/
Автор: Галимов К.З. Паймушин В.Н. Терегулов И.Г.
Теги: физика механика деформируемых тел теория оболочек
Год: 1996
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК ТАТАРСТАНА
К- 3. ГАЛИМОВ
В. Н. ПАЙМУШИН
И. Г. ТЕРЕГУЛОВ
ОСНОВАНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ОБОЛОЧЕК
Издательство «Фэн»
Казань 1996
К. 3. Галимов, В. Н. Паймушин, И. Г. Терегулов. Основания
нелинейной теории оболочек.
Казань, «Фэн», 1996 г.
Книга представляет собой пособие по основам нелинейной теории оболочек.
В ней даны необходимые сведения из нелинейной механики деформируемого
твердого тела, исходя из которых с принятой степенью точности выведены раз-
личные варианты кинематических, физических и статических соотношений клас-
сической и уточненной нелинейной теории тонких оболочек. Физические соотно-
шения построены для анизотропных и композитных оболочек при конечных де-
формациях на основе термодинамических принципов. Для оболочек сложной фор-
мы изучены нетрадиционные варианты представления построенных уравнений и
возможности их упрощения при приближенном выполнении условий изометрич-
иостн срединной поверхности относительно базы параметризации.
Пособие рассчитано на студентов и аспирантов, специализирующихся в
области механики деформируемого твердого тела. Оно несомненно будет полез-
ным для научных и инженерно-технических- работников, интересующихся общими
вопросами теории оболочек.
Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор Н. С. Ганиев.
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета
АН Татарстана
© Издательство «Фэн», 1966
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современных строительных сооружениях, изделиях машино-
строения, авиастроения, судостроения и ряда других областей тех-
ники удельный вес применяемых конструктивных элементов, отно-
сящихся к классу тонких оболочек, беспрерывно растет. Теорети-
ческой основой для их проектирования, анализа поведения под
воздействием эксплуатационных внешних нагрузок, а также для
определения параметров технологических процессов при их изго-
товлении служит теория оболочек.
Наука о механике оболочек сравнительно молода. Первые ра-
боты по теории оболочек появились в конце прошлого столетия в
Германии [186] и Англии [44]. В настоящее время теория оболо-
чек располагает рядом фундаментальных монографий и хороших
учебников. Большой вклад в ее развитие внесли советские ученые
}. 3. Власов ([101, В. В. Новожилов [53, 54], А. И. Лурье [41]м
3. В. Болотин [7], А. Л. Гольденвейзер [21, 22], Н. А. Алумяэ,
3], С. А. Амбарцумян [4], Э. И. Григолюк [24], К. Ф. Черных
85], А. С. Вольмир [11, 12] и многие другие. Значительные иссле-
дования в этой области выполнены также и казанскими учеными
X. М. Муштари [48 — 50], М. С. Корнишиным [34], А. В. Сачен-
ковым [32, 72] и другими.
Настоящее издание представляет собой учебное пособие по
основам нелинейной теории тонких оболочек. Главное внимание в
нем уделено последовательному изложению трех групп соотноше-
ний теории тонких оболочек, составляющих ее основу и следую-
щих из трехмерных соотношений нелинейной механики деформи-
руемого твердого тела при введении ряда упрощающих гипотез,
ставших к настоящему времени классическими. К ним относятся
соотношения теории деформации, устанавливающие связь между
перемещениями и деформациями, уравнения равновесия и соотно-
шения между напряжениями и деформациями (усилиями, момен-
тами и деформационными величинами) в деформируемой оболоч-
ке, которые описывают механические свойства материала оболоч-
ки и называются определяющими. Первые две группы соотноше-
ний основываются на законах геометрии и количественных соот-
ношениях механики Ньютона, поэтому обладают глубокой общ-
ностью, применимы к анализу самых разнообразных состояний
реальных оболочечных элементов конструкций. В третьей группе
соотношений, отражающих физические свойства материала обо-
лочки, не удается сохранить подобную общность, так как слиш-
ком велико разнообразие свойств и состояний реальных твердых
тел, которые должны получить количественное описание в опреде-
ляющих соотношениях теории оболочек. Поэтому приходится вы-
делять из них только наиболее важные свойства, которые чаще
3
других проявляются в процессе эксплуатации оболочек. Для пост-
роения соотношений этой группы в книге используется термодина-
мический подход, являющийся наиболее общим подходом к изуче-
нию возможных форм связи между различными характеристиками
состояния среды и использующий энергетические понятия в каче-
стве основных.
Отличительной особенностью данной книги является построе-
ние основных соотношений теории оболочек на основе аппарата
тензорного анализа. Его применение объясняется не только жела-
нием авторов придать выведенным соотношениям наибольшую
общность, а в большей степени тем обстоятельством, что на базе
таких соотношений при использовании современных методов чис-
ленного анализа и вычислительной геометрии удается создать
универсальные вычислительные системы и комплексы, предназ-
наченные для решения не только какой-либо одной конкретной
задачи, а целой серии задач, относящихся к определенному классу.
Такое комплексное использование аппарата тензорного анализа в
сочетании с численными методами решения задач математической
физики и методами решения геометрических задач теории поверх-
ностей в настоящее время является одним из основных средств
научных и прикладных исследований в области механики оболо-
чек и в идейном отношении составляет фундамент теории оболочек
сложной геометрии. В этом плане данная книга может рассматри-
ваться как вторая часть учебного пособия, изданного Казанским
университетом в 1985 г., под названием «Теория оболочек сложной
геометрии (геометрические вопросы теории оболочек)».
Книга состоит из двух частей и содержит девять глав. Первая
часть, состоящая из трех глав, посвящена изложению основных
соотношений и некоторых вариационных принципов нелинейной
механики деформируемых твердых тел при их конечных деформа-
циях. Во второй части, включающей последующие шесть глав, с
принятой степенью точности производится редукция трехмерных
соотношений теории упругости к двумерным уравнениям нелиней-
ной теории оболочек, а также для оболочек сложной формы изу-
чаются некоторые нетрадиционные варианты представления пост-
роенных уравнений, вытекающие из принятого способа параметри-
зации их срединной поверхности.
В первой главе изложены две основные группы соотношений
нелинейной механики деформируемого твердого тела, которые в
краткой форме освещают вопросы построения кинематических со-
отношений и уравнений равновесия нелинейной теории упругости
при конечных перемещениях и деформациях.
Вторая глава посвящена вопросам построения физических урав-
нений нелинейной механики деформируемого твердого тела при
конечных деформациях на основе термодинамических принципов.
Изложены первое и второе начала термодинамики применительно
к процессу деформации, выведены основные термодинамические
потенциалы,
В третьей главе формулируются вариационные задачи нели-
4
нейной теории упругости; .получены вариационные уравнения, со-
ответствующие основным нелинейным уравнениям механики де-
формируемых твердых тел.
Четвертая глава посвящена теории конечных и малых дефор-
маций тонких оболочек при произвольных перемещениях, бази-
рующейся на классических гипотезах Кирхгофа — Лява и уточ-
ненных гипотезах теории типа Тимошенко. Основные кинемати-
ческие соотношения выведены в нескольких вариантах, которым
соответствуют различные формы представления вектора переме-
щений в оболочке.
Пятая глава содержит вывод уравнений равновесия и стати-
ческих граничных условий, отвечающих основным кинематическим
соотношениям четвертой главы. Для их построения всюду исполь-
зуется вариационное уравнение принципа возможных перемеще-
ний.
Шестая глава посвящена построению физических соотношений
для анизотропных оболочек при конечных и малых деформациях.
Основой для их построения служат результаты второй главы по-
собия, базирующиеся на применении термодинамических принци-
пов. Подробно рассмотрены также вопросы построения физических
соотношений для оболочек, выполненных из композитных мате-
риалов.
Седьмая глава посвящена вопросам упрощения построенных
кинематических и статических соотношений уточненной нелиней-
ной теории тонких оболочек для случая среднего изгиба.
Восьмая глава посвящена вопросам линейной теории оболочек
сложной формы и иллюстрирует возможности выбора нетрадици-
онных вариантов представления кинематических и статических
соотношений, связанных с принятым способом параметризации
их срединной поверхности.
Заключительная, девятая глава посвящена изложению нели-
нейной теории пологих оболочек, вариационных методов решения
задач этой теории, а также построению уравнений теории оболо-
чек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета.
Пособие написано на основе материалов, содержащихся в изве-
стных учебниках и монографиях по нелинейной механике дефор-
мируемого твердого тела, нелинейной теории оболочек, а также?
некоторых научных результатов авторов пособия в области меха-
ники оболочек [13 — 20, 57 — 62, 73 — 80]. Для понимания содер-
жания пособия достаточно знакомства читателя с основами тен-
зорного анализа, соответствующими разделами механики сплош-
ной среды, некоторыми разделами теории оболочек в элементар-
ном изложении и содержанием учебного пособия [20].
Ввиду ограниченного объема пособия затрагиваемые в нем
проблемы, по-видимому, не получили достаточной степени осве-
щения и завершенности. В связи с этим для более глубокого изу-
чения этих проблем авторам остается рекомендовать читателям
одно средство — обратиться к обширной научной и учебной лите;-
ратуре по соответствующим вопросам [1—89].
ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава I. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИЧЕСКИЕ
СООТНОШЕНИЯ
§ 1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТВЕРДОМ ДЕФОРМИРУЕМОМ
ТЕЛЕ
Рассмотрим твердое деформируемое тело, занимающее до де-
формации некоторый объем V, ограниченный поверхностью S.
Под влиянием внешних воздействий происходит деформация те-
ла,, в результате которой оно будет занимать объем V* , ограни-
ченный поверхностью S* . Положение некоторой точки М дефор-
мируемого тела в ее начальном состоянии будем определять ради-
ус-вектором1 р, проведенным из некоторой точки О фиксированно-
го пространства. В деформированном теле точке М соответствует
точка М* , положение которой будем определять радиус-векто-
ром р* , проведенным из той же точки О. Обе точки MeV и
eV * отнесем к общей системе криволинейных координат
х1, х2, х3, являющихся лагранжевыми координатами частиц тела-
Считая радиус-векторы точек М, М* функциями параметров х“ ,
для координатных векторов в этих точках имеем выражения
ра=дар=^-, р’а=да-р* = (1.1)
r г дха г г* дха
Эти векторы направлены по касательным к координатным ли-
ниям, соответствующим указанной параметризации пространств
V u V * . Ковариантные компоненты метрических тензоров в на-
чальной и деформированной средах равны
gap=pa рЗ , g*a3 = px* рЗ * . (1.2)
Здесь и далее греческие индексы принимают значения 1, 2, 3, а
все величины, относящиеся к деформированному состоянию тела,
отмечены звездочкой.
За ковариантные компоненты тензора Н = ца|3 ра • рЗ ко-
нечных деформаций среды в лагранжевых координатах х“ , за-
данного в недеформированном базисе, примем приращения компо-
6
нент метрического тензора
2T]afi=g*a|3 — ga3=p*a р* р — p<z р£ , (1.3)
именуемые компонентами тензора деформаций Грина. У этого
тензора операции поднятия и опускания индексов производятся
при помощи метрического тензора gap . Поэтому для контрава-
риантных и смешанных компонент этого тензора имеют место
формулы Т]“₽ =ga8g?YT]87, T]“P = g^T]^,
где g“₽ — контравариантные компоненты метрического тензора,
определяемые через взаимный базис и определитель g= det||gaP ||
— — 1 (Jet
при ПОМОЩИ формул g“₽=p“pP = — • ,
причем р“ — векторы взаимного базиса в точке MeV.
Введем в рассмотрение компоненты дискриминантного тензо-
ра недеформированного тела, определяемые смешанными произве-
дениями базисных векторов, .
Сар7=р“ [рХ рт], = р“[р?, рт]. (1-4)
Если какие-нибудь два из индексов а, 0, у равны между собой,
то Cah =Ca₽-r =0, а для ненулевых компонент Cah и Ссф7
имеют место формулы
С123 = £231 = £312 = jyg, С>32= С213= С321 = — 1 fg,
Ci23=С231 = Сз12=Vg, Ci32=Сг1з=С321=—Vg-
При помощи дискриминантного тензора приведенные миноры опре-
деляются по формулам
g“P = C“*xCh8 git? ga8 . (1.6)
Зависимость между определителями метрических тензоров до
и после деформации тела представима в форме g* = gl, (1.7)
где g* =det||g a *31|, 1= I4-2I1+4I2+8I3.Входящие сюда величины
Ii, 12, 1з являются первым, вторым и третьим инвариантами тензо-
ра деформации, которые определяются по формулам
11 = ga? Ц «3 =Ц aa, 2I2= I21 — Т] Ра = ц аЗЦ “3 , 1з = Ц a? Ц Ц 7“ .
(1.8)
Приведенные миноры в определителе g# равны
„о 1 “'7^3Х8 * * g 3X8. .
С, C, 7C (g^ +
4-2цкХ) (g73+2n78)=|-[g^+2C^ C^u (gKXnv8+
& *
+цлХ tj78 ) ],
где C#a;cY — контравариантные компоненты дискриминантного
тензора относительно базиса деформированного тела. При подста-
новке вместо Са,с7 СР^8 их выражения через определитель
7
C aizt С =
g ар g аХ g aS
g®PgftX gftS
g-tfgYAg-r&
второе и третье слагаемые в приведенных минорах g преобразо-
вываются к виду
С ая7 С₽Х8 gitX Т] aS =g“3li—Т|®3 ,
Can-f плХ ц 7s = 2(ga₽ 12 — 1щ“3 +тп“ )•
С учетом этих равенств для g*a3 устанавливаются следующие
формулы
g*a3= JL_[ga3 (1+2Ii + 4I2)— 2т]«? (14-211)+4т1“т T]fr ]=g“3 —
g *
— 2 H-2I1T) «3— 2т1“т Ti?T+4ga?I3)/I. (1.9)
Найдем относительную объемную деформацию среды, опреде-
ляемую по формуле
Л dV»—dV
dV
Внося сюда выражения для элементарных объемов тела до и по-
сле деформации dV* =Vg* dx1dx2dx3, dV=fg dx'dx2dx3, получим
Д = Vg*~ Vg^ рЛJji — 1, (1.10)
откуда Vg*/g=l + A- (l-H)
При нормальных условиях эксплуатации в твердых деформируе-
мых телах, как правило, Д<С1. В силу этого, пренебрегая Д по
сравнению с единицей, с большой степенью точности можно поло-
жить g*«g (случай малых объемных деформаций). При этом
приведенные миноры g*^ будут определяться приближенно по
формулам (1.9), в которых следует положить 1«1. Сохраняя в
(1.9) наряду с ga? члены первого порядка малости относитель-
но , для малых деформаций получим
g*a? — g^=2n«3. (1.12)
В результате деформации тела точка М получает некоторое
перемещение U, равное разности радиус-векторов р* точки
M*eV и р точки MeV. Следовательно, положение точки М* в де-
формированном состоянии тела будет определяться векторным ра-
венством _ _
P*=~p+U, (1.13)
дифференцированием которого по координатам х находятся ба-
зисные векторы р*а из (1.1)
pa =pa-|-JaU. (1-14)
Внося эти выражения в (1.3), с учетом (1.2) получим соотно-
шения __
2t]a£=paC^U4-ppdaU-|-JaU • dpU, (1.15)
8
устанавливающие связь между ковариантными компонентами тен-
зора конечных деформаций и вектором перемещений U в пере-
менных Лагранжа. __
Ко- и контравариантные компоненты вектора U в системе осей
координат недеформированного тела обозначим через Ua и U“ :
U = U а Р« = U“pa . (1.16)
Применяя деривационные формулы
да рЗ = r°fia pa , (5ap3 =— ГЗаар0, (1.17)
служащие для определения производных от базисных векторов,
дифференцированием (1.16) по х'' находим
diU = V,3Uap'“=Vf1U“pa, (1.18)
где символом V8 обозначены ковариантные производные от ком-
понент Ua и U“ по метрике geo недеформированного состоя-
ния тела
VaUp = daU? — naaUS, VaU? = 0aU ? + ПаШ», (1.19)
причем ПаЗ — символы Кристоффеля второго рода, характери-
зующие изменение метрики при переходе от точки к точке в кри-
волинейной системе координат. Внося выражения (1.17) в форму-
лы (1.15) и учитывая, что pap?=6a?, papf1=ga? , получим ска-
лярные выражения для компонент деформаций тела
2f]aj3 = VaU,3-{-V (3 Ua-f-Va U® • Vjl U5. (1.20)
Из определения тензора деформаций (1.3) следует, что он сим-
метричен T]a[3 =Г](1а
и характеризуется шестью компонентами, которые в соответствии
С (1.20) выражаются через три независимые компоненты вектора
перемещений U.
Первая из формул (1.17) представляет собой вторую произ-
водную от радиус-вектора р по координатам х»и х₽, которую мо-
жно представить также в виде разложения ра8=Га,^8р5.
Здесь Га,р8 носят название символов Кристоффеля первого рода,
которые связаны с символами Г8а₽ формулами
Па-r^g?” Гл,ay, причем
Гя,ат= g- (да gity -(-д-г ga® —дк gay). (121)
Аналогичные зависимости имеют место и для деформированно-
го состояния тела
r^=g₽;r:)ar (1.22)
^к,ау~~2~ + *“л — <?®g*av ) . (1.23)
Так как в соответствии с (1.3)
g*ap = ga^+2T]a₽ , (1.24)
9
то формула (1.23) с учетом (1.22) представима в виде
Г*тх,а^ = Гл,а^ -|-(За Т]71? Л а~- —Т| ay . (1.25)
Входящий сюда трехчлен запишем в форме
(За Т] Т] —3 к Цау == Р.:,а';-р2Г^а^ Т|6я, (1.26)
где введены обозначения
Рк,а-( = Va Tj .x-f И- V•» Tj ая — V x T|5-[,
причем Vzrjav —ковариантные производные от компонент де-
формации по метрике недеформированного тела
V- Т| ay ~ д я Т] ay — Г ®ая Т] Sf — Г^-рх Т] ав .
С учетом (1.26) вместо (1.25) будем иметь
Г*л,а^ = Г-.а-( -]-Рл,а-(-]-2т|В.. = Г?а-( (gS~-]-2r] fir.) -|-Ря,а^ .
Свертывая обе части этого равенства с тензором g*'5 , в соответ-
ствии с (1.22) получим выражения для символов Кристоффеля
второго рода деформированного тела
Га*; =< +АаГ (1-27)
где обозначено
A”af =ё*лаРв,а-( . (1-28)
Выведенные формулы играют важную роль при изложении не-
линейной теории упругости, так как позволяют придать основным
соотношениям более компактный вид. В частности, тензор Ат а₽
служит для ковариантного дифференцирования базисных векто-
ров pa* деформированной среды относительно метрики ga3 не-
деформированной среды при помощи формул
Va"p3*=A4’p5* , Va“p^ =— А?ав"рв* , (1.29)
а также позволяет установить связь между ковариантными произ-
водными относительно g*a3 и ga3 векторов и тензоров, например
V a*a-f = V аат -FAfa3a? ,V a*aJ3 = VaaS — A Tafl Э-f . (1.30)
Тензор деформаций Н имеет шесть компонент цаЗ , опреде-
ляемых формулами (1.20), которые содержат три компоненты
U а вектора перемещений U. Рассматривая (1.20) как уравне-
ния относительно Ua , устанавливаем, что компоненты трар
должны удовлетворять некоторым условиям интегрируемости, ко-
торыми утверждается, что при деформации метрические свойст-
ва пространства не изменяются (евклидово пространство до де-
формации остается евклидовым после деформации). Но для евкли-
дова пространства компоненты тензора кривизны Римана — Кри-
стоффеля R-jX,a3 равны нулю как до деформации
Р , q= 1 /dW I d2g«* d2g«T d2g8X ) ,
2 k<3xaxX (ЭхкЭх? <3x?<3xX dxadxi/ (131)
g яВ (Рл.р-^ Гй.аА — Гя. ay ГB,3X ) ==0,
так и после деформации
10
R * , о _ 1 (d2g*-r3 , d2g*«/. _ d2g*<4 _ d2g*fiM ,
2 \dx“dxx dxvdx? dx?dxx dxadxt/ (132)
+ g*”S (Г*’Ч?тГ*8,аХ— Г*л:,а-/ Г*8.рХ ) =0.
Ограничиваясь рассмотрением случая малых деформаций, внесем
в (1.32) выражения
g*tf = grf+2Titf, g*”5=gx5—2тГ8 , Г*Я,^ = ГП,^+Р^7
и вычтем из них левую часть соотношений (1.31).
В результате получим требуемые условия интегрируемости
(1.20)
а2т] /ах“хх)
/Зу
(Зт , «А
Т1 - Т) +
ост , /ЗА (ЗА , ост
+ (gn<T - т]тго')( ГР + Г Р
п , /Зу о , а А с ,сл п , (Зт
- Г Р - Г Р +
тт , ост ст,/ЗА ст,/ЗА тг , ост
+ Р Р - Р Р ) ~
и , (Зт СГ , ОС Л ТГ , ОСТ О', /ЗА
- 21)"° (Г
ТГ , 13 Т
г г ) = о,
тг , ост СГ , /ЗА
(1.33)
называемые уравнениями совместности деформаций. Таких урав-
нений в (1.33) содержится всего 81, из них только шесть являют-
ся независимыми.
§ 2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Чтобы вывести уравнения равновесия объемного элемента при
конечных перемещениях, выделим из деформированной среды в
точке М* произвольный бесконечно малый объем dV* , ограни-
ченный поверхностью dS* с единичным вектором внешней нор-
мали п* . Вектор напряжения, отнесенного к единице площади
этой поверхности, обозначим через Рп„ , а его контравариантные
компоненты относительно базисных векторов р*а деформиро-
ванной среды — через Хап, =₽п* Р“* • Вектор объемной силы,
отнесенной к единице объема деформированной среды, будем
обозначать через F* , предполагаем его заданным контравариант-
ными компонентами F% =F1tpa1t.
11
Пусть а* — тензор напряжений Коши, отнесенных к единице
площади деформированной поверхности, а — его контрава-
риантные компоненты в базисе векторов деформированной среды.
Данный тензор можно представить в виде суммы девяти диад
е> = п*а?р*а- р*з , (2.1)
где р*а • р*^ представляет собой диадное произведение (диаду)
базисных векторов р*а и p*fi . Запись тензора в виде (2.1)
означает, что его составляющие определены в базисе дефор-
мированных осей и и т. д., т. е. операции
поднятия и опускания индексов производятся при помощи метри-
ческого тензора деформированной среды.
Вектор напряжений Рп* через тензор напряжений а* выра-
жается формулой
Pn*=n.S- (2-2)
Внесем сюда о* из (2.1) и воспользуемся одним из правил умно-
жения диады на вектор, выражающихся равенствами
Р*Я • P*fl ГЦ =р*а (р*?п * ) —р*ап*3 , П * р*а • р*р =
= (п$ Р*а )р*3 = р*Э П*а.
В результате будем иметь
Рп,=П*<Т * = П* о“'3р*а • р*3=п“3 п*ар*^ =Р*аП*а, (2.3)
где п*а==п#р*а —ковариантные компоненты вектора п* отно-
сительно базисных векторов р*а , а р*“ =а,«?р*(з —вектор на-
пряжений, приложенный к площадке, которая выделена на коор-
динатной поверхности ха =const, проведенной через рассматри-
ваемую точку М* деформированного тела.
Условия равновесия выделенного элемента dV* в векторной
форме записываются в виде двух равенств
И Pn*dS * + J J J F * dV* =0, Л [р * , рп J dS * + Ш [Р * ,F* ] dV * =0,
S* V* S,,, V* (2.4)
которые выражают равенство нулю главного вектора и главного ’
момента всех поверхностных (внутренних) и объемных сил, дей-
ствующих на выделенный из деформированной среды элемент
dV. .
Внесем теперь в (2.4) выражение (2.3)
Л о *“₽p*₽n*adS , 4- Ш F *dV * =0, л [р *, о *a?n*ap*?]dS , +
S* V* S*
+ Ш [р * , F* ]dV * = Л [р * > О *“3р*3] n*<xdS * +
V* S*
+ Ш[р* , F*]dV * =0 и преобразуем поверхностные инте-
12
гралы в объемные по формуле Остроградского — Гаусса
И f*’n*adS* = njV*af*«dV*, (2.5)
s* V*
где V*a—знак ковариантного дифференцирования в метрике g*ap
деформированной среды. В результате получим
W[Va (c^??)+F,]dV*=0,
v*
о^*э] + [р\ , Fi] }dV* =0,
откуда в силу произвольности выделенного объма dVfr устанавли-
ваем векторные условия равновесия всех сил, приложенных к эле-
менту с объемом dV
УМу^+Ъ=У%Р*»-|-К=0, _ _ (2.6)
V*a [р * , o*a? р*3] + [р* , F *] =V*a[p * > Р *a] + [p* >F * ]=0.
(2.7)
Здесь учтены выражения для векторов из (2.3).
Докажем, что введенный тензор напряжений о * является
симметричным: о*аР = о*?“ . Для этого обратимся к преобра-
зованиям векторного произведения следующего вида
[р *, V*a(o*a?p*p)]=V*a[p * ,О*яЗр*р] — [p*a, Р*?О*аМ> (2'8)
где принято во внимание, ЧТО V*a р * =<?a р* — р*а .
Умножив векторно уравнение (2.6) на вектор р* , с учетом
(2.8) получим
V*a[p*> Р*И *aN + [p *> F *] — [р%,р*£]о*=Ф = 0,
откуда с учетом (2.7) приходим к равенству [р*а ,р*^ ]о =0,
которое указывает на симметричность тензора напряжений^*.
Обратимся к уравнению (2.6). Так как деформированное про-
странство среды является евклидовым, то ковариантные производ-
ные базисных векторов деформированной среды в метрике g*a^
обращаются в нуль V*apP* =0. (2.9)
Поэтому, полагая F* =F р* a , из (2.6) устанавливаем
Сравнения равновесия выделенного элемента в скалярной форме
V*ao*«?+F*P=0,
отнесенные к деформированной метрике среды.
Введем теперь в рассмотрение компоненты оаР тензора напря-
жений а, связанные с компонентами a тензор а о* зависимостями
= . (2.10)
Зависимостями такого же вида свяжем вектор напряжений
Рп, действующий на площадку dS* с нормалью п* и отнесен-
13
ный к единице площади недеформиров анной поверхности S, а так-
же вектор объемной силы F, отнесенной к единице объема неде-
формированного тела:
Рп=Рп*^ =Х“П*~Р*а-^= 1/ж«Гр»₽Па=Хп₽7%
_ (2.11)
(2.12)
где обозначено Хп? = оа?пя. (2.13)
Из принятых обозначений следует, что Хп^ является контрава-
риантными компонентами вектора напряжений относительно базис-
ных векторов р*рдеформированного тела, отнесенного к его перво-
начальной площади, а являются контравариантными компо-
нентами относительно р* р вектора напряжений, приложенного к
площадке деформированной поверхности ха = const и отнесенного
к единице площади недеформированной поверхности ха =const.
Обратимся теперь к уравнениям равновесия (2.9). Если в них при
помощи (1.30) от ковариантных производных V*a в метрике g*a0
перейти к ковариантным производным Va в метрике g*aji , а в
соответствии с (2.10) и (2.12) от величин о»»? , F» — к величинам
о’Р , F, то получим
VaOaP+A?a7Oat + F? =0, (2.14)
где величины F? = Fp?$
представляют собой компоненты вектора массовой силы, отнесен-
ной к единице объема недеформированного тела, в базисе дефор-
мированной среды.
В векторной форме приведенные уравнения (2.14) имеют вид
Va(ff«Pp*P)+F—Va P“4-F=o, (2.15)
в которых векторы напряжений Ра определены формулами
pa=Oapp*?, (2.16)
В случае малой объемной деформации среды, пренебрегая Д
по сравнению с единицей, в соответствии с (1.11) можно положить
g» «g. При этом, как следует из (2.10), (2.12) и (2.16), спра-
ведливы приближенные равенства
F«F$, Fa«F^“, (2.17)
а также
"Р *“ «Р“ , (2.18)
использование которых позволяет представить уравнения равнове-
сия (2.6), (2.9) в форме
V*«P='4-F=0, (2.19)
V*aW+F^=0. (2.20)
14
Приведенные уравнения (2.9) (или записанные в других фор-
мах (2.14), (2.15)) выражают условия равновесия всех сил, дей-
ствующих на выделенный из деформированного тела бесконечно
малый элемент с объемом dV * . Если теперь предположить, что
выделенный из деформированного тела элемент примыкает к по-
верхности, ограничивающей тело, то в точках той части Sp * по-
верхности S * , на которой задан вектор внешних поверхностных
сил Р(п* , вектор внутренних сил Pns; должен удовлетворять
статическому граничному условию
Pn.=PnS’(x*eS%). - (2.21)
Здесь и в дальнейшем индекс «s» в скобках указывает на то, что
соответствующая величина является заданной.
На той части Su* поверхности S * , на которой задан вектор
перемещений U(s) соответствующих точек, вектор перемещений
U должен удовлетворять кинематическому граничному условию
U = U(s) (xaeS\). (2.22)
С учетом (2.3) условие (2.20) может быть выражено через компо-
ненты тензора о *
О *а?р * fl П*а = Рп’, (x’eSpJ. (2.23)
Здесь n*a=nj:p*ci—ковариантные компоненты вектора внешней
нормали п * к поверхности тела S* относительно базисных векто-
ров р*а.
Если вектор заданных поверхностных сил отнесен к единице
площади недеформированной поверхности S, то в компонентах на-
пряжений условие (2.24) будет выражаться равенством
рп = аар“»р Па=р(п’, (x*eSp*). (2.24)
Глава II. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ И ПРОЦЕССЫ
Соотношения, устанавливающие связь между напряжениями и
деформациями, их скоростями, температурой и структурными из-
менениями, отражающими термомеханические свойства среды,
называются определяющими. Так как они опосредствованно отра-
жают физические закономерности, представляющие собой реакцию
среды на внешние воздействия, то, естественно, они должны под-
чиняться общим законам природы или следовать из них и часто
называются физическими соотношениями. Наиболее
общим подходом к изучению возможных форм связи между раз-
15
1Ными характеристиками состояния среды следует признать
модинамический подход, который использует энергетические
1ятия в качестве основных. При этом мы не будем опираться
статистические методы, а положим в основу исследования фе-
«енологический подход, который оперирует осредненными по
которому достаточно большому числу микрочастиц параметра-
, часть из которых может быть замерена в макроэксперименте,
(ругая часть'—определена из уравнений, следующих из общих
южений механики (закон сохранения энергии, законы сохране-
г импульса, момента импульса и т. д.).
Твердое деформируемое тело будем считать замкнутой термо-
тамической системой, то есть считаем, что между этим телом и
гшней по отношению к нему средой не происходит массообме-
В противном случае система считается открытой. Если одно-
гменно с замкнутостью не происходит обмена энергией, то сис-
ла называется изолированной. Параметры, при помощи которых
жет быть описано состояние системы, называются параметрами
эмодинамического состояния. Изменение состояния термодина-
ческой системы с переходом ее по какому-либо пути от одного
этояния к другому называется термодинамическим процессом.
этом случае термодинамические параметры, значения которых
меняются в соответствии с изменением состояния системы и
торые определяют этот процесс, называются параметрами пре-
сса.
Если с течением времени параметры процесса не изменяются,
состояние системы называется равновесным. Параметры пре-
сса описывают ка'к изменение самой термодинамической систе-
>i, так и процесс ее взаимодействия с внешней средой. Если тер-
щинамический процесс, проходя некоторый путь изменения от
данного состояния с заданной системой параметров, может
лть возвращен к прежнему состоянию с той же системой значе-
1Й параметров процесса, то такой процесс называется обрати-
ям. Если такой возможности нет, то процесс называется необра-
\мым. Каждую часть рассматриваемой системы тоже можно
:итать самостоятельной термодинамической системой с соответ-
вующими свойствами. Каждую такую часть далее будем счита/ть
[мкнутой, но, вообще говоря, не изолированной.
§ 4. РАБОТА И МОЩНОСТЬ
Механическое воздействие внешней среды на термодинамиче-
<ую (термомеханическую) систему характеризуется работой
тешних поверхностных и массовых нагрузок на перемещениях
х точек приложения. Работа этих сил в единицу времени есть
ощность внешних механических воздействий. Эти мощность или
абота, произведя над телом — термодинамической системой не-
оторые превращения, сообщают этому телу энергию, которая в
эй или иной форме движения материи аккумулируется в теле или
превращается из одного вида энергии в другой, в частности, меха-
ническая энергия рассеивается в виде тепла.
Если точки тела получают перемещения 6U за время dt, то
6W (е) = WF *6Udv „ + и р£’ 6L!dS *
v« _ s,
есть работа объемных сил F* и поверхностных нагрузок интен-
снвности Р„ ’ на этих малых перемещениях. Так как
Р*?п*а > то
6UdS#=Jfof n%7*?6UdS* =mv%(a“3 p*?6U)dV* =
s* S. V*
> =W(V«a.»?p*p) eUdVe + JJJc^? ftfUadV*.
V* V*
Таким образом,
6W(e)= Ш (F. -P a*“Pp*₽) SUdV* +
V* _ _
+ Wo.“l,P*?6UadVe + WP. a6UdV* ,
_ V. V*
где p, a — сила инерции, p* —плотность тела в его деформиро-
ванном состоянии, Ua = dU/dx“ . В силу уравнений равнове-
сия или движения при а #=.0 подынтегральное выражение в первом
члене правой части равно нулю и
6W(e)-Wp*a6UdV* =mo,»?6MdVe =
__ V. V*
«= Ш1/ JL a®06T)a?dV * =Ш (ЯРбтрфбУ, потому что в силу
v.r g* V
О *“? — о
О р*а6Щ = (Ра “}-Ua)6U (p^-J-Uji) 6UaJ =<F *а?6т)а|3-
В материальных координатах a = d2U/dt2=dV/dt, V=dU/dt.
Для мощности внешних механических воздействий получим
N(e) = =ffWna₽dV+K, K=W^(py-)dV, v2 = V2,
Gt у у QW\ & J
где К — кинетическая энергия.
Работу н мощность разных видов воздействия будем обозна-
чать W (п) , N М , причем для введенных выше величин примем
обозначения
W(e) =WO , N(e) =N«>.
Для теплового вида внешних воздействий, которые могут быть
представлены внутренними источниками и стоками тепла и пото-
ком тепла через границу тела, положим
W<2> =W in =Q, N <2) =N(t)=Q=4^.
dt
2 A-6S
17
В соответствии с законом Джоуля — Ленца количество тепла
может быть измерено в единицах механической работы и между
этими видами энергии (тепловой й механической) существует
вполне определенное соотношение. Поэтому далее будем считать,
что количество тепла Q измерено в единицах механической рабо-
ты. Если тепловой поток в пределах тела и на границе задается
вектором q и характеризует количество и направление, тепла,
протекающего через данную точку тела в единицу времени через,
единичную площадку, нормальную к вектору q, то приток тепла1
через границу S » в единицу времени можно охарактеризовать
величиной (п * —внешняя нормаль)
Q (е) =— JJqn*dS* ,
S*
а количество тепла, произведенного внутри тела за счет источни-
ков и стоков, охарактеризовать иитенсивиостью г этих источников
в единице массы за единицу времени, то
Q (0 « J Л гр * dV * = Ш rpdV, р * dV* ~ pdV,
v* v
где р — плотность тела в его иедеформироваином состоянии.
Тогда Q=Q(e)+Q' (i),
Q=I = Шгр * dV * —JJqn * dS * .
V* s*
В дальнейшем ограничимся рассмотрением только механи-
ческих и тепловых видов энергии,
С понятием тепла тесно связано понятие температуры. Из
статистической термодинамики известно, что температура — это
осредиениая по ансамблю мера кинетической энергии движения
частиц среды — носителей тепловой энергии. Температурой мы
далее будем называть такой параметр состояния, который дает
возможность отличить тело более нагретое от менее нагретого.
Это общее определение нуждается в уточнении и конкретизации,
которое будет дано ниже. Отметим лишь пока, что температура'
еще дает возможность определить направление движения (пото-
ка) тепла.
§ 5. первый Принцип термодинамики
В результате внешних воздействий, к которым отнесем и вну-
тренние распределенные или локальные источники энергии, в те-
ле аккумулируется некоторая энергия U, которую мы назовем
внутренней. Будем считать, что эта энергия связана с термомеха-
иическими свойствами среды и ее структурным строением (состо-
янием). Кроме этой энергии, которая выступает как атрибут
субстанции — материи термодинамической системы и полностью
определяется набором термодинамических параметров, характе-
ризующих состояние системы, тело будет обладать еще и кинети-'
18
ческой энергией К, если речь идет о процессах, для которых
инерционные силы существенны.
Тогда, принимая принцип сохранения энергии, запишем
U+K=2N(n> .
п
Это равенство, выражающее первый принцип термодинамики или
закон сохранения энергии, утверждает, что скорость изменения
суммы, внутренней и кинетической энергии равна мощности
внешних «сил» или интенсивности притока энергии извне. Конеч-
но, здесь термин «силы» нужно трактовать шире, чем просто ме-
ханические силы. Это «обобщенные силы»; в которые, в частности,
входят и обычно применяемые в механике силы. Ограничимся
далее рассмотрением случая, когда уровень механических воз-
действий и температур не приводит к необходимости учитывать
электромагнитное, слабое, сильное и гравитационные взаимодей-
ствия. Однако изменения структуры среды, при котбрых проис-
ходят термомеханические процессы типа движения дислокаций,
сопровождающих пластическую деформацию, и деформацию пол-
зучести, разрывы внутренних связей, приводящие к повышению
уровня колебательных процессов в кристаллических решетках,
изменению формы длинных молекулярных цепей и их разрыву и
т. п., оставим' в круге рассматриваемых вопросов. Точнее говоря,
далее рассматриваются лишь термоМеханические процессы.
В случае лишь механических и термических воздействий пер-
вый принцип' термомеханики примет вид
U+K=N (1) 4-N(2) . -/ (5.1)
С учетом того, что
N <*> == Ш <r *“^dV* +К, N<2> =Q = ШгрЧ dV * — JJqTT* dS* ,
V* V *•••>: • s*
имеем U= о ^rjapdV *+Q,
V* •
илй
U=Wa*“b*?dV*+Wrp»dV*-—Jfqn*dS * . (5.2)
V» . V* s*
Введем в рассмотрение удельную внутреннюю энергию и так,
что
U=Wup#dV*=mupdV.
V* V
Выполнив преобразование поверхностного интеграла в объем-
ный
HqH*dSe'=WVa* q»“dV. =mVafl/) dV=
S* v* V* \ V g /
=WVag“dV, q“=l/l*q,‘, (5.3)
v ' V g
из (5.2) находим
2* 19
и J (pu-a * «₽ Па₽-гр * + 1/ -J- Vaq «) dV * =0. (5.4)
V* ____V g*
Очевидно, что член Vaq“ fg/g* дает скорость прироста тепла в
единице деформированного объема за счет внешних источников
тепла. При этом
6q=(rp — Va q“) Vg/g * dt
— приращение за время dt тепла за счет внешних и внутренних
источников, отнесенное к единице объема деформированного те-
ла. Из (5.4) следует локальная форма записи первого принципа
термодинамики
р#и=о *“₽ 7]аЗ+гр * —Vaq“, (5.5)
или в формах
и— (о *a₽qap-]-5q/dt)p*
ц= (o»a₽qa₽+rp* — Va*q*“)/p* .
§ 6. ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
Если первый принцип термодинамики выражает закон сохра-
нения энергии и невозможность создания перпетумобиле первого
рода и дает количественное соотношение между видами энергий,
то второй принцип выражает условие того, что термодинамиче-
ские процессы протекают в определенном направлении и при огра-
ничениях, наложенных на возможные превращения одних видов
энергии в другие. Известно, что при механиических воздействиях
на твердые тела возможно их нагревание. Например, пластическая
деформация без притоков тепла извне сопровождается нагрева-
нием тела за счет перехода части механической работы в тепло
вследствие структурных изменений в теле. К таким изменениям,
относятся, к примеру, скольжение по плоскостям наибольших ка-
сательных напряжений, сопровождающееся перестройкой атомов
в кристаллических решетках, их перемещениями и т. п. Соотно-
шение (5.1), выражающее первый принцип термодинамики, мож-
но переписать в виде U-]-K — N (е) =Q+Q',
где положено N <’> =N <е) +Q; Q7—часть механической мощ-
ности N(1), перешедшей в тепловую. Таким образом, в теле проис-
ходит приращение тепловой энергии со скоростью
B=Q+Q'.
При этом всегда Q'>=0,
так как наблюдаемые в эксперименте факты говорят о том, что
переход механической энергии в тепловую происходит всегда с,
выделением, а не с поглощением тепла. Это связано с тем, что,
например, процесс развития пластической деформации приводит»
20
к усилению колебательного движения атомов, как следствие до-
статочно большого числа случаев разрыва связей с последующим
их частичным восстановлением, что сопровождается возмущением
кристаллических решеток. Эти процессы требуют затраты меха-
нической энергии, которая переходит в колебательное движение,
атомов.
Соотношение (5.5) может быть записано в виде
~ р* du=ff#a?dTjafi — 6q'+6q, (6.1),
где 6q=6q+6q' — полное приращение тепла в единице деформиро-
ванного объема тела, 6q—приращение количества тепла в еди-
нице деформированного объема за счет внешних поверхностных
и объемных источников тепла, 6q'—прирост тепла за счёт пере-
хода части механической энергии в тепловую. В качестве пара-
метров процесса изберем тензор деформации с составляющими
т) ар , структурные параметры т (.а) скалярного, векторного или
тензорного характера (на что указывает индекс а), которые опре-
деляют структурный переход, приводящий к преобразованию ме-
ханической энергии в тепловую
Sq'-ZP^d,?’.
Здесь Р (*) —обобщенные диссипативные силы. Так как наряду
с механической энергией и рассеянным теплом в теле есть еще,
процесс, связанный с образованием тепла 6q, то необходимо ввес-
ти параметр, характеризующий и эту часть процесса.
Обозначим этот параметр s и назовем энтропией. В прираще-
ниях этих параметров соотношение (6.1) примет вид
р» du = o *“?dT)ap+p * Tds—SP J) dTi(a), (6.2)
где ~
p *Tds=6q или p*Tds=6q+6q'. (6.3)
Множитель T, введенный в (6.3), назовем абсолютной темпе-
ратурой, которая, оказывается, есть функция эмпирической темпе-
ратуры 0.
В соответствии с принципом макроскопической определимости
[28, 29] внутренняя энергия есть однозначная функция параме-
тров процесса — функция состояния:
и = и(ти, s, )
Таким образом,
в
и (В)-и (А) = И jjjupdV) dt=
= U(rlaB₽, sB, t(?)B)-U(M, SA, t(?)A).
Следовательно, приращение внутренней энергии не зависит от
пути, по которому система переходит из состояния А в состояние
ВА
в. Наряду с этим, в рассматриваемом варианте описания процес-
са параметр S выступает как параметр процесса, который, есте-
ственно, не зависит от пути, по которому система пришла от сос-
тояния с S'” к состоянию с SB .То есть dS — полный диффе?
ренциал. Запишем соотношение (6.3) в виде
Р* ds= (6q+6q')/T (6.4)
и вычислим интеграл по объему актуального состояния
Ш (Р* ds)dV * = dS.
’ . v*
Здесь s — плотность энтропии, S — энтропия всего, тела или
системы. Теперь из (6.4) имеем
dS — Hf-qY6-dV -qy6q-1 /-L* dV.
V* T V T k g
Сумма Sq+6q' в общем случае не представляет собой полный
дифференциал. Однако, в силу существования зависимости (6.4),
комбинация (Sq+6q')/(Tp* ) уже должна быть полным диффе-
ренциалом, а Т является интегрирующим делителем по отноше-
нию к сумме (Sq+Sq')/p» • В силу того, что Sq'^O, из (6,3) имеем
PtdS^^i или dS>w£3dVa = M^£-dV.
Т v*T уТ р,
Последние неравенства представляют собой формулировку вто-
рого принципа термодинамики в математической записи. Условие
Sq'^O накладывает ограничение на возможное направление про-
цесса.
Процесс, в результате которого система, выходя из состояния
А, по замкнутому пути вновь приходит к состоянию А, называется
циклом. При обратимом процессе
(pds=<p(w^3 dv» )=o.
\ V* т /
Для обратимого процесса одновременно
<pdU=O.
Процесс необратим при
Sq'>0. (6.5)
Необходимым, но не всегда достаточным условием обратимости
будет условие
6q'=0. . (6.6)
Если процесс необратим, то есть имеет место, например, условие
Sq'>0, то о, замкнутом цикле говорить не приходится, однако на
реализуемом пути
в в
JdS = S(B)—S(A), JdU = U(B)-U(A).
А А’
То есть приращения энтропии и внутренней энергии не зависят
от пути, по которому из состояния А система переходит в состоя-
ние В. Следует подчеркнуть, что при этом имеются в виду только,
те пути, которые не нарушают условия Sq'^O.
22
В рассматриваемом здесь варианте выбора параметров про-
цесса
и = и(л„0. S,
X.
Т = Т(^в, S,
X.
(6.7)
<7“°(ч S, X
<х(3 1
энергия термодинамической системы —
Функция и — внутренняя
выступает здесь как термодинамический потенциал:
„ du н du „i du
T“d?’ ° d7]ar / (a) P*dXi(a>’
что следует из записи соотношения (6.2), если параметры процес-
са независимы, что не всегда имеет место.
Если вместо внутренней энергии и, отнесенной к единице
внутреннюю энергию uv = pu, отнесенную к
недеформированного состояния, то получим
°* V g*d7H’ (a) V g*dXt‘8>’
(а) здесь играют роль обобщенных сил, а
выступают как обобщенные перемеще-
массы, ввести
единице объема
т— 1 дцу.
р ds ’
Функции , Т, Р1
параметры дар, s, Xiia)
ния.
(6.8)
§ 7. ДРУГИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Термодинамический потенциал и, названный нами внутренней
энергией, связан с параметрами процесса и обобщенными переме-
щениями и обобщенными силами соотношением (6.2). Введем в
рассмотрение функцию состояния
F=u — Ts,' (7.1)
которая называется свободной энергией. Из (6.2) с учетом (7.1)
следует, что
dF=—о • agd^ap—sdT— —SP‘ (а) dXi (а> . (7.2)
р * р ♦ i
Это соотношение, в свою очередь, дает
r dF dF dF
0*“ p*dr]ap’ S— dT’ Р(а)— P*dX1<a>' (7’3)
В случае, когда в качестве термодинамического потенциала вы-
ступает свободная энергий, роль обобщенных перемещений игра-
ют величины трр , Т и Х1<3> , а в роли обобщенных сил выступа-
ют величины а »“₽/р», s и Р‘(а) •
p
р1 (л 1
( а ) «0
S, /а)).,
1
23
Энтальпией называется термодинамический потенциал
Т=и— — <У»“₽Т)ар' (7.4)
Р *
Из соотношения (6.2) с учетом (7.4) следует, что
d¥=-Wd(—о *“P)+Tds- 1—SP*(e) dXl <а>,
и в роли обобщенных перемещений выступают а *“?/р *, зи
X, <а>, тогда как роль обобщенных сил играют т] ар, Т и Р1 (а) :
ат „ ат п, ат ,7КЧ
Т1“р_ а(о#»э/р#) ’ Т—as’ р (а) - p*aXi<a>’ (7’5)
Свободной энтальпией называется термодинамический потен-
циал Z=u—-—о#“Рг]пр—Ts, (7.6)
Р *
на основе которого из (6.2) следует
dZ— — г]сф d (о* “₽/р * )—sdT— — SP1 (а) dxi<а).
р *
что приводит к соотношениям
az az , az _ .
T,efJ“ а(оЛ/Р») ’ s— ат • p (a) “ p*aXi(a>' (7,7)
Термодинамический потенциал u и образованные согласно (7.1),
(7.4), (7.6) термодинамические потенциалы F, Т и Z являются
основными, а соотношения (6.8), (7.3), (7.5) и (7.7), образован-
ные на основе этих потенциалов, дают четыре основные формы
определяющих соотношений.
§ 8. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Параметры процесса Xi (а,йрёДСтавляют собой величины, харак-
теризующие структурные измейВЙИЯ среды, благодаря которым
происходит рассеяние механической энергии превращением части
ее в тепловую энергию. Для определения этих параметров, как
параметров, изменяющихся во времени и отражающих происхо-
дящие в среде изменения, служат эволюционные уравнения типа
X1W=f1(a>(Xj(a’, Lk), (8.1)
где Lk означает совокупность остальных параметров процесса.
В случае, когда в основу построения определяющих соотношений
кладется функция внутренней энергии и, эволюционные соотно-
шения имеют вид
Xl(a,=±°fi(a) (Xj(а) > s).
Если в основу кладется функция свободной энергии, то
Xi(a)=fi(a,(Xj(a). W. Т). (8.2)
К потенциалу в виде энтальпии присоединяются эволюционные
24
уравнения
Xi(a) =f,(a) (Xj(a) , 0»“3/Р* . S).
а в случае свободной энтальпии — уравнения вида
Xlla)=f,<a)(X,(a) >0#а₽/р#>Т).
Структура зависимости fja) от аргументов либо определяет-
ся из микроструктурного анализа, либо строится на основе гипо-
тез, которые в последующем проверяются экспериментом.
§ 9. УПРУГО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА
Функцию свободной энергии F будем считать зависящей от па-
раметров состояния: rjap — составляющих тензора полной де-
формации, вычисленной как тензор деформации Грина в неде-
формированном базисе: r]=ria^pap₽; = Т1 аРр—составляющих
тензора пластических деформаций; =г](с^—составляющих
тензора деформации ползучести, вычисленных в тех же осях;
Т — температуры и ряда других параметров Xj > из которых уже
исключены х !S) и х *□’ • При этом положим
р ®р
6q(1) =6q(p) —Sq/c? , где
fiq (i) =a „ a?dri (P> >0, Sq (0 =0 * “Pdr)‘J >0. (9.1)
Здесь Sq (p> — часть тепла, в которое переходит рассеянная энер-
гия на пластических деформациях drj<^> , 6q‘(C) —часть тепла, в
которое необратимо переходит работа напряжений на деформа-,
циях ползучести drj^ . Введем в рассмотрение тензор с состав-,
ляющими Сар , описывающий температурное расширение, кото-
рое равно dr]W=CafJdT.
При этом соотношение (7.2) запишется в виде
Р *dF=o »«₽(dr)a[i—dijJjP —dn$>—dr]^)) —(р *S—<r Ca₽)dT—
-2PJ(a) dX/a), (9.2)
а соотношение (6.3) примет вид
p • TdS= (—rp * p/”-g-V« q“ )dt+o »“₽dT|^> +<j +
+SPj(a)dXi'a> (9.3)
Введем обозначение
dea₽=dr)a₽—dr^—dr)^» —d^> . (9.4)
Очевидно, что de»? — скорость мгновенно упругой части деформа-
25
(9-5)
ции. Из равенства (9.2) следует, что
dF дР
s—эт + '• afc«f/p.-
В общем случае F=F (sap, Т, xj , AaP-Pv),
где A — набор тензоров, характеризующих анизотро-
пию деформируемого тела. Что касается уравнений для опреде-
ления т]<^ и , то для них должны быть заданы эволюци-
онные уравнения типа (8.1) или (8.2):
(м.'т- п$ . nt?.. *<•> ).
nt? = fi? (еи,.Т,ч$. . Х1'« >•
В частности, с учетом условий (9.1) эти уравнения могут быть за-
даны в виде
dT)ff _ „ <?w(c)
dt ’ do ’ (9’6
где функции W (возможно функционалы) в пространстве параме-
тров о обладают свойством выпуклости в смысле выполне-
qiW_ dW (р)
dt до ,
ния условия
(о^-я/1) (9.7)
Поверхности W(P> =const, W(с> = const в пространстве пара-
метров замкнуты и содержат начало координат внутри себя.
Условие (9.7) означает, что поверхности W (<т?а, ...)=const рас-
положены по одну сторону от любой карательной к ним гиперпо-
верхности.
Уравнение распространения тепла в термодинамике можно
получить, если приравнять dS, вычисленные по (9.3) и (9.5), и
учесть, что для тепловых процессов q gradTs^O. Это усло-
вие часто записывается в виде закона Фурье q==—Xgrad Т, где
% — тензор характеристик теплопроводности.
Интересно отметить, что при выполнении условий (9.1), (9,4)
форма зависимости F от еар может быть Определена из экспери-
мента при упругом режиме деформирования.
§ 10. НЕЛИНЕЙНАЯ УПРУГОСТЬ
Если процесс протекает без рассеяния механической энергии
(6q (i) =0), то
р *dF=o<,a3dea^—(p»S—<тжа? Ca£)dT,
PeTds=(—rpa+Yg/g* Vaqa)dt, где
eap=T|a₽—11$ > dr)a(O =CapdT, (10.1)
F=F(M. T, AaP--nv )•
26
□ * dF
P * S—CT *aP Cap — p ♦
(Ю.2)
(Ю.4)
a —
В этом случае имеем
й dF
или для второго из этих равенств
dF „ „ dF . '
S— "Ч----Сар-з=г.
деар и dT
Второе из уравнений (10.1) дает
ds= (—r+pVa(j“).dt
Следовательно, с учетом (10.3)
р г d / dF „ dF.\
— Vaq“— у — —J—Cap— dTj.
Это есть уравнение, описывающее распространение тепла. Ес-
ли принять, что поток тепла q определяется градиентом темпера-
тур Р *dV *aT=p*adT/dxa и тензором Теплопроводности^^-
=Хар р * ° • р * Р, то можно записать
q = —р *“ V * аТ7л₽ (р * ?• р *р),
« , □ dT
или q * ₽=—ХтР з—.
__ ч dxv
Так как q“=yg * /g q *а согласно (5.3), то уравнение распростра-
нения тепла (10.4) примет вид
_ (1 g * « 7а dT \ г d ( dF r _____dF\
—“ I 1/ —* ч J----~ “7Г ( 5 ; C a[3 з= I.
\ V g gx7/ p dt\deap’ dT J
В простейшем случае при g* [«g, = Agf“ (изотропия)
dCa₽/dt=0 получим
• /d2F d2F \ r / d2F d2F \ •
W - Этой 4 -V’T= г+(Ca₽ )8
(10.5)
Если последней член в правой части уравнения (10.5) мал, а ко-
эффициент при первой производной Т от деформации не зависит,
то задача о распространении тепла решается независимо от зада-
чи о напряженно-деформированном состоянии:
дТ г
с -i—V2T=-=-, V2(...)=VaV“ (...).
dt p ' ' ’
Здесь С — коэффициент. Соотношения упругости имеют вид
dF
= где F==F<M. Т, Aa₽-Hv).
