Современные методы теории поля Т.5. Гравитация - Сарданашвили Г.Л.

§3. Редуцированная лоренцевская структура

§ 4. Электромагнитное и калибровочные поля

§ 4. Спиноры в аффинно-метрической гравитации

§8. Главные и ассоциированные расслоения

Автор: Сарданашвили Г.Л.

Теги: геометрия топология математика теория поля гравитация дифференциальная геометрия книжный дом либроком геометрические методы

Год: 2011

Похожие

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля Т.1

Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля Т.4

Геометрия и классическая механика. Современные методы теории поля Т.2

Алгебраическая квантовая теория. Современные методы теории поля Т.3

Текст

Г. А. Сарданашвили
СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
Том 5
Гравитация
URSS
МОСКВА

ББК 22.151.4 22.311
Сарданашвили Геннадий Александрович
Современные методы теории поля. Т. 5: Гравитация. — М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2011. — 176 с.
Настоящая книга, завершающая курс современных методов теории поля,
посвящена математической формулировке теории гравитации, включая ОТО, как
составной части общей классической теории поля, исчерпывающе описываемой
геометрическими методами. В работе представлены калибровочная теория грави-
тации, аффинно-метрическая теория, теория гравитации с кручением, теория
с пи норных полей, многомерная теория, теория супергравитации и аффинная
калибровочная теория. Книга также содержит исторический обзор ньютоновского
и эйнштейновского этапов теории гравитации и современной (<шостэйнштейновской>>)
калибровочной теории гравитации.
Книга адресована математикам, механикам, физикам — научным работникам,
преподавателям, аспирантам и студентам.
Издательство «Книжный дом "ЛИБРОКОМ"».
11733S, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60x90/16. Печ. л. 11. Зак. № 4619.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, ПА, стр. 11.
ISBN 97^-5-397-02011-4
© Г. А. Сарданашвили, 2011
© Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс (многоканальный):
+ 7(499) 724-25-45
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.

Если гравитационное поле — метрическое,
то оно — хиггсовское.
Содержание
Введение 5
Глава 1. Геометрия 9
§ 1. Натуральные расслоения 10
§ 2. Общая линейная связность 14
§3. Редуцированная лоренцевская структура 19
§4. Пространственно-временная структура 25
§ 5. Топология пространства-времени 30
§6. Сингулярности 33
Глава 2. Гравитация 40
§1. Аффинно-метрическая гравитация 40
§ 2. Закон сохранения энергии-импульса 45
§ 3. Общая теория относительности 52
§ 4. Электромагнитное и калибровочные поля 54
Глава 3. Спинорные поля 60
§ 1. Алгебра дираковских спиноров 60
§ 2. Геометрия дираковских спиноров 63
§ 3. Ковариантная спи норная структура 69
§ 4. Спиноры в аффинно-метрической гравитации 74

4 Содержание
Глава 4. Обобщения 79
§ 1. Многомерная гравитация 79
§2. Супергравитация 90
§ 3. Аффинная калибровочная теория 96
Глава 5. История 102
§ 1. Ньютоновская теория 102
§2. Эйнштейновская ОТО 105
§ 3. Калибровочная теория гравитации 111
Приложение 122
§1. Расслоения 122
§2. Векторные расслоения 126
§3. Слоения 135
§4. Аффинные расслоения 136
§5. Многообразия струй 138
§6. Связности 141
§7. Композиционные расслоения 146
§8. Главные и ассоциированные расслоения 149
§9. Редуцируемые расслоения 156
Литература 164
Предметный указатель 171

Введение
В настоящее время существует множество разнообразных тео-
рий гравитации, одинаково успешно описывающих все имеющиеся
эмпирические данные и наблюдения. К ним надо прибавить уже
совсем гипотетические модели квантовой гравитации и «великого
объединения» гравитации и других фундаментальных взаимодей-
ствий. Все они постоянно сменяют друг друга, но не проясня-
ют такие проблемы, как «темная» материя, аномалия «Пионеров»,
гравитационные волны. Остается неизмеримым третье постньюто-
новское приближение, не известна толком и физика звезд, даже
нашего Солнца: проблема солнечных нейтрино не решена. Поэто-
му мы здесь не рассматриваем модели.
Эта книга — последняя, пятая часть курса «Современные мето-
ды теории поля» [11-14]. Она посвящена математической формули-
ровке классической теории гравитации как составной части общей
классической теории поля, исчерпывающе описываемой в геомет-
рическом формализме расслоенных пространств, когда классиче-
ские поля представляются сечениями расслоений [11,51,102].
Сформулированная А.Эйнштейном и М.Гроссманом в 1912-
1915 гг. теория гравитации была первой и долгое время единствен-
ной геометрической полевой теорией. При всех трудностях и про-
блемах [5] она наряду с другими моделями успешно описывает клас-
сическое гравитационное поле как псевдориманову метрику. К ма-
тематической формулировке теории гравитации вернулись в 50-е гг.
прошлого века с развитием теории калибровочных полей.
Предложенная Ч. Янгом и Р. Миллсом в 1954 г. и развитая
Р. Утиямой в 1956 г. [4] теория калибровочных полей внутренних
симметрии (будем называть ее теорией Янга—Миллса), дополнен-
ная хиггсовским механизмом спонтанного нарушения симметрии,
стала сейчас общепризнанной моделью электромагнитного, слабо-
го и сильного взаимодействий и их объединения. Математически

6
Введение
классическая калибровочная теория Янга—Миллса формулирует-
ся как теория поля на расслоениях со структурной группой, где
калибровочные поля представляются связностями на главных рас-
слоениях [3,11,47,51,80].
Немедленно встал вопрос о присоединении гравитации к этой
универсальной калибровочной картине фундаментальных взаимо-
действий. Уже в 1956 г. Р. Утияма выдвинул первую калибровочную
модель гравитации [4]. Однако построение калибровочной теории
гравитации столкнулось с той трудностью, что гравитационное поле
в эйнштейновской ОТО представляется псевдоримановой метри-
кой, а не связностью, как калибровочные поля [6,59,64,99]. Реше-
ние этой проблемы лежит в рамках общей формулировки класси-
ческой теории поля на языке расслоений.
Калибровочными симметриями эйнштейновской ОТО явля-
ются общие ковариантные преобразования, характеризующие так
называемые натуральные расслоения (natural bundles), и она форму-
лируется на языке касательного, кокасательного и тензорных рас-
слоений, являющихся примером натуральных расслоений. Поэто-
му классическая теория гравитации, включающая эйнштейновскую
ОТО, строится как теория поля в категории натуральных расслое-
ний над ориентируемым 4-мерным многообразием X, называемым
мировым многообразием (world manifold) [51,99]. Это аффинно-
метрическая теория гравитации, где динамическими переменны-
ми являются линейная связность Г и псевдориманова метрика g
на X [6, 26, 59]. Первая аналогична калибровочному полю в ка-
либровочной теории Янга—Миллса, а псевдориманова метрика g
отождествляется с гравитационным полем в эйнштейновской ОТО.
Ключевым элементом такой формулировки теории гравитации
является нарушение пространственно-временных симметрии до груп-
пы Лоренца. Оно обусловлено принципом эквивалентности и на-
личием дираковских спинорных полей с группой симметрии Ло-
ренца [6,64,99]. Математически это выражается условием редукции
структурной группы касательного расслоения над мировым много-
образием X к группе Лоренца, что в силу известных теорем обу-
славливает существование псевдоримановой метрики g (т. е. гра-
витационного поля) на X. В такой трактовке гравитационное поле

Введение
7
по своей физической природе является хиггсовским полем, причем
макроскопическим, в отличие от хиггсовских полей в объединен-
ных калибровочных моделях электрослабого и сильного взаимо-
действий. Редукция структурной группы касательного расслоения
к группе Лоренца, в свою очередь, согласно вышеупомянутым тео-
ремам, с необходимостью предполагает ее редукцию к группе про-
странственных вращений SO(3), в результате чего мировое много-
образие X наделяется ассоциированной с гравитационным полем
пространственно-временной структурой.
Будучи построенной в рамках классической теории поля на
расслоениях, аффинно-метрическая теория гравитации включает в
себя эйнштейновскую теорию метрического гравитационного поля.
В паре (д, Г) псевдоримановой метрики д и линейной связности Г
последняя представляется суммой символов Кристоффеля метри-
ки д, тензора конторсии, выраженного через антисимметричную
часть (тензор кручения) Г, и тензор неметричности. Физическим
источником метрического гравитационного поля, как и в ОТО,
является метрический тензор энергии-импульса, а кручения и не-
метричности — соответственно спиновый ток и гипотетический
гиперзаряд [6, 59,60]. Лагранжианы аффинно-метрической теории
гравитации инвариантны относительно общековариантных преоб-
разований. Инфинитезимальным генератором локальных однопа-
раметрических групп этих преобразований является так называемое
функториальное поднятие (морфизм алгебры Ли) векторных полей
на X на расслоение над X. Это калибровочные преобразования,
параметрами которых служат векторные поля на X. Инвариант-
ность относительно общековариантных преобразований приводит
к закону сохранения тока энергии-импульса, который согласно об-
щей теореме о калибровочной инвариантности выражается через
суперпотенциал.
Помимо гравитационного, известны всего два классических
поля: электромагнитное поле и дираковские спинорные поля. В фор-
мализме расслоений дается геометрическое описание этих полей
совместно с гравитационным полем. В частности, мы получаем,
что электромагнитное поле не взаимодействует с полем кручения
и не порождает его, как многими предполагалось. Что касается

8
Введение
дираковского спинорного поля, то, с физической точки зрения,
именно оно обуславливает нарушение пространственно-временных
симметрии, что приводит к существованию гравитационного поля
как хиггсовского. Поэтому возникают проблемы описания дираков-
ского спинорного поля в разных гравитационных полях, в случае
общей линейной связности и под действием общековариантных
преобразований.
В книге приведены математические основы двух наиболее ак-
тивно развиваемых обобщений теории гравитации: многомерной
гравитации и супергравитации. Еще одно рассматриваемое нами
обобщение гравитации — это калибровочная теория на расслоени-
ях с аффинной связностью как своего рода ответ на многолетние
и многочисленные попытки описания гравитации в качестве ка-
либровочного поля группы трансляций.
Мы не рассматриваем квантовую гравитацию. Будучи хигг-
совским, метрическое гравитационное поле является, по-видимо-
му, принципиально классическим. Обуславливаемое им наруше-
ние симметрии выражается в том, что в разных псевдоримановых
метриках представления (3.15) ковекторов dx^ матрицами Дира-
ка 7й не изоморфны, и такое представление не определено при
рассмотрении суперпозиции метрических гравитационных полей,
т. е. не выполняется квантовый принцип суперпозиции.
Чтобы познакомить читателя с общей проблематикой теории
гравитации, которая является подоплекой излагаемой здесь ее мате-
матической формулировки, в книгу включены эссе по истории эйн-
штейновской ОТО и калибровочной теории гравитации (глава 5).
Будучи частью серии «Современные методы теории поля», дан-
ная книга использует математический аппарат расслоений, изло-
женный в первом томе «Геометрия и классические поля» [11]. Од-
нако для удобства читателя представляется целесообразным сум-
мировать в Приложении необходимый математический материал
из теории расслоенных пространств в форме, специально адапти-
рованной к формулировке теории гравитации.

Глава 1
Геометрия
Эта глава посвящена описанию геометрии пространства-вре-
мени в теории гравитации, на которой основана математическая
формулировка самой этой теории.
В книге все морфизмы считаются гладкими (т.е. класса С00),
а многообразия — гладкими вещественными и конечномерными.
Многообразия как топологические пространства дополнительно
предполагаются отделимыми и обладающими счетной базой то-
пологии. Такое многообразие локально компактно, счетно в беско-
нечности (т. е. является объединением счетного числа компактных
подмножеств), сепарабельно (т.е. допускает счетное всюду плотное
подмножество) и паракомпактно. Эти добавочные условия на то-
пологию многообразий, в том числе пространства-времени, нужны
для построения содержательной теории поля и теории гравитации.
Например, паракомпактность многообразия является необходимым
и достаточным условием существования на нем невырожденной
метрики.
Если особо не оговорено, многообразия считаются связными
(и следовательно линейно связными (arcwise connected), т.е. любые
две точки связного многообразия могут быть соединены гладкой
кривой). Мы следуем определению многообразий без границы.
Многообразие, удовлетворяющее указанным выше условиям,
допускает атлас со счетным покрытием открытыми стягиваемыми
подмножествами с компактным замыканием и даже атлас с конеч-
ным покрытием, однако не обязательно связными подмножествами.
Ориентируемое связное 4-мерное многообразие мы будем на-
зывать мировым многообразием (world manifold).

10
Глава 1. Геометрия
§ 1. Натуральные расслоения
Общековариантные преобразования являются отличительной
характеристикой так называемых натуральных расслоений. Как уже
отмечалось, общековариантные преобразования являются калибро-
вочными симметриями ОТО. Поэтому всякая классическая теория
гравитации, которая предполагает включать ОТО, должна строить-
ся как теория поля на натуральных расслоениях.
Пусть я* : Y —У X — гладкое расслоение с атласом расслоен-
ных координат (хх,уг). Всякий автоморфизм (Ф, /) расслоения Y
по самому своему определению проектируется
7Г О ф = f О 7Г
на диффеоморфизм / базы X. Обратное в общем случае невер-
но. Диффеоморфизм X не обязательно поднимается до автомор-
физма Y.
Пусть дана однопараметрическая группа (Ф^, ft) автоморфиз-
мов расслоения Y. Ее инфинитезимальным генератором является
проектируемое векторное поле
и = их{х»)дх + и\х*,у!)дг
на Y. Оно проектируется как
топ = Тп о и
на векторное поле т = ихд\ на X. Последнее является инфини-
тезимальным генератором однопараметрической группы (Д) диф-
феоморфизмов X, которые представляют собой проекции автомор-
физмов (Ф„, fT) расслоения Y.
Обратно, пусть дано векторное поле
т = тх(х)дх (1.1)
на X. Встает вопрос его продолжения до проектируемого векторного
поля
и — тд\ +uldi
на У, проектируемого на т. Такое поднятие всегда существует, но
оно не является каноническим. Действительно, всякая связность Г

§ 1. Натуральные расслоения
11
на расслоении Y определяет горизонтальное поднятие Гт (П.45) на
Y любого векторного поля г (1.1) на X Такое горизонтальное под-
нятие т -> Гт задает мономорфизм С°°(Х)-модуля Т(Х) векторных
полей на X в С00(Y)-модуль Т(У) векторных полей на Y, но такой
морфизм не является мономорфизмом алгебр Ли Т(Х) —> T(Y),
если Г не плоская связность.
Обратимся к категории вышеупомянутых натуральных рассло-
ений. Расслоение Т —> X называется натуральным расслоением,
если оно допускает функториальное поднятие (functorial lift) г на Т
любого векторного поля г (1.1) на X так, что т —> т — это моно-
морфизм
вещественной алгебры Ли Т(Х) векторных полей на базе X в ве-
щественную алгебру Ли T(Y) векторных полей на расслоении Т
[69]. Функториальное поднятие т называется инфинитезимальным
генератором общековариантных преобразований расслоения Y или,
говоря строго, инфинитезимальным генератором локальной одно-
параметрической группы локальных общековариантных преобра-
зований расслоения Т.
Замечание 1.1.1. Следует подчеркнуть, что может существовать диффео-
морфизм X, который не принадлежит ни одной однопараметрической под-
группе диффеоморфизмов X. Поэтому в самой общей постановке вопро-
са рассматривается мономорфизм f -> f группы диффеоморфизмов X в
группу автоморфизмов натурального расслоения Т -> X Автоморфизмы /
называются общековариантными преобразованиями Т. Например, ни один вер-
тикальный автоморфизм расслоения Т, кроме тождественного, не является
общековариантным преобразованием. Группа автоморфизмов натурально-
го расслоения является полупрямым произведением подгруппы его верти-
кальных автоморфизмов и подгруппы общековариантных преобразований.
Примером натуральных расслоений являются тензорные рас-
слоения (П. 13). Функториальное поднятие векторного поля т (1.1)
на X на тензорное расслоение (П. 13) имеет вид
г = гЧ + + ...-дР[Т"х%;;аъ -...]#;::*, (1.2)

12
Глава 1. Геометрия
где использованы компактные обозначения
дх = —.
дхх
В частности, касательное и кокасательное расслоения ТХ и
Т*Х к X — натуральные расслоения. Функториальные поднятия
(1.2) векторного поля т на эти расслоения даются выражениями
r-^ + ^rY^, (1.3)
т = т^др - dpTvxv -т-. (1.4)
дхр
Введем коллективный индекс А для тензорных координат
* PV'Pk
В этих обозначениях функториальное поднятие т (1.2) принимает
форму
т = тхдх + пл%тадА. (1.5)
Эта форма является общей для функториального поднятия вектор-
ного поля т на X на любое натуральное расслоение Т, когда это
поднятие зависит от производных компонент т не выше первого
порядка.
Замечание 1.1.2. Всякий диффеоморфизм / многообразия X поднима-
ется до касательного автоморфизма / = Т/ касательного расслоения ТХ,
который является общековариантным преобразованием ТХ как натураль-
ного расслоения.
Тензорные расслоения над мировым многообразием X имеют
структурную группу
GL4 = G£+(4,M). (1.6)
Ассоциированным главным расслоением является расслоение
nLX : LX -> X
ориентированных линейных реперов в касательных пространствах
к мировому многообразию X. Оно называется линейным реперным
расслоением. Его (локальные) сечения именуются реперными полями.

§1. Натуральные расслоения
13
Пусть задан голономный атлас Фу (П. 12) касательного рас-
слоения ТХ, и пусть {дц} — соответствующие голономные реперы
в касательном расслоении. Тогда всякий элемент {На} линейного
реперного расслоения LX задается в виде
где На — матрица представления группы GL\ в Ш4. Эти матрицы
образуют расслоенные координаты
на LX9 ассоциированные с его голономным атласом
*т = {(^,^ = ад)}, (и)
заданным локальными реперными полями zt = {дц}. Относительно
этих координат правое действие (П.78) структурной группы GL4
на LX имеет вид
Линейное реперное расслоение LX наделено канонической
М4-значной 1-формой
eLX=Hldx^®tai (1.8)
где {ta} — фиксированный базис М4 и Щ — матрица, обратная Н%.
Линейное реперное расслоение LX —> X является натураль-
ным расслоением. Всякий диффеоморфизм / многообразия X под-
нимается до автоморфизма
f:(x\Hl)^{f\x),d»fxH») (1.9)
главного расслоения LX, который является общековариантным
преобразованием и называется голономным автоморфизмом. Напри-
мер, ассоциированный автоморфизм ТХ — это касательный мор-
физм Г/ к /.
Если дана (локальная) однопараметрическая группа диффео-
морфизмов X с инфинитезимальным генератором т, их поднятие
(1.9) определяет функториальное поднятие
Г = г^+5УЯ1-^ (1.10)

14
Глава 1. Геометрия
векторного поля г (1.1) на LX, задаваемое условием
Всякое LX -ассоциированное расслоение Y -> X допускает под-
нятие любого диффеоморфизма / его базы до автоморфизма /у
(ГГ107), ассоциированного с автоморфизмом / (1.9) линейного
реперного расслоения LX. Таким образом, все расслоения, ассо-
циированные с линейным реперным расслоением LX, являются
натуральными расслоениями. Однако существуют натуральные рас-
слоения, не ассоциированные с LX.
§ 2. Общая линейная связность
Пусть ТХ — касательное расслоение над мировым многооб-
разием X, снабженное голономными координатами (хх, хх). В этих
координатах линейная связность (П.59) на касательном расслоении
ТХ имеет вид
Г = dxx ® (дх + Гх^Ор). (1.11)
Мы будем называть се мировой связностью (world connection) на мно-
гообразии X. Дуальная мировая связность (П.62) на кокасательном
расслоении Т*Х дается выражением
Г* = dxx ® (Ох - Тх^рХрР). (1.12)
Тогда, используя конструкцию связности (П.63) на тензорном про-
изведении векторных расслоений, можно получить соответствую-
щую линейную мировую связность на тензорном расслоении (П. 13).
Замечание 1.2.1. Следует подчеркнуть, что выражения (1.11) и (1.12) для
мировой связности отличаются знаком минус от обычно используемых в
физической литературе.
Кривизна мировой связности определяется как кривизна R (П.61)
связности Г (1.11) на касательном расслоении ТХ. Она имеет вид
R = X-Rx^рхрdxx A&fQda,
R\nap = дхГцар - дцТхар + ГА7/?Г/Аа7 - Г/А7дГла7.

§ 2. Общая линейная связность
Кручение мировой связности также определяется как кручение
(П.57) связности Г (1.11) на касательном расслоении ТХ относи-
тельно канонической припаивающей формы Oj (П.23):
Т - X-T^xdxx Л dx* ® ft,, Т/л = Г/л - ГА%. (1.14)
Мировая связность называется симметричной, если ее кручение
(1.14) равно нулю, т. е. Г/Л = ГА%.
Благодаря тривиализации (П.27) вертикального касательного
расслоения VTX к ТХ, кривизна (1.13) мировой связности Г может
быть представлена тангенциально-значной 2-формой
R = X-Rxf рзРdxx A dx» ® да (1.15)
на ТХ. В таком представлении определен тензор Риччи
Rc=\R\pXpda*®daP (1.16)
мировой связности.
В силу вышеупомянутой тривиализации (П.27) вертикального
касательного расслоения VTX кручение Т (1.14) мировой связ-
ности Г тоже может быть записано как тангенциально-значная
2-форма
Г = X-T;xdxx Adx"® dv, Г/д = Г/а - ГА%, (1.17)
на X. Определяется также припаивающая форма кручения
T = Tfil/xxxdxti®d1/ (1.18)
на ТХ При этом справедливо следующее.
• Пусть даны мировая связность Г (1.11) и припаивающая форма
кручения Т (1.18), тогда их сумма Г + сТ для любого действи-
тельного числа с £ R — тоже мировая связность.
• В частности, всякая мировая связность Г задает симметричную
мировую связность
Г; = Г - -Т. (1.19)

16
Глава 1. Геометрия
• Если Г и Г' — мировые связности, то сГ + (1 — с)Г' тоже
мировая связность для всех cGl.
Поскольку касательное расслоение ТХ ассоциировано с ли-
нейным реперным расслоением LX, всякая мировая связность (1.11)
на мировом многообразии X ассоциирована со связностью на глав-
ном расслоении LX. Поэтому она представима глобальным сече-
нием фактор-расслоения
Cw = JlLX/GL4, (1.20)
именуемым расслоением мировых связностей. Относительно голо-
номного атласа Фу (1.7) расслоение Cw (1.20) наделяется коорди-
натами
(^ > а)> а —
dxlv дхР „ дяР avr
дх'* ,
ш- <и,)
дх-r дх'а * р дх'а дхРдхР
так что для всякого его сечения Г
кх\ о Г = Г/в
— компоненты мировой связности Г (1.11).
Хотя расслоение мировых связностей Cw —> X (1.20) не ас-
социировано с LX, это натуральное расслоение. Оно допускает
каноническое поднятие
jc : JlLX/GL4 -> Jlf(JlLX)/GL4
всякого диффеоморфизма / своей базы X и, следовательно, функ-
ториальное поднятие
тс = т% + [dvraк/р - df>rvk«v - d^rvkv% + д^та] (1.22)
ОКц р
любого векторного поля т на X [51,79].
Многообразие струй первого порядка JXC^ расслоения ми-
ровых связностей имеет каноническое разложение (П.95). Что-
бы получить его координатное выражение, рассмотрим напряжен-
ность Fy (П.97) мировой связности Г (1.11), которая связана с ее
кривизной соотношением (П. 110). Она имеет вид
Fr = X-FXllbа{1ьа)аpiPdxx A dx** ®da= X-R^apiPdxx A dx* ® da,

§ 2. Общая линейная связность
17
где
\h ) p — Щ **p
— генераторы группы GL4 (1.6) в слоях ТХ относительно голо-
номных реперов и Rx^p — компоненты кривизны (1.13) мировой
связности Г. Тогда искомое каноническое разложение (П.95) мно-
гообразия струй J!Cw дается выражением
кхцар = -{Кх^р + Sx^p) =
= -jikx^p - кцхар + kx^pk^j - к^7ркха7) +
+ $hxfp + к»х*р ~ *aVA + Wa$. (1.23)
В частности, если Г — сечение Cw -> X, то
Кхцар о J[T = Rxffp-
Мировое многообразие X называется плоским, если оно до-
пускает плоскую мировую связность Г. В силу теоремы П.6.3, су-
ществует атлас LX (или эквивалентно ТХ) с функциями перехода,
не зависящими от координат хх, такими что
Г = dxx ® дх
в этом атласе. Как следствие, кривизна R (1.15) такой связности
равна нулю. Однако этот атлас не обязательно голономный. В таком
атласе каноническая припаивающая форма (П.23) на ТХ имеет вид
в j = Н^х'да,
и поэтому кручение Т (1.14) плоской связности Г, определяемое
как дифференциал Frolicher—Nijenhuis dr0j (П.57), не равно нулю.
Мировое многообразие X называется параллелизуемым, если
касательное расслоение ТХ -> X тривиально. Согласно теоре-
ме П.6.3 паралеллизуемое мировое многообразия является плоским.
Обратно, плоское мировое многообразие параллелизуемо, если оно
односвязно (теорема П.8.5).
Всякая мировая связность Г (1.11) задает горизонтальное под-
нятие
Тт = т\дх+ТхРаХадр) (1.24)

18
Глава 1. Геометрия
векторного поля т на X на касательное расслоение ТХ. Векторное
поле т на X называется параллельным относительно связности Г,
если оно — интегральное сечение Г. Его интегральная кривая име-
нуется автопараллелью мировой связности Г.
Замечание 1.2.2. Для любого векторного поля г на многообразии X су-
ществует связность Г на касательном расслоении ТХ -> X, такая что г
является интегральным сечением Г. Если векторное поле г отлично от нуля
в точке х £ X, тогда в окрестности х существует локальная симметрич-
ная мировая связность Г (1.11), для которой г является интегральным
сечением
4тв = Г1,у. (1.25)
Тогда функториальное поднятие т (1.3) векторного поля г на ТХ может
быть локально представлено как его горизонтальное поднятие Гт (П.45)
посредством этой связности.
При заданной мировой связности Г рассмотрим горизонталь-
ное векторное поле
и = хх(дх + Tx\xadv) (1.26)
на касательном расслоении ТХ. Оно называется голономным [79].
В голономных координатах (х^, х^, х^, х^) на ТТХ голономное
векторное поле (1.26) определяет на X динамическое дифферен-
циальное уравнение второго порядка
xv = Txvaxxxa, (1.27)
которое называется уравнением геодезической (geodesic equation) от-
носительно мировой связности Г. Решения уравнения геодезиче-
ской (1.27), именуемые геодезическими связности Г, являются про-
екцией интегральных кривых векторного поля (1.26) в ТХ на X.
Легко заметить, что, если мировые связности Г и Г' отличают-
ся кручением, они определяют одно и то же голономное векторное
поле (1.26) и одно и то же уравнение геодезической (1.27).
Пусть т — интегральное векторное поле мировой связно-
сти Г, т.е. V£r = 0. Следовательно оно удовлетворяет уравнению
r^V^r = 0. Тогда можно показать, что всякая автопараллель ми-
ровой связности Г является ее геодезической и, обратно, всякая
геодезическая Г представляет собой автопараллель ее симметрич-
ной части (1.19).

§ 3. Редуцированная лоренцевская структура
19
§ 3. Редуцированная лоренцевская структура
Теория гравитации на мировом многообразии X является клас-
сической теорией поля со спонтанным нарушением симметрии,
описываемым редуцированной лоренцевской структурой линейно-
го реперного расслоения LX [6,64,99].
Геометрический принцип эквивалентности (§2, гл.5) устанав-
ливает существование атласа касательного расслоения ТХ 41и
ассоциированных расслоений с функциями перехода, принимаю-
щими значения в группе Лоренца. Это означает, что структурная
группа GL4 (1.6) линейного реперного расслоения LX над миро-
вым многообразием X должна быть редуцирована к группе Лорен-
ца SO(l, 3). В то же время существование дираковских спинорных
полей предполагает, что GL4 редуцирована к собственной группе
Лоренца
L = S0°(1,3),
которая является компонентой единицы (связным подмножеством,
содержащим единичный элемент) группы SO(l, 3). Если структур-
ная группа расслоения LX редуцирована к собственной группе
Лоренца, она также редуцирована к ее максимальной компакт-
ной подгруппе 50(3), что определяет пространственно-временную
структуру мирового многообразия X (§4).
Опишем лоренцевскую и собственную лоренцевскую редуци-
рованные структуры.
• Лоренцевская структура определяется как главное редуциро-
ванное SO(l, 3)-подрасслоение L9X, именуемое лоренцевским
подрасслоением, линейного реперного расслоения LX.
• Собственная лоренцевская структура — главное редуцирован-
ное L-подрасслоение LhX, называемое собственным лоренцев-
ским подрасслоением, линейного реперного расслоения LX.
Лемма 1.3.1. Если мировое многообразие X односвязно, суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между лоренцевской
и собственной лоренцевской структурами.

20
Глава 1. Геометрия
Доказательство. Группа Лоренца 50(1,3) изоморфна группо-
вому произведению
50(1,3) = Ъ2 х L.
Если мировое многообразие X односвязно, Z2 -расслоение являет-
ся тривиальным [11]. Поэтому всякое главное расслоение Pso(\y3)
со структурной группой Лоренца изоморфно произведению
PsO(\,l) = %2 X РЬ
где i\ — главное L-расслоение. □
Если мировое многообразие односвязно, можно показать, что
разные собственные лоренцевские подрасслоения LhX и Lh X ре-
перного расслоения LX изоморфны как главные L-расслоения.
Это означает, что существует вертикальный автоморфизм линейно-
го реперного расслоения LX, который отображает LhX на Lh X
(теорема П.9.5). Согласно лемме 1.3.1 аналогичное утверждение
справедливо также для лоренцевских подрасслоений.
Ввиду теоремы П.9.1 существует взаимно однозначное соответ-
ствие между главными редуцированными L-подрасслоениями LhX
линейного реперного расслоения LX и глобальными сечениями h
фактор-расслоения
Ет = LX/L, (1.28)
называющегося расслоением тетрад. Это LX -ассоциированное рас-
слоение с типичным слоем GL4/L. Его глобальные сечения имену-
ются тетрадными полями. Расслоение (1.28) является двулистным
накрытием
расслоения метрик
£PR=LX/SO(l,3), (1.29)
чьим типичным слоем является GU/SO(l, 3) и чьи глобальные се-
чения — это псевдоримановы метрики g на мировом многообра-
зии X. В частности, всякое тетрадное поле h однозначно определя-
ет псевдориманову метрику g — ( oh. Обычно расслоение метрик

§ 3. Редуцированная лоренцевская структура 21
(1 29) отождествляется с открытым подрасслоением тензорного рас-
слоения 2
SPR С V ТХ. (1.30)
Поэтому его наделяют расслоенными координатами (хх, cr^v)9 и мы
приходим к привычному определению псевдоримановой метрики
как невырожденной билинейной формы
g = gaPda V dp
сигнатуры (Н ) в кокасательном расслоении Т*Х. Соответ-
ственно задана дуальная билинейная форма
9 = 9apdxa V dxp, 9av9vp = €
в касательном расслоении ТХ
2
Будучи открытым подрасслоением тензорного расслоения V ТХ,
расслоение метрик £Pr (1.29) является натуральным. Функториаль-
ное поднятие на Epr векторных полей г на X является частным
случаем функториального поднятия г (1.2) и имеет вид
fE = т% + {<rvf3dvTa + а™дУ)-^. (1.31)
В ОТО псевдориманова метрика на мировом многообразии или
тетрадное поле отождествляются с гравитационным полем. Поэто-
му существование редуцированных лоренцевских структур является
неотъемлемой частью классической теории гравитации.
Всякое тетрадное поле h (как и псевдориманова метрика д)
определяет ассоциированный лоренцевскый атлас
*ft = {(0.,*? = {M)} О-32)
линейного реперного расслоения LX, такой что соответствующие
локальные сечения главного расслоения LX принимают зна-
чения в лоренцевском подрасслоении LhX и функции перехода
атласа Фл (1.32) между реперами {ha} являются L-значными. Ре-
перы (1.32)
{ha = h£(x)dr}9 K = H^ozl x£Ut, (1.33)
называются тетрадами. Конечно, лоренцевский атлас Фл задается
неоднозначно.

22
Глава 1. Геометрия
Пусть ФЛ — лоренцевский атлас и вьх (1-8) — каноническая
форма на LX. Тогда локальные сечения определяют локальные
индуцированные М4-значные формы
h = ha®ta= zTHx = hax(x)dxX ® ta, К(х) = Яд" о (1.34)
на X. Они называются тетрадными формами. Тетрадная форма
(1.34) определяет тетрадные кореперы
{ha = hl(x)dx^}, xeUl9 (1.35)
в кокасательном расслоении Т*Х. Они дуальны тетрадам (1.33).
Коэффициенты ha и Л£ тетрад (1.33) и тетрадных кореперов (1.35)
именуются тетрадными функциями. Они представляют собой функ-
ции перехода между голономным атласом Фт (1.7) и лоренцевским
атласом Фл (1.32) расслоения линейных реперов LX.
Относительно лоренцевского атласа Фл (1.32) тетрадное поле h
может быть представлено М4-значной тетрадной формой (1.34).
Соответствующая псевдориманова метрика g = £ о h в этом атласе
дается известным выражением
g = Tf(h ® h) = r}abha ® hb, g^v = ApJ^ifa*, (1.36)
где у — метрика Минковского в векторном пространстве R4, запи-
санная относительно его фиксированного базиса {ta}. Легко убе-
диться, что тетрадный корепер {ha} (1.35) и тетрада {ha} (1.33)
ортонормальны относительно псевдримановой метрики (1.36):
Поэтому их компоненты Л°, Ло и h%, hi, г = 1, 2,3, могут назы-
ваться времениподобными и пространственноподобными.
Связность на собственном лоренцевском подрасслоении LhX
линейного реперного расслоения LX именуется лоренцевской связ-
ностью. Согласно теореме П.9.7 эта связность продолжается до
связности Г на линейном реперном расслоении LX. Она тоже
называется лоренцевской. Ассоциированная мировая связность на
касательном расслоении ТХ относительно лоренцевского атласа
Фл дается выражением
Г = dxx ® (дх + ^Ах^Таь^^х'КдЛ, (1.37)

§3. Редуцированная лоренцевская структура 23
где
hbcd = VmK ~ Vaddb (1.38)
— генераторы правой алгебры Ли Qi собственной группы Лоренца
L в пространстве Минковского М4. Записанная в голономном ат-
ласе связность Г (1.37) имеет компоненты
ГА", = hkvdxhl + щХ^Ах0*. (1.39)
При заданной псевдоримановой метрике g всякая мировая
связность Г (1.11) допускает разложение
Р 1
на символы Крисшоффеля
{/ii/Л = ~-(дфа + даЯуц - дуд^а), (1.41)
тензор неметринности
Cfiva — Cpav — ^цЯуо. ~ ^\i9va ~г~ Г/ц/« ~Ь Г/iai/ (1 -42)
и тензор конторсии
где
Тру а — ~Тау\1 — 9vpTpa
— коэффициенты формы кручения (1.17) связности Г.
Мировая связность Г называется метрической связностью для
псевдоримановой метрики д, если д — ее интегральное сечение,
т. е. выполняется условие метричности
Ч\дар = дх 9аР - <ГгД - Д = 0. (1.44)
Метрическая связность имеет вид
Г/ii/a — {/ц/а} + ~^Ty\ia + + Тцуа). (1-45)
Симметричная метрическая связность
Г = dxX ® (дХ + {хРа}хадр), (1.46)

24
Глава 1. Геометрия
называется связностью Леей- Чивиты.
Согласно теореме П.9.8 метрическая связность Г для псевдо-
римановой метрики g — ( о h редуцируема к лоренцевской связ-
ности на собственном лоренцевском подрасслоении LhX, т. е. это
лоренцевская связность. Обратно, всякая лоренцевская связность
удовлетворяет условию метричности (1.44) для некоторой псевдо-
римановой метрики g (которая не обязательно единственна [109]).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.3.2. Лоренцевская связность является метрической,
и наоборот.
Хотя мировая связность Г в общем случае не является лоренцев-
ской, она определяет лоренцевскую связность на каждом лорен-
цевском подрасслоении LhX линейного реперного расслоения.
Так как группа Лоренца является картановской подгруппой
общей линейной группы GZ4, алгебра Ли группы GL4 представляет
собой прямую сумму
Ggu = Gl Ф пг
алгебры Ли группы Лоренца и подпространства т, такого что
[Gl, пг] С пг.
В этом случае применима теорема П.9.9. Поэтому запишем связ-
ность Г относительно лоренцевского атласа Фл линейного репер-
ного расслоения LX. Ее коэффициенты имеют вид
Гд6а = -h^dxK + Га^Л* hva.
Тогда их лоренцевская часть определяет коэффициенты
лоренцевской связности (1.37) на LhX, которая относительно ло-
ренцевского атласа Фл принимает форму

§ 4. Пространственно-временная структура 25
ГЛ - dxx ®(дх + \ {чк% - чк%) х
В голономном атласе она дается выражением
Г/, = dxx ®
5л +
(л*вА*£ + ^ (л* ^ - Л^л£) х
x(dxhPk-hlrx\))xadp
(1.47)
(1.48)
Если Г — лоренцевская связность (1.39), расширенная с LhX, тогда
гл = г.
§4. Пространственно-временная структура
Если структурная группа GL* (1.6) линейного реперного рас-
слоения LX редуцирована к собственной группе Лоренца L, она
всегда редуцируема к максимальной компактной подгруппе 50(3)
группы L согласно теореме П.9.4. В соответствии с этой же тео-
ремой структурная группа GZ4 расслоения LX также редуцируема
к своей максимальной компактной подгруппе 50(4). Таким обра-
зом, существует коммутативная диаграмма
GU —> 50(4)
(1.49)
* 50(3)
редукции структурных групп линейного реперного расслоения LX
в теории гравитации. Из нее получаем следующее.
• Согласно теореме П.9.1 существует взаимно однозначное со-
ответствие между главными редуцированными 50(4)-подрас-
слоениями L9*X линейного реперного расслоения LX и гло-
бальными сечениями фактор-расслоения
LX/S0(4) -> X.

