Б В К 87.4
Г65
УД к 1:001.8 + 16:001.12 + 510
Гончаров С. С, Бршов Ю. Л., Самохвалов К. Ф.
Гб5 Введение в логику и методологию науки. — М.: Интер-
пракс, Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1994.—
256 с, ил.
ISBN 5-86134-009-9
Предлагаемое учебное пособие посвящено вопросам методологии на-
ук — специальному, но очень важному разделу философии, в то же время
тесно примыкающему к естественно-научным дисциплинам. Предпола-
гается, что читатель владеет математическим аппаратом. Необходимые
математические сведения даются в первых двух главах. Обсуждаются
варианты современных трактовок проблем, относящихся к философии
эмпирических наук. Рассматривается важнейшее направление в филосо-
фии математики — программа Гильберта.
Пособие рассчитано на студентов, аспирантов и научных работников
философских и физико-математических специальностей, а также на всех
тех, кто интересуется философскими проблемами современной науки.
Ответственные редакторы:
доктор философских наук В. С. Месъкое
кандидат физико-математических наук Т. Н. Рожковская
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Ю. С. Владимиров
доктор философскких наук Е. А. Сидоренко
V
© Гончаров С. С, Бршов Ю. Л.,
Самохвалов К. Ф., 1904
ISBN 5-86134-009-9
ПРЕДИСЛОВИЕ
Исследования в области методологии науки занимают в совре-
менной философии одно из центральных мест. «Логика и мето-
дология науки», «логика науки», «логика научного познания»,
«логика научного исследования», «методология науки», просто
«методология» и т. п. — все это синонимы. Эти названия приня-
ты в отечественной литературе для обозначения дисциплины, в
рамках которой изучается совокупность интеллектуальных опе-
раций, познавательных процедур и методов научного познания.
Эта дисциплина является промежуточной между философией и
точными науками. От философии она заимствует точки зрения
на свой предмет, от точных наук — способы выражения этих
точек зрения (строгость, формализуемость, доказательность).
Сферы действия и цели методологии весьма многообразны.
Приведем пример. Исследователь, если только он не решает за-
дачу, ранее кем-то точно поставленную, начинает свое исследо-
вание с осознания проблемной ситуации как некоего интеллекту-
ального беспокойства. Первым серьезным шагом в разрешении
такой проблемной ситуации является нахождение точной поста-
новки задачи исследования и отыскание соотношения этой точ-
ной задачи с исходной проблемой. Лишь после этого исследова-
ние вступает на почву точных наук. И хотя последующие этапы
работы зависят от успеха первого шага, он тем не менее часто
воспринимается как нечто «донаучное» и, следовательно, второ-
степенное. Поэтому часто научная работа излишне усложняется
или даже вообще движется в негодном направлении только пото-
му, что исследователь допустил небрежность в самом начале —
на исходной подготовительной стадии.
Уделять специальное внимание осуществлению именно пер-
вого шага («формализация» целей и предмета исследования) —
задача методологии.
6
Предисловие
Приведем еще один пример. Всякому научному направлению
на каком-то этапе развития (когда уже что-то сделано) необхо-
дим критический пересмотр достижений, чтобы была ясность в
вопросах: то ли сделано, что нужно? Почему это сделано так,
а не иначе (и, быть может, проще)? При каких предположениях
справедливы полученные результаты? Поддаются ли проверке
эти предположения?
Можно было бы продолжить перечень прерогатив методоло-
гии, но и так уже ясно, что пренебрежение в научной работе
методологической стороной дела чревато тяжелыми ошибками.
Как правило, это такие ошибки:
— иллюзия, что скрупулезная точность методов решения может
компенсировать неточность (неадекватность, приблизитель-
ность и т. п.) самой постановки;
— подгонка постановки задачи под привычные приемы реше-
ния, а не поиск методов, соответствующих исходной содер-
жательной задаче;
— отсутствие убедительных аргументов в пользу правильно-
сти интерпретации полученного решения в исходных содер-
жательных терминах, что часто сопровождается подменой
(обычно неосознаваемой) начальной задачи другой, не всегда
относящейся к делу.
То, что области знания, находящиеся в процессе становления,
особенно подвержены ошибкам указанных типов, — совершенно
очевидный факт. Поэтому специально следует упомянуть лишь
о том, что даже те науки, которые никак не назовешь новыми,
все-таки постоянно нуждаются в методологической службе. При-
чина здесь проста: любая наука, сколь бы длительной и богатой
ни была ее история, всегда допускает развитие если не вширь, то
вглубь. Яркие тому примеры — возникновение теории относи-
тельности и квантовой механики в момент триумфа классической
физики, когда многим ученым она казалась почти законченной —
с принципиальной точки зрения — областью знания.
Если же говорить о математике, то для нее значимость мето-
дологии подтверждается, например, тем общеизвестным истори-
ческим фактом, что многие новые отрасли этой науки, входящие
ныне в состав математической логики, были вызваны к жизни
потребностями именно философского характера.
Из сказанного нетрудно заключить, что совершенствование
логики и методологии науки не менее важно для современного
общества, чем совершенствование самой науки. Этим, надо по-
Предисловие
7
лагать, объективно объясняется резкое увеличение числа публи-
каций по философии науки в последние двадцать-тридцать лет
(«эпоха научно-технической революции»).
К настоящему моменту в различных изданиях и на разных
языках появилось практически необозримое количество публи-
каций по этой проблематике, которые, правда, характеризуются
весьма разным уровнем как по актуальности тематики, так и
по глубине проникновения в проблему. В то же время имеет-
ся масса превосходно написанных вводных книг по отдельным
разделам методологии, например: Г. Кайберг «Вероятность и
индуктивная логика», Р. Карнап «Значение и необходимость»,
Г. Рейхенбах «Философия пространства и времени» и «Напра-
вление времени», Л. А. Френкель и И. Бар-Хиллел «Основания
теории множеств», J. Bub «The interpretation of quantum mechan-
ics», M. Przelecki «The logic of empirical theories», F. S. Roberts
«Measurement theory», J. C. Webb «Mechanism, mentalism, and
metamathematics» и др. В совокупности эти работы могли бы
составить учебное пособие по логике и методологии науки. Од-
нако это была бы слишком громоздкая для практического упо-
требления конструкция. Попытка написать вводный учебник,
совмещающий относительную тематическую широту и сжатость
изложения, — руководящий мотив усилий авторов.
Учебник предназначен для тех, кто привык иметь дело с ма-
тематикой на уровне, обычном для факультетов физико-техни-
ческого профиля. Тем не менее читателю, на первый взгляд, мо-
жет показаться, что в тексте, учитывая философскую направлен-
ность предлагаемого пособия, слишком много формул. Оправда-
ние у авторов одно: мы старались минимизировать тот матема-
тический аппарат, который используется для изложения. При
обсуждении и подготовке этой книги авторы пришли к выво-
ду, что одно, двухсеместровый курс по математической логике с
элементами методологии в дополнение к курсу математического
анализа — необходимый элемент образовательных программ как
для философских, так и для естественно-научных факультетов.
Чтобы облегчить чтение книги, авторы пытались унифициро-
вать терминологию и обозначения. Следует признать, что пол-
ностью сделать это не удалось — слишком разнородный и кон-
сервативный (в своих терминологических традициях) материал
объединен в учебнике. Читатель должен повышать внимание
на переходах от главы к главе. В качестве дополнительной меры
терминологической безопасности используются повторы. Совсем
8
Предисловие
редко повторы используются и для того, чтобы подчеркнуть па
раллелизм аргументаций в далеко отстоящих областях.
Несколько слов об организации материала в книге. Нумера-
ция формул и сносок сквозная в каждой главе. Кроме библиогра-
фических указаний в подстрочных примечаниях, непосредствен-
но связанных с текстом, даны списки рекомендуемой литерату-
ры по главам. Справочный аппарат включает предметный и
авторский указатели, список единых по всей книге обозначений,
а также краткий словарь философских терминов, используемых
в данной книге.
БЛАГОДАРНОСТИ
Прежде всего, мы выражаем признательность своим коллегам
из отдела математической логики Института математики СО
РАН, отдела логики Института философии РАН, кафедры логи-
ки МГУ, отдела философии Объединенного института истории,
филологии и философии СО РАН, многолетнее сотрудничество с
которыми подвигло нас к написанию этой книги.
Мы благодарны ответственному редактору В. С. Меськову,
оказавшему влияние на выбор материала этого пособия.
Мы благодарны нашему второму ответственному редактору,
Т. Н. Рожковской, за неоценимую помощь при редактировании
довольно «сырой* рукописи и за создание стиля изложения. Ее
вмешательство в текст значительно улучшило, на наш взгляд,
эту книгу.
Нам хотелось бы отметить высокопрофессиональную рабо-
ту коллектива Издательства Института математики СО РАН —
С. Г. Дворникова, Н. Д, Белостоцкую, Н. А. Кубанову, Т. П. Плот-
никову, В. Г. Перепелкина, Т. Н. Рожковскую и Н. А. Рожков-
скую. Мы благодарны им за тяжкий труд превращения нашей
рукописи в книгу.
Мы также признательны А. И. Мартыновой, Л. И. Маршак,
В. Е. Плотниковой и О. Г. Юшковой за их участие в подготовке
первой машинописной версии рукописи.
Мы благодарим также Фонд Сороса, Фонд «Культурная ини-
циатива» и Государственный комитет по высшему образованию
Российской Федерации, энергия и (или) материальная поддержка
которых сделали возможным появление этой книги.
С- Гончаров
Ю. Ершов
К. Самохвалов
Глава 1
БАЗИСНЫЕ ПОНЯТИЯ
При последовательном изложении того или иного раздела нау-
ки важным является выбор примитивных (первичных) понятий,
в терминах которых будут вводиться (определяться) все после-
дующие понятия. Для современной математики наиболее рас-
пространен теоретико-множественный подход, когда в качестве
первичных берутся понятия «множество» и «отношение принад-
лежности».
В настоящей главе будет введен ряд важных понятий (фун-
кция, алгебраическая система и т. д.), используемых на протя-
жении всей книги, и указаны их основные свойства. Для их вве-
дения будет применен «наивный» теоретико-множественный под-
ход, когда понятие множества используется без достаточной фор-
мализации правил (аксиом) оперирования этим понятием. Введе-
ние элементов теории множеств в современные школьные курсы
облегчает проведение этого подхода.
Для более точной работы с примитивными понятиями (та-
кими, как множество и принадлежность) нужно воспользоваться
аксиоматическим подходом. В следующей главе после введения
соответствующих понятий будет указана одна из современных
аксиоматизаций теории множеств (система ZF Цермело — Френ-
келя). В заключительном параграфе этой главы обсуждается
важное понятие эффективной вычислимости.
Поскольку материал настоящей главы стандартен и носит
скорее справочный характер, авторы достаточно свободно поль-
зовались при изложении книгами, указанными в рекомендован-
ном списке литературы. Эти источники предлагаются читате-
лям и для более глубокого знакомства с затронутыми здесь во-
просами.
10
Гл. 1. Б&знсиые понятия
1.1.	МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ
1,1.1.	Понятия «множество» и «отношение принадлежности» рас-
сматриваются как примитивные. В дальнейшем удобно исполь-
зовать и понятие класса еще более общее, чем понятие множе-
ства. Всякое множество является классом, но не всякий класс
является множеством. Классы, не являющиеся множествами, на-
зываются собственными.
ОСНОВНОЕ ОТНОШЕНИЕ
Множество а принадлежит классу К (обозначение: а € К).
Если не имеет места отношение а € К, то говорят, что а не
принадлежит К (обозначение: а $ К). Если a G К, то а называ-
ют элементом класса К\ подчеркнем, что в качестве элементов
(при последовательной теоретико-множественной точке зрения)
могут выступать только множества, но не собственные классы
или какие-нибудь другие сущности.
Равенство классов Ко и Кi определяется через отношение
принадлежности так: Ко равен k\ (Kq = Ki), если для любого
множества а имеем а € Ко тогда и только тогда, когда a G Ki-
Если А'о не равен A'j, то используем обозначение А'о К^.
Класс (множество) А называется подклассом (подмножест-
вом) класса В, если любой элемент класса А является элементом
класса В (обозначение: А С В). Если Л С В и Л / В, то
используется обозначение Л С В; в этом случае А называется
собственным подклассом (подмножеством) В.
1.1.2.	Имеется много способов образования классов (множеств).
При аксиоматическом подходе существование соответствующих
множеств гарантируется подходящими аксиомами.
Существует множество, обозначаемое 0 или { }, не имеющее
элементов; это множество называется пустым.
Если ао,... , ап — множества, тр существует множество, обо-
значаемое {но,... ,ап}, элементами которого являются в точно-
сти множества ао,... , ап.	‘
Если А и В — классы, то
—	существует класс Л П В, называемый пересечением А и В,
элементами которого являются в точности множества, явля-
ющиеся элементами как А, так и В;
—	существует класс Ли В, называемый объединение.и А и В,
элементами которого являются в точности множества, при- .
надлежащие А или В;
J.j. Множества, отношения, функции
11
— существует класс А\В, называемый разностью Ан В, эле-
ментами которого являются в точности элементы А, не явля-
ющиеся элементами В.
Если А и В — множества, то классы АП В, AUB, А\В также
множества. Симметрическая разность АДВ определяется так;
= (А\В) U (В\А). Если А — множество, то можно образо-
вать множество Р(А), элементами которого являются в точности
все подмножества множества А.
Весьма общей конструкцией образования классов является
следующая: если ...х... — некоторое свойство (переменного)
множества х (например, выраженное формулой .. .х ... формаль-
ного языка теории множеств, см. гл. 2), то можно образовать
класс {т | ... х ...}, элементами которого являются в точности
множества, удовлетворяющие свойству .. .х... . При определен-
ных ограничениях на свойство ... х... полученные классы будут
множествами (см., например, аксиомы выделения и подстановки
в гл. 2); однако так получаются и собственные классы, например:
{а: [ х т} — собственный класс.
Определения уже введенных конструкций могут быть запи-
саны в следующей форме:
А П В = {я | х £ А и х G В},
AuB = {t|tGA или х 6 В},
А\В = {т|агеАиа:^5}.
1.1.3.	Введем понятие упорядоченного набора.
—	Упорядоченный набор ( ) пустого множества 0 есть 0:
о = 0-
—	Упорядоченный набор (а) одного элемента а есть а:
(а) = а.
— Упорядоченный набор (а,Ь) двух элементов а и Ь есть {{а},
{а,6}}:
(а,6) = {{а},{а,6}}.
—	При п > 2 упорядоченный набор (aj,... ,ага) элементов
Д1,... ,ая есть ((aj,... ,an_]),an):
(ai,«2,... ,an) = ((«!,• • • ,ап_1),ая).
Упорядоченный набор (ai,... ,an) называется также кортежем,
упорядоченной п-кой (или просто n-кой), последовательностью-,
при этом число п называется длиной кортежа (n-ки, последова-
тельности) (ai,... ,an).
12
Гл. 1. Базисные понятия
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Если (а 1,... , ап) = (£>j,... ,bn), то в] -- by,... ,an = bn.
Например, если a b, to (a, b) {b, a), тогда как {a,i} =
{6,a} = {a,a,6} = {6,a, 6,6,} и т. д.
Иногда по дидактическим причинам пишем (oj;... ; an) вме-
сто (ai,... ,an).
Декартовым {прямым} произведением множеств Л1,... , Ап
называется множество
Aj х ... х Ап = {(aj,... ,an)|aj е Ль... ,an G Лп}.
Если Л1 = ... = Лп = Л, то Л] х ... х Ап называется декарто-
вой {прямой) п-степенью множества А и обозначается через Л”.
Если п = 0, то по определению полагаем Л° = {&}• Если n = 1,
то Л1 = Л. Бинарным {двухместным) отношением между {эле-
ментами множеств) А и В называется любое подмножество R
множества Л х В. Если Л = В, то R называется бинарным от-
ношением на А. Вместо {х,у) € R пишут также xRy или R{x,y).
Пусть R — бинарное отношение.
Областью определения R называется множество
Sr = {х | существует у такой, что (а:,у) 6 Я}.
Областью значений R называется множество
Pr ~ {т ] существует у такой, что {у, г) G R}.
Для бинарных отношений определены обычные операции над
множествами: объединение, пересечение и т. д.
Дополнением R между элементами (множеств) Л и В назы-
вается множество
-R = (Л х B)\R.
Обратным отношением для R называется множество
= {(2,3/) | (у,х) 6 R}.
Образом (множества) X относительно R называется
Д[Х] = {у | существует х G X такой, что {х,у) g R}-
Прообразом (множества X) относительно R называется мно-
жество R^fX].
Произведением или композицией отношений Ry С А X В и
R% Q В X С называется отношение
R1R2 = {(г, у) | существует z такой, что
{x,z) 6 Ry и {z,y) G /?2}-
1.1. Множества., отношения, функции
13
Отношение / называется отображением или функцией из А
е В (из А на В), если Sf = A, pf С В (соответственно ру — В)
и для всех х,У1,У1 из (х,^) е /и (яг, у2) G / следует yi = у2.
функция из А на В называется также сюръекцией или сюръ-
ективным отображением. Функция f из А в В обозначается
через f:A~>B. Если / — функция, то пишем у ~ f(x) вме-
сто (х, у) Е f и называем у значением функции f при значении
аргумента х.
Для любого множества А определяем id^: А —► А следую-
щим образом: id^s) = х.
Функция f называется 1-1-функцией или инъекцией (инъек-
тивным отображением), если для любых xi,x2,y из равенств
У = у - f(x2) следует = х2.
Говорят, что функция f: А —> В есть взаимно однозначное
соответствие (биекция, биективное отображение) между А и
В, если 6j = A, pj = В и f есть 1-1-функция, т. е. функция
f — биекция, если и только если она одновременно инъекция и
сюръекция.
Теорема 1.1.1. Для того чтобы отношение / С А X В было
взаимно однозначным соответствием между А и В, необходимо и
достаточно, чтобы f и f~1 удовлетворяли условиям ff~^= id^,
r7 = idB-
Множество всех функций из Л в В обозначается через В^.
Взаимно однозначное соответствие /: А —> А называется
подстановкой множества А.
Назовем п-местным (п-арным) отношением между (элемен-
тами множеств) Aj,... , Ап любое подмножество множества Aj X
... х Ап. Если R — такое отношение, то вместо (xi,... , хп) бу-
дем писать также R(xi,... ,хп). Любое подмножество R множе-
ства А" будем называть п-местным (п-арным) отношением на
множестве А. Заметим, что 0-арных отношений на А только
два: 0 и {0}; Гарные (унарные) отношения на А совпадают с
подмножествами А.
Функцию /: А” —> В назовем п-местной (п-арной) функ-
цией из А в В и будем писать у = f(x^,... ,хп) вместо у =
/((аГ1,... ,гп)), называя у значением функции f на значении ар-
гументов a?i,... ,хп. Функция f: Ап —> А называется п-местной
(п-арной) операцией на А.
Ясно, что n-местная операция является (п + 1)-местным от-
ношением, а 0-местная операция /: А° —> А есть {(0,а)} для
14
Гл. 1. Базисные понятия
некоторого a Е А. Часто 0-местную операцию {(0,а)} на А бу-
дем называть константой в А и отождествлять с элементом а.
Запись у =	,ггп) для п - 0 выглядит так: у = /( )
или у = /, что согласуется с принятым нами отождествлением
константы с ее значением.
Если / есть п- местная операция на Л и В С А, то множе-
ство В называется замкнутым относительно операции /, если
из ai,... , ап € В следует f(ay,. -. , an) С В.
Используя понятие функции, можно определить понятие ин-
дексированного семейства множеств: если I — множество (ин-
дексов), то через {А, | г Е 1} будем обозначать всякую функцию
f : I —> А такую, что /(i) = А, и А = {А; | г Е /}.
Если {А, | г Е /} — индексированное семейство множеств, то
полагаем
Q А,- = {г | х Е А, для всех i Е /},
i€/	р,-
Ai = {х | существует г € I такой, что t Е I}.
1.1.4,	Среди различных типов отношений некоторые имеют фун-
даментальное значение для всей математики.
• Бинарное отношение О С А2 называется
—	рефлексивным, если (х,х) Е 0 для всех х Е А,
— иррефлексивным, если (х,х) $ в для всех х Е А,
— симметричным, если (у,х) Е 0 при (х,у) Е 0,
— антисимметричным, если из (х, у) Е 0 и (у, х) Е 0 сле-
дует, что X — у,
—	транзитивным, если из (х,у) Е 0 и (у, г) Е 0 следует,
что (т, г) Е 0.
Бинарное рефлексивное симметричное и транзитивное отноше-
ние на множестве А называется эквивалентностью на А. Клас-
сом эквивалентности (смежным классом) элемента х по экви-
валентности R называется множество [х]р = {р |(х,у) Е R}.
Множество классов эквивалентности элементов множества А по
эквивалентности R называется фактор-множеством А по R и
обозначается через А|д. Будем говорить, чтр, семейство D —
{А, | г Е 1} является разбиением множества А, если U А, = А
»€1
и для любых i,j Е I либо А; П Ау = 0, либо A, = Aj. Если D —
разбиение множества А, то двухместное отношение
1.1. Множества, отношения, функции
15
Ер = {(a,b) | а, b € А, для некоторого i Е /}
есть эквивалентность на А. С другой стороны, если R — произ-
вольная эквивалентность на 4, то А| д — разбиение множеств А.
' Рефлексивное транзитивное и антисимметричное отношение
ha множестве А называется частичным порядком на А. Частич-
ный порядок часто обозначается символом Порядок на-
зывается двойственным к < и обозначается символом >. Будем
писать х < у, если х < у и х / у.
Частичный порядок на множестве А называется лимеймыж,
если любые два элемента из Л сравнимы по т. е. х у или
у С х для любых ху у € А.
Если — частичный порядок на А, то пару 21 = (Л, на-
зывают частично упорядоченным множеством.
Если — линейный порядок на А, то пара 21 = (А, назы-
вается линейно упорядоченным множеством.
Подмножество В множества А, частично упорядоченного от-
ношением называется цепью в А, если оно линейно упорядоче-
но отношением ПВ2. В частности, пустое множество является
цепью в любом частично упорядоченном множестве.
Пусть 21 = (А,	— частично упорядоченное множество.
Элемент «о С А называется верхней (нижней) гранью в 21 под-
множества Ao С А, если b ао (до Ь) для всех b Е Aq. Верхняя
(нижняя) в 21 грань А называется наибольшим (наименьшим) в
21 элементом. Элемент а Е А называется жаксижальныж (мини-
мальным) в 21, если из а х (соответственно из х $ а) следует
х = а. Наибольший (наименьший) элемент является максималь-
ным (минимальным), и если $ — линейный порядок, то макси-
мальный (минимальный) в 21 элемент является также наиболь-
шим (наименьшим) в 21. Очевидно, что если наибольший (наи-
меньший) в 21 элемент существует, то все максимальные (мини-
мальные) элементы равны между собой.
Если В — множество верхних граней в 21 = (А, $С) множе-
ства Ai С А, то наименьший в (В, АВ2) элемент называется
наименьшей (точной) верхней гранью в 21 множества А] и обо-
значается через sup(Ai,2l). Заменив в этом определении слова
«верхних* и «наименьший» соответственно словами «нижних* и
«наибольший», получим определение наибольшей (точной) ниж-
ней грани Aj в 21, которую будем обозначать через inf (Ai,21).
Ясно, что точные верхняя и нижняя грани Aj в 21 опреде-
ляются по Ai и 21 однозначно, если они существуют. Если из
контекста ясно, о каком именно частично упорядоченном множе-
16
Гл. 1. Базисные понятия
стве 21 идет речь, то вместо sup(Ai,2l) [inf (Aj,21)] пишут sup Ai
(inf Ai].
Частично упорядоченное множество 21 = (А, называется
решеткой, если для любых a,b € А существуют sup({a,6},2t) и
inf({a, &},&), которые будем обозначать через a Ua b и а Па b
соответственно.
• Решетка 21 называется
—	дистрибутив ной, если для любых а, Ь, с 6 А
a Ua (Ь Па с) = (a Ua b) Па (а U* с),
а Па (t> Ua с) = (а Па 6) U2 (а Па с);
—	булевой, если она дистрибутивна, имеет наибольший
элемент 1а, наименьший элемент 0а и для любого а Е
А существует элемент а Е А такой, что а иа а = 1а,
а П* а - О*.
Элемент а Е А, удовлетворяющий в решетке 21 с наибольшим
элементом 1а и наименьшим элементом 0а указанным условиям,
называется дополнением элемента а в 21.
1.2. ОРДИНАЛЫ, КАРДИНАЛЫ, МОЩНОСТЬ
1.2.1. Частично упорядоченное множество 21 = (А, называется
фундированным, если любое непустое подмножество Ai С А ча-
стично упорядоченного множества имеет минимальный элемент.
Если (А,	— фундированное частично упорядоченное мно-
жество, то (В, ПВ2) также будет фундированным частично
упорядоченным множеством для любого В С А.
Для фундированного частично упорядоченного множества име-
ет место принцип трансфинитной индукции.
Теорема 1.2.1 [принцип трансфинитной индукции]. Пусть 21 =
(А,	— фундированное частично упорядоченное множество и
ВС А. Если для любого а Е А из условий а ~ [b Е А\Ь а, b =
а} С В следует условие а Е В, то В = А.
Если 21 = (А,	— фундированное линейно упорядоченное
множество, то 21 называется вполне упорядоченным множеством,
а отношение — полным порядком или вполне-упорядочением.
Следующие две теоремы справедливы только в предположе-
нии справедливости аксиомы выбора (см. гл. 2).
Теорема 1.2.2 [принцип максимума или лемма Цорна]. Если
в частично упорядоченном множестве 21 = (А, каждая цепь
1.2. Ординалы, кардиналы, мощность
17
X С А имеет верхнюю грань, то существует максимальный в 21
элемент.
Теорема 1.2.3 [принцип полного упорядочения]. Каждое мно-
жество А может быть вполне упорядоченным, т. е. для каждого
множества А существует А2, для которого 21 = (А, С) —
вполне упорядоченное множество.
Условимся, что всюду в этой книге «... ^------» есть сокра-
щение для «если ... , то----------------------», а « ... О-> есть сокращение
для « ... , если и только если ——». Символ —» называется (не-
формальной) импликацией, а символ <=> — (неформальной) экви-
валенцией.
Пусть 21 = (А, $i) и 93 = (В, ^2) — Два линейно упорядочен-
ных множества. Отображение / из А на В называется подобием
%, на 23, если а b /(а) $2 /(&) Будем говорить, что 21
и 93 подобны, если существует подобие одного из них на другое.
Подобие f:A—> В является инъективным отображением. Если
/ — подобие 21 на 93, то /-1 — подобие 93 на 21.
1.2.2. Для бесконечных множеств обобщением понятия числа эле-
ментов может служить понятие мощности. Будем говорить, что
— мощность множества А меньше или равна мощности мно-
жества В (и обозначать А В), если существует инъектив-
ное отображение f: А —»• В;
— мощности множеств А и В равны или А и В равномощны
(обозначаем А = В), если существует взаимно однозначное
соответствие между А и В.
Заметим, что мы пока не определили, что такое мощность мно-
жества А, а определили только два двухместных отношения на
множествах.
Теорема 1.2.4 [Кантор — Бернштейн]. Если для множеств А и
В имеем А В и В А, то А = В.
Теорема 1.2.5 [Кантор]. Условие Р(А) А не имеет места для
любого множества А.
Следующая теорема предполагает аксиому выбора.
Теорема 1.2.6. Для любых множеств А и В либо А $ В, либо
В <А.
Для множества X определим бинарное отношение г (А”), со-
стоящее из пар (a, b) Е X2 таких, что а Е b или а = Ь. Множе-
18
Гл. J. Базисные понятия
ство X называется транзитивным, если из b G X следует b С. X.
Множество а называется ординалом, если оно транзитивно
и (а,е(а)) — вполне упорядоченное множество.
Теорема 1.2.7. Элементы ординала а являются ординалами.
0, {0}, {0,{0}}, {0,{0},{0,{0}}}, ...
(каждый последующий член записанной последовательности со-
держит все предыдущие) будут ординалами. Натуральное чи-
сло 0 обозначается обычно через 0, {0} — через 1, {0, {0}} —
через 2 и т. д. Множество и; всех натуральных чисел также
является ординалом. Ординалами являются множества U {<д},
wU{u)u{w, {и?}} и т. д. Если a — ординал, то множество
также ординал, который иногда по аналогии с натуральными чи-
слами обозначают через a + 1.
Понятие ординала можно рассматривать как естественное
обобщение понятия натурального ряда на любые вполне упоря-
доченные множества.
Положение ординала w по отношению к натуральным числам
иллюстрируется схемой
О, 1, 2,... , п, ... ;w,
ординала ш U {w} — схемой
0,1,2,... , п,...	+ 1,
ординала w U {ш} U{wU {w}} — схемой
1,2. Ординалы, кардиналы, мощность
19
О, 1, 2, ... , п, ... ; ш, w + 1, w + 2
и т. д. Ординал, следующий за всеми ординалами
0,1,2,... ,п, ... ;ш,ш + l,w + 2,...	+ и,... ,
обозначается через ш + ш = 2w, а следующий за ним ординал —
через 2w + 1 и т. д. Теперь нетрудно уяснить смысл схемы
О, 1, 2,	; n,... ; <д, + 1, ... , и + п, ... ; 2w, 2w + 1, ... 
3w, Зш + 1, ... ; ... ; пш, пы> 4- 1, ... ; и2, w2 + 1, ... ;
<v2 + ш2 + gj + 1,... ; ш2 + 2w, w2 + 2w + 1, ... ;
w2 + nw, и2 + по; + 1, ... ; 2а)2, 2w2 + 1, ... .
Таким путем могут быть введены ординалы , ww ,.., , и
т. д. Ординал, непосредственно следующий за всеми указанными
ординалами, обозначается через £(,.
Теорема 1.2.8. Если о| и а2 — ^ва различных ординала, то
либо «1 6 012, либо «2 € ор
Суммой (объединением) множества X называется множество
UX = {а | a G г для некоторого х € X}.
Ординал, отличный от 0 (от 0) и не имеющий вида a + 1,
называется предельным. Ясно, что ординал <5^0 является
предельным тогда и только тогда, когда U<5 — 6. Множество
натуральных чисел можно определить как такой предельный ор-
динал, все элементы которого не предельны.
Теорема 1.2.9. Если X — множество ординалов, то UJV — ор-
динал.
Теорема 1.2.10. Пусть X — множество ординалов. Тогда
(X,£(X)) — вполне упорядоченное множество.
Теорема 1.2.11. Для любого вполне упорядоченного множества
21 — (А, существует единственный ординал ct(2l) такой, что
(о(21),£(о(21.))) подобно 21.
Назовем ординал из теоремы 1.2.11 типом вполне упорядо-
ченного множества 21 или его порядков ыж число л. Если 21 =
20
Гл. 1. Базисные понятия
(А,	— вполне упорядоченное множество, имеющее тип а, то
говорят, что вполне упорядочивает А по типу а.
Будем говорить, что ординал /? меньше ординала а (обозна-
чать /3 < а), если 0 € а. Если 0 < а или 0 = а, то будем
писать 0 а. В силу теоремы 1.2.10 любое множество ор-
диналов вполне упорядочено только что введенным отношени-
ем Если «1,... ,оп — ординалы, то наибольший по отноше-
нию элемент множества {сц,... ,оп} будем обозначать через
max {»i,... , о»}. Ординал х называется кардиналом, если он не
является равномощным никакому меньшему ординалу.
Теорема 1.2.12. Натуральные числа 0, {0}, {0,{0}},... и
множество ш всех натуральных чисел являются кардиналами.
Следующая теорема, справедливая при аксиоме выбора, по-
зволяет среди равномощных множеств выделить канонического
представителя — кардинал.
Теорема 1.2.13. Для любого множества X существует един-
ственный кардинал X, равномощный X.
Для множества X кардинал X из теоремы 1.2.13 называется
мощностью множества X. Дадим точное определение свойства
«быть конечным множеством», которым мы ранее пользовались
интуитивно. Множество X называется конечные, если X £ ш, и
счетным, если X = ш.
Натуральные числа, рассматриваемые как кардиналы, обо-
значаются по-прежнему: 0,1,2,... , п,... . Поэтому если множе-
ство X конечно, то X = п для некоторого п. Если множество ш
рассматривается как кардинал, то оно обозначается обычно че-
рез Я о (алеф-нуль). Поэтому для любого счетного множества X
часто пишут X = Kq. Если X — не конечное множество, то гово-
рим, что множество X бесконечное. Заметим, что существуют
бесконечные множества, которые не являются счетными. Более
того, в силу теоремы 1.2.5 мощность любого множества X мень-
ше мощности множества Р(Х).
Мощность множества Р(Х) принято обозначать через 2®,
если а — мощность множества X. В частности, мощность мно-
жества всех подмножеств счетного множества X обозначается
через 2Н°. Она имеет также специальное название континуум и
специальное обозначение с.
Так как о? — наименьший бесконечный кардинал, счетные
множества имеют наименьшую мощность среди бесконечных мно-
1.3. Алгебраические системы
21
жеств. Заметим также, что бесконечный кардинал ж не может
иметь вид а + 1 = qU {а}.
КОНТИНУУМ-ПРОБЛЕМА
Поскольку по теореме Кантора Но < 2^° = с, возникает вопрос:
существует ли кардинал а, промежуточный между Ко и с? Этот
вопрос носит название «континуум-проблема».
В предположении аксиомы выбора справедлива
Теорема 1.2.14. Если множество А бесконечно, то Ак = А для
любого натурального числа k > 0.
1.3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
1.3.1. Частичной функцией (частичным отображением) из А в
В называется бинарное отношение f С А х В такое, что =
А' С A, pf С В и для всех х, j/i, у% из (ж, j/i) С f и (х, У2) G f
следует yj = у%. Если / — частичная функция и х Е Л\Л', то
(х,у) $ f для любого у Е В. Частичное отображение из А в В
обозначается также через f: А —> В.
Говорим, что частичная функция f определена на х, если
х € 6f, и не определена на х, если х £ 6j. Если / определена
на х, пишем у = f(x) вместо (х,у) € f и называем у значени-
ем частичной функции f при значении аргумента х. Если f
не определена на х, то говорим, что f(x) имеет неопределенное
значение. Частичное отображение f: Лд х ... х Ап —> В называ-
ется частичной п-местной функцией из Л1 X ... X Ап в В. Если
Л1 = ... = Ап = Л, то частичная n-местная функция f:An^>B
называется частичной п-местной (п-арной) функцией на А со
значениями в В. Частичная n-арная функция на Л со значения-
ми в Л называется частичной п-арной операцией на Л.
В логике рассматриваются специальнее множества, элемен-
ты которых называются истинностными значениями. В класси-
ческой (обычной) логике рассматривается множество, состоящее
из двух элементов: истины и лжи. Первый из них будем обозна-
чать символом И, а второй — Л.
Пусть А — множество; n-арная функция /: Лп —> {И, Л}
называется п-арным предикатом на Л. Совокупность тех п-ок
(ai,... ,ап) из Лп, для которых /(aj,... ,an) = И, называется
(n-арным) отношением на А, отвечающим предикату f. Обрат-
22
Гл. 1. Базисные понятия
но, пусть задано п- арное отношение R С Ап на 4. Полагая
( И, если(аь... ,ая) е R,
* в1’' " ,а"^	( Л, если(в1,... ,ая) R,
мы получим n-арный предикат /: А" -* {И, Л}, отвечающий от-
ношению R. Таким образом, n-арные предикаты и n-арные от-
ношения, определенные на фиксированном множестве, находятся
во взаимно однозначном соответствии.
Можно говорить о частичном п-арном предикате на А, опре-
деляя его как n-арную частичную функцию /: А” «♦ {И, Л}. С
частичными n-арными предикатами находятся во взаимно одно-
значном соответствии частичные n-арные отношения — пары
(T(J),F(f)) n-арных отношений T(J) и F(J) на А таких, что
ПЛ = {(аь..-,ап)|Ла1,...,ап) = И},
F(/) = {(аь... ,ап)|/(аь... ,ая) = Л},
Т(/)ПГ(/)=0.
Иногда, допуская нестрогость речи, пару (T(/),F(/)) п-арных
отношений на А называют п-арным трехзначным отношением
на А с третьим значением истинности: «не имеет смысла» или
«не определено».
Характеристической функцией п-арного отношения R на А
называется n-арная функция х на An Ви'< определенная формулой
х(«,,11
( 0, если (ai,... , a„) R.
Частичной характеристической функцией п-арного отно-
шения R на А называется частичная n-арная функция х*, опре-
деленная формулой
+	_ ( 1,	если (ai,... ,a«) 6 R,
X (ai,...	— з	z	\ л d
l, неопределенность, если (aj,... , an) £ л.
Подмножества множества A — это унарные отношения на А.
Поэтому характеристическая функция подмножества — это 1-мес-
тная функция одного переменного, равная единице в точках (эле-
ментах) подмножества и нулю во всех других точках. Частичная
характеристическая функция подмножества равна единице в точ-
ках подмножества и не определена вне подмножества.
Мы не всегда будем различать отношение и отвечающий ему
предикат и для предиката Р будем писать Р(жь • •а:я) вместо
1.3, Алгебраические системы
23
Р(®1,... , жп) = И, Отношение, отвечающее предикату Р, назы-
вают иногда объемом предиката Р.
Согласно определению, каждой частичной п-арной операции f
на множестве А отвечает подмножество декартовой (п+1)-степени
Ап+1, состоящее из тех последовательностей (aj,... , an, an+l) из
A”+1, для которых значение частичной операции f определено на
(ai,... ,an) и равно an+i. Иногда это подмножество называют
графиком частичной операции f и говорят о характеристиче-
ской фрикции графика частичной операции вместо характери-
стической функции самой частичной операции. С принятой нами
точки зрения оба выражения означают одно и то же.
Иногда приходится рассматривать 0-арные операции и 0-ар-
ные предикаты. В соответствии с ранее принятыми соглаше-
ниями 0-аркой операцией на множестве А называется фиксиро-
ванный элемент из этого множества, а 0-арным предикатом —
истина или ложь (ср. 0-арное отношение).
1.3.2. Часто объектом изучения в науке служит некоторая сово-
купность вместе с определенной на ней структурой. Например:
множество треугольников с отношением подобия, множество дей-
ствительных чисел с операциями сложения и умножения, множе-
ство вещественных функций со свойством дифференцируемости
и операцией дифференцирования, множество людей на земле с
их этическими и политическими отношениями и т. д. Вводимое
ниже понятие алгебраической системы является одним из воз-
можных уточнений (формализацией) понятия «структурирован-
ная совокупность».
• Упорядоченная тройка fl = (И, Р, д) называется сигнатурой,
если выполняются следующие условия:
—	множества 72 и Р не имеют общих элементов;
—	д есть отображение множества 72 U Р в w.
Элементы множества 72 называются символами отношений или
предикатными символами, элементы множества Р — символа-
ми операций или функциональными символами, отображение д —
отображением местности или арности для fl. Если p(q) = п,
то q называется п-местным (п-арным) предикатным символом
для q G 72 и п-местным функциональным символом для q G Р.
0-Местный функциональный символ называется символом кон-
станты или просто константой. Мощность множества 72 U Р
называется мощностью сигнатуры fl = (72, Р, р) и обозначается
через fl.
24
Гл. 1. Базисные понятия
Сигнатура называется конечной, если Р € о>, и счетной, если
Р = и>. Далее мы рассматриваем только конечные или счет-
ные сигнатуры. Конечную или счетную сигнатуру 0 - (72,
удобно записывать в виде
П = (R^(R1)),... , R^(Ri)),... ;fjWfl)),...
где Rj G 72, fj 6 J7. Если из контекста ясно, о каком отображе-
нии арности р для Р идет речь, то часто в приведенной запи-
си сигнатуры Р опускают верхние индексы при предикатных и
функциональных символах и пользуются в этом случае записью
= (1.1)
В этих случаях часто называют сигнатурой не тройку (72, У, р),
а пару (72, или даже просто множество 72 U Т.
Будем говорить, что сигнатура Pi = (TZi, Д1) содержит-
ся в сигнатуре Р = (72, J7, р) (обозначаем Pi С Р), если 721 С 72,
С У, Д1 С р. Если Pi С Р, то говорят также, что Pi есть
подсигнатура (сигнатуры) Р, или Pi есть обеднение Р, или Р
есть обогащение (надсигнатура, расширение) Pi.
Если 72U/" / 0и5 = 0(^ = 0), то сигнатура Р называется
предикатной (функциональной). Если 72UТ = 0, то сигнатура Р
называется пустой.
• Упорядоченная пара 21 = (A; называется алгебраической
системой сигнатуры Р = (72, F, р), если выполняются сле-
дующие условия:
— множество А непусто,
— I/® есть отображение множества 72 U Т в множество от-
ношений и операций на множестве А,
— если R € 72, TO?twa(R) есть /i(R)-местное отношение
на А,
— если f 6 5л то */*(!“) есть //(Г)-местная операция на А.
Множество А называется носителем (универсумом, основ-
ным множеством системы) 21, а его элементы — элементами
системы 21. Отображение называется интерпретацией сиг-
натуры Р в А. Мощность А множества А называется .мощ-
ностью системы 21 и обозначается также через 21. Носитель
системы 21 обозначается иногда через |21|. Если из контекста
ясны значения 7?i = i^(Ri), Rr> — ^(Иг),	, fi = pa(fi),
1.3. Алгебрам ческяе системы
25
/2 =	•  • > R»>fy € Rdf, то алгебраическая система 21
сигнатуры Я [вида (1.1)] часто отождествляется с последователь-
ностью (A; Ri....Rif... ; Д,... , fj,...); в этом случае пишем
21= (A;	,Ri,... ;Л,- • ,/>>••)•
Если Ri = ^(Ry), R, € R, то R, называется значением (де-
нотатом) в 21 сигнатурного предикатного символа R,. Если
fi = p^(fy), fy G P, то /у называется значением (денотат tut) в
21 сигнатурного функционального символа fy.
Алгебраическая система 21 сигнатуры Я называется алге-
брой, если Я — функциональная сигнатура, и моделью (реля-
ционной системой), если Я — предикатная сигнатура. Ти-
пичная запись модели — 21 = (A;Ri,... ,R,;,...), а алгебры —
21 = (А; Л,.». ,fj,...). Приведем примеры алгебраических си-
стем: 21 = (Z; +), *В = (Z; +; ^), € = (Z; где Z — множество
целых чисел, + и С понимаются в обычном арифметическом
смысле. Согласно сказанному 21 — алгебра, С — модель, 2J —
собственно алгебраическая система.
Заменяя в определении алгебраической системы слова «отно-
шения» и «операции» соответственно словами «частичные отно-
шения» и «частичные операции», мы получим определение ча-
стичной алгебраической системы.
1.3.3. Напомним, что каждая m-арная операция /, определенная
на некотором множестве А, есть (т + 1)-арное отношение. Обо-
значим через Р соответствующее (т + 1)-арное отношение, для
которого
P(xi,... ,хт,у)<* f(xi,... ,хт) = у (xlt... ,хт, у £ А).
Заменяя в алгебраической системе
21 = (A; Ri,...,Ri,..., /1,... 5 /у, —)
сигнатуры Я = (Ri,...Rt,,,.	,fy,...) операции /у соот-
ветствующими отношениями Ру, получим модель
21* = (A;7?1,...,P„...,Pi,...,Py,...)
сигнатуры Я* = (Ri,... , R, ,... ,Pi,... , Ру), которая называется
моделью, представляющей алгебраическую систему 21.
Например, чтобы алгебру (2;+) представить моделью, до-
статочно ввести отношение S(x,y,z) О х + у — х, представля-
ющее операцию сложения. Модель (Z;S) и будет представлять
алгебру (Z; +).
26
Гл. 1. Базисные понятия
Ввиду простоты перехода от алгебраической системы 21 к
представляющей ее модели 21* часто новых обозначений не вво-
дят и говорят о модели 21, подразумевая модель 21*, Тем не менее
следует иметь в виду, что некоторые вводимые ниже понятия
имеют разный смысл для 21 и 21*.
• Изоморфизмом алгебраической системы 21 сигнатуры (I =
(Я, д) в алгебраическую систему 23 той же сигнатуры на-
зывается инъективное отображение ф: |2t| —► |®|, сохраняю-
щее операции и предикаты системы 21, т. е. удовлетворяющее
условиям:
— если f G Г и p(f) = п, то для всех вц,... ,ап € |2t|
<p(j/^(f)(ai,... ,an)) = p®(f)(¥>(ai),... ,<p(an));	(1.2)
— если R e И и p(R) = m, то для всех ai,... ,am € |2l|
(ai,... ,am) € ^(R)	G ^®(R). (1.3)
Изоморфизм <p системы 21 в систему IB, при котором носитель
|21| системы 21 отображается на носитель |23| системы 23, назы-
вается изоморфизмом системы 21 на систему 23. Изоморфизм
системы 21 на себя называется автоморфизмом.
Гомоморфизмом системы 21 сигнатуры fl ~	в си-
стему Ж той же сигнатуры называется отображение р: |21| -+ |23|,
удовлетворяющее условию (1.2) и условию (1.3), в котором экви-
валенция <£> заменена импликацией Отсюда видно, что ка-
ждый изоморфизм есть гомоморфизм. Утверждение, что каждый
инъективный гомоморфизм есть изоморфизм, в общем случае не-
верно. Заметим, однако, что всякий изоморфизм конечной систе-
мы 21 в себя является автоморфизмом.
Теорема 1.3.1. Биекция <р произвольной алгебраической систе-
мы 21 на произвольную систему 23 той же сигнатуры тогда и
только тогда является изоморфизмом 21 на 3, когда <р и —
гомоморфизмы 21 на 23 и 23 на 21. В частности, если <р — изомор-
физм 21 на 23, то — изоморфизм 23 на 21.
Теорема 1.3.2.Отображение ф алгебраической системы 21 в ал-
гебраическую систему 23 той же сигнатуры тогда и только то-
гда является гомоморфизмом, когда ф — гомоморфизм модели
21*, представляющей систему 21, в модель 23*, представляющую
систему 23.
1,3. Алгебраические системы
27
Алгебраическая система 21 изоморфна системе 23, если суще-
ствует изоморфизм 21 на 23. Очевидно, что отношение изомор-
физма ~ между алгебраическими системами рефлексивно, сим-
метрично и транзитивно. Поэтому все алгебраические системы
данной сигнатуры распадаются на классы (изоклассы) изоморф-
ных между собою систем. Математика изучает преимуществен-
но лишь те свойства алгебраических систем, которые сохраня-
ются при изоморфизме и тем самым одинаковые у всех изоморф-
ных систем. Эти свойства часто называют абстрактными, так
как они не зависят от природы элементов, образующих систему.
Считается, что абстрактные свойства системы — это свойства
лишь ее операцией и предикатов. В этом смысле их можно назы-
вать также чисто структурными свойствами и говорить, что
системы 21 и 23 имеют одну и ту же структуру, тогда и только
тогда, когда они изоморфны.
1.3.4. Если R — местное отношение на А и В С А, то отноше-
ние RC\Bn на множестве В называем ограничением отношения R
на множестве В и обозначаем через R Г В. Если f — п-арная
операция на А и В С А, то множество В называется замкну-
тым относительно операции f, если из aj,... , ап 6 В следует
/(ai,... ,ап) € В. Алгебраическая система 23 называется noJcu-
стемой системы 21, если выполняются следующие условия:
— 21 и 23 имеют одну и ту же сигнатуру Q = (R,P,p),
~ 1®| С |2t|,
—	множество |23| замкнуто относительно операций */*(£),
ГЕЛ
—	отношения и операции м®(q), q G R U P, в 23 являют-
ся ограничениями на j23| соответствующих отношений и
операций va(q), q 6 7? U7, в 21.
Если 23 — подсистема системы 21, то пишем 23 С 21. Если
23 С 21 и |23| / |21|, то 23 называется собственной подсистемой 21.
Если 23 С 21, то 21 называется надсистемой 23.
Если 21 — алгебра или модель и 23 С 21, то 23 называют
подалгеброй или подмоделью 21. Подсистема 23 системы 21 одно-
значно определяется подмножеством |*В| множества |2Ц, поэтому
вместо «подсистема 2В = (В; Si,... ,5t ,... ; hi,... , ftj,...) алге-
браической системы 21 = (A;Pi,... ,Pi,... ,ffi,... ,5i,...)> часто
пишут «подсистема 23 = (В; Pi,... ,Р{,...	,</,,••)* или
просто «подсистема В» системы 21.
Если система 21 — модель, то любое непустое подмножество
28
Гл. 1. Базисные понятия
В множества А (А = |21|) будет замкнутым, поэтому любое непу-
стое подмножество основного множества модели является (опре-
деляет) подмоделью.
В 1.3.2 для каждой алгебраической системы 21 указывалась
модель 21*, представляющая систему 21 в предикатной форме. Яс-
но, что каждая подсистема Ai системы 21 представляется подмо-
делью Ai модели 21*. Однако не каждая подмодель А] модели
21* представляет подсистему системы 21. Действительно, каждое
подмножество Ai 0 множества [21| есть подмодель модели 21*,
тогда как подсистемами системы 21 являются лишь замкнутые
подмножества. Подмодели модели 21* часто называют подмоде-
лями системы 21. При этом замкнутые подмодели системы 21
отождествляют с соответствующими подсистемами системы 21.
Теорема 1.3.3. При гомоморфизмах одной алгебраической си-
стемы в другую образами подсистемы и непустыми прообразами
подсистем являются подсистемы.
Отметим частный случай теоремы 1.3.3: образ системы 21
при гомоморфизме <р в систему ® есть подсистема 21* системы
«В и гомоморфизм есть гомоморфизм 21 на систему 21*.
1.3.5. Алгебраическая система 21 сигнатуры Q = (ft, Л, р) назы-
вается обогащением системы 211 сигнатуры Qi = (fti, Ль Pi),
если выполняются следующие условия:
- 1011 = 121!!,
— Q1 — подсигнатура сигнатуры Q,
—	= i/^ Г (fti О Л1).
Если система 21 сигнатуры О является обогащением системы 211
сигнатуры П1, то 211 называют обеднением системы 21 до сигна-
туры Qi и обозначают часто 21|qj . Иначе говоря, система 21|^х
получается из системы 21 «выбрасыванием» предикатов и опера-
ций, названия которых не принадлежат 12 j (множеству Hi О-Л).
1.3.6. Приведем типичные примеры алгебраических систем.
Алгебраическая система 91 = (N; +, 0,1), где N = ш — мно-
жество натуральных чисел, «+» и «•» — операции сложения и
умножения, 0 и 1 — 0-арные операции, называется арифметикой
натуральных чисел или просто арифметикой. Это — алгебра
сигнатуры Qi = (+(2),-(2), 0(0), 1(0)).
Функциональная сигнатура Щ — (t2\(-l)(1\ew) называет-
ся групповой. Группой подстановок множества X называется
система (5(A); •, (-1),е) сигнатуры llj, где S(X) — множество
всех биекций непустого множества X на себя, • — композиция
1.4. Эффективная вычислимость
29
отображений, (-1) — обращение отображения, е — тождествен-
ное отображение id^- В общем случае система 21 = (А; -,(-1),е)
сигнатуры Qi называется группой, если для любых a,ai,a2 € А
в 21 выполняются следующие равенства:
а  (ai • аг) = (а • а1)4 а2> а • е = е • а = а, а  а-1 = а"1 • а = е,
где -(х, j/), (“^(х) записаны более кратко как (х • у) и х-1.
1.4.	ЭФФЕКТИВНАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ
Понятие вычислимости сложилось в математике на основе ана-
лиза работы с различными реальными алгоритмами, возникаю-
щими в математической практике. Для задания общего понятия
алгоритма необходимо уточнение тех конструктивных объектов,
на которых алгоритмы действуют. Наиболее развито понятие
вычислимости на множестве натуральных чисел и на множестве
слов конечного алфавита. Отметим, что теория нумераций1) по-
зволяет в некоторых ситуациях свести общий случай к числово-
му.
Существует несколько эквивалентных подходов к определе-
нию класса вычислимых функций, которые базируются на раз-
личных исходных идеях, в частности:
—	подход Клини — Чёрча — на идее построения этого класса из
простейших с помощью выделенных операторов;
—	подход Тьюринга — Поста — на определении абстрактного
вычислительного устройства типа машин Тьюринга — По-
ста, на котором вычисляются функции;
—	подход Маркова — на представимости алгоритмов преобразо-
вания слов правилами подстановки;
—	подход Гёделя — на понятии определимости в'формальных
исчислениях и т. д.
Обратимся к подходу Клини — Чёрча.
1.4.1. Частичная числовая функция — это частичное отображе-
ние f: а>п —> и, где Sj С для некоторого n £ w. Число п в
этом случае называется местностью (арностью) частичной чи-
словой функции / и обозначается через p(f). Если f: X —> ш —
частичная функция, то будем называть f нигде не определенной
при X — 0 и всюду определенной или тотальной при X = w^).
См., например: Ершов Ю. Л. Теория нумераций. М.: Наука, 1977.
30
Гл. Г Базисные понятия
Если f — частичная функция, то ее местность определена по f
однозначно в случае, когда f не является нигде не определенной.
Нигде не определенные функции местности пит для любых
п, тп Е и» равны. Частичную числовую функцию в дальнейшем
для краткости будем иногда называть просто функцией.
Мы допускаем случай д(/) = 0. Тогда 0-местная функция
f-.bjQ —*• и состоит из одной пары (0, п) для некоторого п € и
отождествляется с числом п.
Местность д(/) частичной функции f будем обозначать ино-
гда верхним индексом (в скобках) при f : /МЛ).
Пусть /М и — частичные числовые функции. Тогда для
любых «1,... , ап,... € w пишем /(atl,... , ач) =	,... , а}з),
если значения /(а^,... , а^) и g(ajk,... , Qjs) не определены либо
совпадают. Назовем простейшими или базисными следующие
всюду определенные функции:
я^(®) = х + 1,
0(Л(х) = о,
(KmO).
Операции над числовыми функциями называем операторами.
Будем говорить, что функция
, □?„) =	,х„),... ;	. ,zn))
получается с помощью оператора суперпозиции из функций
функция /(п+1)(х],... , хп,у) получается с помощью оператора
примитивной рекурсии из функций
(рп(хъ... ,х„), ф(п+2\хи... ,xn,y,z),
если она может быть задана следующей схемой примитивной ре-
курсии:
'	,*в,0) =	,хп),
’	,х„,у+1)
= ^w+2)(a:i,... ,i„,y,/(n+1\xi,... ,жп,у)).
1.4. Эффективная вычислимость
31
Для п = 0 схема примитивной рекурсии имеет вид
f/(0) = а,
I /(у + 1) = ^(у,/(у)),
где a — число. Будем говорить, что функция f^n\xi,... ,хп) по-
лучается из функции (ац,... , хп, у) с помощью оператора
минимизации (/х-оператора), и писать
/n\a:i,... ,хп) = ДуЬ(п+1)(х],... ,хп,у) = 0],
если выполнено следующее условие: /(«i,... , хя) определено и
равно у тогда и только тогда, когда
y?(xi,... ,хя,0),... ,^(a:i,... ,хп,у- 1)
определены и не равны нулю, а <р(х],... , хя, у) равно нулю.
• Функция f(xi,... ,хя) называется
—	примитивно рекурсивной, если ее можно получить из
простейших функций путем применений операторов су-
перпозиции и примитивной рекурсии;
—	частично рекурсивной, если она может быть получена
из простейших функций с помощью применений опера-
торов суперпозиции, примитивной рекурсии и миними-
зации;
—	общерекурсивной, если она частично рекурсивна и всюду
определена.
п-Местное отношение (предикат), заданное на множестве ш,
называется числовым. Иногда числовое отношение (предикат)
мы будем называть просто отношением [предикатом).
Числовое n-местное отношение называется рекурсивным (при-
митивно рекурсивным), если его характеристическая функция
общерекурсивна (примитивно рекурсивна), и частично рекурсив-
ным, если его частичная характеристическая функция частично
рекурсивна. В частности, числовое множество является рекур-
сивным (примитивно рекурсивным), если общерекурсивна (при-
митивно рекурсивна) его характеристическая функция, и частич-
но рекурсивным, если частично рекурсивна его частичная харак-
теристическая функция. Частично рекурсивное отношение (пре-
дикат, множество) называется также рекурсивно перечислимым.
Следует заметить, что многие числовые множества, функ-
ции и отношения, встречающиеся в реальной математической
32
Гл. 1. Базисные понятия
практике, примитивно рекурсивны — даже если иногда они вы-
глядят очень сложными по своему устройству. Типичный то-
му пример — примитивно рекурсивное бинарное отношение Ч,
которое вполне упорядочивает множество ш по типу со и назы-
вается стандартным вполне-упорядочением по типу Тем
не менее существуют общерекурсивные функции (рекурсивные
отношения, предикаты, множества), которые не примитивно ре-
курсивны. Существуют также не рекурсивные (не общерекур-
сивные) рекурсивно перечислимые (частично рекурсивные) мно-
жества, отношения, предикаты (функции).
1.4.2. Слова «алгоритм», «эффективный», «вычислимый», «эф-
фективно вычислимый» и т. п. часто встречаются в современной
литературе по математике и философии науки. Соответствую-
щие понятия развивались и уточнялись как часть определенных
математических и философских достижений в последние 50 60
лет. Тем не менее они остаются скорее общекультурными, чем
строго научными. Правила их употребления жестко не фиксиро-
ваны, что вызывает известный разнобой в терминологии. В связи
с этим предлагается соотносить слово «вычислимый» с функци-
ями, отношениями, множествами и другими математическими
объектами, а слово «эффективный» — с представлениями этих
объектов. В данной книге словосочетание «эффективно вычисли-
мая функция» есть сокращение выражения «вычислимая функ-
ция с эффективным представлением».
Исходным понятием служит понятие «алгоритм» в его самом
широком значении «настолько точного и детального предписа-
ния, что следовать ему могут даже механические устройства,
если они подходящим образом сконструированы и налажены».
Для алгоритма определены понятия «вход» и «выход». Говорим,
что алгоритм Р реализует функцию /, если для любого заданно-
го на входе х алгоритм Р производит на выходе f(x), когда /(х)
определено, и алгоритм Р не имеет результата (выход не опре-
делен), когда /(х) не определено. Два алгоритма функционально
эквивалентны, если они реализуют одну и ту же функцию.
•	Функция f вычислима, если имеется алгоритм, который реа-
лизует /.
Слово «имеется» в этом определении указывает только на суще-
ствование алгоритма, а не на его знание. Аналогичное определе-
ние мы принимаем для многоместных функций.
•	Множество (многоместное отношение) вычислимо, если
вычислима его частичная характеристическая функция.
1.4. Эффективная вычислимость
33
Это определение вычислимости предполагает, что некото-
рые алгоритмы действуют на числа и манипулируют числами
(как чем-то отличным от цифр). Следует заметить, что реаль-
ные вычислительные устройства могут действовать только на
физические объекты такие, как чернильные значки на бумаге.
Это подсказывает, что алгоритмы могут действовать только на
строчки символов.
Однако обычно используют приемлемые или стандартные
обозначения, чтобы считать алгоритмы предписаниями для про-
цедур, манипулирующих числами.
С другой стороны, предполагая каждый раз подходящую ну-
мерацию множества объектов, на котором определены интересу-
ющие нас функция или отношение, можно без потери общности
рассматривать только числовые вычислимые или невычислимые
функции и отношения.
Представления функции — это синтаксические выражения,
для которых существуют интерпретации этих выражений как
функций. Например,
х
Хх(х + I)2, Ах y^(2i + 1)
1=0
суть два различных представления одной и той же функции. От-
метим, что A-выражения используются для указания того, что
(многоместная) функция рассматривается как функция от неко-
торых (связанных знаком А) аргументов, в то время как осталь-
ные аргументы считаются параметрами.
Ввиду приведенных примеров и определений мы заключаем,
что необходимо построить формальный язык, в котором опреде-
ляются представления функций, а также интерпретацию этого
формального языка, при которой представления функций интер-
претируются как эти функции. При таком подходе не всякое
представление функции определяет алгоритм ее вычисления.
•	Представление функции <р эффективно., если <р определяет
алгоритм, который реализует функцию, описываемую
Иными словами, если ip эффективно, то, интерпретируя мы бу-
дем знать алгоритм, который реализует функцию, обозначаемую
¥>, — мы приобретаем это знание без использования какой-либо
информации, которая не являлась бы частью той, что необходима
Для понимания самого представления <р.
С. Гончаров и др.
34
Гл. 1. Базисные понятия
А. Чёрч2предположил, что истолкование языка непосред-
ственно фиксирует смысл каждого термина и только «опосредо-
ванно» фиксирует его денотат, т. е. для каждого обозначающе-
го выражения t языка истолкование языка определяет, «как* t
обозначает — непосредственно и «что» t обозначает — только
опосредованно (тем самым). Следовательно, понимание языка
включает понимание того, как каждый термин обозначает. С
этой точки зрения представление <р эффективно, если понимание
смысла <р — «как обозначает 9?» — включает знание алгоритма
для функции, описываемой посредством <р.
Удобно также пользоваться следующим определением: пред-
ставление <р квазиэффективно, если имеется алгоритм Р такой,
что (в принципе) можно установить, что Р реализует функцию,
описываемую tp.
Подобным образом можно говорить об эффективных и ква-
зиэффективных представлениях множеств и отношений, апелли-
руя к их (частичным) характеристическим функциям. Все, о
чем сейчас идет речь, не математика, а философия в ее эписте-
мологическом срезе. Хорошо известно, что эпистемологические
контексты требуют особой осторожности. Например, из опреде-
ления квазиэффективности следует, что если имеется не квази-
эффективное представление Ф вычислимой функции /, то тогда
имеется предложение, истинностное значение которого непозна-
ваемо (абсолютно неразрешимо): если Q — алгоритм, который
реализует /, то предложение, о котором идет речь, следующее:
«<Э реализует функцию, описываемую Ф». Так как Ф не квазиэф-
фективно, это предложение в принципе не может быть установле-
но; а так как Q реализует функцию, описываемую посредством
Ф, это предложение истинно и, следовательно, не может быть
опровергнуто.
Имеются основания отрицать существование абсолютно не-
разрешимых проблем (предложений). Действительно, можно ска-
зать, что такие проблемы (предложения) не имеют смысла и
являются, по существу, псевдопроблемами (псевдопредложения-
ми). С другой стороны, трудно согласиться с тем, что все пред-
ставления вычислимых функций если и не эффективны, то уж во
всяком случае квазиэффективны.
Упомянутая осторожность состоит в том, чтобы не игнори-
' Чёрч А. Введение в математическую логику. I. М.: Изд-во иностр,
лит., 1960. С. 27.
7.4. Эффективная вычислимость
35
ровать подобные дилеммы и либо осознанно выбирать опреде-
ленную позицию в них, либо вести рассуждения таким образом,
чтобы они не зависели от этого выбора.
Пусть — представление одноместной функции /. Если (р
эффективно или квазиэффективно, то для каждой пары (n, m) 6
f мы можем (в принципе) обосновать утверждение «функция,
описываемая р, имеет значение m на п», используя наши зна-
ния. Более того, если у эффективно, то мы знаем, что каждый
случай /(n) = m можно обнаружить процедурой, выводимой из
представления <р. Если <р квазиэффективна, то имеется опре-
деленная процедура Р (необязательно выводимая из </>), для ко-
торой мы сможем установить, что каждый из вышеуказанных
случаев выводится этой процедурой.
Примем следующее соглашение: высказывание вида «мы зна-
ем алгоритм для <р* (где <р — представление функции) означает,
что мы знаем определенный алгоритм Р и знаем, что Р есть ал-
горитм для функции, описываемой <р. Тогда наши определения
можно переформулировать так.
• Представление <р
—	эффективно., если понимания <р достаточно для нас, что-
бы знать алгоритм для <р\
—	квазиэффективно, если имеется алгоритм, который мо-
жет (в принципе) быть узнан как алгоритм для <р.
Чтобы подчеркнуть разграничение между эффективностью,
квазиэффективностью и вычислимостью, приведем примеры.
Пусть г — предложение и Gr — представление «Ахдг(г =
О => г)». Здесь существенно, что если г истинно, то Gr опи-
сывает постоянную нулевую функцию, а если г ложно, то Gr
описывает постоянную единичную функцию, В любом случае
имеется алгоритм, который реализует функцию, описываемую
посредством GT- Пример такого алгоритма представляет одно
из следующих двух предписаний.
Р1. Стереть вход. Записать «О».
Р2.	Стереть вход. Записать «1».
Следовательно, функция, описываемая GT, вычислима при любом
г. Однако имеется много предложений г, для которых Gr не эф-
фективно. Например, если р — гипотеза Гольдбаха, то предста-
вление Gp не подсказывает никакого алгоритма для так описы-
ваемой функции. (Напомним гипотезу Гольдбаха: каждое четное
число есть сумма двух простых.) В настоящее время неизвестен
алгоритм, который реализовывал бы функцию, описываемую Gp.