В общем случае анизотропии в качестве аргументов функции
F будут инварианты
МА“р, М6 nvAa₽Hv , баД.-.е^даР-^,
тензоры Aa₽-^v, в которых конкретизируются, исходя из
27
X,UL3)J. '
условий симметрии механических свойств относительно заданных
групп преобразований.
Если материал среды обладает свойством изотропии, то тен-
зор есф характеризуется тремя инвариантами и
F=F(Ib I2, I3, Т),
где 11=е‘ , 12=(еаре»Р-е“. )/2, I3=det(||eJ. II).
Особо отметим то, что здесь согласно (10.4)
t
6 а{1=Т)ар—JCajidT.
О
t
Если Со? ие зависит от температуры, то бар =т]оф —С ap J dT,
х>
что в линейном случае приводит к закону Дюгамеля-Неймана. .
Далее через Т обозначено приращение температуры от некоторого
уровня То.
В нелинейной теории упругости, которая носит название пяти-
константной F=AI2i+BI24-CI3i-j-DIiI2+el3
при А=А(Т), В=В(Т),..., получим
o^/p.=2A(T)I!g“? -f-B(T) J. )+3C(T)Pie“₽ +
+D (Т) I2e »0+2D (Т) I, (е»Р- е ) + е .
|А’ С/всф
§ 11. ЛИНЕЙНАЯ УПРУГОСТЬ
Для линейной теории упругости из (10.6) получим обобщение
соотношений Дюгамеля-Неймана
сг*<Ф=2А(Т) (nJ-CjT) g»P+B(T) [n»P-
-CapT-ga^-CjT)], (11.1)
где А и В зависят от температуры. Зачастую зависимость А и В
от температуры более слабая в сравнении с зависимостью дефор-
мации от температуры, что учтено в соотношении (11.1) членом,
содержащим явно Т. В этом случае соотношение (11.1) удобнее
записать в виде
a,a?=Ca₽PY г|₽1+С“?Т,
Ca₽PY=(2A—В) g“Pg?T+Bg“P gP*. Ca₽=
= —(2А—В) Ср g°?—ВС“?, (11.2)
ИЛИ T]a3 = BappY (JpT+CapT.
Здесь Сар — тензор коэффициентов температурного расшире- .
ния, Ca?PY —тензор упругих модулей. Варру —тензор
характеристик податливости. Очевидно, что
Caf}₽v Bapgv =6“ б!, C°₽PV С?7+С“Р=О.
2»
В силу свойств симметрии составляющих тензора напряжения
тензора деформации: <т*сФ —, tj?® и в силу того,-;
что
F—АР,+В1,=» 1-Ca^v =Д_С«М т1цути=
£» £
= i-c1^ да».
имеем
Са₽РУ =с^Ра₽ =CYP₽a
(11.3)
Эти же свойства симметрии верны и для Ва^.
В общем случае тензор С“^ имеет 34=81 составляющих,
так как каждый индекс принимает значения 1, 2, 3. В силу усло-
вий симметрии (11.3) число этих составляющих сокращается до
21. В случае общей анизотропии для линейно упругого тела соот-
ношения (11.2) в матричном представлении запишутся в виде
а1 *’ с111'с 1112 £113 3*
12 nl112п 1.21 2 nl 233
а L С • • • - V
1 з ст С1113С 12 13 £1333
а22 с1122с 12 12 £2233
а23 с1123с 1223 £2 333
а33 с1133с 1233 £3333
nil*
”11 2п 12 2tj 13 . 4- Т • С с12 с13
7) 22 2ц 23 - ”зз- 'о о о W N N U U N I.. '
Если механические свойства среды в ортогональных криволи-
нейных осях Ох‘х2х3 симметричны относительно поверхности
x3=const, то при растяжении в направлении Ох3 должно быть
о23=ст13=0, то есть
Здесь число независимых постоянных, характеризующих ме-
ханические свойства, равно 13. К этому классу материалов отно-
сятся, композиционные материалы в виде пластин и оболочек. Ес-
ли в каждой точке тела можно выделить три взаимно ортогональ-
ные плоскости упругой симметрии, то такой материал называется
ортотропным. Такой материал характеризуется девятью механи-
ческими параметрами и обычно соотношения упругости для этого
материала записываются в виде
1 з
В силу указанных выше свойств симметрии (11.3)
Р12_£21_ P-U _ Р-31 |Х23 Н32
Ez Ei Ез Ез Ез Ез
Величины Ео, цвр, Овз называются техническими модулями
30
упругости. Если материал изотропен, то есть всё капрабйения,
исходящие из любой фиксированной точки, эквивалентны по ме-
ханическим свойствам, то число механических постоянных сводит-
ся к двум и соотношения упругости в ортогональных осях имеют
ВИД -1
И = 17 О' ~ Д ( СТ + ст ) ] + СТ,
11 Ei 1 1 22 33 ’
Ч ’ ’12/G' -
X ' t Ч '» ,т,, )) + СТ.
2т] = ст /G,
13. 13 ’
^33 = Е ^33 “ ffn + Ст;
2 т) = сг /G,
Здесь Е —модуль упругости (модуль Юнга), Н — ’ хоэффициент
поперечной деформации (коэффициент Пуассона), G—модуль
сдвига, связанный с величинами Е и ц известной зависимостью
G = E/[2(l+p)].
Для линейно упругой изотропной среды при зддИЧИИ ползу-
чести и пластичности -
V " Е,^11 м(а22 + .-+ СТ +
+ 'П( р> + U;с *
11 41’
V22 ' Е f°22 “ ц(<Г33 + + СТ .+
+ Т1(Р>+7)СС>
22 ''гг >
Ъзз = Е !%з “ ^а1г + %2)L + СТ +
V- *23/(2G>+
”13 = + +»;:’.
Глава III. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В МЕХАНИКЕ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 12. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В основе механики материального континиума имеются два
основных вариационных принципа: принцип возможных переме-
щений (принцип Лагранжа) и принцип возможных изменений на-,
пряженного состояния (принцип Кастильяно). Оба принципа
формулируются независимо от физико-механических свойств ма-
териала тела и носят статико-геометрический характер.
Кроме этих вариационных принципов, в механике деформи-
руемых тел сформулированы и другие, более общие вариационные
принципы (см., например, [1, 70, 74]). Одним из широко извест-
ных из них является принцип Е. Рейсснера [88, 89].
Вариационные принципы весьма широко используются в меха-
нике деформируемых твердых тел. В частности, на них основаны
различные приближенные методы решения краевых задач, а так-!
же методы построения прикладных теорий оболочек, пластин и
стержней.
Прежде чем перейти к формулировке указанных вариацион-
ных принципов, введем некоторые понятия. Рассмотрим равнове-
сие тела объема V * , ограниченного поверхностью S, и нахо-
дящегося под действием внешних объемных и поверхностных сил.
Пусть массовые силы F отнесены к единице объема, а поверхно-
стные силы Ру — к единице площади S недеформированного
тела, причем Р ^ распределены на части S* поверхности S, ,
а на другой ее части S —перемещения
U=U<S), (х“ e=S“). (12.1)
Перемещение U, при котором тело находится в равновесии, на-
зывается истинным перемещением. Наряду с истинными имеют ме-
сто геометрически возможные перемещения, представляющие со-
бой непрерывные вместе со своими производными вектор-функции
координат ха, подчиняющиеся на Su, граничным условиям
(12.1). Очевидно, существует бесконечное множество систем геоме-
трически возможных перемещений. Среди геометрически возмож-
32
ных перемещений находится и истинное, как одно из кинемати-
чески возможных. Любой тензор о, компоненты которого удовлет-
воряют внутри объема V» , занятого телом, уравнениям равнове-
сия и граничным условиям на части Sp# (например, уравнениям
в форме (2.15), (2.24), называется тензором статически возможных
напряжений. Множество тензоров статически возможных напря-
жений содержит в себе тензор о, которому соответствует система
истинных перемещений. Этот тензор называется тензором истинных
напряжений.
Рассмотрим теперь некоторые вариационные формулы нелиней-
ной теории упругости.
§ 13. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЛАГРАНЖА
Имеет место следующее утверждение (принцип возможных пе-
ремещений): если 6U — поле кинематически возможных прираще-
ний перемещений, через которые приращения деформаций выра-
жаются формулами
26'Цсф = ра*6р<1*4-р 3*6ра*, (13.1)
то работа статически возможных напряжений <т *«3 на кинемати-
чески возможных приращениях деформаций б-циЗ равна работе
внешних сил на соответствующих возможных приращениях пере-
мещений:
Ш o“?6r]a{idV * =WF* 6UdV * + ffP(s)6UdS* . (13.2)
V* " Vs. SP,. n*
Если левую часть этого равенства обозначить через 6U, а правую
часть —через 6А, то равенство (13.2) можно записать в виде
/6U==6A, (13.3)
причем примененный здесь знак б (...) означает, что, например,
6U может и не быть знаком вариации некоторой функции или функ-
ционала, если не приняты дополнительные условия.
Соотношения (13.2) или (13.3) выражают вариационный прин-
цип возможных перемещений. Покажем, что при выполнении усло-
вий статики равенства (13.2), (13.3) имеют место.
Внося (13.1) в (13.2) и используя преобразования
ТТТ <т“'35т? dV# = | J-J7 (aaf3p*8p* +
* ot/3 * Z * ос (3
+ сг“^р*5р* )dV = cr“f3p*5p*dV =
* (3 <x * * f3 a »
3 A-66
33
- SSS (T^p*v*sUdV = j/j v*(<r°VsU)dV -
* (3 a • a * r is *
- JJ7 sUv*(cr“r3p*)dV =
oc * (3 *
> Л\Г <Vn*sUdSw - j'j'j' 5Uv*(^p*)dV ,
fs * 13 a v « • f/3 * ’
* *
из (13.2) получим
Ш [F,+Va*(<J^7*3 )]6UdV.+ n(P(ns)- ,
V* _ _ s₽ *
—o#»₽p?*na*)6UdS*=0, (13.4)
так как на части S*—SP#=SUH! поверхности S* имеем
6U = 0. Из равенства (13:4) следует, что при выполнении условий
статики и, в частности, для истинного состояния условия (13.2) или
(13.3) выполняются. Наоборот, если выполнены условия (13.2) или
(13.3), то это означает, что условия статики выполнены.
Если материал упругий и, следовательно,
, ГГ dU
то вариационное уравнение Лагранжа (13.2) можно представить в
виде 6U—6А=О.
В этом случае при независящих от перемещений внешних силах
имеет место утверждение: среди всех кинематически возможных
состояний реализуется то, которое сообщает функционалу
L=U—А стационарное значение.
§ 14. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ КАСТИЛЬЯНО
В случае малых перемещений и, следовательно, в геометрически
линейной постановке принцип Кастильяно записывается в виде
fffna?6o“MV=WU6FdV+HU6P(JdS, (14.1)
V V SP
то есть статически возможные вариации напряжений совершают
работу на кинематически возможных деформациях, равную работе
вариаций внешних сил на соответствующих деформациям переме-
щениях. Иначе это утверждение может быть сформулировано так:
среди всех перемещений и деформаций имеют место те, которые
удовлетворяют условию (14.1) для статически возможных вариа-
ций напряжений. Это утверждение следует из более общего поло-
34
жения, которое для геометрически нелинейного случая записывает-
ся в виде
mM+^“UdpU)6o*»?dV* = JJJU6F# dV. + HU6P(s> dS* .
V. 2 • v* SP n*
(14.2)
Здесь к сравнению допускаются напряженные состояния 6о*“?
удовлетворяющие условиям статики:
SF.=-v;(pjdo“₽)( п>“Р. (и'з)
Заменяя 6P(S) в (14.2) согласно (14.3), для члена с 6P(S) по-
лучим
HUSPfldS UpJ ne*6a:?dS.=WVa*(Up6W)dV# =
SP* "* SP* P “ V* P
=WUv* (рЖЬау*44И7зд*йбоа? dv*.
v* P V* P
Подставив этот результат в (14.2), с учетом уравнения равновесия
(14.3) получим
dV# = JJj7*<?aUda“? dV*.
Так как Рр* = рр4*д pH, 6o^=6a^a , то отсюда следует, что
ИПлай-| (MpU+p?doU+daUdpU)]6o^dV#=0. ( 14.4)
V*
Таким образом, если 6о“3 статически возможны, то из (14.2) сле-
дует (14.4) и выполнение условия (14.2) обеспечивает выполнение
условий совместности деформаций. Наоборот, при выполнении
условий совместности для статически возможных бо?р имеет ме-
сто (14.2). В геометрически линейной постановке подчеркнутый в
(14.2) член опускается и (14.2) переходит в (14.1).
Для упругого материала через энтальпию (см. § 7), которая в
рассматриваемом случае дает дополнительную работу с обратным
знаком
1
ф=и——
Р *
имеем Л аЗ = — д \
'“р д(о“й*/р*)
В этом случае с учетом р* fg* =pfg из (14.2) получим
аШ[Н М dV = 6A,
V 2 Р •
где 6А равно правой части равенства (14.2).
3*
35
§ 15. ПРИНЦИП РЕЙССНЕРА
Основная трудность применения принципа Кастильяно для ре-
шения задач теории упругости заключается в требовании предва-
рительного удовлетворения условиям статики. Эта трудность
успешно преодолевается при применении смешанного вариационно-
го принципа Э. Рейсснера. Данный принцип Э. Рейсснером был
сформулирован в 1950 г. и опубликован в [88, 89].
При выводе вариационной формулы рассматриваемого принци-
па по-прежнему на части Sp граничной поверхности тела потре-
буем выполнения статического граничного условия-
pn=p(s) , (veS”), (15.1)
а на части S"eS—геометрического граничного условия (12.1).
Предполагаем, что заданные внешние силы не зависят от деформа-
ций и их вариации равны нулю.
Следуя Э. Рейсснеру, введем в рассмотрение функционал
R-A-Ш WM-F) dV, (15.2)
' v
в котором F — дополнительная работа деформации, выраженная
через напряжения, а величина А определена формулой
А= jHUFdV+JJUP(ns) dS+И (U-U(s))PndS. (15.3)
V SP n S'1
Имеет место следующая теорема: среди перемещений Ua , не на-
рушающих геометрических евязей внутри тела, и всех возможных
напряжений, в состоянии равновесия имеют место только те пере-
мещения и напряжения, для которых функционал R имеет стацио-
нарное значение: 6R=0. Предполагается при этом, что переме-
щения и напряжения варьируются независимо друг от друга и не
обязаны быть предварительно связаны физическими соотношения-
ми.
Для доказательства теоремы составим первую вариацию функ-
ционала (15.2). С этой целью с учетом равенств
/Зр _—
6F= 6oap , Оя36т]а;3= Oa3ppVa6U
для вариации объемного интеграла из (15.2) получим выражение
____________________________ _ /ЛР \
6Ш (^ T,ali-F)dV= р *г, Va6UdV - Ш —-М 6o“?dV.
v V V р '
Так как для первого слагаемого правой части этого равенства
справедливо преобразование вида
W aal3p*v sUdV = j-j- р sUdS -
v 13 “ s п
- JJ\T v ( o-a/3p* )slldv,
a 13
V
36
10 5 Ш ( - F )dV = jj р 5UdS -
v «/3 s n
- W { v ( aa(3p* )sU +
v « 13
+ ( “ ”oe )to“°}dV. (15.4)
3a 1
При сделанных выше предположениях относительно РиР^ для
вариации величины А приходим к выражению
6А= И!F6UdV+ ИР4? 6UdSн-п(й-U(s))6PndS+ иР n6UdS.
V SP Su su
(15.5)
Используя теперь правые части полученных выражений (15.4) и
(15.5), для 6R приходим к формуле
6R= И (P(ns)-Pn) 6UdS+H(U-U(s))6PndS +
s₽ n su
. н HH[Va(O^p+F]6U+[^- -na.3'|6Oa:HdV, (15.6)
V f* \даа? /
откуда следует, что 6R = 0, если выполнены граничные условия
(12.1), (15.1), уравнения равновесия Va (о°Ф pa)+F=0 и соот-
ношения упругости -qaa =dF/dxjrf .
При приближенном решении задач теории упругости прямыми
методами вариационного исчисления с использованием уравнения
6R = 0 граничные условия, уравнения равновесия и соотношения
упругости удовлетворяются с одинаковой степенью точности. Одна-
ко при этом аппроксимирующие функции строятся как для компо-
нент вектора перемещений, так и для компонент тензора напряже-
ний. Следует особо подчеркнуть, что функционал R для истинных
состояний имеет лишь стационарное значение, что несет с собой
трудности при его использовании для отыскания приближенных
решений.
§ 16. ОБЩИЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
В настоящем параграфе формулируется принцип (Терегу-
лов И. Г. ДАН СССР, 1962, т. 142, № 3), из которого следуют все
соотношения нелинейной теории упругости и независимо варьируе-
мые величины перемещений, напряжений и деформаций свободны
от каких-либо связей внутри и на границе тела. В дальнейшем за-
писаны некоторые частные случаи этого принципа, соответствую-
щие заведомому удовлетворению тем или иным соотношениям не-
линейной теории упругости.
37
1. Рассмотрим функционал
Т= И!FUdV+ JJP <s> UdS— na(U(s)—U)dS-
v SP n Su p
-W{W--o«₽[M-4 (p*5 U+p*aU-5 WU)]}dV, (16.1)
у r 2 a p pa ap
в котором
F=F.l/ , сг°Ф=сг'а₽'|/'— , W=W.1/A,
V g * Ig F g
причем W* =W;t.(if]a₽)—плотность энергии деформации в единице
деформированного объема, являющаяся функцией лишь тензора
деформации.
В дальнейшем будем считать, что вариации массовых сил, отне-
сенных к единице первоначального объема, и вариации внешних
поверхностных нагрузок, отнесенных к единице площади на S, рав-
ны нулю, т. е. 6F=6P(®) = 0. Это не накладывает каких-либо огра-
ничений на общность излагаемых ниже результатов.
Имеет место следующее утверждение: среди всех перемещений,
напряжений и деформаций на самом деле имеют место лишь те, ко-
торые сообщают функционалу Т стационарное значение: 6Т=0.
Опираясь на то, что
Ьр*=д 6U, оаРрд 6U=oa4-6 (7*<Э U+p*d U—dTld U),
а а Z а Р Р а а Р
и (,..)dS = H(...)dS+n (...) dS,
s Su SP
и используя формулу перехода от объемного интегрирования к ин-
тегрированию по поверхности, для первой вариации функционала
Т получим
зТ = m { V ( (Уа13р* ) + F JsUdV +
a (3
v
+ FJ ( p(s)
n
sp
- U)3( <yal3p*n
(3 a
- aaep*n )3UdS - J J ( Uts) -
a 13
u
S
)dS +fff { aa0 - }<3-n dV +
V d7>af3 a(3
+ JU { n - 1 ( P*d U + p* d U -
V <x/3 Z a (3 13 a
- d Ud U )}3o-“0dV.
a /3
38
Пусть W — потенциал напряжений. Тогда из выражения для
6Т сразу видно, что при выполнении всех соотношений нелинейной
теории упругости имеем 6Т=0. С другой стороны, в силу незави-
симости вариаций перемещений, напряжений и деформаций внутри
и на границе тела, из условия 6Т = О следуют все соотношения не-
линейной теории упругости:
уравнения равновесия
Va(o«PpJ)+F=0,
соотношения упругости
„ aw
СГ«? = -- )
дПа?
условия совместности деформации
2>|^u+p^.u+^uoju,
естественные статические граничные условия на Sp
Р(П> =<?“₽ р| Па, (xaeSp),
естественные геометрические граничные условия на Su
U(S)=U, (x’eSu).
Нетрудно показать, что функционал сохраняет силу и в случае
смешанных краевых условий на какой-либо части поверхности S,
т. е. тогда, когда на Spu часть условий поставлена геометрически,
а часть — статически.
2. Пусть удовлетворены уравнения равновесия. В этом случае
получим
Т1=И (p(s)_a^p*n ) UdS+Ho°b*n „U^dS-
gp n P a « P
(Т)а? + у daUd?U)}dV.
3. Если наряду с удовлетворением уравнениям равновесия вы-
полнены соотношения упругости, т. е.
---,
<"1 а?
то, например, при линейном законе Гука
=А“?Р7 Пру
получим
Т2 = и (Р -0^7а*п з) UdS+И о “37* пя и (s) ds+
+ | WAa^n«?(nP7+^pU5TU)dV.
Этот функционал содержит в себе все краевые условия в каче-
стве естественных и соотношения неразрывности деформации, а его
39
первая вариация имеет вид
6Т2 = И (Р (ns)-o^? n0)6UdS+fj(U (s)-U)6(a^p*nfi)dS +
gp и « gu a p
+ Ш blab—J- (P- <?Л+рU4-d UdU)}6a<HV.
у ' 2 a p P “ a p
4. Пусть удовлетворены лишь условия совместности деформа-
ций и 2т] = р* dpU-]-pp daU—daUdpU. В этом случае
функционал Т принимает вид:
Тз= ШFUdV+ ИР и UdS+ И р* П3 (U (s) -U) dS— HfWdV
V S₽ Su p V
и первая вариация дает
6Т3= Hf{Va (сП3 Pg* ) +F}6UdV+H(P И Р* и в )6UdS+
V Р SP п “ Р
+ H(U(s)-U)6(oa'3pa*ng)dS+mf aap-^-Ua3dV.
su а Р vi бтМ)
Сравнив это выражение для 6Т3 с 6R, представленным в виде (15.4),
можно увидеть, что Тз эквивалентно функционалу R с той разни-
цей, что в Т3 содержатся соотношения упругости, выражающие на-
пряжения через деформации, тогда как в R содержатся соотноше-
ния упругости, выражающие деформации через напряжения. И оче-
видно, что функционал Т более содержателен, чем функционал R.
Возможности получения других частных случаев функционала
очевидны.
Построенные здесь функционалы R, Т и их частные случаи мо-
гут существенно облегчить труд при решении конкретных задач,
так как составление функционала значительно проще составления
соответствующих вариационных уравнений, аналогично тому как
вычисление энергии в методе Ритца проще составления вариацион-
ного уравнения, из которого следует условие минимума энергии.
Кроме того, использование функционалов R и Т удобно тем, что они,
содержат в себе все краевые условия в качестве естественных, что
облегчает подбор аппроксимирующих функций. Наряду с этим
использование общих теорем механики деформируемых сред мо-
жет оказаться плодотворным при получении общих уравнений так,
как это сделано, например, применительно к теории оболочек. Ва-
риационный принцип, по существу совпадающий с вариационным
принципом 6Т = О, позднее [ ]был сформулирован Ваши-цу и
опубликован в известной монографии того же автора [ ].
ЧАСТЬ II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Глава IV. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ С УЧЕТОМ И
БЕЗ УЧЕТА ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ
§ 17. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ГИПОТЕЗЫ
ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Оболочками называются тела, ограниченные граничными кри-
волинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по
сравнению с их другими размерами. Поверхность, равноудаленная
от граничных поверхностей, называется срединной поверхностью
оболочки. Будем в дальнейшем ее обозначать буквой о. Длина от-
резка перпендикуляра к срединной поверхности определяет толщи-
ну оболочки, которую обозначим t. В общем случае эта длина мо-
жет быть величиной переменной для оболочек переменной толщи-
ны.
Если оболочка не имеет больше границ, кроме указанных гра-
ничных поверхностей, то она называется замкнутой, в этом случае
замкнута и ее срединная поверхность (например, сферическая обо-
лочка). Если оболочка имеет края (срезы), примем, что ее боковая
поверхность образовывается перемещением перпендикуляра к сре-
динной поверхности вдоль некоторого контура С, ограничивающего
срединную поверхность.
Для построения теории оболочек наиболее удобна пространст-
венная криволинейная система координат, в которой положение
некоторой точки М оболочки в ее начальном недеформированном
состоянии определяется уравнением
7(а!, z)=r(ai)4-zm(ai), —(17.1)
где г = г(а! )—радиус-вектор срединной поверхности о, парамет-
ризованный некоторыми криволинейными координатами а1, а2, а
m — единичный вектор нормали к о, т. е. в качестве лагранжевых
координат х1, х2 выбираются криволинейные координаты а^х1,
а2=х2 на а, а в качестве координатной линии х3 — направление
нормали к срединной поверхности о; координата х3 принимается
41
равной расстоянию z рассматриваемой точки по нормали от сре-
динной поверхности.
Координатные векторы в произвольной точке оболочки, отве-
чающие параметризации (17.1), равны (здесь и в дальнейшем все
латинские индексы принимают значения 1,2)
pi =др/да' =Г1 +zmb р3 = dp/dz = m,
(17.2)
где rl=dr/dai —координатные векторы основного базиса на
поверхности a, mi = dm/da', причем шш=1, гщ m=df (mm)/2=0.
В дальнейшем принимается, что векторы рь рг, m в каждой точке
оболочки образуют правую тройку.
Внося (17.2) в первые выражения из (1.2), находим ковариант-
ные компоненты первого метрического тензора в произвольной
точке (a1, a2, z) недеформированной оболочки
giK =Pi рк = а|к—2zblK4-z2vlK,
gi3=PiP3= (Ti+zmJm^O, §зз=РзРз=гпт= 1. (17.3)
Здесь а,к=Г|Г|{, bjK — * Г|ШК = гкгП|=Г|Кт
ковариантные компоненты первого и второго метрических тензо-
ров на поверхности ст (коэффициенты первой и второй квадратич-
ных форм поверхности ст), а viK —коэффициенты третьей ква-
дратичной формы поверхности, равные
viK = mim^=ansbirabSh=blm-bKm,
причем ап’л = гтгп, г"1 =aml г,, b iK = aKSbsi.
(17-4)
Фундаментальный определитель g метрического тензора gap в
параметризации (17.1) будет равен
g=
gll g22 0
gl2 g22 О
0 0 1
Вычисляя в нем приведенные миноры элементов gap , находим
контравариантные компоненты g“? метрического тензора
в которых
g = gllg22 — gl22-
(17.6)
Для координатных векторов в пространстве оболочки имеют место
формулы
С«₽т Ртг=[Рех, р₽], С“^рт = [р«, рР ],
с помощью которых устанавливаются выражения для элементар-
ных площадок dSi, dSz, dS3 на' координатных поверхностях
a1 = const, a2=const, z=const соответственно. В частности dSi =
42
= | [p2da2; p3dz] | = | [p2, p3] | d;rdz = C23a |p7|da2dz==C23i jp1 |da2dz.
Если принять во внимание, что
С]2з=С231 = C3i2=yg, Ci32=C2i3=C32i = —Vg, то с использованием
формулы |p'|=ygH находим dSi = yggn da2 dz. Точно так-
же получаются и два других аналогичных соотношения для dS2,
dS3.
В итоге с учетом (17.5) окончательно приходим к формулам
dSf = yg„ da'dz, dS3=yg da1 da2.
Полагая в (17.6) z = 0, будем иметь
g(a', a2, 0) = a(a1, a2)—ап а22—а122.
Поэтому последняя формула из (17.7) с учетом
da=ya da'da2 может быть представлена в виде
dS3= 1/do,
У а
а элемент объема оболочки будет равен
dV—yg da'da2dz= Ag , ,
' & I/ — dodz.
Г а
(17.7)
равенства
(17.8)
(17.9)
Приведенные здесь геометрические соотношения, а также урав-
нения теории упругости § 1 —§ 16 при заданных на граничной
поверхности S граничных условиях позволяют в принципе исследо-
вать напряженно-деформированное состояние оболочки произволь-
ной геометрии. Однако их сложность и, в первую очередь, прост-
ранственность задачи делают возможность реального исследования
весьма проблематичной. В то же время такая особенность оболо-
чек, как малая их толщина по сравнению с другими размерами,
открывает перспективы заметного упрощения исходных зависимо-
стей без ощутимой потери точности в окончательных результатах.
В связи с этим исследователи в области механики оболочек идут
по пути сведения трехмерной задачи теории оболочек к двумерным
задачам, т. е. по пути сведения трехмерных уравнений теории упру-
гости к двумерным уравнениям теории оболочек.
В настоящее время для решения этой проблемы предложено
большое число подходов. Одним из чрезвычайно наглядных из них
является метод гипотез, основанный на чисто физическом анализе
задачи. При этом принимаются четко осмысленные кинематические
и силовые (в отношении напряжений) гипотезы, базирующиеся за-
частую на известных точных решениях задач теории упругости,
экспериментальных данных и т. д.
Наиболее детально разработанной теорией тонких оболочек в
настоящее бремя является классическая, построенная иа гипотезах
Кирхгофа — Лява. Согласно этим гипотезам предполагается, что:
а) нормальный к срединной поверхности прямолинейный эле-
мент оболочки после деформации остается прямолинейным и нор-
мальным к деформированной срединной поверхности (кинемати-
ческая гипотеза);
б) нормальными напряжениями иа площадках, параллельных
43
срединной поверхности, можно пренебречь по сравнению с другими
компонентами напряжений (статическая гипотеза).
Первое из этих предположений равносильно допущению, что де-
формация оболочки в целом происходит без сдвиговых деформаций
2т]1з, 2т]2з, которое выражается в виде равенств
7t*p3* = 0, р2*^.* = 0. (17.10)
Классическая теория оболочек, хотя и широко используется в
расчетной практике, но имеет ограниченную область применения.
Наиболее характерными задачами, решение которых на основе
теории оболочек Кирхгофа—Лява может привести к значительным
погрешностям, являются, в частности, задачи механики оболочек
из композиционных материалов с резко выраженными свойствами
анизотропии. Оказывается, что наибольшая погрешность при этом
возникает за счет той части гипотез Кирхгофа — Лява, которая
полагает равными нулю деформации поперечных сдвигов. Это, в
свою очередь, связано с тем, что композиционные материалы отли-
чаются от металлических конструкционных материалов рядом спе-
цифических деформативных свойств, в частности, низкими модуля-
ми поперечных сдвигов.
Широкое внедрение в инженерную практику новых полимерных
композиционных материалов вызвало значительный йнтерес к во-
просам обоснования и обобщения классической теории оболочек.
Ученым-механикам следовало решить неотложную задачу о пост-
роении соответствующей теории расчета тонкостенных элементов
из этих материалов, учитывающей специфические особенности их
поведения, в частности, низкую сдвиговую жесткость.
Один из путей уточнения классической теории оболочек связан
с применением моделей менее жестких, чем классическая. Наибо-
лее простой из них является так называемая кинематическая сдви-
говая модель С. П. Тимошенко, согласно которой нормальный эле-
мент оболочки после деформации не остается перпендикулярным к
деформированной срединной поверхности, а поворачивается, не
искривляясь, на некоторый угол.
Кроме модели С. П. Тимошенко, многими исследователями пред-,
ложены и другие модели, обобщающие классическую теорию, на
базе которых построены соответствующие разрешающие уравнения
уточненных теорий.
В данном пособии основное внимание будет уделено основам
построения уравнений теории оболочек, базирующейся на сдвиго-
вой модели С. П. Тимошенко; попутно обсуждаются также и основ-
ные соотношения классической теории Кирхгофа — Лява.
§ 18. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КИНЕМАТИКИ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧКИ ПО ТЕОРИЯМ КИРХГОФА—ЛЯВА
И С. П. ТИМОШЕНКО
Согласно (1.13), вектор перемещений произвольной точки обо-
лочки определяется равенством
-р, (18.1)
44
где в описанной в § 17 полуортогональной системе координат а1,
z, нормально связанной со срединной поверхностью о, радиус-век-
тор рассматриваемой точки до деформации определяется выраже-
нием (17.1).
Построение теории оболочек, как было отмечено выше, заклю-
чается в сведении трехмерных уравнений теории упругости к дву-
мерным уравнениям. При этом построение математической модели
деформирования оболочки так или иначе сводится к установлению
закона изменения по поперечной координате z или вектора р„ ,
или вектора U.
Установим закон изменения по координате z вектора р* по
теории Кирхгофа—Лява. Для этого, разложив радиус-вектор р*
произвольной точки оболочки в ряд по степеням поперечной коор-
динаты и сохранив члены, содержащие z в нулевой и первой степе-
нях, получим
р» (a',z)=pt (a1, z=0) 4-z _* r = (a ’) -j-zW (a1),.
dz z = 0
где г* (а')=р* (a‘, z = 0), 4r(ai ) =
U
Используя
данное разложение, для базисных векторов р,*, р3* в деформиро-
ванной оболочке приходим к формулам
рj* = гj*4-zVi, рз *=ЧГ, Г|*=дг « /да',
причем в соответствии с (17.10) их правые части должны быть под-
чинены условиям г i*4r4-z4rl4f=0, или г 1*Чг=0, 4rl4f=0.
Покажем, что выписанные условия будут удовлетворены, если
в теории Кирхгофа — Лява для вектора р* принять следующий
закон изменения по координате z (принято, что Чг=ш * )
р * (a',z)=r, (a')4-zm *t/2<Cz<Ct/2 (18.2)
Здесь m * —единичный вектор нормали к деформированной сре-
динной поверхности а * , определяемой векторным уравнением
г * =r« (а1).
Внося формулы (18.2) и (17.1) в (18.1), устанавливаем закон
изменения вектора перемещений U по поперечной координате
U —= г * —r+z(m<! —m) =v(a') 4-zH («’), (18.3)
где v(a' )=r * (a1 )—r(a‘) —вектор перемещений точек средин-
ной поверхности, а через Q обозначено выражение
Q —ш * —ш, (18.4)
Дифференцируя (18.2) по а1 н z, находим основные координат-
ные векторы в деформированной оболочке по классической теории
р i* = rl*+zmi *, р3* = др */dz=m* . (18.5)
Составляя из них скалярные произведения р^рз *, можно убе-
45
диться в выполнении равенств (IT-lObjaK как после деформации
оболочки координатные векторы г,*, m * на срединной поверх-
ности о * удовлетворяют условиям
Tf *т *=0, m » т» =1 (18.6)
и поэтому di (т * "in ,) = 2т , т~ * = 0.
Один из путей построения уточненной теории оболочек заклю-
чается в разложении вектора перемещений U произвольной точки
оболочки в ряд по степеням поперечной координаты [31]
U« z) = (U)z=o +^- Y <18'7)
Oz z=0 1
Здесь индекс "z = 0" означает, что соответствующая величина в
скобках подсчитывается на срединной'поверхности.
В модели С. П. Тимошенко при описании закона изменения пе-
ремещений по толщине оболочки принимается, что нормальный
элемент, первоначально перпендикулярный к срединной поверх-
ности до деформации, не остается перпендикулярным к ней после
деформации, а поворачивается на некоторый угол, не искривляясь.
Это соответствует удержанию в ряде (18.7) двух первых членов
разложения и принятию линейного закона изменения вектора U по
координате z в виде
U=v-)-zy, (18.8)
где v= (U) z=0 — по-прежнему вектор перемещений точек
срединной поверхности о, зависящий от двух переменных а1, а2, a
у носит название вектора поворотов волокна, нормального к неде-
формированной срединной поверхности о, который зависит так же
от переменных а1.
Подстановкой (18.8) в выражение (1-13) с учетом равенств
p = r-)-zm и г*— r-]-v устанавливается закон изменения вектора
р, по координате z в теории типа Тимошенко
р"» =r'+v+z(m+Y).==rt 4-z(m+yj, (18.9)
который полностью соответствует принятому выше предположению
о кинематике деформирования элемента оболочки.
Вектор перемещений (18.3) в теории Кирхгофа — Лява прин-
ципиально отличается от вектора перемещений (18.8) в теории ти-
па Тимошенко. Данное отличие, как будет установлено ниже, за-
ключается в том, что в (18.3) .вектор поворотов Q не является не-
зависимым, а выражается через вектор перемещений v точек сре-
динной поверхности, в то время как в выражении (18.8) вектор по-
воротов у и вектор перемещений v являются независимыми неиз-
вестными.
*Вообще говоря, условия (17.10) будут удовлетворены и тогда, когда Чг=
=сш* , где с — некоторое постоянное, не равное нулю, число.
46
§ 19. ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ И ЕЕ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КИРХГОФА - ЛЯВА
Покажем, что в теории оболочек Кирхгофа — Лява компоненты
вектора перемещений и тензора деформаций оболочки полностью
определяются, если известны компоненты вектора перемещений и
тензоров деформаций точек срединной поверхности а.
Используя выражения (18.5), вычислим ковариантные компо-
ненты gap* первого метрического тензора в пространстве дефор-
мированной оболочки. Из них в силу принятых гипотез gl3* =
= g23* = 0, а в силу последнего равенства из (18.6):
g33* = p3*p3* = m*m * =1. (19.1)
Остальные три компоненты будут равны
g 1к* = Р|*Рк*= Э|к*—2zblK*+z2viK*, (19.2)
в которых
а iK* = ri*r к*, Ь1к* = — Г|*шн*=- г/Ш|*=г1в*т, (19.3)
— ковариантные компоненты первого и второго метрических тен-
зоров деформированной поверхности аФ , a viK*—коэффициен-
ты ее третьей квадратичной формы, определяемые по формулам
вида (17.4) _ __
у1к* = т|*тк*= а *'пп blm*Ь кп * =Ь1П * Ьк*п, (19.4)
причем
а*гап = г~ЛГ*п, F.m = abI*K = a*KSbsi*. (19.5)
Подставив теперь выражения (17.3), (19.1) и (19.2) в формулы
(1.3), найдем ковариантные компоненты тензора деформаций обо-
лочки
2t1ik — а ,г-а 1К+2z (biK -b 1к*) +z2 (v iK *-v1K), (19.6)
2т]13 =0, цзз—0. (19.7)
Из полученного выражения (19.6) следует, что приращениями ко-
вариантных компонент первого метрического тензора определяют-
ся ковариантные компоненты тензора т]°='П°г! • г к танген-
циальных деформаций срединной поверхности о, для которых при-
мем обозначения
2T]°iK = aiK*—а1к, (19.8)
а приращениями коэффициентов второй и третьей квадратичных
форм поверхности о устанавливается закон изменения компонентов
деформации оболочки по ее толщине. Для тонких оболочек, как
будет показано ниже, последними слагаемыми za(vlK*—vlK) в
виду их малости в классической теории пренебрегают, определяя
компоненты деформаций оболочки выражением
Пы=iHK°+zxiK. (19.9)
Здесь через х1к обозначены приращения ковариантных компо-
нент второго метрического тензора поверхности о при ее переходе
47
в состояние ст* , для которых из (19.6) следуют выражения
xiK = biK— biK*. (19.10)
Данные величины называются компонентами изгибной дефор-
мации оболочки.
Радиус-вектор точки деформированной поверхности ст* , как
мы установили, определяется выражением
г* =r+v, (19.11)
поэтому
г,*=Й4-?|. (19.12)
Здесь v, =<? ,v=<3v/da' = V , v, причем V,—знак ковариантного
дифференцирования по метрике aiK недеформированной средин-
ной поверхности ст. Внося (19.12) в первую формулу из (19.3),
находим
а,к* —г,*г*к = а ,K4-vK г, -j-Vi rK+ViVK = aiK4-2^°, (19.13)
откуда для компонент тангенциальных деформаций срединной по-
верхности оболочки с учетом (19.8) следуют формулы
2т1°1к=г*1Г|£*—rirK^riVk+r.kV^VjVK. (19.14)
Пусть и, , jF _—ко- и контравариантные компоненты jeeKTopa
перемещений v, a w — проекция этого вектора на нормаль m к не-
деформированной срединной поверхности (прогиб), т.е.
v=U| r’+wm—u’r (19.15)
Используя деривационные формулы Гаусса — Вейнгартена
Пк=дк£| = Г,к*г s+mbiK,_nii =—Ь|кгк, (19.16)
Г|К_dirк=—risKr s+biKm,
найдем производные вектора (19.15) по координатам а1
V, — Viv=rKeiK+m(ol==rKeik+m®i) (19.17)
с учетом которых в соответствии с (19.12) получим выражения
Fi* =г.( (6,к +eiK)+m(oi=FK (а|К4-е 1К)4-111(0,. (19.18)
Входящие сюда величины eiK , <о, выражаются по формулам
е,к = \7,ик— wb,K, со, =V|W4-biKu к, eiK =V,u к— wb1K (19.19)
и характеризуют углы между координатными^векторами г,* де-
формированной поверхности ст* и векторами г, , ш на недефор-
мированной поверхности ст, так как с учетом (19.18) и (19.13).
cos(ri*, rs) = [a„ass (14~2т]„°)] -1/2 (als4~eis),
cos(r,*, ш) = [а„(Г4-2т]||0)] -I/2 W|. (19.20)
Внося формулы (19.17) в выражения (19.14), установим ска-
лярные соотношения для компонент деформаций 2piK0
2riiKO=elK4-eKi + amseimeKS + co ,co к = eiR +eKi4-eisesK4-« fW к,
(19.21) ;
48
а также вычислим дискриминант первого метрического тензора де-
формированной поверхности о *
а» =311*322* — (3*1г)2= 311Э22— 3122+ 2 (а22'П11°-|-
+ зцр22° — 2а 12Т)12°) +4т]11°т]220= al, (19.22)
где I=l + [2(a22Tiii0+aiir)220 —2ai2T)i2°) +4p2i 1Л°22]/а.
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что для 1
справедлива формула
I = 1 +2г), 4 (т) 1.° 1П2-02 — П1 •02П2-01) > (19.23)
где р |.ок = a KSp js° — смешанные компоненты тензора T]ilt °.
Знание величины а* позволяет вычислить ко- и контравариантные
компоненты дискриминантного тензора поверхности о*
с„*=0, с12*=-с21*=уг*., с /=о, с* >2=-с*21=1/у?;,
_ (19.24)
а также получить формулу для единичного вектора тФ к этой по-
верхности, определяемого выражением
Ш* =[Г1*, г2*]/Уа *.
Подставляя сюда равенства (19.18) и (19.22), после ряда преобра-
зований приходим к окончательному выражению
ms =I-V2 (тЕз+EiP). (19.25)
Здесь приняты обозначения
E1=(DKeiK-W1(l+eli+e22),E3=(l+el1) (Ц-е^-е2^ . (19.26)
Вычислим компоненты второго метрического тензора деформи-
рованной поверхности о* . Для этого представим равенство
(19.25) в виде _
I 1/2 m * — Езт+r’Ei
и продифференцируем обе части по а1 .В результате будем иметь
I 1/2 =-тф -(ЗД1/2 +Е1зт+Е11(Гк, (19.27)
где приняты обозначения
Е|к =V|E1£— biKE3, Ei3=VlE3+biKEK. (19.28)
Внося теперь (19.27) и (19.18) в последнюю формулу из (19.3) и
учитывая ортогональность векторов m и г(, приходим к интере-
сующим нас выражениям
Ь1к* = -1 ~"2 [Е15 (6/ +е/) +Е13®К].
Данную формулу с учетом соотношений (19.28) представим в раз-
вернутом виде
biK* =-1 ->/2{<ок V,Е3+ (6J+е?) V.Ej-bi,[E3(V+eK0-<oKEj ]}.
Здесь первые два слагаемых можно заменить правой частью ра-
венства
® к ViE3+(6K3+eKJ) V|Ej =—Ез\Г(® к—EiVieJ,
вытекающего из условия Vt (rK*m* )=0. В результате для biK*
приходим к такому выражению
blK*=I-I/2{E3Vi®it+EjVieKj+blj[E3(61(j+eKi)-a>KEj]}. (19.29)
4 А-66 49
Внесем разложения (19.15) и установленную формулу (19.25) в
выражение (18.3)
U = U| r’+wm+zl -V2 (Е3т+Е1Г’)—rm, (19.30)
откуда, представляя вектор U в виде разложения
U = Ujz г1 4-wzm, (19.31)
для компонент Uf, wz получим выражения
U/=11,4-21-М2 Еь wz = w4-z(I~M2 Е3— 1).' (19.32)
Итак, если известны компоненты вектора перемещений точек
срединной поверхности, обозначенные нами через Ui , w, то в
произвольной точке оболочки, находящейся до деформации на
уровне z от а, с использованием формул (19.9), (19.10), (19.19),
(19.21), (19.23), (19.26), (19.29) и (19.32) могут быть вычислены
как компоненты деформаций, так и компоненты перемещений. Сле-
довательно, искомыми неизвестными в классической теории обо-
лочек являются функции Ui , w.
Рассмотрим случай малых деформаций оболочки по классиче-
ской теории. Для этого вычислим относительное изменение элемен-'
тарной площади da=yada!da2 в процессе деформации, определяя
его по формуле
do * —do
Ba = ---з----.
da
Внося сюда выражения da * =]/а * da’da2, da=yada’da2,
получим
Sa =Уа * /а—1,
откуда 14-е<т=Уа*/а. (19.33)
Если деформации срединной поверхности малы, то пренебрегая
8<т по сравнению с единицей, из (19.33) получаем приближенное
равенство а* «а. (19.34)
В этом случае, как следует из сопоставления формул (19.34) и
(19.22), будет выполняться приближенное равенство
I=14-2t)oIi. 4-4(т)011Л022-— 'По1-2'Л°21) ~ 1- (19.35)
Использование этих равенств позволяет ввести ряд упрощений в
выведенных кинематических соотношениях. Прежде всего, в силу .
(19.34) при малых деформациях срединной поверхности следует ;
из (19.24), что
С1к*~с!к, СЛ~С1К, (19.36)
а полагая в соответствии с (19.35) I~ 1, вместо (19.25) будем
иметь .1
m * =E3m4-Ei г1. (19.37) ь
Точно так же вместо (19.29), (19.30), (19.32) приходим к при-
ближенным формулам ~
50
b* = E V w + E V eJ + b + b [ +
i к 3 i к j.ik ik 1J к
+ ( E - 1 )( 3J + ej ) - о EJ 1, (19.38)
3 к к к
U = u D + wm + z[(E - Dm + E.r1], (19.39)
1 3 1
Uz = u + zE , wz = w + z( E- ~ 1 ). (19.40)
i i i 3
Подставляя (19.38) в формулу (19.10), находим компоненты
тензора изгибных деформаций оболочки при малых деформациях
ее срединной поверхности
% ik =—E3Vi®к —Ej VieRj —b(j [eKJ—<oKEj + (E3—1) (6J +ekJ) ]
(19.41)
И, наконец, обратимся к величинам z2(vik*—vik), входящим
в (19.6), и покажем, что ими можно пренебречь по сравнению со
слагаемыми zxik , если после деформации оболочка остается в
классе тонких оболочек.
Действительно, принимая во внимание формулы.
b ij* = bi*saSj*,. b d =bisaSj , bik =Ь;8а5к=Ь® 6kjasj, (19.42)
b ik* = b| * sask =bi*s 6 k'aSj* ,
в соответствии с (19.4) и формулой Vik = bin bRn кинематические
соотношения (19.6) можно привести к виду
2-nlk = 2<k + 2z( bik - b\ ) +
+ z2( - pik ) = 2< + 2z( b4sk -
- b"'a* ) + z2( b-’bkJa‘ - b’b^a ) =
= 2t)° + 2z [ bsa .( 3^ - \ b*j ) -
'ik I S j k Z. k
— b*sa* ( 3j - £ b*j )]• (19.43)
i s j k Z k
Оболочка считается тонкой, если до ее деформации выполняются
приближенные равенства
б?-гЬ?«бЛ (19.44)
51
Если же она и после деформации остается в классе тонких оболо-
чек, то для нее, очевидно, должны быть выполнены аналогичные
равенства
6kj-zbk*Wkj. (19.45)
Принимая во внимание эти равенства, от соотношений (19.43) при-
ходим к соотношениям (19.9)
П и ik°+z (biSaSj — bf * sasj *) б kj =p°ik+z (b Ik — bik*) =tjIk°+zx|K,
которыми определяются тангенциальные деформации оболочки.
§ 20. ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ ПО УТОЧНЕННОЙ
МОДЕЛИ С. П. ТИМОШЕНКО ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
(1-Й ВАРИАНТ)
Базисные векторы в произвольной точке недеформированной
оболочки в системе координат а1 , z, нормально связанной с по- ’»
верхностью о, определяются выражениями (17.2). Принимая во
внимание формулу для mt из (19.16), представим их в виде
р। = гk ZiK , рз=т . (20.1).
Здесь Z|K = 6|K—zb|K —так называемый тензор оболочки, свя-
зывающий координатные векторы Г| срединной поверхности с ко-
ординатными векторами р, на эквидистантной поверхности 6t
с помощью которого производится учет изменения метрики по тол- ,
щине оболочки.
В модели типа Тимошенко базисные векторы (20.1) после де-
формации оболочки переходят в базисные векторы деформирован-
ного состояния, определяемые дифференцированием выражения
(18.9) по a', z _ •_ '
Р ।i*=rkZ|K+di £v4-zy)=Г!*-)-z(у,—biK rK),
рз* = др*/дг=т4-у, (20.2)
где по-прежнему Г|* = Г( 4-v( =rt 4-VfV, a y, = d ly=Vty.
Представим выражения (1.15) в развернутой форме
_ 2niK=£i ^U+Pk^jU+c^U-^U.^ __
2Л1з=7з<?1и+р1<?2и+<Э|1Ь <?ZU, 2г)зз=2рз(32и+ (<?2U)2.
Подставляя сюда векторы р,, рз из (20.1), а также производные ‘
d2U=y, д, U=v( +zy i, (20.3):
с учетом (20.2) будем иметь r
2т)|К ==r jZtj (vk+zTk)+ПZK£(Vi+zyp +(Vi+z?i) (vk+zyk),
2i]i3=ni(v1+zYi) + [ij_*+z_(Yi—b^r^jy, ' ,
2т)зз= (2m+y)y. (20.4)-
B правых частях этих равенств соберем члены при одинаковых
степенях z, развернув тензор оболочки Z,K по формуле
ZiK=81K—гЬД
52
В результате приходим к соотношениям
2r)iK =2i')iK0+2zxiK+z2TK, (20.5)
2т11з=2т)1з 0+zTj3, (20.6)
2т)зз=2т)зз°= (2m+y)y, (20.7)
в которых величины трк0, вычисляемые по формулам (19.14),
по-прежнему являются ковариантными компонентами тензора тан-
генциальных деформаций срединной поверхности о, а для осталь-
ных величин приняты обозначения
2*lt= rX+ c(bX+ b"Vi>’ (20.8)
rik = - r.( + Ь^2Г. ) + (20.9)
2-n° = niv + ( r. + v )y = 13 i 1 1
= mv + гл, i i (20.10)
т =(in + 3r)y-bjr3r. 13 1 1 J (20.11)
Продифференцируем ковариантно обе части выражения (20.7)
по а! , принимая во внимание формулу для Ш| из (19.16):
2V |Т)°зз = 2д |Т)°зз=2 (in,у+my , +у ,у) = 2 [ту, +у (—bj г, + у,) ].
Сравнивая полученное равенство с правой частью выражения
(20.11), устанавливаем, что
V,t]033—tl3. (20.12)
С учетом этой зависимости выражения (20.6) для поперечных
сдвигов в оболочке можно представить также в виде следующего
замечательного соотношения
2r|i3=211i3r>+zVi11330, (20.13)
которое показывает, что неравномерность распределения попереч-
ных сдвигов по толщине оболочки определяется изменяемостью
деформации поперечного обжатия по координатам а1.
Установим скалярные выражения для величин, входящих в
(29.5) — (20.7). Для этого разложим векторы v и у по базисным
векторам недеформированной срединной поверхности о
v=Uj ri4-wm=ui fj+wm, y=yi r’-j-ym—у1 ^4-yni. (20.14)
Внося данные выражения в равенство (18.8), получим
U= (ы(Д-zy, )г’+(w+zy)m= (u*+zy‘ )ri+(w4-zy)m. (20.15)
53
Представляя левую часть этого равенства по-прежнему в виде раз-
ложения (19.31)
U = Ufz7f+wzin
и сопоставляя его с (20.15), для компонент перемещений оболочки
устанавливаем формулы
U iZ =U| +zyf, wz =w-|-zy. (20.16)
Отсюда видно, что функциями yi, уг определяются составляющие
тангенциальных перемещений точек эквидистантной поверхности
ст z , вызванные изгибом, а функция у характеризует относитель-
ную деформацию (растяжения или сжатия) волокна, нормального
к срединной поверхности оболочки^_
Найдем производные векторов v и у, используя формулы диф-
ференцирования (19.16). Первые из них выражаются формулами
(19.17), в которых величины е!к , е гк , W| определены равенства-
ми (19.19), а для производных у( устанавливаем формулы
У(+П|К rK-|-Qfrn=Q|K гк-|-Н|ГП, (20.17)
в которых приняты обозначения
п !K=ViyK—Ь1ку=Гк7,, Q1 = Viy+bfKyK=myf,
Q к =aisQKS = VKy’— Ьк'у=г'ук# (20.18)
Внося теперь разложения (20.14) и формулы дифференцирова- ния (20.17) в соотношения (20,8) — (20.11), выразим компоненты
деформаций через скалярные величины (20.19)
2z.„ = << + + + w Q + + Bik’ i к + eJ)n , + i k J
T = - bsfi - bs« + nin ik 1 ks k Qn + k 1 k (20’20)
2<’ = u.(l + 7) + < i3 i + ek ), i (.20.21)
T = n.(l + 7) + n' i 3 1 vn b 1 • i n (20.22)
Аналогичным образом, подставляя разложения у^у^'+ут •
в формулу (20.7), выражаем относительную деформацию
оболочки в поперечном направлении через компоненты уi , у '
2т)зз°=:2у-|-у|у1 +у2. (20.23)
Входящие в (20.19) слагаемые В|к выражаются по формулам
В,к =-bKsels-b,seKS (20.24)
и появляются благодаря учету изменения метрики пространства
54
оболочки в направлении координаты z, т. е. благодаря учету вели-
чин zbiK в выражении базисных векторов pf=rszfs. Точно таким
же образом в формулах (20.20) появляются и первые слагаемые
— bfsQKS—bKsQis, а в (20.22) — последнее слагаемое b ” уп-
Как и в классической теории, соотношения (20.5) для тонких
оболочек допускают существенные упрощения благодаря прене-
брежению слагаемыми z2tfK . Оказывается, что при выполнении
приближенных равенств (19.44), (19.45) и некоторых ограничениях
на поперечные составляющие тензора деформации оболочки по-
правки, вносимые в (20.5) указанными слагаемыми, являются не-
существенными. При этом, как и в теории тонких оболочек Кирх-
гофа — Лява, для компонент деформации ц1к по сдвиговой модели
типа С. П. Тимошенко допустимо принять линейный закон распре-
деления по толщине
П1к=П1к°+гх1к. (20.25)
Более подробно на этом вопросе остановимся в § 24. Так как
при z=0 из (20.25) следует равенство т)|К='П1к°> т0 при указан-
ных выше упрощениях изгиб оболочки будет характеризоваться
лишь величинами • Поэтому эти величины в теории типа Тимо-
шенко носят название компонент тензора изгибных деформаций.