26
Глава 1. Геометрия
Этими глобальными сечениями являются римановы метрики
gR на X. Таким образом, риманова метрика на мировом мно-
гообразии всегда существует.
• Как уже отмечалось, редукция структурной группы линейного
реперного расслоения LX к собственной группе Лоренца озна-
чает существование лоренцевского подрасслоения LhX С LX,
ассоциированного с тетрадным полем h или псевдоримановой
метрикой д = £ о h на X.
• Так как структурная группа L этого редуцированного лоренцев-
ского расслоения LhX, в свою очередь, редуцирована к группе
50(3), существует главное редуцированное 50(3) -подрасслоение
называемое пространственной структурой (spatial structure). Со-
ответствующим глобальным сечением фактор-расслоения
с типичным слоем М? является трехмерное пространственное
распределение Af С ТХ на X. Его аннигилятором служит од-
номерное кораспределение М* С Т*Х.
Если задана пространственная структура L§X (1.50), рассмот-
рим лоренцевский атлас Ф§ (1.32), определяемый локальными се-
чениями zt линейного реперного расслоения LX, принимающими
значения в редуцированном 50(3)-подрасслоении L%X. Его функ-
ции перехода являются 50(3)-значными. Таким образом, мы при-
ходим к следующему.
Лемма 1.4.1. В теории гравитации на мировом многообразии X
всегда можно выбрать атлас касательного расслоения ТХ и ас-
социированных расслоений с 80(Ъ)-значными функциями перехо-
да. Однако такой атлас, называемый пространственным, не обя-
зательно голономныи.
Если задан пространственный атлас Ф[}, его 50(3)-значные
функции перехода сохраняют времениподобную компоненту
1%Х С LhX С LX,
(1.50)
LhX/SO(3) -> X
h° = hxdxx
(1.51)

§ 4. Пространственно-временная структура 27
локальных тетрадных форм (1.34), которая, тем самым, является
глобально определенной. Будем называть ее времениподобной тет-
радной формой. Соответственно времениподобное векторное поле
Ло = Л£^ (1.52)
также глобально определено. В этом случае пространственное рас-
пределение Я генерируется компонентами Л,, г — 1,2,3, тетрад
(1.33), тогда как времениподобная тетрадная форма (1.51) является
его порождающей формой, т. е.
Н°\ЛГ = 0. (1.53)
Она генерирует кораспределение Af* — аннигилятор распределе-
ния Af.
Соответственно касательное расслоение ТХ над мировым мно-
гообразием X допускает пространственно-временное разложение
TX=Af®T°X, (1.54)
где Т°Х -> X — одномерное расслоение, генерируемое времени-
подобным векторным полем ho (1.52).
Поскольку диаграмма (1.49) коммутативна, редуцированное про-
странственное подрасслоение L%X (1.50) редуцированного лоренцев-
ского расслоения LhX является также редуцированным подрассло-
ением некоторого редуцированного 50(4)-расслоения L9 X, т.е.
LhX DL%X CLgRX. (1.55)
Пусть g = (о h и gR — соответствующие псевдориманова и рима-
нова метрики на X. Записанные относительно пространственного
атласа Ф*, они имеют вид
9 = Vabha ® hb, g^ = Л£Л^в*, (1.56)
9R = Vabh" ® hb, g*v = ft£ftfofft, (1.57)
где т)Е — евклидова метрика в М4. Пространственно-временное
Разложение (1.54) ортогонально относительно обеих метрик (1.56)
и (1.57).
Метрики (1.56) и (1.57) удовлетворяют известной теореме [19].

28
Глава 1. Геометрия
Теорема 1.4.2. Для всякой псевдоримановой метрики g на ми-
ровом многообразии X существуют нормализованная временипо-
добная 1 -форма Л° и риманова метрика gR, такие что
g = 2h°®h°-gR, g(h°)=gR(h0) = \. (1.58)
Обратно, пусть мировое многообразие X допускает неособую
(нигде не обращающуюся в нуль) I-форму а (или эквивалентно
неособое векторное поле). Тогда всякая риманова метрика gR на
X порождает псевдориманову метрику g (1.58), где
Следствие 1.4.3. Мировое многообразие X допускает псевдо-
риманову метрику тогда и только тогда, когда существует не-
особая 1 -форма (или неособое векторное поле) на X.
Пусть h° и hr0 — две разные времениподобные тетрадные
формы, отвечающие псведоримановой метрике д. Это М4-значные
формы, которые в каждой точке х Е X отличаются друг от друга
преобразованием Лоренца, а потому нигде друг другу не противо-
положны и тем самым гомотопны как отображения I в S3 CR4.
Вернемся к условию (1.55). Оно дает несколько больше.
Теорема 1.4.4. Существует взаимно однозначное соответствие
между главными редуцированными БО(Ъ)-подрасслоениями ли-
нейного реперного расслоения LX и триплетом (g, М, gR) псев-
доримановой метрики д, пространственного распределения М,
определяемого условием (1.53), и римановой метрики gR, удовле-
творяющих условию (1.58) [51].
Риманова метрика gR и пространственное распределение Af в
триплете (g,M,gR) в теореме 1.4.4 называются g-совместимыми,
а соответствующее пространственно-временное разложение (1.54) —
g-совместимой пространственно-временной структурой.
Мировое многообразие, наделенное псевдоримановой метри-
кой и совместимой с ней пространственно-временной структурой,
именуется пространством-временем.

§ 4. Пространственно-временная структура 29
Пространственно-временная структура называется интегриру-
емой если пространственное распределение N (1.53) инволютивно.
В этом случае согласно теореме П.3.3 его интегральные многооб-
разия образуют слоение Т мирового многообразия X, листами ко-
торого являются пространственноподобные гиперповерхности в X.
Такое слоение называется пространственным.
В силу теоремы П.3.1 пространственно-временная структура
является интегрируемой тогда и только тогда, когда времениподоб-
ная тетрадная форма h° (1.51) удовлетворяет условию
dh° A h° = О,
или эквивалентному условию
dh° = aAh°,
где а — некоторая 1-форма на X.
Времениподобное векторное поле ho (1.52) трансверсально
пространственному слоению Т.
Обсудим теперь условие причинности пространственно-вре-
менной структуры. Будем говорить, что пространственное слоение
Т является причинным, если не существует трансверсальной к Т ли-
нии, которая пересекала бы один и тот же его лист больше одного
раза. Заметим, что для проверки этого условия достаточно рассмот-
реть одну какую-либо трансверсаль, пересекающую данный лист.
Сформулированный критерий причинности эквивалентен условию
стабильной причинности Хокинга—Эллиса [19].
Теорема 1.4.5. Пространственное слоение Т причинно тогда и
только тогда, когда оно является слоением поверхностей уровня
некоторой вещественной гладкой функции f на X, дифференциал
которой df нигде не обращается в О, т. е. а = df в теореме 1.4.2.
Такое слоение является простым, т. е. имеет место расслоенное
многообразие / : X Ш над Ш, слоями которого служат листы
слоения Т. При этом значения функции / играют роль координаты
времени.
Однако причинная структура, описываемая теоремой 1.4.5,
не является самой простой. Предположим, что расслоенное мно-
гообразие X -> R в теореме 1.4.5 является расслоением. Согласно

30
Глава 1. Геометрия
теореме П. 1.3 оно тривиально, и потому мировое многообразие
представляет собой произведение X = Ш х М, т. е. является гло-
бально гиперболическим многообразием [19].
В частности, по теореме П. 1.2, если мировое многообразие
допускает причинное слоение, листы которого диффеоморфны не-
которому компактному многообразию или R3, то оно является гло-
бально гиперболическим.
Возможность существования псевдоримановой метрики и при-
чинной пространственно-временной структуры накладывает опре-
деленные условия на топологию мирового многообразия.
§ 5. Топология пространства-времени
Если дана псевдориманова метрика д, в триплете (g,h°,gR)
в теореме 1.4.2 ^-совместимая риманова метрика gR определяет
(/-совместимую функцию расстояния d(x, х1) на мировом много-
образии X. Такая функция превращает X в метрическое тополо-
гическое пространство, чья локально евклидова топология эквива-
лентна топологии многообразия на X. Для разных времениподоб-
ных тетрадных форм Л° и Л'°, соответствующие римановы метри-
ки gR и glR и функции расстояния различны. Это означает, что
физическим наблюдателям, ассоциируемым с различными тетрад-
ными кореперами, отличающимися друг от друга лоренцевскими
преобразованиями, мировое многообразие предстает как разные
метрические пространства. Известное в СТО изменение простран-
ственных и временных интервалов при переходе к движущейся
системе отсчета является тому примером. Вместе с тем отметим по-
пытки вывести топологию пространства-времени непосредственно
из его псевдоримановой и пространственно-временной структуры
(топология путей, топология Александрова и др.) [19, 53]. Если
пространство-время глобально гиперболическое, такие топологии
эквивалентны топологии многообразия, но в общем случае они
оказываются весьма экзотическими.
В отличие от римановой метрики, псевдориманова метрика су-
ществует на мировом многообразии X не всегда, поскольку струк-

§ 5. Топология пространства-времени
31
хурная группа GL4 касательного расслоения ТХ не обязательно
редуцируема к группе Лоренца.
Мировое многообразие X характеризуется следующими топо-
логическими величинами:
• первым классом Понтрягина Р\(Х) G Я4(Х, Z),
• классом Эйлера е(Х) Е ff4(X,Z) (предполагая, что ориента-
ция X фиксирована),
• классами Штифеля—Уитни Wi Е #*(Х, Z2), i = 1,2,
где ff8(X,Z), Н%(Х,Ъ-1) — группы симплициальных когомологий
X с коэффициентами в Z и Z2 [11].
Отметим сразу, что, поскольку мировое многообразие X явля-
ется ориентируемым, первый класс Штифеля—Уитни равен нулю.
Благодаря гомоморфизму групп симплициальных когомологий
Н*(Х,1) в группы когомологий Де Рама внешних дифференци-
альных форм на X, класс Понтрягина р\ и класс Эйлера е могут
быть представлены когомологическими классами соответствующих
характеристических форм, которые выражаются через напряжен-
ность и тем самым кривизну мировой связности на X:
Р\ = --^R^pRx^adx** A dxv A dxx A dx1', (1.59)
е = -^^eapepR^Rx^dx^ A dxv A dxx A dx7. (1.60)
Заметим, что в этих выражениях должна использоваться мировая
связность, ассоциированная со связностью на каком-либо редуци-
рованном главном подрасслоении линейного реперного расслоения
LX с ортогональной или псевдоортогональной структурной груп-
пой 50(4 - к, к). В частности, это всегда может быть риманова
метрическая связность, или лоренцевская связность, если таковая
существует на ТХ.
Если мировое многообразие X компактно, определены его
число Понтрягина и эйлерова характеристика
fpu X=fe.
Р\ =
x x

32
Глава 1. Геометрия
Теорема 1.5-1- Псевдориманова метрика существует на неком-
пактных многообразиях и компактных многообразиях с нулевой
эйлеровой характеристикой [43].
Накладываются также дополнительные условия на простран-
ственно-временное разложение (1.54). Обе его компоненты должны
быть ориентируемы.
Надо учесть и возможность существования на мировом мно-
гообразии X дираковской спинорной структуры. Забегая вперед,
отметим, что спинорные расслоения S на X со структурной груп-
пой SL(2, С) характеризуются классами Чженя а £ H2i(X, Z). Так
как структурная группа SL(2, С) всегда редуцируема к своей мак-
симальной компактной подгруппе SU(2), класс Чженя с\ непре-
менно нулевой. Кроме того, поскольку существует мономорфизм
групп GL4 -> GL(4, С), касательное расслоение можно считать ас-
социированным с комплексным расслоением S®S* со структурной
группой GL(4, С), так что выполняются условия р\ = — ci и w-i — 0.
Обобщая теорему 1.5.1, можно следующим образом суммиро-
вать топологические условия на мировое многообразие X4, чтобы
оно допускало псевдориманову метрику, ориентируемое простран-
ственно-временное разложение и дираковскую спинорную струк-
туру [50,115].
Теорема 1.5.2. Указанные выше структуры существуют на ми-
ровом многообразии X, если:
• его классы Штифеля—Уитни тривиальны,
• будучи некомпактным, оно параллелизуемо,
• будучи компактным, его эйлерова характеристика равна 0, а
число Понтрягина кратно 48.
Теория гравитации на компактных мировых многообразиях
сталкивается, однако, с той трудностью, что такое многообразие
не может быть расслоенным многообразием над R, поскольку об-
раз компактного пространства при непрерывном отображении в от-
делимое пространство компактен. Тем самым компактное мировое
многообразие не допускает причинного слоения в теореме 1.4.5, т. е.
на компактном мировом многообразии не выполняется принцип

§ 6. Сингулярности
33
стабильной причинности. Проблемы возникают и с более слабыми
принципами причинности (см. [19]).
Поэтому в силу теоремы 1.5.2 мировым многообразием, прием-
лемым для построения классической теории гравитации, является
некомпактное параллелизуемое многообразие.
В частности, любое глобально гиперболическое пространство
параллелизуемо. Это следует из того факта, что всякое ориентиру-
емое 3-мерное многообразие М параллелизуемо, и следовательно
произведение X = Rx М тоже параллелизуемо.
В этой связи напомним, что согласно недавно доказанной ги-
потезе Пуанкаре всякое ориентируемое односвязное компактное
3-мерное многообразие гомеоморфно сфере S3.
§6. Сингулярности
Может оказаться, что мировое многообразие X удовлетворяет
всем условиям существования псевдоримановой метрики и про-
странственно-временной структуры, а решение уравнений гравита-
ционного поля на нем является сингулярным. Даже регулярность
псевдоримановой метрики на X не гарантирует от гравитационных
сингулярностей. Более того, согласно теореме Хокинга—Пенроуза
(см. ниже) в большинстве физически разумных решений эйнштей-
новской ОТО присутствуют сингулярности. При этом имеются
сложности с установлением самого критерия гравитационных син-
гулярностей [5].
Казалось бы, гравитационные сингулярности естественно свя-
зывать с сингулярными значениями самого гравитационного поля —
метрики, тензора кривизны, скалярных комбинаций, образованных
из его компонент и их ковариантных производных. Однако от та-
кого критерия приходится отказаться.
Во-первых, даже регулярность всех гравитационных величин
не избавляет от таких ситуаций, как неполнота геодезических, на-
рушение причинности и др.
Во-вторых, остается вопрос, следует ли считать сингулярными
ге случаи, когда нескалярные гравитационные величины (например,
компоненты метрики) сингулярны, а все скалярные комбинации

34
Глава 1. Геометрия
из них регулярны. Обычно такие сингулярности принято рассмат-
ривать как фиктивные, которые можно убрать переходом к другой
системе отсчета. Однако такие переходы осуществляются посред-
ством сингулярных преобразований.
В-третьих, казалось бы гарантию наличия гравитационной син-
гулярности дает сингулярность какой-либо скалярной свертки из
компонент тензора кривизны. Но и в этом случае точку сингуляр-
ности можно вырезать и оставшееся пространство рассматривать
в качестве истинного пространства-времени. Оно все равно будет
сингулярным, но данный критерий этого не установит.
Приведем хорошо известный пример решения Шварцшильда.
Оно имеет особенность компонент метрики </оо и дгг на гравитаци-
онном радиусе г = гд, тогда как все скалярные величины остаются
регулярными. Такую сингулярность стоило бы рассматривать как
фиктивную, тем более что указанные особенности метрики устра-
няются переходом к системе отсчета свободно падающего наблюда-
теля (координаты Крускала). Истинной сингулярностью в решении
Шварцшильда—Крускала считается особенность г = 0, в которой
скаляр
(лагранжиан Янга—Миллса (2.11)) расходится как г-6. Хотя точ-
ку г = 0 можно исключить из пространства-времени, оставшееся
решение имеет особенности: все времениподобные геодезические
под гравитационным радиусом не полны при г -> 0, а также нару-
шается принцип причинности.
В настоящее время наиболее признанным считается критерий
гравитационных сингулярностей, основанный на понятии так на-
зываемой Ь-неполноты [19]. Суть его состоит в том, что кривые при
подходе к точке гравитационной сингулярности в сами эти точки
продолжены быть не могут, т. е. оказываются неполными. Геодези-
ческая считается неполной, если она не может быть продолжена
до любого конечного значения своего геодезического параметра.
Для времениподобных геодезических его роль выполняет реляти-
вистская длина кривой, или, что то же самое, собственное время
наблюдателя, движущегося по геодезической. Введением на произ-
вольных кривых некоторого обобщения геодезического параметра

§ 6. Сингулярности
35
понятие неполноты распространяется и на негеодезические кривые
(Ъ-неполнота (bundle non-completeness)).
Согласно критерию Ь-неполноты пространство-время счита-
ется сингулярным, если в нем существует хотя бы одна неполная
кривая. Чтобы описать такую сингулярность, сингулярные точки
удаляются, а вместо них специальной весьма сложной процеду-
рой Ь-пополнения в пространство добавляются точки, куда кри-
вые уже могут быть продолжены. Множество этих точек называ-
ется Ь-границей. Затем анализируется поведение гравитационных
величин (в специальном параллельно переносимом вдоль кривых
базисе) при подходе к Ь-границе. По поведению на Ь-границе да-
ется классификация сингулярностей [48]. Различают регулярные
(устранимые) сингулярности, сингулярности кривизны и квазире-
гулярные (продолжаемые) сингулярности.
В частности, отметим квазирегулярные сингулярности, когда
кривизна при приближении к точкам Ь-границы остается регуляр-
ной, но кривые тем не менее за нее продолжить нельзя; напри-
мер сингулярности типа конуса, когда все линии времени сходятся
в точку.
Вышеупомянутая теорема Хокинга—Пенроуза о сингулярностях
устанавливает, что, если метрический тензор энергии-импульса ма-
терии удовлетворяет сильному энергетическому условию (т. е.
Ь^и^ьУ ^ £д/2 для любого нормированного времениподобного век-
тора и, выполняется определенное условие причинности и наложе-
ны еще некоторые требования), то решение уравнений Эйнштейна
будет содержать сингулярность в смысле Ь-неполноты.
Критерий гравитационных сингулярностей по Ь-неполноте вы-
глядит неплохим с точки зрения одиночного наблюдателя, двигаю-
щегося по кривой в пространстве-времени. Однако он тоже не без-
упречен.
Во-первых, этот критерий не эффективен для обнаружения
сингулярностей, поскольку невозможно проверить полноту всех
кривых. На практике сингулярности ищут опять же по сингулярным
значениям гравитационных величин, а потом эти точки исследуют
на ^-неполноту. Кроме того, неконструктивно определение Ь-гра-
ницы, ее можно построить лишь в немногих случаях.

36
Глава 1. Геометрия
Во-вторых, согласно критерию Ь-неполноты сингулярные точки
должны исключаться из пространства-времени X, а для оставшего-
ся пространства Х_ строится Ь-пополнение. Однако восстановить
X по Х- далеко не всегда удается. Например, Ь-пополнение Х_
может не совпадать с X, даже если из X удалена регулярная точка.
В-третьих, конструкция критерия Ь-неполноты, например обоб-
щенный аффинный параметр или Ь-граница, зависит от связности
Г и не зависит от псевдоримановой метрики. При построении Ь-по-
полнения используется условие, что Г является лоренцевской связ-
ностью [19], но оно может быть осуществлено и для SL(4, Ж)-связ-
ности. Таким образом, Ь-критерий игнорирует псеццориманову струк-
туру пространства-времени.
В-четвертых, критерий Ь-неполноты не выявляет нарушения при-
чинности, например, наличие замкнутых времениподобных кривых.
В-пятых, по поведению одной или нескольких кривых мож-
но установить присутствие гравитационной сингулярности, но оно
мало что может сказать о структуре сингулярности, свойствах про-
странства-времени вблизи нее. Для этого надо рассматривать по-
ведение семейства кривых или гиперповерхностей в окрестности
сингулярной точки.
Роль такого семейства могут играть линии времени и листы
пространственного слоения пространства-времени [5,95,96]. Тео-
рема 1.4.4 позволяет это делать.
Обоснованно считать, что гравитационное поле д на X не име-
ет сингулярностей, если существуют совместимые полная риманова
метрика gR и причинное пространственное слоение порождаемое
времениподобной тетрадной формой Л°, такой что gR(V^ V^ft0)
ограничено на X. Это условие гарантирует, что, будучи полным от-
носительно gR, пространство-время {Х,д,Т) удовлетворяет усло-
вию Ь-полноты [28].
Тогда в соответствии с этим критерием можно выделить сле-
дующие типы гравитационных сингулярностей.
(1) Для гравитационного поля д не существует полной ^-совме-
стимой римановой метрики gR.
(2) Не существует ^-совместимое причинное пространственное
слоение Т.

§ 6. Сингулярности
37
(3) Гравитационное поле д не допускает регулярное простран-
ственное слоение Т.
Конечно, возможны комбинации сингулярностей всех трех типов.
Первый тип сингулярностей включает два варианта: (а) не су-
ществует (/-совместимой римановой структуры на X и (б) такая
структура существует, но она не полна. В варианте (а) наличие син-
гулярности означает, что топология, определяемая гравитационным
полем на многообразии X, не согласуется с топологией этого много-
образия. Поэтому целесообразно исключить точки таких сингуляр-
ностей. Остаток является регулярным римановым многообразием,
хотя в общем случае неполным. Таким образом, мы приходим к ва-
рианту (б). В этом варианте неполной является метрика
7*/? = h°®h°-g
на пространственноподобных листах пространственного слоения Т.
Сингулярности второго типа представляют собой нарушение
(стабильной) причинности. Нарушение причинности слоения Т
с неособой производящей 1-формой а характеризуется классом
Годбийона—Вея. Это когомологический класс 3-формы в Л dO, где
da = в Л а. Он не зависит от выбора производящей формы а сло-
ения Т [16]. Тривиальность класса Годбийона—Вея, однако, не га-
рантирует, что слоение Т — причинное. Поэтому рассматривают
также классы Рейнхарта, когда в Ф 0. Возможно также, что а —
замкнутая, но не точная форма, если мировое многообразие X —
неодносвязно.
Сингулярности третьего типа представляют собой сингулярные
пространственные распределения, сингулярные причинные слое-
ния и каустики слоений.
Сингулярное распределение возникает, когда его производя-
щая форма а где-то обращается в 0.
Теорема 1.6.1. Если гравитационное поле g допускает сингуляр-
ное пространственное распределение с производящей формой а,
такой что а(х) = 0 в некоторой точке х G X, тогда вся-
кое g-совместимое пространственное распределение будет син-
гУлярным, поскольку его производящая форма а* получается ло-
РеЩевскими поворотами а и, тем самым, (т'(х) = 0.

38
Глава 1. Геометрия
Если точка х Е X, где а(х) = О, изолирована, такую сингуляр-
ность можно характеризовать индексом векторного поля д**р(Тудцу
который одинаков для производящих форм а1 всех ^-совместимых
пространственных распределений. Если этот индекс равен нулю,
может оказаться, что сингулярность фиктивная и а = fa1, где а1 —
производящая форма регулярного слоения, а / — функция, рав-
ная нулю в точке х. Такая сингулярность будет истинной, если
Ь^яГ^у -> 0 в х.
Сингулярные причинные слоения определяются следующим
образом. Пусть Т — слоение многообразия X и пусть ф : X' -> X —
морфизм многообразий. Этот морфизм называется трансверсаль-
ным к слоению Т, когда
ТхХ = Тх?®\тТфх.
Если морфизм ф трансверсален к Т, тогда прообразы слоев слое-
ния Т образуют индуцированное слоение ф*Т многообразия X1. Если
морфизм ф не трансверсален, конструкция ф*Т все равно имеет
определенный геометрический смысл. Сингулярные слоения опреде-
ляются как замыкающие класс слоений при операции индуцирова-
ния. Сингулярными причинными слоениями являются так называемые
структуры Хефлигера.
Теорема 1.6.2. Сингулярное причинное слоение образовано по-
верхностями уровня гладкой вещественной функции f на X.
Сингулярности такого слоения отождествляются с критиче-
скими точками /, где df = 0. Поверхности уровня / меняют свою
топологию в критических точках.
Пусть / — многозначная вещественная функция на X. Листы
регулярного слоения Т ее поверхностей уровня, определенного в
области, где функция / однозначна, начинают пересекаться в точ-
ках ветвления /, образуя каустику. Чтобы описать сингулярности
такого типа, рассмотрим подмногообразие
м - (*л- *» - &)
кокасательного расслоения Т*Х к X, определенное над неособыми
точками функции /. Это лагранжево подмногообразие относитель-

§6. Сингулярности 39
но ка
ионической симплектической формы
О = dxx A dx\
на Т*Х, т.е., будучи ограниченной на это подмногообразие, сим-
плектическая форма О равна нулю [12]. Пусть М продолжается
над точками ветвления / до лагранжева подмногообразия М кока-
сательного расслоения Т*Х. Такое подмногообразие локально опи-
сывается порождающей функцией S(x\Pj) четырех переменных
(х\ Pj : i G /, j G J), где (7, J) — некоторое разбиение множества
(1,..., 4). Оно задается уравнениями
i OS п OS
xJ = , Pi = —
dPj9 1 дх*'
Каноническая проекция Т*Х -> X, ограниченная на М, опреде-
ляет лагранжев морфизм
/ ISO \
7:Л4Э(*\Л)-> [х\х^ = -—) еХ. (1.61)
На областях, где функция / является неособой, можно выбрать
i=4 и 5 =
Морфизм 7 (1.61) порождает индуцированное слоение^ "fT
подмногообразия М, которое может быть продолжено на М. Его
каустика определяется как множество критических точек морфиз-
ма 7, где детерминант матрицы d2S/dP{dPj равен нулю [95,96].
Сингулярности типа каустик имеют следующую особенность.
Существуют области пространства-времени, где не ближайшие,
а весьма удаленные листы пространственного слоения начинают
пересекаться. Поэтому пространственное слоение может быть ло-
кально продолжено через точки каустики, тогда как глобальное
продолжение невозможно.

Глава 2
Гравитация
Как уже отмечалось, теория гравитации, формулируемая в тер-
минах натуральных расслоений, является аффинно-метрической
теорией гравитации [6,26,59]. Приведем здесь ее основные поло-
жения, не касаясь конкретных моделей, лагранжианов и решений,
поскольку ограниченность экспериментальных данных не позволя-
ет отселектировать те или иные гравитационные модели и надежно
установить их истинность, в сравнении со многими другими.
§ 1. Аффинно-метрическая гравитация
Пусть X — мировое многообразие. Рассмотрим теорию грави-
тации на X сначала в отсутствие других полей. Ее динамическими
переменными являются псевдориманова метрика д и мировая связ-
ность Г.
Впрочем, возможен и другой выбор динамических перемен-
ных. Учитывая разложение (1.40), в качестве динамических пере-
менных теории гравитации можно принять псевдориманову метри-
ку д, кручение Т (1.17) и тензор неметричности С (1.42). Однако
в этом случае лагранжиан аффинно-метрической теории общего
вида, выражаемый через компоненты кривизны (1.13), является
лагранжианом второго порядка по д, который приводит к уравне-
ниям Эйлера—Лагранжа четвертого порядка.
Отметим, что аффинно-метрическая теория гравитации обыч-
но рассматривается в варианте, когда мировая связность изначально
предполагается метрической. В этом случае динамическими пере-
менными можно выбрать или псевдориманову метрику и кручение,
или псевдориманову метрику и связность, введя соотношение мет-
ричности (1.44) в качестве условия связи.

§ 1. Аффинно-метрическая гравитация
41
Мы рассмотрим аффинно-метрическую теорию гравитации в
случае общей мировой связности. Это можно сделать даже в присут-
ствии дираковских спинорных полей, переходя в операторе Дирака
к связности (1.48).
Псевдориманова метрика описывается сечениями открытого
подрасслоения тензорного расслоения (1.30), наделенного рассло-
енными координатами (xx,a^v). Мировые связности представля-
ются сечениями расслоения связностей С\у (1.20) с координатами
(хх, k\a) (1.21). Поэтому рассмотрим произведение расслоений
Y = SPRxCw (2.1)
х
с расслоенными координатами (хх, a**", к^р).
Ограничимся лагранжевой теорией первого порядка. В этом
случае конфигурационным пространством аффинно-метрической
теории служит многообразие струй
JlY = J'EprX j'Cw (2.2)
х
с координатами (хх, , k^p, of, kXliap).
Лагранжиан аффинно-метрической теории гравитации опре-
деляется как плотность
£ам = Сш(хх, а^, к^ар, of, kXfiap)u, ш — dxl Л • • • Л dx\ (2.3)
на конфигурационном пространстве JlY (2.2) [6,51,103]. Соответ-
ствующий оператор Эйлера—Лагранжа (2.18) на J2Y дается выра-
жением
£ам = (Sapd*** + e^dkfp) А ш, (2.4)
л
где dx ~ полные производные (П.35) на JlY:
d\ = а, + g/Ф д , . а 9 д а д

42
Глава 2. Гравитация
Уравнения Эйлера—Лафанжа (2.19) имеют вид
Sap = 0, = 0. (2.5)
Лагранжиан £дм (2.3) аффинно-метрической теории грави-
тации предполагается инвариантным относительно общековари-
антных преобразований. Заметим, что некоторые авторы рассмат-
ривают также полную группу автоморфизмов главного реперного
расслоения LX над диффеоморфизмами базы X [59]. Проблема
состоит в том, что лагранжиан ОТО и большинство лагранжианов
аффинно-метрической теории гравитации не инвариантны относи-
тельно неголономных реперных преобразований. Чтобы преодолеть
эту трудность, в качестве динамических переменных рассматривают
реперные поля — сечения расслоения LX. Однако такое сечение
глобально, только если X — параллелизуемое многообразие.
Расслоение Y (2.1) является натуральным. Оно допускает функ-
ториальное поднятие
rsc = гЧ + (Лг« + оГд.ч')-^ +
р
векторных полей г (1.1) на X. Это инфинитезимальное общекова-
риантное преобразование, которое также представляет собой ин-
финитезимальное калибровочное преобразование, функциями па-
раметров которого являются компоненты тх(х) векторного поля т.
Пусть JlTzc — струйное продолжение (П. 37) векторного по-
ля Tzc (2.6) на конфигурационное пространство JlY (2.2). Условие
инвариантности лагранжиана Lam (2.3) аффинно-метрической тео-
рии относительно общековариантных преобразований выражается
в том, что его производная Ли вдоль Зхт^с для любого векторного
поля г равна нулю, т. е.
А/1 гестам = 0. (2.7)
Поскольку калибровочные параметры тх произвольны, равенство
(2.7) распадается на систему равенств по порядку производных
функций параметров. Мы выпишем такую систему (2.49)-(2.52)

§ 1. Аффинно-метрическая гравитация
43
зже в некотором специальном случае. Эта система равенств мо-
ет рассматриваться как уравнения на лагранжиан LAM (2.3). В част-
ности получаем (см. равенство (2.52)), что лагранжиан LAm явно
не зависит от координат хх. Следствием указанной системы ра-
венств являются также закон сохранения энергии-импульса, кото-
рый сводится к суперпотенциалу (§2), и тождества Нётер (2.36):
- Va - - *а + = 0, (2.8)
которым удовлетворяют уравнения Эйлера—Лагранжа (2.5).
Как и в калибровочной теории Янга—Миллса, конфигураци-
онное пространство связностей J!Cw допускает каноническое раз-
ложение (1.23).
Теорема 2.1.1. Если лагранжиан аффинно-метрической теории
гравитации Lam на конфигурационном пространстве (2.2) не за-
висит от производных метрики , его зависимость от произ-
водных связности к\цар факторизуется через компоненты кри-
визны %\ра$ (1.23).
Эта теорема аналогична теореме 2.4.1 в теории Янга—Миллса.
Однако, в отличие от теории Янга—Миллса (теорема Утиямы), воз-
можны различные свертки тензора кривизны. В частности, опре-
делены тензор Риччи и скалярная кривизна
— 7£д/а\> И = с*1 (2-9)
Кроме этого, лагранжиан Lam может также зависеть от компонент
кручения
</a = */a-*aV (2Л0)
В аффинно-метрической теории рассматриваются квадратичные, поли-
номиальные и даже неполиномиальные по %\^ар лагранжианы.
Лагранжиан Янга—Миллса (2.67) в аффинно-метрической тео-
рии гравитации дается сверткой
а^^П^рП^а. (2.11)
инвариантен относительно произвольных реперных преобразо-

44
Глава 2. Гравитация
Рассмотрим теперь аффинно-метрическую теорию гравитации
в присутствии других полей, представляемых сечениями некоторого
(не натурального) расслоения Е —> X с расслоенными координа-
тами (хх, фг). Назовем их условно полями материи, в отличие от ма«
териальных полей — сечений только векторных расслоений. К по-
лям материи мы будем относить, например, электромагнитное и ка-
либровочные поля. Рассмотрим произведение расслоений
Y = Spr х Cw х Е (2.12)
с расслоенными координатами (хх, a^v, к^ар, ф%). Полным конфи-
гурационным пространством теории является многообразие струй
JlY = j'Spr х j!CW х JlE. (2.13)
xx
Полный лагранжиан теории является суммой
Ltoi = Lam + Lm (2.14)
лагранжиана аффинно-метрической теории Lam (2.3), индуциро-
ванного на JlY, и лагранжиана Lm полей материи. Мы ограни-
чимся вариантом, когда лагранжиан Lm полей материи зависит
от компонент ааР псевдоримановой метрики и связности кцр\,
но не их производных. Хотя это не случай, например, скалярного
поля с конформной связью Иф2. В указанном варианте уравнения
Эйлера—Лагранжа (2.5) дополняются материальными источника-
ми аффинно-метрического гравитационного поля
£ар + ^рСт = 0, (2.15)
&аР + 1£а-Ст = 0- (2.16)
В уравнении (2.15) таковым является метрический тензор энергии-
импульса полей материи.
Однако возникает проблема, что общековариантные преобра-
зования не входят в число симметрии лагранжиана полей мате-
рии Lm, поскольку расслоение Е —> X не натуральное и его группа
автоморфизмов не включает такие преобразования. Следовательно
нельзя говорить и об общековариантных преобразованиях полного

§ 2. Закон сохранения энергии-импульса
45
агранжиана (2.14). Обратимся к решению этой проблемы в следу-
ющем параграфе.
§2. Закон сохранения энергии-импульса
Рассмотрим общий случай лагранжевой теории первого порядка
на расслоении Y -> X с расслоенными координатами (хА, у1) [51,103].
Ее конфигурационным пространством является многообразие струй
первого порядка JlY с координатами (хА, у\ у\), на котором задан
лагранжиан
L = Cw:JlY^AT*X. (2.17)
Соответствующий оператор Эйлера—Лагранжа дается выражением
£L:J2Y^T*YA(AT*X),
£l = £idyl Л и) = (д{С - <W)<V Л w, irx = dxC,
где d\ — операторы полной производной (П.35) на JlY:
d\ = дх + y\di + ylXfid?.
Ядро оператора Эйлера—Лагранжа определяет уравнения Эйлера—
Лагранжа
(di-dx$)C = 0. (2.19)
Пусть
и = их(хГ)дх + «'(я/1, (2.20)
— проектируемое векторное поле на расслоении Y -> X. Опреде-
лено его каноническое разложение
u = uH + uv = (ихдх + у{дх) + (и% - у{д?) (2.21)
на вертикальную и горизонтальную составляющие над JlY. Пусть
J и —- струйное продолжение (П.37) этого векторного поля на кон-
фигурационное пространство JlY. Рассмотрим производную Ли
£j1uL лагранжиана L (2.17) вдоль Jlu. Согласно так называемой
пеРвой вариационной формуле [51,103] она принимает вид
£JluL = uv\£L - dxx Л dxJx, (2.22)

46
Глава 2. гравитация
dxuxc + [uxdx + u'di + (dxij - yfau^at] с =
= (u{ - у\их)£( - dx[*t(u% - u{) - uxc], (2.23)
где
ju = ~ «*) - uxc]wx, u)x = dx\w, (2.24)
— ток симметрии вдоль векторного поля и.
Векторное поле и (2.20) называется инфинитезимальной сим-
метрией лагранжиана l, если производная Ли (2.22) равна нулю.
В этом случае имеет место закон сохранения
0 « -dx[*$(u% - и*) - ихс] (2.25)
тока симметрии ju (2.24) на уравнениях Эйлера—Лагранжа (2.19),
Заметим, что ток симметрии ju (2.24) линеен по векторному
полю и. Поэтому можно определить суперпозицию токов симмет-
рии
зи Н~ зи* = зи-\-и'> зси = сзич с £ -^5
вдоль разных векторных полей г* и г*7, а также суперпозицию их
законов сохранения (2.25).
В частности, пусть и = и1д{ — вертикальное векторное поле
на расслоении y —> x. Если и — инфинитезимальная симметрия
лагранжиана l, закон сохранения (2.25) принимает вид
0 « -dA(-7r»V). (2.26)
Он называется нётеровским законом сохранения нётеровского тока
симметрии (Noether current)
jx = -тг-V. (2.27)
Если на расслоении y —> x задана связность Г (П.43), всякое
векторное поле г на x поднимается до проектируемого векторного
поля Гт (П.45) на y. Соответствующий ток симметрии (2.24) имеет вид
jrr = r»Jr\ = л*?<А - Ф - (2-28)
Его коэффициенты зтхц являются компонентами тензорного поля
зг = jr\daf ® «л, 3v\ = 7rfA(^ - I*) - $С, (2.29)
именуемого тензором энергии-импульса относительно связности Г

§ 2. Закон сохранения энергии-импульса 4/
Например, пусть расслоение Y -¥ X допускает плоскую связ-
ность Г. Согласно теореме П.6.3 существуют расслоенные коорди-
наты на Y, такие что Г\ = 0. Тогда соответствующий тензор энер-
гии-импульса (2.29) сводится к привычному каноническому тензору
Zepeuu-тпульса д.
Jo ц =ЩУц — OpL>.
В самом общей формулировке рассмотрим 1R-линейный мор-
физм векторных пространств
7 : Т(Х) -> Т(Г),
который отображает векторное поле г на X в проектируемое век-
торное поле
7т = тхдх + (уг)% (2.30)
на Y. Будем называть соответствующий ток симметрии
Jyr = «Нт% ~ Ы) - тхС (2.31)
вдоль векторного поля 7т (2.30) током энергии-импульса. Если век-
торное поле 7т (2.30) является инфинитезимальной симметрией
лагранжиана L, мы получаем закон сохранения энергии-импульса
0 и -dx [ж?(т% ~ Ы) - ЗУС]. (2.32)
Пусть 7т и 7V — различные поднятия (2.30). Тогда их разница
(7 - *у')т = 7г - 7V (2.33)
оказывается вертикальным векторным полем на расслоении Y -» X.
Очевидно, что, если 7т и 7V — инфинитезимальные симметрии
лагранжиана X, вертикальное векторное поле (2.33) тоже явля-
ется таковым. Соответственно сохраняющиеся токи энергии-им-
пульса J1T и t7yr (2.31) отличаются друг от друга сохраняющимся
нётеровским током
J(A7_r)r = JXT - J}T = - (<у'тУ\. (2.34)
Заметим, что, будучи инфинитезимальной симметрией при лю-
бом векторном поле г на X, поднятие (2.30) представляет собой
Калибровочную симметрию лагранжиана L, функцией параметров
к°торой является векторное поле т. Такого рода лагранжева сим-
метрия имеет две особенности [51,103].

