и о )  О,
2) 8(иo)8(иl)--+иOиl,
3) ио + О  и о ,
4) VO+S(Vl)S(VO+VI),
5) и о ' О  О.
6) иO'8(иl)(иO'иl)+иO'
7) "'1 и о < О,
8) и о < 8(и 1 ) --+ (и о < и 1 V и о  и 1 ),
9) (и о < и 1 V и о  и 1 ) --+ ио < 8(и 1 ),
10) "l и о  v 1 -+ (и о < и 1 V V 1 < и о ),
Множество предложений сиrнатуры o, выводимых

в ИП 1 О из аксиом r о, назовем теорией АоЯсво, что Q ==
== <ro; +, " <, О>, rде +, " <, О обозначают COOT
ветственно операции сложения, умножения, отношение
«меньше» и число О, будет моделью Ао. В частности, Ао
непротиворечива.
Tepl\l 8(8(...8(0)...»), rде число символов 8 равно n,
будем, как ранее, обозначать через п'.
Оп р е Д е л е н и е. Функция f: ro n --+ ro называется
nредстави.'dОЙ в теории Ао, еСЛИ существует таl\аЯ форму

 38. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ IIСЧИСЛЕЮ!Я ПРЕДИНАТОБ 289
ла Ф (XI, " " Х n , у) сиrнатуры o, что для любых тl,
. .., т n , т Е ro
!(тl,.", т n )== т =>- Ао 1> Ф(т l ,..., т п , т), (1)
! (т 1 , "', т n ) =1= т=>- Ао 1> --, Ф (т 1 , ..., т n , т). (2)
Если для пместной функции! и формулы Ф (Х I ,
..., Х n , у) выполняется (1) и (2) для всех т, тl,
..., т n Е ro, то будем rоворить, что Ф(ХI,..., Хп, у)
представ.ляет в Ао фунпцию !. Отметим, что это отноше
ние зависит не только от формулы Ф и функции !, но и
от упорядочения переменных ХI, ..., Х n , у. Будем rOBo
рить, что формула Ф представляет пместную фующию
!, если Ф(х l , ..., Х n , у) представляет ! для некоторых
переменных Х I , .,., Х n , у,
Л е м м а 1. Пусть п, т Е ro. Тоеда
а) Ао 1> Х < s (n) -+ (х  О V . . . v Х  n);
б) ес.ли п =1= т, то Ао 1> I n  т;
в) если п < т, то Ао I>n<m;
r) если п < т, то Ао 1> I m < n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если п == О, то а) СJlедует из
аRСИОМ 7) и 8). Для п == k + 1 а) следует из истинности
а) для k и Ю{СIIОМЫ 8). 'Утверждение б) для т == О сле
дует из аксиомы 1). Пусть утверждение б) для т  k
доказано, и пусть п =1= k + 1. Если п == О, то б) следует
из ансиомы 1). Ес.'IИ п == 1 + 1, то 1 =1= k и по предполо
жению Ао 1> I l  k. Из аксиомы 2) нолучаем тоrда Аоl>
1> I n  s (k).
'Утверждение в) докажем индукцией по т. Если
т == О, то доказывать IJ.ечеrо. Если т == k + 1, то п < k
или п == k и по индукционному преДПО.'Iожению
Ао 1> n <k V n  k. Из аксиомы 9) получаем теперь
Ао I>n < т.
'Утверждение r) докажем индукцией по п. При п ==
== о  это аксиома 7). Если k + 1  т, то по индукци
онному предположению и утверждению б) получаю!
Ао 1> 1т < k /\ I m  k. Из аксиомы 8) получаем ТО1'да
Ао 1> 1т < s(k). о
Л е м м а 2. Формулы и о + и 1  V z и и о ' и 1  Vz пpeд
ставляют в Ао фунпции сложения и умножения COOTвeT
ственНО.
ДОRазателъстпо. Условие A"l>m+n k, rде
k == т + п, т, п Е ro, НОl\ажем ИIIДУ1\цией по п. Для п == О
19 Ю,.тI, Ершов, Е. А, ПаJIЮТIIН

290 1'Л, 7, Ал1'оритмы и РЕНУРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
это  аксиома 3). Индукционный ша1' следует из аксио
мы 4. Условие (2) следует теперь И3 леммы 1 б). Про
верку для умножения оставляем читателю, О
Т е о р е м: а 5. Любая реурсив1lая фУ1lция npeдCTa
вима в Ао.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 36.3 достаточ
но для любой РeI,УРСИВНОЙ формулы <р, FV (q» s;; {X t , '"
..., Х n }, и любою ренурсивноrо терма t, FV(t)s;; {X t , ...
.. " Х n }, построить такие формулы ФCf(Хt,..., Х n ),
Ч' t (Xt, ..., Х n , у) СИ1'натуры o, что для любых т l , '"
. .., т n , m Е (j) выполняются следующие условия:
(m t , ..., т n ) Е q>[Xt, ..., xn]=>-АоI>ФCf(т t , ...,т n ), (3)
<m 1 , .", lп п ) Ф q> [X 1 ; "., Хп] =? Ао t> "'1 Фrp (т 1 , "', т п ),
(4)
t[Xt, ..., xn](mt, .." т n )== т=>-Аоl> Ч't(т i ".., т п , т),
(5)
Ао t> (1ft (т 1 , "" т п , у) Л 1ft (т 1 , '.., т п , z) --+ у  z). (6)
Строим Ф'f и Ч' t одновременно ИНДyRцией по длине
q> и t:
а) 'I' о == у  О,
б) чr х == у  Х,
в) чr в т == 3z (('I't) Л У  s (z»),
) 'I'tTQ == 3z3w-((1ft) Л (Ч'Q) Л у  ZTW), ТЕ{ +1 '},
д) Ф tТQ == 3z3w (('I't) Л (Ч'Q) Л ZTW), Т Е {1 <},
е) Ф...,rp == "'1Фrp,
ж) Ф(rptФ) == (Ф.рТФф), Т Е {Л, V,  },;
з) ч' f.txrp == (Ф<р) Л V Х (х < у  "'1 Ф<ji)'
Теперь мы должны в каждом из случаев а)  з) оп
ределения формул ФCf, ч' t установить справедливость (3),
(4) или (5), (6) соответственно. Случаи a) в) и д)
следуют из индукционноrо предположения и леммы 1,
Случай r) следует из леммы 2 и индукционноrо предпоЛО
жения. Случаи е) и ж) очевидны. Проверим з), Так как
f.1Xq>  рекурсивный терм, FV(f.1Xq» s;; {X t , ., " Хn}, то для
любых m t , ,. " т n Е (j) существует m Е (j) такое, что q> [ч]
для ч == {(Xi, тi) I i == 1, "', n} U {(Х, т)}, Из аксиомы
10) получаем истинность (6). Из индукционно1'О предпо-
ложения и леммы 1 а) получаем истинность (5). о

538. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИНАТОВ 291
Т е о р е м а 6. Если Т  иепротиворечивая теория cиe
иатуры o и Ао 5; Т, то l>t1tожество Х Т == {"{ (Ф) I Ф Е
Е F (o), т [>ф} иерепурсивио.
Д О К а э а т е л Ь с т в о. Рассмотрим одноместную
функцию Nm, определенную следующей схемой:
Nm(O)===c(O,1), Nm(n+ 1)===с(2, Nm(n)).
Ясно, ЧТО функция Nm рекурсивна и для любоrо п
Nm (п) == "{ (п). Обозначим через Sb o (х, у) функцию
Sь(x, О, Nm(y) (функция SЬ определена в доказатель
стве предложения 2). Заметим, что если Ф Е P(o),
пЕ ffi, то SЬО(У(Ф), п)=== у(Ч'), rде Ч' получается из Ф
заменой всех свободных вхождений переменной и о на
терм п.
Предположим, что существует рекурсивная харю\те-
ристическая фУНКЦИЯ j множества Х Т . По предыдущей
теореме существует формула Ф (х, у, z), представляющая
в Ао функцию j(Sь o ). Заменив, если нужно, формулу Ф
на конrруэнтную, можно считать, что Ф не содержит
( х 1/ Х )
переменную ио связа'НlIO. Пусть по == у ( ...., Ф),,,".l . Если
j(Sbo(no, по))=== 1, то у(! Ф(п о , по, 1»ЕХт,следовате.1JЪ
но, т [> '1 Ф (по, по, 1). Однако этоrо не может быть
в силу представимости j(Sb o ) в Ао 5; Т формулой
Ф(х, у, z) и непротиворечивости Т. Таким образом,
j(Sbo(no, по»)==О. Из Toro, что Ф(х, у, z) представляет
в Ао функцию f(Sb o ), и включепия Ао 5; Т получаеv
т [>..., Ф (по, по, 1). Следовательно, у( i Ф (по, по, 1» ЕХ т
и f (Sb o (по, по)) === 1. Пришли 1\ противоречию. О
СJlедствие 1 (Чёрч). Множество теорем исчисле
ния предипатов И по нерепурсивно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ф о  I\ОНЪЮНIЩИЯ анси-
ом 1) 10) теории Ао и Ф 1 == 'VlJ о 'VlJ 1 'VlJ 2 Фо. Ясно, '{то
для любой формулы Ч' сиrнатуры )30 имеем
Ао [> 'JF  (Ф 1 ---+ чr  теорема ил;о). (7)
Предположим, что хараl\теристическая фУНIщия f МНо-
жества Хо == {у(Ф) I Ф  теорема ипо} рекурсивна. Tor-
да рекурсивна функция g == j (с (9, с (по, х»), rде по ==
== "((Ф 1 ). В силу (7) g  характеристическая ФУНIщия
множества {у(Ф)IФЕF(о), АО[>Ф} и по теореме 6
не может быть рекурсивной. Противоречие. О
19*

292 rл, 7. Алrоритмы и РЕНУРСИВНЫЕ ФУННЦИИ '
Из предложения 3 и следствия 1 получаем
С л е Д с т в и е 2. Существует рекурсивпо nеречис.лимое
перекурсивиое lIшожество. О
Теорию Т сиrнатуры o будем называть aKcиOMaTиaи
руеlJo!ОЙ, если существует ренурсивно перечислимое MHO
жество r аксиом дЛЯ Т.
Л е м м а 3. Ес.лu Т  аксuоматuзируемая теория cиa
патуры o, ТО мпожество Х Т == {"( (Ф) I Ф Е F (o), т [> Ф}
рекурсивпо nеречис.лu.мо.
Д о н а з а т е л ь с т в о. Пусть f  ренурсивная Функ
ция, перечисляющая множество "( [r], тде r  множество
аксиом дЛЯ Т. Пусть Pr  функция из предложения 3,
перечисляющая теоремы ИП;О. Рассмотрим функцию g,
определенную слеДУЮЩИМ образом:
g(O)==f(O), g(п+1)==c(7, c(g(п), j(п+1»)'.
Пусть f (i)  У (Фд, i Е ffi, тотда g (п) == у (... (Ф\) 1\ Фl) 1\
1\ .., 1\ Ф n ) и
Х Т == {Ф I Ф Е F (\), [> (Ф\) 1\ '" 1\ Ф n )  Ф, п Е ffi}.
Следовательно, фующия Pr T , определенная схемом
\ rr(pr(l(n»), если l(Pr(l(n»)==9
PrT (п) === . и lr (Pr (l (п))) === g (r (п»,
V (и\)  !J o ) в остальных случаях,
будет перечислять множество Х т . О
Напомним, что теория Т сиrнатуры  называется по.л
иой, если она непротиворечива и для любой замкнутой
формулы Ф сиrнатуры  либо Ф Е Т, либо ,Ф Е Т.
Л е м м а 4. Ес.ли теория Т сиапатуры o аксиоматuзи
руема и по.лuа, то миожество Х Т == {"( (Ф) I Ф Е F (o),
т [> Ф} рекурсивпо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим двухместную функ
,цию f, определенную следующим образом:
f(m, О)===с(12, с(О, т),
f(m, п+ 1)===с(12, с(п+ 1, f(m, п»)'.
Тоща для Ф Е P(o) имеем f(v(Ф), п) === y('t/Vn't/Vnl ....
.,. 't/v\)Ф). Так иак c(k, s) k, s, то индексы перемен-
ных, входящих В формулу Ф, не превосходят "( (Ф). Сле-
довательно, формула чr, для I\ОТОрОЙ "( (чr) === j ("( (Ф) ,
"( (Ф) ), замкнута ДЛlI любой Ф Е F (o)' Заметим, что для

 38. НЕР.А3РЕШIIМОСТЬ ИСЧIIСЛЕНИЯ ПРЕДIIRАТОВ 293
люБОII Ф Е F (o) ю!ееМ
т r> Ф -<=?- Т r> ':Р',
rде у(':Р')f(У(Ф), у(Ф». Пусть Рl"тфункция иа ле!
:мы 3, перечисляющая МНОЖеСТВО Х т . Из полноты Т по
лучае:м пФХт-<=?-(F(п)О или с(10, Нп, п»ЕХ т ), rдe
F  характеристическая функция множества F (o)' По
этому функция g, определенная слеДующим образом:
! l (п), есди PI"T (r (п» == с (10, f (l (п), l (п)))
g (п) == или F (l (п» === О,
У (1 V o ::::::; V o ) в остальных случаях,
будет перечислять МIIОЖОСТВО ffi \Х Т . Из предложения
37.1 получаем рекурсивность Х т . О
Т е о р е м а 7 (fёделя о неполноте). л юбая асиО,lИ-
тuзируемая теория Т CUZHaTYpbZ o, являющаяся расши
рением Ао, неполпа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно из теоремы 6
и леммы 4. о
Теорема fёделя о неполноте имеет исключительно
важное значение для оснований математИI{И. Если из
теоремы 6 и. тезиса Чёрча мы получаем, что не сущест
вует универсальноrо метода для доказательства теорем
арифметИIШ, то из теоремы fёделя о неполноте и тезиса
Чёрча следует, что не существует даже эффективноrо
способа задания аксиом арифметики. (ПОД арифметикой
здесь понимается теория системы Q === (ffi; +, '. <, 0>.)
В заключение параrрафа докажем, как было обещано
в  37, существование универсальных рекурсивно пере
числимых предикатов.
т е о р е м а 8. Для любоzо п Е ()), п + О, существует
(п + 1)Jlfестный рекурсивно перечислимый пpeдиaT,
универсальный для семейства всех пMeCTllЫX peKypcив
НО перечисли:иых предикатов.
Д о к а з а т е л ь с т в,о. Рассмотрю! (п + 1)-местный
предикат R, определенный так: для любых то, т., ...
. .., т п Е ffi
<то, т.,..., т n > Е R -<=?- то  rёделев номер некоторой
формулы Ф сиrнатуры o И Ао 1> (Ф)';::',::::;:;l.
Используя построенные выше фуннции, лerко опре
делить (п + 1)-местную рекурсивную функцию f такую,
что для любых то, ..., т n Е ffi .