Точно таким же образом в формулах (20.13) в случае малой
изменяемости деформации т)33° по координатам а‘ возможно пре-
небрежение слагаемыми zViT]330 по сравнению с составляющими
2ц !3°. Такой случай деформированного состояния в оболочках
реализуется при действии на них плавно изменяющихся (нелокаль-
ных) нагрузок. При этом распределение поперечных сдвигов 2ц( 3
по толщине оболочки можно считать постоянным и использовать
для построения теории оболочек вместо формул (20.13) (или
(20.6)) приближенные равенства
П.з^гцз0, (20.26)
в которых величины ц|3° определяются по формулам (20.21).
Действительно, введя в рассмотрение некоторый параметр X, за-
который примем масштаб изменения деформации поперечного об-1
жатия т)33° в направлениях а1 , в соответствии с (20.13) будем
иметь 2ц|3~ 2T)i3°-f-%- лэз0- (20.27)
А
Отсюда следует, что при большом параметре X, имеющем место при
действии на оболочку плавно изменяющихся нагрузок, и одинако-
вых порядках величин 2ц i 3°, ц33° для тонкой оболочки в силу вы-
полнения условия (е — некоторая малая величина, которой можно
пренебречь по сравнению с единицей)
t/X~g (20.28)
(вторым слагаемым правой части (20.27) с точностью 1+е« 1 мож-
но пренебречь по сравнению с первым. Следовательно, в этом слу-
55
чае допустимо использование приближенной формулы (20.26). Бо-
лее детальный анализ показывает, что формулы (20.26) справед-
ливыми оказываются и при менее сильных ограничениях, чем
(20.28).
Итак, если известны компоненты щ , w вектора перемещений
точек срединной поверхности и компоненты у[ , у вектора поворо-
тов волокна, нормального к ст, то в произвольной точке оболочки,
находящейся до деформации на уровне z от ст, компоненты танген-
циальных деформаций вычисляются по формулам (20.25), в кото-
рых величины T]iK°, %1к определены выражениями (19.21), (20.19),
причем в (20.19) для тонких оболочек возможно пренебрежение
слагаемыми BiR , учитывающими изменение метрики по толщине
оболочки, компоненты вектора поперечных сдвигов в случае дей-
ствия плавно изменяющихся нагрузок вычисляются тю формулам
(20.26), а в случае действия локальных нагрузок — по формулам
(20-13) или (20.6), деформация поперечного обжатия т]330— по
формуле (20.23).
§ 21. ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ ПО СДВИГОВОЙ МОДЕЛИ ТИПА
ТИМОШЕНКО С ЯВНЫМ ВЫДЕЛЕНИЕМ МОДЕЛИ КИРХГОФА — ЛЯВА
(2-Й ВАРИАНТ)
Если к вектору поворотов Q(a‘ )_модели Кирхгофа — Лява
(18.3) прибавить некоторый вектор <р (а1) и потребовать, чтобы
выполнялось равенство _
_ £2+ч>=Т. (211)
в котором у представляет собой вектор поворотов модели типа Ти-
мошенко, то подстановкой в (18.8) вместо у левой части (21.1) по-
лучаем видоизмененную запись для вектора перемещений оболоч-
ки по сдвиговой модели С. П. Тимошенко [61, 62].
U = v4-z(Q+q)). (21.2)
Так как при <р=0 модели (21.2), как было показано в § 19, соот-
ветствуют равенства т)13=1)зз=0, то введение вектора Q-|-<p вме-
сто у позволяет выделить из у такие слагаемые, которые в явном
виде учитывают влияние поперечных сдвигов и поперечного обжа-
тия в оболочке на ее деформированное состояние. Кроме того, по-
лагая <р=0, из (21.2) получаем без промежуточных дифференци-
альных преобразований модель оболочки, соответствующую приме-
нению кинематической гипотезы Кирхгофа — Лява, что является в
ряде случаев удобным при разработке общих методик расчета обо-
лочек как с учетом, так и без учета поперечных составляющих де-
формаций.___________________________________________
Исходя из представления вектора перемещений U в виде
(21.2), построим основные кинематические соотношения теории де-
формации оболочки [62].
Внося в формулу (18.9) вместо у его представление (21.1), за-
56
менив предварительно вектор Я вектором ш* —ш в соответствии
с (18.4), получим выражение для радиус-вектора произвольной
точки оболочки в ее деформированном состоянии
р * =г*+z(m *+<р). (21.3)
При этом базисные векторы деформированной оболочки будут вы-
ражаться формулами
Pi* = Fi* +z(mi*+<Pi)> Рз* = т *+ф, (21.4)
где <р । =d|<p = Vj<p. Используя эти формулы,, вычислим кова-
риантные компоненты основного метрического тензора после де-
формации оболочки
g.. - рр = г.г + z( г m + г m + г а> +
ik ik ik i k k i + k
+ r%* ) + z2( in* + )( in* + p ), (21.5)
Ki 11 k k
g.3 = r.ip + z( m*ip + ip.m* + <p <p ) =
= rj + zv ( iiiJ + pp/2 ), (21.6)
1 1 *
g33- m.m.+ 2lM + W = 1 + 2m,<P + <p<p (21.7)
Как и прежде, в первой из этих формул (21.5) последний член
с сомножителем z2 может быть отброшен как бесконечно малый
по сравнению с остальными (см. § 24). Учитывая равенства (19.3)
и принимая во внимание, что aIK * = aiK—|-2r]ifc0, представим ее
в виде
g1K* = aiK+2TI1Ko+2z(-b1K*+XiK), (21.8)
где приняты обозначения
2XiK= г 1*Ф к +гк *<р,. (21.9)
Для составляющих правой части (21.6) по-прежнему примем обо-
значения, введенные в формуле (20.6):
__________ 2т)|3°=г'|*ф^, (21.10)
-11з=ш1*ф+ф|П1» 4-ф,ф = Vi (ш * ф+фф/2).
Имея в виду, что в недеформированном состоянии g13=0, ёзз=1,
с учетом этих обозначений будем иметь
2r113=2r1130+zTi3, (21.11)
а также
ёзз*= 1+2x133°, (21.12)
57
ми и громоздкими по сравнению с аналогичными_соотношенчями
§ 20, базирующимися на представлении векторов U и р* в виде
(18.8), (18.9). Более предпочтительными в отношении практиче-
ского применения и более компактными оказываются построен-
ные ниже кинематические соотношения второго варианта.
Пусть <р*< и <р‘* —ко- и контравариантные компоненты век-
тора ф в системе осей координат деформированной срединной по-
верхности, а ф* —проекция вектора ф на нормаль к этой поверх-
ности, т. е.
Ф=Ф*!г‘*+ф* 1,1 * =ф’» r*i +ф *т* . (21.31)
Для производных от векторов r*f, г‘«, ш. по координатам
а1 имеют место формулы Гаусса—Вейнгартена, аналогичные
формулам (19.16) [15]
гГк =dKr*j = r*s r*s +m *b*iK , m*i = —b*. r*K,
7;K=diYK*=-r;sK7® +b> in*, (21.32)
в которых b*K — ковариантные компоненты второго метрическо-
го тензора деформированной срединной поверхности а» , опреде-
ляемые по формулам (19.29) или (21.28), a b*K =asKS bSj— его
смешанные компоненты; Г** —символы Кристоффеля второго
рода на о *.
Используя формулы (21.32), найдем производные вектора
(21.31) по координатам а1
й,ф=ф! = р,*(к г% +р,*,т * =цГкг*к+ц*,т *, (21.33)
где приняты обозначения
Н*к =^*,ф*к—ф ,Ь *к , ц[к =a*s ц* ф* Ь*!,
H*i = V*^.+b*ii?K. =У*1Ф„+Ь’к,ф*к, (21.34)
в которых V*i —знак ковариантного дифференцирования по
метрике деформированной срединной поверхности а* . Внося по-
лученные выражения (21.33) в формулы (21.9), найдем
2XiK = p*iK+p*Ki, (21.35)
а подстановка разложения (21.31) в выражение (21.10) приводит
к весьма замечательным соотношениям
2т1%3=Ф*,-, (21.36)
указывающим, что функции ф*[ являются ковариантными компо-
нентами вектора поперечных сдвигов на уровне срединной, поверх-
ности оболочки.
И, наконец, внося разложения (21.31) в формулу (21.13), при-
ходим к равенству
2т]°зз=2ф* +ф‘»Ф*(+ф2*, (21.37) '
структура которого, в отличие от (21.26), полностью совпадает
со структурой формулы (20.23).
60
Установим теперь зависимости между компонентами вектора
Ф в деформированных и недеформированных осях срединной по-
верхности. Для этого приравняем правые части равенства (21.17),
(21.31) и внесем вместо г*,, т» их выражения (19.18) и (19.25).
В результате получим векторное равенство вида
<р* Г;Н-сргп = ср*ж [Гк(6fk4-efk) +со,т] +ф* I-’/2 (Е’г.+Езт),
в котором E'=alsEs. Из этого равенства следуют интересую-
щие нас зависимости
ф=ф’* GJi-j-I ~1/2Е3ф» ,
ф' = Фк» (6,k+eik)+I-I/2Ei<p (21-38)
Если последние из них свернуть с тензором asi и учесть, что
а^-ф'—фв, asiE‘=Es, а8|е\ =esk, asi6'k = aSk, то получим зави-
симости между ковариантными компонентами <ps и компонентами
фк, , ф * вектора ф
<ps = фк. asi (S'k+e 'k)+1 _I/2E!ais » =
= фЧ (ask+esJ+I-^Estp*. (21.39)
В соответствии с (21.39) и первой формулой из (21.38) согласно
зависимостям (21.30) теперь можно записать такие зависимости
у = + <р. =
1 1 1
= Г1/гЕ1 + aik + е.к ) + 1‘1/гЕ1(р. =
= 1-1/гЕ ( 1 + V. ) + *>“( а1к + е1к ),
f
,=Г1/2Ез( 1 + Г. + (2140)
Подставляя их в формулы (21.18), получаем скалярные соотно-
шения, связывающие перемещения произвольной точки оболочки с
введенными в рассмотрение искомыми неизвестными щ, w, ф*ь ф*
Uzj =u,4-z[I -1/2Ej (1+ф. )+фк» (aik+eik)],
wz=w+z[I-*/2E3(l+(P<, )-1+ф'; и ,]. (21.41)
Выведенные соотношения (21.33) — (21.41) справедливы, вооб-
ще говоря, при произвольных перемещениях и произвольных зна-
чениях всех компонент тензора деформации. Сопоставляя их с
соответствующими соотношениями первого варианта, основанны-
ми на разложении вектора ф в виде (21.17), можно отметить сле-
дующее.
В силу линейности выражений (21.23) соотношения (21.24),
которыми определяются величины Zjk , являются линейными от-
61
где в рассматриваемом случае
2цзз°=2т* ф+фф. (21.13)
Между величинами т(з и т)зз°, определенными равенствами
(21.10), (21.13), по-прежнему усматриваются зависимости
T13=V1t]33O, (21.14)
позволяющие представить выражение (21.11) в виде (20.13).
Очевидно, выражениям (21.8) будут соответствовать компонен-
ты тангенциальных деформаций оболочки, определенные форму-
лами (20.25)
П iK = niK°+zXiK> (21.15)
в которых компоненты тензора тангенциальных деформаций сре-
динной поверхности т]1к° выражаются по формулам (19.14),
(19.21), а компоненты тензора изгибных деформаций оболочки —
по формулам (
Х1к=Ь 1к—bilt*+XlK=X|K+A.iK. (21.16)
Здесь х1к — компоненты тензора изгибных деформаций оболочки,
соответствующие классической модели Кирхгофа — Лява.
Выведенные соотношения в скалярной'форме могут быть пред-
ставлены в двух вариантах.
Первый из них основан на представлении вектора ф в виде
разложения по векторам недеформированной срединной поверх-
ности а
ф—Ф1г’+фт =ф‘ri+фт. (21.17)
С учетом этого разложения, а также формул (18.4), (19.25),
(19.31), (19.15) равенство (21.2) запишется в форме
UfZ г‘ +wzm=Ui г1 +wm-|-zl (Е, г‘ +Езт)+г(ф,г'+фт—т),
откуда следуют скалярные равенства
Uiz=ui+z(I-'/2El+Vl),wz = w+z(I-'/2E3— 1+ф). (21.18)
Данные формулы в случае малых деформаций срединной поверх-
ности оболочки, когда 1~ 1, принимают вид
Uiz = u1 -|-г(Е1Н-ф1 ), wz = w+z(E3—1+ф)- (21.19)
Так как эти формулы и выражения (20.16) соответствуют одной
и той же модели оболочки, то между функциями yj, у, входящи-
ми в (20.16), и функциями ф1 , ф, величинами Е} , Е3 имеют
место зависимости:
при произвольных деформациях поверхности о ’
у, =I~I/2 Е j-}-ф।, -у=!1/2 Е3—1+ф; (21.20)
при малых деформациях поверхности а
?1 = Е1+ф), у=Ез—1+ф. (21.21)
Дифференцируя (21.17) при а* , используя при этом формулы i
Гаусса—Вейнгартена (19.16), найдем
Ф1 = 17!ф=ц11£гк+р|т = ц1кгк+ц1т, (21.22) '
58
где обозначено
HfK=Vf(pR—<pbiR> |A1K = Vi<pK—фЬ^,
М'<='^1ф+Ь1кфк = \71ф+Ь|кфк. (21.23)
Внося теперь полученные формулы (21.22), а также (19.18) в
(21.9), выразим приращения компонент тензора изгибных дефор-
маций оболочки, связанных с поперечными составляющими ее
тензора Деформации через скалярные величины
2Х jR = Цк (aiS -|-е|S) р,| (aRs-j-eRS)-|-£ок[л ।-{-О; p,R —
= Hks (6 is+e |S) +|Ais (6RS +eKs) Ч-сОкМ’! .H к • (21.24)
Аналогичным образом, подставляя выражения (19.18) и (21.17)
в (21.10), находим скалярные соотношения
2П|3О=Фп(6^+е1п)+фю1 = фп(а|п+е|п)+ф£о1 (21.25)
для поперечных сдвигов в оболочке, а подставляя^ (19.25) и
(21.17) в (21.13), получаем скалярные соотношения
2^3°=21-^ (Е,ф'+ Е3ф) +,ф'ф|+ф2 (21.26)
для относительной поперечной деформации волокна, нормального
к срединной поверхности. В случае малых деформаций о послед- .
нее соотношение упрощается и принимает вид
Пзз°=Е1ф,+Езф+| (ф’ф,+ф2)- (21-27)
И, наконец, так как
2b *1R = -F* ,m * к -Г* R m *, = -1 -V2 [ Е RS (6 ,s+е is) +
+Ef3WK -|-Еis (6RS +esR) +ЕКЗЮ| ], (21.28)
то, используя данное выражение, а также (21.24), в соответствии
с (21.16) для ковариантных компонент тензора изгибных дефор-
маций оболочки 2х1к по модели типа Тимошенко приходим к ска-
лярным соотношениям
2% iR=2b iK Д-1 -1/2 [Ers (6fS+eiS) +Eis(6KS+eKS) + E13WK+
+Ек3ю t ]+hkS(6is H-ef5) +his (bKs+e rs) rЦ|i Цr. (21.29)
При малых деформациях срединной поверхности в силу 1^1 дан-
ные соотношения принимают более компактный вид
2 ^jR = 2b jR (Eks-(-|A Rs) (6iS+efs) + (Eis +|Xis) (6к5+е/) +
+ (E 1з+ц 1)ик+'(Екз-|-р,к )ю|. (21.30)
Заметим, что при <pi =<р=0 в соответствии с (21.25), (21.26)
приходим к равенствам 2t]i3 =yi33=0, на которых базируется
классическая модель оболочки Кирхгофа—Лява. При этом из
остальных кинематических соотношений без дополнительных пре-
образований следуют соответствующие кинематические соотноше-
ния классической теории.
Выведенные скалярные кинематические соотношения, основан-
ные на разложении вектора ф по базисным векторам недеформи-
рованной срединной поверхности, в случае произвольных переме-
щений даже при малых деформациях являются весьма сложны-
59
носительно компонент ср,, <р, но они нелинейны относительно
функций u j , w. Соотношения (21.35) второго варианта также
являются линейными относительно компонент <р*|, ср* и нелиней-
ны относительно Uj , w, так как исходные выражения (21.34) ли-
нейны относительно этих же функций <p*i( <р« и нелинейны отно-
сительно u |, w (в силу нелинейности ковариантного дифференци-
рования относительно aik ). Однако выражения (21.35) являются
более компактными по сравнению с (21.24).
Весьма простыми во втором варианте являются соотношения
(21.36) и (21.37), если их сравнить с соответствующими выраже-
ниями (21.25) и (21.27).
В то же время выражения (21.41) являются более сложными
и громоздкими, чем соответствующие им выражения (21.18) пер-
вого варианта. Однако при построении основных уравнений ста-
тики теории оболочек эти соотношения, как будет показано в
дальнейшем, вообще не используются.
Возможны и дальнейшие упрощения выведенных соотношений,
если ограничиться рассмотрением случая малых деформаций по-
перечного обжатия ц°зз и средних деформаций поперечных сдви-
гов 2i|Oj3 при произвольных значениях всех остальных компонент
тензора деформаций и компонент вектора перемещений V, т. е. в
случае выполнения оценок
Т)°зз~ е, 2-n°i3=<p*i (21.42)
где е — некоторая малая величина, которой можно пренебречь
по сравнению с единицей.
Только при выполнении ограничений (21.42) оказываются по-
следовательно строгими все соотношения теории тонких оболочек
типа Тимошенко, если для тангенциальных компонент тензора
деформаций оболочки трк принимается линейный закон их изме-
нения по толщине, т. е. в соотношениях (20.5) и (21.5) отбрасы-
ваются квадратичные члены с сомножителем z2. Доказательство
данного утверждения приведено ниже в § 24.
И, наконец, выведенные соотношения и уравнения статики обо-
лочек, оказывается, допускают наиболее существенные упроще-
ния в случае малых деформаций поперечных сдвигов', что будет
показано в дальнейшем.
§ 22. ТЕНЗОР АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИИ И НЕКОТОРЫЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ И МАЛЫХ
ДЕФОРМАЦИЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ
При построении нелинейной теории оболочек при произволь-
ных перемещениях особо важную роль играет применение тензора
аффинной деформации, компоненты которого определяются при-
ращениями символов Кристоффеля при деформации согласно фор-
мулам (1.27). В частности, с их помощью устанавливается связь
62
между ковариантными производными относительно метрик дефор-
мированной и недеформированной среды.
Обратимся к формулам
Г*ык= (^ka*ij+dia*kj—dja*kj—<9ja*ik)/2,
по которым определяются символы Кристоффеля первого' рода на
деформированной срединной поверхности оболочки. Внося в эти
формулы выражения a*ik = a ik +2n°ik и принимая во внима-
ние, что rjlik= (<5kaij +<?jakj — djaik)/2,
найдем
г*j,ik = г j,(k +<эк n°ij +<5in°kj ~d j П0 ik • (22.1)
По аналогии с (1.26) трехчлен в этом равенстве можно предста-
вить в виде
<5к +<? < r)°jk — dj no ik = P j, ik +2Г nik n° nj, (22.2)
где введены обозначения
Pj,ik=Vin0jk+Vkn0ij— VjVjk- (22.3)
Формулу (22.1) с учетом (22.2) запишем теперь следующим
образом
Г*j>ik ==Гbik +Р bik +2Г*ikn°nj = rnik (auj +
Wnj) +Pj,ik = rnik a*nj +P bik, (22.4)
где принято во внимание, что a*nj =а nj +2n°nj> Гj,ik =anjPnik-
Свертывая обе части полученного равенства с тензором а}пф и
учитывая формулы P*iik = ain*P*j,ik> a*isaks* =6ki , получим
требуемую формулу для символов Кристоффеля второго рода
деформированной поверхности a «
r*Jik = rJik +А jik, (22.5)
в которой величины
Ajik = a Pn,ik (22.6)
являются компонентами тензора аффинной деформации поверхно-
сти а, симметричного по нижним индексам i, к. Для этого тензо-
ра, как показано в [15], можно установить ряд полезных соотно-
шений. Так, например, внося в формулу
V*,7*k=r*lk—r*slk7*s _ (22.7)
для ковариантной производной от базисных векторов r*k по мет-
рике a*ik вместо r*ik соответствующую формулу из (21.32),
получим V*ir*k = b*ikmti, (22.8)
а исходную формулу (22.7) с учетом (22.5) представим в виде
V*i г* k = г* ik—Г sik r*s —Asik r*s,
откуда следует, что _
v j7*k =7* ik —rsik7* s=v* i 7*k+A sik r*s,
или же с учетом формулы (22.8)
Vi7*k=Asik7*s+b*ikm* • (22.9)
63
Следовательно, тензор аффинной деформации поверхности слу-
жит для ковариантного дифференцирования базисных векторов
r*k относительно недеформированной метрики ajk.
Умножая теперь обе части полученной формулы (22.9) на век-
тор г1*, устанавливаем равенство
Ак0=7к^й*1, (22.10)
откуда после свертывания обеих ее частей с а*пк находим тен-
зор Pn,ik = r*nVjF*k. (22.11)
Как показано в [15], данный тензор может быть выражен через
перемещения точек срединной поверхности по формулам
Рn,ik ==<й.1 (V । wk +bisesk +b ik) + (V jesk—bsk to,) (ans-)-ens), (21.12)
которые позволяют в соответствии с (22.6) определить компонен-
ты тензора аффинной деформации поверхности.
Отметим, наконец, что в случае малых деформаций срединной
поверхности скаляр Ез можно выразить через величины w, . Для
этого возведем обе части равенства (19.25) в квадрат и учтем, что
ш*ш*=1, шш=1, тГ1=шг‘ = 0, а при малых деформациях
1«1. В результате получим равенство Е23-|-Е‘Е} —1«1, кото-
рое после подстановки Е, из (19.26) и ряда преобразований при-
водится к виду Е2з+юп wme'n.em|.—юnWie'n. (l+emm) —
(l+ekk.)+® ’(o, (l+ekk.) (Ц-еmm.) «1- (22.13)
В [15] доказывается, что в случае ортогональных координат
на а данное равенство может быть получено из равенства
<*>41+2^0)+^ (1+2т)°22) -4|)012(й1<»2+Е2з»1, (22.14)
выраженного через физические компоненты соответствующих тен-
зоров. Пренебрегая в (22.14) удлинениями т)0,, по сравнению с
единицей, а также слагаемым ^т^гсо^г, приходим к равенству
Е2з=1—и2!—и22. (22.15)
После аналогичных операций из (22.13) можно получить прибли-
женное равенство
Е3=(1— coiffl’)'/’ , (22.16)
эквивалентное равенству (22.15), которое широко используется в
нелинейной теории оболочек при конечных перемещениях и малых
деформациях.
§ 23. УПРОЩЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ
ТИПА ТИМОШЕНКО ДЛЯ СЛУЧАЯ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
ПОПЕРЕЧНОГО ОБЖАТИЯ, ПРИ СРЕДНИХ И МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ
Как было упомянуто в § 21, использование в качестве искомых
функций компонент вектора <р относительно базисных векторов
г* j, т» деформированной срединной поверхности а * приводит
64
к заметному упрощению кинематических соотношений в случае
малых деформаций поперечного обжатия и средних деформаций
поперечных сдвигов при произвольных значениях остальных ком-
понент тензора деформаций и произвольных перемещениях. Имен-
но такой случай деформированного состояния и является наиболее
характерным в нелинейных задачах механики тонких оболочек.
К ним, в частности, относятся различные технологические задачи,
касающиеся изготовления оболочек, а также задачи механики
оболочек, изготовленных из эластомеров.
Поперечное обжатие т]°зз будем считать малым, а поперечные
сдвиги 2ц°(з в точках а при z=0—средними, если для них вы-
полнены приближенные равенства _____
Т)°зз«е, гт^з^Уе, (23.1)
в которых е — по-прежнему малая величина, которой можно пре-
небречь по сравнению с единицей.
Проведем теперь упрощения выведенных в § 21 кинематических
соотношений, имеющие место при выполнении условий (23.1).
Обратившись к формуле (21.37), перепишем ее в виде
(2+<р* )ф * =2т]°зз— *• (23.2)
Так как согласно (21.36) 2г]°1з=ф*1 , то при выполнении усло-
вий (23.1) в соответствии с (23.^) будем иметь
(2+<р* )ф* ~е.
Данное условие, очевидно, может выполняться лишь тогда, когда
функция ср* удовлетворяет условию ф* ~е, (23.3)
в силу которого в (21.37) можно пренебречь слагаемым ф2* /2.
Итак, в рассматриваемом случае деформированного состояния
оболочки при выполнении условий (23.1) с точностью 2+ф* «2
формула (21.37) приводится к виду
. т]°зз~Ф * +ф*1ф’* /2—ф * +2г)°1зт)13о, (23.4)
в которой ф‘ * =а1к*ф*к =2alk*T)°ks =2ц’3о. В соответствии с
этой формулой вместо ф* в качестве искомой функции в кинема-
тических соотношениях целесообразно использовать функцию по-
перечного обжатия т)°зз, выразив ф * через ф*,- ц т)°зз
Ф * =Г)°зз—ф*(ф1*/2— Т)°зз—2т|О(зТ)‘3о- (23.5)
В результате для величины Ajk , входящих в компоненты изгиб-
ной деформации оболочки, получаем формулы
2Л,ik =р* ik +p*ki = V*iф*к +V* кф*( —2b*ik (позз-Ф* s Ф%/2).
„ (23.6)
Переходя в них с помощью формул вида (1.30) от ковариантного
дифференцирования относительно а*Гк к ковариантному диффе-
ренцированию относительно а ш, будем иметь
2Zik = Viф’к+Укф*| —Asikф% —А8к,ф*з —2b*ik (т)°зз—ф*sфs* /2).
Так как тензор Asik является симметричным относительно ниж-
них индексов, то
2Zik = V ,ф* k + Vk Ф*( —2Asik ф% —2b jk (ц°з3—ф*s ф8 * /2). (23.7)
5 а-66 65
И, наконец, с учетом равенства (21.36) в соответствии с (20.26)
для компонент вектора поперечных сдвигов оболочки устанавлива-
ем окончательную формулу
2т] |3 = Ф* i +zV (П°зз, (23.8)
а при выполнении условий (23.1), как следует из вышеизложен-
ного, с точностью 1+<р* ~1 для компонент вектора перемещений
оболочки вместо (21.41) приходим к соотношениям
Uz, =ui+z[l -1/2Ei+<pk* (alk +eik)],
wz = w+z(I-1/2E3—1 +<p '* ю i). (23.9)
Покажем теперь, что в соотношениях (23.6), (23.7) с принятой
степенью точности 1-|-е«1 могут быть отброшены последние сла-
гаемые. Действительно, внося, например, соотношения (23.6) в
равенства (21.16), будем иметь
2т]ik =2bik -2b*ik +V*i <p*k +v*k<p* i —2b*ik (Л°зз-ф%<ps */2),
откуда, имея в виду, что при выполнении условий (23.1) т]°зз—
—Ф%Ф%/2~е с указанной степенью точности получаем окон-
чательные формулы
2n (k =2(bIk-b* ik) +V*j(p*k+V*k(p*, =
= 2Xik+Vi(p*k+Vk(p*2Asik<p*s, (23.10) .
и 2^ik«V*l(p*k+V*k(f*i = Vi(p*k+Vk(p*i-2Asik(p*s, (23.11)
в которых x ik и Asjk определены выражениями (19.10), (19.29)
и (22.6).
Итак, в случае малых деформаций поперечного обжатия и
средних деформаций поперечных сдвигов в оболочке компоненты
тензора изгибных деформаций и векторов поперечных сдвигов и
перемещений определяются формулами (23.10), (23.8) и (23.9),
являющимися нелинейными относительно неизвестных перемеще-
ний и, , w и линейными относительно поперечных сдвигов <p*j
и поперечного обжатия т]°зз, выбранных в качестве искомых неиз-
вестных.
Рассмотрим теперь случай деформированного состояния, ха-
рактеризующийся малыми деформациями поперечного обжатия
и поперечных сдвигов при произвольных значениях остальных
компонент тензора деформаций. Так как в данном случае выпол-
няются условия
Т)°зз ~ е,2т]0,3= <р* i ~е, (23.12)
то, пренебрегая в (23.4) нелинейными членами, приходим к ра-
венству т]°зз~(р*. (23.13)
Вместо (23.6), (23.7) получаем формулу
2Xik = V*i?*k-FV*kT*i-2b*ikr1033, (23.14) 2
в которой по-прежнему с точностью 1-|-еа* 1 может быть отброше-
но последнее слагаемое.
Остальные кинематические соотношения остаются без измене-
ний.
66 ".
§ 24. О ПРЕДЕЛАХ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ
ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКИ
ПО ЕЕ ТОЛЩИНЕ В ТЕОРИИ ТИПА ТИМОШЕНКО
При построении кинематических соотношений в теории типа
Тимошенко, так же, как и в классической теории, в выражениях
(21-5)
g*ik=r*jr*k+zjr*im*k+r\m*i+r*j<pkj,-r*k<pi) +
+z2(m*i+<Pi) (m*k+<pk) . (24.1)
последнее слагаемое с сомножителем т? (квадратичный член по
z) было отброшено как бесконечно малое по сравнению с осталь-
ными слагаемыми. Установим теперь условия, при выполнении
которых возможно такое упрощение выражений (24.1). Для этого
представим их в несколько ином виде
g*>k=r*ir*k+z{[r*j + |- (m’j+cpi)] (m*k+<Pk)+.
+ [r*k + |- (т*к+фк)] (т^+ф,)}, (24.2)
r— „ . z
и рассмотрим отдельно первое слагаемое г[г*f + —
+<Pi)] (гп’к+фк) в фигурных скобках. Имея в виду, что
т*| =—b*kir*k,_yi==p.*kir*k+|A*im Ф , r*ir*k = a*ik,
г* t m * = 0, m4 m * = 1,
и используя формулы (21.34), после ряда преобразований полу-
z[r + £ ( Ш + <р )](ш + <р ) =
i Z i i k k
= z{ r* + у [( - b*s )r* + ]}[( ц*п -
i zS i i s i ж k
- b*n )F* + /m ] = z( - b*n )a* +
И n k * k k in
2 2
Z Z,*s_ R* s W *n U *n \ « * । Z * * .
r) ~ I ц b ) \ /j. b ) a. -Гт— fj, fj,
i 1 k k snZik
= z( - b‘" )a' [ «• + 5 ( - b*= )| +
k k sniZ i i
+ £ ul*h* = z( V*<pn - <f> b*n - b*n )a* [ as +
zj i k k * r*k k sn i
5*
67
+ 2 ( “ Ф.Ь*3 ~ b*S +
+ + b’Vv’<p +
2 i • к** к *n ir*
+ b_> v фж + b sb n<p*<p ). (24.3)
i s 1c * i 1c s n
Очевидно, что в (24.1) может быть отброшено указанное последнее
слагаемое, если в (24.3) с принятой степенью точности l-j-ea? 1
считать выполненным приближенное равенство
7
-Ь’МЦ-ф* )]^6S(, (24.4)
имеющее место при
|[V*i<ps,-b*s1(14-<p ,)]~е, (24.5)
а последнее слагаемое в круглых скобках с сомножителем z1 2 по
сравнению с остальными слагаемыми (24.3) является величиной
более высокого порядка малости.
Начнем с анализа условий, при удовлетворении которых вы-
полняется приближенное равенство (24.4). Прежде всего отметим,
что для выполнения условия (24.5) необходимо, чтобы после де-
формации оболочка оставалась в классе тонких оболочек, т. е.
выполнялось приближенное условие
zb*s,~8. (24.6)
Для дальнейшего анализа введем в рассмотрение параметр
Хс , за который примем некоторый масштаб изменения деформа-
ций поперечных сдвигов вдоль координатных линий на деформиро-
ванной срединной поверхности ст * . Тогда вместо (24.5) можно
7 7b* 8
записать «г ф8*--------к—1 U+ф # ) ~е. (24.7)
Данное условие при удовлетворении условию (24.6) будет выпол-
нено в двух случаях
1. Ф* ~1, ф\~1, ^-~8; (24.8)
Л с
7
2. ф.~1, ф\~Уе( т-~|е. (24.9)
Л» с
Комплекс условий (24.8), по-видимому, в тонких оболочках Г
не может быть реализован, так как при больших значениях де- ~
формаций поперечного обжатия и поперечных сдвигов изменяв- '
мость ф‘ * по а1 не может быть малой. Более того, при одновре-
менном выполнении условий ф» ~ 1 и ф!» ~1 деформированное
68
состояние в тонких оболочках может быть исследовано только в
рамках трехмерных уравнений механики деформируемых тел,
описанных в первых трех главах (примером, отвечающим рассмат-
риваемому случаю, может служить задача о деформации тонкой
резиновой оболочки в зоне приложения локальной нагрузки).
Деформированное состояние оболочки с показателями (24.9)
при наложении дополнительных условий (24.6), вообще говоря,
близко к деформированному состоянию с показателями (24.8) и
не требует дополнительного анализа.
Оценим теперь порядки слагаемых, входящих в выражение
У 2
х=—(V^qj* У*кф , +b*nk<p*nV*iq) *+b*siq)*sV*kq)* +
+Ь*®Ь*пкф*5ф*п). (24.10)
Принимая, что функция ф# при дифференцировании по сц
имеет тот же масштаб изменения 1С, что и функции <ps # , выра-
жение (24.10) представим в виде
<24Л1)
4 \ Л с 4* с Л* с >
Члены, входящие в данное выражение, при выполнении условий
(24.6), (24.8) будут иметь порядки
22ф2* 2 Z2b*nk ф*пф* 22Ь*51ф*;ф » 2
12с ’ 1с ~ 1с ’
22Ь*®Ь*пкф*8ф*п ~е2, (24.12)
в то время как для остальных слагаемых выражения (24.3) при
выполнении (24.4) имеем оценки
z[V*k9n*-b*nk(l+q4)]a*sn~e. (24.13)
Следовательно, в исследуемом случае с показателями деформиро-
ванного состояния (24.8) с точностью 14-е~ 1 в соотношениях
(24.1) могут быть отброшены слагаемые с сомножителем z24 Од-
нако этот случай, как уже было отмечено выше, в теории тонких
оболочек не представляет практического интереса.
Предположим теперь, что деформированное состояние оболоч-
ки характеризуется комплексом показателей (24.6) и (24.9).
В этом случае члены, входящие в (24.11), будут иметь порядки
ZV * z2b'*VpM* ~ 22ь*8,ф%ф ♦ _е2> (2414)
I2 с 1с 1с
z2b*Sjb*пкф*8ф*п ~е3,
в то время как
z[VW»~-b*nk(l+TJ]a*sn~e. (24.15)
Следовательно, в рассматриваемом случае отбрасывание в (24.1)
слагаемых с сомножителем z2 является неправомерным.
Допустим, что деформированное состояние оболочки характе-
ризуется комплексом показателей/
zb*si~e, ф# \/Г (24.16)
Л с
69
В данном случае по-прежнему имеют место оценки (24.15), а для
слагаемых выражения (24.11) приходим к оценкам
z2<p% 2 г2Ь*пкф*пф * z2b*s1<p*s ср» ~ /2
%2с ~S ’ А,с ~ Лс ~
22ь*81Ь*пкф*8ф* п ~е3. (24.17)
Следовательно, при исследовании деформированного состояния
тонких оболочек с показателями (24.16) в выражениях (24.1) воз-
можно пренебрежение членами с сомножителем z2.
Наиболее строгими и последовательно точными соотношения
теории оболочек, основанные на указанном пренебрежении, явля-
ются при изучении деформированного состояния оболочки с по-
казателями
-- 7 __
zb*S| ~е, ф * ~е, ф8* ~Уе, — ~Уе, (24.18)
Л, с
который в § 23 был назван случаем малых деформаций поперечно-
го обжатия и средних деформаций поперечных сдвигов. При вы-
полнении этих условий, как и в случае (24.16), имеют место оцен-
ки (24.15), а для слагаемых выражения (24.11) приходим к оцен-
кам
г2ф2 * 3 г2Ь*пкф*пф* г2Ь*81ф*8ф, я
12с ~S Хс ~ Лс ~S’
г2Ь*81Ь*пкф*8ф*п ~е3, (24.19)
которые указывают на возможность отбрасывания в соотношениях
(24.1) членов с сомножителем z2 с точностью 14~е2~1. Упрощен-
ные таким образом соотношения
g*jk=r*1r*k+z(r*1m*k 4-r*km*i4-r*1 <pk-+-r*k<p,), (24.20)
вообще говоря, для тонких оболочек справедливы не только при
выполнении разобранных выше комплексов условий, но и в слу-
чае деформированного состояния с показателями
zb*S[ ~е, Ф* ~8, ф1* ~8, ^--~1, (24.21)
Л с
указывающими на большую изменяемость малых деформаций по-
перечного обжатия и поперечных сдвигов.
При выполнении этих условий по-прежнему выполняются ус-
ловия (24.15), а слагаемые выражения (24.10) будут иметь бо-
лее высокие порядки малости
г2ф2» 2 г2Ь*пкф*пф» г2Ь*5!ф*8ф» 3
Ас ’ Хе ~ Хе
z2b*sib*nkT*sT*n~84. (24.22)
Из проведенного анализа следует, что при построении основ-
ных кинематических соотношений для оболочек средней толщины
с геометрическими показателями zbk ~Уб в исходных выраже-
ниях (24.1) должны быть сохранены все слагаемые.
70
§ 25. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ ТИПА ТИМОШЕНКО,
ВЫРАЖЕННЫЕ ЧЕРЕЗ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА Y В БАЗИСЕ
ДЕФОРМИРОВАННЫХ ОСЕЙ
Обратимся еще раз к представлениям векторов U и р* в виде
(18.8), (18.9), имеющим место в теории Тимошенко. Для тонких
оболочек соответствующие им кинематические соотношения, как
было установлено в предыдущих разделах, записываются в форме
TH =n°ik + zXik >
2-Ц/а =2n°i3+zVi-n°33, Пзз=П°зз, (25.1)
где в свою очередь _ _ _ _ _ _
2Xik=r*iYk+r*kYi— ij (b^v^+b’kVi), (25.2)
2п°1з = myH-r*,у, (25.3)
2т]°зз= (2т+у)у, (25.4)
а т]°1к определяются по формулам (19.14).
В силу выполнения условий zb\ с точностью бк!—zbkj
а;бк! последние слагаемые в (25.2) могут быть отброшены, а
структура первых двух слагаемых этих соотношений и равенств
(25.3) указывает на целесообразность представления вектора у
в виде следующего разложения [73]
7=7*!г'* +7* т» =7**Г*1+Т *т* • _ (25.5)
Применяя формулы (21.32), найдем производные 71
7i =di7=Q*ikrk* + Q*im * =й*к,г*к4-й*; т *, (25.6)
в которых __
Q*ik=V*iy*k— b*ik7* =r*k7i, Q*i=V*iy H-b*ki7*k = m „у!,
Q*'k = a,J* Q*kj=V*i7’\-b*ik7+=ri* ?k. (25.7)
Используя теперь формулы (25.6), в соответствии со сказанным
выше получим выражения для компонент тензора изгибной де-
формации оболочки в виде
2xlk = Q*lk+Q*kI=V*17*k+V*k7*1-2b*lk7*, (25.8)
линейные относительно 7*1, 7 * и нелинейные относительно щ, w.
Так как согласно (19.17) mv^co!, то подстанов1ка (25.5)
в (25.3) приводит к формулам
2Ti°i3=®i+7*i=Viw4-bk1uk4-7*i , (25.9)
линейным как относительно 7*1, так и относительно ui( w.
Обратимся, наконец, к формуле (25.4). Для дальнейшего ее
преобразования, сопоставляя формулы (18.9) и (21.3), запишем
равенство m+7=m* 4~ф> откуда m=m * +<р—7.
Поэтому в соответствии с (25.4) будем иметь
2п°зз=2т74-77=2(т4, +<р—7)7+77= 2(т» +43)7—77,
или, внося сюда разложения (21.31), (25.5) и принимая во внима-
7.1
ние формулу (21.36), находим
2т]°зз=2[(1+ф* )у *+2т]°1зТ'*]—?'* T*i—V2*- (25.10)
Как было установлено в § 24, кинематические соотношения
(25.1) являются последовательно строгими лишь при выполнении
условий (24.18) и (24.21). Поэтому, пренебрегая в (25.10) вели-
чиной ф* по сравнению с единицей и полагая 2—у* «2, оконча-
тельно получим
У * (2—у* ) = 2т]°зз—4т]°1зТ1* +?' *Y*i> «ли
У* =Л°зз—2п°13у‘*+?'* Y*i/2- (25.11)
Внося теперь данную формулу в выражение (25.8), будем
иметь
2x1k=V*Iy*k+V*ky*I-b*Ik(2T)O33-4nos3ys*+vs* V*s). (25.12)
Структура этих соотношений, а также (25.9) указывает на
возможность выбора в качестве неизвестных функций величин у*
и т)°зз. Если в них пренебречь двумя последними слагаемыми в
круглых скобках
2x,k = V*,y*k+V*ky*f- 2Ь*1кт1°зз, (25.13)
то весь комплекс кинематических соотношений, состоящих из
(25.1), (25.9) и (25.13), оказывается наиболее компактным по
сравнению со всеми остальными вариантами основных соотноше-
ний, построенными выше. Однако оценить погрешность, вносимую
таким пренебрежением в формулах (25.12), не удается без привле-
чения энергетических и силовых оценок и наложения дополнитель-
ных условий на функции y*j и их изменяемость по координатам
а 1.
Как и в § 20, из полученных здесь соотношений путем предель-
ного перехода не могут быть получены кинематические соотноше-
ния классической теории Кирхгофа—Лява.
§ 26. ДЕФОРМАЦИЯ ГРАНИЧНОГО КОНТУРА ОБОЛОЧКИ
Геометрическое место граничных точек срединной поверхности
незамкнутой оболочки называется граничным контуром С, а ее
граничным срезом называется линейчатая поверхность S, образо-
ванная движением нормали m к ст вдоль контура С. Пусть п — еди-
ничный вектор нормали к контуру С, лежащей в касательной пло-
скости недеформированной срединной поверхности ст, а т — еди-
ничный вектор касательной к С, которые вместе с вектором нор-
мали m к ст образуют правосторонний триэдр {и, т, ш}
п= [т. ш], т=[ш, n], m=[n, т]. (26.1)
Векторы пит обычно представляются их разложениями в ос-
новном и взаимном базисах поверхности ст
n=rini==nrri, T=xIri =т‘г1. (26.2)
Если контурная линия С задана параметрическим уравнением
72
r=r(s), в котором s — длина дуги вдоль С, то величины п, ,
и,, Ti, т1 определяются по формулам
Т*=3^"’ Т1=а‘ктк’ п'==с"с^1<> n1 = aIknk, (26.3)
причем по определению
— dr dr da1 da1 — <—
T--- 3— ---3 i • “5— =; J— ГI — T ГI.
ds da ds ds
Пусть n* — единичный вектор нормали к деформированному
контуру С* , лежащий в касательной плоскости'к деформирован-
ной срединной поверхности ст* ; т* — единичный вектор касатель-
ной к С* . Для этих векторов, а также вектора нормали ш* к
ст* имеют место формулы
п* = [т* , т* ], т* = [т* , и* ], т * =[п * ,7* ], (26.5)
аналогичные (26.1), причем
П = г*п? = nxr*, т = т*г* = г*г*,
* i * * i * 1* *1
(26.6)
гГ = а* nk, (26.7)
i i k *
_ dr* dr* ds ar* da1 ds
= ^s; = ^s-as; = ^T57-^7 =
= rV
ds
ds*.
Здесь r* =r(s)4-v(s)
— уравнение деформированного контура С* , а
длины дуги вдоль линии С *.
Внося выражение (26.9) в (26.8), будем иметь
т* =
dr dv \ ds___/ — dv \ ds
ds ds / ds* \ ds / ds*’
откуда, имея в виду, что тт=1, т* т* =1, находим
ds2*=[l+27g + (f)2lds2.
(26.8)
(26.9)
ds * — элемент
(26.10)
(26.11)
73
С другой стороны, дифференциал дуги ds* деформированного
контура может быть найден при помощи первой квадратичной
формы поверхности о*.
ds2*=a*lkda1dak=(alk+2Ti%)da1dak = ds2(l+2TiOlkgig-k)(
или, принимая во внимание первую формулу из (26.3),
ds2* = ds2(l +2ri°lkAk) =ds2(lH-2r)°x ), (26.12)
где обозначено
т]°г =TiOik^k. (26.13)
Сравнивая полученные выражения (26.11) и (26.12), заключаем,
что _ _
2^=2;^+ (^)2=2n°lkx4k. (26.14)
Представим вектор перемещений точек линии С разложением
по осям триэдра {п, т, т}
v=unn+utT+wm. (26.15)
Дифференцирование векторов п, т, m по аргументу s выполняется
по формулам _
dn — , — dx — , —
J— = XT—К пт Щ, -г— =—хп—Кт т,
ds _ ds
=кптп+кт Т (26.16)
где кт , кпт —нормальная кривизна поверхности о в точках ли-
нии С в направлении т и геодезическое кручение, а х —геодези-
ческая кривизна, причем _ _
1 t 1 к — — on
кПт=—bikn т =n-j— =—m — ,
ds ds
x=—n =т ——• =—щ rk Vkf1 =divn. (26.17)
as as
Используя (26.16), найдем производную вектора (26.15)
== ^петп+гетт+mwT , (26.18)
где обозначено
dun , , duT , , .
етп = -^ —хит Ц-wknT, етт—-^- +xun +wkT
сот = -т-----u п к пт —Ut к т .
ds
Внося теперь найденное выражение (26.18)
получим
2т)®т = 2етт +е2тп 4-е2тт -|-со2т .
(26.19)
в формулу (26.14),
(26.20)
74
Из формулы (26.12) следует равенство
Яс
=(Ц-2п°г )-'/», (26,21)
as *
с учетом которого, а также формулы (26.18) в соответствии с
(26.10) и первой формулой из (26.7) находим
т * = (14-2ц°т ) -1/! [петп 4-(1+етт )т-Нтсот ], (26.22)
т‘ * = -^ • =т' <) -,/2 • (26.23)
as as #
Выразим вектор единичной нормали т* к деформированной
срединной поверхности о* через единичные векторы _триэдра
{п, т, гл). Для этого_внесем в формулу (19.25) вместо г'их вы-
ражения г1 =п1п+т1т. В результате получим.
т* =1—V» (пЕп+тЕт 4-шЕ3), (26.24)
где En=Ej п1, Ет =Е(т‘.
Аналогичное выражение следует для вектора п* , если под-
ставить в первую формулу из (26.5) равенства (26.22), (26.24)
и воспользоваться формулами (26.1):
П * = (1Н-2т]от: ) —Vs I —72 (Еппп+Етпт+Ептт), (26.25)
где обозначено
Enn= (l-f-ет )Е3—(оттЕт, Епт: = —етпЕз-}-
+ сотЕп, Enm=etnEi:—(14-етт)Еп. (26.26)
Для построенных векторов п * , т* , т* имеют место формулы
дифференцирования по аргументу s* , аналогичные формулам
(26.16)
бп А бт * . А —
-j-—=х »т * — к*гит* , -j— .=—х * п* — к*т т * ,
as . as -f*
^1*. =к*пгП *4-к*г Г* , (26.27)
в которых
к*г =-b*ifc<tk*, k*nt—— Ь*|кп'*тк* ,
и * =—n»ftk* VV1* ==divn* , (26.28)
причем с учетом (26.21) данные формулы представимы еще и в
форме
=(1+2Л0г )-’/2(и* 7*-к*пгт*), =
_ = (14-2т]°г )-,/2(—х*п* —к*г т * ),
^L = (l+2noT (26.29)
Для вычисления величин к*т , к*пт, х * можно вывести и дру-
гие формулы. С этой целью составим очевидные равенства
75
dr d?)0
(i + 2< r-'v;-+ 2t- as; =
- ( 1 + 2< )—2[ ecn g + ( 1 + ) g +
dm jti/2 лп
11/2 + й-ЙГ-= ( 1 + 2< > ( Е„й +
я- _ dE _ dE _ dE
+ E,, Й + E-, й + " + шг + ” as2 ’.
. — dn - dr
с использованием которых с учетом формул и -г- =т — =
=т —— =0 и соответствующих выражений из (26.17) находим
ць
_ dr —
kc = - m, " = ( i + 2т)° ) 1I"1/2( Е k +
с nn т
de
+ Е k - Е W - Е -,-^п -
ПС ПС ЯШ n US
de du
= ( 1 + 2v° )-’!-* [( е е -ЕЕ )к +
77 Л n-С -С пт с
+ ( Е Е -ЕЕ )к + ( Е Е -ЕЕ )w +
3 ПП П пт 7 лТ Ьп пс \\п
п- dEn dE dE
+ Е -г-21 + Е -пг-2 + е 3 1
nn ds ____n c dTs ds J ’
76
и. = ( 1 + 2ч° )-1I“’/2{ К 1 + е )Е -
тт п гп
и Е ]к + ( е Е - w Е )к +
r ,1Г х tn nm г nn пг s
+ (( 1 + е )Е - е Е ] я - (26.30)
Т-'Т nn тп пт
de dE dw
g rn _ P t c _ p _____T
nn dS nt ds nm ds
где приняты во внимание также формулы (26.26) , (26.22), (26.24)
и (26.25).
Выясним геометрический смысл величины 2т)°х , определяемой
по формулам (26.14), (26.20). Для этого, используя (26.21), со-
ставим выражение
(ds* —ds)/ds=Vl+2T)°r —1.
Отсюда следует, что величиной 2т)°’с характеризуется относитель-
ное удлинение элемента на уровне срединной поверхности обо-
лочки в направлении касательного вектора т. В случае малых
деформаций этой величиной можно пренебречь по сравнению с
единицей, полагая 1+2т)°т »1. Кроме того, как мы установили,
при малых деформациях имеет место приближенное равенство
1«1. В результате несколько упрощаются формулы (26.22),
(26.24), (26.25), (26.29) (26.30), а в соответствии с (26.23) при-
ходим к приближенному равенству
т‘* = (1+2т)°х )
а на основании формул
n*i = c*ik А =17Г77с1ктк(1+2т10И-1/2 = 1-1/2(1+2т)0т)-1/2п1,
= а*кЛ = (а1к +2т|°Л) (1 + 2т)°х ) тк (26.31)
заключаем, что при малых деформациях
n*j «rij, т*1«тр (26.32)
77
М3=Мш* = ~ ( Р3(+) -Р3 (->]/
—— \ f/о
) 4. \ zF3dz,
а 1 J
_____________ _ _ _ _ —1/2 (27.8)
причем F3=Fm*, Р3(+) = Р(+) m * , Р3(_> = Р (_> m*. Для доказа-
тельства справедливости равенства (27.6) достаточно внести в
него вместо Н его выражение (27.7)^ применить далее формулу
двойного векторного произведения [а, [Ь, с]=Ь(ас)—c(ab) и
принять во внимание формулу (27.8)^_
Для рассматриваемого вектора М можно ввести представле-
ние и другого вида
_____________Й=[Н, т^+М^з , (27.9)
где М3р=Мр*3=М(т+у) —М(т» +<р)—его проекция на ба-
зисный вектор р*з, определенный формулами из (20.2) или (21.4).
Приравняем правые части представлений (27.6), (27.9)
М3пт» =М3Рр*3 (27.10)
и умножим обе части на ш* . Так как в теории типа_Тимошенко
при малых деформациях поперечного обжатия р^т* =(т* +
+ф)т* ==1+<р*з« 1+т]°зз« 1, то в соответствии с (27.10) прихо-
дим к приближенному скалярному равенству М3«М3р . С учетом
этого равенства с принятой степенью точности 14-т)°зз ® 1 можно
в дальнейшем использовать как представление (27.6), так и пред-
ставление
М=[Н, m. ]+М3(т+7) = [Н, т* ]+М3(Ы. +ф). (27.11)
Как показано в [73], для вектор-момента Н имеет место формула
Н = [m* , г* k ] Мк, (27.12)
где Мк —его_контравариантные компоненты относительно базис-
ных векторов г\ на о* . Подставляя теперь (27.42) в векторное
произведение [Н, ш* ] и применяя_формулу двойного векторного
умножения, получим2_[Н, rn« ]=[[т», r*k]Mk, m*]=Mkr*k ,
поэтому [Н, т* ]бу—Мкг* кбу. Произведение второй состав-
ляющей формулы (27.11) на бу с учетом последнего равенства из
<(20.4) равно
М3(ш+у)бу=М3б(ту+ у- уу)=М3бг)°3з.
А
Следовательно, элементарная работа полного вектор-момента
внешних поверхностных и объемных сил на вариации бу равна
ffM6ydo= Щ МкГ* кбу+М3бт)°зз)ба. (27.13)
а а
Вычислим элементарную работу внешних сил, действующих
на граничный срез оболочки. Вектор приложенного к нему внеш-
него напряжения Рп выражается по формуле Коши через век-
80
торы напряжений Р1, действующих на срезы a1 = const, в виде
(nz3=0) Pn=P‘nz|, где nzi определяются по формулам
(27,4). Применяя формулу преобразования (27.2), для элемен-
тарной работы контурных сил получим выражение
_ t/2 /F— - - —
fJPn 6UdS = fJ у J- P'ni6Udsdz= ( []/ y-P,ni(6v4-z6y)dzds.
£ C —1/2 C —t/2 (27.14)
Введя для главного вектора и главного момента заданных внеш-
них контурных сил обозначения
_ t/2 Г п _ __ t/2 / gr _
Os = j |/ 7 P'n.dz, Ms= j ]/ a P‘n'zdz> (27.15)
—t/2 —t/2
выражение (27.14) приведем к виду
И Pn6UdS=H^s6v+Ms67)ds. (27.16)
X с _
Разложим теперь векторы Р1 по базисным векторам косо-
угольных координат (20.2)
P, = pikp*k+pi3P*3=Pikr*k+zPiI4(?kY—Ь\п )+pi3 (m+y).
При подстановке в выражение для Ms из (27.15) второе слагае-
мое данного разложения, содержащее z, дает моменты . второго
порядка от усилий pik . Аналогичные моменты второго порядка
от внутренних напряжений о'к появляются при учете слагаемых
z2rlk в кинематических соотношениях (20.5). Поскольку, как мы
установили в § 24, учет этих слагаемых для тонких оболочек яв-
ляется несущественным, то несущественным является и учет ука-
занных моментов второго порядка как внешних, так и внутренних.