48
Глава 2. Гравитация
1. Она приводит к тождествам Нётер, которым удовлетворяю^
вариационные производные 8{С = £( (2.18) лагранжиана l
Например, пусть векторное поле и на расслоении Y, верти,
кальная часть которого (2.21)
uv = (<Ха + + <*Х1№ (2.35)
зависит от функций параметров \а и их производных пер.
вого и второго порядка, является калибровочной симметрии
ей лагранжиана L. Тогда соответствующие тождества Нётер
(Noether identities) имеют вид
и\Е{ - d^Si) + dPfi(uiv%) = 0. (2.36)
2. Ток энергии-импульса вдоль такой симметрии сводится к су-
перпотенциалу, т. е. принимает вид
JxTux = (Wx + dvUvX)ux, (2.37)
где первое слагаемое W выражается через вариационные про-
изводные £{ (2.18) лагранжиана L и тем самым обращается
в нуль на уравнениях Эйлера—Лагранжа, а второе слагаемое
U = иуРь)Ур, называемое суперпотенциалом (superpotential), яв-
ляется горизонтальной 2-формой, т. е. Uvfi = —U^. Например,
если калибровочная симметрия
и = (ихаХа + их/х№х + (<Ха + «ЗДй (2.38
лагранжиана L зависит от функций параметров ха и их первые
производных, тогда разложение (2.37) имеет вид
Л = (С - У>ХЛХ% + dv [(и? - y{u^)xS] + Л°4
(2.39
Хотя, конечно, суперпотенциал U (2.37) определен не одно
значно, а с точностью до слагаемого daVai/^, где УауР — ан
тисимметричное по всем индексам тензорное поле.
Примерами поднятия 7т (2.30) служат и горизонтальное поД
нятие векторного поля посредством связности, и функториально
поднятие в случае натурального расслоения Y. Поэтому вернем^

§ 2. Закон сохранения энергии-импульса
49
случаю аффинно-метрической гравитации в присутствии полей
материи в конце предыдущего параграфа.
Предположим, что существует поднятие 7т (2.30) на расслое-
ние Y (2.12) векторных полей г на X, которое проектируется на их
функториальное поднятие т^с (2.6) на расслоении (2.1), т.е.
7r = ^ес + (TfTfdi. (2.40)
Такое поднятие является инфинитезимальной симметрией лагран-
жиана аффинно-метрической теории Lam- Предположим, что оно
оказывается инфинитезимальной симметрией и лагранжиана Lm
полей материи. Тогда jt (2.40) представляет собой инфинитези-
мальную симметрию полного лагранжиана (2.14).
В частности, ей соответствует сохраняющийся ток энергии-
импульса J1T (2.31). Он является суммой
— Jam + Jm (2.41)
двух токов энергии-импульса: тока энергии-импульса Jam вдоль
векторного поля гес, действующего на лагранжиан аффинно-мет-
рической теории Lam >и тока энергии-импульса Jm вдоль векторно-
го поля 7т (2.40), действующего на лагранжиан полей материи Lm.
Поскольку лагранжианы Lam и Lra раздельно инвариантны, мы
имеем систему равенств
£jlTxcLAM =(^EcVJ^am-^AArfAi7AM = 05 (2.42)
£чт1т =jTV\£loi-dxxAdxJ* = 0. (2.43)
Сумма этих равенств ведет к закону сохранения полного тока энер-
гии-импульса J1T на уравнениях Эйлера—Лагранжа (2.15), (2.16)
полной системы аффинно-метрической гравитации и полей мате-
рии. Равенство (2.42) дает закон сохранения тока энергии-импуль-
са Jam в аффинно-метрической теории гравитации без материи.
Равенство (2.43) представляет собой уравнение на ток энергии-
импульса полей материи Jm во внешнем аффинно-метрическом
навигационном поле.
^последствии мы рассмотрим в качестве полей материи ка-
1ибровочные поля (§4) и дираковское спинорное поле (глава 3),

50
Глава 2. Гравитация
а сейчас обратимся к закону сохранения энергии-импульса аффин.
но-метрической гравитации (2.42).
Ввиду теоремы 2.1.1 предположим, что лагранжиан аффинно.
метрической теории гравитации Z/дм не зависит от производных
ад
метрики <7д и факторизуется через компоненты кривизны Тйд^
(1.23). Тогда выполняются соотношения:
(2.44)
xv р _ _ vx р xv р _ иС-Ш
* а - * а , * а "
|^ = *V*A " *V*aV (2.45)
okv р
Введем компактные обозначения
У = р, up ру = дцдрду, up ру = рд1 - удр - я7 рдц.
Тогда векторное поле (2.6) принимает вид
гЕС = тхдх + (<т"Чта + <rav д„тр)да13 + {иА%та + иАра%,та)дА.
Также справедливы равенства
Пусть лагранжиан LAm инвариантен относительно общекова-
риантных преобразований, т. е. выполняется равенство (2.42). Тогда
первая вариационная формула (2.23) имеет вид
0 = (<т"Чта + <уаРдУ - rxaf )5арСш +
+ {чА%та + иА^др,та - тхуА)6А£ш -
- dx [пХА(у£та - чА%та - uaefdepra) - тхСш]. (2.46)
Она приводит к закону сохранения
0 и -dx [Л(уАта - иА%та - uA£J>d£pta) - тхСш] (2.47)
тока энергии-импульса аффинно-метрической гравитации вдоль ий-
финитезимальных общековариантных преобразований
<7ама - *а(уАта - иА%та - uAeJ>d£pta) - тхСш. (2.48
Ввиду произвольности калибровочных параметров тА перва*
вариационная формула (2.46) распадается на систему равенств
*(Ау> = 0, (2.49

§ 2. Закон сохранения энергии-импульса
51
(иЛ?9л + «Л#Клм = 0, (2 50)
#Сам + ^а^лм + «^£ам + <*„(*V£) - у24 = О, (2.51)
0ajCam = °- (2.52)
При этом равенства (2.49) и (2.50) выполняются в силу соотноше-
ний (2.44) и (2.45).
Подстановка jfijuj из выражения (2.51) в закон сохранения
(2.47) приводит его к виду
0 « -dx[2ax"tadailCAM + илхтадАСш - ж\чА%та +
+ V* + *МиА*у - d,(**eVе)] • (2.53)
После выделения вариационных производных дСш закон сохра-
нения энергии-импульса (2.53) аффинно-метрической гравитации
принимает форму
+ tVCbud.t* - d,(d» ах Сш)та + d, {*»xav{dvta - *,V))1,
5 где ток энергии-импульса Jm сводится к обобщенному суперпо-
тенциалу Комара
(2.54)
Его можно записать в виде
дП
де D
* — ковариантная производная относительно связности
* - кручение (2.10).
Отметим, что в теории гравитации фигурируют различные су-
теРпотенциалы энергии-импульса фавитационного поля. Супер-
10Тенциал (2.54) характеризует ток энергии-импульса вдоль инфи-
итезимальных общековариантных преобразований.

52
Глава 2. Гравитация
§ 3. Общая теория относительности
В эйнштейновской ОТО гравитационное поле отождествляет^
с псевдоримановой метрикой, и мировая связность сводится к связ,
ности Леви-Чивиты (1.46). Лагранжиан Гильберта—Эйнштейна ОТо
сводится к скалярной кривизне (2.9) этой связности
Lhe = ^Kyfcu = (t^Kx^pV^u, <т = |det (аар)\9 (2.55)
к\цар = dxi^p} - dp{xap} + {a7/?H/t} - Wp}{xa^},
Хотя это лагранжиан второго порядка, но он ведет к уравнениям
Эйлера—Лагранжа, именуемым уравнениями Эйнштейна, не четвер-
того, а второго порядка
1
zap — кар - -сарк = 0. (2.56)
Лагранжиан (2.55) инвариантен относительно инфинитезималь-
ных общековариантных преобразований (1.31). Соответствующие
тождества Нётер (2.8) имеют знакомый вид
(<*, + {/а})$ = 0,
Заметим, что лафанжиан Гильберта—Эйнштейна (2.55) отлича
ется на вариационно тривиальный лафанжиан dxfxw от лафанжиа
на первого порядка £'НЕ, который приводит к тем же самым уравне
ния Эйнштейна (2.56). Однако этот лафанжиан £'НЕ относительна
инфинитезимальных калибровочных преобразований не инвариан
тен, а вариационно инвариантен, т. е. его производная Ли равна
А/'г^не = dxsxu> ф 0.
В присутствии полей материи с лафанжианом Ст уравнен и1
Эйнштейна (2.56) дополняются материальным источником
1 О
кар - -<тарк + 1г^ф£т = 0, (2.57
каковым служит метрический тензор энергии-импульса материи.

§ 3. Общая теория относительности
53
Воспроизведем теперь ОТО в рамках аффинно-метрической
теории гравитации.
Выберем в качестве ее лагранжиана ХАМ лагранжиан Гильберта-
Эйнштейна,
L = Kyfrv = А^уй», (2.58)
ЯдЛ = <*а*Д - d„kxtt0 + кх^к„% - *//**дв7,
где Я - скалярная кривизна мировой связности. В отсутствие полей
материи соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид
Sap = Кар ~ -^TapTl = 0, ^ ^
+ (*-*Л - *»«йЛ - v.+= о. (2.60)
Уравнение (2.59) является аналогом уравнений Эйнштейна (2 56)
Второе является уравнением на мировую связность. Оно приводит-
си к виду
V^r^fV = сае>1 - \а^саХ1 - ^с +
+ с//а7 + + <T/ieta'r7 -f <TaetJ ц = 0, (2.61)
где
~ кручение (2.10) и
(i*72™Zb {ш'формулу (1-42))-Подставляя в «™е
случаем равенство
_ _ _ 1
/л (^a/ie Н~ С/лас) 0 (P"fie^pа ^aefy
/*<га - 5ae/i + a^e{sa11 - sja) - (Taeis^i ~ sjц) = 0. (2.62)

54
Глава 2. Гравитация
Симметричная по индексам а, ц часть этого равенства сводит^
к условию
^a/ic Н~ С [лае = О,
которое вместе с условием с^д = c^av дает, что неметричност^
Cpva — 0. Тогда антисимметричная по индексам а, // часть равеь^
ства (2.62) принимает вид
Сворачивая его с аеа, находим, что
(sa^<y — а) = 0, Зцеа. ^ae/i = 0,
и, окончательно, что конторсия s^€a и кручение равны нулю.
Таким образом, в качестве решения уравнения (2.60) получаем
(2.63)
т. е. мировая связность сводится к связности Леви-Чивиты. Под
ставляя это равенство в уравнение (2.59), мы в точности воспроиз
водим уравнения Эйнштейна (2.56) ОТО.
Такой же результат получается при наличии полей материи, л а
гранжиан которых Lm не зависит от связности к^а. В этом случае
уравнение (2.59) пополняется метрическим тензором энергии-им
пульса полей материи, а уравнение (2.60) не меняется и приводит
к равенству (2.63) и уравнениям Эйнштейна (2.57).
Более того, лагранжиан (2.58) инвариантен относительно ин
финитезимальных общековариантных преобразований (2.6), что ве
дет к закону сохранения тока энергии-импульса, который сводите*
к обобщенному потенциалу Комара (2.54). Подставляя в него ре
шение (2.63), получаем известный суперпотенциал Комара.
§ 4. Электромагнитное и калибровочные поля
Пока есть всего два вида наблюдаемых полей материи. Это ка
либровочные (включая электромагнитное) и дираковские спинор
ные поля.

§ 4. Электромагнитное и калибровочные поля 55
Лагранжиан калибровочных полей не зависит от связности.
„ плно время активно обсуждалась гипотеза, что напряжен-
Правда, w J
тр электромагнитного поля Аи в присутствии общей ли-
ность гр> г
нейной связности Г принимает вид
Fpr+TfyAa, (2.64)
где Т av ~~~ КРУ46™6' хотя это и ведет к нарушению инвариантности
лагранжиана электромагнитного поля относительно калибровочных
фазовых преобразований. Однако геометрическое описание калиб-
ровочных и электромагнитного полей как связностей на главных
расслоениях доказывает невозможность выражения (2.64). Остано-
вимся на этом вопросе.
Пусть Р —> X — главное расслоение со структурной группой
Ли G и С — JXP/G (П.90) — расслоение связностей с расслоенными
координатами (хх,а™). Пусть А — некоторое сечение расслоения
С -> X и Гд1^ = Г^д — симметричная линейная связность на ка-
сательном расслоении ТХ. Тогда на С —> X определена связность
Гса/. = \ М+^аЧХ^+^К^+^а)] -rA%(«£-iC),
где dpq — структурные константы алгебры Ли группы G [79]. При
этом напряженность Т (П.96) дается выражением
не содержащим компонент мировой связности Гд"^, которая для
определения связности на расслоении С -> X обязательно должна
быть симметричной. Поэтому лагранжиан калибровочных полей
(2.67) тоже не зависит от мировой связности.
Рассмотрим теорию Янга—Миллса калибровочных полей в при-
сутствии внешней псевдоримановой метрики д и соответствующий
закон сохранения (вернее, изменения) энергии-импульса [51].
Ее конфигурационным пространством является уже упоминав-
многообразие струй первого порядка 3х С расслоения связ-
ностей С (Л QCi\ ТТЛ а г
v^-^u;. Потребуем, чтобы лагранжиан
L = Cw:J1C^Xt*X (2.65)

56
Глава 2. Гравитация
на этом конфигурационном пространстве имел своими калибро.
вочными симметриями вертикальные векторные поля щ (П. 101):
щ = Шг + (2.66)
на С, которые являются инфинитезимальными генераторами вер.
тикальных калибровочных преобразований С с функциями пара^
метров £г.
Теорема 2.4.1. Лагранжиан L (2.65) допускает калибровочную
симметрию щ (2.66), только если он факторизуется через на*
пряженность Т (Я. 96).
Следствием этой теоремы служит известная теорема Утиямы
[27,79], что единственным таким квадратичным лагранжианом яв-
ляется лагранжиан Янга—Миллса
LYM = \a%9X*9pvF%FlvV9 w, 9 = |det (^)l, (2.67)
где aG — G-инвариантная билинейная форма на правой алгебре
Ли Qr группы G и g — псевдориманова метрика на X. Соответ
ствующие уравнения Эйлера—Лагранжа, уравнения Янга—Миллса
имеют вид
# = (^4 + c?/A)(anc}A%V® = 0. (2.68'
Поскольку щ (2.66) — калибровочная симметрия лагранжиана
Янга—Миллса (2.67), первая вариационная формула (2.23) приво
дит к закону сохранения
нётеровского тока симметрии
Он сводится к суперпотенциалу
Чтобы исследовать закон сохранения энергии-импульса, rtf
строим поднятие ут (2.30) на С векторных полей г на X. Д-а

ггАлптпнм его инфинитезималькые калибровочные преоб-
этого paccMUJ^
разования (П. 100), проектируемые на т. Они имеют вид
щ = гЧ + (д4г + ^qaHq - а:д»т")д?. (2.70)
век-
Пусть А — некоторое сечение расслоения С -» X. Семейство
торных полей (2.70) содержит векторные поля
ТА = тЧ + (д^А1) + 4д4(т"А1) - ald^tf (2.71)
с функциями параметров £r = tvArv [51]. Они и определяют иско-
мое поднятие jt (2.30).
Рассмотрим закон сохранения (2.43) тока энергии-импульса
калибровочных полей вдоль векторных полей г а (2.71).
Поскольку лагранжиан Янга—Миллса (2.67) зависит от фоно-
вой псевдоримановой метрики д, поля тд (2.71) не являются его
симметриями. Поэтому рассмотрим лагранжиан Янга—Миллса
£ym = ^a%a»o*J$^VJu> (2.72)
на полном конфигурационном пространстве J^CxEpr) с рас-
х
слоенными координатами (хх, a™, а^). Векторные поля гд (2.71)
продолжаются до поднятия
та = тхдх + (д^т") + crpqalAqvrv - aryd^)df +
+ {dvraavp + dvTPava)daP (2.73)
на произведение С х EPR векторных полей т на X.
Легко убедиться, что векторные поля тд (2.73) являются сим-
метрией полного лагранжиана (2.72). Тогда на уравнениях Янга—
Миллса (2.68) выполняется закон преобразования
0 и {dvragvP + д,г*sT ~ д,даРтх)дарС - dxJxA
тока энергии-импульса
За = д^Счм [тЧ, - d^jCO - с>^т" + ^ V] - гА£™
(2.74)
ВДоль векторного поля (2.71). Ему можно придать форму
0 * Wtl^g - r"{/A}^V? - dx3l (2.75)

58
Глава 2. Гравитация
где {//д} — символы Кристоффеля (1.46) псевдоримановой мет.
рики д и
— метрический тензор энергии-импульса материи. В частности
пусть связность А является решением уравнений Янга—Миллса
(2.68). Тогда ток энергии-импульса (2.74) на этом решении име*
ет вид
Ja° А = t"(*J о А)у/д, (2.76)
а равенство (2.75) принимает форму ковариантного закона сохра-
нения
VA((«Jo^)^) = 0,
где Уд — ковариантная производная относительно связности Леви-
Чивиты {^\} фоновой метрики д.
Заметим, что беря другое поднятие у'т на С векторных полей т
на X, мы получим ток энергии-импульса вдоль векторного поля у т.
отличающийся от j£ (2.76) согласно формуле (2.34) на некоторый
нётеровский ток (2.69).
Частным случаем калибровочных полей является электромаг-
нитное поле Ар, описываемое как связность на главном расслоении
Р —> X со структурной группой U(l) и представляемое сечением
расслоения связностей
С = fP/U(l) (2.771
с атласом расслоенных координат (хА, а\), имеющих функции пе-
рехода
dxv
% = -^(а*> + д»Ф)> (2-78!
где ф(х) — локальные вещественные функции на X. Расслоение С
(2.77) является аффинным расслоением, моделируемым над кока
сательным расслоением Т*Х, но оно не изоморфно аффинном)
кокасательному расслоению АТ*Х, поскольку характеризуется бо
лее специальными функциями перехода (2.78), чем функции пе
рехода аффинного кокасательного расслоения АТ*Х. В частности
расслоение С (2.77) не обязательно редуцируется к векторному рз^
слоению посредством функций перехода (2.78).

4. Электромагнитное и калибровочные поля 59
По этой же причине не всякая аффинная связность (4.28)
на расслоении АТ*Х является связностью на С -> X (2.77). В част-
ности, ее линейная часть (4.29) обязательно должна быть симмет-
ричной. Следовательно, напряженность электромагнитного поля не
содержит компоненты с кручением, а его лагранжиан не зависит
от мировой связности. Поэтому электромагнитное поле, в отличие
от спинорного поля, не является источником ни кручения, ни не-
метричности.
В этой связи следует подчеркнуть существенное различие между
электромагнитным полем и гипотетическим векторным полем Прока.
Поле Прока представляется сечением кокасательного рассло-
ения Т*Х с расслоенными координатами (хх,кх = хх), допус-
кающими общие линейные функции перехода. Связность на этом
расслоении — это общая линейная связность Г (1.12). Можно опре-
делить напряженность поля Прока
= VjA - = д^Ву - dvB» + гДвв,
которая имеет форму (2.64) и содержит кручение Т связности Г.
Лагранжиан поля Прока строится инвариантным относительно
общековариантных преобразований и обычно выбирается в виде
fl(jVV^ + bgapkakp)^, а, Ъ = const,
^ = d^ky - dvkp + T*vka.
н отличается от лагранжиана электромагнитного поля как массив-
ным членом, так и зависимостью от кручения мировой связности.
оэтому в аффинно-метрической теории гравитации поле Прока
чожет быть источником кручения.

Глава 3
Спинорные поля
Классическая теория дираковских спинорных полей является
теорией со спонтанным нарушением симметрии. Более того, имен*
но существование дираковских спинорных полей с лоренцевски*
ми симметриями является физической первопричиной нарушения
пространственно-временных симметрии и существования метриче-
ского гравитационного поля.
§ 1. Алгебра дираковских спиноров
Дираковские спиноры наиболее исчерпывающе описываются
в формализме алгебр Клиффорда [72].
Пусть М = R4 — пространство Минковского с метрикой Мин-
ковского
г} = diag( 1,-1,-1,-1),
записанной относительно фиксированного базиса {еа} простран
ства М. Пусть €1,3 — комплексная алгебра Клиффорда, генериру
емая элементами М. Она определяется как комплексифицирован
ный фактор тензорной алгебры
®м = м е м е • • • е м®к е • • •
по двустороннему идеалу, порождаемому элементами
е ® е + е ® е - 2т/(е, е) 6 <8>М, е, е G М.
Замечание 3.1.1. Комплексная алгебра Клиффорда С^з изоморфна 0е
щественной алгебре Клиффорда М2,з, генерируемой элементами простри
ства Ш5 с псевдоевклидовой метрикой
diag(l,-1,-1,-1, 1).
Ее подалгебра, порождаемая элементами М С К5, является вещественна
алгеброй Клиффорда JR1>3.

§ 1. Алгебра дираковских спиноров
61
7° =
Дираковское спинорное пространство V (или просто спинорное
странство) определяется как минимальный идеал С^з, на кото-
П^С~гя алгебра действует слева. Задано представление
рый эта <*>
<y:M®V^V, 7(eft) = 7tt, (3.1)
элементов пространства Минковского М С C\j 7-матрицами Ди-
рака в V. Приведем соотношения
Ьа)+ = лааГ, (7V)+ = 7V,
где символ ()+ обозначает эрмитово сопряженную матрицу.
Замечание 3.1-2. Явный вид представления (3.1) зависит от выбора ми-
нимального идеала V алгебры d>3. Разные идеалы ведут к эквивалентным
представлениям (3.1). Обычно выбирается представление, где
(\ О О 0\
0 10 0
0 0-10
\о о о -\)
Группа Клиффорда G\$ С Ri,3 определяется как состоящая из
обратимых элементов ls вещественной алгебры Клиффорда
таких что внутренние автоморфизмы порождаемые этими эле-
ментами, сохраняют пространство Минковского М С Ri,3, т.е.
lseljl = 1(e), е € М, (3.2)
где / — лоренцевское преобразование М. Это задает эпиморфизм
группы Клиффорда G\ 3 на группу Лоренца 0(1, 3). Однако дей-
ствие (3.2)
группы Клиффорда в пространстве Минковского М
не является эффективным (т. е. есть элементы группы, отличные
от единицы, которые задают тождественное преобразование про-
странства Минковского). Поэтому рассматриваются ее pin- и spin-
подгруппы. Подгруппа Pin(l,3) группы Gyj порождается элемен-
тами е е М, такими что i/(e,e) = ±1. Четная часть Pin(l,3) -
это спинорная группа Spin(l,3), т.е. i/(e,e) = 1, е £ Spin(l,3). Ее
компонентой единицы
U = Spin°(l, 3) ~ SL(29 С) (3.3)

62
Глава 3. Спинорные поля
является группа — универсальное (т. е. связное) двулистное накрытие
zL : Ц -> L = Ls/Z2 (3.4)
собственной группы Лоренца L. Группа Ц (3.4) называется спи-
норной группой Лоренца. Ее алгебра Ли QL совпадает с алгеброй Ли
группы Лоренца L.
Замечание 3.1.3. Порождающие элементы е G М, ff(e,e) = ±1, груп-
пы Pin(l, 3) действуют в пространстве Минковского по присоединенному
представлению, которое представляет собой композицию
е : v -> eve = —v + 2— -е, e,v £к ,
i/(e, е)
полного отражения М и отражения относительно гиперплоскости
eL — {w £ М; i/(e, 10) = 0},
которая перпендикулярна е относительно метрики rf в М. Согласно из-
вестной теореме Картана—Дьёдонне всякий элемент псевдоортогональной
группы 0(р, q) может быть представлен как произведение г ^ р + q отра-
жений относительно гиперплоскостей векторного пространства Rp+g [72].
В частности группа Spin(l, 3) состоит из элементов Pin(l, 3), которые по-
лучаются четным числом отражений М. Эпиморфизм Spin(l, 3) на группу
Лоренца L и эпиморфизм (3.4) обусловлены тем, что элементы е и -е
пространства М определяют одно и то же отражение М относительно ги-
перплоскости eL = (—e)L. Мы будем рассматривать действие спинорной
группы Лоренца Ls (факторизуемое через действие собственной группы
Лоренца L) в пространстве Минковского М, но оно не является эффек
тивным.
Группа Клиффорда действует в дираковском спинорном
пространстве V левыми умножениями
Gi,3 Э h : v н> lsv, v е V.
Это действие сохраняет представление (3.1), т.е.
7(/М®/ДО = '*7(М® 10-
Действие спинорной группы Лоренца Ц в дираковском спинорно*
пространстве V характеризуется инфинитезимальными генераторам^
1 г
1аЬ=-\1а,Ъ\- (З-

§ 2. Геометрия дираковских спиноров
63
Поскольку
дираковское спинорное пространство F наделено Ц-инвариантной
билинейной формой
a(v, v) = ^(г;+7°г/ + г/+7%), (3.6)
именуемой сшнорной метрикой.
§ 2. Геометрия дираковских спиноров
В рамках классической теории поля на расслоениях дираков-
ские спинорные поля описываются сечениями спинорного рассло-
ения S над мировым многообразием X с типичным слоем — ди-
раковским спинорным пространством V, и структурной группой —
спинорной группой Лоренца Ц [51]. Однако, чтобы построить опе-
ратор Дирака, нам нужно послойное действие (3.1) всей алгебры
Клиффорда Ci,3 на спинорное расслоение (см. замечание 3.2.1).
Поэтому спинорное расслоение необходимо представить как под-
расслоение расслоения на алгебры Клиффорда [72].
Начнем с расслоения на пространства Минковского MX —> X
над мировым многообразием X. Оно определяется как расслоение
с типичным слоем — пространством Минковского М — и структур-
ной группой Лоренца L. Это расслоение расширяется до расслоения
на алгебры Клиффорда СХ, чьи слои СХХ — это алгебры Клиф-
форда, порождаемые слоями МХХ расслоения на пространства
Минковского MX. Структурной группой расслоения СХ является
группа Aut(Ci,3) внутренних автоморфизмов комплексной алгебры
Клиффорда Ci,3. Эта структурная группа редуцирована к собствен-
ной группе Лоренца L, и поэтому расслоение на алгебры Клиф-
Ф°Рда СХ содержит подрасслоение MX на порождающие эти ал-
Гебры пространства Минковского. Однако расслоение на алгебры
Клиффорда СХ, вообще говоря, не включает спинорное расслое-
ние, поскольку спинорное пространство V С С^з не сохраняется
При внутренних автоморфизмах алгебры Ci,3. Спинорное подрас-
сЛоение Sm расслоения СХ существует, если функции перехода

64
Глава 3. Спинорные поля
СХ сводятся к автоморфизмам, порождаемым группой Клиффор.
да Сп,з. Это условие совпадает с обычным условием существования
спинорной структуры.
При этом расслоение на пространства Минковского MX лояж-
но быть изоморфно кокасательному расслоению Т*Х, чтобы сече^
ния спинорного расслоения Sm С СХ описывали дираковские
спинорные поля на мировом многообразии X. Таким образом, мы
рассматриваем спинорную структуру на ко касательном расслоении
Т*Х в терминологии [72].
Существует несколько эквивалентных или почти эквивалент-
ных определений спинорной структуры [21, 72]. Дыраковской спи-
норной структурой на мировом многообразии X называется пара
(Ps, zs) главного Ц-расслоения Ps —у X и послойного морфизма
zs:Ps ^LX (3.7)
х
расслоения Ps в линейное реперное расслоение LX —у X.
Поскольку гомоморфизм групп L; —> gl4 факторизуется по-
средством эпиморфизма (3.4), всякий послойный морфизм (3.7)
факторизуется через послойный морфизм
zh : Ps -> LhX, zh о RgP = RZL(g)P, g G Ls, (3.8)
расслоения Ps на некоторое редуцированное лоренцевское под-
расслоение LhX линейного реперного расслоения со структурной
группой Лоренца L.
Отсюда следует, что необходимым условием существования ди-
раковской спинорной структуры на мировом многообразии X яв-
ляется то, что структурная группа gl4 линейного реперного рассло-
ения LX редуцируема к собственной группе Лоренца L. При этом
дираковская спинорная структура на мировом многообразии X ас
социирована с некоторым тетрадным полем h или псевдоримано
вой метрикой g = (oh. Поэтому дираковская спинорная структура
является также псевдоримановой спинорной структурой.
Обратно, когда задана редуцированная лоренцевская структур11
LhX С LX, существует ассоциированная с ней дираковская спИ
норная структура (3.8), если выполняются следующие условия.

§ 2. Геометрия дираковских спиноров
65
Лемма 3-2-1 - Все спынорные структуры на мировом многообра-
зии X, связанные с двулистными накрывающими группами, имеют
следующие два свойства [58]:
(/) Пусть Р —> X — главное расслоение, чья структурная группа G
имеет фундаментальную группу it\(G) = Ъ2. Пусть G — уни-
версальное двулистное накрытие G, т.е. G — это расширение
T^Z2 —>G —>G ->Т
группы G посредством коммутативной группы Ъ2. Топологиче-
ское препятствие тому, чтобы главное G-расслоение Р —> X
продолжалось до главного G-расслоения Р —> X, характеризует-
ся группой когомологий Чеха Н2(Х; Z2) многообразия X. А имен-
но, главное расслоение Р определяет элемент Н2(Х\ Z2), кото-
рый должен быть нулевым, чтобы расслоение Р —> X поднималось
доР^Х.
(//) Неэквивалентные поднятия Р —> X до главного G-расслоения клас-
сифицируются элементами группами когомологий ЧехаПх{Х',Ъ-1).
В нашем случае топологическим препятствием тому, что ре-
дуцированная лоренцевская структура LhX поднимается до дира-
ковской спинорной структуры, является второй класс Штифеля—
Уитни w2(X) Е ff2(X;Z2) многообразия X [72].
Мировое многообразие X должно удовлетворять определенным
топологическим условиям, чтобы на нем существовала дираковская
спинорная структура. Они сформулированы в теореме 1.5.2. Мы
ограничимся случаем параллелизуемого некомпактного мирового
многообразия X.
В этом случае все дираковские спинорные структуры изоморф-
Ны [21,50]. Поэтому существует взаимно однозначное соответствие
zh : LhX С LX (3.9)
Между редуцированными лоренцевскими структурами LhX и дира-
к°вскими спинорными структурами (P^,zh), факторизующимися
ЧеРез соответствующие LhX. В частности, всякий лоренцевский ат-
лас фЛ {zhy (1.32) расслоения LhX определяет атлас
Ф" = {^}, z*=zHo^, (3.10)

66
Глава 3. Спинорные поля
главного Ц-расслоения Р8Л. Будем называть Р8Л главным спторньщ
расслоением.
Пусть (P^,Zh) — дираковская спинорная структура, ассоции^
рованная с тетрадным полем h. Пусть
Sh = (Р* х V)/U -> X (3-11)
— Р8Л-ассоциированное спинорное расслоение, чей типичный слой
дираковское спинорное пространство V — реализует спинорное
представление (3.5) спинорной группы Лоренца Ц. В физической
интерпретации сечения расслоения Sh (3.11) описывают дираков-
ские спинорные поля в присутствии тетрадного поля h.
Действительно, рассмотрим LhX -ассоциированное расслое-
ние на пространства Минковского
MhX = (LhX х M)/L - (Р* х M)/U (3.12)
и Р8Л-ассоциированное спинорное расслоение Sh (3.11). Согласно
замечанию П.9.1 расслоение МНХ (3.12) изоморфно кокасатель-
ному расслоению
Т*Х = (LhX х M)/L. (3.13)
Тогда, используя морфизм (3.1), можно определить представление
Ъ : ГХ ® Sh = (Р8Л х (М ® V))/U ->
-> (Р* х 7(М ® V))/U = Sh (3.14)
ковекторов на X дираковскими 7-матрицами на элементах спинор-
ного расслоения Sh. Относительно лоренцевского атласа {z^} ре-
перного расслоения LX и соответствующего атласа {zt} (3.10) глав-
ного спинорного расслоения Р8Л, представление (3.14) имеет вид
уЛЫ(1ьа(х) ® v)) = -raAByB(v), v е S*,
где ул — ассоциированные расслоенные координаты на Sh и ha —
тетрадные кореперы (1.35). Для краткости будем писать
ha = 7h(ha) = 7е, dxx = lh(dxx) = hx(x)ja. (3.15)
Замечание 3.2.1. Как уже отмечалось, спинорное расслоение Sh явля-
ется подрасслоением расслоения на алгебры Клиффорда, генерируемое
расслоением на пространства Минковского МНХ. Тогда представление 7*
(3.14) следует из действия 7 (3.1) пространства Минковского М на спи-
норное пространство V.

§ 2. Геометрия дираковских спиноров
67
Более того, рассмотрим связность
Ah = dx^[dx+X-Axabea^j (3.16)
на главном спинорном расслоении Р8Л. Она называется сшнорной
связностью. Ассоциированная с ней связность на спинорном рас-
слоении Sh (3.11) имеет вид
Ah = dxx ® (dx + l-Aa\labAByDyA9 (3.17)
где lab — генераторы (3.5) спинорной группы Лоренца Ц. Пусть
D : JlSh -> ГХ ®S\ D = (yi - Aa\labAByB)dxx ® дА,
— соответствующий ковариантный дифференциал (П.51), где учте-
на тривиализация
VSh = Sh х Sh.
х
Дифференциальный оператор Дирака на спинорном расслоении Sh
определяется как композиция
Vh=-yhoD: JlSh -> Т*Х ®Sh^ Sh9 (3.18)
VAoVh =
Kl В\УХ ~ 2A А^аЬ ВУ 1-
Теорема 3.2.2. Существует взаимно однозначное соответствие
между спинорными связностями на главном спинорном расслоении
Р$ и лоренцевскими связностями на главном L-расслоении LhX
[51,79].
В частности, связность Леви-Чивиты псевдоримановой метри-
Ки 9 = С ° h определяет спинорную связность
Ah = dxx ®
дх + \fPhl(dxhl - К{х\})1аьАвУВ
дА (3.19)
**а ^-ассоциированном спинорном расслоении Sh.
Более того, всякая мировая связность Г на мировом много-
°бразии X индуцирует лоренцевскую связность (1.47) на редуци-

68
Глава 3. Спинорные поля
рованном лоренцевском расслоении LhX и ассоциированную спи,
норную связность (3.17):
Ah = dxx ®
(3-20)
на ^-ассоциированном спинорном расслоении Sh.
Подставляя спинорную связность (3.20) в оператор Дирака
(3.18), мы получаем описание дираковских спинорных полей в при.
сутствии произвольной мировой связности.
Следует подчеркнуть, что спинорное расслоение Sh не явля*
ется натуральным. Всякая связность (3.20) определяет горизон-
тальное поднятие
Ант = т% + l-r\rikbh; - т)к%)(дхК - KT/v)IabAByBdA (3.21)
на Sh векторного поля г на X. Более того, существует каноническое
горизонтальное поднятие
т = т% + {-{пк% - rf'h^dbht - Кд^)1аЬАвувдА (3.22)
на Sh векторного поля г на X. Однако это поднятие не является
функториальным.
Чтобы построить каноническое поднятие (3.22), можно напи
сать функториальное поднятие (1.10) векторного поля г на линей-
ное реперное расслоение LX относительно лоренцевского атла
са Фл и после этого взять его лоренцевскую часть. Каноническое
поднятие (3.22) представимо в форме
т = Ч)~ \{4k% - r1kahbli)hvkVvTl4abAByBdA, (3.23
где Т{} — горизонтальное поднятие (3.21) векторного поля г п0'
средством спинорной связности Леви-Чивиты (3.19) тетрадного п0'
ля ft и Vi/T*1 — ковариантные производные г относительно той
связности Леви-Чивиты. Выражение (3.23) воспроизводит извес?
ную производную Ли спиноров [70].

