Автор: Сарданашвили Г.Л.
Теги: математика теория поля геометрия топология гравитация дифференциальная геометрия геометрические методы
Год: 1996
Текст
ГЛ. Сарданашвили
ГЕОМЕТРИЯ И КЛАССИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Современные методы теории поля. Т. 1
М.:УРСС, 1996. — 224 с.
Содержание
Введение 3
Глава 1. Дифференциальная геометрия 5
§1. Топологические пространства 5
§2. Многообразия 15
§3. Расслоенные многообразия 23
§4. Дифференциальные формы 35
§5. Многообразия струй 45
§6. Связности на расслоениях 52
§7. Расслоения со структурными группами 58
Глава 2. Геометрическая теория поля 68
§1. Лагранжев формализм 68
§2. Калибровочная теория 74
§3. Гамильтонов формализм 74
§4. Системы со связями 86
Калибровочные потенциалы (94). Электромагнитное поле (95). Поле
Прока (96).
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля 99
§ 1. Гомотопические группы 99
§2. Топологические солитоны 106
Модель кинков A07). Модель синус-Гордона A07). Модель
Нильсена — Олесена A08). Модель т 'Хуфта— Полякова A09).
§3. Гомологии и когомологии 110
Гомологии комплексов (ПО). Сингулярные гомологии A13).
Когомологии A18).
§4. Эффект Ааронова — Бома 121
Вакуумные калибровочные поля A21). Относительные гомологии и
когомологии A29).
§ 5. Характеристические классы расслоений 132
Классификационная теорема A32). Классы Чженя A34). Классы
Понтрягина A38).
§6. Инстантоны 142
§7. Магнитные монополи 154
Электромагнитное поле в модели т 'Хуфта — Полякова A58).
Магнитный заряд A59). Модель т'Хуфта — Полякова A61).
Уравнение Богомольного A63).
Глава 4. Геометрии пространства-времени 166
§1. Гравитация 166
§2. Многомерная гравитация 175
§3. Супергравитация 183
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения 193
Пространство струй бесконечного порядка A94). Вариационное
исчисление A96). Законы сохранения A99). Нетеровские законы
сохранения B00) Законы сохранения энергии-импульса B02).
Энергия-импульс калибровочных полей B03). Условие общей
ковариантности B04). Энергия-импульс гравитационного поля
B06).
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках 209
Библиография 214
Предметный указатель 216
Предметный указатель
Ааронова-Бома эффект 122
алгебра банахова 187
— Грассмана 185
— Клиффорда 167
— Ли левая 60
правая 64
алгебраическая структура 9
антисолитон 107
атлас ассоциированный 61
— главного расслоения 59
— голономный 25
— многообразия 15
— окружности стандартный 18
— расслоения 24
атласы эквивалентные многообразия
15
расслоения 24
аффинно-метрическая теория
гравитации 206
аффинное пространство (см.
пространство аффинное)
— расслоение (см. расслоение
аффинное)
Б
база расслоения 14
— топологии (см. топологии база)
базис голономный 19, 30
Бетти число 118
бордизм 112
В
вакуум янг-миллсовский 155
— хиггсовский 155
вакуумное поле 106
калибровочное 121
вариационная производная 198
— формула 198
вариация с фиксированной границей
196
векторное поле 27
вариационное 196
вертикальное 42
неособое 27
полное 35
проектируемое 42, 194
фундаментальное 37, 78
вертикальное касательное расслоение
32
— кокасательное расслоение 34
— расщепление (см. расщепление
вертикальное)
вложение 14, 20
вторая аксиома счетности 7
Г
Гамильтона оператор (см. оператор
Гамильтона)
— уравнение (см. уравнение
Гамильтона)
— функция 86
гамильтониан 82
— ассоциированный с лагранжианом
87
гамильтонова связность 82
гамильтоново векторное поле 86
гессиан 69
голономии группа 124
ограниченная 124
гомеоморфизм 9
гомологии относительные 130
— сингулярные 114, 116
проективных пространств 116
сфер 116
гомологии группа 111
гомоморфизм Гуревича 117
— предпучка 210
гомотопическая группа 101
высшая 101
относительная 103
п-мерная 101
— эквивалентность 100
слабая 102
гомотопически обратное
отображение 100
— эквивалентные пространства 100
гомотопический класс 100
гомотопные отображения 99
горизонтальная плотность 44
— проекция 195
— форма (см. форма горизонтальная)
горизонтальное расслоение 33
— расщепление (см. расщепление
горизонтальное)
горизонтальный лифт векторного
поля 73
канонический 204
гравитационное поле 169
градуированная суперкоммутативная
алгебра 183
градуированное векторное
пространство 184
градуированный Л-модуль 185
граница 111
— множества 8
— ориентированная 111
— относительная 129
— симплекса 114
сингулярного 114
грассманова оболочка 185
группа голономии связности (см.
голономии группа)
— гомологии (см. гомологии группа)
— гомотопическая (см.
гомотопическая группа)
— калибровочная(см.калибровочная
группа)
— Клиффорда 168
— когомологии (см. когомологии
группа)
— Ли 16
?0CI7
?1/BI7
?/AI6
— Лоренца 168
— симметрии внутренних 75
точных 155, 157
— спинорная(см. спинорная группа)
— структурная (см. структурная
группа расслоения)
— фундаментальная 101
Д
двойственность Пуанкаре 120
— де Рама 120
действие группы свободное 29
транзитивное 11
эффективное 11
диффеоморфизм 18
— локальный 20
дифференциал внешний
(см. дифференцирование внешнее)
— ковариантный (см. ковариантный
дифференциал)
— отображения (см. касательный
морфизм)
— (F-N) 41
дифференциальное уравнение 52
дифференциальный оператор 52
дифференцирование вертикальное
195
— внешнее 39
— горизонтальное 195
— Ли (см. производная Ли)
3
закон сохранения 73
ковариантный 203
сильный 193
слабый 193
замыкание множества 8
заряд магнитный 160
— топологический 146
И
изоморфизм расслоений 27
главных (см. калибровочный
изоморфизм)
иммерсия 20
инстантон 142
— БПШТ150
интегральное сечение связности 57
инъекция 14
К
калибровка сингулярная 151
калибровочная группа 79
калибровочные преобразования 79
— условия 93
калибровочный изоморфизм 62
— потенциал 75
— принцип 74
Калуца-Клейна модель 175
многомерная 176
карта 15
касательное пространство 19
— расслоение 19, 25
касательный морфизм 19, 27
вертикальный 32
квантование магнитного заряда 161
потока 124
кватернионы 143
— вещественные 143
— мнимые 143
кинк 107
класс гомотопический (см.
гомотопический класс)
— Понтрягина (см. Понтрягина
класс)
— Тодда138
— характеристический (см.
характеристический класс)
— Чженя (см. Чженя класс)
— Чженя-Саймонса 147
— Штифеля—Уитни 142
— Эйлера (см. Эйлера класс)
— эквивалентности 10
классификационная теорема 133
классическое поле 68
вакуумное (см. вакуумное
поле)
Клейна бутылка 112
клетка 103
клеточная аппроксимация 103
клеточное пространство 103
— разбиение 103
ковариантная производная 53
ковариантный дифференциал 57
ковекторное поле 30
когомологии де Рама 119
— относительные 129
— с коэффициентами в пучке 212
когомологии группа 118
кограница 118
— относительная 130
кокасательное расслоение 30
коммутант группы 117
компактификация локально
компактного пространства 12
— прямой 13
комплекс де Рама 119
— коцепной 118
— цепной 111 компонента связности
10
конторсии тензор 171
конфигурационное пространство 69
гравитации 206
калибровочных потенциалов 75
материальных полей 77
поля Прока 96
координат система 16
координаты голономные 19
— канонические 81
— подчиненные вертикальному
расщеплению 33
— производных (см. скоростей)
— расслоенные 23
аффинные 29
— скоростей 46
коцепь 118
— относительная 130
— с коэффициентами в пучке 211
коцикл 118
— относительный 130
кривизна связности 56
— припаивающей формы 57
кручение 117
— связности 57, 172
Л
лагранжева плотность (см.
лагранжиан)
— связность 71
лагранжиан 68
— материальных полей 77
— невырожденный (см. регулярный)
— полурегулярный 89
— поля Прока 96
— регулярный 69
— Янга-Миллса 75
Лагранжа функция 69
лассо 126
Лежандра многообразие 80
— отображение 80
— расслоение 80
лепажев эквивалент лагранжиана 197
лепажева форма 197
лист Мебиуса 25
М
материальное поле 77
метрика (см. расстояния функция)
— Минковского 168
— на многообразии 31
— послойная 30
— псевдориманова 169
— риманова 166 многообразие 15
— Грассмана 17
— Лежандра (см. Лежандра
многообразие)
— мировое 166
— ориентированное 22
— ориентируемое 22
— полисимплектическое
(см. полисимплектическое
многообразие)
— пространственно-временное 173
— струй (см. струй многообразие)
— топологическое 16
— Штифеля 18
множество замкнутое 7
— ограниченное 11
— открыто-замкнутое 8
— открытое 6
— плотное 8
мономорфизм расслоений 27
монополь магнитный 162
морфизм главных расслоений 62
— импульсный 83
— касательный (см. касательный
морфизм)
— многообразий 18
— послойный 15, 27
— расслоений (см. послойный)
— топологических пространств (см.
непрерывное отображение)
— тривиализации (см. тривиализации
морфизм)
мультинстантон 152
Н
накрытие 105
напряженность калибровочного поля
66
неметричности тензор 171
непрерывное отображение 8
Нетер тождества 79, 201
нетеровский ток (см. ток симметрии)
нормализатор подгруппы 176
нормальный делитель (см.
инвариантная подгруппа)
носитель 13
О
область 8
— тривиализации (см. тривиализации
область) ограниченное
множество (см. множество
ограниченное)
окрестностей фундаментальная
система 5
окрестность 5
оператор Гамильтона 84
— Дирака 171
— Эйлера—Лагранжа 70
второго порядка 70
первого порядка 70
орбита группы 11
ориентация многообразия 22
отделимость Фреше 12
отношение 10
— эквивалентности 10
отображение Лежандра (см.
Лежандра отображение)
— непрерывное (см. непрерывное
отображение)
— открытое 23
— пары топологических пространств
103
— пространства с отмеченной точкой
101
отображения гомотопные (см.
гомотопные отображения)
П
параллельный перенос 52, 53
погружение 20
подгруппа инвариантная 176
— циклическая 116
подмногообразие 20
— вложенное 20
подпространство топологического
пространства 9
подрасслоение 27
полисимплектическая структура 81
— форма 81
полисимплектическое многообразие
81
полиэдр 113
полное семейство гамильтонианов 91
Понтрягина индекс 147
— класс 138
многообразия 140
полный 139
последовательность гомотопических
групп пары 104
расслоения 105
— групп гомологии пары 129
когомологий пары 130
— касательных расслоений 34
— кокасательных расслоений 34
— точная 34
почти комплексная структура 140
предел Прасада-Зоммерфельда 164
предпучок 209
— канонический 210
преобразование атласов расслоения
24
— нечетное 183
— общее ковариантное 205
— четное 183
принцип калибровочный (см.
калибровочный принцип)
— расщепления 136
— эквивалентности 169
присоединенное представление 61
—проективное пространство 17
проекция 14, 21
— стереографическая (см.
стереографическая
проекция) произведение внешнее
расслоений 29
форм 38
— прямое расслоений 28
— расслоений 29
— связностей (см. связностей
произведение)
— тензорное абелевых групп 117
— топологических пространств 7
производная ковариантная (см.
ковариантная производная)
— Ли 36
внешней формы 42
тангенциально-значной формы
42
— полная 72
Прока поле 96
пространство аффинное 29
— касательное (см. касательное
пространство)
— классифицирующее 133
— клеточное (см. клеточное
пространство)
— конфигурационное (см.
конфигурационное
пространство)
— метрическое 6
— Минковского 167
— проективное (см. проективное
пространство)
— расслоенное (см. расслоенное
пространство)
— с отмеченной точкой 101
— связей 87
— спинорное (см.спинорное
пространство)
— топологическое (см.
топологическое пространство)
— фазовое (см. фазовое
пространство)
Пуанкаре лемма 119
путь накрывающий 53 пучок 209
— алгебр Ли 37
— внешних форм 38
— постоянный 210
— сечений 31
— тангенциально-значных форм 41
— тонкий 212
Р
разбиение гамильтониана
каноническое 84
— единицы 13
— клеточное (см. клеточное
пространство)
— множества 10
расслоение 24
— ассоциированное 58, 61
— аффинное 29
— векторное 29
— вертикальное касательное (см.
вертикальное касательное
расслоение)
кокасательное (см.
вертикальное кокасательное
расслоение)
— геометрическое 204
— главное 59
реперное 63,167
— горизонтальное (см.
горизонтальное расслоение)
— групповое 28, 61
— дифференцируемое 24
— дуальное 29
— индуцированное 28
— касательное (см. касательное
расслоение)
— кокасательное (см. кокасательное
расслоение)
— Лежандра (см. Лежандра
расслоение)
— на алгебры Клиффорда 168
— на пространства Минковского 168
— обобщенное аффинное 29
— редуцированное 62
— связностей 65
— со структурной группой (см.
структурная группа расслоения)
— сопряженное 64
— спинорное (см.спинорное
расслоение)
— струй (см. струй расслоение)
— тензорное 30
— универсальное 133
расслоений изоморфизм (см.
изоморфизм расслоений)
— мономорфизм (см. мономорфизм
расслоений)
— морфизм (см. морфизм
послойный)
— произведение (см. произведение
прямое расслоений)
внешнее (см. произведение
внешнее расслоений)
тензорное (см. произведение
тензорное расслоений)
— свертка (см. свертка расслоений)
— сумма Уитни (см. сумма Уитни
векторных расслоений)
расслоения эквивалентные 25
расслоенное многообразие 21
локально тривиальное 23
тривиальное 23
— пространство 14
расстояния функция 6 расщепление
вертикальное 33
для аффинного расслоения 33
для векторного расслоения 33
— горизонтальное 54
каноническое 49
проектируемого векторного
поля 50
— конфиругационного пространства
92
— локальное расслоенного
многообразия 21, 23
— фазового пространства 93
редукция структурной группы (см.
расслоение редуцированное)
резольвента пучка 212
росток функции 209
— элемента предпучка 209
С
свертка внешних форм и векторных
полей 39
— расслоений 30 связностей
произведение 55
тензорное 56 связность 53-55
— аффинная 55
— гамильтонова (см. гамильтонова
связность)
— дуальная 56
— лагранжева (см. лагранжева
связность)
— линейная 55
общая 171
— лоренцевская 171
— на ассоциированном расслоении
67
главном расслоении 64
расслоении связностей 67
— плоская 126
сечение 14, 21
— глобальное 14, 26
— голономное 48
— индуцированное 28
— интегральное (см. интегральное
сечение связности)
— критическое 196
— локальное 26
сигнатура многообразия 120
симплекс сингулярный 114
— стандартный 113
система отсчета 170
скобки Ли 37
— (F-N) 41
слабое равенство 73
слой 14, 23
— типичный 23
солитон 106
— нетопологический 107
— топологический 106
спинорная группа 168
спинорное пространство 167
— расслоение 168
спиноры дираковские 167
— майорановские 191
стабилизатор элемента 110
стебель пучка 209
степень отображения 22
стереографическая проекция 9
струй многообразие 46
второго порядка 51
голономное 51
повторное 50
полуголономное 50
к -порядка 51
повторное 52
полуголономное 52
— пространство бесконечного
порядка 194
— расслоение 46
струйное продолжение морфизма 47
сечения 48
структурная группа расслоения 58
струя сечений расслоения 45
субмерсия 21
сужение расслоения 28
сумму Уитни векторных расслоений
29
супералгебра Ли 184
— Пуанкаре 186
супергравитация 190
супергруппа Ли 190
— Ц4,4I90
— OSpD, 2; 1) 190
суперметрика 191
супермногообразие 189
суперпотенциал 193
— Комара 206
обобщенный 208
суперпространство 188
суперрасслоение главное 190
— касательное 189
суперфункция 188
— су пер дифференцируемая 188
сфера 8
сюръекция 14
Т
тензор конторсии (см. конторсии
тензор)
— неметричности (см.
неметричности тензор)
— энергии-импульса (см. энергии-
импульса тензор) тензорное
поле 30
— расслоение (см. расслоение
тензорное) тензоры т'Хуфта 143
— антисамо дуальные 143
— само дуальные 143
тетрадная форма 172
— функция 170
тетрадное поле 169
ток симметрии 73, 200
топологии база 7
— сравнимые 8
топологическая структура 5
топологическое пространство 5
векторное 9
вполне несвязное 10
дискретное 6
евклидово 7
компактное 12
локально евклидово 9
локально компактное 12
счетное в бесконечности
13
отделимое 11
паракомпактное 13
связное 8
стягиваемое 100
хаусдорфово (см. отделимое)
к -связное 102
топология индуцированная 9
— метрическая 6
— образа 9
— подчиненная структуре
многообразия 15
— сильнее 8
— сильнейшая 8
— слабее 8
— слабейшая 8
точка бесконечно удаленная 12
— прикосновения 8
— предельная 12
точная последовательность (см.
последовательность точная)
тривиализации морфизм 24, 25
— область 24
У
уравнение Богомольного 164
— Гамильтона 85
алгебраическое 85
— само дуальности 151
— Эйлера-Лагранжа алгебраическое
70,71
второго порядка 70, 71
первого порядка 70, 71
Ф
фазовое пространство 80
калибровочных потенциалов 94
поля Прока 96
электромагнитных потенциалов
95
фактор по отношению (см. фактор-
фактормножество)
фактор-группа 11
фактор-множество 11
фактор-пространство 11
— левое 11
— правое 11
— топологическое 11
фермионное поле 169, 170
флаксон 122
форма векторнозначная 35
— вертикально-значная
горизонтальная 43
— внешняя 35, 37
горизонтальная 43
замкнутая 39
точная 39
индуцированная 40
— горизонтальная 42
— Картана197
— Киллинга 76
— контактная 195
— лепажева (см. лепажева форма)
— Лиувилля 43, 85
обобщенная 81
— полисимплектическая (см.
полисимплектическая форма)
— припаивающая 43
каноническая 44
— производящая оператора Эйлера-
Лагранжа 70
— Пуанкаре-Картана 69
— пфаффова (см. ковекторное поле)
— связности 65
локальная 65
— симплектическая 43, 85
— тангенциально-значная 35, 40
вертикальная 42
горизонтальная 43
каноническая 41
проектируемая 43
— характеристическая (см.
характеристическая форма)
— Чженя (см. Чженя форма)
— Эйлера (см. Эйлера форма)
функция Гамильтона (см. Гамильтона
функция)
— Лагранжа (см. Лагранжа функция)
— перехода 15, 24, 25
— эквивариантная 62
X
характеристическая форма 135
характеристический класс 134
— полином 134
хиггсовское поле 63, 154
ц
цепь 111
— относительная 129
— сингулярная 114
цикл 111
— относительный 129
Ч
четность элемента 184
Чженя класс 136
—: — вещественного многообразия
140
— форма 135
полная 135
— характер 138
— число 137
число Бетти (см. Бетти число)
— Чженя (см. Чженя число)
Ш
шар замкнутый 8
— открытый 7
Э
Эйлера класс 141
— форма 142
эйлерова характеристика 118
многообразия 120
эквивалентности класс (см. класс
эквивалентности)
— отношение (см. отношение
эквивалентности)
эквивалентность гомотопическая (см. электромагнитное поле 76
гомотопическая энергии-импульса тензор 73, 202
эквивалентность) метрический 203
эквивалентные атласы (см. Я
атласы эквивалентные) ядро послойного морфизма 34
— расслоения (см. расслоения Якоби матрица 20
эквивалентные) якобиан 22
Посвящается
Дмитрию Дмитриевичу Иваненко
Введение
Имеется обширная литература по дифференциальной геометрии и ее применению к те-
теории поля. Главная трудность при освещении этой темы состоит в том, чтобы отобрать
только тот математический материал, который строго необходим для физических при-
приложений, и в то же время сохранить какую-то последовательность изложения, чтобы не
превратить книгу в подобие математического глоссария. Кроме того приходится начи-
начинать изложение математического аппарата с самых основ, чтобы сделать его доступным
неподготовленному читателю, и доводить его до весьма абстрактных конструкций, ис-
используемых в современной теории поля.
Геометрические методы сейчас широко применяются как в классических, так и в
квантовых полевых моделях. В этой книге мы ограничимся только классической теорией
поля, математический аппарат которой, в отличие от квантовой теории поля, можно
считать вполне разработанным. При этом основной акцент будет сделан не на самих
полевых моделях, быстро сменяющих одна другую, а на тех математических методах, на
которых большинство этих моделей базируется.
Применение геометрических методов в теории поля основывается на следующем по-
положении.
Все классические поля представляются как сечения некоторых дифференцируемых
расслоений
7г : Y -» X,
где база X играет роль пространственно-временного многообразия или некоторого про-
пространства параметров, а прообразу 7г~'(ж) всякой точки х ? X придается смысл про-
пространства скоростей, импульсов или некоторого внутреннего пространства. При этом,
даже если рассматриваются локальные конструкции (на некоторой области простран-
пространства X), все объекты строятся глобально хорошо определенными. В первую очередь
это вызывает замену операторов частных производных д^ на операторы ковариантных
производных
dm = ам - г,.,
где Г — это некоторая связность на расслоении Y —* X. Связности — это тот новый
важнейший физический объект, к которому приводит геометрическая формулировка тео-
теории поля. Например, в калибровочных моделях фундаментальных взаимодействий это —
связности на главных расслоениях, интерпретируемые как калибровочные поля — пе-
переносчики взаимодействий, характеризуемых той или иной группой симметрии.
Понятие связности является ключевым в геометрическом подходе к теории поля. В
большинстве учебников по дифференциальной геометрии ограничиваются рассмотре-
рассмотрением связностей на главных расслоениях. Этого однако недостаточно для описания
4 Введение
динамики полей, построения лагранжева и гамильтонова формализмов. В книге мы ис-
исходим из общего понятия связностей на дифференцируемых расслоениях, описывая их
в терминах тангенциально-значных дифференциальных форм и многообразий струй.
Многообразия струй — еще один математический объект, которому в данной кни-
книге, в отличие от большинства стандартных учебников по дифференциальной геометрии,
уделяется много внимания. Многообразия струй —• это пространства, элементами ко-
которых являются классы эквивалентности полей, отождествляемых по первым двум или
более членам их разложения в ряд Тейлора. Теория дифференциальных операторов, как
известно, формулируется именно на языке многообразий струй. Соответственно лагран-
жев и гамильтонов формализмы в теории поля адекватно описываются в тех же самых
терминах.
Важно, что и связности, и многие объекты на многообразиях струй выражаются через
тангенциально-значные дифференциальные формы, которыми легко оперировать. Эти
формы составляют основу применяемой в книге математической техники.
Помимо связностей, геометрический подход к теории поля вводит в рассмотрение
еще один совершенно новый класс физических величин — так называемые топологи-
топологические числа и заряды, описывающие глобальные свойства полевых конфигураций. Они
представляют собой различные гомотопические и тополого-алгебраические характери-
характеристики многообразий и расслоений. Примерами таких характеристик являются элементы
гомотопических групп, числа Чженя, Понтрягина, эйлерова характеристика и др. Они
широко применяются в солитонных, монопольных, инстантонных и других нелинейных
моделях с различными топологиями. Причем, такие модели не обязательно предпола-
предполагают топологическую нетривиальность самого пространства-времени. Например, если
поля на пространственной бесконечности имеют по всем направлениям одну и ту же
асимптотику, их можно рассматривать и классифицировать как поля на сфере.
Настоящая книга далека от того, чтобы пытаться охватить все геометрические кон-
конструкции, которые ныне используются в теории поля. Само их перечисление потре-
потребовало бы многостраничных пояснений. Мы оставляем на будущее и геометрические
методы в квантовой теории поля, аппарат которой нуждается в отдельном тщательном с
математической точки зрения изложении.
Глава 1
Дифференциальная геометрия
Мы предполагаем, что читатель знаком с основами теории множеств, теории векторных
пространств и теории групп Ли.
В книге используются стандартные обозначения ©, ®, V and Л для прямой суммы,
тензорного произведения, симметризованного тензорного произведения и антисимме-
тризованного тензорного (внешнего) произведения соответственно. Значком j обозна-
обозначается операция свертки дуальных величин — векторов и форм.
Символы дв применяются для упрощенной записи операторов частных производных
по координатам с индексами д.
Композиция отображений обозначается значком о.
§ 1. Топологические пространства
Топологическая структура, задаваемая на множестве, определяет отношение близо-
близости между элементами множества. Она позволяет придать выражению "такое-то свой-
свойство имеет место для всех точек, достаточно близких к элементу х" точный смысл.
Это означает, что множество точек, обладающих этим свойством, образует некоторую
окрестность элемента х в данной топологии.
Говорят, что множество X наделено топологической структурой (т. е. является топо-
топологическим пространством), если каждому его элементу х тем или иным способом отне-
отнесено семейство подмножеств из X, называемых окрестностями этого элемента. Обозна-
Обозначим это семейство В(х). Оно должно удовлетворять следующим весьма естественным
условиям.
(i) Элемент х принадлежит каждой своей окрестности.
(ii) Всякое подмножество X, содержащее какую-либо окрестность элемента х,
также является окрестностью х.
(ш) Пересечение конечного числа окрестностей тоже является окрестностью.
(iv) Для каждой окрестности V из В(х) всегда существует "меньшая" окрестность
W С V, такая что V G В(у) для каждого элемента у G W, т. е. V является
окрестностью всякого элемента из множества W.
Из условия (И) следует, что множество окрестностей В(х) можно определить, за-
задавая фундаментальную систему окрестностей элемента х, т. е. такое подмножество
В(х± с В(х), что всякая окрестность элемента х содержит некоторую окрестность
из В{х).
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.1.1. Топологическое пространство называется дискретным топологиче-
топологическим пространством, если фундаментальная система окрестностей всякого его элемента
сводится к самому этому элементу. Это означает, что всякое множество, содержащее
данный элемент, является его окрестностью в дискретной топологии. D
Пример 1.1.2. Рассмотрим случай, когда отношение близости между элементами
множества можно выразить числом — расстоянием между элементами. Множество X
называется метрическим пространством, если для каждой пары его элементов жиж'
задана функция расстояния (метрика) р(х, х). Она определяется как неотрицательная
вещественная функция на декартовом (прямом) произведении X х X, удовлетворяющая
следующим условиям:
р(х, х) = О,
р(х, х) = р(х, ж),
р(х, х) + р(х', ж") > р(х', ж").
Примером метрического пространства служит поле действительных чисел К с функцией
расстояния
р(х,х) = \х-х'). A.1)
Определим на метрическом пространстве топологию, выбрав в качестве фундаменталь-
фундаментальной системы окрестностей каждого его элемента ж множества
Dc = {у : р(х, у) < е} A:2)
для всех е > 0. Такая топология называется метрической топологией. Например, фун-
фундаментальная система окрестностей всякого элемента ж поля действительных чисел Ж в
метрической топологии образована интервалами
Dt = {y:\y-x\<e}=]x-e,x + e[ A.3)
для всех е > 0. Это топология 1-мерного ебклидова топологического пространства К1.
В дальнейшем мы предполагаем, что Ж, если оно рассматривается как топологическое
пространство, наделено именно этой топологией. ?
Топологию на множестве можно вводить несколькими эквивалентными способами,
например, задавая семейство его открытых подмножеств.
Подмножество топологического пространства называется открытым, если оно явля-
является окрестностью любого своего элемента. Так, в дискретной топологии сам элемент
уже оказывается открытым подмножеством. В пространстве Ж открытыми являются
всевозможные интервалы A.3), тогда как отрезок, например, не открытое множество,
поскольку не является окрестностью своей граничной точки.
Множество открытых подмножеств топологического пространства обладает следую-
следующими свойствами.
(i) Всякое объединение открытых подмножеств есть открытое подмножество.
(ii) Пересечение конечного числа открытых подмножеств есть открытое подмно-
подмножество.
(Hi) Пустое множество 0 и само множество ¦ X являются открытыми.
§ 1. Топологические пространства
Подчеркнем, что свойство (ii) открытых множеств не распространяется на бесконеч-
бесконечное пересечение открытых множеств. Например, пересечение всех интервалов 2?е(ж)A.3)
из Примера 1.1.2 сводится к самому элементу х, который не является открытым под-
подмножеством в метрической топологии на К.
Задание множества открытых подмножеств, удовлетворяющее приведенным выше
условиям, вводит топологию на множестве X. В этом случае окрестность элемента х ? X
характеризуется как множество, которое содержит какое-либо открытое подмножество,
содержащее х.
Пример 1.1.3. Пусть X и X' — топологические пространства. Их произведение
X х X' определяется как декартово произведение множеств X и X', наделенное топо-
топологией, открытыми подмножествами в которой являются множества вида U xU', где U
и U' — всевозможные открытые подмножества X к X'. О
Свойство (i) открытых множеств позволяет определить все множество открытых под-
подмножеств, задав базу топологии, т. е. такое семейство открытых подмножеств, что всякое
открытое подмножество пространства X является объединением множеств из этого се-
семейства.
Например, базу дискретной топологии из Примера 1.1.1 составляют все элементы
пространства X. Базу метрической топологии — множества вида D,{x) A.2) для всех
х € X и е > 0. Они именуются открытыми шарами радиуса е.
Пример 1.1.4. Евклидовым топологическим пространством размерности п называ-
называется п -кратное произведение
Еп ГО) w ^/ ТП)
— т. X . . . X JK.
Базу топологии в нем образуют п -мерные открытые шары
D:(x) = L : \\х - у\\ = (j>' - у*А < Л , е > 0.
Это метрическая топология, отвечающая функции расстояния ||ж — у\\. ?
Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетно-
сти, если оно обладает счетной базой. Например, евклидово топологическое простран-
пространство обладает счетной базой. Ее можно составить из открытых шаров радиусами \/п
(п = 1, 2, ...) с центрами в точках с рациональными координатами.
Другой эквивалентный способ введения топологии на множестве X — это задание
семейства его замкнутых подмножеств, которое удовлетворяет следующим условиям:
(i) всякое пересечение замкнутых подмножеств — замкнутое подмножество;
(ii) объединение конечного числа замкнутых подмножеств — замкнутое подмно-
подмножество;
(ш) пустое множество и само множество X являются замкнутыми.
В топологическом пространстве X замкнутые подмножества являются дополнениями
X_\U открытых подмножеств.
Примером замкнутых подмножеств в Ш служат отрезки [а, Ь], как дополнения от-
открытых множеств
]-оо, a[U]b, +oo[.
Глава 1. Дифференциальная геометрия
В общем случае метрической топологии — это замкнутые шары
Dc(x) = {у : р(х, у) ^ е}.
В дальнейшем под шарами, если специально не оговорено, будут подразумеваться имен-
именно замкнутые шары.
Пусть А — подмножество топологического пространства X. Минимальное замкну-
замкнутое множество, содержащее А, называется его замыканием А. Оно состоит из всех точек
прикосновения множества А, т. е. точек, все окрестности которых пересекают А. Гра-
Границей множества А именуют множество дА, состоящее из точек, которые являются
точками прикосновения как А, так и его дополнения X \ А.
Например, замыканием интервала ]а, Ь[ в К является отрезок [о, Ь], а его грани-
границей — множество из двух точек {a} U {Ь}. В метрическом пространстве границей от-
открытого шара Ds(x) является сфера
Ss(x) = {у : р(х, у) - г).
Говорят, что подмножество топологического пространство плотно, если его замыка-
замыкание совпадает со всем пространством. Например, подмножество рациональных чисел Q
плотно в Ш.
Подмножество топологического пространства может быть одновременно и откры-
открытым, и замкнутым. Топологическое пространство (или его подмножество), которое не
содержит таких открыто-замкнутых подмножеств, называется связным, т. е. оно не явля-
является объединением двух и более непустых непересекающихся открытых или замкнутых
множеств.
Примером несвязного пространства может служить дискретное пространство, если
оно состоит более чем из одного элемента. Всякое его подмножество является открыто-
замкнутым. Связно евклидово топологическое пространство. Связное открытое подмно-
подмножество называется областью.
Одно и то же множество может быть наделено различными топологическими струк-
структурами, и это будут разные топологические пространства. Например, на множестве дей-
действительных чисел Е могут быть введены дискретная топология, топология евклидова
пространства, или топология, в которой единственным непустым открытым множеством
является само множество К.
Пусть на множестве заданы две топологические структуры такие, что всякое под-
подмножество, открытое в первой топологии, является открытым и во второй. Тогда эти
топологии называются сравнимыми топологиями и говорят, что первая топология слабее
второй. Грубо говоря, чем больше число открытых подмножеств, тем топология сильнее.
Не всякие две топологические структуры на множестве сравнимы, но среди всех топо-
топологий на множестве всегда есть слабейшая топология и сильнейшая топология. Первая —
это топология, в которой единственным непустым открытым множеством является само
это множество, а вторая — дискретная топология.
Определим теперь морфизмы топологических пространств. Это отображения мно-
множеств, которые согласуются с их топологическими структурами. Таковыми являются
непрерывные отображения.
Отображение /топологического пространства X в топологическое пространство X'
называется непрерывным, если для любой окрестности V' элемента х' ? X' и всякого
его прообраза х ? f~l(x') существует окрестность V элемента х такая, что /(V) С V.
Легко убедиться, что композиция /о/' непрерывных отображений / и /' тоже является
непрерывным отображением.
§ 1. Топологические пространства
Пример 1.1.5. Всякое отображение дискретного пространства в любое топологи-
топологическое пространство является непрерывным, поскольку в дискретной топологии всякий
прообраз элемента f(x) сам уже является окрестностью. О
Отметим, что при непрерывном отображении X —+ X' прообраз открытого подмно-
подмножества из X' является открытым в X, но образ открытого подмножества из X может не
быть открытым в X'.
Пример 1.1.6. Пусть А — подмножество топологического пространства X. Индуци-
Индуцированной топологией на А называется топология, открытыми подмножествами в которой
являются всевозможные пересечения А с открытыми подмножествами из X. Подмно-
Подмножество А, наделенное такой топологией, называется подпространством пространства X.
Топология подпространства является наиболее слабой топологией на А, при которой
естественное вложение А '—^ X непрерывно. Например, пусть А — прямая линия в
плоскости К2. Тогда топология, индуцируемая на А из Ш2, совпадает с евклидовой
топологией на прямой Ш. Пусть / — непрерывное отображение топологического про-
пространства X в топологическое пространство X'. Его образ f(X) в X' может быть наделен
так называемой топологией образа, когда открытыми подмножествами U в f(X) выби-
выбираются такие и только такие подмножества, прообразы которых f~l(U) открыты в X.
В общем случае топология образа сильнее индуцированной топологии на f(X) с X'
и f(X) не является подпространством X'. О
Гомеоморфизмом топологического
пространства X на топологическое
пространство X' называется непре-
непрерывное взаимно однозначное отобра-
отображение / пространства X на простран-
пространство X' такое, что обратное отобра-
отображение /"' тоже непрерывно. Гомео-
Гомеоморфизм обеспечивает эквивалент-
эквивалентность топологических структур на X
и X'.
Пример 1.1.7. Стереографиче-
Стереографическая проекция (рис. 1) устанавливает Рис j
гомеоморфизм п -мерной сферы 5"
без точки и n-мерного евклидова пространства Е™. Открытый шар в евклидовом про-
пространстве гомеоморфе н самому этому пространству. ?
Пример 1.1.8. Топологическое пространство называется локально евклидовым про-
пространством размерности п, если всякая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной
евклидовому пространству К™. Например, окружность S1 является локально евклидовым
пространством размерности 1. Пространство-время Минковского как топологическое
пространство представляет собой 4-мерное евклидово топологическое пространство, что
и дает основание офаничиваться в физических моделях евклидовыми и локально евкли-
евклидовыми пространствами. ?
Пусть множество X снабжено некоторой алгебраической структурой, характеризуе-
характеризуемой теми или иными морфизмами X х X —* X, X —* X или Ж х X —у X. Говорят, что
топология на множестве X согласуется с его алгебраической структурой, если все эти
морфизмы непрерывны в этой топологии.
Ю Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.1.9. Пусть X — векторное пространство. Будучи наделенным некоторой
топологической структурой, оно называется топологическим векторным пространством,
если операции сложения и умножения на число в этой топологии непрерывны. Напри-
Например, n-мерное векторное пространство в топологии n-мерного евклидова пространства
является топологическим векторным пространством. Отметим, что в топологическом
векторном пространстве операции сложения с фиксированным вектором и умножения
на фиксированное число являются его гомеоморфизмами. Отсюда, в частности, следует,
что топологическая структура в окрестности любого элемента определяется топологией
окрестности 0 векторного топологического пространства. ?
Пример 1.1.10. В калибровочной теории фундаментальных взаимодействий в ка-
качестве групп симметрии фигурируют, как правило, группы Ли, которые являются част-
частным случаем топологических групп. Группа G называется топологической группой, если
ее групповое пространство наделено топологией, в которой операции произведения
(Si д') |~> дд' и перехода к обратному элементу д н-> д~[ являются непрерывными. Более
того, умножение на фиксированный элемент группы и переход к обратному являют-
являются гомеоморфизмами топологической группы. Тем самым топологическая структура в
окрестности любого элемента топологической группы определяется топологией окрест-
окрестности ее единицы. D
Введем теперь важные понятия отношения эквивалентности и фактор-пространства.
Отношением Е на множестве X называется некоторое подмножество Е С X х X.
Говорят, что элемент а € X находится в отношении Е к элементу Ъ ? X (обычно
пишут аЕЬ), если (a, b) G Е.
Отношение Е именуется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет сле-
следующим условиям:
• всякий элемент эквивалентен сам себе;
• если элемент а эквивалентен Ь, то b эквивалентен а;
• если элемент а эквивалентен b и Ь эквивалентен с, то элемент а эквивалентен с.
Например, отношение параллельности прямых на плоскости есть отношение экви-
эквивалентности.
Классом эквивалентности отношения эквивалентности Е на множестве X называется
такое подмножество ХЕ С X, что аЕЬ для всех а, Ъ ? ХЕ и отношение Е не имеет место
ни для каких а ? ХЕ и Ь ? X \ ХЕ. В силу этого определения классы эквивалентности
{ХЕ} образуют разбиение множества X, т. е.
X = {JXE, ХЕПХЕ,=0.
Пример 1.1.11. Принадлежность двух элементов топологического пространства
какому-либо одному связному подмножеству есть отношение эквивалентности. Клас-
Классы эквивалентности, на которые это отношение разбивает пространство, являются его
максимальными связными подмножествами, именуемыми компонентами связности то-
топологического пространства. Например, топологическое пространство называется впол-
вполне несвязным, если его компонентами связности являются лишь его элементы. Дис-
Дискретное топологическое пространство очевидно вполне несвязно. Но вполне несвязное
пространство не обязательно дискретно. Например, множество рациональных чисел,
наделенное метрической топологией, задаваемой функцией расстояния A.1), вполне не-
несвязно. ?
§ 1. Топологические пространства 11_
Пример 1.1.12. Пусть топологическая группа G из Примера 1.1.10 действует слева
непрерывно и эффективно в топологическом пространстве представления V. Это озна-
означает, что отображение
G х V Э (д, v) ^ gv G V
непрерывно и, если gv = v для всех v ? V, то д = 1 — единица группы. Зададим на V
отношение Е такое, что vEv', если v' = gv для некоторого элемента д ? G. Это от-
отношение эквивалентности. Его классы эквивалентности называются орбитами группы G
в У. Например, орбитами группы 50B) вращений плоскости являются окружности с
центром в точке врашения. На каждой орбите группа G действует транзитивно, т. е. по
определению для любых двух элементов v и v' орбиты имеется элемент группы д ? G
такой, что v — gv. О
Множество всех классов отношения эквивалентности Е на множестве X называется
фактором множества X по отношению Е, или фактор-множеством Х/Е.
Например, фактор множества прямых на плоскости по отношению параллельно-
параллельности — это окружность с отождествленными противоположными точками, т. е. проек-
проективное пространство ЕР1.
Пример 1.1.13. Пусть Я — подгруппа группы G. Рассмотрим на G отношение
эквивалентности Е такое, что дЕд', если д' = hg (соотв. д' = gh) для некоторого эле-
элемента h б Я. Фактор группы G по этому отношению эквивалентности называется
левым (соотв. правым) фактор-пространством G/H. Если Я — инвариантная подгруп-
па G, т. е. g"'/ij ? Я для всех д ? G, h G Я, то левое и правое фактор-пространства
совпадают и G/H снабжено структурой группы, называемой фактор-группой. ?
Пусть теперь X — топологическое пространство, наделенное некоторым отношени-
отношением эквивалентности Е, и
7г : X -* Х/Е
— каноническое отображение, сопоставляющее каждому элементу из X его класс экви-
эквивалентности. Фактор-множество Х/Е становится топологическим фактор-пространст-
фактор-пространством, если его снабдить топологией образа из Примера 1.1.6. Это наиболее сильная топо-
топология на Х/Е, при которой каноническая проекция X -* Х/Е непрерывна.
В теории поля имеют дело главным образом с отделимыми локально компактными
паракомпактными топологическими пространствами.
Топологическое пространство, в котором для любых двух различных элементов х
и х' существуют не пересекающиеся между собой окрестность элемента х и окрестность
элемента х', называется отделимым (хаусдорфовым) пространством.
Например, в дискретном пространстве такими непересекающимися окрестностями
являются сами эти элементы, и дискретное пространство отделимо. В частности, мож-
можно показать, что дискретная топология на конечном множестве является единственной
отделимой топологией.
Евклидово пространство, как и всякое метрическое пространство, отделимо, по-
поскольку любые его две точки можно окружить открытыми шарами, достаточно малого
радиуса, чтобы они не пересекались. Более того, евклидова топология является един-
единственной отделимой топологией, согласующейся со структурой конечномерного вектор-
векторного пространства.
Всякое подпространство отделимого пространства отделимо, а всякий его элемент
является замкнутым множеством.
Примером неотделимой топологии может служить слабейшая топология на множе-
множестве. Локально евклидово пространство не обязательно отделимо.
12 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.1.14. Рассмотрим топологическое пространство X, получаемое склеива-
склеиванием двух вещественных прямых К, и К2 по точкам со строго положительными коорди-
координатами гх = г2 > 0. Базу его топологии составляют открытые подмножества прямых Ш.^
и Е2 при их естественном вложении в X. Легко видеть, что это локально евклидово про-
пространство, но его элементы с координатами г{ = 0 и г2 = 0 не являются отделимыми, так
как они не имеют окрестностей, которые бы между собой не пересекались. Построенная
склейка удовлетворяет однако так называемому условию отделимости Фреше: для любых
двух различных элементов пространства жиж' существует окрестность элемента х, не
содержащая х . ?
Отделимое топологическое пространство, всякое покрытие которого открытыми под-
подмножествами
содержит конечное покрытие, называется компактным пространством.
Рассмотрим, например, покрытие дискретного пространства открытыми множества-
множествами, каждое из которых состоит из одной точки. Если число точек пространства более
чем конечно, то это покрытие не содержит конечного подпокрытия и дискретное про-
пространство некомпактно.
Подчеркнем, что и некомпактное пространство допускает покрытие конечным чи-
числом открытых множеств, но не всякое его покрытие содержит конечное подпокрытие.
Приведенное определение компактного пространства возможно недостаточно на-
наглядно. Некоторое представление о компактных пространствах могут дать следующие
факты.
• В компактном пространстве любая бесконечная последовательность имеет предель-
предельную точку, т. е. точку прикосновения, всякая окрестность которой содержит эле-
элементы последовательности. В компактном пространстве всякое замкнутое под-
подпространство компактно, а в отделимом пространстве всякое компактное подпро-
подпространство замкнуто.
• Подпространство метрического (в частности, евклидова) пространства компактно
в том и только том случае, когда оно ограничено (т. е. принадлежит некоторому
шару конечного радиуса) и замкнуто.
Само евклидово топологическое пространство не является компактным. Оно локаль-
локально компактно.
Отделимое топологическое пространство называется локально компактным, если вся-
всякий его элемент имеет компактную окрестность.
Например, для элементов метрического пространства такими окрестностями явля-
являются шары и оно локально компактно. Дискретное пространство локально компактно,
поскольку компактной окрестностью всякого его элемента служит он сам.
Локально компактное пространство всегда можно компактифицировать добавлением
так называемой бесконечно удаленной точки.
Для любого локально компактного пространства X существует компактное про-
пространство X' и гомеоморфизм X на дополнение к некоторой точке а в X'. Такое
пространство X' называется компактификацией локально компактного пространства X.
Оно строится как объединение пространства X и.множества из одного элемента {а}. То-
Топология на X' определяется выбором в качестве открытых множеств в X' всех открытых
множеств из X и всевозможных множеств вида (Х\К) и {а}, где К — компактные под-
подмножества X. Говорят, что X' получается из X присоединением бесконечно удаленной
точки а.
. § 1. Топологические пространства 13
Пример 1.1.15. Компактификация прямой К гомеоморфна окружности S[. Дей-
Действительно, введем на К декартову координату х, а на S1 циклическую координату
—¦ж ^ а ^ тг так, что координаты тг и — тг принадлежат одной и той же точке а. Отобра-
Отображение
а = 2 arctg x,
обратное стереографической проекции из точки а, осуществляет гомеоморфизм К на
S1 \ {а}. При этом всякое открытое множество ]а + е, а — е[ в 5', содержащее а, пред-
представляет собой объединение образа множества
при таком отображении и точки а, приобретающей декартову координату х = ±оо. ?
Локально компактное пространство называется счетным в бесконечности, если оно
является счетным объединением компактных подпространств.
Например, евклидово топологическое пространство счетно в бесконечности. Дей-
Действительно, числовую прямую легко представить как объединение счетного числа отрез-
отрезков.
Локально компактные пространства, счетные в бесконечности, паракомпактны.
Отделимое топологическое пространство называется паракомпактным, если любое
его открытое покрытие содержит локально конечное подпокрытие, т. е. всякий элемент
обладает открытой окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом множеств
из этого подпокрытия.
Условие паракомпактности существенно входит в ряд теорем, которые будут в даль-
дальнейшем использоваться. Это связано с тем, что паракомпактные пространства допускают
так называемое разбиение единицы.
Пусть {U^} — открытое покрытие отделимого топологического пространства X. Се-
Семейство Д неотрицательных вещественных непрерывных функций на X называется раз-
разбиением единицы, подчиненным этому покрытию, если:
• носитель supp Д (т. е. наименьшее замкнутое множество, вне которого Д = 0)
принадлежит U^;
• каждый элемент X обладает открытой окрестностью, пересекающейся лишь с ко-
конечным числом множеств supp Д;
= 1 для любого х е X.
Важно, что всякое замкнутое подпространство паракомпактного пространства тоже
паракомпактно.
Отметим, что свойства отделимости, компактности, локальной компактности, пара-
паракомпактности и связности топологических пространств сохраняются при непрерывных
отображениях, т. е. образ топологического пространства, обладающего каким-либо из
этих.свойств, при непрерывном отображении тоже обладает тем же свойством в тополо-
топологии образа.
В дальнейшем все отображения считаются непрерывными.
. Договоримся о терминологии, касающейся разных типов отображений. Она разли-
различается в разных изданиях.
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Будем для наглядности именовать
элементы топологического простран-
пространства точками. Вложение топологиче-
топологического пространства в топологическое
пространство называется инъекцией (in-
(injection), а сам термин вложение (imbed-
(imbedding) будем применять только в слу-
случае, когда инъекция является гомео-
гомеоморфизмом на топологическое подпро- Рис. 2
странство.
Пример 1.1.16. Рисунок 2 демонстрирует инъекцию прямой Е в плоскость Е2,
которая не является вложением. Индуцированная топология на образе этой прямой
слабее евклидовой топологии на Е. ?
Отображение топологического пространства на топологическое пространство назы-
называется сюръекцией (surjection). Сюръекции вида
именуют также проекциями.
Всякая сюръекция
A.4)
задает разбиение
пространства Y на слои (fiber) Yx = тг~'(х) над точками пространства X. Поэтому бу-
будем именовать топологическое пространство Y расслоенным пространством над базой
(base) X, если задана сюръекция A.4).
Пример 1.1.17. Евклидово топологическое пространство Е3 представляет собой
расслоенное пространство над базой Е2 относительно ортогональной проекции на Е2.
Слоями являются прямые, ортогональные плоскости Е2. Тор Тг = S1 x S1 представляет
собой расслоенное пространство над окружностью 51 со слоями — окружностями S1. О
Подчеркнем что база X расслоенного пространства A.4) не является его подпро-
подпространством, но может существовать, хотя и не всегда, послойное вложение
s : X <->¦ Y,
когда всякой точке х Е X сопоставляется некоторая точка s(x) обязательно из слоя Yx
над х, т. е. тг о s = Idx- Такое вложение s называется глобальным сечением расслоенного
пространства Y. Соответственно, послойное вложение s некоторого подпространства
U С X в Y называется локальным сечением над U или просто сечением (section), если
U — это открытое подмножество X.
Одно и то же топологическое пространство может быть наделено разными структу-
структурами расслоенного пространства. Например, VxX—»XhVxX—> V — это два разных
расслоенных пространства. Даже гомеоморфизм топологического пространства на себя
может нарушить его структуру как расслоенного пространства.
Чтобы не терять структуру расслоенного пространства при отображениях, в качестве
морфизмов расслоенных пространств рассматривают только так называемые послойные
тг:
Г =
: A
:A
Y
и
X
X
->
7Г
B^
в ->
X
"'(ж)
Л,
§2. Многообразия 15
отображения, когда всякий слой одного расслоенного пространства У-»1 полностью
отображается в один из слоев другого расслоенного пространства Y' —+ X'. Такой по-
послойный морфизм (fibered morphism) задается парой отображений
образующих коммутативную диаграмму
При этом говорят, что отображение Ф является послойным морфизмом над /. Если
/ = Idx — тождественное отображение, Ф для краткости называют послойным мор-
морфизмом над X и обозначают
Y—>У'.
х
Мы не будем далее углубляться в общую теорию топологических расслоенных про-
пространств, поскольку главным объектом нашего внимания будут расслоенные многообра-
многообразия.
§2. Многообразия
Хотя в ряде полевых моделях привлекаются топологические пространства подчас
весьма специального вида, стандартная классическая теория поля ограничивается рас-
рассмотрением многообразий — топологических пространств, которые как бы склеены из
областей евклидова пространства. Это позволяет на каждой такой области вводить си-
систему координат, а если переходы между этими областями достаточно гладкие, задавать
на таком пространстве дифференцируемую структуру.
Пусть М — топологическое пространство и {Е/с} — его открытое покрытие такое,
что для каждого U^ задан его гомеоморфизм ф^ на открытое подмножество из Жт. Пара
(U(, ф() называется картой (chart) на М. Говорят, что две карты (GС, ф() и (U(, ф()
на М гладко согласованы, если отображение ф^ о ф^1 множества ф^A1^ П [f() С Шт
в множество <^>c(t/c n U() С Мт (оно именуется функцией перехода (transition function))
принадлежит классу С"°, т. е. является бесконечно дифференцируемым.
Все семейство попарно гладко согласованных карт Фм = {U(, ф^} называется глад-
гладким атласом (atlas) пространства М. На М могут существовать различные атласы. Два
атласа считаются эквивалентными, если их объединение — тоже атлас, т. е. если карты,
принадлежащие этим разным атласам, тоже попарно гладко согласованы.
Топологическое пространство, наделенное семейством таких эквивалентных гладких
атласов называется тп-мерным вещественным дифференцируемым многообразием или
просто многообразием (manifold). .Причем, если одно и то же топологическое простран-
пространство допускает неэквивалентные атласы, то это будут разные многообразия.
Следует подчеркнуть, что структуру многообразия на множестве можно ввести без
относительно какой-либо первоначальной топологии на нем. Уже потом это многообра-
многообразие может быть наделено подчиненной локально евклидовой топологической структурой.
16 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Мы не станем здесь вдаваться в такие детали и будем в дальнейшем предполагать, что
всякое многообразие является и соответствующим топологическим пространством.
Казалось бы, чтв пространства, гладко склеенные из областей евклидова простран-
пространства, с гарантией обладают хорошими топологическими свойствами. Однако это не так.
Склейка двух прямых из Примера 1.1.14 является гладким многообразием, однако оно
даже не отделимо. Поэтому, если специально не оговорено, в дальнейшем потребуем,
чтобы многообразия были отделимыми локально компактными счетными в бесконечно-
бесконечности (т. е. паракомпактными) связными топологическими пространствами. В частности,
такое многообразие всегда можно покрыть счетным числом карт. Многообразия, ис-
используемые в физических приложениях, допускают, как правило, атласы с конечным
числом карт.
Заметим, что можно рассматривать многообразия над другими числовыми полями и
других классов гладкости, в том числе аналитические многообразия, а также топологи-
топологические многообразия, когда требуется не дифференцируемость, а только непрерывность
функций перехода между картами.
Задание атласа многообразия позволяет ввести на нем систему координат.
Пусть М — т -мерное многообразие. На каждой карте (U, ф) многообразия М
всякой точке z G U можно сопоставить набор чисел (z\ ..., zm) — коэффициентов
разложения вектора ф(г) относительно некоторого фиксированного базиса простран-
пространства Е™, т. е.
где (г>м) — координаты на Ет. Этот набор называется локальными координатами (или
просто координатами) точки z в карте (U, ф). Если точка z накрывается еще другой
картой (и',ф'), то в этой карте ей будет сопоставлен другой набор локальных коорди-
координат (z). Функция перехода ф' о ф~[ между картами тогда записывается как преобразо-
преобразование координат
(z") - (z"V))
на пересечении U П U'.
Часто технически удобно задавать атлас многообразия именно как систему коорди-
координат.
Пример 1.2.1. Сфера S1 является дифференцируемым многообразием, атлас ко-
которого может быть построен из двух карт — A7,, фх) и (U2, ф2), где 17, (соотв. U2) —
сфера без северного (соотв. южного) полюса и ф{ (соотв. ф2) стереографическая проек-
проекция из северного (соотв. южного) полюса на плоскость Е2. Пусть (х,, г/,) и (х2, у2) —
соответствующие координаты в этих картах. Функция перехода между картами имеет
вид
xi + yf Щ + yt
?
Пример 1.2.2. Групповое пространство группы Ли — это аналитическое многообра-
многообразие, образованное множеством ее параметров. Приведем некоторые полезные примеры
групп Ли.
• Группа Z7(l) умножений на комплексные числа вида exp(ia) (она же группа пово-
поворотов SQB)). Ее групповое пространство — окружность S1. Эта группа лежит в
основе калибровочной теории электромагнетизма.
§2. Многообразия
17
Группа 5GB) комплексных унитарных B х 2)-матриц вида
-а3
ia2
га4
а3 + га4
aj — га2
А+А =Т,
del A = 1.
Поскольку
1 + а] + а] + а4 = 1,
групповое пространство SUB) представляет собой 3-мерную сферу 53. В кали-
калибровочных моделях фундаментальных взаимодействий группа SUB) играет роль
простейшей группы внутренних симметрии — изоспина, лептоспина.
• Группа 50C) вращений в 3-мерном евклидовом пространстве. Она изоморфна
фактор-группе группы SUB) по подгруппе Z2 умножений на матрицу -1. Ее груп-
групповое пространство получается отождествлением противоположных точек сферы
53. Это проективное пространство ЕР3.
a
Пример 1.2.3. Проективные пространства фи-
фигурируют в целом ряде полевых моделей. Веществен-
Вещественное n-мерное проективное пространство ЕР" опре-
определяется как сфера 5П с отождествленными проти-
противоположными точками. Стандартный атлас {(/;, </>;}
на ЕРП состоит из п + 1 карты, определяемых сле-
следующим образом. Поместим 5" в евклидово про-
пространство Е™+1 с координатами (хг). Тогда проектив-
проективное пространство ЕРП гомеоморфно пространству
центральных (проходящих через 0) прямых в Е"+1.
Область Ui включает прямые, которые пересекают-
пересекаются с гиперплоскостью хг = 1. Каждой такой прямой
сопоставим координаты точки ее пересечения с этой
гиперплоскостью:
4
i
/
/\
r2
/
1
/ 1
(Ж;, ...,
/I i 1 п+К
= (Ж , ..., X = 1, ..., X ).
Рис.3
Это и есть отображение фг. Функции перехода между картами имеют вид
Мы проиллюстрируем эту конструкцию рисунком для случая ЕР1 (рис. 3). Отметим, что
ЕР1 = 5'. a
Упомянем еще два типа многообразий, с которыми придется встречаться в дальней-
дальнейшем.
Пример 1.2.4. Многообразием Грассмана EG(n, А;) называется многообразие к-
мерных векторных подпространств пространства Е™. Приведем полезные соотношения
EG(n, 1) = ЕР",
EG(n, n- 1) = ЕР"
?
_18 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.2.5. Многообразием Штифеля RV(n, к) называется многообразие линей-
линейных изометрических отображений Rk —> Е". Оно гомеоморфно фактор-пространству
SO(n)/SO(n -к) и
RV(n, k)/O(k) = RG(n: к).
Для частных случаев многообразий Штифеля имеем следующие соотношения
RV(n, n-\) = SO(n),
RV(n, 1) = 571"'.
П
Пусть М и М1 — многообразия и / — отображение М в М'. Говорят, что отобра-
отображение / является морфизмом многообразий (дифференцируемым отображением), если
оно непрерывно и для любых карт (и,ф) на М и (U1, ф') на М' таких, что f(U) С U',
отображение
1
бесконечно дифференцируемо. Если при этом / взаимно однозначное отображение
и обратное отображение /-| тоже дифференцируемое, то / осуществляет изоморфизм
многообразия М на многообразие М' и называется диффеоморфизмом.
Пример 1.2.6. Построим отображение / окружности 51 на окружность S1, при
котором первая окружность дважды оборачивается вокруг второй. Чтобы удовлетворить
условию f(U) С U', введем на первой окружности атлас, который в отличие от стан-
стандартного, состоит из 4 карт
~ < а4 = а3 < у, у < «4 = «I + 2тг < 9-f,
а на второй окружности — стандартный атлас
-2 <0,= </>2<у, у <</>2 = 01 + 27Г< ^.
Тогда отображение / имеет вид
а,->0, =2аь а3 -> 0i = 2а3 - 2тг,
аг ^ Ф2 — 2«2, «4 ~* 02 = 2а4 — 2тг.
П
В дальнейшем предполагается, что все отображения, если специально не оговорено,
являются дифференцируемыми класса С°°.
Заметим, что часто нет необходимости полностью выписывать координатный атлас
многообразия, а достаточно ограничиться некоторой одной координатной картой, следя
за тем, чтобы все рассматриваемые геометрические объекты соответствующим образом
преобразовывались при замене координат и тем самым могли быть глобально определе-
определены на всем многообразии.
Обратимся теперь к конструкции, характерной именно для дифференцируемых мно-
многообразий. Это касательные пространства.
§ 2. Многообразия 19
Строгое математическое определение касательного вектора к многообразию выгля-
выглядит весьма техническим. Мы не станем здесь вдаваться в его детали, апеллируя к на-
наглядным представлениям о касательной плоскости к искривленной поверхности. Этого
вполне достаточно, чтобы оперировать понятиями касательного вектора и касательного
пространства к многообразию.
Касательные векторы к m-мерному многообразию М в точке z ? М образуют т-
мерное векторное пространство TZM, которое и называется касательным пространством
к М в точке z. Множество ТМ всех касательных пространств к многообразию М тоже
можно наделить структурой многообразия, задав на нем голономную систему координат
(z\ zx), A.6)
где zx координаты на многообразии М, a zx координаты на касательных пространствах
к М относительно голономных базисов этих пространств.
Хотя базис касательного пространства ТгМ можно выбрать произвольно, его обыч-
обычно задают так, чтобы базисные векторы были касательными векторами к координатным
линиям на М через точку z. Он называется голономным базисом и обозначается {д\}.
Если требовать, чтобы голономность базиса касательного пространства сохранялась при
преобразованиях координат на многообразии, последние должны сопровождаться пере-
переходом к новым голономным базисам
dza
*д
Имеет место естественная сюръекция
тгм : ТМ D ТМ -» z e M A.8)
многообразия касательных пространств ТМ на М. Она наделяет ТМ структурой рас-
расслоенного пространства, которое называется касательным расслоением. При этом всякий
морфизм многообразий / : М —> М' порождает морфизм соответствующих касательных
расслоений
Tf :TM -*ТМ\ A.9)
i'AoT/=-^-r.
dza
Это послойный морфизм над /, который осуществляет линейные отображения каса-
касательных пространств ТгМ к М в касательные пространства T!(z)M' к М'. Его называют
дифференциалом отображения f или касательным морфизмом (tangent morphism) к /.
В дальнейшем мы будем иметь дело, как правило, с морфизмами многообразий сле-
следующих типов: инъекция, сюръекция, иммерсия, погружение, вложение, субмерсия,
проекция, уже упомянутый выше диффеоморфизм и локальный диффеоморфизм. Оста-
Остановимся на них подробнее, поскольку в разных, изданиях терминология, различается.
Кроме того, в ключевом для нас определении расслоенного многообразия тг : Y —* X
требуется, чтобы морфизм 7г был не просто сюръекцией, а еще и субмерсией. Поэтому
необходимо ясно представлять, что это такое.
20 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Существует два типа морфизмов многообразий / : М -» М', когда матрицы Якоби
касательного морфизма Tf к / в точках z ? М имеют максимальный ранг. Это им-
иммерсия, когда dimM ^ dimM' и субмерсия, когда dimM ^ dimM'. Если морфизм /
является одновременно и иммерсией, и субмерсией, когда dimM = dimM', это локаль-
локальный диффеоморфизм.
Морфизм многообразий / : М —» М' называется иммерсией (immersion), если для
любой точки z ? М касательный морфизм Tf осуществляет инъекцию касательного
пространства TZM в касательное пространство TS(z)M'.
Приведем следующий критерий иммерсии. Морфизм / : М —» М' является им-
иммерсией тогда и только тогда, когда для всякой точки z G M существуют ее открытая
окрестность Uz и открытая окрестность UJ(z) D f(U) точки f(z) с такими координата-
координатами (z' ), что
= dimM + 1, ..., dimM',
ъ. (z! о /), А = 1, ..., dimM, являются координатами на Uz.
Морфизм f : М -^ М', который является одновременно инъекцией и иммерсией,
называется погружением. Образ погружения многообразия М в многообразие М' по
определению считается подмногообразием многообразия М'.
Пример 1.2.7. Рассмотрим мно-
многообразие М = Е с координатой (z) и
многообразие М' = Е2 с координата-
координатами (z! ,z'). Отображение
—» Е ,
г -> (z" = 0, z'1 = (zf),
Рис 4
дает пример инъекции, которая не яв-
является иммерсией, и соответственно ее образ не является подмногообразием. Рисунок 4
демонстрирует случай иммерсии, которая не является инъекцией. ?
Подчеркнем, что в отличие от структуры топологического подпространства, далеко
не всякое подмножество многообразия может быть наделено структурой подмногообра-
подмногообразия. Более того не всякое подмногообразие является топологическим подпространством
многообразия. Пример 1.1.16 иллюстрирует этот факт.
Подмногообразие, которое является также и топологическим подпространством мно-
многообразия называется вложенным подмногообразием, а диффеоморфизм на вложенное
подмногообразие называется вложением многообразия. Следующее условие может слу-
служить критерием вложения.