36
Гл. J. Базисные понятия
Если бы Gp подсказывало такой алгоритм, то всякий из нас, кто
понимает Gp, знал бы его (следовательно, знал бы и решение
проблемы Гольдбаха). Предположим, что станет известно, вер-
на гипотеза Гольдбаха или нет. Тогда, конечно, мы будем знать
алгоритм для Gp. Но это все же будет случай, когда Gp не эффек-
тивно. Представление Gp не подсказывает никакого алгоритма;
просто мы смогли узнать алгоритм для Gp, узнав определенные
факты арифметики.
Предположим, что г — предложение, о котором известно
(или может быть известно), что оно ложно. Тогда можно уста-
новить, что функция, обозначаемая GT, является постоянной еди-
ничной функцией. Следовательно, имеется алгоритм (как Р2),
относительно которого можно установить, что Р реализует функ-
цию, описываемую GT. Иначе говоря, если известно, что г лож-
но (или можно узнать, что оно ложно), то Gr квазиэффективно.
Аналогично если известно, что г истинно (или можно узнать, что
истинно), то Gr также квазиэффективно.
Завершая этот пример, допустим, что существуют абсолют-
но неразрешимые предложения и я — одно из них. Если бы Gs
было квазиэффективным, то имелся бы алгоритм Р такой, что
можно было бы установить, что Р реализует функцию, описыва-
емую G3. Пусть у — результат применения Р к «О». Ясно, что
либо у = 0, либо у — 1 (в зависимости от истинности з). Следова-
тельно, «(7л(0) = 0» можно разрешить. Однако, чтобы получить
(7,(0) = 0, нужно установить истинность л, а чтобы получить
GДО) = 1, нужно установить ложность з. Так как оба варианта
предполагаются невозможными, G3 не квазиэффективно.
Представление Gs иллюстрирует также различие между вы-
ражениями квазиэффективно» и «можно установить, что функ-
ция, описываемая <р, вычислима». Хотя G3 не квазиэффектнвно,
мы установили, что рассматриваемая функция постоянна и, сле-
довательно, вычислима. Отметим, что утверждения «функция,
описываемая вычислима» и «можно установить, что функция,
описываемая <р, вычислима» также не эквивалентны.
Таким образом, из введенных определений вытекают следу-
ющие импликации:
(i)	<р эффективно => <р квазиэффективно;
(ii)	<р квазиэффективно => функция, описываемая вычислима;
(iii)	можно установить, что функция, описываемая вычислима
функция, описываемая <р, вычислима.
1.4. Эффективная вычислимость
37
Ни одно из обращений этих импликаций не является верным. Из
определений вытекает также эквивалентах:
(iv)	функция f вычислима 4» / имеет (по крайней мере одно)
эффективное представление.
Пусть <р — представление функции / и <р не эффективно.
Если / вычислима, то можно надеяться установить этот факт,
предъявив какое-то другое, но уже эффективное (квазиэффек-
тивное) представление <р* для нее же. Но как быть, если / не
вычислима? Как установить этот факт? Имеется только од-
на возможность — доказать, что /, описываемая посредством 9?,
не вычислима. Но для этого интуитивное понятие «вычислимая
функция» должно быть согласовано с подходящим математиче-
ским понятием. В настоящее время это обеспечивается приняти-
ем гипотезы Чёрча: имеет место следующая эквиваленция:
(v) функция f вычислима 4» функция f частично рекурсивна.
Тезис Чёрча — эмпирическая гипотеза в том смысле, что
допускает опровержение опытом: если кто-либо предъявит кон-
кретное эффективное (квазиэффективное) представление ip вычи-
слимой функции и докажет, что конкретная функция, описывае-
мая у?, не является частично рекурсивной, то тездс Чёрча будет
опровергнут. Пока это сделать никому не удалось.
Глава 2
АКСИОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В этой главе мы дадим краткий обзор результатов, определений
и обозначений, относящихся к логическим системам первого по-
рядка. Изложение полностью основано на материале работ, ука-
занных в списке рекомендованной литературы. К этим работам
мы предлагаем обратиться читателям, желающим ознакомиться
более подробно с представленным материалом. Здесь мы предпо-
лагаем дать лишь избранные сведения без доказательств и систе-
матического обоснования их происхождения. Этого достаточно
для наших целей.
2.1. СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2.1.1. Введем понятие языка логики первого порядка. Он опреде-
ляется алфавитом и словами специального вида, которые назы-
ваются термами и формулами этого языка. Формальные языки
служат для описания свойств алгебраических систем фиксиро-
ванной сигнатуры.
АЛФАВИТ
Алфавитом А1 называется любое непустое множество. Симво-
лами алфавита А1 называются элементы множества А1. Словом
в алфавите А1 называется конечная (возможно, пустая) последо-
вательность символов из А1.
Мы различаем символы переменных, логические символы,
вспомогательные символы.
СИМВОЛЫ ПЕРЕМЕННЫХ
Символами переменных или переменными называются элементы
некоторого фиксированного семейства V = {v; | i £ /}. Перемен-
ные будем обозначать строчными латинскими буквами х, у, z,
2.1. Системы первого порядка
39
u, v, w, иногда снабжая их индексами: х,-, у, и т. д. Обычно в
качестве I используется множество натуральных чисел ш. При
записи переменных xq,... . ,хв предполагается, что х; / xj для
у.
ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
К логическим символам относят следующие:
& — ком-ъюнкция,	V — дизъюнкция,
—* — импликация,	— отрицание,
V — квантор всеобщности,	3 — квантор существования,
SS — (логическое) равенство.
Множество логических символов обозначаем через £5.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СИМВОЛЫ
К вспомогательным символам относят три символа: запятую,
левую скобку и правую скобку. Множество вспомогательных
символов обозначаем через А<5. Отметим, что множества V, £S
и AS попарно не пересекаются.
АЛФАВИТ (ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАВЕНСТВОМ) СИГНАТУРЫ Л
Пусть для сигнатуры Л = (72., множества У„Л5, TZ, J- по-
парно не пересекаются (в частности, если множество TZ содержит
«свой» символ равенства = , то последний отличается от логиче-
ского символа « и называется в этом случае нелогическим или
сигнатурные равенством). Алфавитом Al(f2) языка (первого
порядка с равенством) сигнатуры Q называется множество
А1(12) = V U £S U <45 и тг и 7.
ТЕРМЫ СИГНАТУРЫ Q
Множество Т(12) термов сигнатуры Г2 определяется как мно-
жество слов подалфавита V U J7 U AS алфавита Al(fl):
—	переменные символы из У суть термы сигнатуры S2;
—	если ti,... ,tn Е Т(Л), f £ J7, p(f) - п, то слово f(ii,... ,tn)
есть терм сигнатуры 12;
—	других термов сигнатуры Q нет.
Обозначим через JFVft) множество переменных, которые входят
терм t. Терм t называется константным или замкнутым, если
V(t) = 0. Терм 2 £ T(Q) такой, что ЛУ(2) С {xi,... ,хп}, бу-
^ем называть термом с переменными Xj,... , хв (сигнатуры Q)
обозначать 2(xi,.., , хп).
40
Гл. 2. Аксиоматические свспмы
ФОРМУЛЫ СИГНАТУРЫ Л
Множество F(Sl) формул сигнатуры (1 определяется как мно-
жество слов алфавита А1(П):
— если R Е TZ, ^(R) = п и tj,... ,t„ Е Т(П), то слово R(ti, ... , tn)
есть формула сигнатуры Л;
— если ,<2 Е Т(12), то слово ti « <2 есть формула сигнатуры
Л;
— если Ф , Ф — формулы сигнатуры Л, то слова (Ф&Ф), (Ф V
Ф), (Ф —> Ф), -|Ф суть формулы сигнатуры Л;
— если Ф — формула сигнатуры Л и х Е V, то слова \/а:Ф, ЗхФ
суть формулы сигнатуры Л;
— других формул сигнатуры Л нет.
Не все слова алфавита А1(Л) являются формулами сигнатуры Л.
Например, если R G 7?, f,g,c € 7, //(R) = A*(g) = 2, /x(f) = 1,
/t(c) = 0, то слово
V г?! (3 V2R(t?2»f(v3)) V ->»4 я g(t>i, с))
является формулой сигнатуры Л, в то время как слова
с ~ Vi V «2 ~ с» (Э t/iR(t?i, ^2, t*i) V с « г>з)
формулами сигнатуры Л не являются. При этом последнее слово
является формулой другой сигнатуры.
Если Ф — слово какого-либо алфавита и имеется сигнатура
такая, что Ф есть формула этой сигнатуры, то будем называть
Ф (просто) формулой. Для формулы Ф обозначим через Л(Ф)
сигнатуру такую, что все символы сигнатуры Л(Ф) входят в
формулу ф и Ф является формулой сигнатуры Л(Ф). Ясно, что
сигнатура Л(Ф) определяется формулой Ф однозначно.
Введем некоторые определения. Подформулой (формулы) Ф
называется такое подслово слова Ф, которое само является фор-
мулой. Атомарными или элементарными формулами называют-
ся формулы вида R(/i,... , tB) и ii ~ t?-, где R — п-местный
предикатный символ, — термы. Атозсныли формулами на-
зываются атомарные формулы, содержащие не более одного сиг-
натурного символа сигнатуры Q, именно:
Vi « vj, сй V, ss с, vj asffvip... ,v,n),
,«»„) Vj, Rfvij,... ,vi„),
здесь c — константа, f — функциональный символ, R — преди-
катный символ сигнатуры П.
2.1. Системы первого порядка
41
Мы будем использовать при написании конкретных формул
общепринятые сокращения: опускать внешние скобки, скобки
при написании однородных дизъюнкций, конъюнкций и т. п.
Для формул Ф и Ф пишем (и произносим)
-1Ф — отрицание Ф;
(Ф&Ф) — конъюнкция Ф и Ф;
(Ф V Ф) — дизъюнкция Ф и Ф;
(Ф-»Ф) — импликация Ф и Ф, где
Ф — антецедент, Ф — консеквент;
ЗхФ — экзистенциальная генерализация Ф;
V хФ — универсальная генерализация Ф.
Слова Vx н Зх называются кванторами по х.
ПРЕДЛОЖЕНИЯ СИГНАТУРЫ Л
Переменная может несколько раз появляться в формуле; каждое
такое появление называется вхождением переменной. Вхождение
переменной х в подформулу вида ЗхФ или УхФ формулы Ф бу-
дем называть связанным в Ф, а все иные вхождения — свободны-
ми в Ф. Соответственно переменную х будем называть свобод-
ной (связанной) в формуле Ф, если некоторое вхождение х в Ф
свободное (связанное) в Ф. Множество свободных в Ф перемен-
ных формулы ф обозначаем через /”У(Ф). Если Ф — формула,
то запись Ф(хь ... ,хп) в дальнейшем будет обозначать форму-
лу Ф , для которой имеет место включение ^У(Ф) С {xi,... , хп).
Предложением (замкнутой формулой) сигнатуры Л называется
формула Ф такая, что ^У(Ф) = 0, т. е. все переменные форму-
лы Ф связаны в Ф. Множество всех предложений сигнатуры Л
обозначим через 5(Л).
ЯЗЫК (ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАВЕНСТВОМ) СИГНАТУРЫ О
Языком L(Sl) (первого порядка с равенством) сигнатуры Л на-
зывается алфавит А1(Л) с определенными на нем термами T(Sl),
формулами Е(Л) и предложениями 5(11) сигнатуры fl. Вместо
.L(fl) будем писать просто L, если из контекста ясно, о какой
именно сигнатуре идет речь. Таким образом,
I(fi) = (А1(Л), Т(Л), Г(Л), 5(H)).
Если т — терм, — формула, <т — предложение сигнатуры
Л, то при записи т € L, <р G L, о € L мы подразумеваем, что
т £ Т(Л), G Е(Л), о Е 5(f)). Аналогично если А — множество
термов, В — множество формул, С — множество предложений
сигнатуры Л, то запись A Q L, В С. L, С Q L означает А С Т(Л),
42
Гл. 2. Акагоматичесюге системы
В С .F(fl), С С 5(ft). Иными словами, язык L сигнатуры ft
часто отождествляют с одним из множеств Tfft), ffft), S(ft).
Поэтому вместо «терм (формула, предложение) сигнатуры ft»
часто будем писать «терм (формула, предложение) языка £(ft)>.
В гл. 1 мы неформально ввели понятия вычислимости и эф-
фективной вычислимости для функций, множеств и отношений.
На основе их мы можем дать следующие определения. Сигнату-
ра ft называется (эффективно) вычислимой, если она не более
чем счетна и отображение д (эффективно) вычислимо. Язык
£(ft) называется вычислимым, если сигнатура ft эффективно
вычислима. Язык L мы называем формальным, если в данном
контексте безразлично, вычислим он или нет. В дальнейшем,
если не оговорено противное, под сигнатурой ft [языком L(ft)]
мы подразумеваем эффективно вычислимую сигнатуру ft [фор-
мальный язык £(ft)].
2.1.2. Установим теперь, как соотносятся между собой язык Z(ft)
сигнатуры О и алгебраическая система сигнатуры ft. Пусть И —
алгебраическая система сигнатуры il(TZ,7,fi) и А=|21[.
ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПЕРЕМЕННЫХ
Отображение 7 множества X С V в А называется интерпрета-
цией переменных (множества X в А).
Если J'V(t) С X для t 6 Т(£1), то индукцией по длине терма t,
рассматриваемого как слово в алфавите Al(ft), определим зна-
чение (денотат) /^[7] € А терма t в 21 при интерпретации 7
следующим образом:
/а[7] = Л (f)(^[7],. •  , $[7]), если t = f(t,,... , tn), f € 7,
Za[7] = 7(3),	если t = x, x 6 V.
Ясно, что если 71: Х^ —» А, уу. Х2 —» А — две интерпрета-
ции, t е T(ft), T’V(t) с X] П Х2 и 71 Г 7V(t) = 72 Г 7V(t), то
= ^[72]. Часто для краткости вместо ia(«i,... ,®п)[7]пи-
шем ta(ai,... , an), где ai = 7(11),... , an = ~f(xn). Если в тексте
встречается выражение i(xj,... , агп), то следующее за ним выра-
жение Za(ai,... , an), ai,... , ап € А, обозначает (ягi,... , агл)[-у]
где 7 определяется так: 7(3») = a, (i = !,...,«).
Рассмотрим алгебраическую систему 21 сигнатуры ft, интер-
претацию переменных 7:Х—>А(А=|21|)и формулу Ф € £(ft)
такую, что /"У(Ф) С X.
2.1. Системы первого порядка
43
« Отношение 21 ]= Фру] (в 21 истинно Фру]) определяется ин-
дукцией по длине формулы ф, рассматриваемой как слово в
алфавите А1((2), следующим образом;
 1) если Ф — R, R 6 £И, m(R) = 0, то 211= Фру] О 0 € i/a(R);
2) если Ф = R(2y,... ,tn), R 6 £8, /i(R) = n, iy,... ,tn € T(Sl),
to 21 p= Ф{у] О (^[y],... , $(y]) 6 iza(R);
?j3) если Ф равна ti ~ <2, iy,^2 G T(£2), to 21 |= Ф[у] i^py] =
**[7];
4)	если Ф = to 211= Ф{у] <4> неверно, что 21 р= Фру];
J 5) если Ф = (Фу&;Ф2), то Я |= Фру] О (21 [= Фу [у] и 21 р= Ф2[у]);
j 6) если Ф = (Фу УФ2), то 21 ]= Ф[у] « (211= Фуру] или 2t |= Ф2[у]);
7)	если Ф = (Фу —» Ф2), то 21 Фру] & (21 |= Фу [у] влечет 21 р=
$2рг]);
8)	если Ф = ЗхФ, то 21 р= Ф[у] имеет место тогда и только
тогда, когда существует такая интерпретация у у: Ху -> А,
для которой х € Ху, уу f Т’У(Ф) = у f /Т(Ф) и 21 р= Ф]уу];
.9) если Ф = УхФ,то21]= Фру ] имеет место тогда и только тогда,
когда для любой интерпретации уу: Ху —► А, для которой
а: € X и уу Г /'У(Ф) = у f ^(ф) = у*] 5Т(Ф), имеет место
21 |= Ф[уу],
Из определения видно, что при установлении истинности фор-
мулы Ф сигнатуры £2 свободные и связанные вхождения пере-
менных в формулу Ф играют совершенно различные роли. А
именно, свободным вхождениям переменной х «приписывается»
постоянное значение у(х), в то время как связанным вхождениям
переменных никакие постоянные не «приписываются», а для них
рассматриваются всевозможные значения.
Теорема 2.1.1. Пусть 21 — алгебраическая система сигнатуры
£1 и Ф е Г(£2). Если уу: Ху -+ |21|, у2: Х2 -* |21| — две интерпре-
тации, для которых ^У(Ф) С Ху ПХ2 и уу ( ^У(Ф) = у2 ( ^У(Ф),
то 21 |= Фруу] О 21 |= Ф[у2].
Мы часто будем использовать вместо 21 |= Ф(агу,,.. , хп)[у]
более удобную запись 21 |= Ф(ау,... ,ап), гДе а1 = 7(^1 )?, an =
7(^n)- Например, если в тексте встречается запись Ф(®у,... ,
a:n), то следующая за ней запись 21 р: Ф(ау,... ,ап), ау,... , an €
А = |21|, будет обозначать 21 р= Ф(ту,... ,хп)[у], где у определя-
ется так: y(xj — ау, г = 1,... , п. В силу теоремы 2.1.1 такое
сокращение корректно.
44
Гл. 2. Аксиоматические системы
Если Ф — предложение сигнатуры Q, а 21 — алгебраическая
система сигнатуры Q, то отношение 211= Ф{7] не зависит от ин-
терпретации 7, и мы его будем обозначать просто 21 }= Ф. Ясно
также, что если для формулы Ф , системы 21 и интерпретации 7
определено отношение 21 |= Ф[7], то 21 |= Ф{7] 4» 2Ц$}(ф)	Ф[7]-
Если Ф[7] не истинна в 21, то Ф[7) ложна в 21.
Формула Ф называется тождественно истинной или об-
щезначимой, если 21 |= Ф[7] для любых систем 21 сигнатуры
£2(Ф) и интерпретации 7: .ГУ(Ф) -+ |21|. Ясно, что сигнатуру
12(Ф) в этом определении можно заменить на любую объемлю-
щую сигнатуру fli (Hi D Н(Ф)).
Множество формул У С Е(О) называется еыполнижыл* в си-
стеме 21 сигнатуры Q , если существует интерпретация
7: U ^У(Ф) - |21|
ФеУ
такая, что 21 |= Ф[7] для всех Ф С У. Формула Ф называется
выполнижой в 21, если множество {Ф} выполнимо в 21.
Понятие «истинность формулы на системе» так же, как и
вводимое ниже понятие «выводимость», принадлежит к основ-
ным понятиям математической логики. Важность этого понятия
обусловлена тем, что многие теоремы математики можно выра-
зить как утверждение об истинности некоторой формулы на ал-
гебраических системах из соответствующего класса.
Тогда как свойства «быть термом», «быть формулой», «быть
предложением» легко проверяются, в общем случае не существу-
ет алгоритма, позволяющего для произвольного предложения Ф
за конечное число шагов установить, верно ли утверждение 211=
Ф для произвольных алгебраических систем 21 с вычислимым
языком. Это связано с тем, что при бесконечном А = |21| пп. 8
и 9 требуют проверки бесконечного числа условий. Пп. 2 и 3 так-
же «не эффективны», так как предикаты и функции бесконечной
системы 21 иногда задаются неэффективными представлениями.
Очень важна следующая
Теорема 2.1.2. Если f — изоморфизм системы 21 на систему 25
и Ф(х1,... , хп) — формула сигнатуры системы 21, то для любых
ах,... , an G |21| верно соотношение
211= Ф(аь... ,ап) & 25 |= Ф(/(О1),... , /(ая)).
В частности, если Ф — предложение, то 21 |= Ф <=> ® Ф.
2.1. Системы первого порядка
45
В отличие от бесконечных систем проверку истинности фор-
мулы Ф на конечной системе 21 сигнатуры Я(Ф) можно осуще-
ствить за конечное число шагов.
2.1.3.	Пусть Г — множество формул сигнатуры П. Алгебраиче-
ская система 21 сигнатуры О называется моделью множества Г,
если существует интерпретация у в |21| переменных, входящих
свободно в элементы Г, такая, что 21 |= Ф[-у] для всех Ф 6 Г.
Иногда модель множества формул Г называют интерпретацией
множества Г. Такое не совсем удачное название исторически
закрепилось в некоторых философски ориентированных контек-
стах (см. гл. 3). Множество Г называется выполнимым, если оно
имеет модель, и локально выполнимым, если каждое его конечное
подмножество имеет модель.
Следующая теорема известна как теорема А. И. Мальцева о
компактности.
Теорема 2.1.3. Каждое локально выполнимое множество Г фор-
мул сигнатуры Q выполнимо.
Из теоремы 2.1.3 вытекает
Теорема 2.1.4. Если для любого п Е ш множество формул Г
сигнатуры Q имеет модель мощности н*е менее п, то Г имеет
бесконечную модель.
Следующая теорема позволяет для счетного множества фор-
мул понижать мощность модели.
Теорема 2.1.5 [Левенгейм — Скулем]. Если множество Г
формул сигнатуры П имеет бесконечную модель, то оно имеет
также счетную модель.
2.1.4.	Введем понятие исчисления.
ИСЧИСЛЕНИЕ
Говорим, что задано исчисление I, если заданы множества
А1(7) — алфавит,
Е(1) — некоторое множество слов алфавита А1(7), называе-
мых выражениями исчисления I,
Ах(1) — некоторое множество выражений исчисления I, на-
зываемых аксиомами исчисления I,
{/1,.. • , /я) — некоторое множество частичных операций на
множестве Е(1), называемых правилами вывода исчисления I.
Частичные операции /1,... , fn записываются в виде
гДе выражения Фо,... , Фп называются посылками, а выражение
46
Гл. 2. Аксиоматические системы
/(Фо,..-,Фп) — заключением (правила f). Если операция f
определена не на всем множестве E(J), то указывается область
определения if. Будем называть п-посылочным правилом п-мес-
тное правило f исчисления I.
язык ИСЧИСЛЕНИЯ I
Языком ЦТ) исчисления I называется пара А1(/), Е(1), состо-
ящая из алфавита А1(7) и множества выражений Е(1) исчисле-
ния I. Пусть даны исчисления /1 и 1г- Если Al(jTj) С Alf/j)
и £(/1) С Е(12), то язык зБ(7з) называем расширением языка
а язык Z(/i) — сужением языка £(/2) (пишем £(/i) С
ТЕОРЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ I
Для данного исчисления I множество Тгт (/) С Е(1) доказуемых
выражений или теорем исчисления I определяется следующим
образом:
— если S — аксиома исчисления I, то S — теорема исчисле-
ния Ц
— если 51,... ,Sn — теоремы Г, f — н-посылочное правило
исчисления I и кортеж (Si,... ,Sn) принадлежит области
определения /, то /(Si,... , Sn) — теорема исчисления Г,
— других теорем исчисления I нет.
• Исчисление I называется
—	непротиворечивым, если не все выражения исчисления I
доказуемы, т. е. Trm(/) С Е(1), и противоречивым в
противном случае,
—	семантически непротиворечивым, если доказуемы толь-
ко истинные выражения,
—	селамтически полным, если доказуемы все истинные вы-
ражения,
—	разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий
для любого выражения через конечное число шагов опре-
делить, доказуемо оно или нет, и неразрешимым в про-
тивном случае.
Пусть даны два исчисления Iq и такие, что £(/q) С L(/i)-
Исчисление /1 называется консервативным расширением исчи-
сления Iq (обозначаем Iq < /1), если выражение Ф языка L(Io)
доказуемо в /о тогда и только тогда, когда оно доказуемо в h-
Очевидно, что отношение < рефлексивно и транзитивно. Кроме
того, справедлива
2.1. Системы первого порядка
47
Теорема 2.1.6. Если Iq < и исчисление Iq непротиворечиво,
то исчисление Ц также непротиворечиво.
2.1.5.	Зафиксируем сигнатуру Q и определим для нее специаль-
ное исчисление, формализующее классическое понимание дока-
зательства, так называемое классическое исчисление (классиче-
скую логику) предикатов первого порядка сигнатуры Q.
КЛАССИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИП^
Классическим исчислением (классической логикой) предикатов
первого порядка сигнатуры fi называется исчисление ИП~, опре-
деляемое следующим образом:
Алфавит-. А1(ИП§) = Al (Я).
Множество выражений-. £(ИП2) = т. е. выражения ис-
числения ИП£ совпадают с формулами сигнатуры Я.
4ксиол<ы получаются из выписанных ниже четырнадцати схем
при замене Ф, Ф, X конкретными формулами исчисления ИП^;
х, у, z переменными из V и t термами из Т(Я):
Ф - (Ф - Ф);
(* _ ф) ((ф _> (ф _ %)) _ (ф _ х));
(ф&ф) -> ф;
(Ф&Ф) Ф;
(ф ф) ((ф _ X) - (Ф (Ф & X)));
Ф (Ф V Ф);
Ф -» (Ф V Ф);
(ф	х) - ((Ф -+ X) - ((Ф УФ)-. X));
(ф ф) ((ф	^ф)	-,ф);
-^Ф ф;
УтФ (Ф)*;
(Ф)^ЗтФ;
х as т;
х^у^ ((Ф)*	(Ф)*);
3Аесь запись (Ф)^1’ ’^г* означает результат подстановки термов
1 ’ • • • Ап вместо всех свободных вхождений в формулу Ф пере-
енных ti,,.. ,хп соответственно, причем предполагается, что
48
Гл. 2. Аксиоматические системы
для всех i — 1,... , п ни одно свободное вхождение в Ф перемен-
ной х, не входит в подформулу Ф вида УуФ1 или ЭуФ1 для
У € ZV(ZJ.
Правила вывода:
1)	(modus ponens);
Ф—Ф .
2> ф-Wxfc’
„> Ф—Ф .
3 Х.Ф->Ф ’
в правилах 2 и 3 переменная х не входит свободно в Ф.
Доказательством в исчислении ИП^ формулы Ф называется
последовательность формул Фо, - - , Фп исчисления ИПЙ такая,
что Фп = Ф и для каждого t (г п) формула Ф, удовлетворяет
одному из следующих условий:
—	Ф, является аксиомой исчисления ИП2;
—	Ф, получается из Фу (у < г) по одному из правил 1-3.
Если для формулы Ф исчисления ИП2 существует ее доказатель-
ство в ип« , то Ф называется теоремой или доказуемой форму-
лой в исчислении ИП^. В этом случае пишем Ь Ф.
Выводом в исчислении ИП^ формулы Ф из множества формул
G называется последовательность формул Фо, • - • ,ФП исчисления
И112 такая, что Фп = Ф и для каждого г (г п) формула Ф,
удовлетворяет одному из следующих условий:
—	Ф, доказуема в исчислении ИП£;
—	Ф, принадлежит множеству формул G;
—	Ф, получается из Фу (у < г) по одному из правил 1-3, при-
чем при применении правил 2 и 3 переменная х не должна
входить ни в одну формулу из G свободно.
Если существует вывод в ИП^ формулы Ф из множества G, то
формула Ф называется выводимой в ИП^ из G, а множество фор-
мул G — множеством гипотез. Очевидно, что доказуемость
формулы эквивалентна ее выводимости из пустого множества ги-
потез. Выводимость формулы Ф из множества^? обозначаем так:
G h Ф. Иногда пишем Ф.
Теорема 2.1.7 [о дедукции]. Если G U {Ф,Ф} — множество
формул исчисления ИП^, тоиз6ги{Ф}1-ф следует G h Ф Ф.
2.1. Системы первого порядил
49
Формулы Ф и Ф называются эквивалентными в исчислении
ИПЙ, если НФ—» Фи1-Ф-*Ф.
Теорема 2.1.8 [о замене]. Если формула. Ф получается из фор-
мулы Ф исчисления ИП2 заменой некоторого вхождения подфор-
мулы Ф* формулой Ф' исчисления ИПЙ и Ф’ эквивалентна Ф\ то
Ф эквивалентна Ф.
Теорема 2.1.9. Если fh С Я, то исчисление ИПЙ является кон-
сервативным расширением исчисления HIlS1-
В дальнейшем мы опускаем указание на исчисление ИП~,
когда речь идет о доказуемости некоторой формулы. Это оправ-
дано теоремой 2.1.9. В частности, пишем «формула Ф доказуема
в исчислении предикатов» или просто «формула Ф доказуема»,
если Ф доказуема в исчислении ИПЙ для некоторой сигнатуры Q.
2.1.6. Если G — множество предложений, то через Th(G) обо-
значается множество всех предложений, выводимых в исчисле-
нии ИП^ из G, т. е. Th(G) = {Ф Е 5(fl) | G Н Ф}. Поэтому
если (7и{Ф) — множество предложений, то вместо G h Ф можно
писать Ф € Th(G). В частности, если Ф — теорема ИП^ и Ф —
предложение ИП^, то Ф С ТЬ(0).
• Множество Г предложений исчисления ИП2 называется
—	противоречивым (несовместным) в ИП2, если из не-
го выводима всякая формула ИП^, и непротив оречи в ым
(совместным) в противном случае;
—	полным в ИП^, если Ф 6 ТЬ(Г) или -<Ф Е ТЬ(Г) для
любого предложения Ф, и неполные в противном случае.
Предложение Ф называется непротиворечивым, если непроти-
воречиво множество {Ф}.
Теорема 2.1.10. Множество Г предложений противоречиво то-
гда и только тогда, когда Ф Е ТЪ(Г) и ->Ф € ТЬ(Г) для некото-
рого предложения Ф.
Теорема 2.1.11 [Линденбаум]. Всякое непротиворечивое мно-
жество предложений исчисления ИПЙ может быть расширено до
полного непротиворечивого множества.
Система предложений называется независимой, если ни одно
из предложений этой системы не может быть выведено в ИП^ из
остальных.
50
Гл. 2. Аксиоматические системы
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
Элементарной теорией или (аксиоматической системой в ло-
гике (языке) первого порядка с равенством) сигнатуры Q назы-
вается множество предложений исчисления ИПЙ такое, что
= Th(Tfi). Элементы называются теоремами теории
Т^. (Иногда теоремой теории называется и формула Ф, не
являющаяся предложением, если h Ф.) Элементарная те-
ория называется непротиворечивой (противоречивой, пол-
ной, неполной), если множество предложений непротиворе-
чиво (противоречиво, полно, неполно).
Если — элементарная теория, А С и = Th(A),
то множество А называется множеством аксиом теории или
просто аксиоматикой (для) Тп, а его элементы — аксиомами.
В частности, — аксиоматика для Т^. Если требуется под-
черкнуть, что некоторое множество предложений X исчисления
ИП" является аксиоматикой для теории Та, то пишем Ах(Г°)
вместо X. Аксиомы из А^, не доказуемые в исчислении ИП^, на-
зываются нелогическими аксиомами в аксиоматике А. Ак-
сиоматика называется независимой, если независимо множество
нелогических аксиом теории в аксиоматике А. Язык элемен-
тарной теории Тп совпадает с языком ИП§ и часто обозначается
Z(Tn), или или Е(П).
Если Qi С Q2, Тр1, — элементарные теории и Тр1 С
Тр2, то Т^2 называется расширением (надтеорией) теории Тр1,
а Гр1 — сужением (подтеорией) теории Т^2. Теории Тр1 и
Тр2 называются эквивалентными (дедуктивно равными), если
каждая из них является расширением другой. Если Т^2 — рас-
ширение теории и J2i = ^2 = П, то Т^2 называется усилени-
ем Т^1, а Гр1 — ослаблением Тр2. Если 7р2 расширение теории
Тр1 и Тр1 = Тр2 Г) 5(fij), то Тр2 называется консервативным
расширением Тр1, а Тр1 — обеднением Гр2 до сигнатуры Пр
На элементарные теории распространяется теорема 2.1.6.
Теорема 2.1.12. Если аксиоматическая система Тр2 является
консервативным расширением аксиоматической системы Тр1 и
Zp1 непротиворечива, то Тр2 непротиворечива.
2.1. Системы первого порядка
51
2.1.7.	Важным частным случаем консервативных расширений
элементарной теории является так называемое расширение тео-
рии (системы) с помощью определений или дефинициальное рас-
ширение.
РАСШИРЕНИЕ ПЕРВОГО ТИПА
Пусть — аксиоматическая система сигнатуры Q; xj,... , хп —
различные переменные из V; Д — формула теории Т° такая, что
7Т(Д) С {ц,... Образуем теорию тР1 добавлением к
нового n-местного предикатного символа Ri (Rj £ 1Z) и новой
нелогической аксиомы
Va:i...Va:„(Ri(®i,... ,хп) ** Д(хь... ,ягп)),
которую назовем определяющей аксиомой для R{ (здесь и в даль-
нейшем пишем кратко X <-> Y вместо (X —> У) & (У -* X)).
Назовем теорию Тр1 расширением первого типа.
РАСШИРЕНИЕ ВТОРОГО ТИПА
Пусть Т® — аксиоматическая система сигнатуры О; . ,хп,
У, У1 — различные переменные из V и Д — формула теории Т^1
такая, что Т'У(Д) С {ii,... ,х„,у^и выполняются следующие
условия:
(i)	Vii ...УхйЗуД(х1,... ,хп.у) €
(ii)	Vxj .. .VznVi/Vyi(A(zi,... ,xn,y)
&Д(а:1,... ,xn,yi) -* у ~ yi).
Образуем Тр2 добавлением к n-арного функционального сим-
вола f (f £ Т7) и новой нелогической аксиомы
Vi! ...Vin(Vy)(y «	,т„) <- Д(хь... ,т„,у)),
которую назовем определяющей аксиомой для f. Мы называем
выражение (i) условием существования, выражение (ii) — усло-
вием единственности для1, а теорию Т^2 — расширением вто-
рого типа.
Указанные определяющие аксиомы для R и f называются
также явными определениями (п-местного предикатного симво-
ла) R и (n-местного функционального символа) f соответственно.
В каждом из этих определений часть подкванторного выражения,
стоящая слева от «-+ , называется определяемым (дефиниендум),
а справа от определяющим (дефиниенс).
52
Гл. 2. Аксиомлткчесжяе системы
ДЕФИНИЦИАЛЬНОЕ РАСШИРЕНИЕ
Теория Тр3 называется расширением теории с помощью опре-
делений (дефинициалъным расширением теории Тп), если Гр3
получается из Та, конечным числом расширений первого и вто-
рого типов.
Теорема 2.1.13. Если аксиоматическая система Т^1 — дефини-
циальное расширение аксиоматической системы то Т^1 —
консервативное расширение Т^.
2.1.8.	Напомним, что сейчас мы имеем дело только с вычисли-
мыми сигнатурами и, следовательно, только с перечислимыми
языками Е(Л). Таким образом, предполагается, что вычисли-
мы как множества A1(Q), T(fl), F(ft), 5(П), так и множества
A1(Q)*\T(O), Al(n)V(ft), F(O)\S(tl), где А1(П)* — множество
всех слов в алфавите А1(П).
• Элементарную теорию (аксиоматическую систему) будем
называть	ч
— перечислимой, если Тп — перечислимое множество, t л
— разрешимой аксиоматической системой, если'вычисли-
мо множество	и неразрешимой аксиоматической
системой в противном случае,
— существенно неразрешимой, если неразрешимо всякое не-
противоречивое расширение Тп.
Очевидно, что для любой перечислимой аксиоматической систе-
мы всегда существует перечислимая аксиоматика, например
само множество Т&. Более того, оказывается, что любая пере-
числимая аксиоматическая система имеет разрешимую аксиома-
тику. Аксиоматическая система называется рекурсивно-ак-
сиоматизируемой, если множество А' нелогических аксиом в
некоторой аксиоматике А для разрешимо.
Теорема 2.1.14 [Крейг]. Аксиоматическая система Тп рекур-
сивно-аксиоматизируема тогда и только тогда, когда она пере-
числима.
Таким образом, нет нерекурсивно-аксиоматизируемых пере-
числимых аксиоматических систем, как нет и неперечислимых
рекурсивно-аксиоматизируемых систем.
Аксиоматическая система называется кояечио-аксиома-
тизируемой, если множество нелогических аксиом в некоторой
2.1. Системы первого порядив
53
аксиоматике для Т^1 конечно. Ниже мы укажем пример конкрет-
ной аксиоматической системы, которая не является конечно-ак-
сиоматизиру емой.
Справедлива следующая
Теорема 2.1.15. Существуют рекурсивно-аксиоматизируемые,
во не конечно-аксиоматизируемые аксиоматические системы.
Заметим, что разграничения между эффективностью и вы-
числимостью (см. гл. 1) распространяются также на формальные
системы. Если перечислимый язык или перечислимая теория
должны использоваться для сообщений, стандартного требова-
ния вычислимости недостаточно. Перечислимый язык и перечи-
слимая теория должны задаваться для этих целей своими эффек-
тивными (или, по крайней мере, квазиэффективными) предста-
влениями. Рассмотрению этих аспектов формальных языков и
теорий посвящена полезная для философов работа С. Фефермана
«Арифметизация метаматематики в общей постановке»
2.1.9.	Изучать формальные языки и аксиоматические системы
важно для науки потому, что они позволяют точно описывать
разнообразные классы ситуаций, объектов и связей между объ-
ектами. Приведем некоторые результаты, относящиеся к семан-
тическому аспекту вопроса.
Теорема 2.1.16 [о существовании модели]. Любое непротиворе-
чивое множество X формул сигнатуры П имеет модель.
Теорема 2.1.6 представляет фундаментальный результат ма-
тематической логики. Из него вытекает другая важная
Теорема 2.1.17 [теорема Гёделя о полноте]. Если Ф — тожде-
ственно истинная формула исчисления ИПЙ, то Ф доказуема в
исчислении Ип£.
Предложение Ф назовем (логическим) следствием {множес-
тва предложений) Г (пишем Г |= Ф), если Ф истинно на каждой
модели множества Г,
Из теоремы Гёделя о полноте вытекает, что Г |= Ф тогда и
только тогда, когда Г h Ф, т. е. синтаксическое (иногда говорят
«теоретике-доказательственное») отношение выводимости h со-
впадает по объему с семантическим отношением |= логического
следования.
Пусть задан класс К алгебраических систем сигнатуры П.
Feferman S. Arithmetization of metamathematics in a general setting //
Fund. Math. 1960. V. 49, N 1. P. 35-92.
54
Гл. 2. Аксиоматические системы
• Предложение Ф сигнатуры 9 называется
—	истинным но классе К, если Ф истинно на каждой си-
стеме класса К,
—	выполнимым на классе К, если в К есть система, на
которой Ф истинно.
Ясно, что тождественно истинные предложения сигнатуры 9 ис-
тинны на любом классе алгебраических систем сигнатуры 9.
Обратно, если предложение Ф сигнатуры 9 истинно на клас-
се всех алгебраических систем сигнатуры 9, то предложение Ф
тождественно истинно. Из приведенных определений непосред-
ственно вытекают следующие утверждения.
— Предложение Ф тогда и только тогда не выполнимо на клас-
се К, когда, на К истинно предложение ->Ф.
— Предложение Ф]& .. ,&Фт тогда и только тогда истинно на
классе К, когда на классе К истинно каждое предложение
из Ф1,-.. ,Фт.
— Предложение Ф1 V ...V Фт тогда и только тогда выполнимо
на классе К, когда на К выполнимо хотя бы одно из пред-
ложений Ф1,... , Фт.
Предложения Ф, Ф1 сигнатуры 9 называются эквивалентными
на классе К алгебраических систем сигнатуры 9, если на ка-
ждой системе класса К значение истинности Ф совпадает со зна-
чением истинности Ф]. Ясно, что предложения Ф, Ф1 сигнатуры
9 тогда и только тогда эквивалентны на классе К системы сиг-
натуры 9, когда на К истинно предложение
(Ф -> Ф])&(Ф1 —> Ф).
Пусть S — некоторая совокупность предложений исчисления
ИП~. Класс всех алгебраических систем сигнатуры 9, на каждой
из которых истинны все предложения из S, будем обозначать
через Mod (5). Ясно, что если Si С S%, то Mod (Si) D Mod(S2).
Пусть К — произвольный класс алгебраических систем сиг-
натуры 9. Совокупность всех предложений ИП^, истинных на
классе К, является элементарной теорией и называется элемен-
тарной теорией класса К. Элементарная теория класса К обо-
значается через Th(A'). Заметим, что если К\ С Л'г, то Th(A'i) 3
ТЩАг). Ясно также, что К С Mod(Th(A')). Если 21 — алгебра-
ическая система, то Th({2l}) называем элементарной теорией
системы 21 и обозначаем через Th(2l). Класс К систем сигнату-
ры 9 называется аксиоматизируемым, если К = Mod (Th( А’)).
2.1. Системы первого порядка
55
Теорема 2Д.18. Класс К алгебраических систем сигнатуры ft
аксиоматизируем тогда и только тогда, когда существует эле-
ментарная теория Т(К) сигнатуры (I такая, что К есть семей-
ство всех моделей множества предложений Т(К).
Если Th(.K) есть элементарная теория аксиоматизируемого
класса К, то аксиомы Th(К) называются также аксиомами для
класса К. Если при этом ТЬ(Д) — конечно-аксиоматизируемая
теория, то класс К также называется конечно-аксиоматизиру-
емым.
Алгебраическую систему из класса К будем называть К-сис-
темой, а систему из класса К, являющуюся подсистемой (надси-
стемой) системы 21,— К-подсистемой (К-надсистемой) дан-
ной системы 21.
Класс К назовем абстрактным, если вместе с каждой алге-
браической системой К содержит все ей изоморфные алгебраи-
ческие системы.
Две алгебраические системы 21 и ® сигнатуры ft называются
элементарно эквивалентными (обозначаем: 21 = *В), если для
любого предложения Ф сигнатуры ft имеем 21 Ф 23 (= Ф.
Ясно, что отношение 21 = 23 равносильно равенству Th(2l) =
Th(23). Очевидно также, что если 21 и 23 — изоморфные системы,
то 21 = 23. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, но
имеет место
Теорема 2.1.19. Если 21 и 23 — алгебраические системы сигна-
туры ft и 21 — конечная система, то 21 = 23 тогда и только тогда,
когда 21 и 23 изоморфны.
Если понятие элементарной эквивалентности понимать как
ослабление понятия изоморфизма, то усилением понятия подси-
стемы является следующее определение. Подсистема 23 С 21 си-
стемы 21 сигнатуры ft называется элементарной подсистемой
(обозначаем: 23	21), если для любой формулы Ф(х1,... , zn)
сигнатуры ft и любых t>i,.. .Ьп G |23|
® 1= Ф(Ь1,... ,6„)^211=Ф(Ьь.-- >Ьп).
Теорема 2.1.20. Пусть 21 — алгебраическая система сигнатуры
ft и 23 С 21. Для того чтобы имело место 23 -< 21, необходимо и
достаточно, чтобы для любой формулы Ф(то,... , тп) сигнатуры
ft и любых 4>i,... ,bn Е |23| из 211= 3 гоФ(то, ... , Ьп) следовало
21 )= Ф(60,Ь1,... ,Ьп) для некоторого Ьо Е |231.
Пусть 21 — алгебраическая система сигнатуры ft — (Tl,F,p.)
56
Гл. 2. Аксиоматические системы
и X С |21|. Пусть множество Сх = {ce | а € X) не пересекается с
7£UУ и са / сь для а / Ь. Определим сигнатуру Л % добавлением
к О элементов множества Сх в качестве новых 0-местных функ-
циональных символов (новых констант). Обозначим через 21 х
обогащение системы 21 до сигнатуры Лу, в котором константа
ce, а € X, интерпретируется элементом а. Множество £>(2t, X)
атомных предложений сигнатуры Лу, истинных в системе 21у,
называется диаграммой множества X в 21. Если в определе-
нии .0(21, X) заменить выражение «атомные предложения» сло-
вом «предложения», то получим определение полной диаграммы
D*(%L,X) множества X в 21. Диаграмма (полная диаграмма)
множества |21| в 21 называется диаграммой (полной диаграммой)
системы 21 и обозначается через 0(21) (соответственно £>*(21)).
Теорема 2.1.21. Справедливы следующие утверждения:
(а)	если 21 — алгебраическая система сигнатуры Л, а система
23 — модель диаграммы 0(21) (полной диаграммы О*(21))
сигнатуры Л|<л|, то 21 изоморфна *Bi |q для некоторой систе-
мы 23i С 23 (23j < ®)>
(б)	если 21 С 23 — алгебраические системы сигнатуры Л, то
21 -< 23	21|а| = 23|а|.
Класс К алгебраических систем называется замкнутым от-
носительно изоморфизмов (элементарной эквивалентности, над-
систем, ультрапроизведений и др.), если вместе с каждой алге-
браической системой он содержит все изоморфные ей системы
(все ей эквивалентные, все ее подсистемы, все ее надсистемы,
ультрапроизведения D — prod 21, систем из К и др.).
[Мы не даем точного определения ультрапроизведения. До-
статочно знать, что если 21,, г 6 £, — алгебраическая система
сигнатуры Л, то ультрапроизведение £>-prod 21, также алгебраи-
ческая система сигнатуры Л, причем по теореме Лося D — prod 21,
|= {t | 21; |= <р) G £>.]
Теорема 2.1.22. Всякий аксиоматизируемый класс алгебраиче-
ских систем замкнут относительно изоморфизмов (абстрактен).
Обратное утверждение неверно: ие всякий абстрактный класс
алгебраических систем сигнатуры Л аксиоматизируем.
Теорема 2.1.23. Класс К алгебраических систем сигнатуры Л
аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он абстрактен, за-
мкнут относительно элементарных подсистем и замкнут относи-
тельно ультрапроизведений.
2.1. Системы первого порядка.
57
Пусть К — класс алгебраических систем сигнатуры ft. Че-
рез К обозначим дополнение К в классе всех систем сигнатуры ft.
Теорема 2.1.24. Класс К алгебраических систем сигнатуры Я
конечно-аксиоматизируемый тогда и только тогда, когда К и
К — аксиоматизируемые классы.
Формула Ф называется У-формулой (3- формулой ), если
Ф = Vari. ..Ух^Ф (Ф = 3 Xi.. .3 х^Ф),
где Ф — бескванторная формула. Класс К алгебраических си-
стем называется У-аксиоматизируемым (В-аксиоматизируемым),
если К = Mod (X), где X — некоторое множество V-предложений
(3-предложений).
Теорема 2.1.25. Аксиоматизируемый класс К алгебраических
систем сигнатуры ft является 3-аксиоматизируемым (V-аксиома-
тизируемым) тогда и только тогда, когда К замкнут относи-
тельно надсистем (подсистем).
2.1.10.	Иногда вместо исчисления предикатов первого порядка
с равенством ИПЙ сигнатуры ft удобно рассматривать другое
тесно с ним связанное исчисление пр’едикатов первого порядка
сигнатуры ft (без равенства).
ИСЧИСЛЕНИЕ ИПП
Формулами исчисления ИПП будут формулы сигнатуры ft, не
содержащие символа логического равенства ~ (хотя они могут
содержать другой символ равенства, если таковой входит в число
предикатных символов сигнатуры ft).
Аксиомы исчисления ИПП получаются из первых двенадцати
схем (см. 2.1.5), указанных при определении исчисления ИП^.
. Правила вывода исчисления ИП^ те же, что и для ИПЙ.
Доказуемость в исчислении ИПП определяется точно так же,
как в исчислении ИПН.
Выводимость в исчислении ИПЯ определяется точно так же, как
в исчислении ИП^.
Таким образом, можно рассматривать аксиоматические си-
стемы и аксиоматизируемые классы алгебраических систем, имея
в виду исчисление ИПП вместо исчисления ИП^. Не вдаваясь в
Детали, заметим, что при такой замене отличия несущественны.
58
Гл. 2. Аксиоматические системы
В дальнейшей мы будем пользоваться этим без дополнительных
пояснений.
В последующих главах упоминаются логики (исчисления) вто-
рого порядка. Эти логики (и соответствующие им языки) пре-
восходят по своим выразительным и дедуктивным возможностям
первопорядковые исчисления и языки ИПЙ или ИП^. Отметим
здесь лишь тот факт, что второпорядковые формулы и предло-
жения кроме обычных переменных и кванторов содержат также
и переменные для предикатов и функций и кванторы по ним.
2.2. СИСТЕМА ЦЕРМЕЛО — ФРЕНКЕЛЯ
В гл. 1 мы использовали (наивную) метатеорию множеств, в ко-
торой определимы все востребованные в математике понятия. В
настоящей главе мы ввели понятие формального языка, в кото-
ром без противоречий и точно можно описывать свойства объек-
тов. На основе теории множеств и понятия модели мы построи-
ли семантику для классического исчисления. Сама метатеория
множеств тоже может быть рассмотрена в предложенном фор-
мализме как формальная аксиоматическая система. Семантика
этого исчисления строится в теории множеств, и, если она не-
противоречива, все свойства универсума теории множеств могут
быть реализованы на счетном множестве нашей метатеории, и в
нем будут «внутренние» кардиналы сколь угодно больших мощ-
ностей и т. д.
Однако в аксиоматической теории множеств мы оставляем
без внимания ряд проблем нашей метатеории. В частности, та-
ких объектов, как собственные классы в теории множеств, не
существует. Для введения класса как объекта математической
теории было предложено рассматривать две области объектов
математической теории: состоящую из множеств и состоящую
из классов.
Парадоксы теории множеств подсказали, как построить кон-
кретную формальную элементарную теорию (назовем ее NBG),
обладающую следующими свойствами:
—	аксиомы и выводы этой теории достаточно хорошо модели-
руют наши интуитивные рассуждения о классах;
—	в ней выводимо предложение, интуитивно означающее «су-
ществует х такой, что РС(х)», где PC — свойство «быть
собственным классом»;
—	некоторые выводы указанного предложения объясняют те Ий-
2.2. Система Цермело — Френкеля
59
туитивные рассуждения, которые собственно и называются
парадоксами;
— нет оснований считать теорию противоречивой.
Обрисуем главную идею теории NBG. Рассуждая о множествах,
используют следующие два приема задания множеств.
ТАБЛИЧНАЯ ФОРМА
Явно указываются все элементы определяемого множества. Спи-
сок этих элементов помещают в фигурные скобки. Например,
выражение {0, 1, 2, 3} обозначает совокупность, элементами ко-
торой являются все целые числа от 0 до 3.
ЗАДАНИЕ ПРИЗНАКОМ
Множество определяется по свойству, которым обладают все эле-
менты данного множества и только они.
Второй способ мощнее первого. Например, свойство «быть
целым неотрицательным числом меньше четырех» определяет
множество, записанное выше в табличной форме. Множества
можно определять свойствами их элементов благодаря следую-
щему принципу.
ПРИНЦИП СВЕРТЫВАНИЯ
Пусть Ф(х) — некоторое свойство объекта х или условие на объ-
ект х. Тогда существует множество, элементами которого явля-
ются в точности все объекты, обладающие данными свойства-
ми (или удовлетворяющие данному условию) Ф(х). Множество,
определяемое свойством Ф(х), обозначается {х | Ф(х)}. Выше
слово «существует» употреблено в математическом смысле, т. е.
принцип свертывания говорит о том, что если определено неко-
торое свойство Ф, то к числу тех объектов, о которых мы соби-
раемся говорить как о множествах, мы обязаны присоединить и
объект, обозначаемый через {х | Ф(х)}.
Например, условие х х задает множество {х | х / х) всех
объектов х, для которых х не равен х. Поскольку ни один объ-
е«т не может быть отличен от самого себя, свойством х / х не
обладает ничто, т. е. множество {х | х х} не имеет элемен-
т°в- По этой причине его называют пустым множеством и
^означают 0 или { }.
Рассмотрим теперь условие х £ х. Легко придумать мно-
*вство, не принадлежащее самому себе. Например, множество
1} отлично от своих элементов 0, 1, и поэтому {0,1} £ {0,1}.
60
Гл. 2. Аксиоматические системы
ПАРАДОКС РАССЕЛА
Используя принцип свертывания, зададим теперь так называе-
мое множество Рассела R = {г | х £ г}. Спросим, удовлетворяет
ли условию х £ х само R1 Если R £ Я, то оно удовлетворяет
данному условию, а потому принадлежит множеству Я, опреде-
ляемому этим условием. Значит, Я G Я. Таким образом, пред-
положение Я £ Я приводит к противоречащему ему заключению
Я G Я. Следовательно, это предположение надо отбросить и
допустить противное, т. е. Я 6 Я. Но если Я G Я, т. е. если
множество Я является элементом из Я, то оно должно удовлетво-
рять условию, определяющему множество Я, которое есть х £ х.
Значит, Я 0 Я. Опять пришли к противоречию.
Мы доказали, что Я одновременно является и не является
своим элементом. Это рассуждение и есть один из примеров па-
радоксов теории множеств — оно известно как парадокс Рассела.
На самом деле никаких парадоксов, загадок и т. п. это рассу-
ждение не обнаруживает. Фактически оно доказывает только то,
что некоторые применения принципа свертывания, как он выше
сформулирован, ведут к противоречию. Но в этом нет ничего
странного. Любой объект может быть выбран объектом внима-
ния и как угодно при этом назван, но это не означает, что про-
извольный объект внимания может быть сделан объектом пра-
вильных (непротиворечивых) рассуждений об элементах некото-
рой специфической области, специфика которой задана. Стоит
ли удивляться тогда, что некоторые применения принципа свер-
тывания вводят в рассмотрение вещи, которые не укладываются
в специфику множеств, связанную с заранее предполагаемыми
какими-то характеристиками отношения 6 и законами логики.
Парадокс Рассела говорит только о том, что некоторые при-
менения принципа свертывания следует запретить, т. е. необхо-
димо ограничить этот принцип.
Класс соответствует самому широкому интуитивному пони-
манию собрания предметов. Понятие «множество» оставлено
для тех классов, которые сами являются (могут рассматривать-
ся) элементами других классов. Классы, не являющиеся множе-
ствами, называются собственными. Интуитивно их можно пред-
ставлять себе как «очень большие* совокупности — настолько
«большие», что они не могут быть элементами никаких других
совокупностей. При этом принцип свертывания видоизменяется
требованием, чтобы упоминаемый в нем объект х был множе-
ством, т. е. принимается следующий принцип.
2.2. Система Цермело — Френкеля
61
ОГРАНИЧЕННЫЙ ПРИНЦИП СВЕРТЫВАНИЯ
Пусть Ф(х) — некоторое свойство объекта х или условие на объ-
ект х. Тогда существует класс, элементами которого являются
в точности все множества, обладающие данным свойством (или
удовлетворяющие данному условию) Ф(х). Свойство Ф(х) задает
класс, состоящий из всех множеств (элементов других классов),
для которых верно Ф(х). Этот класс обозначается следующим
образом:
{х | х — множество и верно Ф(х)}.
Определение класса Рассела выглядит теперь так:
R = {х | х — множество и х £ х}.
Возвращаясь к описанию парадокса Рассела, мы теперь видим
выход из создавшегося положения. Чтобы получить принадлеж-
ность R Е R, надо дополнительно предполагать, что R — множе-
ство. Если это так, то, как и выше, мы приходим к противоре-
чию. Поэтому указанное дополнительное предположение отбра-
сывается как ложное. В результате «парадокс» исчезает, а наши
рассуждения превращаются в доказательство того, что R — соб-
ственный класс, т. е. совокупность R настолько «велика», что не
является элементом никакой другой совокупности. В частности,
R $ R. Собственным является также класс всех множеств
V = {х | х — множество и х = х}.
Из аксиом NBG вытекает равенство V = R. Следовательно,
класс множеств, являющихся собственными элементами, пуст:
{х | х — множество и х G х} = 0.
Отсюда, в свою очередь, вытекает, что не существует (в мате-
матическом смысле) «множества всех множеств».
2.2.1. Собственные классы в последующих главах не рассматри-
ваются (за исключением гл. 3, когда мы говорим о классе всех
объектов внимания). Поэтому нет необходимости давать пол-
ное и точное описание теории NBG. Однако полезно иметь бо-
лее детальное представление о той части теории NBG, которая
относится только к множествам (т. е. несобственным классам).
Эту часть можно представить в виде некоторой самостоятельной
элементарной теории, и одно из таких представлений называет-
ся аксиоматической системой теории множеств ZF (Цермело —
Френкеля).
62
Гл. 2. Аксиоматические системы
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ZF
Системой ZF называется элементарная теория, основанная на
исчислении ИП^1, где Qi = (0,	Л*1(6) = 2. Иными слова-
ми, ZF — это аксиоматическая система в языке первого порядка
с равенством сигнатуры £11, содержащей только лишь один сим-
вол — двухместный предикатный символ G.
Аксиома (экстенсиональности):
Va:Vy(Vz(z € х «-» z € у) +-> я « у)-	(ZF1)
Схема аксиом выделения:
V?i... VznVx3yVz(z G у *-» (z€ z&A(z, zj,... , z„))),	(ZF2)
где A(z,zi,... , zn) — формула (сигнатуры Hi), все свободные
переменные которой содержатся среди z, zi,... , zn.
Аксиома пары:
Var V y3z V-t!(v Gz<->(z)rsiVw«s у)).	(ZF3)
Аксиома множества подмножеств:
Vz3yVz(z 6 у w Va(tt G z -+ и G z)).	(ZF4)
Аксиома суммы:
Vz3yVz(z 6 у 3v(z G v&v G ж)).	(ZF5)
Аксиома бесконечности:
3z(Vy(->3z(z G у) —* у € x)&Vw(w G x —> Vu(Vv(v G и
w (v rj w V v G w)) —> u G z))). (ZF6)
Аксиома регулярности:
Vz(3y(y G z) —> 3y(y G z&Vz(z G x —> -iz G y))).	(ZF7)
Схема аксиом замены:
Vx(VyVzVw((y G x & A(y, z) k A(y, w)) —► z « w)
-> 3rYs(6 G r w 3Z(i G я & A(M)))), (ZF8)
где A(Z,s) — формула (сигнатуры Qi), все свободные переменные
которой находятся среди t, s.
2.2. Система Цермело — Френкеля
63
ксиома выбопя:
УяУуУф € у - (г С х & 3t(t G г))) -* (3/)
(/ — функция &Dom / = j/&(Vi)(( G у -+ /(f) 6 t)). (ZF9)
Используемые в аксиоме выбора подформулы можно форма-
лизовать и записать на языке теории множеств. Например:
х — упорядоченная пара О (ЗаЗ/>)(ЭХЭУ)(Х € а: & У G х
U\/Z(Z G X (Z & X V Z « У)) & a G X & Vt(t G X -+ а « f)
&(aG YkbEYkVt(t еУ - (вя tVb »/)))),
(т. е. х = {{а}, {а, 6}});
f — функция О Vf(t 6 f —* t — упорядоченная пара)
&V/1Vf2(fi € /&t2 е /&ЗаЗХ13У13Х2ЗУ2(Х1 € ti
& У1 G f i & -iVz( z G fi —> г «	V г«У1)&а€Х1&аеУ1
& X2 G f2 & ^2 G f2 & ->Vz(z G t2 —»• z as X2 V z ~ У2)
& e G X2 & о G F^) —► fi w t2).
Так как (ZF2) и (ZF9) — схемы аксиом, заключаем, что (ZF2) и
(ZF9) — бесконечные множества предложений (сигнатуры fli).
Таким образом, бесконечное множество
Ax(ZF) = {(ZF1), (ZF3), (ZF4), (ZF5),
(ZF6), (ZF7), (ZF8)} U (ZF2) U (ZF8)
есть одна из многих аксиоматик для элементарной теории ZF:
ZF = Th(Ax(ZF)).
Можно показать, что ZF — не конечно-аксиоматизируемая
система. Теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой вы-
бора ZFC получается добавлением к аксиомам ZF аксиомы выбо-
ра (ZF9).
2.2.2.	При содержательном (интуитивном) истолковании систе-
мы ZF переменные языка ZF суть переменные для множеств,
т. е. «интуитивными значениями» символов x,y,z,... счита-
ются «произвольные множества». Никакие другие объекты не
входят в область тех предметов, свойства которых предназначе-
ны описывать формулы и предложения теории ZF. Предикатный
64
Гл. 2. Аксиоматические системы
символ € истолковывается как интуитивное отношение принад-
лежности, т. е. х Е у означает: «множество (значение пере-
менной) х есть элемент множества (значения переменной) у».
Логический символ ~ понимается как отношение равенства =.
При таком истолковании переменных и символов € и ~ ак-
сиому экстенсиональности (ZF1) можно сформулировать следу-
ющим образом: произвольные множества хну равны (х — у)
тогда и только тогда, когда они содержат в точности одни и
те же элементы. Аксиома экстенсиональности (ZF1) гарантиру-
ет, что все свойства множеств, которые можно выразить фор-
мулами ZF, однозначно определяются элементами этого множе-
ства. Этим обстоятельством множества выделяются из числа
других сложных объектов. Когда хотят подчеркнуть именно
этот аспект аксиомы (ZF1), то называют ее аксиомой опреде-
ленности (Bestimmtheitaxiom).
Пусть множества х и у заданы разными способами. Несмо-
тря на то, что способы определения различны, множества могут
совпадать, если определения задают один и тот же объем эле-
ментов. Таким образом, множество не зависит от способа опре-
деления. В логике и философии подобную независимость называ-
ют экстенсиональностью, противопоставляя ее интенсионально-
сти — подчеркнутой зависимости определяемого от определения.
2.2.3. Каждая аксиома выделения из множества (схемы) аксиом
выделения (ZF2) — конкретный, отвечающий конкретной фор-
муле A(z,zi,... ,zn) ограниченный принцип свертывания. На-
звание аксиом из (ZF2) объясняется тем, что применяя любую
такую аксиому, чтобы образовать множество у, мы выделяем из
всех элементов z множества х те и только те, которые удовле-
творяют формуле A(z, z\,... , xn).
2.2.4.	Аксиому пары (ZF3) можно выразить следующим обра-
зом: для любых двух множеств х и у существует множество
z, содержащее в точности элементы х и у. По аксиоме экс-
тенсиональности все множества, содержащие в точности х и у,
равны между собой; поэтому мы можем говорить об однозначно
определенном множестве с элементами х и у. Это множество
называется (неупорядоченной) парой х и у и обозначается через
{ж, у} или {у,ж}.
2.2.5.	Аксиома множества подмножеств (ZF4) означает следую-
щее: для любого множества х существует множество у, эле-
ментами которого являются в точности все подмножества мно-
жества х. Множество всех подмножеств множества х называет-
2.2. Система Цермело — Френкеля
65
ся множеством-степенью множества х и обозначается через
р(х). Принадлежность а Е Р(х) имеет место в том и только в
том случае, если а С х, т. е. z G а влечет z 6 х. Множество Р(х)
однозначно определено, т. е. любые два множества, состоящие в
точности из всех подмножеств множества х, совпадают.
2.2.6.	Содержание аксиомы суммы (ZF5) следующее: для любо-
го множества х существует множество у, элементами которо-
го являются в точности элементы элементов множества х. Это
множество называется множеством-суммой множеств из х или
объединением элементов х; оно обозначается через Ut. Множе-
ство Ut также однозначно определено.
2.2.7.	Аксиому (ZF6) можно выразить следующим образом: су-
ществует множество х, которое содержит в качестве своего эле-
мента пустое множество и которое с каждым из своих элементов
w содержит также объединение u = w U {w}. Всякое множество,
Которое удовлетворяет этой аксиоме должно иметь бесконечно
много элементов, ибо оно должно содержать, по крайней мере,
следующие множества:
0,{0}, {0,{0}}, {0,{0},{0,{0}}},... .
Все множества в этой бесконечной последовательности отлича-
ются друг от друга. Мотивация назвать (ZF6) «аксиомой беско-
нечности* очевидна.
2.2.8.	Приведем содержательное истолкование аксиомы (ZF7):
каждое непустое множество х имеет элемент у, который не со-
держит общих с х членов. Эта аксиома введена для того, чтобы
запретить существование различных «экзотических» множеств,
например, множества х, которое содержит элемент, элементом
которого является само х. По аксиоме (ZF7) нет множества с
элементами xi, Х2, xj,... такими, что ... хз € я? 6 zi •
2.2.9.	Аксиом (ZF1)-(ZF7) недостаточно для того, чтобы обес-
печить существование некоторых видов множеств, по поводу ко-
торых на интуитивном уровне никогда не возникало сомнений.
Простейшим примером множества, существование которого не
Может быть выведено из аксиом (ZF1)-(ZF7) служит счетное
Множество
А = {z0,z1,z2,...},
где z0 = {0,{0}, {{0}},{{{0}}},...}, a Zjt+1 = Р(ч)- Поми-
мо того, что этих аксиом недостаточно для получения некото-
рых конкретных множеств, на их основе нельзя развить общую
’' С. Гончаров и др.