§ 3. Ковариантная спинорная структура
69
§3- Ковариантная спинорная структура
Дираковские спинорные поля в присутствии разных тетрадных
полей ft и Л' описываются сечениями различных спинорных рас-
слоений Sh и Sh . Проблема состоит в том, что, хотя редуцирован-
ные лоренцевские расслоения LhX и Vх X изоморфны, на кокаса-
тельном расслоении Т*Х ассоциированные структуры расслоений
на пространства Минковского MhX и Mh X (3.13) не эквивалент-
ны, поскольку действие группы Лоренца £ : (</, г;) -> v в типичном
слое R4 кокасательного расслоения как типичном слое расслоения
y[hX не эквивалентно ее действию £' : (д, v) -¥ v в М4 как ти-
пичном слое расслоения Mh X, т. е. они не сопряжены внутренним
автоморфизмом группы Лоренца:
C(9>v)¥>£(g'~l9g',i>), 9 е L.
Как следствие, представления jh и 7# (3.15) для различных тетрад-
ных полей ft и ft' не эквивалентны [96]. Действительно, пусть
t* = tpdx^ = taha — tah,a
— элемент T*X. Его представления 7Л и 7# (3.15) имеют вид
Они не эквивалентны, поскольку не существует изоморфизма Ф8
расслоения Sh на расслоение Sh , удовлетворяющего условию
7*f(0 = *.7*(0*.'1. t*er*x.
Из этого следует, что дираковское спинорное поле может быть
Рассмотрено только в паре с определенным тетрадным гравита-
ционным полем. Таким образом, мы имеем эффект спонтанно-
Го нарушения симметрии, который выявляет физическую природу
Пэавитационного поля как хиггсовского. Дираковские спинорные
п°ля в присутствии различных гравитационных полей могут быть
°писаны в рамках так называемой ковариантной спинорной струк-
[51,98].
Структурная группа GL4 линейного реперного расслоения LX
°Дносвязна и характеризуется первой гомотопической группой
7r,(C?L4) = 7r1(SO(4)) = Z2

70
Глава 3. Спинорные поля
[57]. Поэтому группа GL4 допускает универсальное двулистное на-
крытие GL4 так, что диаграмма
GLi —► GLt.
(3.24)
4 г KJIJ4
коммутативна [72].
Замечание 3.3.1. Хотя группа GL4 имеет конечномерные представления,
ее спинорное представление бесконечномерно [59]. Элементы этого пред-
ставления называются мировыми спинорами.
Ковариантная спинорная структура на мировом многообразии
X определяется как пара (LX, z) главного GL4 -расслоения LX -> X
и послойного морфизма
z.LX —>LX [41]. (3.25)
х
Все ковариантные спинорные структуры на параллелизуемом миро-
вом многообразии X эквивалентны, т.е. главное GL4-расслоение
LX (3.25) однозначно определено. Оно называется ковариантным
главным спинорным расслоением.
Из коммутативности диаграммы групп (3.24) следует коммута-
тивная диаграмма главных расслоений
LX LX
(3.26)
рл lhx
для любого тетрадного поля h [51,98]. Из нее следует, что всякая
дираковская спинорная структура Р8Л (3.9) является редуцирован-
ным Ц -подрасслоением ковариантного спинорного расслоения LX.
Более того, LX является главным Ц-расслоением
7г: LX ->• Ет (3.27)
над тетрадным расслоением (1.28):
ST = LX/U = LX/L, (3.28)

§ 3. Ковариантная спинорная структура
71
таким что ковариантная спинорная структура (3.25) — это послой-
ный морфизм
z.LX —+LX (3.29)
над St- Он называется коварыантпной дираковской спинорной струк-
турой на тетрадном^расслоении Ej (3.28). Для любого тетрадного
поля ft сужение h*LX главного Ц-расслоения (3.27) на h(X) С Ет
изоморфно подрасслоению Рн расслоения LX —> X, которое пред-
ставляет собой ft-ассоциированную дираковскую спинорную струк-
туру на мировом многообразии.
Рассмотрим спинорное расслоение
S = (LXx V)/U ~> Ет, (3.30)
ассоциированное с главным Ц-расслоением (3.27), которое, одна-
ко, не является спинорным расслоением над X. Оно представляет
собой композиционное расслоение
S->ET->X. (3.31)
Согласно теореме П.9.11, это композиционное расслоение является
LX-ассоциированным расслоением, типичный слой которого —
спинорное расслоение
(GL4 х V)/U -> GL4/U.
Для всякого тетрадного поля ft существует канонический изо-
морфизм
ih:Sh = (Ph х V)/U -> (h*LX x V)/U
ft-ассоциированного спинорного расслоения Sh (3.11) на сужение
ft*5 спинорного расслоения S -> Ет на h(X) С Ет (теорема П.7.1).
Тогда любое глобальное сечение sh спинорного расслоения Sh со-
ответствует глобальному сечению ih°^h композиционного расслое-
ния (3.31). Обратно, всякое глобальное сечение 8 композиционного
Расслоения (3.31), проектируемое на тетрадное поле ft, принимает
качения в подрасслоении %h{Sh) С S (теорема ГТ.7.2).
Пусть линейное реперное расслоение LX —> X имеет голоном-
^Ый атлас Фт (1.7), а главные расслоения LX -> Ет и LX -> Ет —
ассоциированные атласы {(U€, zs€)} и
{(U(,ze = zozs()}. (3.32)

72
Глава 3. Спинорные поля
Относительно этих атласов композиционное расслоение S (3.31)
наделено расслоенными координатами (жА, <т£, уА), где (хх,а!£) —
координаты на тетрадном расслоении Ет, такие что для произволь-
ного тетрадного поля ft его локальные функции ft£ = (?а ° h — это
тетрадные функции лоренцевского атласа
редуцированного лоренцевского расслоения LhX.
Спинорное расслоение S —> Ет является подрасслоением рассло-
ения на алгебры Клиффорда, порождаемого расслоением на про-
странства Минковского
Ем = (LX х M)/L -> Ет, (3.33)
ассоциированного с главным L-расслоением LX —» Е. Согласно
лемме П.9.11 это LX -ассоциированное композиционное расслоение
Ем -> Ет -> X, (3.34)
чьим типичным слоем служит расслоение (GL4 х M4)/L, ассоции-
рованное с главным L-расслоением
PL - GU -> GL4/L. (3.35)
Можно показать, что расслоение (3.35) тривиально [51].
Поскольку мировое многообразие предполагается параллели-
зуемым, линейное реперное расслоение LX -> X тривиально. Рас-
слоение Ем -> X тоже тривиально, и поэтому изоморфно произ-
ведению Ет х Т*Х. Тогда существует представление
х
7s : Т*Х ®S = (LXx(M® V))/U ->
-> (LX x 7(М ® V))/U = S, (3.36)
dxx = 7s(dxA) - axa<ya.
Будучи ограниченным на ft(X) С Ет, это представление в точности
воспроизводит морфизм 7/, (3.14).
Пусть Г — мировая связность (1.11). Она определяет спинор'
ную связность (3.20) на каждом ft-ассоциированном спинорноМ

§ 3. Ковариантная спинорная структура
73
расслоении S (3.11). Построим связность (П. 129) на спинор-
ноМ расслоении S -* £т (3.30), такую что для всякого тетрадного
п0ля А индуцированная связность h*A^ (П. 130) на Sh совпадает
соспинорной связностью Ah (3.20). Такая связность As существует
[98] и дается выражением
dxx ® (ял + v^) +
abT А в л \
4ift я# 1,
(3.37)
1
^a
" /kb a ли o\
Связность (3.37) порождает дифференциальный оператор пер-
вого порядка Х> (П.75) на композиционном расслоении 5 —► X
(3.31), который имеет вид
D:JlS->T*X®S,
st
D=dxx®
= dxx®
1
a ~ / j aft, лкао u \т л „ i
kab ц
dA =
„А 1 /„kba ka b\/ V> »r u \T A j
»a-:W ^цМхк-^х v)hb вУ
дА. (3.38)
Ограничение А, оператора 5 (3.38) на JlS» С J'5 представляет
собой привычный ковариантный дифференциал на ft-ассоцииро-
ванном спинорном расслоении 5" (3.11) относительно спинорнои
связности (3.20).
Комбинация формул (3.36) и (3.38) дает дифференциальный
оператор первого порядка
.в
Го2> = <7>^
1
а Композиционном расслоении S-tX. Это оператор можно рассмат-
ривать как полный оператор Дирака на 5 ->• X, поскольку для любого

74
Глава 3. Спинорные поля
тетрадного поля h ограничение V (3.39) на JlSh С JlS в точности
совпадает с оператором Дирака Vh (3.18) на спинорном расслое,
нии Sh в присутствии тетрадного поля h и мировой связности Г.
§ 4. Спиноры в аффинно-метрической
гравитации
Таким образом, сечения композиционного расслоения S —> X
(3.31) дают искомое описание пар дираковских и тетрадных гра~
витационных полей. Его сужение h*S на h(X) С Ет описывает
дираковские спинорные поля во внешнем гравитационном поле ft.
В результате мы приходим к аффинно-метрической теории гра-
витации, причем с общей линейной связностью, в присутствии
спинорной материи.
Ее конфигурационным пространством является многообразие
струй JlY произведения расслоений
Y = (Ет х Cw) х S, (3.40)
x
где Cw — расслоение мировых связностей (1.20). Расслоение У
(3.40) наделяется послойными координатами (х**, аа, кцар, уА).
Полный лафанжиан аффинно-метрической гравитации и спи-
норных полей является суммой
L = Lma + Ld (3.41)
аффинно-метрического гравитационного лагранжиана
£ма = ^maO^/iaV ^)^, = (т^ЫЬ, (3-42)
в § 1, гл. 2, индуцированного на J1 Y, и дираковского лагранжиана Lv
Дираковсшй лагранжиан факторизуется через вертикальный
ковариантный дифференциал D (3.38) и полный оператор Дирака
(3.39). Он имеет вид
г Г* А Г ч-/ 0 q\a ib 1 / kb а ка ъ\
хКк-<г№х^)1аЪВСУСУ

§ 4. Спиноры в аффинно-метрической гравитации
75
~ту1(7УвУВ}л/йк <7=det(<v)- (3.43)
Можно убедиться, что
аС° + ^ - 0, (3.44)
flfca"* ' ^Va
т. е. дираковский лагранжиан (3.43) зависит только от кручения
мировой связности. Поэтому, подставляя
dCD 1
dkvap 2
\dkv<*p dkpaJ9
например, в уравнение (2.60), получаем, что дираковские спинор-
ные поля, в отличие от электромагнитного поля, являются источ-
ником кручения (но не неметричности).
Фиксируя тетрадное поле h и мировую связность Г, инду-
цируемый дираковским лагранжианом (3.43) лагранжиан ft*r*2/D
на JlSh является дираковским лагранжианом спинорных полей
в присутствии внешнего тетрадного гравитационного поля h и ми-
ровой связности Г.
Рассмотрим калибровочные симметрии дираковского лагран-
жиана LD (3.43). Напомним, что аффинно-метрический гравита-
ционный лагранжиан Хмд (3.42) инвариантен относительно обще-
ковариантных преобразований.
Как отмечалось, композиционное расслоение S —> X (3.31) яв-
ляется LX-ассоциированным расслоением согласно теореме П.9.11.
Поэтому оно наследует автоморфизмы ковариантного спинорного
Расслоения LX.
Поскольку мировое многообразие X параллелизуемо и ко-
вариантная спинорная структура определена однозначно, главное
LX ^асслоение ^Х —> X, как и линейное реперное расслоение
> Допускает функториальное поднятие любого диффеоморфизма
X. Это поднятие определяется коммутативной диаграммой

76
Глава 3. Спинорные поля
LX ^LX
LX -^LX ,
* X
где / — общековариантное преобразование LX (1.9), индуциро-
ванное / [41]. Следовательно ковариантное спинорное расслое-
ние LX является натуральным расслоением и допускает функто-
риальное поднятие % векторных полей т на X. Такое поднятие
Ts — инфинитезимальный генератор общековариантных преобра-
зований LX. Поэтому композиционное расслоение S -т X (3.31)
также является натуральным расслоением и допускает инфините-
зимальные общековариантные преобразования [51,98]. Получим их
в явном виде.
В соответствии с леммой П.9.13 инфинитезимальные общеко-
вариантные преобразования главного GL4 -расслоения LX -> X —
это также инфинитезимальные калибровочные преобразования глав-
ного Ц-расслоения LX -> Ет- Они имеют вид (П. 124):
rs = г d\ + дрт^ас + -VT еаъ
(3.45)
где последнее слагаемое зависит от выбора атласа расслоения (3.32)
и подчиняется условию (П. 125). Инфинитезимальные калибро-
вочные преобразования (3.45) расслоения LX —>• Ет, зависящие
от функций параметров г, порождают инфинитезимальные калиб-
ровочные преобразования ассоциированного спинорного расслое-
ния S -т Ет, представленные векторными полями (П. 126):
++1л *bv°w) • (3'461

§ 4. Спиноры в аффинно-метрической гравитации
77
где jab с (1.38) и 1аьАв (3.5) — генераторы спинорной лоренцевской
группы 1^ в пространстве Минковского и дираковском спинорном
пространстве.
Можно интерпретировать векторные поля (3.46) как инфини-
тезимальные общековариантные преобразования натурального рас-
слоения S -» X. Расширенные на полное расслоение Y (3.40), эти
инфинитезимальные преобразования имеют вид
ту =Txdx + dvT,1avc~ +
С
+ 1д„тЧ/р - дрт%% - д^ку + д^т*]-^- +
l9qabf т d u_d л в д \
-2*r [~iab c«d^ + hb ВУ ) •
+ 2
Помимо инфинитезимальных общековариантных преобразо-
ваний ts (3.46), рассматриваются также вертикальные калибровоч-
ные преобразования (П. 127)
т d ^ 9 i T,AnVB— ^ (3.47)
спинорного расслоения S -> £т- Легко установить, что
•Cj't^d = 0
и, конечно,
£u(i>ma — 0-
Поэтому векторные поля (3.47) являются калибровочной симметри-
ей полного лагранжиана L (3.41). Однако эта калибровочная сим-
метрия не зависит от производных функций параметров, и поэтому
не приводит к тождествам Нётер. В то же время соответствующий
закон сохранения имеет место.
Поскольку расслоение S -> X тривиально, разложение (3.47)
Векторного поля v( на два слагаемых является глобальным. Второе
Из них - инфинитезимальная симметрия полного лагранжиана L
(щ. В отличие от второго слагаемого, первое не зависит от выбора
атласа спинорного расслоения S, и поэтому может рассматриваться

78
Глава 3. Спинорные поля
как каноническая форма инфинитезимального общековариантного
преобразования S.
Поскольку аффинно-метрический лафанжиан Хма инвариантен
относительно общих ковариантных преобразований, мы получаем
£j>tyLma = 0. (3.48)
Легко установить также, что
£ji*Hd = 0. (3.49)
Равенства (3.48), (3.49) ведут к закону сохранения тока энергии-
импульса, который сводится к суперпотенциалу. Можно показать,
что это обобщенный суперпотенциал Комара (2.54) аффинно-мет-
рической теории фавитации и что дираковские спинорные поля
не дают вклад в этот суперпотенциал из-за равенства (3.44) [97].

Глава 4
Обобщения
В этой главе изложены математические основы двух наиболее
активно развиваемых обобщений теории гравитации: многомерной
гравитации (§ 1) и супергравитации (§ 2). Еще одно рассматри-
ваемое нами в § 3 обобщение гравитации — это калибровочная
теория на расслоениях с аффинной связностью как своего рода от-
вет на многочисленные попытки описания гравитации в качестве
калибровочного поля группы трансляций.
§ 1. Многомерная гравитация
Первая модель многомерной гравитации — теория Калуцы—
Клейна — была предложена в 1920-е гг. как совместное геометри-
ческое описание гравитации и электромагнетизма [2,88]. Ее глав-
ным атрибутом является 5-мерное пространство X5 с координатами
(хА)у А = 0,..., 5, и метрикой
= | I . (4.1)
-9 -1 + 9^9
Ее компоненты предполагаются не зависящими от координаты х5,
а на волновые функции на 5-мерном пространстве накладывается
Условие цикличности по этой координате, т. е.
Ф = 1/)(х**) exp (imx5).
(4-2)
Это означает, что пространство X5 представляет собой произ-
ВеДение X4 х S[ 4-мерного пространства-времени и окружности S[

80
Глава 4. Обобщения
с циклической координатой х5. При этом выражения (4.1), (4.2) со.
ставляют условия проекции физических и геометрических объектов
на пространстве X5 в пространство-время X4. Например, волновое
уравнение
8ЛВдЛдВФ = 0
на пространстве X5 приводится на пространстве X4 к уравнению
Прока
Wify ~ img^dv - imgv) + т2]гр = 0, g^ = g^g",
в присутствии электромагнитного потенциала Ац = mg^, а урав-
нения Эйнштейна для метрики sAB сводятся к уравнениям Эйн-
штейна для метрики д№ и уравнениям Максвелла для электромаг-
нитного потенциала тд^.
Все эти моменты присутствуют и в обобщенных многомерных
теориях гравитации, когда на (4 + d)-мерном пространстве компо-
ненты метрики с индексами высших размерностей, как оказалось,
соответствуют калибровочным потенциалам на 4-мерном многооб-
разии [40,88]. Мы посвятим настоящий параграф математическому
обоснованию этого ключевого пункта, а именно доказательству сле-
дующего факта [39].
Пусть Е — гладкое многообразие, в котором задано правое
действие
G3g:E3q-+qgEE (4.3)
связной компактной группы Ли G с изоморфными орбитами в Е<
и пусть все подгруппы G, являющиеся стабилизаторами точек в Е-
изоморфны некоторой подгруппе Ли Н С G. Тогда Е —> E/G —
расслоение с типичным слоем G/H и структурной группой N/B-
где N — нормализатор Н в G. Всякая G-инвариантная метрика s
на Е определяет метрику j на пространстве орбит E/G, связ-
ность А на расслоении Е —» E/G и G-инвариантные метрики Л
на каждом слое расслоения Е —> E/G. Более того, скалярная кри-
визна метрики s представляет собой сумму скалярной кривизне
метрики 7, лагранжиана Янга—Миллса связности А и членов, за-
висящих от h.

§ 1. Многомерная гравитация
81
Однако этот математический результат отнюдь не обеспечи-
^ет содержательную полевую модель на «пространстве-времени»
$jG- Трудность состоит в интерпретации как «внутренних» раз-
мерностей, так и метрик h, чьи компоненты являются скалярными
долями на E/G [88]. Считается, что при D = 11 супергравитация
дает наиболее удовлетворительное решение этих проблем [46].
Имея действие (4.3) группы G в Е, для всякой точки q £ Е
обозначим G(q) орбиту группы G в Е через q, а посредством Hq —
стабилизатор точки q, т. е. qHq = q. Для точек q и q[, принадле-
жащих одной и той же орбите, подгруппы Пд и Я^ сопряжены
в G, а значит, изоморфны. Для точек из разных орбит это, вообще
говоря, не так. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать слу-
чай, когда стабилизаторы всех точек q 6 Е сопряжены с некоторой
фиксированной подгруппой Я в G.
Нормализатором подгруппы Я в G называется максимальная
подгруппа N группы G, такая что Я является в N инвариантной
подгруппой (нормальным делителем), т.е.
N = {geG: gH = Нд}.
Рассмотрим правое фактор-пространство G/H и фактор-группу N/H.
8 G/H определено правое действие группы G по правилу
д': G/H Э [д] ч> \д]д9 = \дд'\ £ G/H, (4.4)
гДе Ы = [gh\, h е Я, обозначает правый класс смежности элемента
9 €G. Зададим левое действие
r:G/H3[g\-+[rg\6G/H (4.5)
Пэуплы N в G/H. Оно перестановочно с правым действием G в G/H:
г(Ш) = г\дд') = \гдд'} = [г^ = (т\д])д!.
^олее того, действие (4.5) зависит только от класса смежности [г]
элемента г в N/H:
rh'\g] = r[h'g],
•с- сводится к действию
И Ы = [гд] (4.6)
*актор-гругшы N/H в G/H.

82
Глава 4. Обобщения
Рассмотрим главное расслоение Pn/h со структурной группой
N/H над базой М = E/G и ассоциированное с ним расслоение
Ygie = (Pn/h х G/H)/(N/H)
с типичным слоем G/H, в котором определено правое действие
группы G:
я' ■ («, \9\V(n/h) -> (q, [gg'])/(N/H), (4.7)
где q E Pn/h и действие группы N/H в Pjvy# x G/Я" имеет вид
И:(?,Ы)^(?И,гЫ) = (9[г],[г5]).
Поскольку правое действие (4.4) группы G в G/H и левое действие
(4.6) группы N/H в G/Я" перестановочны, действие (4.7) груп-
пы G в Yq/h является послойным. В каждом слое, как на своей
орбите, группа G действует транзитивно, но не свободно (посколь-
ку центр фактор-пространства G/H имеет своим стабилизатором
подгруппу П).
Существует вложение Pn/h на подмногообразие в YG/ff. Оно
осуществляется отображением
С : Pn/h Э q Yg/h-
Причем, если q ф- qf, то ((q) Ф C(qf), поскольку центр [Г] фактор-
пространства G/H не имеет стабилизатора в N/H и
(«г[г], (l\)/(N/H) = (q, \r\)/{N/H) ф (q, fi\)/(N/H).
Используем все приведенные конструкции для доказательства
следующей теоремы.
Теорема 4.1.1. Пусть Е — многообразие, в котором задано
правое действие группы G, такое что стабилизаторы всех то-
чек из Е сопряжены с некоторой подгруппой Н в G. Пусть
М = E/G — множество орбит группы G в Е. Тогда Е имеег^
структуру расслоения 7г : Е —> М над М с типичным слоем
G/H и структурной группой N/H.
Выделим в Е подпространство точек, стабилизатором которы*
является подгруппа П:
Q = {qeE: qH = q}.

§ 1. Многомерная гравитация
83
Заметим, что, если q Е Q, то qg Е Q тогда и только тогда, когда
д £ N, поскольку
qgH = qHg = qg
лишь при д £ N. В силу этого свойства в Q определено свободное
правое действие N/H. Это превращает Q в главное (N/H) -рассло-
ение Pn/h с базой М Зададим отображение
Q х G/tf Э (q, [д]) qg е Е.
Оно обладает свойством
Ш,[гГ1д)^яд, [г]ем/н,
и задает на Е структуру ассоциированного с Pn/h расслоения с ти-
пичным слоем G/H. Само Pn/h — Q является подрасслоением
Е-+М.
Рассмотрим теперь индуцируемые Я, N и N/H разбиения ал-
гебры Ли Q группы G. Пусть Я — компактная связная подгруппа
Ли группы G. Обозначим (,) невырожденную G-инвариантную
билинейную форму на алгебре Q, в которой G действует по при-
соединенному представлению ad G. Пусть ¥) — алгебра Ли под-
группы Я и фя — ее ортогональное дополнение в Q. Причем,
поскольку
№я,й) = ((ad Я)(фя), ad Я)(£)) = ((adff)(<pF),tf) =0,
имеем
(ad Я)(фя)=Фя.
Алгебра й и ее ортогональное дополнение ф# образуют разбиение
£ = Й + Фя, [Й,Фя]Сфя, (4-8)
^гебры Ли Q. Так же как алгебра Ли Q отождествляется с касатель-
нЫм^пространством к многообразию группы Ли G в единице груп-
Пьг 1, векторное пространство фя > наделенное действием ad Я,
м°Жет быть отождествлено с касательным пространством к много-
обРазию G/H в его центре [Т|-
Аналогичное разбиение имеет место для алгебры группы N:
<П = Я + АН, [Й,Яя]С Ая,

84
Глава 4. Обобщения
где Ля — ортогональное дополнение в 91 и
[Й,ЯЯ] С Ая-
В то же время, поскольку /7 — инвариантная подгруппа N, имеем
[Я,ЯЯ]СЯ.
Отсюда следует, что Ян] = 0, и ортогональное дополнение Ян
образует подпространство векторов в касательном пространстве фя
к G/H, инвариантных относительно действия подгруппы П. Более
того,
[Ян, Ян] С Ян,
и поэтому Ян является подалгеброй Ли в 91, которая может быть
отождествлена с алгеброй Ли группы N/H.
Введем также ортогональное дополнение ф# алгебры Ли 91 в Q:
Фя = Ян + Ф*, [Я, Vn] С ф*, (4.9)
£ = £ + Яя+Ф*.
Фиксируем в алгебре Ли Q базис 1д\
[Ia, Ib] = CabId,
согласованный с разбиением (4.9), т.е.
Ш = {/< G Я, /« G Фя}, {/*} = {/в1 е Дя, 42 е ЧЫ- (4.10)
Обозначим Л^(^) морфизмы присоединенного представления G
в Q. Тогда для г Е N матрица Л(г) имеет следующий вид:
Л(Г)-1 0 Ai(r))'
где AJ-(r) — матрицы представления N в и Л«(г) — матрицы
представления 7NT в (Ян + Vn)-
Обозначим та фундаментальное поле на Е, отвечающее гене-
ратору 1а группы G преобразований Е:
TA(q) = jt(qcxp(tIA))\t=0. (4.П)

§ 1. Многомерная гравитация
85
Поскольку имеется гомоморфизм алгебры Ли q в алгебру Ли век-
торных полей на Е, образом которого являются фундаментальные
поля, получаем
[та, tB](q) = cabtd(q), q6E. (4.12)
Векторы Тд(д) в q G Е касательны к линиям, вдоль которых
переносится точка q под действием преобразований ехр (ПА) при
малых параметрах t. Поэтому все они лежат в вертикальном ка-
сательном пространстве VqE к Е в точке q, т. е. в подпростран-
стве, касательном к слою Ех, х £ М, расслоения Pn/h (к орбите
£(g) = E^q) в Е), проходящем через точку q G Е. В частности,
поскольку
dim VqE = dim G - dim H < dim G,
система векторов {тд(д)} не является линейно независимой в VqE.
Из выражения (4.11) следует, что поля т, (см. обозначения
(4.10)) исчезают на подмногообразии Q С Е, поскольку qH = q,
q G Q, тогда как векторы {та(д)} линейно независимы в точках
q G Q, а векторы та, касательны к Q. Следовательно, {та(д)} ли-
нейно независимы и в некоторой открытой окрестности U под-
многообразия Q С Е, так что
lta,tp\(q) = fa(}(q)t7(q), qeU. (4.13)
Сравнивая (4.13) с (4.12), получаем, что
йМ?) = cipta(q), qtu,
flp = clp> qtq-
Беря от обоих частей этого равенства коммутатор с полем в точ-
ках подмногообразия Q, находим
Ыdfap){q) = ca0clA - <?a(ic\v = c^cj,.. (4.14)
Из (4.11) также следует (с учетом r,(g) = 0, q (Е Q), что
re(«r) = *&(r)tfi(q), qeQ, r6N. (4.15)
Рассмотрим теперь G-инвариантную метрику s на В, т. е. про-
бодные Ли метрики s вдоль полей та равны 0. Покажем, что такая
Мегрика 8 определяет следующие объекты:

86
Глава 4. Обобщения
• G-инвариантную метрику hx на каждом слое Ех\
• G-инвариантное распределение горизонтальных пространств
HqE, q G Е, на Е, или эквивалентно связность на главном
расслоении Pn/h',
• метрику 7 на М.
Обратно, G-инвариантная метрика s на Е однозначно восста-
навливается по указанным выше величинам.
Метрика s на Е задает скалярное произведение двух верти-
кальных векторов и тем самым индуцирует G-инвариантную мет-
рику hx на каждом слое Ех. Эту метрику достаточно знать в какой-
либо одной точке q слоя ЕХ=7Г^, из которой, используя ее G-ин-
вариантность, она может быть продолжена во все точки слоя Ех.
Выберем некоторое локальное сечение а : М —» Q главного рассло-
ения Pn/h, определяющее карту этого и ассоциированного с ним
расслоений в окрестности х G М. Тогда метрика hx может быть
задана своим значением
в точке q = а(х) G Q. В качестве базисов вертикальных каса-
тельных пространств VqE в точках q G Q можно выбрать линейно
независимые векторы {ra(q)}. В таком базисе метрика hx(q) имеет
компоненты
Ясно, что определение hx не зависит от выбора сечения (т(х). При
переходе к другому локальному сечению
используя закон преобразований (4.15), получаем
hxap(qr) = sap(qr) = A5(r)AjS(r)v(ff) = K(r)Ap(r)hXfi1/(q).
В частности, если reHcN,jo(T = (T'w
hx(a(x)) = s(a(x))
Kap{q) = sap(q) = s(ra, Tp(q)), x = w(q).
a(x) = a(x)r(x), r(x) G N,

§ 1. Многомерная гравитация
87
03 условия (4.16) можно получить ограничения на форму матрицы
/W>aIiMeHH0:
р V о haiJ
Отсюда следует, что векторы та,(д) и ra2(q), q G Q, ортогональны
относительно метрики s, а тем самым векторы rtt2 ортогональны
подмногообразию Q.
Обозначим HqE ортогональное относительно метрики s до-
полнение вертикального подпространства VqE в касательном про-
странстве TqE к Е в точке q G Е. В частности, пространства HqE
в точках q £ Q ортогональны векторам rtt2, а значит, являются
касательными к подмногообразию Q. Прямая сумма HqE и про-
странства VqE, натянутого на векторы rai(q), касательные к слою
Qx=*(q)> образует касательное пространство к Q в точке q EQ. По-
скольку метрика s является G-инвариантной, распределение HqE
тоже G-инвариантно, т.е.
(HqE)Tg = Hqg, geG,
где Тд — касательный морфизм к морфизму д. Тем самым рас-
пределение HqE при ограничении на многообразие Q удовлетво-
ряет всем требованиям к распределению горизонтальных подпро-
странств на главном расслоении Q = Pn/h и> следовательно, вводит
некоторую связность на Pn/h-
Метрика 7 на М задается следующим образом. Пусть и, и' —
Два касательных вектора к М в точке х 6 М. Выберем произволь-
НУК> точку q в слое Ех над х и определим
4(u,u') = s(uf,u'qH), (4.17)
гАе и** 9 у!** _ поднятие и, и1 в горизонтальное пространство HqE.
силу G-инвариантности метрики s это определение не зависит
0т выбора точки q.
Обратно, предположим известными метрику 7 на М, распре-
^еление HQE, q £0, и G-инвариантные метрики hx на слоях Ех,
_ Возьмем произвольные два вектора г^,^ 6 Г^Е. Пусть
^ V — точка, такая что q = 905 некоторого элемента д Е G,
°Рьг 7r*(tt9) и 7г*(и'9) — проекции tt9 и uq на Т^(9) и векторы uq

88
Глава 4. Обобщения
и u'q — поднятие n*(uq) и n*(ufq) в горизонтальное пространство
HqoE. Тогда векторы
uq - ufTg, uq - ufTg
являются вертикальными, и метрика s может быть определена сле-
дующим образом:
s(uq, uq) = 7(**Ы> + ~ «i ~ ЩПТд). (4.18)
Например, пусть }GQ и векторы uq, uq — горизонтальные. Тогда
второй член в выражении (4.18) сводится к выражению (4.17). Если
векторы uq, Uq имеют только вертикальные составляющие, то
tt*(uq) = = О,
и выражение (4.18) воспроизводит определение метрики hx.
Перепишем выражение (4.18) для метрики s в компонентах.
Пусть (ж^) — некоторая локальная система координат на много-
образии М и {e^q)} — горизонтальное поднятие векторов {д^}
в HqE. Векторы {e^(q), та(q)} образуют базис касательных про-
странств TqE к Е в точках подмногообразия Q и некоторой его
открытой окрестности U. Поскольку векторы e^(q) и ra(q) ортого-
нальны относительно метрики з, последняя в базисе {e^(q), ra(q)}
имеет вид
V 0 saP{x, у)
где
(х,у)еМх (G/H)
— локальная система координат
Я = [Ф)]у> * = ir(q)
на Е, определяемая локальным сечением а главного расслоения Q, и
В локальной системе координат
(x,g)eM x(N/H), q=[<r(x)]g, geN/н,
определяемой сечением <т на Q, локальная форма связности А на Q
в точках q = (х, 1) имеет вид

§ 1. Многомерная гравитация
89
A = -Alx(x)Iaida» + IaxdTax.
0з условия А(ец) = 0 находим
ер(х,Т) = дг + А*(х)та1(х,Т).
Тогда, учитывая, что
8ар(<г(х)) = *в/? (ж, 7) = hxap(x9^l) = Л^,
выражение (4.18) для метрики s в точках q = (ж,Т) можно перепи-
сать в виде
- 7^(^ + А*та1) ® (Л + ^гв1) + Л^гв в =
- 7^4 ® ^ + V^JX ® ft, + т^Ардр ® rft +
Это означает, что в точках q = (х,1) € Q С Е в базисе
{дц, т^Да?,!)} контравариантные компоненты G-инвариантной мет-
рики s на Е имеют вид
( Г <ГА? о \
(4.19)
jwAPi h"lPl + <f А* А* О
\ 0 О haAJ
Таким образом, она выражается через:
• компоненты метрики на «пространстве-времени» М (хотя
надо подчеркнуть, что существование на Е инвариантной мет-
рики с наперед заданной сигнатурой не гарантировано);
• калибровочные потенциалы А$ группы N/H на М;
• мультиплет скалярных полей haP — компоненты метрики на «внут-
реннем» пространстве G/H.
Приведем еще выражение для скалярной кривизны метрики s
на Е:

90
Глава 4. Обобщения
- ^h^iD^D^has + D^D^s), (4.20)
которая выражается через ковариантные производные и кри-
визну ity метрики 7 на М, ковариантные производные и напря-
женность F калибровочных потенциалов А группы N/H и метри-
ку Л на G/K
Выражения, аналогичные (4.19), (4.20), составляют математи-
ческую основу многомерных моделей типа Калуцы—Клейна.
§2. Супергравитация
Развитие теории супергравитации в основном мотивируется
идеями объединения фундаментальных взаимодействий, а также
теорией струн и другими современными моделями [67, ИЗ]. Изна-
чально теория супергравитации строилась как калибровочная тео-
рия Z2 -градуированных расширений псевдоортогональных алгебр
Ли, алгебр Ли групп де Ситгера и Пуанкаре [85,114]. Существуют
разные варианты таких расширений [20].
Напомним определение градуированной алгебры Ли. Основы
алгебры и геометрии градуированных пространств и супермногооб-
разий изложены в т. 4 «Геометрия и квантовые поля» [14] (см. также
[79,104]).
Пусть К — коммутативное вещественное кольцо. Градуирован-
ной алгеброй Ли называется Z2-градуированный (в дальнейшем про-
сто градуированный) К -модуль
G = Go®G\
с заданной на нем К-билинейной операцией [.,.], называемой
суперкоммутатором и удовлетворяющей следующим условиям:
[e,e'] = -(-l)ie]ie']W,e),
(- [е, + (-0k'lf£] [е', [ew,e]] + (- [е", = О,
где [е] обозначает (грассманову) четность элемента е 6 G- Ясно, ^°
четная часть Qq градуированной алгебры Ли Q является /С-алгебра

§2. Супергравитация
91
Ли. Если градуированная алгебра Ли Q конечномерна и имеет базис
{5Г}, г = 1,...,га, ее структурные константы d-j подчиняются
соотношениям
c& = -H)WI% [г] = [•] + Ы.
Н)[,1(Ч<4+H)W[44+H)W[4i=о.
где [г] = [^г] обозначает четность элемента ег.
Заметим, что термин градуированные алгебры Ли не является
общепринятым, и эти алгебры очень часто именуют супералгебрами
Ли. В то же время под супералгебрами Ли обычно понимают более
специальную конструкцию.
Пусть Л — вещественная алгебра Грассмана ранга N. Градуи-
рованная Л-алгебра Ли Q называется супералгеброй Ли.
В частности, пусть Q — (п, га)-мерная вещественная градуиро-
ванная алгебра Ли и Л — алгебра Грассмана ранга N. Рассмотрим
суперпространство
G = (Л0 ® Go е А\ ® Gx) е (А! ® Go е л0 ® GO
размерности (п,га). Наследуя суперкоммутатор [.,.] градуирован-
ной алгебры Ли G, положив его Л-билинейным, оно становится
супералгеброй. Например, таковыми являются алгебры левоинва-
риантных градуированных векторных полей на супергруппах Ли.
Замечание 4.2.1. Следует отметить, что существуют несколько разных
определений супергрупп Ли: G00, Н00-, G-супергруппы Ли, градуирован-
ные группы Ли [14], супергруппы Хариш-Чандры [29]. Следуя изложению
в [И], мы рассматриваем так называемые G-супергруппы Ли, примером
которых служит общая линейная супергруппа GL(n\m; Л).
Линейное представление градуированной алгебры Ли G реа-
лизуется в градуированном Л-модуле Р:
G*P3(e,p)*->epeP,
так что
М = ([e] + [p])mod2, [е,е?]р= {еое' - (-l)W[eV<>e)p.
В классической теории поля четные и нечетные поля образуют
°УПерпространство, а их произведения — градуированную коммута-
ТИвНую алгебру, дифференцированиями которой может быть задано

92
Глава 4. Обобщения
представление той или иной градуированной алгебры Ли симмет-
рии Q. На X == Rn может быть построена суперкалибровочная
теория Янга—Миллса такой градуированной алгебры Ли <?, калиб-
ровочные поля которой представляются (/-значными 1-формами
на X [14,51,102].
Простейшим градуированным обобщением алгебры Ли группы
Пуанкаре (Ьаъ, Рц) является так называемая супералгебра Пуанкаре
с базисом
(Lab, Рц, Qa,Qb>), [Qa] = [QB] = [Qb'\ = 1,
которая (не выписывая коммутаторы алгебры Ли группы Пуанкаре)
задается соотношениями
[Ph>Qa] = \Ph,Qb'] = 0,
[Qa,Qb'] = ^ab'P^ (4.21)
[Qa,Qb] = [Qa',Qb>] = 0,
где А9В* — индексы 2-компонентных (непунктирных и пунктир-
ных) вейлевских спиноров, а1у2у3 — матрицы Паули и а0 = -1.
Суперкалибровочная теория Янга—Миллса этой градуированной
алгебры считается простейшей моделью супергравитации, в кото-
рой суперкалибровочные поля А% и А% со спином 3/2 интерпре-
тируются как суперпартнер классического гравитационного поля.
Он называется гравитино [83].
Однако проблема состоит в том, что калибровочная теория
группы Пуанкаре не описывает классическое гравитационное поле,
а суперкалибровочная теория супералгебры Пуанкаре, как и других
градуированных расширений алгебры Ли группы Пуанкаре, не яв-
ляется геометрической. Поскольку теория супергравитации обязана
включать описание классической гравитации, она должна строить-
ся в терминах супермногообразий и суперметрики [65,101].
Существуют несколько вариантов описания супергеометрии
[14,23,24,79]. Это градуированные многообразия, гладкие Н°°^
С?00- GH°°-супермногообразия, G-супермногообразия и суперм-
ногообразия Де Витта. Градуированное многообразие — это пар^
состоящая из гладкого многообразия X и пучка алгебр Грассма-
на на X. Гладкое GH00-супермногообразие — это пространств^

§2. Супергравитация
93
локальных колец (М, б), которое локально изоморфно (Bn,m,S),
где Bn,m = А" © Л™ — это супервекторное пространство и S — пу-
чок суперфункций на Бп,ш, принимающих значения в подалгебре
Грассмана Л' С Л. Выделяют следующие варианты:
(а) -супермногообразия, когда Л' = Л, введенные A. Rogers [93];
(б) GH00-супермногообразия, когда rank Л - rank Л' ^ га;
(в) Я00-супермногообразия, когда Л' = М.
Условие в варианте (б) гарантирует, что нечетные производные
хорошо определены. Например, это не так для G°°-супермногооб-
разий при га Ф 0. Существенно, что подстилающее пространство М
гладкого супермногообразия наделено структурой гладкого много-
образия размерности 2гапкЛ~1(п + га). Однако структура гладкого
супермногообразия имеет серьезные недостатки. Например, пучок
дифференцирований С?00-суперфункций не является локально сво-
бодным, а пространства значений GH°° -суперфункций оказыва-
ются, вообще говоря, неизоморфными. В то же время G-суперм-
ногообразия не имеют этих недостатков. Они локально изоморфны
(Bn'm, Gn,m), где пучок ЯПчТП G-суперфункций изоморфен тензорно-
му произведению S®Л пучка Я00-суперфункций S и алгебры Грас-
смана. Однако возможно, что неизоморфные G-супермногообразия
имеют изоморфные подстилающие гладкие многообразия. Гладкие
супермногообразия и G-супермногообразия становятся супермно-
гообразиями Де Витта, если наделить их неотделимой топологи-
ей Де Витта. Это слабейшая топология, такая что body-морфизм
£n,m является непрерывным. Существует определенное со-
ответствие между многообразиями Де Витта и градуированными
многообразиями [14].
Супергруппы Ли, главные суперрасслоения, ассоциированные
сУпервекторные расслоения и суперсвязности на них рассматри-
ваются в категории G-супермногообразий [14,23,79]. Они дают
^екватный математический аппарат для суперрасширения калиб-
ровочной теории Янга—Миллса. Более того, поскольку G-суперм-
н°гообразия являются также гладкими многообразиями, теоремы
РеДУкции структурной группы распространяются следующим обра-
зом также на главные суперрасслоения (см. обозначения в [14]).