В силу этого замечания для вычисления Ms можно записать
приближенную_формулу __
Ms=[ Plkr* knjzdz+ J |/ -f-pi3(m+Y)nlzdz. (27.17)
—t/2 —t/2
В ней первое слагаемое представляет собой вектор-момент, лежа-
щий в плоскости деформированных -базисных векторов г*к . По-
этому по аналогии с (27.11) вектор Ms может быть представлен
в виде_ ____ ___ __ _ _ _ _
MS=[HS, m* ] +М\ (m+7) = [Hs, mt ] +M3S (т*+Ф) «
»[HS, m* ]-|-M3sm * ,
где величина M3S связана co второй слагаемой
(27:17), определяется по формуле __
M3S = j1 Pi3niZdz
—t/2
и представляет собой момент касательных усилий
Hs обозначен вектор-момент контурных сил, выражающийся фор-
(27.18)
выражения
р'3, а через
6 А-66
81
Глава V. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ПО УТОЧНЕННОЙ
И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЯМ
§ 27. ПРИВЕДЕНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ К ДЕФОРМИРОВАННОЙ
СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА
Приведем внешние силы, действующие на оболочку, к дефор-
мированной срединной поверхности и выразим элементарную ра-
боту этих сил на возможных перемещениях через приведенные си-
лы. Для этого рассмотрим деформированную оболочку, ограничен-
ную до ее деформации поверхностями z=t/2 и z=—t/2 и гра-
ничным срезом 2. Обозначим ограничивающие поверхности z=t/2
и z=—1/2 соответственно через S(+> и S (_> , а векторы прило-
женных к ним поверхностных внешних сил, отнесенных к едини-
цам первоначальных площадей, через Р(+) и Р(—> . Пусть Рп —
вектор внешней нагрузки, действующей на граничный срез обо-
лочки и отнесенной к единице первоначальной площади поверхно-
сти 2; g(+) и g(-) — значения определителя метрического тензора
g=gng22—g2i2 на поверхностях S(+) и S . В соответствии с
(17.8) элементы площадей этих поверхностей выражаются через
элемент площади срединной поверхности do по формулам
dS(+) = J/^^-do, dS(-) = |/'^b> do. (27.1)
Обозначим через Cz линию, лежащую на граничном срезе 2,
эквидистантную контурной линии Сео и отстоящую от нее на
расстоянии z; пусть d2—элемент площади 2, nz —вектор еди-
ничной нормали к этому элементу, ajV — компоненты вектора
nz относительно базисных векторов pj . Докажем, что на поверх-
ности 2 имеет место следующее соотношение
nzjd2= Л/ n jdzds, (27.2)
У а
где, как было принято в § 26, ds — элемент длины дуги контурной
линии С, a nj — компойенты вектора п относительно базисных
векторов г* на о.
Для доказательства утверждения (27.2) обратимся к вектор-
ному равенству p(z, s) =r (s)-}-zm(s),
являющемуся уравнением линии Cz , которое в свете результатов
[20] представляет собой отображение линии Cz на линию С ме-
тодом фиктивной деформации за счет вектора фиктивных переме-
щений zm(s). Сопоставляя данное равенство с равенством (27.9),
заключаем, что для элемента dsz длины дуги линии Сг имеет
место формула, аналогичная (26.11)
78
dsz = ds[l+2zT^+Z=(^y ] 1/2 , (27.3)
а для компонент nZj на основании (26.31) справедливо выраже-
ние
nzi= Д/—f l+2z7^+z2(^") 1 /2П1. (27.4)
г a L ds \ds / J ' ’
Так как элемент площади d2 определяется по формуле dS =
= dzdsz, то принимая во внимание установленные формулы
(27.3), (27.4), убеждаемся в справедливости соотношения (27.2).
Принимая теперь во внимание принятые обозначения, элемен-
тарную работу внешних сил 6А из (13.3) можно представить в
виде
6A=fJJF6UdV+JJP(+)6U(+) dS(+) + JJP(_) 6UdS (_, +ИPn6UdS.
v s(+) s(_, z
Подставляя сюда вариации вектора перемещений
6U(+) =6v4--^-бу, 6U(_j =6v—^-бу, 6U=6v-f-z6y
и выражения (17.9), (27.1), для элементарной работы получим
следующее выражение
6А= JJ (Хб7+Мб7) do+ ff Pn (6V+z6?) dS,
__ __ а 2
где X и М — векторы внешнего усилия и внешнего момента, при-
ложенные к точке деформированной срединной поверхности о *
и отнесенные к единице площади иедеформированной срединной
поверхности о
X=P(+,]/i±t> +pMj/gt2 + ‘Jj/fPdz.
____ ____ —t/2 _
“= T (P1+> V -р'-> ]Аг) + Т /г
_ -V2 (27.5)
Легко доказывается, что для вектора М справедливо представ-
ление _____ М=[Н, m*]+M3m*, (27.6)
в котором Н — его тангенциальная составляющая, лежащая в
плоскости, касательной ко*, определяемая по формуле
+ J [гл * , zF] dz, (27.7)
_ —t/2_
a M3 — проекция M на m*
79
М3=Мп7* = у-( Р3<+) 1/ to—рз^т/ to + Г zF3dz,
_____________ _ _ . _ __ (27.8)
причем F3=Fm*, Р3(+) = Р(+) m * , Р3(_) = Р (_> m*. Для доказа-
тельства справедливости равенства (27.6) достаточно внести в
него вместо Н его выражение (27.7)д_ применить далее формулу
двойного векторного произведения [а, [Ь, с]=Ь(ас)—c(ab) и
принять во внимание формулу (27.8)^
Для рассматриваемого вектора М можно ввести представле-
ние и другого вида
М=[Н, in* ]4~М3рр*з , (27.9)
где М3р =Мр*з=М(т+у) =М(т*+<р)—его проекция на ба-
зисный вектор р*з, определенный формулами из (20.2) или (21.4).
Приравняем правые части представлений (27.6), (27.9)
М3п7* =М3рр*3 (27.10)
и умножим обе части на ш* . Так как в теории типа_Тимошенко
при малых деформациях поперечного обжатия р*зШ* = (ш» +
+ф)т* = 1+<р*з» 14-т]°зз« 1, то в соответствии с (27.10) прихо-
дим к приближенному скалярному равенству М3«М3р . С учетом
этого равенства с принятой степенью точности 1+т]°зз» 1 можно
в дальнейшем использовать как представление (27.6), так и пред-
ставление
М=[Н, т* ]+М3(т+7) = [Н, т* ]+_М3(т* +ф). (27.11)
Как показано в [73], для вектор-момента Н имеет место формула
H=[m* ,7*k]Mk, (27.12)
где Мк —его контравариантные компоненты относительно базис-
ных векторов г*к на о* . Подставляя теперь (27.12) в векторное
произведение [Н, т* ] и применяя_формулу двойного векторного
умножениялюлучим^Н, гп* ]==• [[m„, r*k]Mk, т*]—Mkr*k ,
поэтому [Н, т* ]бу=Мкг* кбу. Произведение второй состав-
ляющей формулы (27.11) на бу с учетом последнего равенства из
<(20.4) равно
М3(т+у)бу=М3б(ту+ уу) =М3бт]°зз.
Следовательно, элементарная работа полного вектор-момента
внешних поверхностных и объемных сил на вариации бу равна
И M6ydo= И ( Мкг* кбу+М3бп°зз) do. (27.13)
а а
Вычислим элементарную работу внешних сил, действующих
на граничный срез оболочки. Вектор приложенного к нему внеш-
него напряжения Рп выражается по формуле Коши через век-
80
торы напряжений Р*, действующих на срезы a1 —const, в виде
(nz3=0) Pn=Pinzl, где nz( определяются по формулам
(27.4). Применяя формулу преобразования (27.2), для элемен-
тарной работы контурных сил получим выражение
j JP „ 6UdS = J J "|/" f-'P'ni6Udsdz= (J|/~ J-P,ni(67+z67)dzds.
2 C —1/2 C —1/2 (27.14)
Введя для главного вектора и главного момента заданных внеш-
них контурных сил обозначения
— t/2 /V — — t/2 / —
Ф5= J |/ — P'nidz, Ms=y |/ —P'njZdz, (27.15)
—t/2 —t/2
выражение (27.14) приведем к виду
ИPn6UdS=f (Os6v+Ms6y)ds. (27.16)
S С
Разложим теперь векторы Р1 по базисным векторам косо-
угольных координат (20.2)
pl = pikp*k4_pi3p*3 = pikr*k+zpikJdky—Ь\Г) )+р'3 (т+т).
При подстановке в выражение для Ms из (27.15) второе слагае-
мое данного разложения, содержащее z, дает моменты • второго
порядка от усилий р1к . Аналогичные моменты второго порядка
от внутренних напряжений oik появляются при учете слагаемых
z2xlk в кинематических соотношениях (20.5). Поскольку, как мы
установили в § 24, учет этих слагаемых для тонких оболочек яв-
ляется несущественным, то несущественным является и учет ука-
занных моментов второго порядка как внешних, так и внутренних.
В силу этого замечания для вычисления Ms можно записать
приближенную формулу
- . /V . - tf2. /Т______________________
Ms= [ у — p'kr* kniZdz-f-J У ~ pi3(m4-y)nlzdz. (27.17)
—t/2 —t/2
В ней первое слагаемое представляет собой вектор-момент, лежа-
щий в плоскости деформированных ^базисных векторов r*k . По-
этому по аналогии с (27.11) вектор Ms может быть представлен
в виде
Ms= [Hs, Ы* ] +м\ (m+7) = [Н5, 7] 4-М% (in* +7) «
«й [Hs, т* ]+M3sm * , (27.18)
где величина M3S связана со второй слагаемой выражения
(27.17), определяется по формуле
M3S = j* pi3n(Zdz
—t/2
и представляет собой момент касательных усилий р‘3, а через
Hs обозначен вектор-момент контурных сил, выражающийся фор-
6 А-66
81
мулой __ _ _
Hs = GsnTn*+Gsnr* . (27.19)
Здесь Gsn и Gsnx—изгибающий и крутящий моменты внеш-
них контурных сил. Внося (27.19) в (27.18) и учитывая равенство
[Hs, m*] = Gsnn* —GsnTT* , следующее в силу формул (26.5),
для полного момента контурных сил получим окончательное вы-
ражение
Ms=Gsnn*—GsnTT * +M3S (m-f-y) = Gsn n* —G^tt* -f-
+M3s(m*+?)~Gsr5T* -Gsnr7* +M%m* ._ (27.20)
С учетом того, что с точностью 1 +я°зз~ 1 (ш-|-у) бу ~ 6т]0зз, эле-
ментарная работа всех внешних поверхностных, объемных и кон-
турных сил в соответствии с (27.13), (27.16) и (27.20) выразится
формулой
6А=И (Хбу+Мкг*кбу4-М3бт]озз)йа4-
а
+ / [Os6v+(Gsnn* -GsnT^ * JSH-MMrftsJds, (27.21)
С
в которой, как мы уже отметили, не учтена элементарная работа
моментов второго порядка.
Следует заметить, что приведенные формулы для тонких обо-
лочек допускают некоторое упрощение, связанное с выполнением
приближенного равенства между определителями g и а
g=a(l —2zK+z2r)2«a. (27.22)
Здесь 2K=b'i , Г=(ЬцЬ22—Ь21г)/а— средняя и гауссова кривиз-
ны поверхности о. В силу этого равенства, следующего из приня-
того предположения б\—zbkla?6kl, в выписанных формулах с
принятой степенью точности можно положить ^g/assl.
§ 28. ПРИВЕДЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛ К ДЕФОРМИРОВАННОЙ
СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Обратимся к прав'ой части вариационного уравнения Лагран-
жа (13.3), представляющей собой работу статически возможных
напряжений на кинематически возможных приращениях дефор-
маций 6U. Для тонкой оболочки с учетом приближенного равен-
ства dV=Ygda1da2dz« yada'da2dz=dodz в рамках модели
С. П. Тимошенко выражение для 6U примет вид
60= И! ffa?6r]a^dVa?fff (a,k бт] ik+2a i3 6т]|з+о33бт]0зз) dadz. (28.1)
V V
Здесь oik, ai3, a33 — компоненты тензора напряжений a
82
в деформированной косоугольной системе координат а1 , z с ко-
ординатными векторами р*| , р*з, выраженными формулами
(20.2) или (21.4); трк , 2т]|3 , Т]°зз— ковариантные компоненты
тензора деформаций в недеформированной нормальной системе
координат с координатными векторами (20.1), выражающиеся
формулами
T)ik =T)°ik+zXik , 2r]13=2r]()i3+zVir]033,il33=Tl033. (28.2)
Внесем теперь (28.2) в (28.1):
~ t/2
6U= J f) [oik (6T)°ik+zx lk) +o13(26ri°( 3+zV(6r]033)'+ (TM6T)033]aadz.
—t/2 a
Отсюда усматривается возможность введения отнесенных к еди-
нице длины координатных линий a‘ = const недеформированной
срединной поверхности контравариантных компонент тензоров
тангенциальных усилий Т|к , изгибающих и крутящих моментов
М|к , векторов поперечных усилий № и моментов поперечных
касательных напряжений М13 , а также усилия поперечного об-
жатия № относительно базисных векторов г*( , р*з согласно фор-
мулам
t/2 , t/2 t/2
Tlk= ) crik dz, Mlk= f alkzdz, N1 = f al3dz,
—t/2 —t/2 —t/2
t/2 t/2
M13= f ai3zdz, №= У a33dz. (28.3)
—t/2 —t/2
При этих обозначениях выражение для 6U принимает вид
6U=уу (T,k 6v]oik+Мik 6х lk +2N16 Т]0 i з+Мi3 V, бт)°зз+№бт10зз) da,
о (28.4)
причем входящие сюда тензоры тангенциальных усилий Т и мо-
ментов M-в силу симметричности тензора напряжений о являются
симметричными: Т'к =Тк| , М'к = Мк1. Следовательно, в рам-
ках рассматриваемой сдвиговой модели С. П. Тимошенко при уче-
те поперечного обжатия и непостоянства поперечных касательных
напряжений в направлении поперечной координаты шесть усилий
Т11, Т12, Т22, N1, N2, № и пять моментов М11, М12, М22, М13, М23
полностью характеризуют напряженное состояние оболочки.
Заменяя внутренние напряжения и внешние усилия статически
им эквивалентными усилиями и моментами, мы можем'в дальней-
шем вместо пространственного элемента, выделенного из оболоч-
ки, рассматривать соответствующий ему элемент срединной по-
верхности, прикладывая к его сторонам усилия и моменты. Дру-
гими словами, введение усилий и моментов преследует ту же
цель, к которой мы стремились в теории деформации оболочек, а,
именно, оно позволяет привести трехмерные уравнения теории
упругости к двумерным уравнениям теории оболочек.
6*
83
§ 29. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕОРИИ ТИПА ТИМОШЕНКО
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ (1-й ВАРИАНТ)
В настоящее время основным методом построения уравнений
равновесия в механике оболочек, как известно, является использо-
вание вариационного принципа Лагранжа. В рамках принятой ки-
нематической модели С. П. Тимошенко вариационное уравнение,
соответствующее этому принципу, записывается в виде равенства
(13.3)
6A=6U, (29.1)
в котором 6А и 6U определены выражениями (27.21) и (28.4). 5
В соответствии с построенными во второй главе вариантами
кинематических соотношений основные статические соотношения,
описывающие равновесие оболочки, могут быть представлены в
нескольких вариантах. Рассмотрим здесь первый из них, который
соответствует применению кинематических соотношений, выведен-
ных в § 21.
Прежде всего, с использованием формул (19.14), (21.36) и вы-
ражений 2х1к = г*|т*к+г*кш*|+г*|фк+г*кф1 в (28.4) первые ;
три слагаемые подынтегрального выражения представимы в виде i
5 о Tik = Tu( + )/2 = т1кг*бг* = ;
1 к i к к 1 к 1
—, i lz — * —
= Т г v sv, ,
к i i
Mik = Mik( г‘з( пГ + ф ) +
i к 1 к к
+ г*?(ш* + ф ) 1 ( га * + ф ) а г +
к i i к г к 1
+ ( in* + ф )зг* ]/2 =
i i к
= М1 к [ г*з( in* + ф • ) + ( га* + ф )v 3v ],
i к . к к к i
- №бф* ,
84
так как 2т]0|3=ф*, , 6г*, =6(г\ +Vjv) == Vj6v. С учетом этих
соотношений, принимая во внимание равенство т]°3з~ф* , вы-
ражение для вариации потенциальной энергии деформации (28.4)
перепишем в виде
6U==H{[Tikr%+Mik (m*k+7k)]Vi67+Mik7*i6(m*k+<pk) +
+N'6(p*l+Mi3Vi6(p„ +№6ф„ }da. (29.2)
Воспользовавшись далее формулой преобразования поверхностно-
го интеграла в контурный
JJV,f 1da=jfinids, (29.3)
о с
составим выражения
ИМ‘кг*,6(т*к -hpk)do== J Mlkr*tnk6(m* +<p)ds—
a _ c____ ___
—Л Vk(Mikr*i)6(m*+<p)da, (29.4)
ИМ'зу^ф * da=JM13n16q) * ds—JJVjMi36qp* da. (29.5)
a c a
Преобразуем подынтегральное выражение поверхностного интег-
рала правой части равенства (29.4). Прежде всего, используя
формулу (22.9), найдем _ _
Vf (MikF* k) =r*k V j Mik +Mik VjT* k = (V ,Mij +AjikMik) r*j +
+ Mikb*ikiT„ =V*iMiJ7*Ji+Mikb*Ikm* ,
где принято во внимание, что ViM,i+A’ikMlk = V*1Mii.
Умножим теперь обе части полученного выражения на 6(m* -j-cp)
и воспользуемся легко устанавливаемыми формулами
г‘дш = - ш dr* = - га v dv, га dm = 0.
к* » к * к **
г1*s<p - d( <pr ) - <pdr = d<p — <pv sv,
к к к к к
m*d<p = d( «pm* ) - (рхЗт* = d<p* _ ( <р*г. +
+ <р*га* )бт* = d<pw + ip'm*v dv. (29.6)
В результате будем иметь
Vi(MikF*k26(m, +^) = [-V*1Mis (m* +ф) +
+Mikb*ikФ„ш, ]Vs6v+V*iMis6?*s4-Mikb*ik6?„. (29.7),
85
И, наконец, в контурном интеграле выражения (29.4) с использо-
ванием формулы разложения г*, =п*( п # -pr*f составим
равенство
Mlkr*in k =Mlk * )nk = G nn* —GnT-r*, (29.8)
введя в рассмотрение контурные изгибающий и крутящий момен-
ты внутренних сил согласно формулам
Gn = Mlkn*ink, GnT =— MlkT*(nk. (29.9)
Если воспользоваться теперь всеми полученными выражениями
(29-4)-— (29.8) и ввести в рассмотрение векторы внутренних уси-
лий Q* с помощью формул
+ (S,+^)-
—M^b’jktp'^m * , (29.10)
то для 6U вместо (29.2) приходим к выражению
6U= J[(Gnn *—Gn-tr* )б(т* -|-(р)+М,3П16(р* ]ds-|-
+ И [Q1 V ,6v— (V*, Mlk — Nk) 6<p*k — (V,M13 —N3+Mikb*lk) 6<p * ] do.
_ (29.11)
Согласно равенству (21.1) для вариации бу имеет место фор-
мула _ _ __ _____ ___ _
бу=бй+бф—б(т*—т)-|-б(р=бт4. Н-бср. (29.12)
Используя эту формулу, а также процедя очевидные преобразо-
вания _ _ _ ___ _ _
г*к (бт* 4-бср) =б<р*к —(m* +<p)Vk6v, (29.13)
с учетом равенства бт]°зз~бср* выражение (27.21) для 6А приво-
дится к виду
sA = [ Xsv - Мк( m + <р )v <3v + Мк<з<р* +
* К .К
а
+ М35ф ]d(T + J [ $S5V + ( -
г * n *
с
- Gs т )<з( in + ф )•+ M35ipe ]ds = J [ Qs<3v +
nx * • s *
+ ( Gsn - Gs т )$( m + <p ) + М35ф ]ds +
n. * nT * * s *
86
+ ТТ ( Ysv + Mk3ip* + M36«) )d(T, (29.14)
к *
O'
где обозначено _ __ _________ _
Qs =ф5— Mknk(m * +qp), (29.15)
У==Х+Ук[Мк(Ы*+ф)]. (29.16)
Подставляя теперь (29.11), (29.14) в (29.1) и преобразуя с по-
мощью (29.3) первое слагаемое под поверхностным интегралом
выражения (29.11), приходим к интересующему "нас вариационно-
му уравнению принципа Лагранжа
j [( Qs - фп. )8v + ( G* - Gn )n,s( П1, +
c
+ Ф ) - ( Gs - G 8( in + ф ) + ( M3 -
~ nc nt * • s
- Mi3n )бф ]ds + JV [( v.Q1 + Y )sv +
i * - i
+ fk8^>* + i38<p* Ider = 0. (29.17)
Так как вектор v и компоненты ф*| , ф* вектора ф независимы,
то из данного вариационного уравнения следуют векторное урав-
нение равновесия усилий
ViQ‘+y = 0, (29.18)
три скалярных уравнения равновесия моментов
f k = v*1Mlk— Nk+Mk = ViMlk+AklsMls— Nk+Mk=0,
f3=v , M1з—N3-|-Mlk b*lk +М3=0 (29.19)
и статические граничные условия на контуре С
Qs = Q‘n1 при 6уУ=0, (29.20)
GSn = Gn при 0*6(111* -|-ф)=/=0, GsnT = GnT
при т* 6(m*+ф)#=0, (29.21)
M3s=Ml30i при 6ф* #=0. (29.22)
Вообще говоря, контурный интеграл вариационного уравнения
(29.17) можно представить и в несколько преобразованном виде.
С этой целью вместо величин Gsrrt и Gnt введем в рассмотрение
контурные крутящие моменты G„T и G* пт , отнесенные к едини-
це длины деформированного контура С* и подчиненные зависи-
мостям
87
Gnr =G nT ~ , Gnr =G*nt (29.23)
_ — dr* dr* ds
1ак как по определению т* = — и в силу
т * m * =0 имеет место равенство
dr* _ - dr*, _ — ddv
1 О ГН 4; ' “Hl О 1 -111 £ ' t .
ds * * ds * ds ’
то с учетом (29.23) можно записать
_ _ • dr
T (GnV G )T.5m*ds = (GS*' G* ) * йш ds =
nx nx * * nx nx OS *
. - d( Gs* - G* )S
- G )m av I + j ---------________22___1 3vds
nx • 'c 3s OVUb
С использованием этого равенства вариационное уравнение
(29.17) преобразуется к виду
(Gs’~ G* )m avl + j ([Qs- Q‘n. -
n С n Ъ * ‘ C 1
d(Gs*~ G* )m
n c nx *
4 ds _
]<sv + (Gs- G )n з(m + <p) -
n II * *
- (Gs - G )t 8<p + (M3- Ml3n )8<p }ds +
ПТ? ПХ * S i *
+ [ (v.Ql+ Y)av + fk8ip* + f^atpjdo- = 0 (29.24)
a 1
из которого при <p=0 без дополнительных дифференциальных
преобразований следует вариационное уравнение Лагранжа в
форме метода Бубнова—Галеркина классической нелинейной тео-
рии тонких оболочек
(G^* —G*nx )m ,б7|с+ Г {[Qs—'Q‘п, — d(Gs*nT-fi*nx)m* ]б-+
С
88
+ (Gsn-Gn)n * 6m * }ds+H(V1Q1+y)6vda=0, (29.25)
CT
имеющее место при произвольных перемещениях и деформациях.
Из (29.25) следуют векторное уравнение равновесия усилий
(29.18), в котором в силу <р=0
Q1=Tlk7*i+MlkVkmS! -}'V*kMlkm * , (29.26)
QS = 0S— Mknkm* , y=X+Vk(in* Mk), (29.27)
статические граничные условия на контуре С
Qs - Q1 щ + d(GS*nt~G*nt)m * при О,
Gsn = Gn при7* <5m* =^=0, (29.28)
а в угловой точке незамкнутого контура С формулируется стати-
ческое условие _ _
(Gs*nr — G*nx) I с = 0 при m* 6v#=0. (29.29)
§ 30. 2-й ВАРИАНТ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ТЕОРИИ ТИПА
ТИМОШЕНКО ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Для построения этого варианта основных статических соотно-
шений обратимся к кинематическим соотношениям § 20. Используя
формулы (20.8), (20.10) и (20.11), запишем выражения
Mikax.k = Mlk[ + ( + mk )?i5v Ь
2N1 йт/° = N1 ( in + 7 )v.dv + ГГг’аэг,
13 1 1
.N337]° = N3( m + % )5т,
33
Mi33r = Mi3[( in + 7 )st + ( in -ь т )v.8jr ].
13 i i 1 '
При этом вместо (29.2) для 6U будем иметь формулу
6U= ЩЁ^|б7+М!к7*к V^y+N^sV+N3^ +M‘3Vi6r1033)d<j>
° (30,1)
где введен вектор усилий равенством
Rf=T,kFk+M,k(ykf-F7bik)+N1(m+^). (30.2)
Здесь слагаемые MlkbJkrj, появляющиеся благодаря удержа-
нию в (20.8) последних слагаемых в круглых скобках, с точностью
6ki—zb^a^S^, вообще говоря, могут быть отброшены по сравне-
89
нию с остальными. Если применить далее формулу преобразова-
ния (29.3) и ввести в рассмотрение контурные моменты (29.9), то
уравнение (29.1) после подстановки в него выражений (27.21) и
(18.1) и ряда преобразований примет вид
j [($s- Гп ) S V + (Gs- G )п,87 -
। i n n *
- (Gs - G )т8У + (M3 - Mi3n.)5Tj° Ids +
nxnx* s 1 33
+ ff {(v R* + X)5V + [v (Mikr*) - N*r* +
i i К ' 1
a
+ + (v Mi3- N3+ M3)5T)° }do- = 0..
i i 3 3
Так как с учетом равенства m+y=m<! -)-ф с точностью 1Н-т]°зз
«1+ф * »1 имеют место преобразования
5т)° = ( Й + ? )з7 =’ ( in, + <Р )32г =
33
= ( И1ж + р‘г* + р,ш, )52Г « ( 271*3г* + ш* )8эг,
[v ( Mikr* ) - Nxr* + Мхг* ]зу +
i k i i
+ (v^3 - N3 + M3 )5H°3 =
= [fk+ 2( v Mi3- N3+ M3 )як3 ]г*зу + f3m,37,
i О к *
и с учетом формул r*j=n*!п * -Н*!?* с той же степенью
точности справедливы соотношения
М‘3п16т]0ззл;М1зп1 (2т]кз0г*кН-т * )6у=
= (2М‘3п1т|Пз0п* +2М’3п1я'с Зот* +Ml3njin* )6у,
90
в которых
n"3o_nk3on*k) лтзо==пкзоТ*к; (30.4)
то уравнение (30.3) представимо также в форме
т [ ($s - I^n ) 5 v + ( Gs + 2MV3 - G -
♦u 4 ' 1 n sO. n
о ——
- 2M13n цп3 )n 3-y + ( Gs + 2M3?ix3 - G -
1 O • пт S О пт
- 2М13п т)х3 )т 8-у + ( М3 - М'3п )т Зу ]ds +
1 О • s 1 *
+ ТТ { ( v R1 + X )sv +
i
СГ
+ [ fk + 2( vtM13 - N3 + M3 Ъ}*3 ]r*8<r +
+ f3m*o- 7 }dcr = 0 (30.5)
Здесь fk и f3 по-прежнему представляют собой левые части урав-
нений равновесия моментов (29.18) и (29.19), причем подчеркну-
тые члены являются пренебрежимо малыми по сравнению с ос-
тальными. Пренебрегая в (30.5) этими членами, получим вариа-
ционное уравнение следующего вида
J [(®s—R‘n i)6v+(Gsn—Gn)n* 6y+(Gsrrt—Gnt )т * 6y+
+ (M38 — М1зП|)ш* 6y]ds+n [(V1R‘4-X)6V+T6y]da=0, (30.6)
где _f=£r*k + f3m ' (30.7)
Так как векторы v и у независимы, то из (30.6) следуют век-
торные уравнения равновесия усилий
Vi’R‘+X=0, (30.8)
моментов f=fk r*k4-f3m * =0 (30.9)
и статические граничные условия на контуре С в форме
ф8 =Rin1 при 6v#=0, (30.10)
Gsn = Gn при п* 6уУ=0, GsnT=Grrt при т *6уУ=0,
M3s=Ml3n( при m *6у=0. (30.11)
91
§ 31. СКАЛЯРНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И
СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
ДЕФОРМИРОВАННОЙ ОБОЛОЧКИ (1-й ВАРИАНТ)
В нелинейной теории оболочек, как правило, различают две
скалярные формы представления векторных уравнений равнове-
сия — скалярные уравнения в системе координат деформированной
и недеформнрованной оболочки. Рассмотрим здесь первое из этих
представлений. С этой целью входящие в (29.18) векторы усилий
Q* и У разложим по базисным векторам r*k деформированной
срединной поверхности и нормали ш*_к этой_поверхности
Q1=Q'kr*k+Ql3in* , У=У,кг*к+У3пъ1, . (31.1)
Внося далее (31.1) в (29.18) и принимая во внимание формулы
дифференцирования _ _ __ _
ViT*k ==Asikr*s4-b*ikm* , Vim* =—b*k!r*k,
найдем _
(V ,Qlk +AkisQ ls-b*ki Q,34-yk) r*k+ (Vf Q13+Qlk Ь*1£+У3) m* =0,
откуда, приравнивая коэффициенты при векторах rk* и m* нулю,
получим интересующие нас три скалярных уравнения равновесия
усилий !
V, Qik+Akls Qis— b*k, Qf 3+Ук = 0, (31.2)
V,Qi3+Qik Ь*1к+У3=0, (31.3)
отнесенные к нормальной системе координат деформированной
оболочки. Условия же равновесия моментов выражаются тремя
скалярными уравнениями (29.19), отнесенными также к нормаль-
ной системе координат деформированной оболочки. Чтобы при-
дать уравнениям (31.2) и (31.3) окончательный вид, входящие в
них компоненты векторов Q1 и У должны быть выражены через
введенные в рассмотрение величины Tik , Mlk , № , Mk- и ком-
поненты вектора X внешних поверхностных усилий. Для этого в
равенства (29.10) и (29.16) внесем выражения (21.33), формулу
m*j•=—b*kj r*k , разложения (21.31) и
X=Xk7*k+X3nT . (31.4)
В результате после ряда преобразований получим
Q* = Tlkr* + Mik( - b*sr* + + ц’й. ) +
+ v Mik( m + <p3r + ф m ) - Mskb* a/m ,
Y = X‘r‘ + X3m + v Mk( in + <plr* + <p in ) +
1 • k •. * 1 ~ * •
92
+ Мк( - b*1?* + ц*1г* + M*in ).
к 1 к 1 к •
Приравнивая теперь правые части этих равенств с правыми частя-
ми соответствующих разложений (31.1), найдем интересующие
нас зависимости, которые с точностью 1+<р» ~1 будут иметь вид
Qik ± ЛрГк + MiS( »к _ b*k ) +
S S •. S
Qi3 = М‘кц* + v*Mik - Mskb* , (31.5)
к к skr*
Y1 = X1 + tp'v Mk + Mk( p*' - b’1 ),
r* к к к
Y3 = X3 + VkMk + ц*Мк. (31.6)
Как следует из вариационного уравнения (20.25), в классиче-
ской теории равновесие оболочки описывается лишь одним век-
торным уравнением равновесия усилий (20.18), доставляющим в
скалярной форме уравнения (31.2) и (31.3). В последних величи-
ны Qik , Q13, У ‘, У3 определяются по формулам
t/2
Qik —Tik—Mis'b*ks = J'ois(6 sk—zb*ks )dz«Tik ,
-t/2
Qi3=v*kMlk , y‘=Xi-Mkb*lk , У3—VkMk+X3. (31.7)
Используя далее (31.7), уравнения (31.2), (31.3) представим в
виде
V*(Tik — b*fk (V*sMls+Ml)+Xl=0,
V, (V*kMik +M1) +Tlkb*lk +X3=0,
откуда при введении обозначений для перерезывающих сил
Si=Mi+V*kMlk (31.8)
следует традиционная форма записи уравнений равновесия клас-
сической теории оболочек при произвольных перемещениях и де-
формациях
V*iTik— b*k1S1-|-X1 = 0, ' . (31.9)
V1Si+Tlkb*lk+X3=0, (31.10)
отнесенных к системе координат деформированной оболочки. При-
веденные соотношения (31.8) в классической теории, как извест-
но, опйсывают условия равновесия внутренних изгибающих и кру-
тящих моментов, а также внешних поверхностных моментов, при-
ложенных к бесконечно малому элементу, выделенному из дефор-
мированной оболочки.
93
Обратимся к статическим граничным условиям на контуре С.
Для трех скалярных уравнений равновесия моментов статические
граничные условия выражаются равенствами (29.21), (29.22), а
для уравнений равновесия (31.2), (31.3) в скалярной форме они
могут быть выведены в двух вариантах—или исходя из (29.20),
или исходя из (29.28). Для их построения вектор заданных кон-
турных усилий представим в виде разложения
Ф5=Ф5пп*+Ф5птт *+<I>sm m*, (31.11)
где Ф%=Ф5 п * , Ф+т =Ф8 т « , Ф8т = Ф8т * . Используя
дадее зависимости
г*1=п*1п*+т*1т * , (31.12)
в соответствии с (21.31) найдем
Ф = ф'* n*jn *+ф'*т*1 т* +ф* т* =ф"*п *+фт * т *+ф* m * ,
(31.13)
где обозначено ф*п = ф‘* п*, = 2т]'3оп*| — 2т1"3о, фт * = ф1 * т* , =
= 2т|'3от*| =2т|т3о- Подставляя теперь (31.11) и (31.13) в ра-
венство (29.15), с точностью 1+ф* ~1 получим
Qs = Qsn П . +Qsnr7 * +Qsmrn * , (31.14)
где
Qsn=+sn—Mkn кфп*, Qsnr =Ф+т-MknkT * , Qsm =Ф8т—Мк п к .
(31.15)
Аналогичным образом преобразуем правую часть статического
условия (29.20), используя для этого разложение (31.1) и форму-
лу (31.12):
Qinl=Qlkni (п*кп * +т*кт *)+Ql3him * =
Qnn *+Q пт т *+Qmm * , (31.16)
где
Qn = Qlknin*k , Qnr =Q'knlT*k, Q,n — Q‘3n i, (31.17)
причем входящие сюда компоненты Qlk , Q'3 по уточненной мо-
дели определяются по формулам (31.5). Принимая теперь во вни-
мание установленные соотношения (31.14) и (31.16), векторное
граничное условие (29.20) в скалярной форме представим в виде
Qsn = QnnpH 6v*n+=0, Qsnr =QnrnpH 6v*t +=0,
Qsm=Qm при 6v*m #=0, (31.18)
причем
6v*n=n* 6v, 6v*t =т* 6v, 6v*m=m* 6v. (31.19)
Перейдем к рассмотрению второго варианта записи статических
граничных условий. Для уравнений равновесия моментов (29.19),
вытекающих из вариационного уравнения в форме (29.24), они
по-прежнему записываются в виде (29.21), (29.22), что следует из
анализа контурного интеграла уравнения (29.24). Для остальных
уравнений равновесия, записываемых по-прежнему в виде (31.2),
94
(31.3), требуемые условия следуют из векторного равенства
dG *s m * _ dG* m *
-----S— =Qi П|—it- ,при 6v^°-
Раскрывая здесь производные no s с помощью последней формулы
из (26.29) и используя установленные ранее равенства (31.14),
(31.16), будем иметь
{ [ Qs - Gs*( 1 + 2т)° )”1/2К* 1 "
п пт -с
- [ Q - G* ( 1 + 2п° )"1/2к* ]п +
1 ЧП пт X ПТ *
+ { [ Qs - Gs*( 1 + 2т)° )“1/2к* 1 -
пт ПТ -С -с
- [ Q - G* ( 1 + 2?}° )-1/2к* 1тж +
пт пх X X*
при av * 0.
Можно показать, что входящие сюда слагаемые с сомножителем
(1-|-2г]0т ) ~,/2 являются пренебрежимо малыми по сравнению с
остальными и с той же степенью точности, принятой в приближен-
ных равенствах Tik—M)sb*ks »Tik , приведенное выше условие
можно заменить приближенным
__ __ dGs*
(QSn—Qn)n * + (QSUT —Qnt )т * + [ (QSm — -) — (Qm —
dG* _
--------------------------j^-)]m* = 0 при 6v#=0,
из которого следуют интересующие нас статические граничные
условия второго варианта
QSn=QnnpH 6v*ny=o, QsnT =QriT При 6v*T =#0,
dGs* dG* (31.20)
QSm-----dsF =Qm------ds1 'ПрИ
95
Если заданными являются компоненты вектора X в базисе {r*i ,
m* }, то через них должны быть_вы_ражены входящие в (33.2)
компоненты Хкн , Х3Н в базисе {г,, ш} недеформированной сре-
динной поверхности. Такие зависимости можно получить, если
приравнять правые части равенств (31.4), (33.2) и внести вместо
г*к, щ* их выражения (19.18), (19.25). В результате будем
иметь
Хкн=Х* (6ki+ek1)+I-1/2 ЕкХ3,
Х^Х’шЖ-^ЕзХ3. _ (33.3)
Если подставить в (30.2) вместо г*к, у, V к у их выражения
(19.18), (20.14), (20.17), а затем приравнять правые части ра-
венств (30.2) и (33.1), то для компонент RisH, R13 н векторов R1
устанавливаются также зависимости
RisH = Tlk (6sk+esk) +Mik (fisk—bsk)+N'ys,
RI3H = TIk(,>k+MIkQk+Ni(l+Y). (33.4)
Внесем теперь разложения (33.1), (33.2) в векторное уравне-
ние (30.8) и воспользуемся формулами Гаусса—Вейнгартена в
форме _ _
V1rk = bikm, V|m=—bikrk. _
Приравнивая затем в (30.8) коэффициенты при векторах гк и
m нулю, получим три скалярных уравнения равновесия усилий в
системе координат недеформированной оболочки следующего вида
ViRlk„—bkiR1\,+XkH=0, R'3 „+RikHblk+X3H = 0. (33.5)
Рассмотрим векторное уравнение равновесия моментов (30.9).
Внося в него выражения (19.18), (19.25), преобразуем его к виду
b=fk„ Fk+f3„m, (33.6)
откуда следуют три скалярных уравнения равновесия моментов в
форме
f kH = f1 (б k, +ekt) +1 -1/2 Ek f3=0, f3„ = f1 to i +1 -I/2 E3f3=0.
(33.7).
Представим эти уравнения в матричном виде
(1+e‘i)
e2i \
Л>1
e*2
(1+еМ
(02
I-1/2E1
I -1/2 Е2
I -1/2 Е3
fl
f2
f3
=0.
Матрица этой системы является невырожденной, так как ее
определитель, как нетрудно показать, равен m* m* 1 -112 =1~1/2.
Поэтому вместо (33.7) по-прежнему приходим к системе уравне-
ний равновесия моментов в форме fk = f3=O.
Уравнения равновесия моментов в системе координат недефор-
мированной оболочки можно представить также в несколько дру-
гом виде. Для этого, используя формулу 6т)°зз= (т+у)бу, из ва-
риационного уравнения (30.3) выделим векторное уравнение рав-
98
новесия моментов следующего вида
b=Vi (Mikr*k) — (N1—М‘)Р| + (V,Mi3—N3+M3) (in+7) =0.
(33.8)
Внося сюда выражения (19.18) и разложение у=у‘ п +уш,
после ряда преобразований по-прежнему приходим к уравнению
(33.6), из которого следуют скалярные уравнения равновесия мо-
ментов в системе координат недеформированной оболочки
fH = ’,1 M‘J< + е1- )] - M'-Ju bk -
J J JI
- ( N‘ - M‘ )( + e‘ ) +
+ »"( v^M13 - N3 + M3 ) = 0, (33.9)
f’ = (v,M13- N3+ M3)(l+ ,) + M>k(e)+ ej)b +
k k 1. J
+ ’,(«‘4) - (N‘- M‘)o = 0, (3330)
отличающиеся по структуре от уравнений (33.7).
Представим, наконец, в скалярной форме статическое гранич-
ное условие (30.10) для уравнений (33.5). Для этого введем кон-
турные усилия вида
RHn = RikHnink, Ннпт = Н1кп,тк> RHm = Ri3Hn|, (33.11)
а вектор заданного внешнего контурного усилия разложим по
осям триэдра {п, т, ш}
ф8 = ф8нпЪ+Ф8нптт+Ф8нтш. (33.12)
Тогда условие (30.10) перепишется в виде
Ф^пп+Ф^пг^+Ф^т^^1 п> = RH„n+RHno+RHmm
при 6v=6Unn+6ut t+6witi=#0, где un=uin1 , ux — щт1.
Из данного равенства находим статические граничные условия
для усилий в системе координат недеформированной оболочки
Фsнn = RHп при 6un=#0, Ф8Ппт—RHnr при бит =7^=0,
ф8нт = К8нт при 6w=#0. (33.13)
т
99
§ 34. О ВАРИАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЯХ В ФОРМЕ МЕТОДА
БУБНОВА—ГАЛ ЕРКИНА
Вариационные уравнения вида (30.6) являются векторной за-
писью уравнений метода Бубнова—Галеркина. Проектируя входя-
щие в них векторы на направление базисных векторов деформи-
рованной и недеформированной оболочки, можно получить раз-
личные скалярные формы записи этих уравнений, используемые
для решения задач приближенными методами вариационного ис-
числения. Рассмотрим здесь один из вариантов таких уравнений, '
следующий из (29.1) при использовании кинематических соотно-
шений § 20.
Представим векторы заданных контурных усилий и моментов
в виде разложений J
Ф5 = Ф‘8нЙ+Ф8Нтт, W = MiSHF1+M3SHm. _ _ (34_1) '
С другой стороны, с учетом формул п*=п‘Ч: г*ь т* =т‘* r*f
имеют место равенства
Ф3 = ФЕ;п + Ф3 т + = 1
п * пт * m'-.i*
- ( Ф3п* + Ф3 т1 )г* + Ф3т =
П * пт • i m •
= ( ф«п‘ + )[ + ек ) + йш. ] +
+ Ф51 1/2( m + Ekr ),
m k ’
Ms - + M2( m + r ) =
= ( - G^P )[ Fk( 6* + ek ) + ] +
+ M2[( 1 + у )m + ykrk ].
Поэтому, сопоставляя правые части данных выражений с разложе-
ниями (34.1), для определения входящих в них компонент усилий
и моментов в осях недеформированной оболочки приходим к за-
висимостям
100
Фк = (Фэп1 + Фэ т?)(<5к + ек) + Ф51-1/?ЕЧ
sH п * п"и *1'1 m
фзН = ( $sni + фэ -г1 )w + ф51-1/2
m п * пт * 1 m
М\ = (G"n‘ - Gs r‘)(«‘ + е“) + MV,
sn n * пт * i i s
M3u = (Gsr?- Gs ?)(J + M3(l + r). (34.2)
С учетом формулы бт]°зз= (ш+у)6у для элементарной работы
внешний поверхностных моментов, входящей в (27.21), справедли-
во выражение
Мк7* к б7+М3бл°зз= [Мк7*к +М3 (in+7) ] б7=
(М ‘Н71+М3нш) б7= М *нбу, 4-М3нбу, (34.3)
где, как нетрудно показать,
M1H=Mk(6ik+e‘k)4-M3yi, М3Н =Mk®k+M3(14-y). (34.4)
Принимая теперь во внимание разложение (33.2), (34.1) и форму-
лу (34.3), для 6А вместо (27.21) получим выражение
6А= И (XIH6ui4-X3H6w4-MiH6yi4-M3H6y)da4-
+ 5 (Ф^+Ф^^+М^+М’^з. (34.5)
С
Обратимся к выражению (28.4). Для входящих в него подын-
тегральных членов с использованием кинематических соотношений,
установленных в § 19 и § 20, можно получить выражения
TlkST)°k = Tlk[ ( г’ + е’ )ге^ + Vй,
Mlk«, = М1к[( я’ - Ь’ )еп +
1 к ка
+ п 80) + ( ^ + е; )5П + wk5Qi
2N1 <871° = N4 yJae + ( 1 * г )бш. +
13 1 J
101
+ ( <sk + ек )зу + (J Зу ] ,
i i к I
Ml3V.8T)°3 = Mi3Sr,3 = Mi3[( 1 + У )5Q. +
+ q sy + yksQ + ( Qk - bk )ay ],
i ik i 1
N3St)9' = N3[( 1 + у )5y + y'ayj. (34.6)
3 3
Введя теперь обозначения
H1J = м1к( Sj + eJ ) + M13yJ,
H к к
н13 = Mlk(j + Mi3(l+y), (34.7)
Н к
П3 = N3(l + y) + NV + Mi3Q ,
H 1
Пк = N4sk + ek) + M13(nk - bk), (34.8)
H i i 11
после подстановки (34.6) в (28.4) с учетом формул (33.4) выра-
жение 6U перепишем в виде
6U = И( RikH6e,k +R'3 н6(О(+Н1кн 6Й|к+Н‘з „6Q, +Пкн6ук+П3н6у) do.
а (34.9)
Внесем подученные выражения (34.5), (34.9) в вариационное
уравнение (29.1), а затем воспользуемся кинематическими соот-
ношениями (19.19) и (20.16). В результате после ряда традицион-
ных преобразований приходим к вариационному уравнению Лаг-
ранжа следующего вида
J [ (4>ksH~Rlk п.)Suk + (Ф8Нт—R13 н п>)Sw+ (MkSH—-HikH п,)Syk+
+ (M3SH—Н'3 nn,)Sy]ds+ JJ( LkH6uk+L3„Sw+fVYk+fW da=0,
a (34.10)
откуда в силу произвольности вариаций функций u,, w, у1, у
102
следуют три скалярных дифференциальных уравнения равновесия
усилий (33.5)
LkH = ViR'kH—R3 Hbki+XkH=0,
1Л = V,Ri3 н +b!kRik„+X3H =0, (34.11)
три уравнения равновесия моментов
fkH=ViHikH-Hi3 нЬк,-Пкн +мкн=о,
f3H-ViHi3 HbikHikH-n3„+M3H=0, (34.12)
а также шесть статических граничных условий на контуре С в
форме
(bkSH=Riknni при 6uk=H=0, RSHm = R13Hni при 6w=#0,
MkSH = H'k„ni при буk =H= 0, M3SH=H'3Hni при бу=Н=О, (34.13)
отнесенные к системе координат недеформированной оболочки,
причем уравнения (34.12) лишь по виду отличаются от выведен-
ных ранее уравнений равновесия моментов в форме (33.9), (33.10),
так как после подстановки в (34.12) выражений (34.7), (33.8) и
ряда преобразований они сводятся к уравнениям (33.9), (33.10).
В силу независимости вариаций бщ, 6w, 6yi, бу уравнение
(34.10) распадается Иа шесть вариационных уравнений метода
Бубнова—Галеркина
J (Ф1 - R1 xn )su ds + гг l/su do- = 0,
sHHil Hl ’
c a
Г (Ф2 - Ri2n )su ds + jj L2su do- = 0,
sH H i 2 H 2 ’
c O-
Г (ФэН- R^3n )swds + L3swdo- = 0,
m H i H
c a
J (M1 - H^n )«rds + JV do- = 0,
sHHil Hl
c O'
J (M2 - H^2n.)sy ds + и f2sy do- = 0,
sH H i 2 H 2 •
c O'
r Hji^jsyds + Г.Г f35ydo- = 0, (34.14)
c <T
служащих для приближенного интегрирования уравнений равно-
весия в системе координат недеформированной оболочки. Однако
103
такое представление уравнений при решении задач механики де-
формирования оболочек сложной геометрии является целесообраз-
ным, так как оно приводит к необходимости проведения трудоем-
кой операции ковариантного дифференцирования правых частей
громоздких выражений (33.4), (34.7), (34.8). В связи с этим в
уравнениях (34.14), применяя формулу преобразования поверх-
ностного интеграла в контурный, освободимся от ковариантных
производных от усилий и моментов. В результате таких преобра-
зований уравнения (34.14) перепишутся в виде
j Ф1 su ds-TT [R^v au+(Ь^*3-ХЧби Ida = О,
sHl Hil 1HH1
о O'
j Ф2 au ds-jj [R'2v au +(b2R^3-X2)su ]do- = 0,
sH 2 H i 2 1 H ri г.
с (У
J ФзН<5кд8-ГГ [R13V <5W-(b Rik+X3)5w]da = 0,
m Hi i k H H
c O'
j M1 ay ds - п [ H14. ay +
s H 1 Hil
C 0^ ; '
+ ( b^13 + П1 - M1 )ay ]do- = 0,-
i H H H l '
I
7 M26yds - J7 [ НУ?.<5у +
s H 2 _ H 1 2
c O'
+ ( b2Hi3 + П2 - M2 )sy ]do- = 0,
J M3 syds - П [ Hi3v ay - ( b Hik - П3 +
sH H i i k H H
+ M3 )ay ]dcr = 0,
H
(34.15) :
i-
I
104
§ 35. ОБ УРАВНЕНИЯХ РАВНОВЕСИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ
ОБОЛОЧЕК БЕЗ УЧЕТА ПОПЕРЕЧНОГО ОБЖАТИЯ
В § 20 было показано, что в случае действия на оболочку плав-
но изменяющихся (нелокальных) нагрузок, характеризующемся
большим масштабом изменения деформации поперечного обжатия,
в кинематических' соотношениях (20.13) могут быть отброшены
вторые слагаемые zV( т]°зз=гт1з. При таком характере внешней
нагрузки напряжение поперечного обжатия о33 оказывается пре-
небрежимо малым по сравнению с остальными Компонентами тен-
зора напряжений о, что позволяет ввести статическое допущение
теории тонких оболочек, выражающееся равенством
о33«0. (35.1)
Вследствие принятых допущений для трех силовых факторов
N3, М13, М23 из одиннадцати введенных в рассмотрение приходим
к равенствам
1/2 t/2
М'3 = J o'3zdz = 0, N3= f o33dz=0. (35.2)
—t/2 —t/2
При этом вариационное уравнение (29.17) принимает вид
f [(Qs—Q‘n1)6v+(Gsn— G„)n *б(ш* +ф)— ..
С
— (Gs пт—Gnx )т * 6 (m * +ф) -|-М38бф * ] ds—|—
+ Щ (V iQ1+У) 6?+f кбф% +f36q> * ] do=0, (35.3)
a
откуда в силу произвольности вариации бф* вместо граничного
условия (29.22) следует приближенное равенство
M3s»0, (35.4)
а в (29.19) последнее уравнение равновесия моментов оказывает-
ся недифференциальным
f3 = Mikb*ik+M3==0. (35.5)
В силу равенств (35.2) в вариационном уравнении Лагранжа, за-
писанном в форме (29.24), последнее слагаемое контурного инте-
грала (M3S—М13п1)бф* исчезает и в нем, как и в (35.3), f3
определяется левой частью скалярного уравнения (35.5), а вариа-
ционное уравнение в форме (30.6) принимает вид
j [Фэ—R‘nl)6v+(Gsn— Gn)n* бу— (Gsnr—Ght)t * бу]ds-f-
С
+ И [ViRi+X)6v+(fkr*k+f3m* )67]da=0, (35.6)
о
в котором f3 также определяется левой частью уравнения (35.5).
Из остальных выписанных выше скалярных уравнений равнове-
сия изменяются только уравнения в форме (33.9), (33.10), кото-
рые в рассматриваемом случае принимают вид
fsH=V1[Mlk(6sk4-esk)]— Mik(okbsj — (N1—М1) (6si+es1)+ysM3=0,
(35.7)
105
f3н = M3(1+т) +м'к (6 sk +esk) bis +Vi (Mik<Dk)- (№—M1)w, = 0.
(35.8)
В вариационных уравнениях метода Бубнова—Галеркина в
форме (34.14) и (34.15) в силу (35.2), (35.4) изменяется выраже-
ние для MkSH, M3S.1, H'jh, Н‘3н, П3,, и Пк„. В данном случае эти
величины будут определяться по формулам
MkSH = (GsHnk*-GsnTT\.) (6k,+eki), M3SH=
= (GsHn'Gsjitт1 * )<£>i, (35.9)
HHH==Mik(6ik+eik), H’3 н = М|кик(, П3н=№<о| ,
Пкн = № (6ki+eki). (35.10)
Глава VI. ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ-ДЛЯ
АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ КОНЕЧНЫХ И МАЛЫХ
ДЕФОРМАЦИЯХ
§ 36. ИНВАРИАНТЫ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЙ
Введем в рассмотрение тензор напряжений Т—рр ,
отнесенный к недеформированным осям ра (напомним, что в
принятой для оболочек параметризации согласно формулам
(20.1) pj = rkZki , p3=m, р( рз=0), контравариантные ком-
поненты которого с контравариантными компонентами тензора
напряжений Коши а* р*а р*,з связаны зависимостями
t“3 =а*“3/р * . Днося сюда вместо а*’? их выражения из
(9.5), получим
дР
М^.2,3)- (36J)
Составляющие t33 и езз тензора напряжения t и тензора дефор-
маций е=еаг р® р? (тензор деформации Грина) будут инвари-
анты по отношению к преобразованиям координат а1 на поверх-
ности az в силу того, что mpj =0. Следовательно, нужно рас-
смотреть возможные построения инвариантов для величин tik ,
)13 =t‘ , eIk , 2е13 =4?! , где i, к=1, 2.
Пусть потенциал F есть функция параметров еаЗ и набора
тензоров А|к-"П1П , характеризующих механические свойства ма-
териала оболочки
F=F(eik , ф, , езз, AIk-mn , Т, ).
Здесь Т — температура, gj — параметры процесса.
106
Так как функция F инварианта относительно любых неособенных
преобразований координат, то аргументами этой функции могут
быть лишь инварианты. Тензоры е1к , ф, имеют свои базовые ин-
варианты
e'i —eik gik , eik eik , ф1 = g‘k ф, фк , (36.2)
ik
где g — контравариантные составляющие метрического тензора
на поверхности аг . Тензор деформации имеет шесть неза-
висимых составляющих и, следовательно, не может быть образо-
вано из еЯ(з более шести алгебраических независимых инвариан-
тов. Три инварианта (36.2) можно дополнить тремя инвариантами
следующим образом. Введем в рассмотрение тензор с составляю-
щим А|к в осях а1 с базисом т, и образуем инварианты
8|к А|к , ф, фк Aik .