66
Гл. 2. Аксиоматические системы
теорию ординалов и общий метод трансфинитной индукции. Ак-
сиомы схемы (ZF8) — требуемое дополнение к аксиомам (ZF1 )-
(ZF7). Интуитивный смысл конкретной аксиомы из (ZF8) можно
сформулировать так: если х есть множество, а, А — такая фор-
мула с двумя свободными переменными, что для каждого у Е х
найдется не более одного z, удовлетворяющего А(у, z), то суще-
ствует такое множество г, что s Е г тогда и только тогда, ко-
гда существует член t множества х, удовлетворяющий условию
A(t, s).
2.2.10.	Аксиому выбора (ZF9) можно истолковать следующим
образоме: еслн а: — множество, состоящее из непустых мно-
жеств, то существует функция /: х —► Ох такая, что по множе-
ству t Е х функция / указывает элемент f(t) непустого множе-
ства t.
Особенностью этой аксиомы, отличающей ее от ранее введен-
ных, является то, что для множества, существование которого
утверждается в этой аксиоме, не указан какой-либо регулярный
способ его явного определения. Множества, существование ко-
торых утверждалось в аксиомах (ZF2)-(ZF5), определялись од-
нозначно. Например, множество подмножеств 'Р(х') множества
х однозначно определяется множеством х. В аксиоме бесконеч-
ности фактически фиксируется существование множества ш всех
конечных ординалов. Наличие такой неопределенности (некон-
структивности) объекта, вводимого аксиомой выбора в матема-
тические рассуждения, вызвало многочисленные споры вокруг
принятия аксиом выбора в качестве оснований теории множеств.
Причем даже допускалась возможность возникновения противо-
речий в теории множеств из-за этой аксиомы. Однако, после
результатов К. Гёделя о равнонепротиворечивости теории мно-
жеств Цермело — Френкеля ZF и теории множеств Цермело —
Френкеля с аксиомой выбора ZFC эти споры потеряли свою ак-
туальность. А теоремы об эквивалентности аксиомы выбора в
Цермело — Френкеля аксиоме вполне-упорядочиваемости любо-
го множества и леммы Цорна о существовании максимальных
элементов в индуктивных частично упорядоченных множествах
продемонстрировали мощь этой аксиомы для построения мате-
матической теории.
2.2.11.	Пусть Т —элементарная теория. Всякое подмножество
S множества Т называется подтеорией теории Т, если S также
элементарная теория (т. е. если S — Th(5)).
Пусть L и L' — языки первого порядка с равенством (сигна-
2.2. Система Цермело — Френкеля
67
тур (1 и П' соответственно).
• Интерпретация I языка L в языке L' состоит из
—	унарного предикатного сигнатурного символа U/ из L',
называемого универсумом для Z;
—	n-арного функционального сигнатурного символа Q из
L1 для каждого п арного функционального сигнатурного
символа f из L;
—	п-арного предикатного сигнатурного символа Р; из L'
для каждого n-арного предикатного сигнатурного сим-
вола Р из L.
Интерпретацией языка L в теории Т' называется интерпретация
/ языка L в языке L(T') теории Т' такая, что
Т'кЭжиЯ®);
Т> F U/(xi) -(...- (U/(zft) - U/(f/(®b..., ж*)))...)
для каждого функционального символа f из L.
Пусть I — интерпретация языка L в L'. Определим для ка-
ждой формулы А языка L формулу А^) языка L', называемую
интерпретацией формулы А с псмцндью V. Пусть А/ — форму-
ла языка 2/, полученная из А следующим образом:
—	если А атомарна, то А/ получается из А заменой каждого
нелогического символа q на q/;
—	если А есть формула вида (В&С)((В V С), (В —» С), *чВ),
то А/ есть формула (В/&С/)((В/ V С/), (В/ -»• C/),~iBy);
—	если А есть формула BxB(VxB), то А; есть формула
(Vx(U/(x) -> В;)).
Тогда А(') = Ufai) -» (...-+ (U](xn) -> А/)...), где
= J”P(A). Интерпретацией теории Т в теории
Т1 называется интерпретация I языка L(T) в теории Т' такая,
что Т' F А^) для каждой нелогической аксиомы А теории Т.
Теорема 2.2.1. Если I является интерпретацией теории Т в те-
ории Т1, то Tf I- А^) для каждого предложения А 6 Т.
Прямым следствием теоремы 2.2.1 является следующая
Теорема 2.2.2. Если I — интерпретация теории Т в теории Т'
Ч теория Т' является непротиворечивой, то Т является непроти-
воречивой.
3»
68
Гл, 2. Ажсмоматжтескке системы
Мы говорим, что теория Т интерпретируема в Т*, если су-
ществует интерпретация I теории Т в некотором расширении
теории Т' с помощью определений. Из теоремы 2.2.2 мы видим,
что если Т интерпретируема в Т1 и Т1 является непротиворечи-
вой, то Т является непротиворечивой.
Если Т1 — подтеория теории S' и Т интерпретируема в Т1, то
Т называем фрагментом теории S и пишем S h А (иногда hs А)
для любого предложения A G Т. (Эта практика употребления
символа h в новом значении чревата коллизиями, зато экономит
слова.) Очевидно, если Т — фрагмент теории S, то изучение Т
сводится к изучению подходящего дефинициального расширения
подходящей подтеории теории S.
Теперь мы в состоянии сформулировать главные методоло-
гические характеристики ZF:
—	основные математические понятия — такие, как упорядо-
ченная пара, декартово произведение, отношение, функция,
натуральное число, ординал, кардинал и т. д., могут быть
определены в ZF;
—	почти все важные математические теории — это фрагменты
теории ZF.
Эти характеристики определяют особое положение теории мно-
жеств в современной математики. Однако никто не знает, как
убедительно доказать непротиворечивость ZF или какой-либо дру
гой формализации интуитивной (канторовской) теории множеств.
Среди других формализаций наряду с NBG наиболее известны
так называемые теория типов Рассела — Уайтхеда и новые
основания {New Foundation) Куайна. Это обстоятельство не-
сколько портит картину «канторовского рая».
2.3.	СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АРИФМЕТИКИ ПЕАНО
2.3.1.	Элементарная арифметика Пеано РА определяется как эле-
ментарная теория в языке первого порядка, позволяющая фор-
мализовать теоретике-числовые рассуждения, не привлекающие
методов и понятий анализа. Впервые аксиоматизация арифмети-
ки была предложена Р. Дедекиндом в 1901 г. Аксиоматизация Де-
декинда носит полуинтуитивный характер в связи с отсутствием
формального языка с точной математической семантикой для ее
изложения. Предложенные Р. Дедекиндом аксиомы были назва-
ны аксиожал^и Пеано. Эта система состоит из следующих пяти
постулатов:
2.3. Система элементарной арифметики Пеано
69
(Р1) 0 есть натуральное число;
(Р2) для любого натурального числа х существует натуральное
число, обозначаемое х‘ и называемое (непосредственно) сле-
дующим за х;
(РЗ) 0 / х1 для любого натурального числа х;
(Р4) если х’ - у’, то х = у,
(Р5) если Q есть свойство, которым, быть может, обладают одни
и не обладают другие натуральные числа, и если
— натуральное число 0 обладает свойством Q,
— для любого натурального числа х из того, что х обла-
дает свойством Q, следует, что и натуральное число х'
обладает свойством Q,
то свойством Q обладают все натуральные числа.
На основе аксиом Пеано (Р1)-(Р5) может быть построена уже
формальная теория арифметики Пеано РА в языке первого поряд-
ка, которой достаточно для вывода всех основных результатов
элементарной арифметики.
В качестве сигнатуры <7о элементарной арифметики Пеано
рассмотрим сто = (72-0)Мо) такую, что 7?о не содержит ни
одного символа предиката, Jq состоит из 0-местного функцио-
нального символа (константы) 0 (до(0) = 0), одноместной функ-
циональной операции S (po(S) = 1), двухместных операций 4- и
• (//о(+) = До( ) = 2). Далее сигнатуру ctq будем записывать в
виде (+, •, S, 0). Вместо записи S(i) будем использовать запись i',
вместо +(р, q) — запись р 4- q, а вместо -(р, q) — запись р  q.
Выпишем аксиомы элементарной арифметики Пеано РА:
(PAI)	х3 as Х2 -f (xi » х3 -> х2 « х3);
(РА2)	#1 » х2 —» Xj я» xf2;
(РАЗ)	-(х' « 0);
(РА4)	а?! & х'2 —> Xi к х2;
(РА5)	Xi + 0 ~ хи
(РА6)	Xi 4- х'2 яа (xi 4-	х2)';
(РА7)	xj-OrsO;
(РА8) xj • Х2 » (xi  х2) 4-zi;
(РА9)	А(0)&Vx(A(x)А(х')) —» VxA(x),
где А(х) — произвольная формула сигнатуры ctq.
70
Гл. 2, Аясяомлтяческке системы
Заметим, что аксиомы (РА1)-(РА8) являются конкретными
формулами, а (РА9) представляет схему аксиом, порождающую
бесконечное множество аксиом. Схема аксиом (РА9) называется
принципом математической индукции и не соответствует пол-
ностью аксиоме (РА5), поскольку в этом случае мы уже рассма-
триваем не все отношения, а лишь те, которые определимы в
нашем формальном языке.
Аксиомы (РАЗ) и (РА4) соответствуют аксиомам (РЗ) и (Р4)
системы Пеано. Аксиомы (Р1) и (Р2) обеспечивают существо-
вание нуля 0 и операции «непосредственно следующий», кото-
рым в формальной теории соответствует константа 0 и функци-
ональный символ S. Аксиомы (РА5)-(РА8) представляют собой
рекурсивные определения для операций сложения и умножения.
Р. Дедекинд и Д. Пеано не формулировали их в явном виде, так
как предполагали использование интуитивной теории множеств,
в рамках которой существование этих операций выводимо. Мно-
жество (бесконечное) предложений сигнатуры <?о
Ах(РА)={(РА1),(РА2),(РАЗ),
(РА4),(РА5), (РА6),(РА7)} U (РА8)
является аксиоматикой (одной из многих) для РА:
РА = Th (Ах(РА)).
Как и ZF, система РА не конечно-аксиоматизируема. Множе-
ство натуральных чисел N с операцией S(ar) взятия следующего
натурального числа за х (прибавлением к х единицы) обычным
сложением, умножением и константой — числом 0 — называ-
ется стандартной моделью арифметики и обозначается через
91 = (N; +, , S, 0). Всякая модель теории РА, не изоморфная ее
стандартной модели, называется нестандартной моделью тео-
рии РА.
Если мы признаем стандартную модель 91, то мы должны
признать и непротиворечивость этой теории. Однако семанти-
ческие методы, включающие в себя известную долю теорети-
ко-множественных рассуждений, не являются надежной основой
непротиворечивости. Кроме того, мы не доказываем строго, что
аксиомы РА выполняются в стандартной модели 91, а принима-
ем это лишь как интуитивно верное утверждение. В силу этого
вопрос о непротиворечивости РА математически корректно не
решается на этом пути. Существующие в настоящее время до-
казательства непротиворечивости РА опираются на различные
индуктивные постулаты, чего, как мы увидим ниже, невозмож-
но избежать.
2.3. Система элементарной арифметики Пеано	71
Термы О, О', О", О'",... мы называем нрмералажи (цифрами) и
обозначаем, как обычно, через 0,1,2,3,.... В общем случае, для
любого целого неотрицательного п соответствующий ну мер ал
п
О' ”' будем обозначать через п. Нумералы можно определить
рекурсивно: О — нумерал; если и — нумерал, то и' — нумерал.
Через х С У обозначим формулу Зг(г4-ж»у), а через х <
у — формулу (а: $ у&-<х as у).
2.3.2.	Числовое n-местное отношение R называется арифмети-
ческим, если существует такая формула A(xj,... , хп), ^У(А) С
{xi,... , in} сигнатуры сто, что выполняется условие
Я = {(А1,...,АП)|*И^ А(А1,...,АП)}.
Так как числовых отношений несчетное множество, а мно-
жество формул сигнатуры стд счетно, то, очевидно, арифметиче-
ские отношения составляют собственное подмножество множе-
ства числовых отношений. Числовая n-местная функция называ-
ется арифметической, если арифметическим является ее график.
Пусть Sn — теория сигнатуры 12, расширяющей сигнатуру
ctq: Я 3 сто. Числовое п-местное отношение R называется пред-
ставимым в Sn, если существует формула А(х\,... ,хп) сигна-
туры Псп свободными переменными /V(A) = {xi,... ,xn})
такая, что для любых натуральных чисел Ai,..., kn
если(/с1,... ,kn) G Я, то Fsn A(fci,... ,fcn),
если (Ai,... ,AB) £Я, то l~sn -iA(Ai,... , fcB).
Так, например, отношение равенства = между натуральными
числами представимо в Sn формулой xi « хз, если, например,
Sn D РА. С другой стороны, если теория противоречива, то в
ней выводима любая формула и потому — в смысле только что
принятого определения — представимо любое отношение (напри-
мер, формула Xi » Х2 тогда представляет любой двухместный
арифметический предикат). Возникает вопрос, как охарактери-
зовать класс тех отношений (предикатов), которые представимы
в Sn? Для некоторых нужных нам теорий Sn ответ дает
Теорема 2.3.1. Если РА — непротиворечивая система., a —
консервативное расширение РА, то всякое числовое отношение
представимо в S° тогда и только тогда, когда оно рекурсивно.
Пусть по-прежнему сигнатура Л расширяет сигнатуру ctq.
Числовая n-местная функция / называется представимой в те-
ории сигнатуры 12, если существует формула А(хь... , x«+i)
72
Гл. 2. Аксиоматические системы
сигнатуры Я, ЛУ(А) = {xi,... , xn_|.i}, такая, что для любых на-
туральных чисел Дп+1 выполняются следующие условия:
— если /(fci,... ,fcn) = fcn+1, то hsn A(fei,... ,fcn,fen+1);
— hsn 3 !;гп-|-174(Л1,... , &n,zn+]), где 3 lB(y)— сокращение для
3yB(y)&Vi/V;t(B(y)&B(z) -* у as г).
Если Sn противоречива, то в представима любая арифме-
тическая функция.
Теорема 2.3.2. Если РА — непротиворечивая система, a —
консервативное расширение РА, то числовая функция представи-
ма, в S« тогда и только тогда, когда она общерекурсивна.
Числовая n-местное отношение R называется слабо опреде-
лимым в сигнатуры Q D ctq, если существует формула А сиг-
натуры Я со свободными переменными ц,... , хп такая, что для
натуральных чисел , кп
(^ь- • • ,*«)£ R A(kx,... ,/tn).
Теорема 2.3.3. Если РА — непротиворечивая система, a —
консервативное расширение РА, то числовое отношение слабо
определимо в тогда и только тогда, когда оно рекурсивно
перечислимо.
2.3.3.	Пусть Т — произвольная теория первого порядка перечи-
слимой сигнатуры Я. Арифметизацией (гёделевской нумерацией
языка) теории Т мы называем всякую функцию д, инъектив-
но отображающую множество всех символов, выражений и ко-
нечных последовательностей выражений языка £(Т) теории Т в
множество натуральных чисел. При этом требуется выполнение
следующих условий:
— функция д эффективно вычислимая (в самом широком инту-
итивном смысле вычислимости),
— существует эффективная процедура, позволяющая для ка-
ждого числа т определить, является ли т значением функ-
ции д (гёделевским номером), и в случае, если является, то
построить тот объект х, для которого т = д(х) ( т служит
его гёделевским номером).
Для любого символа, выражения или конечной последовательно-
сти выражений L языка Я через г£п будем обозначать соответ-
ствующий годоловский-люмер'	сеотбс'*
2.3. Система элементарной арифметики Пеано	73
Пусть fl — какая-то сигнатура, S11 — элементарная теория
в сигнатуре fl, Ax(Sfi) — аксиоматика для Sn, д — произволь-
но фиксированная арифметизация (гёделевская нумерация языка)
теории Sfi. Пусть
Ахд — множество (одноместное отношение) натуральных чи-
сел такое, что Axg = {х € N [ х = </(Ф), Ф € Ах (S^)};
Prg — множество (одноместное отношение) натуральных чи-
сел такое, что
Prs = {ж е N | х = д(Ф) и Ax(Sn) F Ф
для некоторой Ф € ^(fl)},
т. е. Prs — это множество гёделевских номеров формул сигна-
туры fl, доказуемых в теории Sft. Тогда справедлива
Теорема 2.3.4. Если Ах$ — рекурсивное множество, то множе-
ство Prs рекурсивно перечислимо.
Учитывая теоремы 2.3.1,2.3.3,-определение перечислимой те-
ории и тезис Чёрча, получаем из теоремы 2.3.4 следующее утвер-
ждение.
Теорема 2.3.5. Если РА непротиворечива., a Sf2 — перечи-
слимая теория какой-то сигнатуры fl, то существуют формулы
Axg(x) и Ргд(т) с одной свободной переменной х сигнатуры ар
такие, что Axg(x) представляет в РА отношение	a Prs(x)
слабо определяет в РА отношение Рг^(т).
В силу этой теоремы замкнутую формулу ->Ргд(гт т”1) сиг-
натуры <то можно рассматривать как формальное выражение в
РА высказывания о системе — высказывания «5^ — непро-
тиворечивая система». Эту формулу мы назовем;формальным
аналогом непротиворечивости Sn и обозначим через Consist;.
Формулу Prg называютпредикатом доказуемо-
сти для Ssi.
Пусть — теория сигнатуры fl, fl D <tq. Говорят, что S0
удовлетворяет условиям (выводимости) Гильберта — Бернай-
са, если:
G1) для всякого предложения <р сигнатуры fl
Hsn <р =>bgn Prs(r<p"1);
-G2) для всякого предложения to сигнатуры fl
Hsn Prs( V) - Prs(rPrs(^-)-);
G3) для любых двух предложений tp и ф сигнатуры fl
74
Гл. 2. Аксиоматические сметены
hsn PrsfVJ&PrsO - ф'') -> PrsCV).
Теорема 2.3.6. Элементарная арифметика РА удовлетворяет
условиям выводимости Гильберта — Бернайса. Если формаль-
ная теория Т является расширением РА, то Т удовлетворяет
условиям выводимости Гильберта — Бернайса.
Пусть — теория сигнатуры Я, Я D а0. Теория Sn на-
зывается ш-непротиворечивой, если для всякой формулы А(т)
сигнатуры Я из того, что Fgn А(п) при любом п, следует невоз-
можность hssi Э х~।А(аг).
Теорема 2.3.7. Если теория Sn является ^-непротиворечивой,
то она непротиворечива.
Предложение А сигнатуры Я называется неразрешимым в
теории Т той же (или большей) сигнатуры, если не Ьт А и не
Fj -'А. Очевидно, теория Т полна тогда и только тогда, когда
все предложения языка теории разрешимы в Т.
Теорема 2.3.8 [первая теорема Гёделя о неполноте]. Если эле-
ментарная формальная система Sn ш-непротиворечива и в ней
представимы все (примитивно) рекурсивные функции, то суще-
ствуют неразрешимые в Sft предложения языка теории Sft, т. е.
Sn неполна.
Следствие. Если арифметика РА непротиворечива, то она
неполна. Всякое ^-непротиворечивое расширение теории РА не-
полно.
Теорема 2.3.9 [вторая теорема Гёделя о неполноте]. Пусть эле-
ментарная формальная система	ы-непротиворечива, удовле-
творяет условиям выводимости Гильберта — Бернайса, в ней
представимы все (примитивно) рекурсивные функции. Тогда
7Consisg — неразрешимое в предложение.
Учитывая теорему 2.3.6, имеем
Следствие. Если арифметика РА ^-непротиворечива, то
не 1-рд ConsispA.
Д. Россеру удалось в теореме Гёделя о неполноте заменить
требование ^-непротиворечивости теории S, являющейся рекур-
сивно-аксиоматизируемым расширением РА, условием непроти-
воречивости. Обе теоремы Гёделя о неполноте исключительно
важны для понимания современного состояния оснований мате-
матики. Анализ этих теорем приводится в гл. 7 и приложении.
2.3. Система элементарной арифметики Пеаяо
75
2.3.4.	Пусть У — аксиоматическая система в языке исчисления
предикатов без равенства сигнатуры
ft = (f]”1,... jP"1,... ,R,R),
где R, R — символы одноместных предикатов, а среди предикат-
ных символов Р*1,... может быть и символ равенства. Тогда
через V будем обозначать систему сигнатуры
ft = (ff*1,...;P”1,...R,R),
получающуюся из У заменой ff4 на fjni,...; Р”1 — на Р"1, R —
на R, R — на R.
Аксиоматическая система W в языке ИП^ сигнатуры
называется (У,У)-с1ми*етр«чной, если W = ТЬ(У U V); здесь
(У, У) — аксиоматические системы указанного выше вида с сиг-
натурами ft и ft соответственно, Th соответствует отношению
выводимости в ИПЕ (а не в ИП§, как это было в предыдущих
разделах данной главы).
Пусть Т — аксиоматическая система в языке исчисления
ИПа сигнатуры
<r = (f™1,... ; Р"1,...).
Тогда аксиоматическая система W в языке исчисления ИП^ на-
зывается (У, У)-саяы<етрачной над Т, если W — (У, ^-симмет-
ричная система и У есть расширение Т с помощью какой-то опре-
деляющей аксиомы для R и еще одной аксиомы, связывающей R
и R (R и R не принадлежат гг):
Vx(R(t) ~ -.R(x)).
Всякая (У,У)-симметричная над Т теория является также те-
орией (V, У)-симметричной над Т.
Теорема 2.3.10. (У,У)-симметричная над Т система W непро-
тиворечива, если определяющая аксиома для R в У такова, что
выполнены следующие два условия:
не FyVxR(x); не Ир Va-iR(x).
76
Гл. 2. Аксиоматические системы
Следствие. Если W — (V, Х?)-симметричная система, нал Т и
если Ну 3 я:—1ЕС(лт), Ну 3xR(z) то W — консервативное расшире-
ние Т (и Т).
Первопорядковую арифметику Пеано РА можно рассматри-
вать как формальную теорию в языке исчисления предикатов без
равенства, если символ равенства « считать сигнатурным пре-
дикатным символом. Пусть А(х) — какая-то формула арифме-
тики, слабо определяющая рекурсивно перечислимое нерекурсив-
ное множество R в РА (предполагаем, что РА непротиворечива).
Расширим арифметику РА, добавляя к ее аксиомам еще две:
(i) Vi(R(a:) w А(х));
(ii) Vx(R(x) w-iR(x)).
Полученную таким образом систему в сигнатуре
По = (+,	0;яв, R, R)
обозначим через Vo- Отправляясь от Vo, образуем систему Vo,
как указано выше. Очевидно, сигнатурой системы Vq будет
П0 = (+Л?Л;«, R, R).
Рассмотрим систему Жо в языке исчисления ИП2° сигнатуры
So = (+, +, •,*,',', 0, 0; и, S, R, R), положив
Жо = Th(V0 U Vo).
Ясно, что Жо — (Vo, Vo)-симметричная над РА система.
Как мы уже сказали, формула А(х) выбрана так, чтобы она
слабо представляла в РА рекурсивно-перечислимое нерекурсив-
ное множество R. Точно так же можно утверждать, что формула
А(я:), получаемая из А(х) при указанном выше переходе от Vq к
Vo, слабо представляет в Vq некоторое рекурсивно перечислимое
нерекурсивное множество, скажем, R. Какие — рекурсивно пере-
числимые или нет — множества слабо определяют формулы 4(а:)
и А(т) в системе Жо? Однозначного ответа на этот вопрос нет,
так как, с одной стороны, формулы А(я) и А(г) играют совершен-
но симметричные роли в системе Жо, а с другой стороны, соглас-
но аксиоме (ii) в Жо выводимо предложение Ух(А(а:) w -^А(х)).
Поэтому этот вопрос не имеет смысла. Значит, к множествам,
слабо представимым в некоторых (V,V)-симметричных теориях,
не применимы в полном объеме характеристики их как множеств,
2.3. Система элементарной арифметики Пеано
77
рекурсивно перечислимых или нет в стандартном значении по-
нятия рекуреивности.
Осталось заметить, что (V, V)-симметричные теории не со-
всем искусственны. В частности, теорема 2.3.10 допускает физи-
ческие истолкования. Одно из них сводится к следующему:
Т — кинематика пар событий, наблюдаемых в инерциальной
системе отсчета о;
Т — кинематика пар событий, наблюдаемых в инерциальной
системе отсчета /3;
R(x) — сокращение «пара х состоит из одновременных и
пространственно разнесенных (в системе отсчета о) событий»;
R(i) — сокращение «пара х состоит из одновременных и
пространственно разнесенных (в системе отсчета (3) событий».
Фрагмент частной теории относительности, связанный с кинема-
тикой только парных событий, в том как раз и заключается, что
он утверждает непротиворечивость соответствующей (V, V)-сим-
метричной над Т теории W, если системы отсчета а и (3 предпо-
лагаются движущимися относительно друг друга.
Глава 3
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ:
СТАНДАРТНЫЙ ПОДХОД
Любая естественно-научная теория, используемая в практиче-
ских научных исследованиях, — это чрезвычайно сложный объ-
ект для изучения. Поэтому, прежде чем определить содержание
термина «эмпирическая теория», полезно предварительно пред-
ставить себе, зачем она нужна. Существуют две основополага-
ющие точки зрения на назначение научной теории, которые мы
условно назовем «реализм» и «утилитаризм».
С точки зрения реализма эмпирические теории нужны для
того, чтобы знать (хотя бы фрагментарно и предположительно)
подлинную картину мира. Реалист воспринимает любую науч-
ную теорию h как гипотетическое утверждение вида
Vx(RF(x)bSh(x)^Wh(x))f	(3.1)
где квантор V относится к области всех возможных объектов вни-
мания, а предикаты S^, Ид, RF имеют следующие смыслы:
RF(x) — «х есть фрагмент реальной действительности»,
5л(®) — *х есть возможный предмет теории А»,
Wh(x) — *х есть возможный мир теории Л».
Предполагается, что предикаты 5д и Ид задаются исследо-
вателем, тогда как частичный (на классе всех возможных объек-
тов внимания) предикат RF принципиально не подлежит опре-
делению: его задают факты действительности. Выбор 5’д мо-
тивируется предметом исследования, а выбор Ид — характером
высказываемого предположения.
Будем говорить, что объект а согласуется с теорией h, если
RF(a) Л Sh(a) =$ Wh(a),	(3.2)
и объект а опровергает теорию h в противном случае.
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход	79
Таким образом, теория Л, сформулированная как гипотетиче-
ское утверждение (3.1), есть следующее предположение о реаль-
ности: подлинная картина мира такова, что для любого объекта
внимания выполняется условие (3.2).
Принимая такую теорию, мы тем самым считаем, что любые
объекты согласуются с теорией h. Это предположение заведо-
мо истинно, если объем предиката включает объем предика-
та 3^. Если объем предиката W/, пуст, а объем предиката —
нет, то теория h сформулирована абсурдным образом: она либо
заведомо опровергается (в случае непустого пересечения объемов
предикатов RF и 5д), либо бессодержательна (если объемы пре-
дикатов RF и Sh не пересекаются).
Отметим, что здесь понятие «объект* шире понятия «на-
блюдаемый^ объект» («наблюдение», «результат наблюдения»):
в область действия квантора V входят бесконечные фрагменты
действительности, бесконечные возможные предметы и бесконеч-
ные возможные миры. “
Реализм не трактует понятие «эмпирическая теория» лишь
как теорию о наблюдениях. Последние требуются реалисту как
эвристические основания для формулировки и принятия теории.
Однако после установления теории предсказание исходов новых
наблюдений — практически важный, но второстепенный вопрос,
поскольку главная цель реалиста — знать, каков мир «на самом
деле» безотносительно к попыткам наблюдать его.
В своих крайних формах реализм превращается в рациона-
лизм, вообще отрицающий значимость опыта для познания.
В утилитаристском учении речь идет не о мире «на самом
деле», вне зависимости от наблюдений; здесь «объект» — это на-
блюдаемый объект. В отличие от реалиста представитель ути-
литаризма рассуждает более приземленно и объясняет необходи-
мость эмпирических теорий не столько необходимостью предста-
вить «картину мира», адекватную реальности, сколько возмож-
ностью прогнозировать те или иные события.
Понятно, что речь идет о предвидении событий, доступных
наблюдению, так как о принципиально ненаблюдаемых явлени-
ях заведомо можно делать любые предсказания. Поэтому с точ-
ки зрения утилитаризма любая эмпирическая теория есть всего
лишь предположительное высказывание следующего характера:
если мы будем наблюдать мир определенным образом О, то ни-
когда не получим наблюдений определенного типа Т. При этом
Мы принимаем (а не просто излагаем) данную эмпирическую те-
80
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход
орию, когда соглашаемся не ожидать событий типа Т, если в
нашей деятельности мы не собираемся выходить за рамки осу-
ществления способа наблюдений О.
Возможно, приняв какую-либо теорию, мы поступили опро-
метчиво. Когда это выясняется (например, в результате факти-
ческого наблюдения события, которого не могло быть согласно
принятой теории), мы говорим, что теория оказалась фальсифи-
цированной или ошибочной (ложной).
Разумеется, утилитарист вправе дополнительно полагать (и
это не будет отступлением от его позиций), что эмпирическая
теория дает представление о верной или неверной картине мира,
что эмпирическая теория высказывается не только о наблюдае-
мых явлениях, но и о теоретических сущностях. Однако такие и
подобные им характеристики теории имеют для утилитаристов
второстепенное значение.
Для утилитариста любая теория, дающая нечто большее,
чем пару (О,Т), содержит излишества, возможно, улучшающие
изложение или восприятие теории, но не являющиеся необходи-
мыми для того, чтобы эта теория служила средством ориентации
в потоке наблюдений.
Различие исходных целевых установок реализма и утилита-
ризма предопределяет различие ответов на вопрос: «Что счи-
тать приемлемой идеализацией (максимально упрощенной логи-
ческой реконструкцией) эмпирической теории?» Традиционные
(стандартные) воззрения тяготеют к реализму, а нетрадицион-
ные (нестандартные) — к утилитаризму.
В данной главе мы рассматриваем логические реконструкции
эмпирических теорий в традиционном подходе.
3.1.	СТАНДАРТНАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ
Согласно (3.1) теория h определена, если заданы предикаты и
W^. Традиционный подход к эмпирическим теориям основан на
задании этих предикатов специальным образом. Имеется в виду
следующее:
(а)	объемы предикатов 5\, задаются как классы некоторых
так называемых интерпретаций предварительно выбранного
языка L (с равенством) первого порядка (предикатной) сиг-
натуры Q;
(б)	классы интерпретаций согласуются друг с другом, т. е. вы-
бор одного из них частично определяется выбором другого;
3. J. Стандартная логическая реконструкция
81
(в)	согласование классов интерпретаций управляется выбором
аксиоматической системы Т в языке L.
Ниже мы уточним пункты (а)-(в), но предварительно приведем
некоторые необходимые математические сведения.
3.1.1.	Пусть Zi — язык (с равенством) первого порядка сигна-
туры 9, a Lq — такой же язык сигнатуры о>. Символами Li и
Lq обозначаем также множества всех предложений языков L\ и
Lq. Пусть 12 D о». Без ограничения общности считаем, что 12
(следовательно, и си) содержит только предикатные символы.
Класс всех моделей языка Lq сигнатуры обозначим через
т“, а класс моделей языка L\ сигнатуры 0 — через Иногда
вместо тш пишем Mq, а вместо тп пишем Mi- Для ЯЛ 6
через ЯЛ|0 обозначим обеднение модели ЯЛ до сигнатуры си, т. е.
ЯЛ|0 — это модель, полученная из ЯЛ удалением всех отношений,
обозначаемых теми символами из 12, которые не вошли в ш. Напо-
мним, что модель ЯЛ называется обогащением (до сигнатуры 12)
модели ЯЛ|0. Если М С т^, то определим класс
М |0 = {ЯЛ | ЯЛ = Я1|о для некоторой модели Я1 G М}.
Иными словами, M|o — это класс всех обеднений до сигнату-
ры ш всех моделей из М. Аналогично для заданного множества
предложений А С L^ через А[о обозначаем множество АГ) £q.
Теорию Th(3f) класса моделей М С М, (i = 0,1) и класс
моделей Mod (А) множества предложений А С Z, будем понимать
обычным образом:
Th (А/) = {р е Li | ЯЛ |= р, ЯЛ G М},
Mod;(A) = {ЯЛ € Mi I ЯЛ |= р, р G А},
где ЯЛ |= р означает, что р истинно в ЯЛ. Заметим, что для
любого класса М С т!! справедливо равенство
Th(M|0) = Th (Af)|0 .
Множество предложений языка Z,, выводимых из множества
предложений А С обозначается через Th, (А). По теореме
о полноте Th; (А) = Th (Mod (А)). Напомним, что множество
А С Li называется аксиоматической системой (в языке £,), если
А = Th; (А). Мы будем использовать греческие буквы Ф, Ф, Г и
т. п. при обозначении переменных для аксиоматических систем.
Пусть Ф и Ф — аксиоматические системы. Как обычно, если
обе они в одном и том же языке Z; (г = 0,1) и Ф С Ф, мы говорим,
82
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход
что Ф — усиление Ф. Если же Ф С Zq, Ф С Li и Ф С Ф, мы
говорим, что Ф — расширение Ф.
Пусть Ф С Lq, Ф С L\. Определим отношения Ср, Ст между
системами Ф и Ф следующими условиями:
ФСрФ, если и только если Ф[о С Ф;
ФСтФ, если и только если Мой(Ф) С Mod (Ф)|о-
Заметим, что объем предиката Ст уже объема предиката Ср
Будем называть аксиоматическую систему Ф консерватив-
ной относительно аксиоматической системы Ф в теоретико-
доказательственном (теоретико-модельном) смысле, если ФСрФ
(соответственно ФСтФ).
Из определения ясно, что важно различать теоретико-доказа-
тельственный (синтаксический) и теоретико-модельный (семан-
тический) смыслы консервативности. Если ФС'рФ и Ф С Ф, то
аксиоматическая система Ф есть консервативное расширение ак-
сиоматической системы Ф в обычном для большинства матема-
тических текстов смысле.
3.1.2.	Пусть Ф С Lq, Г С Zi и Ф С Г.
•	Аксиоматическая система Ф С Е^азывается
—	синтаксически несущественной частью расширения Г
системы Ф, если ФСрФ и Thj(Г|о U Ф) = Г;
—	семантически несущественной частью расширения Г
системы Ф,если ФСтФ и Thj( Г|о U Ф) = Г.
Обозначим через 1рф(Г) (1тф(Г)) класс синтаксически (семанти-
чески) несущественных частей расширений Г системы Ф. При-
ведем некоторые результаты2) для классов 1рф(Г), 1тф(Г).
Поскольку объем отношения С^уже объема отношения
сразу заключаем, что 1тф(Г) С 1рф(Г). Менее очевидны следую-
щие утверждения.
Теорема 3.1.1. Если ФСрГ, то 1рф(Г) = {Г}.
Теорема 3.1.2. Если ФСтГ, то 1п1ф(Г) = {Г}.
Теорема 3.1.3. Если Ф и Г конечно-аксиоматизируемы, а Г|о не
конечно-аксиоматизируема, то 1рф(Г) — йпф(Г) = 0.
Теорема 3.1.4. Имеются системы Ф, Г такие, что
1Рф(Г) — 1Шф(Г) = 0.
Przelgcki М. Problem interpretacji jizyka empirycznego w ujeciu teorio-
modelowym // Studia Filozoficzne. 1974. V. 1. S. 144, 145.
Przel^cki M., Wojcicki R. Inessential parts of extensions of first-order
theories // Studia Logica. 1971. V. 28, N 1. P. 85.
3.1, Стандартная логическая реконструкция
83
Теорема 3.1.5. Если ФСРГ, но не ФСтГ, то верны соотношения
1рф(Г) / 0, 1Шф(Г) = 0.
Теорема 3.1.6. Имеются системы Ф, Г такие, что
1Рф(Г) / 0, 1Шф(Г) = 0.
Теорема 3.1.7. Если Фь Ф3 € 1рф(Г), то Ф1 П Ф3 € 1рф(Г).
Теорема 3.1.8. Если Ф^, Ф3 G 1тф(Г), то Ф1 П Фз € ппф(Г).
Из теоремы 3.1.7 вытекает, что ПХ € 1Рф(Г) Для каждого ко-
нечного множества X С 1рф(Г). Аналогично в силу теоремы 3.1.8
ОХ € 1тф(Г) для каждого конечного множества X С ш1ф(Г).
Здесь условие конечности X существенно, что подтверждают
следующие две теоремы.
Теорема 3.1.9. Имеются системы Ф, Г такие, что 1рф(Г) — бес-
конечный класс и ГИрф(Г) 1рф(Г).
Теорема 3.1.10. Имеются системы Ф, Г такие, что ппф(Г) —
бесконечный класс и ГИтф(Г) 1п1ф(Г).
Классы 1рф(Г), 1тф(Г) могут рассматриваться как множе-
ства, упорядоченные включением С. На основании указанных
теорем каждый минимальный элемент в 1рф(Г) (>тф(Г)), если он
существует, должен быть наименьшим в 1рф(Г) (1шф(Г)). Кроме
того, наименьший элемент Ф* в 1рф(Г) (1тф(Г)), если он суще-
ствует, является симметричным в 1рф(Г) (ппф(Г)), т. е. удо-
влетворяет условию ТЬ1(Ф* U Ф) € 1рф(Г) (1тф(Г)) для любой
системы Ф G 1рФ(Г) (ппф(Г)).
Если понимать под объединением систем Ф^, Фз С систе-
му Th,- (Ф1 иФз), i = 0,1, то можно утверждать, что объединение
систем Ф1, Фз, принадлежащих 1рф(Г), необязательно принадле-
жит 1рф(Г). То же справедливо относительно элементов класса
1Щф(Г). Тем не менее имеет место
Теорема 3.1.11. Если X 0, X С 1Рф(Г) и X — дель (т. е.
Ф1 С Фз или Фз С Ф1 для любых Ф1, Ф3 € X), то UX G 1рф(Г).
В силу этой теоремы и леммы Цорна справедлива
Теорема 3.1.12. Если 1рф(Г) / 0, то 1рф(Г) имеет максималь-
ный элемент.
Можно указать примеры конкретных систем Ф и Г, подтвер-
ждающие, что наибольший элемент в 1Рф(Г) (нпф(Г)). существу-
ет не всегда.
Аналог теоремы 3.1.11 несправедлив для 1тф(Г). Действи-
тельно, имеет место
84
Гл. .3. Эмпирические теории: стандартный подход
Теорема 3.1.13. Для некоторых систем Ф и Г имеется непустая
цепь X С 1тф(Г) такая, что UX нпф(Г).
3.1.3.	Как указывалось выше, в этой главе мы рассматриваем в
качестве возможных предметов эмпирической теории только те
объекты внимания, которые являются интерпретациями какого-
то языка L\ первого порядка.
Понятие «интерпретация языка» отличается от понятия «мо-
дель языка» и возникает при обсуждении проблемы о том, как
осуществляется классификация моделей Zj по следующему прин-
ципу: «фрагменты реальной действительности» (для краткости
назовем их «реальные фрагменты») и «фрагменты нереальной
действительности» (назовем их «нереальные фрагменты»).
Разбиение класса тп^ на реальные и нереальные фрагменты
не определяется однозначно фактическим устройством мира, су-
ществующего (если он существует) независимо от нас. Для одно-
значности разбиения требуется дополнительное соглашение. Та-
ковым является выбираемое нами истолкование языка Zj. Пре-
жде чем уточнять, о чем идет речь, приведем пример.
Пусть Z — язык сигнатуры (Р, Q), где Р, Q — символы од-
номестных предикатов, и {К}, {П}, { К, П} — множества, состо-
ящие соответственно из Клинтона, Пегаса, Клинтона и Пегаса:
Клинтон	Пегас	Клинтон и Пегас
Рассмотрим несколько моделей языка Z:
ЯП! =	({К, П}; { }, { });	ЯИ2 = ({К, П}; { }, {К});
ЯПз =	({К,П};{ },{П});	ЯИ4 = ({К,П}; { }, {К,П});
ЯЛ5 =	({К, П}; {К}; {});	ЯЛ6 = ({К,П}; {К}, {К});
ЯП7 =	({К, П}; {К}, {П});	ЯП8 = ({К,П}; {К}, {К, П});
ЭТ9 = ({К, П}; {П}, { }); ЯЛщ = ({К, П}; {П}, {К});
ЗЯ11 = ({К, П}; {П}, {П});	ЯИ12 = ({К, П}; {П}, {К, П});
ЯИ1з = ({К, П}; {К,П}, { });	ЯИн = ({К, П}; {К, П), {К});
ЯП15 = ({К,П};{К,П},{П}); ЯИ16 = ({К,П};{К,П},{К,П}).
3.1. Стандартная логическая реконструкция
85
(фактически здесь перечислены все модели на множестве {К, П}
языка I.) В определенном смысле каждая из них является фраг-
ментом действительности уже потому, что она объект внимания.
Однако вопрос о том, какие из этих моделей относятся к реаль-
ным фрагментам, а какие — к нереальным, лишен смысла, пока
цы не дали истолкование языка. Деление моделей на реальные
и нереальные фрагменты зависит от выбора истолкования. При-
ведем несколько различных истолкований языка L.
ИСТОЛКОВАНИЕ Ц ЯЗЫКА L
Предикат Р трактуется как свойство «быть человеком», а пре-
дикат Q — «быть мифическим существом». Тогда модель ЯЛ?
есть реальный фрагмент, а остальные пятнадцать моделей суть
нереальные фрагменты.
ИСТОЛКОВАНИЕ 1% ЯЗЫКА L
Предикат Р трактуется как свойство «быть четным числом»,
а предикат Q — «быть нечетным числом». Тогда только мо-
дель ЯЛ1 является реальным фрагментом.
ИСТОЛКОВАНИЕ /з ЯЗЫКА L
Предикат Р трактуется как свойство «быть черноглазым чело-
веком;», а предикат Q — «быть мифическим существом». Тогда
уже не модель SJI7, а модель ЯЛз есть реальный фрагмент (напо-
мним, что Клинтон голубоглаз).
истолкование Ц языка L
Предикат Р трактуется как свойство «быть одушевленным», а
предикат Q — «быть глокой куздрой». Тогда модели SEJls-OJtg и
модели ЯЛ1з~ЯИ1б суть реальные фрагменты, тогда как осталь-
ные модели — нереальные фрагменты. Уточним свойство «быть
одушевленным», исключив из одушевленных любые мифические
существа. Тогда модели ЛИ]3-ЯЛj6 превратятся в нереальные
фрагменты. Кроме того, дополнительно конкретизируя понятие
«глокая куздра», можно отнести к нереальным фрагментам одну,
две или три из оставшихся четырех моделей OTs-OTg.
Приведенные примеры показывают, что любое истолкование
языка позволяет однозначно задать разбиение рассматриваемо-
го вида на классе моделей этого языка. С другой стороны, сама
возможность любой такой дихотомии предполагает какое-то ис-
толкование языка. Иными словами, речь идет о следующем.
(i) Если I — какое-то истолкование языка Lj (сигнатуры fi),
86
Гл. 3. Эмпирические теории: стлндарткыв подход
а ЯП — произвольная модель этого языка, то (частичный на
классе всех объектов внимания) предикат RF определен на,
объекте (7, ЯП) и не определен на объекте ЯП.
(ii) Истолкованию I однозначно соответствует предикат RFj на
тР (разбиение класса rrS1 на две части) такой, что
(УЯЛ € т°)(ЙГ/(ЯП) о RF((I, ЯП))).	(3.3)
Условимся объем предиката RFj обозначать через |7?F/| и
называть интерпретацией языка L\ пару (7, ЯП), где I — ис-
толкование языка Zj, ЯП — его модель. Согласно (i) в каче-
стве реальных и нереальных фрагментов следует рассматривать
именно интерпретации, а не модели языка Zj, Причем если мы
знаем, что некоторая интерпретация а = (Z, ЯЛ) есть реальный
(нереальный) фрагмент, т. е. RF(I,9JV) (не ЯР(7,ЯП)), то будем
называть интерпретацию а фактом {негативным фактом в или
отрицанием факта а). Установить факт а (отрицание факта а)
значит узнать, что 7?F(a)(He 7?F(a)).
Согласно (ii) каждое истолкование I языка L\ определяет
разбиение класса тп° на две части: класс моделей |RFj | и класс
моделей тР \ |RFj\. Однако, из (ii) и даже из (ii) совместно с (i)
не следует, что знать истолкование I значит знать и указанное
разбиение. Ввиду (3.3), чтобы определить, принадлежит ли мо-
дель ЯЛ классу |7?F/|, требуется не только знать истолкование 7,
но и установить факт а = {Г, ЯП) или его отрицание. В приве-
денном выше примере, зная истолкование 7з языка Z, мы вправе
отнести модель ЯИз к реальным фрагментам только тогда, когда
установим факт, что Клинтон не черноглаз. Здесь прослежива-
ется аналогия с тем, что знать программу вычисления числа —
это еще не значит знать само число.
Особо подчеркнем, что истолкование 7 языка Zi не отождес-
твляется с разбиением класса моделей этого языка на две
части (т. е. с предикатом RFj) и остается в контексте обсужда-
емой доктрины исходным (неопределяемым) понятием.
Тем не менее естествен вопрос: для всякого ли разбиения
класса на две части найдется истолкование 7 языка Z] та-
кое, что это разбиение будет совпадать с тем, которое отвечает
предикату RFj, задаваемому условием (3.3)?
Отметим, что в рамках обсуждаемого в данной главе тра-
диционного подхода нет необходимости предполагать, что су-
ществует определенное решение этой философской семантико-
онтологической проблемы (о свойствах истолкований 7 и преди-
3.1. Спидлртпи логическая реконструкция
87
хата RF). Однако некоторое предположение о возможных истол-
кованиях языка L\ все-таки делают, а именно: предполагается,
что существуют и используются в связи с эмпирическими тео-
риями такие истолкования I языка Li, которые для некоторой
части о> сигнатуры (I (w С Q) удовлетворяют условию
(УОТ G т°)(УОТ' G mP^RFj^R) Л ОТ|0 - OT'Iq => ЯГ/(ОТ')).
(3-4)
Пусть для сигнатуры ш и истолкования I языка L\ сигнату-
ры fl Э w выполняется условие (3.4). Тогда будем говорить:
—	язык содержит эмпирический (при истолковании I)
подъязык Lq сигнатуры и> С fl;
—	предикатный символ изо/ есть эмпирический или О'тер-
мину
—	предикатный символ из fl \ ш есть теоретический или
Т~ термин:,
—	модель ЯП 6 содержит эмпирическую часть, т. е.
обеднение ОТ|0 модели ЯП до сигнатуры и;
—	интерпретация (ДОТ) есть и>-эмпирическая}
—	истолкование I есть и-эмпирическое.
Если ОТ|0 — эмпирическая часть модели ОТ, а ОТ и ш конечны,
то ОТ|0 называется наблюдаемой частью модели ОТ.
0-Эмпирическое истолкование I называется чисто теоре-
тическим, а fl-эмпирическое истолкование I — чисто эмпири-
ческим.
Основная черта ^-эмпирического истолкования языка L\ —
полная размытость смыслов Т-терминов, Приведенные выше ис-
толкования /1, Д, /3 языка L сигнатуры (1 = (P,Q) являются
примерами чисто эмпирических истолкований, а Ц — примером
{Р}-эмпирического истолкования. В истолковании Ц Т-терми-
ном является символ Q — «быть глокой куздрой», смысл кото-
рого не определен.
3.1.4.	Вернемся к обсуждению основных аспектов традиционного
подхода к эмпирическим теориям. Процедуру задания предика-
тов Sh и Wfr можно теперь поэтапно описать следующим образом.
ЭТАП 1
Выбираются языки L\, Lq (сигнатур fl, ш) и истолкование I язы-
ка Zi так, чтобы язык Lq оказался эмпирическим (при истолко-
вании I) подъязыком языка L{.
88
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход
ЭТАП 2
Выбираются аксиоматические системы Е С Lq и Т С L\ такие
что Т является расширением Е. Объемом (W/J предиката
объявляется класс интерпретаций, определяемый условием
|ЖА| = {(ДОТ)|ОТе Mod (Г)}.	(3.5)
этап 3
Определяется класс	Если im£?(T) — 0, то теория h
с выбранными аксиоматическими системами Е, Т объявляется
невозможной. В случае im^(T) / 0 переходят к этапу 4.
ЭТАП 4
Выбирается элемент класса im^(T) — аксиоматическая систе-
ма S € im^T). Объемом |S/J предиката объявляется класс
интерпретаций, определяемый условием
|Sfc| = {(ДОТ) | ОТ G Mod (S')}.	(3.6)
Таким образом, эмпирическая теория h однозначно задается
шестеркой (ш, fi, I, Е, Т, S). Представление
Л = (ш,12,ДЕ,Д5)	(3.7)
называется стандартным представлением или стандартной
логической реконструкцией (идеализацией), (ш,(1,Е,Т,3) — фор-
мализмом, а истолкование I — содержательным базисом эмпи-
рической теории 6.
Иногда''стандартные* представлением теории h называют
пару (Т, т*), где Т — аксиоматическая система в языке £i, а
подкласс тп* класса Mod (Т) определяется следующим образом:
т* = {ОТ G mfi | ОТ G |7?F/| П Mod (Т)}.
В этом представлении формализмом теории h называют систе-
му Т, а наличие содержательного базиса I подразумевают не-
явно. Также здесь считают, что класс возможных миров тео-
рии h — это класс т*.
Теперь можно уточнить пункты (а)-(в) (см. начало 3.1).
Точный смысл пункта (а) передается утверждениями
|SA| С {(ДОТ) I ОТ G mft}, IIV/J С {(ДОТ) I ОТ е тП}.
Пункт (б) поясняется формулами (3.5), (3.6) и соотношени-
ем S Е imjr(T). Выбор S’ (следовательно, S/j связан с выбором
в той мере, в какой im£(T) зависит от Т. Выбор S не свя
зан с выбором Wk в той мере, в какой ш1-£ (Т) не зависит от Т-
3.J. Стандартная логическая реконструкция
89
3 зависит от Е. Выбор Ид не зависит от выбора .$'д [см. (3.5)].
^утекающее из (3.5), (3.6) и определения im^fT) соотношение
llfftl £ l^ftl нельзя рассматривать как зависимость, поскольку
оно является логическим следствием заранее оговоренных усло-
вий и выполняется при любом выборе Уд в рамках этих условий.
Смысл пункта (в) очевиден: система Т участвует как в опре-
делении 5д, так и в определении [см. (3.5), (3.6)]. В этом
смысле она выполняет две функции: частично определяет, о чем
высказывается теория Л, а частично — что именно она выска-
зывает. О первой функции системы Т говорят как о конвенции
в установлении предмета теории Л, а о второй — как о позна-
вательно значимой (высказывательной) роли. Ниже мы увидим,
что этому разграничению ролей отвечает разбиение системы Т
на две части — аналитическую и синтетическую компоненты.
Выборы на этапах 1, 2, 4 задания теории h произвольны в
том смысле, что они определяются (сверх указанных условий)
прагматическими соображениями, содержание и природу (проис-
хождение) которых нецелесообразно ограничивать заранее уста-
новленными жесткими рамками.
Тем не менее, приступая к определению конкретной теории,
всегда важно иметь в виду следующее обстоятельство.
Как отмечалось выше, цель задания эмпирической теории —
сформулировать конкретное предположение вида (3.1). Стан-
дартное представление (3.7) обеспечивает выполнение этой цели
при дополнительном соглашении относительно того, как от ше-
стерки (ш,£1,1,Е,Т,3) перейти к процедуре проверки условия (3.2)
для любого объекта внимания а. Собственно говоря, в такой про-
цедуре заключен смысл предположения (3.1), а следовательно, и
теории h. Условия, налагаемые на выбор cj, Q, 7, Е, Т и S,
указаны с учетом именно этого соглашения, в соответствии с ко-
торым в качестве процедуры проверки условия (3.2) (процедуры
придания смысла теории h) предлагается определенная последо-
вательность шагов.
ШАГ 1
Рассматриваем объект внимания а. Располагая w, П, I, выясня-
ем, является ли а ^-эмпирической интерпретацией при истолко-
вании I языка Li- Если нет, то объявляем, что объект а не отно-
сится к теории Л, и рассматриваем другой объект внимания ар
Если да, то устанавливаем, какая именно из ш-эмпирических ин-
терпретаций соответствует а, т. е. какая именно модель ОТ из
является вторым членом пары (/, ОТ) при а = (/,ОТ).
90
Гл. 3. Эмпирические теории.- стандартный подход
ШАГ 2
Располагая Е, выясняем, принадлежит ли w-эмпирическая часть
ЯЯ|0 модели ОЛ классу Mod (£). Если STI|0 $ Mod(£), то объявля.
ем, что интерпретация (/, ШТ) (объект а) не относится к теории h,
и рассматриваем другой объект внимания. Если 97l|0 € Mod(E)
то переходим к дальнейшим шагам.
шаг 3
Располагая S, выясняем, принадлежит ли а = (/,971) классу
|5д|, т. е. принадлежит ли модель ШТ классу Mod(5). Если
ШТ $ Mod (5), то объявляем, что интерпретация а не относится
к теории h и переходим к рассмотрению других объектов внима-
ния. Если ШТ G Mod(S), то объявляем, что объект а относится к
предмету теории h.
шаг 4
Устанавливаем, является ли предмет теории а = (/,971) реаль-
ным фрагментом, т. е. имеет ли место соотношение RF((I, ШТ)).
Если не RF((I,971)), то объявляем а несущественным для теории
ввиду его нереальности и переходим к рассмотрению других объ
ектов. Если ЯЕ((/,ШТ)), то объявляем а фактом, существенным
для теории Л, татем переходим к завершающему шагу 5.
шаг 5
Располагая Т, выясняем, принадлежит ли существенный для те-
ории факт а классу |Ж^|, т. е. принадлежит ли модель 971 из
(/,971) = а классу Mod(T). Если 97Т € Modf/1), то объявляем,
что факт а согласуется с теорией h. Если 971 Mod (Т), то объ
являем, что факт а опровергает теорию h.
Предположение вида (3.1) тривиально в двух крайних (вы-
рожденных) случаях: когда оно заведомо согласуется с любым
фактом и когда заведомо существует факт теории Л, опровер-
гающий это предположение. Легко видеть, что только что изло-
женное соглашение о процедуре проверки теории h исключает из
числа возможных второй случай, оставляя допустимым первый.
Таким образом, в рамках традиционного подхода принятие заве-
домо неверных эмпирических теорий исключено. В связи с этим
замечанием поясним роль этапа 3 задания теории и тем самым
роль условия S € ini£ (71) при выборе 5^ на этапе 4.
Пусть S,T — аксиоматические системы в языке L}, опреде-
ляющие предикаты и соотношениями (3.5) и (3.6). Если
мы считаем возможным, что предположение вида (3.1), сформу-
3.1. Стандартная логическая реконструкция
91
лИрованное как теория ft, может быть нетривиальным, то следует
гакже считать выполненным условие
Mod (S') Э Mod (Г)	(3.8)
иди, что то же самое,
S С т.	(3.8')
Кроме того, следует потребовать выполнения условия
Mod(£)D Mod(S)|0,	(3.9)
ибо нарушение этого условия означает рассогласование между
тагами 2 и 3 процедуры проверки теории: на шаге 3 отменялись
бы результаты, полученные на шаге 2.
Допустим, что S удовлетворяет дополнительному условию
(УЯЯ € тпЙ)(ЯЯ Е Mod (Т) => (ЗАЛ' € ЯЯП)
(НИ' |0 = ЯЯ|0ЛЯЯ' 6 Mod (5) Л SUf Mod (Г))) (3.10)
и некоторая интерпретация а ~ (/,£01) есть факт, согласующийся
с теорией Л, т. е.
ЙТ'((7,ЯЯ)) Л ЯЯ Е Mod(T).	(3.11)
Тогда в качестве логического следствия условий (3.10) и (3.11)
мы должны допустить, что для модели ЯЯ из (7,ЯЯ) = а найдется
модель ЯЯ' такая, что
ЯЯ^ - ЯЯ|0 Л ЯЯ' Е Mod (5) Л ЯЯ' £ Mod (Г).	(3.12)
Так как истолкование / является w-эмпирическим, в силу (3.4),
(3.11) и (3.12) объект a' — (1,Я&1') есть факт, опровергающий
Теорию Л, т. е.
Я^((/,ЯЯ'))ЛЯЯ' Е Mod (S’) Л ЯЯ* £ Mod(T).
Иными словами, если бы для S выполнялось условие (3.10), то
Можно было бы утверждать, что при согласовании теории Л хотя
бы с одним фактом а заведомо найдется факт а', опровергающий
теорию Л.
Таким образом, чтобы гарантированно исключить из рассмо-
трения тривиально (заведомо) опровергаемые теории, мы долж-
ны при выборе S наложить дополнительное, помимо (3.8) и (3.9),
ограничение, противоположное условию (3.10). Легко видеть,
Что отрицание условия (3.10) выглядит так:
92
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход
(ЭШ1 е тП)(ОТ € Mod (Т) Л (VOT' € тП)
(OTl'|D = rot|0 Л ОТ' е Mod (5) => да' е Mod (Т))). (3.13)
Также нетрудно видеть, что соотношение S Е >m£ (Т) влечет
все три соотношения: (3.8) [или (3.8')], (3.9) и (3.13). Обрат-
ное утверждение неверно. Следовательно, S’ € im^ (Т) — доста-
точное (но не необходимое) условие отсутствия заведомого опро
вержения теории h. Именно эту роль выполняет ограничение
5 € im^ (Г) на выбор Теперь очевидна и роль шага 3.
Так как условие S G im£(T), если оно выполнимо, необяза-
тельно определяет S однозначно, выбор на этапе 4 конкретной
системы .9 из класса ini£?(T) зависит от прагматических факто-
ров, заранее учесть которые невозможно. В связи с этим любая
информация относительно im£ (Г) может оказаться полезной. В
частности, если по тем или иным причинам в качестве 5 вы-
бирается наибольший (наименьший, симметричный) элемент в
imjr (Т), то теоремы 3.1.9-3.1.13 могут оказаться серьезным под-
спорьем при попытках осуществить желаемый выбор.
3.1.5.	Аналитическими называют обычно такие предложения,
истинность которых определяется только значениями терминов и
структурой целого3\ Однако при рассмотрении предложений эм-
пирических наук само понятие «истинность» требует уточнения.
Пусть теория h задана в виде (3.7) и р — произвольное предло-
жение языка Li. Будем говорить, что предложение р h-ложно на
(I, да), если ЯК((/,да)) Л да 6 Mod (5) Л да |= -ip, и h-истинно
на (/, ЯЛ) в противном случае. Ясно, что предложение р будет
Л-истинно на (/, да) тогда и только тогда, когда
.RF((/,l!n))A2n€Mod(5)=>an[=p.	(3.14)
Предложение р будем называть h-истинным, если соотноше-
ние (3.14) справедливо для любой интерпретации (I, да), т. е.
(уда е тп)(д^((/,да)) лоте Mod (5) => да |= р).	(3.15)
Мы бы хотели называть h-аналитически ми как раз такие
предложения языка , которые заведомо Л-истинны, вне зави-
симости от того, каков предикат RF. Идею «заведомой /i-истин-
ности» легко выразить точно, используя в метаязыке формули-
ровки второго порядка. Именно, мы говорим, что соотношение
(3.15) выполняется заведомо, если
Kotarbinski Т. Wyklady z dziejow logic!. Lodz: Osslineum, 1957. S. 210.
3.1. Стандартны логически реконструкция
93
(VX)(VOT€ т9)(Х((ДОТ))лОТС Mod (5) => ОТ )= р), (3.16)
где X — предикатная переменная для одноместных предикатов
на классе {(/,ОТ) | ОТ 6 mn}. Но условие второго порядка (3.16)
логически эквивалентно условию первого порядка
(VOT € mn)(OT е Mod(S) => ОТ р),
поэтому окончательно мы принимаем следующее определение.
Предложение р называется h-аналитическим, если
(VOT € mn)(OT€ Mod (5) =#-ОТ |= р),	(3.17)
и h-синтетическим, если ни р, ни пр не ^-аналитические.
Из (3.17) следует, что для данной теории h множество всех
^-аналитических предложений совпадает с S. Поскольку S С Т,
множество предложений S называют h-аналитической компо-
нентой, а множество Т \ S — h-синтетической компонентой
системы Т. /i-Синтетическая компонента системы Т, в отличие
от Л-аналитической, не является аксиоматической (т. е. дедук-
тивно замкнутой) системой.
Отметим, что в соответствии с ранее приятыми соглашени-
ями познавательное значение имеют те и только те предложе-
ния, которые принадлежат h-синтетической компоненте систе-
мы Т. Если р € (Т \ S), то найдется модель ОТ € nfl такая,
что ОТ G Mod(S) и ОТ |= ->р. Поэтому вопрос, опровергает ли
факт (Д ОТ) теорию h, зависит от того, Л-истинно или Л-ложно
на (ДОТ) предложение р, что, в свою очередь, зависит от поведе-
ния на (Д ОТ) предиката RF.
Так как модель ОТ € Mod (5) удовлетворяет условиям ОТ
Mod (Г) (ОТ ^=-|риреТ)и5(:	(Т), справедливы соотноше-
ния ОТ|0 € Mod(E), ОТ|0 Mod(T)|0. Поэтому можно считать,
что А-синтетической компоненте системы Т соответствует класс
е (£, Т) = Mod (Е) \ Mod (Т)|о, м. £
pET\S=> (3OTGmn)(OT|0G е(Е,Т)ЛОТ|= пр).
При анализе содержания эмпирической теории важно выде-
лить три следующих класса:
•	класс (возможных) фальсификаторов (теории h) с эмпири-
ческой точки зрения:
efisft = {(ДОТ) | ОТ е Л ОТ|0 G е(Е,Т)};
94
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход
•	класс (возможных) фальсификаторов (теории h) с полной
точки зрения или просто класс фальсификаторов для Л:
flsfc = {(7,ГО1) | (I,ГО1) G eflsA Л ГО1 G Mod(£)};
•	конвенциональный декремент (фальсифицируемости) для h:
cdft = eflsA \ flsA.
3.1.6. Можно по-разному определять понятие «содержание эмпи-
рической теории», подчеркивая в каждом случае ту или другую
особенность использования теории в научном познании. Однако
в этой главе мы не даем ни одного конкретного определения этого
понятия, ограничившись следующим общим пояснением.
Понимание термина «содержание» применительно к эмпири-
ческим теориям распадается на два понятия: «эмпирическое со-
держание» и «полное содержание». Эти понятия считаются до-
пустимыми, если выполнено следующее условие: для произволь-
ных теорий и Лг если eflsA1 — eflsA2 (^s/n ~ А8Л2)’ то 3!ЛПИ~
рические (полные) содержания этих теорий совпадают. Следо-
вательно, могут существовать две теории hi, /<2 с одним и тем
же эмпирическим содержанием, но несовместимые друг с дру-
гом в том смысле, что нельзя найти третью теорию /13 такую,
что Th = Thi(TA1 Uiy / (Если h = (си,П,7, Е,Т, S),
то 0Jh, Vh,Ik,Ek,Tk,Sh обозначают соответственно то же, что
и w,SlI,E,T,S.) О таких двух теориях говорят как о логически
несовместных, но эмпирически равных и записывают символиче-
ски в виде h\ -**— /^2- Заметим, что
hi -*<- h2 => cdA1 / 0 Л cdA2 0.	(3.18)
Отмеченная возможность в некоторых разновидностях тра-
диционного подхода рассматривается как нежелательная. Поэто-
му представители этих течений ставят вопрос: можно ли (и если
можно, то при каких условиях) для произвольной теории h по-
строить теорию h' такую, что
(i)	теории h' и h эмпирически равны (eflsA = eflsA,),
(ii)	конвенциональный декремент теории Л' пуст (cdA, = 0).
При положительном ответе вместо теории h можно было бы
всюду использовать теорию h!, которая ввиду (3.18) (cdA/ = 0)
гарантированно не может находиться в отношении -»<- ни с ка-
кой другой теорией.
Соответствующая тематика в методологической литературе
носит название проблемы элиминации теоретических терминов
3.2. Стандартная классификация постулатов
95
(из теории Л). Название отвечает сути. Действительно, если
cdjv = 0, то I-термины из П входят в Гд/ фиктивно (на них не
накладывается никаких связей).
Мы не останавливаемся здесь на деталях, отметим лишь,
что проблема элиминации теоретических терминов имеет поло-
жительное решение при достаточно широких условиях (см., на-
пример, работу В. Крейга4^ и библиографию к ней). В следую-
щей главе проблема элиминации вновь возникает, но в несколько
ином ракурсе.