Морфизм / : М —> М' является вложением тогда и только тогда, когда для всякой
точки z G М существует открытая окрестность Uf(z) точки f(z) с такими координата-
координатами (z! ), что пересечение f(M) П Uf(z) состоит из тех и только тех точек z' € Uf(z), чьи
координаты удовлетворяют условию
z'x=0, A = dimM+ I, ..., dimM'. A.10)
§2. Многообразия 21
Это означает, что вложенное подмногообразие может быть локально задано координат-
координатными условиями A.10).
Например, всякое открытое подмножество U многообразия М может быть наделено
структурой многообразия, такой что естественная инъекция ги : U t—> М является вло-
вложением. Поэтому в дальнейшем, говоря об открытом подмножестве многообразия, мы
будем подразумевать и его структуру вложенного подмногообразия.
Морфизм / : М —+ М' называется субмерсией (submersion), если для всякой точки
z € М касательный морфизм Т/ является сюръекцией касательного пространства TZM
к М на касательное пространство Tliz)M' к М'.
Следующие условия эквивалентны. '
• Морфизм / : М —> М' является субмерсией.
• Для всякой точки z ? М существуют: (i) открытая окрестность U,, (п) открытая
окрестность Uj(z) Э /A7) точки f(z), (iii) многообразие Vv и (iv) диффеоморфизм
ф : U2 -> U1(z) х VU: A.11)
Другими словами имеет место локальное расщепление многообразия М.
• Пусть Uz и Uf(z) — упомянутые в предыдущем пункте окрестности точек z и f(z)
соответственно. Пусть (z' ) — координаты на Uj(z). Можно так выбрать коорди-
координаты (zx) на Uz, что
zx = z'Xof, A= 1, ..., dimM',
т. е. эти координаты совпадают с координатами на Uf{z).
• Для любой точки f(z) ? М' имеется открытая окрестность G/(z) и ее вложение s
в М такое, что
(sof)(z) = z.
Другими словами существует сечение многообразия М над Uf(z).
Каждое из приведенных выше условий полностью характеризует субмерсию и может
служить в качестве ее эквивалентного определения.
Морфизм многообразий, который одновременно является субмерсией и сюръекцией,
называется проекцией.
Пример 1.2.8. Отображение
г' = гъ- z,
дает пример сюръекции, которая не является субмерсией. ?
Многообразие М, наделенное проекцией / : М —> М', называется расслоенным мно~.
гообразием над базой М'. Это основной математический объект, к которому мы будем
обращаться на протяжении всей книги.
В полевых моделях обычно рассматривают расслоенные многообразия над ориенти-
ориентируемой базой, которая играет роль пространственнотвременного многообразия.
22 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Координатный атлас многообразия М называется ориентированным, если якобианы
.'дгГ
det
всех функций перехода между картами положительны. Многообразие считается ориен-
ориентируемым, если всякий его атлас эквивалентен некоторому ориентированному атласу.
Говорят, что два ориентированных атласа на многообразии ориентированы одинаково,
если их объединение — тоже ориентированный атлас. Ориентацией многообразия назы-
называется класс эквивалентности одинаково ориентированных атласов. Связное ориенти-
ориентируемое многообразие имеет в точности две ориентации.
Пример 1.2.9. Сфера 5" ориентируема. Для иллюстрации рассмотрим сферу 52 из
Примера 1.2.1. Якобиан функции перехода A.5) равен
т. е. координатный атлас {(хи ух); (х2, yi)} является ориентированным. Проективное
пространство ЕР" ориентируемо только для нечетных п. В частности, рассмотрим про-
проективное пространство ЕР1 из Примера 1.2.3. Функция перехода между картами A, х\)
и (х\, 1) имеет вид
1
Легко проверить, что ее якобиан отрицателен: — {х])г < 0. Это означает, что указанный
атлас не является ориентированным. Но преобразованием координат
,2 2 /1 _ 1
X 1 — Х\, X 2 — ~Xi
можно перейти к эквивалентному ориентированному атласу на ЕР1. ?
Задание ориентации на многообразии можно себе представить наглядно в случае
2-мерной поверхности в 3-мерном евклидовом пространстве как построение гладкого
поля нормальных к поверхности векторов. Ясно, что, если такое поле построено, то воз-
возможно еще только одно такое поле, получаемое изменением направлений всех векторов
на противоположные. Примером поверхности, на которой поле нормальных векторов
построить нельзя, является лист Мебиуса.
Морфизмы ориентируемых многообразий имеют специфическую характеристику,
именуемую степенью отображения.
Рассмотрим сюръекцию ориентируемых m-мерных многообразий / : М —> М' та-
такую, что (i) прообраз f\z') всякой точки z' 6 М' состоит из конечного числа точек
и (ii) якобиан касательного морфизма Tf, записанного относительно ориентированных
координат, во всех этих точках отличен от нуля, т. е. это локальный диффеоморфизм.
Степень отображения f в точке z' определяется как разность
числа iV+ точек прообраза z ? f~\z), в которых якобиан Tf положителен (т. е. / не
изменяет ориентацию) и числа N_ точек прообраза, где якобиан Tf отрицателен (т. е. /
меняет ориентацию). Важно, что, если М и М' связны, степень отображения одна и та
же во всех точках многообразия М'.
В частности, степень отображения сферы 5" на сферу 5." показывает сколько раз
при этом отображении первая сфера обертывается вокруг второй. Например, легко убе-
убедиться, что степень отображения окружности на окружность из Примера .1.2.6 равна
двум.
§3. Расслоенные многообразия 23
§3. Расслоенные многообразия
Рассмотрим расслоенное многообразие
тг:Г^Х, A.12)
где морфизм тг по определению является сюръекцией и субмерсией. Договоримся ис-
использовать символы у и х для обозначения точек расслоенного многообразия Y и его
базы X соответственно. Если специально не оговорено, база X в дальнейшем имеет
размерность п. Она наделена системой координат (хх).
Отметим, что в случае расслоенного многообразия, проекция тг является открытым
отображением, т. е. переводит открытые множества в открытые. Она определяет отноше-
отношение эквивалентности ж(у) = ж(у') на Y, классами эквивалентности которого являются
слои 7г~'(а;) расслоенного многообразия. При этом база X гомеоморфна фактору Y по
этому отношению эквивалентности.
На расслоенном многообразии Y —* X по определению может быть задана расслоен-
расслоенная система координат
(х\уг), . ¦ A.13)
X /А. и.
о™ i т* [Х )
подчиненная структуре расслоения A.12). Иными словами среди координат расслоен-
расслоенного многообразия можно выделить координаты базы жЛ, преобразования перехода ко-
которых не зависят от оставшихся координат у'.
Мы, как правило, будем иметь дело с расслоенными многообразиями следующей,,
можно сказать, упрощенной конструкции.
Расслоенное многообразие Y —* X называется тривиальным расслоением, если суще-
существует такое многообразие V, что Y диффеоморфно прямому произведению X х V.
Пример 1.3.1. Тор Г2 = 5' х 5' из Примера 1.1.17 является тривиальным рассло-
расслоением над окружностью S1. Наглядным примером нетривиального расслоенного мно-
многообразия может служить открытый лист Мебиуса. Базой его является окружность 51,
а слоями — интервалы ] — 1, 1[ (см. ниже Пример 1.3.4). Он отличается от открытого
кольца S'x] — 1, 1[ — тривиального расслоения с той же базой и такими же слоями. ?
Подобно тому как многообразия склеены из областей евклидовых пространств, бу-
будем рассматривать в основном расслоенные многообразия, которые как бы склеены из
кусков тривиальных расслоений.
Расслоенное многообразие Y —>¦ X называется локально тривиальным, если для ка-
каждой точки х ? X существует открытая окрестность U такая, что имеет место локальное
расщепление
¦ф:ж~\и)-> U х V, A.14)
рГ,О^ = 7Г,
расслоенного многообразия Y. При этом, в отличие от A.11), во всех локальных рас-
расщеплениях A.14) фигурирует одно и то же многообразие V, которому диффеоморфны
слои Y. Оно называется типичным слоем, (standard fiber). Расщепление A.14) предста-
представляет собой тривиальное расслоения U х V —> U над U. Существует открытое покры-
покрытие {J/f} базы X такое, что локально тривиальное расслоенное многообразие Y выгля-
выглядит как склеенное из тривиальных расслоений U^ х V над U^. Подмножества [/?с1
24 Глава 1. Дифференциальная геометрия
называются областями тривиализации, а соответствующие диффеоморфизмы -ф^ — мор-
физмами тривиализации расслоенного многообразия Y. Пары областей и морфизмов
тривиализации A7?, ф^) составляют атлас расслоения
Ф = {U,, -фь Pii}
с функциями перехода
р(( : (U( nUc)xV — (Щ Л Uc) х У,
t/n6'
Последние удовлетворяют естественным циклическим условиям
Пример 1.3.2. Рассмотрим многообразия К2 \{0}, параметризуемое координатами
1
(у\ у1), и К, параметризуемое (х). Проекция
тг : Е2 \ {0}
дает пример расслоенного многообразия, которое не является локально тривиальным. ?
Дифференцируемым расслоением или просто расслоением (fiber bundle) называется ло-
локально тривиальное расслоенное многообразие A.12), наделенное семейством эквива-
эквивалентных атласов расслоения.
Как и для атласов многообразий, два атласа расслоения считаются эквивалентными,
если их объединение тоже является атласом расслоения. В частности, два атласа рас-
расслоения Ф = {U(, тр(} и Ф' = {Щ, -ф'^} над одним и тем же покрытием {U(} базы X
эквивалентны тогда и только тогда, когда их морфизмы тривиализации отличаются друг
от друга изоморфизмами тривиальных расслоений U^ x V:
В свою очередь всякое семейство таких изоморфизмов {Щ, </?} задает преобразование
атласов расслоения
Например, расслоение является тривиальным тогда и только тогда, когда всякий его
атлас посредством преобразований A.15) может быть приведен к атласу только с тожде-
тождественными функциями перехода рес.
Заметим, что часто, вместо функций перехода рк, технически бывает более удобно
оперировать величинами
вк '¦= РГ2°Р« • (Uf r\Uc)xV^V, A.16)
§ 3. Расслоенные многообразия 25
которые также будем называть функциями перехода. Аналогично, вместо морфизмов три-
виализации ip(, иногда целесообразно использовать величины
которые также будем называть морфизмами тривиализации. При этом атлас расслоения
можно эквивалентно характеризовать посредством д^ и <р^, поскольку
^ =7Г X (р(.
Если Y —> X — расслоение, будем в дальнейшем предполагать, что система рассло-
расслоенных координат A.13) на Y ассоциирована с некоторым атласом расслоения Ф, т. е.
где Vх являются координатами на типичном слое V расслоения Y. Функции перехо-
перехода A.16) тогда записываются как преобразования расслоенных координат
Для этого атлас расслоения и координатный атлас базы расслоения необходимо задавать
над одним и тем же открытым покрытием базы, например, взяв объединение откры-
открытых покрытий для этих атласов. Поэтому в дальнейшем договоримся просто считать
открытое покрытие {U^} базы расслоения фиксированным.
Пример 1.3.3. Пусть ТМ — многообразие касательных пространств к многообра-
многообразию М. Легко проверить, что морфизм A.8) является проекцией и жм : ТМ —> М —
это расслоение. Оно называется касательным расслоением (tangent bundle). Если задан
координатный атлас Фм = {U^, ф{\ многообразия М, то в качестве атласа касательного
расслоения обычно (но вовсе не обязательно) выбирают соответствующий голономный
атлас (holonomic atlas)
A.17)
Ассоциированной системой расслоенных координат на ТМ являются голономные ко-
координаты A.6). Функции перехода атласа A.17) в этих координатах имеют вид A.7). ?
Расслоения можно вводить по-разному. Один из распространенных подходов осно-
основывается на том факте, что всякое расслоение Y —> X однозначно задается набором
(X, V, Ф), включающим базу X, типичный слой V и атлас расслоения Ф. При этом
расслоения (X, V, Ф) и (X, V, Ф') с одной и той же базой, одним и тем же типичным
слоем и разными, но эквивалентными атласами — это суть одно и то же расслоение.
Они называются эквивалентными расслоениями.
Пример 1.3.4. Уже упоминавшийся открытый лист Мебиуса является нетривиаль-
нетривиальным расслоением над окружностью 5' с типичным слоем — интервалом V =] — 1, 1[.
Его стандартный атлас состоит из двух карт Ut х V and U2 x V над покрытием
{/, = {-е < ? < тг + е}, U2 = {тг - е < х < 2тг + ?},
С/, n U2 = W, и W2 =) - е, ?[и]тг - е, тг + ?[,
26 Глава 1. Дифференциальная геометрия
с функцией перехода
g(X):v^-v, xeW,,
Q(X) :v>->v, x& W2.
У кольца в тех же обозначениях функция перехода имеет вид
д(х) :v^v.
?
Пример 1.3.5. Касательное расслоение ТМ над m-мерным многообразием М из
Примера 1.3.3 можно определить как расслоение с базой М, типичным слоем Е'п и атла-
атласом расслоения Ф, эквивалентным некоторому голономному атласу A.17). Например,
касательное расслоение над окружностью 51 тривиально и диффеоморфно цилиндру.
Касательное расслоение над сферой S2, координатный атлас которой описан в Приме-
Примере 1.2.1, уже не тривиально. Функции перехода соответствующего голономного атласа
на TS2 можно получить подстановкой выражения A.5) в A.7):
. _ y . у] -х\
2/2" W^v?Xl + J^Ty\
Подчеркнем, что над многообразием М существуют и другие расслоения с типичным
слоем К, не эквивалентные ТМ. ?
Если строить расслоение, задавая его базу, типичный слой и атлас расслоения, то
выбрать области тривиализации для атласа расслоения помогает тот факт, что любое
расслоение над стягиваемой базой (когда любая замкнутая линия стягиваема в точку)
всегда тривиально. Здесь существенным образом используется, что по соглашению все
многообразия считаются паракомпактными.
Расслоенное многообразие тг : Y -* X, поскольку тг — субмерсия, по определению
имеет локальное сечение над некоторой открытой окрестностью всякой точки х ? X. Если
Y — расслоение, то оно с очевидностью допускает сечение sc : U( "—> Y над всякой сво-
своей областью тривиализации GС. Если на расслоенном многообразии Y задана система
расслоенных координат (жл, у'), то его сечения s характеризуются семействами локаль-
локальных координатных функций s' = j/' о j,- с соответствующими законами координатных
преобразований.
Сечение расслоенного многообразия Y—*Х представляет собой вложение sv :U^Y,
т. е. его образом является вложенное подмногообразие в Y. Образ глобального сечения
s : X с-+ Y — это замкнутое вложенное подмногообразие. Однако не всякое расслоение
имеет глобальное сечение. В силу соглашению о паракомпактности базы дифференци-
дифференцируемого расслоения, мы можем использовать следующие две теоремы.
Теорема 1.3.1. Если расслоение Y —* X имеет глобальное сечение, всякое его
локальное сечение над замкнутым вложенным подмногообразием базы X может быть
продолжено (хотя и не однозначно) до глобального сечения Y —> X. ?
Теорема 1.3.2.. Всякое расслоение с типичным слоем К™ допускает глобальное
сечение. D
§ 3. Расслоенные многообразия 27
Из Теоремы 1.3.2, в частности, следует, что касательное расслоение ТМ всегда имеет
глобальное сечение, например, (z^os)(z) = 0. Лист Мебиуса из Примера 1.3.4 тоже имеет
глобальное сечение (v о s)(x) = 0.
Пример 1.3.6. Глобальное сечение и касательного расслоения ТМ над многообра-
многообразием М называется векторным полем на М. В голономных координатах на ТМ оно
имеет вид
u(z) = ult(z)dll.
Векторное поле называется неособым, если оно нигде не обращается в 0. Неособые век-
векторные поля существуют не на всяком многообразии. Например, такое поле нельзя
построить на сфере S2. ?
В полевых моделях, как уже отмечалось, классические поля представляются сечения-
сечениями расслоенных многообразий. Как правило, это расслоения. Поэтому в дальнейшем, за
исключением некоторых случаев, мы ограничимся рассмотрением именно расслоений,
тем более, что все изложенное ниже, будет справедливо и для расслоенных многообра-
многообразий.
Как и в случае топологических расслоенных пространств, в качестве морфизмов рас-
расслоений рассматриваются их послойные морфизмы
ф
Y Г
A.18)
Л. Л.
В частности, если морфизм расслоений A.18) — это послойное погружение над X,
то его образ является подмногообразием в У и он называется подрасслоением рассло-
расслоения Y' —> X. Послойное вложение часто называют мономорфизмом расслоений (bundle
monomorphism), а послойный диффеоморфизм над X — изоморфизмом расслоений (bun-
(bundle isomorphism).
Послойный морфизм Ф A.18) над диффеоморфизмом / преобразует всякое сечение
s расслоения Y —> X в сечение
5' = ф050/-' A.19)
расслоения Y' —> X'.
Примером послойного морфизма расслоений может служить касательный морфизм
Tf A.9) касательного расслоения ТМ в касательное расслоение ТМ', порождаемый
морфизмом многообразий / : М —> М'. Он представляет собой линейный послойный
морфизм над /:
ТМ —^- ТМ'
М—-—<~М'
Если / — диффеоморфизм, то Tf изоморфизм.
Заметим, что не всякий даже диффеоморфизм X —> X' базы расслоения Y —> X
на базу расслоения Y —> X' может быть продолжен до послойного морфизма расслое-
расслоений У -+ У. В то же время, если Дано расслоение У —> X', всякий морфизм /:!->!'
28 Глава 1. Дифференциальная геометрия
порождает так называемое индуцированное (pullback) расслоение f*Y' над X. Оно обра-
образовано всевозможными парами
{(у1, х) G У X X, ж'(у') = f{x)}
с естественной проекцией (у', х) >—> х. Другими словами, слоем индуцированного рас-
расслоения f*Y' над точкой х ? X является слой расслоения У над точкой f(x) G X'.
При этом существует естественный послойный морфизм
/. : fY' -» Y',
U ¦ (У, х) -> у', A.20)
над /. Отметим, что всякое сечение s расслоения У задает индуцированное сечение
(f*s)(x) = ((sof)(x),x) A.21)
расслоения f*Y' -» X, индуцированного из Y' —> X'.
Пример 1.3.7. Пусть дано расслоение У—>Х'. Если образ отображения / : Х—*Х'
является подмногообразием в X', то индуцированное расслоение
называется сужением расслоения У на подмногообразие /(X) С X'. ?
Пример 1.3.8. Прямое произведение расслоений ж :Y —> I и f' : Г -> X над одной
и той же базой X определяется как индуцированное расслоение
¦k'Y' = тг'*Г = Y х Y'.
х
а
Рассмотрим теперь расслоения, наделенные некоторой алгебраической структурой.
Расслоение тг : Y —» X называется групповым расслоением, если заданы послойные
морфизмы
m:Y х У -> Г,
^ х A.22)
над X и глобальное сечение
е : X ^ F, A.23)
которые превращают каждый слой Ух расслоения F в группу
т((е о 7г)(г/), у) = т(у, (е о тг)(у)) = у,
«(%), 2/) = гп(у, 1{у)) = (е о тг)(у).
Более точно было бы назвать такое расслоение расслоением на группы, когда само мно-
многообразие Y не является группой, но "расслаивается" на группы. Подчеркнем, что,
хотя слои группового расслоения наделены групповой структурой, его типичный слой в
общем случае не является группой.
§ 3. Расслоенные многообразия 29
Пусть даны расслоение У->1и групповое расслоение У —> X вместе с послойным
морфизмом _
над X, который определяет в каждом слое Yx расслоения Y левое (или правое) сво-
свободное транзитивное действие группы Yх. Тогда расслоение Y называется обобщенным
аффинным расслоением, моделируемым слева (соотв. справа) над групповым расслоени-
расслоением У.
Напомним, что действие группы G в пространстве V называется свободным, если
gv = v для некоторого v ZV влечет <? = 1.
Пример 1.3.9. Векторное расслоение Y —» X можно характеризовать как групповое
расслоение, слои которого являются векторными пространствами, т. е. имеют структуру
аддитивной группы векторного пространства Rk. Однако этого недостаточно. Предпола-
Предполагается, что векторное расслоение должен быть наделено атласом расслоения, морфизмы
тривиализации которого линейны на его слоях. Более того, только такие атласы рас-
рассматриваются в качестве атласов векторного расслоения. В этом случае типичный слой
векторного расслоения является векторным пространством и не только диффеоморфен,
но и изоморфен Шк. Примером векторного расслоения может служить касательное рас-
расслоение ТМ —> М. ?
Пример 1.3.10. Аффинным расслоением называется обобщенное афф_инное рассло-
расслоение Y —» X, моделируемое над некоторым векторным расслоением Y —> X. Оно
наделено атласом аффинных расслоенных координат (жл, у1) таких, что
где (хх, у1) — линейные расслоенные координаты на векторном расслоении Y. Типич-
Типичный слой аффинного расслоения Y является аффинным пространством,_^мод,елирушым
над векторным пространством типичного слоя векторного расслоения Y. Он диффео-
диффеоморфен некоторому К*. В частности, всякое векторное расслоение Y имеет канони-
каноническую структуру аффинного расслоения, моделируемого над самим собой посредством
морфизма
г ¦ (у, у') i-> у + у'.
Из Теоремы 1.3.2 следует, что аффинное расслоение, как и векторное, всегда обладает
глобальным сечением. ?
Приведем основные операции, производимые с векторными расслоениями над одной
и той же базой:
• дуальное к У векторное расслоение Y* с типичным слоем V, дуальным типичному
слою V векторного расслоения Г;
• сумма Уитни Y ФУ' векторных расслоений У и У с типичным слоем V ф V' —
прямой суммой типичных слоев расслоений У и У;
• тензорное произведение У <S>Y' векторных расслоений У и У' с типичным слоем
V ® V' — тензорным произведением типичных слоев расслоений .У и У';
• г-кратное внешнее произведение (exterior product)
/\Y = Y A-- AY _
30 Глава 1. Дифференциальная геометрия
расслоения Y с типичным слоем — r-кратным антисимметризованным тензорным
произведением Д V типичного слоя V расслоения Y,
• свертка
j:Y®Y* -> X xR
или
Пример 1.3.11. Дуальным к касательному расслоению ТМ —> М является кока-
сательное расслоение (cotangent bundle) T*M —> М. Оно обычно наделяется атласом
расслоенных голономных координат
(*\ zx),
которые представляют собой коэффициенты разложения кокасательных векторов
Т*М Э С = zxdzx
относительно голономных базисов {dzx} кокасательных пространств к М, дуальных к {9Л}:
дх J dz" = <5".
Сечение ф кокасательного расслоения Т*М именуется ковекторным полем или пфаффо-
пфаффовой формой на М. В голономных координатах на Т*М оно имеет вид
Диффеоморфизм многообразий / : М —> М' порождает соответствующий изоморфизм
кокасательных расслоений
Т* / : Т* М -> Т* М',
задаваемый соотношением
Tf(t) j T*/(U = «-¦<.
для всех пар векторов t € TZM и ковекторов t, G Т*М. Могут быть образованы всевоз-
всевозможные тензорные произведения
кокасательных и касательных расслоений. Они называются тензорными расслоениями, а
их сечения — п раз ковариантными и т раз контравариантными тензорными полями
Ф = фу:::?™ (Z)dzvt ® • ¦ • ® dzVn ® эщ ® • • • ® ^m.
п
Послойной метрикой или просто метрикой в слоях векторного расслоения F —> X
называется глобальное сечение а расслоения Y* ® Y* —> X. Она задает билинейную
форму
а(х) :YxxYx3 (у, у') ^ aij(x)yiy'j e К
§ 3. Расслоенные многообразия
на каждом слое расслоения Y. Метрика а называется невырожденной, если все били-
билинейные формы а(х) невырождены. Невырожденная метрика в векторном расслоении Y
однозначно определяет дуальную метрику в дуальном векторном расслоении Г*. В целях
упрощения обе такие метрики мы будем обозначать одним и тем же символом. Метрика
в касательном расслоении ТХ называется метрикой на многообразии X.
Заметим, что сечения sv группового расслоения Y —> X над одним и тем же откры-
открытым подмножеством U базы X образуют некоторую группу Gv относительно операций
поточечного умножения
(su ° s'u)(x) = su(x)s'u(x), х е 17,
и перехода к обратному ^
Sy' =ioSu.
При этом единичным элементом группы Gv служит сечение еи = е\и. Ясно однако, что,
для сечений sD и Sy/, заданных над разными подмножествами базы X, операцию умно-
умножения нельзя определить. Поэтому все множество сечений группового расслоения груп-
группой не является, но представляет собой так называемый пучок сечений (sheaf of sections)
(см. Приложение В). В частности, мы будем иметь дело с пучком сечений .Т (М) каса-
касательного расслоения ТМ и пучком сечений ,i^*(M) кокасательного расслоения Т*М
над многообразием М, а также пучками
тензорных полей на М.
Рассмотрим теперь касательные и кокасательные расслоения над многообразиями,
которые сами являются расслоениями. Естественно, что такие касательные и кокаса-
кокасательные расслоения обладают некоторой дополнительной структурой.
Пусть 7ГУ : TY —> Y — касательное расслоение над многообразием Y, которое в
свою очередь является расслоением тг : Y —* X над многообразием X. При заданных
расслоенных координатах (жл, у') на Y, голономными координатами на TY служат
(х ,у,х ,у),
где (±Л, уг) — координаты на касательных пространствах к Y, заданные относительно
голономных базисов {9Л, д{}:
.,, ду" . ду'< ,х
У =^ + Ж
i'" = — ±л
дхх
Расслоение TY естественным образом является также расслоением над X:
тг о -ну : TY -» X,
а касательный морфизм Ттг к тг задает на нем еще и структуру расслоения над ТХ:
Т-к :TY -+ ТХ,
Ттг : (хх, у\ хх, у') ~ (хх, хх). A"
32
Глава 1. Дифференциальная геометрия
В результате имеет место следующая коммутативная диаграмма
Пусть Ф — послойный морфизм A.18) расслоения F-»Ib расслоение У' -+ X'
над / : X —> X'. Касательный морфизм к Ф имеет вид
ГФ : ТУ -> ГУ'
о ГФ = (^/V, ^Ф'х" + д
Он представляет собой как линейный послойный морфизм над Ф, так и послойный
морфизм над Г/:
ТФ
ТУ
тх
Tf
ТУ'
тх'
В частности, если У —> X — расслоение с алгебраической структурой, то расслоение
ГУ —» ГХ A.24) наследует эту алгебраическую структуру, задаваемую касательными
морфизмами к морфизмам структуры A.22) и A.23).
Пример 1.3.12. Если У —> X векторное расслоение, то ГУ —» ГХ тоже вектор-
векторное расслоение. Если У —+ X — аффинное расслоение, моделируемое над векторным
расслоением У —+ X, то ГУ —» ГХ — тоже аффинное расслоение, моделируемое над
векторным расслоением ГУ —> ГХ. ?
Касательное расслоение ГУ
векторным подрасслоением
У над расслоением У —> X обладает вложенным
= КегГтг,
задаваемым координатными условиями
Это подрасслоение состоит только из векторов, касательных к слоям расслоения У, и
называется вертикальным касательным расслоением (vertical tangent bundle) над У, т. е.
его слоями являются вертикальные подпространства касательных пространств к У, на-
натянутые на базисные векторы {Д}. Координатами на VY служат голономные коорди-
координаты (жА, у*, у').
Выделение вертикального подрасслоения VY тем более имеет смысл, что, если дан
послойный морфизм Ф : У —> У', то касательный морфизм ГФ отображает VY С ГУ
в VY.' С ГУ. Ограничение ТФ на вертикальное подрасслоение VY называется вер-
вертикальным касательным морфизмом к Ф и обозначается УФ. Это линейный послойный
§3. Расслоенные многообразия 33
морфизм над Ф:
УФ
VY VY'
Во многих важных случаях вертикальные касательные расслоения устроены следую-
следующим простым способом.
Говорят, что расслоение Y —+ X допускает вертикальное расщепление (vertical split-
splitting), если вертикальное касательное расслоение VY —* Y тривиально и имеет место
изоморфизм __
a:VY—>YxY, A.25)
Y X
где Y —> X некоторое векторное расслоение.
Пример 1.3.13. Для всякого векторного расслоения Y —* X существует канониче-
каноническое вертикальное расщепление
VY = YxY. A.26)
х
Аффинное расслоение Y —> X, моделируемое над векторным расслоением Y —» X,
допускает каноническое вертикальное расщепление
VY = YxY. A.27)
х
U
Расслоенные координаты у1 на расслоении Y называются подчиненными вертикально-
вертикальному расщеплению A.25), если соответствующие голономные координаты на вертикальном
касательном расслоении VY имеют вид
у = у1 о а,
где (а;*1, у1) — расслоенные координаты на Y. В этом случае координатные преобразова-
преобразования у' —> у'г не зависят от координат у\ Например, системы координат на векторных и
аффинных расслоениях подчинены соответствующим каноническим вертикальным рас-
расщеплениям A.26), когда уг = уг, и A.27), когда у' = у'.
По примеру вертикального касательного расслоения, индуцированное расслоение
YxTX
X
можно назвать горизонтальным расслоением над Y. Слоями этого расслоения в у 6 У
служат касательные пространства Тж(у)Х к X, но, в отличие от VY, его элементы не
являются касательными векторами к Y. Другими словами, не существует канонического
вложения У.х ТХ в TY. В то же время имеет место каноническая сюръекция
х
ттт :TY^Yx TX,
Y X
2 заК. U85 (а;\ у\ хх, у{) >-* (хх, у\ хх).
34 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Рассмотрим теперь кокасательное расслоение T*Y —> У над расслоением У —* X.
При заданных расслоенных координатах (хА, у') на У, голономными координатами
на T*Y являются
(х\ у\ хл, &),
где (хА, у;) — координаты на кокасательных пространствах к У, заданные относитель-
относительно голономных базисов {dxx, dy'}, дуальных {дх, д{}. Подобно касательному расслое-
расслоению TY, кокасательное расслоение T"Y является также расслоением над X, но T*Y не
образует расслоения над Т'Х, как это видно из закона преобразований координат
ду* . дхх .
Вертикальное кокасательное расслоение V*Y —» У над У определяется как векторное
расслоение, дуальное вертикальному касательному расслоению VY —> У. Однако, в
отличие от вертикального подрасслоения VY касательного расслоения TY, какого-либо
канонического вложения V*Y в кокасательное расслоение T*Y над У не существует.
Действительно, обозначим {dy1} базисы слоев расслоения V*Y, дульные базисам {<?,}
слоев расслоения VY. Их преобразования
отличаются от преобразований
,< дун дун А
dyj дхх
базисных элементов dy1 слоев кокасательного расслоения T"Y. В то же время имеет
место каноническая сюръекция
T'Y —»V'Y,
Y
Полностью соотношения между расслоениями TY и VY, а также между T*Y и VY
можно представить в виде двух тонных последовательностей:
О -> VY <-* TY -» У х ГХ -> 0, A.28а)
х
О -» У х Т*Х <-> T'Y -» F*y -» 0, A.28b)
х
где все отображения — это послойные морфизмы над У. Точность последовательностей
означает, что образ предыдущего отображения содержится в ядре последующего.
Сделаем два технических замечания.
• Ядром послойного морфизма Ф над X расслоения У —> X в некоторое векторное
расслоение У —» X называется прообраз
в У образа 0(Х) С У' глобального нулевого сечения 0(х) = 0 векторного расслое-
расслоения У.
§ 4. Дифференциальные формы 35
• В дальнейшем для упрощения выражений мы будем использовать символы ТХ
и Т*Х для обозначения любых индуцированных расслоений вида
YxTX, YxT'X.
х х
Точные последовательности A.28а) и A.28Ь) играют фундаментальную роль в диф-
дифференциальной геометрии. Хотя ТХ над Y не является каноническим подрасслоени-
ем ГУ, a V*Y не является каноническим подрасслоением T"Y, могут существовать
различные вложения
У х ТХ <-» ГУ,
х y
A.29)
A.30)
которые, как говорится, расщепляют точные последовательности A.28а) и A.28Ь). Ка-
Каждое такое расщепление по определению соответствует заданию некоторой связности Г
на расслоении У —> X (см. §1.6).
§ 4. Дифференциальные формы
Этот параграф посвящен векторным полям и различным типам дифференциальных
форм на многообразиях и расслоениях. Все они — это частные случаи тензорных по-
полей — глобальных сечений тензорных расслоений (см. Пример 1.3.11).
• Векторное поле на многообразии М — это сечение касательного расслоения ТМ.
• Внешние дифференциальные формы на М — сечения внешних произведений кока-
сательных расслоений
Кгм.
• Тангенциалъно-значные дифференциальные формы на М — сечения тензорных про-
произведений
/\T'M<g)TM.
• Тангенциально-значные формы, а точнее, дифференциальные формы со значени-
значениями в касательных расслоениях, — это частный случай векторнозначных форм —
сечений тензорных произведений
м
где Е —> М — некоторое векторное расслоение над М.
36 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пусть М — это m-мерное многообразие с координатами (z11) и и = и^д^ — не-
неособое векторное поле на М. Из известных теорем о существовании и единственности
решения такой системы уравнений следует, что через каждую точку z0 ? М проходит
одно и только одно решение z(t, z0) системы дифференциальных уравнений
4 "(О, «о) = z0,
определенное на интервале \t\ < е, е > 0.
Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены при
всех z0 ? М, t ? Ж. Для этого достаточно, чтобы они были определены при всех го?М
и некотором е > 0.
Полное векторное поле и на многообразии М индуцирует семейство диффеомор-
диффеоморфизмов
Gu{t): М Э z0 >-> Z{t, z0) G M A.31)
многообразия М на себя. Они удовлетворяют естественным условиям
Gu(-t) = GZl(t)
и образуют однопараметрическую группу Ли, действующую на М:
1хМ-»М.
Мы обозначим ее Gu.
Диффеоморфизмы A.31) многообразия М порождают соответствующие преобразо-
преобразования A.19) векторных полей
пфаффовых форм
<j>\z) = {rGu(t)
и вообще пучков тензорных полей на многообразии М. Действие однопараметрической
группы Gu на тензорных полях удобно представить, задав ее генератор
ьж;;;;?(*) = (dviua)^:".ijz) + ¦¦¦ + (д„пиа)ф»1;»Чг) -
- (д.и-жг.ХЧ*) (d.u-'Wi-zjz) + ихдЖ1::%(*). °'32)
Он называется производной Ли или дифференцированием Ли вдоль векторного поля и и
удовлетворяет привычным для генераторов и дифференцирований условиям
') =
В частности, если ф — вещественная функция на многообразии М, ее производная
Ли сводится к обычному оператору дифференцирования по направлению и:
§ 4. Дифференциальные формы 37
В случае векторного поля ф = и', его производную Ли A.32) можно представить в
виде коммутатора или скобок Ли векторных полей и и и :
Ки' = (иадаи" - и'адаи»)д„ = [и, и'], A.33)
где базисные векторы д^ представляются соответствующими операторами частных про-
производных д/dz11.
Конструкции дифференцирования Ли A.32) и скобок Ли A.33) могут быть распро-
распространены на произвольное (будь то особое или локальное) векторное поле и на много-
многообразии М. При этом скобки Ли A.33) наделяют пучок j7~(M) векторных полей на М
структурой пучка алгебр Ли. Другими словами всякое векторное поле на многообразии
может быть представлено как элемент некоторой алгебры Ли.
Обратно, пусть G — некоторая группа Ли диффеоморфизмов многообразия М, ко-
которая действует на М эффективно. Имеет место вложение алгебры Ли f/f группы G в
пучок векторных полей на М, при котором всякому элементу I ? 2? ставится в соответ-
соответствие векторное поле иг такое, что действие генератора / на тензорные поля совпадает
с их дифференцированием Ли hUI вдоль векторного поля и,. Оно называется фундамен-
фундаментальным векторным полем, отвечающим генератору I алгебры Ли г(/ . Можно сказать, что
фундаментальное векторное поле U[(z) указывает направление, в котором переносится
точка z под действием генератора I группы диффеоморфизмов G. На практике это озна-
означает, что, если мы хотим исследовать инвариантность той или иной величины, заданной
на многообразии, относительно действия некоторой группы Ли диффеоморфизмов этого
многообразия, часто бывает достаточно рассмотреть соответствующие производные Ли.
Перейдем теперь к дифференциальным формам на многообразии. Как уже отмеча-
отмечалось, это внешние и векторнозначные дифференциальные формы.
Изложение, краткое или во всех деталях, аппарата внешних дифференциальных форм
можно найти в любой книге по дифференциальной геометрии и в обширной литературе
по калибровочной теории. Поэтому напомним здесь только основные выражения.
Пусть М — это т-мерное многообразие с координатами (zx). Внешними диффе-
дифференциальными формами степени г на М (или просто внешними г-формами) именуются
сечения расслоения
/\Т*М-*М. A.34)
Например, сечения кокасательного расслоения Т*М в такой терминологии называ-
называются внешними 1-формами или, как уже говорилось, пфаффовыми формами. Веще-
Вещественные функции на М принято считать внешними 0-формами.
Голономные базисы слоев расслоения A.34) составляют элементы dzX] Л ¦ • л dzXr
с фиксированным порядком (Хи ..., Аг). По определению это полностью антисимметри-
зованные тензорные произведения
dzXl Л • • ¦ Л dzA' = V sgn(Xl'"Xr)dz^®---®dz1'1,
где суммирование производится по всем перестановкам [/i,... ftr] индексов А,, ..., Хг и
sgn()= ±1 — знак такой перестановки. В голономных координатах, внешняя г-форма
принимает вид
0=0,.,...^(*)<**"'®---®<te"r = 0A,...Ar(*)dz*' Л---ЛАгАг, A.35)
где в последнем выражении сумма берется по всем упорядоченным некоторым образом
наборам индексов (А,,...,Аг). При выборе другого упорядочивания одного и того же
38 Глава 1. Дифференциальная геометрия
набора индексов надо принимать во внимание, что коэффициентные функции фх,...\г(г)
в разложении A.35) антисимметричны по всем индексам.
Пример 1.4.1. Внешняя 3-форма на 4-мерном многообразии имеет вид
Ф = фт(г)Лг'л<1г2А<1г3 + фт(г)Aг2Л<1г\<1г* + фш^^1 Adz1 Adz* + ф{и(г)A
Разложение A.35) внешней m-формы на m-мерном многообразии содержит только одно
слагаемое
ф = ф(г)<1гХ] А-- Adzx"\
Подчеркнем, что ф(г) в этом выражении не является вещественной функцией. При
координатном преобразовании она делится на якобиан. Строго говоря, надо было бы
написать фхх...хт{г). ?
Внешние г-формы на многообразии М образуют пучок
а все внешние формы на М — пучок
= ЩМ)ф
1
где ЩМ) обозначает пучок вещественных функций на М.
Перечислим основные операции над внешними формами.
(i) Прежде всего это — операция внешнего произведения (exterior product) Л внешних
форм, которая наделяет пучок внешних форм на многообразии М структурой пучка
градуированных алгебр. Она обладает следующими свойствами.
• Пусть ф — внешняя г-форма и ф' — внешняя А;-форма, тогда ф А ф' — это
внешняя (г + А;)-форма.
• Наряду с линейностью относительно сложения
а А (ф + ф') = а А ф + а А ф',
имеем следующее правило перестановки
где символ \ф\ обозначает степень внешней формы ф.
• Используя предыдущие свойства и то что
(dzXl Л--- AdzXr).A(dz"' A ¦ ¦ ¦ A dz"k) = dzXl Л ¦ • • Л dzXr Л dzm A.--- Adz"\
можно легко получить внешнее произведение любых внешних форм, заданных в
координатном виде A.35).
§ 4. Дифференциальные формы 39
(ii) Операция свертки внешней г-формы A.35) и векторного поля
и = и'д^
на многообразии М дается выражением
и j 0 = Х)(-1)р-1«Л1...л1>_||.лр+1...лг^а' Л • • • Л d** Л ¦ • ¦ Л dzX\
Р=\
где dzxr указывает на то, что элемент dzXp удален. Эта операция естественным образом
линейна по сложению внешних форм и удовлетворяет условию
и^(фАф') = (и^ф)Аф' + (-1)Шф Л (и j ф').
Удобно ввести обозначения
ш = dxl Л •¦¦ Adxn,
шх = дх j ш, д^ :wj = wmA-
(iii) На пучке внешних форм определена операция внешнего дифференцирования или
просто внешний дифференциал (exterior differential) d. Оператор d переводит внешнюю
г-форму во внешнюю (г + 1)-форму и обладает свойствами
dd = 0,
dD> Л ф') = Щ) /\ф' + (- 1)мф Л (йф1).
В голономных координатах операция внешнего дифференцирования имеет вид
йф = d^A,...A,.(z)dz" Л dzXl Л • • • Л dzx'.
Пример 1.4.2. Если, ф — вещественная функция, то
dф = д|iфdz^1.
Если ф — 1-форма, тогда
dф = d^vdzl" Л dz".
Например, выражение для тензора напряженности электромагнитного поля через его
вектор-потенциал А — Avdx" имеет вид
F = ijF^dx" л dx" = dA.
Р
Внешняя форма ф называется замкнутой, если dф = 0. Внешняя форма ф называ-
называется точной, если ф — da. Из свойств операции.внешнего дифференцирования следует,
что всякая точная форма является замкнутой, но не наоборот. Существуют топологи-
топологические препятствия тому, чтобы замкнутая форма была точной. Это всегда имеет место
на стягиваемом многообразии, все глобальные топологические характеристики которого
тривиальны. Мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.
40 Глава 1. Дифференциальная геометрия
(iv) Пусть / : М —> М' — морфизм многоообразий. Всякая внешняя форма <р на М'
порождает внешнюю форму fip на М, задаваемую соотношением
t л Гф) = Tf(t) _j <p(f(z))
для всех элементов t G ТМ над одной и той же точкой z ? М. Она называется индуци-
индуцированной формой (pullback form) на М. Например, всякая пфаффова форма
ф(г ) = ф^(г )dz
на многообразии М' порождает пфаффову форму
на многообразии М. Процедуру построения индуцированной формы легко распростра-
распространить на внешние формы произвольной степени, используя соотношения
В отличие от внешних форм, аппарат векторнозначных дифференциальных форм,
хотя он давно разработан, не столь широко освещается в стандартных учебниках по
дифференциальной геометрии и тем более мало известен физикам. В то же время вектор-
нозначные формы на многообразиях и расслоениях составляют основу математической
техники, которую мы будем использовать.
Тангенциально-значной формой (tangent-valued form) степени г на многообразии М
называется сечение расслоения
Л т*м <g> тм -> м,
которое в голономных координатах имеет вид
Л ... Л dzXl ® <9„.
Пример 1.4.3. Легко видеть, что тангенциально-значными 0-формами являются
векторные поля на многообразии М. Существует взаимно однозначное соответствие
между тангенциально-значными 1 -формами
в : М -*• Т'М (g) TM
на многообразии М и линейными послойными морфизмами в себя касательного и ко-
касательного расслоений над М:
* ТМ,
в : TZM 3t^tj 0(z) G TZM, A.37)
в : ТМ -*• Г*М,
в : TIM Э(*н в(г) j С 6 Гг*М.
§4. Дифференциальные формы 41
Чтобы не усложнять обозначения, будем использовать для этих морфизмов тот же са-
самый символ в, что и для соответствующей формы. В частности, тождественным мор-
физмам \&тм и \&т, м соответствует каноническая тангенциально-значная 1 -форма
6M=dzx®dx A.38)
на многообразии М, которая задается условием
Канонической эта форма называется потому, что имеет один и тот же вид во всех голо-
номных системах координат. ?
Тангенциально-значные формы на многообразии М образуют пучок, который явля-
является тензорным произведением
пучка внешних форм и пучка векторных полей на М. Иными словами тангенциально-
значную форму можно представить как своего рода тензорное произведение внешней
формы и векторного поля. На тангенциально-значных формах определена операция
скобок Fmlicher—Nijenhuis (или просто (F-N)-скобок), которая обобщает скобки Ли на
пучке векторных полей:
[ф, a]FN = [а ® и, Р ® v]FN =
= а /\ f}®[u, v] + a ALup®v- (-l)rsj0A Lva®u +
+ (-1)г(г> ja)A df3®u-(-iys+s(u j jfl) Л da ® v,
a G Л -^"(M), C G A -T\M), u,ve JT(M),
где Lu и hv — производные Ли внешних форм. В голономных координатах (F-N)-cko6kh
имеют вид
[ф,
р=1
+ (-ir+s+p J2 <,..^к+,..ьлл^...
Р=1
Они подчиняются правилу перестановки
[ф: V]FN = ~(-1)МИ[<Г, Ф\РМ
и наделяют пучок тангенциально-значных форм структурой пучка градуированных алгебр
Ли.
Если фиксировать форму в, то (F-N)-cko6kh задают на тангенциально-значных фор-
формах операцию (Р-Ы)-дифференцирования или другими словами (Р-Ы)-дифференциал
A.39)
42 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Он обладает следующими свойствами
<Ыф, <t]fn = [de<P, <t\fn + (-1)|в||*'[0, de<r]FN,
Пример 1.4.4. Если в = и — векторное поле, дифференциал du A.39) сводится к
производной Ли тангенциально-значной формы
Lua = [и, a]FN.
?
Пример 1.4.5. Приведем полезное выражение для производной Ли внешних диффе-
дифференциальных форм
Lua = u-,da + d(uja). A.40)
?
Рассмотрим теперь дифференциальные формы на многообразиях, которые являются
расслоениями.
Пусть Y —* X — расслоение, наделенное атласом расслоенных координат A.13).
Напомним (отсылая к точным последовательностям A.28а) и A.28Ь)), что касательное
расслоение TY содержит подрасслоение VY, а кокасательное расслоение Г* У — под-
подрасслоение У х Т* X, которое по соглашению обозначается просто Т*Х. В этой связи
х
договоримся о терминологии.
Все формы на У, ограниченные на подрасслоение Т*Х С Г*У, будем называть
горизонтальными формами (horizontal forms), а тангенциально-значные формы, прини-
принимающие значения в подрасслоении VY С TY — вертикальными формами. К последним
можно отнести и вертикальные векторные поля
и = игд{ : У -> VY
на расслоении У.
Среди векторных полей на расслоении выделяют также проектируемые векторные
поля (projective vector fields). Векторное поле и на расслоении У —» X называется проек-
проектируемым, если оно накрывает некоторое векторное поле т„ на базе расслоения X, т. е.
имеет место коммутативная диаграмма
У > ГУ
Тп.
В голономных координатах проектируемое векторное поле имеет вид
т. е. его коэффициенты разложения «''(х) зависят только от координат на X. Такое
векторное поле на Y проектируется на векторное поле
ти =
§ 4. Дифференциальные формы 43
на X. Например, всякое вертикальное векторное поле и на расслоении У —* X является
проектируемым и проектируется на всюду нулевое векторное поле т„ = 0 на X.
Тангенциально-значные формы на расслоении которые представляют собой тензор-
тензорные произведения внешних форм и проектируемых векторных полей, именуют проек-
проектируемыми формами.
В основном мы будем иметь дело со следующими типами внешних и тангенциально-
значных форм на расслоениях:
• внешние горизонтальные формы
ф:?-+/\Т*Х,
Ф=Фх,...хЛу)<1хх> А ... A dxx-;
• тангенциально-значные горизонтальные формы
ф = dxx' л ... л dxXr ® [Ф^...х,.(у)д^ + Ф\1...Хг(у)д{];
• тангенциально-значные проектируемые горизонтальные формы
ф = dxx> л ... л dxx- ® [ф^...Хг(х)д„ + Ф\,...Хт(у)дЛ;
• вертикально-значные горизонтальные формы
ф:У ->/\FX<g)VY,
Y
Ф = 01,...л,B/)ЖеЛ| Л ... л dxXr ® д{.
Пример 1.4.6. На всяком кокасательном расслоении Т*М определена канониче-
каноническая внешняя горизонтальная 1-форма
которая называется формой Лиувилля. Ее внешним дифференциалом со знаком минус
является каноническая симплектическая форма
fi = -de = dzx A dzx
на Т'М. D
Пример 1.4.7. Вертикально-значные горизонтальные 1-формы
(t:Y -*T*X<g)VY,
Y
а = a\(y)dxx ® а,-,
на Y именуются часто припаивающими формами (soldering forms). Например, рассмотрим
касательное расслоение ТХ. Имеет место вертикальное расщепление
VTX = ТХх ТХ.
х
44 Глава 1. Дифференциальная геометрия
На ТХ определена каноническая припаивающая форма
а = dx* ® .
дх^
При этом рг2 ост = вх — это каноническая тангенциально-значная 1-форма на X из
Примера 1.4.3, которую поэтому тоже часто называют припаивающей формой. ?
Помимо тангенциально-значных форм, мы будем рассматривать на расслоениях еще
некоторые типы векторнозначных форм. Это дифференциальные формы на У, которые
представляют собой морфизмы
У -> Л T*Y <g) TX, A.42)
у
Ф = Ф\ ...\,.(y)dx*' Л ¦•• Л dxXr ®дм,
У -^ /\T*Y<g)V"Y, A.43)
Y
<P = <P\t...\,.i(y)dxXl Л •¦¦ AdxXr ®~dy.
Подчеркнем, что формы A.42) не являются тангенциально-значными формами, по-
поскольку индуцированное на У расслоение Ухх ТХ не есть подрасслоение касательного
расслоения ГУ (см. точную последовательность A.28а)). В частности, к ним не приме-
применима операция (Р-Ы)-дифференцирования. В свою очередь, формы A.43) не являют-
являются внешними формами, поскольку вертикальное кокасательное расслоение V*Y не есть
подрасслоение южасательного расслоения T*Y (см. точную последовательность A.28Ь)),
и к ним не применима операция внешнего дифференцирования.
Пример 1.4.8. Формой типа A.42) на расслоении тг : Y -+ X является форма
* У А ¦¦¦ AdxXr ®д^
индуцированная из тангенциально-значной формы ф на X. Формы ф и к*ф имеют одно
и то же выражение в голономных координатах, и мы их будем обозначать одним и тем
же символом ф. В частности, мы будем иметь дело с формой
вх :У -^T'X<g)TX,
Y
вх =dxx®dx,
которая индуцирована на Y из канонической тангенциально-значной формы вх A.38)
на базе X. ?
В дальнейшем дифференциальные формы на расслоении Y —* X всех приведенных
выше типов будут часто называться просто формами, а все горизонтальные п-формы —
горизонтальными плотностями.
§ 5. Многообразия струй 45
§5. Многообразия струй
Динамика классических полей, описываемых как сечения s тех или иных расслое-
расслоений Y —* X, математически строго формулируется на языке струй j*s этих сечений,
когда сечения в точке х ? X отождествляются по их значениям и значениям их частных
производных до некоторого к-то порядка включительно. Действительно, если полевые
уравнения, например, содержат производные полей не более второго порядка, нет осо-
особой необходимости различать эти поля по значениям их высших производных. Однако
только одного этого наблюдения было бы недостаточно, чтобы развивать аппарат струй,
не обладай пространства струй рядом весьма привлекательных свойств.
Место, которое занимают пространства струй в дифференциальной геометрии, и их
применение в теории поля обусловлены следующим.
• Пространства струй сечений расслоений являются конечномерными многообрази-
многообразиями, что позволяет описывать динамику полевых моделей на конечномерных конфи-
конфигурационных и фазовых пространствах.
• Многие объекты в теории струй выражаются через привычные тангенциально-
значные формы, которыми легко оперировать.
• Над многообразием струй первого порядка существует каноническое расщепление
точных последовательностей A.28а) и A.28Ь), что лежит в основе применения струй
в теории связностей и в дифференциальной геометрии в целом. Это приводит к
появлению связностей и в описании динамики полевых систем.
Имея в виду последующие приложения к теории поля, мы здесь ограничимся фор-
формализмом струй в основном первого и второго порядков.
Пусть дано расслоение Y —» X. Рассмотрим классы эквивалентности jxs, х 6 X,
сечений s расслоения У такие, что сечения s и s' принадлежат одному и тому же классу
эквивалентности j\.s тогда и только тогда, когда
Ts\TjX=Ts' \TcX .
Другими словами, сечения из jxs отождествляются по своим значениям
s'(x) = s"(x)
и значениям своих частных производных первого порядка
в точке х. Класс эквивалентности jls называют струей сечений (jet) s в точке х Е. X.
Обозначим JXY множество всех струй сечений расслоения Y во всех точках X.
Существует несколько эквивалентных способов, чтобы наделить множество струй
JlY структурой многообразия. Не будем здесь вдаваться в детали. Результат получается
следующий.
Предложение 1.5.1. Пусть У —> X — расслоение с атласом расслоенных коорди-
координат (хх, у') A.13). Множество струй J'F, будучи наделенным координатным атласом
(zA; у\ у\), A.44)
(z\ y\ yi)O««) = (zA> s\x), dxs\x)),
дх1'
'\ (д+1д)у'\ A.45)
46 Глава 1. Дифференциальная геометрия
удовлетворяет всем требованиям, которые мы договорились выше предъявлять к много-
многообразиям. Оно называется многообразием струй первого порядка или просто многообра-
многообразием струй (jet manifold) расслоения У. Q
В физической литературе координаты у\ на j'y часто называют координатами ско-
скоростей или координатами производных, поскольку их преобразования полностью иден-
идентичны координатным преобразованиям производных полевых функций dxs*(x). To, что
значения производных полевых функций выбираются в качестве независимых коорди-
координат, напоминает известный прием при решении дифференциальных уравнений, когда
производные переменных сами рассматриваются как независимые переменные, что по-
позволяет, например, понизить порядок дифференциальных уравнений.
Многообразие струй имеет естественные расслоения
тг' :JlY3jls -+ х ?Х A.46)
и
Легко убедиться, что координаты A.44) на многообразии струй подчинены этим рас-
расслоениям. Более того, преобразования перехода A.45) указывают на то, что расслоение
A.47) является аффинным расслоением, моделируемым (как это следует из вида линей-
линейной части этих преобразований) над векторным расслоением
T*X(g>VY-^Y. A.48)
у
Мы будем называть J[Y —+ У расслоением струй.
Заметим, что J]Y —* У остается расслоением, даже если У —» X не расслоение,
а расслоенное многообразие, и в общем случае оно не тривиально, даже если Y —> X
тривиально.
Пример 1.5.1. Многообразие струй тривиального расслоения
рг, : X х Ж -» X
является аффинным расслоением, моделируемым над индуцированным расслоением
Т*Х х Ж,
х
которое в общем случае не является тривиальным расслоением над X х Ж. Если однако
базой тривиального расслоения является евклидово пространство Ет, расслоение струй
всегда тривиально. D
Пример 1.5.2. Пусть У и У' — расслоения над одной и той же базой X. Имеет
место естественный диффеоморфизм
J[(YxY')~JlYxJlY'. A.49)
х х
Следующая теорема играет ключевую роль в формализме струй. Она показывает,
что расслоение струй является аффинным подрасслоением некоторых тензорных рас-
расслоений, что позволяет оперировать струями как обычными тангенциально-значными
формами.
§ 5. Многообразия струй
47
Теорема 1.5.2. Пусть J'Y — многообразие струй расслоения У —* X. Существуют
два канонических мономорфизма над У:
A.50)
dxx ®дх = dxx ® (дх
A.51)
д{ = {dy - yxdxx) ® дг.
D
Прагматическим следствием этой теоремы является то, что всякий элемент много-
многообразия струй с координатами скоростей у\ может быть представлен тангенциально-
значными формами
dxx ® (дх + ухдг)
или
(dy{
Рассмотрим теперь, как те или иные операции с расслоениями могут быть продол-
продолжены на многообразия струй этих расслоений.
Пусть Ф — послойный морфизм расслоения У-»1в расслоение Y' —> X над диф-
диффеоморфизмом / их общей базы X. Существует продолжение морфизма Ф до морфизма
многообразий струй
./'Ф: JW -+ JlY',
Это послойный аффинный морфизм расслоения струй J{Y —¦ У в расслоение струй
J[Y' ->Y' над Ф:
¦7'У
JlY'
У > У
Будем называть его струйным продолжением (jet prolongation) морфизма Ф. В координатах
A.44) он имеет вид
дхх
'1 ^Ф(дФ<%*<?)
у1 ^Ф(дхФ+ %*?).
Пример 1.5.3. Струйные продолжения морфизмов удовлетворяют естественным
условиям
. Если морфизм Ф — сюръекция или инъекция, таковым же является и его струйное
продолжение 1'Ф. ? _
48 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Всякое сечение s расслоения У —* X может быть продолжено до сечения
(Jls)(x)=jlxs,
(.У1, Ух) ° Jls = (s\x), дхзг(х)),
расслоения JlY —* X. Оно именуется струйным продолжением сечения s. Ясно, что
не каждое сечение s расслоения J^Y —> X представляет собой струйное продолжение
некоторого сечения расслоения Y —+ X. Если же оно является таковым, т. е. s = Jls,
то мы будем называть его голономным сечением.
Всякое векторное поле
и = ихдх + ид{
на расслоении У —* X может быть поднято до векторного поля
м = г, о Jlu : JlY -> JlTY -> TJXY,
и = ихдх + и1д< + (дхи + if^u - у;аЛ«")аЛ A.52)
на многообразии струй J'Y расслоения У. Мы здесь использовали канонический по-
послойный морфизм
г, : J'TY -> TJlY,
где под JlTY понимается многообразие струй расслоения ГУ —> X. В частности, имеет
место канонический изоморфизм
У\ = (У1)х,
где VJlY — вертикальное касательное расслоение над расслоением JlY —> X.
Если расслоение У —» X наделено той или иной алгебраической структурой, эта
структура наследуется и расслоением J'Y —» X благодаря струйным продолжениям со-
соответствующих морфизмов.
Пример 1.5.4. Если Y — векторное расслоение, то JlY —> X тоже векторное
расслоение. В частности, пусть Y — векторное расслоение и ( ) — свертка
{):YxY'—>Ixl,
х х
где (у') и (|Г) дуальные координаты на Y и У* соответственно. Струйным продолжением
свертки {) является линейный послойный морфизм
?
§ 5. Многообразия струй 49
Пример JL5.5. Если У — аффинное расслоение, моделируемое над векторным
расслоением У,_то J'Y —* X тоже аффинное расслоение, моделируемое над векторным
расслоением JlY —> X. ?
Основание для применения многообразий струй в дифференциальной геометрии дает
тот факт, что существует каноническое расщепление точных последовательностей A.28а)
и A.28Ь). если касательное и кокасательное расслоения над У индуцировать на J'Y.
Другими словами, определены канонические вложения
' J'Y xTY
X J]Y
и
0, :J'YxV'Y^JlYxT*Y.
Y J'Y Y
Они индуцированы каноническими морфизмами A.50) и A.51) и имеют координатный
вид
А : JlY х ТХ 3 дх ^ дх = дх j A G j'Y x TY, A.53)
X Y
0! : J'Y x VY 3 dy1 ^ dy' = 0, _, dy G j'Y x Г*У, A.54)
У У
dy' = dy1 — y\dxx.
Вложения A.53) и A.54) задают каноническое горизонтальное расщепление (canonical
horizontal splitting) индуцированных расслоений
J'Y xTY = А(ГХH VY, A.55)
Y J'Y
ххдх + y% = хх(дх + y\dt) + (f - xxy\)dt,
и
J[YxT*Y = T*X@e](V*Y), A.56)
У J'Y
xxdx + ijidy' = (xx + yiyx)dx + yi(dyl — y\dx ).
Иначе говоря, мы получаем канонические горизонтальные расщепления над J'Y каса-
касательного и кокасательного расслоений TY и Г*У.
Связь вышеизложенного с теорией связностей состоит в том, что при подстановке в
формулы A.53) и A.54) некоторого глобального сечение Г расслоения струй J'Y —¦ У:
воспроизводятся выражения A.29) и A.30).для расщепление точных последовательно-
последовательностей A.28а) and A.28b) посредством связности на расслоении Y. Таким образом, связ-
связности на расслоении У —* X можно задавать, как это будет подробно рассмотрено в
следующем параграфе, посредством глобальных сечений соответствующего расслоения
струй JlY -> У.
50 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.5.6. Канонические горизонтальные расщепления A.55) и A.56) приводят,
в частности, к каноническому горизонтальному расщеплению проектируемого векторного
поля
хд + и1д =u + u= их(
и = ихдх + и1д{ =uH + uv= их(дх + yidi) + (u{ - uxy\)di A.57)
и канонической тангенциально-значной 1-формы
ву = dxx ® дх + dy{ <g> д; = А + 0, = dxx ®дх + dy' ®dt =
\ ¦ ¦ ¦ \ A.58)
= dxx ® (дх + у'Л) + (dy' - y\dxx) ® di
на расслоении Y. О
Рассмотрим теперь многообразия струй второго порядка.
Пусть J{Y — многообразие струй первого порядка расслоения У —> X. Можно в
свою очередь построить многообразие струй J[JlY расслоения JXY —> X. Оно называ-
называется повторным многообразием струй (repeated jet manifold). Его подмногообразиями, к
которым мы будем часто обращаться, являются полуголономное многообразие струй T*Y
и собственно многообразие струй второго порядка J2Y расслоения У.
При заданных координатах A.45) на многообразии струй JlY, повторное многообра-
многообразие струй JlJ[Y наделяется соответствующими координатами
дх11
дха
Имеют место два разных расслоения JlJ{Y над J[Y:
• обычное расслоение струй A.47) над ./'У:
тг„ : J1 JXY -> JlY, A.59)
2/1° тгц = У\,
• и расслоение
J'tto : J[J'Y -> JlY, A.60)
у\о J'tto = у\Х).
Точки, в которых проекции тг,, и Jl7r0| совпадают, образуют аффинное подрасслоение
TY-^J'Y A.61)
расслоений A.59) и A.60), задаваемое координатным условием
Оно называется полуголономным многообразием струй (sesquiholonomic jet manifold) и па-
параметризуется координатами
§ 5. Многообразия струй 51
Многообразие струй второго порядка (second order jet manifold) J2Y расслоения У—» X,
которое также именуют голономным многообразием струй, определяется как подрасслое-
ние
7п : J2Y -» JlY
аффинного расслоения A.61), задаваемое координатным условием
и параметризуемое координатами
(z\ У1, Ух, У\»
Можно дать другое эквивалентное и самодостаточное определение многообразия 2-струй
J2Y как объединения всех классов эквивалентности jls сечений s расслоения У —* X
таких, что
Ul) = dxs\x), y^(jls) = d^dxs\x).
Иначе говоря, сечения s ? j2xs отождествляются по их значениям и значениям их част-
частных производных первого и второго порядков в точке х ? X.
Пусть s — сечение расслоения Y —*¦ X и Jls — его струйное продолжение до сечения
расслоения JXY —> X. В свою очередь рассмотрим струйное продолжение последнего до
сечения JxJls расслоения J'J1Y —» X. Легко убедиться, что оно принимает значения в
голономном многообразии струй J2Y и поэтому, как принято, будем его обозначать J2s:
(JlJls)(x) = (J2s)(x)=jls.
Имеют место условия интегрируемости.
Предложение 1.5.3. Пусть s — сечение расслоения J'Y ->1и J's — его струй-
струйное продолжение до сечения расслоения JlJlY —» X. Следующие условия эквивалент-
эквивалентны:
• сечение s является голономным, т. е. s = Jls где s — некоторое сечение Y —¦ X,
• сечение J's принимает значения в TY',
• сечение J's принимает значения в J2Y.