94
Глава 4. Обобщения
Теорема 4.2-1 - Пусть Р -> М — главное G-суперрасслоение со
^-<* ****
структурной G-супергруппой Ли К, и пусть П — замкнутая
G-суперподгруппа Ли К, такая что К -» К/Н — главное супер-
расслоение. Существует взаимно однозначное соответствие меж-
ду главными G-суперподрасслоениями Р со структурной С?-су-
пергруппой Ли Н и глобальными сечениями фактор-суперрассло-
ения Р/П -у М с типичным слоем К/Н [101J.
Глобальные сечения суперрасслоения Р/Н —у М можно интер-
претировать как хиггсовские суперполя, являющиеся суперпартнера-
ми классических хиггсовских полей. Примером такого хиггсовского
суперполя является суперметрика [101].
Действительно, покажем, что условие теоремы 4.2.1 выпол-
няется, если Н — картановская суперподгруппа матричной су-
пергруппы К, т.е. К — G-суперподгруппа Ли некоторой общей
линейной супергруппы GL(n\m; А).
Как уже отмечалось, супералгебра Ли g (n, m)-мерной G-cy-
пергруппы Ли К определяется как Л-алгебра левоинвариантных
супервекторных полей на К, т. е. дифференцирований ее структур-
ного пучка. Левоинвариантные супервекторные поля на К образу-
ют Л-супералгебру Ли относительно градуированных скобок Ли
[и,и\=иои - (-l)'u""Vo«.
Будучи суперпространством Бп'ш, супералгебра Ли наделяется струк-
турой стандартного G-супермногообразия вп+т'п+т. Его четная
часть до — Бп,ш является Ло-алгеброй Ли.
Пусть К — матричная G-супергруппа Ли. Тогда существует
экспоненциальное отображение
= exp (J) = £ Tijk
k К
некоторой открытой окрестности нуля алгебры Ли до на откры-
тую окрестность U единичного элемента К. Это отображение
Я00-морфизм, который тривиально расширяется до G-морфизма.
Пусть Н — картановская суперподгруппа К, т. е. четная часть
f)o супералгебры Ли J) супергруппы Н является картановской по-

§2. Супергравитация
95
далгеброй алгебры Ли £0, а именно:
^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^ „^^^^ ^^^^ ^^^^
£о = fo + 1)0, [fо, fo] С fo» [fo. М С f0.
Тогда существует открытая окрестность, обозначим ее опять U, еди-
яичного элемента JRT, такая что любой элемент д б U однозначно
представим в виде
д = exp (F) ехр (/), F еТо, J G fo.
Как следствие, открытое множество Un = U -Я является G-изо-
морфным прямому произведению £(£_1(Е0 П?о) х Я. Это произ-
ведение задает тривиализацию открытой окрестности единичного
элемента К. Действуя на эту тривиализацию левыми трансляциями
Lg, д € К, мы получаем атлас главного суперрасслоения К -» Я.
Например, рассмотрим суперпространстю Бп|2ш, наделенное ко-
ординатами (яа, у1', j/*), и общую линейную супергруппу GL(n\2m; А)
его автоморфизмов. Пусть Яп12ш снабжено Л-значной билинейной
формой
n m
u = 5>v«) + Е^ - yiy,j)- (4-22)
i=i j=i
Суперматрицы, сохраняющие эту билинейнуюформу, образуютор-
тогонально-симплектическую супергруппу OSp(n\m;A) [49]. Это
картановская суперподгруппа GL(n\2m, А). Тогда фактор
GL{n\2m\ A)/OSp{n\m\ А)
представляет собой супермногообразие Л-значных форм на Bn| ш,
которые приводятся к виду (4.22) общими линейными суперпреоб-
разованиями.
Пусть теперь М — G-супермногообразие размерности (n, 2т)
и ТМ — его касательное суперрасслоение. Пусть LM — абони-
рованное главное суперрасслоение. Предположим, что его струк-
!^ная супергруппа GL(n\2m;A) редуцирована к суперподгруппе
^Р(п|т;Л). Тогда согласно теореме 4.2.1 существует глобальное
°ечение h фактора
LM/OSp(n\m, А) -> М,

96
Глава 4. Обобщения
которое можно рассматривать как суперметрику на супермногооб-
разии М. При этом билинейная форма (4.22) представляет своего
рода суперрасширение метрики на теле Rn = а(Вп\т) суперпро-
странства Вп\т. Однако проблема состоит в том, что тело суперм-
ногообразия в общем случае не является многообразием [31,65].
§ 3. Аффинная калибровочная теория
Касательное расслоение ТХ мирового многообразия X, как
и всякое векторное расслоение, имеет структуру аффинного рассло-
ения (см. § 4 Приложения). Поэтому можно рассмотреть аффинные
связности на ТХ. Будем называть их аффинными мировыми связно-
стями. Они являются связностями, ассоциированными со связно-
стями на главном расслоении аффинных реперов в касательных
пространствах к X Поэтому можно развивать их калибровочную
теорию [51,103].
Пусть F->X — аффинное расслоение, моделируемое над век-
торным расслоением У-»Х. Связность Г на Y->X называется
аффинной связностью, если сечение Г: Y -» JVY (П.50) является аф-
финным послойным морфизмом над X
Для всякой аффинной связности Г : Y —> J[Y соответствующая
линейная производная Г : Y -» J{Y (П.31) определяет линейную
связность на векторном расслоении Y->X. Поскольку, как уже
упоминалось, всякое векторное расслоение имеет естественную струк-
туру аффинного расслоения, любая линейная связность на вектор-
ном расслоении является аффинной.
Записанная относительно аффинных расслоенных координат
(хх, у1) на У, аффинная связность Г на Y -> X имеет вид
Г\ = Г^(х)у^+а\(х). (4.23)
Соответствующая Г линейная связность дается выражением
Г*Л = Тх*,(х&, (4.24)
где (жА, у1) — линейные расслоенные координаты на Y.

§ 3. Аффинная калибровочная теория 97
Аффинные связности на аффинном расслоении Y —> X обра-
зуют аффинное пространство, моделируемое над векторным про-
странством припаивающих форм (П.25) на Y —> X. С учетом три-
виализации (П.32), эти припаивающие формы представляются се-
чениями векторного расслоения
т*х®¥->х.
х
Если Y -» X — векторное расслоение, то как аффинные связ-
ности Г (4.23), так и линейные связности Г являются связностями
на векторном расслоении Y —> X, и их разница — базовая припа-
ивающая форма а (П.26) на Y. Таким образом, всякая аффинная
связность Г на векторном расслоении Y —> X является суммой ли-
нейной связности Г и базовой припаивающей формы а на Y —> X
Благодаря тривиализации (П. 15), эта припаивающая форма пред-
ставляется сечением тензорного произведения Т*Х ® Y.
Пусть Г — аффинная связность на векторном расслоении Y —> X,
и пусть R и R — формы кривизны (П.54) аффинной связности Г
(4.23) и соответствующей ей линейной связности Г (4.24). Они
связаны соотношением
R = R + T,
где VT-значная 2-форма
1 1
Т =dF<r = -T%Xfidxx Л dx* ® ft, (4.25)
кручение (П.57) связности Г относительно базовой припаиваю-
щей формы (т.
Пусть Y -> X — аффинное расслоение с fe-мерным типичным
°лоем V. Если нет ограничений на функции перехода между его
Ортами (см. случай электромагнитного поля в §4, гл.2), оно ас-
с°Циировано с главным расслоением AY аффинных реперов в Y,
СтРуктурной группой которого является общая аффинная группа
Тогда аффинные связности (4.23) на Y -> X можно
^сматривать как ассоциированные со связностями А на главном

98
Глава 4. Обобщения
расслоении AY -> X, и они представляются глобальными сечени-
ями аффинного расслоения
JlP/GA(k, R) -> X.
В соответствии с теоремой П. 1.4, такие сечения, т.е. аффинные
связности, всегда существуют.
Если Г — аффинная связность (4.23) на аффинном расслое-
нии Y -» X, моделируемом над векторным расслоением Y -> X, то
соответствующая Г линейная связность Г (4.24) на Y -> X ассо-
циирована со связностью .А на главном расслоении LY линейных
реперов в У, структурной группой которого является общая линей-
ная группа GL(&,R).
Имеет место точная последовательность групп
Т -> Тк -> G4(fc, R) -> GL(fc, R) -> Т, (4.26)
где Тк — группа трансляций в R*. Существует соответствующий
морфизм главных расслоений AY —> LY над X, и связность А
на главном расслоении LY является образом А на AY -» X при
этом морфизме в соответствии с теоремой П.8.4.
Точная последовательность (4.26) расщепляется:
GL(k, R) -> GA(k, R), (4.27)
но это расщепление не является каноническим. Оно определяется
морфизмом
V3v->v-vo6V,
т. е. зависит от выбора начала vq аффинного пространства V. При
заданном vq образ соответствующего морфизма (4.27) является ста-
билизатором
G(v0) С GA(k, R)
точки vq. Различные подгруппы G(vq) и G(vfQ) связан между собой
следующим образом:
G(v0) = T(v'0 - v0)G(vo)T-[(v'0 - v0),
где T(vf0 - vq) — трансляция на вектор (vf0 - vq) 6 V.

§ 3. Аффинная калибровочная теория
99
Замечание 4.3.1. Аналогично, известное отображение А;-мерного аффин-
ного пространства V на гиперповерхность yk+{ — 1 в Шк+1 и соответствую-
щее представление элементов группы GA(k, Ж) матрицами (к + 1) х (к + 1)
тоже не являются каноническими. Они зависят от точки v0 £ V, отобра-
жаемой в вектор (0,..., 0, 1) £ .
В частности, пусть Y -» X — векторное расслоение, наделен-
ное структурой аффинного расслоения, началом которого служит
каноническое нулевое сечение 0. В этом случае существует ка-
ноническое расщепление точной последовательности (4.26), такое
что GL(k, R) — подгруппа GA(k, R) и GA(k, R) — полупрямое
произведение GL(k,M) и фуппы T(fc, R) трансляций в R*. Пусть
AY X — главное расслоение со структурной группой GA(k, R).
Эта структурная группа всегда редуцируема к линейной подгруп-
пе, поскольку фактор-пространство GA(k, R)/GL(k, R) является
векторным пространством R*, наделенным канонической аффин-
ной структурой. Соответствующее фактор-расслоение изоморфно
векторному расслоению Y -» X. Существует канонический моно-
морфизм главного линейного расслоения LY —> AY на главное
редуцированное GL(k, М)-подрасслоение главного расслоения AY,
который соответствует каноническому нулевому сечению 0 рассло-
ения У->Х.В этом случае всякая связность на главном линейном
расслоении LY продолжается до связности на главном аффинном
расслоении AY согласно теореме П.9.7. Это эквивалентно тому
факту, что любая аффинная связность Г на векторном расслоении
^ -> X индуцирует линейную связность Г на Y —> X и что всякая
линейная связность на Y —> X может рассматриваться в качестве
аФфинной связности.
Обратимся теперь к касательному расслоению ТХ над миро-
Вьш многообразием X. Наделенное естественной структурой аф-
финного расслоения, оно называется аффинным касательным рас-
тением АТХ.
Тогда отношения между аффинными и линейными мировыми
Связностями на ТХ воспроизводят то, что говорилось выше в слу-
произвольного векторного расслоения Y —> X. В частности,
Ся*ая аффинная связность
Г = dxx ® [дх + (ГаУ*)*" + ot{x))da\ (4.28)

100
Глава 4. Обобщения
на ТХ —»■ X является суммой линейной связности
Г = ТХа»{х)хЫхХ ® да
(4.29)
на ТХ -» X и базовой припаивающей формы
(4.30)
на ТХ -» X, которая является (1,1)-тензорным полем на X
В частности, пусть а = вj — каноническая припаивающая
форма (П.23) на ТХ и Г — линейная связность (1.11) на ТХ.
Соответствующая аффинная связность (4.28) на ТХ имеет вид
и называется картановской связностью. Поскольку припаивающая
кривизна р (П.56) припаивающей формы 9j равна нулю, кручение
(П.58) картановской связности (4.31) совпадает с кручением
линейной связности Г, тогда как кривизна (П.58) картановской
связности является суммой R + T кривизны и кручения мировой
связности Г.
Проблемой является физическая интерпретация трансляцион-
ной составляющей а аффинной мировой связности (4.28).
В рамках так называемой калибровочной теории группы Пуан-
каре |26, 59] она отождествляется с реперным полем и выступает в
качестве динамической переменной, описывающей гравитацион-
ное поле. Это неверно, поскольку реперное поле является сече-
нием главного расслоения LX со структурной группой GL(4, R),
которая действует на его типичный слой — групповое простран-
ство GL(4, R) — левыми умножениями, а базовая припаивающая
форма а (4.30) представляет собой согласно замечанию П.2.1 сече-
ние так называемого группового расслоения LX, типичным слоем
и структурной группой которого является группа GL(4, R), которая
действует на себя по присоединенному представлению. В частно
сти, глобальная базовая припаивающая форма всегда существуем
Г = Г + 0
+ 0J9 г»х=гхМ"+д1
(4.31)
Т. а _ г a _/i а _/х

§ 3. Аффинная калибровочная теория 101
а глобальное реперное поле — только на параллелизуемом миро-
в0м многообразии X.
В случае 3-мерного пространства X = Ш3 трансляционные ком-
поненты аффинной связности используются для описания дислока-
ций в теории твердого тела, поскольку поле смещений обладает ло-
кальной трансляционной симметрией [7,78]. Отталкиваясь от этой
модели, было предположено, что трансляционные компоненты аф-
финной мировой связности могут описывать деформации мирового
многообразия и, в частности, дают модель гипотетической «пятой
силы» [15,96].

Глава 5
История
Физика XX в. пережила один за другим несколько периодов,
каждый из которых приводил к кардинальному изменению фи-
зической картины мира. Это теория релятивизма и гравитации,
модель атома и квантовая теория, физика ядра и элементарных ча-
стиц. В настоящее время на первый план вышла задача построения
объединенной теории элементарных частиц и их взаимодействий.
Впечатляющим достижением в этом направлении стало экспери-
ментальное подтверждение объединенной модели электрослабого
взаимодействия Вайнберга—Салама. Не вызывает сомнения кварк-
глюонная модель сильного взаимодействия. На повестке дня сто-
ит создание объединенной картины кварков и лептонов, сильного
и электрослабого взаимодействий. На этом фоне теория гравита-
ции имеет непреходящее значение, поскольку касается не только
одного из физических полей, но самой концепции пространства-
времени.
§ 1. Ньютоновская теория
Как известно, в конце XVII в. И. Ньютон, опираясь на труды
своих великих предшественников — Г. Галилея, И. Кеплера, X. Гюй-
генса, Р. Декарта, — установил основы физической картины мира,
базирующейся на представлении о 3-мерном евклидовом простран-
стве, независимом от материи, и об абсолютном времени, на клас-
сической механике и феноменологическом законе тяготения. Нью-
тоновская система мира отнюдь не была незамедлительно и безо-
говорочно принята. Буквально все ее положения подвергались со-
мнению.

§ 1. Ньютоновская теория
103
Картезианцы возражали против неконтактного действия на рас-
стоянии. Дж. Беркли и Г. Лейбниц высказывались против абсолют-
ного пространства как физического объекта, по отношении к кото-
рому определяется движение по инерции. Они настаивали на по-
строении «релятивной» механики, использующей взаимные рассто-
яния, скорости и ускорения тел и, в частности, не видели смысла
в задаче одного тела. В XIX в. Э. Мах подчеркивал, что инерция
индуцируется всей материей космоса. Даже сегодня в рамках суще-
ствующего геометрического аппарата нерелятивистской механики
не удается дать внутренне независимого определения свободного
движения и инерциальной системы отсчета [52].
Как известно, идеи Э. Маха влияли на А. Эйнштейна при по-
строении ОТО, которая оказалась, однако, немахианской. В ней
возможна постановка задачи одного тела, пространство может быть
искривлено и в отсутствие негравитационной материи.
Подчеркнем также, что ньютоновский закон тяготения отра-
жает 3-мерность пространства: например, в четырех измерениях
зависимость гравитационного потенциала от расстояния была бы
г~2. Ныне не исключается другая, в том числе дробная, размерность
пространства на сверхмалых расстояниях и в сверхэкстремальных
условиях, например, ранней Вселенной в духе допущения динами-
ческого характера внутренних и топологических характеристик.
Огромные конкретные успехи в предсказании физических яв-
лений в лабораторных условиях и в планетарной системе и вся
грандиозность ньютоновской системы мира надолго отодвинули
в сторону упомянутые возражения Г Лейбница и картезианцев.
Во второй половине XVIII в. ее победа была практически обще-
признанной. Сейчас ясно, что абсолютное плоское пространство
и вся ньютоновская гравитация являются с точки зрения реляти-
вистских СТО и ОТО законными физическими приближениями
в механике для слабого гравитационного поля и медленно движу-
щихся тел. Впрочем, не все так просто. С физической точки зрения,
Нерелятивистская механика является пределом релятивистской при
v/c -» 0, с — const, а математический аппарат нерелятивистской
Механики является пределом релятивистской при с —>• оо. Более

104
Глава 5. История
того, мы пока вообще не наблюдаем неквантовые релятивистские
объекты с v/c > 10~3.
Единственным эмпирическим «пятном» на тогдашней нью-
тоновской картине мира явилась открытая У. Леверье в середине
XIX в. аномалия — сдвиг перигелия Меркурия (43" в столетие).
Безуспешные попытки объяснить эту аномалию предпринимались
в XIX в. путем модификации ньютоновского потенциала. Интерес
представляли потенциалы Вебера—Римана, добавлявшие к ньюто-
новскому потенциалу скоростные поправки и давшие для сдвига
14". Кинематика СТО объяснила еще часть аномалии (7"), а пол-
ное описание она получила только в ОТО.
Вместе с тем реальный удар по ньютоновской системе мира
был сразу же нанесен в ее космологической части, поскольку допу-
щение статического распределения звезд в бесконечной Вселенной
приводит к бесконечной светимости (парадокс Шезо—Ольберса),
что отчасти понимал И. Ньютон. Для устранения этого парадокса
был предложен ряд модификаций: замкнутые Вселенные Целль-
нера, Шварцшильда; Г. Зеелигер, К. Нейман (1894) ввели ослаб-
ляющий фактор, перейдя к потенциалу г-1 ехр(—к^г) юкавского
типа. Кстати, такое, юкавского типа, обобщение ньютоновского
потенциала вновь проверялось и перепроверялось совсем недавно
на разных масштабах, но какого-либо подтверждения не получи-
ло. Небезынтересный вариант объяснения парадокса ньютоновской
космологии был предложен И.Ламбертом еще в конце XVIII в. Речь
идет об иерархической модели Вселенной, согласно которой на-
ша наблюдаемая Вселенная (Метагалактика) имеет партнеров, рас-
сматриваемых с точки зрения следующей иерархической ступени
как «молекулы». Далее идут еще более высокие ступени, масштабы
и другие характеристики которых подобраны так, чтобы обеспечить
общее конечное значение светимости. На самом деле первопричина
парадокса ньютоновской космологии заключалась в ее статичности,
т. е. средняя светимость единицы объема предполагалось постоян-
ной, а значит, плотность энергии во Вселенной — бесконечной. Она
была устранена в динамической модели А. А. Фридмана в ОТО.
Кардинальное изменение в физической картине мира принес-
ло в XIX в. открытие электромагнетизма и его описание уравнения-

§ 2. Эйнштейновская ОТО
105
ми Максвелла. Окончательную формулировку это изменение нашло
в СТО, созданной одновременно в работах А. Пуанкаре и А. Эйн-
штейна (1905), развивавших главным образом исследования Г.Ло-
ренца, и завершенной Г. Минковским (1908). Галилеевские преоб-
разования ньютоновского пространства были заменены лоренцев-
скими. Уравнения электродинамики уже оказались инвариантными
относительно этих преобразований, а уравнения механики и закон
сложения скоростей подверглись существенной релятивистской ре-
форме, запрещавшей сверхсветовые скорости.
Следующим естественным шагом были попытки построения
релятивистской теории гравитации.
§ 2. Эйнштейновская ОТО
Еще в своих первых работах по СТО (1905-1906) А. Пуанкаре
подчеркивал универсальность принципа относительности и распро-
странял его на гравитацию, сделав через 200 с лишним лет после
создания ньютоновской теории гравитации первый обоснованный
шаг по ее обобщению (в противоположность «подгоночным» по-
тенциалам Римана, Вебера, Гербера и др.). Он предпринял попытку
установить релятивистские поправки к закону Ньютона, но еще
не было речи о новых уравнениях гравитационного поля. С совре-
менной точки зрения, Пуанкаре рассмотрел прямое запаздывающее
гравитационное взаимодействие, предсказав, что скорость распро-
странения гравитации равна скорости света. Его гравитационные
идеи получили в то время незначительное продолжение у Г. Мин-
ковского, А. Зоммерфельда, Г. Лоренца, В. де Ситтера. Заметим,
что до сих пор ни общепризнанного математического определения,
ни неопровержимых фактов наблюдения распространяющихся гра-
витационных волн нет.
Релятивистские уравнения гравитационного поля в рамках СТО
Попытались установить М. Абрагам и Г. Нордстрем (1911) путем пе-
рехода от классического 3-мерного уравнения Лапласа—Пуассона
ньютоновского скалярного гравитационного потенциала к 4-мер-
Ному уравнению в различных вариантах. Но СТО позволяла объ-
яснить, как уже отмечалось, лишь часть меркурианской аномалии.

106
Глава 5. История
В отличие от попыток непосредственной релятивизации нью-
тоновского закона тяготения, А. Эйнштейн поставил во главу угла
(слабейший) принцип эквивалентности (1907-1911), опиравшийся
на факт равенства инертной массы и пассивного и активного грави-
тационных зарядов, известный уже Г. Галилею (равенство инертной
массы и пассивного гравитационного заряда), И. Ньютону, Ф. Бес-
селю, экспериментально вновь с большой точностью подтвержден-
ный Р. Этвешем в конце XIX в. и до настоящего времени неод-
нократно перепроверяемый. Отсюда последовало фундаментальное
признание движения в поле тяжести как инерциального движения
в искривленном пространстве, а в дальнейшем — геометрического
характера гравитационного поля.
Сейчас различают несколько градаций принципа эквивалент-
ности: уже упомянутый слабейший, слабый, среднесильный и силь-
ный принципы эквивалентности [5,17,64].
Непосредственным обобщением, своего рода локализацией,
слабейшего принципа эквивалентности является слабый принцип
эквивалентности. Используя тот факт, что для любой точки мо-
жет быть выбрана локально инерциальная в ней система отсчета,
он распространяет действие принципа эквивалентности на физи-
ческие системы в произвольном гравитационном поле, если их
уравнения содержат производные гравитационного поля не выше
первого порядка. К ним относятся, в частности, закон движения
точечных пробных тел, уравнения электромагнитного и спинорного
полей, но, например, не уравнение скалярного поля с конформной
связью —R<f>2/6. Из слабого принципа эквивалентности обычно вы-
водят принцип тождественности гравитационного и метрического
полей, хотя такой вывод признается не всеми [18]. Слабый принцип
эквивалентности фиксирует минковскую сигнатуру метрического
гравитационного поля, но допускает несимметричную связность,
поскольку ее антисимметричная часть (кручение) не дает вклада
в уравнение движения пробных тел.
Среднесильный принцип эквивалентности предполагает приме-
нение его ко всем физическим системам, кроме гравитационного
поля, а сильный принцип эквивалентности — и к гравитации.

§ 2. Эйнштейновская ОТО
107
Общим для всех упомянутых вариантов принципа эквивалент-
ности является то, что он призван гарантировать переход от ОТО
к СТО в некоторой системе отсчета. Трудность возникает в связи
с тем, что следует понимать под переходом к СТО.
Поскольку в ОТО наличие гравитационного поля отождеств-
ляется с неплоской метрикой пространства-времени, критерием
перехода к СТО часто считают устранение гравитационного поля
в некоторой системе отсчета. Однако, во-первых, такой критерий
заведомо неприменим в теории самого гравитационного поля (силь-
ный принцип эквивалентности). Во-вторых, никаким выбором си-
стемы отсчета нельзя обратить в нуль кривизну гравитационного
поля даже в точке, т. е. он не может быть применим и к некоторым
системам обычной материи (среднесильный вариант). Таким обра-
зом, если исходить из критерия перехода от ОТО к СТО, остается
справедливым только слабый принцип эквивалентности. Более то-
го, все упомянутые варианты принципа эквивалентности являются
«физическими» и не ведут непосредственно к математическим фор-
мулировкам. Составляющее фундамент ОТО отождествление гра-
витационного поля и псевдоримановой метрики подсказывается,
но не следует из такого принципа эквивалентности.
Поэтому была предложена другая, геометрическая, форма прин-
ципа эквивалентности [5,64]. В геометрическом аспекте СТО мож-
но характеризовать в духе эрлангенской программы Ф. Клейна как
геометрию инвариантов группы Лоренца. Следовательно принцип
эквивалентности может быть сформулирован как требование суще-
ствования лоренцевских инвариантов в некоторой системе отсчета.
Математически это требование означает, что найдется атлас каса-
тельного расслоения к мировому многообразию X с лоренцевски-
ми функциями перехода. В этом случае лоренцевские инвариан-
ты, определенные на одной карте, будут сохраняться при переходе
с карты на карту. Известна математическая теорема, утверждающая,
что указанное требование выполняется тогда и только тогда, когда
На X существует псевдориманова метрика </, такая что в указанном
атласе она сводится к метрике Минковского. Таким образом, вы-
полнение геометрического принципа эквивалентности обуславли-

108
Глава 5. История
вает существование псевдоримановой метрики на X, которая в ОТО
была отождествлена с гравитационным полем.
Этот решающий шаг был сделан А. Эйнштейном в сотрудни-
честве с М. Гроссманом в 1912-1913 гг. Чтобы построить уравнения
такого гравитационного поля, Эйнштейн исходил из предложенно-
го им общего принципа относительности.
Принцип относительности формулируется в ОТО как требо-
вание эквивалентности систем отсчета и следовательно инвариант-
ности теории (лагранжиана, уравнений движения, уравнений поля)
относительно преобразований систем отсчета. Впрочем, существует
разброс мнений о значении этого принципа — от того, что это один
из основополагающих принципов теории гравитации, и до того, что
он «не возможен и не нужен» [18] или является одним из следствий
принципа эквивалентности [1].
Формулировка принципа относительности непосредственно свя-
зана с понятием систем отсчета, определение которых само по се-
бе продолжает оставаться одной из трудностей теории гравитации.
Эйнштейн первоначально подчеркивал важную роль систем отсче-
та. В дискуссии с Абрагамом еще до установления ОТО он развил
идею, что гравитацию следует описывать как необходимый переход
от инерциальных систем отсчета к неинтегрируемым неинерциаль-
ным системам отсчета. Однако сам Эйнштейн какого-либо опре-
деления систем отсчета не предложил. Это неудивительно. В клас-
сической механике до сих пор не удается дать строго определения
инерциальной системы отсчета [52]. В эйнштейновской ОТО под
системами отсчета фактически подразумеваются (локальные) поля
голономных реперов в касательных пространствах, трансформи-
рующихся посредством общековариантных преобразований. Хотя
проблема реализации таких систем отсчета теми или иными физи-
ческими величинами или приборами остается нерешенной. Напри-
мер, не удается строго определить даже систему отсчета, связанную
с Землей, относительно которой мы смотрим на окружающий мир-
Более глубокий анализ проблема систем отсчета получила в рам-
ках тетрадной формулировки ОТО, метода (3+1)-разложения и его
вариантов [2,8,10]. В этой формулировке тетрады, восстанавливае-
мые в каждой точке пространства-времени, относительно которых

§ 2. Эйнштейновская ОТО
109
псевдориманова метрика сводится к метрике Минковского, рас-
сматриваются как локально лоренцевские системы отсчета. Только
в таких системах отсчета в теории гравитации может описываться
дираковское спинорное поле (Д.Д. Иваненко и В.А.Фок, 1929).
Окончательно уравнения гравитации были установлены в но-
ябре 1915 г. Д. Гильбертом. Приближенные расчеты движения пла-
нет, основанные на ОТО, позволили полностью объяснить мерку-
рианскую аномалию еще до получения точного решения для цен-
трально-симметричного гравитационного поля, данного К. Шварц-
шильдом в 1916 г. Затем последовало подтверждение предсказания
отклонения света от звезды в поле тяготения Солнца во время
солнечного затмения 1919 г. Это оказалось решающим в призна-
нии ОТО.
Огромный успех был достигнут на базе ОТО в построении
космологии, приведший к признанию модели расширяющейся Все-
ленной, предложенной А. А. Фридманом в 1922-1924 гг. в развитие
моделей Эйнштейна статической и де Ситтера расширяющейся,
но без материи, Вселенной. Расширение Вселенной было окон-
чательно установлено в 1929 г. Э. Хабблом, который обнаружил
закономерное разбегание галактик.
Экспериментальные подтверждения ОТО, основанная на ней
космология, ряд других астрономических открытий выдвинули ее
в 1920-е гг. в авангард современной физики. Она также стимулиро-
вала ряд глубоких физических идей и развитие новых математиче-
ских методов. Особо следует выделить направление, имевшее цель
вслед за геометризацией гравитации интерпретировать геометриче-
ски электромагнитное поле и тем самым построить геометрическую
картину всех известных тогда физических взаимодействий. Это так
называемые «единые теории 1920-х гг.».
Первый вариант такой единой картины предложил Г Вейль
в 1918 г. в рамках конформной геометрии, в которой длина вектора
^меняется при параллельном переносе. А. Эддингтон рассмотрел
°бщие линейные связности и квадратичные по кривизне лагран-
жианы, обобщив гильбертов лагранжиан ОТО. Э. Картан в 1922 г.
Ввел пространство с кручением. Т. Калуца в 1921 г. впервые предло-
жил перейти к 5-мерному пространству, получая при определенных

110
Глава 5. История
условиях уравнения Эйнштейна—Максвелла гравитации и элек-
тромагнетизма. Сам Эйнштейн, относившийся сначала к вариан-
ту Вейля отрицательно, затем принял участие в разработке всех
указанных вариантов единых теорий, предложив в 1928 г. теорию
телепараллелизма. Позднее он (параллельно Э. Шрёдингеру) начал
разработку моделей пространства с несимметричной метрикой и все
последние годы своей деятельности посвятил построению геомет-
ризованных теорий.
Единые теории 1920-х гг. не привели к успеху, поскольку вза-
имодействия с внутренними симметриями (а именно, электромаг-
нитное взаимодействие с группой симметрии 17(1)) они пытались
описать, как и гравитацию, в терминах пространственно-временной
геометрии, т. е. геометрии касательного и ассоциированных с ним
расслоений. В 1941 г. В. Паули, стимулированный теорией Вейля,
но заменив масштабные преобразования GL(l9B) = М на груп-
пу фазовых преобразований U(\)9 написал правильную ковариант-
ную производную дц — (Ац для электромагнетизма, отличавшуюся
от вейлевской дц — А^ мнимой единицей i — инфинитезимальным
генератором 17(1). В 1954 г. Ч. Янг и R Миллс обобщили работу
Паули на случай некоммутативной группы изоспина SU(2) и да-
ли старт калибровочной теории внутренних симметрии [4]. А уже
в 1956 г. R Утияма разработал схему калибровочной теории для про-
извольной группы внутренних симметрии и даже предложил пер-
вую калибровочную модель гравитации как теорию Янга—Миллса
для группы Лоренца [4]. В 70-е гг. прошлого века калибровочная
теория внутренних симметрии была геометризована в терминах рас-
слоений со структурной группой [3,47,80]. Однако еще в 1929 г.
Д. Д. Иваненко и В. А. Фок написали ковариантную производную
для спинорного поля в искривленном пространстве-времени, фак-
тически рассмотрев спинорное, не ассоциированное с касательным*
расслоение.
Всколыхнув в начале XX в. весь физический (и не только фи-
зический) мир, эйнштейновская ОТО затем, в период построения
квантовой механики и ядерной физики, отошла на второй план-
Немалую роль в этом сыграло и то, что ОТО выглядела в то врем*
настолько законченной теорией, что все попытки ее ревизии, рас

§ 3. Калибровочная теория гравитации
111
щирения, обобщения оказались несостоятельными. Понадобились
десятилетия, чтобы стало ясно: в ОТО при всех ее огромных успехах
имеются фундаментальные нерешенные проблемы систем отсчета,
энергии-импульса, сингулярностей и др. [5]. Интерес к теории гра-
витации вновь стал возрастать в 60-е гг. прошлого века. В немалой
степени этому способствовали новые космологические и астро-
физические открытия (реликтовое излучение, квазары, пульсары),
поиск гравитационных волн. С развитием калибровочной теории и
построением объединенной картины электромагнитного, слабого
и сильного взаимодействий, естественно встал вопрос о включе-
нии в нее гравитации на базе калибровочной теории. Таким обра-
зом, можно говорить о своего рода третьем (вслед за ньютоновским
и эйнштейновским) этапе развития теории гравитации.
§ 3. Калибровочная теория гравитации
В настоящее время, как уже отмечалось, калибровочная тео-
рия Янга—Миллса дает универсальное описание фундаментальных
электрослабого и сильного взаимодействий. Калибровочная теория
гравитации с самого ее рождения [4] была призвана распространить
это описание и на гравитацию. Она начиналась с калибровочных
моделей групп Лоренца, Пуанкаре и общековариантных преобразо-
ваний [59,64]. Сейчас калибровочные модели гравитации включают
в себя также супергравитацию, многомерные модели, некоммута-
тивную и квантовую гравитацию.
Первая калибровочная модель гравитации была предложена
Р. Утиямой [4] в 1956 г. спустя всего два года после рождения
самой калибровочной теории. Утияма был первым, кто обобщил
первоначальную калибровочную модель Янга—Миллса для SU(2)
На произвольную группу Ли симметрии, и в частности на группу
Лоренца, чтобы описать гравитацию. Однако он столкнулся с труд-
ностью интерпретации общековариантных преобразований и псев-
^°Римановой метрики (тетрадного поля), аналога которым нет в ка-
лПбровочной теории Янга—Миллса.
Как уже отмечалось, формализм расслоений обеспечивает аде-
кватную геометрическую формулировку классической теории поля,