3.2.	СТАНДАРТНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОСТУЛАТОВ
Согласно (3.7) для определения теории h нужно, в частности, за-
дать аксиоматические системы £ С Iq, S, Т С £]• Уточним,
что значит задать аксиоматическую систему X в языке I. Сна-
чала надо указать некоторое множество А предложений языка
L, А С L, а затем взять в качестве аксиоматической системы X
дедуктивное замыкание (множество Th (А) всех логических след-
ствий) множества А. Иными словами, мы задаем сначала А, а
затем определяем X по формуле
X = Th(A).	(3.19)
Это уточнение носит общий характер, так как любой другой спо-
соб задания X подпадает под описанный: если X — аксиомати-
ческая система, то X удовлетворяет (3.19) при А = X.
Напомним, что при выполнении равенства (3.19) множество
предложений А является аксиоматикой для А, которую будем
называть также системой постулатов (для) X, если мы хотим
подчеркнуть, что система X задана с помощью А только что
указанным способом.
Пусть h = (w,Sl,I,E,T,S), и пусть ЕМР, Р, МР — системы
постулатов для Е,Т, S соответственно. Тогда
ЕМР — система эмпирических постулатов значения (для) h;
Р — система постулатов (для) h;
МР — система постулатов значения (для) h.
ЕМР называют также системой постулатов значения для
0-терминов теории Л, а МР (в случае ЕМР= 0) — системой
постулатов значения для теоретических терминов теории h.
4) Craig W. Bases for first-order theories and subtheories // J. Symbolic
Logic. 1960. V. 25, N 2. P. 97-142.
96
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход
Элемент р множества Р называется постулатом (для) теории h
(в системе постулатов Р). Предложение р €МР называется по-
стулатом значения (для) теории h (в системе МР). Предло-
жение р € ЕМР называется эмпирическим постулатом значения
(для) теории h или постулатом значения для О-терминов тео-
рии h (в системе ЕМР). Если ЕМР= 0, то каждый элемент мно-
жества МР называется также постулатом значения для Т-тер-
минов (в системе МР).
Так как системы Р, МР и ЕМР задают соответственно си-
стемы Т, S, Е в стандартном представлении теории, а последние
должны удовлетворять определенным ограничениям, то возника-
ет вопрос, каким необходимым и достаточным условиям должны,
в свою очередь, удовлетворять Р, МР, ЕМР, чтобы гарантиро-
вать выполнение требуемых ограничений на Т, Sy Е. На этот
вопрос пока нет полного решения. В настоящее время можно
указать лишь несколько типов практически приемлемых (легко
распознаваемых) достаточных условий на Р, МР, ЕМР. Их мы
описываем ниже в несколько упрощенном виде, предполагая за-
ранее, что ЕМР= 0 и язык Li содержит только один Т-термин,
а именно одноместный предикат R. Общий случай не содержит
никаких принципиальных усложнений, но громоздкий в описа-
нии.
Так как мы предполагаем, что ЕМР= 0, речь идет об описа-
нии видов предложений языка Г], обычно выступающих в каче-
стве постулатов и постулатов значения для Т- терминов теории
А. Постулатом может быть любое (логически непротиворечи-
вое) предложение языка £], а наиболее важные среди постулатов
значения Т-терминов — это предложения, которые являются яв-
ными определениями и условными определениями. Помимо этих
наиболее важных мы приведем и некоторые другие виды посту-
латов значения для Т-терминов теории.
3.2.1.	Явное определение (или просто определение) одноместного
предиката R имеет вид
Va:(R(a;) «-> о(а:)),	(3.20)
где о(х) — формула в языке Г] с одной свободной переменной х,
не содержащая R. Согласно предположению формула а(з) при-
надлежит не только языку Li, но и эмпирическому подъязыку
L$ языка Zi, т. е. является формулой, которая содержит лишь
О-предикаты в качестве своих сигнатурных символов.
Можно показать, что если <5 — явное определение предика-
та то для любого множества А С £] справедливо утверждение
R
3.2. Стандартная хлассифякация постулатов
97
(inter(Thi (Л))	0 Л £ € А
=> (ЗВ С £!)(Thi (В) 6 im0(Thi(A)) Л 6 € В), (3.21)
которое означает, что если А выбрано в качестве Р для некоторой
будущей теории /i, то < можно выбрать в качестве постулата
значения (элемента множества МР) для термина R этой теории.
Мы говорим «можно выбрать», а не «выбираем», поскольку
от нашего решения зависит, считать 6 в составе Р постулатом
значения для R или просто постулатом теории h. В последнем
случае мы должны выбрать в качестве постулатов значения для
R. какие-то другие предложения, что означает выбор другой те-
ории h1, отличной от той теории Л, которая получилась бы при
первоначальном решении придать 6 статус постулата значения.
Любое явное определение ё предиката^!? удовлетворяет усло-
вию транслируемости: для каждого предложения <р языка L\, ко-
торое содержит R, найдется предложение ф языка Lq (которое
не содержит R) такое, что эквивалендия w 0 есть логическое
следствие определения 6, т. е. (<р w ф) € Thi({6}).
Кроме того, явное определение однозначно задает значение
теоретического предиката R в зависимости от значений О-пре-
дикатов, т. е. удовлетворяет следующему условию:
(V9R,OT',£OT" 6	= fDl|0 Л ЭЛ"|0
= 5!Л|0 Л ЯЛ' |= £Л9Л" |ь 6 ОТ' = ЯП"). (3.22)
Иногда оказывается полезным знать об этих двух свойствах
явного определения. Например, когда определяется ^-истинность
или /t-ложность на (/,ЯЛ) произвольного предложения G L\,
свойство транслируемости 6 облегчает, вообще говоря, выпол-
нение этой задачи, редуцируя ее к проверке Л-истинности или
h-ложности на (/,ЯЛ) подходящего предложения 0 более узкого
языка Lq, содержащего только эмпирические предикаты.
3.2.2.	Условное определение одноместного предиката R — это
Предложение вида
Vx(/?(x) -» (Х(ж) w а(а:))),	(3.23)
Где а(ж) и /3(ж) — формулы с одной свободной переменной х в
Подъязыке Lq языка L}. Условное определение можно считать
обобщением явного определения. Действительно, (3.20) — это
С. Гончаров и др.
98
Гл. 3. Эм лирические теории; стандартный подход
частный случай (3.23). Предложение (3.23) логически эквива-
лентно предложению (3.20) при условии, что Vx/?(x) — логиче-
ская тавтология. Если Vx(J(x) не является тавтологией, то (3.23)
существенно слабее, чем (3.20), а именно: (3.23) вытекает из
(3.20), но обратная импликация неверна. Только такие случаи
условных определений рассматриваются ниже.
Точно так же, как и в случае явного определения, для услов-
ного определения <S справедливо утверждение (3.21) со всеми вы-
текающими из него следствиями для трактовки статуса 6 как
постулата значения для R. Однако здесь 6 не удовлетворяет ни
условию транслируемости, ни условию однозначности (3.22).
Мы не будем вдаваться в детали, так как они достаточно ши-
роко обсуждаются во многих методологических работах [см., на-
пример, книгу М. Пшеленцкого «Логика эмпирических теорий»,
указанную в подстрочном примечании *>].
3.2.3.	Частичным определением одноместного предиката R на-
зывается пара высказываний Vx(a(s) —► R(x)), Vx(j3(x) -+ -iR(x))
или их конъюнкция
Vz(a(z) - ВД) &	- -,R(j)),	(3.24)
где а(х) и 0(х) — формулы языка Lq с х в качестве единственной
свободной переменной.
Условное определение (3.23) можно рассматривать как специ-
альный случай частичного определения (3.24). Если в последнем
а(х) принимает вид 7(х)&г(х), а 0(х) — вид 7(r)&-ii/(i), мы
получаем предложение, логически эквивалентное предложению
(3.23). Поэтому предложение (3.23) называют иногда двусто-
ронним редукционным высказыванием.
Логическими следствиями предложения (3.24) являются сле-
дующие предложения:
Va;(a(i) V /3(х) —» (R(t) «-+ а(х))),	(3.25)
Ух(^а(хЩ)(х)) - (а(х) V 0(х)	(R(x) ~ «(«)))),	(3.26)
Vz-i(a(x)&/3(x)) —► Vx(a(x) V /3(х) —»(R(x) «+ a(ar))).	(3.27)
Причем если выражение
Vx-i(a(x)&/?(x))	(3.28)
Przelecki М. The logic of empirical theories. London: Routledge an1
Kegan Paul, 1969.
3.2. Стандартная классификация постулатов
99
является тавтологией, то предложения (3.24)-(3.27) логически
эквивалентны друг другу и удовлетворяют (3.21) (при обозна-
чении каждого из них через £). Поэтому только когда (3.28) —
тавтология, частичное определение (3.24) {или любое из логиче-
ски эквивалентных ему предложений (3.25)—(3.27)] может рассма-
триваться в качестве постулата значения для R,.
Если (3.28) не является логической тавтологией, то ни одно
из предложений (3.24)-(3.27) не эквивалентно любому другому,
а именно: предложение (3.26) является логическим следствием
предложения (3.25), но (3.25) не вытекает из (3.26); предложе-
ние (3.27) вытекает из (3.26), но обратная импликация невер-
на. При этом предложения (3-25)—(3.27) удовлетворяют условию
(3.21), а само частичное определение (3.24) — нет. Можно пока-
зать, что предложение (3.27) является самым слабым следствием
(3.24), удовлетворяющим (3.21).
Таким образом, если (3.28) не является тавтологией, то пред-
ложение (3.24) не может рассматриваться как постулат значения
для R, тогда как такое рассмотрение возможно для его след-
ствий (3.25)-(3.27). С этим обстоятельством связано одно из ча-
сто встречающихся нарушений установленной терминологии.
Частичное определение (3.24) называют часто постулатом
значения, имея при этом в виду не само предложение (3.24), а
одно из его следствий (3.25)-(3.27). Какое именно — это нужно
указывать дополнительно, ибо эти следствия, вообще говоря, не
эквивалентны друг другу.
Иными словами, когда частичное определение 6 вида (3.24)
именуют «постулат значения», подразумевая, что 6 принадле-
жит Р и не принадлежит (хотя и называется «постулат значе-
ния») МР, то множество МР должно содержать одно из предло-
жений (3.25)-(3.27), причем какое именно — зависит от наше-
го решения. На практике это дополнительное решение часто не
оговаривается, и тогда возникает неоднозначность в том, с какой
Именно эмпирической теорией мы имеем дело.
Одно из следствий такой ситуации — неопределенность в во-
пРосе, где проходит граница между A-аналитическими и Л-синте-
тическими предложениями языка £] и тем самым между конвен-
циональной и познавательно значимой частями общего содержа-
ния теории. Показательный пример — хорошо известные споры
®*®Жду конвенционалистами и их критиками относительно логи-
'*еского статуса законов ньютоновой механики. Эти законы игра-
Двойную роль: они придают смысл таким теоретическим тер-
100
Гл. 3. Эмпирические теории: стандартный подход
минам, как «масса», «сила» и т. д., и в то же время выражают
некоторые эмпирические предположения. Но какие из них выпод.
няют первую задачу, а какие — вторую? Какие из них постулаты
значения, а какие просто постулаты? Проблема не имеет опр₽.
деленного решения без специального соглашения, дополняющего
исторически сложившийся взгляд на механику.
3.2.4.	Рассмотренные типы постулатов и постулатов значения
не исчерпывают всего разнообразия предложений, функционируй
юших в той или иной роли в существующих эмпирических тео-
риях. Однако изложенного материала достаточно для понимания
основ проблематики, а дальнейшее развитие этой темы можно
найти в специальной литературе б\
3.3.	КРИТИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Картина эмпирических теорий, как она очерчена выше, не выгля-
дит полной. Действительно, она намеренно упрощена до такой
степени, что существенные признаки фактически имеющихся те-
орий даны лишь схематично. Например, язык первого порядка
(Z1 или Zq) — это всего лишь один из способов представления
языков, на которых практически излагаются физические или хи-
мические теории. Развитый математический аппарат этих те-
орий апеллирует к общим понятиям: «множество», «функция»,
«действительное число», «оператор», «пространство» и т. д. По-
этому возникает впечатление, что язык реальной эмпирической
теории не может быть, в общем случае, языком первого порядка,
а стандартное представление теории вида (3.7) не может соот-
ветственно считаться достаточно общим. В таком заключении
часто усматривают один из недостатков традиционного подхода
к эмпирическим теориям. В связи с этим следует подчеркнуть
два момента.
Во-первых, существует много интересных эмпирических те-
орий, аппарат которых элементарен. Кроме того, некоторые те-
ории, которые не являются элементарными, удается без суще-
ственных затруднений переформулировать в языке первого по-
рядка. (Р. Монтегю детально показал, как это можно сделать
с классической механикой материальной точки.)
Помимо названной книги М. Пшеленцкого см., например: Tuomela R'
Theoretical concepts. Wien: Springer-Veil., 1973.
Montague R.. Deterministic theories // Decisions, Values, and Group6-
New York: Pergamon Press, 1957. N 4. P. 325 370.
3,3. Критические замечания
101
Во-вторых, нет принципиальных препятствий для распро-
странения представления вида (3.7) на случаи, когда и>, П, /, Е,
Т, S относятся к языкам высших порядков.
Благодаря этим двум обстоятельствам можно не считать на-
званный недостаток стандартного подхода существенным, одна-
ко традиционный подход к эмпирическим теориям имеет дей-
ствительно серьезные изъяны, к обсуждению которых мы теперь
переходим.
3.3.1.	Один из недостатков стандартного подхода мы косвенно
затронули при изложении проблемы элиминации теоретических
терминов. Чтобы лучше понять, что имеется в виду, приведем
так называемую дилемму теоретика
ДИЛЕММА ТЕОРЕТИКА
1.	Теоретические термины теории h либо играют существен-
ную роль в приложениях теории /г, либо нет.
2.	Если теоретические термины теории h не играют существен-
ной роли в приложениях теории h, то они не являются не-
обходимыми (т. е. для приложений теория h может быть
заменена теорией h! такой, что cdy = 0).
3.	Если теоретические термины играют существенную роль в
приложениях теории h, то е (Е^, Т^)	0.
4.	При е (Е^, 7\)	0 для данной теории h практически всегда
существует теория h! такая, что efls^ = efls^z и cd^/ = 0.
5.	Если для данной теории h существует теория h’ такая, что
efls^z = еДзд, то теорию h можно заменить теорией h'.
6.	Теоретические термины теории h не необходимы.
Таким образом, согласно дилемме теоретика Т-термины те-
ории h практически всегда можно элиминировать, заменив h та-
кой теорией hr, что efls^ = efls^/, cd^/ = 0.
Учитывая, что для теории h1 заведомо не выполняется от-
ношение h' —*«— hi даже в случае h -+<— hi, мы приходим к
следующему выводу: Т-термины теории h не только можно, но
и желательно элиминировать.
Заметим, что для любой эмпирической теории д если д —
(w,Q,I,Eg,Tg,Sg) и cd? = 0, то ппея(Т?) = {Thi(Eff)J и, следо-
Hempel С. G. The theoretician’s dilemma // Minnesota Studies in the
Philosophy of Science. Minneapolis: Univ, of Minnesota Press, 1958. V. 2.
P. 37-98;
Cornman J. W. Craig’s theorem, Ramsey-sentences, and scientific instru-
mentalism // Synthese. 1972. V. 25, N 1/2. P. 82-128.
102
Гл. 3. Эмпирические теория: стандартный подход
вательно, Sg - Thi(Etf). Это означает, что любая теория h', по-
лученная из теории h путем элиминации Т-терминов, однозначно
задается не шестеркой (о>, fl,I, Е,Т, S), а пятеркой (w, fl,I, Е,Т).
Иными словами, когда мы говорим об элиминации Т-терми-
нов из состава каждой эмпирической теории, то тем самым выра-
жаем желание перейти от стандартных представлений вида (3.7)
к новым представлениям вида
A' = (u>,fl,/,E,T).	(3.29)
Можно сказать также, что при стремлении не допустить по-
явления несовместных теорий с одним и тем же эмпирическим
содержанием дилемма теоретика дает основание считать стан-
дартную логическую реконструкцию эмпирической теории пере-
усложненной.
Трудно не согласиться с таким заключением, если иметь в
виду потребности собственно научной (без философской примеси)
деятельности. Более того, на практике пользуются даже более
простыми, чем вида (3.29), представлениями теорий (см. 4.3.2).
Тем не менее последовательный реалист может все-таки пытать-
ся отрицать наличие указанного недостатка в традиционном под-
ходе, ссылаясь при этом именно на свои философские установки.
Действительно, реалист отличается от эмпирика (тем более от
утилитариста) ориентацией на полное содержание эмпирической
теории, а не только лишь на эмпирическое. Поэтому реалист
склонен считать убедительным утверждение, обратное к утвер-
ждению 3 дилеммы теоретика. По сходным причинам для него
сомнительно утверждение 5.
Иными словами, с точки зрения реалиста дилемма теорети-
ка несостоятельна как обоснование утверждения 6. Кроме того,
продолжая свою философскую линию на примат полного содер-
жания теории перед эмпирическим, реалист объявляет существо-
вание несовместных теорий с одинаковым эмпирическим содер-
жанием тривиальным проявлением того факта, что среди разных
предположений встречаются и противоречащие друг другу. В
итоге реалист склонен заявить, что якобы избыточная концепту-
альная сложность традиционного подхода вовсе не избыточна:
она естественная расплата за использование при традиционном
подходе философских установок реализма.
Ясно, что эта оборонительная попытка реалиста направлена
мимо цели: изъян, о котором идет речь, в том именно и состо-
ит, что в традиционном подходе философские амбиции заслоняют
задачи научного познания.
3.3. Критические замечали*
103
3.3.2.	Второй недостаток традиционного подхода, на который
мы хотим обратить внимание, связан с тем, что в его рамках
«эмпирическое» понимается шире, чем «наблюдаемое».
В случае, когда а = (/, ЭЛ) и эмпирическая часть ЯЛ|р мо-
дели ЭЛ не является наблюдаемой, как эффективно осуществить
применительно к а шаги 2-5, требуемые процедурой проверки те-
ории Л? Ответ вряд ли возможен, если дополнительно не прини-
мается некая теоретико-познавательная доктрина. Однако под-
ходящей доктрины, разработанной достаточно детально, нет не
только в реалистическом учении, но и в любом другом философ-
ском направлении.
Во избежание подобных затруднений и в нарушение канонов
традиционного подхода уже на шаге 1 проверки теории h можно
потребовать относить к предметам теории только те интерпре-
тации (ДЭЛ), у которых эмпирические части ЭЛ|0 наблюдаемы.
Однако это требование чрезмерно сузит класс рассматриваемых
теорий. В него не попадут многие важные из ныне признанных
теорий в физике, химии, космологии и т. д., ибо аксиоматические
системы Е, Т, S для них не допускают конечных моделей.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу: либо
традиционный подход недостаточно обеспечен философски (эпи-
стемологически), либо он чрезмерно узок.
В следующей главе мы покажем, что при утилитаристском
подходе проблем такого характера не возникает.
Глава 4
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ:
НЕСТАНДАРТНЫЙ ПОДХОД
Как отмечалось в гл. 3, нестандартные подходы к методологичес-
кому анализу эмпирических теорий базируются на утилитарист-
ских целевых установках, согласно которым теории нужны толь-
ко затем, чтобы уметь предсказывать итоги (предположительно)
тех или иных наблюдений. В соответствии с этими установка-
ми мы ничего не теряем в общности, полагая, что всякая теория
есть следующее предположение: если мы будем наблюдать мир
определенным образом, то никогда, не получим наблюдений опре-
деленного типа.
Варьируя описания способа наблюдения О и типа наблюде-
ния Т, мы перебираем все мыслимые представления теории, со-
ответствующей фиксированным О и 7. Однако нет необходимо-
сти иметь дело с необозримым разнообразием всех классов описа-
ний каждой пары (О, Т). Достаточно выделить один подходящий
класс (или несколько таких классов) описаний.
В 4.2 изложен некоторый канонический метод описания спо-
соба наблюдения О и типа наблюдения Т, а в 4.3 и 4.5 пред-
ложены иные подходы к описанию наблюдений; при некоторых
конкретных обстоятельствах они оказываются более удобными.
В 4.1 содержатся предварительные разъяснения, связанные
с понятием «наблюдение» — ключевого понятия в проблематике
методологии эмпирических наук. К сожалению, это понятие не
уточняется в подавляющем большинстве публикаций, даже когда
речь идет о терминах для наблюдаемых явлений (терминах на-
блюдений), об интерпретации высказываний теорий посредством
наблюдений и т. д.
Уточнять, что именно понимается как наблюдение, может
быть, излишне с реалистической точки зрения (в гл. 3 при из-
ложении стандартного подхода к эмпирическим теориям мы не
4. J. Наблюдения и протоколы
105
уточняли понятие «наблюдение»), однако при утилитаристском
подходе, как станет ясно из дальнейшего, определенность в по-
нимании термина «наблюдение» необходима.
4.1.	НАБЛЮДЕНИЯ И ПРОТОКОЛЫ
Что такое наблюдаемый факт или наблюдение? Этот вопрос
можно поставить в более удобной для нас форме: «Что собствен-
но мы наблюдаем, когда мы что-то наблюдаем?» Ясно, что мы
наблюдаем всегда нечто конечное; но что именно конечное? Об-
щий ответ таков: «Мы наблюдаем всякий раз какую-то конеч-
ную систему, состоящую из объектов наблюдения и того, что мы
называем свойствами или связями этих объектов». Здесь име-
ется простор для соглашений, по-разному уточняющих понятия
конечной системы объектов наблюдения, их свойств и связей.
Приведем три варианта уточнений понятия «наблюдение».
I	. Наблюдаемой (в данный момент) системой называется кор-
теж (A, Pj,... , Pfc) длины к 4-1, где А — конечное непустое
множество, a Pj,... , Pjt — отношения на А;
наблюдаемые объекты — это элементы множества А;
наблюдаемые свойства — это отношения
П. Наблюдаемой системой называется кортеж (A, Pi,... ,Rk)
длины k +1, где А — конечное непустое множество, a Rj,... ,
Рк — трехзначные (с тремя значениями истинности: «истин-
но», «ложно», «не имеет смысла») отношения на А;
наблюдаемые объекты — это элементы множества А;
наблюдаемые свойства — это отношения Ri,... ,Р^.
I	II. Наблюдаемой системой называется кортеж (A, A';Pi,... ,
P,t; Р{,... , Р|) длины (к +1 + 2), где А, А' — конечные непу-
стые множества; Pj,... , и Р{,... , Р'{ — отношения на А
и А' соответственно;
наблюдаемые объекты — это элементы множеств А и А';
наблюдаемые свойства — это отношения Pi,... , Р^ на А и
отношения Рр ... , Р^ на А'.
Список подобных уточнений можно было бы продолжить. В за-
висимости от конкретных целей можно выбирать то или иное
Конкретное понимание наблюдения.
В этой монографии мы принимаем уточнение I. Иными сло-
вами, мы принимаем следующее определение.
106
Гл. 4. Эмпярическяе пори: иесталдлртвыя подход
•	Наблюдением будем называть любую конечную модель ко-
нечной сигнатуры.
Естественно было бы понимать наблюдение не только как
(целую) конечную модель, но и как любую ее часть. Однако та-
кое расширение понятия «наблюдение» лишь загромождает из-
ложение, не меняя принципиально сути.
Часто удобно предполагать, что наблюдение не однооснов-
ная, а многоосновная модель, где объекты из разных исходных
множеств представляют объекты наблюдений разного типа. В
то же время их можно представить и в одноосновной модели, вы-
деляя элементы разного типа одноместными предикатами.
Любое наблюдение (конечную модель конечной сигнатуры)
можно описать по-разному. Приведем способ описания наблю-
дения на базе специальных языковых конструкций — «прото-
колов». Пусть mw — класс всех конечных моделей сигнатуры
ш = (Pi,... , Р*). Фиксируем счетный алфавит а символов, от-
личных от Р1,... , Р4. Через РШ’Л(ЯЛ) обозначим диаграмму мо-
дели ЯЛ G тш, индивидные символы которой принадлежат а.
•	Протоколом рг“ (в словаре ш) называется элемент класса
{Р^“(ЗЛ) I ЯЛ 6 гл1"}.
Если мы хотим подчеркнуть, что рг^ = Р",а(ЯЛ) для данных
модели ЯЛ и протокола ргш, то будем называть рг1" протоколом
(в словаре о>) наблюдения ЯЛ и писать рг^(ЯЛ) вместо prw.
Базисом В(ртш) протокола рг14' называется множество всех
индивидных констант, участвующих в записи этого протокола.
Очевидно, что Pfpr14') С о для любого протокола ртш- Мощно-
стью 5(ргш) протокола prw называется мощность базиса B(prw)
Если наблюдается модель ЯЛ = (A, Pi,... ,Pjt), то мощность про-
токола рг“(ЯЛ) этого наблюдения совпадает с мощностью множе-
ства А наблюдаемых объектов и, следовательно, конечна.
•	Протоколы рг^ и рг£ называются изоморфными (рг^ ~ рг£),
если один из них можно получить из другого взаимно од-
нозначным переименованием базисов, т. е. если изоморфны
соответствующие модели.
Одному наблюдению ЯЛ соответствует счетное число изо-
морфных протоколов рг‘4?(ЯЛ) этого наблюдения. С другой сто-
роны, один и тот же протокол prw может описывать различные
наблюдения ЯЛ и ЯЛ', лишь бы они были изоморфны как модели:
ял = (А, Л,...,Рк) ~ (А' ,р£,... Л) = ал*.
4.2. Каноническое представление
107
4.2.	КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Вернемся к рассмотрению понятия «эмпирическая теория» с ути-
литаристской точки зрения. В рамках наших соглашений мы
отождествляем эмпирическую теорию h с подходящей тройкой
(w,obstl',Tu'), где
о? — словарь {сигнатура) теории h, т. е. конечное множество
символов вида Р™1,... , Р™*, называемых т,-арными преди-
катными символами;
obsw — инструкция, как и чем проводить наблюдения, чтобы они
относились к рассматриваемой теории; инструкция должна
удовлетворять следующим требованиям:
(oj) независимо от способа наблюдения можно определить,
как получено данное наблюдение — в соответствии или
с нарушением инструкции obsw;
(02) любое наблюдение, которое получено в соответствии с
инструкцией obs", является конечной моделью сигнату-
ры и и, следовательно, допускает описание каким-нибудь
протоколом в словаре о>;
Тш — тестовый алгоритм, удовлетворяющий условиям:
(Ti) алгоритм Тш определен на каждом протоколе ргш в сло-
варе ы и принимает только два значения (0 или 1):
(Ургш)(Тш(ргш) = 0 V Тш(рг") = 1);
(Т2) алгоритм Тш на изоморфных протоколах принимает рав-
ные значения:
(Vp^)(Vpr^)(pr‘f ~ рг£ =» T^(pr<f) = ^(рг?));
(Т3) хотя бы на одном протоколе алгоритм принимает зна-
чение 1:	_
(Эп > 1)(Зрг‘*Э(^(ргил) = п Л Т^рг") = 1).
Отметим, что инструкция obsw не является синтаксическим
объектом, так как она должна представлять собой не бессодержа-
тельный набор символов, а осмысленный текст, доступный для
понимания. Если один и тот же текст трактуется по-разному,
мы считаем, что речь идет о разных инструкциях. Равенство
obs^1 = obs£2 означает, что инструкции obs^1 и obs^2 совпадают
текстуально и понимаются одинаково. Наличие в составе эмпи-
рической теории инструкций с требуемыми свойствами — это,
по существу, все, что нужно знать относительно общих характе-
ристик процесса эмпирической интерпретации терминов теории
(ср. описание эмпирической интерпретации в гл. 3).
108
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
Пусть задана теория h = (w,obsu',Tu'). Ее эмпирический
смысл определяется следующим соглашением: для всякой конеч-
ной модели 2Л теория Л опровергается наблюдением ЯЛ, если ЯЛ
есть наблюдение, полученное в соответствия с инструкцией obsw
(следовательно, модель ЯЛ имеет сигнатуру и), a Г^рг^ЯЛ)) =
0. (Мы предполагаем, что любая конечная модель любой конеч-
ной сигнатуры рассматривается как результат какого-то наблю-
дения, понимаемого достаточно широко.) Теория h согласуется
с наблюдением ЯЛ, если она им не опровергается.
Требования (oj), (02) к инструкциям и (Ti) к алгоритмам га-
рантируют, что для произвольной конечной модели ЯЛ конечной
сигнатуры можно выяснить, опровергается теория h наблюдени-
ем ЯЛ или согласуется с ним. Условие (Т2) обеспечивает, что
факт опровержения теории наблюдением (или согласия с ним)
не зависит от произвола в наименовании объектов наблюдения
при записи протокола рги'(ЯЛ). Ввиду требования (Т3) теория не
может быть опровергнута каким-либо наблюдением заранее, до
проведения наблюдений.
Определение теории согласуется также с принципом фальси-
фицируемости: теория h может быть опровергнута единственным
наблюдением (если хотя бы на одном протоколе рг^ прини-
мает значение 0), но никогда не может быть доказана раз и на-
всегда.
Таким образом, эмпирическая теория h = (w,obsw,T“) вы-
сказывается (предположительно) о том, что если мы будем на-
блюдать мир определенным образом О (т. е. в соответствии с
инструкцией obs4''), то никогда не получим наблюдений типа Т
(т. е. таких, на протоколах которых тестовый алгоритм Тш при-
нимает значение 0).
Поскольку эмпирическая теория рассматривается как способ
предположительного высказывания о наблюдениях, ее смысл за-
висит от того, как именно понимается наблюдение. Мы опреде-
лили теорию на основе уточнения I (см. 4.1) понятия «наблюде-
ние». Иногда используется уточнение II. Опуская подробности,
заметим, что любая теория, определение которой согласовано с
уточнением I, может быть определена и в соответствии с уточне-
нием II. Обратный переход, вообше говоря, невозможен, посколь-
ку уточнение II шире уточнения I.
Представление теории h в виде h ~ (w,obs‘*',T“) называется
каноническими, пара (ш,7Хд') — формальным ядром, а инструкция
obsw — эмпирическим базисом теории h.
4.3. Аксиоматическое представление
109
4.3.	АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
4.3.1*	Рассмотрим так называемый аксиоматический подход к
описанию теорий. В рамках этого подхода эмпирическая тео-
рия h задается тройкой (cu, obs", 5^), где си и obs" имеют тот же
смысл, что и при каноническом подходе (см. 4.2), т. е. си — сло-
варь и obs" — инструкция. Но в отличие от канонического под-
хода вместо тестового алгоритма вводится аксиоматическая
система (в логике первого порядка с равенством) конечной
сигнатуры Я. При этом Я содержит словарь си, т. е. си С Я. Без
ограничения общности мы можем полагать, что Я не содержит
функциональных символов и индивидных констант.
Множество Я называется сигнатурой теории h, а его под-
множество си — словарем (сигнатурой) терминов наблюдения
(теории А). Сигнатурный предикатный символ Р™* называется
термином наблюдения, если Р™' € си, и теоретическим терми-
ном в противном случае. Если Я = си, то А называется теорией
без теоретических терминов.
В отличие от терминов наблюдения теоретические термины
не служат названиями ни для каких отношений, наблюдаемых
в соответствии с данной инструкцией obs". В этом смысле они
вообще лишены эмпирической значимости, они имеют определен-
ное значение в связи с некоторыми вопросами аксиоматических
представлений эмпирических теорий (см, 4.4).
Аксиоматическая система 5^ в рассматриваемом описании
эмпирической теории играет роль, аналогичную (но не тожде-
ственную) той, которую играл ранее тестовый алгоритм Тш.
Введем некоторые дополнительные определения и обозначе-
ния. Пусть ЯЛ° — произвольная модель (конечной) сигнатуры Я
и си — часть сигнатуры Я. Модель ЯЛ" называется конечным ре-
дуктом к си модели 9Л°, если ЯЛ" конечна и изоморфно вложима
вЯИп. Пусть Mod (5П) — класс всех моделей аксиоматической
системы Определим класс т"(№) как класс моделей сиг-
натуры си, которые являются конечными редуктами к си хотя бы
4ля одной модели ЯЛЙ аксиоматической системы S^1, т. е.
m"(Sft) = {ЯЛ" | (ЭЯЛ°)(ЯЛП G Mod (5П)
А ЯЛ" есть конечный редукт к си модели ЯЛ^)}.
Напомним, что при каноническом подходе мы считаем, что
Наблюдение ЯЛ опровергает теорию h - (cu,obs", Г"), если ЯЛ
110
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
получено в рамках инструкции obs“, а протокол рг"(ЯЛ) таков,
что rt*J(prLb’(£JTt)) = 0, При аксиоматическом подходе мы гово.
рим, что наблюдение ЯЛ опровергает эмпирическую теорию h -
(w,obsu't 5Й), если ЯЛ получено в соответствии с инструкцией
obsw, но не принадлежит классу m“(Sft). В противном случае
наблюдение 9Л согласуется с теорией h.
Легко увидеть схожие черты канонического подхода (с ис-
пользованием тестовых алгоритмов Тш) и аксиоматического под-
хода (с использованием аксиоматических систем Sn). Отметим,
что аналогом условия (Тз) для алгоритма Г" является требова-
ние непротиворечивости системы S^. Аналог условия (Т2) вы-
полняется автоматически, поскольку класс моделей любой аксио-
матической системы замкнут относительно изоморфизмов. Одна-
ко без дополнительных ограничений на аксиоматическую систе-
му требование, аналогичное условию (Ti), не выполняется.
В общем случае проблема, будет ли данная конечная мо-
дель ЯЛ принадлежать классу	не является эффектив-
но разрешимой. Поэтому не для всех систем 5^ условие ЯЛ £
допускает проверку каким-либо (тестовым) алгоритмом.
Возникает вопрос: для каких аксиоматических систем Ss!
условие ЯЛ G mw(5n) является эффективно разрешимым? Мы
вернемся к этому вопросу ниже (см. 4.4). Сейчас лишь заме-
тим, что если для некоторой теории h класс ?nw(Sn) не является
эффективно разрешимым, то эта теория не всегда может быть
использована осмысленным образом. С другой стороны, при эм-
пирических исследованиях достаточно иметь дело только с теми
теориями, для которых соответствующие им классы	эф-
фективно разрешимы. Так что поставленный вопрос важен.
Когда мы говорим об эффективной разрешимости или нераз-
решимости (абстрактных) классов конечных моделей, мы прини-
маем следующее соглашение: произвольный класс конечных
моделей сигнатуры ш эффективно разрешим тогда и только то-
гда, когда разрешим класс {РШ’“(ЯИ) ] ЯЛ € п4*'}.
4.3.2.	Изложенное здесь аксиоматическое представление теории
отличается от принятого в методологической литературе поня-
тия «аксиоматическая эмпирическая теория». Согласно тради-
ционной точке зрения аксиоматическая эмпирическая теория h
есть множество Т теорем, которые описывают «возможные ми-
ры», допускаемые рассматриваемой теорией. В принятой нами
4.3. Аксиоматическое представление
Ill
-терминологии эти «миры» суть модели для данной аксиомати-
ческой системы Т, т. е. с традиционной точки зрения теория
д — это пара (Т,тп*), где Т — аксиоматическая система (сиг-
натуры £2), а т* — некий подкласс класса Mod(T), состоящий
из «возможных миров» (см. 3.1.4). Такое представление теории
нельзя признать удовлетворительным по нескольким причинам.
Здесь мы повторно выскажем лишь одну, на наш взгляд, глав-
ную. Дело в том, что в важных для практики случаях системы Т
зачастую не допускают конечных моделей. Но тогда возника-
ет вопрос: как теория (Г, т*) связана с наблюдениями? Ведь
наблюдать бесконечные модели, т. е. бесконечные «возможные
миры», мы заведомо не в состоянии. Оставляя этот вопрос без
внимания, мы не можем гарантировать хоть какую-то практиче-
скую значимость теории (Т, т*). Пытаясь же ответить на этот
вопрос в привычном направлении мысли (например, так: воз-
можные с точки зрения данной теории наблюдения суть конеч-
ные «клочки» бесконечных «возможных миров»), мы естествен-
ным образом придем к представлению эмпирической теории h в
виде h — (w,obsw, S^). Заметим, что и в этом представлении ин-
струкция obsa' иногда называется эмпирическим базисом теории
h = (w, obsw, 5^), а пара (w,	— ее формальным ядром.
4.3.3.	Очевидно, что аксиоматическое представление эмпириче-
ской теории имеет специфические черты по сравнению с канони-
ческим представлением. Сравним эти два вида представлений
более точно. Для этого введем понятия, которые будут исполь-
зоваться также и в последующих главах.
Для любых двух конечных моделей (наблюдений)
ЯЛ1 = (Л1,р15... ,pfcl), от2 = (А2,/?1,...
пишем 9Л1»9Л2, если = Л?. Будем называть теории h[ и
А2 эмпирически равноценными (/ц«Л2)» если всякая модель 9И1
опровергает теорию /ц в точности тогда, когда существует мо-
дель ПЛ2, опровергающая теорию Л2, и ЯЛ2»ЯЛу Как правило,
мы не знаем, эмпирически равноценны или нет произвольные те-
ории fti и Л2. Однако в некоторых специальных случаях (на-
пример, когда инструкции рассматриваемых теорий одинаковы)
Можно исследовать этот вопрос математическими методами и да-
же доказать, что fe]«/i2. Отрицание /q~/?2 можно установить,
Предъявив множество А эмпирических объектов такое, что мо-
дель 2Л1 = (4,Pi,... ,Pkv) опровергает теорию (согласуется с
112
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
теорией) Л1, модель ЯЛ2 = (Л, Я),... , Я*2) согласуется с теорией
(опровергает теорию) /12 и модель ГО1] наблюдается с помощью
инструкции obs^1, а модель — с помощью инструкции obsj2.
_	Ее
Согласно введенным определениям отношения « и я» являют-
ся эквивалентностями. Поэтому эмпирическое содержание про-
извольной теории h (в той мере, в какой оно не зависит от нашего
произвола в выборе конкретного представления теории) можно
отождествить с соответствующим смежным классом [Л] по отно-
Е
шению эквивалентности «а.
Аксиоматическое представление эмпирических теорий ока-
зывается не столь «общим», как каноническое представление, в
следующем смысле. Для всякой теории h = (u>,obsw,5^) (с эф-
фективно разрешимым классом тш(5п)) найдется теория h' =
(w, obsw, Тш) с тем же эмпирическим содержанием, т. е. [А] = [&*].
Но не для всякой теории h' = (w,obSl*’,Tw) существует теория
h = (u/jobs^, 5й) такая, что [Л] = [Л'].
4.4.	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ТЕРМИНЫ
Вопрос об одинаковом эмпирическом содержании двух теорий h\
и /г-2 нетривиален даже в следующих простейших случаях:
= (w,obsw, Tf), Л? = (c^obs",^);
hi = (w,obsw,Sjni), h2 = (w,obsw,5j2).
В первом случае вопрос сводится к следующему: являют-
ся ли тестовые алгоритмы Т1^ и функционально эквивалент-
ными? Действительно, очевидно следующее утверждение: если
hi = (w,obsul,71jx')J h2 = (w,obsu’,T12'), то hi«/i2 тогда и только
тогда, когда. Т? ифункционально эквивалентны.
Во втором случае проблему о совпадении эмпирических со-
держаний рассматриваемых теорий нельзя решить, если огра-
ничиться исследованием лишь дедуктивной эквивалентности ак-
сиоматических систем Sp1 и 5^2. (Мы говорим, что аксиомати-
ческие системы дедуктивно эквивалентны, если классы теорем
этих систем совпадают. Это определение аналогично введенно-
му выше понятию «функциональная эквивалентность» для тесто-
вых алгоритмов.) Конечно, если аксиоматические системы 5^
и 5р2 дедуктивно эквивалентны, то по теореме Гёделя о полноте
4.4. Теоретические термины	113
niw(S’p1) = mu'(5'|12) и, следовательно, /цязДг- Обратное утвер-
ждение, вообще говоря, неверно. Дедуктивно неэквивалентные
системы sj11, 5^2 могут быть таковы, что rn^fSp1) = mw(S^2).
При этом возможно существование логически несовместных тео-
рий с одним и тем же эмпирическим содержанием.
Логическая несовместность теорий с одинаковым эмпиричес-
ким содержанием может произойти по следующим причинам:
— в составе сигнатур 121, 12г есть теоретические термины,
— 121 = 1^2 = е- рассматриваемые теории вообще не со-
держат теоретических терминов, U S^2 несовместно, но
множества Е\ (£2) 3-предложений, совместных с (5^2),
совпадают (Ej — Е?).
В литературе по логике и методологии эмпирических наук учи-
тывается (насколько известно авторам) только первая причина.
При этом возникает иллюзия, что «недостаток» аксиоматиче-
ских представлений эмпирических теорий связан с использова-
нием именно теоретических терминов и, следовательно, может
быть ликвидирован удалением из состава аксиоматических эм-
пирических теорий теоретических (по определению не допускаю-
щих интерпретацию с помощью наблюдений, а потому необяза- Z1* л*
тельных) терминов. Приводимый ниже пример показывает, чтоГ^а*
нельзя избавиться от проблем аксиоматической трактовки эмпи^ ,/V J
рических теорий при таком узком утилитаристском понимании^
назначения последних.	t
Приведем элементарный пример,-тшлюетрирукишнЬ-втерую
причину;-Рассмотрим-две теории Ь
= (wbobsp,.?^1), /12 = (w2>obs£2, S^2),
обладающие следующими свойствами:
— теории hi и Zi2 не содержат теоретических терминов, а сло-
варь терминов наблюдений у них один и тот же, т. е. 121 =
122 = W1 = W2 = w;
— теории hj и h.2 имеют одно и то же эмпирическое содержание
(/ii»^)» т. е. obs?1 = obs?2 = obsw, th^^sP1) = mW2(S’P2) —
mw(5") = mw(S");
— аксиоматическая система U S^2 противоречива (теории
hi и /12 логически несовместны).
Пусть wi - и?2 = 121 — ^2 = w = {<}> obs^1 = obs^2 = obsw =
bbs^, где obs^ — инструкция, удовлетворяющая условиям
114
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
(oi) и (02) (см. 4.2) применительно к словарю ш = {<}. Обозна-
чим через Order множество аксиом в сигнатуре и = {<}, задаю-
щих строгий линейный порядок < , и определим
= 5}<J = Th (Order U {(3z)(Vy)(y < *)}),
5?2 = S'2{<} = Th (Order U {-.(3x)(Vy)(y < *)})•
Система U противоречива. Легко показать, что
й{<}($М) = m«}(52{<)).
Следовательно, теории
/ц = ({<},obsW,^), h2 = ({<},оЬ8^},^<})
имеют одно и то же эмпирическое содержание. Действительно»
достаточно рассмотреть две бесконечные модели
ОТ[<} = ({... ,-2,-1}; <), ЭЛ*<} =({0,1,...};<)
в сигнатуре {<}. Отношение < в модели упорядочивает
множество отрицательных целых чисел, а в модели ЯЛ2 J — мно-
жество положительных целых чисел (включая нуль) по порядку
возрастания. Ясно, что
£Vtj<} е Mod(5f<}),	€ Mod(^<}).
Очевидно, что классы конечных подмоделей этих моделей совпа-
дают (с точностью до изоморфизма своих членов). Кроме того,
любой конечный редукт к {<} любой модели из Mod(5j<^) изо-
морфен соответствующей конечной подмодели модели 9Л^<\ Та-
кое же утверждение справедливо и относительно редуктов к {<}
моделей из Mod(52<^). Таким образом,
Tn{<}(S,j<'5 = m{<l(S2<)),
поскольку каждая конечная подмодель модели (ЭЛ^ ^) явля-
ется, в свою очередь, редуктом к {<} модели ЯЛ^ (ЯЛ^^).
Приведенный пример показывает непродуктивность пробле-
мы элиминации теоретических терминов для установления экви-
валентности эмпирических содержаний.
4.4. Теоретические термины
115
Остается открытым вопрос: есть ли польза от теоретических
терминов? Поскольку обходятся без теоретических терминов при
каноническом представлении эмпирических теорий, почему бы
не исключить их использование и при аксиоматическом подхо-
де? Попытаемся ответить на эти вопросы; при этом в отличие
от Р. Туомелы постараемся придерживаться утилитаристской
точки зрения на назначение эмпирических теорий.
При утилитаристском подходе имеется по крайней мере две
мотивации употребления теоретических терминов, которые мы
сейчас приведем.
В нашей практической деятельности нежелательны те эмпи-
рические теории h, для которых не всякое соответствующее ей
наблюдение заведомо либо согласуется с этой теорией, либо ее
опровергает. Поэтому важно знать, какие нужно наложить огра-
ничения на аксиоматическую систему Sn, необходимые и доста-
точные (в крайнем случае, только достаточные) для того, чтобы
класс	был эффективно разрешимым. Первая причина ис-
пользования теоретических терминов тесно связана с поисками в
этом направлении.
Перейдем к точным формулировкам.
Пусть OTfi — произвольная модель (конечной) сигнатуры Л
и ш — какая-нибудь часть сигнатуры fl (w С Q). Через OTJi |w
обозначим модель сигнатуры ш, полученную из модели OTfi уда-
лением тех отношений, названия которых не принадлежат ш.
Модель ОТП называется обогащением в широком смысле мо-
дели ОТ", если lj С Q и существует подмодель ОТр модели ОТ^
такая, что ОТ" изоморфна ОТр |ш.
Пусть № — аксиоматическая система сигнатуры Q. Каждое
обогащение ОТ^ модели ОТ", являющееся моделью множества вы-
сказываний 5^, называется обогащением в широком смысле мо-
дели ОТ^ с условиями 5^.
Теорема Лося * 2\ Для того чтобы могло существовать обогаще-
ние в широком смысле модели ОТ" с условиями необходимо
и достаточно, чтобы ОТ" была моделью для множества всех уни-
версальных следствий сигнатуры ш множества предложений
Tuomela R. Theoretical concepts. Wien: Springer-Veil., 1973.
2) Lob J. On the extending of models (1) // Fund. Math. 1955. T. 42, N 1.
P. 45.
116
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
Обозначим множество всех универсальных следствий сигна-
туры ш множества высказываний 5° через Thy(S°). По теоре-
ме Лося произвольная конечная модель ЯЛ принадлежит классу
т^(5°) тогда и только тогда, когда ЯЛ есть модель (сигнату-
ры ш) аксиоматической системы Th (Th у (5°)). Задача о суще-
ствовании у произвольной конечной модели данной конечной сиг-
натуры ш эффективно разрешима. Поэтому эффективная разре-
шимость класса mP(S^) для произвольной аксиоматической си-
стемы эквивалентна эффективной разрешимости следующей
задачи: является ли произвольная конечная модель ЯЛ“ сигнату-
ры ш моделью аксиоматической системы Th (Th у (5°))?
Если 5^ рекурсивно-аксиоматизируема, то Th (Thy (S'0)) ре-
курсивио-аксиоматизируема. Если, кроме того, Th (Th у (5°))
конечно-аксиоматизируема, то наша проблема заведомо эффек-
тивно разрешима. Однако в общем случае нет оснований утвер-
ждать, что Th (Th у (S'0)) конечно-аксиоматизируема, если S’0
рекурсивно- аксиоматизируем а.
У. Крейг и Р. Вот3) ввели следующее понятие.
• Аксиоматическая система Т называется конечно-аксиомати-
зируемой б семантическом смысле с использованием доба-
вочных предикатов (FASS+), если существует аксиоматиче-
ская система Т', обладающая следующими свойствами:
—	нелогические символы системы Т' — нелогические сим-
волы системы Тер добавочными предикатами;
—	система Т' конечно-аксиоматизируемая;
—	произвольная модель ЯЛ = (A, Pi,... ,Рп) в сигнатуре
системы Т является моделью системы Т тогда и только
тогда, когда существуют отношения Pj,... ,Rp такие,
что (A, Pi,... , Рп; Ri,... , Др) есть модель системы Т'.
Если аксиоматическая система Th (Thy(S°)) есть FASS+, то
класс m^S0) эффективно разрешим. (Это утверждение непо-
средственно вытекает из теорем 3.6 и 4.2 названной выше ра-
боты У. Крейга и Р. Вота.) Поэтому достаточное условие эф-
фективной разрешимости класса mw(S°) можно сформулировать
следующим образом: класс тпи'(^°) эффективно разрулим, если
3) Craig W., Vaught R.. L. Finite axiomatiz ability using additional predi-
cates //J. Symbolic Logic. 1958. V. 23, N 3. P. 289-308.
4.4. Теоретические термины
117
аксиоматическая система № такова, что Th (Th у (5°)) является
fASS+. {Ввиду теорем 3.6 и 4.3 (см. упомянутую работу У. Крей-
га и Р. Вота) о существовании рекурсивно-аксиоматизируемых,
№о не ЕА38+-аксиоматических систем, это условие не обеспечи-
вается рекурсивно-аксиоматизируемостью и даже конечно-аксио-
матизируемостью системы
Чтобы убедиться в том, что рассматриваемая теория h =
(ui,obs“,5n) имеет эффективно разрешимый класс тш(5й), по-
ступаем так: ищем такую аксиоматическую систему 5fil, Qi D
fl, с конечным множеством аксиом Axf^1), которая является ак-
сиоматизацией в семантическом смысле с добавочными предика-
тами для аксиоматической системы Th (Thy(5n)). Если это уда-
ется, мы получаем соответствующий разрешающий алгоритм.
Он состоит в том, что для каждой конечной модели ЯЛ сначала
проверяется, имеет ли модель ЯП сигнатуру ш. Если не имеет,
то ЯП £ тш(5°). Если имеет, то проверяется, выполняются ли
все (их конечное число) предложения из Ах(5й1) на некотором
Пробогащении модели ЯЛ (таких обогащений тоже конечное чи-
сло). Если такое обогащение существует, то ЯЛ € тш(5^); если
же нет, то ЯЛ	Иными словами, в случае успешного
применения нашего метода к теории h = (u,obsw,Sfi) мы полу-
чаем в результате теорию h* = (w,obsw,№1) такую, что
— класс	эффективно разрешим с помощью только что
описанного алгоритма;
— mw(5fil) - mu(S^) и, следовательно, h*%ih.
Тем самым мы приобретаем возможность при любом эмпири-
ческом исследовании вместо теории h использовать теорию h* с
готовым алгоритмом для класса mu(S^1). Если учесть при этом,
что в общем случае теория А* содержит теоретические термины
даже тогда, когда исходная теория А их не имеет (т. е. fl = о>), то
становится ясным один из мотивов употребления теоретических
терминов. А именно: использование теоретических терминов да-
ет возможность всякий раз, когда нам это удобно, переходить
от теории А к теории А*, предварительно успешно применив к
теории А рассмотренный выше метод установления эффектив-
ной разрешимости класса m“(5n) для этой теории. Разумеется,
мы вправе любую такую замену теории А теорией А* трактовать
просто как способ применения теории А, а не как самостоятель-
118
Гл, 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
ное использование теории Л*. Однако это обстоятельство только
подчеркивает необязательность теоретических терминов с прин-
ципиально утилитаристской точки зрения. Какую именно трак-
товку статуса теории h* мы принимаем в каждом конкретном
случае — это вопрос соглашения.
Вторая причина необходимости употребления теоретических
терминов проще и часто отмечается в литературе. Она состоит
в том, что в некоторых случаях предпочтительнее теорию h =
(w,obs“, Sn) с бесконечным множеством аксиом Ах(5°) заменить
теорией А** = (w, obs“', ) с конечным списком аксиом Ах(5п9,
но так, чтобы при этом эмпирическое содержание не изменилось.
Как показано в названной выше работе У. Крейга и Р. Вота (те-
орема 2.1, с. 292), если 5° — рекурсивно-аксиоматизируемая си-
стема, не имеющая конечных моделей, то для нее всегда можно
найти конечную аксиоматизацию в семантическом смысле с до-
бавочными предикатами. Эта конечная аксиоматизация берется
в качестве множества аксиом AxfS^1) для искомой теории Л**.
Так как в этом случае flj D Я, вновь появляются теоретические
термины в составе теории Л**, даже если их не было в составе
теории h. Все, что говорилось ранее о статусе теории h*, без
всяких изменений относится и к теории Л**.
Завершая анализ способов описания эмпирических теорий,
подчеркнем, что аксиоматическое представление не имеет прин-
ципиальных преимуществ по сравнению с каноническим пред-
ставлением, за исключением, быть может, большего удобства
для восприятии. Более того, построение примера логически не-
совместных теорий с одним и тем же эмпирическим содержани-
ем, но без теоретических терминов свидетельствует о наличии у
аксиоматического подхода неустранимого методологического де-
фекта. Как показывает проведенный анализ, вся проблематика,
связанная с теоретическими терминами, излишне усложняет ак-
сиоматический подход. И наконец, аксиоматическое представле-
ние проигрывает, как мы уже видели, каноническому представ-
лению в общности. Что касается удобства для восприятия или
привычности аксиоматического метода представления теорий, то
здесь также необходима известная осторожность. Все зависит от
контекста, в котором фигурирует понятие «эмпирическая тео-
рия». Например, было бы неудобно (хотя, конечно, возможно)
излагать гл. 5, оставаясь в рамках аксиоматического метода.
Мы рассмотрели вопрос о том, что такое эмпирическая тео-
рия, и представления эмпирических теорий при нестандартном
4.5. Представление физических теорий
119
подходе. Мы показали, в частности, что с той ограниченной точ-
ки зрения, когда эмпирические теории считаются только спосо-
бом предположительно высказываться о возможных наблюдени-
ях, теории могут быть представлены в каноническом виде, кото-
рый удобен тем, что не вызывает сложностей, связанных с на-
личием теоретических терминов. Поэтому естественно исполь-
зовать канонические представления теорий при исследовании во-
просов, относящихся непосредственно к эмпирическому содержа-
нию эмпирических теорий. Именно такого рода вопросом явля-
ется проблема индукции, которую мы рассмотрим в гл. 5.
4.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
(ПО ТИПУ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ)
Мы рассмотрели два вида (каноническое и аксиоматическое) пред-
ставления эмпирических теорий и установили, что аксиоматиче-
ское представление «проигрывает» в общности каноническому
в следующем смысле: для всякой теории h вида (w,obsw,5fi)
(аксиоматическое представление) всегда найдется теория h‘ ви-
да (w,obsw,Tw) (каноническое представление) с тем же самым
([А] = [Л*]) эмпирическим содержанием, но не для всякой теории
h' вида (w,obstJ,Tw) существует теория h вида (w,obsw, 5П) та-
кая, что [Л'] = [А].
Если h’ — каноническая теория, а А — аксиоматическая те-
ория и при этом [Л*] = [А], то h' можно считать результатом то-
тальной операпионализации теории А. Таким образом, мы уста-
новили, что всякую аксиоматическую теорию А можно подверг-
нуть тотальной операпионализации без какого-либо ущерба для
ее эмпирического содержания.
С другой стороны, одна из причин роста эпистемологическо-
го нигилизма в науке — это распространенное мнение об эври-
стической бесплодности и даже вредности полной операционали-
зации точных наук. Несмотря на то, что любую эмпирическую
теорию можно заменить ее операциональным (скажем, канони-
ческим) эквивалентом, поиски таких эквивалентов — по мнению
оппонентов операционализации точных наук — не только не про-
ясняют содержание исходной теории, но и превращают ее в не-
что труднообозримое с математической точки зрения и потому
неудобное в научной практике.
В противовес этой точке зрения ниже мы приводим одну (из
многих возможных) разновидность канонического представления
120
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
физических теорий — представление физических теорий в терми-
нах «наблюдаемые» и «состояния» по типу квантовой механики.
При изложении использованы (большей частью с сохранением
обозначений) материалы докторской диссертации В. С. Месько-
ва (см. автореферат 4' и библиографию в нем).
4.5.1.	Физическое знание удобно подразделять на отдельные фраг-
менты, каждый из которых относят к тому или иному типу фи-
зических систем. В свою очередь, тип физической системы опре-
деляется выбором класса экспериментальных ситуаций, подле-
жащих наблюдению и обсуждению. Например, если этот тип —
электрон, то имеют в виду опыты с так называемыми электрон-
ными пушками, диафрагмами, люминесцирующими экранами,
магнитами, заряженными отклоняющими пластинами и т. д. Ес-
ли же этот тип — галактика, то имеют в виду опыты с телеско-
пами, радиотелескопами, спектрографами, фотоаппараторами и
прочим оборудованием астрофизических обсерваторий.
В ряде случаев фрагмент знания о выбранном типе физи-
ческих систем может быть представлен в виде физической тео-
рии Т. Базисные понятия теории Т — наблюдаемые Ai,A2,...
и состояния <pi,<f>2,---  При интерпретации теории Т каждо-
му состоянию соответствует инструкция <р* из некоторого из-
вестного класса S физически выполнимых инструкций. Каждая
инструкция из S применима к любой физической системе рас-
сматриваемого в Т типа. Результат такого применения обозна-
чается высказыванием: «данная система приготовлена в состоя-
нии
Каждой наблюдаемой Aj соответствует при интерпретации
инструкция Aj из некоторого другого класса Q физически выпол-
нимых инструкций. Каждая инструкция Aj из Q также примени-
ма к любой системе рассматриваемого типа, и результат такого
применения (обычно вещественное число) есть зарегистрирован-
ное значение наблюдаемой Aj для данной системы.
Введем обозначения: Q ={Ai, А2,.. .], 5 =	ф2, • • Ка-
ковы бы ни были детали математического аппарата теории 71,
он устроен так, что каждой паре (Ау,<^,-) € Q х 5 однозначно
сопоставляется своя вероятностная мера в пространстве
Меськов В. С. Квантовая логика: логико-метатеоретические и логико-
методологические проблемы: Дис. ... д-ра филос. наук: 09.00.07. М.: МГУ,
1991.
4.5. Представление физических теорий
121
всех допустимых значений наблюдаемой А}. Величина Жд^.(Д)
указывает при интерпретации относительную частоту, с которой
регистрируемые с помощью инструкции Aj значения наблюда-
емой Aj попадают в интервал Д в длинной серии испытаний
систем рассматриваемого в Т типа, приготовленных в соответ-
ствии с инструкцией у>,-. Иногда вместо этого коротко говорят,
что «Жд.^.(Д) есть вероятность обнаружить значение наблю-
даемой Aj в интервале Д, если система находится в состоя-
нии Термины «относительная частота (в длинной серии
испытаний)» и «вероятность» мы употребляем здесь как сино-
нимы. Нет надобности точно указывать, когда серия испытаний
начинает быть «длинной», так как предполагается, что те разме-
ры серий, которые фактически реализуются в экспериментах, за-
ведомо достаточно велики, чтобы оправдать взаимозаменяемость
терминов «относительная частота» и «вероятность».
Таким образом, пользуясь формализмом теории Т. для ка-
ждой пары (А, ф) G QxS можно вычислить среднее значение (ма-
тематическое ожидание) AV и среднеквадратичное (стандарт-
ное) отклонение ад^ значений наблюдаемой А по ансамблю си-
стем, приготовленных в состоянии (предполагается, что Жд^
всегда имеет математическое ожидание и среднеквадратичное
отклонение для любых А £ Q, у? € 5):
Пусть Ж: Q х S —» w — задаваемое математическим аппаратом
теории Т отображение из Q X S в семейство w всех возможных
вероятностных мер такое, что Ж(А, 9?) = Жд где Жд^, име-
ет указанный смысл. Тогда тройку (<?,5,Ж) будем называть
формальным ядром теории Т, а пару (Q, 5) — ее эмпирическим
базисом.
Формальное ядро и эмпирический базис являются основны-
ми характеристиками теории в процедуре представления знаний
рассматриваемого вида.
Всякая теория Т, формальное ядро К'р и эмпирический базис
В-p которой удовлетворяют нашему описанию, есть физическая
^Пеория общего типа. Все остальные типы теорий, рассматрива-
емые здесь, получаются из теории Т при дополнительных усло-
виях на пары (A'j’, Bj’). Данный подход позволяет избавиться от
122
Гл. 4. Эмпирические теория: иестгмдирткыЯ подход
излишних сложностей, связанных с учетом конкретных особен-
ностей математических аппаратов исследуемых теорий. В част-
ности, произвольные теории Т\ и Tj, сколь угодно различные по
своему математическому устройству, считаются формально не-
раэличижыжи, если (с точностью до обозначений) равны их фор-
мальные ядра A't’j и и содержательно неразличимыми, если
дополнительно равны их эмпирические базисы В^ и Вт2.
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
В случае квантовой механики формальное ядро любой теории Т,
описывающей выбранный класс физических систем с фиксиро-
ванным конечным числом степеней свободы, есть тройка (Qt, St,
Иу), где Qt — некоторое множество самосопряженных опера-
торов Л, действующих на некотором гильбертовом простран-
стве; St — множество операторов (называемых статистически-
ми операторами или матрицами плотности) р, которые долж-
ны быть самосопряженными, положительно определенными, с
единичными следами. Те р из 5, которые удовлетворяют усло-
вию р = р2, называются чистыми состояниями, остальные —
слеешанныжи. Чистые состояния называются также^волнрвьши
функциями или, короче, ф-функциями. Для каждых A G Qt,P £
St значение
соотношению
ЖЯр(Д) = Тгасе(/,£я(Д)),	(4.2)
в котором £^(-) обозначает спектральное разложение операто-
ра А5). Иными словами, в квантовой механике наблюдаемые А
представляются операторами А, состояния <р — матрицами плот-
ности р, а вероятностные меры определяются условием (4.2).
При этом математическое ожидание и среднеквадратичное от-
клонение вычисляются по формулам, которые являются част-
ными случаями соответствующих формул (4.1) для физической
теории общего типа. Таким образом, квантовая механика есть
частный пример физической теории общего типа.
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Второй пример физической теории общего типа — классическая
механика М. Формальное ядро Км есть тройка
Techudi Н. R. On the statistical interpretation of quantum mechanics //
Helv. Phys. Acta. 1987. V. 60. P. 363-383.
отображения Wt на паре (4,/>) удовлетворяет
4.5. Представление физических теорий
123
где множество наблюдаемых Qм состоит из вещественных функ-
ций А, заданных на некотором измеримом множестве Gm —
так называемом фазовом пространстве] множество состояний
— это некоторое множество вероятностных мер д на Gjj/.
Каждому элементу g из Gm соответствует мера pg € 5д/, скон-
центрированная в точке g и называемая агполныл* состоянием.
Остальные д из называются размытыми. Каждая размытая
дера р € есть некоторая выпуклая линейная комбинация то-
чечных мер, и, наоборот, каждая такая комбинация — некоторая
мера р из S'm . Отображение Wm определяется соотношениями
WM( А, р) = WAlt,	WAll(b) = р(А-1&),
где А'1 А — полный прообраз множества (интервала) А отно-
сительно функции А (т. е. множество всех точек в Gm , образы
которых при отображении А лежат в А).
Характерно, что в классической механике понятие состояния
не играет самостоятельной роли. Имея в виду, например, дви-
жения планет, естественно рассматривать планетарную систему
как систему в атомных состояниях и принимать в расчет лишь
носитель точечных мер (а не сами меры), который уже содержит
всю нужную информацию 6\
4.6.2. Пусть Т — физическая теория общего типа. Ее формаль-
ное ядро Кт удовлетворяет следующему условию: для любых
A G Q, G S существуют и могут быть вычислены в Т ма-
тематическое ожидание А и среднеквадратичное отклонение
Это, в свою очередь, означает, что в Т разрешимы не-
которые высказывания вида А = а и некоторые высказывания
вида <7д^> = Ь, где — произвольное состояние из 5; А — про-
извольная наблюдаемая из Q; a — некоторое число; b — некото-
рое неотрицательное число. Иными словами, для любых A G Q,
ф € S и некоторых a G R, Ь € R+ (где R+ — множество всех
неотрицательных вещественных чисел) имеем
Г1-Г = в или Th А*/в;
Т Ь <тА<р = Ь или Т И aAv> / b.
КВАНТОВАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Физическая теория Т общего типа называется квантовой, если
хотя бы для одной наблюдаемой А из Q существуют два числа
в) Techudi Н. R. Op. sit.
124
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
«1, <12 6 R, «1 < такие, что для некоторых из S
7A-AV1 = <ц, T\-AV2 = а2, Т I- aAt/>l = О, Т h = О,
(4.3)
Т НА*’ + oAv> ai или Т I- А - oAlfi > а2 для всех ip Е S.
(4-4)
Смысл требований (4.3), (4.4) очевиден: должен существо-
вать хотя бы один теоретически предсказуемый и эксперимен-
тально проверяемый скачок возможных значений хотя бы одной
наблюдаемой величины. Данное определение задает наиболее об-
щее понятие квантовости.
НЕКВАНТОВАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Физическая теория Т общего типа называется неквантовой, если
она удовлетворяет следующему условию: для любой наблюдае-
мой А из Q если существуют два. числа <ц, a2 Е R, ai < a2, и два.
состояния tpi, <р2 Е S такие, что выполняются соотношения (4.3),
то существует состояние <р Е S такое, что I- 4^ + oAlfi > «],
FA*’- стд^, < a2.
ДЕТЕРМИНИСТСКАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Физическая теория Т общего типа называется детерминист-
ской, если существует состояние из S такое, что h aAlfi = О
для всех наблюдаемых А из Q .