Р
Они будут использованы в §2.1 для редукции дифференциальных операторов и диф-
дифференциальных уравнений второго порядка к дифференциальным операторам и диффе-
дифференциальным уравнениям первого порядка. Это прежде всего операторы и уравнения
Эйлера—Лагранжа первого и второго порядков.
Приведенные выше определения многообразий струй 2-го порядка почти дословно
распространяются на многообразия струй произвольного А;-го порядка.
Определение 1.5.4. Многообразие струй k-го порядка JkY расслоения У —* X
состоит из классов эквивалентности j'?s, х 6 X, сечений s расслоения У таких, что
сечения s и s1 принадлежат одному и тому же классу j* s тогда и только, тогда, когда их
значения и значения их частных производных до А;-го порядка включительно совпадают
в точке х. Это многообразие является конечномерным и удовлетворяет всем условиям,
которые мы предъявляем к многообразиям. ?
52 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Аналогично случаю к = 2 определяются повторное многообразие к-струй J J Y,
полуголономное многообразие к-струй J Y и к-струйное продолжение Jk s сечения s рас-
расслоения Y —> X до сечения расслоения JkY —> X.
Ключевым для развития аппарата струй стало его применение в теории дифферен-
дифференциальных операторов. Оно основывается на следующем определении.
Определение 1.5.5. Пусть JkY — многообразие fc-струй расслоения Y —> X и
Е —> Y — векторное расслоение над Y. Всякий послойный морфизм
rS:3kY—»Ё A.62)
у
над Y называется дифференциальным оператором к-т порядка на сечениях расслоения Y
или просто на расслоении Y. Он отображает всякое сечение s(x) расслоения Y —* X в
сечение (?f о Jks)(x) расслоения Е —> X. ?
Дифференциальные уравнения в таком подходе возникают как условия на ядро диффе-
дифференциального оператора. Пусть ff — дифференциальный оператор fc-порядка. Говорят,
что сечение s расслоения Y —> X удовлетворяет соответствующей системе дифферен-
дифференциальных уравнений,если
Jhs(X) С
Коротко это можно записать как
Jhs =
В теории поля мы имеем дело с дифференциальными операторами и дифференци-
дифференциальными уравнениями, как правило, не выше второго порядка.
§ 6. Связности на расслоениях
Конструкция связности обобщает операцию параллельного переноса в евклидовой
геометрии на многообразия и расслоения. Поясним необходимость и характер такого
обобщения следующими простыми рассуждениями.
В евклидовой геометрии параллельным называется перенос вектора, при котором
направление вектора сохраняется. На плоскости, например, его можно определить как
перенос вдоль прямых так, что угол между вектором и прямой постоянен. На искривлен-
искривленной поверхности роль прямых играют наикратчайшие линии, например, дуги большого
круга на сфере. Тогда параллельный перенос касательного вектора к поверхности можно
описать как его перенос вдоль наикратчайших так, что угол между вектором и наикрат-
наикратчайшей остается неизменным. Однако сам вектор при этом поворачивается. Изменение
касательного вектора при параллельном переносе и описывается введением связности. В
дифференциальной форме это можно сделать заданием оператора поворота Г векторов
т при переходе из точки с координатами х11 в точку с координатами х11 + dx^, а именно:
Г(т") = т" - Г"а1/таdx". A.63)
Изменение вектора может быть оценено только путем его сравнения с некоторыми
базисными векторами. Однако, если в качестве таких базисных векторов взять, напри-
например, касательные векторы к наикратчайшим, переносимый, вектор относительно них
поворачиваться не будет, т. е. связность в такой системе отсчета как бы становится три-
тривиальной. Этого можно избежать, если переносимый вектор сравнивать с самим собой
до и после переноса по замкнутому контуру. В отличие от плоскости, на искривленной
§ 6. Связности на расслоениях
53
поверхности эти два вектора не совпадают, и их отклонение друг от друга характеризу-
характеризуется кривизной поверхности.
Изменение вектора при параллельном переносе сказывается и на операции диффе-
дифференцирования. Действительно, дифференцирование определяется как предел
lim
т(х + dx) — т(х)
) \dx\ '
Но векторы т(х + dx) и т(х) заданы в разных точках, и чтобы их вычесть друг из друга,
вектор т(х) надо сначала перенести в точку х + dx посредством связности A.63). В
результате операция дифференцирование при наличии связности принимает вид
Производная Du называется коварианпгной производной и может рассматриваться как ге-
генератор параллельного переноса вдоль координатной линии х".
Все эти наглядные соображения применимы и для связности на расслоении. На рас-
расслоении 7Г : Y —> X параллельный перенос можно представить как сопоставление всякому
пути 7([а, Ь]) в базе X семейства отображений
tu t2 G [a, b],
Q-r(t,,t2) • Vl(t]) -> F7(t,,,
слоев Vl(t) расслоения Y над точками этого
пути. При этом имеют место естественные со-
соотношения
Пусть v — некоторая точка слоя F7(a). То-
Тогда множество образов v(t) точки v при ото-
отображениях g^a,t), t ? [о-, Ь], образуют некото-
некоторый путь
в расслоении Y. Поскольку
я"(?7(и)) = 7,
такой путь называется накрывающим путь 7 в рис 5
базе X. Подобные пути, накрывающие у, вы-
выходят из каждой точки слоя К,(а). Поэтому в инфинитезимальной форме задание связно-
связности на расслоении Y можно наглядно представить как задание в каждой точке у ? Y на-
направления, в котором она будет переноситься в многообразии Y, если ее проекция ж(у)
переносится в некотором направлении в базе X. Другими словами для каждой точ-
точки у & Y осуществляется поднятие касательного пространства Тж1.у)Х к базе X в каса-
касательное пространство TyY к У, как это условно изображено на рисунке 5.
Перейдем теперь от наглядных соображений к строгой математической конструкции
связностей на расслоении.
54 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Существует несколько эквивалентных способов введения связностей. Мы начнем с
вышеупомянутого наиболее традиционного, когда для всякой точки у расслоения Y —> X
касательный вектор ххдх к базе X в точке х = тг(у) поднимается до касательного вектора
к Y в точке у.
Определение 1.6.1. Связность на расслоении (connection) Y —> X определяется как
расщепление точной последовательности A.28а) (и соответственно A.28Ь)). ?
Это означает, что задано некоторое вложение
Гт:ТХ<-> TY, A.64)
которое определяет горизонтальное расщепление касательного расслоения TY:
TY = HY@VY = Гт(ТХ)фУУ. A.65)
Y Y
Вложение A.64) порождает линейный послойный морфизм
Г = Гт о Ттг : TY -> TY,
который удовлетворяет условию
TV = КегГ.
Он задается соответствующей тангенциально-значной 1-формой A.37). Это позволяет
дать эквивалентное определение связностей на расслоении в терминах тангенциально-
значных форм.
Определение 1.6.2. Связность на расслоении Y —* X определяется как проектиру-
проектируемая горизонтальная тангенциально-значная 1-форма Г на Y такая, что
для всех внешних горизонтальных форм ф на Y. В расслоенных координатах A.13) на Y
она дается выражением
х A.66)
?
Связностями, вводимыми таким способом, удобно оперировать в различных выра-
выражениях. Однако, чтобы исследовать их свойства, более предпочтительно другое опреде-
определение связностей.
Нетрудно убедиться в том, как мы на это уже указывали, что горизонтальное рас-
расщепление A.65) касательного расслоения TY можно получить из канонического гори-
горизонтального расщепления A.55) касательного расслоения TY, индуцированного на J'Y,
подстановкой глобального сечения Г расслоения струй JlY —> Y. Поэтому можно дать
еще следующее определение связностей на расслоении.
§ 6. Связности на расслоениях 55
Определение 1.6.3. Связность на расслоении Y —> X определяется как глобальное
сечение Г аффинного расслоения струй JlY —> У:
Г : У -> J'y,
Уд°Г = ГА(у). A.67)
D
Следует однако отметить, что в математической литературе Определение 1.6.3 —
это не определение, а теорема, которая утверждает, что существует взаимно однознач-
однозначное соответствие между связностями на расслоении У —* X и глобальными сечениями
расслоения струй JlY —+ У. В композиции с каноническим морфизмом Л A.50) вся-
всякое такое глобальное сечение Г A.67) представляется тангенциально-значной формой
Л о Г A.66) на У, которая для удобства обозначается тем же символом Г. Подставляя
выражение A.66) в канонические горизонтальные расщепления A.55) и соответствен-
соответственно A.56), мы получаем горизонтальные расщепления
ххдх+у'д,=хх(дх+Т\д{) + (у{-ххТ\)д{,
л i i х i i л A.68)
xxdx + г/idy = (xx +Txyi)dx + yi(dy —Yxdx )
касательного и кокасательного расслоений TY иТ'У относительно связности Г на У.
Обратно всякое горизонтальное расщепление A.68) определяет некоторую тангенциаль-
но-значную форму A.66) и соответственно глобальное сечение расслоения струй J'F—>К
Пример 1.6.1. Пусть Y —* X — векторное расслоение. Линейная связность на Y
имеет вид
T = dx"®[dx-TijX(x)yidi]. A.69)
?
Пример Ьб^^Пусть Y —> X — аффинное расслоение, моделируемое над вектор-
векторным расслоением F-»l. Аффинная связность на Y имеет вид
Г = dxx 0 [дх + (-r>A(aV
где
Г = 4сА0[вА-Г'
— линейная связность на Y. О
Естественно, что при изоморфизме Ф расслоения связность Г переходит в новую
связность
Г' = ./'фоГоф-1.
Приведем ее координатный вид, когда Ф — изоморфизм над X:
у'< о Г' = @ЛФ; + Т{д^) о ф.
В частности, пусть Г — связность на расслоении У —> X и Г' — связность на
расслоении У —> X. Вследствие изоморфизма A.49), они порождают связность
1 "W
на произведении Y x Y, которая называется произведением связностей.
56 Глава 1. Дифференциальная геометрия __
Приведем также две специфические операции с линейными связностями на вектор-
векторных расслоениях.
Пусть Y —> X — векторное расслоение и Г — линейная связность A.69) на Y. Она
определяет линейную связность
Пл = -Г',-л(х)%-
на дуальном векторном расслоении Y* —> X, которая называется дуальной связностью.
Пример 1.6.3. Линейная связность К на касательном расслоении ТХ над много-
многообразием X и дуальная связность К* на кокасательном расслоении Т*Х имеют вид
Кх =-Ка vX(x)x",
A 70)
КаХ =К аХ(х)х„.
П
Пусть Y, Y' — векторные расслоения над X и Г, Г' — линейные связности на этих
расслоениях. Они задают линейную связность
на тензорном произведении
которая называется тензорным произведением линейных связностей.
Представление связностей как глобальных сечений расслоения струй позволяет сле-
следующим образом характеризовать все множество связностей на расслоении. Так как
расслоение струй J'Y —* Y расслоения Y —» X является аффинным расслоением, мо-
моделируемым над векторным расслоением A.48), связности на расслоении Y образуют
аффинное пространство, моделируемое над линейным пространством припаивающих
форм на Y из Примера 1.4.7. Отсюда следует, что, если Г — связность и
а = a[dxx ® di
— припаивающая форма на Y, их сумма
тоже связность на Y. Обратно, если Г и Г' — связности на расслоении Y, тогда их
разность
Г - Г' = (Г1 - Т'\)<1хх ® д{
— это припаивающая форма на Y.
Поскольку связности представляются тангенциально-значными формами, к ним
можно применить операцию (Р-1^)-дифференцирования A.39). Таким путем, в част-
частности, получаем:
• кривизну связности (curvature)
R - - d?r = - lVXlidxx A dx" ®д{-
\ 2 A.71)
(№ № + rtari ВД
§ 6. Связности на расслоениях 57
• кручение (torsion) связности относительно припаивающей формы а:
п = dCTr = dra = - п\^хх Л их11 ®дг= (дха1 + Т{д^1 - djY\a^) dxx Л dx» ® дг,
• кривизну припаивающей формы а:
е = - &ао = - e'X)ldxx Л dx" <g> дг = - {о{д3а\ - а^д5а\) dxx Л dx" ® дг.
Например, если Г' = Г + а, то
R' = R + е + ft.
Пример 1.6.4. Кривизна A.71) линейной связности A.69) имеет вид
R jXfi = д\Т j)t — д^Т j\ + Г j,,F kX — Г j-лГ t^.
п
Всякая связность Г на расслоении Y —+ X определяет дифференциальный оператор
первого порядка
<E T* X (g) FF, A.73)
Y
на F. Он называется ковариантным дифференциалом относительно связности Г. Его
действие на сечения 5 расслоения Y имеет вид
Vrs = Dr о j's = [dxsl - (Г о s)\]dxx ® di A.74)
и называется ковариантным дифференцированием. В частности, сечение s называется
интегральным сечением связности (integer section) Г, если Vrs = 0, т. е.
Го 5 = j's.
Общий способ задания связностеи как сечений расслоения струй применим и для
описания хорошо известных по физическим приложениям связностеи на главных рас-
расслоениях. Связности этого типа моделируют калибровочные потенциалы в калибровоч-
калибровочных моделях фундаментальных взаимодействий. Однако даже калибровочная теория не
может ограничиться только главными расслоениями и связностями на них. Например,
расслоения, сечениями которых являются сами калибровочные потенциалы, не являют-
являются главными и связности на них не есть связности на главных расслоениях.
58 Глава 1. Дифференциальная геометрия
§7. Расслоения со структурными группами
Расслоениям со структурной группой, главным расслоениям и связностям на них
посвящена обширная математическая литература. Поэтому мы здесь затронем только те
факты и понятия, которые строго необходимы для рассматриваемых в книге физических
приложений.
Пусть Y — расслоение, задаваемое своей базой X, типичным слоем V и атласом
расслоения
где
— функции перехода A.16). Пусть G — группа, которая действует гладко и эффективно
в пространстве типичного слоя V расслоения Y. Предположим, что можно выбрать
такой атлас расслоения Ф, функции перехода которого
в каждой точке х & U( Г) U( представляются элементами д^(х) группы G, действующи-
действующими на V, т. е.
= gec(x)V,
GxV-^V, A.75)
где 9(( — гладкие G-значные функции на U( П Uc. Тогда группа G именуется структур-
структурной группой расслоения (structure group). Само расслоение Y, наделенное классом экви-
эквивалентных атласов с функциями перехода вида A.75) называется расслоением со струк-
структурной группой.
Пример 1.7.1. Открытый лист Мебиуса из Примера 1.3.4 может быть представлен
как топологическое расслоение со структурной группой Z2, наделенной дискретной то-
топологией и действующей на интервале ] - 1, 1[ как группа умножений на -1. D
В теории калибровочных полей, как правило, используются расслоения со структур-
структурными группами Ли. В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем предполагать,
что структурной группой расслоения является вещественная конечномерная группа Ли.
Расслоение Y со структурной группой однозначно характеризуется базой X, струк-
структурной группой G, типичным слоем V и атласом расслоения
Семейство функций перехода {д^} этого атласа определяет, как расслоение Y скон-
сконструировано из тривиальных расслоений U( x V. Пусть У — расслоение, как и Y,
над базой X, со структурной группой G, но другим типичным слоем V; и пусть его
атлас характеризуется тем же семейством функций перехода {д^}, что и атлас рассло-
расслоения Y. Это означает, что расслоение Y' организовано из тривиальных расслоений
U( х V' в точности как У. Расслоения со структурной группой, которые отличаются
только типичным слоем, называются ассоциированными расслоениями (associated bundles).
Ассоциированные расслоения имеют целый ряд общих свойств: одно и то же множество
классов эквивалентности расслоений, одинакового типа связности и др.
§ 7. Расслоения со структурными группами 59
Среди ассоциированных расслоений с данной структурной группой G важным слу-
случаем является расслоение, типичным слоем которого служит групповое пространство
самой структурной группы, на которое она действует умножениями слева
g:G-^gG, g E G.
Такое расслоение называется главным расслоением (principal bundle).
Пример 1.7.2. Для описания дираковского монополя используются главные рас-
расслоения А„, п = 0, 1, ..., со структурной группой U(l) над сферой S2. Параметризуем
сферу S2 циклическими координатами
((КЯ^тг, (Ка< 2тг),
а групповое пространство 1/A) = S1 — координатой ехр(?х). Атлас расслоения А„ устро-
устроен следующим образом. Покроем сферу S2 двумя открытыми полусферами U+ и 1/_ с
координатами соответственно в > -е и в < е, где е > 0. Они являются областями триви-
ализация расслоения А„, которое получается склеиванием двух тривиальных расслоений
U+xU(l) и U_xU(l) с координатами (в, а, ехр(г^+)) и (в, а, ехр(г%_)) соответственно.
Функцией перехода является 1/A)-значная функция на пересечении U+ П 1/_, удовле-
удовлетворяющая условию периодичности по координате а. Оно имеет вид
ехр (гх_) = exp (ina) exp (ix+)-
Для разных пит расслоения А„ и Ат нейзоморфны. Например, Ао — тривиальное
расслоение S2 x S1, тогда как А{ = S3. ?
Главные расслоения обладают целым рядом специфических свойств. Однако приве-
приведенное выше определение не позволяет их выявить. Поэтому обратимся к более кон-
конструктивному и общепринятому определению главного расслоения.
Определение 1.7.1. Расслоение
тгр-.Р-^Х A.76)
называется главным расслоением со структурной группой Ли G (или просто главным G-
расслоением), если задано послойное свободное и транзитивное действие группы G на Р
справа:
r3:p^P9, p?P, gEG. A.77)
База главного расслоения X диффеоморфна фактор-пространству P/G, а проекция жР
совпадает с каноническим морфизмом Р -+ P/G. О
Другими словами главное расслоение A.76) представляет собой обобщенное аффин-
аффинное пространство
Р х(Х х G) -> Р,
х
моделируемое справа над тривиальным групповым расслоением X х G.
Будем использовать р для обозначения элементов главного расслоения.
Эквивалентность двух приведенных определений главного расслоения устанавливает
следующая теорема.
Теорема 1.7.2. Всякое главное расслоение Р из Определения 1.7.1 однозначно
задается выбором базы X, структурной группы G и атласа главного расслоения
Фр = {U(, tf, 5ес}, A.78)
где функции перехода д(С — G-значные гладкие функции на Щ П С/с. D
60 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Морфизмы тривиализации главного расслоения удовлетворяют условию
Поэтому всякому атласу Фр A.78) главного расслоения Р можно однозначно сопоста-
сопоставить набор его локальных сечений {z(} таких, что
(yjf ozf)(i) = 1G, х <Е Uo
Более того, часто удобно задавать атлас Фр главного расслоения именно набором таких
сечений {z^}.
Отсюда, в частности, следует, что глобальное сечение главного расслоения существу-
существует тогда и только тогда, когда оно тривиально. Действительно, если глобальное сечение
s главного расслоения существует, можно выбрать z% = s\U(, и преобразования перехода
такого атласа будут тождественными.
Пример 1.7.3. Пусть G — группа Ли и К — ее замкнутая подгруппа. Напомним,
что замкнутая подгруппа группы Ли тоже группа Ли. Пусть G/K — правое фактор-
пространство группы G по К. Тогда каноническая проекция
G-^G/K
является главным расслоением со структурной группой К. О
Пример 1.7.4. Пусть Р —» X — главное расслоение со структурной группой G
и К — замкнутая подгруппа группы G. Обозначим Р/К фактор многообразия Р по
действию К на Р справа. Тогда канонический морфизм
-Кръ-.Р^Р/К A.79)
является главным расслоением со структурной группой К. О
Пример 1.7.5. Если Р —> X — главное расслоение со структурной группой G, то
расслоение ТР —* ТХ также является главным расслоением
ТР х Т(Х
тх
со структурной группой
где c^i — левая алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на группе G. ?
Заметим, что главное G -расслоение Р —+ X допускает каноническое вертикальное
расщепление
pr2oaoem = Jm, A.80)
где. {Jm} — базис левой алгебры Ли ^ и {ет} — соответствующие фундаментальные
векторные поля на Р, отвечающие каноническому действию G на Р справа.
§7. Расслоения со структурными группами
Всякому главному расслоению Р —> X со структурной группой G можно сопоста-
сопоставить, как уже отмечалось, ассоциированное расслоение F->Ic данным типичным сло-
слоем V, реализующим эффективное действие группы G слева. Следуя Определению 1.7.1
главного расслоения, ассоциированное расслоение Y можно определить как фактор
Y = (PxV)/G A.81)
прямого произведения Р х V относительно действия группы G, т. е. когда всякие две
точки (р х v) и (рд х g~lv), д ? G, отождествляются.
Пример 1.7.6. Для всякого главного G-расслоения Р —> X всегда существует ас-
ассоциированное групповое расслоение Р —> X типичным слоем которого служит сама груп-
группа G, на котором структурная группа G действует по присоединенному представлению
ad g:G-^gGg~\ gEG.
Главное расслоение Р является обобщенным аффинным расслоением, моделируемым
слева над групповым расслоением Р:
Р X Р Э (р, р) ь+ рр ? Р.
Более того, для каждого ассоциированного с Р расслоения Y существует послойный
морфизм _
PxY—.У, A.82)
х
который задает представление группы Рх в слое Yx для всех х ? X. D
Пусть Y — ассоциированное с Р расслоение с типичным слоем V. Для р ? Р
обозначим [p]v сужение канонического отображения
PxV -> (Р х V)/G
на подмногообразие р х V. Тогда
v -> [p]vv, v ? У,
есть отображение типичного слоя V в слой Y^p^ расслоения Y такое, что
[pg]v(v) = [p]vE")
для всех g ? G.
В частности, если
ФЯ = {U{, z,}
— атлас главного расслоения Р, то отображение
задает атлас
Ф = {Щ
ассоциированного расслоения У такой, что
ipu(x) о [Zi(x)}v =Idv, xeU(.
Будем называть его ассоциированным атласом.
62 Глава 1. Дифференциальная геометрия
Существует также взаимно однозначное соответствие между глобальными сечения-
сечениями s ассоциированного с Р расслоения Y и эквивариантными (equivariant) F-значными
функциями /, на У, т. е. такими, что
Оно задается соотношением
s(*p(p)) = [p]v(f.(p))
и в ассоциированных атласах расслоений Р и Y принимает вид
s5(ж) = (^ о s)(x) = f,(z((x)).
Рассмотрим теперь морфизмы главных расслоений. Это должны быть послойные мор-
физмы, сохраняющие структуру главного расслоения.
Морфизм главного G -расслоения Р —> X в главное С-расслоение Р' —> X' по
определению представляет собой пару (Ф, F), состоящую из послойного морфизма рас-
расслоений Ф : Р —> Р' и гомоморфизма групп F : G —> G' таких, что
Ф(рд) = Ф(р)Р(д), реР, g?G.
В частности, изоморфизм главного G-расслоения Р на себя — это эквивариантный
изоморфизм Фя над X расслоения Р, когда для всех д ? G выполняется соотношение
гдофР = фр or,.
Мы будем называть его калибровочным изоморфизмом (gauge isomorphism). Всякий такой
изоморфизм Фя представим в виде
*p(p)=pU(p), peP, A.83)
где /Ф — некоторая G-значная эквивариантная функция на Р:
l gee
Имеет место взаимно однозначное соответствие между такими функциями (а следова-
следовательно калибровочными морфизмами Фр) и глобальными сечениями s$ группового рас-
расслоения Р из Примера 1.7.6. Оно дается соотношением
Это позволяет, используя морфизм A.82), всякий калибровочный изоморфизм Фя глав-
главного расслоения Р перенести на любое ассоциированное с Р расслоение Y:
Фу : Y Э у ь-> (вф о тгР)(у)у G У,
где вф — соответствующее глобальное сечение группового расслоения Р.
Еще одним важным случаем морфизмов главных расслоений, на котором мы остано-
остановимся, является то, что называют редукцией структурной группы главного расслоения.
Рассмотрим погружение над X главного расслоения Р' -* X со структурной груп-
группой К в главное расслоение Р —>• X со структурной группой G такое, что К —* G —
§ 7. Расслоения со структурными группами 63
мономорфизм групп. Другими словами Р' является главным подрасслоением со струк-
структурной группой К главного расслоения Р'. Оно называется редуцированным расслоением
(reduced bundle), а выделение такого подрасслоения — редукцией структурной группы G к
подгруппе К. Говорят, что структурная группа G главного расслоения Р редуцируема к
подгруппе Ли К С G, если существует редуцированное подрасслоение Р со структурной
группой К.
Приведем известные теоремы о редукции структурной группы.
Теорема 1.7.3. Структурная группа G главного расслоения Р редуцируема к под-
подгруппе Ли К тогда и только тогда, когда существует атлас расслоения Р, все функции
перехода которого принимают значения в подгруппе К. ?
Эта теорема позволяет распространить понятие редукции структурной группы на лю-
любое расслоение со структурной группой. Мы будем говорить, что структурная группа G
расслоения Y редуцируема к подгруппе К, если существует атлас расслоения Y, все
функции перехода A.75) которого принимают значения в подгруппе К. В этом смысле
структурная группа, например, тривиального расслоения всегда редуцирована к триви-
тривиальной подгруппе, состоящей из единицы группы.
Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия редуцируе-
мости структурной группы. Она играет исключительную роль в моделях теории поля со
спонтанным нарушением симметрии и, в частности, в теории гравитации.
Теорема 1.7.4. Структурная группа главного расслоения Р —> X редуцируема к
своей замкнутой подгруппе К тогда и только тогда, когда ассоциированное с Р рассло-
расслоение
+X A.84)
с типичным слоем G/K, на который структурная группа G действует слева, допускает
глобальное сечение. ?
Более того, имеет место взаимно однозначное соответствие между глобальными се-
сечениями h расслоения A.84) и редуцированными подрасслоениями Ph расслоения Р,
имеющими структурную группу К. Оно задается соотношением
и можно показать, что всякое редуцированное расслоение Ph представляет собой суже-
сужение главного К -расслоения Р-^Р/К A.79) на замкнутое подмногообразие h(X)CP/K.
В полевых моделях глобальные сечения h расслоения A.84) играют роль хиггсовских
полей, отвечающих ситуации спонтанного нарушения симметрии, образующих группу G,
когда подгруппой точных симметрии является К.
В общем случае существуют топологические препятствия для редукции структурной
группы расслоения. Опираясь на Теорему 1.3.2 и Теорему 1.7.4, можно показать, что
структурная группа расслоения (над паракомпактной базой) всегда редуцируема к своей
максимальной компактной подгруппе.
Пример 1.7.7. Структурной группой касательного расслоения ТХ над многообра-
многообразием X является группа GL(n, Ж). Ассоциированное с ТХ главное GL(n, Е)-расслоение
можно представить как расслоение, всякий слой которого над х € X состоит из всевоз-
всевозможных базисных п-реперов в касательном пространстве ТхХ.к X. Оно называется
главным реперным расслоением (principal linear frame bundle). Обозначим его LX. Струк-
Структурная группа GL(n, Ж) расслоения LX и касательного расслоения ТХ всегда реду-
редуцируема к своей максимальной компактной подгруппе О(п). Это означает, что всегда
64 Глава 1. Дифференциальная геометрия
существует атлас касательного расслоения с функциями перехода, принимающими зна-
значения в группе О(п). Однако такой атлас в общем случае не является голономным. ?
Рассмотрим теперь связности на главных и ассоциированных расслоениях.
В случае главного расслоения Р —> X со структурной группой G, точная последова-
последовательность A.28а) сводится к точной последовательности
>0, A.85)
х
где
ТаР = TP/G,
VGP = VP/G
— факторы касательного пространства ТР и вертикального касательного простран-
пространства VP над Р относительно касательных Тгд и вертикальных касательных Vrg мор-
физмов к каноническому действию гд A.77) элементов д ? G на Р справа. С расслое-
расслоением Vе Р мы часто будем иметь дело. Оно называется сопряженным расслоением. Его
типичным слоем является правая алгебра Ли с(/г право-инвариантных векторных полей
на группе G с базисом {/т}. Группа G действует на этот типичный слой по присоеди-
присоединенному представлению.
Определение 1.7.5. Связностью на главном расслоении (principal connection) P —> X
называется глобальное сечение А расслоения струй JXP —+ Р, эквивариантное относи-
относительно канонического правого действия A.77) группы G на Р, т. е. это связность на Р
такая, что диаграмма
Р ~-~JxP
Р ^—JlP
коммутативна для всех д G G. ?
Связность А на главном расслоении представляется тангенциально-значной формой
A = dxx®(dx + A?(p)ern), A.86)
коэффициенты которой вследствие условия эквивариантности
А о гд = j'r9 о А, д <Е G,
удовлетворяют соотношению
Связность на главном расслоении задает расщенление
ТХ <-> ТаР
точной последовательности A.85).
§7. Расслоения со структурными группами 65
Приведенное определение связности на главном расслоении отличается от того, ко-
которое обычно дается в стандартных учебниках по дифференциальной геометрии. Однако
оно позволяет получить расслоение, сечениями которого являются связности на глав-
главном расслоении, т. е. в физической интерпретации потенциалы калибровочных полей.
В то же время, используя канонический морфизм A.51) и каноническое горизонтальное
расщепление A.80), из формы A.86) можно воспроизвести известную форму связности
(connection form) _
А = а о 0, о А
на главном расслоении Р. Пусть Фр = {zf} — некоторый атлас главного расслоения Р.
Относительно атласа Фр, связность на главном расслоении A.86) характеризуется, как
обычно, семейством локальных 1-форм связности
А^ = z\A = — A™(x)dx ® Jm A-87)
на базе X.
Пример 1.7.8. Рассмотрим связность на главном 1/A)-расслоении Ап из Приме-
Примера 1.7.2. Она задается локальными 1-формами связности А+ на U+ и А_ на f/_ с функ-
функцией перехода
А+ = А_ — in йф
на U+ П U_. В частности, можно выбрать связность
in
А± = (cos6>± 1)^. A.88)
?
Связности на главном расслоении, как всякие классические поля, можно предста-
представить сечениями некоторого расслоения. В силу условия эквивариантности существует
взаимно однозначное соответствие между связностями на главном расслоении Р —> X
со структурной группой G и глобальными сечениями расслоения
.= J г/Lr —> Л, (l.oy)
получаемого из расслоения струй JlP —> Р переходом к фактору относительно струй-
струйных продолжений канонических морфизмов A.77). Мы будем называть расслоение A.89)
расслоением связностей. Это аффинное расслоение, моделируемое над векторным рассло-
расслоением __
C = T*X®VGP. A.90)
В частности, оно допускает каноническое вертикальное расщепление
VC = CxC.
Подчеркнем однако, что расслоение связностей С A.89) не является расслоением со
структурной группой.
Если задан атлас Фя главного расслоения Р, расслоение связностей С наделяется
ассоциированной системой расслоенных координат (х*, k™) таких, что для любого его
сечения А координатные функции
ЗЗак.1485 (k™ °А)(Х) = А™{Х)
66 Глава 1, Дифференциальная геометрия
являются коэффициентами локальной 1-формы связности A.87) связности А. Много-
Многообразие струй JlC расслоения связностей С параметризуется соответствующими коор-
координатами A.44):
(*", К, kZY A.91)
В калибровочной теории многообразие струй J[C расслоения связностей С игра-
играет роль конечномерного конфигурационного пространства калибровочных потенциалов.
Исследуем поэтому его структуру.
Лемма 1.7.6. Аффинное расслоение струй J'C —> С моделируется над векторным
расслоением
T'X<g)(CxT*X®VGP).
с
Имеет место его каноническое расщепление
J'C=C+@C_ =(J2P/G)@ (/\T*X®VGP) A.92)
с с \ с /
над С, где
С_ =Cx/\T*X<g)VaP,
х
аС+-»С — это аффинное расслоение, моделируемое над векторным расслоением
с+ = \/т*х®уор.
с
?
В координатах A.91), расщепление A.92) имеет вид
где cfan структурные константы правой алгебры Ли rt/T группы G. Выпишем соответ-
соответствующие канонические проекции
i m . , m . m ,n ,1
"" KM> • K>4* ' CKK
:=pr2:
Легко убедиться, что для всякой связности А величина
.Т о JlA = F,
F = -F^dx" л dxf ® Im, A.93)
2
— это напряженность (strength) калибровочного потенциала А.
§ 7. Расслоения со структурными группами 67
Пример 1.7.9. Напряженность связности A.88) из Примера 1.7.8 имеет вид
in
F± = dA± = — sin вйв Л d(j>.
а
Связность А на главном расслоении Р индуцирует связность Г на ассоциированном
с Р расслоении Y A.81) в соответствии с коммутативной диаграммой
Относительно ассоциированных атласов Ф на Y и Фя на Р, эта связность дается выра-
выражением
x il A.94)
где А™(х) — коэффициенты локальной 1-формы связности A.87) и 1т — генераторы
структурной группы G, действующей на типичном слое V расслоения Y. Кривизна
связности A.94) принимает вид
где FZI — коэффициенты напряженности A.93) связности А.
Пример 1.7.10. Всякая линейная связность A.70) из Примера 1.6.3 на касательном
расслоении ТХ ассоциирована с некоторой связностью на главном реперном рассло-
расслоении LX со структурной группой GL(n, E), действующей в типичных слое Е" этого
расслоения с генераторами
п
Проблема возникает со связностью на расслоении связностей С —* X, поскольку оно
не является расслоением со структурной группой. Она решается следующим образом.
Если задана симметричная линейная связность К* A.70) (т. е. К"аХ = К"\а) на ко-
касательном расслоении Т*Х над X, всякая связность В на главном расслоении Р -* X
индуцирует связность
SB : С —> С+,
на расслоении связностей С. В координатах A.91) на С, эта связность дается выражением
SB?x = \ [cZkxk', + д„В? + ЭХВ™ - сЭДВ! + KB1,)] - К$„х (В? - к?). A.95)
Глава 2
Геометрическая теория поля
Геометрическая формулировка классической теории поля основывается, как уже отмеча-
отмечалось, на представлении классических полей глобальными сечениями дифференцируемых
расслоений
тг: Y ->¦ X,
где база X играет роль пространственно-временного многообразия или обобщенного
пространства параметров.
Общепринятый способ описания динамики полей дает лагранжев формализм, в ко-
котором роль уравнений поля выполняют уравнения Эйлера—Лагранжа. В теории поля,
как правило, можно ограничиться лагранжевым формализмом первого порядка, когда
лагранжиан зависит от производных полей не более первого порядка. Из фундамен-
фундаментальных полей только в теории гравитации продолжают по традиции использовать ла-
лагранжиан Гильберта—Эйнштейна второго порядка по метрическому полю, однако и он
вычитанием дивергентного члена может быть сведен к первому порядку. Более того, со-
современная калибровочная теория гравитационного взаимодействия является аффинно-
метрической, когда пространственно-временные метрика и связность рассматриваются
как независимые динамические переменные, и все лагранжианы классической и кван-
квантовой гравитации в этих переменных — это лагранжианы первого порядка.
Лагранжев формализм в теории поля однако не является всеобъемлющим. Он оказы-
оказывается не вполне удовлетворителен при описании систем со связями, когда лагранжиан
полей вырожден. В то же время большинство современных полевых моделей, включая
калибровочную теорию и теорию гравитации, имеют именно вырожденные лагранжиа-
лагранжианы. Динамика таких моделей адекватно описывается в рамках гамильтонова формализма.
Однако это не есть стандартный гамильтонов формализм, как в механике, а его так назы-
называемое многоимпульсное обобщение, когда канонические импульсы полей соответству-
соответствуют производным полевых функций по всем пространственно-временным координатам,
а не только по времени.
§ 1. Лагранжев формализм
Пусть Y -+ X — некоторое расслоение с атласом расслоенных координатам (хА, уг).
Будем интерпретировать его глобальные сечения как классические поля на n-мерном мно-
многообразии X. В конкретных полевых моделях X будет рассматриваться как 4-мерное
пространственно-временное многообразие.
В формализме струй всякая лагранжева плотность (Lagrangian density) или просто
лагранжиан первого порядка сечений расслоения Y —» X определяется как внешняя
§ 1. Лагранжев формализм 69
горизонтальная плотность
L = &(x\y\ y>, B.1)
L:JlY -К
на расслоении JlY —> X. Это означает, что многообразие струй JlY расслоения Y игра-
играет роль своего рода конфигурационного пространства полей, представляемых сечениями
расслоения Y —> X. Очень важно, что это конфигурационное пространство конечно-
конечномерно и с ним можно манипулировать, как с обычным многообразием.
Коэффициентная функция 3* формы B.1) называется функцией Лагранжа, хотя она
на самом деле не является функцией и при преобразованиях координат делится на яко-
якобиан преобразования координат (жм). В дальнейшем будет удобно использовать обозна-
обозначения
тг,А =
Лагранжиан L называется регулярным или невырожденным, если его гессиан
отличен от нуля во всех точках многообразия струй JlY.
Пример 2.1.1. Рассмотрим тривиальное линейное расслоение
из Примера 1.5.1 с координатами (хх, у). Глобальное сечение этого расслоения может
быть интерпретировано как вещественное скалярное поле на многообразии X. Конфи-
Конфигурационным пространством этих полей является многообразие струй
J[Y =Т'ХхШ
с координатами (хА, у, ух). Стандартный лагранжиан вещественного безмассового ска-
скалярного поля на этом конфигурационном пространстве принимает вид
B.2)
где g — некоторая невырожденная метрика в кокасательном расслоении Т*Х и g = det(p).
Этот лагранжиан является регулярным. ?
Мы не будем здесь углубляться в проблематику вариационной задачи (см. Прило-
Приложение А). Отметим только, что в лагранжевом формализме высших порядков при ее
решении обычно рассматривают не сам лагранжиан, а его так называемый Lepagean
эквивалент. В лагранжевом формализме первого порядка в качестве такого эквивалента
обычно выбирают форму Пуанкаре—Картона. Это внешняя горизонтальная п-форма на
расслоении струй JlY —*Y, которая имеет координатный вид
Ht = v'dy' Лц+(^- щу\)ш. B.3)
С ней связаны уравнения Картана и уравнения Де Дондера—Гамильтона, которые в
определенной мере, хотя и не полностью, эквивалентны (например, для регулярных
лагранжианов) уравнениям Эйлера—Лагранжа. Рассмотрением последних мы и ограни-
ограничимся.
В лагранжевом формализме первого порядка имеются три типа уравнений Эйлера—
Лагранжа:
70 Глава 2. Геометрическая теория поля
• алгебраические уравнения Эйлера—Лагранжа для сечений повторного расслоения
струй J1J'Y -> JlY,
• уравнения Эйлера—Лагранжа первого порядка для сечений расслоения J[Y —> X,
• уравнения Эйлера—Лагранжа второго порядка для сечений собственно расслоения
Y^X.
Мы не станем обращаться к вариационному способу построения уравнений Эйлера—
Лагранжа, а получим эти уравнения, исходя из условия на ядро оператора Эйлера—
Лагранжа.
Оператор Эйлера—Лагранжа, отвечающий лагранжиану L, может быть введен как
дифференциальный оператор второго порядка
WL : J2Y —> Д T'Y
так называемого вариационного типа. Однако мы его построим как ограничение на
многообразие струй второго порядка J2Y некоторой внешней формы AL, заданной на
повторном многообразии струй JlJlY. Именно эта форма является лагранжевым парт-
партнером оператора Гамильтона в многоимпульсном гамильтоново формализме.
Всякий лагранжиан L B.1) наделяет многообразие струй JlY векторнозначной по-
лисимплектической формой
пь = diTi А dy{ А ш ® 0А. B.4)
Индуцируя форму B.4) и форму Пуанкаре—Картана B.3) на повторное многообразие
струй JlJlY посредством проекции тг,, A.59), построим упомянутую выше внешнюю
форму на JlJlY:
\L = dSL-\juL= B/'А) - у\) йтг,А л ы + (д{ - dxdh-Z'dy' л ш, B.5)
где
а - dxx 0 аА, дх = дх + уЪ& + ylx д?.
Назовем ее производящей формой. Ее сужение на полуголономное многообразие струй
РУ определяет дифференциальный оператор первого порядка
%L = [di - Ox + ddj + yixd?)d>] 2>д,у{ А ш, B.6)
на расслоении JlY -* X. Он называется оператором Эйлера—Лагранжа первого порядка.
Ограничение производящей формы B.5) на многообразие струй второго поряд-
порядка J2Y определяет дифференциальный оператор второго порядка rkL на самом рассло-
расслоении У-»1. Он именуется оператором Эйлера—Лагранжа второго порядка и задается
тем же самым выражением, что и B.6), но с симметричными координатами ускорс-
ний 2/^ = 2/^.
Пусть задан лагранжиан L B.1). Связность
§ 1. Лагранжев формализм 74
на расслоении JXY —> X со значениями в J^Y называется лагранжевой связностью для L,
если она принимает значения в ядре Кег^ оператора Эйлера—Лагранжа B.6):
д& - (дх + yiflj + Т^д^д^ = 0. B.7)
Уравнения B.7) можно интерпретировать как систему линейных алгебраических уравне-
уравнений Эйлера—Лагранжа для компонент Г^л(ж", у3, у3,) лагранжевой связности.
Заметим, что существование решений алгебраических уравнений B.7) является не-
необходимым условием существования решений дифференциальных уравнений Эйлера—
Лагранжа. Это условие можно исследовать стандартными методами теории линейных
алгебраических уравнений. В частности, если лагранжиан регулярен, локальная лагран-
жева связность для него всегда существует. _
Пусть локальная лагранжева связность Г для лагранжиана L существует и имеет
интегральное сечение s расслоения JXY —> X, т. е. струйное продолжение J[~s сечения s
принимает значения в Ker r6'L:
&ь о Jls = 0.
Тогда сечение ~s(x", у3) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Эйлера—
Лагранжа первого порядка, отвечающих лагранжиану L:
dxs{ = s\, B.8а)
д{2" - (дх + sidj + 3AsXHt"-2' = 0. B.8b)
Эта система дифференциальные уравнения первого порядка в свою очередь эквива-
эквивалентна системе дифференциальных уравнений Эйлера—Лагранжа второго порядка
д,2> - (дх + d^dj + дхд^г?д^д*2' = 0 B.9)
для сечения в(ж") расслоения Y —* X, второе струйное продолжение J2s которого при-
принимает значения в ядре оператора Эйлера—Лагранжа второго порядка WL:
gL о J2s = 0.
Действительно, пусть s — сечение расслоения JlY —* X, струйное продолжение Jls ко-
которого лежит в полуголономном многообразии струй J*Y. Согласно Предложению 1.5.3
существует сечение s расслоения Y —> X такое, что
s = Jls B.10)
и, как это следует из определения операторов Эйлера—Лагранжа первого и второго по-
порядков, выполняется соотношение
В силу этого соотношения каждое решение s уравнений B.9) задает решение J[s урав-
уравнений B.8а) и B.8Ь). Обратно, всякое решение s уравнений B.8а) и B.8Ь) принимает
вид B.10), где s — решение уравнений B.9).
72 Глава 2. Геометрическая теория поля
Пример 2.1.2. Рассмотрим лагранжиан B.2) из Примера 2.1.1. Имеем соответству-
соответствующие алгебраические уравнения Эйлера—Лагранжа
дифференциальные уравнения Эйлера—Лагранжа первого порядка
= 0 B.11)
и дифференциальные уравнения Эйлера—Лагранжа второго порядка
Яд (gx"V\g\) d.s + dxd^gx>1y/\g~\ = 0. B.12)
Легко убедиться, что системы дифференциальных уравнений B.11) и B.12) эквивалент-
эквивалентны. D
Исследуем теперь законы сохранения, т. е. своего рода интегралы движения, которые
можно получить в лафанжевом формализме на решениях уравнений Эйлера—Лагранжа.
Существуют разные типы законов сохранения. Мы офаничимся дифференциальными
лафанжевыми законами сохранения, которые следует из свойства инвариантности ла-
лагранжиана относительно тех или иных преобразований и выражаются как условие на
дивергенцию некоторой величины. Такие законы сохранения получаются вычислени-
вычислением производной Ли лафанжиана вдоль соответствующего векторного поля. Причем,
поскольку лагранжиан определен на многообразии струй, векторное поле должно быть
тоже поднято на многообразие струй.
Пусть и — проектируемое векторное поле на расслоении Y —> X и п — его под-
поднятие A.52) на многообразие струй JlY —+ X. Нам потребуется его каноническое го-
горизонтальное расщепление. Поэтому рассмотрим индуцированное из п векторное поле
на повторном многообразии струй J{JXY посредством проекции тг,,. Будем обозначать
его, как это практикуется для индуцированных конструкций, тем же символом п. То-
Тогда его каноническое горизонтальное расщепление A.57) (где роль расслоения Y играет
расслоение JlY ~* X) дается выражением
Пусть L — лафанжиан B.1) на многообразии струй JlY расслоения Y —» X. Рас-
Рассмотрим его индукцию на полуголономное многообразие струй T'Y, обозначив ее тем
же символом L. Вычислив производную Ли h^L внешней горизонтальной плотности L
в явном виде по формуле A.40), получим
<2ЛЗ)
где
означает оператор полной производной по координате хх.
§ 1. Лагранжев формализм 73
При ограничении на ядро оператора Эйлера—Лагранжа первого порядка B.6), вы-
выражение B.13) приводится к тождеству
х}[х<l х% B.14)
где значком "и" обозначается так называемое слабое равенство по модулю уравнений
Эйлера—Лагранжа. На решениях s уравнений Эйлера—Лагранжа первого порядка B.8а)
и B.8Ь) слабое тождество B.14) превращается в дифференциальный закон сохранения
[^{% - и) - их^\ и. B.15)
В теории поля обычно рассматриваются два типа дифференциальных законов сохра-
сохранения B.15) — законы сохранения токов симметрии и тензора энергии-импульса.
Пусть и = и'д{ — вертикальное векторное поле на расслоении Y —> X. Тогда тожде-
тождество B.14) принимает вид
[uidl + (дхи{
Если
то левая сторона этого тождества обращается в 0 и закон сохранения B.15) на решениях
уравнений Эйлера—Лагранжа первого порядка сводится к слабому закону сохранения
Ктггл]^0 B.16)
dxx L
так называемого тока симметрии
отвечающего вертикальному векторному полю и. В калибровочной теории, например,
это — известные тождества Нетер (см. следующий параграф).
Пусть теперь т = тхдх — произвольное векторное поле на базе X и
его горизонтальное поднятие на расслоение Y —> X посредством связности Г на Y. В
этом случае слабое равенство B.14) приобретает форму
[д. + г;а; + (<?Лг; + ^д^)дх] з> + дх [vhyi - К) - 6х&\ «о. B.п)
На решениях s уравнений Эйлера—Лагранжа первого порядка тождество B.17) превра-
превращается в дифференциальный закон сохранения
[д„ + г;д + (ддг; + з{д^)дх] & + -^ [.^лЩ »о,
где
— это канонический тензор энергии-импульса относительно связности Г.
- 6х
74 Глава 2. Геометрическая теория поля
Пример 2.1.3. Если выбрать локальную тривиальную связность Г), = 0, закон
сохранения B.18) сведется к известному закону сохранения
обычного канонического тензора энергии-импульса
,Т\(Ъ) = тг,Л1; - 6*3", B.19)
который однако является глобально плохо определенным объектом. На пространстве
Минковского компонента ,^~°0 тензора B.19) интерпретируется как выражение для
энергии поля s. ?
§2. Калибровочная теория
С математической точки зрения объектами калибровочной теории являются связно-
связности на главных расслоениях и сечения ассоциированных расслоений.
Исторически калибровочная теория основывалась на так называемом калибровочном
принципе, который требовал инвариантность лагранжиана полей относительно преобра-
преобразований симметрии с параметрами, зависящими от пространственно-временных коорди-
координат. Главным следствием этого условия является замена в лагранжиане полей операторов
частных производных д^ на операторы ковариантных производных
где 1т — генераторы данной группы симметрии, а А™ — калибровочные потенциалы.
Истории калибровочной теории посвящена обширная литература и мы не будем ка-
касаться этих вопросов. Калибровочный принцип во многом утратил свое былое значение
после того, как была предложена математическая модель калибровочных потенциалов
как связностей на главных расслоениях. Более того, калибровочный принцип в боль-
большинстве случаев недостаточен для построения калибровочных моделей. Говоря мате-
математическим языком, он фиксирует только структурную группу расслоения. Но, напри-
например, касательное расслоение ТХ (с которым ассоциированы все другие расслоения в
теории гравитации) нельзя охарактеризовать лишь как векторное расслоение над X со
структурной группой GL(n, Ж). Его ключевое отличие от других таких расслоений над
многообразием X состоит в том, что оно обладает голономным атласом. Кроме того его
структурная группа редуцируема к своей подгруппе, что в физической интерпретации
является признаком так называемого спонтанного нарушения симметрии. Традицион-
Традиционный калибровочный принцип этого не учитывает.
В то же время все современные модели фундаментальных взаимодействия являются
моделями с нарушенными симметриями, что позволяет, например, используя механизм
Хиггса, генерировать массы частиц. Поэтому сейчас требование инвариантности отно-
относительно калибровочных, да и обычных преобразований симметрии не представляется
уже столь абсолютным, как два десятилетия назад.
В геометрическом подходе, чтобы адекватно задать полевую модель, требуется фик-
фиксировать расслоение F-tl, сечениями которого являются .описываемые поля, и ввести
на нем связности. На многообразии струй J'Y этого расслоения.строится лагранжи-
лагранжиан B.1). В теории поля все лагранжианы являются полиномиальными (как правило, ква-
квадратичными или аффинными) формами по координатам скоростей у\. Так как рассло-
расслоение струй J'Y -* Y является аффинным расслоением,, моделируемым над векторным
§ 2. Калибровочная теория 75
расслоением A.48), всякий лагранжиан теории поля представляет собой композицию
сначала отображения аффинного расслоения J[Y —* Y в векторное расслоение A.48), а
потом дифференциальной формы на этом векторном расслоении, т. е.
L: JlY^T'X(g)VY ^}\Т*Х, B.20)
Y
где D — ковариантный дифференциал A.73) относительно некоторой связности на рас-
расслоении Y —> X.
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением калибровочной теории ненару-
ненарушенных внутренних симметрии.
Пусть тгр : Р —> X — главное расслоение со структурной группой G внутренних сим-
симметрии. Последнее означает, что эта группа не является какой-либо структурной группой
касательного расслоения ТХ над базой X. Под X мы будем понимать 4-мерное ориен-
ориентируемое многообразие, наделенное невырожденной метрикой д^ и д11" в касательном
и кокасательном расслоениях над X Как и в Примере 2.1.1, обозначим д = det^,,).
В калибровочной теории только внутренних симметрии, метрика д не является дина-
динамической переменной и рассматривается как внешнее (своего рода параметрическое)
поле.
Калибровочные потенциалы, отвечающие группе симметрии G, отождествляются со
связностями на главном расслоении Р и представляются глобальными сечениями А
расслоения связностей С = J'P/G A.89) с координатами (жм, к™) такими, что
— коэффициенты локальной 1-формы связности. Расслоение С можно наделить связ-
связностями A.95):
SiCa = \ №4 + д,В? + ЭХВ™ - cZ(KB'x + кпхВ1„)] - К\Х(В? - Щ).
Конфигурационным пространством калибровочных потенциалов является многообразие
струй J[C расслоения С с координатами (х*, k™, k™x)• Имеет место его каноническое
расщепление A.92):
К, = \(SK + Я?) = \ (К, + К, + cZKkl) + \ (кх - fc
На этом конфигурационном пространстве общепринятый лагранжиан Янга—Миллса
LYm калибровочных потенциалов дается выражением
^ , B.21)
где aG — некоторая невырожденная G-инвариантная билинейная форма на алгебре
Ли С§'Т — типичном слое сопряженного расслоения VGP, и е — константа взаимо-
взаимодействия.
Заметим, нто невырожденная инвариантная билинейная форма на алгебре Ли суще-
существует не всегда, и поэтому не для всех групп Ли может быть построена янг-миллсовская
76 Глава 2. Геометрическая теория поля
калибровочная модель. Например, если G — полупростая группа, такой формой явля-
является форма Киллинга
Если G — компактная группа, форма Киллинга является отрицательно определенной
и существует базис алгебры Ли, в котором она принимает вид а°„ = -26тп. В кали-
калибровочной теории внутренних симметрии обычно ограничиваются моделями с компакт-
компактными группами симметрии, поскольку отрицательная определенность формы Киллинга
гарантирует положительную определенность энергии калибровочных потенциалов в та-
таких моделях.
Лафанжиан Янга—Миллса B.21) факторизуется согласно общему выражению B.20)
в виде
где D — ковариантный дифференциал относительно какой-либо связности A.95).
Пример 2.2.1. Простейшим примером калибровочного поля является электромаг-
электромагнитное поле. Электромагнитные потенциалы отождествляются со связностями на глав-
главных расслоениях со структурной группой U(l). Такие расслоения над сферой S2 и связ-
связности на них были рассмотрены в Примерах 1.7.2 и 1.7.8. Пусть Р —> X — главное
Щ1)-расслоение. В этом случае соответствующее сопряженное расслоение VGP сво-
сводится к тривиальному линейному расслоению
VGP = X х Ж,
а расслоение связностей С A.89) изоморфно аффинному кокасательному расслоению
Т*Х над X с координатами (жл, fcM). Связности A.95) на нем принимают форму
Гв„л = j <Мд + д*В») - К\
Конфигурационным пространством электромагнитных потенциалов является много-
многообразие струй
J'C = J[T*X = <&Т*Х х Т'Х.
х
Его каноническое расщепление A.92) имеет вид
2 2
J[T"X = У Т'Х ф /\Т"Х, B.22)
Для всякого сечения А аффинного кокасательного расслоения Т'Х, величина
F^x = J$x о JlA = 8ХА^ - д„Лл
является напряженностью электромагнитного поля. На конфигурационном простран-
пространстве B.22) общепринятый лафанжиан электромагнитного поля дается выражением
ЬЕ - --±-9^9^.^.^ B.23)
1О7Г
в системе единиц, в которой'скорость света принята равной 1. ?
§ 2. Калибровочная теория 77
Легко проверить, что лагранжиан Янга—Миллса B.21) вырожден. Если построить
соответствующие алгебраические уравнения Эйлера—Лагранжа B.7), нетрудно убедить-
убедиться, что они оставляют произвольными компоненты Глл лагранжевой связности, и диф-
дифференциальные уравнения Эйлера—Лагранжа для калибровочных потенциалов оказы-
оказываются недоопределенными.
Еще одним объектом калибровочной теории являются так называемые материальные
поля. В калибровочной теории внутренних симметрии материальные поля со значени-
значениями во внутреннем пространстве V описываются глобальными сечениями векторного
расслоения
Y = (Р х V)/G, B.24)
ассоциированного с главным расслоением Р. Это скалярные поля. Связности Г на рис-
слоении Y ассоциированы со связностями на главном расслоении Р и имеют вид A.94).
ГА - dxx ® [дх + А™(хIт^у*дЛ.
Чтобы можно было построить лагранжиан материальных полей, предполагается, что
расслоение Y B.24) наделено G-инвариантной послойной метрикой aY. Благодаря ка-
каноническому вертикальному расщеплению
VY = Y <g> Y,
х
метрика а" служит также послойной метрикой в вертикальном касательном расслое-
расслоении VY ^ X.
Конфигурационным пространством материальных полей является многообразие струй
JlY расслоения B.24) с координатами (жА, у1, у\). На этом конфигурационном про-
пространстве стандартный лагранжиан скалярных материальных полей в присутствии внеш-
внешнего калибровочного потенциала А имеет вид
Llm) = \ 4 [g"v(yi - TAl)(yt - IYJ - т2уУ] у/Щи, B.25)
ТА\ = A?(x)lJjyj. B.26)
Он является непосредственным обобщением лагранжиана скалярного поля из Приме-
Примера 2.1.1 и описывает взаимодействие материальных полей с внешним калибровочным
потенциалом А. Лагранжиан B.25) регулярен. Он не является калибровочно инвариант-
инвариантным из-за внешнего поля А.
В случае ненарушенных симметрии полная система динамических материальных по-
полей и динамических калибровочных потенциалов представляется сечениями прямого
произведения
CxY B.27)
х
расслоения связи остей С и расслоения материальных полей Y с координатами (х\ к™, у').
В качестве связности на расслоении B.27) можно было бы взять произведение связ-
ностей SB на С и ТЛ на Y, но при таком варианте мы получили бы, как и в предыдущем
случае, взаимодействие материальные полей с внешним, а не с динамическим калибро-
калибровочным потенциалом. Поэтому выберем связность на расслоении B.27) в виде
Г = dxx (8 [<9д + 5в™л% + Wlj]
78 Глава 2. Геометрическая теория поля
Общее конфигурационное пространство материальных и калибровочных полей явля-
является произведением их конфигурационных пространств
j\CxY) = JlCxJlY. B.28)
х х
Соответственно полный лагранжиан L на этом конфигурационном пространстве пред-
представляет собой сумму лагранжиана Янга—Миллса B.21) и лагранжиана материальных
полей B.25), в котором однако связность B.26) заменена на связность
Такой лагранжиан является инвариантным относительно калибровочных преобразова-
преобразований.
Заметим, что в калибровочной теории рассматривается несколько разновидностей
калибровочных преобразований. Это преобразования атласов главных и ассоциированных
расслоений, калибровочные изоморфизмы A.83) главного расслоения Р —> X над то-
тождественным преобразованием базы X и общие изоморфизмы главного расслоения над
диффеоморфизмами базы. В калибровочной теории внутренних симметрии достаточ-
достаточно ограничиться первыми двумя типами калибровочных преобразований. Они связаны
между собой следующим образом.
Пусть дан атлас {г^(х)} главного расслоения Р. Всякий калибровочный изомор-
изоморфизм Фр A.83) главного расслоения Р определяет новый атлас расслоения, задаваемый
семейством локальных сечений
z'((x) = z((x)Kl(z€(x)), x e U;. B.29)
Нетрудно проверить, что оба атласа имеют одни и те же функции перехода. Обратно,
для любых двух карт (U^, z()n (U(, z'() на одной и той же области тривиализации U(
существует локальный калибровочный изоморфизм над U( такой, что выполняется со-
соотношение B.29). Это означает, что по крайней мере локально на областях тривиализа-
тривиализации главного расслоения имеет место взаимно однозначное соответствие между двумя
рассматриваемыми типами калибровочных преобразований. Более того, в расслоенных
координатах они задаются одними и теми же координатными преобразованиями. Все это
справедливо и для ассоциированных расслоений. Поэтому условия инвариантности ла-
лагранжиана относительно как преобразований атласов расслоений, так и калибровочных
изоморфизмов эквивалентны.
Калибровочные изоморфизмы A.83) главного расслоения Р образуют группу, кото-
которая изоморфна группе глобальных сечений группового расслоения Р из Примера 1.7.6.
Она называется калибровочной группой. Не вдаваясь в детали, отметим, что эта группа
может быть пополнена до банаховой (бесконечномерной) группы Ли. Элементам ее ал-
алгебры Ли r0J соответствуют фундаментальные вертикальные векторные поля и^ на глав-
главном и ассоциированных расслоениях. Отсюда условие калибровочной инвариантности
лагранжиана L на конфигурационном пространстве B.28) состоит в том, что
U^L = 0 B.30)
для любого локального фундаментального векторного поля и^ на С х Y.
Явное выражение для локальных фундаментальных векторных полей и^ можно по-
получить, трактуя их как своего рода генераторы инфинитезимальных калибровочных изомор-
изоморфизмов. Так, на ассоциированном с Р векторном расслоении Y —> X всякое такое поле
имеет вид
и-у = arn(x)Imijyidi,
§ 3. Гамильтонов формализм 79
где Im — генераторы структурной группы G, действующей на типичном слое V,
и ат{х) — произвольный локальные функции на X. Оно отвечает инфинитезималь-
ному калибровочному изоморфизму
у' -*у +tam(x)Im'jyJ,
где t — малый групповой параметр.
На расслоении связностей С фундаментальные векторные поля даются выражением
Соответственно на произведении С х Y они принимают форму
х
um дха +ита )дА-[д11а +cnlfe|1aj^i
где мы использовали коллективный индекс А. Подставляя это выражение в условие ка-
калибровочной инвариантности B.30), получаем тождество, которое должно выполняться
при произвольных функциях ат(х). Отсюда, приравнивая нулю соответствующие вы-
выражения, приходим к системе равенств
«™ {дл ~ дхдхА) 2' + дх [utb\2>) = 0,
= 0,
которые на решениях уравнений Эйлера—Лагранжа воспроизводят известные тожде-
тождества Нетер
d А л С;
dxx m A '
d
dxx
для калибровочно инвариантного лагранжиана L.
В частности, доказано, что лагранжиан Янга—Миллса B.21) является единственным
квадратичным калибровочно инвариантным лагранжианом калибровочных потенциалов.
§ 3. Гамильтонов формализм
Лагранжианы большинства фундаментальных полевых моделей, включая калибро-
калибровочные поля, фермионные поля, гравитацию и др., не являются регулярными. В слу-
случае вырожденного лагранжиана соответствующие уравнения Эйлера—Лагранжа оказы-
оказываются недоопределенными, поскольку старшие производные полевых функций, как это
видно из алгебраических уравнений B.7), не выражаются однозначно через их младшие
производные. Возникает необходимость в дополнительных уравнениях. В калибровоч-
калибровочной теории такими уравнениями оказываются хорошо известные калибровочные усло-
условия. Однако в общем случае (например, для поля Прока) неясно, как задавать подобные
добавочные условия.
80 Глава 2. Геометрическая теория поля
В механике вполне адекватное описание вырожденных систем дает, как известно,
гамильтонов формализм. Этот гамильтонов формализм широко используется и в кван-
квантовой теории поля для канонического квантования полей. Главным его достижением
стала процедура построения одновременных коммутационных соотношений полей для
систем со связями.
Не столь успешным однако оказалось применение стандартной гамильтоновой тех-
техники в классической теории поля, когда каноническими переменными являются поле-
полевые функции в данный момент времени. В результате соответствующее фазовое про-
пространство оказывается бесконечномерным, а уравнения Гамильтона не являются диф-
дифференциальными уравнениями на полевые функции, в отличие от уравнений Эйлера—
Лагранжа. Поэтому в классической теории поля, в сравнении с механикой, традици-
традиционный симплектический гамильтонов формализм перестает быть партнером лагранжева
формализма.
Таким партнером оказывается так называемый многоимпульсный гамильтонов форма-
формализм, где каноническими переменными являются полевые функции и импульсы, соот-
соответствующие производным этих функций по всем пространственно-временным коорди-
координатам, а не только по времени. В математической литературе это направление особенно
активно стало развиваться с 70-х годов. В физической литературе, аналогичная идея была
положена в основу так называемой алгебры токов. Трудность возникает с установлением
коммутационных соотношений между многоимпульсными каноническими переменны-
переменными при переходе к квантовой теории. Однако ее можно обойти, если ограничиться
хронологическими произведениями и квантовать поля в технике функционального ин-
интегрирования. Мы не будем касаться здесь этих вопросов.