В силу е|к — eki имеем А|к =Ак| и тензор А'к симметричен.
Но для него имеет место представление в виде суммы шаровой и
девиаторных частей
А,к =%glk +|тА‘к , Aik gik =0, Aik = Aki .
Здесь %, p, — скаляры. Тогда с учетом (36.2) следует, что
eik Aik =Хе1‘ +рЛ'к е,к , ф1 фк Aik — Лф| ф' +рЛ1кф| фк .
Здесь новыми по сравнению с (36.2) будут инварианты Aik eik ,
Л1к ф( фк . В силу условия А|к glk =0 (равенство нулю про-
стого следа, свойственное девиатору) у тензора Л'к при i, к=
= 1,2 будут лишь две самостоятельные составляющие и, следо-
вательно, существуют два линейно независимых тензора, удовлет-
воряющие условию А'к gik =0, которые обозначим через Л115*
и Л|к** . Например, в фиксированных осях а' при gn = g22=l,
g12=0 эти два тензора можно представить матрицами
1 0
0—1
А|к
ik
* *
0 1
1 о
Л
Следовательно, можно ввести в рассмотрение два, вообще говоря,
различных тензора
Ai = A1ikplpk, Л2—AIk2pipk,
каждый из которых представляет собой линейную комбинацию
тензоров Л* , Л* * . При этом существуют такие ортогональные
оси а‘(1) , что в них A(i)ii=gii’ , A(i)22=—g я’, Л n)i2=
=0 и такие оси а’(2) , что в них A(2)n = g ,Л (2)22=—g22’,
Л (2)12 = 0. В общем случае оси a‘(i) и а’(2) могут быть различными.
В частном случае они могут совпадать и тогда Л(1) = Л(2) .
Таким образом, из eik , ф, , е33 можно образовать шесть алгебра-
ически независимых инвариантов вида
е ‘j. , eik eik , Alk(i) elk , ф, ф1 , Aik(2) ф( фк, е33. (36.3)
Все другие алгебраические инварианты тензора еоф могут быть
107
выражены через эти шесть инвариантов. Из инвариантов (36.3)
образуем новые инварианты
11 = 6’1.+Alk(i) eik , l2=6jk е1к—2 8\. 8кк.—(Aik(i) е1к)2,
13=8*!.— Л,к(1) е|к, 14=414’ +Л’к(2) 41 4к >
h= ip,4’— л’к(2) 41 4к • (36.4)
В качестве шестого инварианта здесь выступает езз- Аналогично,
для тензора t“? можно построить инварианты относительно пре-
образования координат на а:
Ti = t’t. +AIk(I) tlk , T2=tiktIk —|tIi.tkk.--|-(AIk(1)t1k )2,
T3=t’j.—Alk(i) tik, T4=t, t’+Aik(2) 11 ik, Тб = 1,41—Alk(2j tjtk-
(36.5)
Здесь в качестве шестого инварианта выступает t33.
§ 37. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В
НЕЛИНЕЙНО УПРУГОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКЕ ПРИ
КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Согласно (36.1) и (36.4), для конечных деформаций получим
tIk = fr (g,k +Л %) ) +2^- (eik- 4 g ,k e’j.-
(/12 012 &
-уА*,„Л''н «и)+^ (gIR-A»,„),
t'=2g£-Wl+A“l!,4i.)+2^(4,-Alkra ♦,). (37.1)
{-за—.
<5833
На основе этих соотношений с учетом обозначений (36.4) и (36.5)
находим
dF ,„dF ,2Т т .<5F
Т|“4<’ Ь“|2Ж >’>’ Т’=4Э1?
Т,= (4^)|,. Т5=(4~ )Ч, (37.2)
(714 <715
Если материал оболочки ортотропен и одна из плоскостей сим-
метрии механических свойств совпадает с касательной к crz пло-
скостью, а две другие ортогональные между собою плоскости сим-
метрии перпендикулярны к первой, то, например, при напряжениях
tn#=0, t22=0, t12=0 должно быть 612=0. Так как из (37.1) сле-
дует, что
+ 12—Л 12 (дР Л tk dF\
1 Л (I)4ll ai2 Л (1) e,k dig)’
108
то равенство ti2=0 выполняется лишь при A12d) =0 для общего
случая зависимости F от 1Ь 12, 1з- Аналогично, при tl2#=0, t2=0
должно быть -ф2,=Ю, то есть
dF dF
t2=2^-A>2(2) ф,-2^-Л‘2(2) ф, = 0
возможно лишь при Л12 (2) =0 и dF/dI4=dF/dl5. Таким образом,
в осях ортотропии
а}!, -a;S =g», л^> =л- =-g22, a'J, =о.
В любых других осях Ai'j'=Atj 11;/ jj', где’ l'i' =ri' г1 —
матрица линейного преобразования da1 в dai' . В осях орто-
тропии g1I = g22=l, gi2=0 имеем
Ii = 2en, I2=2e2i2, 1з=2е22, 14=2'ф2|, 15=2ф22,
Ti = 2tn, T2=2t2i2, T3=2t22, T4=2t2i, Ts=2t22.
§ 38. ЛИНЕЙНО УПРУГИ^ ОБОЛОЧКИ
В разложении функции F в ряд по степеням инвариантов удер-
жим лишь квадратичные члены относительно деформаций .
Члены с нулевой степенью еаз не влияют на напряженное состоя-
ние, а члены с первыми степенями еар имеют равные нулю ко-
эффициенты разложения, если при нулевых деформациях тело
имет нулевые напряжения (естественное ненапряженное состоя-
ние, отсутствие начальных напряжений). В этом случае
F=^-C«₽Hv8ap8 =
= ~(j Cikmneik $mn + C13mn ф] emn-f-C3311”1 e33emn+
Ч-Сзз'зеззф, | С,зкЗф,фк+1 Сззззеззезз ) . (38.1)
В силу того, что линеаризация соотношений упругости в общем
случае возможна лишь при малых деформациях, то можно счи-
тать g* Atg и pt“? совпадает с , но сохраняется их
различие в смешанных и ковариантных составляющих.
Таким образом,
ik = Cikmnc + + Cik33€
mn ™
. i r 1 3 к 3 . ,
pt‘ = С +
3 = p3333c + C33mnc + Q33‘3^ (38.2)
3 3 mn 1
109
Если материал ортотропен, то в осях ортотропии
pt,k=Clkmn emn+С1кззе33,
pt1 = Ci3k3 фк> pt33= C3333e33+C33mn emn. (38.3)
При этом C3312=C3321 = 0, CI323=C2313 = 0,
Q1211_Q1222__QI 112_Q22J2__Q
Так как еар=т]ар—Са^Т, то в тех же осях
ptik = C,k!1'nr]mn+Cik33r]33-₽ikT, (38.4)
pti = 2Ci3k3TJk3, (38.5)
р133=С3333т)3з+С®зтпПтп-рТ. (38.6)
Здесь
pik = C!kmnC:nn+Cik33C33> р33 = C33ik С1к С3333Сз3) (38.7)
а также приняты во внимание равенства 013 =0. В том случае,
когда температурное поле Т (а1 , z) является неравномерным в
объеме V и компоненты тензоров упругих констант С и темпера-
турных напряжений ^переменны в направлении толщины оболоч-
ки, подстановка (38.4) — (38.6) в (28.3) с учетом (20.6), (20.25) и
формул a“P = pt“3 приводит к интересующим нас зависимостям
следующего вида
Tik=Bikmn О +Bikmn +Bik33 О 1 к (38,8)
mn 1 mn *33 Т ’
Mik=Bikmn о +Dikmnx +Bik3V -Mik (38.9)
1 mn rm 1 33 T ’
Ni = 2Bi3kV + Bi3k3r ,
кЗ 1 k3’
M13 = 2Bi3k3T)° + Di3k3T (38.10)
1 кЗ 1 кЗ’
N3= Blk33 о +Bik33 +взззз о _Nik (38.11)
i к 1 i к 33 Т ’
в которых приняты обозначения для жесткостных характеристик
g 1 X mn
t/2
= J
-t/2
c1
kmn
gi kmn
1
t/2
= f Cikmnzdz,
-t/2
dz,
no
= }/г Clk33dz, В‘зкэ = V2 Ci3k3dz,
-t/2 -t/2
Bik33 = у2 Ci*33zdZ) Dik.nn = y2 Cikmnz2dz,
1 -t/2 ~t/2
B13k3 = Y2 Ci3k3zdz, Di3k3 = Y2 Ci3k3z2dz,
1 -t/2 — t/2
t/2
B3333 = T C3333dz (3.12)
-t/2
и температурных усилий и моментов
t/2 t/2 t/2
TikT = ; p'kTdz, MlkT = f p‘kTzdz, N3T= j p33Tdz. (38.13)
—t/2 —t/2 —t/2
Если компоненты тензора С по толщине оболочки не изменяются,
то в силу равенств
t/2 t/2 t/2
f dz=t, J zdz=0, f z2dz=t3/i2
—t/2 —t/2 -t/2
выражения (38.12) примут вид
gikmn __ikmn pikmn___|3Qikmn£>ikag |Qikg3
В‘зкз = 1С,зкз,Ъ‘зкз = 13С‘зкз/12, B3333= to3333, (38.14)
а остальные жесткостные характеристики нулевые:
BlIkmn1 = Bik331 = Bi3k31 = 0.
При этом зависимости (38.8) — (38.11) перепишутся так:
T'k = BIkmVmn+B,k3V33-TikT> M,k=D,kmnAmn-M,kT ,
N‘ = 2B,3k3r]0k3, M‘3 = D,3k3Tk3>
N3=Bik33TJoik + Взз33т)°33—N3T. (38.15)
Приведенные зависимости справедливы для всех вариантов по-
лученных выше статических уравнений теории оболочек. Однако
следует иметь в виду, что при использовании кинематических со-
отношений § 20 входящие в них деформация поперечного обжатия
т]033 и величины т|3 через функции yt , у выражаются зависимо-
стями (20.22), (20.23), а при использовании кинематических соот-
ношений § 21 для них имеют место зависимости т)°зз—<р* , т13=
= ViT]°33«V;(p* .
ill
Рассмотрим теперь оболочку, выполненную из изотропного ма-
териала. Обобщенный закон Гука (11.2) для таких оболочек вы-
ражается зависимостями
сгаЗ = Са^8ц-уЗ —ат (3X+2G) g^T, (38.16)
в которых компоненты тензора С определяются по формулам
g«3 _|_2Gg5a , (38.17)
а через ат обозначен коэффициент линейного теплового расши-
рения материала оболочки. Так как в системе координат, нормаль-
но связанной со срединной поверхностью ст, для компонент метри-
ческого тензора имеем выражения g33= 1, gi3=0, а для тонких
оболочек с принятой степенью точности gik~ alk , то в рас-
сматриваемом случае с использованием формул (20.25), (20.6)
соотношения (38.16) принимают вид
р
°'к= (i+v)(i_:2^-[pikSm (n°sm+zXsm)-valkn°33+ (l+v)aTTa,kJ,
o'3=Galk (2r)0k34-zTk3),
E
g33= (l+v) (1—2v) [
- (14-v)aTT] , (38.18)
где Plk,nnva'nn alk+(1—2v)a1Jlakn — тензор упругости.
После подстановки (38.17) в (28.3) и интегрирования по тол-
щине оболочки в предположении о постоянстве величин Е, v, G и
ат в направлении координаты z находим интересующие нас со-
отношения упругости для изотропной оболочки в виде
Tik = в rpikmn О + ^1%° _ (l+p)aike ],
1 1 mn 33 1
Mlk = D [pi_ (l+p)aikX ],
J’.l II x
N1 = 2B ? , Mi3 = D
c . 3 c •
N3 = B ^33+ 7}33) “ (38.19)
Здесь В, D, Bc, Dc — жесткостные характеристики оболочки, '•
a ет, %т—интегральные характеристики тепловой деформации, .
которые определяются по формулам
112
B~ (1+v) (1—2м) ’ D_ 12(l+v) (1—2v) ’ Bc —Gt> Dc 12 ’
(38.20)
a t/2 12a t/2
£T = ~r J T(a‘, z)dz, xT= -yr-1 J T(a‘, z)zdz. (38.21)
t —t/2 t —t/2
Выведенные соотношения упругости, уравнения равновесия и
кинематические соотношения образуют замкнутую систему урав-
нений, достаточную для формулировки задач механики статиче-
ского деформирования тонких упругих оболочек в перемещениях.
Как следует из изложенного, они справедливы при произвольных
перемещениях, средних деформациях поперечного сдвига и малых
деформациях поперечного обжатия оболочки. Если деформация
оболочки характеризуется одиннадцатью величинами ц°1к , %ik ,
2ц°13, ц°зз, Ti3, выраженными через компоненты векторов v, у,
то в силу нелинейности кинематических соотношений (19.21),
(20.19), (20.21) — (20.23) относительно компонент ui( w, у,, у
разрешающая система уравнений равновесия в перемещениях ока-
зывается нелинейной относительно всех указанных шести функ-
ций перемещений. Если же деформированное состояние опреде-
лить выраженными через функции ui; w, <р*(, <р * кинематиче-
скими соотношениями (19.21), (21.16), (21.35), (23.8), (23.13), то
уравнения равновесия моментов (29.19), выраженные через пере-
мещения, оказываются линейными относительно функций <р*(, <р *
для линейно упругих оболочек. При этом разрешающая система
уравнений равновесия, выраженная через указанные функции,
получается квазилинейной для упругой оболочки.
§ 39. ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ, НАГРУЖЕННЫЕ НЕЛОКАЛЬНЫМИ
ВНЕШНИМИ СИЛАМИ
Для тонких оболочек зачастую составляющая t33 значительно
меньше составляющих t11, t22 тензора напряжений t, например,
при действии плавно изменяющихся поверхностных внешних сил.
В простейшем случае это можно подтвердить тем, что из третьего
уравнения равновесия пластины
дет33 дет13 дет23
дх3 + ~ °’
записанного в ортогональных декартовых координатах 0 х!х2х3,
следует, что cr33~cr13t/L, где t — толщина, а L — характерный раз-
мер пластины. В то же время из уравнений
^<т13 <9<т12 da23 da12 da22
<9х3 дх2 дх1 ’ дх3 дх1 дх2
следует, что a13~cr23~a”t/L~cr22t/L.
Для того, чтобы прийти к такому выводу, достаточно произвести
замены x3=£t/2 при—l^^l, x’^gL, x2=r]L, где— 1<|,
8 А-66
113
т]<1, и предположить, что при дифференцировании функций по £,
т] порядок функций не изменяется. Таким образом, следует
ожидать er33 ~ (er11, cr22)t/L2. Исключая т]°зз из выражения (38.4)
при помощи (38.6), получим
р ik 33
PtIk=Cikmnr]mn+ ЙЗЗЗ- (pt33—C33mnT]mn+₽33Т)—₽1кТ.
Член с t33 в этих соотношениях можно отбросить с погрешностью
C'k33t2/ (C3333L2) в сравнении с единицей. Для этого случая соот-
ношения упругости примут вид
= AikmnT) -
г mn
pt1 = 2Aikn°3 , Aik = А13к3
p i кЗЗлЗЗтп
ikmn _ pikmn + C_____I
U Q3333
+ С1к33/З33/С3333, (39.1)
где положено щз^т]0^, Ti3=0, М*3=0.
При использовании выписанных зависимостей (39.1) приходим
в рассматриваемом случае к соотношениям упругости следующего
вида
Т‘к__Rikmn„0 I R,ikmnv _____Tlk
1 —О *] mnT^ol X mn 1 т»
Mik = B]ik,nn T]Omn_|_Dikn]nXmn_MikT, N* =2В13кзт]°к3, (39.2)
в которых в отличие от (38.14)
t/2 t/2 t/2
B,kmn= f Aiknndz, B,iik:nn = J Aiknnzdz, Dikiin= f Aiknnz2dz,
—t/2 —t/2 —t/2
t/2 t/2
T,kT = J i|)lkTdz, MikT= j i|>,kTzdz (39.3)
—t/2 —t/2
и по-прежнему
t/2
В,зкз = f Ci3k3dz. (39.4)
-t/2
Для изотропной оболочки, выполнив аналогичную процедуру,
вместо (39.2) — (39.4) приходим к зависимостям
114
iK = E __ Г Eiksm( О + ) _
CT I 'sr3 sm
1 - у
- ( 1 + V )«тТа1к I, <
о-13 = 2Са1кл° = 2Ст)Ок< (
К ч5 • °
т14 = В [ EiksmT)° - ( 1 + v )aikET] ,
1 sm.
ik = D д Eiksmz _ ( ! + v )aikJf ],
s m
N* = 2Bcalk„°3 - 2Bc<k
(39.7)
в которых введены традиционные обозначения для жесткостей
изотропной оболочки на растяжение-сжатие, изгиб и поперечный
сдвиг
Et Et3
B=T^’D= wbrBc=tG; <39'8)
величины ет и хт по-прежнему определяются по формулам
(38.20), а компоненты тензора Eiksm равны
Eiksn=aisakn-|-vcisckni=va,kasm+(l—v)aisakm. (39.9)
Нелинейные соотношения упругости для тонких оболочек при
конечных деформациях получим из условия, что t33<CtH, t22, спра-
ведливость которого при условии с Clk33t2/(C3333L2) <С 1 только
что была показана для линейной упругости. В этом случае из
(36.1) имеем, что
и, следовательно, F от езз не зависит.
Таким образом,
F=F(I„ 12, 13, I4, I5, Т)
и соотношения упругости запишутся в виде (37.1) без последнего
соотношения, но с той существенной разницей, что F ют езз не
зависит.
8:
115
Если в кинематических соотношениях учесть часть, характери-
зующую изменение толщины оболочки через параметр у, вошед-
шего, например, в выражение для т]°33 согласно (20.23) или в вы-
ражение (20.16) для wz , то следует смягчить условие (39.10) и
заменить его условием
dF
t33o=£-^O,
de33
где t33o в главной части от z не зависит. Из вариационного урав-
нения Лагранжа в силу появления'новой варьируемой величины у
следует дополнительное уравнение для определения N3, выража-
ющегося через pt33o— о33 согласно (28.3). Это уравнение приведено
в главе V.
§ 40. КОМПОЗИТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
Наибольший интерес теория анизотропных пластин и оболочек
представляет при изучении поведения композитных оболочек, ко-
торые образуются из высокопрочных армирующих элементов (на-
полнителя) и менее жесткого связующего (матрица). Это могут
быть оболочки и пластины, образованные, например, путем на-
мотки однонаправленно армированной ленты, или путем наложе-
ния друг на друга и последующего прессования тканных моно-
слоев из стеклопластиков или других структур.
Далее композитную оболочку будем считать образованной из
монослоев однонаправленно армированной структуры или намот-
кой продольно армированных монолент. На срединной поверхности
Ок к-того монослоя ось Ох1 (К) ортогональной системы координат
Ох'(К) совместим с направлением армирования, которое состав-
ляет угол <р (К) с осью 0а1 базовой системы координат. 0ак на по-
верхности приведения о оболочки. При этом за положительное
направление отсчета <р (к> примем направление вращения от
Ох1 (к) к 0а1 против хода часовой стрелки при взгляде с орта нор-
мали m поверхности о. В каждом монослое, который представляет
собой тонкую ортотропную оболочку, определяющие соотношения
при конечных деформациях имеют вид (см. (37.1))
fin — dF I m I д in \ I о dF / ln 1 ln ш _
<к> + (КЧ+ Ш2(К)Г 2 em-
-5-А» лйф£-(.«-Л«). 1' =
*'+л«Ф2э^(,|’'-Л« 4 (401)
где принято gjk^Hik , Alk~Alk/z=o с. погрешностью t/R
в сравнении-с единицей. Индекс к указывает на принадлежность
помеченной им величины к к-тому слою. В соотношениях (40.1)
величины t1J, t1 , eiJ , ф1 , aIJ определены в базовой системе
116
отсчета Оа1. В той же системе отсчета определены величины
д 0 через их значения в осях ортотропии монослоя. С учетом
того, что в системе отсчета 0х\К) при ац=а22=1, Э]2=0 имеем
Д12=0, Лц=—Л22= 1 (в общем случае при ai2=0 имеем Лц =
— аи, Л22=—а22), в осях Оа1 (при ац = а22=1, ai2=0 в этих
осях) имеем
Л « ——Л^> =cos2(p(K) , Л<“> =sin2(p(K) .
Инварианты Ij теперь определятся в виде
= 2(е cos% + с sin2p + С sin 2<р ),
" л^>си =
= 2(ci,.sln4k>+ c22oos4k>- c12sin ЧкЛ
21 , Л Ке ~ с )sin 2<р
— 2г cos 2<р ]2,
14<к> = 2( ^cos (Р,к) + i»2sin V(k) )2,
5(к1 - 2( utsin у(к) - l»2cos ,»(к) )2
Здесь 6ц, е22, ei2, ф2— характеристики деформации в базовых
осях Оа* . В осях ортотропии из (40.1) при ац = а22=1, ai2=0
имеем
tИ =2 —
м <?Ii и ’
t1 (к) =4 ------------
оц (к)
dF
+ 22 ---О + 12
’ <“> <Э1з (к) ’ <к)
' t2(K> =4^~
I 015 (к)
= 2-^-
012 (к)
ф2.
812,
(40.2)
Так как реакция монослоя или моноленты на действие напря-
117
жений Ст12 и 013 одинакова, то
dF dF :
<512 (к) dl4 (к)
Это равенство означает, что вместо инвариантов (к) и Т4<К)
можно ввести один инвариант I*2=l2+I«/4, который в осях орто-
тропии принимает вид I*2=2(ei2E12+ei3£13)- Отсюда же следует, -
что вместо инвариантов Тг и Т4 можно ввести единый инвариант
Т*2=Т2+2Т4.
Таким образом, число независимых инвариантов Tj для одно-,
направленно армированной структуры сводится к четырем.
Понятие усилий Т,к , поперечных сил N1 и моментов М,к>
определим на основании введенного в равенстве (7.2) или (13.2) t
члена, дающего работу напряжений на приращениях деформаций:
с учетом выражений (20.25), (20.26) для деформаций (полагаем
т|3=0) __
Ш dV * = HI drlaidv=
V, V ~ s
И {Tik dn°lk+M,kdXik +2N1 dn°i3+N3dTi033}dQ,
a
где обозначено *
т1к =? 1/— tfik* dz, Mik =7 д/~ zdz,
—t/2 r a —t/2 у а
t/2 r~ t/2 r~
N1 = j 1/ — ст13 * dz, №= j I/ — ст33* dz.
—t/2 Г а —t/2 Г а
Если учесть, что p*Vg* = p]/g, tik = aik*/p* и т. д., то
t/2 t/2 t/2 t/2
Tik= J ptik dz, Mlk = j ptik zdz, N1 = J pt‘3dz, №= f pt33dz.
—t/2 —t/2 —t/2 —t/2
Уравнения, которым удовлетворяют MIk, Tlk , № , № следуют
из вариационного принципа Лагранжа (гл. 5).
В линейной теории упругости т1°зз=Т определяется при условии
а33—о из соотношений упругости. В нелинейной теории упругости ’
для тонких оболочек тоже азз=0 и это дает основание записать
условие (39.10), которое приводит к тому же результату при пере-
ходе к линейной теории упругости.
Функции pdF/d!j=Aj (If) при j = l, 3 представим в виде
рядов
А, = 2 Ajih, (40.3)
i=l
где коэффициенты Afj = Ajj (In )•
Bi силу ортотропии монослоя согласно (40.2) при j=l, 3 в 1
ряду (40.3) следует удержать члены при 1=1, 1=3. Так как
118
жесткость Ei волокнистого композита в направлении армирования
существенно больше жестки Е2 в направлении поперек армиро-
вания, то отношение E2/Ei = e“— малая величина (е— малое
число). Полагая Gi2/E2=£n , можно выполнить асимптотический
анализ, произвести классификацию форм зависимости напряжений
от деформаций [77, 78]. В частности, при т=1, п —0 получим,
что определяющие соотношения при т]1з=0 можно представить
в виде (40.1), где
А1 = Ai 1 (I j) 11 -|-А1з(11) 13
Аз=А31 (Ii) Ii-|- Азз(12, 1з) 1з
А2 = А2(12, 1з), Ak = dF/dIk (40.4)
если ограничиться точностью, соответствующей пренебрежению
членами порядка е2 в сравнении с единицей. Если ограничиться
точностью, соответствующей отбрасыванию членов порядка е, то
в выражениях (40.3) следует отбросить подчеркнутые члены. Со-
храняя далее подчеркнутые члены, ограничимся точностью, соот-
ветствующей предположению Ai3 = a = const. Тогда и A3i = a. За-
дача далее состоит в том, чтобы исходя из эксперимента конкре-
тизировать функции в (40.4). Если композит типа органопластика,
то зависимость ti от ei имеет вид диаграммы с упрочнением и мо-
жет быть удачно описана, например, функцией
Ац (Ii) Ii = aiArcsh (biIi) , (40.5)
где ab bi — постоянные. Предположим, что функции А2 и А33 пред-
ставимы в виде
(2) (3) (2) (3)
А2=А2 (12)А2 (1з), А3з=А33(12)А3з(13). (40.6)
В то же время зависимость t2 от е2 в активном режиме нагруже-
ния напоминает диаграмму идеально-упругопластического тела и,
следовательно, может быть описана зависимостью
А(3> 33(I3) I3=a3th(b3I3) (40.7)
Зависимость ti2 от ei2 аналогично представлена в виде
A2(I2yi2=a2th (b2yi2) > (40,8)
Так как dti2/d£22=do22/d(2E12), то с учетом представлений
(40.6)
—------------1- д — ____________-_______— А (3)
2£12А(2>2(12) de.12 33 1 I3Af3>33(I3) d£22A
где х=const. Отсюда с учетом (40.7) и (40.8) после взятия ква-
дратур с учетом (40.5) и того, что A13=A3i = a, получаем
Ai= Arcsh (bjp + al3 (40.9)
V aIT a?h(b3i3)(i+ -рЛ in ch (b /Г')]
2 2
119
А = %th (Ьг/1з )
2 у
/1
2
Ла
In ch (bl)].
3 J
Переходя к линейному случаю, заключаем, что
4а= Е1И12 = Е2И21 , iat-^ E1
1—Ц12Ц21 1 — Ц12Ц21 ’ Ь1(1—Ц12|Л21)
. Е2 G12
4аз= , -----. , 32 = ~7~~
Ьз(1—Ц12Ц21) Ь2
Таким образом, для анизотропного нелинейного упругого тела
кроме обычных характеристик Ej, Ег, G12, щг следует в рассмат-
риваемом случае найти из эксперимента постоянные bj, Ьг, Ь3 и х.
Если использовать разложения функций th(x), lnch(x) в окрестно-
сти х=0 в ряды, то при сохранении «первых» нелинейностей по-
лучим упрощенные представления формул (40.9)
V х ju 1
+ I (1- Л 1^)11+ 4*Gi2l2(i- —2V
3 о
А = G (1 +
2 12
*ЕЛ
,+ iw-vJ
5b2!2
(1-тг
)]
Для безмоментного напряженно-деформированного состояния
при £12=0 с чередованием по толщине <р(К)=±ф инварианты Ik
от номера слоя не зависят. В этом случае в базовых осях Оа1 при
ац = а22=1, ai2=0 получим
120
T11= t[(A11I°+ A13I°3)d+ “s 2’> +
+ (A31I°+ A33I°)(1- cos 2«>)] +
+ tGI2(<- <)sin22«>,
T = tKA^I^ A13I°3)(1- cos 2„) +
22 1 1 1
+ (A I°+ A33I3)(1+ COS 2*’)l +
311 333
+ tG (c° - e° )sin32ip, (40.10)
12 22 11
I°= 2(e° cos2<p + e° sln2(p),
I°= Zte^sin2?» + %2cos2’>)
Здесь e°ik = 6ik/z=o—значения упругих деформаций на сре-
динной поверхности.
При решении задачи об упругой устойчивости следует соста-
вить уравнения равновесия для возмущенного состояния, в кото-
ром усилия и моменты содержат части, соответствующие исходно-
му равновесному состоянию, устойчивость которого исследуется,
и приращения, соответствующие переходу в возмущенное состоя-
ние. Отправляясь от соотношений (20.25), представим составляю-
щие тензора деформации е1к в возмущенном состоянии в виде
eik—e°ik +eik +Z.X ik» (40.11)
где e°lk соответствует исследуемому равновесному состоянию,
a eik+zXik—приращение. Линеаризуя соотношения (28.3) отно-
сительно этих приращений и вычисляя усилия и моменты, получим
Т'к -rik 1 |д ikmn дд Ik— Л Д ikmn
1 —* оТ1Ло fcmn > — 12 Л° л mn •
Здесь исходное состояние принято безмоментным при £°i2=0, а
121
Ао'кп'п — условные модули упругости, вычисление которых мо-
жет быть выполнено на основе (28.3) и (40.11).
После определения функций перемещений и деформаций
для решения вопроса о прочности необходимо определить напря-
жения в каждом слое композита. При известных функциях W
напряжения определяются исходя из соотношения Рп =
= Р*я (Р*3 -и»), где Рп —вектор напряжения на пло-
щадке с ортом и* в деформированном состоянии. Так как
=Р* =ра*Уё#(«а) , ё*« =7*«/Уё*(аа) ’ т0 напря-
жение на площадке с ортом е*а
Р(а) = р* W ё*р yg*(pp) /gjaa) ,
а на площадке с ортом е*“
”Р(а) — р* g*pa Vg*(uu)/g* (аа) •
Введем следующее представление для векторов напряжений:
Р(а) = Spa(3^ =2рй. ёй , P(a)=Sp^==.Spa3 .
р f> р р ‘
Здесь, например, ряз—алгебраическое значение напряжений
в направлении е*р , действующего на площадке с ортом е*а . Для
характеристик, которые представляют интерес при т]|3~0, имеем
р„= + ₽.t32(g;2r<x+ 2₽.к1Хг.
₽i.= ₽г1=
Ргг= ₽.t33/g22- ₽.= ₽A/g."- (40.12)
Здесь: рп — нормальное напряжение на площадках Si, перпен-
дикулярных направлению армирования; p2i — касательное напря-
жение на площадках Sb равное касательному напряжению р21 на
площадках_ S2, параллельных армированию, но содержащих и орт
нормали т; р22 — нормальное напряжение на площадке S2. При
этом оси 0ak такие, что ось 0a1 всегда совпадает с направлением
армирования. В формулах (40.12)
g*a? = gap4-2l1ap,
122
V V g(<w) +2С (а) ₽Y С (а) (П g YX +n ₽(t 7] ).
Различные формы критериев прочности для анизотропных сред
рассмотрены в [5, 26, 45, 84 и др.]. Введенные ранее инварианты
(36.5) дают возможность сформулировать условие прочности мо-
нослоя композита или анизотропной оболочки в виде
Та (Ть Т2,..„ Т5, t33, X (j) ) ^к2а .
Здесь х (j) —структурные параметры. В случае ца3~0, t33=0
отсюда имеем
Та(Ть Т2, Тз, X(j) )^k2a.
Возможные варианты представления этих критериев в виде суммы
степеней Tj очевидны.
Выполним асимптотический анализ определяющих соотноше-
ний для анизотропных композитных оболочек и укажем пути экс-
периментального определения функций, входящих в определяющие
соотношения.
Соотношения (40.1) при обозначениях
<9F dF
А (,) =р ЛГ’ А <2) =p^i7 ’ А (3) =рдТГ (40'13)
для малых поперечных сдвигов запишем в виде
pt“=A (а '"+Л) +А (а Л ) +
+2Аю(а'"-4- Л:-}л;,ЛЙ«И> (40.14)
и поставим задачу об определении характера зависимости функ-
ций А (1) , А (2) и А (з) от инвариантов 1Ь 12, 13. Напомним, что
оболочка считается образованной из пакета однонаправленно ар-
мированных слоев, в каждом из которых ортогональные до де-
формации оси координат 0х‘(к) , где к — номер слоя, ориентиро-
ваны так, что ось Ох1^) совпадает с направлением армирования и
образует угол <рк с осью 0а1 базовой ортогональной до деформа-
ции системы координат. При этом за положительное направление
отсчета <рк принято направление от оси Ох1^) к оси 0а1 против
хода часовой стрелки при взгляде навстречу орту m нормали к
поверхности о. Векторы pb р2, m образуют правую тройку.
Функция F(Ij, 12, 13, Т) зависит от деформаций eik, прираще-
ния которых
d£ik = dT] lk — dr| $ — dr| & ,
а инварианты Ib I2 и I3 выражаются через elk, согласно форму-
лам (36.4). Рассмотрим отдельный монослой и в нем приращения
123
бе 1к мгновенных упругих деформаций. Для них имеем
бР=А!к‘ППбе„1П.
Так как бетп — деформация упругая, то
6tik бе ik=Aikmn6e ik бе ,nn > 0. (40.15)
Пусть
з
6tik6eik= S Cpq6ep6e4,
p, q=i
где обозначено
8ц — EI, 822= E2, El2=E3-
Введем обозначения _ _ ____
Сц = Е1, С12=Щ2Е], С1з=[Х|зЕ1
и т. д. Тогда матрица IICpq II примет вид
порядок модуля упругости Ej, Е2 — порядка Ег, Е3 — порядка мо
дуля сдвига G12: __ _ _
Ei~Ei, Ег^Ег, Es~Gi2-
Введем обозначения
Ег/Е^т)2, G12/E2=x2.
Условие симметрии матрицы HCpqll дает
ц ikE i = [xkiE h (i, к=1, 2, 3; не суммировать),
а условие положительной определенности формы (40.15) приводит
к условиям
Е|>0, jxikц к) 1, (Е к=1, 2, 3; не суммировать).
Например, из условий 1x121x21^1, Ц12Е1 = |x2iE2 следует, что
JXI2 С т)> Р-12Е1 = JX2iE2 ~ Т]Е1.
Выполняя подобные оценки для всех членов матрицы||Срч II, по-
лучим, что можно записать следующее соотношение порядков
II С II ~ Е
pq 1
1 , т? , Дт?
V , V2 , ^V2
Кт) , КТ]2 , W2112
Таким образом, если B^dF/de, , то
124
аВ аВ аВ
- 1 ~ Е , —2_ ~ т)Е , ~ Ят)Е , (40.16)
ас 1 ’ ас 1 ас i
12 3
аВ аВ аВ
тЧ ' А- 3^ ' ’Ч’ ' *”4- <40Л7)
* 1 2 3
аВ аВ аВ
' «Ч’ а?2 ' «”2E,- аг2 ' ^Ч . (40Л8)
12 3
Асимптотика при ц—>0 дает, что существенным будет лишь
<?в
один член -у-- ~Ei , (40.19)
в асимптотика при х—>0 дает существенные члены
dB,
de1
~ЕЬ
dB[
dB2
(?£!
эв2
де2
~П2Е1-
(40.20)
~ пЕь
Случай (40.19) соответствует «нитяной» модели однонаправленно
армированного слоя, а случай (40.20) соответствует ортогонально
армированному слою с нулевой сдвиговой жесткостью. Таким обра-
зом, в нитяной модели
dF dF
1^=0, ^Е-=0 hF=F(£|T),
de2 de3
а в модели с нулевой сдвиговой жесткостью
В1 = фо(£1)+Пф1 (8^2) +т)2Ф2(Е1, £2, 1]) >
В2 = 1Тф1 (£i) +п242 (ё1, £2) т]3’1’з(еь82, п)>
B3=dF/df3=0. . (40.21)
Следовательно, F=F(ei, е2, Т) и от е3 не зависит. В силу того, что
6е ।— деформации упругие,
dBt __ dB2
де2 — de!
и тогда из (40.21), ограничиваясь первыми двумя членами разло-
жений, имеем
5ф1(Е1, Е2) _ 0ф(б1) „ dl|)2(Ei, е2)
11 de2 “ П d£1 + П d£1 ’
Отсюда ф2=ф2(е2), ф1= £2+фю(£1)-
Таким образом,
В1 = фо(е1) + т] ( £2 +фю(Е1) ) ,
В2=т]Ч,1 (£i)+'n2^2(e2).
125
Подчеркнутый член может быть опущен без уменьшения общности,
и тогда соотношения упругости для модели типа ткани с нулевой
сдвиговой жесткостью согласно (40.14) получим
pt" к=(Ац (ei)+e2^£ll ) (а"+Л'к' ) + (А31(Ё1) +
+А32(е2)(а"-Л'к') ), (40.22)
pt22k=An (ei)+e2^^- ) (a22+A22)) + (A31(ei)4-
+А32(е2)) (а22—Л22} ).
В случае A3i = 0 имеем наиболее простой вариант для тканевых
материалов
pt"k = A11(e1) (а"+Л(^)+А32(е2) (а" - A'K' ),
pt22k=A11(e1) (а22+А22} )+А32(е2) (а22-Л22к)). (40.23)
Здесь как и в (40.22) можно считать ац=а22=1, ai2=0.
При этом
Л", =— Л22, =Cos2<pk , A(12) = Sin2<pk .
Если оси Ох1 и 0а1 совместить, то <pk=0 и в самой ткани
pt'i^Anto), pt22 = 2A32 (е2),
тогда как формулы (40.23) дают приведенные напряжения t'n в
базовых осях Оа'а2, составляющих угол <рк с осями Ох!х2 к-того
слоя. Сохранение члена A3i в формулах (40.22) дает возможность
учесть взаимное влияние утка и основы при их деформировании.
По крайней мере, предположение об упругости и нулевой сдвиго-
вой жесткости не дает основание считать А31=0. Этот факт, тре-
бует проверки экспериментом.
Возможны, очевидно, различные предположения о характере
связи между г) и х и соответственно этому могут быть построены
различные асимптотики для физических соотношений. Например,
для стеклопластиков
Е1~46000МПа, Е2~18000МПа, С12~4500МПа и, следовательно,
г]2~ 1/3, х2~ 1/3, х~т].
Для этого случая из (40.16) следует, что дВ1/де! в асимптотичес-
ком разложении начинается с членов, содержащих г] в нулевой
степени, dBi<3e2 — с членов, содержащих г] в первой степени, а
<5В1/<Зе3 — с членов, содержащих квадраты т|. Следовательно,
В1 = <ро (£1) +Т1Ф1 (£Ь £2)+'П2ф2 (еь £2, Ез> п)-
Аналогично из (40.17) и (40.18) следует, что
В2=т1ф1(е1)+112ф2 (еь £2)+п3Фз (ei, £2, £з, Т1)>
В3=г]2Х2(е1)+т)3Хз(е2, е2)4-т]4Х4 (еь е2, £з, п)-
Здесь ф2, фз и Х4 в асимптотическом разложении начинаются с чле-
нов, содержащих г] в нулевой степени:
фг = 2 ф2кП \ Фз = 2 ФзктА Х4=2Х4кТ1к-
к=0 к=0 к=0
126
В асимптотическом разложении Для функций В, ограничимся
случаем Ф2к = фзк—Х4к— 0 для к^1. Из условий
ЗВ; = dBj
де1 дг{
следует, что
а® (е , е ) а® (е , е , е )
1 1 2 , 2 2 1 2 3
V ---------------- + 'п ------------------------- =
‘ о £ О С
2 2
д<р ( С , С , С )
2 Г 2 1 ’ 2 ’ 3
ас
3
2
v ~эЕ------
1
’+ 7?
ах (е , с
3 1 2
ас ’ ‘
1
7)
д% (с с ,
4 1 2
~ ас
1
4
с
)
Путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях т]
получим, что
ЗТз dei = 0 или Тз = Тз (82, 83),
^Хз dei = 0 или Хз=Хз(б2),
^Х4 dei =0 или Х4 = Х4(Е2, ез),
^Х4 д^2 = 0 или Х4 = Х4(8з). (40.25)
127
Наряду с этим
dip (е е ) дф (с }
11 2 _ 1 1
ас эг~ ~ кли
2 1
а^ (е )
^14’ е2) = ----------к"'1 G2+ (40-26)
3?)2(с1 ’ С2' Сз) )
Эе ИЛИ
3 1
дх (е )
VC1 ~ дСг1~ Сз+ ?>2О(е1’е2 )- (40'27)
C^3(ci’ е2, гз) дх^г^
~~ Эе“ дГ~~ ™
3 2
i > /
дх. (е? )
V'3 =J3fe;~ С3+ Р3о(е1’ с2}- (40.28)
Наряду с этим первое из равенств (40.24) дает
дфг (еь е2, ез) _ ^(еь 62)
(Зе2 ~~ <?6i
Подытоживая, получим, что в пределах принятой асимптотической
точности вид функций В; должен быть таким.
дф (е )
В = <р (е ) + т)С — д„ +
1 г о 1 2 д е
дф (с , С )
2 1 2
.а е
1
+
de ,
2
B2=n^i (S1) +п^2 (еь 82) +’^^3 (82),
В3 = Т|4Х4(8з),
128
так как х2=Хз=0 в силу того, что в ортотропном монослое
деформации ei и ег не могут вызвать напряжения ti2- Таким обра-
зом, с погрешностью т|3 в сравнении с единицей
tj! = Bu(ei)ei 4~Bi2(ei, 62)62,
^22=^21(61, 62)61+622(61, 62)62,
Й2 = Взз(бз)бЗ
при выполнении условия
dtp ___________________ <3t22
дъ% dei
Ограничиваясь в асимптотических разложениях для-Bi и В2 пер-
выми двумя членами, с погрешностью т]2 в сравнении с единицей
получим дф
V %<+ + аг;
В = 11ф (с ) + (с ),
2 11 2
•Вз= 7}\(ез),
или tji = Bn (ei) ei-+B12 (ei) 62,
t22 = B21 (б)) 61 + В22 (бг) 62,
<42=Взз(ез) ез-
Сохраняя в выражении для Bi лишь первый член разложения, по-
лучим, что с погрешностью порядка т] в сравнении с единицей
tll = Bn (б1) 61, t22= 822(62)62, Й2=Взз(бз)бз.
Эта форма определяющих соотношений использована в работе [80].
В случае, соответствующем условиям (40.24), выражения напря-
жений через деформации в к-том однонаправленно армированном
слое примут вид
pt;:, = I++J++
- lA^d,k. I3kHIk +
-+dlk. I3k)I3kKa--A‘") +
/т \/ in 1 „in m __ 1 AinAp<+ )
+ 2Агк(1+(£: ’ 2 a =»• 2 x u
9 A-66
129
Более детальный анализ и классификацию определяющих со-
отношений для композитных оболочек можно найти в статьях
И. Г. Терегулова [77, 78].
Опишем процедуру экспериментального определения функций
А[ (Ij) при ограничениях у к—0, de-^ =0, т. е. в случае малых
поперечных сдвигов и в отсутствие деформации ползучести. Отме-
тим, что величины deik есть упругая часть приращений деформа-
ции и
delk = di11k—dr]^’ .
Для усилий, отнесенных к начальному недеформированному со-
стоянию и к недеформированной площади, получим
h h h
Тц = J ptjidz, Тг2 = J pt22dz, T)2= J pti2dz,
—h —h —h
где 2h — толщина оболочки. Пусть цилиндрическая оболочка изго-
товлена намоткой однонаправленно армированной лентой при уг-
лах намотки фк =±ф, где фк — углы, которые образуют на-
правления армирования с образующей цилиндра, при равном
количестве слоев в обоих направлениях. При этом для случая
812 = 63 = 0
1*1 = 2 (ецСО32ф4-82281П2ф) , 1±3= 2 (бцsin2 ф4-822СО32ф) ,
21±2= (8ц—822) 2 ЗШ22ф,
AW =— А<к> =cos 2фк> Л|*)=зш2фк. (40.29)
I 1 А» * 16 1
Так как I j от номера слоя зависят, то
Tn = 2h[Ai(2-|-соз2ф)4-Аз(1—соэ2ф)] 4-2hA2- (ец—822) зш22ф,
T22=2h[A2(l—соз2ф)4-А3(14-соз2ф)] — 2hA2-(ei 1—822) эт22ф.
(40.30)
Для определения А2 (I2) отсюда при ф=л/4 получим формулу
4hA2' (б22—8ц)=Т22—Тц. (40.31)
В пределах точности рассмотренного ранее асимптотического
приближения А2 зависит лишь от 1г, для которого при ф=л/4 име-
ем 212=(ец—82г)2-
При Тц— Т22>0 из (40.31) для А2(1г) получим
Тц—Т22
А2(Т2)— 4hy2i7 •
В пределах той же асимптотической точности A)=Ai(Ii, 13),
А3=Аз(11 13). Для определения этих функций из (40.30) при
Ф=#л/4 и известной функции А2 (I2) имеем
ЬА1Соз2ф=Тцсоз2ф4~Т223Ш2ф —8ЬАг- (вц—822) зт22ф,
ЬА3соз2ф=— Тцз1п2ф4-Т22соз2ф4-8ЬА2- (вц—822)з1п22ф.
(40.32)
130
Здесь все входящие явно ец, e22, h следует выразить через h и 1з
согласно (40.29), то есть
2encos2(p=l1cos2<p— I3sin2<p,
2e22cos2<p=l3cos2<p— Iisin2<p,
8I2cos22<p= (Ij—1з)2эт22ф.
Интервал нагружения в избранном направлении Т=Тц1-|-Т22 S
по прямой в плоскости ОТцТ22 для удобства вычислений следует
разбить на равные участки ДкТ= ДкТц i+AkT22j, AK+i Тм=ДкТц.
При первом нагружении снимаются показания для- Дец = еоц,
Де22=е°22- Будем считать, что на первом этапе нагружения пла-
стические деформации отсутствуют и деструкция не имеет места.
То есть режим нагружения чисто упругий. После выполнения на-
гружения на к-}-1-вом шаге до уровня Tk=TK_i +ДТ замеряются
приращения Дк =т]ц, Дкт|22 и затем осуществляется разгрузка до
уровня нагрузок TK_i . При этом обратном ходе замеряются Ак8ц,
AkE22 — приращения упругих деформаций при переходе от уровня
ТК_! к уровню Тк. При этом может оказаться, что Акец=£ А08ц,
Аке22 4= Абегг, что означает падение модуля упругости. Это явле-
ние будем связывать с нарушением сплошности среды, что влечет
снижение сопротивляемости упругому деформированию. Разности
АкРц= Дк8ц— До8ц, АкРгг— Ак822— Ао822
будем считать мерами поврежденности. Величина приращений
пластических деформаций при переходе от уровня TK-i к уровню
Тк определяется в виде
ДкЛп> = AkT|ii-—Дкец , Дк'П'Й — А кПгг — Дк822.
На каждом из этапов определяются суммы
К к
' . 8 11= 2 А,ец, 8к22= 2А1822>
i=0 i = 0
и на их основе строятся инварианты согласно формулам (40.29).
После определения функции Аг (12) согласно (40.31) следует перей-
ти к определению функции Ai и Аз согласно (40.32). Для полной
определенности соотношений (40.14) теперь необходимо установить
закономерности, согласно которым можно определять приращения
пластических деформаций Дт]’^ . Один из возможных путей со-
стоит в том, чтобысчитать приращения деформаций зависящими от
достигнутого уровня напряженного состояния, которое определяет-
ся инвариантами
Ti=t!_+A‘ntin, T3=t! —Alntln,
T2=tin t‘n-| (t1;.)2—2 (A'ntin)2
и ортогональными некоторой поверхности.
ф(Ть Т2, T3)=const.
9*
131
То есть
д,|?=дД.
dt :
Другой путь состоит в том, чтобы считать, что полная деформация \
определяется в виде
Л in'=Ci (ain4~Ain) 4-2Сг(1 in— — aln t j. —2'AlnA₽qtPq) +
4-Сз (ain—Ain),
где
г — д'Ф с _ ^Ф г _ дф
dTi ’ С2~ dT2 ’ Сз—дТ3' :
Первый из этих путей соответствует теории пластического тече- :
ния, а второй — деформационной теории. Из условий выпуклости
поверхности ф=const можно сделать выводы о структуре функций
С i аналогичные тем, что были сделаны в п. 3 относительно функ-
ций
С1 = С11(Т1)Т1+С13(Т1)Тз, Сз=Сз) (Т1)Т14~Сзз(Тз)Тз, С2=С2(Т2).
Так как в описанном эксперименте определяются величины .
К j
pff = 2 AjPm как меры поврежденности, то на базе этих заме-
i=0
ров путем доведения образцов до разрушения можно построить
теорию разрушения. Введем в рассмотрение инварианты
Р1 = Р-. +AinPin, Рз=Р1. -Ainpin,
P2=PinPin~ j- (Pi.)2-^-(AinPin)2
и постулируем, что моменту разрушения соответствует выполнение
условия
Ф(Рь Р2, Рз)=0,
где вид функции Ф подбирается из эксперимента. Рассматривая
развитие мер поврежденности Р1п во времени, можно конкретизи-
ровать соотношения теории накопления повреждений и теорию .
прочности, развитые А. А. Ильюшиным [29].
132
Глава VII. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
ТИПА ТИМОШЕНКО В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
ПРИ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
§ 41. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
КИРХГОФА — ЛЯВА
Выведенные в предыдущих трех главах соотношения нелиней-
ной теории тонких оболочек имеют обширную область.применения,
так как при построении кинематических зависимостей и уравнений
равновесия на компоненты тензоров деформаций и напряжений
кроме (24.18) не накладывались какие-либо другие ограничения. В
то же время известно, что при эксплуатации различных инженер-
ных сооружений в большинстве случаев в оболочечных элементах
не допускается появление больших деформаций, так и больших пе-
ремещений, заметно искажающих их геометрические формы и очер-
тания. При расчете таких оболочечных элементов зачастую нет ни-
какой необходимости в использовании соотношений нелинейной те-
ории оболочек общего вида. Поэтому в механике оболочек получи-
ли широкое развитие и распространение различные приближенные
теории, базирующиеся на тех или иных допущениях.
Так, например, в классической теории, базирующейся на гипо-
тезах Кирхгофа — Лява, в рамках предположения о малости де-
формаций согласно установившейся классификации различают три
типа задач механики тонких оболочек.
1. Слабый изгиб оболочки. Изгиб оболочки называется слабым,
если углы поворота триэдра {п, т} всюду малы по сравнению с еди-
ницей, т. е. во всех точках срединной поверхности выполняются
приближенные равенства
cos(r*[ ,rs) ~cos(ri, rs), cos(r*i, rs) «cos(rj, rs),
cos(r*1( m) «cos(r,, m). (41.1)
Так как согласно (19.20)
_ _ б8,+е8, _ _ 6Si
№,г2 г‘2 - Ж+Ж)? “s,2 г2.= '
cos(r*I,m) =®j(a и4-2г|0п) ~1/2, cosfrp, m)=0,
то сформулированные условия (41.1) будут выполняться, если на
величины eik, е\, наложены ограничения
S^-f-ek,#ssf6ki, aik4-eik«aik, e,k~eki~е. (41.2)
При выполнении выписанных оценок линеаризуются кинематиче-
ские соотношения (19.21)
2r|0ik = eik+eki, (41.3)
а выражения (19.26) приобретают вид
Е,«-Е3« 1. (41.4)
Так как при малых деформациях 1»1, то с учетом (41.2) и (41.4)
133
можно линеаризовать также и выражения (19.41), служащие для
определения компонент изгибной деформации оболочки по класси-
ческой теории
xik =— Vf<ok— b^ks, (41.5)
принимая при этом дополнительное предположение V,eJk~E.
В тонких оболочках последнее слагаемое в (41.5) с точностью
6ki—zbki«6ki может быть отброшено, так как по классической
теории
2r)ik =2r)°ik + 2zxik=eik +eki—z(Vi<ok+Vk®i+
+bsi eks+bsk eis) «eik +ekf—z(Vt cok+Vk cof).
Следовательно, при слабом изгибе оболочки
2xik= — Vt <ok —Vk (41.6)
2. Средний изгиб. Изгиб оболочки называется средним, если во
всех точках срединной поверхности выполняются приближенные
равенства
б Sj -|-е Sj б si als+eis ~ a ls
V(an +2т]°н Ja^б * 8 Vana8S ’ V(aH +2т]0и )ass ~ ]/аца88 ’
cos2(r*i ,ш) =ю2,/(aii+2r]0if) «е, (41.7)
имеющие место при малых деформациях и выполнении оценок
eki~efk~e, <о‘~Уе. (41-8)
В соответствии с (41.7), (41.8) предполагается, что в деформи-’
рованной оболочке всюду малы по сравнению с единицей углы по-
ворота триэдра {Г1, ш} в плоскости, касательно^ к срединной по- .-
верхности, и квадраты углов поворотов нормали m к о. В литерату-
ре, как правило, условно считают, что средний изгиб оболочки на-
блюдается тогда, когда максимальный прогиб одного порядка с
толщиной оболочки и даже значительно превышает ее, но мал по
сравнению с другими линейными размерами оболочки.
При среднем изгибе в силу выполнения оценок (41.8) в соотно-
шениях (19.21) появляется возможность пренебрежения слагаемы-
ми etj eJk по сравнению с остальными; в результате для 2т)°1к
находим упрощенные выражения
2i']0ik=eik+eki+®i юк- (41-9)
С той же степенью точности в данном случае из (19.26) следуют
приближенные равенства (41.4), в силу которых при введении до-
полнительного предположения Vte’k—е с учетом очевидных
оценок eJk «ю kEj из (19.41) следуют линеаризованные кине-
матические соотношения (41.6).
3. Сильный изгиб. Если прогибы оболочки велики по сравне-
нию с ее толщиной и соизмеримы с характерным линейным раз-
мером, то изгиб оболочки называется сильным. При таком харак-
тере деформированного состояния существенного упрощения основ-
ных соотношений механики оболочек произвести не удается.
134
§ 42. ДЕФОРМАЦИЯ ТОНКОЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ
ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ ПРИ СРЕДНЕМ ИЗГИБЕ
Теория оболочек, описывающая средний изгиб, в литературе
принято называть теорией в квадратичном приближении. Из всех
вариантов нелинейной теории она является простейшей и поэтому
наиболее употребительной при решении задач механики оболочек.
Из уточненных теорий оболочек, Описывающих средний изгиб, наи-
более простой является теория оболочек типа Тимошенко. Постро-
им здесь кинематические соотношения этой теории для случая ма-
лых деформаций при действии на оболочку достаточно гладких
(нелокальных) нагрузок.
Для компонент тензора тангенциальной деформации т|°1к и
приращений компонент второго метрического тензора х1к при сред-
нем изгибе, как мы установили, имеют место соотношения (41.9) и
(41-6)
2т)°1к—eik4-ekl4-®i® к, (42.1)
2 xik = — Viю к— Vk®,. (42.2)
Данные соотношения в уточненной теории дополняются кинемати-
ческими соотношениями главы IV, представленными в нескольких
вариантах. Обратимся сначала ко второму из них, выведенному в
§ 21 и упрощенному при введении ряда предположений в § 23.