294 rл. 7. Алrоритмы II РЕНУРСИВНЫЕ ФУННЦИII
а) если F (то) == О, т. е. то не является 1'ёделе
вым номером некоторои формулы, то f(mo, ..., т n ) ==
==1'(...,0  О);
б) если F (то) == 1 и Ф  такая формула, что у (Ф) ==
== то, то
) (Ф (Ф "о' """nl )
f (то, m 1 , ..., т n == у 1  )m1,...,m n ;
ЗДесь Ф,  предложение, определенное в доказательстве
. слеДСТВИЯ 1 к теореме 6.
1:
Если O  множество rёделевых номеров теорем ИП! о,
ТО ИЗ определения функции f видно, что справедливо сл-е
дующее соотношение: для любых то, m t , ..., т ,. Е ffi
(то, тl) ..., mn>ERf(mo, т 1 , ..., тn)ЕХ о .
Таким образом предикат R тсводится к множеству Хо.
По предложению 3 ХО реl{УРСИВНО перечислимо, следова
тельно, по предлжению 37.7 предикат R также peKYP
сивно перечислим.
Покажеl\{, что R и является универсальным для ce
мейства всех пMeCTHЫX рекурсивно перечислимых пре
дикатов.
Пусть RO  пместный рекурсивно перечислимыЙ пре
дикат, а ер  такая рекурсивная формула, что FV (ер) s
s; {v o , ..., v n } П
RO == (3и n ер) [ио, ..., vnll.
Пусть ФqJ(VО, ..., V n )  формула из доказательства Teope
мы 5, тоrда для любых то, ..., т..I' т ,. Е ffi выполнено
следующее:
(то, ..., mnl' т,,) Е ер [Ио' ..., vnl =>
=> АО 1> Ф<j) (то, ..., тпl, т n ),
(то, ..., тn1' тп)ф. ер [ио, ..., иn] =>
=> Ао 1> ..., Фtp (то, ..., mпl, т п ).
Рассмотрим формулу Ф (и О . ..., Vnl) === 3v п Ф<j) (ио, ...
. . . '. Unl, и n ) и дон:ажем следующее соотношение: для лю
бых то, ..., тn1 Е ffi
(то, "', тn1) Е RO 
 А ( Ф ) V О ' ..., Pn1 (  Ф ( т ... , m n  l» '
о 1> то, ..., т11:l  О'
Действительно, если (то, ..., тn1> Е RO, то для HeKOTO
po1'o т.. Е ffi (то,..., тn!, т,) Е <р [и о , ..., v n ]; тоrда

 38, НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ИСЧИСЛЕНИЯ nРЕДИНАТОВ 295
Ао t>Ф<j) (то, "., тn1, т n ) и
Ао t> Ф (то, ..., mnl) (=== 3lJ п ФIp (то, . . ., тn1, и п »,
Наоборот, пусть Ао [>Ф (то, .", тnд; Torдa Q 1=
1= 3V n Ф<j) (то, ..., тn1, и n ), ТЮ{ как Q есть модель А о ;
следовательно, для HeKoToporo т n Е ffi Q 1= Ф<j) (то,. , ,
. .., mnl, т п ), ПОI{ажем теперь, что <то, ,.., тn1, тп> Е
Е qJ [ио, .. " и п ]; деiiствительно, если бы это было не тю,
то Ао [> I Ф<j) (то, ,.., mnl, т n ) и, следовательно, Q 1=
1= "1 Ф<j) (то, .,., тпl, т п ), Итак, <то, .,., mnI, тп> Е
Е qJ [ио, .., и п ] И, следовательно, <то", " mn'I> Е RO.
Пусть k === "( (Ф), TOrдa ИЗ доказанноrо выше имеем:
для любых то, . ", тn1 Е ffi
k R А (Ф) "О' ...."пl
< 1 то, "'" mnl> Е -<=>. о t> тo,...,тn1-<=>
-<=> (то, "', тпl > Е RO,
Таким образом, R O == НН' О
е л е Д с т в и е 1. ДЛЯ любом n Е ffi, n <1= О, СУЩест
вует (n + 1)местnая чаСТUЧ1l0 реурсuвnая футщuя,
уnuверсальnая аля семейства всех nMeCTnЫX частuчио
peypcивnыx фуnцuй.
Это следует ИЗ теоремы и предложения 37.6. о
В ходе 'ДQказательства теоремы по существу был yc
тановлен и следующий факт,
е л е Д с т в и е 2. Мnожество ХО zёаелевых nомеРО8
теорем ИПО является тynивepcaДЬnЫM peypcuвno ne
речuсдuмым мnожеством. О
Упражнения
1. Пусть Т  теория сиrнатуры , Фо(х, Wl, ..., 11',),
Ф 1 (х, у, Z, Wl, .,., Шп), Ф 2 (х, у, Z, Ш" .." Ш т ) Е F(). Показать,
что если существуют модель Ш теории Т, элементы С" ,.., С"
al, ..., ап, Ь), ..., Ь т Е А и отображение f: 00 --+ А, для которых
выполняются условия:
а) f[oo] === {аlШ 1= Фо(а, Сl, .." С,)},
б) k + 1 == r -<=> 2r 1= Ф 1 (fk, fl, fr, al, ..., а п ),
в) k.l === r -<=> Ш 1= Ф 2 (fk, fl, fr, Ь 1 , ..., Ь т ),
то теория Т неразрешима, т. е. множество Х Т == {Ф Е F ()! т J> Ф}
нерекурсивно. (У к а з а н и е. Применить теорему 6.)
2. Используя УПjажнеНИi 1, доказать, что нерекурсивны мно-
жества теорем ип 1 и ИП 2, rде l == (Р) И 2 == (r 2 ) coдep
жат один двухместный фушщиональный и предикатный символ
соответственно, а вначит, неразрешимо исчисление ИП Е для любой
сиrнатуры , содержащей более чем одноместные символы.

296 rл. 1. АлrоритмЫ и РЕНУРСИВНЫЕ Фvннции
s 39. Разрешимые теории
Теорема о неразрешимости элементарной арифметИI\И
(теорема 6) положила конец попыткам построить уни
версальный алrоритм решения всех математических за
дач. Однако нахождение алrоритмов для решения различ
ных классов математических задач было и отается OA
ной из важнейших целей математики. Построенные в
математической лоrике формальные языки значит аль но
расширили ВОЗl-ютности нахождения классов задач с р:1З
решающим алrоритмом. В частпости, про любую элемен
тарную теорию Т мы можем спросить, разрешима ли
она, т. е. существует ли алrоритм, устанавливающий по
любому предложению qJ, принадлежит ли qJ данной тео-
рии Т. R сожалению, мноrие важные для матеlатИI{И
теории ОRазались неразрешимыми. В  40 будет ПРО,\од
жен список неразрешимых теорий, начатый в S 38, и бу
дут приведепы плодотворные методы доказательства He
разрешимости элементарных теорий.
В данном параrрафе на нескольких важных ПРИNIерах
будут продемонстрированы некоторые методы ДОRазатель
ства разрешимости элементарных теорий. Один из таких
методов дают предложение 29.1 и лемма 38.4. Следую
щее предложение является следствием этих утверждений.
Предложение 1. а) Элементарная теория ПЛП
плотных .линейных поряд,..ов без паимепьшеео и Haи
бо.льшеео э.лемента (см. пример 15.3) разрешима.
б) Э.лемеftтарная теория А3П о по.ля <С, +, " О, 1> "'OM
плесиых чисе.л разрешима.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. а) По предложению 15.4 Teo
рия ПЛП (j)катеrорична, следовательно, по предложению
29.1 она полна. Так как ПЛП имеет конечное множество
аксиом, то она аксиоматизируема. Лемма 38.4. дает раз
решимость ПЛП.
б) Рассмотрим теорию То, аксиомами которой будут
аксиомы теории полей вместе со всеми предложениями
вида
VX o ... Vx n 3y Хо+ X1Y + ... + ХпУ п  О, п Е (j),
и всеми предложениями ВИДа
Vx (пх::::::.: Ox::::::.: О), п Е (j)"-{O}.
Модели теории То в алrебре называются алеебраичеспи
aaJMUiYTblMU по.М.ми НУ.Ilевой Xapafi,TepUCTU1'iU. Из ал

 39. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
297
rебры известно, что любое алrебраически замкнутое поле
нулевой характеристики определяется с точностью до
изоморфизма максимальной мощностью своих алrебраи
чески независимых подмножеств. Отсюда получаем, что
ТО катеrорична в несчетных мощностях, следовательно,
по предложению 29.1 ТО полна. Так как поле комплекс
ных чисел является моделью теории То, а теория ТО пол
на, то получаем А3П о == То. Рекурсивность множества
аксиом для А3П о и лемма 38.4 дают разрешимость
А3П о . о
Теория ПЛП, разрешимость которой установлена в
предложении 1 а), совпадает с Th«R, 0:;;;», rде R 
множество действительных чисел. Имеется, однако, зна
чительно более сильный результат: теория Th «R, +, .,
<, О, 1» разрешима. Для доказательства этой теоремы
нам будут нужны некоторые общие факты.
Пусть Т  некоторая теория сиrнатуры . Будем
roворить, что в теории Т имеется э.ли:миllация ква1lторов,
если для любой формулы Ф (х 1 , ..., х n ) сиrнатуры 
найдется бескванторная формула Ф* (Хl, ..., х n ) сиrнату
ры , эквивалентная в Т формуле Ф (т. е. Т [> (Ф --+Ф*) ;\
;\ (ф*--+ Ф»).
Пр е Д л о ж е н и е 2. Пусть э.лемеllтарllая теория Т
имеет по краЙllей"мере одllУ КОllстаllТУ в си?1lатуре. To?
да с.ледующие ус.ловия эквива.леllТllЫ:
1) в Т имеется э.лимиllация ква1lторов;
2) д.ля .любой моде.ли fX теории Т, .любой (j)llаСЫще1t.
пой (см.  28) моде.ли  теории Т, .любых а 1 , . .., а n , Ь Е
Е А и .лlOбоео иаоморф1iоео в.ложеnи.Ч qJ подсистемы
(al, .." а n ) (см.  15) в  llайдется продо.лжеllие qJ до
UЗ0МОРФно(JO вложения qJ I пООСllстемы fX (а\, . .. , а n , Ь) в.
Доказательство. 1)=>-2). Пусть выполнено 1) и
выбраны , , а\, ..., а n , Ь и qJ, как в 2). Рассмотрим
множество
v == {ф (х, qJa\, .." qJa n ) I  
 Ф (Ь, а\, ..., а,,), Ф бескванторная}.
Для доказательства 2) достаточно показать, что V реали
зуется в , В силу (j)-насыщенности  и замкнутости V
относительно конъюнкции достаточно показать, что
  3хФ (х, qJa 1 , "', qJa n )
(1)
х n } 
для любой Ф (х, qJal, . . ., qJa,,). Е V. Пусть Ф*(Хl'
.. .,

298 1'Л. 7. А.lI1'ОРИТМЫ и РЕНУРСИБНЫЕ ФУННЦИИ
бескванторная формула, эквивалентная в Т формуле
3хФ (Х, X 1 , ..., х п ). Так как fX 1= 3хФ (Х, a 1 , ..., а п ),
то fX 1= ф* (а" ..., а п ). Из Toro, что qJ  изоморфное вло
жение и ф* ,бескванторная, вытеl\ает  1= ф* (qJa" ...
. .., qJa n ). Из эквивалентности в Т формул ф* и 3хФ
получаем (1).
2) =>- 1). Пусть выполнено 2). Индукцией по числу
кванторов в Ф будем находить бескванторную формулу
Ф*, эквивалентную в Т формуле Ф. В силу эквивалент
ности V хЧ' == 13Х I Ч' для любой формулы ':Р', доста-
точно рассмотреть случай, коrда
Ф (x 1 , ..., Х n ) == 3хЧ" (Х, X 1 ' ..., х п ),
[де ':Р'  бескванторная формула. Если Т U {ф} HeCOB
местно, то в качестве Ф* можно взять ,С  с, [де с 
некоторая константа. Пусть теперь Т U {ф} совместно.
Рассмотрим множество
И == {в (Х" ..., Х п ) I т [> Ф -+ в, в бескванторная}.,
Нокажем, что Т U и [> Ф. Предположим, что это не так,
т. е. существуют модель  теории Т и элементы Ь"
ЬпЕВ такие, что I=e(b" ..., Ь п ) для всех 6(Хl, ...
..., Хп)Е И И  1= ,Ф(Ь 1 , ..., Ь п ). Пусть
У=={Х(х" ..., Xn)II=X(b" ..., Ь n ), Х бескванторная}.
Если бы множество Т U У U {ф} было несовместным, то
в силу замкнутости У относительно конъюнкции выпол-
нялось бы Т [> Ф -+ I Х, дЛЯ Hel\OTopOro ХО Е У. Torдa
'Х о Е И И В силу И s;;; У это противоречило бы вьшол
нимости У. Итак, Т U У U {ф} совместно, и пусть fX 
модель теории Т, а 1 , ..., а п , Ь Е А,
fXI=X(al, ''', а n ), Х(х" ..., Хп)Е У, (2)
и  1= ':Р' (Ь, а 1 , ..., а п ). Взяв, если нужно, улырастепень
 по неrлавному улырафилыру на СО, можно считать,
что  сонасыщена (предложение 28.6). Из (2) вытекает,
что отображение qJo: {а". .., а п }........ В, дЛЯ KOToporo
qJoa. == Ь., продолжается до ИЗ0морфноrо вложения qJ
подсистемы fX(a" ..., а n ) в . (Если п == О, ТО В качестве
qJ берем изоморфизм подсистем значений' термов без пе
ременных.) По 2) qJ продолжается до ИЗ0морфноrо вло
жения qJ' подсистемы fX (аl' ..., а п , Ь) в . Так как ':Р'
бесквапторпая, то  1= ':Р' (qJ'b, Ь 1 , ..., Ь п ), следовательно,

!i 39. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
299
 1= 3хЧ' (х, Ь 1 , ..., Ь п ). Это противоречит условию  1=
1= ...., Ф (Ь 1 , ..., Ь п ). Берем Ф* Е и, для которой Т U
U {Ф*} t> Ф. О
, Следующая система аксиом определяет теорию ВЗП
(вещественно замкнутых полей):
1) аксиомы полей,
2) ...., х < х,
3) (x<yAy<z)--+х<z,
4) х < у v х  у v у < х,
5) (0< хАО< у)--+О< х.у,
6) х < у --+ Х + z < у + z,
7) 0< х--+ 3у x у2,
8) 3у ( У2n Н + .  Xiyi )  О, п Е ffi.
2n
Заметим, что если <Р, +, ., <, О, 1>  вещественно
замкнутое поле, то поле <Р, +, ., О, 1> имеет нулевую
характеристику, а <Р, <>  плотный строrий порядок
(т. е. <Р, <)l=x<y--+Зz(х<zАz<у». в самом
деле, из аксиом 6) и 3) мы получаем х < О --+ пх < О
и 0< х --+ О < пх, п Е ffi\{O}, что вместе с 2) и 4) дает
....,xO--+...., пxO, nEffi\{O}. Из аксиом 1)6) леrко
выводится также х < у --+ (х < х ! у < у), что доказыва
ет плотность <Р, <>.
Пр е Д л о ж е н и е 3. В теории вал имеется эли},tина
ция пванторов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим критерий предЛо
жения 2. Пусть fX,   вещественно замкнутые поля,
 ffiнасыщено, a l , ..., аn, Ь Е А и qJo  изоморфное вло
жение fX(a l , ..., а п ) в . Система fX(al, ..., а п ) не явля
ется полем, однако аксиомы 1)  6) позволяют единст
венным образом продолжить qJo до изоморфноrо вложе
ния qJ минимальноrо подпОля fXo s;; fX, содержащеrо.
(al, ..., ап), B.
Случай 1: Ь алrебраичен над o в fX, т. е.  t= f(b)  О,
rдe Нх)  мноrочлен с коэффициентами из fXo. Сущест
вование требуемоrо в 2) предложения 2 вложения qJ' вы-
текает из следующей леммы курса алrебры: если К 
упорядоченное поле и K 1 , К 2  e1'o вещественные

300 rл. 7. АЛrорптмы II РЕНУРСИВIIЫЕ ФУННЦИИ
замыкания, индуцирующие заданное упорядочение на К,
то существует изоморфизм IС на К 2 , тождественный на К.
С.лучаи 2: Ь не алrебраичен над o в . Пусть
А 1 == {а е Ао I o t= а < Ь}, А 2 == {а е Ао I o t= Ь < а}.
Обозначим через р (х) множество всех формул вида
crа<х, а е А 1 , х<crа, а е А 2 и '1  cr(Ci)XiO для
i<rt
всех мноrочлеIIОВ  Cixi, Ci Е Ао, не равных тождест-
i<n
венно нулю в o. Из плотности порядка в o вытекает,
что для любых аl е А 1 и а2 е А 2 множество {а I o 1= a 1 <
< а Л а < а 2 } бесконечно. Так как корней любоrо MHoro-
члена в любом поле конечное число, то р(х) локально
выполнимо в . Ввиду сонасыщенности  тип р (х) pea
лизуется в  некоторым элементом Ь'. Ясно, что
cr U {<Ь, Ь')} однозначно продолжается до ИЗОМОРфНО1'о
вложения  (Ао U {Ь}) в . О
Следствие 1. Теория вал разрешима и совпадает
С теорией Th «R, +, ., <, О, 1» уnорядочеnnоао nо.ля
деиствите.лЬ1lЫХ чисе.л.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Атомарные предложения теории
взп эквивалентны n  т и n <т, rде через n мы обо
значаем терм 1+... +1, ЯБЛЯЮЩИЙСЯСуммой n единиц,
если n е со \ {О}, и О совпадает с }щнстантой О. Из аксиом
взп ле1'КО вытекают свойства
n =F т=> В3П 1> '1 n  т
n < т=> взп 1> n < т,
т n=> взп 1> .in < т.
Отсюда мы получаем, что для любой замкнутой бескван
торной формулы Ф сиrнатуры <+, ., <, О, 1> мы имеем
взп [> Фили взп 1> '1 Ф. В силу предложения 3 Teo
рия взп полна. Так l{aK <Н, +, ., <, О, 1) является MO
делью теории В3П, то из полноты В3П получаем совпа
дение взп и Th«R, +, ., <, О, 1». Так как В3П имеет
рекурсивное множество аксиом, то по лемме 38.4 В3П
разрешима. D.
В отличие от полей действительных и комплексных
чисел, теории поля рациональных чисел и кольца целых
чисел являются неразрешимыми. Наша сЛедующая
цель  показать разрешимость теорий Th «Z, +, О») и
Тll «Q, +, О» сложения целых и рациональных ЧИСеЛ.