Для данного расслоения Y -* X рассмотрим расслоение
n=/\TX(g)TX<&V'Y B.31)
У Y
над Y, наделенное атласом расслоенных координат
(х\ у\ pf),
дх'х (дхх
d[)^ B'32)
Всякий лагранжиан L B.1) на многообразии струй J[Y расслоения Y задает послойный
морфизм
L: J'Y—>П,
у
B.33)
над Y конфигурационного пространства в расслоение П. Этот морфизм выглядит как
естественное и-мерное обобщение известного преобразования в механике от скоростей
к импульсам. Поэтому многообразие П B.31) является естественным претендентом на
роль конечномерного фазового пространства в теории поля. Оно называется многообра-
многообразием Лежандра, расслоен'ие
я-Пу : П -> Y
именуется соответственно расслоением Лежандра над Y, а послойный морфизм B.33) —
отображением Лежандра из конфигурационного в фазовое пространство.
§ 3. Гамильтонов формализм ЕЙ
Будем использовать символ q для обозначения элементов многообразия Лежандра П
и станем называть координаты B.32) на нем каноническими координатами.
В качестве фазового пространства многообразие Лежандра П B.31) наделяется так
называемой полисимплектической структурой, и многоимпульсный гамильтонов форма-
формализм на этом многообразии строится подобно гамильтонову формализму на симплекти-
ческих многообразиях.
Определение 2.3.1. Обобщенной формой Лиувилля на расслоении Лежандра П-*У
называется векторнозначная горизонтальная форма
в = -р*Aу1 Аш®дх, B.34)
отвечающая каноническому послойному мономорфизму
0:П^ Д T*Y0ТХ.
Y Y
а
Подчеркнем, что форма в B.34) не является тангенциально-значной и к ней не-
нельзя прямо применить операцию (Р-1Ч)-дифференцирования, чтобы получить соответ-
соответствующую полисимплектическую форму. Поэтому мы дадим независимое определение
полисимплектической формы.
Определение 2.3.2. Полисимплектической формой на многообразии Лежандра П
называется векторнозначная форма, которая во всяком атласе канонических коорди-
координат B.32) на П дается выражением
п = dpf Ady* А ш®дх. B.35)
D
Хотя можно установить и прямую связь полисимплектической формы B.35) с обоб-
обобщенной формой Лиувилля B.34), мы здесь ограничимся следующим утверждением.
Предложение 2.3.3. Для всякой внешней 1-формы ф на X и индуцированной из
нее внешней горизонтальной 1-формы ф на расслоении П —> X, полисимплектическая
форма B.35) и обобщенная форма Лиувилля B.34) удовлетворяют соотношениям
d(u Jф) = 0,
UJф = -й(в j ф).
D
Многообразие Лежандра, наделенное обобщенной формой Лиувилля B.34) и поли-
полисимплектической формой B.35), называется полисимплектическим многообразием. Легко
видеть, что при dimX = 1 формы B.34) и B.35) сводятся соответственно к канониче-
канонической форме Лиувилля A.41) и к канонической симплектической форме из Примера 1.4.6.
Случай п = 1 механики является однако весьма специфичным. Поэтому в дальнейшем
в теории поля мы будем полагать п > 1.
Одним из ключевых объектов при построении гамильтонова формализма на сим-
плектических. многообразиях являются, как известно, гамильтоновы векторные поля на
симплектическом многообразии. В гамильтоновом формализме на полисимплектиче-
ском многообразии П аналогичную роль играют так .называемые гамильтоновы связно-
связности.
82 Глава 2. Геометрическая теория поля
Рассмотрим многообразие струй J'U расслоения П-*^с координатами
Струйным продолжением проекции тгпу : П —* Y является сюръекция
J'xny : J'n -> JlY,
г/; о j'xnK =2/(V,-
Определение 2.3.4. Говорят, что связность
на расслоении П. ^ X является гамильтоновой связностью, если внешняя форма
)jfi = dp{ Л dy' Л шх + jixdy* А ш — j'^dpi Л ш
на П точная. ?
Приведем следующий важный случай гамильтоновых связностей.
Пример 2.3.1. Можно показать, что всякая связность Г на расслоении Y —> X
поднимается до связности
f = dxx ® [дх + т{(У)д( + (-др\(уЫ - K\x(x)pv3 + каа,(х)р^) д^}
на расслоении П -* X, где К — некоторая симметричная линейная связность A.70) на
расслоениях ТХ и Т*Х. Рассмотрим векторнозначную форму
Г := Г о 7гпу : П -> Y -* JlY,
B.36)
на расслоении Лежандра П —* Y, индуцированную из формы Г A.66). Имеет место
соотношение _
Г j п = d(f j в), B.37)
из которого следует, что Г — гамильтонова связность. ?
Этот пример показывает, что гамильтоновы связности всегда существуют. Более то-
того, всякой связности на расслоении Y —* X соответствует некоторая гамильтонова связ-
связность на расслоении П —> X.
Определение 2.3.5. Внешняя n-форма Н на полисимплектическом многообра-
многообразии П называется гамильтонианом, если существует гамильтонова связность, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению
7 j fi = dH. B.38)
?
Пример 2.3.2. Продолжая Пример 2.3.1 и сравнивая уравнение B.37) с уравне-
уравнением B.38), получаем, что всякой связности Г на расслоении Y —> X соответствует
гамильтониан
Яг = f j в = pxdf Л шх - РхТ\(у)ш B.39)
на многообразии Лежандра П. О
§ 3. Гамильтонов формализм 83
Имея гамильтонианы B.39), можно охарактеризовать все множество гамильтонианов
на многообразии Лежандра, если опираться на следующий факт.
Теорема 2.3.6. Пусть Я — гамильтониан. Для всякой внешней горизонтальной
плотности
Я = ЗСи> B.40)
на расслоении П —* X форма Н — Н тоже является гамильтонианом. Обратно, если Н
и Я' — гамильтонианы, их разность Н — Н' является внешней горизонтальной плотно-
плотностью типа B.40). ?
Из Теоремы 2.3.6 следует, что гамильтонианы на многообразии Лежандра образуют
аффинное пространство, моделируемое над линейным пространством горизонтальных
плотностей B.40). Отсюда всякий гамильтониан можно представить в виде
Я = Яг - #г = Pidy' Л шх - PiTiu) - Щш = pUtf Л шх - 3fu), B.41)
где Г — некоторая связность на расслоении Y —+ X. Если выбрать другую связность
Г' = Г + а, где а — некоторая припаивающая форма на Г, то получим простое соотно-
соотношение
Яг/ = Яг - ^
Выражение B.41) сохраняет свой вид при всех преобразованиях канонических коорди-
координат. Поэтому в приложениях его можно использовать как определение гамильтониана
на многообразии Лежандра. К тому же, как будет показано ниже, всякий гамильтони-
гамильтониан сам определяет некоторую связность на расслоении Y —> X, подставляя которую в
выражение B.41), мы получим его каноническое разбиение.
Будем называть импульсным морфизмом любое послойное отображение над Y фазо-
фазового пространства в конфигурационное пространство:
Ф:П—
B.42)
В композиции с мономорфизмом A.50) импульсный морфизм B.42) можно представить
векторнозначной 1-формой
Ф = dxx ® (вд + Фд(дH4) B.43)
на расслоении Лежандра П —> Y.
^ Пример 2.3.3. Связность Г на расслоении Y индуцирует импульсный морфизм
Г B.36). Обратно, всякий импульсный морфизм Ф B.42) задает связность
на расслоении Y —+ X, где 0 — всюду нулевое глобальное сечение расслоения Лежан-
Лежандра П —> Y. В частности, легко убедиться, что
гу=г.
?
84 Глава 2. Геометрическая теория поля
Подобно тому, как всякий лагранжиан индуцирует отображение Лежандра J'F -»П,
каждый гамильтониан Я B.41) определяет импульсный морфизм
Я : П -> JlY,
у\оЗ = д{ЯГ, B.44)
а также связность
Гя =ЯоО
на расслоении Y —> X. Например, для гамильтониана Яг B.39) находим
ГЯг=Г.
Справедливо и обратное утверждение. Всякий импульсный морфизм B.42), пред-
представленный векторнозначной формой B.43) на многообразии Лежандра П, порождает
соответствующий гамильтониан
ЯФ = Ф j в = ЯГф - Я* = pUy' Л шд - р*Ф\{д)ш. B.45)
В частности, гамильтониан Яг B.39) является гамильтонианом типа B.45), порожда-
порождаемым импульсным морфизмом Г B.36). Обратно, если гамильтониан Я удовлетворяет
соотношению
Н~ = Н,
то это — гамильтониан типа Яг для некоторой связности Г на У.
Пусть Я — произвольный гамильтониан и Гн — индуцируемая им связность на
расслоении Y —* X. Подставляя ее в выражение B.41), мы получаем упоминавшееся
выше каноническое разбиение __
н = нТд- я.
гамильтониана Я.
Заметим, что в механике гамильтонианы не имеют какого-либо канонического вида.
Это вызвано тем, что семейство канонических преобразований при п — 1 гораздо богаче,
чем при п > 1, когда они ограничиваются в основном преобразованиями B.32) и, что
самое главное, новые канонические координаты у'1 не могут выражаться через старые
импульсы pf.
Перейдем теперь к рассмотрению уравнений Гамильтона. Ими по сути дела являются
уравнения B.38). Они представляют собой условия на ядро оператора Гамильтона для
данного гамильтониана Я. Это дифференциальный оператор первого порядка
?я = [(y'w - д\Ж) dp* - (р?д + diSt) &y{\ Л и, B.46)
на расслоении П —> X. Для всякой связности
на расслоении П —> X справедливо равенство
?н о 7 = ^Я — 7 -1
§ 3. Гамильтонов формализм 85
Из него следует, что связность у является гамильтоновой связностью для гамильтониа-
гамильтониана Н как раз тогда и только тогда, когда она принимает значения в ядре Кег WH операто-
оператора Гамильтона B.46), т. е. удовлетворяет системе алгебраических уравнений Гамильтона
7(Д) = д\ЯГ, B.47а)
7*д = ~д,Ж. B.47Ъ)
Легко видеть, что эти уравнения в силу своей структуры всегда имеют решение, но,
поскольку число неизвестных в этих уравнениях больше числа самих уравнений, их ре-
решение не единственно. Это означает, что, в отличие от механики, существуют разные
гамильтоновы связности для одного и того же гамильтониана Н и можно даже устано-
установить их общую форму. В силу уравнения B.47а) все они удовлетворяют соотношению
и имеют вид
Как и в случае уравнений Эйлера—Лагранжа, перейдем теперь от алгебраических к
дифференциальным уравнениям Гамильтона. Пусть г — сечение расслоения П —> X
такое, что его струйное продолжение Jxr принимает значения в ядре оператора Га-
Гамильтона B.46). Тогда это сечение удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
Гамильтона первого порядка
дхг{ = д\Ж, B.48а)
дхг< = -д^Ж, B.48b)
получаемых из алгебраических уравнений Гамильтона B.47а) и B.47Ь).
Уравнения Гамильтона B.48а) и B.48Ь) выглядят как естественное n-мерное обоб-
обобщение обычных уравнений Гамильтона. Действительно, если X = Ш, многоимпульсный
гамильтонов формализм сводится к обычному гамильтонову формализму в механике. В
этом случае расслоение Y тривиально и имеют место изоморфизмы
Y = 1 х F, B.49)
П = 1х T*F, B.50)
где F— некоторое многообразие. Координатами наКиП являются (t,y') и {1,у\р{ = у,).
Обобщенная форма Лиувилля B.34) и полисимплектическая форма B.35) на много-
многообразии Лежандра П B.50) сводятся к формам
Q = diji A dy',
индуцированными на П соответственно из канонической формы Лиувилля и канонической
симплектической формы на кокасательном расслоении T*F. Пусть Го — тривиальная
связность на расслоении Y, отвечающая расщеплению B.49). Тогда всякий гамильто-
гамильтониан на многообразии Лежандра П B.50) дается выражением
Н = Н!:) - Н = У<Aу' - Mdt. B.51)
86 Глава 2. Геометрическая теория поля
Соответствующие алгебраические уравнения Гамильтона B.47а) и B.47Ь) сводятся к из-
известным уравнениям Гамильтона
и — д1<Щ,
щ = -дМ
для гамилътонова векторного поля
и = и{д{ + щд\
задаваемого функцией Гамильтона г^наМх T*F. В частности, имеет место взаимно
однозначное соответствие между гамильтоновыми векторными полями и и гамильтоно-
выми связностями 7 на Ш х T*F. Оно дается соотношением
7 = dt®(dt +u).
Заметим, что, в отличие от уравнений Гамильтона в механике, уравнения Гамильто-
Гамильтона B.48а) и B.48Ь) в теории поля описывают так называемую обобщенную гамильтоно-
ву динамику, когда динамика системы не сводится к эволюции во времени, задаваемой
скобками Пуассона.
§ 4. Системы со связями
Рассмотрим связь между лагранжевым и многоимпульсным гамильтоновым форма-
формализмами в наиболее интересной для приложений ситуации вырожденных лафанжианов.
К этому случаю относятся почти все сколько-нибудь интересные полевые модели.
Пусть дано расслоение Y —> X. Пусть Н — гамильтониан B.41) на многообразии
Лежандра П B.31) и L — лафанжиан B.1) на многообразии струй J'F. Пусть Н —
соответствующий импульсный морфизм B.44), a L — отображение Лежандрш B.33).
Приведем полезные координатные выражения для их струйных продолжений J'L и j' H:
(Pi, vUpI) ° JlL = Otf,
Существенно также, что, если 7 — гамильтонова связность для гамильтониана Н, то
композиция J'Hoj принимает значения в полуголономном подмногообразии струй T'Y:
(yU Ум) о J'H о 7 = фЯГ, д^Ж).
Чтобы прийти к понятию ассоциированных лафанжевых и гамильтоновых систем,
рассмотрим диафамму
я .
П "J'Y
§4. Системы со связями 87
Как мы увидим ниже, когда отображение Лежандра L — диффеоморфизм, для ла-
гранжевой системы существует единственная эквивалентная гамильтонова система та-
такая, что соответствующий импульсный морфизм является обратным диффеоморфиз-
диффеоморфизмом Н = L~l. Отсюда следует, что, если отображение Лежандра регулярно (т. е. явля-
является локальным диффеоморфизмом) в некоторой точке конфигурационного простран-
пространства J[Y, соответствующая лагранжева система, ограниченная на некоторую открытую
окрестность этой точки, допускает эквивалентную гамильтонову систему. Для сохране-
сохранения этой локальной эквивалентности в общем случае вырожденных лагранжевых систем,
следует потребовать, чтобы для ассоциированных лагранжевых и гамильтоновых систем
образ конфигурационного пространства j'F при отображении Лежандра L содержал все
точки фазового пространства, в которых импульсный морфизм Н регулярен.
Определение 2.4.1. Пусть задан лагранжиан L на многообразии струй j'F рас-
расслоения Y —> X. Будем говорить, что гамильтониан Н на расслоении Лежандра П над Y
является ассоциированным с L, если Н удовлетворяет условиям
LoH\Q=ldQ, B.52а)
H, B.52b)
где
Q=L(JlY) B.53)
— образ конфигурационного пространства J'Y в фазовом пространстве П при отобра-
отображении Лежандра. ?
В координатах условия B.52а) и B.52Ь) принимают вид
Причем последнее из них выглядит как естественное п -мерное обобщение известного
выражения для функции Гамильтона через функцию Лагранжа в механике.
По аналогии с механикой назовем Q B.53) пространством связей. Можно убедить-
убедиться, что в силу условия B.52Ь) импульсный морфизм Н не является регулярным вне
пространства связей Q, что и требовалось от ассоциированных лагранжевых и гамиль-
гамильтоновых систем. Кроме того, как это будет показано ниже, все решения уравнений
Гамильтона, имеющие своими аналогами решения уравнений Эйлера—Лагранжа, при-
принадлежат пространству лагранжевых связей.
Подчеркнем, что с одним и тем же лагранжианом могут быть ассоциированы раз-
разные гамильтонианы. Однако возможны случаи, когда ассоциированные гамильтонианы,
определенные на всем фазовом пространстве Ф, вообще не существуют.
Пример 2.4.1. Все гамильтонианы Нг B.39) ассоциированы с нулевым лагранжи-
лагранжианом L = 0. В этом случае пространство связей совпадает с образом Q = 0(Y) кано-
канонического нулевого сечения 0 расслоения Лежандра П —» Y. Условие B.52а) сводится
к тривиальному тождеству 0 = 0, и гамильтонианы Нг удовлетворяют условию B.52Ь),
которое принимает вид
D
88 Глава 2. Геометрическая теория поля
Пример 2.4.2. Пусть Y — расслоение Е3 —> Ж2, параметризуемое координатами
(ж1, х2, у). Многообразие струй JlY и расслоение Лежандра П над Y имеют соответ-
соответственно координаты (х\ х2, у, yh уг) и (ж1, х2, у, р[, р1). Выберем лагранжиан
L - ехр2/, + -(у2J
Соответствующее отображение Лежандра
pl oL = ехрг/,,
ргоЬ = у2,
является локальным диффеоморфизмом, но не диффеоморфизмом. Пространство свя-
связей Q задается координатным соотношением рх > 0 и является открытым подмного-
подмногообразием многообразия Лежандра. На Q существует единственный ассоциированный
с L гамильтониан
Я = pxdy А шх -
который однако нельзя продолжить на все многообразие Лежандра П. ?
Посмотрим, что есть общего у гамильтонианов, ассоциированных с одним и тем же
лагранжианом L. Всякий такой гамильтониан удовлетворяет соотношениям
H\Q=ZLoH\Q, B.54)
дгЖ = -д{2' о Н, B.55)
где 3L — форма Пуанкаре—Картана B.3). В частности, равенство B.54) означает, что
каждый ассоциированный с L гамильтониан Н совпадает на пространстве связей Q с
формой, индуцированной из формы Пуанкаре—Картана посредством импульсного мор-
физма Н, хотя разные такие гамильтонианы в общем случае отличаются друг от друга
даже на Q.
Можно предложить следующий способ построения гамильтонианов, ассоциирован-
ассоциированных с данным лагранжианом L. Пусть Ф — импульсный морфизм. Построим гамиль-
гамильтониан
Ям = ЯФ + L о Ф, B.56)
где ЯФ — гамильтониан B.45). Если импульсный морфизм Ф удовлетворяет соотноше-
соотношениям
2o$|Q=IdQ, B.57)
Вы = Ф, B.58)
то легко убедиться, что гамильтониан B.56) ассоциирован с L.
Покажем теперь, что многоимпульсный гамильтонов формализм действительно яв-
является естественным партнером лагранжева формализма в теории поля и что введенное
выше понятие ассоциированных гамильтоновых систем имеет реальный смысл. Рассмо-
Рассмотрим для этого случай, когда лагранжиан L регулярен во всех точках конфигурационного
пространства JlY. Более того, говоря о регулярном лагранжиане, будем в дальнейшем
§ 4. Системы со связями 89
считать, что соответствующее отображение Лежандра L — это диффеоморфизм, а не
только локальный диффеоморфизм, поскольку с последним могут быть связаны трудно-
трудности, проиллюстрированные в Примере 2.4.2.
Если лагранжиан L регулярен, всегда существует единственный ассоциированный с
ним гамильтониан
H = H?_]+LoL-\
При этом выполняются соотношения
SL=HoL. B.59)
AL = %HoJ[L, B.60)
8h=AloJ1jH-, B.61)
где 'ён — оператор Гамильтона B.46) и А/, — производящая форма B.5).
Глядя на выражения B.54) и B.59), можно сделать заключение, что именно форма
Пуанкаре—Картана HL является лагранжевым аналогом ассоциированных с L гамиль-
гамильтонианов, тогда как лагранжевым партнером оператора Гамильтона оказывается про-
производящая форма AL B.5). Ограничение этой формы на полуголономное многообра-
многообразие струй T^Y представляет собой по определению оператор Эйлера—Лагранжа первого
порядка %'[. А поскольку в случае, когда j — гамильтонова связность для Н, компо-
композиция J'H 07 принимает значения в J*Y, то из соотношения B.61) следует, что она
принимает значения в ядре оператора r?'L и 3хИ о у о L — лагранжева связность для L.
Это важный результат, из которого вытекает, что для регулярного лагранжиана L и
ассоциированного с ним гамильтониана Н соответствующие уравнения Эйлера—Лагранжа
первого порядка B.8а)—B.8Ь) и уравнения Гамильтона B.48а)—B.48Ь) эквивалентны.
Перейдем теперь к рассмотрению вырожденных лагранжевых CHcrejvi, ограничившись
классом полурегулярных (semiregular) лагранжианов L, когда прообраз L~'(q) всякой точ-
точки q пространства связей L(J'Y) является связным подмногообразием конфигураци-
конфигурационного пространства JlY. Основанием для нашего выбора является то, что такие ла-
лагранжианы с одной стороны исчерпывают все сколько-нибудь разумные лагранжианы
полевых моделей, а с другой стороны, позволяют установить достаточно полные со-
соотношения между решениями уравнений Эйлера—Лагранжа и решениями уравнений
Гамильтона для ассоциированных лагранжевых и гамильтоновых систем.
Пусть L — полурегулярный лагранжиан. Ключевым является следующее утвержде-
утверждение.
Предложение 2.4.2. Все гамильтонианы, ассоциированные с полурегулярным ла-
лагранжианом L совпадают на пространстве связей Q. Более того, форма Пуанкаре—
Картана SL B.3) для L совпадает с формой, индуцированной из каждого такого гамиль-
гамильтониана Н посредством отображения Лежандра L, т. е. имеет место соотношение
EL=HoL,
тг,Аг/1 - .5* = JHz", г/\ тг,л). B.62)
?
Пример 2.4.3. Пусть Y — расслоение из Примера 2.4.2. Выберем полурегулярный
лагранжиан
L'=\{yxfw. ..B.63)
90 Глава 2. Геометрическая теория поля
Соответствующее отображение Лежандра имеет вид
p2oL = 0,
и пространство связей Q состоит из точек с координатами р2 = 0. Для гамильтонианов,
ассоциированных с лагранжианом B.63), имеет место общее выражение
Я = pxdy А шх - [1 (р1J + с{х\ х2, у)р2] и,
где с — произвольные функции координат х1, х2 и у. О
Соотношение B.62) из Предложения 2.4.2 в некотором смысле дополняет усло-
условие B.52Ь) из Определения 2.4.1. Оно приводит к тождеству
{у\ ~ д{3* о L) dTi Лш- {д{5? + d, JT oLjdy' Л w = 0,
опираясь на которое можно воспроизвести в случае полурегулярных лагранжианов со-
соотношение B.60):
но не соотношение B.61). Поэтому для полурегулярных лагранжианов нет полной экви-
эквивалентности между решениями уравнений Эйлера—Лагранжа и решениями уравнений
Гамильтона, и связь между ними устанавливается следующей теоремой.
Теорема 2.4.3. Пусть дан полурегулярный лагранжиан L на многообразии струй
JlY расслоения Y —> X и П — расслоение Лежандра над Y.
(i) Если сечение г расслоения П —* X является решением уравнений Гамильто-
Гамильтона B.48а) и B.48Ь) для некоторого гамильтониана Я, ассоциированного с L, и принад-
принадлежит пространству связей Q B.53), то сечение
s = Я о г = j'Grny о г)
расслоения JlY —* X удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа первого поряд-
порядка B.8а) и B.8b), a s = тгпу or — уравнениям Эйлера—Лагранжа второго порядка.
(ii) Обратно, пусть сечение s расслоения JlY —> X является решением уравнений
Эйлера—Лагранжа первого порядка B.8а) и B.8Ь) для L. Пусть Я — ассоциированный
с L гамильтониан такой, что соответствующий импульсный морфизм Я удовлетворяет
условию
EtoLos = s. B.64)
Тогда сечение
г = Los
расслоения П —» X является решением уравнений Гамильтона B.48а) и B.48Ь) для Н.
Очевидно, что оно принадлежит пространству связей Q. О
Теорема 2.4.3 показывает, что, если гамильтониан Н ассоциирован с полурегуляр-
полурегулярным лагранжианом L, всякое решение уравнений Гамильтона, лежащее в пространстве
связей, порождает решение уравнений Эйлера—Лагранжа. В то же время, чтобы ис-
исчерпать все решения уравнений Эйлера—Лагранжа необходимо рассмотреть некоторое
§ 4. Системы со связями 91
семейство ассоциированных с L гамильтонианов. Назовем такое семейство гамильто-
гамильтонианов полным, если для любого решения s уравнений Эйлера—Лагранжа первого по-
порядка B.8а) и B.8Ь), существует решение г уравнений Гамильтона B.48а) и B.48Ь) для
некоторого гамильтониана Н из этого семейства такое, что
г = Los,
lr). B.65)
Согласно Теореме 2.4.3, семейство гамильтонианов, ассоциированных с данным полу-
полурегулярным лагранжианом, является полным тогда и только тогда, когда для всякого
решения s уравнений Эйлера—Лагранжа первого порядка существует гамильтониан из
этого семейства такой, что выполняется равенство B.64).
В полевых моделях с лагранжианами, квадратичными или аффинными по координа-
координатам скоростей, полные семейства ассоциированных гамильтонианов всегда существуют.
Следующий пример показывает, что подобное семейство может существовать, когда ла-
лагранжиан даже не является полурегулярным.
Пример 2.4.4. Пусть У — расслоение из Примера 2.4.2. Зададим лагранжиан
L = \-3 Ы3 + 1- Ы2] и.
Соответствующее отображение Лежандра имеет вид
p[oL = (yt)\ B.66)
и пространство связей Q задается координатным условием р[ ^ 0. Оно не является даже
подмногообразием П. Рассмотрим два ассоциированных с L гамильтониана
Н+ - pxdy Л шх -
Я_=рАйуЛшА- з
на Q, которые отвечают двум разным решениям
2/i = \/p~\ 2/i = - у/р1
уравнения B.66). Легко видеть, что они образуют полное семейство. D
Исследуем теперь общий случай вырожденных квадратичных лагранжианов. Удается
провести полный гамильтонов анализ таких динамических систем, что особенно важно
для физических приложений.
Пусть дано расслоение У —» X и соответствующие конфигурационное и фазовое
пространства. Рассмотрим квадратичный лагранжиан
Г1 Ли t , л j I
L= \^ ач-Ь)УьУи + bi (!/J/л + сB/) ш, B.67)
2
92 Глава 2. Геометрическая теория поля
где a, b и с — локальные вещественные функции на Y. Соответствующее преобразова-
преобразование Лежандра имеет вид
p$°L = a%yi + bi, B.68)
и нетрудно показать, что лагранжиан B.67) является полурегулярным. Предположим,
что пространство связей Q содержит образ 0(Г) глобального нулевого сечения расслое-
расслоения П -> Y.
Отображение Лежандра B.68) является аффинным морфизмом над Y. Оно индуци-
индуцирует соответствующий линейный морфизм
L : Т'Х <g) VY -> П,
у
где у3^ — координаты векторного расслоения A.48).
Рассмотрим ядро
KerZ = IT1 @(У))
отображения Лежандра B.68). Это аффинное подрасслоение расслоения струй J[Y —» Y.
Поэтому всегда существует его глобальное^ сечение, т. е. связность Г на расслое-
расслоении Y —> X, принимающая значения в KerL:
Г:Г-+КегГ, B.69)
uijfTi + b^ = 0. B.70)
Используя эту связность, лагранжиан B.67) можно привести к виду
1
2
соответствующему факторизации B.20).
Лемма 2.4.4. Найдется линейная векторнозначная горизонтальная 1-форма
а : П -> Т'Х <g) VY, B.71)
Y
на расслоении Лежандра П —> Y такая, что
L ° °~\q = Mq,
o^if aiaa<kb = ajb ¦ B.72)
П
Заметим, что, если лагранжиан B.67) регулярен, существует единственная связ-
связность B.69), удовлетворяющая алгебраическим уравнениям B.70), и единственная фор-
форма B.71), удовлетворяющая алгебраическим уравнениям B.72).
Связность B.69) и форма.B.71) играют ключевую роль при гамильтоновом анализе
квадратичных лагранжевых систем.
Во-первых, имеет место расщепление конфигурационного пространства
J'Y = Кег?ф1т<т, B.73)
§4. Системы со связями 93
Кроме того существует форма а B.71) такая, что расщепляется также фазовое простран-
пространство
П = Кегстф<Э. B.74)
Y
Во-вторых, при заданных а B.71) и Г B.69), рассмотрим импульсный морфизм
Ф = Т + а,
Ф1=г1(у) + а&р?. B.75)
Он удовлетворяет уравнению B.57) для отображения Лежандра L B.68). Обратно, вся-
всякий импульсный морфизм, подчиняющийся уравнению B.57), дается выражением B.75).
Отсюда можно показать, что всякий гамильтониан
- ~ Ь,А) + Х- а^Ы ~ с] ы, B.76)
соответствующий согласно B.56) импульсному морфизму Ф B.75), является ассоцииро-
ассоциированным с лагранжианом B.67). Более того, все такие гамильтонианы образуют полное
семейство.
Действительно, рассмотрим в случае гамильтониана B.76) уравнения Гамильто-
Гамильтона B.48а) для сечений г расслоения П —> X. Они записываются в виде
J[s = (f + <r)or, s-nnYor, B.77)
С расщеплением B.73) связаны сюръекции
^:=pr, :J[Y-+ Keri,
* ik /
Ух ~ o\a(.
Imcr,
Используя их, уравнения Гамильтона B.77) можно разделить на две части
^о Jls = Го s, B.78)
B.79)
При этом оказывается, что уравнения Гамильтона B.78) не зависят от канонических
импульсов г? и имеют смысл своего рода калибровочных условий. Более того, для всякого
сечения s расслоения Y —> X существует связность Г B.69) такая, что выполняются
94 Глава 2. Геометрическая теория поля
калибровочные условия B.78). В этом случае импульсный морфизм B.75) удовлетворяет
уравнению B.64):
$oLoJls = J[s.
Откуда следует, что гамильтонианы B.76) действительно составляют полное семейство.
Интересно отметить, что гамильтонианы из этого семейства отличаются друг от друга
только связностью Г B.69), а уравнения Гамильтона — только калибровочными усло-
условиями B.78).
Проиллюстрируем приведенную общую процедуру на примере ряда полевых моделей.
Калибровочные потенциалы
Фазовым пространством калибровочных потенциалов, лагранжевой теории которых
был посвящен §2.2, является расслоение Лежандра
П = Л Т'Х <g) ТХ <g) [С х С] *
с с
над расслоением связностей С A.89). Оно параметризуется каноническими координа-
координатами
\Х 1 Ку. > Ртп )•
Расслоение Лежандра П над С, подобно расслоению струй 3хС —> С, допускает кано-
каноническое расщепление
П = П+фП_, B.80)
с
„f А _ „<f А) , Jc*l _ I /„f A , „Af ч , I („f A _ Af.4
Отображение Лежандра, отвечающее лагранжиану Янга—Миллса B.21), имеет вид
ptX)°LYM=0, B.81а)
ptM ° 1ум = e-'aZng^g^^VUTl B.81b)
Нетрудно заметить, что Кег?УЛ/ = С+ и Q = П_. Отсюда следует, что расщепле-
расщепления A.92) и B.80) являются ни чем иным как расщеплениями B.73) и B.74). Поэтому
для построения полного семейства гамильтонианов, ассоциированных с лагранжианом
Янга—Миллса LYm B.21), можно следовать приведенной выше общей процедуре опи-
описания полевых систем с вырожденными квадратичными лагранжианами.
Рассмотрим в согласии с ней связности на расслоении С, которые принимают значе-
значения в KerL. Ими, например, являются связности SB A-95). Для всякой такой связности
построим гамильтониан B.76):
Нв = p»mxdk™ Aux- p?
е1 B-82)
2n&xlrt$l I g Г1/2
Он ассоциирован с лагранжианом LYm- Соответствующими уравнениями Гамильтона
являются
\У^\ B:83)
Z B.84)
и плюс уравнение B.81Ь).
§ 4. Системы со связями 95
Уравнения Гамильтона B.84) и B.81Ь) аналогичны соответственно уравнениям B.78)
и B.79). Уравнения Гамильтона B.81Ь) и B.83), ограниченные на пространство свя-
связей B.81а), в точности совпадают с уравнениями Янга—Миллса для калибровочных по-
потенциалов
А = 7гПс о г.
Разные гамильтонианы Нв и HBi приводят к разным уравнениям B.84). Эти уравнения
не зависят от канонических импульсов и представляют собой дополнительные калибро-
калибровочные условия
SBoA = ^oJ]A
типа B.78). Причем, для всякого решения А уравнений Янга—Миллса существует га-
гамильтониан, например, НВ=А такой, что выполняется соотношение B.64):
Следовательно гамильтонианы Нв составляют полное семейство.
Электромагнитное поле
Рассмотрим особо электромагнитное поле из Примера 2.2.1 как простейший случай
калибровочной теории, чтобы потом сравнить с ним модель полей Прока, лагранжи-
лагранжиан которой вырожден, но не калибровочно инвариантен. Ограничимся для простоты
случаем, когда X4 — пространство Минковского с метрикой Минковского т].
Фазовым пространством электромагнитных потенциалов является расслоение Лежан-
Дра
I Л Т1* Y /Ф\ Т1 Y rf^N T1 Y 1 v Ф1* V
— I / \ х Л. \Q -* "¦ kV i "¦
\ / х
с координатами (zA, fc^,, р^х). В этих координатах отображение Лежандра, отвечающее
лагранжиану LE B.23), записывается в виде
р(»Х) о 1Е = 0, B.85а)
1
вИ1о??; = я r]'10Jre. B.85b)
4тг
Как и в общем случае калибровочных полей, гамильтонианы
В — Р (LKp /\ и/д — р двр\ш — аъ?Ш^ \/..Ъ\>)
параметризуемые электромагнитными потенциалами В, ассоциированы с лагранжианом
электромагнитного поля B.23) и составляют полное семейство.
Для данного гамильтониана Нв B.86) соответствующими уравнениями Гамильтона
являются
А=О, B.87)
дхВ» + д„Вх B.88)
96 Глава 2. Геометрическая теория поля
и плюс уравнение B.85Ь). На пространстве связей B.85а) уравнения B.85Ь) и B.87) сво-
сводятся к обычным уравнениям Максвелла без материальных источников. В то же время
уравнение B.88) не зависит от канонических импульсов и играет роль дополнительно-
дополнительного калибровочного условия. Это калибровочное условие однако разнится от тех, что
обычно используются в теории электромагнитного поля. Но, поскольку электромагнит-
электромагнитные потенциалы, отличающиеся калибровочными преобразованиями, трактуются как
физически эквивалентные, уравнение B.88) можно заменить каким-либо условием, на-
накладываемым на величину 9Лгм + д^гх. Например, таким путем можно воспроизвести
условие лоренцевской калибровки
*f Ч^а = 0.
Поле Прока
Модель полей Прока — это модель массивного электромагнитного поля, лагранжиан
которого отличается от лагранжиана электромагнитного поля только массовым членом.
Он вырожден, но не калибровочно инвариантен. Поэтому в этом случае заранее неясно,
как получить калибровочные условия, дополняющие уравнения Эйлера—Лагранжа для
поля Прока.
Пусть, как и в предыдущей модели, X — пространство Минковского.
Векторные поля Прока описываются сечением кокасательного расслоения Т*Х -+ X,
тогда как электромагнитные потенциалы — сечениями аффинного расслоения, моде-
моделируемого над Т*Х. Конфигурационным пространством полей Прока является аффинное
расслоение струй
fTX -» Т*Х,
моделируемое над векторным расслоением
Координатами на нем являются
®Т'ХхТ*Х ->Т*Х. B.89)
(хх, к„, к„х),
где по аналогии с электромагнитным полем мы обозначили к^ = х^ обычные голоном-
ные координаты на Т*Х.
Лагранжиан полей Прока на таком конфигурационном пространстве имеет вид
р — ЬЕ m n к„K\<j>- (i-90)
8тг
Фазовым пространством полей Прока является многообразие Лежандра
П = Д Т"Х 0 ТХ 0 ТХ х Т'Х
с каноническими координатами (zA, k^, р*х). В этих координатах отображение Лежан-
дра, определяемое лафанжианом B.90), выглядит в точности как отображение Лежан-
Лежандра LE:
p{ftX)oLP=0, B.91a)
pl"X] oLP = —-i/*Y^4- B.91b)
§4. Системы со связями 97
Отсюда находим, что
KerLP = У Т'Х хТ'Х,
An).
Следуя общей процедуре описания полевых систем с вырожденными квадратичными
лагранжианами, рассмотрим форму а B.71):
где к^х — координаты на расслоении B.89). Поскольку
lma = ^Т'Х хТ'Х,
4 / 2 \
Кег<х = ДТ*Х<g> (\/ТХ\ x T*X,
можно осуществить расщепление B.73) конфигурационного пространства
2 2
1 Л — V J- Л 417 /\ J -Л.)
Т'Х
_ 1 '-
2
и расщепление B.74) фазового пространства
Г4 /2 М
— Л Т* Y (Сч I \/ TY I di D
— \/\1 л <У v-fA I шч?)
L Т'А' \ / J Т'Х
Опять же согласно общей процедуре рассмотрим связности на кокасательном расслое-
расслоении Т*Х, принимающие значения в KerZp. Как и в случае электромагнитного поля,
достаточно ограничиться связностями вида
sB = dxx ® \дх + - (д^Вх + дхВ^
где В — некоторое сечение Т'Х. Можно убедиться, что соответствующие гамильтони-
гамильтонианы
Щ,=^Е + — то V"fc,A>
оТГ
являются ассоциированными с лагранжианом LP B.23) и образуют полное семейство.
Уравнениями Гамильтона для данного гамильтониана Нв являются
4 зак. .485 дхг» = -~rn\^rv, B.92)
rn\^rv,
х B.93)
98 Глава 2. Геометрическая теория поля
и плюс уравнение B.91Ь). На пространстве связей B.91а) уравнения B.91Ь) и B.92)
сводятся к уравнениям Эйлера—Лагранжа, которые дополняются калибровочным усло-
условием B.93). Последнее можно заменить тем или иным условием на величину дхг^ + д^гх,
например, условием лоренцевской калибровки
V"%rx = 0.
Но, в отличие от случая электромагнитного поля, не все физически неэквивалентные
решения уравнений Эйлера—Лагранжа для поля Прока будут ему удовлетворять. Оно
применимо, например, к волновым решениям.
Глава 3
Топологические характеристики
в теории поля
Формализация систем классических полей расслоениями делает возможным описание
глобальных свойств полевых конфигураций с использованием методов алгебраической
топологии.
Эти методы позволяют оперировать с категориями объектов — топологических про-
пространств, многообразий, расслоений и др., которые, если пытаться выделить каждый
объект, являются необозримыми. Суть их состоит в установлении определенного отно-
отношения эквивалентности объектов в такой категории и в рассмотрении их классов экви-
эквивалентности путем сопоставления им некоторых алгебраических (групповых) и даже чи-
числовых характеристик. В физических приложениях такие характеристики выступают в
качестве всевозможных "топологических" чисел и зарядов.
Настоящая глава посвящена применению этих характеристик в полевых моделях:
солитонов, монополей, инстантонов и других полевых образований, обязанных своим
существованием нелинейному взаимодействию полей и не описываемых по теории воз-
возмущений.
В этой главе, если специально не оговорено, под расслоениями понимаются топо-
топологические расслоения, а к многообразиям относятся и многообразия с границей.
§ 1. Гомотопические группы
В алгебраической топологии основной рассматриваемой категорией является кате-
категория топологических пространств, а отношением эквивалентности в ней — гомотопи-
гомотопическая эквивалентность.
Пусть Y и X — топологические пространства и / и /' — непрерывные отображе-
отображения Y в X. Эти отображения называются гомотопными, если существует такое непре-
непрерывное отображение д : [0, 1] х Y —» X, что
Наглядно гомотопные отображения / и /' можно представить себе как такие, образы
которых /(F) и f'(Y) в X могут быть совмещены друг с другом непрерывной деформа-
деформацией через промежуточные образы д({г} х У), г ?]0, 1[.
Пример 3.1.1. Пусть Y — окружность S', а X — плоскость Ж2. Все непрерывные
отображения 51 в Е2 являются гомотопными. П
100
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.1.2. Пусть теперь X = Ж2 \ {0} — плоскость без точки. Тогда отобра-
отображения /, /', f":S'-+X, образы которых /E1), f'(S[), f"(Sl) изображены на рис. 6,
представляют собой пример негомотопных отображений. ?
Рис. 6
Топологическое пространство X называется стягиваемым, если его тождествен-
тождественное отображение на себя Idx гомотопно отображению X в некоторую свою точку
X —> х0 € X, т. е. наглядно, если X может быть непрерывно стянуто в точку. Примером
стягиваемых пространств могут служить евклидовы пространства К", а нестягиваемых —
сферы S".
Можно показать, что, если пространства X стягиваемо, то всякие два непрерывных
отображения / и /' любого топологического пространства Y в X гомотопны. Действи-
Действительно, поскольку X стягиваемо, образ f(Y) первого отображения / как подмноже-
подмножество X может быть непрерывно деформирован в точку, а из нее в образ f'(Y) второго
отображения в X.
Легко проверить, что понятие гомотопности отображений определяет отношение
эквивалентности на множестве непрерывных отображений топологического простран-
пространства Y в пространство X. Классы эквивалентности, на которые оно разбивает это
множество, называются гомотопическими классами, и множество этих классов обозна-
обозначается tt(F, X).
В частности, если X стягиваемо, то множество tt(F, X) для любого Y состоит из
одного элемента.
Пример 3.1.3. Множество тг(Г, X) для У и X из Примера 3.1.2 счетно. Гомотопи-
Гомотопический класс отображения
. b -tl \{0}
определяется тем, сколько раз линия /E1) "обернута" вокруг точки {0}. ?
Пусть / — непрерывное отображение Y —»• X. Непрерывное отображение д : X —> Y
называется гомотопически обратным, если композиция до f гомотопна тождественному
отображению Idy, a fog гомотопна Idx. Непрерывное отображение, обладающее го-
гомотопически обратным, именуется гомотопической эквивалентностью. Если существует
гомотопическая эквивалентность Y —> X, то пространства Y и X называются гомото-
пически эквивалентными.
Очевидно, гомеоморфизм топологических пространств есть гомотопическая эквива-
эквивалентность. Примером негомеоморфных, но гомотопически эквивалентных пространств
служат стягиваемое пространство и его точка.
§ 1. Гомотопические группы
Гомотопическая эквивалентность разбивает топологические пространства на гомото-
гомотопические типы и множество таких типов уже оказывается обозримым. Для этого доста-
достаточно фиксировать некоторый набор стандартных пространств Yu Y2, ... и характери-
характеризовать гомотопический тип всякого топологического пространства X гомотопическими
классами непрерывных отображений У; в X. В качестве таких стандартных пространств
выбраны сферы Sn.
Пусть X — топологическое пространство и х0 G X. Пару (X, х0) называют про-
пространством с отмеченной точкой. Часто, когда конкретный выбор точки несущественен,
пространство с отмеченной точкой обозначают (X, .).
Отображением пространства с отмеченной точкой (Y, у0) в пространство с отме-
отмеченной точкой (X, х0) называется непрерывное отображение / : Y —> X, такое, что
f(y0) = х0. Ясно, что множество таких отображений составляет подмножество всех не-
непрерывных отображений и на нем определено отношение гомотопности отображений.
Рассмотрим всевозможные отображения окружности с отмеченной точкой (S1, .).
Образами этих отображений являются замкнутые пути в X, выходящие и входящие в
точку х0, и на этом множестве можно ввести операцию произведения отображений
..2\
где у = ехр(га) — комплексная координата, параметризующая окружность 5*. Эта опе-
операция наследуется при переходе к гомотопическим классам отображений E1, .) в (X, х0)
и индуцирует на множестве этих классов структуру группы. Она называется фундамен-
фундаментальной группой пространства X в точке ха и обозначается тг^Х, х0). В частности,
фундаментальная группа стягиваемого пространства тривиальна.
Пример 3.1.4. Группа ж^Х, .) для пространства X = Ш2 \ {0} из Примера 3.1.2
изоморфна группе Z целых чисел по сложению. Элементу п ? Z отвечает кривая, обер-
обернутая п раз вокруг точки {0} в определенном направлении, а элементу (—п) — кривая,
обернутая столько же раз, но в противоположном направлении. D
Обобщая определение группы тгДХ, .), рассмотрим п-мерную сферу с отмеченной
точкой E", .) и множество тг„(Х, х0) гомотопических классов отображений (S", .) в
пространство с отмеченной точкой (X, х0). На кп(Х, .) тоже может быть определена
структура группы, которая называется п-мерной гомотопической группой пространства X
в точке х0. По аналогии группа тг,(Х, .) часто именуется одномерной гомотопической
группой, и формально определяется множество тго(Х), совпадающее с множеством ком-
компонент связности пространства X. Группы тг„(Х, .),«¦> 1, называются высшими гомо-
гомотопическими группами. Они коммутативны.
Пример 3.1.5. Группы тггE"), г < п, тривиальны, а тг„E") = Z. D
В случае связного пространства X все гомотопические группы тгп(Х, .) в разных
точках изоморфны между собой при любом п, и можно говорить о гомотопической
группе тг„(Х) (как абстрактной группе) пространства X без отмеченной точки.
Пример 3.1.6!' Выполняется правило
жп(Х х X') = тг„(Х) х жп(Х').
102
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
В частности, для тора Т2 = Sl x S' находим
7Г,(Т2) = 7Г,E') X 7Г,E') = Z X Z.
?
Некоторые гомотопические группы, часто встречающиеся в физических приложени-
приложениях, приведены в таблице
X
Sl =ШР1
s1
S3
RPn,n>
SOD)
SOC)
U(n), n >
1
1
z
0
0
z2
z2
z2
z
0
z
0
7Г2E")
0
0
0
7Г3
0
z
z
7Г3E")
z©z
z
z
Топологическое пространство X называется к-связным @ ^ А; < со), если все го-
гомотопические группы тг„(Х) с n ^ /г тривиальны. Это эквивалентно тому, что образ
всякого непрерывного отображения п -мерной сферы 5" в X при п ^ к стягивается в
точку. Например, из таблицы видно, что сфера S2 односвязна, т. е. любая замкнутая
кривая на сфере стягиваема в точку.
Пусть Y — топологическое пространство с гомотопическими группами {xn(Y)},
а X — топологическое пространство с гомотопическими группами \жп(Х)}. Всякое
непрерывное отображение / :Y —* X индуцирует гомоморфизмы
К: ¦*„
*п(Х)
гомотопических групп. Если отображения
/, /' = Y - X
гомотопны, то /* = /'* при любом п. Если / — гомотопическая эквивалентность,
то /^ — изоморфизмы.
Таким образом, топологические пространства, принадлежащие одному и тому же го-
гомотопическому типу, имеют одинаковый набор гомотопических групп.
Непрерывное отображение / топологического пространства Y в топологическое про-
пространство X называется слабой гомотопической эквивалентностью, если гомоморфизмы
являются изоморфизмами при любом п. Однако сам по себе изоморфизм всех гомотопи-
гомотопических групп пространств X и Y не гарантирует даже слабую гомотопическую эквивалент-
эквивалентность этих пространств, поскольку, может не существовать непрерывного отображения Y
в X, реализующего этот изоморфизм.
§ 1. Гомотопические группы 103
Гомотопические группы являются примером тополого-алгебраических характери-
характеристик, которые постоянны на слабо гомотопически эквивалентных пространствах.
Естественно возникает вопрос о существовании пространства с наперед заданными
гомотопическими группами. Ответ положителен в подкатегории клеточных пространств.
Клеточным пространством X называется отделимое топологическое пространство,
наделенное клеточным разбиением, т. е. разбиением
X = \Jeu е; П е;- =0, г Ф j,
i
на множестве элементов которого {е} определена функция d(e) с натуральными зна-
значениями такая, что для каждого элемента е этого разбиения существует непрерывное
отображение d(e)-мерного шара Dd(e) в X с двумя свойствами:
• оно изоморфно отображает внутренность шара lr\tDd(e) на е;
• оно отображает границу sd(e)~' шара Dd(e) в объединение элементов разбиения, на
которых d принимает значения, меньшие d(e).
Элементы клеточного разбиения называются клетками.
Пример 3.1.7. Каноническое клеточное разбиение сферы Sn состоит из 0-мерной
клетки — некоторой точки х ? 5™ и n-мерной клетки 5" \ {х}. О
Теорема 3.1.1. Каковы бы ни были группа G, и абелевы группы G2, G3, •.., су-
существует связное клеточное пространство X с тг„(Х) = Gn (п — 1, 2, ...). D
Приведем утверждения, которые позволяют в теории гомотопий вместо всей кате-
категории топологических пространств офаничиваться часто подкатегорией клеточных про-
пространств, а именно:
• всякое компактное многообразие гомотопически эквивалентно конечному (по чи-
числу элементов разбиения) клеточному пространству;
• для всякого топологического пространства X существует его клеточная аппрокси-
аппроксимация, т. е. клеточное пространство, слабо гомотопически эквивалентное X.
При определении гомотопических групп мы рассматривали гомотопические клас-
классы отображений пространства с выделенной точкой в пространство с выделенной точ-
точкой. Обобщая, можно определить гомотопические классы непрерывных отображений
пары (Y, U) пространства Y и его подмножества U в пару (X, А) топологического про-
пространства X и его подмножества А, при которых U отображается в А. Если в качестве Y
взять шар В',ав качестве U — его фаничную сферу 5*"' с выделенной точкой s0 ? 51,
то гомотопические классы отображений пары (?>*, 5""', s0) с выделенной точкой s0 в
пару (X, А, х0) с выделенной точкой х0 ? А С X образуют при i > 1 фуппу, кото-
которая называется относительной гомотопической группой тгДХ. А, х0). Она коммутативна
при i > 2.
Если А = х0, то относительная гомотопическая фуппа тгДХ, х0, х0) совпадает с
обычной гомотопической фуппой тгДХ, х0). Действительно, в этом случае отображе-
отображение D' в X, при котором сфера 51"' переводится в точку х0, можно представить как
композицию канонического отображения ?>' —> S' (при котором S1 стягивается в точ-
ку) и 5" —> X. Гомотопические классы последнего и образуют фуппу тг,(Х, .).
Существует связь между гомотопическими фуппами я"; (X, А, х0), тг,- (X, х0) и
ж::_t(А, х0). Она задается следующими тремя гомоморфизмами.
104 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Непрерывное отображение / пары с выделенной точкой (X, А, х0) в (X', А', х'о)
индуцирует гомоморфизм
/,* : 7Г;(Х, А, Х0) -> 7Г;(Х', А', Х'о)
относительных гомотопических групп. Поэтому отображение
X —> X, х0 —> А, х0 —> х0
индуцирует гомоморфизм
j:7r,(X, zo)-+7r,(X, А, х0). C.1)
Включение А —» X порождает гомоморфизм
i :тг;(Л, жо)->7Г;(Х, ж0). C-2)
Наконец, всякое отображение
/ : D': -> X, 51' -> Л, s0 -> ж„,
представляющее собой элемент из тг;(Х, ^4, ж0), включает отображение границы
df = f\eD. :S'-] -»i, s»^a;0.
Поскольку гомотопным отображениям / соответствуют гомотопные отображения гра-
границы, всякому элементу а группы тг;(Х, Л, х0) соответствует некоторый элемент да
группы тг;_|(Л, х0). При этом произведение в группе тг,(Х, А, х0) содержит в себе про-
произведение гомотопических классов отображений границы, так что отображение
0:тг;(Х, Л, жо)->я-;_,(А, жо) C.3)
является гомоморфизмом групп.
С помощью гомоморфизмов C.1), C.2), C.3) можно записать последовательность
гомотопических групп для пары (X, А)
... -^+7Г;(Л, жо)-^я-;(Х, жо)-итг;(Х, А, ж„) -^+ тг,_, (Л, ж0) —> ... , C.4)
Причем эта последовательность точна, поскольку ядро последующего гомоморфизма
совпадает с образом предыдущего гомоморфизма, а именно:
Пример 3.1.8. Если X стягиваемо, то тг;(Х, х0) = 0, г > 0, и Im j = 0, а значит,
Кег д = 0 и
7Г;(Х, Л, Ж0)=7Г;_,(Л, Ж0).
D
Пример 3.1.9. Рассмотрим в качестве пары (X, А) расслоенное пространство
X = tl А некоторого локально тривиального расслоения тг : tl А —> bs А и его слой А = V
через точку р ? V С tl A. Имеет место изоморфизм
тг„ (tl А, V, р) = тг„ (bs А, тг(р)), п > 0,
§ 1. Гомотопические группы
с учетом которого последовательность C.4) принимает вид
u
... -^тг;(У, р) -U7r,-(tl А, р) -u(bs А, тг(р)) -1+7^,G, ?) — ¦¦.
... -U тг, (bs А, 7г(р)) -^ тго(У, р) -U 7ro(tl А, р) -U 7ro(bs А, тг(р)) —> 0. C.5)
Последовательность C.5) называется гомотопической последовательностью расслоения А
и будет использована в ряде моделей. ?
Пример 3.1.10. Накрытием называется локально тривиальное расслоение над связ-
связной базой, слои которого являются дискретными пространствами. Структурная группа
накрытия дискретна. Расслоенное пространство накрытия называется накрывающим про-
пространством и предполагается связным. Все слои накрытия, как локально тривиального
расслоения, имеют одну и ту же мощность. Она называется числом листов накрытия.
Накрытие с числом листов больше 1 нетривиально. Действительно, тривиальное рассло-
расслоение гомеоморфно произведению базы на слой. Поэтому оно не может быть связным,
если слой дискретен и состоит более чем из одной точки.
Пусть А — накрытие с дискретной группой G. Рассмотрим для такого расслоения
точную последовательность гомотопических групп C.5). Поскольку всякий его слой V —
дискретное пространство, а база X и расслоенное пространство tl А связны, имеем
тгп(У, р) = 0, п > 0; 7го(У, р) = V,
7ro(tl А, р) = 0, щ(Х, тг(р)) = 0, р G V С tl A.
В результате точная последовательность C.5) распадается на короткие последовательно-
последовательности
0-
0 —
-^7Tn+1(tlA, p
-* 7Ti(tIA, p) -
) >?!¦„
-+7T,(X,
+ l(X, 7T(p)) —
7T(p)) —+ К -
-о,
-+0.
n
>
C.
C.
6)
7)
Последовательность C.6) устанавливает, что все высшие гомотопические группы tl А и X
изоморфны. Из последовательности C.7) вытекает, что отображение
7Г1(ИА,р)->7Г1(Х,7Г(р)) C.8)
— вложение, а морфизм
тг^Х, тг(р)) - 7ro(F, p) = V C.9)
— проекция. Из последовательности C.7) следует также, что нетривиальное накрытие
не допускает глобального сечения. Действительно, если s — глобальное сечение, то
композиция отображений тг о s = Idx порождает изоморфизм групп
, р) Хтг.СЛГ, 7Г(р)).
Но если 7r,(tl А, р) и тг^Х, тг(р)) изоморфны, то в силу точности последовательности C.7)
слой V состоит из одного элемента, т. е. накрытие А — тривиально. ?
106 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
§ 2. Топологические солитоны
Физический солитон можно наглядно представить себе как локализованный само-
самоподдерживающийся волновой пакет, образованный в результате баланса двух конкури-
конкурирующих явлений — расплывания волнового пакета вследствие дисперсии (зависимости
скорости распространения волн от их длины) и сжатия пакета вследствие нелинейности.
Общепринятое математическое определение солитонов до сих пор отсутствует. Разные
авторы предлагают свои не совсем совпадающие варианты. Например, различают со-
солитоны и уединенные волны, локализованность определяют в терминах самих волно-
волновых полей и в терминах плотности энергии, требуют или не требуют пространственно-
временную зависимость плотности энергии вида Е(х - ut) и т. д.
В теории поля, исходя из того, что элементарные частицы в природе также предста-
вля'ют собой как бы локализованные пакеты энергии, усматривают определенное соот-
соответствие между классическими солитонными решениями и состояниями, описывающи-
описывающими протяженные частицы в квантовой теории поля. Оно устанавливается процедурой
"квантования солитонов" на основе квазиклассического разложения.
Разработано несколько эффективных и сложных методов исследования решений не-
нелинейных волновых уравнений. Однако наша цель другая — продемонстрировать при-
применение тополого-алгебраических методов для анализа нелинейных полевых конфигу-
конфигураций. Для этого достаточно использовать один из признаков локализованных поле-
полевых конфигураций, а именно, что их пространственной асимптотикой служат вакуумные
классические поля. Последние ищутся как решения уравнений поля, минимизирующие
функционал энергии модели. Причем перенормировкой на константу функционал энер-
энергии всегда может быть сделан таким, что минимальное значение энергии будет равно
нулю.
Пусть V — пространство, в котором могут принимать значения волновые функ-
функции (р, описывающие локализованную полевую конфигурацию на (d + 1)-мерном про-
пространстве-времени Rd х К. Пусть W — подпространство V значений вакуумных по-
полевых функций. Ограничимся случаем статических полей. Тогда поле р представляет
собой отображение Rd в V такое, что при присоединении к M.d бесконечноудаленной
сферы S^1 и непрерывном продолжении <р на 5^"' последняя будет отображаться в W.
В ходе эволюции полевой конфигурации отображение ip может меняться, но при этом
будет оставаться гомотопным исходному. Это побуждает характеризовать полевую кон-
конфигурацию гомотопическим классом отображения ip, который не зависит от ее непре-
непрерывной деформации.
С другой стороны, рассмотрим всевозможные непрерывные отображения (р пары
(Dd, Sd~') из d-мерного шара Dd (гомотопически эквивалентного пространству Ш? с
присоединенной сферой 5^"') и его границы Sd~[ в пару (V, W). Назовем гомо-
гомотопические классы этих отображений топологическими солитонами. При d > 1 они
представляются элементами относительной гомотопической группы 7rd(V, W), а если
пространство V стягиваемо, то элементами гомотопической группы xd_|(PF). Слу-
Случай d = 1 требует специального рассмотрения (см. ниже) из-за особого определения
групп тг0.
Таким образом, спектр топологических солитонов определяется только размерностью
пространства-времени и гомотопическим типом пространств V hW. Поэтому ясно, что
не всякому топологическому солитону может отвечать какое-либо солитонное решение са-
самой модели. Однако знание спектра топологических солитонов позволяет определить
множество гомотопически неэквивалентных классов .всевозможных солитонкых реше-
решений в модели.
§ 2. Топологические солитоны 107
Приведем примеры некоторых солитонных моделей, начав с размерности d = 1.
В этом случае пара (?>', 8D1) — отрезок с выделенными концами.
Модель кинков
Это двумерная вещественная скалярная модель. В этой модели V = Ж, W — точ-
точки ±1 в Ж, и топологические солитоны — это гомотопические классы отображений
отрезка D1 в! таких, что концы отрезка переходят в ±1. Поскольку пространство Ж
стягиваемо, ясно, что гомотопические классы рассматриваемых отображений определя-
определяются отображениями границы D[ в точки ±1. Нетрудно проверить, что таких классов
всего четыре. Два из них (у(оо) = ip(-oo)) соответствуют вакуумному состоянию, а два
других (ip(oo) = —(р(—оо)) — солитонным решениям — кинкам.
Пусть теперь в этой модели tp — комплексное поле или пусть оно снабжено внутрен-
внутренним индексом а, так чтобы пространства V и W были связными. Например, если ц> —
комплексное поле, то V = W = 5'. Тогда множество тг(?>', 51) содержит только один
элемент. Однако это не означает, что в такой модели нет солитонных решений. Напри-
Например, когда поле (р вещественно, это те же кинки. Но непрерывной деформацией они
могут быть переведены (эволюционировать) в вакуумное состояние, что можно рассма-
рассматривать как предпосылку неустойчивости солитонных решений в этой модели. Такие
солитоны называются нетопологическими.
Модель синус-Гордона
Рассмотрим скалярную 2-мерную полевую модель с потенциалом
U(ip) = g(l -cosy).
Множество вакуумных состояний, когда U(ip(°}) = 0, в данном случае счетно:
^0) = 2тт, п = 0, ±1, ±2, ... .
В этой модели V — Ж и W = Ъ. Множество топологических солитонов этой модели
счетно и параметризуется парой чисел
1 1
m=— y?(oo), n= —ip(-oo),
2тг 2тг
в которые отображаются концы отрезка ?>'. В частности, для т = ±1, п = 0 солитонные
решения имеют вид
(р(х) = 4arctg [exp{±(z - х0)}] • C.10)
Эти решения топологически неэквивалентны. Можно считать, что они относятся друг к
другу как солитон и антисолитон.
Рассмотрим теперь солитоны в пространствах с размерностью d > 1. Используя тео-
теорему вириала, нетрудно показать, что в этих размерностях в скалярных моделях с потен-
потенциалами U((p) отсутствуют статические локализованные решения (хотя топологические
солитоны существуют).
Хорошими кандидатами на наличие солитонных решений оказались калибровочные
модели, простейшим примером которых является модель Нильсена—Олесена.
108 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Модель Нильсена—Олесена
Это модель скалярной электродинамики в B + 1)-мерном пространстве-времени с
функцией Лагранжа
2? — — F^F1*" + - (D wf — - д2(<р2 — a2J, C.11)
4 2 2
где D^ = д^ - геА^. Вакуумные поля модели удовлетворяют следующим уравнениям:
F^ = 0, Dtl(p = 0, <p2 = a2. C.12)
Их решения имеют вид
tp = аехр(га(х)), А = - д а(х). C.13)
е
Они являются также решениями уравнений поля
C.14)
Калибровочными преобразованиями вакуумные решения C.13) могут приведены к
виду (р = а, А^ = 0. Однако, когда поля C.13) используются в качестве граничных усло-
условий для поиска локализованных решений уравнений C.14), они не должны подвергаться
калибровочным преобразованиям. Причем, поскольку определяющим в паре (<р, А) ваку-
вакуумных полей C.13) является поле <р, топологические солитоны можно классифицировать
по гомотопическим классам именно полей (р.
Пространством значений V этих полей является комплексная плоскость К2, а про-
пространством значений W вакуумных полей — окружность 51 в V. Поэтому топологиче-
топологические солитоны модели представляются элементами гомотопической группы
тг2A2, 5',.) = 7r1E',.) = Z.
Класс п G Z включает отображение S[ —> 51, при котором первая окружность п раз
"обертывается" вокруг второй окружности. Для гладких отображений п совпадает со
степенью отображения S1 —> 51, например,
02 =
Для нахождения солитонного решения уравнений C.14) выберем калибровку, в ко-
которой Ао = 0, а в качестве граничных условий — вакуумную асимптотику на простран-
пространственной бесконечности. Введем полярные координаты (г, в). Выберем в качестве гра-
граничных условий при г —» оо вакуумные решения вида
п
(р = аехр(т0), Ат = 0, Ав = —-.
ег
Солитонные решения ищутся в форме
<р(г, в) = F(r) схр(гпв), Аа = Аг = 0, Аа = А(г).
§ 2. Топологические солитоны 109
При произвольном о дифференциальные уравнения для F(r) и А(г) аналитического
решения не имеют, но численные расчеты подтверждают существование несингулярного
решения с асимптотическим поведением:
п А
AQ = A(r) -> h — exp(-ear),
er л/г
F(r) -*a + Fexp(-V2gar^ , C.15)
где A, F — константы. Заметим, что решения имеют "конечный размер", поскольку при
возрастании г они экспоненциально быстро приближаются к вакуумной асимптотике.
Модель Нильсена—Олесена является 2-мерным (по пространственной размерности)
релятивистским аналогом модели Гинзбурга—Ландау поля куперовских пар в сверхпро-
сверхпроводниках, когда температура ниже критической, сверхпроводящая система симметрична
вдоль оси z, и солитонные решения C.15) отвечают возникающим в такой системе труб-
трубкам тока.