Рассмотрим формулы (23.11). При среднем изгибе в силу прш
нятого предположения Vje^^e и оценок eik ~eki~e,®i
для входящих в (22.3) членов имеют место оценки V|T|0 ik—
~т]01к~е. Поэтому при малых деформациях согласно формуле
(22.6) находим
Ajik = ain.kPn>ik»(ain+noin)Pn,ik «ajnPn,ik ~е. (42.3)
Следоват'ельно, в силу оценок ф*,—е и (42.3) в (23.1.1) с принятой
степенью точности может быть отброшено последнее слагаемое, что
позволяет записать приближенные соотношения второго варианта
в виде
2Xik»Vi<p*k+Vk<p*1. (42.4)
С учетом этих зависимостей согласно (42.2) и (21.16) находим
компоненты изгибной деформации оболочки в следующей форме
2xik « —Vi (юk —ф* к) —V к (о>( —ср* j) • (42.5)
Рассмотрим теперь выражения (21.40). Первые из них с учетом
Ф* •'-е, ф*!~е, aik+eik «aik , фк* а,к=ф*1 упрощаются и при-
нимают вид
?1«Ф*1—®i, (42.6)
а последнее с той же степенью точности представимо в форме
?~ф‘* Ю|, (42.7)
так как при среднем изгибе согласно (41.4) Е3«1. Учитывая те-
перь установленные соотношения (42.6), для компонент изгибной
135
деформации оболочки в соответствии с (42.5) получаем выраже-
ния первого варианта
2xik = Vj у k +Vk у [. (42.8)
Из (21.40) с учетом (41.4) следует также выражение следую-
щего вида
Yi = I-1/2Ei+(Pi = (pi—со j, (42.9)
которое при сравнении с (42.6) показывает, что в случае среднего
изгиба оболочки имеет место приближенное равенство
<p*i = 2T)oi3«<Pi • (42.10)
Выражение (42.6) перепишем теперь в виде
2т|01з=ф*1«фi«V i+®i. (42.11)
которое служит для определения поперечных сдвигов в оболочке
при использовании кинематических соотношений первого варианта.
Оно, кстати, следует и из выражения (20. 21), если принять во вни-
мание формулу (42.7):
2т|°1з = ®1 (1+фк* )+?к (6ik+eik) + Vi ,
учитывая при этом оценки <pk* ~е, <ок'~]/е и приближенные ра-
венства 6kj+ek| ~6к,.
Из (42.6) и (42.7) усматриваются оценки для функций yi , у
у~е3/2, (42.12)
причем последняя из них указывает на возможность пренебреже-
ния функцией у по сравнению с единицей во всех кинематических
и статических соотношениях.
Рассмотрим теперь соотношения (21.38). Первое из них с учетом
установленных приближенных равенств <р* ~т]°зз, Е3«1
принимает вид
Ф«Ф* * ®1+ф* «Ф* ®1+г|озз, (42.13)
а из остальных следуют формулы (42.11), причем согласно (42.13)
для ф при среднем изгибе имеет место оценка
Ф~е. (42.14)
Из формулы (42.13) находим выражение для т|°зз
т|°зз« ф—ф ‘ ® 1 , (42.15)
которое следует также и из (21.27), если принять во внимание ра-
венство (42.10) и оценки (42114), (23.12).
Через компоненты вектора у деформация поперечного обжатия
выражается формулой (20.23), которая при среднем изгибе в силу
оценок (42.12) приводится к виду
т|0зз«т+у‘Y1/2. (42.16)
§ 43. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ ПРИ СРЕДНЕМ ИЗГИБЕ
При произвольных перемещениях элементарная работа внеш-
них сил, как было установлено, определяется равенством (27.21).
Прежде чем упростить его для случая среднего изгиба, рассмотрим
136
выражения для базисных векторов на деформированной срединной
поверхности и для единичных векторов п* , т* на деформиро-
ванном контуре.
Обратимся к формулам (19.18) и (19.25). В силу выполнения
оценок (41.8) в рассматриваемом случае с учетом (41.4) они при-
нимают вид
r*f «rt4-(0i т, т* дат—и, г'=т—со1 rt. (43.1)
Имея в виду, что при малых деформациях справедливы равенства
(§ 26)
и*! т*! , r'* = a,k#T*k «а‘ктк=т‘, п'* =
— а * и к ~ а и к = и ,
с использованием (43.1) находим
n*=n‘* r*i«n‘ (гi+oijт) =п+соп т,
г * =г‘* г*,~г’ (г i+cDiin) =т4-(о т т, (43.2)
где, как и прежде, (on=n' ©j , =т‘ ®|. Эти формулы следуют
также и из (26.22), (26.25), если принять во внимание, что при
среднем изгибе для величин етп, етт , сот , соп имеют место оценки
етп ~е-гт~е, ют (43.3)
и приближенные формулы
Еп=Е,п'»—со1п‘=—юп,Ет —Ю|Т' =—сот, (43.4)
в силу которых согласно (26.26) справедливы равенства
Е пп ЕЕ пт бтп к) п (о т е, ЕПП1 (0 n (43.5)
И, наконец, принимая во внимание равенства (43.4) и Ез«1,
вместо (26.24) получаем приближенную формулу
ш* «т—юпп—(От т. (43.6)
Обратимся теперь к выражению (27.21.) Первое слагаемое под
поверхностным интегралом с учетом разложения (33.2), в котором
в силу установленных оценок согласно (33.3)
XkH«Xk—cok X3, Х3„«Х‘ ©j+X3, (43.7)
будет равно
X6v=XkH6uk +X3H6w. (43.8)
Аналогичным образом для первого слагаемого под контурным ин-
тегралом находим выражение
Ф36у=Ф®н6цп+Ф бит +<&mH6w, (43.9)
в котором величины Ф^” , Ф®“ , Ф^н вычисляются по формулам
фпн=ф3п-фт<ои. Фпт^Фпт-Ф5™ ,
фт =<&V+<n ®п+ф3пт ®т , (43.10)
следующим из векторного равенства Фп п+Фпт т+Фт т=
137
= Ф8П п *'+Ф8пт т *+Ф5т т* при использовании выражений
(43.2) и (43.6).
Остальные слагаемые (27.21) могут быть представлены в двух
вариантах.
Согласно первому варианту вместо вектора поворотов у введем
представление у=т*+ф и, используя (43.1), проведем следую-
щие преобразования:
Mkr*5i + М35т}0 = МкГ*(зш* + 5^ •+ М36<р* =
к 3 3 к
*
= - Мк5и + Мк[з(г*ф) - фЗГ*] + М33<р* =
к к к
= Мкз(<р* - w ) - мк® Зо + М3з<р «
к к * к *
» Мкз(<р - о ) + М3Зф,,
к к *
- •' \ /
(G-n. - Gs т.)г» + М3ач° «
и * пт * s 3 3
(43.11)
« (Gsnk - Gs тк)г*(зт + 5<р) + М3з<р
п nt к * s *
(GsnH - Gs тк)ё(/ - о ) + М3з<р
П п г к к s *
# Gs3(«)*- cj ) - Gs 3 <р*- и ) + М36ю . (43.12)
п. п п пт X? 77 S * _
В результате, используя установленные соотношения (43.8), (43.9),
(43.11), (43.12), для б А получим формулу
7А=И (Хкнбик+ Х3нб5У+Мк6(ф*к-сок)+М36ф *)do+
а
,+Л(ФпИ бип+Ф®“бит +®smH 6w4-Gsn6(T*n—соп ) —
-GsnT 6(ф*т-©т)+М38бф# ]ds. (43.13)
138
Согласно второму варианту вместо (43.11) будем использовать
выражение (34.3)
г* 1!6у4-М36т]0зз=М *н6уj-)-М3 бу, (43.14)
в котором в соответствии с (34-4) с точностью 1+у~ 1, бк+е,к«б’к
М‘н«М‘+М3у’ , М3н«МксОк+М3, (43.15)
а вместо (43.12) с учетом формул (42.16) и (43.1) находим
(Gsn - Gs i )зу + М3<377°
П * ПТ * ° s *33
- (Gsn1r*~ Gs т1г*)(гоЗу + rk3y ) + .
n i n -с 1 к
+ М3(зу + ) =
s • к.
= Gnnk^k“ ((Гг? - Gs +
11 К n77 к n nC i
+ М3(бу + f 8j + у ) =
• s n n -и T
еГ5’„ - О», * *’«»». " ' (43.16)
где обозначено
GSHn = Gsn+M3s Vn , GsnT=GsnT-M3svT ,
M3SH=M3s4*Gsn co n—GStCOt . (43.17)
В результате, используя (43.8), (43.9), (4314) и (43.16), вме-
/V
сто (43.13) приходим к выражению для ЗА второго варианта
зА - тт(Хкзи + X33w + М*з? + M33r)do- +
Н к Н Н 1 Н
О’
+ Я Ф5Нзи + $sH3U + ФзНзте + GsH3r -
П П ПТ 77 m п п
с
- GsH3y + М3 зу )ds. (43.18)
пт ~и sH
139
§ 44. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
1-го ВАРИАНТА
Как и прежде, статические уравнения теории оболочек этого
варианта построим исходя из кинематических соотношений, вы-
раженных через функции щ , w, ф* । и ф* . С этой целью обра-
тимся к выражению (28.4)- В рамках принятых предположений о
малости деформаций и достаточной гладкости приложенных внеш-
них поверхностных сил, в силу которых формулируются равен-
ства 2т)13~ 2т)°)з=ф*| , а33=0, №=0, М’3=0, (44.1)
с учетом (42.1), (42.6), исходя из (28.4), находим
3U = ТТ[Т1к(зе г о йы ) - Mikv 5<р* +
_ i к i к i к
+ Mlkv 6<р + ЬРйф ] dcr =
i к г i
- J’ М1 kn (dip* - du )ds +
к к
+ JTlT’к3е + (v Mik + Гкш )дш ~
i к i 1 к
• (v м,к- Nk)d/]d(T. (44.2)
i к
При помощи (43.13) и (44.2) составим теперь вариационное урав-
нение Лагранжа (291), а затем вместо eik внесем их выраже-
ния из (19.19). В результате после ряда традиционных преобра-
зований будем иметь
j[(Ф5Н - Т )зи + (Ф5Н - Т )зи +
n n n XI77 П77 77
+ ФяН37У + (Gs - G )з(ф* - и ) --
m n n n п
• (Gs - G )з(<р* - w ) + М35ф ]ds +
п(. пт ~и с s *
+ пЪ Tik+ Хк)зи - sk3w + (Tikb + X3)sw +
а 1 Я к Н к 1 к н
+ (v.Mik- Nk+ мк)з<р* + M3s<p<]dcr = 0, (44.3)
140
где введены обозначения для внутренних контурных усилий и мо-
ментов
Tn=Tlk щпк, ТПт=Т1кП1 тк, Gn = Mlkn!nk, Gni—i—М|кп; тк,
(44.4)
а также для перерезывающих сил SkH согласно равенствам
SkH = Vf М|к4-Т|ки1 +Мк, (44.5)
представляющим собой уравнения равновесия моментов теории
Кирхгофа—Лява в системе координат недеформированной обо-
лочки. Внесем далее в (44-3) выражение для 6сок из (19.19), а
затем применим формулу преобразования (29.3). В результате ин-
тересующее нас вариационное уравнение Лагранжа примет вид
Н(ФэН - Т )зи + (ФэН - Т )зи +
п П П n-Г П77 х
С
+ (Ф'н - S“n )«» + (G* - G )s(,’ - u ) -
rn н к n n n n
(GrU ~ + Ids + jj(Lk3U +
41 II c c T7 s * H К
+ L?<3w + fk^* + M35^Jda- = 0 (44.6)
Из данного уравнения в силу произвольности вариаций переме-
щений U|, w и функций <р*к, ф* следуют два равенства
M3s = 0, М3=0, (44.7)
показывающие, что при_среднем изгибе оболочки для векторов М
на поверхности о* и Ms на контуре С * справедливы прибли-
женные формулы разложения
М= [Н, in* ] =MkF*k, Ms sGsnn\ — GshT 7* , (44.8)
в которых векторы r*k, m* , n * , т* определяются по формулам
(43.1), (43.2) Кроме того, из (44.6) следуют также три диффе-
ренциальных уравнения равновесия усилий
LkH=VITlk-S‘HbkI +XkH=0,
L3H=VISi„+Tlkbik+X3H=0, (44.9)
отнесенные к системе координат недеформированной оболочки,
два уравнения равновесия моментов
fk=ViMik— Nk+Mk = 0, (44.Ю)
отнесенные к системе координат деформированной оболочки, и
пять статических граничных условий в форме
141
$sH = T при sU * о,
п П n
$sH = т при sU * 0, (44.11)
-r пл:
$sH = Skn при 3W * 0,
m H к
Gs = G при б(у>‘ - w ') * 1‘,
n n n
Gs = G при б(/ - w ) * 0. (44.12)
nu n-c -C u
Как и в § 29, контурный интеграл полученного вариационного
уравнения (44.6) допускает дальнейшее преобразование, если вне-
сти в него вместо бит его выражение из (26.19). В результате,
принимая во внимание (44.7), вместо (44.6) приходим ко второй
форме вариационного уравнения Лагранжа
+ ЯКФ’5? - k Gs ) -
с 1177 I с n ri~c гги
- (Т - к G )JaU +
п п Т п Т и
[(ФзН - к Gs ) -
пт 77 пт
- (т - к G )].§и + [(фяН - d&n77) _
пт и пТ тг m dS J
dG l'
“ (SX ~ (НГ1 + (Gs - G )5(/ - w ) -
n n n П
(G* G )8<p* }dS +
n77 ПС 7?
+ J7(Lk<5Uk+ + fk5<p*)da = 0, (44.13)
142
которое представляет собой скалярное представление уравнения
(29.24), упрощенного для случая среднего изгиба оболочки.
Из (44.13) следует, что в рассматриваемом случае вместо
(44.11), (44.12) статические граничные условия на контуре С фор-
мулируются в виде
ф3и _ k gs = Т - к G при sU * О,
п п тг пт п пт пт п
ФаН - к Gs = Т - к G . при 5U * 0,- (44.14)
пт т пт пт т n't т
dGs dGs
ФзН “ = Skn - при 3W * О,
m CIS п к IIS
Gs = G при ё(<р* - w ) * О,
n n n n
Gs = G при 8<p* * 0, (44.15)
П 77 n 77 77
к которым в угловой точке незамкнутого контура С при 6w^0
добавляется статическое условие
(Gsnx—Gnx ) | с = 0.
При Ф*к=0 из (44.13) естественным образом следует вариа-
ционное уравнение Лагранжа классической, теории среднего изги-
ба оболочек,
(Gs - G )sw + Н[(фзН - k Gs ) -
П 77 ПТ с IX П 77 П 77
С
- (Т - к G )]зи + [(Ф5 - к Gs ) -
П П.Т7 п.~С П пт ~с пт
- (Т - к G )]зи + [(ФзН - ) -
пт -и пт Т m ds
143
(s“ „
n к
dG
]sw}ds +
+ + I?sw)d<r = 0, (44.16)
O'
служащее для решения задач методом Бубнова—Галеркина.
§ 45. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
2-го ВАРИАНТА
Построим здесь статические уравнения теории оболочек, соот-
ветствующие кинематическим соотношениям (42.1), (42.8) и
(42.14). При их использовании, принимая во внимание принятые
предположения (44.1), для 6U вместо (442) будем иметь
sU = JV [Tik(зе + w So ) + MikV 8v +
а i k i k i k
+ ЫЧзу + So )]do- = f Mlkn 3y ds +
i i i k
c
+ ff [Т;кзе + (Tiko + Nk)3o +
1 k i k
+ ^Nk - v Mik)sy ]d<r.
i k
Внесем сюда выражения (19.19) и применим формулу преобра-
зования (29.3). В результате с учетом принятых обозначений
(44.4) находим
sU = J. (ТД + Tut6Uc + ОТ + т‘Х)п™ +
с
+ G Sy - G зу ]ds -
п п 77
144
гг (v Tik - bk(Ni + T1 V)huk
J J 1
O'
- [v (Nk + T'V) + Tlkbik]« +
к 1
+ (v.Mik - Nk)3yk}do-.
Вариационное уравнение Лагранжа (29'1), составленное при
помощи (43.18), (45.1), при введении обозначений
№з = К'+Т1ка>к (45.2)
запишется теперь в виде
Г КФ- - Т hu + (ф- - т )аи „
С п п пт пх-
+ (Ф- - Nk3n )« + (G- - G -
п п П
(GX* ~ GnJ5\ + М3 a* Ms +
11 с . ь sH
+ J\r(Lk3Uk+ Ljjsw + f*37k+ Jps^do- = o, (45.3)
из которого в силу произвольности вариаций перемещений Uj ,
w и функций 71, у следуют два равенства
' M3s„=0, М3н=о, (45.4)
аналогичные (44.7), три дифференциальных уравнения равнове-
сия усилий
LkH = ViTik—bki№3+XkH = 0, L3H = Vt.Ni3+Tikbik+X\=:0. (45-5)
и два дифференциальных уравнения равновесия моментов
fkH^=ViMlk—Nk+M>0, (45.6)
отнесенные к системе координат недеформированной оболочки.
Кроме того, из контурного интеграла уравнения (45.3) вытекают
статические граничные условия в форме
Ф SHn = Т п прибило, Фп"=Тпт при 6ит ^=0,
Os"m=Nk3nk при 6w^0, (45.7)
GSHn = Gn при 6Vn^0, Gn”S=GnT при бут 0, (45.8)
10 А-66
145
Покажем, что установленные здесь статические соотношения
являются полностью эквивалентными с соотношениями § 44, если
в выражении (43.16) пренебречь рядом второстепенных членов.
С этой целью, используя (42-6), (42.7), (43.14) и (43.17), в (43.16)
проведем следующие преобразования
М^зу. + М3зу = М^зу. + + ~
= (м1 + м3(/)б/ + (mV - м‘)зш =.
н Н 1 Н * Н 1
= [М* + MV+ (Mkwk + М3)(/]Зф* +
+ [(Mkw + м3V- м1- м3/]зш ,
k * 1
Gsri3y - GsH3y + M3 зу = GsH(s<p* - 8w ) -
n. n. nx x sH n n n
“ GsH(3<»* - 3w ) + M3 3(<р О + О ) ~
n.x ~x x sH n n x c
— [Gs + M3y + (M3 + Gso ~ Gs co )ш ] 3<p ~
n s n s n n П T7 x n n
- [Gs + M3y + (M3 + Gsw — Gs и )cj ]б(р —
nx SX s n n n'U'U'U-j X
- [Gs + M38y - (M3 + Gsw - Gs a) Vku +
n, s n s n n n X x n n
+ {G; - M3y + (M3 + Gsw - Gs w )/]8w ,
n't S X s n. n ПТ X X X
откуда в силу установленных в § 41 оценок с принятой ранее сте-
пенью точности находим приближенные формулы
146
М13у + М38у « М1 з( <р* - ь) ) ~ М^у ,
Н 1 Н i i i
GsH8y — GsH3y + M3 Зу - ( Gs + М3<р* )§<р* -
п п. пт т sH n s n n
~ ( Gs ~ M3w ) 8w — ( Gs + M3^’ ) 8<p +
n s n. n пт s t ~u'
+ (Gs + M3w ) 8w « Gs3(<p*- w )- Gs з(а>*- w ) “
ПХ S 77 77 n П П П 77 X X
= Gs8y - GB 8y .
n ‘ n nx X
С учетом этих формул выражение (43,16) приводится к виду
6АэИ(Хки6ик+Х3нЗ^+М'6?1)<1о+у (ФSHn 6ип+Фsn“ 6uc +
а с
H^SHm3w+Gsn Зуп—С8пт6ут )ds,
а вместо (45.3) приходим к упрощенному вариационному урав-
нению
Т [(ФэН - Т )зи + (фэН - т )зи +
п П П ПТ пт -с
+ (ФзН - Nk3n )8W + (GsH - G )зу -
m к n n n
(Gs - G )зу ]ds +
nx nx x
+ TT (L^sU + L33W + fksy )do- = 0, (45.9)
О- н к н к
содержащему уравнения равновесия усилий (45.5), уравнения
равновесия моментов в форме (44.10)
fk=V,Mlk—Ык-|-Мк = 0, (45.10)
статические граничные условия для усилий (45.7) и для моментов
Gsn=Gn при буп^О, GsnT=Gnr при бут =#0. (45.11)
10!
147
Нетрудно теперь убедиться, что система статических соотно-
шений (44.9) — (44.12) представляет собой только видоизмененную,
запись системы установленных статических соотношений (45.5),«
(45.10), (45.7) и (4511). Действительно, представляя (4510) в--
виде ViMik=Nk—Mk,
согласно формуле (44.5) с учетом (45.2) приходим к равенству
SkH = Vi Mik+Tlk (o,+Mk=Nk+Tlk (ok=Ni3,
которое указывает на эквивалентность выведенных статических
соотношений первого и второго вариантов. '
И, наконец, используя формулы у, = <р*,—уп=<р*п—con,
Ут =ф*т—(От , исходя из (45.9), устанавливаем третью форму,
записи вариационного уравнения Лагранжа
J [(ФЕН - Т )3U + (ФзН - Т )3U +
П ПП пт пт ~с
+ (ФзН - Nk3n )sw + (Gs - G - w ) -
m k П n n n
_ (gsh _q )з(<р - w )]ds +
П "C FIT t: ~c
+J\r(Lk3U + L33W + fM/- w ) ]dcr = 0, (45.12)
_ H k H k k
которое служит для решения задач методом Бубнова—Галерки- ;
на на базе уравнений равновесия в форме (45.5), (45.10) при вы- .
боре в качестве искомых функций u,, w, <р*|.
Глава VIII. СООТНОШЕНИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ
ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ФОРМЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ
КООРДИНАТАХ ПОВЕРХНОСТИ ОТСЧЕТА ПРИ СЛАБОМ
ИЗГИБЕ
§ 46. О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
При построении основных кинематических и статических соот-
ношений теории оболочек в предыдущих разделах всюду неявно
предполагалось, что для срединной поверхности <т (или некоторой
другой поверхности приведения, необязательно совпадающей со
148
срединной поверхностью) решена соответствующая геометрическая
задача параметризации, т. е. построено векторное уравнение по-
верхности г=г(а1, а2) и найдены величины alk , alk , bjk , Ьк,- ,
Г14,, , п1 , П| , т1 , Tj , которые определяют геометрию оболочки.
Эти величины, входя в соотношения теории оболочек, в значи-
тельной степени определяют также их структуру. Поэтому есте-
ственно стремление учесть это обстоятельство и для параметриза-
ции поверхности ст применять такой способ, который приводил бы
к разрешающим уравнениям теории оболочек наиболее простой
структуры при соблюдении тех или иных требований,-сформули-
рованных в [20]. Однако следует иметь в виду, что такой способ
упрощения структуры разрешающих уравнений теории оболочек
является, вообще говоря, не единственным. В частности, для
оболочек сложной формы, описанных в книге [20], на базе при-
нятого в [57-, 58] способа параметризации их срединной поверхно-
сти имеется возможность построения таких уравнений теории
оболочек, которые по структуре зачастую могут оказаться более
простыми, чем приведенные в предыдущих главах.
Прежде чем перейти к построению таких уравнений, кратко
остановимся на некоторых геометрических вопросах, касающихся
принятого в [57, 58] способа параметризации срединной поверх-
ности оболочки сложной формы. Согласно этому способу на' сре-
динную поверхность ст отражается некоторая поверхность сто ка-
нонической формы, отнесенная к системе криволинейных коорди-
нат а1, а2, с помощью векторного равенства
г (а1) =г°(а‘) -f-Н (а^ш0. - (46.1)
Геометрический смысл этого отображения, как было установлено
[20], заключается в фиктивном деформировании указанной по-
верхности сто, названной поверхностью отсчета, когда каждая ее
точка Мо в направлении нормали т° к сто перемещается на рас-
стояние Н(а’) до совмещения с соответствующей точкой Мест.
При этом оказывается целесообразным введение в рассмотрение
семейства поверхностей ст', эквидистантных выбранной поверхно-
сти сто, уравнения которых также определены равенством
г'(а') =г°(а1) -f-Н (a'jm0, (46.2)
причем при дифференцировании по а1 правой части величина Н,
в отличие от (46.1), принимается постоянной, а базисные векторы
на всех трех указанных поверхностях связаны между собой зави-
симостями (здесь и в дальнейшем без пояснений используются
формулы из [20])
К
F'= ar'/aa1 - okr°, in' = iiio, ok = ak Hb
i i k 1 x
r = r' + H m°, m = h(m°- r'H1), (46.3)
i i . 1 1
149
rk = (зк - H Hkh2)r/i+ Hkh2m° (46.4)
i i
Используя эти зависимости, с учетом формул г\ г/к = а/1к , '
г7, г,к=6\ , m/m' = m°m(,=m()m' = 1, г', т'—0 устанавливаются
следующие равенства
Tj г/к = а/1к , г, r/k=6kI( rim'=H1 , rk m' = Hk h2, .
7к7<=6^—HjHkh2, rnr'k = —hHk, (46.5);
которые понадобятся нам в дальнейшем. '
Компоненты метрических тензоров и символы Кристоффеля
второго рода поверхностей сто, </ и <т связаны между собой зависи-
мостями
а' = а° - 2НЬ° + Н2р° ,
i k i к i к i к
а
= bOnb° = 2К b° - Г а° ,
1 к i nk Oik Oik
b' = b° (зп - Hbon) = b° - Hp° , (46.6)^
ik nki i ik ik
a'a'ij = a [aiJ(l - 4K H + 4H2K2) -
oo о о
- 2H(K H - Db1 J] , -
о о
а' = aQ(l - 2КоН + Н2М2, (46.7)
aik= alk+ НЛ’ aik= a4ik- НхНкЬ2, (46.8)
Гк. = Г?к + Hkh2v'H ,
1 J 1 J i J ’
b.k = h(b;JakJ+ 7;нк)’ (46.9)
150
где Ко, Го — средняя и гауссова кривизны поверхности отсчета
в точке Мо; V't — символ ковариантного дифференцирования
по метрике a'ilt поверхности а', проведенной через точку Мео
параллельно поверхности ст0.
Рассмотрим контурную линию С области йео. На поверхно-
сти <т0 при принятом способе параметризации о ей соответствует
линия Со ограничивающая проекцию области Йео.
Предположим, что эта линия на ст0 задана параметрическим урав-
нением
Г°=Г°(8о),
где So — длина дуги рассматриваемой кривой Со. Введем на Со в
рассмотрение триэдр единичных ортогональных векторов п0, Тб,
т°, удовлетворяющих условиям
ПоПо=тоТо=т()т()= 1, ПоТ0=Пот(,=т0то=0, (46.10)
п0= [т0, т°], т0= [т°, по], т°=[п0, г0]. (46.11)
Здесь По, го — единичные векторы тангенциальной нормали и ка-
сательной к контуру Со, причем
- |“О 0 ~1 " I -п о-i dr0 dr0 da*
no=nior«1=n«I Г’о, To=Tior°1 =Т°| Г *0, То= =
=70,Т'0,Т'0=^. (46.12)
Согласно принятому способу параметризации поверхности о
уравнение контурной линии С будет выражаться равенством
г (so) = r°(so) +Н (so)m°, (46.13)
где H = H(s0) — расстояние между точками МоеСо и МеС, задан-
ное как функция от аргумента s0. В каждой точке М контурной
линии С, как и во внутренних точках области йеа, можно ввести
в рассмотрение поверхность а', параллельную поверхности отсчета
do- При этом элементу dso контурной линии Со взаимно-однозначно
будет соответствовать элемент ds' линии С', лежащей на <з' и про-
ходящей через точку М. Уравнение этой линии, очевидно, также
будет выражаться равенством
F'=7=?(s0) +Нп?, (46.14)
в котором, в отличие от (46.13), величина Н при дифференциро-
вании (46.14) по аргументу So должна рассматриваться как посто-
янная.
Таким образом, в каждой точке М контурной линии С наряду
с триэдром_{п, т, т} вводится в рассмотрение триэдр единичных
векторов {п', т', т'}, в котором п', %' — единичные векторы тан-
генциальной нормали и касательной к линии С'; m'=m°. Для оп-
ределения вектора %' служит формула
151
- dr' dr' ds0 dr' da1 dsp
T ds' ds0 ds' ' da1 ds0 ds' ’
которая с учетом (46.12) принимает вид
’?=P1Ti°d^- (46Л5)
С другой стороны, вектор т' представляется разложением
т'=т'‘ г'1=т'[Г'1 . (46.16)
Следовательно, т''=т'о трт • (46.17)
и ds
Исходя из (46.14), можно получить также выражение
?=з? = 3? = 1 («.'8)
используя при этом формулу дифференцирования ш° по аргумен-
ту s0 dm0 — —
5^-=кспт По+к% то- (46.19)
dSp
Возведя обе части равенства (46.18) в квадрат, с учетом (46.10)
находим ds'2=(l+2e'T ) ds20,
где принято обозначение
26'т = 2Нк° т + (Нк°т )2+ (Нк°пт)2. (46.26)
Следовательно, ds0/ds'= (1-}-2е'т )-1/2 (46.21)
и в соответствии с (46.15), (46.17) и (46.18) окончательно будем
иметь т'=г'1 т‘о(1+2е'т )-1/2, (46.22)
или т'=[(1+Нк°т )7о+Нк°пТТо] (1+26'т )-V2, (46.23)
т'1 = т'0(1+2е'т)-1/2 (46.24)
После определения компонент т'1 , входящие в разложения
n'=n'i r',= n'1 r'i , г'1 ' величины п'| , n'1 , т', будут
определяться по формулам
п; = с;кт'« = v^TT С°к<(1 + ге;)—2 =
= у/а'/а" П°(1 + 2е')'1./2,
Oi т-
Т- = а- т,к = а- гк(1 + 2с')"1/2,
i 1 к 1 к О т:
'*= a'ikn'= /а'/а" a'iJn°(l + 2с') (46.25)
к О J х
152
при этом
n'=n" eki r°k= 1/ — a'lj п% (Ц-2е'х ) "1/2 (6k, —
T
-НЬ°к,) (покпо+т°кто). (46.26)
Обратимся теперь к векторному равенству (46.13). Дифферен-
цируя обе его части по аргументу s, будем иметь
— dr dr ds' / dr' —, dH\ ds'
T ds — ds' ds yds' i”111 ds'/ ds
, -,dH\ds'
= т'Н-m' ,
ds'/ds
откуда по аналогии c (46.21) следует формула
dsz
£|_= (1+H2S')-V2, (46.27)
где с учетом (46.21)
Hs'=—=^-^ = (l+2e'T )-i/2dJl . (46.28)
ds' ds0 ds ds0 ,
В результате между единичными векторами касательных к ли-
ниям С и С' устанавливается зависимость вида
7=(1+H2s' )-1/2(7+Hs'm'). (46.29)
С другой стороны, справедливы преобразования
—_ dr ds' dr da1 ds'
T ds' ds da1 ds' ds ’
откуда для определения величин т‘ с учетом (46.21), (46.24) и
(46.27) находим выражение
т* = =т'о(1+26'т )-^2(l+H2s')-!/2 =
ds0 ds' ds
=т'‘(1-|-H2S')-1/2. (46.30)
По аналогии с (46.25) теперь можем записать формулы
п = а тк = i/а/а' С' т'k (1 + Н2,)”1/2 =
i i k i k s
n'V
1 + ДН
1 + H2,
s
: - a rk = (а' +HH )r'k(l + Н2,Г1/2 =
i ik ik ik s
= (т' + H H a'ksT')(1 + H2,)"1/2 -
i i k s s
153
T'(6S + H Hs)(l + H2Z)~1/2
si i s
/ 1 + ДН
n1 = alkn = (a,lk- H1Hkh2)n'/ 1 , „2
к . к 1 + П ,
s
/1 + ДН
= (n'1- Н‘Н a'kJn')/ 1 , Н2
j к 1 + П ,
S
/1 + ДН 1
= n/J(3* - Н*Н.)/ Г7н2 (46.31) :
где приняты во внимание соотношения (46.7) и установленные в
[20] равенства
а=а,(1+ДН), ДН = Н( Н1, Hl=a,ik Нк, (46.32)
а при помощи разложения r'^n'f п'+т^т', исходя из (46.4),
устанавливаем зависимость между вектором m и единичными век-
торами триэдра {и', т', т'}
т=h (т°—"r'i Н1) = h (in'—Н1 п< n'—Н1 < 7), (46.33) j.
в которой величины n'f , r'j определяются по формулам (46.25),
a h=(l+AH)~1/2.
И, наконец, используя выражения (46.29), (46.33) и формулы
для векторных произведений
п'=[т', т'], т'=[т', п'], т=[п', х']
для вектора п в точке МеС находим зависимость вида
п=[т, т]==(1+Н28')“1/2h[(l+Hs' Н‘т'()п'-
—Hs' Н‘ n'j т'+Н1 п'(т']. (46.34)
§ 47. СВОДКА ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОЩЕНКО В МЕТРИКЕ
СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В теории типа Тимошенко компоненты тензора деформаций,
как мы установили, в общем случае выражаются через два неиз-
вестных вектора: в первом варианте через векторы v и у, а во вто-
154
ром — через векторы v и <р. В случае малых перемещений и де-
формаций более простыми и компактными, вообще говоря, явля-
ются соотношения первого варианта, выраженные через компо-
ненты векторов v и у. Поэтому в дальнейшем ограничимся рас-
смотрением только этого варианта, согласно которому компоненты
тензора деформаций.тонкой оболочки определяются по формулам
T)fk=n°ik+zXlk, (47.1)
2т1!з=2т1Од+2У!Поэз, (47.2)
т]°зз=ту, (47.3)
В которых С ТОЧНОСТЬЮ 6ki—zbk|«6ki
2т)°!к=й vk+rk V£ , 2лчк =ri yk+rk Vi,
2noi3=mvi +г:Ь_ (47.4)
причем Vj=diV=Vj v, Yi = diy=VjY, Viq033=^iT]033-
Пусть по-прежнему X, M — векторы внешних ' поверхностных
усилий и моментов, отнесенные к единице площади срединной по-
верхности от; Ф3 , Ms — векторы заданных контурных усилий и
моментов, отнесенные к единице длины контурной линии С: Т1к ,
N’, Mlk , Mi3—внутренние силовые факторы, определяемые по
формулам (28.3), которые отнесены к единице длины координат-
ных линий a' = const на от, a N3—усилие поперечного обжатия.
Через перечисленные величины вариационное уравнение Лагранжа
(29.1) с учетом формул (47.4) представляется в виде
И (ХбУ+Мбу) da+ j (Ф36у+М3 67)ds=jj [R* 6vj +
H-M1 б7 + (N'T. 4-№m)бу]do> (47.5)
где с принятой степенью точности положено
_ _ _ t/2 _ t/2
N’fj— M'3bkrk=rk f (6к,— zbki)(Tl3dz« г, f a,3dz=N'ri,
_ _ —t/2 —t/2
а через R’ и M1 обозначены векторы внутренних усилий и мо-
ментов, действующих в сечениях a1 = const, которые отнесены к
единице длины координатных линий a‘ = const на о и представ-
ляются разложениями
^'=Т1к7к+№т, М'=М'кгк+М1зт. (47.6)
После традиционных преобразований из (47.5) следует вариацион-
ное уравнение в форме метода Бубнова — Галеркина
J [ (Ф8—R’n ,•) 6v+ (Ms—М'n i) бу] ds+ jj [ (V i R '4-Xj 6?+
c a
+ (VjMN *7, +M—N3m)6y] da=0, (47.7)
доставляющее в векторной форме уравнения равновесия и стати-
ческие граничные условия линейной теории оболочек типа Тимо-
шенко
155
Vi R‘+X=O, Vi M—N1 Fi+M—№m = 0. (47.8)
OS = R' П; при 6v=£0, MS=M* П, при 6y=/=0. (47.9)
При представлении векторов v и у в виде разложений
v=Uj r‘-|-wm=u1 FiH-wm, у=у,- г‘-]-угп=у* п+ут, (47.10) .
используя формулы дифференцирования .»
V, — rk ekj —I—<01 m = rk eik4-(i)j т, yj = rI( Qki + ?1,
+Qi m = rk Qik+.Qim, (47.11)
находим скалярную форму кинематических соотношений (47.3),
(47.4)
2т]0,к ‘—е jk 4“ Ск, , 2Х;к — Hik4“^ki>
2т]°,з=с0! 4-yi, т^зз^у, (47.12)
в которых elk=Vi uk—cobjk , Qlk=V| yk—ybIk)
&)! = V, ю+Ь11, uk • (47.13)
Подстановка разложений (47.6), (47.10) и представлений
5Г=Хк Гк+ Х3пц M=M‘ ГН-М3^ . (47.14)
Ф^Ф5,, п+Ф8пт т+Ф5!П m;Ms=Gsnn-GsnTx+M3sm (47.15)
в (47.7) приводит к скалярной форме вариационного уравнения
Лагранжа
J [(Фк - Т )3U + (Ф5 - Т )3U +
П П II D L п <- Т
+ (фь — N’n )5W + (G?' - G )ё>ъ —
ш i n n n
- (G:; - G )3? + (M3 - Mi3n )3?]ds + ( ’
П L n I. L S j '
+ .f.r(Lk3U + L33w + + f33^)dcr = 0, (47.16)
k k
доставляющего шесть скалярных уравнений равновесия
Lk = v Tik - 1ГЬк + Хк = 0,
i i ’
L3 = 7 N1 + b Tik + X3 = 0
i i к ’
fk = v Mik - Nk + Mk = 0,
f3 = v.M13 + M'kb. - N3 + M3 = 0 (47.17)
156
и статические граничные условия на контуре С
Фк = Т при би * О, Ф3 = Т при <5и * О
n n п пт пт т
Ф5 = .№п при <5w * О, G3 = G при 8? * О
mi n n п
Gs = G . при 8? * О,
пт пт т
г
М3 = М13п при <5? * 0. (47.18)
s i
Как показано в [20], при помощи тензора А/кп- =
=Hk h2VG Hj можно осуществить переход от ковариантного
дифференцирования по метрике aik к ковариантному дифферен-
цированию по метрике а'1к . При его применении соотношения
(31.13) представимы в форме
elk = V/I uk—A/Jik щ—wbik , wi = V'i w+bkj uk ,
Q1k=V'I yk—A'Jlk Yj— ybIk, (47.19)
а уравнения равновесия (47.17) принимают вид
Lk = v'Tik + A'kTis - lTbk + Xk = 0,
1 is i
L3 = V'N1 + A' *NJ + b Tik + X3 = 0,
i i J i k
fk = v'Mik + A'kMis - Nk + Mk = 0,
i i s ’
f3= v'Mi3+ A'*Mi3+ Mikb - N3+ M3 = 0.
i i J i k
§ 48. СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ТИПА ТИМОШЕНКО
В МЕТРИКЕ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ о'
Для построения основных соотношений механики деформиро-
вания оболочек сложной формы при описанном способе парамет-
ризации их срединной поверхности наряду с представлениями
векторов v и у в виде (47.10) можно использовать также разло-
жения
157
v = u'r'1 + w'nr = u'lr' + w'm',
i i
7 = y'rzi + y'in' = if1?' + y'in', (48.1)
i i
v = u0?1 + w m° = 1??° + w m°,
i О О О i О
у = y°r1 + if ш° = у1 г ° + Tf m°, (48.2)
i О О О i О
которые приводят в ряде случаев к уравнениям более простой
структуры, чем приведенные в § 47.
Рассмотрим здесь соотношения, базирующиеся на использова-
нии разложений (48.1). Для входящих в них базисных векторов
v'i , г'1, т' имеют место деривационные формулы Гаусса —
Вейнгартена обычного вида
Pj+in'b^k , mzj==—b/ki r'k ,
r'kt=di r'k=—Г% r'j+b'k, m', (48.3)
в которых rziik , b' ik— символы Кристоффеля второго рода и
ковариантные компоненты второго метрического тензора поверхно-
сти о', проходящей через точку Meg параллельно поверхности <т0-
Дифференцируя (48.1) по а1 , используя для этого (48.3), для
производных Vj , Yi устанавливаем выражения
_Vi=r'k e'ki+m'(o'l=r'k е'^+т'ш'ь
Y1=rzk Q/ki+m/Q/i = r/k Q'jk+m'Q'i, (48.4)
где обозначено 1
е' k = v'u'k - w'b;k,
i i i
w' = + b' u'k = V'W' + b'ku'
11 ik 1 I k
n,k = v,y,k _ y,b,k}
i i i
Q' = v'y' + b' y'k = V'y' + b'ky'
i 1 ik i i k
q, = - y'b' . (48.5)
ik i k i k
158
Подставляя далее (48.4), у из (48.1) иг, , m из (46.4) в соответ-
ствующие формулы (47.3), (47.4), для определения компонент
деформации оболочки приходим к выражениям
2т)° = е' + е' + Н и' + Н и', (48.6)
ik ik k i ik ki
2т = П' + Q' + H Q' + н n:, (48.7)
i к ik ki ik ki
•n° = h(y' + y'H1) = h(y' + y^H.), (48.8)
33 i 1
2t)° = h(w' - Hke' ) - y' + H.y'. (48.9)
'i3 i i k i i
Поперечные сдвиги в оболочке при слабом изгибе в соответ-
ствии с (20.6), (20.10), (20.11) определяются по формулам
2т|, 3==mv, +r, y+z (ту,—Ь',_г^у) —
=ту,+гту,+ (6\—zb’Jrj у,
из которой усматривается возможность представления (20.11) в
следующем приближенном виде т,з=ту,. Внося сюда т из
(46.4) и у, из (48.4), приходим к скалярному кинематическому
соотношению Ti3=h(Q/i—Hk Q'ik). (48.10)
Перейдем теперь к составлению статических соотношений. С
этой целью введем в рассмотрение векторы X', М' поверхностных
усилий и моментов, приложенные в точке Мео и отнесенные к
единице площади поверхности о', а также векторы Ф'8 , М/8 кон-
турных усилий и моментов, приложенные в точке МеС и отне-
сенные к единице длины линии С', проходящей через рассматривае-
мую точку МеС. Данные векторы с векторами X, М, Ф8 и Ms
связаны зависимостями
X=X'h, M=M'h, (48.11)
= , MS=M/S , (48.12)
ds ds '
в которых
h=(14-AH)-I/2=yT7^ ds'/ds= (14-H2S')-M2. (48.13)
От внутренних силовых факторов T‘k , Mik , № , М‘3, N3 по
формулам
Tik=hT'ik , Mik = hM'ik , № = hN'1,
M'3=hM,i3, № =hN3 (48.14)
осуществляется переход к внутренним силовым факторам T'ik‘
M',k , N'1 , М'5 , приложенным в точке Meg и отнесенным к
159
единице длины проходящей через эту точку координатной линии
a’=constea', а также к усилию поперечного обжатия N'3, отнесен-
ному к единице площади о'. В силу (48.14), очевидно, имеют ме-
сто равенства
^Rj = hR/: , М‘ = ЬМИ. (48.15)
и при этом вместо (47.6) справедливы представления
R'i=T'lk7k+N'1 m, M'' = M'ik7k+M'i37. (48.16)
Внося сюда выражения для гк и m из (46.4), приходим к разло-
жениям
= 7\+R'<3m; м'^Н^ 7\+Н',3пР, (48.17)
в которых
H'lk = M'ik—M' 3Hk , H'i3=hM/i34-M':k Hk-Ml3+M/ik Нк,
R'ik=T'ik — N" Нк , Р/‘3=1№+Т'|к Hk = N‘+T/ikHk. (48.18) •
С учетом (48.11) и (48.12) левая часть вариационного уравнения
(47.5) представима теперь в форме
6А= j) (X6v+M6y) do-H (Ф3 6v4*Ms бу) ds=
a с
= И (X'6v+M'6y)da'+.j (Ф/3 6v+M/s 6?) ds, (48.19)
о' с'
а его правая часть с учетом (48.14), (48.16) принимает вид
6U=JJ [R71 V'f dv+M'1 V'f 6у+(П'’ r'i+rPmOdyJdor',
о' (48.20)
где принято во внимание, что при использовании (46.4) имеют
место преобразования
(N1 ri+N3m)6ydo= (N'1 ri+N'3m)6ydo/ =
= (П'“ r'i+rPm') da', da^^a'da'da2, <
в которых
n'l=N''— hHiN'3 = N'i—H‘N3,
n/3=N"H |+hN'3 = N'’H|+N3. (48.21)
Внося далее (48.19), (48.20) в вариационное уравнение 6A=6U ,
и воспользовавшись формулой преобразования поверхностного ин-
теграла в контурный
jjV'i f‘da'=J Pn'.ds', (48.22)
a' с'
получим уравнение метода Бубнова—Галеркина в векторной форме
J [(Ф'з-R'1 n'i)67]ds'+R'* +
с' a
4-X')6v+ (V' j M"+M'—П" г',—П'3т')бу] da'=0, (48.23)
откуда следуют отнесенные к метрике a'ik поверхности а' вектор-
ные уравнения равновесия усилий
V'i R'*+X'=0, (48.24)
160
моментов V'i МЧМ'-П'1 г',—n'3mz=0 (48.25)
и статические граничные условия в форме _
<J>'S = R'’ n'i при 6v=#0, M'S=M'‘ п', при бу=#О. (48.26)
Выведенным векторным статическим соотношениям придадим
скалярную форму. С этой целью представим векторы Ф" и M's
в виде разложений _ _ ______
ф>8 = ф«п п'+Ф'8пт т'+Ф'^т',
M's = G'sn n'—G'snx ?+М'% in', (48.27)
а затем, исходя из (48.12), с учетом формул (46.27), (46.29),
(46.33), (46.34) и разложений (47.15) составим равенства
(1 + Н2,)-1/2(Ф'3П'+ Ф'3т' + Ф'3т') =
s n n С т
- Ф3(1 + H2J"1/2h 1(1 + Н ,HV)n' -
ns- S 1
- Н .iPn'T' + Н1 n'in' ] +
s i 1 1
+ Ф/Е5(1 + Н2,)“1/2(т'+ Н /т/) +
ПТ S S
+ Ф;5И(й'- iFn'n'- Н‘т'т'),
(1 + Н2,)~1/2(G'sn'- G'3t'+ М/Эт') =
s П ПТ S
= G3(l + H2,)“1/2h [(1 + Н ,НЧ' )п' -
ns si
- Н , Н1 п' г' + Н1 n' in' ] -
si i
- Gs (1 + H2,)-1/2(v+ H ,in') +
ПТ s s
+ M3h( in'- ITn'n'- НЧ'г') (48.28)
s i i
В дальнейшем в точках семейства линий С' целесообразно
ввести в рассмотрение аргумент п', представляющий собой длину
дуги кривой из некоторого семейства кривых С'п , ортогональных
С, причем п =— ’ \
11 А-66
161
Дифференцирование некоторой скалярной функции f по введен-
ному аргументу п' и по s' выполняется по формулам
fs' = Т7 - fп' =п'* fb (48.29)
ds' da ds' dn'
где f1=df/dai . Принимая во внимание эти формулы, находим
выражения
Hj т'*=Н* <=Н5' , Н, п'‘=Н‘n'i = Hn' =— , (48.30)
с учетом которых равенства (46.33) и (46.34) запишутся в виде
m=h(m'—НП' в'—Hs' т'),
n=(14-H2s')-I/2h[(l+H2s/ )n'-Hs' Hn'7'4-Hn' m']. (48.31)
Используя теперь (48.30), из равенств (48.28) находим интересую- ,
щне нас зависимости
Ф'3 = Ф3И(1 + Н2,) - Ф3И(1 + H2Z)1/2H ,,
n n s m s п
ф'3 = - Ф3М ,Н ,+ Ф3 - Ф3И(1 + Н2,)1/2Н ,,
птс n s п птс m s s
Ф'3 = Ф3ИН ,+ Ф3 Н ,+ Ф3И(1 + н2,)1/2,
m n n nt s m s
G'3 = G3h(l + Н2,) - M3h(l + H2Z)1/2H ,,
n n s s s n
G/S = G3hH ,H z + Gs + M3h(l + H2Z)1/2H ,,
nx n s n nx s s s
M'3= G3hH - Gs H ,+ M3h(l + H2Z)1/2, (48.32)
s ’ n n ПТ s s s
а при помощи представлений г'к=п'кп'4-т'к т' для векторов вну- .
тренних усилий и моментов на контуре оболочки приходим к раз-
ложениям
I Rzin' = R'ik(n'n'+ т'т')п' + R'i3n.'in' =
1 k k i i
= R'n'+ R' r'+ R'm',
n n x m v
М';п' = H,lk(n'n' + т'т')п' + H/l3nzm' =
j k k Д i
= М'П' - M' r' + M'ni' , (48.33)
n nx m
162
в которых введены контурные усилия и моменты по формулам
R'n=R/ikn'k n'i; R'm =R',kT,kn'i, Rrm=R,i3n'i,
M'n = H'ikn'kn't, M'nr=—H'ikT'kn'j,
С учетом (48.18) и (48.30) этим формулам можно придать и дру-
гой вид
R' = Т' - N'sn'H', R' = Т' - N'VH ,,
п п. in пс пс 1 S
R' = hN^n' + T,ikH п', (48.34)
m i k 1
M' = G' - M-'l3n'H ,, M' = G' + M'i3rrH ,,
n n. in пт пт i s
M' = hM'i3n: + M'ikH n:, (48.35)
m i k i
если принять во внимание обозначения
Т'п=Т'1кп',n'k, Т'„т =Т'1кт'к п',, G'n =М'ikn'f п'к ,
G,nT=-M/ikT,kn/1. (48.36)
Обратимся далее к равенствам (48.11). Представляя входящие
в них векторы X', М' в виде разложений
X7=X'*rTf+X,3m;, M7=M/ir7;+M/3i₽ (48.37)
и принимая во внимание (47.14), с использованием формул для
г j, ш из (46.4) будем иметь
X1 (Р, +Н,т') +X3h (т'-Н'Р,) =h (Х"Р,+Х,3пР),
М‘(г'1+Н1т') 4-M3h(m'—H’r'j) =h(M/I r'f +М,3т/),
откуда следуют зависимости между компонентами векторов X, М
в_базисе {гн т} и компонентами векторов X', М' в базисе
{г',, т'} следующего вида
Xй =X*/h—Х3Н‘, Х/3=Х3+Х* H| /h,
М'1 =M‘/h—М3Н‘, М/3=М3+М* H./h, (48.38)
Внесем теперь в контурный интеграл уравнения (48.23) пра-
вые части равенств (48.27), (48.33) и разложения
6v=n'6U'n +r/6U/T+m/6w/, бу=п/бу/п+т/бу/т 4-m/6y/,
а в выражение под поверхностным интегралом внесем разложения
(48.17), (48.37), (48.1) и воспользуемся формулами Гаусса—Вейн-
гартена
V'j т', =V'f m'=—b/kr'k . (48.39)
В результате, после традиционных преобразований приходим к ин-
тересующей нас скалярной форме записи вариационного уравне-
ния метода Бубнова — Галеркина
И*
163
г [(Ф'а - R')aU' + (Ф' s - R' )sU' +
J t L n n П ПТ- ГГС u
c
+ (Ф'в - R')3W' + (G/S - М')ззг' -
m го n n
- (G/S - M' )§/' + (M'3 - M')37']ds' +
n с n т r. s m
+ TT (L,k3U'+ L'33w'+ f'k3y' +
, к к
СГ
+ f'33^')dcr' = 0, (48.40)
из которого следуют система шести дифференциальных уравнений
равновесия
L'k = V'R'lk - b'kR'i3 + Х'к = 0,
i i
L'3 = v'R'i3 - R'ikb' + X'3 = 0, (48.41)
i i к
f/k = v'H/ik - b'kH'i3 - П'к + M'k = 0,
i i ’
f'3 = v'H,i3+ b'kH'ik- П'3+ М/3 = О (48.42)
и статические граничные условия
Ф'8П=Й'П при 6u'n =#0, фГ8пт = К'пт при 6и'т =#0,
R'sm = R'm при 6w'#=0, (48.43)
G'sn =М'П при 6y'n=#0, G'sm = М'Пт при бу'т =#0,
М'\ =М'Ш при 6у'=#0, (48.44)
отнесенные к базисным векторам семейства поверхностей о'. Сог-
ласно (48.18), (48.21) уравнения (48.41), (48.42) и статические
граничные условия (48.43), (48.44) содержат шесть внутренних
усилий T'lk , N'1, N'3 и йять внутренних моментов М'|к , М'‘3,
которые связаны с компонентами деформации с помощью зависи-
мостей (48.14) и соответствующих соотношений упругости гла-
вы VI.
Если пренебречь поперечным обжатием в оболочке и отбросить
164
d (20,13) вторые слагаемые, то в соответствии с (48.12), (35.2)
приходим к равенствам N'3=M'' 3=0. При этом формулы для
Н' ik , Н'13 из (48.18) и выражения (48.21) принимают вид
H'lk=M'ik , H'i3=M'ik Hk,
П'1 =N'* , n/3=Nzi H,. (48.45)
В рассматриваемом случае уравнения равновесия усилий (48.41)
остаются без изменений, а уравнения равновесия моментов (48.42)
с учетом (42.45) представимы в форме
k = V/i M/ik—Ь/к,М'1} Hj— N'k +М'к =0, (48.46)
f'3.= (V'i M'ik—N'k)Hk +M'lk(b'ik+V'i Hk)+M'3=0'. (48.47)
Уравнения (48.46) запишем в виде
V'jM'ik —N'k =b'kiM',iHj — M'k ,
а затем его правую часть внесем в (48.47). В результате, исполь-
зуя формулы
aik =a'lk +Н, Нк , b'k! =a'ks b'is
и преобразования
b'kH Н = HSH b' ,
i J к j 1 S
b'kH Н M'ij + M'ij(b't + v;H ) =
i J к ik 1 к
= M'ijHsH b' + M'ik(b' + V(H ) =
Jis i к ik
- M'1J(HSH b' + b' + V'H ) =
Jis i j I J
= M'ik[b'j(a' + H H ) + V'H ] =
i к j к j ik
- M,ik(b'ja' + V'H ),
i kJ i к ч
M'3- M'kH = M3(l + ДН),
к
находим
М'|к (Ь'\ akjH-V', Нк)+М3(Ц-ДН) =0. (48.48)
После умножения на h2 с учетом (46.9) и формул h=(l-|-
4-ДН)-1/2, M/!kh = Mlk полученное уравнение (48.48) представ-
ляется также в форме Mik bik +М3==0, которая следует из по-
следнего уравнения системы (47.17) при М‘3=0.