Классическая механика удовлетворяет последним двум опре-
делениям и, следовательно, является неквантовой детерминист-
ской физической теорией. Очевидно, что логически допустимо
(не ведет к противоречию) существование физической теории,
которая удовлетворяла бы требованиям «квантовости» и «детер-
министичности», т. е. квантовой детерминистской теории. Ис-
кусственный пример такой теории легко можно построить для
конечных Q и S.
НЕДЕТЕРМИНИСТСКИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Физическая теория Т общего типа называется недетерминист-
ской, если для любого состояния Е S существует наблюдаемая
А Е Q такая, что F ад^ 0.
Квантовая механика удовлетворяет этому определению. Но
этому определению удовлетворяет также любая существенно ста-
тистическая физическая теория независимо от того, квантовая
4.5. Представление физических теорий
125
она или нет. Например, классическую статистическую механику
можно истолковать как пример неквантовой недетерминистской
теории, если не пытаться редуцировать ее к обычной классичес-
кой механике многих частиц при условии недостатка исходной
информации. Тем более в этом случае в исходных данных вооб-
ще нет сведений о каких-либо статистических распределениях.
Рассмотрим некоторые виды недетерминистских теорий.
Пусть {Ai,... , А;}, г 1, — множество наблюдаемых неде-
терминистской теории Т, т. е. {Ai,... , А,} С Q.
•	Теория Т называется {Ai,... , А,}-недетерминистской, если
выполнено соотношение I- '  • •' Ф О для всех ф £
Так как мы рассматриваем {Ai,... , А,} как множество (а не
как последовательность), то термин «{Ai,... , А,}-недетермини-
стская» означает то же, что и термин «{А,,... , А1}-недетермини-
стская».
•	Пусть i 1 — целое число. Теория Т называется i-недетер-
министской, если существуют попарно различные А],... , А(-
€ Q такие, что Т является {Ai,... ,А^}-недетерминистской
теорией.
Очевидно, что любая {А\,... , А,}-недетерминистская теория явля-
ется г-недетерминистской и любая г-недетерминистская теория
является {Ai,... , А,)-недетерминистской хотя бы для некоторо-
го одного набора наблюдаемых Ai,... , А; € Q. Для любого це-
лого числа i 1 легко построить искусственный пример г-неде-
терминистской теории, в силу чего последние два, а также ниже-
следующее определения корректны.
•	Теория Т сильно недетерминистская, если существует це-
лое число i 1 такое, что Т является г-недетерминистской.
Ясно, что всякая сильно недетерминистская теория является неде-
терминистской. Обратное утверждение, как мы вскоре покажем,
неверно. Непосредственно из определений вытекает
Теорема 4.5.1. Для любых целых i, k если Т — i-недетерми-
нистская теория и i k 1, то Т является к-недетерминистской
теорией.
Очевидна также
Теорема 4.5.2. Для любого целого числа г 1 существует
г-недетерминистская, но не (г + 1)-недетерминистская теория.
Теорема 4.5.3. Логически допустимо существование недетер-
министских теорий, не являющихся сильно недетерминистскими.

UMVftlflOO	g
vh югмкмг
128
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Q = {Aj, А2}, S =	Опреде-
лим отображение W условиями
W(A>V>) = WAv?, AeQ, VGS;
1 Г х2
ЖЛ1^2(Д) = I dR+(x),
^(Д) = /<*И+(;г),
1 f _*2
WA2^2 (Д) = 5- / « T dxt
(4-5)
где И+(7) — единичная функция (И_|_(<) = 0 при t О, Ил(() = 1
при t > 0).
Рассмотрим теорию Т, содержащую в качестве аксиом вы-
сказывания (4.5). В этой теории Т доказуемы равенства
Af=o, а*2 = о, АГ = 0, АГ = 0,	(4.6)
CTAi^i — 1,	— 0, аА2<р2 — !•	(4-7)
Формальное ядро К-p теории Т есть тройка ({Ai, А2}, {<^1, (^2Ь
W). Ввиду равенств (4.6) и (4.7) К? удовлетворяет требованиям,
необходимым, чтобы Т была физической теорией общего типа.
Равенства (4.7) дополнительно означают, что Т — недетерми-
нистская, но не сильно недетерминистская теория. Теорема 4.5.3
доказана.
Доказывая корректность определений и истинность теорем,
мы строили или подразумевали весьма искусственные теории.
Как соотносится с введенными определениями и теоремами 4.5.2,
4.5.3 существующая квантовая механика? Очевидно, что кван-
товая механика — сильно недетерминистская теория; более того,
каково бы ни было целое число i (1	2), она является г-недетер-
министской. Следовательно, теоремы 4.5.2 и 4.5.3 утверждают
существование недетерминистских и сильно недетерминистских
теорий, отличных от квантовой механики. Открытый вопрос —
найдутся ли среди них физически значимые.
Продолжим характеризацию недетерминистских теорий.
Пусть Т — недетерминистская теория и {Ai,... , А,} — мно-
жество наблюдаемых этой теории: {Aj,... , А^} С Q.
4.5. Представление физических теорий
129
•	Теория Т называется {Ль,.. , А^}-индетерминисгпской, если
существует положительное число 0А1,...,А, такое, что для
всех </> € 5
TH crMi • ... -сгм. /3Л1„ Л .	(4.8)
Очевидно, что всякая {Aj,... , А^-ин детерминистская тео-
рия является одновременно {Aj,... , А,}-недетерминистской. Об-
ратное неверно. Имеет место
Теорема 4.5.4. Логически допустимо существование теорий,
которые {Ai,... , А,}-недетер:тинистские, но не {Aj,... , А^}-ин-
де термини стские.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как и при доказательстве теоремы 4.5.3, по-
строим искусственную теорию, удовлетворяющую нужным тре-
бованиям. Пусть Q = {А} — одноэлементное множество, a S =
{у>1,... ,9?п,...} — счетное множество. Определим W следую-
щими условиями:
W(A,V) = WAv>, AeQ, <p&S;
ь
......................."У"	(4.9)
I e ^dx,
Д
где <7n = 1 /n, n = 1,2,... .
Рассмотрим теорию T, содержащую в качестве аксиом вы-
сказывания (4.9). В этой теории доказуемы равенства AV1 =
О,... , А = 0,... , а также равенства
= I,---,^А<рп = 1/п,... .	(4.10)
Формальным ядром Kf теории Т является тройка ({А}, {95],... ,
Уп,...}, IV), а Т является {А}-недетерминистской, так как в си-
лу (4.10) для наблюдаемой А и любого состояния <pn € S имеем
Г Ь °Ар„ ± 0.
С другой стороны, из тех же равенств (4.10) вытекает, что
Для любого положительного числа /3А найдется п такое, что
5-С.Гончаров и др.
130
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
Т 1“ аАч>п < Да* В качестве п можно взять любое целое число,
большее 1//Зд.
Таким образом, теория Т не является {А}-индетерминист-
ской. Подобные рассуждения обобщаются на случай произволь-
ного набора наблюдаемых. Это замечание завершает доказатель-
ство теоремы 4.5.4.
•	Пусть i 1 — целое число. Теория Т называется
—	i-индетерминистпской, если существуют попарно различ-
ные Ai,... ,4,- G Q такие, что Т — {Ai,... ,А^}-инде-
терминистекая теория;
—	индетерминистпской, если существует целое число г 1
такое, что Т — г-ин детерминистская теория.
Из теоремы 4.5.4 и вышеприведенных определений вытекает ут-
верждение, которое можно считать аналогом теоремы 4.5.3. Сфор-
мулируем это утверждение в виде теоремы.
Теорема 4.5.5. Существуют сильно недатерминистские теории,
не являющиеся индетермииистскими.
Рассуждая также, как при доказательстве теоремы 4.5.4, лег-
ко установить справедливость следующего аналога теоремы 4.5.2.
Теорема 4.5.6. Для любого целого числа i 1 существует
i-индетерминистская, но не (г + 1)-индетерминистская теория.
Соответствующий аналог теоремы 4.5.1 неверен: имеет ме-
сто
Теорема 4.5.7. Для любого целого числа i > 1 существует
теория Т, которая является i-индетерминистской и не является
k-индетерминистской для любого k < i.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.5.4.
Отметим, что для частного случая i — 2 примером теории
из теоремы 4.5.7 служит обычная квантовая механика. Действи-
тельно, в квантовой механике любую отдельную величину мож-
но установить с любой степенью точности, поэтому квантовая
механика не является 1-индетерминистской теорией. С другой
стороны, есть пары величин (например, координата и импульс),
которые совместно можно определить только с заранее фикси-
рованной погрешностью. Поэтому квантовая механика — 2-ин-
детерминистская теория. Когда говорят о принципе дополни-
тельности в обычных контекстах, то, не формулируя этого яв-
но, имеют в виду именно эту особенность квантовой механики:
4.5. Представление физических теории
131
квантовая механика — 2-индетерминистская, но не 1-индетерми-
нистская теория.
Действительно, если бы квантовая механика была или одно-
временно 1-индетерминистской и 2-индетерминистской, или 1-ин-
детерминистской, но не 2-индетерминистской, то не имелось бы
почвы для каких-либо разговоров о «дуализме волна — частица».
В этом случае не было бы аналогий ни с волной, ни с частицей
(предполагаемый 1-индетерминизм) или не было бы «дуализма*
(предполагаемое отсутствие 2-индетерминизма).
Пусть г > 1 — целое число. Мы говорим, что для теории
Т имеет место принцип i-дополнительности, если теория Т
является i-индетерминистской, но не А-и идете рм ин и стекой для
любого (положительного) целого числа к < г. При г = 2 прин-
цип 2-дополнительности называют принципом дополнительно-
сти Бора.
Таким образом, для квантовой механики имеет место имен-
но принцип дополнительности Бора. Никакой другой принцип
дополнительности для этой квантовой механики не может иметь
места, ибо из последнего определения следует
Теорема 4.5.S. Если для любых целых чисел i,j > 2 и теории
Т имеет место принцип i-дополнительности и i j, то для Т не
имеет места, принцип j-дополнительности.
Пусть i > 0 — целое число. Мы говорим, что в теории Т
выполняется соотношение i-неопределенностей
• • • •	0Ai,...,Ai > У’ € S, (4-11)
для наблюдаемых А},... ,4,-, если теория Т является {Ai,... ,
4(}-индетерминистской и выражение (4.11) совпадает с неравен-
ством, стоящим справа от знака F в (4.8). Если г = 2, то (4.11)
называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.
Очевидно, что во всякой i-индетерминистской теории выпол-
няется соотношение i-неопределенностей для каких-то наблюда-
емых 41,... , А, и, наоборот, если в какой-то теории выполняет-
ся то или иное соотношение i-неопределенностей, то эта теория
i-индетерминистская. В квантовой механике выполняется соот-
ношение неопределенностей Гейзенберга, ибо, как мы уже отме-
тили, она является 2-индетерминистской теорией.
4.5.3. Данное определение соотношения i-неопределенностей явля-
ется одной из корректных формулировок принципа неопределен-
ности. В этом принципе выражается индетерминизм, предпо-
лагаемый современными «квантовыми» взглядами. Но распро-
132
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
страненная версия этого принципа как невозможность одновре-
менно сколь угодно точно зарегистрировать (измерить) значения
всех наблюдаемых не совсем корректна. Суть состоит не в том,
что нельзя зарегистрировать одновременно и точно некоторые из
упомянутых значений. Это, как раз, сделать можно (см. ниже).
Исходя из г-ин детерминистской теории Т, нельзя приготовить
любую систему, рассматриваемого в теории Т типа, требуемым
образом, так как не существует подходящей инструкции <р из
5. Согласно такой теории Т возможность манипулировать пове-
дением физических систем ограничена. В этом, на наш взгляд,
заключены методологическое содержание принципа неопределен-
ности и природа индетерминизма.
Рассмотрим этот вопрос более подробно на примере принци-
па неопределенности Гейзенберга для квантовой механики, сле-
дуя, в основном, рассуждениям Л. Баллентайна7^ и X. Чуди8'.
Как известно, в квантовой механике соотношение неопределенно-
стей Гейзенберга выполняется, например, для таких двух наблю-
даемых, как координата q и импульс р, и имеет в этом случае
следующий вид:
<Tq • <7Р > h/2.	(4.12)
Последнее неравенство является неполной записью выражения
• <^A2V>	^Ai,A2,	6 S.
В (4.12) опущено (но подразумевается), Aj обозначено через q,
А2 — через р, а 0Ai,A2 = h/2. Согласно определению это озна-
чает, что для наблюдаемых Ai,A2 € Qqm и любого состояния
€ Sqm имеем
QM I-  aA2ifi 0А1А2-	(4.13)
Физический смысл (4.13) таков: как бы мы ни готовили рас-
сматриваемую физическую систему, т. е. какова бы ни была ин-
струкция <р из Sqm, произведение ширины распределения значе-
ний, регистрируемых инструкцией А] из Qqm, на ширину рас-
пределения значений, регистрируемых инструкцией А2 из Qqm>
не меньше числа h/2.
7) Ballentine L. Е. The statistical interpretation of quantum mechanics //
Rev. Modern Phys. 1970. V. 42, N 4. P. 358-381.
8) Tshudi H. R. Op. cit.
4.5, Представление физических теорий
133
Название «принцип статистического разброса» более точно
выражает суть дела, чем стандартное — «принцип неопределен-
ности». Однако исторически закрепилось второе, что связано с
другим толкованием неравенства (4.12), которое состоит в том,
что измерение координаты q вызывает непредсказуемое и некон-
тролируемое нарушение импульса р и наоборот. Этот аргумент
был впервые предложен В. Гейзенбергом9^ и с тех пор получил
широкое признание.
Рис. 4-1- Иллюстрация принципа неопределенности
Две гистограммы представляют частотные распределения незави-
симых измерений q ир на одинаково приготовленных системах. В
принципе, нет ограничений на точность и индивидуальных
экспериментов, но стандартные отклонения всегда удовлетворяют
соотношению <т^  Др Й/2
Принцип статистического разброса и приведенная обычная трак-
товка неравенств (4.12) не эквивалентны. Последняя ссылается
на ошибки измерений q и р, проводимых на одной системе; в
этом случае выглядит правдоподобным, что одно из этих двух
Измерений может вызывать ошибку в другом. Трактовка на осно-
ве принципа статистического разброса ссылается на статистиче-
ские разбросы средних выборочных по ансамблям экспериментов
Над одинаково приготовленными системами. При этом только
ОНна величина (либо q, либо р) измеряется на каждой отдельной
я> Гейзенберг В. О наглядном содержании кваитовотеоретической кине-
матики и механики // Успехи фклос. наук. 1977. Т. 122. С. 651-671. 1
134
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
системе, так что здесь не возникает вопроса о влиянии одного
измерения на другое. Более того, стандартные (среднеквадра-
тичные) отклонения и стр не могут быть вообще определены,
пока ошибки и 0р индивидуальных измерений не будут много
меньшими, чем ст4 и <тр соответственно.
Основной недостаток обычного истолкования соотношения не-
определенностей Гейзенберга состоит в следующем. Чтобы быть
содержательными, законы физики должны давать универсаль-
ные предсказания. Отсюда вытекает одно простое, но важное
следствие: если нечто утверждается относительно одного физи-
ческого объекта, то одновременно утверждается то же самое и
относительно любого другого физически неотличимого от пер-
вого (приготовленного по той же самой физически выполнимой
инструкции) объекта. Поэтому, когда в физике делаются утвер-
ждения об индивидуальных объектах, индивидуальность послед-
них не является физически значимой.
Рис. ^.2. Экспериментальное устройство
Предназначено для одновременной регистрации у и ру таким обра-
зом, чтобы произведение  $Р1Г могло быть произвольно малым
Утверждение сторонников ортодоксального истолкования кван-
товой механики о том, что соотношение неопределенностей отно-
сится к индивидуальной системе (например, к отдельному элек-
трону) не имеет физически проверяемых следствий. Это воз-
ражение можно попытаться оспорить, придавая индивидуаль-
4,5. Представление физических теорий
135
ным физическим высказываниям статус оборотов речи, имею-
щих смысл общих ограничений на возможные измерительные
приборы. Именно так поступает В. Гейзенберг, выдвигая рас-
смотренный выше аргумент в пользу обычного истолкования со-
отношения неопределенностей. Однако в качестве общих ограни-
чений на возможные приборы аргумент В. Гейзенберга не про-
ходит. Ибо, безусловно, есть эксперименты, удовлетворяющие
стандартному истолкованию соотношения неопределенностей, но
есть и такие, которые это истолкование нарушают. Примеры
первых общеизвестны благодаря работам В. Гейзенберга и Н. Бо-
ра10^, пример вторых изображен на рис. 4.2.
Частица с известным начальным импульсом р проходит че-
рез узкую щель в твердом массивном экране. После прохождения
щели импульс частицы изменится благодаря дифракции, но его
энергия останется прежней. Когда частица попадет в один из
отдаленных детекторов, ее координата у будет тем самым заре-
гистрирована с ошибкой То же самое событие служит одно-
временно регистрации p-компоненты импульса р, р9 = psin0, с
ошибкой {3Pv, которая может быть сделана сколь угодно малой с
увеличением расстояния L.
Разница между экспериментами, удовлетворяющими и нару-
шающими стандартный принцип неопределенности, может быть
пояснена с помощью расчленения единого понятия «измерение»
на следующие:
— приготовление (состояния) системы,
— последующая регистрация значения наблюдаемой.
Приготовление состояния проводится в соответствии с ин-
струкцией £>, которая обеспечивает статистически воспроизво-
димый ансамбль систем. Понятие состояния <р в квантовой тео-
рии может рассматриваться операционально как сокращение для
описания инструкции <р по приготовлению системы. Важным
специальным случаем процедуры приготовления (который ино-
гда неправильно отождествляется с измерением) является «опе-
рация фильтрации».
С другой стороны, регистрация некоторой величины А для
индивидуальной системы означает взаимодействие между этой
системой и подходящей аппаратурой, в результате которого мы
10) Гейзенберг В. Физические принципы квантовой теории. М.; Л.: Го-
стехтеоретиздат, 1932.	\
Бор Н. Атомная физика и человеческое познание. М.: Изд-^р иностр.
«ИТ., 1961- С. 51-128.
136
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
получаем значение величины А (в некоторых конечных пределах
точности) непосредственно перед этим взаимодействием.
Существенное различие между этими двумя понятиями со-
стоит в том, что приготовление относится к будущему, в то
время как регистрация — к прошлому: регистрация включает
детектирование конкретной системы, тогда как приготовление
обеспечивает условную информацию о системе, если последняя
пройдет (чего мы не знаем в момент приготовления) через при-
боры (фильтрация).
Измерение при таком подходе естественным образом распа-
дается на два указанных этапа. Оба эти этапа необходимы, но
подчеркнем, что они различные этапы. Они удовлетворяют раз-
ным требованиям. В частности, одновременная регистрация лю-
бого количества наблюдаемых величин может быть сколь угодно
точной, а возможность приготовления систем ограничена таким
образом, что выполняется соотношение неопределенностей.
Впервые отчетливо об этом сказал, пожалуй, X. Маргенау п>,
а затем Е. Пруговецкий 12\ В. Гейзенберг почти сделал это раз-
граничение, когда в работе «Физические принципы квантовой
теории» (1930 г.) коротко заметил, что «соотношение неопре-
деленностей не относится к прошлому». К сожалению, рассма-
триваемое разграничение проводится отнюдь не всегда, и оба
понятия смешиваются в одно нерасчлененное представление об
измерении.
4.6. ПОЛНОТА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
В литературе по квантовой механике читатель часто обнаружи-
вает ссылки на полемику между Н. Бором и А. Эйнштейном по
поводу полноты квантовой механики. Рассмотрим эту проблему
в общей постановке, согласованной с проводимой нами точкой
зрения на физические теории.
4.6.1. Пусть Ti, Тг — физические теории общего типа с фор-
мальными ядрами = ((^TpSTpWTj), Кт2 = (Qt2, $Т2’ W'Tj)1
Теория Тг называется пополнением (консервативным расши-
рением) теории 71, если
111 Margenau Н. Philosophical problems concerning the meaning of measure-
ment in physics // Philos. Sci. 1958. V. 25, N 1. P. 23-33.
12) Prugovecki E. On a theory of measurement of incompatible observables in
quntum mechanics // Canad. J. Phys. 1967, V. 45. P. 2173-2219.
4,6. Полнота представление физических теорий
137
Qti £ Qt2, $Ti £ $т2;	(4-14)
ЖТ1 С WTr	(4.15)
При строгом включении в (4.15), т. е. в случае С И^,	/
теория Г2 называется существенным пополнением теории
Если (4.14) имеет место, а (4.15) не выполняется, то тео-
рия Т2 называется обновлением теории Тр
Теория Ti называется полной (синтаксически полной), если
не существует теории Т2 такой, что
7з — существенное пополнение теории 7],
Т% — детерминистская теория, если и только если 1\ — неде-
терминистская теория.
Теорема 4.6.1. Любая недетерминистская теория имеет детер-
министское существенное пополнение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольную недетерминист-
скую теорию 71. Согласно определению теория Tj удовлетворяет
условию
(VVG 5Г1)(ЭАЕ QT1)(7i	/ 0).	(4.16)
Определим множества QT2 = QTv Sp2 = S-ц U {p}, p 0 S-ц, и
отображение №р2 из Q-ц x St2 b w вида
WT2(A,<p) =	если (A, y>) € Qt2 x
^Гг(А,у) = WAtP,	если A eQTi,	<p = p; (4.17)
^a,p(A) = J dVL+(x).
Д
Рассмотрим теорию 72, математический аппарат которой
°бъемлет математический аппарат теории Т\ и, кроме того, со-
Чержит в качестве аксиом или теорем равенства (4.17) [каждо-
му интервалу соответствует свое равенство вида (4.17)]. Фор-
^ьное ядро Кц = (Qt2i	такой теории удовлетворяет
Товиям (4.14)-(4.16) [причем второе включение из (4.14) вм-
еняется строго] и условию
(УАе<ЭГ2)(Т21-<7Л/, = 0)	(4.18)
138
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
детерминистичности теории Tj. Теорема 4.6.1 доказана.
Из теоремы 4.6.1 непосредственно вытекает утверждение, ко-
торое мы формулируем также в виде теоремы.
Теорема 4.6.2. Любая недетерминистская теория не является
полной.
4.6.2. Возникает вопрос: если дано некоторое детерминистское
существенное пополнение Т? недетермннистской физической те-
ории 71, то можно ли расширить интерпретацию (эмпирический
базис) теории Т\ до интерпретации (эмпирического базиса) те-
ории Та? Например, имеется ли такая инструкция р, р 0 S-ц и
р € применимая ко всем системам рассматриваемого в 1\
(ив Та) типа, что приготовленные в соответствии с ней систе-
мы не дают разброса значений ни для одной наблюдаемой А из
Qt2^ Положительный ответ не поддается вообще никакой (те-
оретической и экспериментальной) фальсификации, но зато он
может быть верифицирован эмпирическим путем. Если эта по-
следняя возможность действительно реализуется на опыте, то те-
ория Т\ допускает физически (а не только логически) значимое
существенное пополнение 7г и, следовательно, теория Tj непол-
на в семантическом смысле. Значит, никогда нельзя утверждать
(хотя можно предполагать в качестве эмпирической гипотезы),
что ныне существующие недетерминистские квантовые теории
являются семантически полными.
Суть полемики между А. Эйнштейном и Н. Бором выглядит
следующим образом. Н. Бор принимал гипотезу о семантичес-
кой полноте квантовой механики, а А. Эйнштейн —- нет. Право-
та А. Эйнштейна до сих пор не подтверждена эксперименталь-
но. Пока экспериментальная практика согласуется с гипотезой
Н. Бора. Однако здесь нужно принять во внимание неоднознач-
ные результаты по экспериментальной проверке неравенств Бел-
ла (см. подробности ниже).
Теорема 4.6.3. Каждая детерминистская теория для любого це-
лого г^1 имеет i-индетерминистское существенное пополнение
и для любого целого г > 2 имеет i-индетерминистское существен-
ное пополнение, удовлетворяющее принципу i-дополнительности.
Доказательство проводится так же, как доказательство тео-
ремы 4.5.1. Следует лишь учесть, что здесь доказательство на-
чинается с расширения множества наблюдаемых первоначальной
теории, а не с расширения множества состояний, как в теоре-
4.6. Полнота представления физических теорий
139
ме 4.6.1.
Из теоремы 4.6.3 непосредственно вытекает следующая
Теорема 4.6.4. Любая детерминистская теория неполная.
Утверждения теорем 4.6.1 и 4.6.3 могут быть выражены ина-
че: существует бесконечный ряд
ТъТ2,...,Тп,Тп+1,...	(4.19)
теорий, где каждая теория Tn+i представляет существенное кон-
сервативное расширение теории Tn, п = 1,2,... , причем все те-
ории T2k-it Л = 1,2,... , 2-индетермииистские и удовлетворяют
принципу дополнительности Бора, а все теории T2k, к — 1,2,... ,
детерминистские.
Кроме того, теория Ti — квантовая механика. Бесконеч-
ность ряда (4.19) можно рассматривать как указание на то, что
теоретическое настаивание на исключительно детерминистской
или исключительно ин детерминистской природе физической ре-
альности является бессмысленным 13\
4.6.3. Пусть Т] — произвольная физическая теория общего типа.
Есть ли среди консервативных расширений Т2 теории Т\ такие,
которые помимо условий (4.14), (4.15) удовлетворяют также не-
которым другим синтаксическим (т. е. относящимся только к
формальным ядрам и Kf2, а не к их эмпирическим бази-
сам) требованиям, рассматриваемым как естественные? Этот
вопрос подлежит математическому решению для каждого уточ-
нения упомянутых дополнительных синтаксических требований
естественности расширения Т2 теории Т\. К настоящему вре-
мени выдвинуто несколько таких уточнений. Относительно ка-
ждого из них доказана соответствующая теорема, решающая рас-
сматриваемый вопрос отрицательно и, следовательно, утвержда-
ющая полноту (непополнимость) определенных теорий в некото-
рых специальных синтаксических смыслах — полноту 1, полно-
ту 2 и т. д. Первый результат такого рода был получен И. фон
Нейманом l4J в 1932 г.
Как уже говорилось, квантовая механика есть физическая те-
ория общего типа с некоторыми специальными ограничениями на
1Э-* PankoviS V. On the impossibility of the theoretical existence of absolute
determinism and absolute statisticity in physics // Phys. Lett. A. 1988. V. 133,
N6. P. 267-271.
Нейман И., фон. Математические основы квантовой механики. М.:
Наука, 1964. С. 234-244.
140
Гл. 4. Эмпирические теории; нестандартный подход
ее формальное ядро К? . И. фон Нейман считает некоторое рас-
ширение Т? теории Tj естественным, если Т% (формальное ядро
A'j^) удовлетворяет следующим условиям.
(i)	Наблюдаемые из Qp2 представляются эрмитовыми операто-
рами. Соответствие между наблюдаемыми и эрмитовыми
операторами взаимно однозначно.
(ii)	Если оператор А есть наблюдаемая (Л G Qt2)j то /(А), где
f — произвольная функция, также наблюдаемая.
(iii)	Если Ai,A'2, ... , Ап — наблюдаемые, то Ai + А2 + ... + Ап
также наблюдаемая, независимо от того, коммутируют или
нет друг с другом операторы Ад, Аг,... , Ате.
(iv)	Состояния из Sp2 представляются матрицами плотности (в
частном случае — волновыми функциями).
(v)	Если наблюдаемая А неотрицательна (например, является
квадратом какой-либо другой наблюдаемой), то среднее зна-
—V5
чение А для нее, вычисленное по правилам квантовой ме-
ханики [т. е. в соответствии с (4.1) и (4.2)], также неотрица-
—ч>
тельно: А О для любого из Sp2.
(vi)	Для произвольных А, В из Qp2, чисел a, b € R и всех состоя-
ний <р из Sp2 имеет место равенство
— ~v — v>
аА + ЬВ — аА + ЬВ .
Условие (ii) означает, что для любых интервала Д и состо
яния <р выполняется равенство
(д) = Wt (/-1(Д)),
но подобные соотношения нельзя записать для (iii) и (vi) при про-
извольных A, Ai, А2,.  - , Ап, В. Если, например, в (iii) операто-
ры Ai, Аг,... , Ап не коммутируют, то Ж? , т , , т , вообще
лх+Агт-тЛп
говоря, не определяется однозначно величинами , • • -,
Поэтому располагая инструкциями Ai,... Ап, мы еще не распо-
лагаем инструкцией Ai +---1- Ап для наблюдаемой Aid---|-Ап.
То же справедливо относительно наблюдаемых А, В и наблюда-
емой аА + ЬВ в условии (vi). Таким образом, с физической точки
зрения условия (iii) и (vi) небезупречны. «Небезупречно» так-
же условие (i). Тем не менее И. фон Нейман рассматривал все
условия (i)-(vi) как приемлемые.
4.6. Полнота представления физических теорий
141
И. фон Нейман доказал теорему о том, что не существует ни-
какого существенного консервативного расширения Т% кванто-
вой механики, удовлетворяющего одновременно условию детер-
министичности (4.18) и условиям (i)-(vi). Иными словами, он
доказал специальный случай синтаксической полноты теории —
полноту 1, Ясно, что тем самым доказана и соответствующая
семантическая полнота (семантическая полнота 1) квантовой ме-
ханики.
Как уже упоминалось, среди условий (i)-(vi) наиболее под-
вержены критике с точки зрения физического здравого смысла
условия (iii) и (vi)15 *\ Поэтому понятны попытки получить ре-
зультаты, подобные теореме фон Неймана, устраняя или ослаб-
ляя в условиях естественности эти пункты. А. Глиссон 16) до-
казал теорему, из которой следует результат И. фон Неймана с
тем изменением, что пункт (vi) ослаблен: требуется справедли-
вость равенства только для коммутирующих (а не любых, как у
И. фон Неймана) операторов А и В. Тем самым он доказал дру-
гой специальный случай синтаксической полноты теории Т\ —
полноту 2. Очевидно, что понятие полноты 2 уже понятия пол-
ноты 1: если некоторая теория является полной 2, то тем более
она полная 1.
Общая нежелательная черта работ И. фон Неймана и А. Глис-
сона — пункт (i) среди условий естественности. С. Кохен и
Е. Шпеккер17 *^ устранили этот недостаток. Они усилили ре-
зультат А. Глиссона, заменив в его формулировке пункт (i) бо-
лее слабым требованием, чтобы достаточное (но конечное) число
операторов частного вида, а именно операторов проектирования,
служили представлениями части наблюдаемых из Qt2 . Следо-
вательно, они доказали еще один специальный случай синтак-
сической полноты квантовомеханической теории — полноту 3.
Полнота 3 — еще более узкое понятие, чем полнота 2.
Четвертый специальный случай синтаксической полноты кван-
товой механики — полноту 4 — доказали Дж. Яух и К. Пирон
заменив в формулировке результата А. Глиссона первый пункт
15) См. также Ballentine L. Е. Op. cit. Р. 358-381.
Gleasson А. М. Measures on closed subspaces of Hilbert space // J. Appl.
Math. Meeh. 1957. V. 6, N 6. P. 885-893.
Kochen S., Speker E. The problem of hidden variables in quantum me-
chanics // J. Appl. Math. Meeh. 1967. V. 17, N 1. P. 59-67.
Jauch J. M., Piron C. Can hidden variables be excluded in quantum
Mechanics? // Helv. Phys. Acta. 1963. V. 36. P. 827-837.
142
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
—ф — ф
следующим условием: если А = В =1 для некоторого состо-
яния ф из и двух проекционных операторов А и В, то
~—^Ф
АП В =1,
где А П В определяется как оператор проекции на пересечение
соответствующих подпространств гильбертова пространства 19>.
Дж. Яух и К. Пирон доказали также, что их условия есте-
ственности в целом логически слабее (вытекают из) условий (i)
(vi) И. фон Неймана. Поэтому полнота 4 — более узкое понятие,
чем полнота 1. Сказанное справедливо также и в отношении со-
ответствующих семантических понятий полноты.
Дж. Яух и К. Пирон пришли к своему условию естественно-
сти, которым они заменили пункт (i) в формулировке А. Глиссона
(или, что то же, в формулировке И. фон Неймана), по аналогии с
исчислением высказываний в обычной логике. Операторы проек-
тирования в некоторой степени аналогичны логическим высказы-
ваниям: допустимое значение 1 оператора соответствует значе-
нию «истина», а 0 — значению «ложь»; операторная конструкция
(АлВ) соответствует «высказывательной» конструкции (А & В).
В логике мы имеем аксиому «если истинно X и истинно У, то ис-
тинно (X & У)». Рассматриваемое условие естественности имеет
такую же структуру.
Если говорить об оригинальном тексте статьи Дж. Яуха и
К. Пирона, то она написана на языке «квантовой логики». Такой
язык создает впечатление, что условия естественности, записан-
ные в его терминах (а не в таком виде, как они предъявлены вы-
ше), не подлежат критике с эмпирической точки зрения, ибо они
являются своего рода логическими постулатами. Однако Д. Бом
и Дж. Баб20\ Дж. С. Белл 21 22 \ а позже Дж. С. Белл и М. Хол-
литубедительно показали иллюзорность этого впечатления.
19 j Bell J. S. On the problem of hidden variables in quantum mechanics //
Rev. Modern Phys. 1966. V. 38, N 3. P. 447-452.
2t)) Bohm D., Bub J. A refutation of the proof by Jauch and Piron that
hidden variables can be excluded in quantum mechanics // Rev. Modern Phys.
1966. V. 38, N 3. P. 470-475.
21) Bell J. On the problem of hidden variables in quantum mechanics // Rev
Modern Phys. 1966. V. 38, N 3. P. 447-452.
22) Bell J., Hallett M. Logic, quantum logic and empiricism // Philos. Sci-
1982. V. 49, N 3. P. 355-379.
4.6. Полнота, представления физических теорий
143
4.0.4. Мы уже отмечали, что разные по своему математическо-
му устройству теории могут иметь один и тот же эмпирический
базис и даже одно и то же формальное ядро. В такой ситуации
говорят о разных математических представлениях одного и того
же формального ядра.
В этой связи стоит отметить, что условия естественности
фон Неймана, Глиссона, Кохема — Шлеккера и Яуха — Пиро-
на зависят от выбранного математического представления фор-
мальных ядер рассматриваемых теорий. А это значит, что ка-
ждое из понятий «полнота 1», «полнота 2», «полнота 3», «полно-
та 4», в отличие от понятия просто «полнота», частично харак-
теризует само формальное ядро теории, к которому оно (понятие
полноты) относится, а также частично фиксирует наш субъек-
тивный выбор одного из многих логически возможных матема-
тических представлений этого ядра.
Существенно иной характер имеет понятие полноты, рассма-
триваемое ниже. В 1964 г. Дж. С. Белл сумел придать матема-
тически точный смысл размытому, но тем не менее очевидному
и естественному для большинства людей философскому воззре-
нию, в основе которого лежат следующие три предпосылки (мы
следуем здесь реконструкции гз-1 позиции Белла):
— реализм — доктрина, утверждающая, что закономерности в
наблюдаемых феноменах обязаны некоторой физической ре-
альности, чье существование не зависит от человеческих на-
блюдений;
— научный здравый смысл — убеждение, что индуктивный вы-
вод является правильным способом рассуждения в физике и
может в ее рамках применяться для вывода заключений из
согласованных наблюдений;
; — локальность — убеждение, что никакое влияние не может
распространяться быстрее света.
Более того, Дж. С. Белл сформулировал свой результат в ви-
де некоторых неравенств, называемых ныне неравенствами Бел-
ла, связывающих физически наблюдаемые (в экспериментах, по-
добных тому, к которому в 1935 г. апеллировали А. Эйнштейн,
Б. Подольский и Н. Розен в своей знаменитой статье 24)) величи-
на) D’Espagnat В. The quantum theory and reality // Sci. Amer. 1979.
V. 241. P. 128-140.
Эйнштейн А., Подольский Б., Розен H. Можно ли считать кван-
товомеханическое описание физической реальности полным? // Эйнштейн А.
144
Гл. 4. Эмпирические теории: нестандартный подход
ны. Наконец, Дж. С. Белл установил, что его неравенства проти-
воречат существующей квантовой механике. Все это составляет
содержание теоремы Белла.
Если неравенства Белла рассматривать как некие условия
естественности физических теорий (называемых в этом случае
локальными реалистскими теориями), то Дж. С. Белл доказал
еще один вид полноты квантовомеханической теории Ту. не су-
ществует никакого консервативного расширения Т% теории Ti,
которое являлось бы локальной реалистской (т. е. содержащей в
качестве своей теоремы неравенства Белла) теорией, удовлетво-
ряющей одновременно условию детерминистичностн (4.18).
Полноту в новом смысле обозначим как полноту 5, а соот-
ветствующий семантический аналог — как семантическую пол-
ноту 5. Так как неравенства Белла имеют физический смысл
(доступны физической проверке), полнота 5 есть физическая (а
не квазифизическая, как у И. фон Неймана, А. Глиссона, С. Ко-
хена и Е. Шпеккера, Дж. Яуха и К. Пирона) характеристика
теории. Правда, мотивы для введения ее в рассмотрение скорее
философские, чем чисто физические или логические.
К настоящему времени поставлено около одиннадцати экспе-
риментов по проверке неравенств Белла. Подробный анализ их
результатов читатель найдет в работе Б. д’Эспанья25\ Отме-
тим лишь, что нарушение неравенств Белла наблюдалось толь-
ко в семи из них. Но именно эти семь экспериментов не вызы-
вают сомнений с точки зрения чистоты их проведения. Поэто-
му в настоящее время считается, что экспериментальным путем
подтверждены наиболее фундаментальные принципы квантовой
механики, отличающие ее от реалистских локальных теорий.
4.6.5. Приведенные теоремы о полноте тесно связаны с так на-
зываемой проблемой скрытых параметров, суть которой состоит
в следующем.
Квантовая механика предсказывает статистическое распре-
деление событий — результаты одинаковых измерений, пред-
варяющихся определенным приготовлением состояния. Но если
приготовленное состояние не соответствует собственному векто-
ру конкретной измеряемой наблюдаемой, то исход каждого инди-
видуального события квантовой теорией не предрешается. Тогда
возникает предположение, что исход индивидуального события
Собр. науч. тр. М.: Наука., 1966. Т. 3. С. 604—611.
25) D’Espagnat В. Op. cit. Р. 128-140.
4.6. Полнота представления физических теорий
145
может определяться некоторыми переменными, которые не опи-
сываются квантовой теорией и которые не могут быть прокон-
тролированы данной процедурой приготовления состояния. Мо-
жет быть, статистические распределения в квантовой механи-
ке — результаты усреднения по этим скрытым параметрам?
Возможно ли существующую квантовомеханическую теорию
превратить в детерминистскую, добавив к ней каким-то более
или менее естественным образом описание подходящих дополни-
тельных переменных?
Приведенные результаты о полноте дают общую картину
имеющихся здесь логических возможностей.
Если квантовая механика полна в каком-то из отмеченных
выше смыслов, то она никакими математическими «ухищрения-
ми» не может быть превращена в детерминистскую путем есте-
ственного введения дополнительных параметров.
Напротив, если она неполна в каком-то из этих смыслов, то
существует логическая возможность естественного (опять-таки
в соответствующем смысле) введения скрытых параметров, пре-
вращающих ее в детерминистскую теорию.
4.6.3. Следует отметить, что шесть проанализированных нами
понятий полноты физической теории отличаются от обычной ло-
гической полноты. Поэтому когда физик говорит, что квантовая
механика неполна, то это утверждение не связано с известными в
логике теоремами Гёделя о неполноте или родственной теоремой
Тарского о невыразимости истины.
Однако есть еще один смысл полноты квантовомеханической
теории, совершенно отличный от тех, что мы рассматривали до
сих пор. «Полнота» в таком смысле обсуждается среди физиков
и философов, хотя эти обсуждения пока гораздо менее распро-
странены 26\ Мы имеем в виду следующую проблему: является
ли квантовая механика (вернее, весь комплекс физических дисци-
плин, основанных на ней, вроде теории твердого тела, квантовой
электродинамики и т. д.) достаточно полным описанием реаль-
ности в том смысле, что все физические явления могут быть объ-
яснены (сведены) к явлениям квантовомеханическим?
Например, мы можем предполагать, что аппаратура сдела-
на из атомов, и ее макроскопическое поведение сводимо (как пре-
дельный случай) к поведению составляющих ее атомов. Ибо нет
— -
гб) Тем не менее мы рекомендуем работу: Peres A., Zurek W. Н. Is quan-
tum theory universally valid // Amer. J. Phys. 1982, V. 50, N 9, P. 807-810 и
библиографию в ней.
146
Гл. 4. Эмпирические теория: нестандартный подход
ничего в квантовой теории, что делало бы ее применимой к трем
атомам и не применимой к 1023 атомам.
Поэтому на первый взгляд кажется, что квантовая теория
в этом рассматриваемом сейчас смысле, если и не полна в ны-
нешнем ее состоянии, то может быть развита так, чтобы стать
полной.
С другой стороны, мы не должны забывать, что сами-то ато-
мы и их поведение, словом, сама квантовая теория, получают фи-
зический смысл только в макроскопических терминах. Сказать,
что мы исследуем электрон (или атом), это в конечном итоге
сказать, что мы исследуем поведение определенного класса аппа-
ратуры. Сказать даже, что аппаратура состоит из атомов, это
тоже сказать в конечном итоге, что выходы определенных макро-
скопических процедур таковы-то и таковы-то.
Иначе говоря, мы не должны забывать, что попытка описать
в терминах квантовой теории все макроскопические явления —
это попытка использовать своего рода самоописание. Кванто-
вая теория, развитая так, чтобы быть полной в рассматривае-
мом смысле, окажется теорией с так называемой «самоотносимо-
стью».
Легко понять, что теории с подобной спецификой «подозри-
тельны» с точки зрения их логической корректности. Природа
«подозрений» сразу видна по аналогии со следующим примером.
Иногда на обложке журнала рисуют сам этот журнал. Ясно, что
такой рисунок обязан быть неточным, ибо в противном случае
рисунок на обложке должен был бы содержать рисунок обложки,
содержащей рисунок обложки, содержащей... и т. д. до бесконеч-
ности.
Исследование условий логической корректности теорий с са-
моотносимостью — это тема, близкая к теоремам Гёделя, Тар-
ского и другим аналогичным результатам в области методоло-
гии математики. С учетом этого обстоятельства можно, пожа-
луй, сказать, что неполнота квантовой теории в рассматривае-
мом смысле действительно несколько напоминала бы неполноту
математических теорий в смысле Гёделя. В этой связи А. Перес
и В. Зурек писали 27>:
27) Цитируется по статье: Peres A., Zurek W. Н. Op. cit.: Таким обра-
зом, хотя квантовая теория универсальна, она не замкнута. Все может опи-
сываться ею, но нечто должно оставаться неанализируемым. Это не обяза-
тельно именно порок квантовой теории: это, вероятно, возникает как логи-
ческая необходимость в любой теории, которая самоотяосима в том смысле,
4.6. Полнота представления физических теорий	147
Thus although quantum theory is universal, it is not closed. Anything
can be described by it, but something must remain unanalyzed. This
may not be just a flaw of quantum theory: It is likely to emerge as a
logical necessity in any theory which is seif-referential, as it attempts
to describe its own means of verification. In this sense it is analogous
to Gedel’s undecidability theorem of formal number theory...
Остается добавить, что обсуждаемый вопрос в настоящее
время недостаточно полно исследован, чтобы высказываться о
дем в более уверенных интонациях, чем те, которые мы про-
демонстрировали. Заметим также, что точный смысл теорем
Гёделя читатель найдет в гл. 7 и приложении.
что она пытается описать свои собственные средства верификаиии. В этом
отношении она аналогична теореме Гёделя о неразрешимости формальной
теории чисел... — Пер. с англ.
Глава 5
ПРОБЛЕМА ИНДУКЦИИ
5.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
5.1.1. Расширение знания происходит следующим образом: сна-
чала возникает догадка (гипотеза), которая подвергается провер-
ке и затем либо отбрасывается и заменяется новой догадкой (воз-
можно, просто поправкой), либо становится прочным достоянием
науки (если мы удостоверимся в справедливости этой догадки).
Возникновение догадки, предваряющей становление новой гипо-
тезы, часто рассматривают как «открытие новой истины». Од-
нако при расширении знания мы всегда имеем дело не только с
открытием новой истины, но и с ее проверкой1). В этой связи
философию науки характеризуют две главные проблемы:
—	обоснование знания (логика оправдания),
—	расширение знания (логика открытия)2).
Логика открытия — учение о правилах, приводящих к от-
крытиям новых истин, — давно интересует человечество. Исто-
ки этой проблемы восходят еще к античности, а начиная с XIV
столетия философы (Р. Луллий, Дж. Бруно, Ф. Бэкон) пытались
построить такое учение, называя его искусством открытий (ars
inveniendi).
По здравому смыслу возникновение новых удачных догадок
зависит не от соблюдения тех или иных правил мышления, а
от личных дарований исследователя, не укладывающихся ни в
какие общеобязательные предписания. При одних и тех же об-
стоятельствах талантливый человек приходит к блестящим от-
Введенский А. И. Логика, как часть теории познания. Изд. 4-е. М-;
IL: Госиздат, 1923. С. 6.
2) Lakatos I. Changes in problem of inductive logic // The problem of induc-
tive logic. Amsterdam: North-Holland Publ. Company, 1968. P. 318.
5.1. Историческая справка
149
крытиям, а у человека заурядного никаких догадок не возникает.
Однако на свидетельства «здравого смысла» нельзя полагаться
с полной уверенностью. Поэтому вполне естественны продол-
жающиеся две тысячи лет попытки найти и обосновать логику
открытия, несмотря на то что все тот же «здравый смысл» сви-
детельствует о неосуществимости такой задачи.
Где же истина? При ответе на этот вопрос возникает слож-
ный комплекс взаимосвязанных проблем, который и образует то,
что принято называть проблемой индукции.
5.1.2.	История проблемы индукции начинается с Аристотеля.
Именно он в своих «Аналитиках» впервые описал тот вид умо-
заключений, который теперь называется «неполная (несовершен-
ная, популярная) индукция» или «индукция через простое пере-
числение (энумеративная индукция)».
Неполная индукция состоит в том, что на основании посы-
лок, говорящих нечто истинное относительно частных случаев
или примеров некоторого общего понятия, делается вывод об ис-
тинности всего объема общего понятия. Например, золото, сере-
бро, железо и медь — хорошие проводники электричества; сле-
довательно, все металлы — хорошие проводники электричества.
Здесь посылки говорят только о нескольких металлах, а вывод —
обо всех.
Неполную индукцию отличает следующий принцип подбора
случаев, о которых делается вывод: случаи подбираются произ-
вольно, с соблюдением лишь одного правила', не противоречить
выводу. Это объясняет, почему Ф. Бэкон назвал неполную ин-
дукцию «inductio per enumerationem simplicem ubi non reperitur
instantia contradictoria»3'.
Несомненно, что неполная индукция имеет эвристическое зна-
чение и иногда приводит к удачным догадкам, как несомненно
и то, что она легко поддается формализации. Тем не менее этот
вид индуктивного умозаключения нельзя рассматривать как ло-
гику открытия. Главная причина не в том, что вывод по непол-
ной индукции не имеет доказательной силы и часто оказывает-
ся ошибочным, хотя посылки, на основании которых строится
вывод, правильны. Вероятно, все виды индуктивных выводов
обладают таким недостатком.
Цитируется по книге: Введенский А. И. Поли. цит. С. 150-151:
индукция через простое перечисление, в котором не встречается противоре-
чащего примера (или случая). — Пер. с латыни.
150
Гл. 5. Проблема индукции
Неполная индукция неприемлема как логика открытия, по-
скольку непонятно, как ограничить область применимости пра-
вила неполной индукции, а без такого ограничения применение
неполной индукции приводит к парадоксам. Одним из таких
парадоксов является так называемая «новая загадка индукции»
Н. Гудмэна или «парадокс Гудмэна»4\
ПАРАДОКС ГУДМЭНА
Предположим, что все изумруды, наблюдаемые до момента вре-
мени 1, имеют зеленый цвет. Тогда в соответствии с неполной
индукцией в момент времени t мы вправе сделать вывод /ц: все
изумруды зеленые. Пусть предикат «зелубой» истинен на объек-
те ж, если он был зеленым до и стал голубым после момента t. На
основании тех же наблюдений и в соответствии с правилом не-
полной индукции в момент времени t приходим к выводу /13: все
изумруды зелубые. Выводы Ai и &2 дают несовместные предска-
зания относительно цвета любого изумруда, наблюдаемого после
момента t: согласно выводу h.^ изумруд зеленый, а согласно вы-
воду h2 —- голубой.
Н. Гудмэн считает, что выход — в создании специальной
теории проектирования (theory of projection), которая установит
ограничения на область применимости метода неполной индук-
ции. Эти ограничения Н. Гудмэн предлагает сформулировать
в терминах степеней укоренения предикатов, используемых при
осуществлении индукции.
В «Аналитиках» Аристотеля рядом с изложением метода не-
полной индукции есть глава, касающаяся рассуждений по ана-
логии (естественно, что термины «индукция» и «аналогия» в их
современном понимании Аристотелем не употреблялись). Нет
необходимости анализировать здесь аристотелевский метод ана-
логий, так как этот вид индуктивного умозаключения предста-
вляет собой лишь некоторую специфическую форму применения
неполной индукции.
5.1.3.	После Аристотеля вплоть до XVII столетия в логике и
философии не было существенно новых продвижений в решении
проблемы индукции. Исключение составляет лишь труд Р. Лул-
лия «Великое искусство» («Ars magna et ultima»). Хотя он на-
писан трудно усваиваемым языком и насыщен всякого рода вы-
мыслами, «невыносимыми для более или менее трезвого рассуд-
Goodman N. Fact, fiction, and forecast. Cambridge: Harvard Univ. Press,
1955.
5,1. Историческая справка
151
ка», по оценке Т. Котарбиньского 5\ в них тем не менее прово-
дится здравая идея, которая в современном изложении выглядит
примерно так.
ИДЕЯ ЛУЛЛИЯ В СОВРЕМЕННОМ ИЗЛОЖЕНИИ
Представим, что мы выписываем в некотором заданном порядке
и пытаемся с пониманием прочитывать конечные последователь-
ности букв русского (у Р. Луллия — латинского) языка, пробе-
лов, знаков препинания, математических обозначений и т. п. В
этом перечне рано или поздно появится «высказывание», запи-
санное в таком подходящем виде, что мы сможем его опознать и
признать как убедительно истинное. Наряду с прочими интерес-
ными текстами, мы сумеем, быть может, опознать и формулиров-
ки конкретных индуктивных обобщений, а также формулировки
правил этих обобщений. Таким образом, проблема сведется к по-
строению соответствующего приспособления для осуществления
перебора символьных последовательностей.
Р. Луллий сделал попытку практического осуществления сво-
ей идеи: в своем главном труде «Великое искусство» он опи-
сал подобное устройство в виде набора вращающихся независимо
друг от друга концентрических кругов, размеченных буквами,
цифрами и даже готовыми терминами из словаря современной
ему теологии.
Достоинство программы Р. Луллия в том, что она гаран-
тирует (хотя и в неопределенном будущем) успех в нахождении
результатов любых исследований, проводимых только рассужде-
ниями, без обращения к наблюдениям и эксперименту.
Недостаток программы Р. Луллия в отсутствии хотя бы при-
ближенной оценки времени, необходимого для достижения перво-
го успеха. Не окажется ли, что при механическом переборе переч-
ня никогда не встретится текст, излагающий в понятной для нас
форме формулировку и обоснование хотя бы одного индуктив-
ного правила, отличного от уже известной неполной индукции?
Быть может, убедительно обоснованных правил индукции вооб-
ще нет? Действуя по методу Луллия, не обрекаем ли мы себя
не только на рутинную, но и бесполезную деятельность? Этих
вопросов достаточно, чтобы не принимать доктрину Р. Луллия
как решение проблемы индукции.
Котарбиньский Т. Избранные произведения. М.: Изд-во иностр,
лит., 1963. С. 577.
152
Гл. 5. Проблема, индукция
Ф. Бэкон в своем труде «Новый Органон или истинные ука-
зания для истолкования природы» (1620 г.) предпринял попытку
усовершенствования неполной индукции, а именно: если непол-
ная индукция опирается на произвольно проводимое перечисле-
ние случаев или примеров, подпадающих под ее заключение, то
индукция, по Бэкону, называемая также научной, опирается на
те случаи или примеры, которые выбираются по определенным
правилам.
Учение Ф. Бэкона об индуктивных выводах усовершенство-
вал Дж. Гершель6' и в значительной степени Дж. С. Милль7'. В
книге «Система логики силлогистической и индуктивной» (1843)
Дж. С. Милль настолько удачно описал основные методы науч-
ной индукции, что их стали называть методами Милля.
Не вдаваясь в детали доктрины Бэкона— Гершеля — Милля,
достаточно подробно проанализированной многими авторами8 *',
отметим лишь ту черту, которая не позволяет считать эту док-
трину решением проблемы индукции. Дж. С. Милль, описывая
свои методы как поиски ответа на вопрос, как открыть причину
изучаемого явления природы (как догадаться о ней), на самом
деле описывает методы оправдания уже сделанного открытия
(уже возникшей догадки). Методы Бэкона — Гершеля — Милля
вне зависимости от своих совершенств или недостатков являются
правилами индуктивной логики оправдания, но не логики откры-
тия. Поэтому, будучи некоторым вкладом в решение проблемы
индукции, они не решают ее удовлетворительным образом.
В этом отношении современные разработки в области индук-
тивной логики мало чем отличаются от концепций Дж. С. Мил-
ля. Но понимание самой проблемы индукции претерпело весьма
существенные изменения по сравнению со взглядами, которых
придерживались в XVII-XVIII столетиях. В старые времена на-
деялись, что решение проблемы индукции снабдит ученых кни-
гой неких предписаний — правил для свершения новых откры-
тий и(или) создания новых теорий. Теперь такие надежды почти
никем не высказываются. Современные индуктивные доктрины
не претендуют на роль логики открытия в старом смысле; они
представляют собой наборы правил (по-прежнему автоматиче-
Гершель Дж. Философия естествознания. СПб, 1868.
7' Милль Дж. С. Система логики силлогистической и индуктивной. М.,
1914. Кн. III, гл. 8, 9.
8' См., например: Минто В. Индуктивная и дедуктивная логика. СПб,
1902; Введенский А. И. Поли. цит.
5.1. Историческая справка
153
ских и даже не тесно связанных друг с другом) для оценки го-
товых хорошо сформулированных теорий Логика оправдания
отделилась от логики открытия и считается адекватной пробле-
ме индукции, понимаемой по-новому. Произошел регрессивный
сдвиг проблемы, т. е. решается проблема менее значимая, чем
исходная10).
5.1.4.	Подавляющее большинство современных работ, относя-
щихся к исследованию проблемы индукции, идейно примыкают
к взглядам Р. Карнапа. Следует отметить, что Р. Карнап и его
последователи проделали огромную работу по разработке фор-
мального аппарата индуктивной логики. Задача, которую они
ставили перед собой, заключалась в том, чтобы с помощью ис-
числения вероятностей упорядочить по степеням подтверждения
множество гипотез /ц, h%, ..., hn по отношению к эмпирическому
свидетельству е. Поскольку гипотезы и факты (свидетельства)
формулируются на некотором языке, все проблемы сводятся к
отысканию функции подтверждения с(Л, е), понимаемой как ме-
ра на множестве предложений языка. По существу, решаемые
при таком подходе к логике науки задачи можно представить в
виде следующей программы:
— построить логически безупречный язык науки, выделить в
нем подъязык наблюдения и определить процедуру редукций"
теоретических понятий к понятиям наблюдения и теоретиче-
ских предложений к предложениям наблюдения;
—	определить на предложениях построенного языка вероятност-
ную функцию подтверждения, удовлетворяющую аксиомам
теории вероятностей;
—	разработать дополнительную систему аксиом, исходя из усло-
вий, адекватности функции подтверждения задачам индук-
тивной логики, и тем самым сузить класс вероятностных
мер;
— показать, что введенные таким образом меры приводят к
правдоподобным оценкам вероятности гипотез при любых
данных свидетельствах.
Знаменитая теорема Гёделя поставила формальные барьеры
на пути к созданию универсального и полностью формализован-
9) Lakatos I. History of science and its rational reconstruction // Boston stud,
philos. sci. 1970. V. 8. P. 92.
10) Lakatos I. Op. at. P. 317.
154
Гл. 5. Проблема индукции
кого языка науки. Но дело даже не в математических трудно-
стях реализации программы Р. Карнапа. Вызывает возражение
само понимание Р. Карнапом и его школой проблемы индукции,
базирующееся на установлении примата логики оправдания пе-
ред логикой открытия. Если для классических эмпиристов зна-
ние состояло из фактуальных высказываний, множества теорий
в подходящем языке и разбиения этого множества на два клас-
са теорий — «приемлемых» и «неприемлемых», то для Р. Кар-
напа знание состоит из фактуальных высказываний, множества
упомянутых теорий и функции с(Л,е) — оценки правдоподобия
теорий, заданной на парах (Л,е), где е — фактуальное выска-
зывание, a h — теория. Поэтому с точки зрения Р. Карнапа
ошибочно на основании индуктивного вывода принимать (или
отвергать) новую теорию11); на самом деле, можно лишь в не-
которой степени подтвердить теорию, т. е. приписать некоторое
число се(Л) = c(h, е) гипотезе h, если наблюдалось событие, соот-
ветствующее фактуальному высказыванию е. Приведем цитату
из Г. Кайберга12);	л
С точки зрения Карнапа, в итоге индуктивных рассуждений мы д;
приписываем некоторую степень подтверждения новому выскаэы- .
в алию. И это все, утверждает он, что нам нужно или чего можно
желать, занимаясь индуктивными выводами. На основе получен-
ных степеней подтверждения можно определить интересующие нас
математические ожидания и принять решение, какое из действий
следует совершить.
Немедленно возникает дилемма: либо принимаемые нами ре-
шения зависят от вида с(Л,е) (тогда выбор конкретной функ-
ции c(h, е) должен быть основан на дополнительном исследовании
связи между с(Л, е) и способами принятия решений), либо указан-
ной зависимости нет (тогда можно принимать решения без учета
функции с(А,е)).
Предполагая первую возможность, мы должны признать, что
установление вида функции с(Л, е) (установление логики оправ-
дания) не есть полное решение поставленной проблемы. Допол-
нительно должны быть выработаны правила принятия решений.
Предполагая вторую возможность, мы приходим к выводу, что
логика оправдания вообще не нужна.
Принимать подобно Р. Карнапу первый вариант и одновре-
п) Carnap R. The aim of inductive logic // Logic, Methodology, and Philos-
ophy of Science (I). Amsterdam: North-Holland Publ. Company, 1963. P. 303-
318.
12)	Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. М.: Мир, 1978. С. 264
5.1. Историческая справка.
155
^енно ограничиваться лишь логикой оправдания значит допус-
кать искажение видения самой проблемы индукции. Действи-
тельно, чтобы эта проблема хоть в какой-нибудь мере не была
просто игрой с символами, мы должны в ее рамках иметь воз-
можность принимать или отвергать нетривиальные теории. Это
неизбежно, раз мы хотим видеть в индукции инструмент, коррек-
тирующий наши решения действовать, а не только приписывать
числа.
В защиту позиции Р. Карнапа можно высказать следующее
соображение: об оставшихся проблемах умалчивается по той при-
чине, что они не вызывают принципиальных трудностей и до-
статочно приложить уже известную теорию принятия решений
(в условиях неопределенности), чтобы завершить логику оправ-
дания построением логики открытия. Однако такое суждение
неверно. Такое «пополнение» программы Карнапа встречает су-
щественные препятствия.
Предполагается, что определенные требования на вид функ-
ции с(Л, е) адекватны способам приписывания степеней подтвер-
ждения, а критерии адекватности зависят от подразумеваемых
способов применения функции с(Л,е) для принятия решений. Ус-
ловия адекватности не удается сформулировать так, чтобы фор-
мулировки не влекли нежелательных следствий. Например, лю-
бая из рассмотренных Р. Карнапом с-функций подтверждения со-
общает нулевую вероятность универсальному фактуальному об-
общению в языке с бесконечным числом индивидных констант.
В результате подобное обобщение не может иметь отличную от
нуля вероятность при любом количестве эмпирических сведений
в его пользу. Отметим, что Я. Хинтикка13) построил функцию
подтверждения, с помощью которой можно сообщить ненулевые
вероятности универсальным закономерностям, но как показал
Б. Л. Лихтенфельд в системе Я. Хинтикки (как, впрочем, и
в системе Р. Карнапа) имеет место вероятностная несовмести-
мость индукции по индивидам и индукции по свойствам. Кроме
того, в подходах Р. Карнапа и Я. Хинтикки (см. книгу Г. Кай-
13)	Hintikka J. A two-dimensional continuum of inductive methods // Aspects
of Inductive Logic. Amsterdam: North-Holland Publ. Company, 1966. P. 113-
132.
14)	Лихтенфельд Б. Л. Вероятностная парадоксальность индуктивной
логики Р. Карнапа и Я. Хинтикки // Методы логического анализа. М.: На-
ука, 1977. С. 193-211.
156
Гл. 5. Проблема, индукции
берга15}) «... нас преследует мысль о произвольности исходных
вероятностей ... Индуктивные методы характеризуются значе-
ниями свободных параметров. Однако, по всей видимости, не су-
ществует простого и естественного способа, с помощью которого
можно было бы ограничить множество значений параметров». К
этому недостатку системы Р. Карнапа мы вернемся в 5.2.
Противоположных школе Р. Карнапа взглядов на проблему
индукции придерживается школа К. Поппера. Согласно точке
зрения К. Поппера следует говорить не об истинности, а лишь о
предполагаемой или уже установленной ложности эмпирической
теории, поскольку истинность не является ни эмпирическим, ни
логическим фактом, тогда как факт ложности может быть об-
наружен наблюдением эмпирической ситуации, противоречащей
теории (принцип фальсифицируемости). Поэтому мы выбираем
(с той или иной степенью правдоподобия) не истинные, а наибо-
лее информативные теории, т. е. теории, которые a priori наи-
более подвержены фальсификации, но тем не менее не фальсифи-
цируются имеющимися опытными данными. То обстоятельство,
что такой выбор часто (как свидетельствует история естество-
знания) оказывается удачным, — замечательный, но всего лишь
побочный эффект, ибо, следуя логике рассуждений К. Поппера,
мы все равно поступали бы так, как поступаем. Очень харак-
терны для взглядов К. Поппера эпиграфы в его книге 16\
Experience is the name everyone gives to their mistakes.
Oskar Wilde
Our whole problem is to make the mistakes as fast as possible...
John Archibald Wheeler
Исходя из приведенных суждений, К. Поппер заключает, что ин-
дуктивная логика вообще несостоятельна как метод получения
новых знаний и новые теории возникают не в результате индук-
тивных обобщений, а в результате актов творческих озарений,
подлежащих психологическому, но не логическому анализу. Ка-
залось бы, более естественно с точки зрения К. Поппера пред-
полагать, что индуктивная логика (и не просто индуктивная, а
15) Кайберг Г. Поли цит. С. 279.
Цитируется по книге: Popper К. R. Conjecture and refutations. New
York; London: Basic Books Publ., 1962: Опытом мы именуем свои ошибки
[Оскар Уайльд]; Наша главная цель —делать ошибки так быстро, как только
возможно... [Джон Арчибальд Вилер]. — Пер. с англ.
5.2. Постановка проблемы индукции
157
логика открытия) вполне возможна и должна быть такой, какой,
вероятно, автоматически получится, если выработать (быть мо-
жет, с привлечением психологического анализа) критерий выбо-
ра теорий, основанный на понятии «наиболее информативная те-
ория», сформулированном подходящим образом. Вывод К. Поп-
пера тем более странен, что он и его последователи (например,
И. Лакатош) проделали значительную работу по созданию логи-
ки открытия; и хотя они не достигли полного успеха, их усилия
являются ценным вкладом в исследования проблемы индукции.
Отметим, что воззрения школы К. Поппера оказали определенное
влияние на постановку проблемы индукции, приведенную в 5.2.
Кратко охарактеризуем еще одно направление в исследовани-
ях проблемы индукции — так называемый новый подход Н. Гуд-
мэна, согласно которому при выборе теорий на основе данного
опыта, мы должны не только опираться на то, какие картины
мира рисуют конкурирующие теории, но также использовать ин-
формацию о том, в какой степени язык этих теорий согласуется
с прошлой лингвистической практикой. В этой доктрине в ка-
честве основного принято понятие «укоренение», применимое к
терминам теории в той степени, в какой эти термины, а также
их экстенсиональные эквиваленты, т. е. слова, имеющие тот же
объем, фактически употреблялись ранее в эмпирических пред-
сказаниях. Наибольший протест в этом подходе вызывает то
обстоятельство, что не объясняется понятие «укоренение терми-
нов». Ясно, что Н. Гудмэн попытался обойти свой собственный
парадокс, объявляя предикаты типа «зелубой» не укоренивши-
мися и, следовательно, незаконными. Однако неясно, почему мы
должны верить в существенность для индукции чисто лингви-
стических особенностей эмпирических теорий.