 39. Р А3РЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
301
Для этоrо сначала докажем некоТ{)рые утверждения, Ha
сающиеся произвольных абеленых rрупп.
Пусть Н  абедева rРУllпа, il 1  ПО,1,I'руппа Н. Если
а Е Н, то множество Н 1 + а  {Jt + а I h Е Н 1 } называет
ся, как известно, плассом СJ,tежности подrруппы Н 1 в
.rруппе Н. Мощность множества классов смежности Н 1 в Н
называется uиaeпco.tt Н 1 в 1I п обозначается [Н: Н 1 ]. Если
индекс [Н: Н 1] беснонечен, то пише,м [Н: Н 1]  00. Если
Н 2  еще одна подrруппа в Н, то индекс Н 1 n Н 2 В Н 1
также будем называть инденсом Н 2 в Н 1 И обозначать
[Н 1 : Н 2 ].
Л е м м а 1. Пусть Н  абелева еруппа, Н 1 , Н 2  пoд
еруппы Н. Тоеда
а) [(Н 1 + Н 2 ): HzJ == [Н 1 : Hz];
б) [Н,: Н 2 ] . [Н: Н 1 ]  [Н: Н 2 ];
в) если а Е Н, то число плассов С.ttежности по Н 2 ,
имеющих nепустое пересечение с Н 1 + а, равно [Нl : Н 2 ].
Д о К а з а т е л ь с т в О. Леrко получается из определе
ния индексов. О
Л е м м а 2. Пусть Но, "', Н п  подеруппы непоторой
абеле вой еруппы А, а о , ..., а п Е А,Но+ а о с U (Hi + ад .
, 1 <i,,;n
и (Ho:flnJ>п!. Тоеда Но+а о с U (fli+ai),
l";i";nl
Д О К а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что если
для подrрупп Ко, ..., Кт rруппы А и а о , ..., а т Е А мы
имеем [Ко: K i ]  00 для всех i Е {1, ..., т}, то включение
Ко + а о с U (K i + ад
l,,;i,,;т
(3)
не выполняется. Будем доназывать этот факт индукциеЙ
по числу l различных подrрупп среди КО n. К 1 , . . ., КО п Кт.
Если КО n К 1 == . . .  ко N. Кт  К*, то (3) не выполняет
ся, так как КО + а о содержит беСIюнечное число классов
смежности по К*. Пусть l> 1 и К;  К ; n Ко.
Случай 1: 1<[КоПКl: Kiol<oo для HeKoToporo i,oE
Е {2: ..., т}. Из леммы 1 а), б) вытенает [Ко: (Кl +
+Ki, )] OO' Заменяя в последовательности К 1 , ..., Кт
t) , ,
все подrруппы, совпадающие с К 1 или K i , на К 1 + К; f
О О
мы уменьшим l и воспользуемся индукционным пред-
положением.
Случай 2: отрицание случая 1. Пусть s == {i Е {1,
..., т} I Ко n к. == ко n К 1 }. Тан I{aI, [КО: К 1 ] == 00, ТО

302 1'Л, 7. АЛ1'ОРИТМЫ и рЕRурсивныE ФУНRЦИИ
найдется такое а Е КО + а о , что. ко n КI + а =F КО n к , + а,
для всех t Е S. Если выцолнено (3), то
Ко n К 1 + а с::: U (КО n K i + ад,
iS:{I, ..., т},.
что противоречит индукционному предположению.
Теперь покажем, что в условиях леммы 2' найдется
io Е Н, ..., п}, для KOToporo [НО: Hi o ]  п. Предположим,
что это не так. Пусть H i1 , .. ., Hik  все подrруппы из
последовательности H 1 , ..., Нn, имеющие конечный ин
декс в Но. Пусть Н* ==Hi 1 n . . . n Hik' По лемме 1 б)
[НО: Н*] == т < 00. По предположению и лемме 1 в)
множество (НО + а о ) n ( Hi 8 + а;8)' rде 1::;; s::;; k, содержит
:менее т/п классов смежности по подrруппе Н*. Следова
тельно, найдется а Е (НО +а о )"- U (Hi + ад, rде r ==
iSr
== {i" ..., i k }. Тоща
НоПН*+а с::: U (Нi+ад.
iE (1, .... n}, т
(4)
Так как [НО n Н* : H i ] == 00 для любоrо i Е Н, ..., n}\r, то
(4) противоречит факту, установленному в начале ДOKa
зательства.
Докажем теперь утверждение леммы индукцией по п.
Для п == 1 утверждение тривиально. Пусть оно верно для
п  1. Так как [НО: Н n] > пl и [Но : Hio]n, то по лемме
1 б) [(НО n Hio): Нn] >(п1)!. ПО ИНДУIЩИОННОМУ пред
положению для любоrо а Е (НО -+- а о ) "-( Hio + ai o ) имеем
(НО n Hio) + а с::: . U, (Hi + Ui),
,,,,{1. ..., n} '{lo,n}
откуда получаем утверждение леммы. О
Для формулировки следующей леммы напомним, что
для множества Х через IXI обозначается ero мощность,
и если 1 == 525, то множество А n n A i бvдем считать
is:l
совпадающим с А.
Л е м м а 3. Пусть Ао, ..., Аn  хонечные ,множества.
Тоада
Ао с::: U A i   ( 1)IT/ . , Ао n n A i I == О. (5)
l<i<n T{I, "" n} iEr

 39. Р А3РЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
303
Доназательство. Пусть Ао,=={а}иrо=={i\аеА).
Torдa
(Ао n iQT A i ) =i= 0 -<=> I Ао n iQ. A i 1==1 -<=> r с= ro' (6)
Правая часть (5) в случае одноэлементноrо Ао Torдa и
только Torдa равна нулю, коrда имеется одинаковое чис
по четных инечетных \rl с условием (AoniQAi)=i=0.
В силу (6) это равносильно ro =1= 0, т. е. Ао с= U A i .
1<i<n
Итак, (5) для одноэлементных Ао доказано.
Заметим, что функция F (Х о , Х l' . . ., Х n ) ==
==  (1) IT\ . \ Х О n n X i \ аддитивна по Хо, т. е. если
Тс;;{1.....n} iEr
Ао == AUA и АПА == 0, то F(Ao, А 1 ,..., Аn) == F(A,
А 1 ,.. ., Аn) + F (A, А 1 , ..., Аn). Из справедливости (5)
для одноэлементноrо Ао и аддитивности F получаем
F (Ао, А 1 , ..., Аn) == F ( Ао '\91 A i , А 1 , ..., Аn). (7)
TaKKaKF(Ao'""i91Ai,A1, ...,Аn) ==IAo'""i9tAil, то
(5) выполнено для любоrо конечноrо Ао. О
Формула вида 3х 1 ... 3х n е, rде е  IЮНЬЮНКЦИЯ
атомарных формул, называется nозитивпо npu.миTив1IOй
формулой. Сиrнатурой абелевых rрупп мы называем си1'
натуру + == <+, , О>, rде +,  являются двухместной
и одноместной Qперациями, О  константой.
Пр е Д л о ж е н и е 4. Пусть Ф (х" ..., х n )  nозитивпо
nрu.митивпая формула сиепатуры + и А  абелева epyn
па. Тоеда:
а) Ф (х" ..., х n ) определяет nодеруnnу в департовой
стеnепи А n еруnnы А, т. е. мпожество {(а" ..., а n > I А 1=
1= Ф (a j , ..., а,,)} пеnусто и зuмппуто отпосительпо
+ и;
б) для любых а" ..., а n е А и [;;;;: 1 формула Ф (х" ...
. . ., Xlj, al, ..., а n ) либо пе выnолпяется в А, либо onpeдe
ляет в Al' смежпый пласс по nодеруnnе, определяемой в
Al1 nозитивно nриJl..итивпой формулой Ф (х 1 ,..., XI', О,...
..., О). '
д о к а з а т е л ьс т в о. Сразу следует из ВЫПОЛНИМQ
сти В А свойств t (О, ..., О) == О и
t(a, + Ь" ..., а n + ь n )== t(a" ..., а n )+ t(b" ..., ь n )

304 1'Л. 7, АЛ1'ОРИТМЫ и РЕRУРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
ДЛЯ любо1'О терма t(Xt, ..., Х n ) сиrнатуры + И любых
at, ..., а n , b 1 , ..., Ь N Е А. о
Если Ф t (х), Ф 2 (х)  позитивно примитивные форму
лы сиrнатуры +, А  абелева rруппа, то через
[Ф t : Ф2, А] будем обозначать индекс fHI: Н 2 ], rде Н/ 
подrруппа Ф;(А), определяемая в А формулой Ф;(х).
Будем rоворить, что абелева rруппа А имеет разреши
мую пjlOблему элемептарных ипдепсов, если существует
алrоритм, который по любым позитивно примитивным
формулам Ф (х), ч' (х) сиrнатуры + И любому п Е (J) оп
ределяет, выполняется ли условие [Ф: Ч', А];;;;: п.
Будем называть ,формулу Ф булевой помбипацией
формул множе,ства Х, если Ф получается из формул MHO
жества Х с помощью связок Л, V, --+ И ...,.
л е м м а 4. Пусть А  абелева еруппа. Любая форму
ла Ф (Xt, .,., Х n ) сиепатуры + эпвивалептпа в Th (А)
булевой пОJltбипации Ф* (x 1 , ..., Х n ) позитивпо пpиMиTив
пых фОрJltул. При этом, если в А разрешима проблема
элемептарпых ипдепсов, то существует алеоритм, дalO
щий по Ф формулу Ф*.
Д о к а з а т е л ь' с т в о. Индукция по числу KBaHTopOl.
в Ф. В силу эквивалентностей  19 достаточно paCCMOT
реть случай Ф==Vх(е}V...vе n ), rДе е/, i E {1, ...
..., п}, позИтивно примитивные формулы или их отри
ца'Ния. Так как дизъюнкция отрицаний позитивно при
митивных формул эквивалентна отрицанию одной пози
тивно примитивной формулы, то, добавив, если н]'щно,
формулу ..., 3х Х X, можно считать, что Ф == V Х ( ...,Ф'О V
V Ф} V . . . V Ф l1 ), rде Ф;, i::;; п, позитивно примитивные
формулы. Так I\aK V Х ..., Ф о эквивалентна отрицанию по
зитивно примитивной формулы, то можно считать п > О.
Итак, достаточно рассмотреть случай, коrда Ф есть
Vх(Фо(Х,х}, ...,Х l1 )--+
(Ф} (Х, Х}, ..., Xn)V... VФn(Х, Х 1 ' ..., х п ))).
Пусть д, i::;; п, подrруппы rруппы А, опре;з;еленные
соответственно формулами Ф; (Х, О, ..., О), i::;; п. В силу
леммы 2 и предложения 4 можно считать, что [ВО: Д] 
::;; п!, i Е Н, ..., п}. По лемме 1 в) и предложению 4 б)
для b t , ..., Ь N Е А и CG s:; {1, ..., п} позитивно примитив-
ная формула .
Ф О (Х, Ь 1 , "', Ь п ) Л Л Ф i (Х, Ь 1 , ..., Ь n )
. iEa

!i 39, РАЗРЕШIIМЫЕ ТЕОРИИ
305
определяет в А ;Iибо пустое множество, <,!Ибо ШОЖество,
содержащее п (а) == [ Во n n B i : В* ] K;IaCCOB смежности
iE:t
по подrруппе В* == Во (l . . . n Вn. РаСС10ТРИМ множество
-V== { SIS с= Р({1 1 '''1 п}),  ( 1)lal.п(a)==0 } .
аЕВ
Для любоrо .s:  f (Н, ..., 17}) опреде/Il фОрIУЛУ
Ф S (Х 1 , " 'lX n )= ( Л 3Х -Л Ф i (Х,Х 1 , ,,'Хn» ) Л
,аЕ5 iExU{O}
1\ ( Л "l3X Л Ф i(Х,Х1""fХn» ) '
aS{l..."n} iE:tU{O}
ae;t;S .
По леМlе 3 мы Шlеем, что Ф (X j , ..., Х n )' эквивалентна в
Th(A) формуле.V Ф S (Х 1 ".:., Х п ). Заменяя в форму.llе
ВЕУ' ;
в' ,
V Ф (Х 1 , .. .,Х 11 ) формулы 3Х Л Ф i на эквивалентные Шl
fEV iEa
позитивно примитивные формулы, получим требуе
мую Ф*.
Ясно, что позитивно примитивные формулы Ф о ,.,., фn
эффективно находятся по Ф, и если в А разрешима про-
блема элементарных индексов, то по Фо, ..., Ф n эффеl\
тивно находится множество У, а значит, и форму-
ла Ф*. О
С л е Д с т в и е 2. Для тоео чтобы эле,лtептарпая теория
Th (А) абелевой еруппы А была разрешимой, пеобходи:wо
и достаточпо, чтобы в А была разрешима проблема эле
мептариых ипде;;сов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость вытекает из
Toro, что условие [Ф: Ч', А];;;;: п равносильно условию
А 1= 3Хl ... 3Х п ( Л Ф (Xi) 1\ Л'l ч' (Xi  Xj» ) .
1i4n li<jn
Так как в любой абелевой rруппе истинно t(O, О, ..., О) 
 О для любоrо Tep:\la t(Xl' ..., Х n ) сиrнатуры +, ТО лlO
бое позитивно примитивное предложение истинно в любой
абелевой rруппе. Поэтому существует алrоритм, опреде
ля:ющий для любой булевой комбинации позитивно Прll
l\IИТИВНЫХ предложений Ф*, истинно или ЛОЖно ф* в А.
Отсюда по лемме 4 вытекает достаточность. Q
Элементарную теорию класса всех абелевЫ:хrрупп в
дальнейшем будем обозначать через Ar.
л е м м а 5. Любая позитивно прилштивпая ФОРЛ1У.ш
Ф (и 1 , ..., и n ) сие1lатуры абелевых ерупп эквива.1еНТllа
20 Ю. Л. Ершов. Е, А, Па(IIOТПII

306 rл. 7; АЛ1'оритъlЫ и РЕRУРСИВНЫЕ Ф'УШЩИИ
оrnосите.л,ЫИJ теории Ar nОn'ЪЮ1-l1щии ф(JрN.ул вида
 n
ЗV О  тjVj  pkV o и .:Е тiVj  О, аде 1п. Е Z, k Е (r) и р 
j'=l j'=l
простое число,
Д о к а з а т е л ь с т в О, Пусть даны матрицы
( п ll ... n 1k ) ( тll ... т 1n )
N==- ......,11.1== ......
n и . ., п tlt т а ... т tn
Ha Z, TorAa через <N, 111> буде:'1 обозначать позитивно
примитивную формулу ЗV n +!',' ЗV nн е" rAe е есть
нонъюннцин равенств системы
n l1 v n +l + .,. + 111k V n+k =-=  lпlsV8
1<8<n
.
.
.
nаиnн +
" ...
.
. .
. .
+ пtkVn+k ==  тtS V 8'
1<8'<:;»
(8)
Пусть даны i, j е {1, ., " t}, Ясно, что если N' n М' по
.1lучаются соответственно из N и М перестаНОВIЮЙ iй и
jй строк, То формула <N', М') эквивалентна формуле
<N, М>, Из юэммутативности операции + вытекает, что
ес.'lИ N' получается нз N перестаНОВI\ОЙ столбцов, то
формула <N', М> эквивалентна отн{)сительно Ar ФОР:МУ.1:е
<N, М>, Ясно танже. что если даны i, j Е О, ..., О, i =1= j,
и k Е Z, то формула <N', М'> энвивалентна В Ar фор
муле <N, М>, rде N' и М' получаются из N и М заменой
элементов l1н и lпi8 (l Е Н, ..., k}, s Е О, ..., n}) на
Ilн + knjl и lпi8 + kтj8 соответственно. Пусть теперь даны
i, j Е Н, .. " Ю, i =1= j, и k Е Z. Рассмотрим спетему 8, по
лученную из (8) заменой чисел nн, .,., nн COOTBeTCTBeH
но на числа nн + kпIj, ..., nti + kl1tj, Ясно, что для ЛIо
бой абелевой rрунпы А, если набор <Ь " .,., Ь л , al,.,., а,,>
является решением в А системы (8), то набор
<b j , ..., b;I, Ь;  kb., bj+l, ..., Ь л , a l , ,. " а n >
будет решением В А системы 8, и если <b 1 , ,.., Ь л , a l , .,.
. ." а n >  решение В А системы 8, то
<b j , !.., b;I' Ь; + kb i , bJ+I' .'., b h , a l , ..., а n >
 решение в А системы (8)'. Таким Qбразом, если матри
ца N' получается из N заменоЙ элементов 1111, ..., nн co
ответственно на числа n1j + kn1!, ,.., nн + kпtj, то Форму

g З9, РАЗРЕШIШЬШ ТЕОРIIII
307
ла <N', М> эюшналентна относительно теории лr фор
lуле <N, М>.
С ПОМощью описанных выше преооразований матриц
N и М мы можем перейти к таним матрицам N* и 1)]*,
что формула <N, М> эквивалентна фОР:llуле <N*, 111*>,
а матрица N* имеет вид () или (D О), rде D  диа
rональная матрица, а О нулевая' или пустая. Так кан
формула <N*, М*> эквивалентна КОНЪЮНIщии форму.:'!
n n
ВИ,J;а 3 V o  тiVi  kv o и  тiVi  О, то длJil завершения
il il
доказательства леммы достаточно 'заметить, что формула
n
3v o  тiL'i  kv o эквивалентна относительно лr KOHЪ
il
n
ЮНIщии формул 3и о  тiVi  pivo' i Е <1, ..., r}, rде
il 
PI, ,.., Рт  попарно различные простые числа и
k == p:l ... р:т. Для ДОБазательства последнеrо утверЖде
ния преДПОЛОЖЮI, что для некоторой абелевой 1'руппы А
и элеиентов аl, ..., a r , Ь Е А мы имеем
k k k Ь
Pl1a1 == Р22а2 == .. . == р/а , ==" .
Об . {1 } kl .. 'Чl Х
означиr через nl, l Е , . . ., r , числа Рl' .. Pil
Х pttl ... p:. Тан I,aK наибольший общий делитель чпсел
пl, ..., п т равен 1, то найдутся такие числа [1, ..., [т, что
пl[1 + . . . + nTZ T == 1. Тоrда для элемента с == [1аl + .. . + [та,
мы имеем kc == Ь. о
Следствие 3. Теория Th«Q, +, , о» сложения
раljиопалыlхx чисел разреши.ма.
Д о н а 3 а т е л ь с т в о. Ясно, что формулы вида
3УI1Х:::::; pky определяют в Q == < Q! +,, О) всю rруп
пу Q, а формулы вида пх  О  нулевую подrруппу.
Прпменяя лемму 5 и слеДствие 2, получаем требуемое
утверждение. о
Следствие 4. Теория Th«Z, +, , о» сложеНия
целых чисел разрешима. ;,','
Д О R а з а т е л ь с т в О. Ясно, что формула 3упх  ky
ЭI\Вивалентна относительно То == Th «Z, +, , О>)' фор
k
:\ly.:'!e 3ух  (п, k) y, а конъюнкция 3ух  J"y 1\ 3ух  пу
эквивалентна относительно То формуле 3ух [п k] y rДi
20.