В соответствии с формулами H'ik=M'ik, H'13=M'ikHk
165
. из (48.45) несколько упростятся также и статические граничные -
условия (48.44), которые с учетом (48.35) и равенств М"3 = 0
запишутся в виде
G'sn = G'nnpH 6y'n=/=0, G'snt =G'nT при6у'т=#0,
M'3s=M'ik Hk n'i при 6/#= О,
причем последнее из них при формулировке краевых задач ме-
хаиики деформирования оболочек на базе уравнений (48.41),
(48.46) и (48.48) становится ненужным.
Дальнейшее упрощение выведенных соотношений возможно''
при наложении некоторых ограничений на функцию Н и ее произ-
водные по а1 . Подробно на этих вопросах остановимся в главе IX. -
И, наконец, отметим, что основные соотношения теории оболочек;
сложной формы могут быть построены также и в метрике a°ik
повёрхности отсчета <т0, если исходить из представления векторов v .
и у в виде (48.2). Однако такие соотношения по структуре оказы-
ваются более громоздкими, чем приведенные в данном параграфе,
и поэтому не представляют значительного практического интереса.
§ 49. О СООТНОШЕНИЯХ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО В
КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ ПЛОСКОСТИ ОТСЧЕТА
Предположим, что срединная поверхность оболочки сложной .
формы параметризована отображением на нее плоскости отсчета
<то> отнесенной к системе криволинейных координат а1 . Так как
для всех плоскостей </, параллельных во, в силу b°llt = bokf =0
имеют место равенства
0к(=6к, a'lk = a°ik, а'=а0, Г'ки = Г%
b'ik =Ь'к|=0, К'=Г'=Ко=Го=О, (49.1) -
то формулы (46.7) — (46.9) приобретают вид
а1к =а°(к+Н| НК, а111 =а%-Н’ Hkh2,
Гки =Рка+А'к1Ь bik=hV°( Нк, (49.2) :
где A/kjj — компоненты тензора фиктивной аффинной деформа- :
ции, определяемые по формулам
А% =Hkh2V°j Hj, Hk =akJ0Hj. (49.3)
Вместо формул (46.15) — (46.26) в рассматриваемом случае имеем '
равенства |
т'=т0, т" =т'о, T/i=r°i, n/l = n'o, n/i = n°i, ds'=dso, 2е'т =0,
с учетом которых выражения (46.27) — (46.34) принимают вид
тт . dH dH у. /ла
Hs' = tv = j— =HSo, (49.4)
ds ds0
166
/ 1 + АН
= П-V 1 + Н2 ’
S
О
т - Т°(5к + н Нк)(1 + н2 )’1/г,
i к i 1 so
г = тЧ1 + н2 г1/2,
° %
/1 + АН
n‘ = n (бк - Н‘Н и . + Н2 . (49.5)
О 1 к 1 11
S
О
Т = (1 + н2 )’1/2(^0 + Hs m°),
Зо о
n = (1 + H2 )-1/2h[(1 + Н2 )п -
О. о
- Н Н т + Н in0] , (49.6;
so no ° %
где
H = Н ё = Н1т°, Н = Н.п* = Н‘п°.
s i о i n 1 о 1
О "°
Обратимся теперь к кинематическим и статическим соотноше-
ниям, описывающим механику деформирования оболочек. Если
векторы v и у представить в виде разложений (47.20), то в соотно-
шениях (47.19) и уравнениях равновесия (47.20) в рассматривае-
мом случае символ V', заменяется символом V0, ковариантного
дифференцирования по метрике a°iK плоскости отсчета <т0. В силу
b'iK = b'ki=O заметные упрощения достигаются в структуре
уравнений § 48. В частности, кинематические соотношения (48.5)
в рассматриваемом случае принимают вид
e'kj = V°jU/k, cozi = V°iа>'=дja', e/jk = V°jU,it,
Q/ki=V°iV'k, Q'ik = V°iV'k, (49.7)
в которых в силу r'j =г°,- очевидно у', =7°;, u'i = u°i. Урав-
нения равновесия (48.41), (48.42) оказываются по форме совпа-
167
дающими с уравнениями равновесия пластин
типа Тимошенко
L'k = v°R'ik 1 + X'k — o, «
L'3 = v°R'i3 i + X'3 =: о,
f'k = v°H'ik i — П'к + M'k
f'3 .= v'H'13 ' — IT'3 + M'3
уточненной теории
(49.8)
О,
0. (49.9)
Если в оболочке не учитывается поперечное обжатие и попе-
речные сдвиги считаются постоянными по толщине, то приведен-
ные уравнения (49.9) преобразуются к такому виду
f'k = V°iM'ik—N'k+M'k=0, (49.10)
M'ik VPiHk+M3(l+AH)=0. (49.11)
Глава IX. УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ
ФОРМЫ, ПОЛОГИХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВЕРХНОСТИ
ОТСЧЕТА, ПРИ СРЕДНЕМ ИЗГИБЕ
§ 50. О СООТНОШЕНИЯХ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ
СРЕДНЕМ ИЗГИБЕ, ОТНЕСЕННЫХ К МЕТРИКЕ
СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Прежде чем перейти к изложению результатов, полученных в
данной главе, осветим основные положения, на которых строится
классическая теория пологих оболочек. При этом мы основное
внимание уделим геометрическим вопросам этой теории, т. е. во-
просам построения координатных систем на срединной поверхности
пологой оболочки. Эти вопросы, вообще говоря, имеют первосте-
пенное значение, так как4 они являются тем фундаментом, на ко-
тором строятся основные соотношения, описывающие механику
деформирования пологих оболочек.
Термин «пологая оболочка» в основе предполагает, что ее
срединная поверхность является пологой относительно некоторой
другой поверхности. В классической теории пологих оболочек, на
основе которой к настоящему времени получено большинство ре-
шений, обычно предполагается, что срединная поверхность о по-
168
лога относительно плоскости. Так, например, еще в работах И. Г.
Бубнова [49] слегка искривленная панель рассматривается как
пластина, имеющая начальное отклонение от плоскости. В такой
постановке нелинейная теория пологих оболочек была дана в
1938.г. в работе К. Маргерра [87]. По определению В. 3. Власова
[10], являющегося одним из основоположников теории пологих
оболочек, оболочка считается пологой, если она очерчена по части
некоторой поверхности и представляет собой пространственную
конструкцию, имеющую над перекрываемой этой конструкцией
плоскостью сравнительно небольшой подъем. Для такой оболочки
метрику ее срединной поверхности отождествляют с метрикой ев-
клидовой геометрии на плоскости. И, наконец, отметим, что по
определению А. Л. Гольденвейзера [22] всегда, когда речь идет о
пологой оболочке, предполагается, что на срединной поверхности
установлена почти плоская система координат.
Следует отметить, что последнее утверждение сводится к тому,
что при отображении на срединную поверхность оболочки плос-
кости Сто, отнесенной к некоторым гауссовым координатам а1, а2,
координатные линии , установленные на ст, приближенно счи-
таются пересекающимися под тем же углом, что и их прообразы
на сто, т. е. координатные линии а’есто. Это обстоятельство сущест-
венно упрощает расчет пологих оболочек, так как в случае орто-
гональных координат а1 на Сто координатные линии р'ест также
приближенно считаются ортогональными.
Геометрические вопросы теории пологих оболочек подробно
были изучены в книге [20], в которой показано, что при выполне-
нии условий (е — по-прежнему некоторая малая величина, кото-
рой можно пренебречь по сравнению с единицей)
Н‘ = а%Нк~у7 (50.1)
отображение срединной поверхности оболочки на плоскость отсче-
та сто можно считать почти изометричным и при этом с точностью
1+еаИ возможны упрощения вида
ajk~a°ik, a»a0, h— (1+ДН)-'/2« 1, aik«a'k0, (50.2)
biKaj.V°iHK, m^m0—H| г‘о= m° —H'r°i.
При выполнении же дополнительных ограничений
V°iHj = 5iH — Г% Нк~уГ (50-3).
в соответствии с (50.1), (50.2) и (49.3)
A'kij=Hkh2V°f Hj-e, b°ik~y^ Гкп «Г°% ,
что позволяет гауссову кривизну поверхности ст считать почти ну-
левой, а ковариантное дифференцирование по метрике aik заме-
нить ковариантным дифференцированием по метрике a°ik на плос-
кости. При этом с принятой степенью точности 1+е«1 тождест-
венно удовлетворяются как условие Гаусса, так и условия Кодац-
ци.
169
Дальнейшее упрощение расчета пологих оболочек, как извест-
но, связано с упрощением некоторых кинематических и статиче-
ских соотношений, описывающих их механику деформирования, а
именно:
1) в формулах для определения величин ©j отбрасывают чле-
ны, содержащие сомножителем компоненты второго метрического
тензора срединной поверхности;
2) в первых двух уравнениях равновесия отбрасывают перере-
зывающие усилия.
Отметим, что эти упрощения в теории оболочек принимаются
и к непологой оболочке, если рассматривается такая деформация,
при которой оболочка делится на большое число пологих частей
[49] (например, при выпучивании оболочки с образованием боль-
шого числа полуволн на поверхности), а также при решении задач
механики оболочек с большим показателем изменяемости дефор-
мации [22].
Итак, если на пологую оболочку действует достаточно плавная
(нелокальная) нагрузка, то в соответствии со сказанным выше и
результатами главы VII можно составить два варианта основных
соотношений теории пологих оболочек при их среднем изгибе.
В первом из них компоненты деформаций оболочки выражают-
ся формулами
2т1°;к — Sjk +eki+©i ©к, =—Vi (©к—ф*\) —
—VK (©j—<p*i), 2n°i3 =Ф*ь (50.4)
в которых упрощаются лишь формулы для ю(
eik = VjU к—wbik, Wi=diW=ViW- (50.5)
Данным кинематическим соотношениям соответствуют уравне-
ния равновесия в форме
k„=ViTik+XkH=0, L3H =V, S‘H +Tik b iK +X3H =0,
fk = Vj Mlk— Nk+Mk=o, . (50.6)
следующие из вариационного уравнения вида (44.6), причем по-
прежнему
SkH = ViMik+Tik ©(+Мк. (50.7)
Во втором варианте кинематические соотношения в отличие от
(50.4) имеют вид
=е(А +ейг+ «У yft + Vft У/,
2t10Z3=©;+V(.=Vj-w+Vz) . (50.8)
которым отвечают уравнения равновесия в системе координат не-
деформированной оболочки, записывающиеся в форме
LkH = V, Tik+XkH = 0, L3H = Vi№3 +TikbiK+X3H = 0,
fk=Vj Mik—Nk+Mk=o, №3 = №+T'k©K (50.9)
и следующие из вариационного уравнения (45.10)
Если срединная поверхность пологой оболочки параметризова-
на отображением на нее плоскости отсчета с0, то в выписанных
170
соотношениях ковариантное дифференцирование, как мы уже от-
метили, выполняется по метрике а°(7ге<т0, а величины blft опре-
деляются по формуле = V°(- из (50.2).
В теории пологих оболочек наибольший интерес представляет
рассмотрение такого случая нагружения оболочки, когда в первых
двух уравнениях равновесия из (50.6) или (50.9) Хкн = 0. В этом
случае указанные уравнения тождественно удовлетворяются, если
усилия Т‘к выразить через одну функцию ф, называемую функ-
цией тангенциальных усилий, с помощью представления (С'к —
контравариантные компоненты дискриминантного тензора)
Tik = Cd CksVj Vsi|x . (50.10)
В соответствии с этим представлением число уравнений равно-
весия сокращается на две единицы, а к остальным оставшимся со-
отношениям теории пологих оболочек добавляется уравнение со-
вместности деформаций. Подробнее на этом вопросе остановимся
в следующих трех разделах.
§ 51. ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА - КАСТИЛЬЯНО
В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО
Для вывода уравнения совместности деформаций, необходимо-
го для формулировки основных соотношений теории пологих обо-
лочек в смешанной форме, воспользуемся смешанным вариацион-
ным принципом Лагранжа — Кастильяно, описанным в [32]. Если
в оболочке не учитывается поперечное обжатие и поперечные сдви-
ги по ее толщине постоянны, то исходный функционал этого прин-
ципа в случае среднего изгиба пологой оболочки по теории типа
Тимошенко, исходя из результатов работ [18, 59], может быть
представлен в виде
РЛК=А-И (Tikn0rt+M,kZrt+2N,n°t-3 4-5-Tik®/Wft)d<T, (511)
(Г z
A=JJ(Xv+M7)d<r+ J (v0s+?Ms)ds+ J (vsO+ysG)ds, (51.2)
ff C (1) c (2)
где в рассматриваемом случае
X = Х’г + Х>, Hi Н М = М'г , i
v - и г1 + win, i (51.3)
ф5 = ф:,нп + ФэНт + ФэНт,
П ПТ7 П1
Г = Gsn - Gs т, (51.4)
п пт
171
vs = usn + ust + wsm,
n X
= ysn + (51.5)
n x
Ф = T n + T т + Фш,
n nx tn
G = G n - G t, (51.6)
n nx
причем
= rii+Tik oJkni=N+Tn 0Jn+TnT0K , N=N1ni, (51.7)
a vs, ys — заданные векторы перемещений точек срединной по-
верхности и поворотов на контуре С.
На части С()) контура С оболочки потребуем выполнения ста-
тических граничных условий
Ф5Нп=Тп, Ф®н ==Тпт, Ф^н = Фт, Gsn = Gn , GsnT = GnT, (51.8)
а на остальной части С (2> этого контура геометрических гранич-
ных условий
sUn=un, UST =u т , G)s = ю, YSn=Yn, YST . (51.9)
Считая, что варьированное напряженное состояние является
статически возможным, удовлетворяющим уравнениям равновесия
в вариациях
6LkH =V;6Tik + 6XkH =0, 6L3H =VJ-6NI3+b^6Tik + 6X3H = 0,
(51.10)
gfk = V j6Mik—6Nk +6Mk=0,
б№3=б№+б(Т‘к ©J (51.11)
и статическим граничным условиям в вариациях
6Ф8 = бФ, 6MS=6G, (51.12)
докажем следующую теорему: перемещения, внутренние и внешние
усилия и моменты, удовлетворяющие внутри оболочки уравнениям
равновесия (51.10) и
LkH = V,Тik +XkH =0, L3H =V,Ni3+biKTik +X3H =0,
fk=ViMik—Nk+Mk = 0, (51.13)
а на контуре — граничным условиям (51.8), (51.9), сообщают
функционалу Рлк стационарное значение, причем предполагается,
что функциональные аргументы u, , w, у,, Tik, N', Мik варь-
ируются независимо друг от друга.
Для доказательства теоремы проварьируем (51.1) по указан-
ным функциональным аргументам
172
•5Р = j-j-CXsv + May + vaX + yaM)da- +
ЛК a
+ j (4>sav + Msay + va<I>s + yaM®)ds +
c c i)
+ j (уэаФ + ysaG)ds - Jld1 ka-r)”k + Mlka^.k+
c o' .
( 2 )
+ 2NW + 7)° sTik + x. aMik +
13 ik ik
+ 2-n° aN1 + d^aTik + о Tikao )d<r (51.14)
i 3 Z i k
и внесем сюда выражения (50.5), (50.8). Интегрируя затем по ча-
стям члены с производными перемещений u(> w, yj , после ряда
громоздких преобразований приходим к равенству
gp = j [(фэ - Ф)<5У + (Ms ~ G)<5y +
ЛК
• с (1 )
+ у(аФэ - бФ) + H<sGs - sG) Ids +
+ J [(vs - v)a5 + (ys - y)aG|ds +
( 2 )
+ 1НЬк5ик + 1/aw + fk5yk + ukaLk +
a
+ waL3 + y, afk)d<r.
Н к
(51.15)
Из (51.15) следует, что вариационное уравнение бРЛи =0 вы-
полняется, если:
1) внутренние и внешние усилия и моменты удовлетворяют
уравнениям равновесия (51.13), а их вариации — уравнениям
(51.10);
173
2) на части С (ц контура С выполняются статические гранич-
ные условия (51-8), (51.12), а на части С(2> этого контура — гео-
метрические граничные условия (51.9).
Придадим условию стационарности 6РЛК =0 несколько иную
форму. Для этого исключим из (51.14) 6М' с помощью уравнения
равновесия моментов
бМ' = б№—V*6Mik
и введем обозначение для вариации функционала Лагранжа
§Р = j- ($s5v + Mss?)ds + jjCXav + Msy)do- -
Л o'
(i )
- гт(т1кб7)° + MikSz + 2№бт)° )d(T =
i k i k 13
O'
= J" I ($s _ $)sv + (Ms - G)6y]ds -
c (i)
- J (Фзу + Gs?)ds +
° ( 2 )
+ J'j'(Lksu + L3sw + fk6y )da. (51.16)
H k H • k
cr
Тогда
6PTrTZ = зРп + J (узФ3 + ?3Ms)ds +
ЛК л
+ J* (уя3ф + ys<3G)ds + гНи.зХ1 + w<§X3)d(T -
i Н H
с сг
( 2 )
- v 3Mik + т)° 3Tik + х sMik + о 3N1
k i i к i к i
СГ
+ 6Т1к + Tikw 3w )d(T. (51.17)
Z к i
174
Покажем, что для входящих сюда слагаемых имеют место сле-
дующие преобразования
Jj(?.v6Mik + X 3Mik)dcr -- Гу n 6Mikds +
а 1 k ik l; 1 k
+ ГГ(- v у 6Mik + x sMik)dcr =
_ k i i k
- j(y 6G - у 6G )ds = jysGds ,
n* n n m: ’
c c
+ Tlkw 6w )dcr = r(wn sN1 +
o' 1 k 1 c 1
+ Tikwn 6w.)ds - rjw [v б№ +- V (Tik6o) )]dcr =
o- 1 1 k
= rw(sN + T sgj + T 6gj )ds -
n n nr T
- rjwv.CaN1 + Tik6o) )d(r. (51.18)
a 1 k
С учетом (51.11) из третьего уравнения системы (51.10) най-
дем VI.(6Ni+T,k6<oft)=— brt6Tik— 6Х3Н— Vz(<oft6Tik), поэтому
+ T“‘ukau1)d<r -
сг
= j(6N + т 60) + т 60) )ds +..
J n п ПС’*
г Гн ^Tik + бХ3 + V (о) бТ1 k) ]do' —
+ Jiw Iо.k61 + блн v. k
(У
175
- J"W (sN +' T 8gj 4- T 8gj + gj aTlkn )ds +
n n ПТ7 с к i
c
+ n[w(b aTik + зХ3) - GJ GJ 3Tik]dcr =
a i к H i к
/ z
= fwaA ds + j-ftwCb aTik+ aX3) -
c m a lk H .
*
- gjiGJkaT1 k]do-. -- (51.19) :
Внося теперь.правые части установленных равенств (51.18), (51.19) .
в (51.17), интересующему нас вариационному уравнению 6РЛК =0 -
придадим следующую форму
аРп + г? (aMs- aG)ds + г (?s- 7)aGds +
‘ V I
ОС
( 1 ) ( 2 )
+ j [и аФзН + и аФзН + тс(зФ3" - аФ )]ds +
П П 77 П 77 m m
° ( 1 ) г
+ f [usdT + usaT + (w3- 1у)зФ ]ds +
П П 77 ПТ m
* ( 2 )
+ j’j'u.aX'do- = jjA 8Tikdcr, (51.20) ‘
_ i H i к
a a
где Afft =T)°rt+wb */2, (51.21)
причем с учетом формул для т]о/* и eZft из (50.5), (50.8) имеем
i uft.
176
§ 52. УРАВНЕНИЕ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ В НЕЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
Покажем, что условие стационарности (51.20) при Х‘н =0
является вариационной формулировкой основных уравнений и гра-
ничных условий нелинейной теории пологих оболочек в смешанной
форме.
Пусть Х‘н=0. Тогда, как уже было отмечено, уравнения рав-
новесия LkH=0 тождественно удовлетворяются при введении
функции ф согласно представлению (50.10)- С учетом этого пред-
ставления правая часть уравнения (51.20) примет вид*
И А/лС|‘Скк V ,бф8 do= j C“Cks (Art n -бф s-VtArt n s бф) ds+
Ct c
+ HCifCksVsVtA1-A6i|)d(T. (52.1)
О
Здесь принято во внимание, что ViC‘f—0 и введено обозначе-
ние для вектора ф8=Хг8ф. Для компонент этого вектора и тен-
зора А в системе координат s, п с ортами п, т имеют место форму-
лы
Фб =V8ф= n8 + т s, Ам —А, П/П^Н-А пт (п,- т* +
4-п* т,-)+Ах т,-тА, Ап =Art n' п4, А т =АМ т‘ т4, Апт =А(. т'т4.
С учетом этих формул, принимая во внимание равенства
т i т‘= 1, п‘П| = 1, Т|П'т *п 1 =0, сиП(=т‘, cksTs=nk.
получим
CltCksn v з^А = п + & т )A.v =
t. s i к СШ s QS s I k
> /da^z k
nk)A =- dS0 a _ (W A
as i и an ~c as
CuCksn v A = - С1Ътку A =
s t 1 к t i к
= - v (Cl,TkA ) + A v (C’V) =
t. i к i к t я
= -у[С'’тк(Апп + Ат-с + А’пт + А т n ) 1 +
t n i к <. i к n r •• i к n x 1 к
+(Ann+Arr+A пт+А пт )С1Ъу тк =
n 1 к eik nx i к nx к i t
12 A-66
177
= - v (- п’л + т’А ) + (- А тьп + А път -
t 1. пг п к с к
- А т1г + A n nL)v тк. (52.2)
пт к n I. к t
Так как имеют место преобразования вида (хп —геодезическая
кривизна кривой Сп , ортогональной С)
V Tk = V (гкт) = V Гкт + гЧ т -
t t t *
= (nkn + тЧ)(^ П + T ) =
= n“ntn ан + "Ч" 35 + ?nli ® + тктг as =
- nkn X - пЧ X,
tn t
а также справедливы формулы
?П V тк = тьП (пкП Я - Пкт К) = “ М,
kt к. tn t
пЧ V тк = пЧ ( nkn П - Пкт П ) = О,
kt к tn t
тЧ V тк = тЧ пк( П К - т п ) = О,
kt к t n t
п пЧ тк = п пЧк( п п - т к ) = я ,
kt к t n t п
dA
’Х = К, n‘vtAT = 3^,
dA
v тъ = div т = 0, тЧ А = Н„п-Ч
t ' t пт CIS
ТО
cttcksnsVtAik=^-4-xAT- -хА„+%п А пт. (52.3)
С учетом (52.2) и (52.3) выражение (52.1) можем представить
так
178
v ЗФ dcr = J A - A
t s dn -c as n-c
c
dA
- - kA + к A )a^]ds +
Uo n n ПТГ
J7 А С^Скз
a ik
dA
— (__+ мД
kdrT ' c
+ JT с1ЪскК7 v A S’J'da- =
O' S t ik
= J + 77 с’кскК? v A 6^dcr, (52.4)
c a s t ik
где обозначено
Ic=—A птбф/c+ J[A т 4— +(— +2 ~jnT' —xAT +
C Ull Lili Uo
+xAn—%nAnT)64fds. (525)
Так как по предположению Х‘н = 0, то вариационное уравне-
ние (51.20) принципа Лагранжа — Кастильяно при использовании
(52.4) окончательно запишется в виде
-5РП + S h (<sGs- 5G .) - у (5G s- 3G )]ds +
n n n T П"С nr
c (1 )
+ X [(ys - У )aG - (zs - У )§G ]ds +
c n n n -v V. n-c
( 2 )
+ T [u 5$sH + u ёфзн + w(6<>sH - 5Ф ) Ids +
n n c nr rn m
( 1 )
+T [us5T + US5T + (ws- тОаФ Ids =
c n n r. n-c m
( 2 )
= JC + ncilcksv V A 5^dff. = 0, (52.6)
(T S t i k
где в силу тождественного удовлетворения уравнениям равновесия
LkH = 0 6РЛ выражается формулой
1рл*-Т[(*:и- т„)«и + <ф;“- тП1>%+ (ф:и-
с (1)
- Ф )5W + (Gs- G )5z - Gn7P6y-Jds
ra n п • n
12*
179
— г (Т зи + Т su + Ф 6w + G sy G зу )ds + »
-Ч ПП пет; m пп пе г.
С ( 2 )
+ jv (L33w + fk6y )dcr. (52.7)
Н к
сг
В силу произвольности вариаций 3w, буА и бтр вариационное
уравнение (52.6) доставляет три уравнения равновесия
L3H=V(.(N‘+Tlka)ft)+b1.ftTik+X3H = 0) (52.8) ’
fk=ViMlk— Nk+Mk = 0 (52.9)
и уравнение совместности деформаций
Ь=с“ск8У8У4А« =citcksVs Vt«ft+wbZft-^)=0, (524 0)
а из его контурного интеграла вытекают статические и геометри-
ческие граничные условия. Не требуют особых пояснений вопросы
формулировки условий, накладываемых на повороты уп , ут и на
контурные значения изгибающего Gn и крутящего G пт моментов.
На вопросах формулировки статических и геометрических гранич-
ных условий, накладываемых на функцию усилий ф и прогиб w, t
остановимся в следующем разделе.
Обратимся теперь к соотношениям упругости. Выпишем их для
простоты изложения для изотропной оболочки в форме
Tik =B[EiksmT]°sm—(l+v)aik ет], (52.11)
Mik=D[Eiksmxsm—(l+v)alkxT], (52.12)
№ = 2Вса‘кт]°кз. (52.13) [
В соответствии с кинематическими соотношениями (50.8) вели-
чину и 2т]%з в теории пологих оболочек при .среднем изгибе
содержат лишь неизвестные функции у,-, w, поэтому при подста-
новке (52.12) и (52-13) уравнения равновесия моментов (52.9) не
будут содержать тангенциальных перемещений и,- . Уравнение ,
равновесия (52.8) при введении функции тангенциальных усилий
ф принимает вид ~
VI-Ni+(bift+Vz®ft) cljcksVjV^+X3H=0 (52.14) ;
и при подстановке сюда соотношений (52.13) будет выражаться *
через функции у(-, w и ф. И, наконец, к указанным уравнениям
равновесия (52.9), (52-14) в теории пологих оболочек добавляется
уравнение совместности деформаций (52.10), которое при помощи
(50.10) и (52.11) может быть выражено через функции w и ф. С
этой целью соотношения упругости (52.11) должны быть разреше-
ны относительно компонент деформации т)°/А . Для этого, прини-
мая во внимание (39.22), представим их в виде
Т*k - В [Eiksm T]°sm— (1 +v) aik Ет] = В [vaikasmi10sIn +
+ (1—у)т]1ко—(l+v)aikET], (52.15)
180
а затем обе части выписанного равенства умножим на a/ft. В ре-
зультате после некоторых преобразований находим
asnr]°sm = (1—v)asm Tsm/Et+2eT, (52.16)
где принято во внимание, что B = Et/(l—v2). Подставляя получен-
ное выражение (5216) в исходные соотношения (52.15) и разре-
шив их относительно г]0^, получим
T]°Zft = B/E,-ftsmTsm+afft ет, (52.17)
где обозначено
B'=l/Et, EZftsm= (1-f-v) aisaftm—va,-ftasni = aisaftm—vctscftm., (52.18)
Если далее внести в (52.10) соотношения (52.17), заменив в
них предварительно усилия Ts,n правой частью представлений
(5010), то после ряда громоздких преобразований приходим к ин-
тересующему нас уравнению совместности деформаций, выражен-
ному через функции ф и w
L = -B'VVi|)-VeT+(2Kafs—bfs)xst + [(xi2)2—хиХ22]/а = 0.
(52.19)
Здесь K=alkb1&/2=b‘j/2 —средняя кривизна недеформиро-
ванной срединной поверхности; xZft — компоненты изгибной де-
формации по гипотезе Кирхгофа — Лява; V=VfVt —оператор
Лапласса в общих криволинейных координатах, причем V*=
= aktVA.
§ 53. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В ФУНКЦИЯХ W И ф
внесем
1 Рассмотрим вопросы формулировки тангенциальных граничных
условий, связанных с тангенциальными перемещениями un, ит и
усилиями Тп , Тпт. При использовании разрешающих уравнений
теории пологих оболочек в смешанной форме на контуре С усилия
Тп , Т пт , Т т должны быть выражены через функцию ф. С этой
целью в формулы
Tn=Tikn,-nft, Тпт =Tlkn,Tft, Тт.=Т1кт,-т* (53.1)
выражения (50.10) и учтем, что 575ф = —ns
Тогда
т„ = п_ + II rs) =
= гЧ-(п V || + || V Л + г V. || + || V r ),
s J ЦП СШ j s s j Clb> j s
T
ПТ
r n clJcksv V Ф
к i J s
181
--- -nsrJ (n V .
S J
v n +r v
dn cm j s s j
T = т T c1Jcksv . V Ф =
77 i к j s
= "’"Ч", + I* VjV
Эти выражения после ряда преобразований могут быть
лены в виде
„ d2ip dip d2ip dip
ds2 dn dsdn ds
„ d2ip dip
Tx “ d^+xndT’
если воспользоваться формулами
T.’j as + as
J S
представ-
(53.2)
ПгП = тгт. = 1, п’т - Пт1 - О,
ii 1 1
п = т*ть7.(г п) -
j S _7 s
= rJrs(n n + т т)(п. яуг + Т =
s s jtlll JUo
= = К,
tjtsv т = TJrsv.(r т) = rJT:'r V.t =
j s j a 4 J
= TJTs(n n + T т)(й n. + Й "C . ) =
s s Uli j Uo j
= ? = 0 ,
ds
j йф _ 6гф j = <$2Ф
L V ——— — с V _ 1
J ds ds2 J dn dsdn
182
nbr)V n = nSTJV (r n) =
i » j s
= nsr’(n П + тт)(^П + J2 r ) =
« s an j as j
= n || = 0,
nSTJV T = nST3v (r r) =
j s j S
= usrJ(n^n + г J) (|| n. + Il r.) =
= sg = -«
n)7 = nj(d5t n + djL t J =
J dn dn2 J dsdn J dn
- nJnfd” n +dn_-)-dn_n
n n(cfn nj c[s V " n ~ u’
nJnsv.-c = nJns(n n + T r)(2j n + Й т ) =
j s s s an j QS j
njnsv n = njnsv (r n) =
j S j s
= nJn*(nsn + T,r)(|j5 n. + || Tj)
nJH(|| n. + || r ) = n || = К (53.3)
Gn j as j an n •
183
Компоненты тангенциальной деформации срединной поверхно-
сти оболочки в системе ортогональных координат n, s определя-
ются по формулам
г]°п = г]% п* nk, п°т =г]0,-й т'тк, 2т]°пт = 2г]0(-а т1 пк. (53.4)
Внося сюда выражения для г]0;-А из (50.8) и применяя преобра-
зования вида (53.3), находим
п dU П I |1 | й)2 п
r)°n=jjj-+xnUT +kn w+— >
п Гф т , . 1 . (й2 т
П°т =-• +xun+kT w+— ,
2г|°пт= ~~г—+ 5^ —хит —хп ип+2кПт w+<bt <юп, (53.5)
an as
где кп=—bZft п’ пк, кт =—bZA т! тк, кпт=—b/ft п’ т к и в теории
пологих оболочек
dw dw
“n-diT’ - ds~’
Если же в (53.4) вместо t]01-fe подставить формулы (52.17),
предварительно внося вместо E;ftsm правую часть выражений из
(52.18), то с учетом (53.1) устанавливаются такие соотношения
т]°п = В' (Т n—vTt )+ет, т]°т =В'(Тт —vTn)+eT ,
2т|°пт —2(1 -f-v)В'Тпт > (53.6)
которые при подстановке сюда выражений (53.5) и (53.2) позво-
ляют установить зависимости между функцией тангенциальных
усилий Цг и перемещениями un, Ur , w.
И, наконец, для величин Ап, Ат и Ant легко можно вывести
формулы
гл 2 za2 т
An = rion-knw-^, AT=n°T-kTw-
Ant=Tiont-knTW-^, (53.7)
которые нам понадобятся в дальнейшем.
Перейдем теперь к формулировке наиболее употребительных
граничных условий относительно функций w и У. Для этого выде-
лим из (52.6) вариационное уравнение
Т (Ф’’н - Ф )swds - j* Ф <5wds - j етзФ ds +.
mm m m
(1 > °(2) C(1 )
+ T [ussT + us3T + (ws - тгМФ ]ds-J +
c ’ n n T -c m c
( 2 )
+ n (1/aw - Lsi/Odcr = 0, (53.8)
O'
184
полагая равными нулю вариации заданных внешних усилий Фзн‘
ф sh ф sh а также считая выполненными уравнения fk =0 и
пт ’ m
граничные условия, связанные с поворотами уп , ут , изгибаю-
щим и крутящим моментами Gn, Опт .
1. Пусть на контуре C = C(i) +С (2) заданы прогиб w и уси-
лия Т п и Т пт , т. е.
w=ws, Тп=Фзн, Тпт=Ф®“. (53.9)
При выполнении этих условий 6w=0, бТп=бТПт =0, причем в
соответствии с (53.2)
dW , d6W . dW , d6W _
3-5---Нд-----= 0, —j—j---Fx т---- =0. (53.10)
ds2 dn dsdn ds
В силу (53.10) на контуре будут соблюдаться равенства
dSW
8Чг=-^-=0, (53.11)
dn
согласно которым получаем 1с =0. Следовательно, в рассматри-
ваемом случае из (53.8) следуют вариационные уравнения
И L3H6wdcr=0, JJLS4fdcr=0, (53.12)
о о
служащие для раздельного интегрирования, уравнения равнове-
сия L3H=0 и уравнения совместности деформаций L=0 по ме-
тоду Бубнова—Галеркина.
2. Если вместо (53.9) на контуре C=C(i)+C(2) формулиру-
ются условия
Фт=Ф^н , ТП=ФЗН , Т пт= Ф®« , (53.13)
то в точках этого контура кроме (53.11) будет соблюдаться усло-
вие бФт=0. При этом по-прежнему 1С — 0, а вариационное урав-
нение (53.8) распадается на два уравнения (53.12).
3. Во всех точках контура С=С(2) заданы перемещения
un= usn , цт =ust , w=ws , (53.14)
следовательно, 6w=0. Вариационное уравнение (53.8) принима-
ет вид
J (usn STn+usT 6Tn-r)ds—Ic+.jj (L3HSw—L6W)dn=0, (53.15)
c(2) °
в котором Ic определяется по формуле (52.5), a STn и STПт —
левыми частями равенств (53.10).
Если же usn=uST=ws =0, то вместо (53.15) имеем
—1С+И (L3HSw—L6¥)dff=0, (53.15а)
а
причем в соответствии с (53.7) на контуре С справедливы фор-
мулы
185
гл 2
Ап=т]°п----2~^ > А-p = т|° т , Апт =т|° пт ,
в силу которых
1С=-П°пт 8Ч7с+Жт
С
—хц°т +х(т]°п--
dfiy , ,_ (1т]°т . 9 di-]0 пт _
dn dn ' ds
^)-хпЛ°пт] 6 V} ds.
(53.16)
Таким образом, в рассматриваемом случае в дополнение к ус-
dV
ловию w=0 на контуре С в силу 6Чг=т^0, б =#0 формулируют-
ся деформационные граничные условия
л°т =0,-^1+ 2^1+х(т]0п_^-")_%пТ1о пх==0, (53.17)
UH tlo £
к которым в угловой точке незамкнутого контура добавляется ус-
ловие т]°пт | с=0. Входящие сюда величины т]°п , т]°т , т]°пт че-
рез усилия Tn, Т пт , Тт выражаются по формулам (53.6), а
последние через функцию V — по формулам (53.2).
4. На контурё заданы усилие Тп и перемещения uT, w, т. е.
ТП = Ф8НП, w=-ws, uT=usT. (53.18)
При этом Sw=STn —0, в силу которых вариационное уравнение
(53.8) принимает вид
— ) wsS<Dmds+ j uMTnTds—1С + И( L3H6w—L6¥)da=0.
С(1) с (2) a
(53.19)
Если на контуре С перемещения ws, u\ нулевые, т. е.
ws = w=0, ust = Ut=0, (53.20)
то вместо (53.19) получаем упрощенное уравнение
—1С + И (L3 HSw—LSV) dcr=O, (53.21)
a
в котором в силу равенств
гл2
Ап— п°п— , Ат =т]°т , Апт =т]опт>
следующих из (53.7), с учетом w=0 1с будет выражаться фор-
мулой
1С=-ПоптбЧЧс + Пл°т^+(--^ +2^ -
—хт]°т +хАп— хпт]°пт) SV]ds. (53.22)
При выполнении условия Тп=Ф8Нп в силу 8Тп = 0 соблюдается
равенство
dW dSV
ds2 Х dn
186
Выражая отсюда dS4r/dn и внося в (53.22), получаем
1С = Ш- +2 ——хт]°т+хАп —хпт]° пт )
с ЦП ЦЬ
т]° т d^'P’ , , 0 лиг.
~~~d^*] dS“n Птб1с’
или, интегрируя по частям последний член под интегралом, будем
иметь
I с= у [- +2 -хт]°т +хАп-хпт]°пт-
с ЦП Цо
-Т-2-f—) рП°пт]6Ч'}|'с. (53.24)
ds2 \. х ) х ds 1 ds\ х /
Если подынтегральный член этого равенства обращается в нуль
(в случае замкнутого контура), то для Ч^- из условия 1с=0 полу-
чаем следующие граничные условия
d2*F । d4r лен аП°т , 9 dr]0пт о ,
ds2 ' dn п dn ds ’
+хАп-хЛ°пт-^(^) = 0. (53.25)
В противном случае в угловой точке контура С в дополнение к
(53.25) должны быть выполнены такие условия
П°т |с=0, т]°пт |с=0, (53.26)
следующие из внеинтегрального члена выражения (53.24).
Если же контур является геодезической линией срединной по-
верхности, то х=0. Тогда из (53.23) имеем d2S4r/ds2=0, следо-
вательно, на контуре можно положить 6ЧГ=О. При этом условие
т л г о абЧГ А л
1с=0 сводится к равенству Jт]°т ---ds=0, откуда в силу про-
с ЦП
извольности вариации d64r/dn следует условие т]°т=0. Таким об-
разом, в случае х=0 для функции Ч^- будут формулироваться та-
кие граничные условия
ds2 — Фн ’ЧТ— в ^dn2 +xn ds v ds2 ]+ет— 0, (53.27)
где приняты во внимание формулы (53.6) и (53.2).
В рассмотренных случаях из (53.21) вытекают вариационные
уравнения (53.12).
§ 54. О СООТНОШЕНИЯХ ТЕОРИИ СЛАБОГО ИЗГИБА ОБОЛОЧЕК
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ, ПОЛОГИХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВЕРХНОСТИ
ОТСЧЕТА
Если во всех точках поверхности отсчета оо для функции Н и
ее производных выполняются условия
Hi=dj Н~-уё? V'i V'( Hk~Ve, (54.1)
187
названные в [20] условиями пологости срединной поверхности о ..
относительно поверхности о0, то приведенные в § 46 геометриче-.
ские соотношения допускают существенные упрощения. В частно-
сти, в силу h= (1+Hj Н') -1/2 1 с точностью Н, Нк ж8к,-
из (46.4) следуют приближенные формулы
in0, m-=in°—?iH* , г'=Р'+Н* in0, (54.2) «
а соотношения (46.7) — (46.9) принимают вид
a14«a',.ft , aik«a'ik ,
brt«b'rt+V'fH* (54.3) -
и при этом аха', doxda', A/kj = Hk h2V'j Hj «0. _
Так как HS' = бН/дз'=т'‘ Hj , то в силу Н(~Уе для Hs'
имеет место оценка __
HS' -Т'е, (54.4) -•
с учетом которой в соответствии с формулами (46.27), (46.29) —
(46.34) и оценками Н,~Уе находим приближенные равенства
ds'/ds^l, (54.5)^
т«т'+Нь' ш', шапп'—Нп' п'—Н т',
nanpHn' т', (54.6)
т’лйт'1 , nj^n'j , т, , п’жп'1, (54.7)
причем Hn'=n/i Hj ~Уе.
Исходя из приведенных формул, можно составить два вариан- ,
та основных соотношений уточнённой теории оболочек сложной
формы для случая слабого изгиба.
Первый из них базируется на представлении векторов v и у
в виде разложений (47.10), которым отвечают кинематические со-
отношения в форме (47.1), (47.2), (47.12), причем для величин
еik , ы,- , в силу Л'-р^О вместо (47.19) имеют место при-
ближенные формулы
uft—wb;ft , co;=V';w+b*; uft,
yb;fc. (54.8)
При этом для рассматриваемого класса оболочек уравнения
равновесия (47.20) принимают вид
Lk = v'Tlk - N'bk + Xk = 0,
i i
L3 = v'N5 + b Tik + X3 = 0,
i i k
fk = v'Mik - Nk + Mk = 0,
i
f3 = V'Mi3 + b Mik - N3 + M3 = 0 (54.9)
i i k
188
и они следуют из вариационного уравнения Лагранжа
Г [(Ф5 - Т )dU + (Фв
п п п пт
Т )аи + (Фэ -
пт т m
- 1Гп')ате + (Gs- G )ау - (Gs - G )ау +
i ппп п ~с п т т
+ (М3 - М1 Зп')<з?]ds' + п (Lk<3u + L3aw +
si , к
а'
+ fk5*k + f3 <3 ) dcr' = 0, (54.10)
в котором в силу (54.7)
Tn = T'kn'zп'й, Тпт=Т,кп/гт/*, Gn =Mikn't- п'k,
GnT=—Mikn'zx'ft. (54.11)
Заметим, что входящие в (54.8) и (54.9) ковариантные компо-
ненты второго метрического тензора вычисляются - по формулам
Ь ik ‘ Ь ik +VGHft из (54.3), причем в силу а,к «а'1к спра-
ведливы приближенные формулы b1k = a,km bmi.
Основные соотношения второго варианта уточненной теории
оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности от-
счета, базируются на представлении векторов v, у в виде разло-
жений (48.1) и следуют из соотношений § 48 при использовании
приведенных выше геометрических соотношений. При этом в со-
отношениях (48.8), (48.9), (48.10), (48.11), (48.14), (48.18),
(48.21) достаточно положить h«l, а формулы (48.12) упроща-
ются согласно равенству (54.5). Остальные соотношения вплоть
до (48.27) остаются без изменений, а в силу выполнения оценок
Hs' ~Ve, Нп' формулы (48.32) принимают вид
ф,Э = фЗ _ фЗТ ф'э = Ф3 - ФЭТ ,,
П П m п ПС nt ms
Ф'3 = ф3 + ФЭТ ,+ Фв т ,,
m m п п пт s
G's = Gs - М3Н , , G's = Gs + М3Н
п п S п ПТ пт s ь
М'3 = GSH Gs Н ,+ М3. (54.12)
s п п пт s S
Приближенное равенство h~l принимается также в формулах
(48.34), (48.35), (48.38).
189
§ 55. СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ СРЕДНЕГО ИЗГИБА ОБОЛОЧЕК
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ, ПОЛОГИХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВЕРХНОСТИ
ОТСЧЕТА, ОТНЕСЕННЫЕ К МЕТРИКЕ &'ik НА а'
Как и в главе VII, ограничимся рассмотрением случая малых
деформаций оболочек при действии на них нелокальных нагрузок,
определяя компоненты тензора деформации выражениями
П ~
= Р>к+ ~ Я13’ :
2-n° = (2m + ?)?,
зз
2<к = + ? +’Л-
2х = (г. + ’,>4 + (rt +
1 к 1 1 14
2тг° = inv + (г + V.)/. (55.1)
13 1 1 1
Если внести сюда разложения для у из (48.1), формулы ‘(48.4) -
и выражения (54.2), то для оболочек, пологих относительно по-
верхности отсчета, устанавливаются следующие скалярные кине-
матические соотношения
2т)° - е' + е' + Н о' + Н о' +
i k ik ki ik ki
, + e:,e'j + ш'ш', (55.2)
i j k i k
2x = (sJ + e,J)fi +(<3j + e,3)fr +
ik k k ij i i k j
+ (w; + н )□' + (W' + н )q', (55.3)
1 i k k k i
2 ti — и1 - Hk e ' + у ’ + H у' +
i 1 > i k i j
+ w'y' + y^e'K, (55.4)
2т,зз = 2 + + V + <r'\ (55.5)
190
которые отнесены к метрике a ik семейства поверхностей о' и
справедливы для случая произвольных перемещений и деформа-
ций. Для упрощения этих соотношений необходимо оценить поряд-
ки входящих в них величин , у', е'ik , a't , Qz;, £2'гл . С этой
целью, исходя из представлений (19.15), (19.17), (48.1), (48.4),
с использованием формул (54.2) запишем векторные равенства
u (г' 1 + Н1') + w (пг - г'’Н.) =
1 ’ 1
= и'г'1 + w'm',
i
у (rzi + IPin') + <r(inz - rzlH.) =
i 1
_ y'p'1 + yzm' ,
i
ek(rz + H пг) + и (inz - rzHk) =
i k k i k
= e'kez + и'inz,
i k i
fik(r' + H nr) + n (nr - r'Hk) =
i k k i k
= fizkr' + fi'm' ,
i k i
e (rzk + Hkmz) + w (nr - r/kH ) -
i k i k
= ez r/k + <jzmz-
i k i
(p,k + Hkinz) + n (inz - r,kH ) =
i k i k
= nz r,k + fi'm',
i k i
из которых следуют интересующие нас скалярные зависимости
191
u'=u - wH . w' = w + u H1 , (55’ 6)
iii i
j' ~ г - кВ : у' = у + у H1, (’55.7) -r
I i i i
co' = co + e Hk, (55.8)
i i i к
e' = e - co H , e'k = ek - Hkco , (55.9) *
j к j к i к i i i
fi' = Q - Q H , fi'k=fik~ HkQ , (55 10) '
i к i к ik i i i
Q' = Q + П Hk . (55.11)
i i i к
Аналогичным образом, используя формулы (54.6), составим .
векторные равенства
и(п'+Н/т')+и(т'+Н/т')+
n п "С s
+ те(т'-Н,п'-.Н,т') =
n S
- u'rr + и'т' + w'm'
n T
v (rr + H ,m') + г (т' + H ,nr) +
n n X
+ у (m' - H , n' - H , r' ) =
n s
= у' rr + ' + Tf' m' ,
' из которых находим зависимости
U' = u -H,w, u' = u - H ,w,
c T.S n n n
‘ wz = w + u H ,+ u H , , (55.12) -
n n u s
192
К ~ Hs'*> у' = у - Н ,у.
*- *- s П п п
7' = » + »ПН„- + »Л-’ .... (55.13)
Обратимся теперь к формулам (55.9). Так как для оболочек,
пологих относительно поверхности о0, для Hz имеет место оценка
Нг~Уе, то в силу выполнения оценок (41.8) из (55.9) следует,
что e'\~e'/ft~e, (55.14)
а из (55.8) усматривается оценка величин и приближенная
формула _ _
ю', ~Уе-|-е3/2 ~Уе, со';»сог. (55.15)
Следовательно, при среднем изгибе оболочек в соотношениях
(55.2) появляется возможность пренебрежения слагаемыми
е';,е'^ по сравнению с остальными; в результате для t)°za при-
ходим к формулам
2т]°/й = ik+е/ki+HZ +НЛ со'г +со\- со'k . (55.16)
Рассмотрим далее формулы y'i=Ti—yHj из (55.7). Для
входящих сюда величин у,- , у при среднем изгибе имеют место
оценки (42.12), в силу которых с учетом Hi ~Уе в данных форму-
лах можно пренебречь вторыми слагаемыми, полагая
y'i«Vi (55.17)
и при этом согласно (42.12)
у'(«Уё7 (55.18)
Если теперь учесть установленные оценки (55.14), (55.15),
(55.18), вместо у' в формулы (55.4) внести выражение из (55.7)
и принять во внимание оценки , у, ~Уе, Hj ~Уе, то с
принятой степенью точности вместо (55.4) в рассматриваемом слу-
чае приходим к приближенному выражению
2т]%з «co'i+y'i - (55.19)
Так как в соответствии с формулой у^у+т.Н1 из (55.7)
и оценками (42.12) для у' справедлива оценка
у' ~е, (55.20)
то в (55.5) появляется возможность пренебрежения последним
слагаемым. С учетом этого замечания указанную формулу (55.5)
запишем в форме
y' = T]o33_y*H*_t'* (55.21)
с использованием которой соотношения (55.3) приведем к виду
2х = + v'yf - 2b' (тк -
i k ik ki i k 3 3 s
- 7'SH ) + (o' + H )(v'71° - HsV'<r' -
s i i k 3 3 k s
13 A-66
193
- - r/Sv'r) + +
s к К s
- Hsv'<rz - <rv'Hs - <r/Sv;<r'),
is- si
полагая в них 6'k +е'*й »6кг и внося вместо Q'ik и й'; их
выражения из (48.5). Если изменяемость деформации поперечно-
го обжатия т]°зз по а1 является малой, то в силу выполнения
оценок (54.1), (55.15) и (55.18) в выписанных соотношениях глав-
ными по величине являются первые два члена, а остальные с
принятой степенью точности могут быть отброшены.
В результате для 2/,ft получаем такие упрощенные выраже-
ния ^Xik~^'iN'k+^'ky' I- (55.22)
Из зависимостей (55.12), (55.13) в рассматриваемом случае
упрощаются лишь выражения для у'т , у'п, в которых в силу
оценок Нп'~Уе, Hs' ~Уе, у~е3/2 слагаемые^ Нs' у и Нп' у
оказываются порядка е2, в то время как ут ~Уе и уп ~Уе. По-
этому с принятой степенью точности можно положить
у'т ~ут , у'п ~Уп • (55.23)
Для вывода уравнений равновесия воспользуемся вариацион-
ным принципом Лагранжа 6A=6U. Входящая сюда элементар-
ная работа внешних сил определяется по формуле (27.21), кото-
рая в силу пологости о относительно сто в рассматриваемом слу-
чае запишется в виде
6А=И (X6v+Mkr%6y+M36r|033)dCT/+j [d>s6v+
о с'
+ (Gsn п *—Gsnr т *) 6у+М386т]0зз] ds', (55.24)
причем в соответствии с формулами (43.2), (43.6), (54.2), (54.6),
(54.7) и установленными приближенными равенствами
соiип~оз'п।п'', сот ~со'т =со';Т/|
имеют место зависимости
г* = г + щ m = г' + Н m' + w'(mz - r'Hk) >
1 i i i 1 i k
~ r' + (w' + H )m',
i i i
in* = m.-(j’r = in' -F'H1 - ш,5(г' - Нит)
i i i i
~ m'~ ((jzl+ H1)r'= m'~ (ш'+ H ) г' 1 , (55.25)
1 i i ’
194
n n + (J in =
* n
= nz + H /m/ + u'Crn'- H n'- H ,?)
n n n
~ n' + ((j' + н ,) m' ,
n n
s t' + ((J' + H , )m' .
m» 111' )n'- (<J'+ H , )t. (55.26)
Представляя векторы X и Ф8 в виде разложений
X = X/kH7\+Х'3нт/> Ф8 = Ф 'Г n'+Ф птТ'+Ф'т” т',
в которых компоненты Х/кн, Х/Зн , Ф , Ф 'зн , Ф с ком-
понентами Xk , X3, Ф\ , Фsпт , Фsm в силу установленных фор-
мул (55.25), (55.26) связаны зависимостями
Х'к = Хк' 7- (и'к + Нк)Х3,
н
. х,з = X1 (щ' + Н ) + X3
н i i
ф, SH = Ф5 - Ф5(са' + Н ,)
п п m п и
ф, sH = ф5 - Ф5(и' + Н ,
(55.27)'
Ф'вН = ф-+ ф5(са'+ Н , ) + Ф5 (ш' + Н , ) (55.28)
m m n n n nt ~c s
для входящих в (55.24) слагаемых X6v и Ф8 6v находим выраже-
ния
X6v=X/k„6u';,+Х'3„6о/,
Ф867= ФnH6u'n + ФХН «и' т+Ф? бю'. (55.29)
Для остальных слагаемых, используя соотношение
П°зз=у'+Н| т)+т'1У,-/2.
и формулы (55.25), (55.26), по аналогии с (43.16) и (43.14) уста-
навливаем такие выражения
13:
195
Mkr*3<r + М3ЗТ!°3 = М^к3^ + М^-бэ'.
( GnX - ^-Л >5* - М>33 =
= G'sH<5y' _ G'sH<3y' + М'3<Зу', (55.30)
п п пт. х SH
введя при этом обозначения
М'к = Мк + М3(Нк + <г'к),
н
М'3 = М3 + мк(о' + н ),
н к к ’
G'sH = Gs + М3 (Н , + у'),
п n S п п
G'sH = Gs - М3(Н , + г'),
ПТ. ПХ S S X
М'3 = Gs(w' + Н J - Gs (o' + Н ,) + М3.
sH п п п пх х s s
Внося теперь установленные выражения (55.29), (55.30) в
(55.24), окончательно получим
ёА = jf (X'k6ir + X'3sw' + М'кзг +
, Н к Н Н к
а
+ М'3<s% ' )d(T'+ J" (Ф'вН<Зи' + Ф'ЕНЗи'+ Ф'вН<31/Г +
Н -с /ii п п 12 12 m
с
+ G,sH3-y'- G,sH3y'+ M'33y')ds' (55.31)
n П ПТ 12 sH
Построим выражение для вариации потенциальной энергии
деформации оболочки 6U. Если срединная поверхность оболочки
полога относительно поверхности о' в смысле (54.1), то в силу
h= (1+AH)~I/2 ~ 1 имеют место равенства
T'ik^Tik, N'^N1.
Поэтому с учетом приближенного равенства do'»da при среднем
изгибе оболочки 6U будет определяться выражением
196
6U=H (Tik 6т)%+М1к6т^+2№ 67]°/)da'.
о'
Внесем сюда кинематические соотношения (55.16), (55.19),
(55.23) и применим формулу (48.22) для преобразования поверх-
ностного интеграла в контурный. В результате получим
зV = Л iТ1 f зе' + (o' + Н )3(д' ] +
О-' ik i i к
+ M,kv'3y' + N'(3y' + 3(j')}dcr' =
i к it
- J M1kn'3y'ds' + Л {Tik7'3u' - Tikb' 3W'
r , ik i к i к.