5.1.5.	Мы дали характеристику в общих чертах современного
состояния проблемы индукции. К настоящему времени наибо-
лее разработана та часть проблемы, которая называется логикой
Ьправдания, а логика открытия остается «белым пятном».
5.2. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ИНДУКЦИИ
5.2.1.	Проведем установочный анализ проблемы индукции, пред-
варительно сделав некоторые замечания. Установочная часть
(установка) любой дисциплины включает сведения о том, что
рассматривается в качестве объектов изучения дисциплины и
какой мы хотим видеть саму дисциплину. Поэтому любое уста-
158
Гл. 5. Проблема индукция
новочное исследование базируется на некоторых высказываниях
(назовем их установочными принципами), истинность которых
не подлежит сомнению. Любая попытка подвергнуть установоч-
ный принцип сомнению квалифицируется как непонимание пред-
мета изложения. Если, например, высказывание «снег черный»
фигурирует как установочный принцип в некоторой теории, вы
не вправе сомневаться в его истинности в рамках этой дисци-
плины. Вы можете только отметить, что нет согласия между
общепринятыми и присвоенными в данной дисциплине значени-
ями слов «снег» и «черный». Установочные принципы — это, в
некотором смысле, постулаты значения.
Таким образом, установочная часть любой дисциплины не
может быть ложной, однако может быть неадекватной. Как по-
казано ниже, сомнения относительно адекватности допускают-
ся на любой стадии установочного исследования. Но после его
завершения законы развития дисциплины такие же, как, напри-
мер, в математике: главное — доказывать теоремы. И точно
так же, как в математике, каждая новая теорема — это (в неко-
тором смысле) новое наблюдение (следовательно, новое знание)
тех объектов исследования, которые мы рассматриваем на основе
принятых установочных принципов.
В этой связи вывод следствий из постулатов играет роль экс-
периментального исследования наблюдаемых объектов. Только
при этом нужно учитывать, что объекты наблюдаются не с по-
мощью, например, «глаз», а с помощью, так сказать, «ума», коль
скоро смысл постулатов постигается умозрительно, а не визуаль-
но. В частности, мы должны быть готовыми к тому, что логи-
ческая разработка установочных принципов может существенно
изменить нашу первоначальную оценку адекватности.
Отметим, что вывод следствий из постулатов, т. е. разви-
тие самой дисциплины, является принципиальной составной ча-
стью и собственно установочного исследования, наряду с выбо-
ром установочных принципов.
В соответствии с этими замечаниями сформулированные ни-
же требования к методам индукции могут рассматриваться в ка-
честве установочных принципов. Мы приводим не только фор-
мулировки, но и мотивы выдвижения этих требований. При этом
постоянно (иногда неявно) используем следующий прием: пока-
зывается, что отрицание рассматриваемого требования приво-
дит к тому, что в область исследования допускается то, что дела-
ет нашу проблематику не достойной внимания. Иными словами,
5.2. Постановка. проблемы индукция
159
установочные принципы выбираются так, что отрицание любого
из них приводит к дискредитации исследуемой проблемы.
В 5.3 изложено важное следствие выбранных постулатов, а
в 5.4 описаны попытки переоценки адекватности установочных
принципов с учетом этого следствия. Ясно, что согласно принци-
пам выбора постулатов такая переоценка в случае успеха озна-
чала бы изменение наших первоначальных интересов под влия-
нием нового знания, полученного вместе с выводом указанного
следствия.
5.2.2.	Вернемся к обсуждению проблемы индукции. Как видно
из 5.1, вряд ли возможно ответить на вопрос о том, что есть про-
блема индукции, одновременно и безупречно, и недвусмысленно.
Любой определенный ответ кому-то может показаться не отвеча-
ющим существу дела. Поэтому мы будем исходить не из того,
чем является проблема индукции на самом деле, а из того, какой
мы ее хотим видеть, учитывая точки зрения философов, пытав-
шихся эту проблему решить.
Нам хотелось бы понимать проблему индукции так, чтобы
идеальным ее решением считалось создание некоторого универ-
сального приема (логики открытия), с помощью которого можно
автоматически, но успешно выполнять функции естествоиспы-
тателя-теоретика в процессе открытия им новых законов приро-
ды — новых естественно-научных теорий. При этом мы считаем,
что открытие новой теории состоит в следующем. Вначале на-
блюдается какой-то круг явлений, затем наблюдения фиксируют-
ся в некотором конечном протоколе ргц. Объекты, которые бы-
ли подвергнуты наблюдению, образуют конечное множество Aq.
Иначе говоря, одним из отправных пунктов для открытия новой
теории является некоторая конечная модель ПЛд конечной сигна-
туры ш с носителем До такая, что рг0 = ^“'“(ЯИо).
В общем случае естествоиспытатель, приступая к открытию
новой теории, принимает в качестве отправного пункта своих ис-
следований не только наблюдение ЯЯо, но и некоторую информа-
цию в виде уже известной эмпирической теории h§. Акт откры-
тия новой теории состоит в том, что исследователь, располагая
(Aq, рг0, До), указывает теорию fej, которая дает более опреде-
ленные, чем теория /iq, ответы на вопросы об интересующем нас
объекте. Предполагается, что теории h\ и Ло не опровергаются
данными, заключенными в наблюдении ОТц.
Часто говорят, что новая теория h\ появляется в результате
наблюдения явлений, опровергающих старую теорию hn. Лег-
160
Гл. 5. Проблема, индукция
ко показать, что так возникшая новая теория не приводит к су-
щественно новый рассмотрениям. Действительно, можно счи-
тать, что переход от Лд к hi состоит из двух этапов. На пер-
вом этапе переходят от теории Лд к ее подтеории Лд такой, что
события, опровергающие теорию ho (соответствующие протоко-
лу рг0), оказываются возможными в рамках теории h'Q, а во всем
остальном подтеория h'^ совпадает с теорией Лд. На втором эта-
пе переходят от Лд к /ц. Второй этап проблематичен, тогда как
первый этап тривиален. Подходящее для данного случая опреде-
ление подтеории дано ниже; здесь достаточно представлять, что
подтеория Лд теории ho высказывается о том же, о чем высказы-
вается теория ho, но менее определенно.
Пусть f — функция, однозначно ставящая в соответствие
каждой тройке (Лд,ргд,4д) из подходящего класса теорию Л^.
• Будем называть функцию f методом индукции {логикой от-
крытия), если предполагается использовать ее следующим
образом: если Л^ = /(Лд,ргд, Ад), то теория hi принимается
нами всякий раз, когда принимается исходная теория ho.
Прием, с помощью которого мы могли бы открывать новые естес-
твенно-научные теории, разумно понимать как метод индукции,
удовлетворяющий определенным требованиям. Теперь приведем
точное выражение метода индукции, как мы его понимаем ниже.
ПРОБЛЕМА ИНДУКЦИИ
Сформулировать и обосновать условия на функцию /. Изучить
класс функций /, удовлетворяющих этим условиям.
5.2.3.	На первый взгляд, обоснованием использования функции f
при определении метода индукции могло бы служить подтвер-
ждение следующей гипотезы: если hi — f(ho, ргд, Ад) для некото-
рых ho, рг0, Ag, hi и данной функции f, то никакими фактически-
ми наблюдениями нельзя опровергнуть теорию hi, не опроверг-
нув при этом теории ho. Иными словами, если hi = /(Лд,ргд, Ад),
то принятие теории hi не более рискованно, чем принятие тео-
рии ho, хотя в общем случае теория hi логически более огра-
ничительна, чем ho, и, следовательно, a priori более подвержена
фальсификации. Эта гипотеза безусловно носит эмпирический
характер, так как подлежит в процессе испытаний теорий ho и
hi фальсификации всевозможными фактическими наблюдения-
ми, более того, нет оснований считать, что она не будет фаль-
сифицирована ближайшими же наблюдениями. Поэтому такое
обоснование могло быть выдвинуто разве что во времена Р. Лул-
5.2. Постановка проблемы индукции
161
ди я. В настоящее время не ищут методов индукции, претендую-
щих на согласованность с указанной гипотезой.
Теперь условия на функцию f рассматривают лишь в кон-
тексте их рациональности, а не как гарантию от опрометчивых
фактических применений метода индукции.
5.2.4.	В качестве таких разумных ограничений часто принима-
ют требования «простоты» и(или) «высокой степени подтвер-
ждения» теорий Aj, получаемых с помощью этих методов из ис-
ходных экспериментальных данных ЯЛо и теории Ао. Относи-
тельно анализа требования «простоты» мы рекомендуем обра-
титься к работам Н. Гудмэна 17\
Что касается второго требования, то ограничимся кратким
обсуждением одного из наиболее распространенных в настоящее
время подходов к проблеме индукции, а именно подхода Карнапа
(см. 5.1). Здесь мы представим некоторую модификацию этого
подхода, которая, по нашему мнению, позволяет на основе кар-
наповской логики оправдания построить логику открытия.
Так как эмпирические теории не могут быть квалифициро-
ваны как доказательно истинные, они являются принципиаль-
но сомнительными. Но степень сомнительности каждой теории
может быть точно измерена с помощью определенной матема-
тической процедуры. Считается, что степень сомнительности
должна быть приравнена вероятности (в смысле исчисления ве-
роятностей). После соглашения о способе определения степени
сомнительности каждой теории на метод индукции с функцией f
накладываем следующее дополнительное ограничение:
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ УСЛОВИЕ (*)
Если hi = /(Ao,pro, Aq), то степень сомнительности (степень
подтверждения) теории h\ относительно данной теории Aq и про-
токоларг0 (условнаявероятность принятия теории hi, когда при-
нимается теория Aq я имеет место наблюдение 2Ло) должна быть
меньше (больше) заданного числа £ [числа (1 - $)].
Ll> Goodman N. The test of simplicity // Science. 1958. V. 128. P. 1064-
1069;
Goodman N. Recent developments in the theory of simplicity // Philoso-
phy and Phenomenological Research. 1958/1959. V. 19, N 9. P. 429-446.
См. также: Самохвалов К. Ф. Простота эмпирических теорий //
Вычислительные системы. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР,
1979. Вып. 79. С. 7-11.
6-С.Гончаров и др.
162
Гл. 5. Проблема индукции
Этот подход предполагает широкую программу, уже упоми-
навшуюся ранее. Напомним ее.
Во-первых, следует выбрать язык первого порядка ДА) сиг-
натуры А, на котором (в виде предложений этого языка) могут
быть сформулированы все интересующие нас теории h и прото-
колы рг. Это предположение означает, что мы имеем дело только
с конечно аксиоматизированными аксиоматическими эмпириче-
скими теориями.
Во-вторых, следует сконструировать специальную вероят-
ностную меру с на поле предложений языка ДА), удовлетворя-
ющую не только аксиомам Колмогорова, но и некоторым другим
требованиям, порожденным интуитивным представлением о по-
нятии «степень подтверждения».
Только после осуществления этой программы мы в состоя-
нии точно сформулировать условие (*) на функцию /, а именно:
если Л1 = /(Ло,рго, Ао), то
z. ,, ч с(Л1 Л Ло,рго) . .
е(Л,/Л».рго)= c(feou>1()) Я-е,
где £ > О — «степень сомнительности».
Можно предложить и другие требования, не уступающие в
разумности приведенному. Например, естественно потребовать
выполнения следующего условия: если hi = /(Ло,рго, Ао), то
с(Л1/Ло, pro) > c(h]). Данный подход предоставляет массу воз-
можностей для вариантов.
Сделаем несколько критических замечаний (см. также 5.1)
относительно основы рассматриваемой постановки — идеи о том,
что степени сомнительности эмпирических теорий задаются вве-
дением специальной вероятностной меры на поле предложений
языка ДА).
5.2.5.	Когда накладываются ограничения, которые мы склон-
ны считать рациональными, нужно учитывать, что «рациональ-
ность» — размытое понятие. Можно предложить по крайней
мере два разных толкования.
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ В СЛАБОМ СМЫСЛЕ
Ограничение рационально в слабом смысле, если оно и его отри-
цание выделяют объекты, которые, либо заведомо представляют
интерес в связи с данной тематикой, либо такие, что относитель-
но них неизвестно, окажутся ли они интересными при дальней-
шем исследовании.
5.2. Постлиовхл проблемы нядукцкя
163
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ В СИЛЬНОМ СМЫСЛЕ
Ограничение рационально в сильном смысле, если
— оно выделяет объекты, которые либо заведомо представляют
интерес в связи с данной тематикой, либо такие, относитель-
но которых неизвестно, окажутся ли они интересными;
— его отрицание выделяет объекты, заведомо ве представляю-
щие интереса в связи с данной тематикой.
Как упоминалось выше, вероятностная мера с, определяемая
на поле предложений языка ЦХ), должна удовлетворять аксио-
мам Колмогорова и некоторым другим, связанным со спецификой
понимания идеи подтверждения одной теории другой теорией и
экспериментальными данными. Не вдаваясь в детали обсужде-
ний таких дополнительных требований, разных у разных авто-
ров18), заметим, что рациональность аксиом Колмогорова в кон-
тексте данной проблематики не вызывает возражений только в
том случае, если она понимается в слабом смысле. Действитель-
но, нет оснований считать, что интуитивно понимаемая степень
сомнительности любой теории не может управляться аксиомами,
противоречащими аксиомам исчисления вероятностей по Колмо-
горову. Точно так же, нет оснований считать, что выбранный
нами язык £(А) не может быть заменен другим языком Z(A*) с
другой сигнатурой А*, в котором по-прежнему выражаются в ви-
де предложений (записанных в другой форме) все интересующие
нас теории и отчеты об отдельных экспериментальных наблю-
дениях. Поскольку мера с зависит, вообще говоря, от выбора
(сигнатуры) языка, то любой конкретный выбор меры с являет-
ся рациональным только в слабом смысле.
На основании изложенного мы рассматриваем данный подход
к проблеме индукции как научный, но тем не менее содержащий
методологические дефекты. Ясно, что требования, рациональ-
ные только в слабом смысле, не имеют статуса установочных
принципов: попытка отрицать какое-либо из этих требований не
приводит, как мы видели, к дискредитации всей проблематики.
Постановка проблемы будет свободна от методологических
дефектов указанного типа, если содержащиеся в ней требования
рациональны в сильном смысле. Именно на это претендует тот
подход, к изложению которого мы приступаем.
1в) См. по этому поводу работы, содержащиеся в книгах: The problem of
inductive logic. Amsterdam: North-Holland Publ. Company. 1966; Aspects of
inductive logic. Amsterdam: North-Holland Publ. Company, 1966.
161
Гл. 5. Проблем» индукция
5.2.6.	Согласно определению метод индукции есть функция /, со-
поставляющая каждой тройке (Ло,рго, Ао) (из некоторого подхо-
дящего класса) теорию Ар Эта функция должна удовлетворять
определенным ограничениям, обусловленным нашим намерени
ем гарантировать рассматриваемому методу индукции некото-
рые желательные черты или гарантировать отсутствие у него
некоторых нежелательных свойств.
Назовем пару (Тш, prw) допустимой, если Тш — тестовый
алгоритм, а рг’4’ — протокол такой, что T“(pru') = 1. Пусть
7Г — класс всех возможных допустимых пар и т — класс всех
возможных тестовых алгоритмов. Через |ЯЛ| обозначим носитель
модели ЯЛ.
Прежде всего, мы хотим, чтобы каждое отдельное примене-
ние метода индукции f было основано на (и давало результат,
относящийся к) той информации, которой мы располагаем, ко-
гда проведено наблюдение ЯЛ и принято предположение (в виде
исходной эмпирической теории Aq), характеризующее средства и
методы наблюдения, использовавшиеся при получении ЯЛ. Бо-
лее того, мы хотим, чтобы всякое такое применение могло быть
автоматизировано. Для этого оно должно быть однозначно ре-
ализуемым без ссылок на ту часть исходной информации, кото-
рая определяется нашим пониманием (семантикой) этой инфор-
мации, а не ее записью (синтаксисом). В точных терминах это
соответствует следующему требованию на /:
(R1) для произвольных теории ho = (w,obs‘*’,7'(j4'), протокола
рг^1 и множества А если ^"(рг^) = 1 я ргд' =
где ЯЛ — наблюдение, полученное в соответствии с ин-
струкцией obsw и такое, что |ЯЛ| — А, то
f(h0,pt^,A) = (w,obsw,indy(T0“,pr^)),
где indy — некоторое однозначное отображение из я в т,
определенное {независимо ото/, obsw и А) на всем классе
я так, что из indy(TQu’, рг^') = следует
Далее, мы хотим, чтобы результат любого применения метода
индукции не противоречил исходным данным, на которых всякое
такое применение основано, т. е. функция indy должна удовле-
творять следующему условию:
(R2) для произвольных (Tow, рг^) С я и Tf G т если верно ра-
венство indy(r0w,pr0w) = Tf, то Tfiprf) = 1.
5.2. Постановка проблемы индукции
165
ледующее требование выражает нетривиальность предполага-
ого метода индукции:
3)	среди применений метода должно быть по крайней мере
одно, которое не является простым воспроизводством ис-
ходной информации, а осуществляет новые добавления к
ней, т. е. функция indу должна удовлетворять следую-
щим условиям:
(а)	для произвольных (Т^, pig1) € тг, Ту3 Е г, prw если верно
indy(T0“,pr0") = Tf, Tow(pr“) = 0, то ТуЧрг") = 0;
(б)	существует лара (T0",pr^) t я такая, что для каждо-
го Ту Е т можно указать такой протокол prw, что из
indf\T^, рг^) =	вытекает
7o"(prow) = l, 7Г(рго") = О.
Будем говорить, что теория hi = (w,obsw,Т“) есть подтеория
Е
теории /12 = (w,obsu',T2w) и писать Л1СЛ2, если Ту'ЧР1'4*') — О
Е
следует из Т^рг^) = 0 для всякого ргш. Если Л1СЛ2, то Лг
Е	Е
называется надтеорией теории hi. Если hiQh.2 и то» как
, я,
легко видеть,
Перейдем к изложению еще одного ограничения на indy. Вве-
дем некоторые соглашения. Пусть wj и — произвольные ко-
нечные сигнатуры и Г^2 — алгоритм такой, что
(a)	применим к каждому протоколу prwi в словаре ;
(б)	значения F$ на рг4**1 суть протоколы рг^2 в словаре^?;
(в)	В(рг^’) = В (/^(рг"1)) для всех prW1;
(г)	для всех pij11, РГ21 если pq1 ~ рг^1, то ^(pq) ~ (рг21);
(д)	для всех рг^1, рг!р если рг^1 ф. рг£‘, то /^(рг^1) ф T^fpr^1)
(х у — сокращение утверждения « и у не изоморфны»).
Если алгоритм удовлетворяет требованиям (а)-(д) для не-
которых u>i и W2, будем иногда писать G ф. Очевидно, что
класс ф> непуст.
Пусть h = (wi,obsW1,Tu'i), F^l € ф- Пишем
obsW2 = /^obs"1,
166
Гл. 5. Проблема индукции
если инструкция obsW2 удовлетворяет следующему условию: про-
извольная конечная модель ЭЛ является наблюдением, получен-
ным в соответствии с obs^2, тогда и только тогда, когда
— модель ЯЛ имеет сигнатуру и>2;
— существуют конечная модель ЯЛ* сигнатуры uq, протокол
рг^1 в словаре wj и протокол рг0*2 в словаре о?2 такие, что
|ЯП*| = |ЯЛ|,
рг"1 = р"1-л(ОТ*), рг"2 - Г"2’"(ЯЛ), prwa = ^2(ргШ1).
и модель ЯЛ* получена в соответствии с инструкцией obsW1.
Каковы бы ни были инструкция obs^2 и алгоритм € у, для
них всегда существует инструкция /^obs"1, поскольку в каче-
стве последней всегда можно взять, например, такое указание:
считайте, что произвольная конечная модель ЯЛ есть наблюде-
ние, полученное в соответствии с /£’12obs‘*'1, если
— модель ЯЛ имеет сигнатуру W2i
— существуют конечная модель ЯП* сигнатуры протокол
prW1 в словаре wj и протокол рг"2 в словаре Ш2 такие, что
ЯЛ' есть наблюдение, полученное в соответствии с obs"1:
|ЯЛ'| = |ЯИ|,
рг^2 =	pr“i = DUl>a(9rt), рг"2 = f^2(prw‘).
Обозначим через /£'12Р*’1 алгоритм, определенный на протоко-
лах рг1**2 в словаре о>2, такой, что для каждого протокола prt1*2
выполняется условие
I b
/2?т"‘(рг“>) = J о
если существует протокол prW1 в словаре wj,
такой, что рг“а ~ ^’(рг“1) и Т"1(РГ“1) = 1;
иначе.
(5-1)
Определенный таким образом алгоритм	является тесто-
вым при любых тестовом алгоритме Р*'1 и алгоритме € <р-
Будем говорить, что теория /12 = (w2,obst*'2,P*'2) есть не-
творческая FZ? -модификация (для данного F%? 6 <р) теории
Л1 = (u>i, obsW1, Т"1) и писать Л2 = F%f h\, если obs***2 = F$fobsWJ,
P"2 =
5.2. Лосталовкл проблемы индухнам	167
Очевидно, что для любых Aj и /2? G <р существует теория Аз
такая, что Аз = ^2?Ар Кроме того, для любых Aj, A3, G <р
если известно, что Аг = то мы принимаем или не при-
нимаем теории hi и A3 одновременно. В этом случае теории Aj
и Аз различаются для нас только формами их записей, а не су-
ществом своей связи с действительностью. Если Аз = /27^1>
это утверждение можно доказать, сравнивая тексты инструкций
obsW1, obs“! и доказывая равенство ТШ2 = Е^ТШ1. Это не озна-
чает, что снят вопрос о том, как узнать, выполняется или нет для
данных теорий Aj, Аз соотношение Аз = при подходящем
/27 G <Р' Напротив, ответ зависит, в частности, от умения нахо-
дить решения частных случаев алгоритмически не разрешимой
проблемы, а именно: связаны или нет два произвольных тесто-
вых алгоритма и ТШ2 равенством ТШ2 = для данного
(подходящего) алгоритма F$ G <А
5.2.7.	Пусть для заданного метода индукции / существуют до-
пустимая пара (Т^ ,ргд’) и алгоритм ♦/£? в F такие, что
•«?in<W, рг?1) 0 iiuMXfJT.	))	(5-2)
Рассмотрим в качестве исходной информации для применения
метода индукции f тройку ((wi,obsW1,7'2I))Pro1Mo)- Согласно
условию (R1) получим теорию Ai такую, что
Аз = /((Wbobswi, J?1), рг"1,40) = (wbObs^Jnd^.pr-»)).
Повторяя эту процедуру применительно к тройке
((W2, ’ /27obs"‘,	),	(p#), Л0),
аолучим теорию Aj такую, что
Рассмотрим нетворческую */^ модификацию теории Aj, т. е.
теорию
А” = (^//^obe^/^ind/t^Spro1)).
Так как h'[ =	теории Aj и А" приемлемы (неприемлемы)
одновременно. С другой стороны, теории Aj и А* также приемле-
мы (неприемлемы) одновременно, ибо они получены как резуль-
таты применений метода индукции к одновременно приемлемым
(неприемлемым) исходным данным
168
Гл. 5. Проблема индукция
((^.obs^T^pr^Ao),
((u>2, ^obs"1,	), •ОДрг"1), Ao).
Таким образом, теории и h" приемлемы (неприемлемы) од-
новременно. В такой ситуации могут возникнуть противоречия,
если имеет место неравенство (5.2). Действительно, в этом слу-
чае существует протокол рг“2 в словаре такой, что
* Jt=(pr«),	(5.3)
где
Предположим, что
7’Ирг?2) = 0,	(5.3')
7?2(pr?2) = 1.	(5.3")
Пусть п — мощность протокола рг“2, п = В(рг^2) и А — про-
извольное множество мощности п. В силу принятых соглаше-
ний и предположения (5.3'), принимая теорию Ц, мы тем самым
исключаем возможность, что результаты наблюдения объектов
из множества А в соответствии с инструкцией *Z^’12obsW2 могут
быть описаны протоколом, изоморфным протоколу рт^2. Но в
силу тех же соглашений и предположения (5.3"), принимая тео-
рию Л", мы не исключаем, что те же самые результаты могут
быть описаны протоколом, изоморфным протоколу рг^2. Про-
тиворечие очевидно. Заменяя соотношения (5.3') и (5.3") равен-
ствами T^2(pq2) — 1 и Г“2(рг^2) - 0, аналогичным образом
придем к противоречию.
Следовательно, мы не можем гарантировать, что не появятся
противоречивые результаты, если мы будем применять метод
индукции / в случае, когда имеют место неравенство (5.3) и тем
самым неравенство (5.2).
Выше мы изложили углубленную версию парадокса Гудмэна.
Чтобы избежать появления противоречий, введем дополнитель-
ное требование на /, рациональное в сильном смысле:
5.3. Регулярные методы индукции
169
(R4) для произвольных (Т"*'1,РГ“1) 6 Fu>i 6 Ч>
^indyfF^pr"1) = indy(^TW1,f^(prW1)).
Условие (R4) выражает инвариантность метода индукции отно-
сительно эффективных трансляций его входных и выходных дан-
ных из одного языка в другой язык, эквивалентный первому по
своим выразительным возможностям.
5.2.8.	Мы сформулировали четыре ограничения (R1)-(R4) на
функцию / как метод индукции. Они необходимы, чтобы мож-
но было применять метод индукции для открытия новых теорий,
исходя из уже имеющихся теорий и дополнительных наблюдений.
Однако ограничений (R1)-(R4) недостаточно, чтобы любой удо-
влетворяющий им метод индукции обеспечивал открытие новых
теорий. Поэтому естественны попытки ввести дополнительно к
ограничениям (R1)-(R4) новые требования (см. 5.4). Например,
indy должна быть не просто функцией из тг в г, а эффективно
вычислимой функцией. Предварительно следует убедиться, что
класс функций /, удовлетворяющих условиям (R1)- (R4), непуст.
В противном случае мы немедленно приходим к отрицательно-
му решению проблемы индукции и встанем перед выбором: либо
отказаться от применения метода индукции, либо снизить тре-
бования и ожидать меньшего эффекта от методов индукции, чем
это гарантировали условия (R1)-(R4).
5.3.	РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ ИНДУКЦИИ
Функции /, удовлетворяющие требованиям (R1)-(R4), будем на-
зывать регулярными методами индукции. Определим метод ин-
дукции /*, условием: для произвольных h$ = (ш,оЪзш,Тц), рг^,
Aq если 7'0ш(рг^’) = 1 и рг^ есть запись результатов наблюдения
объектов множества Ао в соответствии с инструкцией obsш, то
Г(Ло,ргош, Ао) = (W,ob8w,indr(r0w,pr0w)),
где для indy и любого протокола рг^ имеет место соотношение
•	□	мх ( li если prW РГд’;
™Чг(Г,.рг0)(рг ) = (0 ^„„,^4,	(5-4)
Прямой проверкой легко показать, что /* удовлетворяет тре-
бованиям (R1)-(R4). Следовательно, класс регулярных методов
индукции непуст.
170
Гл. 5. Проблем» индукцял
Если Тш — тестовый алгоритм, то для любого п > 1 через
РРп(Тш) обозначим подмножество тех протоколов из множества
PR(TW) = {рг" | T"(pr") = 1},
мощности которых равны п:	*
PRn(Tw) = {рг" | Т"(рг") = 1 Л Жрт") = »}•
Пусть [ргд'] — класс всех протоколов, изоморфных протоколу
рго", т. е.
[ptfl = {pr“ I РГ" ~ РГ»")-
Имеет место следующая
Теорема 5.3.1. Для любых функции indy, удовлетворяющей огра-
ничениям (R1)-(R4), и пары (T^jpr^1) € % выполняются следу-
ющие утверждения:
(а)	если п = В(рг^), то PRn(indy(T0",pr^)) = [рг§*] или
PRn(indf(T^, рг0")) = PRn(T0");
(б)	если п / В(ргц'), то PRn(indy(T0",prg’)) = 0 или
РЯ„(т6у(Т0",рг0")) = PRn(Tf)-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что утверждение (а) неверно. То-
гда для функции indy, удовлетворяющей условиям (R1)-(R4), и
пары (Tq*’, pig’) € тг имеем
п = В(рг0"),
PRn(m<lf(Tf, рг0")) / [рг~],	(5.5)
PRn(indy(T0",pr0")) / PRn(T0").	(5.6)
В силу (5.6) и (R3a) существует протокол рг" такой, что
W) = 1,	(5.7)
indy(Po",pr0")(pr") = O,	(5.8)
f(prw) = n,
а в силу (5.5) существует протокол рг" такой, что
В(рг") = п,
рг" ~ рг0",	(5.9)
indy(r0",pr0")(pr") = l.	(5.10)
5.3. Регулярные методы индукции
171
Согласно определению тестового алгоритма и формулам (5.8) и
(5.10) получаем рг" рг^. В силу (5.10) и (R3a) имеем
= 1.	(5.11)
Ясно, что всегда можно указать алгоритм F£ такой, что F^
и для каждого протокола рг" протокол 7^(рг") удовлетворяет
условию
рг", если рг" рг
ЛЛрН = { PfW, если Рг" - рг";	(5.12)
рг", если рг" ф pr", prw ф. р’г".
Значение алгоритма для аргумента рг" равно единице согласно
(5.1), (5.10) и (5.12):
К md/^ptfXjJr") = 1.	(5.13)
Значение алгоритма indy(T0", рг^) для этого же аргумента равно
нулю в силу (5.8). Следовательно, из (5.8) и (5.13) заключаем,
что
F" in<V(Tow,pro") # indf^.ptf). (5.14)
С другой стороны, ввиду условия (R4) выполняется соотношение
Г" indy^ptf) = ind/F^.F^P^)).	(5.15)
Требование (R2) приводит к равенству
ind/(T0",pr0")(pr0") = l.	(5.16)
Поэтому, учитывая определение тестового алгоритма и (5.8), из
(5.16) получаем
Ptf t рг„-	(5-17)
Так как в силу (5.9) и (5.17) рг^ ф p’rw, рг^ ф. prw, ввиду соот-
ношения (5.12) приходим к равенству
ЛЛрг0") = рг0".	(5.18)
Используя (5.1), (5.7), (5.11) и (5.12), находим
F"T0" = То".	(5.19)
Таким образом, из формул (5.18), (5.19) и условия (R1) вытекает
равенство
172
Гл. 5. Проблема, индукции
= ind/^ptf). (5.20)
Вновь применяя (5.8), из (5.20) получаем
F“ind/(T0u’,pr0a') = ind/(T0w,pr0w),
что противоречит (5.14).
Допустим, что утверждение (б) неверно. Почти дословно по-
вторяя приведенные выше выкладки, приходим к противоречию.
Теорема 5.3.1 доказана.
5.4.	АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ ИНДУКЦИИ
5.4.1.	Как отмечено выше, регулярные методы индукции су-
ществуют и у них имеется общее свойство, указанное в теоре-
ме 5.3.1. Покажем, что ввиду этого свойства не представляется
возможным заменить творческую деятельность человека по со-
зданию новых теорий тем или иным методом индукции. Такое
утверждение очевидно для отдельных элементов класса регуляр-
ных методов индукции [например, для функции /*, определенной
по формуле (5.4)], но мы имеем в виду некое общее обстоятель-
ство, которое заключается в следующем.
В необозримом множестве всех мыслимых эмпирических те-
орий мы можем выделить конечное число теорий, относительно
которых уверены, что они не будут фальсифицированы никаки
ми наблюдениями (по крайней мере, современными средствами
наблюдений). Эти выделенные теории не что иное, как фунда-
ментальные законы физики.
Легко показать, что некоторые конкретные фундаменталь-
ные законы (например, закон тяготения Ньютона), рассматрива-
емые как эмпирические теории, обладают следующим свойством:
о если h = (w,obsw,Tw) — некоторый фундаментальный за-
кон, то для любого m 1 существует п m такое, что
— РДП(ТШ) /
— Рш(ргш) = 0, B(prw) = п для некоторого протокола prw-
Поскольку согласно принятой нами точке зрения фундаменталь
ные законы физики «открыты» в процессе человеческой деятель-
ности, возникает вопрос: какими должны быть методы индук-
ции, чтобы стало логически возможным открыть с их помощью
любой из упомянутых законов?
5.4, Анализ проблемы индукции
173
На этот вопрос частично отвечает теорема 5.3.1, а именно:
........................	.................../П1\
шиды ипдулипл диллпы паруш<иь шуамингнил i xvi ri xv-t i.
Действительно, открытие фундаментального закона физики
h = (u>,obsw,Tw) есть в конечном счете переход от некоторой
исходной ситуации, описываемой тройкой
((w,obsw,T(f),pr0“, 40),
к теории h при условии, что тестовый алгоритм TJ4’ имеет зна-
чение 1 на всех протоколах prw в словаре ш (в противном случае
исходная теория Ао = (w,obs“, Tow) сама должна быть предвари-
тельно «открыта», и тогда вопрос переадресуете» к теории h$
и т. д.). Если дополнительно оказывается, что теория h — это
закон со свойством (о) (а такие законы фактически открыты), то
по теореме 5.3.1 ни для каких рг^, До не выполняется соотноше-
ние f(hQ, рГц', Яд) — где f — регулярный метод индукции, а
Ло — исходная теория такая, что ^(рг^) = 1 для каждого рг".
Таким образом, мы стоим перед дилеммой: либо отказаться от
попыток объяснить факт открытия некоторых законов физики
в рамках проблемы индукции, либо считать приемлемыми и те
методы индукции, которые нарушают условия (R1)-(R4).
Острота проблемы вызвана тем, что ограничения (R1)-(R4)
рассматриваются нами как рациональные в сильном смысле. По-
пытка нарушить их связана с принципиальными изменениями в
самом видении проблемы, а не с техническими трудностями.
5.4.2.	Более перспективным представляется второй путь — по-
иски новых методов индукции. Однако он предполагает принци-
пиальные изменения в понимании того, чем являются (или чем
должны быть) допустимые метопы индукции. Современное со-
стояние исследований в этой области не позволяет дать четкие
формулировки условий допустимости методов индукций. Однако
некоторые суждения о том, какими должны быть методы индук-
ции, можно высказать.
Не следует ожидать желаемых результатов при более широ-
ком понимании понятий «наблюдения» и «эмпирические теории».
Например, в работах К. Ф. Самохвалова19) наблюдение понима-
Самохвалов К. Ф. О теории эмпирических предсказаний // Вычи-
слительные системы. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1973.
Вып. 55. С. 3-35;
Samochwalow К. F. The impossibility theorem for universal theory of pre-
diction // Formal Methods in the Methodology of Empiricol Sciences. Wroclaw;
Warszawa: Ossolineum. 1976. P. 417-430.
174
Гл, 5. Проблема индукции
ется более широко (как модель с трехзначными отношениями), но
при этом (как следует из указанных работ) справедливы анало-
ги теоремы, приведенной выше, и ее следствий. Есть основания
полагать, что этот же эффект проявится и при более широких
обобщениях понятия наблюдения.
По-видимому, нет оснований надеяться получить более удо-
влетворительную концепцию методов индукции при переходе от
канонических к аксиоматическим эмпирическим теориям. Спе-
цифика аксиоматических теорий связана с наличием теоретиче-
ских терминов. Наш анализ роли теоретических терминов в ак-
сиоматических эмпирических теориях (см. 3.3, 4.4) свидетель-
ствует: все рассуждения данной главы можно провести и в тер-
минах аксиоматических теорий.
С другой стороны, безусловно интересными представляются
усилия по построению теории индукции с нарушением требова-
ния (R4). Пытаясь обосновать требование (R4) как рациональное
в сильном смысле, мы установили, что при нарушении (R4) про-
тиворечия, вообще говоря, могут возникнуть. Однако возможно,
что при применении какого-либо конкретного метода индукции
даже при нарушении (R4) противоречий удастся избежать имен-
но благодаря способу применения. Поясним, что мы имеем в
виду, говоря о практике применения методов индукции.
Как отмечено выше, требование (R4) выражает условие ин-
вариантности метода индукции относительно эффективных тран-
сляций входов и выходов метода из одного языка в другой язык,
эквивалентный исходному по своим выразительным возможно-
стям. Поэтому нарушение требования (R4) равносильно запрету
пользоваться некоторыми из таких эквивалентных языков. Ина-
че говоря, признается, что некоторый подкласс эквивалентных
языков более предпочтителен с точки зрения практических при-
менений метода индукции. Для практики это означает реко-
мендацию обращать внимание на выбор языка при применении
метода индукции с целью избежать возможных противоречий.
Подтверждением может служить следующая глава, связанная с
пониманием принципов практики измерений как методов индук-
ции, удовлетворяющих ослабленному варианту требования (R4)-
Вероятно, что, двигаясь в этом направлении, мы придем к та-
ким концепциям индукции, которые базируются на идее оценки
сравнительной простоты языков выбираемых (с помощью мето-
дов индукции) эмпирических теорий. Эти концепции родственны
концепциям И. Гудмэна.
5.4. Анализ проблемы индукции
175
Изложим другую идею возможного построения теории индук-
ции. Результаты наших познавательных усилий выражаются в
конечном итоге предложениями вида
«Достоверно известно (нам), что Р» [символически А'(Р)]
«Ожидается (нами), что Р» [символически Д(Р)],
где Р — предложение. При этом мы не предполагаем, что истин-
ностные значения предложений К(Р) и В(Р') полностью опреде-
ляются одними лишь истинностными значениями предложения
Р. Но это означает, что можно рассматривать нашу познава-
тельную деятельность как производство модальных высказыва-
ний двух указанных типов (в конечном итоге, а не на промежу-
точных стадиях познания, зависящих от массы оценочных актов
разной природы).
В таком случае любой метод индукции есть просто некий ме-
ханизм в этом производстве. Хотелось бы, чтобы он выполнял
в нем определенную роль. Возможно, нам не удается построить
удовлетворительную концепцию индукции именно потому, что в
рамках обычной (не модальной) логики мы не в состоянии аде-
кватно сформулировать роль методов индукции. Не исключено,
что мы продвинемся в решении проблемы индукции, если попы-
таемся построить теорию методов индукции, принимая в каче-
стве базисной логики подходящее модальное исчисление.
Отметим еще один аспект, который обычно не обсуждается
в работах по методологии эмпирических дисциплин, но занима-
ет большое место в методологии дедуктивных наук. Речь идет
о следующем вопросе: любое методологическое исследование со-
стоит из ряда рассуждений, но в какой степени мы можем пола-
гаться на сами эти рассуждения?
Убедительность некоторых рассуждений зависит от того, счи-
таем ли мы надежной основой наших знаний определенную часть
математики. Эта часть должна быть достаточно большой. В
частности, она должна содержать арифметику.
На доверии к математике (по крайней мере, ее некоторой
Части) основаны также мотивировки некоторых установочных
постулатов. Действительно, неоправданно требовать гарантию
Непротиворечивости применений методов индукции, одновремен-
но сомневаясь в непротиворечивости арифметики. Тем не менее
Такие ситуации возникают, если считать окончательно истин-
ным обычное истолкование второй теоремы Гёделя о неполноте.
Однако можно показать (см. гл. 7), что общепринятое распро-
176
Гл. 5. Проблема иидукцмм
страненное истолкование второй теоремы Гёделя базируется на
неявных и, главное, неочевидных предположениях. Поэтому вто-
рая теорема Гёделя (точнее, заключения, на ней основанные) не
может служить аргументом при элиминации (R4) из состава ра-
циональных в сильном смысле требований.
Тем не менее можно обосновать отказ от требования (R4) на
базе других аргументов. Один из них читатель найдет в гл. 7.
Именно, в гл. 7 предлагается программа обоснования матема-
тики, которая снимает вопросы о непротиворечивости сильных
(таких, кале теория множеств) математических систем за счет
рассмотрения этих вопросов как несущественных в практике ре-
шения задач.
Естественно, что аналогичный подход возможен при обосно-
вании эмпирических наук. Возможно, что под таким углом зре-
ния анализ проблемы индукции приведет к постановкам, кото-
рые не будут содержать среди своих исходных принципов тре-
бования гарантий непротиворечивости применений методов ин-
дукции (следовательно, требования (R4) или его аналогов). Та-
кое направление, тесно объединяющее методологию эмпириче-
ских наук и методологию математики, заслуживает внимания,
но пока здесь нет никаких результатов.
Таким образом, попытки расширить класс допустимых мето-
дов индукции за счет отказа от требования (R4) представляются
интересными, но пока безуспешными.
5.4.3.	Заканчивая главу, сделаем замечания относительно тре-
бования (R1). Последнее отражает наше желание иметь дело
лишь с теми логиками открытия, которые применяются автома-
тически. Иначе говоря, при практическом применении не тре-
буется понимания информации, связанной с этим применением.
Следовательно условие (R1) можно трактовать как требование
формальности искомых логик открытия.
Поскольку мы не отказываемся от требования гарантирован-
ной непротиворечивости методов индукции, в рассматриваемом
случае теорема 5.3.1 утверждает принципиальную ограничен-
ность именно формальных, а не содержательных индуктивных
процедур.
Используемые учеными методы открытий не бывают полно-
стью формальными. С одной стороны, это целиком согласуется
с вышеизложенным, а с другой — становится ясной аналогия с
ограничительными результатами в математической логике, ко-
торые также свидетельствуют об ограниченности только фор'
5.4. Аяалжз проблемы индукции
177
мяльных, а не фактически используемых содержательных прие-
мов доказательств. В этом смысле теорема 5.3.1 является анало-
гом этих результатов применительно к индуктивным наукам.
Таков общий итог нашего исследования проблемы индукции,
справедливый с той оговоркой, что, конечно, опте simile claudet —
всякое уподобление хромает.
Глава 6
ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ:
ДВА ПОДХОДА
В данной главе подвергнута критическому анализу общеприня-
тая точка зрения на природу и цели измерений, а также дан
набросок альтернативных взглядов, которые в свете упомянуто-
го анализа более адекватны потребностям современной научной
практики.
В 6.1 достаточно подробно и вполне традиционно изложены
основы общепринятой теории измерений, в 6.4 содержатся кри-
тические замечания к ней, а 6.2, 6.3 помогают выработать от-
правную точку зрения для критической оценки теории измере-
ний. Так, 6.2 посвящен неформальному методологическому ана-
лизу практики измерений, а 6.3 представляет точный вариант
такого анализа; вместе же они образуют некую связную концеп-
цию — так называемую утилитарную теорию измерений.
в.1. РЕПРЕЗЕНТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ:
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Под общепринятой теорией измерений подразумевают круг идей,
образующих концепцию репрезентационной теории измерений.
Определение «репрезентационная» характеризует центральную
идею этой концепции: измерение есть приписывание чисел объ-
ектам таким образом, чтобы определенные операции и отноше-
ния между этими приписанными числами соответствовали (го-
моморфно представляли) наблюдаемым операциям и отношениям
между объектами, которым они приписаны Эта идея доста-
точно отчетливо высказана Г. Гельмгольцем в 1887 г., а затем
Adams Е. W. On the nature and purpose of measurement // Synthese.
1966. V. 16, N 2. P. 125-169.
6.1. Репрезеятацгоиям теория язмеревжЯ
1791
развита в работах Н. Кэмпбелла, М. Коэна, Е. Нагеля, П. Салп-
са, И. Зинеса, Б. Эллиса, Р. Д. Льюса, Д. Крантца, И. Пфанца-
гля, А. Тверского и многих других (см. список рекомендованной
литературы к гл. 6).
В 1971 г. был опубликован первый том фундаментальной
коллективной монографии 2\ где измерения трактовались в рам-
ках репрезентационной теории измерений. В,1979 г. полученные
к тому времени результаты были изложены в седьмом томе эн-
циклопедии математики и ее приложений под общей редакцией
Дж.-К. Рота (составитель седьмого тома — Ф. Робертс) 3>. Эта
книга служит каноническим источником сведений по основам ре-
презентационной теории измерений.
6.1.1. Начнем с примеров, поясняющих суть дела.
ПРИМЕР 6.1.1. Пусть В — множество объектов и Я — бинар-
ное отношение на В такое, что аНЬ выполняется тогда и только
тогда, когда а тяжелее Ь. Установить процедуру g для изме-
рения веса означает найти способ приписывать действительное
число р(а) каждому а € Я.так, что для всех а,Ь € В
аНЬ g(a) > g(b).	(6.1)
ПРИМЕР 6.1.2. Пусть А — множество объектов и W — бинарное
отношение на А такое, что aWb выполняется тогда и только то-
гда, когда а теплее Ь. Установить процедуру f для измерения
температуры означает найти способ приписывать действитель-
ное число /(а) каждому а € А так, что для всех a, b G А
aWb /(а) > /(Ь).	(6.2)
В действительности мы, как правило, предъявляем большие тре-
бования к измерительным процедурам, чем это выражено в (6.1)
или (6.2). Например, функция g: В —> R должна быть «адди-
тивной», т. е. совместный вес двух объектов всегда равен сум-
ме весов каждого из них. Чтобы при этом осмысленно пользо-
ваться понятием «совместный вес», необходимо ввести наблюда-
емую бинарную операцию «совмещение двух объектов в один»,
которую мы обозначим через о. Таким образом, для всех а, Ь €
В функция д: В -» R должна удовлетворять не только усло-
вию (6.1), но и условию
2) Krantz D. Н., Luce R. D., Suppes Р., Tversky A. Foundations of
measurement. I. New York: Acad. Press, 1971.
3) Roberta F. S. Measurement theory. New York: Acad. Press, 1979.
180
Гл. 6. Теория измерений: два подхода.
g(aob) = g(a) + g(b)	(6.1')
относительно предварительно заданной операции о на В. Эта
операция проста, общеизвестна и, главное, часто осуществляется
на практике: для любых двух объектов a, b 6 В объект а о Ъ
получается одновременным складыванием а и b на одну чашу
весов.
Не всегда в качестве дополнительного требования ставится
условие аддитивности. Например, с точки зрения практических
и научных интересов при измерении температуры нет заслужи-
вающей внимания операции над объектами множества А, отно-
сительно которой стоило бы выдвигать требование аддитивно-
сти /. Тем не менее возможны другие дополняющие (6.2) усло-
вия на f, отражающие те или иные практически важные от-
ношения и(или) операции над объектами, для которых первона-
чально определено отношение W.
в.1.2. Ниже будем использовать понятие алгебраической систе-
мы (конечной сигнатуры) (см. гл. 2).
Примеру 6.1 соответствует алгебраическая система (5; Я, о)
сигнатуры (Rq,Iq), тогда как примеру 6.2 — алгебраическая си-
стема (A; W) сигнатуры (Rq). Алгебраическая система (R;>,
+ ) имеет сигнатуру (R^,R^;f^). Она представляет собой при-
мер числовой алгебраической системы, т. е. системы, носитель
которой есть какое-то множество действительных чисел. Другой
пример числовой алгебраической системы — система (R; >; +, х)
сигнатуры (R§;f^,f^).
Согласно 6.1.1 при измерениях начинают с наблюдаемой (эм-
пирической) алгебраической системы 21 и ищут отображение ее в
числовую алгебраическую систему 95, сохраняющее соответству-
ющие отношения и операции. Так, при измерении веса ищут та-
кое отображение g из 21 = (В; Н; о) в 95 — (R; >; +), которое удо-
влетворяет условиям (6.1) и (б.!*). При измерении температуры
ищут отображение / из 21 = (А; И7) в 95 = (R; >), удовлетворяю-
щее условию (6.2).
Отображения одной алгебраической системы в другую той
же сигнатуры, сохраняющие отношение и операции, называют-
ся гомоморфизмами. Однако условия (6.1) и (6.2) более сильные
(^>), чем обычное условие (^>) для гомоморфизма. Введем поня-
тие, соответствующее этому более сильному условию. Пусть
6.1. Релрезеитлционная теория измерения
181
91 — (Л; Ro, .  • , Rp] fo> • • • > fq\
® =	.....fg)
суть алгебраические системы сигнатуры (Rq, ... , Rr; fo,. •. , fq)~
• Отображение h: A —* В называется представлением из 21 в
®, если для любых i р и ai,... , ari G А (здесь г; — арность
предикатного символа Rj)
(aj,... ,an) € Ri^ (h(aq),... ,/t(arj)) 6 R{ (6.3)
и для любых j < q и . ,aaj (здесь Sj — арность функци-
онального символа fj)
,оя>)) = f'}(h(ai),". ,h(aej)).	(6.4)
Как отмечалось выше, условие (6.3) сильнее обычного усло-
вия (=►) при определении гомоморфизма. В работах по репрезен-
тацяонной теории измерений, однако, часто используют термин
«гомоморфизм» в этом [(6.3)] более сильном смысле. Взаимно од-
нозначное отображение |21| на |23], являющееся представлением
21 в 23, будет и изоморфизмом 21 и 23.
Относительно определения представления сделаем еще одно
замечание. Если fj и рассматривать как (sj + 1)-арные отно-
шения на А и В соответственно, то условие, отвечающее (6.3),
выглядит следующим образом:
(Й1, • •  > йз> + 1) € fj (Ца1)>  • • , ^(°SJ + 1)) С fj- (6.5)
Из (6.5) вытекает (6.4), но обратная импликация, вообще гово-
ря, не имеет места. Действительно, пусть А = {г, у} и о —
операция, определяемая условиями
х о х ~ х; х о у = я; у ох = х; уоу = у. (6.6)
Тогда функция h такая, что h(x) = h(y) = 0, есть представле-
ние (А; о) в (R; +), т. е. она удовлетворяет (6.4). Однако h не
удовлетворяет (6.5), так как Л(у) = Л(х) + Л(х), и все же у / хох.
Аналогично если R — пустое отношение на А, то h есть пред-
ставление (А; й; о) в (R; >; 4-), хотя для h нарушается (6.5).
Будем говорить, что задано первичное измерение, если ука-
зано представление эмпирической алгебраической системы 21 в
некоторую (обычно специально подобранную) числовую алгебра-
ическую систему 93. Выбор числовой системы 93 — вопрос боль-
ше философский, чем математический. Причина, по которой вы-
бирается та или иная алгебраическая система, зависит не только
182
Гл. 6. Теория измерений: два подходя
от свойств измеряемой эмпирической системы, но и от ожидае-
мых свойств числового приписывания. Если искомое представле-
ние h указано, то тройка (21,®, Л) называется шкалой. Иногда
мы называем шкалой саму функцию h (в 6.1.1 использовался
термин «измерительная процедура»).
6.1.3. Первая основная проблема репрезентационной теории из-
мерений — проблема представления: для данной конкретной чи-
словой системы ® найти условия на наблюдаемую систему 21,
необходимые и достаточные для существования представле-
ния 21 в ®. При этом главное — найти достаточные условия.
Если достаточные условия еще и необходимы, то тем лучше.
Важно, чтобы эти условия были проверяемы в некотором эм-
пирически значимом смысле (часто в этой связи хотят, чтобы
условия формулировались в виде законов, выразимых средствами
универсальных импликаций). Они обычно называются аксиома-
ми измерения, а теорема, устанавливающая их достаточность, —
теоремой представления.
В некоторых работах, например в упомянутой выше энци-
клопедии, утверждается, что доказательство теоремы предста-
вления, если это возможно, должно быть конструктивным, что-
бы оно не только показывало, что представление возможно, но и
указывало, как его построить фактически4\ Это заявление без-
основательно, если учесть, что «построить представление фак-
тически» в данном контексте всегда означает следующее:
— указать прибор, на вход которого подаются эмпирические
объекты, а на выходе появляются числа,
— принять гипотезу, что этот прибор реализует представление
из 21 в ®.
Не ясно, чем в таких ситуациях конструктивные доказатель-
ства теорем представления выигрывают по сравнению с некон-
структивными.
Типичным фрагментом доказательства любой теоремы пред-
ставления является следующее рассуждение. Предположим, мы
ищем представление / из (4; R) в (R; >). Если такое предста-
вление f существует, то R транзитивно. Действительно, если
aRb и bRc, то /(а) > f(b) и /(6) > /(с). Отсюда /(а) > /(с) и,
следовательно, aRc. Таким образом, здесь аксиомой измерения
является требование транзитивности R в (А; Д).
Roberts F. S. Op. cit. Р. 54.
6.1. Репрезентацяоияая теория жзмереялй
183
Приведем формулировки основных теорем представления, на
которые часто даются ссылки в литературе по теории измерений.
Предварительно введем рад определений.
СТРОГИЙ СЛАБЫЙ ПОРЯДОК
• Бинарное отношение R на А называется
— строгим слабым порядком, если R — антисимметричное не-
гативно транзитивное отношение на А, т. е. в (А; Я) истинны
следующие предложения:
аксиома антисимметричности:
VxVy(R,(x,y) -♦ ->R(y,x)),
аксиома негативной транзитивности:
VxVyVz(-iR(a;,p)&-iR(j/,z)-> -iR(ar,z));
— строгим простым порядком, если Я — транзитивное анти-
симметричное и полное бинарное отношение на А, т. е. в
(А; Я) наряду с аксиомой антисимметричности истинны сле-
дующие предложения:
аксиома транзитивности:
V;tVyVz(R(a:,y)&R(y,z) -» R(a:,z)),
аксиома полноты:
Ух Vy(-i(a: « у) -* R(t, y)&R(y, z)).
Если 21 = (А; Я), где Я — бинарное отношение на А и В С А,
то говорят,что В — порядково-плотное подмножество в (А
имеет порядково-плотное подмножество В), если для любых
а, с е А\В таких, что (а, с) Е Я и (с, а) £ Я, существует b G В
такое, что (а, Ь) € Я и (Ь,с) £ Я.
Справедливы следующие три теоремы.
Теорема 6.1.1. Пусть 21 = (А; Я), А — конечное множество,
Я — бинарное отношение на А и 23 = (R; >). Тогда предста-
вление из 21 в 23 существует, если к только если Я — строгий
слабый порядок.
Теорема 6.1.2 [Кантор]. Пусть 21 = (А; Я), А — счетное мно-
жество, Я — бинарное отношение на А и 23 = (R; >). Тогда
представление из 21 в 23 существует, если и только если Я —
строгий слабый порядок.
184
Гл. 6. Теория измерений: два. подхода
Теорема 6.1.3 [Биркгоф — Мильграм]. Пусть 21 = (А; Я),
R — строгий простой порядок и ® = (R;>). Тогда предста-
вление из 21 в 23 существует, если и только если А имеет счетное
порядково-плотное подмножество в (А; Я).
АРХИМЕДОВО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА
Алгебраическая система 21 = (А; Я; о, е) сигнатуры (R§; fg, fj) на-
зывается архимедово упорядоченной группой, если
— (А; о, е) является группой, т. е. в (А; о, е) истинны следующие
аксиомы:
аксиома ассоциативности:
Vx Vy Vz((x о у) о z » х о (у о г)),
аксиома единицы:	л
Vx(x о е ~ е&е о х ~ е),
аксиома обратного элемента:
Vz Зу(х о у = е&у о х — е);
—	Я является строгим простым порядком на А таким, что в 21
истинна
аксиома монотонности:
Vx Vy Vz(R(x,y) R(x о z, у о x)&R(x,y) <-> R(z о г, г о у));
—	в 21 выполнена следующая неэлементарная (не записываемая
на языке исчисления предикатов сигнатуры (Rq; fg, ff))
аксиома архимедовости:
VxVy(R(x,e) => (3n Е N+)R(nx,y)),
где N+ = {1,2,3,.nx = x о ox.
(n P“)
Теорема 6.1.4 [Гёльдер]. Каждая архимедово упорядоченная
группа 21 представима в (архимедово упорядоченной группе)
(R; >; +,о).
ЭКСТЕНСИВНАЯ СТРУКТУРА
Алгебраическая система 21 = (А; Я; о) сигнатуры (Rg,fg) назы-
вается экстенсивной структурой, если 21 такая, что
— для отношения е, определенного на А так: (a, b) 6 е (а, Ь)
Я V (Ь, а) Я, выполнена
6.1. Репрезентационная теория измерений
185
аксиома слабой ассоциативности:
(а о (Ь о с), (а о Ь) о с) 6 £ для всех а, Ь, с € А;
- J2 является строгим слабым порядком таким, что истинна
аксиома монотонности:
Vx Vy Vx(R(a:,y)	R(x о z, у о x)&R(x, у) «-* R(z о x,zo у));
— кроме того, выполнена (неэлементарная)
аксиома архимедовости:
Vx Vy VzVt(R(x,y) => (Эп € N+R(nx о z,ny о t))),
где N+ и пх имеют тот же смысл, что и в аксиоме архиме-
довости для групп.
Теорема в.1.5 [Роберт — Льюс]. Пусть 21 = (Д; R; о) — алге-
браическая система, сигнатуры (Rq,/q) и 23 = (R;>;+). Тогда
представление из 21 в 23 существует, если и только если 21 есть
экстенсивная система.
Приведенный список важных в теории измерений теорем пред-
ставления можно значительно расширить.
в.1.4. Вторая основная проблема репрезентационной теории из-
мерений — это проблема единственности: единственно ли (если
существует) представление f из 21 в Ж. Ниже мы покажем, что
теоремы единственности говорят о том, какие имеются шкалы /,
и обусловливают теорию осмысленности предложений, включа-
ющих шкалы.
В частности, теоремы единственности (как считают многие
пропоненты рассматриваемой концепции измерений) накладыва-
ют ограничения на математические манипуляции, которые мож-
но выполнять над числами, возникающими в качестве шкальных
значений. Точнее говоря, выполнять математические операции
над числами можно всегда и любые; вопрос в том, можно ли иден-
тифицировать истинные (лучше, осмысленные) предложения об
измеренных объектах после проведения операций над получен-
ными числами. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Предположим, что для двух алгебраических систем 21 и 23 од-
ной и той же сигнатуры имеются несколько представлений из 21
в 23. '|’огда всякое утверждение об измерении должно либо ука-
зывать, какая именно шкала (какое именно представление) ис-
пользуется, либо быть истинным независимо от шкалы.
Напомним, что шкала есть тройка (21,23,/), где 21, 23 — ал-
гебраические системы, a f — представление из 21 в 23. Шкалу
186
Гл. 6. Теория измерений: дм подхода
назовем числовой, если 23 — числовая алгебраическая система.
Будем говорить, что утверждение, включающее числовые шка-
лы, осмысленно, если его истинность (или ложность) не изменя-
ется при замене каждой шкалы (21,23,/), которую оно включает,
другой (приемлемой) шкалой (21, 23, у). Именно такие предло-
жения, не зависящие от частного произвольного выбора шкалы,
говорят нечто значимое об основных отношениях между измеря-
емыми объектами.
Пусть f — представление из 21 в 25, и пусть А, В — носи-
тели 21 и 23 соответственно. Предположим, что <р — функция,
отображающая область значений функции / (т. е. множество
/(А) = {/(а) | a G А}) в множество В. Тогда композиция <р/
есть функция из А в В. Если <pf — представление из 21 в 25,
то функцию назовем допустимым преобразованием шкалы f.
Например, пусть 21 = (N; >), 25 = (R; >) и функция /: N —► R
задана соотношением f(x) = 2х. Тогда f — представление из 21
в 29. Если ^(я) = х + 5, то также представление из 21 в 25,
так как pf{x) — 2г+5иа:>у«Ф2а: + 5 > 2у + 5. Таким
образом, 9?: /(А) -+ В — допустимое преобразование шкалы /.
Однако, если <^(г) = —х для всех х € /(А), то <р не будет до-
пустимым преобразованием шкалы /, ибо в этом случае <pf не
является представлением из 21 в 21.
Если (21,23,/) и (21,2В,<?) — две шкалы, то иногда можно
найти функцию f(A) —> В такую, что g = <pf. Например,
если 21, 23 и / такие, как указано выше, а д(х) = 7х, то <р(х) =
%х именно то, что требуется. Если для каждой шкалы (21,23, р)
существует преобразование <р: f{A) —► В такое, что д = <pf,
то шкалу (21,25, /) назовем регулярной. Если регулярно каждое
представление / из'21 в 23 (каждая шкала (21,23,/) регулярна) и
существует по крайней мере одно представление / из 21 в 23, то
говорим, что представление 21 —► 23 регулярно. Очевидна, что
представление 21 —> 23 регулярно, если существуют допустимые
преобразования двух любых данных шкал fug друг в друга.
Если (21,23,/) — шкала, то <9опустпил<ыл< в широком смы-
сле преобразованием {относительно) шкалы (21,23,/) называет-
ся любое отображение <р функции / в функцию ¥>(/) (уэ(/): А —*
В] такое, что <p(f) также представление из 21 в 23. Это опреде-
ление предложено Д. Крантцем. Оно разрешает иметь в каче-
стве допустимых преобразований (в широком смысле) все ото-
бражения <р'. hom(21,23) -» hom(2l,23), где hom(2l,23) — класс
всех представлений из 21 в 23. Следует заметить, что если шкала
Тип шкалы (т. е. класс Cf)
и название
допустимого преобразования из Су
{</> | <р: f(A) -»• В, <р(ж) = г},
тождественное преобразование
{у> | <р: ДА) -+ В, <р(х) = ах, а > 0},
преобразование подобия
I Ч>- f(A) — В, ¥>(«) = ах + 0, а > 0}.
позитивное линейное преобразование
{9? | ¥>: /(А) -* В, <р(х) > 9?(у) х > у},
(строго) монотонное возрастающее
преобразование
{у? | <р: f(A) В, х / у & f(x) / /(у)},
взаимно однозначное преобразование
Название	Примеры величин,
типа	измеряемых в шкалах
шкалы	данного типа
Абсолютный	Результат счета Масса, температура по Кельвину,
Отношений	время (интервалы), длина, коэффициент интеллектуальности и т. д. Температура по Фаренгейту,
Интервалов	Цельсию нт. д., время (календарь) Предпочтение,
Порядковый	твердость ио Моосу, степень умения и т. д.
Номинальный	Коды, названия профессий и т. д.
188
Гл. 6. Теория измерений: два подхода
регулярна, то оба определения допустимого преобразования шка-
лы совпадают: каждое допустимое преобразование в широком
смысле может рассматриваться как допустимое преобразование
в первом смысле и наоборот.
Приведенное выше определение осмысленности высказыва-
ний об измерениях эквивалентно теперь следующему: всякое ут-
верждение об измерениях осмысленно, если и только если его
истинность (или ложность) не изменяется при допустимых пре-
образованиях в широком смысле всех участвующих в нем шкал.
Если каждая из этих шкал регулярна, то это определение осмы-
сленности превращается в более удобное: всякое высказывание
об измерениях осмысленно тогда и только тогда, когда оно инва-
риантно относительно всех (просто) допустимых преобразований
всех участвующих в его формулировке шкал.
Мы видим, что описание для каждой шкалы класса ее допу-
стимых преобразований — важный для понимания и применения
теории измерений вопрос. Поэтому естественно, что классифи-
кация шкал основывается на характеризации их соответствую-
щими классами допустимых преобразований. А именно: если
(21, ®, /) — шкала и Су — класс всех ее допустимых преобразо-
ваний, то говорят, что (21, *8, f) имеет тип (принадлежит типу)
Сf. Другое (более узкое) определение типа шкалы можно найти в
работе Т. Бромека5) и др. Некоторые широко распространенные
типы шкал приведены в таблице.
Всякая теорема, устанавливающая для данной шкалы ее тип,
называется теоремой единственности. Прежде чем переходить
к теоремам единственности, поясним на примере природу связи
между типами шкал и осмысленностью предложений, включаю-
щих эти шкалы.
ПРИМЕР 6.1.3. Рассмотрим следующее высказывание относи-
тельно некоторых чисел aj и а2:
10ai = 2a2.	(6-7)
Можно рассматривать его как эмпирически осмысленное утвер-
ждение о некоторых объектах сц и о2, для которых числа щ
и а2 — результаты измерения у них одного и того же призна-
ка (одной и той же величины) а в какой-то шкале f типа Су,
если, например, Су — тип отношений. Действительно, для лю-
Bromek Т., Moszynska М., Prazmowski К. Concerning basic notions
of measurement theory // Czechoslovak Math. J. 1984. V. 34, N 109. P. 570-587.
6.J. Репрезеятадионяая теория измерений
189
бых ai,a2 Е R, <р Е Cf (^(z) = <*£, а > 0) имеют место эквива-
денции
10ai — 2а2 lOaai = 2аа2 О = 2(/>(aa).
Предложение (6.7) инвариантно относительно допустимых пре-
образований шкалы /, которую оно включает в том смысле,
что / неявно сопоставляется как числу aj, так и числу аг. На-
пример, <ц и аз могут иметь смысл «вес в граммах». Тогда
предложение (6.7) также включает (неявно) шкалу граммов. Од-
нако это числовое высказывание мы не можем считать эмпириче-
ски осмысленным ни в шкале типа интервалов, ни в шкале типа
порядка, ни в шкале номинального типа. Например, в шкале по-
рядков это невозможно потому, что среди всех монотонных пре-
образований всегда найдется преобразование <р такое, что для
заданных ai и аг будет неверна эквиваленция
10ai = 2a2 lOc^fai) = 29?(аг).