308 1'::r, 7. АлrОРIIТМЫ II РЕRУРСИ'ВНЫЕ ФУШЩШI
(п, k)  наибольший общиЙ ДNIИТСЛЬ, а [п, k]  наю!снь
шее оБЩ8е нратное чисел п, k. Ясно, что индекс
т
б == [3ух  ky: 3ух  ту, ZJ равен (т, k)  если т =1= О
и k =1= О. Если k == О. то б == 1. Если k =1= О и т == О, то
6 == 00. Следовательно, в сплу леммы 5 Z==(Z, +, 1 О)
имеет разрешимую проблему элементарных индексов. По
следствию 2 получаем разрешимость теории То. О
Наша следующая цель  показать разрешимость Teo
рпп Ar класса всех абелевых rрупп (сиrнатуры + ==
== < +, , О». Важную роль в это:'.! доказательстве иrра
ют инварианты, введенные В. Шмелёвой. ,в дальнеЙше:\I
под rруппой мы будем подразумевать абелеву rруппу.
Пусть А  rруппа. Напомним, что через kA обоЗнача
ется подrруцпа {ka I а Е А}, а через А [k] мы обозначабf
По;цруппу {а Е А I ka == О}. Если р  простое число и
рА == О, то dim А обозначает размерность rруппы А, pac
сматривае:\юй как векторное пространство над полем из
р элементов. В дальнеЙшем через р и q будут обозна
чаться простые числа, а через п, k, т, s.....:. натуральные
числа. Следующи-е числа для произвольных р И п будем
называть инвариантами Ш.tелёвой еруппы А:
С!.р. n(А}== min {dim( (рnА)[р]/(рn+IА)[р]), О)},
p (А) ==min {inf {dim (рn А) [р] 1 п Е О)}, О)},
'Ур (А) == min {inf{dim ( (А/ А [рn]) /р (А/ А[рn]) ) I п  р:>}, О)},
e(A)==minHnHI п! AI I п Е О)}, О)}.
Мы будем rоворить, что у абелевых ерупп А I и А 2
совпадают инвариапты Ш.ие.lf,ёвой (обозначаем Sh(A I )==
== Sh (А 2 », если для любых р и п выполнено С!.р. n (А 1 ) ==
== С!.р,n(А 2 ), P(AI)== P(A2), "(р(А I )== "(р(А 2 ) И е(А I )==
==Е(А 2 ). .
Следующая теоре:\!а даеТ lшассификацию полных pac
ширениi'I теории Ar.
т е о р е м а 9. Следующие условия для любых абеле
вых ерупп А 1 и А 2 равносильны:
1) у А 1 и А 2 совпадают эле;мен.тарн.ые ин.депсы по
,лtодулlО 0), т. е. для любых позитивн.о при,лштивн.ых фор
,лtул Ф (х) и чr (х) выполпепо [Ф: чr, А 1 ] == [Ф : чr, А 2 ]
или [Ф: чr, А;] == 00 для паждоzо i Е Н, 2};
2) А 1 и А 2 аде,лtептарио эпвивалептnы, Т. е. Th (А 1) ==:
== Th (А 2 );

 39, РАЗРЕШII:IIЫЕ ТЕОРИИ
309
3) SI1(.1,);;:811(Az), т. е. у А, и.А 2 совпадают иHвa
рианты Ш.че.лёвой.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. 3аыеТИI, что если у ..11 И ..12
совпадают Э:Iе:ментарные индексы, то фОР:\1ула Ф*, по-
строенная в доказательстве лем:.rы 4 дЛЯ А" совпадает с
Ф*, построенноЙ для rруппы .12. Так I,aH любое ПОЗИТИВ
но' прнмитивное предложение истинно в любой абелевоii
rруппе, то из этоrо замечания получаем 1) =!>- 2).
2) =!>- 3). Леrко написать предложения ар, n, В, p, n,В'
"(р, ", h И I!n, ИСТIIННОСТЬ которых В rруппе А paBHOCIl.'IbHa
условиям:
а) dilll( (рn..1) [р]/ (рn+1.1) [р]);;: k;
б) dilll(pn.1)[p];;: k;
в) dilll ( (А/А [рn]) / р (А /..1 [рn]) ) ;;: k;
r) n!.1=I=O
соответственно. Отсюда получаем, что из А I ES ..12 следует
8Ь (.11) == 811 (..12)'
3) =!>- 1). Пусть у rрупп .11 и .12 совпадают инвариан
ты Шмелёвой. Нужно показать, что [Ф: чr, А,] == [Ф : чr,
А 2 ] дЛЯ произвольных позитивно примитивных фОрIУЛ
Ф (х) II чr (х). По леше 5 можно считать, что Ф и чr
являются н:онъюнкциями фОр:'IУЛ вида пх  О и 3ур/х:::::::
::::::: phy, которые назовем базисными позитивно примитив
ными формулами соответственно первоrо и BToporo рода.
Так как для произвольных подrрупп Н,, Н 2 , Нз любоii
rруппы А мы Юlееи
[П, : Н 2 n Нз] == [П, : Н 2 ] . [Н2 n Н, : Нз],
то :\!Ожно считать, что ч r является базисноЙ позитивно
ПРЮ1Итивной формулоЙ. Так I{aK ИН;:!;eI{СЫ [Ф: Ч', А] и
инварианты Шмелёвой сохраняются при переходе от А к
А f == А, то можно считать, что 1.1; I  0), i Е {1, 2}. Если
8 (А,) == О, то А, является ПРЯ:\10Й СУМ:'IОЙ циклических
rрупп порядков рn. Ясно, что число прямых слаrаемых
порядка рn+1 совпадает с ар. n (А). Следовательно, при
8(.11)== О мы ЮIее:\I А,  А 2 И [Ф: Ч', А,] == [Ф: Ч', .12]'
Поэтому в дальнейшем можно предполаrаТL, что
8(..1;)== 0), iE {1, 2}.
НаПОМНIIМ, что подrруппа Н rруппы А Ha3ЫBa
ется рба3UС1l0Й дЛЯ А, если ВЫПО.'шены следующие yc
ловия:
а) Н яв:!яется ПрЮIОЙ сршой циклических рrрупп и
беакоиечных ЦИR.'IичеСRИХ rрупп;.

810 rл. 7. A.l:rOPIITl\lbl и РЕЮ'РСIШНLIE ФУНlЩIШ
б) Н  р-сервантная подrруппа А, т. е. для любоrо
а Е Н п k е ffi Юlеет место
'А  3уа  p'ky *> Н 1= 3уа  pRy;
в) А/Н  рде.'IЮlая iруппа, т. е. р(А/ll) === А/Н.
Известно, что для любой абелевоЙ rруппы А и любо-
ТО р существуют рбазисные подrруппы дЛЯ А. Пусть
Hi, H  p-баЗIIсные подrруппы rрупп АI I А 2 COOT
ветственно. Из Свойств б) и в) р-базпсных подrрупп леr
1\0 выводятся следующие факты:
1) IY.р,n (A i ) === IY.р,n иЦ), '\'р (A i ) == ,,?р (нn, i Е {1, 2};
2) если 'I' == 3yp 1 x  plt y , то [Ф : Ч'1 AiJ ==
[Ф'I',Нf], iE{1,2},
ОпrетЮ,r еще неCIЮЛЬКО простых фю\тов.
3>. Если А является прямоЙ суммоЙ ЕВ (ai > ЦЩ,-
iSw
J1IIчеСКIIХ р-rрупп и бесконечных ЦИl\лических rрупп, то
IY.р,n(А)== I {Ё Е шl o(ai)== pn'i'l} I
и условпе '( р (А) == п Е w равносильно ТЩIУ, что перИОДII
ческая часть Т(А) rруппы А оrраничена и !{i Е ffi lo(ai)==
== QO} I == п, rде о(а)  порндок элемента а.
4) IY.р,n(А)==IY.р,n(АР) И p(A)==p(AP), rДе AP
р-ко:\шонента rруппы А, т. е. подrруппа элеIентов а Е А
ПОрЯДIЮВ о(а)=== р\ k Е Ы.
ОбознаЧШI через Tf периодичеСI,УЮ часть рбазисноii
подrруппы Нl', [ Е {1, 2}. ИЗ 1),3) п 4) вытеI,ает
5) Т':.  T, Il если Ti оrраНJItIепа, то Ili  H.
Случай 1: Ф содержит базисную позитивно примитив
ную формулу пх  О первоrо рода. Тоrда ,ф (A i ) ==
== Ф (Т (A i », rде Т (A i )  периодичеСI{ая часть A i . Тю,
как Т (A i ) == ЕВ Af, а позитивно ПРИМИТIlвные формулы
р
являются филырующишrся, то [Ф : чr) A i ] == П[ Ф : Ч', Af].
l'
Таrшм образом, доказательство сводится н установлению
равенства [Ф: чr, Ai] == [Ф : чrl A] дЛЯ р-номпонент
АУ и A.
Если Ч" является базисной позитивно примитивной
формулой BToporo рода, то требуемое равенство следует
из свойств 2) и 5), rде в качестве Hf берется базисная
подrруппа rруппы А] 1 ноторая в дан:пом случаi 6;Q.иa-.

 39, РА3РЕШИИЪIЕ ТЕОРИИ
311
Дает е ТУ. Пусть теперь Ч' == тх  О 1I п!х  О, ..., n/tx 
 о  все базисные формулы первоrо рода, в:ходлщпе в
Ф. Пусть р. и i  Ма!{симальные степени р, дс.1Jящпе
соответственно все числа n!, "', n, и число т. Если
k <; 1, то [Ф: '1', А] == 1 для любой рrруппы А и ДOKa
зывать нечеrо. Пусть k  1 > О и р'  максимальная CTe
пень р, для ноторой формула 3ytx  р'у входит в Ф
(если таних формул в Ф нет, то s==O). Так как АI=
1= Ух3ух qhy для любой рrруппы А и простоrо q:/= р,
то если порядок ЦИНЛlIческой рrруппы (а) превыmает
число р'+\ то [Ф: '1' ,<а)] == p1tI. Следовательно, если
базисная подrруппа Tf rруппы Af неоrраничена, то [Ф:
Ч", Tf] .... 00. Из 5) получаем [Ф: Ч", T] == 00. Так нак
'1' бескванторная и Ф, кан 3 формула, сохраняется при
расширениях, то [Ф : Ч"" Af] == 00, i Е {1, 2}. Пусть теперь
Tf оrраничена, Torдa Af == Tf ЕВ Е9 В i, [де В,  квази
isJ
циклические rруппы. Так как р71 1'f "'= О для HeOToporo
п Е (J), то IJ 1 == p(Af). По 4) мы имеем vCAr) == BiA),
следовательно, Af Af и [Ф: Ч", Ai] == [Ф: Ч", AJ.
Случай 2: отрицание случая 1 и '1' == kox  О. Обозна
чим через по произведение всех Iюэффициентов, входя
щих в формулу Ф. Тан как e(A 1 )==(J), то наЙдутся та-
кие а ,. Е А!, n Е (J), что n!konoa n :/= О. Так нан Ф не co
держит базисных формул первоrо рОДа, то по выбору по
получаем А! 1= Ф(поа n ). Так нак kon!пua n :/= О, то nоа",
2п о а n , ..., nnоа ,. будут нринадлежать различным смеж-
ным массам по Ч'(А!). Следовательно, [Ф:Ч', А,]==оо.
Так кан е (Az) == е (А!) == (J), то из предыдущеrо ПО.'Iучаеl
также [Ф: '1', А 2 ] == 00. '
Случай 3: отрицание случая 1 и Ч' == зyp'rx  Z/,r y .
Если периодичеСI{ая часть Tf базисной подrруипы lli
rруппы А оrраничена, то в силу 2)' и 5) по.'1учаем
[Ф: '1', AJ == [Ф: '1', A z ]. Пусть теперь Tf неоrpаНIlче-
на. Из Toro, что рrруппЫ являются qделимыми дли лю
боrо простоrо q :/= р, леrко устанавливаетси следую
щий факт.
6) Пусть (а)  циклическая rруппа с образующим а
порядка р' и Х  НОНЪЮНlщия базисных фОрIУЛ BToporo
рода. Пусть т  мю{симум из чисел О и k  1 для всех
таких k, 1, что 3ур ' х  pI'y входит в Х, и р!  l\lЮ(СИ-

312 r;r, 7. А:тrоритмы и РЕКУРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
мальная степень р, деЛЯщая хотя бы один 1юэффициент
в Х. Тоrда, если s > t, то Х «а» == <рта>.
Пусть то  максимальное число вида k  1 для таЮlХ
k, l, что 3у plX  р"у входит в Ф. Если ko  [о  то, то
из свойств 2), 6) и филыруемости Ф, Ч' вытеКает
[Ф : Ч', Н \'] == [Ф : Ч', Н i j. Если ko  [о > то, то из He
оrраниченности Ti и свойства 6) мы получаем [Ф: Ч',
П] == 00. ТаК КаК Ti  T, то [Ф: Ч", T] == 00. Из р-сер-
вантности Tf в А; получаем [Ф: Ч', А;] == 00, i!=
еН,2}.D
Инварианты Шмелёвой более удобны, чем элеl\IеНтар
ные индексы [Ф: Ч', А], ТЮ, кю, они обладают большеЙ
независимостью друr от друrа. Единственная зависи:мость
их выражается в следующем предложении. ,
Предложение 5. Пусть для каждоео р и n даны
кардипалы ар,n, p, IрФ и 8 Е {0, Ф}. ДЛЯ тоео ЧТобы
существовала абелева еруnnа А, для которой инварианты
Ш,J.teлёвой ар, n (А), p (А), 11' (А) и 8 (А) совпадали co
ответствеНпо с ар, n, p, 11' и 8, необходu;мо и достаточно
выполнение следующих условий:
1) если для nрОСТО20 р лtliожество {n I ар, n oi= О} бес
конечно, то p == 11' == Ф;
2) если 8 == О, ТО p == 11' == О и .ЮlOжество {<р, n> I
ар, n oi= О} 1iОНечНо.
Д о К а з а т е л ь с т в о. Необходимость вытекает из оп
ределения инвариантов ШмелёвоЙ. Если же условия 1)
и 2) выполняются, то леrко проверить, что в качестве
искомой rруппы А подходит rруппа
А == Ее c(a::; + cc!) + RYp) + Q(e) 1
i'.n р
rдс с рn  ЦИIшичеСКал rруппа ПОрЯДRа р", Ср""  HBa
ЭIЩIшличесная rруппа, Q  аддитивная rруппа рацио-
нальных чисел, R p  подrруппа Q, состоящая из HeCOKpa
ТIШЫХ дробеЙ с взаимно простыми с р знаменателями,
а B(I'j обозначает прямую сумму k подrрупп, изоморф-
ных rруппе В. о
Т е о р е м а 10. Теория АТ раареши:ма.
Д о К а з а т е л ь с т в о. Совокупность условий любоrо
вида, соединенных по правилам PyccKoro языка словами
«ю>, «илю>, и (<не», будем называть булевой КО.ltбинацuей
этих УСЛОВИlI. Обычным обра3ЮI ПОIlIшаеТСfl IIСТИННОСТЬ
таЮfХ булевых IюмбинаЦИII. Из доказательства леммы 4