Можно рассмотреть модель C.11) при d = 3, т. е. в реальном пространстве-времени.
Однако, поскольку
тгE2, 5') = тг2E') = 0,
топологические солитоны в такой модели отсутствуют. В поисках солитонных решений в
C + 1)-мерном пространстве-времени следует обратиться к неабелевым калибровочным
моделям.
Модель Полякова—т'Хуфта
Это 5GB) калибровочная модель изотриплета скалярных полей <ра, а = 1, 2, 3, с
функцией Лагранжа
\ l)- ^(pv -a2J, C-16)
Вакуумные поля модели удовлетворяют тем же условиям C.12), что и в модели Нильсе-
Нильсена—Олесена. В частности, ipa(pa — а2, откуда следует, что пространство значений ваку-
вакуумных полей W представляет собой сферу S2 в изопространстве V = К3. В результате
топологические солитоны модели образуют группу тг2E2) = Z.
Модель обладает статическим солитонным решением при п = 1, которое в кали-
калибровке Aq = 0 ищется в виде
va = yV(r), A°=eaijx>A(r) C.17)
с асимптотикой
V{r) -» о, А{г) -» —. C.18)
дг
В пределе А —> 0 решение можно получить в аналитической форме
о 1 la
4>(г) = — , А(г) = — - — -. (ЗД9)
th(qar) ar gr sh(gar)
110 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Используя гомотопическую классификацию, можно сделать и некоторые общие вы-
выводы о возможном спектре солитонов в 4-мерных моделях в зависимости от их свойств
симметрии.
Пусть G — группа всех глобальных преобразований симметрии модели. Пусть
(р{х) — некоторое вакуумное поле. Тогда для любого д ? G поле ду(х) — тоже ва-
вакуумное. Это означает, что если w0 ? W, то для любого д ? G элемент w = gw0 тоже
принадлежит W, и W = G/H, где Я — подгруппа G, оставляющая инвариантным
элемент ги0. Она называется стабилизатором w0. Например, стабилизатором элемен-
элемента w = gw0 является подгруппа дНд"'. Если Н Ф G, группа G не оставляет инвариант-
инвариантным ни один элемент из W и, следовательно, ни одно вакуумное состояние.
Если пространство V стягиваемо, то спектр топологических солитонов модели опре-
определяется элементами гомотопической группы 7Г2(С/Я, .). Если Я — связная подгруппа
топологической группы G, то G —> G/H — расслоение Серра со слоем Я. Для такого
расслоения имеет место точная последовательность гомотопических групп
. . . —+ 7T2(G) —¦+ 7T2(G/tf) —-* 7Г,(Я) —-> 7T,(G) —>....
Если G — группа Ли, то тг2(С) = 0 и гомоморфизм
— вложение. Поэтому для существования топологических солитонов, в частности, необ-
необходимо, чтобы Ж\(Н) Ф 0, т. е. чтобы группа Н не сводилась к единичному элементу, не
была дискретна или односвязна. Группа Н не должна быть инвариантной подгруппой
Ли в G, поскольку в этом случае G/H — группа Ли и тг2(С/Я) = 0. Например, если
G — абелева, то всякая ее подгруппа является инвариантной и топологические солито-
ны в абелевой калибровочной модели при d = 3, как мы отмечали на примере модели
Нильсена—Олесена, отсутствуют.
Для определения спектра топологических солитонов полезно также отметить, что
если группа Ли G односвязна (т. е. 7r,(G) = 0), то вложение
7Г2(С/Я) - 7Г,(Я)
является также проекцией и, следовательно, тг2(С/Я) = 7г,(Я).
§3. Гомологии и когомологии
Гомологии комплексов
Основные тополого-алгебраические характеристики, применяемые в физических мо-
моделях, определяются теориями гомологии и когомологии.
Существуют различные теории гомологии, но для них всех характерна следующая
алгебраическая конструкция. Пусть
— семейство абелевых групп Вр и гомоморфизмов
Эр : Вр - Бр_,
§ 3. Гомологии и когомологии
111
таких, что др о др+х = 0. Последнее условие эквивалентно утверждению, что образ
Imdp+i гомоморфизма 5Р+Ь т. е. др+1Вр+1, содержится в ядре Кегдр отображения др,
т. е. в д~1 @ G В ,). Проиллюстрируем это рисунком 7.
Рис. 7
Семейство В можно представить в виде последовательности
дР-\ о,, а/1+,
C.20)
в которой композиция любых двух последовательных морфизмов равна нулю. Такая по-
последовательность называется цепным комплексом. Элементы группы Вр комплекса назы-
называются р-мерными цепями, из них элементы из Кегс>р называются р-мерными циклами, а
элементы из lvadp+l — р-мерными границами. Поскольку др — гомоморфизм, \тдр+[ —
подгруппа группы Кег др и определена фактор-группа
которая называется р -мерной группой гомологии комплекса В. Два цикла из Вр принадле-
принадлежат одному и тому же смежному классу из НР{В) тогда и только тогда, когда их разность
есть некоторая р-граница.
Из теорий гомологии в физических приложениях нам понадобятся только так назы-
называемые сингулярные гомологии.
Пусть X — п-мерное дифференцируемое ориентируемое многообразие. Определим
следующий цепной комплекс В{Х). Рассмотрим ориентируемые компактные ^-мерные
подмногообразия М многообразия X™. Выберем ^-цепями комплекса В(Х) всевозмож-
всевозможные формальные конечные суммы М = J2k,Mi с числовыми коэффициентами fc;. Они
образуют бесконечную свободную группу ВР(Х) относительно сложения. Причем счи-
считается, что (-М) — это многообразие М с обратной ориентацией. Введем оператор д
взятия ориентированной границы компактного многообразия, считая по определению
Он отображает ВР(Х) в Вp_i(X).
112
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.3.1. Пусть М — полый ограниченный цилиндр в Ш3, изображенный
на рис. 8.
В2 эМ=
S-,
дМ=
Рис. 8
Его границей является несвязное объединение двух окружностей S, U S2, образующих
края цилиндра, а ориентированной границей дМ — формальная сумма этих окружно-
окружностей, наделенных определенной ориентацией. D
Пример 3.3.2.. Рассмотрим теперь отображение р этого цилиндра в тор Г2, полу-
получаемое отождествлением его краев (рис. 9).
Рис. 9
Рис. 10
Подчеркнем, что р(М) как образ многообразия с границей — это не тор, а тор с грани-
границей S. Однако его ориентированная граница
др(М) = 5, + S2 = S - S - 0.
?
Пример 3.3.3.. Пусть р' — отображение цилиндра М в бутылку Клейна К1 в Ш4,
получаемое тоже отождествлением его краев (рис. 10). Хотя сама бутылка Клейна —
неориентируемое многообразие, р'(М) является ориентируемым многообразием с гра-
границей S и ориентируемой границей
др'(М) = 5, + S2 = 2S.
?
§3. Гомологии и когомологии
113
Группы гомологии комплекса В(Х) = {Мр, д} называются группами ориентируемых
бордизмов С1Р(Х, К). Подчеркнем, что они зависят от числового кольца К, из которого
берутся коэффициенты к{. Так, в Примере 3.3.3 окружность S на бутылке Клейна,
будучи циклом 8S = 0, является границей
S = д(\/2р'(М)),
если коэффициенты кг принимают значения в поле рациональных чисел, и S не есть
граница, если К = Z — кольцо целых чисел.
Группы С1Р(Х, К) являются гомотопическими инвариантами, т. е. они одни и те
же для гомотопически эквивалентных пространств X и X'. Однако группы бордизмов
оказываются не совсем удобными характеристиками, поскольку могут быть нетривиаль-
нетривиальными даже для стягиваемого пространства (точки). Дело в том, что эти группы опреде-
определяются по всем возможным замкнутым подмногообразиям, например, вложенным в Ж1,
и среди них могут найтись такие, которые сами не являются границами.
Чтобы более точно характеризовать структуру самого пространства X, можно, подоб-
подобно тому как это делается при определении гомотопических групп, выбрать какой-либо
"эталонный" класс подмногообразий. В теории сингулярных гомологии это — образы
всевозможных непрерывных отображений в топологическое пространство X стандарт-
стандартных р-мерных полиэдров (симплексов).
Х{
а.
Рис. 11
Сингулярные гомологии
Рассмотрим евклидово пространство W+1, наделенное декартовой системой коорди-
координат. Отметим на каждой координатной оси .т, точку а, с координатой 1. Проведем через
все эти точки гиперплоскость
х° + ... + хр = 1
в W+l. Стандартным р-мерным симплексом ар называется пересечение этой гиперплос-
гиперплоскости с положительным ортантом {хг ^ 0}. Такой симплекс представляет собой вы-
выпуклый р-мерный полиэдр с вершинами [аа... ар]. В частности,
о-0 = [а0] — это точка;
— зто отрезок (рис. И, а);
— правильный треугольник (рис. 11, б);
а = \о.йахага.ъ\ — тетраэдр.
114 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Граница р-мерного симплекса <тр = [а0... ар\ образована (р— 1)-мерными гранями
симплексами
аГ1 = [ao...&i...ap],
где &i означает, что вершина а, удалена. Ориентированная граница симплекса
есть формальная линейная комбинация его фаней вида
Например,
= [а,а2] - [аоа2]
Прямым вычислением можно убедиться, что ддар = 0.
Пусть X — любое топологическое пространство. Сингулярными р-мерными симплек-
симплексами называются пары (сгр, /), где
— непрерывное отображение стандартного р-мерного симплекса ар в пространство X,
т. е. наглядно образы всевозможных непрерывных отображений р-мерных полиэдров
в X. Сингулярной р-мерной цепью называется формальная конечная сумма
сингулярных симплексов с коэффициентами к, из числового кольца К. В дальнейшем,
допуская некоторую вольность, мы будем отождествлять сингулярный симплекс (а, /) с
образом f(a) в X.
Граница сингулярного симплекса задается как формальная сумма
д/(ар) = д(ар, /) = ^(-DVr1, /К~') = 5^<-1O(*Г') C.21)
образов граней <тр~' стандартного симплекса ар при отображении /. Граница сингулярной
цепи, как и выше, имеет по определению вид
и удовлетворяет условию ддср = 0. В частности, если образ полиэдра /(<тр) — мно-
многообразие, то оператор границы C.21) совпадает с оператором взятия ориентированной
границы многообразия.
Сингулярные р-мерные цепи образуют фуппу Ср относительно операции формаль-
формальной суммы, и оператор д — гомоморфизм. Группы сингулярных цепей Ср и гомомор-
гомоморфизм д составляют цепной комплекс C.20), группы гомологии которого называются
сингулярными гомологиями НР(Х, К) пространства X с коэффициентами в кольце К.
Группы сингулярных гомологии обычно определяются с коэффициентами в Z, Ш, С.
Часто под группами сингулярных гомологии понимают именно группы с целочислен-
целочисленными коэффициентами из Z. Мы будем их обозначать просто НР(Х), а весь набор
{НР(Х)} как НЛХ).
§ 3. Гомологии и когомологии
115
Элементами группы гомологии НР(Х) являются классы эквивалентности р-мерных
сингулярных циклов (это цепи такие, что дср = 0) с точностью до границы (ср = дср+1).
Примером сингулярного р-цикла в топологическом пространстве X служит р-мерная
сфера Sp, которая является образом в Хр-мерного полиэдра, все грани которого обра-
обращаются при отображении в X в точку.
Рис. 12
Пример 3.3.4. Пусть X = Ш2 \ {0} — плоскость без точки. На рис. 12 кривы-
кривыми S, S', S" изображены представители трех классов эквивалентности 1-мерных сингу-
сингулярных циклов в X. Цикл S является границей и его класс эквивалентности соответству-
соответствует нулю группы Hi(X). Цикл S" эквивалентен циклу 2S', и можно проверить, что любой
цикл в!2\{0} эквивалентен некоторому циклу nS', п 6 Ъ, так что Я,(М2 \{0}) = Ъ. ?
Рис. 13 Рис. 14
Пример 3.3.5. На торе Т2 всякий 1-мерный цикл эквивалентен циклу
nS + mS', п,тпеЪ,
(рис. 13)иЯ,(Т2) = 2®2. D
Пример 3.3.6. На бутылке Клейна К2 всякий 1-мерный цикл эквивалентен циклу
nS + mS', n,mEZ,
но (рис. 14) цикл 25 является границей, т. е. эквивалентен 05. Поэтому НХ(К2) =
?
116 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.3.7. Пусть X = S2 — сфера. Очевидно, что Hi(S2) = 0. Рассмо-
Рассмотрим H2(S2). Примером ненулевого 2-мерного цикла на S2 является сама сфера S2.
Примеры других неэквивалентных 2-мерных циклов на S2 могут быть получены ото-
отображениями / сферы S2 на X — S2, различающимися степенью отображения /, и
H2(S2) = Z. О
Отметим важное преимущество сингулярных гомологии в сравнении, например, с
бордизмами. Поскольку граница C.21) сингулярного симплекса /(X) в топологическом
пространстве X определяется, грубо говоря, как образ
границы стандартного симплекса в Ж1, построение такой границы в X и тем самым за-
задание цепного комплекса не требует какой-либо добавочной структуры на X, например
структуры многообразия, как в случае бордизмов. Поэтому сингулярные гомологии могут
быть определены для любого топологического пространства. В частности, если X ори-
ориентируемое многообразие, имеется эпиморфизм групп бордизмов ПР(Х, Q) на группы
гомологии НР(Х, Q) с рациональными коэффициентами. Это означает, что всякий син-
сингулярный цикл в ориентируемом многообразии X, будучи умноженным на некоторое
рациональное число, представим подмногообразием в X.
Приведем некоторые свойства групп сингулярных гомологии Н,(Х, К).
Они абелевы.
Образующими элементами группы Н0(Х, К) являются компоненты линейной связ-
связности пространства X и для 1-связного пространства Н0(Х, К) = К.
Если X — стягиваемое пространство, Нр(Х, К) = 0, р > 0.
Если Хп — замкнутое связное п-мерное многообразие, тогда:
Нр(Хп, К) = 0 при р> п;
НП(Х", К) = К, если Хп ориентируемо;
НП{ХП) — 0, если Хп неориентируемо.
Пример 3.3.8. Гомологии сфер:
H0(Sn) = Hn(Sn) = Ъ;
Hp(Sn) = 0, р ф 0, п.
D
Пример 3.3.9. Гомологии проективных пространств:
Ъъ р = 21+ 1, 0 <р< п.
О
Группы гомологии, с которыми приходится иметь дело в приложениях, обладают
конечным числом образующих элементов и поэтому изоморфны прямой сумме цикли-
циклических и свободных групп. Если группа гомологии содержит циклическую подгруппу (т. е.
§ 3. Гомологии и когомологии 1V7
такой элемент ft, что hk = 1 для некоторого натурального к), то говорят, что она содер-
содержит кручение, например, группа
из Примера 3.3.6 и группы
Н2Ы(ШРп) = Ъг
из Примера 3.3.9.
Как уже отмечалось (см. Примеры 3.3.3, 3.3.6), класс эквивалентности цикла может
зависеть от выбора кольца коэффициентов К. Например, если группа
имеет два образующих элемента, то группа
Нг{К\ Q) = Q
имеет один образующий элемент. В случае К = Q, R
НР(Х, Q) = НР(Х) ® Q,
НР{Х, К) = НР(Х) ® К.
Напомним, что тензорным произведением двух абелевых групп А® В называются все-
всевозможные конечные суммы вида
]Ра;®6,, а; € А, Ъ{ G В,
i
при условии, что
(а, + а2) ® (Ь| + Ъ2) = а, ® 6, + а2 ® 6, + а, ® Ь2 + о,2 ® Ь2.
Можно показать, что тензорное произведение любой конечной группы на группу Q
или Ш равно нулю. Отсюда, в частности, следует, что группы гомологии НР(Х, Q)
и НР(Х, Ж) не содержат кручения.
Сравнивая гомотопические группы и группы сингулярных гомологии для плоскости
без точки (см. Примеры 3.1.4 и 3.3.4) и для сфер (см. Примеры 3.1.5 и 3.3.8), можно
предположить наличие некоторой связи между ними. Существует гомоморфизм Гуревича
К : 1Г„(Х) - Я„(Х).
При п = 1 его ядром является коммутант группы 7Г](Х) (т. е. подгруппа, порождае-
порождаемая элементами вида a~lb~lab из tti(X)), и, если тг^Х) коммутативна, она изоморф-
изоморфна НХ(Х). Если 7Г;(Х) = 0 для всех г < п(п > 1), гомоморфизм hn является изоморфиз-
изоморфизмом, a ftn+1 — эпиморфизмом.
Непрерывное отображение топологических пространств / : X —> Y порождает гомо-
гомоморфизм групп сингулярных гомологии
/, : Н.{Х) -» Н.(У)
118 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
и они, как и гомотопические группы, являются гомотопическими инвариантами, т. е.
изоморфны для гомотопически эквивалентных пространств.
Если группы гомологии Нр(Х, Ш) конечнопорожденные и нетривиальны для не бо-
более чем конечного числа значений р, можно ввести числовые гомотопически инвари-
инвариантные характеристики пространства X — числа Бетти
Ър = dim Нр(.Х,Щ
и эйлерову характеристику
Для пространств, гомотопически эквивалентных конечным клеточным разбиениям опре-
определенного класса (конечным СW -пространствам), эйлерова характеристика приобретает
наглядный смысл
где 7Р — число р-мерных клеток разбиения. Например, эйлерова характеристика сфер
Когомологии
Двойственной к гомологиям конструкцией являются когомологии. Пусть В — цеп-
цепной комплекс C.20) и К — числовое кольцо. Обозначим Вр абелеву группу всех гомо-
гомоморфизмов /р : Вр —*¦ К и введем гомоморфизм
d" : Вр ^ Вр+1,
определяемый следующим образом:
Легко убедиться, что
для всех f G Вр. Таким образом, последовательность
C.22)
определяет комплекс абелевых групп, который называется коцепным комплексом. Эле-
Элементы с? группы Вр называются р-мерными коцепями, элементы из Kerdp С Вр (т. е. та-
такие, что йр<? = 0) называются р-мерными коциклами, а элементы из Imdp~' С Вр
(т. е. такие, что <? = dp~1cp~I) — р-мерными кограницами. Фактор-группы
p"'
Kerdp/Imd
элементами которых являются классы эквивалентности р-мерных коциклов с точностью
до кограниц, называются группами когомологии Нр комплекса C.22).
§3. Гомологии и когомологий 1_19
Когомологиями, двойственными сингулярным гомологиям, являются когомологий де
Рама внешних дифференциальных форм на многообразиях. Пусть
— градуированная алгебра внешних дифференциальных форм на n-мерном многообра-
многообразии X. Оператор внешнего дифференцирования определяет гомоморфизм
d : О" -> Пр+|,
такой, что dd = 0. Это наделяет алгебру Г2 структурой коцепного комплекса
Он называется комплексом де Рама. Его р-мерными коцепями являются р-формы <т,
коциклами — замкнутые формы, а кограницами — точные формы. Группы когомоло-
когомологий этого комплекса именуются группами когомологий де Рама НР(Х") дифференциаль-
дифференциальных форм на многообразии Хп. Они образованы классами эквивалентности замкнутых
форм, разность которых является точной формой, т. е. а и а' считаются эквивалент-
эквивалентными, если а = а + da". В частности, группа H°(Xn) есть линейное пространство,
размерность которого равна числу компонент связности многообразия Хп. Очевидно
также, что Нр(Хп) = 0, р > п.
Пример 3.3.10. Если многообразие X" стягиваемое, Нр(Хп) = 0, р > 0. Это явля-
является выражением известной леммы Пуанкаре, гласящей, что в евклидовом пространстве
всякая замкнутая форма является точной. В частности, если X = М3 и а — 1-форма
(ковекторное поле), условие замкнутости означает, что rote = 0, откуда получается из-
известное следствие, что о~ = grady?, где <р — некоторая вещественная функция на X. На-
Напротив, на нестягиваемом многообразии могут существовать неградиентные векторные
поля, ротор которых равен 0. Примером такого поля на плоскости без точки X2 — К2\{0}
является
/ Ф\ ( Фу -Фх \
а = (ар = 0, аа = - = U, = —Щ, ау = ——J , C.24)
V Р / \ х + У х + У /
где Ф — константа, записанное соответственно в полярных (р, а) и декартовых коор-
координатах с началом в точке {0}. ?
Двойственность групп когомологий де Рама Н*(Х) многообразия X и групп сингу-
сингулярных гомологии Н,(Х, Ш) устанавливается билинейной формой — интегрированием
замкнутых р-форм <тр по р-мерным циклам ср, реализуемым подмногообразиями X:
C.25)
При этом в силу теоремы Стокса
(ар + dap~[\cp) = J(ap + dap'1) = J op + J a"'1 = J ap = (ap\cp),
cp cp dcp cp
+i)= J ap = Jap+ J da" = J ap = (ap\cp),
120 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
т. е. билинейная форма C.25) зависит только от когомологического класса ар и гомоло-
гомологического класса ср, а тем самым определяет билинейную форму
где ® означает тензорное произведение векторных пространств. Таким образом, имеет
место теорема двойственности де Рама.
Теорема 3.3.1. Группа когомологий де Рама НР(Х) отождествляется при помощи
билинейной формы C.25) с пространством линейных форм на НР(Х, R), и следователь-
следовательно, НР(Х) и Нр(Х, Ж) изоморфны как вещественные векторные пространства. ?
Отсюда, в частности, следует, что, как и сингулярные гомологии, когомологий де Ра-
Рама являются гомотопическими инвариантами. Например, через них выражается эйлерова
характеристика многообразия
Заметим, что группы сингулярных гомологии НР(Х, Ж) можно было бы, не прибе-
прибегая к громоздким геометрическим конструкциям, определить просто как пространства,
дуальные к НР(Х). Однако таким способом нельзя однозначно восстановить целочи-
целочисленные группы гомологии НР(Х), а только с точностью до кручения.
В случае, когда X — замкнутое (т. е. компактное без границы) ориентируемое
многообразие, для групп когомологий Н*(Х) (они конечнопорожденные) и гомологии
Н,(Х, Е) имеет место также двойственность Пуанкаре. Ее можно реализовать следующей
билинейной формой:
х
которая, как легко проверить, зависит только от когомологических классов форм ар
и ап~р и является, тем самым, билинейной формой на группах когомологий
Q(, ):Hp(X)®Hn-p(X)->R. C.26)
Это определяет изоморфизм НР(Х) и Н"~Р(Х) и в силу двойственности де Рама изо-
изоморфизм НР(Х, Ж) и Нп_р(Х, Ж).
В частности, отсюда следует соотношение Ьр = Ьп_р для чисел Бетти замкнутого
ориентируемого многообразия X, и, если размерность X нечетна, эйлерова характери-
характеристика X равна 0.
Двойственность Пуанкаре
НР(Х, Ж) = Нп_р(Х, Ж)
имеет место и для компактных многообразий с краем. Следствием является то, что,
если Хп такое многообразие, тогда
В частности, эйлерова характеристика границы всегда четна.
Билинейная форма C.26) приводит к еще одной числовой гомотопически инвариант-
инвариантной характеристике — сигнатуре многообразия. Пусть п = 41 и р = 21, тогда форма Q(, )
§ 4. Эффект Ааронова—Бома
является симметричной на вещественном векторном пространстве Н21(Хп) и может быть
приведена к диагональному виду. Сигнатура замкнутого ориентированного многообра-
многообразия определяется как сигнатура этой формы (разность между числом положительных и
отрицательных диагональных элементов). Заметим, что она зависит от ориентации.
Важным примером теории когомологий являются также когомологии со значениями
в пучках. Их описание приведено в Приложении В. Для гладкого (паракомпактного)
многообразия X имеет место изоморфизм
НР(Х) = НР(Х, К) C.27)
групп когомологий де Рама и групп когомологий НР(Х, Ж) пространства X с коэф-
коэффициентами в постоянном пучке Ж. Этот изоморфизм является ключом к примене-
применению методов алгебраической топологии в теории поля, поскольку позволяет выразить
тополого-алгебраические характеристики расслоений, представляемые элементами групп
когомологий
ЯР/V Г77\ r~ TJP { V ИРЛ
(Л, L) С И (Л, К)
с коэффициентами в постоянном пучке Z С Ж, через когомологические классы де Рама
дифференциальных форм, построенных из форм кривизны связное гей на расслоениях.
§4. Эффект Ааронова—Бома
Вакуумные калибровочные поля
Следуя критериям вакуумного поля классической полевой модели, вакуумными на-
называются калибровочные поля, имеющие всюду нулевую напряженность.
Если форма напряженности F калибровочного поля А равна нулю в некоторой стя-
стягиваемой области U пространства X, то поле А в этой области представимо в виде
A=g(x)dg-\x), C.28)
где д(х) — некоторый элемент группы G(U) функций на U со значениями в G. Отсюда
следует, что на стягиваемой области вакуумное калибровочное поле всегда может быть
устранено калибровкой, т. е. приведено к виду А = 0.
Это перестает быть справедливым для всего пространства X, если оно не стягивае-
стягиваемо. Например, группа когомологий де Рама Н1(Х) такого пространства необязательно
тривиальна, и на них могут существовать калибровочные поля, напряженность которых
всюду равна нулю, но сами они не устранимы калибровкой. Они вызывают эффек-
эффекты типа Ааронова—Бома и квантования магнитного потока — образование флаксонов.
Рассмотрим абелев случай электромагнитного поля.
В классической механике заряженных тел в уравнения движения зарядов входят
только компоненты тензора напряженности электромагнитного поля, а его потенциал
рассматривается как нефизическая величина, которая не проявляется в ненаблюдаемых
эффектах. В квантовой механике и теории поля электромагнитный потенциал А^ непо-
непосредственно содержится в уравнениях движения в составе оператора обобщенного им-
импульса
г(дц - ieA,,),
однако и здесь вопрос о наблюдаемости потенциала А остается до конца не ясным.
Чтобы выделить эффекты, обусловленные не напряженностью, а потенциалом элек-
электромагнитного поля, казалось бы, можно рассмотреть процессы, например, рассеяния в
122 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
электромагнитном поле, напряженность которого равна нулю. Такие эффекты — эффек-
эффекты Ааронова—Бома — были предсказаны и экспериментально исследовались. Однако,
как уже отмечалось, поле А, не устраняемое калибровкой, может иметь нулевую напря-
напряженность (не будем касаться проблемы практического создания такого поля) только в
некоторой нестягиваемой области, на границе которой напряженность поля обязательно
отлична от нуля. В какой мере оба эти обстоятельства — топологическая нетривиаль-
нетривиальность области U, где F = 0, и граничные условия F Ф 0 на 8U — сказываются на
эффектах Ааронова—Бома? Существует мнение, что физически значимыми являются не
локальные (в точке) значения потенциала А, а только калибровочно-инвариантные ве-
величины — интегралы от потенциала А по всевозможным замкнутым контурам, которые
в случае стягивания контуров в точку выражаются через локальные значения напряжен-
напряженности поля.
Поскольку вакуумные калибровочные поля могут существовать только на топологи-
топологически нетривиальных многообразиях, в их описании и классификации должны участво-
участвовать глобальные топологические характеристики этих многообразий.
Пример 3.4.1. Пусть X = М3 \ {р = 0} — 3-мерное пространство R3 без оси z (в
цилиндрических (р, a:.z) или декартовых координатах). Рассмотрим на нем электромаг-
электромагнитный потенциал А, аналогичный C.24) из Примера 3.3.10:
Ф Фу Фа-
А = т-da = -тг-тdx ~ ~т йУ- C-29)
2тг х/ + у2 х! + у1
Напряженность этого поля F = dA во всех точках X равна нулю, и поле А является
градиентным
Фа
A = df, f = ir> A30)
на всякой стягиваемой области пространства X, например, при 0<?<а<2тг — е,но
не на всем X. Форма C.29) является представителем некоторого ненулевого элемента
группы когомологий де Рама Н'(X) = Ж пространства X. Элементы этой группы, будучи
представленными формами C.29), отличаются друг ог друга коэффициентами Ф и могут
быть параметризованы ими [Ф] С Н[(Х), так что будет выполняться групповая операция
[Ф] + [Ф'] = [Ф + Ф'].
В классе обобщенных функций поле C.29) может быть продолжено на все простран-
пространство Ш3. В этом случае при вычислении напряженности поля C.29) в точках р = 0
(х = у = 0) следует придерживаться особых правил дифференцирования функций, име-
имеющих полюс. Они таковы, что выполняется формула Стокса
/А~ IAapda= IFpdpda = $, C.31)
as о s
где S — круг в плоскости z = 0 с центром в точке р = 0. Откуда находим
Ф
F = Ф6(хЩу) dxAdy=- 6(p2) dp A da, C.3.2)
т..е. вдоль оси z имеется ненулевое магнитное поле Hz, поток которого C.31) равен Ф-
Подобные сосредоточенные магнитные потоки называются флаксонами. Р
§4. Эффект Ааронова—Бома
Поле C.29) из Примера 3.4.1 может быть создано бесконечно длинным и бесконечно
тонким соленоидом, магнитный поток внутри которого равен Ф. Эффекты Ааронова—
Бома в большинстве работ рассчитываются именно для этого поля, хотя оно — недо-
недостижимая идеализация. Идеализацией является как раз бесконечная длина соленоида.
Поле А бесконечно длинного соленоида конечного радиуса b в области р > Ъ совпадает
с вакуумным полем C.29), а будучи продолженным на все пространство Ш.3, имеет вид
1 - в(р - Ь) Г , , , Ф
Аа(р) = / H(p')p'dp'da +—9(p- Ь\ C.33)
р J 2-кр
о
где
в(х)={ Ь ас > О
^ \ 0, х ^ О
— ступенчатая функция,
Нр =0, Яг = Н(р)в(Ъ - р), На=0 C.34)
— поле внутри соленоида, а
ь
Ф = 2тг I H(p)dp
о
— его поток. Поле C.33) порождается током
1 Г dH
3, = J-- = 0, ja (р) = — - — A - 9(р - Ь)) + Н(ЬN(р - Ь)
Можно показать, что любой ток вида
/=@,ja(p), 0),
сосредоточенный в некоторой цилиндрической области Ш х U, вне этой области поро-
порождает вакуумное электромагнитное поле.
Другим примером возникновения вакуумного электромагнитного поля является си-
ситуация, когда в нестягиваемой области реализуется вакуумное решение какой-либо кван-
квантовой или полевой модели, например, Гинзбурга—Ландау или Нильсена—Олесена.
Пример 3.4.2. Пусть в пространстве М3 в области р > Ъ реализуется решение
(тФ\ Ф
-— I, Aa = —, Ap = Az=0 C.35)
2тге / 2-кр
вакуумных уравнений C.12). Поскольку волновая функция <р(а) должна быть однознач-
однозначной (т. е. (р(а) — (р(а + 2тг)), амплитуда Ф поля А в самосогласованном решении C.35),
в отличие от поля в примере 3.4.1-, не произвольна, а принимает дискретные значения
Ф = 2тгае, п ? Ъ.
?
124 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Решения вида C.35) реализуются в кольцевом сверхпроводнике и приводят к тому,
что магнитный поток
lit
г
Aa(p)pda = 2тгпе
о
через отверстие кольца принимает только дискретный набор значений. Это известный в
физике сверхпроводников эффект квантования магнитного потока.
Рассмотрим теперь общее математическое условие существования вакуумных кали-
калибровочных полей. Оно сводится к утверждению, что множество классов калибровочно
эквивалентных вакуумных калибровочных полей группы G на связном паракомпактном
многообразии X находится во взаимно однозначном соответствии с множеством клас-
классов сопряженных в G гомоморфизмов фундаментальной группы 7Г[(Х) многообразия X
в группу G (напомним, что элементы а и а' группы называются сопряженными в G,
если существует такой элемент д Е G, что да = а'д). Поясним, как возникает это
соответствие.
Пусть А — расслоение над связной паракомпактной базой X со структурной груп-
группой G, наделенное связностью А. Выберем некоторую точку х Е X и рассмотрим
параллельные переносы слоя п~[(х) вдоль всевозможных замкнутых путей у, начинаю-
начинающихся и заканчивающихся в точке х (пути должны быть кусочно гладкими, и это вносит
немало сложностей, на которых мы не будем останавливаться). Каждому такому перено-
переносу будет соответствовать некоторый изоморфизм д1 слоя -к~1(х) на себя. Множество Гх
замкнутых путей у наделено структурой группы, и, как это следует из свойств парал-
параллельного переноса, соответствие у —» д1 является гомоморфизмом группы Гх в группу
изоморфизмов слоя тг~' (х). Образ этого гомоморфизма Кх называется группой голономии
связности в точке х Е X. Группы голономии Кх в разных точках изоморфны, поэтому
можно говорить об абстрактной группе голономии К.
Группа Гх содержит инвариантную подгруппу Гх, состоящую из путей у, стягива-
стягиваемых в точку х. При гомоморфизме Тх —>¦ Кх подгруппа Г° отображается в подгруп-
подгруппу Кх С Кх, именуемую ограниченной группой голономии в точке х Е X, и соответственно
определен гомоморфизм фактор-группы
Гх/Г° = тг,(Х, х)
на фактор-группу КХ/КЧ. Далее, имеется изоморфизм группы голономии Кх на подгруппу
структурной группы G. Действительно, пусть AG — главное расслоение. Фиксируем
элемент р Е тгр'(а;) и всякому ду(р) сопоставим элемент д Е G, такой , что д^(р) = Р9-
Обозначим Кр образ Кх в G при таком сопоставлении. Если выбрать другой элемент
р' Е 1Гр[(х), такой, что р' = рд0, д0 Е G, то подгруппы Кр и Кр1 сопряжены в G, т. е.
Кр' = 9о Кр9о-
Таким образом, связность А определяет гомоморфизмы группы замкнутых путей Гх на
подгруппы группы G, сопряженные в G.
Пример 3.4.3. Рассмотрим Щ1)-расслоение, в слоях которого группа Е/A) дей-
действует как группа умножений на фазовый множитель exp(ia). Пусть iA — локальная
1-форма, связности на этом расслоении (I = г — генератор группы Е/A) в данном пред-
представлении). Дифференциальное условие параллельного переноса ?/A)-связностью iA
имеет вид
Dv = (d + iA(x))v - 0, C.36)
§4. Эффект Ааронова—Бома 125
где v — элемент слоя 7г~1(ж). Проинтегрируем это уравнение вдоль некоторого пути j.
Пусть v(a) — сечение ?/A)-расслоения вдоль пути 7([0, 1]), получаемое параллельным
переносом элемента г;G@)). Тогда условие C.36) принимает вид дифференциального
уравнения
dv(a) dxf'(a)
-^+iAli(j(a))—^v(a) = 0. C.37)
da da
Подчеркнем, что, поскольку А — локальная 1-форма связности, уравнения C.36) и C.37)
определены отдельно на каждой карте атласа расслоения. Если путь j умещается на
одной карте, то решением уравнения C.37) является
v(a) = v@)exp( -
Отсюда получаем, что при параллельном переносе вдоль пути у элемент v ? n~l(j@))
умножается на фазовый множитель:
= <?т"G@)) = ехр -г / A] v(j@)). C.38)
Если путь 7 пересекает несколько карт, то его можно представить как композицию пу-
путей 7г, умещающихся на каждой карте, для каждого из которых справедливо выраже-
выражение C.38). Но при переходе с карты на карту надо учесть функции перехода Pi,i+l. В
результате, преобразование параллельного переноса д1 вдоль такого пути имеет вид
д1 =ехр| -г / А] рк_кк ... р23ехр{ -г / А 1 р12ехр( -i / А 1. C.39)
\ J J \ J ) \ J )
В дальнейшем мы сохраним для д^ запись C.38), подразумевая учет функций перехо-
перехода Pi,i+i при взятии интеграла А. Фиксируем точку х ? X и ограничимся замкнутыми
путями из группы IV Тогда множество преобразований д1, у € Гх, образует группу
голономии Кх с групповой операцией
= ехр -г / А) ехр
i -г / А) = ехр I -i / А - i / а\ =expl-i А\ = gw.
\ i / V { I / V J, )
В слое главного U{\)-расслоения отображение параллельного переноса представляет со-
собой сдвиг группового параметра
а^> (a + a7)mod27r, ау = - А, C.40)
7
и отображение
7 —* а.у mod 2тг
есть гомоморфизм Гх на группу голономии Ка — подгруппу структурной группы U(\).
Поскольку f(l) коммутативна, Ка = Ка,. ?
126 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пусть связность А плоская, т. е. ее кривизна F во всех точках равна нулю. То-
Тогда ограниченные группы голономии Кар и Kl тривиальны. Это следует из теорем,
что группа голономии Кр является связной подгруппой Ли группы G и что ее алгебра
Ли определяется значениями, принимаемыми формой кривизны связности А в точках
многообразия X. Мы проиллюстрируем этот факт с помощью следующей конструкции,
подобные которой широко применяются для приближенных расчетов в калибровочных
моделях на решетках.
Пример 3.4.4. Всякий стягиваемый в точку х путь у можно представить как образ
границы квадрата [0, 1] х [0, 1] при некотором его отображении / в X. Разобьем квадрат
натхт клеток и обозначим А(г, j) отмеченный на нем путь. Образ этого пути у(г, j) в
пространстве X при отображении / называется лассо. Тогда легко проверить, что путь у
может быть представлен как композиция таких лассо
7(m, m)... 7A, гп)... 7(тв, 2)... 7A, 2)... 7(тп, 1)... 7A, 1). C.41)
Пусть теперь число элементов разбиения неограниченно возрастает. Тогда вклад каждого
лассо в оператор параллельного переноса имеет вид
9,
где д — оператор параллельного переноса вдоль петли лассо, F — кривизна в некоторой
точке внутри петли лассо, a AS — элемент площади петли лассо. Если F = 0 во всех
точках, д1 — тождественное преобразование. ?
Когда связность плоская, ограниченная группа голономии тривиальна и гомомор-
гомоморфизм фундаментальной группы 7Г|(Х, х) на Кх/Кх превращается в гомоморфизм на К^.,
а тем самым определены гомоморфизмы тг,(Х, х) на сопряженные подгруппы структур-
структурной группы G.
Пример 3.4.5. Рассмотрим тривиальное GA)-расслоение над пространством
М3 \ {р = 0} из Примера 3.4.1 и на нем плоскую связность, задаваемую формой C.29).
Интеграл от этой формы по стягиваемому контуру равен нулю. Чтобы это показать,
представим, следуя конструкции из Примера 3.4.4, стягиваемый путь как композицию
лассо y(l, j), таких, что петля каждого лассо принадлежит стягиваемой области в X. То-
Тогда в каждой такой области форма C.29) является точной и интеграл от формы А вдоль
петли каждого лассо, а тем самым вдоль каждого лассо и, следовательно, вдоль рассма-
рассматриваемого пути 7 равен 0. Таким образом, интеграл от формы C.29) по замкнутому
пути 7 зависит только от гомотопического класса этого пути. Выберем в качестве пред-
представителя каждого класса п 6 Z = 7rt(X) путь уп — п оборотов по окружности р = const
в плоскости z = const. Тогда
Г
А = Фп,
и, согласно C.40), имеется гомоморфизм группы тг^Х) на подгруппу группы Е/A), со-
состоящую из элементов U(l) с параметрами
о„ = (Фп)mod2тг, п = 0, ±1,... .
Как видим, два вакуумных поля C.29) задают один и тот же гомоморфизм.
тг,(Х)
§4. Эффект Ааронова—Бома 127
если их коэффициенты Ф и Ф' отличаются на 2тг/г. Но такие поля связаны калибровоч-
калибровочным преобразованием
гФ гФ' ¦,,„ 1 ,-,.„
-гк°дка. C.42)
+ едае.
2тт/э р
О
Пример 3.4.6. Расслоениями, связность на которых всегда плоская, являются на-
накрытия. В этом случае всякий путь, выходящий из точки х ? X, допускает единственный
возможный накрывающий путь, выходящий из каждой точки р ? тг"'(а;). Поэтому груп-
группа Гх единственным образом порождает группу голономии Кр на накрытии. При этом
пути, выходящие из р и накрывающие гомотопные пути из Г,., должны оканчивать-
оканчиваться в одной и той же точке из тг~'(ж). Действительно, пути, оканчивающиеся в разных
точках дискретного слоя тг~\х), не могут быть стянуты друг в друга. В частности, пу-
пути, выходящие из р и накрывающие стягиваемые пути из Гх, оканчиваются в самой
точке р. Отсюда следует, что группу голономии Кр на накрытии порождает гомотопи-
гомотопическая группа 7Г|(Х, ir(p)), и, если накрытие допускает структурную группу G, имеется
ГОМОМОрфиЗМ 7Г|(Х, 7Г(р)) —* G. ?
Пусть теперь, обратно, задан гомоморфизм ft\(X) в G с ядром N. Можно показать,
что над X существует главное расслоение A,v, структурной группой которого (она же
группа голономии) является ir](X)/N. Поэтому над X можно построить расслоение А
со структурной группой G, редуцированной к ir1(X)/N, которое ассоциировано с Ал-,
т. е. имеет атлас Фо, чьими функциями перехода являются постоянные функции со
значениями в образе 7г,(Х) в G.
Зададим локальную 1-форму связности А, которая в атласе Фо имеет вид А = 0. Это
можно сделать, так как все функции рч = const и
А, = риА5р~- + pt:idp~/ = 0,
если Aj = 0. Хотя в атласе Фо форма связности А = 0, это не означает, что группа
голономии связности тривиальна, поскольку при параллельном переносе слои будут пре-
преобразовываться под действием функций перехода атласа Фо (см. выражение C.39)). При
переходе к другому атласу форма А примет вид
а ее форма кривизны остается равной нулю во всех точках.
Атлас Фо задан не однозначно, а с точностью до калибровочных изоморфизмов д{,
сохраняющих функции перехода атласа Фо. Если в другом таком атласе Ф(, определить
форму связности А' = 0, то при переходе к атласу Фо получим
т. е. 1 и А1 связаны калибровочным преобразованием. Таким образом, гомоморфизм
тг,(Х) в G определяет вакуумное калибровочное поле с точностью до калибровочной экви-
эквивалентности.
Пример 3.4.7. Пусть X — то же пространство, что и в Примере 3.4.5, G = GA) и
задан гомоморфизм
7Г,(Х) = Z Э п -> а = Grra)mod27r ? GA). .
128 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Построим над X тривиальное GA)-расслоение, как в Примере 3.4.5, и зададим его атлас
Фо = {^1, U2, р12, р21},
Г Зтг 1 Г 5тг 1
U, = |р, 0 < а, < у, zj, U2 = ip, тг < а2 < у, z|,
I/, п U2 = V, U V = i тг < а, = а2 < у I U |о < а, = а2 - 2тг < ||,
h p2i(x) = -\, x?V2.
Определим в атласе Фо локальную 1-форму связности А — 0. Однако ее группа голо-
номии не тривиальна, поскольку при параллельном переносе вдоль пути уп (см. При-
Пример 3.4.5) в результате n-кратного действия функций перехода рп и р2[, согласно C.39),
получаем д1 = (— 1)п. Перейдем калибровочным преобразованием
¦ а
к атласу
Ф = {Uh U2, р\2, р'21}
с тождественными функциями перехода
Pn=9\Pngi =exp^-iyj exp^iyj = 1,
Pi\ =9iPi\9\ =exp I -г 1 (-l)exp^iyj = 1.
В этом атласе поле А принимает вид C.29):
= 9\dgx ' = А2 = g2dg2 ' = -da.
а
При совершении калибровочных преобразований в моделях на нестягиваемых то-
топологических пространствах надо, однако, проявлять осторожность. Дело в том, что
такие преобразования не всегда оставляют инвариантными интегральные величины. Про-
Проиллюстрируем это опять на примере абелева калибровочного поля. Пусть X — снова
пространство М3 \ {р = 0}, А — тривиальное GA)-расслоение над X и
Ф = {Uu U2, Рп = р21 = 1}
— его атлас с тождественными функциями перехода, как в Примерах 3.4.5 и 3.4.7. Рас-
Рассмотрим калибровочное преобразование
д = exp(irm).
Оно определено на всем пространстве X, поскольку
g(al) = g(a2), а, = а2 G У,, сц + 2тг = а2 е V2,
и устанавливает калибровочную эквивалентность C.42), например, между полями А — 0
и А' — in da. Однако интеграл по нестягиваемому замкнутому контуру 7i от формы А
§ 4. Эффект Ааронова—Бома 129
равен нулю, а от формы А' равен ilirn. Причина в том, что форма g(a)dg~\a), на
которую изменяется 1-форма связности А при таком калибровочном преобразовании,
не является точной, поскольку
5(a,)d5~'(ai) = indat = inda2 = g(a2)dg~\a2),
но at ф a2. В частности, в Примере 3.4.2 поля А = 0 и А' = inda приводят к различным
значениям магнитного потока 0 и —2тгае.
Для описания таких эффектов, как образование флаксонов и квантование магнит-
магнитного потока, необходимо рассматривать вакуумные электромагнитные поля с учетом их
когомологической эквивалентности. Сделаем это, привлекая понятие относительных го-
гомологии и когомологий.
Относительные гомологии и когомологий
Пусть Y — топологическое пространство, а X — его подпространство. Тогда группы
сингулярных цепей Ск(Х) лежат в группах Ck(Y). Назовем группой относительных цепей
фактор-группу
Ck(Y, X) = Ck(Y)/Ck(X).
Элементами Ck(Y, X) являются классы ск, состоящие из А;-цепей ск в Y, отличающи-
отличающиеся на fc-цепи в X. Граничный оператор д переводит Ск(Х) в Ск_1(Х), поэтому он
определяет некоторый граничный оператор
Ck(Y, X) -> Ck^(Y, X).
Как и раньше, определим относительные циклы, для которых dck = 0 (это классы
fc-цепей ск в Y, имеющие границы дск в X), и относительные границы
ск - dck+i
(это классы fc-цепей ск в Y, отличающиеся от границ ск = <9cfc+l в Y на некоторую
fc-цепь в X). Группой относительных гомологии Hk(Y, X) называется фактор-группа от-
относительных А;-циклов по относительным fc-границам. Как и для гомотопических групп,
для групп гомологии пары (Y, X) имеет место точная последовательность
... — Нк(Х) — Hk(Y) — Hk(Y, X) —v Я,_,(Х) — ... . C.43)
Пример 3.4.8. Если Y — стягиваемое пространство, то Hk(Y) = 0, к > 0. Тогда
точная последовательность C.43) разбивается на короткие последовательности
0—+Hk+1(Y, X)—+Нк(Х)—+0, fc>0.
Откуда следует, что
Нк+1(У, X) = Нк(Х), к>0.
a
Аналогично относительным гомологиям можно определить относительные когомоло-
когомологий. Пусть X — подмногообразие многообразия Y. Рассмотрим гомоморфизм ограни-
ограничения fc-форм
П*(У) —
5 3ак. 1485
130 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Ядро этого гомоморфизма называется группой относительных к-мерных коцепей ПЬ(У, X)
пары (У, X). Она состоит из fc-форм ак на У, которые на X С У равны нулю. Будем
обозначать такие формы ак. На П*(У, X) действует тот же оператор внешнего диффе-
дифференцирования d, что и на Г2*(У), и определены относительные коциклы и кограницы,
представляемые замкнутыми (dak = 0) и точными (ak = dak~l) формами. При этом
относительный коцикл является и обычным коциклом, но относительный коцикл, будучи
обычной границей (т. е. ак = dak~l), может не быть относительной границей, т. е. не
найдется нулевая на X форма сг*, такая, что сг* = dak~{.
Группами относительных когомологий Hk(Y, X) называются фактор-группы замкну-
замкнутых &-форм ак по относительным fc-границам. Как и для групп гомологии, для групп
когомологий пары (У, X) имеет место точная последовательность
... —> Hk(Y, X) —+ Hk(Y) —+ Нк{Х) —> Hk+1(Y, X) —> ... . C.44)
Пример 3.4.9. Если У — стягиваемое пространство, то Hk(Y) — 0, к > 0. Тогда
точная последовательность C.44) разбивается на короткие последовательности
0 —> Нк(Х) —+ Hk+l(Y, X) —> 0, к > 0.
Откуда следует, что
Hk+l(Y, X) = Hk(X), к>0.
а
Применим эти конструкции к интересующему нас случаю вакуумных электромагнит-
электромагнитных полей. Пусть У — многообразие, некоторое подмногообразие которого X допускает
вакуумное электромагнитное поле. Тогда группа относительных когомологий H2(Y, X)
определяет множество типов магнитных полей в Y\X, образующих флаксоны.
Поток такого поля сг2 (это коцикл в Г32(У, X)) через поверхность с2 в У, граница
которой принадлежит X (с2 — цикл в C2(Y, X)), определяется интегралом
Ф
-/"¦
который зависит только от класса относительных когомологий H2(Y, X) формы а2 и
класса относительных гомологии H2(Y, X) поверхности сг. Действительно,
8с2СХ
f
С}+с)сз+Д С2 Осу Д С2
3
Если У — стягиваемое пространство (например, У = Е3, а X — конфигурация,
образованная сверхпроводником), то всякая замкнутая форма <т2 является точной на У,
т. е. сг2 — da1, где ст1 — замкнутая форма при ограничении на X. Тогда значение
интеграла
ф= I <г2= I da' = fa1 C,45)
Of, С .V
§ 4. Эффект Ааронова—Бома
определяется классом когомологий Н[(Х) формы а1 и классом гомологии Н^Х) кон-
контура дс2. Это является следствием изоморфизмов
Hk+[(Y, X) = Н\Х), Hk+l(Y, X) = Нк(Х)
для стягиваемого пространства Y. Частным случаем равенства C.45), когда
— К , А = 1К \\р = О},
служит выражение для магнитного потока C.32) в Примере 3.4.1.
Можно заметить, что, приведя общее математическое описание вакуумных кали-
калибровочных полей, рассмотрение конкретных моделей мы ограничили случаем только
абелева поля. Дело в том, что вакуумные калибровочные поля на пространствах с абеле-
абелевой группой tti(X) не могут порождать неабелеву группу голономии К в силу изомор-
изоморфизма тг^Х) — К, а пространства с некоммутативными фундаментальными группами
устроены довольно сложно. Одним из простейших примеров таких пространств являет-
является плоскость с ручкой, или, что эквивалентно, тор без точки (рис. 15), где пути аи а2, Ъ
связаны соотношением а, = ba2b~1 Ф а2.
Рис. 15
Можно рассмотреть калибровочную модель неабелевой группы G на пространстве X
с коммутативной группой тг,(а'). Однако вакуумные калибровочные поля группы G
на таком пространстве фактически будут калибровочными полями некоторой абелевой
подгруппы группы G. Например, в ряде работ исследовался эффект Ааронова—Бома в
модели
X = W\{p = 0}, G = 517B)
(SUB) — группа преобразований изоспина). Выбором калибровки вакуумное калибро-
калибровочное поле в этой модели может быть приведено к виду
Ap = Az=0, A« y
т. е. представляет собой калибровочное поле абелевой подгруппы- U(l) группы SUB),
состоящей из матриц
_ ( exp(ia)
132 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
В заключение отметим, что в моделях вакуумных калибровочных полей, как и в со-
литонных моделях, рассматривались тривиальные расслоения. Более того, само наличие
плоской связности предполагает если не тривиальность, то редукцию структурной груп-
группы расслоения к дискретной подгруппе. Это следует из того, что если расслоение со
структурной группой G над связной паракомпактной базой допускает связность, абстракт-
абстрактная группа голономии которой изоморфна подгруппе К, то структурная группа расслоения
редуцирована к этой подгруппе. Обратное неверно, например, тривиальность расслоения
не накладывает ограничений на группу голономии.
Перейдем теперь к рассмотрению тополого-алгебраических характеристик, которые,
в отличие от уже использовавшихся для вакуумных калибровочных полей и солитонов,
вызваны именно нетривиальностью расслоений, описывающих ту или иную полевую
систему.
§ 5. Характеристические классы расслоений
Классификационная теорема
Большинство топологических чисел и зарядов, фигурирующих в полевых моделях,
представляют собой тополого-алгебраические характеристики, описывающие различные
классы ассоциированных расслоений. Поэтому обратимся к задаче классификации рас-
расслоений с данной структурной группой G над топологическим пространством X.
В общем виде эта задача решается классификационной теоремой, которая устанавли-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами ассоциированных расслоений
над X и гомотопическими классами отображений базы X в некоторое специальное
классифицирующее пространство, зависящее только от структурной группы.
Обозначим 5(Х, G) множество классов ассоциированных расслоений над тополо-
топологическим пространством X со структурной топологической группой G. Рассмотрим
действие на это множество операций сужения структурной группы и индуцирования.
Пусть G' — подгруппа группы G. Тогда вложение G' —»• G порождает естествен-
естественное вложение множества S(X, G') в множество S(X, G), образами которого являются
классы расслоений над X, структурная группа G которых редуцирована к подгруппе G'.
В частности, если база X паракомпактна, G — группа Ли, а С — ее максимальная
компактная подгруппа, то
S(X, G) = S(X, G'),
поскольку в этом случае структурная группа расслоений над X всегда редуцирована к G'.
Пример 3.5.1. Укажем важные для физических приложений случаи совпадения
S(X, G) = S(X, G' С G),
когда
G = GL(n, С), G' = Uin);
G = GL(n, R), G' = O(n);
G = GL+(n, R), G' = SO(n);
G-= SOC, 1), G' = 5OC).
?
. Пусть J : X —*Y — непрерывное отображение. Для всякого расслоения Диад Y оно
индуцирует расслоение /*А над X. Оно наследует структурную группу G расслоения А.
§5. Характеристические классы расслоений 133
Поэтому отображение / порождает морфизм
/' : S(Y, G) - S(X, G).
Для клеточных пространств и паракомпактных пространств морфизмы /* зависят
только от гомотопического класса отображений / и тем самым определяют морфизм
тг(Х, Y) -* S(X, G).
Если бы нашлось такое пространство Г, что отображения / : X —> Y индуцируют
биекцию тг(Х, Y) на S(X, G), это позволило бы описать множество S(X, G) классов
G-расслоений над X. Для клеточных пространств X такое пространство существует.
Расслоение Л со структурной группой G, типичным слоем V и базой bsA = ХЛ
называется универсальным, если:
а) для всякого расслоения Л с клеточной базой X и слоем V существует такое не-
непрерывное отображение / : X —* ХЛ, что расслоение /*Л эквивалентно Л;
б) всякие два непрерывные отображения f\ и /2 клеточного пространства в ХЛ,
индуцирующие эквивалентные расслоения /*Л и /2*Л, гомотопны.
База универсального расслоения Л со структурной группой G одновременно является
базой универсальных расслоений со структурной группой G и всевозможными другими
типичными слоями и в этом смысле не зависит от типичного слоя. Она называется
классифицирующим пространством группы G.
Теорема, устанавливающая существование классифицирующих пространств, назы-
называется классификационной теоремой.
Теорема 3.5.1. Для всякой топологической группы G существует топологическое
пространство B(G), являющееся классифицирующим для всех расслоений со структур-
структурной группой G над клеточными пространствами X, т. е.
S(X, G) = тг(Х, B(G)).
?
Из классификационной теоремы следует, что для данной группы G множество S(X, G)
зависит только от гомотопического типа пространства X и является тем самым гомотопи-
гомотопическим инвариантом. Это и позволяет решать задачу классификации расслоений мето-
методами алгебраической топологии. Для некоторых типов топологических групп G класси-
классификационная теорема справедлива для расслоений не только с клеточной базой.
Пример 3.5.2. Чтобы проиллюстрировать действие классификационной теоремы,
приведем классификацию расслоений с дискретной структурной группой G. Главное
расслоение Л с дискретной структурной группой образует накрытие (см. Пример 3.4.6).
Рассмотрим для этого расслоения, как и в Примере 3.1.10, точную последовательность
гомотопических групп C.5), которая распадается на короткие точные последовательно-
последовательности C.6) и C.7). При этом в случае главного расслоения проекция C.9) — это гомомор-
гомоморфизм фундаментальной группы через порождаемую ею группу голономии Кр (см. При-
Пример 3.4.6) на G как на структурную группу. Отсюда следует, что Кр = G и образ
7r,(tl А, р) в тг^Х, тг(р)) при мономорфизме C.8) — это некоторая подгруппа N группы
тг^Х, тг(р)). Таким образом, для существования над связным пространством X расслое-
расслоения со структурной группой G необходимо, чтобы в 7г,(Х,.) существовала такая инвари-
инвариантная подгруппа N, что фактор-группа •Kl{X,.)/N изоморфна G. Для широкого клас-
класса пространств X, например, связных локально стягиваемых (когда всякая окрестность
134 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
точки содержит стягиваемую окрестность), это условие является достаточным. Класси-
Классифицирующим пространством B{G) дискретной группы G является, например, связное
локально стягиваемое пространство с гомотопическими группами
t,(B(G)) = G, ra(B(G)) = 0, n > 1.
Действительно, в этом случае гомотопический тип отображения X —* B(G) определяется
только ядром гомоморфизма
D
Для физических приложений наибольший интерес представляют дифференцируемые
векторные расслоения над паракомпактными многообразиями со структурными группа-
группами GL(n, С) или GL(n, Ж), редуцированными соответственно к U(n) и О(п). Класси-
Классифицирующими пространствами этих групп служат
B(U(n)) = lim G(n, N; С),
В(О(п)) = lim G(n, N; Ж),
N±oc
где G(n, N; С) и G(n, N; M) — многообразия Грассмана п-мерных плоскостей в CN
и M.N. Знание классифицирующих пространств позволяет классифицировать U(n)- и
О(п) -расслоения над многообразиями (и над более широким классом пространств) с
помощью характеристических классов — элементов групп когомологий Н*(Х, Z) со зна-
значениями в постоянном пучке Z (см. Приложение В).
Мы в основном будем иметь дело со следующими характеристическими классами:
классами Чженя с; G H2l(X, Z) для Uiri) -расслоений;
классами Понтрягина р< G Н4'(Х, Ъ) для О(п)-расслоений;
классом Эйлера е G H"(X, Z) для 5ОGг)-расслоений;
классами Штифеля—Уитни w{ G H'(X, Z2) для касательных расслоений.
Классы Чженя
Начнем с классов Чженя U(n) -расслоений. Возможны различные пути описания
классов Чженя и определения их свойств. Воспользовавшись вложением
Н*(Х, Z)-*H'(X, К)
(по модулю кручения) и изоморфизмом Н*(Х, Ш) и групп когомологий де Рама Н*(Х)
(см. Приложение В), мы будем строить классы Чженя как классы когомологий некото-
некоторых форм на X.
Пусть А — комплексная (к х к) -матрица и Р(А) — полином из компонент матри-
матрицы А. Полином Р(А) называется характеристическим, если
Р(А) = Р(дАд~1)
для всех д € GL(k, С). Если А имеет собственные значения {а,, ..., ак}, то Р(А) пред-
представляет собой симметричную функцию этих значений. Обозначим Sj(a) следующий
симметричный полином от а; степени j:
5,-(о)= Y1 ам--S- <3-46>
§5. Характеристические классы расслоений 135
Тогда Р(А) представим как полином
Р(А) = Ьо + btSiia) + b2dS2(a) + ...
от Sj(a),j = I, ..., к.
Пример 3.5.3. det(l+4), где 1 — единичная матрица, является характеристическим
полиномом и
det(l + A)=\ + SM + S2(a) + ... + Sk(a).
О
Пусть Р(А) — характеристический полином. Подставим в него вместо А матрично-
значную 2-форму кривизны (напряженности) jP некоторой связности на дифференци-
дифференцируемом векторном расслоении со структурной группой. Тогда, как можно показать, так
называемая характеритическая форма P(F) обладает следующими свойствами:
а) P(F) — замкнутая форма, т. е. dP(F) = 0;
б) P{F) — P(F'), где F и F' — формы кривизны двух любых связностей на рассло-
расслоении, является точной формой.
Последнее означает, что характеристический полином, взятый от различных форм кри-
кривизны на данном расслоении, имеет один и тот же когомологический класс де Рама, ко-
который тем самым может служить характеристикой этого расслоения. Это действительно
так, и характеристические классы расслоений представляются когомологическими клас-
классами характеристических полиномов от форм кривизны на расслоении.
Пусть А — комплексное векторное расслоение над n-мерным многообразием X со
структурной группой GL(k, С) и F — форма кривизны на Л. Полной формой Чженя
называется следующий характеристический полином от F:
c(F) = det ( 1 + ^~F ) =]+cl(F) + c2(F) + ... . C.47)
Составляющие его 2г-формы Ci(F) называются формами Чженя и являются полиномами
степени г от F:
c2 = 7-7{Тг(^ Л F) - Tr F Л Тг F}. C.48)
Все формы Чженя c{(F) замкнуты, и их когомологические классы отождествляются с
характеристическими классами Чженя расслоения А, будучи образами с,(А) ? Н2г(Х, Ъ)
при отображении
Н*(Х, Z) -» Н\Х, Ж) = Н*(Х).
Пример 3.5.4. Построим полную форму Чженя C.47) от формы кривизны на U{\)-
расслоении А„ над сферой S2:
с — det ( 1 -| F J = 1 + c{(F),
i n
TtF sinedd Ad(p. C.49)
2tt 4x
136 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.5.5. Запишем полную форму Чженя для SUB)-расслоения над много-
многообразием X4. Форма кривизны на таком расслоении имеет вид
= -—Fa,
где та — матрицы Паули. Тогда
c(F) = det ( 1 + ~TaFa ) =l + ct(F) + c2(F),
F) = Fa Л Fa. C.50)
П
Представление классов Чженя формами Чженя позволяет легко получить свойства
этих классов:
А1) с;(А)=0,
А2) с;(Л) = 0, i>fc; C.51)
A3) с(Л 9 Л') = с(Л)с(Л');
А4) ' '
где L, U — линейные A-мерные) Щ1)-расслоения.
Отметим также, что если f'X — индуцированное отображением / : X —> Y рассло-
расслоение, то
с(Г А) = /*с(А),
где
/* : Н*(У, Ъ) -> Н*(Х, Z)
— порождаемый отображением / гомоморфизм групп когомологий.
Эффективно использовать это свойство и свойство (A3) позволяет следующая теоре-
теорема.
Теорема 3.5.2. Для всякого главного U(k)-расслоения А над многообразием X
существует пространство Y и непрерывное отображение / : Y —» X, такие, что:
а) f'X есть сумма Уитни С/A)-расслоений;
б) /* : Н*(Х, Ъ) -> #*(Г, Z) — вложение. ?
Она дает возможность в целом ряде случаев выражать классы Чженя гладких U(k)-
расслоений через классы Чженя {/A)-расслоений, или на примере этих случаев иссле-
исследовать общие свойства классов Чженя. Это называется принципом расщепления. Согласно
этому принципу
с(А) = c(L, ®...®Lk) = c{L{) ¦ ¦ ¦ c(Lk) = A + о,) • • ¦ A + ak), C.52)
где а, = Ci(Ln) — класс Чженя расслоения Li. Из C.52) находим
§ 5. Характеристические классы расслоений 137
с2=
Выражение C.53) идентично выражению C.46), и это не случайно, поскольку а{
представляют собой компоненты диагонализованной формы кривизны
\ к )
на расслоении L, © ... © Lk.
Пример 3.5.6. Пусть А* — дуальное к А расслоение. Тогда, согласно принципу
расщепления,
с(А*) = c(JA) ¦ ¦ ¦ c(Ll) = A + а;> • • • A + al).