+ [T,k((j' + H ) + Nk](v'3W' + b's3u') +
ii к к s
+ (Nk - v'Mik)3?'}d(T' = {
i n
— J* (T'8UZ + T' 8U' + Ф' 3Vf' + G'8'Ц''' ~
/ n n П 77 77 m n П
C
- G' 3y')ds' - л {{v'Tik- Ь'к[1^+ Tim(<j- +
nT c (y, 1 i m
+ H )]}3U'+ (v; [N1 + Tim((j' + -H )] +
ln к i mm
+ Tikb' }3W' + (v'Mik- Nk)sr }dcr' , (55.32)
i i к i к
где приняты во внимание формулы (48.5) и введены обозначения
для контурных значений внутренних усилий и моментов
Т' = т,кп'п'. Т' = Tikn'T',
и i к nc j к
Ф' = [Nk + Tik(cj' + Н ) ]п' =
n> i i к
— N' + Т' (сд' + Н , ) + Т' (сд' + Н , )
п и п пт Т. S
N' = Nkn''. . G' = Mikn'n' ,
к п i к
197
G'nr=-Mlkn'/T'A. (55.33)
В соответствии с установленными выражениями (55.31),
(55.32) вариационное уравнение принципа возможных перемеще-
ний запишется теперь в форме
j [ (Ф'вН-.Т' )6U'+ (Ф'кН- Т' )мг+ (ф'!;н-
z n n n n I. п т. I. m
с
- Ф')6ВД'+ (GZ‘;H- G')dy'- (G'sH~ Gz )6^z *
m n ii n n 7, n i- <-
+ М/3з-у' ] dsz + JT (L'kduz + I.,' 5<bwz -I-
sH z JI к H
O'
+ £'кдэ' + M/ !oy')do'- 0, (55.34)
H к H
из которого в силу произвольности вариаций перемещений и', , w'
и функций yd , y'jследуют два равенства
M'3SH=0, М'3н=0, (55.35)
аналогичные равенствам (45.4), три дифференциальных уравнения
равновесия усилий
L'kH=V,1 Tlk—b,kj N"3 +X/kH--=0, (55.36)
L'3H=V'i N'i3+T,kb'Zft+X'3H-0 (55.37)
и два дифференциальных уравнения равновесия моментов
f,kH=V'( Mik—Nk+M'kH = 0, (55.38)
отнесенные к метрике a'Zft семейства поверхностей о'. Из кон-
турного интеграла (55.34) усматриваются статические граничные
условия
Ф/8“ = Т'П при би',,^0, Ф^«=Т'пт при би'т^О,
Ф^н=Ф'т при 6w'^0, (55.39)
G'sH=G'n при бу'„^0, G'nsTH=G'nT при бу'т =А0 .
Входящие в (55.36), (55.37) величины N"3 представляют со-
бой проекцию внутренних сил, действующих в сечениях а1 =
const, на направление нормали ш' к а' и вычисляются по форму-
лам
N"3 =N'+T,k((D'ft+Hft). (55.40)
С помощью этих формул третье уравнение равновесия (55.37)
можно представить в виде
L'3„=V'j № + «+Щ) VGTlk+Tik (V'i(o'ft +
+У<НА+Ь^)+ХЛ=0.
198
В силу со', «©j входящие сюда выражения V'j (o'ft представ-
ляют собой ковариантные компоненты тензора изгибной дефор-
мации оболочки по классической модели Кирхгофа—Лява, т. е.
~а при выполнении оценок (54.1) в соответствии
с формулами из (54.3) biA НА . Поэтому, прини-
мая во внимание эти формулы и выражая V'(TIk с помощью
равенств
V'iT,k = —X,kH +b'\ [№ +Tis (<D'S+HS )] =
=~X'kB +N1 b'\ +b'im a'mk (w's +HS) Tls,
с учетом формул a'mk (Hft +<b\) = Hm m и равенств (55.27)
уравнение LZ3H=0 можно преобразовать к виду
L'3 = v'N1- (w' + Н )[Xk- (w'k+ Hk)X3 ] +
Hi k k
+ N’b'k(w'+ H ) + Tisb' (w'+ H )(Hm+ +
i k k i m s s
t Tlk(b' + V'H - я ) + X3+ x4w'+ H ) = 0,
i k i k i k i i
которое после пренебрежения подчеркнутыми членами оконча-
тельно запишется в форме
L'3B = V'j N1 +b'к, « )№ +Tik (bZft-ziA) 4~X3=0. (55.41)
Итак, механика деформирования оболочек сложной формы, у
которых срединная поверхность о полога относительно поверхно-
сти оо в смысле выполнения условий (54.1), при среднем изгибе
описывается системой основных соотношений (55.16), (55.19),
(55.22), (55.36), (55.38) —(55.40), (55.41), которая должна быть
дополнена соответствующими физическими соотношениями главы
VI. Выведенные соотношения отнесены к метрике a'ik семейства
поверхностей о' и в ряде частных случаев оказываются более
предпочтительными по сравнению с аналогичными соотношения-
ми, построенными в метрике а(-$ срединной поверхности оболоч-
ки. Из них, в частности, естественным образом вытекают соотно-
шения нового, модифицированного варианта теории пологих
оболочек, если в качестве поверхности отсчета выбирается плос-
кость. Для этого во всех выведенных , соотношениях достаточно
положить b'/ft = b'ki =0, и при этом не требуется введения от-
меченных в § 50 гипотез теории пологих оболочек, заключающих-
ся в пренебрежении перерезывающими усилиями в первых двух
уравнениях равновесия оболочек и в упрощении формул для <о,-
за счет пренебрежения членами, содержащими тангенциальные
перемещения.
199
§ 56. О ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ
НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ В ФОРМЕ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Предметом всестороннего изучения теории оболочек являются
задачи механики оболочек, у которых срединные поверхности
имеют так называемые начальные неправильности или начальные
несовершенства. Такие несовершенства в форме срединной поверх-
ности могут возникать как в процессе изготовления оболочек, так
и в процессе их эксплуатации. Известно, что начальные несовер-
шенства могут значительно повлиять как на значения критиче-
ских нагрузок потери устойчивости и на динамические характе-
ристики, так и на характер напряженно-деформированного со-
стояния оболочек. Чтобы качественно оценить влияние таких не-
совершенств на те или иные интересующие расчетчика величины,
вообще говоря, в первую очередь необходимо проанализировать,
к каким же изменениям в метрических формах срединной поверх-
ности может привести наличие у оболочки начальных несовер-
шенств.
Пусть од — срединная поверхность оболочки, не имеющей на-
чальных несовершенств, заданная уравнением г°=г°(а‘). Если
оболочка по тем или иным причинам получает начальные несовер-
шенства, то ее срединную поверхность, как правило, можно отне-
сти к общей параметризации с поверхностью о0 без начальных
несовершенств в соответствии с уравнением вида (46.1)
г(а‘) =г°(а|) +Н(а|)т°. (56.1)
Входящая сюда функция Н, представляющая собой расстояние
между точкой Мео и ее проекцией Мо на од, измеренное в направ-
лении нормали т°, в данном случае характеризует форму началь-
ных несовершенств оболочки.
При построении уравнений механики оболочек с начальными
несовершенствами можно использовать, вообще говоря, три вида
связанных между^собой полуортогональных триэдра:
1) основной {гь г2, т} и взаимный {г1, г2, т} триэдры на сре-
динной поверхности ^оболочки с начальными несовершенствами;
2) основной {г0!, г°2, т0} и взаимный {г!0, г20, т0} триэдры на
срединной поверхности оболочки без начальных несовершенств;
3) основной {г'ь г'2, ш'} и взаимный {г'1, г'2, т'} триэдры
семейства эквидистантных поверхностей о'.
Если уравнения механики оболочек построить в метрике aik
поверхности о, то они будут иметь обычный, традиционный вид,
и вся информация о форме начальных несовершенств в них будет
содержаться в коэффициентах метрических форм a[k , bik и
символах Кристоффеля Гк(]- (такие уравнения нами были построе-
ны в главах IV, V и VII).
Если же уравнения механики оболочек построить в метрике
поверхности о0 или поверхностей о' (как, например, в главе VIII),
то они по виду отличаются от уравнений, построенных первым
209
способом, и в них информация о форме начальных несовершенств
будет входить как дополнительные члены в соответствующих ки-
нематических соотношениях и уравнениях равновесия.
Если между метрическими формами и символами Кристоффе-
ля поверхности о0 оболочки без начальных несовершенств и ана-
логичными параметрами поверхности о оболочки с начальными
несовершенствами выполняются с некоторой степенью точности
приближенные равенства
a°ik«aik, b°ik«bik, Г°ки^Г\, (56.2)
то все три варианта уравнений механики оболочек, построенные
указанными выше способами, очевидно, будут совпадать с той же
степенью точности. Отсюда следует вывод, что начальные несовер-
шенства, удовлетворяющие приближенным равенствам (56.2),
практически не влияют на механику деформирования оболочек
рассматриваемого класса.
Покажем, что приближенные равенства (56.2) с точностью
1 -]-е~ 1 будут выполнены, если функция Н и ее производные
удовлетворяют условиям
0к( = 6к(—Hbokj «6ki , т. е. Hb°kj ~е, (56.3)
Н(=<Э,Н~уёГ (56.4)
VOiHk ~V°iHk«e. (56.5)
Для доказательства этого утверждения обратимся к формулам,
связывающим между собой указанные параметры.
Коэффициенты ajK поверхности о с коэффициентами a°iK
поверхности о0 связаны между собой зависимостями [20]
aik = 0si0nKa«sn+H1HK,
из которых при выполнении условий (56.3), (56.4) с точностью
1 +ея? 1 следуют первые равенства из (56.2).
Так как при выполнении условий (56.3)
b'lk = bonK0nj =Ь°ПК (6П, —Hb°ni) «b°lk, b'k, «Ь°<,
а также при соблюдении условий (56.3), (56.4) выполняются при-
ближенные равенства aik ~a°ik , h= (1-|-ДН) ~1/2 «1, то за-
висимости (46.9) примут вид
bik=h(b< akj+V'(Hk ) «b^+V0, Hk .
Отсюда следует, что при выполнении условий (56.5) с точностью
1 соблюдаются вторые равенства из (56.2).
И, наконец, обратимся к зависимостям (46.8)
rkij=r,kij+Hkh2V/i Hj. (56.6)
При выполнении приближенных равенств alk ~a°ik , очевидно,
r,kjj я?rokfj, поэтому зависимости (56.6) сводятся к равенствам
Г okjj «Гkfj из (56.2), если соблюдаются условия (56.5).
Таким образом, начальные несовершенства в форме средин-
ной поверхности могут быть не приняты во внимание при иссле-
довании механики деформирования оболочек, если описывающая
их функция Н(а' ) удовлетворяет условиям (56.3), (56.4), (56.5).
ЛИТЕРАТУРА
1. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные
принципы теории упругости и теории оболочек.—М.: Наука, 1978.—288 с.
2. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих обо-
лочек.— Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-мат. и техн, наук, т. 14, № 3, 1965, с
337—344.
3. Алумяэ Н. А. Одна вариационная формула для исследования тонко-
стенных оболочек в послекритической стадии.—ПММ, 1-950, т. 14, № 2, с. 219—
227.
4. А м б а р ц у м я н С. А. Общая теория анизотропных оболочек.— М.: Нау-
ка, 1974.— 446 с.
5. А ш к и н а з и Е. К. Вопросы анизотропии и прочности.— Механика по-
лимеров, 1965, № 2, с. 79—92.
6. Баженов В. Л„ Гольденблат Н. И., К о п н о в В. А. и др. Со-
противление стеклопластиков,—М.: Машиностроение, 1968,—303 с.
7. Б о л о т и н В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных кон-
струкций.— М.: Машиностроение, 1980.— 375 с.
8. Бугаков И. И. Ползучесть полимерных материалов.— М.: Наука,
1973,—387 с.
9. В а н Фо Фы Г. А. Конструкции из армированных пластмасс.— Киев:
Техника, 1971.— 2'20 с.
10. Власов В. 3. Избранные труды. Т. 1.— М.: Изд-во АН СССР, 1962.—
528 с.
ill. В о л ым н р А. С. Гибкие пластины и оболочки.—М.: ТИТТЛ, Г956,—
419 с.
12, Боль мир А. С' Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэро-
упругости.— М.: Наука, 1976.— 416 с.
13. Галимов К. 3. К теории коненччных деформаций.— В кн.: Уч. зап.
КГУ.— Казань: Изд-во Казанск. уи-та, 1949, т. 109., ки. 1, с. 35—71.
14. Галимов К. 3. Уравнения равновесия теории упругости при конеч-
ных перемещениях и деформациях.— В кн.: Уч. зап. КГУ.— Казань: Изд-во
Казанок, ун-та, 1949, т. 109, кн. 1, с. 15—34.
1'5. Г а лим о в К. 3. Основы нелинейной теории тонки» оболочек.— Казань:
Изд-во Каванск. ун-та, 1975.— 3(26 с.
16. Галимов К. 3. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимо-
шенков— В кн.: Исследования до теории пластин и оболочек. Вып. 13.— Ка-
зань: Изд-во Казанск. уи-та, 1978, с. 31—46.
17. Галимов К- 3. К формулировке граничных условий теории пологих
оболочек с учетом поперечных сдвигов.— В кн.: Исследования по теории пла-
стин и оболочек. Выл. 14.—Казань: Изд-во Каванск. ун-та, 1979, с. 208—215.
48, Галим о в К. 3., Найму шин В. Н. Об одной вариационной фор-
муле смешанного типа нелинейной теории пологих оболочек.— В кн.: Вопросы
расчета прочности конструкции летательных аппаратов.— Казань, 1979, с.
41—59.
19. Галимов К. 3. К построению нелинейной теории тонких оболочек
сложной формы с учетом поперечных сдвигов и обжатия.— В кн.: Исследова-
ния по теории пластин и оболочек. Вып. 17.— Казань: Изд-во Казанск. ун-та,
1984, с. 70—109; 1985, вып. 16, ч. 1, с. 57—66.
20. Г а л и м о в К. 3., П а й м у ш и н В. Н. Теория оболочек сложной гео-
метрии.— Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985.— 163 с.
202
21. Гольденвейзер А. Л. Теория уйругих оболочек,—М.: ГИТТЛ,
1953,—544 с.
22. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек,— М/.
Наука, 197'6.— 5Г2 с.
123. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колеба-
ний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники. Механика твердого
деформируемого тела. Т. 5. М., 1973, 271 с.
24. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек.— М.:
Наука, 1978.— 355 с.
25. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная
механика сплошной среды.— М.: Мир, 1965.— 456 с.
26. 3 а х а р о в К- В. Критерий прочности для слоистых пластмасс.—
Пластмассы, 1961, № 8, с. 61—67.
27. 3 в о л и н с к и й Н. В., Риз П. М. О некоторых задачах нелинейной
теории упругости.— ПММ, 1939, т. 2, № 2, с. 262—'261.
28. И л ь ю ш и н А. А. Пластичность. Основы общей математической тео-
рии.— М.: Изд-во АН СССР, 1963.— 271 с.
29. Ильюшин А. А., П обе др я Б. Е. Основы математической теории
термовязкоупругости.— М.: Наука, 1970.— 380 с.
30. Кантор Б. Я-, Науменко В. В. Об одном варианте теории обо-
лочек средней толщины.— Проблемы машиностроения. Вып. 12.— Киев: Наукова
думка, 1980, с. 3—7.
31:. Кильческий Н. А. Основы аналитической механики оболочек.—
Киев: Изд-во АН УССР, 1963.— 354 с.
32. Коган М. И., Саченков А. В. Обобщенный вариационный принцип
Лагранжа—Кастильяно.— В кн.: Избранные проблемы прикладной механики
(к 60-летию академика В. Н. Челомея).— М.: Изд-во АН СССР, ВИНИТИ,
1974, с. 64—71.
33. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических
сред.— М.: Мир, 1979.— 302 с.
34. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих обо-
лочек и методы их решения.— М.: Наука, 1964.— 192 с.
35. Кристенсен Р. Введение в механику композитов.— М.: Мир, 1982.—
334 с.
36. Кути лин Д. И. Теория конечных деформаций.— М.: Гостехиздат,
1947.— 3116 с.
37. Л о м а к и н В. А. О теории нелинейной упругости и пластичности ани-
зотропных сред.— Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1960, № 4, с. 60—64.
38. Ломакин В. А. О теории пластичности анизотропных сред.— Вестник
МГУ, матем. и механ., 1964, № 4, с. 49—53.
39. Л о х и н В. В. Общие формы связи между тензорными полями в ани-
зотропной сплошной среде, свойства которой описываются векторами, тензора-
ми второго ранга и антисимметричными тензорами третьего ранга.— ДАН
СССР, 1963, т. 149, № 6, с. 1082—1285.
40. Л о х и и В. В., Седов Л. И. Нелинейные тензорные функции от не-
скольких тензорных аргументов.— ПММ, 1963, т. 27, № 3, с. 393—417.
4k Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек.— М.: Гостех-
издат, 1947.— 352 с.
42. Л у р ь е А. И. Теория упругости.— М.: Наука, 1970.— 939 с.
43. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости.— М.: Наука, 1980.—512 с.
44. Ляв А. Математическая теория упругости.— М.—Л.: ОНТИ НКТП
СССР, 1935,—674 с.
45. М а л м е й с т е р А. К- Геометрия теории прочности.— Механика по-
лимеров, 1966, № 4, с. 519—534.
46. М а л м е й с те р А. К-, Тамуж В. П„ Тетере Г. А. Сопротивление
жестких полимерных материалов.— Рига: Зинатне, 1972.— 498 с.
47. Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов.— М.:
Наука, 1972,— 328 с.
48. Муштари X. М. Определение деформаций срединной поверхности
.. I
оболочки при произвольных изгибах.— В кн.: Тр. Казанск. хнм.-техн. ин-та.
Вып. 13. Казань, 1948, с. 132—137.
49. Муштари X. М., Галимов К- 3. Нелинейная теория упругих обо-
лочек,—Казань: Таткннгоиздат, 1957.—431 с.
50. М у ш т а р и X. М., Терегулов И. Г. К теории оболочек средней
толщины.—ДАН СССР, 1959, т. 123, № 6, с. 11144— 1П47.
51. Неупругие свойства композитных материалов. Механика. Новое в зару-
бежной науке.— М.: Мнр, 1978.—394 с.
52. Новожилов В. В. Теория упругости.— Л.: Судпромгнз, 1958 — 370 с.
53. Н о в о ж и л о в В. В. Основы нелинейной теории упругости,—Л.—М.:
Гостехиздат, 1948.— 210 с.
54. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек,—Л.: Судпромгиз,
1952.-431 с.
55. О б р а з ц о в И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное
армирование оболочек вращения нз композитных материалов.— М.: Машино-
строение, Г977.— ;143 с.
56. Образцов И. Ф., Васильев В. В. Нелинейные феноменологические
модели деформирования волокнистых композитных материалов.— Мех. ком-
позит. материалов, 1982, № 3, с. 390—393.
57. Паймушин В. Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Ти-
мошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета.— ’ПММ, 1978,
т. 42, № 4, с. 767—772.
58. ,П а й м у ш и н В. Н. Нелинейная теория тонких оболочек сложной фор-
мы, пологих относительно поверхности отсчета.— В кн.: Сопротивление материа-
лов и теория сооружений. Вып. 33.— Киев: Буд1вельник, 1978, с. 66—70.
59. Найму шин В. Н. Смешанный вариационный принцип Лагранжа—
Кастильяно в нелинейной теории пологих оболочек типа Тимошенко.— В кн.:
Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куй-
бышев, 1980, с. 16—24.
60. П а й м у ш и н В. Н. Об одной форме основных соотношений теории
тонких оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета.—
В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 15.— Казань: Изд-во
Казанск. ун-та, 1980, с. 70—77.
61i. П а й м у ш и н В. Н. Новый вариант основных уравнений теории тон-
ких оболочек типа Тимошенко при произвольных перемещениях.— В кн.; Ма-
териалы второй Всесоюзн. научи.-техн. конф. «Прочность, жесткость и техно-
логичность изделий из композиционных материалов». Т. III.— Ереван: Изд-во
Ереванск. ун-та, 1984, с. 13—18.
62. П а й м у ш и н В. Н. Вариант нелинейной теории тонких оболочек типа
Тимошенко.— Прикладная механика, 1986, т. 22, № 6, с. 40—47.
63. П е л е х Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.—
Киев: Наукова думка, 1973.— 248 с.
64. По бед р я Б. Е. Особенности теории процессов для композитов,—
Механика композитн. материалов, 1984, № 4, с. 6Г2—617.
65. По бед ря Б. Е. Механика композитных материалов.— М.: Изд-во
Московск. ун-та, 1984.— 336 с.
'66. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.— М.: Наука,
1966,— 752 с.
67. Р а б о т н о в Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.—
М.: Наука, 1977.— 384 с.
68. Ржаницын А. Р. Теория ползучести.— М.: Стройиздат, 1968.—
4112 с.
69. Рикардс Р. Б., Тетере Г. А. Устойчивость оболочек из композит-
ных материалов,—Рига: Зинатне, 1974.— 310 с.
79. Р о з и н Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем —
Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1978.— 224 с.
71.. Р о з о в с к и й М. И. Ползучесть и длительное разрушение материа-
лов.— Журн. техн, физики, 195Hi, т. 21, № 111, с. IBIlil—1318.
204
72. С а ч е н к о в А. В. Теоретико-экспериментальный метод исследования
устойчивости пластин и оболочек.— В кн.: Исследования по теории пластин и
оболочек. Вып. 6—7,—Казань: Изд-во Казанск. унта, 1970, с. 391—433.
73. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига/Под ред. К- 3. Галимо-
ва.— Казань: Изд-во Казаиск. уи-та, 1977.— 2>1)1' с.
74. Терегулов И. Г. К вариационным методам в нелинейной теории
упругости.— ДАН СССР, Г9|62, т. 1412, № 3, с. 568—'572.
75. Т е р е г у л о в И. Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек
при ползучести,—М.: Наука, 1969.— '206 с.
76. Терегулов И. Г. О нелинейных связях между напряжениями и де-
формациями в анизотропных тонких оболочках.— Изв. АН СССР, МТТ, 19Z1,
№ 6, с. 74—80.
77. Терегулов И. Г. Асимптотический анализ и классификация опреде-
ляющих соотношений для волокнистых композитов и анизотропных оболочек
при конечных и неупругих деформациях. ДАН СССР, 1988, т. 302, Я» 6, с. 1333—
1336.
78. Терегулов И. Г. Определяющие соотношения для анизотропных и
волокнисто композитных оболочек при конечных деформациях. Изв. АН СССР
Механика твердого тела, № 3, 1989, с. 167—173.
79. Т е р е г у л о в И. Г. Определяющие соотношения для физически нели-
нейных анизотропных и композитных оболочек при конечных деформациях.
Часть 1. Анизотропные оболочки.—Изв. вузов. Математика, 1985, № 5, с. 33—4|1.
80. Терегулов И. Г. Определяющие соотношения для физически нели-
нейных анизотропных и композитных оболочек при конечных деформациях.
Часть II. Композитные оболочки.— Изв. вузов. Математика, 1985, № 6, с. 54—62.
81. Тетере Г. А., Рикардс Р. Б., Наусберг В. Л. Оптимизация
оболочек из слоистых композитов.—Рига.: Зниатне, 1978.— 338 с.
82. Толоконников Л. А. О связи между напряжениями и деформа-
циями в нелинейной теории упругости,— ПММ, 11956, т. 26, № 3, с. 438—444.
83. Толоконников Л. А. Уравнения нелинейной теории упругости в
перемещениях.— ПММ, 1957, т. 21, № 6, с. 815—8212.
84. X и л л Р. Математическая теория пластичности.— М.: Гостехиздат,
1956.— 407 с.
85. Черных К- Ф- Линейная теория оболочек —Л.: Изд-во Ленингр.
уи-та, ч. 1, 1962,—274 с., ч. II, 1964.—395 с.
86. Aron Н. Das Gleichgenwicht und die Bewegung einer unendlich dflnnen
beliebig gekrflmmten elastischen Schalen.— Journal fur reine und angewandte
Math., 1874, Bd. 78.
|87 . Marguerre K. Zur Theorie der gekrflmmten Platte grosser Forman-
derung.— Proc. 5 Int. Kongr. Appl. Meeh.— Cambridge, Mass., 1938. New Jork,
J. Willey and Son, 1939, p. 93—101; Jahrb. 1939 deutsch Luftfahrforchung.
Bd. 1. Berlin, Adlershof Bflcherei, 1939, s. 413—426.
88. Reissner E. On a variational theorem in Elasticite.— Journ. of
Math, and Phys., 1950, vol. 29, № 2.
89. Reissner E. On a variational theorem finite elastic deformations.-—
Journ. Math, and Phys., 1953, vol. 32, № 2—3.
В связи с тем, что со времени написания книги прошел десяток
лет, авторы посчитали целесообразным привести в конце книги
в качестве приложения новые и существенные, на их взгляд, ре-
зультаты, относящиеся к теме второй главы. Эти результаты были
опубликованы в журналах Доклады АН СССР, Известия вузов —
«Математика» и Докладах РАН, ссылки на которые даны в упо-
мянутом приложении,
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ТЕРМОДИНАМИКА НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ И
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ
(ФИЗИЧЕСКИХ) СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ СПЛОШНЫХ СРЕД*
ТЕРЕГУЛОВ И. Г. (Казань)
1. Сплошную материальную среду в объеме V с границей 2, в которой про-
текают тепловые, механические, электромагнитные и химические процессы, назо-
вем термодинамической системой, состояние которой на феноменологическом
уровне описывается набором параметров (характеристик) состояния си (i=l,
...n), Pi (i=l, ...пт), среди которых а; —переменные параметры процесса, на-
бором параметров у; (1=1, ...г)—характеристик свойств среды. При этом Pi ,
Yi—функции параметров ai . Например, aj —деформации и температура в
деформируемом теле, тогда Pi —напряжения, энтропия, yi —жесгкосгиые и
тепловые характеристики (см. формулы (25)).
Приток тепла в систему за счет внешних источников в виде вектора-потока
q £ через 2 и источников, распределенных по объему с плотностью г, дает при-
ращение тепла в системе 6Q— (SvrdV — S v q^-nd2)dt. Здесь п — орт внеш-
ней нормали к 2. Приращение тепла в системе содержит часть 6Q(i) =
= (Sv q dV)dt, где —плотность скорости перехода в тепло энергий не-
теплового характера, удовлетворяющих условию
(1)
q(i)==0.
* Изв. вузов, Математика, № 4, 1955, с. 82—95, Доклады РАН, 1966 г.
206
Например, это переход механической энергии в тепловую. Условие (1) есть одно
из оснований говорить о необратимости процесса. В общем случае возможно
рассмотреть переход необратимым образом внутренней энергии вида (j) во
внутреннюю энергию вида (к) и поставить условие q^^>0, где индекс (i)
имеет смысл «внутренний». Полный приток приращения тепла в системе есть
6Q —6Q +6Q (Q.
Здесь и далее 6 (...) —символ малого приращения, вариации,
приращения функций, когда это приращение не обязательно полный дифферен-
циал; d (...) —символ дифференциала параметра и полного дифференциала функ-
ции. Приток к системе энергий иетеплового происхождения обозначим через Ае
бА(е)
энергии есть
= Sv6a (е)
dV. Таким образом, плотность приращения притока тепловой
(2)
dq-S-Ljq (e)j daj+SjLj q (i)j 6aj,
где q 6aj отражает приращение тепла за счет притока его извне, q^jdaj—
за счет перехода в тепло других иетепловых видов энергии. За счет внешних
притоков тепловых и нетепловых видов энергии в системе будет иметь
место приращение энергии равное притоку ее извне (закон сохранения
и превращения энергии). Это приращение будет содержать кинетическую энер-
гию частиц среды dK и часть, которую назовем внутренней энергией
Полное приращение энергии 6<§ в системе есть б<§ =d'K+6U =
= S6U(0dV, где 6U — плотность приращения внутренней энергии и при этом
6U(i)=Sf=1 (3)
Здесь а 6aj—приращение плотности внутренней энергии за. счет притока
внешних иетепловых видов энергии. Из сумм в (3) уже исключены параметры
a 1, связанные с приращением кинетической теории.
Соотношения (2) н (3) являются основными при рассмотрении проблем
термодинамики и каждое из них представляет собой линейную дифференциаль-
ную форму (пфаффову форму при п>3).
Термодинамический процесс назовем обратимым, если возможно возвращение
параметров состояния ai, 0i, yi в полной их совокупности к значениям, имев-
шим место на предыдущих этапах. В противном случае процесс по определению
будем называть необратимым.
Для обратимого процесса приращение полной энергии системы на замкнутом
пути есть нуль: ф бе = О. Тогда и приращение энергии в малом обьеме на зам-
кнутом цикле тоже есть нуль, откуда следует, что это приращение есть полный
дифференциал по отношению к приращениям параметров процесса. Так как
6K=dK, то из de = dK+6U(0 следует, что 6u =du н пфаффова форма (3)
вполне приводима. Приводимость пфаффовой формы dq, представленной равен-
ством (2), опирается иа теоремы Карно для замкнутых циклов. Таким образом,
в термодинамике обратимых процессов
6u(i) =du0, 6q = Tds, (4)
где u0=u0(«j)—внутренняя энергия как функция состояния (параметров),
Т — абсолютная температура, s — энтропия. Эти функции как характеристиче-
ские функции были введены Гиббсом в конце XIX столетия [1] и км же были
даны нх модификации на базе преобразования Лежандра. В силу полной при-
водимости (интегрируемости) линейных дифференциальных форм Sq для
обратимых процессов они удовлетворяют условиям приводимости, выраженных
в теоремах Фробениуса [2—4]. Впервые условия приводимости для случая
п = 3 получены Л. Эйлером [5] и приводятся в [4, 6, 7 и др.].
Традиционно [8—14 и др.] построение термодинамики необратимых процес-
сов осуществляется на базе представлений (4), в которых dq берется в виде
207
(2) при условии (1). Ниже показывается, что гак описание необратимого про-
цесса нельзя признать полным.
2. Линейная дифференциальная форма (пфаффова форма)
Q=2j’==1 (Ojdxj (5)
всегда может быть локально представлена [3, 4] в виде
Q = du0+2P=i wkdvk, (6)
где xj независимые переменные, и выполняются ограничения
2р+1 <п, р>0, п>3, для du0 =/=0, (7)
2р<п, р 1, п^З, для duo = 0. (8)
При этом функции u0, Wk, Vk есть функции параметров xj и независимы.
Функции и0 , Vk относятся к классу С2, a Wk — к классу С и должны
удовлетворять якобиевым условиям функциональной независимости. Ограниче-
ния (7), (8) отражают тот факт, что число независимых функций не может
быть больше числа аргументов, от которых они зависят. В силу принятого оп-
ределения при необратимых процессах в пространстве параметров состояния воз-
вратные движения исключены и замкнутые пути не реализуемы. Отметим, что из
числа параметров состояния преобразование Лежандра позволяет формировать
разные наборы параметров процесса а(. Следовательно, для необратимых процессов
нет оснований для вывода о том, что приращение плотности внутренней энергии
есть полный дифференциал по отношению к приращениям параметров процесса.
Аналогично нет оснований apriory утверждать, что для необратимых процессов
форма 6q вполне приводима (интегрируема). Возможность приведения, не
удовлетворяющей в общем случае условиям интегрируемости, формы й вида (5)
к виду (6) определяется тем, что задав некоторую систему функций u0, wk, Vk,
удовлетворяющую оговоренным выше условиям, и представив wj(Xk) в виде
coj = duo/<3xi+2 £= j wk(dvk/dxi) (9)
путем подстановки (9) в (5), приходим к представлению формы (5) в виде (6).
Если имеем систему линейных дифференциальных форм
йг =2"=1 corjdxj, г=1,2, ...L, (10)
то при
fi>rj = du0/dx-(-2! । wrk (<A'rk/dxl) (11)
получим &r = duor+2 1 Wrkdvrk- (12)
Очевидно, что при этом условия (7), (8) должны быть дополнены ограниче-
нием m<n, где m — полная совокупность независимых функций u<>k , Wkj, vkj,
Кроме того,
2рг + 1^п, рг 0, п>3 при duOr=/=0; (13).
2pr<n, prS;l, п>3 при duOr=0. (14)
Числа 2p r -j-1 в случае (13) или 2рг в случае (14) определяют класс пфаффо-
вой формы.
3. В термомеханике сплошной среды введем в рассмотрение тензор т*1 , состав-
ляющие которого на приращениях вязких или пластических деформациях T]ij
производят в единице объема жидкой, газообразной или деформируемой твердой
среды работу
тЧ'бПц =6q (^ ^0, (15)
рассеиваемую в виде тепла. Внешний приток тепла через границу 2 в объем V
за счет внутренних источников плотности и дает
dQe = (— -ndV+SvrdV)dt=[Sv(—Ajbj+r)dV]dt. (16)
208
Здесь q = qJrj — вектор потока тепла в среде. То есть в единице обьема
приращение тепла есть
6q=(—V j qi+r)dt+rij 6п ij. (17)
Введем коэффициент теплоемкости С0 и запишем для 6q выражение
6q = C060+6q , 6qe=C0 60.
Здесь С Q определяется при
(18).
Прира-
6q(i)
= 0, 0 — эмпирическая температура.
щение плотности внутренней энергии за счет работы внешних сил есть
бае =<т‘1 6eij, где <т'1 —тензор напряжений Коши, a ejj —совместные со свя-
зями по перемещениям составляющие тензора полной деформации Грина. Таким
образом, приращение внутренней энергии есть
6u (j) =ok16ekj +6q(i) =<jki6ekj +C060. ’ (19)
Выражения (18) и (19) есть пфаффовы формы по отношению к параметрам
процесса ejj , qij , 0, общее число которых обозначим через п. В соответствии
с изложенным в п. 2 и представлениями (9) — (14) можно записать
~ Pi ~ ~
o1J 6eij+C Q 60= duoi 4-3 wijdvj, (20)
j=l
~ p2~~
Cq604-t,] 6qij = duo2 4-2 w2jdv2j, (21)
j = l
2pi4-Xi<n, m<_n, n>3. (22)
Здесь Xi = l при duoi =/=0; Xi=0 при duOi =0. При помощи (21) исключим из
(20) член Cq 60 и обозначим uo= Uoi—uM, w2l = T, v2i = s, u2o = v.
Примем, что T—T(0) — известная функция. Тогда Т исключается из числа
независимо задаваемых функций. Вместе с этим исключается и функция s, так
как теперь она может быть определена (см. ниже формулы (25) через и,
W ij , vij. После некоторых переобозначений вместо (20) и (21) получим
Pi
<т*1 беij—т*1 бт)ij -|-Tds = du4-2 wjdvj,
j—I
Рг
CT6T4-Tij 6qij =dv4-Tds-|-2 w2jdv2j. (23)
j = l
Условия (22) по-прежнему сохраняют силу. Введем в рассмотрение свобод-
ную энергию Гельмгольца F = u—Ts. Тогда вместо (23) получим
Pi
0*16eij—т Ij 6rj jj—s6T=dF-|-2 w, jdvj ,
i= 1
СтбТ-|-т4 6qij—dv4-Tds4-2 w2jdv2j. (24)
j=l
Предположим, что процесс с достаточной точностью может быть описан при
У^О и pi= 1, р2 = 0 в формулах (24). Это есть минимальное расширение в срав-
нении с соответствующими соотношениями в термодинамике обратимых про-
цессов. Если это расширение не позволяет достаточно точно описать процесс, то
в пределах ограничений (22) возможно увеличение чисел pi и р2. В силу неза-
висимости бе ik, бт| ik и 6Т из (24) определяющие соотношения имеем в виде
alk = dF dVi dF ЙУ,
deik +w* deik ’ S-- ЙТ ~w* ЙТ ’
209
... dF dVj dV , dS „ dV , „ dS
T*k -- -{"Wi "j— — i 4-Г 5— CT= 3V 4-T "jv . (25)
or) ik йтцк c?Hik dljlk TdTr di ' '
Одновременно из (24) в силу принципа равнопрнсутствия имеем
Р2
, т , Vxv . ^21 _0
deik-1 deik ; ZW2,^ik “°'
j=l
Здесь положено wn = wi, Vu = vi.
При т1к — а1к из (25) с учетом произвольности w, следует
F = F(eik > Т), V| = V|(eik, Т), eik =8ik— т) ik -
В силу двойственного представления для т1к по (25) имеем
Шк
v(8ik , Т)1к, Т) = Jo ф’гбт))г +vo(eik, Т),
где ф,к очевидным образом формируется из членов в выражениях для т|к
по (25). Если vo (eik, Т)=0, то функция v исключается из числа независимо
задаваемых и соответственно корректируется число m в условиях (22). Перей-
дем от параметров процесса ekj, T]kj, Т к параметрам процесса стк->, ткП Т и
положим тк( =<ткЁ В этом случае определяющие соотношения получим в виде
dFi_ dVi <5Fi dVi
ekj— T)kj=- ;^kj — wi— d(Jkj , s=L- dT —Wi dT ,
dF2 dS , dF2 dS dF2 dS
Л kj =— 5(Tkj —T 5CTkj , CT = +T^T , 5akj +T dcjkj —0.
В качестве потенциалов здесь . выступают Fi(crkj, Т); wl(oki, Т); Vi(ok\ Т);
F2(0k>, Т).
В действительном процессе теплообмен в среде описывается уравнением теп-
лопроводности, которое согласно (17), (24) имеет вид
р2
бпц dv ds vi dv2 j
Vj <1]+г+т')^- = JF +'T JT W2i dlt ’
i=i
где производные по времени полные.
4. При Tik=oik нз (23) для жидкостей (включая вязкие) получим
—(р~ )+Tds = du+S Wijdvij. (26)
где использовано представление <yof>eo=—рб(1/р) (Зоп—о*| , ео = е*| ), при-
веденное, например в [9]. Соотношение (26) в качестве частного случая содер-
жит форму Гиббса [1, 11], которая не содержит членов из суммы правой
части (26).
АН Татарстана, Казанский ИСИ.
ЛИТЕРАТУРА
(1). Гиббс Д. В. Термодинамические работы. Гостехиздат, 1952. (2). Frobe-
nius F. «J. reine und angew. Math.», 1877, Bd. 82, s. 230—315. (3). Рашев-
ский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.-Л.,
1947. (4). Математическая энциклопедия. М.: Изд. «Советская энциклопедия»,
1977, в пяти томах. (5). Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. Пер. с лат.,
М.-Л., 1949. (6). Голъденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируе-
мых сред. Гостехиздат, 1955, 271 с. (7). Степанов В. В. Курс дифференциальных
уравнений. Гостехиздат, 1953, 468 с. (8). Пригожин И. Введение в термодина-
мику необратимых процессов. И. Л., 1960. (9). Базаров И. П. Термодинамика.
210
В. Ш. 1983, 344 с. (10). Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. МГУ, 1971,
247 с. (11). Седов Л. И. Механика сплошной среды. «Наука», 1984, т. I, т. II.
(12). Кубо Р. Термодинамика. «Мир», 1970, 385 с. (13). Микрюков В. Е. Курс
термодинамики. МГУ, 1966, 247 с. (14). Победря Б. Е. МКМ. 1993, т. 29, № 3,
с. 302—310.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
И КЛАССИФИКАЦИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ
ДЛЯ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ И АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ КОНЕЧНЫХ И НЕУПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЯХ*
И. Г. ТЕРЕГУЛОВ
1. Обзор литературы по проблеме дан в статье [1]. В статье [1] показано,
что определяющие соотношения для анизотропных тонких оболочек должны
иметь вид
pW =A1(g«3+Aa3)+As(ga?—Л<->+2А,(е^—'Ag* е^_ —
-УгЛ^Л^е ), а, 2, (1,1)
И*
где 6еа,з — обратимая составляющая приращений de»? тензора деформации
Грина, ta? — условные напряжения, отнесенные к недеформированному базису
при пропорциональности их контравариантных составляющих ко.гтравариантным
составляющим оа3 тензора напряжения Коши: t“3 = сга3/р* , р* — плотность в
деформированном состоянии, go? — составляющие метрического тензора на сре-
динной поверхности, тензор Л®3ра р? удовлетворяет условию A^go? =0, Af—
функции инвариантов
Ii = e“.-|-ЛаЗ е«,з, 13=е“. —Л“3 е»3,
212=еаЗ еа3—У2(е“.)2—'/2(ЛаЗ еа?)2
и при этом
3F
pdli ’
беa3 = dea3—бе<н1, dea₽—приращения полной деформации, бе'Нд — приращения
ар
необратимой деформации, бе«з — мгновенная обратимая (упругая деформация),
F — свободная энергия.
2. В однонаправленно армированном слое в осях ортотропии Ох" , где Ох1
направлена по оси армирования,
t°1I=t1,0=2A1/p, 122=1220=2Аз/р, t(!12=t12o=2A2e,>,2/p,
1| = 2е°ц, I3=2e°22, I2=2(e°12)2.
Для упругих приращений бе»? при обозначениях e°ll = el, е°22=е2,'e°i2=e3 имеем
6t“P6e к=Аа₽Р?беп
а₽ PY
Из этого условия следует, что
IIDij II ~Е|
где Du — E|, D22—Е2, D33-
Здесь т) = ет, к = еп, е — маг
3
бе.ар= 2 D ij6e i6ej >0.
I Г] КТ)
П Т)2 КТ)2
КТ) КТ]2 К2Т)2
-Gp, О12~ц12Е! ..., Е2/Е1 = т]2,
ый параметр.
(2,1)
(2,2)
G12/E,=k2.
♦) ДАН СССР, ф. 1988,том 302, № 6.
211
В силу (2,1). (2,2) для величин ti при обозначениях ti = i°n, t2 = t°22,t3 = t°12
имеем асимптотические представления
ti = 4'oo(ei) 4-п'Фю(е1, е2)+г)Кф11(е1, е2, е3, т]. к).
t2 = n‘f'io(ei) +п2Чг20(е|, е2)(eb е2, е3, Т), к), (2,3)
ts=ПкХи(ei) +п2кХ21 (е2, е2) +п2к2Х22(еь е2, е3, т)- к)-
Здесь фи, 4^21, Х’2 в разложениях по г) и к начинаются с их нулевых степеней.
Учитывая условия <9t । <91j
<9ej — <9ei ’
получим ограничения, налагаемые на выбор функций q>, V, у.
3. Классификацию видов определяющих соотношений проведем по парамет-
ру е<1 в виде Тип (m, п, 1), где 1 — число членов, удерживаемых в ряду для
ti, в (2,3).
Тип (оо, и, 1). Асимптотика г)—>-0 (ш—>-оо) при любых n, 1 даег один су-
щественный член ti = <poo(e2) или t,== Вц(ejei, что соответствует нитяной модели
однонаправленно армированного слоя. Таким образом,
А] = An(Ii) Ii, А2—О, А3 = 0,
а соотношения (1,1) примут вид
pl и? = An(Ii) Ii (ga,3+A«3)
Тип (m, оо, 1). Асимптотика к—>-0 дает
ti = <jPoo(ei)+r]v|)o(ei, е2),
12=13^10(61) +л2Чг2о(еь е2), (3,1)
ts=O
при выполнении условий
дф|0 о<рю дф2
<3е2 <Эе, ’ <9ei '
Таким образом,
ti —Вц (ej ei В12 (ei) е2,
t2= B2i (ej ei + В22(е2) е2,
t3=0.
В этом случае соотношения (1,1) примут вид
pt«3 = [Ац(Ii) 11+А1з(1-) I3] (g«3+Aa3) + [A31 (К) 11+А3з(13) I3] (g«3—Л«з)- (3,2)
Тип (m,oo,I). Если в разложениях (3,1) положить фю=-0, то имеем
’Kio(ei) =-0 и, следовательно,
pt аЗ = Ац(11) Ii(g«3+A <хЗ) 4-Азз(1з) 1"з(й13—А 13). (3,3)
Соотношения (3,2) и (3,3) соответствуют композитам, перекрестно армированным
с нулевой сдвиговой жесткостью (ткаии).
Тип (1, 1, 3). Примем, что т]~к (стеклопластик). Если в рядах (2,3) удер-
жать лишь первые три члена, то с учетом условий <?t i/ttej = c3t j/c3et получим
А1 = Ац(1], I3)11-|-А13(11, 13)1з,
A3 = A3j(Ii, I3)11-|-А33(11, 13)13,
А2 = А2 (12).
Тип (1, 1, 2). Ограничивая точность соответствующей удержанию первых
двух членов разложения для ti, получим
Л1 = А11(11)|11+А1з(11) 1з,
Аз = Аз1(11)11+А3з(13)13, (3,4)
А2=А2(12).
Тип (1, 1, Г). Сохраняя лишь первый член в разложении для ti, получим
А]=Ац(К) 11( Аз=Азз(1з) 1з, А2=А2(12). (3,5)
Последний случай соответствует предложенной в [2] форме определяющих соот-
ношений.
Тип (1, 0, 3). Если модуль сдвига G]2 порядка Е2, то к~1 (п = 0). В этом
случае получим
Ai=Ац(1|) I1+A31 (Ii) 13),
Аз=A3i(К)Ii-j-A33(I2, I3)I3,
А2(12, 1з).
212
Тип (1, О, 1). Если в разложении для t, сохранить лишь первый член, то
А[ = Ац(1[) 1Ь Аз = Аз3(12, 13)13, А2=А2(12, 1з),
соотношения (1,1) примут вид
pta₽=A|l(I1)I1(ga₽+Aa3)+A33(l2’ 1з) а₽) +
+2А2(12, I3)(eap-V?gape Ц- -'/2ЛарЛ1« е^).
Этот случай совпадает с рассмотренным в [1] при А13 = 0.
Тип (1,2,3). Если к~»)2, т. е. малая сдвиговая жесткость, то
A^AnOOI.+ tA}*» (Ю+А^ЦзЩз,
А3 = Аз, (Ii) 11+АЭз (I3) 13,
А2=А2.(12).
Последующие упрощения приводят к соотношениям (3,4), (3,"5).
4. Если цилиндр образован симметричной намоткой фк = ±ф, то в линиях
кривизн O£i £2 (Ogi совпадает с образующей)
h
Tii= f pt|ldz = 4h(Aicos2(j>+A3sin2i|>)-!-2hA2(ell—e22)sin22q>,
—h
h
T22= J pt22dz = 4h(A1sin2ip+A3cos2<p) — 2hA2(en—e22) sin22i|.’.
—h
При ф = 45° отсюда 2hA2(e22— en) = T22— Тц (4,1)
и при ф=/=45°
4hA!Cos2<p=T । !cos2v|)— T22sin2\p— 2hA2 (eie22) sin22ip,
4hA3cos2<p = —T i !Sin2i(>+T22cos2i|j+2hA2 (en—e22) sin22ip. (4,2)
Соотношения (4,1), (4,2) позволяют по экспериментам на цилиндре найти функ-
ции А|, А2, А3, а приведенные формы представления этих функций в классах
Тип (т, п, 1) дают возможность их рациональной аппроксимации. При этом
6e«p=dga3—бе^.Если цилиндр растягивается силой Р и испытывает внутреннее
давление q, то физические составляющие осевых напряжений о*ц, окружных
напряжений а*22 суть
Q aR *
СТ*11 = 4^ЁХ’ СТ*22=2Т? Q = P+nR2*4’
R*=R(1+A2), h»=h(l+As).
С учетом того, что из вариационного уравнения Лагранжа следует
И [р* Уа* /а—ptlk (г i+du/dx1) п k] 6udS = О,
S
при П]=1, п2=0, п3 = 0 имеем
О*,1(1+А2)(1+Аз)-р1и(1+А1)=0;
при п, = 0, п2= 1, п3 = 0
а*22( 1+Ai) (1+А3)-pt22 (1 + Д2) = 0;
где (1+А|)2=1+2ец, (1-|-А2)2= l+2e22, Дь А2, А3 — относительные удлине-
ния образующей, направляющей и нормали цилиндра. Таким • образом, связь
между Тц, Т22 и внешними силами при конечных деформациях дается в виде
hf . , _ Р , чР.(1+а2)
'1-_hPt" 2nR(l+Ai) + 2(1+A>)
h
T22= f pt22dz = qR(l+Ai).
—h
ЛИТЕРАТУРА
1. Терегулов И. Г.— Изв. вузов. Математика, 1985, № 5, с. 33—41; № 6,
с. 54—62. 2. Образцов И. Ф., Васильев В. В,—Мех. композит, матер., 1982, № 3,
с. 390—393.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть I. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава I. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ'
§ 1. Перемещения и деформации в твердом деформируемом теле 6
§ 2. Уравнения равновесия нелинейной теории упругости И
Глава II. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 3. Термодинамические параметры и процессы 15
§ 4. Работа и мощность 16
§ 5. Первый принцип термодинамики 18
§ 6. Второй принцип термодинамики 20
§ 7. Другие термодинамические потенциалы 23
§ 8. Эволюционные уравнения 24
§ 9. Упруго-вязко-пластическая среда 25
§ 10. Нелинейная упругость 26
§ Uli. Линейная упругость 28
Глава III. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В МЕХАНИКЕ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1й . Вводные замечания 32
§ 13. Принцип возможных перемещений Лагранжа 33
§ 14. Принцип возможных напряжений Кастильяно 34
§ 15. Принцип Рейсснера 36
§ 16. Общий вариационный принцип нелинейной теории упругости 37
Часть II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Глава IV. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ С УЧЕТОМ
И БЕЗ УЧЕТА ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ
§ 17. Некоторые предварительные замечания-и гипотезы теории тонких
оболочек 41
§ 18. Математическая формулировка кинематики деформирования оболоч-
ки по теориям Кирхгофа—Лява и С. П. Тимошенко 44
§ 19. Деформация оболочки и ее срединной поверхности в классической
теории Кирхгофа—Лява 47
§ 20. Деформация оболочки по уточненной модели С. П. Тимошенко при
произвольных перемещениях (1-й вариант) 52
§ 21. Деформация оболочки по сдвиговой модели типа Тимошенко с яв-
ным выделением модели Кирхгофа—Лява (2-й вариант) 56
§ 22. Тензор аффинной деформации и некоторые дополнительные форму-
лы теории конечных и малых деформаций срединной поверхности
оболочки 62
§ 23. Упрощение кинематических соотношений теории типа Тимошенко
для случая малых деформаций поперечного обжатия, при средних
и малых деформациях поперечных сдвигов 64
214
§ 24. О пределах применения линейного закона изменения тангенциаль-
ных компонент тензора деформации оболочки по ее толщине в тео-
рии типа Тимошенко 67
§ 25. Кинематические соотношения в теории типа Тимошенко, выражен-
ные через компоненты вектора у в базисе деформированных осей 71
§ 26. Деформация граничного контура оболочки 72
Глава V. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
ПЮ УТОЧНЕННОЙ И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЯМ
§ 27. Приведение внешних сил к деформированной срединной поверхности
и их элементарная работа 78
§ 28. Приведение внутренних сил к деформированной срединной поверх-
ности 82
§ 29. Уравнения равновесия теории типа Тимошенко при произвольных
перемещениях (1-й вариант) 84
§ 30. 2-й вариант уравнений равновесия теории типа Тимошенко при
произвольных перемещениях 89
§31. Скалярные формы уравнений равновесия и статических граничных
условий в системе координат деформированной оболочки (1-й
вариант)
§ 32. 2-й вариант скалярных уравнений равновесия и статических гра-
ничных условий в системе координат деформированной оболочки 96
§ 33. О скалярных формах уравнений равновесия и граничных условий
в системе координат недеформированной оболочки 97
§ 34. О вариационных уравнениях в форме метода Бубнова—Галеркииа 100
§ 35. Об уравнениях равновесия уточненной теории оболочек без учета
поперечного обжатия 105
Глава VI. ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕК ПРИ КОНЕЧНЫХ И МАЛЫХ ДЕФОРМА-
. ЦИЯХ
§ 36. Инварианты напряженного и деформированного состояний 106
§ 37. Связь между напряжениями и деформациями в нелинейно упругой
анизотропной оболочке при конечных деформациях 108
§ 38. Линейно упругие оболочки 109
§ 39. Тонкие оболочки, нагруженные нелокальными внешними силами 113
§ 40. Композитные оболочки 116
Глава VII. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ТИПА
ТИМОШЕНКО В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
ПРИ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
§ 41. Классификация задач в классической теории оболочек Кирхгофа—
Лява 133
§ 42. Деформация тонкой оболочки с учетом поперечных сдвигов при
среднем изгибе 135
§ 43. Элементарная работа внешних сил при среднем изгибе 136
§ 44. Уравнения равновесия и граничные условия 1-го варианта 140
§ 45. Уравнения равновесия и граничные условия 2-го варианта 144
Глава VIII. СООТНОШЕНИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИ-
НАТАХ ПОВЕРХНОСТИ ОТСЧЕТА ПРИ СЛАБОМ
ИЗГИБЕ
§ 46. О параметризации срединной поверхности оболочки сложной формы 148
§ 47. Сводка основных соотношений линейной теории оболочек типа Ти-
мошенко в метрике срединной поверхности 154
215
§ 48. Соотношения теории типа Тимошенко в метрике семейства поверх-
ностей о' 157
§ 49. О соотношениях теории оболочек типа Тимошенко в криволиней-
ных координатах плоскости отсчета 1G6
Глава IX. УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ФОР-
МЫ, ПОЛОГИХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВЕРХНОСТИ ОТ-
СЧЕТА, ПРИ СРЕДНЕМ ИЗГИБЕ
§ 50. В соотношениях теории пологих оболочек при среднем изгибе,
отнесенных к метрике срединной поверхности 168
§ 51. Вариационное уравнение Лагранжа—Кастильяно в нелинейной тео-
рии пологих оболочек типа Тимошенко 171
§ 52. Уравнение совместности деформаций в нелинейной теории пологих
оболочек 177
§ 53. Граничные условия в функциях w и Т 181
§ 54. О соотношениях теории слабого изгиба оболочек сложной формы,
пологих относительно поверхности отсчета 187
§ 55. Соотношения теории среднего изгиба оболочек сложной формы,
пологих относительно поверхности - отсчета, отнесенные к метрике
a'tk на а 190
§ 56. О задачах механики оболочек с начальными несовершенствами в
форме срединной поверхности 200
ЛИТЕРАТУРА 202
Курбан Закирович Галимов
Виталий Николаевич Наймушин
Ильтизар Гизатович Терегулов
ОСНОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Редактор А. И. Афанасьев
Обложка художника Г. Е. Трифонова
Технический редактор В. Н. Галкина
Корректор В. П. Лащенова
Сдано в набор 28.10.93 г. Подписано в печать 14.05.96 г. Формат бОХЭО’/ю-
Гарнитура литературная. Печ. л. 13,5. Заказ А-66. Тираж 500.
Издательство «Фэн> Академии наук Татарстана
420044, Казань, Волгоградская, 49.
Набрано и отпечатано в типографии Татарского газетно-журнального издатель-
ства. 420066. Казань, ул. Декабристов, 2.