112
Глава 5. История
в которой классические поля на гладком многообразии X пред-
ставляются сечениями расслоений над X [51, 102]. В частности,
теория Янга—Миллса является калибровочной теорией связностей
на главном расслоении Р —> X и ассоциированных с ним расслое-
ний со структурной группой Ли G [11,51].
Напомним, что определено каноническое действие структурной
группы G в Р справа, такое что P/G = X. Будучи G-эквивариант-
ными, связности на Р (т. е. калибровочные потенциалы) представ-
ляются глобальными сечениями фактор-расслоения С — JlP/G,
где JlP — многообразие струй первого порядка сечений Р —> X.
Калибровочными преобразованиями в теории Янга—Миллса яв-
ляются вертикальные автоморфизмы главного расслоения Р —> X
над X. При определенных условиях существует пополнение Собо-
лева группы VAut(P) до группы Ли, называемой калибровочной груп-
пой. В классической теории поля достаточно рассмотреть однопара-
метрические группы вертикальных автоморфизмов Р, инфините-
зимальными генераторами которых являются G-инвариантные вер-
тикальные векторные поля на Р. Эти векторные поля отождеств-
ляются с глобальными сечениями фактор-расслоения VP/G —У X,
где VP — вертикальное касательное расслоение Р —> X. Они об-
разуют алгебру Ли Q над кольцом С°°(Х) гладких вещественных
функций на X. Ее пополнение Соболева является алгеброй Ли ка-
либровочной группы. Когда Р —> X — тривиальное расслоение, Q
является С00(X)-расширением («локализацией» в физической тер-
минологии) алгебры Ли группы G.
Пусть Y (П. 102) — расслоение, ассоциированное с главным рас-
слоением Р —> X, со структурной группой G и типичным слоем V,
в котором группа G действует слева. Всякий автоморфизм Р по-
рождает автоморфизм ассоциированного расслоения У, и всякая
связность на Р задает связность на Y. В калибровочной теории
Янга—Миллса на главном расслоении Р сечения Р-ассоцииро-
ванного векторного расслоения Y (П. 102) описывают материаль-
ные поля.
Развивая калибровочную теорию гравитации, необходимо пре-
дусмотреть, чтобы она включала эйнштейновскую ОТО и, в част-
ности, допускала общековариантные преобразования. Расслоения

§ 3. Калибровочная теория гравитации
113
с такими преобразованиями принадлежат категории натуральных
расслоений [69]. У такого расслоения Т —у X существует функто-
риальное поднятие всякого диффеоморфизма его базы X до ав-
томорфизма расслоения Т, который является общековариантным
преобразованием. Соответственно всякое векторное поле г на X
поднимается до векторного поля г на Т, которое является инфини-
тезимальным генератором локальной однопараметрической группы
общековариантных преобразований Т При этом г ь> г представ-
ляет собой мономорфизм алгебры Ли Т(Х) векторных полей на X
в алгебру Ли Т(Т) векторных полей на Т. Заметим, что Т(Х)
не является алгеброй Ли группы Ли. В отличие от алгебры Ли
q инфинитезимальных калибровочных преобразований в теории
Янга—Миллса, Т(Х) — не С00(X)-алгебра Ли, т. е. она не являет-
ся «локализацией» какой-либо конечномерной алгебры Ли.
Таким образом, калибровочная теория гравитации строится как
теория поля на натуральных расслоениях. Примерами таких рас-
слоений служат касательное ТХ, кокасательное Т*Х и тензорные
расслоения над X. Ассоциированное главное расслоение со струк-
турной группой GL(4, R) — это расслоение LX линейных реперов
в касательных пространствах к X. Оно тоже является натуральным.
Линейные связности на касательном расслоении ТХ —> X ассо-
циированы со связностями на главном реперном расслоении LX.
Хотя расслоение линейных связностей JlLX/GL(4, R) не ассоци-
ировано с LX, это тоже натуральное расслоение, которое допускает
общековариантные преобразования [51,79].
Хотя общековариантных преобразований достаточно, чтобы
воспроизвести эйнштейновскую ОТО, а также аффинно-метриче-
скую теорию гравитации [15], некоторые авторы рассматривают
также полную группу Aut(iX) автоморфизмов главного реперно-
го расслоения LX над диффеоморфизмами базы X [59]. Всякий
такой автоморфизм представляет собой композицию некоторого
°бщековариантного преобразования и вертикального автоморфиз-
Ма LX, который является неголономным преобразованием каса-
Тельных реперов. Проблема состоит в том, что лагранжиан ОТО
и большинство лагранжианов аффинно-метрической теории гра-
дации не инвариантны относительно неголономных реперных

114
Глава 5. История
преобразований. Чтобы преодолеть эту трудность, дополнительно
рассматривают мультиплет t?fl = дц реперных полей, который яв-
ляется сечением расслоения LX. Однако такое сечение глобально,
только если LX —У X — тривиальное расслоение, т. е. X является
параллелизуемым многообразием.
Кроме того, векторное расслоение ТХ наделено естествен-
ной структурой аффинного расслоения. Ассоциированным главным
расслоением со структурной аффинной группой GA(4, R) является
расслоение АХ аффинных реперов в ТХ. Существует канониче-
ский мономорфизм расслоений LX —У АХ, соответствующий нуле-
вому сечению касательного расслоения ТХ = AX/GL(4, R). Аф-
финные связности на ТХ ассоциированы со связностями на глав-
ном реперном расслоении АХ. Будучи записанной в атласе с ли-
нейными функциями перехода, такая связность Г представляет
собой сумму Г = Г + а общей линейной связности Г на ТХ
и припаивающей формы а, т.е. сечения тензорного расслоения
Т*Х ® VTX -У X. В линейных расслоенных координатах (х^, уа)
на ТХ аффинная связность принимает вид (4.28).
Существуют различные физические интерпретации трансля-
ционной части а аффинной связности. В калибровочной теории
дислокаций поле а описывает дисторсию [7,15,78,96]. В то же вре-
мя припаивающую форму а порой ошибочно отождествляют с ко-
реперным полем, трактуя последнее как трансляционную часть аф-
финной связности [26,59]. Припаивающая форма и кореперное по-
ле — сечения разных расслоений (§ 3, гл. 4), причем первая — всегда
глобальное, а второе — локальное, если X не параллелизуемо.
Калибровочная теория Янга—Миллса, помимо калибровочных
и материальных полей, включает также хиггсовские поля. Хиггсов-
ское поле ответственно за нарушение симметрии. Пусть Р —У X ^
главное расслоение со структурной группой G и Н — замкнутая
подгруппа (следовательно подгруппа Ли) группы G. Тогда имеет
место композиция расслоений
Р ^Р/Н —»Х,
где Р -У Р/Н — главное расслоение со структурной группой #
и Р/Н —у X — Р-ассоциированное расслоение со структурной

§ 3. Калибровочная теория гравитации
115
группой G, действующей в его типичном слое G/H слева. В клас-
сической калибровочной теории на Р —у X нарушение симметрии
описывается как редукция его структурной группы G к подгруп-
пе Н точных симметрии, т. е. Р содержит главное подрасслоение
со структурной группой Н, называемое редуцированной структу-
рой [51,64,84,100]. Существует взаимно однозначное соответствие
рь 7г~^(й(Х)) между редуцированными Я-подрасслоениями Ph
расслоения Р и глобальными сечениями h фактор-расслоения
р/Н —> X (теорема П.9.1). Эти сечения описывают хиггсовские
поля. Всякая связность Ah на редуцированном подрасслоении Г"
продолжается до связности на Р и порождает ассоциированную
связность на Р/Н —>• X, такую что ковариантный дифференциал
DAhh сечения h равен нулю. Обратно, связность А на Р проектиру-
ема на Ph тогда и только тогда, когда D^h = 0. В то же время, если
алгебра Ли g группы G является прямой суммой (П. И5) алгебры
Ли F} группы Н и подпространства m С 0, такого что Adg(m) С т,
д £ Н, тогда индуцирование fj-значной компоненты любой связ-
ности на Р на редуцированное подрасслоение Ph является связ-
ностью на главном расслоении Ph. Это свойство так называемых
редуктивных индуцированных структур [54].
Пусть Y -у Р/Н — векторное расслоение, ассоциированное
с главным Н-расслоением Р —у Р/Н. Тогда сечения компози-
ционного расслоения Y —у Р/Н —у X описывают материальные
поля с группой точных симметрии Н в присутствии хиггсовских
полей. Его типичным слоем служит расслоение (П. 121), реализую-
щее индуцированное представление (П. 122) группы G. Если Н —
картановская подгруппа группы G, так называемые нелинейные
Реализации группы G в окрестности ее единицы являются приме-
ром такого индуцированного представления [6, 51,66].
Римановы и псевдоримановы метрики на многообразии X дают
Пример хиггсовских полей. Пусть X — ориентируемое 4-мерное
Гладкое многообразие. Структурная группа G£+(4, К) реперного рас-
Слоения LX всегда редуцирована к своей максимальной компакт-
Ной подгруппе 50(4). Соответствующие глобальные сечения фак-
т°Р-расслоения LX/SO(4) — римановы метрики на X. Аналогич-
н°> псевдоримановы метрики сигнатуры (+, ) на X являются

116
Глава 5. История
глобальными сечениями фактор-расслоения Epr = LX/SO(\,3)
(1.29), соответствующими редукции структурной группы GL+(4, щ
расслоения LX к группе Лоренца 50(1, 3) [64,110]. Такая редукция
не обязательно существует. Для этого многообразие X должно удо-
влетворять определенным топологическим условиям. С физической
точки зрения, существование редуцированной лоренцевской струк-
туры следует из упоминавшегося в предыдущем параграфе геомет-
рического принципа эквивалентности и существования дираков-
ской спинорной материи [64,96]. Фактор-расслоение Spr (1.29)
ассоциировано с LX. Это натуральное расслоение. Его глобальное
сечение д определяет главное лоренцевское подрасслоение LhX
расслоения LX. Его локальные сечения {ha}t имеют лоренцев-
ские функции перехода. Они называются тетрадными функциями
и определяют атлас Фл = {({ha}t, U,)} расслоения LX и ассоци-
ированных расслоений с лоренцевскими функциями перехода так,
что псевдориманова метрика д сводится к метрике Минковского т)
в атласе Фл.
Поскольку группа Лоренца является картановской подгруппой
G//+(4, R), можно локально приравнять
д = exp KV)Se/J}ft),
где Sap — нелоренцевские инфинитезимальные генераторы группы
GZ+(4, R), и трактовать функции параметров аа^(х^) как голдсто-
новские поля [6,9,62,64].
Впервые идея о том, что нарушение лоренцевской симметрии
из-за искривления пространства-времени ведет к концепции грави-
тона как голдстона, была высказана в середине 1960-х гг. Иваненко
и Гейзенбергом при обсуждении возможной связи космологиче-
ских и вакуумных симметрии [63]. Она была возрождена в 70-е
гг. в связи с применением метода нелинейных реализаций групп
[37,62] в качестве наиболее подходящего аппарата для описания
спонтанного нарушения симметрии. То обстоятельство, что метри-
ческое гравитационное поле возникает при построении нелиней-
ных реализаций группы GL(4, R), было впервые отмечено в ра-
ботах [9,62]. В плане спонтанного нарушения симметрии группы
GL(4, R) и трактовки гравитационного поля как голдстоновско-

§ 3. Калибровочная теория гравитации
117
го этот вопрос подробно исследовался Ю. Нееманом с соавторами
[82]- Однако эта трактовка основывалась только на изоморфизме
Пространства псевдоримановых билинейных форм в R4 и фактор-
пространства GL(4, R)/0(1, 3), игнорируя геометрические аспекты
гравитации. С позиций геометрической формулировки калибро-
вочной теории на хиггс-голдстоновскую природу гравитационного
поля было указано нами [64,94] и А. Траутманом [ПО]. При этом
мы исходили непосредственно из принципа эквивалентности.
Всякая связность на лоренцевском главном расслоении LhX
расширяется до связности на реперном расслоении LX и следо-
вательно является линейной связностью на ТХ и других ассо-
циированных расслоениях. Она называется лоренцевской связно-
стью. Ковариантная производная д относительно этой связности
равна нулю. Таким образом, калибровочная теория на реперном
расслоении LX, структурная группа которого редуцирована к груп-
пе Лоренца, приводит к аффинно-метрической теории гравитации
[15,26,59]. Рассматривая только лоренцевские связности, мы при-
ходим к теории гравитации с кручением [6, 59, 60, 64, 106]. Если
связность плоская, ее кручение не обязательно равно нулю. Это
вариант телепараллельной гравитации на параллелизуемом много-
образии [73,86].
Важно, что, если структурная группа реперного расслоения LX
редуцирована к группе Лоренца 50(1, 3), она также редуцирована
к ее максимальной компактной подгруппе 50(3). Соответствую-
щим глобальным сечением фактор-расслоения LhX/SO(3) являет-
ся времениподобное единичное ковекторное поле h° на X, которое
определяет пространственно-временное разложение ТХ [96]. Бо-
лее того, имеет место коммутативная диаграмма (1.49) редукции
структурных групп, которая приводит к известному соотношению
g = 2h°®h°- gR
Между псевдоримановой д и римановой gR метриками на X.
Редукция структурной группы GL+(4, R) реперного расслоения
к группе Лоренца предполагает соответствующую редукцию
структурой группы GA(4, R) расслоения аффинных реперов АХ
к Фуппе Пуанкаре. Это случай так называемых Пуанкаре-калибро-

118
Глава 5. История
вочных теорий [59,81,87,111]. Так как группа Пуанкаре выводится
из (Wigner— Inonii) редукции групп де Ситтера 50(2, 3) и 50(1,4)
и она является подгруппой конформной группы, калибровочные
теории на расслоениях Y —> X с этими структурными группами, реду-
цированными к группе Лоренца, тоже разрабатываются [56,74,111J.
Однако в этом случае, поскольку эти расслоения не являются на-
туральными, необходимо определить поднятие в Y группы Diff(X)
диффеоморфизмов X [75]. Также возникает проблема физической
интерпретации соответствующих хиггсовских полей. В еще более
общем варианте рассматривается калибровочная теория на рассло-
ении с типичным слоем Rn и топологической структурной груп-
пой Diff(Rn) или ее подгруппой аналитических диффеоморфиз-
мов [68]. Пуанкаре-калибровочная теория обобщается также к ка-
либровочной теории полей высших спинов с тензорными коре-
перами 'а* лв,х^ и обобщенными лоренцевскими связностями
да{.. .atM.. bt j. _ \9яяя 9g—i9 которые удовлетворяют определенным
условиям [112].
Как уже отмечалось, наличие дираковской спинорной материи
обуславливает существование редуцированной лоренцевской струк-
туры и следовательно гравитационного поля. Дираковская спинорная
структура на 4-мерном многообразии X определяется как пара (Ph, zs)
главного расслоения Ph -> X со структурной спиновой Ls — SL(2, С)
группой и его морфизма zs : Ph —» LX в линейное реперное рас-
слоение LX [21,72]. Всякий такой морфизм факторизуется
Ph -+LhX -+LX (5.1)
посредством морфизма на некоторое редуцированное подрасслоение
LhX С LX, структурной группой которого является собственная
группа Лоренца L, имеющая Ls своим универсальным двулистным
накрытием. Соответствующее фактор-расслоение £т = LX/L —
это двулистное накрытие расслоения Spr (1.29). Его глобальные
сечения — тетрадные поля Л, задаваемые семействами тетрадных
функций, принимающих значения в собственной группе Лорен-
ца L. Таким образом, всякая дираковская спинорная структура
ассоциирована с редуцированной лоренцевской структурой, но об-
ратное, вообще говоря, не верно. Имеются известные топологиче-

§ 3. Калибровочная теория гравитации
119
ские препятствия существованию дираковской спинорной структу-
ры [50,115]. В частности, дираковская спинорная структура на не-
компактном многообразии X определена тогда и только тогда, ко-
гда X параллелизуемо.
Отметим, что в рамках калибровочной теории гравитации удобно
описывать дираковские спиноры в терминах алгебр Клиффорда [72].
Пусть задана дираковская спинорная структура (5.1). Ассоци-
ированное дираковское спинорное расслоение Sh является подрас-
слоением алгебр Клиффорда, порождаемых лоренцевскими репе-
рами {ha} € LhX [25,72]. Поэтому задано представление
Ъ(йх») = КГ (5.2)
касательных кореперов dx** матрицами Дирака и определен опера-
тор Дирака на Sh относительно некоторой связности на Ph. Таким
образом, сечения спинорного расслоения Sh описывают дираков-
ские спинорные поля в присутствии тетрадного поля h. Отметим,
что имеет место взаимно однозначное соответствие между связно-
стями на Ph и связностями на лоренцевском реперном расслоении
LhX = zs{Ph). Более того, так как алгебры Ли групп G = GL+(4, R)
и Н = L удовлетворяют разложению (П. 115), всякая связность Г
на LX порождает спинорную связность Г5 на Ph и Sh [90, 98].
Однако для разных тетрадных полей представления (5.2) не экви-
валентны. Поэтому возникает проблема описания дираковских спи-
норных полей в присутствии разных гравитационных полей и под
действием общековариантных преобразований.
Благодаря разложению (П. 115) существует также каноническое
поднятие (3.23) всякого векторного поля на X на расслоения Рн
и Sh [55], хотя оно не функториально и не является инфините-
зимальным генератором общековариантных преобразований. Что-
бы преодолеть эту трудность, рассмотрим двулистное накрытие
GZ4 группы GL+(4, R) вместе с коммутативной диаграммой (3.24).
Пусть LX -> X — главное расслоение со структурной группой
G£4j которое является двулистным накрытием линейного репер-
ного расслоения LX [41,72]. Это накрывающее расслоение одно-
значно определено, если X параллелизуемо. Оно наследует обще-
Ковариантные преобразования реперного расслоения LX. Однако

120
Глава 5. История
спинорные представления группы GL^ бесконечномерны. Поэтому
LX-ассоциированное спинорное расслоение описывает бесконеч-
номерные так называемые «мировые» спинорные поля, но не ди-
раковские [59,107].
С другой стороны, любая дираковская спинорная структура
(5.1) определяет коммутативную диаграмму (3.26). Рассмотрим глав-
ное Ls -расслоение LX ->- Ет и ассоциированное спинорное рас-
слоение S —> Ет. Из диаграммы (3.26) следует, что при заданном
сечении h тетрадного расслоения Ет X, расслоение, индуциро-
ванное S Ej на h(X) С Ет, совпадает со спинорным рассло-
ением Sh, чьи сечения описывают дираковские спинорные поля
в присутствии тетрадного поля Л. Таким образом, сечения ком-
позиционного расслоения S —> Ет —> X характеризуют дираков-
ские спинорные поля на мировом многообразии X в присутствии
различных гравитационных полей [15,51,98]. Если X параллели-
зуемо, S —> X может быть ассоциировано с главным GL\ -рас-
слоением LX, хотя и не единственным образом. Соответственно
S —> X допускает различные поднятия векторных полей на X, ко-
торые отличаются друг от друга вертикальными векторным полями
на S —> Ет, являющимися инфинитезимальными генераторами ло-
ренцевских калибровочных преобразований.
В рамках квантовой теории поля и объединенных моделей
рассматриваются спинорные поля на римановых многообразиях
и псевдоримановых многообразиях произвольной сигнатуры, ко-
торые имеют дополнительные симметрии. Упомянем заряженные
спинорные поля на римановом многообразии X, dimX = п. Это
сечения векторного расслоения, ассоциированного с двулистном
накрытием PSpinc прямого произведения Р$о х Рщ\) главного
SO(n) -расслоения Р$о ортогональных реперов в ТХ и главно-
го 17(1)-расслоения Рц(\) [61,72,77]. Расслоение PSpinc называ-
ют spinс-структурой на X. Следует отметить, что spinс -структура
может существовать в отсутствие спинорной структуры. Напри-
мер, любое 4-мерное ориентируемое риманово многообразие до-
пускает spinc-структуру. Если X компактно, spin-(spinc)-cTpyKTypa
возникает в некоммутативной геометрии Кона [14], характеризу-
емой спектральной тройкой (А,Е,Т>) алгебры А = С°°(Х,С)

§ 3. Калибровочная теория гравитации
121
гладких комплексных функций на X, гильбертова пространства
Е = L(X, S) квадратично интегрируемых сечений спинорного рас-
слоения S -> X и оператора Дирака V на S [38,91]. Эта конструк-
ция расширяется на некомпактные многообразия X [92], глобально
гиперболические лоренцевские многообразия [89] и псевдоримано-
вы спектральные тройки [108]. Неабелевы обобщения spinc-CTpyK-
туры также исследуются [22].
Из наиболее активно развиваемых сейчас обобщений калиб-
ровочной теории гравитации отметим многомерные модели типа
Калуцы—Клейна (§ 1, гл.4), супергравитацию (§2, гл.4) и неком-
мутативную гравитацию.
Некоммутативная теория поля инициируется многими физиче-
скими и математическими моделями [45]. Например, квантовая тео-
рия поля дает аргументы в пользу некоммутативного пространства-
времени [44]. Существует несколько подходов к построению не-
коммутативной теории гравитации. Один из них следует из упоми-
навшейся выше некоммутативной геометрии Кона и спектральных
троек [33,34]. В частности, гравитационный функционал действия
можно представить как след некоторой функции оператора Дира-
ка [34]. Другой подход основан на (Seiberg—Witten) отображении,
заменяющем обычное произведение калибровочных, тетрадного
и метрического, полей деформированным (star product) [36]. На-
пример, рассматриваются разные варианты q-деформации (кван-
товые группы) [30,32] и деформации типа Мойала [71,76]. Такие
деформации, в частности, ведут к комплексной гравитации [35].

Приложение
Для удобства читателя представляется целесообразным сумми-
ровать необходимый математический материал из теории рассло-
енных пространств [51,58,69,79,103] в форме, специально адапти-
рованной к формулировке теории гравитации.
§ 1. Расслоения
Пусть Z — многообразие с координатным атласом {U,za}.
Расслоение касательных пространств к Z (касательное расслоение)
традиционно обозначается
7Гя : TZ —у Z.
Оно наделено атласом (U); zx 9 zx} голономных координат, где
(iA) — координаты на касательных пространствах TZZ, z 6 Z,
относительно голономных реперов {д\} с функциями перехода
z = ——z .
Всякий морфизм многообразий / : Z —» Z* продолжается до каса-
тельного морфизма касательных расслоений
dfx
Tf:TZ-> TZ', zx oTf = -^—z*.
Морфизм многообразий f \ Z -> Z' называется иммерсией (im-
mersion), если для любой точки z G Z касательный морфизм Tf
осуществляет инъекцию касательного пространства TZZ в касатель-
ное пространство Tj^Z1. Морфизм / : Z -> Z1, который является
одновременно иммерсией и инъекцией, именуется погружением.
Образ погружения многообразия Z в многообразие Z1 является
подмногообразием Z1. Подмногообразие, которое оказывается также
топологическим подпространством, называется вложенным подмно-
гообразием, а диффеоморфизм на вложенное подмногообразие —-
вложением (imbedding).

§ 1. Расслоения
123
Морфизм многообразий / : Z -» Z1 называется субмерсией
(submersion), если для любой точки z G Z касательный морфизм
Tf осуществляет сюръекцию касательного пространства TZZ на ка-
сательное пространство Tf^Zf. Локальный диффеоморфизм — это
морфизм, являющийся как иммерсией, так и субмерсией.
Проекцией будем называть сюръекцию, которая одновременно
представляет собой субмерсию, хотя по-английски такое отображе-
ние обычно именуется fibration, а не projection. Проекция является
открытым отображением.
Пусть морфизм многообразий
7г:Г->Х, dimX = n>0, (П.1)
— проекция. Тогда Y называется расслоенным многообразием с базой
X и слоями Yx = ir~l(x) над х G X. Всякий такой слой является
вложенным подмногообразием Y размерности dim Y - dim X Рас-
слоенное многообразие наделяется атласом расслоенных координат
{Uy\ хх, у1} с функциями перехода
*'A = /V), ^ = /VV),
где (хх) — координаты на 7г(С/у) С X
Расслоенное многообразие (П.1) считается тривиальным, если
Y = X xV и к = рт{ : X xV X.
Расслоенное многообразие Y —> X называется расслоением, если
оно допускает атлас расслоенных координат {(п~{(Щ),хх,уг)} спокры-
тием Y, которое является прообразом {7г-1 (Щ)} покрытия И = {Щ}
базы X В этом случае существует многообразие V, называемое ти-
пичным слоем, так что Y локально диффеоморфно тривиализациям
Ъ:ж~1(и()->ЩхУ, (П.2)
«склеиваемым» посредством функций перехода
0^ = ^ о ^Г1 : Щ n Uc х V -> Щ П Щ х V (П.З)
на пересечениях ЩПЩ. Функции перехода удовлетворяют
Условию коцикла
на пересечениях Щпи^пи^ В точке х G X морфизмы тривиализации

124
Приложение
^ (П.2) и функции перехода д# (П.З) определяют диффеоморфиз-
мы слоев , ч
ft(x) :YX^V, х € Щ, (ПА)
qk(x):V^>V, хеЩПЩ. (П.5)
Карты тривиализации (Щ,1р() вместе с функциями перехода
(П.З) составляют атлас
* = {(Щ,Ъ),%С} (п.б)
расслоения Y —> X. Два атласа расслоения считаются эквивалент-
ными, если их объединение — тоже атлас расслоения, т. е. сущест-
вуют функции перехода между картами тривиализации разных ат-
ласов. Расслоение Y -> X однозначно определяется своим атласом.
Приведем некоторые полезные критерии, когда расслоенное
многообразие является расслоением.
Теорема П. 1.1. Компактное расслоенное многообразие — это
расслоение.
Теорема П. 1.2. Расслоенное многообразие, слои которого диф-
феоморфны некоторому компактному многообразию или Шт, яв-
ляется расслоением.
В теории гравитации мы можем ограничить наше внимание
расслоениями, за исключением рассмотрения пространственно-вре-
менных слоений.
Будем в дальнейшем полагать, что покрытие И для атласа рас-
слоения Y -> X является также покрытием для атласа многообра-
зия X. Тогда атлас расслоения Ф (П.б) определяет на Y систему
расслоенных координат
ХХ(У) = (ХХ О ж)(у), у\у) = (у1 О ^)(у), у 6 7г_1(^),
где xх — координаты на Щ С X и у1 — координаты на типичном
слое V.
Теорема П.1.3. Всякое расслоение со стягиваемой базой триви-
ально.
Следует, однако, заметить, что расслоенные многообразия над
стягиваемой базой не обязательно тривиальны, даже если их слои
взаимно диффеоморфны.

§ 1. Расслоения
125
Из теоремы П. 1.3 следует, что всякое покрытие базы X стяги-
ваемыми открытыми подмножествами является покрытием для ат-
ласа расслоения. Всегда существует счетное такое покрытие. Всякое
расслоение допускает и атлас с конечным покрытием, но не обяза-
тельно связными подмножествами.
Локальным сечением расслоения 7г: Y —> X называется морфизм
з :U -> Y открытого подмножества U С X, такой что 7г о s = Id U,
т. е. сечение s отображает всякую точку х 6 U в слой Yx над этой
точкой. Локальное сечение определяется также на всяком подмно-
жестве N £ X как ограничение на N локального сечения на откры-
том множестве, содержащем N. Если U = X, сечение s называется
глобальным сечением. Всякое сечение является вложением.
Расслоенное многообразие допускает локальное сечение в окрест-
ности любой точки его базы. Однако глобальное сечение существует
не всегда.
Теорема П. 1.4. Если слои расслоенного многообразия Y —> X диф-
феоморфны Rm, всякое его сечение на замкнутом вложенном под-
многообразии (например, точке) X расширяется до глобального
сечения. В частности, такое расслоенное многообразие допуска-
ет глобальное сечение.
Если задан атлас расслоения {U,xx,y1}, его сечение s пред-
ставляется набором локальных функций {s% = у1 о s} на областях
тривиализации U.
В качестве морфизмов расслоений рассматриваются послойные
морфизмы, отображающие слой в слой. Такой морфизм расслоения
я": Y -> X в расслоение 7г' : Y' -> X1 определяется как пара (Ф, /)
морфизмов многообразий, образующих коммутативную диаграмму
тг тг' , 7г' О ф = / О 7г.
х Ах'
Инъекция и сюръекция расслоений называются мономорфизмом
и эпиморфизмом. Диффеоморфизм расслоений именуется изомор-
физмом, или автоморфизмом, если это диффеоморфизм на себя.

126
Приложение
Для краткости послойный морфизм над / = IdX обычно назы-
вается морфизмом над X и обозначается Y —> Y'. Автоморфизм
х
расслоения над X называется вертикальным автоморфизмом. Мор-
физм расслоений Ф : Y -У Y1 над X является подрасслоением рас-
слоения Y1 X, если Ф(К) — подмногообразие Y'.
Если дано расслоение 7Г: Y ->> X и задан морфизм f : Хг -> X,
индуцированным расслоением (pull-back bundle) над X1 называется
многообразие
f*Y = {(*', у) G X' х Г : = /(*')} (П.7)
вместе с проекцией (#', у) х1. Слоем расслоения f*Y над точкой
ж' 6 X1 является слой расслоения Y над точкой f(xf) 6 X Суще-
ствует канонический послойный морфизм
/у : f*Y Э (х', y)U)=f(x.) -jyyeY. (П.8)
Всякое сечение s расслоения Y -> X порождает сечение f*s(x/) =
= (xf, s(f(x')) индуцированного расслоения f*Y —> X1.
Если, например, ix> : X1 С X — подмногообразие X, индуци-
рованное расслоение i*x,Y = Y\X' называется сужением расслоения
Y на подмногообразие X1.
Пусть 7Г: Y —> X и 7г': Y1 —> X — расслоения с одной и той же
базой X Их прямым произведением Y хх Y1 над X является инду-
цированное расслоение
Y х Y' = тг*Г' или Y х Y' = n'*Y.
x x
Его слоями служат прямые произведения Yx х Yx слоев расслое-
ний Y и Y1.
§ 2. Векторные расслоения
Расслоение Y —> X называется векторным расслоением, если:
• его типичный слой V и слои Yx = ir~~{(x), х G X, являются ве-
щественными конечномерными векторными пространствами;
• существует атлас Ф (П.б) расслоения Y —> X, морфизмы три-
виализации ^ (П.4) и функции перехода (П.5) которого -~
линейные изоморфизмы.

§ 2. Векторные расслоения
127
Соответственно векторное расслоение наделено атласом линейных
расслоенных координат (у1) с линейными функциями перехода
у11 — Alj(x)yJ, так что
У = У*Ф(у)) = У%(*Ш~\ъ)> *{У) G Щ, (П.9)
где {е{} — фиксированный базис типичного слоя V расслоения Y
и {€i(x)} — базисы (реперы (frames)) слоев Yx расслоения Y, ассо-
циированные с атласом Ф.
Согласно теореме П. 1.4, любое векторное расслоение допуска-
ет глобальное сечение, например нулевое сечение 0(х) = 0.
Морфизмами векторных расслоений являются линейные по-
слойные морфизмы, которые линейны на каждом слое.
Приведем стандартные конструкции из векторных расслоений
над одной и той же базой.
• Дуальное к Y -> X векторное расслоение F* -> X с типичным
слоем V*, дуальным типичному слою V расслоения Y. Свертка
(interior product) дуальных расслоений Y wY* определяется как
послойный морфизм
J \ Y®Y* —>XxJR.
х
• Пусть У 4 I и У —> X — векторные расслоения с типич-
ными слоями F и Г. Их сумма Уитни Y © Y' — это прямое
х
произведение Y xY', которое является векторным расслоени-
х
ем с типичным слоем V © V.
• Пусть У-^ХиГч! - векторные расслоения с типичными
слоями V и V1. Их тензорным произведением Y ® Y1 называется
х
векторное расслоение над X с типичным слоем V ® V1.
• Соответственно задаются внешнее (антисимметричное тензорное)
произведение векторных расслоений (exterior product) Y AYf
'x.
и их симметричное тензорное произведение YMYt. В частно-
сти, определим расслоение
ЛУ = (X х R) ф Y ф Л Y ф • • • ф Л Y,
v ' х х х х (П. 10)
k — dim Y - dim X.

128
Приложение
Лемма П.2.1. Пусть Y uYf — векторные расслоения над одной
и той же базой X. Существует взаимно однозначное соответ-
ствие между их послойными морфизмами
Ф:УХЭ {е,(х)} -> {ФНх)е'к(х)} € У'г
над X и глобальными сечениями
Ф : х -> Ф*(х)ег(х) ® е'к(х)
тензорного расслоения Y* <8> Y'.
Композиция послойных отображений
у' ±^Y"
х х
векторных расслоений над одной и той же базой X называется
точной последовательностью в Y если Кег j = lm г. Последователь-
ность векторных расслоений
0->Г' -Ur Ау,/-уО (П.11)
xx
над X именуется короткой точной последовательностью, если она
точна во всех своих членах Y1, Y и . Это означает, что г — мо-
номорфизм расслоений, j — эпиморфизм и Kerj = 1тг. Всякой
короткой точной последовательности векторных расслоений (П. 11)
соответствует короткая точная последовательность дуальных рас-
слоений
О -> Y"* ДГ A Y'* -> 0.
Говорят, что короткая точная последовательность (П.11) расщепля-
ется, если существует мономорфизм расслоений s : Y" -> Y, такой
что j os — Id У", т.е.
Y = i(Y') 0 s(Y") =Yf® Y".
Теорема П.2.2. Всякая короткая точная последовательность
векторных расслоений (П.11) расщепляется.
Примером векторных расслоений служит касательное рассло-
ение TZ с голономными расслоенными координатами (zx, zx), ас-
социированными с атласом расслоения
^т = т,^ = Тф,)}, (П. 12)

§ 2. Векторные расслоения
129
где Ф# = {(^Л, 0а)} — атлас многообразия Z и Тф1 — касательный
морФизм к Фь- Атлас (П. 12) называется голономным.
Глобальные сечения касательного расслоения TZ -» Z — это
векторные поля на многообразии Z. В голономном атласе они име-
ют вид и = ихд\. Множество векторных полей T(Z) на Z пред-
ставляет собой как С00(Z)-модуль над кольцом C°°(Z) гладких
вещественных функций на Z, так и вещественную алгебру Ли от-
носительно скобок Ли
и = ихдх, v = vxdx, [v, и] = {vxdxu» - udxv^dp.
Векторное поле называется неособым, если оно нигде не обра-
щается в нуль.
Интегральной кривой векторного поля и на многообразии Z
именуется кривая с :R D (,) ^ Z в Z, такая что Тс = и(с).
Всякое векторное поле и на многообразии Z представляет собой
инфинитезимальный генератор некоторой локальной однопарамет-
рической группы Gu локальных диффеоморфизмов Z, и обратно.
Одномерные орбиты такой группы являются интегральными кри-
выми векторного поля и. Векторное поле и называется полным,
если Gu — однопараметрическая группа диффеоморфизмов Z. На-
пример, всякое векторное поле на компактном многообразии —
полное.
Дуальным касательному является кокасательное расслоение ir*z :
T*Z —> Z с атласом голономных координат
i А ■ Ч ■/ _ 9Z" ■
относительно голономных кореперов {dzx} в кокасательных про-
странствах T£Z, дуальных голономным реперам {дх}-
Рассмотрим внешнее произведение AT*Z (П. 10) кокасательного
расслоения T*Z. Его сечения называются внешними формами (exte-
rior forms) на многообразии Z. В голономном атласе T*Z и соответ-
ственно AT*Z однородные внешние г-формы (сечения расслоения
г
/\T*Z) имеют вид
Ф — ~70Ai...xrdzXl А Л dz^, |0|= г.

130
Приложение
Обозначим Or(Z) векторное пространство внешних г-форм на мно-
гообразии Z. В частности, пространство 0-форм — это кольцо глад-
ких вещественных функций O0(Z) — C°°(Z) на Z. Внешние формы
на Z образуют дифференциальную градуированную алгебру О* (Z)
относительно операций внешнего произведения
Ф = -.Ф\х..хЛ*Хх Л • • • лdz**> ° = -^т..*.**"1 л • • •л dzfie>
ФА<Т = ^^v,...vr<Tvr+l...vr+dzv' Л • • • Л dz"r*" =
г\8\
= -1 -с"-..*-* ф а dz<*i A---Adzar+e,
0Л* = (-1)|#НгЛ0,
и внешнего дифференцирования
йф = dzp Л #„0 = -вд0л. A dzAl Л • • • Л dz^,
г!
d о d = 0, (1(фЛ<т) = й(ф) Л <т + (- 1)1ф1ф Л d(<r).
Если дан морфизм многообразий f : Z -> Zr, всякая внешняя
форма ф на Z1 порождает индуцированную внешнюю форму (pull-back
form) /*ф на Z, определяемую условием
f #Лv")(z) = <P(Tf(vl),Tf(vk))(/(*))
для произвольного набора касательных векторов г;1, • • •, vk £ TZZ.
Выполняются соотношения
Задается свертка (interior product) векторного поля и и г-фор-
мы ф, г > 0, на многообразии Z:
0(tlb ... , tlr) = ur\ •••t*ij0,
и|(0Л a) = u|0 Л a + (-1)^0 Л u\a.