Числовое высказывание
10ai 10й2	(6.8)
имеет эмпирический смысл как в шкале отношений, так и в шка-
лах интервалов и порядков. Однако оно не имеет эмпирического
смысла в номинальной шкале: всегда найдется взаимно одно-
значное преобразование числовой оси такое, что неверна эквива-
ленция
10ai 10аг Ю^(ах) 10^(аг).
Следовательно, предложение (6.8) осмысленно, когда включает
шкалу порядка, шкалу интервалов или шкалу отношений, и не
имеет никакого эмпирического смысла (при этом оставаясь осмы-
сленным как чисто математическое выражение), когда включает
номинальную шкалу.
ПРИМЕР 6.1.4. Пусть признак измеряется в шкале типа от-
ношений, а признак а(2) — в шкале типа порядков. Тогда вы-
сказывание
а(1)
( (2Ь2ж1	<6’9)
»	(а^у + 1
о числах а^1) и а(2) может иметь эмпирический смысл некоторого
высказывания об объекте о, у которого значения признаков cJ1) и
cJ2) образуют пару (а^\ а^2)). В самом деле, в рассматриваемом
190
Гл. 6. Теория измерений: двл подхода
случае, каковы бы ни были о > 0 и ионотонное преобразование
имеет место эквиваленция
aW/(<J2))2 + 1 / О аа^Дфа^)2 + 1/0.
Предложение (6.-9) включает шкалу порядков и шкалу отноше-
ний и инвариантно относительно допустимых преобразований
каждой из этих шкал.
Пусть, наоборот, величина а^1) измеряется в шкале поряд-
ков, а — в шкале отношений. Теперь числовое высказыва-
ние (6.9) не имеет эмпирического смысла, так как, очевидно, не
для всех указанных а > 0 и <р верна эквиваленция
J. n	4. п
(а(2))2 + 1	(аа(2))2 + 1
Предложение (6.9) по-прежнему включает шкалу порядков и шка-
лу отношений, но перестало быть инвариантным относительно
соответствующих допустимых преобразований шкал.
СЛАБЫЙ ПОРЯДОК
Бинарное отношение R называется слабым порядком на А, если
оно на А транзитивно и строго полно, т. е. на (4; R) истинны
следующие аксиомы:
аксиома транзитивности:
ViVy(R(a:,i/)&R(y,^) -* R(a:,z)),
аксиома строгой полноты:
ViVy(R(x,y) VR(y,i)).
Ниже мы формулируем несколько теорем единственности.
Теорема в.1.6. Пусть 21 = (A; R), где А — счетное множество,
R — слабый порядок на А и SB — (R; ^). Тогда представление
21 -+ SB регулярно, и каждая шкала. (21, SB, /) этого представления
имеет порядковый тип.
Теорема 6.1.7. Пусть 21 = (А; Я), где R — строгий простой
порядок на А, а А имеет счетное порядково-плотное подмноже-
ство. Пусть SB = (R; >). Тогда представление 21 —»SB регулярно,
и каждая шкала (21, SB, /) этого представления имеет порядковый
тип.
Теорема 6.1.8. Пусть 21 = (A; R; о) — экстенсивная структура и
SB = (R; >; +) Тогда представление 21 —» SB регулярно, и каждая
шкала (21, SB, f) этого представления имеет тип отношений.
6.1. Репрезентационмая теория измерений
191
Теорема 6.1.9. Пусть 21 = (А; R), где А = {а,Ь,с}, R = {(а, Ъ),
(а,с), (6,с)}. Пусть 23 = (R;>) и /(в) = 3, f(b) = 2, /(с) = 1.
Тогда, шкала (21, Ж, /) регулярна, причем имеет одновременно и
порядковый, и интервальный тип.
Теорема в.1.10. Пусть %. = (А; Я), где А = {г,s}, R = {(г,з)}.
Пусть 23 = (R;>) и f(r) — 1, /(з) = 0. Тогда шкала (21, *В,/)
регулярна и одновременно имеет порядковый тип и тип интерва-
лов.
Теорема 0.1.11. Пусть 21 = (А; Н), где А = {г, s}, R = {(г, г),
(з,з), (г,з), (з,г)}. Пусть 23 = (R;A/), где М определено усло-
вием
хМу 4^ (ж = g - 1 V g = з: - 1 V z = у).
Пусть /(г) = 0, /(з) = 0, д(г) = 0, g(s) = 1. Тогда представление
21 —► 23 не регулярно; (21,23, /) и (21,23, д) — шкалы этого пред-
ставления; (21,23,/) имеет порядковый тип, a (2l,23,g) — нет.
Теорема 6.1.12. Пусть 21 = (А; о), где А = {z, у], а операция
о удовлетворяет условиям (6.6). Пусть 23 = (R; х) и f(x) = 0,
/(g) = 1. Тогда
— шкала (21,28,/) регулярна и имеет тип {<Р1,<Р2,<рз,<р4)} где
¥>1(0) = О,
¥>2(0) = 0,
¥>з(0) = 1,
¥>4(0) = 1,
¥>1(1) = 1,
¥>2(1) = 0,
¥>з(1) = 0,
¥ч(1)= 1;
— представление 21 —► 23 не регулярно.
6.1.5. Как отмечено выше, критерий осмысленности высказыва-
ний об измерениях технически упрощается в случае регулярных
шкал, На основе теорем 6.1.6-6.1.12 можно предположить, что
появятся дополнительные технические удобства, если предста-
вление, соответствующее указанной регулярной шкале, регуляр-
но. В значительной мере это предположение подтверждается (и
конкретизируется) приведенными ниже теоремами.
Пусть 21, 23 — алгебраические системы одной сигнатуры,
причем 23 — числовая система. Представление 21 —> 23 назовем
однородным, если для любых двух шкал (21,23,/), (21,23, д) из
этого представления имеет место равенство Су = С9. Пусть
= (J Cf'
/6hom(2l,®)
192
Гл. 6. Теория измерений: два. подхода
Следующие две теоремы установлены Т. Бромеком и др. 6>.
Теорема в.1.13. Представление 21 —► ® однородно, если и толь-
ко если /(А) — д(А) для каждых f,g Е hom(2l,®).
Теорема в.1.14. Если представление 21 —* 23 регулярно и одно-
родно, (21,23, /о) — произвольная шкала из этого представления,
то Cf0 — группа (относительно суперпозиции) и = С/о-
Теорема в.1.157’ . Если представление 21 -> ® регулярно, а
(21, ®, /), (21, ®,д) — шкалы, то (21, ®, /) имеет тип абсолютный,
отношений, интервалов, порядковый или номинальный, если и
только если (21, ®,д) также имеет тип соответственно абсолют-
ный, отношений, интервалов, порядковый или номинальный.
В связи с изложенным заключаем, что полезно располагать
достаточными критериями регулярности представлений. Один
из них задает следующая теорема8’.
Теорема 6.1.16. Для любых 21, ® если существует сюръектив-
ная шкала (21,®,/) (сюръективное представление f из 21 на ®)
номинального типа, то представление 21 —► ® регулярно.
Другой критерий может быть установлен следующим обра-
зом. Для любой данной алгебраической системы
= (А; /’, — ,fg', Ri, — , Rp)
будем говорить, что а,Ь Е А взаимно вполне подстановочны для
отношения Rt, i = 1,... ,р, если выполняется условие: для лю-
бых двух т-ок (oj,... ,От) и (bj,... ,Ьт) элементов из А если
Uj / bj влечет {ay,by) = {a,b}, j = 1,... ,т, то
> • • • »атп) Я;(61,... ,Ьт).
Для данной системы 21 отношение эквивалентности £& на А опре-
деляется так: ае%Ь тогда и только тогда, когда а и 6 взаимно
вполне подстановочны для всех отношений Ri, i = 1,... ,р. Ал-
гебраическая система 21 называется неприводимой, если каждый
класс эквивалентности по содержит точно один элемент. В
противном случае 21 называется приводимой. Имеет место
e) Bromek Т., Moszynska М., Prazmowski К. Op. cit.
7’ Roberts F. S, Бланке С. Н. On the theory of uniqueness in measure-
ment // J. Math. Phych. 1976. V. 14. P. 211-218.
8’ Rudnik K. On regularity of scales // Bull. Acad. Polon. Sd. Math. 1986.
V. 34, N 1/2. P. 7-10.
6.2. Практика измерен*#
193
Теорема 6.1.179) . Для любых 21, 23 таких, иго hom(2L,?B) 0,
если система 21 неприводима, то представление 21 —* 23 является
регулярным.
Эта теорема также может служить искомым критерием. Хо-
тя он бесполезен в тех случаях, когда рассматриваемое измерение
основывается на приводимой эмпирической системе 21, некото-
рые видные сторонники репрезентационного подхода (например,
И. Пфанцагль) считают, что можно несколько ослабить непри-
ятные последствия указанного обстоятельства. Они предлагают
заменять в каждом затруднительном случае исходную приводи-
мую эмпирическую систему 21 ее фактор-системой 21* по отноше-
нию £gi, если последнее оказывается отношением конгруэнтности
для 21. Получаемые таким образом системы 21* всегда непри-
водимы, что согласно теореме 6.1.17 гарантирует регулярность
представлений 21* —> 23.
Здесь возникает проблема обоснования замены исходной эм-
пирической системы 21 ее фактор-системой 21*. Но мы не будем
подробно касаться этого вопроса, поскольку он имеет второсте-
пенное значение для последующего изложения. По этой же при-
чине мы опускаем некоторые другие темы, например: вторичные
(производные) измерения и связанные с ними системы единиц и
размерностей; измерения, основанные на эмпирических системах
с частичными операциями; представления 21 —> 2В, где 23 не явля-
ются числовыми системами, и т. д.
Все эти темы предполагают незыблемым главное в репре-
зентационной теории — саму идею измерительных процедур как
представлений эмпирической системы в некоторые символиче-
ские конструкции специального вида.
6.2.	ПРАКТИКА ИЗМЕРЕНИЙ
Рассмотрим подробнее те цели, для достижения которых исполь-
зуются измерения в научных исследованиях.
6.2.1.	Поскольку измерения проводятся ради получения сведе-
ний о действительности, любой результат измерения мы должны
уметь рассматривать как закодированное сообщение о наблюде-
ниях, имевших место при получении этого результата. Напри-
мер, результат измерения «интеллектуальных способностей» Пе-
тра, выраженный фразой: «Lq. (коэффициент интеллектуально-
Roberts F. S., Franke С. Н. Op. cit.
f- С. Гончаров и др.
194
Гл. 6. Теория измерений: два подхода
сти) Петра равен 0,8», есть сообщение о том, что Петр опреде-
ленным образом вел себя в заданной процедуре тестирования.
Некий числовой результат измерения был бы нам совершенно
не нужен, если бы мы не могли декодировать его в высказывание
о наблюдениях, ибо в научном исследовании нас интересуют не
числа (о числах мы могли бы высказываться в рамках чистой
математики), а факты. Первая цель любого измерения — осуще-
ствить определенное (быть может, очень сложное) наблюдение и
зафиксировать полученный результат в некотором стандартном
(как правило, числовом) коде. В этом смысле измерения явля-
ются частным видом опытного наблюдения, а их результаты —
частным видом протоколов наблюдения.
6.2.2.	Чтобы показать еще одну цель измерения, приведем при-
мер. Измерив свой вес (допустим, он оказался равным 70 кило-
граммам), вы можете с большой долей уверенности правильно
предсказывать исходы некоторых наблюдений, которые вы еще
не провели, но собираетесь или могли бы провести. В частно-
сти, вы уверенно предсказываете наклон коромысла весов в ва-
шу сторону, если на противоположном конце коромысла поме-
стить предмет весом в 50 килограммов. Это предсказание вы
осуществляете на основании той гипотетической связи между от-
дельными наблюдениями, которая предполагается известной вам,
если вы понимаете смысл измерения веса.
Таким образом, результат любого измерения д не просто код
исхода отдельного наблюдения, но и знание совокупности пред-
полагаемых связей между отдельными наблюдениями. Если код
обозначить через ргд, а знания — через hp, то результат изме-
рения есть пара (^рг^). Мы говорим, что задаем смысл изме-
рения р или, короче, задаем измерение р, если каким-то образом
фиксируем для себя hp. Мы говорим, что проводим измерение р,
если осуществляем отдельное наблюдение и кодируем его исход
в виде ргд.
Если мы провели измерение, не задав его, мы имеем просто
отчет о конкретном наблюдении (так иногда мы смотрим на по-
казания совершенно неизвестных нам приборов).
Если мы задали измерение, но не провели его, мы имеем
просто совокупность предполагаемых связей между отдельными
предполагаемыми наблюдениями (так иногда мы гадаем, тяже-
лее или легче нас наш приятель, не прибегая к взвешиванию).
Если мы провели измерение, предварительно задав его, мы
получили возможность, опираясь на фактический исход конкрет-
6.2. Практика измерений
195
с
h
ного наблюдения и пользуясь предполагаемыми связями, пред-
сказать (настолько предположительно, насколько предположи-
тельны упомянутые связи) исходы некоторых других наблюде-
ний. Уметь делать подобные предсказания в зависимости от про-
веденного наблюдения — вторая цель любого измерения.
6.2.3.	Любая связь между результатами наблюдений и опреде-
ляется средствами наблюдения, и характеризует их (средства).
Поэтому на первый элемент пары (Ам,ргд) можно смотреть как
на некую совокупность предполага-
емых свойств — теорию — измери-
тельных приборов для ц. Хотя на-
ша уверенность в свойствах любо-
го измерительного прибора никогда
не бывает абсолютной, она должна
превышать уверенность в любой дру-
гой эмпирической гипотезе, фигури-
рующей в том или ином научном ис-
следовании, ибо измерения выполня-
ют особую роль — служат источником исходных данных для
всего научного знания. Кроме того, для использования (прак-
тики) измерений нужно понимать в каком смысле пара (Ад,рг^)
содержит новую информацию по сравнению с предположитель-
ной информацией Ад об измерительных приборах (измеритель-
ных процедурах) д и фактической
информацией ргр об исходах взаи-
модействия приборов (процедур) р
с объектами, подвергнутыми изме-
рению, т. е. в каком смысле пара
(^р>Ргр) «информативнее», чем Ад
и ргд по отдельности. На первый
взгляд кажется, что здесь нет про-
блемы: например, если Ад — акси-
оматическая система («аксиомы из-
мерения»), то мы получаем новую эмпирическую информацию
h'p путем добавления к исходным аксиомам измерения h# прото-
кола ргр в качестве дополнительных аксиом, Ад = ТЬ(АД U ргд).
Этот взгляд традиционен, но не всегда безупречен. Приведем
(гример. Допустим, читатель сам рассматривает себя в качестве
I	,	v
измерительного прибора д для визуального сравнения ss длин
отрезков, расположенных так, как это представлено на верхнем
196
Гл, 6. Теория измерений: два подхода
рисунке. В этом случае он располагает следующими средствами:
— А — {a,b,c,d,e, f,g,h,i,j} — множество измеряемых объек-
тов;
— ргДА) = {a»ORsdase»/ss0ssiasj, — протокол
исходов взаимодействия р с объектами из А;
— (Лд,рГд(А)) — результат измерения объектов из А с помо-
щью р, здесь hff — какая-то теория, описывающая читателя
в качестве д.
В рамках традиционного подхода мы должны рассматривать те-
орию ТЬ(Лр U ргДА)) как новую информацию, содержащуюся в
паре (Лм, ргДА)). Ясно, что для любой исходной теории имеет
место соотношение
Лд h с Л,
где — Th(/i^Uprp(A)). Однако этот вывод сразу опровергается
измерением р над В, где В ~ {с, h} — собственное подмножество
множества А. В этом случае (см. рисунки)
V
РгДЯ) = {с « h},
что соответствует описанию общеизвестной иллюзии.
Ясно, что если мы хотим теорию измерений применять в
подобных психологических исследованиях, то проблема, в каком
смысле пара (Лм, рг^) «информативнее», чем и рг^ по отдель-
ности, становится актуальной.
Такова в общих чертах практика (прагматика) измерений в
исследовательской работе. Наше описание этой практики содер-
жит, конечно, неясности и недомолвки, но из него после соот-
ветствующих уточнений легко извлечь новый подход к изучению
измерений, отличный от репрезентационного.
6.3.	УТИЛИТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ	
Утилитарная теория измерений — это некоторая альтернатива
репрезентационной. Если прилагательное «репрезентационная»
подчеркивает, что измерения рассматриваются как «сильные»
гомоморфизмы эмпирических алгебраических систем в числовые,
то прилагательное «утилитарная» выражает более откровенную
прагматическую идею: теория измерений должна быть достаточ-
но точным и подходящим образом обобщенным описанием прак-
тики измерений, как она изложена в предыдущем параграфе.
6.3. Утилитарная теория измерения
197
6.3.1.	Любая эмпирическая теория может рассматриваться как
теория каких-то приборов (понимаемых, если надо, очень широ-
ко). Поэтому возникает вопрос: какова специфика теорий именно
измерительных приборов? Так как от нас самих зависит, исполь-
зовать или не использовать любой данный прибор в качестве из-
мерительного, реальный смысл поставленного вопроса сводится
к следующему: какими эмпирическими теориями удобно мани-
пулировать в научных исследованиях как описаниями исходных
данных? Имеется три общих требования к теориям, соблюдение
которых по отдельности или в сочетаниях существенно:
1)	теории измерительных приборов должны быть канонически-
ми или аксиоматическими без теоретических терминов;
2)	они должны допускать возможность измерения любого ко-
нечного числа измеряемых объектов;
3)	они должны быть согласованы с предположением: для всяко-
го наблюдения (модели) £01, если 9Л не опровергает данную
теорию, то любое поднаблюдение (подмодель модели £01) так-
же не опровергает ее.
В соответствии с требованиями 1-3 проведем классификацию эм-
пирических теорий. Именно, эмпирическую теорию h называем
— измерительной в широком смысле, если она удовлетворяет
требованию 2;
— стандартной измерительной, если h — измерительная в
широком смысле теория, удовлетворяющая требованию 3;
— измерительной в узком смысле или обычной, если она удо-
влетворяет требованиям 1-3.
Название «обычная» мотивируется тем, что этот тип теорий
измерительных приборов широко распространен и привычен в
наиболее развитой к настоящему времени эмпирической дисци-
плине — физике. Различие между классами стандартных изме-
рительных и измерительных в широком смысле теорий очевидно.
Сейчас мы приведем точные определения измерительных в
широком смысле и стандартных измерительных теорий. И мы
дадим точное описание достаточно интересного и широкого под-
класса класса обычных измерительных теорий. Теории этого
подкласса предлагается называть простыми.
• Эмпирическая теория h называется
— измерительной в широком смысле, если в каноническом пред-
ставлении h — (w,obsw, Ти) тестовый алгоритм Тш удовле-
творяет в дополнение к требованиям (Т1)-(ТЗ) (см. гл. 4)
198
Гл. 6. Теория измерений: двл подхода
требованию
(Т4) Vn3pr"(T"(pr") = 1 Л5(рг") = п);
— стандартной измерительной, если в каноническом предста-
влении h = (w,obs",T") тестовый алгоритм Т" удовлетво-
ряет еще одному дополнительному [к (Т1)-(Т4)] требованию
(Т5) Ург"Ург?(Т"(рГ1) = 1 Apr? С рг? => T"(pr?) = 1),
где рг? С рг" означает, что протокол рг? есть подпрото-
кол (подмножество, являющееся протоколом) протокола рг".
Пусть о — наименьший класс аксиоматических систем та-
кой, что
(а)	всякая конечно-аксиоматизируемая универсальная аксио-
матическая система конечной предикатной сигнатуры (в
логике первого порядка с равенством), имеющая модели
любой конечной мощности принадлежит <т;
(б)	если S" принадлежит о, то
Th(S"u{(3zei)...(3zan)PrX(OT)})
также принадлежит а (здесь ПИ — произвольная конеч-
ная модель для S", рг" — конъюнкция элементов прото-
кола рг"; {г01,... , zen} = В(рг"(9И)).
Легко убедиться, что если S" € с, то класс т"(5") эффективно
разрешим.
Эмпирическая теория h называется простой измеритель-
ной, если Л = (w,obs",S") и S" €
Почти очевидно (проверку оставляем читателю), что класс
простых измерительных теорий уже класса обычных. Но в лю-
бом случае класс простых измерительных теорий достаточно об-
ширен, чтобы представлять интерес с прикладной точки зрения.
Более того, трудно указать конкретный практически использу-
емый (не специально придуманный для контрпримера) измери-
тельный прибор, который нельзя было бы описать простой из-
мерительной теорией. Впрочем, мы не собираемся ограничивать
общность нашего рассмотрения, ссылаясь на указанное обстоя-
тельство как на оправдание такого ограничения.
Эмпирическую теорию h мы будем называть измеритель-
ной, если нам не важно, какая она именно: измерительная в ши-
роком смысле, стандартная измерительная или простая измери-
тельная.
6.3. Утилятармая теоряя измерений
199
Пусть h — эмпирическая теория и ЯЛ — наблюдение, про-
веденное в соответствии с obs для Л, но не опровергающее Л.
Тогда, как мы условились в гл. 4, пара (Л,рг(ЯЛ)) называется
допустимой. Первое уточнение нашего описания практики из-
мерений состоит в том, что отныне результатом измерения р
будем называть допустимую пару (А^р^ДЯЯ)), где hp — из-
мерительная теория (задающая измерение р}.
6.3.2. Перейдем к дальнейшим уточнениям. Результат любого
измерения есть допустимая пара (А^, prW/J(OT)). Немедленно воз-
никает вопрос, что из этого следует. Как мы показали в 6.2
мало иметь результат измерения, нужно уметь им воспользо-
ваться в будущем, т. е. нужно уметь делать новые (по срав-
нению с теорией hp} предсказания (в виде подходящей эмпириче-
ской теории А„) в зависимости от пары (Лд,рг"*(ЗИ)). Если мы
из одних и тех же результатов измерений «извлекаем» для себя
разные ожидания на будущее (разные теории Л^), то мы име-
ем дело с различными практиками измерений. Поэтому точное
описание практики измерений сводится к заданию отображения
/: тг —> ??, где х — некий класс результатов измерений, а д — не-
кий класс эмпирических теорий. При этом предполагается, что
если Ар = f(hp, рг‘*'>*(ЯЛ)), то эмпирическая теория hv принимает-
ся нами всякий раз, когда принимается измерительная теория А^,
а протокол pr^^tJUi) описывает фактически проведенное (а не во-
ображаемое) наблюдение ЯИ. Всякое отображение / указанного
вида будем называть принципом практики измерений.
Принципы практики измерений должны удовлетворять опре-
деленным ограничениям, если мы хотим гарантировать наличие
некоторых желательных или отсутствие некоторых нежелатель-
ных свойств у практики измерений. Имеются три набора таких
ограничений и, следовательно, три класса принципов практики
измерений. Прежде чем их рассматривать, введем или напомним
некоторые понятия.
Будем говорить, что эмпирические теории Aj и Аг формаль-
но канонически равны (Aj F= Аг),если h\ — (cu],obslJJl,7^’t), Аг —
(^lObs^2!^2), u>i = шг> ~ и формально аксиоматиче-
ски равны [Ai == Аг], если и только если Ai = (wjjobs^1,.?^1),
Аг = (o^obs^2,^2), wi = «г»	= Sp2- Аналогично до-
пустимые пары (А1,рг^(ЯИ1)), (Аг,рг£2(аИ2)) формально кано-
нически равны [(Л1,рг^1(ЯЯ1)) - (Аг, рт£г(ЯЛг))) или формаль-
200	Гл, 6. Теория измерений: два подхода
но аксиоматически равны [/tj,рг^1 (ЯЛ1)) == (Аз, рг^С®^))], если
pr^1 (SJti) ~ рг£2(ЯЛз) и соответственно hi F= Аэ или h\ *= Аг.
Отношение F= — эквивалентность на любом классе кано-
„ FA
нических эмпирических теорий, = — эквивалентность на лю-
_	X.	fC
бом классе аксиоматических эмпирических теорий, отношения =
/«
и = — эквивалентности на соответствующих классах допусти-
мых пар.
Если h — эмпирическая теория, то полагаем
( {рг" | Г“(рг") = 1}, если h = (W,obsw,^);
Л 1 {prw(QJt) I ЯЛ G	если h = (ш,оЬзш, 5n).
Как мы условились ранее, эмпирическая теория hi сильнее
(строго сильнее), чем эмпирическая теория Аг, если РКд1 явля-
ется подмножеством (собственным подмножеством) множества
PRji2. Мы пишем А] > Аг, если hi сильнее h^, и Aj > h^, если А]
строго сильнее Аг-
Отношения >, > — частичные порядки на любом классе эм-
пирических теорий. Их интуитивный смысл таков: если Ai > Аз
(hi > Аз), то hi высказывается о возможных наблюдениях не ме-
нее (более) определенно, чем А2. Иными словами, принятие hi
позволяет в общем более точно (хотя и более рискованно) напра-
вить ход научного исследования, чем принятие Аз-
Пусть i?r —- класс всех измерительных теорий в широком
смысле и — класс всех допустимых пар (А^, ргш^(ЯИ)) таких,
что Ьц G
ОГРАНИЧЕНИЯ (RI)
Первый набор ограничений на функции / состоит из следующих
требований:
(RI.1)
/:	-» Л-;
(RI.2) если
А», = /(Лд,р^(ЯЯ)),
Ам = (wM,obs^,T^),
hv = (o^obs^T""),
то Шц = Шу, obs^*4 = obs^";
6.3. Утилитарная теория измерений
201
(RI.3) если
Л, = /(Лм,рг^(9Л)),
то (Л^, р1"**(£!Я)) — допустимая пара;
(RI.4) если
hp = /(Л^рг^Ш
ТО Л|/ Лд^
|RL5) существует допустимая пара (Лд,р1"'2(ЯЛ)) € ят такая,
что
/(Лд,рг^(ял)) > Лд;
(RI.6) если
Ли = ДЛд,рт^(^)).
Лх = /(ЛЛ,рг^(т)),
Лд~/ц,
то ft? Axi
(RL7) если
Ли = /(Лд,рг^(ЯП)),
Лх = /(Лл,рг^(<п)),
(Лд,рг^(ЯЛ)) = (Лл,рг^(<И)),
то Л^ — Лх*
Принципы практики измерений, удовлетворяющие этим тре-
бованиям, называем т -регулярными. Среди них имеются как от-
вечающие нашим субъективным (могли бы поступать иначе, но
нам удобно именно так) оценкам практики измерений [требова-
ние (RL1)], так и соответствующие объективным (могли посту-
пать иначе, но с познавательной точки зрения оправдано имен-
но так) условиям практики измерений [требования (RI.1)-(RI.7)].
Заметим, что требования (RL2)-(RL7) естественны и даже не-
обходимы, чтобы принцип практики измерений /, удовлетворя-
ющий (RI.1), был небесполезным в познавательном отношении.
Точное обоснование можно провести, рассуждая так же, как в
гл. 5 при обосновании аналогичных требований к методам ин-
дукции. Эти замечания распространяются и на приводимые ни-
же требования (RII.1)-(RII.7) и (RIII.1)—(КП1.7).
202
Гл. 6. Теория измерений: два подхода
ОГРАНИЧЕНИЯ (RII)
Пусть дат — класс всех измерительных стандартных теорий
и тат — класс всех допустимых пар (hp, рг^*4(ОТ)) таких, что
hp € дат- Второй набор ограничений [обозначим его соответ-
ственно (RII-1)—(RII.7)] получается из набора (RI.1)-(RI.7) под-
становкой -кffr вместо тт и дат вместо 1?г. Принципы практики
измерений, удовлетворяющие требованиям (RII.1)-(RIL7), назы-
ваем ат-регулярными.
ОГРАНИЧЕНИЯ (RJII)
Третий набор ограничений на f получается из набора (RI.1)-
(RI.7) заменой в нем всюду на Sp*, T$v на Syv, =
на F= , на Та, на t?ff, где — класс всех простых измери-
тельных теорий; Та — класс всех допустимых пар (/i^pr^fOT))
таких, что hp С да- Принципы практики измерений, удовлетво-
ряющие этим новым требованиям (RIII.1)-(RIII.7), будем назы-
вать а-регулярными.
в.3.3. Рассмотрим, как устроены классы г-, ат-, сг-регулярных
принципов практики измерений (ср, теорема 5.3.1).
Пусть в — класс всех тестовых алгоритмов, П — класс всех
протоколов. Определим отображение Fy: 9 X П —» 6 условием:
для любых пары (Т^ргд) из 0 х П и протокола рг" из П имеет
место соотношение
1,	если В(рг“) = 7Г(рго ) к рг“ ~ pig;
> pro )(prW) =	0,	если BCpr") = Я(рго ) и рг“ рг£;
( ^оЧрг"), если B(ptg) / 5(ptf).
(6.10)
Легко показать, что если
hp = (Wp,obs^,7^) е (hp,prw"(OT)) e rr,
то (Шр,obsp**, Fi(ТрЦ, pi"*1 (ОТ))) € i?r• Отсюда следует, что функ-
ция /i: 7гг —► i?r, определяемая равенством
/l(^,prw"(OT)) = (up, obs^, Fi(T^, рг^(ОТ))),	(6.11)
является r-регулярным принципом практики измерений (провер-
ка предоставляется читателю).
6.3. Утилитарная теория измерения
203
Пусть, далее, запись рг" = рг^ f D означает: рг** С рг? и
B(pr") = D. Заладим отображение F?: 0 х П —* 0 условием: для
любых пары (Tq, pig) из 9 х П и протокола prw из г имеет место
соотношение
1,
W,ptf)(prw)=< 1,
. 0
если	= 1, В(рг") < В(рГр)
и существует D С В(рг£) такое, что
рг- ~ рг" Г D;
если T-(pr-) = 1,1(рг-)	>(рг^)
и для всякого D С В(рг“) выполня-
ется D = B(prjj) => рг“ f D ~ prjj;
во всех остальных случаях.
(6.12)
Легко доказать, что если
лд = (^,оЬ8^,т;пе^г,
(Л/4,рг^(ОТ))Етг<гг,
то (wM,obs^,F2(7^*,pr««(fln))) Е 9ат.
Прямой проверкой можно показать, что функция /2: *гг —*
9ffr, определяемая на irffr равенством
/2(^,рг^(ОТ)) = (шд.оЫ#*, F2(^, рг^(ОТ))),	(6.13)
есть сгт-регулярный принцип практики измерений.
Наконец, определим функцию fa: it# -» условием: для
всякой пары (Лм, рг"*4(ОТ)) из 7rff имеет место соотношение
/з(Лд,рг^(ОТ)) = (шд.оЬв^ТЬ^
U {(3 2в1).. .(3 гОп)рГд"(ОТ)})), (6.14)
где Кц = (шд,оЬ5дД, $“/). Легко убедиться, что /з есть <г-регу-
лярный принцип практики измерений.
Имеет место следующая основная
204
Гл. 6. Теория измерений: два подхода
Теорема 6.3.1. Справедливы следующие утверждения.
(а)	Класс всех т-регулярных принципов практики измерений со-
стоит ровно из одного члена — функции, описываемой соот-
ношениями (6.10), (6.11).
(б)	Класс всех нт-регулярных принципов практики измерений
состоит ровно из одного члена---функции, описываемой со-
отношениями (6.12), (6.13).
(в)	Класс всех гт-регулярных принципов практики измерений со-
стоит ровно из одного члена — функции, описываемой соот-
ношением (6.14).
Доказательство каждого из трех утверждений теоремы, по
существу, повторяет с соответствующими измерениями доказа-
тельство теоремы 5.3.1.
Утверждение (в) означает, что каждый шаг практического
использования измерений, полученных с помощью прибора с про-
стой измерительной теорией, должен состоять в приписывании к
имеющимся аксиомам Sft1 новой аксиомы
(^О1)...(ВгОп)рг^(ЯП)
— отчета об исходе проведенного измерения (наблюдения). Как
мы уже заметили в конце 6.2, это приписывание столь обычное
дело, что в нормальных обстоятельствах у нас не возникает по-
будительного мотива осознать те предпосылки, которые делают
подобный шаг разумным с познавательной точки зрения. Только
попытки трактовать измерения в расширенном смысле, напри-
мер как измерения с помощью приборов, отвечающих стандарт-
ным измерительным или (особенно) измерительным в широком
смысле теориям, делают этот вопрос актуальным. И тогда, осно-
вываясь на утверждениях 1 и 2 теоремы 6-3-1, легко убедиться,
что в общем случае практика измерений должна быть другой,
чем обычно, хотя по-прежнему однозначно определенной.
Заметим, что если мы решили трактовать измерения совсем
широко — так, например, чтобы считать измерительным любой
прибор и, следовательно, считать измерительной любую эмпи-
рическую теорию, то соответствующие такой трактовке принци-
пы практики измерений перестали бы быть однозначно опреде-
ленными и образовали бы некий бесконечный (впрочем, просто
устроенный) класс. Этот класс совпадает с классом, названным
в гл. 5 классом регулярных методов индукции. Этот факт гово-
6.4. Релрезеитациоииая теория измерений
205
рит, по-видимому, о том, что надежные методы индукции — это
те, которые являются обобщениями методов измерений.
6.3.4. Мы закончили описание основ утилитарной теории изме-
рений. Дальнейшее ее развитие зависит уже от частных запросов
научных исследований и должно, вообще говоря, состоять в том,
чтобы для тех или иных конкретных hp и /j(i=l,2,3) изучать
теории из где
= {Л(Лд,рг^(от)) | рг^(от) е praJ.
Здесь мы не пытаемся заранее указать объем понятия «изучать»,
так выбор задач, лежащих в соответствующем русле, зависит,
повторяем, от трудно предвидимых внешних обстоятельств. Не-
сомненно все же то, что в случае, когда i = 3, одним из важ-
ных аспектов такого изучения является поиск эффективных ме-
тодов логической обработки (в разных отношениях) аксиомати-
ческих систем вида <т. В последнее время успешно развивается
область математической логики, обещающая, в частности, дать
готовый инструментарий на уровне программ для подобных ло-
гических исследований — теория семантического программиро-
вания10). Поэтому утилитарный подход к измерениям можно счи-
тать математически обеспеченным вплоть до принципиальной
возможности выхода на ЭВМ.
6.4. РЕПРЕЗЕНТАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ:
КРИТИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В работах, посвященных репрезентационному подходу, их авто-
ры обычно не задают себе прямых вопросов типа: зачем вообще
нужны измерения, понимаемые так, как они ими понимаются?
Зачем нужно какую-либо эмпирическую систему, известную нам
с точностью до постулируемых аксиом измерения, предваритель-
но гомоморфно отобразить в некоторую специальную числовую,
Чтобы в конечном итоге, изучив массу математических фактов об
Зтом гомоморфизме (теоремы представления, теоремы единствен-
ности, типы шкал и т. д.), вернуться к утверждениям об исход-
ной эмпирической системе (высказывания, инвариантные относи-
тельно допустимых преобразований)? Почему бы эти утвержде-
101 Гончаров С. С., Свириденко Д. И. Математические основы се-
мантического программирования // Докл. АН СССН. 1986. Т. 289, № 6.
р. 1324-1328.
206
Гл. 6. Теоряя измерений: два подхода
ния не получить прямым образом как следствия аксиом измере-
ния, раз уж последние все равно необходимы? Чем такое опосре-
дованное изучение эмпирической системы удобнее прямой дедук-
ции следствий из постулированных аксиом? Что нового узнаем
мы о действительности, устанавливая ту или иную теорему пред-
ставления или единственности? Должны ли мы рассматривать в
качестве изучаемого фрагмента действительности подразумева-
емую в данном измерении эмпирическую систему? Если да, то в
каком смысле эта действительность соотносится с наблюдениями
в случае бесконечной эмпирической системы? Если же лежащие
в основе измерений системы эмпирические только по названию,
а на самом деле являются идеализациями, выходящими за пре-
делы возможных наблюдений, то как изучение этих идеализаций
(или числовых гомоморфных образов этих идеализаций) связано
с изучением наблюдаемой действительности?
Читатель не обнаружит в литературе по репрезентационно-
му подходу систематически разработанных ответов на эти (даже
не поставленные явно) вопросы. Следовательно, в рамках тако-
го подхода отсутствуют ясные указания на связь предлагаемых
теоретических воззрений с практикой. Восполнить этот пробел
значит, по существу, переформулировать в репрезеятационных
терминах содержание 6.3. Для этого необходимо переосмыслить
в утилитаристском духе все основы репрезентационной теории,
как они изложены в 6.1.
Не так уж трудно установить контуры требуемых здесь ви-
доизменений репрезентационной теории. Но независимо от то-
го, каковыми они окажутся, непременно потребуется дополни-
тельная работа хотя бы для того, чтобы прояснить, на какие
практические познавательные цели ориентирована теория изме-
рений, понимаемая так, как это сложилось в репрезентационной
традиции. К тому же заранее можно утверждать, что если эта
работа будет выполнена, она в принципиальном отношении даст
не больше чем просто некий «функционально-числовой» вариант
уже известной утилитарной теории измерений.
Следует ожидать, что этот вариант в техническом (мате-
матическом) отношении покажется большинству читателей бо-
лее знакомым, чем логически ориентированное изложение в 6.3,
или, например, он еще раз подтвердит правильность обраще-
ния с результатами измерений инженеров и физиков. Но это
им (инженерам и физикам) известно и без всякой теории изме-
рений. Что же касается возможных технических преимуществ
6.4. Репрезеитацяоииая теория измереялл	207
функционально-числового представления практики измерений
применительно к другим наукам (таким, как психология, социо-
логия и пр.), то они (эти преимущества) небесспорны, особенно
если учесть возможность вести развернутую логическую обра-
ботку данных для указанных наук на ЭВМ.
Словом, бурный рост за последние годы числа публикаций по
репрезентационной теории измерений (еще одна теорема предста-
вления, еще одна теорема единственности, еще один тип шкалы
и т. д.) не выглядит, выразимся осторожно, жизненно необхо-
димым для развития науки на современном этапе. В теоретиче-
ском, методологическом и, возможно, практическом отношении
предпочтительнее выглядит «утилитарный» подход к измерени-
ям, основанный на представлении процедур измерения как част-
ных случаев регулярных методов индукции.
Глава 7
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Основания математики — это, быть может, самый яркий при-
мер взаимодействия точной науки и философии. С одной сторо-
ны, математика потому особенно привлекает философов-эписте-
мологов и философов-онтологов, что среди других наук она резко
выделяется двумя загадками: ее суждения выглядят абсолютно
достоверными; ее объекты существуют не в том смысле, в ка-
ком существуют предметы внешнего мира или наши внутренние
ощущения. С другой стороны, наиболее плодотворные периоды
развития математики проходили при особом внимании к фило-
софским вопросам теории познания и онтологии. Эту связь в той
или иной форме можно проследить от Платона до наших дней,
а с середины прошлого столетия она стала приобретать вполне
современные очертания.
Литература, посвященная основаниям математики, огромна
и разнообразна, в том числе на русском языке. Желающим озна-
комиться с этой тематикой более подробно мы особо рекомендуем
забытые дореволюционные серии: «Новые идеи в математике»,
«Цовые идеи в физике», «Новые идеи в философии».
Следует отметить, что при обилии первоклассных математи-
ческих результатов исследование философского аспекта основа-
ний математики столкнулось с принципиальными трудностями.
Такое впечатление создает «провал» программы Гильберта тео-
ремами Гёделя о неполноте. Не будь этой основной проблемы, все
остальные утратили бы свой остро принципиальный характер.
Например, не было бы дискуссий об онтологическом статусе мно-
жества, если бы теория множеств была финитно обоснована, что
почти автоматически задавало бы и статус. Поэтому здесь мы
рассмотрим только один, но наиболее важный вопрос — влияние
теорем Геделя на выбор возможных путей надежного обоснова-
ния математики.
7А. Программа Гильберта
209
7.1. ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
Д. Гильберт предназначал свою программу для «реабилита-
ции» математики в связи с критикой интуиционистов Л. Кро-
некера, Л. Э. Я. Брауэра, Г. Вейля и др. Он предпринял по-
пытку обосновать математику на базе эпистемологически проч-
ного фундамента финитизма. Соглашаясь со своими оппонен-
тами в том, что не все утверждения математики имеют непо-
средственный смысл, и настаивая, что его критерии осмыслен-
ности математических высказываний более жесткие, чем инту-
иционистские, Д. Гильберт тем не менее не считал, что следует
запретить некоторые укоренившиеся приемы доказательств. Он
полагал, что использование сомнительных с точки зрения ин-
туиционистов принципов доказательств допустимо при условии,
что исключается даже возможность получения интуитивно лож-
ных математических утверждений. Выполнения такого условия,
по-видимому, достаточно для обоснования математики. Однако
как обеспечить выполнение этого условия? Попытка ответить
на этот вопрос и составляет существо программы Гильберта.
7.1.1.	В качестве несомненных (финитных) рассуждений Д. Гиль-
берт принимает те, которые используются в комбинаторных рас-
суждениях и типичны для школьной математики. Без таких рас-
суждений вообще не может быть науки. Однако Д. Гильберт
точно не обозначил совокупность Pq финитных рассуждений, на-
деясь, по-видимому, на умение непосредственно узнавать, несо-
мненно (т. е. финитно) всякое имеющееся рассуждение или нет.
Согласно Д. Гильберту математическое утверждение являет-
ся осмысленным (реальным) высказыванием, если оно само или
его отрицание могут быть установлены каким-нибудь рассужде-
нием из Pq. Все остальные высказывания не имеют смысла и
поэтому выполняют не познавательные, а своего рода «админи-
стративные» функции. Д. Гильберт называет такие высказыва-
ния идеальными по аналогии с идеальными элементами в геоме-
трии. Идеальным высказываниям не обязательно приписывать
истинностные значения, так как они всего лишь инструменты
для манипулирования реальными высказываниями.
Чтобы формализовать основные идеи Д. Гильберта по об-
основанию математики, для математической системы (рассужде-
ний) 5 и любых высказываний а, b пишем:
Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948.
210
Гл. 7. Основания математики
Рт$(а) — «а установлено рассуждениями из системы <$»,
~ia — «не верно, что а», а => b — «если а, то 6»,
а Л & — «а и й»,	а V 6 — «а или &».
По критерию Гильберта математическая система 5 не содер-
жит среди своих «реальных» теорем ложных утверждений, если
Уа^(Рт5(а)Л Ртр0(^а)).	(7.1)
Поэтому если мы сумеем финитными рассуждениями удостове-
риться в справедливости (7.1), то относительно данной систе-
мы S проблема обоснования исчерпана: несомненно (финитно)
установлено, что в системе S нельзя получить ни одного ложно-
го утверждения. Действительно, наличие в S ложного (следова-
тельно, и реального) утверждения означает выполнение условия
(Рг£(а)ЛРгр0(-1а)), что невозможно, поскольку не подлежит со-
мнению справедливость (7.1). Таким образом, факт обоснован-
ности данной системы S можно записать в виде
Prp0((V а) -(Рг5(а) Л РгГ(3(-.а))).	(7.2)
Но если это так, то простейшая программа обоснований, соответ-
ствующая эпистемологическим установкам Гильберта, состоит в
том, чтобы в некотором порядке выписывать и пытаться с пони-
манием прочитывать всевозможные конечные последовательно-
сти символов русского языка, а также пробелы, знаки препина-
ния, математические обозначения и т. п.2\
С эпистемологической точки зрения единственно важная ха-
рактеристика финитного рассуждения — это непосредственно рас-
познаваемая безошибочность. Поэтому рано или поздно среди
бессмысленных наборов символов появится понятная для нас за-
пись любого финитного рассуждения. Возможно, среди послед-
них мы сумеем разглядеть и опознать доказательства условий
вида (7.1) для каких-то систем S, что мы вправе будем зафикси-
ровать соответствующими утверждениями вида (7.2).
Хотя попытки реализации такой программы ассоциируют-
ся с деятельностью известного коллектива кибернетиков из Ве-
ликой Академии города Лагадо, сама программа — назовем ее
2) Напомним, что мы излагаем программу Гильберта. Текстуальные со-
впадения с описанием концепции Луллия (см. гл. 5) отражают глубокое
родство идей в далеких, казалось бы, областях науки.
7.1. Программа Гильберта,
211
LAP (в честь свифтовских лапутян) — имеет несомненное до-
стоинство: она гарантирует успех во всех случаях, где успешно
применима любая другая программа обоснований, проводимая в
рамках гильбертовского финитизма. В частности, LAP образу-
ет эпистемологический фундамент и для собственной программы
Гильберта: нельзя, как будет видно из дальнейшего, одновремен-
но настаивать на последней и полагать эпистемологически оши-
бочной первую. Этот вывод согласуется с эпистемологическими
установками Д. Гильберта, близкими к кантианству и, следо-
вательно, допускающими обращение к познавательным актам,
описываемым в терминах кантовского чистого наглядного пред-
ставления, знания a priori и т. д. — в терминах непосредственных
очевидностей. Вот, например, что говорил Д. Гильберт в лекции
«Познание природы и логика»
Я допускаю,... что даже при создании специальных теоретических
областей необходима некоторая априорная интуиция... Я даже ве-
рю, что математическое знание, в конечном счете, зависит от по-
добных априорных воззрений... Поэтому наиболее общая основная
мысль кантовской теории познания сохраняет свое значение... По-
нятие a priori есть не более и не менее, чем... выражение неко-
торых обязательных предварительных условий мышления и позна-
ния. Однако граница между тем, чем мы обладаем a priori, и тем,
для чего мы нуждаемся в опыте, должна быть проведена нами не
так, как это делает Кант, — Кант значительно переоценил роль и
степень априорности.
Однако неправильно отождествлять программу Гильберта и про-
грамму LAP. Д. Гильберт не предлагал LAP в качестве про-
граммы оснований математики и причиной этому было принци-
пиальное препятствие: как заранее узнать, не будет ли деятель-
ность по программе LAP бесполезным нескончаемым перебором?
Может быть, в нашем перечне символов никогда не встретится
ни одного текста, излагающего в понятном для нас виде финит-
ное доказательство условия (7.1) хотя бы для какой-нибудь одной
интересующей нас математической системы 5? Не слишком ли
оптимистична надежда приобрести именно таким способом непо-
средственно достоверное знание [первое вхождение "Ргр0 в (7.2)]
о непосредственном достоверном знании [второе вхождение Ртр0
в (7.2)]? Не окажется ли так, что доктрина финитизма, исключая
риск сделать ошибку, исключает тем самым все интересные нам
результаты, если последние по своей природе не являются не-
3)	Рид К. Гильберт. М.; Наука., 1977. С. 252.
212
Гл. 7. Основания математики
сомнениыми? Эти вопросы мотивируют поиски характеристик
финитных рассуждений в терминах некоторых правдоподобных,
хотя и не самоочевидных предположений. Программа Гильберта
является развитием LAP именно в этом направлении.
7.1.2.	Если в (7.1) сузить класс финитных рассуждений, потре-
бовав от последних не только самоочевидности, но и некоторых
других дополнительных свойств, то условие (7.1) не будет, вооб-
ще говоря, соответствовать той философской установке, на осно-
ве которой формулировалось. Ведь важно с философской точ-
ки зрения понимать финитное рассуждение как любое совершен-
но несомненное рассуждение. В противном случае оппоненты
смогут обнаружить в системе, удовлетворяющей (7.1), ложные
утверждения. При этом их аргументы будут построены на рас-
суждениях, не вызывающих сомнения, но не получивших ранее
статуса финитных. В связи с этим возникло основное предпо-
ложение программы Гильберта: среди финитных доказательств
любого разрешимого в элементарной теории чисел Р высказы-
вания есть и такие, которые принадлежат Р. Следовательно,
любое высказывание а должно удовлетворять условию
^0(а) Л (Prp(a) V Prp(-ie)) => Ргр(а). (7.3)
Обращение именно к теории чисел основано на том факте, что
большинство математических систем, представляющих практи-
ческий интерес, но нуждающихся в обосновании, согласованы с
теорией чисел, а их реальные теоремы суть предложения, разре-
шимые в Р. Это означает, что программа Гильберта ориентиро-
вана только на такие системы S, относительно которых можно
утверждать, что для любого высказывания a
(Prp(->a) => (Р/\$(а) => Рг$(-<а)У) Л ((Рг5(а)Л
(Prp0(a) V Ргр^^а))) => (Ргр(а) V Ргр(-«а))). (7.4)
Для рассматриваемых систем условие (7.1) можно заменить усло-
вием непротиворечивости: для любого высказывания a
~'('Prs(a) APrs(-ia)).	(7.5)
Действительно, (7.1) вытекает из (7.3)-(7.5). Следовательно, для
рассматриваемых систем S условие (7.2) можно заменить следу-
ющим:
Prp0 ((Vа) ~>(Рг5(а) Л Рг5(-.а))).	(7.6)
7.1. Программа Гильберта
213
Рассмотрение (7.6) вместо (7.2) сужает область полезного приме-
нения программы Гильберта по сравнению с программой LAP, но
обеспечивает более организованное исследование. Действитель-
но, ниже мы убедимся, что в отличие от условия (7.1) условие
непротиворечивости (7.5) поддается не только философской, но
и арифметической трактовке.
Хотя математическая формулировка условия (7.6) небезупреч-
на (из-за вхождения Рг-р0), ввиду основного предположения про-
граммы Гильберта теперь можно утверждать: если арифметиче-
ская трактовка непротиворечивости является разрешимым пред-
ложением элементарной теории чисел, то финитные доказатель-
ства непротиворечивости можно найти среди доказательств в V.
Таким образом, суть программы Гильберта можно выразить в
форме следующего императива.
ГЛАВНЫЙ ИМПЕРАТИВ ПРОГРАММЫ ГИЛЬБЕРТА
Для обоснования системы S, удовлетворяющей (7.4), ищите ариф-
метическое выражение для непротиворечивости системы S в ви-
де предложения, разрешимого вР, а затем ищите в Р финитное
доказательство для него.
Принимая основное предположение программы Гильберта,
мы рискуем сделать ошибку. (Подчеркнем, что степень риска
зависит не от самой программы, а от объекта изучения — си-
стемы S. Например, в случае системы Р мы вообще не рискуем,
так как Р удовлетворяет (7.4) тривиальным образом.)
Если основное предположение программы неверно, но мы (а
priori не зная об этом) его приняли, то, даже финитно доказав не-
противоречивость системы 5 [т. е. получив (7.6)], мы однажды
можем обнаружить, что для некоторой теоремы а из 5 имеет-
ся финитное доказательство ее отрицания -,а. Для нас это бу-
дет означать, что или данная система S не удовлетворяет усло-
вию (7.4), или(и) не выполнено основное предположение програм-
мы Гильберта.
В случае системы Р вывод может быть более определенный:
не выполнено основное предположение программы Гильберта.
Таким образом, даже успешное применение программы Гильбер-
та к какой-либо системе 8 дает лишь условно финитное обосно-
вание.
Д. Гильберт, по-видимому, не замечал этого обстоятельства
или не придавал ему значения; иначе трудно объяснить мотивы
214
Гл. 7. Основания математики
его следующего заявления 4);
Уже сейчас я мог бы я качестве окончательного результата выска-
зать следующее утверждение: математика есть наука, в которой
отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как
Кронекер, в господе-боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об
особой, построенной на принципе полной индукции, способности на-
шего разума, ни, как Броуер, в первоначальной интуиции, наконец,
ни, как Рессель иля Уайтхед, в аксиомах бесконечности, редукции
или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержа-
тельного характера и, сверх того, вовсе не правдоподобными.
Возможно, формулируя свою программу, Д. Гильберт не прово
дил сравнения с другими программами, подобными LAP, как это
сделано здесь, и потому не обратил внимания на оттенки в пони-
мании финитности — как очевидность вообще и как очевидность
специального вида (элементарность). Так что, Д. Гильберт мог
воспринимать основное предположение своей программы не как
специальное допущение, а как часть описания общего смысла фи-
нитности 5\
В литературе по философии математики встречаются утвер-
ждения, основанные на иных формулировках основного предпо-
ложения программы Гильберта. Например, М. Резник, характе-
ризуя связь теорем Гёделя с программой Гильберта, пишет6);
Thus we might conclude that since the consistency of Г cannot be
proved via the methods formalizable in Г, it surely cannot be proved
via (weaker) finitistic methods alone.
В этой фразе неявно предполагается, что если G — система, со-
держащая V, то -iPr^fa) => -iPrp0(a) для всякого высказыва-
ния а. Однако такое предположение не вытекает из (7.3), и ему
нет никаких подтверждений в работах Д. Гильберта. В действи-
тельности у нас нет оснований как для предположения, что все
финитные методы содержатся в некоторой системе Q, обладаю-
щей формальным аналогом Г, так и для предположения, что все
доказательства в V финитны.
Завершая изложение программы Гильберта, коснемся вопро-
са о получении арифметической трактовки непротиворечивости
Гильберт Д. Поли. цит. С. 388.
5) Webb J. С. Mechanism, mental ism, and metamathematics. Dordrecht:
D. Reidal Publ. Company, 1980. P. 174.
6) Цитируется по статье: Resnik M. On the philosophical significance of
consistency proofs // J. Philos, Logic. 1974. V. 3, N 1/2. P. 136: ... Поскольку
непротиворечивость Г не может быть доказана с помощью методов, форма-
лизуемых в Г, она конечно же не может быть доказана с помощью одних
(более слабых) финитных методов. — Пер. с англ.
<1
7.2. Постгёделевскяе модификации программы Гильберта
215
какой-либо математической теории <S. Д. Гильберт предложил
заменить в пределах своей программы каждую содержательную
математическую дисциплину S ее формальным аналогом S и тем
самым вопрос о непротиворечивости S свести (финитными рас-
суждениями) к вопросу (уже синтаксического характера) о фор-
мальной непротиворечивости S. Как показал К. Гёдель, устано-
вление формальной непротиворечивости S можно, подобно лю-
бому синтаксическому вопросу, финитно свести к вопросу об ис-
тинности подходящего арифметического утверждения, которое и
будет выступать в качестве арифметической трактовки непроти-
воречивости.
7.2.	ПОСТГЁДЕЛЕВСКИЕ МОДИФИКАЦИИ
ПРОГРАММЫ ГИЛЬБЕРТА
7.2.1.	К 1928 г. В. Аккерманом и И. фон Нейманом были по-
лучены финитные доказательства непротиворечивости довольно
значительного фрагмента элементарной теории чисел Р. Одна-
ко вопреки первоначальным ожиданиям Гильберта, не удавалось
финитно установить непротиворечивость арифметики (тем более
анализа и теории множеств) в полном ее объеме. С 1931 г. бла-
годаря второй теореме Гёделя о неполноте причина неудач стала
проясняться.
К. Гёдель установил, что некоторые арифметические выра-
жения непротиворечивости системы 5, содержащей арифметику,
являются предложениями, неразрешимыми в Р, если S действи-
тельно непротиворечива (и Р ^-непротиворечива) (см. прило-
жение).
Зато эти выражения непротиворечивости просто находятся
и естественны в точно определенном смысле, а именно: преди-
кат доказуемости для S (формального аналога системы 5), из
которого Consisg (формальный аналог арифметической трактов-
ки непротиворечивости системы S) строится обычным образом,
удовлетворяет условиям выводимости Гильберта 7\
Итак, возникла следующая ситуация. Пусть CON Р — гёде-
левская арифметическая трактовка непротиворечивости систе-
мы Р. Будем говорить, что S — система первого (второго) ро-
да, если найдется (не найдется) консервативное расширение си-
стемы 5, в котором CONP является теоремой. Согласно теореме
Подниекс К. М. Вокруг теоремы Гёделя. Рига: Латв, ун-т им.
П. Стучки, 1981. С. 77,
216
Гл. 7. Основания математики
Гёделя системы первого рода не удовлетворяют условию (7.4).
Поэтому системы первого рода невозможно обосновать по про-
грамме Гильберта, даже если когда-нибудь (в неопределенном
будущем) финитно установят их непротиворечивость. Это от-
носится, в частности, к теории множеств, так как она являет-
ся системой первого рода. Для систем второго рода (например,
арифметики Р) вывод из теоремы Гёделя не столь категоричен:
он указывает лишь на необходимость переориентации исследо-
ваний при поиске разрешимых в Р арифметических выражений
непротиворечивости. Последние, возможно, будут не столь про-
сты и естественны, как в теореме Гёделя, но поиск их не исклю-
чается теоремой Гёделя. Противоположное впечатление возника-
ет потому, что обычно теорема Гёделя обсуждается при неявно
предполагаемом дополнительном тезисе, что финитно оправда-
ны только те арифметические выражения непротиворечивости
5, которые фигурируют в теореме Гёделя. Это замечание отно-
сится и к новейшим формулировкам второй теоремы Геделя в\
Этот вопрос будет подробно обсуждаться в приложении.
7.2.2.	Вторая теорема Гёделя о неполноте не только не проти-
воречит программе Гильберта, но и является косвенным под-
тверждением ее разумности. Действительно, программа Гиль-
берта предполагает поиск арифметических выражений непроти-
воречивости, а теорема Гёделя направляет этот поиск, указы-
вая тупиковые пути. В то время как К. Гёдель доказывал свою
теорему, его коллеги-современники пытались найти финитные
доказательства именно для тех арифметических выражений не-
противоречивости Р, которые имел в виду и К. Гедель. Завер-
шение доказательства теоремы Гёделя показало безуспешность
этих попыток. Однако согласие теоремы Гёделя с программой
Гильберта не было замечено в 1931 г., когда была опубликована
вторая теорема Гёделя. Более того, теорема Гёделя сразу была
воспринята как смертельный удар по первоначальной програм-
ме, и такое мнение прочно утвердилось в литературе. Суть его
ясно выразили А. А. Френкель и И. Бар-Хиллел э);
... никакое предложение, которое можно точным образом интерпре-
тировать как выражающее непротиворечивость какой-либо логи-
стической системы, содержащей арифметику, не может быть дока-
зано в этой системе.
Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. М.: Мир, 1981.
Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.:
Мир, 1966. С. 370.
7.2. Постгёдвлевскяе модификация программы Гильберта 217
В такой ситуации должны были возникнуть (и действительно
возникли) различные модификации программы Гильберта. При
этом в качестве оправдания отхода от первоначальной програм-
мы можно выдвинуть, например, такой аргумент.
| Поскольку от финитного рассуждения требуется в конечном
ртоге всего лишь его очевидная достоверность, а результат Гёделя
не затрагивает ни основного предположения программы, ни усло-
вия (7.4) для систем второго вида, то можно слегка подправить
главный императив, например, следующим образом:
ИМПЕРАТИВ ПРОГРАММЫ ГИЛЬБЕРТА
(МОДИФИКАЦИЯ 1)
Для обоснования системы S, удовлетворяющей (7.4), ищите ариф-
метическое выражение для непротиворечивости системы S, не
обязательно разрешимое в Р, а затем ищите финитное доказа-
тельство для него, там где удается его найти, не ограничивая
себя заранее рамками доказательств в Р.
Первый результат в этом направлении получил Г. Генцен 10\
Он доказал непротиворечивость теории чисел Р (точнее, фор-
мальную непротиворечивость формального аналога Р для Р),
воспользовавшись трансфинитной индукцией до ед — первого
порядкового числа, следующего за всеми порядковыми числами
бесконечной последовательности
ш,	,....
Отметим, что доказательство Г. Генцена не может быть про-
ведено в Р, а вопрос о том, насколько оно убедительно, чтобы
считаться финитным, решается в конечном итоге в зависимости
от индивидуальных воззрений.
Например, К. Гёдель в 1931 г. допускал существование фи-
нитных доказательств, не формализуемых в Р. Однако он же
позднее отрицал финитность £д-индукции Генцена, так как она
не была столь же «непосредственно наглядной», как трансфи-
нитная индукция ДО W2
Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел // Математиче-
ская теория логического вывода. М.: Мир, 1967.
Генцен Г. Новое изложение доказательства непротиворечивости для
чистой теории чисел // Там же.
Гёдель К. Об одном еще не использованном расширении финитной
точки зрения // Математическая теория логического вывода. М.: Мир, 1967.
218
Гл. 7. Основания математики
С другой стороны, А. Черч писал 12) 13:
That induction up to д2 or up to шш should be allowed as Unit, but
induction up to sq not, is a boundary line so artificial and arbitrary as
hardly to be accepted.
А. Чёрч рассматривает генценовское доказательство как подтвер-
ждение первоначальной гёделевской точки зрения, ибо это дока-
зательство показывает наличие финитных доказательств, кото-
рые нельзя изобразить в первопорядковой арифметике.
Таким образом для части математиков, взгляды которых вы-
ражает А. Чёрч, несомненен тот факт, что Г. Генцен реализовал
(применительно к Р) сформулированный выше ослабленный ва-
риант программы Гильберта.
7.2.3.	Для математиков, разделяющих взгляды А. Чёрча, есть
и другая сторона результата Г. Генцена. Известно 13\ что полу-
ченное Г. Генценом доказательство непротиворечивости Р мож-
но формализовать в системе примитивно рекурсивной арифмети-
ки, пополненной аксиомой
Vx[Vg/(y ^x^F{y)) ^Ffa:)]^ Vif(r), (7.7)
где — стандартное вполне-упорядочение по типу и F —
некоторая бескванторная формула. Поэтому для некоторого со-
гласованного с определением -< примитивно рекурсивного рас-
ширения Р примитивно рекурсивной арифметики
Р I- [V;r[Vy(jf Ч х -+ F(y)) -+ Г(х)] -+ Vx^a:)] -> Consisp, (7.8)
где Consisp — каноническое (гёдеяевское) формальное выраже-
ние непротиворечивости системы Р. Для той точки зрения, кото-
рую мы сейчас излагаем, содержательно очевидна аксиома (7.7),
высказывающая для F принцип трансфинитной индукции до eq-
Но тогда возникает вопрос: почему формальное предложение,
стоящее справа от h в (7.8), не выражает финитным образом
непротиворечивости Р, если это предложение есть импликация,
у которой антецедент [аксиома (7.7)] финитно истинен, а консе-
квент [Consisp] финитно выражает непротиворечивость Р? Ины-
ми словами, принимав вышеобозначенную точку зрения, у нас
12) Цитируется по: Church A. Reviews // J. Symbolic Logic. 1965. V. 30,
N 3. P. 359: Если индукция до и2 или до допускается в качестве финитной,
а индукция до ец не допускается в качестве таковой, то линия раздела здесь
столь искусственна и произвольна, что едва ли может быть приемлемой. —
Пер. с англ.
13) Такеути Г. Теория доказательства. М.: Мир, 1978. С. 126.
7.2. Постгёделевские модификации программы Гильберта
219
нет философски (эпистемологически) значимых причин не счи-
тать генценовскую реализацию модифицированной программы
Гильберта одновременно реализацией и первоначальной програм-
мы Гильберта (применительно к арифметике).
Относительно нового выражения непротиворечивости можно
отметить, следуя Г. Крайэелю 14\ что нельзя в Р доказать, что
оно выражает непротиворечивость системы Р. Хотя это утвер-
ждение в определенном смысле верно, оно не может служить ар-
гументом против введения и рассмотрения новых типов подобных
выражений непротиворечивости. Действительно, это утвержде-
ние в той же мере верно и для Consisp. Ведь «прочитав» Consisp,
мы не можем немедленно дать заключение о том, что его смысл
— это непротиворечивость системы Р и, следовательно, непро-
тиворечивость системы Р. Чтобы придти к такому заключению,
нам потребуется выполнить некоторые познавательные проце-
дуры, и в частности процедуры доказательственного характера.
При этом принципиально невозможно, чтобы это были только
лишь математические доказательства. При установлении содер-
жательного смысла любого формального высказывания (Consisp
в том числе) всегда имеется этап, на котором осуществляется
так называемое «непосредственное усмотрение*. При этом мы
считаем, что содержательный смысл формального высказыва-
ния установлен доказательством, если и только если «непосред-
ственно увиденное» оказывается «непосредственно очевидным».
Иначе говоря, путь от прочтения Consisp до заключения о его со-
держательном смысле проходит через многие процедуры, причем
лишь часть этих процедур может быть формализована и харак-
тер распределения смысловой нагрузки между формализуемыми
и неформализуемыми процедурами оказывается существенным
(см. приложение).
Возвращаясь к сторонникам взглядов А. Чёрча, отметим, что
для них оказалась «непосредственно очевидной* истинность ан-
тецедента формулы, стоящего справа от h в (7.8), а «непосред-
ственное усмотрение» этой истинности и является тем неформа-
лизуемым остатком, который появился при рассмотрении нового
выражения непротиворечивости Р.
7.2.4.	Последовавшие вслед за генценовским другие доказатель-
ства непротиворечивости арифметики [см. В. Аккерман (1940),
Kreisel G. Review of Feferman’s «Arithmetisation etc.» // Math. Rev.