Поскольку переход к операторам и генераторам группы U(l) в дуальном представлении
состоит в операции комплексного сопряжения, т. е. F* — —F, имеет место соотноше-
соотношение а* = —а;. Откуда легко получить свойство классов Чженя дуального расслоения
Ci(A") = (-l)'c(A). C.54)
D
Если база X расслоения А — замкнутое n-мерное многообразие, из форм Чженя
можно составить n-формы и рассмотреть их интегралы по многообразию X. Значения
последних будут зависеть только от когомологических классов форм Чженя. Тем самым
они оказываются характеристическими для данного расслоения А. Например, для п = 4
имеется два таких числа Чженя
= / схАсу. C.55)
Отметим, что, поскольку классы Чженя являются элементами целочисленных групп ко-
гомологий, числа Чженя оказываются целыми.
Пример 3.5.7. В случае {/A)-расслоения А„ над S2 из Примера 3.5.4 получаем
число Чженя
¦к 2ж
С, = / Ci = / sin в dd I d(p = -п. C.56)
S2 0 ¦ О
Оно действительно является характеристическим для расслоения Ап, поскольку рассло-
расслоения А„ с различными п не эквивалентны между собой и число п параметризует классы
эквивалентности {/A)-расслоений над S2. Показательно, что для тривиального рассло-
расслоения Ао число Чженя C.56) равно нулю. ?
. Для U(к) -расслоений, помимо классов Чженя, могут быть определены и другие ха-
характеристические классы, выражаемые через классы Чженя.
138
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Характер Чженя ch(A) задается характеристическим полиномом
(
и обладает свойствами
ch(A0A') = ch(A) + ch(A'),
ch(A <g> A') = ch(A) • ch(A').
Его выражение через классы Чженя можно установить, используя принцип расщепления:
ch(A) = ch(L, ® ...®Lk)- ch(?|) + ... + ch(Lfc) = exp a, + ... + exp ak =
+ . • • =
^22 k ^2
i,<h
= * + C,(A)+-[cJ(A)-2c2(A)] + ....
Класс Тодда ?/(&)-расслоения следующим образом определяется через классы Чженя,
используя принцип расщепления:
td(A)
Он обладает свойством
к
= У)
— - 1 + - с, + — (с] + с2) + ... .
I - exp(-a,-) 2 12
td(A0A') = tdAtdA'.
C.58)
Классы Понтрягина
Перейдем теперь к характеристическим классам вещественного к -мерного вектор-
векторного расслоения А, имеющего структурную группу О(к).
Опишем классы Понтрягина такого расслоения когомологическими классами компо-
компонент характеристического полинома
p(F) = det П - — F J = 1 + р, + р2 + ...
C.59)
от формы кривизны F на А, принимающей значения в алгебре Ли О(к). Поскольку в
представлении на Rk генераторы О(к) таковы, что
в разложении C.59) отличны от нуля компоненты только четной по F степени, и, таким
образом, pj G H4j(X). Классы Понтрягина обладают следующими свойствами:
C.60)
Б2)рДА) = 0, И > к;
БЗ)р(АеА')=;р(А)+р(А').
Отметим, что,, в отличие от комплексного случая, хотя характеристические классы
расслоений со структурными группами О(к) и GL(k, Ш) совпадают (GL(k, Ж) всегда
§ 5. Характеристические классы расслоений
139
редуцирована к О (к)), характеристические формы для них, вообще говоря, различны.
Например, если F — форма кривизны, принимающая значения в алгебре Ли gl(k, Е), то
в разложении C.57) могут возникнуть компоненты нечетной степени по F. Поэтому во
избежание недоразумений характеристические формы, отвечающие классам Понтрягина,
следует строить только из О(к)- или О(к — д, д)-значных форм кривизны.
Пример 3.5.8. Рассмотрим касательное расслоение над многообразием X4. Для не-
него имеется единственный класс Понтрягина р, 6 Н4(Х), характеристическая форма для
которого может быть построена из формы кривизны jP некоторой римановой метрики
на X:
Аксиоматически классы Понтрягина 0(А;)-расслоений могут быть введены через
классы Чженя {/(/г)-расслоений. Для этого воспользуемся следующими коммутативны-
коммутативными диаграммами вложений:
U (к)
GL(k, С)
О(к) -
0B*)
GLBk, ]
— U (к)
C.61)
C.62)
GL(k,
GL(k, С)
В диаграмме C.61) горизонтальные стрелки обозначают вложения, получающиеся, если
линейное преобразование пространства Ск с комплексными координатами z\ ..., zk
представить как линейное преобразование вещественного пространства Ш2к с координа-
координатами хх, ..., х2к, положив
z =
В диаграмме C.62) горизонтальные стрелки обозначают вложения, получающиеся, если
матрицы с вещественными коэффициентами рассматривать как частный случай матриц
с комплексными коэффициентами.
Диаграмма C.62) определяет вложение
<р : 5(Х, 0(*)) - S(X,
и для 0{к) -расслоений над X положим
C.63)
Элементы р<(А) g H4i(X, Z) называются г-ми классами Понтрягина, а р(\) — полным
классом Понтрягина расслоения А. Их образами в когомологиях де Рама Н*(Х) являются
140 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
классы Понтрягина, определяемые через характеристический полином C.59). Заметим,
однако, что для классов Понтрягина C.63) свойство (Б2) верно по модулю элементов
порядка 2 в Н'(Х, Ъ).
Диаграмма C.61) определяет вложение
р : S(X, Щк)) -» S(X, 0B*:)),
а композиция <рр — цепочку вложений
S(X, U(к)) -+ S(X, OBk)) -+ S(X, UBk)).
Таким образом, если Л есть U(k)-расслоение над X, то р(Х) есть ОBк)-расслоение
над X, а <р(р(\)) — это {/B/г)-расслоение над X. При этом элемент A ? U(k) в ком-
>анства Ск вложениями
U(к) -» OBfc) -» UBk)
плексных координатах z' пространства Ск вложениями
Re А ~1тА\ (А 0
1mA Re A j ~* [ 0 A*
переводится в элементы
в вещественных координатах
пространства Ж2к и в комплексных координатах
z=x'+ixk+l, гк+г = х{ - ixk+t
пространства С2к.
Поскольку элемент А унитарен, матрица А* совпадает с транспонированной обрат-
обратной матрицей. Следовательно, расслоение <рр(Х) является суммой Уитни расслоения Л
и дуального расслоения Л*, и согласно свойству (A3) имеем
с(рр(А)) = с(Л)с(Л*).
Отсюда, используя C.63) и C.54), получаем соотношение
Х)(-1)>,-(р(А)) = с(<рр(\)) = с(А)с(А') = \j2 сг(АI [Х)(-1)Ч-(АI C.64)
между классами Чженя {/(^)-расслоения А и классами Понтрягина ОBк)-расслоения
р(Х). Используем это соотношение в следующей конструкции.
Классами Понтрягина Pi(X) вещественного многообразия X называются классы Пон-
Понтрягина касательного расслоения ТХ.
Пусть многообразие X ориентировано и dimX = 2m. Пусть структурная груп-
группа GLBm, Ж) касательного расслоения ТХ допускает редукцию к образу вложения
GL(m, С) в GLBm, Ж), т. е. расслоение ТХ имеет структуру некоторого GL(m, Ко-
Корасслоения (почти комплексную структуру), т. е. ассоциировано снекоторым GL(m, C)-
расслоением. Тогда классами Чженя такого вещественного многообразия Х2тп называются
классы Чженя расслоения ТХ как GL(m, С)-расслоения, т. е.
= сАр(Т(Х))).
§ 5. Характеристические классы расслоений
Отсюда, используя соотношение C.64), определяем связь между классами Понтрягина
и классами Чженя многообразия с почти комплексной структурой
В частности,
или, используя принцип расщепления,
= c]-2c2, р2 = с] -2С|С3 + 2с4, C.65)
2 V *
Пример 3.5.9. Многообразием с почти комплексной структурой является всякое
пространственно-временное многообразие X4. Это 4-мерное ориентируемое многообра-
многообразие, на котором задана некоторая псевдориманова метрика д. Такая метрика существует
тогда и только тогда, когда структурная группа GLD, Ж)-расслоения ТХ4 редуцирована
к группе Лоренца. Группа Лоренца 50A, 3), как известно, принадлежит образу группы
5Д2, С) в GL+D, К) (SLB, С) является двулистным накрытием над 50A, 3)). Редукция
структурной группы расслоения ТХ4 к группе Лоренца означает, что ТХ4 ассоциирова-
ассоциировано с некоторым SLB, С)-расслоением, а следовательно, с SUB)-расслоением. Поэто-
Поэтому наряду с классом Понтрягина pi(X4) пространственно-временного многообразия X4
определены его классы Чженя ct(X4) и с2(Х4), связанные с pi(X4) соотношением C.65).
Однако, поскольку класс Чженя с, для 5{/B)-расслоений равен нулю (см. Пример 3.5.5),
класс с,(Х4) тоже равен нулю. ?
Если структурная группа О(&)-расслоения Л редуцирована к SO(k), для такого рас-
расслоения определен класс Эйлера е(Л). Он может быть построен аксиоматически как
элемент группы Hk(X, Z), обладающий следующими свойствами:
81) 2е(Л) = 0, если к нечетно;
82) е(ГЛ) = Ге(Л);
83) е(Л0Л') = е(Л)е(Л');
84) е(Л) = с,(Л), еслиА: = 2. C.66)
Последнее свойство обусловлено изоморфизмом групп 50B) и U(l).
Установим теперь связь класса Эйлера с классами Понтрягина и Чженя. Пусть Л —
U(к)-расслоение над X и р(Х) — S0Bk)-расслоение над X. Тогда, применяя принцип
расщепления и свойства (ВЗ) и (В4), получаем
е(р(Л)) = e(p(JD.) © ... © p(Lk)) = е(р{Ь{)) • • • e(p{Lk)) =
C.67)
= c,(Zm) • • • с,(I.»,) = a, • • ¦ ak = с*(А).
В свою очередь, из C.64) следует, что
Pk(pW) = с2к{р(Х)),
и, таким образом, для всякого 50Bfc)-расслоения
е(А) = [р,(А)]|/2 C.68)
142 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Исходя их этого соотношения, можно построить характеристическую форму Эйлера для
SOBk)-расслоений. Из свойства (В.1) следует, что форма Эйлера для SOBk + 1)-
расслоений должна быть когомологична нулю.
Пример 3.5.10. Пусть X4 — ориентируемое многообразие. Тогда структурная
группа касательного расслоения ГХ4 редуцирована к 50D). Определим форму Эйле-
Эйлера для ТХ4, выбрав в качестве F форму кривизны R некоторой римановой метрики
на X4. Воспользуемся соотношением C.68), найдя
из разложения C.59). В результате
e(F) = -±-eabcdRab л Ды C.69)
32тг
D
Заметим, что при смене ориентации X4 форма Эйлера меняет знак.
В заключение укажем еще на классы Штифеля—Уитни w{ ? H'(X, Z2) касательного
расслоения над многообразием X. Так, многообразие X является ориентируемым тогда
и только тогда, когда w{ = О, а если X допускает почти комплексную структуру,
№2i+i = 0, w2i = с, mod 2.
В отличие от ранее рассмотренных характеристических классов классы Штифеля—Уитни
не представимы как когомологические классы каких-либо характеристических форм.
§6. Инстантоны
Инстантонами называются регулярные решения классических уравнений Янга—
Миллса в евклидовом пространстве-времени, на которых функционал действия прини-
принимает конечное значение. Интерес к решениям уравнений различных полей (не только в
калибровочной теории) в 4-мерном пространстве М с метрикой евклидовой сигнатуры
6^ = diag(+l, +1, +1, +1) связан с их интерпретацией при квантовании как процес-
процессов туннелирования между состояниями, разделенными классическим барьером. Мы
ограничимся здесь простейшими инстантонами для группы SUB).
Пусть
А(х) = 4М dxu = Alta dx"
— 1-форма связности на SUB) -расслоении над М. Удобно выбрать базис ta алгебры
Ли группы SUB) в виде антиэрмитовых 2 х 2-матриц
'а^-^7». а =1,2,3,
где та — матрицы Паули; ta удовлетворяют соотношениям
1
- 6аЬ1,
C.70)
§ 6. Инстантоны 143
Отметим, что ta являются образующими элементами алгебры так называемых ква-
кватернионов Q, которые можно представить как 2 х 2-матрицы вида
Q = Qo<r° + Qitr1 + Q2ct2 + Q3cr3 = QM<rM, C.71)
где а" — обобщенные матрицы Паули
а° = 1, <ra = -2ta, a =1,2,3,
a Q^ — комплексные числа. Вещественные кватернионы имеют действительные коэффи-
коэффициенты Q^, ц = 0, 1, 2, 3, а подалгебра чисто мнимых кватернионов, для которых Qo = О,
совпадает с алгеброй Ли группы SUB).
Сопряженным к Q кватернионом считается Q = Q+. При этом
cf° = сг° = 1 аа = -(га = 2Г, а =1,2,3,
и имеют место следующие соотношения:
(±>
где Я — так называемые тензоры т 'Хуфта
a ?apiiv — полностью антисимметричный тензор Леви—Чивита в евклидовом простран-
пространстве, т. е. ?ош = ?°ш = 1- Легко установить, что Vo^v = 0 и существенными компонен-
компонентами являются только Va)iu, а = 1, 2, 3. Причем
Va4c =еаЬс, а,Ь,с= 1, 2, 3, J
а из C.73) следует самодуальность (антисамодуальность) тензоров т'Хуфта:
(±> 1 <±),
> „а
Из C.72) легко получить
и следовательно, для всякого ненулевого кватерниона определен обратный элемент
Множество кватернионов единичной длины QQ = 1 образует группу (относительно ма-
матричного умножения), которая изоморфна группе SUB). В дальнейшем мы будем часто
144 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
использовать этот факт, представляя матрицы калибровочных преобразований д 6 SUB)
кватернионами C.71). Также SUB)-калибровочное поле А^ можно рассматривать как
чисто мнимое кватернионное поле на М.
Рассмотрим модель евклидова янг-миллсовского поля Лм без источников. Его функ-
функционал действия
\f f*\ FaruFr C.76)
является положительно определенным, и поэтому, для того чтобы он был конечным,
калибровочное поле должно достаточно быстро убывать на бесконечности, т. е.
F^(x)^0, И->оо. C.77)
Поскольку М — евклидово пространство, из C.77), как и в солитонных моделях, полу-
получаем, что калибровочный потенциал для поля с конечным действием есть чистая кали-
калибровка (вакуумное калибровочное поле)
А„{х) - gd^g-\ д(х) e SUB), C.78)
на бесконечности \х\ —> со.
Бесконечность в М будем описывать как сферу 5^. с радиусом R — х^х11 —> со,
рассматривая ее как границу евклидова пространства дМ = S^. Тогда C.77)—C.78)
задают граничные условия для конфигураций калибровочного поля на М.
Поля на дМ определяются отображениями
g : Si - SUB),
все множество которых распадается на классы гомотопически эквивалентных калибро-
калибровочных преобразований. Поскольку SUB) и 53, гомотопическая группа
7T3(StfB)) = Z,
и классы эквивалентности полей на границе можно характеризовать целым числом
п G Z. Последнее естественно ввести как степень отображения S3 ^> S^.
Для этого перейдем в М к 4-мерным сферическим координатам
x° = rcosx, Xх = г sin х sin в sin <p,
х2 = г sin х sin в cos <p, Xs = г sin % cos 0. j
Тогда координаты на S^ (при г — R —> со) задаются углами
(Кх^я-, 0^6»^ тг, 0^^<2х. C.80)
Обозначим у1 = х, у2 = в, у* = <р.
Аналогично введем параметризацию матриц g G SUB), рассматриваемых как веще-
вещественные единичные кватернионы
9 = 9^, 9*9* = 1,
посредством трех углов
? = {*, 0, ФУ, i = l,2, 3,
§6. Инстантоны 145
таким образом, что
д0 = cos х, дх = sin х sin 0 sin ф,
д2 = sin х sin в cos ф, </3 — sin х cos в.
Тогда произвольное SUB) -калибровочное преобразование можно записать в виде
cos х + i sin x cos 0
— sin x sin 0e "^
sinxsin#e '*
cos x - г sin x cos 0
C.81)
На границе 5^ евклидова пространства М функции у(у) определяют отображение
53 —* S3, степень которого degyiy) показывает, сколько раз координаты уг пробега-
пробегают интервалы C.80), т. е.
п = degy(y) = JL Jd'ysin2xsine = JL f d3ysin2Xsm§\J\, C.82)
где J = det ( ^7) — якобиан отображения у (у), а Е — область интегрирования по
переменным у. Отметим, что степень п = 1 имеет тождественное отображение х = X.
0 = в, ф = tp, тогда как произвольное значение п достигается отображением
X = X, 0 = в, ф = п<р
(т. е. сфера 5^ "накручивается" п раз на 53 я SUB) вокруг оси ж3 = z).
Пользуясь C.81), выпишем в явном виде соответствующие SUB)-матрицы. Для ото-
отображения с п = 1 имеем
9 =
cosx + г sin % cos 0
cos x - i sin x cos 0
а в случае произвольного n (когда ^э =
C.83)
<п) A)
Аналогичное n-кратное "накручивание" может иметь место вокруг любой другой оси,
например, при отображениях х — пХ> 0 = в, ф — <р или х = X. ^ = п^. Ф = V-
Степень п = 0 получается, когда вся сфера 5^ отображается в одну точку из SUB),
например, при % = 0, в = в, (р = ф. Тогда соответствующая SU{2)-матрица д = 1.
Как известно, степень отображения является гомотопическим инвариантом, поэтому
произвольное SUB)-преобразование с заданным п можно получить из описанных выше
примеров посредством гомотопии.
Формула C.82) определяет топологический инвариант п для случая, когда матри-
матрица SU{2) параметризуется углами уг согласно C.81), а граничная сфера 5^ описывается
координатами C.79). Перепишем C.82) в инвариантной форме, которая не зависит ни
от выбора параметризации на группе SU{2), ни от координат в М. Для этого заметим,
что из C.81) можно получить
cos % — г sin х cos в
sin x sin ве '*
¦ sin x sin Oe"*
cos % + г sin % cos в
146 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
откуда после несложных вычислений находим
sin2 xsinO = ^[(gd^Xgdig-'Xgdi)], C.84)
где мы обозначили
д
Ъ = ^, г =1,2,3.
ду1
Подставляя C.84) и выражение для якобиана
dyi dyj dyk
в C.82), получаем
1 ¦-')!, C.85)
п= ~ J ^уе^
где фактор - учитывает 3! одинаковых членов под интегралом в C.85). Принимая во
внимание eljfc = е)г'к, выводим из C.85) искомое инвариантное выражение
1
24тг2
1 f
и= ——- / du^s Тт^дд^д )(gdag ){gd@g )J, C.86)
s3
'-'-V
где dcrM — элемент поверхности 5^, fi, и, а, /3 = 0, ..., 3. Оно имеет один и тот же
вид в любых координатах пространства М.
Полезно доказать следующее свойство аддитивности величины C.86). Обозначим
Несложно убедиться, что для д = д^2 имеет место тождество
Тогда, поскольку из C.86) следует
находим, что для композиции калибровочных преобразований степени отображений скла-
складываются:
nfciftl = n[5l] + n[g2]. C.87)
Вернемся теперь к калибровочным полям на М. Согласно C.78) поведение поля
на бесконечной сфере 5^ описывается, калибровочным преобразованием д(х), х G 5^.
Следовательно, конфигурация поля на границе характеризуется целым числом — то-
топологическим зарядом C.85). Это число п классифицирует калибровочные поля и вну-
внутри 5^, т. е. на всем пространстве М. Действительно, пусть поля -4М и А'^ на М
§6. Инстантоны 147
характеризуются на бесконечности числами п и п' Ф п. Тогда они принадлежат разным
гомотопическим классам, т. е. их нельзя непрерывным образом деформировать друг в
друга, поскольку это приводило бы к гомотопии соответствующих калибровочных пре-
преобразований на 5^о, а это невозможно в силу п' ф п.
Данный факт можно установить иначе, переписав выражение C.86) в виде интеграла
по М от характеристической формы Чженя с2. Для этого заметим, что форма
с2 = —TrCF AF)
является внешним дифференциалом с2 = dC от так называемого вторичного характери-
характеристического класса Чженя—Саймонса
С=—-Tx(aaF--AaAaA). C.88)
8тг2 \ 3 /
Интеграл от формы — с2 по шару D3 внутри сферы 5^. называется индексом Понтрягина
(числом Чженя q многообразия D3 с границей), и с помощью C.88) по теореме Стокса
находим
q=-JC2=-fc= ^ Jlr(gdg-X) A (g dg~l) А (д dg~\ C.89)
м ом s^
где учтено, что F = О и А = gdg~[ на 5^. Сравнивая C.89) с C.86), получаем q — п.
Таким образом, топологический заряд инстантонных решений является целочисленным
и равен степени отображения
д(х): Si - SU{2).
Поскольку классы Чженя являются топологическими инвариантами, для произвольных
локальных деформаций поля 6А внутри 5^ вариация 6с2 =0.
Полезно записать приведенные выше величины в координатах на М:
Ц Fa/3)e^ ctx, \
где векторное поле
Г = ема/37Тг iAaFPy - -A^A^J C.90)
является дуальным к 3-форме Чженя—Саймонса С (с точностью до постоянного мно-
множителя).
Прежде чем приступить к рассмотрению простейших инстантонных решений, необ-
необходимо сделать важное замечание. Мы определяли инстантон как регулярное решение
уравнений Янга—Миллса. Регулярность в данном случае понимается как существова-
существование на М гладкой 2-формы F напряженности калибровочного поля, что гарантирует
возможность вычисления действия 5 и топологического заряда q на таких решениях.
При этом 1-.форма потенциала А, которая не считается в отличие от F физической на-
наблюдаемой, не обязательно существует всюду внутри 5^. Однако условия конечности
действия и регулярности F приводят к тому, что в точках сингулярности А напряжен-
напряженность F должна обращаться в 0, т. е. потенциал имеет вид чистой калибровки А ~ gdg~l
с некоторой сингулярной в данной точке х матрицей д(х).
148 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Выше при выводе C.89) мы предполагали, что А, так же как и F, регулярен всюду
на М. Если учесть сделанное замечание, то приходим к выводу, что форма С также
может не существовать всюду на Af, в отличие от формы с2, которая не содержит А.
Поэтому, применяя в C.89) теорему Стокса, надо включить в границу дМ не только
бесконечную сферу S^, но и поверхность S, являющуюся объединением сфер малого
радиуса, внутри которых содержатся сингулярные точки А, т. е.
Л gdg-1 Л gdg-1) + -^ J Tr (gdg~l Л gdg~l Л gdg-1) ,
м si s
C.91)
где А ~ gdg ' на сфере Е (или объединении сфер), имеющей исчезающе малый радиус
вокруг сингулярной точки.
Формула C.91) делает возможным использование всюду в М произвольных кали-
калибровочных преобразований, что часто упрощает вычисления.
С одной стороны, с помощью (сингулярного в общем случае) калибровочного пре-
преобразования
А -»giAgi1 + g{dg~[l
всегда можно сделать поле А регулярным всюду внутри 5^. Тогда последний член
в C.91) равен нулю (т. е. приходим к C.89)), и тем самым q целиком определяется
нетривиальным поведением калибровочного поля на границе 5^.
С другой стороны, калибровочным преобразованием (тоже в общем случае сингу-
сингулярным) любое А на М можно привести к виду, когда на бесконечности А ~ godg^,
где (/о — некоторая фиксированная матрица, например ^о = 1- Тогда допустимо стя-
стянуть SL в точку и перейти к компактификации М как 4-мерной сферы S4. При этом
нетривиальное значение q будет полностью определяться вторым слагаемым в C.91),
т. е. поведением калибровочного поля внутри 5^, или, эквивалентно, структурой рас-
расслоения над S4. Последнее (замена плоского М на S4) удобно тем, что база расслоения
становится компактным многообразием. Причем в силу конформной инвариантности
действия C.76) компактифицированное М не только гомеоморфно, но и изометрич-
но 54, что легко устанавливается посредством стереографической проекции.
Перейдем к построению инстантонных решений. В общем случае задача их полу-
получения довольно сложна. Здесь мы ограничимся исследованием некоторых простейших
решений.
Условие стационарности действия C.76) приводит к уравнениям Янга—Миллса
V F"" = д F1 + е >. Аь FclilJ - О
Для решений этих уравнений с конечным действием имеет место асимптотика C.78).
Предположим, что асимптотическое калибровочное преобразование характеризуется ин-
дексом п = 1, т. е. задается матрицей C.83). Обозначим жм = х^(х„х") !, так что
жмжм = 1; тогда д(х) = жм(тм. Будем искать инстантонное решение в виде
А = f(x»)gdg-1, C.92)
где функция /(жм) обладает на бесконечности \х\ —* оо асимптотикой / —> 1. Ан-
зац C.92) еще не означает, что индекс Понтрягина по данной конфигурации равен 1,
так как / может иметь сингулярности внутри S^. Проиллюстрируем это для сферически
симметричного случая.
§6. Инстантоны 149
Пусть / = f(x2), x2 = х^х" и А = Altadx". С учетом
A) ([)_. Х^ (-)
9d9 = —- <т V dx
х1
(см. C.72)) найдем коэффициенты SUB) связности
, (->
А — h(f \f\ т" СХ Q41
где введено обозначение ft = 2fx~2. Вычисление тензора напряженности
F% = д„А1 - д„А1 + eabcAlAl
для калибровочного поля C.93) упрощается при использовании тождества
где ц — любой из тензоров т'Хуфта C.73). В результате находим
F;v = (ftV - 2ft)V;, + (ft2 + 2ft')a:a (x^'la - xjv;^ , C.95)
где штрих обозначает производную по х2.
Подстановка C.94), C.95) в уравнения Янга—Миллса приводит к дифференциаль-
дифференциальному уравнению
a;2Bft" - ft3) + 3Bh' + ft2) = 0. C.96)
Мы не станем искать общее решение данного нелинейного уравнения. Однако легко
проверить, что C.96) удовлетворяют следующие три функции:
h(S)(x) = —, C.97)
Ь$)(х) = — , C.98)
Km = ,_, 2С.»..„ C-99)
где с и с — произвольные константы. Исследуем свойства этих решений.
Решение C.97) не является регулярным. Для него имеем /E) = - и
A=^9dg-1.
Хотя последнее равенство напоминает чистую калибровку, однако таковой не является,
что видно из выражения для напряженности
1
Действие S для такого поля расходится как в нуле, так и на бесконечности, и следова-
следовательно, ft(s) не дает нам искомого инстантонного решения. Примечателен, однако, сам
факт существования таких простых (кулоновского типа) точных решений нелинейных
уравнений Янга—Миллса.
150 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Анализ решения C.98) начнем со случая с = 0. Тогда
и калибровочный потенциал есть в точности чистая калибровка
Как следствие, F"tv = 0 всюду на М и действие конечно (равно нулю), т. е. это —
инстантон. При этом форма Понтрягина тривиальна с2 = 0, и значит, q = 0. Последнее
никак не противоречит тому, что А^ характеризуется на бесконечности калибровочным
преобразованием д с индексом п = 1, так как поле j4° сингулярно в / = 0, Задав Е как
сферу малого радиуса вокруг начала координат, получаем из C.91), что q = 1 + (-1) = 0
в полном согласии с с2 = 0.
Пусть теперь с ф 0, тогда
х1
При с < 0 как потенциал C.93), так и напряженность поля C.95) имеют сингулярно-
сингулярности на сфере х2 = -с. В результате действие S расходится и это — не инстантон. Однако
при с = А2 > 0 поле всюду регулярно в М и описывается следующим потенциалом и
тензором напряженности:
Т /II Ml 2 (-)
4А2 <-.
Таким образом, применима формула C.89), и находим индекс Понтрягина q = n = 1.
Пол>ченное решение называется инстантоном Белавина—Полякова—Шварца—Тюпки-
на (БПШТ). Нетрудно убедиться, что для него действие конечно и 5 = 8тг2.
Рассмотрим некоторые свойства инстантона БПШТ. Во-первых, из C.101) становит-
становится понятным, почему он называется инстантоном: поле F^v имеет максимум в х1' = 0
и быстро спадает с ростом \х\, т. е. решение локализовано, причем как в пространстве,
так и в мнимом времени. Параметр А задает значение максимума поля. Далее, урав-
уравнения Янга—Миллса инвариантны относительно трансляций координат х* —+ х* + а'1.
Поэтому потенциал
(х — X,J ID A)_,
А-— —-9xdgx\ C.102)
(x-XiY + X2
где
> \х~хх\ '
и х* = const, также является решением уравнений Янга—Миллса и описывает инстан-
инстантон, расположенный в.точке с координатами х*.. Можно показать, что найденное таким
образом 5-параметрическое семейство C.102) (параметры суть числа А, х,) является наи-
наиболее общим инстантонным решением с зарядом q — I.
Вообше, из физических соображений можно ожидать, что инстантон с произволь-
произвольным q будет описываться полевой конфигурацией с выраженными максимумами в \q\
§6. Инстантоны 151
точках пространства времени х[\ ..., х^я] и быстрым убыванием при удалении от xf,
i = 1,..., \q\. Нетрудно подсчитать полное число параметров, задающих такую конфигу-
конфигурацию: это 4\q\ координат xf максимумов, |д| параметров типа А;, задающих значения
максимумов, и еще 3|д| параметров, определяющих "направление" вектора напряженно-
напряженности F^(no индексу а = 1, 2, 3) в изотопическом пространстве в каждом из максимумов.
Итого получили 8|д| параметров, но из них надо вычесть 3, отвечающих глобальному ка-
калибровочному преобразованию, при котором, очевидно, не меняется физика конфигура-
конфигурации. Таким образом, подсчет показывает, что общее g-инстантонное решение уравнений
Янга—Миллса зависит от 8|д| — 3 произвольных параметров.
Другим важным свойством инстантона БПШТ является то, что напряженность поля
оказывается антисамодуальным тензором
1
где знак минус отвечает решению C.100) с q = +1, а знак плюс соответствует q = — 1.
Это следует из свойств тензоров т'Хуфта C.75). Уравнение C.103) называется уравнением
самодуальности. Оно играет фундаментальную роль в построении общих инстантонных
решений. Действительно, используя тождество
/г, i р* \2 JIT Е"*" 4- pliucci3 p тр
действие C.76) при фиксированном q можно оценить снизу 5 ^ т87Г2д, и минимумы
действия, на которых достигается равенство 5 = 8тг2|д|, реализуются на самодуальных и
антисамодуальных конфигурациях, удовлетворяющих C.103). Более того, в силу тожде-
тождества Бианки
любое решение C.103) автоматически является решением уравнений Янга—Миллса
V^jP1"" = 0. Таким образом, задача получения инстантонов естественно сводится к
рассмотрению уравнений самодуальности. Это приводит к значительным техническим
упрощениям, поскольку C.103) суть уравнения первого порядка в отличие от уравнений
Янга—Миллса.
Важным следствием свойства самодуальности инстантонных полей является то
(см, C.103)), что тензор энергии-импульса
т: = - Tr(F»*Fl,a) + l- Tr(Fa?Fa/3) # = 0
тождественно равен нулю на инстантонных конфигурациях. Данный факт обусловливает
важную роль инстантонов в структуре вакуума калибровочных полей.
Поле 1-инстантона C.102) регулярно всюду внутри 5^, а нетривиальное значение
топологического заряда q = 1 объясняется его поведением на бесконечности. Перейдем,
однако, к так называемой сингулярной калибровке
А' = gAg~l + gdg~l
с помощью.преобразования g = yf'. Нетрудно видеть, что в этой калибровке
А2 о> , (о
А = -, ^ГТ-Т^ Ми C-104)
152 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
на бесконечности А! ~ gdgx = 0, тогда как в х = ее,, потенциал сингулярен и имеет вид
чистой калибровки А' я gf'dgi- При этом по прежнему q = +1, только это значение
обеспечивается теперь вторым слагаемым в правой части C.91) — интегралом по сфере S
вокруг сингулярности.
Калибровка C.104) удобна тем, что М можно компактифицировать до 54, отобра-
отображая Sl^ с помощью стереографической проекции в один из полюсов 54. Кроме того,
в данной калибровке легче строить мультиинстантонные решения. Переходя к компо-
компонентной записи А' = A'"ta dx11, находим для C.104):
\Х Х\) \\Х Х\) у Л \
Хотя в формуле C.105) появился самодуальный тензор т'Хуфта т/ (ср. с C.100)—C.101)),
данное поле остается антисамодуальным, как и C.102). В этом можно убедиться, дуали-
зуя соответствующий тензор напряженности:
4A2 (W , 2(х" - х\)
м [(х - х{J + А2] [ (х - xiJ
Прежде чем выписать мультиинстантонные решения, обратимся к решению C.99).
Сравнивая его с C.105) (и полагая А2 = с'), обнаруживаем, что C.99) представляет собой
самодуальный инстантон в сингулярной калибровке с q = — 1. Таким образом, сфе-
сферически симметричный анзац C.91)—C.93) позволил нам одновременно получить все
инстантонные решения с низшими значениями топологического заряда q = 0, +1, — 1
C.97)—C.99).
Обозначим
Ф = 1 Н
{х-ххJ'
Тогда инстантон БПШТ в сингулярной калибровке имеет вид
А1 = -Т1%дпФ C.106)
(пока мы всего лишь переписали еще раз C.105), опустив штрих и переобозначив выра-
выражение под логарифмом). Подставляя C.106) в уравнение Янга—Миллса, находим
и эта величина обращается в нуль в силу того, что введенная скалярная функция удо-
удовлетворяет уравнению
Ф"'а$ = 0.
Однако C.107) имеет более общее решение, а именно:
^)' (ЗЛ08)
где А;, х?, г — 1 ..., q — это 5q постоянных интегрирования. Потенциал A106), C.108)
называется мультиинстанпюнным решением т 'Хуфта. Оно является естественным обоб-
обобщением 1-инстантонного БПШТ и описывает конфигурацию с q максимумами поля в
точках zf, ..., х%. Параметры А, задают значения этих максимумов.
§6. Инстантоны 153
Решение т'Хуфта сингулярно в точках х = ее,. Однако напряженность поля всю-
всюду регулярна, и сингулярности потенциала могут быть ликвидированы калибровочным
преобразованием. Чтобы убедиться в этом, перепишем C.106), C.108) на языке форм
ЕА, A) , to (D (тЛх11 — a;f)(D , <i>
,29b d9,, 9t = -? ~9,-'d9,. C.109)
Ф(х - хгJ Ф(х - xtJ
Анализ показывает, что на бесконечности А ~ 0, а в сингулярных точках потенциал А
есть чистая калибровка
А(х,) ~5; dgt.
Используя это в C.91), получаем, что нетривиальный топологический заряд возника-
возникает из второго интеграла в C.91) по поверхности Е, которая в данном случае является
объединением сфер малого радиуса вокруг х*. Тем самым 5q-параметрическое решение
т'Хуфта C.106), C.108), C.109) имеет инстантонный заряд q.
В заключение покажем, что сингулярные решения т'Хуфта действительно могут быть
устранены калибровочным преобразованием. Без ограничения общности рассмотрим
случай q-2. Обозначим в C.109)
При х —* Х\, очевидно, имеем а, —¦ 1, а2 —> 0 тогда как при i-»i2 аналогично а{ —* 0,
а2 —> 1. При х —» оо получаем а{ —» 0. Будем искать калибровочное преобразование в
виде д = 5г5»5ь где 9* — некоторая постоянная 5С/B)-матрица. Тогда для преобразо-
преобразованного потенциала А' = дАд~' + gdg~[ находим
_, (о (i)_, (о (i)(i)_. /(о тлили ,\
А = A - а, - a2)gdg + a1g2dg2 + а&дЛ^ ld (^,5, '5, 52 J ¦ C.110)
Отмеченное выше поведение а, (ж) обусловливает, что при х —* оо потенциал ведет себя
как чистая калибровка А ~ gdg~'; при х —» xt он регулярен
(II A)
А
а при i-4i; особенности А1 описываются последним членом в C.110). Однако регу-
регулярность А' в х = хг можно обеспечить, выбрав постоянную матрицу
д, —
-х2\
Таким образом, окончательно получаем, что А' регулярен всюду внутри 5^, а нетри-
нетривиальное, значение топологического заряда q = 2 теперь объясняется поведением на
бесконечности А' ~ gdg~'. В силу свойства C.87) имеем п[д] = п{д2д,дх\ = 2. Аналогич-
Аналогично строятся ка.п'бропоч1 i,io преобразования, устраняющие сингулярности потенциала
т'Хуфта для произвольного q.
154 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
§7. Магнитные монополи
Перейдем теперь к рассмотрению классической калибровочной теории в физиче-
физическом пространстве-времени Минковского. Как и в предыдущем параграфе, мы ограни-
ограничимся случаем калибровочной группы G = SU{2), однако к полям Янга—Миллса А°
добавим хиггсовский сектор, обеспечивающий спонтанное нарушение калибровочной
симметрии.
Скалярное хиггсовское поле Фа преобразуется по закону
относительно G — SUB) и описывается хиггсовским потенциалом
7(Ф) = ~ (ФаФа - а2J- C.111)
Здесь и далее а, Ь, с, ... = 1, 2, 3 и, как обычно, /аьс — еаЬс — структурные константы
и еа(х) — инфинитезимальные параметры преобразований.
Как уже отмечалось, важную роль играют решения классических уравнений поля,
на которых функционал энергии конечен. Последний определяется как интеграл по
3-пространству от компоненты То° тензора энергии-импульса системы. Для рассматри-
рассматриваемой модели симметричный (метрический) тензор энергии-импульса имеет вид
AГФа). C.112)
t /
Получаем
Tq — F(Ф) -I— [(-Fo!J + W"J + (А)ФJ + (-О;ФJ] ,
2
где i, j, ... = 1, 2, 3, и суммирование по этим индексам проводится без их поднятия
(метрика Минковского т)^ не участвует). Видно, что Т?^0и функционал энергии
Е
= ('
конечен только в том случае, если на бесконечности То° ~* 0- Последнее выполняется
тогда и только тогда, когда
*0 C.113)
при |ж| —* оо.
Классические уравнения поля для системы Янга—Миллса—Хиггса имеют вид
DyFr = JZ, C.114)
(РМ?>"Ф)° = -АФ°(ФЬФЬ - а2), C.115)
где
К = 3/аЬсФ"ФГФЬ. (З.П6)
§7. Магнитные монополи 155
Полевые конфигурации, задаваемые равенствами
Fa = О 1
i f C.117)
ф„Ф)а = О, У(Ф) = ^(Ф°Фа - а2J = О, J
являются решениями уравнений C.114)—C.115) и имеют наименьшую энергию Е = 0. В
соответствии с терминологией, введенной в первой главе, будем называть такие конфи-
конфигурации вакуумными. Более специально, калибровочные поля, удовлетворяющие C.117),
назовем янг-миллсовским вакуумом, а скалярные полевые конфигурации, являющиеся ре-
решениями C.117), будем именовать хиггсовским вакуумом.
Тривиальное состояние
*" = о, а; = о,
вакуумным не является, и поэтому для выяснения физического содержания модели поля
следует разложить в ряд в окрестности настоящего вакуума, например
Фа = ай3а, Л'=0.
Переходя к калибровке
( ° "\
Ф= 0 , C.118)
V a + i> )
получаем лагранжиан модели в виде
L = -^ V" - \ С,Ж" + \ <*У WMFT + 1- (д^Ж*) - ХаУ + Lm, C.119)
где
и LB3 есть лагранжиан взаимодействия, содержащий кубические и более высокой степени
инварианты из ф и W.
Таким образом, мы видим, что данная теория описывает массивную хиггсовскую ска-
скалярную частицу ip с массой т = a\f\, комплексное массивное векторное поле WM с
массой М = ад, а также безмассовое векторное поле А\. Легко убедиться, что модель
C.119) инвариантна относительно калибровочных преобразований
А; -+ А3„ - - <V, W^ -» e^W^ C.120)
9
и, следовательно, можно отождествить А\ с электромагнитным полем. При этом хигг-
совские частицы оказываются нейтральными, тогда как векторные бозоны W^ несут
заряд ±д.
Группа Н(Х) преобразований C.120) является подгруппой исходной калибровочной
группы G(Z). Обычно Н называется группой точной (или остаточной) симметрии, до
которой спонтанно нарушается G.
Обратимся теперь к общему анализу решений классических уравнений поля C.115)—
C.116). Условие конечности энергии приводит к нетривиальному поведению полей на
бесконечности C.113), они стремятся к своим вакуумным значениям. Особенно важна
156 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
асимптотика хиггсовских полей, поскольку она определяет топологический заряд, по-
позволяющий классифицировать решения с конечной энергией.
Границей 3-пространства (т. е. сечения М4 с фиксированным временем t) являет-
является бесконечно удаленная сфера 5^. В сферических координатах г, х> & она задается
значением г = оо, а углы у1 = х, у1 = в определяют положение произвольной точ-
точки на границе. Хиггсовское поле Фа принимает на 5^ вакуумные значения C.117) и,
следовательно, принадлежит сфере Ф2 = а2 в изотопическом пространстве. Введем для
описания граничных конфигураций удобные координаты в изотопическом пространстве
типа сферических углов:
Ф1(оо,х,0) = a sin У, sin У2, ^
Ф2(оо,х,0) = асо5Г,5тУ2, \ C.121)
Ф3(оо,х,0) = а cosy,, J
где У1>2 — функции от %, # (У = Y(y)). Произвольное калибровочное преобразование
д ? G(X) переводит (Ф' = дФ) одну граничную, вакуумную конфигурацию в другую.
Последняя, однако, гомотопически эквивалентна исходной при д и Ф, гладких всю-
всюду в 3-пространстве. Действительно, без ограничения общности можно считать, что
д(х = 0) = 1, поскольку координаты г, х & всегда можно задать так, чтобы начало
совпадало с точкой в которой д = \. Тогда функция
^-t, X, #) Ф(оо, V, в)
является искомой гомотопией, так как она равна при t = 0 исходной граничной конфи-
конфигурации Ф(оо, х, 0), а при t = 1 совпадает с
Ф'(оо, X, в) = </(оо, х, *)Ф(оо, х, ^.
Подгруппа Н С G преобразований, оставляющих вакуум инвариантным, состоит из
вращений вокруг оси, задаваемой углами У,, У2 в изотопическом пространстве. Таким
образом, многообразие хиггсовских вакуумов имеет вид
G/H = S\ G=SUB), Я = 17A).
Отображения сфер 5^ —> S2, которые задают хиггсовские поля на границе, класси-
классифицируются элементами гомотопической группы
тг2E2) = tt2(G/H) = Ъ.
Соответствующий целочисленный заряд N можно определить как степень отображе-
отображения Y(y):
= degyB/)=^- / d2ysinY2
C.122)
Л. У2)
00
Используя C.121), нетрудно привести-введенную величину к явно ковариантному виду
с1зге^кеаЬсФа%ФьдкФс, C.123)
si
§7. Магнитные монополи 157
где г, j, к = 1, 2, 3 — индексы произвольных 3-координат в пространстве и ds{ — эле-
элемент площади границы 5^.
Можно доказать эквивалентность C.111) и C.113) и инвариантность топологическо-
топологического заряда относительно произвольных инфинитезимальных преобразований хиггсовских
полей Ф° -* Ф + 6Фа.
Конкретное решение классических уравнений C.114)—C.116) с фиксированным зна-
значением топологического заряда не инвариантно относительно полной калибровочной
группы G(X). Этот факт аналогичен квантовому механизму спонтанного нарушения
симметрии, при котором основное состояние (вакуум) не инвариантно относительно
группы симметрии теории. Исходя из этой аналогии, определим подгруппу Н С G,
точной симметрии как группу преобразований, сохраняющих граничную вакуумную кон-
конфигурацию решений. Выше при исследовании физического содержания модели мы уже
отмечали, что Н = V(\) связана с существованием безмассового калибровочного поля
("фотона"). Сформулируем теперь этот результат, полученный в частной калибровке
C.118), более строго.
Ввиду того что д обозначает в данном разделе калибровочную константу связи, ма-
матрицы 517B) калибровочных преобразований будем обозначать
ш(х) = exp(taua(x)), C.124)
где и" — произвольные функции на М4, a ta — генераторы SUB). Изовекторное
хиггсовское поле удобно рассматривать как элемент алгебры Ли suB) (Ф = Фа1а), на
который калибровочная группа действует посредством присоединенного представления
Ф->Ф' = а^Ф = шФш~[. C.125)
Как обычно, калибровочное поле А^ = A^ta есть элемент алгебры Ли suB) с законом
преобразования
А„ ->А'ц =а;^а;"' + -ы^4. C.126)
Тогда ковариантная производная поля Ф может быть записана в виде
, Ф] = d^+gadAi, Ф, C.127)
а различные инварианты, построенные из скалярных полей, можно представить как сле-
следы матричных произведений, например,
ф2 = Ф°фа = -2Тг(ФФ).
Группа Н(Х) точной симметрии модели состоит из матриц
h(x) = ехр(/Ф) = ехр(/ФаО, C.128)
где f(x) —произвольная функция на М4и Фа= Фа/Ф2- Очевидно, что h?H(X)CG(X) и
' = Ф,
так что хиггсовский вакуум (граничные конфигурации Фа(оо,х,0)) инвариантен отно-
относительно C.128). Преобразования из Н(Х) параметризуются одной функцией f(x), а их
генераторами являются Ф = Ф"?о. Рассмотрим поле
А» = А1ФЛ = -2Тг(Л„Ф). C.129)
158 Глава 3, Топологические характеристики в теории поля
Оно является абелевым калибровочным полем, отвечающим группе точной симметрии мо-
модели, и может быть отождествлено с электромагнитным полем. Относительно C.128) по-
поле Ар преобразуется по закону
А„ -* Л; = Ар + -Tr [{h~ldph) Ф] = А„ - -д„/. C.130)
Калибровочное поле Ам с градиентным законом преобразования C.130) является
корректным обобщением поля А\ (с законом преобразования C.120)) на случай кали-
калибровки, отличной от C.118). Нетрудно также построить обобщение поля W^. С этой
целью в каждой точке х ? М4 выберем пару изовекторов е* и е", которые совместно
с Фа образуют ортогональный базис во внутреннем пространстве. Определим теперь,
аналогично C.129), поля Аарв1а и А^е^ и рассмотрим их закон преобразований относи-
относительно C.128). Имеем
Тг(А;е) = Tr (Aph^eh) + - Тг [(Л0„/Г') e] ,
и ввиду ортогональности е" 2Фа = 0 получим
е\ Ар = еаА°р cos / + е\ Ар sin /,
е2а Ар = -eWpSinf + elAlcosf.
Таким образом, комплексное поле
Wp = e\Ap+ie2a C.131)
под действием группы Я испытывает фазовое преобразование
т. е. описывает заряженные частицы, взаимодействующие посредством Ам.
Итак, суммируем некоторые выводы. В модели Янга—Миллса—Хиггса со спонтан-
спонтанным нарушением симметрии до Н = U{\) существует сектор, связанный с абелевым
калибровочным полем Ам группы точных симметрии. Можно поэтому предположить,
что на больших расстояниях эта система будет обнаруживать (в конкретных классиче-
классических решениях) "электромагнитные"свойства. Что касается нейтрального хиггсовского
поля Ф и заряженного векторного поля Wp, то наличие у них массы (вследствие ме-
механизма Хиггса) позволяет ожидать их нетривиального поведения только на масштабах
длин порядка то и М~'. На больших расстояниях Ф и W^ быстро стремятся к своим
вакуумным значениям. Точные решения уравнений поля C.114)—C.116), рассмотрен-
рассмотренные ниже, полностью подтверждают эти качественные выводы. Однако, прежде чем
мы приведем конкретные решения, необходимо уточнить описание электромагнитных
свойств модели.
Электромагнитное поле в модели Полякова—т'Хуфта
В теории Максвелла наблюдаемыми физическими величинами являются электриче-
электрическое и магнитные поля, составляющие тензор напряженности F^. Определим аналогич-
аналогичный объект в описанной выше модели. Нетрудно видеть, что д„А„ — д„Ац не подходит
§7. Магнитные монополи 159
на роль тензора напряженности, так как меняется при калибровочных преобразованиях
по закону
д„А'и - а„Л; = дрАи - д^А^ + - д„ Тг [(ш-хдиш) Ф] - - 0„ Tr [(w"'eMw) Ф] . C.132)
Последние два слагаемых исчезают при ш = h в силу C.130), однако в общем слу-
случае ш G G(X) они отличны от нуля. Это означает, что д^А„ — д„А^ не является на-
наблюдаемой величиной. Однако в теории присутствуют также хиггсовские поля, и с их
помощью неинвариантные члены в C.132) можно скомпенсировать.
Действительно, рассмотрим величину
Тг(Ф0„Ф0„Ф) = --еаЬсФад„ФъдЛс-
Этот тензор антисимметричен по /i, v и имеет закон преобразования (относительно
Ф —» Ф' = шФш~х):
^Ф)'=Тг(Ф0мФ0„Ф) -H-^Trt^^a;)^ - - д„ Tr [(w^w) Ф] .
Следовательно тензор
^ вАвА (ФвФвФ)
(м„) C.133)
является калибровочно инвариантным относительно G(X). Эту физическую наблюдае-
наблюдаемую (введенную впервые в несколько иной форме т'Хуфтом) мы и отождествим в модели
Янга—Миллса—Хиггса с электромагнитным полем.
Хорошо известно, что система уравнений Максвелла в вакууме
d^F»" = 0, 0„*"""=О, C.134)
где F*v = ^e^apF3, симметрична относительно так называемых преобразований ду-
дуальности F^ <-> F*v, т. е. замены электрического поля Е{ — Fi0 на магнитное
В' = ^еу%, C.135)
и наоборот. Однако в присутствии источников, описываемых электрическим током j**,
система C.134) перестает быть дуально симметричной, поскольку первая половина урав-
уравнений Максвелла модифицируется:
дХ"=?- C-136)
Магнитный заряд
Дирак заметил, что можно восстановить дуальную симметрию полных уравнений,
если предположить существование в природе магнитных зарядов, которые порождают
магнитный ток к^ так, что вторая половина уравнений приобретает вид
в,,*""" = *". C.137)
160 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Из C.136)—C.137) видно, что оба тока имеют нулевую дивергенцию
aj" = о = а^л" C.138)
так, что соответствующие заряды
сохраняются во времени. Интегрируя временные компоненты уравнений C.136)—
C.137), с помощью теоремы Гаусса можно выразить полные электрический е и магнит-
магнитный fi заряды через потоки соответственно электрического и магнитного полей через
пространственную границу 5^:
е= / d3a:divE = fdstE\ C.139)
si
fi= /d3ccdivB= fdstB\ C.140)
si
Основной трудностью теории Дирака является тот факт, что левая часть C.137) то-
тождественно обращается в 0, если существует всюду регулярный вектор-потенциал Ам,
для которого
F — 8 А — В А
Поэтому в присутствии магнитных зарядов потенциал Ам с необходимостью должен
быть сингулярным. Причем его сингулярности расположены на луче, начинающемся
на магнитном заряде и уходящем в бесконечность. Все сказанное относится, однако, к
стандартной теории Максвелла, в которой источники — точечные частицы и энергия
классических решений бесконечна.
Возвращаясь к модели Янга—Миллса—Хиггса, отметим, что электромагнитный сек-
сектор в ней является частью более общей нелинейной системы C.114)—C.116). При
этом группа Н = GA) возникает как подгруппа точной симметрии в рамках механизма
спонтанного нарушения G = 5GB) симметрии, что позволяет определить эффективное
электромагнитное поле, описываемое потенциалом А„ C.129) и тензором напряженно-
напряженности FpV C.133). Калибровочно инвариантный тензор C.133) в отличие от теории Макс-
Максвелла не есть просто "ковариантный ротор" от 4-потенциала, и тем самым магнитный
ток к11 и магнитный заряд р полевых конфигураций системы Янга—Миллса—Хиггса с
необходимостью нетривиальны.
Найдем электрический и магнитный токи в рассматриваемой неабелевой модели.
Для этого согласно C.136)—C.137) требуется вычислить дивергенцию тензора C.133), а
также дуального к нему тензора F^v. Преобразуем сначала C.133). Используя определе-
определение C.129), нетрудно видеть, что
F^ = $aF% --sabc$aD^bD^c. C.141)
9
Подставляя. C.141) в C.136)—C.137), получим следующие явные выражения для то-
токов
f = (д,Фа) (Vr + i^flTirl^ , C.142)
§ 7. Магнитные монополи
к" = —?va sabc DaФа DpФ Ю^ФС. C.143)
Формулы C.142)—C.143) определяют распределение и динамику (эффективных) ис-
источников электромагнитного поля через SUB) калибровочные и хиггсовские поля. В
частности, рассмотрим случай, когда модель C.120) находится в хиггсовском вакууме,
т. е. имеет место C.117). Тогда из C.142)—C.143) вытекает, что
Fixv — $aF°vi к" — j** — 0.
Таким образом, в хиггсовском вакууме SUB) калибровочное поле имеет одну компонен-
компоненту (отвечающую "нейтральному" направлению в изотопическом пространстве, которое
связано с генератором U(l) ненарушенной симметрии), и эта компонента является сво-
свободным электромагнитным полем, удовлетворяющим уравнениям Максвелла в вакууме.
Последний результат имеет большое значение, поскольку выше было установлено, что
точные решения уравнений поля C.114)—C.116) (с конечной энергией) нетривиальны
только в областях с размерами порядка т~1 или М~1, а всюду в М4 вне этих областей
полевые конфигурации близки к хиггсовскому вакууму. На больших расстояниях отли-
отличие от вакуума экспоненциально мало, и следовательно, "издали" полевая конфигурация
модели Янга—Миллса—Хиггса будет выглядеть как система электрических и магнитных
зарядов, порождающих (почти) максвелловское электромагнитное поле.
Найдем магнитный заряд произвольного распределения полей модели. Подста-
Подставляя C.143) в C.140), получим
ц = -4тг —
9
в силу C.123). Таким образом, топологический инвариант C.123), классифицирующий
решения с конечной энергией, в сущности есть магнитный заряд полевой конфигурации.
Учитывая, что константа связи д в данной модели пропорциональна электрическому
заряду (так как W несет ±д), перепишем полученное соотношение в виде
~- = -N, ЛГ = 0, ±1, ±2,... . C.144)
4тг
Эта формула является известным условием квантования зарядов, которые Дирак по-
получил в своей теории магнитных монополей из квантово-механических соображений.
Примечательно, что в модели Янга—Миллса—Хигсса квантование зарядов имеет клас-
классическое топологическое происхождение. Для большей строгости уточним, что условие
Дирака отличается от C.144) дополнительным множителем - справа, однако последний
нетрудно восстановить, если учесть, что заряд g не является минимальным. Можно
показать, что минимальный заряд равен половине от д.
Модель Полякова—т'Хуфта
Исследуем теперь точные решения уравнений поля C.114)—C.116). Покажем сна-
сначала существование решений с произвольным значением топологического (магнитного)
заряда. С этой целью рассмотрим конфигурации, которые всюду в МА находятся в хигг-
хиггсовском вакууме C.117). Таковыми, например, являются
Ф" = (asin(JVx)sin0, acos(JVx)sin0, acosfl), ^
162 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
где х> # — обычные сферические углы. На бесконечности 5^ функции F|2(y) (см.
C.121)) имеют простой вид
Г, = NX, Y2 = в,
и топологический заряд C.122)—C.123) равен N. Легко убедиться, что C.145) являются
решениями уравнений C.114)—C.116). При этом напряженность SUB) калибровочного
поля принимает вид
F;v = -~ еаЬс д^ь д„Фс, C.146)
да1
и подставляя сюда независимые от времени хиггсовские поля C.145), находим, что не-
нетривиальны только магнитные компоненты
*3=--Фве0-*^-. C.147)
9 г1
Таким образом, электромагнитное поле C.141) есть
и для компонент магнитного поля C.134) получим
В=--- C.148)
9 гъ
Сферически симметричное решение C.148) является магнитным монополем с зарядом
и, = —4тг — в полном согласии с C.144). Этот монополь является точечным и находится
9
в начале координат. Поэтому функционал энергии расходится на решениях C.145)—
C.148). Отметим, что точечные монополи C.148) присутствуют в теории Дирака C.136)—
C.137), однако там присутствуют также сингулярные нити, на которых 4-потенциал Ац
не существует. Качественная особенность решения C.145)—C.148) заключается в том,
что ?/A) потенциал C.129) для него тождественно равен нулю, а электромагнитный
тензор C.133) порождается хиггсовскими полями.
Получение регулярных решений с конечной энергией для произвольного N стал-
сталкивается с трудностями. В частности, это связано с тем, что такие конфигурации не
являются сферически симметричными.
Продемонстрируем, однако, существование iV = 1 монополей. Основная идея по-
построения таких решений довольно проста. Рассмотрим опять сингулярные конфигура-
конфигурации C.145), которые при N = 1 имеют следующий вид:
Фа=а—, Aar = -saij^-, Aa0=0. C.149)
г 9 г2
Заметим, что поля C.149) инвариантны относительно одновременных SO {У) вращений де-
декартовых пространственных координат х* и внутренних координат в изотопическом про-
пространстве. Будем искать N = 1 решения с конечной энергией в классе регулярных
50C)-симметричных конфигураций C.17), для которых C.149) на пространственной
бесконечности имеет асимптотику C.18). Очевидным ?ОC)-симметричным обобщени-
обобщением C.17) является анзац
^ -,~, AaQ=Q. C.150)
§7. Магнитные монополи
163
Условия регулярности в г = 0 и асимптотика C.18) при г —* оо фиксируют поведение
функций Н и К на границах:
Н(г) ^ О(адг), К (г) ^ 1 + О(адг), г -+ О,
Н(г) —* адг, К(г) —* 0, г —» оо
C.151)
Подстановка C.150) в уравнения поля C.114)—C.116) приводит к системе нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений
r2K" = К[Н2 +К2 - 1],
А
9
г2Н" =
C.152)
где штрихом обозначается производная по радиусу г.
Нетрудно видеть, что в анзаце C.150)
эффективный U(l) потенциал C.129) то-
тождественно равен нулю (Аи = 0). Элек-
Электромагнитный тензор C.133), C.141) бла-
годаря вкладу хиггсовских полей имеет
вид
1 х"
Fm — 0, -F.j — ?ijk —г-
д rJ
Решение системы C.152), удовлетво-
удовлетворяющее граничным условиям C.151), су-
существует, хотя его нельзя выразить в элементарных функциях.
Оценим поведение полей на бесконечности. На основе асимптотики C.141) при
г —* оо функции К(г) и h(r) = H(r) — адг являются малыми, так что в C.152) можно
пренебречь нелинейными членами. В этом приближении
Рис. 16
К" и (даJК = М2К, h" и 2\a2h = m2h
и для хигтсовских и калибровочных полей получаем ожидаемую асимптотику
C.153)
ах
г
\-О
1
9
В полном согласии с проведенным ранее анализом физического содержания модели
массивные поля имеют нетривиальное поведение только на расстояниях порядка М
и т
Уравнение Богомольного
Монополь т'Хуфта—Полякова имеет магнитный заряд
1
164 Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
и электрически нейтрален (е = 0, поскольку jM = 0 для статических конфигура-
конфигураций C.150)), а его энергия Е конечна. Величину Е можно найти численным инте-
интегрированием, причем она существенным образом зависит только от отношения \, а
именно:
9
где / — гладкая функция такая, что / > 1, и равенство достигается только в 0 (/@) =1).
Последнее реализуется при А = 0 и заслуживает отдельного рассмотрения.
Прежде всего заметим, что при А = 0 уравнения поля C.114)—C.116) тождественно
удовлетворяются на решениях следующей системы:
Ft, = ±sijkD4a, F0"=0, C.154)
где хиггсовские и калибровочные поля не зависят от времени. Уравнение C.154) назы-
называется уравнением Богомольного. Мы по-прежнему будем считать, что на бесконечности
поля стремятся к своим вакуумным значениям C.117). Поскольку такая асимптотика
вытекает из требования конечности энергии, которая для статистических полей в кали-
калибровке Aq = 0 имеет вид
Е
= Jd'x
условие обращения в нуль константы А следует понимать как предельный переход А —» О,
который называется пределом Прасада—Зоммерфельда. Убедимся, что в данном пределе
энергия достигает своего минимального значения на уравнении Богомольного. Для этого
выпишем очевидную оценку интеграла C.155) снизу:
Г , Г 1 . , 1 ..
Е= d*x< У(Ф) + - {Fij T ?ijk D Ф ) ± - е'3
х 1 ' C156>
Таким образом, ввиду C.144) в N = 1 секторе для энергии имеем неравенство
4тта
Е>
9
(откуда, кстати, следует, что введенная выше функция / D) ^ ')• Равенство в C.156),
на котором реализуется минимум энергии, достигается для А = 0 в уравнении Богомоль-
Богомольного C.154).
Решение в N = 1 топологическом секторе можно выписать в элементарных функ-
функциях. Подставив C.150) в C.154), получим систему
гК' = ±КН, гН' = Я ± (К2 - 1). ; C.157)
Отсюда находим
Ь C158>
где /3 — произвольная константа интегрирования.
§ 7. Магнитные монополи 1J35
Наше рассмотрение ограничилось SUB) моделью Джорджи—Глэшоу и простей-
простейшими решениями уравнений поля. Поэтому в заключение сделаем несколько замеча-
замечаний о возможных обобщениях. Во-первых, C.150) не является самым общим SOC)-
симметричным анзацем в N = 1 топологическом секторе. Для нулевой компоненты
калибровочного поля решение можно искать в виде
Ло = J(r) —2.
дг2
Найденное точное решение системы уравнений для функций К, Н, J (обобщаю-
(обобщающий C.152)) описывает так называемый дион — объект, обладающий как магнитным,
так и электрическим зарядами. При этом fi = ——, а е произволен.
В реалистических моделях с более общими калибровочными группами также су-
существуют монополи. Соответствующий топологический инвариант (магнитный заряд)
классифицирует гомотопически неэквивалентные вакуумные конфигурации хиггсовских
полей на пространственной бесконечности S^. Для связных полупростых групп G спон-
спонтанное нарушение симметрии до подгруппы Н С G обеспечивается в моделях Боль-
Большого объединения хиггсовскими полями, многообразие вакуумов которых изоморф-
изоморфно G/H. Множество монопольных решений тем самым определяются гомотопиче-
гомотопической группой ir2(G/H), изоморфной ядру естественного отображения фундаменталь-
фундаментальных групп Ki(H) —> 7Г|(С?), индуцируемого вложением Н С G. Для односвязных групп
tt2(G/H) к 7г,(Я), и следовательно, монополи будут с необходимостью возникать в моде-
моделях с группой ненарушенных симметрии, содержащей электромагнитную группу J7(l).
Точные монопольные решения в таких моделях можно построить с помощью вложе-
вложения SU{2) монополя Полякова—т'Хуфта.
Глава 4
Геометрии пространства-времени
В настоящее время можно выделить три основных круга калибровочных моделей, описы-
описывающих геометрию пространства-времени. Это калибровочная теория самой гравитации,
многомерные модели Калуца—Клейна и теория супергравитации. Здесь мы сосредото-
сосредоточим внимание только на краеугольных элементах этих теорий. В теории гравитации
это — нарушение пространственно-временных симметрии, обусловленное принципом
эквивалентности и присутствием фермионной материи. В моделях Калуца—Клейна —
математическое доказательство того, что метрика многомерного пространства может
быть выражена через метрику и калибровочные потенциалы на пространственно-времен-
пространственно-временном многообразии. В теории супергравитации это — определение суперпространства.