§ 2. Векторные расслоения
131
Определяется производная Ли внешней формы ф вдоль вектор-
ного поля и:
£иф = и\йф + <1(и\ф),
£и(ф Аа) = £иф Аа + фА £иа.
В частности, производная Ли функции имеет вид
£«/ = «(/) = «№, f е c°°(z).
Внешняя форма ф инвариантна относительно локальной однопа-
раметрической группы Gu локальных диффеоморфизмов Z (т. е.
д*ф = ф, д Е Gu) тогда и только тогда, когда ее производная Ли
вдоль инфинитезимального генератора этой группы и равна нулю,
т.е. £иф = 0.
Тензорное произведение касательных и кокасательных рассло-
ений
m к
Т = (® TZ) О (О T*Z), m,keN, (П. 13)
называется тензорным расслоением. Оно наделено голономными
расслоенными координатами х^./.р™ с функциями перехода
,аг-ат = &^ д^_д^ ОХ**
дх* дх^п дх1^ дх'Ръ Vv"Vk '
Пусть 7г : Y —> X — расслоение с расслоенными координа-
тами (хх,уг). Его касательное расслоение яу : ТУ —> Y наделено
голономными координатами (хх, у\хх,у%). Оно содержит подрас-
слоение VY = Кег(Г7г), называемое вертикальным касательным
расслоением, состоящее из касательных векторов к слоям расслое-
ния Y и снабженное голономными координатами (хх, уг,уг) отно-
сительно вертикальных реперов {д{}. Всякий морфизм расслоений
Ф : Y Y1 порождает линейный послойный морфизм вертикаль-
ных касательных расслоений
УФ : VY VY\ у1 оУФ = 1-jifJ,
дуз
Над Ф. Он называется вертикальным касательным морфизмом. Су-
ществует короткая точная последовательность расслоений
Q-+VY -^TY ^->ГхТХ-*0. (П.14)

132
Приложение
Во многих случаях вертикальное касательное расслоение VY —у Y
расслоения Y —» X является тривиальным и изоморфно произведе-
нию расслоений
VY = Y х У,
х
где Y —у X — некоторое векторное расслоение. Например, если
Y -* X — векторное расслоение, его вертикальное касательное
расслоение изоморфно
VY = Y®Y. (П.15)
х
Векторное поле и на расслоении Y —>• X называется проекти-
руемым, если оно проектируется на векторное поле на базе X, т. е.
существует векторное поле г на X, такое что
Т О 7Г = Ттг о и.
Проектируемое векторное поле дается выражением
U = ТХ(х")дХ + и\т/, у>)дг, Т = UXdX. (П. 16)
Проектируемое векторное поле называется вертикальным, если его
проекция — всюду нулевое векторное поле на X, т. е. и принимает
значения в вергикальном касательном расслоении VY.
Дуальным вертикальному касательному расслоению VY -> Y
является вертикальное кокасательное расслоение V*Y —у Y. Оно
не является подрасслоением кокасательного расслоения T*Y, но су-
ществует каноническая сюръекция
С : T*Y Э xxdxx + yidy' -> fady* G V*Y, (П.17)
где реперы {dy1} с функциями перехода
дуальны голономным реперам {Д} в VY. Существует короткая
точная последовательность расслоений
0->Y х Т*Х -> T*Y -> V*Y -> О, (П.18)

§ 2. Векторные расслоения
133
дуальная короткой точной последовательности (П. 14). В частности,
из нее следует, что алгебра внешних форм 0*(Y) на Y содержит
подалгебру внешних форм
ф : Y -> ЛТ*Х, ф = -6Xl...XrdxXl Л ••• Лds\
г!
таких что и\ф — Q для произвольного вертикального векторного
поля и на У. Они называются горизонтальными формами. Горизон-
тальные п-формы, п = dimX, именуются плотностями. Примером
горизонтальных форм являются формы 7г*<7, индуцированные на Y
внешними формами а на X
Рассмотрим тензорное произведение AT*Z ® расслоений
над многообразием Z. Его глобальные сечения
* = ^к-Х**Х1 Л • • • Л <£гАг <8> дц (П.19)
при г > 0 называются тангенциааьно-значными формами на
Замечание П.2.1. В силу леммы П.2.1 существует взаимно однозначное
соответствие между тангенциально-значными 1-формами ф на многообра-
зии Z и линейными послойными морфизмами
ф-.TZ^TZ, ф:Т2гЭУ^у\ф(г)еТ2г, (П.20)
над Z. Например, каноническая тангенциально-значная \-форма
Oz = dzx®dx (П.21)
на Z соответствует тождественному морфизму (П.20). В частности, пусть
Z = ТХ и ТТХ — касательное расслоение над ТХ. Существует послойный
морфизм
J(dx) = dx, J0X) = O (П.22)
расслоения ТТХ над X, которому соответствует каноническая тангенци-
ально-значная форма
Oj = dxx ® дх (П.23)
на касательном расслоении ТХ.
Пространство G*(Z)®T(Z) тангенциально-значных форм на-
деляется операцией, называемой скобками Frolicher—Nijenhuis:
[ф, v]fn = ^(Фм-Х^Хг^.Х^ -^Vfi.^+A^L.A, ~
9 • V •

134
Приложение
-rk-.X-^^K+i- Х+. +8erv\r+2...\r+.d*r+i<l>M-x) х
х dzx> Л • • • Л dzK+' ®
№,*]h4 = (-1)WW+W]fn,
Ф е or{z) ® T(z), а е os(z) ® t(z).
В частности, при заданной тангенциально-значной форме 9, опре-
деляется дифференциал Frolicher—Nijenhuis на 0*(Z) ® T(Z):
de:ip^deip = [в, V>]fn, 1р 6 0*(Z) ® T(Z). (П.24)
В случае расслоения Y ->• X мы рассматриваем следующие
подклассы тангенциально-значных форм на Y:
• проектируемые горизонтальные тангенциально-значные формы
ф = dxXl А ■ • • Л dxK ® 1 Л(х)0А + А.. Л (у ,
9
• вертикально-значные формы
ф-.Y ^/\T*X®VY,
y
Ф = -а..хШхХ'Л • • •Л d*Xr ®
• вертикально-значные 1-формы, называемые припаивающими
формами (soldering forms)
* = oi(y)dxx ® di9 (П.25)
• базовые припаивающе формы (basic soldering forms)
а = cri(x)dxx ® di. (П.26)
Замечание П.2.2. Касательное расслоение ТХ допускает каноническую
припаивающую форму Oj (П.23). В силу изоморфизма
VTX = ТХхТХ (П.27)
х
эта форма определяет каноническую тангенциально-значную форму Ох
(П.21) на X, которая также именуется припаивающей формой.

§3. Слоения
135
§3. Слоения
- Подрасслоение N касательного расслоения TZ многообразия
Z называется распределением. Говорят, что векторное поле и на Z
подчинено распределению N, если оно принимает значения в N Рас-
пределение N называется инволютивным, если скобка Ли -под-
чиненных векторных полей также принимает значения в N
Подрасслоение N* кокасательного расслоения T*Z много-
образия Z называется кораспределением. Например, аннигилятор
Ann N распределения N является кораспределением, слой которо-
го над z Е Z состоит из ковекторов w Е Tz*, таких что vJ w = 0 для
всех v Е Nz.
Теорема П.3.1. Пусть N — распределение и AnnAf — его ан-
нигилятор. Пусть A Ann N(Z) — идеал алгебры 0*(Z), порож-
даемый сечениями Ann Л/" —> Z. Распределение N инволютивно
тогда и только тогда, когда идеал AAinn N(Z) является диф-
ференциальным, т. е.
d(AAnn N(Z)) С AAnnN{Z).
С распределением может быть связана следующая локальная
координатная система.
Теорема П.3.2. Пусть N — инволютивное т-мерное распреде-
ление на многообразии Z, dimZ = к. Всякая точка z £ Z
имеет открытую окрестность U, которая является областью
координатной карты (zl,...,zk), такой что ограниченное на U
распределение N и его аннигилятор ArmN порождаются ло-
кальными векторными полями д/dz1, • • •, d/dzr и I-формами
dzT+\...,dzk.
Связное подмногообразие N многообразия Z называется ин-
тегральным многообразием распределения N на Z, если TN С N.
Если особо не оговорено, мы будем считать, что размерность ин-
тегрального многообразия равна размерности распределения N.
Интегральное многообразие называется максимальным, если ника-
кое другое интегральное многообразие его не содержит.

136
Приложение
Теорема П.3.3. Пусть Af — инволютивное распределение на мно-
гообразии Z. Для любой точки z £ Z существует единственное
максимальное интегральное многообразие N через z, и всякое
интегральное многообразие через z является его открытым под-
множеством.
Интегральные многообразия инволютивного распределения на
многообразии Z образуют его регулярное слоение Т. Слоение Т
А;-мерного многообразия Z определяется как разбиение Z на связ-
ные г-мерные подмногообразия (листы) Ft, t £ J, со следующими
свойствами. Существует координатный атлас
{щ;гх92*}9 А= l,...,n-r, t = 1 г, (П.28)
многообразия Z, такой что функции перехода координат zx не за-
висят от остальных координат z% и для всякого листа F слоения
Т связные компоненты пересечения FC\U{ задаются уравнениями
zx = const. Эти связные компоненты и координаты (z%) на них
образуют координатный атлас листа F.
Следует подчеркнуть, что листы слоения не обязательно за-
мкнутые и вложенные подмногообразия.
Всякое расслоенное многообразие представляет собой слое-
ние. Его листы (слои расслоенного многообразия) — замкнутые
вложенные подмногообразия. Такое слоение называется простым.
Всякое слоение локально является простым.
§4. Аффинные расслоения
Пусть 7г : Y —> X — векторное расслоение с типичным слоем
V. Аффинным расслоением, моделируемым над векторным расслое-
нием Y -> X, называется расслоение ж : Y —> X, такое что:
• его типичный слой V — это аффинное пространство, модели-
руемое над V',
• все его слои Yx — аффинные пространства, моделируемые над
соответствующими слоями Yх векторного расслоения Y\
• существует аффинный атлас

§ 4. Аффинные расслоения
137
расслоения Y —> X, где морфизмы тривиализации фх (П.4) и
функции перехода дх^ (П.5) — аффинные изоморфизмы.
Ассоциированные с таким атласом расслоенные координаты
(у1) на Y являются аффинными с аффинными функциями перехо-
да. Существуют канонические послойные морфизмы
YxY^Y, (у\у*)^у* + у\
YxY->Y, (j, V)-> j,'-
где (у1) — линейные расслоенные координаты на векторном рас-
слоении Y.
Согласно теореме П. 1.4 всякое аффинное расслоение имеет
глобальные сечения, но, в отличие от векторных расслоений, не су-
ществует канонического глобального сечения аффинных расслое-
ний. Всякое глобальное сечение 8 аффинного расслоения Y —У X,
моделируемого над векторным расслоением Y —> X, порождает по-
слойные морфизмы
Y Э у -> у - 8(п(у)) е F, (П.29)
Y3y^8(ir(y))+yeY. (П.ЗО)
В частности, всякое векторное расслоение Y имеет естественную
структуру аффинного расслоения благодаря морфизму (П.ЗО), где
8 = 0 — каноническое нулевое сечение Y.
Теорема П.4.1. Всякое аффинное расслоение Y —> X допускает
атлас расслоенных координат (хх,у*) с линейными функциями
перехода у*г = Alj(x)jp.
Доказательство. Пусть 8 — глобальное сечение аффинного
расслоения Y -> X. Для данных расслоенных координат у -> (у%)
рассмотрим расслоенные координаты
У-+ (Уг=У%~8{(тг(у))).
Ввиду морфизма (П.29) они имеют линейные функции перехода. □
В качестве морфизмов аффинных расслоений рассматриваются
послойные морфизмы Ф : Y —> Y', ограничение которых на каж-
дый слой Y является аффинным отображением. Всякий аффинный

138
Приложение
послойный морфизм Ф : Y -> Y' аффинного расслоения Y, модели-
руемого над векторным расслоением У, в аффинное расслоение У,
моделируемое над векторным расслоением F*, однозначно порож-
дает линейный послойный морфизм этих векторных расслоений
Ф:У->Г, ^оФ=^, (П.31)
дуз
который называется линейной производной Ф.
Как и в случае векторных расслоений, вертикальное касатель-
ное расслоение аффинного расслоения Y -> X, моделируемого над
векторным расслоением Y —> X, является тривиальным и изоморф-
но произведению
VY = Y х Y. (П.32)
х
§ 5. Многообразия струй
Пусть Y -> X — расслоение с атласом расслоенных координат
(хх,уг). Рассмотрим классы эквивалентности jxs его сечений s,
которые отождествляются по их значениям s%(x) и значениям их
первых частных производных д^8%{х) в точке х 6 X. Они называ-
ются струями первого порядка (first order jets) сечений в х. Заметим,
что это определение не зависит от выбора системы координат. Клю-
чевым является то, что множество JlY всех струй первого порядка
jxs, х 6 X, представляет собой гладкое многообразие с координат-
ным атласом (ж , у\ угх), таким что
УШ*) = дЛ*1 У'\ = т-Тл (5м + Л )УП- (П-33>
их
Оно называется многообразием струй первого порядка (jet manifold)
расслоения Y -»X.
Многообразие струй JXY характеризуется следующими двумя
расслоениями:
тг1 : JlY3 j]xs^x6X,
irlQ:fY3jxs^s(x)EY.

§ 5. Многообразия струй
139
При этом, как следует из закона преобразований (П.33), расслоение
7Гд является аффинным, моделируемым над векторным расслоением
Т*Х ® VY -¥ Y. (П.34)
y
Для удобства мы будем называть 7Г1 (5) расслоением струй, a 7Tq
(5) — аффинным расслоением струй.
Отметим, что, если Y —> X — векторное или аффинное рас-
слоение, то расслоение струй 7Ti (5) тоже является таковым.
Существенно, что струи сечений расслоения могут быть пред-
ставлены как привычные тангенциально-значные формы. Опреде-
лено каноническое вложение
Лш : J[Y ->Т*Х®ТУ,
Y Y. (П.35)
A(1) = dxx ® (dx + y\di) = dxx ® dx,
где операторы dx именуются полными производными.
Мы часто будем отождествлять многообразие струй JlY с его
образом при каноническом морфизме (П.35) и представлять струи
j\s = (хх,у\у%^) тангенциально-значными формами A(i) (П.35).
Каждое сечение 8 расслоения Y -» X имеет струйное продол-
жение (jet prolongation) до сечения
(Jl8)(x)=jlx8, у[оУ8 = дХ**(х),
расслоения струй J1Y —> X.
Всякий морфизм расслоений Ф : Y -> Y1 над диффеоморфиз-
мом / допускает струйное продолжение до послойного морфизма
аффинных расслоений струй
7'Ф: JlY —>JlY', зЛ°^'Ф=^^Ф'. (П.36)
ф ах
Любое проектируемое векторное поле и (П. 16) на расслоении
Y -> X имеет струйное продолжение до проектируемого векторного
поля
JYu = г{ о Jlu : J[Y -> JlTY -> TJlY,
Jlu = ихдх + uldi + {dxu{ - №xu*)dl (П.37)
на многообразии струй J[Y.

140
Приложение
Рассмотрев многообразие струй расслоения струй JlY -> X,
мы получим повторное многообразие струй JlJ{Y с координатным
атласом
и дх° А ч w, дха 7 ,t fi дха 7 „■
Ух = дР" у 9 Ух = у 9 у»х = дОР у Л'
da = да + y3adj + ylaffj, da = да + yidj + yladj.
Оно характеризуется двумя аффинными расслоениями над JlY:
• аффинным расслоением струй (5):
тг,, : JlJlY -> JlY, у\ о тг,, = yl (П.38)
• аффинным расслоением
JV0 : J[J[Y -> J[Y, у\ о Jlnl0 = ух- (П.39)
Точки q 6 J1 JlF, где
11 " "
*n(q) = J У\ = уг\,
образуют аффинное подрасслоение J^Y —> J[Y многообразия струй
J1 JlF, называемое полуголономным многообразием струй (sesquiholo-
nomic jet manifold).
Многообразие струй второго порядка (second order jet manifold)
J2Y расслоения Y -> X представляет собой аффинное подрассло-
ение расслоения J*Y -> JlY, задаваемое координатным условием
Оно имеет координатный атлас (хх, уг,у\, у\^ = У^х) с Функциями
перехода
Ух = аУ ' у "А = д** аУ х ( }
Многообразие струй второго порядка J2Y также может быть
определено как множество классов эквивалентности jls сечений s
расслоения Y -» X, отождествляемых по их значениям и значениям
их первых и вторых частных производных в точках х Е X, т. е.
vxUls) = дхАх), yUils) = дхд,8\х).
Классы эквивалентности j%s называются струями второго порядка.

§6. Связности
141
§6. Связности
Существуют несколько эквивалентных определении связности
нарасслоениях. Начнем с наиболее традиционного из них.
Связность (connection) на расслоении Y -> X определяется как
линейный послойный морфизм
Г : Y х ТХ -> TY, Г : ххдх -> хх(дх + Г\дг), (П.41)
х
над Y, который расщепляет короткую точную последовательность
(П. 14), т.е.
тгт о Г = Id (У х ТХ),
х
TY = HY 0 VY = T(Y х ТХ) 0 VY, (П.42)
У x У
£А0л + У** = *А(0л + rift) + (</' - ±M)ft-
Расщепление (П.42) называется горизонтальным, а подрасслоение
С TY — горизонтальным распределением на Y.
Согласно теореме П.2.2 связность на расслоении всегда суще-
ствует.
Линейный морфизм Г (П.41) над Y однозначно задается го-
ризонтальной проектируемой тангенциально-значной 1-формой
Г = dxx ® (дх + T\di) (П.43)
на Y, называемой формой связности, так что морфизм (П.41) имеет вид
Г:дх-+дх\Г = дх + Г\дг.
Когда связность Г и соответствующее горизонтальное распре-
деление HY (П.42) заданы, векторное поле и на расслоении Y -> X
называется горизонтальным, если оно принимает значения в HY.
Такое векторное поле имеет вид
u = ux(y)(dx + T\di). (П.44)
В частности, всякое векторное поле г на X продолжается до про-
ектируемого горизонтального векторного поля
Гт = т\Т = тх(дх + Т\д{) (П.45)

142
Приложение
на Y, которое называется горизонтальным поднятием (horizontal lift)
т посредством связности Г. Более того, горизонтальное распреде-
ление HY порождается горизонтальными поднятиями Гт (П.45)
векторных полей т на X. Горизонтальное поднятие
Т(Х) Э т —>> Гт Е T(Y) (П.46)
является морфизмом С00(X)-модулей.
Расщепление (П.41) определяет расщепление
Г : V*Y -> T*Y, T-.dy* -> dy{ - T\dxX, (П.47)
дуальной короткой точной последовательности (П. 18). Поэтому связ-
ность Г на Y —> X представима вертикально-значной формой
Г = (dtf - T\dxX) ® ft, (П.48)
так что морфизм (П.47) имеет вид
Г : dy{ Tjd^ = dy{ - T\dxX.
Представление связности вертикально-значной формой (П.48)
приводит к следующей важной конструкции. Пусть Y —> X — рас-
слоение, / : X1 —> X — морфизм многообразий и f*Y —> X1 —
соответствующее индуцированное расслоение на X1. Всякая связ-
ность Г (П.48) на Y —> X определяет индуцированную связность
f Г = (dtf - (Г о fY)\^-dx^ ® di (П.49)
на f*Y -> X1.
Эквивалентное определение связности на расслоениях форму-
лируется на языке многообразий струй.
Теорема П.6.1. Существует взаимно однозначное соответствие
между связностями Г на расслоении Y —> X и глобальными
сечениями
T.Y^fY, (х\у\у\)оТ = (х\у\Т\), (П.50)
аффинного расслоения струй J[Y ->Y.
Это соответствие основано на представлении как струй сечений,
так и связностей тангенциально-значными формами (П.35) и (П.43).
Приведем важные следствия такого определения связностей.

§6. Связности
143
• Так как JXY -> У — аффинное расслоение, связность на рас-
слоении Y —>• X всегда существует в силу теоремы П. 1.4.
• Связности на расслоении Y -> X образуют аффинное простран-
ство, моделируемое над векторным пространством припаивающих
форм на Y -> X, т. е. сечений векторного расслоения (П.34).
• Компоненты связности преобразуются по закону
дх'
• Всякая связность Г (П.50) на расслоении Y —> X задает диф-
ференциальный оператор первого порядка
DT : JlY ->T*X®VY,
Y Y (П.51)
Dr = A(1) — Г о 7Tq = (уг\ — T\)dxx ® ft,
называемый ковариантным дифференциалом относительно связ-
ности Г.
Если 8 : X —у Y — сечение, мы получаем из (П.51) его ковариант-
ный дифференциал
V1s = DToJlS:X-^ Т*Х ® VY, (П.52)
Vr8 = (дх8{ -Т\о s)dxx ® ft,
и ковариантную производную
VTT = rjVr
вдоль векторного поля г на X Сечение 8 называется интегральным
сечением связности Г, если оно принадлежит ядру дифференциаль-
ного оператора (П.51), т. е.
VTs = 0.
Теорема П.6.2. Для всякого глобального сечения 8 : X -» У все-
гда существует связность Г, такая что 8 является интегральным
сечением Г.
Описание связностей как сечений аффинного расслоения струй
приводит к следующим двум важным конструкциям.

144
Приложение
(а) Пусть У и У — расслоения над одной и той же базой X
и Г и Г' — связности на У и У. Тогда произведение расслоений
Y х У наделено связностью
Г х Г' : У х Y' -> jVy х Y1) = /У х jV,
Г х Г' = dx> ® (аЛ + + Г'/^-) . (П.53)
(б) Пусть %у : У -> У — подрасслоение расслоения У —>• X
и Г' — связность на У -> X. Если существует связность Г на У —» X,
такая что диаграмма
Y' A JV
«у
у
коммутативна, говорят, что Г' редуцируема к связности Г.
Пусть Г — связность на расслоении У —» X Ее кривизна (cur-
vature) определяется как дифференциал Frolicher-Nijenhuis
R = Irfrr = -i^ds* Л ® ft, (П.54)
< - 5аГ^ - a„rl + rje,-rj, - rjtyrl.
Она является УТ-значной горизонтальной 2-формой на У
Для любых двух векторных полей г, г' на X и их горизонталь-
ных поднятий Гт и Гт' (П.45) на У, выполняется соотношение
Д(т, т') - -Г[т, г'] + [Гт, Гт'] = rV^ft. (П.55)
Пусть а — припаивающая форма, ее кривизна дается выражением
1 1 A i
р = -daa = -p\pdx Л dx^ ® ft, p*A/i = ajfytrj, - ^д^\. (П.56)
Пусть Г — связность и а — припаивающая форма. Кручение
связности Г относительно припаивающей формы а определяет-
ся как
Т = dfff = (ft^ + rjfl^J - fl;I>£)dsA Л dxf ® ft. (П.57)

§6. Связности
145
Если Г' = Г + а, выполняются соотношения
Г' = Т + 2р, В! = R + p + T. (П.58)
В частности, пусть У —» X — векторное расслоение. Связ-
ность Г на Y —У X называется линейной, если сечение
Г : Y -> JlY, r = dxx® (дх + Гх{1(х)у>дг), (П.59)
является линейным послойным морфизмом над X. Кривизна R
(П.54) линейной связности Г (П.59) имеет вид
R = -RXfilj(x)yJdxx Л dad1 ® ft, (П.60)
Благодаря изоморфизму (П. 15) она представляется также У-знач-
ной 2-формой
R = )-RxjjV>dxx Л da? ®е(е 02(Х) ® У. (П.61)
Приведем следующие стандартные конструкции линейных связ-
ностей.
• Пусть У —» X — векторное расслоение с атласом расслоенных
координат (хх, у1) относительно реперов {е,} и У* —> X —
дуальное расслоение с расслоенными координатами (хх, у%)
относительно дуальных кореперов {е*}. Всякая линейная связ-
ность Г (П.59) на У -> X определяет дуальную линейную связ-
ность
Г* = dxx ® (дх ~ Гх'г(х)уубГ) (П.62)
на У* -> X.
• Пусть ГиГ- линейные связности на векторных расслоениях
У -» X и У -» X. Они определяют связность Г © Г = Г х Г
(П.53) на сумме Уитни этих расслоений.
• Пусть У с координатами (хх, у1) и У с координатами (хх, уа) —
два векторных расслоения над одной и той же базой X с линей-
ными связностями Г и Г'. Их тензорное произведение У ® У

146
Приложение
с атласом расслоенных координат (хх, уга) наделено связно-
стью
д
Г ® Г' = dxx ®
9Л + (ГА V« + ri V) ^
(П.63)
Связность Г на расслоении У -> X называется плоской, если
выполняются следующие эквивалентные условия:
(а) кривизна Д связности Г тождественно равна 0;
(б) горизонтальное поднятие (П.46) на Y векторных полей на X
является М-линейным морфизмом алгебр Ли в соответствии
с формулой (П.55);
(в) горизонтальное распределение инволютивно;
(г) существует локальное интегральное сечение Г через любую
точку у G У.
Теорема П. 6.3. Имеется взаимно однозначное соответствие меж-
ду плоскими связностями Г на расслоении У —» X и классами
эквивалентных атласов расслоенных координат (жА, у1), функции
перехода которых у1 —> yft(y^) не зависят от координат Xх, так
что Г = dxx ® д\ относительно соответствующего атласа.
В частности, если У -> X — тривиальное расслоение, всякой
его тривиализации соответствует плоская связность, представляе-
мая нулевым сечением 0(У) аффинного расслоения струй J[Y -> У
относительно этой тривиализации.
§ 7. Композиционные расслоения
Рассмотрим композицию
7Г: У -» Е -» X (П.64)
расслоений
тгуЕ : Y -> Е, (П.65)
тгЕХ : Е -> X. (П.66)
Она является расслоением, называемым композиционным (composite
bundle) и наделенным расслоенными координатами (хх, а™, у1),

§ 7. Композиционные расслоения
147
где (х , (тт) — расслоенные координаты на расслоении (П.66), т.е.
функции перехода координат ат не зависят от координат у1.
Теорема П.7.1. Пусть дано композиционное расслоение (П.64),
и пусть h — глобальное сечение расслоения Е —> X Тогда сужение
УЛ = h*Y (П.67)
расслоения Y —> Е на h(X) С Е является подрасслоением рас-
слоения Y —> X.
Теорема П.7.2. Пусть h — глобальное сечение расслоения Е —> X
и $ъ — глобальное сечение расслоения Y —>• Е. Тогда их компо-
зиция s = s^o h является глобальным сечением композиционного
расслоения Y —> X (П.64). Обратно, всякое глобальное сече-
ние s расслоения Y —> X представляет собой композицию се-
чения h = 7Гу£ о s расслоения Е -> X и некоторого сечения s%
расслоения Y —> Е на замкнутом вложенном подмногообразии
h(X) С Е.
Пусть Y —> Е —>• X — композиционное расслоение (П.64). Рас-
смотрим многообразия струй JlE, J^Y и JlY расслоений Е —У X,
Y —> Е и Y —> X. Они наделены соответствующими координатами
/А т т\ /А т i ~4 i \ /А т i т i \
(X ,<Т ,<ТХ), (X ,(Т ,у ,Ух,Ут)> (х ><г ,У,<Г\,У\У
Существует канонический морфизм
в : j'S х J±Y —> JlY, у{ое = yin*? + (П.68)
Е y
Используя этот морфизм, можно установить связь между связ-
ностями на расслоениях У X, У Е и Е X Эти связности
представлены соответствующими тангенциально-значными формами
7 = dxx ® (Ох + Ъдт + -а*), (П.69)
4S = dxx ® (дх + Axdi) + d(Tm ® (дт + 4Л). (п-70)
Г = dzA ® (аА + Г?0ГО). (П.71)
Связность 7 (П.69) на расслоении Y -* X называется проек-
тируемой на связность Г (П.71) на расслоении Е -> X, если для
любого векторного поля г на X его горизонтальное поднятие 7т

148
Приложение
на У посредством связности 7 проектируется на горизонтальное
поднятие Гт векторного поля г на £ посредством связности Г.
Это условие выполняется тогда и только тогда, когда 7™ = Гд*,
т. е. компоненты 7™ связности 7 (П.69) должны быть независимы
от координат у1.
Связность А% (П.70) на расслоении Y —> Е и связность Г
(П.71) на расслоении Е —> X определяют связность на композици-
онном расслоении Y —У X как композицию послойных морфизмов
7 : Y х ТХ Y х ТЕ ^ TY.
X Е
Она называется композиционной связностью (composite connection)
и имеет вид
7 = Аъ о Г = dxx ® (0Д + Г?0ГО + (4 + 4.Г?(П.72)
Эта связность проектируема на Г.
Для композиционного расслоения Y (П.64) существует корот-
кая точная последовательность векторных расслоений над У:
0 -> VyX —у VY -> У х FE -> 0, (П.73)
Е
где V^y — вертикальное касательное расслоение к У —► £ с ко-
ординатным атласом (хх,ат,у\уг). Каждая связность А% (П.70)
на расслоении У —> Е порождает расщепление
ЛЕ : ТУ Э КУ Э yldi + <тш0ш -> (</' - A^&^di G 7ЕУ (П.74)
точной последовательности (П.73). Используя это расщепление,
можно задать дифференциальный оператор первого порядка
D :J[Y -> Т*Х ® 7ЕУ, (П.75)
5=ifaAe(i,i-4-^Ai)ft,
на композиционном расслоении У —> X, который называется вер-
тикальным ковариантным дифференциалом. Он обладает следующим
важным свойством.
Пусть h — сечение расслоения Е—>> X и УЛ -» X — огра-
ничение (П.67) расслоения У —> Е на h(X) С £. Оно является

§ 8. Главные и ассоциированные расслоения
149
подрасслоением ih : Yh -> Y расслоения Y -> X. Всякая связ-
ность А% (П.70) порождает индуцированную связность
Ah = i*hAv = dxx ® [дх + ((4. ° h)dxhm + (А о fcft)ft] (П.76)
на Yh -> X. Тогда ограничение 5 (П.75) на Jlih(JlYh) С J1^
совпадает с обычным ковариантным дифференциалом DAh (П.51)
на Yh относительно индуцированной связности Ah (П.76).
§ 8. Главные и ассоциированные расслоения
Пусть G — вещественная группа Ли. Расслоение
7ГР : Р -> X (П.77)
называется главным расслоением (principal bundle) со структурной
группой (structure group) G, если задано послойное действие груп-
пы G в Р справа
R9:P3p^pgeP, 1Гр(р) = 1гР(рд), geG, (П.78)
которое является свободным и транзитивным на каждом слое Р.
Отсюда следует что:
• типичным слоем главного расслоения Р является групповое
пространство группы G, в котором она действует левыми сдви-
гами;
• фактор-пространство P/G диффеоморфно базе X и проек-
ция 7Гр (П.77) является каноническим морфизмом Р -¥ P/G;
• главное расслоение Р характеризуется атласом расслоения
Фр = {(Ua, Фа), вар), (П.79)
морфизмы тривиализации которого
удовлетворяют условию
*а(ря) = я*а(р)9 9ее, (П.80)
а функции перехода дар являются локальными G-значными
функциями.

150
Приложение
Для краткости мы будем говорить, что Р — это главное G -рас-
слоение.
Из условия (П.80) вытекает, что морфизмы тривиализации гр^
однозначно определяют локальные сечения za : Ua —> Р расслое-
ния Р, такие что
№a°Za)(x) =Т, X Е Ua.
Их функции перехода имеют вид
zp(x) = za(x)Qap(x), xeUan Up. (П.81)
Обратно, всякое семейство
{(Ua,Za)9Qap} (П.82)
локальных сечений главного расслоения Р с функциями перехода
(П.81) задает его атлас Фр.
Теорема П.8.1. Главное расслоение тривиально тогда и только
тогда, когда оно имеет глобальное сечение.
Пример П.8.1. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы Ли G и следова-
тельно тоже группа Ли. Пусть G/H — фактор пространства G относительно
действия Н на G правыми умножениями. Тогда
irGH : G -> G/H (П.83)
— главное расслоение со структурной группой Н.
Замечание П.8.2. Если Р — главное расслоение, индуцированное рассло-
ение f*P (П.7) — тоже главное расслоение с той же структурной группой.
Замечание П.8.3. Пусть Р -> X и Р' -> X' — главные G- и G' -рас-
слоения. Морфизм расслоений Ф : Р -> Р' является морфизмом главных
расслоений, если существует гомоморфизм групп Ли у : G -> G', такой что
Ф(де) = Ф(р)7(0)-
Рассмотрим касательное расслоение TP главного расслоения Р
и касательные морфизмы к морфизмам Rg (П.78). Мы получим
касательное продолжение действия структурной группы G в ТР.
Поскольку действие G (П.78) в Р является послойным, его каса-
тельное продолжение ограничено вертикальным касательным про-
странством VP расслоения Р —> X. Беря фактор касательного
расслоения TP —> Р и вертикального касательного расслоения

§ 8. Главные и ассоциированные расслоения
151
VP —> Р относительно касательного действия структурной груп-
пы G, мы получим векторные расслоения
TGP = TP/G, VGP = VP/G (П.84)
над X, сечения которых представляют G-инвариантные и верти-
кальные G-инвариантные векторные поля на Р. Следовательно,
типичным слоем расслоения VgP —у X является правая алгебра
Ли Qr группы G, на которую G действует по сопряженному пред-
ставлению. Поэтому VgP (П.84) называется расслоением алгебр Ли.
Атлас главного расслоения Фр (П.79) определяет атлас
* = {(ff«,tf«),Ad^} (П.85)
расслоения алгебр Ли VgP, которое наделяется соответствующими
расслоенными координатами (х**, \т) относительно реперов {ет =
= xj)~x (х)(ет)}, где {ет} — базис алгебры Ли QT. Функции перехода
этих координат имеют вид
Аналогично векторное расслоение TgP (П.84) характеризуется рассло-
енными координатами (х**, х**9 \т) относительно реперов {дц> ет}.
В этих координатах скобки Ли сечений расслоения TqP -> X,
соответствующие скобкам Ли G-инвариантных векторных полей
на Р, даются выражением
t = t% + £%, ti = rfdp + (IL86)
+ (tXdxVr ~ VXdxtr + btWW (П-87)
Полагая {А = 0и1^ = 0в формулах (П.86), (П.87), мы получаем
скобки Ли
сечений расслоения алгебр Ли VgP.
Связности на главном расслоении Р (П.77) определяются как
связности на расслоении Р -> X, которые эквивариантны относи-
тельно правого действия (П.78) структурной группы G в Р.

152
Приложение
Пусть JlP — многообразие струй первого порядка главного
G-расслоения р -> X (П.77). Согласно теореме П.6.1 связности
на р —> x представляются глобальными сечениями
A\P-*JXP (П.88)
аффинного расслоения JlP -> Р, моделируемого над векторным
расслоением
Т*Х ®VP = (Т*Х ® ft),
р р
где Qi — левая алгебра Ли группы G. Чтобы определить связности
на главном расслоении Р —> x, рассмотрим струйное продолжение
действия структурной группы Rg (П.78) в JlP. Оно дается выра-
жением
G3g:jlxP^ (jxP)g = jlx(pg). (П.89)
Беря фактор аффинного расслоения струй J[P по G (П.89), мы
получаем аффинное расслоение
С = JlP/G -> X, (П.90)
моделируемое над векторным расслоением
c = t*x®vgp-+x.
х
Соответственно, рассматривая фактор относительно действия струк-
турной группы G, каноническое вложение (П.35) (где Y = Р) мо-
жет быть сведено к мономорфизму расслоений
Ас : С —► ГХ ® TGP, Ас : dx" ® (др + х™его). (П.91)
х х
Отсюда следует, что атлас Фр (П.79) расслоения Р и атлас Ф (П.85)
расслоения TqP определяют атлас расслоения С (П.90) и соответ-
ствующие расслоенные координаты (хх,а™).
Как отмечалось выше, связность А (П.88) на главном рассло-
ении Р —> x (principal connection) предполагается эквивариантной
относительно действия (П.89) структурной группы G, т.е.
A(pg) = A(p)g, geG. (П.92)
Поэтому существует взаимно однозначное соответствие между та-
кими связностями и глобальными сечениями
А : X -> С (П.93)
расслоения С X (П.90), называемого расслоением связностей.