 З9. Р.\ЗРЕШПМЫЕ ТЕОРIШ
313
получаем, что ПСТIIННОСТЬ преДJlOженин <р СИl'патуры абе
левых rрупп в абелевой rруппе А эквивалентна булвой
номбинации условий вида [Ф: Ч', А];;;;= k для позитивно
примитивных формул Ф(х), Ч'(х) и kEw. При этом
данная булева комбинация эффективно находится по <р
и не зависит от А. Из доказательства теоремы 9 видно,
что условие [Ф: Ч', А] k эквпвалентно булевоп комби
нации условий вида А 1= ар. ", в, А 1= P. ", в, А 1= Ур. n,' И
А 1= еn, При этом такая булева комбинация также Ha
ходится эффективно по Ф, Ч', k и не зависит от А. Так
же, как в предложении 5, существует простой алrоритм,
позволяющиЙ по любой булевой комбинации условип
вида А 1= ар, ", в, А 1= P. n, в, А 1= Ур, ". в И А 1= е" узнавать,
реализуется ли данная булева комбинация для некото-
рой абелевоЙ rруппы А. Таl\ИМ образом, существует
алrоритм, позволяющиЙ по любому предложению <р сиr
натуры абелевых rрупп узнавать, истинно ли <р во всех
абелевых rруппах. о
Заметим, что из предложения 5 и теоремы 9 BЫTeKa
ет, что мощность множества различных пополнений Teo
рии Ar равна континууму, т. е. 2". Отсюда, в частности,
вытекает, что существуют абелевы rруппы А,' элемевтар-
ная теория Th (А) RОТОрЫХ неразрешима.
В оставшейся части этоrо параrрафа мы покажем, что
операция взятия конечиоrо денартова произведения и
любоЙ деRартовоЙ степени сохраняет своЙство иметь раз-
решимую теорию.
В дальнеЙшем мы будем рассматривать булевы алrеб-
ры в сиrнатуре <U, П, , О, 1>. Через 21 мы будем обо
значать булеву алrебру всех подмножеств множества 1.
Если D  фильтр на 1, то через 2 I /D будем обозиачать
rоыоыорфныЙ образ алr ебры 21 по кон rРУЭНЦШI
{<I j ,1 2 >I(ljnI 2 )u(ljnI 2 )ED}.
J\ласс этой J:онrруэнции, содерЖ2.ЩИЙ MHOlIieCTBO 11, бу-
дем обозначать через /JD. Нетрудно проверпть, что 2 I /D
будет изоморфна фильтрованноЙ степени (см. упражне
ние 3 к  17) 2 D , rде 2 обозначает двухэле:lIентную бу
леву алrебру. J\оrда D равен {Л, мы бу;з;ем отождест
влять 2 I /D с 21,
Пр е Д л о ж е н и е 6. Существует аЛ2Ор и Т-"! , который
по .любой фор:w.у.ле Ф (X t , ..., Х n ) сиZllатуры  строит
фор.tу.лу Фi< (Уl' ...! у;,ф) ситатуры булевых а.леебр и

314 r:т, 7. л:тrОРIIТ::'IЫ II РЕЮ'РСПВПLIЕ ФУIIIЩIПI
Фор"tулы ф 1 (.1'1. ..., .1' п), . ... ФЧ Ф (Х 1 , ..., Х n ) CиzнaTYPЫ
,для которых выподнен.о С/lедующее усдовие: есди D 
фU/lЬТР на ,,/Ножестве 1, j, i Е I, алее6раuчес/'tuе cиCTe
,'r/bZ ситатуры  U /1, ..., /,.. Е 1prodA" то
DpI'o(1 i 1= Ф (Df 1" .., Df п) -<=> 21 / D 1=
Ф*(l1ID,,,.,Ikф/D), (9)
еде 1 } == {ili 1= ф1(!li, ..., /"i)}, j Е Н, ..., k ф }.
Д о R а з а т е л ь с т в о. Переходя к эквивалентноЙ фор-
муле, МОЖно считать, что Ф не содержит квантора 'У.
Построение будем вести ПНДУlщпей по длине Ф. Если
Ф  атомарная формула, то по лемме 17.3 в качестве Ф*
можно взять УI  1, а в начестве ф l  формулу Ф. Если
Ф == I ФI, то В I\ачестве ф* берем '1 Ф7, а в качеСтве
ф 1 , ..., фkф последовательность форыул Ф, ..., Фi Ф 1.
Если Ф == ФI'Ф2. rде, Е {;\, V, }, то в качестве Ф*
береы Ф(У1' "О'УkФ)'Ф;(УkФ1+1' .",УkФ 1 +RФ2)' а в
качестве фl, .. ., фkф  последовательность Ф, ... ,Фi Ф \
Ф, . о" ФФ2.
Пусть теперь Ф == 3.та (.1', .1'1' ..., х п ). 3афшсируем
некоторое взапмно однозначное отображение
б: [1,. ", 2 Аа }--+Р({1, ..., "'а}).
Рассмотрим формулы
Ф'(У 1 , o",Yokry..)==a* ( U Yi, о.., U Yi ) '
. 1Е6Щ "аЕ6(i)
E>i= Л а З !\ л 'Ia i 1 iE[1,ooo,2"a}.
iEO(i) iE{1,...."a}
j6(i)
НеТРУДIIО пронсрить следующие своЙства:
1) для любых /, /1. ..., /" е 1prod А ! выполнено
Dprod Q!'i  а (Df, Df1, ..., Dfn) -<=>
-<=>21/D.t= ф' (l1;D, 0"1 12ka/D),.
rде 11 == (iI, 1= E>J(/i, /li. ..., /"i)}, 1 <А  21:0:;
2) f>0 i ---+ I 8з, 1i<j2kG<;
3) f> 01 V '" v 021<0:' .

 89, РАЭРЕПnШЫЕ ТЕОРИИ:
815
Полаrаем lc ф == 2 11 а, Обозначим через Ф* формулу
3 Z 1 .f.3 Z hф ( Л Zi n ZjO!\(Zl U... U Zhф)
l<i<J-<hф
 1!\ л Zi 11 Yi  Zi !\ Ф' (Z1! "'1 Zk ф ) ) ,
1 <i..;;hф
п иусть фi==3х8 i ,iе:{1, ..., k ф }. Докажем свойство (9).
Пусть Dprod ; 1= Ф (Df" ..., Dfn). Torдa найдется f е:
Е 1 prod A j , для KOToporo выполнено D-prod ; 1= (Х (Df.
Df" ..., Dfn). ПО свойству 1) Иl\lе el\l 21/D t:: Ф' иlD, . ..
.. '1 l;'ф/D) для .
1;=={iliI=8j(fif!li1 "'ffni)}t ffkф.
Тоrда
1; '= Ij .... {i I i t:: ф i (fl i i f! '1 !ni)}! 1  j  k ф ,
, ,
в силу свойств 2) и 3)' имеем I i n Iз == ef, 1 i<j  k ф "
и 1 U . " U lф == 1. Так I(aI< отображение D: 21  21/ D'
является rомоморфизмом, то в 2 1 /D истинны lUD n l i /D 
I/DJ I/D n 1;/DO дЛЯ i, jE<1, ..., k ф }, i=Fj,
и 1/ D U ... U 1;,ф! D  1. Таким образом,
2 1 /п 1= Ф*(l/D , ..., l,hфID):. (10):
Пусть теперь выполнено (10). Torдa найдутся такпе
1  Is 1  i  k ф ! что I"и n lз) Е D для {, j Е
Е {1., ....'k ф }1 i::/=fl I U ... UlфЕDJ 1"(I,,Ii)ED
И выполнено
21/D t:: ф' (I/Dl . f '1 I;ф!D).
( 11)
<,
Из )7СЛОВИЯ З} вытенает 11 U ... U i kф==I. Поэтоиу нап-
дутся такие 1; !;8 1, 1  i  k ф , что для всех i, j Е <1,
. .., k ф }, i =1= j, выполнены условия:
4) 1;/D == 1;/D,
Б) 1; U ... U IZ ф == 11
6) 1; с: Ii'
7) 1 n l; "'" ef.

316 rл, 7. АЛ1'ОРИТМЫ и РЕНУРСИВНЫЕ ФУНRЦИИ
в силу условий 6), 7) и 2) найдется такой j Е Iprod Ai'
что длJl всех j Е {1, ..., k ф } выполнено
I} == [i I i 1= 8 j (ji, jl i , .." fn i )}.
Поэтому из )'словий 4), (11) и 1) получаем
Dprod ; t= I'.X (Dj, Dj j , ..., Djn).
Следовательно,
Dpl'od ; t= Ф (Dj j , ..., Dj,,). о
С л е Д с т в п е 5. Если алеебраичеспие систелtы j,
..., " ситатуры  u,tеют раарешu.tые теории, то дe
картово проиаведеnие 1 Х . . . х " таfi,же !Мtеет paape
ши.tую теорию.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По предыдущему предложенпю
проверка условия ! Х . .. х " 1= Ф сводится R проверно
условия 2{1,...,n} 1= Ф* (1 l' ..., 1 Rф) для некоторых 11'."
..." 1 Rф с:. {1, "', п}. Из разрешимости теорий Th (1)' ...
.." Th (n) получаем, что 11'. ..., IRф эффективно Haxo
дятся по Ф. Так как 2{1..... "}  I{онечная система, то cy
ществует алrоритм провеРl{И истинности ФОР)IУ.iI
Ф*(I 1 , ..., I hф ) на этой систе.ме. О
Булева алrебра  называется атолшоij, если для лю-
боrо а Е А либо а == О, либо в  найдется атом (см.  12)
Ь, дЛЯ HOToporo Ь  а.
Л е м м а 6. Если  и   беСfj,оnечные атомные бу
левы алеебры, то  ==- )8.
Д о к а а а т е л ь с т в О. Вопользу()мся _следствпем 24.1.
Пусть п Е ffi. Для i Е {1, ..., n} в I{ачестве Р; (n) ВОЗЫlIем
все таЮIе j Е Р (, !В), ноторые удовлетворяют следую
щим условиям:.
. 1) j  изоморфное. вложение конечной подалrебры
j s;;;  в )8;
2) если а Е A j содержит k < 2ni атомов в , то На)
содержит k атомов в 18; ,
3) еСЛИ!1ЕАf содержит 2n! атомов в , то j(d)'
содержит2ni атомов в )8.
Покажем, что выполнено УС.'J:овле *)- следствия 24.1.
Пусть аЕА', jEFi(п), 1i<n. Так как A J нонечно, то
паii;(утся татше попарпо разлпчпые элемепты a 1 , ..., ak Е
Е А" что а , U . . . U ak == 1 и ДЛЯ любоrо Ь Е А/ II любоrо
i Е: {1, ..., k} выполняется Ь О а! == 9 или а;  Ь. Пусть

g 39. РАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
317
a == а; n а I a == а; n а, i Е {1, ..., k}. В силу своЙств
1)3) для каждоrо iE{1,...,k} наЙдутся TaI{Ile b,
b Е В, что выполнены условия:
4) Ь1 n b == OJ j(a;) == Ь1 U ь;
5) для наждоrо j Е {1, 2}, если а{ содержит т < 2пi1
атомов в , то Ь{ содержит т атомоВ в !8;
6) для наждо1'О j Е Н, 2}, если а{ содержит 2nЦ
.атомов в , то ь{ содержит ;;;'2ni1 атомов в !8.
Нетрудно понять, что для любоrо элемента  алrебры
(al' ..., а я , а) наЙдутся такие s(e), r(e)sH, Н,, Ю,
что
е == U а} U
{Ев(е)
U a.
iEr(e)
Следовательно, а Е dom g и в силу 4) j 5 g, rде
g== { / Uai U U at U bi U u b;""' \ S t r C:: {1!"'J k } } .
'" {Ев iEr {Ев iEr /
Так как пересечение разлпчных элементов вида а{ (вида
ь{) в  (в !8) равно нулю, то И3 условиЙ 1) 6) BЫTeKa
ет gEFi+I(n).
СлучаЙ Ь Е В В условии *) рассматривается аналоrич
но, если вместо j рассмотреть jl. О
С Л е Д с т в и е 6. Т еорuя любой атомной булевой ал
еебры  разрешима. .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно понять, что нонечные
бу.тrевы алrебры одинаковоЙ мощности изоморфны. По
этому множеством аксиом теории Th () для булевой
алrебры мощности k Е (j) будет множество аксиом буле
БЫХ алrебр вместе с предложением, утверждающпм, что
мощность булевоЙ алrебры равна k. Таким обраЗ0М,
Th () Rонечно аксиоматизируема. Так как услови-еатом
пости булевоЙ алrебры записывается однпм предложенп
ем, то в сплу предыдущеЙ леммы теория беСRонечных
атомных булевых алrебр полна и аксиоматизируема. И3
этих фантов в силу 38,4 получаем требуеr.lОе утверж
дение. О
С л е Д с т в и е 7. Если   алеебраичес1'tая сиСТ(!.ма и
Th () разреШUJJta, то для любоео непустоео 1 теорuя
'OёТiapToвoй ётепени [ разреши.ма. ' н
, Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Пусть Ф  предложенпе спr
натуры !21:. Прпыепяя предложопие 6, паЙдем ф* (У!,

318 rл, 7, А:1rОРIlТМЫ и РЕНЪ'РСllБНЫЕ Фуннции
'''1 Уhф) и
Ф l Ф ltф
1 ..., ДJIЯ I{OTOPblX
ct
I 1= Ф -<=> 21 1= ф* (111 ., ') l"ф)!
(12)
l'де Ij=={iЕl[I=Ф.i}. Так !{ак ljE{.0',J}, то
2 1 I=Ф*(lн ;..,1"ф)-<=>2 1 I=Ф*(С{lнчС;:'ф)t (13)
1'де c'fe {01 1}. Если Тll() раареШlша, то существует ал
rоритм, находящиЙ по Ф !{онстанты C'f', i Е Н, . ", k ф }.
Из (1), (13), атомности булевоЙ алrебры 21 и предыду-
щеrо следствия получаем тоrда разрешимость ТЬ ({I). о
В заШlючение отметпм, что разрешимы теории сло
щения натуральных чисел, поля радических чисел,
теории всех Iюнечных полеЙ, всех булевых алrебр и Teo
рия любой булевоЙ алrебры. Из последнеrо результата
и предложения G вытекает обобщение следствия '7: если
  алrебраичеСI{ая система с разрешимоЙ теорией, то
любая ее фильтрованная степень  D имеет разрешимую
Теорию.
 40. Неразреmимые теории
в настоящем параrрафе будет УRазаН один общий Me
'!'од ДОRазательства неразрешимости . элементарных Teo
риЙ  метод относительной элементарной опредеЛИll10
сти  и будут даны примеры применений этоrо метода.
Элементарную теорию Т назовем llас.ледствеппо 1{,e
раарешимой, если любая ее подтеория То 5 Т является
неразрешимой.
Заметим, что если Т наследственно неразреШllма п
То s;; т  подтеория, То и То наследственно неразрешима.
В терминах нлассов моделей это свойство может быть
сформулировано так: если КО 5 K 1 , rде КО и КI  нлассы
моделей одной и той же сиrнатуры, и ТЬ (Ко)' наслед
ственно неразреmима, то и ТЬ (K 1 ): наследственно He
разрешима.
Пусть КО  I\ласс алrебраичесних СIIсте1 (чисто пре
u u ) ' <р nо P nlt ) К
дикатнои конечноя сиrнатуры 0'0 == о 1 ..., i< 1 [....
Юlасс алrебраичесних систем сиrнатуры (JI. Будем 1'OBo"
рпть, что класс Ко относителыlo эле:!4еllтарпо опреде.лuм'
в кнассе KI' если существуют таюlC формулы т (х; у)',

!! 40, НЕРА3РЕШIЕvIЫЕ ТЕОРПП
319
  . (   1 no ) (  1 nh )
(x; уl; у2), o х; у; ...; У ".. k х; У; ...; у
, i
сиrнатуры 01 (здесь и далее X==(XI' ..., х п ), У ==
(yl, ..., Y)), что ДЛЯ любой алrебраической спсте:уы
9л Е Ко найдутся ашебраичеСRая систе?1а Эl Е К I И эле-
менты аl, ..., а" Е N, УДовлетворяющие условиям:
('1) множество L=={БIБЕNт, Эl(ii, Б)} непусто;
(2) формула !8(а; [?; [?> задает конrруэнтность '1') на
алrебраической системе 2 сиrнатуры 00, основное множе
ство которой есть L, а предикаты определены формула-
(  .  1, . ni ) (  { / 1 ni"" I }
ми i а, У , ..., У т. е. v (Р;) == ",Ь, "'1 Ь / Ь EL,.
(  1 n, ) })
j == 1, .." пi,  1= i а; Ь ; ...; Ь ' , i  k ;
(3) факторсистема 2/'1') изоморфна 9Л.
Если формулы , !8, o, ..., ... удовлетворяют сфор
мулированным выше условиям, то будем rоворить, что
они относительно элеJ'ttентарно определяют 9л 8 Эl (класс
Ко в классе К I ).
Если Rласс Ко относительно элементарно онределиы
в классе /С, то обозначать это будем так: Ко <; REDKI'
Отметим следующие простые свойства введенноrо по
нятия:
1. Если
RED K.
2. Если Ко <; REDKI И К I <; REDKz, то Ко <; REDK2.
Основой метода доказательства неразреuПIМОСТИ  :мe
тода относительно элементарной оиределимости  явля
ется следующая
т е о р е м а Н. Если элеlrtентарная теория Th (Ко) клас
са Ко наследственно нераарешима и Ко <; REDKI' то и тео-
рия Th (К I ) пласса К I тапже наследственно неразреUlll.tа.
Пусть формулы , !8, o, .. '. ... ОТНnСIIтельно :)Леl\l()Н
тарно определяют нласс КО в К, и ТЬ (КО) наследственно
неразреши:ма.
Для любой формулы ер(Уl, .... у.) сиrнатуры 00 эф
феJтrвно постронм формулу ер (;; уl; ...; у') сиrнатуры
а J по следующим правилам:
если ер (Уl, ..., у.) есть У;  Yj, то ер (;; у'; ...,
==!8(х; rf; yj);
если ер (YI, .,., у.)
1  " ) (   11
У ; ...; у == i х; У ;
, , ,
КО s; КО, К 1 s; К 1 II КО RED К1' то Ко RF.D
есть P i (YI 1 .
ln, ) \
, '.
.... у ,
""Yl H ,)' то
у') ==
q; (х;