§ 1. Гравитация
В теории гравитации, если не касаться проблемы гравитационных сингулярностей,
пространство-время обычно предполагается 4-мерным ориентируемым многообрази-
многообразием X4, удовлетворяющим тем условиям, которые мы договорились требовать от мно-
многообразий. Будем называть его мировым многообразием (world manifold). Оно становится
пространственно-временным многообразием, когда наделено дополнительной структу-
структурой C+1)-разбиения, которая не присуща ему автоматически. Геометрия мирового мно-
многообразия — это геометрия его касательного и кокасательного расслоений ТХ иП,
ассоциированных с главным расслоением линейных реперов LX из Примера 1.7.7 со струк-
структурной группой GLD, M). Сама по себе эта геометрия, однако, не очень богата.
Во-первых, касательное и кокасательное расслоения могут быть наделены общей ли-
линейной связностью К из Примера 1.6.3, которая ассоциирована с некоторой связностью
на главном расслоении LX. Во-вторых, структурная группа GLD, К) расслоения LX
всегда редуцируема к своей максимальной компактной подгруппе ОD). Согласно Теоре-
Теореме 1.7.4 отсюда следует, что всегда существует глобальное сечение gR ассоциированного
с LX фактор-расслоения
LX/OD)-+X*. D.1)
Типичный слой этого расслоения изоморфен пространству римановых билинейных
форм в К4, приводимых общими линейными преобразованиями к евклидовой метри-
метрике. Следовательно глобальное сечение gR расслоения D.1) — это риманова метрика на
многообразии X4. Таким образом мировое многообразие X4 всегда может быть наделе-
наделено римановой метрикой. Однако риманова метрика и общая линейная связность — это
не те объекты, которыми оперирует теория гравитации.
В дальнейшем предположим для упрощения, что ориентация мирового многообра-
многообразия X4 фиксирована и, чтобы не вводить новых обозначений, будем понимать под LX
§ 1. Гравитация 167
главное расслоение линейных ориентируемых реперов со структурной группой
GL, = GL+D, Ж)
4 х 4-матриц с положительным детерминантом.
Теория гравитации описывает круг явлений, суть которых состоит в так называемом
спонтанном нарушении пространственно-временных симметрии. Физической перво-
первопричиной такого нарушения симметрии является фермионная материя. Дело состоит в
том, что:
• группой симметрии фермионной материи служит группа Лоренца;
• как следует из структуры уравнения Дирака, эта группа не является внутренней;
• фермионные поля не допускают других преобразований из группы GL4, кроме
лоренцевских и еще растяжений.
На геометрическом языке это означает, что фермионные поля на мировом много-
многообразии описываются сечениями расслоений со структурной группой Лоренца и, по-
поскольку эта группа не является внутренней, такие расслоения должны быть ассоцииро-
ассоциированы тем или иным образом с главным расслоением LX, структурной группой которого
является группа GL4. Эту возможность и обеспечивает гравитационное поле.
Предлагаются различные спинорные модели для фермионной материи. Однако все
пока известные фермионные частицы описываются дираковскими спинорными полями.
Эти поля представляются сечениями спинорных расслоений, типичным слоем которых
является пространство дираковских спиноров, и, чтобы они описывали реальные фер-
мионы, на них должен быть определен оператор Дирака.
Есть разные способы введения дираковских спиноров. Мы будем следовать их алге-
алгебраическому определению, исходя из алгебры Клиффорда.
Пусть М — пространство Минковского с метрикой Минковского т). Построим тен-
тензорную алгебру
моделируемую над векторным пространством М. Рассмотрим фактор этой алгебры по
двустороннему идеалу, порождаемому элементами вида
е®е' + е'® е - 2ту(е, е) G Ам, е?М,
т. е. при переходе к фактору такие элементы приравниваются нулю. Комплексифици-
руем этот фактор и тогда получим комплексную алгебру Клиффорда Ci?3. Пространство
Минковского М является подпространством этой алгебры. В свою очередь спинорным
пространством или более полно пространством дираковских спиноров называется не-
некоторый минимальный левый идеал V алгебры Клиффорда С,,з, на который эта алгебра
действует левыми умножениями. В частности, имеет место представление
-y:M<g)V->V D.2)
элементов пространства Минковского М с С|,3 дираковскими 7-матрицами V:
T(vA) = 7(еа ® И) = faABvB,
168 Глава 4, Геометрии пространства-времени
где
{е°, а = 0, 1, 2, 3}, щ = -т)п = —7722 = -»?зз = 1,
— фиксированный базис М и {vA} — базис V.
Заметим, что выбор того или иного минимального левого идеала алгебры Клиффорда
в качестве спинорного пространства не однозначен, но фиксируется заданием стандарт-
стандартной формы матриц Дирака 70 B представлении D.2).
Рассмотрим преобразования, сохраняющие представление D.2). Это пары (Z, ls) пре-
преобразований Лоренца пространства Минковского М и обратимых элементов ls алгебры
Клиффорда Ci,3 таких, что
7(lM®lsV)=ls7(M<g>V).
Элементы ls образуют группу Клиффорда, действие которой на пространстве Минковско-
Минковского М однако не является эффективным. Поэтому обычно ограничиваются рассмотрени-
рассмотрением ее подгруппы Ls = SLB, С), которую мы будем называть спинорной группой. Имеет
место соотношение
L = 5ОA, 3) = L3/Z2,
где SO{\, 3) — связная группа Лоренца. Матрицы представления I этой группы на про-
пространстве Минковского М удовлетворяют условиям
detf=l, Z°o>0.
Генераторы спинорной группы Ls, действующей на спинорном пространстве V,
принимают вид
hb = - (Та, 7ь1-
При этом следует иметь в виду, что, поскольку
(Jab) Ф —lab-,
стандартная эрмитова билинейная форма
(v, v) = v+v
на V не является Ls -инвариантной. В то же время справедливы соотношения
G ) = 7 . G 7 ) = 7 7 , Aаь) 7о = -7о?»б-
Поэтому в качестве L, -инвариантной метрики на спинорном пространстве V следует
выбрать билинейную форму
ф, v) = v+7°v. D.3)
Рассмотрим теперь расслоение над мировым многообразием X4, слоями которого
служат алгебры Клиффорда Ci>3. Его подрасслоениями являются спинорное расслое-
расслоение SM —» X4 и расслоение YM —> X4 на пространства Минковского образующих эле-
элементов алгебр Клиффорда С,,3. Для них определен послойный морфизм
7м '¦ YM х SM —> SM
§ 1. Гравитация 169
представления элементов расслоения YM матрицами Дирака на элементах спинорного
расслоения SM. Чтобы сечения спинорного расслоения SM могли описывать дираков-
ские фермионные поля, в частности, чтобы на них был задан оператор Дирака, расслое-
расслоение YM должно быть изоморфно кокасательному расслоению Т*Х над Х\ Это имеет
место, если структурная группа кокасательного расслоения Т*Х и ассоциированного с
ним главного расслоения LX редуцируема к группе Лоренца L и YM ассоциировано с
одним из его редуцированных подрасслоений LhX со структурной группой L, т. е.
YM = MhX = (LhX x M)/L = T*X. D.4)
В этом случае спинорное расслоение SM ассоциировано с Ls -главным расслоением Ph,
накрывающим LhX:
SM=Sh = (PhxV)/L.. D.5)
Для такой редукции существуют топологические препятствия, но мы их обсудим позже.
Согласно Теореме 1.7.4 имеет место взаимно однозначное соответствие между реду-
редуцированными главными L-подрасслоениями LhX расслоения LX и глобальными сече-
сечениями h расслоения
? := LX/L — Х\ D.6)
типичным слоем которого служит фактор-пространство GLA/L. Следуя принципам гео-
геометрического подхода к теории поля, естественно попытаться связать с h какое-либо
физическое поле.
Групповое пространство GL4 диффеоморфно многообразию ИР3 х 53 х ffi'°, а груп-
групповое пространство L — это IP3 x I3. Фактор-пространство GL4/L диффеоморф-
диффеоморфно S3 х Ж7 и представляет собой 2-листное накрытие пространства ЖР3 х Ж7 пространства
билинейных форм в Ж4, приводимых общими линейными преобразованиями к метрике
Минковского 7]. Отсюда следует, что расслоение ? D.6) изоморфно двулистному на-
накрытию ассоциированного с LX расслоения ?s псевдоримановых билинейных форм в
касательных пространствах к X4. Глобальным сечением расслоения Sg является псевдо-
риманоеа метрика g на мировом многообразии X4, отождествляемая в эйнштейновской
теории гравитации с гравитационным полем. Следовательно сечение h расслоения S
тоже эквивалентным образом описывает гравитационное поле. Мы будем называть его
тетрадным полем (tetrad field).
Таким образом гравитационное поле представляет собой своего рода хиггсовское по-
поле, отвечающее спонтанному нарушению пространственно-временных симметрии. Оно
обеспечивает необходимое условие существования дираковских фермионных полей на
мировом многообразии.
Если забыть про фермионные поля, нарушение симметрии в теории гравитации явля-
является прямым следствием принципа эквивалентности. Будучи сформулированным в гео-
геометрических терминах, принцип эквивалентности постулирует возможность существова-
существования лоренцевских инвариантов на мировом многообразии X4. Для этого необходимо,
чтобы имела место редукция структурной группы GL4 главного расслоения LX и ас-
ассоциированных с ним расслоений к группе Лоренца L. В этом случае согласно Теоре-
Теореме 1.7.3 существуют атласы этих расслоений с лоренцевскими функциями перехода так,
что при переходах с карты на карту лоренцевские инварианты, заданные в таком атласе,
сохраняются.
Действительно, пусть дано тетрадное поле h. Рассмотрим ф'1 атлас главного расслот
ения LX, задаваемый некоторым семейством локальных сечений {z?} расслоения LX,
принимающих значения в редуцированном подрасслоений LhX. Именно о таком атласе
170 Глава 4. Геометрии пространства-времени
говорится в Теореме 1.7.3. Его функции перехода принимают значения в группе Лорен-
Лоренца L. Будем обозначать ассоциированные с ним атласы ассоциированных расслоений
тем же символом Фл. В частности, легко убедиться, что во всяком таком атласе Фл сече-
сечение h представляется семейством функций fh(Z((x)), принимающих значения в центре
фактор-пространства GL^/L, а соответствующая псевдориманова метрика д — метриче-
метрическими функциями, совпадающими с метрикой Минковского т/. Поля h и д, записанные
в атласе Фл, таким образом дают пример лоренцевских инвариантов, о которых говорит
принцип эквивалентности.
Заметим, что в физической интерпретации задание атласа расслоения LX означает
фиксацию некоторой системы отсчета, когда в каждой точке х мирового многообра-
многообразия X4 восстанавливается репер (тетраду) z((x) касательных векторов, определяющий
локальную систему отсчета в этой точке. В частности, традиционная общековариант-
общековариантная формулировка теории гравитации подразумевает выбор только голономных систем
отсчета. Хотя остается проблема, как реализовать такие системы отсчета реальными
физическими приборами. В этом смысле можно сказать, что всякое гравитационное по-
поле h само определяет некоторое семейство собственных систем отсчета Фл, в которых
его метрические функции сводятся к метрике Минковского.
Существенно, что собственные атласы Ф'1 тетрадного поля h в общем случае не
являются голономными. Поэтому, если заданы атлас Ф'1 и некоторый голономный
атлас Фт = {xj)J} расслоения LX, тетрадное поле h можно представить семейством
С?4-значных тетрадных функций
х х <4-7>
dxx = hx(x)ha,
которые описывают преобразования между базисами {dxx} и {ha} слоев кокасательного
расслоения Т*Х, соответствующими атласам Фг и Ф'1. В частности, получаем известное
соотношение
<Г = ККг,аЬ. D.8)
Ясно, что тетрадное поле h представляется тетрадными функциями hx(x) неоднознач-
неоднозначно, а с точностью до калибровочных лоренцевских преобразований, действующих на их
индексы а, что отвечает произволу в выборе атласа Фл.
Пусть задано тетрадное гравитационное поле h, a Mh X и Sh — соответственно рас-
расслоение на пространства Минковского D.4) и спинорное расслоение D.5). Определено
послойное представление
(Ph x7 (M<g>V))/Ls = Sh, D.9)
кокасательных векторов к многообразию X4 матрицами Дирака 7 на элементах спи-
норного расслоения Sh. Говорят, что глобальные сечения спинорного расслоения Sh
описывают дираковские фермионные поля на многообразии X4 в присутствии гравитаци-
гравитационного поля h. Действительно, пусть Ah — связность на спинорном расслоении Sh,
ассоциированная с некоторой связностью на главном расслоении. LhX, и
Sh sh
- Аа\(хIаЬЛвув) dxx ® дА,
§ 1. Гравитация 171
— соответствующий ковариантный дифференциал. Тогда композиция jh.°D представля-
представляет собой дифференциальный оператор первого порядка на спинорном расслоении Sh:
@h=7hoD: JlSh -+ Г X <g> VSh -> VSh, D.10)
Sh
yAo®h= hxclcAB(yB - A*\labAByB).
Это оператор Дирака. Здесь использовано то обстоятельство, что вертикальное касатель-
касательное расслоение VSh допускает каноническое вертикальное расщепление
VSh = Shx Sh.,
и 7/, в выражении D.10) — это поднятие
на VSh морфизма D.9).
Суть спонтанного нарушения пространственно-временных симметрии, обусловлен-
обусловленного гравитационным полем, состоит в том, что для разных гравитационных полей h
и ti представления jh и 7v не эквивалентны.
Из вида оператора Дирака D.10) следует, что в общем случае гравитационное вза-
взаимодействие описывается парами (Л, Ah) тетрадного гравитационного поля h и лорен-
лоренцевской связности Ah, которая интерпретируются в духе калибровочной теории как ка-
калибровочный гравитационный потенциал.
Заметим, что вследствие условия эквивариантности всякая связность Ah на редуци-
редуцированном подрасслоении LhX может быть однозначно продолжена до связности 1\ на
всем главном расслоении LX. При этом ковариантные производные тетрадного поля h
и соответствующего метрического поля д относительно связностей, ассоциированных
с ГЛ, равны нулю. Обратно, связность Г на главном расслоении LX редуцируема к связ-
связности на его лоренцевском подрасслоении LhX тогда и только тогда, когда сечение h
является интегральным сечением ассоциированной с Г связности на расслоении S. Та-
Такую связность мы будем называть лоренцевской связностью. Не каждая связность на LX
является лоренцевской. Если задана псевдориманова метрика д, всякая общая линейная
связность Г допускает разложение
T = {} + S + C D.11)
на символы Кристоффеля { } метрики д, тензор конторсии S и тензор неметричности С.
В голономном атласе они даются следующими координатными выражениями:
Г — ( \ _i_ <? 4- с
CXI/ It \cttSLLJ ' d IS Ц ' ^* & VIX 1
_ 1
С" /О _1_ О I <О I /*~* /"""* Л
172 Глава 4. Геометрии пространства-времени
где П — кручение связности Г. В частности, если связность — лоренцевская, ее раз-
разложение относительно соответствующей псевдоримановой метрики д включает только
символы Кристоффеля и тензор кручения. При переходе от голономного атласа к атла-
атласу Фн, задаваемому тетрадными функциями ft*, имеем соотношение
Если Г — лоренцевская связность, редуцируемая к связности Ah на LhX, то
\ = 2А х, 1 л = -1 л,
где АаЬх — коэффициенты локальной 1-формы связности Ah.
В отсутствии фермионной материи, в качестве гравитационных величин можно ис-
использовать метрическое поле д и тензор кручения П, который входит в разложение D.11)
лоренцевской связности Г на LX.
Нарушение симметрии в теории гравитации приводит не только к появлению грави-
гравитационного поля, но и индуцирует пространственно-временную структуру на мировом
многообразии X4.
Если структурная группа главного расслоения LX редуцируема к группе Лоренца L,
последняя в свою очередь всегда редуцируема к своей максимальной компактной под-
подгруппе 50C). Это означает, что:
• всякое редуцированное расслоение LhX содержит главное редуцированное под-
расслоение L%X со структурной группой S0C);
• существует атлас Фн расслоения LX и ассоциированных расслоений с 50C)-знач-
ными функциями перехода;
• всегда существует глобальное сечение расслоения
LhX/S0C) -> X4,
которое может быть представлено нигде не нулевой тетрадной 1-формой
h° = hldx" D.12)
наХ4.
Более того, имеет место коммутативная диаграмма
GL4 50D)
D.13)
L 50C)
редукции структурных групп расслоения LX.
Редукция структурной группы L к 5ОC), в частности, позволяет задать глобаль-
глобальное поле Gь ° ha){x) = 7° матриц Дирака 7° и построить послойную L-инвариантную
метрику D.3) в спинорном расслоении Sh.
§ 1. Гравитация 173
В то же время тетрадная форма D.12) выделяет 3-мерное ориентируемое подрассло-
ение FX касательного расслоения ТХ над X4, которое задается соотношением
t j А°(х) = 0, t € FXX.
Его слои FXX являются пространственно-подобными подпространствами касательных
пространств ТХХ относительно псевдоримановой метрики д, ассоциированной с h.
В результате может быть осуществлено C + 1)-разбиение
TX = FX@TUX D.14)
касательного расслоения на 3-мерное пространственно-подобное подрасслоение FX и
ортогональное ему (относительно д) 1-мерное времени-подобное дополнение Т°Х. Та-
Такое разбиение определяет на мировом многообразии X4 пространственно-временную
структуру, ассоциированную с данным гравитационным полем h, превращая X4 в
пространственно-временное многообразие. При этом расслоение Т°Х указывает напра-
направление локального времени в каждой точке х € X4.
Более того, следствием коммутативности диаграммы D.13) является следующая из-
известная теорема.
Теорема 4.1.1. Для всякого гравитационного поля д на мировом многообразии ХА
и ассоциированного с ним пространственно-временного разбиения D.14) с производя-
производящей формой h° D.12) существует риманова метрика gR такая, что
gR = 2/i° ®h°-g.
?
Риманова метрика gR из Теоремы 4.1.1 индуцирует согласованную с д функцию
расстояния на пространственно-временном многообразии X4, которая превращает X4
в метрическое топологическое пространство. Его топология эквивалентна топологии
многообразия на X4. Однако для одного и того же гравитационного поля д, но раз-
разных пространственно-временных разбиений D.14) мы имеем разные ассоциированные
римановы метрики и разные функции расстояний на X4. В физической интерпретации
это означает, что в разных пространственно-временных системах отсчета наблюдатели
должны наблюдать разные римановы свойства пространства-времени. Известное изме-
изменение видимых размеров тел при переходе к движущейся системе отсчета иллюстрирует
это явление.
Выше уже отмечалось, что существуют топологические препятствия для редук-
редукции структурной группы главного расслоения линейных реперов LX к группе Лорен-
Лоренца и следовательно для существования гравитационного поля, а также спинорной и
пространственно-временной структур на многообразии X4. Рассмотрим эти препят-
препятствия.
Многообразия X4 классифицируются по следующим характеристическим классам
своих касательных расслоений:
• первый класс Понтрягина pi(X) G H4(X, Z),
• класс Эйлера е(Х) 6 Н4(Х, Z) при фиксированной ориентации X4,
• классы Штифеля—Уитни го;(Х) € Н\Х, Z2), г ^ 2.
Здесь Н\Х, Z) и Нг(Х, Z2) обозначают группы симплициальных когомологий.
174 Глава 4. Геометрии пространства-времени
Отметим сразу, что, поскольку многообразие X4 является ориентируемым, класс
Штифеля—Уитни гу,(Х) равен нулю, или более точно является нулевым элементом
группы Я'(Х, Z2).
Существенно, что, благодаря гомоморфизмам групп симплициальных когомологий
Н*(Х, Z) в группы Н*(Х, Е) когомологий Де Рама внешних дифференциальных форм
на X4 класс Понтрягина р, и класс Эйлера е могут быть представлены когомологиче-
когомологическими классами соответствующих характеристических форм:
Vi = ~ А Тг(Д ЛЙ)=1йоЬЛ Rab,
** 87Г D.15)
Заметим, что в этих выражениях должна использоваться 2-форма кривизны R линейной
связности Г на ТХ, принимающая значения только в алгебре Ли soD — к, к) ортого-
ортогональной группы или одной из псевдоортогональных групп:
R = j R lab, lab = —Iba-
В частности, это может быть кривизна какой-либо римановой связности или лоренцев-
ской связности, если последняя существует на ТХ.
Если X4 компактное многообразие, интегрированием характеристических форм
D.15) мы получаем число Понтрягина
и эйлерову характеристику
многообразия X4.
Спинорные расслоения S над ХА со структурной группой Ls классифицируются по
классам Чженя с{(Е) 6 Н2г(Х, Z), г ^ 2. При этом, так как структурная группа L3 всегда
редуцируема к своей максимальной компактной подгруппе SUB), класс Чженя ct(E)
спинорного расслоения совпадает с нулевом элементом группы Я2(Х, Z).
Классы Чженя совпадают с когомологическими классами характеристических форм
Чженя
с, = ^
I 1 DЛ6)
Т(я л я> = -тгт Rab л *»*>
32
где R ¦— 2-форма кривизны связности А на расслоении 5. Она дается выражением
где 1аЬ — генераторы группы L, на двумерном комплексном пространстве.
§ 2. Многомерная гравитация 175
Поскольку существует включение
GL4 -> GLD, С),
касательное расслоение ТХ можно считать ассоциированным с некоторым комплекс-
комплексным расслоением ТСХ со структурной группой GLD, С) так, что имеет место соотно-
соотношение
Пусть теперь структурная группа касательного расслоения ТХ редуцирована к группе
Лоренца и 5 — спинорное расслоение, ассоциированное с ТХ. Тогда расслоение ТСХ
ассоциировано с тензорным произведением S ® S* и выполняются соотношения
р,(Х) = -с2(Г1) = -4с2E),
w2(X) = 0.
Причем, первое соотношение можно получить непосредственно из равенства характе-
характеристических форм D.15) и D.16), если форма р[(Х) подсчитана в случае лоренцевской
связности, ассоциированной со связностью на спинорном расслоении S.
Следующая теорема суммирует топологические условия на многообразие X4, чтобы
оно допускало гравитационное поле, дираковское фермионное поле и пространственно-
временное разбиение D.14).
Теорема 4.1.2. Указанные выше структуры существуют на некомпактных много-
многообразиях X4, если их касательные расслоения тривиальны, и на компактных многообра-
многообразиях X4, если их эйлерова характеристика и классы Штифеля—Уитни wi2 равны нулю,
а число Понтрягина Р, кратно 48. ?
§2. Многомерная гравитация
Первая модель многомерной гравитации — модель Калуца—Клейна — была предло-
предложена в 20-е годы как совместное геометрическое описание гравитации и электромаг-
электромагнетизма. Ее главным атрибутом является 5-мерное пространство X5 с координатами
(хА, А — 0, 1, 2, 3; 5) и метрикой
9 ={-tf i+g*gj- DЛ7)
Компоненты метрики дАВ предполагаются независимыми от координаты а;5, а на вол-
волновые функции в 5-мерном пространстве накладывается условие цикличности по коор-
координате х5 , т. е.
Ф = ip(x\ ..., ж3)ехр(гтж5), D.18)
при целом т.
Это означает, что пространство Xs представляет собой прямое произведение
Х4х5'
176 Глава 4. Геометрии пространства-времени
4-мерного пространства-времени и окружности S{ с циклической координатой х5. При
этом выражение D.17) для метрики дАВ и выражение D.18) для волновых функций -ф
на X5 через метрику д11" и функции ¦ф на X4 составляют условия проекции физиче-
физических, геометрических и других объектов на пространстве X5 в пространство-время X4.
Например, волновое уравнение
ОФ = 0 • '
на пространстве X5 приводится на пространстве X4 к уравнению Прока
(П-тг)тр = 0,
а уравнения Эйнштейна для метрики дАВ — к уравнениям Эйнштейна для метрики д11"
и уравнениям Максвелла для величин д11, которые в модели Калуца—Клейна интерпре-
интерпретируются как электромагнитный потенциал.
Все эти моменты присутствуют и в обобщенных многомерных моделях гравитации,
когда на D + d)-мерном пространстве компоненты метрики с индексами высших раз-
размерностей, как оказалось, соответствуют калибровочным потенциалам на 4-мерном
пространственно-временном многообразии. Это соответствие и стало главной причи-
причиной широкого внимания к многомерным моделям как одного из путей объединения
гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями. Мы посвятим настоящий
параграф обоснованию этого ключевого пункта, а именно доказательству следующего
факта.
Если G — компактная группа преобразований многообразия Е с изоморфными
орбитами в Е, тогда существует взаимно однозначное соответствие между G -инва-
-инвариантными метриками на Е и тройками G, А, К) метрики у на пространстве орбит М
группы G в Е, калибровочных полей А группы N/H, где Н — стабилизатор точки в Е
и N — нормализатор подгруппы Н в G, и некоторых скалярных полей h, характеризу-
характеризующих внутреннюю геометрию орбит.
Пусть Е — многообразие, на котором задано правое действие компактной связной
группы Ли G, т. е.
G Э д:ЕЭ q>-> qg&E.
Для всякой точки q 6 Е обозначим G(q) орбиту группы G в Е, проходящую через q,
а посредством Ня — стабилизатор точки q. Для точек q и q , принадлежащих одной и
той же орбите, подгруппы Нч и Hq> сопряжены в G, а значит изоморфны. Для точек,
принадлежащих разным орбитам, это, вообще говоря, не так. Однако в дальнейшем
мы будем рассматривать случай, когда стабилизаторы всех точек q 6 Е сопряжены с
некоторой стандартной подгруппой Н в G.
Нормализатором подгруппы Н в G называется максимальная подгруппа N группы G
такая, что Н является в N инвариантной подгруппой (нормальным делителем), т. е.
N = {g e G : дН = Нд}.
Рассмотрим правое фактор-пространство G/H и фактор-группу N/H. На G/H опреде-
определено правое действие группы G по правилу
g':G/H3.[g)>-+[3]9' = l99')?G/H, D.19)
где
[д] = Igh), heH,
§2. Многомерная гравитация 177
обозначает правый класс смежности элемента д из G. Зададим левое действие
п : G/H эйн [пд] € G/H D.20)
группы N на G/H. Оно перестановочно с правым действием G на G/H:
п([д]д') = п[дд'] = [пдд] = [пд]д = (п[д])д .
Более того, действие D.20) зависит только от класса смежности [п] элемента п в N/H:
nti[g] = n[h'g],
т. е. сводится к действию
МЫ = [пд] D.21)
фактор-группы N/H на G/H.
Рассмотрим главное расслоение PN/H со структурной группой N/H над базой М и
ассоциированное с ним расслоение YG/H с типичным слоем G/H, на котором опреде-
определено правое действие группы G:
9 ¦ (<?, [g])/(N/H) - (q, [gg'])/(N/H), D.22)
где q 6 Pn/h и действие группы N/H на
PN/H x (G/H)
имеет вид
[п] ¦¦ (Я, Ы) -+ (?N, [п][д]) = (q[n], [пд]).
Поскольку правое действие D.19) группы G на G/H и левое действие D.21) группы N/H
на G/H перестановочны, действие D.21) группы G на Pg/h является послойным. На
каждом слое, как на своей орбите, группа G действует транзитивно, но не свободно
(поскольку центр фактор-пространства G/H имеет своим стабилизатором подгруппу Н).
Существует вложение Pn/h на подмногообразие в Ра/и ¦ Оно осуществляется ото-
отображением
7 : Pn/h 3q~(q, (\])/{N/H) E PG/H.
Причем, если q Ф q', то j(q) Ф jiq), поскольку центр [1] фактор-пространства G/H не
имеет стабилизатора в N/H и
(?[«], Ш)/(ЛГ/Я) = (q, [n])/{N/H) ф (q, [1])/(N/H).
Используем все приведенные конструкции для доказательства следующей теоремы.
Теорема 4.2.1. Пусть Е — многообразие, на котором задано правое действие груп-
группы G такое, что стабилизаторы всех точек из Е сопряжены с некоторой подгруппой Я
в G. Пусть М — множество орбит группы G в Е. Тогда Е имеет структуру расслоения
тг: Е —> М над М с типичным слоем G/H и структурной группой N/H. ?
Выделим в Е подпространство точек, стабилизатором которых является подгруп-
подгруппа Я:
Q = {qeE: qH = q}.
178 Глава 4. Геометрии пространства-времени
Заметим, что, если q б Q, то qg G Q тогда и только тогда, когда д 6 N, поскольку
qgH = qHg = qg
лишь при д 6 N. В силу этого свойства на Q определено правое действие N/H и оно
свободно. Это превращает Q в главное (ЛГ/Я)-расслоение PN/H с базой М. Зададим
отображение
Q X G/H Э (q, [g]) ^qgeE.
Оно обладает свойством
(q[n], [пГ1д) ьч qg, [n] G ЛГ/Я,
и задает на Е структуру ассоциированного с PN/H расслоения с типичным слоем G/H.
Все описанные конструкции и отображения могут быть сделаны гладкими.
Рассмотрим теперь индуцируемые Я, N и N/H разбиения алгебры Ли с(/ группы G.
Пусть Я — компактная связная подгруппа Ли группы G. Обозначим (, ) невырожден-
невырожденную G-инвариантную билинейную форму на алгебре г?, на которой G действует по
присоединенному представлению adG. Пусть 3f — алгебра Ли группы Я и &н — ее
ортогональное дополнение в Jf. Причем, поскольку
E*я, Я) = ((яйНХ&н), (adЯ)(Я)) = ((ааЯ)(.^я), Я) = О,
имеем
Алгебра %? и ее ортогональное дополнение &н образуют разбиение
2? = ^ + ^я, D.23)
алгебры Ли г?. Так же как алгебра Ли 5? отождествляется с касательным простран-
пространством к многообразию группы Ли G в единице группы, векторное пространство &н,
наделенное действием айН, может быть отождествлено с касательным пространством к
многообразию G/H в его центре.
Аналогичное разбиение имеет место для алгебры Ли Л' группы N:
где Ля — ортогональное дополнение St в ^V" и
В то же время, поскольку Я — инвариантная подгруппа N, имеем
Отсюда следует, что \at', Жн\ — 0, и ортогональное дополнение ^я образует подпро-
подпространство векторов в касательном пространстве &н к G/H, инвариантных относительно
действия подгруппы ЯБолее того
странство векторов в касательном п
действия подгруппы Я. Более того,
§ 2. Многомерная гравитация 1J79
и поэтому -Жн является подалгеброй Ли в <Ж\ которая может быть отождествлена с
алгеброй Ли группы К = N/H.
Введем также ортогональное дополнение 3*N алгебры Ли ^У в ^?:
@>N]C&>N, D.24)
Фиксируем в алгебре Ли J? базис 1А:
, Ib] - Cab
согласованный с разбиением D.24), т.е.
1л={1и1а: Ite
D.25)
Обозначим Ав(д) морфизмы присоединенного представления G на с?. Тогда для п е N
матрица А(п) имеет следующий вид
где А; (я) — матрицы представления N на 3f, a Af(n) — матрицы представления iV
Обозначим тА фундаментальное поле на Е, отвечающее генератору 1А группы пре-
преобразований G на Е:
((/))|,=0. D.26)
as
Поскольку имеется гомоморфизм алгебры Ли ^ в алгебру Ли векторных полей на^Б,
образом которого являются фундаментальные поля, получаем
[тА, TB](q) = cABTD(q), q <E E. D.27)
Векторы тА(д) в q 6 Е касательны к линиям, вдоль которых переносится точка q
под действием преобразований ехр(?/л) при малых параметрах t. Поэтому все они ле-
лежат в вертикальном пространстве VqE к Е в точке q, т. е. в подпространстве, каса-
касательном к слою Ех, х 6 М, расслоения Pn/h> проходящего через точку q ? Е (к орби-
орбите G(q) = Еп(я) в Е). В частности, поскольку
dim VqE - dim G - dim H < dim G,
система векторов {rA(q)} не является линейно независимой в VqE.
Из определения D.26) следует, что поля Т; (см. обозначения D.25)) исчезают на
подмногообразии Q в Е, поскольку qE = q, q S Q-, тогда как векторы {^(q)} линейно
независимы в точках q G Q, а векторы та1 касательны к Q. Следовательно {та(д)}
линейно независимы и в некоторой окрестности U подмногообразия Q в Е так, что
f2fr(q), qeU. D.28)
180 Глава 4. Геометрии пространства-времени
Сравнивая D.28) с D.27), получаем, что
f20(qK(q) = ct.rAq), q G U,
Беря от обоих частей этого равенства коммутатор с полем т6 в точках подмногообра-
подмногообразия Q, находим
сАа,с}А - с^ = <?„<&. D.29)
Из D.26) также следует (с учетом T{(q) = 0, q G Q), что
Ta(qn) = Al(n)Tfi(q), qEQ,nEN. D.30)
Рассмотрим теперь G -инвариантную метрику д на Е, т. е. производные Ли метрики д
вдоль полей тА равны 0. Покажем, что д определяет следующие объекты:
• G-инвариантную метрику hx на каждом слое Ех;
• G-инвариантное распределение горизонтальных пространств HqE, q € Е, на Е,
или эквивалентно связность на главном расслоении Р^/н',
• метрику 7 наМ.
Обратно, метрика д однозначно восстанавливается по указанным выше величинам.
Метрика д на Е задает скалярное произведение двух вертикальных векторов и тем
самым индуцирует G-инвариантную метрику hx на каждом слое Ех. Эту метрику до-
достаточно знать в какой-либо одной точке q G Ex=T^q) слоя Ех, из которой, используя ее
G -инвариантность, она может быть перенесена во все точки слоя Ех. Выберем неко-
некоторое локальное сечение а : М —» Q главного расслоения Pn/н, определяющее карту
этою и ассоциированного с ним расслоений в окрестности х 6 М, и будем задавать
метрику hx ее значением
Цх) = д(а(х))
в точке q = а(х) ? Q. В качестве базисов вертикальных касательных пространств VqE
в точках q € Q можно выбрать линейно независимые векторы {ra(q)}. В таком базисе
метрика h(x) имеет компоненты
Кр =9c,f)(q) = 9q(ra(q)
При переходе к другому локальному сечению
а'(х) = а(х)п(х), п(ж) е N,
используя закон преобразований D.30), получаем
tiaf>= 9*0 (qn) = К (пЩ(п)д„и (д)
В частности, если п 6 Я С N, то а — а' и
, D.31)
§ 2. Многомерная гравитация
т. е. матрица haC(x) является Я-инвариантной. Причем, поскольку \St, Жн\ — О и
матрицы Л?(п), п 6 Н, имеют вид
Л" - ( ^ °
а ~ \ о л«
из условия D.31) можно получить ограничения на форму матрицы ha/3, а именно:
h -
Отсюда следует, что векторы rai(q) и та2(д), q € Q, ортогональны относительно метри-
метрики д, а тем самым векторы та2 ортогональны подмногообразию Q.
Обозначим НЯЕ ортогональное относительно метрики д дополнение в касательном
пространстве ТЯЕ к Е в точке q G Е вертикального пространства VqE. В частности,
пространства НЯЕ в точках q G Q ортогональны векторам та2, а значит являются каса-
касательными к подмногообразию Q. Прямая сумма HqE и пространства VqQ, натянутого
на векторы Ta)(q), касательные к слою <51=„(9), образует касательное пространство к Q
в точках q € Q- Поскольку метрика g является G-инвариантной, распределение .ffgi?
тоже G-инвариантно, т. е.
(HqE)a = HqaE, a EG.
Тем самым распределение НЯЕ при ограничении на многообразие Q удовлетворяет
всем требованиям к распределению горизонтальных подпространств на главном рассло-
расслоении Q = Pff/н, и> следовательно, вводит некоторую связность на Р^/н-
Метрика j на М задается следующим образом. Пусть t, t' — два касательных вектора
к М в точках х € М. Выберем произвольную точку q в слое Ех над х и определим
j*(t,t')=g,(t",t'"), D.32)
где tq и t'q — поднятия t и f в горизонтальное пространство HqE. В силу С-инвари-'
антности метрики д это определение не зависит от выбора точки q.
Обратно, предположим известными метрику j на М, распределение HqE, q € Q,
и G -инвариантную метрику hx на слоях Ех. Возьмем произвольные два вектора
tq,t'q G ТЧЕ. Пусть q0 G Q — точка такая, что q = qoa для некоторого элемента а 6 G,
векторы v*{tq) и 7r*(ig) — проекции ?, и t'q на Тж(я)М и векторы if и ?', — подня-
поднятия 7r*(ig) и 7г*(?д) в горизонтальное векторное пространство НЯаЕ. Тогда векторы
*, - t^a, t'q - t'qa
— вертикальные и метрика д может быть определена следующим образом;
94(tq, О = 7-(*(*,). *(О) + М«, - «fa, <i - *'f °>- D-33)
Например, пусть g б Q и векторы i,, <, — горизонтальные. Тогда второй член в выра-
выражении D.33) отсутствует и оно сводится к выражению D.32). Если векторы tq, t'q имеют
только вертикальные составляющие, то
v'(tq) = тг*(О = О,
и выражение D.33) воспроизводит определение метрики hx.
182 Глава 4. Геометрии пространства-времени
Перепишем выражение D.33) для метрики д в компонентах. Пусть {х*1} — не-
некоторая локальная система координат на многообразии М и {ем(д)} — горизонталь-
горизонтальные поднятия векторов д^ в HqE. Векторы {е^(д),г„(д)} образуют базис касательного
пространства TqE к Е в точках подмногообразия Q и некоторой его окрестности U.
Поскольку векторы e^q) и ra(q) ортогональны относительно метрики д, последняя в
базисе {e(J(g),rQ(g)} имеет вид
9 ~ \ 0 дар{х, у) ) '
где
(х, у)ЕМх (G/H)
— локальная система координат
q = [<т(х)]у, х = тг(д),
на Е, определяемая локальным сечением а главного расслоения Q, и
Выразим теперь е^ через 5М. В локальной системе координат
(х, а) е М х (N/H), q = [а(х)]а, а е N/H,
определяемой сечением а на Q, форма связности А на Q в точках q = (х, 1) имеет вид
Из условия А(е^) = 0 находим
Тогда, учитывая, что
(x)) = gafj(x, Т) = haf)(x),
выражение D.33) для метрики g в точках q = (х, 1) можно переписать в виде
= 7м"(
Это означает, что в точках ? = (i, 1) € Q С ? в базисе {<?,,, гО1(ж, 1)} контравари-
антные компоненты G -инвариантной метрики g на Е имеют вид
/ 7"" Г"К' 0 \
5(х,Т)= 71*"^1 Лв1"|+7'"'-Ам1^1 0 . D.34)
\ о о ла2/92 /
Таким образом она выражается через:
§ 3. Супергравитация 183
• компоненты метрики 7"" на "пространстве-времени" М (хотя надо подчеркнуть,
что существование на Е инвариантной метрики с наперед заданной сигнатурой не
гарантировано);
• калибровочные потенциалы А^ группы N/H на М;
• мультиплет скалярных полей Ла/3 — компоненты метрики во "внутреннем" про-
пространстве G/H.
Приведем еще выражение для скалярной кривизны метрики д на Е:
D.35)
- \ F\VF^ - VM(fte/3 ?>"fte/9) - l- ft" Vе (D.K, D»haS + D.hapD»hl8),
которая выражается через ковариантные производные VM и кривизну Лт метрики у
на М, ковариантные производные D^ и напряженность F калибровочных потенциа-
потенциалов А группы N/H и метрику h на G/H.
Выражения типа D.34) и D.35) составляют математическую основу многомерных
объединенных моделей типа Калуца—Клейна.
§3. Супергравитация
Одним из перспективных кандидатов на объединение фундаментальных взаимодей-
взаимодействий, включая гравитацию, является теория суперсимметрий и супергравитации. Веде-
Ведение суперсимметрий основывается на том, что классические поля образуют ^-градуи-
^-градуированную суперкоммутативную алгебру Е, т. е.
ф® ф = —ф ® ф, '
когда ф и ф' — только фермионные (нечетные) элементы Е, и
ф ® ф' = ф' ® ф
в остальных случаях. На этой алгебре, кроме обычных симметрии, могут быть зада-
заданы преобразования суперсимметрий, переводящие бозонные и фермионные поля друг в
друга.
Рассмотрим линейные операторы, действующие на алгебре Е. На множестве этих
операторов также можно задать Z2-градуировку, полагая четными (соотв. нечетными)
операторы, не меняющие (соотв. меняющие на противоположную) четность элементов
из Е.
Введение нечетных операторов на Z2 -градуированной алгебре полей Е приводит к
обобщению понятия алгебры Ли. Элементами алгебры Ли являются генераторы / четных
преобразований, которые действуют на тензорные произведения полей по закону
Цф®ф') = 1(ф)®ф' + ф®1(ф'). D.36)
Определим действие на тензорное произведение полей генераторов нечетного пре-
преобразования Q. Пусть ф и ф' — нечетные элементы Е. Тогда, чтобы удовлетворить
условию
184 Глава 4. Геометрии пространства-времени
надо по аналогии с D.36) положить
Q(<p® ф') = Я(ф)®ф' -ф® '
Таким образом при перестановке нечетного генератора с нечетным элементом из Е по-
появляется множитель —1.
Рассмотрим теперь действие четных операторов QQ' и Q'Q:
ф') =
+ (-l)wQ'(tf>) ® Q@') + ф ® (QQ')(<I>'),
D.37)
' ' ' W+1' '
где \ф\ обозначает четность элемента ф. Действие D.37) отличается от действия D.36)
четного генератора / алгебры Ли. Как видно из выражения D.37), нужным образом будет
действовать антикоммутатор
[Q,Q'] = QQ' + Q'Q,
который и представляет собой генератор некоторого четного преобразования.
Таким образом рассмотрение нечетных операторов на Z2-градуированной алгебре
полей Е приводит к обобщению конструкции алгебры Ли до супералгебры Ли.
Супералгеброй Ли называется Ъг-градуированное векторное пространство
L = L°@Ll,
с заданной на нем билинейной операцией [, ], удовлетворяющей следующим условиям
[/,7'] = (-1)|/||7'|+1[7',Л,
[I, [Г,Г')] = [[I, I'),I"] + (-lfllI\l', [I, /"]].
Четная часть L0 супералгебры Ли L является алгеброй Ли, а коммутатор
[L\ L'] С X,1
задает представление алгебры Ли
L° : L1 - L'
на пространстве нечетной части L1 супералгебры Ли. Это позволяет классифицировать
полупростые супералгебры Ли, используя классификацию Картана алгебр Ли.
Линейные представления супералгебр Ли реализуются в Z2-градуированных вектор-
векторных пространствах
Vn'm = V°fbV! =М
При этом четные генераторы не меняют четность элемента пространства представления,
т. е. имеют вид
' А О
О В
где А — (п х п) -матрицы и В — (т х т) -матрицы.
§ 3. Супергравитация 185
Подчеркнем, что супералгебра Ли является алгеброй над полем Е, т. е. ее коэффици-
коэффициенты — вещественные числа. Однако переход к групповым нечетным преобразованиям
требует расширения числового поля до алгебры Грассмана Л. Это вызвано следующим
обстоятельством.
Пусть д — оператор линейного нечетного преобразования в алгебре Е. Естественно
потребовать, чтобы действие д на тензорное произведение полей имело обычный вид
д{ф®ф') = д(ф)®д(ф'). D.38)
Пусть фиф' — нечетные элементы алгебры Е. Тогда
д(ф ® ф') = -д(ф' ®ф) = -д(ф') ® д{ф). D.39)
Сравнивая D.38) и D.39), видим, что элементы д(ф)и д(ф') также нечетны, что проти-
противоречит предположению, что д меняет четность.
Это противоречие можно устранить, расширяя поле Е до алгебры Грассмана Л и
заменяя супералгебру Ли на алгебру Ли, являющуюся ее Л-оболочкой.
Алгеброй Грассмана Л называется ассоциативная алгебра над полем Е (или С) с еди-
единицей, обладающая канонической системой из I образующих
Алгебра Грассмана является суперкоммутативной алгеброй. Ее четная (соотв. нечетная)
часть Л° (соотв. Л1) образована всевозможными линейными комбинациями произведе-
произведений четного (соотв. нечетного) числа образующих. Имеется вложение поля Ж в Л на
Ж1, где 1 — единица алгебры Л. Базис алгебры Л как вещественного векторного про-
пространства образуют элементы вида
Х'---Хк, г, < ... < ffc, fe = 0, 1, ...,/,
где [ih ..., гк] — всевозможные упорядоченные наборы чисел от 0 до / и х° = 1- Раз~
мерность этого пространства равна 2'.
Расширение поля Ж до алгебры Грассмана означает переход от векторных про-
пространств над Ж к А-модулям, т. е. к тем же линейным пространствам, но с коэффици-
коэффициентами из Л. При этом Z2-градуированное векторное пространство Fn'm над К превра-
превращается в ^-градуированный А-модуль, в котором четность элемента Xv (А €Л, v G Vn'm)
дается суммой
четностей элементов Ли». Например, четная часть Л-модуля имеет вид
(°°)Ф(Л'<8>^')- D.40)
Она называется грассмановой А-оболочкой S2-градуированного векторного пространства
Vn'm и представляет собой, с одной стороны, Л°-модуль, а с другой стороны, 2'~'(п+тп)-
мерное вещественное векторное пространство
1!'"'®Ет). D.41)
В частности, взятие Л-оболочки от супералгебры Ли делает все ее элементы четны-
четными и превращает ее в.алгебру Ли. Генерируемые элементами этой алгебры, например
посредством экспоненциального отображения
групповые преобразования также являются четными. Это элементы супергруппы Ли.
186 Глава 4. Геометрии пространства-времени
Среди супералгебр Ли, действующих на Z2-градуированной алгебре классических
полей, особое место занимает супералгебра Пуанкаре (Lab, PM, QA, Qb1), которая (не вы-
выписывая коммутаторы лоренцевских генераторов ЬаЬ) задается соотношениями
[Р., РЛ = О,
D.42)
[Qa, Qb] = [Яач ЯвЛ = О,
[Р„ Qa] = 1Р„ ЯвЛ = О,
где А и В' — индексы 2-компонентных (непунктирных и пунктирных) вейлевских спи-
спиноров, а1'2'3 — матрицы Паули и ст° = — 1. Дело в том, что эта супералгебра оставляет
инвариантным совместный функционал действия бозонного и фермионного полей, хотя
и путем введения вспомогательного поля.
Например, пусть ф — скалярное поле, а -фА — вейлевское спинорное поле и
FAB = —FBA — вспомогательное псевдоскалярное поле. Представление супералге-
супералгебры D.42) на мультиплете
(Ф, Фа, Fab)
выглядит следующим образом:
QA4> = v/2>a, Яв'Ф = О
ЯАфв = V2FAB, Яв>Фс = iV2a"CB,d^, D.43)
QaFbc = 0, Яв>РАС = iy/2a"cB-d^A,
Введение вспомогательного поля необходимо, чтобы антикоммутатор [Яа, ЯвЛ сводил-
сводился к генераторам трансляций Рм. Легко проверить, что супералгебра D.42) в представле-
представлении D.43) оставляет инвариантным функционал действия
= I
+ ф'Пф + F*F).
Инвариантность этого функционала в общем случае, однако, нарушается при переходе
к неинфинитезимальным калибровочным суперпреобразованиям Пуанкаре.
Чтобы функционал действия оставался инвариантным относительно конечных тран-
трансляций, надо предположить, что последние сопровождаются также преобразованиями
координатного пространства
a:1* I-» х» + a"(z).
Однако в рамках супергруппы Пуанкаре преобразования трансляций могут возникать в
результате суперпозиции преобразований с нечетными генераторами Q:
exp(\AQA)exp(\B'QB,) = exp (\AQA + XB>QB, + l- [XAQA, Xb'q^]
В I A rfl
V^4 ' ^ VB' ' ^ ^* - G AB'-Lp. ~r ¦ •
Это означает, что координатное пространство X, реализующее представление группы
трансляций, необходимо расширить до пространства, допускающего представление су-
супергруппы Пуанкаре.
§ 3. Супергравитация 187
Таковым могло бы быть суперпространство, параметризуемое как обычными коор-
координатами х, так и "спинорными" координатами в, на котором супералгебра Пуанкаре
реализовывалась бы операторами вида
Однако строгое математическое описание такого суперпространства оказалось се-
серьезной проблемой. По-видимому, наиболее удовлетворительно она разрешается в рам-
рамках формализма супермногообразий и суперрасслоений. Этот формализм является не-
непосредственным градуированным обобщением (путем замены поля действительных чи-
чисел Е на алгебру Грассмана Л) обычной теории дифференцируемых многообразий и
расслоений. Такое обобщение может быть построено, если на алгебре Л ввести банахову
структуру, превращая ее в нормированное евклидово топологическое пространство.
Банаховой алгеброй называется алгебра с нормой, удовлетворяющей следующим усло-
условиям:
1И1 ^ IN
Банахова структура может быть задана на алгебре Грассмана с помощью нормы
D.44)
А=0 (i,...ik)
Такая норма индуцирует на Л топологию 21 -мерного вещественного евклидова простран-
пространства.
Алгебраическая структура Л может быть реализована также вещественными матри-
матрицами, а именно, алгебра Грассмана Л изоморфна подалгебре алгебры B' х 2')-мерных
вещественных треугольных матриц, строящихся по следующему правилу.
Обозначим / упорядоченный набор (i{... ik). Пусть J С I, т. е. I содержит в себе все
элементы из J. Обозначим I—J набор из тех элементов /, которые не входят в J. Анало-
Аналогично, если IП J =0, обозначим I + J набор, состоящий из элементов как I, так и J.
Пусть (I\J) — четность перестановки при упорядочивании множества г{... ikjx... jn.
Поставим в соответствие элементу
алгебры Л матрицу с компонентами
AIJ = (-lf]J-')aJ_I> ICJ,
D.45)
А„=0, IHJ^I.
188 Глава 4, Геометрии пространства-времени
Например, если I = 2, произвольный элемент из Л имеет вид
А = а0 + о,х' + а2х2 2
и ему отвечает матрица
а0 ai а2 в|2
О а0 0 а2
О 0 а0 -а[
0 0 0 а0
Можно проверить, что умножение элементов А из алгебры Грассмана Л соответ-
соответствует произведению сопоставляемых этим элементам вещественных матриц D.45). Это
важно, поскольку позволяет представить алгебры и группы Ли с параметрами из алгебры
Грассмана как вещественные алгебры и группы Ли.
Суперпространством Вп'т размерности (п, т) называется Л-оболочка D.40) Z2-
градуированного векторного пространства Vn'm с базисом {vk}, к = 1, ..., п + га, и
нормой, индуцируемой нормой D.44) по правилу
6/1 1 in 1I+1 I П + ТПч lk^Tl , ,0 j_Tl + k — . 1
= (b, ...,ь ,b ,..., ь ), ь - ел , ь ел .
Такая норма определяет на вп'т топологию 2'~'(?г+то)-мерного евклидова пространства.
С другой стороны, суперпространство Вп'т можно представить как 21~1(п + т)-мерное
вещественное векторное пространство D.41) с базисом {e/t}.
Рассматриваются отображения
F :Вп'т ->л,
называемые суперфункциями. Их супердифференцируемость определяется по аналогии
с дифференцируемостью обычных функций на банаховых пространствах. Суперфунк-
Суперфункция F может считаться г раз супердифференцируемой в точке b e Вп'т, если для всякого
элемента (Ь + К) из некоторой окрестности U 6 Ъ суперфункцию .F(& + h) можно пред-
представить в виде
F(b + ft) = F(b) + 2_u(GpF)(b, ft) + r)(l
где (GpF)(b, ft) — полилинейные, кратности р, непрерывные отображения
вп'т ~ (GpF)(b, Л) е л
суперпространства Вп'т как Л°-модуля в алгебру Л, а суперфункция т]{Ь, Л) удовлетво-
удовлетворяет условию
или—о '
Суперфункция F считается г раз супердифференцируемой (класса GT) в открытой обла-
области U С В"', если она г раз ¦супердифференцируема во всех точках b eU. Суперфунк-
Суперфункция F считается класса G°°, если она класса С при любом г.
§ 3. Супергравитация 189
Обозначим G°°{U) множество суперфункций класса G^ на U С Вп'т. Тогда сопо-
сопоставление
Gh : F{b) -> (GF)(b, ft), b e U,
задает отображение G°°(U) в себя, удовлетворяющее условиям
Gh(FF") = Gh(F)F' + FGh(F'),
Gh'Gh = GhGhi.
Оно представляет собой производную суперфункции F по направлению ft. На полино-
полиномиальных и аналитических суперфункциях производной по направлению можно придать
вид
= hk^, \hk\ = \bk\,
при выполнении условий
0
dbk db" дЫ dbk'
Поскольку и суперпространство Вп'т, и алгебра Грассмана Л представляют собой
также вещественные пространства, суперфункция F может быть задана набором 2' ве-
вещественных функций // от 2'~'(п + т) действительных переменных у1к так, что су-
суперанализ во многом аналогичен комплексному анализу. В частности, функции ft с
необходимостью должны удовлетворять некоторым условиям типа Коши—Римана. Од-
Одно из них
f = f
Супермногообразие Мп'т размерности (п, m) определяется как банахово многообра-
многообразие, допускающее атлас
Фм = {Uu фг.Ъ^ Вп'т},
функции перехода которого супердифференцируемы.
По аналогии с обычной дифференциальной геометрией строятся касательные про-
пространства к супермногообразию. Касательный вектор к супермногообразию Мп'т в точ-
точке b G Мп'т определяется как класс эквивалентных пар
(Л е вп'т, фт, ь е uit
при преобразованиях атласа Фм. В карте (ф{, Ut Э Ь) он может быть представлен опера-
оператором производной по направлению h в точке b на множестве суперфункций С°°(^),
поскольку Gh = Gh', если пары (Л, ф{) и (h1, ф\) эквивалентны. Множество Gh, когда h
пробегает вп'т, образует касательное пространство к М"'т в точке Ь. Оно изоморф-
изоморфно Вп'т.
Множество касательных пространств к М"'т составляет касательное суперрасслое-
суперрасслоение — супердифференцируемое расслоение ГМ"' над Мп'т, получаемое склеиванием
тривиальных расслоений ?/4 х Вп'т посредством функций перехода
Pij : (Uj х Вп'т) Э (Ь, h) ~ (Ь, С(ф,ф-')) (Ъ, h) e (Ъ х Б"""),
где в(ф<фт[) — аналог матрицы Якоби.
190 Глава 4. Геометрии пространства-времени
Глобальное сечение г касательного суперрасслоения ТМп'т составляет суперполе на
супермногообразии Мп>тп. Подобно векторному полю на многообразии, суперполе т на
супермногообразии определяет отображение GT пространство суперфункций Gco(Mn'm)
в себя такое, что для любых А 6Л°, F, F' 6 G°°(Mn'm), выполняются условия
GT(FF') = GT(F)F' + FGT(F'),
GT(XF) = XGT(F).
Коммутатор двух суперполей
[GT,GT,]=GrGT, -GT,GT
тоже суперполе, и множество суперполей на супермногообразии образует Л°-модуль,
являющийся алгеброй Ли.
Примером супермногообразий и суперполей на них служат супергруппы Ли и су-
супералгебры Ли. Супергруппой Ли SG называется группа, допускающая параметризацию
грассмановыми величинами, которая превращает групповое пространство в аналитиче-
аналитическое супермногообразие. Как и в теории групп Ли, алгебра Ли Sf"^ супергруппы Ли SG
определяется как алгебра Ли левоинвариантных суперполей на групповом супермного-
супермногообразии, т. е. полей, инвариантных относительно преобразований, порождаемых левыми
сдвигами д \-> д'д на групповом многообразии.
Теорема 4.3.1. Пусть SG — супергруппа Ли размерности (п, т) и ^? — алге-
алгебра Ли группы SG, рассматриваемой в качестве вещественной группы Ли G размерно-
размерности 2(~1(п + т). Тогда алгебра Sfrg, рассматриваемая как 2г"'(п + т)-мерная алгебра
Ли, изоморфна ^f. Обратно, пусть А — алгебра Ли, образующая суперпространство
размерности (п, тп), и G — 2'~'(n + m)-мерная вещественная группа Ли с А в каче-
качестве 2'~'(n + m)-мерной вещественной алгебры Ли. Тогда на G можно задать структуру
супергруппы Ли с алгеброй Ли А. ?
В физических приложениях обычно рассматриваются супергруппы Ли, чьи алгебры
Ли представляют собой Л-оболочки супералгебр Ли.
Как и в случае касательного суперрасслоения, определение главного суперрасслоения
дословно повторяет определение главного расслоения. Причем, поскольку супермного-
супермногообразия, супергруппы Ли и суперрасслоения представляют собой также обычные много-
многообразия, группы Ли и расслоения, ряд теорем для расслоений остается справедливым и
для суперрасслоений. Например, если SH — замкнутая суперподгруппа Ли супергруп-
супергруппы Ли SG, то для редукции структурной супергруппы SG главного суперрасслоения
к SH необходимо и достаточно существование глобального сечения ассоциированного
расслоения на фактор-пространства SG/SH.
Перейдем теперь к супергравитации. Рассмотрим супермногообразие М4'4. Струк-
Структурной группой его касательного суперрасслоения ГМ4'4 является супергруппа LD, 4)
всех изоморфизмов суперпространства J54'4 — типичного слоя суперрасслоения ГМ4'4.
Одной из подгрупп LD, 4) является супергруппа Ли OSpD, 2; 1), алгебра Ли которой
представляет собой л-оболочку супералгебры ospD, 2; 1). Четной частью супералге-
супералгебры ospD, 2; 1) является алгебра Ли
«оC, l)®spD),-
а нечетная часть состоит из 16 генераторов О%,(ц = 0,1,2,Ъ;А=1,...,4). Генерато-
Генераторы Q* по индексам /л реализуют векторное представление алгебры Лоренца so(l, 3), а
по индексам А — фундаментальное представление алгебры Ли spD).
§3. Супергравитация 191
Представление алгебры osp{4, 2; 1) на Z2-rpjuryHpoBaHHOM пространстве V4'4 (Л-
оболочкой которого является суперпространство В4'4) осуществляется матрицами А,
удовлетворяющими условию
А1Т + ТА = О, D.46)
/
Г =
Здесь г) — D х 4)-матрица метрики Минковского, (-с0) — единичная B х 2)-матрица,
а операция "t" задается по правилу
3 С \ t _ ( Вт DT
D Е ) ~*А ~ \ -Ст Ет
где В, С, D, Е — D х 4)-матрицы, а "Г" — обычное транспонирование. В пред-
представлении D.46) четный сектор пространства V4'4 реализует 4-векторное представление
алгебры Лоренца so(l, 3), а нечетный сектор — действительное (майорановское) спинор-
ное представление алгебры so(l, 3) С spD) матрицами
Т _ 1 / а1 0 \ т 1/0 о-3
Ln ~ Yi { 0 а2 ) ' Lii'2\-^ 0
~\( ° <7' ^ - а (~а° °
1/02 - 2 ^' 0 ; ' Lm' 2 \ 0 «г0
0 -а1 \ , 1 / 0 -о-3
г' 0 ; ' "»' - 2 I -<т3
где сг1 — матрицы Паули.
Грассманова оболочка J54'4 пространства L4'4 реализует представление супергруп-
супергруппы OSpD, 2; 1), порождаемое представлением супералгебры ospD, 2; 1). При этом опе-
операторы супергруппы OSpD, 2; 1) сохраняют инвариантной билинейную форму
где Г — матрица D.46) на элементах
суперпространства J54'4. Координаты жм и вА элементов Ь 6 J54'4 являются соответ-
соответственно четными и нечетными элементами алгебры Грассмана, и форма i)s принимает
значения в Л°.
Как и в теории гравитации, потребуем редукцию структурной супергруппы L{4, 4)
касательного суперрасслоения ГМ4-4 к OSpD, 2; 1). Необходимым и достаточным усло-
условием такой редукции является существование глобального сечения д3 ассоциированного
с ГМ4'4 расслоения на фактор-пространства
Ц4, 4)/OSpD, 2; 1).
Это фактор-пространство изоморфно пространству всех билинейных форм на суперпро-
суперпространстве В4'4, приводимых к каноническому виду D.47) преобразованиями из ЬD, 4).
Таким образом, глобальное сечение д, может рассматриваться как суперметрика на су-
супермногообразии М4'4.
192 Глава 4. Геометрии пространства-времени
Для физических приложений естественно требовать, чтобы супермногообразие вклю-
включало в себя многообразие. Такое включение индуцируется вложением поля Е в Л и
гомоморфизмом а алгебры Л на Е, при котором
a\ = a(j2 12 вм-чД" •' ¦ Х'Ч = <*о-
\к=0 (i,...tfc) /
На суперпространстве Вп'т отображение имеет вид
т. е. суперпространство проектируется на свой четный сектор. При этом у четных коор-
координат х сохраняется только вещественная часть.
Однако определение морфизма а на супермногообразии Мп'т сталкивается с труд-
трудностью. Действительно, пусть (U, ф) и (U1, ф') — две карты на супермногообра-
супермногообразии Мп'т, пересечение которых несвязно, т. е.
U П U' = 7, U V2, 7, П V2 =0 .
Обозначим
Ф\,г = 0lv,.2i 01,2 = 0'lvi.2-
Пусть 6, е Vi, b2 € V2 — два cr-эквивалентных элемента в карте (U, ф), т. е.
Но эти элементы не обязательно эквивалентны (т. е. аф\Ъ{ ф <уф\Ьг) в карте (V, ф'),
поскольку в общем случае
сгф{ф1 а Ф С0202 <т-
Супермногообразие Мп'т имеет атлас, в котором отношение а -эквивалентности хорошо
определено. Однако фактор-пространство супермногообразия М"'т по этому отноше-
отношению в общем случае не является даже топологическим многообразием.
Приложение А
Вариационное исчисление
и законы сохранения
Существуют разные способы построения дифференциальных законов сохранения в те-
теории поля. Здесь мы изложим один из них, основанный на первой вариационной фор-
формуле. Этот подход представляется наиболее универсальным.
Пусть Y —> X — расслоение, сечения которого s описывают классические поля.
Под дифференциальным законом сохранения понимается соотношение
d(s*T) = 0, (A.I)
где сохраняющаяся величина Т = Тм(хА,у*,2/^)а;м это горизонтальная (тг — 1)-форма на
конфигурационном пространстве полей JlY —* X.
Равенство (АЛ) именуется сильным законом сохранения, если оно справедливо для всех
сечений s расслоения Y —» X, и оно называется слабым законом сохранения, если оно
имеет место только на критических сечениях, т. е. на решениях полевых уравнений. Для
обозначения такого условного равенства будет использоваться символ "и". При этом
может случиться, что сохраняющаяся величина Т принимает вид
T=W + dU,
где W и 0. В этом случае говорят, что она сводится к суперпотенциалу U.
В излагаемом нами подходе, дифференциальные законы сохранения связаны с ин-
инвариантностью лагранжиана полей относительно той или иной группы симметрии. Суть
заключатся в том, что всякая 1-параметрическая группа Gt послойных изоморфизмов
расслоения Y -+ X порождает полное проектируемое векторное поле и на Y и обратно.