§ 8. Главные и ассоциированные расслоения
153
Теорема П.8.2. Поскольку расслоение связностей С —> X аф-
финно, связность на главном расслоении всегда существует.
Благодаря мономорфизму расслоений (П.91) всякая связность
А (П.93) представима Г^Р-значной формой
А = dxx <8> (дх + A\eq). (П.94)
Приведем следующие две важные операции со связностями
на главном расслоении.
Теорема П.8.3. Пусть Р — главное расслоение и f*P (П.7) —
индуцированное расслоение с той же структурной группой. Пусть
fp (П.8) — канонический морфизм f*P —> Р. Если А — связность
на главном расслоении Р, тогда индуцированная связность f*A
(П.49) на f*P — тоже связность на главном расслоении.
Теорема П.8.4. Пусть Р' —> X и Р —> X — главные расслое-
ния со структурными группами G* и G. Пусть Ф : Р' —>• Р —
морфизм главных расслоений над X при соответствующем гомо-
морфизме групп G1 —> G (замечание П.8.3). Для любой связности
Аг на Р1 существует единственная связность А на Р, называемая
образом А1такая что ТФ отображает А*-горизонтальные под-
пространства TP' на А-горизонтальные подпространства ТР.
Пусть 3х С — многообразие струй первого порядка расслоения
связностей С. Оно допускает каноническое разложение над С:
jlc = с+ © с. = с+ ©(с х л т*х ® vgp), (п.95)
с с X
«А» = + = ^(«А„ + " <>W+ С0'96)
Пусть А (П.93) — связность на главном расслоении и 3х А —
его струйное продолжение до сечения расслоения 3ХС -> X. Тогда
разложение (П.95) порождает разложение 3х А, такое что
FA = ]-FrXlldxx Л dx* ® ег,

154
Приложение
= о J[A = [дх + Архер, dp + Aleq]T = (п.97)
является напряженностью связности на главном расслоении.
Многообразие струй J[C играет роль конфигурационного про-
странства классической калибровочной теории. В этой теории ка-
либровочные преобразования (gauge transformations) определяются как
автоморфизмы главного расслоения Р. Это автоморфизмы Ф рас-
слоения Р, которые эквивариантны относительно правого действия
(п.78) структурной группы g, т.е.
$р(Р9) = фр(р)$, 9 е g, ре Р. (п.98)
Если дана однопараметрическая группа автоморфизмов Р, ее
генератором является G-инвариантное векторное поле на Р и сле-
довательно сечение £ (п.86) векторного расслоения TqP (п.84).
Эти сечения образуют вещественную алгебру Ли ТсР(Х) относи-
тельно скобок Ли (п.87). Однопараметрическая группа вертикаль-
ных автоморфзмов Р имеет своим генератором вертикальное g-ин-
вариантное векторное поле, представляемое сечением
* = ?ер (п.99)
расслоения алгебр Ли VqP —> X (п.84). Они образуют конечномер-
ную С°°(Х) -алгебру Ли, которая называется калибровочной алгеброй.
Всякая однопараметрическая группа автоморфизмов Фр (п.98)
главного расслоения Р с инфинитезимальным генератором £ (п.86)
имеет струйное продолжение *71Фр (п.36) до однопараметрической
группы g-эквивариантных автоморфизмов многообразия струй J{P,
которая, в свою очередь, порождает однопараметрическую группу
автоморфизмов Ф^ расслоения связностей С (п.90). Ее инфините-
зимальным генератором является векторное поле на С, называемое
инфинитезимальным калибровочным преобразованием С. Оно имеет вид
щ = £4 + W + 4Л? - <£fyO#- (плоо)
В частности, если £ — вертикальный инфинитезимальный генера-
тор (п.99), мы получаем
Щ = Шг + <Ь<%?№ • (п.101)

§ 8. Главные и ассоциированные расслоения
155
Пусть Р (П.77) — главное расслоение со структурной груп-
пой G и V — гладкое многообразие, в котором группа G действует
слева. Рассмотрим фактор
Y = (PxV)/G (П. 102)
произведения Р х V, отождествляя его элементы (р, и) и (pg,g~lv)
для всех д Е G. Пусть [р] обозначает ограничение канонической
сюръекции
PxV -*(PxV)/G (П.103)
на подмножество {р} х V так, что \p\(v) — \pg](g~{v). Тогда отоб-
ражение
у э \p](v) -> пР(р) е х
превращает Y (П. 102) в расслоение над X. Оно называется ассо-
циированным с главным расслоением Р (associated bundle). Для крат-
кости мы будем называть его Р -ассоциированным расслоением.
Замечание П.8.4. Касательный морфизм к морфизму (П.103) и струйное
продолжение морфизма (П.103) определяют послойные изоморфизмы
ТУ = (TP х TV)/G, (П. 104)
JlY = (JlPxV)/G. (П. 105)
Пример П.8.5. Благодаря тривиализации VP = Р xQt расслоение алгебр
Ли VgP (П.84) ассоциировано с Р. В отличие от него, расслоение связно-
стей С (П.90) не является Р-ассоциированным.
Всякий атлас Фр = {(Ua,za)} (П.82) главного расслоения Р
однозначно задает ассоциированный атлас
* = {{иа,Мх) = Ых)]~1)} (П.106)
расслоения У (П. 102).
Всякий автоморфизм Фр (П.98) главного расслоения Р одно-
значно определяет ассоциированный автоморфизм
Фу : (р, v)/G -> (ФР(р), v)/G, рбР, veV, (П. 107)
Р-ассоциированного расслоения У (П. 102). Соответственно, пе-
реходя к однопараметрической группе автоморфизмов и ее инфи-
нитезимальному генератору £ (П.86), мы получаем ассоциированное

156
Приложение
инфынитезимальное калибровочное преобразование расслоения Y. Оно
дается векторным полем на Y, которое благодаря послойному изо-
морфизму (П. 104) имеет вид
v(:X-> (£(Р) х TV)/G С TY, v( = + f jjft, (П. 108)
где {Ip} — базис представления правой алгебры Ли QT группы G в V.
Всякая связность А (П.92) на главном расслоении Р опреде-
ляет ассоциированную связность на расслоении Y (П. 102), которая
в силу послойного изоморфизма (П. 105) дается выражением
А : (Р х V)/G -» (А(Р) х V)/G С JlY, (П.109)
A = dxx®(dx + Apxrpdi).
Кривизна (П.54) этой связности имеет вид
1 ч
R = -F^rpdxx A dx" ® д(. (П.ПО)
Ал
Отсюда, в частности, следует, что ассоциированная связность явля-
ется плоской тогда и только тогда, когда напряженность связности
на главном расслоении равна нулю.
Теорема П.8.5. Главное расслоение Р —> X над односвязным
многообразием X (т. е. всякая замкнутая кривая в X стягива-
ема) является тривиальным, если существует связность на X
с нулевой напряженностью.
§ 9. Редуцируемые расслоения
Пусть Р -> X (П.77) — главное G-расслоение. Пусть Н — зам-
кнутая подгруппа (и следовательно подгруппа Ли) группы G. Тогда
мы имеем композиционное расслоение
Р->Р/#->Х, (П.111)
где
рЕ = р ^>Р/Я (П.112)
— главное расслоение со структурной группой Н и
Е = Р/# (П.113)

§ 9. Редуцируемые расслоения
157
— Р-ассоциированное расслоение с типичным слоем G/H, в ко-
тором структурная группа G действует слева (пример П.8.1).
Говорят, что структурная группа G главного расслоения Р реду-
цирована к замкнутой подгруппе И, если выполняются следующие
эквивалентные условия:
• главное расслоение Р допускает атлас расслоения Фр (П.79)
с Я-значными функциями перехода дар;
• существует главное редуцированное подрасслоение Ре расслое-
ния Р со структурной группой И, которое называется редуци-
рованной структурой.
В частности, поскольку атлас главного расслоения задается семей-
ством локальных сечений, всякий атлас редуцированного подрас-
слоения Ре определяет атлас главного G -расслоения Р с /Г-знач-
ивши функциями перехода.
Теорема П.9.1. Существует взаимно однозначное соответствие
Рн = тгр£(Л(Х)) (П.114)
между главными редуцированными П-подрасслоениями :Ph->P
расслоения Р и глобальными сечениями h фактор-расслоения
Р/Н^Х (П. 113).
Следствие П.9.2. Из выражения (П. 114) следует, что главное ре-
дуцированное Н-расслоение Ph является ограничением ft* Ре (П.67)
главного П-расслоения Р^ (П.112) на h(X) С Е.
В классической теории поля сечения h фактор-расслоения
Р/Н -> X (П.113) описывают хиггсовские поля в ситуации так назы-
ваемого спонтанного нарушения симметрии с группой нарушенных
симметрии G и группой точных симметрии Н [51,100].
В общем случае существуют топологические препятствия редук-
ции структурной группы главного расслоения к своей подгруппе.
Теорема П.9.3. Согласно теореме П. 1.4 структурная группа G
главного расслоения Р всегда редуцирована к своей замкнутой
подгруппе Н, если фактор-пространство G/H диффеоморфно
евклидову пространству Шт.

158
Приложение
В частности, это случай максимальной компактной подгруп-
пы Н группы Ли G, и мы получаем из теоремы П.9.3 следующее.
Теорема П.9.4. Структурная группа G главного расслоения все-
гда редуцирована к своей максимальной компактной подгруппе Н.
Различные главные /Г-подрасслоения Ph и Ph главного G-рас-
слоения Р в общем случае друг другу не изоморфны.
Теорема П.9.5. Пусть структурная группа G главного рассло-
ения редуцирована к своей замкнутой подгруппе Н.
(а) Всякий вертикальный автоморфизм Ф главного расслоения Р
отображает главное редуцированное Н -подрасслоение Ph на изо-
морфное главное Н -подрасслоение Ph .
{б) Обратно, пусть два редуцированных подрасслоения Ph и Ph главного
расслоения Р —>• X изоморфны друг другу и пусть Ф : Ph —>• Ph —
их изоморфизм над X. Тогда Ф расширяется до вертикального
автоморфизма Р.
Теорема П.9.6. Если фактор-пространство G/H гомеоморфно
евклидову пространству Шт, все главные Н -подрасслоения глав-
ного G-расслоения Р изоморфны друг другу.
Приведем свойства связностей на главных расслоениях, сов-
местимых с редуцированной структурой.
Теорема П.9.7. Так как связности на главном расслоении экви-
вариантны, всякая связность на главном Н -подрасслоении Ph
главного G-расслоения Р продолжается до связности на Р.
Теорема П.9.8. Связность А на главном G-расслоении Р реду-
цируема к связности на главном редуцированном Н-подрассло-
ении
Ph
расслоения Р тогда и только тогда, когда соответ-
ствующее глобальное сечение h Р-ассоциированного расслоения
Р/Н X является интегральным сечением ассоциированной
связности А на Р/Н —>• X.
Теорема П.9.9. Пусть алгебра Ли Q группы G является прямой
суммой
Q = \)®m (ПА 15)

§ 9. Редуцируемые расслоения
159
алгебры Ли f) группы Н и подпространства т, такого что
Ad^(m) С т, g 6 Н (например, Н — картановская подгруппа
группы G). Пусть Ph — редуцированное Н-подрасслоение Р и А
(П.94) — связность на Р, записанная относительно атласа Ph
с Н-значными функциями перехода. Тогда ограничение А на под-
алгебру t) определяет связность на РК
В частности, мы получаем из теоремы П.8.3 следующее.
Теорема П.9.10. Пусть дано композиционное расслоение (П. 111)
и пусть Ay, — связность на главном Н-расслоении Р —»£ (П.И 2).
Тогда для всякого главного редуцированного Н -подрасслоения г"д :
Ph —> Р индуцированная связность i^Ay (П.76) является связ-
ностью на главном расслоении Ph.
Согласно теореме П.9.1 существует взаимно однозначное соот-
ветствие между редуцированными Н -подрасслоениями Рн главно-
го расслоения Р и множеством хиггсовских полей ft. Пусть Ph —
такое подрасслоение и пусть
Yh = (Ph xV)/H (П. 116)
— ассоциированное векторное расслоение с типичным слоем V, ко-
торое допускает представление группы Н. В классической теории
поля его сечения Sh характеризуют материальные поля с группой
точных симметрии Н в присутствии хиггсовского поля ft. В общем
случае расслоение Yh (П. 116) не является ассоциированным с ка-
ким-нибудь другим главным редуцированным Н -подрасслоением
Ph . Поэтому ^-значные материальные поля могут быть рассмот-
рены только в паре с определенным хиггсовским полем, и проблема
состоит в том, чтобы описать все множество таких пар ($д, ft) для
всех хиггсовских полей ft [51,100].
Замечание П.9.1. Если главные редуцированные Н-подрасслоения Рн и
Ph главного G-расслоения изоморфны согласно теореме П.9.5, тогда Ph -ас-
социированное расслоение Yh (П.116) ассоциировано как
Yh = (Ф(р) х V)/H (П. 117)
с редуцированным расслоением Р .

160
Приложение
Чтобы описать материальные поля в присутствии различных
хиггсовских полей, рассмотрим композиционное расслоение (П.111)
и композиционное расслоение
Y ^>Е ^>Х, (П.118)
где Y -» Е — Ps -ассоциированное расслоение
Y = (PxV)/H (П.119)
со структурной группой Н. Для фиксированного сечения ft рассло-
ения Е —> X (П.113) и соответствующего главного редуцированно-
го /Г-подрасслоения Рл = ft*P, Рл-ассоциированное расслоение
(П. 116) является ограничением
Yh = h*Y = (ft*P х У)/Я (П.120)
расслоения Y —> Е на ft(X) С Е. Согласно теореме П.7.2 всякое
глобальное сечение Sh расслоения Yh (П.120) является глобаль-
ным сечением композиционного расслоения (П.118), проектиру-
емым на сечение ft = яу^ о s расслоения Е —> X. Обратно, лю-
бое глобальное сечение s композиционного расслоения Y —> X
(П.118), проектируемое на сечение ft — 7Гу£ о s расслоения Е —> X,
принимает значения в подрасслоении YhY (П.120). Следователь-
но имеется взаимно однозначное соответствие между сечениями
расслоения Yh (П. 116) и сечениями композиционного расслоения
(П.118), проектируемыми на ft. Таким образом, сечения компози-
ционного расслоения Y —> X (П.118) описывают все множество
пар (яд, ft) материальных и хиггсовских полей [51,100].
Лемма П.9.11. Композиционное расслоение Y —> X (П.118) яв-
ляется Р-ассоциированным расслоением со структурной груп-
пой G. Его типичный слой является расслоением
W = (GxV)/H, (П.121)
ассоциированным с главным Н-расслоением G -> G/H (П.83).
Доказательство. Представим главное расслоение Р —> X как
Р-ассоциированное расслоение
Р = (Р х G)/G, (рд, д) = (р, sfg), р € Р, д, д 6 G,

§ 9. Редуцируемые расслоения
161
чьим типичным слоем является групповое пространство G, в кото-
ром структурная группа G действует левыми умножениями. Тогда
фактор (П.119) имеет вид
Y = (Р х (G х V)/H)/G,
(Р9, (ЯР, v)) = (РЯ, (я, Н) = (Р> 9 (9, Р»)) = (Р, (Я Я, Н)-
Следовательно Y (П.119) является Р-ассоциированным расслоени-
ем с типичным слоем W (П. 121), в котором структурная группа G
действует по закону
g : (G х V)/H -> (g'G х V)/H. (П.122)
Это известное индуцированное представление группы G. □
Относительно данного атласа {(Ua, za)} (П.82) главного iiT-рас-
слоения G -* G/H индуцированное представление (П.122) прини-
мает вид
g : (a,v) = (za(<r),v)/H -> (</,v) = (g'za(<r),v)/H =
= (гъ(*сн(д'га(<г)))р',1>)/Н = (zb(*gh(g'za(<r))), p'v)/H, (П.123)
p = Zb{(nGH(g'za((T)))gza((T) eн, ae ua, *сн{д'*<Ap)) eиь.
Примером индуцированных представлений являются так называе-
мые нелинейные реализации [37,51,66].
Лемма П.9.12. Если дано глобальное сечение h фактор-рассло-
ения £ -» X (П.113), всякий атлас Р%-ассоциированного рассло-
ения Y -» Е определяет атлас Р-ассоциированного расслоения
Y -» X с Н-значными функциями перехода.
Если фиксирован атлас ФР расслоения Р, фактор-расслоение
Е —> X (П.113) наделяется ассоциированным атласом (П. 106). От-
носительно этого атласа и атласа Фух; расслоения Y —> Е компози-
ционное расслоение Y -> X (П. 118) получает расслоенные коорди-
наты (хх, (Тт,уг), где (ат) — расслоенные координаты на Е —> X
и (у1) — расслоенные координаты на Y —> Е.
Лемма П.9.13. Всякий автоморфизм главного G-расслоения
Р —>• X является также автоморфизмом главного Н-расслоения

162
Приложение
Р —> Е и следовательно порождает автоморфизм Р% -ассоции-
рованного расслоения Y (П.118).
Доказательство. Автоморфизм расслоения Р -¥ X является
G-эквивариантным и следовательно Я-эквивариантным, т. е. это
автоморфизм расслоения Р -» Е. □
В силу леммы П.9.13 всякое G-инвариантное векторное поле £
(П.86) на Р —> X является также Я"-инвариантным векторным
полем
£я = + е(^Кдт + *|(аЛ ak)ea (П.124)
на Р —> Е, где {Jp} — представление алгебры Ли Qr группы G
в G/H и {ea = ipt(ea)} — базис алгебры Ли г)г группы Я. Для
разных векторных полей £ и tj (П.86) скобки Ли (П.87) приводят
к соотношению
е J?dm0* - ifj™dm$l + с£^< = . (П.125)
Векторные поля £ (П.86) и £н (П.124) порождают инфинитезималь-
ное калибровочное преобразование (П. 108) композиционного
расслоения Y, рассматриваемого как Р- и Р^-ассоциированное
расслоение. Это калибровочное преобразование имеет вид
Щ = + tpW)J?bn + «r*)J&, (П.126)
где {Ia} — операторы представления алгебры Ли г)г в V.
Поскольку векторное поле £# (П.124) не может быть верти-
кальным относительно проекции Р -» Е, рассматриваются также
векторные поля
С = < V, <тк)еа
как сечения расслоения алгебр Ли V#P -> Е. Они являются вер-
тикальными инфинитезимальными калибровочными преобразова-
ниями
«<=<W)4u (П-127)
Ps-ассоциированного расслоения Y -> Е.
Хотя Y (П.119) является Р-ассоциированным расслоением,
связность на Р в общем случае не редуцируема к связности на про-
извольном главном Я"-подрасслоении Ph расслоения Р (теорема

§ 9. Редуцируемые расслоения
163
П.9.8). Поэтому она не определяет связность на соответствующем
подрасслоении Yh (П.116) расслоения Y -> X. В то же время
все Рн -подрасслоения Yh расслоения Y —> X могут быть наде-
лены ассоциированными связностями следующим образом.
Лемма П.9.14. Пусть дана связность
Аъ = dxx ® (дх + Аахеа) + dam ® (дт + Аатеа) (И 128)
на главном Н -расслоении Р -> S. Пусть
Ayz = dxx ® {дх + АЦх», <тк)ГЛ) +
+ da™ ® (0m + «я", <г*ДО.) (П.129)
— ассоциированная связность naY —>• Е. 7огдд для любого Рн -под-
расслоения Yh -> X композиционного расслоения Y -» X
цированная связность (П.76)
= dxA ® [5А + «(аЛ ЛЛ)5АЛт + ft*))jjft] (П.130)
является связностью на Yhy ассоциированной с индуцированной
связностью h*Av на главном редуцированном Н -подрасслоении Ph
в теореме П.9.10.

Литература
1. Вейнберг С Гравитация и космология. М., 1975.
2. Владимиров Ю. С. Классическая теория гравитации. М.: Книжный
дом <J1h6pokom»/URSS, 2009.
3. Даниэль М., Виалле С. Геометрический подход к калибровочным тео-
рия типа Янга—Миллса // УФН. 1982. 136. 377.
4. Иваненко Д. Д. (Ред.) Элементарные частицы и компенсирующие
поля. М., 1964.
5. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Гравитация. 4-е изд. М.: Изда-
тельство ЛКИ/URSS, 2010.
6. Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная
теория гравитации. М., 1985.
7. Кадин А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклина-
ций. М., 1987.
8. Мел/гер К. Теория относительности. М, 1975.
9. Огиевецкий В. И., Полубаринов И. В. О спинорах в теории тяготения //
ЖЭТФ. 48. (1965) 1625.
10. Родичев В. И. Теория гравитации в ортогональном репере. М., 1974.
11. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 1. Геометрия
и классические поля. 2-е изд. М.: Книжный дом <JIh6pokom»/URSS,
2011.
12. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 2. Геометрия
и классическая механика. М.: URSS, 1998.
13. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 3. Алгеб-
раическая квантовая теория. 2-е изд. М.: Книжный дом «Либро-
kom»/URSS, 2011.
14. Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 4. Геометрия
и квантовые поля. М.: URSS, 2000.
15. Сарданашвили Г. А. Классическая калибровочная теория гравита-
ции // ТМФ. 2002. 132. 318; arXiv. gr-qc/0208054.
16. Тамура И. Топология слоений. М., 1979.
17. Тредер Г. Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. М.,
1975.
18. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. 3-е изд. М.:
Издательство ЛКИ/URSS, 2007-.

Литература
165
19. Хокинг С, Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-
времени. М., 1977.
20. Alekseevsky D., Cortes V. Classification of N- (super) -extended Poincare al-
gebras and bilinear invariants of the spinor representation of Spin(p, q) //
Commun. Math. Phys. 1997. 183. 477.
21. Avis S., Isham С Generalized spin structure on four dimensional space-
times // Commun. Math. Phys. 1980. 72. 103.
22. Balachandran A., Immirzi G., Lee J. Dirac operators on coset spaces //
J.Math. Phys. 2003. 44. 4713.
23. Bartocci C, Bruzzo if., Hernandez Ruiperez D. The Geometry of Super-
manifolds. Kluwer, Dordrecht, 1991.
24. Bartocci C, Bruzzo U., Hernandez Ruiperez D., Pestov V. Foundations of
supermanifold theory: the axiomatic approach // Diff. Geom. Appl. 1993.
3. 135.
25. Benn /., Tucker T. An Introduction to Spinors and Geometry with Appli-
cations to Physics. Adam Hilger, Bristol, 1987.
26. Blagojevic M. Gravitation and Gauge Symmetries. 10P Publishing, Bristol,
2002.
27. Bruzzo U. The global Utiyama theorem in Einstein—Cartan theory //
J.Math. Phys. 1987. 28. 2074.
28. Canarutto D. Metric completions and b-completions of Lorentz mani-
folds // ii Nuovo Cimento B. 1984. 80. 121.
29. Carmeli C, Cassinelli G.f Toigo A., Varadarajan V. Unitary representations
of super Lie groups and applications to the classification and multiplet
structure of super particles // Commun. Math. Phys. 2006. 263. 217.
30. Castellani L. Differential calculus on ISOq(N), quantum Poincare algebra
and g-gravity // Commun. Math. Phys. 1995. 171. 383; arXiv: hep-
th/9312179.
31. Catenacci R., Reina C, Teoflatto P. On the body of supermanifolds //
J.Math. Phys. 1985. 26. 671.
32. Cerchiai В., Fiore G., Madore J. Geometrical tools for quantum Euclidean
spaces // Commun. Math. Phys. 2001. 217. 521; arXiv: math/0002007.
33. Chamseddine A, Felder G., Frohlich J. Gravity in noncommutative geom-
etry // Commun. Math. Phys. 1995. 171. 383; arXiv: hep-th/9209044.
34. Chamseddine A., Connes A. The spectral action principle // Commun.
Math. Phys. 1997. 186. 731; arXiv: hep-th/9606001.
35. Chamseddine A. Complexified gravity in noncommutative spaces // Com-
mun. Math. Phys. 2001. 218. 283; arXiv. hep-th/0005222.
36. Chamseddine A. An invariant action for noncommutative gravity in four
dimensions//J.Math. Phys. 2003. 44. 2534; arXiv: hep-th/0202137.

166
Литература
37. Coleman S.f Wess J. and Zumino B. Structure of phenomenological La-
grangians, I, II // Phys. Rev. 1969. 177. 2239.
38. Connes A. Gravity coupled with matter and the foundation of noncom-
mutative geometry // Commun. Math. Phys. 1996. 182. 155; arXiv: hep-
th/9603053.
39. Coquereaux R., Jadczyk A. Geometry of multidimensional universes //
Commun. Math. Phys. 1983. 90. 79.
40. Coquereaux R., Jadczyk A. Riemannian Geometry, Fiber Bundles, Kaluza—
Klein Theories and All That. World Scientific, Singapore, 1998.
41. Dabrowski L., Percacci R. Spinors and diffeomorphisms // Comm. Math.
Phys. 1986. 106. 691.
42. D'auria R., Ferrara S., Liedo M. On the embedding of space-time sym-
metries into simple superalgebras // Lett. Math. Phys. 2001. 57. 123.
43. Dodson C. Categories, Bundles and Spacetime Topology. Shiva Publishing
Limited, Orpington, 1980.
44. Doplicher S., Fredenhagen K., Roberts J. The quantum structure of space-
time at the Planck scale and quantum fields // Commun. Math. Phys.
1995. 172. 187.
45. Douglas M., Nekrasov N. Noncommutative field theory // Rev. Mod. Phys.
2001. 73. 977; arXiv. hep-th/0106048.
46. Duff M. Nilson В., Pope С Kaluza—Klein supergravity // Phys. Rep.
1986. 130. 1.
47. Eguchi Т., Gilkey P., Hanson A. Gravitation, gauge theories and differential
geometry// Phys. Rep. 66 (1980) 213.
48. Ellis G., Shmidt B. Classification of singular space-times // Gen. Rel. Grav.
1979. 10. 989.
49. Fuks D. Cohomology of Infinite-Dimensional Lie Algebras. Consultants
Bureau, N.Y., 1986.
50. Geroch R. Spinor structure of space-time in general relativity // J. Math.
Phys. 1968. 9. 104.
51. Giachetta G, Mangiarotti L., Sardanashvily G Advanced Classical Field
Theory. World Scientific, Singapore, 2009.
52. Giachetta G, Mangiarotti L., Sardanashvily G Geometric Formulation of
Classical and Quantum Mechanics. World Scientific, Singapore, 2010.
53. Gobel R. The smooth-path topology for curved space-time which incor-
porates the conformal structure and analytic Feynman tracks // J. Math.
Phys. 1976. 17. 845.
54. Godina M., Matteucci P. Reductive G -structure and Lie derivatives //
J.Geom. Phys. 2003. 47. 66; arXiv. math/0201235.

Литература
167
55. Godina М, Matteucci P. The Lie derivative of spinor fields: Theory and
applications // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2005. 2. 159; arXiv.
math.DG/0504366.
56: G0t7.es S., Hirshfeld A. A geometric formulation of the 50(3, 2) theory of
gravity//Ann. Phys. 1990. 203. 410.
57. Greenberg M. Lectures on Algebraic Topology. W. A. Benjamin Inc., Menlo
Ibrk, 1971.
58. Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, Curvature and Coho-
mology. Academic Press, New York, 1972.
59. Hehl F.9 McCrea /., Mielke E.f Ne'eman Y Metric affine gauge theory of
gravity: field equations, Noether identities, world spinous, and breaking of
dilaton invariance // Phys. Reports. 1995. 258. 1; arXiv: gr-qc/940212.
60. Hehl F, Obukhov Yu. Elie Cartan's torsion in geometry and field theory,
an essay // Ann. Fond. L. de Broglie. 2007. 32. № 2-3; arXiv: 0711.1535.
61. Horie K. Fibre bundle for spin and chaige in general relativity // Commun.
Math. Phys. 2000. 209. 263.
62. Isham C, Salam A., Strathdee J. Nonlinear realizations of space-time
symmetries. Scalar and tensor gravity // Ann. Phys. 1970. 62. 98.
63. fvanenko D. Problems of unifying of cosmology and the microphysics //
Physics, Logic, and History. Plenum Press, N. Y, 1970. P. 105.
64. Ivanenko D.9 Sardanashvily G. The gauge treatment of gravity // Phys.
Reports. 1983. 94. 1.
65. Ivanenko D., Sardanashvily G. Goldstone type supeigravity // Progr. Theor.
Phys. 1986. 26. 969.
66. Joseph A., Solomon A. Global and infinitesimal nonlinear chiral transfor-
mations//J. Math. Phys. 1970. 11. 748.
67. Kiritsis E. D-branes in standard model bulding, gravity and cosmology //
Phys. Reports. 2005. 421. 105.
68. Kirsch I. A Higgs mechanism for gravity // Phys. Rev. D. 2005.72. 024001;
arXiv: hep-th/0503024.
69. KoldrL, Michor P., Slovak J. Natural Operations in Differential Geometry.
Springer, Berlin, 1993.
70. Kosmann Y. Derivees de Lie des spineurs. Ann. di Matem. Рига ed Appl.
1972. 91. 317.
71. Kulish P., Lyakhowski V., Mudrov V. Extended jordiam twists for Lie
algebras // J. Math. Phys. 1999. 40. 4569; arXiv: math/9806014.
72. Lawson H., Michelson M.-L. Spin Geometry. Princeton Univ. Press,
Princeton, 1989.
73. Leclere M. On the teleparallel limit of the Poincare gauge gravity // Phys.
Rev. D 2005. 71. 027503; arXiv: gr-qc/0411119.

168
Литература
74. Leclerc М. The Higgs sector of gravitational gauge theories // Ann. Phys.
2006. 321. 708; arXiv. 0502005.
75. Lord Goswami P. Gauge theory of a group of dineomorphisms: I, II.
General principles // J. Math. Phys. 1986. 27. 2415, 3051.
76. Lukierski Ruegg #., Tolstoy V. Twisted classical Poincare algebras //
J.Phys. A. 1994. 27. 2389; arXiv: hep-th/9312068.
77. Maier S. Geometric metrics and connections on spin- and spinc-mani-
folds // Commun. Math. Phys. 1997. 188. 407.
78. Malyshev C. The dislocation stress functions from the double curl T(3) -gauge
equations: Linearity and look beyond // Ann. Phys. 2000. 286. 249; arXiv:
cond-mat/9901316.
79. Mangiarotti L., Sardanashvily G. Connections in Classical and Quantum
Field Theory. World Scientific, Singapore, 2000.
80. Marathe K., Martucci G. The Mathematical Formulation of Gauge Theo-
ries. North Holland, Amsterdam, 1992.
81. Mielke E. Geometrodynamics of Gauge Fields — On the Geometry of
Yang—Mills and Gravitational Gauge Theories. Akademie-Verlag, Berlin,
1987.
82. Ne'eman Y, Sijacki Dj. Unified affine gauge theory of gravity and strong
interactions with finite and infinite GL(4, R) spinor fields // Ann. Phys.
1979. 120. 292.
83. Van Nieuwenhuizen P. Supergravity // Phys. Reports. 1981. 68. 189.
84. Nikolova Rizov V. Geometrical approach to the reduction of gauge
theories with spontaneous broken symmetries // Rep. Math. Phys. 1984.
20. 287.
85. Nilles H. Supersymmetry, supergravity and particle physics // Phys. Re-
ports. 1984. 110. 1.
86. Obukhov Yu., Pereira J. Metric-affine approach to teleparallel gravity //
Phys. Rev. D. 2003. 67. 044016; arXiv: gr-qc/0212080.
87. Obukhov Yu. Poincare gauge theories: selected topics // Int. J. Geom.
Methods Mod. Phys. 2006. 3. 95; arXiv: gr-qc/0601074.
88. Overduin /., Wesson P. Kaluza—Klein gravity // Phys. Reports. 1997. 283.
303; arXiv: gr-qc/9805018.
89. Parfionov G.9 Zapartrin R. Connes duality in Lorentzian geometry //
J. Math. Phys. 2000. 41. 7122; arXiv: gr-qc/9803090.
90. Ponomarev K, Obukhov Yu. Generalized Einstein—Maxwell theory // Gen.
Rel. Grav. 1982. 14. 309.
91. Rennie A. Commutative geometries and spin manifolds // Rev. Math. Phys.
2001. 13. 409; arXiv: math-ph/9903021.

Литература
169
92. Rennie A. Smoothness and locality for nonunital spectral triples // K-
Theory 2003. 28. 127; Poincare duality and spinc structure for noncom-
mutative manifolds, arXiv: math-ph/0107013.
93. Rogers A. A global theory of supermanifolds // J. Math. Phys. 1980. 21.
1352.
94. Sardanashvily G. Gravity as a Goldstone field in the Lorentz gauge theory //
Phys. Lett. 1980. A75. 257.
95. Sardanashvily G., V. Yanchevsky V. Caustics of space-time foliations in
General Relativity // Acta Phys. Polon. B. 1986. 17. 1017; arXiv: gr-
qc/9404024.
96. Sardanashvily G, Zakharov O. Gauge Gravitation Theory. World Scientific,
Singapore, 1992.
97. Sardanashvily G. Stress-eneigy-momentum conservation law in gauge grav-
itation theory // Class. Quant. Grav. 1997. 14. 1371.
98. Sardanashvily G. Covariant spin structure // J. Math. Phys. 1998. 39.4874;
arXiv: gr-qc/9711043.
99. Sardanashvily G. Gauge gravitation theory from the geometric view-
point // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2006. 3. № 1, v-xx; arXiv:
gr-qc/0512115.
100. Sardanashvily G. Geometry of classical Higgs fields // Int. J. Geom. Meth-
ods Mod. Phys. 2006. 3. 139; arXiv: hep-th/0510168.
101. Sardanashvily G Supermetrics on supermanifolds // Int. J. Geom. Meth-
ods Mod. Phys. 2008. 5. 271; arXiv: 0801.0088.
102. Sardanashvily G Classical field theory. Advanced mathematical formula-
tion // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2008. 5.1163; arXiv: 0811.0331.
103. Sardanashvily G. Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lec-
tures for theoreticians, arXiv: 0908.1886.
104. Sardanashvily G. Lectures on supergeometry. arXiv: 0910.0092.
105. Sardanashvily G. Relativistic mechanics in a general setting // Int. J. Geom.
Methods Mod. Phys. 2010. 7. №7; arXiv: 1005.1212.
106. Shapiro I. Physical aspect of the space-time torsion // Phys. Reports.
2002. 357. 113; arXiv: hep-th/0103093.
107. Sijacki Dj. Affine particles and fields, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys.
2005. 2. 189; arXiv: hep-th/0510168.
108. Strohmaier A. On noncommutative and semi-Riemannian geometry //
J.Geom. Phys. 2006. 56. 175; arXiv: math-ph/0110001.
109. Thompson G. Non-uniqueness of metrics compatible with a symmetric
connection // Class. Quant. Grav. 1993. 10. 2035.
110. Trautman A. The geometry of gauge fields // Czech. J. Phys. 1979. B29.
107.

170 Литература
111. Tseytlin A. Poincare and de Sitter gauge theories of gravity with propagation
torsion // Phys. Rev. D. 1982. 26. 3327.
112. Vasiliev M. Higher spin gauge theories in various dimensions // Fortsch.
Phys. 2004. 52. 702; arXiv: hep-th/0401117.
113. Wess Bagger J. Supersymmetry and Supergravity, Princeton Series in
Physics. Princeton Univ. Press, Princeton, 1992.
114. West P. Introduction to Supersymmetry and Supergravity. World Scientific,
Singapore, 1990.
115. Wiston G. Topics on space-time topology // Int. J.Theor. Phys. 1974. 11.
341; 1975. 12. 225.

Предметный указатель
Автоморфизм
ассоциированный 155
— голономный 13
автопараллель 18
алгебра Клиффорда 60
аннигилятор распределения 135
атлас голономный реперного
расслоения 13
— расслоения 124
ассоциированный 155
голономный 129
лоренцевский 21
пространственный 26
аффинное расслоение 136
База расслоенного
многообразия 123
Векторное поле 129
вертикальное 132
голономное 18
горизонтальное 141
неособое 129
параллельное 18
подчиненное
распределение 135
полное 129
проектируемое 132
— расслоение дуальное 127
вертикальное касательное
расслоение 131
— кокасательное расслоение 132
вертикально-значная 4юрма 134
вертикальный автоморфизм 126
— касательный морфизм 131
вложение 122
внешнее дифференцирование 130
— произведение векторных
расслоений 127
дифференциальных форм
130
внешняя форма 129
горизонтальная 133
индуцированная 130
Геодезическая 18
главное спинорное расслоение
ковариантное 70
глобально гиперболическое
многообразие 30
голономные координаты
касательного расслоения 122
кокасательного
расслоения 129
голономный репер 122
горизонтальное поднятие
векторного поля 142
— расщепление 141
градуированная алгебра Ли 90
группа Клиффорда 61
— точных симметрии 157
Дираковская спинорная
структура 64

172
Предметный указатель
дираковская спинорная структура
ковариантная 71
дираковский лагранжиан 74
дираковское спинорное поле 66
дифференциал
Frolicher-Nijenhuis 134
дифференциальный идеал 135
Закон сохранения 46
нётеровский 46
энергии-импульса 47
Иммерсия 122
инвариантная подгруппа 81
индуцированное представление
161
интегральная кривая 129
интегральное многообразие 135
максимальное 135
— сечение связности 143
инфинитезимальная
симметрия 46
инфинитезимальный
генератор 129
Калибровочная алгебра 154
— симметрия 47
калибровочное
преобразование 154
инфинитезимальное 154
ассоциированное 156
карта тривиализации
расслоения 124
касательное расслоение 122
аффинное 99
касательный морфизм 122
каустика 39
класс Годбийона—Вея 37
— Понтрягина 31
— Рейнхарта 37
— Эйлера 31
ковариантная производная 143
— спинорная структура 70
ковариантный дифференциал 143
вертикальный 148
кокасательное расслоение 129
конфигурацион ное
пространство 45
кораспределение 135
корепер голономный 129
— тетрадный 22
коцикла условие 123
кривизна 144
— мировой связности 14
— припаивающей формы 144
кручение 144
— мировой связности 15
— припаивающая форма 15
Лагранжиан 45
— Гильберта—Эйнштейна ОТО
52
— Янга—Миллса 56
линейная производная
аффинного морфизма 138
линейное реперное расслоение 12
лист слоения 136
локальный диффеоморфизм 123
лоренцевская структура 19
собственная 19
лоренцевское подрасслоение 19
собственное 19
Материальное поле 112
метрика Минковского 60

Предметный указатель
173
метрический тензор
энергии-импульса 52
метричности условие 23
мировая связность 14
аффинная 96
метрическая 23
на кокасательном
расслоении 14
тензорном расслоении 14
симметричная 15
мировое многообразие 9
параллелизуемое 17
плоское 17
мировые спиноры 70
многообразие струй 138
второго порядка 140
повторное 140
полуголономное 140
морфизм расслоений 125
главных 150
Напряженность связности 154
натуральное расслоение 11
нормализатор подгруппы 81
нормальный делитель 81
Общековариантное
преобразование 11
инфинитезимальное 11
оператор Дирака 67
полный 73
— Эйлера—Лафанжа 45
Первая вариационная
формула 45
плотность 133
погружение 122
подгруппа pin 61
— spin 61
подмногообразие 122
— вложенное 122
подрасслоение 126
поле Прока 59
— материи 44
полная производная 139
порождающая форма 27
послойный морфизм 125
принцип относительности 108
— эквивалентности
геометрический 107
сильный 106
слабейший 106
слабый 106
среднесильный 106
припаивающая форма 134
базовая 134
на многообразии 134
продолжение действия группы
касательное 150
струйное 152
проекция 123
производная Ли внешней формы
131
пространственная структура 26
пространственно-временная
структура 28
интегрируема 29
пространственно-временное
разложение 27
пространство-время 28
прямое произведение
расслоений 126
псевдориманова метрика 20
Распределение 135
— горизонтальное 141

174
Предметный указатель
распределение инволютивное 135
— пространственное 26
g -совместимое 28
расслоение 123
— алгебр Ли 151
— ассоциированное 155
— векторное 126
— главное 149
спинорное 66
— индуцированное 126
— композиционное 146
— метрик 20
— мировых связностей 16
— на алгебры Клиффорда 63
пространства Минковского
63
— связностей 152
— спинорное 66
— струй 139
аффинное 139
— тензорное 131
— тетрад 20
расслоенное многообразие 123
расслоенные координаты 123
расщепление короткой точной
последовательности 128
редукция структурной группы 157
редуцированная структура 157
редуцированное подрасслоение
157
репер 127
реперное поле 12
риманова метрика 26
g -совместимая 28
Свертка векторного поля
и внешней формы 130
— расслоений 127
связность 141
— Леви-Чивиты 24
— ассоциированная 156
— аффинная 96
— дуальная 145
— индуцированная 142
— картановская 100
— композиционная 148
— линейная 145
— лоренцевская 22
— на главном расслоении 152
— плоская 146
— проектируемая 147
— редуцируемая 144
— спинорная 67
— эквивариантная 152
сечение глобальное 125
— локальное 125
— нулевое 127
символы Кристоффеля 23
скобки Frolicher-Nijenhuis 133
— Ли 129
слоение 136
— индуцированное 38
— причинное 29
сингулярное 38
— простое 136
— пространственное 29
— сингулярное 38
слой расслоенного многообразия
123
собственная группа Лоренца 19
спинорная группа 61
Лоренца 62
— метрика 63
спинорное пространство 61
струйное продолжение
векторного поля 139