320 1'.'1, 7, АЛ1'ОРIIТМЫ II РЕНУРСIIВНЫЕ ФУНIщии .
если ЧJ(Уj,"',У,} есть
ЧJо (У1' "', у.) о ЧJ1 (У1,
. 1.'
...,У.)(оЕ{Л, V!}),TO (;; ; ...; УЗ)==(О(;; yt; ...
...; yS)oq;J; yl; ...; у'»;
есюу ЧJ(Уl, ,.., Ув) есть 'l'Ф(У1' ..., у.), то Q;(x; i/;...
< )  (  1 ' ) .
. . .; У' == I 'ф .1'; У ; ...; у ;
если ЧJ (у [, ..., у,) есть 3 У.н 'ф (У1' ...,' у., y.+l)
 (  1 ' ) .+1
(VУ,н'Ф (Yl' ..., у., У,н», то ЧJ .1'; У ; . ..; у == 3Yl ...
+1 ( (   Н )  (  l   .1..1 ) ( +1
.« . 3у:"  .т; у' Л 'ф .1'; У; ...; у'; у" Yy.. .
.'+1 ( » (  8+1 )  (  l . '+l »))
. .. Уут .1'; у --+ 'ф .1'; У ; ...; у ; у .
Пусть z) (х) == z) (.1'1, .:., Х n )  сле;:t;ующая формула:
3уЛ (х; у) л v"!/v"i/Vl/ [С'22 (E; !?)  (х; [/; уО») 1\
1\ ((x; уо; ?)--+!8(х; 1/; уО» 1\ ((x; уО; i?) /\
Л!8 (х; "i?; 1)2» --+!8 (х; "i?; i?»] л л [ УТ/ .,. Vyn i V ;}
i<;;/i
... Vz nj ( Cl ((x; yj) л  (х; zj) л  (х; yj; zj») л
. (  l n' )) (  l п ' ))]
1\ G: i .1'; У ; ...; у I --+ @:j .1'; Z ; . . .; z 1 ,
тде Уу (3у) означает УУ1 . .. УУт (3Yl . . . 3Ут). Фор-
мула Z) выражает требования па «параметры» х 'YДOB
леТRОрЯТЬ условиям (1) и (2) из определения OTHOCII
тельноЙ элементарноЙ опредеЛlIМОСТИ.
Для любоrо предложения ЧJ спrнатуры а о пусть 'Р* ==
== УХ1 . .. V Х п ((X1, ... J Х n ) --+  (х»; установим сле-
дующпii фаl\Т.
Множество Т* == {ЧJ I ЧJ  предложенпе Сllтнатуры а о ,
ср* Е ть (/(I)} является такоЙ Teoplleii сиrнатуры ао, что
Т* s;; ТЬ (Ко).
Деiiствительно, обозначпм через K Rласс таЮIХ ал
rебраичеСRИХ систем wl сиrнатуры ао, что для wl суще
ствуют алrебраическая система  Е К 1 И элементы а 1 , ...
.,., а n Е N, удовлетворяющие условиям (1)  (3) в оп
ределении относительной эле:ментарноЙ определимости.
Torдa по условию теоремы Ко S K. А из определения
отображен\rя * следует, что ер Е Th (K)  ЧJ* Е Th (К 1 )
для любоrо предложения ЧJ сиrпатуры a.

 O, НЕРА3РЕШIIМЫЕ ТЕОРШI
321
dтмеченная эквивалентность вытекает из следующеrо
общеrо утверждения, проверяемоrо индукцией по слож
ности формулы <р:
Пусть  Е К I И аl, .." а,. Е N тановы, что  1=  .ип:.
Пусть алrебраическая система  и конrруэнтность 11
определены, как в (2). Тоrда для любых 01, ..., Бз Е L
и формулы <р (YI, ..., у.) сиrнатуры а о имеет место ЭКВlI
валентность
/1]1=<p[lN1J, ""b'I1])':nI=(a; ы 1 ;
.. -,
Ь З ) .
Поэтому Т* == ть (к;), и так как Ко С Kt то Т* s:;
s; Th (Ко) .
Если бы теория Th(K I } была разрешима, то эквива
лентность <р Е Т*  <р* Е Th(K I ) И эффективность OTO
бражения ер  <р* дали бы нам эффективную процедуру
разрешимости для теории Т*. Но наследственная нераз
решимость теории Th([(o) и ВRлючение Т* S; Th(Ko) вле
RYT неразрешимость Т* и, следовательно, неразрешимость
ть ([(1)'
Если теорпя т: спrнатуры аl содержится в Th ([(j)
и K  Rласс всех систем 9л таких, что 9л 1= T, то [(1r;;;;,
 К-. Соrласно замечанию выше из Ко  RED[(1 сле
дует Ko<RED к:, тоrда в силу ДОRазанноrо. выше (за
меняя [(1 на кп теорпя Т: == ть ([(:) неразрешима.
ИТiШ, Tll ([(1) наследственно неразрешима. О
ДОRаЗD.нная теорема является весьма мощным peДYK
цIюнныM методом доназательства неразрешимости. OДHa
но для ее ПримеНIШОСТП нужно иметь удобные прпмеры
наследственно неразрешимых теориЙ.
В Rонце параrрафа будет доказана следующая
т е о р е м а 13. Пусть П1 класс всех r.онечных ,1tO
ое.1ей сиzнату ры <П 3 ), имеющИх п элементов, тоада
эле.нентарная теория ТЬ (п;) этоzо класса (в языке с
paeeJtCTeo.}t) паС.1едственпо неразреши.ма для любоао
п Е (j).
3 а м е ч а н и е. На самом деле будет доказано более
общее утверждение:
Если А s:; (j) беСRонечно и П Rласс всех моделеЙ 9л
сиrнатуры <П 3 ) таRИХ, что мощность 9л принадлежит А,
то ТЬ (п) наследственно неразрешима.
21 Ю, 11. ЕРШОD, Е, А. Палютин

/
I
322 r:I. 7. А:IТОРПТМЫ 11 рЕк'рсIшныЕ ФУЮЩШI
Пр е Д л о ж е н и е 1. [( .л..асс r всех -понечных IIfодt!.л..ей
теории cuenaTYpъz T, определенной апсиО.пой
Ух(! Р (Х 1 х) Л Уу (Р (Х 1 Y)P (Уl х»),
U.;zeeT Hac.eдCTвenHO нераареШU.;tуЮ теоршо (даже в язы-
ке без равенства).
Докажем это, используя теорему 11, а именно, устано-
вим, что класс П: относительно элементарно определим
в нлассе r формулами сиrнатуры <p z > без равенства.
Рассмотрим алrебраичеСI\УЮ систему ==-= <J, П)Е: П
и определим по 9л алrебраичеСI;УЮ систе:llУ  == <N, Р\
теории То следующим образом:
и == {Ut!t е Ш, V == {Vt\t е Ш,
W=={wtltеШ, S=={8 t lt е Ш;
N == М U и u v u vV u s,
Р=={<х, y>lx, уеМ, х'4=у} U
U {<Ut, Vt>, <ие, 1ft>, <Шt, v t >, <и/, Wt>, <Ut, Wt>, <Ше, Ut>,
(W t , 8t>, <8t, I[)t), <х, 8/), <81, х), <у, пе>, <UI, У), <у, Vt),
(и/, у), <z, W t >, <Ше, z)!iеП, t==<X, у, z>}.
Если  (Уо) == 3У13У23УЗ j Л р (Yi, у;» ) , то леr
\О<i<;"'З
ко проверить, что для а е N имеем  t=  (а) *>- а е 1Il.
Пусть !8(Yl' У2) == .1 P(Yl' У2) и C&(Yl' У2' Y) ==
з
' л ЩУi);\3S3U3V31С('l(S)Л i(и);\ 'lЩV);\ i(W)Л
i=:l
Л 'lP (и, 8)Л Р (И, S);\Р(SlШ)ЛР(И' ш);\Р(и, ш);\Р(ш, и);\
ЛР(УI' И);\Р(У2' S);\Р(Уз, ш». Формула !8 на М опреде
ляет отношение равенства, а формула  на lIf определяет
в ТОЧНОСТJI иреДJIкат П. Это рассмотрение ПОI\азывает, что
формулы \1I:(y), !8(YI,yZ) и (YI' У2, уз) относительно
элементарно определяют нласс П: в классе r. о
Пр е Д л о ж е н и е 2. К .л..асс Eq2 всех -понечных моде.л..ей
теории Т 1 двух э-пвива.л..ентностей, т. е. теории сизнатуры
< 2 2 ) д  и д 
110, 'Ill , опре е.л..еU1ЮU аксиомои, утверж ающеu, что 'Ilo и
'Il1 яв.л..яются отношениями э-пвива.л..еНТ'f{,ости, имеет наслед
ственно неразреШИlltуЮ теорию (в языпе без равенства).
ДОI\ажем это, установив, что I\ласс r (из предложения
1>. отНоситеЛLНО элементарно определим в Eq2.

\
1
\
\
5 40. НЕРА3РЕIПИМЫЕ ТЕОРПИ
323
Цусть !JЛ == <М, Р> Е r; опредсЛIШ по :и алrебраиче
CHyId систему 9( == <N, 1]0, 1]1) Е Еqз так:
N == 111 U Р;
1]0 == {(х, х)!х Е N} U {<х, <х, у», «х, У), х>,
«х, у>, <х, z» Ix Е 111, <х! у), <х, z) еР};
f}1 == {(х, х>!х Е N} U {«х, у>, (у, х»! (х, у) ЕР},
Полarаем
(y)==yy; !8(YI, Уз)==110(УI' Уз);
cr: (Ун уз) == :1 lo (Yl' У2) Л 3z 1 3z 2 (110 (Yl, Z1) Л 1]0 (У2' Z2)Л
Л 111 (Z1l Z2)'
Тоща, кан нетрудно проверить, формулы , 18, (& OTHO
сительно элементарно определяют !JЛ в 9( и, следователь..
но, r в Еqз. о .
П р е Д л о ж е н II е 3. [(ласс LEq всех понеЧllЫх MO
Dелеu теории Т'!. отношения линеuноео порядпа и эпви
валентности (сиенату ры <, ч» U.illeeT наследственно He
разреши.МУЮ Теорию.
Докажем это, установив, что Еqз относптельно эле
:ментарно определим в LEq. ,
Пусть !JЛ == <М, 1]0, 1]1> Е Еqз; определим по $l алrеб
раичеспую систему 9( == <N, , 1]> Е LEq тап:
Пусть Мl' ..., М,.  попарно различные I\лас'сы 1]1ЭК
вивалентных элементов из М. Пусть N == М U {а о , ,.., а,.},
а; Ф М, i < k; зададим на N линейный порядок  так,
чтобы было выполнено условие М, == {ala Е М, a,1  а 
< а.}, i == 1, ,.., k; отношение эпвивалентности '1') на N
задаем так, что {ао, ..., а,.} образует один класс 'I')ЭI{ВИ
валентных элементов, а оrраНlIченпе '1') на М совпадает
с ЧО.
Полаrаем
 (х, У) == ..., 11 (х, у);
!8(Х, Уl' У2) == Уl <'У2 л У2 <'Yl;
@;о (х, Yl' У2) == 11 (Уl' У2);
(&1 (х, У1, У2) == \fu (11 (х, и)  (и <: У1 +-+ и < У2)'
Тоrда леrко проверить, что , 18, @;о, @;, определяют
,W? в 9(, Iюrда в начестве значения параметра х в;што ао.
ОТСlOда Еqз  l1EDLEq. о
21*

/
I
З2 rл, 7. АЛ1'ОРИТМЫ и РЕНУРСИБНЫЕФУННЦИИ
Пр е Д л ож е н n е 4. К .ласе Lz всех попеЧIiЫХ 4tOде.
дей теории Т 2 двух диnеипых порядпов (сиеnатура
(o, ,» имеет nаследствеnnо nераареши.мую теорию,
Покажем, что LEq  REDL2' Пусть !JЛ == <М, , 'YJ> Е
Е LEq; определим по !JЛ алrебраическую систему 9( ==
""" <N, o, ,> Е L 2 так:
Пусть M 1 , .'" М л  попарно различные I\лассы 'l-ЭК
вива.u:ентных элементов из М. Пусть N == М U {ао, .. " G h },
а; Ф М, и 1  линеЙный порядок на N таI{ОЙ, что М ; ==
== {ala Е М, ai1  ,а  ,а), i == 1, .. " k. Линейный поря
док o на N танов, что любой элемент из {ао, "', ah}
меньше любоrо элемента из М, a на М порядок o COB
падает с <, Пусть Ь  наименший эпемент в М относи
тельно порядка . .
Полаrаем
(x, у) == xoy;
f8(X'Yl' Y2)==YlOY21\ Y2OYll
o (х, Уl' У 2) == Уl <:0 У2;
1 (х, Yl' У2) == "'и ((иo Х 1\ 'l (xoи»(иl Yl++UlY2»'
Если в Бачестве значения параметра х взять элемент
Ь, то , !8, o, I относительно элементарно определяют
 в 9(, слодоватеJIЬНО, и LEq < REDLz. о
Пр е Д л о ж е н и е 5. К .ласс Sym всех попечnых eU.lt
lftетричеспих ерупп U.чееr nаследствеппо nеразреши.ltую
теорию.,
Докажем это, установив, что Eq2 относительно эле-
ментарно опредеЛИ1lI в Sym,
Пусть !JЛ == <М, '110, 'I11>e Eq2, и предположим, что
IMI  3. Пусть то, .,., тл  раЗЛIР.IНые элементы из М,
а 9( == Sym (М)  rpynna всех перестановок множества М.
Возьмем ао==(т о , m l ), а,==(т о , mz)eNi а2 и аз вы.
бираем в 9( так, что ЦIШЛЫ подстановон а2 и аз отвечают
:классам энвивалентных элементов 'YJo и 'YJ' соответственно.
Рассмотрим множество L == {<а, Ь> I существует h Е N
тю,оЙ, что а== а; и Ь == а:}. Нетрудно проверить, что L
состоит из всех пар транспозиций, имеющих общий эле-
мент. .
Сопоставим паре <а, Ь> е L элемент <р(а, bJE М, яв-
ляющиЙся оБЩIПl элементом транспозиции: например,
<р((т о , m l ), (то, т2»==то. Заметим, что отношение эн'"
ВПВ<l,ттеНТНОСТII "" на L, опрел;еленное отображением ер

. -"О, НЕРА3РЕШШ\IЫЕ ТЕОРИЯ 325
'(т. е. (а, b)(c, d)-ФФ-(р(а, Ь)=тер(с, d», моЖет быть
определено п так:
<а, Ь)  <с, d) -фф- 'v' h (а п ::= а'" (сЬh}З === (db h }3 == е).
Заметим, что если <а, Ь) Е L, т == ер (а, Ь), h Е N, то
ер (а\ Ь п ) == h (т) (rде Zh == }'z}).
Определим на Sym (111) отношение частичноrо поряд
Ка < так:
ho <;, h 1 -фф- ут Е ЛJ (тo (т) == т V 'o (т) == lL 1 (т».
Единица е 1'руппы Щ является наименьшим элемен.
том; минимальными элементами множества N\ {е} явля-
ются в точности ЦlшличеСЮlе подстаноВl{И.
С каждым элементом h Е N можно связать следующее
отношение эквивалентности 11h на М: 111' == {(т, т) I т Е
Е М} u {(то, iп,)lm o , т,"Е М, существует мпнимальный
элемент ho в N\{e} таl\ОЙ, что ho < h, и ho(m o }* то,
ho(m,)'* mJ.
Из выбора элеfентов аз, аз c.тreдyeT, что 11<1.2'==110' 11аз==111'
Запишем теперь следующие' формулы в язьше теории
1'рупп:
 (Хl' ';2' Хз, Х 4 , Уl' У2) == з.z (l ;::::: ZlXIZ Л У2 ;::::: ZlX2Z);
!в (.У, У" Yz, Уз, У4)== 'v' h(h'Ylh  У'.......
-+ (узlt'узh)З  (у.h'У2h)З  е);
@;о(х, Уl, У2, Уз, У4) ==
== 3Z(Z<;'Х з Л z=l=e Л 'v'u(u<;'z--+(u;::::: е V и;::::: z»л
л ((;,! YJ' У2' Уз, У4) V (1  (х, Уl' Yz, У:, Y) л
л 1 !в (х, Уз, У4! Y) Y»»!
rде z <;z: означает
'v'Y 1 'VY2 ('2! (х,! Уl' Yz) --+Q3 (Х 1 Уl' Уз. Y, Y) V
V rn (  z z х Х )
«..J .T,Yl,Y2,Yl,Y2 ;
@;1 (х, Уl, Уз' Уз, У4) ==
;:= з.z (z  Х 4 Л Z =1= е Л уи (и  z --+ (и;::::: е V u  Z» л
л (Q3 (Х 1 Уl' У2' Уз" У4) V (1 !в (х, Уl' Уз' y, Y) л
л ,1 !в (Х.! Уз, УН Y, Y»).