Можно показать, что лагранжиан первого порядка L на конфигурационном простран-
пространстве JlY инвариантен относительно этих изоморфизмов тогда и только тогда, когда его
производная Ли вдоль этого векторного поля равна нулю:
UL = 0. (А.2)
Пусть дано проектируемое векторное поле
u = u"(x)dft+ui(y)di
на расслоении Y —> X и п — его продолжение A.52) на конфигурационное простран-
пространство J^Y —¦» X. Рассмотрим производную Ли лагранжиана L вдоль п. Имеет место
каноническое разложение
= dHT + uv j WL, (A.3)
194 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
где rSh — оператор Эйлера—Лагранжа второго порядка. Это так называемая первая
вариационная формула вариационного исчисления.
Она получается в рамках общепринятой формулировки вариационной задачи, когда
вариации сечений s расслоения Y —> X порождаются локальными 1-параметрическими
группами преобразований расслоения Y. Оператор Эйлера—Лагранжа %ь по опреде-
определению обращается в 0 на критических сечениях расслоения У-»1,и равенство (А.З)
сводится к слабому тождеству
s'UL « -— [-Kiiu^d^s' - и') - чх2?\ и, (А.4)
где 71"!* = di 12\ Если лагранжиан L удовлетворяет сильному равенству (А.2), слабое
тождество (А.4) превращается в закон сохранения тока
ГА = ж?(и»д^' - и') - ux3J.
Большинство дифференциальных законов сохранения в теории поля может быть по-
получено таким способом, включая законы сохранения энергии-импульса и тождества Не-
тер.
Пространство струй бесконечного порядка
В целях дальнейшего изложения, приведем основные понятия формализма струй
бесконечного порядка.
Пространство струй бесконечного порядка J^Y определяется как проективный пре-
предел обратной последовательности
Пространство JXY наделяется топологией проективного предела и параметризуется ко-
координатами
(ха,уг,...,у'Х1..Лг,...)
где А!... Аг — наборы чисел по модулю перестановок. Хотя оно не является вполне хо-
хорошим многообразием, на нем можно задать пучки гладких функций, векторных полей,
дифференциальных форм и ввести дифференциальное исчисление.
Векторное поле иг на многообразии струй JrY называется проектируемым, если для
любого к < г существует векторное поле ик на JkY —> X, такое что
и о жк = Тттк о и .
Касательный морфизм Тжтк отображает проектируемые векторные поля на JTY в про-
проектируемые векторные поля на JkY. Линейное пространство проектируемых векторных
полей на J°°Y определяется как предел обратной системы проектируемых векторных
полей на многообразиях струй конечного порядка. В частности, всякое проектируемое
векторное поле
и = ихд^ + «*д,-
¦на расслоении Y —> X может быть продолжено до проектируемого векторного поля пт
на JTY и до проектируемого векторного поля и*° на J°°Y. Имеет место его канониче-
каноническое расщепление
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения 195
где uv — вертикальная составляющая канонического расщепления A.57) векторного
поля тг'0*и, индуцированного на JXY посредством ж10.
Базис внешних дифференциальных форм на J^Y может быть образован из горизон-
горизонтальных форм dxx и так называемых А; -контактных форм
Обозначим Qrfc подпространство внешних форм на J^Y, натянутое на всевозможные
внешние произведения горизонтальных r-форм и fc-контактных форм 5уЛ,...Аь- Тогда
пространство Qm внешних m-форм на JXY допускает каноническое разложение
пт = пт-° 0 О-1-1 0 ... 0 Q°'m.
Обозначим hk проекцию
I О771 ^-чгтг —fc,fc
nk : Si —> Si
В частности, горизонтальная проекция h0 представляет собой замену
Эта операция применима и к внешним формам на многообразиях струй конечного по-
порядка JrY, индуцированным на Jr+{Y.
Оператор внешнего дифференцирования внешних форм на J^Y тоже раскладыва-
раскладывается в сумму
d = dH + dv (A.5)
оператора горизонтального дифференцирования
и оператора вертикального дифференцирования
которые удовлетворяют соотношениям
йн^н = 0> dydy = 0, dydH + dfjdy — 0.
В координатах эти операторы имеют вид
dw0 = dx» Л 9^@),
д^(ф Л о~) = д^(ф) Л (Т + ф Л д^(о~),
д?(П - ?"Л- / € 0°,
§!°(dxA) = О,
196 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
Jt=O
dvdy\x...ik = -dx" Л dy\t_Xkll,
<Мз/л,...аь = 0.
Заметим, что для внешних форм а на многообразиях струй конечного порядка JrY
разложение (А.5) принимает вид
ж1 da = йиа + dv(x
и имеет место соотношение
ho(da) = dHh0(a). (A.6)
Вариационное исчисление
Пусть Y —у X — расслоение, параметризуемое координатами (хЛ,у*), и s обозна-
обозначает его сечения. Пусть N — некоторое п -мерное компактное подмногообразие X с
границей 8N. Гладкой вариацией с фиксированной границей сечения s, определенного
на открытой окрестности U подмногообразия N', считается 1-параметрическое семей-
семейство сечений st на U, таких что st=0 — suaUnst—sb некоторой окрестности 8N.
Можно показать, что всегда существует вертикальное векторное поле и на Y, обращаю-
обращающееся в 0 в окрестности 7r~'(cW), которое порождает такую вариацию. Оно называется
вариационным векторным полем.
Пусть задана некоторая n-форма р на многообразии струй JrY. Сечение s рас-
расслоения Y называется критическим сечением (critical section) вариационной задачи для
формы р, если для всякого вертикального векторного поля и на расслоении Y —у X,
которое обращается в 0 на некоторой окрестности 7r~'(cW), имеет место равенство
= О, (А.7)
где п1" = Ци обозначает продолжение и на JrY.
Используя формулу A.40):
= s*(ur j dp) + s'ditT j p),
можно представить функционал (А.7) в виде
I s'lv-p = j s'(ur jdp)+ I s\ur j p). (A.8)
N N 9JV
Однако разложение (А.8) оказывается не вполне удовлетворительным для получения
условий на критические сечения, если первый член в этом разложении зависит от про-
производных векторного поля и и тем самым может давать вклад в интеграл по границе dN.
Например, если L = 2?ы — лагранжиан первого порядка на многообразии струй JlY
расслоения Y, мы имеем выражение
s*(u j dL) = s* [и*
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения 197
второй член в котором может быть представлен в виде
^ш = s* [д>
Он содержит точную форму d(s*utdl3>L<}>), которую следует учесть в интеграле по гра-
границе.
Таким образом, уравнение
s\uT j dp) = 0
является условием на критические сечения формы р на JTY, если для всякого сечения s
форма 5*(гГ j dp) зависит только от компонент векторного поля и, но не их произ-
производных. Форма р, удовлетворяющая этому требованию, называется лепажевой формой
(Lepagian form).
Пусть р — n-форма на JTY. Следующие условия эквивалентны.
• Проекция ht(^+[*dp) является горизонтальной формой на расслоении струй
jr+iy —>y,t. г. зависит только от dxs и dy'.
• Для всякого проектируемого векторного поля ит на JT, горизонтальная проекция
ho(ur j dp) зависит только от его проекции на Y.
• Для всякого вертикального векторного поля на расслоении струй JTY —* Y, имеет
место равенство
ho(ur j dp) = 0.
Лагранжианы, как мы видели выше, не являются в общем случае лепажевыми фор-
формами. Можно однако заменить вариационную задачу для лагранжиана L вариационной
задачей для соответствующей лепажевой формы pL, называемой лепажевым эквивален-
эквивалентом L. Таковой является лепажева форма на Jr+ Y, удовлетворяющая условию
о(Рь) = я\-
и приводящая к равенству
J s'L^J s'PL.
Доказано, что для любого лагранжиана порядка г всегда существуют его лепажевы
эквиваленты порядка 2г — 1. Они образуют аффинное пространство над линейным про-
пространством лепажевых эквивалентов нулевого лагранжиана порядка г. Центром этого
аффинного пространства может быть выбрана одна из форм Картана, разложимая по
контактным формам dy^l...>lfc<r. Заметим, что всякая лепажева форма р является лепа-
лепажевым эквивалентом лагранжиана
L = fto(p).
Пусть pL — лепажев эквивалент лагранжиана L порядка г. Для всякого проектиру-
проектируемого векторного поля и на расслоении Y -* X справедливо равенство
и имеет место соотношение
h0 (Ц*-./>0 = А, (и2- Jdp^+hod (п2г-1 j pL), (A.9)
198 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
называемое первой вариационной формулой. Уравнение
выполняемое для всех вертикальных векторных полей и на Y —> X, является условием
на критические сечения s вариационной задачи для лагранжиана L. Причем, для вся-
всякого такого критического сечения равенство (АЛО) остается справедливым и в случае
произвольного проектируемого векторного поля на J2r~'F.
Ограничимся теперь рассмотрением лагранжианов первого порядка i и их лепа-
жевых эквивалентов на многообразии струй J]Y. В этом случае форма Картана SL
определена однозначно и совпадает с формой Пуанкаре—Картана
SL = 2?и + ^dy A Wa (A. 11)
лагранжиана L. Общий вид лепажева эквивалента лагранжиана первого порядка L дается
выражением _
pL=SL- (d^dy1 + c^dyl) Л ым + х, (АЛ2)
где cf" = -с"м — антисимметричные локальные функции на Y и х — некоторая
(к > 1)-контактная форма на JlY.
В случае лагранжианов L первого порядка первая вариационная формула (А.9) при-
принимает вид
irl'lbL = ho(u j dpL) + ho(du j pL) (АЛ3)
для произвольного проектируемого векторного поля и на У. После простых вычислений
получаем
Trf'Lj-L = uv j rS'L + ho(du jPl), (A. 14)
где
uv = (u j dy')di
это вертикальная часть канонического расщепления A.57) продолжения ж^'и поля и
на J[Y, a
%ь = [д, - (?>а + у*& + yltf)d?] 3' dy Лш = 6& dy{ A w (АЛ 5)
— оператор Эйлера—Лагранжа второго порядка, ассоциированный с лагранжианом L.
Коэффициенты 6{?? формы (АЛ 5) называются вариационными производными лагранжи-
лагранжиана L.
Отсюда следует, что условием на критические сечения s расслоения Y —* X для
вариационной задачи лагранжиана L являются уравнения Эйлера—Лагранжа второго
порядка
д& - (дх + djd, + дхд^д») д^ = о. (АЛ6)
Заметим, что разные лагранжианы L и L' могут иметь один и тот же оператор
Эйлера—Лагранжа WL = Wv, если они отличаются друг от друга на лагранжиан Lo, для
которого оператор Эйлера—Лагранжа WLa равен 0. Можно показать, что необходимым
и достаточным условием того, чтобы WLtl = 0, является равенство
LQ = h0(e), (АЛ 7)
где е — замкнутая n-форма на расслоении Y.
В этой связи важно подчеркнуть, что, поскольку JlY —> У является аффинным рас-
расслоением, когомологии де Рама многообразия JlY совпадают с когомологиями де Рама
расслоения Y. Это означает, что всякая замкнутая внешняя форма на JlY представляет
собой сумму замкнутой формы на Y и точной формы на JlY.
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения Ш
Законы сохранения
Рассмотрим в лагранжевом формализме первого порядка дифференциальные законы
сохранения, исходя из первой вариационной формулы (А. 14).
Пусть L — лагранжиан на JlY. Тем же символом L мы будем обозначать и_его
продолжение ж]*Ь на J2Y. Пусть и — проектируемое векторное поле на Г -> X и п —
его лифт A.52) на многообразие струй J]Y —> X.
Запишем первую вариационную формулу (А. 14), выбрав в качестве лепажева экви-
эквивалента лагранжиана L форму Пуанкаре—Картана EL (A. 11):
Будучи ограниченным на ядро
оператора Эйлера—Лагранжа (А. 15), равенство (А. 18) сводится к слабому тождеству
UrL^dHh0(u^EL), (A. 19)
дхих2 + [ихдх + ид, + (дхи + j/j&V - »;ал«") 9,А] 2' я дх [тг,л(и; - t»"^) + ux2'\ ,
На решениях s уравнений Эйлера—Лагранжа, слабое тождество (А. 19) принимает
форму дифференциального закона сохранения
s'hzL и d(s'u л Si), (A.20)
который имеет координатный вид (А.4).
Заметим, что в случае выбора другого лепажева эквивалента pL лагранжиана L со-
соответствующее слабое тождество
отличается от (А. 19) на сильное равенство
где pL = SL + ?. В физической интерпретации это означает, что разные лепажевы экви-
эквиваленты приводят к разным суперпотенциалам в законах сохранения.
Можно также взять лагранжиан L , отличный от i, но который имеет тот же опера-
оператор Эйлера—Лагранжа. И в этом случае слабый закон сохранения отличается от (А. 19)
на сильное равенство
Ls-Me) = h<,(du j e)) (A.22)
где е — некоторая замкнутая ф°Рма на •
•Рассмотрим теперь ситуаци)°> когда лагранжиан L зависит от фоновых полей. Такой
лагранжиан представляет собой Форму' инДУЧиРованную из некоторого лагранжиана Ltot
на конфигурационном простра*10*8^8064 полей посредством сечений фА(х), описываю-
описывающих фоновые поля. В присутстРи>1 <*>0НОВых полей фА, соответствующие вариационные
200 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
производные 6AJ3? в операторе Эйлера—Лагранжа (А. 15) не обращаются в 0, и мы по-
получаем правую часть в законе сохранения (А. 19) в виде
0и(«л- «"у?) 6А^ + §д [»* (иА - и»у*) + тг,л («' - vfy],) + их&] .
Например, многие полевые модели описывают поля в присутствии фоновой метри-
метрики д на базе X. В этом случае частные производные d^^f в слабом тождестве (А. 19)
содержат член
8
приводящий к метрическому тензору энергии-импульса полей:
9J?
Важно отметить, что слабое тождество (А. 19) линейно по векторному полю и. По-
Поэтому можно рассматривать суперпозицию различных законов сохранения (А. 19), отве-
отвечающих разным векторным полям и. Например, если и и и' проектируемые векторные
поля на расслоении Y —> X, накрывающие одно и то же векторное поле на базе X, их
разность и — v! является вертикальным векторным полем на Y —> X. Соответственно
разность слабых тождеств (А. 19), записанных для и и и', приведет к слабому тожде-
тождеству (А. 19), получаемому в случае вертикального векторного поля « - «'.
В частности, всякое проектируемое векторное поле и на расслоении Y —> X, накры-
накрывающее векторное поле г на базе X представляется суммой вертикального векторного
поля на Y —у X и некоторого поднятия векторного т на Y.
Отсюда следует, что всякий дифференциальный закон сохранения сводится к супер-
суперпозиции закона сохранения, записанного для вертикального векторного поля на рас-
расслоении Y —у X, и закона сохранения, отвечающего упомянутому выше лифту на Y
векторного поля на X.
Исследуем эти два типа законов сохранения.
Нетеровские законы сохранения
Рассмотрим слабое тождество (А.20), когда и вертикальное векторное поле на рас-
расслоении Y —у X. Оно принимает вид
^T\ (A.23)
где величина
Т = и j HL = 7r,VwA (A.24)
называется нетеровским током, отвечающим вертикальному векторному полю и.
Если лагранжиан L удовлетворяет сильному условию
мы получаем слабый закон сохранения нетёровского тока (А.24):
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения 2ГЛ
Хорошо известный пример таких законов сохранения дает калибровочная теория.
Пусть Р —> X — главное расслоение со структурной группой Ли G. Напомним, что
имеет место взаимно однозначное соответствие между связностями на Р и глобальными
сечениями расслоения С A.89), параметризуемого координатами (x",k™).
Пусть Y — векторное расслоение B.24), ассоциированное с Р —> X, сечения кото-
которого описывают материальные поля в калибровочной теории. В случае ненарушенных
симметрии полное конфигурационное пространство калибровочной модели представля-
представляет собой прямое произведение
J'E x JlC. (A.25)
х
Рассмотрим вертикальное векторное поле иу, отвечающее локальной 1-параметриче-
ской группе калибровочных изоморфизмов A.83) расслоения Р. На произведении С х Y
х
оно имеет вид
(ix U) ( >) j (A.26)
где ат(х) — локальные функции параметров и А — коллективный индекс.
Лагранжиан L на конфигурационном пространстве (А.25) является калибровочно
инвариантным, если для всякого векторного поля иг/ (А. 26) выполняется сильное ра-
равенство
UyL = 0.
В этом случае первая вариационная формула (А. 13) приводит к сильному равенству
( [( »am) д\2>\ = 0,
где 6А& —¦ вариационные производные лагранжиана L. В силу произвольности функ-
функций ат(х), это равенство эквивалентно системе сильных равенств
ui6AJ^ + d,(uid^) = 0, (A.27a)
v?bA2> + дх(!Свл?>) + utd^ = 0, (А.27Ъ)
1СдлЗ> + и%'вл& = 0. (А.27с)
Подставляя (А.27Ь) и (А.27с) в (А.27а), мы получим известные условия связи на ва-
вариационные производные калибровочно инвариантного лагранжиана L:
ui6A^ - d,(uiA^) = 0.
На решениях уравнений Эйлера—Лагранжа сильные равенства (А.27а)—(А.27с) вос-
воспроизводят тождества Нетер
Ki 0, (А.28а)
0, (А.28Ь)
v?dA& + v?'dA&' = 0. (A.28c)
Заметим, что с физической точки зрения тождества (А.28а)—(А.28с) представляют
собой необходимое и достаточное условие инвариантности закона сохранения
[(* ^ 0 (А.29)
202 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
относительно калибровочных преобразований. Это означает, что, если равенство (А.29)
выполняется для некоторых калибровочных параметров а(х), оно остается справедли-
справедливым и при их произвольных вариациях а + 6. При этом, в силу (А.27Ь) и (А.27с), сохра-
сохраняющейся нетеровский ток может быть приведен к виду
ГЛ = (uiam + ui"dMam) д\2> = -атх&6А2> + д„ [<хтиАт»д\&),
т. е. он сводится к суперпотенциалу
ГЛ « д. {amv%dA&).
Законы сохранения энергии-импульса
В общем случае векторное поле т на базе X может быть поднято на расслоение Y
только с помощью некоторой связности на У —» X. Слабое тождество (А. 19), записанное
для такого векторного поля на Y, приводит к закону сохранения энергии-импульса.
Пусть г — некоторое векторное поле на X и
тг=т ^ = т"(<Эм + Г;0;)
— его горизонтальный лифт на Y посредством связности
на У. В этом случае слабое тождество (А. 19) принимает вид
амт"^ + [т"вм + тт;д + @л(тт;,) + т^г; - у,э^) э1] & -
(А. 30)
- д, [7г,л(г"Г; - т"у1) + 6У&] я 0
и после некоторых упрощений может быть приведено к равенству
г" { [д, + Г.д, + (9ЛГ; + yjfl,.rt) df] 2> - дх [тг,А (Г; - yi) + 6^'] } я 0.
Поскольку это равенство справедливо для любого векторного поля г на X, оно эквива-
эквивалентно системе слабых равенств
[д. + г;д- + (аЛг; + yidjTl) д*} & - дх [ж* (г; - у;) + 6^} «о. (ал)
На решениях s уравнений Эйлера—Лагранжа, слабое тождество (А.ЗО) превращается
в закон сохранения
который эквивалентен системе слабых равенств
[д. + Г»д; + (дхГ. + d^djTl) д*] 2> + ^ Ы (W - К) - К^] « 0- (А.32)
Величина ^лд(в) здесь это тензор энергии-импульса, отвечающий данной связности Г на
расслоении Y —> X. Он задается коэффициентами Т*Х-значной (п - 1)-формы
JRs) = -(Г j Вь) о s = [ж?(д^{ - г;> - 6*&] dx»
на X
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения 203
Например, пусть лагранжиан L зависит от фоновой метрики д на базе X. В этом
случае закон сохранения (А.32) принимает вид
где {?^с} — символы Кристоффеля метрики д и
*/з = 9а1Ч/з
— метрический тензор энергии-импульса. При определенных свойствах симметрии ла-
лагранжиана L этот закон сохранения превращается в ковариантный закон сохранения
VJap = О,
где Va обозначает ковариантную производную по связности i13^}.
Рассмотрим теперь слабое тождество (А. 30) в вариантах, когда векторное поле т на
базе X поднимается до векторного поля на Y посредством разных связностей Г и Г'
на Y —> X. Их разность приводит к слабому тождеству
[ ( т'Ч)) 9,Л] ^ - дх [tt.W;] и 0, (A.33)
где а = Г' — Г это припаивающая форма на расслоении Y —> X и
т j<r = Tli<rldi (A.34)
— вертикальное векторное поле. Тождество (А.ЗЗ) это в точности тождество (А. 19),
записанное для вертикального векторного поля (А.34).
Таким образом можно сделать вывод, что всякий дифференциальный закон сохранения
есть суперпозиция закона сохранения некоторого нетеровского тока и закона сохранения
энергии-импульса.
Энергия-импульс калибровочных полей
Пусть Р —> -X" — главное расслоение со структурной полупростой группой Ли G
и С — расслоение A.89) с координатами (х**,^).
На конфигурационном пространстве J'C лагранжиан Янга—Миллса калибровочных
полей Lym в присутствии фоновой метрики g на базе X задается выражением B.21).
Для всякого векторного поля т на X существует поднятие этого поля
тв = тхдх + [тх (д,ВТ - CiKB'x) + д,тх (ВТ - К)] % (А.35)
на расслоение С посредством некоторой связности В на расслоении Р. Часть этого
выражение в квадратных скобках аналогична выражению для вертикального векторно-
векторного поля на С, отвечающего калибровочным изоморфизмам. Поэтому производная Ли
калибровочно инвариантного лагранжиана LyM вдоль тв сводится к
L?BLYM = {дхтх3>ум + тл0А-5?м - ^Галг"Сл) ш.
Подставляя это выражение в (А.ЗО), получаем закон сохранения энергии-импульса ка-
калибровочных полей в виде
(A.36)
204 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
где
— метрический тензор энергии-импульса калибровочных полей.
Для всякого заданного решения А уравнений Янга—Миллса выберем лифт (А.35)
векторного поля т на расслоение С посредством самой связности А. В этом случае
закон сохранения энергии-импульса (А. 36) на критическом сечении А принимает форму
d / к л т х r-р \
dx* m м" д
и сводится к известному ковариантному закону сохранения
Отметим, что при произвольном выборе связности В, соответствующий закон сохра-
сохранения энергии-импульса (А.36) отличается от ковариантного закона сохранения (А.37)
на нетеровский закон сохранения
дл «V^) » О,
где
«<2? = (д„а + cnlkva )dm,
— вертикальное векторное поле на расслоении С, отвечающее его калибровочным изо-
изоморфизмам.
Условие общей ковариантности
Рассмотрим теперь класс расслоений Г —* X, которые допускают каноническое под-
поднятие векторного поля т на X. Они называются геометрическими расслоениями (bundles
of geometric objects).
Пусть г = т^дц — векторное поле на многообразии X. Существует его каноническое
поднятие
г = Тг = т^ + д„т"Х^ (А.38)
на касательное расслоение ТХ над X. Обобщая (А.38), можно построить канонический
лифт векторного поля на следующие расслоения над X (мы будем обозначать все эти
поднятия одним и тем же символом т):
на тензорное расслоение
на расслоение Cw общих линейных связностей на X.
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения 205
Заметим, что векторное поле т на геометрическом расслоении Т можно считать ассо-
ассоциированным с некоторой локальной 1-параметрической группой (голономных) изомор-
изоморфизмов Г, индуцированных диффеоморфизмами базы X. В частности, если Т = ТХ,
это касательные изоморфизмы. Будем называть такие голономные изоморфизмы общими
ковариантными преобразованиями.
Пусть Т — геометрическое расслоение и L — лагранжиан на соответствующем кон-
конфигурационном пространстве JlT. Рассмотрим некоторое векторное поле г на базе X
и его канонический лифт т на Г. Применим первую вариационную формулу (А. 18),
чтобы получить соответствующий закон сохранения энергии-импульса. Предположим,
что лагранжиан L инвариантен относительно общих ковариантных преобразований, т. е.
L.,~L = 0. (A.39)
Подставив это условие в (А. 18), мы приходим к слабому закону сохранения
0KdHh0(Tj3L). (A.40)
При этом можно показать, что сохраняющаяся величина сводится к суперпотенциалу.
Проиллюстрируем этот факт на примере тензорного расслоения Т —> X, параме-
параметризуемого координатами (хх,уА) с коллективным индексом А. Канонический лифт
векторного поля т на такое расслоение дается выражением
*"— Л i-v А в о ос с\
т = т дх+и ZdpT дА.
Если лагранжиан L инвариантен относительно общих ковариантных преобразова-
преобразований, он удовлетворяет сильному условию (А.39), которое в данном случае имеет вид
д»А^ - улдртад^ = 0. (А.41)
Это условие справедливо для всех векторных полей т. Поэтому в силу произвольности
функций та равенство (А.41) эквивалентно системе равенств
= 0,
= 0,
= 0.
(A.42a)
(A.42b)
(A.42c)
Равенство (А.42Ь) можно привести к виду
= уАадА 2>, (А.43)
где ЬА?? — вариационные производные лагранжиана L. Подставив (А.43) и (А.42с) в
слабое тождество (А.40), мы получим закон сохранения
0 и & [-иАХа ^(аА
где сохраняющаяся величина сводится к суперпотенциалу
206 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
Энергия-импульс гравитационного поля
Эйнштейновская теория гравитации и аффинно-метрическая теория гравитации яв-
являются полевыми моделями как раз на геометрических расслоениях, и их лагранжиа-
лагранжианы инвариантны относительно общих ковариантных преобразований. Поэтому к ним
можно применить изложенную в предыдущем разделе технику для исследования закона
сохранения энергии-импульса гравитационного поля.
Эйнштейновская теория гравитации, где динамическими переменными являются
компоненты псевдоримановой метрики, является лагранжевой моделью второго поряд-
порядка, хотя и вырожденной. Поэтому мы здесь на ней не будем останавливаться. Отметим
только, что закон сохранения энергии-импульса гравитационного поля в этой модели,
обусловленный инвариантностью гильберт-эйнштейновского лагранжиана относительно
общих ковариантных преобразований, имеет вид
~ Т\т) «О, Гл » -А- и»\т)) (А.44)
где
U (т) — [q т^ — о1*1'т„) (А.45)
— известный суперпотенциал Комара. Символами ";м" здесь обозначены ковариантные
производные по связности Леви-Чивита.
Этот результат обобщается в рамках аффинно-метрической теории гравитации на
случай общей линейной связности Ка11Л и произвольного лагранжиана L, инвариант-
инвариантного относительно общих ковариантных преобразований.
Динамическими переменными в аффинно-метрической теории гравитации являются
псевдориманова метрика и общая линейная связность на пространстве-времени X. Мы
будем называть их мировой метрикой и мировой связностью.
Пусть LX —> X — главное расслоение линейных реперов в касательных простран-
пространствах к X со структурной группой GL4-
Как и в случае калибровочной теории, существует взаимно однозначное соответствие
между мировыми связностями и глобальными сечениями расслоения
Cw = fLX/GL,.
Обозначим Е3 —> X расслоение псевдоримановых метрик. Мы будем его отожде-
отождествлять с открытым подмногообразием тензорного расслоения
Полное конфигурационное пространство аффинно-метрической теории гравитации
тогда имеет вид
JlY = Jl(Z3 x CJ (A.46)
и параметризуется координатами
Предположим, что л*агранжиан L аффинно-метрической теории гравитации на кон-
конфигурационном пространстве (А.46) зависит от метрических координат gal3 и комбина-
комбинаций типа кривизны
R /3vX = fc /ЗА:/ ~ & /3i/A + & я-^'/ЗА ~ ^"гА^'уЗг/•
Приложение А^Зар^ц^идсие^^ив и законь| сохранения 207
В этом случае выполняются соотношения
Предположим, что L инвариантен относительно общих ковариантных преобразова-
преобразований.
Пусть т — векторное поле на -X". Его канонический лифт на расслоение ?г х Cw
имеет вид
Для упрощения выражений введем следующие обозначения
т = тхдх + {д"Рд„та+9а"дУ) дар + {иА%та - иА^дсрта) дА.
Поскольку
h.,7L = 0, (А.47)
мы получаем слабый закон сохранения
0 « дх {д\2> {uAid,ra - иА^дсрта - уАта) + тА^] , (А.48)
где
— Я Р* Г/' _ тг -УР^и"
— Оа -г — Жа К уа.
В силу произвольности функций т" равенство (А.47) приводит к сильному равенству
€^> + V^T; + uAidA!2' + д»(иА?)д^ - уйдРА2> = 0. (А.49)
При этом величину
можно интерпретировать как метрический тензор энергии-импульса мировых связно-
стей.
Подстановкой уАд**А3' из выражения (А.49) в закон сохранения (А.48) последний
приводится к виду
о « дх [-^г9тхт" + dA& {, 0)
(А.50)
Выделим в выражении (А.50) член с компонентами оператора Эйлера—Лагранжа
^) Л ш.
208 Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения
Мы получим
О « дх [дА^иА^та (V1*) {^) }
+ д, [-
и затем
0 и дх {-д»{да^&)та} + дх [
Закон сохранения (А.48) принимает окончательный вид
О и
где сохраняющаяся величина сводится к суперпотенциалу
называемому обобщенным суперпотенциалом Комара.
Приложение В
Когомологии со значениями в пучках
Начнем с определения предпучка и пучка. Предпучок считается заданным на тополо-
топологическом пространстве X, если каждому открытому множеству U С X сопоставлена
некоторая абелева группа Sa (S0 = 0), а каждой паре открытых множеств V С U сопо-
сопоставлен гомоморфизм
rv : Sa —у Sv,
такой, что
a)rS = ldSv;
б) г& = rwTy для W С Z С U.
Пример В.1. Пусть X — топологическое пространство, Sv — абелева группа по
сложению всех непрерывных вещественных функций, определенных на U С -X", а гомо-
гомоморфизм
Ту : Su —у Sv
определяется как сужение их на V С -X". Тогда S € {Sv, rу} — предпучок. ?
Следующая конструкция позволяет каждому предпучку сопоставить специального
вида расслоение (накрытие) (S(X), тг, X), называемое пучком.
1. Для каждой точки х Е X обозначим Sx прямой предел абелевых групп Sa, х € U,
по отношению к гомоморфизмам гу. По определению это означает, что для каждой
открытой окрестности U точки х каждый элемент s € Sv определяет некоторый эле-
элемент sx € Sx, называемый ростком элемента s в точке х. Причем два элемента s G Sv
и s' € S'v определяют один и тот же росток тогда и только тогда, когда существует такая
окрестность W Э х, что
и v i
rws = rws .
В частности, если s s' — вещественные функции из Примера В.1, они определяют
один и тот же росток sx, если совпадают на некоторой окрестности W точки х.
2. Прямой предел Sx абелевых групп Su (он называется стеблем пучка) является
абелевой группой (это неверно для неабелевых групп). Пусть S(X) — объединение всех
групп Sx, х € -X". Введем на этом множестве топологию. Для каждого открытого множе-
множества U С X и каждого элемента s € Su обозначим S(U) подмножество множества S(X),
состоящее из всех ростков sx, x ?U', элемента s. Семейство всех множеств S(U)(U про-
пробегает всевозможные открытые множества пространства X, a s пробегает все элементы
из Su) образует базу топологии, вводимой в S.
3. Пусть ж : S(X) -»I — отображение, переводящее каждый из стеблей Sx, х € X,
в соответствующую точку х Е X. Согласно определению топологии в S(X) это ото-
отображение непрерывно, и тройка Р = (S(U), тг, X) образует расслоение. Слоем этого
210 Приложение В. Когомологии со значениями в пучках
расслоения над точкой х € -X" является стебель Sx = ж~\х), на котором индуцируется
дискретная топология (ее базу составляют сами элементы sx € Sx).
Пример В.2. Пусть X — топологическое пространство и Sv — абелева группа всех
постоянных вещественных функций на U. Росток sx элемента s ? Sv, x E U, однознач-
однозначно определяется значением s(x) в точке х. Стеблем Sx является множество действи-
действительных чисел К, в котором введена дискретная топология. Пучок Р = (S(X), ж, X)
называется постоянным пучком с коэффициентами в Ш. ?
Пучок, порождаемый предпучком из Примера В.1, называется пучком ростков непре-
непрерывных функций. Соответственно, если X — многообразие, определяется пучок ростков
гладких функций.
Два разных предпучка могут порождать один и тот же пучок. Например, тот же
пучок ростков непрерывных функций порождается и предпучком только ограниченных
функций.
По пучку можно построить предпучок. Обозначим T(U, P) множество всех сечений
расслоения Р над U С X. Оно наделено структурой абелевой группы, нулем которой
является нулевое сечение х —> О,.. Сопоставим каждому открытому множеству U С X
группы T(U, P) (при U =0 группу T(U, P) по определению считаем нулевой) и любым
двум открытым множествам U и V С U — гомоморфизм
rv : T(U, P) - (V, Р),
относящий каждому сечению пучка Р над U его ограничение на V. В результате по-
получим предпучок {IW, Р), Ту}, называемый каноническим предпучком пучка Р. Можно
показать, что пучок, порождаемый предпучком {Г(?7, Р), гу}, совпадает с пучком Р.
Для пучка ростков непрерывных функций T(U, P) — абелева группа непрерывных
вещественных функций на U, т. е. T(U, Р) — Sv.
Пусть пучок Р порожден некоторым предпучком {5^, Гу}. Сопоставим каждому
элементу s ? Su сечение hv(s) пучка Р над U, сопоставляющее всякой точке х ? U
росток sx в точке х. Это сопоставление s —+ hv(s) определяет гомоморфизм абелевых
групп
hu-.Su-* T(U, P).
Эти гомоморфизмы перестановочны с гомоморфизмами г", т. е.
и определяют гомоморфизм предпучка {Sv, Гу} в предпучок {T(U, P), rv}. В общем
случае этот гомоморфизм не является ни мономорфизмом, ни эпиморфизмом.
Прежде чем перейти к когомологиям, рассмотрим точные последовательности пред-
предпучков и пучков.
Пусть имеется последовательность предпучков над одним и тем же топологическим
пространством
...—-S9 ^S'+1 ^s«+2 _>..., (B.I)
где стрелки обозначают гомоморфизмы пучков. Пусть для каждого U С X соответству-
соответствующая последовательность абелевых групп
^S?2^... (B.2)
является точной, т. е. образ предыдущего гомоморфизма совпадает с ядром последую-
последующего. Тогда последовательность (В.1) тоже является точной. При переходе к прямому
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках 2V[
пределу свойство точности последовательности сохраняется. Поэтому для каждой точ-
точки х ? X индуцируемая последовательностью (В.2) последовательность стеблей
... —» 52 —+ 5Г' — Sf2 — • ¦ •, (В.З)
тоже является точной. Последовательность (В.З) для каждого х определяет последова-
последовательность пучков
... —>Р' —> Pq+] —у рч+2 —у ..., (В.4)
порождаемых предпучками Sq, где стрелки обозначают послойные отображения рас-
расслоений, тождественные на базе X и являющиеся гомоморфизмами абелевых групп на
слоях. Из точности последовательности (В.З) следует точность последовательности (В.4).
Таким образом, точность последовательности предпучков (В.1) приводит к точности по-
последовательности порождаемых этими предпучками пучков (В.4).
Последовательность пучков (В.4) индуцирует последовательность групп сечений
... —у T(U, Рч) —у T(U, Ря+[) —у T(U, Рч+2) —>..., (В.5)
но важно отметить, что эта последовательность не является, вообще говоря, точной, хотя
образует коцепной комплекс, поскольку гомоморфизм
р9 -> о е р9+2
индуцирует гомоморфизм
T(U, Pq)->0e V(U} Рч+г).
Перейдем теперь непосредственно к определению когомологии со значениями в
пучках. Пусть S — некоторый предпучок над топологическим пространством X и
пусть {?/;};<=/ — открытое покрытие X. Определим в качестве р-мерной коцепи (по-
(покрытия {U} с коэффициентами в S) функцию /, сопоставляющую каждой последова-
последовательности (г0, ¦. •, ip) индексов из множества I некоторый элемент /(г0, ... ,гР) группы
5V) V = UioC\...f\Uip.
Все такие ^-мерные коцепи очевидным образом образуют абелеву группу CP({U}, S)
относительно формального сложения, а формула
р+1
(<5РЯ(г„, • • ¦, Vi) = J2(-Vkrwk(/(го, • ..,**,.•¦, V,)),
w = ui0 n...nuip+l, wk = ui0 n... n&ik n...nu,p+l,
определяет гомоморфизм
6P : C({U}, S)~+ C(P+[\{U}, S).
Легко проверить, что
6Ml6p = О
212 Приложение В. Когомологии со значениями в пучках
и определены группы когомологии
HP({U}, S) = Ker«5p/Im«5p~'.
Эти группы зависят от покрытия {?/}. Пусть покрытие {V} вписано в покрытие {U}
(т. е. если Ut П V, #0, то V, С ?/,). Как можно показать, это индуцирует гомоморфизм
Яр({?/}, 5) -» #({F}, 5)
и, беря прямой предел групп HP({U}, S) по отношению к этим гомоморфизмам,
где {U} пробегает все покрытия пространства X, получаем определение групп когомоло-
когомологии Н*(Х, S) пространства X с коэффициентами в предпучке S.
Группами когомологии Н*(Х, Р) со значениями в пучке Р называются группы когомо-
когомологии со значениями в каноническом пучке {Г(?/, Р), т-у}. Если X — паракомпактное
пространство, группы когомологии со значениями в предпучках 5, порождающих один
и тот же пучок Р, изоморфны группам Н*(Х, Р).
Группа Н°(Х, Р) по определению изоморфна группе глобальных сечений Г(Х, Р)
пучка Р.
Пусть / : X —» Y — непрерывное отображение топологических пространств. Для
всякого пучка Р над Y оно индуцирует пучок (расслоение) /*Р над X и определяет
гомоморфизм групп когомологии
/* : H(Y, Р) - Н(Х, /*(Р)).
Пучок Р над паракомпактным пространством X называется тонким, если для любо-
любого локально конечного открытого покрытия {J7J пространства X существует семейство
гомоморфизмов пучков {h{ : Р -* Р}, такое, что:
а) для всякого i найдется замкнутое множество Aiy такое, что 4; С С/; и ft;(Sx) = О
для х <? А{, где Sx — стебель в Р над х;
б) EMS.) = и,.
i
Пример В.З. Пучок ростков непрерывных вещественных функций на X является
тонким. Чтобы это показать, выберем в качестве ft, умножение на функции ^, составля-
составляющие разбиение единицы для пространства X. Аналогично устанавливается тонкость
пучков ростков гладких функций и внешних дифференциальных р-форм на гладком
многообразии X. О
Теорема В.1. Группы когомологии НР(Х, Р), р > 0, паракомпактного простран-
пространства X с коэффициентами в тонком пучке Р равны нулю. ?
Рассмотрим точную последовательность пучков
О-+Р^Р„^Р1-+...^РР^+... (В.6)
над паракомпактным пространством X. Эта последовательность называется резольвент-
резольвентной пучка Р, если группы когомологии
НЯ(Х, Р) = 0, q > О,
для всех q и р (например, когда все пучки Рр тонкие). Последовательность (В.6) опре-
определяет коцепной комплекс
О —¦+ Т(Х, Р) -^ Т(Х, Р„) -?+ Т(Х, J»,) -^ ... (В.7)
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках
групп глобальных сечений пучков Р, Ро, ¦••, который, вообще говоря, точен только в
членах Т(Х, Р) и Т(Х, Ро). Имеет место следующая важная теорема.
Теорема В.2. Рассмотрим резольвенту (В.6) пучка Р над паракомпактным про-
пространством X. Тогда g-я группа когомологии комплекса (В.7) изоморфна группе кого-
когомологии НЧ(Х, Р), т. е.
НЧ(Х, P) = KBthl/lmhrx, g > О, Н°(Х, Р) = Kerft0».
П
Пусть, в частности, Р — постоянный пучок с коэффициентами в Е из Примера В.2
(будем обозначать его R), аР, — пучки ростков внешних g-форм на гладком много-
многообразии X. Рассмотрим последовательность
оЛид-^Ро^Р,—>...—> Рр^1>..., (В.8)
где <Г — гомоморфизм ростков g-форм, порождаемых внешним дифференцировани-
дифференцированием форм. Последовательность (В.8) точна, поскольку росток всякой замкнутой формы
является и ростком некоторой точной формы. Так как все пучки Рр тонкие, то после-
последовательность (В.8) является резольвентной для Р. Она определяет комплекс де Рама
О JIU R -^U П\Х) ^ П1 (X) —»...
внешних дифференциальных форм на X, и в силу предыдущей теоремы получаем изо-
изоморфизм
НР(Х) = НР(Х, Е)
групп когомологии де Рама НР(Х) и групп когомологии НР(Х, Е) гладкого многообра-
многообразия X с коэффициентами в постоянном пучке R.
Библиография
[1] Атья М., Хитчин Н. Геометрия и динамика магнитных монополей. М., 1991.
[2] Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.,
1983.
[3] Ботг Р., Ту Л. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М., 1989.
[4] Бредон Г. Теория пучков. М., 1988.
[5] Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М., 1968.
[6] Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных диф-
дифференциальных уравнений. М., 1986.
[7] Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. М., 1986.
[8] Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов
М., 1975
[9] Даниэль Д., Виалле С. Геометрический подход к калибровочным теориям типа Янга—
Миллса, УФН, т.136 A982) с.377.
[10] Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М., 1976.
[11] Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы те-
теории гомологии. М., 1984.
[1.1] Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975.
[13] Иваненко Д., Пронин П., Сарданашвили Г. Калибровочная теория гравитации. М.,
1985.
[14] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. 1, М., 1981.
[15] Маклейн С. Гомология. М., 1966.
[16] Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М., 1984.
[17] Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М., 1979.
[18] Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М., 1985.
[19] Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М., 1977.
[20] Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М., 1987.
[21] Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М., 1973.
[22] Binz E., Sniatycki J. and Fisher H. Geometry of classical fields (North-Holland, Amster-
Amsterdam, 1988).
[23] Cianci R. Introduction to supermanifolds (Bibliopolis, Napoli, 1990).
[24] Boya L., Carifiena J.,. J. Mateos. Homotopy and solitons, Fortschritte der Physik, v. 26
A978) p. 175.
Библиография 2М5
[25] Bryant R., Chern S., Gardner R., Goldschmidt H., Griffiths P. Exterior differential systems
(Springer-Verlag, Berlin, 1991).
[26] Coquereaux R. and Jadczyk A. Riemannian geometry, fiber bundles, Kaluza—Klein theories
and all that (World Scientific, Singapore, 1998).
[27] Croom F. Basic concepts of algebraic topology (Springer-Verlag, Berlin, 1978).
[28] De Witt B. Supermanifolds (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984).
[29] Eguchi Т., Gilkey P. and Hanson A. Gravitation, gauge theories and differential geometry,
Physics Reports, v. 66 A980) p. 213.
[30] Greub W., Halperin S. and Vanstone R. Connections, curvature and cohomology, vol. I—III
(Academic Press, N.-Y., 1972-1976).
[31] Hitchin N. On the construction ofmonopoles, Comm. Math. Physics, v. 89 A983) p. 145.
[32] Kolaf I., Michor P., Slovak J. Natural operations in differential geometry (Springer-Verlag,
Berlin, 1993).
[33] Lopuszinski J. An introduction to symmetry and supersymmetry in quantum field theory
(World Scientific, Singapore, 1991).
[34] Marathe K. and Martucci G. The mathematical foundationes of gauge theories (North-
Holland, Amsterdam, 1992).
[35] Nash C. Differential topology and quantum field theory (Academic Press, N.-Y., 1991).
[36] Sardanashvily G. Gauge theories in jet manifolds (Hadronic Press, Palm Harbor, 1993).
[37] Sardanashvily G. Generalized Hamiltonian formalism for field theory (World Scientific,
Singapore, 1995).
[38] Saunders D. The geometry of jet bundles (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989).
[39] Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange, ed. M.Francaviglia (Elseiver
Science Publishers, 1991).
Предметный указатель
Ааронова-Бома эффект 122
алгебра банахова 187
— Грассмана 185
— Клиффорда 167
— Ли левая 60
правая 64
алгебраическая структура 9
антисолитон 107
атлас ассоциированный 61
— главного расслоения 59
— голономный 25
— многообразия 15
— окружности стандартный 18
— расслоения 24
атласы эквивалентные многообразия 15
расслоения 24
аффинно-метрическая теория гравитации 206
аффинное пространство (см. пространство
аффинное)
— расслоение (см. расслоение аффинное)
база расслоения 14
— топологии (см. топологии база)
базис голономный 19, 30
Бетти число 118
бордизм 112
В
вакуум янг-миллсовский 155
— хиггсовский 155
вакуумное поле 106
калибровочное 121
вариационная производная 198
— формула 198
вариация с фиксированной границей 196
векторное поле 27
вариационное 196
вертикальное 42
неособое 27
полное 35
проектируемое 42, 194
фундаментальное 37, 78
вертикальное касательное расслоение 32
— кокасательное расслоение 34
— расщепление (см. расщепление вертикальное)
вложение 14, 20
вторая аксиома счетности 7
Гамильтона оператор (см. оператор Гамильтона)
— уравнение (см. уравнение Гамильтона)
— функция 86
гамильтониан 82
— ассоциированный с лагранжианом 87
гамильтонова связность 82
гамильтоново векторное поле 86
гессиан 69
голономии группа 124
ограниченная 124
гомеоморфизм 9
гомологии относительные 130
— сингулярные 114, 116
— — проективных пространств 116
сфер 116
гомологии группа 111
гомоморфизм Гуревича 117
— предпучка 210
гомотопическая группа 101
высшая 101
относительная 103
п-мерная 101
— эквивалентность 100
слабая 102
гомотопически обратное отображение 100
— эквивалентные пространства 100
гомотопический класс 100
гомотопные отображения 99
горизонтальная плотность 44
— проекция 195
— форма (см. форма горизонтальная)
горизонтальное расслоение 33
— расщепление (см. расщепление
горизонтальное)
горизонтальный лифт векторного поля 73
канонический 204
гравитационное поле 169
' градуированная суперкоммутативная алгебра 183
градуированное векторное пространство 184
Предметный указатель.
217
градуированный Л-модуль 185
граница HI
— множества 8
— ориентированная 111
— относительная 129
— симплекса 114
сингулярного 114
грассманова оболочка 185
группа голономии связности (см. голономии
группа)
— гомологии (см. гомологии группа)
— гомотопическая (см. гомотопическая группа)
— калибровочная (см. калибровочная группа)
— Клиффорда 168
— когомологий (см. когомологий группа)
— Ли 16
50C) 17
SUB) 17
U(l) 16
— Лоренца 168
— симметрии внутренних 75
точных 155, 157
— спинорная (см. спинорная группа)
— структурная (см. структурная группа
расслоения)
— фундаментальная 101
двойственность Пуанкаре 120
— де Рама 120
действие группы свободное 29
транзитивное 11
эффективное 11
диффеоморфизм 18
— локальный 20
дифференциал внешний
(см. дифференцирование внешнее)
— ковариантный (см. ковариантный
дифференциал)
— отображения (см. касательный морфизм)
— (F-N) 41
дифференциальное уравнение 52
дифференциальный оператор 52
дифференцирование вертикальное 195
— внешнее 39
— горизонтальное 195
— Ли (см. производная Ли)
закон сохранения 73
ковариантный 203
сильный 193
слабый 193
замыкание множества 8
заряд магнитный 160
— топологический 146
И
изоморфизм расслоений 27
— — главных (см. калибровочный изоморфизм)
иммерсия 20
инстантон 142
— БПШТ 150
интегральное сечение связности 57
инъекция 14
калибровка сингулярная 151
калибровочная группа 79
калибровочные преобразования 79
— условия 93
калибровочный изоморфизм 62
— потенциал 75
— принцип 74
Калуца—Клейна модель 175
многомерная 176
карта 15
касательное пространство 19
— расслоение 19, 25
касательный морфизм 19, 27
вертикальный 32
квантование магнитного заряда 161
потока 124
кватернионы 143
— вещественные 143
— мнимые 143
кинк 107
класс гомотопический (см. гомотопический
класс)
— Понтрягина (см. Понтрягина класс)
— Тодда 138
— характеристический (см. характеристический
класс)
— Чженя (см. Чженя класс)
— Чженя-Саймонса 147
— Штифеля—Уитни 142
— Эйлера (см. Эйлера класс)
— эквивалентности 10
классификационная теорема 133
классическое поле 68
вакуумное (см. вакуумное поле)
Клейна бутылка 112
клетка 103
клеточная аппроксимация 103
клеточное пространство 103
— разбиение 103
ковариантная производная 53
ковариантный дифференциал 57
ковекторное поле 30
когомологий де Рама 119
— относительные 129
— с коэффициентами в пучке 212
когомологий группа 118
кограница 118
218
Предметный указатель
— относительная 130
кокасательное расслоение 30
коммутант группы 117
компактификация локально компактного
пространства 12
— прямой 13
комплекс де Рама 119
— коцепной 118
— цепной 111
компонента связности 10
конторсии тензор 171
конфигурационное пространство 69
гравитации 206
калибровочных потенциалов 75
материальных полей 77
поля Прока 96
координат система 16
координаты голономные 19
— канонические 81
— подчиненные вертикальному расщеплению 33
— производных (см. скоростей)
— расслоенные 23
аффинные 29
— скоростей 46
коцепь 118
— относительная 130
— с коэффициентами в пучке 211
коцикл 118
— относительный 130
кривизна связности 56
— припаивающей формы 57
кручение 117
— связности 57, 172
Л
лагранжева плотность (см. лагранжиан)
— связность 71
лагранжиан 68
— материальных полей 77
— невырожденный (см. регулярный)
— полурегулярный 89
— поля Прока 96
— регулярный 69
— Янга-Миллса 75
Лагранжа функция 69
лассо 126
Лежандра многообразие 80
— отображение 80
— расслоение 80
лепажев эквивалент лагранжиана 197
лепажева форма 197
лист Мебиуса 25
М
материальное поле 77
метрика (см. расстояния функция)
— Минковского 168
— на многообразии 31
— послойная 30
— псевдориманова 169
— риманова 166
многообразие 15
— Грассмана 17
— Лежандра (см. Лежандра многообразие)
— мировое 166
— ориентированное 22
— ориентируемое 22
— полисимплектическое
(см. полисимплектическое многообразие)
— пространственно-временное 173
— струй (см. струй многообразие)
— топологическое 16
— Штифеля 18
множество замкнутое 7
— ограниченное 11
— открыто-замкнутое 8
— открытое 6
— плотное 8
мономорфизм расслоений 27
монополь магнитный 162
морфизм главных расслоений 62
— импульсный 83
— касательный (см. касательный морфизм)
— многообразий 18
— послойный 15, 27
— расслоений (см. послойный)
— топологических пространств (см. непрерывное
отображение)
— тривиализации (см. тривиализации морфизм)
мультинстантон 152
н
накрытие 105
напряженность калибровочного поля 66
неметричности тензор 171
непрерывное отображение 8
Нетер тождества 79, 201
нетеровский ток (см. ток симметрии)
нормализатор подгруппы 176
нормальный делитель (см. инвариантная
подгруппа)
носитель 13
О
область 8
— тривиализации (см. тривиализации область)
ограниченное множество (см. множество
ограниченное)
окрестностей фундаментальная система 5
окрестность 5
оператор Гамильтона 84
— Дирака 171
— Эйлера—Лагранжа 70
второго порядка 70
Предметный указатель
219
первого порядка 70
орбита группы 11
ориентация многообразия 22
отделимость Фреше 12
отношение 10
— эквивалентности 10
отображение Лежандра (см. Лежандра
отображение)
— непрерывное (см. непрерывное отображение)
— открытое 23
— пары топологических пространств 103
— пространства с отмеченной точкой 101
отображения гомотопные (см. гомотопные
отображения)
п
параллельный перенос 52, 53
погружение 20
подгруппа инвариантная 176
— циклическая 116
подмногообразие 20
— вложенное 20
подпространство топологического пространства 9
подрасслоение 27
полисимплектическая структура 81
— форма 81
полисимплектическое многообразие 81
полиэдр 113
полное семейство гамильтонианов 91
Понтрягина индекс 147
— класс 138
многообразия 140
полный 139
последовательность гомотопических групп пары
104
расслоения 105
— групп гомологии пары 129
когомологий пары 130
— касательных расслоений 34
— кокасательных расслоений 34
— точная 34
почти комплексная структура 140
предел Прасада-Зоммерфельда 164
предпучок 209
— канонический 210
преобразование атласов расслоения 24
— нечетное 183
— общее ковариантное 205
— четное 183
принцип калибровочный (см. калибровочный
принцип)
— расщепления 136
— эквивалентности 169
присоединенное представление 61
¦проективное пространство 17 ¦
проекция 14, 21
— стереографическая (см. стереографическая
проекция)
произведение внешнее расслоений 29
форм 38
— прямое расслоений 28
— расслоений 29
— связностей (см. связностей произведение)
— тензорное абелевых групп 117
— топологических пространств 7
производная ковариантная (см. ковариантная
производная)
— Ли 36
внешней формы 42
тангенциально-значной формы 42
— полная 72
Прока поле 96
пространство аффинное 29
— касательное (см. касательное пространство)
— классифицирующее 133
— клеточное (см. клеточное пространство)
— конфигурационное (см. конфигурационное
пространство)
— метрическое 6
— Минковского 167
— проективное (см. проективное пространство)
— расслоенное (см. расслоенное пространство)
— с отмеченной точкой 101
— связей 87
— спинорное (см. спинорное пространство)
— топологическое (см. топологическое
пространство)
— фазовое (см. фазовое пространство)
Пуанкаре лемма 119
путь накрывающий 53
пучок 209
— алгебр Ли 37
— внешних форм 38
— постоянный 210
— сечений 31
— тангенциально-значных форм 41
— тонкий 212
разбиение гамильтониана каноническое 84
— единицы 13
— клеточное (см. клеточное пространство)
— множества 10
расслоение 24
— ассоциированное 58, 61
— аффинное 29
— векторное 29
— вертикальное касательное (см. вертикальное
касательное расслоение)
кокасательное (см. вертикальное
кокасательное расслоение)
— геометрическое 204
— главное 59
220
Предметный указатель
реперное 63, 167
— горизонтальное (см. горизонтальное
расслоение)
— групповое 28, 61
— дифференцируемое 24
— дуальное 29
— индуцированное 28
— касательное (см. касательное расслоение)
— кокасательное (см. кокасательное расслоение)
— Лежандра (см. Лежандра расслоение)
— на алгебры Клиффорда 168
— на пространства Минковского 168
— обобщенное аффинное 29
— редуцированное 62
— связностей 65
— со структурной группой (см. структурная
группа расслоения)
— сопряженное 64
— спинорное (см. спинорное расслоение)
— струй (см. струй расслоение)
— тензорное 30
— универсальное 133
расслоений изоморфизм (см. изоморфизм
расслоений)
— мономорфизм (см. мономорфизм
расслоений)
— морфизм (см. морфизм послойный)
— произведение (см. произведение прямое
расслоений)
внешнее (см. произведение внешнее
расслоений)
тензорное (см. произведение тензорное
расслоений)
— свертка (см. свертка расслоений)
— сумма Уитни (см. сумма Уитни векторных
расслоений)
расслоения эквивалентные 25
расслоенное многообразие 21
локально тривиальное 23
тривиальное 23
— пространство 14
расстояния функция 6
расщепление вертикальное 33
для аффинного расслоения 33
для векторного расслоения 33
— горизонтальное 54
каноническое 49
проектируемого векторного поля 50
— конфиругационного пространства 92
— локальное расслоенного многообразия 21, 23
— фазового пространства 93
редукция структурной группы (см. расслоение
редуцированное)
резольвента пучка 212
росток функции 209
— элемента предпучка 209
свертка внешних форм и векторных полей 39
— расслоений 30
связностей произведение 55
тензорное 56
связность 53-55
— аффинная 55
— гамильтонова (см. гамильтонова связность)
— дуальная 56
— лагранжева (см. лагранжева связность)
— линейная 55
общая 171
—лоренцевская 171
— на ассоциированном расслоении 67
главном расслоении 64
расслоении связностей 67
— плоская 126
сечение 14, 21
— глобальное 14, 26
— голономное 48
— индуцированное 28
— интегральное (см. интегральное сечение
связности)
— критическое 196
— локальное 26
сигнатура многообразия 120
симплекс сингулярный 114
— стандартный 113
система отсчета 170
скобки Ли 37
— (F-N) 41
слабое равенство 73
слой 14, 23
— типичный 23
солитон 106
— нетопологический 107
— топологический 106
спинорная группа 168
спинорное пространство 167
— расслоение 168
спиноры дираковские 167
— майорановские 191
стабилизатор элемента 110
стебель пучка 209
степень отображения 22
стереографическая проекция 9
струй многообразие 46
второго порядка 51
голономное 51
повторное 50
полуголономное 50
к-порядка 51
повторное 52
— полуголономное 52
— пространство бесконечного порядка 194
— расслоение 46
струйное продолжение морфизма 47
Предметный указатель
221
сечения 48
структурная группа расслоения 58
струя сечений расслоения 45
субмерсия 21
сужение расслоения 28
сумму Уитни векторных расслоений 29
супералгебра Ли 184
— Пуанкаре 186
супергравитация 190
супергруппа Ли 190
— ?D, 4) 190
— OSpD, 2; 1) 190
суперметрика 191
супермногообразие 189
суперпотенциал 193
— Комара 206
обобщенный 208
суперпространство 188
суперрасслоение главное 190
— касательное 189
суперфункция 188
— супердифференцируемая 188
сфера 8
сюръекция 14
топология индуцированная 9
— метрическая 6
— образа 9
— подчиненная структуре многообразия 15
— сильнее 8
— сильнейшая 8
— слабее 8
— слабейшая 8
точка бесконечно удаленная 12
— прикосновения 8
— предельная 12
точная последовательность
(см. последовательность точная)
тривиализации морфизм 24, 25
^
уравнение Богомольного 164
— Гамильтона 85
алгебраическое 85
— самодуальности 151
— Эйлера-Лагранжа алгебраическое 70, 71
второго порядка 70, 71
первого порядка 70, 71
¦
тензор конторсии (см. конторсии тензор)
— неметричности (см. неметричности тензор)
— энергии-импульса (см. энергии-импульса
тензор)
тензорное поле 30
— расслоение (см. расслоение тензорное)
тензоры т'Хуфта 143
— антисамодуальные 143
— самодуальные 143
тетрадная форма 172
— функция 170
тетрадное поле 169
ток симметрии 73, 200
топологии база 7
— сравнимые 8
топологическая структура 5
топологическое пространство 5
векторное 9
вполне несвязное 10
дискретное 6
евклидово 7
компактное 12
локально евклидово 9
локально компактное 12
счетное в бесконечности 13
отделимое 11
паракомпактное 13
связное 8
стягиваемое 100
хаусдорфово (см. отделимое)
к -связное 102
фазовое пространство 80
калибровочных потенциалов 94
поля Прока 96
электромагнитных потенциалов 95
фактор по отношению (см. фактор-множество)
фактор-группа 11
фактор-множество 11
фактор-пространство 11
— левое 11
— правое 11
— топологическое 11
фермионное поле 169, 170
флаксон 122
форма векторнозначная 35
— вертикально-значная горизонтальная 43
— внешняя 35, 37
горизонтальная 43
замкнутая 39
точная 39
индуцированная 40
— горизонтальная 42
— Картана 197
— Киллинга 76
— контактная 195
— лепажева (см. лепажева форма)
— Лиувилля 43, 85
обобщенная 81
— полисимплектическая
(см. полисимплектическая форма)
— припаивающая 43
каноническая 44
222
Предметный указатель
— производящая оператора Эйлера-Лагранжа 70
— Пуанкаре-Картана 69
— пфаффова (см. ковекторное поле)
— связности 65
локальная 65
— симплектическая 43, 85
— тангенциально-значная 35, 40
вертикальная 42
— — горизонтальная 43
каноническая 41
проектируемая 43
— характеристическая (см. характеристическая
форма)
— Чженя (см. Чженя форма)
— Эйлера (см. Эйлера форма)
функция Гамильтона (см. Гамильтона
функция)
— Лагранжа (см. Лагранжа функция)
— перехода 15, 24, 25
— эквивариантная 62
характеристическая форма 135
характеристический класс 134
— полином 134
хиггсовское поле 63, 154
ц
цепь 111
— относительная 129
— сингулярная 114
цикл 111
— относительный 129
четность элемента 184
Чженя класс 136
—: — вещественного многообразия 140
— форма 135
полная 135
— характер 138
— число 137
число Бетти (см. Бетти число)
— Чженя (см. Чженя число)
ш
шар замкнутый 8
— открытый 7
Эйлера класс 141
— форма 142
эйлерова характеристика 118
многообразия 120
эквивалентности класс (см. класс
эквивалентности)
— отношение (см. отношение
эквивалентности)
эквивалентность гомотопическая
(см. гомотопическая эквивалентность)
эквивалентные атласы (см. атласы
эквивалентные)
— расслоения (см. расслоения эквивалентные)
электромагнитное поле 76
энергии-импульса тензор 73, 202
метрический 203
ядро послойного морфизма 34
Якоби матрица 20
якобиан 22
Содержание
Введение 3
Глава 1. Дифференциальная геометрия 5
§ 1. Топологические пространства 5
§2. Многообразия 15
§3. Расслоенные многообразия 23
§4. Дифференциальные формы 35
§5. Многообразия струй 45
§6. Связности на расслоениях 52
§7. Расслоения со структурными группами 58
Глава 2. Геометрическая теория поля 68
§ 1. Лагранжев формализм 68
§2. Калибровочная теория 74
§3. Гамильтонов формализм 79
§4. Системы со связями 86
Калибровочные потенциалы (94). Электромагнитное поле (95). Поле Прока (96).
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля 99
§ 1. Гомотопические группы 99
§2. Топологические солитоны 106
Модель кинков A07). Модель синус-Гордона A07). Модель Нильсена—Олесе-
на A08). Модель т'Хуфта—Полякова A09).
§3. Гомологии и когомологии 110
Гомологии комплексов (ПО). Сингулярные гомологии A13). Когомологии A18).
§4. Эффект Ааронова—Бома 121
Вакуумные калибровочные поля A21). Относительные гомологии и когомоло-
когомологии A29).
§5. Характеристические классы расслоений 132
Классификационная теорема A32). Классы Чженя A34). Классы Понтряги-
на A38).
§6. Инстантоны 142
§7. Магнитные монополи 154
Электромагнитное поле в модели т'Хуфта—Полякова A58). Магнитный за-
заряд A59). Модель т'Хуфта—Полякова A61). Уравнение Богомольного A63).
224 Содержание
Глава 4. Геометрии пространства-времени 166
§1. Гравитация 166
§2. Многомерная гравитация 175
§3. Супёргравитация 183
Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения 193
Пространство струй бесконечного порядка A94). Вариационное исчисле-
исчисление A96). Законы сохранения A99). Нетеровские законы сохранения B00).
Законы сохранения энергии-импульса B02). Энергия-импульс калибровочных по-
полей B03). Условие общей ковариантности B04). Энергия-импульс гравитацион-
гравитационного поля B06).
Приложение В. Когомологии со значениями в пучках 209
Библиография 214
Предметный указатель 216