1963. V. 25, N 5.
220
Гл. 7. Основания математики
П. С. Новиков (1943), К. Гёдель (1958)] 15^ ничего не меняют в
приведенных выше философских оценках, поскольку, несмотря
на значительные математические различия, все эти доказатель-
ства равнозначны в эпистемологическом отношении 16\ Что ка-
сается доказательств непротиворечивости анализа, ограничим-
ся одним замечанием: Г. Такеути показал, что можно развить
классический анализ в консервативном расширении арифметики
Пеано.
7.3.	НОВАЯ МОДИФИКАЦИЯ ПРОГРАММЫ ГИЛЬБЕРТА
Итак, после установления К. Гёделем теорем о неполноте в осно-
ваниях математики сложилась следующая ситуация:
— Для систем второго рода программа Гильберта остается в
силе. Для некоторых из них (элементарная арифметика, вариант
анализа Такеути 1Т^) эта программа, по мнению части математи-
ков, уже выполнена — в модифицированном варианте или даже
в своем первоначальном виде.
— Для систем первого рода (например, теории множеств)
программа Гильберта не годится в качестве программы финит-
ного обоснования, даже если бы удалось финитно установить их
непротиворечивость.
Как видим, ощущением эпистемологического неблагополу-
чия в основаниях мы должны быть обязаны последнему пункту.
Ниже мы предпримем попытку показать, что более глубокий пе-
ресмотр программы Гильберта может в значительной степени
это ощущение ослабить.
7.3.1.	До сих пор мы говорили об императиве программы и усло-
виях его применения для обоснования тех или иных математиче-
ских дисциплин. Мы не пытались оценить соразмерность рабо-
чих целей программы (например, финитное обоснование теории
Ackermann W. Zur Wiederspruchsfreiheit der Zahlentheorie // Math.
Ann. 1940. Bd 117, N 2. S. 162-194.
Novikoff P. S. On the consistency of certain logical calculus // Мат. сб.
1943. T. 12(54), № 2. C. 231-260.
Гёдель К. Об одном еще не использованном расширении финитной
точки зрения // Математическая теория логического вывода. М.: Мир, 1967.
16) prawitz D. Ideas and results in proof theorie // Proc. Second Scandinavian
Logic Sympos. Amsterdam: North-Holland Publ. Company, 1978.
I7)	Takeutl G. A conservative extension of Peano arithmetics. Heidelberg:
Noth-Holland Publ. Company, 1972.
7.3. Новая модификация программы Гильберта
221
множеств) и ее конечной цели («реабилитация» математики). В
изложении мы следовали традиционному модусу обсуждения фи-
лософских проблем математики, связанных с идеями Гильбер-
та. При традиционном подходе если и высказываются о ревизии
рабочих целей, то лишь для того, чтобы отметить их недости-
жимость. Будь они достижимы, к ним следовало бы стремиться
всеми силами души. К. К. Сморинский выразил эту точку зрения
следующим темпераментным образом 1в^:
... гильбертовская программа установления непротиворечивости
имела своей целью доказательство непротиворечивости сильных
систем финитными средствами... Стыд и позор, что программа
не смогла сработать.
Между тем естествен вопрос: а должна ли вообще программа
Гильберта «срабатывать» там, где она «не смогла сработать»?
Действительно ли необходимо для «реабилитации» математики
финитно обосновать некоторые системы первого рода, например
теорию множеств? Имеют ли отношение к конечной цели основа-
ний выдвигаемые и обсуждаемые вопросы? Может быть, эффект
неблагополучия в основаниях математики связан всего лишь с не-
пониманием подлинной связи между рабочими целями и конечной
целью программы Гильберта?
Новая модификация программы Гильберта пытается дать
ответы именно на эти вопросы.
7.3.2.	Д. Гильберт неявно предполагал, что разбиение множества
всех высказываний теории на реальные и идеальные определяет-
ся видом самих высказываний и, следовательно, оно одно и то же
для всех теорий, с одним и тем же словарем и синтаксисом.
Согласно новой точке зрения это разбиение зависит не толь-
ко от словаря и синтаксиса, но и от класса задач, изучаемых
в рамках данной теории. Иначе говоря, одна и та же теория
как математическое исчисление будет иметь разные множества
реальных высказываний, если она предназначена для обработ-
ки разных классов задач. Безотносительно к задачам теория не
имеет практического значения, и потому не представляет само-
стоятельного интереса вопрос, финитно обоснована эта теория в
целом или нет. Важно лишь иметь представление о тех фрагмен-
тах теории, которые связаны с конкретными задачами. Разуме-
ется, если будет поставлена задача, решение которой потребует
1в^ Сморинский К. К. Теоремы о неполноте // Справочная книга по
математической логике. М.: Наука, 1983. Ч. 4. С. 13.
222
Гл. 7. Основания математики
привлечения знания, кодифицируемого всей теорией, то вопрос о
финитной обоснованности теории станет актуальным.
Однако для теорий первого рода таких задач может не быть.
Допустим, что любой задаче всегда соответствует такой фраг-
мент теории, который сам является теорией второго рода. Тогда
«рабочие» цели программы Гильберта излишни: конечной цели
можно достигнуть без них. В таком случае программа Гильбер-
та, именно в том объеме, в каком она законно применима, будет
представлять собой успешную программу оснований.
7.3.3.	Чтобы выяснить поставленные в предыдущем пункте во-
просы, проведем анализ понятия «задача».
А. Начнем с замечаний общего характера. Что именно под-
разумевают, когда говорят: «Я осознал задачу»? На такой во-
прос можно ответить фразой: «Я осознал, что хочу узнать...».
Но что значит «Я хочу узнать...»? Рассмотрим эту проблему на
другом примере, более простом и знакомом каждому читателю.
Например, что значит фраза «Я хочу пить»? Предположим, что
она означает определенное состояние сознания, которое вы называ-
ете в данном случае жаждой. Как всем известно, жажда у тол я -
ется питьем. Но откуда вам это известно? Испытывая жажду,
осознаете ли вы, чем именно ее можно утолить? Возможно, что
при жажде вы воображаете себе картину питья. Но тогда как
воображаемое питье содержит информацию о фактическом пи-
тье? Ведь какие бы красочные и реалистические картины питья
вы не рисовали в вашем воображении, ни одна из них не может
утолить жажду и заменить стакан простой воды. Фактическое
питье содержит нечто, чего нет в воображаемом; это нечто и есть
самое существенное.
Эти рассуждения приводят к выводу, что любая фраза, вы-
ражающая желание, не указывает на то, чем именно удовлетво-
ряется желание. Так что, удовлетворение желания — новость,
причем в чем-то самом существенном абсолютная новость, эм-
пирический постфактум, который не был дан заранее. Но в то
же время при осознанном желании желают не чего-то вообще, а
нечто достаточно определенное. Это нечто каким-то образом пред-
определяется характером желания и степенью его осознания, но
оно не будет данным вам, пока желание не удовлетворено.
Итак, знать желание не означает знать желаемое, а означает
иметь (знать) способность узнавать желаемое. Иными словами,
вы понимаете свое желание только тогда, когда этому желанию
сопоставляете чувство уверенности в том, что любое свое состо-
7.3. Новая модификация программы Гильберта
223
яние сознания сумеете убедительно и безошибочно распознать
как состояние удовлетворения или неудовлетворения желания. В
частности, когда вы понимаете, что испытываете жажду, вы уве-
рены, что все, что с вами ни случится, вы сумеете несомненным
образом распознать как утоление или как неутоление своей жа-
жды. Подчеркнем, что при этом не обязательно знать, чем имен-
но утоление будет достигнуто. По прошлому опыту вы ожидаете,
что водой, но, быть может, в следующий раз вашу жажду утолит
новый напиток.
Вернемся к понятию «задача». Напомним, что любую за-
дачу можно мыслить в терминах «Я хочу знать...». Поэтому
задача — частный случай желания, и все сказанное о желани-
ях выше, относится и к ней. А именно, мы понимаем задачу,
только сопоставив ей обоснованное чувство уверенности в том,
что всякое состояние нашего сознания сумеем убедительным и
безошибочным образом распознать как такое, когда решение за-
дачи найдено, или как такое, когда решение задачи не найдено.
При этом естественно полагать, что «обоснованное чувство
уверенности» обеспечивается содержанием наших знаний.
Б. Условимся упомянутые состояния сознания представлять
(нумеровать) натуральными числами, а свои знания — формаль-
ными системами. Тогда понятию «задача, доступная нашему
пониманию» соответствует понятие «задача внутри формальной
системы», точный смысл которого обеспечивается следующими
определениями.
Пусть S — произвольная формальная система в языке Z(S),
объемлющем язык арифметики, и s(rуГ, х) — терм в Z(S) такой,
что арифметическое значение з(г9?~',п) есть гёделевский номер
высказывания, полученного из подстановкой п вместо х.
Пусть Prs(-) — предикат доказуемости для S, строящийся обыч-
ным образом.
• S-задачей (задачей в му тара S) называется формула ср в Z(S),
котороая содержит точно одну свободную переменную и удо-
велетворяет следующим условиям:
S I- Vx(Frs«<p\x)) V Prs(3(^, х)));
s ь v z(Prs(a( V1, г)) у>(х));
S Р Vx(Prs(3(r-i<p1,x))	-мр(х)).
При этом натуральное число п называется решением (нереше-
ниеж) тогда и только тогда, когда <р(п) (-кр(п)). Приведем
обоснование этих определений.
224
Гл. 7. Основания математики
Когда в п. А мы говорили о необходимых условиях понима-
ния любой задачи (желания), мы существенным образом опира-
лись на такие понятия, как «обоснованное чувство уверенности»,
«сумеем убедительным и безошибочным образом распознать» и
т. п. Один из способов придать этим понятиям точный смысл —
предположить, что уверенностью (убедительностью) снабжают
нас некоторые рассуждения и нужный для понимания данной за-
дачи запас таких рассуждений поддается формализации в виде
множества всех доказательств в некоторой формальной систе-
ме. Подразумеваемая роль S — быть именно такой системой.
В этом случае первое условие приведенного определения мож-
но истолковать как утверждение: мы уверены (S I- ...), что
всякое состояние сознания х мы сможем убедительными сред-
ствами распознать (Ргд(...)) как такое, когда решение <р най-
дено (Prs(s(r<r\®))), или как такое, когда решение <р не найде-
но (Prg(s(r-i9?1,a:))). Второе и третье условия рассматриваемого
определения при таком истолковании дают утверждение: мы уве-
рены, что любое состояние, сознания, если оно вообще распозна-
ется (убедительными средствами), распознается безошибочно.
7.3.4.	Таким образом, в принятых предположениях (идеализаци-
ях) наше определение формализует именно то, о чем речь шла
в конце п. А. При этом вопрос о законности самих идеализаций
(т. е. о способах нумерации состояний сознания и представления
знаний в виде формальных систем) остается открытым.
Приведем лишь один из возможных способов нумерации со-
стояний сознания. Рассмотрим совокупность всевозможных тек-
стов (коротких и длинных, осмысленных и бессмысленных, по-
нятных и непонятных, дополненных математическими символа-
ми, знаками препинания, пробелами и т. п.) на русском языке и
затем взаимно однозначно (и эффективно в обе стороны) прону-
меруем их натуральными числами 1, 2, .... Далее «нумеруем»
состояния сознания. Состоянию сознания, единственным объ-
ектом внимания которого является какой-либо текст из данной
совокупности, мы присваиваем номер соответствующего текста.
Так что, два различных состояния сознания получат один и тот
же номер, если у них в качестве объектов внимания фигурирует
один и тот же текст. Если объектом внимания является что-либо
иное, но не текст из указанной совокупности, мы присваиваем со-
стоянию сознания номер 0. Такая нумерация эффективна для нас
в том смысле, что каждому состоянию сознания мы умеем припи-
сать натуральное число и по каждому натуральному числу уме-
7.3. Новая модификация программы Гильберта
225
ем представить себе хоть одно состояние сознания, имеющее это
число своим номером. Достаточно по любому ненулевому нату-
ральному числу восстановить текст с соответствующим номером
и затем представить себе, что мы направили внимание именно
на этот текст. Чтобы вообразить себе состояние сознания с но-
мером 0, достаточно вообразить любое состояние сознания, в ко-
тором объектом внимания не является текст.
Очевидно, что такая нумерация не единственная. Например,
всякая рекурсивная перестановка на натуральном ряде порожда-
ет новую нумерацию рассматриваемого типа. Кроме того, мож-
но построить нумерации аналогичным образом, но уже исходя
не из всей совокупности всевозможных русских текстов, а толь-
ко из некоторой выделенной ее части, например из множества
всех выражений фиксированной формальной системы S. Можно
придумать и другие варианты подходящих для наших целей ну-
мераций. Поэтому важно отметить, что содержательный смысл
одной и той же S-задачи может различаться при разных нумера-
циях. Понятие S-задачи характеризует всего лишь формальные
ограничения на возможные формулировки задач. Эти ограниче-
ния должны быть выполнены, чтобы задачи могли иметь смысл
для нас, поскольку наши знания представлены в виде рассужде-
ний, закодированных в S. Наша ближайшая цель — охаракте-
ризовать S.
В. Мы получим частичную характеристику знаний, необхо-
димых для понимания задач, если ответим на вопрос: что пред-
ставляет собой система S, если класс S-задач не пуст? Вы-
деляя чисто философский аспект, конкретизируем этот вопрос,
например, в следующей форме: как охарактеризовать возмож-
ные системы кантовских синтетических суждений a priori, если
признать, что любой познавательный процесс допустимо истол-
ковывать в терминах постановок и решений задач. При таком
истолковании необходимые (чтобы класс S-задач не был пуст)
ограничения на S являются одновременно формальными ограни-
чениями на системы утверждений, выражающие тот минималь-
ный уровень знаний, которым заранее должен располагать по-
знающий субъект, чтобы процесс познания состоялся, — нечто
похожее на «априорные синтетические формы» Канта.
• Формальная система S в языке L(S), объемлющем язык ариф-
метики, называется слабой, если для нее не выполнено хотя
бы одно из следующих трех условий Гильберта:
8* С. Гончаров и др.
226
Гл. 7. Основания математики
(Gi) для всякого высказывания <т из Z(S) если S F <7, то
S I- Prs(V);
(Ga) для всякого высказывания а из E(S)
S F Prs(V) - PrsfT’rstVD;
(G3) для любых двух высказываний <т2 из ДБ)
S h Prst^D & Prs(rcTi аг"1) -*
Термин «слабая» уместен здесь, ибо если иметь в виду системы
в языке арифметики и в логике с обычными правилами вывода
(скажем, modus ponens, подстановка), то рекурсивная арифме-
тика и все ее надсистемы удовлетворяют условиям (Gi), (G3).
Следовательно, справедлива
Теорема 7.3.1. Если S содержит рекурсивную Арифметику и
единственные правила вывода в S (modus ponens и подстановка),
то система S не является слабой.
Однако не надо думать, что слабые системы вообще слабы
в своих выразительных возможностях. На самом деле, допуска-
ются случаи, когда некоторая (основанная на необычных прави-
лах вывода) слабая система S дедуктивно эквивалентна, скажем,
арифметике Пеано или анализу, но в этом нельзя убедиться в са-
мой системе S. Такова, например, система Крайзеля — Такеути
классического анализа без сечений CFA 19>. Легко доказать сле-
дующее утверждение.
Теорема 7.3.2. Если в системе S представимы все примитив-
но рекурсивные функции и класс S-задач не дуст, то система S
слабая.
Слабые системы S, в которых представимы все рекурсивные
функции и для которых классы S-задач не пусты, существуют.
Таким примером является система CFA.
Раскроем смысл теоремы 7.3.2. Задача не имеет для нас
смысла, если для ее решения нам нужны знания, кодифициру-
емые не в слабой системе. Поэтому когда мы решаем осмыслен-
ную задачу, то фрагмент теории, выделяемый для ее решения,
должен быть слабой системой (если, конечно, мы не соглаша-
емся в момент решения ранее понятой задачи утратить ее по-
нимание). Следовательно, допустимые выделяемые фрагменты
не могут быть системами первого рода с обычными правилами
вывода. А так как математика может быть развита в логике с
19) Kreisel G., Takeuti G. Formally eelf-referential proposition for cut-free
classical analysis and related systems // Dissertationes Math. 1974. V. 118.
7.3. Новля модификация программы Гильбертв
227
обычными правилами вывода, то, возвращаясь к вопросу о сораз-
мерности «рабочих» целей программы Гильберта ее «конечной»
цели, мы заключаем, что они («рабочие» цели) действительно не
необходимы и, следовательно, программа Гильберта в том объ-
еме, в каком она законно применима, — перспективная програм-
ма оснований всей нужной для решения задач математики.
В этой связи стоит явно сформулировать новый императив
программы Гильберта, сохраняя неизменными ее допущения.
ИМПЕРАТИВ ПРОГРАММЫ ГИЛЬБЕРТА
(МОДИФИКАЦИЯ 2)
Для всякой заинтересовавшей вас проблемы ищите систему с
обычными правилами вывода, в которой эта проблема представи-
ма в виде осмысленной задачи, и затем ищите для такой системы
финитное доказательство ее непротиворечивости в соответствии
с прежним императивом программы Гильберта.
7.3.5.	В заключение коснемся проблемы полноты теорий. Толь-
ко что изложенная модификация программы Гильберта внушает
мысль, что полноту любой теории S разумно рассматривать от-
носительно класса ее S-задач. Будем говорить, что формальная
теория S заданно- полна, если для всякой S-задачи 9? либо най-
дется такое п, что S Ь ¥>(п), либо S F (Vx)-’y’(x).
Уместно вспомнить, что Гильберт был убежден, что 20> «ка-
ждая определенная математическая проблема непременно долж-
на быть доступна строгому решению ... или в том смысле, что
удается получить ответ на поставленный вопрос, или же в том
смысле, что будет установлена невозможность ее решения и вме-
сте с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее ре-
шить».
Возникает вопрос: какие слабые системы заданно-полны?
20^ Гильберт Д. Математические проблемы // Проблемы Гильберта. М.:
Наука, 1969. С. 21-22.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все темы и результаты, изложенные в пособии, могут быть раз-
виты и обобщены в нескольких направлениях. Учитывая учеб-
ный, а не исследовательский характер книги, укажем лишь не-
которые перспективы. Например, представляется важным
—	ответить на вопрос: какие в точности формальные тео-
рии являются заданно-полными (гл. 7);
—	переформулировать в репрезентационных терминах утили-
таристскую теорию измерений, приблизив тем самым ре-
презентационную теорию измерений к действительным за-
просам практики (гл. 6);
—	корректно (в смысле математической логики) проанализи-
ровать, нет ли парадокса самоотносимости в следующем
утверждении: «макрофизика — предельный случай микро-
физики»; при этом надо учитывать, что принципы микро-
физики имеют физический смысл только в терминах ма-
крофизики (гл. 4);
—	представить теорему 2.3.10 в виде формального выраже-
ния некоторого общего физического «принципа относитель-
ности» (гл. 2).
Заканчивая книгу, отметим следующее обстоятельство.
В настоящее время темы по философии науки привлекают
внимание многих авторов. Сам по себе этот факт отраден. Все
большие читательские круги приобщаются к проблемам филосо-
фии. Однако в литературном творчестве наблюдается нараста-
ние фаллибилистских веяний. Научно-исследовательские инте-
ресы перемещаются от теоретико-познавательных проблем в ло-
гике и методологии науки к социально-историческим. Заметно
уменьшается внимание и уважение к гносеологическим основа-
ниям науки.
Заключение
229
С другой стороны, необычайной популярностью пользуют-
ся работы, начало которым положил Т. Кун публикацией своей
книги «Структура научных революций». Такие изменения чи-
тательских вкусов опасны тем, что в науке видят не инструмент
познания действительности, а всего лишь одно из специфических
проявлений историко-социального процесса.
Среди многих причин такого положения дел в современной
философии науки не последнее место занимают Две следующие.
Во-первых, широко распространившееся убеждение в том, что
эпистемологически смелые проекты оснований точных наук (на-
пример, программа Гильберта в математике и доктрина тоталь-
ного операционализма в физике) несостоятельны в принципе или
невозможны практически; во-вторых, отсутствие ясно сформу-
лированных в современных терминах эпистемологических и ло-
гических особенностей основных концепций методологии науки
и, что еще важнее, отсутствие достаточного числа фактических
демонстраций пользы от учета этих особенностей.
Теперь, когда книга завершена, уместно заявить, что выбор
тем и характер изложения направлены на ослабление двух ука-
занных источников фаллибилизма. Мы попытались подсказать
читателю (в особенности молодому), что интереснее быть эпи-
стемологическим оптимистом, чем фаллибилистским нытиком.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Данное приложение содержит анализ теорем Гёделя. Этот ана-
лиз можно рассматривать как дополнение к гл. 7.
Принято считать, что К. Гёдель своими теоремами о непол-
ноте показал несостоятельность программы Гильберта в ее са-
мом существенном пункте. Ибо, как утверждают, вследствие
второй теоремы Гёделя доказательство непротиворечивости фор-
мальной системы S невозможно провести средствами, формали-
зуемыми в S, если S непротиворечива и содержит арифметику.
Наша цель — показать, что это установившееся в литературе
истолкование второй теоремы Геделя базируется на неявных и,
главное, неочевидных предположениях.
Пусть Р — элементарная теория чисел. В качестве формаль-
ного аналога Р мы принимаем формальную арифметику Пеано
первого порядка РА. При этом мы считаем, что РА адекватно
формализует Р (РА адекватна относительно Р), т. е. имеются
финитно обоснованный способ прямого перевода каждого рассу-
ждения из Р в соответствующий формальный вывод в РА и фи-
нитно обоснованный способ обратного перевода каждого вывода
в РА в соответствующее рассуждение в Р.
Суть первой теоремы Гёделя заключается в том, что указы-
вается некое формальное предложение G из РА и относительно
него финитно доказывается следующее:
РА формально непротиворечива —> G не выводимо в РА; (1)
G адекватно формализует содержательное высказывание
«не 1-рд G* (т. е. любое финитное доказательство утверж-
дения «не Ьрд G» можно преобразовать в финитное дока- (2)
зательство содержательного арифметического прототипа
Q формального G н обратно).
Пряпоженяе
231
Изложим суть второй теоремы Гёделя в удобной для нас фор-
ме1). Допустим, что получено какое-то финитное доказательство
формальной непротиворечивости системы РА. Ставя его перед
любым (не только уже известным из первой теоремы о неполноте)
финитным доказательством утверждения (1), получим финитное
доказательство утверждения
не Ьрд G.	(3)
Это значит, что в силу (2) мы имеем финитное доказательство
арифметического утверждения
G.	(4)
Если бы мы какое-нибудь финитное доказательство Q провели
в Р, то ввиду адекватности РА относительно Р получили бы
формальный вывод в РА предложения G. В силу (1) это невоз-
можно, если РА непротиворечива. Действительно, в этом случае
любое финитное доказательство утверждения <7 (а в силу (2) и
адекватности РА относительно Р) и наше предполагаемое фи-
нитное доказательство утверждения (3) нельзя формализовать
в РА. В самом деле, это доказательство состоит из двух частей:
финитного доказательства утверждения
РА непротиворечива	(5)
и финитного доказательства утверждения (1). Допустим, что
финитное доказательство утверждения (5) формализуемо в РА.
Обозначим через Consisj конечную формулу соответствующего
формального вывода. Очевидно, что в этом случае
не Ьрд Consisj —> G и Ьрд Consisi.	(б)
С другой стороны, допустим, что в РА формализуемо финитное
доказательство утверждения (1). Обозначим через Consisj
G конечную формулу соответствующего вывода в РА. В этом
случае
FpA Consis2 —► G и не Ьрд Consisj.	(7)
Ср.: Клини С. К. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр,
лит., 1957. С. 189-190.
232
Приложение
Таким образом, если непротиворечивость РА финитно доказуе-
ма, а некоторое финитное доказательство высказывания (1) фор-
мально представимо в РА выводом некоторого формального пред-
ложения вида Consis -+ G, то рассматриваемое финитное доказа-
тельство непротиворечивости РА не представимо в РА формаль-
ным выводом предложения Consis.
Отсюда никак не следует, что вторая теорема Гёделя финит-
но устанавливает невозможность формализовать в РА любое бу-
дущее финитное доказательство непротиворечивости РА. И тем
более отсюда не следует невозможность вообще финитного дока-
зательства непротиворечивости РА. Из второй теоремы Гёделя
вытекает только невозможность совместной (с одним и тем же
Consis) формализации в РА предполагаемого финитного дока-
зательства непротиворечивости РА и финитного (уже известно-
го или нового «не-геделе веко го») доказательства заключения (1)
первой теоремы Гёделя. Молчаливое признание необходимости
совместной формализации — главное, по-видимому, из неявных
предположений распространенной трактовки значимости теорем
Гёделя для программы Гильберта. Однако, не ясно, почему та-
кое предположение должно приниматься в рамках оснований.
В связи с этим замечанием становится понятным интерес к
попыткам посмотреть, что же получается, когда нарушают ука-
занное неявное предположение, лежащее в основе привычного ис-
толкования второй теоремы Гёделя. Такие попытки эпизодиче-
ски предпринимались давно, а в 1960 г. С. Феферман провел си-
стематический анализ этой темы2\ Ему удалось обобщить вто-
рую теорему Гёделя и показать, что обычная интерпретация этой
теоремы требует уточнения условий ее применимости.
Изложим более подробно суть интересующих нас достижений
С. Фефермана3).
Результаты К. Гёделя зависят от кодирующей интерпрета-
ции между метаязыком для формальных систем S, подлежащих
рассмотрению, и (неформальным) языком элементарной теории
чисел Р. [Этот язык состоит из цифр для натуральных чи-
сел, символов для рекурсивных функций и логических симво-
лов. Важно всегда помнить различие между такой (расширен-
3) Feferman S. Arithmetization of metamathematics in a general setting //
Fund. Math. 1960. V. 49, N 1. P. 36-92.
3) Мы следует работам: Resnik M. D. On the philosophical significance
of consistency proofs // J. Philos. Logic. 1974. V. 3, N 1/2. P. 133-147;
Feferman S. Op. cit.
Приложение
233
ной) частью естественного языка и языка формальной системы
для теории чисел, например арифметики Пеано первого поряд-
ка РА.] Металингвистические высказывания о выражениях из S
кодируются как высказывания о числах. Металингвистические
предикаты кодируются как арифметические предикаты. Введем
металингвистические сокращения FML$, PF$, NEG соответ-
ственно для выражений «... формула из S», «доказательство...
в S формулы...», «отрицание формулы...». Чтобы отличать эти
и другие металингвистические прототипы от их арифметических
аналогов, для последних будем использовать рукописные буквы,
например, FA4£s есть теоретико-числовой предикат, являющий-
ся кодом для металингвистического предиката FML§. По самой
природе кодировки предикат J’AtZ^g истинен для некоторого я,
если х — кодовое число (гёделевский номер) формулы из S.
Если S содержат формализацию интуитивной теории чисел,
то формальный язык системы S должен содержать предикаты,
«представляющие» свойства и отношения интуитивной теории
чисел. Гёделевские результаты связаны с двумя частными ти-
пами представления — нумерацией и бинумерацией. Допустим,
что S имеет цифры для каждого натурального числа. Пусть п —
цифра для натурального числа п. Тогда предикат К из S нумеру-
ет (в S) т-арное теоретике-числовое отношение /С тогда и только
тогда, когда /С(тц,..., nm), если и только если Fg K(nj,..., nm)
(для всех чисел «1,... ,nm). Предикат К бинумерует (в S) т-ар-
ное теоретике-числовое отношение /С тогда и только тогда, когда
он нумерует К. и не выполнено K.(ni,..., nm), если и только если
l-g ->K(ni,... ,nm).
Обратимся к металингвистическому предикату FML$. Его
гёделевский код — теоретико-числовой предикат }-Л4£$. В рас-
сматриваемых формальных системах Р.М£$ должен иметь по
меньшей мере одну бинумерацию FMLg. То же самое примени-
мо к PFg и NEG.
Учитывая последнее, выразим в S непротиворечивость систе-
мы S с помощью формального предложения вида
VaV6Vc-i(FMLg(6)&PFg(a, 6)&PFs(e, NEG(6))),	(8)
где FMLS, PFg, NEG — бинумерации (в S) теоретико-числовых
предикатов Е.М£$, РЕ$ и теоретико-числовой функции
Но как найти эти бинумерации для рассматриваемой системы S?
С. Феферман предложил эффективный метод нахождения под-
ходящих бинумераций FMLg, PFg, NEG по заданной нумерации
234
Приложение
или бинумерации о теоретико-числового предиката АГд, истин-
ного для тех и только тех чисел, которые суть гёделевские номера
аксиом из S. Тем самым он указал способ, с помощью которого
по каждому описанию о аксиоматической системы S может быть
эффективно найдено формальное предложение CONff, выражаю-
щее в S непротиворечивость системы S. Формальное предложе-
ние CONff всегда имеет вид
VaVWc-i(FMLff(6)&PFa(a, ft)&PFff(c, NEG(b))).	(9)
Пусть РА — формальная арифметика Пеано первого порядка.
Рассмотрим ее расширения, получаемые добавлением к РА новых
функциональных символов вместе с примитивно рекурсивными
«определяющими аксиомами» для этих символов. (Схема индук-
ции также расширяется, поскольку должны быть охвачены доба-
вленные предикаты, атомные н сложные.) Например, РА может
быть расширена добавлением функционального символа Р(х) (фу-
нкция предшествования) и аксиом Р(0) = 0, Р(х') = х.
Такие расширения арифметики Пеано РА вместе с их соб-
ственными расширениями с помощью тех же самых методов на-
зываются примитивно рекурсивными (PR)-расширениями ариф-
метики Пеано РА. Предикат в РА или в одном из ее PR-рас-
ширений РА\ построенный без использования неограниченных
квантификаций, называется PR-предикатом в РА, соответствен-
но в РА'. Если К есть PR-предикат в РА (или в РА'), то
Эх(1 ...9rinK
есть RE-предикат в РА (или в РА*).
По второй теореме Гёделя, конкретное предложение непро-
тиворечивости вида (9) для РА не доказуемо в РА. Первый из
упомянутых выше результатов С. Фефермана обобщает теоре-
му Гёделя на широкий класс предложений непротиворечивости
вида (9). А именно, С. Феферману принадлежит следующая
Теорема 1. Пусть S — непротиворечивое расширение РА; AAg —
класс гёделевских номеров аксиом из S; <т — RE-предикат, нуме-
рующий AAg в некоторой подсистеме системы S, которая (подси-
стема) является расширением робинсоновской системы Q. Тогда,
CONff не является теоремой в S.
Робинсоновская система Q получается из РА заменой схемы
индукции одной аксиомой Vа (а / 0 —» ЭЬ(а = У)). Система Q
включена в теорему, чтобы получить большую общность.
Приложение
235
Теорема Гёделя является частным случаем теоремы 1, так
как РА содержит Q и гёделевское предложение непротиворечи-
вости есть CONff, где ст — RE-предикат.
С. Феферман показал также, что имеются системы S, в кото-
рых формальное предложение CONa доказуемо для подходящих
выборов ст, нумерующих АЛ'д в S. Эти системы должны быть ре-
флексивными, т. е. способными доказывать непротиворечивость
каждой из своих конечных подсистем. Более точно, S рефлексив-
на в точности тогда, когда l~s CONP для каждого предиката <р
вида
x = niVx = n2V--Va: = пт,
где П],П2,... ,пт — гёделевские номера некоторых аксиом из S
(РА и ZF представляют примеры рефлексивных систем). Сфор-
мулируем результат С. Фефермана.
Теорема 2. Предположим, что S есть непротиворечивое рефлек-
сивное расширение арифметики Пеано РА и^А'д —рекурсивный
класс. Тогда существует бинумерация для АХ § в S такая, что
НРА CONai.
На первый взгляд, из этой теоремы следует, что есть такой
смысл непротиворечивости, в котором непротиворечивость ана-
лиза и теории множеств может быть доказана в элементарной
теории чисел. Это очень походит, на первый взгляд, на то, что
теорема 2 гарантирует существование контрпримеров обычному
негативному истолкованию второй теоремы Гёделя.
Однако прежде чем делать такого рода утверждения, опре-
делим соотношение между новым смыслом (если он есть) непро-
тиворечивости и тем, который охватывается теоремой 1. Самое
меньшее, эквивалентность CON^ <-> CONff не может быть дока-
зана ни в S, ни тем более в РА (если РА и S непротиворечивы),
ибо в противном случае в S можно было бы доказать CONa, что
противоречит теореме 1. Поэтому если мы убеждены, что CONff
выражает непротиворечивость S, то это убеждение не может ав-
томатически переходить (средствами, формализуемыми в S) в
убеждение, что и CONffl также выражает непротиворечивость S.
В последнем мы должны убедиться иным способом. Эскиз фефер-
мановского доказательства теоремы 2 позволяет прояснить это.
Так как класс ЛА'д рекурсивен, имеется некоторый преди-
кат ст, бинумерующий этот класс в РА. Определим предикат cti
соотношением
ctj(«) «-* ст(а)&УЬ(Ь < a -+ CONffjft),
236
Приложение
где <7 Г 6 — сокращение для <т(т)&х Ь. Если AA’g(n), то
1-рА <т(п) (поскольку а бинумерует AA’g в РА). Но тогда hg
<т(п). Кроме того, благодаря рефлексивности системы S имеем
l-g CONo-fofc.. .&CONfffn, Поэтому hg етЦп). С другой стороны,
если не АА^п), то Fg -ч7(п) и, следовательно, l-g ->(7i(n). Отсюда
вытекает, что <ti бинумерует AAg в S.
Доказательство Грд CONai получаем формализацией в РА
следующего рассуждения.
А. Предположим, что CONa. Тогда все конечные подсисте-
мы S непротиворечивы, так что для любых х и у будет х у,
только если CONff[z- Следовательно, д(г) тогда и только тогда,
когда tri (г). Поэтому CONai.
Б. Допустим, что -iCONtf. Тогда некоторое конечное под-
множество из S противоречиво, т. е.	?
х - coNafy)). ;
Из определения сц следует, что
3x(Vj/(ai(y) w	sJ&CON^J.
Поэтому CONai.
Итак, в любом случае CONffl. Важно отметить, что предпо-
ложение о непротиворечивости системы S использовалось (но не
оговаривалось) в доказательстве того, что tri бинумерует AAg
в S. Действительно, если бы S была противоречива, то Fg cri(n)
независимо от того, AAg(n) или не AAg(n), и о-] не нумеровала
бы AA's в S. В результате, чтобы использовать теорему 2 для
построения упомянутого выше контрпримера, надо было бы по-
казать, что CONcrj выражает непротиворечивость системы S, а
этого нельзя сделать до тех пор, пока не будет установлена не-
противоречивость системы S независимо от теоремы 2. Иными
словами, тот факт, что CONffl выражает непротиворечивость
системы S, следует доказывать в системе не менее сильной, чем
S U {CONff}. Именно поэтому результаты С. Фефермана все-
го лишь уточняют бытующую интерпретацию второй теоремы
Гёделя, не затрагивая ее по существу. Г. Крайзель4^ сформу-
лировал следующее уточненное истолкование теоремы Гёделя:
41 Kreisel G. Review of Feferman’s «Arithmetization etc.» // Math. Rev.
V. 25, N 5. P. 938-939.
Приложение
237
Если система S непротиворечива, а относительно формулы А мо-
жет быть доказано в S, что она выражает непротиворечивость S,
то А не может быть доказана в S.
Мы намерены подвергнуть сомнению общность такого уточ-
ненного по Крайзелю истолкования второй теоремы Гёделя. Опро-
вергнуть это истолкование можно было бы, построив конкретную
формальную систему S и конкретное предложение Consis в сиг-
натуре S, такие, что
—	относительно Consis может быть доказано в S, что Consis
выражает непротиворечивость системы S;
—	I~S Consis, даже если S непротиворечива.
Как указано в гл. 7, мы не можем, только прочитав Consis,
уже решить, что оно (это предложение) «означает», что S непро-
тиворечива. Связь между Consis и металингвистическим выска-
зыванием «S непротиворечива» задается сложным механизмом,
включающим в себя, в частности, и некоторые процедуры ма-
тематического характера. Однако принципиально невозможно
(коль скоро в конечном итоге речь идет о попытках дать фор-
мальную экспликацию Consis неформальному утверждению «S
непротиворечива»), чтобы этот механизм целиком состоял из ма-
тематического доказательства. Всегда есть (более того, не мо-
жет не быть) такой этап в установлении содержательного смы-
сла любого формального высказывания, например Consis, кото-
рый заключается в осуществлении некоторого «непосредствен-
ного усмотрения». В тех случаях, когда на долю «непосред-
ственных усмотрений» приходится нечто, что оказывается для
нас также и «непосредственно очевидным», мы говорим, что до-
казали, каков смысл формального высказывания. В остальных
случаях говорят, что подобное доказательство не имеет места.
Характер распределения смысловой нагрузки между формаль-
ными процедурами доказательств и неформальным остатком в
виде «непосредственных усмотрений» играет в рассматриваемом
механизме существенную роль. Например, когда а есть RE-пре-
дикат, нумерующий аксиомы S, мы можем убедиться, что CON^
выражает непротиворечивость S даже в том случае, когда упо-
мянутая формальная часть нашего механизма принадлежит до-
казательствам в РА. И мы не располагаем «непосредственно оче-
видными», «непосредственными усмотрениями» такими, чтобы
та нагрузка, которая ими («непосредственными усмотрениями»)
не охватывается, «умещалась» бы в доказательства из S, когда
мы хотим убедиться, что CON^ также выражает непротиворе-
238	Приложение
чивость S. Так как аал ас возможных «непосредственных усмо-
трений* и «непосредственных очевидностей» заранее необозрим,
ясно, что цитированная выше формулировка Г. Крайзеля долж-
ной интерпретации второй теоремы Гёделя приемлема только в
качестве своеобразной эмпирической гипотезы, а потому, вообще
говоря, подлежит опровержению конкретными примерами.
То обстоятельство, что мы имеем дело с эмпирической гипо-
тезой о наших непосредственных усмотрениях, можно замаскиро-
вать, как это обычно делается, попытками заранее как-то огра-
ничить смысл фразы: «Относительно формулы А может быть
доказано в S, что А выражает непротиворечивость S». Напри-
мер, как и Г. Крайзель, мы можем требовать, чтобы формула А
строилась с учетом «условий выводимости» Гильберта — Бер-
найса или, просто, чтобы она была доказуемо эквивалентна в S
фефермановскому CONa с RE-предикатом сг. Однако не следу-
ет забывать при этом, что сама приемлемость (или неприемле-
мость) подобного рода требований должна базироваться, в конце
концов, на некоторых «непосредственных усмотрениях». -
ЛИТЕРАТУРА
Глава J
1.	Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. Изд. 2-е. М.: Учпед-
гиз, 1939.
2.	Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М.:
Наука, 1979.
3.	Кейслер Г., Чен Ч. Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977.
4.	Клини С. К. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр,
лит., 1957.
5.	Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств,
математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1984.
в. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.; Наука, 1970.
7.	Он же. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1965.
8.	Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука,
1971.
9.	Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычи-
слимость. М.: Мир, 1972.
10.	Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа.
М.: Наука, 1971.
11.	Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.:
Мир, 1966.
12.	Grzegorczyk A. An outline of mathematical logic. Warszawa: Polish.
Scientif. Publ., 1974.
Глава 2
1.	Голдблатт P. Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983.
2.	Кейслер Г., Чен Ч. Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977,
3.	Клини С. К. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр, лит.,
1957.
4.	Мендельсон 3. Введение в математическую логику. М.: Наука,
1971.
S.	Подниекс К. М. Вокруг теоремы Гёделя. Рига: Латв, ун-т им. П.
Стучки, 1981.
240
Литература
6.	Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа.
М.: Наука, 1971.
7.	Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств М.:
Мир, 1966.
8.	Хао Ван, Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории мно-
жеств. М.: Изд-во иностр, лит., 1963.
В. Шенфильд Д. Р. Аксиомы теории множеств // Справочная книга
по математической логике. М.: Наука, 1982.
10.	Он же. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
11.	Grzegorczyk A. An outline of mathematical logic. Warszawa: Polish.
Scientif. Publ., 1974.
12.	McCarty Ch., Tennant N. Skolem’s paradox and constructivism //
J. Philos. Logic. 1987. V. 16, N 2. P. 165-202.
13.	Rogers R. Mathematical logic and formalized theories. Amsterdam; Lon-
don: North-Holland Publ. Company, 1971.
Глава 3
1. Przelecki M. The logic of empirical theories. London: Routledge and
Kegan Paul, 1969.
2. Tuomela R. Theoretical concepts. Wien: Springer-Verl., 1973.
Глава 4
1.	Бор H. Атомная физика и человеческое познание. М.: Изд-во иностр,
лит., 1961.
2.	Нейман И., фон. Математические основы квантовой механики. М.:
Наука, 1964.
3.	Ballentine L. Е. The statistical interpretation of quantum mechanics //
Rev. Modern Phys. 1970. V. 42, N 4. P. 358-381.
4.	D’Espagnat B. The quantum theory and reality // Sci. Amer. 1979.
V. 241. P. 128-140.
5.	Heisenberg W, The physical principles of quantum theory. Chicago:
Univ, of Chicago Press, 1930.
6.	Tschudi H. R. On the statistical interpretation of quantum mechanics If
Helv. Phys. Acta. 1987. V. 60. P. 363-383.
Глава 5
1.	Введенский А. И. Логика как часть теории познания. Изд. 4-е. М.;
П.: Госиздат, 1923.
2.	Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. М.: Мир, 1978.
3.	Goodman N. Fact, fiction, and forecast. Cambridge: Harvard Univ.
Press, 1955.
Литература
241
4.	Lakatos I. Changes in problem of inductive logic // The problem of in-
ductive logic. Amsterdam: North-Holland Pubi. Company, 1968. P. 318.
5.	Popper K. R. Conjecture and refutations. New York; London: Basic
Books Publ., 1962.
Глава 6
1.	Bromek T., Moszynska M., Prazmowski K. Concerning basic no-
tions of measurement theory // Czechoslovak Math. J. 1984. V. 34, N 109.
P. 570-587.
2.	Helmholtz H. V. Zahlen und Messen // Philosophische Aufsatze. Leipzig
Fues’s Verl., 1887. S. 17-52.
3.	Krantz D. H., Luce R. D., Suppes P., Tversky A. Foundations of
measurement. New York: Acad. Press, 1971.
4.	Pfanzagl J. Theory of measurement. Wurzburg; Wien: Physica-Verl.,
1968.
Б. Roberts F. S. Measurement theory. New York: Acad. Press, 1979.
6. Suppes P., Zinnes J. Basic measurement theory // Handbook of math-
ematical psychology. 1963. V. 1.
7. Tversky A. A general theory of polynomial conjoint measurement //
J. Math. Psych. 1967. V. 4. P. 1-20.
Глава 7
1.	Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехтеоретиздат,
1948.
2.	Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. М.: Мир, 1981.
3.	Подниекс К. М. Вокруг теоремы Гёделя. Рига: Латв, ун-т им.
П. Стучки, 1981.
4.	Сморинский К. К. Теоремы о неполноте // Справочная книга по
математической логике. М.: Наука, 1983.
5.	Трулстра А. С. Аспекты конструктивной математики // Справоч-
ная книга по математической логике. М.: Наука, 1983.
6.	Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств М.:
Мир, 1966.
7.	Feferman S. Arithmetization of metamathematics in a general setting //
Fund. Math. 1960. V. 49, N 1. P. 35-93.
8.	Reenik M. On the philosophical significance of consistency proofs //
J. Philos. Logic. 1974. V. 3, N 1/2. P. 133-147.
9.	Webb J. C. Mechanism, mentalism, and metamathematics. Dordrecht:
D. Reidel Publ. Company, 1980.
ИМЕННОМ
УКАЗАТЕЛЬ
Аккерман В. 215, 219
Аристотель 149, 150
Дедекинд Р. 68
Баб Дж. 142
Баллентайн Л. 132
Бар-Хнллел И. 7, 216
Белл Дж. С. 142-144
Бом Д. 142
Бор Н. 135, 136, 138
Брауэр Л. Э. Я. 209
Бруно Дж. 148
Бэкон Ф. 148, 149, 152
Зинес И. 179
Зурек В. 146
Вейль Г. 209
Вот Р. 116, 118
Кайберг Г. 7, 153
Карнап Р. 7, 153-156
Котарбиньскнй Т. 151
Кохен С. 141, 144
Коэн М. 179
Крайзель Г. 219, 236-238
Крантц Д. 179
Крейг В. 95, 116, 118
Кронекер Л. 209
Кун Т. 229
Кэмпбелл И. 179
Гёдель К. 66, 215, 216, 217,
220, 230, 232
Гейзенберг В. 133, 135, 136
Гельмгольц Г. 178
Генцен Г. 217, 218
Гершель Дж. 152
Гильберт Д. 209-211,213,
214, 221
Глиссон А. 141, 142, 144
Гудмэн Н. 150, 157, 161,
174
Лакатош И. 157
Лихтенфельд Б. Л. 155
Луллий Р. 148, 150, 151,
160
Лыос Р. Д. 179
Маргенау X. 136
Меськов В. С. 120
Милль Дж. С. 152
Монтегю Р. 100
Именной указатель
243
Нагель Е. 179 Нейман И. фон 139-142, 144, 215 Новиков П. С. 219	Туомела Р. 115 Фефермаи С. 53, 232-236 Френкель А. А. 7, 216
Перес А. 146 Пнрон К. 141, 142, 144 Подольский Б. 143 Поппер К. 156 Пруговецкий Е. 136 Пфамцагль И. 179, 193 Пшеленпкий М. 98	Хинтнкка Я. 155 Хол лит М. 142 Чёрч А. 34, 218, 219 Чуди X. 132
Резник М. 214 Рейхенбах Г. 7 Робертс Ф. 179 Россер Д. 75 Рот Дж.-К. 179	Шпеккер Е. 141, 144 Эйнштейн А. 136, 138, 143 Эллнс Б, 179
Саппе П. 179 Сморинсккй К. К. 221	Яух Дж. 141, 142, 144
Такеути Г. 220 Тверский А. 179	д’Эспанья Б. 144
ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
автомофизм 26
аксиома
—	антисимметричности 183
—	архимедовости 184
—	ассоциативности	184
—	ассоциативности	184
—	— слабой 185
— единицы 184
— монотонности 184
—	обратного элемента 184
—	транзитивности 183
—	— негативной 183
—	полноты 183
—	— строгой 189
аксиома (ZF) 50
—	бесконечности (ZF6) 62
—	выбора (ZF9) 63
—	множества
—	— подмножеств (ZF4) 62
—	пары (ZF3) 62
—	регулярности (ZF7) 62
—	суммы (ZF5) 62
—	экстенсиональности (ZF1) 62
аксиоматика 50
—	независимая 50
аксиомы
— нелогические 50
алгебра 25
алгоритм
— тестовый 107
алфавит 38
антецедент 41
арифметизация 72
арифметика 28
— натуральных чисел 28
базис
— содержательный 88
— эмпирический 110
биекция 13
Биркгофа—Милъграма
теорема 183
вхождение
—	переменной 41
—	— свободное 41
— — связанное 41
выражение
— доказуемое 46
высказывание
— идеальное 209
— реальное 209
генерализация
— универсальная 41
— экзистенциальная 41
Гёделя теорема
—	— о неполноте (первая) 74
—	— о неполноте (вторая) 74
—	— о полноте 53
Гёль дера теорема 184
гомоморфизм 26
грань
— верхняя 15
— нижняя 15
график 23
группа 28
— подстановок 28
— упорядоченная
— — архимедово 184
Предметный указатель
245
декремент
— конвенциальный 93
денотат 25, 42
дефиниендум 51
дефини енс 51
диаграмма 55
— полная 55
дизъюнкция 39, 41
длина
— кортежа 11
дополнение
— отношения 12
— элемента 16
идеализация 88
изоморфизм 26
импликация 39, 41
—	неформальная 17
индукция
— неполная 149
— трансфинитная 16
инструкция 107
интерпретация 24
— множества 45
—	переменных 42
—	теории 67
—	формулы 67
—	языка 67
инъекция 13
исчисление 45
—	классическое 47
—	непротиворечивое 46
—	— семантически 46
—	неразрешимое 46
— полное
—	— семантически 46
—	правила вывода 45
—	противоречивое 46
—	разрешимое 46
исчисления
— аксиома 45
—	расширение
— — консервативное 46
— теорема 46
— язык 46
исчисление ИИЙ 47
—	вывод формулы 48
—	доказательство формулы 48
—	множество гипотез 48
— множество предложений
— — неполное 49
—	— несовместное 49
—	— полное 49
—	— противоречивое 49
—	— совместное 49
—	теорема 48
— формула
—	— выводимая 48
—	— доказуемая 48
—	формулы
—	— эквивалентные 48
исчисление ИПЛ 57
—	аксиома 57
—	выводимость 57
—	доказуемость 57
—	правило вывода 57
—	формула 57
Кантора—Бернштейна
теорема 17
Кантора теорема 183
кардинал 20
квантор 41
—	всеобщности 39
—	существования 39
класс 10
—	У-аксноматизируемый 57
—	3-аксиоматизируемый 57
—	абстрактный 55
—	аксиоматизируемый 54
—	— конечно- 55
—	замкнутый 56
- смежный 14
—	собственный 10, 60
—	эквивалентности 14
композиция
— отношений 12
компонента
—	аналитическая 93
—	синтетическая 93
консеквент 41
константа 14
континуум 20
континуум-проблема 21
конъюнкция 39, 41
кортеж 11
Крейга теорема 52
Левенее&ка — Скулема
теорема 45
Лиденбаума теорема 49
246
Предметный указатель
логика
— классическая 47
логика открытия 160
Мальцева теорема
— о компактности 45
матрица
— плотности 122
метод
— индукции 160
— — регулярный 169
множества
— образ 12
— прообраз 12
— степень 64
множество 10
— бесконечное 20
— выполнимое 44, 45
— — локально 45
— вычислимое 32
— конечное 20
— перечислимое
— — рекурсивно 31
— пустое 10, 59
— рекурсивное 31
— — примитивно 31
— — частично 31
— счетное 20
— транзитивное 18
— упорядоченное
— — вполне 16, 20
— — частично 15
— фундированное 16
модель 45
— арифметики
— — стандартная 70
— теория
— — нестандартная 70
модификация
— нетворческая 166
мощность 20
— сигнатуры 23
— системы 24
наблюдаемые 120
наблюдение 105
набор
— упорядоченный 11
надсигнатура 24
иадсистема 27
надтеория 50
носитель 24
нумерал 71
нумерация
— гёделевская 72
обеднение
—	до сигнатуры 50
область
—	значений 12
—	определения 12
объединение 10
объект
—	наблюдаемый 105
ограничение
—	рациональное
—	— в сильном смысле 163
— — в слабом смысле 162
оператор 30
операция
— парная 13
— поместная 13
определение предиката
— явное 96
—	условное 97
—	частичное 98
ординал 18
—	предельный 19
отношение
—	п-армое 13
—	п-местное 13
—	арифметическое 71
—	бинарное 12
—	— антисимметричное 14
—	— иррефлексивное 14
—	— рефлексивное 14
—	— симметричное 14
—	— транзитивное 14
—	истинное 43
—	обратное 12
—	перечислимое
—	— рекурсивно 31
—	рекурсивное 31
—	— примитивно 31
—	— частично 31
отображение 13
—	биективное 13
—	инъективное 13
—	частичное 21
отрицание 39, 41
Предметный указатель
247
пара
— неупорядоченная 64
Пеано арифметика 68
переменная 38
— свободная 41
— связанная 41
пересечение 10
подалгебра 27
подкласс 10
— собственный 10
подмножество 10
— собственное 10
подмодель 27
подобие 17
подси г натура 24
подсистема 27
— собственная 27
— элементарная 55
подстановка 13
лодтеория 66
подформула 40
подъязык
— эмпирический 87
порядок
— линейный 15
— полный 16
— строгий
— — слабый 183
— — простой 183
— частичный 15
последовательность II
постулат 95
— значения 95
правило
— п-посылочное 46
предикат 31
— п-арныЙ 21
— — частичный 22
— доказуемости
— — стандартный 73
— перечислимый
— — рекурсивно 31
— числовой 31
предиката объем 23
предложение 41
— h- аналитическое 93
— Л-истинное 92
— 5-сиитетическое 93
— выполнимое
— — на классе 54
— истинное 92
— — на классе 54
— ложное 92
— непротиворечивое 49
—	неразрешимое 74
представление
—	системы 181
—	— однородное 191
представление
— квазиэффективное 34
— стандартное 88
— эффективное 33, 35
принцип
—	дополнительности 131
—	индукции
•	— — математической 69
—	— трансфинитной 16
—	максимума 16
—	полного упорядочения 17
—	свертывания 59
—	— ограниченный 60
произведение
—	декартово 12
—	отношений 12
—	прямое 12
протокол 106
протокола
—	базис 106
—	мощность 106
протоколы
— изоморфные 106
равенство
— логическое 39
— нелогическое 39
— сигнатурное 39
разбиение 14
разность 11
— симметрическая 11
Рассела
— множество 60
— парадокс 59
рассуждение
— финитное 209
расширение
— консервативное 46, 50
—- теории
— — дефкнициальное 52
редукт 109
реконструкция
— логическая 88
решетка 16
— булева 16
248
Предметный указатель
— дистрибутивная 16
Роберта—Лыоса теорема 185
свойство
— наблюдаемое 105
семейство 14
сигнатура 23, 107
— вычислимая
— — эффективно 42
— конечная 24
— предикатная 24
— пустая 24
— счетная 24
— функциональная 24
— — групповая 28
сигнатуры
— обеднение 24
— обогащение 24
— расширение 24
символ 38
— вспомогательный 39
— константы 23
— логический 39
— операции 23
— отношения 23
— переменной 38
— предикатный 23
— — теоретический 87
— — эмпирический 87
— функциональный 23
система
— аксиоматизируемая
— — конечно- 52
— — рекурсивно- 52
— аксиоматическая 50
— — неразрешимая 52
— — разрешимая 52
— — элементарная 52
— алгебраическая 24
система предложений
— независимая 49
системы
—	обеднение 28
— обогащение 28
следствие
—	логическое 53
словарь 107, 109
слово 38
соответствие
— взаимно однозначное 13
соотношение
— неопределенностей 131
состояние
—	атомное 122
—	размытое 122
—	смешанное 122
—	чистое 122
степень
—	декартова 12
структура
—	экстенсивная 184
схема
—	аксиом выделения (ZF2) 62
—	аксиом замены (ZF8) 62
сюръекция 13
теорема
—	о дедукции 48
—	о замене 49
—	о существовании модели 53
теории
—	базис
—	— эмпирический 108
—	обновление 137
—	пополнение 136
—	представление
—	— аксиоматическое 108
—	— каноническое 108
теории
— эквивалентные 50
— — дедуктивно 112
— равные дедуктивно 50
—	эмпирически равноценные 11
—	расширение 50
—	— консервативное 136
—	сужение 50
—	усиление 50
—	фрагмент 68
—	ядро
—	— формальное 108
теория
—	(^-непротиворечивая 74
—	заданно полная 227
—	полная 137
—	— синтаксически 137
—	типов 68
—	элементарная 50, 54
—	— неполная 50
—	— непротиворечивая 50
—	— перечислимая 52
—	— полная 50
—	— противоречивая 50
Предметный указатель
249
теория ZF 61
теория физическая
—	»-индетермииистская 130
—	i-ведетермииистская 125
—	детерминистская 124
—	ин детерм ин исткая 128
—	индетерминистская 130
—	квантовая 123
— недетерминистская 124, 125
— — сильно 125
— неквантовая 124
терм
— замкнутый 39
-- константный 39
—	с переменными 39
—	сигнатуры 39
термин
—	теоретический 109
универсум 24, 67
факт 86
—	отрицательный 86
фактор-множество 14
фальсификатор 93
формализм 88
формула 40
—	атомарная 40
—	атомная 40
—	замкнутая 41
—	истинная
—	— тождественно 44
—	общезначимая 44
—	элементарная 40
функция 13
—	п-арная 13
—	п-местная 13
—	— частичная 21
—	арифметическая 71
—	волновая 122
—	вычислимая 32
—	общерекурсивная 31
—	рекурсивная
—	— примитвная 31
—	— частично 31
—	характеристическая 22
—	— частичная 22
—	частичная 21
—	числовая
— — частичная 29
шкала 182
цепь 15
эквивалентность 14
эквиваленция
—	неформальная 17
элемент 10
— максимальный 15
—	минимальный 15
— наибольший 15
— наименьший 15
ядро
— формальное 111
язык
— вычислимый 42
— первого порядка 41
— формальный 42
языка
—	интерпретация 86
—	расширение 46
—	сужение 46
А"-надсистема 55
А-подсистема 55
А'-система 55
О-термин 87
Т-термин 87
Э-формула 57
V	-формула 57
УКАЗАТЕЛЬ
ОБОЗНАЧЕНИЙ
R f В 27		к 39
Z	25	— 39
N	28	V 39
Р	И, 64	3 39
Д	11	39
	17	as 39
=*>	17	4 55
Ко	20	= 55
\	10	v 39
И	21	г л 72 h 48
Л	21	AI 38
и	10	Ах 45
п	10	Consis 73
0	кии {} 10	bom 186
	15	id4: A —* A
	15	inf 15
е	10	sup 15
	10	PA 68
Н	42	ZF 61
		Pr 73
	17	Trm 46
7Г	57	Th(G) 49
с	10	Th(A') 54
£	10	Mod (S') 54
СЛОВАРЬ ФИЛОСОФСКИХ ТЕРМИНОВ
АЛГОРИТМ — программа., определяющая способ поведения (вычисления);
система правил (предписаний) для эффективного решения задач. (См. Фи-
лософский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ДЕДУКЦИЯ [от лат. deductio выведение] — логическое умозаключение от
общего к частному, от общих суждений к частным или другим общим выво-
дам... (См. Словарь иностранных слов. М.: Рус. яз., 1989.)
ДИХОТОМИЧЕСКОЕ ДЕЛЕНИЕ — деление объема понятий (класса, мно-
жества) на два соподчиненных (производных) класса по формуле исключен-
ного третьего: «А или не-А». (См. Философский энциклопедический
словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ДОКТРИНА [от лат. doctrina учение] — некоторое систематизированное
учение (обычно философское, политическое или идеологическое), связная кон-
цепция, совокупность принципов. (См. Философский энциклопедический
словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ИДЕАЛИЗАЦИЯ — мысленный акт, связанный с образованием понятий об
объектах, не имеющих своего аналога в действительности... (См. Словарь
иностранных слов. М.> Рус. яз., 1989.)
ИМПЕРАТИВ [от лат. impeiativus повелительный] — требование, приказ,
закон. (См. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл.,
1983.)
ИНДУКЦИЯ [от лат. inductio наведение] — вид обобщения, связанный с пре-
двосхищением результатов наблюдений и экспериментов на основе данных
опыта... (см. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл.,
1983); логическое умозаключение от частных, единичных случаев к общему
выводу, от отдельных фактов к обобщениям; способ математических доказа-
тельств и определений, основанный на переходе от заключения, верного для
некоторого целого числа п, к заключению, верному для числа в + 1. (См.
Словарь иностранных слов. М.: Рус. яз., 1989.)
ИНТУИЦИОНИЗМ — направление в основаниях математики и логики, при-
знающее главным и единственным критерием правомерности методов н ре-
зультатов этих наук их интуитивную — наглядно-содержательную убеди-
тельность («интуицию»), (См. Философский энциклопедический словарь.
М.: Сов. энцикл., 1983.)
252
Словарь философских терминов
КОНВЕНЦИОНАЛИЗМ (от лат. conventio соглашение] — направление в фи-
лософском истолковании науки, согласно которому в основе математических
к естественно-научных теорий лежат произвольные соглашения (условности,
определения, конвенции между учеными), выбор которых регулируется лишь
соображениями удобства, целесообразности, принципом «экономии мышле-
ния» и т. п. (см. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. эн-
цикл., 1983); субъективно-идеалистическая философская концепция, согласно
которой научные понятия и теории не отражают объективной действитель-
ности, а являются результатом соглашения ученых, условными, произвольно
установленными правилами. (См. Словарь иностранных слов. М.: Рус. яэ.,
1989.)
ЛОГИКА — наука о законах и формах мышления; формальная логика —
наука, изучающая формы мыслей и формы сочетаний их, отвлекаясь от кон-
кретного содержания суждений, умозаключений, понятий; диалектическая
логика — наука о мышлении, способном отразить в познании диалектику
природы и общества; изучает мышление в его развитии, противоречиях и
единстве формы и содержания; математическая логика — раздел матема-
тики, логика, развиваемая математическими методами; ... ход рассуждений,
умозаключения; разумность, внутренняя закономерность. (См. Словарь
иностранных слов. М.: Рус. яз., 1989.)
МЕТОДОЛОГИЯ — система принципов и способов организации и постро-
ения теоретической и практической деятельности, а также учение об этой
системе. (См. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. эн-
цикл., 1983.)
ОНТОЛОГИЯ — учение о бытии как таковом; раздел философии, изучающий
фундаментальные принципы бытия, наиболее общие сущности и категории
сущего. (См. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл.,
1983.)
ПАРАДОКС — мнение, суждение, резко расходящееся с общепринятым, про-
тиворечащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу; формаль-
но-логическое противоречие, которое возникает в содержательной теории
множеств и формальной логике при сохранении логической правильности хо-
да рассуждений; неожиданное явление, не соответствующее обычным пред-
ставлениям. (См. Словарь иностранных слов. М.: Рус. яз., 1989.)
ПРАГМАТИКА — направление семиотики (учения о знаках), изучающее
отношения между знаковыми системами и теми, кто ими пользуется. (См.
Словарь иностранных слов. М.: Рус. яз., 1989.)
РЕАЛИЗМ — философское направление, признающее лежащую вне сознания
реальность, которая истолковывается либо как бытие идеальных объектов
(Платон, средневековая схоластика), либо как объект познания, независи-
мый от субъекта, познавательного процесса и опыта... (См. Философский
энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
РЕДУКЦИЯ [от лат. reductio отодвигание назад, возвращение к прежнему
состоянию] — термин, обозначающий действия или процессы, которые при-
водят к упрощению структуры какого-либо объекта; методологический при-
ем сведения каких-либо данных к более простым, исходным началам. (См.
Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
Словарь философских терминов
253
СЕМАНТИКА — раздел логики, исследующий отношения логических зна-
ков к концептам (понятиям) и денотатам — референтам. (См. Словарь
иностранных слов. М.: Рус. яз., 1989.)
СЕМАНТИЧЕСКИЙ — смысловой, относящийся к значению слова... (См.
Словарь иностранных слов. М.: Рус. яз., 1989.)
ТЕОРИЯ — ...в широком смысле — комплекс взглядов, представлений, идей,
направленных на истолкование и объяснение какого-либо явления; в более
узком и специальном смысле — высшая, самая развитая форма организа-
ции научного знания, дающая целостное представление о закономерностях
и существующих связях определенной области действительности — объекта
данной теории. (См. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов.
энцикл., 1983.)
УТИЛИТАРИЗМ [от лат. utilitas польза, выгода] — принцип оценки всех
явлений с точки зрения их полезности, возможности служить средством для
достижения какой-либо цели; направление в этике, считающее пользу осно-
вой нравственности и критерием человеческих поступков. (См. Философ-
ский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ФАЛЛИБИЛИЗМ [от англ, fallible подверженный ошибкам, ненадежный].
(См. Современная западная философия: словарь. М.: Изд-во полит, лит.,
1991.) Согласно К. Попперу эмпирический и теоретический уровни знания
органически связаны между собой; любое научное знание носит лишь гипо-
тетический характер, подвержено ошибкам (принцип фаллибилизма). (См.
Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ФАЛЬСИФИКАЦИЯ — научная процедура, устанавливающая ложность ги-
потезы или теории в результате экспериментальной или теоретической про-
верки. Понятие фальсификации следует отличать от принципа фальсифици-
руемости, который был предложен Поппером в качестве критерия демарка-
ции науки от «метафизики» (как альтернатива принципу верифицируемости,
выдвинутому логическим эмпиризмом...). (См. Философский энциклопе-
дический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ФИНИТИЗМ [от лат. finitus определенный, ограниченный, законченный] —
методологическая установка в теории доказательств, возникшая в начале
20 в. в работах Гильберта и его школы с целью обоснования непротиво-
речивости теоретико-множественной математики. (См. Философский эн-
циклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ЭВРИСТИКА — ... специальные методы решения задач (эвристические ме-
тоды), которые обычно противопоставляются формальным методам реше-
ния, опирающимся на точные математические модели. (См. Философский
энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл., 1983.)
ЭМПИРИЗМ — направление в теории познания, признающее чувственный
опыт источником знания и считающее, что содержание знания может быть
представлено либо как описание этого опыта, либо сведено к нему. (См.
Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцнкл., 1983.)
ЭПИСТЕМОЛОГИЯ — термин, употребляемый для обозначения теории по-
знания. (См. Философский энциклопедический словарь. М.: Сов. энцикл.,
1983.)