З26 1'.:1, 7, А::rrОРППfЫ ! РЕRУРСПБНЫЕ ФУНRЦIШ
Ес.'ш «парамотра:ш) х l , X z , Х з , х. приписать значения
00, 01, a z , аз соответственно, то фОрlУ;Ia 'к оиреде:IИТ MHO
жество L; !8 задает на L отношение , а @;о и @;1 OHpeдe
лят на L!  ОТНОШОRIШ эквивалентности cp1 (1)0) и
чJ1 (1]1) соответственно. Проведенное рассмотрение и по
называет, что формулы $, , @;о, @;1 отпосительно элемен-
тарно опредоляют Iшасс Eqz в Sym. О
С л е Д с т в и е 1. [{.ласе копечпых ерупп ll.ilteer Ha
с.ледственно нераареши.(,ую теорию.
Сл.едствие 2. [{.ласе всех ерупп имеет наследствеf(,
НО пераареШUlftую теорию.
ЗаЙмемсл теперь подrОТОВI\ОII н доназательству тео-
ремы 13.
Частичную пмостпуЮ ФУRIЩИЮ f: А 4- (1), А s; (1)n, на-
зовем спе-ктра.л.ьно представu.ltОЙ, если существует пред-
Jlожение Ф, сиrнатуры <1f<6, ....tб, р\ ...) таное, что
выполнены следующие условия:
1. Для любой п-IШ (т l , ..., т n > Е А существует но-
не'шал модель  спrнатуры <1, ТaI.;ая, что 9л 1= Ф f ,
/v!l11 (6;)1  тi, i == 1, ..., п, /v!1Jl (р)\ == !(т 1 , ..., т п ).
2. Для любой нопечной модели 9л сиrнатуры <1, Ta
ноЙ, что w1 f:: Ф" если lЩ == I v!l11 (6;) 1, i == 1, ..., n 1 то
(т 1 , ., f, тn)Е А и f(т P ..., тn) I v!l11 (р) 1.
Если предложеЮlе Ф, удовлетворяет условиям 1, 2,
то будем rоворить, что оно спе-ктра.л.ьно представляет-
Фуннцию !.
Т е о р е м а 12. Вся-кая частиЧIiО ре-курсивная фу'li-К
ция спептра.льnо представиlftа.
Д о н а з а т е л ь е т в о будет вестnсь ИНДУНЦией по
дюше определяющеЙ последовательности.
Доназывать будем ЧУТЬ более сильное утвержденио:
Д,1Я любоЙ частично рекурсивноЙ п-местной ФУННЦИИ t
существует предложение Ф" спентрально представляю-
щее t и таное, что а)" сиrнтура О, содержит тольно од-
номестные и двухместные преДИRаты, и б) если w1 f:: Ф/, то
",'1)/(6;) n v!l11 (б j ) == 0.1 1  i < j:a::;;;; п v!1Jl (6 i ) n v!l11 (р) == 0,
i"",l,...,п.
у словпе б)" вьшолнитсл, если выполнится формула
'Р n == 'v х ( Л. (! 6 ; (х) V "i 6j (х)) Л л ( .., бi(х) V .., р(х» ) .
l<i<з<п i"=l
В далъпе1ппем, rоворя о спентралъпоiJ пr()l(ста1'lПМО
СТН, будем преДl10Лаrать ВЫПОЛНIшость условиЙ а) и б),

!\ /,0. НЕРА3РЕШШ\IЫЕ ТЕОР1Ш
327
Буде!>! rоворить, что двухместный преДИ1\ат П s;;; J]2
над М рассдаивае1' М над N s= М, если выполнено
(а ! Ь) Е П  а Е N Л Ь Ф. LY;
<а, Ь>, <с, Ь> Е П * а == С;
дЛЯ любоrо Ь  N существует а Е N тю-\Ое, что <а, Ь) Е
Е П. ДЛЯ а Е N через Па обозначим множество
{bl<a, Ь)еП}.
Будем rоворить, что двухместный преДИ1\ат С s= JP
над М есть 8заu.ШIO ОО"озпаЧJiое СОО1'ветС1'вие между D
и L (D, L s; М), если выполнены условия: для ЛlOбоrо d Е.
Е D существует единственный 1 Е L тю,ой, что <d, 1> Е С,
и для любоrо 1 Е L существует единственный d Е D та-
I\ОЙ, что <d, l) Е С.
Л е м м а 1. вазucflыe фующuu о, s, I спех1'радыio
пpeGC1'aBllJ'rzbl.
Д о 1\ а з а т е л ъ с т в о. Определим
а о == (<'>, р), Ф О == V х 'l Р (х); а 8 == (<'>1 р, С2)!,
Ф. == чr 1 Л 3х [ 'l <'> (х) Л (С есть взаимно однозначное
соответствие между {х}  <'> ир)];
а n .",,; (61' .. " б/l, р, С2), Ф n == Ч'n Л (С 'есть взаимНI
1 т 1 т
однозначное соответствие между д т пр>:.
Леrко проверяется, что предложения Ф о , Ф. И Ф n
1 т
представляют соответственно функции о, s, 1. О
Л е 1\1 м а 2. Если k-.llеС1'Jiая функция h получена ре-
еулярной суперnозuцuей uз nмес1'НОЙ ФУU1щиu f и k-.-пе-
С1'ных фуU1ЩUЙ gl, ..., gn U фУU1щuи f, g!, ..., gn спеп1'-
ралыzо пpeiJc1'aeru.zbl, 1'0 и h спеп1'ралыlo пpeiJcraeu.11a.
Не уменьшая общности, можно -счита1Ъ, что формулы
Фgl' сиеItтрально предст3.вляющпе gl, 1 === 1, ..., п, ИМеют
одну и ту же сиrнатуру 01 == <61. "'! б k . р, ...>. Пусть
предложение Фf сиrнатуры 00 == <<'>1, ..., <'>n, р, ...> СПeI,Т-
рально представляет фУН1\ЦIIЮ f.
. Определим сиrнатуру ah === (<'>1' .", <'>/i, Р) U a U a U
U <\ П 2 , С2), 1'де a <ШТРJIхованная» RОШIЯ 00; ашшо-
w
ПIЧНО понимается (11'
Вместо вьщисыванпя предложения Фh, спектрально
представляющеrо ФУНRЦИЮ h, будt'М описывать свой-

328 1'.'1, 7, A:r1'OPIITl\ibl п РЕНУРСIIВНЫЕ ФУНЮЩП
ства тан,ой произвольной модели Юl, иrнатуры ,Oh, ЧТО
9.1Н= Фh. ' . '
Модель 9л удовлетворяет следующим условиям:
1. Предикат П расслаивает М над D 5: М.
2. Множество D имеет в точности п + 1 элемент,П
предикат  линеЙно упорядочивает D == {а о , ..., а n },
а й < . , . < а п .
Через 9Л обозначим обеднение до O' подмодели MO
дели 9Л, определенной множеством П d (== {т I <d o , т) Е
о
Е vWl (П)}); через 9Л; обозначим обеднение до a подмо-
дели модели 9Л, определевноЙ мвожеством П d l1l == 1, . . ., п.
'3. 9Л  Ф;, 9Л;  Ф;l' l == 1, "" п, rде предложение
Ф; (Ф;l) получено из Ф/ (Ф g () заменой Bcex предикатных
символов Р Е ай (Р Е a l ) на Р' Е a (Р" Е a).
" ,
4. vWl (6 j ) == v 9Л1 (6;), i == 1, ..., k, ,\,'9Л (р) == у9Л о (р').
5. Для любых i == 1; ..., k, l == 1, ..., п С есть вза
, gл"" 9,Ч""
пмно однозначное соответствйе междуv 1(6;) и v 1 (c5 j );
9Л'
С есть взаимно однозначное соответствие между v 0(6;)
!1)1"
п v 1 (р").
Из указанноrо описания модели 9л ясно, как можно
построить искомое предложение ФI" I{OTOpOe и будет
спектрально представлять h. о
Л е м м а 3. Если п.неСТJ(ая фующия h u (п + 2)Me
стная фующия g спеnтрально представUлtЫ, то u Фунn
цuя f == Rп+1 (h, g), полученная llЗ h и g пРШluтuвной
реnурсuей, таnже спектрально представИ,'Ia.
Пусть предложение Фh спrнатуры ай спектрально
представляет h, а предложение Фg спrнатуры а ! спеIП
рально представляет g. I\aK п в предыдущей лемме, бу
де;.,! снорее описывать модели 9л предложения ФI, ч-ем само
предложение ФI' 110лаrаем 01 == <61' ..., б", б n +1' р> u
U a U 0'; U <\ 112, С2).
Модель 9л удовлетворит следующим свойствам:
1. Предикат П расслаивает М над D s;;;; М.
2. Предикат <:;; линеЙно упорядочивает D так, что
любоЙ не наибольший элемент х Е D имеет непосредст
BeHHoro последователя х'; D имеет наименьший элемент
. О и наибольший эле;.,rент т.

 40, -НВРА3РВШИМЫЕ ТЕОРИИ
329
\1)1 / .!.1J1' !!J!' ( ' )
3. v \6 nн ) == D"'" {О}, v (6 i ) == V о б i , i == 1, "', п.
4. ffi'I  Ф; 9У(  Ф;, х Е D", {О}.
5. Для любых х, У Е D\{O} С есть взаимно однщшач..
\1)1" !.1J1"
ное соответствие междуv Х(6';) и v У(6';), i == 1\ ..., п;
!I1!' ( SI.' 1')
между v о u
с есть взаимно однозначное соответствпе
!I1!" ( " )
.и v х 6 i , l == 1, "'.' п.
6. Для любоrох Е v!li! (6 I1н ) С есть взаимно однознач
ное соответствие между х == {у I у е v!li! (6 n + 1 ), у < х} и
!J1!"
y Х (6H)'
7. Если х Е v!.1J1(6 I1 H) не наибольший в D и х'  ero
непосредственныЙ последователь, то С есть взаимно OДHO
ftл"" 9Л" I " )
значное соответствие между v х (р) и у х (6 n +2 .
8. Если D =1= {О} II О'  непосредственныЙ последова
теJIЬ О, то С есть взаимно однозначное соответствие меж
!.1J1 0 ' ( ' ) !.1J1', ( SI." )
ду у р и у и n +2 .
9. y!lJl (р) == v!.1J1 (р"), еСJШ 0=1= т 1 и y.!.1J1 (р) == v!.1J1 (р'),;
если т == О.
Из указанноrо описаНIIЯ модели 9л ясно, кю{ постро-
ить искомое предложение Ф f , которое, как нетрудно про-
верить, и будет спектрально представлять j. О
Лемма 4. Если (п+ 1)-Jltесrнаяфу-нкцuя f спект-
раль-но представUlIta, то и Фу-нкцuя g == Мп (1), получе-н
-ная миНUjчиаацией иа j, также спектраЛЬ/-LО пpeaCTaBu.ta.
Пусть предложение Фf сиrнатуры а! спеl\Трально
представляет f; полаrаем cr g == <61' ..., 6n, р) U a U <,
П, с>.
Как и выше, опише{ своЙства произвольной модеЛIl
9Л, на котороЙ истинно предложение Ф.
1. Предикат П расслаивает М над D !::;; М.
2. ПреДlшат  ЛIfНоЙно упорядочивает D таи, что D
имеет llаименьшпЙ элемент О и наибольшиЙ :щомент т.
З. y!li! (6;) == y\1)1 (6;), i == 1, ..., п; y!lJl (р) == D"'" {О}.
4. ffi'I Ф, XED.
5. Для любоrо Х Е D\{O}
,
ное соответствие между v!.1J1 o (6;)
с есть взаимно о)\нознач
,
и y!li!x (б;),. i == 1.\ ..., п.

330 rл, 7. Алrсритмы 11 l'ЕКVРСИВИЫЕ ФVНRЩШ
6. Для любоrо х Е D С есть взаимно одноанаЧlIое
,
соответствие между v!l11Х(б+l) и ?C=={yIYED, у<х}.
,
любоrо х Е D\{т} имеем v!l11 x (р') =1= 01
7. Для
,
v!l11m (р') ::0.
По уназанным СВОlIСТВЮI модели 9JI петрудно указать
предложение Фg, описывающее эти свойства.
Беа Труда провернется, что Ф, спектра.1JЬНО представ
ляет функцию g. О
Иа лемм 1 4 непосре,l,ственно следует и теорема 12.
Непересекающиеся рекурсивно перечисленные J\1НО
жества Ro и R, нааываlOТСЯ рекурсивно неотдеди.мы.l1и,
если не существует рекурсивноrо множества Р TaI{OrO, что
Ror;;p, pnR,== 0.
Пр е Д л о ж е н п е 6. Существует пара Ro, R! pe"yp
сивпо неотдеди.мых .lножеств.
В силу следствия 1 теоремы 38.8 существует ДBYX
местная частично реl{урспвная фушщия 1, универсальная
для одноместных частично рекурсивиых функциЙ.
РаССМОТРШI одноместную фушщию 10 (х) == sg (f (х, х) ) ;
полarаем Ro==={nl/o(n)-==O}, R! J пl/o(n)==1}. Мноше
ства Ro, R, не пересекаются и рекурсивно переЧИСЛIIJ\lЫ.
Предполоашм, что существует рекурсивное множество Р
такое, что Но r;; Р, Р n R! == );2 . Рассмотрим ха}1актеристи
ческую функцию ХР этоrо множества; она рекурсивна.
Пусть nE(i) таково, что I(n, х)==хр(х) для любоrо
х Е (i); раССМОТРИJ\f вопрос о принадлежности числа n
множеству Р.
Предположпм, что пЕР, тоrда хр (п)' == 1, 10 (п) ==
==sg/(п, п)==sgXp(n)==sg1==, и nER" следовательно,
пЕР n R, и Р n R, =F fj; это невозможно.
Предположим, что п Ф. Р, тоrда %р (п)" == О, 10 (п) ==
sg/(n, n)==sgXp(n)==O, neRo, nERo\P, и, следова
тельно, Ro с;;;.Р; это также невоаможпо.
Получили противоречие, исходя иа иредположения о
существовании рекурсивноrо множества Р TaI{orO, что
Ro !::;; Р, Р n R, == )о. Предложение ДОl,ааано.
т е о р е м а 13. ЭМlflептариая теория класса Il в
языке с paeeHCTBOlft насдедственпо перазреzuШta ддя ДIO
боео п Е (i).
Пусть Ro, R,  рет(урсивно поречпслимые, рекурсивно
неотделимые МIlожества. Леrтю попять тоrда, что R i =F )о,:
i == О, 1. По пре,дложениlO 37.2 существуют одноместные

 40, НЕРА3РЕШllliIЫЕ ТfЛl'lШ
33!
рекурсивные ФУЮЩIIII 10 и I1 таюrе, что Л;  {rп! суще
ствует nеro, для ROToporo m==/i(n)}, (==о, 1. По Teo
реме 12 существуют предложения Ф/о' Фf 1 , спеюрально
пrеставляющие 10 и I1 соответственно. Не YleHLmaJI
общности, МОШНО считать, что Фf JI Фf  предложения
о 1
O;J;HOj! И той же сиrнатуры а == <Qo == б 1 , Q1 == РI Q,...
· · ., Q!; P, .. '1 Р;'>.
Полаrаем
ФоФ!Л 'v'xip(x);
Ф1 == Ф/О Л 3.1'(р(х) Л 'v' У (р(у)--+х  у));
Фп==Фj Л3х 1 ", 3Х 11 ( Л i(Хi.1j)Л
о 1<i<j<n
Л iБ 1 Р (.1'i) Л 'v' у ( р(у)--+ i1 YXi))' n> 1[ n Е w;
Ч"о == Фj1Л VXip(x);
ч" 1 == Ф/l Л 3х (р (:r) Л Уу (р (у) --+ Х  у»;
Ч"n == Ф!l Л 3,1'1 ,.. 3х п ( ,, i (Х;;:::: ,1:;) Л Л р(хд Л
1<!.......)п i1,
ЛVУ(Р(У)--+i1УХi)), n>1, nЕro.
Отметиы, что дли форrулы Фn (Ч' n) существует RO
нечная модель Tor;J;a II тош,по тоrДа, Rоrда n е Ro
(п Е R 1 ),
ОбраТIШСЯ R последовательности формул с равенствоы
спrнатуры а 3 == <П 3 >.
Полаrаеы Р о (х) == 3у3zП (у, Z, х). Рассмотрим фор.
мулы:
(1) VX'v'y'v'z (П (.1', У, Z)--+(iРо(Х)ЛРо(У));
(2) 3x'v' уУ z i П (х, У, z);
(3) VyVz(Po(y) Л Po(z)--+3x (П(Х, У, z) Л 'v'иV li(П(Х 1 и, и)--+
--+ (и  у л liZ»)));
(4) УХО 'v'x 1 3x'v' уУ z((П(х, у, Z)(П(ХО' y"z) V П(х 1 , Уl z»)<
Л ((П (хо. У, z) V п (Х 1 , У, z))  П (Х, у, z))).
Обозначим через r RоныoRциюю формул (1)'(4).
Пусть 9л  МОДель для r, Мо == {т I т Е М == IWlI, wl r::
I=Po(m}}, Каждый элемент теМ определяет двухме-"

332 1';r, 7. АлrОРIIТJ\IЫ II рЕю'рсIшпыE ФУНIЩШI ,
СТIlыii предикат Р т над 1Ifо так: Р т ==- ! <то, т 1 ) I <т, In Of
т 1 ) Е v!И (П»). Истпнность формулы (2) в gл влечет, что
среди предикатов {Р т I т Е АЛ есть пустоЙ; истинность
(3) означает, что для любоЙ пары (то, т 1 ) Е M суще
ствует преДИJ\ат вида Р т такоЙ, что Р т ==- {(то, m j )};
истинность (4) означает, что семейСтво предикатов Р т ,
т Е М, замкнуто относительно объединения. Отсюда сле
дует, что семеЙство {Р т I т Е М} содержит все конечные
двухместные преДИI\аты над Мо. Если рассмотреть ce
мейство одноместных преДИI\атов (Р тО ' ffl 1 Im O ,m 1 Е 11;/), 1'де
PтO,т 1 == (тl(т o , т1, т)Е\,!И(П)j, то оно также coдep
жит все конечные ОДНОlестные предикаты над Мо.
Зафиксируем последовательность различных перемен
ных и, Р, и о , Ро, ..., и n , V n , Zo, .. " Zm И для любоЙ фор
мулы Ф сиrнатуры а, не содержащей указанных пере
менных, определим формулу Ф* сиrнатуры аЗ следую
щим индуктивным правилом:
ио ::::::: t 1)* ==- (to ::::::: t 1);
(Qi (t»)* == П (щ, Vi. t),
(Р) ио, t 1 ))* == П (Zj, t o , t 1)'
(Ф о Ч')* ==- (Ф* о Ч'*), о Е {V, Л, -+};
(1 Ф)* == IФ*;
(\1 хФ)* ='= \1 х (П (и, V, .1') -+ Ф*);
(3.1'Ф)* == 3х (П (и, v, .1') Л Ф*).
i ==- О, .'" п;
1==0, ...,т;
Определиы теперь последовательность предложенпii
r n, п Е 0, СIlПlатуры а' тю,:
r n ==r--+(ЗиЗv3u о ... 3V n 3Z 0 '" 3 Z т3х(П(и,v,х)!\
Л Ч') -+ 3и3и3и о . .. 3V n 3Z 0 ' . . 3Z m 3х (Щи, v, х) Л Ф*)).
У стаНОВIIЫ два следующих фанта:
1. Если п Е Ro, то r"  тождественно истинное пред
ложение.
'2. Если п Е R 1 , то существует конечная модель 9л Ta
кая, что 9л j::: I r n.
Пусть п Е Ro и 9л  произвольная модель сиrнату
ры а 3 .
Если 9л t= ..., r, то 9л t= r '" Будем теперь предпола
raTb, что gл  r. Рассмотрим Два сл)'чан;

 O, НЕРА3РIШIIIМЫЕ TEOPIIII
Э31
а) Множество Лfо==<{тlтЕЛf==IW1I, W1I=P o (т)} бес
конечно. Тю. как п Е Ro, то существует конечная :МО;J;ель
:И 1 сиrнатуры а такая, что :И 1 t= Фt о и \ v IJЛ1 (р) \ == п.
Модель :И j можно выбрать такой, что Ы 1 == 1W1 1 1 s;;; Мо,
Пусть И, 'О, Ио, .. " 'Оп, 10, ..., 1т E]I;I таковы, что
P-:;: v ==М1; P:;;,.==v9JI1(Q;), i==O, ..., п; P z .==v'JJl 1 (P j ),
I 2' V z J
j == О, .. " т. Тоrда, как нетрудно проверить, в  будет
'"
истинна формула Фn, коrда переменны:м и, Р, .. " Zm
В качестве ЗНачении присвоить и, 'О, ..., 1т COOTBeTCT
BeIНO. Но тоrда 9л 1= 3и .,. 3ZтФ и :и 1= r '"
б) :Множество Мо конечно. Покажем, что Torдa w1 t=
1= 13и.,. 3zm3X (п (и; и, х) Л ,Ч'). Предположим про
тивное, пусть и, 'О, .,', 1т Е М тановы, что w1 t= 3хП (и, и,
"'  9JI
х) Л Ч' n (и, и, ..., Zm). ПолаrаеыМ 1 == Pи,v; v Ч Qi)==Р:и" ij, n
, ,
n м 1, i == О, " ., п; ,, 9JI1 (Рз) == Р;, n M, j == О, .. '} т; W1 1 ==
J
/ 9JI 9JI Р "
== ",Afl' ..., v ЧQi),'.', v 1 ( з), .., /  конечная мо-
дель сиrнатуры а, причем такая, что 9Л 1 1= ч' п, но это
влечет п Е R 1 , п Е Ro n R 1 , что невозможно. ИтаR, w1 t=
t= 13и ... 3z m 3x (п (и, и , х) Л Ч') и, следовательно,
9Лl=rп.
Пусть теперь п Е RI' Тоrда существует конечная :мо-
дель 9Л о сиrнатуры, а тюtaЯ, что W1 0 1= ч' '" Полаrаем
М == Мо U Р (M); П s;;; АР определится кан множество
{<Р, то, m l >!Ps;;;M 2 , <то, ml>EP}, Лешо проверить, что
w1 == <М, П> 1= r. Нетрудно выбрать и, 'О, Ио, ..., 'Оп, 10, ...
...; Zm Е М таЮlе, что Ри v == мо; Р й . ;;, == V!mO(Q;), i== О, '..
I l' 1.
9JI '"  
,.., п; PZj == v О (Рз), j == О, ..., т. Тоща W11=Ч'n (и, и,.,.
. . ., zm) и W11= 3и . . . 3zm3x (п (и, и, х) Л Ч'). Одню\О в w1
'"
будет истинно I 3и '" 3Zm 3х (п (и, v, х) Л фn); ;)то
доказывается, кан в случае б), рассмотренном выше.
Следовательно, w1 t= II'n.
3 а м е ч а н и е. В построении модели :и выше можно
кан уrодно расширить основное множество М, не меняя
предината П. Поэтому установлено свойство, более CIlJIb
ное. чем свой.ство 2.
Если п Е Rl' то существует сколь уеодно больщая KO
нечная модель w1 такая, что :и F:: I r '"

334 1':r. 7. A:rrOPIITl\1bl п рЕю.рспDпыЕ ФУНIЩIIII
3авеРШIШ теперь ДОI\азатеJIЬСТВО теоремы. Предполо
ЖЮI, что существует разрешимая теория Т s;; Th (п).
РаС('IОТрЮI -множество R === {k I r h Е Т}. Так как предло
жения r h строятся эффеI\ТИВНО по k, а Т разрешима, то
множество Н является реRУРСИВНЫМ. Пон:ажем, что Ro S;;;
S;;; R и R n RI == 0. Пусть k Е Ro, тоца r тождественно
истинно и принаДлетпт люБОII теории, следовательно,
r h Е т И k Е R. Итак, Ro s;;; R. Пусть k Е R,. тоrда по за
меЧIiНПЮ найдется модель wl Е П такая, что [Jll= I r/ o
следовательно, r k EjE Th (п) :=::> т П k Ф R. ОТСlOда
Н, n R == 0. Однако существование РClурсивноrо множе
ства R TaKoro, что Ro s;;; R й' R n R, ==0. противоречит
рекурсивноЙ неотделимости множеств Ro и RI' Это про
тиворечие JI ДОRазывает наследственную неразрешимость
теории Th (п). О

ПРЕДМЕТНЫй УКАЗАТЕЛЬ
Ансltома выбора 75
 исчисления 19
 реrулпрности 90
 з!;стенсиональности 65
Аrебраичесная система 97
  насыщенная 189
  однородная 187
  универсальная 189
АI'ебраичеснне системы изо!орф-
ные 98
  элементарно ЭНВI!ВалеНТНPIе
152
Ааrоритм 12, 241
Бу.т:rева алrебра 73
  атомная 316
Вполне упорядоченное множество
74 '
БыБ;:( В ИВ, 53
  llП 143
1
rомоморфизм 98
Трафин 18
 частично реl!урсивной фУНI!ЦJiИ
270
ДСЕартово произведение 66
  алrебраичесних систем 113
Дию'рамма алrебраичесной сист
мы 159
   полная 159
Дизъюннтивная нормальная форма
(д. н. ф,) 40. 132
ДИ3ЪЮННI\ИП 22
 Э.:Jементарнап 39
Донааате.;IЬСТВО 12
 в ИВ в виде дерева 28
   линейное 27
  ИП B виде дерева 121
   линейное 121
II;ЮfОРфизм алrебраичесних си
стсм 98
   ЧастичнЫЙ 152
    нонечный 152
IСчШ"шнацип 22
IIСТIIННОСТЬ формулы на алrебраи-
чесной системе при IIНTcpnpeTa-
ЦНИ 107
Исчисление 19
 ПЫСНllзываниl! (ИВ) 22
  rильбертовсноrо типа (ИВ,)
52
 независимое 50
 непрОТf!воречивое 43
  по отношению к семантине
50
 прединатов сиrнатуры 1: (Ilп1:)
119
    rнльбертовсноrо тип
(ПП f) 142
 разрешимое 50, 281
 резольвент 236
Нардинал 86
НвазивывОД сеI;венции в ИВ 31
   ип1: 121
Нвааимиоrообраапе lБ6
Rпазитошдестпо 166
Нвантор всеоб1ЦИОСТИ 105
Нвантор с)'ществования 105
Нласс 114
 алrебраичесю!Х систе! aI<CIIOMa-
тизируемый 161
   натеrОРf!чныft в мощности
194
Нонсервативное расширение ис-
числеНlIЛ 56
НОНЪЮННТI!вная нор!алыraя Фор{а
(н. н, ф,) 40
Нонъюннция 33
 элеfентарная 40
Нортеж 18, 66
Лине/iно }'порядочснное множест'
во 70
Линейный порядон 70
Машина Тыоринrа 242. 248
1IIашинное С::ЮВО 248
:Ыноrообразие 166
l\Iножества подобные 76
 равномощные 83
Мнон,ество 15
 беснонечное 87
 lюпечное 16, 87
 натуральных чисе,,! 65
 ренурспвно перечисли!ое 274
 ренурсивное 274
 счетное 87
 транзитивное 81,
 Формул выполню!ое 117
  ;rOHa.:JbHO ВЫПОЛНимое 117
  непрorивореЧlIвое 135
 центрированное 79
Мно;нествоСТСIlень 20
::Н&HOCTЬ алrсбраичесноit системы
 множества 87
 сиrнатуры 97
Натуральное ЧИСЛО 65
НUРIа:lЬНЫЙ алrорифы 242, 2Н
, ВЫЧИС:JIlющиl! ФУНКЩ1Ю 247
Носитель а.т:rrебраичеснuй системы
97
HpfCpaЦIfJl rёдеаСБСJ<ал 281
Обсднение аЛl'сбраичесноJl системы
100
Область деllСТВJlЯ вхошдеНШI !\ван-
тора 106
 :JНачсни/i фУНlЩIfl! 68
 опрсдсения опсраЦI1И 18
  ФУНlЩИИ 68
Обоrащение аJIrебраичеСI;Ой. систе-
мы 99
Оператuр МlfнюшзаЦI!lI :;3
 lIРlffИтивноil реНУРСИI1 53
 реrУJIПРНОЙ супеРПUоИЦI/Jf 252
Ординал 84
Отношенис 66
 аНТИСlIм!стричное 67
 обратное 67
 рефленсивнuе 67
 симмеТрИЧlIое 67
 траНЗIпи,внuе 67
Отображение 18, 68
 11 68
 на 68
 раЗlIО3Н<l'fНuе Б8
Пара 18

335
ПРЕДМЕТНЫЙ 'НАЗТЕЛЪ
Пара;:\онс лжеца 14
 Рассела 9
Переменная 103
 пропозициональная 22
Подсистема алrебраичесной систе-
мы 98
  , порожденная мнон,еСТВО:\l
99
 , элементарная 156
Порядон плотныЙ 101
Посылна правила 19
Правило вывода 12, 19
 , допустимое в ИВ 30
  независимое в псчислеНlШ 50
ПредИlШТ 66
 реhУРСИВНО переЧИСJШМЫЙ 269
 ренурсивный. 259
 УНllВерсальный. 278
ПредложеНllе 108
 н-общезначимое 109
Пренеисная нормальная форма 132
Привеi\енная нормальная форма
134
Принцип мансимума 75
 иормализации 246
 ПО""IНоrо упорядочения 75
 :rраНСфИНИТНОil lП!дунции 74
Проблема разрешимости псчисле-
ния 50
Произведепие отношениil 67
Расширение исчисления нонсерва-
тивное 56
Реиурсия кусочно возвратная 285
Решетиа 71
Спобо;:\иая переменная ФОР:\IУЛЫ
10б
СВЯЗhа лоrичесиая 22
Сеивенция 19
 ППЧ 147
 Iш:Е 119
 ИСЧlIслешш G 204
  G o 60
Сиrнатура 96
Систсма аИlШО:\l д:ш теории 169
  Цермело  Фрею,еля 92
Сну,лемизация а.'IrебраlIчссноit си-
стемы 171
 теории 171
Слово абстрантное 17
 маШllНное 248
Совершенная д, н. ф. 41
 н. н. ф. 41
Те;шс Тьюринrа 251
 Чёрча 254
Теорема 12
 rёделя о неполноте 293
   по.пноте 19
 Jlllтерполяционная Hpeiira 
.ТТlllIдона 179
 Нннтора 83
 I,HHTopa  Бернштейна 83
 но:\шантносТИ 117, 142
 ,Тlося 116
 о I"рафине 270
  дедунции 5'4, 144
  замене 35, 130
  подстuновне 33
  полноте ИВ 49
  реДУIЩИИ 277
,  существоваНIIII модели 136
Теорема о фующиональной полно-
те IIВ 47
 oi'J опуснаНlШ типов 178
  устранении сечения 214
 Рыль-Нардаевсноrо 194
 Эрбрана 232
Теория 169
 ансиоматизируемая 292
 алrебраичесной системы 152
 натеrоричная в МОЩНОСТll 194
15'acca алrебраичесних систем
 модельно ПО.1Jная 169
 наследственно неразрешимая' 318
 полная 169
27 элиминацией кванторов 170,
псально аНСИО:\lатизируе-
 элементарная 169
Терм 103
 базисный 173
 реиурсивный 267
Тождество 166
Ультрафильтр булевой алrебры 80
Упорядоченный набор 66
Условие несмешанности перемен-
ных .204
Фильтр булевой алrебры 79
 rлавный. 81
 на множестве 79
 Фреше 79
Формула 19, 22, 105, 119
 атомарная 22, 105
 атомная 105
,выполнимая в алrебраичесной
системе 109
 замннутая 108
 ИВ 22
 , тоа;дественно истинная 45
  элементарная 22
 ИПЧ 147
 ип:Е 119
 исчисления реэольвент 237
  G 204
 общезначимая 108
 позитивно ПрИМИl'ивнал 303
 положитеЛЬная 183
 ренурсивная 267
 реиурсивно переЧИСЛlIмая 269
 тонщественно истинная 108
 условно фильтрующаяся 115
 фильтрующаяся 115
Формулы ионrруэнтные 131
 пропозиционально энвиваент
ные 129
 энвива.пентные 34, 129, 144
Фуннцин 68
 базисная 253
 ренурсивная 253
 спеитрально предстаВИ:\JaЯ 326
 универсальная 279
 харантернстичссиая 259
 частичная 246
  вычислимая 246
   по Тьюринrу 249
  нормально ВЫЧИСЛlПIaЯ 247
 частично рекурсивная 253
Частично упорядочеиное MHo)НeCT
во 70
   фундированное 73
ЧастичнЫй поряДОН 70